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Full text of "Bibliotheca mathematic"

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BIBLIOTHECA MATHEMATICA. 

ZEITSCHRIFT FÜE GESCHICHTE 

DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN. 



HERADSOEGEBEK VON 

GUSTAF ENESTRÖM 

IN STOOSHOLM. 



DRITTE FOLGE. FÜNFTES BAND. 

KIT OBH BILDiaS TON L. OSEMONA ALS TITELBILD, 
80WIB 11 XSXTEIGUIUSN. 



LEIPZIG 

DEUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNEE 

1904. 



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BUOTHEGA MATHEMATIGA. 

ZEITSGHSIFr FUS GESCHICHTE 

l MATHEIIATISGHEN WISSENSCHAFTEBT. 



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ALU; HK( UTK, KINHrill.lKNKI.ICll DE» ClUBKHKTZUNUBKEOHTB, VOBBElLiLTEN 



iDhaltsverzeichnis. 



Bosmans, 18. 

Brannmühl, 24. 

Duhem, 16. 

Enestrbm, 1—5, 11, 12, 14, 15, 

21, 23, 26, 27, 33-36. 
Enkle, 2. 
Favaro, 17, 22. 



Autoren-Register. 



Garland, 19. 
Gräfe, 2. 
Hoflmann, 28. 
Hultsoh, 9. 
Körner, 25. 
Katta, 6. 
Lori», 30, 31. 



Malier, 2, 32. 
Bath, 29. 
Snter, 10. 
Tannery, 8, 13. 
Wallner, 20. 
Zeuthen, 7. 



Sach-Register. 



Aktuelle Fragen, 33-36. 

Albattani, 10. 

Algebra, 23. 

Algorismoa, 12, 13. 

Algorithmus demonstratua, 16. 

Anfragen, 11, 12, 14, 21, 23, 27. 

Antworten, 13, 22, 29. 

Anziehung, 28. 

Arabische Mathematik, 10. 

Arithmetik, 7—9, 12, 13, l.'i. 

Astronomie, 10. 

Ball, 4. 

BemouUi, 26. 

Bibliographie, 37. 

Binomischer Lehrsatz, 23. 

Biographie, 17, 30. 

Braunmükl, 6. 

Briefe, 26. 

Cantor, 2. 

Cavalhri, 21, 22. 

Ceva, 31. 

Cotet, 24. 

Cremona, 30, 31. 

Curtze, 12, 13. 

Datierung von Zeitschriftenartikel, 34. 

Ernennungen, 38. 

Eukladet,i, 14. 

EvUr, 26. 

Eulersche Summenformel, 27. 

Gambioli, i. 

Geometrie, 11 , 14, 21, 22. 29. 

Griechische Mathematik, 7—9. 

Heronsche Dreiecksformel, 11. 

Historische Entwickelnng, 1. 

Indische Mathematik, 7. 

Infinitesimalrechnung, 20, 24. 

Integralrechnung, 24. 

Jahrbuch üb. d. Fortschritte der Mathematik, 32. 

Jordantu Nemvrarius, 15, 16. 



I Leotuirdo Crtmoneae, 17. 
i Uterariaoha Notizen, 38. 

Materieller Funkt, 25. 

Mathematik im allgemeinen, 2—5. 

Mathematiker- Versammlungen, 38. 

Mathematische Gesohichtesohreibong, 1. 

Mathematische Rezensionen, 35. 

Mathematische Zeichen, 8. 

Mathematisch-historische Hil&mittel, 36. 

Mathematisch-historische Kongresse, 38. 

Mathematisch-historischer Dniversititsunter- 
richt, 33. 

Mathematisch-historische Yorlesungen, 38. 

Maximalprobleme, 28. 

Mechanik, 19, 25, 28. 

NalUtu,, 10. 

Nenerschienene Schriften, 37. 

Newton, 24. 

Paaeal, 23. 

Pendeluhr, 19. 

Philotechnes, 16. 

Pisano, 14. 

Preisfragen, 38. 

Puäti. 4. 

Seihen, 23, 27. 

Rezensionen, 3—6, 10, 36. 

Boomen, 18. 

Sexagesimalreohnnng, 9. 

SpiralUnie, 21, 22. 

Sturm, 6. 

Subtraktionszeichen, 8. 

Summenformel, 27. 

Technik, 19. 

Todesfälle, 38. 

Torsion, 29. 

Trigonometrie, 6, 18. 

Wissenschaftliche Chronik, 38. 

Zeuthen, 3. 



*?0^5^. 



IV Inhaltaverseicliiiis. 

Allgemeines über Gesohiohte der Mathematik. seit« 

1. Über regelmäßige and unregelmäßige historische Entwickelang auf 

dem Gebiete der Mathematik. Von G. Enestböh 1—4 

2. Kleine Bemerkangen zar zweiten Aaflage von Cantors , Vor- 
lesungen über Geschichte der Mathematik*. Von G. Eneström, 

J. Enkle, f. Graefe, Felix Müller . 68—72, 200—208, 805—810, 407—414 

8. Zeuthen, Forelaesninger over Mathematikens Historie II (1903). — 
GeBchichte der Mathematik im XVI. and XVII. Jahrhundert (1903). 
Rezension von G. Eneström 211—220 

4. Ball, Breve compendio di storia delle matematiche. Versione dall' 
inglese di Gambioli e Puliti. I— II (1902—1903). Rezension von 

G. Eneström 318—316 

5. Sturm, Geschichte der Mathematik (1904). Rezension von G. Eneström 417—420 

6. Brannmübl, Vorlesungen über Geschiebte der Trigonometrie. II (1903). 
Rezension von W. M. Kutta 74—78 

Gesohiohte des Altertums. 

7. Sur rarithmStique des Grecs et des Indiens. Par H. G. Zeuthen. 

Mit 4 Textfiguren 97—112 

8. Sur le Symbole de soustraction chez les Grecs. Par Paul Tannbry 5—8 

9. Die Sexagesimalrechnungen in den Schollen zu Euklids Elementen. 

Von Friedrich Hultsch 225—238 

Gesohiohte des Mittelalters. 

10. Nallino, Al-Battäni Opus astronomicom. 1 (1903). Rezension von 
Heinrich Suter 78 — 88 

11. Über die Geschichte der Heronschen Dreiecksformel im christlichen 
Mittelalter. [Anfrage 118.] Von G. Eneström 311-312 

12. Über den Verfasser einer von Curtze (1898) herausgegebenen 
Algorismus-Scbrift aus dem 12. Jahrhundert. [Anfrage 119.] 

Von G. Eneström 312 

13. Sur l'auteur d'un texte algoritbmique du 12^siäcle publik par 
Curtze. [Antwort auf die Anfrage 119.] Par Paul Tannery . 416 

14. Wobor hat Leonardo Pisano seine Kenntnisse der Elementa des 
Euklides entnommen? [Anfrage 120.] Von G. Eneströh . . . 414—415 

15. Ist Jordanns Nemorarius Verfasser der Schrift: , Algorithmus de- 
monstiatus" ? Von G. Eneström 9—14 



InhaltsTeneichniB. Y 

Seite 

16. Un ouvrage perdn citä par Jordanos de Nemore: le Philotechnes. 

Par P. DüHEM 321-325 

17. Nuove ricercbe sol matematico Leonardo Oremonese. Di Antonio 
Favaro 826—341 

Qesohiohte der neueren Zeit. 

18. Note sur la trigonom^trie d'Adrien Bomais. Par H. Boshans . 342—354 

19. Über die Erfindung der Pendeluhr. Von E. Gekland. Mit 3 
Textfiguren 234-247 

20. Entwickelungsgeschichtliche Momente bei Entstehung der Infini- 
tesimalrechnung. Von C. E. Wallner 113—124 

21. Cavalieri und der Satz von der Fläche einer Spirallinie. [Anfrage 

116.] Von G. Enestköm 208—209 

22. Cavalieri ed il teorema dell' area delle spirali. [Antwort auf die 
Anfrage 116.] Di A. Favaro 415 

23. Pascal und der binomische Lehrsatz fär nicht gauzzahlige Ex- 
ponenten. [Anfrage 115.1 Von 6. Enbström 72—73 

24. Beitrilge zur Geschichte der Integralrechnung bei Newton und 

Cotes. Von A. von BraunmChl Mit 3 Textfiguren 355—366 

25. Der Begriff des materiellen Punktes in der Mechanik des acht- 
zehnten Jahrhunderts. Von TirEODOR Körner. Mit 1 Textfigur 15—62 

26. Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I Ber- 

noulli. II. Von 6. Eneström. Mit 2 Textfiguren 248—291 

27. Über die Geschichte einer Summenformel, die mit der Eulerschen 
verwandt ist. [Anfrage 117.] Von G. Eneström 209-210 

28. Die Entwickelung der verschiedenen Probleme der Maxima der 
Anziehiuig. Von Erich Hoffmann. Mit 8 Textfiguren 366—397 

29. Über die Geschichte des Termes „Torsion". [Antwort auf die 
Anfrage 114.] Von E. Bath 73 

80. Luigi Cremona et son oeuvre mathömatique. Par Ging Loria. 

Mit Bildnis in Photolithographie als Titelbild 125—195 

31. ün article de L. Cremona sur Giovanni Ceva. Par G. Loria 811 

32. Das Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 1869—1904. 

Von Feux Müller 292-297 

Aktuelle Fragen. 

SS. Die Geschichte der Mathematik und der Universitätsunterricht. 

Von G. Eneström 63—67 



VI InhaltsTeneichnia. 

Seit« 

34. Ist es zweckmSfiig, daß mathematische Zeitschriftenartikel datiert 

werden? Von 6. Eneström 196—199 

S5. Welche Forderungen sind an Rezensionen mathematischer Arbeiten 

za stellen? Von 6. Eneström 298—304 

36. Ein neues literarisches Hilfsmittel zur Verbreitung mathematisch- 
historischer Kenntnisse. Von G. Eneström 398 — 406 



1. Neaerschienene Schriften 89—93, 221—223, 317—318, 421—425 

Antoren-Register. — Zeitschriften. Allgemeines. — Geschichte des 
Altertums. — Geschichte des Mittelalters. — Geschichte der neueren 
Zeit. — Nekrologe. — Aktuelle Fragen. 



38. WissenschaftUche Chronik 94-96, 224, 319—820, 426—429 

ErnennuDgen. — Todesf&lle. — Demnächst erscheinende mathematisch- 
literarische Arbeiten. — Mathematisch-historische Arbeiten in Vor- 
bereitung. — Vorlesungen Aber Geschichte der mathematischen und 
physischen Wissenschaften. — Neuer Eongrefi für Geschichte der 
mathematischen und physischen Wissenschaftien in Genf 1904. — 
Preisfragen gelehrter Gesellschaften. — Mathematiker- Versammlungen 
im Jahre 1904. — Vermischtes. 



Namenregister 480—442 



Berlehtlgiuig mm InbaltsTeneiehiiis des rortgen Bandes. 

S. IV Nr. 8 lies 321-325 statt 221-225; Nr. IS lies 326 statt 226. 



G. Enkstküm: RegelmäBige u. unrogelmäSige bdatorische Eutwickelung d Mathematik. 1 



Über regelmäßige und unregelmäßige 
historische Entwickelung auf dem Gebiete der Mathematik. 

Von G. Eneström in Stockholm. 

Am Anfange des Artikels ..Über kultvurhiBtoriBche und rein fach- 
miißige Behiuidlung der Geschichte der Mathematik" ') habe ich im Vor- 
ül)ergehen von den Fällen gesprochen, in denen keine Erkliining der 
historischen Entwickelung der Mathematik nötig ist, und in solchen Fällen 
habe ich die Entwickelung als regelmäßig bezeichnet. Damit ist aber 
nur ausgesagt worden, daß die tragliche Eutwickelung von unserem Ge- 
sichtspunkte aus als regelmäßig erscheint, und auf die Frage, inwieweit 
dieselbe auch an sich als regelmäßig betrachtet werden kann, hatte ich 
damals keinen Anlaß einzugehen. Indessen ist diese letzte Frage für die 
Würdigung der älteren Mathematik nicht ohne Interesse, und ich werde 
sie darum hier zum Gegenstand einer näheren Untersuchung machen. 

An der soeben zitierten Stelle hatte ich als Kennzeichen der regel- 
mäßigen Entwickelung angegeben, daß iJie chronologische (Jrdnungsfolge 
der besonderen Sätze oder Methoden wesentlich mit der systematischen 
zusammeniallt. Nun ist es aber klar, daß diese letztere im allgemeinen 
nicht a priori festgestellt werden kann, sondern daß vielmehr innerhalb 
einer gewissen Theorie die systematische Ordnungsfolge wenigstens bis 
zu einem gewissen Grade von dem zeitweiligen Stande dieser Theorie ab- 
hängig ist. So z. B. ist ja jetzt die systematische Darstellung der Theorie 
der Differentialgleichungen eine ganz andere als am Anlange des 19. Jahr- 
hunderts, und der historische Verlauf der Entwickelung dieser Theorie 
im 18. Jahrhundert, der vor 100 Jahren als wesentlich regelmäßig be- 
tracht-et werden könnt«, darf gewiß nicht von uns in demselben Sinne 
regelmäßig genannt werden. Verfolgt man diesen Gedankengang, so könnte 
man versucht werden zu behaupten, daß wir überhaupt nie zu beurteilen 



1) G. Enmtböm, Über hiUurhittorische und rein fachmäßige £ehatuUung der de- 
schichU der Mathematik; Biblioth. Mathem. 4s, 1903, S. 1. 

BlhUotbeck Matbumalioa. III. Folge. V. 1 



G. ExiwTtöifc 



vermögen, ob der historische Entwickelungsgang auf dem Gebiete einer 
besonderen Theorie an sich regelmäßig ist oder nicht, und daß es also 
durchaus unnütz ist sich mit dieser Frage zu beschäftigen. 

Sieht man indessen von dem trivialen Sachverhältnisse ab, daß über- 
haupt keine Entwickelung vollständig regelmäßig oder vollständig unregel- 
mäßig sein kann, so ist diese Behauptung kaum stichhaltig. Freilich 
finden sich viele mathematische Theorien, welche durch die weitere Ent- 
wickelung der Wissenschaft in ganz neue Bahnen gebracht werden können, 
aber auf gewissen Gebieten ist es wohl mit einem sehr großen Grade von 
Wahrscheinlichkeit vorauszusehen, daß dies nicht der Fall sein wird, und 
übrigens gibt es Arten von systematischer Anordnung des Stoffes, die von 
der weiteren Entwickelung der Mathematik wesentlich unabhängig sind. 
Damm darf man beispielsweise behaupten, daß der historische Verlauf der 
Theorie der algebraischen Gleichungen insofern wirklich regelmäßig ge- 
wesen ist, als zuerst die Gleichungen ersten Grades, dann nacheinander 
die Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades gelöst worden sind, 
worauf schließlich der Beweis gebracht wurde, daß die allgemeine Gleichung 
höheren Grades algebraisch unlösbar ist. Ebenso ist es erlaubt zu sagen, 
daß eine Theorie, deren historische Entwickelung einen Ubergiing von 
Speziahmtersuchungen zu aUgemetnen Methoden aufisuweisen hat, in metho- 
discher Hinsicht einen an sich regelmäßigen Verlauf gehabt hat. Aber 
jedenfalls soll man nicht ohne reifliche Erwägung und ohne Hinzufügung 
der nötigen Einschränkungen die Entwickelung auf einem gewissen Gebiete 
als regelmäßig bezeichnen. 

Kaum weniger schwierig ist es im allgemeinen zu entscheiden, ob 
der historische Verlauf in betreff einer besonderen Theorie wirklich un- 
regelmäßig gewesen ist, aber auch hier kann man wenigstens einige FäUe 
angeben, in denen die Entscheidung ziemlich leicht ist. Hat man sich 
auf dem fraglichen Gebiete fortgesetet mit Problemen beschäftigt, zu deren 
Erledigung die zur Verfügung stehenden Hillsmittel offenbar durchaus 
anzureichend waren, so kann man wohl hier von einer unregelmäßigen 
Entwickelung auf diesem Gebiete sprechen^); ebenso wenn zufälligerweise 
ein wichtiger Satz entdeckt worden ist, dessen Wert man lange Zeit nicht 
verstand, so daß die Entdeckung für die Wissenschaft vorläufig unfruchtbar 
blieb. Ist es auf der anderen Seite vorgekommen, daß man Methoden, 
die für einen besonderen Zweck mit Erfolg benutzt worden waren, auf 
solche Fälle anwendete, für die sie nicht passen, and dadurch zu un- 



I 
I 



1) DBKefjen Vann das Vorhsndengein eines einzif^n Bolclien Versuche«, Probleme 
mit offenbar uugenügenden HüfHmittehi zu lOsen, uatörlich nicht ein Zeichen sein, 
dafi der YerUuf unregelmäßig gewesen ist. 



KegeimäBige und unregelmäßige liistorische Entwickelung der Mathematik. 3 

!ltigen Resultftten gelangte, so kann auch dieser Verlauf der Ent- 
wickelung als unregelmäßig bezeichnet werden. 

Ich habe oben bemerkt, daß die Präge der Regelmäßigkeit der Elnt- 
wickelung für die Würdigung der alteren Mathematik nicht ohne Interesse 
ist. Freilich kann man sich einr solche Würdigung denken, die von der 
Frage der Regelmäßigkeit unabhilngig int, wenn man niimlich nur unter- 
sucht, ob die in Betracht gezogenen mathematischen Arbeiten zur Lösung 
der Probleme, um deren Erledigung es sich hiind*'lte, genügten, und ob 
die Lösung scharfsinnig war. Von diesem Gesichtspunkte aus würde z. B. 
die ,,Regula falsi" ebenso große historische Bedeutung haben wie die 
direkten Methoden zur Lösung der Gleichungen ersten Grades, und die 
Erfindung der prosthiiphäretischen Rechnung fast ebenso verdienstvoll sein 
wie die der Logarithmen.') Ich will gewiß nicht in Abrede stellen, daß 
es Fälle gibt, in denen man ohne Ungelegenheit auf diese Weise 
argumentieren kann, aber meines Erachtens gibt es einen höheren Stand- 
punkt für die Würdigung der mathematischen Forschungsarbeit. In der 
Tat kann man wohl behaupten, daß diese Arbeit im allgemeinen um so 
erfolgreicher wird, je mehr die wirklich erstrebten und erzielten Errungen- 
schaften einen lleibcnden Wert»besitzen, und je mehr die Errungenschaften 
einen natürlichen Fortschritt der Wissenschaft repräsentieren. Auf diese 
Weise wird nämlich in der Kegel mit der geringsten Kraftsinstrengung 
das möglichst größte Resultat erzielt. 

Aber aus dem, was ich snelten gesagt habe, folgt fast unmittelbar, daß 
gerade der regelmäßige Verlauf der Entwickelung einer besonderen mathe- 
matischen Theorie im allgemeinen bei der Behandlung der Geschichte der 
Mathematik die größte Beachtung verdient. Dabei ist natürlich nicht 
ausgeschlossen, daß, weil ausnahmsweise z. B. die unrichtige Anwendung 
einer schon vorhandenen Methode zu neuen Entdeckungen führen kann, 
zu denen man auf dem richtigen Wege erst weit später hätte gelangen 
können, aus diesem Grunde ein einzelner unregelmäßiger Verlauf für die 
Darstellung der Geschichte der Mathematik von hervorragender Bedeutung 
sein kann; aber durch solche Ausnahmeialle wird die allgemeine Regel 
nicht aufgehoben. 



I) DicHcn Standpunkt scheint FI. 0. Zkutbeh in einem kürzlich erschienenen 
Artikel lu vertreten. „Vaerdien af en i aeldre Tid anvcndt Kremgaugsmaade", sagt 
er in der Oversigt ovor det danske Videaskabcrneg Selskabs Korhand- 
llDger 1903, 8. 5r>5, „bpror ikke paa den atörro ellcr mindrc jdre Ligbed med dem, 
„hrij Nytte vi uu kende, men paa det, bvortil de i sin Tid künde bruges og virkelig 
„bleve brugtc." Aber vielleicht beabsichtigt seine Bemerkung nur hervorzuheben, 
d*fl mftn die ältere Mathematik nicht einseitig vom modernen Gesichtspunkte aas 
beiiiteUen soll. 



4 0. Exbstrüm: R«geluiäBige ii. iinregelmäBige historische Entwickelung d. Mathematik. 



Eine sehr wichtige Aufgabe der niatheniatisch-hiptorischen P'orschung 
ist es also meines Erachtens, die Spuren der regelmäßigen Entwickelung 
zn entdecken. Zuweilen kann man dabei ansicher sein, ob eine Methode, 
die im Grunde mit der jetzigen fibereinstimmt, aber der Form nach von 
dieser abweicht, als ein (ilied der regelmäUigen Entwickelung betrachtet 
werden soll oder nicht, und tatsächlich sind in solchen Fällen die Fach- 
genossen verschiedener Ansichten gewesen. Für meinen Teil bin ich 
geneigt mehr die Übereinstimmung als die Abweichung zu berücksichtigen, 
und darum möchte ich nicht sogleich der älteren Mathematik eine Methode 
aberkennen, nur weil das ältere entsprechende Verfahren gewisse Begriffs- 
bestimmungen vermeidet, die jetzt als notwendige Grundlagen der Methode 
betrachtet werden. So z. B. wäre es meines Erachtens nicht angebracht, 
aus dem Umstände, daß die griechischen Mathematiker den Grenzbegriff 
im strengen Sinne nicht benutzen, unmittelbar zu folgern, daß ümen die 
Exhaustionsmethode unbekannt war. 

Es ist schon hervorgehoben worden, daß in einzelnen Ausnahme- 
fällen ein unregelmäßiger Verlauf der Entwickelung besonders beachtet 
werden muß, untl auch sonst kann ein solcher Verlauf dem mathematisch- 
historischen Forscher großes Interesse darjjieten. In einer ausführlichen 
Darstellung der Geschichte der Mathematik soll man darum auch der 
unregelmäßigen Entwickelung die gebührende Aufmerksamkeit schenken 
und dieselbe wenn irgend möglich zu erklären versuchen.') Handelt es 
sich aber darum, in einer Vorlesung oder in einem Lehrbucbe eine kurze 
Übersicht über die Geschichte der Mathematik zu geben, so bin ich der 
Ansicht, daß die Schilderung der Fälle, wo der Entwickelungsgang un- 
regelmäßig gewesen ist, wesentlich knapper als die übrige Darstellung 
sein soll. 






I 



1) Vgl. EhsstuÖm, •. a. 0.* 8. 1. 



Paul TjutKKiiY: Sur l6 Symbole de aoustractiou chez les Grec«. 



Sur le Symbole de soustraction chez les Grecs. 

Par Paul Tanneky ä Pantin. 

Dans la precieuse (Edition princeps qu'PlERMANX Schöne nouB a 
doimee des Mergmä de Hkkon d'AIexandrie'), on lit. page 156, I. 8 et 10, 

13 '*' 

pour un nombre qui doit certainement etre 73 ^p ^^ forme grecque oy ly, 

tandis qne l'apparat critique doime, comme le(,;on du manuscrit unique, 
oÖTi'd', et ajoute: „correxi dubitanter, fortasse /^(ovdcViv) XEaOaQEOKOi- 

bemrov dfouööv'', c'est ä dire que cette le^on signifierait 74 — t^- 

Que cette signification soit exacte, il ne peut y avoir le moindre 
donte. Le Symbole qui, dans le manuscrit. separe le nombre d'unites et 
la fraction, est bien, en effet, le y tronque et renverse' qui equivaut pour 
DioPiiANTK, ä notre signe de soustraetion. La presence de ce Symbole 
dans un manuscrit de Heron est d'autant plus interessante qu'elle semble 
attester son usage deux siecles environ aviint DioriiANTE. A la verjt*?, 
comme on ne le rencontre que dans ce passage, la preuve n'est pas 
rigoureusement acquise, car il pourrait n'y avoir lä qa'one abreriatinn 
byzantine; cependant cette demiere hypothese n'est guere rraißemblable. 
Le manuscrit des Metrica est en effet antprieur lui möme de plus de 
deux siecles au plus ancien manuscrit de Diophaxte que l'on possinle; il 
parait rei)re8enter fidelement nn prototype au moins anssi ancien que celoi 
anquel remonte notre texte des 'AgidjUiiriKÜ; enfin ce dernier ouvTage 
a ete tres peu etudie chez les Byzantins jusqua la fin du XIII" siecle, 
et les procedes et symboles qu'on y rencontre ont ete trop peu vulgarises 
pour qn'on puisse facilement croire ä un emprunt dans le cas dont il 
s'agit. D'autre part, il n'est pas inutile de remarquer que le teste des 
Metrica est actuellement le plus ancien connu oü l'on trouve l'expression 
twlinique de öirvaftoin'ra/ntg (roir VIndex verborum), employee par 
Diophaxte pour designer la quatriöme puissance de rinconnue. 



1; Ubhoim AUxwtdrini opa-a qua: supertunt omnia. 
Teuboer IdOS). 



Vol. m (Leipzig, 



Padt. TA«n>T. 



Mais sar renonciation en liingue grecque de re]q>rpssi()n uumt'rifjue 
symbolisee dans le manuscrit de Hkron, la ccmjecture de l'editeur ne me 
paraSt point satisfaisante. A la rerite, il aurait eu, en toas cas, raison 
d'ecarter la tradition relative ä Diophante, d'apr^s laqaelle il faudrait dire: 

uovddojv od Xelipei TedaageauxiöeKtiTov lunites 74 par manqne de j^j- 

Quoique j'aie moi-meme respecte cette tradition dan8 mon edition de 
Dun^UANTE'). je suis, depuis assez Inngtemps dejä, convaLncu quelle est 
fausse. Avant tont, la locution (^/y« suivi du genitif) est etrangere au 
grec claesique, et meme en admettant quelle se soit introduite dans le 
langage technique des l'öpoque de Diophante, on n'est pas par la meme 
autorise ä l'attribuer k Hi;KON. Pour Diophante lui-meme, comme j'ai 
cru (peut-etre a tort) que le sjmbole de soustraction a ete originairement 
une forme archaique du sampi grec, plutöt qu'un monogramme se rattachant 
ä la racine de Aefi^ng, j'ai depuis huit ans cherche ditns le m^me sens que 
H. Schöne, en supposant toutefois, pour respecter Tordre des signes, des 
formes comme serait la suivante /lovädeg od öeö^isvat TiaoagraKaiöeKärov. 
Mais il s'agissait aussi pour moi de reconnaitre si chez des uuteurs assez 
voisins de l'epoque de Diophante, U n'y avait pas des locutions d'un 
caract^e technique et nouveau; or Pappus, qui reste fid^le am habitudes 
du langagegi'onietrique classique, n'ofirant aucune ressource a cet egard, 
mes recherches ne pouvaient guere aboutir ä une conclusion suftisamment 
fondee. 

Le passage precito des Metrica de Heron ayant attire mon attention, 
je. suis remonte jusqu'ä Ptolemee, auteur assez rapproche du mecanicien 
d'Alexandrie. Or j'ai trouve dans la Sytttaxe (ed. BLEmERG, vol. U) des 
textes qui me conduisent ä rattacher, pour cette epoque, le Symbole de 
soustniction ä la racine de Aetyxg ou, plus exactement, du verbe XeUkiv 
(laisser). 

P. 312, 14: x6 dno tTjs ZT Xehpav x6 diiö t^5 FA, (c'est ä dire 
ZT» ayant laisse TÄ\ ou Z7^ — TÄ^. 

P. 319,15: r/)v iVö A Z B yojvlav Xelnovaav rijV vno A BK, (c'est 
ä dire l'angle AZB laissant l'angle ABKon-^AZB — <ABEr}. 
Ainsi le Symbole represente un participe actif (present ou aoriste) du verbe 
laisser, qui doit etre suivi de l'accusatif. Mais il est a remarqaer que 
Ptoij&mee, pour ZF^ — FA^, dit aussi frequemment rö dxö Tijs FA 
Xeupdkv inö roO änb rrjg ZF (c'est ä dire FA^ laisse par Z7^. 
On serait par lä suffisamment justifie a enoncer l'eriiression heronienne: 



I 



1) DioriiAXTi Alexandritti opcra omnia, cwm gracäs couimentarii». 
(Leipüg, Teabner 1893, 1895). 



Vol. 



ßur le Symbole de BOuatraction chez le« Qrecs. 



yätf^S od AeupdivTOS TeOdageauaiöeHäTov , ü prendre en un mot le 
iiliole comme represeutant un participe pasBif tiu genitil' absolu, s'accor- 
daat svec le teriue ä soustraire. 

Or cette possibilite denoncer la partie negative d'tme expression de 
deux fa^ons passablement differentes, quoique aussi regulieres l'une que 
l'autre, est peut-etre la seule qui permette d'expliquer les anomalies que 
presente le texte du ms. A de Diophante, oü le sjrmbole (resnlu ou non) 
est suivi, tantöt de l'accuaatif, tautöt du genitif; ainsi dans un menie pro- 
bleme (11, 21), nous trouvons ÄElxpei roö Xoutoi) (p. 114, 25) et Xdipei 
x6v UEl^ova (p. 116, 3). Au lieu de vouloir ramener ces deux expressions 
k une nieme forme grammaticale, il est plus rationnel de penser que le 
sjnibole a ete mal resolu d'uno seule fa(,'on et qu'il faut restituer ^tq)- 
divrog ToD XouToO et Aelipag töv /nel^oi'a. 

Je ne Toudrais pas prolonger ici cette discussion avec la minutie qui 
ne pourrait etre de mise que dans un recueil connacre ä In ])hilc>lngie; 
mais je crois au moins devoir rappeler les conclusions auxquelles je m'etais 
arr^te dans mon Edition de Diophante, et exposer celles que je voudrais 
leur substituer. 

Tout en conaervant eu ))rincipe, dans mon edition, la forme Aelij>ei 
saivie du genitif, j'ai fuit remarquer. dans les prolegumenes du second 
volurae (p. XXXV-XXXVl), que le Symbole de soustraction servait dans les 
mss. pour diverses formes du verbe Äelnetv, et que dans le cas oü lea 
mss, A et Bi s'accordent pour ecrire keixpei suivi de l'accusatif, il fallait 
necessairement, comme je !'ai fait au reste, retablir le participe aoriste. 

J'ai fait ressortir egalement que dans les equations le manuscrit A 
donne assez souvent de premiere main (en fait presqu'exactement dans la 
moitie des cas) la resolution iiu norainatLf Xet^ptg (suivi du genitif)') au 
lieu de la resolution XelipEi au datif. 

C'est Maxime Planudk qui a fait definitivement triomjjher cette 
demiere forme, tundis que Paou™eue (Diophante H, p. 122) conserve 
Aettfus. Ces deux formes remontent probablement au prototjpe perdu 
qui n ete copie au VllI" ou IX' siecle; ä cette epoque, la tradition etait 
ttbsolument perdue, le mot Aelyng a ete adopte parce que Diophante 
lui-meme l'avait donne comme symbolise par le sigue äresoudre; la forme 
Asi^iet s'est introduite comme plus grammaticale, mais l'une et l'autre sont 
ä laisser au compte des Byzantins. 

(>r des deux formes entriiinaient forcement le genitif pour les mota 
Buivants; ü ne semble pas cependajit que le texte ait 6te corrige, au 



1) Troii oa quatre fois, on troiive auaii d»ni lea dqaations le datif: lii^pts äfi9- 
p«it. Ici il faut lupposer luit une fatuae lectoie du copiate, aoit ude aaaimilatiou 
errnn<ie avec l'niage pour le verbe vntfixn*- 



8 Paix TAmncBT: Sru le «ymbole de goustnctioii chec lee Gree«. 

moinB systematiquement ; par soite, en dehora des cas oü le mot ^pivaat 
le Symbole ou le terme Xebpei ne provient pas lai-m§me d'une reBolution, 
conune il anive pour les equations, il est prudent de conserrer la forme 
(ä l'accQsatif oq an genitif) da ms. A, en la faisant preceder du paiticipe 
actif on da participe passif sairant le cas. 

Dans les eqaations, il faat de preference sapposer le participe actif 
saivi de l'accasatif, conformement aax exemples cites de PrOL^idx:. Ce 
participe actif, qai s'accorde avec le terme ä diminner, doit platöt etre ä 
l'aoriste, par analogie avec l'usage de DlOPHANTE pour le participe qai in- 
diqae aa contraire l'addition (xQOöXxßdn' et non au present nQOöXafißävüiv) 
Quant aux deux formes Xekpag et Xucojv, pour le participe aoriste de 
Aebisiv, le choix entre elles semble permis; cependant il est probable que 
la seconde a ete surtout introduite par les Byzantins. 



O. ExBtTBÖM: lat Jordaniu Nemorariui Verf. d. Schrift „AigorithmaB demonstr»tuB" ? 9 



Ist Jordanus Nemorarius Verfasser der Schrift 
„Algorithmus demonstratüs"? 

Von G. Eneström in Stockholm. 

Seit mehr als einem Dezennium ist es unter den inatheinatisch- 
historiflchen Forschern zur Gewohnheit geworden, sils festgestellt nnziiBehen, 
daß JouDANfs Xemokarius Verfasser der von Johann ScnoMiU ira Jahre 
1534 herausgegebenen kleinen Schrift Algorithmus demonstratüs ist. Be- 
kanntlich wurde diese Schrift noch vor 25 Jahren Kegk).>iontani'S zuge- 
schrieben.') offenbar lediglich aus dem Grunde, weil das Mtuiuskript, das 
Schöner für seine Ausgabe benutzte, von jenem geschrieben war. Aber 
Schöner hat selbst in seiner Vorrede ausdrücklich angegeben, daß 
RKfiioMONTANi's Wahrscheinlich ein damals in Wien befindliches Manuskript 
abgeschrieben hatte, und übrigens besitzen wir Ihmdschriften des Algorith- 
mus demonstratüs aus dem 14. Jahrhundert, so daß die Annahme, Heukjmon- 
TANÜ8 sei Verfasser der Schrift, keiner weiteren Widerlegimg bedar£ 



1) Deu älteren GeBchichteschreibom der Mathematik scheint der Algorithmus 
demonstrahns unbekannt gewesen zu sein; wenigstens habe ich eine Erwähnimg der- 
selben weder bei Vdshii'h noch bei HKiLuiKiNUKn noch bei Mo.ntiüt.a noch bei KXhtkbr 
auffinden können. So viel ich weiß, war CnAttLEs der erste, der in seinem Aperi;u 
hutoriipie sur roririine et le lUveloppenxent des wflhodes en geomrlrie (Bruielles 1837) 
die Aufmerksamkeit der Fachgenossen auf das Unch lenkte. CuAxi.iut behauptet aus- 
drücklich (siehe S. 52S der Originalausgabe oder S. 621 der Sim^iKKschen tbersetzung), 
REniiiMonTAürs habe ein Werk über praktische Arithmetik geschrieben, und dies Werk 
•ei von Suhö.xk» unter dem Titel AlgorMunim demmmtratus herausgegeben. DaB diese 
bestimmte Angabe von Cuableh ohne weiteres von vielen anderen Verfassern wieder- 
holt wurde, ist sehr natürlich, und noch am Anfange des .Tahres 1879 dürfte der 
Ffiivt B. BriKCAMfAUKi keiucD sicheren .\ulaB gehabt haben die Richtigkeit derselben 
an bezweifeln, denn auf Seit« 130 des 12. liandos seines Bullettino findet sich iu 
einer von A, Favabo verfaßten Abhandlung die .\ngabe von Ciiaslks wiederholt. Auf 
der anderen Seite hatte C. 1. GmiiAnDT 1877 in seiner GeadiichU der Mathematik in 
Dtuttchland (8. 21) hervorgehoben, daB der Algorithmug demonstratüs kaum von 
RKi>ioM<i)iTA>°i'n verfaßt sein konnte; vielleicht ist dieselbe Bemerkung schon früher 
von M. A. Stkr« und M. Cahtiir gemacht worden (vgl. S. GOnthicb, Geschichte des 
wutthematischeft Unterrichtes im deutschen Mittelaller t»» sum Jahre löäö, Berlin 1887, 
8. 221). 



10 



G. EinuiTBöM. 



Auf der andern Seite gibt die gedruckte Ausgabe des Algorithmus 
demonstratus keinen Aufschluß über den Verfasser der Schrift, und anonym 
sind auch die drei Handschriften, die meines Wissens von einem Fachmanne 
näher untersucht worden sind. Diese Handschriften sind: 

1) Cod. Basü. F. U. 33 {U. Jahrh.);») 

2) Cod. Dresd. Db. 86 (14. Jahrh.);») 

3) Cod. Vindob. 5203 (von Reoiomontani'S geschrieben und 
SciiöNKR für seine Ausgabe benutzt)''). 

Dazu hat M. Ciktze im Vorübergehen*) eine vierte Handschrift er- 
wähnt, nämlich Cod. Vindob. 5277, die etwa 1525 von J. ViioELiN ge- 
schrieben ist und sicherlich ebensowenig wie die drei anderen irgend 
einen direkten Aufschluß über den Verfasser der Schrift bringt. 

Der erste mathematisch-historische Forscher, der den Namen des 
JoBDANDS Nemokakiis in Verbindung mit dem ÄlgoriOtmtts demotistratus 
gebracht hat, ist wohl P. Tkeitlein, der 1879 im Vorworte zu seiner Ab- 
handlung: Der Traclat des Johoaav.i Nr.noRAiins „De numeris rfo/fs"*) im i 
Vorübergehen jene Schrift zitiert. Freilich sagt TKEi"TLEi>f nicht bestimmt, H 
daß J()Ki>ANis Nk.Mhkahus der Verfasser ist, sondern begnügt sich darauf 
hinzuweisen, daß der Ahjorithmus demonstratus vielleicht gleichzeitig mit 
dem Liber ahhuci verfaßt worden und vielleicht Joudams zuzuweisen 
ist. Daß diese Konjektur von Treutlein nicht sogleich allgemeine Zu- 
stimmung fand, dürfte daraus hervorgehen, daß Ci rtze 1883 eine Hand- 
schrift des Algorithmus demonstratus beschrieb*), ohne denselben Joruanis 
zuzuweisen, und daß S. Günther noch 1887 sich darauf beschränkte zu 
sagen ^), daß diese Schrift eine Behandlung der Algebra in dem Sinne des 



I 



1) Vgl. M. Ci nizK, Verba filiorum Mi:r.ii, filii Sukik. Id est MtrHtri, HjuniTt et 
SjmKh: Der Liber trium fratrum de ifeometria; Nova Acta der deatscheti 
Akademie der Naturforscher 4» (Halle 1835), S. III. 

2) Vgl. M. C( KTZK, Über eine Handuchrift der königlichen Bibliothek tH Dresden; 
/eitschr. ffir Mathem. 38, 1883, Eist. Abt. S. 4. 

8) Vgl. M. CiTiTZK, Jorhäxi NmunfiAsii de triangulis libri quatuor; Mitteilnngen 
de» CoppernicnB-Vereins in Thorn ß, 1887, S. VII. 

4) M Cttktzk, Eine SWiwr«««; Cen tralbl. ffir Bibliotheksw. 1«, 1899, 8. 285. 

5) P. Tkkitlkix, Der Tractat des JoRiiAsea Nkuhiuriis „De numeris datis^'; 
Abhandl. zur Gesch. d Mathem. 2, 1879, S. 132. 

6) M. CrBTZE, Über eine Hand.ichrift der königlichen Bibliothek tu Dresden; 
Zeitschr. für Mathem. 28, 1883, Eist. Abt. S. 4. — M. E. Wa.ht« iiksk.i- 
ZAKAaTciixxKo, der ebenfalls im Jahre 1883 eine Geschichte der Mathematik in msaischer 
Sprache herausgab, führt (S. 222) den Algorithmtn) demonstratus imter RKOiouoNTAKrs 
auf, bemerkt aber in einer Anmerkung, daß diese Schrift von einigen Verfassern dem 
JoKBKKv* zugeschrieben wird. 

7) 8. GtrrrHKB, GenchidUe des mathematischen Unterriclttes im deutschen Mittel- 
alter bis tum Jahre 1625 (Berlin 1887:i, 8. 220 



1 



Iit Joidanng Nemorarius Verfaeser der Suhrift „ÄlKorithmne liemonstratue" ? H 

JoKDANrs Nkmokakii's enthält. Auf d»?r iiurleru Seite hatte CruTZK schon 
1885 bei der Erwähnung einer andern Handschritt des Algorithmus demon- 
stratus hinzugefügt'): „Der früher talschlich dem IlECiioMONTANtrs zuge- 
schriebene IVacfait, jetzt dem Ji>ui>ANirs vindiciert"; zwei Jahre später 
führte CiTiTZE den Traktat^) ohne weiteres unter die Schriften des 
JoHHANis Nemokakiis auf, und im Jahre 1890 äußerte er sich auf folgende 
Weise'): „Es ist wohl jetzt allseitig anerkannt, daß Joudams der Ver- 
fasser ist". Endlich bemerkte M. Cantou 1892 im 1. Hefte des 2. Bandes 
seiner Vorhsungtn über GescUichte der Mathematik^), daß der Algorithmus 
detnonstratus mit an Gewißheit streifender Wahrscheinlichkeit dem Johdanus 
zugewiesen worden sei, und lenkte die Aufmerksamkeit auf einen Umstand, 
der seiner Ansicht nach als eine unmittelbare Bestätigung des Joudani:« 
als Verfasser der Schrift zu betrachten sei, und seitdem ist wohl die Frage 
als erledigt angesehen worden^). 

Die (irilnde. aus denen nmn JoiiKANl's NEMoUAUirs als Verfasser des 
Algorithmus detnonstratus bezeichnet hat, sind, so viel ich weiß, die folgenden: 

1) Die Scirift trägt denselben Charakter, wie die von JuKDAXrs 
Nemouakii's verfassten Arbeiten Arithmetica und De numeris 
dniis;*) 

2) Der Algorithmus demonstratus findet sich in einigen Handschriften 
neben Schriften, die entschieden von Jokuanis NEMOitAKam 
herrühren^; 

3) IlKciiöMtiNTANTS, der die Absicht hatte, eine andere Arbeit des 
Jr)iU)ANrs herauszugeben, hat den Algorithmus deniotistratHS ab- 
geschrieben*); 



1) M. CrttTKK, Verba ßliorum Morat, filii Skkiii. Id est M*v>isri, HAurri et 
Mjlmmx. Der Liber Irium fratrum de rieometria; Nova Acta der deutschen 
Akademie der Nnturfürscber 4» (HaUe 1885), S. 111. 

2) M. CrsTKK, JnHiiAKi Nkmiirabii ö« triangulis liltri quatuor; Mitteilungen 
de« Goppernicug-Vereins in Tliorn «, 1887, S. VU. 

8) M. CiHizK, fkimiiientar zu dem .,Traclah4S de numeris datia" d*s Johvasv» 
Mivonjiini'. Bnch I und II. Thom 1890, S. 3; [wieder abgedruckt:] Zeitechr. für 
Mathem. S0, 18»1, Hiet. Abt. K. 3. 

4) M. Caütor, Voriei>ungen über Geschichte der Mathematik. II (Leipzig 
1892), S. 58. 

5) Siehe s. B. W. W. R. Bw.t., A ghi>rl aeeounl of Ihe hisiory of maihtimaties, B<1 
edition (London 1901), S. 177, 211. — .1. THoi-nte, Geschichte der Elementar- Malhevialik. 
I (Loipzi« 19U2), S. 8. 

6) H. Castoi, a. a. 0. II, S. 58 (2. Aufl. S. 63). — M. Ccbtik, Commentar tu 
„TraetatM de tiumeri» dati»" da Jcmvauvi NsnoiAUsa»; Zeitsohr für Mathem. 
1891. Hist. Abt. ä. 8. 

7) M. CAHTon, .B. a. O. II, 8. 58 (2. Aufl. S. 63). 
ff/ M. r*!.TOB, a. a. 0. U, S. 68 (2. Aufl. 8. 64). 



12 



O. EjnWTHÖH. 



4) Lazaki^s ScHONEKrs, ein Enkel des Herausgebers des Algorith- 
mus demonsfratus , beruft sich in einer 1586 zum erstenmal 
herausgegebenen Schrift auf den 33. Satz des „Algorithmus demon- 
stratus des Jokdaniis''. i) 

Von diesen Gründen kann der erste gewiß nicht entscheidend sein, 
und nur wenn es sicher wäre, daß der Algorithmus dentonstrattis etwa um 
1200 verfaßt wurde, könnte man demselben irgend eine Bedeutung bei- 
messen, aber die ältesten bisher untersuchten Handschriften stammen ja 
aus dem 14. Jahrhundert. Auch der zweite Grund beweist eigentlich fast 
nichts, denn die zwei Handschriften aus dem 14. Jahrhundert enthalten 
Arbeiten verschiedener Verfasser, und die Schriften des Jordani'S 
Nemorariis bilden darin keine von den übrigen getrennte Abteilung. 
Im Cod. Basil. F. H. 33 ist der Algorithmus demonsfratus sogar in zwei 
Teile, nämlich „Algorismns de minuciis" und „Algorismns demonstratus de 
integris", gespaltet, zwischen denen ein Werk von Oke.sme sich befindet. 
Der von RE(ii(iMONTA>i:s geschriebene Cod. Vindob. 5203 enthält teils 
Schriften von G. Pecrbach, teils zwei Arbeiten von JoitDAxrs Nemoraru'8, 
und zuletzt den Algorithmus demonstratus, aber ob Reoiomontanus die 
drei letzten Schriften aus einer und derselben Handschrift entnommen hat, 
weiß man gar nicht. Der dritte Grund ist vielleicht noch schwächer als 
die zwei ersten, denn bekanntlich war der Tracfatus de tutmeris, datis des 
JoRDAXi'.s Nemokakiis keineswegs die einzige Schrift, deren Herausgabe 
Recüomontanis in Aussicht genommen hatte. 

Etwas größere Beachtimg verdient ohne Zweifel das vierte Argument, 
denn hier haben wir ja mit einer bestimmten Angabe zu tun. Dennoch 
möcht« ich auf den Umstand, daß Lazaris Schiineris ein Enkel des 
Herausgebers der Algorithmus demotistratus war, kein Gewicht legen, denn 
offenbar hat dieser Umstiuid nur dann irgend eine Bedeutung, wenn man 
annimmt, das .Iohann Schöner als Verfasser der von ihm herausgegebenen 
Schrift JoKUANTM Nkmoiuru's erkannt und diese Kenntnis seinem Enkel 
mitgeteilt hatte, aber diese Annahme schwebt vollständig in der Luft. 
Eher bin ich geneigt die Angabe als weniger zuverlässig anzusehen, 
gera<le weil sie von Lazaris Schonehi'S herrührt. Dieser war ein großer 
Verehrer von Ramu.s, mit dessen Schriften er sich eingehend beschäftigt 
hatie, und ee ist darum denkbar, daß die Angabe unmittelbar oder mittel- 
bar von Ramts herstammt. Aber wenn dies der Fall ist, möchte ich sie vor- 
läufig als verdächtig betrachten, denn Rami-s schreibt dem Joruani"» den 
Beweis des HERONschen Satzes für die Dreiecksfläche zu-), und diese Be- 

1) H. Cautob. s. ■ O. II, S. 563 (2. Aufl. S. 613). 

2) Siebe H. Ciiasi.», Gachichte der Geometrie, übertr. von L. A. Sobkckm (Halle 
ltt39), S. 605. 




Ist Jordanus NemorsriuB Verfasser der Schrift „Algorithmus demonstratus"? 13 

liauptung kann sehr wohl darauf beruhen, daß Rami's ohne weiteres die 
onymen Anhänge') der Schrift De ponderihus als von Jordanus 
NE,MORARn'8 verfaßt betrachtet hat^). Auf ganz dieselbe Weise könnte 
Rami'S, wenn er in einer Himdschrift den Algoriflimus dctnnnstratiis un- 
mittelbar nach einer Arbeit des JoijDANirs Nemoicvuius gefunden hatte, 
ohne weiteres angenommen haben, daß diese beiden Schriften demselben 
Verfasser angehörten. Aber sei dem, wie ihm wolle, unter keinen um- 
stünden darf Lazaki's Schoneris hier als eine Autorität gelten, und so 
lange die Quelle seiner Angabe nicht bekannt ist, hat diese für mich keinen 
Belang; vielmehr scheint mir die Tatsache, daß J. ScHEiiJEL, der für sein 
Buch De numeris (1545) den AUjorithmus demonsfratiis benutzt hat, keinen 
Verfasser dieser Schrift angeben konnte-'), dafür zu sprechen, daß man 
auf die Aussage des Lazari's Sciionerus kein großes Gewicht legen soll''). 
Die Argumente, die man bisher für Jokdants NEMDRARirs als Ver- 
des Algonlhmus demonshatus geltend gemacht hat, sind also meines 
Erachtcns schwach, und eine an Oewißheit streifende Wahrscheinlichkeit 
kann ich denselben gar nicht beimessen. Dagegen gibt es einen Umstand, 
der möglicherweise zu der Annahme veriinliissen könnte, Joroaxl's 
Nemokarus sei nicht der Verfasser. Handschriftlich ist nümlich ein 
„Algorismus Jorpani" aufbewahrt*), und ein Exemplar dieser Arbeit hat 
M- Chasl.es gekannt und erwähnt"), aber ohne darauf hinzuweisen, daß 
sie mit dem gedruckten Algorithmus demonstratus , den (■i[Asr.E.'< genau 
studiert hatte'), identisch ist. Könnte man nicht versucht sein, daraus zu 



1^ Vgl. Ä. A. Bjoiuiiui, Abbandl. zur Gösch, d. mathem. Wisseusch. 
14, 1902. 8. 147—148 

21 Oder hat Ramis vielleicht seiue Angabe aus der posthnmen Schrift des 
TutTAOLiA: JijgfAKi Opusculum de ponderotitate Nicolai Tabtai-sak aliulio correctum 
'.Venctiis 1565} entnommen? Diese seltene Schrift ist mir nicht zugänglich. Nach 
einer Uemorkung von A. A B.iöbxdo, a. a. 0. S. 147 scheint <lie gedruckte Ausgabe 
diesoD Anhang nicht zu enthalten. 

3i Siehe H. Staiomiillkii, JmunsKs Sciikvhki., ein deutscher Algehfuiker des 
XVI JahrhunderU; Abhandl. zur Gesch. d. Mathem. fl, 1899. S. 464, 466. 

4) Auch P. FoBCAiiKi., der den Aluortthmus demonstratus 1570 ins Französische 
llberaetzte (vgl. Bibliotb. Mathem. 4.i, 1903, S. 206i scheint es vollatündig un- 

ekannt gewesen zu sein, wer der Verfassor der Schrift war. 

5) Vgl. z. B. J Qu. Hkiijirokskb, Historia mathtaeos universae iXeipzig 1742), 
S 618. — M, Cautor. a. a 0. II», S 59—60. — E. Wapilkb, Beitrag titr OeschiiAte 
der Mathematik; Abhandl. zur Gesch. d. Mathem. 5, l>i9ü, S. 161. 

6) Siehe M. Cuable«, Geschichte der Geometrie, ühertr. ton L. A. Sousckk, 
% 608. — Sur la nature des Operations algehriqties attribuies <t Fibonaeo; Comptes 
rtadni de l'acad. d. sc. de Paris 12, 1841, S. 743—744. — Sur quelques points 
ie rhi$loire de l'algibre: Comptes rendus de l'acad. sc. de Paris 13, 1841, S. 507 

7) Vgl. M. CnAKLKs, Geschichte der Geometrie, iibertr. von L. A. Sobnckk, 
8. 621—622. 



14 0. Ekksthöii: Ist JordanuiNemorarius Verf. d. Schrift „Algorithmus demonstratus*? 

folgern, daß der AlgorUhmus demonstratus eine andere Arbeit als der 
„Algorismus Jordani" ist? ') 

Aus dem vorhergehenden scheint mir jedenfalls klar zn sein, daß 
der Verfasser des Algorithmus demonstrattts noch nicht mit Gewißheit be- 
kannt ist, und daß er erst durch eine neue eingehende Untersuchung 
ermittelt werden kann. Bei dieser Untersuchung müssen in erster Linie 
umfassende Nachforschungen nach Handschriften des Algorithmus demon- 
stratus und des ,,Algorismu8 Johdani" gemacht werden, und sodann soll 
untersucht werden, ob es vielleicht solche Handschriften aus dem Anfang 
des 13. Jahrhunderts gibt. Im Zusammenhang hiermit wäre es angezeigt 
in Betracht zu ziehen, ob möglicherweise der „Algorismus" des angeblichen 
magister Genardus oder Gkuxakdvs^) dem Jokdanis Nemokahu!» zu 
vindizieren ist. Gelingt es eine ziemlich große Anzahl von Handschriften 
aufzufinden, so ist wohl zu hoffen, da£ das Material genügen wird, um 
die Frage zu entscheiden. 

Auch eine andere Frage könnte dabei erledigt werden. Die gedruckte 
Aasgabe des Algorithmus demonstratus enthält nämlich einen Anhang Über 
Proportionen, und der Verfasser dieses Anhanges ist noch nicht ermittelt. 
Zwar ist derselbe dem J<ikdanis Nemorakus zugewiesen worden*), aber 
sicherlich nur aus dem Grunde, weil er in der gedruckten Ausgabe des 
Algorithmus demonstratus vorkommt. Wahrscheinlich ist er mit einer 
kleinen Schrift De proportionihus*) identisch, die mit dem Algorithmtts 
demonstratus nichts zu tun hat. 



I 
I 



1) Merkwürdigeru-eige hat Chakuu S 511 in seiner soeben zitierten AbhandltuiK 
Sur quelques points de Fhistoire de Talgihre im Vorübergehen eine Redeweise an- 
gewendet, aus der man veranlaßt sein könnte etwas ganz anderes herauszulesen. Kr 
sagt nämlich in betreff des (^itadripartitum numerorum des .Ioh,\nx»:i! »e Mihi«: „Ce 
traite d'algebre est le seul, avec celui de Jobdjji, qne REoioxosTAtas ait d^sign^ en 
parlant des plus savanta ouvrages de Tantiquit^ et dn moyon&ge: „Habetur apud 
nostroB Quadriparlitwn numerorum, opus iunigno admodum". Aber an der betreffenden 
Stelle bei KEnioMOHTAKrs wird (vgl z B. GnBUAaoT, a. a. 0. S. 21) unmittelbar noch 
dem Quadripartitum numerorttm der Algorithmus demonttratus erwähnt. Indessen iitt 
es wohl ziemlich sicher, daß Ciusi.» «ich hier anf die Worte des KEOioHoirTAHca: 
„Tres libroB de datis numerorum pulcberrimos edidit Joboanus" bezieht. 

2) Vgl. G. E«i3Tm.>i, Biblioth. Mathem. 43, 1903, S. 206. 
3i Siehe M. Cantob, a. a. 0. II», S. 66—67 
4) Vgl. A A. Bjöb.xbo, Die mathematischen iS. MareohandschrifteH in Flor» 

Biblioth. Mathem. 48, 1903, 8. 243. - E. Wapplkb, a. a. S 165. 



Th. Körksr: Der Begriif dea materiollon Punktes in der Mechanik des IS. Jahrb. 15 



Der Begriff des materiellen Punktes in der Mechanik des 
achtzehnten Jahrhunderts. 

Von Theodor Köknek in Hamburg. 



Vorbemerkung. 

Einleitung. 
Die Zeit vor Nhwtox. 

Daa 18. Jahrliundert. 

J. Newton. 

I. Besprechung der .,MBthematiBchen 

Prinzipien der NaturwissenBcbaft". 
'2. Nkwi<jN8 Verdienste um den Begriff 

des materieUen Punktes. 
3. NrwTuxs physikalisch - philosoplii- 

iche GrundanschauuDg. 

Die Zeit vonNBWTOM bis Edlsb. 

1. Job. Beiuiui'lu. 

2. Dajc. Bübkoclu. 

3. CLjtnuuT 

4. Der Begriff des materiellen Punktes 
in Beziehung zur Physik und Philo- 
sophie. 

5. ForrAm. 



Inhaltsverzelohnis. 

111. Ellsb. 

1 



Die „analytische Mechanik" vom 
Jahre 1736. 

2. EuucRB Ansicht fiber das Unendlich- 
kleine und die Konstitution der 
Materie. 

3. Die „Mechanik der starren Körper" 
vom Jahre 1765. , 

4. Neue Momente in der KuLsascben 
Auffassung. 



IT 



Die Zeit nach Euleb. 

1. D'Al.KUHEUT. 

2. Laoba.muk. 
8. Laplack. 

Sehlufi. 

I. Zusammenfassende Darstellung 
Kritik der Anschauungen des It:*. 
hundert». 

n. Allgemeine Betrachtungen Ober den 
Begriff des materiellen Punktes. 



und 
Jabt- 



1 Trotz dem Interesse, das man ungefähr seit dem Jahre 1880 den 
l^rinzipien der Mechanik entgegenbringt, ist eigentümlicherweise die Mechanik 
it* 18. Jahrhunderts weniger gewürdigt worden als ihre Leistungen ver- 
dienen; sehen wir doch, daß, um nur zwei der hauptsächlich in Betracht 
kommenden Autoren zu nennen , sowohl bei Mach ') wie besonders bei 

1) E. MArn, Die Mechanik in ihrtr Entwicklung hisloriach-kritisd* dargesttUt 
(*• Aufl. Uipzig 1901). 



ic 



DfHBiNo') eine eingehende Besprechong des 18. Jahrhunderte*) fehlt. Dies 
mag die Ursache gewesen sein, daß ein Begriff, wie der des materiellen 
Punktes, dessen erste allgemeine Verwendung und Hauptentwickelung in 
das 18. Jahrhundert fallt, in den geschichtlichen Darstellungen der Mechanik 
bis jetzt wenig oder gar nicht Bea<'htung gefunden hat. Erst ein Autor 
der allemeuesten Zeit, Feetcotet,') hat auf die Schwierigkeiten hinge- 
wiesen, die entstehen, wenn man den Begriff des materiellen Punktes 
namentlich in Verbindung mit dem Massenbegriff betrachtet. Eine aus- 
führliche prinzipielle oder historische Klarlcgung findet sich jedoch unseres 
Wissens nirgends in der Literatur. So beschränkt sich auch A. Voss in der 
Emejfklopädie der maÜt e matit d u» Wissmschaflen*) auf eine Anmerkung, 
ta der er einige kurze, hftaptBichlich historische Notizen gibt. Auf diese 
Stelle wies mich Herr Prof Stäckkl in Kiel hin und forderte mich ao^ 
näher zu untersuchen, in welcher Weise sich der Begriff des materiellen 
Punktes vorzugsweise in der Mechanik des 18. Jahrhunderts entwickelte. 
F'ür diese Anregung, die den unmittdbaren Anlaß zur Abfassung der vor- 
liegenden Arbeit bildet, sowie für manchen wertvollen Ratschlag während 
der Ausführimg möchte ich Herrn Prof Stäckel auch an dieser Stelle 
meinen herzlichsten Dank aussprechen. 

2. Eine besondere Schwierigkeit lag in der Begrenzung des Themas. 
Wie die analytische Mechanik ein Grenzgebiet ist, auf dem sich Mathe- 
matik, Physik und Philosophie treffen, ist auch der Begriff des materiellen 
Punktes verschiedenen Einwirkungen unterworfen. Sobald man den Körper 
als ans materiellen Punkt«n zusammengesetzt betrachtet, ist die Vorstellung 
von der Konstitution der Körper, schließlich die Annahme einer kontinuier- 
lichen oder diskontinuierlichen Ilaumerfüllung zu besprechen Andererseits 
machen sich Anschauungen geltend, die die Physik imd (Themie gebUdet 
haben, die Lehre von den Atomen und Molekülen kann man ebenfalls mit 
der AuflVisHung vom Begriff des materiellen Punktes in Verbindung bringen. 
Alle derartigen Erörterungen werden wir im folgenden nach Möglichkeit 
cn renneiden suchen.*) Uoioe Aufgabe soll in der Hauptsache eine 

1^ K Drnaixo, Krititc^ O t $dk iM i itt *Xl$ tmn *m Prme^im dtr MetkaaUk 

(8. Aufl. l,oii.»iK 18B7V 

8) Wir liklton im fti1){«nii«n »nch Nkw^»« (1642—1727) mit lum 18, Jahrhundert 
gereohnot; vmi ihm irilt j^(looh «Im hiw Qwi^ niehi 

8) C. i» KnatiiNUT, Sur l*$ ih-inc^ 4» to mtMt ü pM rwHitmmÜt (Pikris 1908); 
twrI p. a«-8l, 

4) KHcykht>AJi* >(*r motfumßtmlttt Wu t m itA afUm IV: 1. A.. Vom: Die Prin- 
eipitn der niliunfllfn Mn)haHÜt, y. H .Vnmvrk 8tt, 

i) Vüt lUe iiinlii )i)iilit«ii)iliiaol))i SkI(« unifirM Theaa« mgl. K. Ljlmwtti, Ge- 
»ehicXt« der Jhimittik ^l— II. lUiiihiiiH \\n\\ l«t|uii|! IS\><M Lanwrrt weirt mehilach 
Aiif ilnti /.iiinnimeitliiiii«! •wUoliini ilnr KorimtkulMthoori« unil d«r Uochuük hin, so 
n»mouUiob Hii I, |> -^M 



Der Begriff dei in>t«riellen PonkteB in der Mechanik des 18. Jahrhundert«. 17 

mathematische Bein: wir wollen die Entwickelung betracht«n, die der Be- 
griff des materiellen Pmiktes im 18. Jahrhtmdert genommen hat, sobald 
man ihn dazu verwendet, nm Bewegungserscheinungen mit mathematischen 
Methoden zu untersuchen. Ganz werden sich, wie eben angedeutet, der- 
artige Betrachtungen aus der Physik und Philosophie ja nicht vermeiden 
laaseai; wir werden sie aber nur insoweit berücksichtigen, wie sie zum 
Verständnis der mathematischen Entwickelung unbedingt nötig sind. 



Einleitung. 

1. Die Entwickelung, die der Begriff des materiellen Punktes genommen 
hat, setzt nicht erst im 18. Jahrhundert ein, sondern reicht viel weiter 
zurück. Wollte man ganz grimdlich vorgehen, so müßte man unzweifel- 
haft auf das Altertum, d. h. auf die Griechen zurückgreifen. Die kleinsten 
Teilchen, aus denen man sich die Körper und schließlich den ganzen 
Kosmos zusammengesetzt dachte, sind wohl als Vorläufer des materiellen 
Punktes zu betrachten. Diese Untersuchungen waren naturgemäß nicht 
sowohl mathematischer als physikalischer Natur; ja, weil in der damaligen 
Zeit Physik und Philosophie noch nicht als getrennte Disziplinen existierten, 
bewegten sie sich häufig auf dem Gebiete philosophischer Spekulation. 
Die eigentlich mathematisch-mechanische Gestaltung des Begriffes beginnt 
erst dort, wo man ihn verwendet, um Gleichgewicht und Bewegung der 
Körper zn bestimmen. 

Abgesehen von Aristoteles, dessen Mechanik aber noch von philo- 
sophischen Spekulationen durchzogen ist, wäre ARCHiMEnE» der erste, der 
in Betracht käme. Die Schwerpunktsbestimmungen, die er ausführte, 
zeigen, daß man in bestimmten Fällen einen Körper durch einen Punkt 
ersetzen kann. Wenn man z. B. einen Körper in seinem Schwerpunkte 
unterstützt, so ist ihm damit die Möglichkeit genommen, nach unten zu 
fallen; der Schwerpunkt repräsentiert also in diesem bestimmten Falle den 
ganzen Körper. Daneben ist vielleicht die sogenannte ,,Sandrechiiimg" 
des Archimei)E.s zu berücksichtigen, die als ein erster Versuch aufgefaßt 
»•erden kann, dem Wesen des Unendlichen auf exakt mathematischem 
Wege beizukomnien; denn es ist klar, daß die Frage nach dem Unend- 
lichen für uns in Betracht kommt, sobald man von dem materiellen Punkte 
als unendlichkleinem Bestandteil eines endlichen Körpers spricht. 

2. Aus der auf Archimeues folgenden Zeit ist, abgesehen von einigen 
philosophischen Erörterungen über den Unendliehkeitsbegriff, für unser 
Thema lange nichts zu bemerken. Die mathematischen Untersuchungen 
netzen im 15. und 16. .lahrhimdert da ein, wo Archimeues aufgehört 
hatte, bei den Betrachtungen über den Schwerpunkt. Hier sind unter 

Blbllotbce» Mathematlea. III. Folge, V. 2 



18 



TanwoB KöBii». 



anderen Lionardo va Vreci, Macrolktüs und CoMJiANDixrs zu nennen, 
die Schwerpunktabestininiungen für Körper verschiedenster Art und Gestnlt 
durchgeführt haben. Aber alle diese Dinge können nur angedeutet werden, 
ebenso wie die Hydrostatik von Stevin. ans der z. B. M. C'antou eine 
Stelle anfilhrt. wo Stevik von „beliebig kleinen Körpern"') spricht. 

Nun geht's mit raschen Schritten vorwärts. Cavalieri meint, man 
habe sich den Körper als eine Art Buch zu denken, das aus parallelen 
Blättern zusammengesetzt ist, und spricht damit eine Anschauung aus, die 
der des materiellen Punktes vollkommen analog ist. Den allerwesentlichsten 
Einfluß aber hatte die neu erwachsende Astronomie. Die Himmelskörper, 
über deren Größe man noch nichts Genaues wußte, erschienen wegen ihrer 
großen Entfernung als Punkte, die sich in regelmäßigen Buhnen bewegten. 
Sie sind materielle Punkte im wahren Sinne des Wortes. So sind die 
Arbeiten von CoppEUNurus imd Kepler hier zu erwähnen. Kepler ist 
auch aus dem Grunde besonders bemerkenswert, weil er als einer der be- 
deutendsten Vorgänger Newtons für das Gravitationsgesetz und damit den 
MassenbegrifF gelten kann.^) Auch Gilbert mit seinen magnetischen Unter- 
suchungen ist zu berücksichtigen. Dadurch daß man sich die Anziehung 
der Körper, sowohl magnetische wie gravitierende, aus den Anziehungen 
der einzelnen Teilchen dieser Körper zusammengesetzt dachte, war der 
Anstoß gegeben, diese Teilchen auch bei der Lösung anderer Probleme, 
TJelleicht aller mechanischen Aufgaben zu verwenden. 

3. Als letzter in der Reihe dieser Forscher und zugleich als erster 
einer neuen Wissenschaft erscheint Galilei. Seine Arbeiten bilden das 
Bindeglied zwischen den früheren und den NEWTONschen Untersuchungen. 
Die Kugeln, die er in einer geneigten Rinne herunterrollen läßt,') um die 
Fallgesetze experimentell zu bestätigen, sind als materielle Punkte im 
heutigen Sinne zu verstehen. Allerdings muß, wie auch Mach ausdrücklich 
hervorhebt, bemerkt werden, daß (j.\lilei den Energie verlust. der durch 
das Rollen der Kugeln entstand, nicht beachtete und daher im strengen 
Sinne nicht berechtigt war, die so gefundenen Resultate ohne weiteres 
auf den freien Fall zu übertragen.*) Die Identifikation von Kugel und 
materiellem Punkt ist übrigens ein Umstand, auf den wir im Verlaufe der 
Arbeit ausführlicher zu sprechen kommen. Für die Kugel, die nicht nur 



1) MoBJTs Cautob, Vorlesungen über Geaehichte der McUhematik 2^ (Leipzig 
1900), p. 578: „oorpi donne, si petit paiese-il eitre", vergl. fiberhaupt für die letzten 
Ängführongen die betreffenden Stellen bei Castob. 

2) Vergl. E. Uolpbeck, Kvi&ks Lehre von der Gravitation (Abhandlungen 
Bur Philosophie tind ihrer Geecbichte 6, Halle 1896). 

3) Siehe Mach. b. b. 0. p. 132. 

4) Siehe Mach, a. a. 0. p. 877. 



I 



BgnJ 



aw matenellen Pnnkteg m der Meohsiui 



les 



fiAi,rij:i, sonclern auch Hittoens. namentlich bei Pendelversuchen verwandte, 
wird häufig in der Beschreibung das Wort „corpus** gesetzt; und zwar 
bedeutet „corpus" dann im weiteren Verlaufe meistens: schwerer Punkt, und 
nicht: Körper endlicher Ausdehnung. „Corpus maius" oder „corpus minus" 
heibt ein Punkt von größerer oder kleinerer Masse oder, richtiger gesagt, 
größerem oder kleinerem Gewicht; denn der Unterschied zwischen Masse 
und Gewicht tritt bei (Jalilei noch nirbt hervor. HrvuEN.s wurde auf 
ihn durch Pendelbeobachtungen geführt, aber Newton ist der erste, bei 
dem die Scheidung klar vollzogen ist. Das ist ein Hauptgrund, weshalb 
wir unsere Darstellung mit Newton beginnen; denn der Begrifi' des 
materiellen Punktes konnte eine konsequente Durchbildung erst erfahren, 
nachdem Newton dem Gravitationsgesetz und damit der Masse eine grund- 
legende Bedeutung in der Mechanik gegeben hatte. Femer hat Newton 
zum erstenmal die analytische Mechanik systematisch dargestellt und 
dunit auch den Begrilf des materiellen Punktes als Grundbegriff eingeführt. 
SchlieBlich aber sind die NEWTONschen Principia vorbildlich gewesen für 
fast alle Arbeiten aus der Mechanik bis auf den heutigen Tag. Damit 
kommen wir zu unserem eigentlichen Thema, dem 18. Jahrhundert, wo 
wir zuerst eine möglichst objektive Darstellung der Meinung der einzelnen 
Autoren geben wollen, um dann zum Schlüsse in eine zusammenfassende 
imd kritische Besprechung einzutreten. 

I. Isaac Newton. 

Die Absicht Newtons in den „mathematischen Prinzipien der Natur- 
philosophie"') war die, möglichst alle physikalischen Hypothesen zu ver- 
Tneiden und eine auf mathematischer (irundlage ruhende Darstellung der 
JSIechunik zu geben. Von wenigen axiomatischen Grundsätzen ausgehend 
eucht er, analog wie in der Geometrie, auf synthetischem Wege ein streng 
jjeschlossenes System aufzubauen. Inwieweit diese Absieht erreicht wird, 
das zu untersuchen ist hier nicht der (Irt. Eins aber wird durch diese 
Jturze Bemerkung verständlich: die (irnndannahmen in der Mechanik 
"werden fast ohne alle Diskussion eingefiihrt, sie treten als selbstverständ- 
liche Axiome auf, ohne die das System nicht bestehen kann. Diese Dar- 
stellungsweise hat auch den weitgehendsten Einfluß auf die Anschauung 
vom Begriff des materiellen I'unktes gehabt, die Newton in seiner 
Mechanik vertritt. 



1) I. Nbwton, PhäoMphiac naturalis principia mathematica (Londini 1687); 
tweite Auigkbe: Ckmbrid^e 1713; dritte: London 1726. Wir zitieren im folgenden 

Sder Originalausgabe. 
1 



20 



Tbxooos KöBidnL 



1. In den ersten Kapiteln werden die allgemeinen Bewegungsgesetze 
abgeleitet. Die betracht«ten Objekte sind Punkte, die Beweglichkeit haben 
and den am Anfiing der Pnncipia ausgesprochenen Grundgesetzen ge- 
horchen. So verfährt Newton hier gemäß seiner angedeuteten Absicht 
und gibt eine möglichst phoronomische Üarstellung. Allerdings erscheint 
es auf den ersten Blick, als wenn dieser Zweck nicht vollkommen erreicht 
wäre, denn für den Ausdruck ..punctum'', den man erwartet, tritt fast 
immer das Wort „corpus" ein. Aber „corpus" ist nicht mit „Körper", sondern 
eben mit „Punkt" zu übersetzen; .,corpus" bedeutet, ebenso wie schon bei 
Galilei, nichts weiter als einen Punkt, der eine bestimmte Masse repräsentiert. 
So gelten die hier abgeleiteten Sätze im strengen Sinne nicht für Körper 
endlicher Ausdehnung, sondern nur für Punkte, denen bestimmte Eigen- 
schaften zugeschrieben werden. Allerdings ist die Unterscheidung zwischen 
Körper und Punkt nicht immer konsec|uent durchgeführt, wie es schon 
die Figuren vermuten lassen, die dem Text beigegeben sind. Die bewegten 
Objekte werden nie als Punkte sondern als kleine Kugeln dargestellt und 
zwar als Kugeln von verschiedener Größe, je nach der Masse, die sie | 
repräsentieren. Geometrisch operiert wird jedoch nur mit ihren Mittel- 
punkten, so daß die Kugelgestalt mehr als etwas Äußerliches erscheint, das 
die VorsteUuug eines bewegten „Punktes" erleichtem soll. Doch ist an 
dieser Stelle nicht begründet, weshalb man berechtigt ist, die Kugel bei 
einer translatorischen Bewegung durch ihren Mittelpunkt zu ersetzen. Dies 
geschieht erst später. 

Ganz einspruchsfrei und in ganz abstrakter Form tritt nur eine Art 
des materiellen l'unktes, der Schwerpunkt, auf; hier sagt Newton aus- 
drücklich, daß diese Punkte aufzufassen sind als „rein mathematische 
Punkte."') Diese Formulierung ist wohl ans dem in der Einleitimg er- 
wähnten Umstände zu erklären, daß Schwer])unktsbetrachtungen schon 
lange bekannt und auch gerade von Mathematikern angestellt waren. 

Nahe verwandt mit den Schwerpunkten sind die sog. „Kraftzentren",*) 
die im weiteren Verlauf der Darstellung erwähnt werden. Denn nachdem 
Kepler und Gilhekt gezeigt hatten, daß ein mathematischer Punkt keinerlei 
Wirkung ausülten kann, sondern nur ein I^unkt, in dem man eich die 
Materie eines Körpers konzentriert denkt, wird das Kraftzentrum zu einer 
Abart des materiellen I'unktes. Und schließlich, wenn man die Wechsel- 
wirkung der Körper aufeinander betrachtet, wird jeder Massenpunkt zum 
Sitz einer Kraft, so daß es am Ende prinzipiell einerlei ist, ob man von 
Massenzentren oder Kraftzentren ausgeht. Masse ohne Kraft, und Kraft 
ohne Masse ist in der Mechanik schlechterdings undenkbar. — 

1) p. 4. u. 5: „Tel centris (quae sunt puncta Mathematica)". 

2) z. B. p. 37: „immobile centruu virium". 



I 



Der Bef^ff des materiellen Punkten in der Mechanik dea 18. Jahrhunderte. 21 



2. Bis jetzt war der materielle Ptmkt einzeln oder in Wechselwirkung 
mit einem entfernt von ihm liegenden aufgetreten. Solange war eine rein 
formale Deduktion verhältniüniüßig einfach; hatte man einmal die Be- 
rechtigung zugegeben, von bewegten Punkten zu sprechen, dann lagen die 
Schwierigkeiten, die zu überwinden waren, mehr auf mathematischem al8 
auf mechanischem Gebiete. Und so beruhte denn auch, abgesehen von 
einigen Äußerlichkeiten, die Verwendung des materiellen Punktes, sowohl 
rechnerisch wie geometrisch, auf mathematischer Auffassung. Anders wird 
die Sache, wenn wir zu Körpern endlicher Ausdehnung, speziell zur Be- 
wegung der Kugeln') kommen. Newton denkt sich den Körper in 
kleinste Teilchen zerlegt und die Bewegung des Körpers aus der Bewegung 
dieser Elemente entstanden. Durch die Annahme, daß diese Teilchen als 
materielle Punkte im alten Sinne ^) aufzufassen sind, ist der Zusammen- 
hang zwischen den vorhergegangenen, oft abstrakt erscheinenden Be- 
trachtungen und den Bewegungsvorgängen in der wirklichen Körperwelt 
hergestellt. Inwieweit dieser Übergang einwandfrei zu nennen ist, werden 
wir am Schluß unserer Arbeit zu untersuchen haben. 

Eins ist aber hier hervorzuheben: von dieser Stelle an tritt ein wesent- 

hcher Unterschied in der Auffassung ein, der Begriff des materiellen Punktes 

verliert immer mehr seinen matheraiitischen Charakter und nimmt eine 

physikalische Gestaltung uu. Dies zeigt am deutlichsten folgende Stelle: 

.,ebenBO sind unter den Punkten, aus denen Linien, Oberflächen und feste 

Körper bestehen sollen, gleichwertige Teilchen zu verstehen, deren Größe 

tnan vernachlässigen kann."'') Wir haben es iüso nicht mehr wie früher 

tnit „rein mathematischen Punkten" zu tun, sondern mit wirklichen 

Ulementen des Körpers, die unendlich klein zu denken sind, so daß man 

Üire Größe vernachlässigen kann. 

Mit den so definierten Punkten und der aus seinen Gesetzen folgenden 
Uewegung der Kugel hat Newton sich bestimmte Grundtypen geschaffen, 
die für die Verallgemeinerung der bisher gefundenen Sätze von größter 
Fruchtbarkeit sind. Dadurch, daß er zeigt, daß die imziehende Kraft 
«iner Kugel nach außen hin durch die eines einzigen Punktes ersetzt 
werden kann: ,J)ie Kraft einer Kugel wirkt so, als ob sie von einem 
Punkte im Zentrum der Kugel ausginge",^) hat er, wenigstens für gewisse 



1) p. 152: „de motu Bphaericonim". 

2) p. 152: „videamng igitur, quibus viribus corpora sphaerica, ex particulis modo 
I eaipositis eoHStatUia, debeant in se mutuo agere et quales motus inde conaequantur". 

3) p. 196, Scholinm: „eimiliter per puucta, ex qiiibus lineoe, superficies, et solid» 
Mmponi dicuntur, intelligendae sunt particulae aequales magnitudinis contemnendae". 

4) p. 201: „vii sphaerae eadem est, ac ei prodiiet de corpusculo unico in 
Btro «phkorM". 



TffKODos KöBinn. 



Probleme. Kugel und Punkt identifiziert. Gelingt es also, die Bewegung 
beliebiger Körper iiuf die Bewegung von Kugeln zu reduzieren, sn ist die 
Aufgabe gelöst. Demgemäß fahrt er fort: ..Die gesamte Kraft alier Teilchen 
einee beliebigen Körpers ist dieselbe, als wenn der Körper unter Wahrung 
des Schwerjjunktes Kugelgestalt annähme". •) Ebenso wurden mehrere 
Körper ersetzt durch eine Kugel von gleicher Masse, deren Mittelpunkt 
der gemeinschaftliche Schwerpunkt ist. Die Begründungen als solche 
interessieren uns hier nicht, für uns ist nur noch von Wichtigkeit, daß 
für alle diese Überlegungen die notwendige Voraussetzung die ist. daß alle 
materiellen Punkte der betrachteten Körper von gleicher Beschaffenheit 
sind, daß es „gleichwertige und gleich anziehende Teilchen" sind.*) Auch 
diese Bemerkung zeigt, wie der materielle Punkt immer mehr zum kon- 
kreten Bestandteil des Körpers wird, während er im Anfang, losgelöst von 
allen Beziehungen zur Wirklichkeit, als bestimmter Begrifl' auftritt, der 
sich der mathematischen Entwickelung zwanglos einfügt. 

3. In noch größerem Maße als bisher muß eine physikalische Ge- 
staltung des Begriffes hervortreten, wenn Newton zur Mechanik der 
Flüssigkeiten kommt und damit ein Gebiet betritt, für das damals eine 
mathematische Behandlung so gut wie gar nicht vorlag. Bei den festen 
Körpern waren die einzelnen Elemente nur mit einem bestimmten Massen- 
werte behaftet und hatten dem Gravitationsgesetze gehorcht; bei den 
flüssigen Körpern tritt die weitere Eigenschaft hinzu, daß die einzelnen 
Teilchen jedem beliebigen Drucke nachgeben und sich leicht gegeneinander 
verschieben.'"') 

Charakteristisch ist es, daß an dieser Stelle, wo die Darstelhmg ein 
mehr physikalisches Gepräge annimmt, von neuem ausdrücklich hervor- 
gehoben wird, daß die gegebenen Entwickelungen einen rein mathematischen 
Charakter haben sollen: „die Frage, ob die elastischen Flüssigkeiten wirklich 
aus Teilchen bestehen, die sich voneinander zu entfernen suchen, gehört ' 
in die Physik; wir haben die Eigenschaften der Flüssigkeiten, die ans fl 
solchen Teilchen bestehen, mathematisch bewiesen."*) Doch sind solche 
Bemerkungen nicht so genau zu nehmen, denn durch die Annahme der ^ 



1) p. 217: „eadem est igitur vis tots particnlaruin omnium corporii cuiuscunqne, 
ac li corpus illud, aervato (ifravitatig centro, figuram globi indueret". 

2) p. 195, 213: „particulae aeqiiales et gimiliter attractivae". 

3) p. 290: „Suidnm e«t corpus omne, cuiui partes oedunt vi cuiounque illatse 
et cedendo facUe moventor inter ec". 

4) p. 303: „ao vero fluida elagtica ex particulis «e mutuo fngaatibus constent, 
quaestio phjgica est. Nog proprietatem fluidorum ex einsmodi particulis constantinm t 
matliomatice demonstravimus". 



des materiwBtn'nnKfe^^fler 



[es 18. Jfthrbundert«. 23 



grachüdert«n Teilchen zeigt Newton eben, daß er von ihrem Vorhanden- 
«in überzeugt ist; im linderen Fidle wären jii die auf diesem («runde auf- 
gebauten Entwickelungen nicht» weiter als eine mathematische Theorie ohne 
jeden Zusammenhang mit der Wirklichkeit. Durch derartige eingeschaltete 
Bemerkungen wollt«, wie auch ItosENBF.iKJER ') hervorhebt, NK^rroN wohl 
weiter nichts, als allen weitläufigen physikalischen Diskussionen aus dem 
Wege gehen; er wollte produktiv schatten und sich nicht mit entgegen- 
gesetzten Meinungen herumschlagen. 

Als weiteren Beweis für die konkrete Auffassung des materiellen 
l'unktcs führen wir folgendes an. Bis jetzt war nie die Rede gewesen 
Ton einer bestimmten (iestalt oder Anordnung der kleinsten Teilchen im 
betnuditeten Körper; denn wenn auch in den ersten Abschnitt^^n die 
materiellen Punkte als kleine Kugeln dargestellt wurden, so erledigte sich 
die Frage nach der Berechtigung dieser Darstellung durch die später ge- 
machte Überlegung, daß nicht eigentlich die Bewegung der Kugel, sondern 
die ihres Mittelpunktes betrachtet wurde. Dies wird anders bei der Fort- 
pflanzung des Druckes in Flüssigkeiten. Die Sache wird wohl am deut- 
lichsten, weiuj wireine kleine Skizze (siehe die Fig.). die 
Newton selbst gibt, mit den betreffenden Worten hier- 
hersetzen: „Ein Druck pflanzt sich in einer Flüssigkeit 
nur dann gradlinig fort, wenn die Flüssigkeitsteilchen 
in gerader Linie liegen."^) Der Gegensatz zu früher 
ist evident: nicht nur die Anordnung der Teilchen ist 
von ullerwesentlichstem Einfluß, es scheint auch die Annahme gemacht 
Worden zu sein, daß man sich die kleinsten Teilchen als Kugeln vor- 
stellen könne. 

Schließlich ist noch eine Auffassung zu erwähnen, die sich sowohl 
bei festen als auch bei flüssigen Körpern findet. Newton führt neben den 
materiellen Punkten materielle Flächen ein, wenn wir uns einmal so aus- 
drücken dürfen. Bei bestimmten Aufgaben denkt er sich eine Kugel in 
lauter konzentrische Schalen zerlegt, deren Dicke unendlich klein, deren 
Anzahl unendlich groß ist.'') Die Schalen sind so dünn zu denken, 
daß ein Übergang von einer zur anderen nicht zu merken ist, und diiß 
eine auf die ganze Anzahl ausgeübte Wirkung kontinuierlich von 




1) F, RonnBaan, NKtnos und seine physilialiachen Principien (Leipzii; 1895), 
p. 171. 

2) p. 8.'>4: „presdio non propa^tor per flnidam Becundvni linesB recta«, nin 
ubi particulae fluidi in directum JBcent". 

S) p. 292; „8\iperficiebug «pbaericiB innumeris distin^uatur fluidum in orbea 
eonoentncoi ae<|Tia1iter rraasos ... prima siiperficieB .... Becunda . i^ir". 



h 



24 



Theudob Körkkr. 



der äußersten zur innersten hingeht.') Eine weitere Besprechung der 
Flächen erübrigt sich, da für sie dieselben Momente in Betracht kommen 
wie für materielle Punkte. Bemerkt mag noch werden, daß Newton hier 
dieselbe Auffassung eines Körpers ausspricht, die schon Cavaueki und 
KEPI.ER gehabt hatten. 

4. Um vollständig zu sein, wollen wir zuguterletzt auch auf die 
formale Seite unseres Gegenstandes zu sprechen kommen. Die Ausdrücke, 
die bei Ne>vton mit „materieller Punkt" übersetzt werden dürfen, sind 
„punctum". ..particula" und „corpusculum". Alle drei werden ganz unter- 
schiedslos gebraucht, nur, je nachdem die Behandlung mehr mathematisch ^y 
oder physikalisch ist, treten, aus leicht erklärlichen Gründen, entweder ^| 
„punctum" oder „corpusculum" in den Vordergrund. Als viertes, jedoch 
nicht gleichberechtigtes Wort tritt „corpus" hinzu, das aber nur in den 
ersten Abschnitten in der Bedeutung „materieller Punkt", später in der 
eigentlichen als „Körper" zu verstehen ist. ^H 

Newtons Verdienste um den Begriff des materiellen Ponktea. Durch 
Newton ist der Begrifl' des materiellen Punktes in die analytische Mechanik 
eingeführt und zum Grundbegriff geworden. Mögen die vorangehenden i 
Untersuchungen von Kepler, Gaijlei und Hpyoens auch für diesen Gegen-^fl 
stand vielerlei Neues und Anregendes gebracht haben, so kommt doch erst 
durch Newton der einheitliche Gedanke hinein, durch den der materielle 
Punkt zu den Fundamenten der Mechanik gehören wird. Die grundlegende 
Auffassung rührt von zwei schon in der Einleitung erwähnten Umständen 
her, erstens von der zum erstenmale durchgeführten systematischen Dar- 
stellimg der analytischen Mechanik, imd zweitens von der klaren und. 
konsequenten Unterscheidung zwischen Gewicht und Masse. Dies Letztera^f 
ist für unser Thema besonders zu beachten; denn dadurch ist für den 
Begriff des materiellen Punktes erst das geschaffen, was Mach einmal all-^J 
gemein als Abstraktion oder Idealisierung bezeichnet, die immer nötig ist^^f 
wenn man sinnliche Erlebnisse gedanklich nachbilden und begrifflich 
formen will.^) Die Kugeln, die Galilei rollen ließ, die kleinen Körper, die 
Hüyoens verwandte, waren nicht materielle Punkte im Sinne Newtons; 
sie waren ganz bestimmte Körper von bestimmtem Gewicht. Als Körper 
hatten sie alle Eigenschaften des Körpers; Luftwiderstand, Reibimg etc.^l 
mußten berücksichtigt werden. Dabei tut es prinzipiell nichts zur Sache, ^^ 
daß diese Umstände in manchen FäUen gegenüber der Anziehungskraft 



1) p. 293: „81 modo orbium »ugefttor nnmemg et minuatnr crassitudo in in- 
finitam gic ut actio gravitatiH a gnperficie lufima ad supremam continue reddatur"; 
ähnlich p. 192, 196 ii. a. 

2) Siehe iLkvo, a. a. d. p. 88. 



Der BegrifT des materiellen Punktes in der Mechanik den 18. Jahrhunderts. 25 



der Körper vemachliissigt werden können; solange das Gewicht dns Maß- 
gebende ist, treten die störenden Nebenumstände noch zu sehr in den 
Vordergrund, ist eben die Idealisierung noch nicht genügend fortgeschritten. 
Bei Newton ist der materielle Punkt etwas Anderes, er repräsentiert eine 
bestimmte Masse, d. h. in bestimmtem Umfange eine Eigenschaft des 
Körpers, die nnraitte!bar nicht wahrgenommen werden kann, auf die 
man erst geführt wird, wenn man das Wesentliche vom Unwesentlichen 
sondert. Die Masse eines Körpers ist auch nicht gleich, sondern nur 
proportional dem Gewicht. Wenn ein solcher materieller Punkt sich be- 
wegt, ist ohne weiteres von lletbung, Luftwiderstand etc. abzusehen; es 
ist damit die Abstraktion geschaffen, deren Notwendigkeit oben hervor- 
gehoben wurde. 

Allerdings müssen hier zwei Einschränkungen gemacht werden. Erstens 
fragt es sich, ob Newton sich der Wirkung seiner Unterscheidung für 
Masse und Gewicht auch für diesen Gegenstand bewußt geworden ist. 
Aasgesprochen ist dies nirgends, und liei dem Bestreben Newtons, der- 
artigen kritischen Betrachtungen aus dem Wege zu gehen, ist die Frage 
vohl von vornherein mit Nein zn beantworten. Zweitens aber ist die 
Auffassung des materiellen Punktes nicht konsequent durchgeführt. Wir 
iiatten Gelegenheit, zu zeigen, wie eine Wandlung eintritt, ein Übergehen 
von der abstrakten, idealisierten Auffassung zur konkreten, sinnliehen. 
Der materielle Punkt erscheint in gewisser Weise als Doppehvesen, als 
mathematischer und als physischer Punkt, wenn wir uns kurz so aus- 
drücken wollen. Das ist ein Widerspruch, den zu lösen Newton seinen 
Nachfolgern überließ. Jedenfalls ist aber dadurch, daß der Begriff des 
materiellen Punktes zum Grundbegriff der analytischen Mechanik gemacht 
wird, der Anfang für die ganze spätere Entwickelimg gegeben. Und da- 
durch, daß Newton feste und Hüssige Körj)er nach einem und demselben 
Prinzip behandelt, d. h. bei beiden von der Bewegung gewisser kleinster 
Teilchen ausgeht, ist der Grund zu einer einheitlichen Auffassung iler 
gesamten Mechiinik gelegt; für die analytische Betrachtung sind feste 
und flüssige Körper nicht von wesentlicher, sondern nur von gradueller 
Verschiedenheit. 

NewtonjB physikaliBOh - philosophisohe Grundanaohauung. Doch 
können wir hiermit unsere Betrachtungen noch nicht abschließen, denn 
in dem Anhange, den Newton seiner Mechanik gibt, in dem Weltsystem, 
bekommen wir einen tieferen Einblick in die philosophisch-physikaliüchen 
Grundlagen, aus denen heraus die Darstellung der Mechanik und speziell 
der Begriff des materiellen Punktes erwuchsen sind. Diese Erörterungen 
treten in der ersten Ausgabe der Principia nur in kurzer Form auf, 
nehmen dagegen in der zweiten luid dritten Auflage einen weit größeren 



26 



TüEODon EöBKm. 



i 



RauBi ein.*) Das ist wieder ganz bezeichnend für Xewton. der. wie 
schon mehrfach hervorhoben, in erster Linie die niiitheniatische Entwicke' 
lung im Auge hatte. Aber er konnte sich doch denjenigen nicht mathe- 
matischen Erörterungen, die notwendig zu seiner Darstellung gehörte) 
auf die Dauer nicht verschließen. So wurden <lie anfiinglich spärliche! 
Notizen in den späteren Ausgaben des Werkes entsprechend ergänzt. 

Newton ist Atomistiker. Die Körper bestehen nach ihm aus diskreten 
Massenteilchen, denen im kleinen dieselben Eigenschaften zukommen wtei^| 
dem Körper, den sie bilden: „Die Ausdehnung, Härte. Undurchdringlichkeit,^^ 
Beweglichkeit und Trägkeit eines endlichen Körpers entspringt aus der 
Ausdehnung, Härte, Undurchdringlichkeit, Beweglichkeit und Trägheit del^| 

Teile Dieser Satz ist die Grundlage der gesamten Naturwissenschaft."*) 

Das ist eine Hypothese, über deren Richtigkeit man sehr wohl im ZweifeL^— 
sein kann, zumal eine direkte experimentelle Bestätigung ausgeschlosseillj 
ist. Es ist aber andererseits eine Annahme so allgemeiner und funda- 
mentaler Natur, daß sehr viel gewonnen ist, wenn man aus ihr heraus 
den Begriif des materiellen Punktes entwickeln kann. Mim muß sicli. 
nämlich aufs sorgfältigste hüten, die hier erwähnten „Teile'* oder, wie e^H 
sie an einer späteren Stelle nennt, „kleinsten Teile" ^) ohne weiteres mit 
den in der Mechanik verwandten materiellen Punkten zu identifizieren. 
Denn wenn auch der Ausdruck — früher „particula", jetzt „minima pars* 
— dasselbe bedentet, und wenn auch der materielle Punkt oft so konkrete 
Gest^iltung annahm, daß er als physikalischer Bestandteil des Körpers er- 
schien, so findet doch eine Identität nicht stiitt. Man hat stets den Zu- 
sammenhang zu bedenken, in dem beide Ausdrücke auftreten: früher waren 
es mathematische Entwickelungen, jetzt sind es physikalisch-philosophische 
Erörterungen. Deshalb ist hier „pars minima" nicht mit „materieller Punkt^'. 
sondern mit „Atom" oder „Molekül" zu übersetzen. Dies beweist am besten, 
folgende Stelle: „Femer wissen wir aus der Physik, daß die einzelnen 
aneinander haftenden Teile der Körper voneinander getrennt werden können^ 
daß aber die unteilbaren ElemetUe in der Theorie noch weiter in kleinere^ 
Teile gespalten werden können, ist aus der Mathematik bekannt.**) Hier 



en 
nS 



1) Von hier bd zitieren wir die Seitenzahlen der Priticipia nach der zweiten 
Auflage (Cambridge 1713). 

2) p. 858: „ertensio, durities, impenetrabilitas, mobilitas, vis inertiac totius oritur 
ab extensione, duritie, impenetrabilitate, mobilitate, viribus iuertiae partium. ... Et 
hoc est fundamentnm philosopbiae totius". 

8) p. 858: „partes minima«". 

4) p. 35B: „porro corporum partes divisas et sibi mntuo contiguai ab invicem 
■eparari posse, ex phuenoraenis novimus, et partes indivisas in partes minores ratione 
distingui posse ex mathematicA oertum est". 



ir 



Der Begriff des materiellen Punktes in Her Mechanik des 18. JahrbandertK. 27 

ist die klarste Bestätigung: Physikalisch betrachtet bestehen die Körper 
.unteilbaren Elementen", eben aus „Atomen" [firo^tos), geht man dann 
iT mit mathematischen l^berlegungen an die Erscheinungen heran, so 
können diese „unteilbaren Elemente" noch weiter — soweit es eben die 
Mathematik erfordert — geteilt werden; sie werden zu materiellen Punkten. 
Die matericUen Punkte sind also, kurz gesagt, die durch die Mathematik 
geforderte begriffliche Abstraktion der Atome. 

Hierdurch gewinnt der Begriff des materiellen Punktes eine illieraus 
ansohnuliche Gestaltung; eine andere Frage ist es allerdings, oh sich nicht 
BUB der konsequenten Durchführung einer derartigen Auffassung neue 
Schwierigkeiten ergeben, die die anfängliche Klarheit und Anschaulichkeit 
in Frage stellen Auf diese Frage kommen wir später im Zusammen- 
luinge zurück. 



II. Die Zeit von Newton bis Euler. 



^^^ Nach dem Erscheinen der NEWTONschen Frincipia entstund eine 
Ileihe größerer Arbeiten, in denen mechanische F'robleme behandelt wurden. 
Da sich diese Untersuchungen aber in den meisten Füllen speziellen Auf« 
gaben zuwandten und mehr eine Weiterentwickelung als eine Fundamentie- 
nmg iler Mechanik anstreliten, kommen sie für unser Thema weniger in Be- 
tracht. Aus diesem Grunde können wir auf eine Einzelbesprechung der 
Verschiedenen Arbeiten verzichten und hei jedem Autor eine Gesamtüber- 
sicht geben 

Joh. Bernoulli. ') In gewisser Beziehung stimmt Jon. BKKNnuLLl 
volikonimen mit Newton überein. Auch er spricht von „Körpern" und 
Versteht darunter bald materielle Punkte, bald Körper endlicher Aus- 
«iehnung. -) Die materiellen Punkte werden in der Zeichnung teils als 
Punkte, teils als kleine Kugeln^) von verschiedener Größe dargestellt. 
Aber auch hier ist Kugel form nur etwas Äußerliches, eigentlich betrachtet 



1) Die hier in Betracht gezogenen Äbhaudlungeu von Jorasn Berkoi'lli sind: 
JSstmtt de la repome n Monsieur Hkbmaiik (M^m. de l'acad. d. bc. de Paris 1710, 
p. 521 ff. = Opera omnia I, p. 470 — 480); De motu corporum gravium, 2>endulnrum et 
frqjeetHium (Acta Kriiditorum 1713, p. 77 ff. = Opera omnia I, p. 514—558); 
Medüatio dr natura crntri oscülalivnU (Acta Kruditoruni 1714, )>. 257 ff. = Opera 
omnia FI, p. 168 — 186); DUcours svr le-$ loix de la commimication du moueement, Pari» 
^787 = Opera omnia III, p. 1 — 107); Propositiones variae mrchanico-dijnamicae ; Opera 

»io IV, p. 258 — 313). Wir ssitieren hier nach den Opera omnia (13d. I — IV, bauBannae 
•t Uenevae 1742), and geben bei den Zitaten die betreffende Jahreszahl in Klammem an. 

2) Bd. I, p. 472: „Corps" (1710), Bd. I; p. 514, .538: „corpus grave" = Körper 
lieber Mäste (1713). 

8) Z. B B.I n. p. 170 (1714). 



28 



TintonoR KönircB. 



akt- 

etnfl 



werden die geometrischen Mittelpunkte der Kugeln; man muß sich desnaT 
die Kugeln auch nicht als rollend, eondem als reibungslos gleitend vorstellen. 
Die Bewegung der Körper endlicher Ausdelinung reduziert sich auf Funkt- 
bewegung dadurch, daß Bernoulli sich die Körper aus unendlich vielen 
kleinen Körperchen zusammengesetzt denkt, auf die er die Ponktgesei 
anwendet. ') 

Soweit stimmen Newton und Bernoulu überein. Anders wird 
es, wenn wir auf die physikalischen Grundanschauung, auf die Ansicht 
von der Konstitution der Körper zu sprechen kommen. Bernoulli ist 
im Grunde, bis zu einem gewissen Grade, Anhänger einer Kontinuität»- , 
theorie. Alle Materie ist gleichartig; im Anfang befindet sie sich imfl 
kontinuierlichen Zusammenhang, als eine Art Flüssigkeit. Aus dieser 
flüssigen Masse heraus bilden sich durch iVnhiiufung sog. „Elementarmole- 
küle''*). Aus diesen sind die Körper zusammengesetzt, und aus der ver- 
schiedenen Gestalt, Anordnung und Beweglichkeit der Elemente erklärt sich^| 
die Verschiedenheit der Körper.*) Das ist ein wesentlicher Gegensatz za^^ 
Newton. Bei Newton entsprang, um ein Beispiel zu nehmen, die Härte 
der Körper aas der Härte der Moleküle,*) bei Bernoulli aus dem Be- 
streben der einzelnen Teilchen, aneinander zu haften. *) Dadurch sind alle 
Körper im Grunde gleich, ihre Verschiedenheit beruht nicht auf einer 
wesentlichen Verschiedenheit der Materie sondern auf einer Ungleichheit 
in der Anordnung der letzten Teilchen. Inwieweit sich andrerseits aus 
dieser Hypothese die verschiedenen physikalischen und besonders chemischen 
Eligenschaften der Körper erklären lassen, ist eine Frage, deren Beantwortung^! 
nicht hierher gehört. ^M 

Daniel Bernoulli. Eine etwas weiter ausgeführte Darstellung der 
Auffassung von JoH. Bernoulli gibt Daniel Bernoulli in seiner Hydro- J 
dynamik.*) Auch er meint, daß z. B. die verschiedene Schwere einei^| 
Körpers nicht herrührt von einer verschiedenen Schwere der letzten 
Teilchen, sondern von ihrer Anzahl in einem bestimmten Volumen; alle 
letzten Teilchen haben dieselbe spezifische Dichte.^) Zwischen diesen^ 



1) Z. B. Bd. IV, p. 276: „fingamne corpus percutiendnm diTisum in infinit» 
corpascula minima" (1742). 

2) Bd. ni: Discours sur les loix ds la communication du mouvement (1727), p. 11 
„moläculeg dlementaires". 

3) Ibid. p. 11, vgl. auch p. 8—9. 

4) Siebe Anmerk. 2, S. 26. 

5) Ibid. p. 13: „Vax corps sera donc dar conform^ment ä l'id^e que noni venoni 
de donner de la durete, lorsque ses parties sensibles changent difficilement de aitnation". 

6) DiJdEi. BKBxot'ixi, Uydrodyrmmiea (Argentorati 1738). 

7) Ibid. !>. 249ff.: „particulae ultimae", auch „minimae". Merkwürdig ist, daB 
BiCKNoi-u.1 p. 251 der Ansicht ist, die Partikeln der Planeten besüBeu verschiedene Dichte. 



I 



Der Begriff des materiellen Punktes in der Mechanik des 18. Jahrhunderts. 29 

Teilchen flutet im KJirper der Äther, die „subtile Materie", wie BerkoulLI 
sie nennt; durch ihren Wirbel wird die Gravitation hervorgebracht. ') 
Aach die letzten Teilchen sind noch keine Continua, sondern haben I'oren, 
durch die wieder eine noch feinere, noch subtilere Materie hindurchdringt.*) 
Diese Anschauungen sind ziemlich unklar und scheinen zu keinem rechten 
Ende za kommen. 

Was schließlich die mathematisch-formale Seite anbetrifft, so spricht 
Bernoitu.,! von „particula", „globulus", „guttuJa'', „corpusculum"; jedoch 
kommt er nicht zu einem klaren mathematischen Begriff, wie denn über- 
haupt die ganze Arbeit, wie er selbst sagt, in erster Linie physikalischer 
Natur ist.') 

Clairaut. Mehr als die beiden Bkunoulli ist (/LAIUAUT ein Schüler 
Newtons. In den 1735 und 1738 erschienenen Abhandlungen über Pendel- 
schwingungen*) geht Claikai;t, was den Begriit" des materiellen Punktes 
anbelangt, vollkommen in den Spuren seines großen Lehrers. Der Ausdruck 
.Jvörper" wird in dem Sinne von Punkt gebraucht; die materiellen Punkte 
werden durch Kugeln von verschiedener Größe dargestellt. 

Ein L'nterschied gegen die NEWTONsche Ansicht zeigt sich in der 
1743 erschienenen Arbeit über ,,die Theorie der Erdgestalt". ^) Von den 
durch Newton gegebenen Prinzipien der Hydrodynamik ausgehend ver- 
sucht ClairaI't, die Gestalt der Erde zu bestimmen. Die durch das Thema 
gebotene physikalische Betrachtung hat den allenvesentliehsten ELofluß 
«raf die Auffassung vom Begriff des materieüen Punktes gehabt. Die rein 
alistrakte Fassung und mathematische Formulierung, wie wir sie teilweise 
Itei Newton fanden, ist vollkommen geschwunden. Der materielle Punkt 
ist identisch mit dem physikalisch kleinsten Bestandteil des Körpers, mit 
einem Wort: matcrieJlrr Punkt utwl Atom sind dasselbe. Das ist ein 
Pnterschied gegen Newton; aber aus der ganzen Darstellung Claikactb 
geht hervor daß diese Verschiedenheit nicht auf einem prinzipiellen Gegen- 
sätze beruht, sie rührt vielmehr her von einer gewissen achtlosen Dar- 
stellangsweise oder überhaupt einer Indifferenz derartigen Betrachtungen 
Regenüber. Deshalb muß man sich hüten, aus diesem Buche voreilige 
Schlüsse etwa auf Claikauts Ansicht von der Konstitution der Körper 
KQ ziehen. So treten z. B. die materiellen Punkte meistens als Kugeln 
aaf: „denken wir uns zuerst, daß ein beliebiges Atom des Planeten . . .", 
tand gleich darauf von demselben Atom: „ . . . daß alle Kräfte M nt, welche 

1) p. 250. 

2) p. 250: „lonf^m gubtiliiig fluidum". 
8) Ibid. p. 16. 

4) Memoire! de l'academio dos sciences de Paria 1785 und 1738. 
6) CuuBAL'T, TMorie tk la fignre de la terre ^Paria 1743). 



30 



Trkouub Kühssb. 



auf die kleinen Kugeln im ersten Augenblicke wirken";*) hieraus darf man^ 
aber nicht ohne ^veiteres folgern, daß Clairaitt sich die Atome nun aad^f 
als Kugeln vorstellte. In der Ausdrucksweise zieht sich die Identifikation 
von Atom und materiellem Punkt durch die ganze Arbeit; es genügt daher^n 
hier die Ausdrücke zu nennen, die Diit „materieller Punkt" zu übersetze^B 
sind; es sind: „particule", „corpuscule", „partie", „point", „Corps", ,,particule 
de matiere", „atöme", „globule'', „element"'; man sieht, die gebotene Auc^H 
wähl ist eine reichliche. ^B 

Der Begriff des materiellen Punktes in Beziehung zur Physik und 
Philosophie. Die bei den letzten Autoren gemachten Ausführungen schweifen 
etwas vom eigentlichen Thema ab, aber sie mußten gemacht werden, um 
zu zeigen, wie mancherlei Fragen mit dem Begritf des materiellen Punktea, 
verknüpft sind, Fragen, die vom Gebiete der Mathematik in das der Phys 
und Philosophie hinübergehen. Solange man freilich den materiellen Punkt 
als mathematische Fiktion auffaßt, als einen HilfsbegrifF, der dazu dient, 
rechnerisch die Bewegungen zu verfolgen, fehlen alle derartigen Erörte- 
rungen. Sie treten aber sofort in ihr Recht, sobald man den materiellen 
Punkt als kleinsten Teil eines Körpers faßt, als wirklich esnstierend 
Element; denn dann hat er nicht nur mathematischen Forderungen zO 
genügen, sondern er muß sich auch den allgemeinen physikalischen Ge- 
setzen fügen. Da nun im Anfang — vor Newton — die Mechanik in 
viel engerem Zusammenhange mit der Physik als mit der Mathematik 
stand, läßt sich schon von vornherein vermuten, daß die konkret-physika- 
lische Auffassung die ursprüngliche ger^-esen ist. Faßte man den materiellen 
Punkt als bestimmtes, wirklich im Körper existierendes Element, so brachte 
man die neuen mechiinischen Gesetze in Zusammenhang mit einer alten 
Hypothese von der Konstitution der Körper. Ob dieser Zusammenhang 
den genannten Autoren immer klar zum Bewußtsein gekommen ist, i^fl 
nicht gewiß, ja ist sogar unwahrscheinlich bei der geringen Wichtigkeit^ 
die derlei Untersuchungen gegenüber ihren anderen Arbeiten haben. Das 
ist jedoch auch nebensächlich; denn daß derartige Betrachtungen, wenl^| 
auch unbewußt, mit Einfluß gehabt haben, zeigen eben die angeführten 
Ausführungen, die im Zusammenhange mit den Bewegungsgesetzen auf-^ 
traten. Schon bei Newton fand sich eine bestimmte Hypothese, um di^l 
Eigenschaften der Körper zu erklären, wenn mjin sie aus kleinsten Teilchen 
zusammengesetzt dachte; .hyn. und Dax. Bkrnoülli hatten eine andere 
Anschauung. Sich für die eine oder andere Auffassung von unserem Stund- 






1) Thhrie de la figure de la terre, introdoction p. XXXVII: „imaginons d'abop 
qu'on atöme quelconque de la planete . . ."; ib. p. XXX VHI: .qne toutea les for 
telles que 3/m, qu'avoient lea globules dam le premier instant*. 



i«llen 



DMll 



punkt auB, d. h. nach ihrer Nützlichkeit för den Begriff des materiellen 
Punktes zu entscheiden, geht nicht an; denn diese HvjiotheBen wollen weit 
mehr geben, sie wollen, wie Newton sich ausdrückt, „fundamentum philo- 
sophiae totius" sein.') Es ist aber entschieden mancherlei gewonnen, wenn 
sich die Mech.inik auch durch den materiellen Funkt der ivllgemeinen 
Physik angliedert. 

Als ein konkretes Beispiel zu diesen allgemeinen Ausführungen wollen 
wir einen umstand anführen, der bei Clairaut in Betracht kommt und 
sicherlich EinfluB auf die konkret sinnliche Auflassung des materiellen 
Punktes gehabt hat Es ist dies die Überzeugung von der Richtigkeit 
der Emissionstheorie des Lichtes. In seiner 1739 veröffentlichten Ab- 
handlung über die CARTESische und NEWTONschc Erklärung der Licht- 
brechung-) stellt Clairaut sich ganz auf den Boden der NEWTONschen 
Hypothese, die er durch neue Überlegungen und Tutsaclieu zu stützen 
sucht. Er gebraucht hier genau dieselben Ausdrücke für die Lichtteilchen, 
die wir oben für den materiellen Punkt gefunden hatten, und zwar sind 
«8 hauptsüchlich die Worte ,,corpuscule" und „particule".^) Diese Aus- 
drücke repräsentieren immer etwas ganz Konkretes, sie bedeuten wirklich 
vorhandene Elemente der Materie. Wir haben bestimmte, unendlich kleine 
Korpuskeln, die sich mit unendlicher Geschwindigkeit bewegen und durch 
ihren Anprall auf die Netzhaut die Lichtempäuditng hervorrufen. Der 
ganze Vorgang ist ein rein mechanischer. Hier also waren kleinste Teilchen 
mit gutem Erfolge verwandt, man konnte die Erscheinungen mit ihnen 
verstehen und verfolgen; daher wird diese Anschauung zweifellos auf die 
Auffassung des Massenpunktes in der Mechanik eingewirkt haben. Und 
ebenso ist es einzusehen, daß man später, als die HuYCJENSsche Theorie 
immer mehr Geltung fand, leichter zu ah.strakten und weniger sinnlichen 
imschauhchen Auffassungen kommen konnte, ohne viel zu fragen, oh der 
Abstraktion nun auch wirklich ein realer Inhalt entsprnch. Denn wenn 
man zurückblickte auf die Lichttheorie, so sah man, diiU die Erscheinungen 
im Anfang, als noch wenig bekannt war, ganz gut durch verschiedene 
Theorien, die Emissions- und l'udulationstheorie, beherrscht werden konnten. 
Dadurch wurde eine größere Freiheit und Beweglichkeit der Anschauungen 
her*'orgerufen. An direkten Tatsachen läßt sich »Uerdings der Einfluß 
derartiger Überlegungen nicht nachweisen, er wird aber doch wohl nicht 
&a leugnen sein. 

Fontaine. Hecht im Gegensatz zu den letzten Betrachtungen steht 

1) cf. Anmerk 2, S. 26. 

2) M^moireB de l'acBdemie rles scieni'eii de l'aris 1739: Sur les ejsplications, 
CarUiKKtim et NEvromuiss, de la rifraclion de la lumicre. 

8) Z. 6. p. 262: „des corpuBcules de lumi^re". 




32 



Thkodom Körhes. 



die Abhandlung Fontaines über die Bewegung der Körper.*) die, ot 
schon 1739 verlaßt, doch erst 1764 gedruckt wurde. Jedoch ist sie, wl 
in der Vorrede auBdrücklich hervorgehoben wird. 1739 allen bekannte 
Mathematikern mitgeteilt worden.^ Es ist daher zu vermuten, daß Euu 
sie gekannt und daß auch Claiuaüt vor der Veröffentlichung seiner spät«« 
Arbeiten von ihr Kenntnis genommen hat. ^M 

FONTAiXEs Arbeit stellt den Versuch dar, die Prinzipien der Mechaa] 
in rein mathematischer Entwickelung zu geben, sie bedeutet daher auo 
für den Begrifl" des materiellen Punktes einen bedeutenden Fortschritt i 
der abstrakten Formulierung. An der Spitze stehen Definitionen, di 
präzis abgefaßt große Klarheit versprechen. Sect. I, 7: „Unter einem PonW 
versteht man ein Haumgebilde, das keinerlei Ausdehnung hat" ;^) un 
gleich darauf Sect. I. 8: „Ein materieller Punkt ist ein Gebilde, deese 
Ort und Volumen ein Punkt ist".'*) Hier ist also alles erfüllt, was ma 
von einer abstrakten Fassung verlangen kann. Schade ist es nur, da 
Fontaine sich nicht immer strikte an diese Definition hält. Schon eil 
Seite später kommt eine Bemerkung, die uns stutzen läßt, Sect. I, 1^ 
„Eine Richtung ist die Verlängerung der Zentralen zweier Punkte**;' 
wollte Fontaine streng nach der Definition gehen, so war es offenbi 
unlogisch, von den Zentren zweier Punkte zu reden, denn die von ihi 
definierten Punkte haben keine Ausdehnung, also auch keine Mittelpunkte.' 
Im folgenden tritt sonderbarerweise an Stelle des in den Definitionen vei 
wandten „point de matiere" der Ausdruck „corps" 



drücklich hervorgehoben, daß man eigentlich nicht die Bewegunj^l 

seines ,,Ma88enmittelpun]rai 



Allerdings wird aoj 
die 
„Corps", sondern die seines „point massif", 
betrachtet.^) Immerhin ist aber hin und wieder ein leises Abweiche 
von den zu Anfang gegebenen präzisen Definitionen nicht zu verkenne: 

1) A. FoKTAum, Principe« de fart de raoudre ha problbmes tur h moMVemd^l 
Corps; M(!muiro8 donnös ä racadämie royale des sciencea (PariB 1764). 

2) Inhaltsübersicht, Schluß. 

3) Sect. I, 7: .Un point est ce que l'on coDv'oit dans I'eapaoe a'avoir aucui 
^tendue". 

4) Sect. I, 8: ,Ua point de matiere est ce dont le lieu et le voliime est an point 

5) Sect. I, 14: ,Une direction est le prolongement des centrea de deox poin 
contiguB*. 

6) Mach glaubt p. 294 die Schwierigkeit beim Ziehen einer Verbindungalin 
swischen zwei ausgedehnten Massen dadurch zu beseitigen, daß er die Masse in genügen 
kleine Teile teilt und zwischen diesen Teilen die Verbindungslinien zieht. Dies i 
jedoch nicht angängig, denn eine Verbindungs/tnie kann nur cwiscben zwei Punkt« 
gezogen werden. 

7) Sect. I, 22: .... point massif (nons verrons dans la snite, quel est le poii 
dans un corps que l'on peut prendre pour le oorps, ou dans lequel l'on pent supposi 
qae riside toute la masse*. 



^ 



Der Begriff des materiellen PunktoB in der Mechanik des 18. JahrhundertH. 33 

Dieser Eindnick verstärkt sich besonders, wenn man die formale Seite 
berücksichtigt. Zu den bisher gebrauchten Ausdrücken „point de maticre" 
and „Corps" für „materieller Punkt" treten zwei neue: „point massif" und 
„particule massife". ') Dabei ist darauf zu achten, daß der hier gebrauchte 
„point massif' keineswegs mit dem oben genannten „point massif, der 
Massenmittelpunkt bedeutete.^) zu verwechseln ist, obwohl dieser Wechsel 
nirgends erwähnt ist. So werden nun mehrere solche Massenpunkte und 
ihre Wirkungen aufeinander betrachtet; dabei treten die Punkte teils einzeln, 
teils in Verbindung miteinander auf War früher der Körper, der unter 
dem Ein6nB bestimmter Kräfte stand, durch einen Massenmittelpunkt er- 
setzt worden, so werden jetzt die Punkte, oder vielmehr ihre Wirkungen, 
ersetzt durch ein Kriiftczentnim,^) das allerdings meistens nut dem Schwer- 
punkt des Systems zusammenfällt. 

Der i bergang vom Punkt zum starren Körper vollzieht sich bei 
FoNT.vrNK ganz glatt und logisch. Dadurch, daß er in den liisher Vie- 
trachteten Punktsystemen die Anzahl der Punkte ins Unendliche wachsen 
läßt und solche Kräfte postuliert, daß die gegenseitige Lage der Punkte 
bei einer Ortsveränderung dieselbe bleibt, ist der starre Körjier fertig; er 
stellt sich dar als „ein I^ium, iingefüllt mit starr aber gewichtslos unter- 
einimder verbundenen Punkten".^) Dadurch, daß jede physikalische Er- 
örterung außer Acht gelassen ist, daß Fragen wie die nach dem Zusaramen- 
himge des materieneu Punktes mit den Atomen vollkommen beiseite gelassen 
»ind. erhalten die Ausführungen einen festen, durch keinerlei Abschweifung 
;^lockerten Zusammenhang. 

Nur aus einer einzigen Stelle könnte man eine Vermutung schöpfen 
Ober die Art und Weise, wie sich Fontaine die Konstitution der Materie 
dachte. In Sect. I, 4 spricht er von den „Zwischenräumen, die sich zwischen 
»ien Teilen der Körper befinden",^) und hieraus scheint zu folgen, daß 
er sich den Körper aus diskreten Massenpartikelchen bestehend dachte. 
liier ist aber zu bemerken, daß er nicht sagt „vuides entre les points de 
«nati^re" oder „vuides entre les particules", sondern „vuides entre les 
^arties". Was sind aber „parties"? Sind es Atome oder Massenpunkte 
oder keins von beiden? Wir werden wohl am richtigsten gehen, wenn 
'%rir jinnehmen, Fontaine stand als Mathematiker allen diesen Betrachtungen 
au fem und hatte sich über die Konstitution der Materie überhaupt keine 

1) Sect IV. 1, 2, 18 u. a. 

2) cf. Anmerk. 7. S. 32. 

8) Sect. IV, 7: .centre de force*. 

4i Seot. TV, 1: .coDoevez un eapace raide dänut! d'inertie et doue de point« 
nuüf« A. B, C, D etc. or un coqis quekonque*. 

91 Sect. I, 4: .... touB les vuides, qui se trouvent entre les partiea*. 
BibUotheo» Mathematioa. lU. Folg« T. 8 



84 



TUKUDOU KÖBNKH. 



klaren Vorstellungen gemacht: oder aber, und das ist das Wahrscheinlichste, 
er glaubte, derartige AuseinanderBetzungen gehörten nicht hierher; und^ 
ans diesem Grunde wählte er dann den unbeBtimmten Ausdruck „partie''.^| 
Eine bestimmte Meinung kann man auf keinen Fall aus dieser Äußerung 
nachweisen. 

Erwähnen wir schließlich noch die formale Seite unseres Themas, so 
ist zu bemerken, daß FoNTADfE mit seinen Ausdrücken „point de matiere"! 
und „point massif dem später allgemein gebräuchlichen terminus teehnicnsl 
„materieller Pimkt" von allen bisher besprochenen Autoren am nächsten] 
kommt. Wenn auch eine einheitliche Ausdrucksweise nicht durchgeführt j 
ist — es kommen neben den beiden genannten noch „corps" und „parti-j 
cule massife'' vor — so zeigt sich doch auch hier, namentlich in den zu 
Anfang ausgesprochenen Definitionen, ein Streben nach exakter und scharfer 
Formulierung. Dies Letztere gilt ganz allgemein von FONTAIKE, und dee- 
halb ist seine Arbeit als Versuch, eine streng mathematische Darstellung 
der elementarsten Bewegungsgesetze zu geben, trotz ihrer Kürze außer- 
ordentlich interessant und bemerkenswert. Sie ist aber auch aus dem 
Gnmde hier ausführlich erwähnt worden, weil sie in der Literatur so 
gut wie gar nicht besprochen wird und keine ihrem Inhalte entsprechendej 
Würdigung gefunden hat.') 

m. Leonhard Eoler. 



Die „analytische Mechanik" vom Jahre 1736. Die zweite Stufe 
der Entwickelung der analytischen Mechanik wird durch das große Werk 
von Euler bezeichnet.') War die Darstellung Newtons und seiner Schüler 
zum grüßten Teil synthetisch gewesen, so ist Euler der erste, der die 
mechanischen ^Probleme mit allen Hilfsmitteln der inzwischen mächtig ge- 
förderten Analysis zu meistern sucht. Was aber uns die vorliegende Arbeit 
wertvoll macht, ist die gründliche Darstellung der Prinzipien der Mechanik. 
Euler ist der erste, der den Leser einen tiefen Einblick tim läßt in das 
ganze Werden und Wtwshsen der Entwickelung aus bestimmten Gnmd- 
anschauungen heraus. So finden sich die Auseinandersetzungen über den 
materiellen Punkt nicht wie bei Newton in versteckten Anmerkungen 
und am Schluß, sondern dort, wohin sie gehören, am Anf ang 




1) Das gut auch von A. Vobs. Dieser sagt bei Besprechung des D'ALEXBEHTschen 
Prinzips i>. 76 Anmerk. 207*); ,Nach Mosricui , histoire 3 p. 44 und 627 hat 
A. FoNTADTE schon 1739 ein ähnliches Princip ausgesprochen*. Durch obige AusITlhrung 
ist diese Anmerkung, wenn auch nach einer anderen Seite hin, ergänzt worden. 

2) L. EvLKB, Mechanica iiivt motut scientia analytice txposita Bd. I — II (Petropoli 
1786). 



I 



Der Begriff dcB niaterielleu Piinktoii in dor Meuhanik ilog 18 Jahihaadertg. 35 

1. Schon in der Vorrede lesen wir: .,Die Bewegung eines Körpers von 
endlicher Größe kann nämlich nicht iinders vollkommen bestimmt werden, 
als daß man untersucht, welche Bewegung jedes Teilchen desselben oder 
jeder Punkt, hat. Diese Abhandlung über Punktbpwegimg ist daher die 
Grundlage und der Hauptteil der ganzen Mechanik, worauf alle übrigen 
TeiU' sich stiitKen."') Allerdings muß man sagen, daß die Begriiudimg, 
die Eül.ER der Punktmechanik gibt, an dieser Stelle keine befriedigende 
ist; er sagt: „die Natur der Körper führte mich darauf, zuerst die Be- 
wegung unendlich kleiner Körper oder, sozusagen, die Bewegung von 
Punkten zu untersuchen".^) So ohne weiteres kann man mit diesem 
Ausdruck „die Natur der Körper" nichts Hechtes anfangen; wir kommen 
doch auf die Anschauungen Euleus über diesen Punkt später im Zu- 
mmenhange zu sprechen. .ledenfalls geht aus der eben angeführten Be- 
merkung hervor, daß Eulkh die Wichtigkeit der Punktmechanik klar 
erkaimt hat; luid Hand in Hand mit einer derartigen Erkenntnis muß 
naturgemäß eine ausführliche Darstellung der Annahme gehen, die er 
mAoht, und speziell eine intensive Beschäftigung mit dem Grundbegriff 
dieser Annahme, dem materiellen Punkt. 

Ganz allgemein für die EuLEKsche Anschtnumg gilt die mehr physi- 
kalische Fassung. Über.ill — und das gilt nicht nur für den materiellen 
Punkt — sucht EüLER den Zusammenhang mit der Wirklichkeit zu wahren: 
80 treten die mechanischen Probleme nicht als Aufgaben aul", die sich aus 
der mathematischen Theorie ergeben, sondern als solche, die sich aus der 
Physik entwickeln. Infolgedessen ist der materielle Punkt kein mathe- 
matischer sondern ein physischer, „ein unendlich kleiner Körper, den man 
als Punkt betrachten kann".^) 

Doch liegt die Sache bei Edi.£U nicht so einfach wie man nach diesen 
Bemerkungen annehmen könnte, wir werden vielmehr bei ihm eine ganz 
neue und eigenartige Auffassung zu konstatieren haben, die ims bisher 
noch nicht entgegengetreten ist. Auf den ersten fünfzig Seiten seiner 
Mechanik ist der Mussenbegritf überhaupt nicht erwähnt. Die Verschieden- 
heit der materiellen Punkte ist eine rein formale, sie wird charakterisiert 
durch bestimmte Symbole, die, etwa mit den Buchstaben A, B, C, etc., 
üIb multiplikative Konstanten in die Kechuung eingehen. Damit ist natürlich 



1) Pnef. p. 6: ,naniqno cor])oria linitain hnbcntis mn^nitudiacm motu» aliter 
congidwari et determinari non potent, nisi ut defiuiatur, qualem quaeque eins particula 
teil punctum habeat motuni. Quocirca haec de motu pimctorum tractatio est fuuda- 
raentum et praecipua pars totiu» mechanicae, cui roliquae partes omne» innituntur*. 

2i Prael'. p. 5: ,ipsa cnq>orum indoles mihi haue suppeditavit divisionem ut 
primo corponim infinite parrorum et tamquam puuctonim motum iuvc8ti)j;arem * 

3'i p 37: .Corpora infinite parva bcu quae tamquuui puncta gpcctaii poBsunt*. 

3* 



86 



TllKODOB KöMca. 



keinerlei Aussage über das Verhalten der einzelnen Punkte gegenill 
einer Kraft gemacht; ob etwa, da die Punkte nach ElLER als physische 
auficufassen sbd, ihre Größe, Qestalt, Oberfläche oder sonst eine andere 
physikalische Eigenschnft Einfluß auf die Bewegung hat, wissen wir nicht 
Anders wird es. wenn Eilek zu der Wirkung verschiedener Kräfte auf 
einen Punkt kommt: „bald werden wir die Wirkung Terschiedener Kräfte 
betrachten, und auch bei den durch Kräfte angetriebenen Punkten eine 
Verschiedenheit der Größe annehmen". ') Von nun an haben wir wirklich 
verschiedene Punkte. Eine Unterscheidung hatte ja auch bei früheren 
Autoren statt, und zwar wurden die einzelnen Punkte meistens durch 
Kugeln mit größerem oder kleinerem Radius dargestellt. Aber diese Ver- 
schiedenheit war eine rein äußerliche, da nur die geometrischen Mittel- 
punkte mit den in ihnen konzentrierten Wirkungen betrachtet wurden. 
Bei Euler liegt die Sache anders; hier sind die Punkte wirklich ver- 
schieden groß, wir haben „einfache" imd „zusammengewachsene'' Punkte.*) 
Diese konkret-physikalische Auffassung ist nicht eine zuiTiUige, nur hin 
und wieder vorkommende, sondern zieht sich durch die ganze Mechanik 
hindurch. Ja, sie scheint einen tieferen Zweck zu haben, nämlich den, 
die Masse eines Körpers ungezwungen einzuführen: „um einen großen Punkt 
dieselbe Geschwindigkeit wie einem kleinen zu erteilen, bedarf man einer 
größeren Kraft, und zwar einer desto größeren, je mehr jener Punkt diesen 
an Größe übertrifft. Dieser Satz enthält die Grundlage zur Bestimmung 
der Trägheitskraft, denn aus demselben folgt, daß in der Mechanik die 
Materie oder Masse eines Körpers in Betracht gezogen werden muß."') 
Das also ist's: aus dem verschiedenen Verhalten der verschieden großen 
Punkte folgt die Notwendigkeit des Massen hegriffes. Und dann weiter; 
die Masse wird noch enger mit den materiellen Punkten verknüpft: „man 
hat nämlich die Zahl der Punkte zu beachten, aus denen der Körper zu- 
sammengesetzt ist, und die Masse des letzteren ihr proportional zu setzen". *) 
Die Masse ist also direkt proportional der ÄnsoM der materieüeti Punkte. 



1 



I 
I 



1) p. 53: .quotnodo autem «e liaboant divergarum potentiariim otfectus, tnox 
Bumui expoBituri, atque etiasi in punctis, quao a potentiJB Bollicitantur, diversitatem 
ponemuB*. 

2) p. 53: .poBBimt enim duo plnmve in unum coaleBcere concipi, quod, qaanqu&ni 
BÜuplicibus est niaius, infinite tarnen exiguae manet magnitudinig*. 

3) p. 55: ,ad eandem ergo maiori puncto celoritatem inducendam, quam miuori, 
opus est maiori potentia, idque tanto maiori, quantum iliud punctum maius est quam 
hoc*. ,PropoBitio ista fimdamentum complectitur ad vim inertiae metiendam, hac 
enim nititur omniB istio, quare corporum materia seu massa in mocbanicis consideTari 
debeat*. 

4) p. 55 — 56: ,attondi enim oportet ad punctomm numorum, es quibuB corpus 
movendum eBt couflatum, eique mansa corporis proportionalis est ponenda*. 



I 
I 



Der TiogtiS des materiellen Pouktes iu der Mechanik des 18. Jahrhunderte. 37 



se' 

W tn< 



ülVn wir einmal diese Auffassung En^ERs: dabei wollen wir ganz davon 
tbsehen, was man sich für Funkte bei dieser letzten Definition zu denken 
hat. ob ^einfache" oder „zusammengesetzte". 

2. Wir haben im vorhergehenden von physikalischen Punkten, d. h 
klichen Körpern oder Elementen von Körpern gesprochen; dann wurde 
, daß Funkte von verschiedener CrröBe — man beachte auch das 
Wort „Größe" — ein und derselben Kraft verschiedenen Widerstand ent- 

gensetzen. und zwar einen Widerstand, der im Verhältnis der Ctröße 
steht. Was heißt das aber anderes, als daß schon hier, bei den verschieden 
großen Punkten, die verschiedene Masse in Betracht gezogen wird. Also 
hier schon wird, zwar stillschweigend, die Bedeutung der Masse voraus- 
gesetzt, wenn ihre Einführung auch durch das Wort „Größe" verschleiert 
ist^ Wie aber Eitler dann ans dem verschiedenen Verhalten der Punkte 
den Massenbegriff erklären oder gar seine Bedeutung für die Mechanik 
erweisen will, ist nicht recht klar. Denn ganz abgesehen von den Irrtümern, 
die durch den Ausdruck „Größe des Punktes" hervorgerufen werden 
können, als käme es nur auf die Dimensionen des Punktes an; ganz ab- 
gesehen auch davon, ob ein so elementares Erfahrungsgesetz wie es der 
Widerst.ind der Massen ist, durch eine so ideelle Operation, wie die 
Teilung eines zwar unendlich kleinen aber doch reellen Punktes in wieder 
kleinere, überhaupt erklärt oder anschaulich gemacht werden kann, ist 
»lieser Beweis auch gar kein Beweis: denn es ist nach den gemachten 
Ausführungen doch wohl klar, daß wir einen einfachen Zirkelschluß vor 
uns haben. Wollte Eulek einmal von physikalischer Grundlage ausgehen, 
•o war der umgekehrte Weg der richtige: als Erfahrnngstatcaehe steht 
fest, daß verschiedene Körper gegen ein und dieselbe Krafl verschiedenen 
W'iderstand üben; dieser Widerstand rührt her von einer ihrer Eigen- 
pcbaften, die wir Masse nennen, und ist direkt proportional der Masse. 
Daraus folgt dann, daß auch materielle Punkte verschiedener Masse, solange 
sie als Körperelemente oder beliebig kleine Körper betrachtet werden, das- 
selbe Verhalten zeigen. 

Kann man so den Beweis nicht als gelangen betrachten, so ist be- 
merkensrwert. daß Ecler selbst dies mit den später folgenden Worten zu- 

bt: „man muß aber' solche Punkte als gleich annehmen, auf welche die- 

Ibe Kraft gleiche Wirkung ausübt, nicht aber die, welche gleich groß 
sind".') Hier wird doch offenbar die Masse eingeftlhrt und ihre Be- 
deutung im Gegensatz za der einfachen räumlichen Ausdehnung des Körpers 
hervorgehoben, nur daß der terminas Masse fehlt. 



I) p. 56: ,puncte vero ea inter »e aeqaalia ceoEeri debent, non qna« aeqne ttmt 
parva, «ed io qaae «adcn pottntia aeqnalea exerit effectni*. 



38 



TuEOUOR BTöi 



M 



Als Kuriosura wollen wir noch folgende Operation erwälinen, die mit 
dem materiellen Punkte vorgenommen wird. Bei der Aufgabe, die Wirkung 
einer beliebigen Kraft auf einen Punkt zu finden, wenn die Wirkung einer 
anderen Kraft auf diesen Punkt bek;uint ist, denkt sieh Eii.ek die Kraft 
in zwei gleiche Kräfte zerlegt, die jede für sich auf die Hälfte des be- 
trachteten Punktes wirken und diese Hälften in einer bestimmten Zeit an' 
einen bestimmten Ort bringen würden. Nun sind aber in Wirklichkeit 
diese Hälften nicht vorhanden, deshalb denkt EriJCR sie sich nach V^oll- 
endimg der Bewegung durch eine ungeheuer große und ungeheuer plötzlich 
wirkende Kraft wieder zusammenschnellen.*) Der Vereinigungspunkt istl 
dann der wahre Ort des bewegten Punktes. Dazu muß man doch wohl 
sagen, daß es EuLEK bei dem Bestreben, alle Erscheinungen möglichst 
anschaulich und plausibel zu machen, widerfahren ist, daß die versuchten , 
Erklärungen weit schwieriger zu verstehen sind als das Geschehnis selbst. ^M 
Eui.ER scheint selbst das Unnatürliche dieser Erklärung erkannt zu haben ; 
denn er nennt gleich darauf die Kraft, die die Verbindung der Teilchen 
wieder herstellt, eine „imaginäre und unbestimmte Kraft". ^) 

Doch damit haben diese Erörterungen ein Ende erreicht; von jetzt 
herrscht der Begriff der Masse, und eine Auseinandersetzung über etwaigel 
Größe und Gestalt des materiellen Punktes findet sich nirgends mehr. 

Auch im zweiten Bande der Mechanik kommt für unseren Gegenstand 
nichts Neues hinzu, so daß eine Besprechung nur eine Wiederholung des , 
eben Gesagten sein würde. 

Eulers Aiiffassung des Unendlichkleinen und der Eonstitutioa der 
Körper. Wir haben die vorstehenden Ausführungen bis auf die Definition 
der Masse ohne jede Kritik gegeben, indem wir einfach der Darstellung 
Et'LERs folgten. Die kritischen Betrachtungen, die gerade durch die Auf- 
fassung des materiellen Punktes als unendlichkleinen physikalischen Körpers 
hervorgerufen werden, mögen im Zusammenhange im Schluß ihren Platz 
linden. An dieser Stelle haben wir noch eine Frage zu erledigen, die mit 
dem ei)en Gesagten nahe zusammenhängt. 

1. Wie schon im Anfang hervorgehoben ist, war EüLER der erste, der 
im weitesten Umfange die Infinitesimalrechnung auf die Mechanik anwandte. 
In der Infinitesimalrechnimg werden nun fortwährend unendlichkleine 
Größen, Differentiale, gebraucht, analog wie in der Mechanik der materielle ( 
Punkt als unendlichkleiner Körper aufgefaßt wird. Es fragt sich daher, 
ob die Auffassung des Differentials und des materiellen Punktes in Bezug 
auf das Unendlichkleine gemeinsame Seiten haben oder nicht. 



I 

I 

n 



1) p. 59. 

2) p. 69: ,vii restitneni est vis illa imsgiiiaria et intioita*. 



I>ei BegriiT tlc» luateneUen l'unktes iu dei Mechanik des 18. Jahrhonderts. 39 



Die Auffassung, die Eklek von den Differentialen hatte, findet man 
in seiner Differentialrechnung vom Jahre 1755.') Die Differentiale sind 
nach EtTLER der Null gleichzusetzen, sie verschwinden absolut;^) denn 
wenn sie nicht ids vollkommen der Null gleich angesehen werden, können 
sie nicht neben einer endlichen Zahl fortgelassen werden. 5Iag nnin zu 
richtigen Resultaten kommen, wenn man die Differentiale nur unendlich- 
klein, aber doch größer als Null annimmt, so sagt das gar nichts; Fehler 
können sich fortheben, aber nie kann msm für ein derartiges Verfahren 
mathematische Strenge beanspruchen.'') Weun man auch die Differentiale 
gleich Null amiimmt, so hindert das keineswegs, daß man sie, etwa in der 
Zeichnung, durch deutlich wahrnehmbare Größen darstellt; wenn man sie 
aber vernachlässigt, muß man zur Grenze Null übergehen, und nur dann 
kann man schreiben a-\-dx=a.*) Nach dieser strengen Auffassung ist 

also jeder Differentialquotient, etwa , , gleich ^', dieser Bruch ^r bedeutet 

aber doch eine bestimmte endliche Zahl; denn es gibt — und das ist das 
Charakteristische an Eulers Auffassung — verschiedene Nullen. Zwar 

dx 
ist o + dx = a + dy = o + = o, aber doch ist j- eine bestimmte Zahl. 

Daß es verschiedene Nuüen gibt, folgt aus dem einfachen Beispiel 2:1=0:0; 
hier ist offenbar 2 doppelt so groß wie 1, folglich muß, damit die Pro- 
portion richtig bleibt, auch die erste Null doppelt so groß sein wie die 
zweite;*) und da allgemein n: 1 = 0:0 ist, hat man Nullen, von denen 

die eine das beliebig Vielfache der andern ist. Mag aber etwa ^ = n 

sein, so ist doch, wenn man diese beiden selben NuUen nimmt, — = 0. 
So kommt EuLER aus der konsequenten Durchführung der Annahme, daß 
die Differentiale vollkommen gleich Null sind, zu der eben skizzierten 
eigenartigen Auffassung. Inwieweit und ob sie zu Recht besteht, das zu 
untersuchen ist nicht unsere Aufgabe. 

Für uns werden diese Betrachtungen um deswillen von Bedeutung, 
weil EüLEE in Verbindung mit ihnen seine Anschauung über die Teilbarkeit 
der Materie behandelt. Hierbei werden noch einmal das Unendlichkleine 
und auch das UnendlichgroBe von einem höhereu Staudpunkt iils nur mit 
llücksicht auf ihre Verwendung in der Differentialrechnung behandelt. 



1) L. Eüi-Eu, Institutimirti calculi differentialig (Petropnü 17.55). 

2) Pi»ef. p. IX: .vocantur itaque ditfercatialia quae cum ijuantitat« destituantur; 
quae igitur soa natura ita sunt interpretanda ut onmino uolla een nihilo aequalia 
nputentur*. Ebenso praef. p. V'IIl, X. 

3) Praef. p. X: , rigor geometricus*. 

4) I'Tuef. p. XIV. 
6) p. 78. 



40 



Tbxodob Komm. 



II- 

I 



'M 



Daher erscbeinen die Erörterungen Aber die Konstitution der Mate 
gleichsam als Beweis der früheren Ausfülirungen und zugleich als Beispii 
wie in der Natur an wirklichen Körpern Unendliches und Endliches Ti 
eint ist. Eülers Auffassung ist ungefähr die folgende. ') Jede Ansicht von 
einer endlichen iVnzalü letzter Teilchen, mag man diese nun ausgedehnt 
oder unausgedelint annehmen, filhrt notwendigerweise zu WidersprücheaB 
man muß daher sagen, die Materie ist ins Unendliche teilbar. Diese Auf- 
fassung, — meint Ehler — scheint für den ersten Augenblick unverstän 
lieh zu sein, denn sie besagt, daß man mit einer Teilung nie zu einei 
Ende kommt, daß man also schließlich die ganze Materie in ein Nichi 
auflöst. So ist das al>er nicht zu verstehen. Wenn man ein endliches 
Stück Materie, etwa einen bestimmten Körper, hat, kann man es teilen^ 
und da nichts im Wege steht, kann man die TeUnng beliebig w«fl 
fortsetzen. So wird man schließlich zu Teilchen kommen, die zwar 
keineswegs die letzten, aber doch so unendlich klein sind, daß sii 
kleiner sind als jede angebbare Zahl.-) Diese Teilchen kann man 
unendlichklein und damit als Nullen ansehen.*) So hat EcLER durch 
die Wendung Null = unendlichklein = kleiner als jede angebbare Zahl 
zu zeigen versucht, wie man sich Endliches aus Unendlichkleinem, da^ 
als Null betrachtet wird, zu denken hat. f 

Ob das Verfahren berechtigt ist oder nicht, können wir hier nicht 
weiter verfolgen, so viel ist aber wohl klar, daß die beiden Definitionen 
des Unendlichkleinen, einmal als Null, dann als verschwindend klein^ 
schwerlich miteinander zu vereinigen sind. Für uns kommt eine andafl 
Frage in Betracht, das ist die: hat die hier geschilderte Anschauung vom 
Unendlichkleinen einen wesentlichen Einfluß auf die Auffassungen Et 
in der Mechanik gehabt? 

2. EuLER faßt das Unendliehkleine in der Mechanik, wenigstens sowe 
es den materiellen Punkt angeht, in doppelter Weise. Einerseits ist de 
materielle Punkt nur sehr klein im physikalischen Sinne, d. h. seine Größe 
kann unter bestimmten Umständen vernachlässigt werden. In manchefl 
Fällen jedoch reicht diese Definition nicht aus. Wenn die Masse eines 
Körpers der Anzahl der in ihm enthaltenen materiellen Punkte proportional 
gesetzt wird, dann ist der materielle Punkt zweifelsohne nur als sehr klein 
im physikalischen Sinne zu nehmen. Dann ist es sehr wohl möglich, dall 
ein Aggregat von » materiellen Punkten, von denen jeder gegenüber eineir 
Körper von f» Punkten zu vernachlässigen ist, größer ist als dieser Körper. 



1) Vgl. beBondeie p. 70—80. 

2) p. 73. 

3) p. 77: ,se(l quantitas infinite parra nil aliud est niei quantitas evana 
ideoqae reveia erit = 0'. 



Der Begriff des materiellen Punktes in der ^fecbanik des 18. Jahrhunderts. 41 



wenn nur n'^m ist. Wenn Eulek aber anderseits beliebig viele materielle 
Poxürt« .zusammenwachsen" läßt und dadurch einen neuen Punkt erhält, 
der, wie er sagt» zwar größer als die einzelnen aber doch noch unendlich- 
kl^in ist, 80 muß hier das Unendlichkleine im mathematischen Sinne 
ge^^aßt werden, denn nur dann gibt das ünendlichkleine in endlicher 
Sixnmiienmg immer wieder etwas Unendlichkleines. In dieser Annahme, 
in «dem Zusammenwachsen der Punkte und der dadurch entstehenden Ver- 
seil iedenheit trotz der unendlichen Kleinheit, ist eine deutliche Analogie 
vx der Auffassimg der verschiedenen Nullen in der Differentialrechnung 
xa erkennen. Aber doch steht die Auffassung in der Mechanik auf viel 
•clnrächeren Füßen als in der Differentialrechnung. Denn erstens hat 
Enj:R ausdrücklich hervorgehoben, daß die materiellen Punkte phvsika- 
Ueelie Gebilde seien; von ihnen konnte er also nicht ein für allemal 
belaaupten, daß sie in endlicher Anzahl vereinigt wieder etwas Unendlich- 
kleines ergeben. Zweitens aber verträgt sich die genannte Auffassung 
dui-chaas nicht mit der Definition der Masse. Wo ist der Unterschied 
is^^schen Körper und Pimkt? Hat man ein Gebilde von n materiellen 
»«Ulkten als Körper oder Punkt anzusehen? Das ist ein unlöslicher 
•^ «derspruch, der um so mehr hervortritt, als die Anschauung von dem 
Zusammenwachsen der Punkte und die Massendefinition unmittelbar neben- 
^uxanderstehen. 

Nach diesen Auseinandersetzungen, bei denen wir wieder hervor- 
gehoben haben, daß der materielle Punkt bei Ecler ein physikalisches 
"ebilde ist, ist es wohl ohne weiteres klar, daß die bei der Besprechung 
'**>' KoBstitation der Matnie erwähnten kleinsten Teilchen nicht mit den 
**t*riellen Punkten zu identifizieren sind. Man muß stet« bedenken, daß 
•^e Erörterungen über die Zusammensetzung der Materie doch wohl in'» 
"^biet der Philosophie gehören. Dafi diese Anscluunngen Ober die 
Constitution and Teilbarkeit der Malaie wirklich mehr philosophischen 
'^rakt«r haben, neigt EcLEU Ansicht von der Zusammensetxnog der 
*^**>T)er, die Körper als phTsünlisehe GebQde betrachtet, die der experi- 
•»»ejjtellen Forschung unterworfen sind; denn hier kommen wesentlich 
'^«iw« Oesiehtoponkte zur Geltung. Wir haben sach diese Hrpotbeee zn 
V'^Uen und ra sehen, wie weit sie mii der Aa£EaMiuig des materiellen 
* 'Uiktes zoBunmenliingt 

3. In einer kleinen Abhandhmg Aber die kleinsten Teilchen der Materie ') 
^Q<len wir diese AaMtkutangm im ZaMauaeahaage «ugefQhrt- EriJCR 
'"'^t«t sich hier vor vager Spdnlaüon vmi AaMeOmg ran Hjpotheseo, 
^CDen ein realer Untergrund fdilt; er stellt nur die EigouehaAea tttt, 



1} J2(«*crak» «MT le> 



fmrtiemlf de U matOrt; OptmaU (JSmtiUi 17iQ. 



42 



TaEooos KObxioi. 



1 



die sich seiner Meinung nach aus dem Wesen der Schwere ergeben: eii 
allgemeine LJisung der Frage hält er für ausgeschlossen. Das Resultat^! 
zu dem er kommt, ist kurz folgendes. Die Körper sind zusammengesetzt I 
ans kleinsten Teilen, aas Molekillen; und zwar sind Moleküle gleicher 
Größe auch gleich schwer, möge der betrefiende Körper nun Gold, Silber 
oder irgend etwas anderes sein.') Die Moleküle schließen sich nicht ^ 
lückenlos aneinander, sondern haben Poren zwischen sich, durch die der^| 
Äther frei in die Körper eindringt, so daß die Moleküle sozusagen in ihm " 
schwimmen. Die Moleküle sind aber nicht die kleinsten Teile des Körpers, 
sondern bestehen wieder aus Unterabteilungen, aus Elementen.^) Diese 1 
Element« schließen sich in den Molekülen entweder lückenlos aneinander! 
oder lassen derartig kleine Poren frei, daß nicht einmal eine so subtile 
Materie wie der Äther hindurchdringen kann. Die Hauptsache ist also: 
alle Moleküle haben dieselbe Dicht«.') Ob aber die Verschiedenheit der 
Körper herrührt von einer verschiedenen Gestalt der einzelnen Moleküle 
oder von einer verschiedenen Anordnung gleichartiger Moleküle, darüber,^J 
erklärt Eulek, könne man keinen Aufschluß geben. ^M 

Diese Anschauungen En.£K8 haben entschieden größeren Einfluß auf 
die Gestaltung des Begriffes des materiellen Punktes gehabt Der Grund- 
gedanke von der gleichen spezifischen Dichte aller Moleküle findet sich 
in der Mechanik wieder. Denn nur unter der Voraussetzung, daß die 
materiellen Punkte der verschiedenen Körper alle dieselbe spezifische Dichte 
haben, ist es möglich, die Masse mit der Anzahl der materiellen Punkte 
in Verbindung zu bringen. Allerdings ist aus der EuLEKschen Mechanik 
nicht ersichtlich, ob die gegebene Massendefinition nur für Körper ein and 
derselben Art oder überhaupt allgemein gelten soll. Weiter aber darf 
man nicht gehen. Man ist in keiner Weise berechtigt, die eben genannten 
Moleküle mit den materiellen Punkten zu identifizieren; denn außer der zu ^ 
Anfang angeführten Bemerkung, wo EriJCR von der „Natur der Körper" H 
spricht,*) findet sich an keiner Stelle der bisher besprochenen Mechanik " 
eine Äußerung über einen derartigen Zusammenhang. Aus diesem einen 
Wort aber darf man keine voreiligen Schlüsse ziehen; denn wenn ErLEB 
aus Überlegungen über die Konstitution der Körper zum Begriff des 
materiellen Punktes gekommen wäre, hätte er sicher weitere Erläuterungen 
in seiner Mechjinik nicht unerwälint gelassen, da gerade er alle Grund- 
begriffe mit breitester Anschaulichkeit darstellt und länger bei ihnen ver- 



1) p. 7-10. 

2) p. 7. 

3) p. 10: ,toute8 lei mol^culea ont la meine denBit<3* 

4) Vergl. S. 85, Anm. 2. 



Der Begriff des materiellen Piiukteg in der Mechanik des 18. Jahrhunderts 43 






^1 



weilt als alle seine Vorgänger. Aber er wnBte sehr woKl, fliili er da ein 
schwieriges Gelände betrat, auf dem einen Weg zu finden weder Experi- 
ment noch Überlegung voUkomnieu ausreichten. Vielleicht sollte geradezu 
durch das Fehlen derartiger Überlegungen angedeutet werden, daß die 
physikalische Konstitution der Körper fiir die Mechanik etwas ganz Neben- 
sächliches sei und iu ein suideres (Jebiet gehöre. Damit wird der materielle 
Punkt losgelöst von allem Zusammenhang mit den Molekülen oder Atomen 
und erscheint als ein lediglich durch die iinalytische Mechanik bedingter 
Begriff, der dazu dient, die Bewegungsgesetze zu erforschen. Das ist 
wichtig und festzuhalten. 

Die „Mechanik der starren Körper" vom Jahre 1765. Nach diesen 
etwas abschweifenden Ausführungen kehren wir zur eigentlichen Mechanik 
EuLEKs zurück, imd zwar kommen wir jetzt zu seiner „Mechanik starrer 
oder fester Körper."*) Sie ist im Jahre 1765 erschienen, wenn sie auch 
;hon einige Jahre vorher fertiggestellt war; sie stammt also aus einer 
'Wesentlich späteren Zeit als die beiden ersten Bände und auch als die 
Differentialrechnung und die Untersuchungen über die kleinsten Teilchen 
der Materie. Wir haben jetzt zu prüfen, ob sich die Auffassung des 
materiellen Punktes geändert hat, und ob etwa auf diesen letzten Teil der 
Mechanik die vorher genannten Untersuchungen einen wesentlichen Eintiiiß 
gehabt haben. 

Aus dem späten Erscheinen dieses letzten Werkes erklärt es sich, 
daß es ein abgeschlossenes Ganzes für sich bildet, obwohl es die Fortsetzung 
der beiden früheren Bände ist. Aus demselben Grunde wird ferner die 
ziemlich ausführliche Wiederholung der Betrachtungen über die Mechanik 
<T Punkte verständlich. Der in der Vorrede zum ersten Bande aus- 
sprochene Gedanke, daß die Mechanik der materiellen Punkte „fiinda- 
mentum et praecipua pars totius mechanicae" sei, wird hier aufs neue hervor- 
gehoben. Vor allem aber sind die früher oft zerstreuten Ausführungen 
vereinigt, und die jetzt gegebenen Entwickelungen sind von einem einheit- 
lichen Gedanken beherrscht. Wir werden uns im folgenden bemühen, nur 
das wesentlich Neue hervorzuheben. 

1. Vor allem ist zu bemerken, daß in der Mechanik der starren Körjier 
der Massenbegriti' mit aller Entschiedenheit in den Vordergrund gestellt 
wird. Die Masse eines Körpers und damit seine Trägheit und Undurch- 
dringlichkeit sind die Grundaiinahmen, auf denen sich die Betrachtungen 
Mufbaueo. ^) Das Hervorheben eines grundlegenden Prinzipes und das 



1) L. Ertra, Theoria moUis corpontm solidofum seit rigidorum (Rostock und 
Oreifiwald 1765; zweite Ausgabe 1791). 

2) NVoLFnu geht in der Vorrede zu seiner IMiersetzuug des dritten Bandes 
(üreifrwald 1848J tu weit, wenn er behauptet, daiS in den früheren beiden Bünden 



44 



Tbeodok Körssb. 



I 



ßestrel)en. mit allen Betrachtungen die Bewe{2;ung endlich ausgedehnTer 
Körper, wie sie in der Natur wirklich vorkommen, Torzubereiten, hat für 
den Begriff des materiellen Punktes zweierlei zur Folge. Erstens tritt er 
in der Darstellung mehr zurück, und zweitens gewinnt er noch mehr tax] 
physikalisch-konkretem Aussehen. Waren im ersten Bande die Anfangs- 
betruchtungen, wo der materielle Punkt nur als Symbol, als multiplikative 
Konstante in die Rechnung eintrat, hauptsächlich auf mathematische Über- 
legung gegründet, so tritt er uns jetzt fast ausschließlich als physikalisches^H 
Gebilde von unendlichkleinen Dimensionen entgegen. Dadurch aber, daß^^ 
alle physikalisch-philosophischen Erörterungen und alle Spekulationen über 
den Zusammenhang des materiellen Punktes mit den Atomen oder Molekülen 
des Köi^jers auch hier fehlen, gewinnt die Darstellung ein abgeschlossenes 
und berechtigtes Aussehen. Nur ganz vereinzelte und im Zusammenhange 
versteckte Bemerkungen erinnern einen aufmerksamen Leser an den alten^J 
Widersprach zwischen mathematischer und physikalischer Auffassung, so, ' 
wenn es heißt: ..die Bestimmung der Lage der Punkte ist eine geo- 
metrische",') und gleich darauf von denselben Punkten: ..hierbei kommt 
es nicht darauf an, ob man solche Punkte für Elemente des Körpers halten 
kann oder nicht",') oder an einer anderen Stelle: ..auf ähnliche Weise 
steht nichts im Wege, die Punkte A, B, C, D, auf welche ich die Lage 
des Punktes bezogen habe, als reelle anzusehen, da sie Grenzen 
sind, welche in wirklichen Körpern existieren".') Dabei ist natürlich die 
Berechtigung dieses Grenzüberganges von den physischen zu den mathe- 
matischen Pimkten mit keinem Wort bewiesen. Aber abgesehen vo 
solchen ganz vereinzelten Bemerkungen ist die einmal gewählte Formu' 
lierung konsequent durchgeführt. 

Auch die Ausdrucksweise zeigt die mehr physikalische Fassung; 
Sprach EüLER früher hauptsächlich von ..Punkten", so gebraucht er jetzt 
meistens .,Element des Körpers" und „körperlicher Punkt". ^) Diese Worte 
zeigen schon, daß wir uns von den abstrakten Punkt he wegungen nunmehr 
mit schnellen Schritten mehr konkreten Problemen, der Mechanik der 
festen Körper nähern. 






cud^H 



der Begriff der Masse überhatipt nicht vorkam; wie wir erwähnt haben, bat Ei 
schon damals die Masse eingeführt und sogar ausdrücklich definiert. Vgl. S. 36 An- 
merk. 3 und 4. J 

1) p. 4: .cum haec situs cniuacunqne puncti determinatio est geometrica". *, 

2) p. 5: ,neque hie interest, utrum talia puncta pro corpomm elementis baberi 
possnnt necne*. 

8) p. ö : „simili modo ea puncta A, B, C, D, ad quae situm pnncti retuli, realitati 
minime repngnant, cum sint tcrmini in veris corporibus eristentes*. 
4) .Elemcutum corporis, punctum corporeum' p. 32, 34, 43 etc. 



Der Bogriff de« materiellen l'unktes in der Mechanik des 18. Jahrhimderla. 45 



2. Die Überleitung vom Punkt zum Körper vollzieht sich ohne 
Schwierigkeit: „wir werden daher einen Körper als einen sturren betrachten, 
wenn die Verbindung seiner Teilchen hinreichend fest ist, so daß nicht 
einmal zwei Elemente durch die Kräfte, welche er wirklich anszuhiilten 
hat, einander genähert oder voneinander getrennt werden können".') Das 
ist 80 kliir, daß es keiner weiteren Erörterung bedarf. Die translatorischen 
Bewegungen erledigen sich durch ihre Zurückfiihrung auf Punktbewegung. 
Aber auch bei der Rotation sucht EuLEß immer wieder auf den Orund- 
begrifl". auf den materiellen Punkt, zurückzukommen. So denkt er sich 
den Körper in unendlich viele Scheiben zerteilt*) und dünn die Masse 
jeder Scheibe in ihrem Schwerpunkt konzentriert. Am deutlichsten zeigt 
ich dies schrittweise Vorgehen vom Einfachen zum Zusammengesetzten 
ei der Bewegung beliebig gestalteter Körper. Da untersucht er zuerst 
„einen dünnen, geradlinigen Faden",') dann einen „kreisförmig gekrümmten, 
»ehr dünnen Faden",'*) und drittens eine „sehr dünne, ebene, dreieckige 
Scheibe".*) Der Grund für dieses Verfahren ist klar und wird von 
ErLER selbst mit den Worten angegeben: „weil man sehr diLone Fäden 
und Scheiben als Linien und Oberflächen betrachten kann".'') Die Be- 
rechtigung dieses Verfahrens wird hier, ebenso wie vorher beim mate- 
riellen Punkt nicht bewiesen. Wollen wir uns ülierhaupt die Ansicht ver- 
gegenwärtigen, die EiLEK von der Methode, die Bewegung endlicher 
Körper zu behandeln, hatte, so tun wir das am besten mit seinen eigenen 
Worten: „Soll man die Bewegung eines beliebigen starren Körpers be- 
immen, so zerlegt man die ganze Untersuchung bequem in zwei Teile, 
einen geometrischen und einen mech.inischen". ') Das klingt sehr einfach, 
und ißt es auch, allerdings muß doch wohl, um ganz streng zu sein, die 
Berechtigung dieser Trennung nachgewiesen werden. 

Der leise Widerspruch zwischen physikalischer nud mathematischer 
Formulierung, der trotz aller Konsequenz der (rrundauffassung hin und 
wieder durchklingt, findet sich auch iu d»>n für den materiellen Punkt ver- 



li p. 130: .corpus igitur u( rif;idiini spcctabimu«, rjunudu ucxiih intcr eins partes 
«atis est linnaa, ut ne duo quidem eleinenta a viribus, quao actu sustinet, vcl |>ropius 
•d M inviceni cogi vel longius a se invicem divelli queunt*. 

2) p. 159—160. 

8) p. 184: ,8i corpus ftierit filum tennissimuni rectum*. 

4) p, 185: ,Bi corpus fuerit Kluui teuiiiBsimum in peripheriam circuli inourvatum.' 

5) p. 185: .si corpus fuerit lauiiua tenuissima plana triangiilaria." 

6) p. 188 — 184: ,quoniam tila tenuissima et laminas tcnuiseimas t«mquaui iineas 
■nperficieg considerare licet*. 

7^ Diese Anmerkung ist der OhersotKimg von Wolfeb« p. 557 entnommen, der 
^W swcite Ausgabe vom Jahre 1791 zugrunde gelegt hat, sie fehlte in der von uns 
bsnntctcn lateinischen Ausgabe vom Jahre 1766. 



46 



TlIKODOH KÖBaKM. 



«ZU ein 
sinzig<^H 

rerseit^H 






wandten Ausdrücken wieder. Wir haben da. wenn wir an dieser Stelle" 
alle in den drei Bänden verwandten Worte zusummenfussen, zu nennen; 
„punctum", „particula". ..minima particula", ,.corpusculum'', ..piinctum 
corporeum'*, „elementum corporis". Schon die Vielheit und Verschiedenheii 
der Ausdrücke lUßt vermuten, daß auch die Sache nicht ganz in Ordnunif' 
ist. Denn wenn sich bei einem Forscher ein Begriff, und noch dazu ein_ 
Grundbegriff klar kristallisiert hat. so pflegt dieser auch eine el 
konsequent durchgeführte Bezeichnung dafür einzusetzen; und andererseit 
wenn die Bezeichnung schwankend ist, wird man yermuten, daß der Be-"' 
griff noch unbestimmt ist, „denn eben, wo Begriffe fehlen, da stellt ein 
Wort zur rechten Zeit sich ein". Und nicht nur die Vielheit des Aus- 
druckes, auch die Art der Bezeichnung bestätigt imsere Vermutung. Sehen 
wir uns einmal Anfang und Ende unserer Heihe an, da stehen sieh 
„punctum" und „elementum corporis" gegenüber; beide erwecken bei dem 
Unbefangenen ganz verschiedene Vorstellongen, das erste eine mathe 
matische, das zweite eine physikalische. Und femer überwiegen die Aua 
drücke physiltalischer fiestaltung weitaus. Daher hat man, wenn mm 
diese Auseinandersetzungen gelten lassen will, auch eine formale Be- 
stätigung unserer sachlichen Beweisführung. ij 
Portschritt. Damit haben wir unsere Ausführungen über die EuLERscha 
Mechanik beendet; wir haben gezeigt, daß die Betrachtungen der Differential- 
rechnung und ebenso die Untersuchung über die kleinsten Teile der MaterU 
auch für den dritten Band der Mechanik keinen wesentlichen Einflnss aut 
die Gestaltung des materiellen Punktes gehabt haben; und zweitens sahen 
wir, daß die konkret-physikalische Auffassimg auch hier die Torherrschend^f 
war. Der materielle Punkt dient nur dazu, die Bewegungsgesetze zu ei^ 
forschen; er ist zwar ein bestimmtes physikalisches Gebilde, steht sonst aber 
in keinem Znsammenhange mit anderen, etwa im Körper vorkommenden 
Elementen. Das ist ein Gegensatz zu Newton und seinen Schülern; bei 
ihnen war der materielle Punkt teils gleich den Atomen, teils aus ihnen 
hervorgegangen. So schemt Eui.ers Auffassung auf den ersten Blick 
einen Rückschritt zu bedeuten, da der Zusammenhang mit der wirklichei^^ 
Gestaltung der Körper verloren geht. Wenn man aber bedenkt, wie geteilt 
die Meinungen über die Konstitution der Materie sein können, und welche 
Schwierigkeiten bei einer Identifikation von Atom und materiellem Punkt 
entstehen können, so wird man der En,ERschen Auffassung zuneigen. 
Eitler hat, von Fontaine abgesehen, zuerst den materiellen Punkt als 
einen nur durch die imalytische Mechanik bedingten Begriff erfaßt, mit 
dem man in der Erforschung der Bewegungsgesetze zu richtigen Resultatei^H 
kommt. Dabei hat er. wieder nächst Fontaine, die konsequenteste Auf- 
fassung des in Frage stehenden Begriffes von allen bisher besprochene 






Der Begriff des materieUen Punktes in der Mechanik des 18. Jahibunderts. 47 

Aotoren gehabt. Eulerb Anschauimg läßt sich knrz dahin präzisieren: 
der materielle Punkt ist ein von allen physikalischen und philosophischen 
Spekulationen losgelöster Hillsbegriff der analytischen Mechanik; er ist 
aufzufassen als ein körperliches Element von so kleinen Dimensionen, daß 
PT in der Rechnung als mathematischer Begriff zu verwenden ist. Die 
mit diesem Begriff auf geometrischem oder analytischem Wege gewonnenen 
Gesetze bilden die Grundlage der gesamten Mechiinik. Das ist in wenigen 
Zeilen der Kern all der Erörterungen, die wir im vorhergehenden ge- 
geben haben. 

Mit dieser Auffassung ist eine neue Entwickelung in die Bahnen ge- 
leitet, die wir nun bei den beiden nächsten Autoren, d'Alembert und 
Laobange, weiter zu verfolgen haben. 



lY. Die Zeit nach Euler. 

D'Alembert. Die von EuLER zuerst im weitesten Umfang angewandte 
analytische Methode stellte der Folgezeit die Aufgabe, die Ansätze, die 
man gemacht hatte, zu vervollkommnen und zu verbessern. Daher sehen 
die folgenden Autoren die Mechanik in erster Linie als eine Disziplin der 
sich immer mehr entwickelnden Analysis an. Hand m Hand mit dieser 
Auffassung geht naturgemäß eine Vernachlässigung der spezifisch mecha- 
nischen Probleme und speziell eine Vernachlässigung der kritischen Be- 
trachtungen, die sich auf die Grundannahmen beziehen. Die Prinzipien der 
Mechanik werden als etwas Gegebenes und Selbstverstiindliehes hinge- 
nommen, an deren Richtigkeit man nicht zweifeln kann. Infolgedessen 
können wir uns bei ii'Alemhert kurz fassen. 

1. Die Grundlage seiner 1743 erschienen Dynamik *) sind Betrach- 
tangen über den Punkt. Für den materiellen Punkt tritt durchweg der 
Ausdruck ..corps" auf, der überhaupt von den französischen Autoren mit 
Vorliebe gebraucht wird. Wir werden im .allgemeinen nicht fehl gehen, 
wenn wir uns einer Anmerkung anschließen, die Korn in seiner Über- 
setzung gibt: „d'Alembert denkt bei seinen Körpern stets an das, was 
wir einen materiellen Punkt nennen'',') doch bedarf dies „stets" einer 
kleinen Einschränkiuig, denn i>'Alembekt gebraucht das Wort ,.corps" 
anch wirklich im Sinne eines räumlich ausgedehnten Körpers, allerdings 
gibt er dann meistens ein Beiwort und spricht von einem „corps pesant" 
oder „Corps inflexible", oder sagt direkt „corps d'ime masse finie".*) 



1) D'AunaniT, Traut de <h/namique (Paris 1743). 

2) OswAU)! Klassiker der exacten Wisseuschafton, No. lOS, p. 187, No. 7. 
Wir aitieren im folgenden die deutseben Stellen nach dieser Übersetzung. 

3) Z. B. p. 43, Ol II. a. 



48 



TOEODOU KÜBXIUI. 



g9 




Der Unterschied zwischen mathematischer und physikalischer Fassui 
tritt bei d'Alkmhkkt weniger hervor. Doch rührt dies nicht her von 
einer logischen Verbindung beider Teile, sondern von einem ünerwähnt- 
lassen der Schwierigkeiten und der möglichen Auffassungen überhaupt. 
Die Stellen, an denen n'ÄLEMBERT über den Begriff des materielle 
Punktes spricht, sind äußerst selten. Auf Seite 166 lesen wir eLnmal, da 
man sich den ..Körper'^ nicht als mathematischen Punkt sondern als Ga 
bilde von bestimmter, wenn auch unendlich kleiner Ausdehnung voraa-' 
stellen habe;') der materielle Punkt ist also ein physischer Pu 
Dagegen steht an einer anderen Stelle eine Auffassung, die wir zum Te| 
zuerst bei En>ER fimden. daß nämlich die mechanischen Aufgaben „Pro 
bleme sind, welche mindestens in demselben Maße der Geometrie angehören 
wie der Mechanik, und in denen die Schwierigkeit eine rein rechnerische 
ist, vorausgesetzt, daß der bewegte Körper als ein Punkt betrachtet wird" 
Hier also ist der materielle Pimkt wieder vollkommen ein mathematischer" 
Begriff. Eine Vereinigung oder auch nur eine Besprechung beider Au{^^ 
fassungen findet, wie gesagt, nicht statt. ^M 

Erwähnen wir hier, um die formale Seite zu erledigen, die Ausdrücke, 
die neben „corps" mit „materieller Punkt" übersetzt werden dürfen, so sind 
es „corpuscule", „corps dune etendue infiniment petit«", „partie", „parti- 
cule", „Clement", „point"; man sieht, es ist wieder eine ziemliche Anzahl 
vorhanden, die man der größeren Deutlichkeit wegen gerne ])eschränkt sähe. 

2. Die Überleitung vom Punkt zum Körper geschieht in einer mehr 
mathematischen Weise, wie wir sie zuerst bei Fontaike gefunden hatten; 
der materielle Punkt erscheint nicht sowohl als Element des Körpers als 
vielmehr der Körper als Aggregat von Puakten. d'Ai.embeut denkt sich 
erst zwei, drei oder mehrere Punkte miteinander verbunden, sei es durch 
Fäden oder unbiegsame Stäbe ;"*) d. h. die Punkte können entweder ihren 
Abstand zwar verkleinem aber nicht vergrößern, resp. die Punkte müssen 
in konstanter Entfernung lileiben. Lassen wir im letzten Falle die An/.uhl 
der Punkte über alle Grenzen wachsen, so ist der starre Körper ferti^^ 
Klar ausgesprochen ist dieser letzte Satz bei d'Alejibert allerdings nicht, 
doch liest man ihn zwischen den Zeilen. Immer aber wird, wenn irgend 
möglich, auf den Punkt zurückgegangen. So wird z. B. der Satz von der 
Erhaltung der lebendigen Kraft*) zuerst bewiesen für frei bewegliche Punkte, 



1) p. 253: »imaginong d'abord deiix corps A, B d'une etendue infiniment petite*- 

2) p. 26: .... Bont des problemes qui appartiennent pour le moing autant ü !• 
geom^trie qu'ä la m^cauique et dans laquelle la difficult« n'oet que de calcul, pou 
que le mobile soit regarde comme un point*. 

3) Z. n. p. 96: .des corps qui se tiient par des tils ou par de« verges*. 

4) p. 269 ff. 



Der Begriff des mftterielleu Punktea in der Mechanik des 18. Jahrhunderts. 49 

dann für Punkte, die durch Fäden oder Stäbe miteinander verbunden 
sind, schließlich für Punkte, die durch Federn vereinigt werden, d. h. für 
elastische Körper. Die nilgemeine Voraussetzung ist hierbei immer, daß 
man sich die VerbLndungen mnssenlog zu denken habe. 

Ebenso wie di« festen Körper denkt sich d'älembeut die Flüssig- 
keiten in kleinste Teile zerlegt und, analog den früheren Autoren, betrachtet 
auch er materielle Punkte und, wie wir sie genannt haben, materielle 
Flächen: „wir wollen hierzu die Flüssigkeit in gleiche und unendlich- 
kleine Scheibchen zerteilt denken"'. ') Prinzipiell Neues kommt jedoch hier 
nicht hinzu. 

Erwähnen können wir vielleicht noch, daß der materielle Punkt, so- 
bald er als Flüssigkeitspartikel auftritt, ein mehr physikalisches Aussehen 
gewinnt. Überhaupt ist die noch unentwickelte Theorie der Fl(5ssigkeiten 
die Hauptursache der physikalischen Oestaltimg des materiellen Punktes. 
Anders wird es schon in der Mechanik fester Körjier; die Körper treten 
ans in der Darstellung immer mehr als mathematische Hebilde denn als 
konkret-physikalische Gegenstände entgegen. Ihre Eigenschaften werden 
jedrückt durch bestimmte Festsetzungen, die zwischen den materiellen 
ikten existieren, und daraus sich ergebend durch Bedingungsgleichungen, 
denen sie bei ihrer Bewegung gehorchen müssen. Der materielle Punkt 
wird dabei immer mehr zum mathematischen Hilfsbegriff, der das physi- 
kalische Gewand, das EcLER ihm noch gegeben hatte, abzustreifen beginnt. 

Lagrange. LAtJlUN'fiEs Auffassung vom Begriff des materiellen Punktes 
bedeutet den Abschluß der Entwickelung, deren Anfang wir bei Ei'LEK 
gefimden hatten. Euler, d'Alemiiert und Laoranoe fassen den mate- 
riellen Punkt als Hilfsbegriff der Mechanik, ohne seinen Zusammenhang 
mit anderen Gebieten, sei es Physik oder Philosophie, weiter zu berück- 
sichtigen. Herrschte bei Euler weitaus die physikalische Gestaltung vor, 
war bei d'Alejihert ein Schwanken zwischen nuithematischer und 
pliysikalischer Auffassung zu veraeichnen; Lamraxoe schließlich voll- 
endet die Entwickelung und fußt den materiellen Punkt rein als mathe- 
matischen Hilfsbegriff. Dies rührt in erster Linie von der immer stärkeren 
Verwendung der Analysis her. Noch mehr als bei seinem Vorgänger 
d'Alembert gilt bei LAftRANfiE der Satz, daß die Mechanik eine Domäne 
der Analysis ist. Die Schwierigkeiten sind nicht sowohl mechanischer als 
mathematischer Natur; es gilt vor allem, einfache und zusammenfassende 
Formeln zu finden und aus ihnen elegante Lösungen für die Spezialfälle 



1) p. 271 : ,nou8 imaginerons le fluide partag^ en tranches Egales et infinimeut 
pttites*. Vgl. auch u'Alkmbeht, Traiti de l'equilitrre et du mouvemtnt des fluidei 
„ (Paris 1744), z. B p. 12, 19 etc. 
ft KbUotlicoa Matbematica. m. Folge. V. 4 



50 



Tbsodor KüRXKa. 







abzuleiten. In der Vorrede zu seiner Mechanik') spricht Laoram 
deutlich ans, daß er sogar geometriBche Beweise und daher auch 
Zeichnungen vermeiden und sich ausschließlich auf „Operations algebriques",' 
d. h. auf analytische Entwickelungen beschränken woUe. 

1. Gehen wir nun zur eigentlichen Besprechung seiner Mechanik, so 
scheint ein flüchtiger Überblick gerade das Gegenteil von dem eben Vor- 
gebrachten zu zeigen. Denn sieht man sich die Ausdrücke an, die 
^.materieller Punkt" zu übersetzen sind, so findet man: „point", „point 
la masse", ,,particule du corps'', „partie materielle", „particule", „corps' 
„element", „molecule'', „partie", „corpuscule". Man sieht, die ganze Reihi 
der verschiedenen Nuancierungen ist durchlaufen: vom rein abstrakt«n 
„point" bis zum ganz konkret klingenden „molecule". Diese Vielheit des 
Ausdruckes scheint auf ein Schwanken in der Auffassung hinzuweisen, 
von einer rein mathematischen bis zu einer extrem physikalischen. Dem 
ist jedoch nicht so. Alle die genannten Ausdrücke bedeuten sachlich 
selbe; der Begriff des materiellen Punktes ändert sich nicht, wie 
auch der Ausdruck dafür wechselt. Diese Konstanz der Auffass 
zeigt sich nicht nur in der Mechanik, sondern auch in den 1773, 1781 
und 1783 in den Memoiren der Pariser Akademie erschienenen Arbeiten 
über Mechtinik, deren besondere Besprechung sich damit erledigt. Aller- 
dings rührt die einheitliche Fassung nicht her von einer bestimmten 
Definition und einem strikten Festhalten an derselben, sondern, ähnlich 
wie bei n'ALEumF.RT, von dem Fehlen jeder Definition und besonders von 
dem Fehlen aller Ernrtpriingen über den materiellen Punkt selbst. Nirgends 
finden sich Auseinandersetzungen, ob man sich den materiellen Punkt 
mathematisch oder physikalisch vorzustellen habe; er tritt uns als ein 
nicht weiter definierter Begriff entgegen, dem im Körper ein beliebig 
geformtes Massenquantum entspricht. Die festen Körper sind Anhäufungen 
solcher Punkte,') zwischen denen bestimmte Bedingungsgleichungen stati 
haben. In der Hydrostatik und Hydrodynamik gilt das Gleiche. LaoraxoB' 
spricht zuerst die schon bei Newton konstatierte Anschauung klar aus, 
daß die Mechanik der Flüssigkeiten keine besondere Theorie erfordert, 
sondern sich der Mechanik der festen Körper nebenordnet.*) Daß di^ 
früher verwandten Uüfsmittel, wie Zerlegung in Scheiben, Konzentration 
in dem Schwerpunkt usw. sich auch bei Lacjkange finden, ist selbst- 
verständlich. 



1) Laousqr, Mieanique analj/tique (Parü 1788). 

2) Siehe AvertiBsement I 

3) Z. B. p. 80, 286 etc. 

4) p. 174. 



Der Betriff des materiellen Punktes in der Mechanik des IS. Jahrhundert«. 51 



Damit ist alles gesagt, was über die Verwendung des materiellen 
Punktes zu sagen ist. Zu erwähnen ist noch eine Stelle, die wichtig ist, 
weil sich hier, der dann allgemein gewordene Ausdruck „materieller Punkt*' 
zum erstenmale explizite findet: „Ein Körper von beliebigem Volumen 
und beliebiger Gestalt ist also nur eine Anhäufung ron materiellen Teilen 
oder materiellen Punkten". ^) 

2. Wir haben uns jetzt zu fragen, wie der Begriff des materiellen 
Punktes bei Lagk.^nc.e definiert werden kann. Die Antwort auf diese Frage 
wird sich schwer aus der analj'tischen Mechanik selbst ergeben, denn nirgends 
findet sich, wie schon erwähnt, eine klare Definition noch eine Aus- 
einandersetzung über den Begriff des materiellen Punktes. Wir kommen 
aber zu einem Hesultate, wenn wir uns vergegenwärtigen, welche Ansicht 
LACRANdE allgemein von der Verwen(iung der Infinitesimalrechnung hatte; 
denn wir werden sehen, daß sich iius dieser Auffassung der Begriff des 
materiellen Punktes ergibt. 

Will man Ditferentialrechnung anwenden,*) so muß man nach LAfJUANOE 
die geometrischen imd mechanischen (iebilde in uneniUichkleine Elemente 
derselben Gattung zerlegen wie die ganzen Gebilde, also Linien in Linien- 
elemente, Oberflächen in Oberflächeneleuicate, Körper in Körperelemente, 
Museen in Massenelemente. Es ist falsch, aus Anhäufung von l^unkten 
ausgedehnte Gebilde erzeugen zu wollen. Die Punkte entsprechen den 
Differentialen von Evlek, die Massenelemente aber den von NuU ver- 
schiedenen Differentialen. 

Der ,,point materiel" ist bei Laouange also nicht in dem Sinne von 
FONTAIÄE aiifzufassen als ein Gebilde, „dont le lieu et le volume est un 
point", sondern als ein kleines knrjierliches Element. Deshalb tritt zum 
Ausdruck point auch meistens ein anderer, erklärender biuzu, so z. B.: 
„wir betrachten die Körper endlicher Masse als Anhäufungen von unend- 
lich vielen Punkten oder kleinen Körperchen". ^) Am deutlichsten tritt 
der Zusammenhang zwischen der Auffassung vom Begriff des materiellen 
Punktes und der Verwendung der Differentialrechnung aus folgender 
Stelle hervor: „ich bemerke hierzu, daß man die gegebene Masse nicht 
betrachten muß als eine Anhäufung von unendlich vielen zusammen- 
hängenden Punkten, sondern vielmehr, geniüß dem Sinn der Infinitesimal- 



l) p. 80: ,or un coq)g d"un volume et d'une figure qnelconque, n'iStant qua 
rsMemblage d'nne inünite de parties on poititi viatirieW. Diese Bemerkung zeigt, 
risB Bicb die AufiassBung von A. Vo*g, Encyd, d. math. Wias. IV: I p. 24, Anm. HO: 
«LAOKAiinK kennt die Bezeichnung .materieller Punkt* noch nicht, ... * nicht halten läßt. 

'i'i Vgl hierzu Laoranoe, Thiorie den fonctions {Oeuire» t. \)), lutroduotion. 

ü\ p. 80: .coDsiderer le« corpg de maue finie comme des aisemblages d'nne 
infinite de points on corpuscules.* 



52 



TnSODOB KÜKXSB. 



rechnmtg, sie ansehen muß als eine ZuBatnmensetzung Ton unendlichMeini 
Elementen, die von derselben Größenordnung sind wie die ganse Masse"'. * 
Der materielle Punkt ist also nach Laorange ein Körper-, ein Masse 
element. 

Mit dieser Auffassung ist jedoch keinerlei Aussage über eine etwaig«' 
Zusammensetzung der Körper gemacht; die physikalische Konstitution der 
Materie kommt gar nicht in Betracht. Denn sieht man sich einmal die 
Ausdrücke an, die verwandt sind, so bemerkt man sofort, daß z. B. 
„molecule", „corpuscule", „partie materielle" stets dasselbe bedeuten, daß 
also „molecule" nichts mit dem zu tun hat, was man gewöhnlich unter 
Molekül versteht. Femer meint Lagkanoe, man dürfe sich einen Körper, 
je nach der zu behandelnden Aufgabe, in ganz beliebige Elemente teilen: 
so denkt er sich z. B. einmal eine Flüssigkeit in lauter rechtwinkelige 
Parallelepipeda zerlegt, deren Seiten den Azen X, Y, Z parallel sind 
Dies Vorgehen ist offenbar nicht erlaubt, wenn die „points materiels" in 
irgend einen Zusammenhange ständen mit etwa im Körper wirklich 
existierenden kleinsten Elementen. Daraus geht also klar hervor, daß der 
materielle Punkt bei Lagrange nichts weiter ist als ein Begriff, der durch 
die Methode der Differentialrechnung erfordert wird. Der materielle Punkt 
ist zu verstehen als ein Massenelement, dessen Größe, (iestalt und Ver- 
wendung zu bestimmen aber einzig und allein in dem Ermessen d( 
Analytikers liegt. 

So ist hier die bei Euler einsetzende Entwickelung vollendet, di 
den materiellen Punkt als mathematischen Hilfsbegriff faßt. 



Laplace. Lai'I.^C'K, der letzte große Mathematiker des 18. Ja 
hunderts, steht im scharfen Gegensatz zu seinem unmittelbaren Vorgang! 
Lagranoe. Die Fassung des Begriffes des materiellen Punktes ist bei ihi 
hervorgewachsen aus der konsequenten Anschauung einer atomistischen 
Konstitution der Materie: der materielle Punkt ist, mit einem Wort gesagt, 
gleichzusetzen den wirklich im Körper existierenden Teilchen, mag man 
sie nun Atom, Molekül oder sonstwie anders nennen. Zugleich aber ist 
stillschweigend die Voraussetzung gemacht, den so definierten Punkt 



I 

'4 



1 



1) p. 81 : ,je remarque ennuite, qu'au lieo de consid^rer la masBe donn^e comine 
nn »Ksetulilage d'une infinite de point» contigns, il faudra, aiiicant l'esprü du caJcul 
infiniUtiinal , la consideror plutöt comme composee d'ilcmens inßnimerU petita, qui 
soient du mcme ordre de dimension qtie la masse etttiere". M 

2) p. 188: «qu'on Buppoee la fi^re de cette particulc tine paralk'lipcde rectangn- 
laire, dont lea cA(^ sont paralleleB aux nxea des x. y, z; cette eappositioD est trö« 
pennise, pnisqu'on peut imaginer le fluide partagiS en el^mena inüniment petita d'u 
üguxe quelconque* 



Der BejfrifF des nisterioileri Punktei iu der Meuhanik de» 18. Jafarhunderts. 53 



) 

I 



der Rechnung als mathematischen Begrifi" zu verwenden. Eine Erklänmg 
hierfür fehlt; es felilen auch aUe die beiläufigen Bemerkungen, duB man 
sich den materiellen Funkt luilil als mathematischen, hald als ph^'siBchen 
zu denken habe. Die beiden Gegensätze stehen sich schroff gegenüber. 

Gleich auf der ersten Seite seiner „himmlischen Mechanik"') tritt uns der 
zuerst von LA<ii{AJjOE an einer Stelle gebrauchte terminus „point materiel" 
ohne jede Erklärung entgegen. Die Körper bestehen aus einer unendlichen 
Anzahl von materiellen Punkten ; ihre V^erschiedenheit erklärt sich aus 
einer Verschiedenheit der Lage, eventuell einer wesentlichen Verschieden- 
heit der Punkte.-') Doch sind derartige Erörterungen für die Mechanik 
belanglos, für sie genügt es, wenn die beiden Annahmen gelten, daß zwei 
materielle Punkte, die mit gleicher Geschwindigkeit aufeinander stoßen, 
im Gleichgewicht sind, und zweitens, daß für sie das NEWTONsühe Attrak- 
tionsgesetz gilt.') 

Sind 80 alle materiellen Punkte als gleich angenommen, ist es erklär- 
lich, wenn die Masse eines Körpers einfach der Anzahl der materiellen 
Punkte gleichgesetzt wird,') und analog die Dichte gleich der Zahl der 
Punkte in einem bestimmten Volumen.*) 

Aber seltsamerweise verschwindet der Ausdruck „materieller Punkt", 
der im Anfang unumschränkt herrscht, ohne jemals durch andere Bezeich- 
nungen ersetzt zu werden, nach den ersten 40 Seiten vollkommen. Auf den 
noch folgenden etwa 20Ü0 Seiten tritt an seine Stelle das Wort „molecule". 
Doch ist glücklicherweise dieser Wechsel nur ein Wechsel im Ausdruck, 
nicht in der Sache; dadurch daß das „molecule" in alle Rechte des „point 
materiel" eintritt, bleibt alles beim alten. Laplace hat diesen Wechsel 
wohl vorgenommen, um auf djis deutlichste zu zeigen, daß der materielle 
Punkt eben ein ganz bestimmtes, konkretes Element ist; andererseits aber 
schließen sich an das „molecule" auch die physikalischen Erörterungen, 
die er gerne gibt, zwangloser an. 

Bei den flüssigen Körperu tritt zu den beiden oben erwähnten An- 
nahmen noch die hinzu, daß die Moleküle frei beweglich untereinander 
sind.') Aber auch die gasförmigen Körper muß man sich analog vor- 
stellen, auch sie bestehen aus einer unendlichen Anzahl von Molekülen. 
Ganz interessant ist hier, um ein Beispiel zu geben, die Anschauung, 



1) lurUkCK, Mieaniqite eikste (Paris 1799). 

2) 1, p. 87. 
8) I, p. 37. 

4) I, p. 36: ,1b maese d'un corps est le nombre de ses poiiits materiels'. 

5) I, p. 37: ,1a deositä des corps dopend du uombre des points materiels qu'ils 
t«nfemieut sous un volume dound'. 

6; Bd. II, p. 216, 222 n. a. 



Tbiodob KSbitck. 



'^ 



die sich Laplace macht, wenn verschiedene Gase zusammentreffen. Denken 
wir uns etwa drei (lase. die sich im Verhältnis 1:2:3 mischen. Um die 
Bewegung dieses Konglomerates zu erforschen, betrachtet man ein Molekül^^ 
dann sind in diesem Molekül wieder alle drei Oase vereinigt, and zwi^| 
im Verhältnis 1:2:3.') Laplace denkt sich also — wenigstens für die 
mechanische Behandlung — die (iase, wenn wir uns einmal so ausdrücki 
dürfen, nicht als Gemenge, sondern als Verbindung. Eine weitere 
klärung wird nicht gegeben, wohl aber erwartet Laplace, daß einst <lie 
Chemie auf diese feinsten und subtilsten Fragen Antwort geben werde.*) 
Das ist die Ansicht von Lai'I^ce. Der Begriff des materiellen Punktes 
wird durch eine ganz bestimmte Formulierung eingeführt und erweist seii^H 
Berechtigung dadurch, daß man mit ihm zum Ziele kommt. Irgend welch© 
Diskussionen über ihn fehlen vollkommen. Man kann über diese Art 
und Weise der Darstellung zweierlei Meinung sein: man bedauert, daß 
eine solche Grundunnahme ohne jede Diskussion oder auch nur Erklärung 
gemacht wird, zumal wenn man von ihrer inneren Berechtigung nicht 
überzeugt ist; oder man erklärt., daß es das Vernünftigste ist, in den ex- 
akten Wissenschaften solche Prinzipien, über die man zu einer objektive^! 
Entscheidung doch nicht gelangen kann, einfach als Axiome einzuführen. 
Wir stehen auf dem ersteren Standpunkt imd müssen daher LAPiJkCEs 
Auffassung als einen gewissen Rückschritt gegenüber der Entwickelung 
EuTjER, p'Alembert, Laqra>(OE bezeichnen. Andrerseits darf man di^| 
Klarheit und Konsequenz nicht verkennen, die in Laplaoes Formulierung^ 
und Verwendung liegt. In ihm reichen sich Anfang und Ende des 
18. Jahrhunderts die Hände; denn in seiner Auffassimg der atomistisch 
Grundlage geht er vollkommen auf den Begründer der analytischen Mechi 
nik, auf Newton zurück. Aber alles, was bei Newton unbestimmt n 
schwankend und erst am Schlüsse seines Werkes, gleichsam als Rech 
fertigung auftritt, steht bei Laplace am Anfang klar und scharf aosj 
sprochen und konsequent durchgeführt. 



ScUuß. 

I. Zusammenfassende Darstellung der Ansichten des 18. Jahrhunderts, 
Das 18. Jahrhundert ist, wae den Begriff des materiellen Punktes angeh 



li Bd. V, p. 94: ,on peut donc coaceroir le m^lange romme un gsz nmple don' 
chAque molecole serait un groupe infiniment petit des moleculee dea diver« 
melecu daus la meme proportion que dans le m^lange total'. 

2) Bd. IV, p. 68. 



» 



Der Begaff des materiellen Punktes in der Mechanik des \H. Jabrlinnderte. 55 



I 



zu keinerlei Absehluß und zu keiner allgemein iingeuofiimeneii Formulie- 
rung gekommen. Ansichten über den Zusammenhang des muteriellen 
Punktes mit der physikalischen Konstitution der Körper finden sich im 
Anfang, verschwinden dann, und sind am Ende wieder da ; mathematische 
Abstraktionen treten auf einen Augenblick mit aller Schärfe hervor und 
gehen wieder, scheinbar spurlos, luiter. So ist eine sich durch die Mechanik 
des ganzen Jahrhunderts hindurchziehende einheitliche Entwickelung nicht 
zu konstatieren. Das liegt zum Teil darin, daß der betrachtete Zeitraum 
ausgefüllt war durch eine rastlos schati'ende Produktivität, die für kritische 
Arbeiten im einzelnen keine Zeit hatte; zum anderen Teil aber im 
Wesen des Begriffes selbst. 

Der Begriff des materiellen Punktes verdankt, wie wir mehrfach her- 
vorhoben, seine Formulierung nicht nur ausschließlich mechanischen Be- 
trachtungen, sondern auch scheinbar weiter entfernt liegenden mathema- 
tischen, physikalischen und philosophischen Erörterungen. Bevor wir 
daher mit unserer Besprechung an die eigentliche Autfussung des 18. Jahr- 
liunderts herangehen, haben wir uns kurz die Einflüsse zu vergegen- 
wärtigen, die zu Beginn und in den ersten Zeiten des 18. Jahrhunderts 
auf die Gestaltung des Begriffes einwirken konnten. 

1. Philosophische t'berlegungen kommen hauptsächlich nach zwei 
Hich hingen hin für den materiellen Punkt- in Betracht: in der Frage nach 
dem Wesen der Materie und im Unendlichkeitsbegriff. Schon früh hatte 
man den Versuch gemacht, die Mannigfultigkeit der Körperwelt auf wenige 
Gnindbedingungen zu reduzieren; man d.ichte sich «ien ganzen Kosmos. auf- 
gebaut aus kleinen und kleinsten Teilchen. Durch derartige Betrachtungen 
^rar der Versuch gemacht, Erscheinungen des Endlichen, Augenfälligen 
«US dem Verhalten und den Eigenschaften gewisser kleinster, unsichtbarer 
Orundelemente zu erklären. Nahm man diese Erklärung an, so konnte man 
«ien Versuch machen, die Anschauung vom materiellen Punkt mit ihr zu 
'▼erknüpfen. Dann aber traten sofort zwei Fragen auf, erstens: soll man 
<ien materiellen Punkt mit den genannten kleinsten Teilchen identifizieren 
oder nicht?, und zweitens: wie viel solcher materieller Pimkte hat man 
sich in einem endlichen Körper zu denken, unendlich oder endlich viele? 
Damit sind aus der historischen Entwickelung heraus die beiden Fragen 
angedeutet, die wir einerseits hei den Bersoitllis und ClairaüT, und 
andererseits bei Euler ausführlich besprochen haben. 

Im engen Zusammenhange mit derartigen Erörterungen über die 
Zusammensetzung der Körper treten gewisse physikalische Betrachtungen 
auf. Wir denken hier speziell an Optik imd Chemie, wenn wir diese 
letztere zur Physik im weitesten Sinne rechnen. In beiden Gebieten ging 
mau auf kleinste Teilchen zurück, um mit ihnen die Erscheinungen zu 



56 



TuSODOB KÖBISB. 



erklären; da lag es auch für die Mechanik nahe, solche Teüchen zur 
klärung der Bewegungsgesetze zu benutzen. 

Neben diese llierlegungen treten Einflilsse mathematischer Art. Hier 
sind es vor allem die Betrachtungen über den Schwerpunkt. Der Schwer- 
punkt ist ein mathematischer Punkt, in dem man sich bestimmte Eigen- 
schaften des Körpers konzentriert denkt, Eigenschuften, deren Einfluß man 
durch geeignete Maßregeln in diesem Punkte vernichten kann. Die ganze 
Anschauung und Bestimmung des Schwerpunktes abstrahiert von den un- 
mittelbar wahrnehmbaren Tatsachen; durch sie war einer mathematischen 
Fiktion vorgeiirbeitet, die mit der Anschauung vor der Konstitution der 
Körper nichts zu tun hatte. 



J 



Ähnlich stand es, wenn man in der Astronomie in gewissen FaU^ 
die Planeten als Punkte ansah. Auch hier fand ein Zusammenziehen statt; 
der ganze Phinet wurde in einem Punkte konzentriert Aber der Grund 
des Konzentrierens war hier ein anderer wie beim Schwerpunkt. Man 
darf sich die Schwerewirkimg eines Pliineten als von seinem Mittelpunkt 
ausgehend nur vorstellen, weil der Planet näherungsweis als Kugel ange- 
sehen werden kann, und weil seine Dimensionen gegenüber der Entfernung 
von einem anderen Planeten verschwinden. Dies Letztere barg einen 
neuen wichtigen Gedanken für den Begriff des materiellen Punktes in sich: 
die Möglichkeit gewisser Vernachlässigungen. Wenn man sagte, die 
Planeten bewegen sich in Ellipsen um die Sonne, so dachte man an ganz 
bekannte, geometrisch genau bestimmte Kurven, ohne an die. nach 
irdischen Verhältnissen gemessen, ungeheure Breite des Weges zu denken, 
die der Planet wirklich im Weltenraum beschreibt. An den Dimensionen 
der Ellipse gemessen, sind die Abweichungen, die durch die Ausdehnung 
des Planet-en hervorgerufen werden, verschwindend klein. So fand der 
Begriff des materiellen Punktes aus diesen Betrachtungen zweierlei vor: 
erstens die Möglichkeit der Konzentration, zweitens die Berechtigunj 
Nebenumstände zu vernachlässigen. 

Am eindringlichsten jedoch mußte eine mathematische Gestaltung 
durch die in der analytischen Mechanik gewollte Methode gefördert werden. 
Sobald man mit mathematischen Operationen, seien es geometrische oder 
analytische, an die Bewegungserscheinungen heranging, mußte man mathe- 
matische Begriffe, mußte man mathematische Punkte vorziehen. 

2. In dieser Weise war dem Begriff des materiellen Punktes von ver 
schiedenen Seiten vorgearbeitet, fördernd und hemmend. Fördernd dadurch, 
daß sich Analogien auf anderen Gebieten fanden, die bereits länger be- 
kannt waren; hemmend, daß diese Anregungen von verschiedenen Dis- 
ziplinen ausgehend einer allgemein angenommenen Definition im Wege 



ir: 

i 



Der Begriff dee materiellcD Punktes iu der Mecluknik de« IS. imlirbundertH. 57 

|ipnden. Alle EinflÜBse vereinigten sieh und gingen dann in zwei Rich- 
nagen auseinander, in die physikalische und die luatheuiatische Autfasaung. 

Die physikalische Formulierung, die den materiellen Punkt als kon- 
kretes, wirklich im Körper existierendes Element betrachtet, schließt sich 
— die Richtigkeit der Atonitheorie zugegeben — eng an unsere Grund- 
aufiaesung der Naturerscheinungen an. Im 18. Jahrhundert hat sie ent- 
schieden das Übergewicht, doch tritt sie bei den verschiedenen Autoren 
nicht in einheitlicher Form auf. s^ondem variiert vornehmlich in zwei 
Richtungen. Die extreme Seite vertreten LAPi-AiK und Ci.air.\i;t, die den 
niateriellen Punkt einfach mit dem Atom oder Molekül des Körpers identifi- 
xieren; eine vorsichtigere Auffassung findet sich bei Eui.kr und d'Alembert, 
die den materiellen Punkt in der Hauptsache zwar auch als physikalisches 
Gebilde fassen, aber meinen, daß mau nicht ohne weiteres sagen könne, 
ob er mit den Atomen gleichzusetzen sei; bei ihnen tritt immer mehr 
lias Streben in den Vordergrund, deu materiellen Punkt als Hilfsbegriff 
der Mechanik zu verwenden. Bei dieser letzten Auffassung erhebt sich 
die Frage, mit welchem Rechte man von derartigen Teilchen, die in Wirk- 
lichkeit gar nicht existieren, ausgehen kann, um aas ihrer Bewegung auf 
die Bewegung des Ganzen zu schließen. Die logische Begründung der 
letzten Auffassung ist entschieden schwieriger als die der völligen Identi- 
fikation von Atom und materiellem Punkt. 

Aber dieser Nachteil verschwindet gegenüber anderen, die beiden 
Seiten der physikalischen Formulierung gemeinsam sind. Nirgends war 
die physikalische Auffassung konsequent durchgeführt, immer wieder fanden 
sich, bald stärker, bald weniger klar ausgedrückt, Bemerkungen, die be- 

rngen. daß man in gewissen Fällen deu materiellen Punkt als mathe- 
äatisehen Punkt, d. h. ohne alle Ausdehnung auffassen müsse. Und das 
ist ganz erklärlich, denn es ist eo ipso unmöglich, konsequent an einer 
physikalischen Definition festzuhalten. Sobald die Rede aul' Schwerpunkte, 
Massenmittelpunkte, Rotationszentren etc. kommt, schwindet jede physika- 
lische Anschaulichkeit, Mag man noch so kleine physikalische Gebilde 
nehmen, stets haben sie einen Schwerpunkt; diesen Punkt mit einem be- 
stimmten Molekül oder einem konkreten, im Körper vorhandenen kleinsten 
Teilchen zu identifizieren, ist nicht angängig. Die Schwerpunkte sind eben 
Tollkommen mathematische Punkte. 

Eine letzte und größte Schwierigkeit ergibt sich aus der Größe des 
materiellen Punktes. Soll er als physikalisches GebUde aufgefaßt werden, 
BO hat er eine ganze bestimmte Ausdehnimg; diese kann kleiner und 
kleiner gedacht werden, sie kann sehr klein werden, aber nie unendlich 
klein im mathematischen Sinne. Ganz abgesehen davon, daß man bei der 
Identifikation des materiellen Punktes mit deu Atomen eine bestimmte 



nn 




Tmomn Kömna 



IUI! Axiom ^«'fordert werden, das iimerhalb der BeobaehtongsgreiiKen el 

nur dwn-h dii< Krlrihrung verifiziert werden kann. j 

Wenn ex ho als allein richtig erscheint, den materiellen Punkt als ^| 
inutlitMiiutinfhen Hegriif zu iassen, so könnte man doch zwei, anscheinend 
«ohr Kowichtijfp KinwQrfe machen, erstens: Reicht der materielle Punkt 
n\n vt^rncliwiiidciid kleines Element gefußt nicht immer aus. wenn man 
»ich mit einer angenäherten Darstellung der Tatsachen b«gnfigt, <L h. 
wenn iTiiin die Me<.-hiinik als Gebiet der Approximationsmathematik he- 
tnichtoty Und zweitens: VV'ohcr erklären sich bei der schwankenden und 
vielfach inkorrekten Auffassungsweise des in Frage stehenden BegrifiiBe 
di« ungeheueren Erfolge, die die analytische Mechanik gerade im 18. Jakr- 
liuti(l<'rt errungen hat? h 

Heide Fragen kommen im Grunde auf dasselbe hinaus, und ihre Be- ^^ 
antwortung wird sich ohne Schwierigkeit ergeben, wenn man die mathe- 
matische Auffassung konsequent verfolgt und anwendet. M 

2. Wenn der materielle Punkt — nun noch einmal physikalisch auf- 
gefaßt — zu den (Jrandbegriffen der analytischen Mechanik gezählt wird, 
•o i«t daa richtig zu verstehen. Er gehört zu einer ganz anderen Art 
von Prinzipien wie etwa der Trägheitssatz oder der Satz der Gleichheit 
Ton actio und reactio. Der Trägheitssatz gibt bis zu einem gewissen 
(trade eine Erklärung der Bewegimg, der materielle Punkt nicht. Der 
materielle Punkt ist, kurz gesagt, ein rein formaler Begriff, der mit 
d<?m Körper alit solchem, als phvHikaLschem (Jebilde nichts zu tun hat, 
»ondcrn ernt durch uns in ihn hineingetragen wird. Was diesem formalen 
Begriff im Körper entspricht, ist fürs erste nebensächlich, er ist nur ein 
Hviiibol, ein Pankt. eine /,nhl im mathematischen Sinn Demnach ist klar. 
daß ein«! phv«ikttliscbe Fassung nicht nur nicht vorteilhaft, sondern, streng 
((enonimen, dberhaupt nicht erlaubt ist. Aue Definitionen, die im Sinme 
ituruiif hinuttj(kommm, den materiellen Punkt als Materiegtionhim ron 
untniUifhkl'inrn Dimensionen eu definieren, bedeuten einen logischen Fehler. 

Nun frngt !•• sich, ob man diese scharfe mathematische Definition 
oMii fflllw» IsMen kann oder fallen lassen muß, wenn man ins Gebiet der 
Ajrpr<>iinintiot»*rniith»-Hi«tik kommt und sich mit einer angenäherten Be- 
r<<dirjiing ih't Mewegung begnügt. Aber Approximationsmathematik heißt 
aM>ht aHg<'näbiTl<' .Mathematik, sondern Mathematik der angenäherten Be- 
r,i4«hung«'>i; nicht die B»>gr/ffe al» solche, mit denen man operiert, sondern 

nur «J»« B'/ ' ". •'''■ zwischen diesen Begriffen statthaben, werden 

MttfMiKhrrt ' Die#i wird filr unseren Fall vielleicht am besten , 

durch «in konkret»'» Beispiel klar Wenn man im Laboratoriom die fl 
l(ii:htigk«it dw «r»Titatioa»(j««iM» '''^, -- «af ii"gend eine Weise aas der 




Der Be^rriff des materiellen Punkten in der Mechnnik des 18. .lahrhundcrt«. 59 



wa« wir über den Begriff des Unendliclikleinen gesagt haben: der mate- 
rielle Punkt muß als mathematischer Punkt gefaßt werden, sobald man 
in exakter Weise mit mathematischen Überlegungen die Bewegung ver- 
folgen wilL 

H. Allgemeine Betrachtungen. 1, Wenn wir diese letzten Betnii-htungen 
etwas allgemeiner fassen und in ihren Konsequenzen verfolgen, so stellt 
sich der mat«rielle Punkt als mathematischer Punkt dar, dem jeder be- 
liebige Massenwert als Koeffizient zuerteilt werden kann ; dieser Koeffizient 
gibt an. in welchem Maße der betrachtete Punkt bestimmten desetzen 
unterworfen ist. Dabei braucht man sich keinerlei Vorstellung darüber 
xu machen, wie man sich eine endliche Masse in einem Punkt konzentriert 
denken kann. Die Masse als Rauninrfdllendes interessiert uns gar nicht, 
nur die Wechselwirkiing der Massen untereinander. Daher kann man 
den materiellen Punkt ebensogut als Kraftzentrum wie' als Massenpunkt 
au£fa8sen. Denkt man sich weiter den Knri)er aus materiellen Punkten zu- 
sammengesetzt, so hat man mit dem Körper als physikalischem Gebilde 
nichts zu tun, sondern nur als mathematischem; er wird zu einem Kaum- 
Tolamen, das mit einer bestimmten, sei es endlichen oder unendlichen, 
Anzahl von Punkten angefüllt ist. Diese Punkte gehorchen gewissen 
Bedingungsgleichungen, die die physikalischen Eigenschaften des Körpers 
in die Sprache der Mathematik übertragen. 

Mit einer solchen Definition geht natürlich jede physikalische An- 

[«pbaulichkeit verloren. Aber da wir sahen, daß diese stets auf Wider- 
rüche stieß imd konsequent nicht durchzuführen war, ist sie im Gründe 
eine äußerliche, die nur in bestimmten Fällen ausreicht. Die mathematische 
Formulierung genügt jedoch immer. Allerdings könnte man an eine 
Schwierigkeit denken: wenn Jede physikalische Berechtigung für die Ein- 
führung des materiellen Punktes in der genannten Weise fehlt, so fragt 

r^ sich, ob man überhaupt mit ihm zum Ziele kommt. Diese Frage ist 
ft priori nicht zu beantworten. Es ist keineswegs selbstverständlich, daß 
die analytische Mechanik auf diesem Wege zum Ziele kommt. Nur die 
Erfahrung, und diese allein kfinn zeigen, ob die auf solcher Grundlage 
aufgcst-el Iten Rechnungen mit dem Verlauf der Naturerscheinungen über- 
einstimmen. Und sie hat es getan, deshalb ist die Annahme berechtigt. 
Ihre Richtigkeit läßt sich von vornherein vermuten, weil hier nur eine 
allgemein gebräuchliche Methode verwandt ist, die zur Geltung kommt, 
wenn man mit der Mathematik an Naturerscheinungen herangeht: alle 
physikalischen Eigenschaften werden dargestellt durch bestimmte formale 
ßesetze zwischen bestimmten mathematischen Begriifen. Ein solcher mathe- 
matischer Begriff ist auch der materielle Punkt. Die Berechtigung, ihn 
trx verwenden, muß im System der analytischen Mechanik eventuell durch 



60 



TiiKoiMin KöuicKU. 



I 



ein Axiom gefordert werden, das innerhalb der Beobftchtimgsgrenzer 

nur durch die Erfahrung verifiziert werden kann. ^^ 

Wenn es so als allein richtig erscheint, den materiellen Punkt als^| 
mathematischen Begriff zu fassen, so könnte man doch zrwei, anscheinend 
sehr gewichtige Einwürfe machen, erstens: Reicht der materielle Punkt 
als verschwindend kleines Element gefußt nicht immer aus, wenn man 
sich mit einer angenäherten Darstellung der Tatsachen begnßgt. d. h. 
wenn man die Mechanik als Gebiet der Approximationsmathematik be-j 
trachtet? Und zweitens: Woher erklären sich bei der schwankenden und] 
vielfach inkorrekten Auffassungsweise des in Frage stehenden Begriffe»^ 
die ungeheueren Erfolge, die die analytische Mechanik gerade im 18. Jahr- 
hundert errungen hat? 

Beide Fragen kommen im Grunde auf dasselbe hinaus, und ihre Be-' 
antwortung wird sich ohne Schwierigkeit ergeben, wenn man die mathe- 
matische Auffassung konsequent verfolgt und anwendet. ^M 

2. Wenn der materielle Punkt — nun noch einmal physikalisch auf- 
gefaßt — zu den Grundbegriö'en der anah"tischen Mechanik gezülilt wird, 
Bo ist das richtig zu verstehen. Er gehurt zu einer ganz anderen Art 
von Prinzipien wie etwa der Trägheitssatz oder der Satz der Gleichheit 
von actio und reactio. Der Trägheitssatz gibt bis zu einem gewissen 
Grade eine f]rklürung der Bewegung, der materielle Punkt nicht. Der 
materielle Punkt ist, kurz gesagt, ein rein formaler Begriff, der mit'^f 
dem Körper als solchem, als physikalischem Gebilde nichts zu tun hat. 
sondern erst durch uns in ihn hineingetragen wird. Was diesem formalen 
Begriff im Köq)er entspricht, ist fürs erste nebensächlich, er ist nur ein 
Symbol, ein Punkt, eine Zahl im mathematischen Sinn. Demnach ist klar, 
daß eine physikalische Fassung nicht nur nicht vorteilhaft, sondern, streng 
genommen, überhaupt nicht erlaubt ist. Aue Definitionen^ die im Sinne 
darauf hinanskommen, den materiellen Punkt als Materiequantum von^M 
unetidlichlilfinm Dimensionen eu definieren, bedeuten einen logischen Fehler. 

Nun fragt es sich, ob msm diese scharfe mathematische Definition 
nicht fallen lassen kann oder fallen lassen muß. wenn man ins Gebiet derj 
Approximationsmathematik kommt und sich mit einer angenäherten Be- 
rechnung der Bewegung begnügt. Aber Approximationsmathematik heißt 
nicht angenäherte Mathematik, sondern Mathematik der angenäherten Be- 
ziehungen; nicht die Begriffe als solche, mit denen man operiert, sondern 
nur die Beziehungen, die zwischen diesen Begriffen statthaben, werden 
angenähert darstellt. Dies wird für unseren Fall vielleicht am besten ^_ 
durcJi ein konkretes Beispiel klar. Wenn man im Laboratorium die^| 

Richtigkeit des Crravitationsgesetzes " ' ", * auf irgend eine Weise aus der 



i 



Der Begriff des materiellen Punktes in der Mechanik des 18. Jahrhunderts. 61 



I 



I 



I 
» 



Anziehung zweier Kugeln nachprüfen will, so hiit man den Zentralabstiind 
dieser beiden Kugeln zu bestimmen. Diese Messung ist nicht absolut 
genau auszuführen, sondern wird mit einem gewissen Fehler behaftet sein, 
der mit in Rechnung zu ziehen ist. In den Nenner der angeftUirten 
Formel tritt also statt r etwa r + £>, wobei r + Q heißt, daß die Ent- 
fernung zwischen den Werten r -\- q und r — q schwankt. Dies könnte 
man sich nun so vorstellen, daß man sich die Anziehungszentra beider 

KogeJn nicht als Punkte sondern als kleine Kugeln vom Radius -|- denkt 

nnd dann die Entfernung Ton irgend einem Punkte der einen Kugel 
zu irgend einem anderen Punkte der anderen Kugel mißt. Das ist aber 
nicht angängig; denn die Richtung von r muß zusammeufiillen mit der 
Richtung der Attraktionswirkimg, diese aber kann bei einer Kugel, mag 
sie noch so klein sein, nur als von ihrem Mittelpunkte ausgehend gedacht 
werden nnd nicht von einem anderen Punkte. Zwischen zwei Kugeln 
kann man immer unendlich viel Linien ziehen, und allein zwischen zwei 
Punkten nur eine. Man darf sich also den materiellen Punkt nicht als 
kleine Kugel denken, sondern muß ihn als einen Punkt betrachten, der die 
verschiedenen Lagen innerhalb der kleinen Kugel annehmen kann. Analog 
ist es in anderen Fällen. 

Der materielle Punkt als physikalisches Gebilde hat seine Berechtigung 
nnd seinen, oft großen. Wert nur dann, wenn er dazu dient, abstrakte 
Überlegungen anschaulich zu machen; er ist ein sinnlich wahmehiiibares 
oder die sLonliehe VorstoUimg erleichterndes Sj'mbol für einen in der 
Cberlegong verwandten, bestimmt definierten Begriff. Wenn man geneigt 
ist, in diesem Sinne den materiellen Punkt als physikalisches Gebilde zu 
definieren, so ist dagegen wohl nichts einzuwenden. 

In diesen letzten Bemerkungen liegt auch die Antwort auf unsere 
zweite Frage, die Erkliirimg der großen Erfolge des 18. Jahrhunderts. 
Denn im Grunde ist alles das, was wir im 18. Jahrhundert als Iterechtigt 
nicht anerkennen können, nichts weiter als ein Streben mich An.achaulieh- 
keit and ein Anknüpfen an Bekanntes. Denn sobald der materielle Punkt 
in die Rechnimg eintrat, wurde er zum mathematischen Punkt, zur be- 
stimmten Zahl, nur daß der Widerspruch zwischen Definition und Ver- 
wendung nicht erkannt wurde. Daher ist die im^gestörte Entwickelung 
»ehr wohl erklärlich; ilenü das Bestreben, den Begriif des materiellen 
Punktes in möglichster Klarheit und Präzision herzustellen, entspringt in 
wster Linie nicht einem saclilichen, sondern einem ästhetischen oder 
formalen Bedürfnis. Für den Ausgang der Rechnimg ist es in vielen 
Fällen vollkommen ohne Belang, ob man den miiterieilen Punkt als physi- 
kalische» oder mathematisches Gebilde betrachtet, der Elfekt wird derselbe 



62 l'n- Kösxkb: Der Begriif dee materiellen Punktea in der Mechanik des 18. Jahzh. 



sein. Für den Wunsch aber nach einer möglichst formvollendeten und 
logisch einwandfreien Darstellung ist die Art der Vorstellung und die 
Entscheidung ftir' die eine oder andere Anffassong von allerwesentlichst^r 
Bedeutung. Wenn man will, ist dies Interesse ein untergeordnetes, und 
die Geschichte lehrt ja auch, daß es sich erst herausbildete, als die sach- 
liche Entwickelung zu einem gewissen Abschluß gekommen war. Wenn 
man aber andererseits bedenkt, daß gerade in der Natur das Zweckmäßigste 
oft auch das Formvollendetste ist, trefi'en beide Interessen, das sachliche 
und das formale, wieder zusammen. 

3. Aus der strengen Auffassung des materiellen Punktes als mathe- 
matischen Begriffes folgt dann noch ein Letztes. Da die angewandt^H 
Methode den Begriff erfordert, bestimmt sie ihn auch, und weon sich die^^ 
Methode ändert, muß sich auch der Begriff in gewisser Weise ändern. 
Daher ist es nicht möglich, ihn aus dem Zusammenhang herauszureißen 
und nach allen Seiten hin festzulegen, sondern man kann, wie wrir es eben 
versucht haben, nur bestimmte Grundlagen festlegen, die im großen und^ 
ganzen wohl immer gelten müssen. Aber je nach der Darstellung de 
analytischen Mechanik muß er andere Formen annehmen; er ist ein anderer,^ 
wenn man von der Erfahrung ausgeht, als wenn man mit rein hypothe 
tischen Voraussetzungen beginnt; wenn man die Masse in den Vordergnmd 
stellt, als wenn man die Kraft zum obersten Prinzip macht; usw.; immer 
wird er an einer anderen Stelle, im anderen Zusammenhange und auch in 
anderer Auffassung eingeführt werden. Je mehr sich daher die analytische j 
Mechanik zu einem zusammenhängenden, logisch geschlossenen Systen 
entwickelt, desto schwieriger wird es, den Begriff' des materiellen Punktes I 
für sich kritisch zu betrachten. 



erfl 

tie-~ 



Q. EntsTBöM: Die Geschichte der Mathematik und der UniTergit&tsunterricht. 63 



Die Geschichte der Mathematik und der 
Universitätsunterricht. 

Von Gt. Enestböh in Stockholm. 

Seit mehr als dreißig Jahren sind an Universitäten Vorlesungen über 
Gescliichte der Mathematik gehalten worden,') und während der letzten 
Jahre hat sich die Zahl der Hochschulen, an denen solche Vorlesungen 
regelmäßig gehalten werden, nicht unerheblich vermehrt;*) auch mathe- 
matigch-historische Seminarübungen gibt es jetzt, freilich bis auf weiteres 
eigentlich nur an der Technischen Hochschule in München.*) Fast ohne 
AuBnahme*) dürfte der mathematisch-historische Unterricht von einem 
Professor oder Privatdozenten der Mathematik, der auch andere mathe- 
matische Vorlesungen hält, erteilt werden. Je mehr aber die Geschichte 
der Mathematik zu einer besonderen Wissenschaft ausgebildet wird, um 
90 schwieriger muß es werden, wirklich gute Vorlesungen über diesen 
ß^enstand zu halten ohne im eigentlichsten Sinne Fachmann zu sein; 
der Leiter des mathematisch-historischen Unterrichts muß dadurch veranlaßt 
'ferden, sich eingehend mit historischen Forschungen zu beschäftigen, und 
früher oder später wird es wohl notwendig werden, besondere Universitäts- 
lehrer für Geschichte der Mathematik zu haben. 

Seit einigen Jahren gibt es aber Bemühungen, den mathematisch- 
lustorischen Universitätsunterricht in eine ganz andere Bahn zu lenken. 



1) über die ältesten Yorlesvmgen über Geschichte der Mathematik siehe 0. Enestböm, 
"" natematikens historia säsom stitdieämne vid nordens högskolor; Tidsskr. for 
Mithem. 4«, 1880, S. 62-73. 

2) Vgl. P. Maksiom, Programme du cours d'hiitoire des mathimatiques de runi- 
"fite de Gand; Biblioth. Mathem. Is, 1900, S. 232, sowie die Notizen über 
Buthenutisch-historische üniversitätsvorlesungen in der .Wissenschaftlichen Chronik* 
Verletzten Bände der Bibliotheca Mathematica. 

3) Siehe die Notizen von A. von BBAciniÜBL in der Biblioth. Mathem. 92, 
1895, 8. 89—90; H2, 1897, S. 113—115; Ss, 1902, S. 403-404. 

4) Ausnahmsweise sind von Nessblvann in Königsberg und von P. Tamhebt in 
Piris Vorlesungen über Geschichte der Mathematik gehalten worden. 



64 



Q. EmTBöM. 



Der erste internationale Kon^rreB für Gesehichte der Wissenschaften,') 
der 1900 in Paris gehalten wurde, sprach nämlich den Wunsch aus, es^ 
möchten an den größten französischen Hochschalen besondere Vorlesungea 
über die allgemeine Geschichte der Wissenschaften eingerichtet werdet 
und die Geschichte der Wissenschaften ein besonderes Prüfungsfach bilden." 
Auf dem zweiten internationalen Kongresse für Ge«;hichte der Wissen- 
sehafien in Rom 1903 wurde dieselbe Frage noch einmal behandelt, und] 
der Kongreß sprach dabei den Wunsch aus, es möchten an den Univer- 
sitäten vier besondere Vorlesungen über freschichte der Wissenschaften 
gehalten werden, nämlich 1) für Mathematik und Astronomie, 2") für Physik 
and Chemie, 3) für Naturgeschichte, 4) für Medizin, und erlaubt werdenijS 
eich als Privatdozent für Geschichte der Wissenschaften zu habilitieren.*)^ 
Freilich wurde es nicht ausdrücklich gesagt, daß die ganze Geschichte 
der Wissenschaften zu einem besonderen Lehrfach vereinigt werden sollte; 
im Gegenteil scheint es die Ansicht des zweiten Kongresses gewesen zu 
sein, daß es z. B. spezielle Privatdozenten für Geschichte der Mathematik 
und Astronomie geben könnte.^) Indessen dfirfte es kaam vermieden 
werden können, daß die Erfüllung der Wünsche der zwei Kongresse alafl 
Konsequenz die Gründung von Professuren für allgemeine Geschichte der 
Wissenschaften ergel>en würde. Schon der Umstand, daß die Versammlungen, 
auf welchen die Antrüge allgemeine Zustimmung fanden, gerade den Zweck 
hatten, ein Zusammenwirken der .\rbeiter auf dem Gebiete der Geschichte 
der Wissenschaften anzuregen, scheint mir dafür zu sprechen, zumal wena^ 
man in Betracht zieht, daß es viel leichter sein muß, eine Professur fü^H 
allgemeine Geschichte der Wiaaeoaehaftan als vier Professuren für die oben 
gftQHunten besonderen .\rten derselben »u bekommen h 

Diese Konsequenz kann aber meines Erachtens für das wissenschafUiche" 
Stadium der Geschichte der Mathematik gefiihrlich werden. Ich will nicht 
in .\bredi' Ktelleii, daß von einem höheren Gesichtspunkte aus die Ver*^ 
einigung der Gosohichtc der l»e»onder»>n Wissenschaften zu einem einzigen^ 
Lohrfuch berechtigt wenlen kann, und daß die allgemeiue Geschichte der 
WisMetixchuiliiii etwa« mehr als nur eine Juxtaposition der Darstellung des 
hiRloriNcheti Verlaufes der einielnen Zwtig« umfaßt. Indessen bin ich mit 



1) loh krauoll« in dioMm Artikvl itrt A'«lr<» IUAm «Im Wort .WisMoschafien* als 
GbaiMtauuii >l«i ri«i)»^*iaiMi«u * un>l t<M iUtioaäefcwi .«qmm*. Richtiger 

vin natflliii^li «MnlliixitKtiK >u. >*«u*olmn»u* 

8^ VkI llit<h»lli VUll.oi« it. kthM, S U.! J 

8i V|{l lllbli^tti VUthpm 4«, lUW^ H tfSi) «|. ^ 

4^1 Vgl P Tu«»»»», l.'kMftu«' <<M *v%««H«i «« w n fr> » 4t Hmn rtttJ iPfcrii 1903), 

S. 7: „li'»l>i)lta»tiuiii »li« ItlitviH iltH\«HMk |^«M «WM« iraanwi wm^ par U 

doUe •oiouia, mVHt(\* <<i i<«' «>v««« «M ( «vwiM " 



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Die Geschichte der Mathematik iiiul der Univeraitätiuntemcht. 



65 



Jem 
I wen 

■ WUT 



Herrn P. Tanneky') darüber einig, iljib diese iillgemeine (teschichte der 
Wissenschaften noch nichf so weit bearlieitet wurden ist, daß die Mebr^iahl 
der F^iichniänner, und noi'li weniger das l'ublikiim, eine klare Vorstellung 
derselben haben kann. Aus diesem Grunde ist es zn befürchten, daß bei 
den eventuellen Ernennungen der Professoren für Geschichte der Wissen- 
schaften es oft vom Zufall abhängen würde, welche Forderungen an die 
Inhaber gestellt werden. Die eine Behörde könnte in Betracht ziehen, 
daß ein Gelehrter, der die Geschichte jeder einzelnen Wissenschaft ein- 
gehend Ijehandeln will, sich vorzugsweise auf den Stand derselben im 
Altertum und im Mittelalter beschränken muü, und auf Grund dieser 
Erwägung einen Mann zum Professor ernennen, dem die Geschichte der 
modernen Wissenschaft fremd wäre. Eine andere Behörde könnte dagegen 
Ton demselben Ausgangspunkte zu dem Resultate gelangen, daß man von 
Jem Professor überhaupt keine eingehenden historischen Arbeiten fordern 
, sondern zum Inhaber der Professur einen Mann ernennen, der nur 
!e historische Entwickelung der wissenschaftlichen Mclhodni mehr oder 
weniger gründJich studiert hat. Aber weder der eijie noch der andere 
würde ein wissenschaftliches Studium der Geschichte der Mathematik be- 
fördern können; im Gegenteil wäre es zu befürchten, daß der Professor zu 
einer oberflächlichen Beschäftigung mit dem tJegenstiinde veranlassen könnte. 

Nun kann man ja einwenden, daß die l'belstände, die möglicherweise 
mit einer noch nicht befindlichen Anordnung verbunden werden können, 
leicht übertrieben werden, wenn man von vom herein die fragliche An- 
ordnung nicht büligt, und daß es zu früh ist, sich hierüber auszusprechen, 
bevor irgend eine Erfahrung vorliegt. Aber unglücklicherweise liegt in 
Wirklichkeit schon eine solche Erfahrung vor, die die Richtigkeit meiner 
eben aaseLnandergesetzten Ansicht durchaus bestätigt. Bekanntlich gibt 
seit 1892 am „(.'oUt'ge de France" in Paris eine Professur für allgemeine 
fteechichte der Wissenschaften, deren erster Inhaber Pierre Laffitte 
rurde. Als dieser am Anfange des .lahres 1903 gestorben war, wurde 
aach längerem Zögern als sein Nachfolger teils Flerr Paul Tannery von 
21 Stimmenden, teils Herr Gkokgks W'vkoiujokk von 15 Stimmenden vor- 
geschlagen.^) W^er die wissenschaftliche Wirksamkeit der beiden Kandidaten 
kennt, muß sofort die Ansicht bekommen, daß es sich hier um einen 
prinzipiellen Meinungsunterschied unter den Stimmenden handelte. Ver- 
gleicht man nämlich die Verdienste der Herren Tannery und Wyrouboff 
um die Geschichte der Wissenschaften, so ist es durchaus unmöglich, 



\\ TAHifKBv, a a. 0. S. 7—8. 

2) Siehe P. Baudis, La chaire d'histoire genirale des seienets o« College de Franee 
, Paris 19041, S. 3. 

BIbllotheca Maltaeniatica. in. Folge. V. S 



66 



fr. EireSTRÖV. 



zweifelhaft zu sein, wer vorgeechJagen werden sollte. Herr Tannert ist ein 
sehr vielseitiger, Bcharfsinniger und produktiver Historiker, der auf mehr als 
einem Gebiete als eine anerkannte Autorität ersten Ranges gilt, während Herr 
Wtroüboff ein Chemiker ist, der sich nie mit eigentlichen Forschungen av^M 
dem historischen Gebiete beschäftigt hat. Nun wies ja das Stimmungsresultai^ 
darauf hia, daß der wirkliche Fachmann auf gerade dem Gebiete, das die 
Professur umfaßte, die Mehrzahl der Stimmenden für sich hatte, und in- 
sofern konnte man hoffen, daß in diesem Falle die sonst zu befürchtenden 
Übelstände beseitigt waren; in dieser Hoffnung wurde man noch mehr 
befestigt, als das jjnstitut de France" sich fast einstimmig zugunsten des 
Herrn Tannerv aussprach. Aber gegen die Vermutung fast aller Inter- 
essierten wurde am 29. Dezember 1903 Herr Wvroi:hokf vom französischeji 
ünterrichtsmiaister zum Professor für (beschichte der Wissenschaften am 
„College de France" ernannt, und als Gegenstand seiner ersten Vorlesung 
hat er die moderne Evolution der physisch-chemischen Theorien gewählt. 
Auf diese Weise ist tatsächlich für die Geschichte der WissenschatT^e»^ 
(und ganz besonders für die Geschichte der Mathematik) eine schon vorV 
handene Professur verloren gegangen, und zwar gerade in einem Falle, in 
dem man die kräftigsten Gründe anzonehmen hatte, daß die Professur für 
ihren eigentlichen Zweck gewahrt werden könnte. Ich benutze absichtlich 
den Ausdruck „die kräftigsten (iründe", denn Herr Tannkry hat sich ja 
in 80 eminentem Grade für eine solche Professur meritiert, daß sie eigentlicl 
für seine Rechnung begründet werden sollte, wenn sie noch nicht existierte!.' 
Wenn ich bisher nur die (beistände hervorgehoben habe, die di( 
Beginindung von Professuren für allgemeine Geschichte der Wissenschaftei 
mit sich führen, so bedeutet dies nicht, daß meiner Ansicht nach ähnliehe 
Fbelstände in betreff einer Professur für (leschichte der Mathematik durch- 
aus undenkbar sind. Nehmen wir an, daß es schon eine solche Profess 
gäbe, und daß entweder Herr Paui^ Tannery oder ein anderer Mathe- 
matiker, der sich nie mit eigentlichen historischen Forschungen beschäftigt 
hat, ernannt werden sollte, so ist es gewiß nicht undenkbar (es wird, 
immer Fälle geben, in denen man befürchten muß, daß der alte Satz^| 
„stat pro ratione volnntas'' zur Anwendung kommt), aber dennoch sehr 
unwahrscheLnlich . daß dieser die Professur bekäme. In der Tat gibt es 
ja jetzt eine sehr reichhaltige mathematisch-historische Literatur, und an 
vielen Universitäten werden regelmäßig Vorlesungen über Geschichte derB 
Mathematik gehalten, so daß man in weiten Kreisen eine klare Vorstellung 
von dem Begriff dieses Lehrfaches haben muß; ein prinzipieller Meinungs- 
tmterschied in betreff der Bedeutung des Ausdruckes „Geschichte der 
Mathematik'' ist darum kaum denkbar, und es war gerade die Möglich- 
keit eines Meinungsunterschiedes dieser Art, die ich oben als d« 



be 
suifl 



en^ 



Die GreBchichte der Mathematik und der üniTersif^tsuaterricht. 67 

größten Übelstand hinsichtlich der Professuren für Geschichte der Wissen- 
schaften hervorgehoben hatte. 

Ich bin also der Ansicht, daß man, am den Universitätsunterricht 
der Geschichte der Mathematik zu befördern, in erster Linie die Lehrer 
der Mathematik anregen boU, Vorlesungen über die Geschichte ihrer 
Wissenschaft; zu halten; dann boU man versuchen, an den größten Uni- 
versitäten besondere Lehrer, und wenn irgend möglich besondere Professoren 
{9r diesen Gegenstand zu bekommen. Das Streben, die allgemeine Ge- 
sehiehte der Wissenschaften als Lehrfach an den Universitäten einzuführen, 
kann möglicherweise indirekt dem mathematisch - historischen Studium 
nfitzlich werden, aber auf der anderen Seite darf man meines Erachtens 
tticht die Ubelstände übersehen, die dadurch entstehen können. 



68 



6. EssstbOm 



Kleine Mitteilungen. 

Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Cantors „Vorlesungen über 
öeschiobte der Mathematik*'. 

Die erste (fette) Zithl bezeichnet den Band, die zweite die Seite der „Vorlesangen"^ 
BM = Uibliotheca Hathematicn. 

I :12. siehe HM I3, 1000, S. 266. — 1 : 15, siehe BM 3», 1902, S. 32.3. 
1:22, 29, 34, siehe BM I3, 1900, S. 265—266. — 1:»«, «4, siehe BM Ss, 1902 
S. 137. — 1 : 103, siehe BM Is, 1900, 8. 266. — 1 : 135, siehe BM I3, 1900, S. 266j 
3:i, 1902, S. 137. — 1:144, 155, 169, 171, siehe BM 83, 1902, S. 137—138. -1 
1 : 190, siehe BM I3, 1900, S. 266. — 1:195, siehe BM 83, 1902, S. 56. — 1 : 197; 
202, siebe BM I3, 1900. S. 266. — 1:207, siehe BM 43, 1903. S. 283. — 1:225, 
234, siehe BM 83, 1902. S. 138 — 1:2.55, siehe BM 83, 1902. S. 23». — 1:272-1 
siehe BM 49, 1903, S. 396. — 1:283, siehe BM I3, 1900, S. 499. — 1:2h4, 321,« 
siehe BM I3, 1900. S. 266-267. — 1:370, siehe BM I3, 1900. S. 319. — l : 3sa, 
siehe BM I3, 1900. S. 267. — 1:395, siehe BM 83. 1902, 8. 323. — 1: 400, siehe 
BM Is. 1900. S. 267. — 1:429, siehe BM 3;), 1902, 8. 324. — 1 : 432, siehe BM Ij, 
1900, S. 267. — 1 : 434—435, siehe HM 43, 1903. S. 896-397 — 1 : 4.36, siehe BM .I3. 
1902. S 138. — 1:437, 440, siehe BM I3, 1900, S. 267. — 1:4.57, siehe BM ,^s. 

1902. S. 238. — 1:463, siehe BM 83, 1902, S. 139, 324. — 1:46«, siehe BM 43, 

1903, S. 397. — 1:467, 46». siehe BM I3, 1900. 8. 267. — I :475, siehe BM l.i, 
1900. 8. 267-268; 83, 1902, S. 139; 43. 1903, S. 283 — 1:476, siehe BM la. 190Ö, 
S. 268. 



1 : 508. In V. Roses neuer Ausgabe von ViTRrvn;8 ist der Text in betre 
des Durchmessers des von Herrn Can-iou erwähnten Rades berichtigt; statt 4 

124 

ist 4^ zu lesen, so daß der Näherungswert von n nicht 3J^ sondern — - = 

H 
wird (vergl. W. Sobmist, Biblioth. Mathem. I3, 19U0, S. 299). 



ß 




1 : 510, siehe BM I3. 1900, 8. 314. — 1 : 519—520, siehe BM 83, 1902. S. 239. — 
1:537, 540. ,542, siehe BM Is. 1900. S, 268. — 1:622, siehe BM 83, 1901. S. 143. 

— 1:641, siehe BM 3», 1902, S. 139. — 1:661, siehe BM I3, 1900, S. 499. — 
1 :6ß2, siehe BM I3, 1900, S. 499; Ss, 1902, S. 139. — 1:663, siehe BM 83, 1902, 
8. 405. — 1 : 671, siehe BM I3, 1900, 8. 499. — 1 : 687-689. siehe BM Üj, 1901, 
S. 143—144; 43, 1903, 8. 205—206. — 1 :694, siehe BM I3. 1900, 8. 499; 43. 1903. 
S. 284. — 1: ;04, 706, 708, 714, 73.5, 736, 744, 748, siehe BM I3. 1900, S. 499—500. 

— 1:74», siehe BM 1.,. 1900, S. 268.-1:756, 757, 767, siehe BM I3, 1900, 8.500 
—601. — 1:794, siehe BM 83, 1902, S. 139. — 1:.804, S05, H07, 808, 812. 823, 
862, siehe BM I3, 1900, S. 268—269. — 1:853, siehe BM li, 1900, S. 5Ö1. — 
1:854, siehe BM I3, 1900. S. 501; 83, 1902, 8. 824; 43, 1903, 8. 206 — 1 : 8öä. 
liehe BM I3, 1900, S. 501. 



Kleine Mitteilungen. 



09 



«:7, siehe BM «3. 1901, S. 351. —8:8, 10, siehe BM la, 190O, S. 601—502. 
-8:14-15, siehe BM 83. 1901, S. 144. — « : 20 siehe BM 1.,, 1900, S. 502; 8.1, 
\m, S. 239. — a:25, siehe BM I3, 1900. S. 274. — « : 31, siehe BM «3, 1901. 
S. 351-352; Sa. 1902, S. 239-240. — «::«. siehe BM 8.i. 1901, S. 144. — 8:37, 
«iche BM Irs, 1900, S. b02. — « : 3S, siehe BM Ä:,, 1901, S. 352. — 8:39, liebe 
HM 1,1. 1900, S. 502. — 8 : 41, .J7, siehe BM 8;i, 1901, S. 352. — 8:5», «iehe BM I3, 
laOO, S. 502. — 8: 03, siehe BM 4:i. 1903, b. 206. — 8:70, siehe BM I3, 1900, 
S 417. — 8:73. H2, 87, SH, 89, «Hl, 92, siehe BM I3, 1900, S. 502—503. — 
ft-.'n, siehe BM Sa. 1902, S. 406. — 8:98, siehe BM I3, 1900, S. 269—270. — 
3i:liNl, liebe BM »3. 1902, S. 140. — 8:101. siehe BM 3a, 1902, 8. 325. — 
>!:l«4-105, liehe BM I3, 1900, 8. 503; 4», 1903, S. 397— 39.S. — 8:111, siehe 
BM «3. 1901, S. 352. — 8 : llti. siehe BM 83, 1902, S. 400. — 8 : 122, »iehe BM l,,, 
1900, S. 503— .504. — 8 : 126, 127, siehe BM 83. 1902, S. 406. — 8 : 12s, siehe BM 1,. 
1800,8. 504. — 8:132, siehe BM I3, 1900, S. 51.5—516. — 8:143, siehe BM I3. 

1900, 8. .504. — 8 : 157. 1.58. siehe BM 8s, 1901, S. 352. — 8 : 163. 166, siehe BM I3, 
WO, S. 504. — 8: 17o, siehe BM 3,), 1902, S. 140. — 8:210, siehe BM 83, 1901. 
S. 352-;i53. — 8:218, siolie BM 4:t, 1903, .S. 284. — 8:219, siehe BM 83, 1901. 
S 353. — 8 : 229, 242, 243, siehe BM I3, 1900. S. .504-505. — 8 : 253, siehe BM 83, 

1901, S. 353. — 8:273, siehe BM lg, 1900, S. 50.5. — 8:274, siehe BM 83. 1902, 
8. 325. — 8 : 282, 283, siehe BM la. 1900, S. 506; 83, 1901, S. 353-354. — 8 : 284, 
^>, 2S7, 289, 2SM), 291, siehe BM la. 1900, S. 506—507. — 8:296, siebe BM 83, 
1901, S, 354. — 8:313, siehe BM I3, 1900, S. 507. 



2:317. Die ÄDgabo, daß bei Vrria'vriis einmal der Näherungswert 3J- 
för n Torkoramt, ist unter Bezuguahnie auf" die Bemerkung zu I: 508 (oben 
8. 68) zu berichtigen. 

8:328, liebe BM 83, 1902, S. 140; 4a, «903, S. 285. — 8:334, siehe BM I3. 
1900, S. 507. — 8 : 3.J3, siehe BM I3. 1900, S. 507; 4a. 1903, S. 87. — 8:358, ;W0, 
«eheBM 4:^, 190.S, S. 87. — 8:381, liehe BM I3, 1900. S. .507. — 8:385, «iehe 
BM Sj, 1902, S. 81; 4«, 1903. S. 207 — 8:386, 395, 401, 405. 425, siehe BM I3, 
1900, .S. 507—508. — 8 : 430, siebe BM 81, 1901, S. 145. — 8 : 440, siehe BM 4a, 1903, 
S 285, — 8 : 442. siehe BM 83, 1902, S. 325. — 8 : 449, siehe BM .T-,, 1902, S. 140. — 
*:454, siehe BM 3-,, 1902, 8. 242. — 8 : 474, 480. siebe BM 83, 1902. S. 140—141. — 
«! J»l, liehe BM I3, 1900, S. .508. — 8 : 482, siehe BM I3, 1900, S..508: 83, 1901, 8.354; 
•j. 1902, S. 240. — 8:484, siehe BM 83. 1902, S. 141. — 8:48«, 489, 490, siehe BM I3, 
'900,8.509. — 8: 497. siehe BM 1-,, 190O, S. 509; 4;i, 1903, S. 87.— 8 : 509, siehe BM 1,, 
'900,.S. 270, 509. — 8:51«. siehe BM I3, 1900, 8.509.-8:512, siehe BM 83, 1902, S. 141. 
--«:514, 516, 517, siehe BM l;i, 1900, S. 509. — 8:530, siehe BM 83, 1901, S. 354 
-35.5; 83. 1902, S. 141. — 8 : 532, 635, Ml. .54S .549, siehe BM I3, 1900, S. 509—510. 

- i : .550, »iehe BM 83, 1901 , S. 355. — 8 : 5.54, siehe BM 1 3, 1900. S. 510. — 8 : 555, 
»•••i, 567, 568, Bi.'he BM 4,. 1903, S. 285-286.-8:569, .siehe BM I3, 1900, S. 510. 

- «:572— 573, siehe BM la. 1900, S. 510; 83. 1902, S. 141. — 8:576, siehe BM 83, 
'901, S. 3.55— 356. — 8:579, siehe BM83, 1901, S. 145. — 8:580—581, siehe BM 43, 
1903, 8. 207 — 8:582, siehe BM I3, 1900, S. 510. — 8:583, siehe BM I3. 1900. 
8. 270; 83, 1901, 8. 3.56. 

2 : 585. Herr Gantou macht darauf aufmerksam, daü Vikte für die 
l'reiteiluiig eines Winkels dieselbe Konstruktion angibt, die sich in einer dem 
Arcbihede.s zugeschriebenen arabischen Schrift findet, welche Schrift aber erst 
Mch ViÄTES Tode in lateinischer Übersetzung veröffentlicht wurde. Dann fügt 
lierr Cantor hinzu: , daraus gebt hervor, daü die Dreiteilung des Winkels, 
che VtET.\ lehrte, kein Anlehen bei einem alten Schriftsteller, sondern selbst- 
ndige Nacherfindung war'. Diese Schlußfolge ist indessen nur dann berechtigt, 
weon es bestätigt wird, daß die fragliche Konstruktion von keinem abend* 
lündiscben Mathematiker vor 1593 gelehrt wurde, und soviel ich weiß, sind 



70 



O. EmsTRÖM 






noch keine eingehenden Untersuchungen über diese Frage angestellt irorden. 
Au sich ist es ja gar nicht unwahrscheinlich, daß diese Konstruktion, die be- 
kanntlich den arabischen Mathematikern geläufig war, durch eine Obersetzonj 
oder Bearbeitung aus dem Arabischen im Abendlande bekannt, und von einei 
Mathematiker des 16. Jahrhunderts in eber gedruckten Schrift erwfthn' 
worden ist 

Aber angenomman, da£ die angedeuteten Untersuchungen wirklich ein 
negatives Resultat ergeben würden, so scheint mir dennoch die SchlnOfolge des 
Herrn Cantok nur bis zu einem gewifien Grade berechtigt. In der Tat hat 
er gelbst S. 82 hervorgehoben, daß die bei Joiidanu» Nemor.\rii'8 vorkommende, 
von den drei Brüdern entlehnte Winkeldreiteilung im Grundgedanken mit dem 
8. Lemma des Archiheoes nahe verwandt ist, und S. 105 angegeben, daS 
gerade dies Verfahren des Jordamjs in einem Anhange zum 4. Buche der 
RATDOi.Tschen EcKi.m- Ausgabe von 1482 gelehrt wird. Aber dieser Anhang 
tindet sich auch in vielen folgenden Evklid- Ausgaben , und dem Vi^.te kann 
das Verfahren kaum unbekannt gewesen sein. Nun gibt CiiASi.ES (siehe G»-^M 
schichte der Geotnetric, übertr. durch L. A. Soi/xcke, S. 597) ganz bestimmi^l 
als Prinzip des Verfahrens die AKCBiMEnische Konstruktion an, und wenn 
dies richtig ist, wäre es wohl mehr angebracht Vi^'.tes Winkeldreiteilung eine 
wenig wesentliche Modifikation eines schon vor ihm allgemein bekannten Ver- 
fahrens zu nennen. G. Eneström. ^M 



«:592, wehe BM «3. 1901, S. 146. — « : 594, siehe BM 1.,, 1900, S. 270. — 
je:.'.«7, BJehe BM I3, 1900. S. 270-, 83, 1901, ??. 146. — !e:5»«— 600, siebe 
BM «3, 1901, S. 146. — 8:602, 603—604, siehe BM t,, 1900, S. 270—271. — 
!8:61I, siehe BM «3, 1901, S. 356—357. — «:6r2, siehe BM t,. 1900, S. 277: 
«3, 1901, S. 146. — «:613, siehe BM «3, 1901, S. 357. — 58:614, 620, aiehe BM 83, 

1902. S. 141. — !e:621. 623, siehe BM 1.,, 1900, S. 277; «3, 1901. S. 146-147. — 
!e:638, siehe BM «3, 1901, S. 147. — « : W2, 64S, siehe BM I.1, 1900. S. 271. — 
8 : 655, siehe BM «3, 1901, S. 357. — 2 : 656, siehe BM 43, 1903, S. 286. — « : 659, 
660, siehe BM 83, 1901. S. 147—14«. — S : 605, siehe BM I3, 1900, S. 271. — 8 : «74. 
siehe BM 43. 1903. S. 88. — « : 6S3, siehe BM «3. 1901, S. 148. — 8:693, siehe 
BM 43. 1903. !^. 287. — 8:700, 701, 703, 704, 705, siehe BM I3, 1900, S. 271 — 
273. — 8:719, siehe BM 83, 1901. 8. 367. — 2:720, »iohe BM 43, 1903, S. 287. 

— 8:721. siehe BM Is, 1900. S. 273.— 8:742, siehe BM I3, 1900, S. 273i^ 
Sa. 1902, S. 142. — 8:746, siehe BM I3, 1900, S. 278. — 8:747, siehe BM ls,H 
1900, S. 173; 8j, 1901, S. 225. — 8:749, siebe BM 43, 1903, S. 88. — 8:766. "^ 
siehe BM Sa, 1902, S. 142. — 8:767, siehe BM 83, 1901, S. 148, 357—358. — 
8:770, siehe BM 43, 1903, S. 208. — 8:773, 775, siehe BM 83. 1901. S. 35S 
-359. — 8:777, siehe BM 8,, 1901, S. 148; Ss, 1902, S. 204. — 8:783, siehe 
BM 83, 1901, S. 359; 43, 1903, S. 88—89. — 8 : 7S4, siehe BM 8,i, 1901, S. l48. — 
8:802, siehe BM 43, 1903, S. 208. — 8:812, siehe BM 43, 1903. S. 37. — 8:820, 
^(2.5, 840, siehe BM 83, 1901. S. 148—149. — 8:843, siehe UM 83, 1902, S. 328. 

— 8:856, 865, siehe BM 83, 1901, S. 149. — 8:876, 87S, 879, siebe BM I3. 
1900, S. 511. — 8:891, siehe BM I3, 1900, S. 273. — 8:898, siehe BM 43, 

1903, S. 37, 208. — 8 : 901. siehe BM I3, 1900. S. 511. — 8 : VIII (Vorwort), siehe 
EM Ss, 1902, S. 142. — 8: IX, X (Vorwort), siehe BM I3, 1900, S. 511—512. 



.1 : 9, siehe BM 83, 1901, S. 359. — 3 : 10, siehe BM l», 1900. S. 518. — 3:11, 
siehe BM 4^, 1903, S. 209. — 3:12, 17, siehe BM I3. 1900, S. 512. — 3:22. siehe 
BM I3, 1900. S. 512; 43. 1903. S. 209. — 3:24, siehe BM 43, 1903, S. 209. — 
3:25, siehe BM 43, 1903, S. 209, 399. — 3:26, siehe BM 83. 1901, S. 359. — 
3:45-48, 49, 50, siehe BM I3, 1900, S. 512—513. — 3:70, siehe BM 83. 1901, 
S. 360. — 3:100, siehe BM 83, 1901, S. 149. — 3 : 112, siehe BM 43, 1903. S. 209 
—210 — 3 : 116, siehe BM I3, 1900, S. 513. — 3 : 117, siehe BM U, 1900. S. 518. 



Eleiue Mitteilungen, 



71 



S:l«3, siehe BM la, 1900. S. 513; 43, 1903, S. 399. — 3:12-1, «iehe BM 3:,, 1902, 
8. 407—408; 43, 1903, S. 400. — 3 : 12ß, siehe BM 4a, 1903, S. 288. — 3 : 131, siehe 
BM 4,-), 1903, S. 210. — 3:151, siehe BM 83, 1902, S. 326. — 3:167, 172—173, 
siehe BM 4a, 1903, S. 400. — 3:174, siehe BM «3, 1901, S. 149—150. — 3:183, 
siehe BM I3, 1900, S. 432. — 3 : 188, siehe BM 83, 1902, S. 241. — 3:201, eiehe 
BM I3, 1900, S.513. — 3:207, siehe BM I3, 1900. S. 519. — 3:213, siehe BM 83, 
1901, S. 150. — 3:218, siehe BM I3. 1900, S. 513. — 3:220. siehe BM 33, 1902, 
S. 326. — 3:224, siehe BM I3, 1900. S. 514. — 3:225, 228, siehe BM 2«, 1901, 
S 150. — 8:232, siehe BM I3, 1900, S. 614. — 3:246, siehe BM I3, 1900, S. 514; 
«s. 1901, S. 151. — 3:2.'-iü, siehe BM I3, 1900, S. 514. — 3:303, siehe BM «3, 
1901, S. 155. — 3:330—331. siehe BM 83. 1902, S. 241— 242. — 3:447, 455, siehe 
BM «3, 1901, S. 151. — 3 : 473, siehe BM «3, 1901, S. 154—156; 48, 1903, S. 401. — 
3:477, 479, siehe BM «3, 1901, S. 151—152. 



3 : 507. Als Erscheinungsjahr der vier B&nde der Opera omnia von 
Johann Bernoui.m gibt Herr Cantor 1742 an, und diese Angabe ist insofern 
«richtig, als alle vier Bände auf dem Titelblatt 1742 als Dmckjahr tragen. 
^K)a aber das Vorwort des Herausgebers am Anfange des ersten Bandes vom 
3. Milrz 1743 datiert ist, so folgt schon daraus, daß das richtige Erscheinungs- 
jahr nicht 1742 sondern 1743 ist. Übrigens geht aus einem Passus eines von 
^r.s8 (üorrespondance mathemalique et phijsique de quelques celihres gionü'tres du 
-XVIII^^^ sü'cle, tome II, p. 511) veröffentlichten Briefes von Damei. Ber- 
:3ioiTu.i an Euler hervor, daß der vierte Band um Ende des -Jahres 1742 noch 
nicht fertig war. Danibi. Bkrnoulu schreibt nämlich am 12, Dezember 1742: 
,Sonsten werden meines Vaters sümmtliche opera in Lausanne in vier tomis in 
4** gedruckt. Es wird eine überaus schöne Edition seyn, und wird solche in 
4 oder 5 Monaten ganz fertig seyn, indem allbereits 3 tomi völlig gedruckt 
sind*. Der vierte Band kann also jedenfalls nicht vor April 1743 erschienen 
sein. In diesem Bande gibt es übrigens eine Datierung, die nicht nur inkorrekt. 
Sondern wesentlich irreleitend ist, und welche ich darum hier erwähne, obgleich 
(« sich nicht um eine Abhandlung der reinen Mathematik handelt, sondern um 
die .Hydranlica* (S. 387 — 488). Der Titel dieser Abhandlung lautet: ,Hy- 
dranlica. Nunc primum detecta ac demoastrata directe ex fundamentis pure 
tiechanicis. Anno 1732", aber sie besteht aus zwei Teilen, von denen der 
Orste am 7. MUrz 1739 der Petersburger Akademie der Wissenschaften über- 
*"©icht wurde, und der zweite zuerst am 31. August 1740 fertig war (vgl. 
Jiiblioth. Mathem. 23, 1901, 8. 447) — der Brief von Euler, dessen 
•A.nfang als Einleitung zur Abhandlung dient, ist vom 18. Oktober 1740, was 
freilich die Opera omnia verschweigen. Ich sagte soeben, daß die Datierung 
*^icht nur inkorrekt, sondern auch wesentlich irreleitend ist; iu der Tat be- 
kommt der Leser dadurch die unrichtige Vorstellung, Joha.vn Bernoulli 
9ei stihou im Jahre 1732 im Besitze vieler der Satze, die Daniel Bebkoulli 
^788 in seiner Uydrodynamica veröffentlichte (vgl. Fuss, a. a. 0. S. 530), 
(gewesen. 

Beil&afig bemerke ich, daß in dem oben zitierten Briefe von Daniel Ber- 
"soii.ij an Ein.ER (siehe Prss, a. a. 0. S. 510) folgender Passus vorkommt: 
,Ich habe auch dieses Alles meinem Bruder, scriptorum patemorum editori, 
demoostrirt', und daß man hieraus folgern könnte. Johann II. Bernoclli sei Mit- 
hfivausgeber der Opera omnia gewesen (vgl. P. Merlvn, Die Mathematiker 
UuiAuVLU, Basel 1860, S. 31, 49). Indessen ist es möglich, daß sich diese 



72 



G. EvmTitöM. E. Rath. 



Worte des Da>tei, BrnNoiiLU nicht anf die Opera omnia. sondern nur »uf 
die in den Commentarii der Petersburger Akademie veröffeDtlichten Ab- 
handlangen beziehen. O. Eke««tröm. 



3:521, siobe BM «3. 1901. S. 441. — 3:535, 
S:5«5, 5-1, siebe BM 83. 1902, S. 326—327. 



»lebe BM 4a, 1903, S. 401 — 



8:571. Einen weiteren, freilich nicht sehr bedeutenden Schritt in da 
Gebiet der Maxima und Minima von beliebig vielen unabhängigen Veründer- 
lichen machte MAOi-ArRiK etwas spttter in seinem Treatise of fluzions (1742). 
Dort bewies er n&mlich (Art. 920, 921), daß das Produkt 



xy^e'" 


(a; + .V + / + ....= i) 


ein Ma.ximnm wird, wenn 




1 n 


Z 

m 


ist, und dafi ebenso das Produkt 




sin"*« • sin".y • sin""*- sin"» . . 


.. ( X + ,»/ + r + r + . . . = ft) 


ein Maximum wird, wenn 




tg a: ^^ tg j/ 

f» n 


tgj __ tgr ^ 
r » 


ist. 


G. Bneström, 



3 : 5-R, siebe BM 33, 1902. S. 327. — 3 :614, siehe BM 43, 1903, .S. 89-90. — 
» : «SC.— 037, giehe BM «3. 1901, S. 441. — 3 : ß52, siehe BM «:,, 1901, S. 446. — 
3:fifi0, B(17. «N«. 695, siehe BM «3, 1901. S. 441—442 — 3:750, 7.58, 760, 7Bfi, 
Riebe BM «3, 1901, S. 446—447. — 3 : 774, 79S, siehe BM «3, 1901, S. 442—443. — 
3:H45, siehe BM «j, 1901. S. 447; 3». 1902, S. »27-328. — 3:S48, S81, siebe 
BM SBa, 1901, S. 443. — 3 : 8H2, siehe BM «3, 1901, S. 447. — 3 : S90, siehe BM 43, 
1903. S. 401. — 3:892, siebe BM 83, 1902, S. 143. — 3: IT (Vorwort), siehe 
BM 583, 1901, S. 443. 




Anfragen und Antworten. 

115. Pascal und der binomJBche Lehrsatz für nicht ganzzahlige 
Exponenten, Im vierten Bande seiner Opera omnia hat Johann Bcknoullj J 
(S. 169 — 192) , Remarques sur le livre intitul6 Analyse des infiniment petits, 1 
comprenant le calcul integral, dans tout son ^tendue etc. par M. Stone* ver- 
öffentlicht. Dort findet sich (S. 173) in betreff der Binomialreihe für einen 
beliebigen Exponenten folgende Bemerkung: „Nous avous trouv6 ce thöor^me, 
auBsi bien que Mr. Newton, d'une manif^re plus simple que la sienne. Pen 
Mr. Pascal a et6 le premier qui l'a invent^e". Der erste Teil dieser Be- 
merkung bezieht sich selbstverständlich anf die 48. Lektion der „Lectiones 
msthematicae de methodo integralium, aliisqae" (Opera omnia Ul, S. 522 — 525), 
wo Johann Bernoi-lli den binomischen Lehrsatz für einen beliebigen Exponenten 



Kleine Mitteilungen. 



7» 



geben hat. Dagflgen ist es schwierig 7,u verstehen, wie die Worte: ,,fHU 

Pascal a 6t« le preinier qui l'a inventee" verstanden werden sollen. Zwar 

^% Pascal die allgemeine Formel für die Herstellung der Zahlen, die in der 

Bincmialreihe als Koeffizienten vorkommen, aufgestellt, aber teils hat Johann 

Beknoulli seihst (siehe Opera omnia 1, S. 460) hervorgehoben, daÜ Pascal 

diese figurierten Zahlen nicht mit der Binomialreihe in Verbindung gebracht 

hatte, teils habe ich in Pascai^s Schriften keine Stelle auffinden können, wo 

eine Binomialreihe mit nicht ganzzahligen Exponenten auch nur angedeutet ist. 

Hat man irgend einen Grund anzunehmen, daß JoiiASN Bkhkoulli eine 

jetit verlorene oder wenigstens bisher ungedraokte Schrift von Pascal gekannt 

bat. worin die fragliche Formel vorkam? G. Ene-stköm. 



Antwort auf die Anfrage 114 über die Gesohiohte des Termee 
nTorsion". Saikt-Vknant führt in seinem Memoire »ur les lignes courhes 
»on pUines (Jonrn. 6c. polyt. T. 18 [Gab. 30], 1845, S. 55) die Bezeichnung 
«Torsion* auf L. L. Vall^k zurück, der in seinem Traue de geometrie descrip- 
(iw, 1819. eh. IIT, n™ 671, 673 diese Bezeichnung vorgeschlagen habe. In 
(1k mir vorliegenden zweiten Auflage dieses Werks vom Jahr 1825 findet sich 
die Bezeichnung „torsion" und „angle de torsion" in Nr. 774 (S. 295), eine 
Begründung dieser Bezeichnung iu der Note zu Nr. 776 (auf,S. 296 u. 297). 
V^jLLKi; schlügt auch den Ausdruck ,,courbe8 gauohes" statt „courhes i double 
conrbnre" vor (S. 295). Saint- Vknant beanstandet die Bezeichnungen „flexion" 
ffir die 1., „torsion", „seconde courbure" für die 2. Krümmung und schlägt für 
die erste Krümmung „courbure", für die zweite „carabrure" vor (1. c. S. 54 — 62). 

Stuttgart. E. Bath. 



74 



Rozensioneii. 



Rezensionen. 

A. von Braunuiülil. Vorlesungen über Geschichte der Trig 

Zweiter Teil. Von der Erfindung der Logarithmen bis auf die 
Leipzig, Teubner 1903. XI + 264 S. 8». Mark 10. 

Der erste Band der Vorlesungen v. BRAUNMÜin^ über Geschichte t 
metrie erschien 1900, und man erwartete seitdem mit gespannte, 
den nun vorliegenden /.weiten Band. Bei einer Üüchtigen Durch 
letzteren schon wird man den Eindruck gewinnen, daß die seit 1900 
drei Jahre kaum dem Verfasser dazu genügt haben würden, das ungem 
reiche Material in der Art, wie es hier geschehen ist, zu bewftlti( 
sichten; es magVohl schon beim Erscheinen des ersten Bandes 7i€ 
zweiten vorbereitet gewesen sein. Von vornherein war es klai\ da 
ganz andere Schwierigkeiten zu überwinden sein mußten, als beim 
Zunächst erstreckten sich die Vorarbeiten größeren ümfanges, wie et 
großes Werk, nur bis ungefähr in die Mitte des 18. Jahrhunderts. \ 
hinaus reicht, d. h. die zweite Hälfte des vorliegenden Bandes, mußt 
ganz in Einzelnen aus der überaus reichen Literatur besonders de 
hunderts zusammengesucht werden, sondern es waren hier auch d 
punkte, die für die Entwickelung maßgebend sind, und nach denen ei 
des Materials zu erfolgen hatte, erst aufzustellen. Gerade dies wii 
Geschichte der Trigonometrie durch einen im übrigen günstigen l 
Schwert, Da nämlich bei ihr das praktische FormelgebSude schon v 
wesentlichen fest stand, so besteht die weitere Fortentwickelung in eil 
des Vorhandenen nach sehr verschiedenen, und divergierenden Rieb 
ohne daß doch dabei Resultate von umwälzender, und deshalb durcl 
teristischer Bedeutung auftreten. Es handelt sich meist außer um 
um Verallgemeinerungen speziell auch uui neue Auffassungen des 
kannten, durch welche Beziehungen zu anderen Zweigen der mathematis) 
Schäften gewonnen werden. Ein einheitlicher Ge«icbtspunkt für die E 
ist hier, im Vergleiche mit anderen Gebieten der Mathematik, schwerer 
aufzustellen; andererseits auch eine Abgrenzung des behandelten 
individuell zu treffen, und deshalb stets EinwOnden ausgesetzt. 

Dazu kommt noch eine andere Schwierigkeit, die ganz allgemei 
fuhrliche Darstellung der Geschichte der Mathematik bis in die Gegei 
zu einer nahezu kaum lösbaren Aufgabe macht — wenn sie allerdings 
bei der Geschichte der Trigonometrie nicht ganz so stark in Betra 
Die Methoden, deren sich die Mathematik bis zum Ende des 17., 
Jahrhunderts bediente, sind dem durchschnittlichen Mathematiker he 
ganzen bekannt und geläutig; auch die damals gewonnenen Resultt 



ReMnaionen. 



d«r Hauptsache nach zum Bestände seiner Kenntnisse. Für die spezialisiertereu 
ud zahlreicheren Arbeiten insbesondere des 19. Jahrhunderts gilt dies ganz 
nad gar nicht mehr. Sobald es sich hier also um eine ins einzelne gehende 
iiistoriscbe Darstellung bandelt, die mehr als eine Charakteristik der grofien 
«istenschaftlicben Strömungen und Gessmtresaltate geben soll, ist der Mittelweg 
iwiscfaen einem Literaturverzeichnis und einer vollständigen Enzyklopädie des 
betreffenden Wissenszweiges nicht leicht zu finden. Anders gesagt, es ist schwer, 
die einzelnen Momente des Fortschrittes der Wissenschaft auch dem der Spezia- 
litlt feruer stehenden Leser zum wirklichen Verständnis zu bringen, ohne ihn 
melir, als unbedingt nötig, mit den Details zu ermüden, und ohne den zur 
VertSgnng stehenden knappen Kaum zu überschreiten. Dali dies im vorliegenden 
"ttki im großen und ganzen gelungen ist (man sehe z. ß. den Bericht über 
die Untersuchungen von Möwis und die daran anknüpfenden, etc.), betrachten 
*ir als einen der bedeutsamsten Vorzüge desselben; daß dabei ttir manche 
Khwierigere Untersuchungen, die an der Grenze des behandelten Gebietes liegen 
(wie die über die Transzendenz von jr) nur die einschlägigen Arbeiten und ihre 
Kesnltate ohne Darlegung ihrer Methoden angegeben sind, war nicht zu umgehen. 
Durchblättern wir den Band, um einen Überblick über den Inhalt zu ge- 
winnen, so tinden wir zunächst die Geschieht« der Erfindung der Logarithmen 
Bad der sich daran anknüpfendau Umformungen der trigonometrischen Fürmeln, 
die man von nun an, anstatt durch Summen, durch Produkte und Quotienten 
dtnastellen bemüht war. Die Beziehung der BüitGischen wie der NEi'SRSchen 
Logarithmen zu den natürlichen wird als eine sehr lose erkannt, insofern sie 
Uofl besagt, daß zwei aufeinander bezogene Reihen, von deren die eine in 
geometrischer, die andere in arithmetischer Folge fortschreitet, durch geeignete 
DiTtBon auf die Formen (1 + r)" und d- en gebracht werden kann, was für 

kleine e der angenäheiten Basis e entspricht. Weiter hervorgehoben wird 
lUnn die geistreiche, von Nkfek einwandfrei bewiesene, später von Lambert 
genau ebenso wieder aufgenommene Beziehung der zirkulären Stücke eines recht- 
«rinltlig sphärischen Dreiecks, die neuerdings auf eine gruppentheoretische 
DentODg geführt hat. Endlich wird ein Bericht über die damals erschienenen 
Tafelwerke gegeben, und auf die dabei verwendeten genialen neuen Differenzen- 
Bietboden kurz hingewiesen. In den folgenden beiden Kapiteln wird zunächst 
•ine Übersicht der trigunoraetrischen Lehrbücher des 17. Jahrhunderts gegeben, 
*ob*i außer den durch Einführung der Logarithmen direkt bedingten Ande- 
''iiigen gegenüber der früheren Darstellung noch die erste Benutzung von Hilfs- 
"inkeln erwähnenswert ist. Es folgen die Methoden zui' Berechnung kleiner 
"inkel aus ihren Sehnen imd Sinus, wie sie Hiivhens in so geistreicher Weise 
Oitwickelte, und die Überholung dieser Methoden durch die der neu erfundenen 
I^iffereDtial- und Intt-gralrechnung besonders auf dem Gebiete der lieihenlehre. 
"ie Bemühungen um goniometrische Formeln für sinus und cosinus der Vielfachen 
•nies Winkels führten zur Entdeckung des MoivKKSchen Satzes, dessen Bedeutung 
in Sinne der Einführung des Rechnens mit imaginUren Größen allerdings weit 
fiber die Grenzen der Trigonometrie hinausgriff. Ebenfalls in die ersten Jahr- 
Mhate des 18. Jahrhunderts fallen De L.vonvs goniometrische Untersuchungen, 
nie ihn über J. Gregorys Behauptung der ünmtjglichkeit der Kreisquadratiir 
binaus zu der sehr einsichtig formulierten Behauptung der Unmöglichkeit des 
■Zonalen Zusammenhongee zwischen Bugen und Tangente führten. Freilich 
lA sein Beweis nicht minder trügerisch, als es der Qreoorys gewesen war. 



76 



Rezensionen. 



Das Ende des dritten Kapitels bildet wieder eine Besprechung der bis rxi ErLEBS 
Arbeiten im 18. Jahrhundert erschienenen Lehrbücher der Trigonometrie, Toa 
denen besonders dasjenige von Pk. W. von Oppel über die Wiederholung des 
Hingst Bekannten hinausgeht. 

Das viert« Kapitel ist ganz der vielseitigen Tütigkeit Eit,ers gewidmet. 
Sie war ebenso bahnbrechend in Aufstellung neuer, an Eleganz wie an Menge 
unübertroffener, Fortnein für numerische Berechnungen, wie für die Einführung 
einer definitiven Bezeichnnngs- und Schreibweise bei trigonometrischen Größen 
ujid Figuren. Mochte die Notwendigkeit solchpr Bezeichnungen und Abkürzungen 
seit GiKAUD sich gelt«nd machen, und niocht*?n von Oi'uiitked bis Fk, (jU. Maiku 
und OrPBi. die Bemühungen, ein konsequentes und praktisches System für sie 
zu gewinnen, nicht aussetzen, es blieb dem praktischen Genie Euleus vorbehalten,^^ 
der Bezeichnung Eingang zu verschaffen, die uns jetzt als selbstverständlich e^^| 
scheint, und die sofort zu einer Übersichtlichkeit der Formeln führte, die ein^^ 
gute Illustration zu der bekannten These von Clebsch bildet: , Maximum in 
mathesi est ratio designandi'. Und ebenso wieEuLKR die Behandlung der trigono- 
metrischen Funktionen als Verhältnisse, und ihr Zeichen in den verschiedenen 
Quadranten gab, so ging er andererseits nach der Richtung der Verallgemeinerung- 
der Vorstellungen der Trigonometrie für andere Flüchen als die Kugel als 
erster voran. 

Seit EuLEiu Zeit ist die Trigonometrie im alten, elementaren Sinne im 
wesentlichen als dem Inhalte und den Resultaten nach vollendet zu betrachten; 
es treten von nun an Bestrebungen in den Vordergrund, einerseits das ge- 
wonnene Instrument für spezielle Anforderungen der Praxis noch geschmeidiger 
zu machen — hierher gehört die Umformung der Formeln zur Berechnung 
kleiner Winkel, die Aufstellung der Differentialbeziebungen bei Änderung eines 
Stückes, die Eraetzung eines kleinen sphärischen Dreiecks durch ein ebenes — 
andererseits eine Ausdehnung der gefundenen Formeln und Theoreme für Kreis- 
funktioneu auf andere Punktionen (wie die Hyperbelfuuktionen) und für Dreiecke 
auf beliebige Polygone, zu geben — endlich den alten Fragen von der Kreis- 
quadratur in dem neuen seit GKKiioitv und De LA(iNV dafür gewählten Gewände 
der Frage nach der rationalen Zusammengehörigkeit von Winkeln und Winkel- 
funktionen näher zu treten. Mit allen drei Beziehungen ist Lamberts Gestalt 
verknüpft; größtenteils steht sie ganz im Mittelpunkte des Interesses, wie sie denn 
auch das fünfte Kapitel beheiTScht. Erwilhuenswert sind hier schließlich noch die 
großen neuen Tafelwerke, die zur Zeit der französischen Revolution unter 
Legendres und IIei.ahbreb Mitwirkung berechnet wurden, und unter den Com- 
pendien der damaligen Zeit Kiaiüels Analytische Trii/onnmetric, wo zuerst aus- 
drücklich die trigonoraetrischea Funktionen als Zahlenverhältnisse zweier Seiten 
im rechtwinkligen Dreieck definiert sind. 

Die Trigonometrie des 1 9. .Jahrhunderts, die im sechsten Kapitel dargestellt 
ist, führte die oben cbai-akterisierten Betrachtungen weiter fort. Daneben aber 
treten teils rein analytische Ableitungen sämtlicher Eigenschaften der trigono- 
metrischen Punktionen, die von der Punktionstheorie ihren Ausgang nehmen 

wie die Ableitung der Periodizität aus dem Reihenansatz, oder die Herleituug 
des sinus und cosinus aus dem Additionstheorem — dann auch, entsprechend der 
allgemeinen Tendenz der Entwickelung der Mathematik nach der kritischen Seite 
hin besonders die Bemühung, den ganzen Aufbau allen Anforderungen der 
muthematiscben Präzision entsprechend auf möglichst geringen Voraussetzungen 



J 



Reseniionen. 



77 



n b«werkste11igon oder mit neuen Zweigen der Mathematik, wie der Griippen- 
ond dt>r InTariaotentheorie zu verknüpfen. In diese Richtung fallen in gewii$sem 
SiDe schon die vom Cosinussatze ausgehenden Rei;hnangen von LAUR.\N<iE; dann 
iber die ÜARNOTSchen Theorien der iiiverseu Grülieu und der korrelativen Hysteme, 
weit später die Arbeiten von Möbilis, und wieder ein halbes Jahrhundert später 
die TOD Klein und Study; sowie viele minder wichtige dazwischen. Weiter 
fiodao wir in neuerer Zeit eine Tendenz zu Verallgemeinerungen, wie sie 
sich z. B. ergeben, wenn statt des Dreiecks das Tetraeder den Untersuchungen 
ngruade gelegt wird, oder wenn rann statt von Kreis oder Hyperbel von 
liöhwen Kurven ausgeht, wenn die Quaternionen benützt werden, etc. Daß 
dim letzterwähnten Dinge, wie auch die ans der Geodäsie herstammenden 
Fragestellungen vielfach nur sehr kurz behandelt, oder, wie etwa die Winkel- 
tmiehnngen im n-dimensionalen Räume, bei Seite gelassen werden, liegt in der 
Nitar der Sache, da eine eingehende Behandlung doch mehr Raum erfordern 
würde, als hier zur Verfügung steht, und als im allgemeinen auch der 
praktischen Bedeutung besonders der Verallgemeinerungen entspricht. 

Wie diese kurze Inhaltsangabe zeigt, bietet der vorliegende Band einem 
jeden Mathematiker eine reiche Fülle von interessanten und anregenden Jlit- 
teilnngen und neuen Gesichtspunkten. Von ganz besonderem Werte wird das 
W^erk aber für den sein, der selbst auf demselben Gebiete weiter zu arbeiten 
wfinKht. Wenn in dem gewaltigen Material, das hier zusammengetragen ist, 
aiuelnes fehlen sollte, so wird es gerade ein wiinschenswerter Erfolg des Buches 
sein, derartige Ergänzungen zu veranlassen. Jedenfalls wird es von nun an 
keine Entschuldigiing mehr dafür geben, wenn immer wieder iBngst aufgestellte 
Formelsysteme oder Ableitungen der Trigonometrie aus Unkenntnis der vor- 
hudecen Literatur als neu veröffentlicht werden. Niemand aber wird das Buch 
»U der Hand legen, ohne dem Verfasser für die mühevolle Arbeit, durch die 
w tns dem unübersehbaren Stoffe ein so übersichtlich interessantes und be- 
lehrendes Werk zu gestalten wußte, aufrichtigen Dank zu wissen. 

Wir erw&hnen noch einige Versehen, resp. Druckfehler, die uns beim 
Durchlesen des Bandes aufgefallen sind : 

psg. 6. Zeile 6 sollte stehen: --i"'~-) ■ 10' statt '^ ("^-'f • !<>'• 

psg. 13. Bei Vergleichung der zirkulären Stacke der Dreiecke BSP und 
Ci'S soll es heißen: 



C'Z=90'>— <S 
90"— <Z=.ßS 



statt 



CZ= BS 
900— <^=90<»- <S. 



pag. 47. Zeile 19 ist AM statt AC zu setzen. 

Zeile 24 ist <) nicht Fußpunkt der Senkrechten von B, sondern 
derjenigen vom höchsten Punkte des Kreises CMB 
über Kreis CMA (so daß also Mö == cos C ist). 
, 57. In der Formel g?^- . . . der Anmerkung 3 fehlt rechts von > 

der Summand -f" *'" T*' 
, 62. Zeile 5 ist 2(a; — ;t-) statt 2x — x'' zu lesen. Femer fehlt 

hier das Moment BK. 
, 94. Zeile 6 ist ip, zu streichen. 

, 95. Zeile 10. In der Formel ist y vor — einzuftlgen. 

c 



78 



Rezengioneu. 



pag. 97. 
, 109. 
, 134. 

. 226. 



Zeile 10. ZP ist nicht gegeben, also zn streicheo. 

Zeile 3 von unten ist einmal sin statt cos verdniukt. 

Zeile 21 ist sin h and cos h vertauscht, femer unter diesen 
Zeichen statt (p M zu setzen. 

Zeile 7. Im Nenner der Formel soll (4 t» -f 3) statt (4m -|- 3)' 
stehen. Weiter ist die Bemerkung von Lucas, daß diese 
Reihe rasch konvergiert, ziemlich optimistisch, da sie io 



, 233. 
München. 



der Art von 2S TS» 
Zeile 8 von nut«n ist 2£ 



fortschreitet. 

zu streichen. 



W. M. KlITTA. 




AI-Battänt sive Albatemi opua aatronomicum. Ad fldem oodiois eaoaria- 

lensie arabice editum, latine versum, adnotationlbuB instmctum a 

Carolo AlpIlOIlSO KallinO. Pars I. Versio capitum cum animadversi- 

onilus. Mediülaui 1903. LXXX + 327 S. 4». (Fubblicanoni del K. Osser- 

vntorio di Brera in Milano, No. XL. P. I.) 

In dieser Zeitschrift (1,,, 1900, p. 285—286) warde der III. Teil dieses 

Werkes, den arabischen Text enthaltend, einer kurzen Besprechung unterzogen, 

jetzt folgt nach vier Jahren auch die lateinische Übersetzung nach. Wer die 

51 Bogen dieses Großtioartbandes auch nur flüchtig überblickt, der wird über 

die ungeheure Arbeit, die in diesem Bande aufgespeichert ist, erstaunen, und 

deshalb den Zeitraum, der zwischen der Ausgabe der beiden Teile liegt, wohl 

begreifen können. 

Die Vorrede umfaßt ohne das Verzeichnis der benutzten Quellen und 
die Addenda uiid Emendandü 64 Seiten, die Übersetzung des arabischen Textee 
nimmt 150 Seiten in Anspruch, den Anmerkungen (.adnotationes") kommen 
die letzten 177 Seiten des Bandes zu. Vorrede und Anmerkungen enthalten 
eine Fülle des interessantsten Materials zur Geschichte der Astronomie und 
Mathematik bei den Arabern sowohl, als auch bei den Griechen, Babyloniern. 
Indern etc., und lassen die grotien historischen und Bstrouomischen Kenntnisse 
Nallinos, sowie auch die schon lUngst bekannten seines berähmten Mitarbeiters 
Giov. SciLLvi".\UKi,u in schönstem Lichte erscheinen; wir erhalten durch diese 
Arbeit eine nahezu vollstUndige Kenntnis des astronomischen Wissens der Araber, 
voUstiindiger und richtiger als sie bis Jetzt irgendwo auseinandergesetzt worden ist. 
Auf rein nstrouomische und auf sprachliche Fragen trete ich im folgenden 
im allgemeinen nicht ein, sondern überlasse die Besprechung des Werkes nach 
diesen Seiten bin den Fachgelehrten ; ich werde nur diejenigen Punkte heiTor- 
heben, die für die Geschichte der mathematischen Wissenschaften von Bedeutung 
sind, und besonders auch auf gewisse Stellen meines Buches (Die Mathematiker 
und Astronomen der Araber und ihre Werke; Äbhandl. zur Gesch. 
mathem. Wissenschaften, 10, 1900) zu sprechen kommen, die durch vo: 
liegende Arbeit in irgend einer Weise alteriert werden. 

Praefalio, p. VIU, Not« 13: Die Stelle in el-BattäkIs Lebeusbeschreibunj: 
wawarada ild Bagdüd . . . . fi euldmdt hinal lahutn , habe ich (s. mein Buch 
p. 46) mit Andern übei-setzt durch: .Wegen der Unterdrückungen, die ihnen 
(namüch ihm und den BenS ei.-Zai.iät) zu teil wurden, zog er mit diesen nach 
Bagdad'; es soll aber nach Nallöo (vergl. auch Dozv, Sujypl. aux dictionn. 



er 

i 





Resenaionen. 



79 



$nbes n, 291) beißen: ,er kam nach Bagdad, nm einen Tribut, der ihnen 
{im Benl el-ZaijAt) ungerecht auferlegt worden war, rückgängig zu machen." 
p, XI — XVni bandelt Nalllno über Gleburtsort, Abstammung, Glauben 
md Tod Ei.-B.vTTÄNis, und kommt zu dem Schlüsse, dem wir nach nUberer 
Prüfimg wohl beistimmen können, daß kl-Battänis Vorfahren, vielleicht der 
Vtter noch, Harränische Säbier (wohl zu unterscheiden von den Bäbiom des Ijortins) 
gewesen seien, daß er selbst aber als Muhammedaner geboren sei, was schon 
seia Name Muhammed beweise, and worauf auch schon Ibn Gbali.ikän und 
Aiüi-Fedä aufmerksam gemacht haben. Ob Battän oder Bitt&n ein Ort 
im Gebiete von Harrfln, oder nur ein Quartier oder nur eine Strafle von Harr:\n 
gtweten sei, läßt sich bis jetzt noch nicht entscheiden. Dagegen ist als sicher 
■Bnuebmen, daß der Ort, wo el-BATTA»! gestorben ist, das Schloß el-Giss (oder 
ÖM«), von dem Chalifen el-Mo'ta^im in der Nühe von Sftmarrä erbaut, gewesen 
ist, und nicht die Stadt el-^adr, die damals schon in Ruinen lag. 

p. XIX — XXin kommt Nallino auf die kleinem Schriften el-BattAnis 
lu fprechen. Wir müssen hier die Titel zweier Schriften berichtigen, die wir 
(b ansenu Buche p, 46) teils infolge falscher Lesarten, teils aus Unkenntnis 
der darin auftret«nden astrologischen Konstausdrücke nicht richtig übersetzt 
luiwn; jÜber die Kenntnis der Aufgänge der Häuser nach den vier Quadranten 
der Sphäre" soll heißen: ,Über die Kenntnis der Aufgänge der Tierkreiszeichen, 
die jwischen den vier Hauptpunkten der Ekliptik liegen"; es handelt sich hier 
BD die Berechnung der sog. directiones, für deren ErklUrung ich auf p. 313 
—817 der Anmerkungen verweise. .Abhandlung über die Verifizierung der 
W'irlrangen der Konjunktionen' soll heißen: ,Ein Brief über die Verifizienmg 
der Größen der rt/jp/icaZ/owes" ; über diesen astrologischen Begriff vergleiche man 
p, 305 — 313 der Anmerkungen; überhaupt enthalten die letzten Seiten der 
Anmerkungen (304 — 327) eine Reihe von Aufschlüssen über astrologische Dinge, 
Aber die bis jetzt viele noch im Unklaren sein mOgen; ich trete des Raumes 
hilber nicht auf dieselben ein, sondern ei^wähne hier nur, daß nach Nallino 
'on den mittelalterlichen Kommentatoren astrologischer Schriften Henkici'8 
Bates das größte Verständnis für diese Fragen bekundet hat. 

p. XX — XXUI zeigt Nallino, was auch schon Ahlwaudt (Verzeichnis 
der arabischen Handschr. der k. Bibliolh. eu Berlin, V p. 274) bemerkt hat, 
dt0 der Berliner Codex 5875 nur Auszüge aus dem Quadripartitum des 
(^OLKHÄus and keinen Kommentar Ei.-BArrÄNiH dazu enthält; femer ist der 
Codex 966,2" des Escorial, der diesen Kommentar enthalten haben soll, ver- 
loren gegangen. 

p. XXIII — XXXI behandelt Nallino Schriften, die Ei.-BA-rrÄNi fUlsclilich 
^geschrieben werden, woraus wir folgendes hervorheben: p. XXV und aueh 
P- XLIX nennt Naluno Rudolphu.s Britoenbis (oder Bbiksgensis) als den 
Uberaetzer von Maslamas Rezension des Ptanisphäriums des Ptolemaus; es ist 
liier darauf aufmerksam zu machen, daß Björnbo (in Biblioth. Matbem, 43, 
1903, p. 130 — 133) nachgewiesen hat, daß HERiuNNrB SEorsDi's der Über- 
wtar dieser Schrift ist, und daß als Jahr der Übersetzung 1143 (nicht 1144) 
n lesen ist (p. XLIX steht richtig 1143, p. XXV aber 1144); N.u,uno konnte 
di«« Abhandlung noch nicht kennen. — p, XXVI zitiert Naixino eine Schrift 
fon Ast Ma'sar, betitelt muddkardt (== colloquia), enthaltend Antworten auf 
Mtrologische Fragen, die Abu Sa'Io SApAm b. Ba^k au ihn gerichtet hatte 
(forinmden in Cambridge, Nr. 1028, nach E. Browne, A handlist of the muham 



so 



Kezensionen. 




lein« 

i 



manuscr. of Cambridge. 1900); diese Schrift fehlt in meinem Bache, ich kaante 
damals das Veraeichnis von E. Browne noch nicht. — p. XXVIII — XXX gi^ 
Nali.iku meiner Ansicht nach überzengende Gründe dafür an, daß die VVerh 
Centiloquium, de horis planetariim, de ortu triplicHaium , die einem Bei 
oder Betiiesi zugeschrieben werden, nicht von el-BattänI stammen, was ich 
schon auf gütige briefliche Mitteilang Nallfnos bin in meinen Nachträgen ><<<^| 
Berichtigungen (Abhandl. zur Gesch. d. niathem. Wissensch., 14, 1904^ 
p. 164) richtig gestallt habe; daß der Name Bethen (auch Bbreni kommt vor) 
aber mit Beleni, Belim (= Aj-ollonus von Tiivase) identisch sein köunle, 
möchte ich, entgegen Nalijko, für wahrscheinlich halten. 

p. XXXI — LXIV behandelt Nallcno in erschöpfender Weise das Haupt- 
werk. Er scheint von seiner früheren Ansicht, die er mir brieflich mitget«ilt 
hat, daß das Werk nicht in zwei Ausgaben erschienen sei, zurückgekommen in 
sein, denn p. XXXEI bemerkt er, Täbit b. Qokka, der im Febr. 901 gestorben 
ist, erwähne schon eine Stelle aus dem 52. Kapitel, während im Codex des 
Escorial und in der PLATonischen Übersetzung zwei wichtige Beobachtunges 
aus dem Januar und August des Jahres 901 angegeben werden; das vorliegende 
Werk würde also die zweite Ausgabe bilden; in diesem Sinne ist also mein« 
Anmerkung 20» (in meinem Buche, p. 211) und die Stelle .Zu Art. 89* 
den Nachträgen, etc. p. 164) abzuändern. — p. XXXIII erwähnt N.u.uno ei 
Schrift eines anonymen Schülers von Avmei> b. Mip. elSiozI, betitelt tat 
cl-sutcar wc tabtih el-kuu>ar, über die Konstruktion der Astrolabien, die nc 
in Leiden (1068, nicht 1078, wie Nai-uno hat) vorhanden ist, und ia der 
el-Battäm zitiert wird, wozu Nallpno in Note 4) die Bemerkung hinzatug 
dieses Werk fehle bei Broi'kelilvsn und bei mir: da die Schrift anonym 
so habe ich sie eben grundsätzlich nicht aufgenommen. — p. XXXV sprict 
Nalmno in Note 5) die Vermutung aus, der Himesis (oder auch EuJiATinrs] 
dessen astronomische Tafeln (qdnön) von EL-ZARgAi.i verbessert berausgegebei*^ 
wurden, und von denen noch ein Manuskript in München (Nr. 853) eiistier"* 
(vergL mein Buch, p. 109, Note d), sei der Alexandriner Airjiojous (der Sob^^ 
des Hebmias, Ende des 5. Jahrb.), welcher nach Stephanus PHU.osoPHt:s (erst^^ 
Hälfte des 8. Jahrb.) Tafeln für die Ära des Philu-pi-s Aridäüs (Halbbruders^ 
Alexanders des Großen) verfaßt habe. — p. XXXVI, Note 1) zeigt Naluso "* 
daß die hinter Gekiiaros Thcoricae planetarum (Bologna 1480), gedruckt^^ 
Abhandlung De motu odave spere nicht diejenige Täbits über diesen Gegenston^^ 
sei, wie Steinscbneider (Zeitschr. f. Mathem. 18, 1873, p. 331 — 338,^- 
n. a. a, 0.) behauptet bat, sondern die eines Anonymus; ferner trage die^ 
Schrift, die 1518 in Venedig herausgegeben wurde, und die von SteüiS 
scBNEiUER ebenfalls als diejenige TiutTs JJe motu oclave spere hingestellt wurdc^P 
den Titel: TebiÜt de imaginatione spere: meine Angaben {Nachträge und Be—-' 
richügungen, p. 163) sind also in diesem Sinne zu berichtigen. — p. XXXlX-3 
widerlegt Nallino die oft wiederholte irrtümliche Behauptung, EnM. UkUjET^ 
habe aus den Beobachtungen EL-BATrÄxiis die säkulare Beschleunigung des 
Mondbewegung hergeleitet; eine solche habe erst 1749 R. Dunthorne dn 
Vergleichnng der damaligen Mondbewegung mit den Angaben Ei.-BATTJLNis 
mutet. — Weiter kommt dann Nai.i.ino noch auf unrichtige Auffassungen 
EL-BATTÄxis Leistungen bei Lai.ande, Bah-ly, Montucla und Delambre zt. 
sprechen, besonders der letztere hat bekanntlich aus EL-B.\TTÄNis trigono- 
metrischen Formeln mehr beraosgelMen als darin steht, wir kommen hienQ 



; aei^ 
flbeXi 




I 



81 



Sp&ter noch zurück. — p. XLT Vommt Naujjjo anf die Quellen zu spreoben, 
auf die sich el-Battäsi in seinem Werke stützt, rühmt seine große Bescheidenheit 
ond seine Ehrfurcht vor seinem großen Vorbilde Ptolemäüh, dessen Fehler er 
stillschweigend, oder ihren Urheber sogar entschuldigend (vergl. p. 127 — 128 
der Übersetzung) verbessert. Er erwähnt dann, wie el-Battäsi geüissentlich 
(«chniscbe Ausdrücke indischen und persischen Ursprungs vermeide; so kommt 
bei ihm weder aug (^ Äpogcum), noch gaib (^ sinns), noch httht (=^ ungleiche 
tigüche Bewegung der Planeten) vor, die sich bei andeiii arabischen Astronomen 
finden. Dann vergleicht Nall.ino das Werk ei.-BattAms mit dem Almagest, 
die Fehler und die Vorzüge des einen und andern hervorhebend, spricht von 
der oft schwer verständlichen Ansdrucksweise des Verfassers, die auch an dem 
scharfen Urteile schuld ist, das Reoiomontan und Delambre, besonders das 
26. Kapitel betreffend, abgegeben haben. — Es mag auch von Interesse sein 
ra erfahren, welcher Instrumente sich el-BattAnt bei seinen Beobachtungen 
bedient hatte; er erwähnt an verschiedenen Stellen das Astrolabium, das Seh- 
ix>br (unibüb ^ tubtis), das hier zum erstenmal bei den Arabern erwähnt wird, 
den Gnomofi, den Himmelsglobus mit fünf Ringen, das Triquetrum oder die 
psrallaktischen Lineale, den Manerqnadranten und die Sonnenuhren. Was den 
iubtiS Wauvkrted Strabos anbelangt, den N.vllkjo ebenfalls zitiert (p. 272), 
ao muß hier bemerkt werden, daß sich diese Notiz auf eine Arbeit P. Martvs 
im Einsiedler Schulprogramm von 1856/57 stützt, betitelt: »Wie man vor 
1000 Jahren lehii« und lernte'; nun stammt aber nach einer brieflichen Mit- 
teilung Martys an den Verfasser dieser Besprechung (vergl. Zeitschr. f. 
llathem. 29, 1884; bist.- litterar. Abteil, p. 178 f.) diese Arbeit nicht ans 
einßm wirklich vorhandenen Tagebuche Strabos, sondern ist größtenteils ein 
Produkt der Phantasie Mautys, das immerhin in gewissen Punkten einer 
historischen Grundlage nicht entbehrt, denn in der Tat existiert im Codex 18 
der St. Galler Stiftsbibliothek (aus dem 10. Jahrh.) p. 43 ein Bild eines MOnchs, 
<Jer »nf einem Schemel stehend durch ein langes Femrohr nach dem Himmel 
klickt (in Holzschnitt reproduziert in den Mitteilungen der antiquarischen 
Gesellschaft zu Zürich 19, 1877). 

Die Trigonometrie al-BattAnis. Wir fassen unter diesem Titel alles 
^'»Simmen, was wir in der VoiTede, der Übersetzung und den Anmerkungen 
fü-T- diese Besprechung der Erwähnung wert gefunden haben. 

p. XLVI — XLVIII anerkennt Nai.uno, daß erst in v. Bhaunmühls Vor- 
*^^ungen über Geschichte der Trigonometrie die Fehler, die Delambre und 
andere hierin begangen haben, erkannt und verbessert worden seien. Wir 
^^f^terlossen es also, hier das zu wiederholen, was in dem genannten Werke sich 
~*®»T5ber befindet, und geben nur noch einige Zusätze, die v. Braumhühl bei 
'■'okeuntnis des arabischen Textes entgehen mußten. 

Den Sinussats für das ebene Dreieck spricht allerdings ei,-BattAm1 noch 

P*cht als allgemein gültigen Satz aus; es findet sich aber doch eine Formel, 

j^ der er enthalten ist: p. 85 (Kap. XL) gibt el-BattänI zwei Lösungen der 

.^fgabe, die Entfernung des Mondes von der Erde zu berechnen, die aber durch 

***>» Lücke im Text bei Plato von Tivoli zu einer unverständlicbon zusammen- 

**»o*Ben sind; diese Lücke haben nun Nali^ino und Scdiapahei.i.i in sehr ge- 

•*ickt«r und der Wahrheit ohne Zweifel entsprechenden Weise ergänzt, die 

^*t« Lösung laut«t nun: „Multipliziere den Radius (der Erde) mit dem Sinus 

^^ scheinbaren Zenitdistanz (des Mondes), und teile das Produkt durch den 

Bibliatheoa Vatbematic». 111. Folge. V. Q 



i€%6ninon6ii ■ 



Sinns der Mondparallase, 
Erde*, also 



was sich ergibt, ist die Distanz des Mondes von der 



rf = 



r . Bin r 
üin !> 



IM 



Nai.lino hält es für wahrscheinlich, daÜ EL-BATrlNi diese Formel aus zwei 
rechtwinkligen Dreiecken erhalten hat, und gibt p. 265 eine dementsprechende 
Ableitung. Hierzn ist nun zu bemerken, daß N.VLLrNO in den Addenda (p. 
LKXm) uns eine für die Geschichte der Mathematik bei den Arabern höchst 
wichtige Notiz bringt, die zuerst Nalijso selbst (vergl. p. 181) und leider 
auch mir entgangen ist, daß nämlich der Sinussatz fQr das ebene Dreieck schon 
von EL-BiRÜNi (gest. 1048) und nicht erst von Na^ir kd-din ausgesprochen 
worden ist: in semer Chronologie der alten Votier (Arab. Text von E. SACUAr 
p. 184, englische Übersetzung von demselben, London 1879, p. 166) heifit 
in ungezwungener Übersetzung ans dem Arabischen: .Es ist aber denjenigen^^ 
welche die Geometrie studiert haben, schon bekannt, daß das Verhältnis einer — 
Seite zu einer andern Seite in einem Dreieck gleich ist dem Verfaültnis de^ 
Sinus des der einen Seite gegenüberliegenden Winkels zum Sinus dos der undenM^ 
Seite gegenüberliegenden Winkels.' EL-BrRÜNJ stellt also diesen Satz als einei^ 
den Geometern schon bekannten hin; wäre es da nicht möglich, daß ihn aucl». 
el-BattAni schon gekannt hlitteV Diese Stelle Ei.-BiRÜ^is, auf die also Nalmm» 
zum erstenmal aufmerksam gemacht hat, ist geeignet, uns zu der Annahme 
zu verleiten, daß alles was in dem trigonometrischen LehrgebUude (sakl el-qattn ,^ 
des Na^Ir ED-DiN uns geboten wird, schon vor ihm den arabischen Mathematikern 
bekannt gewesen sein möchte. 

Wir finden auch bei Ei--BArrÄNi (p. XLVII, p. 78—79, Kap. 39) em 
astronomische Aufgabe, in welcher der Fall vorkommt, in einem ebenen Dreieck^; 
von welchem zwei Seiten und ein Gegenwinkel gegeben sind, die dritte Seite 
direkt zu berechnen, er tut dies nach der Formel 



I 



h CGI C 



+ 



fc 



6' sin» C 



r3 

J 

I 



welche Nallino für aus der Figur des Almagestcs (V, 13) abgeleitet hält und 
auch selbst wieder ableitet (p. 255 — 256). — 

Wie im Altnagest, so findet man auch bei el-BattänI die vier ersten 
Fundamentalformeln für das rechtwinklige sphärische Dreieck, aber die Tangent« 
stets durch sin : cos ersetzt, da er wohl die beiden Fuuktionen tg und cot kannte, 
für dieselben aber nur Tafeln für die Gnomonlänge 12<' (statt 60 P, wie der, 
Radius bei den Sinustafeln angenommen ist) zur Bestimmung der Sonnenhöhe ' 
dienend, berechnet hatte. Bekanntlich hat dann Habas, EL-BATTÄxis Zeitgenosse, 
Tangenten- und Cotangententafeln für den Radius = 60'' berechnet. — Daß el- 
BattAnI auch den sphärischen Sinussatz für das rechtwinklige Dreieck gekannt- 
habe, hält Nali.ino, aus verschiedenen Formeln zu schließen, für ziemlich sicfaei~ 
(sehr wahrscheinlich hat ihn XAbit b. Qokka schon gekatmt); wir haben nur 
seine Verweisung auf Formel a) (p. 183) zu beanstanden: 

■ ■ j.— . . sin h. sin <p 
Sin differ. honzon. = 

008 <p 

kann nicht durch Anwendung des sphärischen Sinussatzes auf ein rechtwinklii 
Dreieck entstanden sein; ebenso handelt es sich p. 194, worauf Nalldco ebenfi^ 



nur 



Rezensionen. 



83 



verweist, am den Sinussaiz für das schiefwinklige Dreieck und nicht um den- 
jenigen für das rechtwinklige. 

Die meisten Pomielu aber leitet EL-B.\TTAsi nach der Projektionsmethode 
■b, d. h. aas Orthogonaiprojektionen der Himmelskagel auf den HoriKont und 
»nf den Meridian. Besonders wichtig sind die Formeln, die er auf diese Weise 
rar Bestimmung eines Stückes eines sphärischen Dreieckes findet, von dem zwei 
Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind: vor allem hervorzuheben 
ist hier die Formel des 26. Kapitels (p. 37 — 40 und 200 — 204), durch welche 
Eii-B.\TTÄNi die Bogendistanz zweier Sterne darstellt, und welche, wenn man 
den Radius ^ 1 setzt und die modernen Bezeichnungen einführt, in unsere 
beutige Formel übergeht: 

cos dist. = sin ß sin ß' -f- cos ß • cos ß' ■ cos {L — L') 
iro ß and ß' die Breiten und L und L' die Längen der beiden Sterne sind. 
Die Lösung ist von derjenigen des Geoug Ainttuciu.s (vergl, S. Günther, Studien 
Ä»* Gesch. der math. und phys. Geographie, 1877, p. 307; v. BKAirNMÜHi-, 
To'rltgungen über Gesch. d. Trigonometrie, I, p. 134; tmd C.\ntor, Vorlesungen, 
11*, p. 416 — 417) nicht wesentlich verschieden; statt wie Ajobücius (vergl. die 
Kgiir 8. a. 0.) die Sehne cd nach der Fonuel cd = Vbd* — bp -\- fc* berechnet, 
vex-^andelt EL-BArrÄNi diese in VC/'e -f bf) {fr — bf) -f b^ oder \'bc -de -f 6rf», 
ilso in eine für die Berechnung einfachere Fonnel; die Sehnen bc. Je und 
hd berechnet e^-Battäm! auf trigonometrische Weise, so ist z. B. bc = 

2 sinj — _- — I ° usw., während A6aRucii'8 nur Sehnentafeln anwendet. Es 

ist nicht unwahrscheinlich, daß Amirucius seine Lösung derjenigen EL-BATTÄNis 
entnommen hat. Dieselbe Aufgabe wird von el-Hasan b. 'Ali aus Marokko 
(vergl. Skdiu-ot, Truite des insirum. astron. des Arabes, Paris 1834, T. [, 
\>. 321 — 322) und in den Prolegomena zu den Tafeln ÜLÜd Beos (Übersetzung 
''• Scün.LOT, Paris, 1853, p. 116 — 119) mit Hilfe rechtwinkliger sphärischer 
I*>"eiecke gelöst. Alle diese Lösungen beweisen zur Genüge, daß den arabischen 
•Astronomen, wie schon v. Bkaunmühl (yorlesungen über Gesch. d. Trigono- 
***^it I, p. 53) richtig bemerkt hat (entgegen Delambre, dem die neuem bis 
*Qf V. Bkackmdhl gefolgt sind), der sphärische Cosinussatz nicht bekannt war. 
Wir müssen hier noch auf einen für die Geschichte der Trigonometrie 
"'cht unwichtigen Punkt eintreten. Wir haben oben gesehen, daß Er.-DATTÄNi 
** 'V'ermeidet, Tangenten und Cotangenten in seine Formeln einzuführen; in 
JlJ'^'a.llendster Weise zeigt sich dies bei der Formel, die el-BattänI im 5. Kapitel 

äie Rektaszension der Sonne oder irgend eines Punktes der Ekliptik mit 

Deklination d gibt: 



der 



sui a 



sin 6 . cos f 



cos d . am c 

, ^ C die Schiefe der Ekliptik bezeichnet. Nun teilt uns Naluno p. 163 mit, 
r^^ Qabaö, der nach ihm ein Zeitgenosse von el-Battäni gewesen sein soll, 
^©8^ Formel in folgender Weise gibt: 

sin a = r ■ tg ö • cot £. 

r"^*« in einem Werke, das, wie Naluko selbst zugibt, nur wenig später (höchstens 

^ Jahre) als die Astronomie EL-BATTiNis veröffentlicht wurde, treten die ge- 

l2^*>iiteD Funktionen, die letzterer geflissentlich vermeidet, in den astronomischen 

'^»Tneln auf. Diese Erscheinung laßt sich nur auf zwei Arten erklären: entweder 

6* 



84 



Bezeniionen. 



"1 "»»« 
LngBboL 
ung ■ 

egend^ 
ndene 
Paris 

in in{ 



wurden sofort nach dem Erscheinen der Astronomie des BattIkI Taagent 
und Cotangententafeln für den Radius = 60P hergestellt, oder die Tafeln, 
das Berliner Manuskript 5750 dem HabaS zuschreibt, sind nicht von diese 
sondern von einem sptttern Astronomen. Nun teilt mir Nali.ixo, dem ich med 
Zweifel hierüber geäussert hatte, in «inem Biiefe so gewichtige Gründe 
die Echtheit der Berliner Tafeln des Oaba^ mit, daß ich gezwungen bin, 
erste der beiden Annahmen als die richtige anzuerkennen. Habas, in de 
noch -vorhandenen .erprobten' oder „arabischen" Tafeln wir zum erstenmal 
Tangenten und Cotangenten für den Radius = tJO'' angewendet finden, wird 
also erst nach 920 gestorben sein; in diesem Sinne sind also meine Angab« 
(in meinem Bache p. 12 — 13) zu Kndem; ebenso soll es in Anmerkung 
(ibid. p. 208) beißen, das Berliner Ms. enthalte die „erprobten" Tafeln des 

p. XLIX — LX spricht Nai-lino über die Übersetzungen des vorliegend 
Werkes, erwühnt die verlorene des Robektus RETrxENsis, die noch vorhandene 
des Plato von Tivoli, und eine spanische, von der noch ein Exemj>lar in Par 
(Biblioth. arsenalis Nr, 8322) existiert. — P- L, Note 3) wird ein Fe 
Wi'STENFELDS rektifiziert, der auch in unser Buch (p. 46) übergegangen 
daß RoBERTUs Rettnensis nur die Tafeln el-BattänIs und zwar nach einem 
Auszuge, den Maslama GL-MAUKiTi aus denselben gemacht hatte, übersetzt 
habe; wie viel er vom Werke el-Battäsis übersetzt hat, ist nicht bekannt, und 
Mablama hat nur die Tafeln der Gleichungen der Sonne, des Mondes und dei 
fünf Planeten aus dem Werke el-BattAnIs ausgezogen. Der Fehler mag dahei 
kommen, dafi RoBER'n;8 die Tafeln eltBattänIs für alle mittleren Bewegnngec 
dem Meridian von London angepaßt und herausgegeben hat. — p. LVII stellt 
Nallino die Behauptung Steinmciineueks richtig, der Kommentar des Abx£i> 
B. JüSüT n. Ei.-DÄJE zum Centiloquium des Ptoi.e»iäi's sei nicht von Jon. Hispa- 
ij;n8I8, sondern von Plat<i von Tivoli ins Lateinische übersetzt worden, w« 
der erstere in seinen Zeitangaben sich nie der arabischen Zeitrechnung bedie 
habe; nun weist aber Naixino nach, daß in der Übersetzung des Alfragaxi 
die unbestritten von Jon. Hispalensis stammt, in verschiedenen Codices 
Datum der Vollendung in arabischer Zeitrechnung angegeben ist; die 
Setzung des Kommentars zum Centiloquium ist also, wie es bis auf Stetksce 
immer geschehen ist, dem Joh. Hispalenbis zuzuschreiben. 

Auf die Beschreibung des Codex des Escorial, die Naluno p. LX — I 
gibt, trete ich hier nicht ein. 

p. LXVI, Naluno halt den Namen Abu Muh. 'Abüeluabbär b. 'Abdi 
OABBÄR el-CharaqI, den wir in unserm Buche (p. 116, Art. 276), als 
unrichtigen betrachtet haben, für den richtigen dieses Autors, und nicht 
B'EXSL Mim. B. Ahmed b. Ab! Bisr Ei.-CiL\KAQi, was wahrscheinlich aus der 
Verwechslung unseres Autors mit dem berühmten Juristen letztem Namens 
(gest. 1138/39) entstanden sein wird. M 

p. LXXVI weist Nallino nach, daß das dem TA31T b. Qorra zu^i 
schriebene Werk De quantitatihus steUantm etc., das in verschiedenen Exem- 
plaren noch vorhanden ist, sehr wahrscheinlich unecht sei. 

p. LXXVIU und p. 301 erwähnt Nai.ltno das von EL-BiRÜsi in seiner 
Chronologie (Übersetzung von E. Sacuau. p. 322) zitierte, von den Arabed 
dem Ptolemävs zugeschriebene Werk Introdttctio ad nrtem sphaericam; er veP 
gifit hinzuzufügen, daß nachgewiesen ist, daß dieses Werk die in einer sp&t«m 
Umarbeitung noch griechisch vorhandene Isagoge des Geminus ist (vergl 



Rezensionen. 



8& 



Ausgabe derselben durch C. Manitus. Leipzig, 1898); die von ei.-BirünI zitierte 
Stelle findet sich leider infolge einer Lücke nicht im griechischen Text, dagegen 
io lateinischen der Codices von Dresden aod Florenz (Lanrent. 168), aas denen 
Maottiüs die erwähnte Lücke ergänzt hat (1. c. p. 286). 

Es folgt nun p. 1 — 150 die lateinische Ühersetznng des Textes des BattämI 
(ohne die Tafeln); auf eine Vergleichung dieser Ühersetznng mit dem arabischen 
Texte trete ich. wie ich schon im Anfange bemerkt habe, hier nicht ein, ich 
bebe nnr das große Verdienst Nalllnos hervor, den wahren Wortlaut und 
Sinn mancher verdorbener Stellen des Textes richtig erkannt, und ans so eine 
tadellose, die PLATONische hoch übeiTagende Übersetzung dieses wichtigen Baches 
gegeben zu haben. 

Za p. 10 — 11, wo über die ganzen Sehnen und Sinusse, die also el-BattAn! 
thordae inUyrae , bezw. chordne nennt, gehandelt wird, gibt Nai-lino p. 164 
— 156 ErlUuterungeu , die sich besonders auf die Ueschicfate der Wörter jijii 
(oder }\v(i) = gaih = sinus beziehen; wir heben hieraus eine bis jetzt noch 
nicht gegebene Ricfatigstellung einer Übersetzung Atifeiards heraus; dieser 
g»b in den Tafeln des CnowÄREZMi <)aib ma'kiis durch gaib ') Jiminutus wieder, 
M soll aber heißen ifaib versus = sinus verstis: auch gaib ^»/««ms für gnib 
otustaid ist keine gute Wiedergabe, besser wäre gaib rectus; es scheint, als ob 
ATnQ.,4RU diese Ausdrücke nicht verstanden habe. — Zu p. 11 bemerkt Naluno 
in Note c) p. 156, daß dns Berliner Ms. 5752 die Sinustafeln des Ibn JüNia 
'on Minute zu Minute berechnet enthalte. 

p. 12 — 13 (Kap. IV) handelt von der Schiefe der Ekliptik; hierzu macht 
Jf.u.Lfxo p. 157 — 162 interessante ZusUtze, uus denen wir entnehmen, daß den 
•f»bischen Astronomen nach EL-BA-rrÄNi, wie z. B. 'Aukekrahmän kl-CiiAzinI 
"•"ä Na^ik ED-oiN EL-Tusi die Abnahme der Schiefe der Ekliptik wohl bekannt 
**'.■ der letztere knüpft eine Reihe von Folgerungen an diese Tatsache an. 

Zu p, 23 (Kap. XT) macht Nallino p. 185 in Note 1) die Bemerkung, die 

^"SJcht V. Braiinmühls iVorksungcn über Geschichte der Trigmiometric I, 52 

•«ote 1)^ ^aß Regiomontan die Beweise dns Aluateoniu.s, die in der Druck- 

""^S'abe nicht angeführt sind, doch kannte, sei nicht richtig; für Reütomontan 

*" es keine große Schwierigkeit, die Beweise selbständig zu finden. 

p. 36 — 37 (Kap. XXV). Daß die Formeln dieses Kapitels sämtlich falsch 
?|*'i, zeigen Nai.ijxo und Schiapakelli p. 197 — 199; sehi- wahrscheinlich liegt 
**■ eine spätere Einschiebung in den Text vor. 

|). 40 — 42 (Kap. XXVIT) spricht el-Battän! über die Lange des Jahres 
'"^^ erwähnt, daß die Ägypter und Babylonier die Jahreslänge zu 365'' 6'' 12'" 
^^enommen hätten; Nali.ino weist in den Anmerkungen hierzu (p. 204 — 209) 
"^ch, daß wenigstens die Babylonier (Chaldäer) der spätem Zeit (c. 100 v. Chr.) 
^^ sideriscbe Jahr gekannt haben, und daß es wahrscheinlich von ihnen auf 
^'e Inder und Perser übergegangen sei; er führt aber auch die neuesten Arbeilen 
'^ön P. X. Ki'OLER an (Die babylonische Mondrechnung etc., Freiburg i. Br. 
l900, p. 91), aus denen hervorgeht, daß die Babylonier schon im 3. und 4. 
•'»hrh. v. Chr. die Länge des siderischeu Johres zu 365'' 6'' 13™ 43" ange- 
geben haben. — p. 42 gibt EL-ßATrÄNi den Zeitpunkt seiner Beobachtung eines 
HerbstÄquinoctiams in Raqqa an; nach den Tafeln R. Schrajis (Uilfslafeln für 
(Chronologie, in den Denkschriften der Akademie der Wissenschaften 



1) ÄTtoLARD Ubersetzte dos Wort §aib nicht. 



86 



Beiennoneii. 



sa Wien (mathematiscbe Klass«) 45, 1882) {»nd dasselbe im Jahre 882. am' 
18. September, ll** 49°° statt (Greenw. Zeit), Kjujjko weist nach, daü die An- 1 
giibe ELfBATTÜHS mit derjenigea Schr.vms bis anf l** 10" stimmt: gewilS p'm 
nrngmtirhnetBB Besoltat, wenn man die astronomischen Hil&mittel jener Zeit in 
Bai fldui ditigMig zieht! Und nicht aosgeechlossen ist, iȊ aach in den Be- 
wrhwingan Scaaua ein Fehler liegen könnte. 

p. 44 (Kap. XXVni) wird über die eigene Bewegung des Apogenms ge- 
■{iroehen. die el-Battäni, wie schon DEXAitBBB richtig bemerkt hat, infolge 
der schwierigen Beobachtung der L&nge des Apogeams nicht erkannt hat; hierzu 
ntiert Naixdio p. 217 eine Stelle Abü'l-Qasans ron Marokko (SäDiux>T, 2Vai7^ 
des mstrum. astron. des Arabts I, p. 132), die bis jetxt unberücksichtigt ge- 
blieben ist, nach welcher Ei/-ZARgiiJ eine Vorwärtsbewegung (im Sinne der 
Zeichen) des Apogmms von 1** in 299 Jahren gefunden habe, was mit der 
heutigen Beobachtung von 11,46" per Jahr sehr sehOn übereinstimmt; allerdings 
nahm el-Zaboäl! diese Bewegung wie die PrSiMsion periodisch vorw&rts und 
rückw&rta gebend an. 

p. 49 (Kap. XXrX). Aus den letsten Sitxen dieses Kapitels schließt 
ScHLvPARELU (p, 223. Note d), daS EL-BATTÄxi rwei wichtige Facta schon 
wkannt habe, nlmlich daß erstens die Zeitgleichung sich langsam mit der 
sKkularen Bewegung des Apogeuros ändere, und daß zweitens die Ansicht des 
PtolemXis von der UnverAnderlichkeit des Abstaodes des Sonnenapogreums vom 
Frühlingspunkte falsch sei. 

p. 56 — 63 (Kap. XXX) werden von KL-B.vTTixi iwei Sonnen- und zwei 
Mondfinsternisse besprochen; p. 226 — 237 zeigt Scbiapabslu, daß die Angaben 
ex-BattA-nis mit den BerechnUDgeü von Oppouxb, Gikiel und Schräm recht 
schon stimmen. — p. 2o6 bemerkt Naixjko, daß EL-BAiTÄ\'i im Gegensatz 
sn Ptolexäl's die Variabilitftt des scheinbaren Sonaendurchmessers erkannt 
habe, er gibt als Minimum 31' 20", als Maximum 33' 40" an. 

p. 77 (Kap. XXX IX\ wird von den Fmt UtK m gehandelt: bekanntlich hatte 
PtolgmXi's die PHnvUiixen nlUir fünf PlaaetSB ab unmerklich erklärt; diesem 
widersprechen Ki.-FvKciÄNi und Ki.-BATrJLrii wenigstens in Bezug auf Merkur 
und Venus; biunu fahrt Naujno (^p. 252) eine Stelle G.Vbik b. Afla^ an 
(Üb. VII, p. 103), worin diecNir mit Recht I^raLK]Lli^8 angreift, weil er der 
Sonne «iuo Parallaxe von 2' M" »usohT»ibe, den nfther an der Erde sich be- 
flndeudeu Planoton Merkur tind Venus aber kwne, 

p. 85—92 (Kap. XI.I) kommt KL-BA-rrilKi auf die schwierige Aufgabe, 
die Zeit der onten Sichtbarkeit der Mondsichel nach dem Neumonde zu be- 
rechnen; SounrMiKt.i.i K<^l *u di«Mnm uioht leicht tu verstehenden Kapitel 
einen tntitm»>an(cu K •)' (p. 266— St8X an dessen Schlosse er bemerkt: 

»Tota hnec Üieoria r.%w\« •( alegaatitiiiM oondita est ... . Tamen 

hoditf oUam diftloilltmum Mt melius fitoers*. 

p. tM>- 100 (Knp. Xt.UH wini diu PItcih« der vetdunkelten Mondscheibe 
Imu eiuf<r Miiiiiltinxtcniiii hfitH'ltnFl; Si'muvahki.i.i gibt p. 276 eine sehr schöne 
Ablaiittiig der l(oi;t>lii Hi.-HAn<Jlt«ti und nennt dsasn LOsttog mit Recht ,vere 
alagantilsiwa*, 

p. 115 (Ksp. XtiVnV l)«B in d«>r laWiulsoken ÜberseUuug des Pi^t 
an tw«l Stallen vivikomutontW, bis jetail MUtanUMdliche Wort tffrtgion 
im arabischen 'IVxt utclit ait birtdlM Ütltwi gtsttb, «oadani aa der eisten St 




RexenHionen. 



87 



afli/ijun (= djTÖyetov), an der zweiten ferigijAn (=> neQlyEiOv); sie sind von 
n.-BATTÄsi aus dem ins Arabische übersetzten Almagest hinübergenommeu. 

p. 120 — 124 (Kap. L) handelt über die Entfernungen der Planeten von 
der Erde; Nallino gibt hierzu eine Reihe von Stellen arabischer und griechischer 
Aotoren wieder (p. 286 — 289), aus denen wir nur eine hervorheben: Ei,-BiRÜNi 
enrthnt in seiner Indischen Chronik (Edit. Saohau, Text II, p. 234 — 236, 
ifbersetznng 11, p. 68 — 69) ein Buch des Ptolemäds, betitelt d-manmrät 
(= nw vulga(ae); Nalmno vermutet, daß dies die Hypotyposes des Puoki.us 
Wien; hierzu ist nur zu bemerken, daß dieses Werk des Prokixs in der 
arabischen Literatur nirgends genannt wird, und daß in demselben Ptolemävs 
mehrmals zitiert wird, was die arabischen Autoren, und besonders einen BißÜNi 
wf den Gedanken hlltte bringen sollen, daß dasselbe nicht von Ptolemäus 
heratanune; immerhin ist die Möglichkeit von Nallinos Hypothese nicht ans- 
getchlossen. 

p. 123 finden sich Angaben über die scheinbaren Durchmesser von Sonne, 
Mond und der Planeten, die von den übrigen im Werke vorkommenden sich 
liierÄuf beziehenden Zahlen sehr abweichen; p, 290 — 292 zeigen Schiaparelu 
ond Nallino überzeugend, daß diese Stelle von einem Westarsber interpoliert 
worden ist. 

p. 126 (Kap. LH) spricht el-BaitAni über die Theorie der Trepidation 
lief Fixsterne und verwirft sie; p. 298 — 304 gibt Nau-ino eine Reihe von 
Stellen aus griechischen und arabischen Astronomen wieder, um die Geschichte 
dieser Theorie zu beleuchten; die arabischen Astronomen schöpften sie teils 
>DS griechischen, teils aus indischen Quellen; Aukauam bar Chujä berichtet, 
daß die Weisen Indiens, dos ostrümischen Reiches und der Chald&er diese Vor- 
steünng von der Hin- und Herbewegung der Fixsterne gehabt hätten; EL-BETROGi 
(Ai,pETRAGirs) und Abraham Zaohut führen als Gewährsmann den mythischen 
-^ologen Hermes an. Die ostarabischen Astronomen ließen diese Theorie bald 
Mch lOOO fallen, bei den Westarabem und im christlichen Abendland hielt sie 
•iflli viel länger. 

p. 128 (Kap. Lin) wird von der sogenannten revolutio annorum ge- 
handelt. Dieser so oft vorkommende astrologische Ausdruck, den ich in meinem 
ßöche mit »Umlauf der Jahre' tibersetzt habe, wttre nach Naluno (p. 304) 
MSBer durch conversio (== Umwandlung) annorum wiederzugeben; er gibt dazu 
'olgendes Beispiel: .Jemand ist am 26. Ailül 1100 (der Sel«ucid. Ära) um 
1' 45'» geboren, da die Sonne im Grade x der Ekliptik stand, es wird der 
^'tiaoment gesucht, in welchem im Jahre 1126, da der Betreffende 26 Jahre 
lorückgelegt hat, die Sonne zum selben Punkte zurückkehrt*. Diese Be- 
f^chnnng wird also conversio annorum nativitatum ^ Umwandlung der Ge- 
'"äftsjahre genannt; für Ereignisse der Völker, Stiidte, etc. heißt die analoge 
"**'echnung , Umwandlung der Jahre der Weif. 

p. 139 — 141 (Kap. LVII) gibt EL-BATTÄNi eine interessante Beschreibung 
'^*r Armillarsphäre , zu der Sciil\1'ARelu eine entsprechende Zeichnung in 
Tonüglicher Weise entworfen hat. p. 143 — 144 werden die paralliiktiscbeu 
Lineale beschrieben. 

Es folgen nach dem LVII. Kapitel acht Anhänge, welche Nai.lino, den 
^>£rt«n and sechsten ausgenommen, als echt betrachtet, obgleich sie in der 
Übersetzung des Plato fehlen; da sie sich meistens auf die Tufeln beziehen, 
M sie wohl Plato wie diese selbst weggelassen, 



88 



B«Manaaeii. 



p. 310, Not« 3: In meinem Bnche {Die Mathematiker und Astronomen 
Araber, p. 14, Z. 21 v. o.) ist nach Naijjxo statt ,^/NMijrf«rabersetznng*, die 
Rjuibax £i.-XABAiii gemacht haben soll, za lesen .Übersetzung des Quadri- 
pariiium'; dementsprechend sind auch Z. 26 ▼. o. die Worte in der Klammer 
, sollte heißen: Isslg b. Rokkxs* zu streichen, denn Hone« bat in der Tat das 
QModripartitum übeisetzt 

p. 318 betriebt N.uxiso el-BattIkIs Berechnung des Azimutes der Qibia; 
es ist richtig, da£ el-BattIxi» Formel (p. 137) nnr eine angenäherte ist, sie 
entspricht eben der einfachen Konstruktion, die er auf der Sonnenuhr (1. c) 
gibt. In der Herleitung der genauen Formel für das Aiimat der Qibla, die 
Nalliko hierauf folgen lä£t, begeht er aber zwei Fehler, indem er erstens das 
Dreieck ^ £ C als bei C rechtwinklig voraossetst, w&hrend ja die Ost- Westlinie 
auf dem Meridian des Beobachtongsortas und nicht auf demjenigen von Mekka 

senkrecht steht«, und zweitens cos ^ = Ä • *"* . „ statt = Ä - * — ^ setzt; so 

tm A B Ig Ab ^ 

kommt er auf die Formel: oos a« -= Ä •*"'-." W^r—^ rt*tt »of di 

nn dut. 

• 1..- „ sin CL —L'J CO« qi 

richtige: cos az = Ä —. — ^ ^• 

sin dist. 

Zum Schlüsse dürfen wir einen wesentlichen Vorzug dieses ausgezeichneten 
Werkes nicht unerwähnt lassen: es ist dies die Korrektheit der Wiedergabe 
fremdsprachlicher Zitate; ein Vorrecht, das bekanntlich seit langer Zeit die 
deutschen Gelehrten fBr sich in Anspruch genommen haben, ist, wie gewiß alle 
unparteiischen Leser zugestehen werden, mit dieser l^istung gUnzend durch- 
brochen worden; dns haben wir nur den großen Sprachkenntnissen Nallixos 
und seinem gvwissanhaflen und sorgfältigen Arbeiten zu verdanken. 

Möchten andere arabische Astronomen und Mathematiker bald eine Ausgabe 
erhalten, wie sie hier ki.>BattXxI zu teil geworden ist. 

Kilchberg. b. Zürich. Hkinric-h Sctek. 



1 




Neaenchienena Scbiiftan. 



89 



Neuerschienene Schriften. 



Du Zeichen * bctleatet, daS die betreffende Schrift der Redaktion nicht vorgelegen hat. 



Aatoren-Begister. 



Uula,9e. 
^eo, eo. 

««llforüi, 34. 

b«iUb, m. 

BntiM<t,i3. 
Bqrt S8. 
Bfönbc, 23, -2». 
|li*ni», »1. 
KKeUÄiDI, 50. 
IhBU), 17. 
»»PP. «. 
B<n!h». 41. 
Bnunmiibl, 11 
Itm, », 83. 
BirUitnlt, 56. 
f«i»ri,«. 
tulor, B, 72. 

Cbuti, l'Z. 
*"pl,18. 

^■MMOB, 15. 
I^OMUttr, 7. 



De Is Campk, 17. 
Des Karex, 43. 
Dickstein, 68. 
SnBoLi Reymond, 7. 
Dnhem, 14, 31. 
Dünner, 27. 
Dapon:(|, 5. 
Egoroff, 76. 
Enestrüm, I, 24, 38, Sii, 

92. 
Favaro, 32. 40, 51. 
Faxzari, Hl. 
Feldhaas, 39. 
Oauas, m. 
Oodefrojr, 5.1. 
Ooodspeeil, 22. 
Oattmann, 3G. 
Heiherg, 19, 21. 
Hettner, 62. 
HUbowicky. 71. 
Kapteyn, 4. 
Klön», 69. 
KInyveT, 4. 
Königülierger, Tri. 



Korti>weK. 4. 
Krazer, 97. 
Lagraoge 46. 
Lampe, 3, 84, »ö. 
Luzarini, 29, 30. 
Le Chatelier, W. 
Lorey, 16, ii. 
Loria, 3, 94. 
Mach, 13. 
Mackay, 57. 
Maiicart, 88. 
Maapin, 43. 
MlodzitOowiki, 75. 
Muir, flu. 

Milller, Felix, 90, 91. 
Nci-ther, H«. 
ii.HtiiigiMi, 78. 
Üii4l..iimn». 41. 
tl'Uviiito, «1. 
Papperitz, 83. 
Ptcard, Kl. 
Pog«enili»rff, 78. 
Ptolemaios, 21. 
Richter, 95. 



Rüsanee, 63. 
Saeoheri, SO. 
Mcheffera, 77. 
Schmidt, 70. 
Soboute, 4. 
Schreiber, 44. 
Shedd. 45. 
.simiiu, 65. 
Htiokel, 64. 
Staud«, 54. 
Streit, 66. 
Tannen-, 98. 
Toledo,' 36. 
Tropfke, 8. 
Valfati, 52. 
VeronMo, 81. 
Viterbi, 86. 
WallenWg, 3. 
Wallner, S>. 
Ward, 79. 
Wil«ra, 97. 
WöUling, 81. 
Zeuthen, 9, 10. 



»■) Zeitschrift«!!. AUgremeines. 

Bibliotheca Mathematica. Zeitackrift für 
"••chichte der mathematischen Wiesen- 
•soiften. Herausgegeben von G. Enk- 
^ttiÖM. Leipzig (Stockholm). 8». [1 
' ^1903) : 4. — [Rezension de« Bandes X,, 
!«:] BrumUcs. Soe. soient., Revne des queat. 
'deni, Sj, 1904, 282-281. C«. B0.11A»«.) 

Mettino ili bibliografia e Btoria delle 
•cienze niatematiche pubblicato per cara 
<" 6 LoKiA. Torino (Genova). 80. [2 

>««;t_ 1904:1. 

Jahrbuch über die Fortechritte der Mathe- 
■^tik herausgegeben von E. Lami-k uud 



Wa 



'ALLKNBKRG. 

■ (1901) : 3. 



Berlin. 8«. 



[3 



'"''^« «emeitrielle de» publicationB mathe- 
■"»'iques, redigee bou» les auapiceH de 
'* lociet^ mathematii]ue d'Amsterdam 

rr P. H. SCHOUTE, D. J. KoKTKWKß, 
C. KtüTTKIl, W. KaPTKTI«, J. CaHUIKAAL. 

J^Herdam 8». [4 

I»:l(avTll — octobre 1908). 



Coniyt« reniln du denxiMne congi^ international 
dea mathematicieni tonu ä Paris da 6 au 12 
aoAt I90Ü. Proc(^«-verbaux et cummnnicationii 
publi<'.H par E. OrrnRcg (190.^). [Rezension:] 
Zeitschr. für Matbem. 49, 19U3, 469. (WOLrrnio ) 
— Jornal de so. matheni. 15, 1903, 8S. (O. T.) 
[5 

Cantor, M., Vnrleaongen über Oeachicbte der 
Mathematik. — 1> (IKM). [Kleine Bemerkun- 
gen:] Blbllolb. Matbem. 43, 180!!, 396—397. 
(0. KxKiTiiüM.) — il> (1900). [Kleine Bemer- 
kungen :] Biblioth. Matbem. 4,, 1903, 397—388. 
(Q. EhustrOm.) — S> 11901). [Kleine Bemer- 
kaneen:] Biblioth. Matbem. 4], 1908, 39iU- 401. 

(G. KxiBTHOM, A. V03t BltAV>SlClTL.) [6 

'DarmstKdter, L. uud BuBoIs-Rejr- 

mond, It., 4000 .lahre Pionier- Arbeit 

in den exakteu Wissengchai'ten. Berlin, 

Htargardt 1904. [7 

8", V 4- 389 8. — rS M.] — [Rezension :] Dent- 

«che LlUratara. 4S, IWM, 106-108. (E. Qxh- 

LAXÜ.) 

Tropfke, J., OeechlcbtederElementar-Mathematik 
in syatematischer Darstellung. H (1903). [Re- 
zension:] Biblioth. HathtMu. 4,, 1908, 404— 
412. (0. EnsTKOM.) [8 

l!eathen.H.8.,ForelaeeningflroTnrMatheniatikens 
Historie. II (1908). [K«sum«':| Kiibenlutvn, 



90 



Neaenchienene Schriften. 



Videnik. Selsk., Overaigt 1903, icA-bli. (H. 
Q. ZarTiixx.i — JBrzraslon:] Bullet, d. M. 
■WithAm. 27s, I«B. 29«— 299. (9 

Zfitbea, H. fi., Oescblcbte der Mttbematlk im 
XVI. und XVII. Jafarbnuilert.. Deuuebe Aus- 
gslie I ItHiSi. (Raxeoiion :| Ballet, d. sc. matb^m. 
2;,, 1S«1, 29(*-299. [10 

Brinmflkl, X. toi, Torlesaneen ütwr O&ochicbte 
der Trigonomatrie. II (1903). IRezüUsiim :] 
,Vnr York, Amerlo. matbem. soc. , Bulletin 
10,, lÄtt, 159—157. (F. Cajoiu.) [II 

Carra», B., I tre prablFmi claatici decU Bntichl 
in relacione ai reoenti risultati drlla >ci«nza. 
1 1 1 1 $103) . r Beieiuioii :] BnaaUt», Soc. Kien t . , 
Revne des qnest «cient. 5], ISOi, "BSi—'ifl. 
(IL BotXAXii.) (12 

*MMh} E.j La m<Scaui({ue. Ktude histo- 
riqoe et critique de sou developpement. 
Traduite sur la quatrit^me Edition alle- 
mande par E. üehtilamo. Avec une 
introduction par E. Pic.mid Paria, 
Hermann 1904. [13 

8, VUI + 496 8. - (Bttzcnsion :) Bnllet. d. 

so. matbem. 27,, 1903, 261—283; BruxtllM, 

Soe. scient., Ilevne des iinest. solent, h%, 

1904, 196—217. (P. DcHn») 

Vnhen« P.^ L'^Tolution de la m^canique. 

Reroe gintr. d. sc. 14, 1908. — [.<«andera>>zug ] 
Paris, Joanin 1903. 8", (3) 4- 318 S. — (Pol- 
nische Übersetzung von S. DicKtTEnc) Wia- 
domosci maU-m. 7, 1903, 113-168, '244— 2e8. 

Daaaaaaaa, F^ Orundrifi einer Ocachiobta der 
Matunkiaaenschaften. II. Aufl. 2 (19031. (Re- 
■eoaioD:] Natorwis«. Eandschau 18, 1903, 
618. (F. R.I (15 



b) Geschichte des Altertuma, 

Lorey, W., Die Mathematik und du» 
klaegische Altertum. [16 

Zeitackr. fBr das Gymnasialwesen (Berlin) S7, 
1908, 815-822. 

'BoflItOy ti., CoemogTsfia primitiva, clae- 
sica e patxistica. [17 

Ruma. Aceat), nontif. dei K. Lincei, Memorie 
19-20, 1903. - IIUzensioD :] Bnuecllrt, soc. 
scient., Bevue des auaat. scieut. &•, 1904, 287 
-288. (H. BosMAjta.) 

Crespi, A., Intomo all' interpretazione 

di un luogo matematico di Platoue. [18 

Rivista di fliosnna (Bolugna) 3:1, 1903, 343. 

Helbtrg, J. t., Paralipomena zn Euklid (19C3I. 
(.Bezension :] BruxtUes, Soc. scient., Bevue des 
qnert. scient. 6j, 1903, 284-285. (H. Bo>- 
■AVS.) [19 

Schmidt, W. , Tber deu griechischen 
Mathematiker DionTsodoros. [20 

BibUotb. Matbem. f,i 1908, 321-335. 

ri. FtoISBael Opera. Rdidit J. L Hnano. 1 : 2 
(1902). [Rezension :) Denteehe Litvratun. 86, 
WOl, 242—243. (K. Maxitiii-.) pl 

*Uoods|teed, E.J., Tlie .Vyer papyrus. [22 
Americ. matbem. munthly 10, 1903, N<>. 5. 




c) Q«Bchlcbte des BCittelalten. 

Itjörnbo, A.A., Tber ein bibliographisch« 
Repertoriumderhandgchriftlicbcnmathe ,_iJ 
matiscben Literatur des Mittelalters. [2cr— ; 
Bitdiotb. Matbem. 4j, 1903. 326-333. 

Eneström, G., Tber einen Brief rn^ « 

Gerbert an Ädelbold. (2^ a 

Biblinth. Matbem. 4], 190», 402. — Anfn 



l'arti*. ■., Urkaudeu zor Gesobichte derMatb^,^^ 
inatik im Mittelalter nnd der Renaiasanc^ ,^. 
(1902). CRezension:! Bruxfllet. Soc. urinm m ^. 
Revue <1« quest. «ciont. 5,, 1904. 288— SH^^^ 
lU. BniMi,r».) — Nyt Tidsskr. for Matbem. 1- ^^Kli 
19a», B : 67. c~"^^ra 

iluttmuin, H., Abraham bar Chi,ija Sar -"^^^j. 
Borda geometriajäuak IIL fejezete mi ^^ggt 
adak^ Euclidesuek TTr^i Siaifici^^. ^ 
ßißltov czimü elveezett munkajahoz h&> .^^j. 
os^Bzettudori t-rtekezes ket .Münche 
codex alapjan kiadta, forditotta ^ Jet 
cetekke] ejlätta Budapest 1908. 
8», 28 + 15 + (1) 8 +1 Taf. — Das 3. Kap üj 

der Geometrie des Aaiuiiiii bau Cuuj* 8a i^. 

•OHUA, als Beitrag zur Kenntnis der * 
Inrtieo Schrift ErKi.m's ifiiii diutntonjjt 
fiilin. Nach zvii Miincbener Handschri. 
herausgegeben, libenetzt und erläutert. 

UBaBer, L., Die älteste astronoiniscbe Schrift. 
Haiuionidus (1902). IRezension:) Zeitacbr. 
Matbem. 4», 1S03, 387. (C W. Wirt».) 

BJörabo. A. A-, Die inatbematischeu & Mi 
baiiiincbriften in Florenz (1903). [Reaens& 
Deutsche Litemturz. 25. 19(4, 370—371. 

Luzsarinl, M., Leonardo Fibonacci, 
»MB opere e la sua fainiglia. £_^ 

fioUctt. di bibliogr. d. sc matem. ft, t.t 
98-102; 7, 1904, 1—7. 

LaicarinI, M., I giuochi aritmetiei '^ 
Leonardo Pisauo. C^5? 

Kupplemento al Pcriodioo di matem. 7, If 

•J— 7. 

Duhem, P., Le'onard de Vinci et la coc 
pOBition des forces concoorantea. (t 
BibUoth. Matbem. 4„ 19QA, 3S8-34.'i 

Farar«), A., Sul matematico cremona 
Leouurdu Maiuardi. 
BibUotb. Matbem. 4 1, 1908, 334-^37. 



d) O«sohiohte der neueren Zeit 

Papperiis, E.. Über die wisaanscbaftlicbe Daf^^^j 
Htellung der neueren Geometrie und ihre "-' ■'•' - 
Wickelung lieoi). iReieatlon:] Deutaebe 




tellung der neueren Geometrie und ihre Eni ^ ^■^ 

' iglieoi). IReieatlon :] Deutaebe Utfr^S^ 

ratnra. 24, 1903, 2840. p5*^" 



* Bashfortb, F., Historical «ketch of th« 

experimental determination of the re— 

siBtauco of the air to the motion or 

projeotiles. Cambridge 1903. [ 

8», 30 S. +1 Taf. — II ah.) 

Wallner, C. R., über den deutacher 

Mathematiker .\ndreBB Alesander [3< 

Hil.li..th. MiXhi'm. 4,, 1903, 408. — Ant 

auf eine Aufrage. 



Neuerschienene Schriften. 



91 



■ tu 



feiado, L. 0* de, Dos rersiones egpanoU« 
dt loa Elementos de Euclides. [36 

SiTuU trimsatrial de matem. 3, 1903, 65—66. 

nekCampa, S.^ Traduccionea castellanoH 
de los Elementos de Euclides. [87 

Kiruita trimestrial de matem. 3, 1906, 113 
-114. 

EiHtrSn, (!., über einen geometriachen 
Qtndrauten von 1594. [38 

Blblinth. Matbeui. 4], 1903, 403. - Antwort 
Uf «Ine Anfrage. 

'Ffllkanx, F. H., Die Uegrüudung der 
Lehre von .Magnetismus und Elektrizität 
durch William Gilbert (t 1603). Heidel- 
berg, Winter 1904. [39 
S». - (O.S() M.) 
flTiro, A., Amici e corrispondeuti di 
O*lileo Galilei. IX. Gioranni Camillo 
Gloriosi. [40 
l>»«>o, Iitltnto Veneto, Atti 03 : 2, 1908, 1 
-4». 

Mnui, J. A. C. et BoiMba, i., Oalil^e et 

~nUnu,i (I9u3i. IH«2en«ion;] Briixellen Soc. 

«lent , Revue de» uuest. acient. 5j, IWM, iSS 

-an. ifL Bo»it»iii.) [41 

■•■rli. fi., Opinions et cariositto toachant la 
naiMiulique. 11 nti03). [Rexenaion :| New 
'"lt. .\meric. mathem. aoc, Bulletin lOj, 
ISM, Vs-JSJl. ^F. Cajuri.) — Kfvue gftnAr. 
4 "■ 14, 190.4, 52U. 142 

'BssMarei, G., Notices sur les doouments 
leUtifg a Michel-Florent van Langren 
coMerve» aux arvhives de la ville de 
UnueUe». [43 

l*nt da bibliotb^nea et archivea de Belgi- 
V» 1903. 

***""«», P. 1.. Cbrifrtopb Scbeiuor und seine 
»«nmWobapbtnngtn (IHM). [Bew)U»ion:l 
BnutllM, Soc. icient. , Kevue des quest. 
•••«t. 8,, 1901, 297 -29fi. (U. Bo.MAj.5.) (44 

**«**. J. C, The word Barometer. • [45 

*ii«Dce 19,, 19i>4, 108-110. 
•■•P^Bge, Ch,, Newton et le principe de 
I» liinite (l'intiuiment petit absolu). [46 
K'iatUit, Acad. de Belgiqne, BuUetiu l'JOU, 
(WMS83. 

''•"r, W., Nachtrag zu der Notiz über 
^"»tons Grabdenkmal. [47 

^tachr. rar matbem. Unterr. 85, I9U4, 88. 
Werl, F., War die Binominireihe auf 
^'wtons Grabstein eingemeiselt? (4h 
'''«ilKhr. fär mathem. Unterr. 3S, 1904, »). 
*•»?• I., Antoine Arnanld, der gmBe Amaald 
«' taüienialtker 11903). [Bexension:! Bull»lt. 
il» blblliiei. d m. matem. «, 1903. 124-12."). 

'•Wherl, a.f Euclide emendato. 'I'radu- 
"we e note di G. Boccaboimi. Milan«, 
BoepU 1904. [50 

l*, 24 + 12» S. — [Kezenalan ;) Periudico <Ji 
allein. 19, 190», l-fö-150. 

'*T(ro, A., Due lettere inedite d«l P. 
tiiioUunu Saccheri a Vinoenzo Viviani, 
pnbblicate ed illustrate. [51 

kivau <U llaica (Pavla) 4, 1903. 15 S. 



Vallati, 6., Di un opera dimendicata del 
P. Gcrolamo Saccheri („Logica demon- 
strativa-, 1697). [52 

Rivista llla>a8oa (Pavla) 1903. 15 S 

fiodrrro)', ■.. La fonction eamma. Tb^orie. 
bi.stoni|Uf. Iiiblingrapble (19011. (Risxenaion :] 
Arch. der Matbcin. Tj, 1904, 149—151. (R. 
H\ou»aR.) [53 

Staade, 0., Die Hauptopocben der Entwirkelonc 
der neueren Mathemal ik ilSOZ). [Rezension ■] 
Deutsrbe Literaturz. 24, 1903, 2»9Ö— 2961. [54 

BarkbardI, H., Kntwiekelungen nach oarlUieren- 
den Kunrlionen (1901-1903). [U«auni6:] üent- 
.sche MatbeDi. -Verein., Jahresbar. 12, 1903, 563 
-565. (H. BDBititAiiDT.) [55 

Eneström, G.^ Der Briefwechsel zwischen 
LeonhardEolerimd Johann l.Bemonlli. 1. 

[56 
Bibliütb. Hatbem. 4,, 1903, 344-388. - (Re- 
zensiun:] Deutsche Literaturz. 26, 1901, 499. 

Mackay, J. S., Mathematical correspon- 
dence. Uobert Simsen, .Matthew Stewart, 
James Stirling. [57 

Edinburgh, Uatbeni. soe., Prooaedings 21, 

1903, 2-39. 

'Alasia, C, 8u] stato della teoria delle 

congruenzc biuomie avauti il 185*2. [58 

Rivista di ttsioa (Pavia) 4:2, 1903, 149—206. 

Muir, Th. , The theory of axisymmetric 
determinaute in the hiBtorical order of 
develupment up to 1841. [59 

Edinburgh, Royal aoa., Prooeedinga 24, 1903, 

555—571. 

Amudeo, F., Nicolu Fergola. [60 

Nafoli, Acoad. Pontaniana, Attl 33, 1903. 

32 ."*. 

Wülfflag , E. , Matbemattsober BUoberschatz. I 
(1903). [ReKension:] i^^«u> IVAc, Amerio. mathem. 
S0C.,Bu11»tin 10,, 1904,261— m (D. E. 6mitii.) 
— Arch. der Mathem. 7i, 1904, 137—14«. (F. 
MCLLCK.) — Bollett. di bibliogr. d.so. matem. 
B, 18«4, 109-110. (O. L.) — Bullet, d. se. 
math6m. 27,, 1903, 343. (U. D ) - L'enseigne- 
miMit inath«m. 6, 1904, 83. (H. Fkuu.) [61 

Hettiier, U.. Alte matbematiscfae Probleme 
und ihre iQäniug im neunzehnten Jahr- 
hundert. Berlin 1904. [62 
4", IS S. — Rede in der Teuliniacbeo Hoch- 
schul« in Berlin am 2B. Januar 1904. 

Rosanes, J., Charakteristische Züge in 

der Kntwickolung der Mathematik des 

19. Jahrliimdcrts. [ö3 

Df.iitsclu' Mitrhiitn -VertMn , Jahreaber. 13, 1904, 

n— aO. — lleWtoratsrcde. 

Htackel, F., Über die Geschichte des 

Begriffes „zweite Krflmmung" und des 

Termes „Torsion". ' (64 

Bibliotb. Mathem. 4], 1903, 402. — Anfrage. 

Simon, M., Zur Geschichte der regulären 
Stempolyeder. [ö.'i 

Arch. der Mathem. 7., 1904, 109. — über ein 
Zitat von Pui^üok (IKV). 

'Streit, H., Die Fortachritte auf dem 
Gebiete der Thenuoelektrizitüt von der 



Neuersehienene Schrift«D. 



Entdeckung big zur Mitte des voriffen 

Jahrhundert«. Kattowitz 1903. [66 

8». »4 8. + 2 TalwUeu + 1 Tat. — f Rezension :1 

ZeiUchr. für mathsm. Unterr. 35, 1904, 79. 

(Metku.) 

tiansB, C. F.. Werke. Herauif^geben von 
der könifrlicbon (Jesellschaft der WiBaen- 
scbaften in GSttingen. Band 9. Göt- 
tinnen 1903. [67 

4». (3) + 528 8. — (28 M.] — [Rfiension:] 
Deutsche Hstheni. - Vereio., Jalinsber. 13, 
1904, 59— ön. (F. Ki.Kix.1 

Dickgteln, 8., Jan Joachim Livet (1783 
—1812). [68 

Wiadomoäd matem. 7, 1903, 22$-!MS. 

*KIöreM, C, Zur Geschichte der Steiner- 
echen Konstruktionen einer Fläche zwei- 
ter Ordnung Kostock 1903. [69 
W, ."W S. 4 2 Taf. 

Niels Henrik A1>el. Memorial pa1>Ii» » l'occasion 
dn centenairc de sa Daiasancc il90'.'). |Ke7.Hn- 
üion:) .loiini, de» savant.9 1908. 109—119. (K. 
PiiAiiu.) (70 

* Hüben ickjr, K. [Niels Henrik Abel und 
seine Bedeutuni; in der Mathematik]. 

[71 

Lrmberg, 8ev(^«nko-GeBeIlsrb.. Abliandlnngeii 

9. leOS^ No. 1. 88 S. - la kleinniiBiMher 

SptBOho. 

CantoT, M.. Ferdinand Scliweins und iltto Hesse 

(l^i.'f). [Rezension :1 BolU'lt. di hililiogr, d. sc. 

nialein. 0, 1903, 127. (12 

KÖBlftberger, L., Ueruiann von Helmlioltz (1902 
—1903). (Kezen.sion:] Arc-Ii. der Mathem. 7.|, 
1904, 158—1.')!. (E. Jaiiskk.) - Natnre «H, m«, 
193. — Philos. niagazine .i,.. 1903, ?X8. — Zuit- 
■clirin fUr inatlieni. Unterr. 33, 1904, lK}-(iti. 
(A. WASomura.) [73 

Lonl Kelvin and bis lirst teacher in natural 

philosophy. [74 

Nature 08. 1903, 623-<a4. 

'Mlodziejowski, U. K. [Karl Michai- 

lovttch I'fltersou und seine geometrischen 

.Arbeiten]. [75 

Moakua. Uatem. obobtcb., Sbomilc 24, 1903, 

1—21. — Roniicti. 

*£g:oroir, D. Th. [Die Arbeiten von K. 
M. Peterson auf dem Gebiete der par- 
tiellen Differentialgleichungen]. [76 

Motkwa. Matern. ol>cbtch.. Sbornik 24, 190S, 

33-29. — Ramisob. 

Schefferg) ti., t'ber Integrationstbeorien 
ron SophuB Lie. Vorläufiger Bericht. [77 
Deat!ictaeMatbem.-Teiein.,.taüre<ber. 13, 1908, 
525—539. 

im ۥ Pogr^endorlTs Biographisch-literari- 
sches Ilandwörterbuch zur Geschichte 
der exakten Wissenschaften. Viertor 
Band (die Jahre 1883 bis zur Gegenwart 
umfassend), herausgegeben von A. J. 
VOM OETTwoia. Lief. 12 — 17. Leipzig, 
Barth 1903. [78 

8», S. 793—1224. - [18 M.) — Rezension der 
Lief. 1—130 Zeitschr. mr Mathnn. 49. 1903. 
469—470. <t. WOurrii«..) 



Ward, R. De C, Meteoiologi« 

graphieg. 
Science IH,, 1908, 795. 



e) Nekrologe. 
KaH Anton BJerknes (1825—1908 

Nature «M. 1903, K«. |G. H. B»t.ii 

Luigi Cremona (1830—1903). 

fluma, A<Tad. d. Lincei, Rendicon 
1903, C64— 678 (mit .Schriftveraeicll 
VaKONKtfE.) — Tariiin, Accad. d. sc., 
fit.) 38, 1908, 549-551. (E. »Ovii 
PiUgora 10, 1903, 1-3 [mit Port 
Faxzari.) — Natu« 88, 1908, 998- 

Bl.ABKa»A.) 

Hermann Gerlaoh (1826—1903). 
Zeitschr. für mathem. Cnt«rr. S4, 
—590 [mit Portr&t und SchriftTer 
(W. An»».) 

.Tosiah WUlard GIbbS (1S39— 190$ 
BoUett. di bibliogr. d. sc. uuttem. 
29. - Nature 6H, 1903, 11. (0. H. £ 
Revue gfxiir. d. m. 14, 1908, t44- 
£*■ Chatklixb.) 

Mejer Hamburger (1838—1903). 

Dentache Mathem. -Verein. ,Jalireabei 
40—53 [mit Porträt ond Scbriftver 
iE. Lami-r.) 

Julius Lange (1846—1903). 

Berlin, Deatecbe pbysik. GeeeUseh. 
85—100. (E. Laxpk.) 

Sophus Ue (1842—1899). 

Oiom. dl mateni. 41, lüCCt, 145—181 
Setzung dnrch A. Vitlhui desMekro 
M. NoETiiKK in den Mathem. Ann. 

Leon Rlpert (l!^40?— 1903). 

L'enaeignement mathAm. 6, 1904, 6> 
A. L.) 

George Gabriel Stokec (1819— 19( 
Pgrit, Aoad. d. sc, L'ouipte« readua 
841-84G. (J. Ma'i'artJ ^m 



f) Alctaelle Fragen. 

Bändln, P., La chaire d'bistoire 
des Sciences au College de 
Lettre au ministre de rinetruc 
blique Paris 1904. 
9>, 7 8. — Abdruck an« der Zei 
stiele' 31. .Taniiar 1904. — Lfber die E: 
des Ilertn Wteolihikf zum ProftaK 
des in enter Linie vorgesohlagen« 
daten Herrn Paii. Taskkut. 

HflUer, Felix, Welche Bedeutuui 

den Lehrer der Mathematik die I 

der Geschichte, Literatur uud 1 

logie seiner Wissenschaft? 

Zeitecbr. für Oymnasialwesen iBe 

1908, 801-815 — [R6«niD»:J Verbau 

Vers, deutscher Philol. nnd Scbnlm 

19()4t, S. 160—162. 

Müller, Felix, Zur Frage der Be^ 
einer mathematischen Zentralbil 

Biblioth. Mathem. 4], 1903, 389-391 



Neuerachienene Sohriften. 



93 



I, 6., Über Ausstellungen mathe- 
er Literatur. [92 

1. Mftthem. 4,, 1903, 302-393. 

hr., Die Bezeichnung in der 
enden Geometrie. [98 

r. fdr msthem. Dnterr. 34, leOS, 543 

, Les femmeg math^matjciennes. 

[94 
iclent. 2l4, 1903, 385-392. 

A., Die Studenten der Mathe- 
tuf den technischen Hochschulen. 

[95 



Z«it8chT. für mathem. Onterr. 84, 1906, 473 
—479. 

[Verhandlungen des Kongresses für Ge- 
schichte der Mathematiic und Physik 
in Rom 1903.] [96 

Bevne Intenwtioiule de reueigiiemeiit (Paris) 

1903. 8 S. (F. TAHItKBT.) 

[Verhandlungen der deutschen Mathe- 
matiker -Vereinigung in Kassel 1908.] 

[97 
Dentaehe Hathem.-Terein., Jshmber. 12, 1903, 
517—524. (A. Krauk.) — New York, Amerlc. 
mktbem. soe., BnUetin 10], 1904, 230-339. 
(R. E. WiuoK.) — L'enseignemeni mathAm. 
8, 190i, se-M). 



WiBBenBchaftliche Chronik. 



Wissenschaftliche Chronik. 



Ernennungen. 

— Dr. H. F Bakkb in Cambridge (Enff- 
land) zum „Lecturer of matbcmatics" an der 
UniTeniität daselbut. 

— Dr (i. A. Bli»» in Minneapolia «im 
Professor der Mathematik an der Tni- 
versität in Chicago. 

— J. W. Bkixtkk zum Professor der 
Uathematik an der Universität in NaBhvillc. 

— Professor J. B Dale in Cambridge 
7,um Profescor der Mathematik am .King« 
College" in London. 

— Professor (J. B Haijiteu in l'exas zum 
Professor der Mathematik am „Kcnyon 
College", Gambier (Ohio). 

— Professor F. W. Hasawalt in Mount 
Plcasant ilows) zum Professor der Mathe- 
matik und Astronomie am ^Aibion College" 
(Michigan). 

— Dr K. W. HonsoN in Cambridge (Eng- 
land I zum „Lecturer of mathematics* an der 
Universität daselbst. 

— Professor K. Laooitb in Nancy «um 
Professor der Mathematik an der Uni- 
versität in Keones. 

— M. A. Mai'kekzik in Toronto zum Pro- 
fessor der Mathematik an der Universität 
daselbst. 

— Dr. H. C. i>K MoTT zum Professor der 
Mathematik an der „Illinoia Wesleyan 
university" 

— Dr. H. C. RicBABiM zum Professor der 
Physik an der Universität von Peunsyl- 
vania. 

— Professor H. Struvs in Königsberg 
zum Professor der Astronomie an der 
Universität in Berlin. 

— Professor E. Stüdv in Greifrwald zum 
Professor der Mathematik an der Uni- 
versität in Bonn. 

— 8. A. F. WnjTE in Oxford zum Pro- 




fessor der Mathematik am «King« coUei 
in London. 

— Professor F. G. Wkcxh zum Prof« 
der Mathematik am »Tufts College" 

Todesfllle. 

— Mabc^s Bakkx, Kartograph an 
geologischen Untersuchung der Vereinig 
Staaten, geboren in Kalamazoo (Mies i 
den 23. September 1849, gestorben 
Washington den 12. Dezember 1903. 

— GiovAsxi FKttHKTTi, Doktor Ph»il» 
sophiae in Hom, geboren in Mostre *r%4 
24- April 1879, gestorben in St. Mo3 
(Schweiz) den 28. August 1903. 

— Adolph Edhith Hers. Profesoor 
Mathematik an der Universität in Marl»'«->^fri 
geboren in Marburg den 17. Februar 1 ^5^*8, 
gestorbeu daselbst den 24 Dezember l ^X)3 

— Li;o.\ Ru'KHT, pensionierter ,Che^ ''• 
bataillon", geboren 1840 (?), gestoÄ-'fc»*'' 
im August 1903. 

— Oeoboe Salmoi», ,Provo8t" der t- ^ ^ ' 
versität in Dublin, geboren in Dublin «^•*° 
25. September 1819, gestorben dasesl ""*^ 
den 22. Januar 1904. 

— WiLiiELsi Schell, Professor der Meol 
nik und synthetischen Geometrie au * 
technischen Hochschule in Karlsruhe, 

boren in Fulda den 31. Oktober 1826. .. 

sterben in Karlsruhe den 13 Februar l9^^ ^ 



1 




Demnächst erscheinende niathematis< 
literarische Arbeiten. 

— In einem der nächsten Bilnde 
Abhandlungen zur Geschichte d 
mathematischen Wissenschaft*--^ 
wird eine Einführung in die mathematisf^^^--^'^ 
Literatur von Fei.ix Müij.k» erschein« 
Das Buch wird ungefähr 12—15 bog" 
umfassen. Es soll keine mathematisc- 



dl 



Wigsenicbaftlicbe Chronik. 



95 



Ribliof^TAphie sein, sondern den Studie- 
renden und Lehrer der Mathematik in 
der L>iterstur «einer WisHengchaftszwei^u 
orientieren- Der Verf. hat bei Abfai)Bun(( 
ieinea Buches die Hatschläge und Studien- 
pläne berücksichtig, die den Studierenden 
der Mathematik von dcu Dozenten der 
l. niversiläten Göttingen, Jena, Leipzig, 
Greifewald u. a. wiederholt gegeben wur- 
deo. In diesen wird ausdrücklich betont, 
'J*ß das in den Vorlesungen und Übungen 
Tworbcne Wissen durch privates Studium 
»'ervollgtändigt werden muß, und auf" die 
>' ichtigkeit frühzeitigen Iiiteraturstudiums 
hingewiesen, das die Fähigkeit entwickelt, 
»ich in fremde Oedanken hineinzuleben. 
"•* Einführung in die mathematisdu: 
'"''tcrotur soll dieses Studium erleichtern. 
^** dem Zweck wird eine systematische 
*- oorsicht über die wichtigsten (.Iriginal- 
»clirifteQ, Einzelwerke sowohl wie Jnurnol- 
*«>hondlungcn, der einzelnen Uinziplineii 
R^gt>ben, sowie auf eiufuhrende Lohrbiicher, 
K.otnpendien, Aufgabcu-Sammlungcu, Ta- 
feln a dgl. hingewiesen. Die systema- 
't«che Anordnung der Disziplinen ist die- 
■elbc, die für die llcdaktion der Fort- 
schritte der Math cmatik sich bewährt 
"•t Den einzelnen Abschnitten gehen 
*»u»o Notizen über die Entstehung, den 
Zirock und den Inhalt der einschlägigen 
DiMzipÜQeQ voraus. Das Buch soll zugleich 
•»•Hl Lehrer der Mathematik die litera- 
risclicn Hilfsmittel an die Hand geben, 
•'öcken in einzelnen Zweigen zu ergänzen, 
****** ilm in den Stand setzen, in späteren 
■^'■khjen der weiteren Entwickelnng der 
•' >8>euschaft zu folgen. 

Mfuer Kongreß für fJeschirbte 
**^i' miithrmatiKchen und phygUcbeu 
WissenKchnfteu. 
1^ ■ L'iutäret excite, au premicr congre» 
Philosophie, par de» Communications 
^**ttsnj5nt historiques faites ti la section 
* lopique et histoirc des sciences, a pro- 
M'>0 dans ce congres meme la proposition 
dtjdoubler sV l'aveair cette section. Lc 



de 
Co 



***it« d'organieution du Z™« congres inter- 

'ional de philosophie, qui sera tenu u 

'^e 4 — 8 septembre 1904, a cru iuter- 

t, lu moins a titre d'essai, de clonncr 

»0 d^sir aingi manifeste. De la sorte, 

••cUon de logique et philosophie dos 



i 



sciences serait njserv^c anx Communi- 
cations et aux discussions concernant les 
questiouB de methode et de throne de la 
conuaissance Koientific|ne. Dang la sectiou 
d'histoire des sciences, los saTnuta peiivent 
d'autre pnrt traiter librement des i|iiestiong 
purcment hiHtoriquos, qu'ils aieut d'ailleurs 
ou non des preoccupations philoso|>bique8 
particulii-reg. En leur ofFraut ainsi de 
former une section autonome dans un 
congres de philosophie, le comite d'organi- 
sation a desiri; ;i la foin teaioigniM- de 
l'interet majeur que jjr^sente l'liistoirc dos 
sciences poor les philosophes et donner u 
ceux-ci une occasion de He familiariser avec 
l'esprit et les mi^thodcs des travaux his- 
toriques en matÜTo de sciences. 

La section d'histotrc des Kciencos sera 
organisco au reste avec le coucours et sous 
la dircction de la conunission internatio- 
nale ponnanente nonunee par la section 
cori'cspondanto du congres des sciences 
historiijues de Home 1903. Toutes les 
commnnicatious relatives » cette Kection 
doiveiit etre adressecs a\i presideut de la 
commission, II. Pah. Ta.vsekv, directeiir 
des taliacs, Pantiu (Seine), u France. Les 
adhesions seront rcfues par le secretairo 
g^ne'ral du cougri-s de philosophie, M. Eu. 
Ci.Ar.mf'.DE (Chiimi)el 11, (ienove), auquol 
on peut aussi faire parrenir le niontant 
de la cotisation (2U francs). 

Preigfrogen gelehrter GeBellscbafteu. 

— Acmlemia de ciettcias exactag, fiKican 
y nitturales de Madrid. Estudio completo 
de uua clase especial de integrales sin- 
gulares, procedentes de aquellas ecuacioncs 
diferenciales en que los valoree de las deri- 
vadas resulten iudetermiuados, siempro 
que existau ciertns relacionos entra los 
valores simultäneos de las variables prin- 
cipales. (Etüde complete d'uno clasec 
speciale d'integrales singulii-res provcnant 
des eciuations ditferentielles pour lesquelles 
les valeurs des derivees deviennent in- 
dt'termin^es quand il existe certaiues rela- 
tious entre les valeurs simultanees des 
variables principales.) 

Teriuischtes. 

— L'acad^mie des sciences de Paris ii 
döceruc en 1903 le prix Dinoux a M. H. 
G. Zeutbkü pour scs magistrales ^tudcs 



96 



WiBienachaftliche Chronik. 



BOT l'hiBtorie des sciences. Ce mSme piix 
Ben decein^ artsei en 1905 ä un antenr 
de travanx dans l'hiBtoire des sciences. 
— Die bibliogiaphische KommiBBion der 
Deutschen Mathematiket- Vereinigung 
(siehe Biblioth. Mathem. 4:, 1903, 
S. 419) hat die deutschen Mathematiker 
aufgefordert, VerzeichnisBe Ton solchen 
Werken und Zeitschriften, welche sie sich 
im Verlaufe ihrer Arbeiten gar nicht oder 
nur Bchver verschaffen konnten, einzu- 
senden. Solche Schriften, die auf sämt- 
lichen deutschen Bibliotheken fehlen, 
werden bei passender Gelegenheit cur 



Anschaffung an irg^d einem Qito ' 
geschlagen werden. 
— Unter dem Titel Mathamatii« 

naturwissenschaftliche Bl&tt*K^ 
seit dem Anfange des Jahna 1904 
Herrn P. Osstsdoh in Bamiaik-Wiji 
feld als Bedakteux und im Ko 
Terlage von B. Q. Teubner in Leipdg < 
Organ des Verbandes mathematiadiar ' 
naturwissenschaftlicher Vereine 
sehen Hochschulen herausgegeben. 
Zeitschrift erscheint monatlidi, und 
Abonnementspreis betr&gt 3 Maik At i 
Jahr. 



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iicfaftft und UytK-i 



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liuwitiMt ^«j. fi. Jkl A.«U. 



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ILIOTHECA MATHEMATIOA. 



ZEITSCHRIFT FÜE GESCHICHTE 



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MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN. 



DEaiL'öOKQSnKK 



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GUST"- ">?ESTROM 



%. VOLGB. &. BAND «. HEFT. 



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BIßLIOTHECA MATHEMATICA. 
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U. G. Zbiitiikn: Sur l'Brithmetique geomutrique dos Grecs et des Indionn. 97 






Kig. 1. 



Sur l'arithmetique g^om^trique des Grecs et des Indiens. 

Par H. G. Zeuthen ä Kjöbeuhavn. 

On sait qu'ALKAKcni demontre le theon-ine 

l' + 2-'+...+«<=(l H- 2 + ...«)» 
''e lu maniere suivnnte.') Soit AC (fig. 1) un c»rre dont le cdt6 
AB=\^2 + ...+n, et soient BB' = n, B'B" 
= w — 1, B"B"'=u — 2, etc Qu'on construise 
fgalement des earres sur AB', AB", AB"\ . . . Mors 
^»* gnonion BC'I) = BB . BC + BD' CD' = 
H-BC+C"!»') Or2fC' = ^M(K+l), C'I>' = 
i" C»— 1), donc JSC + C£>'=h'', et par consequent 
*0'Z)=n3; de meme £' 6"'Z)'= (h — l)^ . . . 
^® «arre ^ C se compose donc des gnomons »', 
(» — 1)3^ . . . 1, c. (j. f. d. — 

Tout en se servant du nnm grec do ..^omon", IIankki, cite expresse- 

■"^Ht cette demonstration coniiue exemple de la maniere iudieime de 

•'•Hceroir ce genre de questions. Etant dünne, en effet, que les Indiens 

oat. connu le resiiltat en question et i)ue, d'autre part, ils se sont servis 

'* lUustrations geometriques, 11 est bien possible qn'ila en aient fait usage 

°^«M ce cas; mais pour en montrer la probabilite, Hankel aurait dii 

^^ler de trouver aussi dans les sources indiennes des exemples d'nn 

pi"oc^de semblfible; car les Indiens etaient assez bona calculateura pour 

*'''oir pu obtenir le resultat par voie d'une induction numeri(iue. 

^-ependant Hankel avait bien saisi la uature intuitive du savoir geomö- 

^fi<|ie des Indiens, qu'il opposait aux notkms exaetes qui tont la base des 

•^onclusions de la g^ometrie grecque, et il desirait montrer par un nieilleur 

*wmple que n'en offrait la litterature iudienne qui etait ä sa disposition, 

1) Noae citoDB tci la demunstration aT«c leg notations de Hankei.: Zur Oe- 
'^iehU der Mathematik in Allerthum und Millelalter (Leipzig 1874), p. 192 aote. 
Blbliotheea M&thematic«. III. Folge. V. 7 



98 



H. O. Zkctiow. 



l'emploi de cette gßometrie intuitive. Nous verrons plus lojn que 
decouvertes faites apres sa mort ont coniirme en partie ses vues sur 
nature de la geometrie indienne; malheureusement cette mort premat 
l'a empeche de s'occui>er assez de Tepocjue la plus brillante de la 
metrie grecque ^) pour se rendre compte du röle considörable qua 
rintuition, meme dans ia geometrie exacte des Grecs. En effet, l'algi 
algebrique, dont les procedes sont assez bien deiinis pour &tre exacta 
mAme temps qu'intuitifs. rend aux geometres grecs les memes servii 
que demandent les modernes aux symboles de I'algebre litterale. Les figm 
de l'une aussi bien que les formules de l'autre revetent les conclusil 
exactes d'ime forme que peut saisir l'intuition et qui permet ainsi d'ei 
brasser en pensee, de retenir en memoire et de representer tout ce qui fi 
l'objet des conclusions. De meme ijue I'algebre littende est applicable auj 
aux nombres ■ entiers, de meme I'algebre geometrique grecque comprtf 
une iirithmetique grecque, qui semble l'avoir precedee. I 

Apr^s avoir expliqu^ ces raethodes dans mon Histoin; des tncM 
matiqucs dans VantiqiiiU et le mögen äge, et apres les avoir illustre 
par des exemples, j'ai pu faire') de la demonstration d'ALKARCHi u: 
application tout ä fait differente de ceUe qu'en fait Hankei-. Pour montr 
qu'un resultat presque equivalent ä celui d'AtKARCHf, et qui se trou 
indique dans Nicohaqite sans demonstration expresse, etait ä la poft 
des methodes grecques dont j'avais dejä rendu compte, j'ai cite la demo 
stration d'ALKjVUCni. J'avoue que j'y ai Joint la supposition que le resuli 
plus complet de l'auteur arabe etait connu des Grecs, supposition i 
semble confirmer un fait historique sur lequel je reviendrai plus tard.J 

Cepenilant comme M. Enkstuom a mis en doute raes conclusiö 
k ces diöerents egards*), je ne crois pas inutile de montrer ici que Xic 
MAQUE lui-m6me mentionne expresaement tous les elements dont se compo 
la demonstration d'ALKAKCHi; ce n'est que la demiere des conclusid 
tirees par cet auteur arabe qui manque chez lui. ° 

Pour s'expliquer son absence et pour bien comprendre la forme d 
contributions de Nicomaque ä notre connaissance de l'arithmetique grecqt 
Q faut se rappeler qu'il n'est pas un auteur original au point de it 
mathematique: la plupart des proprietes des nombres dont il s'occupe 
vaient etre ä la portee de tout lecteur d'EüCLiDE. En revanche il m 
foumit des renseignements precieux concemant la forme soas laqiK 



1) Abstractiou faite de l'admiiable fi&gmont qu'il a laissc (1. c. p. 389 — 110) sst 
throne deg proportions (I'El-cuuk. 

2) Edition allemande p. 244, öditiou fraa9aiBe p. 205. 

3) Biblioth. Mathem. 8s, 1902, p. 146. 



Soi rarithmetique geom^trique des GrecB et des Indiens. 99 

les Orecs se rendaient compte de ces propriötes trop simples pour 6tre 
l'objet des recherches des grands geomfetres. 

On trouve surtout dans son livre la description de ces arrangements 

geometriques des imites, repr^sentees par des points (ou d'autres signes), 

qai ont donne lieu aux uoms geometriques de diff^rentes classes de 

nombres, tels que plans et solides, carres et cubiques, triangulaires, 

pDlygonaux, pyramidaux, ainsi qu'a l'application arithmetique du 

gaomon que nous venons de rencontrer dans la demonstration d'ÄLKARCHi. 

Les denominations remontent aux anciens Pythagoriciens; l'usage des 

arrangements qu'üs expriment doit remonter aussi loin. Eüclide s'en 

sert pour determiner d'une maniere generale les triangles rectangles ä c6t6s 

commensurables, et ces figures etant justement celles qui serrent ä exprimer 

geometriquement les Operations alg6briques, on a du avoir a cette epoque 

Ihabitude de les manier. Quant aux proprietes des nombres qu'enonce 

NicOMAQUE Sans demonstration expresse, les dits arrangements en donnent 

^M rerifications assez immediates pour justifier cette absence de demonstra- 

tiotts, et ils nous aident ä comprendre le sens numerique de ses önoncös 

"6 forme geom^trique. 

Lorsque, par exemple, au n" 12 du second livre de son arithmetique, 
^'Pomaqüe dit qu'un nombre quadrangulaire ou carre se compose de 
(leiis: nombres triangulaires consecutifs, c'est sa maniere d'exprimer que 

(1 + 2 + 3 + . . . + n) + (1 + 2 + 3 + . . . n — 1) = n2; 
•^r, d'apres ce qui a ete enonce au n" 8, un nombre 
triangulaire est la somme des nombres naturels. Le resultat 
se presente imm^diatement (fig. 2) si l'on arrange les 
notöbres d'apres leurs denominations. 

Le meme arrangement montre que le nombre triangulaire 
l H- 2 + . . . + n est la moitie du rectangle ou du nombre ^'ß- ^• 
tSteromeque n(n + 1), les nombres lieteromeques etant les produits de 
deux nombres entiers consecutifs. On le voit en ajoutant (fig. 2) une Serie 
ie n points au can€ n^, decompos6 comme au n° 12. 

NicOMAQüE n'enonce pas formellement ce theoreme, qui serait l'expression 
grecque de notre formule 

l + 2 + ... + « = ^-ti^> 
*t qui etait connu par Akchimede, mais ü se montre assez verse dans les 
Bommations de series arithmetiques, soit par la decomposition d'un carre 
*D deux triangles que nous venons de citer, soit par ses enonces des 
relations que nous exprimerions par les formules 

»2 + M (w + 1) = 1 + 2 + 3 + . . . + 2 », 

« (n + 1) + (« + 1)' = 1 + 2 + . . . + 2 « + 1. 

7* 



-t\ 




Fig. 3. 



1 



On se aera persuade alors de la jusiesse d 
ep8 deux relations, soit en pla^ant (üg. 3) 1 
long des cötes de reteromeque les deux triangl 
inegaux qai restdtent de In decomposition du 
soit en faisant une addition seniblable des dei 
triangles egaux dont se compose rheteromeqne 
carre. 
Ici comme toajours les figiires sont les formales de iu mutheniHtiq 
grecque. 

L'absence d'im enonce ibrni*?] du resultat de la sommation 1 
+ . . . + H, qai serait aujourd'hoi la sooroe de la connaissance d^^i 
differents theoremes ^nonc^s par Nicoma^ce, et qui conduit immediateni^:»z»l 
ä la sommation generale des progressions arithmetiques. s'explique pevK.4- 
ctre par le fait (|ue ses arrangements geometri([ueH des nombres condoig«?»z«t 
tout auBsi facilenient ä tous ces resultats differents, de fa<;on qu'on i»."'» 
pas besoin d'en eouligner un seul. II ne faut pas du reste chercbe'r dnjcas 
son livre un expose bien systematique an point de rue mathematique, ^t 
il depend de circonstances etrangeres ä la mathematique, quelles sero:x:it 
les connaissiinces arithmetiques des Grecs qu'il nous decouvrira. En eff^^t, 
en hon neopythagoricien, ü avait en vue un autre Systeme plus phiL'«)- 
Bophique. Les tripartitions, par exemple, possedent a ses yeiix iine beatm. "te 
Bjstematique ; et pour en etablir partout il classifie les nombres impam^TS 
de la maniere suivante: nombres premiers, nombres decomposables et 
categorie interm^diaire — nombres qui sont premiers relativement ä 
antre nombre. 

C'est ä cette tendance systematique de l'auteur, philosophe plu 
que mathematicien, que uous devons la transmission du theort'me d 
celui d'AuiARCUi n'est qu'une consequence presque immediate. Nit— ^*^ 
MAQUE commence par rappeler les rapports qui ont lieu entre les cari ^^ 
et les nombres impairs. Un carre (n*) est la somme des premi^^" 
nombres impairs (1 + 3 + • + (2 n — l))- Dans une progressÄ-on 
geom^trique commen^ant par un, les termes ä nam£ro impair sc^^nt 
des cnrres. A ces remarques Nicomaque se r^jouit de pouvoir ajon 
(n, 20) que les nombres cnbiques, qui prösentent dans une dimens 
de plus la m^ine egalite de cötea qui earacterise los nombres car«" 
sont dans un rapport semblable avec les nombres impairs. „Rn effei 
en commenijant par un, on ecrit tous les nombres impairs, le premier ' 
le premier nombre cube, la somme des deux suivants, sera le second c 
la somme des trois suivants, le troisieme, celle des quatre suirant« 
quatrieme, et ainsi de suite." On n'aora qu'a ecrire la s^rie des noDafc*"*"** 
impairs, comme le prescrit NiC0MA<iL"E, et se rappeler ce qu'il a 



IcJP 




Sur raritbm^tique geom^trique iles Qrers et 



adie 



101 



pfu plus haut sur la somme de touB les nombres impairs depuis 1, pour 
•ieduire de son dernier theoreme la forraule 

1' + 2'' + . . . + «3 = (1 ^ 2 + . . . + «)-. 
I] est vrai que Nicomaque ne deraontre pas exprcssemeiit son theorerae, 
•Jtti pourrait etre ainsi le resultat d'une induction niimerique; mais dans 
cp qui le pr^cede il a donne tont ce <in'il laut ]>nur en verifier la generalite. 
i"'! cl^composition d'un nnmJ)re carre en une sonime de nmiibres impairs, 
ja ete presentee conime la d^composition d'un carre en une unite entouree 
de gnonions succeseits de lu hirgeur 1, et represeiitiuit les nombres impairs 
(II, 9^. En composant suceessivemeut les deux preniiers, les tniis suivants, etc. . 
Im »i Buivants gnomons, on aura precisement la decomposition du carre 
(l -4- 2 4- ■ • • + «)' qu'emploie AlkahchI. Et tjuant ä la sünimation 
d'oil depend son calcul de ces gnomons, nous venoiiti de la trouver enoncee 
eiprcssement dans le n" 12. 

Probablement c'est de i[uel(jue demonstratiun complete de la som- 

mation des premiers nombres eubiques que Niro.MAyuE a tire la relutioa 

entre les nombres eubiques et les noml>res inqvairs, relation qui, k cause 

de l'analogie quelle jiresente avec celles qui ont iieu entre les nombres 

ciirres et les nombres im])airs, l'interessait plus que le resultat final de 

cette sommation. H devait en etre autremeut pour ses predeeesseurs plus 

mathematiciens. Ein effet, le probleme de la somme des nombres eubiques 

devait se presenter de lui-meme di's qu'AiiCHiMKDE eut trouve la sommation 

des nombres carres et qu'il eut reeonnu l'utilite de cett« sommation, et 

de ceUe des nombres naturels, pour resoudre les mSmes questions que 

Jious fttisons aujourd'hui dependre des quadratures ^.r^dx et ^xdx. R 

«st meme assez probable, comme le presume M. P. Tannery ^), qu' Arcui- 

MtTiE Ini-meme, dont nous ne possedons pas tous les travaux, et dont 

i^iipoöiKdv a contenu, ü eüte de ses deux quadratures de la parabole, 

d'ftutres determinations infinitesimales,^) a ajoute aux deux Bommationa 

1ie nous venonfl de citer celle des nombres eubiques, qui peut etre em- 

P'nyee pour la Solution des questions que nous taisons dependre de la 

'l"*drature ^x^dx, par exemple pour la determiuatiou du t-eutre de 

P^vite des pyramides. Cette sommation qu'on i)eut faire dependre d'ope- 

f'tion» dans le plan, ce que nous venons de voir, aurait alors presente 

"'»ins de tlifficultes que celle des nombres carres. 

AuBsi sa deterniination de la somme des nombres carres nous 
inti'reBse-t-eUe au poiat de vue de l'arithmetique geometrique; eile est 
*o effet identique ä la detcrmination des nombres pyramidaux quadrilateres. 



1) Biblioth. Mathem. 3a, 1902, p. 257—258. 

2) ÜKitoxa Vermesmngskhre, ed. Schökk (Leipzig 1903), p. 130—131. 



102 



H. G. Zkütbei«. 



Neanmoins ARCinMKDE ne tient nuUetnent compte de rarran^ 
stereonietrique des iinites qui donne lieu ä ce nom. Au contrai 
demonstration est algebrique. Elle a, bien entendu, la forme geom< 
que donnaient les Grecs aux Operations alg^hriqaes, et cette fo; 
amene un arrangenient des eegments la, 2a, 3a, ... , na dont il 
de soiuiiier les carres et des nienies eegments pris dans Tordre i 
Huivant rheteromeque, arrangement qui conduit immediat€ment 

pression — r*" a de leur somrae: le reste se fait ä l'aide de l'expi 

du carre d'un binöme et moyennant de simples additions. II d4i 
ainsi que 

3 2"n» = (n+ l)n»4- l». 
1 1 

Cette demonstration pourrait sembler indiquer que du temps d'ÄRCl 

on ne se soit pas occupe des nombres pyramidaux, on du moins pa 

pour supposer connues des espressions resiiltant de cette represei 

stereonietrique. En ett'et, la plus simple de ces expressions serai 

n(n4-l)(n + 2) 



d'un nombre pyramidal triangulaire, 



£n en profit 



en decomposant une pyramide numerique et quadrilati-re en deux pyr 
triangulaires de la meme moniere dont nous avons ru NiCO 
decomjtoser un quadrilatere plan et numerique, ARcniMEDE en 
pu cont.dure immediatement 



2>iü = >. (r. + l)(n + 2) _^ (n • 
1 



6 



Cependant Spedsipi'E, eleve de Pl.\ton. cite expressement^ 
pyramidaux comme appartenant aux nombres pythagoriciens, et il 
difticile d'expliqaer une si longue dur^e de Tintcret attache ä ces ai 
ments si l'on n'avait meme pas ea en dSdoire le calcul d'un t 
j)jTamidal triangulaire, culcul dont nous allons voir la simplicit^ 
connexion avec les procedes stereometriques les mieux connus. 

Nous serions disposes ä croire que du temps d'ARCHlMEPE on com 
bien ce calcul, peut-etre aussi celui des nombres pyramidaux quadril 
mais qu'ARcniMKDE ne voulait pas faire usage dans la geometrie 
connaissfinces arithmetiques auxquelles on n'avait pas donne cette 
rigonreusement exacte qu'il obsenre toajoors et qui devait lui s 
particulii'reraent necessaire pour l)ien etablir ses nouvelles determii 
infinitesimales. II prt'fere donc y appliquer les formes ordinai 
l'algi'bre des Grecs, et alors U en fait application ä une determ. 



1) P Takkkbv. Pour VhMloire <k la scUnce hellene i Paria 1887), p. 



Sur r&rithnidtique g^om^trique des Grecs et des Indiens. 



103 



directe de la somme des carres sons s'occuper aussi des nombres pyramidaux 
triAnguluires. 

Qnoi (|n'il en soit, nouB sommes informes pur une source romaine et 
bien posterieure, sur laquelle nous allons revenir, qn'ä iine epoque dont 
oa ignore la date, les Grecs ont trouve une regle generale poiir calculer 
toias leB nombres pyramidaux; ä moins qu'on ne veuille attribuer ä un 
Romain cette decouverte faite sur un terrain laboure par les Grecs depuis 
les Pvthagoriciens. 

On a donc raison de se demander, comment cette regle a pu resulter 

des procedes dont se sen'ent ailleura les Grecs, soit dans la geometrie> 

Boit dana les decompositions dont parle NtcOMAtjrE dans ses Communications 

Bvir les nombres polygonaux. Si nous pnrvenons ainsi a des formes que 

nous retrouvons chez Akchimeuk et dans untre source romaine, ü n'est 

pas encore bien certain que nous ayons reproduit le iletail de la deduction 

grecque; mais alors nous aurons du moins explique que ces resultats 

etaient ä la port^e des methodes que nous avions dejä rencontrees dans les 

uiiithematiques grecques, et nous aurons muntre un ve'ritahle usuge qu'on 

* pa faire de l'arrangement stereometrique des nombres dits pyramidaux. 

Designons, avec M. Cantor,') par p^ le nombre w-gonal dont les 

C"te8 et diagonales sortant d'un sommet contiennent »» unites, et par P"_ 

le öorabre pyramidal ä m faces et dont les aretes contiennent K unites. 

''11 Bait alors que p-i ^= — —^ , et on voit par la decomposition de 

NlooMAQl'E d'un w-gone en un (w — l)-gone au cöte n et un triangle 

"n cöte n — 1 que 

P^^Pm-i +P3 . (2) 

En appliquant la m^me decomposition k une pyramide P"^ on trouve 
H*«e de mOme 



p» pn I p" 

■^m — ■'»1-1 "T" -^ll 



— I 



(3) 



Ensuite il ne s'agit que de trouver uue expression de P" A cet 
effet, il suffit de decomposer le prisme triangulaire numerique, (w -f- OiV 
^ la hanteur n -|- 1 et ä la base p", de la mi'me maniere dont on de- 
conipose un veritahle jirisme triangulaire pour calculer le volume d'nne 
Py^aniide. Commen(,'unt pur la deconipositiou en une pyramide triauguluire 
*' *Uic Pyramide quadrilnti-re on aura 



l) Vorl. über Geschidtte der Mathrm. 1^, p. 519. Selon moi ea d^monntratioii 
lik meme ezpresaion profite trop des trauglormations que permet In forme moderne 
*** »'«Igebre. 



En ap{>li(|uant ensuite ä JPj' la decomposition indiijnee par la formale 
(3), OQ trouvera 

ou bien, puisque i^ " ' -f j»^ = J^ et p^ = ^^"g > 

''^s = 3 (^" + '^ ''a + 2\] = -i l^/'a + «) = -f- Pr 
R^emurquoiiB d'abord l'analogie qiie la premiere de ces erpressior 
presente avec ceile (1) qu'ARiHiMKDE avait donnee pour le calcul de P 
Pour la voir il sofBt de se rappeler que 

»' = pI In» = P; et In = p^ 

Nous pouvons ajouter que niöme la demonetration algebrique d'ÄRCC 
MKDE equivaut ä peu pres a une decomposition du paraUepipede (.w+ Iji 
aualngue ii Celle que nous venons d'appliquer au prisme ( m -}- I ) ^ 
mais il serait diffieile de trouver directement par une decornpositi« 
semblable de prismes M-gonaux les expressions des autres nonibres pv 
Hiiduux. ()n les aura plutöt trouvees par un usage successif de 
decomposition st^röometrique que nous arons exprimee par la formale (- 
Ueuiarquons, pour parvenir imniHdiatement au resultat general, qui a »?■ 
üiins doute, dans l'antiquite, le fruit d'extensions successives, qn'en sub. 

Pj " dans la formale (3), et en eliniinant ensiLjä^ 



stituant P" = "" 



p'.-' 



a 3 

de cette formale et de (2), on trouve 

K-l (« + i)K = ^:-, - 1 (» + 1) K-. 

('es expressions sont donc independantes de la raleur de m. En fai 
usage de Texpression (4) de P^, on trouve qa'elles seront egales 



<5> 



3-«'3 



« I« (n + 1) 
ou a .. ' 



II en resulte que 



" 4- 1 



i^Pl + «). ■ 



fonnule qui exprime precdsement la regle du calcul dW nombre pyrami 
quelconque qai a ete communiquee par l'auteur romain EPArnRODiTE^ 
Que cet auteur n'ait pas trouve les regles qu'Q enonce mt-- 
niquement, nous le pouvons inferer de cette circonstance qu'il ne s 
pas meme faire la distinction de mesures g^ometriques et de noml^ 
d'unites ordonnees suivant une figure donnee. II ne faut pas non plus 
attribuer la sommation des nombres cubiques dont nous trouvons 
preniier enonce formal dans son lirre. Nous nous rangeons au contrair» 
cöte de M. Cantok dans la discussion qu'il vient d'aroir sur ce point iw 




.— ?ci 




1) Camtub, Die römüchen Agrimetuorai (Leipzig 1875), p. 124. 



Boi I'ikrithmetique geom^trique des Grec« et des ludieuB. 

M. Enestköm ') et croyone que ce resultat lui n egalenient ete foumi pnr 
quelqae uuteur grec. II Pst vrui que, conmie le fiiit obsprver M. Enkstriim, 
luie facile induction nunnTique fiiit decouvrir la loi gencinile; inais cettp 
fiMÜite m6me le rend eneore moins vrniaenildable que la formule, dont 
NicOMAt^DE possedait la dt^nionstnition conijilete, soit echappi^e aux Grecs. 

On Toit qu'ALKAKCHl peut avoir ^t^ conduit h, son resultat par la 
leeture du livre de NicoMAiiiiE, assez connu aux Arabes, et qu'il a pu y 
pttiser ensuite toate la denionstration que nnus avona prise pour point de 
döjiart. Feut-etre a-t-il trouvt' et le resultat et sa demonstration ehez un 
autenr anterieur ä Nu'OMAyUE. 11 etait du reste assez bon matheniaticien 
et iissez verse dans les procedes grecs pour reinventer lui-ineine le theon-me 
«t le deniontrer de cette raiinii're grecque. D'un autrc eüte il est trba peu 
probable que le8 suggestionB soient venues du cnte Indien a cet admirateur 
enthousiuste des Grecs qui neglige meme de mentionner les grands 
«Tantagps du calcul indien. 

Kt lorsqu'U s'agissait comme ici d'etablir rigoureusement une loi generale, 
J n'a pas eu tort de se laisser inspirer plutöt par les Grecs que par la 
geomf'trie indienne. Le caractere intiiitif ni('me que lui attribue Haxkel, 
»uniit rendu celle-ci moins faite pour des recherches de cette uature. 
D'ailleurs on a emis des doutes snr le caractere original de la geometrie 
ffldienne en considerant les pretendus resultats d'une Intuition geometrique 
conune dus ä l'influence de la geometrie grecque. 

Cependant, les decouvertes litteraires qu'on a faites apres la inort de 
Hankel sont venues affaiblir plusieura des argumenta qui araient et«.' alleguea 
^n faveur de Tinfluence grecque, et servent ainsi n confirmer rhypothese 
«aise par ce savant sur roriginiilit^ des vues gcometriques des Indiens. 
Noua faiaons allusion aux d&ouvertes des üulbasulras Indiens et des 
^äriques de Heron. 

La publication, en 1875, d'une partie des Sidbasütras, qui contiennent 
■*■ ri-glea pour tout ce qui avait egurd aux sacritices des Indiens, pour 
'otientation et la construction geometrique des autels, etc., ne prouvait 
«neore rien parce qu'ä ce nioment ü n'etait pas possible d'en faire 
^monter les dates a une epoque aasez oncieune pour exclure l'influence 
il^jQe. M. Cantor') a donc pu, meme dans la nouvelle edition de 
" premiere partie de ses Vorlesungen, attribuer ä cette influence la 



1) Bibliotb. Mathem. 43, 1903, p. 5, 115, 231. 

2) Je cite M. Cahtok parce qu'il a donue un expoae guivi iles t'aits qui loi 
•*aiblent indiquer une influeuce ^ecquo; niais, il faut l'avouer, ses vues ä cot egard 
Miient 6te adoptees par la plupart des higturieoB den math^matiqueB — y compriB 
'»iiteur de ces ligneg. 



106 



H- G. ZETTHraf. 



eoncnrdance desdites regles avec des procedes connns par les Grecs; 
celtt n'est plus possible aprös la publication, en 1901, de YÄr^sr. 
Sulbasütra, du moins si les remarques chronologiques que l'editeur,' 
Alrekt BI'rk, y Joint dans son introduction ') sont aussi bien fo: 
que ]a plupart de ses remarques geonietriques. Selon lui, le Sulba 
en question appartient au plus tard au 4* ou au 5^ siecle avant Jesus-Ch 
et les regles rituelles qu'il nous fait connaitre doivent dater d'nne ep< 
plus ancienne, prohablement meme beaucoup plus ancienne. Ces ri 
Bupposent la connaissance: 1" du „theorl-me de Pythagore", 2" de 
applications ü la construction d'un carre ^gal a la somme ou ä la diffen 
de denx carres donnä, ä la multiplication d'un carr6 et meme s la te 
formation d'un rectangle en un carre, et 3° de la determiuation de trian 
rectitngles ä cötes rationnels. La troisieme de ces connaissances, qui 
Celle de Solutions entieres de reqnation indeterminee 

!• -f y» =, e*, 
s'obtient selon M. BCrk, ]>r6ciBÖment comme chez les Grecs dep 
Pythagore, par la consideration des gnomons de carres. La differei 
des dem carres e- et y* est representee sous la forme d'un gnomon 
largeur s — y. Tandis qu'EiCLiDE en fait usage*) pour trouver 
Solution genenile du probleme, les Sulbasütras se boment ä traiterl 
certain nombre de cas aesez simples. Les gnomons dont la 
— y=l seront les nombres impairs; tous les carres impairs fot 
donc des Solutions de l'equation. On aura ainsi la regle attribu4 
Pythagore; les Stdbasiitras en contiennent les cas suivants (3, 4J 
(5, 12, 13), (7, 24, 25). Pour la largeur 2 du gnomon on obtienl 
regle attribuöe ä Platon; les SidbastUras en contiennent les cas (8, 15,J 
et (12, 35, 37). 

On y trouve encore certains triangles dont les cöt^s sont le m^me 
tiple d'un de ces groupes de nombres. Lorsqne Bavdhäyana, qui a precisen 
pour but d'illustrer le „theori-me de Pythagore", cite dans son SuWasi 
ä cöte de trois triangles derives au moyen d'un gnomon ii la largeu 
le triangle (15, 36, 39), cet exemple peut avoir eu trait ä nne constrac 
pratique oö on a fait un usage effectif d'un triangle dont les cötes 
ces multiples d'une unite donn^e; mais il est aussi possible que, cot 
le pr^sume M. Bi'RK,') ce cas doit servir d'exemple de triangles deri 
d'un gnomon ä la largeur 3. Qnoi qu'il en soit, la formation, par malt 
cation, de nouveaux triangles n'etait pas inconnue ä ses pr^d^ssec 



1) Zeitichiift der dentacben morgenl&ndiacben GeselUchaft öS, i 
p. 543-577. 

2) Ettmenta, livre X, prop. 28. 

3) Zeitschrift der deutschen moif^eDländiscbeu QeBell8chmfto&; pi>l 



örTarithmetiqne B»'om(5triqiie des Grecs et de» Indiens. 



Jusque-lä la plus ancienne geometrie indienne est a pen pr^s identique 

i ia plus ancienne geometrie grecque, a ceUe qn'on peut essentieUeiiitint 

tkirv remonter ä Pvthäoore et h ses eli'ves. La transformatinn d'un 

rectangle en un carre se fait de la m^me maniere que dans le second 

liirre des Elenicnta^): on commence par transformer le rectangle en un 

gnomon ou bien en la difFerence de deux curres et fait usnge ensuite du 

„tlioorenie de Pvthagi»ue". Cette construction a ete pour les Grecs uu des 

preniierspas dans cette voie d'une algebre geometrique qui devait les conduire 

assez vite ä de brillantes dccouvertes; mais nous ne rencontrons rien de 

BeniblaWe ebez les Indiens. Et möme si plus tard nous les trouvons en 

possession de quelque verite geomctrique, ils ont eu le plus souvent trop 

il'occaBions de la tenir de source grecque pour qu'il seit necessaire d'y voir 

pne d(-converte independante. Comme source grecque M. Cantor a cite en 

premiere Ugne Hkkon. Toutefois, les renvois ä cet auteur grec par lesquels 

H- Cantor veat demoatrer l'existence d'erreurs communes ii lui et aux 

Indiens, renvois qui du reste illustrent mieux les connexions historiques 

ijue les verites connues dans les deux pays diüFerents, perdent leur iorce 

probante par la decouverte du texte des Mctriques de IlKitON qui ne 

eontient pas ces errenrs. II faut au contraire y voir des additions 

'»yzantines derivant de source indieune plutöt que l'inverse. 

A cöte de verites geometriques que les In<lienB ont pu emprunter aux 
'-»»■ecs, ü existe en tout eas, dans la geometrie indienne de lepoque qui 
'^oos est la mieux connue, un groujie de recherches assez immediatement 
"^es aux anciennes recherches dont nous venons de parier et se presentant 
*OU8 une forme assez originale pour qu'on y reconnaisso un travail propre 
**>x Indiens. Et nous verrons que precisement ces recherches semblent 
*^oir donne de feconds resultats. 

n s'agit d'une continuation de l'etude des figores ä cotes rationnels. 
triangles rectangles aux cötös (3, 4, 5) et (5, 12, 13) ^tant connus, 
*^ etait assez naturel de former du preniier, par multiplication, le triangle 
v"» 12, 15) et de former ensuite, par juxtaposition des deux triangles ii 
*"* cöte commun, le triangle aux cötes (13, 14, 15) dont l'aire sera 
'^tionnelle ä cause do cette formation. On n'a done pas besoin de 
*^oire Ä un rapport de dependance pour expliquer que HiCKON et les 
^■'itlieDB se servent de ce meme exeniple tri-s «"omuiode pour illustrer 
l«t« calcnls relatifs ä un triangle ä eütes donn^s. Et les Indiens n'en 
***«it pas restes lä. En etendant ä ijuatre cette juxtaposition de triangles 

1) l'iop. 14. El'cupk ne dit paa comment il trouve sa construction; cun- 
POrnu^nieQt h sa repr^sentation syotbctiquo, 11 la demontrc aprt^s coup. Mais l'unalyse 
^'^ultant de rinversiou de sa demonstratiou syutki'tique expriTuerait lo proccd^ ptescrit 
*"■ lei SHlbasütrcui 



rectangles ä un sommet commun, üb ont forme la figure qai par uu 
traduction peu heureuse a obtenu le noni de trapeze de BuAHMAOorrr' 
Ell rt'alite ee iiuadrilattTe n'est pas im trupeze dans le sens de ce im 
adniis depuis KucMDK; mais U resolte de la construction suivante: 



Soient 



a, h, c et o', b', c', 
oö f» = «s 4- b*, <•'» = o'» + t'« 





les cötes de deux triangles rectangl« 
On en forme quatre nouveaux triangl.« 
en multipliant les cotes de rtm par 1.. 
cütes de l'angle droit de l'autre. Ensui-fc« 
on formen! le „trapeze de Bkahma(;OLTT~.^^^ 
AB CD par la juxtaposition de 
quatre triangles que montre la fig. 4:_ 

Avant la construction de ce , 
peze", Bkaiimagoi'PTA nous fait connüitire 
quelques proprietes appartenant ^ cert&i zas 
quadrilateres, tout en negligeant de no «js 
indiquer quels sont ces quadrilatöres. Jl 
y a toutefois des proprietes dont il dit 
expresBonient qu'elles ne sont pas applicables aux trapezes. BRAUMAGOrr'I'A 
a donc vu, et probablement il a voulu dire, que les „trapezes," dont il "^^ 
s'occujjer presque immediatement apres, possedent les autres proprietes ^^n 
question. Pour le croire on n'a pas meme besoin de voir avec Hank:^KL 
dans cet ordre, inverse ä celui qui est le plus natnrel ä nous autres ele^ 
des Grecs, une finesse particuliere aux Indiens: il suffit de se rappeler CL 

Braiimaooitta ne donne dans ce chapitre (le 12') qne des lemmes uti^^-** 

at 



Fig. 4. 



pour l'etnde de l'astronomie, lemmes qui etaient sans doute connus &\ 

lui. D^s lors il n'est pas certain qu'il les ait enonces dans l'ordre le p^ — "* 

logique. 

Braumagouita a donc connn les proprietes suivantes de eea trap»*^^*^ 
(voir fig. 4): 
(1) ACIW^AJfCD + BC DA, 

W BD ASBC+CD da' 

propri^t^s qu'au moyen d'un simple calcul on deduit des expressions 
cöt«s et des diagonales (eu egard aux relations c- = a* + i* et c* = a'* -f- ^' 
(3) Le trapeze est inscrit ä un cercle au diami-tre cc'. La verite de ' 
enonc^ se voit si l'on donne (voir fig. 4) au triangle ABC la positi 
CEA. Alors les angles DCE et DA E seront droits, et DE, hypoten» 
commune ä deux triangles rectjingles aux entes hr, ac et ca', cb', s« 




Stur rarilhmetique geomätirique des tirecs ot des lodions. 



109 



egale u cc . Elle sera en mcme temps diamötre d'iin cercle passunt iiussi par 
A, S et C. Elle sera enCDre hj-potennse (l'un triaiigle rectangle aux cötea 
liD(^=ab' -\-ha) et DE(= bb' — aa'). La «gure illustre douc en 
m&me temps lu relation numerique tres usitee par les Indiens: 

{ab' + bay + (bb' — aa'y = (o» + ft») (o" -f 6'»), 

relation qui sert ü deduire de deox triangles rectanglea et rationnels im 
noaveun triangle de la tnt'me nature. 

Connaissant par les Sitlbasafras ic point de depart de la g^om^trie 
imlienne on n'a besoin d'aucune iuHuence grecque poiir t'xiiliquer la 
connaißsance de ees trois proprietes des „trapozea". II est vrai que la 
premiere constitue un cas particulier du „theoreme de ProLKsrEK", et ü 
est possible qu'une influcnce se soit fait valoir a son egard; mais dans ce 
CM leg Indiens ont aii moins donne ä ce theon-me et ä ses upplications 
loe forme individuelle et cünforme ü leur propre geometrie. Pour ce 
qui est de 

1,^) l'eipression ^{s — x) (s — ß) (s — y) (s — d) de l'aire du trapeze, 
"'' *• ßj y> ^ sont les cötes, s leur demi-eorame, expresaion <|ui a surtout 
interesB« les geometres modernes, je crois volontiers ä une influence grecque. 
"U eilet, cette expression indique la connaissance imterieure de l'expression 
*Dalojfue de l'aire d'un triangle et la ruanii're dont ceUe-ci est mentiumieo 
«ans les Metriqttes de Hkkon fait snpposer qu'elle a et^ bien connue 
»»^imt Ini, c'est-ä-dire longtemps avant Buahma(ioitta. La nature de ces 
deiu expressions est aussi tri-s difft-rente de celle des antres qu'on trouve 
oniw Li geometrie indienne. D'iui autre cöte, il uurn ete tri's facile a 
ß"AiiMAOOrPTA de vörifier apres coup l'applieation de l'expression u ces 
'rupezes, donnes numeriquenient. 11 serait du reste tres intere.ssant de 
WToir si qaelque Grec ou Indien a su qua cette expression est applicable 
' toDs les quadrilateres inscriptibles. 

Pour le mument c'est la cunstruction des trapczes et leurs trois 
premÜTes proprietes qui nous inte'ressent. 8oient a, b, c, a, b', c' des 
"ombres entiers (rationnels): on a alors deduit de la connaissance de 
'•«U triangles rectangles ä cötes entiers celle d'un trapeze dont les diago- 
aales, l'aire et le diametre du cercle circonscrit sont egalement entiers 
(iitiounels). 

Quel est maintenant Tavantage obtenu par ces determinations de tigures 
» crjtes exprimables par des nombres entiers? On en aura une idee en se 
''fmandant comment il a ete possible anx Lidiens, qui ne connaissaient 
pas l'artifice d'exprimer par une lettre un nombre connu mais quek-ouque, 
"Mecuter les Operations tjue nous avons exprimees ici par les sjmboles 




110 



H. 0. ZürTiiKx. 



II Hin iiC 



algebriques et <joi servent u verifier les trois premieres proprietos de 
trapezes. En eflet, nous autres muthemaüciens modernes, qui apprenon 
depuis notre enfance l'usage de sjmboles, perinettant d'execnter de 
calculs insnrmoiitables sans eux, nous snmmes trop des enfants gät< 
lorsqu'il s'agit de se passer de nos instruments. Eiu'MDE, Abchimkde < 
Apollonr'H se servent ä leur defaut de lalgi-bre geometriqtre, en representÄH.^ 
geometriquement les quantites connues mais quelconques; mais Diophav 
nous apprend un autre moyen. II attribue ä ces quantites des vale«: 
determinees et assez simples, dont il se sert pour executer les calculs • 
casuite il retient en memoire platöt ces calculs que leurs r^enltste 
numeriques, ce qui lui permet de voir immediatement ce qu'on ai 
obtenu en attribuant d'autres valeurs aux quantites snpposees connu« 
En attribuant de meme des valeurs d^terminees aux quantites inconnuei 
on obtient de pouvoir efiFectuer un cäIcuI d'essai qui fait souvent decouvri ^ 
ensuite la veritable valeur chercbee. Les Indiens, dans leur resolutio 
des equations indeterminees du socond degre, se montrent tres verse's da 
cet emploi de nombres choisis arbitrairement. 

Pour bien manier les calculs effectn^s aLnsi et pour en tirer les loia 
generales et independantes des nombres arbitrairement choisis, jouanl*' -* 
senlement le röle de nos symboles, il taut que non seulement les nombre 
dioi^is mais aussi ceux qu'on en tire successivement soient assez simples^ 
Voilä le but de la recherche de Solutions entii-res dequations indeterminees-- 
Voilä en meme temps dans la geometrie el«?mentaire, oü les irrationnalitcö 
s'introduisent par le „theori-me de I'vniAGORE", l'utilite des triangles 
rectangles ä cötes entiers. Les „trapezes*' de BRAHMAGoriTA niontrenl 
combien il est comniode d'en connaitre deux. Ses commentateurs fönt et 
particulier usage de ceux oil ^_ 

a = 3, 6 = 4, c = 5 et a' = 5, i' = 12, c' = 13. H 

On pourrait qualifier de geometrie arithmetique un tel usage dc.^^ 
nombres obtenns originairement par l'arithmetique geometrique; mar^^H 
pour justifier cette denomination, il faut montrer que la recherche pe^ 
avoir un autre but plus geometrique et general qn'nne teile constrncti" 
de nouvelles figures rationnelles. Or, dans le triangle rectangle (v 
fig. 4) DBE qae nous avons construit pour montrer la jnstesse de 
determination du diametre du cercle circonscrit, l'angle BED est egal 
la somme x -\- y des angles j et y opposea u a et o' dans les de 
triangles donnes. L'expression de sin {x + y) est donc representee p 
la figure. Notre sinus tabulaire serait immediatement BD si c = d = 
et par consetjuent aussi DE = cc' = 1; car alors a = sin jt, b ^ cos 
o' = «in y, b' = cos y, BD = ba' -f- ab' == sin (j + y ); niais meme 




Sur raiithmätiqne geometrique des Giecs et des Indiens. IH 

cette hjrpothese plus moderne il etait facile de rapporter ä vm rayon 
quelconque les sinus qui correspondent aux rajons c, c' et cc'. 

On Toit que de la m^me mani^re l'autre diagonale foumira rexpression 
de cos {x — y). Le trapeze de Bkahmagoupta a donc pu servir ä 
representer la proposition fondamentale ^) de la trigonometrie, et nous 
savons que celle-ci ^tait connue aux Indiens et qu'üs en faisaient usage 
ponr calcoler des tables de sinus. 

Qu'on se soit propose en efPet un tel but trigonom^trique, c'est ce 
qni Bemble encore r^sulter de ce fait que les theories geometriques expose'es 
dans le 12* chapitre de I'oeuTre de Bkahmagouita devaient ser\rir de 
lemmes ä cette oeuvre astronomique, et ses autres chapitres nous infomie- 
raient pent-etre, s'ils etaient connus, de l'usage effectif qu'on en a fait; 
mais en tout cas ce chapitre montre que les Indiens disposaient des moyens 
aecessaires pour construire une trigonometrie independante. De l'autre 
eöte Celle qn'ils possedaient montre son independance de celle d'HiPPAKCHE 
et de Ptolehee par son emploi de tables de sinus au lieu de tables de 
Cordes.') 

C'est un double but que nous avons ainsi attribue aux figures de 
Braiimagoui>ta: 1<* la formation de figures ä cötes entiers et 2* la demon- 
stration du theoreme fondamental de la trigonometrie. Ce qui explique 
le doable emploi des figures dont le premier a son origine dans la plus 
uicieime geometrie des Indiens, et le second conduit ä la plus utile 
*Pplication qu'üs en ont faite, c'est que les figures ä cotes entiers leur 
etaient necessaires pour se representer ä leur fa9on, c'est-ä-dire par des 
•»Icals numeriques, les Operations generales qui fönt la base theorique 
de la trigonometrie. Du reste on retroure aiUeurs dans l'histoire des mathe- 
matiques ces do übles emplois de la formule en question, savoir ä la trigono- 
metrie et ä la theorie des nombres. En effet, Yiete, qui ne connaissait 
oertainement pas les mathematiques indiennes, se sert aussi, dans ses Notes 
& la Logistique specieuse, des expressions du sinus et du co sinus de la 
wmme de deux angles pour deduire de deui triangles rectangles ä cötes 
entiers un troisiöme de la meme nature. 

Quant ä l'application de la trigonometrie ä la sphere, nous ne retrou- 
Tons plus la meme independance des procedes grecs. Ceui des Indiens 



1) J'avais d^jä en 1876 attiiä l'attention sur ces faits, dans un articie publik dans 
'«Tidsskrift for Mathematik. 

2) Le diam^tre ^tant pris pour unitä, les cordes de ces tables grecques sont 
"Xitefois de väritables sinus, mais seulement des moiti^s des arcs auxquels ils sont 



112 H. G. Zkituen: Sur rarithmetique (^-omütriquo des Greca et des Indiens. 

sont, en eflfet, ä peu pres les meines qu'on trouve dans VAndlemme de 
Ptolemee. *) Ds les doivent donc probablement aui Grecs dont les 
recherches k cet egard sont tres anterieures a Celles des Indiens dont la 
connaissance est arrivee jnsqu'a nons. 



1) Voir ma Note sur la trigonometrie de rantiquite; Biblioth. Matbem. 1. 3, 
1900, p. 20. 



C. R.Waluiiui: EntwtckoluxigBgegch. Momcutc b. KnUteh. d. lufiaiteeitualrechnuiig. 113 



Entwickelungsgeschichtliche Momente bei Entstehung der 
Infinitesimalrechnung. 

Von C. R. Wallneu in Mimuben. 

Es ist meistens sehr schwer oder ganz unmöglieh, die treibenden 
Gräfte anzugeben, (leren Zusammenwirken die exakten Wissensi'biiften ihre 
Weiterentwickeiung verdiuikeu, wie denn der innere Anlaß aller uatiirlicLen 
Entwickelung noch völlig unbekannt ist. Wir müssen zufrieden se'm, 
*etm wir wenigstens diejenigen EinHiisse ermitteln können, die eine solche 
Entwickehing überhaupt möglich machten. Diese Aufgabe ist schwer 
. 8*D''g; denn neben der langsamen noruiaJen Weiterbildung zeigt die Ge- 
whifhte der Wissenschaften oft Ei)ochen, die sieh durch eine Fülle schein- 
W i^Snzlieh unvorltereiteter neuer Erkenntnisse auszeielinen. In der (le- 
•Cliii'hte der Mathematik speziell beileuteu die 50 Jahre, imierhatb derer 
'Jie Infinitesinuilrechnung entstanden ist, einen Aufschwung, der in keinem 
'Whältnis zu den (lesamtleistuugen früherer .labrbuuderte zu stehen 
'•'teint; trotzdem ist die erste Anlage der beiden llaupterrungenschaften 
jener Epoche, des Grenz- und des Diftereutialbegrifts, die vorher der 
Mathematik vollkommen fehlten, schon weit früher in den Werken 
Ahchimedb und in der mittelalterliehen Pbilosojdiie zu finden.') 

Können wir demnach die inneren UrHuchen, die jene lang angelegten 
zur plötzlichen Entwickelung und Heilung brachten, kaum erkennen, 
"" sind wir doch imstande, innere Umstünde anzugeben, welche die Eut- 
*ip|£elimg hintungehitltfn oder verzögert haben. In unserni Falle ist es 
''Iw, (iiiB bei den geringen uudbeniatischiMi Kenntnissen bis zu Heginn des 
1'. .Itthrhunderts herauf die oben erwähnten Keime eines Grenz- und 
i'ifterentialbegrift's nicht gfdeihen konnten; dieser Aufsatz soll daher nur 
fiiejeuigen Momente liringen, die noch während der Entstehung der 
"•finitcsimalrechnung auf diese hindernd einwirkten. Man sieht, daß z. B. 

I) Vgl. die Aufgfitze des VertaBsers: Vie Wandlungen den Indmifiiüitnbegriffs 
CiVAiAUK, hin Wallis; Bibliotli. Mathem. 4;), 1903, 28—47 und Über die Eni- 

de» Grembtgriffes; ebenda 43, 1903, 246—259. 
HkUotkw» UathemaUca. UI. Fol);«. V 8 



114 



C. R. Waluiek, 






Fermat oder gar Barrow mit ihren Tangentcnniethoden dem Differenzi«^^^^ 
scheinbar schon sehr nahe gekommen waren, und fragt sich, warum in 
diesen und ähnlichen Fällen das Naheliegende doch nicht gefunden wurde. 

Äußere Grftnde, wie der Mangel an Fachzeitschriften usw. kommen 
hierbei nur in geringerem Maße in Betracht, oliwohl ihre Bedeutung duroh-^™ 
aus nicht zu unterschätzen ist. So war Fkkmats Quadratur allgemeine*^^ 
Parabeln vom Jahre 1636 weiteren Kreisen vollkommen unzugänglich 
Wallis glaubt« daher noch 1655 in seiner Arithmctica infitiitorum dies« 
Problem zuerst behandelt zu haben. Ja Leibxiz hatte Bakrovvb Lrctiona 
tum opticat tum gcometricne mit dessen Tangentenmethode sogar im Besitx 
aber allem Anschein nach hat er dieses Werk nicht vollständig studiert,' 
so daß ihm jene für seine eignen Forschungen höchst wichtige Methodi 
völlig entgangen ist. 

Der eigentliche Grund liegt tiefer, nämlich in dem Faktum des hisli 
fischen Werdens selbst. Je langsamer, je gleichmäßiger eine Entwickelung 
verläuft, desto weniger tritt der tatsächlich erreichte Fortschritt hervor 
Dadurch wird aber leicht bewirkt, daß der Wert, die Bedeutung diesi 
Fortschritts unerkannt bleibt. Auch bei Erfindung der Infinitesimalrechn 
war ganz besonders der Umstand hinderlich, daß man die neugewonnenen 
Methoden der Körpermessung usw. .immer mit dem V^ erfahren der Altenas 
identifizierte Dadurch gelangte man hmge Zeit nicht zu der Erkenntnis^f 
daß die Probleme der Quadratur, Schwerpunktsbestimmimg usw. von deneiaK:^ 
der gewöhnlichen Geometrie prinzipiell verschieden sind, daß ihnen eiii.^H 
Schwierigkeit innewohnt, die letztere nicht besitzen. Diese Schwicrigkei~^| 
besteht in einer gewissen Unbestimmtheit der Fragestellung; so ist z. 
im Falle der Kubatur der Inhalt eines beliebigen Köqiers von vomherei 
noch nicht definiert. Solange man aber neue und alte Methoden fC 
gedanklich identisch hielt, konnte auch keine Aussicht bestehen, jene alle 
Integrationsproblemen eigentümliche Schwierigkeit zu erkennen, und sona^i-il 
konnte auch kein Mittel gefunden werden, dieselbe systematisch zu hebe»- ni. 

Der Grund fiir die erwähnte Identifizierung lag einerseits in d« 
scheinbar wirklich geringfügigen Unterschieden zwischen alten und neu« 
\' erfahren; man hat dabei immer zu berücksichtigen, daß wir heutznt;^^^ 
jene Unterschiede natürlich leicht konstatieren und ihrer Bedeutung na^r"^' 
würdigen können, weil wir eben auch die Kenntnis späterer Entwickelnn^S* 
Stadien für ims haben, die damals fehlte. Ein andrer Grund war der, d ^^* 
man jenen neuen Methoden Bürgerrecht verschaffen wollte, indem man £^9 -" 
als vereinfachte alte bezeichnete ; dadurch glaubte man dann z. B. 
Verwertung der begrifflich ziemlich unbestimmten nnendlichkleinen Gröfr^-« 
rechtfertigen za können. 

_^ 1) Vgl. Ca»t..r, Voile«, üb. Oesch. d. Mattient. III^ 




\t 



Eotwickelungsgeschicbtliche Momente bei Entstehung der luBuitesimalrechniiug 115 

Anstatt also die gedanklich wesentlich neue Grundlage ihrer Beweis- 
Mrung ZH betonen, haben Muthenintiker wie C'avamkki und I'ascal. 
imm«r wieder die Verwandtschaft von alter und neuer BehandlungBweiBe 
betont. Man ist also durehiius nicht berechtigt, anzunehmen, daß jene 
Maliienmtiker erkannt hätten, daß die Ijüsung der verschiedenen Integrations- 
jifühlfme nur durch neue iVuschauungcn und neue Begrifie zu bewerk- 
rtelligen ist; wollte doch HrvOENS selbst nach Erfindung der Infinitesimal- 
rechnung die Zweckmäßigkeit der darin verwerteten neuen Begriffe und 
ihre Überlegenheit gegenüber seiner Methode nicht anerkenneo. Auch 
Leibn'i/ beherrschte schon längst die sog. bitegrationsmethoden seiner 
Zeitgenossen, bis er erkannte, daß es sich dabei um eine neue Rechnungs- 
«rt handle. Außer ihn) und Np:wton hatte nur noch der englische 
Msthematiker Jame.s (iRKtiOKV die Idee einer neuen Rechnungsart; derselbe 
spricht in der Einleitung zu seiner Vera ciradi et hyperbolae quadraUiru 
kliir und deutlich ans, liaß die Schwierigkeiten der Integrationsproblemo 
nur durch Einführung einer neuen Rechenoperation, der Grenzwerte 
bildung, fiberwunden werden können. 

Die Erkenntnis, daß es sich bei den Integrationsproblemen um eine 
'«nip|)c eigenartiger, nur durch bc^ondcrp Hilfsmittel zu Ittsender rrnbleuie 
handelt, sowie eine ungefähre Abgrenzung dieser (iruppo gegenüber der 
pwiihnlichen Geometrie, wurde dadurch vorbereitet, daß man ulliuühlich 
"h* ixmere Verwandtschaft von scheinbar ganz verschiedenen Methoden 
«kannte. Z. B. benützten Vai.KUKi. Fkkmat u, a. tjuadratnreu zu 
Schwcrijunktsbestiminungen, während GlMUN mit Hilfe des bekunuten 
Schworpunkts Inhaltsbestimmungen vornahm; dadurch kam man dazu, die 
Irthoden der (Quadratur imd der Schwerpunktsbestinntiung als gleichartig 
•osehen, da sie sich gegenseitig zu ersetzen vermögen. Elhenso stellte 
'ich heraus, daß die Auftindung von Kurventimgenten, Maximalwerten und 
Doppelwurzeln einer Gleichung durch Methoden geleistet werden kiuin, die 
'ich ganz analog sind. Dadurch mußte sich dann allmählich die Erkenntnis 
hüllen, daß diese äußerlich ganz verschiedenartigen Probleme innerlich ver- 
*«ndt sind. Auf diese Weise war man noch vor Lkibniz dazu gelangt, alle 
■Dfinitesi malen Probleme in zwei große Hau])tgrup])en zu ordnen, die 
"useren heutigen Integrations- und IHUereutiationsprublemen entsprechen. 
Während man aber immerhin bis zu einem gewissen Grad erkannte, daß 
Miehige Ihrobleme ein und derselben Gruppe einer gleichartigen Be- 
'"•ndlungsweise fähig sind, so fehlte doch jede Einsicht, daß die Probleme 
der einen Klasse die umgekehrten Aufgaben der andern sind. Dieser 
'wentliche Fortschritt war Leibniz und Newton vorbehalten. 

Aas der Art und Weise des historischen Werdens wird auch die 
liuige Zeit erklärlich, die zur Bildimg neuer Begriffe erforderlich ist. Ich 

8* 




Uü 



C. R. Waluibb. 



habe bereits früher gezeigt, wie langsam und aUmäMich die BegriflFe der 
Grenze und der unendlich kleinen Größen entstanden sind und wie schwer 
sie sich in die Mathematik Eingang verschafft haben. Gerade daraus, 
daß die Hilfsmittel und Begriffsbildungen, die der Intinitesimalrechnung 
eigentümlich sind, gar kein Analogon in der gewöhnlichen Mathematik 
besaßen, daß sie alle erst neu geschaffen werden mußt«n, kann man die 
gewaltige Gedankenarbeit ermesBen, die zu ihrer Auffindung notwendig 
war. Ohne sie wäre sicher niemals eine Infinitesimalrechnung entstanden ; 
aber sie selbst sind erst aus der Behandlung infinitesimaler Probleme 
heryorgewachsen. Die Bedeutung dieser Begriffe wird dadurch nicht 
widerlegt, daß Descartes bei seiner Behiindlung des umgekehrten Tan- 
gentenproblems, Hutgens an dem Problem der Kettenlinie zeigten, daß 
scharfsinnige Mathematiker mit verhältnismäßig geringen Hilfsmitteln und 
desto größerem Gedankenapparat Hervorragendes zu leisten imstande sind; 
denn es ist zu bedenken, daß derartige geistreiche Lösungen gewisser- 
maßen durch Umgehen der der Aufgabe char-akteristischen Schwierig- 
keiten zustande kommen und darum auch ihr eigentliches Wesen nicht 
erkennen lassen. ^| 

Das ist aber gerade der Vorteil von LEinxizens Algorithmus gegen- 
über der Methode von UrvOENS, daß er nicht auf Kunstgriffen beruht, 
sondern die verschiedensten infinitesimalen Probleme alle systematisch auf 
zwei Grundprobleme: die Bildung des Differentialquotienten und des im- 
bestimmten Integrab, zurückzuführen gestattet, und daß er femer nicht 
schwierige (Überlegungen erfordert, sondern all das rein mechanisch auf 
rechnerischem Wege leistet, was HrvoENS in jedem einzelnen Fall wiedfld| 
durchdenken muß, denn darin liegt überhaupt der Wert jedes rechnerischen 
Vorgehens, daß gedankliche I']uergie eingespart wird, die dann der Be-»i 
vviütigiing wieder andrer Schwierigkeiten zugute kommen kann. Noelfl 
einen andern Vorteil zeigte die rechnerische Behandlungsweise speziell 
hei den Methoden von Hn>i>E und Si.i'zeM zur Bestimmung von 
Maxima- und Miniiuawerten l«ezw. Kurventangenten. Da sich nämlich 
diese Methoden ganz schematisch handhaben ließen, so konnten sie den 
Gedanken an die Möglichkeit forniulcr Operationen von ganz andrer Be- 
deutung als die gewobiiten (trundroclinungKarten, d. i. im die F^xistenz 
eines neuen Kalküls, der I)ifferentialrc<*lmung, anregen. Denn je mehr das 
gedankliehe Element aus einer praktischen Hechnimg verdrängt wird, 
desto leichter gewinnt diese den Tharakter einer Idnßen Schablone; und 
der ist nötig, um diin Ui'Wuß(Ni>iu ilirer KntHtehungsweise zu ertöten und 
das Gefilld von ühit Selltstiindigkeit und Eigenart zu erwecken. 



1) Vgl. Cautüh, a. » t' IIJ, s iil7-»'.'0 




iitwickelungBgeBchichtlicbeMomente beiEntatehnng der Infiaitesimalrechiiung. 117 



Wenn wir aber fragen, warum nuiu bei deu vielen Vorzüy;en einer 
rechnerischen Behandlung der infinitesiiuiilen Probleme nicht t^i'hnn früher 
eine solche angewandt hat, so waren hierfür die verschiedensten Gründe 
maßgebend. Erstlich waren die ursprünglichen derartigen Probleme alle 
rein geometrischer Natur und die analytische Behandlungsweise, insbesondere 
die analytische Geometrie selbst, waren noch viel zu wenig entwickelt, 
um bereits auf diesem Gebiet angewandt werden zu können. (Javaukki, 
RoBERVAL, GuEHiiiKK DE St. Vdjcent waren reine (Jeometer, und auch 
F'ascals Gedankengang war mehr gpometrisrh als itlgebriiisch. Ein weiterer 
Grund war der, daß man ja urBprüuglich gar keine Detinition des Flächen- 
oder Rauminhalts besaß, dessen Bestimmung im Anfang die wichtigste 
Aufgabe l)ildete. Cavameki, Kobkuvai., Gkkooibe haben ja nur Kriterien 
oder Beweismethoden, um zwei Gebilde als inhaltsgleic.h nachzuweisen, 
and einige wenig allgemeine Sätze; erst PahcaI., deliniert die Fläche als 
Summe unenciUch vieler unendlich kleiner Rechtecke, wenn er auch nie 
wirklich eine solche Sumniation durchrechnet, sondern sich immer noch 
des UAVALlEKlschen Satzes') bedient. Wallis ist der erste, der Flächen- 
inhalte faktisch durch Aufsuchen des Grenzwerts der Summe aller der 
Fläche einbeschriebenen Rechtecke Kndet. Man darf daher nicht, wie dies 
schou oft geschehen ist, infinitesimale Untersuchungen vor Pascal und 
Wallis in bestimmten Integralen wiedergeben, da vor diesen nichts vor- 
handen ist, was unserm Begriff des bestimmten Integrals (im RiEMANNBchen 
hinne) vergleichbar wäre. Wir hulien noch einen wichtigen Grund zu 
•fwähnen, der besonders bei einer Beurteilung der Arbeiten I'ascals nie 
'II vergessen ist. Pascal hat ja unzweifelhaft vor Lkihntz weitaus das 
^liiiTte un<l Beste auf dem Gebiete der infinitesimalen l'robleme geleistet; 
•^f hat in die widerstreitenden, verschwommenen Anschauungen über das 
Lnendlichkleine Onlnung gebracht, bat den Begrifl' des Inhalts eines be- 
liobigen Gebildes definiert, ja sogar Quadratur, Kubatur. Schwerpunkts- 
owtiinniung allgemein auf die Ermittlung gewisser algebriiiscbcr Summen 
*"D ganz charakteristischem Bau zurückgeführt.-) Man uiüchte memen, daß 
'lie schleppende Darstelhmg dieser Summen in Worten geradezu darauf 
oingedriingt hätte, eine algebraische Bezeichnung einzuführen. In dem- 
»elben Momente hätte Pascal scheinbar auch schon die Hnuptformeln der 
Integralrechnung liesessen, so nahe sind seine Sätze mit dieser verwandt. 
Lud warum hat er das Naheliegende dann doch nicht getan? Vielleicht, 
"■^il er immer möglichst getimetrisch bleiben wollte? Dafür spräche ja, 
''äß er z. B. neue Körper, die „ouglet", aufstellt, nur um durch sie gewisse 



1) V(fl Dir Wandlungen den Iiulirisilnlimhet/riffit, S. 36. 

2) Besuadera deatlich in dem Brief an Caucavv; vgl. auch Castihi, a. 
D*.S. 911 u. f. 



». 0. 



118 



C. R W*U.XKR. 



algebraische Summen zu veranschaulichen; dafür spr-riche, daß es ihm 
Quadraturen, bei Rektifikationen inimi-r um di« Auffindung von inhl 
gleichen bezw. gleichlaugen geometrischen Gebilden und nur um die 
mittelung von Zahlenwerten zu tun ist. Dennoch erklären diese tirf 
die Sache nicht; man frage sich vielmehr: was hätte Pascal mit seil 
Integralalgorithmus anfangen sollen V Er hätte dann wohl Formeln besei 
welche die Struktur, den inneren Bau einer Raumgröße deutlich hä 
erkennen lassen, aber in jedem einzelnen Fall hätte er doch wieder 
CAVALlKRiBchen Satz verwenden müssen, den er auch so benutzte, 
finden ja heutzutage den Wert eines bestimmten Integrals ganz imdi 
meistens gehen wir vom anbestimmten Integral aus, suchen dasselbe 
Hilfe einer eignen Hechennperation als Funktion seiner oberen Grenze 
ermitteln und setzen dann erst die speziellen (»renzen ein. pASfAK k 
weder den Begriff der Funktion noch des im bestimmten Integrals 
ohne einen von beiden kann <'r das Int-egrieren selbst als llechenoper» 
nicht finden. Denn man kann wohl vom unbestimmten Integral 1« 
zum bestimmten gelangen, alter nicht umgekehrt, da das bestimmte Int^ 
nur den (Jrenzwert einer Summe dari^tellt, also auch ohne irgend wd 
Integrationen ermittelt werden kann. LKrnNiz, der mit Kurvengleichui 

operiert, kommt dagegen zu Ausdrücken wie J j- = ^ , die noch die 

bestimmte Koordinate .r enthalten und infolgedessen unbestimmt« 1 
grale sind. 

Jetzt ist auch klar, daß, solange der Funktionsbegriff fehlte, 6 
analytische fteometrie nie ein Integralalgorithnuis entstanden wäie. D 
bedingt niimlieh w<'gen der ini]iliziten Verwertung de.s Funktionsbegri 
eine Schreibung in V'arialieln, zu einer solchen konnte aber nur <lie 
Wendung der analytischen Geometrie Veranlassung geben. So verdnn 
also die Infinitesimalrechnung der Präexistenz der analytischen (»eomi 
ihre Entstehung, hat aber dafür dann umgekehrt auf die Entwickell 
der letzteren den mächtigsten EiuHuß geiil»t. 

Wegen dieser Bedeutung für die Erfindung der Infinitesimalrechni 
wollen wir etwas auf die Entstehung der analytischen Geometrie i 
gehen. Der Ausgang8]>unkt für dieselbe ist zweifellos in den Wer 
ViKTKs zu suchen, denn die Annahme, die analytische Geometrie 
etwa durch graphische Darstellung unbestimmter (DiOPHANTischer) Gl 
chungen und Beobachtung der verschiedenen dabei entstehenden Kurven 
funden worden, ist durchaus unberechtigt. Erstlich war zu der in Fr 
kommenden Zeit die graphische Darstellung noch kein mathematisc 
Untersuchungsmittel, zum andern aber hatte man sich bereits gewöhnt, 
derartigen Gleichungen nur die ganzzuhligen Lösungen ins Auge zu fi 



Kntwickelungagegchichtliche Moment« beiF'Dtetehiingderlnfinitegimalreclinang. 119 

Vielmehr verdankt die analytische Geometrie ihr Entstehen der An- 
wendung der Buchstiiltenrechnung, der Algebra, auf j^eometrische Fragen. 
\\älirend man früher algehniisehc l'roiileme, insbesondere die Bestimmung 
der Wurzeln einer gegebenen (ileichung auf geometrischem Wege gelöst 
hatte, so wandte jetzt umgekehrt Vietk systematisch die Resultate der 
bereits hochentwickelten Algebra auf die Geometrie an. Er brauchte zu 
dem Zweck nur geometrische Längenrelationen in algebraische Schreib- 
weise einzukleiden, um, unabhängig von Figur und geometrischer Über- 
leii^ng, rechnen zu können; das Wesen seiner Behandlung geometrischer 
Probleme liegt in der Aufstellung und Ijüsuug gewisser Gleichungen. 
Besonders bequem mußte sich für ihn die Untersuchung krummliniger 
•tpbilde gestillten. Hier hutten st-hon die Alten ihre gpwübnlichen auf 
dem l'rinzip der Strecken- unil Winkel vergleichiuig beruhenden Dcckungs- 
nirthoden verlassen; schon die IJehimdhing der Kegelschnitte war ihnen 
nicht ohne Benutzung einer groben Anzahl von Streckenrelationen, die 
man heutzutage als Koordinatenrelationen bezeichnen würde, möglich ge- 
wor(l«n, wenn sie auch den Knordinatenhegriff explizit nicht enthielten. 
Dieser hatte sich aber im Laufe der Zeit gebildet; schon die römischen 
Ffidmesser gebrauchten den Ausdruck „lineae ordinatae"'), die Astronomen 
des Mittelalters führten systematisch sphilrische Koordinaten ein. und bei 
WCA Valkbio tretfen wir bereits 1G04 die Zusammenstellung „ordinatim 
"Pplieuta" ^ Wie sehr der Koordinaten begriff zu Beginn des 1 7. Jahr- 
Iiiinil(>rt8 bereits in die Mathematik eingedrungen war, beweist ('avalikkis 
hniivieibilieumethode, die ja, wie früher gezeigt, indirekt auf ihm 
beruht.») 

Während aber bei Vikte die Koordinaten dort, wo sie vorkommen, 
IUI' zullillig benutzt werden, fübren jetzt Fkhmat und DK.scAliTE.s die- 
Wlii'u mit vollem Bewußtsein pliinuiäliig in die rechnende (Jeometrie ein. 
Uiese beiden Mathematiker haben aber noch einen Schritt getan, der die 
"'l?<'l)ruische Behandlnngsweise geometrischer l'roblenu» erst zur analytischen 
'""»iiietrie machte: sie erkannten im Gegensatz zu Viktk, daß nicht nur 
"'f alle Punkte einer Kurve eine gewisse (Jleichung gelte, sondern daß 
umgekehrt auch diese Gleichung die Punkte der Kurve selbst bestimme 
''"B sie idso gewissermaßen das algebraische Bild der Kurve sei. 

Im übrigen stehen Fi:i»tAT und De.scaktks noch ganz im Banne der 
'^uifiisgung V'iKTKs; es handelt sich bei ihnen immer noch genau wie bei 
•liesein um die Aufstellung und LiJsung gewisser Gleichungen, nur daß 



ll Casitok, a. a O. !'■*, S. 515. 

2) YAumiia, Df eentrn ffratitiitii libri trts, 1. IH. pr 4. 

3) Dif Wiindlangen iles ImUcixilnlienlMujrilfn, S. 30. 



120 



C. R. Waluehl 



LUB- 

ochfl 

[IgS-l 



die Auffassung derselben als Repräsentantinnen der betreffenden Kiirven 
neu hinzugekommen ist, jeder Funktionsbegrifi' liegt vollkommen fem. Ja, 
nicht einmal ein Variabilitätsbegriff ist vorhanden, das beweisen die Aus- 
drücke „equation" und ..inconnue" statt der unsem heutigen Anschau 
ungen mehr entsprechenden Funktion und Variable, x und y sind nocl 
lange über Desiaktk.«« hinaus nicht Veränderliche, nicht Bestimmungs-J 
stücke des Kurvenpunktes {x, y) nar i^ojr^fy, sondern die Bestimmung 
stücke des jeweils gesuchten festen Punktes.') Es wäre ja nach der' 
Anschauung der damaligen Zeit widersinnig gewesen, bei einem Punkt, 
der nur der einen Beschränkung unterworfen ist, auf einer gegebenen 
Kurve zu liegen, der also nicht völlig bestimmt ist, von Bestimmungs- 
stücken zu sprechen. Ein Durchlaufenlassen <ler x-Koordinate von bis oo 
dndet sich lange Zeit nirgends; mau erteilte höchstens dem x der Heihe 
nach einzelne bestimmte feste Werte und sah zu, welche Werte dabei t^M 
annahm. Immerhin wurde auf diese Weise wenigstens der Begriff der 
Abhäugigkeit vorbereitet, der dann in Verbindung mit dem Variabilitäts-j 
begriff den Funktiousbegriff bilden konnte. 

Es ist merkwürdig, daB bereits viel früher einmal ein ziemlich ans 
gebildeter Fivnktionsbegriff in der Mathematik vorhanden war, der abe 
anscheinend auf die Entwickelung der Infinitesimalrechnung und der ana- 
lytischen (Jeometrie nicht den geringsten Einfluß ausgeübt hat. Bekiuint- 
lich wußte der französische Mathematiker NICX)LK Oreshe (ungefahr- 
1323 — ISSS) in seinem Trnrtahis dr laütudinihus formarum Koordinaten— 
begriff, Abhäugigkeitsbegriff und gniphische Darstellung praktisch za^.^ , 
verwentlen, V 

Meiner Ansicht nach ist in Wirklichkeit der Funktionsbegriff folgender- 
maßen ent<«t<uiden. Dun'h die Möglichkeit, in einer Kurvengleichung der 
einiMi Koordinate vcrschicdeiie Wert^ l>eiznlegen, sowie ganz besonders ™ 
durch den Einfluß des (JnMifln'griffs, speziell der Vorstellung des Cber-^ 
gehens einer Figur in eine andere., gelaugte man zunächst daza, x und y 
als variabel unzust'ben. In di>r Tat findet sich der Variabilitätsbegriff 
^ncben der alten Aiiflassung) häutiger zuerst bei W.vu.is, der bereits mit 
dem <trenKbegriff veriraut witr. Andrerseits konnte m&n Differenzierei^| 
und InJogrieren nicht an Kurvengleiohungt>n selbst, sondern im allgemeinen 
erst dann vornebniiMi, nacbdcm ilie jf- Koordinate durch .r dargestellt, d. h. 



1 

beifl 



1) K« int » H h««(>icl)n«nil, duB die (Ngnt«« in drn Scfiicmrs ctmieae det Wallis 
>nmh»B. wie A\t »i inttnitruinmliMi ^l^^Ul••NB gthJIriden: es nnd nämlich eine l'n- 
mMM von K<vim<iiint<Mi iteiit«jvn, nlt'pnlMir na feUWiMton, AtA die för einen einzelnen 
*(>e«iellen K»rr«n|iiinkt ((iiivhf{vli)hrie l otennehvng ebeaeo waf jeden beliebig 
andern «ni7i>w»n<U wnl^l^>n krtnii 




atirickelungBgeachir'htlicheMoiiieute boi Ent8t«hmin derlufinitosimBlrochnuug. 121 

auf die Form einer expliziten Funktion von x gebracht worden war. Durch 
den umstand aber, diiß miiu uns pniktifichon Itückaiehten die eine Koordi- 
nate als Funktion der iindern darstellte, uiulite unter gleichzeitiger V^er- 
wendung des Variabilitätsbegriifs der Funktionshegrift' sellist entstehen. 
Dabei ist darauf hinzuweisen, diib in den meclwnigchen und kinematischen 
Methodeu von DKSt'AKTKS und Roisickvaj. ja nicht ein verkappter Fiinktions- 
Wgrifl" zu suchen ist; denn der innere Zweck dieser Methoden, dessen 
sich idlerdings ihre Erfinder nicht bewußt wurden, ist lediglieh der, durch 
dea IJegriö" der Bewegung Stetigkeitsbetrachtungen oder Urenzübergänge 
XU ersetzen. 

Von ganz andrer Seite gelangte Nkwton zum FunktionsbegritF: bei 
üim steht das phvHikalische Denken im Viirdergrmiii und beherrsclit Jiuch 
sevHe mathematischen Anschauungen vollkommen. So liegt es ihm viel 
nälier eine Kurve mechanisch erzeugt sich vorzustellen, als in ihr ein 
'ieltilsie zu sehen, das durch eine (jleichung liefiniert ist. Ea ist darum 
begreifhch, wenn er ohne Not (im Gegensatz zu Dk.scakte.S und Roukkv.vi,) 
ßewegungsvorstellungen auch in die Geometrie einführt und folglich in 
'ier analytischen Geometrie x und y als Koordinaten eines „beweglichen 
Punktes" ansieht. Außerdem war Nkwtds ülierhaupi schon von der seit 
'ivULKi hochentwickelten Meehitnik her mit dem FimktiuuBbegritl' ver- 
traut') und brauchte ihn nur noch auf Algebra und analytische Geometrie 
'•Q übertragen. 

Nur die Kenntni.s von dem gänzlichen Mangel^) eines Fiinktions- 
wgriffes in der Mathematik vor Ertiniiung der Infinitesimalrechnung läßt 
uns auch Fkrmats Maxima- und Miniimmiethode richtig beurteilen.*) 
'lETE hatte bereits gezeigt, wie sich in der Gleichung 

B X" — x'" = Z 

'lie Größen li und Z durch zwei Wurzeln .1 und E darstellen lassen.'') 
"* bestehen nämlich nach \'il-:ri-;s Auadrucksweise die beiden „aetjuationos 
•■uiciiiites-' 

B/1« — A"'^Z und BE" — E"' = Z; 
•l^faus folgt 



li In der Mechanik war es ja ein naupti>rablem, rlio Koordinaten des Balinorts 
"*t bewegten Punkte» als Funktionen der Zeit zu ermitteln. 

2| Abgesehen natärlich von dem oben erwähnten Tractatus de latitudinibua 

3) [u den meiiten Abbtindhiogen Sber «eine Methode hat Fkrmat ihre Fint- 
whunjf anscheinend absiclitlich verheimlicht. Das Schriftstück, auf das sich die 
"*f«t«llnng im Text gründet, findet sich uebat andern wortrollon Arbeiten über die 
"•ximalmethode verOtJentlicht in Fkmmatb Briefwechsel, hei-nnsgegeben von P. Tankkbv. 

i\ De aeqiHilionum recojftiilione tt emendatioue. 




Em 
A" — E" 

ein Ausdruck, der noch mit ^—iv gekürzt werden kiuin 
80 ergibt sich Z unmittelbar. 

Diese Darstellung kombiniert nun Febmat mit einer Stelle bei Papptb. 
Dieser hatte nämlich dae Minimum eines Verbältnisses als ö ftnva)n')f 
Anyog Kai iÄä^iaroi;, d. i. „minima et singularis proportio" nach 
( "OMMANDlNOs Übersetzung. l)pzeichnet. Dadurch nun, daß Commandiso 
den Ausdruck ..singularis" nicht zu erklären vermochte, ■wurde PV-RMat 
7.U weiterem Nachdenken angeregt und kam so zu der Erklärung, daß 
das Minimum char.ikterisiert werde durch das Vorhandensein einer einzigen 
Lösung eines IVoblems, das sonst immer zwei Lösungen besitze. Ist 
z. B. die Aufgabe vorgelegt, das Heehteck größter Fläche mit gegebenem 
Umfang 2B zu Knden. so gibt es im allgemeinen zwei Lösungen: Ein 
Rechteck mit der Grundlinie A und der Höhe E und ein solches mit der 
Basis E und der Höhe A In der Nähe des M.iiimums werden die zwe^ 
möglichen Basislängen vi und E sehr wenig verschieden sein, für d; 
Maximum selbst zusammenfallen. Nach ViKTE werden aber A und E di 
Wurzeln der Gleichung 




Bx — 



Z 




sein, wo Z die Fläche der betreffenden Rechtecke ist. Dann ist fi= yt -f- 
Im Falle des Maximums sind l>eide Wurzeln gleich zu setzen, d. i /l = 
Also wird 



* 7 



4 ■ 



i 



Damit hat Fkrmat eine Methode gewonnen, die ziemlich allgemi 
verwendl)ar ist; da jedoch praktisch das Kürzen mit A — E Schwier 
keiten machen kann, nennt Fkkmat die zweite Wurzel von vomher^ 
nicht E, sondern A — E, wodurch die frühere Differenz A — E, in 
übergeht. 

Aus allem geht hervor, daß das FERMATsche E ja nicht als ^■ 
Variable, sondern nur als eine Unbekannte angesehen werden darf; «m^ 
ist der Ausdruck „adaequare", der in der Beschreibung seiner Tangent 
regel') vorkommt, einfach mit „gleichsetzen" wiederzugeben. So »^ 
also auch Fermats Methode an unser Differenzieren erinnert, so ist 
doch noch ganz ungeheuer weit davon entfernt; Fermat wird sich j:«- 
keiner Weise bew\ißt, daß er mit seiner Methode die Denkweise der 
wohnlichen Algebra überschritten und durch das Gleichsetzen se i 



i:mi 



l^ Vgl. CAirroH, %. B. O. II*, S. 858. 



EntwickelungBgeschichtliche Momente bei Entstehung der Infinitesimalreolmang. 123 

Unbekannten Ä und E bezw. A — E implizit einen Grenzübergang voll- 
zogen hat. 

Wir haben jetzt einigermaßen die entwickelungsgeBchichtlichen Momente 
kennen gelernt, die für die Vorgeschichte der Erfindung der Infinitesimal- 
rechnung in Frage kommen Zum Schlüsse sei noch eine kurze Über- 
sicht über die Entwickelang der einzelnen damaligen Methoden zur Be- 
handlung von infinitesimalen Problemen gegeben. 

Nachdem man allmählich wieder dazu gelangt war, die Schriften 
der antiken Mathematiker, insbesondere AncmMEDs, ihrem Inhalt, wenn 
auch nicht ihrem Geiste nach zu verstehen, erweiterte zuerst Kepler die 
Zahl der mathematischen Probleme, indem er eine Reihe von Inhalts- 
bestimmungen teils selbst ausführte, teils den Mathematikern seiner Zeit 
vorlegte. Wesentlich ist nun hierbei der Punkt, daß die Methoden der 
Alten nur bereits gefundene liesultate zu beweisen gestatteten; man suchte 
also jetzt nach Verfahren, die gleichzeitig Neues zu finden erlaubten. 
Zunächst führte Cavalieri Keplers Untersuchungen nach einer bereits 
früher ausführlich beschriebenen Methode') fort. Die letztere wurde 
Weiter ausgebildet von Roberval und Pascal, der den Begriff der Fläche 
°iit Hilfe der nnendlichkleinen Größen allgemein definierte und das Problem 
'ier Inhaltsbestimmung sowie verwandte Probleme zu einem gewissen 
•^^Bchluß brachte. Wallis arithmetisierte dann seine Resultate. Unab- 
oängig davon entwickelte sich aus den Schriften Archimeds durch 
^Ai^Rio, Gr^goire de St. Vincent, Tacquet und Wallis der Grenz- 
"ßgriff und mit ihm die Theorie der unendlichen Reihen. Der Begriff 
*ler unendlichkleinen Größen, zu dessen Entstehen Gregoire unabsichtlich 
selir viel beigetragen hatte, wurde von besonderer Wichtigkeit für das 
*»*ktifikationBproblem, dessen Behandlung zu einer bald mehr, bald minder 
««wußten Einführung des Quotienten zweier unendlichkleiner Größen 
nötigte. Von Differentiationsproblemen wurden anfanglich besonders 
Tangentenkonstruktionen behandelt. Hier gab Robekvai.« mechanische 
Erzeugungsweise der Tangente, ausgebildet von Barrow, sowie die kine- 
^^latische von Descartes sehr elegante Resultate. Rechnerische Methoden 
^ai^n die von Descartes, die auf dem Gleichsetzen zweier Gleichungs- 
*^Wxelii beruhten, genau wie die Maximamethode Fermats. Die analyti- 
schen Tangentenmethoden sind deshalb von so hoher Bedeutung, weil sie 
**®a Anstoß zu einem rechnerischen Vorgehen und zur Verwertimg der 
^'^^ytischen Geometrie in Fragen infinitesimaler Natur gegeben haben, 
^s war sehr wichtig, daß durch all die genannten Methoden eine Menge 
^läiizender Resultate, besonders über die Zykloide, schon vor Erfindung 



1) Siehe Die Wandlungen des Inämsibüienbegriffs, S. 31 a. folg. 



124 C- K- Waixnxb: EntwiokelangageBch. Momente b. Entsteh, d. Infinitesimalrechni 

des Infinitesimalkalküls entdeckt wm-den, sodaß Newton und Leib 
die Möglichkeit hatten, die Richtigkeit ihrer Rechnungen an ihnen 
erproben. Es wird ja begreiflich erscheinen, daß diese beiden Entdec 
ein Mittel brauchten, um sich von Zeit zu Zeit von der Zuverlässig] 
ihrer Schritte zu überzeugen. Insbesondere für Leibni^ war die Geleg 
heit zu einer Kontrolle sehr angenehm, da sein rein formales, abstra) 
Vorgehen an Kühnheit bis dahin nicht seines gleichen hatte, währ< 
Newton mit seiner mechanischen Grundlage der Pluiionsrechnung imi 
im Bereich gewohnter Vorstellungen und Methoden blieb. 



Gdio Louia: Liiigi Cremona et Bon oenvre mathematique. 



125 



1. 

2. 

3. 
4. 

6. 



7. 



8. 



lO 



Loigi Cremona et son oeuvre matymatique. 

Par GiNO LoRU ä Genova. 
Avec an portrait en pbototypie comme frontispice. 



Table. 
Kofance et jeunesae. 
£tades nniTenitaireg. Premieres pu- 
blicationg. 
Sejonr ä Cremone. 

Ii«cherche8 de Crimona sur les cu- 
biques gauches. 

Cbemoma au lycee de Milan et ä 
l'nniversite de Bologne. 
Is^tudeg de Cbkmoha but la th^orie des 
coarbes planes. 

Lies transformations biiationnelles 
planes. 

Kecbercbes de Ckkhoha sur quelques 
courbes algebriqnes speciales. 
Kechercbes de Crkmoha sur quelques 
suifaces algebriques speciales. 
Bechetcbes de Cbemona sur la tbeorie 



11. 



12. 



18. 



14. 



generale des surfaces algebriques 
planes et particulierement sur celle 
du 3* ordre. 

Cbehona professeur de geometrie de- 
scriptive et de geometrie analytique. 
Cbkmoha ä Tinstitut tecbuique supe- 
rienr de Milan. 

Travaux de Chemona sur leg courbes 
du point de vue du genre. 
Transformations rationnelles de l'es- 
pace; lenr application ä, la represen- 
tation plane des surfaces. 
Cbbmoha et le polytechnicum de Rome. 
Cbemoma dans l'administration publi- 
que et au gouvemement. 

Liste chronologique des publica- 
tions mathematiques de L. Cbehona. 



Air alta impnsa oaiitade sprona. 

FXTBABCA. 



L Enfanoe et jeanesse. ^) 

Le grand geometre, dont aujourd'hui on pleure la perte irreparable, 
^Ppartint a une famille distinguee originaire de Novare qui jouit d'une 



1) Pour rediger la partie biographique du present travail, des notes ecrites par 

Itaia Cozzouho-Cbxmona (fille de l'Ulustre g^om&tre) m'ont ete d'un tres grand 

'^^Uig, M. L. Bebzoulbi a eu la bontä de faire ä ma priere des recberches dans les 

^^bives de rirniversite et du gymnase de Pavie et de mettre ä ma disposition leurs 

^^rquables resultats. MM. E. BiBTiia et Misani m'ont encore foumi des renseignementti 

*^^cietut. Que toug refoivent mes remerctments les plus sinceres. La belle Commemo- 



»■OBi 



*0)K dd socio Loiot Csmmoka, faite par M. Ykbonbss ä I'academie des „Lincei" le 
. ^4c«mbre 1908, qnoique arrivee lorsque mon travail ^tait fini, m'a serri pour 
J^nter on cozciger quelques dätails. 



126 



GinO LOKLA. 



considenvUle iiisance ä luie epoque pas tri's eloignce de nouB. J^a grantl i» 
(Maiwjherita Ferrari C'remona), veuve trt-e jeune et animee de goC 
depensiers, tut la cause priiicipale des revers dp fortuno de la fami 
Qnand en 1770 le pere du grand honiine (Gaidenzio) vint ao monde, 
bien paternel etait dilapide; niais, iiialheureusement il etait aussi pur natxj 
porte ä la depense, et ne siit pas doiiner l'energique coup de harre 
dispeiiBable pour sanver le bateau du naui'rage. A Tage de 25 ans. ayai^^' 

obtenue ä Pavie le degre de docteur en droit, il epousa Caterina Carxerai ^' 

qui lui donna trois enfants: Josei'H, Jkan et Jeanne; laine setablit * 

Venise et y devint avocat distingue; Jean, tut maitre des comptes; 
la jeune fille epousa h. Groppello G. B. Magenta. En 1818 GAn>E>zi 
Cremona fut oblige de quitter Milan, on il etait etubli pour subvenir i^*- * 
sa famille; et il accepta alors un emploi tr^s humble u la delegation autri -*" 
chienne de Pavie. Reste veuf, ü ee maria une seconde fois le 28 novembn 
1829; et bien qu'il compta plus que 59 ans, il choisit comme compagni 
une jeune femine (|ui nen comptait que 20. De ce nouveau mariage quat 
ivutres fils naquirent, savoir: le 7 decembre 1830, dans la maison qui po: 
aujourd'hui le numero 8 dans la nie Severino Boezio, Antonio LciOl 
Gai'1)KN/io GirsErrE, celui qui devait acquerir une renoniiuee ötemelle da: 
le rhaiup scientifique au nom de Ckemona; deux ans apri-s PiKTUO, nior 
en 1855, encore etudiant en mnthematiques, dune pthisie pulmonaire qu'L 
tenait de sa mere; apri's Francesca, niorte ä dix ans, victime de la mem 
maladie; et enfin le 10 a\Til 1837, THANyriiiLO, le futur griind peintre 
mort il Milan le lOjuin 1878. 

Le second mariage de GArUEMZio Oremona, pour des raisons qu' 
est facile de comprendre, fut desapprouve et combattu par les fils (i 
premier lit; toutefois le fils Giisei'1*e ne se retusait pas de secourir souve: 
une famille qu'il reconnaissait digne non seolement de compassion, mi 
aussi de la plus haute cstime. Et ces secours devinrent tout-ä-fait L 
dispensables, lorsque en 1841 le pere Cremona, ä la suite d'une malheurea 
chute, fut oblige de garder le lit et mourut au bout dune annee, laisi 
une veuve qni, ü 30 ans et avec une petite pension pour iinique resso 





devait toute seule entretenir et clever quatre enfants, dont le plus gran^^c 
n'avait pas plus de onze uns. 

L emouvant spectacle de la lutte quotidienne, que devait soutenir ce" 
jeune mi-re et quelle soutenait avec une noble et sereine fierte, aura 8£ 
doute exerce une influence bienfaisante sur Lrioi Cremona et contril 
puissament ä fa^^onner son caractöre irreprochable et ferme; on peut 
en effet que dans toute son existence est fidelement reflechio l'image d^ 
physionomie mor.de de sa veneree mi»re. A la mort de son pere il suii 
le demier cours du gymnase; desirunt häter le jour oü il pourroit 



aon» et lon aenm mM 



aqae. 



u^ile a sa famille. il redoubhi dardeiir et d'nctivite ä I'^tude, de teile sorte 

C|H«" diiTiint les clusses geeondaircs il ut)tint In note „emiuent," diuis toutes les 

mti.'titTes et fiit toujours le [iremier de ses coutiiscijdes. I'end.uit son cours 

„•pliilosophique" (j'emploie lit nnmencliiture officielle de l'epoque) LI sentit 

toujours un grand pcnchant poiir les lettres: cest ainsi que non seulement se 

foniiB cet adniirable ßtjle que toiis les iimthenmtiriens coniKiissent, niais en 

m^ine teuips il se familiarisa avec le Latin et le Grec presqiie avitnnt qu'uvec 

VT'talien. 11 est bon ici de remarqiier qu'il restn, plus äge, ce qu'U avait et^ 

plus jpune: en effet. lorsquVn 1901 on diticiitu encore uiu- fnis en Itiilie 

la Biippression du Gree du programme de leuseigneiueut L'Ia!<sique, il se 

mit du cöte des conservateurs, soutenant publiqiiement que ,Ja vera scnola 

i^lassica, col latino e col greco, deve rinuinere intutta; e tale rimanendo, 

narji sempre la scuola prcferita dalle intelligenze elotte".') 

Les heros d'HoM>:KE et de ViRtüLK enÜauiaiaient le jeiine (.'rkmONA 

il'amour pour sa pauvre patrie, qut etait alors protbndement agitee par 

'■^ grand ninuvenient revnintionnaire qui, preparnnt la gloriouse annee 1848, 

Mettuit en eÖervescence tnute la jeunesse studieuBe aux tiniversites de Pavie 

*t de I'adoue. Si l'on eonsidere encore que parmi les cündisciples du futiir 

*avant se trouvaient Enrico et Giovanni Cairou et qu'il passait ü (»roppello 

***tjtf»8 ses vacances avee los deux freres ainees Bkxkpktto i>t KjKNK.s'|'<\ 

**D XK s'etonnera pas d'apprendre que, lorsque le bataillon „Italia iibera", 

'onne de 160 etudiants napolitains albint conibattre l'Autriche, traversa 

*^avie, il nbandonna la maison niaternelle pour les suivre „senza riniorso 

'©<Ji"ivait-il) perchc avrei creduto di mancare ai dettami della j>in santa 

••^11«! religioni e di couimettere un atto di viltä e inettitudiue riinisaud« 

** dare il sangue per la patria". A peu de jours de lä, un autre fiitiir 

^*itid mathe'uiatieien. Exmro BKrri, se battait i Ciirtatnne (tont pri-s de 

Jmtoue) sous le commandement de O. F. MossOTTl, le celebre ])r(ife8seiir 

*** phvHique matheniatique. 

Le hataillon oft Cremona avait pris le Service, alla le 12 avril 1848 
PerriU-e pour rejoindre le general pieiuontais DiMiANTin; eeliii-ei le dirigea 
*ut de suite sur l'ulesella et <l<' lä, par une niarehe tres t'atigante, ü 
Trevise, sous la conduite du capitaine Mauro. G'ötait toujours avec une 
^^notiou grande et prolbnde que l'obscur jeune homnie, devenu une des 
Rloireg d'Italie, racontait les öpisodes de la guerre a laquelle Q prit part, 
•^s attaques contre les Autrichiens k Nevesa sur le Piuve, le siege de 
• r«?trigp ^t particulierement l'^nergique defense du renipiirt voisin de la porte 
**'• Thomas; „in quel giomo (il disait) sparavamo tanto e cosi serrato che 



I) Voir une lettre ä H. R^uobino, datee „VallombroBa, 29 Liigliü 1901' et iusöree 
•*• 1« cabier d'aoüt 1901 de la rerue Ateuo e Uüinn, publiee ü Florenco. 



128 



Gmo LoaiA. 



i 



uno squadrone di cavalleria neiuicn non potö avanzarsi". Son coiirag» 
activite lui valurent sa nomination de caporal, bieutöt suivie de Celle 
Sergeant. 

Toute resistance etant desormais inutile en campagne onverte conh 
im ennemi extremement noinbreux, le bataillon .Jtalia libera" co 
au secours de Venise qui, par im siege celebre, retardait l'heure sup 
d'one capitulation m«^vitable. L. Cremona, arrire ä Venise, se rej 
ä la maison de son frere aine 6n sei'PE. plutöt pour avoir des nourelfi 
de Sil pau^Te mere que pour lui demimder des secours: et upres tin 
conrte repriuiande pour son escapade, son fr^re. qui 6iait au fpnd tr« 
fier des exploits d'im membre de sa famille, mit a sa disposition 
maison et sa table pour tout le temps de son sejour a Venise. Maisi 
legion „Itidia libera" tut bientöt envoyee ü Chioggia (fort de Brond 
puis ä la defense du fort de Marghera. L. Ckkmona joua im röl 
actif dans cette defense raeiuorable, que le capitaine MaI'Ko le mon 
»ux soldats eonime im modele de vertus civiles et militaires ii uause d 
son courage, de son intelligence, de sa discipline et de sa probite. On m 
que cette defense ne tinit que lorsqu'im amoncellement de ruines man 
hl place du fort de Marghera. Alors la compagnie ä laquelle apparti 
notre heros, se retira ä Venise, oi"!, bien que persecutee par le cholera et 
ime afiVeuse disette, eile coopera ä la defense achamee du pont qui tra' 
hl Lagune. Mais malgre rhernisme sims pureil de tout« la population, le tn 
aube du 24 aout 1849. la derniere de l'independance venetienne. finit 
paraitre. Et Cuemona eut au moins ime derniere supreme eonsolation, c 
qne les debris de i'armee nationale purent defiler avec tous les houneurs 
armes, les drapeaux döployös et les tanibonrs battants. devant les gener 
autrichiens el)ahis en voyant que c'etait uu petit coqis de recrues pi 
et decharnees, mal vetues et ä peine chaussees, qui avait tenu en 
pendant plusieurs mois iine armee entiere de vet^rans consommes 
toutes les ruses de la guerre. 

2. Ütades universitaires. Premieres publications. 

Sans ressourees fin:mcii>res, fatigue et iiiulade, Luim ("kemona 
tristement la route de Favie, accable par le chagrin de voir qu'apri-s 
de sang vers^, sa chere patrie etait toujours esdave. Mais sur le 
de la porte de sa maison ime nouveUe et plus grande douleur Tattenri 
sa pauvre mere etait luortc depuis quel(|UH mois. En presence de hi d« 
lation du present, de lincertitude de l'avenir et des graves responsabiL- 
qui pesaieut sur lui, il ne se perdit pas d'esprit, mais il comprit 
c'etait le moment de se muntrer ä la hauteur de la charge que le d« 
semblait lui avoir conhee. Remis qu'il tut dune attaque de tievre tjphc 



Luigi Cremona et son (i>uvie inathematique. 



129 



S^rn avait apport^ les germes de Venise, il reprit avec anliMir les 
etudf» qii'il avait interronipues, et le 27 novenibre 1849 il obticnt ce 
degre qu'on appelait alors „assolutoriti riegJi studi filosofici". En cons^ 
ijuence, dans les annees suiviinteH il put suivre dans l'univcrsite de Pavie 
les cniirs d'ingenieur civil sous la directirra de A. BcirdoniM. A. Gauba^), 
et un peu plus tard de F. Buiosciii-'). Les 5 janvier, 5 niars et 6 niai 
1853 il fut admis ä Bubir les „examens de riorupur"'') en obtenaat dans 
cliacim et par tniiei les cxaminateiirs fjtarmi leH(|uels se trouviut tonjotirs 
BoRDONi et diins les deux premieurs aussi Bkioüciii) le certiticat „viiKl.« 



li (Jnoique a cctte i'rpoqiic Bunnosi eüt fi»>ji'i. du abanrlonner la pliairc tlo calciil 
infimtramial pour celle <le geudüsie elementaure, toutetüis, comme dirocteiir des ötudea 
mathe'matiqueB dana la facultv de «cieiices, il n'avait cesa^ d'exercei une influonce 
pi«pond^rante. 

2) Ce professeur de geom<!trie auperieure est citt' arec reconaaissance par Cbsmoma 
diu nuc Prolusione dont ooiis parlcrnns un ]ieii plus bas. 

3j Kn plusieurs nccasions Ciiehuna a declarü ses doUes de reconnaiBsance enven 
Bu'oictii; d'abord dans la Prolusione oit^e tout-ü-1'houre, oü il donne „testimonianza 
di gratitudiiie aH'illuBtre Bnin»ctu, at qualo devo tutto rjuollo che per arveutura iion 
igooro"; plus tard, en 1878, ayant ete iuvite i'i particijier oux It-tes commcmorativcB 
'In 25' anniverBaire de la fondation du polytecbnirura de Milan, il ecrivit uno lettre 
'Ol l'on lit les phrase« Buivautea: •Filsmesi-o Biiion(-iii comincio ad cBsermi macstro 
'lokmlii iu ne M^\ü le lezioni dl meccantca noU' anno 18ril — 1852; ma quelle leisiotii 
t''>miiai|ae riccbiBBinie di contenuto nou furonu sc non la parte minima di igtruzione 
uistematica onde mi Bento a liii debitore. Egli continuu ad OKBiKtcnni con inBOguamenti 
in lirirato e con cousigli nei BucceBüivi anni che paBsai in l'avia, cior sino al 1857, mi 
iiiiiib alli) studio delle funzioni ellittiohe ed abeliune c alle opere magistrali di Ahki. 
' hfim. Non esagero affermando che il BaioBcin mi communicü il sacro fuocn ond'egli 
1^0 ardcra e mi discbiuse per primu gl'intiniti orizzonti dell' alta matematira. 
Qtiando io lasciai Pavia giä cominciavo a sapere atudiare e lavoraie da me, uia di cib 
"f pur seinpre debitore all' CBenipto del maestro. Ne' primi toinpi obbi degli Bi'orraggia- 
■"ftiti, ma baatö imn Bua Icttora a diBsiparli o d'allora in poi mi crebbcro gempre piü 
le ftitM ed il oorraggio. Vero & che i miei studi personali presero bon presto altro 
iadiriiio; mi prosi d'amore per la geomotria, mentre Buiodciii mi avova awiato per 
'■nitlisi. Ma la srieuza i> una sola; cd <■ l'aualisi che prima mi aveva dato le anui 
"«i'fBaarie per penetrurc noi misteri della sintesi geometrica . . . Gli auni che passai 
'•■"" Buiosfiii, come scolaro c poi i'ollega uell' iusegnamcnto, Bono gran parte della mia 
''(i: nei primi imparai ad nmare la yrienza, uegli altri poi a traiirouderla in un gramle 
Wchio di uditori. Iji memoria degli uni e degli altri '» un >Tncolo di atfetto, di 
**iiiirazione e di gratitudine che mi unisce a Briuäcuh. 

4i Voici les matieres Bur IcsquelloB ourent lieu ces examens: 

1. Introduftiou aus mathematique« supi^rieureg. (ieodcBie et hjdrometrie. 
Kconomie ruralc. Histoiro naturelle en general. Dessin geometrique. 

2. Calcul ditTercutiel et integral. Architecture civile; dessin rolatif. Geometrie 
descriptive. 

3. Matbematiques uppliquiies. Architecture hydiaulique. Dessin de machines 
et ^'architecture Legislation. 

BibUulheca Uathematica. 111. Folge. V. ' 



lao 



OflW LoHA. 



bcüie'', et fl fat d^clare pnsait« ^pprobatns p onanimia cam applnngum' 
(Jn deerei da 9 mai 1853 lappeU ik soat^nir le jour saivant la discussion 
publique poor aroir le degre academique de „docteor dans les etndes fl 
d'ing^ear ciril et architecte^; oe degrl lui fnt anam aocorde ä ranirerBite 
e4 arec arclamation. ') 

Parmi les compagnons d'armee qae Cremoxa eat dans le conrs 
de aa gloriense campagne, il digtiugaa Xh'OLA Ferrabi, jeane gdnois 
ami et admirat«ar de Mazzini.') Fekbaki etait republicAÜi et Cremoxa 
monarchiste; toutefois üb tombaient toajours d'acoord tlauB leur üäpiraticin 
finale: l'uuit^ de lltalie et son afi&anchissement. Nicola lisait Bonvent 
k 8on ami les lettres, fremissuntes de patnotisme, que lai ^crivait sa 
aoeur Eli^k, alors directrice de l'asile des enfant« de Genes.') Et 
Cbkmona decoarrit, ä trarers eea lettres, la femme digne de derenir sa 
compagne pour la Tie; personnellement il fit sa connaissanoe ä Genes en 
1853, mais eile devint sa femme seulement le 4 aoüt de l'annee suirante; 
ä cause du cholera qui s^rissait alors sur Genes, le manage eut liea ä 
GroppeUo dans la maison Magexta. D'apres la d^claration de CsEMONA 
lui-meme*), sa femme le conseilla dans toutes les cireonstances difl5- 
ciles de sa rie et toujonrs sagement; se chargeant de tons les soins 
domestiqnes et de l'edncation de ses fils, eile lui a rendn possible le travatl 
continuel et fecond. Eüe fat le bon gäiie de tonte sa famille jusqu'au 



J 



1) La discnMion de doctont derait se faire suz nne de« ([uatre thi«e« niivante« 
propoa^ea dn candidat: 

1. Mathimatiquts appliqtUes: Lotaqn'oii connalt le monTement du couple de 
moment mtnitHMin d'un gysteme inTuriablc de force« dmni Tespace, on peut 
deteiminer par iine simple congtniction (^raphiqae lee moments de« coaplei 
reenltants et composants par rapport ä toug les points de l'espace. 

2. Geodiöe: Si toutee les droites timcees sur nne feuille de papier restent 
droitea aprte que cette fenille b et« pliee, il existe une relation du premier 
deglä entre les coonlonnees d'un point qnelconque dans lee dem positioni. ' 

8. Okimitrü dfecriptive: Dens diam&tres coqjuiTurä de l'ellipse perspective 
d'uue autre sont la perspective du diam^tre de l'ellipse objective cunjusue 
i se« cordee parallMes ä la trace de son plan sur le tableau et la perspeetiTe 
d'one de ces cordee. 

4. D«HM gfomeiriqne: Les probU'^mM dun dejjr^ fnipörieur an second ne 
penrent pas se r^soudre tons göom^triquemeot par le seul emploi de la 
r^le et du compas. 
CamoKA choisit le 1" st^et. 

2) N. FsaaiBi mounit jeune et sur sa tornb« le grand agitateor feirit, boub la 
forme d'une lettre ä la soeur d'un d^od<^, un t'loge splendide qui » öte publice- 
Voir: B. Aryt'AJiojfB, Bicordo di Euaj FtaKAtyCtmitm (^iena, PoggiboDsi lü84). 

8) Voir: Sortx AiBon, In memoruim (16 settembre 1882). 

4) Voir l'opuscule pr«5cit^ de B. Ac^oakoxb et une lettre ii M. BBrnm, publiee 
partiellcment par M. ViaomcsB dans sa Oom m tmoratione. 




Luigi Cremona et son cenvre math^matiqne. IgX 

16 juillet 1882, oü eile mourut serainement ä Rome; eile merite ainsi 
nne place dlioimeur dans la biographie de son celebre mari. 

Las premieres annees du mariage de Cremona furent une epoque de 
souffrances et de lüttes continaelles; le gouvemement autrichien n'etant 
pas dispose ä donner une place dans l'instruction publique a l'ancien 
defenseur de Venise, ü dut se resigner ä accepter des repetitions dans les 
meillenres familles de Pavie. Mais enfin, par arrete du 22 novembre 1855, 
il fut admis ä faire dans le gynmase de Pavie le necessaire „an d'epreuve". 
(^Probejahr"); le 26 novembre il commenfait sa carriere de professeur 
publique, en s'occupant particulierement de la physique. II parait que les 
Services rendus par lui de cette maniere ä l'instruction, aient ete bien satis- 
fakisants, car ü fut nomme pour l'annee suivante (par arrete du 17 decembre 
1856) professeur suppleant, aux honoraires . annuels de 1620 lires autri- 
cbiennes. 

Dans les annees qui suivirent son doctorat, Ckkmona fit la connaissance 
de E. Beltrami, etudiant ä l'universit^ de Pavie de 1853 ä 1856, et de 
F. Casorati, qui prit son degre en 1856. A la meme epoque, il inaugura 
son ceuvre mathematique. Ses premiers travaui correspondent parfaitement 
an type qn'on peut construire a priori d'tm eleve de BORDONi et de 
Bhioschi, car ils se rapportent tous ä la geometrie analytique elementaire 
(voir^) [4|, [5], [6], [7]) et a l'analjse pure ou appliquee ä la geometrie. 
Le plus ancien [1], ecrit dans l'automne 1855, traite une beUe question 
de geometrie infinitesimale et a ete inspire par la note placee a la fin 
da memoire du Bordoni SuUe figure isoperimetre esistenti in una superficie 
fKUsivoglia.^ Cette note indique une vaste generalisation que peut recevoir 
Ja theorie des tangentes conjuguees de DuPlN; si l'on considere une ligne 
quelconque F tracee sur une surface 2" et un sjsteme de oo * surfaces dont 
chaeune a avec 2" un contact de l'ordre r en un point P de F, alors on 
a en P deux droites remarquables, savoir, la tangente ä /* et la tangente 
^ P ä la correspondante caracteristique de l'enveloppe de ce Systeme de 
surfaces. Or Bordoni a pronve que la relation qui eiiste entre ces deux 
dioites est symetrique; cela explique et justifie le nom de „tangentes con- 
juguees" qu'il a employe. Lorsque r = 1 et que les surfaces considerees 
fiont tontes planes, on retombe sur la notion de tangentes conjuguees 
ordinaires; mais- si, r etant toujours = 1, on suppose que ces surfaces 
soientdes sphferes, on arrive aux tangentes sphero-conjuguees de Cremona.') 

1) L«B nombres entre f ] renvoient ü la liste des ptiblications de Chemona, placee 
* 1» Bn de cet article. 

2) Publie dans le t. 1 (1832) des Opuscoli matematici e fisici (Milano 1832). 

3) Denomination que M. Felix Müli^r ajoutera certainement :i une uouvelle 
M'tion de Bon excellent Voeahulaire mathematique. 

9* 



132 



GlSO LoKIA. 



En appliquant um- formule generiile de BoKnONI. ou bieu nusonnmi 
directement, notre geomctre prouve lu constaace du produit des tangente 
trigonometriques des ungles que deux lignes ü tangent^s sphero-conjagu^ 
existant bot nne sorface et passant par un meme point P de cette sind 
fönt avec ane des lignes de courhure qui passent par P. 11 reniiir(jn 
ensiiite que si l'on a une serie de spheres tangentes ä une surl'ace qnel 
conque le long d'une ligne de coorbure, elles sont osculatrices ä cette lign 
en chacun de ses points, offrant ainsi le premier exemple d'une espece de conrbe 
que plus tard M. Darbocx a le premier etudiees dans toute leur generaliteJ 
Cremona ajoute que les droites tangentes en un point P d'une suii^ 
aux deux lignes de coorbure qni s'entrecroisent en P sont, non senlemeD 
conjuguees ordinaires, mais aussi sphero-conjuguees; cette propriete pen 
meme servir ä caracteriser les lignes de courbure. Ces propositions subsisteo 
quelle qae soit la loi de Variation du rajon r de la sphere mobile da 
le Systeme considcre; mais il v en a d'antres qui naissent en supposar 
qu'il esiste des relations particulieres entre r et les rayons de courbui 
prineipaux i?i et R^ de la surface au point de contaet; Ckemona suppo« 
successivement que r soit moyen arithmetique, geometriqne ou harmoni« 
entre Ri et R^, et arrive de la sorte ä des propositions qui nous semblei 
assez elegantes pour avoir une place dans les futurs traites de geomets- 
diöerentielle. 

(^inq ans apres, Cremona est revenu snr ces memes questions [21], pr 
bablenient ä cause d'une imperfection qu'il avait remarquee dans son prem J 
travail. *) Mais au Heu de refaire simplement ses anciens calculs, il geK3 
ralisa les questions qni s'y rapportaient; saroir il supposa que, dans la theo 
de BoROONi, r etant toujours = 1, les oo* surfaces du Systeme ne fuss 
pas des spheres, mais qu'elles eussent la propriete que leurs pointa 
contaet avec £ fussent des ombilics; et, par un procede d'nne eleg 
parfait«. il arriva ü faire acquerir ä ses resultat« primitifs une gener 
extremement remarqnable. Je ne sais pourquoi les traites de geometrie 
finitesimiile tieunent un silence complet sur ces recberches de i'RiaioM 
comme sur Celles de BORDONI, d'ofl elles derivent. *■ 

En revenant au gronpe d'investigations que Cremona fit en sort« 
de l'universit^, nous signalerons une belle petite note [2] ayant pour 
d'etablir le tbeoreme d'ABKL dans le cas particulier que l'inimortel geomS 



V} Leg courbes fradts sur unt surface, et dont la sphire onculatrice est tan< 
en chaque pohtt ä la «wr/ViceiCompteg rendni Paris 73, 1871, p. 732 — 736t; voir 
Ic8 autres travaux (-it«8 ä In p. 158 de nion ourrage II passato ed il pretente 
principaii teorie geometriche (Torino 1896; 2* ed.). 

2) Cette incxnotitude coneiste on ceci que dans loa fomiuloB (1) du memo 
(p. 384) il faut chauger en — les signee -f- fJe» biuömeB : biy-\-ciß, cj a + "i Vi "i ^ + 



i 



Luigi Crenjotia et Bon cpuyre mathf^niatiqiie. 



133 



«fjgnalii dans nne lettre cflöbre n Lkc^knork. ') Avant (^remona ce cae 

avait öte etudie par O. .1. BumH*); miiis le niisomiciuent employt- par 

notr« mathematicien est dune simplicit^^- incomparuble. 11 est foudi' sur uue 

formule de Spottiswoode •'), dont Cremona expose ime remarquable d(>- 

monstration due li BuioscHl et dont tl fit uii pcii plus tard usage [ir>| 

potiT- ('tablir et preciser*) la formiile suivante de M. Kdüekis: 

a+d . . « 4-« — lö 






7i + '6d 



X 

7. + Ö 



(w+3)(n- 



K-1) 



^-na"-'(2tt-fn 



i») 



l 



t+»— Id a + nö . . . a + n— 2öl 



3. Söjour ä Cremone. 

Ces travaux et les resultats donm-s par I'enseijpiemeat de ('kKiMONA 

»n gyinnase de Pavie montrerent ä l'autnrite superieure qu'il litait bien 

oigae d'une place plus elevee et moins precaire que celle qu'on lui arait 

aonni-e. En effet, par arret^ du 17 janvier 1857, il fut envovt' au gymnase 

"i*? Cremone, avec le titre de professeiu ordinaire. 11 se rendit tout de suite 

*vec sa famille a sa nouvelle destination et dans le deuxiöme semestre 

•»e la meme annee il donna renseignement mathematique aux eleves des 

'*^ demieres des huit classes qui formaient cet etablissement. I'our juger 

Poobien lourde etait la täche du nouveau professeur, il suffit de reraarquer 

•1** '1 devait faire chaqne semaine dix-sept heures de le^on et montrer 

«ritlimetique, l'algebre i'b'nientaire (jusqu'aux progressions, le binunie de 

^tWTOS et les logaritbmes), la geometrie intuitive, la geometrie du plan 

** de Tespace^ la trigonometrie et encore des notions sur Tapplieation 

* l'algi'bre ä la geometrie.*) Du zele et de l'ardeur deployes par Ckkmona 

^*^8 son röle de professeur, le souvenir est encore tres vif chez un huuime 

«**> etait alors un de ses eleves, Mankimo Misani (actueUeuient directeur 

® l'institut technique d'Udine), qui rappelle la clarte, la rigueur et 

^fficacite de sa methode didactiqne: nous tenons aussi de lui que, comnie 

^ *j'y avait pas alors en Italic de bons textes pour leuseignement matl»?- 

****tiqne, (/Kemona avait la patience de rediger des resumes de ses le^ons 

*i**e les elöves copiaient pour leur usage. 

1) Journ. für Msthem fi. p. 73 — 80; Oeutrea eompU^es d'Ätxc, nouv. dd. (1881) 
*■ U, p. 276-277 

2) Sur qatlques proprielci d'une certaine eleu»« de fonclion» tranteendanUt (J oorn. 
'■» M»them. 20, 1840, p. 17«— 188). 

8i ElemtHtary Üieoraai rdaling to determinant» (Juurn. für Mathem. 51, 1856). 

4) KoaniT8 avait ecrit ± dam le secuod niembr« de l'l^juatiui]. 

5' Voir le Prugraniuia dcU' I. K. ginnaiio liceale di Cremona, 18{>7. 



134 



GiSO LoBU. 



[22^ 

loanflf 






Cetie implicite declaration du peu d'estime qu'il avait pour les truro 
qui avaient alors coitrs d-.ins Ics ecoles italiennes, nous explique la joH 
qu'il epronva lorsque parurent les traductions italieimes de VAlg'uhre 
Bertrani» et de la Geometrie d'AiiiOT; le contentement pour la premiör« 
nous est connn par le temoignage de ce meme eleve de Ckemoxa qu« 
nous avons cite ci-dessus, et la satisfaction produite par In sefonde 
trouva publiquement declare dans un eavant artide bibliographique [22j 
inallieureusement inachere, que lui consacra notre suTant et qui a 
doute contribne puissamment au succes dun livre qui assura une boB 
instruction geometrique ü plusieurs generations d'etudiants au de^a des Alp 

Peu de temps apres avoir ete nomme professeur ordinaire, Cremosi 
fut invito a ecrire un niemoLre scientifique pour le Programme de l'instit 
dont il faisait partie (cest tm coutume qui eubsiste encore en Allemag 
et en Antriche); ayant accepte, il choisit comme sujet de son travail L^^ 
quelques theoremes (-noncös par Lafitits dans le cahier de mai 1857 A|^| 
Nouvelles annales de mathematiques^); pour les demontrer, il emplo-^P 
cette mcthode, ei elegante et puissante lorsqu'il s'agit de la geometrie «i 
Position, que les mathematiciens auglais appeliaient „abridged notatio:c&* 
Les theoremes dont il s'agit se rapportent aux figures homograpliiqva^ 
et aux sections coniques; nous n'en rappprterons jias les enonces; novx 
remarquerons seulement qne, en les etablissant, Ckemona s'est montn- 
tout-ä-fait le maitre du proccde employe, procede qui, generalise ä l'espa^s« 
devait bientöt le conduire ä des resultiits de la plus grande importanc« 

De Cremone est encore date' un travail de notre geometre [8] trava 
qui bien qu'etant un simple article bibliographique, merite d'etre sigai 
avant tout parce qu'ü donne la preuve des etudes superieures que CkkmoJ 
faisait alors, et ensuite parce qu'Q renferme des declarations de princi 
qui nous semblent importantes. II s'agit d'une analyse des deux premU 
cahiers des Beiträge zur Geometrie der Lage; Cuemona n'etait pas alo<* 
admirateur enthousiaste de la methode pure du ct-lebre professeur «* 
Nürnberg, et lorsqu'ü disait que „les proprietes descriptives et les pr*>- 
prietes metriques des figures sont si etroitement liees entre elles, qu'il n'^** 
])HH avantageux de prononcer entre elles un divorce coinf»let", il prei 
rang dans l'armee ayant pour generaux Cuasle-s et Steinek, oü il de* 
combattre toute sa vie en capitaine plein d'ardeur et de counige. 

4. Recherches de Gremona sur la th6orie des cabiques gauches. 
Pendant son sc^jour ä Cremone notre niathematicien ccrivit 
nombre de traTaux qui fix^rent sur lui l'attention des savante et qui, in£ 



1) Xeuf theoremes de gfonietric segtneniaire (Xouv. ann 
p 202-207). 



Ab inathdm 




Luigi Cremona et son (cuvre mathematique. 



IS5 



»njourd'hui, ont encore une grande importance; j'ai en vue sortout ceax 
qoi ont pour sujet les courbes gauches du troisii-me ordre. 

Le premier de ces ouvrages [9], ecrit au printempB 1858, est un memoire 
lÄ, ayant pour but principal la demonstration des theoremes enonces 
par CuAssLEs dans la note XXXlll de VAper^u historique et plus com- 
plctement dans la aote intitulee Proprietis des courbes ä double courbure 
d« troisicme ordre.^) Suivant l'exemple de Bon maitre Brioschi (qui, dans 
1» courte note SuUe costruzioni del Chasif.s per le linee del tereo e qtiarto 
ofdi'rie,*) avait prouve l'utilite de Talgebre dans l'etude des proprietes 
descriptives des ligures), Cremona eut recours, pour atteindre son but, ä 
ujae methode analytiquo dont le plus eclatant me'rite est prouve par cela 
*jn'il n'a pas ete possible de la remplacer par une autre plus i-legante et 
plus feconde: c'est une methode qui sous une autre forme se trouve dans 
le Baryccntrischer Ccdcid (1827) de Möuius, raais qua CREaiONA decouvrit 
de son cöte trente ans apres; eile repose sur la remarque que, A, B, C, 
D ötant quatre fonctions lineaires indtfpendantes des coordonnees carte- 
siannes d'un point de l'espace, deux cönes ayant une generatrice commune 
peuTent se repre'senter par deux equations du type suivant: 

JBi) _ C2 = 0, Aü— B^ = 0, 
Celn prouve que la courbe oü ils se coupent {on lappelle cubique gaiicbe, 
d'apres la proposition faite par Cremona et acceptee generalement depuis), 
pe«t se representer analytiquement ä l'aide d'un parametre w par les 
Tdrinules suivantes: / 

A:B'.C:D = a}^:0}^.Qi: 1; 
1* tangente au point (co) de la courbe est alors representee pur lea equations 

A — 2o)B + cü^C=^0, B — 2ojC + w^ D = 0, 
et le plan osculateur par l'equation 

A — 3ojB-j-5(o^C — a)^D = 0. 
Tout le monde sait aujourd'hui que cette representation analytique 
'■«nduit par le chemin le jdus direct et le plus court aux proprii-tes 
"•ndumentales des points, des tangentes et des plans osculateurs de la 
«ourbe. A Celles que l'on connaissait avant lui, Cremona en ajouta de 
nouvelles, parmi lesqueUea nous oboisissous les suivantes: „Si une droite, 
'■'»upiiat en un point une cubique gauebe, est laxe d'un laisceau de plaus, 
's» coujdes de points oii ces plans rencontrent encore la coorbe forment 
une involution. Un plan osculateur variable d'une cubique gauche coujie 
"D plan fixe jt suivant ime droite et In de'veloppable osculatrice suivant 

1) Comptes rendua I'aris 45, 1857, p. 1^19—197. Comp. Rajtport sur Its 
V^T'tM de la ifi'omHrie en ¥rarux (l'ariB 1870), p. 246—247 

2) Aunali d. iic. matem. (l, 1855; ou bien Opert matemalieht di F. Btioacui 
' ' Ortilftii 1901,, 1, 177 



136 



GiKU LoRlA. 



la developpable); le pole de cette droit« 
comaie lieu göometrique ane autre coniqae 



leflfl 

che 
rbe 
:ant 

ImM 

elo^l 



une conique (inscriff. dans 
raj>|)ort u cette conique ii 

doDt le plan ir' s'appelle conjoint au plan jt; en particolier lorsque x es 
ä l'intiui, on roit qua le lieu des centres des coniquea inscrites dans la 
di'Tploppahle osculatrice d'une conique gauche est une section coniqne.j 
Si un plan jr est conjoint ä j^, inverseuient Ti" sera conjoint ä ji et le 
intersections de la courbe arec n^ et ^r' seront accoupl«^s en iuvolution. 
Soient P\, P^, P3, P4 quatre points quelconques d'une cubique gauche' 
et un point exterieiir; on determine les points Pik et P/« oü la courbe 
est encore coupee par les deux plans Pi Pj,, Pi Pm (», Äj h w» etant 
un permutation quelconqne de 1, 2, 3, 4) et enfin celui P oü eile l't 
par le plan Pn, Pim\ fe point Pest indöpendant de la permutation ikl\ 
et s'appielle point opposc aux quatre points Pi, Po, P3, P^". 

Au concept de plans conjoints d'apres la loi de dualite correspond cek 
de points conjoints: tous les deux sont les l'onderaents d'un nouveau chapitre 
de la tht'orie des c.ubiques gauches, que Stauut ecrivit de nouveau nprea^ 
Cremuna.') Celui-ci developpa considerablenient cette theorie dans un autr^^ 
memoire [10], 011 il combina ces concepts avec la consideration du N nllsysteni. 
liö ä tonte cubique jauche, coninie nous allons le montrer. Soient: TT ua. 
plan qui'lcouciue de Tespace; P eon foyer; A, B, C les points oii Jt couj)» 
la cubique gauche conside'ree et p la droite (directricc) })olaire du poiiKHl 
P par nipport k la courbe du troisit'Uie ordre fornuV par les droites liCf, 
CA, AB. Appeluus conjuintis dcux couiques de la dt'velnppable circon- 
Bcrite lorsqu'elles se trouvent sur deux plans conjoints, conjoints les triangles 
oü la cubique gauche est coupee par deux plans conjoints et conjoints la^| 
deux trii'dres forrai'S pur les plans osculateurs correspondants. On peut 
alors prouver les tlit-uri-mes suiviints: „La droite qui Joint les Ibyers de 
deux plana conjoints est une corde de la courbe, tondis que l'interseetioi^H 
de ces jdans est la directrice de tous les deux. Par un point quelconqne 
de l'espace passent trois directrices reelles ou bien une seole, suivunt qu« -. 
par ce ])OLnt passent trois plans osculateurs ou un seul. Les droites oüt^ 
86 coupent les faces correspondantes de deax triedres conjoints et lei' 
deux coniques conjointes relatives appartiennent au inenie h'ri)erboloide 
ä une napj)e". Etc. etc. 

Ces proprietes subsistent pour toutes les cubiques gaaches, tandis 
qu'il y en a d'autres dont la validite depend de la Situation de la courbe par 
rapport au plan a Tinfini. Une classe remarquable de ces proprietes a ete 
e'tudiee par CUKMONA |12| en essayant de gen<-raliser ä l'espace les heiles 
propositions relatives aux coniques circonscrites a un quadrangle 



j 



1) Beiträge tiir Geomtlne <Ur Loge, 3. Heft ^Nürnberg 1860), p. 278. 




Iiuigi C'remuiiB et son leuvre luathümatique. 



137 



msmtes diins uii quiulrihitfTe, que venaient alors d'etablir ou d'enoncer 
Tttroi') et SteineI!-'). A cet eöet ü comuieni,« par la reniarque que, en 
cboisissant d'une maniere convenable les axes cartesieanes, il est toujours 
possible de representer um» cubiquegauche jTpar des e'quations da type suivant: 



X 

a 






9. 

— 1 



Ö est un parametre, 9^ = (ö — a)- ± ß^, et la constante a peut toi:\]*oan 
etrc snpposoe egale ä 0. Les plans osculateurs de F forment une surface 
i'-reloppable du 4" ordre et de la 3"-' classe renferniant oo'' coniques 
[inscrilH dans la developpable); or en appliquant les equations ci-dessus, 
Crejiona trouva que: 

1. Si r a. h l'infini trois points reels. touti's les coniques iuserites 
sont des hyperboles dout les centres tbrment une elüpse; par la <;ourbe 
[mamt trois cylindres du second ordre, tous hyperboliques. 

2. Si au contraire F n'a ä rintini qu'iin point reel, entre ces coniques 
ü y a oo' ellipses, rx' bypcrltoles et deux jiariiboles; le Heu des centres 
"ie ces coniques est une hyperhole dout le jvliin est parallide et egalement 
eloigne des plans de cea deux paraboles; par la courbe ne passe qu'un 
t'jlindre du second ordre, qui est eliiptique. 

<"ela prouve la convenance de faire de toutes les eubiques gauches 
dem grandes categories. Mais ä ('ukmhna n'i'chappa pus Fexiatence de deus 
wns-closses remarquables, dont l'une comprend les eubiques gauches 
t^gontes au plan ä l'infini et qu'on peut reprt'senter par les equations du 
',*!'* Buivant: 



**_ v_ 

:9 — a)»' b 



*» 



■(«• — «)=' C 9 — a 
*' lautre lee eubiques gauches osculatrices au meme plan et qui peuvent 
** fepresenter par des equations telles (]ue les suivantes 

a ' b ' c 

fhi arrive de la sorte ü la Classification des eubiques gauches que 
•'läriiEwiTz ■') avait projioKL'e aujiaravant, dans un nii'iiioire qui Crkmona 
"* Connut que plus turdJ) A la tin de sou travail il doune la preuve 

1) Mem. ileir aoc. <l. bc. ili Nopoli (, 185R. 

2) Vermischte Sätze und Aufi/abeii, S UI (■lourn. für Matbem. 55, 1.S58, ou 
""•«» Gm. Werke T. II, p. 678). 

3) Lineare Conulructimi einer Curce doppelter Krämmum/ (Arcb. der Mutbem. 
'*. 1847). 

4} Cette Classification a ete de nouveau sigualco par notre (^öometre an cours 
' » toUitiun qu'il doniia [13J d'uuo qiiestion proposee dang les Nouv. anu. de 
<"thänt. toiicbant len eubiques gaucheti; birsque Crehoha conuiit plus tord le travuil de 
"**Wttx, il acoepta la numeuclatiure quo celui avait propoüt'e (oump. [24J §S V, VI). 



138 



GiMO LoKU. 




qu'il avait des alors compris combien remimjuable est la cubiquc gauche 
osculatrice au plan h rinfini; et peu apres il etablit iin beau tbeori-m« 
[17], qui fait voir une frappante analogie entre cette courbe ä doobl« 
courbure et la parabole ordinaire. 

II est bon de rcmarquer ici que le memoire [12J que nous venonJ 
d'analyser est tout-ä-fait analogue ä un autre [11 J plus ancien relati 
aux surfaces du second ordre, qni a aussi et^ compose dans le bo-^^ 
de generaliser ä l'espace les theoremes susmentiones de Trui>i et d ■ « 
Steiner. Dans ce nouveau travail Cremona, en employant les coordonne 
tangentielles, s'eet propose de chercher de quelles especes etaient les 

surfaces de 2" classe inscrites dans une developpable de la quatriem ^ 

classe. On sait que parmi ces oo' surfaces il y a quatre coniques, dont 1 i ■ 

plana forment un tetraedre autopolaire par rapport ä toutes ces surfac 
or Cremona prend comme origine des coodonnees im sommet de ce tetraed 
et comme axes coordonnes les aretes sortant de ce sommet; U exclut « 
consequence les cas oü le tetraedre dont il s'agit a quelque element imaginair 
comme ces cas peuvent bien se presenter, son analyse n'est pae comple 
et (si on ne l'a pas encore fait) il serait ä desirer que quelqu'un prit la peL 
de la completer'). — Mais il y a un tres remarquable systöme de quadriqt 
inscrites dans la mSme developpable pour lequel le tetraedre polaire 
toujours eompletement reel; c'est le Systeme des quadriques liomofocal.i 
CuASLES, dans la Note XXXII de VApcrru historique et plus tard dans 
liisumc d'tme tluorie des surfaces du second ordre homofocales^), en cnon^a 
les propriettis les plus essentielles; or Cremona dans une importajxt« 
Revue bibliographique [19], apres avoir etabli analytiquement leB 
quatre principaui theoriimes enonces par le grand geoml-tre frani^ais'), «M 
signala un plus gf-neral d'oü il sut tirer ces quatre cas particuliers,"*) ^1 

Apres cette digression, que nos lecteurs voudront bien nous pardomi^r? 
nous continuerons l'analyse des travaux de Cremona sur les cubiques gaucli«^ 
Le 2>''emier que nous trouvons [24], est posti-rieur d'en^-iron une anntje 
demier qui nous a occupe [12]. L'activite hors ligne deployee par aoi 
geometre ä donner toujours unicuique stium nous pennet de determiner 
cause du chiingement de direction qu'il manifeste: dans cette annee il p^ 
connaissiince directe des recherclies sur les cubiques gauches qu'avtii^^» 

1) D est bon do remarquer que la queetion corr^latiTO (recherche deg difl'^r«»**** 
egpßcea de surfaces du 2* ordre d'un faisceau) a <5te parfaitcujent reeoliio plus ti»ra 
par CuKMONA d'une maniöre syntbetique: Toir Orundzüge einer nUgemtinen Throri^ 
OberfläcItvH, p. 276—282. 

2) Comptes rcndna Paris 50, 1860, p. 1055-1063, 1110—1115. 

3) Comp. Rapport nur hs progrH de In gcomitric, p. 233. 

4) Ajoutona qu'un probleine special rolatif anx quadriques homofocales 
r&iolu par Cremona dans un autre travail [32|. 



I 

t t».rd 

4 



Lui|^ Crcmonu, ot 8on uiuvre matlK^matique. 



139 



B?pnTs longt<;nips accomplies MöBn\s et Skytiewitz et de Celles plns recentes 
que S<.;iikOtkk avait publiees daus les t. 54 et 56 du Journ. für Muthem.; 
par cos demieres Ckemona se fit la conviction que les procede's logiques 
employM par Sc'hköteu sont les plus adaptes poor etudier les cubiques 
gtraches (et aussi d'autres figures geometriqnes plns compliqupes'); par 
consequence le memoire [24J nous apparait doui' du plus grand interet, car 
il mamfeste une nouvelle direction prise par la pensee de notre mathematicien, 
direction ä laquelle il devait demeurer toujours fidele et qui lui fit atteindre 
I Xea sommets de la gloire. Dans ce memoire C'IUCMONA etabiit avant tout la 
[lerabilite de tonte cubique gauche ä l'aide d'un faisceau de plana et des 
oo' generatrices d'un Systeme d'une quadrique en correspondanee projective, 
on bien s l'aide d'olements correlatifs, en remurquant des cas speciaux de ces 
generations L'utilit«' de ses methodes de generation est prouvee par Ckkmona 
par les Solutions de deux questions proposees, l'une par Chasles et l'autre 
pikT" Stei>ek; la premiere consiste dans la construction des (deux) cubiques 
ga,u<;bes appartenant ä an hyperboloi'de ä une nappe et passant par cinq 
poLnts de cette surface; lautre a pour but la determination du nombre 
(G[astre) des points dont ehacun est Tintersection de quatre plans corre- 
gpondants en un meme nombre de l'aisceaux projectifs de plans. 

L'impression que firent sur Crem(ina ces travaux de ScHKÖTER, non 

>u]oment ne s'eifaya pas avee le temps, mais on dirait quelle devint toujours 

plus profonde; car au printemps 1861 il jugea utile de reprendre ex novo 

1* theorie des cubiques gauches [38], avant tout pour donner nn historique 

i^taiUe et complet des travaux de ces demiers (MÜBIUS, Chasles, Caylev, 

Sakmon, Setüewitz et Scuröteb), et apr^a pour exposer sous one forme 

porenient geometrique sa theorie des points conjoints et des plans conjoints 

pär Tapport ä une cubique gauche, et pour determiner, sans avoir recours 

* 1 analyse, les especes de coniques inscrites dans une developpable du 4' 

ordre et de la 3* clasBe. Ce travail, pour la nouveaute des resultats, n'est 

"-■ertaiiiement pas ('omparable ä d'autres du m^me auteur, mais ä cause de 

'•■> tuethode employee et de la purete de son style, il est bien digne di- 

'admiration generale dont il fut l'objet. 

K'^tant mifl ea train d'etudier les cubiques gauches au point de vne 
''" la gt'omt'trie moderne, CifEMOXA ajjerrut bientöt la nccessitf? de resoudre 
''8 questions relatives ä la construction de ces courbes; il composa en 
cons^quence un remarquable memoire [39J pour ex^toser k construction 
*lune courbe du 3* ordre ä double courbure determinöe par n de se» 
l""ot« et 6 — w de se« cordes (»==6, 5, . . ., 0). 11 cHt bon d'observer que 
•"»Hl! le cig n = le probleme a «>> Solutions, circonstiince que ('UKMONA 



1) Coiii|). auHHJ NouT auD. de matbüiu. I2, p> 2UI uul«. 



I 



140 ^^^^^^V Gbo LoBlA. 

Je premier.') Notona eocore qae f^sxMOüA reneontra. ao eoxm 
le correlatif da theorem« sniTont: ^ d«ax cabiques 
gandics n'oot pas de points eommiin% dies auront dix eordn commane«'^; 
propositioD qa'il demontra en sobetünant » aae des eoorbee donneee le 
STSteme forme par ane coniqoe «i ane droit« qai 1a coope; c'est tu dea 
premierB exemples imais p«u le seol qa'ait offert Ckemoxa) d'an fecond 
procede de reclierche aujonrdliai tr«e emploje et qai appartient aox 
applieakioiu dn ^principe de la conaerratioii da Bombce" de M. Scbtuekt.^ 
Cest peut-dtre en etendant oe procede logiqoe qoe notre aatear ptkrrijit 
k Mtte antre propoeition bien plos gniirnüe, qo'Q se boma ä enoncer: 
^i denx coorbes gaachea des ordres w. m', doaees de a, a' points doobles 
appareats, se coapent en r points, le nombre de leors cordes commones 
sera exprime par 

• 4 +««'+— 2—- 

Cbexoxa donna ane aatre contribation remarqoable ä la tbeohe qui 
nons occope maintenant, en chercbant [57] le nombre des qoadriques de 
r^rolation qai pa^sent par ane cobiqoe gaoche dunnee; la remarqne qa'i 
atilisa poor di>coarrir ce nombre est qo'ane sar£ace da 2* ordre de 
rerolution est bitangente aa cercle imaginaire ä Tinfini, de sorte qne le 
nombre cberche est ^al ä eelai des coniques circonscrites ä an triangle 
donne et bitangentes ik ane conique appurtenant aa plan de ce triangle; 
ce nombre est donc qmatrt lorsqu'il s'agit d'one hyperbole gaacbe, detti 
n la coarbe est nne hjperbole parabolique oa bien ane bvperbole gaacbe 
eonpant deax fois le cerrle imaginaire ä l'infini^. Ce demier cas 
particulier des courbes da 3* ordre ä doable eoarbare a ete rencontre 
par Cremona, aassi en oherchant [CO] le liea geometriqae des pieds 
des perpendicalaires abaissees des points d'une droite sor les plans pro^H 
jectiTement correspoadants d'on faisoeaa; dans cette oceasion il propoaaB 

1) IL Bkts rattribiu» bu oonliaäx* 4 M. Srmi (Dtr ftftmmSt^ Stand %M»ertr 
dtr htbisdttn Satumtuir*m ÜktnidUiick AMnAritt; FecttchtiTt der 



iodi 



mathem Get in Hamburg, 1^90, p. 4S). 

'2') M. R. Sti-km ect arrir« au m^me r^ultot f»x lUM mm\n TÜe daos la w 
Ctmibiem y a-t-J <fai i to al M ep ww * *^u- tm^ t fUM f » me k u * (Annali di matem. 
it. p. 28-88:. 

S) Dbjich puiü« »ux mteoÜM nur Im eubi^Ms gavwkM qiw manm iimniai d'mnalTBCr, 
pom ^criie son Kinkitmtg im iNr Thrnnt imr mU ttlkm iTd^dtdUätc iLeipzig 1867). 
BcTSAio jage« que IVtroil« liaiM» qui ukl« «ata« ea lin* H hm ttanu de CBmoxA 
n'aTait pas Üe iiidi>iui(« aaaM D«HMaMt pM Ducai •! il ea it roteerratioD dans la 
dcTOiäTpariie<p.4l:2— 419) <)«••• not«« Ai4hi*i«r«n<Mi»««6i(Vj«6«r (Read, dell' ist. 
Lomb. Ij, 186$h or r«M« parti« polvuu«iu« du batail d* Itait^Aw ;i{«i,pour «atitt'aire 
an desir de Ckuiosui, n'« p«» iio iu*i(ri>« d«u> U» cy»rr «Mtaa^idte de Bii.tb.vmi) 
ne doit pa» ^tr« oublie« daua IVtude d»« mtfuuux«« du «aTanl d«at mmh mm« occupons, 
en raiMui de« tectificatioiu qui > iMil htdi^a *«« «1 qai pwnwMkNt d« c« demier. 



Luigi Cremona ei aon ceavte matheniatique. 



d« designer la cubique gauche rrsultante sous les noms de cercle gauchc 
ou KTubiqtte gauchr cirmlaire. 

Cremona, B'ebmt tourne, par une evolution naturelle de sa pensee, 

»"ors IV'tude des courbes planes algebriques (voyez plus bas § 5), ne perdit 

Jamals de vne la theorie oü pour la premiere fois il s'etait aflirmi'' 

'"nairuent original: trois de ses travnux sont lä pour lo prouver. Dans Tun 

d'eux [46] il exposa un certain procede (auquel il donna le nom de projedion 

f^itjicrholoidique) pour etablir une correspondance entre les points d'une 

cnbique gaucbe F et ceux d'une section conique; voici comment on y 

parvient. La projection de /' faite d'un de ses points S sur un plan n est 

ti^ie conique K circonserite au triangle ABC, dont lea sommets sont les 

»^ötersections de F et ;r; or K peut se conside'rer comme la courbe premiere 

polaire d'un certain point de n par rapport au trilatere ABC En con- 

qoence, ä chaque point S Ae F correspond un point de jt, et, lorsque 

» dccrit F, parcourt une conique Q circonserite au triangle ABC. 

t>« cette nianÜTe (suivant l'opinion de f'rtKMONA) les problemes relatifs 

» lu cubique F se transforment en autant de questions plus faciles 

'öl«.tiveB ä la conique Q\ mais quels sont les problemes qui peuvent 

*msi se resondre, ni Ckemona, ni personne apres lui ne nous l'ont encore 

•Üt. — Dans un autre court article [41], notre geometre a pronve cet 

elegant theoreme: „Etant donnees une cubique gauche F et une droite r 

*itti ne la rencontre pas, on mene par r un plan quelconque n qui coupe F 

^'i^x points A, B, (!• er, par rapport au triangle ABC, ä la droite r 

^'^^rrespondent un point et une conique comme envelopjjes-polaires de la 

*■'* et de la 2° classe; et lorsque 7t tourne autour de r, P decrit une droite 

^ X une Burface du 4* ordre, dont r est la droite double". — Plus etendu 

^®t un autre memoire [541, par lequel Tuemona a touIu tenir une ancienne 

P**omes8e (voir [12]) de s'oceuper jyart iculierement de la cultique gauche 

**»oalatrice au plan » l'tntini. La longue route que nous devon« parcourir 

■'^^OTig empecbe de ra]iporter toutes les profondes considi^ratinns erposees 

**^»is ce travaü et les helles consequences qu'en dcduisit ('ickmona, mais 

®^*T un point le devoir de l'historien nous oblige de nous arreter. C'est 

'^ piissage oä Cremona signalo les cas particulicrs que peut presenter une 

l^ti-rsbole gauche c^iracterisi'e par la supposition qu'eDe ait un teme (et par 

coüfulquence oc^ ternes) de plans OHCulateurs par coujjles orthogpnaux, ou 

"ien an teme (et par snite oo*) de droites tangentes deux ü deux ortho- 

gonalee, Dans le premier cas il y a une droite qui est le lieu geometrique 

•»«8 wmmets des trii-dres trirectiingles osculateurs ä la courbe, et une autre 

«roite pur laqiielle passent tons les plans determines par les ternes de 

l>«int« de contact; par chaque point de la premi6re passent trois des 

«rectrices des paraboles inscrites dans la developpable circonserite ä la 



142 



courbe consideree. Eh bien! ces proprietep, caracteristiqueB d'ane cat<?gerie 
de cubiques gauches, ont ete retrouvees ringt uns ;ipri>8 par W. FlUSZ 
Meyer') et 0. Böklen^), ä l'att^ntion desquels le memoire [54] de Cuemoxa 
avait certainement echappe. Ajoutons que dans ce travail on rencontre 
encore le cas special de parabole gauche caracterise par l'existence d'on 
plan diametral perpendicidaire aux cordes qu'il coupe en parties egaleg; 
notre mathematicien determine les eonditions pour qu'il se present«. 

La suite de mt-moires de Oremona siir les cubiques gauches, commencee 
en avril 1858, ne se termina qu'en avril 1879; eile commence par le premier- 
travail vraiment originsJ de notre mathi-maticien et fmit par celui qu'an 
pourrait clire le demier [ 1 09]. Dans ce memoire, la consideration de certaine 
courbes planes etudiees par Emu, Wevr^) et G. Darboux*) est etendae, no^r .^j 
seiilement h respace ordinaire, mais a tous les espaces lineaires. En efl' 
CuE»roNA etahlit avant tout le theoreme siiivant: „Si dans un espace 
tn dimensions on a un Systeme de od' plans 

t = To + T X-i + T- X.2 + . . . + T^ X„ = 

du genre et de la classe m, et si la surfuce de Tordre n 



' ( t 



= 




(oü n, ri, . . 
1.2 M + >M 




_ 1 sont m nombres differents choisis dans la s« 
1 et les k sont des constantes), qui contient tous 

sommets du polyedre complet dont Ips (" ^ ~ ) faces sont les n-^-m — 1 pl 

^, = 0, <2 = 0, ..., /,. ^„._,=0 
dn Systeme, passe par tn des sommets du polyi'dre formt' par w + 1 ani 
plans du meme Systeme, eile passera anssi par les autres". Dans le «u 
»« = 3, ce Systeme est forme par les plans! osculatenrs d'une cubiqne gauc^le; 
sur ce cas ("kemona s'arrete assez longtemps, etablissiint tin syst^^me jrar- 
ticulier de coordonnees ponr les points de l'espace ordinaire (chaque poiat 
etant determine par les parametres des trois plans osculatenrs de la courhe 
qui le contiennent) et en en faisaiit plusieurs a])plication8 tres (^^gant«8; citona 
comme exeniple la proposition enivante: „Les sommets de trois polywlre« 
complets, dont chaoun est forme par n plans osculateurs d'nne cubiqtx'« 
gauche, se trouvent toujours dans ime surface de l'ordre n — 2 conteniiE^»^ 
los sommets de oo^ polyedres analognes". Cela est bien süffisant k prouvi 
que (.'REMONA a su couronner dignement l'edifice geomctrique qu'il avi 
construit en ctiidiant les cnbiques gauches. 



ü 



1) Wann bexittt, die hihische Parabel eine Direetrix? (Matbem.-naturvtM 
Mitt. [Stuttgart] 1, 11-16). ^ 

2) Ührr die kuhisdie ParnM mit Direetrix (Z e i t e ch r f ü r M a t h e m. 2», p. 37S— 7?2!^^!^ 

3) Über Inrolutioium höherer Grade i.Iunm. für Matlicm. 72, 1870. p. 2ftS— 292:^^^ 

4) Sur une datse remaniuable de coxrtxw et de surf'aces alt/ebriques iPsria ISTi^-Si 



Luigi Cremona et gon oeuvie math^matique. 143 

5. Gremona au lyoöe de Wim et ä l'aniversitä de Bologne. 

Le desir de faire paraitre la dependance logique qui relie les diffe'rents 
travaux de notre heros, noas a oblige d'abandonner dans notre narration 
Vordre exactement chronologiqae; mais ä present noas allons reprendre 
le fil de sa biographie. 

Son B^joor ä Cremone dura moins de trois ans. La Lombardie 
ayant e'te liberee du joug etranger, le gouvemement Italien (par un arretc 
du 28 novembre 1859) le nomma professeur au lycee St. Alexandre 
(aujourdTiui Beccaria). De Milan est date un memoire de geometrie 
analytique [18], dont un resume parut dans les Nouvelles annales de 
mathematiques (voir [16], 2° partie), en r^ponse ä une question (498) 
de ce Journal. La question dont il s'agit est un cas tout particulier de 
la stÜTante: „Etant donnes une droite OA, un de ses points et un 
point B an dehors d'elle, trouver dans le plan ABO une courbe teile 
qu'en menant une quelconque de ses tangentes et par B la parallele ä 
cette tangente, les segments OM, ON de la droite OA compris entre ces 
droites et le point soient lies par. une relation algebrique du degre n 
^{OM, ON) = 0". C'est precisement le probl^me general que Cremona 
ä baite en maitre, en employant les coordonnees tangentieUes. Mais il a 
«ncore remarque que sa Solution pourrait serrir a resoudre la question 
analogue de l'espace, que l'on peut enoncer comme il suit: „Etant donnes 
Me droite OA, un de ses points A et deux points B, C au dehors, trouver 
nne sorface teile qu'en menant ad libitum un de ses plans tangents et par 
5) C les plans paralleles ä ce plan, les segments OL, OM, ON de la 
droite OA compris entre ces plans et le point soient lies par une 
relation algeTbrique du degre n F(OL, OM, ON) = 0". 

Cremona ne devait pas rester longtemps au Ijcee de Milan. La 
Romagne ayant ete reunie au royaume d'Italie, le dictateur Farini institua 
^ l'uniTcrsite de Bologne une chaire de geometrie superieure; et 

* Mamiani, qui etait alors ministre de l'instruction, appela Cremona ü 
l'occnper comme professeur ordinaire (arrete royal du 10 juin 1860), 
perBonne ne lui paraissant mieux indique pour etre designe ä une chaire 
^ogue ä Celle illustree par M. Chasles. Par suite de cette decision notre 
mathematicien fixa en novembre 1860 son domicile dans le chef-lieu de 
ITImilie. „Per me (ecrivait-il le 26 novembre 1870; voir [97]) i ricordi de' sei 
*>"" visButi in Bologna sono tutti pieni del nome di Domenico Piani •). 
%li mi ricevette a braccia aperte al mio primo giungere in cotesta cittii; 

* mi preparö, presso i coUeghi e gli uomini piü chiari per sapere, si cortesi 

1) Voir siir ce math^maticien peu connu ; D. Santaoata, Della vita e delle opere 

* DoMmco Pui/i (Mem. dell' aoc. d. 8C. di Bologna I3, 1871). 



144 



Giso LoKu. 



accoglienze che. dove credevo di entrare uomo nuovo, trovai iii(im^ 
e benevolenza. Ne il suo patrocinio lui venne mai meno; anzi coli' a 
de! tempo si fece serapre piü aflfettuoso ed intimo, e non cessn che colla i 
— Mais PlANi ne fut pas le seul savant qui ait contribae ä faire 
(■REMONA ait trouvö si attrayante la rpsidence de Bologne; une bonne pi 
du HK'rite appartient aussi ii E. Bei/iraju (nomme professeur d'algi-bi 
Bologna, sur la proposition de Cremona) et D. Chelini (qui y ense^ 
la nii'caniqne rationnelle durant les annees 1860 — 64); leur accor<l 
toiijours parlait et Ton peut affirmer que Cremona, avec BELTKAAtI 
Chelini, a fonde la haute reputation mathematique dont jouit encore 
moderne facnlte des sciences de Bologne. Toas les trnis devaient 
auiis toute leur vie et se retroaver plus tard ii Rome; ayant survecu 
deux autres, Cremona dedia ä leur niemoiro des notices biographi 
(voir [108], [110], [111], [120]) oü Ion adttire egalement le sentii 
et la doctrine: et la Collectanea mathematica in memoriam I). CiiEt 
nunc primum edita cura et studio L. Cremona et E. BektilvmI 
et sera toujours un temoignage de sentinients eleves, qui embellisseu 
ennoblissent la vie htimaine. 

Ayunt k-t^e appele ä Bologne pour occuper une chaire de rt' 
creation, (."remona pensa de commencer par un discours d'ouverture 
nouvel enseignement, pour en exposer le but et la nature. Ce fut auss» 
sentinient de Chasles lorsqu'ü inaugura son cours de geometrie superii 
a la Sorbonne. Mais tandis que le grand goometre fran^ais, dejä miir 
encore tout imbu de ses celebres recberches historiques, jugea bon 
commencer ses le^ons en jetant un regard sur ce que la geometrie an 
ete, le professeur italien, dans l'instant oü, jeune et plein d'ardeur, il prea 
poBsession de sa chaire, jirt'fera erposer [25] ce que la geonuHrie t-t 
alors et ce qu'elle aspirait a derenir. L'ancien, mais toujours ard 
volontaire, en parlant dans une vüle encore toute emue et freniissanto 
la revolution qui l'avait aflPranchie de la doniination papale, ne cnit 
devoir adopter le langage froid de la science abstraite qu'il professait; 
son discours est en consequence comme un hymne ä la science et 
patrie; qu'il me soit permis d'en donner uue idee, par la transcription 
son eloquente peroraison: 

Giovani alunni, che v' accingete a segnirmi in questo oorso 
geometria modema, non v' accostate che con saldo proposito di sl 
pertinaci. Senza un' incrollabile costanza neUa fatica non si gii 
a possedere una scienza. Se questo nobile proposito e in voi, i 
dico che la scienza vi apparira beUa e ammiranda, e Toi 1' am« 
coBi fortemente che d' allora in poi gli studi intensi vi riuscirai 
ima dolce necessitü delh» vita. Me fortnnato se potessi raggiunj 



Luigi Crenioua et son iL-uvre niatht^mstique. 



145 



lo splendidn rieultato d' invogliare riueet« generosa gioventii allo 
studio ed iil ciilto di una giiinde ecienza che ba gi»i procacciato tanta 
glnria agli stranieri e che fra noi non ha che rarissimi e solitarü 
cultori 1 

Respiiigete da vni, o ginvani, le malevole parole di coloro 
che a conforto della propria ignoranza o a sfogo d' irosi jiregiiulizii 
"vi chiederuimii con irnnii'n sorriBo a che giovino queeti ed altri 
idii, e vi parlerauno delF ini])(ttenza pratic» di quegli unmini che 
"^i consacrano esclusivamente al pnigresso di unti scienza prediietta. 
ijuand' anche la geometriu non rendesse. come rende, immediati 
eervigi alle arti belle, all" industria, alla mecconie«, aU' astronomia, 
alla fisic^T. quand' anche un' e.si>orienz!i Bcctdare uon ci animonissp che 
le pin astratte teorie matrniaiichc sürtono in uu teniju) jiiu o uieno 
ricino ad applicazioni prima neppur soBpettat«; quand' anche non ci 
BteBse innanzi al pensiero la storia di tanti illiistri che senza mai 
desistere dal cultivare la scienza ;>M»a, i'iirnno i ])ii1 efficaci promotori 
della presente civiltä — ancora io vi direi: qiiesta scienza e degna 
che voi r amiate; tante sono e cosi siiblimi le sue bellezze, eh' essa 
non piiTi nnn CBercitare sulle gencroHe e iutatte aniine dei ginvani 
im' altii iuUuenza educativa, eleviiudoli alla serena e inimitaliile puesia 
ddla verita! I Bapientissinii untichi nun voUero mai scoinjwgnata la 
iiloBoHa, che allora era \a scienza della vita, dalln studio della geo- 
luetria, e I'latone scriveva sul portico delhi sua accademia: Nissitno 
altri qni sc höh c gromrtra. Lungi dunqiie da voi qiiesti aj)ostoli 
delle tenebre; amate la verita e la Imc, alibiate fede nei servigi che 
la scienza rende presto o tardi alla cuiisa della civiltii c ddla libertä. 
IVedet«^ all' avveuire! quest« c la religione del nostro aeculu. () 
giovitni felici, cui fortuna concesse di assistere nei piü bogli lumi 
della vita aUa risurrezione deila pntria vostra. svegliatevi e sorgete 
a contemplare il novcllo sole che tianimeggia sull' orizzonte! Se la 
do])pia tirannidc dt'llo i^glicrro austriaco c dol livido gesuita vi teneva 
uziMBi e inibecilli, la libertä invece vi vuole (jpcrosi e vigili. Neue 
urmi e nei militari eserci/.ii rinvigorite il corjxi; negli stiidii sevcri 
e costanti spogliate ogni rugginc di servitii, e alla luce della scienza 
iniparate ad osser degni di liberta. Se la voce della patria vi chiama 
ul campo, e voi accorrete, piignate, trionl'ate o cadete, certi sempre 
«li vincere: lo battaglie della nostra iudipeudenza non bI perdono 
pifl. Ma se le armi jiosano, tornate agli stiidii [lerocchö anche con 
questi servite e glorificate l'Italia. L'avvenir suo ö nelle vostre 
mani; il valore dei suoi prodi la strapperä tutta dalle ugne dello 
straniero, ma ella non durerebbe felice e signora di st? ove non la 
^tbUoUiec* MaUiemkUoa. Ul. Folge. V. 10 



146 



OlKll LliKIA 



rendesse onnninda e teniuta il seano dei saoi cittadini. Ancora 
volta dunque, o giovani, io vi dico: non la turpe inerzia che sfil 
anima e corpo, ma i militari e li scienlifici studi vi faranno ajut. 
alla grandezza di queeta nostra Italia che sta per rientrare, al cospi 
dell' attonita Europa, nel consorzio delle pot«nti e libere nazioni. 
ima sola capitele, Roma, con un solo re, VnTOBUO Emakcele, 
un solo e massimo eroe, Garibaldi. 

L'enseignement universitaire de Crewona repondit-il aux espei 
qu'on fondait sur le maitre, sur le savant et sur rauteur de cett« magnifi 
Prolusione? ("est opinion universelle que, non seulement il main: 
mais qu'il alla bien plus loin de ce qu"on attendait de lui. Conv; 
de la saintete de la mission confiee ä un maitre quelconque, il dei 
de longues heures de concentration a preparer ses le^ons; son expositic 
etait tüujours calme et rigonreuse, mais en meme temps vive et attrayan 
avec ses ^^res il n'etait pas arare de conseils et d'assistanee; 
leiu recommandait sans cesse de se pourvoir d'amples connai 
analytiques, dont il reconnaissait la necessite pour tout ge'ometre; 
retrouve donc en Cremona maitre, ce mathematicien aux idees 1; 
qui apparait aux lecteurs de ses memoires scientifiques. Un groi 
de ses nomhreux et brillants eleves, ayant desormais une place disting 
dans rhistoire de la geometrie, forme le plus beau temoignage 
l'importance de son oeurre didactique: qu'il nous suffise de choisir 
ce groupe les noms de A. Armenante, E. Caporali, R. de Paous 
Emil Weyr parmi les niorts, E. Bertini, G. Jltjc* et G. Veronese p; 
les vivants. 

Cette notice sur l'influence de CuEMONA sur l'enseignement mati 
matique contiendrait une dt'plorable lacune si l'on ne faisait pas mention 
l'interet qu'il prit toujours et qu'il exprima efticacement ä l'enseigneiui 
secondaire pendant toute sa vie : nous citerons seulement deux manifeatatic 
publique» de cet interet. La premiere se trouve diins la traduction itiJiei 
qu'il commen^a a faire paraitre en 1865, des Elemaitc der Mathematik 
R. Bai-tzek, i)()ur doter les Instituts techniques italiens d'un texte confor 
aux exigences de la science.') La seconde consiste dans la campag 
qu'il soutint ä cöte de Brioschi et seconde par Betti, pour obt 
l'introduction des Elements d'ErcLiDE comme li>Te de texte dans les ecol 
classiques; il commen^a cette campagne en 1867 lorsque, ajant ete chi 
par le gouvemement de faire une enquete sur l'etat de renseignemeni 



1) Je cite ici, f»ute d'nne meilleure ocoaaion, un sutre ouvTsge dont 1» trmdnot 
porte le nom de Oremiixa, c'est lo suivant: Buntucm, Tavolt logaritmieo-trigoHomel 
con ciniiue decimali (,MiIano, Hoepli 1877). 



Luigi Cremonn et aon tvuvro matbeinatique. 



la geometrie, il recommauda ladoptioii de l'ErcLiDE pur et simple comme 
texte dans les lycees'); cette canipnprnp lui causa bien des chagrins^), mais 
eile eilt l'hecureux resultat do (j'enipltiie les mots meines de Ckemona*) 
„sl^nndire innumerevoli libercoli, compilati per pura specalazione, che 
iniestavano appunto queUe scucile dove e maggiore pei libri di testo il 
bisogno del rigore scientifico e deUa bontä del inetodo". 

6. Etudes de Oremona sur la theorie des oourbes planes. 

Ud Probleme beau, grand et tri'a important miirque le eommeneement 

des recherches geomctriques que CitEMONA a faites a Bologne: celui 

de recueillir, coordonner et exposer sous une forme geoinetrique et 

methodique les nombrenses proprietes qu'on avait decoiirertes dans las 

courbes algebriques de tous les ordres; la grande renomniPe atteinte par 

Vlutrodusionc ad uua fr.oria gcontrtrica ddlc curvr. pianc [29] foumit la 

preure eclatante de la genialiti^ de la Solution qu'il en a donnee. D'apres 

les declarations memes de l'auteur, il tut pousse ä composer ce travail par 

le desir d'ötablir geomötriquement les propositions que Steiner avait 

enoncees sous le titre AUtjimc'mr EigenscJuiftm der (dgchraischcn Cnrvm; 

et comme il resulte de ce que dit le grand geomötre suisse, qu'il avait 

»pplique amplement la thi-orie des courbes poliiires d'uu point pur rnpport 

« une courbe plane, Ckemona crut bon de commeneer par etablir 

tat'tliodiquement cette theorie; mais pour cela etant necessaire d'employer 

id'autres notions, notre geometre, pour ?tre complet, les remiit dans le 

l"" chapitre de son ouvrage. Dans celui-ci dominent les concepts de rapport 

'mharmonique et d'involution, qui, malgre les travaux antörieurs des 

Ifeomi'tTeB fran<,'ai8 et allemands, etaient alors trop peu repandus chez nous; 

^ OD j trouve encore largement exposee Li theorie des centres harnioniques. 

'oninie nouveautes nous y remarquons une consideration et un nom: la 

"«nsideration des quatraines de points ayant des rapports harmonifjues fon- 

"'^nientrtux egaux et lenom d'equianharmonique pour la valeur commune 

''® cea rapports'*'). II n'est pas necessaire de nous arreter plus longtemps 



1) Comp. Giorn. di matem. J), 1871, p. 182—183. 
3) Voyes l'avant-propoB de» Elementi di geotnetria projettiva. 
8'i Voir une lettre [84J publiee poar repondre ä la traduction (faite dang un but 
**^ttuque ündent) d'un diBcours de J. M. Wiistm but Evcluik aime tevto di t/cometriu 
are (Giorn. di matem. tt, 1868, p. 361—368). Au mOme discours avait dttjä 
-^tiqu£ J. Hoi7t3. (Id. 7, 1869, p 56) qui, aoug le titro de L'enseiijneniefii ile la geomitrie 
^*^«titaire en Italie (Nonv. ann. de matbüm. H-i, 1869, p. 278—283), fit paraitre 
^*** tradiirtioD commouteo de cette lettre [84]. 

4i DanB les travaux de Cbemuna od remarque uu tr^s g^nd nombre d'applioatiuuB 

*^ «» notion do rapport üquianharmonique. Une des plus anciennee »e trouve dans 

* Ok^rtaie auivant: ,Un quadrilatere complet a pour couples de BommetB opposes 

10' 



148 ^^^^^^^^^^^^^uBu 

snr le procede de d^monstration dont Cremoxa fit nsjige; tont le monde 
en connait les mörites et les defnuts; tont le monde snit que, tout en 
etant synthetique au dehors, il est au fnnd analvtique, et personne n'ignore 
les efforts qu'on a faits pour mettre ä sn place un procede oii les coor- 
donnees ne jouent pas, comnie dane cehii de (^remona, le röle de Deu$ 
ex machina. — Dans le 2"* chapitre notre geometre expose la theorie des 
polaires, suivant les idees de ses inventeurs (Bijbii.ijer, Plicker, Gkars- 
MANN, DE JoNgniEREs) avec des additions d'une valeur considerable et des 
applications profnndes et vastes qui snnt aiitant de trophees des victoires 
de la geometrie pure et qui ne tarderent pas a devenir claesi(jues: qu'il j 
suftise de cit«r les investigations sur les sjstemes de courbes et sur Ifl^H 
courbes covariantee auxquelles on doane aujourd'hui, d'aprös Cremona. 
les nouiB de Hessieiine, Steinerienne, t'ayleyenn'e et Jacobienne. 
8ou8 le rapport de la niethode de rnisonnement, signalons sa rigoureuse 
unite et les nunihreuses applications qu'il renferme du principe de la 
conservation du nonibre; des cnrrections de detail indispensables furent 
sigualt'es pur l'aiiteur liii-nieme (56]; M. (Jurtze en tint euniitte dans 
sa traduction allemonde de V Introdiisione^). — Dans le 3* chapitre, 
ritKMdNA, qui avait dejä expose dans les deux precedents les proprietes 
caractt'ristiques des sections coniques*), uppliquc la tbeorie generale des 
courbes algcbriques ä ceUes du troisieme ordre tont-ä-fait generales. 
MACLAiRrN (1748), Ciiaslf,s (1837), Pi.i cker (1839, 1847), Cayley (1844, 
1857), Hks.se (1844, 1848, 1849), Steiner (1846). Akoxhou» (1850), 
Salmon (1851, 1859), S. Uohkuts (1860) et ('lkbscii (1861), parcourant 
des routes differentes, etaient arrives ä un gr.uid nonibre de proprietes 
de ces courbes; Cuehona, apres avoir pris connaissiince des truvaox de 



aa, bb', ec et pour diaxonaleB ßy, ytt, aß. Chmcun des cötee [alK, al'c, a'bt^, abe) 
du quadri)at<?re cuutient troiü pointa; soient &>, a les deax pnintii formant avec cei 
troi« la uu Systeme equiharmonique. Cliacune dos djagonales iaa' ■ ßy; lib'ya; cc ■ aß) 
coutient qiiatro poitits; loient i et T les point« doubles de l'involutiou ((u'ilg drterminent. 
Les huit points aualogues ä es, a' ei les gix analogues » i, i' appartioauent ;'i la 
meme r-oniquo"'. 11 a et« e'nonoe par Cukhoxa [52|, puis ilömontre g<5oinetriqueineiit 
par liii-meme |70J et oncore ^tendu i l'espace [53]. Des revherohes analytiques de 
BArrAULMi et J.Mon (Giorn. di tnatein.; S, p. 49-52), de FKaRKK.« ifhte the fourteen 
poinUconie; Messeuger of mathem. 8, p. 68— 70i et W. A. WmiwoKTu {(^luirUitw 
COordintUes, Id. p. 77—79 et On de fißypoints amicoül, Id. p 144 — 145) prunveut 
valetir quon a reconnuo en Italie et en jVngleterre :"i ce theori-me. Comp Sauioi 
FiKOLEB, Analytische Geometrie der Kegelschnitte, 6. Aufl. ^Leipzig 1903), p. 636 

1) Einleitung in die geometrisdxe Theorie der ebenen Kurren. Nach der 
BedaktiOH unter Miiairlung des rcrfassers ins Deultche üliertragen (Greifswald 1865) 
Du meme oorrage ü eiiste une traduction tchi-que duc u Ev. Wbyb i1873). 

2) üne appUeation des thöoremes foudamenUux sur les faisceaux de eonianes 
se trouTe dans la note [33J. 





Luigi Crcmona et son ccuvro matfadmatique. 



149 



fevanciers et projetant Bur eux 1« liimÜTe qui emanait de sa tht'orie 
Inerale, reussit ä les coordoniier pttrfaitement et k les completer en 
Iiludieurs points importants.') La theorie des courbes planes du 3' ordre 
que l'on trouva dans Y Introdueione comprend presque toutes les differentes 
questionB que cette theorie provoque'); toutefoia celle de lu forme que 
peuvent prendre ces courbee ch est totalement exclue. ()r deux belles 
questionB, proposees par Syi^vester pendant le sejour qu'il fit ä Naples en 
janvier 1864^), pousserent Ckemona ä fixer son attention de ce cOte. Pour 
reeoudre ces questions, il part [51] du theorenie de Nkwton qui aftirme la 
pouibilite de projeter toute cubique plane suirant une des paraboles 
divergentes, c'est-ä-dire une des courbes qu'on peut representer par une 
e<}uation de la forme 



ax 



4- 3 hx:'- + 3 ex + d = — 3 ey2 



n prouve que si le discriminant R du premier membre est > 0, la 

courbe est composee d'une brauche infinie et d'une ovale, tnndis que si 

i? -< l'ovale manque; dans le cas ü = la courbe a un point 

dotible ou de rebrousseraent. Cüemona ajoute que dans le premier cas 

Ic rapport anharmonique de Li courbe est reel et que dans le second il est 

totijours imaginaire, bormis le cas de la cubique harinonique; une teile 

cabique peut donc etre foruiee de deux parties ou d'une seuletnent, tandis 

qu'nne cubique anharmonique ne peut etre fonnee que d'une brauche 

infiiu'e seule. Cette relation entre la figure et le rapport anhnrmunique 

"l'une cubique a ete trouvee depuis soua uno autre forme par DiKKtJK;*) 

flle est si importante qu'elle ne doit faire ni fait defaut dans aucuu traite 

fOmplet snr les courbes du troisieme ordre*). 

''kKMOSA, crnyant avec raison que, potir pr(»uver la ft'(rmHlit<' et 
•^pandre la connaissance d'une nu'tliode, il n'y u pas de systl-me nicilleur 
lue celui d'en montrer des applicutions differentes, ne laissa echapper 
•Qcime ocoasion favorable pour exposer des corollaires qu'on peut plus ou 

1) Une (?l<}gante appliuation de la thöorie des cubiquoB planes a 6i6 faite par 

■*»«■>»* [34] ä la T^solution du „probleme de rbomographie" propose par M. Chaülkii ot 

***olu antörieureroetit par Auadik (Nouv. ann. de mathüm. 14, p. 42\ Pihdr-v (Id. 15, 

P- 58; et de JoNyrtfeni» (Id. 17, p. 399). Comp. Biblioth. matbem. 83, 1902, p. 282. 

2') Panni les questions dünt CnKHoNA ne s'est puH occupö e.x proft:-iiso, remnriiuons 

^* tni-tbodes de ^ünt-ratian, pour noter qu'il en a, au moins partiellement, traite dans 

"* •jticie [17| coneacre aux geuürations deoouvertes par Gbas.-iiiann, article qui poso 

***«o«A panni ceux qui furent des premiers ä appröcier et omployer les mt-tbodes de 

-^ittUhnungiilelire. 

81 Uinrn. di matem. i, p. 29. 

4) Ülfr die Formen der Kurt>en dritter Ordnmig (Jonrn. für Matbem. 75 et 
»873). 

&) Voir en effet Sciiiimtk«, Die Theorie der ebenen Kurven dritter Ordnung ^I<eipzig 
p. 146. 



3«, 



150 



OlKO LuKlA 



tnoinft aisement faire (lecouler des theories qni composent Vlttlrodu. 
Par exemple il jugea bon de a'arrt'ter [43] ä etablir geometriquement qae 
ques beaux theoremes sar les coniqnes ^nonces par Tkii>i, qooiqae de 
demoDstrations eu eassent dejä ete publiees. En ootre il ne di^daigna pa 
de prouver [6 1 1 que dVlegants theoremes sxir des syst^mes de courbe« dn" 
2" ordre enonces par S('ilu<"iTKK n'etaient que des simples consequences de 
proprietes de la ('ayleyenne d'un reseau. Et des questions, proposees par 
Fatuk et relatives aux lieux des foyers des coniques inscrites dans un 
f|uadrilati're oa circonscrites ä un (juadrangle, le condaisirent ä etablir les 
caracti'res du lien geometrique aualogue pour les courbea d'an degrjfl 
qiielconque [52], Enfin une question relative au lieu geometrique des 
pieds den perpendiculaires iibaissees des points dune conique snr leurs 
polaires par rapport ä une autre conique lui fournit l'occasion d'appliquer 
|60j les theoremes de YIntrodttzionv. ä l'etude du lieu analogue qu'on 
obtient en substituant ii la preniiere conique une courbe algebrique quel- 
conque et möme de la question correspondante dans l'espace. 

Mais l'application la plus importante (et par saite la plus eonnue 
qu'ait faite Tukmona de la theorie generale des lignes algebriques est (voir 
[Ö7|; comp. [63]j celle relative ä cette merveilleuse courbe que Steinkk 
a signali-e dans une celi-bre commimication faite ii l'academie de lierlin le 
7 janvier 1856^). C'eat la courbe enveloppee par les droites de Simson 
de tous les points d'un cercle par rapport ä un triangle inscrit; cette 
courbe est du 4® ordre et de la 3* classe, et tangente ä la droite ü ^ 
l'intini du plan aux points circolaires; or Crehona, pour etablir les proj 
[lositions euoDcees par Stkinkk^), part precisement d'une courbe douee i 
ces proprietes et, en se serVant de la 3" partie de Y Inlrodusione, il arrive'' 
ä tous les theoremes dont on connaissait dejä l'enonc« et ä d'autres 
nonveaux; p. ex. il parvient ä etablir que cette courbe est un hypocycloide 
ti trois rebroussements et ä en decouvrir la presence dans la theorie des 
cubiques gauches. La beaute de la methode geometrique dont se servit^ 
Cremona fit une impression tres rive snr un gnind amdyste, A. Clebsci^B 
qui se häta de prouver') qu'on pouvait la traduire en formules d'une elegance 
porfaite; c'est une qualite de cette methode qu'on ne doit pas oublier. ^m 

Nous ne ponvons ni ne voulons linir cette rapide analyse des con^l 
tributions donnees par notre math^maticien ii la theorie des courbes planes 
sans dire quelques mots du röle qu'il a joue dans la formation de la theori« 

1) Cher eine besondere Kurve dritter Klasse {und vierttn Grades) (Joaru. fai 
Hathem. 53, 1857). 

2) Non «eulement dans la noto i)räcedente, mais aUBsi daiu quelques Verviisc 
Hätte und Äufijaben (Ges. Werke, T. U p. 677—678, no. 6). 

3) Note zur vorstehenden Al)l>andtting (Jowru. für Mathern. 64, 1865, p. 124 125 



>r(HH 



Luigi Cremona et Bon ceuTre math^matique. 151 

des systemes de coniques. Meme lorsqu'elle se trouvait dans son enfance, il 

s'efforfait et reussit [47] ä expliquer l'apparente contradiction qu'on trouve 

lorsqu'on cherche ä appliquer la theorie generale des systemes de courbes 

ä la detenumation du nombre des coniques passant par n points donnees 

et tangents ä 5 — n droites donnees. Mais lorsque Chasles fit parvenir 

cette theorie ä sa maturite, en substitnant ses dem caracteristiques ä 

l'indice de E. de Jonqüiebes i), Cremona se häta de donner [49] des 

demonstrations lumineuses des theoremes enonces par ce geometre dans 

sa celebre communication du 1" fevrier 1864; de cette maniere il arriva ä 

effacer le desaccord (note par Chasles lui-meme) existant entre ces 

theoremes et une formule plus ancienne de BisCHOFF.') J'ajoute que sous 

le modeste cadre d'une revue bibliographique, Cremona donna [50] un 

commentaire «omplet de la theorie des caracteristiques, exposee par Chasles 

dans les seances que tint l'Institut de France dans les jours 1 et 15 fevrier, 

7 mars, 27 juin, 4 et 18 juillet, 1 et 22 aoüt 1864. Ce commentaire 

(que M. CuRTZE a insere dans sa traduction de Vlntrodujiiwie) a sans 

doute puissamment contribue ä faire comprendre et a vulgariser la theorie 

des gystemes de coniques; comme chose originale il renferme une extension 

de la methode de Chasles aux systemes de oo' coniques, qui a ete jugee 

par celui-ci assez importante pour etre communiquee ä l'academie des 

Sciences [55]. — L'interet de Cremona pour la theorie cre^e par Chasles 

"6 s'eteignit pas de si tot; deux de ses publications servent ä le prouver: 

aaiis l'une [65] on trouve la generalisation aux systemes de oo' surfaces 

"" 2* ordre des celebres formules qui lient les caracteristiques d'un Systeme 

"* Qo' coniques aux nombres des coniques exceptionneUes qu'il renferme; 

'^ seconde (c'est une lettre ä M. Chasles [75]) contient quelques consi- 

"*'^tions de geometrie a trois dimensions qui amenent ä des courbes 

*^<^eptionnelle8 d'un Systeme de oo' lieux algebriques, courbes dont l'etude 

"wit alors ä l'ordre du jour. 

7. Les transformations birationnelles planes. 

Pendant son sejour ä Bologne, Cremona a jete les fondements 

"**ie theorie qui lui appartient d'une maniere si indiscutable que son 

"***! est pour toujours lie ä eile; il est ä peine necessaire de dire que 

**^^8 voulons parier des transformations birationnelles d'un plan en un 

*'*t»e. Cremona fut amene ä s'en occuper par l'etude d'un memoire lu 



1) Voir mon essai sur L'ceuvre mathimatique d'EsNxsr dx JosQciiKKa (Biblioth. 
*»thein. «8, 1902, p. 295 et suir.). 

2) Einige Sätze über die Tangenten algebraischer Kurven (Jonrn. ffir Mathem. 50, 
^^9, p. 166-177). 



i 



152 



Gwo Lntiik. 



a TacÄdemie des spiences de Turin pur un jeune homme destin»? ä devenir le 
prince des iwtrononies iUlJensj^) ce mt-moire lui suggera l'idee d'etudier |35J 
les transformations ])liines correlativeB ä Celles considerees par SCHIAPAKELU, 
c'est-a-dire Celles dans lesquelleB ä chaque droite correspond ime droite ^' 
ä chaque ftiisceau de driiites ime conique inscrite dans uu triangle lixe> 
En employant les coordonnecs plücJteriennes pour les droites et en imitan 
Je procede de ScHiAPAKELLi, il prouva que, ä l'aide de iransformation 
homographiques. on peut reduire la plus generale des dites transfnrmatin 
k deux types (res simples, dont les equations sont une des suivantes:^) 



^"r' + V' 



i. — 




Tj = 

Ces forraules prourent que deux droites correspondantes (lueleonqi 
sont en general parallides, naais qu'elles eoincident lorsqu'elles sc:» 
tangentes respectivement ti l'une ou k l'autre des coniqnes: 



4 



.^' 



+ rji=l,^,] = \. 



Dans une iransforniation du premier type, aux points {x,j/) du deuxii?-! 
plan correspondent les oo' paraboles homofocales 

tandis que dans une transforniatinn du second type, aux points [a 
correspondent dans le jireiuier plan les od' paraboles 

•r.^ + VV + Sv = 0- 

Dans les transforniittions de tous les deux types, deux droites corre8pM:»i- 
dantes quelccmques sont paralli-Ies eutre elles, mais dans Celles du prer 
leurs distances de 1 origine snnt inversement proportionnelles. Etc. etc 

II y a nn cas particuüer de ces transformations dont Belt* 
(parmi autres geometres) B'est occupe-"*); yoici coniment on y parviei 
„Si Ott', hh', er' sont les trois couples de somuiets opposes d'iin qutwl'*''" 
latire complet et a, ß, y les points diagonaux, on considere les poi«:»-'« 
conjugues harmoniques des points oft une droite quelconque r co«- T»* 
les diagonides, par rajiport aux couples aa\ bb\ c<f\ ces points appJ 
tiennent a une autre droite r'*); et lorsque r toume autour dun po 





1) HuUa traaformaeionr geometrica ddle fii/ure rd in particnlare tulln trasfonuaf 
iperbolica (Mem. dell' »cc. d. bc. di Torino 21a, 1864, p. 227—319). 

2) CiisMuNA nc log a paa ecrites; nuiis leg avous ajontees, car elles condnii 
immediatcmeat imx prupositiüiis qu'il b'cbI bonie i\ eiionoer. 

3) V'uyez ition cssai Evoksio Bu.tkaui e le sue opcre matematidte (Bibli'^^^' 
Mathem., is, 1901, p. 427). 

4) Lei droitea r, r' coupeiit en qiiatre points harmoniques tonto conique in«^'^*''' 
dana le qnadrila(<>re considere; cette propriete enoncee par (.'kKM<iNA dau^ 
Ediicatiüual times a ete leproduite commc Quexlion S?i' dans les Nouy. ^W" 
de mathem. «j, p. 287. 



I'Qigi Cremnna et sod cbutt« mathematique. 



158 



aveloppe une conique inscrite dune le trianglea ß ^'. Or uotre 

geomötre remiir(|Uit |71| (juen siipivoaajit que les poLuts /', »' BoiL'nt les 

points circulaires k t'intini, les oo' coniipies inscrites daus le quiidrilutere 

donne ont toutes comme foyere It»s (juutre points 0, a', b, h\ et / comme 

ceiitre, et que deux droites correspondantes r, r' scmt l'uue tangente et 

l autre normale ä la conique du Systeme qui passe par le point rr. Dans 

cette transt'ormation, que Ckemona signala ä M. Fiedler,') il a reconnu ime 

niethode rationnelle pnur traiter toute In theorie des coniques houiotucales; 

nouB la recommandons aux tuturs propagateurs de cette impnrtante theorie. 

Le memoire de BrniAl'AUKM.i, que nous avons cite plus haut, a ete 

le jioint de depart d'autres recherelies de Cremona, dont l'importance est 

bleu plus grande, et dont nous allons rendre compte. Par la inanÜTe dont 

SciHArAitKLLl posa la questiou de determiner les transfürmations uoivoques 

entre les points de deux plans, il tut amene u condure que les seules de 

Mtte natore sont Celles oü aux droites du plan correspondent des droites 

t»u bien des coniques eirconscrites >i un triangle fixe. Or l'existL'nce d'autres 

triinsforniations univoques resoltuit des ce temps de quelques phrases qu'on 

iit (lans laviint-propos (p. VII) de la Sammlung von Aufgaben und Lehrsätze 

"'IS lirr analif/isrheti Geometrk (Berlin 1833) de MAfiM's, et encore du resuine, 

•i'"]!» public, d'un me'moire bien eonnu de E. i»K Jon(;i')erks^). Quoiquc ces 

phraseö et ce resume paraissent avoir echappe k notre mathematicien, il 

feniiirqua que le produit de plusieurs transformations lineaLres ou quadra- 

t'qiiesest, coutrairement ii la pnipriHitiondeSciiiAl'AKKr.lil, une transfnrmation 

'UliVdcjue eu gi-nt-ral plus* conijiliqui'u que les trausformatiüus eUectuees. fette 

femarque le conduisit ä se proposer la recherche de toutes les trausformationB 

'"futionnelles entre deux [dans, et pour l'accomplir il etait admirablemeut 

Pri'|iare par les etudes, ([u'il venait alors de fiuir, sur la theorie g<'nerale des 

"oitfbes alge'briques pliines. La reniarque qui sert de base ä la Solution donnee 

P^r Ckkmona [36j du jjroblenie euonce, est que diins toute transformation 

''* lu nature Lndiquee, aux droites (I'un des plans consideres correspoudent 

'"'Os l'uutre cb- courbes unicursales d'un ciegre «, Ibrmant un reseau tel 

^tie deux quelconques de oes courbes n'ont qu'un point d'intersection 

"•«We (c'est-ä-dire n'appartensmt pas ä toutes). I'ar cousecjuent, si ces 

*^"iirbe8 ont av {r = 1, 2, . . ., w — 1) points /--tijdes comrauns ä tuntes, 

"" aur.i les deux celebres relations suivautes: 



(» 



r= n — 



2 r» Xr = »■ — 1, 



r = l 



6, Aufl, 



1) Voye« Sii.Hosr-FiEtii.Kii , Anati/ti/iche Geometrie der Kegelschnitte, 
'-weiter Teil (Leipiip 1903). p, XXI et 796. 

2) Voir Bibliotli. Mathem 3.i, 1902, p .'?09 et sniv — 11 l'imt Wen <!ire quo 
"' Ju«Qti|{;iiB„ 11 'i^ pog ^trnitü les mömeg queBliuus* que Creuo!««, comme ou Iit ii la 
N<!.S6t du t. Sj (ISßSi de« Nouv. ana. de mathem. 



154 



lINo I,(IKU. 



12) 



Ol"l 11 SUlt 



r = n-l 



r=l 



n — 1 



r(r+l) 



Xr 



* («» + 3) 
2 



"-' r(f - 1) _ (n-l)(t*-2) 

^ = Xr ^ ;; 



r=l 



ine; 
in« 



A toute transformution birutionnelle du plan correspond une solntion des 
equations (1), (2), mais rien n'autoriae ii enoncer la proposition reciproqne; 
on pmit aenlemont dire «)up, pour toute vnleur de w, il existe au moini 
une translbmiution birutionnelle de ce degre; c'est la golution 
r, = 2 (« — 1), xj ^ . . . = x„ _2 = 0, T„ _ I = 0; 
et ("kkmmna prouvp que la transformation correBpondante (nppelw nujoii 
d'hiii „triinsformutinn de .ToNi/i'lKUKs'*) peut se cnnstruire en sectionniu 
par deiix pl;ius (juelcon(|iiPs lep oo^ droites qui rencontrent une courbe 
d(* l'ordre it — 1 et une (Iroite la coupant en u — 2 poLnts. ^| 

(-'ette note j36] denieiira un peu de temps isolee. Mais quelques annöes 
apri's, Hon auteur, ayant eu rorr-iiHJon d'apprnfnndir certaines questions 
relatives aux cnurbes du plau |5ß|. lui donua une suite [66 1 pleine didees 
originales et d'une iraportiinco hors ligne. Teile est la consideration des 
ri'seaux conjugui'H exintunt dans deux plans en corr<*spondance uni- 
viique et des courbes jacubiennes de ces reseaux. l'ar une analvs 
dont la spontaneitp cuche Ja profondeur, il prouva qne, un des resean 
conjugues etant dtmni", l'autre est par suite determine, et on peut 
di'CüuvTir la Btructiirtv') I'our rclairer la mute qui mene ä ce resultat 
avaut tout il i'tudia tivut au long ies <:as n = 2, 3, . . ., 10. et onsuite, en 
elargisHanfc la rccherche, il s'oc.cu])» de nouveau de la transformation d^H 
UE JoN<jni:iiK.s et ensuite des eas w ~~ 0, 1 (niod. 2) oii bien »i iz 0, 1. 
2 {mod. 3) uu enfin « t: 0, 1, 2, 3 (mod. 4). Le simple examen du 
tableau resultant revela it OuEMONA la veriti' de la projiosition suivajite: „si 
(T[, a;j, ..., Xn-\) et (yi, yj, . . ., y»! — i) sont deux n'seaux conjugues, lest 
nombres X\, x<i, . . ., Xn — \ ne diffl-rent t]ue par lour ordre des nonibre» 
yi. yi^ ■ ■ •) y« — i"; on sait que cette proposition empirique a et^ df'uiontre» 
rigoureusement par Cl.EBSCU*). Cremona remarqua encore qa'une corre- 
sporidnuce univoijue de l'ordre n entre Ies points du meme plan a >i -f- 2 
points Ullis; il en tira la generalisation de la mi'thode, que UE JoxQiiK«h;s 
»vait propose'e,^) pour engendrer des courbes gauches d'ordre quelconque. 

1) Ce r^snltat fondameutal est r^sumd dans un th^orfeme qne Crbhona ehargea 
Bon ami T. Aikiiek Hibst de faire connaltre ä 1» „British association for the advancement 
of science" [64]. 

2) Zur Theorie der CnBuoKMchen Transformatione (Mathem. Ann. 4, 1871, 
p. 490—496). 

3) Comp. Diblioth. mathem. 83, 1903, p 309. 



IUI 

Tse_ 
ta^ 




Luigi Cremona et son a'UTre mathemBtique. 



155 



cest-ä-dire en prouvant que „deux gerbes de rayons en correspondance 
univoqiie de l'ordrew engendrent une courbe de l'ordre « -f- 2'', dout il troiiva 
tous les faraeteres; mais quant au degrt' de gent-ralite de la courite n-siil- 
tunte, c'est une questiou que Cremona ne s'eet pas posee et que perBonne 
n'ii trait«?? aproß lui. 

Si hl valnur des reeherches de Ckkmona sur les transfomiatious qiii 
piirUmt aon nom n'etait pas connue de tont Ip monde, nous pninrions 
citer deux faita qui la prouvent; cest: 1°) que lee expOHiteurs ultt-rieure 
de «ette thöorie') ne lui ont. apportt« aucun phangenient essentiel; 2") que 
la Beule addition vraiiuent importautt' quelle ait re(,'ue (en nii'Uie temps 
par (/Lft'KOKi), NiVthkR, Kosankk) en laisswent intncte la phyBiononiie 
generale; or tjuelle tht'oric a eu le tin''itie sort ilivns ces ilcrnÜTCK aiiM<>e8 
de tif-vreux renouvellement puur toua leti (diampn de rwlierche BeiuntitiqueV 

8. Reoherches de Cremona sur quelques courbes gauches algebriques 

speciales. 

De Bologne snnt aussi datf's piiiwifurs autre« mi>nioirPS de CuKMONA 
IUI, Bans avoir obtcnu la c<''l('brit)' de ccux (jue nous avous exatnint'S dans 
Im deux paragraphes pmvdents, meritent toutelbis (meme si Ion vcitt \nnir 
iin iiioment ne pas considt'rer les resultats iraportants qu'elles rcnfcrnieut) 
uoe consideration particoliere, d'abord part-e qu'ils pn'{)arent les etudes phis 
fm-rules dont nous nurons bientöt & nous occuper (voyez le § suiv.), 
'■' ennaite parce qu'ils refletent cette periode liistorique si attrayante ofl 
In gi?omi''trie supörieurp, assise sur des bnses di'finitives, aspirait ä niontrer 
'ä Taleur par des nouvelles victoires. Et personne, uiit-ux que Cukmuna, 
■«ns la lutte pour rhegemonie, si longtenips dispiit»Je entre l'analyse et la 
^Coiiietrie. n'a contribu(' ii ce (|ue cette derniere n'ait pas i'te vaiiicue. 

Dans un memoire |27] sur les surfaces gauches du 3" degre, dont nous 
'JP^ons bientöt nous occuper, Cremona avait indiquö quelques propriet^s 
''* la courbe gauche du 4" ordre par laquelle passe une seule surface du 
^ ordre, courbe qu'il croyait avoir ete decouverte par Stkixkh. tandis 
'!"* (corame il reconnut jdiis tard) c'est Sai.MON qui l'a sigualee le premier. 
^Jittt continue ä s'en occuper, ii la choisit comme sujet de sa premiere 
•■'oaimunic^ition h l'institut de Bologne [28 1. Si Ton veut jnger l'originalite 
''* ces reeherches, il laut se ressouvenir que de cette courbe (suivant 
* RKiioxA on l'appelle aujourd'hui courbe gaudte du 4' ordn- et de la 2" 

1) San« parier de la tradnction que M. Düwixr fit des travanx [36J et |06J 
(^ bt trnnsformationi geometrinues de* fußires planes, d'apris les mimoiren jmblies 
P" M. CiKMny., et des notes inedites; Bullet, d. sc. mathüm. 5, 1873, p. 207—240), 
J* Bt borne ä citer la premi^re partie du celäbre memoire de CArtKv (ht Ihe ratimial 
tformation belween ttco Spaces. 



166 



OlMU LoBU. 



(ue 



cspi'ce) on nc eonniiissait alors <nie In propriet«» d'etre rinterseetion rt nne 
quadriipu" uvec uno surface du 3° degre, la coupant encore suirant dem 
gi'niratricea du meme Systeme; tuais que, de la developpable qui lui corre- 
spond pur iliialite, Cayley et Salmon s'etaient dejä occupös. Cremona 
n'fiiiirqua la constance du rapport anliarmonique des plans qui projetteDt 
quatre points fixes de la courl)e li'une des co' droits »[ui la coupent eu 
troie points; il signala differenta procedes pnur la eonstruire et considera 
diffi'rentes surfaces re'glees naissant de la conside'ration siniultanee de la 
eourlve et de deux droites. II de'termina ensuite le nombre des intersections 
de deux quartiques de la 2* espece ou bieti d'une quartique et d'une cubique 
gauche sitnees Bur le meme bvperboloide; il considera, non seulement 
di^vt'loppable oseulatrice de la courbe inais aussi celle formee par la 
(iluus qui eoiipent eette eourbe en quatre points equianbiirmouiijues OQ 
harniouiques; il etudia encore les jirojections sur un plan d'une de« 
eourbes dont il e'agit; etc. En un mot, en eniployant les ressources que 
lui ülfrait la göometrie pure, il explura tous les domaines oft regne la 
courbe gauche du 4* ordre et de la 2° espece. 

Quelques annoes plus tard, des recherches d'une nature bien differente 
(voir |,72|) l'ameiii'rent ii s'occuper [78] d'une quartifjue gauche rationneUe 
trcs remarquable, dont la decouverte appartient ii Caylky '). Cette courbe 
est douee de deux points singuliers [Ä, D), oü les tangentes {Ali, DQfiM 
ont chiicune un contact de 2'' ordre avec la courbe; si x = 0, y = 0, 
e=0, w = Bout les ö(juations des plana ABC, ABD, ACD, BCD, 
la courbe jiourra se representer par les t'quations-) 
ar : y : ^ : «' = W* : w-* : tu : 1. 
Elle se trouve sur l'hyperbfiloule x m; — t/z=^0 et sur la surface (reglce)»« 
X s^ — loy'"' = ü L'equatiou gt-nerale du plan oscubtteur etant ^^ 

X — 2 üi y + 2 w' ;f — üi*tc = 0, ^^ 

la courbe correspond ii sa developpable osculatrice par rapport ä iin NuU — 
stfStf'tn, qui est la source de ses plus beilee proprietes. 

Lc travail de Crkmona sur les quartiques gauches unicursales [28] ava 
ete diijii lu il l'institut de Bologne, mais, non encore imprime, lorsque, le 3 juia 
1861, M. CiiAShK.s exposa k l'academie des sciences de Paris diverses Pro- 
pricfis de l'hyix-rholoidc ä xine napp>- cl d'iitie ccrtaine surface du 4' ordrr.^) 
La lecture de ce travail prouva tout de suite ä Cremona qne bon nombre 



1) Ol* (t apecial aextie dtveloppabh ^Quftrt. journ. of matbem. 7, ISße, 
p 105-113). 

2) Getto remarquable repr^sentation parsmetrique n'öchnppa pas ü Cavi.kv, qui 
prefeis la prusenter soub rette forme: 

n = 2, fc = - «, c — <», rf = - 2t*. 

3) Compteg rendu« Tariii ii, p. 1904-1104. 





Luigi Creinona et 8ou ceuvre mathematique. 



167 



proprietcB qu'il avait reconnues ii ces (|uartique8 etaient des cas 
particuliers de proprietes dont jouissent deux classes de courbes apparte- 
naat » tin hyperboloiiJe (voir [30|)')- L^ne dp i.'pb clivsHes avait öte dejii 
reiuarquee par (.'haslks; eile couiprend den Cdurbes de Tordre 2tH-\- 1 
iBgendrees chacune par trois faisceaux projfi'tifs i'oruii'8 deux par des plans 
et Je troisi&me par des surfaces de l'ordrp ni ; les theoreraes que Cremona 
eiion<;.a ä leiir sujet ont fruit aiix relations de ces cmirbes aveii les 
generatrices de Thj-pcrboloirii- qui les contient, ä leurs caractöristiqiieB 
et a lears projections planes. (Ihaque courbe de Tautre de ces classes 
est engendri'e par trois faisceaux de jdans, dout deiix sollt projfctifs entre 
eux et le troisieme est forme par les grcnipes d'une invnlutiou de Tordre m 
projective aux deiix premiers f'uisceaiix. La courlte resultaiite est de l'ordre 
n» + 2 (pour ni = I i-'est iine cubique gauehe et si w = 2 une quartique 
de 2" espece), dont Cukmona dtVonvrit iine foule ile belles pnqiriptt-s, 
dont quelques unes prouvent fiu'une (piflconqiH' des courlies eu ((uestion 
est la figure comHative d'iine certaine din-eloppable dejii etudiee psir 
'-'ayi.KV-) et Salmon'') et qu'en coiisi'qtienco son i't|uation tangentielle a 
^piir premier membre le discriniiniint de la fonction 
P" af^ + ^-i- {m + 2)f)t"'-^ + . . .. 

(I, h, . . . etant des fonctions Itneaires des coordoimees boiiiogi'ues d'uii 
^iüt de I'espace. 

9. Recherohes de Cremona 8ur quelques surfaces algebriques spöciales. 

ün gronpe non uioins reniartjuable de nn-itioires siir des siirfarea 
algebriques particulieres fait pendant ii r«>nsi.-inlde dos rucbercbes qui? iious 
»"Vorn« analysees tlans le paragraphe precedent. 

Les plus anciennes se trouvent dans un memoire [27 1 ayant coninie 
piiiicipal fondenient ce principe de correspoudanee spik'ial (entre les points 
*'uni' droite et les couples de puiuts (ruiie iiivolutiou quadratique pro- 
jektive) que CllASLES cnom.'a et appliqiia dans sa note sur la CotistrucHon 
S^*-'otnt'lriqne drs racines des äputlions du hoisicmc et du quatriime de<jre*); 
'* "enible fournir le nioyen le plus naturel pour etudier les surfaces regleea 
"** 3' degre, qui sont precisenient le sujet de ce memoire. On y apjirend 
••»fförcnts procedes pour determiner et engendrer nne de ces surfaces, 
''uaieuTB thöoremcs relatifs h leurs directrices, leurs points et leurs jdans 

-^ V) Co trsvail, qui ne renforme que de» enoncee, a eu l'houneur d'rtre cite par 

'^■*»tjx (laus son JUipyorl (p, 249). 

2) NoU nur hs hypenliterminanls (Jotirn. für Hathom. 24, 1847); On the 
topahh derired front an equation of thi: fifth order (Cambridge and [>ublia 
*thcm journ 5, 1850). 

Cainbrid);e and Dublin mathem. juorn. 3, p. 169 et 5, p. 152. 
4) Comptes rendus Pari« 41, 1855, p. 677 — 685. 




158 



le 
tre4 



etupidaux, le« pUns tangents et Im sectioDfl planes, etc. Citons encor«! 
besä tbeoreme auirant: ^Le lien des pölee d'ane gieiieratrice g d'one Burface'^ 
ganche da 3* degre par rapport am od' coniqoes saiTant lesquellee <P 
est coapee par des plana pa«sant par g est ane droite h, ayant comme 
iiea geometriqne ane surface V de la meme espece qoe 0". Notre geometre 
ne manqae pas de signaler la forme generale [y (x* + kw^} — xsk^O] 
k laqnelle peat tonjoors se redoire l'^oation de toote sor&ce cabique 
r^plee; et il obserre qae, loreqne les points cuspidaax sont reels, eile pent 
se representer par l'eqnation x^e — yir*=0; alors r*/-|-5M* = est, 
reqoation tangentielle de la surface !P correspondante; d'oü il soit «{ue 
est la surface polaire reciproqae de par rapport ä la qnadrique 
x' + y' + ß^ + Mj» = 0'). 

Cayiet, aa reru d'un extrait de ce trarail, se häta d'arertir Cremknj 
(lettre du 12juin 1861) qu'il eriste une surface cubique particuliere 
remarqnable, naissant de Celle etndiee par notre mathematicien en faisant 
comcider la droite directrice simple avec la directrice double, et qu'on peut 
engendrer d'une maniere tres simple. Cela engagea Cremoxa ä reprendre 
l'etude de ses surfaces [40] pour trouver avant tout des procedes de gäieration 
des surfaces generales conserrant un sens determine dans le cas porticuüer 
decouTert par CArLEY, pour etablir ensuite des propositions metriques relatives 
aux surfaces reglees da S* ordre. P. ex. il prouva qae, parmi les coniques 
qai se trouTent sur une teile surface, Q j a trois cerdes, et qae par chaqne 
generatrice de la surface on peut mener trois plans qai la coupent encore 
Buivant une hvperbole equilatere et deux qni la coupent soirant une parabole: 
il ne manqaa pas d'examiner encore comment il faat enoncer cee proprietes 
lorsqu'on distingiie les cas oü la surface a 2, 1 ou points cuspidaux reeb^Aj 
ou bien qaand eUe a des relations particulii-res avec le plan ä l'infini*)." 

£n raison de leur sujet et ausst de la methode emplojee. aux deux 
memoires que nous renons d'analyser sont etroitement lies deux autres travaux 
d'une date un peu plus recente. Le premier est une courte not-e [77] avant poni^l 
but de developper la tbeorie des surfaces rt'glees d'un degre quelconque ayan^^ 
deux directrices rectiügnes coincidentes, que Cayuiv venait alors de signaler*} 



1) ün d« cet r6saltoti a iü tH4 atec dogM par Bektuixp dans «on arüele 
Etüde de» rurfaen algibrifues ins&r^ au Jouroal d»« ■•vant* et raprodnit au t. Ij 
(1868) de« XouTelles annales de mathtfmatique«. 

2) Le« m^moiiet [27] et [40] ont iü amplement utUis^ par uu disciplo de 
Crkmoka, Ehii. Wktb, lonqu'il «• piopoM d'öi-;ire une «xpositioii methodique de U 
Ui^orie des lorfaces cabique« n^l^; Totr OtomrMt itr rikmUidten Erteugnistt 
ein-cweidfiüiger Gcbtldt iHtbetomdtrt dir Rtp^/UAt iritHr Qrimm ng (Leipzig 1870). 

3) Voir l'Art. 12 de A Becond meuu>ir oh dtt» mtf^cm ttm uü e scrotts (Phile 
trän«. London 154, 1864). 



I 




Luigi Crumuna et aou a<uvro matliümatiqiio, 



169 



eFnont la snrface reglee du 3" degre de Caylky est im cas tont particulier: 

CiiKMitXA en d^couvrit hon nombre de proprietes elegantes que le desir d't-tre 

bref nooB empeche d'enoncer ici. — Le second est un long memoire [81 1 qui 

est saus doute un des plus celebres parmi ceux de la plume fecoade de notre 

ra^tre'). Son but est IVtude et la Classification des surfuces reglees du 

degre, sujet dont liniportance est evidente et qui avait dejii occupe deiLx 

grands geometres: Chasles et Catlky; le premier avait dit^) (eanB toutefois 

le prouver) qu'il existe quatorte especes differentes de surfaces reglees du 

4'' ordre, tandis que le second n'en avait rencontre que huit au cours de ces 

recherches sur le lieu des cd' droitea qui s'appuient en menie temps ä trois 

directrices fixes (düferentes ou non) ^), et denx autres surfaces avaient ete 

ajoutees par lui a la snite de quelques remarques de Schwakz*). Or 

(.'kemoxa, ä l'aide de considerations geomütriques directes et simples et 

en choisissant comme crit<>re de classificiition la considerution simultanee 

de la ligne double de la surface et de sa develuppable bitangente, trouva 

douze espiKies differentes"''), et decouvrit pour chucime les proprietes les 

plus saisissantes et les principales methodes de generation. L'liistoire de la 

geom^trie dans ces demieres trente-cinci amiees prouve que cette dassi- 

fication de Ckemona est toujours adoptee; eile a ete utilisee meme par les 

constructeuTS de modeles, qui dureut seulement ajouter des sous-especes, en 

introduisant la consideration indispensable des elements reels et imaginaires.") 

On peut d'ailleurs remarquer que notre matbematicien s'etait dejä 

occnpe de surfaces reglees du 4° degre, et precisement de developpables, 

*n i'herchunt et en trouvant [68] des deiiionstrations geometriques de 

'lielques propositions relatives aux surfaces d'egale pente circonscrites 

""ix coniques; les denionstrations qu'on en lit dans la l''"* edition du Traue 

"'- giomitrie d^scriptive de La Guuunkiuk sont analytiques, et ce geometre, 

*JwiiB une lettre publiee au cahier de decembre 1864 du Journal de 

■'•«thematiques pures et appliquees, avait emis le vavu qu'on en 

"^Qvät de geometriques. Or Cremona, en considerant une des surfaces 

***>t il s'agit comme circonscrite u une conique ä distance finie et ä une 



, 1) Lm principnux resultats do cc travoil torcnt commuaiques h Qsth&t par 

•*tent en date du 22 uorembre 1868; royez CArLKv, Collected jiapers t. 6, p. 327. 
2/ Comptes ren<1ag I'aris 53, 1861, p. 888. 

3) A itecond memoir on akcw au r face» otherwUe scrolls (Phiios. trana. 
*»«»don lo4, 1864) 

4) Ä third memoir on skew »iirfaces otlwncise scrolls (I'hilos. trans. London 
• 186»). 

5) Ce r^gultat, commtuiique i'i Cavlky par iiiie lettre ilo Ckkmuna du 20 uovcmbre 1868, 
oiti- dana nne Addition au m^moiio dont Iv titro 8e trouve daiiB lu note prüctSdente. 

B) K. Uoinc, Die vrrnchiedenen Arten der Beydflächen 4. Ordnung (,Mathem. 
*» «». «», 1887), 



»» 



160 



GiHO \jauLk. 



I 



antre bitangPDt« au ewcle imaginaire ä l'infini. parvint ä ces «iemonstrafio 
d'ime maniere qui eat la coniplete upprobation de L.A (ioiKX'KKiE'). 

Une annee anpararant il s'^tait dejä occupe arec stlcc^s [58] de 
plua remarq nable parmi les surfaces du 4* degre non regleee, c'est-ä-dire de 
warface („romain<?"l de Stkixer. On sail qne KrMMER fit en juillet 1863 um 
coromanication ä lacademie des Boiences de Berlin, oü cette eurface apparait 
comme le demier element de la serie de surfac«« do 4* ordre dont ehacane 
renferme <x* sections coniqnes; on sait encore que Weikkstka.S-S se häta de 
d»k-larer qne cette Burface avait et<* decouverte auparaviuit par Steixeu pen- 
dant 8on Tovage a Rome en 1 844, et S« HB« »tek demontra bientöt les pro- 
positions relatives decourertes par Steixek et pabliees par Weieusthass. 
Or troifl mois apres, Ckemoxa eeriTit snr le meme sujet un memoire^') qui 
peut servir encore k present comme base ä une eiposition sjuthetiqae des 
proprietefl de la sorface dont il s'agit et qoi contient ansai plusieors belies 
propriet«'8 de celle-ci (|ni a^-aient echappees .lUX geometres cites ci-dessiut^l 
Mais la propriete dont eile jouit, de pouroir etre representee uniroquemei^B 
Bur le plan, en foamissant la methode la plus naturelle et lu plus feconde 
pour l'etudier i fond, fit negliger la methode pnrement geomt'tri(|ue employee 
par notre mathematicien; il est bon de reniarqner qn'U ne fiit pas etranger 
(Toir [72]^ ä ce result;»t. en foamissant dans cette occasion la plus bell e 
preuve qu'il n'etait pas un geomctre exclnsif et du rues etroites. ^M 

Nous finirons cette revue des recherches que Ckemoxa fit k Bologne 
8ur des snrfiices particulii'res en disant quelques niots sur ses etudes 
relatives aux sur&ces developpables du 5* degre [37]. La derelopj).ible 
circonscrit« k deux snrfaces du second ordre est en general de la 4* classfr- 
et du 8* ordre; mais son ordre s'abaisse ii 6, lorsque les deux surfaces onk^ 
entre elles un eontju-t ordinaire en tin point, et ü 5, lorsque ce contact ests- 
stationnaire. L'6quation de la developpable a etc obtenue par Cayley en^ 
1850 diuis tous les cns'); d'nilleurs (^UASLKs dans son travail Projtrutc^- 
des coMrh'S ii douhlr courbure du 4' ordre provcnant de t inUrsection d^ 
deux surfareg du srroHd ordrr*) i^non^A plusieurs theoremes snr la deve- 
loppable generale: or o'ost prcoisemcnt ce nieuioire qui deeida Oremona 
k s'occuper des jdus particuliers de ces deux «is. La developpable es< 
alors ccirreliitivo k son iirröl de rebroussi'uu'ut , et (d'aprt« une remarque 
de CAYIJ-n), ello possi'd© un t»«tmi>dn> AliVJ) reuinrquable, dont les facee 
ACD, BCD et les nri-tes AD, />(' sont n^pectivement deux plan» 
tangentes «t deux gönöratrioo». Si Ton nppelU» conjugm'i^<( deux generatrices 

1) Vojw U «• a. du IVa»«^ rf« filowAriv 4tmipU>t, a^ Partie (.Pari» 1830), p 121 notc 
d) Chasuh en pari« ilan« «ou /i>Vi|>fi(irl (>. UM, 

S"! On th» derehfHttJf tmfacn »ht<h ttrm fnmi («ro ntrfaees of (he ateond ordtr 
(Combridgo and Duliliu matheiu joiir» A, ISAO, p. 46—57). 
4) Comptet rendu« Parii ftl, I8«)i, p. SI7-334, 4IS-48&. 




Lnigi Crotnona (>t t(m 



161 



Je In d^veloiipaMe siiue«« diins ie meme plan, conjugues leurs poiiits de 

contact avec l'arete de rebroussement et conjugues encore les j)lans 

correspondaoiB de la developjiuble, Chkmona fait la remarque tttut-ü-fait 

emMOitielle qne deux figure» formees par des elements conjugues se 

correspoiident dans une honiologie harmonique dont C est le centre et 

vi JJD le plan, et qui donne l'explication des nombreuses et belles 

proprieteB dont jonit la figure en question. Par deux generatrices con- 

ju^ti^es de cette d^veloppable passent deux surfaces du second ordre 

(associees) dont l'une est inscrite dans la d(5vcloppable, tandis qua l'autre 

passe par sou arete de rebroussement; deux quadriques assories quel- 

conques ont une coniqne commune (dont le plan passe par la droite BC) 

et sont inscrites dans le möme cone du second ordre (dont le sooiraet se 

tronre pur la droite ÄD)\ le lieu de toutes ces coniques est une surface 

du 3' ordre et de la 4* classe, tandis que l'enveloppe de tons ces cönes 

«»t une surface (de Stkiner) de 4* ordre et de 3* classe; etc. Toutes 

ces elegantes propositions ne fnrent qu'enonct'es par CkKiMona; les demon- 

stn^tions en furent bientöt donnt-es par deux geometree qui etaient alora 

«a dfl)ut de leur carri^re scientifique: N. Salvatoke-Dino') et E. d'Ovidio') 

1p Premier en employant l'analyse et l'autre en generalisant les procedf-s 

logiques utilises par (.'kemona dans une autre occasion (voir [28]). II est 

boD d'ajouter que des recherciies accomplies par Schwakz en juin 1864'') 

ODt prouve que la surface etudiee par CßEMONA, au point de vue projectif, 

«Bt la pluB generale developpable du 5" ordre. 

10. Bechercbes de Cremona sur la throne generale des surfaces 
algöbriques et particulierement sur celle du 3° ordre. 

Le monde, qui regulierement exige d'autant plus qu'ü u re<;u 
*®*Handait que l'auteur de l'Introdusione ad una teoria yeometrica dcüe 
^•"t^e piane ecrivit un ouvrage analogne sur la theorie des surfaces 
*^^6brique8; les travaux que nous avons analyses dans les deux paragraphes 
P'^^dents le montraient admirablement prepare pour satisfaire les vtfux 
® 8es rollegues; mais pour le decider ä entreprendre cet ouvrage, il fallait 
**^<' occAsion qui, heureusement, ne se fit pas attendre longfcemps. 

L'academie de Berlin, dans sa seance du 7 juillet 1864, proposa 

*^*»inie sujet de concours pour le prix Steisek de l'annee 186(), de 

^«üontrer et de completer les propositions enoncees par le grand geomütre 

Ij Sulla tviluppabiU di 5' ordine (Giorn. di mBtein. 8, 1865). 
2) Dimostratione di alcuni teoretni mlta niperficie seHuppaltile di &o ordine 
a(i dal prof. Chkuuki (Giorn. di nialem. 3, 186.5'i. 
u) De miKTticitbwi in planum explicubitibuii primorum Septem orditwm (Journ. für 



M^ 



thom. «4, 1865, p. 1 — 1 (>) 
fiüiUolkeeit Miktiiemalicu. 111. Folg». V. 



U 



162 



Gno La«u. 



Über 



drittet» 




gom jaai nn e^lMire memoire 
Cbkvoxa m sentit attire a s'aligi 

de cfaercher simplemeDt ä demontrer Im theortnee d« Steiner, soirant le 
ordre d'idees que celui-«i arait adopte, Q prefen les faire d^coaler 
des eas particaliCT« de r«ax qni formeot la theorie generale de» gi 
faoM alg^briqoea, comptant qa'ainsi ü anrait pu ansn obtenir d'one manli* 
uniforme lee aotres propositions rar lea mtaies auib t m qa'avaient d^ouTi 
anparaTant Catlet, Salmox. Stlvesteb, ScmJFXi, Gbassmaxn, Alis 
BsioflCHi et Clebsch. Le Mtmohrt de geimulrie pmrt tmr les surfaces 
troisit-me ordre, quü presenta arant le 1* nan 1866 ä ce concoun 
qae racademie de Berlin jagea digne (eomme eelni presente par R. S' 
da prix, est redig^ precisement snr ce plan. „Sie gründet nämlich (dit le 
rapportear KniMEH) die Theorie der kubischen Flät-hen auf eine roraos-j 
geschickte an^führiiche Untersachnng über die allgemeinen Eigensehatl 
der Flächen aUer Clrade. Die STEDiKKschen Sitze ergeben sich anf dieeei 
Wege sämtlich als spezielle Fälle allgemeiner Theoreme und es tritt eben 
destr^en die wahre Bedeutung derselben um so klarer herror. Auch hat 
aich der Ver&aeer nicht darauf beschränkt, die von Steineb and anderen 
Geometem aufgestellten Sätze über die Flächen dritten (trades %a hegrOndeiLH 
sondern hat mehrere wertrolle hinzugefügt, die er selbst gefunden hat-'^'^^B 

Or cee chapitree d'introdnction du Memoire de Cu£Mi>na furent le 
germe et le novau dee Ptdimimari di mna ttoria geometrica dHle ^«per/ictdl 
[74], qoi. tradoits en allemand par M. Cl'RTZE arec le dit Mrnioire, et 
enrichis de nombreosee additions de l'autear, forment encore ä präsent le 






1 



V Voi«) IVnoQCvf complet de la qnaaüm de roneoort: ,Id einer in d( 
Uonatsber. der Akademie Tom Jahre 1856, aowie dem it. Band de« Citsij.ssch< 
Jonrn. TerOffentlirbtea Abbaadlong bat Stshsb eine Reihe tob Fandamen taleigen — 
•ekaften der Fl&rhen dritton Grade* mit^ieilt, und daduieh den Giund zu einec 
niim*ometri«ohen Theorie drnelbeu Kelesrt l>ie Akadeaüe wünecht, daS diese aus— 
g«aetnhiitt« Arbeil de« groBen «.ieumeten nach ayathatiaebar Mathode weites atiagefnhxfc 
oad ia «initjeu weaentliehea i^lBklen Terrolltttadigt «wde. Daau würde ee znnächsi 
uotweudi); «ein, auenrt die ^rtStaataib nur an^edeateten oder gar fehlenden Beweise 
der aufKtMlelltea HauptaaiM tu gebaa; dann abeir mOBle die Unteranchnng auch auf 
die von Sikinkm nicht bwOektiobti^itMi FUle, in denen die aur geometrischen Kod- 
ttnkUOB dar !u Ua«ie •tebaoden VMchen dienend«« Klemeate tarn Teil imagin&r «ind, 
antgwWuit ^mtdau. AuOer\lem i«t ein» gviukue iltaiakteriaMnmg der ferschiedeneD 
Qattungaa fou itauuikuneu, in welcKiku a^^loh» Kllcban sieb aebaeiden können, rwat 
aioht uauatgtagUob erftiLrderlioh, wttrda ab«< vuu dar Akadaaue ab eine wichtige (Ir- 
gftnauag dar Sm ai a ch aa Thewrie batnabtat «aidwi*. 

2^ Monaleberiehte der Akad d, Witt in Rerlia, Sitaong 5. Juli 1866. 
Voir auati l'aTaut i<rv<|>i>« de lUm« »kh^m «u % ttS de ttm Jouraai. Ajoutons ici que 
le prix Siaixaa M do»»«u tuW)*W«u»Mt i^ Caaaviu USjuitle« 1874 .als Anerkennung 
rar ««iue au*g««eichue(eu u^MueUU^hatt Atb»tt«u* 




Uwgi Cremons et Botj cexxrre msthdraatique. 



168 



meillenr livre de texte pour l'^tnde geom^trique des surfaces algebriques; 
cette traduction*) noas apparait en eonsequence comme uue edition di'finitive 
dea Preliniinari, et merite ainsi detre choisie pur nous comme liaso de 
la courte analyse que nous allons en faire. 

Les Grundeiige comprennent trois parties divisees reapectivement ea 
huit, dix et sept chupitres. Comme diins Vhttrodueione, raiiteiir j etudie 
exclusivement les proprietes projectives des figures considerees; les raisonne- 
ments sont exposes boub forme geometriqne, mais au fond de toute la 
theorie il n'est pas difficile d'apercevoir des considerations algebriques, 
qn'on reconnait particulierement dans les freqnentes (et trce ingenieuses) 
applications du principe de la conservution du nombre. 

Dans la 1* partie, apres avoir etendu aux eönes les theoremes siir les 
courbes planes, Cukmuna s'occnpe de eourbes ä double courbure pour 
parvenir aux celi'bres Ibrmules de Caylky. U passe ensuite u l'expoae des 
propositions essentielles de la theorie des surfaces-) et, apres les avoir appli- 
qnees aux quadriqnes, il traite des sj-stemes lineairea de surfaces algi-briques; 
puifi, faisant des applications on ne pout plus heureuses de l'iuduction com- 
plete, il offre des exemples extremement instruetüs d'un procrde que les 
adeptes de la geometrie ä n dimensions ont utilisö, en le generalisant. II n'est 
Hon plus permis d'ouWier le splendide chapitre qui traite des surfaces reglees, 
car il Rontient cette methode stereometrique pour etablir le theori'me de 
liiKMAXN Bur la conservation du genre d'une courbe par transformations 
rationnelleB qui a provoque et excite toujours une admiration enthousiaste ^). 
La 2* partie des Grtmdzügc s'ouvre par une exposition de lu theorie 
lies surfaces polaires des points de l'espace par rajiport & une surface 
äUg^brique, ä laquelle, dans ces demiers trente ans, on n'a bu faire aucun 
changeinent substantiel; en introduisant rhy]>otht'se que la surface fonda- 
oimtale soit developpable, (Jkkmona, protitiint de conseüs que lui avaient 

1) Grumlzüije der aUgemeinen Theorie der Obtrflächen in syntheiischer Behandlunff. 
•^M dem Italienischen, unter Mitwirkung des Vcr/'ansers ins Deutsche überlrageti von 
*■ (-VsKt. Berlin 1870. 

8) Une additiOD ä cet expoa^ ee trouve dans le theor^me suivant: „Si deux 
'""'»««a ont en commun le point P, qui aoit ri-ple poui l'une d'ellea et ro-ple 
ponr lautre, la courbe oü elles se coupent aura en P la multiplioite r\ r-i et ce point 

ptodoif, dang le genre de P une diminution de ^ rii-2(ri-|- ra — 2) unites". Daet^ 

""onc^ par Cbemoni et prouT^ par N. SAt-vATOBE-Dmo dans sa note Sul genere delle 
tgobbe (Rend. dell' acc. d. sc. di Napoli 18, 1875, p. 133—136^. 
3) M. F. LisDK>\.\>ts l'a reproduite dans son edition des Vorlesuiujen iiber Oeumeirie 
•*• ■4, Cutasrii ^Leipzig 18761, p. 683; on sait qne le raiBonnement de Crkmoka, 
•OBTeniblement prt^scnt^, conduit ii une rormule plus generale; voir Wki.-*», Über einen 
^««j der Zki rusxschen Ventllgeweinerung des Satzes der Erhaltung des Geschlechtes 
lM»th«m. Ann. 29, 1887). 

II» 



Catlet ') et Zbtthix, psrriat • p wjit er ■■0 
EotBa gniafiiinBiii U ^•eeafe 
^ WBtmom JgfitfinM ot 4m figvc« fa'üi 
de« f o p o wtiw qaH expoM ^aäeot eoaaBM 





iplcxea synitriqnes porte 
I paaft £rB de aotre geometn 
■e k nopMn jaraais. Les 
(dteMUBalims introdoites 
«wrolkÜT— ; aaü notie 
il Ito— idfii eomme 



ee f^oaljt d^ k <Aapi«ra mtitele C«i 
b ■iiqiiii iTmmt ongnaütf ■ iiliwmlihh qs'a 
qsH l'a attdate oi d") 
wuui irtw dca 

y'ioMiln Im expow toot aa long, ear stk 
Im Wkb de tonte Aeorie da 

Eb pMÜealMiMMt om propM^MM, Cssnox^ daas la 3* paiiie des 
Qnmitmge^ mnrn k la ta od aaai i qae, povr diaqae anfMc dn 3* ordre, 
tl ea eziste nne dn 4* , dooee de dix poiate doablM et d'im ^gal nombre 
de droitH, oA ae nipeipoead rHeaacuM et la Stwiafriwiiwi; «■ etadiant 
aree aoiB eette avifwe, fl parrieat aa pcnkedre de STi.VE9rEK, tandis 
qa'ea appliqaaat d'aatzes tli^or^aM fjfmfnxn, fl arrire anx 27 droites et 
am 45 plane tritaagent» et aoi proprietw de la configoratioB qoe forment 
«M fleBMBla. — ün g e u m eti e tel qoe Cbkmosa derait pnadre un interet 
partiealier asx diff&enta pioced fc de g£n£rata«o dSme aarCMe da 3' ordre. 
et ea eflet fl fit connaitre les plus remarqoablM et ka plus utüee; mais 
BOT l'on d'eox (gteätation de Orasümaxn par trois gcrbM projectives dc^ 
plans) il s'arr^ a a o e a longtemps, car condait ä me lepraaentation d'une' 
enrface cobiqoe snr le plan, dont ont peat tirer toate k g<eometrie sur 
oette sor&ee: Ckehon'a £usait ainai les premiera pas sor nne route qaij 
deTait le condaire plus tard ik des pava inooiiBaB arant loi (roir § 12). 
Et poor epoiwx le programme traee par TaeadäBie de Berlin, il clöt wn n 
magistral travafl en traitant an ordre de qaaatioaa dont fl ne s'etait presqa^l 
pas ocrope anpaiaTant; ü s'agit de la claasifioBtüm dM suzfäces da 3* ordre 
rfellee et g^eialee (c'eet-a-dire qu'on peat tvprfMnta- analytiquemeat par 
dea ^aations a ooefficients reels^; en s'appuyant sar une des gen^rations 
eonnaea, U arrire a la diTision de ces 8urfiM«s ea cinq gnmdes classes 
qae SchlIfu*) arait d^jä trouT^ ä l'aide du oaloal^ 




(Pkilos. trana 



1) Comp. CcüeeM maäk n m t iem l f»ftn i S P^ 7^ «t S7. 

2) Ontkt ii it rih^tHom «f m$rfinu «f Ik iWrd «ntir iala^ 
London lU, 1868). 

31 Dana aoa memoire eonrMut« et daaa lai Pnü m im m i i Osaaiu ne considenfl 
qoe dM lurfaees du S« ordx« loul-MWil s4a4lia)w. Mai* imm aa* ante« oeeaeion |90] ^ 
fl cits de« CM parüculier* qn'oa obtiani «n miipoaMl ^«"u o« ptnnaan de« 45 
triangles form«» par det dnuHa d» la «ttrlWoe M rMaiMat 4 «a point Oi on nit 



Lttigi Cremona et Bon renvre matb^matiqne. 



166 



Cremona B'occnpa encore de surfaces du 3* ordre apres la ]Hil>b'oati<>n 
de 8011 memoire couronne, aingi (jue nons aUons voir. En 1870 ruinentj ä 
cette etude par sa collaboration ä la traduction allemande des Preliminari 
et probablement attire par les nnuveaux points de vue signales par Camillk 
Jordan en appliquant la theorio des substitutious'), il chercha un pendant 
geom^triqae complet aux reaiiltats de reminent geomi'tre fr.an9ai8, et il 
parrint ainsi [85] a an groupe extremement interessant de proprietes de 
k configuration formee ptir U'S droites d'iinp siirface generale du 3" ordre ^). 
Püur etablir leur valeur, il Put'Kra de dire fjue de ces recherches il conclut: 

1) la possibilite de repartir ces droites dans les 18 plans d'nne des 
40 temes de triedres conjugues; 

2) la notion d'enneaedre, groupe de 9 plans tritangents contenant 
toutes les droites de la surface; 

r3) la necessite de distinguer deux especes d'enneat'dres et la deter- 
mination des nombres (40 et 160) des enneaüdres de chaque espece; 
4) la decouverte des 40 quatemes d'Lexui'dree. 
n est bon d'^outer qu'avec ces recherches CltEMONA a trace les 
f*Temieres lignes d'une belle theorie, dont nous sommes redevahles ä un de 
^«8 eleves les plus (listingues, M. E. Bkutini ''). 

A M. Vebonksk revient le nierite d'avoir, par ses recherches sur Vhexa- 

'f^0rammt4m niysticutn, ponssö Cbkmona, sept ans apres, ä s'occnper de surfaces 

*:!nbique8 (voir [106]; comp. [105]); le resultat auquel il purvint couronne 

V»ien dignement trois lustres de travall fecond! Le but que notre geometre 

ee proposa etait de decouvir une voie pour arriver, en traversant l'espace 

«rdinaire, aux theoremes deeouverts directement pur Vekonese, et il la 

irouva dans la considerntion d'une surface du 3* ordre dnu«^e d'un point 

double et des droites qu'elle renferme'). Mais il dut reconnaitre bientöt 

que si cette consideration est Traiinent indispensable lorsqu'il s'agit d etublir 

pur la geometrie de l'espace les prnprietes de Thexagramme de Pascal, 

lee theoremes etablis en sont tout a fait independants, car ils ne presup- 



f que le ms ou cette circonstance ee piesent« le plus grand nombro de foie, a 6i6 
i lii-convert pen apres par CLiäii8<'u (voir S 1(5 du memoire Über die Anwendung der 
jniidratischen SubDtUiition etc.; Matkem. Ann. 4^ 1871), tandis que Kikaicdt a traitö 
l plus tard muthodiquement les autres cae {Über diejenigen Lläclten dritten Grades etc.; 
I Mithem. Ann. 10, 1876). 

^^L I) Voir le grand Traile des Substitut ions et des iquations algrbriques (Paris 1870). 
^V 2) Jou>Aij le cite (.Comptes rendua Paris, eeance du 14 fi^vrier 1870). 

3) Contribu^one alla teoria delle 37 rette e dei 46 piani tritangettti d'una superßcie 
^SOordine (Anaali di niatem ISj' 1884, p. 801—346). 

4) Cette methode eomble aeuez naturelle poox expliquer qu'elle ait (te retrouT^ 
'Pt*^; voir Un iijiosn, A symmetrical System of equations etc. (Quart, journ. of 
■»tbm. 28, 1888). 



160 ^^^^^^^^P Garn ^B^^^^^^^^^^^^^l 

posent que rexistence d'un sjsteme de 15 plana et de 15 droites; or ces 
plans forment 6 peutaiedres et 20 triedres, par couples conjugaes, dont 
les Bommets se troarent par quatemes sur 15 droites; ces sommete et 
cefl droites composent iin hexaedre qui represente le noyau de toute la figure 
et dont les faces sunt eoordonnees ä ces pentaedres. Ckuiona ajoutu la 
reniarque importante que cette figore se präsente chaque fois qu'on a 
15 droites situees en 15 plane; par consequence eile se presente 36 fois 
dans toute surfaee cubique genenüe; d'oü il conclut l'existence de 36 
hexaedres dans ehaque surfaee du 3* ordre (voir aussi [107 J); ces hexaedres 
sppartiennent & one serie infinie dejä consideree par M. Reyk^), mais 
ils n'avaient pas ete signales auparavant. Parmi les consequences qu'on 
peut en tirer remarquons seulement cette belle construction du pentai'dre 
d'une surfaee du 3° ordre: „considerons deux hexaedres quelcunques et Ib«^ 
deox dereloppables de la 3' classe (et du 4' ordre) d^termines par leurs 
faces; ils ont cinq plans tangents communs, qui forment precisement Uh 
pentaedre de Sylve.stek de la surfaee'". V 

IL Cremona professeor de geometrie descriptive et de geometne m 

analytique. V 

A partir de 1861 et pendant six annees, Creuona occupa aussi dans 
l'unirersite de Bologne (presque toujours comme charge de cours) 
chaire de geometrie descriptive. Le plan, suirant lequel U dirigea se 
le9on8 est'^) celui entreru dejä par Bellavitis') et que M. FikulkbI 
a depuis developpe completement; il consiste ä introduire et appliquer 
largement dans l'etude de la geometrie descriptive les idees fondamentaleaS 
de la geometrie moderne. D'ailleurs l'examen attentif du cours quil a" 
fait pendant l'anuee scolaire 1864 — 1865 ■*) prouve qu'il pensait bien 
ä raison qn'un cours de geometrie descriptive thcorique devait comprendro 
toutes les methodes de representation connues (methode de Monge, per- 
spective, projections cötes, axonometrie) ; ü ajoutait aussi la theorie des 
ombres, Systeme que noas n'approuvons pas tout-ä-fait, en oonsiderant 
qn'elle forme plntöt un chapitre de la geometrie descriptive appltquce. 
Pour la perspective, il faut remarquer que, sous ce nom, notre geometre 
embrassait le corps de doctrine base sur l'ouvrage celebre de Bbook 
TAYI.OR, qu'il rajeunit en y introduisant bon nombre d'idees de la 
geometrie moderne, et en en formaut aiusi un tout qui reasemble absolument 

1) Voir le no 15 du memoiie Otomttriteker'Bnctis de» SnrarxMSchen Sattes etc. 
(Joara. für Mathem. 78, 1874). 

2) Voyes l'aTant-propog dei Elemenli <?i gtometria prqjettita. ^| 

3) Lezioni di geometria descrittira (Padova 1851). ^" 

4) M. Bi>Ttxi qui Buivait ce oouxs, en nSdigw ua i^cum^ qa'il eut rextr^me 
Courtotsie de mettre ä ma diaposition. 



ms 

seflH 
kbV 




Lmgi Cremona et son oeune math^matiquc. 



167 



me'thode de la projection centrale de M. Fikui.kk. I'h petit travail 
Pseudonyme [69J — qu'il i-crivit pendant iju'il etuit ü la canipagne, chez 
son collegue Maoni, le celebre oculiste — foumit une Lndiscutable preave 
de ce qae nous venons de dire. 

Par arrete royal du 18 janvier 1863, Ckkmona tut nomrat' professeur 

de geometrie analytique et descriptive ä l'universite de Bulogne, niais 

bientOt apres (arrete du 8 avril 1863) il revenait ä sa chaire de geometrie 

Buperieure, tout en continuant bou enseignement de geometrie descriptive. 

(^e court sejour dans uue chaire de geometrie analytique nous foumit 

loccasion de mentionner quelques taravaux sur cette mutiere qui ne rentrent 

ilaus aucune autre categorie de notre cadre. Quelques - uns [42, 44] ne 

contiennent que l'enonee de problemes ou theoremes relatifs nux appli- 

catioiiB geometriques de la tht^orie des formes; leur valeur est prouvee 

par cela qu'un geometre tel quel Batiaouni ne dedaigna pas de les 

resoudre ou demontrer ') ; un autre [45 J contient im calcul tres simple 

ayant pour but d'etablir une t'ormule tout-it-fait elegante pour carrer un 

Segment de section conique, que Sylvestkk avait decouverte et que 

Salmos avait communiquue u uotre matbematicien par ime lettre du 

23 novembre 1863; le ciileul de C'kemoka eut rhoiineur de prendre place 

L ^luiB le plus celebre traite moderne de geometrie analytique elementaire*). 

^^m Comme ces pablications correspondent ä peu pres ii l'epoque oü 

^^Jkemona fut professeur de geometrie analytique, on pourrait croire que 

son interet pour cette brauche des mathematiques iut ne et mort en 

lui avec cette occupation ofticieUe. Rien de plus faux; on peut dire que 

cet interet dura toute sa vie. Pour s'en pereuader, le lectenr n'a qu'ä se 

rappeler quels fureut les travaux qu'il eerivit di's son arrivee k Cremone 

U^l- [^j. [5], [6], [7]); de cette ville est aussi datee une note [14] ayant 

poM but de trouver l'equation homogene de la sphere eirconscrite k im 

wtniedre, tandis qu a Milan il ecrivait un travail plus long [16] contenant 

••w demonstrations d'une rare elegance des thooremu's dounes par Chaslks 

•»"HS 8on Besume cCune tkeorie des coniques spheriques hotnoforMles^):, plus 

tard [t)2] ji ge proposa d'appliquer les coordoonees cartesiennes ä etablir 

"le l'ormule assez reniarquable de Manniikim. Dans les premiers jours 

o* Sa residence ä Bologne il eerivit — en debors d'un travail dont nous 

«Tüng J^j4 parle [21 J et d'une analyse e'logieuse du plus grand ouATage 

"'oactique de Rksse [31] — un autre [20] „coli' unico scopo di attirare 

'attcnzione di qualche benevole lettore su iina teoria che promette di 

l)Giorn. di matem. 1, 1863, p. 311—316, 870-378. 

2) Salmok-Fieuleb, AnalißUdve Geomttrie der Kegelschnitte, 6. Aufl. (Leipxig 
1), p, 743. 

3) Compteg readua Paria 60, 1860, p. 623—633. 



168 



GlKO LoBt4. 



pa6| 



eBsere fecondn quiiuto e f|upll.i df' luughi omofoc.ili, di cui la pr 
(lerivursi mediiintp In trastVirnia-/.ii)ne polare". Les premicres lignes 
nouvelle tlieorie ont ete tracee« par 0. TKKt^iiEM ^), mais c'est CtlASLE.s qui 
en Ibiirnit les elements les plus iuiportaiits^; eile a pour base la consi 
deration des couples de droites cnupant une conique suivant quatre point« 
d'iiij lu^me cercle, muis d faut reconnaitre qu'elle s'est montree bien mo 
iniportante quelle ne le paraissait ü bod debut. Ckkmona en donna ime 
belle exrposition i'li'iiu'ntaire; bornons-nous a signoler qu'on y trouve 1© 
Systeme de coorduanens, pour les droites d'un plan, correlatif ä celui d 
coordonnees elliptiques ordinaires. Une addition qu'on trouve dans an am 
travail [61 1, prouve qu'il continua ä s'occuper plua tard da meme sujet. 

Muis de tous les nii-nioires de geometrie analytique dus ä ('kemosa, 
I)' iiltis original et le plus important est le demier qu'il ecrivit a Bologne 
|7Sj; le lecteur reconnaitra que nous avons raison de penser ainsi en lisan 
IVnonPi' des tlR'oromes qu'il renferme, que voici: ,Soit 
F {x,y)=y''{ax- + 2bx-}-c) + 2y{a'x^ + 2b'x-\-c') + {a"x^ + 2b"x +&') 
= x2(a,v2+ 2a'y + «")-)-2x(6y2 + 2ft'y + 6") + (py'+2c'y + c"); 
X(x) et T(tf) soient les discriminants de F suivant qu'on la considere 
foinme foiiction de y ou de x- X et Y sont deux formes biquadratiques 
ayant les niemes invariaiits". 

Cette proposition est aujourd'hui bien connue par des travaux de 
MM. Oai'KLLI^) et Zkütiikn*); Cukmona declare qu'il ignore si quelqu'un l'a 
dec.ouverte avant lui et nous uuasi u'arons pu la trouver t^noncee dans aucune 
puldiuatioii initörieure it Tan 18ü7; jusqu'ii preuve contraire, nous la con- 
siderons en consequence comme iin theoreme de Oremona. Notre auteutfl 
dit qu'im pourrait la [irouver par un calcul direkte des invnriants des formes 

X (x) et y(t/); mais il en developpe une demoustration si belle qu'il faut 
que nous en donniuns ici une idee. Supposons, comme il est permis, 
c" = 0, F {x, y) = est alors l'e'quation d'une quartique passant par 
l'origine des coordomicos et ayant des points doubles a rinfini des axes; 
cluiugeant x, y respectivement en ■ , - , cette eourbe se transforme en 
mie (Tubique passant par ces memes points ä l'inlmi, et les equations 

X I I ^ 0, y I 1=0 reprösentent les quatraines des tangentes i cette 
nouvelle eourbe parallMes aux axes; or on sait que ces quatraines sont 
projectives, donc etc. 



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1) Sur lea lignet eot\joinies daH$ let coniftut (Jonrn. de mathdm. «t, 1838). 

2) Mimoire aur k« liffn«» eomjoMtUt dan» In eonignas (Journ. de matk*<m. 
1838, p. 385-434). 

8) Sopru la corrispondema (2^) etc. (Giorn. di matem. 17, 1879, p. 69). 
4) hidviciyon de diff^reni* th^rbme» g^mitriques dun iif\d imncijx (Proc. of the 
London mathetn. loo. 10, 1879, p. 196— 204^. 



i 






Qlgl 



emon» 



■on mxxfn mBtiismatiq ae 



^f 12, Cremona ä l'institut teohnique supörieur de Milan, 

F. BRloscm, qui depuis 1863 etait le chef de Tinstitut teclrnique 
stupprieur <le Milan, pensii en 1867 qu'il etait necessaire {l'introduire dans 
l'enseignement des fiiturs ingt'uieurB ces uitHhodeB graphicjucs qiie (A'I.MANN 
avait imaginees et que, aide par T. Reyk, il repandait de sa chaire au 
Pcilyt«cliiiicuiii de Zürich; et il lut sembla que personne en Italie ue 
coaveuait inieux que (.'itEMONA pour occuper cette place de Lataille'); en 
conscquence, sur sa proposition, par arrete miniBteriel du 16 octobre 1867, 
celui-ci fat charg^ (comandato) du cours de g^ometrie superieure a Milan 
(il ne re^ut que le 9 noveml»re 1872 le titre de profesppur ordinture). 
■Ä-insi tinit une nonvelle periode de la vie de notre niuthemutii'ifu, qui 
■kvait dar^ sept annees, et qui, du point de vue strictement math^matique, 
t^«t Sans doute la plus heureiiyement fecnnde de toute son exjstence.^) 

Le changenient de rcsidence de Bologne ä Milan exer^a une modifi- 
^Ätion radicale aar la direction generale des 'idees et des recherches 
«^ientifiques de Cremona. D'un cöte, son sejour dans un Institut ayant 
•*ii but professionnel et l'obligution oü il fut d'enseigner la statique 
i^i^phique, le conduisirent h des recherches ayunt trait ii des applications, 
out il s'^tait toujours tenu eloigne auparavant; d'ailleurs le contact 
*lUfjtidien avec le grand analyste quetait son ancien maitre Briosiui, 
entraina insensiblement ä abandonner la goumetrie du type de Chasles et 
""•"ElNEti, pour se toumer vers les niethodes plus algebriques, qui avaient 
*1ot8 Clebsch comme leur plus illustre et leur plus fecond protagoniste. 
Pour se former une idee dos concepta directeurs choisis par Ckkmona en 
**Ä«;ant le plan de son cours ä l'ecole polytechuique de Milan, on n'a qu'ä 
l>arcourir les lithographies qu'on en fit pour servir aux ^tudiants pendant les 

RUiees 1867 — 68 et 1868 — 69^). Ces deux redactions se trouvent en gen^ral 
accord; chacune est divisee en trois groupes de lec/ons, dont Tun comprend la 
9^omiirie de posiiion, le second le calcttl graphique et le troisieme la statique 
^^'f^phiqtie; mais, tandis que, pour les deux demiers, CuLMAXN est tonjours 
coBseille comme livre de texte, pour le premier Stait^t est indique une fois et 
Zkch une autre; enfin dans la redaction plus recente, les applications sont plus 
dtcTeloppees et nombreuses que dans la premiere.*) Or nouB allons prourer 

11 „L'Italik pab gloriaxsi d'svere, per la prima, data ospitalitä alle nnove idee, 
* coli' inaognamento e con pubblicazioni originali ed illagtrative. In breve volgere 
*l'Aaai la gcometria projettira e la Btatica grafica divennero tra noi materia di Btudio 
**^io»rio, ed oggi non vi ha piu alcuo ingegnere, laurcato dopo 1870, che non sia 

'oe de' metodi gratici." Voila comment e'exprimait notre math^maticien, ea tuars 
'« dans la pr^face ä La etatica grafica (Parte I, Hilano 1889; de M. Saviktii. 

2) Comparez en efiet la ÜBto ä la fin de notre article. 

3) C'eat ii l'obligeiuiee de ^1. Jrxo que je doig de les avoir pu examiner cliez moi. 

4) Comme cc conn e«t souvent cit<S (Toir p. ox. Jikq, Encyklop- der mathem. IKiä«., 




170 



Ono Losu. 




que poor chacnoe des trois partiee da cours professe ü Milan par CRSaMMI 
il existe des traces visibles des empreintes personnelles qu'ü y a la^^H 
En octobre 1874 le goavemement Italien imposa de nooreaas prM 
grammes poor renseignement des Institut« techniqnes (ObereRealschulenV, 
panni les noareautes introduites, remarquons celle (conseillee probablement 
par CuKMONA lui-meme) de la theorie des sections coniques basee sur les notioDS 
de rapport anhannoniqae et d'involution. Or poor cette nonTelle branclie 
d'instniction mutheniati((ae, il n'existait alors en Italie aucan livre de teit«": 
qoi mieux que Cuemo.na aoruit pu le rediger, mieox qae loi qai depais 

i. 4] : 3, p. 299, 314> et qn'il » serri de modMe ponr plasieun des couzt uislo 
faits en Italie, je crois atile de doiiner iei U table des mfttieiee tnitee«, d'apxtej 
r^ftction U plas recente: 

1. GeomHrie de posüion. 

1. Fonne« g^metriqnes foadamentales. 2. STstemes faArmoniqnee. 3. Forme« 
projectires. 4. Involatiou. h. Generation de« coniqaes. 6. Theorie des pöles et da 
poUires. 7. Centn et di»nietres des cuniqnee. 8. Exercice« et constmctioni. 
9. Th^i^me de DtsAmaivs. Fotmea projectiTC« dam lei coniquei. 10. EIxercices et 
coutmctioDs. II. Probleme« du 2^ degre 12. Forers des coniques. 13. Quelqa»« 
Mttiet problt-mes et constnictions. 14. C<)nes et surfacee du second ordre n*glee»> 
15. Exercicee. 16. Proprietes des formee gtemetriques fondamentalee de la '2" espec«. 
17. Affinit^ et similitude des figures plane« 18. Exercices. 19. Generation dee 
eorfaces da 2^ ordre. 20. Poles et plan» pulairee par rapport ä one surfac« du 2<1 ordr^. 
21 Diametres, centre, axes. 22. Affinite, similitude, congruence et «Tm^trie des ligar^M 
•olides. 23. Exercices. 

3. Cnlcul graphiqut. 

1. Addition et soustraction des lignes droites. 2 Multiplication ou dirision d'oxM 
droite par un rapport. 3. El^ration ä pnissances et extraction de racines. 4. Mnltti- 
plication de droite« entre elles. 5. Transfurmation des aires dont le contour e«t 
lectili^e. 6. Table« graphiquee. 7. TraustVirmation des figurec circulaires. 8. Trans- 
formation de« figures currilignes en güneral 9. Theorie du planimetre. 10. Cubator« 
de mafse« reguliere«. 11. Cubature de masses in^guli^t««. 12. Calculs graphiqna 
relatifs aux transporte de« terrea. 

8. Statiqiu graphique. 

I. Composition des force« appliqne«« i^ nn point. 2. Conpocition de force« place« 
arbitrairement dan« un plan. 3. Correspondance projectire entre le polygone de* 
forces et le pol.vgone fnniculaire. 4. EIxemples et ras {larticuliers. 5. Moments de 
fime« dana nn plan. 6. Couples. 7. I^quilibre des force» d'nn plan. 8. Compusitiun 
de« forces dans l'espace. 9. Forces paralleles dans un plan. 10 Centres de graritö 
II. Moments d'inertie 12. EUipsolde central 13. Ellipsolde dinertie 14 Systt-me 
de forres paralleles dont les intensit«« «imt prupurtionuelle« aox distances des puints 
d'appUoations d'nn plan 15 Ellipse d'inertie \e> Systeme de foi«es paralleles, 
agissant snr une r^gion plane, dont les intensite« sont proportionnelle« aox distances 
d'un axe neutre. 17. Coustruction de l'ellipse eentiale et du norau d'une figure 
plane. IS. Ellipse centrale et uovau profil dun mij 19. Ellipse centrale et noyan 
d'un fer ä angle 20 liistribulion de» forcM iulerioure« dans les eections d'uue travure. 
21. Application n une trarure metalliqiie enoadn>« i uue de »e« exti^mite«. 



tur« 
cee^^ 



Loigi Cremona et son ueuvre mathum»lique. 



171 



Izaine d'annres exposait de bh phaire les nouvellee möthodes geometriques et 

par de noiiibreuses et lirillantes applications prouvuit (jn'il en coimiiissait 

jusqa'aa fond la uature et l'nrt de les manierV Notre geoml'tre sentit le 

deToir qu'ü avait ä remplir et s'y prepara. C'est ainsi que naquirent les 

Elanenli di geometriu projettiva [101], qui, qaoique arretes au 1^'^toine') 

furent vivement apprecics en Italie et ä l'etranger'), servirent lougteinps 

Aez nous ä l'enBeignement siiperienr et furent traduits diins les principiiles 

Ungues'''); ils sont en consequence tellement comiiis (ju'il est tout-ä-fuit 

Jnutile d'en faire iei une nouvelle anidyse et d'en decrire coniplitement le plan; 

nous nouB bomerons donc ii quelques simples remartiues. llelativenient au 

nom employe par Ckemona j)our di'signer la branche de mathematique qu'il 

Wte. il faut noter qu'il a ecarte ceux de gromiftie sttpirieure et de giomrtric 

moderne, alors en usage, car üb exprimaient <les idees trop relatives et passa- 

g'iree, et anssi ceux de gcomitrie de posÜion et de gcomctrie derivcc, dont le 

Premier semblait exclure la consideration des relutious metriques et le second 

^tait d'nne signification trop large; alors, pour embrasser lensemble des 

theories ajant comme germe le Traitc des propriiiis projectives des figures, 

u enjprunta ä Klein le nom de Gcomrtrie projedive*), en le prenant toutefois 

**«ns un sens tres ditferent: cette docision obtint l'approbation genrnde. 

"elativement ä la metliode nous observerons que <'rkm(>na, tout en s'ecartent 

ae la route frayee par Staüdt, qui exclut completement la consideration de 

fa|>|iort anharuionique, fit de cette notion un usage un peu plus restreint de 

ce qu'en avaient fait MöBirs, Steinf.k et Coasles; il ne suivit non plus 

Staudt dans la theorie des imagtnaires, car il exclut cette theorie, en preferant 

w remarquer pour chaque probleme du second degrö qu'il peut avoir 2, 1 ou 

■olations. Ajoutons que c'est depuis la publication des Eleinenti di geometria 

pf'ojeltiva qu'on a rigoureusenient suivi le Systeme de designor les points par 

1<^ lettres grandes A, B, C, . . . , les droites par les lettres petites a,b,c,.... 

*t le» plans par a, ß, y, . . . Les partisans de la Fusion de la planimetrie 

**■€<: la Stereometrie y reniarqueront avec plaisir la suiviuite declanition: „Le 

•^iQsiderazioni stereometriche suggeriscono bene spesso il modo di rendere 

'AoQe ed intaitiyo cid che in geometria piana sarebbe complicato e di 

1) Le '2^ tome etait dejä commencö loreque survinteut dos chaiigemeutE' radicfttix 
>atu l'orgWDis&tiou des inntituts techniques; Cbknoxa interrompait alon un traTail 
"ksnt, dont il ne voyait plus le bat. 

2) Vojrec leg analyaes qu'en fireat M. Zeltren (Bullet, d. bc. niath^m. 'ty 1873, 
10 — 15) et BmTtHi (Period. di Bcionze mat. e nat. per rinsegnamento 

'Cooudatio, Ij 1873, p. 26 — 27); qnelqnoB inexactitudea signalcoB par le premier 
"*•* ÖW coirig^B jiar l'anteur m«me (voir vol. demicrement cite p. 5() — 5S). 

8) Element« de gitmärie projecHve, trad. par Dkwiu-- (Paria 1875); Elemente der 
^"^ f^ttimdun Oeometrie; dentach vou Thaütvettkb (Stuttgart 1882); Elements of pro- 
■'****'e fftometry; tranalated by C. LuiuiaiuoHK (2'1 ed., Oxford 1894). 
4' Matheui. Äan. 4, 1871, p. 578. 



172 



Gdio Lobia. 




malagevole dimostrazione". et tout le monde accordern xme prande aamirar 
ä reminent geometre qui sut tirer la nioelle des ouvrages de ses predecessen 
poor en former nn tout homogene, ayant one phjsionomie bien nette. 

Lee belles qualites, si repandues dans les Ulemettti dt geovietr 
projettiva, sc retrouvent duns un petit ou^Tage, que Cremona puhlia 
apres [102], et que, si j'osais hasarder une hypothese, je considere 
comme ayant avec le precedent une relation identique ä celle que la Geometr 
der Lage de Staitdt aurait eue avec la Geometrie des Maasses qu'il ava 
projet«e. En effet duns les Elementi di calcolo grafico se tronve 
recueillies et coordonnees toutes les notions et les propositions qui rendent 
possible le remplacement d'un calcul arithmetiqne par un diagramo 
eonvenablement choisi. Ds commencent par une esposition complete 
principe des signes pour les segments rectilignes, les iingles et 
volumes, puis on y trouve les methodes graphiques pour effectuer 
ment toutes les Operations nritbmetiques et pour resoudre, avec 
approximation que Ton voudra, toute equation alg^brique. La questio: 
traitee ensnite a un int«ret th^orique et pratique; eile a ocoupe aussi la 
anciens geometres, qui tracerent les premieres lignes de sa Solution; c'est 
Probleme de la transformation des aires; probleme qu'on peut resonti 
exac'tement lorsque le contour est rectiligne et par approximation da 
les autres cas. La demiere des queetions resolues par Cremona se tron 
sur lii limite entre la geometrie et la mecanique; c'est la döterniinati« 
graphiqne des centres de gravite; son importance est teile que Crkmo^»»J 
y s consacre avec raison plusieurs developpements. Les traductions c^yMi 
meme recemment^) honorerent les Elementi di coicolo graßco prouvent q"«»^ 
aujourd'hui eneore, on les considere comme la meilleure introduction »»13C 
methodes de Ci'LMANN. 

Le troisieme des travauz de Cremona lies h son enseignement ^M 
poljiechnicum de Milan est encore plus original que les deux autre*? 
il a pour objet la theorie des ligures reciproques qu'on rencontre daoß 
le statique grai>hique. Publie d'abord (1" juin 1872) ä l'occasion des n(X5ß* 
de la iille de Bsio.scm, il fut bientöt reimprime et sept ans apres t^M 
nouveUe edition fut jugee necessaire et parut en effet ^) par les soins ^ 
M. Jn<o [99]. Pour comprendre et mesurer la valeur de l'innovatio' 
introduite par notre geometre dans la dite theorie, il est necessaire de S 
rappeler que Clerk Maxwell avait obserre le premier que le polyi 
des forcea et le polygone funiculaire (qui sont deux figures correlati'' 



st^ 

iti«»« 



1) Elemente des graphifdien KalkiiU; dentscb von M. Ci-rt/.k iLeipiig 1 
Oraphieal staties. Tfco treatists on the graphical ealculut and reciprocal figitr' 
graphical staties; traiulatod by H. Bujut (Oicford 1890). 

2) 11 » aussi ii6 tiaduit eu anglais (voir ci-dessos) et en fran^aig. 




Lnigi Cremona et son (cuvre mBth^matique. 



173 



peuvent etre considerc^a conime leB projections orthogontvles de deox 
polvi'dres qui, aprh rotation de Vnn d'eux de 90" autour d'un axe con- 
venablement choisi. sont polairee reciproques par rapport k im piiraboloide 
de revolution. (h- Ckkmona decouvrit que ces deux poljgonea peaTest 
aussi etre considt'reB comme les projections orthogonales de deux poly^dres 
qui, dans letir position, se correspondent par rapport ä un coraplexe 
lioeaire. „Wenn es daher (dit un juge competent) ') auch nicht so wichtig 
ist, ob bei der Herstellung des reciproken Kräfteplanes das Rotations- 
paraboloid oder das Xullsystem zu Grunde gelegt wird, so ist doch immer- 
hin durch die Einführung des Nullaj'stenis und die Vermeidung der 
Drehung des Kräft-eplanes in theoretischer Richtung eine Abrundung er- 
jielt." Cremona est donc justement considere comme un des „Regrimder 
der Fachwerktheorie" '^). Et les adeptes de la geometrie de la droite diins 
l'espace lui sont reconnaiasants, car, apres leur avoir appris une elegante 
representation des droites sur un certain Systeme forme par ao* coniqaes 
il'im plan'') 1 100], par une applicutioü ]>ratiiiue inuttendue et impt)rtunte, 
ü docuraenta la valeur d'iuie brauche de geometrie qui poussait ulors 
«Ab premiiires fleure. 

13. Travaux de Cremona sur les ooiubes au point de vue du genre. 
L'action didactique de Ckkmona ä l'institut technique superieur de 
Miliin ne resta pas entre les homes Lndiques dans le paragraphe prec^dent; 
Wir a cette epoque retablisaement dirige par Bkioschi coiuptait une ecole 
"'irmale destinee a, former des prof'esseurs pour les Instituts techniques*), 
*t CuKMONA fut Charge d'y faire des le^ons et des eonfurences de 
iniitliematiqueB superieures. Parmi ceux qui eurent le bonheur de les 
"«out^r. notons A. Armknantk, G. A.scoij, E. Bi;rtini, G. Jin«, M. 
""*Axi et Em. Weyk. Les plus celebres de ces le<,'.onH furent Celles que 
•^KEvoNA fit durant Tamiee scolaire 1868 — 69, conjointement ä Brioscui 
*' Casokati, Bur la theorie des fonctions eUiptiques et ab^liennes. 
"^ resume qu'on en a publie^), il resulte que, tandis que Bkioschi 
■'«tait inspire de Jacobi et Casorati de Rikmann, Ckkmona prit pour 
P*ide la Theorie der Ännisclten Functionen de Ci^ebsch et Gordan. 



1) H muuiKK O, Encyklopädie ihr mathem. Wissenschaften 4, p. 368. 

2) HcxnHEiio, article cit^ p. 366; voyez auasi Hai'c:k, Über die reciproken Figuren 
"^ graphischen Statik (Journ. für Matliem. 100, p. 366). 

S) Ce «ont les roniquee circonscriteB aux triangleB circonscrite ii une coniquo fixe. 
_^ 4) Voir Tart. 16 do l'ajTetö royal du 6 mars 1863, par leqnel fut fonde lo polj- 

^'Jlinicuin de Milan. 

5^ A. ÄAioxANTK e G. JiNo, Itehrione sopra tre eorsi paraTleli dei professori 
^»trui-m, Ckkuiixa e Casoiiati suUii (coria deüe fumioni elUtiidie e abeliane. Giorn. 
* »item. 7, 1869, p. 224—284. 



174 



Grao LoKiA. 



Dans la 1°^" partie ile son rours il exposa, suivant la ra^thoHe qn'il 
aviiit dt-'jii adnptee ilans son Introdueionc , les theorrmes fondamentaai 
8ur les courhes planes iilgt'liriqups; rians la 2", il fit counaitre les trnis 
premiereB eections de cette Thiorir, en lui donnant iin aspect an pen 
plus jjeometrujuc; et dons la 3", pour prourer Tiraportance hors lipie 
du theoreuie d'ABEL, il exposa les maguiiiqupg recherches quo <Jlki).sch 
avait reunies dans aes celebres memoires des tomes 64 et 65 da Journal 
für Mathematik. Si nous ne nous trompons pas, c'est la 2* partie 
qui öftre im plus grand interct de nouveaiite; eile foumit » ('kkmona 
le sujet d'uu memoire etendu [86(, ofi, ä Taide de considerations georne- 
triquea, il arriva, par une voie differeute de relle de Ci.ebsch et Oordax, 
u la reductinn dea integrales abeliennes ä leurs trois formes typiques, ^H 
au theori'uie d'AuKL. ^^ 

Une originalit^ encore plus grande caracterise deux aatres tninvaux, 
ajant aussi leur origine dans ce eours, et dont nous devons dire quel- 
ques mots. 

Leg coordonnees des points d'une i-ourUe liypereDiptique du genre 2>, 
peuvent s'exprimer rationneEement ä l'aide d'un paramijtre X et de !• 
meine carree d'une fouctinn entiere Q{ä) du degre 2p -f- 2. ClJiBSC'H 
et ÜOKDAN, dans leur ouvrage cite, apprennent ä reduire les eourbe* 
hyperelliptiques des genresp= 1 oh 2 ä leurs formes typiques; er CremowA. 
generuliBant le prncede analytique ndopte par ces auteurs, et en employant 
une transformaticm de JoN(;rii:ui-;a ennvenaWe, prouva ') [82] que, quel que 
soit le genro p, une courbe hyperelJi]»ti(iue du genre jj peut se transformer 
en une courbe de l'urdre p -\- 2 u im seul point sLngulier ^-ple Jif, 
jouissant de ces deux proprietes: 1) chnque tangente ä la courbe bii 
point M coupe celle-ci en /? -f 2 points comcidents en Jtf; 2) on 
peut inener de M k la courbe p -\- 2 droites tangentes ailleurs, leur» 
points de contact se trouvant sur une droite m. La courbe transfonnee 
est liomologico-hiirninnique par rapport au centre Jlf et ä Taxe n»; eile a 
Sp points d'inflexion et ^p{p — 1) tiingentes donbles. — Hemarquons 
qu'ä la classe des conrbes hyperelliptiques iippartiennent les quartiques 
doui'cs d'un point double; Cricmona s'en occupa occasionnellement [90] 
dans rhjpothi-'se qu'elles fussent homologico-harmoniques, et en determina 
leurs coniques quadritangentes et leurs tangentes doubles, en s'aidant de 
considerations de geometrie de l'espace, signalees auparavant par M. Geisek^). 

Dans ravant-])ropos de leur Theorie, que nous venons de citer 
plusieurs fois, ('Licitscii et Gokoan ont fait allusion ä la question de savoir 



l)Comp.Ci.EB8<-ii-LmDEMAN!«, Vorlcmtujen über Geometrie, llld. (Leipzig; 1876), p.720. 

2^ Über die Bopjieltangenten einer ebenen Kurve eierten Grades (Mathem. Ann. 1^ 

1869, p. 509J. 



et Bon wuyre mathümi 



175 



81 le nombre des modules d'une courbe du genre p est 3p — 3, coiume 

arait dit Uiemakn dans le tj 12 de Ba Theorie der ÄHKi.schen Functionen, 

ou bieo Ap — 6, cotnme croyait Cayi.ky'); cette ijuestion est depuis 

longtempB resolue, car Cayley non seulement a reconnu scm erreur, mais 

il en a deconvert la cause ^. Toutefois, anterieurement ä cet evenement, 

CttKMOXA, en coUaboration avec Casorati, se projwsa [83] de chercher 

(juelques raisons en faveur de l'ime ou de Tautre de ces (luestions, et il 

M pla9a dn cöt^ de la verit<5, car il ötablit, a l'aide de considerations 

directea, l'exactitude de la formule de Hiemann pour p = b ou 6-''). Si 

Ion fait attention ä l'epoque ou t'lle fut ecrite et aux procedcs qui y 

»ont employes, on verra sans petne que cette note n'est pas indigne de 

ligiuer parmi les travaux de notre göomötre. 

14. Traasformationa rationnelles de l'espace ; leur application 
ä la representatdoD plane des surfaces. 

Leä memoires de Cbemona, que nous venons d'analyser, sont toutes 
"Ips prcuves du courant sympathique d'idees existant alors entre lui et son 
ttini (.'lebsch (comp. [96]); d'autrea preuves vont resulter de l'analyse de 
<*ix qui vont nous occuper maintenant. 

Le 21 juillet 1866 CuciiscH aunon<,-.ait ä Ckemona qu'il avait deconvert 

.(durch Integration" que les lignes asjmptutiques d'une surface de Steuer 

«mt des courbes gauches du 4' ordri? et de la 2* espece*). La beaute 

d« ce resoltat fit naitre en notre niathematicien le desir d'y parveiiir [)ur 

'uie voie gcometrique et des le 25 septt'mbre de la meme annee il puuvait 

»nnoDcer a son ami qu'il venait d'atteindre son but. L'artitice qu'il 

"inployait a cet effet consiste dans la repri'sentation de la surface sur un 

I''«n, representatiott qui resulte de la preuiii're cominnnication de Weiek- 

^ntAss aar cette surface, mais que (Jleusch (voir le uieninirc cite tout-ii- 

Ineiire) et Cremona [72] ont les preuiiers (et independamment l'im de 

'antre) developpee et appliquee. Les lois de oette representation sont 

""jourd'hui »i connues qu'il n'est [las nece.ssaire de les rappeler ici; mais 

'^ salitüs raisonnements par lestiuels (Jkemona parvint ä la repr^sen- 

'*'ion et a la nature des lignes asymptotiques de la surface dont il 

^H|t<t, ineritent d'ctre siguales honorablement. Cre mona (non moins que 

\) On the transformaiian of plane curves (Proc. of thc London matbem. 
«• 1, 1865, p. li. 

2) Not< on Ihe thfor;/ of inoarianU (Mathem. Ann 8, 1871, p. 268). 

S)li«cu<l8/i=:4»vait^tädäjäöpai8Öpar A. Built. (Mathem. Ann. 1, 1869, p. 401). 

i) Voyee on offet le miSmoire Über die STsixKnvche Flädu, qui porte la date 
' .iuillet 1866 et fut publie dans le prenüer cahier du t. 07 (1867) du Journ 
^«- Matbem 



176 



CrUO LoMU. 



alt 
les I 



Clkb-mu) remarqua le caa particiüier de la »urface de Steiner co: 
spondant ä Thypothese qae deax des droites doubles coincident. et 
ajoata celuL, encore plus special, oü toutee les trois se (iuperpos4>at; et 
ajant observe qne les sorfaces reglees da 3*^ degre peurent se repre>ient< 
Bur le plan d'ime maniere analngue, il arrira aussi ä decouvrir les ligrn 
aejrmptotiques de toutes ees surfaces'). 

Or ce demier resultat, certainement remarqnable en soi, nous apparait 
tres important ei l'on considere quU fut le point de depart des nouvelles 
recherches, couronnees d'an complet sueoes, que notre auteur fit [80] si 
les surfaces reglees [wi, »jj de l'ordre »i -f- w, douees chactme de dei 
directrices rectilignes, de maltiplicit«6 m et n et de (m — !)(♦• — 1) 
generatrices doubles. Une teile surface est rationnelle; sea lignes 
asjmptotiques sont toujours algebriques, de l'ordre 2\_m -{- n — 1), si les 
denx directrices sont differentes et de l'ordre 2 m •\- n — 2, lorsqu'ellcs 
coincident. I'kemona parvint ä ces consequences a trarers une foule de 
considerations et de ealculs, oii je ne sais ce qu'on doit admirer le 
plus, la rigueur du raisonnement geometriqne ou Tel^iince du procede 
analjtique. Ce qa'il ne faut pae oublier de signaler particulierenient, 
c'est le moven employe pour arriver ä la representation sur un plan d'une 
surface; tandis que, d'ordinaire, pour y parvenir on part de la consideration 
de l'ordre et de la multiplicite de ses bgnes et de ses poimts singuliers, 
ou bien on transforme d'une maniere conrenable son equation, Crkmoxa, 
avant avant tout prouve qu'une surface |»», n] est toujours rationnelle, et 
generalisant les lois de representation dune surface [2, 1], arrive ä la 
representation generale chercbee; c'est un artifice logique qui merite d'etre 
conside're, car il peut servir en d'autres cas analogues. 

Daus son memoire sur la surface de Stets ER, Clebscu obtint les 
equations differentielles des lignes asymptotiques, et il les integra. Cette 
importante application de la repr^ntation plane d'une surface a la 
rc'solution d'un probleme m<5triqne donna a Cremon.\ l'idee de chercher 
si, en general, pour une surface rationnelle, on aorait pu resoudre assez 
aisement les plus importantes questions de cette eep^ce. Et en effet, dans 
un travail tres peu connu [88], il trouva, pour toute surface algebri(|ue. 
dont la representation unirotjue sur le plan soit donnee, les equations 
differentielles des courbes isotropes, dee lignes asymptotiques et des lignes 
de courbure, et il (\jouta des remim)ues utiles poor leur integration '). 

1) Ce sont dM quarliquM d'un« Mp^ putiooUtot qu* Ormoiu ^dia ex-profeaso 
tm peu plui tafd |T8|. 

2) CiuEHojiA obionra <|ue touto «lurftto» «lir^britiu« a tot^joors au moin« deux ligne* 
de cotirbtire Bl^bri<|ti«»; c'Mt-4-dir« m Mction |vAr le )>Un a l'infini et ra ligne de 
contact BTeo In d(iveiop)iikblo cin?oit*oril« ii U lurl'kt'« vi au c«ur«l« inukginaire ä l'in&ni. 
Cea piopotitioni sont ellos nou«elle«T 



Lnigi Cremona et Bon tenTre mathiimBtiqQe, 



177 



'.'«s equations generales furent etablies par Cremona (c'est Ini qui l'a 

declare) en ybc d'applications renvoyees ä des occasions futures, qui mal- 

henreusement ne ee prp'senterent plus; mais dans le memoire dont il s'agit 

[88], U s'arr^ta aux surfaces du second degre, et parvint ainsi ä des th^oremes 

■ur lenrs lignes de courbnre. dont la sübstance remonte ä Monok, mais 

<fä se presentent sous une forme si belle q\i'il est ä souhniter que 

quelque geometre applique les formules generales de Cremona ä des 

surfaces moins connues que lep quadriques. 

On sait que le memoire sur la surface de Stkineu est bien loin 
detre le seul que Clebsch ait consacre a la representation d'ime surface 
nur le plan; en dehors de plusieurs autres exemples remarquables, il a 
fompose nn travail tres otendu, aujourd'hui classique, sur l.-i theorie 
generale de eette representation'). Impressionne par la grandeur de ces 
reclerches, Cremona voulut leur apporter quelques contributtonB; et, dans 
une note communiquee a la societe de Oottingue le 3 mai 1871, il signala 
ane methode extremement feconde, pour decourrir des surfaces rationneUes 
et leur representation sur un plan. Elle consiste dans l'application dune 
tnuisformation rationnelle de l'espace a une surface rationnelle d6jä 
connue; Cremona a considere tout particulierement la transformation 
dans laquelle aux plans de l'espace correspondent oo ^ surfaces du 3* ordre 
passant toutes par une meme courbe du 6' ordre et lea transformations 
loi en sont des cas particuliers. De cette maniere il put representer sur 
"H plan et etudier plusieurs surfaces remarquables, dont une du 4* ordre, 
"^ da 5* , cinq du 6" , quatre du 7" et une du 8* . 

PouTBuivant dans le meme ordre d'idees, il remarqua [92| que la sur- 
i»c«5 (1(1 4« ordre a conique double peut e'obtenir d'une surface du 3" ordre 
™ lui appliquant la transformation 

Xi : Xj : Xs : T4 = yi^ : y, yj : y, yj : y, y^ — y,«; 
'''^'t il suit une nouveUe methode pour etudier cette surface., ä l'aide 
••Uöc representation plane. Et si Ton applique la meme transformation 
• Une surface du second orflre, on parvient [93] a un nonveau cas 
P**^culier de la meme surface, echappe meme ä KorndöRFER; c'est le 
J** nü la surface a, sur la conique double, un point singulier par lequel 
^^■sent quatre droites de la surface, situees dims le mt>me plan. 

Neuf ans apres, Ckemona fit de cette transformation quadratique de 
' *«|)ace une autre importante npplieiition [112], c'est-ii-dire ä l'etude d'une 
*^rfape du 4* ordre ayant comme seule singularite' un point double uni])liU]aire, 
**^ la surface est tiingente a elle-möme. Une teile surface, qui avait öte signalee 

1) Inlomo alla rappftsentatione <U superficie algebriche gopra un piano (Read. 
'^''11' iit. Lomb. [MiUno] Ij, 1868). Über die Abbildung dlgtbravicher Flächen 
^•tbem Ann. 1, 1869i. 

BlbUoth«» Mstbematica. III. Folg« V 12 



178 



GlXO LoMA. 



par NoETHEK dans nne communication faite a la societe de Gottingue le 7 
juin 1871, appartient ä un c<»lpbre groupe de sorfaces rationneUes du 4*^ ordre 
depourvTies de b'gnes multiples et de points triples ^). En an cae particulier 
eile avait et« rencontree nuparavant pur Cbkmona lui-mAme 191]: l'etnde 
qu'il fit du cas general peut passer pour complete et definitive. 

Non nioins remarquable est une autre applioation qu'il signala dea 
niemes idees; ayant remarque que, tandis qu'on connait un grand 
nombre de surfaces rationnelles douees de lignes donbles, on n'en connait 
presque pas de douees de lignes euspidales. ü se propusa de combler 
cette regrettable lacune. A cet effet, dereloppant des idee« qu'il a\, 
esquisseea aillears (roir [91], pag. 215, lignes 3 — 5), il parvint [97] ti dexa 
Burfaces rationnelles de la dite espece et h leur representation sur un plan. 
Une de ces surfaces result* de Tapplication d'une transforinatinn cnhigue 
ä nne quadrii^ue, l'aatre d'une transformation quadratiqae a une surfaG«^| 
du 3' ordre douee de point double. La preniiere est la surface (du 5* ordre ^' 
et de la 3* classe) reciproque de la surface du 3" ordre douee d'un point 
double unipliinaire: tandis que l'autre est nne surface du i' ordre douee de 
coniqae cuspidale, dont il etablit le premier les proprietee caracteristiqu< 

Avant de considerer comme epuisee notre analyse des contributi(jnSf 
que Crkhona n donnees ä la theorie de la representation univoque d'une 
surface sur un plan, rappelons que Clebsch (voir le« memoires cit«8 ci 
dessus) et Oapokali*) ont indique, avec tous les details desirables. commeal 
on peut decoHvrir toutes les proprietes descriptires d'une surface rationnelle, 
dont on connait la representation plane; or <.'remona n'a pas juge indigne 
de lui d'appliquer ce proce<le ä un exemple extremement instructif (voir 
[117] et [118]). n supposa donne un systi'me de courbes du 6*" degre 
ajaot en common six points doubles, dans lesquels les tangentes formeni 
dee involutions donnees, et il etablit qu'elles aont les imagee des Sectio: 
planes de lu surface correlative ä la surface generale du 3* ordre. 

Nous avons vu que l'instrument employe tonjours par (.'remona pour 
arriver ä des surfaces rationnelles consiste dans lapplication de trausfor- 
mations biratiounelles de l'espace. C'est une theorie qui est la geniTalisation 
naturelle de celle des transformations crenioniennes du plan, et qui a eti 
cultivee avec succcs presque en m^me tenips par Cayley et Noether"'' 



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1) NöTBn, CberditnitiomtikmFUkihmvitiltrOriiumf (U^ihtm. Ann. 9S, 1889)J 

2) Älpra »■ tistemi tripkmtmU M/Wto' Ai emr* tdft^ridte pitme ^Collectanei 
mkthem^, Mi]*no 18811 

3i Cai-uiy, On t\e rational tnttuiforinatioH behrecN l«ra ^Mow (Ptoe. ofthe London 
m»th«m. 80C », 1869». Xotuku, Zur Tkettrie Hm nndemtiptn SittfprtdleHf alg^aij<chtr 
(itbilie ixwi Muhii/ vifltn Dimrnfionen tMatlism. Ana. S, 1910) «t Übtr die eimkutvjtn 
BaHmtraHsformtilionen tM«theui Ann. i, IS71) 




Luigi CreiuoDB et üod iciivre mathenintiqiie. 



179 



m 



A cet ordre d'investigatinns ne pouvnit rester etranger notre mathematicien; 
et, en effet. au printemps de 1871, il tit ä l'Istitutt) Lombardn deux 
communicationB importitntes sur ce Bajet ([94], [95]), et l'annee suiviuite il 
les refondait, en les complötant du cöte theorique, pour former son celebre 
memoire Sulle traxformaeioni rasiionali deUo spazio^) [98]; comme ce 
memoire est demeun* inacheve, on ne peut omettro de tenir compte 
encore de ces dem Communications si on veut ae former une idee 
complote de ce qne Cremona a fait sur ce sujet. 

On sait que, pour etaldir lii theorie des tninsformations birationnelles 
entre deux espaces, Ckemona part d'im Systeme di-quations du type suivant 

1) .ri : ;r2 : X3 : Xt = »Pi : <pi '. (pa '• <P*7 
les rp sont quatre fonetions liomogJ'nes en ;/,, ;/2, 1/3, y^ de möme degre v. 
systome fait correspondre ii tout point d'un espace [y) un point de l'espace 

(x); et si Ton snppose qu'en resolvant le Systeme (I) il en naisse un nnalogue: 

2) y\ •■ y2 •■ ya ■• Vi = Vi •• Vs = Vs : Vi, 

oü les y sont des formes en j\, T2, X3, r^ da meme degre //, Lnversement 
ä tout point de (j) correspondra un point determine ile (y). Dans cette 
corresponduuce (/i, v), au plan d'un des espaces corresponilent dans lautre 
00 •' Burfaces formant un Systeme tel que trois quel qu'ils soieut de ses 
Clements se coupeut en un seul point variable: pour un tel Systeme CkKMONA 
proposa (et tout le monde rndoptn) le nom Aliomaloidiqne, que Sviarstkr 
avait dejä employe dans le Bens de lineaire*). ün Systeme homaloidique 
quelconque determine une transformation rationnelle entre deux espaces 
et par suite un autre Systeme aualogue conjtujiu' du preinier; la theorie 
des transformations rationnelles est ainsi reduite ä Fetude des systemes 
homaloi'diques. Tout Systeme de cette nature a une surfuce .Tacobienne, 
dont la consideration est essentielle et dont les Bingularitt?s furent deter- 
minees par NfiTHKU analytiquement et par Cuemona geometriquement. 
Mais ce demier ajouta une remarque de la plus grande valeur, dont 
personne ne peut lui contester la priorite absolne, c'est qu'ü est possible 
d'obtenir tous les sys^^-mes liomaloidiques auxquels appartfent une surface 
rationnelle donnec 0. La methode qu'il n imuginee pour cela, permettant 
de multiplier ä l'infini le nombre des surfaces rationnelles et des trans- 
formations birationnelles, est extremement feeonde et repreaente peut-ctre 
le sommet le plus elev^ de sa production gc-umetrique: on peut croire 
i[a'il reconnut txfea bien toute la valeur de sa döcouverte, car il jugea 



1) Comp. ansBi la deroifere partie de [91], et Dewlxp, Des transformations ratiofmelles 
i/iin« Venpace. Travaux de M. Ciikum.i liiullet. des bc. mathem. 7, 1874, p. 37 — 48)- 
Du meme mdmoiie |98J il eiiste uue tradui'tii>u tclieciue due ü Km. Wkvu. 

2) On certain general properties of homogentous functioiks (Cambridge auil 
Dublin mathem journ. ft, 1831, p 1). 

12» 



180 



Ono LouA. 



utile de l'iUuBtrer par un grand nombre de belies applications, dont 
allons faire un court resame. 

En sapposant qae 4> soit une Burface da 2^ ordre, Cremona parrient 
ä trois transformationB du 2"* ordre dont les inverses Bont respectivement 
dea ordres 2, 3 et 4. Si <P est ime surface reglee du 3* degre, on parrient 
ä trois nouvelles tninsformations des typee (3, 3), (3, 4), (3, 5); tandis 
que fli *P est encore da 3' degr^, mais non reglee, on arrire ä des trans- 
formations du 2' degre dont lea inverses sont une du 3* degre, une du 4*, 
deux du 5" et deux du 6* ; introduisant l'hypothese que la surface du 3* 
degrd (ß alt un point double, on tronre des transformations du 3* degre 
dont les inverses sont des degres 3, 6, 7, 8, 9; si ^ en a deux, on parvient 
a sept transformations nouvelles; et si enfin eile en a trois, ä quatre 
autres. De nouveaux cas etudies par Cremona dans ses plus anciennes 
publications sur le m^me sujet reposent sur ITiypothefle que soit nnei 
surface du 3* ordre dou^e d'un point uniplanaire, ou bien une snrface de ' 
Stkinkh ou enfin une surface de 5* ordre ayant une cubique gauchej 
double. Mais plus tard, en partant de la surface du 4* ordre de Nöthkr,] 
dont il s'etait dejä occupe (voir [112]), il parvint [116] ä une trans-i 
forniation birationnelle du 4* ordre dont l'inverse est du 6* ; enfin partant 
d'une surface du 6" ordre douee d'tme conrbe double du 7* ordre ä point 
triple, il arriva [115] a une nouvelle transformation du type (6, 5) 

Cette liste dea publications de Cremona sur la theorie des trans- 
formations geometriques ne serait pas tout-a-fait complete si l'on n'y 
trouvait un mot sur un memoire [103] qui, quoique (c'est l'auteur qui le 
di'clare) n'ayant d'autre but que de fixer l'attention des math^mnticiens 
sur les magnifiques travaux de LiK ') „pleins d'idees nouvelles et 
fecnndea", n'est pas indigne de porter la signature de Crkmona ^). On y 
trouve avant tout la representation du complexe liueaire sur l'espace 
ordinaire; des formales relatives, l'auteur tire cette celebre transformation 
de l'espace reglee dans l'espace de spberes qui est un des re'sultats les 
plus nouveaux 'dont la geometrie soit redevable au celebre mathematicien 
norvegien. Crkmona avait l'intention de se servir de la representation du 
complexe lineaire pour tirer. de la theorie de surfaces generalement connues, de 
nouveaux systemes de rayons rectilignes. Mais ce programme de recherchea 

1) Voix leg Forhandl. i VidenskabB-Selgk i Christiknia 1871 et le t. 5 
dea Mathem. Ann. 

2) Cet ^löf;aiit th^oi^me, qui remonte ä däcembre 1871, Buffirait a le pruuver: 
(voir Beltraui dana le T. 10, 1872, v- ^ du Oioru. di matem.) „Si Ion preud la Tonne 
quadratique x^^ -\- x\ •{- x\ -\- x^, -\- x\ = comme repr^sentant the absolute de 
Caylky, leg xi ätant leg ooefKrient« de röquation; 

j, (A'''+ r« + ^'- l) + 2.r,X + 2x, Y+2x,X+ix^(X'+ Y' + Z*+l)=Q 
d'une gph^ en eoonlonnäei cartegiennea, la distance entie deux ölementa de l'eapace 
öquivaut präcigvment ü l'augle de deux aphereg au geng ordinaire de ce mot" 



i 




Loigi Cremona et son «euvre math^matiqae. 



181 



que, peu apr^s, notre geometre reproduisait, en le precisant (voir [104]), 
est demeure malheureusement ä l'etat de projet; au moins le public 
mathematiqne ne connait aucun travail qui en represente l'execution 
de quelqne mani^re. Remarqaons encore, avant de finir, que le memoire 
[103] fait apparutre Cremona comme an des premiers mathematiciens 
qui Burent mesurer la valeur des idees de LiE; plusieurs de ses cours de 
geom^trie superienre tenus ä Rome depuis 1894 prourent que cette estime 
ne diminaa pas, mais, qu'au contraire, eUe derint toujours plus grande, 
lorsque, de ses idees, les racines devinrent plus robustes, les rameaux plus 
larges et les £ruit8 plus savoureux. 

15. Oremona et le polyteohniotun de Borne. 

Les nombreux memoires publi^s par Cremona de 1867 ä 1873, sa 
renommee toujours grandissante de professeur eminent, les manifestations 
publiqnes de haute estime qui arrivaient jusqu'ä lui') de toute part et, 
mieux encore la respectueuse admiration qu'il inspirait ä tous ceux 
qui l'approcliaient, le qualifiaient pour un bomme duquel la science 
et la patrie pouvaient tout esperer. On ne s'etonnera donc pas si en 
1873 G. FiNAU, alors ministre de l'agriculture, insista pour lui faire 
aecepter la place de secretaire general; mais vivant alors dans un 



1) II sera int^reBsant de donner ici la liste synoptique (redigäe par Crkhuna 
lui-m&me) des acad^mies dont il fut membre et des degr^g qu'on Ini confera: 



1861. 
1865. 



1867. 
1868. 
1871. 
1872. 



1876. 

1877. 

1878. 

1879. 
1880. 

1881. 



Acadämie des sciences de Bologne. 
Athdn^e de Yenise. 
Sooiätä italienne des sciences (dite 
des XL). 

Aoad^mie des sciences de Lisbonne. 
Institut Lombard (Milan). 
Soci^td math^matique de Londres. 
Sociät^ des sciences de Boheme 
(Prague). 

Acad^mie des .Lincei* (Rome). 
Acad^mie danoise des sciences 
(Copenhagne). 

8oci6i6 philosophiqae de Cam- 
bridge. 

Acad^mie baTaroise des sciences 
(Mnnich). 

Soci^t^ royale de Londres. 
Soci^t^ royale des sciences deLifege. 
Soci^tä des iciencet de Gottingae. 
Soci^tä royale de Naples. 
Acad^mie hollandaise des sciences 
(Amsterdam). 



1881. 
1883. 
1884. 
1886. 
1887. 



1889. 
1892. 

1896. 

1898. 

1899. 

1901. 
1902. 



Soci^t« math^matique de Prague. 
Society royale d'Edinburgh. 
Doctor of lawB, Edinburgh. 
Acad^mie prussienne (Berlin). 
Institut d'encouragement deNaples. 
Acad^mie romaine des Beaux Arts 
(S. Luca). 

Academie des sciences de Turin. ' 
Doctor of sciences, Dublin. 
Acad^mie des sciences de Modt'ne. 
Soci^te physico-m6dicale d'Er- 
langen. 

Academie irlandaise (Dublin). 
Academie des sciences de Yienue. 
Acadämie de Belgiqne (Bruzelles). 
Institut de France. 
Academie su^doise (Stockholm). 
Academie am^ricaine (Washington). 
Doctor sc, Christiania. 
Academie des sciences de Lucque. 



182 



GlNO LoBI*. 



milien tout-a-fait scientiiiqne et ploipn»* de toate occupation n'ayant 
trait ä la science et ä lenseignement, Ckkmon'a ne voulut pas accepter. 
Dana le meme temps le comte ALiticrNl, rice-maire de Bologne, s'adreBM 
k Ini pour obt«nir son concours atuc etudes qu'on faisait alors poar institner 
dans cette ville une ecole des Ingenieurs. Mais, pendant ces negociations, 
on elaborait le projet de rnorganiser rancienne ecole pontitieale des 
ingeniears ä Rome, et A. Scialoja, ministre de Tinstruction publique, 
s'adressa ä ('kemoxa pour diriger rette reorganisation et etre le chef de 
cet Institut rajeuni. £n consöquence, an arrete rojal du 9 octobre 1873 
nomnw Ckkmoxa directeur du noureau polytechnicum et professear de 
Btatiqae gra]ihique, et niit aussi un terme ä la periode heroiqne de sa 
prodaction scientifique. Ce dt-plorable resultat n'6tonnera personne si on 
refleohit a la charge partieulierenient iniportante que le gouvemement 
Italien confiait ä notre savant et au zele infatigabl« qu'il apporta ä la 
remplir. Pour ne pas parier des efforts qu'il dut faire pour que la 
nouvelle ecole füt detachee de l'universit«? et instullee dans l'ancien 
coQvent de S. Pietro in VincoliM, nous remarquerons, arec le plus 
ancien et Hdele collaborateur de Ckkmona^), que son premier soin fiit 
detablir dans son ecole une discipline rigoureuse, et d'exciter par son 
exemple tout le uionde k remplir exucteuient son devoir. Et pour que 
Tenseignenient fiU plus conforme au bat special d'une ecole d'ingenieurs, 
tout en renfor(;ant les etudes theoriques, il donna une anipleur considerjible 
aux matieres d'applicutioQ, dedouVilant certaines chaires et en creunt «le 
nooTelles. Entin ü donna un gnuid dereloppenient aux exercices pratiqaes 
jusqu'alors trt^s negliges, et n'oublia pas de doter les cabinets scientifiques 
des moyens ni>c«3saires pour effectuer des recherches originales. Le fruit 
de tant de soins est prouve par le gnind nombre d'ingenieurs distingu^s 
qui sortirent de l'^le de Koiue; si I'Italie, arriv^ la demiere dans la 
lioe des Stades techniques, a d^ormais rt>joint les autres nations les plus 
aTano^es. tout lo merite en rwrient aux fondateurs de ses trois plus grandes 
Cooles polytccliniques: Q. Ski,u\, F. BRKvstiu et L. C'kkmoxa. 

r)^8 son arrivi!© a Rome, notre gw)n^^t^e fonda an eowrs normal 
kDaloguo (\ celui dout il avait et«' nutf/mt pars au iHilytechnicuni de Milan •'). 
Mai», par suite dt> la uiuivi'lle dinn-tion que prvnait toajours plus claire- 
nieut reuMMguenteut dtvi uiathematiquea pure« en Italie, oee cours normaux 



4 



1) C* t)uu>(i«ni(iiil tl» ilomicile »ut \i«ii »u t>iintMn)ks 1874. 

i) V«ir U dii«Hitii* |tn>u<ino«^ »iix i>k*i\|u«« <(* ikB«t<>xt p«r M. C«&ju>ni et publik 
dan« l» n '.'1 ttii Uo)l»tthiit lUII» ««««i^li il«itlt iage|rB*ri ed architetti 
italiani, lv)08 

3) M ItKNiiwi aiiivit »u IHTa |St4 un b««u c<*«n «or la tMode dec trus- 
foniiatioui liirikti»iin(t||i>a lUm li< \\\m\ »I lUni rMi|>»r« 



Lui^ Cremoua et bou wurre muthematique. 



183 



täient fatalement destines ü etre siipprinieB. D'ailleurs la vigonreuse 
orgiinisation que Cicemona avait tout de auite doonee a l'ficole qii'il 
dirigeait, translbrma bientöt le rüle du directeur, de celui d'organipateiir 
en celui d'adnünistrateur; comme ce röle n'absorbuit plus toute sou 
admirable activite, ("kkmona pensa qu'il pouvait bien 1p laisser h d'autres, 
et, en revenant a hi science pure, reiuplir Ica vteux dp ceux qui vojaient 
trop Boavent la plunie magique du grand mathiMiiatieien loiubard des- 
wuvree. Suivant cette idee, il agröa un projet fitrmuli' jyiir Bktti et DiNl 
et approuTe aussi par M. Hkktini, d'apn's Icqupl ii iiurait dil occuper 
la chaire de geomötrie superieure dtuis l'universite (k> l'ise. Mais le 
niinistre de rinstruction publique (M. Coi'l'lNo) nc voulut jms jicnlr*» 
sa collaboration savaiite et ferme, et (appuye eu cela par Q. Ski.i.a) ii 
imposa ä TiiKMONA, couimc devoir de bou ])atriote. de ne pas quitter bi 
ieapitale du royaume. Toutefois, pour reiidre poseible son retour ä la 
science pure, un arrete royal du 10 novenibre 1877 lui donna la chaire 
de Hiathematiques sup^rieurt's ä l'universite de Knnie au lieu de Celle de 
statique graphique qu'il occupait ii l'eeoie polytecliuique, Cette disposition 
du gouvemement n'a pas inanque son but; car eile permit a CuKMONA 
«i'pxposer de ga chaire les nonvelles nielliudeH geonietriquea') et IVntraina k po 
tourner enoore du röte des uiatheuiatiques, cliaque J'ihb que sou esprit netait 
poB occupe ailleurs: des recherches sur les cnurbes gauches et les surfaces 
du 3® ordre et snr les transformations de l'espace, ibrnt nons avons dejä 
parl^, et m?me d'autres de nature dirt'erente fllOJ, sont lii |>uur le prnuver. 
Pour en finir avec le» places occupees par (Ikkmona dans Imstruotion 
publique, il faut ajouter qu'en 1888 — 1889 il fit ä Rome le premier cours 
de „geometrie analytique et projective", institue d'apres sa proposition. 
L'importance de ce cours doit se chercher dans l'idee de fondre les 
metliodes analytique et synthetique dans une seule; le but, plutüt didactique 
qne BcientiKque, de cette innovation, etait de reduire un pen l'enseignement 
raatheniatique des futurs ingenieurs. Par consequence, Cukmona, ayant 
toujours en vue les theorcmes aussi hien que les denicmstratious, exposait 
toutes les quegtions, que d'ordinaire on apprend en Itiilie dans les cours 
universitaires separes de geometrie analytique et de geometrie projective, 
cn traitant chacune par le procede qui lui paraissait le plus simple et le 
plus elegant; il s'agissait donc plutüt d'uu inelange que d'iuie vraie 
fasion*). Le cours initie par Ckkmona subsiste encore h Home et a et^ 
fonde en quelques autres universites italiennes. 



1) Ed hiver 1879 il ent Gkoknhm'er parmi sca anditears. 

2) Je dois ces renfiei^emeuts :'i M. F. UitBnA^Lni, qui etait en 1888 — 1889 
•«irtant de Cbbmoüa. 



Ig4 Gno LoaiA. 

16. Gremona dans l'administration publique ei oa goavenienient 

Par arr^te royal da 16 mars 1879, Cremona fdt ela senatenr; et le 
s&at ne fut pas poor lui une sine cura, mais an champ tres noble, oü ü 
pnt developper son intarissable activite. £n 1880, le ministre de Sanctis 
le nomma commissaire du goaTemement poar mettre en ordre la biblio- 
theque „Vittorio Emanaele'' de Rome, charge qu'il accepta a contrecoeor 
et qui lai procora ringt -an mois de travail acbame et ennayeax, an 
beut desqaels one vie toat-ä-fait noareUe commenfa poar cet important 
Institut. L'ann^e saivante, Sella lui ofiit le portefeuille de Tinstraction 
publique, mais Cremona ne jugea pas devoir prendre place dans an 
ministere succedant ä celai qui avait ete preside par son ami personnel 
et poUtiqae B. Cairoli •). Pendant la XX* legislature, il fat nomme vice- 
president du senat (arrete du 5 avril 1877), charge qu'il dut abandonner 
poar etre ministre de l'instruction publique; mais des evenements de 
politique generale ne le tinrent au pouvoir qu'un mois (1 — 29 juin 1898); 
Toilä une chose tres regrettable, car les ecoles italiennes pouraient attendxe 
un grand benefice d'un homme de süperbe inteUigence, ne pour gou- 
vemer, qui depuis quarante ans vivait en continuel contact avec 
professeurs et etudiants et qui, si^eant souvent au conseil superieur de 
l'instruction publique, arait dejä eierce une action tres appreciee.*) En 
1900 Crehoma fut nomme president de la commission d'enquete sur les 
bätiments publiques de Rome, et peu apres (15 decembre 1900) president 
de Celle chargee d'un rapport sur les causes de la malheureuse chüte 
des digues du Tibre et sur les moyens d'en empecher le malheur de se 
renouveler; le savant rapport general, quecriyit Cremona dans cette 
oceasion''), lui coüt^ trois mois de travail continuel et est Traiment un 
modele du genre; Taroir redige, lorsque la maladie le minait, contribua 
certainement si aggraver l'etnt dejä precaire de sa sante. 

Les nombreux rapports et les beaux discours que Cremona fit aa 
Senat sur des questions d'enseignement renferment une teile somme de 
science d'education qu'il est ä regretter qu'ils soient oifouis dans an 



1) M. Veronesr a publie daug m Commtmoraiüme la magnifiqne lettre de lenon- 
cement. 

2) Le seul acte de Crkmoka comme ministre qui doub est coimii, est le projet 
de fonder nn grand poljtechnicum ä Turin, en r^unissant l'ecole d'application de« 
ingenieurs au musee industriel; ce projet (qui, bien qu'approuve par le eoiueil des 
ministres, ne put pas etre preseut« au Parlemeut) est ü present en irain d'exäcntion. 
Comp. A. Mosso, Di un politecnico a Torino (Nuova antologia, 1 däcembie 1903). 

3) Yoyes le beau voluine: Atti dethi Commimon« nominata dei Ministro dei lavori 
ptMUei per riferirt sui danui ai muntgiiimi <M Tevtr« t pntporrt i necessari prowedimetai 
^Roma, tipo-litografia dei geuio i-ivile 1901). 4*>, 266 p. avec 7 grandes tables. 



aqn«. 



reoueil que personne ne lit sans y etre coutraint, et je suis sfir que si 

xat editeur les publiait tous enserable, tout le uionde y poiirrait apprendre 

et gagner. Le point le plus luniuieux que presente s<m wuvrc au senat 

correspond ä l'epoque oü celui-ci dut s'occuper des nouvelles loia d'iu- 

stTui'tion superieure. G. Bai'cei,i-i, ministre de l'instruction ]>ubliqin>. 

prt'senta le 1" mars 1884 un projet de loi intitule „Modificazioni alle 

leggi vigeuti per l'istruzione supertore del Kegno", que la chambre des 

depute» avait fini par approuver ä une faibie niajorite. apres ime dis- 

cuBsiiin qui avait dure 41 seances (20 uoveinbre 1883 — 28 terrier 1884). 

'-^ le s^Dat se nioutra tout de suite hustile au principe li'autouoinie uni- 

versitaire qui formait la base de ce projet; et lorsque M. Coppino eut 

suceede conime ministre h Hacikiaa, le l)ureau du senat tra<,'a les lignes 

ff«nerales d'un contre-projet, eu chargeant (^kkmona de lui doniier la 

'orrae complete et detinitive. Ckemona accepta cette täche et la remplit 

*vec r^nergie et la hauteur qui caracterisent tous les actes de sa vie; et 

'* 15 raars 1885 il put jiresenter au senat son eontre-prnjet, precedl 

" Un long rapport oü toutes les cjuestiims relatives aux luüversites sont 

^•^^68 a fond et oii la proiundeiir de In doctrine n'est surpassee que 

P**r la logique rigoureuse de leuseuilde ')• M. (.'oi'PlNo, qui etait encore 

•*nniBtre, accepta les idees iondameutales du rapport de <'kkmona et le 

®^nat discut^ (seances 27 u()veml)re 1886 — 25 janvier 1887) le coutre- 

P''«jet de 8on bureau et Unit par lapprourer^). Mais la chute du nitni8t«>re 

(.•^9 juillet 1887), ou peut-etre eette iassitude qui euvabit les asserablees 

*>on moins que les hoiiinies lorsqu'eUes se sout occu|)ees longtemps {l'un 

"^^Hie sujet (particulii^rement en Italie quand'il s'agit de lois il'instruction) 

****ipecherent ce beau projet de devenir loi d'etat. Le long et s€rieux 

*^»vafl fnit il y a dix-liuit ans jiar le senat Italien n'a done pas encore 

**'^i»ne de resultats visibles; toiitef'ois je suis perstuide qu'il ne restera pas 

'•'^ujours sterile, et le rapport de ('iiemdna parait ä nies yeux C()ninip une 

5*H»eucp precieuse, qui aitend du destin un terrain favorable. un air 

^'v-ifiant et un soleil assez chaud pour donner les fruits auxquels la 

**^ture l'a destine. 

('e combat entre le bureau du s6uat et le gouvemenient est peut-etre 
*^*lui qui fit le plus gruud bruit, mais ce n'est pas le seul dont notre 
**^V(»nt ait et^ le heros. 11 f'unt, eu ettet, se Souvenir que P. Bosioi.li. 
"^OTB ministre de rinstruetion publique, presenta au senat du royaume 
<«'Italie (»&uiee du 14 juin 188ft) un prfijet de loi ayant pour but de 

■ I) Voyms: Senato del regvo. Semont 1882— S3- 84— 85— 86. Atti intemi Vol. UI, 

•ö8«. N. 100-A. 

2) Voyea: Atti parlamentari della Camera dti »enaiori, Dücussiotu. LegiBla- 
^**n XVI, SeMiODe 1886, p. 242 et guiv. 



186 



Qm» Lou^. 



donner une rie nouvelle ä l'enseignement pratique dans les eeoles d'arpfii- 
tecture, dont le nireau etait descendu trop bas. (>r le 3 fe^Tier saisant, 
Cremoma presentait, au noni da bureaa, an rapport magnitique, oft etaienkj 
exposees lee raisons, de fait et de principe, pour lesquelles le s&iat, toul 
en applaudissant s l'initiative prise par le gouvemement, deelaniit qu 
n'etüit pas favorable aux moyens indiques pour atteindre le but ilesire 
en proposait d'autres raeilleurs. Et 1« ministre, trourant tout-ä-fait senseea 
les raisons enumerees et les propositions faites. abandnnnait son proj 
pour ie contre-projet, qui bientöt obtint l'approbation du senat'). 

Pour ßnir, U nous faut dire quelques mots d'iin demier sueces nbtenu 
par Cremona au s^nat. Dans la seance du 15 avril 1902 le ministre di 
Tagriculture, d'accord avec ses collogue» de rinstruction jjublique et d 
finances, presentait ä cette assemblee un projet de loi, fernie par un sei 
artiele, ayant pour titre: ^Scanibio di alcnni serrizi tra il ministero de] 
pabblica istruKione e<l il ministero di agriooltura. industria e comniercio' 
Sous la troiupeuse uiodestie de ce titre. se caohait nne r^torme ertreoiemenl 
grave, car. si ce projet eut abouti, le« institut« teohniques auraient subi 
an demembrement complet. Or le bureau du senat, mesurant sans pei 
toute la jiortee de rette reforme, jugea quelle n etait pas tnftre et qu"el 
pouTait deveuir dangerense; il decida en consequence de s"y opposer 
chargea Cremona de rediger le rapport dans ce sens. Notre math^matici 
s'acquitta de cette charge d'une manii're qu'on ne aanrait assez louer')' 
et le Senat, adoptant les id^s de son bureau. ajouma toute d^liberation 
sur le projet ministeriel et rejet« ce projet: l'inti^gritc des institut« 
techniqnes fut ainsi sauv^. 

Ce rapport de ("kkmona porte la date 6 mal 1903; le style eleve 
rigourenx avec lequel il est ecrit, la sobre erudition dont il est rempli, 
robustes argumentations qui en formeut la squelette et mdme la fine iro: 
<iui perce sous la forme compnssee d'un docunient ofliciel, tout jtrouve 1« 
persistaute vigueur intellectuelle dout juuissait notre sarant^ malgre ses 73 
ans. Et il faut remarquer que Crkmona s'en occupa dans une epoque oü , 
il ctait presque chaque jour attaqiie jwr <K>s crises anginoidalee, causees pw^| 
les progri'S de Tarteriosclerose. Malgre ses souffrancea, le 6 juin demier. li^\ 
voulut reuuir encore uue fois le conseil dt«s profissaeors de l'ecole qn'U 
dirig»*ait; vingt-quatre heures plus tard uue violejit«? attaque d'angine de 
poitrine uiiuon^ait In tin de si> noble vie; il pertlit bieutöt l'usage de la parole, 
et son bcau reganl ne se rauimu plus t|ue par ummeut« ä lapprucbe de sa 
aeconde feninie (^Anna Maxkk M('I.I.KK') et de ses trois fils: le 10 juin la 
nouvelle Italie apjirenait la perte im'pwnibl« du plus grand de ses geonietres. 

1) ToiM Im do«umi>nta r»l»lifM ik c«tt* ifitMtio« •• trouT»ut publica dans 
leT. IM, 1890, p. Mi-60&, et ««»-HIK^ «bi l4oU»tliiiü ufficial« dfW istrusion«. 





Luigi Cremoua et son fuuvre mathi^matique. 



187 



est aiiiei que tomba k viiillfint et courugeiix combattaut. frappe en 

plein coeur, mais avec les urnies ä la maiii et sans avoir (lonne le moindre 

signe de faiblesse ou de lassitude. Si Fiufatigable uuvrier, urrive & la 

ÜB de sa feconde journee, en pronon^ant sereinement le nunc dimittis, a 

Jett' un retard sur l'u-uvre accomplie, il aiira jni recnnnaitre. avec un 

"igiieil bien legitime, <[ue tonte sa vie avait ete depensee poiir la science 

et pour la patrie. A l'ltalie il ofifrit le aecoiurs de son brae et le sacrifice 

<le s« Tie, en bravant la luort dang les lüttes pour l'independance; le «ort 

liivant epargne, il put reudre d'autres grauds Services ä son pays fonime 

profpsseur, comme seuateur, comme iiiinistre, et s'acquittant avec droiture, 

iütelligence et fermete des charges difheiles que le gouvernenient ini 

'vintiait sans cesse. Non uiiiinilrfs sont les ohügationa que la scieuce a 

eovers lui; ses nombreuses i)ul)li<Mtiiius n)Htlic?uatiqHe8 d'uue valeur extra- 

ordinaire en raison de retendue (in idiauip qu'elles embrasaent. de 

J'i niportance des resultats quVdles ont iiiit acquerir ä la science et de 

11» merveilleuse erudition (juVm y troiive, en stint le brillant temoignage. 

Sons le rapport de Yvlendue, bonums-nous ä reniarquer qu'elles eni- 

lir^Lssent toutes les brancbes de la geometrie, depuis l'humble trigouo- 

U«trie'), jusqu'ä la süperbe tbeorie des espaces ii pliisieurs diineusions 

^•v-oir [98J. fl03|. [109]), et toutes les branches de lanalyse depuis bi 

tlxeorie des determinants jusqu'ä celle des fonetions abeliennes; ajoutons 

<lUe pour resoudre les queetiona qu'il rencontrait. Ckkmuna, eu s'in- 

irant ä un eclecticisme bien entendu, faiyait recours i\ tous les pro- 

les qui lui semblaient utiles, depula les methodcs clasniques de l'aualyse 

'Ä plus rigoureuse jusiiu'ii Celles, un [reu Fantaisistes et pnur cela encore 

•lieciitees, de la genmetrie enumerative. 

Sous le rapport de Vviiportaitce, observons (jue les cimsequences aux- 
Mtielles Ckemoxa arriva, sont tellement detinitives que l'histoire a prononc^ 
**®ja Bur elles un jugement sans appel; en eftet ponr la thenrie des cubiques 
üfauches et des surfacet* du 3* rirdre, il est inscrit parmi les fondateurs; 
^*» traites sur la theorie generale des cuurbes planes et des siirfaces alge- 
"riques sont entre les mains detudiants et de professeurs de tous les pays 
'^^vilj^.g^ e{, gur ]pg propositioni^ tpii forment la theorie dos transfomiations 
'*tionnelle8, il a de droits de propriete que personne n'essaiera janiais de 
'**' contester. Les geomctres qui le suivirent, purent bien ajouter des 
«aux ä bi chaine d'or forgee par lui; mais personne ne put tronver la 
ojndre imperfection dons les anneanx precedents; quel nieilleur cloge pour- 
*^»t-<in t'aire dans une epoque revolutionnaire et iconociaste coinme la iiotre? 

I) Comp. Nonv. aun. de mathem. Sa, p. 73, oü est i'aoncee iine ilKmotiHtration 
**<«niu'« |,ar Cnkhoxa de certaines relatiuos (»Qnestiou 681") entre les au^lea ri'nn 
**^*«»l?le rnciilignc 



«.' 



188 



Gdto Losia. 



il ll 

emej 

J 



Enfio Vrrttditio» de premiere mnin. gi rii-he daus toutes les pniductio 
de notre mftthematicien, merite detre remurquee, cur par eile on arrive 
connaitre ses procedes de recherche et ä B'expliquer comment, dwu 
periode relativement courte oi^ il se congacrn tout entier ä la ecienc«. il 
ait pii y donner un si grand nnmbre de contributionB si important«. 
Crkmona, bieu persuad^ que toute la science de la vje enseignc que ce 
qui est nouveau, pour avoir droit a vivre et gubsister, doit pouseer (.'omine 
une branche vigoureuse sur un tronc. ancien, dans chaque occ«sion nii il 
dut traiter quelqiie quetition (de geumetrie ou d'enseignenient ou nieme 
d'admLuißtration), comnien^'Ait par etudier a fond tout ee qui avait 
fait 8ur ce sujet; ayant pris ainsi exacte connaissance des regions d^ 
ex])lorees, il partait avec courage vers la (ei-ra incognita; et rexperience 
acquise s'alliant ä son genie naturel, le portait sfirenient a un but öloi^e 
Profonde et sage maniere de travail, que derraient apprendre ceux qui, 
iuloptant la gdtte maxime „beati qui nihil legunt, omnia invenient", preferent 
gaspiUer le teuips ä retrouver ce qui est ('(innu, au lieu detudier Iffi 
travaux anciend pour se mettre ü niesnre den faire de nouveaox. 

Une demiere note caract^ristique de la production cremonienoe meril 
dV^lre remarquee, fe fut sa rapiditr adinirable. ()r, si personne ne songe 
deniander cumbien de veilleH a euAte au Dantk la Divina commedia, ni 
combien de joumees furent peintee les loges de Kai'HAEL, puisque 1( 
biographes de Viot<iK Hl'oo constatent avec ebahisseraent qu'il eorivit 
Lf roi s'amiise en ringt jours et Hernani en vingt-nept. il nous sem^ 
bien perniis de remarquer le peu de temps qui fut neoeüisaire s CitEMOiU^| 
pour eomposer ces mömoires adniirables, dont la i)erfection, exterieure et 
Interieure, semblerait le fruit dun long travalL ^m 



La revolution fran^'aise venait d'^elater quand tout ä coup, ä la veüle 
des terribles eveneiuentH qui devraient bouleverser la France, MlKADKAl' 
inanqua ü l'adiniration passiounee de son pars. Eh bien, l'histuire 
aBSure que dans le» jours qui suivirent sa ninrt, quand ä l'Assemblee 
nationale on Be d«5battait fie\Teueement pour resoudre les queBtioas dont 
dependait le salut de la France, tous les yeux se toumaient instinotivenient 
vers la place vide du grand tribun et seuiblcrent deniander ä Dieu nn. 
minicle pour entendre encore la Toix inspir^ du piüssant orateor. fl| 

Or, apri-s la niort de CiiEMONA. le nienie sentiment de, vide in- 
Bupportable nous euvahit k notre tour, nous qui nous adonnons ä l'etude 
de la gfometrie, nous qui, du plus euunent au plus modeste, cherissonsi 
l'idee d'etre fils ou petit-tils du grand utatheumticien, dont un conseil 
aujical ou un encourageraent bienvrillant ne nous faisait defaut en aucune 
occasion. Moius nutlhtiureux pourtiiut que les couteujpürainB de MlKABEJ 




Lnigi Ciemona et son OBUTie mathämatiqne. 189 

nous pouvons encore eroquer la voix du maitre illustre et venera; car 
868 Oeuvres immortelles sont lä, guide vaillant et sür, source d'enseigne- 
ment et d'mspiration qui ne tarira jamais. 
Genes, 31 janvier 1904. 



Liste chronologiqae des publications mathömatiqfaes de L. Gremona'). 

1855. 

1. Suüe tangenti sfero-conjugate. [Paria, 3 Settembre 1855.] Annali di sc. 
mfttem. 6, p. 882—892. 

1856. 

2. HUomo ad un teorema di Äatu [Paria, 2 Maggio 1856.] Annali di bc. 
m»tem. 7, p. 99—105. 

1857. 

3. Nota intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria. [Cremona, 6 Agosto 
1857.] Progiamma dell' LB. ginnasio liceale di Cremona, alla fine dell' 
anno Bcolaatico 1857, p. 1 — 14. 

4. Sw lea questiona 321 et 322 fvoir t. XV, p. 154). Nout. ann. de mathäm. 16, 
P- 41-43. 

5. Sohitio» analytique de Ja question 344 (Makiiueim) (voir t. XV, p. 383). 
^onr. ann. de math^m. 16, p. 79—82. 

6. Seeonde Solution de la question 368 (Cayley) (voir p. 192). Nouv. ann. 
■i« mathöni. 16, p. 250. 

7. Seamde Solution de la question 369 fvoir p. 192). Nout. ann. de mathäm. 16, 
P 251-252. 

1858. 

8. Bivista bibliografica. Beiträge zur Geometrie der iMge, von Dr. K. O. ü. 
'■»* Stabdi. Nürnberg 1856 — 1857. [1 Marzo 1858.] Annali di matem. 1, 
P- 125-128. 

9. SuBe linee del tert'ordine a doppia iMrvatura. Nota. [Cremona, Aprile e 
•^^igno 1858.] Annali di matem. 1, p. 164-174, 278—295. 

1859. 

10. Sutte linee del tert'ordine a doppia eurvatura. Teoremi. [Cremona, Ottobre 
1858.] Annali di matem. 2, p. 19—29. 

11. Intorno edle superfieie detta seconda classe inscritte in una stessa superficie 
**ibippabHe della quarta classe. Nota. [Cremona, 14 Dicembre 1858.] Annali di 
matem. 8, p. 65—81. 

12. Intorno aUe eonidie inseritle in una stessa superficie sviluppabile del quart'ordine 
(fieriadasse). Nota. [Cremona, 22 Febbrajo 1859.] Annali di matem. 2, p. 201— 207 
[roii un Enratnm id. T. 8, p. 884]. 



1) Le« dates entre [] BOnt ou Celles indiquäes par l'auteur lui-meme on Celles 
^■tenoei acad&niqnea od ent lien la lecture des diffärents travanx. On a omis de 
noter les rapporta aoadämiqneB et gimilaireg. 



190 



GiKU T<OMIA. 



13. Solution de la question «5 Cvoir T XVIIJ, p. 186J. Nouv. »nn. de 
raathem. 18, p. 199—204. 

1860. 

14. Solution de In qucHion 464 (voir T. XVIII, p. 117). Nouv. ann. ie 
matb^m. 19, p. 149—151. 

15. Solution de la question 465 (wir T. XVIII, p. 117.). Nouv ann. d« 
mathem. 19, p. 151—153. 

16. 8w Ua coniquet aphrriques et nourelle Solution genirale de la question 49^^- 
NonT. ann. <ie mathem. 19, p. 269—279. • 

17. Solutions d<^ question« 494 et 499; methode de Oihsiimaks et proprieti dt ^^^ 
cubique gauche. Nouv. aun. de tnatböm. 19, p. 356 — 361. 

18. Sopra un problema generale di geometria. [Milano, 1 Oiugoo 1860.] Anoa^^B' 
di matem. S, p. 101—171. 

19. liicista bibliogmfiea: Sülle superficie di second' ordine omofocaK. Anntl^^i 
di matem. Ü, p. 241-244. 

20. Sülle eoniche e suUe gujierficie di second^ ordine congiunte. [Bologna, 12 Dicembc^^Bt 
1860.J Annali di matcm. 8, p. 257—282. 

21. Intomo ad una proprietti delle superficie curve, die comprende in si comt 
partiwlare U trorema di Dens sulle langend conjugate. [Bologna, 3 Genn^jo 186 
Aunali di matem. 3, p 325 — 335. 

22. t^onsiderationi di storia delle geometria, in oecasione di un libro di gtvmetrr 
elementare pubUicato recentemente a i'irenze. [Creniona, 28 Maizo 1859 Additioz: 
9 Maggio 1860.] II politccuico 9, p. 286—328. 

23. Intomo ad ttn' operetia di GtorAnir: Ckt*, matemalico milatten del secoto X K. 



I 



1861. 



84. Sur quelques propriiif,i des lignes gauches de troisieme ordre et dasse. 
27 mtM 1860.] Journ. für Mathem. 58, p. 138—150. 

25. Frolusione al corso di geometria superiore letta nelT univeraitä di Boloi 
ntl novembre 1860. II politecnico 10, p. 22 — 42. 

26. iL. c.) Trattato di prospettifa rilieco. Traiti de perspective reliefpar M. Pt,m 
Paris 1800. II politecnico 11, p. 103—108. 

27. Sulle superficie gobbe del teno ordine. [Bologna, 1 Febbnuo 1861. Additi' 
9 Marzo 1801.] Atti dell' igt. Lomb. [Milano] 8, p. 291—302. 

28. Inlortw alla curva gobba del quart' ordine per la quäle passa uita sola suj 
di secondo grado. Memoria [letta ai 7 di Marzo 1861 davanti all' accadomia d« 
Hcienze dell' i»tituto di Bologna]. jVnnali di matem. 4, p. 71—101. Rend. de 
Bcc. d. BC. di Bologna 1860—1861, p. 58—63. 

29. Introdutione ad una teoria geometrica ddle curve piane. [Seasione 19 Dicem 
1861.] Mem. dell' acc d. sc. di Bologna 12, p. 305-436. 

30. Courbes gauches dicrites sur la surface d'un hyperboloide n une nappe. [Söi 
du 24juin 1861] Comptes rendna Pari» 62, p. 1319— 1323. Annali di mat9 
4, p. 22-25. 



[liii I w 




ml3* 



1) C'egt le Beul des ouvrages de Ckshora que je ne connaie pas, qnoique .je 1 
oberche partout. Dans uue liste redig^c par Cuemona lui-möme, on lit qu'il eiit «: 
d'une Rivista giur[idicaV] ou ginn[a8iale':'] public en 1858; mais duii ancu 
bibliotbeque je n'ai trouve une tolle revue. 



Luigi Cremoiia ot »oa (ciivro miithetuiitiquv. 



191 



31. Eivista bihUo()rafica: 0. IIkssm, Vorksiingen über analijtiHehf Geometrie des 
Raumes, Leipzig 1861 [Bologua, 10 Febbrajo 1862] Aunali dl tnatem. 4, p. 109—111. 

32. Solution de ^l quettioti 545 (voir t. XIX, p. 402). Nour. aau. de mathem. 
20, p. 95—90. 

33. Sur la quegtion 317 (voir t. XV, p. 52), Nout. aun. de matbem. 20, 
p. 342—343. 

34 Sur UH proUime d'homoyrnphie CQutstion 396) (voir t. XVIII, p- 50). 
NouT. ann. de mathdm. 30, p. 452 — 456. 

1862. 

35. Intomo alle triisformazxone geometricn di utia ßijura piami in un'altrn pur 
j>iiiN<t, sotto la condizione che ad una retia qmilunqiie di ciiiacuHu delle due fiynre 
corritponda neir allra una sola retta. [Sessione 27 Marzo 1862.] Kend. dell' acc. 
d. »c di Bologna 1861—62, p. 88—91. 

36. Suüe trasformasioni geometriche delle flgure piane. Hcm. dell' acc. d. bc. 
di Bologna 82, p. 621—631. Gioru. di raateni. 1, 1868, p. 305-311. 

37. Sur lea turfacn diveloppahles du cinquieme ordre. [Seaocn du 17 mar« 1862. | 
Comptes rendui Paris &4, p. 604—608. 

38. Mhnoire de gf^miitne pure sur les CHbiques gauches. [Bologne, 21 avril 1861; 
iddilion 27 octobre 1862] Nouv. ann. de matböm. Ij, p. 287—304, 366—378, 
43« -446. 

89. Note »Uf le$ cubiqttes gauches. (Bologne, 24 juin 1861.) .lourn. für 
M»»hem. «0, p. 188—192. 

40. Sur les turfacea gauches du 5« degrc. [Bologne, 1 septoinbre 1861] .lourn. 
'ir ÜBthem. «0, p. 313-320. 

1863. 

41. Un teorema suHe cubiehe gobbe. f Cornigliano , 19 Sottembre 1868.) Cüorn. 
•" matem. 1, p. 278-280. 

42. Quettioni proposte 16 — 18. Tüorn. di niatem. I, p. 280. 

_ 43. Corritpondetua. [Lettre a N. Tkuui, datee: Cornigliano, 16 Sottembre 1863.] 
*»Otn. di matem. 1, p. 317—318. 

44. (Juestioni 10—22 (L. Eomjuiiik). Qtnettioni 23—25. Giern, di inatoni. I, 
318-819. 

45. Area dt un segmento di tetione conica. Qiorn. di matem. 1, p. 360—364. 

46. Sulla projezirmc iperboMdica di una cubicii gobba. Nota. [Bologne, 26 octobre 
'^2.1 Annali di matem. 6, p. 227—231. Giorn. di matem. 2, 1864, p. 122—126. 

47. Sulla teoria delle co»iche. Nota. [Cornigliano (prosso üenova), 4 Agosto 
^^^.] Annali di matem. 5, p. 330—381. Giorn. di matem. 1, p. 225-226. 

48. Bifisla bibliogrufica : üiueres de DtsAnavr.s reunies et analysees pur M. Povvmj. 
^natli di matem. 5, p. 332—336. Giorn. di matem. 2, 1864, p. 115—121. 

KM. 

49. Suüa teoria deüe cottiche. Nota. [Bologna, 21 Febbrajo 1864] Giorn. di 
■«»tem. 2, 17-20, 192. 

50. liivista bibliogrufica : Sulla teoria delle eoniche. [Bologna, NoTembre 1864.] 
Annali di niatom. «, p. 179—190. Giorn. di matom. 8, 1865, p. 60—64, 113—120. 

51. Consideurioni sulle curce piane del terz' ordiue, volle soluiioni delle questioni 
iSe!7 (T. 20 di questo gioniale, p. 39). [Bologna, 24 Maggio 1864] Giorn. di 
matem. 2, p. 78-85. 



h 



192 



Gu«o LoUA. 



4 



52. Questione 28. Giorn. di matem. 8, p. 30. 
53 Questioni 30—32. Giorn. di matem. 2, p. 62. 

54. Nunre ricerche di geometria pura nulle cttbiche gobbe cd in igpeei« aulla jximWii 
tfobba. Benii. dell' ai-c. d. sc. di Bologna 1863—64, p. 25— 28. Mem. dell' »cc 
d. BC. di Bologna Sj, p. 885—358; Giorn. di matem. 2, p. 202—210. 

55. Stir le nombre des coniqtie qui satisfont ä de* eonditionn doublet. [S^oe 
7 noTembre 1864.] Comptes renduB Paris ö9, p. 776-779. 

56. Sopra alame qiiestioni nefle teoria delle eurve piane. Annali di matem (i. 
p. 158—168. 

57. Sur les Hyperboloide) de rotation qui paasent par une eubique gauche donnii. 
(Bologne, octobre 1868.| Journ. für Mathem 68, p. 141—144. 

58. Sur la surface du quatriime ordre qui a ht propriele d'ctre coupie sukml 
deux eoniqucs par chacun de nes plann tangenta. [Bologne, 12 ferner 1864.] Jonin. 
für Mathem. «8, p. 315—328. 

59. <^»<i"o>i» 5G3, 564 et 565 (FaobmJ (wir t. XX, p. 56). Nouv. ann. 4« 
mathem. Sg, p. 21—25. 

60. Qutttiim 491 Cvoit t. XVIII, p. 443). Nout. ann. de mathem. f^, p. 25-30 

61. Questions 677, 1178 et 679 (Siukötms) («mV 2» lirie, T. II. p. 522). Noat 
ano. de mathem. 3-2» P- 31 — 33. 

62. Questiim StiO. Noqt. ann. de matböm. Sj» p. 127—129. H 

63. Quistioni 33—34. Giorn di matem. 2, p. 91 et 8, p. 81. ™ 

64. On the geometrieal traiiiformatiims of plane curren. Report of the meetini? 

beld at Bath in sept. 1864 by the Brit. aas. for advancement of icienc«i 

p. 3-4. 

IH65. 

65. Quiatiofie 44. Giorn. di matem. 3, p. 64 — 81. 

66. Sülle trasformazioni geometriche delle figure piane. Nota II. Rend. dell' 
aoc. d. sc. di Bologna 1864 — 65, p. 18—21. Mem. dell' acc. d. sc. Bologna, 6ii 
p. 8—35. Giorn. di matem. 8, p. 269—280, 863—376. 

67. Sur Vhi/pocychule ä trois rebroussements. [Bologne, 10 mai 1864.] Journ. ffit 
Mathem. «4, p. 101—123. 

68. DemoimtralitTn giomHrique de deux theorhiuti relatifs ä la gurfac« d'egale jtenU 
circoftscrite ä une ctmique. [Bologne, 19 uiai 1865.] Nonv. ann. do matfadm. 1; 
p. 271-276. 

69. (Mahoi Uiiuksi) Iprincipii della profpettira lineare aecondo Tirtoa [Ducentola, 
Settembre 1865.J Giorn. di matem. 3, p. 338—343. 

1868. 

70. On the fourteen-points conic. Messenger of mathem. 3, p. 18—14. 

71. (>n nomtali to conics; a neto treatement of the sulject. Messenger of 
mathem. 3, p. 88^^91. 

1867. 

72. Rappretentaiione della superficie di Stki-vkh e delle »uperficie gobbe di 3* 
grado sopra hm piatio. [Sdanoe 24 janvier 1867.] Rend. dell' ist. Lomb. 
[Milano] 4, p. 15—23. 

'73. Un teorema inlomo alle forme iptadrati^ non omogenee fra due variabili. 
[St^ance 27 jniu 1867|. Rend. dell' ist. I.omb. [Milano] 4, p. 199-201. 

74. Preliminari di una teoria geometriea delle »uperficie. Rend. dell' acc. d. 
• c. di Bologna. 1865—66, p. 76—77; 1866—67, p. 72—73. Mem. dell' acc. d. 
80. di Bologna «, p. 91—136; 7, p. 29—78. 




Luigi Cremona et ton cBiivre mathdmatique. 



19S 



75. Esirait iVune letlrc a M. Cuäbi.bs. [Sdanco 27 Mai 1867.] Comptes rendus 
I»»riB 64, p. 1079-1080. 

1868. 

76. Mimoire de i/eotnitrie pure svr les aurfaces du troiaiime ordre. Joiirn. für 
Mathem. 68, p. 1—133. 

77. Sopra una eerta favivßia di »uperficie ijobbe. [Se'ance 6 fevrier 1868.] Keud. 
dell* ist. Lomb. [MiUno] lo, p. 109-112. 

78. Soi>ra utia eerta curra gohUx di quart' ordine. [Söanco 19 mara 1868.] 
Bend. doli' ist. Lomb. [Milano] U, p. 199—202. 

79. SulV Opera del Prof. Casosati ,Teorica delle futuioni di variahili complesse" 
(vol. Ij. Belaiiouc. [Seanco 7 mai 1868.] Rond. doli' ist. Lomb. [Milano] lg, 
p. 420—424. 

80. linppresentasione di utM clause di nttperficie ifobbe sopra iin i>iano, e deUr- 
minasione deüe loro cwrve asintolicl\e. Annali di matem. I2, p. 24S— 259. 

1869. 

81. SuUe superficie gobbe di qnarto gmdo. Read, doli' acc. d. bo. di Bologna 
1868—69, p. 06—97. Mem. doli' acc. d. bo. di Bologna 8j, p. 235—250. 

82. SMe trasformasione deüe vurve ipereUitidie. [Stjauce 29 ayril 1869) Ileud. 
deir ist. Lomb. [Milano] 2o, p. 566—571. 

88. (Avec F. CA.HniuTt.) Intorno al numero de' moduli delle equwiioHi e delle curve 
«kfehriche di daUi genere. Osseroazioni. [Seanco 13 Mai 1869.] Rend. dell' i»t. Lomb. 
(Milano] Z«, p. 620-625. 

84. (Avec F. Bkiuhciii.) AI sig. direttore del Oiomale di matematiche ad luo 
<i«ffli ftudertli delle univertää italiane. [AUlano, 24 Febbrajo 1869.] Qiorn. di luatem. 7, 
I». 51— 54 

1870. 

85. Stdle venliaelte rette di una tuperfieie del terso ordine. [S^ance 24 man 1870.] 
Rond. deir ist. Lomb. [Milano] 82, p. 209—219. 

86. SugV integrali a differenziale algebrico. [S^nce 8 avril 1869.] Mem. doli' 
^cc. d. Bc. di Bolugua, IO2, p. 3 — 33. 

87. Letltra in lode del I'ukj. Mem. doli' acc. d. bc. di Bologna Ij, p. 40 — 41. 

88. SuU« linee di curvatura delle super/icie di 2" gradu. Memoria letta ttetla 
■mesmone J3 Maggio 1870. Rend. doli' acc, d. sc. di Bologna 1870—71, p. 86— 88. 

llem. doli' acc. d. bc. di Bologna l», p. 49—67. 

89. Sulla tranfoi'mazione rationale di 3" grado neUo spaeio, la cui inveraa k di 
■4" grado. Mom. doli' acc. d. sc. di Bologna I3, p. 365—386. 

'JO. Obsertalion» geomHri(iites ä propos de la nole de Mr. Bkiohvui „Sur le» tangentea 
doubks d'une courbe du 4* ordre avec un point double"^. [Milan, avril 1871. { Mathem. 
Ann. 4, p. 99-102. 

91. Über Abbildung algebraischer Flächen. Nachr. d. GeBellsch. d. Wibb. 
in Göttingon 1871, p. 129—148. Mathem. Ann. 4, p. 218—230. 

92. ShIUi »uperficie di quart' ordine, dotaia di una conica doppia. Nota. [S^auce 
9 man 1871.] Rend. doli' ist. Lomb. [Milano] h, p. 140—144. 

93. Sulla superficie di quart' ordine dotata di una conica doppia. Scconda ttota. 
[R^uce 23 mars 1871.] Rend. dell' ist. Lomb. [Milano] 4^, p. 159—169. 

94. Sülle tragformazioni raeionali della spaiio, Nota I. [Seance 4 mai 1871.] 
Itend. deir ist. Lomb. [Milano] 42, p. 269—279. 

95. Sülle trasforniiisioni razionuH dello spatio. Nota II. [Sdanco 1 juin 1871.] 
Hend. doli' ist. Lomb. [Milano] 4-i, p. 315—824. 

Bibltolheca MatbenwUca. 111. Folge. V. 18 



194 



OlMO LoBU. 



1872. 

96. Cotnmemorasiane di Clhbscu. Bend. dell' ist. Lomb. [Milano]5s} p 104| 
—1042. 

97. BapprcHüiaäone piana di aleune mperfieie algebriche dotate dt eurte eutpidaiti 
[Bianca 18 »vril 1872.] Mom. dell" »cc. d. sc. di Bologn», Ss, p. 117—128. 

98. SuHe iTanformmioni ra-iiunali delh spasio. Annali ili matem. »n p. 131 — 163 

99. Le figuTt redproche nella statica grafica. Milan (3« ed., Milan, Hoepli 187S 

100. Corrifpottdtnsa. [Milan, janriei 1872). Qiorn. di matem. 10, p. 47 — 48.' 

187S. 

101. Ekmenli di geomeiria prujetlica. Vol. I. Torino. 

1S74. 

102. Elementi di ealcolo grafico. Torino. 



1876. 

108. SttUa corrispondetixa fra la leoria dei gütlemi di reite e la teoria tMI* i 

fieie, jS^ance 6 juin 1><75.] Hern, dell' acc. dei Lincei [Koma] 83, p. 285 — 307. 

104. Sur Irs sysUincs de sphires et les systcmta de droites. Kep. of tbeBrit. aii.^^ 
1876 (Glasgow), p. 12-13. ^M 

1877. 

105. Ovserviuioni imll' hexagrammiim myaticum. Atti dell' acc. dei Lince^ 
[Roma], Tranannti 1), p. 142—143. 

106. 7'«>te»ii stcreinHetrici dei qunli si deducoHO le proprietn deW etagramma 
Pjbcäl. [Seauce 'V avril 1877.] Mcm. dell' acc. dei Lincei [UomaJ I3, p. 854 — 874 

1H78. 

107. über die I'oUirhexacder l>ei d^ Flächen dritter Ordnun;). |Am 19. Sept. 187 
der NaturforncherverBammlung iu München vorgelegt.] Matbem Ann. IS, ji. 301 — 30S. 

108. (Avec E. Bki.iiumi.) DmiksicD Cuaiwi. Oioru. di matens. 16, p. 345. 

1879. 1 

109. Sulk gujterficie e le curee cha passano pei vertici d' infiniti poliedri formati 
da piani oseiilatori di utui cuOica gobba. [S^auce 17 avril 1873.] Bend. dell' ist. Lomi 
[Milano] 12-2, p 347—352. 

110. Commcmurasiore di Domkaicd Ciiitiim (Atti dell' acc. dei Lincei) 
[Roma], Transunti 83, p. 53—57. Bullet, d. sc. mathcm. 8.., p. 228—238 

1881. 

111. F.Unco delle puMioationi scienti ficht di Douusico Ckuaki. Collect 
matbematica (Milano), p. XXK— X^XXH. 

112. Sopra una eerta superficie di quarl' ordinr [Roma, Oingno 1881 J. Cof 
tanea matbematica iMilano), p. 413—424. 

1883. 

118. Onrnnemoracione dei prof. E. J. S. Suitu. Atti dell" acc. dei Lincei, 
[Roma], Tranaunti 73, p. 162—168. 

114. Contmemoraxione di W . Sfottuwoodm. Atti dell' acc. dei Lincei [Ro 
Transunti "s, p. 308—309. 



incei^_ 
omal^H 

JI 



Luigi Cremona et son ceuTie math^matique. 195 

1884. 

115. Sopra una trasfornuuione biratiotiale del 6° grado delh spatio a tredimensioni, 
lacMi inversa e del 5" grado. [Lue 28 ayril 1884.] Proc. of the London mathem. 
Society 16, p. 242—246. 

116. On a geometrieal transformation oftho 4'^ order, in space ofthree dimensions, 
(ke inverse beeing of the 6" order. [Lue S.mai 1884.] Trans, of the Irish ac. 
[Dublin] 28, p. 279—284. 

1885. 

117. Esempü) del metodo di dedurre una superficie da una figura piana. [S^nce 
21 »Tiil 1884.] Proc. of the royal goc. of Edinburgh 12, p. 599—601. 

118. An example of tlie method ofdeducing a surfaee froma plane figure. [Seance 
21 aTril 1884.] Trane, of the royal boc. of Edinburgh 82:2, p. 411—413. 

1895. 

119. Queation 470. L'intermödiaire dee math^maticiens 2, p. 20. 

1900. 

120. Commemoraeione del senatore prof. Euuekio Emtsaui. Atti dell' acc. 
dei Lincei [Roma], Adunanza solenne 1900, p. 462-472. Rend. del circ. matem. 
ii Palermo 14, p. 275—289; Giorn. di matem. 88, p. 355—875; Opere mate- 
matiche di Euoemo Bkltbami, T. L p. IX— XXII. 



18* 



196 U. Ehkstböm. 



Ist es zweckmäßig, daß mathematische Zeitschriftenartikel 

datiert werden? 

Von G. Eneström in Stockholm. 

Während der letzten Jahrzehnte ist das mathematiBche ForschungB- 
gebiet durch Entdeckung ganz neuer Theorien höchst wesentlich erweitert 
worden, aber der Zuwachs der Zahl von Arbeitern auf diesem Gebiete 
scheint noch rascher gewesen zu sein, so daß es in unseren Tagen woU 
öfter als früher vorkommt, daß zwei oder mehrere Mathematiker sich mit 
demselben Gegenstande beschäftigen. Aus diesem Grunde ist es nunmehr 
nicht selten schwer zu entscheiden, wer zuerst einen neuen Satz aufge- 
stellt oder eine neue Methode entdeckt hat, in zweifelhaften Fallen liegt 
es wohl dabei am nächsten zu untersuchen, in welcher Schrift der Satz 
oder die Methode zuerst veröffentlicht worden ist. Aber auch wenn man 
annähme, daß jeder Forscher sich beeilte, seine Entdeckung«! für den 
Druck zu redigieren, so wäre es dennoch gar nicht sicher, daß die Schrift 
des ersten Entdeckers auch zuerst zum Abdruck gelangen würde. Im Gegen- 
teil kommt es ziemlich oft vor, daß von zwei Abhandlungen, die gleich- 
zeitig zur Veröffentlichung fertig sind, die eine sogleich erscheint, aber 
die andere auf Grund ungünstiger Verhältnisse viele Monate unherans- 
gegeben liegt. Unter solchen Umständen muß zuweilen die Entscheidung 
von l'rioritätsfragen besonders schwierig werden, und da Fragen dieser 
Art nicht nur für die betreffenden Forscher selbst, sondern auch für den 
Historiker von Interesse sind, so wäre es gut, wenn es ein Verfahren 
gäbe, wodurch wenigstens eine Verzögerung in betreff der Drucklegung 
schon fertiger Schriften für die Entscheidung der Prioritätsfrage be- 
deutungslos würde. Ein solches Verfahren ist anscheinend das Hinzu- 
fügen des Datums des Tages, wo eine Schrift beendet worden ist, und 
dadurch würde also dem ersten Entdecker eines Satzes das ihm gebührende 
Recht gewährt, vorausgesetzt daß er nicht selbst unterläßt, die Maßregeln 
zu ergreifen, die ihm dazu helfen können. 

Dies überaus einfache Verfahren ist gewiß sehr zu empfehlen, wenn 
der Leser einer gedruckten Schrift sicher seiu kann, daß ihr Inhalt mit 



riftenuükel datiert werdeu? 197 



dem dee entsprechenden Manuskriptes identisch ist, und in der Tat gibt 
es Verfasser, die beim Korrekturlesen nur die etwaigen SatzfcLler ündem. 
Auf der anderen Seite finden sich, wie jeder Herausgeber einer Zeitschrift 
aus eigener Erfahrung kennt, viele Verfasser, die in die Korrekturen mehr 
oder weniger wesentliche Verbesserungen der zum Absatz gelangten 
Mannskripte anbringen. Zuweilen kommt es auch vor, daß ein Verfasser 
noch vor dem Absätze seines Artikels den Herausgeber ersucht, gewisse 
Verbesserungen einzelner Stellen im Mtmuskripte selbst hineinzutragen, und 
hier tritt also die Frage auf: „Wie weit dürfen einzelne Stellen einer 
.Schrift verändert werden, ohne daß es nötig ist, von zwei besonderen 
Redaktionen zu sprechen, und darum auch das ursprüngliche Uatnm mit 
einem anderen zu vertauschen?''. Aber auf diese Frage kann selbstver- 
stünfUich nie eine genügende Antwort gegeben werden, wenn man von 
einer solchen fordert, daß sie auch in schwierigen Fällen nuiBgebend sein 
soll. Anscheinend kleine Änderungen köimen auf Grund besonderer Um- 
stände wesentliche Bedeutung bekinnmen. und wenn der Hernusgeber einer 
Zeitschrift versuchen würde zu entscheiden, welche Änderungen als eine 
neue Bearbeitung zu betrachten wären, so würde er oft tinden, daß ihm 
die für diesen Zweck nötige Sachkunde fehlt. Ich bin selbst nicht ganz 
imgewöhnt nachträglich meine Artikel zu ergänzen, und ich muß gestehen, 
daß ich nicht immer imstande wäre zu sagen, welches Dutiiiii ich einem 
gewissen Artikel hinzufügen würde, wenn dies Datum sich auf die wesent- 
Uehe Beendigung des Artikels beziehen soUte. 

Aber vorausgesetzt, daß die Frage der Identität einer Schrift wirklich 
erledigt werden konnte, so ist der Leser dennoch nicht sicher, daß das 
hinzugefügte Datum richtig sein muß. Viele Verfasser, die ihre Schriften 
jelmäßig datieren, legen nämlich kein Gewicht auf diese Datierung, und 
Ben darum das ursprüngliche Datum stehen, unabhängig von den größeren 
oder kleineren Verbesserungen, die sie später eingefügt oder hinzxigefügt 
haben, und wenn es sich um Gesellschaftsschriften handelt, gibt es oft 
keinen IJedakteur, der kompetent ist zu überwachen, daß die Datierimg 
im Bedarfsfälle geändert wird. 

Aus dem soeben gesagten dürfte hervorgehen, daß es nie möglich 
8em wird, sich auf die Datierungen nuilhcuiatisoher Zeitschrifteniirtikfl zu 
Terlassen, sofern es sich um die Entscheidung einer i'rioritütsfrage handelt. 
Dagegen ist es nicht undenkbar, daß die Zuverlässigkeit der Datierungen 
durch gewisse Anordnungen gr<)8ser gemacht werden kann, und es wäre 
also in Erwägung zu ziehen, ob es angebracht ist, solche Anordnungen 
anzuregen. Meiner Ansicht nach ist dies nicht der Fall und zwar wegen 
der großen Schwierigkeiten, die dabei überwunden werden müßten. In 
der Tat scheint es, als ob mau in gewissen Kreisen die Auffassung hätte, 



198 



U. RnkstbCm. 



das Datum, das einer gedruckten mathematischen Schrift gegeben worden 
ist, l)rauche sich gar nielit auf die Fertigstellung dieser Schrift zu beziehen. 
Daß es wirklich eine solche Auffassung gibt, erlaube ich mir dorcli ein 
ein kleines Beispiel zu belegen. 

Im .lahre 1885 wurde vom König Oskak II. von Schweden ein Preist 
fiir die Bcantwortimg einer Frage über das Problem der drei Körper gestiftet, ' 
und die Preisschriften sollten vor dem 1. Juni 1888 eingereicht sein, um dann 
von drei Preisrichtern, darunter K. Weiekstrass, geprüft zu werden. Diej 
eine Ilillfte des Preises wurde Herrn H Poincark zuerkannt, und im 
13. Bande der Acta Mathematica ersj-hien im Jahre 181*0 eine Arbeit 
von ihm unter dem Titel : Sur le probleme des trois corps et les equatUm 
de la dynamique. Memoire coutonnc du prix de S. M. le roi Oicah II 
le 21 janvier 1SS9. Wenn man überhaupt von der Zuverlässigkeit einer 
Datierung sprechen darf, wäre es wohl erlaubt zu behaupten, daß die im 
13. Bande der Acta Mathematica veröffentlichte Arbeit des Herrn 
PoiNCAKK am 21. Januar 1889 fertig vorlag — möglicherweise könnte 
man so weit gehen, daß sie am 1. Juni 1888 fertig gewesen sein mußte. 
Aber nach einem kürzlich erschienenen Berichte des Herrn Hlioo BucH^f 
iioi,z,') der mit den betreffenden V'erhältnissen sehr vertraut ist, muß die 
veröffentlichte Arbeit des Herrn PotNCAUfc eine tcesentlich iindere sein 
als die möglicherweise am 1. Juni 1888 fertige und angeblich am 
21. Januar 1889 vorhandene Preisschrift. Nach Herrn Buchholz verhält 
es sich nämlich so, daß die wirklich eingereichte Preisschrift im Jahre 
1889 (die Bogen sind vom 29. April bis 13. November 1889 gedruckt^ 
worden) zusammen mit Zusätzen des Verfassers unt«r dem Titel: Sur idH 
Probleme des trois corps et les equatiotts dr la dynamiqne. Memoire couronnr 
du prix de S. M. le roi Osvah II le 21 jauvier 18S9. Avec des Notes 
jiar l'ttiit^^ttr gedruckt wurde, um in den Acta Mathematica zu erscheinenj 
aber ihre Ausgabe im letzten Moment — Sonderabzüge waren schon venH 
saudt — vermieden wurde, weil man auf einen Fehler in der Preisarbeit 
aufmerksam ward, der die Grundlagen der gekrönten Arbeit derart^ 
berührte, daß er ihre Ausgabe unmöglich machte. An Stelle dieser ve 
fehlten Arbeit redigiert* Herr P<ii>tauk eilends nach dem 13. November 188 
eine andere Abhandhing, nämlich die ol>en erwälinte im Jahre 189U ver-^ 
öffoiitlichte {iVw Bogen sind vom 28 April bis 21. Oktober 1890 gedruckt). 
Aus dem Umstände, daß die Arbeit atisdrückiich als am 21. Januar 18£ 
gekrönt bezeichnet worden ist, darf mau also nicht einmal folgern, da 



rart^ 
rei« 

B8M 

ver- 

kt). 



1) H. Bccmwi.*, Tii»! «K»'* Prritarbeit von tSSVHO und GnjiAjiii Fortchung üli€r ^ 
da» l*roh(em »Irr itret AVtrjMr in ükim S rf«h n i$ HH fiür ili$ Atirommi*; Physikaliicb^ 
ZeitBchr 5, IIHH, l«0-18fi 




Int es zweckmäßig, daS msthematigche Zeitgchriftenartikel datiert werden? 199 

Herr Poincare vor dem 21. Januar 1889 die darin enthaltenen Resultate 
gefanden hatte. Wenn aber in einem solchen Falle (mit Weiekstrass 
selbst als offiziell angezeigtem^) Preisrichter!) die Datierung wesentlich irre- 
leitend ist, so ist es wohl erlaubt zu behaupten, daß man in einigen Kreisen 
ähnlichen Angaben überhaupt keine Bedeutung zuerkennt. 

Aber wenn dies der Fall ist, lohnt es wohl kaum der Mühe zu ver- 
suchen, die Datierungen mathematischer Zeitschriftenartikel zuverlässiger 
zu machen, sondern es wäre besser, wenn solche Datierungen allmählich 
in Fortfall kämen. Wenn es einem Verfasser beliebt, kann er ja an 
passender Stelle angeben, wann er ein gewisses Resultat, das er als wichtig 
betrachtet, zuerst gefunden hat, und diese Angabe kaim zuweilen von 
größerem Interesse sein als die, welche die Datierung der Schrift selbst 
enthält. Auch eine solche Angabe kann gewiß unzuverlässig sein, aber 
die Wahrscheinlichkeit dafür ist viel geringer als in betreff der Datierung 
eines Zeitschriftenartikels. 



1) Wkiebstkus lehnte später die Beteiligtmg als Preisrichter über die PonioAit^che 
Arbeit ab. 



200 



0. EmsTBSM 



Kleine Mitteilungen. 

Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Cantors „Vorlesungen über _ 
Oesohichte der Mathematik'*. ■ 



I 



Die erste (fette) ZiUil bezeichnet den Band, die zweite die Seite der „VorlesuDgen". 
BM = Bibliotheo» Hathematica. 

1 : 12, gieho BM I3, 1900, S. 265. — I : 15, siehe BM S3. 1902, S. 323. — 
1:22, 2t», 34, siehe BM I3. 19W, S. 265—206. — 1:M, W, siehe BM Ss. 1902, 
S 137. — 1 : 103, siehe BM I3, 1900. S. 266. — l:13.i, siehe BM I3, 1900, S. 266! 
83, 1902. S. 137. — 1:144, 155, 1«9, 171, siehe BM 3a, 1902, S. 137—138. — 
1 : 190, siehe BM is, 1900, S. 266. — 1 : 195, siehe BM 83, 1902, S. 56. — 1 : 197, 
2<>2, siehe BM I3, 1900, S. 266. — I:2«7, siehe BM 43, 1903, S. 2S3 — 1:225, 
2:U, siehe BM 83, 1902, S. 138. — I:2.>i, siehe BM 83, 1902, S. 238. — 1:272,^ 
Hiebe BM 43, 1903, S. 396. — 1:283, siebe BM I3. 1900, S. 499. — 1:2h4, 321,^ 
siehe BM I3, 1900, S. 266-267. — 1:370, siehe BM I3, 1900, S. 319. — 1 : aS3,B 
siehe BM I3, 1900, S. 267. — li395, siehe BM 3|. 1902, S. 323. — 1:400, siehe 
B&I Is, 1900, S. 267. — 1:429, siehe BM 83. 1902. S. 324. — 1:4.12, siehe BM Ij. 
1900, S. 267. — 1 : 434—435. siehe BM 43, 1903, S. 396-397. — 1 : 430, siehe BM 83, 
1902, S. 138. — 1:437, 440, siebe BM I3, 1900, 8. 267. — 1:457, siehe BM 83, 

1902, S. 238. — 1 : 463, siehe BM 83, 1902. S. 139, 324. — 1 : 4A«, siebe BM 4«, 

1903, S. 397, — 1:467, 469, xiehe BM I3. 1900. S. 267. — I :475, siehe BM 1», 
1900. S. 267—268; 83, 1902. S. 139; 43. 1903. S. 2.S3 — 1:476, siehe BM Is, 1900, 
S. 268. — 1 : SOS, siehe BM Sa, 1904, S. 68. — 1 : 510, siebe BM I3, 1900, 8. 314. — 
1 : .<il<)-520, siebe BM 83, 1902, ä. 239. — 1:537, 540, .542, siehe BM lg. 1900. 
8. 268. — 1 : 622, siehe BM 83, 1901, S. 143. — 1 : 641. siehe BM 83, 1902, 8. 139. — 
1 : 661, siehe BM I3, 1900, S. 499. — 1 : 662, siebe BM I3, 1900, S. 499: 3s, 1902, 
S. 139. — 1 : 663, siehe BM 83, 1902, S. 405. — 1 : 671, siebe BM Is, 1900, S. 499. — 
1:687-6X9. siebe BM «3, 1901. S. 143—144; 4;i. 1903, S 205-206. — 1:694, siehe 
BM I3, 1900, S. 499; 43, 1903, S. 2S4. — 1 : 704, 706, 70H, 714, 7:15, 736, 744, 74s, 
liehe BM I3, 1900, 8. 499— 500. — Is 749, siebe BM I3. 1900, S. 268.-1:7.5«, 7.57, 
?67. siehe BM I3. 1900, S. 600-501. — 1:7»4, ciebe BM 83, 1902. S. 139. — 1 : H»4, 
805. 8t>7, si», 812, s23, s52, siehe BM I3, 1900. 8. 268—269.-1:853, siebe BM I3, 
1900, S. 501. — 1:8,54, siehe BM 1,, 1900, S. 501; 83, 1902. S. 824; 4Ü, 1903, 
S. 206. — 1 : 855, liebe BM I3, 1900, 8. 501. 



»t1, liehe BM »3, 1901. & 351. — 8:8, !»> üehe BM Ij, 1900, 8. 501—502. 



2 : 14. In einw mir ur heu Schrift von G, Mo-knesi: Dociimenlo 

inedito iiUomo a J,t-«.\AKPt' 1- ^Kom 1S67) soll eine jetit verschollene 

Arbeit von Lkonahim. ri(;.\No: Ltitro dt mavatiutti dttto di minor ffuisa sitieri 
werden (siehe M. LA«\HiNt, BoUvtU d> bibliogr. d. sc. mateiu. 7. 1904, 



S.4). 



G. Eniiström. 




Kleine Mitteilungen. 



201 



8:14— 15, «ehe BM 2^, 1901, S. 144. — Ä : 20, siehe BM la, 1900, 8. 602; 83, 
1902, S. 239. — 2:2.'>, siehe BM I3, 1900, S. 274. — «::J1, siehe BM «a, 1901, 
S. 351—352; 3a, 1902, S. 239-240. — 8 s W, siehe BM 83, 1901, S. 144. — 2:37. 
liehe BM 1«, 1900, S. 502. — 2:38, siehe BM «3. 1901, S. 352. — 2:39, »iehe 
BM 1«. 1900, S. 502. — 2:41, siehe BM 83, 1901, S. 352. 



I 
I 



2 : 53. Daß Leonakoo Piaano nicbt mit dem Jahre 1228 wie ein 
Meteor verschwunden ist, scheint aus einem von F. Bonajni herausgegebenen 
Aktenstück: Memoria unica sincrona di Lei'Sari'ij F/tioXACui nuovamcnle trovata 
(Pisa 1858, XIV 8. 8"; Sonderabzug aus dem Giornale storico degli archivi 
toscani 1, 1858) hervorzugehen. Nach diesem Aktenstücke, das aus der Zeit 
1233 — 1241 herstammen dürfte, bekam Lkonakdo (siehe a. a. 0. S. VIII) von 
der Stadt Pisa als Anerkennung seiner Verdienste eine jährliche Pension von 
2D Liren 'et amisceria consueta'. 0. Engström. 



2 : 57, siehe BM 2$, 1901, S. 352 — 2 : 59 siehe BM 1^, 1900, S. 502. — 2 : «3, 

liehe BM -»a. 1903, S. 206. — 2:70, siehe BM U. 1900, S. 417. — 2:73, S2, 87, 

W, 89 90, «2, siehe UM I3, 1900, S. 502—503. — 2 : »7, siehe BM 83. 1902, S. 406. 

— 2:98, siehe BM I3, 1900, S. 269—270. — 2:100, siehe BM Sg. 1902, S. 140. — 

«: 101. siehe BM 83, 1902, S. 32.5. — 2: «04—105, siehe BM I3, 1900, S. 503; 43, 

1903, S. 397—39«. — 2:111, siehe BM 83, 1901, S. 352. — 2:116, siehe BM 83, 

1»02, S. 406. — 2 : 122, siehe BM l.i, 1900, S. 503—504. — 2 : 12«, 127, siehe BM 83, 

1902. S. 406. — 2:12.S siehe BM I3, 1900, S. 504. — 2:132, siehe BM I3, 1900, 

8.515—516. — 2:143, siehe BM I3, 1900, S. 504. — 2:1.57, l.iM, siehe BM 23. 

1901, S. 352. — 2 : 163. 166, siehe BM I3, 1900, S. 504. — 2 : 17.5, siehe BM 83, 1902, 

8. 140. — 2:210, siehe BM 2,, 1901, S. 852—353. — 2:218, siehe BM 4:,, 1903, 

8.284. — 2:219, siehe BM 83, 1901, S. 353. — 2:22«, 242, 243, siehe BM I3, 

1900, S. 504—505. — 2:253, siehe BM 23, 1901, S. 353. — 2:273, siehe BM I3, 

1900. S. .505. — 2:274, siehe BM 83, 1902, S. 325. — 2:282, 2S3, siehe BM I3, 

'900, 8. 506; 23, 1901, S. 353-354. — 2 : 284, 286, 287, 289, 290, 291, siehe BM I3, 

'90O, 8. 506—507. — 2:296, siehe BM 23, 1901, S. 354. — 2:313, siehe BM I3, 

1900, S. 507. — 2 : 317, siehe B.M »3, 1904, S. 69. — 2 : 328, siehe BM 83, 1902, 

8- 140; 43, 1903, S. 285. — 2 : 334, siehe BM I3. 1900, S. 507. — 2 : 3.i3, siehe BM l». 

'900, S. 507; 4-,, 1903, S. 87. — 2 : 3.5S, 360, siehe BM 43, 1903, S. 87. — 2:381, 

"ehe BM 1-,. 1900, S. 507. — 2 : 385, siehe BM 83, 1902, S. 81; 43. 1903, S. 207, — 

* s 38«, 39.5, 401, 405, 426, siehe BM 1», lUÜO, S. 507—508. 



2:429. Hier ist eine kleine Noüz über die ,Kegula cecis' eingeschaltet, 
^d zwar aus dem Grande, weil ('nii. Rudoi.fp diese Art von Aufgaben zuerst 
^1» Drucke bekannt machte. Wo die Notiz am besten eingeführt werden soll, 
Wn ja eine Geschmacksache sein, aber jedenfalls wilre es von Inteiesae, auch 
«twas über die altere Geschichte der .Begola cecis' zu erfahren. In erster 
Mnie wllre teils auf 1 : 787 — 7»8, wo eine Aufgabe dieser Art bei Ai.kuin 
Wwahnt wird, teils auf 2 : 50, wo über Leonakdo Pisanos Behandlung einer 
Sbnlichen Aufgabe berichtet wird, hinzuweisen. Weiter sollte M. Cuktzes 
Abhandlung Ein Beitrag zur Geschichte der Algebra in Deutschland im fünf- 
Khnlen Jahrhundert (Äbhandl. zur Gesch. d. Mathera. 7, 18'.''') zitiert 
»erden; hier erwähnt Cuktze S. 35 eine Handschrift aus dem dreizehnten oder 
'ierzehnten Jahrhundert (Cod. lat. Monao. 14 »584. Bl. 30—31), wo eine gereimte 
Auflösung (abgedruckt in der Uiblii^th. Muthera. 18'J5, S. 78, 7i») der 



202 



6. EsBSTSriM. 



Aafgsbe Torkommi, und bringt ztini Abdruck eine andere Handschrift ans der 
Mittfi des fünfzehnten Jahrhundert« (Cod. lat. Monac. 14 908, Bl. 40'' ff.), worin 
die Aufgabe vermittels der ,Begala faM* gelöst wird. Diese Lösung gibt 
freilich immer ein System von Zahlen, die den Bedingungen der Aafgsb« 
genügen; daß man aber auf diese Weise nicht immer ganzzahlige Lösangen 
bekommt (wie Cuktze nach einer Bemerkung auf 8. 48 seiner Abhandlung lu 
glauben schien), sieht man am leichtesten, wenn man in betreff des ersten Bei 
Spieles von den zwei Ans&tzen 4, 4, 12 and 1, 3, 16 ausgeht. Noch angenögendi 
ist die Lösung, die GoTTFRrcD W01.ACK in Erfurt etwa um dieselbe Zeit(14*i 
«ogab (siehe E. Wappler, Zur Geschichte der Mathematik im fänfeehnte» 
Jahrhundert; Zeitschr. für Mathem. 45. lyOO, Bist. Abt. S. öl); hier wird 
ohne weiteres darauf verzichtet, ganzzahlige Werte zu bekommen, und die Anf- 
g»be anrichtig nach der Gesellschaflsrechnong behandelt. Auf diese Weise erbllt 
WoLACK aus den Gleicbangen 

az -\- bff + cz = 100, 
x + y + #= 100 
1006 lOOc 



tQ 1 



die Werte x == 



100a 



a + h + e' 
wu ja ToraoBsetzt, dafi 



y = 



«+6+e' 



t = 



a-\- 6 + e' 



rt'-ft«-f.c» 



= 1. 



a-i-b+e 
obgleich gerade in dem von Wolack behandelten Spezialfälle 

n'-[-t»-K;« 3 

<• + 6 + c 2 

ist. Aus der Zeit Tor Bddolfp rührt wahrscheinlich noch die richtige Lösnn^' 
der , Regula ceois* in der Algebra des Ismus .\lgebras her (siehe CuarrzK, 
l'rkuHdcH zur Gischickk der Mathemalik im MitielaUer und der lienaissancc; 
Abhandl. xar Gesch. d. mathem. Wissensch. IS, li>02, S. 571 — 074). 

G. Shbström. 



I 



8 : 430, siehe BM 2j, 1901, S. 145. — « : 440, gjehc BM 43, 1908, S. 2S5. — 
S : 443. siehe BM 3s, 1902. S. 335. — « : 449. siehe BM Ss, 1902. S. 140. — 8 : 454, 
siebe BH S«. 1902. S. 242. — 2 : 4*4, 4S0, »iehe BH S3, 1902. S. 140—141. — 2 : 4M, 
siehe BM Ij, 1900, S. 50a — « : 4.s-i, üehe BM I4. 1900, S. 508: «3. 1901. S. 354; 
S3, 1902, S. 240. — «:4'»4. siehe BM 3«. 1902, S. 141. — a:4.S6, 489, 41M>, riebe BM lg, 
1900. S. 509. — « : 497. sioho UM 1». 1900. S. 509; 1,. 1903. 8. §7. — « : 5(>9, siehe BM l,, 

1900. S. 270. 509 — 2:510. siehe BM I3. 1900. S.509. — 2:512, siehe BM 83. 1902. S. 141. 

— 2:514, St«. 517, >iehe BM Is. 1900. S. 509. — 2:530. siebe BM 2i. 1901, S. 354 
—855; S9. 1902. S. 141. — 2 : 332, 533, 54t. .Vts i», «iah« BM Ij, 1900. S. 509—510 

— » : 5.V), siehe BM «,. 1901 , J? .^=>5. — 2 : 554, «eh« BM Ij, 1900, 8 510 — 2 : 533, 
5«f. 5S7, ÖRs, si.-h* BM4v. IWS. f*. 2S5 - 2S6. — » : 3«», siehe BM l,, 1900, S. 510. 

— 2:572-573, sieh.» HM |j. 1900, S. 510; Sj^ IMM. S. 141. — 2:576, siehe BM »3, 

1901, S. 3ö:.-3:.»V. — 2:379. »iehe BM 2«. 1901, a 145. — 2 : 5S0-.VS1, siehe BM 43, 
1903. S 207 — 2:5s?, siohe BM ti. l9iH), S. MO — 2 : 3f»3, siehe BM I3, 1900. 
S. 270; 2:). 1901. S. t!."«6. — 2 : 5«*i, „^Im« BM 5;t. IsKVt. S «9—70. — 2:592, siehe 
BM 2s. 1901. J>. 146, — 2 : 5'>l, »iehe BM Ij. l9t.K.>, S -2:0. — 2 : .597, siehe BM 1:,, 
1900, S. 270; «3, IWl. S 14« —2:5»»—«», »i»hi> BM 23. 1901. S. HG. — 
2: «03. ««-«04. »ieho BM U 190^>. -S. a;o >:i. _ 2:6tl. siehe BM «3, 1901, 
S. 85e-357. —2: «12. »ieh» BM h, UHV. J* 277 2,, 19^M. S 146.— 2 : «13, siehe 
BM29. 1901. S. S,\7 — 2:ttU. «20. »oho BM »,. lKr> j; Ul — 2:r,21. «23. siehe 
BM U. 1900. S. 277; »». 1901. 8. U« 147. — 2 : «a>, »lohe UM 2^ 1901, S. 147. -s_ 




Kleine Mitteilangen. 



203 



neTwa, 643, siehe BM I3, 1900, S. 271. — « : <i5ö, siehe BM 8rt, 1901, S. 357. — 
8 : fiöG, siehe BM -I3, 1903, S. 2.S6. — 2 : «5«, (Wio, mehe BM «3, 1901, S. U7— 148. — 
2:66^, »ehe BM I3, 1900, S. 271. 



2 : 669. Die von Herrn Castor als rätselhaft bezeichnete ScHWENTBRSche 
Angabe, der Satz fär die Dreiecksflache stamme aus der „Geomelria Jokdam* 
ist insofern richtig, als ein Beweis des Satzes tatsächlich eiuer dem JoKUANUä 
Nemouauris zugeschriebenen Schrift, nilmlich De pomlerihns, angehängt ist 
(vgl. A. A. Björndo, Abhandl. zur Gescb. d. mathein. Wissensch. 14, 
1902, S. 147 — 148). Ob dieser Anhang wirklich von Jouoanub Nejiobakuis 
herrührt, wird man wohl niemals feststellen können. G. Enehtrjim. 



!8:«;4, aiehe BM 43, 1903, S. 88. — « : «S3, siehe BM »3. 1901, S. 148. — 
8; 693, siohe BM 4;,, 1903, S. 287. — «:7m», 701, 7«:», 704, 705, siehe BM In, 
1900, S. 271—273. — «:719, siehe BM «,,, 1901, S. 357. — SS : 72«, siehe BM 43, 
1903, 8. 287. — It'.ril, siehe BM I3, 1900, S. 27.3. — « : 742, siehe BM I3, 1900, 
e. 278; 83. 1902, S. 142. — S : 740, siehe BM I3, 1900, S. 273. — Ä : 747, siehe BM I3, 
1900, S. 173; «3. 1901, S. 225. — 58:74». siehe BM 4h, 1903, S. 88. — « : 7ßfi. 
»iehe BM 83, 1902, S. 142. — «:707, siehe BM «3, 1901, S. 148. 357-358. — 
«:770, siehe BM 43, 190:j, S. 208. — «:772, 77.5, siehe BM «3, 1901, S. 358 
—359. — 8:777, aiehe BM «3, 1901, S. 148; 33. 1902, S. 204. — !8:7«3, siehe 
BM «s, 1901, S. 359; 4.1, 1903, S. 88-89. — « : 7K4, siehe BM «3, 1901, S. 148.— 
8:802, siehe BM 4:t. 1903, S. 208. — « : S12, siehe BM 43, 1903, S. 37. — Ä : M20, 
K2.->, siehe BM 83, 1901, B. 148. 



9 : 882. Herr Cjvntok macht darauf aufmerksam, daß mau die Ent- 
g der Gcometria indiiHsibiUbus continuorum nom quadam rationc protnota 
des CAViVUERi nach rückwärts bis zum Jahre 162G verfolgen kann. Dieser 
Umstand ist gewiß von Interesse, aber ebenso großes Interesse bietet es meines 
Erachteus dar, die Entstehung des CAVALreitischen GesamtheitsbegriÖes ('omnes 
lineae') noch weiter nach lückwUrts zu veri'cjlgeu uud dies gelingt bis aiim 
Jahre 1621. Am \h. Dezember 1G21 schrieb immlich Cavaueri au G.uj££i 
(idehe Xe opere di Oai.h.ko Gaulei, Editione nazionale. Vol. 13, Firenze 1903, 
S, 81): 'Se in uua tigura piana s'intenderi^ tirata una liuea retta come si 
voglia, et in quella poi tirateli parallele tutte lo linee possibili a tirarsi, 
cliiamo qaeste linee cos) tirate tutte le linee di quella figura; e so in una tignra 
eolida s'intenderano tirati tutt'i piani possibili a tirarsi paralleli ad un corto 
piano, questi piani gli chiamo tutt'i piani di quel solido. Uora vorrei sapere 
se tutte le linee d'un piano a tutte le liuee d'un altro piano habbino ]>roportione, 
perchö potendosene tirare piü e piü sonipre, pars che tutte le liuee d'uuu data figura 
sienu infinite, e j)eri'S fuor della diffinitione dello grandez/.o che haiio proportiime; 
ma percbä poi, se si aggrandisse la tigura, auco le linee si i'aiio maggiori, 
essendovi quelle della prima et anco quelle di piü che sono nell'eccesso delia figura 
fatta maggiore sopra la data, perö pare che non sieuo fuora di quella diffiuitioue: 
perö desidero esser da V. S. sciolto di questo dubbio'. 80 weit bekannt ist, 
bekam Cavai.ieri keine Antwort auf seine Frage, aber einige Monate spftter 
scheint er von der Znlüssigkeit seines Gesamtheitsbegriffes überzeugt zu sein, denn 
am 22. März 1622 spricht er in einem Briefe an Galit-bi (siehe a.a.O., S. 86 — 87) 
'1 principio che tutte le liueu di due tigure piane e tutte le snperficie 



204 



0. Enkmthöh. 



di due figurfi solide hnbino proportione' und föbi't fort: 'il che parmi 
da dimostrare; percht-, tnuUipIicando l'nna delle dette fignre, ai maliiplicano anco ' 
tatte le linee nelle piane e tutte le superficie nelle solide, s) che tutte le linee 
d'una figura overo snperficie, possoDO, cresciute, avanzare tutte le linee, o 
superficie, dell' altre, e oosi sarano ancor esse fra le grandezze ch' hanoa 
proportione'. Er fugt noch hinzu: 'come io pigli poi questo termine (tatte 
le linee d'una figura piaua, o tutte le superficie d'un solido)'. das habe er in 
einem Traktat gezeigt, den er gleichzeitig au Galilei übersende; hieraus gebt 
also hervor, daß Cavalleri schon 1622 eine Schrift über seine IndiTisibilien- 
luethüde redigiert hatte. Von diesem Traktat spricht Cavalceri noch in seinen 
Briefen an Galilei vom 0. April und It). August 1623 (siehe a.a.O., S. 114,123). 
Etwa vier Juhre später scheint L'avalieki eine ausführlichere Abhandlung über 
seine Methode verfaßt zu haben, und diese sandte er im November 1627 an 
G. CiAMPOu. An Galilei schrieb Cavalieri am 17. Dezember 1627 (siebe 
a. a. 0., S. 381), er habe sich auch in dieser Abhandlung des Gesamtheitsbegriffes 
('fondanipnto che chinmo tutte le linee di una figura pinuu o tntti i piani 
d'una solida') bedient, weil dieser Begrifl' ihm hinreichend klar und fest be- 
gründet scheine. G, Enestrüm. H 



« : S40, siehe BM Ä:,, 1901, S. 14»— 149. — « : S43, siehe BM ,%,, 1902, S 328, 
— ÄtWß, 8«5, siehe BM «a, 1901. S. 149. — «:876, 87s, 879. siehe BM In. 
1900, S. .511. — «:h91, siehe BM l», 1900, S. 273. — «:W»», siehe BM 4* 
1903, S. 37, 208. — « : Wl, siehe BM 1,, 1900. S. 511. 



^ 



2 : 919. Außer den zwei im Text erwähnten Briefen von Hcduk gibt 
es noch einen dritten, ebenfalls an Sciiooten gerichtet, der gedruckt worden 
ist, und zwar in französischer Übersetzung. Dieser vom 21. November 1H.t9 
datierte Brief wurde zuerst 1713 in einer holländischen Zeitschrift (Journal 
literaire in Haag) veröffentlicht, und ist später S. 272 — 274 der Ausgabe des 
Cotnmericum epislolicum von Hiot und Lei'ort (1856) abgedruckt worden; ein 
anderer Abdruck findet sich im Brieficcchscl fo« G. W. Lkibsu mit Ma, 
matikern. herausgegehen von C. I. Gkrilvrdt, Band I (Berlin 1S99), S. 234 — 2 
Hl DHE gibt hier eine Lösung des Tangentenproblems für algebrusche Knrw 
vermittels derselben Methode, deren er sich in seiner Schrift De maximis 
mininis bedient hatte, und die also mit dem SusEschen Verfahren nahe ver- 
wandt ist. Ist f (x, y) = die Gleichung der gegebenen algebraischen Kurve, 
so kann man die Hi'ODKSche Regel so ausdrücken, daß die Subtaageot« 

ist, wo a und 6 zwei willkürliche Konstauten sind, 
erhält man die gewöhnliche Formel. 



ein 

m 

s ^ 



Setit man a = h = 
G. £ne8trüm. 



4 



Ä : Vni (Vorwort), siehe BM Sa, 1902, 8. 142. — X : UC, X (Vorwort), sieh« 
BM 1,. 1900, S. 511—512. 





Kleine 



8 : tt, siehe BH 2a, 1901. S. 359. — S : 10, siehe BM 1;,, 1900, S. 518. — 3:11, 
siehe BM 4.1. 1903, S. 209. — 3:1*2, 17, siebe BM U, 1900, S. .'S12. — 3:2->, siehe 
BM la, 1900. S. .^12; 4«, 1903, S. 209. — 3:24, siehe BM 43, 1903, S. 209. — 
3:23, siehe BM 43, 1903, S. 209, 399. — 3 : 2ß. siehe BM «3. 19'J1. S. 859. — 
S:4r.-4H, 49, .•iO, siehe BM 1;,, 1900, S. 512—613. — 3:70, siehe BM «3. 1901, 
S. 360. — 3: 100, siehe BM «3, 1901, S. 149. — 3; 112, siebe BM 4:), 1903, S. 209 
—210. — 3 : 116, siehe BM 1,3, 1900, S. 513. — 3 : 117, siehe BM Is, 1900, S. 518. — 
3:123, .''iehe UM I.i, 1900, S. 513; 4«, 1903, S. 399 — 3:124, siehe BM 3», 1902, 
S. 407—408; 43, 1903, S. 400. — 3: 12«, siehe BM 4», 1903, S. 288. — 3: 131, siehe 
BM 4:i, 1903. S. 210. — 3:151, siehe BM 83, 1902, S. 326. — 3:167, 172—173, 
siehe BM 4«, 1903, S. 400. — 3:174, siehe BM ig.,, 1901, S. 149—150. — 3:18», 
siehe BM U, 1900, S. 432. — 3: IHS, siehe UM 3.3, 1902. S. 241. — 3:201, siehe 
BM I3, 1900, S. 513. — 3:207. siehe BM I3, 1900. S. 519. — 3:21.j, siehe BM 83. 
1901, S. 150. — 3 : 21s, siehe BM I3. 1900, S. 513. — 3 : 220, siehe BM 33, 1902, 
8. 326. — 3:224, siebe BM I3, 1900, S. 514. — 3:22.'), 22«, siehe BM 83, 1901, 
8. 160. — 3 : 232, siehe BM I3, 1900, S. 514. 



3 : 244 — 245. Die Angabe, daß die Analyse des infinimcnt pciits iu 
wiederholten Auflagen 1716, 1720, 1768 gedrackt worden ist, hat Herr Cantdu 
ofieubar ohne weiteres aus Poggp;si)()r|'T8 Biographisch- literarischem Hand- 
terbuch I, 1146 entDommen. Indessen habe ich die ungeblicbe Auflage von 
'1720 in keiner zuverlilssigen bibliographischen Arbeit erwiibnt gefunden, und 
da in eben deniselbpn .Jahre eine neue Ausgabe von Höi-itals Traite analiftiqne 
des sectic^is coniqucs erschien, ist es wohl anzunehmen, daü hier eine Ver- 
wechselung vorliegt. Auf der anderen Seite ist die Angabe der wiederholten 
Auflagen der Analyse des infiniment peius insofern unvollstUndig, als noch im 
Jahre 1784 eine solche in Paris erschien (vgl. J. W. Mi'i.i.nU| Auserlesene 
mathematische Bibliothek, Nürnberg 1820, S. 42; ander« Itiblingiapheu geben 
als Uruckjahr 1780 an). Von der zweiten Auflage, die nach Fouhkndoufk 
Tud ein paar anderen Bibliographen 1716 erschien, gibt es Exemplare mit dem 
Dnickjabr 1715. 

Auf don Erfolg der Anah/se des infiniment petits weisen aber nicht nur 
die neuen Auflagen, houdern auch dit> t'bei-setzungen hin. UaU eine engliscbö 
Übersetzung von E. Stosk im Jahre 1730 erschien, bat Herr Cantou selbst 
S. 737 augegeben. Dazu kommt noch eine lateinische Übersetzung, die zuerst 
in Wien 1764, dann nochmals in Wien 1790 herausgegeben wurde (vgl. J. W. 
Mrr.ixK. a. a. 0. S. 42). 

In betreff der Bemerkung des Herra Cantok, daß die Analyse des in- 
finiment petits lange Zeit das einzige Lehrbuch der DifTeientiulrechnung war, 
luan darauf hingewiesen werden, daß schon 12 Jahre nach der Verütl'entlicbung 
des Baches ein anderes französisches Lehrbuch erschien, das einen Abriß der 
Differentialrechnung enthielt, uttmlich L'analyse dimoHtrie von Cii. Revneau. 
Freilich hat Johaitn Beknoui.li nicht mit Unrecht in seinem Briefe an Leihniz 
»oio 8. April 1711 hervorgehoben, daß Rf.^tseau die neue Rechnung nicht 
gHindliub genug studiert hatte, um ein wirklich gutes Lehrbuch schreiben zu 
können, G. ENK8Titö.M. 



3:246, sieho BM I3, 1900, S. 514; «3, 1901, S. 151. — 3:250, siehe BM I3, 
0, 8. 514. — 3:303, siehe BM 83, 1901, S. 155. — 3:330-331, siehe BM 83, 
8, S. 241-242. 



80» 



El»«8T«8ll. 



3 : 337. Daß Filvmcis Robabtes niobt mit Francis Bobkrts identisch ist, 
scheint daraus hervonugeheii , daß diese in dem 1787 erschienenen General- 
register der 70 ersten B&xide der Philosophical transactions als zvrei 
Persönlichkeiten aufgefülirt werden. Auf der anderen Seite hat Fkancis Robaütes 
wirklich eine mathematische Schrift herausgegeben, nämlich Conccrnitig the 
Proportion of malliematical poinU to each other. By the honourable Fkascw 
RoB,uiTE8, esq; vioe-president of the Royal soc. (Philos. trans. 27 n" 334, 1712. 
S. 470 — 472). Freilich wird durch diese Schrift die CANTORSche Bemerkung, 
daß Robaktes nur sehr nebensächlich als Mathematiker gelten kann, durchai 
bestätigt, denn der Verfasser sacht darin zu beweisen, daß das Verhältnis zwei« 
Punkte zueinander im allgemeinen nicht gleich 1 gesetzt werden darf, sondei 
sogar eine unendlich große Zahl sein kann. Handelt es sich z. B. um di 
Berührungspunkt eines Kreises und dessen Tangeute, so ist die Größe dii 
Punktes nach Rübartes voiu Durchmesser des Kreises abhängig. 

G. EMEtrrRÖM. 



3 : 447, 4.V>, siehe BM «:,, 1901, S. 151. — 3 : 473, siehe BM ».i, 1901. S. 154—155 
4a, 1903, S. 401 — 3:4m, 47'J, siebe B.M «a, 1901, S. 151—152. — 3 : 507, siehe B' 
5,, 11)04, S. 71—72. — 8:521, siehe BM «3, 1901, S. 441.— 3:535, siehe UM ~ 
1903, S. 401. 

3 : 536. Die erste Auflage der Logica demoustratwa von G. SAf-ri 
erschien nicht 1701 oder 1692, sondern 1697; siehe G. Vau.ati, Di un' ope-- 
dimcndicnUi <lel P. Qekoiaiho Saccuehi (^Logica dctnonstraliva" , 1697); BE 
vista filosofica 1903. 



S : 5R5, siehe BM 3». 1902, S. 326—327. — 3 : 571. siehe BM Sj, 1902, S. 3f 
Sj, 1904, S. 72. — 3:578, siehe HM 3», 1902, 8. 327. — 3:614, siehe BM 4-j, 1» ■ 
S. 89 -90. — 3:«3(i— 037, siehe BM «a. 1901, 8. 441. 



m.* SSrt 



3 : 646 — 647. Die Rekursionsfomiel für die BisRNOirLMschen Zahlen, wel 
Herr Cantok als einen von Moivkb vollzogenen Fortschritt bezeichnet, gel», 
sicherlich Jakob Bermoulli selbst an. Jakob Beunoulli sagt nämlich: „&-uk— at 
autem hi coefBcientes ita coraparati, ut siuguli cum suis ordiuis coefiicienti 1^ 'vs 
complere debeant unitatem" und diese Worte enthalten ja, wie Herr Gas 
S. 347 richtig angedeutet hat, die Rekursionsformel 

1 = _1^ + 1 + 



c ^ , c(c-l)(c-2) c (c-1) (c -2) (c-3 ) (c-4) ., , 
2^+ 2.3.4 '^+ 2T8 . 4 . 5 ."6 ^ "^ 



c+l ' 2 

HoiVKE, der übrigens ebensowenig wie Jakob Bernoulli die Rekursioi 
formal ausschreibt, schlägt ein anderes Verfahren vor, um die Zahlen Ä, B,C,. 
zu berechnen, das er etwas bequemer findet; er setzt nämlich nacheinand 
c = 2, 4, 6, . . ., und erhält dadurch zuerst 

1 I 



dann 



1=J + 2 +^' °^«'' ^^2~y 



^=ir+i + l^^ + ^' °'i-^=^-5 



4-. 



Kloiue Mtttoiluii);en. 



207 



iter 

^1 = 



1,1, 6, ,6. 5. 4,,, , 1 1 6. 6.5.4,, 



2.3.4 ' ' 2 7 2" 2,8.4' 

*wr. Aber dies Verfahren kann wobl kaum ein Forlsohritt genannt werden. 

G. Enehtköm. 



3 : 65-3, Biefae BM «3, 1901, S. 446. 



3 : 652. Im Anschluß an den Bericht über Stitu.inos Formel für die 
8"*i-mnje einer Anzahl von Logarithmen wäre es angezeigt mitzuteilen, daß die 
belcaunte Formel dieser Art, die man jetzt ziemlich allgemein (siehe i. ß. 
A.. Maiikokf, Differenzenrechnung, deutsche Übersetzung, Leipzig 1896, S. 135; 
Eptcgfklopüdie der malhcmiitischen Wissennchuften, Band I, S. 931) gewohnt ist 
»Is die SriKLiNnsche Formel zu bezeichnen, nUmlich 



•^)=-2 log 2 Jr+(.r-f- ^) log a; — a; + .42^+^4 -jP + . 



^'»^rst von MoivKE im Anhange zu den Miscellanen anuli/tiai (1730) angegeben 
*>od hergeleitH wurde. MoivitK berichtet selbst, daß SnitUNü ihm briotlich die 
Formel 

' o» ( 1 . 2 . 3 . . . a;) = [ log 2 ;r + (X + i) log (a: + J ) - (» 4- i-) 

1 



+ , 



2' 

7 



2.12(a:-|4) ' 8.860(x+i)S ■" 
'"^^^^eteilt hatte, and daß er selbst dadurch angeregt wurde, die neue Formel 
"•^^ einem ganz anderen Wege aufzufinden. G. Enestköm, 



3 :«(«>, (ifi7, siehe BM «3, 1901, S. 441—442. 



I 

^^^^^ 3:667. Vor l^i .Jahren bemerkte ich in meiner kleinen Notiz Sur h 
J^H ^Müttr emploi du sipnbole n pour 3,14159 . . . (Biblioth. Mathem. 1889, 
^*- 28), daß EuLEK sich des Buchstabens 71 für de« Umfang des Kreises mit 



li 



Qrchmesser = 1 schon in den Commert. acad. sc. Fetrop. 9, 1737 (ge- 



?*Tickt 1744) bediente, und mit Bezugnahme auf diese Bemerkung hat F. Rudio 

*** seiner Schrift Arcb/mküks, HurnF.ys, Lamtiert, Lr,<ih:siiHF.. Vier Abhand- 

^'***igm über die Kreismessung (Leipzig 1892), S. 63 angegeben, daß Eui.eu 

^^obl daselbst zum ersten Male den Buchstaben n in dieser Bedeutung benutzte; 

dieselbe Angabe hat auch Herr Cantor. Indessen gibt es eine frühere Schrift 

"Von EfLEK, wo das Verhültuls des Kreisumfanges zum Durchmesser mit 7t 

**«>wichnet wird, nftmlich die Mechanica sive motus scienlia analytice exposiln 

(l*«9tropoli 1736). Dort findet sich nilmlich S. 115 des 1. Bandes der Passus: 

«denotante ig^tur 1 :x rationem diametri ad peripheriam, erit AMC = ^am*, 

and ebenso S. 119: .si enim est »1 = |, terminus respondeus invenitur ^, deno- 

.tionem diametri ad peripheriam*. Die Bezeichnung wird dann 



208 



6. EvHnöii. 



S. 120, 122, 123 angewendet, worauf am Ende der S. 123 iura dritten Male 
die Erklärung; ,denotuntibus . , . .;r: 1 rationeni peripberiae ad diainetrum* folgt; 
später wird die Erkl&rung wenigstens achtmal wiederholt, nämlich Band I, 
S. 251, 260, 267 und Band II, S. 70, 284— 28ö, 304, 411, 492. 

G. Enehtköm. 



3:686. Die Angabe, daß 1737 der Endzeitpnnkt der von M-vui^i 
Trcatise of fliixions l)onut/,t«n Literatur sein dürfte, ist insofeni zu inodifizii 
alä Maci^ai HIN im Art. 90G Ai« Ht/drodi/namica von Damel Bkknoilli zitii 
die bekanntlich 1738 erschien. G. Enkstuöm 




3 : (iSU, «95, Bteke BM i^a, 1901, 8. 442. — 3 : 730, 768, oielie BM »j, I9Ü1. S 



1 



3 : 759. Wenn Herr Caktor sagt, dafi Eui.kr in seiner Jfeckoiiiea (li 

den Satz von den homogenen Funktionen andrutele, so ist diese Ausdrucks«— ^^ 
gewiß richtig inbctreff des /.itierten § 106 (== S. 49 des Originals), denn «3ort 
gibt Eiii.ER den Satz nur für den Spe/.ialfall n = ^ an. Dagegen ist er wq 
Ende des 2. Bandes der Mcrhnniai (S. 464) noch einmal auf den Sata zurCSclr- 
gekommen, und au dieser Stelle wird derselbe nicht angedeutet, sondern be- 
stimmt ausgesprochen. Ei-lkk sagt nämlich: ,aequationis 

Pdx=Rd£ + Qdy 
haec erit proprietas ut sit 

Ite+Q!f==n{pdx\ 
und diese Wort« enthalten ja genau den Satz 



9^ 
TT 






wenn man d^ statt Pdx setzt. 



G. Enkström. 



3:760, 766, »ielie BM iSj, 1901, S. 446-447. — 3:774, 7»!S, «ehe BM 
1901. S. 442-443. — 3 : S4.-., «lebe HM «a, 1901. S. 447; S:i. 1902. ö. 327-32'* i 
3:S4^. HHl. Hiebe BM «.i, 1901. S. 443. — 3 : 8S2, giehe BM «3. 1901, S. 447/ 
3:W>0, Biehc HM -Is, 1903, S. 401. — 3 : HU2, sithe HM 3j, 1902, S. 143. — Sf 
(Vorwort), siehe BM 563, 1901, ö. 443. 



An fr: 




Kleine MitteiluDf^en. 



20'J 



f: entweder ist das Verfahren von Gkkgoiue dk St.-Vincbnt dem Cavai.leiu 
1er umgekehrt von Cavameri dem GiuifiOiiiE de St.-Vincent entnommen. 
idessen gibt Herr Cam'Ok noch eine dritte Möglichkeit an, n&mlich daß beide 
ftnner, jeder für sich, auf dasselbe Verfahren kamen, verzichtet aber darauf, 

h für irgend eine der drei MSglichkeiten zu entscheiden. 

Meines Erachtens ist die dritte Möglichkeit an sich die wahrscheinlichste» 
nd zwar aus dem von Herrn Zei;then S. 42 und 291 seiner Geschichfe der 
fathcmutik im XVT. und XVII. Jahrhundert angeführten Grunde, aber am 
ESt«n wäre es natürlich, wenn man darlogen könnte, daß GufV.oiuE deSr.-VincENT 
nd Cav.u^eki fatsüchlich das Verfahren unabhängig voneinander gefunden 
iBklieD. Für diesen Zweck ist es nicht ohne Interesse zu bemerken, daß Cavalieki 
ehon am 0. April Hi23 einen Aufsatz über Spirallinien an Gaijlei sandte 
riehe Le opere di Ga/jiko Galilei. Edizione nazionale, Vol. 13, Firenze 1!I03, 
L 114), und daß er vor dem 28. Mai 1625 an C. Marsili eine von der 
iRcaiMEDKSschen abweichende Herleitung der Flüche der Spirallinie schickte 
siehe a. a. 0., 8. 273), wahrend Giif'ic.oiuB pe St.-Vincest erst gegen Ende 
les Jahres 1625 nach Kom gelangte (siehe H. Bohmans, Documcnls ini'dita 
tur (TKfyniinE he Sr.-VfA'cKST; Annales de la sociät^ scientifique de 
Bruxelles 27:2, 1903, S. 7 des Sonderabzuges). 

t Ist die Abhandlung, die Cavaueui 1625 an Mau.sili schickte, noch auf- 
bewahrt, und kann man durch dieselbe oder durch den an Gaulei übersandten 
Inisatz bestätigen, daß CAVALfEiu schon am Anfange des Jahres 1625 diu 
^ndrutur der Spirallinie auf die Auftitidung der Flüche eines I'arabelabschnittes 
lirückgnfükrt hatte? Hat man auf dt;r anderen Seite irgend einen Anlaß 
ixuoehmeu, daß den italienischen Mathematikern, mit denen GiiKCGiiti: de 
t.-ViscENT 1025 — 1627 in Kom verkehrte, die CAVAt.iEiuschen Untersuchungen 
r die Spirallinie bekannt waren? G. Emestköm. 



117. Über die Geschichte einer Summenformel, die mit der 
nlerschen verwandt ist. Es wird zuweilen behauptet (vgl. R. Reipf, Ge- 
Ic der unendlichen lieihen, Tübingen 1889, S. 84), daß die von Stiui.ino 
er Melhodus diffcrenUnUs (1730) für die Summe der Logarithmen be- 
ieler Zahlen in arithmetischer Progression angegebene Formel ein Spezial- 
Ei'i.ERSchen Summenformel ist. Da aber in der STiRLiNoschen Formel 
icht die Bernohlli sehen Zahlen, sondern (vgl. z. B. Reiff, a. a. 0. S. 78) 

|ie Zahlen ^^, :^^, jöüäi tt^' ^'*' ^^^ Koeffizienten auftreten, so kann diese 
ihauptnug offenbar nicht ganz exakt sein. Auf der anderen Seite ist die 
iTiKLiSGSche Formel ein direkter Spezialfall einer anderen allgemeinen Sunuiien- 
'orinel, die Maclaurin in seinem Trealisc of fluxiotts (1742) § 350 und § 832 
fcagegeben hat, und die in moderner Bezeichnung auf folgende Weise ausgedrückt 
Irerden kann: 

.2rw-|r(.-|)..+ (|)V,r(«-|) + (A)V,r"(.-i)+.... 

die Koeffizienten C2, C4, . . . sind dieselben, die in der Kosekantenreihe vor- 
itommen. 

fiiblioüisca Mklheniatick. Ut. Folge. V. U 



210 ^- Ehestböm: Kleine Mitteilungen. 

Diese Sammenformel scheint im 18. Jahrhundert wenig beachtet worden 
za sein, tind im 19. Jahrhundert ist sie mehr als einmal neu entdeckt worden. 
So z. B. hat 8. Spitzer dieselbe in seinem Artikel: Formeln für die Summen- 
und Differeneenreehnung (Arch. der Mathem. 24, 1855, 8. 97 — 109) als 
neu aufgestellt, und nach einem Referate in den Fortschr. d. Mathem. 15 . 
(1883), S. 239, ist sie in einem Aufsatze von 6. F. Uardt On aome formulae^ 
for approximate summatUm vom Jahre 1883 hergeleitet worden, ohne daß ihn» 
Vorkommen bei Maclaurin erwähnt wird. Ob sie auch mit der von Herren 
G. Bohlmann in der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. 1^ 
S. 879 zitierten J. W. LuBBOCKSchen Summenformel ans dem Jahre 1830 identi8cF~^ 
ist, habe ich nicht entscheiden können, da mir die einschlägige Literatur niclc^ 
zugänglich ist. 

Es wäre von Interesse, eine Geschichte der fraglichen HACLAURiNscb^ 
Summenformel zu haben. Q. Eneström. 



ennonen. 



Kezensionen. 

B. G. Zeuthen. Forelaesninger over Matbematikons Hiatorie. U. 16''^ og 
17*» Aarhundrede. Kjöbeühavn, Host 1903. 8», (3) -f VI -f (2) 

-f H12 S. 

H. 0. Zeuthen. Geachichte der Mathematik im XVI. und XVn. Jahr- 
hundert. Deutsche Ausgabe unter Mitwirkung des Vert'ussers besorgt von 
B. Meyer. Leipzig, Teubner 1903. [== Abhaudlungeu zur Gescbicbte 
der mathematischen Wissenscbiiften 17.J 8", VllI -f 434 S. Mark 1«. 

Gleichzeitig .sind diinisch und deutsch erschienen die Resultate der mathe- 
Watisch-historischen Untersuchungen, mit denen sich Herr Zeuthen seit vielen 
■fahren beschäftigt hat. Die Titel der zwei Ausgaben unterscheiden sich in- 
sofern, als das dilnische Original als Fortsetzung der Vorlesungen des Verfassers 
aber Geschichte der MathevuUik im Altertum und Miitekilter (1893, deutsch 
A 896) bezeichnet wird, wahrend in betreflF der deutschen Übersetzung eine solche 
Angabe fehlt. Wahrscheinlich hllngt dieser Unterschied gouz einfach davon ab, 
daß die deutsche Übersetzung jetzt in einem anderen VerInge als früher erscheint, 
aljer auf der nnderen Seite könnte man sich wirklich denken, diili der Verfasser 
Xinsiuher war, ob er seine neue Arbeit als eine Fortsetzung der alteren betrachten 
Sollte oder nicht, und daiuiii den zwei Ausgaben etwas abweichende Titel 
gegeben bat. Vom chronologischen Gesichtspunkte aus ist die neue Arbeit 
gewiß eine Fortsetzung der iilleren, denn jene setzt fort, wo diese endet, aber 
in betreff der Darstellungsweise findet ein nicht unbedeutender Unterschied statt. 
Uamit habe ich nicht sagen wollen, duü der Verfasser bei seiner Behandlung 
des Stoffes jetzt wesentlich andere Ciruudslitze wie früher angewendet hat; viel- 
mehr denke ich in erster Linie daran, daß der Stoff selbst so verschieden ge- 
wesen ist, daß schon dadurch eine nicht unbedeutende Moditikation der Dar- 
stellnngsweise angezeigt wurde. Hierzu kommt noch, daß die fortgesetzten 
historischen Forschungen des Verfassers ohne Zweifel einen vorteilhaften Einfluß 
auf seine Behandlung des vorhandenen Materials gehabt haben. 

Die jetzt vorliegende Arbeit des Herrn« ZKirruhn« bringt zuerst (S. 1 — 80*) 
einen historisch-literarischen Überblick der mathematischen Forschungen des 16. 
und 17. .Tnhrhunderts; die Ordnungsfolge ist teils chronologisch, teils geo- 
graphisch. Hier werden viele biographische Notizen mitgeteilt und -ziemlich 
aosführlich fiber den persönlichen und brieflichen Verkehr der behandelten 



*^ Ich sitiere immer in dieser BeBprecbnng die Seiteniahlen der Hentachen 
iillgßm, aofem nicht auadrücklicb auf das dänische Original verwiesen wird. 

14* 



212 



Rezensionen. 



1 



Matfaemaliker berichtet, sowie über die äuCeren Umstünde, denen man eine 
EinllaO auf die matberaatischen Entdeckungen zuschreiben kann. Dsgegeol 
kommen bibliographische Notizen sp&rlicher vor. Dann folgt die eigent- 
liche Geschichte der mathematischen Theorien, die in zwei Hauptabteilongeo, 
die Analyse des Endlichen (S. 81 — 233) und die Infinitesimalrechnung (S. 234 
— 426) zerfällt. Die erste Hauptabteilung beginnt mit der algebraischen 
Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades, worauf die algebraische Zeichen- 
sprache und die allgemeine Theorie der algebraischen Gleichungen behandele 
werden. Dann fügt der Verfasser ein Kapitel über die Trigonometrie ein, weil 
ihre Weiterentwickelung der Algebra zugute gekommen ist, und hiervon ist 
der Übergang zu numerischen Berechnungen und Logarithmen ziemlich natür- 
lich. Die drei folgenden Kapitel sind der Zablentheorie sowie der Wahrschein- 
lichkeitsrechnung und verwandten Gegenständen (Binomialkoeffizienten, Kombina — 
torik) gewidmet. Nun folgt ein Bericht über die reine Geometrie, hanpt — 
sachlich unter Berücksichtigung der Arbeiten von Desargle», und den Schlupfe 
der ersten Hauptabteilung bildet eine Übersicht der vorzugsweise analytisch-i 
geometrischen und algebraischen Untersuchungen von Ff.kmat, Dkscakteh unc 
ihren Nachfolgern bis gegen das Ende des 17. Jahrhunderts. 

Der zweiten Hauptabteilung dient als Einleitung ein Kapitel über die^ 
mechanischen Probleme zu Anfang der neueren Zeit, sofern diese zur Erfindung 
der Infinitesimalrechnung beigetragen haben. Weiter bespricht der Verfasser^H 
ausführlich die verschiedenen Verfahren (von Kei'LEK, Cavaijeiu, ToRRirEixi, ^| 
Qreooire de St.-Vincent, Fermat, Pascai,, Wallis u. a.), wodurch tatsächlich 
Integrationen schon vor der Erfindung der Integralrechnung ausgeführt worden 
sind, l)erichtet über die unendlichen Nllberungsprozesse (besonders unendliche 
Reihen) vor Ne\\ton, und behandelt die Methoden, die von Toriih'elli, Rober-^H 
VAii, DE8rARTE.s, HuDDE, Fekmat, Sluse Und HtYGENS für Tangenten-, Nor-^B 
malen- und Maximalbestiromungen erfunden wurden. Die zwei folgenden 
Kapitel beziehen sich auf die Untersuchungen über die Cykloide und über 
Evoluten, sowie auf die Versuche, die umgekehrte Tangentenaufgabe zu lösen. 
Das übrige der Abteilung ist hauptsächlich der Entdeckung der Infinit«simal- 
rechnimg durch Newton und Leibkiz gewidmet, wobei der Verfasser ausfuhr-^ 
lieh über Newton handelt und ein besonderes Kapitel über die Prindpia ein'^f 
fügt. Mit der Veröffentlichung dieser Schrift endet die Zeit, die Herr ZEUTnE!«^' 
mch vorgenommen hat, in seiner Arbeit zu behandeln, und nur ziemlich kurz 
berichtet er im Schlnßkapitel über die Geschichte der Mathematik während derJ 
uilchsten Jahre bis zum Ende des 17. Jahrhunderts. — Die Seiten 427 —434t 
enthalten ein Namen- und Sachregister. 

Daß Herr Zeutuen vor die eigentliche Geschichte der mathematischenJ 
Theorien eine Abteilung allgemeineren Inhalts gestellt hat, ist ohne Zweifel sehrJ 
angezeigt, denn auch der Entwickelungsgang der mathematischen Forschung imf 
allgemeinen verdient gewiß eine Darstellung, und übrigens gibt es Umstflndo,! 
die auf die Ausbildung der Mathematik Einfluß geübt haben, ohne daß man 
sie in die Geschichte einer besonderen Theorie unterbringen kann. Solche 
Umstände sind z. B. die politischen und sozialen Verhältnisse, der Stand der 
der Mathematik verwandten Wissenschaften, sowie die wissenschaftlichen Gesell- 
schaften. Herr Zeutiien hat indessen in der allgemeinen Abteilung auch 
anderes gebracht, hauptsächlich biographische Notizen über die behandelten { 
Mathematiker; Daß Notizen dieser Art in eine Eutwickelungsgeschicbie äeti 



Recensionen. 



213 



Mathematik — und als eine solche Geschichte will Hen- Zeuthen seine Arbeit 
betrachtet hüben — gehören können, gebe ich gern zu, die Frage ist nur, wie 
weit man geben soll. Natürlich soll in erster Linie alles mitgeteilt werden, 
was die wissenschaftliche Wirksamkeit eines Mathematikers beeinflußt hat, aber 
sonst könnte es wohl genügen anzugeben, wann und wo er geboren und ge- 
storben ist, sowie einige Zeilen über seine äusseren LebensumstUnde hinzuzu- 
fügen. Herr Zeutuen ist etwas weiter gegangen, und da er im allgemeinen 
die Ausführlichkeit der Notizen nach der Bedeutung der betreflfenden Mathe- 
matiker anpssst, so ist gegen sein Verfahren eigentlich nichts zu sagen. Freilich 
sieht man oft nicht ein, warum gewisse Notizen mitgeteilt werden; so z. U. 
erfahren wir (S. 29, 50, 52) über P. de Feumat, E. Hai.ley und I. Bakuow, 
daü sie beziehungsweise Söhne eines Lederhöndlers, eines reichen Seifensieders 
nud eines Leinwandbändlers waren, während in betreff der meisten übngen 
Mathematiker gar nichts über den Stand des Vaters gesagt wird. Vielleicht 
beruht dieser Umstand auf der gröUeren oder geringeren Ausführlichkeit der 
von Herrn Zeütben benutzten biographischen Quellen, denn es ist wohl kaum 
«ozanehmen, daß er z. B. in den Arbeiten von Hai.ley etwas eigentümliches 
gefunden hat, das nicht erklärt werden kann, sofern mau nicht weiß, daß sie 
von dem Sohne eines Seifensieders herrühren. Daß Herr Zedthen im dänischen 
Original ausführlich über die Lebensumstände der zwei däniscJien Gelehrten 
Tycuo Brake und Olak Römeu berichtet hat, linde ich natürlich, daß es aber 
«weckmaßig ist, diese Berichte auch in die deutsche Ausgabe (S. 15 — 18, 
1 8 — 1 9) einzuführen, ist mir nicht klar, denn Bkahe hat ja in der Geschichte 
der Mathematik eine sehr unbedeutende Holle gespielt^ Römer sogar eine noch 
luibedeutendere. In der allgemeinen Abteilung finden sich noch bibliographische 
.Angaben und Übersichten der literarischen Geschichte gewisser Fragen, z. B. der 
XjOstuig der Gleichungen 3. und 4. Grades. Die bibliographischen Angaben 
IcOnnen sehr gut ihren Platz hier haben, und meiner Ansicht nach sollten sie 
xioch ausführlicher sein ; nur allzuselten kommt es Tor (vgl. S. 29), daß auf 
^as Vorhandensein von gesammelten Werken der Mathematiker aufmerksam 
Igemacht wird. Auch die literarische Geschichte der einzelnen Theorien können 
j* hier untergebracht werden, wenn man beabsichtigt, in der folgenden Dar- 
stellung nur die mathemaliscbeu Momente der Entwickeluug zu berücksichtigen, 
■was gewiß seine Vorteile hat. Auf der aoderen Seite scheint Herr Zeüthex 
nicht großes Gewicht darauf gelegt zu haben, immer konsequent zu sein, denn 
in den folgenden Abteilungen seiner Arbeit linden sich viele bibliographische 
und literarische Notizen; so z, B. wird S. 327 unmittelbar nach der Be- 
merkung, daß HüDDE die algebraische Behandlungsweise Descabtes' weiter 
entwickelt und in Anwendung gebracht hat, hinzugefügt: ,Dies geschieht in 
zwei Schriften über die Reduktion von Gleichungen und über Maxima und 
Uinima, die gleichfalls in der Ausgabe der Geometrie Descartes' durch van 
SeunoTEN als Anhang ihren Platz getiuiden haben,* was ja eine rein biblio- 
graphische Angabe ist. 

Gehe ich jetzt zu der Geschichte der einzelnen Theorien über, imd sehe 
ich von dem soeben bemerkten Umstände ab, daß sich darin viele Notizen finden, 
die wohl lieber der allgemeinen Abteilung angehören möchten, so kann ich jene 
kunt als eine wirklich msseuschaftliche Behandlung der Geschichte der Mathe- 
tiatik charakterisieren. Ihr Ziel ist, wie Herr Zeuthen selbst im Vorwort 
%xigeg«ben hat, die Entwickelung der Mathematik klar hervortreten zu lassen. 



214 



Rezensionen. 



Für diesen Zweck hat der Verfasser, unter Benntznng der vorhandenen mathe- 
inatisch-bistürischen Literatur, den passenden geschichtlichen Stoif ausgewählt, 
dann in den meisten Füllen die Quellen selbst eingehend studiert, and endlich 
die Resultate seiner Forschungen für seine Darstellung verwertet; bei diesem 
Studium der Quellen hat er zuweilen einzelne nicht unwichtige Stellen auf- 
gefunden, die der Aufmerksamkeit der Fachgenossen bisher entgangen sini 
Sowohl mit der Auswahl des Stoffes als mit der Verwertung desselben kuin 
ich mich im großen und ganzen einverstanden erkl&ren; selbstverständlich wird 
man immer in einzelnen Fällen die Bedeutung einer historischen Tatsache ver- 
schiedentlich beurteilen können, und wenn ich auch hie und da einiges vermisst 
habe, das meines Erachtens erwUbnenswert ist, so will ich dennoch nicht be- 
haupten, daß die Arbeit an den angedeuteten Stellen unvollständig ist, denn es 
scheint mir sehr wohl denkbar, daß das Fehlende von Herrn Zeuthen absicht- 
lich weggelassen worden ist. Nur in betreff des Berichtes über die Entwickelung 
der algebraischen Zeichensprache (S. 93 — 102) möchte ich entschieden eine 
ausführlichere Darstellung verlangen. Zu kurz sind z. B. meiner Ansicht nach 
die Notizen über die Wörter plus und minus, sowie die entsprechenden Zeichen 
-f- und — ; hinsichtlich ihrer Anwendung als gewöhnliche Ausdrücke für 
Addition und Subtraktion erfährt der Leser nur, daß dies nach Wiumakn (also 
nach 1489) eintraf, und was Herr Zeuthen über das Vorkommen der Zeichen 
bei Widmann sagt, ist so knapp ausgedrückt, daß es leicht mißverstanden werden 
kann. Auch über die Bezeichnung der Potenzen vor Descvrtes hätte der Verfasser 
etwas ausführlicher berichten sollen; so z. B. wäre es angezeigt, S. 95 einzn- 
schalten, daß Stipel (1.553) die Potenzen einer unbekannten Grösse durch 1.4, 
L AA, lAAA, usw. bezeichnete, so daß die mit den früheren Bezeichnungen 
verbundene Unbe(}uemlicbkeit, daß sie nur eine Unbekannte voraussetzten, schon 
vor Stevin beseitigt wurde. 

Da Herr Zei'then mit der neuesten mathematisch-historischen Literatur 
vertraut ist, und dieselbe kritisch benutzt bat, so ist es im voraus anzu- 
nehmen, daß die Zahl der in seiner Arbeit vorkommenden Fehler oder Unge- 
nauigkeiteu sehr klein sein muß — alle solche vollständig zu vermeiden ist 
kaum möglich. In der Tut sind die Ausstellungen in betreff einzelner Angaben, 
die ich zu machen gehabt habe, ziemlich unbedeutend; die Folgenden seien hier 
unten erwähnt. 






Vorwort S. VI. Unter Verweisung auf Curtze, Abhandl. zur Geac 
d. mathen). Wiss. 13, 1902 gibt Herr Zeitiien an, daß mit der ,Re] 
oecis" eine Überlieferung von ihrem indischen Urs[)niiige verknüpft war. Es 
ist richtig, daß Curtze o. a. 0. S. 545 und 574 behauptet, die .Regula ceci" 
werde im 2. Traktat des 3. Bandes der Algebra des Initius Algebiias den 
Iiidt'in zugeschrieben, und an der von Cuutze angedeuteten Stelle wird gesagt, 
daß Ai.iABitAS .der Inder' die betreffende Methode in seinen »daten* auseinander- 
gesetzt hat. Indessen verdient diese Aussage meiner Meinung nach keine Beach- 
tung, denn die Notizen, die sich in der .Algebra des Initius Alcjedras* finden, 
sind zum Teil so phantastisch, daß man denselben überhaupt keinen historischen 
Wert beilegen kann, sofern sie nicht anderweitig bestätigt werden. 

S. 7 (vgl. S. 178, 179, 195). Der hier unter dem Namen Guido übaldo 
erwähnte italienische Mathematiker hieß bekanntlich Dei, Monte — Gittdo and 
ÜBAM>o waren seine zwei Vornamen. 




S. 11. Ob Aj)am RrK.SK wirklich zu ,den bedeutendsten Cossisten ' gehört, 
scheint mir «weifelhatl zu seiu; jedenfalls wäre es von Interesse hinzuzufügen, 
daß die RiJS-SKSche Coss nur bandschriftlich vorhanden ist, und daü Auszüge 
daraus erst im 19. Jahrhundert veröffentlicht wurdou (vgl. die entsprechende 
Beniorknng des Verfassers in betreff CmiguETS Tripartif in der Geschichte der 
Mathematik im Altertum und Mittelalter S. 325). Mit ebenso großem Rechte 
kSonte vielleicht Heiniuoh Sciiiwiiiint (Grammateu.s) erwähnt werden, da sein 
gedrucktes deutsches Rechenbuch vom Jahre 1518 einen Abriß der Algebra 
enthält, der einen entschiedenen Fortschritt hinsichtlich der mathematischen 
Zeichensprache repräsentiert (vgl. C. I. Gerhardt, Geschichte der Mathematik 
in Deutschland, München 1877, S. 51—54). 

S. 13. Daß Werners Ti'igonometrie nicht verloren gegangen ist, hat Herr 
Zeothkn selbst S. VI der Vorrede bemerkt. Merkwürdigerweise wird die von 
Herrn Bjürnbo entdeckte Handschrift dieser Arbeit in einem Buche erwllhnt, 
dos allgemein bekannt und von den niathematisch-histurischeu Forschem oft 
jitiert worden ist, nämlich Heilhronners Historia matheseos universae (Leipzig 
1742, S. 543). Freilich nennt Hkii.bronneu sowohl im Texte als im Namen- 
register als Verfasser der Trigouoriietrie , Joannes Vornei-ius" statt JoiiASNhS 
Werner (mit Hinzufügen von .Neuburgensia* statt „Noribergensis"), und darum 
habe ich erst vor kurzer Zeit zufilUigerweise die IlEiLiiRON-SEKSche Notiz auf- 
gefunden, obgleich ich schon vor vielen Jahren alle Stellen seines Buches 
genau nntersuchte, worauf im Register unter ,,Werner" hingewiesen ist. 

8. 14. Der als , .vorlaufige Anzeige" bezeichnete Commentariolits des 
fcoppERNicrs , ist, wie L. Bikke.vmajeu in seiner Arbeit Miko/.aj Kopehsik. I 
C^urszBwa 1900, S. 70 — 88) nachgewiesen hat, eine selbständige Schrift des 
KoiTERNiKiis über ein heliozentrisches System mit zwei Epicykeln, und wurde 
nicht nm 1533, sondern schon vor 1512 redigiert (vgl. Braunmühi., Vtwl. 
«*«■ Gesch. der Trigon. II, Vorwort S. VII). 

8. 17. Nach einer brieflichen Mitteilung von F. R, Futr« an BiiAi'NMtJuL, 
"t die von STnDNicie,v herausgegebene trigonometrische Handschrift nicht von 
1^'t'iio BiuiiE, sondern von einem seiner Schüler geschrieben (vgl. Braunmühi^, 
»• a. 0. S. VIII). 

8. 25. Ai.BEitT GiKARti starb am 9. Dezember 1632 (vgl. z. B. Cantor, 
^ort. üAer Gesch. der Mathcm. 11-, 8. 656). 

S. 29. Daß die von FitKNifi.E dk Besky in den Schriften der französischen 
^«ademie der Wissenschaften [jublizierten Schriften wirklich etwas von besonderem 
loteresse darbieten, scheint mir aus den Bemerkungen von Herrn G. Vacca 
'" der Biblioth. Mathem. 23, 1901, 8. 359 und von mir ebendaselbst 43, 
190.3. S. 88—89 hervoraugehen. 

S. 32. Wenn Herr Zeuthen hier die Schrift: Calcul de Mona. BKSCAitm/i 
»« intrndtwtion ä sa geomctrie vom Jahre 1638 als ungedruckt bezeichnet, so 
ijt diese Angabe insofeni richtig, als die Schrift den Zeitgenossen des 
Dettc'ARTKS nur handschriftlich zugänglich wurde. Dagegen ist sie im Jahre 
1896 von H. AuA»f im Bullet, d. sc. mathöm. 2O2, 8. 221—248 veröffent- 
licht worden. 

8. 41 (vgl 8. 78). Es ist ohne Zweifel richtig, daß Joh.^nn Bernouu.i 

ein wenig zu weit ging, als er die Analyse des infinimcnt petits des Marquis 

tiB l'HApitai. eine bloße Bearbeitung seiner eigenen Mitteilungen an den 

rifakrqnis nannt«, daß aber im Buche viele solche schriftlichen Mitteilungen 



21li 



BtmaamoBm. 



Ül nui Khr gut kontrollieren aaf Gmod des aufbewahrt«!! 

.lunjtvx BintMii LLi und Hopit.u.. Einige für eben diesen 

as dem Briefwechsel HeO Joiiaxk Bek.noi-i.i.i selbst 

■ rxim 1721 in der von seinem Scbfiler Johass Bnn'Ano 

, . cirttm clorissimum Br'v,ic Tatlor Teröflfentlicfaen. 

-". i'£i). Die Behauptung, daß Hitddes Tätigkeit als mathe- 

-LttlLtr sich auf die beiden Anhänge zur DeacAKTKiischei: 

Ulkt, ist kaum lichtig. Zuerst weiß man ans einem Brief« 

.'. vom 28. November 1676, daß jener in Amsterdan 

.. i'i<K gesehen hatte, die wertvolle mathematische Ent 

a -jinUlMiMs: etwas davon notierte Leibniz, und seine Anfzeichntingei 

i ÜtiMik tor (rgl, t. B. ('.. .T. Gerhaäut, Der Briefwechsel von G. W 

K«l Mutkmmatiktrn I, Berlin 1899, S. 228—229). Beschränkt mai 

. " tfmtntette Schriften von Hudhh, so gibt «s außer den xwei voi 

-t« «rwthnten noch eine dritte solche, nämlich eine Ijösoiig de 

ilems, die zuerst 1713 veröffentlicht wurde, und dann vielfacl 

_. .ortlwi ist (vgl. Biblioth. Mathem. Sj, 1904, S. 204). 

8k W. DȊ James Greoorv 1667 in Padua die Vera circuli et hifper 

.uhrtlitr» h«'musgab, und daß spater die Geometriae pars universalii 

■ . iak siolieriieU durchaus exakt, aber vom bibliographischen Gesichts- 

.1»« TMlkicht ein wenig undeutlich ausgedrückt. Die erste Auflage der 

. - cmH tt hifperbdae quadratitra erschien, wie Herr Zehtiien angibt, in 

M XWl, und ein zweiter Abdruck daselbst 1668 unter dem Titel: Vera 

' ^ . (»Mrtc quadratura. Cui accedit geometriae pars universalis. Di« 

■wiiKsiioiu'Fschen, von Cantor (a. a. 0. III*, S 157) vriederholter 

dii> Vera circuli e-t hi/pcrbolne quadratura erweitert untei 

.ifitmeiriae pars universalis, inserviens quantitatum curvarum 

>twni et mcnsurae in Venedig 1667 erschien, ist mir zur Zeit nichl 



• ^. Die alt« Geschichte, daß es Newton wegen der angenauen Kennt 
' '• ulius zuerst nicht gelang, volle Übereinstimmung zwischen dei 
u!k1 dor berechneten Geschwindigkeit zu finden, und daß er wcl 
iswX dor Möglichkeit anderer mitwirkender Versuche tröstete, bis et 
»Um- »ollen Bestätigung seiner Hypothese gelangte, rührt nach W. W 
I vi» essay on Newtons Principia, London 1893, S. 16 — 18, 23 

>.»w*kU.i> vi'i« .1. KoBiNsoN (1804) her, und ist wenigstens zum Teil unrichtig 
k:>. .A »^imIu'Ii konstatiert worden, daß Newton erst 1679 üntersuchimge« 
(I |f'ii»Mo wiudei- vornahm. 

r^ ,r>>, Im biitreff der Bemerkung, daß Leibniz den Brief von Newtoj 
«H^uukUi^ltlloh mit einer vollständigen Auseinandersetzung der einfachstei 
l' iwg.'ln imd der nächstliegenden Anwendungen derselben beant 

v_ ' , orhiube ich mir nuf Biblioth. Mathem. ISj, 189it, S. 26 27 

IL, IWill, M. If''' «u verweisen. 

K. TW, Unir Zeuthen gibt hier einige Notizen über den Streit zwischM 
.lAKitii und Johann Bernoitlu, und behauptet dabei, daß es jener war, del 
,1 ,1 KlIi;. vor die Öffentlichkeit brachte. Meiner Ansicht nach ist e! 

^ , k''"'' '"•""' '"'"■"K® ■''" entscheiden, denn tatsächlich hatte sich Johaot 

lttMNUUl.1.1, vor Dezemljer 169r., mehr als einmal in seinen gedruckten Auf 
III auf eine Weise geäußert, wodurch sich Jakou Bernoulli mit Recht 



Resensionen. 217 

^arletet fühlen konnte (vgl. die von mir in meiner Abhandlung Framställning 

f Striaen om det isoperimetriska prMemet; Upsala nniversitets ärsskrift 

.8"?6, Matern, och naturv. II, S. 13 zitierten Stellen). Darum pflichte ich 

.i^l)er der folgenden Äußerung von P. Merian (Die Mathematiker Bf.rnoulu, 

B^isel 1860, S. 12) bei: .Wenn man bloß die gewechselten Streitschriften zu 

K^te zieht, und die gemessene, freilich oft sehr sarkastische Haltung von Jakob 

Beimoulu vergleicht mit den sich selbst aberhebenden, oft alles Maß über- 

achreitenden Äußerungen von Johann Bernoulli, so ist man allerdings geneigt, 

den letztem als Urheber der Störung des bräderlichen Verhältnisses anzusehen". 

Überhaupt bin ich der Ansicht, daß man am besten tut, wenn man in einem 

Konpendium der Greschichte der Mathematik nur erwähnt, daß die Brüder 

Bebnoulu viele öffentliche Streite miteinander hatten and die Gegenstände 

der wichtigsten derselben nennt. 

S. 82. Daß es zweifelhaft ist, ob das hier erwähnte italienische 
Mannskript, wo die kubische Gleichung unrichtig gelöst wird, aus dem 14. 
Jahrhundert herrührt, habe ich in der Biblioth. Mathe m, 1899, S. 106 
benrorgehoben. 

8. 95 — 96. Hinsichtlich der Notizen über die Kntwickelung der algebra- 
iwheu 2ieichensprache sind ein paar kleine Verbesserungen angebracht Die 
Behauptung, daß Wurzelgrößen zu Anfang der neueren Zeit durch R vor der 
Potenz bezeichnet wurden, und daß dies R sowohl bei Stevin als VrirrB in 
nnser ^j übergegangen ist, kann beanstandet werden; der erste Teil dieser 
Behauptung ist wesentlich unvollständig, weil in Deutschland als Wurzelzeichen 
iQeret nicht ein R sondern ein Punkt benutzt wurde, und es ist fast sicher, 
^ unser Wurzelhaken aus diesem Punkte entstanden ist. Da hierzu noch 
kommt, daß der Haken schon in Stifels Arithmetica integra (1544) fast wie 
^>r heutige aussieht, so kann man ebensogut annehmen, Stevin habe sein 
Wurzelzeichen aus Sttfem .Arbeit entnommen (vgl. Tropfke, Geschichte der 
^^tmmtar-Mathematik I, Leipzig 1902, S. 216—222). Viäte scheint den 
"Qrzelhaken überhaupt nicht angewendet zu haben (vgl. Tropfke, a. a. 0. 
°- 222), obgleich dies Zeichen später von dem Heransgeber seiner gesammelten 
^erke statt der von Viäte selbst benatzten Zeichen substituiert wurde. — 
J^e Bemerkung, , sonderbarerweise tritt also dies jetzt allgemein gebräuchliche 
algebraische Zeichen der Vereinigung [d. h. die Klammem] zum ersten Male 
[nimlich bei Girard] in einer Verbindung auf, wo man sich jetzt statt der 
'Qsmmem des von Vieta auch sonst gebrauchten Zeichens der Zusammen- 
gehfirigkeit [d. h. des wagerechten Striches] bedient* muß den Leser zu der 
iiirichtigen Ansicht veranlassen, Giraed wende die Klammem nicht als gewöhn- 
liches Multiplikationszeichen bei Polynomen an (vgl. Biblioth. Mathem. 4$, 
1903, 8. 216). 

8. 101. Ganz wie im dänischen Original wird hier behauptet, Descautks 
S'be .gleich* durch das Zeichen oo wieder, aber bekanntlich ist das DEsc-AUTEssche 
^chen von etwas anderem Aussehen, nämlich X (links findet sich eine 
Ofiinng). Vermatlich liegt hier nur ein kleines Übersehen beim Korrektur- 
Itsea vor. 

8. 118. Die bei Joboahüs Nemoharius vorkommende Konstraktion der 
Winkeidreiteiliuig ist dem Liber trium fratrum entnommen, und sein erster 
Bereis stimmt fast wörtlich mit dem der drei Brüder überein (vgl. Der Liber 



218 



Rezensionen. 



trium fratrum de ffeomeiria, heraasg. von M. Gurtze; Nova acta df 
deutschen Akademie der Naturforscher 49, Halle 1885, S, ITif) — l'il 

S. 148. Das Vorkommen der .Regula cecis" bei irgendeinem arabisch^ 
Verfasser ist, so viel ich weiß, noch nicht nachgewiesen. M 

S. 162 — 1G4. Herr Zevthkn gibt hier einen Beweis des FermatscIi^ 
Satzes, daß der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Seit^ 
ganze Zahlen sind, keine Quadratzahl sein kann, und behauptet, dieser Bew^ 
sei nur eine VervoUstÄndigung des von Fekmat in seiner „Observatio XLV' 
angedeuteten. Aber meiner Ansicht nach ist der ZEUTHENSche Beweis vielmehr 
als eine Verbesserung des FERSiATSchen zu bezeichnen. Herr Zeutuen we 
nämlich nach, daß, wenn ee ein rechtwinkliges Dreieck gibt, das den 
dingnngen genügt, so kann man immer ein kleineres rechtwinkliges Drei« 
auffinden, das auch den Bedingungen genügt, d. h. dessen Seiten ganze Zahl« 
sind und dessen Flächeninhalt eine Quadratzahl ist. Fermat selbst folgert ans 
den Bedingungen zunUcbst, daß es zwei Quadratzahlen geben würde, deren 
Summe sowohl wie Differenz wiederum Quadratzahleu wSren, und deutet an, 
wie man daraus beweisen kann, daß es zwei kleinere Quadratzahlen geben 
würde, deren Summe sowohl wie Differenz wiederum Quadratzablen wären. 
Der Unterschied der zwei Beweise ist ja nicht besonders groß, aber ich sehe 
nicht ein, warum es überhaupt nötig gewesen ist, den FeuMATSchen Beweis zu 
verbessern. — Vielleicht hätte Herr Zeuthen an dieser Stelle angeben können, 
daß FiiKNiCLE de Be.s8y schon 1676 eine ähnliche modifizierte Rekonstruktion 
des FEBMATSchen Beweises veröffentlichte (vgl. Biblioth. Mathera. -I^, 15^08, 
B. 88 — 89); Frenicle leitet aus den Bedingungen her, daß es ein rechtwink- 
ligee Dreieck geben würde, dessen ungerade Kathete gleich einer Quadratzahl 
und dessen gerade Kathete das Doppelte einer Quadratzahl wäre, and weist 
dann nach, daß es möglich wäre, ein kleineres rechtwinkliges Dreieck mit den-- 
selben Eigenschaften zu finden. 

8. 191. Die 167:1 von La Hike heransgegebene Nouvelle mrthode em 
gi-omitrie pour ks secUona coniques des superficies coniques et cylindriques isä 
gar nicht verloren und nicht einmal besonders selten (vgl. Biblioth. Mathem. 
43, 1903, S. 288). j 

S. 232. Da Herr Zeutuen erwähnt, in welcher Zeitschrift die Abhandlung vd^ 
Tscmii.NHAi :s MeÜwdus atiferendi omnes terminos intcrmcdios ex data aequntionm 
veröffentlicht wurde, wäre es angebracht, auch das Druckjahr 168-1 hinzuzufügeoa 

8. 327. Der Deutlichkeit halber sollte Z. 4 vor „Ausgabe" das Wor- 
„Bweiten" eingefügt werden (vgl. S. 43). 

S. 330. In betreff der Angabe, daß Ore-sme bemerkt hatte, daß die Foula 
tion gerade in dem Augenblick nicht variiert, in welchem ein Maximum ode 
Minimum durchlaufen wird, verweise ich auf Biblioth. Mathem. Ij, 190C 
8. 516—516. 

S. 418. Es ist durchaus richtig, daß in der Analyse des infiniment 
die Differentiation zur Bestimmung der Grenzwerte solcher Größen, welche d^ 
Wert J annehmen, angewendet worden ist, und daß dies damals ein neues E-« 
gebnis war, aber es wäre angebracht hinzuzufügen, daß diese Anwendung vc3 
Johann Bernoulu herrüht (vgl. Eneström, Om upptilckien af S'lttet alt medas 
diffcrentiation bestämma vürdet af en brlikfunktion, da (illjare och nämnaai 
samiidigt blifva noll; Ofversigt af [svenska] vetcnskapsakad. förhanaH 
51, 1894, S. 297—30.')). 



190G 
pJt 



Rezensionen.' 



219 



Die kleinen Schreib- oder Druckfehler, die im dänischen Original ziemlich 
büaiig Torkommen, sind in der deutschen Ausgabe meistenteils verbessert 
worden. Von den noch rückständigen habe ich die folgenden notiert. S. 35 
Z. 24 wird 16;i0 als Druck jähr der Pratique de la perspective des DKJSAUorKS 
angegeben, während S. 179 die richtige Jahreszahl 16;{6 vorkommt. — S. 49 
stellt „Browncker" ganz wie im dllnischen Original aber S, 427 richtig 
Brocsckkr. — Meuc'atoiis Logarithmotechnia ist nach S. 50 im Jahre 1667, 
nach S. 55 im Jahre 1669 erschienen, während 1668 dos richtige Drackjahr 

ist — 8. 164 ist zweimal 2 (gl* »ta*-* ^('2')"''" setzen. — 8. 296 wird 
HcvGENs' Horologium oscillntorium unter dem Namen ,,Horo]ogium rairifioum" 
«tiert — S. 380 Z. 1 lies 1671 statt 1771. 

Die deutsche Übersetzung gibt, wenigstens überall, wo ich verglichen habe, 
den Sinn des Originals richtig wieder, was ja nicht eigentlich wundernehmen 
kann, da jene anter der Mitwirkung des Verfassers entstanden ist. Der Über- 
setzer hat sich im allgemeinen seiner Vorlage wörtlich angeschlossen ; nur aus- 
nahmsweise hat er vei'sucht, an solchen Stellen, wo der Periodenbau des 
Originals besonders verwickelt ist, das Stadium des Baches dem Leeer ein 
wenig zu erleichtern. Eine solche Stelle findet sich S. •150 des Originals und 
8. 250 der deutschen Übersetzung, und lautet folgendermassen: 

Original 1 Übersetzung 

Den gaar ud paa, at det Legeme, som Dieser Satz besagt, daß ein Körper, 

fiembringes ved Omdrejning af en lukket der durch die Umdrehung einer ge- 



plan Figur (F) om en Axe i samme 
Plan (hvilken dog ikke overskjaerer 
Pignren), er lige stört med det Stykke 
»f en ret Cylinder med F til Grnnd- 
°ade,8oraafskjaeresaf den Plan gjennem 
Oindrejningsaxen, der paa Linier vinkel- 
•■«tte paa den givne Plan afskjaerer 
wkker lige störe med Periferieme af 
^ Cirltler, der til Radier have Linier- 
"M Äfstande fra Axen. 



schlossenen ebenen Figur {F) ym eine 
Achse in derselben Ebene (die jedoch 
die Figur nicht durchschneidet.) erzeugt 
wird, dem Stück eines geraden Zylin- 
ders mit /' als GrundHliche gleich ist, 
das eine folgendermaßen durch die Um- 
drehangsoohse gelegte Ebene abschneidet : 
von den Loten auf der Gruiidllflchn 
schneidet sie Strecken ab, die den l'ori- 
pberien der Kreise gleich sind, derun 
Halbmesser die Entfernungen der Ijotc 
von der Achse sind, 

l'ucb das hineingeschobene Wort , folgendennaflen * und den folgenden 
^: „von den Loten etc.*' wird das Verständnis der Stelle freilich leichter, 
*ii«r besondei-8 schön ist diese sprachliche Wendung gewiß nicht. S. 22 «teht: 
i'n Frankreich wirkte . . . CHuyüET", während das Original S. 31 : „I Frankrig 
'fif vi . . . Chuqpet" hat ; die Änderung ist vielleicht «tilistinch eine Vor- 
''*<Mning, aber dennoch weniger angebracht, weil Cmyt'KT» Arbeit, abgesehen 
Wn dem dürftigen Aaszage bei De la Bocue, kaum irgend eine Kinwirkuwj 
anf die Zeitgenossen gehabt hat, and bekanntlich erst in unseren Tagen ent- 
deckt wurde. Etwas auffällig wird es wohl den meisten Lesern der dout«cheu 
Übersetzang sein zu vernehmen (8. 18), daß LosoojconTAKii» »ich „mit wext- 
ji^icher Treue" Tvciio Bkaiie anschloß, denn diese Art von 'IrftUü int ihm-n 
sicherlich durchaus unbekannt — das Wort b&tte am betten gpstricbau worden 
«oilen. 




220 RezeoBionen. 

Das Register ist von Herrn A. A. Bjöenbo bearbeitet worden, und zw 
nach Regeln, für die der Verfasser selbst im Vorworte die Verantwortlichk^ 
äbernomuien hat. Meiner Ansicht nach ist die Zahl der Stichwörter entschiedL 
zu klein; so z. B. fehlen „Ellipse" and „Hyperbel", und wer die Stellen, 
die Geschichte der Hyperbel behandelt wird, nachsehen will, muß alle un- 
„Kegelschnitte" aufgeführten Seiten vergleichen, ebenso fehlen „Pluszeichen" 
„Minuszeichen", so daß man, wenn man die Geschichte des Pluszeichens studie:: 
will, auf die Benutzung des Stichwortes „Zeichensprache, algebraische" angewie^ ^^j, 
ist. Ein wenig inkonsequent ist es, „Raumkurven" aber nicht „RaumkooKr«^ j- 
naten" (die einschlägigen Stellen müssen unter „Koordinaten, Raum-" gesac iit 
werden) als Nachscblagewort aufzuführen. 

Das Erscheinen der jetzt vorliegenden Arbeit des Herrn Zeuthen vri:m:rd 
sicherlich von allen Freunden der mathematisch>historischen Forschung um. it 
Freude begrüßt werden. Besonders den Universitätslehrern, die Vorlesung'^— «n 
über Geschichte der Mathematik halten wollen ohne Spezialisten auf diese^MRi^ 
Gebiete zu sein, wird die Arbeit sehr willkommen sein, und es ist zu hoffe^^Bi 
daß gar mancher junger Mathematiker durch dieselbe angeregt werden wiiu "i^i 
sich mit wirklich wissenschaftlichem Studium der Geschichte der MathematL — '^ 
zu beschäftigen. 

Stockholm. 6. Eneström. 



Feuefaddcncne Sduifteo. 



Du ZauksB • b«jCT»t, «tS fit ' 



Kl Btttui, 19. 

BJeikies, 47. 

Bol)y»iii, 3, 38. 
BtsubBIiI, 10. 
B«elibolz, 42. 

Cutor, «. 

CmUe, 20. 

BulaiL 12. 

Biuitrim,2, 5. 21,26,87. 

Vmto 23, 24, 25. 
Faiari, li. 




lacvic <;. 



Sms. iä 




T-iüan;^ S. «'.. M 



a) Zeitoohriften. 

Uhudlangen zur Geschichte dar i 
WiaeesMluifteii 14 (19a2j. [Bcan 
'öl mitliem. ünteir. SS, 1901. 1%-MtL 'S. 

GtJTIB«.) T 

Bibliothecft Mathemstic». Ze iUd u ift f&r 
Geschichte der nukthematiaeiMB W Itn 
Khtften. Heimiugegeben tob G. Ess- 
iTtöx. Leipzig (StoekholiD). 8« 'ß 

h mtj : 1. 
teaco-iMcxaiHHecria Hsyn bv zojii kt» 
P^^nru. SypHan jaf^aemtit 9. B. B*- 
*iuHHHnrb. Hocna. 8*. (3 

l):ll. - Die phjnseh-matkaaatiKhca Wir 

nBKhtfteii im Laufe ihier Batwiehetaac. 

«itachrift herausgegeben tob T. T- Baarsn. 



Tnfn*. X.. vsMäaaut Air £ienas.iie-S>cift- 
■■ n B 1 1 II I— T II '■*» laoctCiBiiC '- — 
Z3I3— WK*«. '2«aessm : IiesTMaK laO^SKBrr. 



lasrfa. C- 7p»ii 1 1 Hl slziAcsJKte siit 'ziaaKMS- 
4^as KxrvB. Timmt ^i ^laoiatac Imr- 
■ 1« 1»ri1i ZXa. 'ZcBiBBiia: jLmief>4» 
Sk. mmtiita.. iitrm'mmiaa U.- l^Tx. :«• 
e. HASv-rirr — Serat paür i. K 14. 

»ß. «5. :> 

BiUVxl. Baürtaa. »». UW. 74— T- TT. X 

Kt-TT*. 1. 



^ttierjr, F., De lliistoire gte^nle d«a 

sdenceg. [4 

^Tue de synthise Ustoiifae 8, 1901, 1— IS. 

^NtrSn, 6., Über legefan&Bige nnd nn- 
ngelmUige lÜBtoriaehe Entwickelnng 
'uf dem Gebiete der Ibthenuktik. [5 
Biblioth. Matbem. Si, 1904, 1-4. 

<^t«r, ■„ VoTlesnnna aber OeseUekte der 
1>tliematU(. m. t* (1894). (KMm Benertaa- 
!«>:] BlbUoth. Mathem. Sa, 1904. 08. (G. En- 
■na«.) _ gl (1900). [KleiBe BaBerkaBcea :] 
BibUoüi. Hathem. 1^, UO», «»-?>. (ÖTKn- 
■TU«.) _ s* (190R fUdoe BeaMriinaMi :] 
BiWoth. Matbem. 6* 1904, 71—72. (OTKaa- 
muiii.) pS 

'•>»«, H. 11., aewshichte der Mathematik im < 

IVI. ud XVII. Jahrhimdert. Deataehe Aas- , 

g»be(i90e). [Beaemion:] MsthMtidi, 1904.85. , 

P I 



K., Tke acicwK -jt f rhaaWa A ' 
aai hiaiorka! a-tKiEai «f ito tertitiaMa-. 
naatkt«d.:«<Md«4iU^<a UW., nyiniaalia:: 
Bnaatifc. fcr «itWm IS. VtJt, X: tSx K . 

:\ 
INkCM. P.. Lm orizinet de Is «tsti'jo« 

' :i2 

Braizclla, Soe. scäcat-, Errae iea T»»«. acicat . 

«,. UM. sao-a« 



b) a«M:lilebte des Altertnma. 

La quadratore da e«rele daiu \'%n<:i»:tit.': 
Egvpt«. .1' 

Itevae scieat. 21«, 1909. 91. 

Kewitach, 6., Zweifel au der attroDomi- 
echen und geoiiiefriech*n Orjndlag:« dtt 

eO-System«. i •* 

Zeit»ehT.fBrA»7riologie<Stiaßburg I«i,1!>'j4, 
7»-85. 



222 



Neuerschienene Sohriftou. 



Fazzari. U., Brcvc storia doli' aritmetica 
dcU al|;obra iici tempi antichi. [15 
II ritogora 10, 19C4, 4»-öt. 

Hnltsrb, F., Eudoxos tod Knidos. [16 
Das WelUll (Berlin) 4, 1908, 206-214. 

FoPr»(*r, W.j La preccBsion des eqninoxeis 
d'Hipparque ä Ptolemee et a Kepler. (17 
Rcvoe B^nti. d. sc. 14, liX», 537—511. 

Tnnnery, P., Snr lo symbole de süustrac- 
tioii cliez los Grecs. [18 

BiliUotfa. Uatbcm. 63, 1904, 5—8. 

c) Oeschichte des Mittelalters. 

Al-Iiatt£ni «ivo Albatenii opus aittronomi- 

cum. Ad fidem cndicis escurialcnsis 

arabice editum, latiue Tersum, adnota- 

tioiiibus iustructum a C. A. Nalliso. 

Pars I. Versio capitiim cum auimad- 

versiouibuB. Mediolaui 1903. [19 

Milauo, Osservatorio ili Brera, PobblicAzioni 

10:1. LXXX+327S. — (KeMiiiiionOBibUoth. 

Matbcm. &,, 1904, IS-Sf. (U. SrrKK.) 

Carte», M., Urknmlou zur Oescliichte der Mathe- 
matik itn Mittelalter und der Renaiaaanc« 
(IM'2). |Kezeii!ii«n:] llalbegi8 43, ItKH, 66. [20 

EneHtriim, Oi^ Ist Jordanus Ncmorvius 
Verfasser der Schrift: „Algorithmus de- 
moiistraiiiB"? [21 

Bibliotli. Mathem. 6], 19U1, 9—14. 

>'0TaU< F., Vn agrimciisore rremoncse de! 

sce. XV. Leonardo Mainardi o la sun 

Opera. (22 

Bollütl. di bibliogr. d. se. matcm. 7, WM, 

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baido" I7a, 1903, 48S-483. 

Favnro, A., lutomo al presunto autore 

della „ Vrtis metrice praptice rumpilatio" 

cdita da Massimiliano Curtze. [28 

ynietio, Islituto VeneU., Atti «3:2, IfiW, 377 

-395. 

d) Oeschichte der neueren Zeit. 

Favaro, A., Serie derimaquinta di scam- 

]ioli Ualileiani. (24 

Padom, Accai). d.sc, Atti e memorie 20, 1904, 

,V- 2». 

Favaro, A., Amici e corrispondenti di 

Galileo GalUei. X. Giovanni Battista 

Agucchi. [25 

IVncn». IsUtnto Venelo, Atti OS: 3, 1904, 187 

-ICT. 

Eneström, 0., Pascal und der binomische 

Lohr)>atz für nicht );^nzzabligc Kx- 

ponent«!). [26 

Biblioth. Hatbem. 5], 1»04, r2—ri. — Aafrage. 

Kllmer, Tta., Der Betriff dos materiellen 

Punktes in der Mechanik des aclitzohnteu 

.lahrbuudertfl. [27 

Biblioth. Malliem. 5}, 1904, 15—62. — [^Rezen- 

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Sonth afirioan aasociatioo fa~ 
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Oodefroy, M.j La fnnction gsmin». 1 
rique,bil>li<>)rmnhie (1901 1 . iRvteiu 
für matUem. Uaterr. 35, 1904, 

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Wöirriiif;, B., Uathematischer Bil< 
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fiuitesimal in mathematici 

London, Hatbem. too , Proceedl 
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Inbalta 

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8ion:| Deutsche Literatnra. 36, I 
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BibUoth. Mathem. 5,, 1904, 73 - 
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luinants in the historical urd 
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129-159. 

BoOidRUHi, It. B., JIsTcparyp: 
iirropiB MATCMnnini nt. XIX. öl 
roTT(|>pHA'«> *i>iT,vteriHi.. 
Fiziko-matem. naouki l,, 1904, 
BuiiTXiit, V. V, Die Literatur nni 
auf dem matbemutisi'b-biotoriji 
im U'. Jahrhundert. Joiukx Got 

LEIX. 

KSalgikerger, I<., Hermann von Be 
— 19QS). [Rezension:] Monatah. 
18, 1904, Lil.-Bor. 17— M. (O. J.; 

J. C. Pour^endurlTs Biographi 
BchcB Httudwörtcrbuch zur 
der exakten Wissenschaftc 
Band (die .lahre 1883 bis 
wart umfassend), herausgt 
A. J. VON Okttisiiich. Liefen 
Leipzig, Barth 1904. M 

8", S, 1225-1368. — [6 ^.) l| 

'Tnckerman, A., Index to ih 

of tbe spectroscope (1887— j 



2äS 




VM ^nMCBI MST ClU 

Ar die 






I 




ZtÜMtrar 
Am dn Od 
BMik. 

WSIfflni:, E., 

lus^en »uf der n»>! 
mitik, dir im JaK: 

Zeitechriften ersch i^j- [44 

ZtHMbr. mr ■attea. M. UM, a»-ZC 

Lliwif, F.. KeiiPi* IJtenitnr über ilks 
Grenzgebiet der Biometrie III [45 

ZcilKbr. für MaUum. «U. tOM. 163—161. 



*. hl 

t. noi. 









IS?*» -I!^o^^ 



[TO 



e) N^ekrolog«. 



46 



Friclrich Aygatt (1840— 1900 . 

Ltojwldiua »f., 19011. <«— 47. 

K'ul Ant.,11 Bjerknes (1825—1900) (47 

ILi>u>n V , fu:i Ayrnt' RjaiKMtx. 00- 
f^MMmtf« tehattm vor im Ot—atcMaft dn 
■räwineWIni nt ChritUanto am 17. Aprü 
JX». laipd«, Barth UW. tf>. 31 K. -f Porittt. 

"^"' CallMdreaa (1852-1904). [48 

LuMigncmcul niaüitm. 6, IHM, ISO. 

"««liUw, Cyrtte, (1837-1H03). (40 

2<4I«IL di blbUoer. d. M. BAtem. 7, 1904, 

'Koü Otriyto (1864-1902). [50 

•**«M Se|eyba«er a849-1908). [51 

■«M*. nr Mathem. 16, 1901. 3-10, I2>- 
11 Ol 8n>u, E. Kobau», J. A. OxmiiiH.) 

(1809-1903). (52 

tm. loe., Proeeediasa IS, lUS, 
iE- T. W'arrti«».) 

t^ldmin Hayward (1829-1903). 

[53 
•oc., Procceding» 36. 19W, 
,'W. S. Boci-raxa« ) 




AK-»»«'» T.»tMn>(a|Mnlk*il . ArtHtIt lUVi, 110 
E 

"Vc|j»*cL vA-UIharti SafkHIt is»-1<t0«v 

[«0 
£«Md, A«lmi ■■ :, ^ V»»rt«Dnl.n»<>>ii , 

• ieon-- «»r^'-"r- ■ ■■■^ i\\ 

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V. lA^. .U. |ll. l''>.Ub., 

WiJhrlm Sohtil I«?« HHM f«2 

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»i. , . .... 

KniHt SohrtWer IfUl inoa) |«n 

BullnU ili iMlillAcT <!.«. nintlixni 7, Itni, ]M 

SHigtee Vloalrc \s-M iimi . [tu 

P»nW No. iil.ii. üiill.'H« 4,- IW»«, IWI 

— l?r, (Hill f- liKlm (P Akii*» 1 

Anna Wlnlook > ') (HA 

Sciano« I9|, 1904, l,^7. 

6tii»flppf< Zmia ^li^lO IK96i (flfl 

Oilaiwa. Aorail, Rionnla, Atl.l 16«. KKV. li N 
+ PortrM. 

AktuvU« rr»«*» 

F.n«>fttr«%m, G., Di« (iMchirliln iVr MaIIi«' 
matik und der l'niv«nlM(«iinl«>trirht 

|«T 

Rllilirtlli MathMK. A|. IKH. M 91, 

I'rinxithrim, l., V\wt Wart m«) anirnd 
lieben l nwerl drr »' •' ■■ ^ ;t 
rede ifclialten in - > 

deniie der WiiMu«. m„.i..,. ,.. ,i.,,r'>'ii 
am 14. Mftn 1904 MQit>'h»n l(HM (DP 
4», 44 n. 



224 



WiigenBohftftlicbe Chronik. 



Wissenschaftliche Chronik. 



Ernennnnjrfn. 

— Dozent G. Uiiccaui'i in (.'atauia zum 
Professor der ARtronomie an der Univer- 
versität in Turin. 

— Dozent B. Buifiito!« in Marseille zum 
I'rofesBor der Physik au der UuiTorsit&t 
von Aix-Marseillo. 

— Privatdozent R. DAinr-EiisKY v. Stkrnkik 
in Wien zum Professor der Mathematik 
an der Universität in Czcmowitz. 

— Dozent K. Delabkis in Grenoble zum 
Professor der Mathematik an der Univer- 
sität in Bcsau^on. 

— Professor F. Enoei. in Leipzig zum 
i'rofessor der Mathematik au der Univer- 
sität in Grcifswald. 

— Privat<lozent A. Hauknbach in Bonn 
zum Professor der Physik an der Tech- 
nischen Hochschule in Aachen. 

Todesfälle. 

— OcTAVK C'Ai.i.AxiHUwAr, Profcssor der 
Astronomie au der „Kcolo polytechniiiuo" 
in Paris, geboren in A.igouli'me den 
IS. September 1S52, gestorben in Paris 
den 13. Februar 1904. 

VorlcsuntriMi ilher Ocsi-hichlo 

der mutlieiuHtischeu und pbjshchen 

Wlgseuschaften. 

— An der Universität in Berlin hat Pro- 
fessor W. FönsTKn für das Sommereomester 
1904 eine zweistündige Vorlesung über 
Geschichte der neuen Astronomie seit 
Newton utgokündigt. 



— An der Universität in Bonn lif 
Pnvatdozent H. Kuiikx im Sommersetnc 
1904 über „Einzelbilder aus der Gesc 
der Phvsik". 

— An der Universität in Freiburg i. 
hat Professor A. L<>e\vv tur dos Sov 
Semester 1904 eine zweistündiiiro 
lesung über Geschichte der Mathetua 
angekündigt. 

— An der Universität in Stmftb 
bespricht Professor W. F. Wisi.ii ksi-» 
Sommersemester 1904 die ncuest^'n II 
rarischcn Erscheinungen auf dum Gebii 
der Astronomie in einer zwcistüntliii 
Vorlesung. 

Preisfragen gelehrter Ue«ellscb«rt 

— Aaidiiuie de» fcienca de Danemi 
n KjObenhar». CVineours pour l'a 
1904. Contributions nonvelles it, \m 
uaisance de la biographie du eaviint da 
Oi,K RöjiKK (1644 — 1710) et de son »etil 
multiple, on insistant naturellement 
son a-uvre scientifiquc. 

Vermischtes. 

— In München ist ein Museum 
Meisterwerken der Naturwissen^cbafl ' 
Technik gegründet worden, das u. n. 
Zweck hat die historische Entwickeln 
der naturwissenschaftlichen Forsohil 
darzustellen. In dem Museum wer 
Bildnisse und Lebensbeschreibungen hd 
vorragender Forscher nuf den einschlägig 
Gebieten Aufnahme linden. Hcn- VV. 
Dtck ist Mitglied des Vorstuide«. 



SfniMijn ruf C,, 



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W»b«r, H., 



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X«i. 



A.1ilUUldl7UUrun 



TU Hafi 



BIBLIOTHECA MATHEMA' 



ZEITSCflEIPT FÜE GESCfilCHTE 



T 



^THEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN. 



CtÜSTAF ^^^TISTRÖM 



Ol 



■i.. i'ÜLÜiL it. ÜAlili, :3. U£FT. 
MIT -• rKTTnouszx 

Atj; 



DBÜOK 



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1904, 



"S-r 



'fATHElATICA. 



nvTtcsirr. 



msriTS VTfSE^SrT?/.! 



t'?^ fSt Xm . *ht%3Ua» 4S 



, HvfcTiicn; Die SexagesimBlrechnuni^en in den Scholien zu Euklida Blementen. 225 



Die Sexagesimalrechnungen in den Schollen zu Euklids 

Elementen. 

Von ViiiEinnvu Hiü^tsch in Dresden. 

In den Scholien zum X. Buche der Elemente ist eine große Aüzahl 
Ton sexagesimalen Ausrechnungen überliefert. Wir zitieren sie nach den 
Seiten und Zeilen der Ausgabe von IIkihkko, Ecci.idis opv.ru, vol. V. 
Der Stellenwert ist in den lltuidsohriften lediglich durch Neben- oder 
UntereinandersteUung bezeichnet, z. B. in griechischen Buchstaben g ''^ 

I 
vy K oder in Ludischen ZiflFern j" . Indem wir die Ganzen mit", li. i. 

Einheit'), und die ersten Sechzigstel durch ', die zweiten durch " usw. 
bezeichnen, erhalten wir bei dem ersten Beispiele 6* 55' 38" 53'" 20'^, 
bei dem letzteren 1« 4' 27". 

Wenn auch die Scholien in ihrer jetzigen Gestalt erst im Mittelalter 
nbgefuBt worden sind, so reicht doch ihr iTsprnng in weit frühere Zeiten 
zurück. Um die Erklärung der Elemente haben Heron von Alexandria, 
Oeminos, Pappos, Proklos, Simplikios und andere sich verdient gemacht. 
Au» dem Kommentare Hkrons ist mancht'H in unsere Scholien überge- 
pingon '). Die ebenda überlieferten Einleitungen zu dem ersten, fünften 
und anderen Büchern der Elemente scheinen aus Geminos entlehnt zu 

Isem, der seinerseits den Poseidoxios benutzt hat (108, 16 — 18 vgl. mit 
81, 4; 82, 28; 102, 17; 107, 1, 20). Als Autor des längeren Scholions 

fxn X:9 (450,16 — 452,9) hat sich, wie eia anderes von Hei<]^;g später 
TerüfFentlichtes Scholion*) zeigt, Phoklos herausgestellt und von diesem 
rühren auch viele andere Erläuterungen her, die zum Teil aus dem 

!) Die üauzeu werden aiisdrücklicb als ^ovn'dts 491,8 — 10 bezeichnet: 493.10 be- 
dentet iila Boviel aIb I juovir's; 494,23, iat (loifai; walmchoinlich auf eine irrtümliche 
Auflösung des Compendiums ^ = juova'docg zurückzufahren. 

2) HtriiitRo, Om Schftlierne tu Eusuna Ekmtnter ; Daneko Vidensk. Selsk. 
8k».; higtor -philoB. Afd. Sa : 3, 1888, 293, 304. raralipomctw zu Euklw; Heimea 
SN (1903\ 68 f. 

8) Paralipomcna, 341 nr. 17. 
abtlotliec* Mathematloa. III. Folge. V. IS 



226 



FarRDRICrU HULTRCH. 




Kommentar des Pappos geschöpft sincP). Noch älteren Urppnmges siai 
die Ausdrücke öin'afus TETQäjtovg, e^änovg, ÖKTÖTtovg und ähnliche 
c'ncnoKaiöiKäjTovs 448, 15—22; 467, 5—7; 489, 11, denn nach Plat( 
Theaet. 147 D hatte der Mathematiker TuEOnOROS nicht bloß die Qua 
zahlen 4. 9 und 16 je als eine övva/iug (Potenz) im Betrage von 4 
16 Fuß, d. i. Qnadrateinheiten, benannt, sondern auch eine övrafug TQÜn 
nevxänovs usw., d. i. Quadrate in den Beträgen von 3, 5 usw. Quadratein- 
heiten, gesetzt und die Seiten dieser Quadrate als Wurzeln aus 3, 5 usw. 
in Reihen von binären Brüchen ausgerechnet'). Daher erklärt sich auch 
die Bemessung der Quadrate nach so und so vielen Fu£i oder Qnadrat- 
einheiten, denn der griechische Tfovg zerfiel als Längenmaß in Hälflen, 
Viertel. Achtel und Sechzehntel. 

In welcher Zeit die sexagesimalen Ausrechnungen zu den im X. BacfaL 
der Elemente gesetzten Größen entstanden sind, bleibt im Dunkeln. 0^| 
äußerste Grenze ist die erste Hälfte des 14. .lahrhiinderts, in welcher 
Maximos Plantjüe-s schrieb. Denn dieser behandelt in seinem von 
Gerhardt herausgegebenen indischen Rechenbuche {tffT]<po<f>OQla kxx' 
'Ivdodg) älinliche Fälle sexagesimaler Ausrechnungen, wie sie in d^H 
Scholien zu Euklid vorkommen und teils mit griechischen, teils mit in- 
dischen Zahlzeichen dargestellt sind. Da aber andererseits eine ältere 
Tradition nachgewiesen ist, die bis auf Platons Zeit zurückgeht und 
hauptsächlich durch Proklos zusammengestellt worden ist, so scheint es, 
daß eine seit dem 6. Jahrh. n. Chr. vorliegende und später nocJi teilweig^H 
erweiterte Scholiensammlung zum X. Buche im 11. Jahrh. von einem G^| 
lehrten, der in dem Rechnen mit indischen Ziffern bewandert war, über- 
arbeitet worden ist'). Hieran mögen andere Schriften über das sexagesi- 
male Rechnen mit indischen Ziffern sich gereiht haben, die dann von 
Planudes in dem zweiten Teile seines Rechenbuches (S. 23 ff.) benutzt 
worden sind*). 



•"«H 



1) Om ScMierne, 235 f., 297. 

2) Hrt.xitcn, Die Näherungsicerte irrationaler Qtiadrattcurtfln bei Ate 
Nachr. deT-<}e«. der WisaenBch. in Göttingen 1893. 876 ff. 

8) Vgl. Heibebo, Om Scholieme, 242, 252 f., 298 ff. Der cod. Vindob., ia welchen», 
die meisten ScboUen ziun X. Bnche sich finden, stammt aus dem II. bis 12. Jaluk^ 
(Heibkro, ErrL. op. Bd. I, IX; Bd. V, XI). Verschieden von dieser jüngeren Sammln i» .^ 
lind die von Hctbuk-, aus Handschriften des 9. nnd 10. Jahrh. berausgegeben^^^ 

Scholien, deren auf älteren Quellen beruhende Hedaktion von diesem in das 6. -I »l»g j 

verlegt wird (a. a. O. 242, 298). 

4) Unter den Scholien zu den Elementen finden sich pag. 327 — .329 und 51^^^ 
aach zwei, die von Plakidkr herrühren. Diese enthalten Erläuterungen zu VI deC_ - 
nnd zum Lemma zu X prop. 32, bei denen kein Anlaß za sexagesimalen At 
nungou vorlag. 



Die Sexkgeeimalrechntmgen in den Scholien zu Euklids Elementen. 227 

Als Beispiel einer Summierung von zwei fitnfstelligen Werten führe 
iclx zunächst pag. 554, 9—11 an: 

27» 14' 43" 48"! 1«^ 
+ 4 58 8 49 



zusammen 32 12 43 56 50. 



Die Null beim zweiten Summanden wird, wie auch sonst üblich, 
durch oidäv, „Nichts" bezeichnet. 

Zwei fünfstellige Quadratzahlen werden pag. 552, 6 — 11 addiert. Bei 
den ersten Sechzigsteln der Summe hat sich der Fehler vd = 54 einge- 
Bchliclien, wofür mit Heiberg vö = 59 zu lesen ist: 



14» 39« 22" 
+ 1 20 34 


5111 24IV 
53 4 


zusammen 15 59 56 


58 28. 



l^&B diese Summe so gut wie genau 16 Ganze beträgt, wird zwar nicht 
gesagt, doch erscheint in Z. 17 eine Gerade EZ von 4 Einheiten als Seite 
emes Quadrates von 16 Einheiten. 

Eine Snmmierung von zwei, ebenfalls fünfstelligen Quadratzahlen und 
*ie Abrundung der Summe auf 25 Ganze findet sich pag. 482, 29 — 483, 7. 
L>a8 Tiertel des Quadrates einer Geraden A und das Quadrat einer Geraden 
-^'•^ Betragen 

a) 12» 15» 4" 4«" 441V 

b) 12 44 45 54 16. 

^1© Summe beider Zahlen ist pag. 483, 5 fehlerhaft überliefert, indem 
*'<* statt vd = 59 erste Sechzigstel und vd statt /i^ = 49 zweite Sech- 
'^SBtel erscheinen. Die richtige Summe 

24» 69' 49" 59"! 

^tt^d pag. 483, 5 — 7 sachgemäß zu 25 Ganzen abgerundet. Wie hier das 
"^adrat von 5 erscheint, so erkennen wir, daß das Vierfache des soeben 
*>^almten Wertes a = 49» 0' 16" 18"i 56'^ zu 49 = 7« Ganzen 
\^83, 9 f.) abzurunden ist. 

Betreffs der Subtraktion genügt es auf pag. 482, 14 — 27 zu verweisen. 
"Oii werden ausgerechnet 

25 — 12» 151 =12» 451 

6—8» 341 14" = 1» 251 46" 

10 — 1» 251 46" = 8» 341 14". 

16* 



228 Frieobicii Hultsck. 

Die MulHplikation eexageBimaler Reihen mit ganzen Zahlen finde 
sich häufig, z. B. 

2x1« 431 55" = 3« 27' 50" pag. 493,2 

2x11« 371 57" 49"! 531V = 23« 15' 55" 39"» 46«^ pag. 554, 9, 12. 

Aufgegeben wird pag. 494, 2 f. die Multiplikation einer Geraden EA 
!• 9' 16" mit 3. Dies würde 3" 27' 48" ergeben. Das ist das angenähe: 
Quadrat einer Mediallinie Ä, welches pag. 494, 19 auf 3« 27' 49" 26"' 4C:::>i 
ausgerechnet ist. 

Die Multiplikation 6x5« 11' 46" wird pag. 465, 10—17 sowohL ij, 
griechischen als indischen Zififem zunächst ausgeführt zu 

30« 66' 276", 
dann wird diese gemischte Zahl eingerichtet (raffra dvaßlßaoov) zu 

31« 10' 36". 

Die Gerade B == 2' 47' 30" steht zu ^ = 1« 51' 40" nach pag- 
493, 24 f.; 394, 17 f in dem anderthalbfachen Verhältnis (j^/u6Aios Xiyo^')- 
Dies wird bestätigt, wenn wir 1" 51' 40" mit 1| multiplizieren. So ^^' 
halten wir 

1« 51' 40" 

+0 55 50 

zusammen 2 47 30, 
wie an den angeführten Stellen überliefert ist. 

Als Produkt der dreisteUigen Werte 5« 53' 7" mal 1« 51' 40" wi-^^ 
pag. 554, 15—19 angegeben 10« 57' 12". Wir kontrollieren die Berec^^-* 
nung, indem wir der Reihe nach die Glieder des ersteren Wertes mit d^ ^^ 
anderen Gliedern multiplizieren. So ergeben sich 

5« 53' 7" 

+ 508 57'" 

+ 3 55 25 

zusammen 10 57 11 22. 

Wenn die 22 dritten Sechzigstel als 1 zweites Sechzigstel gerechnet werden^^ 
erhalten wir die überlieferte Zahl 10« 57' 12". 

Wenn zwei sexngesimale Zahlen, deren jede bis za den zweiten 
Sechzigsteln reicht, niiteiniuider multipliziert werden, wird die Ausrechnui:^ 
in der Regel auch dritt<^ und vierte Sechzigstel ergeben. Pag. 654 8 f. 
wird als Produkt von 

6« 13' 11" X 2* 131 43" 
11" 37' 57" 49"' 53'v 



■ imfXe^eben. Wir rechnen aus 

■ 5« 13' 11" X2 . . . 
I tl" 5' 13" 11"' Xl3 

a 0" 0' 5 



«imBlrecDnnn^in^ie^Hcnöiiei^n 



= 10" 26' 22" 
= 1 7 51 23'" 
0" 0' 5" 13"' ll'v X 43 =0 3 44 26 53'^ 



zusnminen 11 37 57 49 53, 
was mit der Überlieferung übereinstimmt. Nelienbei sei bemerkt, daß das 
I{es»altflt besser zu 11* 37' 58" gekürzt worden wäre. Eine ühnlidie 
)Iixlt:iplikntiun wird pdg. 491, 3 — 9 vorgenommen; doch ist hier im l'ro- 
dukt; eine falsche Lesart zu verbessern. Denn die Ausrechnung von 

2« 26' 58" X 1« 24' 51" 
e'*-^il)t 3» 27' 50" 7'" 18'^. Aus der Handschrift aber teilt der ITerauB- 
gel>«r rtT statt v ^ (= 60" 7'") mit. Sowie wir diese Trennung her- 
trtelXen, erhalten wir mit uovciötor TQißv Kni Xeicr&v ug v J iij das' 
rictm^tige Ergebnis bis zu den vierten Sechzigsteln. Doch darf, ähnlich 
■^wi^ vorher, nur die Reihe 3* 27' 50" als gesichert gelten- 

Als eine besondere Art der Multiplikation ist die Quadricrung anzu- 

seVken. Wir wählen als Beispiel (1« 51' 40") « = 3« 27' 49" 26'" 40iv 

pa-g. 493, 24—27; 4ü4, 19. Die bis zur dritten Stelle gekürzte Aus- 

re<»linung würde 3* 27' 49" lauten. Sie hält gerade die Mitte zwischen 

ilexa weniger genauen Produkten 2x1« 43' 55" = 3« 27' 50" (pag. 493, 2) 

uad 3 X 1" 9' 16" = 3« 27' 48" (ob. 8. 228). 

Das Quadrat einer Geraden 7?, welche pag. 493, 24 und 495, 12 zu 
2" 47' 30" angesetzt ist, wird pag. 494, 5, 22'f. auf 7'' 47' 36" 15'" 0'^ 
'•^»■eclinet ' ) und zwar wird das Fehlen von vierten Sechzigsteln durch 
oi>AeV (Nichts) bezeirhnet. Der Scholiast hat richtig gerechiiet, doch würde 
^•' besser in dem FVodukte die dritten und vierten Sechzigstel gestrichen 
haben. 

Noch zwei Quadrierungen führe ich an. weil hier die Äbrundung auf 
gan;r«> Zahlen richtig gefunden worden ist. Das Quadrat von 3« 27' 50" 
»tlrtle sieh beziffern auf 11° 59' 54" und etwa noch 42'", wofür pag. 466, 2 
^® ganze Zahl 12 eingesetzt worden ist. Ähnlich ist pag. 464, 4 f das 
fiua.c3r8t von 5« 11' 46", dessen Ausrechnung 26» 59' 58" ergibt, auf 
' rjanze abgerundet worden. 

Leicht vidlzieht sieh die Division einer gemischten durch eine ganze 
'''»'hl. I'ag. 497, 21—23 soll 9" 14' 5" 26'" 40" durch 4 geteilt werden; 
^ocli hat der Scholia.st hier außer den (lanzen nur die ersten und zweiten 
^«ilizigst«! ausgereclmet, die dritten und vierten aber abgewnrl'iMi Um 

I) 8o irt auch pag. 495, 13 f. zu leseu, wo itsU der 47 errton Seohaigstel 
"* = 46 ülMsrliefert sind. 



ITTl/llilR. 

die Teilung der gemischten Zahl 3* 27' 57" 18'" durcli die dTeistellig'^ 
Zahl 1" 43' 55" handelt es sich pag. 493, 10—12. Bei der AaBrechnm , -^ 
würden zunächst die Ganzen des Quotienten zu ermitteln sein. Es 
leicht zu ersehen, daß 2 nicht zu groß sein wird. So rechnen wir ans 
3« 27» 57» 18"' — 2 (1» 43' 55"), d. i. 
— 3« 27' 50" 
Rest 0« 0' 7" lB'"r 
Dieser Rest würde noch durch 1" 43' 55" zu teilen sein. 



A 



dann 



7" 18'" 



oder nahezu 4'^ erhalten. 



Man würde 
Diesen winzigen Rest hat der 



6235'" 

Soholiast mit Recht abgeworfen ^ind als Resultat 2 Ganze niedergeschrieben. 
Das Wur^elauszie/iiH nach der sexagesimalen Methode bietet ange- 
wöhnliche Schwierigkeiten. Wollte man z. B. V^ zunächst auf 1 Ganzes 
bestimmen tmd es versuchen, aus dem Reste 2 die ersten und zweiten 
Sechzigstel zu ermitteln, so würde man nicht weiter kommen. Jeder ge- 
gebene Radikand ist za zerlegen in eine Qnadratzahl und einen Rest. 
Bezeichnen wir die Wurzel der (Juadratzahl mit a und den Rest mit w, 
80 wird der nächste Sexagesimalbruch der Wurzel nach der theonischen 

Formel n c>o — - zu berechnen sein'). Die gewünschte Annäherung kann 

jedoch nur dann gefunden werden, wenn a^ merklich größer als x ist*).— 
Daa finden wir sofort bei der Darstellung von V 3 liestätigt, wenn win 
einem aus dem Almagest zu entnehmenden Winke folgen*). Dort sin 



1) Hm.T«cn bei PAtii,T-Wi«»owA, Bealencyclopädie der cla»s. Ältertumgmgs. Bd 
1085 f. Im Kommentar zyt PToun«. Synt. (Bd. I 185 f. ed. Hamu) erkl&rt Tireo» toi 
AJezandria das Verfahren dea ProLBiiAKtis nach EiKi.inigcber Methode mit Hilfe einec 
geometrischen Kigiir, wofür bei Paixy-Wimkowa die reiti arithmetigche Form he 
stellt worden ist. 

2) Dies ist deatlich lu enehen aus der Ausrechnung von V4500 bei Tiiu-'v. VeW- 
HtxTscH, a. B. 0. 1085. 

3) Bei Ptoijoi. Synl. I 35, 15 f. ed. Hkiiikbo wird die Sehne m 120», d. 5. die Seil 
des in den Kreis eingeschriebenen regulben Preiecks (ebd. Z. 9 f.), = 103 -f^ + 

Einfaundertzwanzigsteln des Diameters gesetzt. Das sind ebensoviele Sechzigstel di 
Radius [r). Da nun das Quadrat der Seite des eiageschriebeuen Iireiecks = 3 
(ebd. Z. 8—10), mitbin die Seite = rY^ ist, so ergibt sich der obige Wei 
«j "'"Ö^"''«^ "'* *""* Annäherung für V3. Vgl. GOkthkii (juadratisdie Irrationalität' 
Abhandl zur Gesch. der Mathem. 4, 1882, 22. Nur hätte dieser dafür nicht d 
tulToUkommene Annäherung ri einsetzen soUeir; denn die von HippAxn entlehn' 
SaxagMimalzahl des Ptolioiaxid stellt, wie sich bald zeigen wird, die bis zur sieben 
Desimalstelle gcuaue .Ausrechnung von \S dar. 





Die Sexagesimalieohnungen ia deu Schollen zu Euklids Elementen. 231 

als erstes Glied der die y 3 darstelleaden SexagesimaLreihe 103 erste 
Sechzigstel (== 1« 43' ) gesetzt. Da nun 103* = 10609 ist, so erkennen 
ifir, daß der Radikandus 3, um die Wurzelausziehung zu erleichtem, auf 
10800 zweite Sechzigstel zurückgeführt und diese Zahl in das Quadrat 
Ton 103 ersten Sechzigsteln und in 191 zweite Sechzigstel zerlegt worden 
ist. Aus dem B^te 191'^ werden nun noch die zweiten und dritten 
Sechzigstel von V3 zu berechnen sein. Nach der theonischen Formel 

setzen wir 

191 2.103a! 
60« ~ 60 ' 

w^oraus die vorläufige Annäherung 

191.60 _ 0,927 55,62 
* ™ 602.2. 103 ~ 60 "^ 60« 

sich ergibt. Wir setzen dafür rund 55 zweite Sechzigstel (wobei zugleich 
die Bedingung erfüllt wird, daß bei der nun folgenden Ausrechnung ein 
**®8t verbleiben wird, aus welchem weiter die dritten Sechzigstel zu be- 
'©chaen gind). Nun ist auszurechnen 

2 . 108 . 55 / M^\2 _ 11330 3025 
60.60» + ^60») ~" 60» + 604 ' 

**tatt des ausgehenden Gliedes -ggj- setzen wir die Annäherung -^ und 
©»"Halten zusammen --3 ■ Diese sind von den obigen -^ = ..g abzu- 
mieten, wobei als Rest ^ verbleiben. Damit ist f3 auf 103' 55" be- 

^«iumit und es erübrigt nur noch, aus dem Reste die dritten Sechzigstel 
öei- Wnj-jei auszuziehen. Wieder verfahren wir ähnlich wie vorher und 
©''Ixaltea nach umständlichen Zwischenrechnungen 23 dritte Sechzigstel, 
^ie bei Ptolemaeus überliefert ist. 

Die Sehnentt^eln im I. Buche des Almagest sind aus einem Werke 
^©B großen HiPPiiRCHOS, welches dann Menelaos benutzt hat, entlehnt^). 
^Iso sind auch die geometrischen und arithmetischen Hauptsätze, ohne 
"Welche die Berechnung der Sehnen nicht möglich gewesen wäre, auf 
QlPPABCH zurückzuführen und da dieser, wie wir sahen, beim Anfange 
Beiner Rechnungen die Zahl 3 in 10800 zweite Sechzigstel verwandelt 
liat, so wird er wohl auch die weiteren Ausrechnungen nach derselben 
Methode ausgeführt haben, wie sie weit später Theon uns überliefert hat. 
Gewiß haben auch alle genau rechnenden griechischen Astronomen in der 
Epoche zwischen Hippabch und Theon die sogenannte TiiEONische, in 
Wirklichkeit aber HiPPASCHische Methode befolgt. 



1) Hdltbch, Die Sehnentafeln der griechischen Astronomen; Das Weltall 2 (1901), 
8. 50, 58 ff. 



232 



FuiKDaini HiXTSCii. 



Wcun also der Scholiast zu Eiklids Elementen pap 466, 12 — 1 ^} 
die Ausziehung der Wurzel aus 31* 10' 36" dadurch vorbereitet, daß ^t 
die gemischte Zahl in zweite Seehzigstel verwandelt, so folgt er ga-xaz 
jener altbewährten Methode. Dabei hat er sich die Darstellung durch 4^«« 
teilweise Anwendung von indischen ZifTem erleichtert. Die 31 Oan^^u 
macht er zu ersten Sechzigsteln, indem er zunächst das Zehnfache = ii 1 
hinschreibt und dies versechsfacht zu 1860. Dazu kommen die 10 ersi;^« 
Sechzigste! des Kadikandus; gibt 1870. Diese Zahl mit 10 und das Pro- 
dukt mit 6 multipliziert gibt 112200 zweite Seehzigstel, zu denen noo-l> 
die 3C" des Kadikandus zu zählen sind. Mithin, so ftihrt der Scholi«^** 

fort, ist aus 112236 die Wurzel zu ziehen. Wie dies anzustellen s^^^ 
... . . ■* 

wird nicht mitgeteilt; doch ist es klar, dall die 112236 zweiten Sechzigste 

in 112225 +11 zu zerlegen sind und aus dem ersten Uliede dieser Summ« 

335 

■ ' ■ ' Das ist soviel wie 5« 35' , wie im Te 



die Wurzel 



zu ziehen ist. 




60 
angegeben wird. Weiter auch die zweiten Seehzigstel auszurechnen, lehn^^ 
der Scholiast ab; allein das ist leicht nachzuholen, indem man den Meet^ 



11 



2.335.T 



setzt und daraus x <^ 



660 



1 bestimmt. Das ist 1 zweites 



c 



g^ ^ — — -™„„„ - .- g^JJ 

Seehzigstel der Wurzel, nicht t = 10 zweite Seehzigstel, wie pag. 466, IS 
irrtümlich überliefert ist'). 

Für die Wurzeln aus ganzen Zahlen mögen wenigstens einige Belege 
hier Platz finden. Pag. 490, 18; 491, 4 f. wird \' 2 = 1« 24' 51" ange 
geben Die Ausrechnung ist erfolgt, nachdem stitt 2 Ganzen 7200 zweite 
Seehzigstel gesetzt und diese Zahl in 7056 + 144 zerlegt war. Aus den 
ersten Summanden wurden als Wur/.el 84 erste Seehzigstel = 1* 24' und 
aus dem Reste 144 nach der früher erwähnten Formel noch 51 zweite 
Seehzigstel gezogen. Damit stimmen die Werte überein, die sich aus pag — ' 
441, 23; 453, 2—4 ergeben, wenn wir V 8 = 2 V 2 und V 18 = 3 \^2 setzen. 
Noch genauere Ausrechnungen ergeben sich aus pag. 495, 3 — 8 und dem 
Scholion zu X: 9 bei TlEiUEBd, Paralipomemi; Hermes 38 (1903). 341. 
An der letzteren Stelle wird unt«r Berufung auf ein Scholion des Pboklossc 
}fS ==» 2* 49' 42" 20'" gesetzt, an der ersteren Stelle werden in der" 
Bruchreihe noch lO"' hinzugefügt. Die Berechnung ist wahrscheinlicl» 
ausgegangen von der Umwandlung der 8 Ganzen in 28800 zweite Seeh- 
zigstel. Diese Zahl ist dann zu 28561 -f- 239 zerlegt und ans dem ersten 
Summanden die Wurzel 169' = 2" 49' gezogen worden. Aus dem lleste 
239 ergaben sich, ähnlich wie vorher, 42". Wie der alte Rechenmeister 



1) Nach dMimaler AnsrechnutiK ist )'l 12236 ^ 335,016417. Indem wir die 
drei letzten Brurhitellen abwerten, orbalten wir in sexagesimalen Beträ^n 5« 351 OU 
57,6'", oder in der Künung bis auf die zweiten Sechiigstel 6* 36' U'. 



no HexBg!«iunali«cbnnn)g>ea in <l«n 



ilien en 



weiter vorgegangen ist, muß einer späteren Untersuchung vorbehalten 

bleiben; jedenfalls hat er den richtigen Weg eingeschlagen, denn seine 

Sexajgesiuialziihlen 2* 49' 42" 20'" lU'^ Btimnien genau mit der dezimal 

auf 7 Stellen berechneten V 8 = 2,828427 überein. Daraus entwickeln wir nun 

V2= 1« 24' 51" 10'" 5'^ = 1,4142135, 

was bis auf die achte DezinialHtelle stimmt. 

Über die Berechnung von V "*• hiibeu wir früher TilEdnoRos, den 

Lehrer Platons, angeführt und auch auf Akchimedes hingewiesen. 

Letzterer bat eine Umgrenzung für y 3 gesucht und dabei als nächst- 

1351 
grö&eren Wert -töq = 1,7320513 gefunden'). Nur den winzigen Betrag 

von 0,0000003 brauchen wir abzuwerfen, um mit 1.732051 die riclitige 
«ieljenstellige Annäherung zu erlialteu, wie sie auch von IIippakcii ge- 
funden worden ist'). In den ElJKLiDscholien pag. 492, 22; 493, 10; 
405, 23 f wird V"3 mit VVeglassung der ausgehenden 23'" auf 1« 43' 55" 
bestimmt; das ergibt in dezimaler Ausrechnixng 1,73104, <1. i. die nur vier- 
t^^llige Annäherung 1,732, womit der Wert pag. 466, 1 f. übereinstimmt, 
•w^XBJi wir \' 12 = 2 \'^ setzen. Dagegen ermitteln wir aus pag. 463, 13 
ö.«5n. genauen HiprARtllischen Wert, wenn wir einen offenbaren Fehler der 
Ijerliefemng verbessern. Es wird dort ] 27 = 50 11' 46" 50'" gesetzt. 
t>»»» igt weitaus zu viel. Auch zeigen die im Scholion folgenden Worte, 
rlc^B die ausgehenden Sechzigstel. mit G multipliziert. 00 (dritte) Aejnd 
= 1 zweites Sechzigstel ergeben sollen. Also ist statt des überlieferten 
■»^ C^O) vielmehr t (10) zu schreiben. Dann ergibt der Wert V 27 = 
S* Hl 46" 10'" in dezimaler Ausrechnimg die sechsstellige Annäherung 
5,19615, und wenn wir V27 zu 3 V 3 umformen, so erluilton wir für VS 
'iie HiPPAKciiische Reihe 1« 43' 55" 23'". 

Diese Auswahl aus einer ungezählten Menge von Belegen wird ge- 

"^K^n, um einen Einblick in die Methoden zu gewähren, nach welchen die 

^riechen die sechs Rechnungsarten vom Summieren bis zum Wurzelnus- 

^'^uea ausführten. Die sexagesimale Uechnuugsweise war zwar weit um- 

^"^öcllicher als unsere dezimale, stand ihr aber an Sicherheit und Genauig- 

*®it nicht nach. Es wird sich wohl der Mühe lohnen, alle in den Scholien 

*^»"liefcrten Sexagesi malzahlen zu kontrollieren und nach Bedarf zu er- 

^^;*'t«rn. Daß dabei auch Gelegenheit sich finden wird, manche Fehler der 

- •^^»■lieferung zu verbessern, läßt sich sicher erwarten; hat doch schon bei 

^^** vorhergehenden kleinen Auswahl Anlaß zu mehreren Berichtigungen 

_^»*. dargeboten. 

1) Htn.tscn, Die yäkerungawerte urw., S. 399 und dazu Anm. 2. 

3) ?«inc oben anKerahrte Sexagesiuialreihe 1« 481 55" 23>>I erffibt in desimaler 



A.ui 



i«^huuutr 1,732051. 



234 



E. Gkulamd. 



Über die Erfindung der Pendeluhr. 

Von E. Gerlani» in Klausthal. 

Im vierten Band von Wiedemanns Annalen der Physik, welche^ 
1878 erschien, hiibe ich auf S. 585 ff. die Geschichte der Erfindung dec 
l'endeluhr ausführlich behandelt. Die Quellen, aus denen ich schöpfec*: '^ 
konnte, waren eine Abhandlung von VAN SwiNDEN aus dem Jahre 1817^^ ' 
welche unter dem Titel Verha7idelingcu over UvroKss als uitvinder det^-'^^ 
slwgeruuncerken sich in den Verhaudelingen van het koninküjlrf C-l* 
Nederlandsche Instituut van Wetenschappen findet und zunÄ*^-«^'' 
ersten Male den damals noch ungedruckten Briefwechsel von nuv«ES* >^^äH 
benutzt hatte, die Schriftstücke und Zeichnungen, welche von Florenz au: *_r.«W 
zu der im Kensingtou Museum in London 1876 stattgehabten Ausstellung .«ii^^^i 
wissenschaftlicher Apparate gesandt worden waren und die ziemlich zahULtt^ 
reichen Veröffentlichungen italienischer Schriftsteller über denselben Gegenct^S' 
stand. Ich kam zu dem Ergebnis, daß Galilei die Pendelulir 1641 en' 
funden, aber nicht ausgeführt hat, daß aber Huyoems ohne von Galuj 
Plänen etwas zu wissen, die Erfindung 1656') selbständig noch einm^j 
machte imd der Pendeluhr die für ihren Gebrauch zweckmüBige Form galf^-^x^^ 
Seitdem ist durch die Herausgabe des Gesamtbriefwechsels von Hi'VOEN: >ü=*J 
welcher den Inhalt der bis jetzt veröffentlichten zehn Bände seiner \m-X ^H 
Haag erscheinenden Oetwres compUies bildet, es einerseits möglich g»^^ (W 
worden, die Einführung der HuvGENSschen Erfindung zu verfolge •^»^g'ea, 
andererseits daraus die Pflicht erwachsen, die obigen Ergebnisse noo«::»ch 
einmal auf ihre Richtigkeit zu prilfen, und dieses letztere um so mel 
als die Herausgeber der Oeuvres completes die von van Swinden ve 
tretene Ansicht, daß Galileis Pendeluhr nur ein Zählwerk gewesen 
von emA Priorität des Italieners vor dem Niederländer also keine R t Je 

sein könne, auch zu der ihrigen machten. 

Was zunächst die Einführung der HuYOEN.sschen Uhr für die Zwe 
der Zeitmessung betrifi't, so hatte ihr Erfinder ihre Herstellung und il 





1) Hl-oskii Opera taria, Vol. I pag. 6, 



Üb«r die Erfindung der Pendeluhr. 



235 



*x-irieb dem Uhrmacher Sai.Omon Coster im Haag übergeben'), ihre Be- 
("lireihung über 1657 in einer kleinen Horoloffiinn betitelten Sebrift 
röft'entlicht und eine groüe Anzahl vtin Exemplaren davon an bet'reundete 
elehrte verBondt. Costkk erhielt am 16. Juni 1657 von den General- 
ien und bald darauf von den Staaten von Holland und Westiriesland 
,\t.f 21, bezw. 20 Jahre auf die Herstellung der neuen Uhr ein Privileg.'^) 
m 19. Oktober wurde ihm und dem Ulirmacher JoiiAN VAN Cal ein 
e\>ensolche9 von der Landschaft Gelderland zugestanden. '') Co.ster atarb 
mdwsen bereits Ende 1659;') doeb scheint seine Witwe das Geschäft 
und den Vertrieb der Uhren fortgesetzt zu haben. ^) Jedenfalls ging 
HlTTOENS auf den ihm von van Schooten genmchten Vorschlag, sich 
minmelu- in dieser Angelegenheit an den Uhrmacher Jacobüs de Steur 
in Leiden zu wenden"), nicht ein. 

Lange hatten sich Huygens und C08TER der alleinigen Rechte ihrer 
Privilegien nicht zu erfreuen. Bereits im Jahre 1658 meldete ein Rotter- 
damer Uhrmacher Simon Stokkelkz. Domv, ein ,, dummer und unver- 
Bchämter" Mensch, wie ihn HuvtJENS bezeichnet, eine IVnileluhr seiner 
Erfindung zum Patente an.^ Da ihm die Generaletaaten und die Staaten 
^on Holland und Friesland ein solches erteilten'^), so erhoben Hrv<iEN8 
lind CnsTEK Einspruch und führten eine Entscheidung des Hofes von 
Hollauil herbei, die freilich nicht zu ihren Gimsten ausfiel, sondern dahin 
Ring, (laß den drei Parteien zu gleichen Teilen die Emolumente zufallen 
solltfln.') Doch wurde bei dieser Gelegenheit Douus Uhr von Sachver- 
''indigen untersucht. Nach der darüber durch van Si.'HOoten an 
HüYGENS gemachten Mitteilung ergab sich, daß der Rotterdamer ühr- 
niacher das lange Pendel von Hhvoens durch ein kurzes ersetzt, dann 
»'>er durch ein Gegengewicht die nnn zu rasch erfolgenden Schwingungen 
^0 verlangsamen getrachtet hatte. Da er der Ansicht war, daß UrvtiKNS 
die Länge seines Pendels nicht bestimmen könne, so hatte er geglaubt 
^if diese Weise eine Verbesserung anzubringen.'") 

Bald nach dem Erscheinen der HüYfiB^N.Sschen Schrift unternahm man 
^> Stadtuhren mit dem Vertiknlpendel zu versehen. So brachte bereits 
'in Janaar 1658 ein Uhrmacher, wahrscheinlich Costeb,") eine solche in 
''«heveningen in Gang, deren Pendel von 24' Länge mit einem 50 Pfund 

1) HinroBHS, Oeuvres complites, U. p. 209. 

2) Ib. II, p. 236 ff. Im Register des UI, Bandes der Oeuorei completen ist als 
'orntmen CoaTKBS, irrtümlicherweiBe Sahlki. ang'egebon. 

3) G. VA« Haärb-tb Geldersch Werk. 1. Deel (1807). 

4) HiiyogÄH, Oeuvren covipüten, lü p. 84, Note. 6) Ib. II, p. 126; Ul, p. 284. 
6) Ib. in, p. 11. 7) It. D, p. 235. 8) Ib. U, p. 240, 241. 9) Ib. II, p. 290. 
10) Ib. U, p. 249. 11) Ib. II, p. 125. 



schweren Gewichte versehen war nnd im März desselben Jahres wurde 

Utrecht eine Uhr der neuen Konstruktion aufgestellt.') Allzurasch freili c s 

führte sich die Verbesserung nicht ein, denn am 18. September 16^^^ 
schreibt HrvoExs an BiiLLAia, daß noch in keiner 8tidt zwei gro ^H 
Uhren seiner Erfindung vorhanden seien nnd daß er deshalb die Zeit no -^c 
nicht bestimmen könne, für welche solche zusammen schlagen würd^^^ 
Er glaube nicht, daß sie eine lange sein werde, vielmehr seien mancher— i« 
Ungenanigkeiten zu erwarten, deren Ursachen im Schmieren oder ai^^H 
in den Temperaturveränderungen liegen könnten. Man werde da AbhiJ« 
schaffen können, wenn man nur kleine Schwingungsweiten verwende »d^r 
das Pendel zwischen cvkloidalen Plättchen schwingen laase.') In Pari« 
fand die Pendeluhr so rasch Beifall, daß sich 1660 bereits vier Uhrmach* 
mit ihrem Bau beschäftigten In England wurde sie nach der Mitteiliui| 
die W.\ixis am 4. Dezember 1659 an Hitisexs machte, verschiedentlich^ 
abgeändert Namentlich legte man die Achse des Steigrades vertikal, i^^ 
daß die mit den Paletten versehene Rute horizontal zu liegen kam.'^ ein^^ 
Anordnung, die HrvtiKNS selbst «nnntim and später in seiner 1673 ver- 
ofFentlichten Schrift Honltfimm oseShttrimm abbildete.*) Unerfreulicher 
Erfkhrungen machte er in Italien. Dort hatte ein päpstlicher Uhrmacher 
nach den Muat«r der Abbtldang in der Sdirül rm 16ö7 eine Uhr gebaut, 
daa «fteafliclie Werk aber sorgfältig TerstM^ sagebracht Er führte sie 
einer Veraamnlung tob ..Mathematikern" vor und erntete allgemeine^H 
Bei£fill. bis ein Schaler von HiTtiEXS Freund GKEnoHirs a St. Vincexiio.*-. 
namens GuxiS me Gomr.NiEZ. den ATHik>'A$irs Kibcber eingeführt hatt^g 
den walupoi SadiTarbalt aufierirte.^) Über eiaige andere in Italien naoli|l| 
HiTUKXS Vorgaag hergMteUte llim wird weiter unten berichtet werden . 

Cbrigea» adMiat HirreBis aidit der «ias^ g ewee c n zu sein, de 
■ur Zeit im SnekaiMU «mms Btnkfmmu b e ati ie bt war, das Pende 
nta Reguliere« der Ubm la heoatsea Er allein aber brachte et 
BrmiMtlibar«« anstaBd*. So weit ka« dar DüMiiyr Astranom Hkvel nicht.' 
der daaedbe ZM «nd. wie es »»ksMit utik »td iemaAbm Wege erstrebte,") 
M aber nidit erreicht«, da «na ^MiAMaalngw^ mit anderen Geschäften 
•horKiwft w«r.^ Ab ihn daaa ftnixur im Jahre 1661 besachte, yn^^ 
VM der llir keuM> K«i» mtktJ^ Amk RoMBBTAt. bit kage, freilich auc^ 
oluie KrMg. aa eiaw l>wriMikr fMiMfert. ^a lUi dabei aber das Uorizontai- 
paadel bei(w«baHiHi.*^ Di* Krwikaaag dieser l*kr ia dem HnrnKxsschen 
Rrief«reek«et ist ftr «M dwkal^ TM Bidiataag^ als sie vas zeigt. 



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Mi. lt. (>. «M. CIK $^ tt. m. ^ 2«S. 290. 




toller die Erfindung der Pendeluhr. 



237 



k 



damals sogar solche Kenner, wie HtrvcsEN.s doch einer wiir, kein Bedenken 
iriigen, mit einem Pendel verbundene lläderwerke Uhren zu nennen, «elhst 
■wenn keine das l'eudel in Bewegimg haltende Kraft vorgesehen war. So 
Bchreibt Huyoens am 14. Mai 1659 an Boui.LiAU: „mala il (Roberval) 
n'y avoit rien poiir faire oontinuer le mouvement du pendiile par la force 
de i'horloge, ce qui toutefois est le principal",') wührend er in einem 
Briefe an denselben Korrespondenten vom 21. November 1658 Hi>i»ervai,s 
Ulir „une horloge avec un pendulum" genannt hatte. ^) Erst später erfuhr 
er durch CHAPELAtx. daß Rooervak ein Gewicht zur Aufrechterhaltung 
'ler Bewegung des Pendels hatte benutzen wollen, aber an der Schwierig- 
keit der Ausführung gescheitert war. Erwähnt sei noch, diiB es auch 
PtriFT nicht gelang, seine für die HuvoENSsche IThr geplanten Verbesse- 
"Jngen ins Werk zu setzen,^) und daß die von Matteo Gasipani ange- 
brachte Änderung, die einen lautlosen Gang der Uhr zu erreichen bezweckte.*) 
wohl nie angewendet worden ist. Die Weiterbildung der HcYOENSschen 
Uhr blieb einer späteren Zeit vorbehalten. 

Ich wende mich nun zu einer erneuten Prüfung von GauU51.s Prioritäts- 
ansprüchen auf die Erfindung der Pendeluhr. Der Tatbestand, um den 
*s sich dabei handelt, ist der folgende : Bald nach seiner Entileckuug des 
Isochronismus der Pendelschwingungen hatte Galii.KI das Pendel zur Zeit- 
■DesBimg benutzt und es mit einem einfachen Zählwerk verbunden, ohne 
"»er dafür zu sorgen, daß es durch ein gehobenes Gewicht oder durch 
'"6 Kraft einer gespannten Feder längere Zeit hindurch in Bewegung 
^■■»iHlten wurde. Er hatte dann daran gedacht, es auch zur Längen- 
'•estimmung zu verwenden und war zu diesem Zwecke mit Spanien und 
.flpäter mit den Generalstaaten in Verhandlungen getreten, die aber zu 
*^ijiem Resultate führten. Als dann 1656 Hitüens die Pendeluhr erfand 
''**-<3 Beine im folgenden Jahr erschienene Schrift Horologium, in lieir er 
"*«5 Erfindung mitteilte, durch den französischen Mathematiker Boi'LLlAU 

"•^ta Bruder des Groöherzogs von Toscana, dem Prinzen Leoi'<ii<i> vmn 

VT 

***a»ici vorgelegt wurde, glaubte dieser die Priorität der Pendeluhr für 

^AULEi in Anspruch nehmen zu müssen und forderte deshalb ViviANi, 

denjenigen von GALlLErs Schülern, der außer dessen Sohne ViNCENZfi 

^-Ai,ii,Ei bis zum Tode des Meisters um diesen gewesen war, a<if, sich 

'iarüber zu äußern. Viviani sandte daraufhin dem Prinzen einen Bericht, 

^«riü er erzählte, daß bereite 1641 der ihimals schon erblindete Galilei 

ihm und seinem Sohne die Zeirbnunsi einer Pendeluhr diktiert habe und 

•äaü ViNc'ENZf) acht Jahre nach des Vaters Tode daran gegangen sei, ein 

Modell dieser Uhr herzustellen. Er habe es so weit gefördert, daß er im 



1) HnroKiTR, Oeuvres completes, U p. 405. 
4) Ib. III, p. 46. 



2) Ib 11, p. 276. 3) Ib. III, p. 398. 



Verein mit dem Bericliterst4»tter die Richtigkeit der GAi^iLKlschen Idee 
habe feststellen können, sei aber durch seinen plötzlichen Tod an der 
Vollendung des Modelies verhindert worden. Eine Abschrift dieeee Be- 
richtes und eine Kopie der beigefügten Zeichnung der GAUiJOschen 
Pendeluhr sandte darauf der Prinz Leopold an Bouixiai', dieser al)er 
teilte die Zeichnung HiriGENS mit, unter dessen nachgelassenen Papieren 
sie sich noch befindet. Die in dem VivuNischen Bericht aufgestellte 
Behauptung, daß GALn.£i 1641 die Pendeluhr erfunden, VlJfCENZO ein 
gangbares, wenn auch nicht ganz fertig gewordenes Modell derselben her- 
gestellt habe, ist nun mehrfach in Zweifel gezogen worden, neuerdings in 
einer ohne den Namen ihres Verfassers auf S. 281 ff. des VII. Bandes 
der Oeuvres compVies abgedruckten längeren Note und in einem Vortrage, 
den Emil Wohlwill gelegentlich der Naturforscherversammlnng in Kassel 
im Jahre 1903 gebalt«n hat und dessen Inhalt in No. 42 der Münchener 
Medizinischen Wochenschrift mitgeteilt worden ist. Die in der 
Note gemachten Einwände lassen sich in die folgenden vier Sätze 
zusammenfassen, denen sich als fünfter eine von Wohlwill aufgestellte 
Behauptung anreiht. 

1. Der Apparat, der nach Vivianis Bericht an den Prinzen Leopold 
von ViNCENZO Galilei hergestellt worden ist, konnte keine Pendeluhr 
sein, da er, als solche betrachtet, nicht in Gang kommen konnte. 

2. £r war ein auf Galileis R«t von seinem Sohne hergestelltes Zähl 

werk, bei dessen Konstruktion die Fehler des früher von Galilei 
gebenen verbessert worden waren. 

3. Er ist in Florenz vorhanden gewesen aber jetzt verschwunden. 

4. Wenn Viviani berichtet, er habe den Apparat im Gange gesehen, 
so ist er das Opfer einer Täuschung geworden. 

5. Viviani hat die Pendeluhr wahrscheinlich selbst angegeben, nach--' 
dem die Erfindung von HrvoENS zu seiner Kenntnis gekommen war. 

Diese Sätze sind nunmehr auf ihre Richtigkeit zu prüfen. 
1. Der Umstand, daß bei den den Apparat wiedergebenden Skizzen^ 
treibende Gewicht fehlt, ist von keiner Bedeutung, da sie das Diktak' 
eines Blinden darstellen und das Gewicht ohne Schwierigkeit angebracht 
werden kann. Von größerer Wichtigkeit sind die bei Konstruktion deK 
Uemmung eingehaltenen Verhältnisse, die die verschiedenen vorhandener^ 
Skizzen verschieden angeben. Die Hemmung besteht aus zwei Domen,' -* 
von denen der eine, wenn das Pendel eine seiner äußersten Lagen nahez»' 
erreicht hat, die Bewegung des Steigrades hemmen soll, indem er unti 





I) Der QALiLEtBche Apparat ist n. %. abgebildet in Geblakii und Tiui-iifL 
GadhidUe der }/h>j»ik<üiaiAen Eixpermentierkumt (.Leipzig 1899), S. 128, Fig. 117, auc 
in HuT0KX8, Oeuvres complitet, III S. 8. 



ijber die Erfiudnng der Pendeluhr. 



239 



I 



erneii (!er an dessen Oherfliiehe angeliniclite Stifte faßt, der andere die 
Bestimmung hat, einen in die dreieckigen Zähne am Rande des Steig- 
rades greifenden Sperrhaken für kurze Zeit abzuheben und so dem Rad 
zu «möglichen, daß es bei jeder Pendelschwingung um einen Zahn vor- 
zurücken vermag. Der Verfasser der Note legt seiner Kritik die Ver- 
hältnisse derjenigen Zeichnung zugrunde, welche Favauo in seine 1891 
in Venedig erschienenen Nuovi studi Galileani als diejenige aufgenommen 
^at, welche allein in rechtmäßiger Weise zu dem ViviASischen Berichte 
gehörig betrachtet werden könne. Er weist nach, diiß bei einem nach 
dieser Zeichnung gebauten Apparate keine fortrückende Bewegung des 
Steigrades eintret«n, daß es vielmehr mit den Pendelschwingungen nur hin 
lud her schwanken könne. 

Wenn nun auch gegen diesen Nachweis nichts einzuwenden ist, so 
"»t doch zu untersuchen, ob diese Zeichnung wesentlich die einzige ist, 
^Je die obige Bedingung erfüllt. Das scheint aber nicht der Fall zu sein, 
"^eimehr wird man für die in den Oeuvres complHes a. a. 0. mitgeteilte 
««nselben Anspruch zu erheben haben. Ist sie doch eine Kopie von der- 
jenigen, welche der Prinz Leopold mit Vivianib Bericht an Boulliau sandte, 
gehörte also ganz unzweifelhaft zu dem Bericht. Gibt man den Domen aber 
eine solche Länge im Verhältnis zum Abstände zweier benachbarter Stifte 
^es Steigrades bis zu zweier Zähne an seinem Rande wie sie vorschreibt, 
"0 erhält man ein anderes Ergebnis. Dies ergibt sich aus der Betrachtung 
der Fig. l — 3^ (üe die gegenseitige Luge der betreffenden Teile des 




Flg. I. Fig. 2. Flg. 3. 

^Ppiirates in den drei charakteristischen Zeitpunkten in Parallelprojection 
^on der Achse aus gesehen, erkennen lassen. Fig. 1 zeigt das F'endel /■• 
^ semer äußersten Stellung links. Der Sperrhaken <S^ ist durch den Dom d 
^"gehoben, während der Stift o an dem Dome c anliegt. Fig. 2 gibt 
"cn Augenblick, in welchem c den Stift « freigibt, während der Dom d 
"^ Haken 8 auf den Umfang des Steigrades R gelegt hat. Von dem 
'ffibenden Gewichte gezogen dreht sich nun das Steigrad so lange, bis 
^«f Zahn b gegen den Ilaken S stößt, der es nun festhält. Das Pendel 
™lirt alsdann den Rest seiner Schwingung frei aus. Zurückkehrend findet 



68 das Steigrad in der durch Fig. 3 vorgeführten Stellung; der Dom ä 
hebt nun den Haken S ab und das treibonde ttewicht setzt das Ka<l im 
Sinne des Uhrzeigers in Drehung. Diese hält so lange an, bis der Stift ai 
gegen den Dom c zu liegen kommt, der nun. wie bei Clements rück- 
springender Hemmung das Steigrad wieder so weit zurückdrängt, bis die 
Stellung der Fig. 1 von neuem erreicht ist. mit dem Unterschied jedoch, 
daß der Stift ny an die Stelle des Stiftes a getreten ist. Während dann 
das Pendel abermals nach rechts schwingt, drückt das Gewicht den Stift a\ 
gegen den Dom c und ersetzt so dem Pendel die während der vorher- 
gehenden Schwingung durch lieibung und Luftwiderstand verlorene Energie, 

Genau in derselben Weise beschreibt Vivj.\Ni den Vorgang. Gibt 
man also nur den Domen die richtige Länge, so kann die Uhr selbst 
wohl gehen und daß dies der Fall ist, haben Apparate, die man nach der 
eben zugrunde gelegten Zeichnung, jedoch unter Zufügung des treibenden 
Gewichtes in Florenz und im Kensington Museum in London gebaut hat, 
erwiesen. Sie blieben so lange im Gange, als das aufgezogene Gewicht 
seine Wirkung ausüben konnte. Die obigen Figuren machen keinen An- 
spruch darauf, die zweckmäßigsten Verhältnisse darzustellen, nach welchei 
man die Teile des Apparates konstruieren könnte. Es wäre das auci 
unnötig, da ja der Prinz selbst die dem Berichte beigelegte Skizze al 
eine rohe bezeichnet.') Doch dürlt« hierdurch gezeigt sein, daß der unte 
1 angeführte Einwand des Verfassers der Note nicht allgemein, sondei 
nur für einen speziellen Fall gilt und sicher nicht für den Appara 
dessen Abbildung der Prinz an Boulliai", dieser an Hiy<!KXS sandti 
Der letztere ist auch keinen Augenblick im Zweifel gewesen, daß di 
Zeichnung eine gangbare Pendeluhr darstellte, obwohl ihm der Beric 
ViviANis und die darin enthaltene Beschreibung des Ganges der Uhr 
vor Augen gekommen ist. 

2 Nachdem der Verfasser der Note nachgewiesen hat, daß der von ihi 
betrachtete Apparat nicht gehen könne, stellt er die Ansicht auf, daß i 
überhaupt keine Uhr, sondern nur ein Zählwerk darstellen solle, zu welchi 
Ansicht ja der Mar 'el eines treibenden Gewichts zu berechtigen sehe 
Damit setzt er sich freilich in direkten Widersprach zu der in 1 ai 
gesprochenen Behauptung. Denn bei der dort angenommenen Länge d 
Domes c muß dieser ja beim Rückgange des Pendels aus setner äußerst^»- 
Lage Lnks das Steigrad, welches er vorgeschoben hatte, indem er geg^— 
den Stift o drückte, immer wieder zurnckbewegen, da er nun d 
Stift ao nach unten schiebt, oder er muß, wenn der Haken S vor! 
eingefallen sein und die Bewegung des Rades gebemint hüben sol 





1) Hcrons, Otuvr«9 completes, UI p. 468. 



innRaerrenaernB 



entweder selbst ubbrechen oder den Stift Oq zerstören. Bei der Länge 
der Dome, die in Fig. 1 — 3 iingenommea ist, würde dies freilich nicht 
eintreten, aber es würde, wollte man auch dann den Apparat als Zähl- 
werk betrachten, die Stellung der Zähne b eine für diesen Zweck völlig unge- 
eignete sein. Da sie ja doch ein Weitergehen des Rades verhüten sollen, ein 
Zurückgehen bei dieser Annahme aber ausgeschlossen ist, so müßten sie 

umgekehrt gerichtet sein. Den Anforderungen eines Zählwerks wurde der 

A.pparttt also in keinem Falle genügen. 

3. Dem dritten J'unkt legt der Verfasser der Note eine ganz besondere 
WicKtigkeit bei. Pathetisch ruft er ans: „Cet objef (das von VlNCENZo 
hergestellte Modell), „qui aurait du etre d'un prix inestimable aux yeux 
da Prince Lkopold, de Viviani et de toua ceux qui attribuent a Galil^ 
"idei" d'une horloge ä pendule, ce temoin irn'cuBiible des pretendus droits 
de Galilee, a disparu".*) Und doch habe es Prinz Lkoi'OU» besessen, habe 
es Matteo Campani gesehen. Hier liegt eine Verwechselung des Galilei- 
sclieu Zählwerks und des VrNCENZOschen Modelles zugrunde, die der Ver- 
fasser der Note bei gründlicherer Vergleichung der Daten der betrefienden 
"riefe vermieden haben würde, die aber der Grund ist, daß auch diesem 
"onkte jede Beweiskraft abgeht. Sehen wir uns die betrefienden Akten- 
^(icke doch etwas näher an! Am 28. Februar 1659 hatte Boulmau 
oi'VGENs' Uorologium an den Prinzen geschickt,*) bereits am 31. März 
'"'t wertete dieser und schrieb u. a.: „Circa lo Oriuolo regolato dal Pendolo 
•■»rto e che l'Invenzione e )>ella, nm non si deve defraudare della gloria 
"•ountali al nostro Signore per aempre amniirabile Galileo, che gia nel 
"'lUe seicento trentasei, si io nou erro, propose questa si utile inven- 
'''Oiie alli Signori Stati d'Olanda et io ne ho ritrovato, benche in parte 
'''"^erso circa la conBtituzione delle ruote. un raodidlu futto gia del niede- 
'**ijo Signore Galileo".-') Da Galilei mit den Generaistaaten nur über 
'®i»i Zählwerk verhandelt hat, so meint der Prinz, was außerdem auch 
"•18 der Zeitangabe folgt, hier unzweifelhaft Galileis Zählwerk. Von 
"^in Uhrwerk erhielt er die erste Kunde durch den Bericht Vivianis, der 
'**»-8 Datum des 20. Augustes 1659 trägt.^) Bereits am folgemlen Tage, 
^^tn 21. August aber schreibt der Prinz an Boullui': „Sarä dunqne au- 
**^880 a questa il disegno del principio dell oriuolo regolato dal uendolo 
^lie inventö U nostro per sempre ummirabile Siguor Galileo ho inuiu 
^elineato con queUa rozzezza con quäle e fabricato U modello del mede- 
Bilno, che nella mia camera ora mi trovo''.*) Auch hiermit kann der 
Prinz ViNCENZOs Modell unmöglich meinen, denn bis zum 20. August 



1) HiTOEiis, Oemra compüUs, VII p. 281, Note 3. 2) Ib. 111, p. 469. 
3, Ib. III. p 461. 4) Ib. III, p. 484. 5) Ib. Dl, p. 468. 
Blbligllieea Ufttbemaüca. 111. Folge. V. 16 



242 



E. GhBLAXD. 






1 



hatte er ja noch keine Kenntnis daron, daß er dies Werk besaß. 
werden wir später nachweisen, was aus diesem Modell geworden if 
Prinz hat also, wie der Verfasser der Note auch, Zählwerk und Uhrwerk 
durcheinander geworfen, er hat ein Modell des ersteren, aber nicht de 
letzteren besessen, dessen Verschwinden für uns nicht von Belang sein! 
würde. Bei der Kurse der Zeit zwischen dem Empfang des Bericht« ' 
und der Abfassung des Briefes an Boulliaü hat er jenen nur oberflächlicli 
einsehen können und die Pendeluhr ft\i-iLEi8 für ein verbessertes Zähl-J 
werk gehalten, obwohl der Schloß des Berichtes ihn eines Besseren hätV 
belehren können. Das Zeugnis Campanis wollen wir entgegennehmen 
nachdem wir die beiden folgenden Punkte betrachtet haben, die dasjeni^ 
ViviANls kurzerhand als unbewußte, ja bewußte Täuschung beseitigen 
können meinen. 

4. „Vn'lANi s'est laisse egarer lorsqu'il affirma avoir tu marcher la 
machine de la maniere qu'il deorit,"') sagt der Verfasser der Note hin- 
sichtlich des ModeUes Vincenzos. In der Boclliau übersandten Ab-_ 
Schrift des Berichtes schildert Viviani den Grang des ModeUes to 
ViNCEXZO mit folgenden Worten: „Ciö fatto, volle U Signor ViNCESZli 
che io (come quegli ch'era consapevole di qnesta invenzione, e che l'ave 
stimolato ad etfettuarla) vedessi cosi per prova. e piii d'ona volta com» 
pur vedd'ancora 1 suddetto artefice, la congiunta operazione del contrappet^^ 
e del pendolo: il quäle stando fermo tratteneva '1 nioto dal contrappeso 
ma sollevato in fuori e lasciato poi in libertii, nel passare oltr'il perpendi- 
colo, con la piü Innga delle due code annesse aU'impematnra del dondolo, 
alzava la chiave che posa ed incastra nella ruota delle tacche, la quäle 
tirata dal contrappeso, voltandosi colle parti superiori verso il dondolo. 
con uno de' suoi pironi calcava per disopra l'altra codetta pii> corta, e le 
dava nel principio del suo ritomo an impolso tale, che serviva d'nna 
certa accompagnatura al pendolo che lo faceva sollevare fino all' altezzii 
donde s'era partito: il quäl ricndendo naturalmente, e trapassando il per- 
pendicolo, tomava a sollevare 1« ciiiave, e subito la ruota delle tacche in 
vigor del contrappeso ripigliava il suo moto segnend' a volgersi e spignere 
col piron susseguent« U detto pendolo; e cosi in un certo modo s'andava 
perpetuondo Tandata o tornata del medesimo pendolo, fin'a che il peso 
poteva calare a basso."-) Ich kann es getrost dem Urteile des Lesei^l 
überlassen, ob einer so eingehenden, sachlichen Schilderung gegenüber 
man wirklich daran denken kann, daß Viviani sich habe täuschen lassen^— 
Doch will ich nicht versäumen, besonders noch auf die bestimmte A]^| 
aufmerksam zu machen, in der Viviani die Wirkung des „contrappeso", 
des treibenden Gewichtee, hervorhebt. Dadurch zeigt er, wie scharf 



l) Uivoc«, Ooitrrs compHU*. X\l p. 



2) Ib. UI, p. 482 




wasag a«r renaeli 

zwlsfben Zählwerk und Uhrwerk unterstrheidet. Duriii, daß man auf diesen 
Unterschied so wenig geachtet, Zählwerk und Uhrwerk immer durch- 
eimmder geworfen hat, ist über der Grund zu suchen, dalJ die Erfindung 
der Pendeluhr durch Galilei zu der Komödie der Irrungen geworden ist, als 
welche sie uns aus der Note entgegentritt. Es war freilich nieht leicht, 
diesen Unterschied von vornherein zu machen. Die Ertindung von 
fflTTGENS hatt« sich deshalb verhältnismäßig leicht einbürgern können, 
weil sie als einfache Verbesserung an den zu seiner Zeit bereits vielfach 
verbreiteten Lehren angebracht werden konnte. Darauf, daß dabei eine 
treihende Kraft notwendig war, achtete man zunächst so wenig, daß 
HtnrOEXS selbst, wie oben bereits berichtet wurde, den Apparat iloBEU- 
VAi^ eine Uhr nennt, obwohl er glaubte, daß bei ihm eine solche Kraft 
flicht vorgesehen sei. Umgekehrt hatte Galilki mit dem Pendelzähler 
begonnen, ehe er sein Ulirwerk entwarf, und es fiel daher zunächst 
niemandem ein, in der Zufügung einer treibenden Kraft eine neue Erfindung 
zu erblicken, den verbesserten Zähler, als welchen iiiim ihn smsah, eine 
Pendeluhr zu nennen. Dagegen wandte man die größte Aufmerksamkeit 
der Hemmung zu, deren neue und originelle Einrichtung als das bei 
»eitern Wichtigste des neuen Apparates erschien. Daraus dürfte es sich 
denn auch erklären, daß in der Skizze der G.\i..n.Eischen Uhr das treibende 
Gewicht ganz fehlt, daß Viviani in der 1654 erschienenen Lebensgeschichte 
seines Lehrers der Erfindung der Pendeluhr nicht gedenkt, während er 
sie sofort in das richtige Licht rückt, als durch das Erscheinen von 
HinriJENS Iloyologium die Sachlage eine ganz neue geworden war. Viel- 
leicht trug auch der Wunsch, sie bis zu ihrer tatsächlichen Ausführung 
geheim zu halten, dazu bei. 

5. Einen Scliritt weiter noch geht Wohlwill. „Die Pendeluhr," 
Mgter'), „die Vivia.m ihn (Galilei) erfinden läßt, ist höchst wahrscheinlich 
von Viviam selbst erl'unden, nachdem er von IIdyohens*) Erfindung 



1) Vortrag, gehalten auf der NaturforsoherrerDammluog in Cassel im Jahre 1903; 
"flnchener mediciniacbe Woehenachrift 1903, No. 42, 43 ißep. Abdr. S. 5). 

2) Die Schreibweise Ui yuuem« statt Hi:ti)en!i ist wohl dem Setzer zur Last zu 
''gen. Id allen in seiner Muttersprache abgefaßten Schriftstücken hat sich der be- 
'^'»Bt« Niederländer stets HirciEns geschrieben. Nach den von Wohlwill selbst 
üflegentlich seines Vortrages über die Schreibweise Coi-i-bjink-'cn oder CorKR!«ici.'H auf 
"T Sttturforscherversammlung zu Karlsbad 1902 ausgosprocheneu Grundsätzen (Ver- 
'»ndlongen der Gesellschaft Deutschor Naturforscher und Ärzte zu 
'^'rlabad II: 2, S. 117;, deren volle Berechtigung keinem Zweifel unterliegen kann, 
■■"lA die Schreibweise Hi voiims als unrichtig bezeichnet werden. Seine in französischer 
°pr»che geschriebeneu Briefe unterzeichnete Hiyciks» mit Hioen.s, welche Sciuoibweise 
''Uauu)T in LEiDMzens mathematischen Schriften angenommen hat, in lateinischer 
'^ptiche unterschrieb er sich als Hiuknu». Nach Jetzigem Gebrauche wird mau diese 

Schreibweisen nicht mehr benutzen dürfen. 

16' 




244 



E. Gkelasp. 






Kenntnis erlangt hatte." Diese Amiahme steht so völlig in WidersprucE 
mit ViviAXis Bericht, daß es zu ihrer Würdigung durchaus notwendig v^ 
sich ein möglichst sicheres Urteil über dessen Glaubwürdigkeit zu bildfl 
Ich bemerke ausdrücklich, daß ich mich bei dieser Untersuchung lediglich aid 
den Bericht beschränke. Hinsichtlich der Frage, ob sich Vrv'UNi bei seinen 
übrigen Nachrichten über Gamlei mancher Übertreibung schuldig gemachl 
habe, wie Wohlwill annimmt, wird man der Führung eines so vfl 
sichtigen und komf)etent€n Forschers um so mehr folgen können, als air 
15. Oktober 1659 bereits Ch.\pelaijj darauf aufmerksam macht, dai 
„toute Florence est preuenue du merite de Galilj:e";') auch noch anden 
Umstände sprechen gegen ihre Zuverlässigkeit. M 

Mit der Annahme, daß Viviani mit seinem Berichte eine Täusehunf 
der Mit- imd Nachwelt beabsichtigt habe, steht zunächst dessen gro 
Ausführlichkeit in Widerspruch, mit der er auf die onbedeutenda 
Kleinigkeiten eingeht, von denen man doch nicht annehmen kann, da£ 
alle erfunden habe. Um nur eines anzuführen, so führt er den jungem 
Schlosser mit Namen auf, von welchem sich VrNCEXZO die Räder de 
Uhr machen ließ, am sie der bessern Geheimhaltving wegen dann seQ 
zusammenzusetzen und beruft sich auf ihn, als einen noch lebende 
Auch die Oeuvres compliks kennen ihn als einen der im Dienste 
GroßherzogB befindlichen Mechaniker. Hätte nun VmANi sich ei3 
Täuschung schuldig machen wollen, so hätte er doch nicht den Zet 
genannt, von dem ein Wort ilin entlarven konnte, oder man müßte 
nehmen, der Prinz sei ebenfalls im Komplott gewesen, woran man doo 
im Ernste nicht denken kann. In Matteo Campani haben wir sodM 
einen Zeugen dafür, daß die GAMLEische Pendeluhr wirklich vorbandffl 
gewesen ist. Er hat sie selbst gesehen und nennt sie eine „antiqua 
aeruginosa machina minime absoluta". Damit kann er unmöglich, 
der Verfasser der Note wUl, Galileis Zählwerk meinen, denn dies koi 
nicht rostig sein, da es kein Eisen besaß; auch paßt es auf die Bezeichnn 
„ganz und gar unfertig" eben so schlecht, als sie das Werk Vincenzoj 
zutreffend schildert, Endlich hat uns auch Nelli die Nachricht 
bewahrt, daß es mit dem Nachlaß Vincknzos von dessen Witwe verkan 
und im Auktionskatalog als ,,Un oriuolo non tinito di ferro col Pendolo 
prima invenzione del Galileo''^) bezeichnet gewesen ist. So ist e^ nichl 
in geheimnisvoller Weise verschwiinden, sondern leider den Weg 
alten Eisens gegjingen. 

Wenn wir nun Vivianis Bericht in den Punkten, die wir anderws 



inaeo 
la j| 

no^ 

NZO« 

laoJ 



l) HcTOENB, Oeuvre» cotni>Ktes, II p. 404. 2) Ib. III, p. 481. 

3) ÄLBiau, Le ojtcre di Galuko G*Lu.m (FireiiEe 1856), Sappl. p. 340, Asmerk« 



prüfen können zuverlässig finden, so sind wir zu der Annahme wohl 
l)erechtigt., dnß er auch diejenigen Tatsachen der Wahrheit «leiuiiß erzählt, 
«lie dieser Prüfung direict nieht zugänglich sind. Wir werden die Vhr 
demnach als Galileis Werk betrachten müssen und dies um so mehr, 
als sich dafür auch noch einige weitere Grunde anführen lassen. Vivianis 
Besclireibung gibt auf das Genaueste die Wirkimg des Gegengewichtes 
an, obgleich es in der dazu gehörigen Figur fehlt. Das würde ein Fehler 
sein, den ein so gewiegter Mathematiker, wie es doch Vivi.vm war, sich 
ganz gewiß nicht hätte zu Schulden kommen lassen, wenn er die Figur 
zu seinem Bericht hergestellt hätte. Ist aber die Figur das Diktat eines 
Blinden, das man unverändert lassen zu müssen geglaubt hat und zu der 
dann erst der Bericht geschrieben worden ist, so wird alles sofort begreif- 
lich und es ist nicht nötig, eine gemachte unwahrscheinliche Annahme 
durch Zufügen noch unwahrscheinlicherer annehmbar zu machen. Ein 
Einfluß der HtTfiENSschen Erfindung aber erscheint von vornlierein aus- 
jjesnhiossen. Ist doch Gaf-ileis Uhr der HiryiiKXSschen so unähnlich wie 
möglich, man müßte auch hier wieder annehmen, daß man absiehtlicli nach 
Verschlechterungen gesucht hätte, um den Schein zu wahren und dann 
freilich das Geschick bcwimdern, daß auf solche Weise eine so vollständig 
'CTüchiedene Konstruktion heraus gekommen wäre. Darüber aber, daß 
und wie man sich in Florenz die Pjrfindung von HrvoENS zunutze machte, 
spricht sich der Schluß des Berichtes völlig unbefangen aus. Er erzählt 
uns, daß man dort schon vor 1059 Uhren in bewußter Weise nach dem 
Muster des Uorologium baute, worauf wir schon lündeuteten. Wir er- 
fakren, daß durch ein von Gexerini hergestelltes Modell angeregt, 
TuRPFLER zunächst Zimmeruhrcu imtl dann die Palastuhr verfertigte, 
dert!n Skizze gleichfalls dun'h Vermittlung Boi'Ll.lAl's an Hi'VOENs üher- 
SMidt wurde. 1) Ein Blick darauf beweist uns, daß au dieser \J\ir das 
Pendel in einer Weise angebracht war, die die Kenntnis der HuvtiENS- 
8chen Erfindimg in der Tat voraussetzt, zeigt aber auch, wie himmelweit 
tJS^faieJen sie von der fxALiLEischen Konstruktion gewesen ist. Ver- 
V^m hatte Tbekfleu die lIuYGESSsche Konstruktion freilich nicht, 
*ie HüYfiENB in dem Brief an Boulliau vom 1 2. Februar 1660 tadelnd 
henrorhob.:') 

Es mag zugefügt werden , daß auch die mannigfachen Wider- 
sprüi'he italienischer Schriftsteller, auf die der Verfasser der Note vielfach 
liinweist, sich aufklären lassen, wenn man nur festhält, daß auch sie oft 
genup sich eine Verwechselung des Uhrwerks mit dem Zählwerk zu 
schulden kommen lassen. Die Annahme Alhekis, daß aus Liebedienerei 



1) HivoMs, Otuvru compliUs, III p 14. 2) Ib. III, p. 21. 



246 



E. Gkkljinii. 



gegen Ludwig XIV. VmAXi seinen Bericht an den Prinzen gar nidd^^ 
abgeschickt habe'), ist durch den in den Oeuvres complites yeTöSenilichie] 
Briefwechsel zwischen diesem und Boulliah widerlegt. Die Tatsache, dai 
Nelu, wahrscheinlich aus Eifersucht gegen Fahkonj dem Bericht Vivixsii 
bei seiner Herausgabe am Ende des 18. .Jahrhunderts anstatt der zugehörige: 
Skizze die Abbildung einer HuYOENSschen Uhr zufügte, entbehrt jeder Bewei 
kraft. ^) Auf mehr einzugehen, würde hier zu weit führen. 

Fassen wir das Ergebnis unserer Untersuchung noch einmal 
sammen und l)edenken, daß es das Kennzeichen einer schlechten H_r{)othi 
ist, wenn sie für jede weitere zu erklärende Tatsache einer neuen Annahn^^jj,, 
bedarf, dagegen das einer guten, wenn alle auch später bekannt werdend^k. ^ 
Tatsachen sich zwanglos aus ihr ergeben, so dürfte dies letztere Kriterii^^^g, 
für die Annahme, daß Galileis Apparat wirklich eine Pendeluhr w=r- ^„^ 
und gegen die andere, daß es nur ein Zählwerk gewesen sei, sprech^^^aj 
Denn jene läßt sich leicht mit den Angaben aller Berichterstatter ^^zJes 
17. Jahrhunderts vereinigen, während diese gezwungen ist, einen n, 
dem andern von ihnen, nicht etwa zu verwerfen, sondern bewußter o 
unbe^vußter Täuschung zu zeihen. Da man aber auf sie als «"""y— r ij^ 
Quellen angewiesen ist, so heißt es, den Ast absägen, auf welchem c^^an 
sitzt, wenn man sie anstatt ihre Aussagen lediglich einer wissenschaftlic 
Kritik zu unterwerfen, «ils unglaubwürdig jedesmal dann hinstellt, 
sie nicht nach Wunsch aussagen. Es wird also wohl dabei bleiben müs^ 
daß Galii-ki 1641 die Pendeluhr erfand, indem er seinem Zählwerk 
treibende Kraft zufügte, daß aber 1656 unabhängig von ihm Hiy(s^e>'.s 
dieselbe Erfindung noch einmal machte, indem er die zu seiner Zeit ge- 
bräuchlichen Uhren mit dem Pendel versah. '^M 

Scliließlich sei es gestattet, noch ganz kurz auf den Grund der 
Gereiztheit einzugehen, die HiTdENS, nachdem die Ansprüche der Floren- 
tiner zu seiner Kenntnis gekommen wareu, öfters blicken läßt. Der "%'er- 
fasser der Note sieht ihn in dem bereits angezogenen Aussprach *i®* 
Prinzen Leopold an BoiXLiAr vom 31. März 1659: „non si deve de€r^^^- 
dare della gloria douutali al nostro Signore per sempre ammira^^^^"* 
Galileo,"') dessen Eindruck er freilich durch ein fälschlich hia- "^^^ 
„defraudare"' gesetztes Komma verstärkt. BouLLUü teilte diesen Brief 
9. Mai desselben .Jahres Huygens mit,*) indem er in seinem Begl 
schreiben denselben Gedanken mit den Worten aussprach: ,que vous 



rlie 



m 



1) Äi.uj:b], Le opere di Qaj.iiso Gaulei (Firense 1856) i:>uppl. p. 340, 
Tgl. Huvossii, Oeuvres coiiiplites, Ul S. 471. 

2) Auiftu, ». •. 0. Suppl. p. 851. 

8) Hdtoiks, Oeuvre» complttea, in p. 461. 4) ib. II, p. 404. 



" I 



Undnn g rier fendeTnhr. 



desrobberez jamais la reputation d'autruy pour voub los attribner".') 
Keinem von beidou ntihm HrvtiKXs diesen Argwohn ül».'l, sonst hätte er 
doch wohl nicht am 5. Juli di'i-selbeu Juhres dem i'rinzen sein Systenia 
Satumium gewidmet, hätte nicht den Briefwechsel mit Bouluad in dem 
früheren freundsfhuftlicheu Tone fortgeführt. Es ist ein schöner Zug in 
Hi'y«;ens Charakter, daß er einen Teil des Ruhmes seiner Erfindungen, 
»enn auch nicht ganz ohne Mißbehagen,'), an den von ihm hochverehrten 
Galilei abzutreten geneigt war. Was ihn verdroß, das waren die vielen 
Versaehe, seine Erfindung für eine alte Ueschiehte zu erklären oder sie ihm 
anxechtmäßiger Weise zu rauiien.^) Zwar erregte es die Verwunderung 
einiger seiner eifrigen Freunde, daß der Prinz auf die Zueignung des 
Systema Saturniitm nicht antwortete, aber HrvuEXS gab darüber in dem 
Briefe an C'haj'EI^un vom 2. September 1659 die folgende genügende 
Aufklärung. „J'ay scjeu," schreibt er,'') „pourcjnoy le Priuce Leoi-iild 
n'avoit point respondu a ma dedicace. A s^avoir par ce que je n'avois pas 
envoye avec mon livre une lettre de ma main ; Son Altesse n'ayant pas 
acconstumc de faire response a ces autres imprimees. Voyla comment par 
ignorance j'ay fait une faute, de la quelle pourtant je n'avois garde de 
me douter, puisqu'aussi tost que le Priace eust receu mon livre, ü fit 
pscrire par ledit Sieur Dati qu'apres l'ftvoir examine il me respondroit; 
ce que je ne scay pas encore comment il a entendu. Toutes fois apres 
BYoir receu ce demier »vis, j'ay escrit aussi tost, et je m'iittens a cet 
heure a quelque compliment de In part de Son Altesse de qui tout le 
monde loue la grande civilitii." Das klingt doch auch nicht nach Gereizt- 
heit gegen den Mediceer! 



1) HnroBss, Oeuwes compHteg, ü p. •403. 
4) Ib. lU, p. 119. 




2) Ib. IJ, p. 485. 3) Ib. 11, p. 485. 



248 



G. EnssthOii. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und 
Johann I Bernoulli. 

Von (J. ExESTHöjr in Stockholm. 

II. 1736-1738. 

In der P]Luieitimg zum vorigen Abschnitte habe ich erwähnt,') da 
nach dem Jahre 1731 der Briefwechsel zwischen Ei LEU und Beknouli.,^ 
für längere Zeit aufgehört zu haben scheint, und daß wir von den folgen- 
den Briefen keinen besitzen, der älter als 1737 ist. Der erste dieser 
Briefe wurde am 2. April 1737 von Bernoulli un Ei'LER geschrieben^ 
indessen geht daraus hervor, daß Eitler etwa ein Jahr früher ein jetzt?' 
verlorenes Schreiben un Bkuxouijj gesandt hatte. ^M 

Auf das Schreiben vom 2. Apri! 1737 antwortete EiLEK am 27. August^* 
BEiUJOi:LL!a nächster Brief ist vom 6. November datiert. Weitere Brief» 
von EtiLEK sind vom 10. Dezember 1737. 26. April, 30. Juli und 20. D»fl 
zemher 1738 datiert und alle diese wurden von Bekxhumj beantwortet, 
aber die drei ersten Antworten sind vollständig verloren, und die vierte», 
die vom Jahre 1739 ist, gehört zum folgenden Abschnitte dieses Artikels. 
Hier werden also zusammeu 7 Briefe zum Abdruck gelangen, nämlich^tf 
5 von EiLER und 2 von Beunoulli. ^ 

Daß drei Briefe von BERNf»ui.Li verloren sind, und daß auch nicht ^ 
die Konzept« derselben aufbewahrt wurden, hängt vielleicht damit zu'^J 
Bammen, daß in den noch vorhandenen Briefen von Eulkh viele Streichungen 
vorkommen, die so sorgfältig ausgeführt wurden, daß die betreffenden 
Stellen durchaus unleserlich sind. Auch in den Konzepten der Ber- 
NorLLischen Briefe vom 2. April und 6. November 1737 sind Stellen 
unleserlich gemacht, und im Frssschen Abdruck') des ersten Briefes fehlt 
ebenfalls das Überstrichene. Es scheint also, ids ob Ei'LER und Bersolxu 
über irgend eine Frage verhandelt hätten, die von sehr privater Natu 



1) Siehe Biblioth. Mathem. 43, 1908, 8. 845. 

2) Conetpondutice mathhnatique et physique dt quelques efUbres geomHret 
XVIW siede publice par P. IJ. Fuss, T. Ü (St.-Petergbourg 1843), 8. 12—17. 




Tiefwechael «wScne^TSönliard Ruler und JÖnSnn 



r. Indessen muß ich binzufügen. daß die Streichung im EiTLKRgehen 
"Briefe vom 20. Dezember 1738 offenbar vom Rrietachreiber selbst vor 
der Absendung gemacht wurde, wie uus seinem folgenden Briefe vom 
5. Mai 1739 her\'orgeht. Nach einer haudachriftlichen Bemerkung von 
JoiTANN III Bkunoulm rühren die übrigen Streichungen in den EtiLEK- 
BcliHii Briefen wahrscheinlich von Johann 11 Bkkxoi lm her, und dieser 
hat wohl auch die Konzepte der BKliXOiLMscheu Briefe au den erwähnten 
Stellen unleserlich gemacht. 

Die Fragen, mit denen sich die hier in Betracht kommenden Briefe 
'*es<'hättigeu, sind wesentlich umhöre, als die in den vorigen Briefen be- 
tiandelten. Zur reinen Mathematik gehören drei Gegenstünde, die Bkknomjj 
Weit früher interessiert hatten, nämlich die Summation der reziproken 
vuadratzahlen, die algebraisch rektifizierbarcu Kurven und die isoperi- 
•öetriBchen Probleme. 

In betreff der Summe der reziproken Quadratzahlen schrieb Johann 
•»KUNorM.i schon 1691 an seinen Bruder .T.\ki»I!, daß er den Weg, wdrauf 
diese Summe ermittelt werden konnte, gefunden hatte,') aber ohne Zweifel 
''ötdeckte er bald, daß er sich geirrt hatte, und erst 45 Jahre später 
gelang es ihm, eine Methode zur Summation der reziproken QuadratzaUen 
^ linden. Freilich hatte EiLKit damals das Problem schon gelöst 
"od das Itesultat der Lösimg seinem alten Lehrer mitgeteilt.-) Auch 
*Uiige andere verwandte Reihen werden nebenbei in den Briefen erwähnt 
"ötl summiert. 

Mit den algebraisch rektitizierbaren Kurven, oder richtiger ausgedrückt 
"lit der verwandten Frage, die Kurven, deren Quadratur auf die Er- 
"^Jttelung der Länge einer algebraischen Kurve zurückgeführt werden 
■^«itm, zu bestimmen, hatte sich Joh.vnx Bkunouij,! 1724 ein wenig be- 
äctäftigt, aber auch auf diesem Gebiete war es Eri-KU, dem ein wesentlicher 
* ortschritt zu verdanken ist. In den Briefen gibt dieser Auskunft über 
Bflpine Lösungen zweier hierher gehörender Probleme, nämlich: 1. zwei 
■■»gebraische Kurven zu finden, die zwar nicht algebraisch rektifizierbar 
Sind, aber die Eigenschaft haben, daß die Summe ihrer zu ein und derselben 
A-hscisse gehörenden Bogen eine algebraische Funktion der Ahscisse ist; 
2. Kurven zu finden, die algebraisch rektifizierbar sind, oder deren Rektifi- 
kation von einem gegebenen Integral abhängt. 

1) „Je voii dejä la ronte de trouver la Bomme de 

T + -4+-9- + 16+''**'- 
<^ qne ooub ne pooTions pas autrefuie" (Brief vom 22. Mai 1691 in der herzoglichen 
B'^iliothek in Gotha). 

2) VgL Ekestböm, Note hialorique sur la (ommt des valeurs invenes det nomine» 
""•^i Biblioth. Mathom. 1890, S. 22—24. 



250 



G. EsKATRÜM. 



ri)er isoperimetrische Probleme handelt Eri.KK ziemlich kurx in ilen aca 

zwei letzten hier unten veröfifentlichten Briefen, zum Teil unter Bezue -^ 

nühme auf eine von Daniel Bkrnoi'lli gestellte Frage, nämlich „untei — ^r« 
allen isoperimetrischen Kurven diejenige zu finden, wo JQ^ds (q 
Krfinimungsradius, s = Bogenlänge) Maximum oder Minimum isf. 

Die in den Briefen behandelten Fragen aus der angewandten Mathe 
matik beziehen sich vorzugsweise auf die von EuLER 1736 — 1739 ver- 
öffentlichten oder in Angriff genommenen Arbeiten. Anläßlich einer -s 
Stelle der Eiil-Ekschcn Mechanica (1736) machte Berxolu.1 eine A\i 
Stellung, gegen welche sich Ei'LER ausführlich verteidigte, und im Zusammen 
hang hiermit beanstandete jener Sätze aus den Arbeiten von NK\m>x un. 
Hehmann, während Ei'LER wenigstens Ne\vt(1N in Schutz nahm. Auf d^^ _^g 
anderen Seite machte EuLER selbst auf ein paar Stellen seiner Mechanic^t^^S^ 
aufmerksam, wo ihm Verbesserungen angebracht schienen. ^M 

Besonders ausführlich beschäftigen sich die Briefschreiber mit einig»-^»fj, 
Gegenständen aus der Theorie des Cileichgewichtes und der Bewegu^c2_niT 
schwimmender Körper, die Eilek später in seiner Scientia navaiis Irr^^Bj». 
handelte. Bekanntlich erschien diese Arbeit 1749, aber aus den Brie^^K>Q 
ersieht mau, daß sie schon 1737 geplant, im Anfange von 1738 in Ang^^»-jff 
genommen und vor dem Ende dieses Jahres fertig war. Es ist ni«;z?lit 
ohne Interesse zu beobachten, wie schwierig es den Briefschreibem t^is- 
weilen war, sich über die eine oder die andere Frage zu verständigen- ^^ 

Die Beendigung des Druckes des Tentamen novae theoriae musi'^:^CM« 
gab ErLER Anlaß, den Bericht, den er schon am 25. Mai 1731 «•-«» 
Bernoi'lli gesandt hatte,') ein wenig zu ergänzen. Auch die Arbeifc^^- 
die Bernoulli fertiggestellt oder begonnen hatte, werden in den Briei^*^" 
berührt. Eine Abhandlung von ihm über die Bewegung von Körpern 
veränderlichen und festen Bahnen regt Eiler an, die darin enthalteo« 
Formeln mit den seinigen zu vergleichen und die Übereinstimmung S.* 
selben zu bestätigen. Die von Bernoi'LLI in Angriff genommene hydra — ^'l' 
lische Abhandlung, die später in zwei Abteilungen in den Commenta^ 
der Petersburger Akademie erschien, wird von Eller als sehr erael 
bezeichnet. 

Mehr im Vorübergehen werden viele andere mathematische o* 
literarische Gegenstände erwähnt. So z. B. veranlaßt die Summation 
reziproken Quadratzahlen zu Bemerkungen über den Zusammenh« ^""^^i 
zwischen den Wurzeln und den Koeffizienten einer Gleichung unendl— — ^*^' 
hohen Grades, und ganz beiläufig teilt Ei'LER einen Satz über die elastie^ -«cfl? 
Kurve mit. Auch über die Formel der lebendigen Kraft, sowie über "" 



311 




1) Siehe fiibliotb. Mathem. 4s, 1903, S. 888-386. 



Der Rrirfwechfpl zwiecM 



bllard Etiler und Johann f Hemoulli 



251 



Theorie der Ebbe und Hut, des Schalles, des Lichtes, des Feuers und 
über PxzpntrischeB Zusuinraenstoßen von Körperu wird in den Briefen 
Terhandelt, zum Teil im Annchluß iiu Bemerkungen über Freisschril'ten 
Ton ErLEK oder den Bernoullib; über den Stand der Herausgabe der 
Commentarii der Petersburger Akademie gibt Eiri.RR ziemlich regel- 
mäßig Auskunft. 

W. 
Euler an BemouUi Mai (?) 1736 

T«rlor*B; zitiert von BKHxotLLi in svinem Brief vom 2. Aiiril IVn („annaa pTopemodum eal 
iinod postremas Tau litt«»« acoepi"). 

12. 

Bernoalli an Euler 2. April 1737. 

AtilM'ort iin( Ei-i.KBS verlorenen Brief von 17;». Ori(?in»l im Arolilv der Akademie dtr Wiaien- 
Mbft(l«u in 8t. Fel«Tsburg; Konzept in der Bibliotliek der Akademie der WiiBensahaften in Stockbolm. 
Tetöffentliolit von Pin», a. n. 0. s. 12—17. 

Inhalt. Die Preisschriften von Joua.vii LI Bkrnoixi.i über die FortpflanKung des 
liobtes und von Daxiki. Bkrnoixu über die ^egenBeitige Neigimg der Planetenbahnen, 
•owie von Johaks I Di;nN<M i.i.i selbst über diesen iiegenstand — Bci.KBe Mechanicu. — 
Üar Streit über den Uegritt' der lebendigen Kraft. — Summation der Reihe der 
reziproken Quadratzahlen und Keihen von anderen Potenzen der rei^iproken natür- 
iicheu Zahlen. — Über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den 
"Wurxeln einer Gleichung unendlich hohen Grades. 

Viro') clarissimo ac mathematico longe acutissimu Leonhaudo Euleuo 

ß. V. D. Jon. Bernoitlli. 

Annus propemodum est, quod postrema« Tuas litteras accepi; ne 

«rediis qnaeso, diutnmi silentii causam fuisse nliquara animi mei aliena- 

'"tionem, nosti enim et fateris ipse, quot quiintaque Tibi olim dederim 
l>enevolentiae testimonia, ut plane non sit, cur ullam in me erga Te su- 
spiceris mutationem. Vera pntius dilationis causa est partim locorum 
longinquitas, partim sumtus erogandi in litteras mittendas et accipiendas 
per Cursoren] publicum. I'tor itaque hac occasione commoda, qua citra 
sumtus ad Te amandare possim dissertationeni tUii mei Johannis de 
propagatione luminis, condecoratam praemio superioris anni ab academia 
regia Parisina-), de (jua, postquam eam perlegeris, Judicium Tuum (quod 

"ferre soles ex animi sententia) praestolabimur. 

Vidi quae perscripsisti filio meo Dameli de utriusque nostrum disser- 
taüonibas super declinationibus orbitarum planetariarum "), id quod judioas 



1) Bei dem folgenden Abdruck habe ich auch da« Konzept vergliohen. 

2) Siehe die Abhandlung von Johakn II Ber.noixi.i, Beeherche» phyaiques et gio- 
miiriqtteg gur lii question: Comwent sc faxt la propagation de la lumüre?; Piice qni 
■ remport^ le prix de l'academie royalo dea iciences, proposä ponr 
l'aouee 1736 (Paris 1736;. 66 S. 4<». 

8) Siebe die Abhandlungen von Daxisl Bebmoclli, Becherches physiques et astro- 
MOMtgue« t«r le proMime: Quelk est la cause pht/sique de rindinaiton des plan$ de* 



252 



Q. EnK'THfiM 



de Daniklis opore, rideri scilicet deproperatum fiiisse summa cum festi- 
natione, idem et mihi visum tuerat, quod etiam statim ipsi erprobraveram 
Si dicere licet quod sentio, credo ipsum ad optatum fint'm non perven- 
turum fuisse. nisi paacis mensibua ante praeminrum distributionem reditum 
8uum ex Mtisfovia per Lutetiam sumsisset, ubi occasionera invenit pren- 
sondi quorundam benevolentiam aut aliquid aliud moliendi. sicuti Tu ipee 
festive jocaris, quando dicis, in dissertatione Damelis hoc unuw praecipue 
laude dignum reperiri, quod praemium reportaverit. In solidiorem mihi 
vergit gloriam honorifica quam fers sententia de mea dissertatione, eam 
nempe elaboratani esse magna diligentia atque insigni ingenio; quod vero 
addis Te dubitare an ipse credam, quaestionem per theoriam meam plenarie 
solutam esse: ad hoc respondeo a nemine erigi posse, ut in rebus mere 
physieis promittat solutiones omni exceptione majores atque ad rigorem 
geometricum demonstrabiles; suffieit si secundum prineipia clara et semel 
stabilita ratiocinando recte procedat. Gerte non puto, Caktesiom reL 
Nkwtonim, vel alium quemvis ex philosophis. qui systema physioaiD 
condidit, ausum fuisse vitam aut auimam suam oppignerare pro systemat» 
Boi exacta convenientia cum remm existentia. ') 

Accepi a Filio, novam Jlechanicam a Te parari ejusquetomum primum 
jamjam e prelo evasisse, id quod intelligere summo me gaudio afficit. 
spero namque me in hoc opere visurum multa singnlaria ex sagaeissimi Tui 
ingenii promtuario depromta atquo ab alüs Mechanicae scriptoribus in- 
tacta; a Tuo qnippe mentis acumine, quod ad profundissima penetrat 
naturae mysteria, nihil non novi, nihil non limatissimi mihi proniitto: 
facile sane provideo Te non haerere tantum in eiplicandis migaribu« 
istis et trivialibuB Staticae legibus atque maehinarum viribus ab olüs 
dudum occupatis; dabis operaui haud dubie. ut sublimior Mechanicae pars, 
quae est Dynamica, hact«nus segniter admodum tractata, a Te in plena 
sua luce prodeat, ubi praesertim ansam habebis naturam ririum vivarum 
ita penitus excutiendi, ut nullus vel pertinacissimis adversariis relinquatur 
locus, quo suis cavillationibus ex invidia an imperitia an ex utraqnc iden- 
tidem nobis obtrusis veram earum virium aestimationem arrodere non 
desinunt, id quidem ego nunc obtinui meis demonstrationihns, in disser- 



i 

I 




orbites ths plnn'des; Pieces qtii ont remportt' le prix double de racad^mie 
des 8cionce8 cu 1734 (.Paiü 173öi, S. 95—144, und von Joiijuin I Beksouixi, Etaai 
d'unt nouvdle jthysiqut ccltttt, serratU ä expiiquer les principaux phenowines du eiel, 
et en partkulier la cauee phtjsiqttt de Vinclinaison des orbites des planetts par raport 
au plan de l'eqiiaUur du soleil; Piöces etc., S. 1 — 91. 

1) Hier sind 29 Zeileu des Konzeptes gestrichen (mSglicberweise von Johaxx II 
Bkrnoi-uj) und unleserlich. Diese Zeilen sind bei Fcas nicht abged 




Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I Bemonlli 253 

fatione mea de motu') tum et alihi expositis, ut nunc in Gallia passim 

veritas triumphet, sed Anglis ustjue adeo adhuc stoniachum movet (ex 

livore credo contra LEiUNnii'si, priiiium viriuui vivaruni assertorem) ut 

com nnnm alterumve ad Bilentium redactum atque e medio suhlatum esse 

putanius, statim duo tresve alii pronimjmnt vphenientius declatiiantes, non 

secus ac esset in Anglia Hydra Lernaea ad quam domandam Te tanquain 

Hercnle opus erit. JuRlNüs'') imprimis, ut in Act. Lips. legi, horrihilem 

ptrepitum excitat contra virium vivarum Hatronos, sed insulsis ndeo atque 

jejunia argumentis utitur, ut conimiseratiunem potius quam indignationcm 

commoveat: lepidum fuit vidisse in Actis Lips 1735 ni. Majo recensiimem 

quarimdam dissertationum JuKiNi^) in quarum ultima inepte debaccliutur 

contra virium vivarum defensores et nominatiin ((uidetu contra me, sed 

cui recensioni immediate subjecta est mca aliqua Dissertatio De vera 

^ivtione virium vivarum earumque usu in dytiamicis*), quasi eam dedita opera 

'cripgissem in refutationem praecedentis dissertationis JuitiNianae, etiamsi 

fs Vera mihi nonduui innotucrit a Ji'KiNO r|uicqiiani ea du re scriptum fuisse. 

Percepi porro te invenisse') inodum summandi seriem fractionum 

^ + i + i + !, + ^''- 

h. e. 1 + 2» + p + p + etc., 

•^jxia nempe denominatores prncedunt ut quadrata nunierorum naturalium 
*» 2, 3, 4, etc., id quod ulini fratri meo Jacobo imperscrutabile fuit, 



1) Discour^ »ur leg loix de la communicatitm du mouvtnient (eiche IJibliotb. 
^ Äthem. 4», 1903, S. 351). 

2) JiMM JiKis, Arzt in London, gob. 1684, ge«t. 1750. 

3) Eine Anzeige der Dinsertationex physico-matheiihiticae (London 1732) von 
•' • Jnuit findet Bich in den Act» Eruditorum 1735, S. 205—209. 

4) Veröifontlicht von Johann Bkrnuulu in den Acta Eruditorum 1735, 
^- 210-230, BbRcdruckt in seinen Opera omnia, T. UJ S. 239-260. 

5) In meinem Aufsatze Note higtorique sur la somme des valeurs inversea da nombres 
con« (Biblioth. Mathem. 1890, 8. 22—24) habe ich angenommen, daß die Worte 
i'Percepi porro" sieh auf den verlorenen EuLEnscheu Brief an Joiiami Bkbmoilli vom 
''^hte 1736 beziehen. Beachtet man aber den früheren Passus: „Acccpi a tilio, novam 
Mechanicam a te paruri", wird es wahrBchpinlicber, daß die Worte „Percepi porro" 
•"f ein Schreiben von Eilkk an Danikl Bkh.noi i.i.i hinweisen, und in der Tat weiß 
°"u>. daß dieser vor dem 12. September 1736 einen Brief von Euuea erhielt (vgl. Fvm, 
»■ ». U, S. 436), wo die Formel 

'"Kcgeben wurde. Wie dem auch sei, sicher ist, daß Euleb schon im Jahre 1736 die 
■'«ihe der reziproken Quadratzahlen summiert hatte, und daß Ji>ha!«i< Bebmoulli 
■^«»ntnis davon bekam. 



254 



Bicuti ipse fatetnr in tractatn sno De seriebus mfinitis p. 254: inre 



nanique summam illins eeriei = -g-, 



nominando scilicet diametrum circc 



= 1 , ejusque circumferentiam ^ c; rolebat meas Daniel font^m e^ ■^:a 
indagare, sed irrito succpssu, quanqnam in postreniis Tuis litteris ^^, 
ipsum aliquid ni fallor de fundamento ei apenieris, cum primum v^x-< 

mihi nominiisset summam a Te inrentam -^, praetereaque nihU, inder^tx «* 

ego intellexissem summam seriei reduci ad quadrahiram circoli, coriosix ^ 
unde petenda esset analysis, mox ipse proprio meo Marte totam dete^^ ' 
mTsterium, in subsidiura vocato elegantissimo aliquo theoremate Nkwtox-^» 
quod sine demonstratione extat in ejus Algebra p. 251 edit. Lond. arm-- 
1707, cujus autem demonstrationem etiam ego inveni, ubi traditur modii^ • 
quo ex coefficientibus terminorum daiae alicujns aequationis determinatus*^ 
summa non tantum radiciim, sed et ex radicibus summa quadratorum rr« 
cuborum, quadrato-quatlnit^rum, etc. Ut itaque judicare possis an rena^ 
aca tetigerim. exprimam bic snmmas serierum ubi denominatores progre*^! 
dinntur ut potentiae quartae, tum etiam ut potentiae sextae numerororun:^ 
naturalium 2. 3, 4, 5, etc. Inveni enim (instituendo pro singulis noTui 
calcolum) 



1 



1 



1 



^ "^ 2 * "^ 8^ "^ 4« ■*" ®**^ — SM)' 
item 1 + 1 -H 1 + 1 + etc ') = ^] 



ex istis porro elicietur summa 



1 



• +ä» + 8» + J» + ®*"- 

atque ita successire progredi lic«bit ad altiores dimensiones. Sed caiculus 
gradatim tit operosior. extenditurque tantum ad exponentes dimensionum 
paree; quod si vero sint im]>ares. fnteor me quaesiti nondum esse com- 
|Mitem. Si quem possideas modum pro imparibos, ex. gr. pro hac Serie 
Summand» 



1 



l + g-, -f 3". + p + e*c 

gratum erit a T» edoc«ri. Ca(>t«ruin acmpulus aliquis subest in hoc 
negotio ex eo oriundus, quod pro hjpothwi assumitur ex coefficientibus 
tenniaonim aliciyus aequationis, «tiam iBfiaitaa. dependere radicum deter- 
miiuitioueai, id quod qutdcm in genere Tarinimum est. sed saepissime 

1) Di* SinuM d«r Reih* M Ulnaatti«^ ^. ai«M ^, wie Jon.isN BicBNopi 

hi«r diufh «utMi Sclu*iU«)>lM annttl; M«tM di« Itwwfciiint in Ecuns Antwort- 
Mlu«ib«a ^ualm S. tMV 





Der Briefwechsel zwischen Leonhard Enler und Johann I. Bemoulli. 255 

accidit ut in aequatione propoeita lateant praeter radices utiles (quae 
problema solvunt) etiam inutiles seu peregrinae, imo quoque impossibiles 
seu imaginariae; adeoque in hac aequatione ad quam pervenitur 

^ - ^ + O - OXs + 2X777 - «*«• = ^' 

ubi X denotat arcum circuli incognitum sinui dato e respond entern, de- 
monstrandum esset nullam contineri radicem impossibilem, nullamque aliam, 
quam quae re vera alicui ex infinitis arcubus ad sinum e pertinentibus 
respondeat. Habeo quidem in hoc casu aliquam demonstrationis speciem 
qaae mihi rem utcnnqne probabilem reddit: alias innamera possem afiferre 
exempla, in quibus ita ratiocinando ad manifestam absurditatem dela- 
beremur, ut si posito radio circuli = 1, arcu qnodam dato a, tangente 
incognita = t, nosti utique hanc haberi aequationem 

o = « — -|-<8 + y<*-yr + etc., 
adeoque 

a-t + ~t^-^t' + ~f — etc. = 0; 

haec ergo aequatio infinitas radices t habet, ex illis tarnen omnibus unica 
tantum satisfacere ipsique arcui a respondere potest. 

Sed Te diutius detinere nolo. Vale, vir clarissime, et me quod facis 
amare perge. 

Dabam Basileae a. d. 2. April 1737. 

13. 
Ealer an BemonUi 27. August 1737. 

Antwort anf Bibiioui.i.is Brief vom 2. April 1737. Original in der Bibliothek der Akademie 
Aer Wissensehaften in Stockholm. Einige Zeilen veröffentlicht von Ekbströk im Bihang tili 
■^«iiska vetenskapsakademiens handlingar 5, Mr. 21 (1880), S. 34 and in der Biblioth. 
*»'!iem. 1890, 8. 23. 

Inhalt. Über die Fortpflanzung des Lichtes und die Gteschwindigkeit des 
^chsllei. — t3l)er die Meehanica des Euum. — Abhandlungen von Johann Bebnoulli 
1^ die Commentarii der Petersburger Akademie. — Die Pariser Preisschriften der 
JOBgeten BKiiHODt.Lis. Die Samme der Reihe 

1 + ^ + p; + p; + •*«• 
™r bMondere Werte von n, sowie der Reihe 

'^'»« die Wurzeln der Gleichung 

a — « + -jt« — i«5 + etc. = 0. 



256 



O. BnandK. 



über die Reihe 

8 + 7+T+ 15 + « + » + "*'•' 
wo alle Nenner die Form a' — 1 haben, sowie über die Reihe 

i + l + i + l+i + tc, 

wo die Nenner lauter Primsahlen sind. — Über das unendliche Produkt 

A 1 i. 1 1 1 tr 
1 ■ 3 ■ 3 ■ 5 ■ 7 ■ 9 "*"• 

über unbestimmte InfiuiteBimalrechnung und dos Problem zwei algebraische Ei 
zu finden, die zwar nicht algebraisch rektifizierbar sind, aber die Eigenschaft habe 
daB die Summe ihrer zu ein und derselben Abscisse gehörenden Bogen eine algebraiscl 
Funktion dieser Abscisse ist. 



D. 



I 



Viro Celeberrimo atque Excellentissimo JOANNI Bernoilu S. P. 

Lkonhari) Euler. 

Litterae Tuae postremae d. 2. April, hujus anni, qnas quidem magno 
desiderio expectaveram, eo mihi gratiores fuere, quod me de Taa ergo ni^| 
benevolentia, quam non sitlum maximi facio sed etiam omni studio ei^ 
opera mereri conabor, certiorem facere volueris. 

Gratias igitur Tibi, Vir Celeberrime, ago maximas cum pro ineignibus 
Tui erga me amoris testimoniis, tum pro mecum communicata Filii Tui 
Clurissinii Joanms dissertutione de Lumine praemio condecorata ab Äca<^H 
Heg. Parisina, in qua exquisitum Auctoris ingenium in hujusmodi rebi^H 
pbysicis vehementer sum admiratus. Imprimis autem mihi placuit expli- 
catio diversitatis radiorum lucis, quam Newtonus tantum obBervarit. nemo 
autem adhuc ex physicis principiis explicare nequidem est conatus; qu 
tum mihi quidem eonstat. Quod autem ad celeritatem luminis attim 
fateor me modiim qun est usus ad eam a priori determinandam, non sal 
perspicere; in hoc vero eo magis haesito, quod calculus ad sonum acco 
niodatus illam ipsam praebeat celeritatem, quam Newtonus assigna' 
quae tarnen cum experientia minus congruit, Mihi quidem magis eon» 
tanea videtur mea celeritatis soni determinatio quam in mea de Bono disS' 
tatione') eshibui, et cum experimentis apprime convenire ostendi, quam 
etiam Tute, Vir Celeb, Tua probatione confirmare es dignatus. 

Non dubito quin jam acceperis Tomos Comment. nostrorum, qi 
Tibi adhuc defuerant. una cum mea Mechanica,^) quos jam ante T 
acceptas litteras ad Te transferri curavi; prout etiam in posterum ope: 
quae hie prodibunt, Tibi transmittentur, quae tanquam emolumenta pn 
missa accipere velis. 



1) Vgl. Biblioth. Mathem 43, 1903, S. 348 Anm. 4. 

2) Die Mechanica tive motug icientia anahjtice exposita erschien bekanntlich 
Jahre 1736. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I BemouUi. 



257 



Deinde IlluBtr. Praefectus noster mihi flemandavit Acadeniite nomine 

Ti t» i gratias agere maxinias pro ncutissimis Tiiis diBsertutionibiis nobiscum 

communicatis, ') Teque omni studio rogare, ut In posterum esimia inventa 

Tci.«i nobis largiri velis atque Tibi etiam persuadeaB, Academiam ea non 

Bolvim maximi esse aestimaturam, sed etiam in Te Principem ^Iiithemiiticorum 

»U-rumumque societatis noatrae decus agnoscere. (^uamobrem noli suspicari 

queniquam apud nos esse, qui IV non omni quam ubique es consecutus, 

aestiniatione veneretiir. ^) 

Ex postremis litterin Parisinis non sine ingenti gaudio cognovi ambos 
auetores anonjrmos, quibus hoc anno ab Acad R, Paris, praemia sunt 
decreta, Tuos esse FUios,^) de quo tarn Tibi, Vir Celeb., quam ipsis ex 
"ninao gratiilor. 

De Meckanica raea Judicium Tuum integrum pariter ac Filiorum Tuoriim 

Söturno desiderio expecto. Ex instituto autem, quod sum secutus, sine dubio 

jatn intellexisti in bis tomis locum nondnm fuisse ad doctrinam de riribuB 

^ivie tractandam, erit autem ia sequentibus tomis, ubi corporum finitae 

"^agnitudinis motus perpendentur. 

Summatio serierum reciprocarum potestatum parium, quam scripsisti, 
•^Ppirime cum mea methodo eongruit, quippe quae theorematis circa naturam 
*^*^«fficientium versantibus nitititr; ibi lapsu ealami eveniase arbitror, quod 
P*"o summa hujus serici 



1 + 2 • + ^o + r» + ^'*- 



POBXaisti ^TA> c'iöi ea sit ~i-. 



gjj;> cum ea sit qvj- Pro sequentibus potestatibus psiribus calculus 

* non solum prolixior, sed ediam ipsae expressiones perquam tiunt 
*^*^*»3plicata, ita 

*<^x,e 



1 + 2"» + JT* + 4» ^*''- ^ 



9450 

1,1,1,. _ eio 
i -t- 2iö "T 3IÖ "1" ^^- — 93555 ' 



^'-*-i denominatores etiamsi legem teuere quandam videantur. tamen nnme- 
'^^*""t<tre8 per accidens hucusque fuenint 1, nam summa hujus 



m^ I) Die von Eixkii aDgo<lcuteten Artikel üind wohl die zwei Abteihiiigeii der A1>*J 

»^*^*idlmig De viotu corporum cc indcem pcrcuticiitiitm iu dem 1740 bcraiisgcgebenen 

^^■xd 7 („ad annoB 1734 et 1735") der Commeut. acad. sc. Petrop. 
-w 2) Hier sind 9 Zeilen gestrichoD ; wahrscheinlich rührt die Streichung von 

^^ ^Luix 11 Bkünoilu her. 
.^_^ 3) Siehe JonASn II Behnoi'lu, Discours sur hs ancres (l'i&ces qui ont rem- 

-^^^^^rtÄ les prix de l'academie des sciences ou 1737, Pari« 1737, S. 1—32) und 
^J^~* ^^»m. Bbucolxli, ReHexions mr Ia meiUciire figure h donner attx ancren et la meilleure 
^^•■^antere de Ics essayer (Piöces etc. S. 47 — 84). 

Bibliothock Hathemalioa. 111. FoIkd. V. 17 



258 



«. Kn 



^ + 272 + i + etc- 
in numeratore habet 691. 

Potestates impares summare nequeo, nee opinor earum sumnia 
circuli quadratura pendere, omnes autem series, quarum eammatid 
hoc modo inveni, continentur in hac generali 

1 . 1 . l . 1 



1 + 



+ 



+ 



1 



+ etc., 



(_3)n r (4-5)» ' (-7)» ' (+9)» ' (-ll)n 

si quidem n denotet numerum integrum affirmatirum sive parem 
imparem '). 

Dubium qnod circa hanc methodum affers, ntiqne magni est moni 
neque tarn facile demonstratu arbitror aeqnationem illam nullas rm 
imaginarias continere. Interim tarnen regula Newtoni rnillas rai 
imaginarias indicat, unde forte plenaria certitudo derivari posset. At 
haeo ipsa methodus seriem LElBMTianam i 

1 - i + i - etc. 

suppeditet, atqne reliquarum serierum summae, cum iis, qnas jam dia 
per approximationem erui, apprime conveniant, hoc ipsum instar coi 
mationis methodi haberi poterit. 

Praeterea vero alia methodo longe dirersa eandem inveni suml 
hujus seriei 

^ + l + ^ + i^ + i + «*«' 



qoae methodus est sequena. 

f da? f dx l_ /- f ,ix \ü 

At 1 exprimit arcum cujus sinus est x, atque posito post integratic 

f dx 
x == 1, denotabit 1 , quartam peripheriae partem, posito radioi 

.VI — XX 2 
Quamobrem posito .r = 1 erit 

t dx [ dx c* 

1) Siehe die Bemerkung von Eilbk 8. 129—130 der Abhandlung De 
seritmm reciprocartwi ; Comnient. acad. bc. Petrop. 7, 1734/1735 (gedruckt 
lowie «eine Dissertatio aHera dcsnmmii serieriim redprocurum ex potettalibus twme 
naturalium ortarum; Miscell, Borolin. 7, 1748, 8. 172—192. 



Der Briefwechiel zwischen Leonhard Euler und Johann I Bemonlli. 259 
Est vero, ut constat, 

JVTirSi ^^ 2.3 '^ ^2.4.5* +2.4.6.7* ^^> 
qao -valore sabstitnto fiet 

)VT-^^ Jynr^ "" Jyrri^ "^ 2.8 Jyn=i^ "*■ 2.4.5 Jy^r^ + ^^°' 

qui Hingnli termini Bont integrabiles, si vero post integrationem peractam 
ponatur a; = 1, habebitur ieta series 

^ + O + 5:5 + 777 + O + ®*®' 
cujus adeo samma erii -g-; nnde hajas 

1+T + T + Ä + «*«- 

c* 
samma erit y> P'out altera methodo inTeni, neque dubito quin etiam 

aiinili analjsi reliquae Bammae elici queant, etiamsi ego nondum eo 
pertingere potaerim. 

Deniqne non video, cnr ista methodus in hac Serie 

o — < + y <» — y <» + etc. = 

^ absurditatem dedacat. Quamvis enim onica radix t sit realis, tarnen 
"ül impedit, quin samma onmiam radicum ipsius -j- sit — ; atque ita porro. 

Magis cnriosae quamvis minus atiles yidentar summationes serierum, 
^''arum lex progressionis ad terminum generalem revocari nequit, cnjus- 
"»odi est haec 

T + T + "8+l5 + 24 + 26+^**'' 

Z^JUb denominatores unitate aucti dant omnes nnmeros qui sunt potestates, 
**JUb autem summam esse = 1 demonBtrayit Cel. Goldbach noster.^) Ita 
^^ etiam demonstrari^ summam serie 

l + T + T + T + n + «*«' 



1) YgL die Bemerkung von Eulkb S. 97 der Abhandlung Methodus generalis 
r****»»»!«««!» progressiones; Comment. acad. sc. Petrop. 6, 1732/1783 (gedruckt 1738), 
^ ^ie seine Variae obsermttionei drea series irtfinitas; Comment. acad. sc. Petrop. 
» 1737 (gedruckt 1744), S. 160—188. 
j^ 2) Siehe die soeben litierte Abhandlung Variae observatümes etc., wo der 
' 187—188 aufgestellt und bewiesen ist. 

17* 



260 



cujus denominatores sunt oumes nomeri primi, non solum esse infiuil 
sed etiam exprimere logaritlimum hiijus 



Pari modo ostendi') esse 



2 = 



-Q- • ^tC., 



^ ± ^ ± ± 

1 3 ■ 3 ■ 5 ■ 7 ■ 9 
quae fractiones in se mutuo uiidtiplicatae ita sunt coniparatae, ut numi 
tores eint numeri pares, denominatores vero inipares unitate vel maj 
Tel minores numeratoribus, deLnde ut aggregata uunieratorum et deno: 
tomm fractionum singuJarum sint numeri primi 3, 6, 7, etc. 

Sed missis hisce circa series speculationibus novam analvseos in( 
torum partem detexi,-) cujus Tu, Vir Celeb., primus specimen dedisti') 
investigandis cturvis algebraicis, quarum rectificatio a data quadrat 
pendeat. Vocari convenit hanc partem analjsin tnfinitorum indeterminati 
similique modo differt haec analjseos species a jam cognita, quo metho< 
DlOPHANToea ab nlgebra determinata. Hac autem nora nnaljsi tfiles re< 
rontnr fomiularum diiferentialium indeterminatarum determinationee, 
earum integratio vel algebraice succedat, vel a data quadratnra pendi 
ita in problemate a te soluto posita abscissa x et applicata jpdx, requinuj 

valores pro p et a: ut jpdx fiat quantitas algebraica, at l(f.ry(l4-j 

a data quadratnra pendeat. Hane igitnr analyseos partem jam ca 
legibus circumseripsi, atque in ordinem systematicum redegi, ita ot plurf 
problemata alias difficillima Lac niea methodo facile resolvere potueri 

qualia specimina hie jam plura dedi. Pertii 
huc problema, cujus jam ante aliquot annos 
Celeb. Füium Tuum*) mentionem feci, et quo 
ita se habet. Invenire (Fig. 1) duas curvas a' 
gebraicas AM et AN ad communem axem 
relatas quae non sint rectificabiles, sed qui 
rectificatio n data pendeat quadratnra : quae ta 
hoc non obstante habeant summam arcunm 
-{•AN, qui eidem abscissae AP responJi 

1) Siehe S. 180 der auf der vorigen Seite litierten Abhandlung Variat obterratk 

2) Vgl. die Abhandlung von Eri.Kn, De airria rectificdbilibus alffebraieis a^ 
trajectoriis redprocüi algebraicis ; Comment. acad. sc. Petrop. «, 1730/1731 <j;ednid 
1738), S. 169-174. J 

3) Jou. Bkrsoiuj, Methodua commoda et naturalis reducettdi qttadraturas tm 
KendetUes cnjutvis gradus ad longitudines airrarum algebraicarum ; Acta ErnditoM 
1724, 8. 356-366 (abgedruckt in den Opera omnia, T U S. 582—592). 

4) Der erwähnte Brief ist aus dem Jahre 1784 (Original in der faenogl. BiblioUi« 
in Gotha). *" 




Flg. 1. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Eulei und Johann I Bemoulli. 261 

retct-ificahilem. Hujus autem problematis sequentem methodo mea mreni 
sol^itionem.*) Sit q fanctio quaecunque ipsius p; et ponatur 

V(l+i?p) + V(l+23) = -Z^ 

«t i(l+pp)--^(l + qq) = M 

V»reTitatis gratia; deinde inrolvat jPdp eam quadraturam, a qua utriusque 
currae quaesitae rectificatio pendere debet, ita ut ergo q, N, M et P sint 
qu.antitates ex p et constantibus compositae, ex quibus formetur 

Pdp 






L 


'^-Tp \ 




\ 


^dp 

A dp 1 



diff. 



scilicet t aequatnr fractioni, .cujus numerator est Pap, denominator vero 

dM jdN 

est differentiale fractionis, cujus numerator est d— j~ et denominator d—jg) 

P'efixione nimimm signi d differentiale totius expressiones sequentis 
denotaTL Ex data hoc modo quantitate t fiat 

dN \ 



^dp 



***qvie porro 



» dp 



ds 

^dp 



Ex bis denique si sumatur abscissa communis AP, x = j- erit appli- 
*^^^-*:^ cnrvae AM, scilicet PM, 



^. 



pdr 



^^^3lue alterius cnrvae AN applicata PN, 

, = 9äj-_rdq 
dp dp 

^«- e. i. Si rectificatio utriusque currae a quadratura hyperbolae pendere 
**^l)eat, simplioissimas curvas satisfacientes fore reor has: 

1) VgL die etwas einfachere Lösung in der Abhandlung von Eui.kr InvestigaHo 
^**»ionim eurvantm, guarum areus eidem abscissae respondentes sunmam aigebraieam 
^^'oiuHttimt; Comment. acad. sc. Petrop. 8, 1736 (gedruckt 1741), S. 28—29. 



262 ^- BxnTBÖM. 

I. 64oy» = 27a:* 
et 

II. {iae — 8 xxy = 729 a^x*. 

Solutio uutem, quam dedi pro isto problemate maxime universal*' 

est, atque omnes possibiles solutiones sub se complectitur, pariter acTn^ 

Vir Celeb., solutio problematis HERMAXNiani;^) dantur antem alia probl^^ 

mata ejasdem generis, quae hac methodo generaliter boItI non patinntn^^) 

etiamsi iimuinerabiles solutiones particulares dari queant; tale est ^^^ 

requiratur curva algebraica cujus rectificatio a sua ipsius quadratui''^'^ 

pendeat, qua scilicet proprietat« circulus gaudet, hujasmodi carras po^v t 

circulum fucile infinitas erbibere possum, quarum simplicisBima mil^B-^ 

videtur, quae hac aequatione 

, 9 , 5ax , 125 aa . .. 

y' — x^ + -g- + -^g- 4 X }/ax 

exprimitur. Generaliter autem hoc problema latissime patens resolTeBtr~e 
possum: datis quotcunqne formulis differentialibus jpda;; qflx^ rdx; sdx; et:::<s. 
inyenire quantit^tem e, quae in singulas ducta, singulas reddat int^^»- 
grabiles. 

Vale, Vir Celeberrime, meque favore Tue constanter complectere. 

Dabam Petropoli ad d. 27. Aug. 1737. 

14. 
Bernoulli an Enler 6. November 1737. 

Antwort kof Eri.Eas Brief vom 27. Angnst 1737. Original Terloien; Konnpt in der Bibliothi? 9 
der Akademie der Wiasenschuften in Stockholm. Verüffientlicht von BnaTsOM im Bihang tlC -* 
svenska vetenskapsakademieDB handlingar t, Nr. 21 (1880), 8. 15—30. 

Inhalt. Die Preisschrift des Johaxn II BBaiioi-ij.i flb«t die FQr^flanxang de^^ 
Lichtes. — Die Geschwindigkeit des Schalles. — Über den Titel der EcLBschet^^ 
Meehanica, sowie eine Benierkun;; iu betreif des 89. Satzes des 1. Teiles dieser Arbeit«^ 

— Kritische Bemerkungen hinsichtlich der PhoroHomia von J. HcBXAin, sowie d«i — ' 
Prineipia von Nkwt«!«. — Die Pariser Preisschriften der jfingeren BxBxotnxn. — 
Die Methoden um die Summe der reiiproken Quadratzahlen ta finden. — Die Summe 

der Keilie 

J^ , _ 2 I 2.4 2.4.6 2.4.6.8 , ^. 

1 . 2 "•" 1 . 3 . 4 "■■ 1 . 3 : 5 . 6 ■*" 1 . 8 . 5 . 7 . 8 "^ 1 . 3 . 5 . 7 . 9 . 10 "^ 

— liber die Arkustangens- und die Sinus-Keihe. — über die nnbestiminte Infini- 
tesimalrechnung. 

11 Die von .Ion. Bkrnoii.i.i grUist« Aufgabe wurde von Jacob HaBiUHir in den. 
Acta Bruditoruiu 1T1>.) gPKtolU: I1kbm.vnh gab auch daselbst (6MNtibj>roprKi dMor«*»' 
probhmatum iifornftrüftrum in .Wfiit rrml. 17 l!t wfnse aug. a te pnpoBitonm) 1728« 
S. 171 — 183, also \or .Km. Uknnoi i.i i, oino LAsung. — Vgl. hieifiber P. 8t£ckxl, Bei-" 
träge cur FUichruIhforir Vll; Hcrichtp der sSohs. Gesellsoh. d. Wiasenseb- 
«u Leipzig UWi, S 10«, lO.V 



m'Bchen L«onaa,ta Kaier una Johann I Bemoalli. 268 

Viro Celeberrimo atque eximio Leonhardo Eulero Mathematico 
longe acutissimo S. P. D. Johannus Bernoülli. 

Accepi litteras hian novissinias 27 Aug. st. vet. datae, mihi gratissimas, 

et paulo ante Tomos quoque Commentariorum, qui mihi defuerant," 

cum oppre tuo incomparabili Mechanicam tractante pro rpiibup omnibuB 

ingentes gratins refero; de eo postinodiim aliquid dioam, postquain respon- 

dero ad alia quae in litteris tuis habes. Ante omnia gratum fuit Lntelligere 

tibi non displicuisse filii mei Joannis disBertationem de lumine; difticultas 

qoam inrenis in ejus modo determinandi eeleritateni tain luminis quam 

soni qui eandem pro sono dut celeritateni, quam Nechinis iissigiiuvit 

juste utique minorem, quam quae per experientiam deprehenditur. difficultas 

'nqnam ista jam diluitur in ipsa dissertatione, ubi origo ejus rejicitur in 

'<! «{uod fibra sonora consideratur ut linea recta, quae tarnen tanquam coni 

^cutiseimi duplicis in vertice sibi oppositi figuram habens consideranda 

isset, sed quae studio non fuit adbibita, quia talis figurae consideratio 

leducit ad aequationem differentialem secundi gradiis, quae ad difi'ereutias 

ritnas (nt fieri potest in suppositioue lineae rectae) non potuit reduci in 

tappositione figurae conicae, sed simul monuit disaertationis auctor fibram, 

«luae haberet figuram conicam re vera daturam esse vibrationes Buas longi- 

TOdinales proratiores quam dat fibra linearis, id quod per approximationem 

^pe seriei conrergentis reperiretur. 

Nedtoncs, ad reram tarditatis causam non attendens, putarit eam 
consistere in extentione corpusculoruni in ai're per intervalla natantiuni, 
quae concassiones impressas in instanti tranamittant ab uno diametri suae 
*^ctTBiDo ad alterum oppositum, ita ut si cujusqne corpusculi diameter 
ponatur ^ vel -^g iinius intervalli, inde sequatur, iniijorem pro debito cele- 
"tatem (quae per experientiani observetur) prodituram; in dissertatione 
»■ero assumitur corpuscula stdiila infinitiet» mujuB a se invicem distare quam 
"1* longitudo uniuB diametri. Tua, vir celeberrime, Disserlatio de sono mihi 
''°D amplius ad manuB est, neque oninino memini, quomodo se habeat tua 
"öetliodua determinandi celeritatem soni. ') 

Opus tuum mechanicam quod nuper reddituni mihi est a bibliopego 

^''•dissime compactnm, refertum utique est rebuH sublimibus atque arduis, 

*"> ingenio ac sagacitate dignis; at nonduni licuit, uisi perfunctorie tantura, 

_^^ perlustrare. Vidi te mei quoque uliquoties nientionem facere bono- 

"«Cam, id quod urbanitati tuae gratns attribuo. 

Praefixisti tuo operi titulum Mechanicae, cujus rationem reddis in 
r^efatione, sed nescio, annon aptius eonvenisset titulus Dynamicae; vox 
'"^tn Mechanicae jam antiquitus recepta fuit pro indigitandis üb BcientÜB, 

1) 59 Zeilen des Konzeptes liud hier gestrichen (möglicherweiae von Jouamii II 
**»opuj) ond onleserlioh. 



264 



G. El<K8T«dl>. 



n Ke^l 



quae tnvctant de viribus mortuis. qaaram Bcientiarum pars est quae vocat 
Statica; mihi ridetur non temere et citra necessitatem esse mutanda noiiii0* 
atque ad alium sensum alliganda, qnando praesertim suppetont nomicK^ 
Dotioneni noviorem admndura hene sipnificantia. quäle est noiuen Z)ynami«** 
quod Lkibnithts indidit scientiae qnae versatar circa ejusraodi vires, 
ipsae vivae vocantor. Sed hoc in transitu dictum esto. 

Vidi te multum quoque esse in materia quam pertractaveram in 
Lips. anni 1713.') Non dabito. quin omnia bene enucleaveris. laudaa 
pro siuceritate tua, laudas etiani quae Newtoncs dedit in eAdem materi^^ 
sed nihil dicis de ejus erroribus, qnos ibi notaveram et demonstrareraiE^: 
ipseque postea in nova editione Princip. Philos. ex mea admonitione partier:^ 

correiit, nuUa monitoris facta mentione, prolaudabili sc. Anglorum <•»'■ 

suetudine: quosdam errores intactos reliqnit aliosque de novo commism^ 
Perspicacia tua, vir cl., tibi detexit varios lapsus in Djnamicis eosque sat — j 
gravesab HKKMANXocommissos, neque tarnen omnes notasti, quos ego etiii.-»] 
animadverti tam in Commentariis vestris, quam in ipsius Phoronom^'^ 
non dubitans, multo plures adhuc superesse, si tn et ego vellemus stucS. ii 
adhibito in illos inquirere. Bonus Hehmaxnis plerumqne fuit infftriij 
quotiescunque ex connata sna aemulatione paria vel superiora voluit praests^r« 
iis, quae ab aliis ante ipsum inventa faerunt; id imprimis corae cordiqu« 
habuit, ne quid a me prodiret, quod ipsius vires superare videretur. ^M 

Permitte nunc, vir clarissime. ut moneam te amice de errore quociafl 
qni tibi elapsus videtur ex mera inadvertentia ; extat ille in solutione proble- 
matis quam tradis propositione 89 Tom. I pag. 300, abi agitur de de-fi- 
nienda vi centripeta P in orbita mobili, quam perperam invenis exprirx^» 
hac aequatione _^ 

difiTert enira tam in forma quam in valore ab ea quam jam ante 6 circit^^^ 
annos singulari modo calculandi inveni et quae haec est (retentis tic-S^ 
symbolis et nominando ds elementum orbitae immobilis (3f)(m)) 



''-^«'•'x($-Mm' 



ubi vides non ingredi dw ut in tua formula; curiosns itaque detegend 
origineni diversitntis examinari attente totam tnam analvsin deprehendiqn 
errorem latere in his verbis pag. 802 contentis: 

1) JoH. BKH\i>n.i.i, Dt WKitm eorpomm fnmmm, ptndulomm et prctjeclUium 
mtdü» non resixtfntHms et rtsitttnlitnu, $ui^omt« gravitate uniformi et non Niti/br 
ntfiM ad qnodrvi dalum jMNcdim temdtrt, et St mrüt «Kit hue tpeetantibu», de 
ttraHo fmmetriea; Act* Rra<titorum 17tS, S. 77—95, 115—132 (abgedruckt in da 
Oftm omni», T. 1 S. M6-&&8) 




Der Briefwechsel zwischen Leouhard Euler und Johann I Bemoulli. 265 
„El hoc vero perpendiculo cognoscitur vera corporis celeritas, erit enim 



I 



Haec qaippe propositio quam citas ex art. 589 hie non quadrat, quando 
nempe ratio celeritatis angularis in curva vera ad celeritatem angularem 
correspondeutem in orbita immobili non est constans, hoc est quando w 
est Tariabile. Nosti utique veritatem Propos. art. 589 fluere ex notissima 
illa proprietate quod in orbitis immobilibus, per corpora ad centrum fixum 
attracta descriptis tempora sint proportionalia areis sectorum circumcentra- 
liam, sed statim et leri attentione hie patet elementa horum sectorum 
circa centrum C factomm in curva vera non posse esse proportionalia 
elementis tempnsculorum si nimirum w non est constans, nnde male con- 
duditnr, pro hoc casu esse celeritatem in curva vera reciproce proportio- 
nalem perpendiculari dnctae ex centro virium C in tangentem MB: ut 
paucis dicam, in casu w variabilis, vis retrahens corpus a tangente MB 
ürecte non tendit ad centrum C, imo ad nuUum centrum fixum tendit, 
sed Habet, ut ita dicam, centrum lineare, hoc est centrum virium mutat 
locum pro quolibet novo elemento curvae verae, ut autem innotescat, quan- 
^T3i ex iUa vi aliorsum tendente quam ad C redundet ad ipsum C centrum 
Miriam in orbita immobili, id obtinetur decomponendo more solito vim ab- 
'olntam ita ut ejus pars debita dirigatur ad C, quod si nte instituatur et 
Postea calculns dextre tractetur, prodibit mea formula 



r-,aa.x(^.-^,^)). 



'i^iae pro quocnmque casu valet, sive w sit variabile sive constans, con- 

^©Bs quoque ipsam vim centripetam pro orbita immobili, ntpote ad quam 

^*t©nditur supponendo tantum w esse =1, sie enim evanescente motu 

^^'^^tdari coincidit curva vera cum ipsa orbita immobili et formula mea 

S^Heralis abit in hanc 

?i**<ie immediate elucet veritas propositionis Newtoni Princ. Phäos. 44 

•**[ 1 pag. 122 Edit. secunda, quae ita sonat: Differentia virium, quibus 

^^**yus in orhe quiescmte, et corpus aliud in orbe eodem revolvente aequa- 

***r tnoveri possunty est in triplicata ratione communis dUitudinis inverse 

V^Xapponit nempe rationem «; ad 1 esse constantem). Nam si P^ subtra- 

^^tur a P oritur statim 



P-Pi = 2aacxp'~-), 



266 



0. ErsstrAm. 



hoc est, existente w inv^iriahili in triplicata ratione communis altitndii 
inverse. Res est clars ex ibrmula mea, sed demonstrationem NEwroxiana 
propter obscuritat^m non satis bene intellexi. Hkrmaxn'US qui idem 
modo demonstrare voluit in sua Phoronomia p. 97, turpem paralogisnin 
commisit; praeterquam enim quod niülam attentiouem faeiat an «_ 
Tariabile an invariabile, reperiretur per ejus ratiocinium 



P' 



= ( 






fons erroris et paralogisnii in hoc consistit, quod admodnm inepte et f 
decomponit ipsam celeritatem per hg (vid. ejus fig. 45) in duas celerital 
collaterales per hm et mg, considerando hanc per mg tanqaam cir< 
him circa centrum C, quaravis aequo jure circa quodvis aliud Centn 
in recta hC sumtum circulatio considerari posset; praeterea quis unqnt 
sanae mentis Geometra celeritati decompositae cum sit tantuni imaginai 
vel idealis attribuit tarnen aifectionem realem? Quid ei curva vera AIH 
abiret omnino in lineiim rectam, ita ut corpus in illa motum, nuUa 
attractum nioveretur celeritate aequabili, luinon eodem argumento Hl 
MANNiano sequeretur circulantem celeritatem per mg circa centram 
producere vim centrifugam . quae tarnen nuUa esset vel in imaginatio 
tantum existens? 

Sed in hi8"*nimiu8 sum; hoc interim monere adhuc volui, anni 
corrigenda sint corollaria, quae tuae solutioni subjongis, saltem ea qa 
nituntur Propositione art. 589, male applicata ad Casum ubi w est rar 
bite; haec omnia examinare, cum mihi ob temporis penuriam non va< 
examen instituendum tibi ipsi lubens relinquo. 

Gratulationem tuam cum singnlari giiudio, qnod testaris, constimtan] 
ob reportata a filiis meis praemia circa Anchoras proposita gratissi 
animo accepi, tibi quoque ut omnia prospere et ex voto cedant qnae 
cipis, enixe apprecans. 

Qnae de eeriebus disseris sunt omnino pulchra atque acutissimo 
ingenio dignissima; mirifice placet altera tua methodus snmmandi sei 



1 



1 



1 + 4 + 9 + Fe + ^*«' 



quae in hoc consistit, ut statim ponas 

dx 



r dx f dx ^ u c rf-c y 



ex quo post operationes aliquot perrenitur ad hanc seriem 



^+«!8 + + 7!7+«*« 



8" 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I BemouUi. 267 
unde porro fluit 

^+T + y + T6 + **' = -6' 

institui ego calculum et succesBum habui asserto tuo prorsus conformem. 
ffaec altera methodus est demonstrativa adeoque priori, quae procedit ex 
natura radicum in aeqnationibas, longe praeferenda. Ad imitationem hujus 

aüam quoqne inreni seriem eidem ^ aeqnalem nempe hanc') 

J_ a. 2 I 2 ■* I 2.4.6 2.4.6.8 , , ce 

1.2 + 1.3.4 ■*" 1.3.5.6 "+■ 1.8.6.7.8 "*" 1.3.5.7.9.10 "*" ®"''= g' 

Potest esse factum, ut in praecedentibus meis litteris ex featinatione scrip- 

serim ^tt: pro gTä ^B,ec mihi nunc non sunt praesentia. 

Quando dicis te non videre, cur ista methodus nempe prior in hac serie 

a — < + -|-<» — y f« + etc.= 

ad absurditatem deducat, ex eo colligo, te meam mentem non recte per- 
cepisse; volebam enim facere argumentum ad bominem contra enm, qui 
▼eilet condudere in serie sinuum ex arcubus cognoscendorum 

* - A*' + 2X475^' - 23^^' + ^*''- 

contineri praecise et necessario omnes arcns possibiles eidem sinui respon- 
«eates, nullosque alios nee imaginarios nee peregrinos; quamvis re vera res 
'** se habeat adeoque nullam in ea aequatione esse radicem, quae non 
^iquem aroum quaesitum designet, hoc ergo si necessario ex istinsmodi 
^®riebus condudi posset, simili utique modo in altera serie 

a — t + jf^ — etc. = 

^'**elibet radix t daret unam et ab aliis diversam tangentem eidem arcui 
i'espondentem, quod certe absurdissimum foret, quia una tantum tangens 
^'^ arcui respondere potest, quando infiniti arcus communem sinum habere 
J*OSBunt. 

Quae memoras ex nova, quam te detexisse dicis analjseos infinitorum 

**^*i^, sapiunt sane profundissimam meditationem, dignam utique ut ei- 

**lfttur; gaudeo te agnoscere me primum ejus dedisse specimen, alludis 

*tid dubie ad schediasma meum exhibitum in Act. Lips. 1724 m. Aug. 

. ^i ad has tuas speculationes fundamentum posui. Tuo autem opus erat 

^*^emo, tua sagacitate ut inde tam recondita mysteria eruerentur. 

Vale, vir celeb., mihique farere perge. Bas. a. d. 6. Nov. 1787. 

1) Vgl. Job. Bkbxodlli, Summatio seriei l + 7 + -| + ^+ «**■> Opera omnia, 
'^' IV S. 20—25. 



15. 
Euler an Bernoulli 10. Dezember 1737. 

Antwort auf BiiasorLi.19 Brief rom 6. NoTember 1737. Original in der Bibliotholt. der Akade 
>1ar Wisaenscimften in Btookliolm. — AnsxügG veröffentlicht von Exmtik^ii im B i b .1 n r t ! 1 1 1 r c n^ 
vetenskapsakademiens handlingar 6, Nr. 31 (1^0), 9. 33. 

Inhrtlt. Elrwideninp auf die Bemerlciin(fen von Jqhakk Bekkuixli in betrcrt' c-~ 
89. Satzes des 1. Teiles der Meclutnica, sowie dos Titels der Arbeit. — Tber ein 
audcre Stellen der Mechnnica. — Die Summe der reziproken Quadratzalileu und r9* 
von JuiiANN Bebkoixli im Briefe vom 6. November 1737 erwähnten Reihe. — Cb« 
das Oleichgewicht und die Bewef^ng schwimmender Körj>er. — über exxentrisclie 
Zusammenstoßen von Körpern. 

Viro Excellentispimo atque Celeberrimo JoANNi Bersoüixio S. P. D. 

Leonhardus Euler. 

Quas ad ine dedisti litteras. Vir releberrimc, d. 6 Novemb. summo 
cum gaudio accepi et perlegi. Imprimis autem maximas Tibi referu 
gratius, tarn pro benevolo et forsitan nimis benigno. qiiod de opere meo 
ferre dignatus es, judicio, quam pro exquisitissimis annotat ionibus Tuis 
mepum communicatis: enixe rogans atque obse<^raa.s. ut cum vacaverit 
hoc meuin opus attentius perlnstrare, de singulis Judicium Tuum aen- 
tissimum perscribere velis. Tantum enim abest, ut ei qua in re cespituTe- 
rim, errorem sustinere et defendere relim, ut potins correotionem non 
Bolum gratissimo unimo sira accepturus, sed etiam palam testaturus. 

Hoc consilio lapsum, quem in prop. 89 Tom. I deprehendisse es 
Visus, statim etiam antequam rem diligentius considerassem . lubens ol^ 
agnovi atque quibusdam collegis aperui. Sed cum istam propositionem -a». 
attentius inspexissem, inveni casum, quem ego tracto, prorsus diversum mixtä 
esse ab eo, quem Tibi, Vir C'eleb., tnictasse videbar. Non enim qnaero d^-jr« 
vim centripetam, qnae faciat, ut corpus in orbita mobili eodem modoo.^»^ 
movcatur, quo in immobUi ad idem <'entrum attractum moreretur. quoojc»-j| 
casu solutio mea utique erronea esset, cum vis quaesita non ad centrunEBriÄ»- 
fixnm tendat, nisi w sit constans. Hnnc autem casnm evolri in propcf<^ 
94 coroll. 2, ubi expresse notavi, praeter vim ad centrum tendentera S^ ^| 
aliam insuper vim Q requiri in aliam plagam directam, quae non evanescitf-i^BI 
nisi w sit constans. In propositione vero 89 motum in orbita immobiUc«::!' •{ 
tanquam incognitum specto, neque eum leges vis centripetue sequi ponac».cK^DJ 
alioquin enim non invenissem 



ponere debuissem 



'i'» 



a»c 



Der Briefwechsel zwiei-lien l,oonliBril Kuler iiuil .lulmnii l Hinnoiilli. 



269 



Qaaero scilicet in hac propositione vim ad fixum centrum tendentem, 
qaae faciftt, ut corpus in data orbita utcunque mobüi revolvi queat, omissa 
ea conditione, ut corporis motua in ipea orbita centrum reapiciat, et areas 
temporibus proportionales abscindat. Hoc ipsum tarn ex solutione quam 
coroll. 2 elucet, ubi notavi iieri non posse, ut corpus in eadeni orbita, 
si immobüis esset, eodem modo circa centrum revolvatur, nisi to ait 
constans; idem etiam magis ex coroll. 3 colligere licet. Cum igitur ipsa 
propositio requirat, ut verus corporis motus centrum respiciat, et arcus 
teJTiporibus proportionales circa ilhul absolvat, sine ulk haesitatione posui 
^ei-aiu corporis celeritatem perpendiculo M reciproce proportionalem. 
H^aaic antem et sequentea propositiones itleo potissimum adjeoi. ut cum 
'^iffcillimum esset motus corporum determinure, nisi vires sint admodum 
^^Oiplices, nonnullos saltem casus eruerem, quibus niotum rcspondentem 
^'"ii'ilniB magis compositis assignare liceret. 

Quod ad titolum mei operis attinet, agnosco dynamicae nomen esse 
^<^nvpnientiu8, et optarem eo usnm esse, sed tum temporis in mentem 
^jns mihi non venit. 

Permitte aatem, Vir Celeb., ut Tibi ingenue fatear, quid ego ipse 
Quantum mihi etiamnum philautia permisit, in mea mechanica desiderem 
^uod etiam Tute statim et insuper forte plura alia deprehendes, si attente 
^am perlegere dignaberis. Nescio scilicet, qnonam calculo cum prop. 78 
'Xom. I tractarem, eo sim deduetus, ut crediderim nisi directio corporis 
initio projecti ponatur normnlis ad radium vectorem, veram curvam, quam 
corpus describit per calculum non elici; in qua etiam opLnione necesse 
«Bse diixi primam corporis directionem in sequentibus hypothesibus nor- 
malem ad radium vectorem ponere. Ita deleri vellem Scholium 2 huie 
jiropositioni snbnexum, in qtio asserui per calculum prodire curvam 
quarti ordinis, si corpus initio oblique projici poneretur, atque etiam hujus 
paradoxi causam assignare volui. Calculo enim postmodum repetito ellip- 
siü faoile elicui, ita ut prima vice in calculo errorem nescio amplius 
'/Qalem commiserim, qui me in tarn incongruam opinionem tum deduxerit. 
üiterim tamem hinc toti tractationi aliud diimnum non contigit, nisi quod 
per ambages veras projectorias determinaverim, quas brevins et concinnius 
^niere potuissem. Deinde etiam diu haesitavi, utrum projectoria in 
**Xedio quod in duplicata ratione celeritatum resistit, quamque Tu, Vir 
^«leb., primus invenisti,') asymtotam habeat verticalem, prout projee- 
ria HüGENiana in medio in simplici celeritatum ratione resistente, an 

1) Siehe Joic. Bbskoulm, Üeiiponsio ad nonneminis provocalionem, ^tuqut sohitio 
»MMtiontg ipsi ab eodtm propositae de imeniendu Unat curm quam describit projtctitt 
"* »» medio resitUnU; Acta Eruditorum 1719, S. 216—226 ^abgedruckt in den 
<^ifftm omnia, T. II S. 893—402). 



270 



G. ExESTMÖ«, 



secus. Tandem quideni, quasi per transennam cognovi, praeditam esse hssf- 
ciirvam asymtota, sed tarnen ejus distantiani et indolem reliquam defin.^^^ 
non valui; hanc ob rem contentum me esse oportuit in § 951 Tonc*^' ^ 
tantum indicasse istam curvam asjmtota gaudere. Quocirca si tu i»:^^^ 
Vir Celeb., hoc negotium jam oonfeceris, etiam atqne etiam rogo, nt nd^^ 
plus lucis foenerari velis. 

Alteram meam methodum mere analjticam, qua seriei 



l + T + y + f6 + «*°- 

Bumman inveni, Tibi tantopere probari vehementer gaudeo, eamque i' 
alteri longe praeferrem, si pariter ac illa ad potestates superiores acca 
modari posset, quod quidem adhac praestare non potui, etiamsi non 
bitem eam aeque late patere. Tolluntur vero utique hujus methodi e 
priore congruentia omnia dubia, quae circa alteram methodum moveri pos 
Seriei 



d 



Offl- 



'am 



1.2 ^ 1.3.4 ^ 



2.4 



-+- etc. 



Bummam esse 



cc 



1.3.S.6 
o ego quoque jam pridem deprehendi; est enim generalil 

2 



f dx r dx ^ 1 / f dx y 
JVll-««) ]\{l-xx) 2 []^(i-xx)) 



1.2 



2.«* 



+ r^H- 



2.4j;» 



+ 



2. 4. 6.3* 



1.8.6.6 ^ 1.3.6.7.8 



+ etc. 



ex qua posito .r = 1 illa summatio sequitur; et praeter eam plures nli» 

ponendo a; =» -g- ^^^ *= "^Tö ^^^ °™ ~2" 

Quoniam intellezi institutum meum analysin infinitorum indetermi- 
natam excolendi non parum placere, optarem, Vir Celeb., ut Tuas hac*^^ 
de materia profundissimas mcditationcs quae forte nondum publici juris ' 
sunt factae mecum communicares, meque pro iis gratissimum fore existimares. 

Coepi ante aliquod tempns motus corporum aquae insidentium investi- 
gare, methodunique geometricam inveni pro quovis corpore eum situm 
determinandi, in quo aquae insidens aequüibrium servat. Deinde si corpus 
aquae insidens ex situ aequilibrii fuerit declinatum, in motum oscillBtorium 
inquisivi, quo circa situm aequilibrii movetur, eumque tandem recuperat;! 
hunc autem motum non solum similem deprehendi motui oscilIatorio| 
pendula sed etiam longitudinem penduli simplicis assignare possum, quod* 
snas oscillationes iisdem t«mporibns absolrat. Ad istam theoriam conden- 
dam pluribus novia principiis t4im mechanicis, quam hydrostaticis opuSi 
habui quorum veritatem tirmissimis demoustrationibus evici et quae cuml 




'WMbsel EWiBchen Leonbar«! Kater und Jo&ann 

jjrincipio conservationis virium vivarum apprime coDveaiiint. Huec eadeni 

3)rmcipia me etiam quasi niiinnduxenint ad proWema de collisionp corporum 

«xcentrica solvendum, quod mihi Filius Tuus Clar. propoBuerat,^) cui 

•tiam in extremis litteris fundamenta meae solutionis perscripsi *) 

Ego vero imprimis rogo, ut me fevore Tuo et benevolentia complecti, 
atqne Tais exqnisitissimis mcditationibns erudire pergas; qni me Tibi 
omnia debere agnosco et perpetuo agniturus sum. Vale. 

Dabam Petropoli d. 10 Dec. 1737. 



15*. 

Beriioiilll an £uler 1738. 

Tarlorei; dtiert von Bvlkii ig Beinern Brief vom 26. April 1738 („magnopere loetor, probari 
te, <iuae de sitn et mutn corpoTUm aqaae innatuntiam sam medit.itna"). 



16. 
Euler an Bernoulli 26. April 1738. 

Antwort aaf Bukkoüllm verlorenen Brief von 1738. Origin&l in der Bibliothek der Akademie 
r'^iaMnschaften In Stockholm. 

Inhalt. Die Phoronomia von Hxbxakr und die Principia von Nbwtok. — Ober 
1. Teiles der Mecha»ica. — Herhaxrs Beitrag zur unbestimmten 
Qung. — EixEBS eigene Behandlung des Gegenstandes. — über das 
}i«ichgewicht und die Bewegung aohwimmender KOrper. 



Viro Amplissimo atque Celeberrimo Johanni Bernoulli S. P. D. 

Leonh. Euleb. 

Vehementer doleo tantam pecuniae jacturam, quam per decoctionem 
mercatorum es perpessua, nihilque magis exopto, quam ut alia Tibi 
prospere eveniant commoda, quibus dolor amissi tolli animusque Tuus, 
Vir Celeb., acquiescere queat ^) 

nio tempore, quo tractatum meum de Motu conscriiisi, Uermanni 
8olutinnem de motu absidum non examinari,*) nunc autem Te monstrante 
paralogismum facile cognovi. Newtom vero solutionem boc quidem 
tempore de novo examinare non vacat, sed memini me olim eam justam 
etsi obecuram deprehendere; eo minus autem de ea mihi dubitandum videtur, 



1) Vgl. die Briefe dea Daniki. Bersouuj an Eui^kr vom 12. September 1736, 
25. Januar nud 16. MiVrz 17.S7 (Fr».«, a. a. 0. S. 483—434, 437, 489). 

2) Hier sind 19 Zeilen gestrichen, möglicherweise rührt die Streichung von 
JoHAjni II Bkii!)ovi.u her. 

8) Hier sind 7 Zeilen gestrichen, möglicherweise von Johann II BKu.<[ot;LLt. 
4) Es handelt sich um eine Stelle in Hkbhaxns Phoronomia, iieu de tuVifciw et 
9noiibui corporum tolüiorum et /luidorum (Amsterdam 1716, S. 95). 



cum Newtonus per eam primus veritatem ante incognitam elicuerit; r» 
rissime autem eTenire iirbitror. ut veritas ante ignorata per vitiosum ratio- S 
ciuiuni iletegatur. 

Scriptum autera quo Ipse, Vir Celeb., analysin Taam hoc in negotii 
adliiViitam exponis, et quod mecum comniunicare es polliticus, ingenti desi-^ 
derio expecto. Ceterum ipsa mea propos. 89 mihi non ambigua Tidetui^:;_ 
cum pro eo sensu, quo Tu, Vir Celeb., eam primo es interpretatug, neoe^^^ 
sario hanc conditionem adjicere debuissem, ut corpus in hac orbita mobi^.^- 
eodeni modo moveatiir quo in eadem quiescente atque ad idem centru^ _^ 
attriu'tuni moveretur, qiiae cunditio cum sit omissa, cogitatioue supenid .^^| 
non potest. Problematis autem alterius, adjecta in hac conditione, plen 
extat solutio in scquente propos. 94, quae propositio etiam latius pa 
et ex qua plurimis modis virium inventarum decompositiones aüae fa e__ » t /| 
poBSunt formari. 

Hermanni reductionem quadraturarum ad rectificationes corrar — mtia 
algebraiearum, quamqiium est indirecta, tarnen quia prima est, aliis-^r/ne 
magis genuinis ansam dedit, maximi facio; fortasee enim nunquam sol%jt«> 
genuina in lucem prodiisset, nisi HKRMANNiana praecessisset 

En autem, Vir (,'eleb., meam solutionem hujus problematis ex metb.o(}o 
mea Lnfinttorum indeterminata desumta'). Posita curvae abscissa = j;; sit 
applii!ata= j/j(i.r, et itaque ipsa curva = jdx\\l -\-pp), quae igitur form «Ja* 
ita sunt determinandae ut jj)tiz fiat quantitas algebraica et ^dx^(l -{-pp) 
datam quadraturam involvat. Quia in his duabus formulis j: aequaliter 
inest, eas transformo juxta regulas a me diit;i«i, in alias, in qiiibus x fin« t o 
modo aequiiliter inest; ita erit 

ipdx=px — jxdp- 

et 

xpdp 



\ 



Ponatur jam 
et 



\dxy{l +pp) = ^•V(l + pp) - jy(i+py)- 
jxdp = 8 



fi 



xpdp 



iQdq, 



ul>i Jyrfj vel eam ipsam quadraturam, a qua rectificatio currae qaaesii 
pendere debet, exhibet, vel salteui involvit, ita tarnen ut Q sit quantJ 
algebraica pnriter ac q. Ilis positis erit 

X = ''' = «M(i±P^ 
dp pdp ' 



1) Vgl. mit dem tblgenilen die etwaa abweichende Debandluu^ dea l'roblj 
der auf S. 260 Änm. 2 zitierten Schrift De curvis recti/icabilibim algebraici» 
a. 0. S. 103-104. 




Der Briefwecluel swischen Leonhard Ealer nnd Johann I Bemoulli. '273 
nnde oritur 
atque 

et ^^^-«*^^ 



ynocirca currae quaesitae erit abscissa 

~ dQ ' 

*Pplicata 

Qdq (1 - QQ) 



^*<|ue ipsa curvae longitudo 



dQ --35 



'^uae formnlae apprime cum Tuis, Vir Celeb., conveniunt. PoBSum autem 
^er methodum meatn plures alias expressiones invenire, quibus eidem 
!^roblemati satisfit, quarum quae speciem maxime amplitudinis prae ee 
^erunt, ita inveniuntur. Sit abscissa = ^päz; applicata = Ipqdx; erit 
«rcns curvae \pdx^ (l + qq). Jam quantitates p, q et x ita determino, ut 
■fcres formulae integrales vel algebraicae fiant, vel a datis quadraturis pen- 

deant, prout libuerit. In hunc finem omnes formulas ita transmuto ut 

faciam 

^2)dx =px — ixdp; 

Ipqdx = pqx — ^xd .pq 
et ■ 

jpdx V(l + 32) =px V(l + qq) - \xd.p V(l + qq). 

Nunc pono 

Ixdp^r, lxd.pq = s; \xd.pi(l + qq) = t; 

unde oritur 

dr ds dt 

dp pdq + qdp d.p\(l + qq) 

^x aequatione autem 



X>rodit 



ttque ob ar = -j- erit 



dr ds 

dp pdq-\-qdp 

, pdrdq 

dp = -^ ~ > 

dr ., ds-qdr 

ds — qdr 
X = - — 



pdq 
BibUolhec» Mathtmatica. III. Folge. V. 18 



Preterea vero ob 



dt 



erit 



dr 



dp d.p^{\+qq) 



dpdt 



^ ^ dp\(l + qq) 4- 



pqdq 



V(l+'i4) 
quue louo dp Valoren] invenhim Bubstituendo transit in hanc 

dliH +qq) = dr-^qds; 
drd»-f rf<y(dr!» + da* - dt^ 



quae praehet 



a = 



V'd + <2?) 



i<2 - da^ 

drdt-\-dt^ [dr'+di'-dt^ 
dt* - rf»« 



Definitis anteni hoc pacto q et V{1 +33) erit pro curva quaesita abeeisea 

da — qdr 

upplicata 



dq 

qd» — qqdr 



dq 



— «; 



et arcuH curvae respondens 



{d8^qdr ) ^(l+q^ 

dq 



— t. 








Sumendie igitur pro r,s et t quantitatibuB vel algebraiois vel a dat: 
qundraturis pendentibaB, curvae prodibunt, quarum abBcissa, applicata ^^^ 
ipsa curva vel algebraicae erunt vel ab iisdeni quadraturis pendebunt; it- 
ut hae formulae ad infinita problemata buc pertmentia solvenda ain 
idoneae, multoque latias pateant, quam eae quae priori modo sunt inven' 
Hie autem probe notandtim est, id commode usu venisse, quod littera ^ 
ex calculü exceseerit; quod nisi accedisset, solutio boc modo ad finen^^^^^ 
perduci non potuisset. 

Magnopere laetor, Vir Celeb. , probari a Te, quae de situ et moti^^ 
corporum aquae innatantium suin meditatus. Reduxi quoque omnes quae— ^ 
stiones buc spectantes ad puram geometriam; naoi quo corpus in dato^ 
situ aquae insidere qneat, necesse est 

1. ut pars submersa volumine adequetur pondus aquae sibi aeiiuale 

2. ut centruni gravitatis totius corporis, et centruni gravitatis seix 
potius magnitudinis partis submersae in eadeuj recta verticali sint sita, qua« 
quidem ex hydroBtaticis eatis patent. 

Sed haec non sufficiunt ad natationem in hoc situ producendam; requi- 
ritiir enini praeterea, ut vis adsit quae corpus, cum ex hoc situ aliquan- 



Der Briefwecluel zwischen Leonbard Euler unri JnhaDii I Bemoiilli. 



275 



tillvim fuerit (leclinatiiin, in situm pristinum restitujitur, alioijuin enim 
corpus parumper declinatum ex situ aequilibrii penitus subverteretur, 
prouii in bacillo aquae verticaliter insistente evenit. Hanc ob rem in 
quo vis casuj qui quideni iluobus prioribus requisitis jam gnudet, ea vis 
ilet^erminari debet, qua cor])UP in eo aeijuilibrii statu continetur atque in 
euuclem restituitur, si aliquantülum declinetur; haecque vis vel aftirma- 
tiva vel nulla vel adeo negativa esse poterit. Ex quo perspicuum est tum 
dernnm corpus in quodani aeciuilibrü situ perseverare posse, cum vis 
restituens affirmativura obtinuerit vulorem, ex hocque valore firniitatem deter- 
•ni-QO, qua corpus in quoqae aefniilibrii situ peraistit; ita ut lirmitas eo 
Major sit, quo major fuerit vis restituena. Haec nutem firmitas non solum 
ab ixitervaUo centrorum gravitatis totius corporis et partis suhmersue pendet, 
sed etiam ab amplitudine, quam corpus in suprema aquae superficie 
occupat; qnae omnia, maxiniam partem nova, in peculiari tractatu exponere 
eoejii.l) 

Ita cubijs ex materin, homogenen aqua leviori confectus aquae ita 
'-'^Äa.tabit, ut una hedra horizontalem habeat situm, si ejus gravitas speci- 
&c«k vel minor fuerit quam 211 vel major quam 789, posita aquae gravi- 
tat^ 1000. Sin autem cubi gravitas specifica intra limites 211 et 789 
*^oxitineatur, cubus aquiie ita innatabit, ut planum diagonale horizontalem 
sjtTani teneat quocum convenit casus cubi aqua duplo leviori, quem Tu, 
» ii- Celeb., evolvisti. Corpora autem his casibus minime ex situ aequi- 
•*^><>r ii firmo depulsa oscillationibus isochronis pertigi'udis restitui non solum 
^-tt j)recedentibu9 meis litteris aflirmavi, sed simul aigniiicavi me quovis 
ca.su longitudinem penduli simplicis isochroni assignare posse; pro his 
"^o*"« Omnibus expediendis calculus non solum fit non intricatus, sed etiam 
'^iirilice simplex et facilis. Valc. 

Dabam d. 26. ApriL 1738. Petropoli. 



16*. 

liernoulli an £aler Juni (?) 1788. 

YcriarcBt aitiert von Eilkh in seinuiii Brief vom 30. Jall 1738 („Utterae taw ergi« rae bensro- 
Kignui . . . repletae . . . sunt rtidditne"). 




^••tla« 



1) AuB dieser St«llc geht hervor, daB Riler die Re<laktion der Scienlia miralit, 
f^^ bekanutlich 1749 erschien, schon 1738 beRouncn hatte. Der von Fibb (a. a 0., 
^- i'>6) als .anachronisme apparent" bezeichnete L'mstand, daß D.v.mki. Ukk.si>ii,u 



•ob 






•^t» 1739 von der Scitiiliii tmralis eprechen konnte, ist also erklärt — aus einer 



« in EiLKsa Prief vom 20. Dezember 1733 f^oht sogar hervor, daß die He<l»ktion 
•Sctnitia tutvalia damals schon beendet war. 

18» 



-uat\ 



■ Euler an Benioulli 30. Juli 1738. i^^^mä^^^ 

'^ Antwort iiu{ Biciuiui'i.u3 vcrloreoen Bnef vom Jaoi CO 1736. Original in der Bibliotliek 4^ 

Akademie der Wianoicbkllon in Stockholm. 

InluiU. Abhandlungen von Joiiamm und Nikoui-h I Beuioilu für die Comm 
tarii der Petersburger Akademie. — Über die Bewegung von Körpern in 
taderliohen und testen Bahnen. — Die Arbeiten von Hebmaxx und von Jt-i 
Bkbnoilu, sowie von Ei lkh sclbfit auf dem Gebiete der unbeetimmten Infinitesi^^B}^ 
rechnung. — Über das Gleichgewicht achwimmender Körper. — Die Vorarbeiten ,,„ 
Scientia navalis. — Die EixEKSche Preisschrift über das Feuer. — über die ürc^a,<^^ 
der Ebbe und Flut. — Die Summe der reziproken Quadratzablen und der Keihe 

i-iO+l)+iO+i+l)-IO+i+f+4)+«*c. 

Lösung eines speziellen isoperimetrischen Problemes und die allgemeine Ldeung »olel»-^ 
Probleme. 

Viro ExcellentisBimo atque Celeberrimo JOAXNl Bebsocio.! S. P. D. 
Leoxhardus Euler. 

Litterae Tuae esimiae erga nie benevolentiae signis pariter ac profan- ^-'^ 
dissimis meditationibus repletae Peterhofii, ubi minc Aula Imperatoria com— *^^^ 
moratiir, ab Illustri IVaeside nostro nnper, cum ibi essem, sunt redditae,'^''^^ 
una cum Tua problematis de motu corporum in orbitis mobilibus solutione'VC 
atque Nepotie -) Tui acutissimi investigatione summae hujus seriei, 

1 + T + 9 + Ä + ^^ 

His autem litteris acceptis, atque Illustri Praeeidi relatis, quae ad Tpsuc 
pertinere videbantur, Tibi nunciari me jussit, ut scliedulam separatamc«*''*''', 
qua centum Rubelones Te accepisse teetaveris, mittere velis: qnae rer»":«^*™ 
ceterum Ipsius nomine Tibi, Vir Celeberrime, significarem, tnm temporÄ^^cris 
mihi exponere non vacavit, qoia hora instabat Aulam adeundi. Quamobrecxr'^BI 
ad ea quae me spectant. nunc potissimum respondeho. ^| 

Quod igitur primo ad Tuum eitquisitiim schediasma attinet, id staticv: Sr%i 
poet ferias Hnitas in nostris conrentibus producam, atque curabo. t^^*' ^ 
Commentariis nostris inseratur. In hac Tua solutione mirifice niil^^ - * ^ 
placoit, qnod differentiam virinm centripetarum tum pro orbita immobil 




1) Job. Bkbxoiixi, Compendium utMltfseon pro imentione ns centralis in 
wiofci7tfcu«p/an«tonim,Comment. acad.sc.Petrop. 10, 1738 (gedruckt 174T), S.9S— U 

2) NiGoLAr« Bnar-itLU, Inquiaüio in »Htnmam seriei y "^ T "^ \ "^ iÄ"^ ^~ 

i-f ett.; Comment. acad. sc. Petrop. 10, 1738 (gedruckt 174"), S. 19—2*2 

Aus einem Briefe von Nikoi^aih BEUKoruj an Eri.icn vom 13 .Tuli 1742 gebt ber 
(siehe Ftss, a. ». 0. II B. 682), daS die Abhandlung ohne Genelimigung des Verfai 
veröffentlicht wurde. 



Der Briefwechsel zwischen Leonhard Euler und Johann I Bernoulli. 277 

tarn pro mobili a differentiali rationis inter motum ipsius orbitae et motum 

in ea liberasti, quo quidem casu ista ratio ponitar rariabilis; id quod 

evenit, dum alterius vis, quae praeter centripetam requiritur, directionem 

nonnalem ad yim centripetam fecisti. Eo enim considerandi modo quo 

ego sum usus in prop. 94, ubi alterius vis directionem posni ad rectam 

positione datam normalam, ista insignis proprietas minus est conspicua. 

Interim tamen Tuo contemplandi modo perspecto, meas formulas statim 

eo traducere licuit, ut illa proprietas conspiceretur, si enim placeat cum 

mea propositione figuram allegatam conjungere, atque ad coroll. 2 respi- 

cere, quo casus a Te tractatus continetur, quando motus in orbita immo- 

bili a vi centripeta sola proficiscitur. Duas scilicet ibi vires dedi, quarura 

altera tendit ad centrum virium C, estque 

2o»cdp , 2a'c(tc'— 1) , 2a*cqtd tc 

altera vero normaliter tendit ad rectam positione datam 2) C in directione 

MF, estque 

2a'eqdw 
"^ pyxdy 

quibus conjunctis corpus in orbita mobili movetur. Si nunc vis MF 
resolvatur in duas, quarum alterius directio cadat in. M C, alterius vero 
directio ad hanc sit normalis, reperietur ea, cujus directio est MC 

2a'eqzdv) _ 

py*xdy ' 

altera vero, cujus directio est normalis ad üfC erit 

2a^cqdw 
~ py'dy 

Quapropter sequentes duae habebuntur vires corpus in orbita mobili con- 
tinentes, prima scilicet tendet ad centrum virium C, estque 

_ 2a'cdp , 2a'c(te' — 1) 
— p'dy "^ y« ' 

altera vero directionem habebit normalem ad Ulam, eritque 

2a*cq,dv) 

~~ py'dy 
^J»de intelligitur excessum vis centripetae pro orbita mobili super vim 
•'•utripetam pro orbita immobili esse 

2o«c(«' — 1) 

S^i — ' 

l*orgng uti Tu reperisti; sed hanc conditionem adjicere necesse est, ut 
•iteriuB vis, quae praeter vim centripetam requiritur, directio sit normalis 



278 



G. Envniöii. 



ad Tim centripetam. Interim ieta questio tAntum est casns partici^i 
propositionis nieae 94, ibi enim motnm qnemcimqae corporis in 
quifts<.!ent« sum contemplatns. dum in quaestione a Te soluta iste motoi 
ita limitetur, ut tempora sint areis proportionalia, qnamobrem mirum non 
est, si expressiones in solutione ipsius propositionis sint longinsculae. 

Reductiouera Heriia>'M quadraturarum ad rectiticationes algebraicarum 
corvarum non studio atque certa quadam methodo esse inventam, de eo 
qnoque minime dabito, cum problematis aftinibus solvendis minime in- 
serviat. Tua rero, Vir Celeb., raethodns multo magis analysin sapit; 
interim tamen constructiones HnuMANNianae ad symbola revocatae statim 
praebent ipsas formulas Tuas; ex neutra aatem certam hnjnsmodi problematum 
resoirendorum rationem derivare potni, etiamsi atramque magno studio 
sim persecutus. In Tua enim solutione viam non indicas, quam secutiu 

ad formas 



l- et -~ — y, quas pro coordinatis assumis, pertigeris, in qno" 



mm 

lOgfl 

setfl 



tamen meo judicio omnis rei cardo rersatur; si enim alia hujus generiSj 
problemata proponerentur, qois mihi indicaret, enjusmodi forma« pro coor 
dinatis essent assumendae? Qaamobrem jam ante complures annos coepil 
eogitare, quomodo perta et analytiea methodus inveniri queat omnibagj 
ht^usmodi problematis solrendis accommodata, in qua nuUa opus esset 1 
dirinatione: cui desiderato milii quidem satiafecisse videor, meaeqne 
methodi beneficio hujus ipsius problematis solutionem Tibi perscripsi. atque 
studio ipsas formulas Tuas deduxi, eum potissimum in finem, ut non tarn 
*d formulas inrentas, quam ad methodum. qua eas inrenl, attendere 
relis. Praeterea rero jam ante problematis nori multoque difficillinii 
solutionem methodo mea erutam Tecum pommonicavi, qua duas curras 
algebraicas exhibui non rectiticabiles. sed quaruni rectificatio a data quadra- 
tnr« pendeat, quae tamen summam arcuum eidem absciasae respondentium 
habeuit rectifieabilem. Innumenbili« aatem alia atque etiam difticiliora 
problemata beneficio methodi meae resolri, qoae sine ea rix essent 
Bolubilia. 

Qnae de situ corporum aqua« insidentium in litteris postremis Tibi 
BDndaTi, Vir Exrellent.. ea Tibi probtiri eo magis laetor, quo parcius 
haec materia ante fuit exculta. At quas mihi pcrscripsisti de eadem r^_ 
mediiatiooeB profund issiuas, bod satis percipere possom, cujus rei caufl^| 
«sse ridetur. quod nos dirersis modis hvK- argnmentum tractemus, nam 
qoae ego srhpsi. Tibi aliquantum obivuni faisse ex hoc intellexi, quoj^ 
CMitro nagnitudini« aliam triboas ngBifieatioaem atque ^o feci. FateoiM 
aatem attque hoo Tocmbularo minos mm eoMgruum ad id significandunx 
qaod toMmud: intelltg«haai «ÜM vmÜMvm graritatif sen potius inertiae 
partis aqnae immenc.^«*. «i mr« i«la ex malena aniformi constaret. Quq_ 



elisel zwischen L« 



mur nun 



corpi 



igitur himc descriptionem eTitarem centro neque gravitatis neque inertiae uti 

potui, DP verum inteUigeretur centrum gravitatis partis siihnu-rsae, etiamsi 

Wc pars ex nuiteria maxime ditformi constaret, quo casu jdurimuin differre 

possunt partis submersae centrum gravitatis et centrum quod voco magnitudinis; 

atque ob hanc causam hac appellntione hrevitati consiilens etsi minus conveni- 

fnter uti constitui. cum commodior tum nrm occurreret. Quod autem prae- 

cipuum est, memini me non satis dilucide statum quaestionis erponere; 

4Uando enim de situ corporis cujuspiam aquae insidentis quaeritur, tum quae- 

stio hipartita est facienda. Xarnque primo omnes Hitus. qiiibus corpus 

"ijime in aequililirio insidere potest, examinari debent, quos uti satis constat 

't)i comparatos esse oportet, ut et tantum corporis volumen in aqua versetur, 

qtiantum si ex atpia constaret ipsnm corpus pondere adaequaret, et ambo 

Centra tarn gravitatis totius corporis, quam gravitatis partis submersae, 

si ea ex uniformi mat«ria constaret, in eadem recta verticali sint sita. 

*ta imumquodque corpus plemmque plures admittit aequibrii situs, 

9nibus singulis aquae iupiderc posset, si modo omjiia in perfectissima 

4Qiete essent posita, prout baciilus tenuissimus aquae in situ verticali in- 

sistere posset. Secunda autem quaestio versatur in firmitate definienda, 

9^a corpus in dato aequiirbrii situ aquae insidet; fieri enim potest, ut 

JUS in situ aequilibrii positum, quando tantiUum ex eo deturhatur vel 

Be restituat, vel subvertatur; priori casu sitiim aequilibrii firuiuni voco, 

posteriori vero infirmum atque Subversion! obnoxium. Maiimi igitur mo- 

^^nti est quovis aequilibrii situ proposito detinirc utrum is sit Hruius 

"Q infirmus, et quando est ürmus, quanta vi corpus ex situ aequilil)rii 

'**'pul8um restituatur, quam vim seu iirmitatem commodissime metiri videor 

V^T momentum virium restituentium, quando corpus angulo quam niinimo 

•"ßclinetur, ad hunc ipsum angulum ap])licatum. Ita omnis cubus ex 

•öateria homogenea confectus in aqua quideni s«mper aequilibriuni tenefc, 

" «laae hedrae oppositae fuerint horizontales, reliquae verticales; sed status 

"*« aequilibrii non conservabitur, nisi gravitas specifica cubi vel minor 

''^ quam 211^ vel major quam 788 5- Nam si gravitas cubi intra hos 

•^ItBeros contineatur, tum situs iste aequilibrii non erit ürmus, hoc est 

"^nus a minima vi depulsus ex hoc situ penitus subvertetur in alium 

^^^uilibrii situm, qui sit tirraus. Hie obiter indicare sufficiet limitcs hos 

**liume congruere cum iis, qui ex Tuis formulis consequimtur, etiamsi 

*^**» negam hos limites non multum in recessu habere. Qujindo ergo 

ß'avitas specifica cubi intra iimites 211;|, et 788 1 coutinetur, tum cubus 

*tjuae immissus alium aequüilirii situni occupabit; piano diagouali autem 

'^^Orsum verso his tantum casibus aquae insidebit, quando gravitas spe- 

•"'fica cubi inter hos limites 281}^ et 718J continebitur. Quoties ergo 

'5'Qbi gravitas specifica continetur vel intra hos limites 211^ et 281^ vel 



280 



G. EXK.HTR|">M 



inter hos 718f f>t788^, tum neutrn situ cubus »qnae insidet, sed 
caaibiis sitam occupivbit, qua recta diagonaliE ail angulos oppositos duci 
Bihim verticalem tenebit. Simili modo inveni tetraedron reguläre a 
ita tnnatatunim , ut nna hedra horizontali situ ex aqua eiuineat, qaand 
ejus graritas spe<nfica major est quam 512; sin autem levior sit pyrami 
hedrau) horizontalem sub aqua habebit. 

Quae porro de cono recto et conoide paraboUco commemoras a me 
raaxime differnnt, situs enim illi quod hujnsmodi corpora in aqua habitur-3 
esse diois, nequidem proprietjvtibus ad aequilibrium requisitis gauden/, 
cum recta ambo gravitfltis centra jungens non sit verticalis. Qnamris 
autem aUns in istis corporibus detur aequilibrü situs obliquus. tarnen i» 
firmitatem haliebit nullani, ite «t talia corpora nnnquam in aqua ejasjnodi 
situui obliqunm conservarc queant; vehementer igitur dubito nani Tun 
cum AfiCHiMEneis conveniant. Ceterum fundanientnm principii Tai de 
intervjvllo planoriim horizontalium') per ambo gravitatis centr:» dactonim 
non percipio neqtie quomodo id cum principiis hydrostaticie sit con- 
nexnm video: mihi saltem istud principinm ad hunc scopum minus 
aptnm videtur. 

Quo autem Tibi. Vir l'eleb., meam methodum, qua in hoc negotio 
utor, exponara, primo pro dato corpore in situs aequilibrü inquiro ex 

principiis notissimis, secundura qaae tum 
r^ iD debita pars aquae debet esse immersa. tum 

centra gravitatis ambo in eadem recta verti- 
cali posita esse oportet. Quae investigatio 
utique saepius fit admodum difficilis. quando 
situs aequilibrü obliqui desiderantur: nulla 
autem difficultate labornt in sitibus aeqnilibni 
regularibus, cujnsmodi sunt, qnando corpora 
aquae ita immittuntur, ut ambo centra gravi- 
tatis sponte in rectam verticalem eandem 
incidant. Invento autem hac rationo quo- 
cunqne aequilibrü situ, sequenti modo in- 
vestigo ejus firmitatem,*) seu vim qua corpus si 
tantillnm circa datnm axem horizontalem inclinetur, in situm aequilibrü resti- 
tuitnr. Sit (Fig. 2) datum corpus CAEBD aquae in situ aequilibrü insideos, 
cujus pars aquae immersa sit AEB, atque Sectio horizontalis in ipea aqua« ' 





j 



1) Siehe Jon. BEnNorixi, De oorporum aquae insidentium o»eäJaiümil»u, H de 
inrenienda longitudine penduli simplieig n»ciIlatio»ibus illia isoehroni; Opera 
T IV 8. 2?ß-296. 

2) Vgl. Jon, BnutoT.txt, Opera ommio, T. IV S. 293. 




Der Briefwechgel zwischon Leonbard Ruier nmi Johann T Rernonlli. 281 

raperficie fiicta A MBNA, quam brevitntifl gratia Bectionpm aqauo appello. 

iSit porro volumen piirtis siibuiersue AEB= V, ejusque centnim gravi- 

tati», si ex materia homogeneu constaret., in 0. Totius vero corporis 

pondus sit =^ M, ejusque centrum gravitatie situm sit in O, erit ob sitnm 

'"quilibrii recta G vertieulin, atqup V in gravitatem specificam aquae 

iuctuin = J/. Nunc utriini hoc corpus, si secundum datam plagani ex 

iioc neqnilibrii situ minimura deturbotur, sese restituat an vero penitus 

«nm relinquat, aliuniqtie iiequilibrii situm recipiat, hoc modo definio. 

löi iixi horizontali, circa quem Cdrpus inclinando ex situ aeqiiilibrii decli- 

nari ponitur, cuique inclinationi respoudens vis restitucns quaeritiir, dueo 

in sectione aquae per ejus centrum gravitatis 1 rectum pamllelum AIB; 

quam tnnquam axem considero, ad eunique ordinatas orthogonales refero. 

quo fiicto sit AP=x; PJil^y, et F N = z, atque quueratur integrale 

i Cy' + z')rfx per totam sectioneni aquae. Hoc invento erit firmitas, qua 

corpus inclinationi circa axem A B eive paralleluui reluctatur 



I 



-3/(«o+'^q:i5^4 



qtiae expressio') quo fuerit major, eo magis corpus inclinationi resistet, 

^^ si tint negativa, quod accidere potest, qnando punctum G supra 

*^^it, tum corpus inclinatum nou soluni non restituetur sed adeo sub- 

'Crtetur. Simili modo firmitas rcsjyectu alius cujusvis axis A 11 definiri 

'test; at si fuerit inventa pro duobus tantum axihus inter se nornialibiis, 

"*öi firmitatem respectu cujusvis alius axis aestimari licebit. Habeat 

'^''teui firmitas inventa valorem affirniativum atque inclinetur corpus 

"liquantillum circa axem A Jl ex situ aequilibrii, quo facto corpus a vi 

"■^stituente in situm aequilibrii urgebitur, atque aese restituendo osciUatio- 

''M nbsolvet isochronas, prout Tu, Vir Celeb., dudum observosse asseris. 

^^ ego non solum inveni nscillationes istas esse isochronas sed adeo '' 

lODgihidinem penduli simplicis isochroni assignare possuni hoc modo. 

^'liltiplicentur^) singulae corjjoris totius particulae per qnadrata distan- 

''aiTim suanim a centro gr.avitati8 G, atque posito omnium istorum 

P'"odactorum aggregato = M Je - (hujusmodi enim forniam habebit hoc 

*8gTegatum), erit longitudo penduli simplicis iBoehroni 

3FA-2 



Ex his igitiir formulis determinari potest, quonta vi navis omni 



I- 

I 2) Die folgende Angabe iit anrichtig, siehe Eci.kii» Briet vom 20. Dezember 1738 

i "nt"!! S. 2881. 



282 



0. EmuiTRöv. 



:i 



— = M_«3 



inclinationi resistnt, et qiinm celerps perficiat OBcillationes, cum sitnm 
aequilibrii iiniiserit; unde non tantum plurinm rerum quus fabri in 
navibus architeciandis experientia sola edocti observare solent. veram 
rationem assij^nare valeo, sed etiam novas ensque utilissiiuas regolas ad 
constructionem nariura sum assecutus. Quo in negotio non parum 
praestitisse mihi videor, cum ista theoria a nemine adhuc sit tractata,. 
atque adeo omnino ignorata. 

ITaec autem oninia in pecoliari tractatn coUigere coepi, in quo noi 
foluui omnia, quae ad situm aequilihrii, sed etiani quae ad motum. mc 
tusque et situs alterationein a \nribus quibnscunque ortam pertinent, 
certissimis principiis mechanicis seu dynamicis muximam partem nov~ ^g 
sum derivaturus. 

Ceterum etiam atque etiam rogo, ut istas formulas tum firmitat^xn 
situum aequilibrii, tum oscillationes spectantes cum Filio Tue C'e 
communicare velis. 

Pro Tua t*m benevola gratulatione. Vir Celeb., ob trientem praemi/ 
Parisini') mihi adjudicatura debitas habeo gratias, et nescio quomorl« 
iste honor mihi obtigerit; forte enim et casu alia cogitans incidi xja 
qoandam ignis explicationem, in qua potissimum explicni, quoniodo a tu mm 
exigua vi, quae ad scintillam elioiendam requiritur, tarn stupendus mottm c 
tantaque virium ({uantitas proficisci queat. 

Alia utique aestus maris causa mihi assignari non posse ridetu*- ^ 
praeter Newton ianam, cum eae quas Caktksu"» et Wallisiüs dedit, sati- ^ 
aint refutatae. Sed Newtoxis tantum ex sua theoria pleraque aestim:^»-^' 
üone deduxit, cum oalculus fere insuperabilis evadat. Praeterea etiar^^* 
Newtoni'S ad complures circumstantias theoriae suae non satis adtendi^^^ 
qnas mihi ad cjilculum rerocare ticuit, unde si tempus permittet, com -^ 
pletam hujus phaenomeni causam explicare possem. At multo temporie^ "' 
otii(|ue opus est ad hanc qunestionem evolrendam, quae snbsidia vi^^ 
spcrare jwssura.*) 

Inquisitio summae 

1 + j + y + ij etc. 

a r«]eh. NiCOluo BERXorLU mecum rommunicata miriiice mihi placui ^^ 
•t proptei«« nmr^BW^ ago gratias. Stetim ejiim eam abstrusissimae ind^^" 



1) Siehe i)t« AbhandlunK tob Kiism, DiMrrtnhb rfr igne; Pi^ce« qni ont reD 
porttf le« t»rix d* r*rad«(nii* de« soieae** «n I7S8 (Parii l~39i, S. 1—19. 

S) B*kaantlioh h«t Kiu« i<i«M«i G«t — * a a d «pUer in einer ron der Parii 
AkadecDk der Wineti*chkft«u im Jehi« 1*40 «•krialea IVeieechrift Sur k flux 
r^hur d* la M«r behandelt. 




Der Briefwechsel zwischen Leonhard Eulei und Johann I Bemoulli. 



283 



gl XX 18 esse intellexi, cum per tot serierum transmutationes tandeni ad 
a«<i nationeni differentialem secundi gradus perveniatur, cujus resolutio 
dosideratum valorem praebet. Considerans autem hanc maxitiie ingeaiosara 
in^thodum, inquirere volui, an non immediate ex serie 

4-4(i+4)+i(i+;-+;;)-i(>+^+i+i)+*.- 

sine tot transmutationibus, summa reperiri posset, id quod mihi successit 
sequenti modo. 

Pouatur 

'{utppe quae series posito x= l abit in propositam. Differentialibus 
igituT sumtis habebitur 



^ 2dx f 



dx 

1 +ara;' 



*^sito nunc arcu circuli ^ s cujus tangens est x, existente radio 
1, erit 

y = I2sfis = SS. 

*^"t J = 1 , abibit s in octavam periplieriae partem seu deuotante p : l 
^^^i«nem peripheriae ad diametrum, erit 



= ^ atque y 



\^m 






aino uti acutissimus Nepos Tuus invenit. Videbis autem, Vir Teleb., 

-■thodum hie a me usitatam seritTum summas a priori investigandi satis 

*« concinnam atqne latissime patentem; extat ea jam impressa') in 6** 

»510 C'omment. nostr.; quem tomum quam primum erit abaolutus, una 

^*»3i quinto Tibi statim sum missurus. 

Proposuit mihi nuper Filius Tuus Clar. istud problema,*) ut inter 



O 



li Biehe die Abhandlung von Yavxxm. MtlhoAyts generalis summandi progrestiont»; 
*>»nnjent. acad. sc. Petrop. 6, 1732/1733 (gedruckt 1738), S. 68—97. 

2) Vgl. die Briefe des Dasiki, HsuNorixi an Etruca vom 12. September 1786 und 
^- Mai 1788 (Fi'BH, a. a. O. U S. 435, 448). 



284 



(t. Kkkütkmx. 



omnes curvas igopprimetraB ea deterniin«tur, in qua Jr" rtfs esset maxi 
Tel minimum, \ibi r radium osculi, s vero arcum denotat; qaod problei 
eo difficilius censebat, quod per niethoduni isoperimetricam resolvi ne^iaeak 
ob differentialia secundi gradus, quae in r insunt. Inreni autem ofl 
aliquot annos novam metbodum hujus generis problemata solvendi, qn» 
ad differeutialia cujusque ordinis est accommodata; ejus ope hanc proble 
matis propositi inveni solutionem^), ut curvae quaesitae natura exprimatur ha 
aequatione 

Ar + By + Cs = (m + 1) Jr'"rfs, 



1^ 




in qua .r et j/ denotant coordinatas orthogonales quasrunqne seu in q 
cunque axe acceptas, quam ob causam sine ulla restrictione vel A vel i 
poni potest = 0. At si C fiat = 0, tum aequatio 

AX + By^ (m + 1) Jr»'rfÄ 

praebebit curvam, quae inter omnes omnino curvas iisdera terminis con 
habebit jr"'ds minimum. Hoc casu si fiat fM = 1, cnrra fiet c 
ordinaria, quae ergo hanc liabet proprietatem, nt in ea sit jrdx niiniman 
At hoc casu Filius Tuus dissentit, negatque pro hoc casu cycloitlem satii 
facere,^) etiamsi ipsius aequatio prioris problematis, quam eo casu 
est «« = 1 mihi perscripsit, cum niea apprime consentiat. 

Ilujusmodi autem problematum solutio mea in genere ita se habt 
Invenienda sit inter omnes omnino curvas iisdem terminis coniprehej 
ea, in qua JZrfj" habeat maximum minimumve valorem. Sit autem x 
Bcissa, y applicata, atque 

(iy = pd.T; dp = qdx; d^ = rdx; dr = sdx etc.; 

ope quarum substitutionum ex Z omnia differentialia exterminari poter 
cujuscunque etiam sint gradus; hoc autem facto differentietur Z, sitqi 

dZ= Mdx + Ndy -\- Pdp + Qdq + Rdr + Sds + etc., 



1) Siebe die Abbondluof; von Eixkk, Solutio problematis a celeb. Das. Bti*»-oi 
propositi; Comment. acad. sc. Petrop. 10, 1788 (gedruckt 1747), S. 164—180 

2) Diese Bemerkung; Ton Enjni ist scbwer zn verstehen, denn in dem zitii 
Briefe vom 24. Mai 1738 SAgi r).*NTKi. BKBNon.t.i (siehe Frss, a. a. 0. S. 448): , 
aber conditioni httjas problematis die aequalitas perimetri dasugetban wird, ao 
ich diese aequationem, posito ds constanti, 

iBdS 

quae est ad cycloidem, si fiat n = 0'. 

3) Siebe die Abhandlung von Erua, Curvarum marimi minimiife 
gaudentium invmtio nova et facilis; Comment. acad. so. Petrop. 8, 1736 
1741), S 159-190 



Der Briefwechsel zwiechen Leonhard Euler und Johann I Bemoalli. 285 

onde faciUimo negotio aequatio pro curva quaesita formabitur haec: 
. „ dP , ddQ d'R , d*S . 

At si in Z non solam differentialia, sed etiam integralia contineantur, 
pro ejasmodi casibus peculiarem adeptus sum solutionem, qua pariter 
statim Bine ulla figaramm descriptione aequatio pro curva quaesita facillime 
formari potest; hocque modo id genus problematum quae vulgo 8ub 
nomine iBoperimetricorum compreheudi soleut, latissimo sensu atque singu- 
lari facilitate solutum dedi, ut nihil amplius in hoc negotio hacque 
analyseos parte desiderandum rideatur. 

Sed ne Tibi tarn prolixe scribendo molestus fiam, litteris hisce finem 
imponam, me meaque omnia Tibi, Vir Celeb., submisse commendans. 
Vale, Vir Excell^itissime, meque amore prosequi non desine. 

Dabam Petropoli d. 30 Jul. 1738. 

17». 

Bemonlli an £uler September (?) 1738. 

Teriora; dtiert von Eclsb in seinem Brief vom 20. Dezember 1738 („oom Utteras Taas 
I'OBtreoua es omni capite gratiwimas aooeplssem"). 

18. 

Enler an Bemonlli 20. Dezember 1738. 

^. Antwort auf BBB«om.us Terlorenen Brief vom September (?) 1738. Original in der Bibliothek 

^^ Akademie der Wiasensobaften in Stockholm. 

Inhalt. Die von Johans Bkbhoclu in AuBsicht genommene Arbeit über die 

^y<lranlik — über die Herausgabe der Commentarii der Petersburger Akademie. — 

'*«i den Inhalt des Evunschen Tentamen novae theoriae musieae. — über die Beendigung 

^^ Scientia navaiis und AnfschlfiBse über den Inhalt der Arbeit. — Über die allge- 

J^^ine Lösung isoperimetrischer Probleme und Aber das im vorhergehenden Brief 

*liwidelte Problem. — Eine merkwürdige Eigenschaft der elastischen Kurve. 

Viro Excellentissimo JoAirai Bernoülli S. P. D. 
Leonakdüs Etiler. 

Cum litteras Tuas postremas ex omni capite gratissimas accepissem, 
**^ox occasio se obtulit. ^) 

Quamobrem Te nomine Academiae rogare jussus sum, ut novam et 
^comparabilem theoriam de motu aquarum sine ullo temporis dispendio 

1] 71/2 Zeilen sind gestrichen, ohne Zweifel von Eci.eb selbst vor dem Absenden 
^*i Briefes, wie »ua seinem folgenden Brief ersichtlich ist. 



286 



6. EmuTBöM. 



dete- 

J 



ad nos transmittiis ') eumque vel per Filium Tuum Celeb. Tel directe hnc 
expedias, atque ad lUuBtr. Praesidem nostrum dirigas. Ego enim resti- 
tulionem sumtuum non fucile obtineo ab Academia, eo quod in t«di 
commercio pro litteris ud Praesidem directis nequidem portoriam postu- 
lator. Maxime autem desidero Tuas nieditationes hjdraulicas perlegere, 
cum ego jam dudum imperfectionem . qua haec doctrma etiam nunc trac- 
tari seiet, cognovissem, ac frustra omne Studium in genuina methodo dete- 
genda collocasseni. Quo magiß ergo impedimenta in hac re perspicio, 
majorem utüitatem es Tua theoria capere spero. 

Ceterura solutionem Tuani succintam problematis de motu corpor 
in orbitis mobilibus,*) pariter ac Filii Tui t'eleb. dissertationes ') nobiscun 
communicatas in conventibus nostris praelegi, ex quo mox Commentariif 
nostris sunt insertae; speramus autem residuos tomos omnes sequenti annc 
prelo committere atqne absolvere: jam enim finitus est tomus sextus 
continens annos 1732 et 33, et reliqui quinque anni in tribus tomis com- 
prehendentur; ita ut in posterum finito quoque anno mox tomus Comment. 
publicari queat. Ne autem uni tomo quotannis adimplendo materia desit 
invitandi sunt exteri Academiae sodales, ut suus meditationes communicent 
inter quos maximam fiduciam in Te, Vir ExceU., Filioque Tuo Oleb. oM 
locamus. Proximo autem vere ad Te mittentur opera nostra quae tun 
erunt psirata, Tibique adhuc desimt. 

Initio sequentis anni Tractatua *) Musica quem 

ante aliquot annos conscripseram^) prelo committi 

genuina harmoniae principia detexisse mihi videor: egregie enim 
suggessit tam cum musica veterum quam hodiema congrunnt .... 
BcUicet sjstema sonorum diversorum omnium ad harmoniam quandam 
ducendam idoneorum sub termino quodam generali comprehendi oporte 
cujus singuli divisores ipsos sonos systematis exliibeant. Ita iste ter 



1) Die betreffende Arbeit des JouAsif Büksoi-lli wurde in Ewei Abteilnngeaj 
EcuEK gesandt, die erste am 7. TAin 1739, die sweite am 31. August 1740 
Fls«, a. a. 0. U S. 1», 42). 

2) Siehe oben S. 276 Amu. 1. 

3) Ohne Zweifel handelt es sich um die rwei Abbandlungen de« 1 
Bersucxu: Commentationeii ile immtitatiotui et extensiont principii conKrtutioni* «irwil 
virarum, quae pro motu corporum coelettitim requiritur und CommentatKmet de st^ 
aequilibii corporum huniulo vitritkntium in den Comment. acad. sc Petrop. Si 
1738 (gedruckt 1747). S. 116-124, 147—163. 

4) Das Papier des Briefes ist oben beschädigt, so daß Teile von Fünf Zeilen feb 

5) Über das TeiiUimen nocae thtoriae mtmoie yg\. Ei luis Brief an Jon. Bcssoa 
vom 25. Mai 1731 (Biblioth. Mathem. ig, 1903, S. 383—386). 



Der Briefwccheel zwischen Leonharri Kulor uml JoIiiidii 1 Donioulli. 



287 



generalis 2". 3*. 5, est exponens generis diatonici Ptolkmari, ejus enira 
lUvisores omnes intra rutionem 1 : 2 content! dant sonos hujus generis 
iinius octavae intervallum replentes. Divisores enini simjilices neglecta 
liinarii potestate, quae sonos tuntum nnn plurihnsve octavis elevat, Bont: 

1; 3; 3«; 8'; 5; 3.5; 32.5; 3'. 5; 

i)iionim singuli per ejasniodi binarii potestates multiplicati, ut intra rationem 
duplttm cadant, sequentes praebebunt numeros sonos generis diatonici sin- 
gulos exponentes 

96: lOK: 120: 12H: 135: 144: IßO: 180: 192. 
C: D : E : F : /'«: G : A : H : e . 

quod systema a recepto non differt nisi quod hio ingrediatur Bonus Fs, 
qui omitti est solitus, quo quideni theoria nü turbatur. Generis vero usu 
nunc maxime recepti diatonicn-rliroraatici 12 sonos intervoUo unius octavae 
continentis observavi eiponentem esse 2". 3'. 5^, cujus sunt duodecim 
•urisores simplices 

1; 3; 3«; 3''; 5; 3.5; 32.5; 3». 5; 5«; 3.5»; 3». 5»; 3». 5«; 

l*^' per binarii potestates in iinius octavae intervallum reducti, sequens 
'^'*oiijit Bonorum systema 

^'-3: 2*. 5«: 2« 3»: 2.3«.5>: 25.3.5: 2«.l: 2«. 8». 5: 2«. 8«: 



884; 



40O : 432 : 
Cs : D : 



450 
Ds 



480 
E 



512 
F 



540 
Fs 



576 
O 



2».8.52:2'.6:38.5» 



600 : 640 : 
Gs : .1 : 



675 
B 



2«. 82. 5 
720 

H . 



I 



**aeqne sonomm proportiones t«m exacte cum iis^ quae a novissimis 
_ ^sicis practice sunt stahilitae, conreniunt, ut unicus sonus li aliquan- 
*^ÜUm discrepet; solent enim ponere rationem A : B ni 25 ad 27, cum 

*^^*" theoriam sit ut 128 ad 135. (iuemadniodum autem totum sonnrum 
^stema exponente exprimi potest, ita quaebbet cunsonantiu hoc modo per 
*Ponentem repraesentari atque ex exponente suavitas consonantiae diju- 

^*Cari potest; quae omnia in tractatu brevi prodituro abunde eiplicari et 
**«Uon8trayi. 

Nunc etiam ad fiuera perduxi tractatum de situ et motu corporum 

|Uae innatantium quem, quia ad naves potissimum omnes meditationes 

'^'^exi, Scientiae navalis nomine insignire placuit; ex quo nonnuUa, quae 

'^'i situB firmitateni aestimandam spectant, atque ad motum oscillatorium 

''efiniendum Tecum, Vir Celeb., eommimieavi. Minime autem principia illa 

"ydrostfttica trita commemoravi, quasi Tibi essent incognita, sed euiu in 

"Hern, ut indicarem ea non sufficere ad firmitatem dijudicandam: quo enim 

•^♦irpus talem situm eonscrvet, neque ii miniuni vi de eo deturbetur, aliud 



388 



6. EWKATRÖII 



qnid insuper rei|uiritur, qnod ürmitHteui appello; (]uae in casu ante per- 
scripto mihi est 



m(go 



+ 



l'}l*-\-**<dx\ 



3K 



cujus exprossionis ratio ita se hal)et, nt ea, ei corpus angulo infinite pairo 
(iw circa uxem LUuiii horizontalem, ad quem fnrniula est accoramodatn. 
inclinetur, per hunc ipsum angulum niultiplicata praebeat momentura Tiriuni 
corpus in situm aequilibrii restituentium. Hacque circumstantia arbitrur 
omne dubiuni, i|uod circa hanc formulam movisti. sublatum iri. Ceterum 
utique lapsui culami est adscribendum si dixi singulas corporiti particulos 
per quadrata distantiarnm suarum a centro graritatis multiplic^ri del)ere, 
cum distantiae ab axe illo horizontali per centrum gravitatis ducto, circa 
quem oscillationes peraguntur, computari debeant. Quod denique ad aiem 
illum attinet, circa quem corpus vel osciUationes conficit. vel se in sltuni 
nequilibrii restituit, is perpetuo situm habet horizontalem et per centram 
gravitatis transit, interea autem centrum gravitatis recta vel a8<'ender* 
vel descendere poterit ita ut semper debita portio aquae maneat submer»**- 

Quae scripsisti. Vir. Geleb., de cono et oonoide parabolico. ea c:»lcii^* 
repetito rectissime se habere deprehendo. atque errorem in examine primu*^'*' 
instituto mox animadverti; non solum autem situs ae<juilibrii obliq 
a Te assignati debitis proprietatibus gaudent, sed etiam semper firmitate 
habent, nisi respectn axis majoris in sectione aquae, cujus respectn tinnit^^ 
cvanescit, id quod etiam rei natura declanit. cum ejusmodi corpus b 
mutationi, qua axis corporis inclinatio ad horizontem non afficitur sed 
aliam tantum regionem urgetur, non reluctetxir. 

Ceterum in ipso tractatn meo non adeo soUicitus fui in sitibus aeq 
librii obliiinis pro quoque corpore investigandis, cum omnia ad naves p: 
cipue direxerim, in quibus aequilibrii situs debet esse erectus et spon 
datur. Theoria autem Filii Tui, quam de hoc eodem argnmento nobiscta 
commonicavit, mirifice cum meis consentit, et insignee quasdani propra 
tates observavit. quas ego non annotavi, quamobrem non dubito qua 
ipsius theoria de oscillationibus cum meis penitus sit consensora. 

Qqm scripsisti de oscillationibus verticalibus ^) maxime sum admirat' 
praesertim propter simplicitatem expressionis et insignem usum, quem 
explorandis navium pondcribus pniestare possunt. Veritatem principii 
de minima distantia inter nmbo centra gravitatis utique agnosco, nei 
tarn de ejus veritate quam sufficientia ad sitns finnitat«m delinienA- *^^^ 
dubitavi atque etinnmum dubito, cum firmitas non solum a positi*:^^-*^ 
horuni centronim sed etiam a sectione aquae pendeat. Ex fundam^'^»^^"— 

1) Tgl. Jo«. BaairoittLi, Op$m amtia T. IV S. S»4— S9«. 



"I 



•fce 

in 






Der Briefwechsel zwiBchen lyconhard Euler uml .lohnnu I Rernoiilli. 



289 



atcfeecn, quo istud principium nititur, scilicet ut commuue corporis et aquae 
ceii.tnrum gravitatis locum infimum petat, puto explieari debere, cur naves 
LH Kxiari agitato per iintlas motu iicceltTato ascendant, retardato vero de- 
BcexidaDt; cujus phenomeni causa mihi sirailis videtur illi, qua levia corpus- 
cul» aqua« in vase (juodam contpntae inuatantia ail latera accedant, si 
c^ixid^'m aqua ad latera magis sit elevatsi, sed de hujus generis principiis 
hiydx-ostaticiB, quando aquae superficies non amplius est horizontalis, nil 
c«i-ti adhuc statuere valeo. 

Qnod ad formulam meam generalem pro problemate isoperimetrico 

a.t^'fcuaet, ea rectissime se habet, atque amboB casus a Te aUegatos utique 

Br»l> sc complectitur: substitutiones 

f/y = pdx, dp = qdx, etc. 

ideo tantum facio, ut speciem differentiulium tollam; non autem quasi in 

lia<5 substitutione novitatem vel aliud mysterium latere putarem lUa qui- 

dem formula, quam perseripsi, latissime patet, attjue non solum ad problema, 

«(uo curvae propositae sunt ejusdem longitudinis sed etiam si quaecunque 

propriet«tes vel una vel plures iis sunt commnnes, est acconimodata: quando 

autem inter omnes curvas isoperimetraa ea postulatur, in qua sit jZdx 

maximum vel minimum, existente Z functione quacunque arcus s, abscissae x, 

appliuitae y, et quantitatum 

dy <*?__„. ^9 

dx 



dp 



dx 



=^ r, etc. 



Erit igitur Z quantitas fiuiüi nulla differentialia saltem specie talia in se 
continens, sed quautitates tiinfuui finita.s *', ;r, y, p, q, r, etc. Quare, si 
'»wictio Z differentietur, habehit dZ ejusmodi formam 

Lds + Mdx + Ndy + Pdp -f Qdq etc. 

**5 quiintitates, L, M, N, P, Q etc. erunt cognitae. Ex his vero sequens 
P'o Gorva quaesita mihi invenittir aequatio 



^(i-^PP) ^a+pp) 



ILdx + Ndx _ dP + -^ _ *^ + etc., 



*" tiua solutioue non snluni ambo Tui casus continentur, sed etiam Filii 
•*' quaestio de radio osculi. Sit enim Z functio solius arcus s, evanescent 
''"«Uititates M, N, F, Q etc. eritqne 



Ad. 



**** integrando 



va+pp) 



n^+pp) 



ILdx 



A-\-B 



Va+pp) 



iLdi 



Bibliotbeok lliiUienwUos. UI. Folge. V. 



19 



qaae differentiata 



umle fit 



et 




Bdp 



Ldx 



V'i + Pi»)' 



PF 



lLds=^Z=C-\- 



B 



du 



quore cum sit p^ 4' , orietur haec aeqnatio pro curra ciuiiesitu: 

(Z— (J)dy = Bdx. 
Simili modo si sit Z functio quuecunque applicatite y, erit 

dZ^Ndy 
evanescentibuB L, M, P, Q etc., habebitnrque haec aequatio 



Ad.-^'— = Ndx=-^^,. 



Ndy 



Ndy~ 



'<pdp 



et 



ita ut Bit 



(l-\-pp)i 



iNdy^Z^ B- 



V(1 + PP)' 



Adx'^'dsiB — Z). 



Hocque modo omnia problemata, qaae in hoc geuere propoui possuia 
resolvere licet, etiamsi difiPerentialia seciindi gradus, altioramre in Z insii 
At ei differentialia secundi gradus insint, reperitur immediate aequati 
differentialis quarti gradus, quae ob quatuor coDstiintes in iutegrntiüi 
ingredient^s, non per duos t«rrainos, per quos cnrva transeat, sed per quf 
tnor demum determinatur: cujusmodi est problema Filii Tai, qaod mil 
omnino determinatum videtur, si curviie quaesitae vel quatuor puncta, v« 
poeitio tiingentium in terminis curvae detur; quod problema ope ejusdei 
canonis resolri. Cum enim sit radius osculi 



(1 + p')Tdx (1 + py 



ab 



dp q 

3^^ g; et elementum curvae ds-^dx\(l -^ pp), habebitur ista ex]>rei<s 

3 m -t- 1 



JO 



Der BriefwechBel zwiBchen Leonhard Euler und Johann I Bemonlli. 291 
maxima minimave efficienda; eritque 

8m+l 
iö «^ — > 

9" 

uüde ad meam Bolutionem sum perductus.') 

Observayi nuper insignem elasticae rectangulae proprietatem, in qua 
si abBcissa pouatur x, est applicata 

XX dx 



1* XX 

~JvV~-a^)' 
et longitado curvae 



1* a'dx 
jV(a« — X* 



quae expresaiones ita sunt comparatae, ut inter se comparari nequeant. 
^^ si abscissa sumator => a, inveni^) rectangulum sab applicata et arcu 
compfeijjeQgQjQ aequale esse areae circuli cujus diameter sit abscissa ^ a; 
9Qae obserratio mihi quidem notatu maxime digna videtur. 

Damnum denique ex decoctione mercatorum quod es perpessus ex 
*»imo doleo. 

Vale, Vir Celeberrime, meque favore Tuo amplecti non desinas. 

Dabam Petropoli d, 20 Decembr. 1738. 



1) Vgl. die Abhandlung von Eulkb, Solutio probkmaiis ctymdam a cekb. Da«. 
^"»xocuio proposüi; Comment acad. sc. Petrop. 10, 1738 (gedruckt 1747), 
®- 164-180. 

2) Soviel ich weiss, hat Eulbb diesen Satz zuerst am Ende seiner Abhandlung 
^^eoremata circa reduetionem formuJarum inUgraKum ad circuli quadraturam (Miscell. 

^®*olin. 7, 1743, S. 129) veröffentlicht. Früher geschrieben war vermutlich die Ab- 
^^Qdlnng De productis ex infinitia factortbtu ortia (Comment. acad. sc. Petrop. 
■•^l» 1739 [gedruckt 1750], S. 3—31), wo der Satz S. 11—12 bewiesen wird. 



19» 



292 



Fkijx Müm-kk. 




Das Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 

1869—1904. 

Von Feux Müllku in Friedenau- Berlin. 

AiJüBlich des Entschlusses des Herrn Emu. Lvmpk. die Hedaktin 
des Jahrbuches über die Fnrtsehritte der Mathematik biildniiiglichi 
jüngeren Kräften anzuvertrauen, hat es der Herausgeber der Bibliolhec 
Mathematica für angebracht gehalten, den Lesern einen kiinsen historischei 
Rückblick auf die Entstehung und Entwickelung dieses sehr verdienst 
liehen Unternehmens zu biet«n; er hat mich darum ersucht, einen solche] 
Artikel für seine Zeitschrift zu redigieren. 

Es war im Dezember des .lahres 1860, als mein lieber Freund un 
Kollege ('aul Ohktmann mich aufforderte, ihm bei der Begründung eini 
Zeitschrift behülflich zu sein, die nach dem Vorbild der Fortschrit 
der Physik eine systematisch geordnete Übersicht über alle neuen E 
Bcheiuungen auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften zu gel 
bestimmt sein sollte. Begeistert von dem l'lane, überzeugt von der C 
entbehr! ichkeit eines solchen Unternehmens, die Schwierigkeiten, die si< 
der Ausführung desselben entgegenstellten, nicht ahnend, sagte ich n» -^ 
Freuden meine Hilfe zu Die nächsten Weihnachtsferien benutzten w-i^-^^^ 
dazu, da» im Jahre 1868 erschienene Material zu sammeln und systematisc I*-»-** 
zu ordnen. Die Titel der Einzelwerke enioiahmen wir dem Buchhändler- — ''*" 
Börsenblatt und einzelnen damals noch recht dürftigen Bibliogr:»phien 
Die Zahl der Zeitschriften, aus denen wir die im .Jahre 1868 erschienenen 
Artikel auszogen, betrug 78, unter denen 24 deutsche, 18 französische, 
12 englische und 12 italienische. Hätten wir gewußt, daß schon damals 
die Anzahl der Zeitschriften mathemati.schen Inhalts ca. 350 betrug, so 
hätten wir vielleicht ganz und gar Abstand genommen von unserem Vor- 
haben, aus Furcht, daß unser Jahrbuch gar zu unvollständig wurde. Einen 
TeQ dieser Zeitschriften mußten wir durch Kauf erwerben, andere wurden 
uns im Lesesaal der Königl. Bibliothek und der K. (rewerbeakademi 



^Mi 



Jahrbuch über die Fortgehritte der MBthematik 1869 1904. 



293 



Verfügung gestellt. Besondere dankbar erwähnen muß ich die Unter- 
stützung des inzwiselifn vcrsturiteneii Hibliothekiirs I'kitzei,, eines Bota- 
nikers (die Königl. Hililiothek zu Berlin hatte damals noch keinen Mathe- 
matiker unter ihren Beaniteu). 

Aber nicht nur Titel wollten wir in un.serein .liihrbuehe geben, sondern 

Referate. Deshalb wandten wir uns an eine große Zahl von Mathematikern 

mit der Bitte, das Jahrbuch durch rberuahme von ifeferaten zu fördern. 

Der gröBte Teil der älteren Herren gab uns — wie wir vorausgesehen — 

••ine negative Ajitwort; doch versicherten sie uns ihres lebhaften Interesses 

un dem von uns gegründeten liöclist verdienstlichen l.'uternebuien. Diese 

ganze Korrespondenz war psychologisch interessant und lehrreich. Ein 

giinz junger Privatdozent wollte erst seinen Lehrer KrMMKi; fragen, ob er 

Beinen Namen zu einem solchen Unternehmen bergeben dürfe. Einem 

Hnilem ließen die Fülle seiner neuen Ideen keine Zeit, sich mit den Ge- 

lianken anderer Mathematiker zu beschäftigen. Mehrere erklärten sieh 

'»ereit Referate zu liefern, falls die Hfidiiktion dieselben verantwortlich 

unteraeichnete, was natürlicli dankend abgtdehnt wurde. Es gelang uns 

«•ndlich, folgende Liste von Referenten für den ersten Jahrgang zu ge- 

♦^üiaen: Friedr. Auftt'ST (Berlin), H Biu'ns (Berlin), R Ihn-n: (Berlin), 

E. IIiiTT (Berlin), E. Kketz.s<'hmkk (Frankfurt a. ().), A. Maynz (Lud- 

^■igBlnst), Edm. Mevek (Historiker, Berlin), Fell\ Müller (Berlin), 

•'-- Natani (Berlin), E. Netto (Berlin), Carl Ohhtmann (Berlin), RuD. 

'{aoau (Berlin), Ad. Schi'Mann (Berlin), lii n. Tkichkrt (Freienwalde a. ().), 

■A-l^B. WANOFUiiN (Berlin) und .1. Wöiu'ITZHV ^Berlin). 

■ Unser lieber Freund und Kollege Bernhard .Schwalbe unterstützte 

■**8 durch seine bei der Redaktion der Fortschritte der l'hysik ge- 

^'OHnenen Erfahrungen; ihm verdankten wir vnruemlich manchen praktischen 

r^ink für die rein technische Seite der Redaktion. Die rein mechanisclien. 

|^*"lDeiten: das Ausschreiben der Titel, das Zerschneiden der Journale, die 

^i einzelnen nicht mit dem Blatte endenden Artikeln notwendigen Ab- 

^*iliriften, ilie Versendung des Materials, einen Teil der begleitenden 

Orrespondenz, die Herstellung der Namen- und Sachregister u. ä. über- 

^tm zu unserer großen Freude Frau LnsE Ohrtmann. Sie hat sich 

Ujrch bewundernswürdigen Eifer für die Sache und durch unermüdlichen 

^eiß ein großes Verdienst um die Entstehung und Förderung des Jahr- 

***ches erworben. 

Da die meisten der oben genannten ersten Mitarbeiter in Berlin 

'^•"ohnten, so konnten Ohrtmann und ich in häutigen Besprechungen mit 

bliesen Herren die systematische Einordnung der Literatur gewissenhaft 

^»ernten. Wir hatten für die Systematik 12 Abschnitte mit im ganzen 

^9 Kapiteln gewählt. Auch unsere verehrten Lehrer Bom.HAliDT, Kro- 



294 



Felix MOujaL 



NECKER und Weierstrass veri)flichteten iins durch ihren stets bereiten 
freundlichen Rat zu besonderer Dankbarkeit. Auf ihre Fürsprache hin 
erklärte sich Geor(t Rgimer bereit, den Verlag des Jahrbuches zu über- 
nehmen, m 

Leider verzögerte sich das Erscheinen des ersten Hefles durch den 
Krieg, an welchem mehrere der oben genannten Mitiirbeiter teilnahmen, 
bis zum Februar 1871. Während meines Aufenthalts in Frankreich wurde 
Carl Ohrtmaxn in den Kedaktionsgeschäften durch meinen Freund 
Albert Wangerin freundlichst unterstützt. 

Die wohlwollende Aufnahme, welche das erste Heft und die beidem 
folgenden Hefte seitens der Fachgenossen fanden, vor allem die allseitige 
Anerkennung, welche uns für die ernstliche Bemühung ward, zur Förderung 
mathematischer Studien beizutragen, ermutigte uns an die Herausgabe dee 
zweiten Jahrganges mit gesteigerter Kraft heranzutreten. Zu unseren 
Freude trat Herr Albert Wanderin jetzt in die Redaktion ein. Es wa« 
uns geglückt, mit mehreren Herausgebern mathematischer Zeitschrifleir 
und mit einzelnen Akademien in Tauschverkehr zu treten; auch wurden 
uns jetzt zahlreiche Einzelwerke und Separatabzüge zur Berichterstattiin^ 
zugeschickt. Georg Reimkh stellte uns in liberalster Weise seinen ganzes 
neueren mathematischen Verlag zur Verfügung und beschaffte uns ein« 
Reihe von Zeitschriften zu bedeutend ermäßigten Preisen. Ferner trutes 
wir mit mehreren Gelehrten des Auslandes in Verbindung, die sich bereit 
erklärten, die uns unzugängliche Literatur ihres Landes für unser Jahr- 
buch zu bearbeiten. L'm die Verzögerung, welche das Erscheinen des 
ersten Bandes erlitten hatte, wieder auszugleichen, vereinigten wir in den 
2. Band die beiden Jahrgänge 1869 und 187U. Mit Ausnahme der Herren 
EuM. Meyer und R. Radac lieferten die am ersten Bande beteiligten 
Referenten weitere Beiträge für den 2. Band, und zu ihnen tmt*n hinzu: 
G. B.\TTAOLiNi (Neapel), J. Casey (Kingstown, Dublin), A. Catt^by {Cam- 
bridge), A. Clkbs( II (Göttingen), M. Ci;rtze (Thom), J. Gl\i.<5her (Cam- 
bridge), M- H.vMUiRiiKR (Berlin), P. C, V. Hansex (^Kopenhagen). O. 
Hknrui (London), ö. Jung (Mailand), Felix Klein (Erlangen), A. Kokkine 
(Petersburg), Carl Neimann (Leipzig), A. Oherhkck (Berlin), W. S«noij{ 
(Berlin), H. Schubert (Hildesheim), 0. Stoij! (Innsbruck), A. Witt.sts 
(Leipzig), G. ZoiX)rAREFF (St. Petersburg). 

Leider war der 2. Band erst im Jahre 1873 vollendet, da die 
Schaffung der französischen Literatur infolge der durch den Krieg venir^ 
sachten Verkehrsstörungen sich verzögerte und eine längere Arbeitsein- 
stellung in der Offizin der Verlagshandlung den Druck unterbrach. Desto 
mehr beschleunigten wir die Vorbereitungen für die folgenden Bände, 
daß in den folgenden Jahren regelmäßig ein Band erscheinen konnte 



Da» .lahrbuch nbor dio ForUchiitte dor Mathematik 1869—1904. 



295 



Die Zahl der exzerpierten Zeitschriften betrug schon bei dem zweiten 
"Bande lOlJ und stieg mit dem 10. Bande uuf 170; der eigentliche Text, 
«line die beiden llegister, der beim 1. Bande 426 Seiten umfaßt hutte, 
«rreichte beim 4. Bande 609, beim 9. 815, beim 15. 1000 Seiten. Die 
Zahl der Aj-tikel, die im ersten Jahrgänge 838 war, stieg im 4. Bande 
anf 1068, im 9. auf 1(300. Solche Zahlen lassen deutlieh erkennen, wie 
Tiel Mühe die Herausgabe des Jahrbuches mit der Zeit erheischte, und 
wie groß die Schwierigkeiten, die ein solches Unternehmen mit sich bringt, 
mit der Zeit wurden. In allwöchentlichen K(mferenzen kamen wir drei, — 
<*HKTMANN, Wanoehin Und ich, — zusammen, um uns über liiufendc, das 
•'ahrl)uch betreffende Fragen zu beraten. Die wissenschaftliche Arbeit, 
die hier zu leisten war, die systematische Einordnung des Materials, die 
Verteilung an die Mitarbeiter, die Drucklegung der eingegangenen Berichte 
Qad Tielee Andere, gewährte nns einen großen Genuß. Nicht frei von 
Verdrießlichkeiten war die Korrespondenz mit den Heferenten, die häufig 
mit recht schwer zu befriedigenden Ajispriiclien hervortraten oder wieder- 
laolt an die rechtzeitige Lieferung der Heferate oder an die lliiekgabe 
cles Zeitschriftenmaterials u. a. erinnert werden mußten, auch bisweilen 
^anz unerwartet ihre Mitarbeit aufkündigten. Dann hieß es neue Referenten 
^u gewinnen, die schwierigste Aufgabe der Redaktion. Daß mehrfach die 
^Verfasser von Aufsätzen mit den Berichten, die über ihre Arbeiten ge- 
liefert wurden, unzufrieden waren, ist ja Helbstverständlich. Diese Unzu- 
iriedenheit rief sogar ein Gegenunteruehmcn gegen das Jahrbuch ins 
Leben, das Uepertorium der literarischen Arbeiten aus 
dem Gebiete der reinen und angewandten Mathematik. 
„Or i g i n a 1 ber i ch te der Verfasser", gesammelt und Jierausgegeben 
von Leo KöMOsnEiioiiR und Gustav Zel'NEU, Leipzig. B. G. Teubner, 
B. 1—2 (1877, 1879). I 

Aus den mehrstündigen genu'insamen Konferenzen nahm dann ein 
Jeder von nns Dreien sein besonderes l?ed,dfti(ms-Arl)eitspen.sum mit nach 
Hause. Der Löwenanteil der Arlteil fiel selbstverstäudüch unserpiii lieben 
Freunde Carl Ohkimann zu. Deshalb hieß es mit Recht vom 11. Bande 
(.Ihrg. 1879) an auf dem Titel: .,uuter besonderer Mitwirkung der ITerreu 
¥kia\ Mi'LLKR und Aluekt WANiiEiiiN herausgegeben von Cam. Omim- 
MANS". Unermüdlich bestrebt, das von ihm begonnene Werk zu vervoll- 
kommnen, opferte (.'akl Oiiutmakn alle Kräfte und alle Zeit, welche ihm 
Beine amtliche Tätigkeit übrig ließ. Er schonte sich nicht, als seilest die 
Vorboten der schweren Krankheit sich zeigten, der er am 22. April 1885 
erliegen sollte. Auf dem schmerzensreichen Krankenlager gewährte ihm 
die Beschäftigung mit dem .lahrbuche Trost und Erhebung. 15 Jahr- 
gänge (1868—81) in 14 Bänden hat er fertiggestellt und den IG. fast 



296 



PeLIX MeUEMt 



zn 



bis zum Druck gefördert and sich dadorch ein schönes ewiges Denkmal 
in der mathematischen Wissenschaft errichtet. 

üiu beiden, Wakuerim and mir, die wir 15 Jahre hindarch mit 
Carl Oiirtmann an der Redaktion des Jahrbuches in ungetrübter Har- 
monie gearbeitet hatten, war ee vergönnt, ansem lieben Freund auf dem 
Hterbebette durch die Nachricht za erfreuen, daß es nns gelangen sei, 
darch Hinzuziehung neuer Kräfte das Fortbeetehen des Jahrbuches zn 
gewährleisten. In einer von Freunden des Jahrbuches abgehaltenen 
Versammlung stellte sich an die Spitze der Leitung ein Mann, der wie 
wenige geeignet war, das Jahrbuch mit seltener Energie weit«rzuf&hrenE 
Emil L.\mpk. Er hatte sich bereits als jahrelanger Helfer des Professo« 
Kroxeckek bei der Herausgabe des Journals für Matheniatik bewährt^ 
Ihm zur Seite trat unser gemeinschaftlicher Studienfi^und, Max HENotii. 
ein bescheidener selbstloser Gelehrter, der, durch keine amtlichen Berufs- 
pflichten in Anspruch genommen, bereit war, seine ganze Zeit dem Jahr- 
buche zu widmen, ohne aus der Herausgabe des Jahrbuches einen Erwerb 
za machen. In ihm fand Emh. Lampe, der Ton nun an die Seele dein| 
Redaktion wurde, einen treuen Mitarbeiter, der sich aUen Anordnungen 
widerspruchslos fügte. In den nächsten Jahren stieg die Zahl der jährlich 
angeführten Artikel auf mehr als 2000, da Lampe, der Zeitströmuug und 
seiner amtlichen Stellung Rechnung tragend, auch die technische Literatur 
berücksichtigt wissen wollte. Es ist hier nicht der Ort, die Frage zu 
erörtern, ob eine solche Erweiterung des Jahrbuches (der 2u. Band 
schwoll auf 90 Bogen an! — ) von Vorteil für dasselbe war. Vielleicht 
wäre im Gegenteil eine Beschränkung auf die reine Mathematik vorteil- 
hafter gewesen; es könnten die technischen, physikalischen und astrono- 
mischen Arbeiten, für welche besondere referierende Zeitschriften l>e- 
stehen, ganz ausgeschlossen werden. ^M 

Leider war es unserm lieben Max Hexoch nur S'/s Jnhre lang ver- 
gönnt, sich der ihm lieb gewordenen Arbeit an dem Jahrbuch zu widmen. 
Am 26. September 1890 erlag er einem Herzleiden, das er jahrelang mit 
großer Geduld getragen. Auf seinen Wunsch stcUte sein Vater beim Tode 
des geliebten Sohnes der Redaktion die Mittel zur Verfügung, einen 
Gehülien für die rein mechanischen äußeren Arbeiten, die — wie wir. 
gesehen. — in den ersten 15 Jahren von Frau Ohrtmann ausgefiil 
wurden, zu gewinnen. 

Mit Beginn des Jahrganges 1898 trat Herr Georg Wallenberg 
die Redaktion des Jahrbuches ein, und in neuester Zeit ist es Herrn 
Emil Lampe gelungen, jüngere Kräfte aus den Mitgliedern der Berliner 
Mathematischen Gesellschaft zu gewinnen, welche bereit sind ihm 
bei Erledigung der immer größer werdenden Redaktionsarbeit zu helfen, 



wir 
ihr« 

! in" 



Dm Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik 1869—1904. 297 

A.ugenblicklich ist das erste Heft des 33. Bandes (Jahrgang 1902) im 
Druck. Da aus ähnlichen Gründen, wie im 2. Bande, auch im 25. Bande 
2 Jahrgänge (1893 und 1894) vereinigt wurden, so umfaßt bis jetzt das 
Jahrbuch die mathematische Literatur von 35 Jahren. 

Die Zahl der Referenten beträgt 1 89, von denen nur an einem Jahr- 
gange mitgearbeitet 28, an zwei Jahrgängen 7, an mehr als 9 Jahrgängen 
72 and an mehr als 19 folgende 23, die nach der Dauer ihrer Mitwirkung 
geordnet sind: (35 J.) Felix MCiller und Albert Wangerin, (34) 
A. Maynz, (33) M. HAMBüROERf, (32) P. Mansion, (31) R. Hoppe f und 
H. Schubert, (29) S. Dickstein, (28) Friedr. August f, (27) V. Schlegel, 
(25) J. Qlaisher und K. Michaelis, (24) A. Cayley f. Ad. Schümann f, 
Cahl Nedmann und E. Töplitz, (23) G. Teixeira, (22) E. Netto, 
(21) 6. Eneström, und (20) Emil Lampe, H. Bruns, Franz Meyer und Fr. 
EwjEL. Von verstorbenen Mitarbeitern, die sich um das Jahrbuch über 
die Portschritte der Mathematik ganz besonders verdient gemacht haben, 
nenne ich zum Schluß: Friedr. August, John Casey, Arthur Cayley, 
Alfr. Clebsch, Max Curtze, M. Hamburger, Max Henoch, R. Hoppe, 
Jdl. Lange, W. Lazarus, Sophus Lie, Ant. Oberbeck, Carl Ohrt- 
MANN, Ad. Schumann, W. Stahl und Fr. Studnicka. Ehre ihrem 
Andenken! 



298 



0. EInistiiOm. 



Welche Forderungen 

r 

sind an Rezensionen mathematischer Arbeiten zu stellec:*^'^' 



Von G. Eneström in Stockholm. 



^^m 



Um von vornherein Mißverständnis vorzubeugen, bemerke ich sogleia 
(laß die in der l bersehrift vorkommende Frage gar nicht bedeutet, daß ü" ic\ 
inbetreff der Rezensionen mathematischer Arbeiten ganz besondere Nc)m]«"^eo 
aufstellen will, die in diesem Artikel angegeben werden sollen. Durch ^ dk 
Frage habe ich vielmehr ausdrücken wollen, daß es aucli für den MatZ he- 
matiker von direktem Interesse sein muß in Erwägung zu ziehen, <^«i^j« 
eine Rezension abgefaßt werden soll, und da£ ich hier diese allgeme- :^H 
Frage mit besonderer Rücksicht auf die Leser, für welche die Biblioth^^ra 
MathematicH bestimmt ist, behandeln werde. 

Von einer Rezension im eigentlichen Sinne des Wortes kann r»^«-i^ 
meines Eracht^ens in er8t«r Linie fordern, daß sie eine motivierte \\ ^r^- 
Bchätzung der besprochenen Arbeit bietet, aber für diesen Zweck ist oflP^ 
bar eine kritische Untersuchung derselben nötig. Nun ist es aber kl 
daä eine solche Untersuchung nicht befriedigend ausgeführt werden Liii ^"t 
sofern nicht iler Rezensent sachkundig ist, und daß dieser dazu unparteii» -^h 
sein <oll, damit das Resultat nicht unzuverlässig werde. 

Daß eine wirkliche Rezension in erster Linie sachkundig seiii m 

ist 80 selbstverständlich, daß eine Erläuterung dieser Forderung eigentb f*^ 

überflüssig scheint. Indessen ist es in vielen Fällen sehr schwierig f®''""^B| 
zustellen, wie groß die Sachkunde sein soll, und tatsächlich kommt ^1 
vor, daß die Verfasser besprochener Arbeiten ohne genügende Griii^^*"® 
ihren Rezensenten die hinreichende Sachkunde aberkennen. In dies*" ■*^™ 
Punkte wird man nie zu einem vollständigen Einverständnis gelangen 
man kann nur behaupten, daß es caeteris iniribits um so besser ist, 
größere Sachkunde der Rezensent besitzt. 

Von großer Bedeutung muß es auch sein, daß eine Rezension 
parteiisch ist, denn sonst kann man nicht sicher sein, daß die besproc 
Arbeit richtig gewürdigt wird. Dennoch darf man hier nicht zu 



« 



Welche Forderungen sind an Rezensionen mathematiacher Arbeiten zu stellen? 299 

gehen, weil es oft für das mathematieche Pnblikiim von großem Interesse 
Bein muß zu erfahren, wie eine mathematische Schrift, die eine gewisse 
Richtung repräsentiert, von dem Vertreter einer anderen Richtung l)eurteilt 
wird. Freilich ist es in solchen Fällen nötig, die Voraussetzungen aus- 
drilcklich hervorziihelten, die der Wertscliiitzung /.ngninde liegen. 

Wie ich sclion betont halte, erfordert jede wirkliche Rezension eine 
kritische Untersuchung der in Betracht gezogenen Arbeit, aber damit ist 
gKT nicht gesagt, daß alle Einzelheiten dieser Untersnchung dem Publikum 
Torgelegt werden sollen. Ini iillgemeiueu hat jede Arbeit sowohl Ver- 
dienste als Fehler, und die iliuiiitfrage wird also, ob Kezenaionen mathe- 
matischer Arbeiten wesentlich mir die Verdienste oder /ugleicb auch die 
Fehler hervorheben sollen; hiermit liängt auch die Frage sehr nahe zu- 
sammen, inwieweit die Kritik bei der Ervviümung der Fehler schonend 
»in soll. 

Sieht man von den eigentlichen Lehrbüchern ab, kann man wob! im 
allgemeinen behaupten, daß ein miithenintiseber Verfaisser keinen genügenden 
materiellen Ersatz für seine MüIie bekommt, und mau muB folglich geneigt 
Bein anzunehmen, daß er durch seine literarische Tätigkeit beabsichtigt, 
der Wissenschaft nützlich zu sein. Aber diese Absicht ist in jedem Fall 
lobenswert, und mau könnte vielleii-ht hieraus folgern, daß die Kenzension 
eigentlich nur konstatieren sollte, liis zu welchem Grade es dem Verfasser 
gelungen ist, seine lobenswerte Absicht zu verwirklichen. Von dem 
'sichtspunkte des bctrett'cuden Verfassers kann ja dii'se Argumentation 
(geltend geniitcht werden, «ciin mau auch versucht wird, daliei zu bemerken, 
daß tatsächlich einige Mathematiker mehr aus Ehrgeiz als aus Interesse 
fBr die Wissenschaft itewogen werden als Verfasser aufzutreten, und daß 
es übrigens den meisten \'erfassern nützlich sein muß, auf die etwaigen 
Fehler ihrer Arbeiten aufmerksam gemacht zu werden. Aber es gibt einen 
amieren Gesichtspunkt, der wenigstens ebenso sehr Beachtung verdient, 
uämlich der des matheniiiiischen FuMikiims, und von d)e.'<eui (iesichts- 
(mnkte aus ist es angebracht, nicht nur über die Verdienste der besprochenen 
Arbeit, sondern auch über ihre Fehler zu lierichten. Wenn eine mathe- 
matische Schrift veröffentlicht wird, so geschieht dies wohl fast immer, 
«lumit sie gelesen, oft auch, damit sie gekauft werde, und eine Rezension 
Ist um so wertvoller, je mehrere Fachgenossen daraus ersehen können, ob 
w ihnen nützlieh sein wird, die betreffende Schrift zu lesen oder dieselbe 
•ognr zu kaufen. Nun gibt es freilich Mathematiker, die ein gewisses 
Gebiet vollständig lieherrsehen, und diese brauchen nur zu wissen, daß 
eine einschlägige Schrift wenigstens einige Verdienste hat, um zur Ein- 
sichtnahme derselben bewogen zu werden. Aber für die meisten stellt 
»ich die Sache wesentlich anders; sie haben weder Zeit noch Lust alles 




300 



G. EuMTaSM. 



4 

T ' 

er-J 



zu Ipsen, WH8 iil>fr einen besonderen Gegenst.and geschrieben wi 
sie Kind auch nicht kundig genug, um sogleich zu sehen, inwieweit die ^ 
Einzelheiten einer ihnen vorgelegten Schrift richtig sind. FOr solche ^| 
Fachgennseen muß es offenbar ein Gewinn sein, wenn die Rezensionoi 
auch die Fehler der besprochenen Arbeiten erwähnen, denn sie könnpn 
dadurch teils ausfindig macheu, welche Arbeit ihnen am besten paßt, teils 
vermeiden, durch die Fehler dieser Arbeit irre geleitet zu werden. 

Auch aus anderen Gründen kann es nützlich sein, wenn es znr 
Gewohnheit wird, die Fehler der erschienenen Schriften öffentlich zu er- 
wähnen. Die literarische Produktivitüt auf dem mathematischen Gebiete! 
ist jetzt so groß, daß es zweckmäßig ist, den Verfassern, die nicht ein 
wirklich gute Arbeit leisten können oder leisten wollen, die Drucklegiinir 
ihrer Manuskripte wenigstens bis zu einem gewissen Grude zu erschwercu. i 
Und diesen Zweck erreicht man meines Erachtens, wenn man das Publikun|^| 
und dadurch auch die Verleger mathematischer Arbeiten auf die Fehler 
solcher Verfasser aufmerksam macht, denn auf diese Weise werden einige 
der8ell>en abgeschreckt, weitere Schriften zu veröffentlichen, und andere 
veranlaßt, kiinftighin ihre Arbeiten gründlicher zu revidieren, bevor sitjfl 
gedruckt werden. 

Es ist auch klar, daß man im allgemeinen eine Rezension nützlicher 
macht, wenn man den Lesern durch Hervorheben sowohl der Verdienste 
als der Fehler ermöglicht, sich eine selbständige Ansicht über deu Wert 
der besprochenen Arbeit zu bilden, als wenn man wesentlich nur di^_ 
Verdienste erwähnt und dann ein Gesamturteil hinzufügt. ^| 

Mit dem, was ich bisher bemerkt habe, können wohl die meisten 
Fachgenossen im großen und ganzen einverstanden sein, aber weit größer 
muß der MeLuuugsunterschied werden, wenn man zu der oben angedeuteten 
Frage übergeht, inwieweit die Kritik, die in einer Rezension vorkommt, 
schonend sein soll. Inbetreff dieser Frage scheint man sehr geneigt zn 
betonen, daß der Verfasser einer mathematischen Schrift einen an sich 
lobenswerten Zweck verfolgt, nämlich der W^issenschaft zu dienen, und 
daß seine etwaigen Versehen schon aus diesem Grunde müd zu benrteilei^| 
sind; handelt es sich um eine Arbeit, die entschieden große Verdienste 
hat, geht man zuweilen so weit, daß man eine Besprechung, wo die Kritik 
etwas mehr sor Geltung kommt, fast unangezeigt findet. Mit Ansichte 
dieser Art kann ich mich nicht einverstanden erklären, denn auch wen 
der Zweck der Herausgalm einer mathematischen Schrift lobenswert is 
kann die Schrift selbst für die Wissenschaft schädlich werden, sofern sit 
ohne hinreichende Sachkunde oder Genauigkeit bearbeitet worden 
Eine solche Schrift kann nämlich andere cIh'uso unberufene Verfasse 
anBpomen, Arbeiten derselben Art zu publixicrcn. sie kann unter gewisse 



Welche Fordcninjfen sind an Rezensionen matliematiBcher Arbeiten zu stclion? 301 



FnJBtänden verhindern, daß andere, wirklich gute Arbeiten über densellien 
Gegenstand veröffentÜL'ht werden, sie kunu aiieh leieht diizu beitragen, 
daß sich Fehler unuütiger Weise verbreiten. Ist mau aber überaeugt, daß 
eine Schrift Nachteile dieser Art mit sich l)ringen wird, so hat man gewiß 
keinen Anlaß, ihre Verdienste besonders hervorzuheben, und die Fehler 
mehr im Vorübergehen zu erwähnen. 

Wesentlich anders liegt natürlich die Sache hinsichtlich dtT wirklich 
wertvollen Arbeiten, aber auch hier kann es die Pflicht der Kritik sein, 
auf die vorhandenen Fehler ausdrücklich hinzuweisen. Ganz besonders 
scheint mir ein solcbes Hinweisen nötig, wenn andere Besprechungen 
einer an sich vorzüglichen Arbeit wiederholt lnl)endc Urteile liringen, die 
den nicht sachkundigen Leser irre führen können. Ein solcher Fall liegt 
i. B. inbelreff der zweiten Auflage der (.'ANl'OKschen Vorhsutigfn 
nher Geschichte der Mnfhemalik vor. Im Jahrbuch über die Fort- 
schritte der Mathematik hat nämlich der Referent, der über diese 
Arlieit l)erichlel, behauptet, daß in den besonderen Abteilungen der neuen 
Änfiage , überall, soweit dies nötig, die bessernde Hand zu spüren ist" 
(30 1 1899 1, S. I); „überall am rechten l'latze die Itessernde Hand den neu 
•TSfihlossenen Quellen gerecht geworden ist"; (31 [1900], S. 1} „ülierall 
'lie bessernde Hand angelegt worden ist'' (32 f 1901], S. 1). Aber Itckanntüfli 
"'it Herr ('antor bei der Bearbeitung der neuen Auflage keine besonders 
*rroßen Anstrengungen gemacht, um die ganze mathematisch-historische 
^'teratur des letzten rlalirzehntes des 19. Jahrhunderts zu verwerten, und 
''•'»8 Wort „überall" des Hezensenten ist darum inreleitend. auch wenn man 
*" cum grano salis nimmt. In der Tat haben mir bisweilen junge Ver- 
'•'*sser Artikel für die Bibliotheca Mathematica gesandt, worin ohne 
""•^iteres als abgemacht vorausgesetzt wird, daß die CANTOiischeu Vor- 
'^^»Miigen aUes, was liisher über eine gewisse Frage publiziert war, gebührend 
^"»ntcksichtigt haben, so daß es überflüssig ist, die übrige einselüägige 
"^^O-thematisch-historische Literatur zu studieren. Unter solchen umständen 

^'^•le ich es für richtig erachtet, in meinen Rezensionen über die Vor- 

l 

^^^wigcti auf das wahre Sacbverbältuis hinzuweisen, obgleich ich wußte, 

^*^-& dies einigen Verehrern des hochverdienten Verfassers nicht angenehm 

**in würde. 

Ich gehe jetzt zu einigen Einzelheiten über, die zwar nicht besonders 
Nichtig sind, aber dennoch nicht ganz belanglos sein dürften. 

Es ist wohl allgemein gebräuchlich, schon am Anfange einer Rezension 
^«n Titel der zu besprechenden Arbeit anzugeben, aber nicht immer wird 
der genaue Wortlaut desselben zitiert. Gegen Auslassungen unwesent- 
licher Worte ist natürlich nichts einzuwenden, aber wirkliche Änderungen 



302 



G. EbestbOm. 



iiud i)csonflers Uhersetzimgen in eine andere Sprache halte ich für unan- 
gehriicht. Es kommt oft vor, daß ein Bibliograph inbetrefif ihm unzugäng- j 
lieher Schriften auf Rezensionen angewiesen ist, und wenn darin die Titel^| 
nicht richtig und in der ( )riginalBprache angegeben sind, so können da- 
durch leiclit MißverstiindnisBe entstehen. — Dem Titel soll eine genaue 
Angiihe der Seitenzahlen beigefügt werden, also z. B. auch die Seiten- 
zalilen des Vorwortes (oder der Einleitung), wenn dies besonders paginiert 
ist; bisweilen ist das Vorwort sehr lang, und dann kann das Auslassen 
der Seitenzalilen desselben zu einer unrichtigen VorBtellong vom Umfange^ 
des Buches veranlassen. 

Ob man vor der kritischen Ableihing der Rezension einen kürzeren 
oder längeren Bericht üher den wesentlichen Inhalt der Schrift bringen 
soll, ist wohl eigentlich eine Geschmacksache. Einigen Lesern wird ein] 
solcher Bericht sicherlich willkommen seiü, und der Verfasser kann bis 
weilen daraus ersehen, wie eingehend der Rezensent die Schrift studiert 
hat. Ausniil) ms weise kommen auch Berichte vor, ans denen man ausfindig 
machen kann, dail der Rezensent die Arbeit, die er besprechen sollte,^— 
überhaupt nicht gelesen hat,') and in einem solchen Falle ist ja dd^| 

1) Kigontlich konu mau wohl nie »uf Grund eine« Referates mit Bestinimtbeit 
Bügen, dsB clor Uehchterstatter die betreffende Schrift gar nicht gelesen bat, aber 
bisweilen ist die Wahrscboiulichkoit ilafür so grüß, daß sie fast zur Gewißheit wird, 
lind diese Dehaiiptuug erlaube ich mir liier mit einem Beispiele zu belegen. In der 
Zeitaohrit't L'enseigiioment matbOmatiqno 4 (1902), S. 226 — 227 kommt etn^H 
Besprechung der zwei letzten Lieferungen des dritten Randes der Vorienungen übo^l 
OesdiiehU der Mathematik vor, worin schon am Anfange gesagt wird, daß ,rautear 
aborde Toeuvre de JM-iivisf Debkoulli qni pr^cisa les notions dmises par Pasc/il et 
FuiiUT sur les probabilites et qui mit entre les mains des mathematicieus le precieiix 
Instrument du calrid exponentiel*. Nun ist es zuerst klar, daß die unrichtig 
Angabe, Jakchi Derkuiii.li habe den Mathematikern die Exponeutialrecbnung zur Ver- 
fügung gestellt, nicht aus der CANToaschen Arbeit entnommen worden ist, wo S. 
ganz richtig angegeben wird, Johann nKKNorLi-i habe 1697 die Grundzüge der Rechnn 
mit ExponentialgrOBeu festgestellt; auf der anderen Seite findet sich auf S. 162 
vom Rezensenten im Jahre 1900 herausgegebenen Buches: Hittoire des matheinatiqut* 
folgender Passus: „jAcgru Bkknuillj . . pr^cisa les notions emise« par Pascax et 
Fkehat siu: les probabilit^. Enfin et siuiont on lui est rederable du Calcul exponentiel, 
cette partie de l'anal.vse deveuue si feconde". Schon diese Beubachtiuig wird bei dem 
Leser Verdacht erregen, daß es sich nicht hier um einen Schreibfehler in den Auf- 
seichnungen handelt, die der Rezensent bei dem Durchlesen der zu besprechenden 
Arbeit gemacht hat, sondern daß er ohne weiteres sein eigenes Buch abgeschrieben 
hat; in der Tat zeigt eine Vergleiohung der Resension mit der zitierten Ilistoire des 
malhematique«, daß jene wesentlich ein Auszug aus dieser ist, und zwar so, daß das 
Referat auch Notizen enthält, die in den CAxrciisohen Vorlegungen überhaupt nicht 
vorkommen. Durch die folgenden Zitate wird der Leser imstande sein, sich ein 
selbständiges Urteil hierüber lu bilden. 



23xm 




nomn^oii 



anonen mautenunicner , 



i itt stellen ? 



Bericht insofeni nützlich, daß er zeigt, wie wenig Vertrauen die Rezension 
verdient. 

Wie die eigentliche kritische BeBprechung meiner Ansicht nach 
beschaffen sein soll, habe ich schon im idlgemeinen angegelieii, füge aber 
hier noch ein paar kleine Bemerkungtni hinzu. Wenn man eine Aus- 
st-ellung gegen den Verfasser macht, ist es wold zweckmäßig, die Uichtig- 
keit derselben durch Beispiele zu belegen, es sei denn, daß die Ausstellung 
aiemlich unbedeutend ist oder von jedem Leser der Schrift unmittelbar 
bestätigt wird. Die Frage, ob man auch kleinere Flüclitigkeitsfuhlcr sowie 
offenb.ire Schreib- oder Druckfehler notieren soll, kann ja verschiedentlich 
beantwortet werden ; f Tir meinen Teil halte ich solche Fehler für nicht 
durchaus gleichgültig, denn durch dieselben kiJnnen leicht ITnrichligkeiten 
verbreitet werden, die später andere weit mehr ffihlerhafte Angaben 
»emrsachen. 

Ich habe mich bisher nur mit llezensioucTi im eigentlichen Sinne des 
Wortes beschäftigt, und es wäre ohne Zweifel am besten, wenn jede 
mathematische Schrift wirklich kritisch besprochen werden könnte. Aber 
teils ist es leider sehr schwierig, für die meisten Schriften Facligenossen 
aufzufinden, die geneigt und geeignet sind, Rezensionen zu liefern, teils 



I 



Angebliche Rezension der CAMTonschen 
Vorlesungen, a. ». 0. S. 226, 227. 

MoNTMuKT, dang son Es.^ni sitr les jeiix 

"' hn:ard, douna des formuleB pour la 

""Biuatiou Je certaines suites entrc autres 

"Üo qui permot de representer la BDmme 

"' M tenues d'une »i'rie dunt Iob diffi'rencos 

""'•■ent par s'anniiler. 

Od y [<lau8 le Tratte de di/immiijur de 

" Ao^kuukmi I renconlie iino uiethoiio gent'- 

'^l« permettaut de rameaer toutes leg lois 

"** mouvement ii deg qiiOHtinns d't'<|uilibre. 

" Biiffit d'exprimor quo les t'orceg qui 

°*«ment le BysW-'me congidöri' eqiiilibrent 

'*■ force» qui deplaceraiout les particules 

^^ reusemble independammeut les unes 

•**• autres et quelle que soit !a favon dont 

• opir» la translatiou. 



Au8xü|i;o aus der Ifislnire de« mathi 
Hio«i</iif,v (lUOO), S. 167, 179. 

Dans Bfiu I'ksni d'annlyae siir les jeiix 
de ha:anl, il |Mi>ntucikt| donua plusieurs 
fonuiilea pour la »uinmatioa de certaiuog 
Buitvg, ontre autrog collo qui pennet de _ 
represeatflr la gonime de n termes d'une 
BÖrie dont leg dilTerenceg fiuingent par 
s'anuuler 

II |ii'Ai.uHiiKiir| y donuB imo inötliodo 
^enürale pennettant do rameuer toutea leg 
lois du mouvement ä de« questiong d equi- 
libre, on cxpriuiaut que los forceg donudea 
qui mcuvcnt lo Byött'mp eougidör« equi- 
libront leg Ibrcesi qui dtjplaueraient les 
particules de l'enBomble independammeut 
les unes des autres et quelle que soit la 
fa^'ou dout s'opere la translatiun. 



Cbezhaupt habe ich in der fraglichen Rezeusioa keine f^telle aufündea kOnnen, 
'US darauf hindeutet, daB der Rezensent die zu beBproi'heude Arbeit gelegen hat. 
Allem Anschein nach hat er niu: das Inhaltsverzeichuig flüchtig angegebeu und weiter 
'^ ^ orkummen der Namen gewigger Mathematiker konstatiert, worauf er aus seinem 
"■'«he einiges abgeBchrieben bat, das sich auf diese Mathematiker bezieht. 



304 6- Einanmöu : Welche Fotdeiungen sind »a BeMOtionen vaaüumL Arbeitoa la ■toUen? 

fehlt es uns noch an einer besonderen mathematischen Literatorzeitong. 
Unter solchen Umständen müssen sehr oft blofie Anzeigen, worin vielleicht 
im Yorttbergehen ein paar kritische Bemerkungen Torkommen, als Ersatz 
für wirkliche Rezensionen dienen. Man findet zuweilen die Ansicht ang- 
gesprochen, daß Bemerkungen dieser Art überhaupt nicht in Anzeigen 
eingefügt werden soUen, da sie nicht näher motiviert werden und es also 
dem Leser durchaus unmöglich ist, ihre Richtigkeit zu prüfen. Diese 
Ansicht ist gewiß nicht vollständig unbegründet, aber auf der anderen 
Seite sehe ich nicht ein, warum solche Bemerkungen ganz unterdrückt 
werden müssen; wenn sie nämlich mit großer Vorsicht gemacht werden, 
können sie gewiß nützlich sein. 



G. Enhdtsöm: Kleine Mitteilaagen. 



305 



Kleine Mitteilungen. 

Kleine Bemerkungen zur zweiten Auflage von Oantors „Vorlesungen über 
Geschiohte der Mathematik", 

Die erste (fette) Zahl bezeichnet den Band, die zweite die Seite der „Vorleaungen". 
BM r= Dibliotheca Matbematica. 

I : 12, siehe BM I3, UIOO, S. 265. — I : 15, uiehe ßM 3}, 1902, S. 323. — 
1:22, 29, 34, siehe BM Ij. 19TO, S. 265—266. — 1:36, 64, siehe BM 83, 1902, 
8. 137. — 1 : 103, siehe BM h, 1900, 8. 266. — 1 : 135, siehe BM I3, 1900, S. 266; 
3», 1902, S. 187. — 1:144, 155, 16», 171, siehe BM 83, 1902, S. 137—138. — 
1: 190, siehe BM I3, 1900, S. 266. — 1:195, siehe BM 83. 1902, S. 56. — 1 : 107, 
202, siehe BM I3, 1900, S. 266. — 1 :2()7, siehe BM 43, 1903, S. 283. — 1:225, 
•iU, siehe BM 83, 1902, 8. 138. — 1:255, siehe BM 83, 1902, 8. 238. — 1:272, 
siehe BM 4^, 1903, 8. 396. — 1:283, siehe BM li, 1900, S. 499. — 1:284, 321, 
siehe BM I3, 1900, 8. 266-267. — 1:370, siehe BM I3, 1900, S. 319. — 1:383, 
siehe BM 1», 1900, 8.267. — li395, siebe BM 83. 1902. S. 323. — 1:400, siehe 
BM I3, 1900, 8.267. — 1:429, siehe BM il,, 1902, 8. .324. — 1:432, siehe BM 1«, 
1900, S. 267. — I : 434— 435, siehe HM ^3. 1903. 8. 396-397. — 1 : 436, siehe BM 83. 
1902, 8 138. — 1:437, 440, siehe BM I3, l'JOO, 8. 267. — 1:457, siehe BM 83, 

1902, 8. 238. — 1:463, siehe BM 83, 1902, S. 139, 324. — 1:460, siehe BM 43, 

1903, S. 397. — 1:467, 46», siehe BM I3, 1900, S. 267. — 1 : 475, siehe BM I3, 
1900, 8. 267—268; 83, 1902, 8. 139; 4,. 1903, 8. 283. — 1:476, siehe BM I3, 1900. 
S.268. — 1 :508, siehe BM »3, 1904, 8. 68. — 1 :510, siebe BM I3. 1900, S. 314. — 
l:61U-520, siehe BM 83, 1902, 8. 239. — 1:537, 540, 542, siehe BM I3, 1900, 
8. 268. — 1 : 622, siehe BM 8», 1901, 8. 143. — 1 : 641, siehe BM 83, 1902, 8. 139. — 
1:661, siehe BM I3, 1900, 8. 499 — 1 : 662, siehe BM I3, 1900. S. 499; 83, 1902, 
S. ia9. — 1 1 663, siehe BM 83, 1902, 8. 405. — 1 : 671, siehe BM I3, 1900, 8. 499. — 
1:687— «K9. siehe BM «3, 1901, S. 143—144; 43, 1903, S. 205—206. — 1 : 694, siehe 
BM Ij. 1900, 8. 499; 43, 1903, 8. 284. — 1 : 704, 706, 70s, 714, 735, 736, 744, 748, 
«ehe BM lg, 1900, 8.499—500.-1:749, siehe BM I3. 1900, 8. 268.-1:7.56, 757, 
7«7, siehe BM I3, 1900, 8. 500—501, — 1 : 794, siehe BM 83, 1902, 8. 139. — 1 : 8«U, 
»»Oä, 807, 808, 812, H23, H52. siehe BM I3, 1900, S. 268—269. — 1 : 853, siehe BM I3, 
1800, 8. 501. — 1:854, siehs BM la, 1900, S. 501; 83, 1902, 8. 324; 4«, 1903, 
8. 206. — 1 : 855, siehe BM I3, 1900, 8. 501. 



«:7, siehe BM «3, 1901, 8. 351. — 8:8, 10, siehe BM Is, 1900, 8. 501-502. 
«: 14— 15, siehe BM Ha, 1901, 8. 144; iis, 1904, S. 200. — » :20 siehe BM I3, 1900. 
8. 502; 83, 1902, 8. 239. — 8:25, siehe BM I3, 1900, 8. 274. — 8:31, siehe BM 
»a, 1901, S. 351—352; 83, 1902, Ö. 239-240. — 8:34, siehe BM 83, 1901, 8. 144. 
— 8:37. siehe BM I3, 1900, 8. .S02. — 8 : 38, siehe BM 83. 1901, 8. 352.-8:39, 
tiebe BM I3. 1900, 8. 502. — 8:41, siehe BM 83, 1901, 8.352.-8:53, »ehe BM 
Sa. 1904, 8. 201. — 8 : 57, siehe BM 83, 1901, S. 352. —8:5», siehe BM I3, 1900, 8. 502. 

— 8 : 63, siehe BM 4,, 1903, 8. 206. — 8 : 70, siehe BM I3, 1900, 8. 41 7. — 8 : 73, 82, 
H7, 88, 89, 90, 92, siehe BM I3, 1900, 8. 502—^03. — 8 : 97, siehe BM 83, 1902, 8. 406. 

— 8:5>8, siehe BM I3, 1900, 8. 269—270. — 8: 100, siehe BM 83. 1902, 8. 140. — 
%:101. siehe BM 83, 1902, 8. 325. — 8:104—105, liebe BM I3, 1900, 8. 503; 43, 

BtbUoüMM UathomkUca. III. Folge. V. 20 



306 



Fb. QnAJcrs. — G. EsDTiidM. 



1908, 8. 397—398 — 8:111, aiehe BM 83, 1901, S. 352. — S:116, siehe BM Ss, 
1902, S. 406. — 8 : 122, aiehe BM I3, 1900. S. 503—504. — 8 : 126, 127, siebe BM 83. 
1902, S. 406. — 8: 12H, siehe BM I3, 1900, S. 504. — 8: 132, siehe BM I3, 1900. 
S. 615—516. — 8:143, siehe BM I3, 1900, S. 504. — 8:157. löS, siehe BM 83, 
1901, S. 352. — 8 : 163, 166, siehe BM I3, 1900, S. 504. — 8 : 17o, siehe BM 83, 1905!, 
S. 140. — 8:210, aiehe BM 8», 1901, S. 352—353. — 8:2JS siehe BM 43. 1903, 
S. 284. — 8:219, siehe DM 83, 1901, S. 353. — 8:22«, 242, 243, siehe BM I3, 
1900. 8. 504—505. — 8:253, siehe BM 83, 1901, S. 353. — 8:273, siehe BM I3, 
1900, S. 505. — 8:274, siehe BM Sj. 1902, S. 325. — 8 : 2H2, 28!», siehe BM I,, 
1900, S. 606; 83. 1901, S. 353-354. — 8 : 2S4, 286. 287, 289, 29«, 291, siehe BM 1,, 
1900, S. 506—507. — 8:296, siehe BM 83, 1901, S. 354. — 8:313, siehe UM I.,, 
1900, S. 507. — 8:317, siehe BM 5», 1004, S, 69. — 8:32s, siehe BM Sj, 1902, 
S. 140; 43. 1903, S. 286. — 8 : 334, siehe BM I3, 1900, S. 607. — 8 : 353, siehe BM !.■,, 
1900, S. 507; 4.i, 1903, S. 87. — 8 : 35H, :««), siehe BM 43, 1903, S. 87. — 8:381, 
siehe BM I3, 1900, S. 607. — 8 : 385, siebe BM 83, 1902, S. 81; 43. 1903, S. 207. 



2 : 386. Von dem Traclattts arUhmelice pradice qui ilicitur algorismu3 
des CiRüELO führt Poooekdorfk an der von Herrn Castor zitierten Stelle eine 
Auflage aus dem Jahre 1495 auf (1496 bei Cantor ist sicherlich nur ein 
Druckfehler), und in der Tat besitzt die Hofbibliotbek in Darnistadt eine 
Inkunabel mit dem Titel Tradafus arilhmetice praclice qui dicitur algorismtis, 
deren Schlnßschrift lautet: Arithmetice practice seu algorismi tractatus a 
Pbtko Sanchez Ciruelo noviter compilatns expHcit. Impressus Parisios in 
campo gaillardo per Huidonem Mercatoris, anno domiui. 1495. die 22. Februarij, 

Darmstadt Fb. Graefb. 



M 



8 : S86, 395, 401, 405, 425, siehe BM I3, 1900, S. 507—508. — 8 : 429, siehe BM 53, 
1904. 8. 201-202. — i : 430, siehe BM 83, 1901, S. 145. — 8 : 440, sioho BM 43. 1903, 
S. 285. — 8 : 442. siehe HM 83, 1902, S. 325. — 8 : U% siehe BM 83, 1902. S. 140. — 
8 : 454, siehe BM 3;), 1902, S. 242, — 8 : 474, 48«, siehe BM 3s, 1902, .S. 140—141. — 
8 : 481, siehe BM I3, 1900, S. 508. — 8 : 4H2, siehe BM I3, 1900, 8. 508: 83. 1901, S. 354; 
.I3, 1902, S. 240. — 8:4S4, siehe BM »3, 1902. S. 141. — 8:486, 489, 490, siehe BM I3, 
1900, S. 509. — 8 : 497, siehe UM I3, 1900, S. 509; 43, 1903, 8. 87. — 8 : 509, siehe BM I3, 

1900, S. 270, 509. — 8: 510, siehe BM I3, 1900, 8,509. — 8:512, siehe BM 83, 1902. S. 141. 

— 8: 514, 516, 517, siehe UM I3. 1900, S. 509. — 8 : 530. siehe BM 83, 1901, S. 354 
—355; 83, 1902, S. 141. — 8 : 532, 535, 541. 54-% 549, siehe BM I3, 1900, S. 509— 51Ü. 

— 8 : 550. siehe BM 83, 1901. S. 356. — 8 : 554, siehe BM I3, 1900, S. 510 — 8 : 555, 
565, 567, 56S, siehe BM 4.s, 1903, S. 285-286.-8:569, siehe BM I3, 1900, S. 510. 

— 8:572-573, siehe BM Ig, 1900, S, 510; 83, 1902, S. 141. — 8:576, siehe BM 81, 

1901, S. 355—356. — 8:579, siehe BM 8.3, 1901. S. 145. — 8 : 5.H0— 581, siehe BM 4g, 
1903, S. 207 — 8:5S2, siehe BM I3, 1900, S. 510. — 8:583, siehe BM I3, 1900, 1 
8. 270: 8a, 1901, S. 356. — 8 : 585, siphc BM 83, 1904, 8. 69—70. — 8:592, siehe 
BM 83, 1901. S. 146. — 8:594, siehe BM I3, 1900, S. 270. — 8:597, siehe HM I3, 
1900, 8. 270; «3, 1901, S. l46. — 8:599—600, siehe BM 83, 1901, 8, 146. — 
8:602, 603—604, siehe BM I3, 1900, S. 270—271. — 8:611, siehe BM 83, 1901, 
8. 356—357. — 8 : 612, siehe BM I3, 1900, 8. 277; 83, 1901, 8. 146. — 8 : 613, siehe . 
BM 83, 1901, 8. 867. 



2 : 613. Mit Zuhilfenahme der BiblioUca matematica italiana (11, Sp. 506 
— 507) von P. RiocAiiüi können die bibliographischen Notizen über Tartaouas 
Oeneral Iraltato di numere c misurc unmittelbar kontrolliert und ergllnzt werden. 
In betreff der französischen Übersetaung gibt Riccardi 1578 als Druckjahr an 
und verzeichnet noch eine spätere Auflage vom Jahre 1613 (Paris, Ad. Parier); 
ein Exemplar dieser Auflage beeass B. Bonoompaoni. G. EitEaTRÖif. 




Kleine Mitteilungen. 



307 



1614, 620, siehe BM Sa, 1902, S. 141. — »:621, 623, siehe BM 1:,, 1900, 

S. 277; »3, 1901, S. U6-H7. — « : 638, siehe BM «3, 1901, S. 147. — « : 642, 
I MS, siehe BM 1», 1900, S, 271. — »HiSö, siehe BM »3, 1901, S. 357. — 8:656, 

nebe BM 43. 1903, S. 286. — Ä : 65«, 660, siehe BM 8.1, 1901, S. 147—148. — 
' !e:685, siehe BM 1», 1900, S. 271. — 8:00«, siehe BM Sa, 1904, S. 203. — 

8:074, siehe BM 43, 1903, S. 88. — 8:683, siehe BM 83, 1901, S. 148.— 
; 8:6»3, siehe BM 43, 1903, S. 287. — 8:700, 701, 703, 704, 705, siehe BM I3, 
i 1900. S. 271—273. — 8:719, siehe BM 83, 1901, S. 357. — 8:720, siehe BM 43, 
' 1908, S. 287. — 8:721, siehe BM I3, 1900, S. 273. — 8:742. siehe BM I3, 1900, 
' S. 273; 83. 1902, S. 142. — 8: 746, siehe BM 1;,, 1900, S. 273. — 8 : 747, siehe BM I3, 
I 1900, S. 173; 83, 1901, S. 22b. — 8:749, siehe BM 43, 1903, S. 88. — 8:766, 

aiehe BM 83, 1902, 8. 142. — 8:767, liehe BM 83, 1901, S. 148, 857—358. — 
' 8:770, siehe BM 43, 1903, S. 208. — 8:772, 775, siehe BM 83, 1901, S. 358 

-359. — 8:777, siehe BM 83, 1901, S. 148; »3, 1902, S. 204. — 8:783, siebe 
JM 8j, 1901, S. 369; 43, 1903, S. 88—89. — 8:784, siehe BM 83, 1901, S. 148. 

H^^ : 793. Die Angabe, daß der jüngere Frakciscus van Sobooten 1649 
PJIv^toinische Übersetzung der Dkscarteb sehen Giomitrie veranstaltete, und 
daS ihr 1659 ein erneuter Abdruck mit zahlreichen ErgUnznngon von ver- 
schiedenen Verfasssem folgte, ist buchstäblich korrekt, aber aus dem, was Herr 
Cantok weiter unten (S. 798, 799, 820) bemerkt, ersieht man, daß seine An- 
gabe in Wirklichkeit bedeutet, die 1640 erschienene erste Auflage der latei- 
nischen Übersetzung enthalte keine Ergänzungen von anderen Verfassern. Aber 
in diesem Sinne geuommen ist die Angabe entschieden unrichtig. In der Tat 
enthält die Auflage von 164!', abgesehen von der Zueignung, dem Vorworte, 
dem Register und den Verbesserungen, zusammen 33ß Druckseiten, während 
die Übersetzung der Geomitric nur 118 Seiten, d. h. etwa '/g des Buches, ein- 
nimmt. Dann folgt weiter: Fr.nRiuosDi de Df.ävse in geometriam Resati Des 
C AKTES notae hreves (S. 1 19 — l(Jl); Fhas/ci.sci ä Scuootea- in geometriam HESAft 
Des Caxtes commentarii (S. Itj2 — 294); AddUamentum [aus der von J. von 
Wa£ssena£r 1640 herausgegebenen Schrift: Den onwissen Wiskonstenaer 
I. I. Stampio'esws ontdeckt^ (S. 295 — 336). G. Eneström. 



»2 : 798. Hier finden sich zwei ungenaue Angaben, die davon abhängen, 
die erste Auflage der lateinischen Übersetzung der Giomitrie Herrn Cantob 
nicht zugänglich gewesen ist. In der Tat muß Zeile 11 statt „etwa 20*' etwa 
10 gesetzt werden, denn die Untersuchungen von Jakob von Waessenaer, um 
die es sich hier handelt, Hoden sich schon in dieser Auflage (S. 263 — 264). 
Folglich muß auch Zeile 2 — 3 von unten statt „in der zweiten lateinischen 
I Ausgabe der Geometrie von 1659" stehen: „in der ersten lateinischen Ausgabe 
der Geometrie von 1649". G. Eneström. 

^f 2 : 799. Die hier erwähnten Erläuterungen von Florimond Debbaunb 
' finden sich schon in der ersten lateinischen Ausgabe der GiomHrie von 1649 
thtü. oben die Bemerkung zu 2 : Td'd). G. Enbbtböm. 



Z : 802, liehe BM 43, 1903, S. 208. — « : 812, siehe BM 43, 1908, S. 87. 



2 : 820. Die Noiac hreves von Florimond Debeaune und die Commentarii 
FraiicibcU8 van Schootbn kommen schon in der ersten lateinischen Aus- 
,be der Qiomitrie (^1649) vor (vgl. oben die Bemerkung zu 2 : 793). 

G. Eneström. 
20* 



308 



J. EL'ncLE. — Felxx Müixeb. — G. Ehbstböm. 



ft:HW, 835, siehe BM Sg, 1901. S. 148. — S : ^S2, siehe BM S», 1904. S 
—204. — « : HIO, siebe BM «:,, 1901, S 148—149. — Ä : s«, siehe BM »j, 1902, S 323^,1 
— S:S5ß, SnS, siebe BM ^, 1901, S. 149. — 9 : !S7t>, 87n, 879, siehe BM t^ 
1900, S. 511. — «iK»!. siehe BM I3, 1900, 8. 273. — )e:898, siehe BM -l^, 

1903, S. 37, 208. — « ; !t01, siehe BM I3, 1900, S. 511. — « : 919, siohe BM 5«, 

1904, S. 204. — « : VIII (Vorwort), siehe BM 83, 1902, S. 142. — 2 : IX, X (Vor. 
wort), siehe BM lg, 1900, S. 511—512. 



3 ; 9, siehe BM 83, 1901, S. 359. — S : 10. siehe BM U, 1900, S. 518. — 3 : 11, 
siehe BM 43, 1903, S. 209. — 3 : 12, 17, siebe BM I3, 1900, S. 512. — 3:22. siehe 
BM I3, 1900, 8. 512; 43, 1903. S. 209. — 3:24, siehe BM 43, 1903, S. 209. — 
3:25, siehe BM 43, 1903. S. 209, 399. — 3:26, siehe BM «3. 1901, S. 359. — " 
3 : 45-48, 4», .50, siebe BM I3, 1900, 8. 512—513. — 3 : 70, siebe BM «3, 1901, 8. 360. 



I 



• 



3 : 82. Den wichtigen Satz, daß eine Reihe, deren Glieder beständig ab- 
nehmen und alternierend positiv und negativ sind, einen endlichen Wert be- 
sitzt, hat LEtitxiz schon in seinem Briefe an J. Hermann vom 26. Juni 1705d 
behandelt {Lkibsizchs Mathematische Schriften, herausg. von C. I. GeruardtJ 
Abt.. I, ß. 4, S. 272). Hier bemerkt Lelbniz u. a.: .Wenn nicht bewiesen wird,! 
daO eine Reihe sich dem gesacbten Wert nähert, so daß wir durch Fortsetzungj 
den Fehler kleiner machen können als eine gegebene Größe, so können wir nicht] 
behaupten, daß die ganze Reibe den gesuchten Wert ergibt". Dann macht 
darauf aufmerksam, daß, wenn die Reihe von der Form 

o — 6-fc — d-f 

ist. wo 4* und — abwechseln, so nähert sich die ganze Reihe dem gesncbteal 
Werte, sobald ,die Glieder a, b, c etc. sich der Null nilhern oder kleiner werden,] 
als eine beliebige gegebene Größe*. In diesem Briefe bemerkt Leibniz nocb,| 
dliß es, um einen Konvergenzbeweis zu führen, .notwendig ist, das Gesetz oda 
die Fortschreitung der Reihe zu kennen, oder auch das allgemeine Glied derselbeoJ 
zu bestimmen*. 

München. J. £Inkj>e. 

3:100, siehe BM «3. 1901, S. 149. — 3:112, siehe BM 43. 1903. S 209 
—210. — 3 : 116, siehe BM 1;,, 1900, S. 513. — 3: 117, siehe BM I3, 1900. S. 518, 
3: 12:1, siehe BM I3. 1900, 8. 513; 43, 1903, 8. 399. — 3 : 124, siehe BM Ss, 1902,1 
S. 407—408; 48, 1903, 8. 400. — 3 : 126, siehe BM 43, 1903, 8. 288 — 3 : 131, sieh^ 
BM 43, 1903, 8. 210. — 3: 151, siehe BM .^3, 1902, S. 326. — 3: 167, 172—1 
siehe BM 43, 1903, S. 400. — 3: 174, siehe BM «3, 1901, S. 149—150 — 3 : 11 
siehe BM Is, 19ii0, S. 482. — 3:1HS, siehe BM 83, 1902, 8. 241. — 3:201, »ish 
BM I3, 1900, 8.513. — 3:207, siehe BM I3, 1900. S. 519. — 3:215, siehe BM « 

1901, 8. 150. — 3: 21s, siehe BM I3, 1900, 8. 513. — 3:220, siehe BM 3«, 1902, 
8. 826. — 3:224, siehe BM I3. 1900. S. 514. — 3:225. 22.«^, siehe BM «3. 1901, 
8. 150. — 3 : 232, siehe B.M I3, 1900, S. 514. — 3 : 244—245, siehe BM S3. 1904, 
S. 205. — 3 : 246, siehe BM I3, 1900, S. 514; SSa, 1901, S. 151. — 3 :250, siehe BM 1«. 
1900. 8. 514. — 3:303, siehe BM «3. 1901, 8. 155. — 3:330-331, siebe BM Ss. 

1902, 8. 241-242. — 3 : 887, siehe BM 5s. 1904, 8. 206. 



3 : 370 — 871. Schon in dem oben zitierten Briefe an J. Hermann 
2t). Juni 1705 bat sich Leibniz der Worte „advergere"' und „advergentia' 
dient. Hier schlägt er auch vor, eine vorgelegte Reihe, deren Konverge: 
untersucht werden soll, in eine andere zu transformieren, wo -|- und — bei' 
den Gliedern abwechseln, worauf man nur nachzusehen bat, ob die Glieder sich 
der Null nähern. 

München. J. Ekki^b, 



" b^l 



leine Mitt«ilangen. 



309 



iS : 447, 455, siebe DM 83, 1901, S. 151. — 3 : 47'J, siehe BM £3, 1901, 8. 154— 15S; 
'3, S. 401 — 3 : 477, 479, siehe BM «3, 1901, S. 151—152. 



3 : 497. Eine dritte Auflage des V. Bandes von Ch. Wolf's Elementa 
mtUheseoa univ. gab Jon. Pet. Ebeiuiakd i. J. 1 769. Die 3 Auflagen der ElcmenUx 
sind also folgende: Halle 1713—41, ib. 17^0—52 (Nachdruck Genf 1732— 
38), Halle 1743— fiO. Daher muß es auch heißen: 3: 514, Z. 5 v. 0. 1713 
—41 statt 1741 und 8:522, Z. 15 v. o. 1713—41 statt 1714. 

Feu.y Müller. 



3:498. Z. 8 v. 0. und Z. 2 v. u., ebenso 8. 510, Z. 2 v. o. mufl es 
heißen 1734 statt 1702, als Erscheinungsjahr der 2:ten Auflage von Wolfs 
Lexikon. Es scheint wenig bekannt zu seiu, daß xu diesem Lexikon i. J. 1742 
ein .Zweyter Theil" erschienen ist, .worinne nicht allein die in der Planimetrie, 
Altinietrie und Stereometrie nöthige und nützliche Tafel der VVnrtzel-, Quadrat- 
und Cubic- Zahlen bis 10 000; desgleichen der Canon Triaugulorum, Sodenn 
Henrici Briggii 20 Chiliades Logarithmonim ; ingleicben die zur Marckscheide-, 
zur Bürgerlichen und Kriegs-Bau-, wie auch zur Peuorwercker-Kunst gehörige 
Tafeln; sondern auch Hydogruphiscbe, Geographische, Calendariographische und 
luidere nützliche Tabellen, und endlich der Canon Sexagenarius und der Sinuum, 
Tangentium und Secantium enthalten; welchen noch einige Mechanische, Hydro- 
statische, Aerometrische und Optische Tabellen beygefügt sind; Nebst einer An- 
leitung /.um Gebrauche derselben und Erklilrung der Wörter". In der VoiTede 
zu diesem zweiten Teil verteidigt sich der Verleger gegen Wolfs Vorwurf des 
insulsnm petitum (Cantok, S. 498), ,da mnn einen andern, der dem Herrn 
Begierungs-Rath Wolpf an Verdiensten zwar nicht gleich kommt, doch aber 
stände war. nach dessen Vorschrift die Sache weiter auszuführen, zu dieser 
krbeit zu Hiilffe nehmen mußte". Wer dieser Andere, der die 2:t6 Auflage 
berüusgegebeu , gewesen sei, wird nicht gesagt, doch wird weiter unten ange- 
gegeben, daß der Urheber des zweiten Teiles „der nunmehr verstorbene Herr 
Richter" sei. Nach Herrn Enestköms Vermutung (Biblioth. Mathem, 12,, 
1898, ö4) ist der Verfa.sser der zweiten Auflage des WoLKsehen Lexikons der 
von PoooENDOurp als am 23. Juni 1742 gestorben angeführte Georg FuiKUHirn 
RifiiTEK, also wohl derselbe wie der Verfasser des ei"sten Teils der zweiten 
Auttage. Die oben erwähnt« Vorrede ist freilich vom 20. December 1741 
datiert, an dem nach PooaRNUORFF's Angabe Bichtkr noch nicht verstorben war. 

Felix MiJLLER. 

3 : 507, siehe BM S,. 1904, S 71—72. — 3 : 521, siehe BM «3, 1901, S. 441. — 
J: 535, siehe BM -Jbj, 19Ü3, S. 401. — 3 : 58«, siehe BM Ss, 1904, S. 206. — 3 : 505, 
siehe BM Sa. 1902, S. 326-327. — 3 : 571, siehe BM 83, 1902, S. 327; 5», 1904, 
S. 72. — 3 : 578, siehe BM 33, 1902, S. 327. 



3 : 578. Die Z. 23 — 24 im Vorübergehen erwähnte Schi-ift von J. A. Seoner 
enchien nicht 1725 sondern 1728 (siehe unten die Bemerkung zu 3:609). 



3 : 609. Nach C. Müller (Studien eur Geschichte der Mathematik an der 
ÜHiversiiät GOttingen im 18. Jahrhundert, Leipzig 1904, S. 30) erschien 
^. A. Seonbirs Dissertatio qnstolica ad G. E. Haiibkroercm 1728 (nicht 



310 



G. EkBKTBÖK. — 0. LORIA. 



1725). Merkwürdigerweise hat das Titelblatt als Druckjahr MDCCXVITT. aber! 
im Jahre 1718 war Segner nur 14, Hamberugk nur 21 Jahre alt. C. Mülx£R 
gibt noch an, daß die SBGNERSche Schrift in den Leipziger gelehrten 
Zeitungen 1728 als im September erachienen aufgeführt wird. 



3 : 686 (vgl. 8. 722). Den von d'Alembert 1746 erörterten Sata ^ dafl 
jede Funktion von beliebig vielen iroagin&ren Größen immer als /> -f* ? V — 1 
mit reellem p und q gedacht werden kann, hatte NiKOt^Aus I. B£RNOia.Li schon 
drei Jahre fräher in einem Brief an Eülkr vom 6. April 1743 aasgesprocheu. 
Jener bemerkte nämlich (siehe Fuss, Correspondance mathimatiquc et pkysique 
de quelques cüibres giomitres du XVIII' siMe, St. Petersburg 1843, II 
8. 703): ,,Af6rmo assertum tuum demonstrari posse, dummodo concedatar (qnod 
nemo negabit) omnem ijuantitatem imaginariom considerari posse instar func- 
tionis alicujus vel aggregati plurium lunctionuiii quantitatis vel quantitstum 
hanc formam habentium b jb V — <*i "hi b significat quantitatem realem vel 0, 
et a quantitatem realem afSrmativum". Hier darf man nicht „functio" durch 
,,Funktion'', sondern vielmehr durch „algebraischer Ausdruck" wiedergeben. 

6. Eneström. 



3:f.I4, siehe BM 43, 1903, S. 89—90. — 3:636— 6:17. siehe BM «j, 1901. 
8. 441. — 3:646-(;47, »iehe B.M »3, 1904, S 206—207. — 3 : «52, siehe BM «a. < 
1901, 8. 446; 53, 1904, S. 207. — 3 : 660, siehe BH £3, 1901, S. 441. 



3 : 667. Als Erg&nzung der früheren Notiz (BM 23, 1901. S. 441 — 442) 
über die Benutzung des Buchstabens e für die Basis des natürlichen Logarithnien- 
sjstems weise ich auf El'leks Mcchanica sivc motus scietiiia analytice exposila 1 
(St. Petersburg 1736) hin, wo (II S. 2r.l, 256—207, 268—270 u. s. w.) t in, 
dieser Bedeutung angewendet worden ist, und zwar auch hier ohne jede 
Erklärung. An der ersten Stelle folgert Euler aus der Gleichung 

gkx 



k\ 



ohne weiteres: ,habebitur ergo 



gkx — 6* 



gkx — 6j" 
Die erste öffentliche Benutzung des Buchstabens e für die Basis des natürlichen ^_ 
Logarithmensjstems dürfte also im Jahre 1736 stattgefunden haben, obgleich ^| 
es wahrscheinlich ist, daß die Abhandlung im 7. Bande der Petersburger 
Commentarii im Manuskript ein Jahr früher fertig war. G. Enestköm. 



3 : 667, siehe BM «3, 1901, S 441—442; 5«, 1904, S. 207-208. — 3 : «HG, siehe 
BM 53, 1904, S 208. — 3 : 689, 695, siehe BM «3, 1901, 8. 442. — 3 : 7.>0, 758, 
riebe BM «3. 1901, S. 446. — 3: 75», siphe BM »3, 1904, S. 208. — 3:760, 
766, siehe BM «3, 1901, S. 446-447. — 3:774, 79.S, siehe BM «3, 1901. S. 442— 
443. — 3:H45, siebe BM «3, 1901. S. 447; 3,,. 1902. S. :)27— 328. — 3 : S48, H81, 
i>iehe BM 83, 1901. S. 443. — 3:882, siehe BM S», 1901, S. 447. — 3 : s9<>, siebe 
BM 43, 1903. S. 401. — 3:892, siebe BM Sa. 1902, S. 143. — 3: IV (Vorwort), 
siehe BM «a, 1901, S. 443. 



Kleine Mitteilungen. 



311 



Yermischte historische Notizen. 

TTn artiole de L. Cremona sur Giovanni Oeva. Presque aa m6me 
instant oü le cohier bs : 2 de la Bibliotheca Mathematica a m pnbliä, 
j'ai retroave l'article de L. Cremona Intorno ad un' operetta di Giovanni Cf:tA, 
imUematico milanesc del secolo XVII y cit6 par tnoi ä la page 190. En effet 
oet article a para dans la Rivista giunasiale e delle scaole tecnicbe 
e reali 6, 1859, p. 191—206. G. Loria. 



Anfragen. 

HS. über die Geachichte der Heronsohen Sreiecksformel im 
christlichen Mittelalter. Die Formel für den Flächeniuhult eines Dreiecks, 
die in moderner üezeicbnung 7=^8 (5 — «) (s — b) [s — c) lautet, findet sieb 
bekanntlich zuerst bei Hekon, der diese Formel an vielen Stellen seiner Arbeiten 
angegeben oder bewiesen hat. Spüter trifft man die Formel bei den römischen 
Agrimensoren, bei Bkahmagui-ta and Bhaskara, sowie bei den Söhnen des 
MrsA BEN ScHAKin und anderen arabischen Mathematikern. Im christlichen 
Mittelalter tritt die Formel, soweit bisher bekannt, zuerst in der von Platone 
TiBiuTiNO verfertigten lateinischen Übersetzung des Liber embadorum des 
Savasorda auf (siehe Cuktze, Urkunden eur Geschichte der Mathematik im 
Mittelalter und der Renaissance, Leipzig 11)02, S. 72 — 75), etwas später in 
der von Gheiiaiido Gkemonese herrührenden Übersetzung der Geometrie der 
drei Brüder (siehe M. Curtze, Der liber trium fratrum de geometria; Nova 
Acta der deutschen Akademie der Naturforscher 49 (Halle 1885), 
8. 27 — 31) und in der Geometria practica von Leonardo Pihano (siehe 
Scritti di Leonardo Pihano pubblicati da B. Boncompaoni II, Roma 1862, 
8. 40 — 41). Ferner findet sich die Formel in einem Anhange zu einer dem 
JouuANiJS Nemorarius zugeschriebenen Schrift De pondcribus (siehe Biblioth. 
Muthem. 5g, 1904, S. 203), sowie in einer Handschrift aus dem Ende des 
13. Jahrhunderts (Cod. lat. Monac. 234; siehe Curtze, Eine Studienreise; 
Centralbl. f. Bibliotheksw. 16, 1899, S. 297—301) und in einer Hand- 
schrift aus dem Anfang des 14. Jahrhunderts (Cod. Dresd. Db. 86; siehe 
Cuktze, Über eine Handschrift der könitß. Offcntl. Bibliothek in Dresden; 
Zeitschr. für Mathem. 28, 18S3, Hist. Abt. S. 1—13); auch in der Artis 
metrice practicc compilatio von Leonardo Cremonbse, die möglicherweise um 
1400 geschrieben ist, kommt die Formel vor (siehe Ciirtzb, Urkunden eur 
Geschichte der Mathematik im Mittelalter und der Renaissance, S. 886 — 387). 
Im Druck erscheint sie zuerst bei Widmann (1489) und Luoa PAC!umi,o (1494). 
In den soeben zitierten Schriften koiiunt die Formel teils mit, teils ohne 
Beweis vor. Bewiesen wird sie von Heron, fast auf dieselbe Weise in 
dem Cod. Dresd. Db. 86, und eine nicht besonders grolle Modifikation des 
HRKONBchen Beweises gibt der Cod. lat. Monac, 234; etwa dieselbe (oder 
1 vielleicht genau dieselbe) Modifikation dürfte der Anhang zur Schrift De 
ponderibus bieten. Einen wesentlich anderen Beweis haben die drei Brüder; 
dieser Beweis findet sich auch bei Leom.^roo Pisano, spUter bei Luca Paciuolo. 
Dagegen fehlt der Beweis im Liber embadorum (wenigstens in der von Curtze 



812 



G. E.NESTBÖM : Kleiue Mitteilungen. 



hernnsgegebenen Redaktion, wo ansdrücklish bemerkt wird, daß der Beweis 
verwickelt ist um leicbt auseinandergesetzt werden zu können), und dies it 
auch der Fall bei Leonardo Chemonese und bei Widmajw. 

Gibt es im christlichen Mittelalter andere Schriften als die oben genanntea, 
die Herons Dreieoksformel euthalt'enV Bringen sie auch Beweise der Forme), 
und stimmen die Beweise mit dem Hehon sehen oder mit dem der drei Brüder 
überein? G. Eneström. 



119. Über den Verfasser einer von Cortze (1898) herausgegebenen 
AlgorismuB-Sobrift aus dem 12. Jahrhundert. M. ('uktze hat 1898 eine 
anonyme Algorismns-Schrif't aus dem 12. Jahrhundert herausgegeben (siebe 
Abhandl. zur Gesch. der Mathem. 8, 1898, S. 17 — 27); von diesem 
Traktate waren ihm zwei vollständige Exemplare bekannt, nämlich Cod. tat. 
Monac. 13021 (geschrieben 1103 — 1108) und Cod. lat. Monac. 18927 (aus 
dem 13. Jahrb.). Indessen scheint es, als ob es wenigstens noch ein drittes 
Exemplar dieser Algorismus-Scbrift gäbe, nämlich Ms. tbnds Sorbonne 980 der 
,Bibliotb6(|ue nntionale' in Paris. LtuKi hat nümlich in seiner Uisioire des 
Sciences matliematiques cn IMie (11, S. 299) einige Zeilen aus diesem Manuskripte 
abgedruckt, die mit dem Anfange des von Curtze herausgegebenen Traktates 
übereinstimmen. Nach Libri hat die in Paris befindliche Abhandlang den 
Titel: Liher ysagognrum alchnrismi in artem astronomicam a maffistro 
A. composUus. 

Ist diese Abhandlung wirklich identisch mit dem Traktat im Cod. Ut. 
Monao, 13021? Kann man dadurch oder auf andere Weise AufscbluU über 
den Verfasser des Traktates bekommen? G. Ene8tröm. 



BKensionen, 



Rezensionen, 



W. W. R. Ball. Breve compendio di storia delle matematiohe. Versione 
dair inglese con noto, aggiuutt! e luodificazioni di D. GAMnioi.i e G. Pui.iti, 
riveduta e oorretta di G. Lortu. Vol. 1 — 2. Bologna, Zanichelli 1903 — 
1904. 8«, (3)4-X-f-(l) + 284 S.; VI-t-439 S. Lire 20. 
In ihrem Vorworte bemerken die Übersetzer, daß es bisher in Italien an 
einem Kompendium der Geschichte der Mathematik gefehlt hat, das mit Vorteil 
sowohl von Schülern an den Gymnasien als von Studenten benutzt werden 
kaon. Sie haben es darum nuternomnien, das Bali, sehe Account of ihe histortj 
of maihcnuUics, das sie als eine vorzügliche Arbeit bezeichnen, ins italienische 
zu übersetzen und dabei sowohl im Texte als unter der Form von Noten zahl- 
reiche Verbesserungen und Zusätze gemacht. Dazu haben sie als Anhänge zwei 
selbständige Artikel gebracht, nämlich am Ende des ersten Teiles eine kurze 
Notiz über La scuola pitagorica (von G. Puliti) and am Ende des zweiten 
Teiles einen ausführlichen Bericht Su alami matematici italiani dei tempi recenti 
(von D. Gambioi.i). 

Daß das AccoHnt des Herrn Bali. Verdienste hat, ist nicht zu leugnen, 
daß es aber an vielen Stelleu unvollstHndig ist, haben die Übersetzer selbst in 
ihrem Vorworte ausdrücklich hervorgehoben, und hinzugefügt, daß sie sich 
große Mühe gegeben haben, um die Lücken auszufüllen. Wenn sie auf der 
anderen Seite nichts über die zahlreichen Ungonauigkeiten ihrer Vorlage sagen, 
so bedeutet dies nicht, daß sie diesen Umstand übersehen haben, denn in 
"Wirklichkeit haben sie in Gemeinschaft mit HeiTu Loiua viele unrichtige An- 
gaben des Originals verbessert. Leider hat es ihnen entweder an Zeit oder an 
Sachknnde gefehlt, um ihre Arbeit in dieser Richtung befriedigend auszuführen, 
and in der Tat ist die Arbeit eine besonders schwierige und mühsame. Bei 
der Bearbeitung seines Buches, dessen erste Auflage bekanntlich 1888 erschien, 
hatte Herr Ball zum Toii unzuverlässige und schon damals veraltete mathe- 
matisch-historische Arbeiten benutzt. Die zwei folgenden Auflagen (1893 und 
1901) haben zwar viele Verbesserungen der ursprünglichen Angaben gebracht, 
aber eine wirklich eingehende Revision seines Buches hat der Verfasser offenbar 
nicht vorgenommen. Nicht einmal die inzwischen erschienenen zwei letzten 
Bände der CANTOKschen Vorlesungen hat er ausgenutzt, denn sonst würde er 
z. 6. notwendigerweise entdeckt haben, daß die noch in der 3. Auflage (S. 406, 
vgl. 8. 146 des 2. Bandes der italienischen Übersetzung) vorkommende Angab«, 
EuLER habe im Jahre 1744 eine Curvarum maximi minimive proprictatc gauden- 
Hutn inventio nova et facilin publiziert, unrichtig ist; bekanntlich trftgt die 
1744 veröffentlichte Arbeit von Eulek den Titel: Melhodus inveniendi lineas 
curvas maximi minimive proprietate gaudentes, wahrend die von Herrn Ball 



314 



RfifensioDeD. 



erwähnte Schrift 1741 in den Commentarii acad. sc. Pefrop. 8 (ad 
annum 1736) erschien (siehe Cantoii, a. a. 0. IIP, S. 853, 857). Aber abge- 
sehen von den entschieden unrichtigen Notizen, gibt es in dem Buche dee Herrn 
Ball viele andere Stellen, die beanstandet werden können, weil der Verfasser 
bloße Vermutungen als wirkliche Tatsachen erw&hnt oder umgekehrt schwebende 
Angaben unnötigerweise bringt, so daß der Leser eine unrichtige Auflassung 
von dem heutigen Stand der mathematisch - historischen Forschung bekommt. 
Auch solche Bemerkungen kommen bei Herrn Ball nicht selt«n vor, die an 
sich richtig sind, aber den nicht sachkundigen Leser irre leiten, weil dieselben 
Bemerkungen mit ebenso gutem oder sogar noch besserem R«chte an vielen 
anderen Stellen gemacht werden konnten. 

Aus dem soeben Gesagten geht hervor, wie schwierig es ist, eine weeent- 
lioh verbesserte Übersetzung des B.\ll sehen Baches herzustellen. Für diesen 
Zweck w^Hre es nötig gewesen, viele Stücke entweder umzuarbeiten oder als 
Notbehelf gan« zu streichen. Die Übersetzer scheinen dagegen ein anderes Ver- 
fahren gewühlt zu haben, nämlich die möglichst kleinen Anderangen vorzu- 
nehmen, und darum ist der Erfolg ihrer Bemühungen, wie ich schon angedeutet 
habe, keineswegs als wirklich gut zu bezeichnen. Um die Richtigkeit meiner 
Behauptung an einem Beispiele zu zeigen, w&hle ich eine Stelle, die sich anf 
einen italienischen Verfasser bezieht, and die also gerade in einer italienischen 
Übersetzung besondere Berücksichtigung verdient. 

Unter den wichtigsten Schriften des Tartaolia hat Herr Ball (S. 225 
der 3. Auflage) „an arithmetic, published in two parts in 1556; a treatise 
on nuinbers, published in four parts in lo(JO and sometimes treated as a 
continuation of tbe arithmetic" aufgeführt. Diese Angabe ist von den Ober- 
Betzorn (I: S. 229) auf folgende Weise verändert worden: „una aritmetica pubbli- 
cata in dne parti nel 1556, il General trattato di numeri e misure pubbli 
cato in sei parti nel 1560 e considerato talora come an segnito dell' aritmetica' 
Natürlich bringt diese Änderung insofern eine Verbesserung, als die angel 
liehe zahlentheoretische Arbeit in vier Teilen gestrichen ist, aber die Unricbti 
keiten sind damit noch nicht beseitigt, denn 1) die sechs Teile des Generol 
trattato wurden nicht alle im Jahi-e 1560 veröffentlicht; 2) höchstens die fünf 
letzten Teile können als eine Fortsetzung der Arithmetik von 1556 betraoh 
werden, da der erste Teil gerade diese Arithmetik selbst enthielt, — auch d 
zweite Teil war arithmetischen Inhalts, aber nach Riccardi (Dibliot. nuilt 
ital. n, 505—506) ist sie nicht vor 1560 als selbständige Schrift erschienen 
3) es ist unrichtig zu sagen, daß die letzten Teile des General trattato bis 
weilen als Fortsetzung der Arithmetik betrachtet werden, denn sie tragen dii 
Bezeichnung „la seconda parte" „la terza parte" etc., und weisen also alle «i 
,,la prima parte", d. h. auf die \h'<G als selbständige Schrift herausgegeben« 
Arithmetik hin. Die von Baij, unnötigerweise verwickelte Sache wird also yoo 
den Übersetzern noch mehr verwickelt, obgleich es ihnen sehr leicht geweaaa 
wäre, unter Zuhilfenahme der Riccaboi sehen Bibliographie eine richtige Notiz 
zu geben. 

Es ist nicht ohne Interesse an der jetzt vorliegenden Übersetzung zu kon 
statieren, wie leicht ungenaue Angaben wiederholt werden, auch in solchea 
Fällen, in denen man einen bestimmten Anlaß hat anzunehmen, da£ alles nicht] 
in Ordnung ist. S. 285 der 8. Auflage des Originals bemerkte Herr B.< 
in betreff der zwei ersten Bücher der DKSOAKTEüschen Geftmitrit: ,a Latin trans- 
lation of them, with explanatorjr not«6, was prepared by F. ob Bkaums, aad 



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RezenBionen. 



an edition of this, willi a commentary by F. van Schootes, issaed in 1659, 
wns widely read", was italienisch auf folgende Weise wiedergegeben wird 
(II: S. 16): ,una traduxione Intina di essi, coUe note esplicative, fu fatta da 
F. DE Beai^ne, ed un' edizione di essa, con un coniniento di F. van Schooten, 
Tenne pnbblieata nel 1659 ed ebbe una estesa diffusioue". Aber etwas weiter 
unten gab Herr Ball an (S. 317), daS F. van Schooten „brought out in 1659 
n Latin translation of ÜESCAnTES Giom/trie'-, welche Angabe die Übersetzer 
(11, S. 50) dahin berichtigen, daß Suhooten „pnbblicö nel 1649 una traduzione 
in laiino della Geometrie di Descakteh". Hier kann man wohl ubne besondere 
Sachkunde feststellen, daß die Behauptungen des Originals sehr verdächtig sind, 
denn es wftre in der Tat merkwürdig, wenn im Jahre 1659 ewei verschiedene 
lateinische Übersetzungen der Geomitrie erschienen wilren, die eine von F. van 
Sf'nooTEN, die andere zwar nicht von ihm, aber mit einem Kommentar von 
ihm versehen. Dieser Umstand hätt« die Übersetzer veranlassen sollen, die zwei 
zitierten Stellen des Originals zu kontrollieren, und es würde sich dabei leicht 
herausgestellt haben, daß nur eine einzige, von F. van Schooten vei fertigte, 
lateinische Übersetzung existiert; möglicherweise beruht die erste Angabe des 
Herrn Ball ursprünglich auf einem Schreibfehler (F. de Beal'ne statt F. van 
Schooten und umgekehrt F. tan Scuooten statt F. he BEAirxE). Es ist ja 
durchaus richtig, daß die erste Auflage der Übersetzung nicht 1659, sondern 
1649 erschien, aber im Zusammenhang mit dieser Berichtigung hütte auch 
die erste Stelle verbessert werden soUen. 

Es ist nicht meine Absiebt, mich hier mit den Stellen zu beschäftigen, 
wo die Übersetzer die üngenauigkeiten des Originals beibehalten haben; nur 
im Vorübergehen bemerke ich, daß sich darunter auch Angaben inbetreff ita- 
lienischer Mathematiker finden. So z. B. liest man S. 174 des 1. Bandes, daß 
Ghekakdo CuEikiONKNE „scvisse pure un brove trattato suU' algorismo, che esiste 
manoscritto nella biblioteca Bodleiana di Oxford", obgleich es bisher gar nicht 
festgestellt worden ist, daß diese Schrift, als deren Verfasser „magister Genahih;.s" 
oder „Gernardus" genannt wird, von Giieuardo Ckemone.se hen'ührt. 

Die italienische Übersetzung selbst scheint im allgemeinen richtig zu sein; 
nur an wenigen Stellen habe ich dabei etwas auszustellen. I: S. 173 findet 
sich die auffällige Notiz, daß ir>33 „anno in cui fu ritrovato il teste greco 
[degli Illementi d'EuuLmE]" war; das Original hat „recovered", welches Wort 
wohl so gedeutet werden kann, daß die Angabe weniger unrichtig wird. — 
I: S. 237 wird „a history of the quadrature of the circle" durch „una storia 
foodata sulla quadratura del oircolo"' wiedergegeben, — 11: S. 59 hat die 
an sich unrichtige Notiz, daß man J. Pell „an edition, with considerable new 
matter, of the Algebra by Bkankek and Rhonius, London 1668" verdankt, in 
der italienischen Übersetzung folgende Form bekommen: „un* edizione, con 
molte aggiunte originali, della traduzione dell' Algebra di Brancker e Rhonius, 
Rahn Londra 1668"; wie viele Leser kOnnen erraten, daß „Rahn", eine andere 
Schreibart füi- „Rhonius" ist? — II: S. 115 wird berichtet, daß die Analyse 
des infinimerii petita „coDÜene na studio particolareggiato del valore liiuite 
del rapporto di dne funzioni, che, per un certo valore della variabile assume 
la forma indcterminuta 0:0"; das Original hat „partial iuvestigation", was ja 
insofern richtig ist, als Höpit.vl nicht den Fall behandelte, wo auch das Ver- 
li&ltnis der DifferentialkoefHzienten der beiden Funktionen die Form 0:0 an- 
nimmt. 



316 



Rmtenaionen. 



Die von den Übersetzern herrührenden Zusätze sind meistens richtig, wenn 
auch zuweilen unvollatÄudig. I: S. 103 ist wohl Z. 12 „Heibebg" Schreib- 
fehler für „Govi"; 11: S. 240 ist für Sophie Kowalevski zwar das richtige i 
Geburtsjahr (1850 statt 1858) angegeben, aber der unrichtige 6eburtst«g 
(27. Dezember statt Ih. Januar) hinzugefügt worden. 

Wie schon erwBhut, enthält die italienische Übersetzung zwei Anhänge, 
von denen der oi°ste, der 10 Druckseiten umfaßt, nur nebenbei mathematisch- 
historischen Inhalts ist. Der zweite (S. 281 — 439 des 2. Bandes) bringt Bio- 
graphien einer großen Anzahl von italienischen Mathemntikem de« 18. und 
19. Jahrhunderts, alle schon verstorben mit Ausnahme von ü. Dini. Für die 
meisten sind Verzeichnisse ihrer wichtigsten Schriften hinzugefügt, aber die 
bibliographischen Angaben sind zuweilen unvollständig oder ungenau. So 7.. B. 
wird S. 435 eine Schrift von B. Boncompagni: „Opuscoli di Lenardo pisano I 
(1857)" aufgeführt, womit möglicherweise die Scritti di LrosARno Pisaxo^ 
gemeint sind, deren zwei Bande bezw. 1857 und 1862 erschienen, und die sonst 
im Verzeichnisse fehlen würden; die unter dem Titel Opuscoli di Leos arm PtxAX<i\ 
im Jahre ISött gedruckte Schrift ist nur eine zweite Auflage der 1854 er- 
schienenen Tre scritti inedili di Lkokardo P/sano. 

Inbetreff der Korrektheit der Wiedergabe fremdsprachlicher Zitate genügt dasl 
Buch vielleicht den Ansprüchen des italienischen Publikums aber wenn diesj 
der Fall ist, so sind die Ansprüche sehr bescheiden. 11:433 finden sich in den 
französischen Titeln der dort zitierten Schriften wenigstens ä4 Fehler, undj 
„Theorie die (!) Transformationsgmppen" wird II : 235 zitiert. Noch mehr zu be-l 
dauern ist, daß die Namen der zitierten Mathematiker allzu oft verdruckt sind,! 
z. B. .Buchet* (1:231), .Mastlin" (1:267), .Braucker* (11:59), ,BorcLard*( 
(11:213), .Bjerkenes* (1I:21<»), ,Kronecher' (11:223). .Ensel' (II : 235), usw.fj 
auch Jahreszahlen sind nicht selten durch Druckfehler entstellt, z. B. 1 : 214 Z. 20] 
(1531 statt 1534), 1 : 266 Z. 17 (1559 statt 1599), 1:270 Z. 7 (1539 statt 
1639), II : 142 Z. 4 (1525 statt 1725), II : 229 Z. 32 (1717 statt 1797), nsw.l 

Die Übersetzer haben in ihrem V^orworte darauf hingewiesen, daß andere! 
vielleicht eine bessere Arbeit hatten bieten können, daß aber ihr Verdienst ist»! 
die Arbeit wirklich ausgeführt zu haben und zwar ohne dabei ihre Kr&fte zu sparen.^ 
Qewiß ist dies ein Verdienst, und es ist nur schade, daß sie nicht von vorn- 
herein erkannten, wie große Schwierigkeiten gerade eine Übersetzung der Ton 
ihnen gewählten Vorlage mit sich bringt; ohne Zweifel h&tten sie dann ihre 
Arbeit so anordnen können, daß dieselbe ohne größere Kraftanstrengung von 
ihrer Seite viel nützlicher geworden wäre. 



Stockholm. 



G. Eneströk. 



Neuerschienene Schriften- 



DM ZeiohuD * Itedeatet, daO die betnOende Sohrifl d«r Ued&ktion nlubt vorgelegen bat. 

Autoren-Register. 



Al>el. 33. 

Albrecht, 14. 

Arehenbold, 14. 

B^. 6. 

Cmator, 3. 

Enertrain, 1. 16, 20, 28. 

Gunliioli, 6. 



.Joteyko, 2». 
Koppe, 15. 
Korn, 2i. 
Lori», 2, 26, Wl. 
Msnltias, Karl. 8. 
HuiiUn*, M., 11. 



Maller, Conrwl, 21. 
Hailer, Felix, 19. 

Puliti, tl. 
Sohisparelli 7. 
steinscbndder, 13. 
Stornier, 23. 



*• 



b) Zeitschriften. Allgemeines. 

Bi)>lintlieca Mntheiuatica. Zeitschrift für 

Geschieht« der mathematischen Wigsen- 

»chaftou. HerausKCReben von G. Enk- 

sTKüM. Leipzig (Stockholm). 8". [1 

5, 11904): 2. 

Bolletlino (ii bibliografla e storia delle 
■cienze matematichc pubblicato per cura 
di G. LoRiA. Torino (Gonova). 8". [2 

1WM:2. 



Caaler, ■., VnrlesnnRon Ober Oescbicbte der 
Vatliematik. — <> il900i. (Kleine lieinerkun- 
Ben:l Bililiotb. Matbeni b,, IWUi, a»— 201. 
>0. Bir.iTui.x ) • S> üUOl). [Kleine Bamer- 
knnK«ii :) Bihlintb. Halbem. 6,, 1904, 3Uä-208. 
(0 Kmhköji.) [3 

Keetken. U. G., Forelaesnlnger orer liatbe- 
malikena Uiitorie. 11 (19(W. [ReMBsion:] 
Bibliolh Mathem. tf 1904, 211—231). (O. Exe- 

• tada.) [4 

Ztathea, H. 6., Oeschicbte der Hatbematlk im 
XVI and XVII. Jabrhundert. Ueutnobe Ana- 
k-abe 1 19031. [Bezenaion:] Bibliolh. Halbem, k, 
19.H, •-'11—220. (O. EsanTaft«.) [5 

Uall, W. W. R., Brove compcndio di storia 
delle matematiche. Versione dall'ingleso 
con Qote, aggiunte e modificasioni di 
D. Gahhioli e Q. Pi'UTi, rivediifca e cor- 
retta di 6. Lokia. Volume 11. Le mate- 
matiche moderne tnno ad oggi. Bologna, 
Zanichelli 190«. [6 

8, VI + 43B S. - 112 Ure.J 



b) G^Bchiohte des Altertums. 

*«kUyar*IU, 6., L'ailrouoinia nell' Antico Testa- 
mento (ier.r5). [Rezension:] Bollett. di biblioKr. 
i. sc. matem. 7, 1904, 48^i2. iF. Poaao ) 17 



ManitliiH, Karl, Fiistenibeobachtungon 

des Altertums. [8 

Iias Weltall 4, IÄM. 2M— 267. 

Vnilati; G., I,n dimnatrazione ilel prin- 

cipio della leva data da Archimcde uol 

libro primu buU' equilibrio delle figiire 

piano. { 

Bollett. di bibliogr. d. sc. matem. 7, 1901, 

»3-3'.). 

Xeothen, U. ti., Sur l'arithm^tiquo des 
Grecs et <leg Indiens |10 

Bibliolh. U»lhem. »], VMH, 97-112. 
IKanitiuS) JH., Kollationen aus einem 
geometrischen Traktat. 1 1 1 

Herme« »», IVWJ, 291-3110. 
IViUon, 1, C, Peeudo-Euclid, introdactio 
harmonica. [12 

Tbc olaaeioal revlew 18. 1901, 150-151. 



c) Oeschichte des Blittelaltera. 

8tein8chueider, !H., Arabische Mathe- 
matiker X. [13 
Orivntaliatiaobe Uteratiirxeituni; (Berlin) 7, 
1904, 20j-'JI6. 



d) Qeschiohte der neueren Zeit. 

Archenhold, F. 8. und Albrecht» M., 

Ausgrabungen und VermeMungon der 
Stornwartenrestc Tycho Brahos auf der 
Insel Hvon im Jahre 1902. [U 

Diu Weltall 4, 1904, ZI9-348, 279-885. 
Koppe, M., Die Noperschen Logarithmen 
sind mit den natürlichen im weseot- 
liobea identisch. [16 



318 



Neuenchienene Schriften. 



BerHn, H»them. 
I9M, 48-53. 



Oeielliioh. , Sitzangsbsr. 



EnestrOm, U.. Cavalieri und der Säte 
von der Fläche einer Spirallinie. [16 
Biblioth. Hathem. 5], 1904, •S»-V». - An- 
frage. 

Tannery, P., Sur une eireui math^ 
matique de Descartes. [17 

Aich. Kr Oesob. dar Philosophie 17, 1904, 
334—340. 

Walloer, C. R., Entwickelungsgeschieht- 
lirhe Momente bei Entstehunf; der In- 
finitenimalrechnung. [18 

Biblioth. Mstbem. 8], ISOl, 113—134. 

JKHller, Felix, Zur Literatur der ana- 
lytischen Geometrie und Iniiuitesimal- 
rec-hnun|Ef vor Euler. [19 

Deutsche Muthem. -Verein., Jahraber. IS, 

1004, 347-25S. 

EnestrSni, ti., ["^ber die Geschichte einer 
Summenformel, die mit der Euleracben 
verwandt ist. (20 

Biblioth. Hathem. hj. 1904, 200-310. — An- 
frage. 

MHIler, Conrad H., Studien zurGeschichte 
der Mathematik insbcgon<lere des mathe- 
matisrbpn Interricht« an der L'uiverait&t 
Göttingen im 18. Jahrhundert. Mit 
einer Einleitung: Über den Charakter 
und L'mfang historischer Forschung in 
der Mathematik. Leipzig, Teubner 1904. 

[21 

80, B2 -t- (1) S. - [3 M.| - IniiDgaraldiiaer- 

tatioD (Odttinsen;: SonderabiuK aas den 

Abbandl. zarOesen. d. matheui. Wissensch.* 

18. 1901, S. 51- I4S. 



Wölfflac» >■( MatUeiustischer Böcbersch 
(1903). [Boxension:] ZeiUshr. flir Hathem. 50, 
1904, 331V-a40. (G. Valkstii.) [21 

8tr>rmpr, C, Ein Brief von Niels Henrik 

.\bel au Edmund .Jacob Külp. ['23 

Krislioniii, Vidonskiibeselsk., Skrifter 1W8. 

8 S. — [Rezension:] D«<BfBche Lit«'T«tarx. ti. 

1804. 1389. 

International catalogne of scientific liteiatar«. 
A. Mathi-iiiiitios. B. Mechaniee (1902). [Re- 
zension:] Bollütt. di bibllogr. d. SC. malern. 



J. 1904. 6l-«2. (O. L.) 



e) Nekrologe. 



Karl Anton BJerknes (1825—1903). 
Deataahe Matbem.- Verein., Jahresber. 
1904, 2S»-266. (A. Kokk.) 

Luigi Cremona (1830—1903). [26 

Biblioth Mathem. (], 1901, 12&—1K + Porträt 
[mit Schriftverzeichnis]. (G. Lokijl.) 

Meyer Hamburger (1838—1908). [27 

BoUett. di bibliogr. d. sc. matcm. 7, 1904, 
63-64. 



'M 



4 



f) Aktuelle Fragen. 



Eneströin, (ä., Ist es zweckmäßig, daß 
mathematische Zeitschriftenartikei da- 
tiert werden? [28 
Biblioth. Mathem. 5,, 1904, 19&— 199. 

Joteyko, J., A propos des femmes mathe- 
maticiennes. [29 

Revur scieat Ij. 1904. 12-15. 

Lorla. ii.f Encore les femmca matbi$- 
maticicuuea. [30 

Bcvae seien«. 1«. 1904, 338—340. 



4 



4 




Wiisenacbaftliche Chronik. 



Wissenschaftliche Chronik. 



ErucDDiiueeu. 

— Dr. G. A. Duiw in Chicago zum Pro- 
talor der Mathematik au der Universität 
VM Minnesota. 

— Doxent C. L. BotTON in Cambridge, 
Mass. r.um Professor der Matliematik an 
der Uuirersität daselbst. 

— Priratdozent F. Coiis in Königsberg 
zun Professor der Astronomie an der 
^niTerait&t daselbst. 

— Privatdozent G. KitMUKi. in Rostock 
luni Professor der Physik au der l'niver- 
■ität daselbst. 

~ Profesnor IIan» Luhknz in (iöttiugen 
J^uffl Professor der Mechanik an der Tech- 
"Mchen Hochschule in Danzig. 

Prof. H. VON Masooliit in Aachen 
tuax Rektor der Technischen Hochschule 

,, Dozent Cn. Maiuain in Rennes zum 
■•^fessor der Physik an der Universität 



'**««lbst 



Cal. 



Dozent H. C. Mubk.nd in l'alo Alto, 



I 



>. ZDU Professor der angewandten 

j ^^Hematik au der „Stanford uuiversity" 

''^^»Ibst. 

j» 'Jbservator K. Obtki. in München zum 

gj/^'^essor der Astronomie an der Univer- 

*^t; daselbst. 
f^ ^^' ^- ^- Po*"» io Baltimore zum Pro- 
*or der Astronomie an der „Columbia 
^ersity" in New- York. 

Dozent S. E. Si.ocim iu Cincinuati 






**» Professor der augewandten Mathe- 
^^^*:ik an der Universität daselbst, 
f^ ~~ Prof. J. SoBoiKA in Brunn zum Pro- 
^**<)r der Mathematik au der böhmischen 
**ivoniitat in Prag. 



— Dr. P. SriEss in Berlin zum Professor 
der Physik nn der Akademie in Posen. 

— Prof J Wki.i.»t».in in Gießen zum 
Professor iler Mathematik an der Univer- 
sittit in 8tniBburg. 

— Professor M. Whsn in Aachen zum 
Professor der Physik au der Technischen 
Hochschule in Dunzig. 

Todesfälle. 

— Gl'orok JonMtToN Allhan, früher 
Professor der Mathematik am .Queens 
College" in Galway, geboren in Dublin 
deu 28. September 1824, gestorben im 
Mai (?) 1904. 

— Fkdob AuaAirnBüwiTscH Bbsoickui, 
früher Direktor der Sternwarte in Pulkowa, 
geboren in Nikolajeff den 26. November (a. 
iSt.) 1831, gestorben iu St. Petersburg den 
14. Mai 1904. 

— Cbajim Seuu Si.okim.4ki, Mathematiker 
und Astrouom, gestorbeu iu Warschan 
1904, 93 Jahre alt. 

— CuABLKK ScpBET, früher Professor der 
Experimentalphysik in Geuf, geboren in 
Genf deu 23. September 1854, gestorben 
deu .5. April 1904. 

— Mabie A.ntüiäe Xaviek SrotTf, Pro- 
fessor der Mathematik an der Universität 
in Besaufon, geboren in Grenoble den 
9. Mai 1861, gestorben in Uesanyon den 
22. März 1903. 



Nntlienintisch-historische Vorlegungen. 

— At the Columbia nniversity (,New 
York) Professor D. E. Smith will deliver 



320 WiBBenBchaftliche Chionik. 

duriiif; the academic jear 1904—1905 a ' VemlsditM. 

couree (two Icctureg each week) on the _ ^^„1 14. Januar 1904 wurde in Wien 
history of mathematics. i „ne mathematiBohe OeBellichaft begxflndvk 

mit Herrn G. toi Ebcheuch als Yor- 
i sitzendem. 
Preisfratfen gelehrter (Jesellgchanen. ! _ Die Monatshefte für Mathematik 



....,„,. . „ ,, und Physik werden vom Anfange die 

— Aeademte de Belmaue a Bruxelles. \ ■, •. j rr r> ^7* 

r. 11- ' inA- /^ j j ' Jahres an von den Herren 6. ▼ohEschbiob, 

CoucouTB ilo 1 annee 1900. On demande i „ « j -nr -nr v 

, ., .. _j. i . 1 i. - • ' *• Mbbtbhs imd W. WaTtRasa henuu- 

une coutnbution importante a la tbeone ; _-_-!,„_ 

lies compleses de droites du troisieme «j.' ca. a. iiij 

, '^ ,,,.,,, , I — At a BCBBion of tiie mathematioal de- 

ordre, par cxemple 1 etudo des complexes ^^^^^ ^^ ^j^^ intemationri congreM of 

repre8ent<;e8 par une equatiou de la forme ^^.^^^^ ^^ g^ ^^.^^ September 1904, Mr. 

ttßv— Ktt'ß'y' — 0, ; j. PiERpoNT will present a hlBtorieal re- 

oü a ^= 0, ^ = 0, . . . sout les equations sum^of mathematicalprogreiB in the nine- 

de complexes lineaires, A' un paramctre. teenth Century. 



■ SIqc; 


^ffl^^^^^^TBubner m Leiiizig. ^^^B 


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^^^^H 



OTHECA MATHEMATia 



ZEITSCHEIPT FÜE GESCHICHTE 



.THEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN. 



r.x 



QÜST*" ""^STKÖM 



3. PO' 1 BBPT. 

«111 ii iii.Hi.rnr_v 

niCN AM 



J, KÜ- 



HNER 



BIBLIOTHECA MATHEMATICA. 

niTfiCHRin POB 6KS 

DBITIE ruLQL 



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Herrn O. £&«•>> in, Btooklaolm (Bobvradca), QTtTtxumgmt»u 



il^- 






INHALT DES VOBLIEG ENDEN HEFTES. 



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'.,;.t ... -j ... 






l. 



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der .VuMn^ 
Anfratt 






U'.iKidri. — ufiHHUiiir *ir ui --^"^ 



•iBÄtlich 






r. Odbbm: ün ouvrage perdu oite par Jordauua de Nemore: lo Philotechnes. 321 



TJn ouvrage perdu cit^ par Jordanus de Nemore: 
le Philotechnes, 

Par P. Di'HEM ä Bordeaux. 

Les textes manuscrits conserves dans les bibliotlieques renferment im 
nombre assez considerable d'ouvrages differents intitiiles Liber Jorhahi de 
pondcribus ou Elemeitta Jordam super demonsfrationem pondcris, ou Liher 
JoRDjjii de ratione ponderis. L'^tude dea origines de la statiqae, que 
nona poiirsuivons ') en ce moment, nouB a amene ä comparer ces divers 
textes et ä les classer, en meine temps que nous en faisions ressortir 
l'importance capitale pour Thistoire de la mecanique. 

Notre intention n'est paa de reprendre ici l'analyse de ces textes; 
nous voulons seulement si)j;naler en peu de mots deux d'entre eiix, dont 
nous allons avoir ä nous occuper. 

Le premier est eelui que nous regardons comme l'ouvrage primitif 
de JoRDANüS; c'est un court traite, forme de neuf propositions. Nous 
en avnns trouve un texte tres correct dans le ms. 10252 (latin) de la 
bibliotheque nationale de Paris, od il est writ du fol. 140' au fol. 142". 
H n ^te copie par Arnaid de BruxeUes, et la copie a cte terminee le 
8 noTembre 14G4. Ce text« est inedit jiisqu'ici; il est entierement distinct 
de celui que Petrus Ai'IANI's a publie en 1533 sous le titre: Liber 
JoRttAsi Nfmoraru viri darissimi de ponderibus propositiones XIII et 
eanmdem dcmotisfrationes, midtarum verum rationes sane ptdcherrimas 
compledens nunc in lucem editus (Norimbergae 1533). 

ün second texte, un peu paraphrase, ecrit egalement au XV* si^cle 
se trouTe dans le ms. 11247 (latin) de la bibliotheque nationale. II y 
occape les feuillets compris entre le fol. 37"" et le fol. 42". D est soad^ 



1) P. DuHKM, Les origine» de la statique. Ch. VI. La etatique du moyen 
^e — Joapijn<8 de Nkmorz. — Cb. VII. La gtatiqae da moyen äge («oite). — 
LVcole de Johdasiis; Rerne des qnostionB Bcientifiques 68j 1904, p. 9 — 66. 
BibUotbeos lialhemftUca. UI. Folg«. V. 21 



322 



P. Di;i 



1 



au fragmeut intitule ailleurs: Liber Evcudih de pondcribus seamdm 
terminorum circumfermliam but lequel nous croyons avoir le premie 
appele l'attentionJ) 

Nou8 n'avnns pae de cet ecrit de terte complet remontant au XIII* 
sil'cle. Mais un mimuscrit du XILI" siecle, le ms. 3642 (ancien 1298) de 
la bibliüthi'que Mazarine, pre'sente, au fol. 12'' et 12% le comniencement 
des Elementa Jokoax; super dttnonstrationem ponderis soudes a la fin Hu 
De canonio. Le fragment de Eltmcnta JnitnAM ainsi couserve nous pennet 
de controler la copie faite pnr ARNAin> de Bruxelles et de constater que, 
depuis le X1II° siecle, le texte n'arait subi ancuue modification essentielle. 

La singuliere rhapsodie que nous presente le codex Mazarineus a 
etö fidelement reproduite, au XVI " siecle, dans le ms. 16649 (latin) d^i 
Ih bibliotbeque nationale (fol. ö' a fol. 7^). ^H 

Le second texte dont nous aurons a nous occuper est beaucoup plus 
etendu que le prec«dent; il lui est posterieur, car il le complete, le rectifie 
ou le refute en plusieurB points; comme le preccdent, il est. toujonrs 
ftttribue h JoRiUNü.s, bien qu'il ne puisse etre du meme auteur que le 
pre'cedent. Laissant le nom de JoRDANCs ä l'auteur du plus ancien trait 
nouB (ivons designe l'auteur du traite plus recent comme le „prccursen 
de LEONARD DE Vinci"; ü semble, en effet, que ses recherches aient exerce 
Bur le grand peintre une profonde influence. 

Ce texte a ete i-dite, de la inaoiere la plus fautive d'ailleurs, en 1568 
par CuBTn'8 Trojanus, qui l'a intitvde: JoRiuyr opusculum de pomierositatt 
Nicolai Tahtai.e.*: studio correctum. Cuirnis Tro.iäNCS avait seulement 
fait disparaitre la division en quatre livres que presentent les maniiscrits. 

Deux textcB de cet ecrit se trouvent ä la bibliotheque nationale; 
touB deux appartiennent au XIII" siecle et, sans doute, a la seconde moitie 
de ce siecle. J 

Le premier, tres correct, tres eli^gamment ecrit, se trouve au msl 
8680 A (latin), oi^ il occupe toute la partie eomprise du fol. T"" au foL IP'. 
Le second, avec plusieurs autres traites de statique, est confierre an ms. 
7378 A (latin), oft il commence au fol. 37^ pour finir au fol. 39^; ma 
^erit, incorrect, il est d'une lecture fort difficile. 

Ce demier texte est suivi d'autres fragments ou d'autres tertes qt 
ne lui appartiennent pas. ("est dabord, un fragment du traite des poids 
specifiques attribue', sans doute ii tort, ii Auciiimede: 8i fuerit aliquod 
corpus ex duobus mixtum .... C'est enauite le traite De canonio, qu'on 
a leg^rement remanie afin de le rattacher aux Elementa Jordani. C'e8^| 

1) P. DfiiEM, I.ea orii/ines de la statique. Chapitre V. Leg sourceB alexandrinee 
de la statique du moyeu &ge; Revue des questtona scientifiquee ö.'j, 190 
p. 560-596. 



it^H 
eu^l 
Tce 

6 fl^ 
itM 



HS. 

lani 



904^ 



Liti ouvi»ge perdu eiw pftr JordMiiia de Memor«: le 



W eafva e«tte proposition, qui nous parait incompreheneible: Omne pondus 
I cum quantolibet (sie ) ponderibus ah eo rontinue sumptis in Iripla proportione 
I post massani primi in cujusUhd sumpti ponderant ad primuni muUipUcis ab 
I apffregato dicti, ex dawminantihus onmium predictortttn ad primum muUi- 
I plieitcr relaforum et cujuslihet etiam ad primum midtiplicis circa predictum 
I mcMJcimum intercepti. Lii dt-uionstration, ä peine ebaucht-e, de cette pro- 
L poeition se reduit a. deux lignes dont certsiins mots sont iUisibles. 
^m A la suite de cette proposition, s'en trouve une autre qni va 

^L pürticnlierement occuper notre attention. Gette proposition est le theoreme 
I etilt'bre, du ä Hekon d'Alexandrie, qui permet d'evaluer la surface dun 
I triangle en fonction des trois cöt^s. Elle est enonoee en ces termeBzl 
I Si frianguli tria latera continentur ') medietasque ^) compositi ad singtda ] 

I laiera differetitic sumantur, primaque in secundam ducaU*r, et in productum j 
fa^tia, ikmque quod provenerit in prcdictam medietatem illius ultimo^,] 
pfodtwH radix erit area triangidi. Immediatement apree cet 6nonce de la 
P^'oposition viennent les mots: Regula habet in arabico inscripta. En effet, 
'^'^ sait que la proposition se trouve dans le celebre „Livre des troia üreres", 
'* repandu au moyen äge. 

C'est seulement a la fin de la d^monstration suirante, au fol. 40^, 

1**e se trouTe la formule: Explicit liber quartus Johdam de ponderibus. 

Ces diverses additions au traite de ponderibtis compose par le pröcurseur 

**^ Leonard de Vinci n'accompagnent pas le texte, beaucoup plus correct, 

*1**« renferme le manuscrit 8680 A. Elles ne se rencontrent paa non plus 

****-»lB l'ouvrage ^dite par Ctiinirs Tkojanus. 

En revanche, M. B.iöI{Nho*) les a trouvöes dans nu manuscrit du 

^^--tA7" siecle, compose entre 1350 et 1375, le Codex Ileginensis lat. 1261. 

^~^^*- fol. 50' au fol. 55^, ce manuscrit nous presente, sous le titre: Incipit 

^^*^9^s prima libri Jimiuxi de Nejiore de ratione ponderum, le traite en 

^-^^•-^tre livres compose par le „precurseur de LtowARD DE Vinci". A la 

**i"te de ce traite, se trouvent presque exactement les additions que nous 

"*"Cin.'! enumerees U y a im instant: le fragment du livre des poids specitiquea 

^^"t-»ibue ä Ahciiimkde, le De canonio, enfin le theoreme de Hebon 

^ -^VJexandrie aur l'aire du triangle. La remarque apres l'enonce du 

**-^oreme a etii interpretee par le copiste un peu autrement que dans le 

^^^^te que nous nvons eu en mains; il I'a ainsi formulee: Regula hec in 

'**~<ibico conscripta dicitur. II senible doutcui que ces mots se rapportent 

^ k d^monstration du theori'me, comme le suppose M. Ri(iKNBO*), 

^K 1) LiBez: coacerventur. — 2) Li»ez: tnedielatuique. — 8) Lisez: uHimi. — 4) Aaki. 

^^ ■^-•«TOÄ Björäbk, Studien über Mksklaoh' SpMrik. Beiträge cur Geschichte der Sphärik 
*♦*»«/ Trigonometrie der Griechen; Abbandl. zur Gesch. der mathem. WisBeuBoh. 
1 **, 1902. 1». 147. — 5) L. c. p. 148. 

21« 



324 



P. Dl'UKM. 






car, d'une part, ces memes mots se trouvent immp'diatement avant IVnonc 
de la propositian dans un mauuscrit dont M. Cuktze s'est occupe en 1899*): 
d'autre part la rf«MO«s/ra//on du texte dont il s'agit ici, semble essentiellement , 
differente de cell^ du Livre des trois freres. 

En marge de cette proposition, le copiste a mis cette annotntioii 
qoi a vivement attire notre attention:'') Hec est pars phyloteigni et debe 
ei si(bjiingi. (ju'est-ce donc que ce Phüotechnes oü se doit ranger la prc^^ 
Position sur l'aire du triangle qui a ete jointe, par erreur, au tral- j-.. 
De ratione potiderum? ^^ 

De cet ouvrage nous arons releve deuz aotres mentions; eUes fl|| 
trouvent toutes deux dans le texte que nous regardons comme le tra^^_/^- 
primitif de Joudanus. 

La premii^re mention se trouve vers la fin de la demonstration j^ 
cette proposition, qni est la seconde du trait^: Cum cquUibris fuerit pos^if/g 
equulis, eqm's ponderihus appensis ab eqtialitate non decedet et, si ai 
equidistantia separetiir, ad equalitatis situm reverterehtr. JotmAjri's, 
invoquant une propriete tres simple de deux arcs de cercle, la justifie 
par ces seuls mots: Sicitt declaratum est in Fhilotechne. 

Cette mention fait partie du texte du XIII" siöcle (codex Mazarineas 
3642) qui ortbographie Filotegni. La copie de ce meme texte laite »»-^ 
XVT* siecle et contenue dans le ms. 16 649 (latin) de la bibUoth^qi» * 
nationale ecrit Philotegne AuNAru de BruxeUes copie Filoteqni, tand»—* 
que le ms. 11247 (lat.) de la bibliotht-que nationale adopte la men^**® 
orthographe: Filotegni que le texte du Xm' siecle. 

La seconde mention du Philofechnes se trouve au coora de ^^^* 
demonstration de la quatriörae proposition ainsi ßnoncee: .SV hrachia lib^^^^ 
fuerint ineqimlia, equalihns nppeusis, ex parte longiori nutum faciet. I *'* 
encore, ä propos d'une propriete ferfea simple de deux arcs de cerc^^^®' 
JORPANr« ecrit: Sicut d<'monstravimus in Fhilotechne. 

La proposition oi^ se trouve cette seconde mention manque au fragme" 
du Xni* siecle que conserve le Codex Mazarineus et, partant, ä la cop 
de ce fragment que conserve le ms. 16 649 (latin) de la bibliotheqL 
nationale. Tous nos autres manuscrits renferment le renvoi que no^- ■** 
venons de citer au Filotegni ou au Filoteqni. 

Ces citations semblent prouver qu'il existait au XIII* siecle un tr^- i** 
de geometrie, sans doute de geometrie pratique, intitule PAi7o/^cÄ^^*^* 
{ß>tXoT£^l£, l'ami de l'art). La seconde citation: Sieiit demonstravitw***^ 
in Fhilotechne parait indiquer que Jokuams en revendiquuit la patem_i^^- 

1) Voir M. CiTjT«, JEint Studienreise; Centialbl. für Bibliothok»w. '^^>_ 
1899, p. 301. 

2) Comparez Björnbo, 1. c. p. 148. 



H« 




IJn oiiTzag^ petdn cit^ pu Jotdanus de Nemore: le Philotechnes. 325 

Dfes lors, on comprend sans peine rannotation relevee par M. Björnbo 
«lans le codex Beginensis lat. 1261: JordänüS arait fait figarer dans le 
Thäotechnes le th^or^me de H±bon d'Alexandrie. 

L'existence d'un Philotechnes compose par JokdanüS peut resoudre 
%alement une dif&colte souleTee par Chasles ^). A propoB de Jobdasus, 
en effet, Chasles ecrit ceci: 

„Rahus^) loi attribae la d^monstration de l'elegante formale pour 

I'aire du triangle en fonction des cötes. Nous ne savons dans quel ourrage 

Jordan l'a donnee; M. Ventüri ne l'a pas trouvee dans le traite De triangulis. 

Cette d^monstration est la meme que celle que Läonabd de Pise a donnee 

dans le meme si^le dans sa g^ometrie pratique. Elle partut etre d'origine 

Krabe, car eile se trouve dans Touvrage des trois geomfetres, fils de MüSA 

BEN Schakeb, et dans celui du jnif Savasorda." 

ü est possible que Bahus alt eu en mains le Philotechnes de Jordanus 
et qaül y ait trouv^ la proposition d'HERON d'Alexandrie. 

On peut esperer que ce Philotechnes n'est point perdu; qu'il est 

repr^ente par quelqu'une des nombreuses Practica geotnetrice dont on 

poBsMe le texte manuscrit. Les deux renvois inseres par Jordanus en 

Bon traite de statique faciliteront une Identification precise de cet ^crit. 



I) MicBBL Cha8eb8, ApeTQU htstortque sur Vorigine et le diveloppement des melhodes 
«N gkmHrie (Bruzellea 1837), p. 517. 

*) Ramds, Schotte mathematicte, k la guite du lirre XXXI*. 



326 Ahtohto Fatabo. 



Nuove ricerche sul matematico Leonardo Gremonese. 

Di Antonio Favako a Padova. 

Mi porge occaBione immediata a ritomare sopra nn argomento del 
quäle mi sono giä ripetutamente occnpato ^) una notizia la qnale, se andie 
non riveste caratteri d'eccezionale importanza, non e tattavia priva di 
interesse, poiche mediante essa viene in certo modo a collegarsi il nome 
di Leonardo Gremonese con qaello della massima figora che l'arte e la 
scienza insieme rionite poBsano vantare, cioe di Leonardo da Vinci*). 
Questi infatti in un sno appunto che si legge a car. 247' del Codice 
AilatUico^) annotö: „toUi lopere di leonardo chermonese", e per noi non 
e dabbio che il ,4eonardo", quivi menzionato, altri non sia che l'autore della 
Artis metrice pratice compilatio, lasciando pure impregiudicata, se non la 
si voglia giä, come per veritä a noi parrebbe, considerare fino da ora 
come risolta la questione del suo vero casato. Non sono abbastanza ad- 
dentro negli studi ViNClani per poter argomentare con qualche precisione 
ü tempo al quäle debba farsi risalire la annotazione test^ riferita, e non 
so nemmeno se sia possibile ü farlo; parmi perd assai probabile che 
l'appunto, considerato insieme col rimanente della nota alla qnale appar- 
tiene, si riferisca ad una specie di elenco di oggetti che Leonardo da Vinci 
si proponeva di prender seco in occasione di qualche suo viaggio*). 

1) Antonio Favaro, Sid matematico cremonese Lkosarvo MjatAiwr (Biblioth. 
Mathem. 4s, 1903, pag. 334—337). 

Antonio Favabo, Intorno al presunto autore della „Artis metrice praetice com- 
pilatio" edita da Massimliaxo Cbrtzs (Atti del r. istituto Yeneto 68:2, 1904, 
pag. 377—395). 

2) Di questa informazione vado debitore alla squisita gentilezza dell' egngio 
collega e benemerito cultore degli studi Vraciani, prof Gio. Battista de Toni. 

3) Scrilti letterari di Leo.vasho da Vtsci cavati dagli autografi e pubhUeati da 
3. P. Richter Parte II. Londra, Sampson Low, Marston, Searle e Rirington 1883, 
pag. 422. 

4) Notiamo perö che non si trova tra i libri registraii da Girolamo n' Adda fra 
quelli menzionati da Leonardo iu raiii luoghi dei suoi manoscritti. Cir. LsosAsrin oa 
Vixci e la sua libreria. Note di un Bibliofilo. Milano M.DCCC.LXXm. 



Ur811IOD6S6. 



Senonch^ non isfuggirä all' attento lettore che Leonardo i>a Vinci 
in queeto suo appunto non accenna ad im truttato particalare di Lkonardo 
Cremonksk, ma diee genericamente „le opere", delle quali, per quanto 
dai biografi, le cui narrazioni ho altravolta esattamente riferite, egli venga 
saluteto come insigne astronomo, fiBico e matematico, una sola scrittura 
ci era nota, quella cioö dell' Artis metrice pratice compilatio. 

Ora. neUa biblioteca reale di Parma, e precisamente nel codice mi- 

scellaneo segnato col n" 984 (giä HH. 3. 17), noi abbiamo rinvenuta 

an' altra Bcrittura, o. por dir pin esatto, parte di una' Bcrittura dello stesBO 

(almeno ci giova credere) Leonakdo Ghemonese; ma, per mettere in piena 

eridenza i rapporti nei quali questa si trova rispetto alle altre contenute 

nel medesimo codice miscellaneo, h mestieri che Lncominciamo dal dame 

Tina succinta descrizione. 

Notiamo anzitutto che il codice porta in fronte questa nota possessoria 
Bcritta di mano appartenente al secolo XVII: „M.' D. Jofs GitECiOKll filii 
Tu.*' D. JoiS Antonii Lea'ERATI Genuenyis ')", la quide mano scrisse anche 
accanto ai titoli delle varie scritture costitnenti il codice le indicazioni 
che verremo riferendo i'ra parenteai quadre. Questo codice adunque era 
B Genova nel secolo XVII, ma, secondo ogni rerosimiglianza, vi era anche 
nel secolo precedentc, perche nel vcrso della cur. 144 si legge di mano 
del secolo XVI: „Clar.""" Artium et MedicLnae Doctori d. M/" Jüiianni 
EX RrBHis*) maiori suo Observ.""" Genuae". Come poi sia pervenuto ulla 
biblioteca reale di Purma ignoriamo affatto, perchö gli inventarii di 
fjuesto istituto non sono accessibili agli studiosi, od almeno non fu con- 
cesso a noi di esaminarli. 

Gib premesBO, ecco con la masaima concisione, se anche non con tutte 
Je regole ordinariamente seguite, quäle e il contenuto del codice: 

1) Car. l''. Incipit Theoria Campani. [Liber primus.] 

2) Car. 47'. Incipit tractatus i)atris Asem Tileiut filu Cjioke de 
«iccessione et recesaione stellarum fixiirum. [Liber secundus.] 

3) Car. 50". Incipit liber quem edidit Tiiekit filius Cuobe de his 
^ue indigent expositione antequum legatur almage^tum. 



1) Da atti privat! nell' archivio <)i slato di Genova si rileva che 
■wn Oio. GunioRi'i LETKttAro, medico, del fu Gio. Aktonio, il quäle, 
fignra in atti del 1556 e dol 1597. II medico Oio. Greoobio per6 
matricola dei medici di collegio, n^ gi sa che abbia lasciato ecritti, 
cofii da eBsere ricordato dagli acrittori di cose genovesi. 

2) Troviamo nn Gmvjinki Ho»»o vissuto tra la fine del X\ ed 
XVI aecolo, medico reputato per teatimonianza del suo conterraueo, 
TAimi o* Vioo. n MALAcAsm ed il Bomno lo credettero piemonteae, 
era di Genova. Cfr. PiixcKTr», Bicgrafia nifddca ligure. Genovii 1846 



uel 1602 viveva 

del fu GioiKiiw, 

non figtira uella 

o goduta fama 

il principio del 
il celebre Gto- 
ma i certo che 

, Vol. I, pag. 89. 



Aktomio Favaio. 



4) Car. 54''. Incipit tractatua TflEBlT de quantitatibus stellarum. 
[Liher quartua.] 

5) Car. 55'. Incipit über Thebit BEN CliORAT. [Liber quintos di-j 
versorum.l 

6) ('.üT. B6'. Incipiuiit fjunestiones super tractatum spere JoHASis Dl 
SAfROBosio per Ulasium dk Pauma Doctorem ExceUentisflimum, Mathe 
matiüuni singularem. [Liber sextus.] 

7) Car. 82 "■ [questione (sie) de eicentricis. Liber settimuB.] 

Finisee a car. 85'^.: „Expleta est questio de excentricis et epieiclifl contj 
pleta per Franil-^i um he E.sciLO. Deo gratias". 

8) Car. 87"". [Theorica planetarum. liber 8".] 

9) Car. 106 ■". [De utilitate Astrolabü liber nonus.] 

10) C&i. HS"". Lncipit Astrolabium MESSAl.AflAT. [Liber decimus.! 

11) Car. 134'. [Liber deeimus (sjc)]. Sic Lkonabdus Cbehokensu 
prosequitur descriptionem cosuiographie in piano. 

Inc. „Terreni situs hiihitabilis partes describentium . . .". 

Ej:pl. nel recto della c^vr. 144, ultima scritta del codice. essendfl 
diriso in dieci capitoli. 

Tutte le Bcritture dal n" 1 al n° 10 sono stese della stessa mano 
(lel secolo XV sopra la medesima qualitü di carta; 1' ultima inrece, e sulla 
quäle Tenne particolarmente richiamatu la nostra attenzione, e scritta d' altra 
mano, forse dello stesso secolo XV, ma piuttosto verso la fine, e soprn 
carta che, anche per il formato, e diversa da quella del rimimente del 
codice. La Lntestazione stessa della scrittura di Leoxakdo Ckkmone.se, 
ultima del codice, il formato sao afiatto differente da quella di tutte le 
altre scritture in esso contenute Lnducono a pensare che i dieci capitoli 
dei quali essa si compone, ed intorno all' intrinseco merito dei quali la- 
scieremo giudicare ad altri di noi piü competenti in argomento, appartengano 
anche materialmente ad opera di molto maggior mole del medesimo autoi^H 
intorno allii stessa materia; e questa presunzione indotta da caratteri^^ 
estrinseci rimane fino ad un certo punto confermata dalla lettura del testo. 

Noi eravamo perrenuti a questo punto delle nostre ricerohe, dalle 
quali per verita non scaturira aicun nuovo argomento in appoggio della 
nostra tesi rispetto al vero cognome di Leonardo Cremosese, qaando 
dalla squisita gentüezza dell' illustre cnltore di questi studi, Paolo Tanneky, 
ebbimo una particolareggiata corounicazione relativamente ad un codice 
della biblioteca nazionale di Parigi. il quide era giä stato noto a D. 
Baujassarre Boncomi'AONI ehe n' aveva fatts» tntrre copia parziale '), e che 



I) QuMta ropi* figur^ nella vendit» aTveuuU in occuione della non mai ab- 
baütanxa doplorata diipertione della t'amoüa Bibltutvca Boxcomi-aoni. Infatti a pa^. 129 
del CatiUofO dtUa bitiiotrta £(>w( ojrr^cM. J'arU prima eontentnte i manoscritti, fac- 




ffnoT» riowche enl mstenatico Leonardo CnmoneBe. 



I>orta un contribnto notevolissimo, e diremo anzi decisiTO, alla risoluzione 
della questione nel senso giä da noi preconizzato. Questo codice noi abbi- 
amo potuto vedere a tutto nostro agio. e ci accingiamo ad esporre ü 
risnltato dell' esame da noi istituito e nel quäle ci giorarono grandemente 
Je particolareggiate notizie che 1' egregio Tannery ce ne aveva spontane- 
amente e generosaraente somministrate '). 

Questo manoscritto „Fonds latin 7192", proviene dolla collezione Mazza- 

rino, nella quäle portara il n" 5437, e non preeenta alcuna traccia degli 

antecedenti possessori: esso apparisce costitiiito dnUn riiinione di parecchi 

fascicoli Bcritti della medesima niano, la quäle in tine di ciascuno di essi 

notö accuratamente la data del relativo conipiinento, ed appartenne certa- 

ment« non ad un semplice amanuenne, ma a persona ehe comprendera 

ciuello che trascriveva e che in qualche circostanza. specialmente nella ripro- 

«luzione della figure, usa di im certo discemimento. La circostanza bu- 

acc«nnata della data apposta alle singole scritture ci dispenBa dagli ap- 

prezzamenti intomo alla etä del codice il quule risale ai primissimi anni 

del secolo XVI, senza di che la forma della scrittura indurrebbe a stiraarlo 

anteriore di circa mezzo secolo: essa apparisce stretta e serrata in tutte 

le varie parti del codice, eccetto che per la Compilatio di nostra vecchia 

conoscenza, la quale, e ne anticipiamo la notizia, fa parte essa pure del 

manoscritto. La mano di scritto e del resto, malgrado alcune ubbrevia- 

zioni poco usate, leggibilissima senza difficoltä di sorte alcuna. 

Premesse qneste generalitä, ecco senz' altro quale e il contenuto del 
codice. 

1) Car. !■■ — 21'. Leonaudi Gremonensis pratica minutiarum *). 
Ineipit: Herum omnium quiditativam essentiam minime elncidari posse 
«ine numerali conditione . . . 

Explicit: Vide primo quod illi numeri in se multiplieati constituunt 
60, quorum ^ • }^ ■ ^ faciant 47. divide 60 jier 47 et proveniet tempiis in 
lioris etc. — Expletum per me Bernardini'M ALniEBiUM currente anno 1506. 
Questa scrittura si conipone di un proemio e di dodici capitoli. Nel 
proemio apparisce degno di nota il puaso seguente: „Cuius equidem Arith- 
metice speculationes indagari non expedit, cum iam a multis mathematicis 
Bit excellenter expressa, sed solum opportunnm circha ipsius operationem 



»imili, editioni del secolo XV, abbadti, riviste, ecc. Roma 1898, leggiamo: „WM. 
LaoHAsoui Cksmonenkih Practica Mioutiarum. Copift del Mbb. della Bibl. Nazionale di 
Parigi. Anc. Fond. Lat. N. 7192 in fol.". 

1) üna sommaria descrizione ne diede il Tahmbt isteeio a pag. 466—468 del 
Journal des «avants. Acut 1904. 

2) Qneet' t'^ aduuquo la scrittura della quale D. BAtnA«»AiuiB Buncomi-aoxi avera 
fatto trarre copia. 



330 



Aktoniu Favaho. 



itxW 




praticam immorari videtur ... vel artem praticam, sed quoniam non solum 
nunieri extant integri circha quos huiusmodi ars plenissime ab Aluo est 
edita, eed fracti integrique cum fractis proponuntur, circha quoB niinime 
comperi tradiiam ab aliqao artem hniua praticam sufficienter, idcirco . . ^M 
e perche ci sembra risultare di qui ehe a Leonakdo Cre.monese erano 
rimnsti completnmente ignoniti gli Bcritti di Leonardo Pisano e di alt 
che pur uvevano atteso allo studio dell' argomento. 

Qutmto ai capitoli nei quali la scrittora e divisa, eccone i titoli: 

(car. 1"".) Müdum representationis miuutiarum siesignare. 

(car. 1'.) Modiim reductionis minutiurum dissimilium denominationu 
et niodum reductionis Lntegrorum ad minutias et econtra subiungere. 

(car. 3'.) Modum additionis in minutiis proponere. 

(car. 4''.) Propositas minutias ab aliis subtrahere. 

(car. S'.) Minutias propositas duplare. 

(car. 5'.) Minutias propositas mediare. 

(car. 5'.) Duubus minutiis jiropositis, unam per aliam multiplicare." 

(car. 8'.) Modum divisionis minutiarum demonstrare. 

(car. 11'.) Minutiarum propositarum radicem quadratam extrahere. 

(car. 14'.) Minutiarum propositarum radicem cubicam extrahere. 

(car. 16'.) Progressionuni diversarum sumraam assignare numerorum. 

(car. l?'.) Quasdam propositiones in multis servientes annectere. 

Qui perö, oltre al teste originale di Leonardo Cremonese, sono 
contenute anche delle luinotazioni fatte du cjuiJche studioso al quäle arra 
appiirtenuto il manoscritto da cui trascrisse 1' amanuense: una di tau note 
e sopra un foglio intercalato ed e in inchiostro rosso, un' altra ^ ecritta 
in nero buI verso della car. 15 perö con la rubrica iniziale: „Hoc capitulum 
non est predicti Venerabüis frutris Leonaküi, sed additio quaedam*'. 

Le carte 22, 23 e 24 sono blanche; sul recto della car. 25 e una 
copia della car. 15', con la nota: „Per me Bernardinum Aliherrt«. Anno 
1506" bloccata in rosso con la nota „va-caf' nei due margini laterali. 

2) Car. 25' — 28'. Leon.vrdi Cremonen.sis pratica minutiarum. 

Inc. Pro notitia fractionum sciendum est quod quedam sunt frao- 
tiones numeri integri, quaedam sunt fractionea &actionam . . . ^M 

Expl. Si apposuissea 12 cifras et pro radiee habuisses hunc numeruiu 
345678, removendo 4"' figuras provenient 34 integra, 34-—, 4-2, 4-3, 

48 • 4* multiplicando, multiplicando scilicet ammotum per 60, ut prius 
dicebatur. — Explicit Algorismus minutiarum Leonardi Cremonknsis^ 
per me BERNABOiNrM Aliherivm anno LS06. f 

n titolo adunque di questa Bcrittura e uguale a quello della prece- 
dente, ma perö !' anumuense, in luogo di dirla „Pratica minutiarum'", la 





fnore ricerche buI nuitomatico Leooardo Cremonese. 



3St 



chiama .^gorismus minutiarum" ed e infatti un Bommario in nove brevi 
«apitoli e probabilmente anteriore al precedente trattato. 

I quali nove capitoli, compreso il primo di introduziooe, sono i se- 
gnenti: 

(car. 25'.) Secundnm capitulum de additione. 
(car. 25'.) Capitulum tertium de subtractione. 
(car. 26'') Capitulum 4'" de mediatione. 
(car. 26 ^) Capitulum quintum de duplatione. 
(car. 26 ^) Capitulum sextuui de nmltiplicatione. 
(car. 26'.) Capitulum septinium de divisione. 

„ Quoniodo fractio potest dividi per fractionem. 

„ Quomodo fractio per integrum et fractionem. 

„ Quomodn fractio per integrum. 

„ Quomodo integer et fractio per fractionem. 

„ yuomodo integer per fractionem. 

„ Quoniodo integer per fractionem et integrum. 

(car. 27''.) Quomodo integer et fractio per integrum et fritctiouem. 

„ Quomodo integer et fractio per integrum. 

(car. 27''.) Capitulum octavum de radicum extractione. 
(car. 28''.) Capitulum nonum [pro operatione in cubicis], 
La car. 28' contiene le prime undici linee dellu „Leonari»! Crkmo- 
''ENSis descriptio Cosmographie in piano" bloccate esse pure in rosBO con 
'a nota „va-cat", della quäle direnin piA innanzi. 

3) Car. 29'' — 53'. Lkonardi Cremonessis artis metrice pratice 
"ompUatio. 

Inc. PrimuB tractatus. Artem metrieam seu mensurativam . . . 
Expl. Que vero sit proportio alibi dixi demonstrativa coneluaione 
ftre. Finis. — Hec eet summa decidens materiam sLngulorum librorum 
totius Geometrie Eitcupih, edita per Magistrum Leonardum de Antonmts 
'•R CuEMONA, ordiniB fratrum minorum, magigtrum peritiBsimum in tlieo- 
logia et Omnibus maihematicis disciplinis, et expleta per nie Beknakdinum 
AunBRiO! de anno 1505. 

Qaesta scrittura, come per incidenza abbiamo notato, a differenza di 
tutte le altre della medesima mann, stese nel carnttere corrente del tempo, 
^ Bcritta in quel carattere gotico rotondeggiante di imitazione, general- 
mente chiamato col nome di semigotico. 

4) Car. 54 — 55. Tabula Binuum secundum proportionem 22 ad 7. 

5) Car. 56'. Copia cuiusdam demoustrationis predicti Keverendi 
Magistri Leojjakdi Cremonen.'üs reperte super uno folio papiri Scripte et 
figurate eins manu propria. 

Inc. Presenti dispositione circulorum patet quod angulus . . . 




332 



Amtoxio Favabu. 






ExpJ. Quia videlicet angulo super circunferentiam facto coirespon- 
dent 180, sed facto super centrum 90. 

6) Car. 56' — 64'. Di queste carte 1' amanuense ha approfittato per 
trascrivere parte d' nna corrispondenza passata tra ü 1506 ed il 1507 fra 
Paolo da Frezo (PAin.ts Fricu's) du Pavia e (Jioruio FoxDtaoj 
(üEORWii's FoNDfLUs) da Cremona. Del primo possiamo dire questoi 
soltimto che appartenne a nobile famiglia parese (Fbioi o Fkisi) che ha 
dato parecchi professori alla Universitä, un valente trattatista di medicina 
e molti amministratori del Comune, ma il di ciii nome e onnai completarj 
mente caduto in dimenticanza: del secondo riporta 1' Arist: „Georgf 
Fi'XDrLUS, vir bonae fidei, medicus, philosophus, mathematicus clarissi 
muB . . . Vixit onnos LXXII. Ohiit Kai. Aprilis MDXLV" *); nel tempo' 
adonque della suaccennata corrispondenza aveva circa trentatre auoi. ^^ 

Da quello, che del suindicato carteggio ei fb conserrato ael codic<^| 
del quäle ci stiamo occnpando, ci pare di poter conchiudere che 1' 
amanuense rivesse in Cremona, od nlmeno vi dimorasse durante il lavoro^H 
di trascrizione al quäle stava attendendo: egli infatti doveva avere trc| 
mano gli originali stessi delle lettere di Paolo da Frezo, perche ne ri- 
produce le sottoscrizioni e gli indirizzi, mentre di quelle di GiOROlOjH 
Fondulo sembra non avesse altro che le minute ch' egli riproduce senzcH 
qaei due ammenicoli: egli era dunque in relazione con quest' ultimo e 
verosimilmente attendeva per conto di lui al lavoro di trascrizione delle 
varie opere di Leonardo Cremonese; e poiche la piü gran parte di quesi 
lettere risguarda apponto il nostro Leonardo e contiene giudizü intomi 
ai 8Uoi larori, stimiamo opportuno di etralciame quei brani che per 
Bcopo nostro ci Bono sembrati di maggior Lnteresse. 

a) Paolo da Frezo a Giouoio Fondulo (Pavia. 23 Settembre 1506) = 
Car. 56' ,, . . altro al presente non accade, se non che vi prego bce- 

qualche cosa di novo in Astrologiu, overo de Leonardo Cremoneü^H 
havete, a nie si como ad uno vostro tntimo faciati partecipe. lo ho unf^ 
certa pratica del stesso in matheria da mensurare ogni cosa possibile in 
differentiam, ma non gh' h le probatione. Et cum grandissimo stadial 
quelle ho adinvente. Vero che se le trovasse (como ho gia ditto) t{ 
prego me lo scriviati." 

b) GiOROio FoNDiLO a Paolo da Frezo (Cremona, 27 Settembre 1506) 
Car. 67» „ . . . de Leonardo Cremonese una certa pratica, qnale 



] 



1) Cremona Uttrata, »eu in Cremonenies doetrina« et literariit dignitatitnu emi- 
tientiores chronologicae adnotatiottes, auctore FRAitriwo Asmio. Tomu« secundns, Parm* 
MDCCVl, typig Pauli Montii, pag. 186. — Gakkiso Fosrvto. Frannnento della «lorti^ 
lombarda mä finire del »ecolo XIV e ü jirincipiare del XV. Oper» di Vimckxzm Laku 
Tomo II. Milauo, co' torchii rt' Omoliono Manini, MDCCCXXVII, pag. 360—362. 



NuoTC riceiohe bu] matcmatico Leonardo Cromoncae. 



333 



10 Bia quella de che scriveti de modo mensurandi, la quäl comincia in 
questo modo: „Artem metricam sive mensurativam occaBione quadam 
prospiciens etc.". Dlterius uno tractato de CoBmograpliitt et insuper uno 
instromento in forma dl galea, col quäle se po navigare per tutto el mondo". 

c) Paolo da Frezo a Giordio Fondixo (Pavia, 18 Febbraio 1507): 
Car. ö?"^ e ' „Me haveti scritto couio haveti la pratica Artis metrice 

de Leonardo Cremonese, cosa molto utile et galante: ve adviso como 
alli anni passati me venne per le mane et la feci acopiare, piacendome 
anchora sopra modo. Et dubitando non fasse errata, item per poter 
certificare qxialimche volesse sopra cio dubitare, me Bono sforzato rivol- 
tando tutto el bono EüCLiPE trovare la demostratione mathematicale ad 
ogne Bua conclusione et pratica, procedendo a posteriori. Et per gratia 
de Dio, ben che siami stata una fatica strana, ho certiticato demonstrative 
el tutto. Vero h sono tre conclusione de la terza parte ubi loquitur de 
seratilibus, cio e la prima et secunda conclusione de seratiübus, item hi 
conclusione decima septima de sphere quantitate, item la decimanona de 
portionis sphere quantitate, le quali in veritate non bene intendo: o chel 
libro sia falso o che Leonardo ha errato, quäl cosa audacter non volio 
dire, per esser lui stato si ingenioso homo, quantunche habia demonstra- 
tione contra di queUe conclusione. Per tanto me persuado che lui habi 
forsi fatto le demonstratione, benche non li habia messe in sema con la 
praticji. Et popsendole voy h.-ivere, ve scongiuro me le vogUate far vedere, 
aut saltim sopra quelle conclusione antedette. Et quando non si trovasse, 
prego per mio amore vogliati sopra ciö speculare alquanto et veder con 
qnal ragione et demonstratione dica che multiplicando i dni terzi del 
diametro per la area del magior circulo de la spherii surge tutta la qwan- 
titä de la sphera etc. II simile dele altre conclusione antedicte. lo ho 
qualche demonstratione contra questa conclusione de sphera et de portione 
eiuB, perho resto assai ambiguo, le quäl demonstratione al presente non 
acrivo perche saria troppo longo. Item alla iine del libro suo fa la ex- 
cusa cum qualunche lectore. digundo che licet posuerit propter facilitatem 
proportionem diametri ad circumferentiam esse sicut 7 ad 22, non ita 
sentit. Et dicit se dixisse alibt demonstrativa conclusione fere. Havendo 
noi qualche cosa dil suo, poteressim«» trovare dove lo habia detto, et tro- 
vando prego me ne Bcriviati. Ulterius io haveria ben a piacere veder la 
Bua Oosmographia, et cosi quello instromento in forma di Galea, ma richie- 
dendole dubito me tncolpate de troppo prosumptione. Et pur sforzandome 
kmor de la scientia et asegurandome la indisolubile fratemitate nostra, non 
estarö di pregarvi, havendo messo fidatissimo, vogliati farmele vedere ..." 

d) GioKGio FoNDULo a Paolo da B'rezo (t'remons, 16 Mar/o 1507 
.tt Nativitate): 



334 



Antohio Favajio. 



Car. 58'. „. . . Circhii la priitica de M.™ Lkonaudo (.'ickmonese m« 
fati intendere vui haver fatte le demonstrationi niathematice ad ogni sua 
conclnsione et pratica procedendo a posteriori etc. Cosa laudabile et 
digna et de molta fatica, dellu quid cosa horie grande a piacere, perche 
voi ne havereti aleviato la t'atic«v del cercarle, perho so che ne fareti^J 
participe de le i'atiche rostre, de la quäl cosa etiam ve prego. Tarnen ^^ 
diceti esser tre o ver quatro conclusione ne la terza parte, seu la prima 
et la secunda de seratilibus et la 17* et 19* de sphere et portionis sphere 
quantitate, le quäle in veritate (secondo scriveti) non hene intendeti ant 
dubitati circha quelle haver errate Leonaboo, quäl cosa perho non audacter 
voleti dire per esser stato Leonardo homo ingeniosissimo. Ad confirma- 
tionem di questo ve voglio dire che nuUo modo doveti dubitare Leonaeiio 
haver errato, ma tirmiter credere esso haver ditto ein ha scritto cum 
verissime demonstratione. Per tanto io, non per gloria de ono compa- 
triota, ma per la veritade olso dire, da Ptholomeo et in qua non esser 
stato homo de piü profunda scientia ne le cose mathematice che Leonarpo ^ 
Ckemonesg. Et de ciö sono veri testimonii chi hano visto le opere aas 
et contemplato le lui (sie) contemplatione et demonstratione. Per tantof 
etiam io son certo esso habia demonstrato tutte le pratiche sue pe 
certissime demonstratione, ben che fin a qui non habia potuto ritrovame^ 
cosa alcuna. Unde circha le 4" conclnsione prenominate de le quäle 
seti molto ambiguo, per amor vostro desideroso de farvi cosa grata et 
satisfarvi in ogni cosa a me possibile, ho speculato circha quelle. Et 
benche, da poy me parti da Paria') fin a qui, mai habia dato opera ad 
simile consideratione geometrice, tarnen, excitato dal subtilissimo vostro 
ingegno, ho rivoltato EucLiDE et molti altri geometri cosi latini come 
Tulgari, tra li quali ho ritrovato esser ditto da molti che a multiplic^ire 
li } del diametro per la area del maximo circulo de la sphera provene ° 
la capacitä de la sphera et cosi coincide tal operatione con molte altre 
circha essa, como e a multiplicare la superficie de la sphera per ^ del 
diametro; et cosi de molti altri modi de li quali ne habiamo fin ad una 
decena cum le loro rasone demonstrative. Per t^into iudico essa esser ver». 
Ma de la demonstratione di quello niuno ho ritrovato haveme parlato. 
Perho cum subtilissima indagatione (per gratia de dio omnipotente, dal 
quäle reputo ogni mia inteligentia procedere) ho ritrovato la vera rasone 
et demonstratione de la ditt« praticha. Similiter de corporibus seratilibus 
la chiara demonstratione, quäle vi manderö per el prinio fidato. Et farovi 
non Bolum cum li ochi vedere, ma cum le mani tochare diote verissime 



1) Di qui sembivrebbe putersi indaire che Gioboio Fohdcxo »bbia consegoito 
presso !• univcirsitä dt Paria il gruAo di .artiiim et medicioe doctor" col qoale Io 
tronamo quaiitic«to negli indihni delle letteie •crittegli da Paolo da. Fruu. 




Nuove ricercho sul matematico Leonardo Cremoneeo. 



335 



demonstratione. Spero vi sarä, cosa grata et delectevole; vero e che al 
presente non le scrivo perche hano bisogno de mnlto parlare et de lon- 
^sima scriptura, la quäle al presente non posso exequire. Solum io vi 
mando la Cosmographia de Leonardo et lo iustromento in forma de 
galea, quäl cose cum grande timiditate et rispecto haveti da me richieste. 
Et io cnm magior animo re le ho mandate per che io non ho cosi cara 
cosa de la quäle non ve facesse participe, persuadendome il simile de vui 
rerso di me. Quando ne havereti cavato copia le remandareti. Cireha el 
ditto de proportione diametri ad circumferentiam h vero che in alcuni soi 
scritti ') Leonardo dice: „quo magis prope veritatem est proportio 
circumferentie ad diametrum sicut 318057 ad 101250 quam sicut 22 ad 
7", sed non alia demonstratione hoc ibidem probat; forte alibi demon- 
strative probavit: e ben vero che altri probano che „proportio circumferentie 
ad diametrum minor est ea que est 22 ad 7 et maior ea que est 223 ad 
71." Hör basta cireha questo/' 

Delle difficoltä in genere, delle quali aveva toccato Paolo da Fbezo, 
tmtta poi diflfusamente rxiORGio FoifDULO in ultra e luuga lettera latina 
^car. 59' — 64') ehe gli indirizza sotto il di 22 Marzo 1507, nella quäle 
per»! si astiene dall' entrare in particolari intorno a quest" ultimo argomento, 
chiudendo con lo scrivere: ,JDe tertia vero difiicuUate, scilicet de propor- 
tione diametri ad circumferentiam, intelexisti per alteras litt«ras meas, et 
quid sentiat Arsamites et Akchimedes et quid Leonakdus noster. Quare 
non plura. Laus sit omnipotenti Deo et (»ioriose Virgini Marie. 1507, 
die 21 Marcij a Nativate Dom.'" 

7) Car. GS"" — 70^ Note sopra ("ampank, prive di titolo ed in due parti. 
Inc.: „Notandum pro intelectu notabilis primi (.'aiii-ani commentatoris 
ErCLiDW positi in commento 13* 2' libri. Quoniam si faerit trigonus 
ortogonius, tunc ductis lineis angulum rectum continentibus . . ." 

Expl. (car. 68*): „Eodem modo super ab describe circulum et multi- 
plica et divide ut prius; et sie finaliter hiibebis notitiam oninium angn- 
Inrnm totalis trigoni propositi. Deo Laus, amen". 

Inc. (car. 69'): „Cuique diffinite linee subnectere duas qoibns ipsa sit 
ledio loco proportionalis . . ." 

Expl. (car. 70'"): „et angulus ycd sicut rpf et cde sicut pfh, quare 
«-ecü. Deo laus, amen." 

1) E precisaniente nella „Practica minutiamm", contenuta in questo medesimo 
«jodice. A car. 20 r, lin. 25 — 26 leggiamo infatti: „Qua proportio oircumf'ereutip nd 
«ünmetmin non est sicut 22 ad 7 sed magis prope reritntem est sicut 318 057 ad 
101 250*. Questo rapporto apparisce evidentemente dedotto dalla forma 3o 81 28II 
41in 86", oppurc da quella lo 21 49" 33111 521V per la lunghezza dell' arco di 
lo in 60 > del raggio, in luogo di 1° 21 50" di Tulomko. Per6 qneata valutazione 
di Leonardo per difetto e meuo «odisfacente Ji quella per ecceeso di Tulouko. 



386 



FAVi 



le 



Car. 70'. „Hec est divisio decidenB inateriam Bingulorum lihrorum 
totius Geometrie EucLiDis facta ad procurationem Eximii artium et mediciae 
doctoris domini Magistri Petri de Cihte de Padua. Expletum per me 
BKUNAitnixiM AuHKRU'M ab eremplari toto corrupto de anno 1506." 

Inc.: „Primo igitur tractatur de superficiebus, 2"^° de corporibuB et 
hoc in ij libro in prima parte de quantitate rationali et irrationali, 2" de 
irmtionali in 10° . . " 

Expl.: „14"' über primo de proportione diversonim corporum habentioot* 
equales superiiciee, 2" de inscriptione uniue eorum in alterum: et hoc in 
15*. Deo laus, Amen." ^iü sotto: „Modna deecribendi circulum super 
tria puncta data extra linenm rectam ubicunque fuerint, datus in libro de 
Compositione Astrolahii. In quo etiam habetur (jualiter ducatur perpen- 
dieularis, etc." 

Inc.: „Sint tria puncta . . ." 

Expl.: „. . . centrum circuli quesiti. Expletum per me BERNARDlNt 
antedictum ut Bupra." Quest' ultima apparisce perö tratta da an" oper»_ 
di molto anteriore a Leonardo. 

8) ('ar. Tl' e '. De equatione diemm secundnm Eicellen."" D. M.' 
Leonardim de Antosiis Ckemosensem. 

Inc.: „Quia Deo dante, paucis elapsis diebus, scientiam eqnationum 
dierum percipi, circha quam diu dubitareram, deliberavi clarius in ea loqui 
cum divina gratia, quam Ptholomei'S capitulo 10 dictionis 3* Almagesh 
fecerit et saus comentator Geber ultimo capitulo 3'^ tractatua sui . . " 

Expl.: ,^pea quidem debet addi ut habeatur medium tempus qao 
sciantur coniunctiones et ascendens conionctionum, etc. 

De equatione diemm seciindum Leoxardüm (^remonensem scriptut 
per me Beknardinum Aliiiekii m die 13 Julij 1510." ii 

In questo frammento troviamo da notare che Leonardo prende com^f 
esempio 1' anno 1436, il quäle veroeimilmente puö oredersi 1' anno stesBO^ 
della redazione. 

9) <'iir. 72'' — 81'. Leonardus Cremonensu bIc prosequitur descri: 
tionem Cosmographie in piano. 

Inc.: „Terreni situs habitabiliß partes describentium Ptholomeus quiB 
fnerit licet non pateat •). pro aliis tamen sufiicientius dicit . . ." 

Expl.: ,,. . . non enim video qaod in mensura possit procedi nisi secon- 
dum primam partem dicti capituli. Sammo Bit factori laoa per secola 



no J 



I 



I) LaoiUBDo dubita che il „PmoLOMiLKcg cognominatuB Clai-ditii AlexMidiintg 
ceu Jacubo Ahgilo Florentino tnnsiktori «no placet, tempore Romuii Pontifia 
AucxASDu 5i* Bia lo iteseo rhe il ..Pbeludensis* autore dell' AJmageito, mettendo 
rilievo dei dir&rii fra 1' Almagetto e la Oeogrufia. 



üoove neeroM rai i]i*wm»tico iteoniirdo VTvmoaMo. 

semper. Amen." E dopo altre dodici linee: „Expletum per me Bf.bnardimjh 
Al.iliEKU'M currente anno ab Incarnatione 1506." 

Qaesto trattato e diviso in dieci capitoli ; fiiiisce nel verso della car. 8 1 , 
ma perö il recfo della car. 82 contiene ancora nna figura ad esso relatira. 
10) Car. SS"" — 96''. Ars instrumenti horologici pro tempore sereno edita 
per R.""" M."" Leonardum Ckemonknsk.m. 

Inc.: „Aflfectis intenae circha nobilia celestium quatenus et eorum con- 
ditor atqne rector avidins queratur . . ." 

Expl.: „Hec autem voluella cum ponetur super centro signato in virgiila 
defferentis ex parte augis velut oppositi iuxta suum diem, patebit locus solis 
in defferente et niedius motus eins in primo mobili et etiam sua equatio. 
Celorum rectori laus sit Christo perhennis." 

E dopo una „Tabula varietatis augis solis et dierum" a car. 95' — 96', 
si legge: „Expletum per me BKUNARniNiM Amfiekuji die 29 Maij 1507". 
Fin qui, come del resto lo chiariscono le annotazioni finali che siamo 
vennti riproducendo, tutto il codice e della uiano deUo stesso «manuense. 
Nella carta 97 (■■ e ') una mano, che sembra essere appartenuta aUa se- 
conda metä del secolo X\T e che non e sicuramente quella del rimanente 
del codice. ha trascritto una „Tabella annunnim conversionum" ed una „Ta- 
belLa equationis 0", ed a car. 08'^ delle „TabeUae aunuarum conversionum" 
e una ,.TabelIa profectionis diume". Finalmente a car 98'', d' una mano 
della prima metä del 500, abbiamo gli abbozzi incompleti di due temi 
astrologici per nati li 27 Luglio e 10 Agosto 1610. 



Da tutto quanto siamo venuti esponeado in questo e nei precedenti 
Qostri lavori intorno allo stesso argomento, ci sembra possano trarai le 
Setrnenti conclusioni ormai abbastanza assodate: 

1". E da escludersi in via assoluta che 1' Artis meirice pratice com- 

f>äatio, della quäle una versione italiana con la oorrispondente traduzione 

tedesca furono date in luce da MA.s,"<iMii.tANO CiinzE, sia opera di Leonardo 

JVIainakdi da Gremona. Questi fu verosimilmente assai pirt tilosofo e 

medico che non matematico, o lo fu soltanto per quanto lo comportavano 

^ diremmo quasi lo rendevano necessario le costumanze e 1' indirizzo degli 

etudi di quel tempo: fiori nella seconda meta del secolo XV e non lasciö 

alcima scrittura intorno a qualsiasi materia pervenuta insino a noi, od 

almeno di cui ei abbia notixia. Conferma in tale presunzione il fatto ch' egli 

fu all' incirca contempornneo di OioKoio Fondulo (1473 — 1545) esso 

pure Cremonese. il quäle, scrivendo dell' autore della scrittura in questione, 

vi accenna come a tale moiio da molto tempo, cosicchö ormai non soprav- 

vivesse pii'i alcuno di quelli che potevano averlo conosciuto: anche di qui 

soltanto parrebbe quindi i)oter8i conehiudere che Leonauoo Cremonese 

BiblioUiecB HMbemfttica. 111. Fulgs. V. 22 



338 



Antonio Favamo. 



ehe , 

»all 



matematico fosse vissuto circa un secolo prima, e quindi tra la seconda 
meta del secolo XIV e la prima del XV. 

2°. II cod. 212 di San ilarco, presentemente nella biblioteca Mediceo- 
Laurenziana di Firenze, rivela la esistenza di nn „Frater Lkonardüs de 
Antonus r»K CKKMf»NA ordinis minorum bacalariuB'* da noi fatto cosi per 
la prima volta conoscere, Q quäle scriveva di cose geometriche in Bologna 
nel 1404 e nel 1405; siecht, sebbene gli Bcrittori di cose cremonesi non 
ci abbiano conservata alcuna memoria di questo loro concittadino, esso 
viene ad aggiongerai alla serie degli uomini illustri Cremonesi e degli 
Bcrittori italiani di matematica. 

3". Che il Leonabdus Cremonensis, al quäle si attribuiscono numerose 
scritture scientifiehe, non sia altri che il LEt)NAliU0 de' Axtoxii risult* 
indubbiamente dal fatto che 1' Ärtis metrice piatice compHatio, la qual^J 
nei varii esemplari finori noti, ed in un altro che faremo conoscere pii^| 
sotto, e attribuita a „Leonardas ('iiemonensi.s" e nel codice Parigino 7192^^ 
dichiarata del „Magister Leonarih-s de Antonus de Uremona", e questo 
da parte di tale che scrivera in Cremona stessa, pochi decennii dopo ehe 
egli sarä morto. 

4". A questo „Leonardo de' Antonii". oltre alla scrittura principa 
cd alle tavole, le quali hanno data occasione ai presenti studi, derond 
ancora riconoacersi queste altre promiscuamente attribuite, o esplici tarnen te 
a lai, oppure a Leonardas Cremonensi8: ^H 

a) Le note sopra Tampano a cät. 133'— 135"^ del codice 212 di Sa^^ 
Marco di Firenze, le quali nel fondo sono le stesse di quelle a car. GS' — 70' 
del codice Parigino 7192. 

h) I metodi per la estrazione delle radici quadrata e cnbica h ca 
253—256 del codice della biblioteca universitaria di Bologna segnato co 
n» 2780. 

c) I capitoli cosmogratici a car. 184' — 144'' del codice della bibliot 
reale di Parma segnato col n" 984: gli stessi che a car. 72' — 81' del codice^ 
Parigino 7192 e dei quali le prime II linee troTansi anche traecritte a car. 
28' di questo medesimo. ^^^H 

E i)oi ancora questi altri lavori. dei quali e finora noto 1' unico eae^^^ 
plare contenuto nel suddetto codice Parigino: ^^ 

d) „Practica minutiarum". ^H 

e) „Algorismus minutiarum", chf» cosi lo chiameremo, adottando il titolo 
datogli dall' amanuense, tanto per distinguerlo dalla scrittura precedente. 

f) Dimostrn/ione geometrica relativa ad ona proprietü del cerchio. 

g) ,,De equatione dierum". 

Ä) „Ars inatrnmenti horologici pro tempore sereno". 
Finalmente, quando non sia tutt' iino con quest' ultima, che risguard 





Me ncen-no sul matematio^ 



339 



la descrizione e 1' uso tli uu (juadrante solare portatile, k „galeii" della 
quäle e cenno nel cartpggio di (iKimuo FoNi>ri,o con Paoli» i>.\ Fukzo. 

Ben poco perö siamo ancnra in grado di dire intorao alia vita del 
nostro Leonardo. Paolo da Frezo lo dice: „bi ingenioso homo"; e Giorgio 
FoNDULO giadica „du Ptiiiu.omko et in qua non esser etato horao de pift 
profonda scientia ne le oose niathematice". Alla data del 1404 e del 1405, 
giä trovate come quelle del compimento di alcuni suoi lavori, b da aggi- 
nngersi che di un altro possiamo argomentare che sia posteriore all' anno 
1410, poiche in esso si accenna a circostanze a questo unno anterinri; egli 
scrive Lnfatti: „Preconsiderare tarnen convenit quod licet Cosmographiam 
Ptholomkus cognominatus CLAruius Äiexandrinus, ceu Jacobo Anoelo 
Florentino translatori siio placet, tempore Homani Pontificis Alexandri 5^. 
descripserit ingeniosius quam sui precessores per quem scriptor et ego 
divLna gratia didici moduui descriptionis rei presentis, veluti longo tem- 
pore cogitaveram sed minime comprehendere valueram . . .". Procedendo 
nel nostro spoglio secondo 1' ordine cronologico, troviamo che alle date 
Burril'erit« e da aggiungere quella del 1436, assunta, molto yerosimilmente 
dall' anno nel quäle scriveva, come e8eni]>io in un suo frammento aatro- 
nomico, nel quäle appunto si legge: „Verbi gratia si anno 1436 a Xpi 
natiritate . . .". Pifi innanzi ancora ci portianiu con quest' altro passo 
dell' Ars instrumcuti horologici, nel quäle, accennandosi alla eorrezione del 
Calendario, c scritto: ,^ea siquidem vi modiea correctioniB huius exem- 
plaria transmisi ad ('oncilium Bneiliense iam diu dum vigeret et ad Do- 
minum Papam ElUENirM, ad Augliam et Parigium . . ": noi sappiamo 
infatti che concluaioni intorno a questo argomento furono prese dal t'oncilio 
di Basüea in una adunanza del Marzo 1437,') ed accennando Leonakuo 
ad nn tempo nel quäle uou fosse peranco acoppiato irreconeiliiihilniente 
il dissidio fra Papa Coxdilmkr ed LI burrascoso Concilio, parrebbe non si 
dovesse andare piü in la del 1438. In questa medesima Bcrittura si ha per 
verita un altro passo dal quäle l'anno nel qnale essa e stesa sembrerebbe 
risultare indubbiamente, poiche vi si legge: „et si usque ad magna viguerit 
tempora precedentia nostrum, videlicet per annos . . .", ma la cifra che qui 
segne e. in conseguenza d'ona correzione, di cosi incerta lettura da non 
permettere di fondarvi sopra alcuna sicura argomentazione. 

Nel complesBO adunque ci sembra , per quanto almeno permettono 
di concluderlo i documenti finora insino a noi pervenuti, poterai tenere come 
aesodato che la attivitä scientifica di Leonakuo de' Antonii da Cremona, 
piü comunemente conosciuto col nome di Leonardo Ckemonese, si svolse 

1) Die Vorijesehichte der Gregorianischen Kalenderreform von FERmnAnii Kaltkn- 
BursniEB (Sitziingbberichte der Akademie der Wissenschafteu in Wien 
CPhilo«.-Hi8t. Cl.) 82, 1876, pag. 837). 

22» 



340 



AsTiüno Favano. 



del 1404 al 1438, e poiclie ancora nel 1404 egii era „bacceUiere" in I 
flella quäle piü tardi divenne „maestro". crediamo di non andnr 
luBgi dal rero esponendo In ipotesi che il buo anno di nascitu sia da t^nerai 
intorno al 1380. Egli stesso poi si dice „a me homocianculo membro 
ridelicet fratre Leonardo, Ordinis sancti Prancisci". 

Resterebbe ora soltanto che noi formalassinio un qnalche appn 
mento sopra i meriti scientifici di Lkonardo de' Ajstomi e sul poi 
eh' egli riene ad occapare nella storia della scienza. 

Neil' unico trattato che si ha alle atampe, eioe nell' Ärtis mctrü 
pratice compilatio, crediamo sia da rawisarsi un documento importante per 
giudicare dello stato delle cognizioni geometriche al principio del secolo 
XV, documento il quäle forse, per la stepsa indipendenza sua dagli scritti 
di Lkonakpo Pisano, acquista sotto questo rispetto caratteri di speciale 
interesse. Quanto al complesso dell' opera deUo scienziato, il cui nome 
viene ora restituto alla storia delle matematiche, noi crediamo che, per 
giudicare con competenza e per dare a questo giudizio i necessarii fonda- 
menti, converrebbe Lncominciare dal pubblicume le opere e queste studiare 
nei rapporti con le altre eincrone e congeneri. Cosu per modo di esempio, 
In parte aritmetica delle opere di Leonardo pe' Axtonii dorrebbe stodiarsi 
in relazione con quello che intomo alle stesse materie ha lasciato Prosdo- 
ciMO de' Beldomanpi, il quäle, piü fortunato di Leonardo, restö nella 
storia delle scienze, mentre di questo anche i mat«matici italiani del rin^H 
scimento, che molto probabilmente arranno approfittato delle sue opere. 
tacquero ingenerosamente, come di tanti altri, Q nome, rimasto cosi insino 
a noi completamente ignorato. ^M 

Nel precedente mio laroro Intomo al presunto autorc dcUa ^Artis 
metrice pratice. compilatio", ebbi a registrare quattro esemplari di questo 
trattato: la descrizione or ora fatta del codice della biblioteca nazionale 
di Parigi segnato col n" 7192 ne aggiunge un quinto, e qni, in via di 
appendice alle cose esposte, vogliamo notare come le ricerche da noi pro- 
seguite intomo a questo argomento ne abbiano messo in eridenza ancora 
un sesto nella biblioteca reale di Parma. Anche questo esemplare del 
resto non era sfuggito alle meravigliosamente diligenti ricerche del Principe 
D. Baldassarke Bonc'OMPAONI, il quäle anzi ne aveva fatta corare una 
trascrizione •), e se esso non ei fu noto prima, lo si deve prbcipalment« 
attributre a ciö che in Italia gli studiosi non trovano sempre presse i pre- 
posti alle biblioteche dello stato quegli aiuti che qnesti dovrebbero dare. 

1) Catalogo della biblioteca BovcourMi/t. Parte prima eonttneiUe i manoscriiii, 
fae-gipnli, editioni del secolc XV, ahbachi, riritU, ecc. Roma 1898, pag. 129: „1027. 
LEoxABDt CunioKsicsu .\st\s metricae prscticae rompilatio. Copia del codice della 
Bibl. R«ale di Parma, »egnato .CC. Y. 26« in fol". 




Nuove rieerche 8ul niotemBticu r.eon«tt^ucmoneBe. 



341 



L' esemplare in questioue, come del resto era giä noto per la indica/äone 
che ne avevn sninmiiiistrata il B<iNCOMi'A(iNl, e conteuuto nel Codice che, 
al tenipo della copin da lui fatta eseguire, porttiva la notazione CC. V. 2ö, 
cambiata poi nell' altra UH. VIII. 12, e poco appresso ancora nel n" 305 
(quando si persuaderanno questi benedetti bibliotecurii che negli iatituti a 
loro al'fidati ci sarebbero da fare cose tsinto piü importiinti che non mutare 
e rimutare ad ogni niomento e senza motivi plausibili le notazioni dei 
codici!); ma nemmeno la indicazione della antica notazione era bastata a 
far trovare il codice: lo rinvenimmo finalmente in seguito a perBonsili 
Ticerche. 

D codice appartiene al secolo XV e ferse alla seconda meta di esso, 
e nelle carte anticamente numerate nei redo con le cifre l — 49 contiene 
appunto la: ,,Leonaiu>i Ckemonensis artis inetrice praticae compilatio". 
Esso non porta alcun segno il quäle riveli i nonii dei suoi precedenti 
poBsesaori: la vecchia e ricca legatura in cuoiu rosso con impressa in oro 
la scritta: „BibUothecae Ivegiae l'armensis" con i gigli di Francia indica 
Boltanto arer appartemito alla detta biblioteca nel tempo in cui Parma 
era soggetta ai Borboni. Nel suo presente assetto il codice fu aseai proba- 
bilmente disposto al tempo del bihliotecario Paoi.o Maria PACiAroi che 
tenne 1' ufficio nella seconda metii del decimottavo secolo ') e che pre- 
mise al manoBcritto una intruduzicme che rorrebbe essere storica dell' arit- 
metiea, perche egli, asBai probabümente per arere mal lette o male inter- 
pretate le due parole „Artis iiietrice", le trasformö in „Arithmetice" e, ee- 
guendo le indicazioni forntte diigli storici di cose cremonesi, attribui 
Benz' altro la scrittura a Lkonardo Mainardi, inscrivendo in una guardia 
,^EONARDi Mavnardi Arithmetice". Vero e tuttavia, e non vogliamo tacerlo, 
che neUa introduzione suaccennata egli scrive: .^Arithmetice practice com- 
pilatio, revera tarnen non artis numericae institutiones, Bed mensurarum 
«loetrinam complectitur; adhibita, ut res ipsa postulat, arithmetica suppu- 
tatione". 

Alla „Compilatio" propriamente detta fanno seguito neUe carte anti- 
camente numerate nei redo con le cifre 50 — 59 e col titolo „Tabella 
sinunm" le tavole giä note. 

1 ) VitM itrtlorum J«ctriiui exceUcntiiim, qtn auteuli» X VII et X VIII flomerunt. 
Auttoro ANOKto KAonomo. 14, PiüiB MDCCLXXXIX. p»g. 180—247. 



H. BoRMAMR. 



Note sur la trigonomätrie d'Adrien Romain. 

I'ar H. Bo.SiMASs ä Bruxelles. 

On ne ronnait bien soiivent la trigononietrie d'AnniEN Romain') t[at 
par son Canon ttiangulorum sphaericorum-). W v. BKArNMinii, notnmnient, 
n'analyse que ce seul ouvrnge. dans ses Vorle^ungeti über Geschichte der 
Trigonometrie^). Au fond la chose est assez naturelle; le Canon est le plus 
considernWe des travaux d'A. Romain sur In trigononietrie. et se rencontre 
peut-etre plus frequenimcnt que ses autres ecrits trigonometriques, dans. 



1) Adrlaan VAS RooMEN, RoMANUK, ou RojiAre tiBqait, ä LouTaia, le 29 septembr 
1561. Professeiir de matbematiques et de mädecino d'abord ä l'universite de sa rille 
natale, puis ii celle de Warzbourj;, il moumt a Mayenco le 4 mai 1615. Toutee lea 
hiitoiies des mathematiqucs consacreut quelques pages a A. Komain; et il a donnä 
liea, en outre, in. d'asscz uombrenses uionograpbies , panni leaqaelles U faat mettn 
hoiB de pair les douz suivautes: m 

Kotice «iir le mathewalicien lotivanitte AvBiAxve Romauvs, pmfesseur ä TanciennlK^ 
iiniversiU de Louiain. — (XVI' SiedeJ par Pb. Gildebt. Revne catholique, t. 17 
(Louvain 1859), p. 277—286, 394—409, 522-527. — Ph. Gilueht, y etudie siirtout 
les travaax gäom^triques de son illustre pr^decesseui dans la chatre de matbematiiiue« 
de l'universitä de LoutbId. 

Aksuck Bomajh, Premier profesaeur ä la faculte de midecine de Wurzbourg, par 
A. RioAm). Bibliophile Beige (Balletin trimeitriel publik par la societ^ des biblio- 
philes de Belgique) 2 (Bnucelles 1867\ p. 56—100, 161—187, 256—269. — Ril-uid 
y donne une bibliographie des Oeuvres d'A. Romain, qu'on peat proposer comme an 
modMe du geure. 

Ecxites & des pointa de vne trea differents et ind^peadamment l'une de l'aQtre, 
leg moDographies de Gii.nEBT et de Ri;lam> se completQut de la maniere la plus heureuse. 

2) Ai'Buxi RiiMixi CaiWH Triangulorum Sphaericoivm, lireuissimu» Simiil ac 
facilimtis, quunipluritnisq; exewplis optici proiectis illustratua, in pratium Aslronomiae, 
Cosmographiae, Geographiae, Uorologiographiae, dtc. Studiosorum iam primüin editug. 
Accessere plenioris usus ergo. Tabulae Sinvvm, Tatvgentivm, El Secantirm Ex Opere 
J?*' Atq. Eximij Patris Chrintophori Clavii S. I. Mathematiei celeberrimi desumpta«. 
Moguntiie, Ex Ofticinä loannis Albiui, Anno M.DC.IX. 

3) Tom. I (^Leipzig, Teubner, 1900), p. 229—231. Eu m'exprimant ainsi, c'est 
que je compte, bieo entendu, limiter ma Dote ä la trigoDom^trie proprement dite, 
c'est ä dire, a la idsolution des triangles; en excluaut les travaux d'A. Rouais sur la 
detenuination de jt, uue equution du 45 ^ degrü et lo calcul des cordes du cerde 




i^notoe 



I 

I 



les bibliotbeques publiques. D ne parait ccpendant paa etre le plus im- 
portant; et en tous cns, on ignore (rordiniiire que. loin d'etre seul, ü faut 
lui ajout«r le Canon triangulorum rectangulonmi , le Speculum astronomicum 
et Is Mathesis polemica^). Je ne pretends pas presenter ces opuscules 
au lecteur. comme contenant tous les trois des decouvertes de premier 
ordre; mais la haute Situation occupee, en son vivant, par A. Romain, aui 
universites de Louvain et de Wiirzbourg; ses relationa d'amitie avec Clavius, 
Maoini, Vikte, Lüdolphe van Collen et d'autres princes de la science 
de son temps; enfin et surtout, la rarete des trois petits vülumes que je 
viens de nommer, donneront, je Tespere, quelque interet a la note que je 
me propose de leur consacrer. Au surplus, le S]i)eculum astronomicum, 
inerite, en toute hypothese, rattentioD de rhistorien de la trigonometrie. 



I 

I 

I 



I 



I. Canon triangulorum reotangulomm. 

Le Canon triangulorum rictangidorum, fort oubliö uujourd'bui, l'etait 
moins jadis, car Valkkk Axdke dit Tavoir vu*). II n'existe plus dans 
les bibliotheques beiges; mais Kiland en signalant un exemplaire ä 
Wolfenbüttel ^), je me suis adresse k la bibliothL'que ducale. Celle-ei a 
ea robligeance de m'envoyer ce precieux volume k Bruxelles et de l'y 
laisser ä ma disposition peudant quelques semaines. (Ju'elle veuille bien 
agreer ici Thommago de mes remerciements et de ma vive reconnaissance. 
Le Canon est nne toute petite brocliure de format, in 8", com- 
prenant 16 pages imprim^es en long, non chifliees, mais les pages 1, 3, 6, 
sont signees respectivement A, Aij, Aiij. 11 n'a ni froutispice. ni preface 
et est intitule: 

caiion triangvloi-Tin |{ rectaDgvIorvm, tnni sphaericorvni |{ quam 
rectiUneoi-Tiu, iiietliodo brevLssiiiin l| eaqiie facillinia coniiirelieiisa: |{ 
Aufhöre \\ a. roniano luedico et luatheiuatico. 

RuLAND croit que le Canon fut imprimc ä Louvain*), conjecture 
fort plausible. U doit, en tnute hypothese, avoir et« public peu de 
temps apres l'apparition du Variorvm de rcbvs mathematicis responsorvm 



1) J'en donnerai, ci-dessouB, au far et ä mesure la deacription d^taill^e et le 
titre oomplet. 

2) Valmsi Akiikk^ Desseli I. ('. Bihliotheca belyica: de Belgis vitis acriptisq ; chria. 
prarmwa topographica Bdgii totirs sei' üermaniae inferiwis descriptione. Kditio reno- 
rata, <£- tertia parte auctior. Loranii, Tjpia lauobi Zegers CI3.I3C.XLII1. Cnm priyi- 
Itgio Regia, p. 15 et 16. — II n'eet pas iuutile de remarquer ä oe propos que la 
bibliographie d'A Romaim ne compto pas moluH de 60 numeros. Val^jis Ajtvtüi: n'en 
a cependant vu et n'en nomine «jiie 18. „Scripsit varia (A. Romamir), dit-il, ex quibus 
Tidi aeqneutia": Buivent lea 18 titrcä. 

3) O.e. p. 161. 

4) 0. c. p. 162. 




344 



U. BoKMAlfH, 



Über VIII^) par ViKTK, qui est. on le sait. de 1593. A. Romain semble 
avoir eu pour but d'y resumer, pour see eleres, les grandes decoavert^ 
faites par le geometre fran(;uis dans la theorie des triangles spheriqm 
rectangles. 

Le Canon dt-bnie par ces mots-): „Diagrammata duo triangulorui 
rectanguloruni, pnus quideni rectilineorum triuni, alterura vero 8j)haericorni 
quatuor"; apres quoi l'auteur donne deux figures, les seoles de toat l'oa- 
vrage, l'une composöe, comme U le dit. de trois trisingles rectilignes, l'aatre 
de quatre triangles spheriques. Elles ne sont pas de grande utüit4, et 
n'y üisiste pas. 

An verso du f° A, Romain definit les notations dont il se serri 
Les angles se representeront par A, B, C, Ä etant toujours l'angle droi 
les cötes opposes respectivement par BC, AC, AB; le rayon flu i-pr« 
trigonometrique par R. 

F" Aijr" et Aijv". Resolution des triangles rectilignes rectangles Elle 
n'a rien de nenf. Romain y distingue six cas: 

1 " On donne: i^ ou C et AB. 



ile 

j 





Solution: 


R AB 

tanRfi AC^ 


J? _ AB 

Rec B BC' 


2» 


ün donne: 


B DU C et AC. 






Solution anulogue. 




8» 


On donne: 


B ou C et BC. 






Solution: 


R BC 
Bin C ABl 


B BC 
Bin B AC 


4° 


On donne: 


AB et AC. 






Solution: 


AB B 

A C taug £' 


R AB 

sec JB " BC 






AB'- + AC^ ^ BC^. 


5" 


On donne: 


AB ei BC. 






Solution: 


AB B BC R 
BC "^ gec B ^^ AB~ maC 






R BC 
.inB= ^C°" 


B AB 

' tangU AC^ 



BC* — AB^ = ACr 
Ü" On donne: AC et BC 

Solution analogue. 
F" Aiijr". Romain y remarque, que les angles et les cötes d'un tri- 
angle spherique rectangle n'etant pas necessairement aigus, qae 

1) Fsj.vcrua VisTje Vnriorvm Dt Bthm Mathematicix Re.iponsorrm, Liber VI 
Cujus praecipua capita sunt. De duplicatione Cubi, rf- (jundratione Circuli. Quae clnud 
Tlfoxntov, neu Ad vsum MalJtetiiatici (.'ationis lUethmlica. TTTonia| Apud I«m«ttiv 
Mettayer, Typogniphum Rogium. 1593. — 2) F» A, ro. 



Note snr la trigonometrie d'AHrieii Homaiii. 



345 



piirt les tablea donnant toujovirs un angle aigu, il est neccBsaire de dis- 
poeer d'un „Index", dont le rOle est d'indiijuer s'il taut s'en tenir au nombre 
de (legres fourni par la lecture inimediate des tables, ou bien prendre celui 
de l'arc snpplementaire,') 

F" Aiijv". Enumeration des dix cas qui se pr^sentent dans la reso- 
iution des triangles spheriques rectangles. 

Chacune des pages restantes [F" (Aiv)r'' — (Aviij)v''] contient la 

Solution detjvülee d'un de ces cas. Les elements incomius y sont deter- 

Qiinee chacun par six proportions differentes, soit au total par 180 pro- 

portions (18 par triangle), fcoutes enoncties d'aüleurs sons la moindre de- 

öionstnition. 

Au fond ces proportions se ranienent aux dix fonuules devenues 
^Aassiqups, qui de nos jcmrs encore resuiueut la resolution des triiingles 
®V»ti«^rique8 rectangles: 
~ R aiii B ß na C 



Bin BC 


sin AC 


sin B<; 


emAB^ 




B 


eoB AB 

~ cos SC" 






ooB AC 




R 


_ tangylC. 
cos C ' 


R 


tang AB_ 


cotang J3C 


cotang BC 


~ cobB ' 


B 
tugilC ' 


cotang B_ 
~ «in AB ' 


R 
tang^U 


cotang C_ 
«in ^ C ' 


B 

sin C 


cotAC 
cosB ' 


B coa AB 

■in B COB C ' 




R 


cotang (' 2i 
COB BC 


1 




cotang B 





Pour donner une idee du style de l'auteur, voici comment il se sert 
<ie cette demiüre formule, pour trouver le cöte Bü d'un triangle spherique 
*"€ctangle, dont il connait les angles B et C) 



Quaesitum BC. 
j R ad tangentera anguli B\ ita tang 
Ut ^ tang. comp, anguli ß ad J2; ita tang 
\ tang. comp, anguli ad i2; 



Index B k C. 

ens anguli C 
tangens anguli C 
ita tang. comp, anguli B 



ad secant. 
arcus BC. 



1) „bi «ingulis articulis «equenti« canonis ad unumquodque quaeBitum adjuiiximu« 
indicem, qui pgt acciden« aliquod trianguli ex qno qtiaesiti specioB cognoBci debut." 

2) La präsence de cette formule daus le Canon ne pennet pas de lui donner 
nne dat« ant^rieiire ä 1593. Nou« venons de rappelcr «lue le Variorum responsorum 
über VIII por ViftiK pumt en cette annee. et on sait qne la formule e'y trouve. 
(Ol. XIX, no XIII, fo 34 y°). Uu oxcfes de modoBtie ne fut jaraais le foible 
d'A. RoMAor. S'il arait eti ranteiir d'une formule aussi remarquablo, il u'eut pa« 
Dianqu^ d'eu r^clamer brujamnient la patemitc. Or «es öcrita ne reuferment paB de 
trace d'une prl-tentiou de ce genre. — 3) F" (,Aiv) ro. 



346 



H. Boaiusg. 



Ut 



R ad tong. compl. ang 
taagens anguli B ad R; 
tangens angoli C ad Ä; 



B- ita tang. compl. ong. C j ad einum 
ita tang. compl. ang. C , complem. 
ita tang. compl. ang. B | arcus BC. 



(!ette maniere de transformer sans cbangements importants et d'ecrire 
une Proportion, toujours la mf'me, de cinq ou six fa^ons diflFerentes etonne 
aujourd'hui. Elle etait dans les habitudes du temps et ViETE n'agit pas 
autrement dans le Canon maihematicus.^) Ces modifications ont cependant 
leur raison d'elre, car ü est nise de a'assurer, par une mise en nombre, 
qu'elles peuvent avoir leur utilit^ propre quand on veut opörer au long, 
par Toie de multiplicalion et de dirision, sans emploi des logarithmes 

J'obeerverai ä ce propos, en passant, qu'A. Romain, qui persiffli 
d'une maniere si cinglante Raymarcs Ubsds Dilhmarsns, dane le 5" di 
logue de eon AncnniEDEs*), devait comuüiare la prosthaphertee ') , m 
qu'il ne semble avoir jamais bien appr^cie tous les avantages de cette 
belle melhode.^) 



Ig. 
li»fl 



p. ooo, 
luMim^i 

uexnogH 



1) Voir notamment, p. 85 — 41. Je crois gnperflu de trangcrfro au long les trois 
titres 8UU8 lesquels parut le Canon mathematiau. J'ai etabli datid mou memoire sur 
le Traili des Sinus de Micaiu. Cohikmt qn'il n'y a 1^ ä propremeut parier, qu'une menle 
ddition (Annalea de la gocidtö scientifique de BruxelleB 25:2, 1901, p. 21 
— 24). Je a'y reviens pas et je me content« de renvoyer le lecteur ä la note dans 
laquelle M. EIxehtbOm a r^aumi.^ la question (Bibliotb. Mathem. I3, 1901, p. 356, 
3'y ajouterai que les pseudo-dditions se trouvent totitfs les tnis au British Mui 
(Voix: Britith 3Iuseum. Catalogue of printed bookt. V«: Vikta.) 

2) In A iicHiM£i>ig cirevH dimensionem Expoaitio et- Ä nalysi». Apologia pro Ana 
ad Cluriss. i'i'rum loatiucM ScAi.ii:tti:u. JCxercitatiünes Cycliate cotUra lofuriwu S>.jiji 
Onoimru Fimabom, db JRjtujklm Vaspu, in decem Dialogos distincta«. Arthore Admuko 
BoMAKo Eqvite Avrato, Mathegemn ExcellentiMimo profeaaore in Academia Wurw- 
burgeti». Wurceburgi. Anno CI3I3XCVI1, p. 84—89. 

L'exemplaire de l'l'niversitä de LouTsiu a appartenu ii Ä. Romais. Interfolid de 
papier blanc, il cootient des corrections et des additions de la main de rautoui, dcrites, 
semble-t-il, en vue d'une r^edition. Malheureusement elles sont inacheTees et ne forment 
qu'nn brouillon. 

8) La quadrature du cercle et la prosihaph&äse sont, en eifet, doun^es l'i 
et l'autre dans le FuiidameiUum astronomictiui d'Uasi«. Toir la Note que j'ai conMi 
r» cet ouvrage dans le Tratte des Sinus de Mtcuiu. Coicnrr, p. 16—20. 

4) La bibliotbeque de l'unirersite de Lonvain poseede un manuscrit, cot^ me. 196, 
dans lequel uu tronre (fo 365 — 368) le petit trait^ suivant: Nova miiUiplicandi, diri- 
dendi, quadrata componetidi, radiees extrahendi ratio, mtdtü quam pervulgala certior, 
facilior it mnjoribus niaxime numeris aeeommodatior Aufhöre A. Bomaso E. A. Lora 
de la Session de jauvier 1904, j'ai pr<$sentä cot upuscule, inddit jusqu'ici, ä la Soci<^t^ 
Bcieutifique de Bruxelles, qui eu a vutö l'impTPssiou dans ses Annale«. II y paraitia 
inoewHunmeut et reuferme d'assei curious r«us«ignements tut les metbodes employeec 
par A. U<iMAix, dans les calcuU uuiui^riquM. 



.* 



citf^H 




Note sui la trigonometric d'Adrien Rnmaiii. 



347 



H. Le Specalum aatronomicum. 

Le Specidum astronomicum est un vnlume de forinut üi 4", contenant 

152page8. titre compris. Les 151 premieres pages, sont numerotees (1 — 

I 51): la demiere non numerotee renferme le privilege con9U en oes termes: 

,4deae Mathematicae ') Adkiani Komani partem eam quae Speculum 

astronomicum comprehendit, praelo dignam censeo. Datum 16 Iimii 1606. 

Övüiel. Fabricivs Noviomagus, Apostolicus ac Archiducalis librorum censor." 

Le titre eomplet de l'ouvrage est: 

specylvm | nstronomicvm || sive || orgatiTin forma mappae || ex- 

presSTüi: |{ In quo licet immohili [| Omnes qui Primo caelo, Primoqve '| 

Diobiü fpectari lolent motns, per Canones ea 1| de re confcriptoB, plauifllme 

'*üe ullius II regiilae aut volvelli beneficio || repraefentantur. || anthore ij 

-<*• Momano, Equite anrato, Comiti Palatino, \\ Medico Caefareo: atq; ad 

-ö- Joannis Novi Monaskrij \ HerbipoU Canonico. , (Petit fleurou.) I Lorauii,|{ 

■^^x. officina loannis Malij, lub Viridi Cruce, anno 1606. || Sutnptibtis Authoris. 

-^^cftat Francofurfi upud \\ Levinnm IlHlfium. l ^) 

La dc'dicace, adreasee au celebre archiduc Ai^bert, pour lors souverain 
^^s Pays-Bas Espagnols, est datee de Louvain, le 16 juin 1606. 

L'ouvrage est divisö en deux parties, dont les chapitres 2 — 7 de la 
l**'«miere sont consacres k la trigonometrie. 
En Toici d'abord les titres: 

ICap. 2. De triangulorum generibus et differentiis, p. 9 — 18. 
Cap. 3. De analjtices triangulorum forma seu methodo, p. 19 — 21. 
Cap. 4. De principiis analyticae triangulorum reetiiineorum, p. 21—23. 
Cap. 5. De principiis methodi linearis analyticae triangulorum sphaeri- 
^oram, p. 24—35. 

Cap. 6. De principiis analyticae logicae triangulorum sphaericorum, 
^. 35—40. 



1) Leg Jdeae mathematicae devaient former one R^rie d'onvrages qui est malheu- 
reuacment rest^e inochev^e. L'ouvrage cH6 plus particuliereinent houh ce Dom est ä 
^roprement parier la Methoiius poli/gonoriim. C'est ce qui ri^Bulto aueifi bien des ex- 
(ilicatiouB d'A. Romain que du titre lui-meme qu'il a mis on tete du Tolume: 

Ideae tnathematicae pam })riitm, *•'»•«• methodvs iioli/goiiornn , qva latercm, ptri- 
metrorum <t areanim cujuteutique pvlygoni inveßigatuiorum ratio fxactissima it- etf- 
tiigxma; unä cum circuli quadratura contincntui'. Avthore Apkuho Riihaxo I.oi'unienfti, 
nttdico et matliematicn. Lovauii, Apud loauuem Masium, Typog. lur. Anno CIO.IO.XCIII. 
(Bibl. Roy. de Delgiqno.) 

Ideae niathevinlicue pars prima , sire viethodus pohjgonoriim. . . . Autwerpiae, 
apad loanuem Kocrbergiun. Anno CIO.IO.XCIII. (Uuiv. de Louvain.) 

C'est ime nicme cdition qui parut Himultautinieut ü Anvera et ä Louvaiu, avec 
dcux adregsee d'imprinieur differentes. 

2) Deux exemplaires ä la bibliotb^ue royale de Belg^que. J'en coonais d'autros 
tux univeriiiteH de Qand et de Louvain et ä la bibliotbeque communale ä Anvera. 




348 H- BOSMAIIR. 

Cap. 7. De canone triangulorum Bphaericorum per specolam nostrur 
p. 41—50. 

Les chapitres 2 et 3 contieiment des g^neraUtee. Le chapitre 5 es 
pose les principes des projections coniques et cylindriqaes des figur« 
dessinees ä la sorface de la sphere. Le chapitre 7 donne l'applicatroii 
ces principes ä la resolation graphiqne des triangles spheriques proje^::^, 
sur un plan. A. Rojiain affectionnait beanconp cette methode, qa'il empli 
dans un grand nombre de figares du Canon triangulorum sphaericonc- 
mais je m'ecarterais de mon sujet en m'y arretant ici.*) Quant aux c;'~l:^g. 
pitres 4 et 6 ils meritent plus d'attention. 

La trigonometrie rectiligne forme l'objet du chapitre 4. On n'y tran-^e 
encore aacun de ces essais de notations trigonometriques qui rendeut ]e 
chapitre 6 si neuf et si interessant. Je le ferai donc suffisamment c<»3i- 
nütre, en transcrivant, en langage algebrique moderne, les formules qu'«=)ii 
y trouve. Les numeros d'ordre qui les accompagnent sont cenx dont elL ^^ 
sont affectees dans l'original. 

Soient A, B, C, les trois angles; a, h, c, les cötes opposes; r, 1* 
rayon du cercle inscrit; R, celui du cerde circonscrit; iJ«, celui du cerc^'* 
trigonometrique. 

Formules du premier genre:^) 



eia A ein B sin C ' 
b 



2. 



3 



cotg -J- B + cotg \ C cotg \ C -{- cotg -J- A cotg J- .i4 + '^^ i ^■ 

a cosec B _ 

6 cosec A ' 

a^ c otg \ C — tang \ B 

*» cotg i C — tang i A 

h + c ^ ig^(B+(J) ^ 
fc-« tgi(B-C)' 
. o^ ^^ tang T g — t»Pg i g .*) 

^ cotg i -d — tang \ C' 

1) A. RoMAix dit en parlant de ces projections (i^>ecii7Mm astronomieum, pait. I, 
cap. V, p. 34) : „No8 de . . . hisce projectionibus . . . conscripaiinus Volumen ingens, in 
qno omnia fere quae in hac materia desiderari poasont annotaTimnB". Co traTail ne 
parut jamais. D est aqjouid'hui peidu. 

2) .Prions generis haec sunt" (p. 22X c'est ä dire, comme Tantenr l'a expliqn^ 
plus haut (p. 21), les formules dans lesquelles interriennent lee angles et les c&i^ 
eux-memes; tandis que dans les foimules du second genre on considöte leurs segments. 

3) Formule due ä Tnoius Fikkics. Voir la note historiqne que j'ai consacr^e ä 
cette analogie, dans le Traiti drs Sittus de Micma. Coigkkt, p. 25 — 29. 

4) Le Speculum a ioi une laute d'impression. Au d^nominateor on Ht tang C 
au Heu de tang \ C. 



5. 
6. 
7. 
8. 



Note 8UT la trigonometrie d'Adrien Komain. 349 

a cotg B -\- cotg C ') 

b coBoc C 

a cotg \ B -\- cotg -J- C 

T Bf 

B cosec Ä 

26c -Rt 



6* + c' — o' cos A 
a coaec C 



b cotg 6' + cotg A 

Formules du second genreJ) 
Soit AH hk hauteur abaissee de l'angle A. 

1. J?T&=f — J?; GAÜr=:^—C. 

BH cotgB 



Cif cotg C 
Bf 5 ü( 



2. 

3. _?^ 

Bfl^ cos B' C'/f cos C 

4. c^ — b^ = a(BH—CH). 

5. 5fi« — Ci72 = a (BH — CH). 

6. (c + 6) (c — i) = a (5£f - CS). 

7. a» + i« — c« = 2aBÄ 

Soit ^üf la mediane de l'angle A, 

sin B sin 



sin JBA3f sin CAM 
Soit ^D la bissectrice de A, 

c "^ DC' 
Soit enfin ^£^ le diametre du cercle circonscrit mene par A, et D 
\e point oü ce diametre rencontre la base BC, 

„ 6 cos DAC 

c cos DAB 

Beancoap de ces formnies etaient anciennes et fort connnes; mais 
comme ce chapitre est le seul an pea complet que KoHAm ait ecrit sur 
la trigonometrie rectiligne, j'ai cru utile de le faire connaitre en entier. 

Le chapitre 6 est plus important. L'auteur y expose la Solution al- 
gebriqne des triangles spb^riqnes. II y donne d'abord en abrege les 



1) Si l'nn des angles ^tait obtus, dit A. Romain, U faudrait prendre au num^ia- 
ienr la diff^ience des cotangentes. Remarque analogue poor la formule 8. 

2) „Posterioris generis faudamenta haec sunt," p. 2S. 



350 



ti. ItdsMANX, 



CÄÜ^P 




formules du Canon triangulorum rectanpdornm. Quant anx triangles otli- 
quangles, tontes ses formules se ramhient facilement aux quatre m\ya^a.t^'\ 

,.-. sm A s\a B sin C 

^ ' Bin a Bin am e 

qu'il ücrit d'ordinaire, non plus sous la forme de proportionB, mais sc 

Celle de legalite de deux rectangles; 

(2) cos a = cos h cos c + sin 6 sin c cos A, 

(8) cos Ä + cos B cos C' = sin 1^ sin C cos o. 

(4) cotg A sm B ■\- cos B cos c = sin c cotg a. 
n est Buperflu de faire rcmarquer que (2) et (3) ne s'j rencontrei 

pas explicitement, mais iine des furmes de (2) est, pur exemple: 

(5) cos a cosec h = cos c cotang 6 -|- sin c cos A. 

On reconnalt, dans tont ce chapitre. une connaissance approfond: 
des rcuvres trigonometriques de N'ikte et les transformationg qui po' 
niient etre personnelles ä lauteur sont stins grande importance; aussi n'i 
ce pas la ce qui donne Tintöret de premier ordre qa'on ne sauruit d«>nii 
au chapitre. Mais, dans un article fort bien fait, M' BRAl'S»rt'HL a j»d_ 
Signale ici meme,') le Canon triangulorum sphaericorum comme cont«n; 
le plus ancien essai syst^mutique de notations trigonometriques, Or 
Canon n'est que de 1609, tandis que le Speadum est de 1606 et 
consequent de trois ans anterieurs. Eh bien! A. Romain y emploie dej 
toutes les notations dont il devait se serrir plus tard dans le Canon. C 
n'est donc pas le Canon, mais bien le Spectdum, qui contient Templo; 
systematique le plus ancien, d'une notation trigonometrique. 

D y a cependant quelques legeres differences entre les deux ouvragi«: 

Dans le Canon, le sinus, la tangente (prosinus) et la s^cante (trao- 
einuose) se designent respectivement par les initiales majuscules romaines 
«S, P, T\ dans le Speculum A. Romain emploie les majuscules gotbiqnee 
S, ^, 5!:, et ecrit. par exemple: $ .1. P li. H C. 

Dans le Canon les lignes des arcs complementaires se designent par 
les m^mes lettres que les lignes de l'arc simple suivies d'on caractere 
special ^; ainsi cos A s'ecrit SvtA. Dans le Speadum A. Romain emploie 
tout bonnement le C c^dille f. ce qui est plus simple et raut mieux; 
pour cos ^4 il ecrit: Sf^. 

Dans le Canon le rayon du cercle trigonometrique se designe par Ä; 
dans le Spectdum par lA 

Enfin dans les deux ouvrages le mot .,Rectangulum'' se remplace par § 



1) Die Entiriclelung der Zeichen- und Formelsprach« in der Trigottom^rk! 
Biblioth. Mathem. I3, 1900, p 65. 



Note 8ur la trigonometrie d'Adrien Komain. 



351 



D'apres ces Conventions la formale (5) ci-dessus s'enonce de la maniere 
Btiivante:') 

,^ sequentium serierum quavis [il y en a six] Rectangulum quodvis 
sviV> duabas canonicis aequatur aggregato vel differentiae duoram reliquorum 
«iusdem eeriei 

Series prima. 
I % enh $gA et S^ AB, 
n % snh $( AB et ^( AG, 
m. % Bub ^eAG et S^eB G." 
Les cinq aatres series donnent les fonuules qni se deduisent de la 
Precedente par un changement de lettres. 
Voici Tm autre genre de notations: 

La somme de deux arcs se designe par ff, leur diflference par ö, la 
demi-somme par ßff, la demi-difference par ßö. 
Soit donc la formale: 

»inx •{• amz tang \ (x -\- z) cotg \ {x — z) 
Bin « — sin « tang \ {x — z) cotg \ {x -\- z) 
A. Romain l'ecrit comme suit:^) 
Samma et differentia sinaum respondentiam arcabas | ßff et ßö 
assumptis x et e, assimilantor prosinibas / gßö et gßff 

Pour terminer il faut signaler enfin ce qu'il y a peut-etre de plus 
original, de plus remarqaable dans tout le chapitre, je veux dire le tableau 
dans lequel A. .Romain resume tonte la theorie des triangles spheriques 
rectangles. Je le transcris textaellement, sans modifications ni commentaires, 
mais je prie le lectear qai yeut en apprecier le merite de ne pas perdre 
de Tue sa date de 1606. 

,^ atraqne (serie) supponimus angulum A rectam 



Ut 

n 

ad 



Sa 
® f « 
|la 

Pf« 
9a 



ta S/9 
ta S p /3 
ta Sf/S 
i&%ß 
tufß 

it&'^Qß 



ad $y 
ad 9>gy 
ad ]9d 

ad Pf 
ad P ^e 



Porro eipo- 


BC 
B 




BG 

G 




(AB 

(AG 




gAB 
B 




nuntnr qain- 
qae modis 


AC 
AB 


vel 


AB 

AG 


• vel ■ 


(BG 


vel ' 


gC 
gBG 


vel ' 


nempe 


ec 




[ iB 




gB 




AC 





gAÜ 
C 

gB 
gBG 

AB 



1) ^peeulum(utron.,p.S8. — 2) Speeul.astr.,f.31. — 3) Specirf. a»«r.,p. 39et40. 



352 



H. BoSMABII. 



Series analogiarum altera 



ß 

y 
ö 

e 



Ut 
» 
ad 



Hie quoque 

exponuntur 

quinque 

modis 



Ufa 

Sa 

Spa 

S« 

Sfa 



ita |l/9 
ita^BfA 
ita S/S 
ita Sf/3 
ita S/8 
ita ®f/9 



ad $y 
ad Äf;* 
ad Sd 
ad 9 r^ 
ad Se 
ad 9r^ 



( ^li 




fSC 




f5C 




^5 




l'C 




^J5 




^C 




fC 




iBC 


vel 


f5 


vel 


fC 


vel 


AC 


vel 


i-AC 




f^C 




^AB 




BC 




i-AB 




B 




C 




B 





AC 
(B 
AB 
BC 



m. La Mathesis polemioa. 

La Mathesis polemica est de nouveau im volume rarissime; si rare 
meme, qae malgre ses longues et minutieuses recherchee, RuLAND dit 
n'en avoir decouvert aacim eiemplaire^). On le poss^de cependant aujonr- 
d'hui aux nniversites de 6and et de Louvain. J'en transcris d'abord 
le titre: 

mathesis polemica. j arthore | a. romano, eqnite |i aarato, comite 
pala- II tino, et medico caesareo. || Ad Illuftr"'"^ Dominum, D. Alexan- ; 
drTm Ducem de Oßrog in Zaslato, |i Palatinide VoUiiniae. | (Cul-de-lampe.) „ 
Francofarti, || SumptibuB Laeuini Hullij Gandeufis Q 1605. { 

C'est im in -8" de 274 pages, dont les 16 premi^res ne Bont pas 
numerotees, mais dont la !?• est cotee 13. 

La dedicace adressee j^Dlustr"" Domino D. Alexandbo duci de 
Ostrog in Zaslaw Palatinidae Volhiniae domino suo colendisBimo", est 
datee: „Ex Musaeo nostro Lovanii Kai. lanuarü, 1605". 

La Mathesis polemica traite de l'application. des math^matiqaes ä 
l'art de la guerre. EUe est divisee en trois parties dont Beule la seconde 
intitul^e: „Ratio dimetiendi loca inacessibilia",') doit nous occuper. 

Cette seconde partie est nn hors-d'oeuvre. A. Romain semble meme 
n'avoir fait qu'y utiliser de vieilles notes ecrites primitivement dans un 
autre but; car dans son inappreciable et si curiease nomenclature d'ouvrages 



1) L'original reuferme l'nne ou l'autre pure faute (l'ünpregsion, qui ont eii 
corrigeea et qu'il est san» int<!ret de gignalor. 

2) 0. c. p. 263. UiLAND connaissait l'existeuce de I'onvrage par YAhtax Ahdb^ 
qui larait vu (voix Jiibliotheca Belgien p. 16). 

3) Mathesis polemica p. 111. 



Kote 8ur la trigonomStrie d'Adrien Romain. 



353 



I 



aar les inBtrumenta de mathematiques, Lievin Hulsius, edit«ar, compatriote 
et meme parent d'A. Romain, ecrit:^) 

„(Ad annum) 1603. Adriani'S Romant's D. habet jam prae manibuB 
praxim catholicain, mensurandi per qaadratum, quadraBtem et gnomoneru." 

Or d'ime psu^ jamaiB A. Romain n'a publie d'ouvrage separe sur le 
sujet; d'autre part il le traite ici avec une surabondance d'explicatioiiB, 
tout ä fait borg de propoB, et im vrai luxe d'exemples numeriqaeB. 

Ce doit etre le travaü qu' HuLSliis ayait vn. 

Qnoi qa'il en soit, ce qni, a notre point de me, rend intereBsanJ; le 
Probleme de la mesure d'une distance inaccesBible c'est que comme l'uuteur 
a Boin de le dire dans rintroduction,-) il le resout par les aeules tangentes 
et eotangentes, a Texclusion des autreB lignes trigonometriqaes. C'est la, 
ajoate-t-U, une „mi>thode toute neuve et non vuigaire".^) Pour mieux 
aecentuer son Intention, il termine cette seconde partie, par une table de 
tangentes, caleulee au rayon 10" et de minute en minute, pour tons les 
degres du premier quadrant.'') 

Toutes IcB formules donnees ici par A. UdMAix se ressemblent, et il 
serait oiseux d'en faire IVnumt-ration. On en aura une idee süffisante en 
en choisissant une au basard, que j'exprime en langage moderne. Elle 
appartient au .J^emma II" dont voici l'enonce general:^) 

„Si ad basim quumlibet inteliigatur constituta orthognnalis; ex dato 
quovis seguiento orthogonalis indugare segmentum quodvis bafeos." 

Soit donc AOV un angle droit, dont nouB supposerons le cöte AO 
horizontal et CO vertical. 

Sur AO, marquons le point B, entre A et 0; sur CO, le point D, 
entre C et 0. 



1) Traetatug piimvs inntnimenlon-m niechanicorvm Ltrwi Hrr.m. Ocvlaris de- 
monstratio noPi geometrici instrutiKnli planimeti-vm dicti, rva cum siio indcedorio, cuins 
bmeficio circumferentia proiiinciae controuerfae, vrbis, arcis, caftrorum, vel quaeiiis 
mftrfieies in campo obaeruari, dimetin, notnri, dt in <3wrXa delineari, eorumque area, 
fiue magnititdo faeile inutniri pfiff ß: Nee non retis <t tripUcis twn quadrati tum 
'luadrantis vetta, quib\is omnis longitudinia, altitiidinis, latitudinist(-profunditatisobstrnatio 
l«cidi»»ime demonstratur. Francot'Trti ad Moenvm, Ex officiuä Typogi. Wolfgangi 
lUchteri, impeosis Äuthoris. M. DC. V. Cum Priuilegio S. Caef. Maieat, p. 8. 

Cette edition, qui est au moins la troiai^me, panit simnltanemeut ea latiu et en 
tllemand. La bibliothbqae royale de Belgique la posaäde dang les deux langues. 
C« n'est pas ici la place de donner la bibliographio d'HuLRirR. Je dixai seulenicnt que 
l'auteur est un marchand d'apparcile, qui l'ait, par se» brochuree, de la radaiue 
tericiue et aavante pour buu article. Quand il a fait la tbeorie et expose la piatique 
d'nn instrument, il finit toi^ours par dire, dWe mani^re ou de l'autre, qu'on peut 
l'ftchetcr che« lui. 

■Ji Math, polem. p. 111—112. — 3) 0. o. p. 111—112. - 4) O.e. p. 193—282. 

5) 0. c. p. 122 et 123. 
BibUoUieca Uathematica. III. Fol«e. V. S8 



354 H. BosMAH«: Note bui la trigonom^trie d'Adrien Romain. 

On mesure Ali et les quatre angles CAO, DAO, CliO, DUO. 
On demande la longueur de CD. 

Solution: 

cotg CAO — cotg GBO AB 

R CO, inventum 1' 

cotg DAO — cotg DBO AB 



B i>0, inventum n' 

DO - CO = DC. 

A. Romain ne mesure directement la distance inaccessible, que dans 
les seuls cas ou eile est parallele on perpendiculaire ä la base. Quand 
eile est incliaee sur cette base, il admet qu'on pourra la considerer comme 
lliypotbenuse d'un triangle rectangle, dont on sait calctiler les dem 
cotes de l'angle droit.') 



1) 0. c. p. 252 et 253. 



avmg 



Beiträge zur Geschichte der Integralrechnung bei Newton 

und Gotes. 

Von A. V. Braunmi'HL in MiLachen.') 

ie Methode, deren pich Newton in erster Linie tiediente, um In- 
tegrationen auszuführen, bestand bekanntlich darin, dali er die zu in- 
tegrierende Funktion in eine konvergente Potenzreihe entwickelte und 
dann den seit Fkrmat und Wallis bekannten Satz über die Integration 
einer Potenz anwandte, weshalb er ihn iiueh an die Spitze seiner ersten 
Abhandlung De analtfsi per aequationes nuniero terminorum itifinitas stellte. 
Aber Newton hat es auch verstjinden, in gewissen Fällen Integrale in 
geschlossener Form anzugeben, wie dies die LioiBNizsche Schule in erster 
Linie anstrebte. Bemerkungen hierüber tintlen sich mehrfach in seinen 
Scliriften, so z. B. in der umfangreichen längstens Ende 1671 druckfertigen 
aber erst 1736 getlruckten Abhandlung Methodus /luxionum et serierum 
■inftnUarnm, worin er zwei Tafeln von Integralen angibt, die sich teils in 
geschlossener Form darstellen, teils nach Nkvvtons Ausdrucksweise, auf 
die Quadratur von Kegelschnitten zurückführen lassen. Sieht man sich 
diese Tafeln etwas näher an, so erkennt man in der Hauptsache drei ver- 
schiedene Gattungen von Integralen, die hier behandelt sind, nämlich 
Integrale rational -gebrochener Funktionen, binomische Integrale und In- 
tegrale von der Form ({x-, ^e •\- fx -\- g sc*) dx, die wir kurz trinomische 

nennen woUen. Daß Newton bezüglich der binomischen Integrale schon 
frühzeitig erkannt hat, in welchen FäUen sie sich durch endliche Aus- 
drücke darstellen lassen, hat Herr (,'antor bereits angeführt.^) Dies- 
bezügliche Bemerkungen Newtons finden sich in dem zweiten für Leibniz 
bestimmten Briefe vom 24. Oktober 1676.') Dagegen wurde die Frage, 



1) Diese Abhandlung wurde Ostern 1903 dem intcmntionalon UiHtorikerkongreB 
'lurch die Güte des Horm G. Loiiia vorgelegt und zur Veröffentlichung in den Akten 
des Kougrosaeii bestimmt. Da eine solche bisher nicht stattgefunden hat, su mOge 
de in dieser Zeitschrift erscheinen. — 2) Oeschichte der Matliematik Ul», 185—186. 
— 3) Opiiscula Nrntn-oKi, ed. Castuxiokkcs, p. 385 — 338. 

28» 



356 



A. V. BKAi'imeia. 



wie Newton binomiBche Integrale, bei denen eine solche Darstellong 
nicht möglich ist, behandelte, soweit uns bekannt, bisher nicht eingehend 
untersucht, noch weniger aber scheint bemerkt worden zu sein,') daß er 
schon 1671 auch die allgemeinen trinomischen Integrale sehr wohl zvH 
bewältigen verstand und ihren zweifachen Charakter erkannte. ^^ 

Wir wollen uns daher im folgenden mit einer kurzen Besprechung 
des von Newton zu diesem Zwecke eingeschlagenen Verfahrens be- 
schäftigen und dann zeigen, wie seine Untersuchungen von seinem Schule 
und Freunde R<>«EB Cotes weitergeführt wurden. Dabei wird sich d» 
Gelegenheit bieten, die noch zu wenig beachtete Harmonia yiuitisurarum 
dieses Gelehrten genauer ins Auge zu fassen. ^1 

An drei Stellen NEWTONscher Schriften finden sich trinomiscJic In^^ 
tegrale behandelt: in der Methodus fluxionum von 1671, in dem erwähnten 
Briefe an Lkidniz von 1676 und in der Quadratura curvantm, die 1704 
publiziert wurde. Doch brauchen wir nur die erste Stelle ins Auge zu 
fassen, da immer dieselben beiden Tj-pen behandelt werden, die sich in^ 
der Form darstellen: 



a Lj" 



•i-^\'Zde und 






1-1 



dt. 



J 



wo « ^0, l, 2, 3; Z ^ e + fs'- + gs^'^ ist, jj eine positive oder nega- 
tive, ganze oder gebrochene Zahl und a eine Konstante bedeutet. Newtoi^H 
erkennt nun zunächst, daß die Auswertung dieser Integrale, wenn man sie 
als bestimmte auffaßt, auf die Quadratur von Flächenstücken zurückkommt, 
die von dem Bogen eines Kegelschnittes, den in seinen Endpunkten er- 
richteten Ordinaten und der Abszissenaxe eingeschlossen werden. Setikfl 
man nämlich z'i^x, eine Substitution, die Newton ebenfalls vomimmt,^^ 
so gehen sie über in: 

I) ^fx"->VXdT und IT) ^f^, 

wo X= c + fx + gx^ bedeutet, und y- = e •\- fx -\- gx- ist die Gleich 
eines Kegelschnittes, der für ^ > eine Hyperbel, für g <iO eine EUli 
darstellt. Diese beiden FäUe unterscheidet Nrwros stets, indem er 
seiner Zusammenstellung von Integralwerten auf die Figuren von Ellipse' 
und Hyperbel verweist. Das einfachste dieser Integrale, welches aus" I) 
für M ^ 1 erhalten wird und das zwischen bestimmten Grenzen genommen 
direkt die Fläche des Kegelschnittes darstellt, gibt er in der Form 

eine der erwähnten V( 

einem EUlipsen- oder Hvperbelbogen begrenzten Flächen bedeutet, die er 

1) Herr Cahtor erkennt die entm»lige Bebaudlung d«nelben Com in {Geschichte 
der Mathematik lü*, p. 415). 



o 

-s 

V 



t = -X.xGDB, wobei olGDB^s 



amH 




BeitrSf(e zur Geschichte der Intcpraljechnung bei Newton und Cotes. 857 



=jVx 



dx werden dann 



durch Figuren darstellt; auf dieses Integral s > 
alle übrigen zurückgeführt. 

Die Frage, wie diese Reduktion ausgeführt wird, beantwortet sich, 
-wenn man die beiden Probleme VU und VUI (a. a. ()., p. 131 — 138), auf 
"iprelche Newton selbst verweist, betrachtet. Das erstere Problem lautet: 
yJJeliebig viele Kurven zu finden, deren Flächen durch eine endliche 
Ctleichung dargestellt werden können", und wird natürlich gelöst durch 
Differentiation willkürlich gewählter Funktionen. Als BeiBj>iel führt er 

an: j- (\ a^ -\- x'y ^ S x '^a^ + x^. Diese Methode konnte ihm also 

direkt die beiden Rekursionsforraeln liefern: 

a) l^{x«-^Ü') = (» + 2) <,x"VX + ^^LLVx»- ' VX 

+ (n— l)ex"-^^X, 

Welche bei der Reduktion jener Integrale die Hiiuptrolle spielen. Das 
ZTweite Problem auf welches Nkwton verweist, lautet: ,,Beliebig viele 
Kurven zu finden, deren Flüchen zur Fläche irgend einer gegebenen 
Kurve ein Verhältnis haben, das durch eine endliche Gleichung gegeben 
ißt". Die Lösung der Aufgabe besteht einfach in der Transformation des 
Integralausdruckes durch Einführung eiuer neuen V'ariabeln. Aus den 
"Verschiedenen Beispielen, die er gibt, greifen wir das eine heraus: Gegeben 
ist der Kreis y* = o x — x', es werden Flächen gesucht, die der Kreis- 
fläche gleich sind. Die letztere ist s = V'*'^ — x^ dx (Grenzen werden 
nirgends angegeben, da überhaupt nur von bestimmten Integralen als 
Quadraturen gesprochen wird). Setzt man z, B. die Relation x = — fest, 
so erhält man dieselbe Fläche s = —Ae^^a^ — e^ de, die der Kurve 
y = -g- Va* — e^ zugehört. Mit dieser Methode konnte Newton das 
Integral l r= mit Hilfe der Substitution v) x = - überführen in — - , , 

wo S= g -\- f ^ + P §'^ ist, welche Form ebenfalls in seiner Tabelle 
wiederholt vorkommt. Die beiden Transformationsformeln a) und b) und 
die Substitution c) genügen aber zur Herstellung sämtlicher Integrale der 
angeführten beiden Gattungen. 

Wir wollen dies an dem für n = aus I) sich ergebenden Integral 

~ I — - dx erweisen, das relativ am schwersten zu erhalten war. Newton 

vj ■•■ ' 

gibt in seiner Tabelle au: 



358 



r. BBAi'XKÜm.. 



Absei 



Bsno 



zV = 



1 



= .^ 



( )rdmntae 



if^fx^gx^ 



^9-\-f§-\-e^=y 



Arearum valor: 



= /, 




^n'9 — nff 
wobei er bezügliph der beiden Kegelschnittflächen 

auf die Figuren verweist, die wir oben anführten. 

Der Gung der Ableitung war mm offenbar folgender. 

Es ist I ^^ iIj: = VA' + .^ I ^ + e |^, eine Formel, die 

durch Ersetzting von \X durch — r. und mit Anwendung der Rekursions- 
formel b) für » = 1 unmittelbar ergibt. Ersetzt man jetzt mit Hilfe der 
Substitution c) im zweiten Integrale x durch -.-, so kommt 

so daß nur mehr diese gleichlautenden Integrale auf die Form I dx\l 

gebracht zu werden brauchen, was wieder mit Anwendung der Uekursioi 
forme! b) für n ^ 2 und n = 1 geschieht; man erhält so 



J \'x 4«.'/ - /^ .r 



i»g — f* 



Vx 



und seliließlieh 

ein Ausdruck, der nach Beifügung des Faktors — auf beiden Seiten biM 
auf die Bezeichnung mit dem obigen Newtons übereinstimmt. ■ 

Auf ähnliche Weise konnte Newton die übrigen in den Formen I) 
und U) noch enthaltenen Integrale s imd o, oder wie er sagt, auf die 
Quadratur der Kegelschnitt* zurückführen. Diese aber setzte er teils als 
geometrisch bekannt voraus, teils hatte er schon in den vorhergehenden 
Beispielen gezeigt, wie sich Flächenstücke derselben durch seine Methode 
der ReiJienetifwickelung finden lassen. ■ 

Einen liedeutenden Schritt weiter ging !{ookk Cotks, indem er, von 




BeitrSf^e zur Geschichte der Iiitcf^rabrechuung bei Newton und Cotes. 359 



(er geometriBchen Konstruktion und der Reihendarstellung ftbsehend, 
lahin strebte, die binomischen und trinomischen Integnilp direkt der 
echnerisehen Behandlung mittels der logarithmischen und trigonn- 
tietrischen Tafeln zugänglich zu machen, d. h. er reduzierte sie auf loga- 
ithniische und Kreisfunkiionen. Dazu hat er eine eigene Theorie, die 
ogometria, wie er sie nannte, geschalten. Von seinen diesbezüglichen 
jJnterBuchuagen hören wir zum ersten Male im Jahre 1712, indem er am 
|5. Mai d. J. an Newton eine kleine Schrift mit dem Titel Elementa 
hgomefriae sandte,') die dann 1714 in den Philosophioal transactions 
gedruckt wurde-) und 1722 in der von ('oTES' Nachfolger Robert Smith 
fcierausgegebenen Harmonia mensurarum abermals im Drucke erschien. In 
lieser Schrift führt er als Maß eines Streckenverhältnisses (mensura rationis) 
ien mit einer Konstanten (Modul us) multiplizierten Logarithmus dieses 
Verhältnissen ein. Erst im vorigen Jahrhundert wurde diese Maßbestimmung 
]bei Gelegenheit von Untersuchungen über die nichteuklidische Geometrie 
als allgemeine projektivische Maßbestimmung wieder neu eingeführt.^) 
nachdem sie inzwischen ganz in Vergessenheit geraten war. 

Der Gedankengang, durch den COTES auf seine Messung geführt 
ilrurde, dürfte, wie aus Bemerkungen an verschiedenen Stellen seiner Schrift 
nervorgeht, folgender sein. Neper ließ bekanntlich bei Schaffung seiner 
Logarithmen einen Punkt in der Weise eine Gerade „durchfließen", daß 
Ue in den gleichen Zeitabschnitten 0, 1, 2, 3, ...,«,.. . durchlaufenen Wege 
luTch die Glieder einer geometrischen Reihe 

^,, Azi, >i2^,, /l'V„ . . ., Ä"ei, . . . 
largestellt wurden. Dann repräsentierten die die Lage des Punktes be- 
Itimmenden Maßzahlen jener Zeitabschnitte die fortschreiteudeu Exponenten 
ies Quotienten ^ oder die mit einer Konstanten multiplizierten Logarithmen 
des Verhältnisses irgend eines Progressionsgliedes zum ersten, indem ja 
identisch 1 h" r\ 

\ " = logi i°g (-r) 

ist. Nachdem nun Newton den Bewegungsbegriff an die Spitze seines 
Fluxionskalküls gestellt hatte, lag es für CdTES nahe, diese Messung auf 
das Verhältnis zweier nach jenem Gesetze kontinuierlich wachsenden 

I' AC t 

(Orößen zu übertragen. SoU daher'*) (Fig. 1) das Verhältnis j-g = -^ 

gemessen werden, und ist die Entfernung des fließenden Punktes P von A, 



1) Ei>t,E8Toii, Correapondtnce of Sir J. NKnron and Vrofesnor Cotks etc. (.1850), 
p. 116—117. — 2) Nr. 338 für Januar bie März, Vol. ä», p. 5—45. 

3) F. Klki!«, QOttiuger Nachrichten 1871, Nr. 17 und Mathematische 
Annalen 4, 1871, p, 573—625. — 4) üarmonia meniiuranim p. 4. 




360 



z = e, Ä", 80 ist die Flaxion des Maßes: -r^ = — = J ^ — 

' ' AP t #,!• 

log Ä dn, und das Maß m selbst: 



logAj i J 



du 



m. 



Also folgt: 



wobei M = 



m 



logi 



Jf log (^). 
nach GoTES der Modtdus des Systems heißt, in welch» 




Fall« 



die Messung vorgenommen wurde. ^| 

z^ Wir haben uns bei dieser Ableittt.^Ki:3n 

^ J_ "^ ^ um die Sache zugänglicher zu machr^Biei 

J^ -jj ~~JPO ?• lediglich der uns geläufigen Bezeichnurzr^iD» 

z weise bedient, statt wie Cotks alle 

^'S' '■ der Figur in Worten darzustellen. 

Dieser Maßbestimmung bediente er sich nun, um Integrale, die NE\r 
bisher auf die Quadratur der Hyperbel zurückgeführt hatte, durch L« 
rithmen auszudrücken. Aber er ging noch weiter. Schon in seiner X."«^ 
metria^) bemerkte er bei Gelegenheit der Komplanation der OberfliSeie 
des verlängerten RotationseUipsoides, daß hier das Maß eines imagin; 
Ausdruckes auftrat, gab aber sofort an, daß man in einem solchen 
dasselbe durch das Maß eines reellen Bogens in bezug auf den Radius als 
Modulus ersetzen könne, d. h. „durch einen Bogen, dessen Sinns bekannt 
ist". Er erkennt also hier den Zusammenhang des Logarithmus mit «I^Di 
zyklometrischen Funktionen. Allerdings waren ihm hierin Leibniz ar»^ 
Johann Bernoulli zuvorgekommen, die schon 1702 darauf aufmerksr 
wurden, und Bernoulli hatte 1703 in den Acta Eruditorum eine kiir~' 
Bemerkung hierüber veröffentlicht, die auch 1704 in den Memoiren 
Pariser Akademie für das Jahr 1702 wieder erschien^. COTES 
dieselbe wohl kaum entgangen sein und sie mag ihn vielleicht zu jei 
Ausdehnung seines Maßes auf die Winkel veranlaßt haben'). Da er jede 
bei Einführung desselben gelegentlich des erwähnten Beispieles zu ei 
anderen Gleichung als Beknoulli gelangt, nämlich zu der Fundamenl 
gleichung e'f = cos <p + i sia (p, die hier zum ersten Male auftritt, soi 
es von Interesse, seine Iberlegung etwas näher ins Auge zu fassen. 



1) Fhiloa. Trans., a. a. 0., p. 32; Hanncmia ttiengurarum p. 28. 

2) Vgl. die DarstcUnog von M. Ctrron im Zussmmeuhang mit der Erg&nl 
die Stäckkl in dieser Zeitschrift Is, 1900, p. 109—111 gegeben hat 

3) Vgl. hierzu die Ableitung dieses Zusammenbatigs, die der HeiausgeliJ 
llarmotiia mensurarum in Note TV, p. 97 —99 gibt. 



Beiiiftge snr GeBohichte der Iniegialreohnimg bei Newton und Cotea. 361 



Ist ANB der Meridian eines abgeplatteten Rotationsellipsoides (Fig. 2) 
-^ ^ (= h) die Rotationsaie, BC (= o) die halbe große Axe, F der Brenn- 
punkt, X ein beliebiger Punkt auf AC, XN J CB und ^r 
E auf BC so gewählt, daß 

CF iOB'-CA* [ Va' - ft» / 

sei femer 

XG.XEl J~ !" 



w^ird; 



ÜTL = 




E F 



CE 



6» / 



J/ 




^fid LM das Maß des Verhältnisses von EX+XC zu Fig. 2. 

^-B in bezug auf den Modulus CE, so ist die gesuchte Oberfläche Fi, die 
^^J^ Bogen BN bei der Rotation erzeugt, durch die Proportion gegeben 
-^i : BC^jt = (KL + LM) : BC, d. h. in unserer Schreibweise: 

Ist aber jetzt CB (== a) < CA (= b), 
^•b. hat man ein verlängertes Rotationsellipsoid 

(.%. 3), so ist nach COTES CE = ^, femer 

-ffi ^ — CE ' '"^^ ^^ *^ '^ ■^"•^ ''^ 
Winkels XEC (= 93) »» beeug auf den Modtdus 
CE, d. h. es ist gleich dem Bogen, dessen Sintis 

C X 

^ ist. Die vom Bogen BN erzeugte Fläche 

wird dann: F^ : C&ti = (KL + LM) : CB, ^ 
d. h. nach unserer Bezeichnung: 

H) j; = ;ra|yyi ^y» + -==.y l, wo sm 9» = y jZ-^i ■^, 

ist. Nun fttgt CoTES bei, „man könnte aber die Dimension dieser Ober- 
fläche auch durch die Logometria bestimmen, aber nur nnausrechenbar 
(d. h. durch das Imaginäre). Denn wenn irgend ein Bogen des mit dem 
Radius CE beschriebenen Kreiaquadranten den Sinus CX und den Cosinus 
XE hat, so wird der Bogen, falls man den Radius CE als Modulus nimmt, 
das Maß des VerhaltnisBeB EX -f- CXy — 1 zu CE sein, wenn man ihn 
mit y — 1 multipliziert", d. h. also: 

i^ n= log (cos 9) -f- i sin 99). ^) 
Diese Gleichung ergab sich ihm unmittelbar, indem er in I) Z> >• a 
Toraussetzte und das Resultat mit dem direkt gewonnenen in 11) verglich. 

1) Auf dM Vorkommen dieser Qleicfanng bei Cotu hat schon Tiktschenko in seiner 
Geschichte der Funktionen theorie (1899, russisch), p. 519—522 aufmerksam gemacht. 



-If 



Fig. 3. 



362 



v. BuÄisuvm.. 



Der hierdurch ermöglichte l'bergiing von dem Maße eines Verhältnisse 
zu dem eines Winkels ist es, worin Cotes die .^larmonia mensurarom*^ 
erkennt.') Über die Auswertung der hier und in den zahlreichen andeni 
Beispielen der Logometria vorkommenden Integrale spricht sich C0TE8 
nicht weiter aus. offenbar weil sie sich durch Newtons Methode leicht 
auf die Quadraturen der gleichseitigen Hyperbel und des Kreises zurück- 
führen lassen und dadurch unmittelbar die gewünschten Maße ergeben, fl 

COTES wurde inmitten seiner wissenschaftlichen Tätigkeit vom Tode 
überrascht. Darin liegt wohl auch der Grund, warum sich eine weitere 
Ausarbeitung seiner Maßbestimniung in bezug auf den Winkel in seinen 
Schriften nicht findet. Der Herausgeber seiner Werke, Robert Smith 
hat jedoch diese Lücke mit Benutzung der hinterlassenen Papiere des 
Autors in dessen Sinne ausgefüllt-), indem er als Maß eines Winkels den 
mit einem Modulug M multiplizierten Bogen definierte, dessen trigono- 
metrische Tangente (/) in bezug auf einen Kreis mit dem Itadius (r) ge- 
geben ist. Demnach ist also das Maß des Winkels q) 



scboifl 



ilf arctg -, 
wobei 3f= r j^|^ = r • 0,0174532925 . . . bedeutet, eine Zahl, die scho 
C'OTKJ* berechnet hatte und die man heute noch als Modnlus bezeichnet 
In CoTE.s' hinterlassenen Papieren fand sich auch ein zweiter Teil der 
Ilarmonia niensuranim, welcher „Theoremata tum logometrica, tum trigono- 
metrica quae dataram fluxiunum fluentes exhibent per numeros" enthiellfl 
Diese Theoreme sind nichts anderes als eine Sammlung von Integraltafdn 
und umfassen im ganzen 18 Formen, unter denen sich Integrale rationaler 
Funktionen, binomische und trinomische Integrale befinden, die er sämtlich 
auf Logarithmen und Kreisfunktionen zurückführt. V^on den trinomischen 
integralen sind außer den beiden Klassen, die wir schon bei Newtos 
kennen lernten, auch noch die beiden weiteren Klassen: 



a \ . I , dz und a \ ?=- 



ausgerechnet und zwar alle für ganzzahlige positive und negative Werte 
von 9. 



n 

1 



Wir wollen das einfachste Beispiel 



"Hl- 



aus diesen Tafeln. 



1} Ana den p. 28 — 29 und p. 85—36 der Harmonia men»urarum stehenden Be- 
merkungen geht hervor, daB Cotes sehr wohl ahnte, daß er einen neuen MaßbegrifT 
VOM großer Allgemeinheit gefunden habe. 

2) Note I und III p. 94—97 der Opera müctUaned von Cotbs. die der Harmonia 
meniuraium angehäugt sind. 




Beiträge zur Geschichte der Integralrechnung bei Newton und Cotea. 363 



herausgreifen. Hierfür gibt C0TK8 p. 61 als Wert an 

B+T 
17p """I 'S ' 
wobei R = ^g der Modulus ist und T = 



aR 



\f+!li'' 



-t 



in -'9 



^ ■ 1 Z 

bedeuten, dem wir noch heifügen, daß stets S* ^^ 2** — R^ sein muß. 
In bezug auf diese Bezeichnung heißt es La der kurzen vorausgeschickten 
Einleitung: „Die Cirüßen R, S, T bezeichnen entweder das Verhältnis oder 
den Winkel, durch deren Maß die Fluente der Fluxion zu bestimmen ist. 
Wenn nämlich R die (Jujidratwurzel aus einer positiven Zahl iöt, geben 
sie ein Verhältnis, dessen Wert R -{- T zu S ist; wenn aber R die Quadrat- 
wurzel aus einer negativen Größe ist, so geben sie den Winkel, dessen 
Tangente und Sekante sich zum Radius verhalten, wie T und S zu R, 
soferne jene negative Größe durch Änderung des Zeichens wieder durch 
eine positive ersetzt wird". ') 

Setzen wir im Falle eines positiven g den Integralwert nach dieser 
Regel zusammen, so lautet er in unserer Schreibweise 

"■" ^ Vir-«? 

nnd kann mit Beachtung der Konstanten der uuliestiramten Integration, 
die übrigens auch bei Cotes noch nirgends angeführt wiril,-) leicht auf 
die uns geläutige Form 

reduziert werden. Ist aber g negativ, also der Modulus R imaginär, so 

ist ~ mit dem Bogen <p zu multiplizieren, für welchen tg (p + sec (p 

T A- S 
= — ^— wird. D. g. in der Tat, wenn man hieraus den Winkel q> lierechnet: 



^s^\g+\rz\ -f Const. 



99 = 2 arc tg 



\f-g^'' + \{r + '9 



also für das Integral den richtigen Wert: 



n 



1 



= arc tg — ,- ' ■ + 1 onst. 



T)rigen8 gibt t'OTKS in einer Ergänzungstahelle sogar noch verschiedene 



1) Vgl. hierzu die Erl&ntening des Herausgebers in Not« FV. 

2) JoiiA!« BEBMtii Lt.i hat schon in seinen „Lectiones de calculo inteKralintn" von 
1691 d»g Integral direkt als ÜnikohrFuuktiun ded Differentiuls «Jetiuiert und die Not- 
wendigkeit der Beifügung einer Intcgrationskonstanten auBdrOcklicb hervorgehoben 
{Opera III, p. 387-388, 412). 




364 



A. V. Bbai'xmühi.. 



andere Formen fttr seine Intejjrale an; so kann man z B den Wert de 
letzten Integrales nach seiner Angabe auch in der Gestalt schreiben: 



- T^ af « tg 



^ 



-\- Const., 



die ebenfalls richtig ist. 

R. Smith, der auch zu diesen Theoremen von Totes einige Xot« 
schrieb, verrät jedoch nicht,') wie jene erhalten wurden, sondern zeigt nc 
wie man sie a posterori verifizieren kann; es besteht jedoch kein Zweif"^ 
daß COTES' Methode von der heute gebräuchlichen wenig verschieden w^^ 
da er ja die Rationalisierung eines Differentialausdruckes durch EinfQhni_r»n^« 
einer neuen Variabein kannte. Dagegen hat Cotes, der sich hierül 
ebenfalls ausschweigt, seinen Tafeln eine Reihe von Theoremen angehäa^^ 
ans denen man entnehmen kann, wie er jede Klasse von Different^^j 
ausdrucken auf den einfachsten unter ihnen zurückführte. Auch die hie-^r-^n 
verwendete Methode ist keine andere als die heute übliche Büdung "%-od 
Uekursionsformeln durch Differentiation, wie wir sie bei Newton scYiod 
fanden. Wie systematisch Cotes dabei verfuhr, möge noch folgend«« 
Beispiel zeigen, das er als Theorema III, p. 68 anführt. 

Ist Z= e + fe'i -\- gz*'< und setzen wir im folgenden zur AbkOrzana 
durchweg e'^^x, so kommt zunächst X= e -\- fx ■\- g x^; ist dann fem.« 

B=ax» X'"-\ F ^ax^-^X", 

(die Punkte bedeuten die Fluxionen), so ergibt sich zunächst 
Differentiation von x^X'": 

^ (x*x-) = ec4 + /-(e + w) /^+ e/ (ö + 2co) r. 

und hieraus: 

I. x^X"= ep^ + /(Ö + w) B -\- g {e -\- 2ü>) C, 



Adx usw. ist. Ebenso erhält man durch Differentiation ro- 

li, . . . und daran 



wo yi = l 

x' + ^X'", Einführung der obigen Werte von A, 
folgende Integration: 

U. a;*+'X'"= e(6+ 1) // + /-(e + 1 +w)r +^(6+ I + 2w) 
Die obige Tabelle aber liefert direkt die Werte 

A = cB-{- fF-^ gC und G = e ]i-{- fC + g D, 
wenn man X"' = X" "' (e -\- fx -{- gx*) setzt, woraus 



1) Er lagt p. 97 : „Horum TheoremAtum inTentionem Analyticam non est ingtitat; 
mei hie tradere". Dies sieht aus, als habe er die Methode mit Atisicht s^eheim 
halten, vielleicht um den LKiRKizianem noch einige Kätael aufzugeben. 



Beiiaräge zur Geschichte der Integralrechnnog bei Newton und Cotes. 365 

m. F=eA + fB-\-gC und IV. G'^eB + fC + gD 

folgen. Mit Hilfe dieser 4 Gleicliungen lassen sich jetzt A, B, C, D linear 

durch F und G ausdrücken, wodurch 4 Rekursionsformeln gewonnen sind. 

Die 18 Integraltafehi, welche Cotes selbst nach Angabe von Smith 

vor- 1714 berechnet hatte, ergänzte letzterer, nachdem er in des ersteren 

I^achlasse dessen bekanntes Theorem über die Zerlegung eines Binoms in 

reelle Faktoren gefunden hatte, zu einer Sammlung von nicht weniger als 

94 Tafeln, von denen sich 6 auf trinomische Integrale beziehen; zu den 

4 schon von Cotes behandelten Integralformen fügte er nämlich noch die 

beiden Typen 



o I 7 . . I— und o I 



k + W + mz*'' 

hinzu. Auch behielt er bei allen Tabellen eine gleichmäßige Bezeichnungs- 
vyeise bei, welche vor jener einigen Vorzug besaß, die wir bereits bei 
Cotes kenneü lernten, doch war auch sie noch schwerfallig genug, und 
erst dem gewandten Formensinn Ehlers gelang es auch hier eine passende 
und nachhaltige Reform anzubahnen. 



SmcH HorpM«ini. 



Die Entwickelung der verschiedenen Probleme der Maxi 

der Anziehung. 

Von Erich Hokkmann aus Glogaa.'). 

Ihis Problem des KiJrpers größter Anziehung hat in Beiner Entwiclcel«.! 
mehrere Perioden durchtiemiicht, die sich voneiniinder leicht iint«rsche»f/ 
liissen. Zuniichst wurde das Problem nur als ein rein mathematisches 
handelt, dann folgte Pi.aykaib, dessen Behiuidliing zwar auch noch e;j 
rein niathematische war, aber ihren Ursprung in physikalischen Eiper 
menten hatte. Nach diesem Ansätze, das Problem mit der Phvsik in Zn^-' 



I 




--^ 



3 



sammenhang zu bringen, folgten d»um die Arbeiten von Schellbach, de*- 
das Prttbleni wiederum vom rein mathematischen Standpunkt« behandeltt.« 
bis erst in den letzten .Jahrzehnten des vergangenen .Jahrhunderts die Ver- 
bindung des Problems mit der Physik mehr und mehr in den Vorder- 
grund trat, während die rein mathematische Behandlung damit Hand in 
Hand ging. 

AJs geistigen Inspirator beider Richtungen, der rein mathematischen . 
und der mit der Physik verknüpften Behandlung des Problems, kann man*^*-* 
meines Erachtens Newton betrachten. Es ist bekannt, daß Nkwton der 
erste war, der das Proldem des Körpers von geringstem Widerstände (1687' 
in Angriff nahm. Damit hat er die rein mathematische Behandlung unseres^ 
vorliegenden Problems inauguriert. Seine Arbeit über dieses Problen 
wurde von Johann BKKXOrLLi fortgesetzt in der Abhandlung: De «oiirfür»Ä 
rotundo minimae resistentiae (Acta Eruditorum 17001. Diese Arbei ^^| 
im besonderen, wie auch die mannigfaltigen anderen Probleme, die aic's^MM 

1) Der Verf>8Ber der vorliegenden Arbeit, einer meiner fleifligsten und et«ld_»Ji 
gamateu Schüler, hatte sich auf meine Anregung mit den verschiedenen Problemen d» £» 
Maxima der Anziehung beschäftigt und dabei insbesondere die Geschichte Jen* 
I'robleme eingehend studiert, t)as Resultat dieser Studien hatte er in einer A' 
handlung niedergelegt, aus der hier ein Auszug mitgeteilt wird. 

Leider ist der hotinxingsvoUe Verfasser bald nach Vollendung seiner Arbeit 
storbeu. Er war am <>. Januar 1881 zu Glogau geboren, studierte von Oitem 1^^? 
bis Michaelis 1903 zu Halle a. S. und starb am 8. Dezember 1903 su Ologau. 

A. W&aon». 




ie Kntwiekelnng der venobiedeDen TrnTiietne an lUmxim» der Ansienung. 



I 



I 



I 

I 

I 

I 



auf die Lehre von den Maxima und die Variationsreclmung beziehen und 
von demselben l)eh;unlelt wuriieu, mögen JoJi. BKRXon.Li auch auf das 
ProliK'm des Körpers größter Anziehung geführt haben. Wir haben näm- 
lich in einer itiüienischen Zeitschrift die Mitteilung , daß einer der 
Beknoulu.s — wahrecheinlich ist damit Johann I Beknoiiu-i gemeint — 
das Problem des Körymrs größter Anziehung für sehr schwierig gehalten 
Iiahe. ') Aus dieser Bemerkung geht hervor, daß das l'roldem des Körpers 
größter Anziehung in den ersten Jahrzehnten des 18. Jahrhunderts schon 
die Köpfe der Mathematiker beschäftigte, «l>er noch keine Lösung erfahren 
hatte. So mag es auch gekommen sein, daß Etu:nne Mignot de Mon- 
Tiojnr (1714—1782) von diesem Probleme erfuhr und von demselben sich 
besonders angezogen fühlte. Im Jahre 1740 wurde Montiony von dem 
Abbe YenT/VDoik aufgefordert, denselben auf einer Reise nach Rom zu 
der daselbst in diesem Jahre stattfindenden l'apstvvahl zu begleiten. liier 
:in Rom wunb" MoNTifiNV durch Jacqitiek und Lejieck mit dem jungen 
\l J. HnscoviiH (1711 — 1787) bekannt. Diesem schlug Montkjn^- das 
I'roblem des Küriiers größter Anziehung zur Bearbeitung vor.-) Tat- 
sächlich machte sich Bo.scovicii an die Bearbeitung des Themas, und so 
erschien denn von ihm eine Arbeit über den Körper größter Anziehung 
1743 unter dem Titel: Problema mechanicimt de solido maximae attradionis 

In bezag auf dieses Problem bringt zunächst S. XIX der Einleitung 
der Zeitschrift einige Bemerkungen des Herausgebers in italienischer Sprache, 
in denen auf frühere Arbeiten von Bo.*i<'fivi('n hingewiesen wird, sowie 
auf die Anregung, die Bo.srovK n durch MtiNTiuNV zuteil geworden. 
Die Abhandlung selbst ist, wie aus dem Titel hervorgeht, lateinisch 
geschrieben; beigegeben ist ihr eine Tafel mit 11 Figuren. In der Ein- 
leitung (S. 65 — 66) erzählt der Verfasser, wie er, durch Montkjnv auf 
das Problem hingewiesen, zuerst eine sehr einfache geometrische Lösung 
desselben gefunden habe. Viele Schwierigkeiten dagegen habe ihm die 
imalytische Lösung bereitet; er sei schließlich auch zu dieser auf einem 
einfachen Wege gelangt, einem Wege allerdings, der sich wesentlich auf 
geometrische Betrachtungen stütze. Er setzt dann zunächst (S. 07 ff.) 
die rein geometrische Lösung auseinander, wobei er die Anziehung einer 
beliebigen Potenz der Entfernung proportional annimmt. Das Prinzip, 



1) Metnorie Hopra la l'iBica e ietoria naturale. I (Lucca 1743), S. XIX: 
nQaesto problema ä . . . stimatü molto difficüe dal BEitNDti.i.i". 

2) Vgl. Memorie sopra la fisica e istoria naturale. I (Lucca 1743), S. XIX. 
S) B. J. Bi'.iii/vKii, I'iMema meduinietim de solido maximae attradionis solutum; 

Memorie gopra la t'ieica e istoria naturale. I (Lucca 1743), S. 68 — 88. — Vgl. 
RtccABOi, Biblioteca matemaiica italiana I, Sp. 174. 



368 



EKlra HoFFKAKS. 




das der Lösung zugrunde liegt, ist folgend 
Ist A (Fig. 1) der angezogene Punkt, H ein 
liebiger Punkt auf der Grenzfläche der Masse, »• ^1 
der Schnittpunkt der Grenzfläche mit der Ach^ ^S 
(d. i. mit der Kichtimg der gesamten auf A au-«:;,»- 
\ geübten Anziehung), und nimmt man an, daß (^^ j- 
-\C Anziehung mit abnehmender Entfernung wach*„^^j^ 
p 90 ist, damit die Anziehung auf den Punkt A ^ 

Maximum werde, erforderlich, daß die der Ac^^^^l^ 
AC parallele Anziebungskomponente eines in JM 

gelegenen Massenelementes (BoscoviCH nennt d£- i'e^^ 
Komponente die relative Anziehung des Mass 



Fig. 1. 



Clements) gleich sei der Anziehung, welche das gleich große, in C g^lp^^ffeo« 
Massenelement auf A ausübt. Es folgt dies daraus, daß man, wenn ,^^~ 
relative Anziehung von H und die absolute von C nicht gleich wt^^^^ 
durch Verlegung eines Teils der Masse eine noch grössere AnzietxijA» 
erhalten würde. Aus dem angeführten Prinzip folgt zunächst, daß (Jjg 
Grenzfläche der Masse eine Rotationsfläche mit ^C als Achse sein maB; 
zugleich ergibt sich eine Konstruktion der Meridiankurve jener Ilotation*- 
fläche. Man konstruiere zunächst die Kurve LOP, deren Ordinalen de* 
auf A ausgeübten Anziehung proportional sind, so daß z. B. J die An- 
ziehung darstellt, die A von einem Teilchen in dem Abstände A J erfah 
Auf der Absciasenachse nehme man C beliebig an und ziehe die Ordinat^^"^. 
CF der Hilfskurve. Dann ziehe man PF parallel AC, verbinde A mir ^ ^ 
0, welche Linie PF in G triflPt, ziehe GM ±AC und schlage um A mi*"-*'* 
AJ als Radius einen Kreis, der G M m H trifft, so iBl R ein Punkt dei 
gesuchten Kurve. 

Beweis. Die Gesamtanziehung, die ein Teilchen in ff &n{ A &xit-> 
übt, ist ^ J 0, die zu AC parallele Komponente dieser Anziehung istJ 



= MG ^ CP\ d. h. die wirksame An 



, Tfi -^M JU AM 

also =J0^ = -^j- 

ziehnngskomponente (die relative Anziehung) von H ist gleich der An 
Ziehung von C. 

So entspricht jedem Punkt der HUfskurve ein Punkt H der go- 
Bucht«n. Man sieht leicht, daß die Kurve durch A geht und ^J^, di 
Lot zu AC, berührt. 

Auch die umgekehrt« Aufgabe läßt sich, wie an einer späteren Stella 
(S. 82) gezeigt wird, sofort lösen; d. h. wenn die Kurve CHA gegebei^ 
ist, läßt sich das zugehörige Anziehungsgesetz bestimmen. Denn wi^ 
vorher aus der Punkt H, so läßt sich auch, wenn // gegeben, der 
Punkt konstruieren. Man kann bei dieser umgekehrten Konstruktion 



f 



Die Elntwickelnng der Terachiedenen Probleme der Mazima der Anziehung. 369 

die Länge CP beliebig annehiueii. Die angegebenen Konstruktionen 

gelten für jedes Anziehungagesetz r", bei dem m negativ ist. BoscoviCH 

beliandelt weiter auch den Fall eines positiven m, d. b. den Fall, in dem 

di^ Anziehung mit zunehmendem Abstände wächst. Hier geht die Hilfs- 

tture LOP durch 4; sie berührt fürO<«i<l inXdie Linie AF, 

ftia: m ]> 1 aber AC. In beiden Fallen ist bei Ausführung der ersten 

Konstruktion J nicht zwischen A und C, sondern jenseits G zu nehmen 

l^mit AO und PF sich schneiden. Die gesuchte Kurve geht hier nicht 

•Ixiroh A, sondern ins Unendliche und liegt für ■«< w < 1 jenseits des 

E^xinktes C (so daß keine zwischen Ä und C gezogene Ordinate sie trifft), 

'*"»hrend sie für m > 1 die Linie AN zur Asymptote hat. Übrigens 

**-^uidelt es sich in dem letztgenannten Falle (m > 1) nicht um ein 

-^^^l^aximum, sondern um ein Minimum der Anziehung. Die in den ver- 

^cshiedenen Fällen sich ergebenden Kurven werden diskutiert, femer die 

^^-renzfaUe »n = und m = \ und der allmähliche Übergang der Kurven 

'^Äi die den (Jrenzfallen entsprechenden erörtert. 

Weiter wird (S. 77 flf.) die Aufgabe behandelt: Für einen gegebenen 
^*nnkt A denjenigen Körper größter Anziehung zu bestimmen, der ein 
gegebenes Volumen hat (einer gegebenen Kugel gleich ist) und dabei durch 
^ine Ebene begrenzt wird, die von A einen gegebenen Abstand AN hat. 
^feoscoviCH gibt auch für diese Aufgabe 
«ine geometrische Lösung, bei der die 
«rforderlichen Quadraturen als ausgeführt 
angenommen werden. Er variiert die 
L^e des Punktes C (Fig. 2), während 
A und N eine feste Lage behalten. Für 
jede Lage G von C denkt er nuttels der 
ersten Konstruktion die Meridiankurve 
OK' des Körpers größter Anziehung ^' 

bestimmt, dann jedesmal das Volumen des durch die Rotation von 
ü K' N entstandenen Körpers berechnet imd den Radius einer dem 
berechneten Volumen gleichen Kugel als Ordinate CP! einer Hilfskurve 
NB in G senkrecht zur Achse AG aufgetragen. Hat man die Hilfs- 
kurve NP!, so hat man nur den Radius der gegebenen Kugel in N 
senkrecht zu AN hinzutragen = NS und durch S eine Parallele zu AC 
zu ziehen, welche die Hilfskurve in P treffe; RCt SN gibt denjenigen 
Punkt C, durch den zusammen mit A nach dem früheren die gesuchte 
Meridiaokurve CK bestimmt ist. — Die beistehende Figur bezieht sich 
wieder auf den Fall, daß die Anziehung einer negativen Potenz der Ent- 
fernung proportional ist. BoscoviCH zeichnet die Figuren auch für die 
F^e, wo die Anziehung mit dem Abstände wächst. 

Bibliothee» IbthemBtio». Ili. Folge. V. 24 




370 



Erich HuKru&Kif 



Die eben besprochene Aufgabe läßt sich leicht dahin erweitern, ilaß f^^j. 
gesuchte Körper größter Anziehung nicht durch eine Ebene begrenzt wi.:»-^_ 
BOndem durch eine gegebene Itotationyfliiche, die durch N geht und .4 _2^' 
zur Achse hat. Selbstverständlich kann die gegebene Rotationsfläcks « 
nicht völlig willkürlich sein, wenn die Aufgabe eine Lösung zulassen sot-^ 
Speziell wird noch diese Aufgabe für den Fall konstanter (von der Ea ^*' 
femung unabhängiger) Anziehung besprochen. Femer wird darauf hic^:^!' 
gewiesen, daß durch dieselbe Methode sich auch die Aufgabe lösen lass- 
außerhulb oder innerhalb einer gegebenen Rotationsfläche, deren Achf= 
durch Ä geht, eine gegebene Masse so zu verteilen, daß ihre Anziehe 
auf A ein Maximum (oder Minimum) ist. 

Nachdem noch erörtert ist, daß es im allgemeinen nicht mögb'ch seir-^sin' 
wird, der Aufgabe der Bestimmung des Körpers größter Anziehung imd u-^^^^e re 
beliebige Bedingungen aufzuerlegen, wird (S. 82) für die zweite (s. Fig. 2n 

der konstruktiv gelösten Hauptaufgaben eine analytische Lösung gegeba^.^^^ 
Ist die Anziehung der »w'"" Potenz der Entfernung umgekehrt proportiorzrran/, ' 
so folgt aus der ersten Konstruktion, wenn in Fig. 1 AM =^ x, MH 
AC ^p gesetzt wird, unmittelbar 




«1 + 1 



(x»-fy2) ' ^p^x. 



also 



am 
■p ■ X 



3 

m+ 1 



Das Volumen CKN ist. wenn in Fig. 2 die gegebene Strecke ATf^ 
mit « bezeichnet wird, gleich dem zwischen den Grenzen u und p gV 
nommenen Integrtd 

xly^dx, 

und da dies Volumen gegeben ist, so hat man eine Gleichung zur ße-^ 
Btimmung von p ^ AC. 

Endlich wird auch die erste Aufgabe, die Ermittelung der Meridian- 
kurve des Körpers größter Anziehung, im.ilytisch behandelt. BftscovuH 
geht davon aus, daß es zu beiden Seiten des Maximums, resp. Minimums 
j, ,y zwei unendlich nahe Lagen geben muß, 

/^'<^^^ ^\ lilr welche die Anziehung auf A eine 

gleiche ist. Für einen unendlich 
kleinen Teil. der Meridiankurve seien 
diese Lagen (Fig. 3) HORf> und üorS, 

wo o auf der Ordinat« von 0, r auf 

der von Ä liegt, während h der Schnitt- 



\ 




A M B D K 

Fl«. 3. 




Jje Rntwiekelung der Terachiedenen Probleme der Mszinitt der Anztehnng. 371 



piinkt von OR und und or ist. Die durch die Rotation der FlUchenstiicke 
IfOho und hrSR erzeugten Volumina müssen dann, d« die blasse gegeben 
ist, gleich sein, und die innerhalb dieser Volumina befindlichen Massen (jede 
derselben sei = p) müssen gleiche Anziehung auf .1 ausüben. Ist die An- 
ziehung der wi'™ Potenz der Entfernung direkt proportional, und ist AH^z, 
so ist die Anziehung des Massenelements // bei II ^ /ii e'" , ihre der 
Achse parallele Komponente fi s"' -_, und für die ganze Masse p in dem 

durch Rotation von HO ho erhaltenen Raum ist diese Komponente 
j,^m — 1 _j.^_^y j)iß Anziehung der Masse, die in dem durch Rotation 
von hrSR entstandenen Raum enthalten ist, ist p (u + du); und da 
diese Anziehung der vorigen gleich ist, so ist rf« = 0, « = Konst. ; 
d. h. xr"'"' = Kunst. Die Konstimte bestimmt sich dadurch, daß im 
Schnittpunkt der gesuchten Kurve mit der Achse a; = ^ = a ist, also 
j: .£•'" — ' = «'". Ist die Anziehung der »<"" Potenz der Entfernung ttni- 
gekfhrt proportional, so tritt — m an die Stelle von »«; die Kurven- 
gleichung vrird x . o " = 5 " + ' , was mit dem früheren Resultat über- 
einstimmt. 

Auch die erste Konstruktion ergibt sich jetzt sofort. Ist g die An- 
ziehung der Masse 1 im Abstände e, h die im Abstände o, so ist die der 

-Achse parallele Anziehungskomponente — — — =pb oder — = ft ; und auf 

dieeer Gleichung beruht die erste Konstruktion. 

BoscoviCH nimmt übrigens an, daß nicht nur die durch die Rotation 

«ler Flächenstücke II Oho und hrSR erzeugten Volumina gleich sind, 

sondern daß die Schwerjjunkte der in Rede stehenden beiden Flächen auch 

gleichen Abstand von der Achse haben. Dann sind auch die Flächen 

selbst gleich, und falls M li = HD = DE, ist auch Oo = Rr und daher 

Mm = »j E, wenn m der Fußpunkt der Ordinate von h ist. Mithin 

liegen die Punkte von H, 0, h, o ebenso zu H, wie die von h, r, S, R 

za h. Die erwähnte Annahme über den Schwerpunkt wird nicht begründet. 

Zum Schluß muclit Boscovu'H die Bemerkung, daß die geometrische 

Lösung von der analytischen deshalb den Vorzug verdiene, weü man bei 

letzterer von vom herein die Masse als durch eine Rotationsfläche begrenzt 

ifftunehmen müsse, während bei ersterer diese Annahme nicht von vom herein 

gemacht zu werden brauche. 

Die nächste Bearbeitung des I*roblems rührt von Saint-Jacques de 
Sil.v ABELLA 1) (1722 — 1801) her, der im Jahre 1744 von Jacqitier ange- 

1) Saixi'-Jacqibb, Ptvblime. Supposant la loi d'attraction en raüon inverte du 
'^mirrr dt la disiance, trouver la nature du solid« de la plux grande ottraction. 
^emoires de mathümBtiqueB et de pbyeique präsentes ü Tacftdömie des 
«eieneea par divers iBTans (.Pari« 1750), S. 175—176. 

24» 



372 



Erich Hofi-'maxk. 



m 



rv. 







er 



regt wurde, sich mit demselben zu besirhäftigen. Die Lösung des S.v 
Jacques wurde am 7. Juli 1745 der Akademie der Wissenschaften ^ 
Paris eingereicht und gelangte im Jahre 1750 zum Abdruck. 

Saint-Jacques stellt sich dabei, wie aus dem Titel hervorgeht, d^=^^ 
Aufgabe, den Körper größter Anziehung für den FiJl zu bestimmen. Az .^^^ 
die Anziehung dem Quadrat des Abstands umgekehrt proportional i^ j_ 
Zimächst ist es evident, daß der Körper, der unter allen Körpern c;»- g- 

gleicher Masse auf Ä die größte ^^^_ i« 
Ziehung ausübt, ein Rotationskor- 
sein muß, da kein Grund vorhan» 
ist, weshalb die Masse auf einer S 
anders verteilt sein sollte als auf 
anderen. Um die Meridiankurve 
Grenzfläche des gesuchten Körper 
finden, denke man (Fig. 4) in 
Punkten P, Q, R,p mit den Abscf esea 
X, X, x", x'" die ()rdinat*n P]II==y^ 
QN = y, RO = y", pm = y' ge- 
"> zogen und bezeichne die AbstüBde 
AM, AN, AO mit e, e, e". Dann 
muß, falls 
x' — X = x" — j' = x" — x" = <i^ 



der 




f/eg] 



flg. 4. 



ist 



Vydj + y'y'dx + y'y'dx fl 

eine gegebene Grösse haben, und da hier nur y und y" variabel sind, ffm nß 

y'dy^y'dy" 



1 



sein. Aus den bekannten Formeln über die Anziehung eines Kreises *' 
einen senkrecht über dem Mittelpunkt liegenden Punkt ergibt sich fer"^'ie£_ 
fttr die Aaziehong des Rotationskörpers MNmp P auf A der Wert 



Soll dieser Ausdruck ein Maximam sein, so muß, da nur «' 
variabel sind, 

x'dt' x" dt" 

*'(«'-Äi') ~ i"(f"+rf*") 

sein und weiter, da y'dy' == e'dz', y'dy" ^ z"dB", anch 

af^'äy x"y"dy" 



un« 



Die Entvickeliing der vergcliiedeiien Probleme der Mazima der Anziohuug. 373 
Mit Berücksichtigung der Bedingung y'dy = y"dy" folgt 



t' i'(z'—A^') z"z"{s" ■\-dt") 



1 



Jeder dieser Ausdrücke moiä also einer Konstanten gleich sein = -. d. h. 

man findet 

z^ = g^x. 

Einfacher noch erhält man die Lösimg so. Die Anziehung, die ein 
beliebiger auf der r)berfläche liegender Massenpunkt in der Richtung der 

Achse auf Ä ausübt, ist ^; und diese Anziebungskomponente muß eine 

Konstante sein. Denn wenn die wirksame iVnziehungskomponente an 
U-gend einem Punkte der Oberfläche kleiner wäre als an einem anderen, 
■o könnte man jenen Punkt in eine derartige Lage außerhalb des Körpers 
ringen, daß er A stärker anzöge. Der betrachtete Körper wäre dann 
ber nicht ein Körper größter Anziehung. Die vorerwähnte Komponente 

luß also einer Konstanten — ^ gleich sein, d. h. s^='g'^x. — 

Man erkennt, daß die Argumentation von Saint-Jacvites wesentlich 
lit der von Bohcovich identisch ist; nur ist die analytische Ableitung 
»ei SAiNT-JA(;yUE8 sbenger, seine ganze Fassung kürzer. 

SAiNT-JACyi'K.s DE Sri,VABELi..\ hat DOch eine zweite Lösung des 
Problems gegeben, die Zach in einer Anmerkung seiner Biographie von 
Saint-Jacques in der Monatlichen Korrespondenz 1808, S. 62, mit- 
geteilt hat. Der wichtigste, hierher gehörige Teil dieser Anmerkung 
lautet folgendermaßen: 

„Nachdem SAiNT-JAcgi'ES in seinem gedruckten Memoire gezeigt hat. 
daß die Gleichung tur die gesuchte Kurve 



ist, und daß die Ausdrücke 



e =99X 



t^{z'—dz') 
1 



»"«' (s'' -|- dt") 
gleich sind, fährt er so fort; Die Kurve, die 



feiner beständigen Größe 

y . . ^^ . 

lurch ihre Revolution den Körper der größten Attraktion erzeugt, muß 

ie Eigenschaft haben, daß deren größte Achse AG = g ist. Denn da 

lie Gleichung s" = g ij x für x = e auch e = g gibt, so ist auch 

igdx^= ^z^dz, oder , ^^ — , und man hat für den Punkt G, wo t=g, 

= 3. Wenn die Tangente der Kurve der Achse parallel ist, so hat 

Injan für dieseu Pirnkt S2 = xx -f- y y, und da y hier konstant bleibt. 



WIP 



oben 



dx 
dl 



leichung der krummen Linie ist 



,3 



folglich -^ = 



und hiernach 



99' 



zgg _ 8£» 



99 



fiUein vermöge i^«t 



3^^ 



9' 






Wir hallen bisher die Geschichte des Problems in der ersten H^Älffp 
des 18. Jahrhunderts gegeben und kommen nun zu denjenigen Abh^^uj. 
langen, in denen das Problem mit der physikalischen Forschung in .5^0. 
sammenhang gebracht ist; «-ir können dabei behaupten, daß auch in di^^rser 
Beziehung das Problem gewissermaßen bis auf Ne^\ton als geistig-^a 
Inspirator /urückgeht. Das Problem hat einen engen Zusammenhang mit 
der physikaliscbeu Aufgabe, die mittlere Dichtigkeit der Erde zu I:»«- 
Btimmen. Wie ein roter Faden zieht sich jetzt dieses physikal/j^crlir' 
Problem durch die weiteren Arbeiten über den Körper größter Aniiehu-»3>c 
hindurch. 

Schon Newton hatte auf die Anziehung, die von Gebirgen ausgeü *** 
wird, hingewiesen, zugleich aber auch auf die Kleinheit derselben »c 
nierksara gemacht. So schreibt er In seiner Abhandlung De mm 
systemate (1728): „Sed nee montes toti suffecerint ad sensibiles etfecto^^ 
ad radices montis hemisphaerici alti tria milliaria et lati sex, Penduloi^ 



>1- 






vi montis attractum, non deviabit scrupulis duobus primis a perpendiculo 



^ ^^ 



Im Jahre 1738 imtemabmen dann zum ersten Male, teils durch die Newtos*'^' 



:^t.* 






xa« 



sehe Notiz veranlaßt, teils durch andere Gründe dazu geführt, Boi «iiEl '-^ . 
und La CoNPAJnNE eine Messung der Erddichte am Chimborasso. JedocC*^-' 
waren die hierbei er/.ielten Resultate nicht von beträchtlicher Genauigkeit *_^,^_i,tl 
BitscoviCH gab dann, wie F. X. von Zach in seiner Schrift Les altractions df"^ 
montagnes (Avignon 1814) angibt, einige Verbesserungen zu der von diescK"^ 
beiden Gelehrten gebrauchten Methode. Die Untersuchungen von Bougitt^ 
und La Coxiia.mine wurden auf Vorschlag der königlichen Akademi- < '^^^M 
der Wissenschaften zu London in den Jahren 1772 und 1774 an dew*^ jH 
Berge Shehallien in Schottland mit den genauesten Instrumenten, di-i-»' «bei» 
man damals kannte, von Maskeutje wiederholt. Wir finden dieselbe! "^^^^ ig. 
niedergelegt in Philosophical transactions 65:2, 1775, S. 500— 54S=^"^ - 
Maskelvxe bediente sich gleichfalls, wie seine Vorgänger, der Beobachtun j i*^*^^ 
der Ablenkung eines Lotes durch die Felsmassen des obengenannten Berge» "^^^^r 
Als Resultat ergab sich für die mittlere Dichtigkeit der Erde ungefähr 5 "* ■ 
Als nächster behandelte Cavenkish auf eine andere Art und Weise ds*-^* 
physikalische Problem der Dichtigkeitsbestimmung. Er zeigt«, daß eine gro3 *^^ 




iÜMI 



Die Entwickehing der vergchiedeuen Probleme der >raxima der Anziehung. 375 



I 



Bieimasse eine metallene Kugel anziehe, und gewfuin uuf (Jrund experi- 
menteller Versuche für die Dichtigkeit der Erde 5,7. Diese Versuche, an 
'•QeB I'LAYKAiß teilweise auch beteiligt war, gaben den .i\jilaö zu der sofort 
**> besprechenden Arbeit Playkairb über den Körper größter Anziehung 
•f^l-AYKAJU (1748—1819) veriitfentlichte seine Ahhimdlung: On Ihr solids 
**f tfie ffreatest attraction, or those which among aü the solids thcU havc 
'^^^tdin properties, aürad wUh the greaUst force in a given diredion. 
L*"^«*-«! 5th January 1807] in den Transactions of the rojal society 
*^^ Edinburgh 6:2 (1809), S. 187— 243.') 

Wir geben im folgenden den Inhalt der Abhandlung von J. I'lavkair. 
^^^^ den Untersuchungen über den Kör})er größter Anziehung wurde er, 
^^>fe er selbst einleitend angibt, durch die von Ma.skki.vnk unternommenen 



XT 



ixtersuchungen über die Anziehung von Bergen und durch die späteren 
Utersuchungen von Cavendisu über die Anziehung von bleiernen Kugeln 



^»Xgeregt. 

Playkair behandelt das Problem teils in der Voraussicht, daß seine 

*^^rechnung den zukünftigen physikalischen Untersuchungen über die 

■•-'ichtigkeit der Erde als Stütze dienen könnte, teUs aus dem < «runde, 

"^eil da« Problem auch für den Mathematiker ein besonderes Interesse 

^eige. Es scheine dasselbe ziinäehst nur durch Variationsrechnung lösbar, 

^'ogegen sich zeige, daß auch eine kurze Lösung der Frage nach dem 

Körper größter Anziehung durch einfache Überlegung möglich sei. Diese 

einleitenden Betrachtungen Plavkaiks über das Problem zeigen, daß er die 

Bearbeitungen der früheren Zeit nicht kannte. 

Die beiden Ilauptbedingungen des Problems sind nach Playfaiu die, 
<iaß der zu suchende Körper das Maximum der Anziehung ausübe und 
andererseits aus einer gegebenen Masse gleicher Dichtigkeit bestehe. Dieses 
«allgemeine Problem lasse sich durch die nuinuigfultigsteu Bedingungen, 
die mau dazu nehme, noch modiKzieren, Ludern man z. B. für den Körper 
eine bestimmte Gestalt vorschreibe. 

In den ersten acht Abschnitten behandelt Plaitair zunächst den 
Körper größter Anziehung. Er stellt in iüinlicher Weise wie Boscovicii 
und Saint-. Iaci/iks die (Ueichung der Meridiankurve des gesuchten 
Körpers fest. Dieselbe lautet La rechtwinkligen Koordinaten 



mid in Polarkoordinnten 



y = arsVal — x' 



z ^ a\coB<p. 



1) Eine BeBprechung dieser Arbeit bat E. Laui-e iu den Verhandlungen der 
Derliner l'hy sikalischen fieaellschaft !l, 1884, S 56—61 jregeben. 



376 Ekicb Hoffharn. 

Im Anschlaß an die Gleichung in Pol^_^^. 
j/I koordinaten gibt er eine geometrische Ko ^ — i - 
stmktion der Meridianknrre des Körp«^e=v 
größter Anziehong. Man nehme eine Streci^f« 
a, schlage (Fig. 5) um A mit derselbe^*»'" 
als Radius einen Kreisqaadranten BF^^3, 

verbinde F mit Ä, Mle von F auf A ^ 

das Lot FG, das den Halbkreis über Ä"^-^ 
in K schneiden möge; trägt man dan — -^ 
AK auf AF von A aas bis C ab, so i^^st 
dieser Punkt ein Punkt der gesuchte -^^ana. 
'*■ ''' Meridiankurve. Auf gleiche Weise las8e-«n- 

sich die übrigen Punkte der Meridiankurve konstruieren. Weiterhin b« 
rechnet Playfair den Inhalt des von der Meridiankurve begrenzten Sektoi 
AGB. Er findet durch einfache Betrachtungen 




— a' sm <p. 



Für den ganzen Flächeninhalt ergibt sich daher -g-**» ^ den Flächeto ' 

inhalt zu beiden Seiten der Rotationsachse o*; d. h. die Fläche der^^* 

ganzen Querschnittes ist gleich dem Quadrat über dem Durchmesser AB. " 

Femer berechnete er den Maximalwert von y. Dieses wird ein ^ 
a 
Maximum sein, wenn x = t= ist, und zwar wird 

BO daß 

o:6 = ^'27:V2 oder in Annäherung o:6 == 11:7, 

Als weitere Eigenschaften des Körpers größter Anziehung findet Playfaih. 
daß der Krümmungsradius der Meridiankurve — „curve of equal attraction" 
— im Hauptpol A unendlichgroß ist, daß sich also die Meridiankurve 
hier mehr einer Ebene nähert, als es nur irgend ein Kreis mit noch so 
großem Radius kaim. Femer zeigt er, daß der Krümmongsradius im 

zweiten Pole B = ^ a und das Volumen V = ^ a^ ist Bemerkens- 
o la 

wert ist noch der Satz, daß, wenn --1 die Anziehung des Körpers größter 
Anziehung und .-l^ die Anziehung einer Kugel mit gleicher Masse ist, 

= ,_', oder in Annäherung = = 

wird Er wendet sich dann zu der Aufgabe, das Maximum der Anziehung zu 
finden, wenn der juigezogene Punkt sich in gegebener Entfernung von dem 






Die Entwickelnng der venchiedenen Probleme der Maxima der Anziehung. 377 

anziehenden Körper befindet. Der gesachte Körper wird ein Segment des 
Körpers größter Anziehung. Hierauf wird noch das Volumen eines solchen 
Körpersegmentes berechnet. 

Weiter stellt Platfaib neben einigen an das Vorige sich anschließen- 
den Rechnungen die Gleichung für die Oberfläche des Körpers größter 
Anziehung auf [dieselbe lautet (x^ + e* -f «*)' = o* a;*] und geht dann 
za der Frage über, den Körper größter Anziehung zu finden, wenn das 
Allziehungsgesetz ein beliebiges ist. 

Nehmen wir an, daß die anziehende Kraft umgekehrt der m**" Potenz 
der Entfernung wirkt, so findet er auf demselben Wege wie früher, daß 
die Gleichung für die Kurve, durch deren Rotation der Körper größter 
■A-Hziehung erzeugt wird, lautet: 

2m 2 

^©tmen wir »8 == 1, also die wirkende Kraft umgekehrt proportional der 
*^tfemung an, so ergibt sich als Körper größter Anziehung die Kugel. 
In den nächsten Abschnitten behandelt Playfaik zum ersten Male 
da« Problem der Maiimalanziehung für Körper von gegebenem Formtypus 
^***d gegebenem Volumen. Zunächst wird die Maiimalanziehung eines 
•Tegels auf den in der Spitze befindlichen Massenpunkt berechnet. Wenn 
■^ die Seite des Kegels, x seine Höhe ist, muß für ein Maximum der An- 
^i^hung sein: 

-«« 2+Vß' 

^- h. der Winkel zwischen Höhe und Seite an der Spitze ungefähr 62" 
^6'. Berechnet man die Tangente dieses Winkels, so zeigt sich, daß beim 
ICegel größter Anziehung das Verhältnis zwischen Grundkreisradius und 
^öhe nahezu wie 2 : 1 ist. Sodann vergleicht Playfair die Maiimal- 
anziehung Ä eines Kegels auf die Spitze mit der Anziehung Ai einer 
gleich großen Kugel auf einen Oberflächenpunkt. Er findet: 

oder angenähert ^ : .4^ == 4 : 5. 

Auf eben dieselbe Weise wird ein Zylinder behandelt, bei dem der 
angezogene Punkt sich in dem Zentrum einer der Grundflächen befindet. 
Die Anziehung ist 

A=.(x + y — V^»"+y*) 2«, 

wo X die Höhe, y der Ghrundkreisradius ist. Ein Maximum der Anziehung 
ergibt sich, allerdings nach etwas längeren Rechnungen als beim vorigen 
Beispiele, wenn 



y 


9-Vn 


X 


8 


y 


_ 9 + Vn 


X 


8 



ein Minimum, wenn 



ist. Auch in dem Falle des Maximums yergleicht hier Plavfair wieder v^Je 
Maximalanziehung A mit der Anziehung Ai einer gleich großen Kugel .&c^| 
einen ( )herflächenpunkt und findet für das Verhältnis A: Ai = 1218: 12 1 
An diese Untersuchungen schließt er noch einige Betrachtungen über d^^i 
Theorem von Le Sa(JE: Nimmt man eine Kugel mit dem Radius r um. — *l 
beschreibt um dieselbe einen Zylinder; legt den angezogenen Punkt ü 
das Zentrum einer der Grundflächen des Zylinders, so ziehen die Kuge 

und derjenige Zylinder, dessen Höhe ^ ;• ist, den Punkt gleich stark an^^^ 

Der 14. und die folgenden Abschnitte*''^! 
bringen Berechnungen, welche sich auf die ^^^B 
von PLAVKAiii gemachten Experimente bei • 
der Erddichtebestimmung am Shehallien 
beziehen. Er berechnet zunächst die An- 
ziehung eines Parallelepipedons mit un- 
endlichkleiner Grundfläche und gegebener 
Höhe auf einen in der Verlängerung einer "^^B 
Kante liegenden Punkt (Fig. 6). Er findet iVa^l 
für die jener Kante parallele Komponente^^jl 




] 



Fig. 6. 



J^ = sin gs, 
* der Flächeninhalt der Fläche CtD, EF die Mittelfläche und 9 



wo m 
<DAE ist 



Mit Hilfe dieser Formel berechnet er diinn die Anziehung eines Halb«d^^ 
Zylinders auf einen in dem einen Ende seiner Achse befindlichen MiUTsen.K:^^ 
puukt. Es ergibt sich ftir die Anziehungskouiponente senkrecht zur Achse^^^^W 



.l_2„,og(^±*f±^), 




WO r den Radius des Basishalbkreises und a die Höhe bedeutet. Diesel 
Ausdruck wird bei gegebenem Volumen ein Maximum, wenn angeuühci — ^' 

r 216 

a 125' 

Die Berechnung der Anziehung dieses Körpers ist besonders deit 
wegen bemerkenswert, weil PLAVPAm sich des hier bestimmten Resultat«»^ 
bei der Korrektion der von Maskei.yne berechneten Erddichte bediente 
(^Philosopbical transactions 1811, S. 347 — 377). T)ie Berechnung 




Die Entwickelnng der venchiedenan 



emeaw Maxima der Auziehung. 



des Maximums der Anziehung eines halben Zylinders ist von Lampk in 
seiner Besprechung der PhAVKAiKfichen Arbeit nicht erwähnt. Andererseits 
hat auch Selka in der Tabelle der Körjier mit Maximalanziehung. die er 
in einer später zu besprechenden Arbeit gegeben hat, dieses von PtuWFArK 
bestimmten Maximums keiner Erwähnung getan. 

Jetzt wendet sich Pi.aykaik zur Berechnung der MnximHlunziehung 
eines abgeplatteten KotatioaseUipsoiris von gegebener Masse auf den Pol. 
Di« Formel fär die Anziehung (ibemimmt er aus Maci.aubins Treatise of 
/l*fa-ions § 650 (Fig. 7): 









^^eichnet nun m^ die Masse des 

*^^Xlipsoid8, so findet er nach einiger 

-^*-«chnung 

6» >i , 3m3 

— = , wo M^ = 

a cosTqp 4 s 

*^etzen wir diesen Wert in F ein, so 
^»halten wir mit Plavkaik F = 
^ nn(tgqi — (p) cos'q» 8in~''(p. Setzt 
^iHU tg9 = /, so wird die Bedingungsgleichung für das Maximum: 

t(9-f 2 t') 




fP 



9-f 5t' 



Aus dieser Gleichung schließt Pl.^yKAlR mit Hilfe von Reihenentwickelung, 
daß dieselbe nur erfüllt werden knnu, wenn ip = ist. Dann wird aber 
aas dem abgeplatteten Uotationaellipsoid eine Kugel, und er kommt so zu 
dem falschem Resultat, daß es kein abgeplattetes Rotationsellipsoid mit 
einer MaximalanKJehiing auf den Pol gäbe. Er schließt diese UnterBucluing, 
auf die wir später noch zurückkommen werden, mit folgenden Bemerkungen: 
Wenn die Abplattung des Ellipsoids verschwindet, während seine Masse 
tlieselbe bleibt, so wird seine Anziehung so lange wachsen, bis die Ab- 
plattung Null geworden ist und das Sjihäroid eine Kugel wird, wobei 
«lann an den Polen nach seiner Ansicht em Maximum der /Vnziehung 
'tuftritt. Wenn dann die Polachse wächst, wird aus der Kugel ein ver- 
längertes Rotationsellipsoid, und die Anziehung auf die Pole wird wieder 
geringer. Zu diesem Schlüsse glaubte sich Plavkaik durch das ftesetz 
der Kontinuität berechtigt. 

Weiter beschijftigt sich Playkair mit der Aufgabe, die Anziehung 
eines Parallelepipedons in der Richtung senkrecht zu einer seiner Seiten 
zu bestimmen 



380 



Ebich Hoffmamk. 




Ä sei (Fig. 8) der ange- 
zogene Punkt, -^C AB = z, 
<CAD = e und die Fläche 
CEFK=tn*; dann ist nach 
den vorhergehenden Berech- 
nungen die Anziehung, die A 
durch die kleine Säule CG in 
der Richtung ÄJB erleidet 



AC 



Bin e cos e. 



Dies ist das Element f der An- 
ziehung des Körpers. Bezeichnen 
j7 wir die ganze Anziehung mit f, 
so ist also 

r= -j-TiBinccos^ = — stnecosv 



Fig. 8. 



Nun ist 

o ' cos'« 

femer sei GE — n, 



tn* = n.a. 



cos'r 



dann ist 

Also wird 

f = ne sin e. 

Berücksichtigt man noch, daß für sin e nach einiger Rechnung sich 
ergibt : 



sine ' 



fr 

— COB« 
a 



V^+l 



{BL = b,BA = a), 



COB'« 



80 wird schließlich f = 



5n2'coB< 



Setzen wir u 



a]/l + ^C0B'* 
sin s und o* + &* = .^i^ = c*, dann ist 



bu 



bnu 



^" 



Ist jetzt q} ein solcher Bogen, daß — = sing?, so ergibt 

f = nq)', also /"= » 9? + 5, 

wo B eine Konstante ist. Die Konstante B wird ^ 0, und es ist daher 
[=■■ n<p = n, multipliziert mit einem Bogen, dessen Sinus sich verhali 



M^M^ncKelun^R^enömedonen Problemo dor Maxinia der Anziehung. 381 



ZQ dem Sinus von e wie h : c. 
»7 AL' AC 



Bin 



Die Anziehung f ist also derartig, daß 
,, oder/=« aremn^jy.^.)- 



Mit Hilfe cies soeben erlangten Hesultats leitet Plavkaiu die An- 
ziehung einer IVraniide mit rechtwinkliger Basis auf einen im Scheitel 
befindlichen Massenpunkt ab; speziell sucht er die MaximalanKiehung, die 
eine gleichschenklige Pyramide mit quadratischer Grundfläche auf den 
Scheitel ausübt. Bezeichneu wir mit ihm den halben Winkel an der 
Spitze der Pyramide mit ij, die Höhe mit jt, so ist 

sin gj = sin ^7/, f == ^p (p- 

Ist der Inhalt des Körpers tn^, so ist. 

»»*= 3 ;'''tg^'/, 

ist, 



nder da tg* »/ = v-^ 



Bin ip 



' = ' ?>' TTTii^™' o'*'"' V = '" l 



1 — sin gi 
Also wird die Anziehung 



l'A (1 — siu tp\ 
4 sin 7 



f= 4 p i/> = 4 >« <p 1/ - 



'/8(1 — gin<p) 



Bin ip 



/^ ist nun ein Maximum, wenn q>^ 



1 



-.-- — ein Maximum ist. Mit Hilfe 
«in (p 

der DÜferentialrechnung findet Playfaik als Bedingung für das Maximum 

<üe Gleichung 

<p ^^3tgq> {l — sin q)). 

Jlub dieser (ileichung hf^stimmt er mittels Näherungsverfahrens 

(p = arc 48» 40f . t] = 76» 30', 2ti = 153». 

Diejenige rechtwinklig-gleichschenklige Pyramide mit quadratischer Grund- 
Büche, deren ganzer Winkel an der Spitze angenähert 153 " beträgt, -besitzt 
also das Maximum der Anziehung auf einen in der Spitze befindlichen 
Massenpunkt. Eine znhlenmäiJige Berechnung der Anziehung fehlt auch hier. 

Zum Schluß wendet sich PLAYt'AiR wieder der Anziehung des ParaUel- 
epipedons zu. Früher hatte er die Anziehung eines unendlich dünnen 
Parallelepipedons berechnet. Hier zieht er jetzt zunächst einige allgemeine 
Schlüsse aus dem früheren Resultat. Wir übergehen dieselben, da sie 
nicht auf das Problem der Maximalanziehung Bezug haben. 

Wir sehen also, daß Playkaiu zwar nicht der Entdecker des Körpers 
größter Anziehung war, daß er jedoch denselben olme Kenntnis der Vor- 



382 



Ekii'u Hukkmakn. 



arbeiten ziemlich eijijtjelu'nd liehantlelt und selbst eine neue Seite dfl 
Proliienis — die Maximiiliinziebun«? bei gegebenem Formentypus — zni 
ersten Mnlc bearbeitet hat. In dieser Beziehung unterscheidet sich seme 
Arbeit in niclit zu unterschiitzender Weise von den nachfolgenden Arbeiten 

ÖCHKLLBACHS. 

Unter den weiteren Daten, die sich auf den Körper größter Anziehung 
beziehen, ist zunächst als bemerkenswert zu erwähnen, daß Gauss in seiner 
Abhandlung über Kapillarität vom Jahre 1829 {Principia generalia theoriat 
figurae /Inidorum in statti aequilibrii; Gesammelte Werke, V, S, 31) den 
schon von Playfaiu angegebenen Satz über das Verhältnis der Anziehung 
des „Solid of greatest attraction" zu der Anziehung einer gleich großen 
Kugel aufstellt, ohne sich auf Playkaik als Quelle zu berufen. Der Wort- 
laut bei (jAUSS lautet: „Constat, maximam attractinnem, quam massa 
homogenea data in punctum datum secundum illam legem exercere potest, 
esse ud attractionem, quam eadem massa in figuram sphaericam redacta 
exercet in punctum in superfieie positum, ut 3 ad V25"- 

Als Nächster beschäftigte sich mit dem Probleme des Körpers groß 
Anziehung, allerdings wenig fruchtbringend, StiiKLi.BACH in- folgend( 
Schriften : 

Mechanische und mathematische Probleme', Programm des Friedrich 
WilhelmB-Gymniisiunis (Berlin 1845). 

Problem der Variationsrechnung; Journ. für Mathem., 41, 1851, 
S. 293 ff. 

Neue Elemente der Mechanik (Berlin 1860), S. 181 ff.; und Äufga 
aus der Lehre vom Größten und Kleinsten (Berlin 1860), 8. 109 ff. 

In der erstgeniuinten Arbeit behandelt Schellbach das Problem, 
ohne weiter Neues zu den Itisherigen Resultaten Ivnzuzufügen. Veranlaßt 
scheint diese Arbeit Schellbachs, wie auch die anderen, durch die er- 
wähnte Note bei fiATSS. In der zweiten Arbeit erfährt das I'roblem teil- 
weise eine Behandlung in den S§ 23 — 28. Im § 27 finden wir, das 
\'o!iimen und die Anziehung des Körpers größter Anziehung bestimmt, 
wenn die Kraft der w'*" i'otenz der Entfemimg umgekehrt proportional ist. 

In den letzten drei Jahrzehnten war das Problem der Masimal- 
anziehungen wieder mehr mit dem physikalischen Probleme der Bestimmung 
der mittleren Erddichte verknüpft Weiter erfolgreich gearbeitet haben 
auf diesem Gebiete in dem angegebenen Zeitraum F. Kkller, E. Lajipk. 
N. PiERPAOU, A. Sella und A. Raonoli. 

Ersterer berechnete in seinem Werke: Ricerche mit attrajiione dclle 
montagne con applicaeioni nunieriche. I (Koma 1872) die Maximal- 
imziehung eines Würfels für den Füll, daß: 1. der angezogene Punkt io. 



lOl, 

4 





Die Kntwickeluni; der verscbieilonen Probleme der Msxima der AnziebuD^ 383 

einer Ecke, 2. in der Mitte einer Kante, 3. in der Mitte einer Fläche 
liegt. In den voniDgehenden liechnungen hatte Kf.ij.kk schon die An- 
ziehung eines ParnUelei>ipcduns berechnet. Davon ausgehend, berechnet 

er für die drei Torliegenden Fälle die Anziehung. Im ersten Falle ergibt 

sich als Anziehung 



R = a\3 



21og2-±9 + 



^] = ''' 



,679030 a, 



für den zweiten Fall 



Ri 



aV2 



log 



2 + V5 



+ 2 log 



1+V 5 
2V5 



-f- 2 UTC tg 



= 2,194426(1, 



m dritten Falle 

i?2 = 4a 




log - -pL- h arctg — p= 

^ 1 + ^6 *2V6 



= 2.5968900 o. 



AMPE verüffentlichte Bodann in den Verhandlungen der Berliner 
hysikalischen Gesellschaft (3, 1884, S. 46 — 48): Einige Zahlenhcispiele 
die Ansiehtmg, welche eine homogene Masse auf eim-n materiellen Punkt 
dem NEWTfjMSchen Gesetze ausübt. In dieser Al)hand!ung berechnete 
Verfasser die Maximalanziehung eines abgeplatteten RotatioiisellipsoideB 
uf den Fol, 8ov%Me die eines Kreiszylinders auf den Mittelpunkt einer 
Endfläche und eines Kreiskegels auf die Spitze. An diese Mitteilung 
6chloß sich (a. a. O. S. 56 — fil) in demselben Jahre eine von demselben 
Terfaaser herrülirende Lifferarischc Bemerkung zu den Zuhlmbeispiden 
über Attraktion. In derselben gab Lajui'E eine Besprechung der Pla^tair- 
Bchen Arbeit, wobei er den von Playfair begangenen Fehler bei der 
Berechnung der Maximalanziehung des abgeplatteteti Hotationsellipsoids 
auf einem Mussenpunkt am Äquator aufdeckte. Dergleichen enthält diese 
Abhandlung am Schlüsse eine Berechnung der Maximalanziehung eines 
F'arallelepipedous mit den Kanten, h^ h, h auf den im Zentrum einer End- 
fläche gelegenen Punkt. Dieser Arbeit folgte bald eine weitere kurze 
Notiz über den Körper größter Anziehung in derselben Zeitschrift (9, 
8. 78 — 79) im Jahre 1890 unter dem Titel: Eine littnarische Notiz über 
ien Körper größter Anziehung, wo La.mi'K die Arbeit von Saint -Jacviks, 
er für den ersten Bearbeiter des Cniblems gehalten wurde, bespricht. 

Im Jahre 1886 veröffentlichte A. M. LlAPimOFF iu russischer Sprache 
ine Abhandlung: ,,Über den Körper von größtem Potential der Anziehongs- 
aft",') i^ß'" diese Abhandlung ist mir nicht zugänglich gewesen, und ich 
onnte daher nicht erniittehi, oh dieselhe in das vorliegende (iebiet gehört. 



1) Siehe Fortscbr. der Mathem. 19 (1887), S. 1042. 



884 



Eri<:ii HiirFMANs 



Anders liegt die Sache mit einer Arbeit, die gleichl'ulls aus df 
Jahre 1886 stammt. In diesem Jahre erschien von dem schon genannkal 
FiLiPPO KELI..ER eine Abhandlung: Sul mdodo dt Jolly per la determim' 
zione della densitä media della terra (Rendic. dell' sccad. dei Lincei 
[Roma] 'ij.l, S. 145 — 149), in welcher er die Maxi malanziehong ein« ge- 
raden IMsmas mit regulärer (rriindfläche auf das Zentrum der Basis be- 
rechnete. Derselbe bespricht zunächst die von Jolly vorgeschlagene Method* 
zur Messung der Erddichte; sodann gibt Keller eine kurze Beschreilmng 
einer von ihm selbst in den Memorie dell' accademia dei Lincei U 
1881, p. 114 vorgeschlagenen Methode und hebt die Vorteile, die iin 
seiuige gegenüber der JoLLYschen hat, hervor. Zugleich weist er aaf dil 
Methode von Köxio und Rumakz hin Diese benutzten an Stelle der' 
von Jolly zu seinen Versuchen verwendeten Bleikugel ein ParaUelepipdoaj 
aus demselben Stoffe. Keller glaubte, es würden vielleicht bessere Re«ui-i 
täte sowohl durch die Methode von Jolly, als auch durch die von ihn 
vorgeschlagene Methode, die sich imgefahr mit der Methode von KiiM« 
und RicuARZ deckte, zu erzielen sein, wenn man an Stelle der Kn^ 
oder des Parallelepipedons ein gerades Prisma mit regelmäßiger Basis f«"l 
wendete. Dies führte ihn darauf, die Maximalanziehong eines solclt 
Körpers zu berechnen. 

Das Prisma habe ein M-seitiges Polygon zur Orundfläche, dessen Seit) 
= 2o sei; die Höhe des Prismas sei h, das Volumen = Q und der Ktt 

OL. Keixek Übernimmt dann die Formel fQr 



halber - == u, — 



Anziehung eines solchen Prismas auf den Mittelpunkt der Basis sein« 
Abhandlung SuW aUraeione delle mofitagne con applicoMÜmi nummcf*/'- 



(l) 

worin: 

Ml ^ ctg 3t log 



= 2n^i/^ 






(3/, -f Mi) [Dichtigkeit = 1 ] 



(l-f»ing)V^ » +ctg'a 

C08o(l-fVV' + 



1 
Bio*» 



U, ii/3 = ,«r: 






4 



arctg/ ^^ 



Die Bedingung für das Maximum ist 
dX 



(2) 



d^ 



= 0, oder J/, — 2 ilf, = 0. 



Dies ist eine transzendente Gleichung für das Verhältnis — , d. h. filr 

Verhältnis von Höhe zu Seite des Prismas. In dem speziellen Fa 
n = oc, wo das Prisma in einen Kreiszylinder übergeht und das V<| 
hältnis von Höhe zu Seite durch das Verhältnis von Höhe zu (inmdkreii 
radius zu ersetzen ist, geht diese Gleichung in eine solche 2. Grades ül 



Iiie Eatwickeluii^t ilor ver«chiedeuon Problomc der Maxitna ilor Aüziebiiut;. 385 



Kei-i.ek weist «laiin iii einer Anmerkung darauf hin, daß mim aus den 
Gleichungen (1) und (2) den Satz ableiten kann: 

„In einem geraden Prisma von gegebenem Volumen denke man sich 
die Pyramide, welche als Basis eine Grund tliiehe des Prismas und zum 
Si'lieitcl das Zentrum der anderen Prisuiengrundfläche hat. Die von 
diesen beiden Körpern auf den Pujikt ausgeübte Anziehung variiert 
mit der Höhe des Prismas, und die Anziehung des letzteren wird ein 
Msiimum, wenn sie gleich der dreifachen Anziehung der Pyramide ist, 
oder was dasselbe ist, wenn Prisma und Pyramide im Verhältnis ihrer 
Massen anziehen." 

Nach dieser Nebenbemerkung findet er unter Berücksichtigung der 
Gleichung (2) für die Maximalanziehnng des Prismas: 



{„l|^9*p . Jlf, oder X = 6«*j/^3/„ 



Ist die 



wo der Wert von f^t aus Gleichung (2) genommen werden muß. 
Dichtigkeit y, so haben wir 

In einer jetzt folgenden Tabelle gibt er die numerischen Werte der 
Maximalanziehung von einem 3-, 4-, 6-, oc-seitigen Prisma und zu jedem 
Falle das zugehörige Verhältnis von Höhe zu Radius des der Grundfläche 
DniBchriebenen Kreises, nämlich 



3-8eit. Prisma 

4-seit. Prisma 

6-Beit. Prisma 

Zylinder 



0.20201 ] 2,54823 

0,23117 2,59928 

0,24859 2.61335 

0,20107 2,61624. 



Ein Blick auf diese Werte läßt erkennen, daß die Attraktion mit der Zahl 
''w Seiten, wenn auch langsam, wächst. Will man daher ein Prisma zu 
^6n experimentellen Versurhen verwenden, so wird sich nach KklIjEU am 
''e8ten das n-seitige Prisma für w = oo, d. h. der Zylinder, eignen. — Be- 
fpchnet man nun die Anziehung einer mit dem Prisma volumengleichen 
'^Bgel, so findet man als Anziehung 2,598518. Abgesehen davon, daß 
'ich dieser Wert nur ganz wenig von dem Werte der Maximalanziehung 
••Ca Zylinders unterscheidet, ist er größer als die Maximalanziehung des 
'JreiBeitigen Prismas und kleiner als die Maiimalanziehung des vierseitigen 
S'rismas. Wollte man daher ein I'risma hei den Versuchen über die 
■ttittlere Erddichte benutzen, so wäre das zum größten Teil auch aus 
Bibliotheca M»them»tica. UI. Folge. T. 25 




386 



Ebk^h HorrHASK. 



praktischen Gründen Nächstliegende das Prisma der MaxiniiilanziduDg 
mit quadratischer Grundfläche. Würde man statt des numerischen Wertes 
des Verhältnisses 0,23117 den Wert 0,25, der in der praktischen Ver- 
wirklichung mit geringeren Schvrierigkeiten verknüpft wäre, nehmen, so 
wäre die Anziehung dieses geraden Prismas mit quadratischer Grund- 
fläche 2,59690, d. h. die Anziehung dieses geraden Prismas mit quadra- 
tischer Grundfläche würde nur um 0,00238 von der Maximalanziehong 
des geraden Prismas mit quadratischer Grundfläche abweichen. 

Zum Schlüsse kommt Keller aber doch zu der Ansicht, daß 
Kugel aus mannigfaltigen Gründen der prismatischen Form vorzuziehi 
sei, einmal weil die Kugel in der Praxis leichter herstellbar sei als 
prismatische Form, und zweitens, weil bei ersterer die Rechnungen, 
bei der experimentellen Untersuchung notwendig werden, weit germgw 
und leichter als bei der letzteren Form sind. 

Durch diese Arbeit von Kelleu ist also nachgewiesen, daß Jou 
mit der Verwendung einer Bleikugel bei seinen Versuchen besser fuhr 
als KöNio und Richarz mit einem Parallelepipedon. 

Wie diese KELLERsche Arbeit, so zeigen auch noch einige spil 
Arbeiten den Zusammenhang des Problems der Maximalanziehung ntf 
dem physikalischen Problem. 1890 war es TrilESEN in seiner Arl 
DUermination de la Variation de la pesanteur avec la hauteur an pavi 
de Bretmil (Travaux et memoires du bnreau international di 
poids et mesures, 7). der in kurzen Zügen die Aufgabe behanilelt«, 
den Körper von gegebenem Volumen zu finden, in dessen Nähe li» 
Änderung der Anziehung ein Maximum ist. Es heißt in der genannta 
Abhandlung in der Anmerkung auf S. ^29: Seien r und <p die Pol 
koordinaten der erzeugenden Kurve des Rotationskörpers; Ci, Cj die beid' 
Abstände des angezogenen Punktes vom Koordinatenanfangspunkt; d 
von den Körperdimensionen abhängige Konstante, so wird man nach den 
Prinzipien der Variationsrechnung haben: 






= — 



' r C08 9 



L-^^ + 



«, — r cos tp 



Vf' -f «,' — 2r<, cos ip ^ V r' + «,' — 2re, cos 9 " 



Man erhält leicht folgende Spezialfälle: 



r, = e. 



y r' (1 — 3 cQg* y) -f- 4rg co« y — 2g* 

~ Vr'+«' — 2reco«9* ' 



f, = fj = 0, ö'r^ = 1 — 3 cos » 99; 



6 = 



r coB 9 



00, 



V'f*+ f,' — 2re, CO89 ' ' 
0, = dr* -f- coB tp. 



M^TmlwickelunK der ven)c)iiedenon Piobleme der itfucima der AnxiehuDg. 387 



I 



Dieser letzte Fall ist schon bekannt; es ist die Gleichung des Körpers 
größter Anziehung. — Die letzte Abhandlung zeigt auch zugleich, daß 
das Problem des Körpers größter Anziehung in bezug auf andere phjBika- 
lische Aufgaben von Bedeutung sein kann. 

Im Jahre 1891 erschien noch eine Schrift von dem schon oben 
genannten F. Kkllek, die den Titel führt: Vergleichende Übersieht der 
verschiedenen Mcssungsmvthoden der mittleren Dichtigkeit der Erde (Rom 
nnd Nürnberg 1891). Diese mir nicht zugängliche Abhandlung, die ver- 
mutlich 24 Seiten stark ist, enthält nichts auf unseren Gegenstand Bezüg- 
liches. Kki-ler veröffentlichte im folgenden Jahre, 1892, einen Nachtrag 
zu dieser Abhandlung unter dem Titel: Nachträgliches eti der Abhandlung: 
Vergleichetide Übersicht etc. (Rom und Nürnberg 1892). Diesen Nachtrag, 
der 11 Seiten (S. 25 — 35) umfaßt, habe ich selbst eingesehen und konsta- 
tiert, daß der zweite Teil (S. 30 — 35) sich auf das hier besprochene Gebiet 
erstreckt. Kkllkr knüpft zunächst an einen schon von ihm früher 
gegebenen Satz, den wir gleichfalls oben erwähnt haben, an, stellt dann 
kritische Betrachtungen über das von ihm sogenannte SAiNT-J.\cc}rK.S8che 
Prinzip an (das in Wirkliclikeit schon bei Bii.scovicil ausgesprochen ist) 
and berechnet zum Schluß die Maximalanziehung eines Kugelabschnittes 
auf einen Massenpunkt in dem Scheitel desselben. Die Arbeit ist einer- 
seits in ihrem zweiten Teile kritisierender Art, andererseits weist Khllkk 
auf die praktische Bedeutung seiner früher und an dieser Stelle berech- 
neten Resultate hin. 

Bemerkenswert ist, daß Kkm>:u in dem „Nachtrage'* als einziger die 
Frage in Betracht zieht, ob nicht auch ein Minimum oder auch mehrere 
Maxima eintreten können, Von den Einzelheiten des „Nachtrages" er- 
wähnen wir hier nur einen Satz, auf welchen wir im fcdgenden zn ver- 
weisen haben, nämlich: Wird die Masse eines Körpers bei gegebener 
Formgestaltung mit y und seine Anziehung auf einen Massenpunkt mit 
X bezeichnet, und sind außerdem noch h und r zwei veränderliche Para- 
meter, welche die Gestalt und das Volumen der anziehenden Masse näher 
Wtimmen, so hängt die Autlösung des Problems, in welcher Weise h und 
•■ zu bestimmen sind, um bei gegebenem Q die Maximalanziehung zu er- 
langen, von der einfachen Formel ab: 

8A' 8V bX 89 

8A ■ 8"r 8r ■ 8/«' 

Die nächsten Berechnungen von Maximalanziehungen rühren von 
A. Sella und N. Piekpaoh her. Die Veröffentlichung der Resultate 
ist in den Atti della reale accademia dei Lincei [RomaJ zu finden. 
Zunächst berechnete Sella in der Abhandlung SiiW aifrasione del corpo 

25» 




388 



KulCll H<IF7MAJR. 



dl masshna aitrasionc al secoiido polo (Rendiconti Ij : 1, 1892. S. 85fl 
— 356) <lie Anziehuno; des Körpers größter Anziehung für den z*eitai^ 
Pol. Er erhielt für dieselbe, wenn y die Anziehungskonstante, ö die 
Dichte bedeutet, 

worin das Integral ein eUiptiBches ist. Um dasselbe auf die Normalfora^ 
zu bringen, wendet er die Substitution an: 



und ßndet 



•wo 



, f— 1 + cos <P 

-f = 1 — V^ f^ 



cos ip 



Ä = "iiryöa 1 — 

I-V2 

I+V2 



arc OOB 



Af" J;!.- '')'<'- l, 

a 

8 + 5y2 



und Ä' = 



16 



Dies gibt, weiter ausgeführt: 

A = 2xayö [l — ~ —^— [(492 + 306 f2 ) V - 48 + 34 vf 
l 2T 3.5.7.9 •- ' '^ ' ' 

+ (30 — 66 v'2) F {d, q>) + 132 f2 E {d, (p)]^ 

wo d = 76» 3' 25,9"; <p = 80» 7' 14,6". 

Berechnet man jetzt die Anziehung auf den zweiten Pol zahlenmäB^ 
80 ergibt sich 

A = 23tyda X 0,39491 = 2,6321, 

während die Anziehung auf den Hauptpol Ay ^ 2,66604 ist. 
ersiebt man, daß die Anziehung auf den zweiten Pol nur um wenige? 
kleiner ist als die auf den Hanptpol. 

An diese Mitteilung schloß sich eine zweit« Arbeit von Selu 
A proposito deUa disctissiojie suUa forma piü opportuna da dar»i al w 
attraente neUa tnisura deUa densita media della Urrra e sul corpo di »«<«<«■ 
attrojiiotK ad un puncto (Rendiconti 2^ : 1, 1893, S. 90 — 96). In die 
Arbeit gibt er zunächst einleitend eine Übersicht über die Methoden 
Messung der mittleren Erddichte, sodann berechnet er die Maiin 
anziehung einer Kugelkalotte mit der Höhe h und dem GrundkreisradlJ 
Q auf das Zentrum der Basis. Er findet für die Anziehung 

^~ 3 (h-i-„y ' 

für das Volumen ^ = 21* (*' + 3 ?') 



Die Rutwickelung der Tersckiedenen I'robleme der Maximu der Anziehung. 889 

Also gibt die von Kekler in seiner letzten Abhandlung gegebene 
Igemeine Oleichang 



nie spezielle Bedingungsgleichuiig 

oder Ä= 3(i; It = , d. wenn </ der Durchmesser der Kugel ist. Daraus 

ergibt sich folgender einfache Sutz: ,,Iii dem Kugelalischnitte größter 
Anziehung mit dem angezogenen Punkt im Zentrum der Basis ist die 
Höhe dreimal ko groß wie der Ra(<isriidiubi odnr '■'/[{, voui Kugeldnrch- 
inesser''. Die Maximulau/.ielumg wird in diesem Falle: -I = 2,65603. Liegt 
der angezogene Punkt im Scheitel der Kalotte, so findet Sella analog: 

2 h' \ 

f7'/" 



feA = 2:tih o , 

Als Bedingungsgleich iing für das Maximum ergibt sich 

3A* — 24*^» — 9£.^ = 0. 



und daher 



'.'-'-+#i.>, 



'Woraus sich als Maximalanziehung einer Kugelkalotte auf den Scheitel 
ergibt A ^ 2,61733. Im Anschluß hieran gibt Sella eine Zusammen- 
stellung der ihm bekannten Muximalanziehungen. In dieser Tabelle folgt 
liinter dem Körper größter Any.iehnng, der an erster Stelle steht, sofort 
die von Sei.la tierechncte Muximalanziehimg einer Kugelkulotte luif den 
Mittelpunkt der Basis. — Da man es in der Praxis jedoch nicht mit dem 
Fall zu tun hat, daß ein Köri)er einen Massenpunkt anzieht, so setzt er 
in einem weitereu Abschnitte an Stelle des angezogenen Punktes eine 
Kugel vom Radius s und ermittelt die Abänderung der Lösung für den 
Körper größter Anziehung infolge dieser Bedingimg. Er kommt zu dem 
•Schlüsse, daß eine sehr starke Verminderung des Eö'ekts eintritt, weil in 
der Praxis der angezogene Körper aus verschiedenen Gründen nicht in 
■bimittelbarem Zusammenhang mit dem anziehenden Körper steht. 

Es folgen sodann einige Angaben über die Eigenschaften des Körpers 
größter Anziehung, von denen wir hier nur diejenigen hersetzen wollen, 
♦lie von SelLu\ neu berechnet und daher noch nicht erwähnt sind: Ab- 

Btand des Schwerpunktes vom Hauptpol ns a, Radius der Kugel von gleicher 



fhtmg: 



a. 



390 



Eku'ii HorrMANN. 



Zum Schluß gibt Seiaa noch eine Eigenschaft des Körper? größter 
Anziehung an, die sich in folgendem, auf elementare Weise bewiesenen 
Satze ausspricht: ,.Die längs der Achse des Körpers größter Anziehtuig 
erfolgende Anziehung eines Kegels, welcher den Hauptpol zur Spitze ond 
einen von beliebigem Umrisse begrenzten Teil der Oberfläche des Ki'irp«? 
größter Anziehung zur Basis hat, ist der Masse dieses Kegels proportional" 

Dieser Satz gilt für jedes Anziehungsgesetz und hat, wie auch Selu 
angibt, einige Ähnlichkeit mit dem oben erwähnten Satze von Keixex 
über das gerade Prisma. 

In demselben Jahre veröffentlichte N. PlERrAOU die ÄbhandJunjL'. 
Sul massimo d' attrazione di ima piramidr retta a base regoJare (Keniii 
conti «j:!, 1898, S. 130—136). Der Verfasser stellt sich darin mit 
seinen eigenen Worten folgende Frage: ..Dato il volume di una pir»miJe 
retta a base regolare o di un cono circolare retto, quäle der' eswre il 
rapporto fra 1' altezza ed il perimetro della base per avere sul verticc e 
sul centro della base il massimo d'attrazione?". 

Für die Berechnung der Anziehung einer Pyramide, resp. der Anziels ' : 
komponenten gibt es nach Pikrpaoli zwei Methoden. Entweder i' ■ 
man sich die Pyramide in unendlich viele Schichten parallel der Hi- 
geteilt, bestimmt die Anziehung einer solchen Schicht auf den betraohtetfu 
Punkt und berechnet dann mit Hilfe einer geeigneten Integration dir 
Anziehung der ganzen Pyramide, oder man befolgt die bekannte Methoii* 
der Partialpyramiden, die anwendbar ist bei der Bestimmung der Anziehung 
eines beliebigen Polyeders auf einen beliebig gelegenen Punkt. 

PlKRl'AOLl berechnet y.uniLchst. wenn H die Höhe, B. den Kadiu» 
der (Jrundfläche umschriebenen Kreises, w die Seitenanzahl der 

bedeutet und — = (p gesetzt wird, die Anziehimg einer Pyramide auf d« 

Zentrum der Basis und den Scheitel und findet dafür die Ausdrücke 






J„ = 2 i7 /;r - n arc tg "^^^\, 



Ab^ 



4 



^-ui^JT". {mog'+^ - ^^ log "'±^11!:+ ^+ Bf 



//•+Ji'coeVl 



COB (p 



VH' + ä« * i? \H'-\- R* — B' 



Desgleichen erhält er für m = oo die Anziehung eines geraden KreisKeg 
auf die Basis imd den Scheitel 



Br = 27rH\l — 



// 



.[ 



I ^W + E'f 



JiB^inj^^^in+B- 



H'+IP \' 



HR , I{'+H\n' + Ii'\ 

, 1 log .— ; • 



Die Entwickelong der renohiedenen Probleme der Mazima der Aniiebung. 391 

In der Torliegenden Note beBchäftigt sich Pierpaoli zunächst mit dem 
Maximum der Anziehung auf den Scheitel. A, läßt sich schreiben 



2K^ in — n arc tg , „ )• 



andererseits ist das Volumen der Pyramide gegeben durch 

TT 

F = 1^ n iZ' • ^ sin gs COS 9>. 

Aus diesen beiden Daten ergibt sich nach der KELLERschen Bedingungs- 
gleichung die Gleichung 

n — 2m arc tg ,-^Z- — 3m .-^-t ; . , = 0, 

TT 

wo aj ^ -g ist. In einer Tabelle werden die Lösungen dieser Gleichung 

für M = 3, 4, 5, 6, 8, 10, oo angegeben und die zugehörigen Werte der 
Attraktion mitgeteilt. 

An diese Arbeit N. Pierpaolis schloß sich eine gleiche Arbeit als 
Ergänzung im folgenden Jahre {Attraeione di una piramide retta a base 
regolare sul centro ddla base; Rendiconti 85:!, 1894, S. 173 — 176) 
an. Es wird auf Grund der soeben besprochenen Abhandlung, wo die 
Anziehung einer Pyramide auf das Zentrum der Basis berechnet ist, das 
Maximum dieser Anziehung gesucht. Die Bedingung, welche sich hier 
für das Maximum der Anziehung ergibt, ist bei weitem komplizierter als 
in dem vorhergehenden Falle. Zum Schlüsse werden die Formeln für 
einen Kegel spezialisiert, und wie in der vorhergehenden Arbeit berechnet 
der Verfasser die Wurzeln der Bedingungsgleichung für n = 3, 4, 5, 6, 
8, 10, 00 und vereinigt die Resultate in einer Tabelle, in der auch die 
Zahlen für die Größe der Anziehung abgedruckt sind. 

In demselben Jahre erschien eine weitere in dieses Gebiet gehörige 
Arbeit von Sella: Ancora suUa forma dd corpo attraente neUa misura 
deUa densita media della terra e sul corpo di massima attraeione a due 
putiH (Rendiconti Sj : 1, 1894, S. 436 — 442). In seiner früheren Arbeit 
hatte der Verfasser die Methoden zur Messung der mittleren Dichtigkeit 
der Erde in zwei Gruppen eingeteilt, in solche Methoden, bei denen die 
Kenntnis der Anziehung eines Körpers auf einen Punkt notwendig ist 
(Cavendish, Baily, Reich, Cornu, Wilsing, Laska, Jolly, Poynting, 
Mayer), und in solche Methoden, bei denen es sich um einen anziehenden 
Körper und zwei angezogene Punkte handelt (Keller, König und Richarz). 
An der dortigen Stelle hatte dann Sella denjenigen Körper (Kugelkalotte) 
berechnet, der für die erste Methode am günstigsten ist. In dieser zweiten 



392 



Gnim HoFFMAi™. 



Arbeit sucht er den Körper größter Anziehung auf zwei Punkte. 
Form desselben hängt von zwei Parametern ah, nämlich dem Abstände 
der beiden angezogeneu Punkte und dem Volumen V der gegebenen Masse' 
Als Anziehung auf beide Punkte durch den gesuchten Körper, der wie 
der Körper größter Anziehung auf einen Punkt ein Rotationskörper ist^ 
ergibt sich , ^^ 

2;r|'(2- , " + ' 
J V V(a+«)*H 



A = 



• + »' V(a-«)' + y^ 



dx. 



als Volumen 






Soll Ä ein Maximum werden^ während V konstant bleibt, so muß seö 

+ a 

0= ä{A — iiiV) = 8 I Fdx, 



woraus nach der bekannten Methode der Variationsrechnung folgt 
0, Fia) + F(~a-)+\l^dx = 0, 



8F 



oder 



und 



a-\- X 



r 



I t _ 



+ 



+ 



[(a-xy + y-q 

y' 



i 



/'. 



\dx = 2. 



Eweiie 
tranMl 

AJal 
i An«^ 



ij [(« + x)« + y']i [(a_a-)»+y']tl 

Die erste dieser fHeichungen, in der /( eine willkürliche Größe ist, ist dii 
unaufgelöste Gleichung der Meridiankurve des Körpers. Die zweite 
Gleichung dagegen ist eine Grenzgleichung. Man kann sie so 
formieren, daß sie eine sehr leichte und wichtige Auslegung zuläßt 
Endziel dieser Umformung gilt der Satz: „Die Summe der zwei 
Ziehungen längs der Achse in dem Körper größter Anziehung auf zwei 
Punkte ist dieselbe, als wenn die dreifache Masse des Körpers in beliebiger 
Weise auf der Obertiäche verteilt wäre". Desgleichen leitet Selia noch 
folgenden Satz ab: ,,Die Summe der Verhältnisse aus der Anziehung 
längs der Achse und dem Volumen von zwei Kegeln, die zur Basis ein 
und dasselbe unendlich kleine Oberflnchenelement und zum Scheitel die 
zwei angezogenen funkte haben, ist konstant imd zwar gleich der drei- 
fachen Summe der beiden Anziehungen, die eine Masse 1, in irgend einem 
beliebigen Punkte der OberHäohe gelegt-n, .luaübt". Dieser Satz hat Ähn- 
lichkeit mit dem entsjjrechenden für den Körper größter Anziehung auf 




Die Entwickelunp der yerschiedenen Probleme der Maxima der AnziehnnK. 393 

«inen Punkt. Sodann wird die Maximalanziehiuig des Körpers auf die 

leiden l'unkte Ijerechnet, und es ergibt sich für jeden der beiden Punkte: 

A == 2, 66576 — f wo f < 0, 001763, 

"Woraus man ersieht, daß die Anziehuuc; auf jeden einzehien Punkt nur 
"Um wenig kleiner ist als die Anziehung des Körpers größter Anziehung 
auf einen Punkt. 

Der letzte AbBchnitt der Arbeit beschäftigt sich damit, für einen 
Körper von gegebenem Formtypiis die Maximabm/.iehung auf zwei Punkte 
zu berechnen. Sella nimmt zu iliesem Zweck die Kugelkidotte an und 
sacht das Maximum der Anziehung der Punkte, die sich im Scheitel und 
im Zentrum der Basis befinden. Er stellt die Ausdrücke für diese Summe 
-A., für das Volumen V auf und leitet die Kedingungsjileiclimig ab. Aus 
letzterer bestimutt er das Verhältnis von der Ilühe zum (iruudkreis- 
radius als 

^ = 2, 76085 

ond ündet als Anziehung für jeden einzelnen Punkt 

2 =2,62992. 

Wir haben noch einer Aldiiiudluug von Seij^A zu gedenken, nämlich: 
Sni r.orj)i di massitiia atlra^ione (Reudiconti 85:2, 1894, S. 47 — 53). 
Als Einleitung werden einige Sätze angegeben, die xur einfacheren 11er- 
leitung der bisher gefimdenen Resultate dienen: 

1. Die Anziehung eines beliebigen Kegels (und ebenso einer 
Pyramide) auf die Spitze ist gleich derjeuigeu der Basis, auf welcher 
eine Masse gleich der 3-fachen des Kegels gleichförmig ausgoiircitet ist. 

2. Die Anziehung eines einer Kugel umschriebenen l'oljeders 
auf das Zentrum der Kugel ist gleich der Anziehung der OberHäche 
des Polyeders, auf welcher eine Masse gleich der 3-facheu Masse des 
Polyeders gleichförmig verteilt ist. 

3. Die Anziehung eines beliebigen Kegels, der zur Basis eine 
Kugelkappe mit Scheitel im Zentrum hat, auf diesen Scheitel ist 
gleich der Anziehung, die die Kugelkappe ausübt, wenn auf ihr eine 
Masse von der 3-fachen Masse des Kegels gleichmäßig verteilt ist. 

4. Die Anziehung eines „anello cilindroconico" (d. h. eines 
Körpers, der begrenzt ist von einem Kreiszylinder und einem Kegel, 
der zum Scheitel das Zentrum einer Grundfläche und zur Basis die 
gegenüberliegende (irundfläche des Zylinders hat) auf den Scheitel 
dieses Kegels ist gleich der Anziehung des Zylindermantels, wenn 



394 



IChk'ii Huk^'maxn. 



auf demselben eine Masse von der 3-fschen Masse des Ringes gleich 
mäßig verteilt ist. 

5. Die Anziehung eines beliebigen Kegels, der zur Basis ein« 
Fläche konstanter Anziehung längs einer gegebenen Richtung bt, 
auf den Scheitel und längs dieser Richtung ist gleich der AnziehtmK 
der Basis, wenn auf derselben eine Masse gleich der 3-fachen Mass« 
des Kegels gleichmäßig verteilt ist. 

Nach Aufstellung dieser Sätze wendet sich Seu^ dem Körper größter 
Anziehung zu. Seien die Dimensionen einer Anziehung und eines Körpers 
gegeben durch 



dann wird notwendig sein 



yJ = dr+ 



wo ö eine numerische Funktion des Parameters (Länge) ist, welcher den 
Körper bestimmt. Das Problem, den Körper größter Anziehung zu finden, 
ist somit zurückgeführt auf die Aufgabe das Maximum der Funktion 



'=7i 



zu suchen. 



Daher wird die Variation von ö = sein müssen oder auch 



dv 






Diese Beziehung als Bedingung des Maximums gilt ganz allgemein. 

Nnch dem Körper größter Anziehung auf einen Punkt wird der »^ 
2 I'unkte behandelt. Für diesen ergibt sich 



= /< = const. 



In die obige Beziehung eingesetzt, gibt dies 

A = 3nv 

Dieser Satz war schon in einer frühereu Abhandlung von Sella auf ' 
ständlichere Weise als hier abgeleitet worden. 

Nach diesen Untersuchungen wendet er sich Körpern von be8timmt«m 
Formtypus zu. Auch hier wird die allgemeine Bedingung zur Anwendung 
gebracht und die schon in den früheren Arbeiten gefundenen Restiltate 
auf einfacherem Wege bestätigt. Unter anderem erhält er den Satz: „Die 
Anziehung einer Pyramide mit regelmäßiger Basis auf ihre Spitze ist ein 
Größtes, wenn sie der Anziehung einer 9 mal so großen Masse gleich ist, 
die gleichmäßig auf dem Umfange der Basis verteilt ist". Ans 



Die Eatwickelung der verschiedeneo Probleme der Maxinu» der Anziehung. 395 



Satze leitet er sofort auf kurzem Wege die Bchon von PlERPAOLi ge- 
I gebenen Bcdinguugsgleiehiuigen für die Pyramide ab. 

I Wir haben nun noch zwei auf unseren Gegenstand bezügliche Arbeiten 

fvon A. Ragnoli und E. Laau'E zu besprechen. Die erste führt den 
fTitel: Sui corpi di massima attrazione (Spoleto 1895, 22 S. gr. 8") und 
knüpft direkt an die schon von Sei.i.a gefundenen Sätze an. Ragnoli 
■will die von Sei.,i.a hauptsilchlich in der letztbesprochenen Abhandlung 
jgegebenen Sätze auf weitere Beispiele anwenden. Zunächst wird die 
ißedingnng für die Maximalanziehung berechnet für einen „aneUo conico**, 
^as ist für einen von zwei Kegeln mit gleicher Höhe, aber verschiedenen 
■Crrundkreisen begrenzten Körper. Der angezogene Punkt liegt im Scheitel 
i^er KegeL Als Bedingung für das Maximum ergibt sich 

I. A _ 9»'/i,-y. 

f K „»— 1 ' 

wo /<i und fii die Anziehung der auf <len Kreisen Hili'i, i^j.B'j ver- 
teilten Masseneinheit bedeuten. — Sodann wird die Bedingung aufgestellt 
für einen „anello cilindrico", den Körper zwischen zwei koaxialen Zylindern: 






A 

V 



n'—l 



falls ^1 als variabel aufgefaüt wird. Niunut itiau dagegen h als variabel, 
Qi als fest an, so hat man die Bedingung 

A A. 

V = v: 

fw-orin A^ und K| Anziehung und Volumen des „imello conico", ausdrücken, 
'Welcher entsteht, wenn man den ungezogenen Punkt mit der Peripherie 
der Basis verbindet. — Als nächstes Beispiel wird die Bedingung für das 
«Maximum der Anziehung des „anello cilindro-sferico" aufgestellt; daran 
teiht sich der „anello eonosferico", für den sich als Bedingung ergibt 



i 



9fiV. 



odann wird die Bedingung für eine Masimalanziehung aufgestellt für 
irien Restkörper, den niiin erhält, wenn man durch eine Kugel einen geraden 
Zylinder legt. Die Bedingung ist 

I A = Sn V. 

I Weiterhin wird die Bedingung für ein quadratisches Prisma mit aufgesetzter 
quadratischer Pyramide berechnet. Als Bedingung folgt 

A A, 



396 



Rrii'ii Hokfmaxm. 



wo Ai und Vi die Anziehung und das Volumen der Pvramide hedeutm, 
welche entsteht, wenn niiin den angezogenen Punkt mit dem Umfange der 
entgegengesetzten Basis des Prismas verbindet. 

Nachdem so allgemein die Bedingongen aufgestellt sind, folgt, is 
einem weiteren Abschnitte die numerische Berechnung dieser Maiimal- 
anziehungen. An dieselbe schließt sich ohne Benutzung der SELUso-hen 
Sätze die Berechnung der Maximalanziehung, die der Rotationskörper ai»- 
übt auf den Pol, wenn sich eine halbe Lemniskat« um ihre Achse drrht 
Zum Schlüsse der Arbeit findet sich eine für den damaligen Stand d« 
Problems vollständige Zusammenstellung der 26 berechneten Körper mil 
Maximalanziehung. 

Die letzte Arbeit, welche uns über das Problem des Körpers pSBtw 
Anziehung vorliegt, ist die von E. Lampe in den Verhandlungen der Ber- 
liner Physikalischen Gesellschaft (15, 1896, S. 84—100) lierau»- 
gegebene Abhandlung: Über Körper grö&ter Anziehung. Nach einer 
kurzen geschichtlichen Einleitung zeigt der Verfasser zunächst, daß ni»D, 
ausgehend von der (ileiciiung 

r = a -\- i cos "95 

der Meridiankurve eines Rot^ationskörpers, durch Variation von m eine 
unendliche Anzahl von Körpern finden kann, deren Anziehung und Gest»!^ 
sich der Anziehung und Gestalt des Körpers größter Anziehung immer 

mehr und mehr nähert. Für n = - , « = erhält man den Körp« 

größter Anziehung mit der Anziehung 2. 666042. Ein zweiter Abschnitt 
bringt sodann die Berechnung der Maxinialiinziehung für einige Rotatiunf- 
körper, bei denen sich die Frage nach dem Maximum der Anziehung ohn»! 
bedeutende rechnerische Schwierigkeiten lösen läßt. Ein Anhang zu diee«r] 
Abhandlung weist noch auf eine besondere Art von Maximalaufgaben hin 
Es sind dies die Aufgaben, bei denen es sich darum handelt, gegebene 
Körpern andere einzubeschreiben, welche auf gewisse Punkte ein Maximum 
der Anzieltung ausüben. Es werden die beiden folgenden Aufgaben dies<^H 
Art behandelt. ^^ 

1. Einer Kugel denjenigen Zylinder einzuschreiben, der auf d^^ 
Mittelpunkt seiner Basis die größte Anziehung ausübt. ^M 

2. Einer gegebenen Kugel den Kreiskegel von größter Anziehung 
auf die Spitze einzubeschreiben. ^_ 



Aus der vorangehenden Darstelhmg dürfte ersichtlich sein, daß die 
eigentlichen Untersuchungen über den Körper größter Anziehung gewisse« 
maßen mit der Arbeit von T'i.avkaik abgeschlossen sind. Von da 



Die Entwicklung der verschiedenen Probleme der Maxima der Anziehang. 397 

• 

sehen wir, hauptsächlicli durch die Arbeiten von Keller inaugariert, das 
bis zur letzten Arbeit fortdauernde Bestreben entstehen, die Maximal- 
anziehung für gegebene Körperformen zu bestimmen. Es ist zwar bisher 
eine ganze Anzahl derartiger Beispiele berechnet, jedoch bleibt dabei noch 
eine große Menge von Körpern übrig, die keine Bearbeitung bisher ge- 
fanden haben. Teils könnten hierbei schon die für gewisse Fälle auf- 
gestellten Formeln für das Potential oder die Anziehung gewisser Körper 
benutzt werden, teils müßten dieselben neu berechnet werden. Aus dem 
dann vorliegenden Zahlenmaterial könnten sich dann immerhin allgemeinere 
Gesetze, die ja das Ziel aller Forschung sind, ergeben, wie wir das beste 
Seispiel bisher schon an den von Sella gefundenen allgemeinen Sätzen 
haben. Andererseits kann man auch hier das Prinzip der Inhomogeneität 
der zu untersuchenden Körper annehmen, wobei man allerdings zu kom- 
plizierten Rechnungen kommt, sowie auch die von Lampe in seiner letzten 
Arbeit gegebenen Hinweise auf Maiimalanziehungen von Körpern, die 
anderen einbeschrieben sind, weiterhin verfolgen. 



398 



(i. Kne»tröh. 



Ein neues literarisches Hilfsmittel zur Verbreitung 
mathematisch-historischer Kenntnisse. 



Von G. Eneström in Stockholm. 



„t«-. " 



Die Hauptaufgabe dor miithemntisdi-historischen Forschung ist natür- 
lich, (Ins ibr atigcbörende (jtOjiet vollntäudig rhirchzuarbeiten ; indessen ist 
es auch von Interesse, daß die Errungenschafton dieser Arbeit, die ge- 
wöhnlich in Zeitf-chriftcnartikel und Monograjihien zu finden sind, nicht 
nur den eigentlicheu Fachgenossen leichter zugänglich, sondern wenigstens 
zum Teil den übrigen Mathematikern bekannt gemacht werden. Das ers' 
wird erreicht durch zusammenfassende DarsteUungen der Geschichte dest 
ganzen Mathematik oder größerer Abteilungen derselben, und solche Dar 
Stellungen tragen noch dazu bei, matliematisch-hititorische Kenntnisse unter 
die Mathematiker zu verbreiten. Viel größer wird indessen der Erfolg, 
wenn eine erhebliche Anzahl von historischen Notizen in mathematisch- 
encyklopädischo Arbeiten eingefügt wird, und in dieser Hinsicht hat die 
seit einigen Jahren erscheinende Euq/klopädic dir nmthetnatischen Wissen- 
schaften recht gute Dienste geleistet; noch weit mehr hat man voraus- 
sichtlich von der kürzlich in Angriff genommenen französischen Bearbeitung 
dieser Encyklopüdie zu erwarten, denn ist es erlaubt, das soeben er- 
schienene erste Heft') dieser Bearbeitung als maßgebend filr das ganze 
Unternehmen zu betrachten, so wird die Geschichte daselbst auf eine ganz 



i 



1) Enci/chpedie des tcitnces mathematiquet pure» et appliquee». Piibtiee $ous let 
auspices des academies des sciences de Göttingue, de Leiptig, de Munich et de Vüh\ 
ai'ec la collabointion de nombreux aarants. Edition franfiii.ie redigee et publiee d'apri 
rhtitinn allemande soun la direction de Jclek Molk. Tome I, volume 1, fascicule 1. 
F»riB, Gauthier-Villars; Leipiig, Teubner 1904. 8«, 160 S. Das Heft enthält: Principe» 
fondamentoux de raritbmetique. Kxpos^, d'aprfes Tartiele allemand de H. ScmnKRT, par 
J. Tasnuiiy et J. .M')LK (S. 1 — 62). Analvse coiubinatoirc et th^orie des detenninaota. 
ExpoBi!, d'apri'8 l'article allemand de E. Nktto, par H. Vo(it (S. 63 — 132). Nombree 
irrationeU et ootion de limite. Expose, d'apr^s l'article allemand de A. Pkuosbuii, 
par J. Molk (S. 133—160, nur Anfang). 



r»! 




Ein neues literar. HilfBiuittel z. Verbreitung mathematisch-hiBtorigchcr Kenutnisae. 399 



besondere Weise Berücksichtigung finden. Darauf deutet schon die wesent- 
lich vergrößerte Zahl der Fußnoten hin, denn diese enthalten hauptsächlich 
historische und bibliographische Notizen; gegen heinahe 600 Fußnoten in 

■ der französischen Bearbeitimg hat der entsprechende Teil des deutschen 
Originals weniger als 300 solcher Fußnoten aufzuweisen. Auch im Text 
selbst bringt die französische Bearbeitung viele historische Zusätze, z. B. 
S. 10 — 21 eine Übersicht der Geschichte der Zahlzeichen und Zahlen- 
systeme im Altertum und Mittelalter. 

Untersucht man näher, was in der französischen Bearbeitung neu 
hinzugekommen ist, so findet mtin, daß sich die Ergänzungen wesentlich 
auf die ältere Mathematik beziehen, die im ersten Heft des deutschen 
Originals ziemlich stiefmütterlich behandelt war. Aber nicht nur quanti- 
tativ sondern auch qualitativ bezeichnet die französische Bearbeitung einen 
wirklichen Fortachritt in betreff der Behandlung der Geschichte der Mathe- 
matik. Im deutschen Original waren, abgesehen von dem neunzehnten 
Jahrhundert, die historischea Notizen nur ausnahmsweise aus den (juellen- 
sehrifteu entnommen, mid in vielen FäJleu war es leicht zu konstatieren, 
daß sie nicht von einem Fachmanne herrühren konnten ; in der französischen 
Bearbeitung ist dagegen die ältere mathematische Literatur ausgiebig be- 
nutzt, und auch wenn man nicht hie und da den Zusatz: „Note ms. de 
P. Tajjneky" fände, würde es jedem sachkundigen offenbar sein, daß Herr 
JlTiES Molk hinsichtlich der historischen Notizen einen Spezialisten auf 
«Üesem Gebiete als Mitarbeiter gehabt hat. Als Beleg erlaube ich mir den 
^hluß der Fußnote 13 auf Seite 136 zu zitieren: „Les termes employes 
X)ar le scholiaste d'EufLiDE [Opera, ed. .1. L. llKiHEKfJ 5, Leipzig 1888, 
f). 414] semblent indiquer qu'Ai'OLMtxiirs «vait decrit certaines des formes, 
«n nombre illimite', qui s'engendrent par la seule addition de plusieurs 
Tadicaux simples, et qui peuvent, par suite, etre representees par des con- 

■ structions au moyen de la regle et du compas"; freilich ist schon früher 
auf das erwähnte Schnlium aufmerksam gemacht worden (vgl. Ai'OU-OMi 
Opera, ed. .). L. Hkihekg 2, Leipzig 1893, S. 119 — 120; G. Lokia, Le 
scienee esatte neW antica Grecia 2, Modena 1895, S. 198), aber sicherlich 
würde nur ein Kenner der griechischen Mathematik sich vorgenommen 
haben, aus demselben die oben zitierte Folgerung zu ziehen. 

Aber nicht nur die Zusätze sondern auch die Streichungen weisen 
auf einen sachkundigen Mitarbeiter hin; so z. B. fehlt in der französischen 
Bearbeitung S. 31 der an entsprechender Stelle (S. 9] des Originals vor- 
kommende Verweis auf den, meiner Ansicht nach durchaus werllosen, 
Artikel von P. DK Laqakde, Woher stammt das x der Mathematiker? 
(1882; vgl. Biblioth. Mathem. 1885, 8p. 41—44). Als ein Verdienst 
der Arbeit betrachte ich es auch, daß besondere Aufmerksamkeit den 



I 



400 



6. EnertbQm. 



biographischen') und bibliographischen') Detuils gewidmet worden ist: JO 
z. B. Bind, ganz wie im deutschen Original, die Initialen der Vomameo der 
zitierten Verfasser gewissenhaft angegeben. Dieser letzte Umstand mag vielen 
Lesern ziemlich bedeutungslos erscheinen, aber in Wirklichkeit ist die Sache 
nicht ganz ohne Belang'), und bisweilen kann die Ermittelung solcher Initialen 
umfassende Nachforschungen erfordern; beispielsweise habe ich vor ein paar 
Jahren die Auskunft in betreff des Mathematikers BvtE, die S. 36 gegeben 
wird, vergebens in den mir zugünglichen Handbüchern gesucht. 

Aus dem Gesagten geht hervor, daß ich den historischen Notizen 
der französischen Bearbeitung der Encyklopädie der mathematisclien 
Wissenschaften einen hohen Grad von Zuverlässigkeit zuerkennen möchte. 
Freilich hätte ich gern gesehen, daß diese Notizen in einigen Füllen noch 
vollständiger wären, aber ich verstehe sehr gut, wie schwierig es sein 
muß, überall eine gleichmäßige Ausführlichkeit zu erzielen. Die besonderen 
Mitarbeiter köimen oder wollen nicht dabei behilflich sein, von dem 
Herausgeber kann man nicht fordern, daß er auf allen Gebieten zn Hanse 
ist, und von anderen Fachgenossen Hufe zu bekommen, wird sieh oft 
unmöglich erweisen. 

Dagegen scheint es mir, als ob es m(>glich wäre, in betreff 
historischen Notizen zu einem noch höheren Grad von Zuverlässigkeit i« 
gelangen. Zuerst erlaube ich mir darauf aufmerksam zu machen, daß * 
ja der Zweck der Encyklopädie ist, die gesicherten Resultate der bisherigai 
mathematischen Forschung mitzuteilen, und unter die mathematisch* 
Forschung darf wohl auch die matbematisch-historische inbegriffen werden. 
Aus diesem Grunde wäre es vielleicht angezeigt, nnr ausnahmsweise j?»n» 
neue Konjektiiren aufzuführen, z. B. die S. 138 ausgesprochene Yermutun] 
daß Lkonabdo Pisaxo von einem byzantinischen Mathematiker mimdlic 
Auskunft über das 10. Buch der Eleminta bekommen hatte. Solche 
ähnliche Konjekturen passen sehr gut für einen mathematisch-historiBch 



\ 



1) Ein wenig befremdend ist es den Vonismen des Italieners Lttci P*v 
eberall (z. B. S. 18, 24, 31, 54, 139) unter der Form „Luc" geschrieben eu sehen" 
Daß Heihbjch Oldesbibh S. 84 „Oldcnbourg" genannt wird, ist wohl nur ein Ub«^ 
sehen, denn C. F. HtxtiKHBi-BO wird S. 63 mit unverändertem Namen aufgeführt. 

2) Unnötig echeint es mir bei den Verweisen auf Seritti di Lf>>nabu<> Pis*xr.> 
Soiteniahl nicht nur der BuMoMfAiiNiechen Ausgabe, sondern auch des ron ihm 
gedruckteu Manuskriptes aniugebeu (vgl. z. B. S. 27). Bekanntlich sind auAer die 
Manuskripte noch viele andere sowohl der lAbcr abbaci als der Practica 
aufbewahrt. 

3} Beispielsweise hat der l'mstauil, >luB von den zwei Brüdern Frjui^j 
Initialen der A'nmamen des einen unbekannt sind, dazu veranlafit, daß Schriften, die 
dem einen Bruder augehören, dem anderen beigelegt worden lind (vgl. Biblioth. 
Mathem. h, 1903, S. 212. 291-292J. 




Ein nenes liteiu. Hilfsmittel z. Verbreitnng mathematisch-hiBtorisoher Kenntnisse. 401 

Spezialartikel, aber kaum für eine Encyklopädie der Mathematik; wenn 
die Konjektur als unrichtig erwiesen werden kann (vgl. Biblioth. 
Mathem. 5s, 1904, S. 414 — 415), so bekommt die Encyklopädie unnötiger- 
weise eine unzuTerMssige Angabe. 

Ebenso scheint es mir wünschenswert, daß schwebende Angaben, 
für welche Belege kaum gegeben werden können, wenn irgend möglich 
Termieden werden. Eine solche Angabe findet sich S. 28, wo bemerkt 
wird, daß „depnis L. Euler, le sjmbolisme arithm^tiqne est rest^ ä peu 
pres le meme". Im deutschen Original lautet die Bemerkung (S. 5): 
„Erst durch L. Eüleh hat die arithmetische Zeichensprache die heutige 
feste Gestalt bekommen'', und diese Bemerkung halte ich für bestimmt 
unrichtig; in der Tat war gerade die arithmetische Zeichensprache schon 
vor EuLEB so weit ausgebildet, daß sehr wenig noch zu tun war. Man 
vergleiche z. B. den ersten Teil der im Jahre 1708 erschienenen Analyse 
demontree von Charles Beyneäu mit einer ähnlichen Arbeit aus dem 
Ende des 18. Jahrhunderts, und man wird kaum wesentliche Verschieden- 
heiten in betreff der Zeichensprache entdecken. Ich gebe zu, daß die 
französische Bearbeitung gewissermaßen eine Verbesserung des Originals 
bringt, aber nichtdestoweniger möchte ich den ganzen Passus streichen. 
Endlich erlaube ich mir zu bemerken, daß die historischen Notizen 
leicht unzuverlässig oder wenigstens irreleitend werden können, wenn der 
Mitarbeiter oder der Herausgeber einen einzelnen älteren Mathematiker 
mit außerordentlicher Vorliebe studiert hat. Ein solcher Fall liegt, so viel 
ich sehen kann, in betreff der französischen Bearbeitung vor, und zwar ist 
der fragliche Mathematiker FBAKgois Viete. Schon S. 23 fällt die 
folgende Angabe auf: „Depnis Viete jusqu'ä Leibniz on rencontre le signe 
d'egalite 30", aber hier Tcann ja Viete ein Schreibfehler für Descartes sein. 
Etwas weiter unten trifft man S. 54 die Behauptung, daß die von 
P. Herioone (1634) benutzte Bezeichnung a2, a3, a4 etc. „n'est employe 
par HiauGONE qu'en se conformant au principe de F. Viete, pour qui 
one lettre d^signe une grandeur geom^trique d'une, deux ou trois dimen- 
sions'', aber ich sehe gar nicht ein, warum man die HäiUGONEsche Be- 
zeichnung gerade als eine Anpassung an die des Viete betrachten soll 
— man könnte wenigstens ebensogut Stevin oder Bombelli statt Viete 
setzen. Noch weniger verstehe ich, warum das erwähnte Prinzip des Viete 
hier herangezogen wird, denn die Bezeichnung „A planum" bei Viete geht 
ja von einem ganz anderen Prinzip aus, als die entsprechende Bezeichnung 
,/i2" bei HiiRiaONE; „planum" bei Viete gibt an, daß A eine zwei- 
dimensionale Ghröße ist, aber „2" bei Herigone bedeutet natürlich gar 
nicht, daß a als eine zweidimensionale Größe aufgefaßt werden soU. Ein 
wenig parteiisch zugunsten des Viete scheint mir auch die Darstellung 
UblUrtbaea MatlieiuUoa. m. Folge. T. 26 



G. EtKBrmftM 



in»-" 



Seite 140 — 141. Hier wird behauptet, daß „c'est F. ViKTK qui nons a 
appris ä calculer avec des lettres repr^sentant des grandeors, «ans perdn 
la trace des letires, en faisant asage d'iin svmbolisme sp^al perme 
d'effectaer les Operations bot les lettres". Aber bekanntlich hat M. Sri) 
schon 1553 die Zeichen \A, IAA, lAAA, \AAAA etc.; lÄ \hB' 
lliBB, \BBBB etc.; IC, ICC, 1 CCC, \CCCC etc. angewendet, 
Größen und ihre Potenzen zu repräsentieren; freilich hat Stifel seil 
Bezeichnungen auf unbekannte Größen beschränkt, aber aaf der «nd« 
Seite ist seine Zeichensprache handlicher als die des VifexE. Ganz in»-" 
leitend scheint mir die Bemerkung S. 141: „Ajant fait se correspnnilrc 
one lettre a et une longueur determtnee, il Ini [= Vietk] aemblait 
naturel de faire aussi se correspondre a.a et le carre, A.A.A et le cobe 
construit sur cette longueur"; maß man nicht durch diese Bemerk 
verleitet werden anzunehmen, daß Vikte wirklich die Bezeichnungen A.J 
nnd A.A.A benutzt, besonders wenn man die Bemerkung in ihrem Zfl 
sammenhange liest? Zwar wird S. 23 (Fußnote 125) ein Beispiel ein 
Bezeichnungen bei Vit'iTK gegeben, aber mim kann kaum vorauss 
daß jeder Leser des Textes alle früheren Fußnoten studiert hat. 

Die Maßregeln, die meines Erachtens in erster Linie ergriffen we 
sollen, um die historischen Notizen der folgenden Hefte der EncydofiSt^ 
des Sciences mathcmatiques noch zuverlässiger zu machen, sind also: 

1. Vermeidung von Konjekturen, besonders wenn sie sich «nf 
solche Punkte der Geschichte der Mathematik beziehen, dieohiM 
üngelegenheit übergangen werden können; 

2. Vermeidung von unbestimmten Angaben, die entweder 
leitend oder im günstigsten Falle nichtssagend sind; 

3. große Vorsicht in bezug auf Prioritätsfragen, wenn es s 
um solche Mathematiker handelt, die der Bearbeiter oder 
Herausgeber besonders studiert hat. 

Indessen, wie umfassend die Maßregeln auch sein mögen, die nun ' 
ergreift, um die historischen Notizen zuverlässig zu machen, so kann nma 
nie alle üngenauigkeiten oder Unvollständigkeiten vermeiden. Teils hat 
man für die meisten mathematischen Theorien noch keine zusammen- 
fassenden Darstellungen der neuesten Errungenschaften der mathematisch- 
historischen Forschung, und weder den besonderen Mitarbeitern noch dem 
Herausgeber kann die ganze mathematisch-historische Literatur bek 
und zugänglich sein; teils ist es fast sicher, daß während des Dnid 
eines einzelnen Heftes oder bald nach dessen Erscheinen gewisse da 
vorkommende historische Notizen durch neue Forschungen modifizil 
oder ergänzt werden müssen. Es wäre darum sehr nützlich, wenn etwi 
Üngenauigkeiten oder Unvollständigkeiten der historischen Notizen aU 



I naneg literar. HilfsmiUel z. Verbreitung mathematigch-hiiitoriBcher Kenntniago. 403 



nachträglich verbessert werden kannten. Für einen ühnlichen Zweck haben 

die Herausgeber des deutschen Originals im Archiv der Mathematik 

und Physik einen „Sprechsaal" begründet, aber freilich oline besonders 

großen Erfolg. Dies beruht meiner Ansicht nach teils darauf, daß sich 

der „Sprechsaal" in einer Zeitschrift findet, die eigentlich nichts mit der 

Encyklopädie zu schaffen hat, teils darauf, daß es sehr schwierig ist aus- 

ifindig zu machen, ob die schon veröffentlichten Bemerkungen eine gewisse 

iBerichligung enthalten oder nicht. Wenn ich z. B. auf Seite 100 des 

lersten Bandes eine Ungenauigkeit gefunden habe, und wenn ich wissen 

ill, ob diese schon im Archiv verbessert worden ist, so muß ich für 

ieeen Zweck nacheinander die Stellen des Archivs aufsuchen, wo 

eiträge zum „Sprechsaal" eingeführt worden sind, und es ist möglich, daß 

ch alle diese Stellen durchsehen muß, bevor it^h den erwünschten Auf- 

ichluß bekomme. 

Damit die zwei soeben hervorgehobenen Ubelstände vermieden werden, 
erlaube ich mir vur/uschlagen, teils daß die nucbtriiglichen Verbesserungen 
der Encyclopvdie drs sciences matlumutiques in einem Korrespondenzblatt 
veröffentlicht werden, dessen einzelne Nummer der Hefte der Encyklopädie 
angehängt sind, teils daß in jedem neuen Anhang auf die schon publizierten 
Bemerkungen verwiesen wird, etwa wie ich in der Bibliotheca Mathe- 
matica hinsii'btiicb der kleinen Bemerkungen zu den CvNTOKschen Vor- 
lesungen verfuhren bin. Selbstverständlich sollen, wenn ein Band der 
Encyrloprdie fertig wird, alle diesem Bfinde angehörenden Verbesserungen 
am Ende zusammengestellt werden. 

Um sofort einen kleinen Beitrag zu dem vorgeschlagenen Korrespon- 
denzblatt zu bieten, füge ich hier einige Bemerkungen hinzu, die sich auf 
die historischen Notizen des ersten Heftes der Encyclopvdie des sciaices 
mathimatiques beziehen. 

S. 17. Die erate Auflage der Arithmetik des Je-in Tkenciunt orachien 1558 
(vrI. Biblioth. Mathom. 23, 1901, S. 356). 

S. 18. Der Fußnote 95) zitierte Algoriamua in tnnzöBischer Sprache iat wesentlich 
nur eine (-""bersetzung gewisser Stücke de» Carmen de ah/orismo (im Original lautet 
die zitierte Stelle: „dooec ad extremam veniaa, quoe cifra vocatur"); ala Verfasser des 
Camic» wird gewöhnlich Ai.kxaxukii hk Vim.a Dei genannt (vgl. Hibliotb. Mathem. 63, 
3004, S. 409 — 410). Dieser frauzösiscbe Algorismua ist übrigens ein anderer, als die 

El. 10 (Fußnote 47) zitierte kloine Schrift. 
S. 18. Schon etwa gleichzeitig mit dem Wort „ciiculua" tritt das Wort „ciphra" 
m Abcndlaude auf. Diese Benennung ftir Null (oder viclmolir Hie Form ciphre?) 
Itomiiit niimlich in einer AlgorismuB-Schrift vor, die aus der Mitte des 12. .Inhi'hnnderts 
herrührt (siehe M. Cibtzis, Über eine Alrinrisnitis-Schrift des Xfl. Jnhrhiwdert»; Ab- 
lianHI. zur «esch. <l. Mathem. 8, 1898, S. 18, 19, 20). Aus derselben Zeit stammt 
Vielleicht der Pivlogus H. OntKATt m Ilelcejih nd Ai'KuunnvM Baiotksskm magMrum 
ftMum (Abhaudl. zur Gesch. d. Mathem. 8, 1880, S. 129—139), wo .cifre" ebenfalls 
, 26» 



404 



G. Enebtbö». 



(siebe r. B. S. 135, 136, 187) Torkommt. — Sacbobouco kennt (vgl. sein« 
vulgaris, ed. M. Cibtik, Kopenhagen 1897, 8. 2) vier Benennungen für Xt 
tbeca, circulus, ciphra und figura nihili: eine Erwähnung dieser ietzteu BeDeounn;] 
dürfte nicht ohne Interesse sein, denn ans derselben ist vielleicht die Benenoting noBa 
entstanden, die bisher zuerst bei den Axithmetikem am Ende des 15. Jahriituiilcrt« 
(PiKBO BoBOi, LicA Pirn oLo, Niroij^s Cm qi rr'i angetroffen worden i*t. 

S. 22. Von der Algebra des Alkiiwarizxi gibt es eine ander« mittelalieilichl 
Ohersetzong als die von Linni herausgegebene; jene rührt von Bobsktcs Rzran«»! 
her und Handschriften derselben finden sich in Wien und Dresden (vgl. BibltotLI 
Matbem. ISj, 1899, S. 90). — Die Bemerkung, daB die von Libki ber»asgegeb«u 
anonyme Cbersetiuiig der Ai-khwabizmi sehen Algebra vielleicht von Gnssxuio Cuaonn 
herrührt, ist nicht unbegründet; in der Tat findet sich im Verzeichnisse der rm 
diesem verfertigten Übersetzungen auch ^Liber alchoarismi de iebra et almueaMa\.^ 
and die Handschrift, welche Liuri benutzte, enthält hauptsächlich (möglicherweise tai- 
schlieBlich) Übersetzungen, die Gr£raiu>o Ckemo.nemk zoEuschreiben sind. Auf dtt 
anderen Seite kann freilich bemerkt werden, daß der cod. Vatic. 4606 einen Libfr fm 
feeundum Arabes rocatur algehva et atmucabnla enthält, der ausdrücklich als ,tniu- 
latoi a magistro GiriuiiDo CaKMoincfiii in toleto de arabico in latinnm* beteichnet witd i 
(diese Schrift bat BoxcourAain 1851 in seiner Monographie über Gueiukoo Curnin 
herausgegeben). Die zwei erwähnten algebraischen Traktate sind nicht wea«otiicii 
verschieden, and es ist nicht leicht einzusehen, warum GiimAnixi Cuemoxsu sich ü» 
Hfihe gegeben hätte, zwei so wenig verschiedene Schriften über denselben Q^gsosjsg^ 
SU flbetsetzen. 

S. 24. Es ist richtig, daß Sa<-roro!)i'o neun Rechenoperationen aofföhii, ' 
daS die Progresiio darunter vorkommt, aber wer die Fußnote 129) liest, muß vemeU 
sein anzunehmen, daß sich unter den übrigen auch die Poteuzierung findet. Dies irt 
bekanntlich nicht der Fall, sondern bei SArKOBosco wird die Humeratio als die ttA> 
Rechenoperation betrachtet (vgl. Algorismus ruigarig, ed. Cvbtzb, S. 1). 

S. 27. ,,Compendium aritbmeticae mercatorum* ist nur eine lateinische ^b«^ 
Bettung des deutschen Titels der WiuMANScbeu Arithmetik vom Jahre 1489 nnil ioD 
also gestrichen werden. — Die Angabe, daß das Rechenbuch des 6n.AiniATin « ii I 
Nürnberg „1521/28' erschien, beruht wohl auf einem Mißverständnis; die Widmung ' 
des Buches ist von 1518 datiert, aber der Druck erfolgte nach C. F. MCixek ent in 
Jahre 1521 (diese Zahl findet sich tatsächlich auf dem Titelblatte zum .Zomal'). Auf 
der anderen Seite hat Cl'btzk (siebe Biblioth. Mathem. ts, 1900, 8.507 — 60>f) dinof 
hingewiesen, daß im Buch selbst das Dmckjabr 1521 gar nicht vorkommt, und V* 
diesem Grunde geben einige Verfasser 1518 als Erscheinungsjahr an. 

S. 28. Es gibt nur eine einzige Auflage der Algebra des Bombclu (vgl. Biblioth' 
Mathem. is, 1893, S. 15—17); die Worte: ,2«« «d. Bologne 1579* sind also •» 
streichen. 

8. 30. Hier wird bemerkt (Fußnote 144), daß im 12. Jahrhundert die Benenna*^, 
,radix* für x vorherrschend ist, während auf der anderen Seite die Benennung ,r^ 
von Leohabdo Piraso an die Oberhand gewinnt. Aber schon im 12. Jahrhund^^ 
wurde daa Wort „res" so oft benutzt, daß es meiner Ansicht nach unmöglich ist ^^ 
entscheiden, ob damals ,radix" oder .res' vorherrschend war. In der von Boscoju-ai^^ 
(DeUa rUa e delle opere di OutsdäDo Cskuosksk, Roma 1851, S. 28 — 51) beraasgegvben^^ 
Liher gut aecundum Arahes rocatur algebra et almucabala, die ausdrücklich dem GtrauLU^^ 
Cbemoiiese als Übersetzer zugeschrieben wird, kommt zuerst ausschließlich .iftdix", dai^^ 
in den „capitula majora" teils „radix", teils „res' vor. In der von Cubtzr (Aijtnit 



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ich <ü« j 

K^Sj^J 

I 



Ein nenes litenr. Hilfsmittel z. Verbreitung mathematisch-historigcher Kenntnisse. 405 

äeeem libros priores elementorum Eoclwib commentarii, Leipzig 1899, S. 252—386) 
bennsgegebenen, ebenfalls dem Ghekabdo Cbemoitess zugeschriebenen Übersetenng eines 
Kommentars zum 10. Buche der Elementa, scheint „radix* überall die Bedeutung Ton 
Quadratwurzel zu haben, während (S. 264 des gedruckten Textes) die unbekannte „res* 
genannt wird. In dem Ton Libbi {Histoire des sciences mathematiques en Italie I, 
S. 253 — 289) herausgegebenen ÜbersetEung: Liber Macmkti filii Morst alcsojbuhi de 
aigebra et almuehabala, die Tielleicht Ton Gbebabdo Chemonese verfertigt ist, wird die 
Unbekannte abwechselnd .radix" (8. 254—266, 273—274, 284—285) und »res" (S. 266— 
268, 275—284, 285—286) genannt. In der ebenfalls von Libbi (a. a. 0., S. 804—369) 
herausgegebenen Libei- augmentiet diminutionü, den Ghebaboo Cbehokesk möglicherweise 
Qbersetzt hat, dürfte für x nur das Wort „res' benutzt werden. — Ob Johakkes 
HupALEKsis überhaupt eine algebraische Schrift übersetzt hat, ist wohl nicht mOglich 
ta entscheiden, und an einer Stelle, die ihm ohne genügende Gründe zugeschrieben 
worden ist, kann man nicht wissen, ob „res* oder ,radiz' die Unbekannte bezeichnet 
(vgL Biblioth. Mathem. 63, 1904, S. 409). — Platohe Tibubtiso scheint weder 
aTadix* noch «res* sondern „latus" benutzt zu haben (siehe Abhandl. zur Gesch. 
der mathem. Wiss. 12, 1902, S. 84, 86, 38). — Ob Robsbtcb Retihensis in seiner 
Übersetzung der Auen wabizki sehen Algebra durchgehend das Wort ,radix" anwendet, 
ist mir nicht bekannt. 

S. 31. Auch der Name „causa* für eine unbekannte GrOfie kommt bei Leomabdo 
Pmaho {Scritti, ed. Bohcompaosi 2, 8. 236 Z. 18) vor. 

S. 84. T. Habbiot starb bekanntlich schon 1621, und seine posthume Artis 
emaljfticae praxi$ erschien 1631 (nicht 1632). 

S. 87. Schon vor Newton hatte J. Hudde durch ein und denselben Buchstaben 
Sowohl einen positiven als einen negativen Zahlwert bezeichnet (vgl. Biblioth. 
:AiIathem. «3, 1903, S. 208). 

S. 40. Lange vor A. Gibabd und T. Habbiot hatte M. Stifel das Produkt zweier 
fSrOfien, die beide durch Buchstaben repräsentiert waren (z. B. das Produkt der zwei 
'unbekannten GrOBen bei der algebraischen Lösung gewisser Probleme) durch einfache 
Juxtaposition bezeichnet (vgl. z. B. Biblioth. Mathem. I82, 1899, S. 55). Die Be- 
merkung „ce qui a 6t6 le cas jusqu'ä F. VitTs* in der Fufinote 159 ist darum auch ungenau. 
S. 46. Alter als die Benennung , numerus ruptus* ist jedenfalls nicht nur die 
Benennung „minutia* (S. 53, Fußnote 181 lies ,minutiae* für ,minntae"), sondern 
auch ,fractio* (vgl. z. B. M. Cubtie, Über eine Algorismus-Schrifl des XII. Jahrhunderts . 
Abhandl. zur Gesch. d. Mathem. 8, 1898, S. 21, 23, usw.). Auch nach'LEOMABDo Pisako 
wurde im christlichen Mittelalter fast ausschlieSlich ,minutia" oder „fractio* benutzt; 
soviel ich weiß, kommt „numerus ruptus* oder eine entsprechende Benennung nur bei 
einigen italienischen Verfassern und am Ende des Mittelalters bei N. CHUQnET vor. 

S. 52. Der Ausdruck (Fußnote 180): ,des divisions döcimales mäangöes ä des 
divisions sexagösimales* ist ohne Zweifel korrekt, aber ich fürchte, daß er den meisten 
Lesern unverständlich sein wird. In der Tat wird an der zitierten Stelle des Traktates: 
loAimMa HaPALESBia liber aigorismi de pratica arismetrice ^2 auf folgende Weise er- 
mittelt. Zuerst berechnet der Verfasser V 2 OÖÖ 000 und findet den Näherungswert 
1414; er folgert hieraus, daß y2 gleich 1 und einem Bruche ist. Der Bruch ist 
natürlich der Dezimalbruch 0,414, aber diese Tatsache erwähnt der Verfasser nicht 
ansdrücklich, sondern verwandelt sogleich den Bruch in 24' 50" 24"', so daß y2° = 
1» 24' 50" 24'". 

8. 53 Es gibt nur eine Auflage des Canon mathematieus des Vitrs (vgl. Biblioth. 
Mathem. Sg, 1901 S. 356); Z. 7 ist also ,1« 6d.* zu streichen. 



406 ^- KxKitTMÖH: Eiu neues literar. Elillsmittel z. Verbreitung mstbcm.-bi?t. Keim&iS 



S. 54. Eb verdient vielleicht bemerkt zu werden, dsB H. GnAjiMATir» io MisEm 
Rechenbuch die saccegBiven Potenzen der unbekannten Gröfie durch pri, se, ter. utr, 
bezeicimete; hier itt wohl zum erstenmal in einer gedruckten Schrift der Begriff 
Exponenten diucb die Bezeichnungen angegeben (vgl. J. Taoi'rKX, Gtgdiviiit 
Elementar-MaÜKmatik 1, Leipzig 1902, S. 197). 

S. fi3. Kg w&re erwünscht, hier einige Notizen über die Vorgeschichte der Koai- 
binatorik vor Fascxl zu haben. Solche Notizen sind in den CAKTusechen YorltivuKja 
iü>er Geschichte der Mathematik zu finden; leichter können sie »us Tbopfexs «oet« 
zitierter Arbeit (2, Leipzig 1903, S. 851 — 353) entnommen werden. 

S. 136. In betreff der Gleichung 2x' — y' = ± 1, hat F. Hi i.t»< ii in der Bibliolk. 
Mathem. I3, 1900, S. 8 — 12 auf eine Behandlung derselben bei Pboklo» hingewiatcn 
und hervorgehoben, daß Pboklo» augenscheinlich aus einer vorplatoniscbea 
geschöpft hat. 

S. 138. Als Ergilnzuug der Notiz über das erste Vorkommen des Termi 
dns" sei bemerkt, daß dieser Term auch in der von Giikrariio Cbxiio!(E!>e veifertigw 
Übersetzung Liber qiii seciindum Arnbes vocatiir ahjrhra et almucabala (ed. Boiconmoi, 
S. 41) und in der vielleicht von demselben Übersetzer herrührenden Liber JLita^ 
filii Morsi jLcHo*niaiu de algebra et almtuabala (ed. Libhi, Bist. d. sc. mathem. em 
I, S. 269, 270) vorkommt. An diesen beiden Stelleu wird die rationale Zahl ,do1 
genannt. — Die Benennnng ,sur8olidum' kommt schon vor Desc^jit» bei bin 
Alokobas (siehe H. Cirtze, Urkunden cur Geschichte der Mathematik im MiUtki 
und der Jienaitsance, Leipzig 1902, b. 474, 476), sowie bei Rlesr und Ridoltt l,t| 
Taomcs, a. a. O. 1, S. 196) vor. Dagegen habe ich die Form „eardesolidnm* 
keinem Verfasser auftinden können. In einer kleinen Schrift Brgule delaeott 
cundum Ii capitula, die aus der Mitte des 15. Jahrhunderts herrührt, wird s' i 
„duz cubo" bezeichnet (siehe M. Clbtze, £1» Beitrag lur Geschichte der J/j 
«»I fünfzehnten Jahrhundert; Abhandl. zur Gesch. d. Mathem. 7, 1895, S. 5'3). 

S. 144. Die Bemerkung: „R. Debcabtbs, le premier, d^igue par une wal« 
memo lettre an nombre quolconque positif ou n^gatif" ist meiner Ansicht nach 
schieden falsch, und sie scheint auch mit der richtigen Angabe S. 37 (FuBuot« IH' 
unvereinbar .loder Beleg für die Richtigkeit der Bemerkung fehlt, und in i*" 
zitierten Aufsatze von P. TA.vüEitr wird ausdrücklich hervorgehoben, daB die betrelfu'it 
Bezeichnung „s'est intruduite peu :v peu comme la consöiineuce de son [= Ds^cti 
ceuvre, mais les auteurs veritables eu sout restes anonymes". Jetzt dürfte man 
gutem Rechte behaupten können, dnB J. HiunK zuerst die Bezeichnung angewes< 
hat (vgL oben die Bemerkung zur Seite 37). 

Es ist wohl kaum nötig hinzuzufügen, daß das KorrespondenzbL 
sich nicht ausschließlich mit Berichtigimg oder Ergänzung histonscl 
Angaben beschäftigen sollte. Die Encydopedie des scienccs tnathcmatiq 
ist ja nicht in erster Linie eine historische Arbeit, und ich meine, 
die Berichtigung oder die Ergänzung der rein mathematischen Angab 
gerade die Hauptaufgabe des Korrespondenzblattes sein würde. Wenn 
im vorhergehenden nichts hierüber gesagt habe, so ist der Grund da 
lediglich, daß ich die Encijclopidie in diesem Artikel ausschließlich 
ein Hilfsmittel zur Verbreitung mathematisch-historischer Kenntnisse 
trachtet habe. 



1 



SinwTBÖM: Kleine Mitteilnngen. 



Kleine Mitteilungen. 

Kleine BemerkuDgen zur zweiten Auflage von Oantors „Vorlesungen über 
Gesohichte der Mathematik". 

Die erste (fette) Zahl bezeichnet den Band, die zweite die Seite der „Vorlesungen". 
BM = Bibliotbeca Mathematica. 

1 :13, siehe BM I3, l'^OO, S. 265. — 1 : 15, siebe BM 83, 1902, S. 323. — 
1:22, 2«, 34, siehe I!M I3, 19(10, S. 265—266. — 1:3«. 64, siehe BM 83. 1902, 
S. 137. — 1:103, siebe BM I3, 1900, S. 266. — 1:135, siehe BM I3, 1900, S. 266; 
3.1. 1902, S. 137. — 1:144, 155, 169, 171, siehe BM 83, 1902, S. 137—138. — 
1:190, siehe BM I3, 1900, S. 266. — 1:195, siehe BM 3a, 1902, S. 56. — 1:197, 
202, siehe BM lg, 1900. S. 266. — 1 :2lt7, siebe BM 43, 1903, S. 283. — 1:225, 
234, siehe BM 3:i, 1902, S. 138. — 1:25.5, siehe BM »3, 1902, S. 238. — 1:272, 
riebe BM 4a, 1903. S. 396. — 1:283, siehe BM l,,, 1900, S. 499. — 1:2S4, 321, 
liehe BM I3, 1900, S. 266-267. — 1:370, siehe BM I3, 1900, S. 319. — 1:383, 
liehe BM I3, 1900, S. 267. 

1 : 386. Der Satz, daß in jedem sphlirischen Dreiecke die Summe der 

drei Seiten kleiner als ein GrSßterkreis der Kugel sein muß, rührt nach A. Ä. 

|ß.FÖKNBo (Studien über Mexeiaus' Sphärik; Abhandl. zur Gesch. d. mathem. 

Wiss. 14, 1902, S. 20) nicht von Mbnei,aü.s her, sondern ist von Maukolico 

ia seiner McNELAos-Ausgabe (1558) hinzugefüf^rt worden. G. Enestköm. 



It 

1:429, 
11:434- 

S 138. 

1902. 8. 

1903, S. 
1900, S. 
S. 268. - 
1 : 519- 
S. 268. • 
1:»61, 
8. 139. • 



395, siehe BM 83, 1902, S. 323. — 1:400, siehe BM I3, 1900, S. 267. — 
siehe BM 83, 1902, S. 324. — 1:432, siehe BM I3, 1900, S. 267. — 
435, siehe BM 43. 1903. S. 396—397. — 1:4.16, siehe BM Sj, 1902, 

- 1:437. 440, siehe BM I3, 1900, S. 267. — 1:4.57, siehe BM 83, 
238. — 1:463, siehe BM 83, 1902, S. 139, 324. — 1:466, siehe BM 43, 
397. — 1:467, 469, siehe BM I3, 1900, 8. 267. — I :475, siehe BM I3, 
267—268; 83. 1902. .S. 139; 4h. 1903, S. 283, — 1:476. siehe BM I3, 1900. 

- 1 :50S, Hiebe BM S3, 1904, S. 68. — 1 : 510, siehe BM Ig, 1900, S. 314. — 
520, siehe BM 83, 1902, S. 239. — 1:537, .540, 542. siehe BM I3. 1900, 

- 1 : 622, siehe BM 83, 1901, S. 143. — 1 : 641, siehe BM 3:i. 1902, S. 139. — 
siebe BM la, 1900, S. 499 — 1 : 662, siehe BM I3, 1900, S. 499; 83, 1902, 

- 1 i 063, siehe BM 83, 1902, 8. 405. — 1 : »71, siehe BM I3, 1900, 8. 499. 



,1 : 673. Herr Caktor ist der Ansicht, daß sich der Passus des At-GORrmr 
de numcro Indorum: „quod in alio libro arithraetice dicitur" auf eine (sonst 
ganz unbekannte) Schrift über die später sogenannte spekulative Arithmetik be- 
zieht, und übersetzt darum: „was in einem anderen Buche der Atithmetik aus- 
gesprochen ist". Aber liegt es nicht näher anzunehmen, daß Ai.khwabizui 



408 



O. Ehestköm. 



gerade dos von ihm zitierte „Buch Aldscbeber and Almukabala" meint, so iii 
man „in dem anderen Buche" statt „in einem anderen Buche" übersetzen soll? 
Daß tatsächlich die Algebra im 12. Jahrhundert „arithmetica" genannt wiirii«, 
geht z, B. ans einer Stelle des Anaritiüs (ed. Curtjse, Leipzig 1899, 8. 267) 
hervor. G. Eneström. 



1 : 675. Dem Berichte über den Traktat: ÄLfioRirMr de numero Indorm 

könnte hinzugetügt werden , daß iu der von Boncompac.m herausgegebeoa 

Handschrift (die einzige bisher bekannte) dieses Traktates der Schlafi fehlt. 

Die letzten Zeilen des Druckes beziehen sich auf die Multiplikation von 3^ 

8 8 
und 8i^; um diese Multiplikation vorzubereiten, schreibt der Verfasser ^ , 

! II 

und dann bricht der Text mit den Worten: „sicque constitnes .VIII." ab. Wahr- 
scbeinlicb wurde nach der Multiplikation noch die Division von Brüchen (di« 
freilich S. 20 — 21 des gedruckten Textes im Vorübergehen an einem Beispiel 
erlHntert wurde) behandelt, und ich halte es für höchst wahrscheinlich, daü 
der Traktat auch Wnrzelausziehung lehrte, denn nach der Behandloog da 
Operationen mit ganzen Zahlen bemerkt der Verfasser: „et nunc incipierons 
tractare de multiplicatione fractionum, et oarum divisione, et de extriictiou« 
radicum, si Dens uoluerit". G. Enkbtröm 



i 



l:«87-ß89. siehe BM «3, 1901, S. 143-144; 4<i. 1903. S. 205— 206. — !:< 
siehe BM 1,. 1900, 8. 499; 43, 1903, S. 284. — 1 : 704, 706, 70», 714, 735, 730, Ui,l 
748, siehe BM la, 1900, S. 499—500. — 1 1 749, liehe BM I3, 1900, S. 268. 



1 : 753. Es ist mir nicht gelungen den Sinn der folgenden Bemerko 
zu verstehen: „Negativ heben wir hervor, daS [bei Joilmjnes HisrALEssis] con 
plemenUlre Rechnuugsverfahren, wie wir sie schon mehrfach vergeblich gesncht^ 
haben, nicht vorkommen. Einige lateinische Ausdrücke scheinen zwar an jen6 
Rechnungs verfahren zu erinnern, aber es ist nur Schein." Die von Herrn Cavtoe | 
angedeuteten „lateinischen Ausdrücke" sind wohl die S. 97 der Boncowao«- 
sehen Ausgabe vorkommenden: „omnis numerus infra denarium multiplicatus in 
se ipsum reddit summam sue denominationis decuplate, subtracta inde mnltipM 
catione differentie ipsius ad denarium facta in se ipsum"; ,,si maiorera 
minorem multiplicare uolueris, di£ferentiam maioris ad denarium multiplic» i^ ' 
minorem, et ipsam multiplicationem subtrahe a denominatione factam a mioor% 1 
et quod remanserit, est summa que prouenit ex multiplicatione diueT$0Tain| 
numerorum". Aber wenn man dieselben in moderne Zeichensprache übenetairl 
so erh3it man die Formeln 

a2== 10a — 0(10— a), 

a{.= 10fi— a(IO — 6), 
and meiner Ansicht nach können diese Formeln entschieden als eine Art kon* 
plementärer Multiplikation betrachtet werden. Herr Cantoe nennt ja selb** 
S. 852 das bei ÜcutLAT vorkommende Rechnungsverfahren 
a» = 10 (a — [10 — a]) + (10 — a)» 
,eine Art compleraentUrer Multiplikation". Übrigens erhält man aus der ForW« 
o6=10o — a(10 — h) die gewöhnliche Formel für komplementäre MaltipM 



Kleine Mitteilungen. 409 

kation, wenn man jene auf a(10 — b) anwendet Da nämlich laut derselben 
o (10 _ 6) = 10 (10 — 6) — (10 — a) (10 — b) 

ist. so ^71 ro 

ab = 10 (a — [10 — 6]) + (10 — o) (10 — b). 

G. Enestköm. 

1 : 754. Nocb in der zweiten Auflage der Vorlesungen gibt Herr Cantor 
an, daß Johannes Hispalensis das Quadrat der Unbekannten res nennt, aber 
ans einem Zusätze zum zweiten Bande der Tropfke sehen Geschichte der Ele- 
mentar-MatJtematik (S. 496) geht hervor, daß Herr Caktor jetzt die betreffende 
Stelle des Traktates: loAJfxis Hispalensis über algorismi de pratica arismetrice 
etwas anders deutet, so daß res die Unbekannte, radix dagegen die Quadrat- 
wurzel aus der unbekannten Größe repräsentiert. Diese Deutung geßlUt mir 
auch viel mehr als die andere; in der Tat wird im Traktate ausdrücklich an- 
gegeben, daß res die gesuchte Größe bezeichnet Freilich ist es nicht leicht 
zu verstehen, warum die drei Fülle der quadratischen Gleichung unter den 
Formen x + 10y« = 89, ar-|-9==6V'i, 3^+ i = x dargestellt werden. 

G. Eneström. 

1 : 756, 767, 767, siehe BM lg, 1900, S. 500-501. — 1 : 794, siehe BM Ss, 1902. 
S. 189. — 1:804, 805, 807, 808, »12, 823, 862, siehe BM Is, 1900, S. 268—269. — 
1 : 863, siehe BM I3, 1900, S. 501. — 1 : 854, siehe BM lg, 1900, S. 501; 83, 1902. 
8. 824; 4t, 1908, S. 206. — 1 : 855, siehe BM lg, 1900, S. 501. 



«:7, siehe BM Kg, 1901, S. 351. —2:8, 10, siehe BM lg, 1900, S. 501—502.— 
S: 14— 15, siehe BMSg, 1901, S. 144; 5g, 1904, 8.200.-2:20, siehe BMI3, 1900, 
S. 502; 3g, 1902, S. 239. — 2:25. siehe BM lg, 1900, 8. 274. — 2:31, siehe BM 
«3, 1901, S. 351-852; 83, 1902, S. 239—240. — 2:34, siehe BM 23, 1901, S. 144. 

— 2:37, liebe BM lg, 1900, S. 502.-2:38, siehe BM 2g, 1901, 8. 352.-2:39, 
•iehe BM lg, 1900, S. 602. — 2 : 41, siehe BM 23, 1901, S. 352. — 2 : 68, siehe BM 
Sa, 1904, S. 201. — 2 : 57, siehe BM 2g, 1901, S. 352 — 2 : 59, siehe BM I3, 1900, S. 502. 

— 2 : 63, siehe BM 43, 1903, S. 206. — 2 : 70, siehe BM lg, 1900, S. 417. — 2 : 73, 82, 
87, 88, 89, 90, siehe BM I3, 1900, S. 502—503. 



2 : 91 — 92. Der von Ch. Henry publizierte Mgorisme ist wesentlich nur 
eine Übersetzung einiger Stücke des Carmen de algorismo, das gewöhnlich 
AiiEXANDER DE ViLLA Dei zugcschrieben wird, und das von Halliweix [Bara 
mathenuUica, London 1889, S. 73 — 83) zum Abdruck gebracht worden ist. 
Hier unten stelle ich einige Zeilen des Originals und der Übersetzung zusammen. 



Carmen de algorismo 
Snbtrahis aut addis a dextris vel mediabis: 

A 1er» dapla, divide, mnltiplicaque. 

Cnm multiplicaveris, adde 
Totali snmtnae, quod servatam fuit ante, 
Bedditnrqne tibi nnmerus quem proposuisti. 

8i quid exit remanens non est cubicus, 

sed habetur 
lI%ior tnb primo qni stat radix cubicati, 
Senari dehiet qnicqvdd radice remansit, 

) mnntto, decet hoc addi cubicato. 

n , anMna zeddi debet tibi primus. 



Algorisme 

Se tu assembles ou abas ou dimidies tu 

commenceras a destre 

se tu dobbles ou molteplies ou deuises. 

tu commenceraB a senestre. 

Et quant tu lauras multiplie tu iasambleras 

le nombre ke tu gardes par dehors. 

et lues (?) troueras ton premier nombre. 

Se aucune cose teremaint li nombres ke tu 
proposes nest pas cubes. mais tu as 
le plus grant desous. 
Se tu multiplies le rachine par soi cubelmt. 
Apres aiouste le remanant 
si dois ranoir le pr merain 



410 



G. Enbnthöu. 



Das Carmen beschreibt sieben Rechenoperationen, namüch Addition, 
traktion, Yerdoppelang, Halbierung, Division, Mnltiplikation, Radizie 
Der Algorisme sagt: ,0. parties sont dangorisme*, nämlich Addition, Sa 
traktion, Verdoppelung, Halbierung, Division (das Wort .deuiser* fehlt freilid 
im Henuv sehen Abdrucke), Multiplikation, aber am Ende ist demnocb ans 
Carmen das Stück über Kubikwurzelausziehen übersetzt; dagegen fehlte ST 
Stücke, die Subtraktion, Verdoppelung, Halbierung und Multiplikation behaitddi, 
and ebenso das Quadratwurzelausziehen. Der Verdacht des Herrn Caxtob, iU 
die erhaltene Handschrift uns nur unzusammenhSngende Bruchstücke ans eina 
umfangreicheren Ganzen bietet, ist also durcbau« begründet; ob die Handtcfaiift 
als unvollständige Abschrift einer im 13. Jahrhundert vorhandenen Übersetnuif 
des ganzen Carmen betracht«t werden soll, oder ob nur einige Stücke da 
Carmen französisch übersetzt worden sind, dürfte für uns ziemlich gleichgfilti 
sein. Dm diese Frage zu entscheiden, w&re es übrigens nötig zu wissen, 
Herr Henry seine Vorlage richtig gelesen und wiedergegeben hat. 

O. Enestköm, 



!e:92, siehe BM I3, 1900, S. 503. — ft'.Vi, siehe BM S3, 1902, S. MC. - 
a:98, siehe BM I3, 1900, S. 269—270. — « : 100, siebe BM »3. 1902, S. 140.- 
«rUtl, siehe BM »3, 1902, S. 325. — «: 104— 105, siehe BM lg, 1900, S. 503; h 
1903, S. 397—398. — Ä:!!!, siehe B.M 83, 1901, S. 352. — üillß, siehe BM Jj, 
1902, S. 406. — « : 122, Hiebe BM I3, 1900, S. 503—504. — « : 126, 127, siebe BM8i 
1902, S, 406. — »:12S, siehe BM I3, 1900, S. 504. — * : 132, siehe BM I3, IW, 
S. 515—516. — i8:143, siehe BM I3, 190O, S. 504. 



2:155. Die von E. Nardücci 1883 veröffentlichten Auszüge am 
Schrift Inlroductorius über q\ti et piüveris dicUur in mathematkam rfwci/rfi«* 
stimmen wesentlich mit dem von BoNCOMPAitM 1857 herausgegebenen TnktaS: 
luAK.sts IIisFALEXs/!^ Übet algorismi de pratica arismetrice überein. Wi 
man die Auszüge mit dem Traktat vergleicht, ist man zuweilen versacht lun 
nehmen, daß die zwei Schriften zwei Übersetzungen ein und derselben arabiscl 
Arbeit sind, aber an den meisten Stellen stimmen sie so wörtlich überein, 
man diese Annahme nicht festhalten kann. Ein paar solche Stellen sind bi^ 
onten abgedruckt. 



I 

US: 

i 



loAA'Xis HiKi'ALESsis Über algorismi. 
Licet cuinslibet mimeri partium 
denominatio possit fieri inlinitis modis 
secuiiduui iniinitos numeros, placuit 
tarnen Indis, denominationem suarum 
fractionum facere a sexaginta. Diui- 
serunt enim gradum unum in sexaginta 
partes, quos uocauerunt minuta. Item 
unumquodque minutormn diuidentes in 
sexaginta alias partes, appellaoerunt 
eas secunda, eo quod essent partes 
partium in secundo loco. Deinde par- 
tientes unumquodque secundum in sexa- 
ginta part«s, dixerant eas tercia. 




Inlroductorius liber qui et 
dicitur. 
Et si cuinsque numeri denomini 

partium possit fieri infinitis modis 

cundum infinitos numeros, placoit tanV^ 
egiptiis denominationem suanun fr^^ 
tionum facere a .li. dioiserunt gradc:^ 
unum in .Ix. partes, quas uouaue 
minuta. Item unumquodque minutor 
diuidentes in .Ix. partes alias appe 
nernnt eas secunda, eo quod 
partes partium in secundo loco, deir 
partientes quodque secundum in 
partes, dixerunt eas tercia. 



Kloino Mitteilungen. 



411 



Postqanm ninltiplicsndi et diuidendi 
tarn integros quam t'ractiones, doctriusm 
plenam tradidimus, restat ut iuueni- 
endi radices numeroram regulam dein- 



Post traditam mnltiplicandi et di- 
uidendi plenam doctrinaai, restat de 
radicibus nuraeroiam diceDdum, Qua- 
ruiii scientia noD soluni aalet ad geo- 



ceps assignemus. Cuius rei scientia non \ metriam et astroaomiam, uerum etiam 
soluin ad geomettiain et aslronominm, ! ad totam quadnuii disuiplinam ualde 
uerum etiam ad totam ijuadruui dis- est necessaria, quod leviter patet stu- 



denti in inatbematica scientia. Viden- 
dum itnque est quid sit numerorura 
radix. Kadix nunieri est alter numerus 
in se multiplicntus reddens ipsuin. 
Binarius enim radis dicitar quatemarii, 
(jaia in se dnotus reddit quaternarium. 



ciplinam ualde est necessaria, sicut 
omnis asserit qaicamque studuit in 
matbeniatica scientia, Vnde iiidendum 
est, quid sit nuiiieroruiii radix. Radix 
autem cuiuslibet numeri est quilibet 
alius numerus, qui in se multiplieatus 
reddit ipsnm. Vnde binarius radix 
dicitnr quatemarii, quia ductus in se 
ipsum reddit quaternarium. 

Aus der ersten Stelle gebt bervor, daC die Erfindung der Sexagesinial- 
brücbe von dem Liber iihjorismi den Indern, von dem Liher hitroditctorius 
jegen den Ägyptern zugesclirieben wird. Merkwürdigerweise wird an einer 
nderen Stelle, wo der Liber ulffwismi ebenfalls von den Indern spricht, im 
Liber inlrodiictorius von den .pbyiosophie civibus* gesprochen. An einer 
dritten Stelle, wo der Liber algoristui die Worte ,Indi dederunt* hat, liest 
Nardiicci in der Handschrift des Liber introduclaritts »indierunt*. 

Das von NAUDUt:c'i abgedruckte Stück über die römischen Minutien fehlt 
im Liber algorismi; es steht ja auch mit dem vorangehenden ia keinem Zu- 
sammenhange, and stammt sicherlich aus einer ganz anderen Quelle als das 
Übrige her. G. Esestki'Im. 




2 : 281. Der Passus: ,Nun erklärt er [Reoiomontanus] eben die Oon- 
struction [der Winkeldreiteilung], welche Cami'anu.s am erwähnten Orte lehrt, 
ohne dessen Namen auch nur zu nennen' sollte modifiziert werden, da die 
fragliche Konstruktion in keiner der bisher untersuchten Handschriften der 
EtKLiD-Übersetzung des GA.Mi'A.Nr.s vorkommt (vgl. die Bemerkung zur Seite 
104 — 105 in der BM ij, 1903, S. 397—398). G. Eneström. 



«:282, 283, siehe BM 1;,, 1900, 8. 506; «3. 1901, 8. 353—354. — 8:284, 2Sr>, 
287, 289, 2U0, 29l, siehe BM 1;,, 1900, S. 506—507. — Ü : 29«, siehe BM «a, 1901, 
S. 854. — «::U3, siehe UM l», 1900, S. 507. — i8:3l7, »iehe BM 5;,, 1904, S. 69. 
— 2 : 328, siebe BM »3, 1902, S. 140; 43. 1903, S. 285. — « : 334, siehe BM I3. 1900, 
S. 507. — 18:353, siehe BM l.s, 1900, S. 507; 43, 1903, S. 87. — « : 358, Am, siehe 
BM 43, 1903, 8. 87. — 2 :381, siehe BM I3, 19UÜ, 8. 507. — « : :185, siehe BM »3, 
19u2, 8. 81; 43, 1903. 8. 207. — Ä : 88«, siehe BM I3, 1900, 8. 507; 5;i, 1904, 
S. 306. — 2 : 395, 401, 405, 426, siehe BM I3, 1900, 8. 507—508. — « : 42», siehe 
BM 53, 1904, 8. 201-202. — 2 : 430, siehe BM «3, 1901, 8. 145. — » : 440, siehe 



412 



<^i. ESESIBÖM. 



BM4:,, 1903, S. 285. — fttUi. sielie BM 83, 1902, S. 325. — 8:44». siehe BMI» 
1902. S. HO. — « : Ah4, siehe BM 83. 1902, S. 242. — 2 : 474, 4S0. siehe BM 3i, 1908, j 
8.140—141.-2:481, siehe BMI:,, 1900. S. 508. — 2 : 4S2, «eheBM l», 1900, S 

1901, S.354: 3», 1902. S. 240. — 2:4.S4, siehe BM 3.i, 1902, S. 141. — 2:4sB. 
riebe BM I3. 1900. S. 609. -2 : 497, siehe BM l.i. 1900, S. 509; 43. 190:5. S. 87. —8?1 
siehe BM Is. 1900. .S. 270, 509. — 2:010, siehe BM I3. 1900, S.509. —2:512, «ehe BMJ 

1902, S. 141— 2:514, 510, 517, siehe BM 1-,. 1900. 8.509. — 2:53«, siehe BM 
1901, S. 354—355; 83, 1902, S. 141.— 2 : 532, 635, 541, 54-S, 549, siehe BM 1-,, 1900,.< : 
— 510 — 2 : 550, siehe BM 2-,, 1901, S. 355. — 2 : 5.54, siehe BM 1;), 1900, S 510.j 
555, 565, 5fi7, 5fiH, siehe BM 43, 1903. S. 285—286 — 2 : 569, wehe BM I3, IS 

— 2:572—573, siehe BM 1.,. 1900, S. 510; 83, 1902, S. 141. — 2:576, siehe' 
1901,8.355-356. — 2:57«, siehe BM 2», 1901, S. 14,5. — 2:5S0— 5S1, siehe BMCl 

1903, S. 207. — 2:5H2, siehe BM I3, 1900, S. 510. — 2:583, siehe BM U. 1^" 
S. 270; 23, 1901, S. 35«. — 2 : 5S5, siehe BM Sa, 1904, S. 69—70. — 2 : 592, lioli 
BM 23, 1901. S. 146. — 2:594, siehe BM I3, 1900, S. 270. — 8 : 5»7, siehe BMI»! 

1900, S. 270; 2,, 1901, S. 146. — 2:5»»— «M), siehe BM »3. 19Ö1, S. 146.- 
2:602, 603-604, siehe BM Ij, 1900, S. 270—271. — 2:611, siehe BM 2.,, 1901, 
8. 356—357. — 2:612, siehe BM I3. 1900, S. 277: 2.i, 1901, S. 146. — 2:6IS, nah ' 
BM 23, 1901. S. .357; Sa, 1904, S. 306. — 2:614, 630, siehe BM 3.i. 1902. S. 

— 2:631. 62:1, siehe BM I3, 1900, S. 277; 2:i, 1901. 8. 146-147. — 2 : 63s 1 
BM 23. 1901. S. 147. — 2:642, 643, siehe BM I.1, 1900, 8. 271. — 2 : 65.J, 
BM 8,, 1901, S. 357. — 2:656, siehe BM 43, 1903, S. 286 — 2:65», 66 
BM 2:,, 1901, 8. 147—148. — >» : 66.5, siehe BM lg. 1900, S. 271. -2:6« 
BM 53, 1904, S. 203. — 2: «74, siehe BM 43. 1903, S. 88. — 2 : 6S3. siehe 

1901, 8. 148. — 2:693, siehe BM 43, 1903, S. 287. — 2:700, 701, 703, 704, 7» 
nehe BM I3, 1900, S. 271-273. 



2:715. Es wäre vielleicht angebracht, die Bemerkung, daß C 
HvYOEits 1651 ein .noch ganz uubekannter junger Schriftsteller* war, < 
wenig zu modifizieren. In der Tat hatte Fr.xsciscus van Schootes zwei .1*1 
früher in seinem Kommentar zu Desc.^btes' Geometrie eine Lösunji; eu 
elementargeometrischen Aufgabe von Huyoes.s mitgeteilt, und dabei beinerl 
diese Lösung sei entnommen ,ex inventis nobilissirai et praeclnri jurenis D 
CiiRisTiAM HuGENU, quibus sibi jam pridem apud doctos tantam p«t»Tit 
laudeni atqiie admirutionem, ut non nisi magna ({Uaeijue ab eo expectand» 
aftirmare non veriti fnerint" (siehe Geomctria a H. Dt:.'! Cartf.s anno lÄJT^ 
gallice edita ... in lingtiam latinam versa . , . opera et stwlio F. a Scnnnn 
[Leiden 1649], 8.203 — 204). Ganz unbekannt als Mathematiker war Hrvo: 
also 1H51 nicht. G. Ene-stkö«. 



1 



2:71», siehe BM 83, 1901, S. 357. — 2:720, siehe BM 4a, 1903, S. 287- -" 
8:721, siehe BM 1.,, 1900. 8. 273. — 2:743, siehe BM I3, 1900, S. 273; 33. l^C*« 
8. 142. — 2:746, siehe BM I3, 1900, 8. 273. — 2:747, siehe BM 1;,, 1900, S. \'*^ 
83, 1901, S. 225. — 2:749, siehe BM 43, 1903, S. 8«. — 8:766, Kiehe BM 
1902. 8. 142. 



2 : 766. Die meisten Verfasser, die sich mit Walm.>^' Arithmetiea 
finilontm beschäftigt haben, geben als Erscheinungsjahr lO.'i.^ an, und di<l 
Angabe stimmt mit der Bemerkung auf dem Titelblatt des Abdruckes 
zweiten Bande (1693) der Folio- Ausgabe von Wallis Opera übereiu; 
dazu ist das Vorwort der Arbeit vom 19. Juli \Cthh datiert. Indessen 
die Originalansgabe der Arithmetiea infinitorum auf dem Titelblatt 16'ii3 
Druckjahr; es gibt sogar Exemplare dieser Ausgabe, die mit drei andei^* 
Schriften von Waluh vereinigt und mit gemeinsamem Titelblatt verseben sii 



Kleine Mitteilungen. 413 

das ebenfalls 1656 als Druckjahr trägt. Die drei fraglichen Schriften haben 
alle besondere Titelbl&tter, die beziehungsweise die Jahreszahl 1656, 1655, 
1655 tragen. G. Ekeström. 

S:7«7, siehe BM «s, 1901, S. 148, 357-358. — »:770, siehe BM 43, 1903, 
S. 208. — S:772, 775, siehe BM S3, 1901, S. 358—359. — ie:777, siehe BM £3. 
1901, S. 148; 3s, 1902, S. 204. — »:783, siehe BM »», 1901, S. 359; 43, 1903, 
S. 88—89. — 8 : 784, siebe BM 83, 1901, S. 148. — ft : 798, 708, 799, siehe BM »3, 
1904, S. 307. — le : 803, siebe BM 43, 1903, S. 208. — 8 : 812, siehe BM 4», 1903, 
8. 37. — 8:820, siehe BM 2a, 1901, S. 148; Ss, 1904, S. 307. — 8:823, siehe 
BM »8. 1901, S. 148. — 8:888, siehe BM Ss, 1904, S. 203—204. — 8:840, 
siehe BM 83, 1901, S. 148—149. — 8:843, siehe BM Ss, 1902, S. 328. — 
8:856, 865, siehe BM 83, 1901, S. 149. — 8:876, 878, 879, siehe BM I3, 
1900, S. 511. — 8:891, siehe BM I3, 1900, S. 273. — 8:898, siehe BM 43, 

1903, 8. 37, 208. — 8 : 901. siehe BM I3, 1900, 8. 511. — 8 : 019, siehe BM 53, 

1904, S. 204. — 8:Tni (Vorwort), siehe BM 83, 1902, S. 142. — 8:IX, X (Vor- 
wort), siehe BM lg, 1900, S. 511—512. 



S : 9, siehe BM 83, 1901, 8. 359. — 3 : 10, siehe BM Is, 1900, 8. 518. — 3 : 11, 
siehe BM 43. 1903, 8. 209. — 3:12, 17, siehe BM I3, 1900, 8. 512. — 3:23. siehe 
BM Is, 1900, S. 512; 43, 1903, S. 209. — 3:24, siehe BM 4s, 1903, 8. 209. — 
3:36, siehe BM 43, 1903, S. 209, 399. — 3:26, siehe BM 83, 1901, 8. 359. — 
3 : 45—48, 49, 50, siehe BM I3, 1900, 8. 512—513. — 3 : 70, siehe BM 83, 1901, S. 360. 
— 3:82, siehe BM S3, 1904, 8. 308. — 3:100, siehe BM 83, 1901, 8. 149. — 
3:112, siehe BM 43, 1903, 8. 209—210. — 3:116, siehe BM I3, 1900, 8. 513. — 
3: 117, siehe BM lg, 1900. 8. 518. — 3:123, siehe BM I3, 1900, 8. 513; 43, 1903, 
S. 399. — 8:124, siehe BM 83, 1902, 8. 407—408; 43, 1908, 8. 400. — 8:126, 
siehe BM 43, 1903, S. 288. — 8 : 131, siehe BM 43, 1903. 8. 210. — 3 : 151, siebe 
BM Ss, 1902, 8. 326. — 8:167, 172-173, siehe BM 43, 1903, 8. 400. — 3:174, 
nebe BM 83, 1901 , 8. 149—150. — 3 : 183, siehe BM I3, 1900, 8. 432. — 3 : 188, 
siehe BM 83, 1902, 8. 241. — 3:201, siehe BM I3, 1900, 8. 513. — 3:207, siebe 
BM Is, 1900, 8. 519. — 3 : 315. siebe BM 83, 1901, S. 150. — 3 : 318, siebe BM I3, 
1900, 8. 518. — 3:230, siebe BM 83, 1902, 8. 326. — 3:224, siebe BM Is, 1900, 
8. 514. — 3 : 325, 238, siehe BM »3, 1901, 8. 150. — 3 : 332, siebe BM I3, 1900, 8. 514. 



3 : 244. Als Erscheinungsjahr der letzten Auflage der Analyse des in- 
finiment pettts gab ich (BM Ss, 1904, S. 205) unter Verweisung auf J. W. 
MütXiER 1784 an, aber inzwischen habe ich selbst ein Exemplar dieser Auflage 
eingesehen, das auf dem Titelblatt das Druckjahr 1781 trägt. Der Titel lautet: 
Analyse des infiniment petits pour VinteUigence des lignes courbes. jPar M. 
Le Marquis de L'Hospital. Nouvelle edition. Revue & augmentee par M. 
Le Fevhe. Paris, Joubert MDCCLXXXI. 4". Auch Poggendorfp {Bio- 
graphisch-literarisches Handwörterbuch I, 1406) gibt an, daß Louis LefAvhe- 
GiNEAU 1781 eine neue Auflage der Analyse des infiniment petUs herausgab. 

Meine Annahme, daß keine Auflage im Jahre 1720 erschien, wird durch 
folgende Bemerkung im Vorworte (S. XV) der Auflage von 1768 bestätigt: 
.Les Infiniment Pitits de M. le Marquis de I'Höpital ont däj4 eu deux 
Sditions, l'nne en 1696, & l'autre en 1715"; etwas weiter unten (8. XVI) 
wird die 1768 erschienene Auflage ,1a troisifeme Edition' genannt. 

6. Eneström. 

3 : 244—246, siehe BM Ss, 1904, S. 205. — 3 : 246, siebe BM I3, 1900, S. 514; 
8s. 1901, 8. 151. — 3:350, siebe BM I3, 1900, 8. 514. — 8:303, siehe BM 83, 



414 



G. E: 



iRERTIlUM. — 



1901, S. 155. — 8:330-331. siehe BM 3.i, 1902, S. 241—242. — 3 : 83;, rM» 
BM 5s, 1904, S. 206. — 3:370-371, siehe BM .».,. 1904, S. 30!« — S : 447, 1«, 
siehe BM Ä,. 1901. S. 151. — 3:473, siehe BM «s, 1901, 8. 154—155; i^, IW. 
S. 401 — 3 : 477, 47», siehe BM «3, 1901. S 151—152 — 3 : 497, 498, »i<•h^ HM ^■ 
1904, S. 309. — 3 :.'>07. siehe BM S,, 1904, S. 71—72.— 3:.V>1. siehe P ? 
S. 441. — 3 : 53.-., siehe BM 43, 1903, S. 401. — 3 : .'.3«, ficho BM 83. : 
— 3:505, siehe BM 83. 1902, S. 326—327. — 3 : 571. siehe BM Sa, l'JÜJ, i i,::. 
Sa. 1904, S. 72. — 3:578, siehe BM 83, 1902, S. 327;' »3, 1904, S. 309. — Z:i!*, 
fiOi». siehe BM 5», 1904. S. 309-310. — 3:614. siehe BM 4-,), 190.S, S 89-90 
3 : 636—637, siehe BM S83. 1901, S. 441. — » : «4«-«4", siehe BM .5». 1904. ? 
—207 — 3:652. siehe BM «.s, 1901, S. 446; 5(, 1904, S. 207. — 3 : «60, .i«| 
BM »a, 1901, S 441 — 3 : 667. siehe BM «3, 1901, S. 441—442; 5». iy'i4. S '.'or-l 
208, 310. — 3: GS«, siehe BM .i;,, 1904, S. 20s. — 3 : 689, 69.5, siehe 1'" *? ' 'X\ 
S. 442. — 3:750, 75h, siehe BM «3, 1901, S. 446. — 3:75», siehe 1 
S. 20s. — 3 : 760, 766, siehe BM «3, 1901, S. 446-447. — 3 ; 774, 798, ... „. , 
1901, S. 442—443. — 3:845, siehe BM «3, 1901, 8. 447; 3:i. 1902. S. a27-32S - 
3:848, 881, siehe BM «3, 1901, S. 443. — 3:882, siebe BM «3, 1901, S. 447. 



3:882. Die Bemerkung: ,Da (in der EuLERScben AbbaDdloog Dt in- 
finitis curvis ejusdem generh) finden wir zum ersten Male ausgeführt ... die 
Benutzung eines integrirenden Factors" mit der folgenden Erwrihnung iw«i« 
von EvLER behandelten Differentialgleichungen kann leicht za der Aiuiahme 

veranlassen, daß die Benutzung der einfachen integrierenden Faktoren — 



— im Jahre 1734 etwas neues war. 



Freilich hat Herr Caktor schon S. 22] 



darauf aufmerksam gemacht, daß sich Joii.vnn BER.soijr.u in der 9. seil 
Lectiones maihematicae de methodo integralium aliisque aas den Jahren \<'i^ 
und lti92 ähnlicher integrierenden Faktoren bedient hatte, aber die LedU 
erschienen bekunntlich erst 1742, also nach der Veröffentlichung der EiXERScbo' 
Abhandlung De infinüis curvis ejusdem generis. Es ist darum nicht ohne 
Interesse zu bemerken, daß der wesentliche Inhalt der ,Lectio nona* schon i« 
Jahre 1708 veröffentlicht wurde, und zwar im 2. Teile (S. 762—764) 
Analyse demoniree von Charles Rkyneau. Aus Joiiaxs Beuxoillis Brief 1 
Leibxiz vom 8. .^pril 1711 geht hervor, daß RErsEAir den Marquis de l'Hiicit* 
auf dessen Landgute besucht hatte und dabei Gelegenheit bekam, Handschrifl 
von Johann Bernoulli einznsehen. G. Esestrüh. 



3:890, siehe BM 4^, 1903, S. 401. — 3:892, siebe BM Sa, 1902, S. 143. 
3: IT (Vorwort), siehe BM »3, 1901, S. 443. 



Anfragen und Antworten. 



i 



120. Woher hat Leonardo Fisano seine Kenntnisse der Elemei 
des Euklides entnommen? Im 14. Kapitel seiner Liber abbaci bat 
Leonardo Pisaxo dreimal des Wortes ,riti' oder «riton* (das j5f/n} 
EnKLiDEs) bedient, um eine rationale Größe zu bezeichnen (siehe Sf^iUi 
Lkokaruo Pisano, pubblirati di B. Boncompacni 1, Koma 1857, S. iib*> Z. 
32; S. 360 Z. 19). Unter Bezugnahme auf diesen Umstand wird in 
Encyclopidit des scienccs mathimutiques pures et appliquies tome 1, toI 



Kleine Mitteilungen. 



41S 



i 



(Paris 1904), S. 138 bemerkt (sicherlicb rührt die Bemerkung von Pait, 
Tasner\' her), das 14. Kapitel des Liber abbaci sei allem Anschein nach 
,directement thi da grec d'EucxiOE, probablement expliquö oralement ä 
Leonard de Pise par un Byzantin'. Nun war man ja früher gewohnt an- 
zuDebmen, das Abendland verdanke erst dem Leonardo Pisano, wieder ein- 
gehendere mathematische Kenntnisse bekommen zu haben, aber nach den Unter- 
sachnngen von Cvrtze ist diese Annahme zu modifizieren, und man weiß jetzt, 
daß Leonakuo die zu seiner Zeit vorhandenen lateinischen Übersetzungen aus 
dem Arabischen und Hebrüiscben ausgiebig und zum Teil wörtlich benutzt hat 
(vergl. Bibliotb. Mathem. 43, r.t04, S. 406). Es liegt darum sehr nahe zu 
vermaten, daß Leonardo auch eine lateinische EiiKLinES-Übersetznng zu seiner 
Verfügung hatte, und es ist an »ich gar nicht unmöglich, daß in einer solchen 
Übersetzung das Wort ,riti" vorkam; in der Tat gibt es eine Übersetzung 
(mit Kommentar) der Bücher 5 und 6 der Elementa, wo sich die griechischen 
Wörter .anagrafum', .engrafum', .perigrnfum', ,peribolum' etc. finden (siehe 
A. A. Björndo, Studien über Mf.sei.aos Sphürik; Abhandl. zur Gesch. d. 
mathem. Wiss. 14, 1902, S. 139). Da Leonakdo nachweislich eine andere 
Übersetzung seines Landsmannes Ghkkardo Ckemone.se benutzt hat, könnte man 
versucht sein, in erster Linie auf die von diesem verfertigte Euklide« -Über- 
setzung hinzuweisen, von der der cod. lat. Vatic. reg. Sueciae 1268 vielleicht 
eine Abschrift enthalt (vergl. Bjüunbo a. a. 0., S. 139 — 140). 

Es wlire von Interesse, zu ermitteln, woher Leonardo Pisano seine Kennt- 
nisse der Elementa des Euklide» entnommen bat. 6. Eneström. 



RispoBta alla questione 116 bu Cavalleri ed il teorema dell' area 
delle spirali. II .trattatello delle spirali' iiiviato da Bonaventura Cavalieui 
a Galileo Galilei con lettera dei 9 Aprile 1623 (Cfr. Le opere di Galileo 
Galilfj. Edizione Nazionale. Vol. 13, Pirenze 1903, pag. 114) si conservn 
tattavia tra i manoscritti Galilei ani dellrt biblioteca nnzionale di Firenzo, 
come in iina nota a questa lettera 10 avevo giüi avvertito. Esso si trova a 
car. 14 — 2ö del voluine secondo della divisione di tali manoscritti che contieno 
gli scritti ed i documenti dei discepoli: la proposizione II di questo , tratta- 
tello* dimostra che ,spatiam comprehensum a spirali ex prima revolutione 
orta et prima linea quae initium est revolutiouis, est tertia pars primi oircnli" 
ed J', meno varianti di poca importjinza, perfettumente identica, fin nelle 
lettere delle figure, alla proposizione che nel libro VI della Geometria indivisi- 
büibus novo guadam ratione promota (1635) porta il n° IX, 6 enunciata con 
le stesse parole e vi occnpa le pag. 13 — 15. 

Resta con ciö perfettomente dimostrato che, per tale proposizione, Bona- 
ventura Cavalieki non ebbe bisogno di attingere n6 alle opere nfe alle comnni- 
cazioni verbali o scritte, nö di Guegobio di Saint- Vincent, nk di alcun altro 
dei saoi contemporanei. 

Questo mi sembra rispondere al questto posto dal Sig. Eneström, e la 
aplice risposta ad unn domanda non comport-a piü lunga disijuisizione; le 
rioerche perö a tale argomento relative mi hanno condotto a mettere in evi- 
denza molte altre circostanze le qaali saranno esposte con ogni particotare in 
ana spposita monografia che ho gi£i allestita e che darö quanto prima alla luce. 

A. Favaro. 



416 



['ai'L Takkkkv: Kleine Mitteilnugen. 







Heponse ä la question 119 sur Tauteur d'an texte algorithmiqu 
du 12 siöcle publiö par Curtze. Conime 1 a sonp^onntS M. Enkström d'uptö 
nne citation de Liiiui. le texte algorithmiqae publik par Curtze dans lu Ab- 
handl. zur Gesch. der Mathem. 8, 1S98, p. 17 — 37, se retrouve bien dwi 
le ms. de la bil)liotb&qne de Paris (autrefois fonds Sorbonne f'SO. aajonrdlnii 
latin 16208, fol. 67 — 69) ou debut d'un cahier et sous la rubrique: Indfit 
liber ysagogarum alchorlsmi in artcm asironotnicam a Magislro Ä. conpostm. 
Ce ms. est un corpus astrologiqae et peat 6tre consid^r^ comme ^ p«u 
contemporain du plus ancien ms. de Mimicb utilise par Cifrtze (secoade moit» 
du XII* sifecle). Mais, d'aprt'S le regrette professeur, ToavTage compreud buil 
livres, dont il n'a donn^ que les trois premiers; les deux suivnnts, sur le«<|uelj 
il a fourni quelques d^tails, se retrouvent bien ä Paris: Incipit quartus Ito. 
de mttsicis ac geomctricis raiionibus (fol. 69 K, ool. 2), et: Incipit V libcr 
temporihus et motihus (fol. 70 R, col. 2). Mais, tandis que dans les mn 
Municb il y aurnit encore trois autres livres traitant de rastronomie, 
celui de Paris, oprfcs les derniers mots du livre V: .Motus itaque di 
spatio 24 horarum mira celeritate iinitnr, ut patet.^ fol. 71 R, au mil 
la premifere colonne, intenrient inimediatenient la rubrique: Libcr J eleäimtm 
explicit. Incipit libcr II de ekctionibus particularibus. C'est la scconde p»rti» 
du traitö astrologique A'\\a ben Ahmeo el-ImkAni, et eile se poursuit jiuqa'i 
la fin du cahier (f" 75 V), occupant ainsi plus de place que le trail^ 
,,Magister A.". Elle se termine d'ailleurs par un long „Explicit" donnant le 
de 8on auteur et semblable t ceux des Amploniani d'Erfnrt, dans Issqi 
SrEiNSCHNEtDEU (cf. Biblioth. Muthem. 52, 18iil, p. 43) a relevö la meal 
Abhaam Ivdf.ii ispano qui dicitur Sacacoroa existente interprete. 

II seruit d'autant plus important de v6rifier si les trois demiers lirm 
du ms. de Municb, latin 13021, appartiennent bien aux Isagoges de Msitre i^, 
que sa personnalitä ne me semble pas pouvoir ötre determinäe autremeot qi 
par un examen minuticux de son oeuvre. Je dirai senlement que ponr U (^ 
daction de cet ouvrage, je n'ai pas renoontre de terminus post quem aprte II 15 
(d'aprte un tableau de concordnnces d'feres dans le livre V), que ce livr« 
ävidemment eniprunte & des sources arabes et h^bra'iques concemant Tastroaci 
et la Chronologie. Tout au contraire le livre IV (rapports arithmetiqnes 
g6om6trie) dopend de la tradition latine (par exemple, le mot pod%suni% 
pris comme synonyme de celui d'hi/potenusa). II n'y a qu'on emprunt i 

Science arabe, l'approximation ;r = y'lO (regardee comme raeillenre que 'y'' 
L'autenr s'est, a vrai dire, assez bien assimil^ les ^nonc^es d'EuixioE, mais 
ne semble gu&re qu'il ait profit^ dune traduction des Elements. En resu 
son travail semble tel (|u'Auelard de Bath nurait pu le faire, aprJs aT< 
ätudiä le KiiovARizMi, mais sans avoir encore aborde le texte arabe d'Euci 
Je ne dis ceci, je le rep&te, qua comme simple remarque; une conjectnre f*'^ 
melle serait prömatur^e. Paul Tantoihv.') 




!« 



') L'autenr n'a pu revoir lui-meme l'epreuve ilo cette petite note; il est to 
malade quelques jours apres l'avoir redigee, et il est mort lo 27 novembre 1 
Probablomont la qucrtiou dont il s'agit est la demiero recherche acientifique do; 
»"est occupe. G. E. 



SUIfljH 

J 



llezensionen 417 



Bezensionen. 

A. Starm. Gesohiohte der Mathematik. Leipzig, Göschen 1904. 120, 
162 S. 80 Pf. 

In dieser kurzgefaßten Darstellung der Geschichte der Mathematik — 
die 137 Seiten, die den eigentlichen Text enthalten, entsprechen etwa 80 Seiten 
der Bibliotheca Mathematica — sind den drei Hanptperioden (Altertam, 
Mittelalter, Neuzeit) beziehungsweise 43, 22 und 72 Seiten zugewiesen worden, 
so daß die Geschichte der Neuzeit etwa die Hälfte des Buches einnimmt. Die 
Geschichte des Altertums hat vier Abteilungen (Ägypter und Babylonier, Griechen, 
Bömer, Inder), die Geschichte des Mittelalters ebenso vier (Araber, Abacisten 
und Algorithmiker, Das Wiedererwachen der Mathematik in Europa, Der Auf- 
schwung der Mathematik in Deutschland) und die Neuzeit drei Abteilungen 
(Der Aufschwung der Algebra, 17. Jahrhundert, 18. Jahrhundert). Vor dem 
eigentlichen Texte werden 30 neuere Werke ttber Geschichte der Mathematik 
und zwei mathematisch -historische Zeitschriften verzeichnet; als Anhang ist 
das Klassifikationsschema des rein mathematischen Teiles der JEIncffklopädie der 
maOtemaüschen Wissenschaften abgedruckt, und am Ende folgt auf 6 Seiten 
ein Namen- und Sachregister. 

Wie aus obigem Inhaltsverzeichnis hervorgeht, bezieht sich die letzte Ab- 
teilung des Buches auf das 18. Jahrhundert.. Als Grund, warum die Geschichte 
des 19. Jahrhunderts nicht behandelt worden ist, gibt der Verfasser (S. 144) 
an, daß ee noch zu nahe liegt, als daß es jetzt schon in seiner Bedeutung für 
die Entwicklung der Mathematik und der mathematischen Forschung erkannt 
werden könnte. Diese Behauptung kann ja bis zu einem gewissen Grade richtig 
sein, aber meiner Ansicht nach hat der bemerkte umstand hier nur wenig zu 
bedeuten, denn Herr Sturm hat sich offenbar nicht als Hauptaufgabe gestellt, 
die Bedeutung der Arbeiten der früheren Jahrhunderte für die Entwickelung 
der Mathematik festzustellen. Was man in seinem Buche findet, ist wesentlich 
eine Übersicht der wichtigsten Entdeckungen auf dem Gebiete der reinen Mathe- 
matik bis zum Ende des 1 8. Jahrhunderts, und eine solche Übersicht kann man 
auch in betreff des 19. Jahrhunderts sehr wohl geben, ohne das es durchaus 
notwendig ist, die Bedeutung der einzelnen Entdeckungen für die Entwickelung 
der Mathematik genau feststellen zu können. Freilich gibt es einen Umstand, 
der an sich genügt um zu erklären, warum Herr Sturm die Geschichte des 
19. Jahrhunderts nicht behandelt hat, n&mlich die Schwierigkeit, Materialien zu 
einer solchen Geschichte zu bekommen, und wenn er sich aus diesem Grund 
entschlossen hat, seine Darstellung nur bis zum Ende des 18. Jahrhunderts 
BibUotbeM lUthematiw. UI. Folge. V. 27 



418 



R«zen8ioiteo. 



CO 

aber 1 



fortzusetzen, so ist sein Verfahren sehr verzi^ihlich. Auf der audern Seite 
mir das Fehlen der Geschichte des 19. Jahrhunderts den Wert seines BucL-i 
zu verringern, und ich möchte darum dem Verfasser auheim stellen, ob er niciit' 
für eine zweite Auflage diesem Mangel abhelfen könnte; als Notbehelf kSnite 
auch eine chronologisch geordnete Übersicht der hervorragendsten Mathenutilat 
des 19. Jahrhunderts und ihrer wiclitigsten Entdeckungen von Nutzen seio. 

Gebe ich jetzt zu dem über, was Herr Stiu)! den Lesern seines Bodm 
^rklich bietet, so kann ich sagen, daß seine Angaben im allgemeinen zuverllang 
sind. Offenbar hat er in erster Linie die CANTouschen Vorlesungen bennüt, 
aber auch andere neuere Schriften hat er zu Kate gezogen, und seine Behandlaiig 
des Materials ist nicht ohne Verdienste. Daß er nicht überall die besondercii 
Schwierigkeiten überwunden hat, welche gerade die Bearbeitung eines so kuneo 
Kompendiums mit sich führen, war von vornherein zu erwarten und wird web 
von den Sachkundigen leicht bestätigt. In betreff der Auswahl der mitg«t«jlt6tt 
Notizen kommen natürlich Unebenheiten vor. Zu ausführlich scheint mir i. B, 
der Bericht über Stu-els Arithmetka integra, der vier Druckseiten (S. 81— 
85) in Anspruch nimmt, während der algebraische Teil der DESCARTEAScha 
Geometrie auf weniger als einer halben Seite (S. 105) abgefertigt wird. Za 
weilen hat der Verfasser Notizen aufgeführt, die an sich angebracht sind, iber 
irreleitend werden, weil gewisse andere Notizen fehlen. So z. B. wird S. 139 
erwähnt, daß Maclaurcn den polynomischen Sutz bewies, daß aber MorrsB 
Entdecker des Satzes war, verschweigt Herr STimM, so daß der Leser vernuU 
wird anzunehmen, daß Maclauiun den Satz zuerst aufgestellt bat; bekanntlieb 
hebt dieser an der fraglichen Stelle selbst hervor, daß der Satz von Monu 
herrührt, und verweist ausdrücklich auf die Philosophical transactioii^ 
No. 230 und Misceilanea analytica p. 87. Vennutlich hat Herr Stitüi «ii* 
Notiz aas Caktors Vorlesungen III ^ S. 680 entnommen, ohne den CASTORSchm 
Verweis auf S. 86 zu verwerten. Überhaupt habe ich den Eindruck bekofflinen,! 
daß Hen- Sturm die Vorlesungen exzerpiert hat, ohne nachher genau zu ptiifffli 
ob die dabei gesammelten Notizen mit anderen von ihm übergangenen in- 
sammengebQren. 

Abgesehen von der Auswahl der Notizen, bietet die Bearbeitung eiov 
Kompendiums eine andere Schwierigkeit dar, nämlich in betreff des Formnlieieoi 
der Angaben, weil es nötig ist, daß diese kurz und dennoch exakt sind. 1» 
dieser Hinsicht notiere ich, daß der Verfasser nicht selten seinen Ansagt 
eine solche Form gegeben hat, die irreleitend wird. Um zu erklären, ** 
ich meine, werde ich ein Beispiel anführen. S, 88 bemerkt der Verfsss^' 
Cardano habe behauptet, »falls eine Gleichung «-ten Grades, auf Null reduti»*^ 
nur einen Zeichenwechsel der Glieder wahraehmen lasse, so sei immer eine i>* 
nur eine positive Wurzel vorhanden*. Kann man diese Bemerkung anders deut*®" 
als daß Cardano wirklich die Gleichung auf Null reduziert, oder wenigst^" 
von einer solchen Reduktion gesprochen hat? Vergleicht man aber die Qu^^ 
der Bemerkung, nämlich S. 539 des 2. Teiles der CAsroRschen Vorlesung" 
so sieht man unmittelbar, daß dies nicht der Fall war, sondern daß die 
merkung von Herrn Sturm irreleitend formuliert worden ist. 

Auch im übrigen sind Verbesserungen der Ausdrücke des Baches angehi 
So z. B. wird S. 12 behauptet., Aristoteles habe besonders die Geschichte (?) 
Systematik der Mathematik ausgebildet; S. 61 steht: ,Jorda>tj8 Neuorai 
•\ 12'3(), wahrscheinlich identisch mit Joruaxus Saxo" (das Wort .wahrsoheii 



Bauniionen 



El? 



gebort ebensosehr dem angegebenen Todesjahre an, denn wenn Joruanus 
Nemorarius nicht mit Jordanus Saxo identisch ist, so ist sein Todesjahr voll- 
stdndig unbekannt); S. 74 wird bemerkt, daß Chuquet in Lyon 1484 sein 
Triparty veröffentlichte, obgleich S. 75 richtig erwähnt wird, daß die Arbeit 
QDgedruckt blieb und überdies nur eine einzige Handschrift bekannt ist; S, 99 
wird berichtet, daß das Hauptwerk des Cavaligri gewöhnlich kurz als ,Die 
Indirisibilien* bezeichnet wird. 

Auf der anderen Seite muß ich zugeben, daß sich Herr Stitrh an einigen 
Stellen mit lobenswerter Vorsicht ausspricht, z. B. S. 43 in betreff der Boetius- 
Frage und 8. 76 in betreff der von Katdolt 1482 herausgegebenen Eukudes- 
Übersetzung. 

Von den übrigen kleinen Bemerkungen, die ich notiert habe, füge ich hier 
nnten nur einige wenige hinzu, 

S. 34 — 35. Die Charakteristik der HKuosschen Arbeiten, die hier gegeben 
wird, ist durch die Veröffentlichung der Melrika (1903) unrichtig geworden. 
P. Tan.serv (Bullet d. sc. raath^m. 27,, 1903, S. ö8) hat mit Recht darauf 
hingewiesen, daß die bisher unter dem Namen des Heron veröffentlichten geo- 
metrischen Schriften jetzt als Bearbeitungen betrachtet werden müssen, aus denen 
man eine durchaus unrichtige Vorstellung von der Bedeutung Heuons bekommt. 
S. 36. Der Satz für das sph&rische Dreieck: a -\-b •{■ c <^i It rührt 
nicht von Menklaos sondern von Maurouoo her (vgl. Biblioth. Mathem. 
53, 1904, S. 407). 

S. 52. Die Angabe, daß bei Heron selten Zahlenbeispiele zu den theo- 
retischen geometrischen Lösungen vorkurnmen, ist nach der Veröffentlichung der 
Mttrika als unrichtig zu bezeichnen. 

S. 53. Daß die Inder die Methode des doppelten falschen Ansatzes an- 
gewendet haben, ist meines Wissens nicht nachgewiesen. G. Wektiieim, der 
sich mit der Geschichte dieser Methode besonders beschUftigt hatte, schrieb mir 
den 25. August 1900: .überhaupt ist die Ertindung des doppelten falschen 
Ansatzes nach meiner Ansicht erst im 12. Jahrhundert erfolgt*. 

8, 55. Es ist nicht koiTekt ohne weiteres zu sagen, daß Ai.cHousrHANDi 
die Unmöglichkeit der Gleichung fl-"' -j- 6' == c^ in rationalen Zahlen bewies. 
Castok (b. a. 0. P, S. 708) fügt mit Recht hinzu, daß der Beweis von 
WoBprKK als mangelhaft bezeichnet wird, und bekanntlich rührt der erste wirk- 
liche Beweis, den wir jetzt kennen, von Eih.kk her. 

S. 57. Schon vor Ami. Wki-a hatte Haba.süu (etwa 912) wirkliche Tan- 
genten- und Kotangenten-Tafeln berechnet (siehe C. A. Nallino, Ai.-Battahi 
opus astronmnkum. 1, Milano 1903, S. LXVl, 182; vgl. Suteu, Biblioth. 
Mathem. 63, 1!I04, S. 82). 

S. 60. Die Bedeutung des Leonardo Pisano scheint mir vom Verfasser 
äberschätzt worden zu sein. Zuerst wird bemerkt, daß der Einfluß des Lkonakdo 
und des Jordanus für lange Zeit maßgebend blieb, und weiter unten wird 
hinzugefügt, daß der Liber äbbaci das Wissen der Araber nach dem christlichen 
Abendlande verpflanzte. Aber Seite 62 gibt Herr Stifrm zu, daß , der Einfluß 
des italienischen Kaufmanns kaum die Grenzen seines Vaterlandes überschritt', 
und S, 63 behauptet er sogar, daß ,kaum einer den LeoniVrdo zu vei'siehen 
vermochte''. Aber wie ist es möglich, daß unter solchen Umständen der Ein- 
fluß des Leonardo für lange Zeit maßgebend bleiben konnte? Auch die Be- 
merkung, daß der lAlter abbaci das Wissen der Araber nach dem christlichen 

27» 




420 



Rezeniionen. 






Abendlaade veqiflanzte, ist wesentlich zu modifizieren. In der Tat wh üt' 
arabische Arithmetik und Algebra schon vor Li.oKAKbo durch die mathematüclKa 
Übersetzer, besonders durch Oheraudo Cremonese, nach Earopa Terpfiamt 
worden. — Daß Lkonakdo 1180 geboren war und 1250 starb, ist ledi^d 
eine Konjektur, was ansdräcklich hervorgehoben werden sollte, z. B. dnich 
Hinzufügen von Fragezeichen. 

S. 63. Die Angabe, daß Sacrobosco im Jahre 1256 starb, bemltt al 
einem Mißverständnis (vgl. Biblioth. Mathem. 4.-!, 1903, S. 397—398). 

S. 73. Das älteste Zeugnis dafär, daß man in Deutschland von der PI 
der Algebra in Italien Kenntnis hatte, findet sich nicht in dem erwilmtit 
Dresdener Sammelband. CrnTZE; hat aus einer Münchener HondscbriA mm 
Aufsatz ,Regulo delacose' veröffentlicht, der sicherlich vor 14«>4 geschriel«L, 
ist (siehe Abhandl. zur Gesch. der Mathem. 7, 189.5, S. 34, 50, öS). 

S. 106. Es ist nicht richtig, daß Bachet in den 1612 veröffentüchl 
Prohltmes plaisans et delectables eine vollständige Theorie der unbestinnaKi 
Gleichungen des ersten Grades gegeben hat. Diese Theorie findet sich nicht 
der ersten Auflage von 1612, sondern zuerst in der zweiten Auflage von 16?' 
(vgl Gantor, a. a. 0. ü*, S. 772—773). 

S. 119. Daß Broüncker 1668 drei Arbeiten über unendliche 
veröffentlichte, ist eine aufßillige Angabe, die wohl auf einem Ftüchtigkeitsfc 
beruht. An einer Stelle seiner Vorlesungen (II ^, S. 58) bemerkt Castor, dui 
,das Jahr 1668 noch drei andere Arbeiten, in England gedruckt, welche dii 
Keihenlehre forderten, sah*, und berichtet dann zuerst über eine Abhandli 
von BROtrscKER; vermutlich hat Herr Sturm ohne nähere ünt«rsuchun|? 
genommen, daß Bkoi'ni'ker auch die zwei anderen Arbeiten verfaßt hatte, tift 
diese Arbeiten rührten nicht von Brountker, sondern von Walus und J. Gb£üo«I| 
her (vgl. Cantor, a. a. 0. 11 2, S. 62). 

8. 126. Daß TscmRxiiAus, \ne Herr Stürm angibt, im Jahre 1<;97 «in» 
Lösung des Problemes der Brachistochrone brachte, war mir bisher unbekunt, 
und ich vermute, daß hier ein Mißverständnis vorliegt. 

S. 134. Hier spricht Herr SrrHM von den »von Lubxiz entwickelten 
Reihen für sinvers x, sin x, cos x, e~^ und e ", aber statt Leibniz muß wenigst«!« 
»Newton und Leibniz* gesetzt werden, da jener die fragUcben Reiben zuerst 
gefunden hatte (vgl. z. B. Brai nmiihi, . Vorl. über Gesch. der Trigoncm. U. 
S. 61—64; Zkutüen, Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahr- 
hundert, Leipzig 190.t, S. 369 — 370). Daß Newton sich nicht besondef» 
mit der Reihe für e~* beschäftigt hat, ist ja ohne Belang. 

Offenbar hat sich Herr Sturm viele Mühe gegeben, um seinen Lesern «m 
gute Arbeit zu bieten, und wenn er den von ihm behandelten Gegenstand b«ss«i 
beherrscht hätte, so würde das Resultat gewiß vorzüglich geworden sein. Vergleiclif 
ich sein Buch mit früheren Arbeiten derselben Art (z. B. das Primer of ^ 
histnry of malhematics des Herrn Ball oder das Brette sontmario deUa riö"* 
dellc maicmatiche des Herrn Gambioli), so glaube ich konstatieren zu könneo- 
daß das Buch des Herrn Sturm einen nicht unwesentlichen Fortschritt beieichB*' 
Zieht man noch dazu den überaus wohlfeilen Preis (nur 80 Ff. für gebund< 
Exemplar!) in Betracht, so kann man mit gutem Rechte das Buch den tlst 
mntikem, die sich noch nicht mit der Geschichte der Mathematik bescl 
haben, als Einführung in das Studium dieser Wissenschaft empfehlen. 

Stockholm. G. Eneström 



Neuenchieneue Sohrifteo. 



421 



Neuerschienene Schriften. 

Du Zeichen * liedentet, d«il die betreffende SohrUt der BedmkUon nicht Torgelegea bkt. 



A utoren-Register. 



103. 



loe. 



Abrena, 32. 
And/«, Kl. 

Apei, ee. 

Anbry. 56. 
B*U, R. S.. 
B»ll, W. W. R., 12 
Bellermann, 104. 
Bernoulli, tiO. 
B-Ttini, 8». 
Bindel. 31. 
BocoaTdini,.59. 
Ba«ina.ns, 43, S7, 
Bnonmühl, 17. 
Brillouin, 106. 
Brjaii, lll. 
Burkbardt, 66. 
CemiHigne, 41. 
CantOT, 7, 8, 2ti. 
Cuüinul, 6. 
Cknani, 20. 
Oeretti, 27, 
Clikzotiea. 55. 
CutM, 40. 
Dieketeio, 92. 
Duhem, 19. 



Ehwald, 4«, 47. 
Enestrvm, 2, 42. 44, 60, 

1(». 
Enriques, 89. 
Ern.1t, S8. 
ICtt«, 98. 
Euler, 60. 
Fabie, 49. 
Kaviiro, .Sl, 53, HO. 
Fnzzan, 90. 
Fehr, lll. 

KeldbttU», 21. 48, 62. 
Filou von Byzanz, 3i<. 
Kriis, 47. 
Uautier, 105. 
OctT, 14 
OerUnil, M. 
Oreenhill. 107. 
Giitznier, 77. 
Biua, 39. 
Huselberg, 47. 
Ilayasbi, 24. 
Heiberg, 32. 
UulUcii, :n. 
Jägenuaon, 86. 



Kaptoyn, 5. 
Klein, 68. 69, 78. 
Klayver, 5. 

Königsberger, 71, T2. 74. 
Korteweg, 5. 
KucbumewBki, 38. 
Lampe, 4. 
Leudeedorf, 88. 
Lindt, 64. 
Loria, 3, 16, 81. 
Hacfarlane, 67. 
Mach, 18. 
Uahlcr. 25. 
Marriott, 96. 
Hoon. 28. 
Muller, Ad., 53. 
Miiller, ronr. H., 83. 
MiilK-r, Fehl, 75, 
Neuniann, Lonise. Ti. 
;)äther, 89. 
ütUngen, 76. 
PepmJ, 23. 
Plana, 51. 
Poggendorif, 76. 
Porto, 50. 



Havean. 88. 
Bayea Prosper, 58. 
Blus y Casao] 111. 
Sacoheri, 59. 
Sauerbeclc, 61. 
Schiaparelli, 29. 
Schmidt, \V., 37. 
Ncboate, 5. 
SebwaiKsohild, 69. 
Seeliger, 90. 
Sturm, A., 13. 
Stnrm, R., SB. 
Tannery, 6. 
Tonni-Baiza, 45. 
Tropfke. 15. 
VaitaU, 33. 
Vanx, 35. 
Veroneee, 89. 
Voit, 93, 106. 
Wilson, 86. 
Wölfflng, 65. 
Zeutben, 9, 10, II. 



a) Zeitschriften. Allgemeines. 

Äbhani) innren zur Geschichte <ler mathe- 
aiatiechen Wiaaeuechafteu. Leipzig. 8o. [1 
1« (19l>4). - 19 (1904). 

ÜibliothecB Mathematica. Zeitschrii't für 
Geschichte der mathematiBchen VVisseu- 
ichafteu. Herauagegebeu vou G. Ese- 
»TBo«. Leipzig (Stockholm). 8". [2 

5, ll9Ü3|:3. — [Recension deaBandesa](1902i:| 
Nyt Tidmkr. for Mathem. lt. 1904, B:17. 
(c. J.) — [Rezeniion des Bandes 4] (1903):] 
finixcllti, Soc. scient., Revue des qnest aoient. 
63, 1904, 4,'i9— 462. (U. Bosjias».) 

Gollettino di bibliograGa e storia delle 
scienzo matematiche pubblicato per cura 
di 0. LuBiA. Toriuo (Genova). 8*'. [3 
1904:3. 
•lahrbuch über die Fortschritte der Mathe- 
matik herauBgegeben vou E. Lami'e. 
Berlin. 8<». {4 

U (1903) : 1—2. — Die Seiten 1-71 enthalten 
ReAsratn der im .lahie 1901 erschienenen 
matbematiach-hintoriscben Kchriflen. 



I Revtie Bemestriolle des pablicationg math^ 
uatiques, redigi^e bous iea aunpices de 
la sociät^ niatht-iimtii|\ie irAmsterdam 

I par P. U. ScuouTE, D. J. Koktiiweu, J. 

, C. Kluvveb, W. KArTsvw, J. Cardu<aa.l. 
Amsterdam. 8». |5 

IS : 3 (ootobre 1903 - avril 1904). 




Taanery, P., De l'histoire gtn«rale des scienoes 
(1904). [Reaenaion:] BruxrUes, Soc. aoient., 
Revue des quest. soivnt. Sj, 1904, 662—603. 

(Q. BnSHAM») 16 

Caator, ■. , Vorlesungen über Geschichte der 
Mulhematik.— 2'(1900). [Kleine Bemerkungen:) 
Biblioth. Mathem. 5j, 1904, 306-307. iF«. 
Uiuan, O. E.1C9TII0.1C.) — 1> (1901). [Kleine 
Bemerkungen:] Biblioth. Uathem. Sj, 1904, 
906—310. (J.ExKLr.,F.]lCi.i.i!K,G.En!>THOii.) [7 

Cantor, H., Über eioen 4. Band vou 

Cantor, VorleBungen über Geschichte 

der Mathematik. [8 

Deutsobe Uathem.- Verein., Jafaresber.lS, 1904, 

47.'>-478. 



422 



Neaencbienene Schriften. 



Itistoirc lies msUitBUUiilIM <waa 
TkutiquiM et le moym &g«. Edition mnvaiM 
(IMBi. fEezenHicu:]C*aopltpropistov.aMtlMB. 
S2, 190«, 383. — Kevne gtntr. d. «o. 14, ItOS, 
Il«>ä-n07. [V 

Entiiea. B. 0., ParolECaniiiKer OT«r Ifkth»- 
maiikena HiMoriu. II I19(B). [BaiaaiiOB:! 
N) t Tulnkr. tot MaUiem. 14. 18US, B : 85—07. 



(J. P. Okah.> 



[10 



787-788. 



Ihihem, P., Leg origines de la statiqne. [ 19 
UnatUtt, 8oc. solent , Revue das qaest. seien t. 
6,, 1904, 9-66, $94—173. 

€a8UUiI, P., Sulla projezione stereo- 

•copica. (20 

Ventzia, Istituto Veneto, AtU 61, 1901—1902, 

35—43; «8, 1902— mO, 2 S. — Historische 

Abhandlung. 

Feldhaus, F. M., Lexikon der Elrfindungen 
und Entdeckungen auf dem Gebiete der 
NaturwiBsenschafteii und Technik in 
cbronologisoher Cliersicht. Heidelberg, 
Winter 1904. [21 

»>, YIU-I- 144 S. 



Zealk», H. fl.. Oeeehiebte der Mkthemmtik im 
XVI. und XVII. Jahrhundert D«ntiche Au>- 
Uabe (1903). [Ruzen.'iion ;] Liier. Centr»lbl. ,>ö, 
IflOl, 715. (— ».) — UruxelUs, Soc. icirnt., 
Bevne de« quem, scienl «j. 1V04, ««.>— 667. 
(B. BmaiiM.i [11 

BilU W. W, B., Breve oompendio di «tori* delle 
matemstiche. Tenione dall'inrleee I— II 
11903-1904). nSMeiiHion:] Biblioth. Hatbem. 
6], 1904, 313—318. lO. ExifTnöa.) - Fetiodioo 
dl nmlem. 2,. 1904, 9S-M. (12 

Stiimi, A.. Geschichte der Mathematik. 
Leipzig, Göschen 1904. [13 

8», 152 .s. — [80 Pf.] — Sammlung Oöachen 
Mr. 228. 

Oeer, P. ran, De herleving der mathe- 
matische wetenscbappen. Hede, nit- 
gesproken trjt opening zijner acade- 
misclie Icssen als privat-doceut. Lei<leu, 
Sijthoff 1904. [14 

8", VIII + 45 8. 

Trepfke. J., Geschichte der Elcmentar-Uathematik 
in systematischer Darstellung. I— II (1902— 
I9lB). [Bezensloo.J Natiire U«, 190J— 1W)4, 
76-77, 409-410. (U. B. K.) (15 

Lerla, fl., Hpezielle algebraische und tiansscen- 
dente ebene Knrren. Theorie and Oeachlohte. 
Dentaohe Ausgabe (1902). [Bezeiudon:] Oiom. 
di matem. 48, 1934, 1'I9 - 124 (G Vivajiti.) 

— Liter. Centralbl. 54, 1903, 676-677. (— ».) 

— Periodico di matem. t,, 1904, 94—95. (K.J 

— Zeitschr. für mathem. Dnlerr. 3S, 1904, 
42<-42J. (W. Ahki;x..I (18 

Braaaaaliil, 1. lon, Vurlesnugen über Geschichte 
der Trigonometrie. 11 (19«}). [Rezension:] 
Bollett. di bibliogr. d. •<-. mutem. 7, 1904. 
71—75. (0. L.) - Liter. Centralbl. 54, 1903, 
876. (— « — u.) — Zaitschr. fhr mathem. 
ünterr. 35, 190», 415—417. (S. OcxrirsK.) (17 

Maek, B., La m^oanique. Expoe^' hi«turiiiue et 
critii\ae de son d<!veloppement. Tradait pjir 
E. BKaTKAXu (1904). [Rezension:] Amtterdam, 
Wisk. geaooU.. Nieaw arohief i,. 1904, 293— 
394. {Z.) — Bevne scient. 20| : 3 , 1908, 



Ahrenit, Yi., Scherz und Km(t in de 

Matliematik. Geäugelte und ungeäägelt«! 
Worte, gesammelt und herauigegeben 
Leipzig, Teubner 1904. [T 

tfl, X + 5M 8. - ^11.] — 

DeoiMhe Literaturz. 36. 1W4, T' 

Lajii*k.) 

Peprny, L., [Beiträge zur Geschichte de 
Mathematik tu Böhmen] IL 

Casopis pro pSstov. mathem. O, 1906, 57— eS. 
— Czechisch. 

Hayashl, T., A brief historjr of the 

Japanese mathematice. [24 

AmtUrdam, Wisk. genoots., Nieaw anhicf 

«]. 1904, S96-324. 



(18 



b) Oeschlohte des Altertiiina. 



I 

1 



Hahler, E., [Die mathematischen um ^ 
astronomiiohen Kenntnisse der ÄgypterL 

Mathematikai ta phynkai lapok 13. 190t. 
30-.S3, 1V8-148. — ungarisch. 

CBntor, H., über die Uteste indische 
Mathematik. |26 

Arch. der Mathem. 8,, 1904, »—72. 

Cerettl, D., Intomo ad una data storic 
siiUa conoscenza di x prcsso i Cinesi. ['27 
Rivisla di fluica tPavia) 4 : 2, 1903, 520— 527J 

Moors ) B. P., Le sTsteme des poidi,! 

mosures et monnaie« des Isra^litesd aprii [ 

U Bible. 

4", (2i + 62 S. -(- 6Tab. + 1 FlgnrenUf. -i 

[Rezension:] Zeitscfar. für hebr. Biblioic^T. M 

190t, 110. (H. STKIXBClIXKIDKa.) 

Seklaparelll, 6., L'astronomis nell' Antico Testa>] 
mento '1903). [Rezeneion :| Liter. Centralbl. I~ 
ISO«, 363— 3Ö4. (B— «.) [II 

Fuzari, 6., Breve storia dell' aritmeticft^ 
e doli' algebra noi tcmpi antichi. [30 
11 Pita)?oni 10, 1904, «-92, 131—131. 

'Bindel, K., Verguche der Alten oml dei^| 
Araber im Schtilunterrichte. BamberH^I 
1908. [31 

8°, 38 8. — Programm. — Ober die Oeaehiehte 
der Mechanik und Physik l)ei den Grieche) 
Bnd Arabern — [Rezension:] ZciUchr. fd 
mathem. L'nterr. 35, 1904, 342-343. (E 
WuLiiiTiia«.) 

Heiberg, 3. L., Mathematisches zu AriBti 
teles. [9 

Alihandl. aar Gesch. der matbeni. Win. 19 
1904, 1-49. 

Tallatl, li., A propocito d'un paeso d< 
Tceteto e di una dimostrazione di| 

Euclide. [3 

RivisU dl flloaofla (Bologna) 8:1, 1904. tl 8.] 

Halt8eh.F,, DieSexageFimalrechnimgen in 
den Schulien zu Euclids Kiementen. |34 
BibUoth. Hatheni. 5,. 1904. 22S-2£1. 




Neuerschienene äcbrii^n. 



Tin. r. d*. Ije livrr des anparaila pnenmatiiines 
et iie* machinea bydrauliqnes rar Ftailon de 
Byzanoe (1902). [Kezengian :J hrujxUm. .Soc. 
■Bient., Rera« des qnest. iieieDt. Aj, 19M, 667— 
W8. (H. Bci>aiA!<5.) |35 

Kucharzewski, F., Dy Optra Herouft i 
(•niba jej odtworzeni». [36 

Wiailiiinoaei inat«m. 8, 1B04, 83—76. — Beroiu 
Dioptrii und dieVerancbe sie r.u rckotutruieren. 

Schmidt, Wilb., Aus der antiken Mecha- 
nik (37 
Nene Jahrbdcber fllr das kliuaiscbe Altertum 
I91I4. 

'^Ernst^ G., \)o ffeometricis illiu, quae siib 

Hoethii nomine nobi» trsilita sunt, 

«juaeetionee. Bayreuth 19U3. [38 

9», 33 S. — Programm. — (jtazeDBion :] Zeit- 

■ohr. mr matbam. Unterr. 35, 1904, »43—344. 

(B. WMLXITHaB.) 



c) Oeschiohte des Mittelaltera. 

*Haa8, K., l^ic Mathematik der Inder. |39 
Dsleneiobiiobe UitteUchalc 18, 1904, 1—11. 
— lUezension:] Dentaobe LitvratoTZ. 25, 
\9A, Ü257. 

Butas, ■., Urkunden zur Oescbichte der Matbe- 
matik im Mittelalter nnd der Renaimasce 
(IKU). IRccenaian:] Bullet, d. sc. matbim. ZK,, 
1904, IM— 173. (P. Taxxibt.) |40 

Canpagrne, M., De l'emploi des cbiffires 
dits arabeH au moyen ilge. 1904. [41 
80. 42 Ü. -f 2 Taf. 

^nestrSm, 6., I''ber die Geschichte der 
Heronsclieu Dreiecksformel im christ- 
lichen Mittelalter. [42 

Btblioth. Mitthcm. S„ 1904, »11—812. — JU- 

frage. 

Bosmnng, H., Heniiann le Dalmate, 
traductour des traites arabes. [43 

BruxtUf», Soc. acient., Revae des qnest. 
soient. 8], 1904, 669—672. 

Enottrltm, 0., Über den Verfasser einer 

von Curtie (1898) herausgegebenen 

Algorismus-Schrift aus dem 12. Jahr- 

b\indert. [44 

Bibliotb. Matbem. 5,, 1904, 612. - Anfrage. 



d) Oeschiohte der neueren Zeit. 

Tonni*BazKa, V., Di Nicolö Tartaglia; 
framnicnti ili nuove ricerche. |45 

Roma. Accad. d. Lincei, Rendicoati 13> : 1, 
1904, 27-30. 

Ehwald, R., Tvchn Brahe und Friedrich 

Wilhelm von Sachsen. [46 

Oentmlbl für BiMiotbekaw. 31, 1904, 1(^—121. 

Hagselber;;, B., Frils, F. R.. Ehwald, R., 

Weitere Exemplare von lycho Brahes 

Mechanica. [47 

r'.iintral1>l. fHr Bililiotbeksw. 31, 1904, .196-403 



Faldhaaa. W. M., Die Begründnng dor Lehre von 
MngnMtismaM iiDil Rlektricititi durch William 
Oithert (IW4i. [Kexou^iou:] Deuloobe Lito- 
raturz. 36, 1904, 177«. [48 

* Fahle, J. J., Galileo. Bis life and worke. 
London, Murray 1903. [49 

»>, XVI -j- 451 S. — [16 sb.) — [Rezension :] 
Nutnre «9, l9iM, 505—507. (0. H. BaiA.» ) 

•Porte, E. de, Galilei's Begriff der 
Wissenschaft. Marburg 1904 [50 

»>, .'i4 S. — Dissertation. 

FaTaro, A., Una critica di Giovanni 
Plana ai dialoghi Galilejaui delle nuove 
scieDKe. [51 

Tmno, Aciad. d. «c. Atti ;l», 190«. 11 8. — 
Am Knde (S. 6— ll| int eine Note von Jsax 
Pi..v.<i.t vom 18. Jannar 1843 zum Abdmok 
gebracht 

Fararo, A., Amici e rorriepondenti di 
Galileo Galilei. XI. Cesare Marsili. [52 

Boloffna. Dopntitzione dl .storia patria per la 
Romogna, Atti e raemorie 33, l6ü4. 72 S. 

■llUr, Ad,, .lobann Keppler (19031. [Rezension:'] 
Bruxellts, Koc. scient , Revue des •ineat. soient. 
0,. 19(M, 673-674. (U. B<>»■^x•<.) (58 

tierland, £., Über die Erfindung der 
IVudelahr. [54 

Bibliotb. Matbem. &„ 1904, 234—247. 

ChazotteB, J., Sui une pretenduo faute 
de raisonnement que Deacartes aurait 
i'ommiso. [55 

Arcb. für Oesoh. d. Philosopbi« 17. 1904, 
171-175. 

Aubry, A.. Dcux th^ovi^mes de Gregoire 
de St.-Vincent. [56 

Matheais 4,, 1904, 129-130. 

Bosmans, B., Les demiers tmvaux biblio- 
jfrajihiques sur Ics onvrages de Michel 
Floreut Vau Laugren [57 

llruxctUs, Soc. scient., Revue des qnest. soient. 
«a, 1«0», Ö74-«77. 

Reyes Prosper, V., La obra cientilica de 
Seki y de sus discipulos [58 

Madrid. Acad. de cienciaa, Revista 1, 1904, 
251-354. — Über den Japanischen Hathe- 
miitiker Sbki (t 1708). 

Saetheri, fl., Knclido emendato. Tradnzione 
e note di 0. BorcAaDixi (1904). iRi'Zensiou:] 
Bnaullt», Soc. soient., Heyne <lesqiii-9t xcient. 
«,. 1904, 618-619. (P. M.) - Matbeüis 4,, 1904. 
ll« P. M.) [58 

Enestrüin, G., Der Briefwechsel zwischen 
Lcouhard Euler und Johann 1 Ber- 
uonlli. n. [60 

Bibliotb. Uatbem. 5„ 1901. 348-291. 

Maasrbaok. P., Einleitung In die analytische 
neumctrio der büberen aleebraiscben Kurven 
nacli den Methoden von J. P. de Onn de Malves 
I190Z). [Rezension:] UntxrUea, No«, acient., 
Revue lies qnest. acient. ß,, imt, 'J8I)-2M. 
(U Bo«MA!><>.) — Nyt Tidaski. for Uathem. 14. 
190», B : 07—89. (T Boxsssa« ; [61 



424 



Neuergchianene Schriften. 



'Feldhans. P. M., Zur Geschichte der 
rimkcutelcgraphie Die Erfindung der 
elektrischen \ erstärkuugstluEohe durch 
Ewald Jürgen von Kieist. Heidelberg. 
Winter 1903. |«2 

»♦>. 29 s. — («I Pf.] — IRpiension .] Deutsohe 

Lit«ratarz 2S. 1904, 1%1. 

■iU*r. Coarad H., Studien zur Oeschichte iler 
Matbematik an der Univcniität OotUogen im 
18. Jahrhundert (1904). [Rezeiisian :j Dcutacbo 
LtUraturz. 28, 1904, 1897-1888. (A. von Bbacs- 
Mfui..) (88 

Lindt, R., Das Prinzip der virtucllea Ge- 
schwindigkeiten, seine Beweise und die 
Unmöglichkeit seiner Umkehrung bei 
Verwendung des Begriffes „Gleich- 
gewicht" eiues Massensyiitems. |64 

Abhandl. zur Gesch. d. miithcm. Wias. Ix, 

19l>4, 145-196. 

WdlfHag, G., Mathematidoher Bttohencbatz. I 
(I9ÜH). fRezenMon ] Untxtllrt, Soo. soient., 
Revne des quest. 8<'tent ßj, 1904, 350. — Nyl 
Tidsskr. for Halbem. 1&. l'KM, B : 15—16. (C. J ) 
— Tbe matbem gaxett« S. 19(B-1904, 391. [65 

Burkhard!, H., Entwicklungen nach 
oRcillireuden Funktiuneu. Bericht. 4. Lie- 
ferung. |B6 
DeuUcbe Uatbem.Vcrvin.. Jabreaber. lU: 2, 
I9UI, 769-l(i?2. — tselligtanxeige:) Deatscbe 
Matbem.- Verein. ..lalirral.er. 13, 1904, 500-SOl. 

MaefarlaB«, A., Biblio^^phy nf i]a.tlprnlooa and 
«Uied Systems of niathtmatica (19ü4i. [R(>zen- 
sion:] Atn^tmlnm , Wiäk. genoots., Nieuw 
archief (,, 19i>l, 'J94— '295. iKi,.) [«7 

Klein, F., Hundert Jahre mathematiucheu 

Unterrichts an den höhereu Schuleu 

rretißens. [68 

Deutsohf Mathem. - Terein. , Jabresber. 13, 

1904. 347— 3b6. 

Klein, F. und Schwarzschild, K., Über 

das in der Festschrift zur Feier des 

hundertlunfzii^ährigeQ Bestehens der 

k. (iesellschaft der Wissenfchaften mit 

dem QauUschen Tagebuch c reproduzierte 

Horträt „des 26-jührigen Gaiiß". [69 

Güttingen, Oesellsob. d. WlMensoh., Nach- 

ricbten 1904, U8— 134. — Das Portr&t stellt 

nicht QjLcnB, sondern BaiasL dar. 

Niels Henrik Abel. Himorial pnbli« i> l'oroaaion 
du centenaire de sa naiasaoce (1903). [Kesen- 
sion:] Arcb. der Hatliem. 8,, 1904, 162— 1G5. 
(E. Laxi'x.) [70 

Künig^Bberger , L., Carl Gustav Jakob 
Jacobi. Festsclirift zur Feier der 
hundertsten Wiederkehr seines Geburts- 
tages. Leipzig, Teubnor 1904. [71 
so, XVIII -f 554 s. + Porträt + Fakaim. - 
[16 M.1 

Könl^berger, L., Carl Gustav Jakob 
Jacobi. Rede zu der tou dem inter- 
nationalen Mathematiker - Kougress in 
Heidelberg veraustalteton Feier der 
hundertetou Wiederkehr seines Geburts- 



tages gehalten am 9. Angnct 
Leipzig', Teubuer 1904. {"fl 

4", (2) + 40 S + rortrit. - • •bB^ 

druckt:! D->aUclK< Math": ilo» 

her. 13. 1904, 105— 438 + Pli: .nlut 

des Abdruckes folgt Anspraciie bei di t Jv^vm- 
Feier von U. A. SruoAU iS. 433-43S). 

*!(eaiuanD, Lnlse, Franz Xeomano &- 
iunerungsblätter von seiner Tochte 
Tübingen, Mohr 1904. [Uj 

8», XII + 459S.+ PortTÄt — r6 1l.j-[h-] 

zension:] Deutsche 51 "' "-rein., Jen» ' 

ber. 13. 1901, 488. l ■ - brtba« 

Literaturz. 24, U«.'- -'rf7. \1tui 

HCLLXS.) 

KSaicsbnwer, L., Uermano «na Bi^lakolli 
(190'2-1S03). |E»-7.ension:l p ■■ ■tili««!, 



d. 90. matem. 7, \t^^, 
mathem gazt!ttet, lft!ß— IS) ' 






Xfiller, Felix, Uas Jahrbuch ülxr liic 

Fortschritte der Mathematik 1S6!>- 

1904. i'Ji 

Bibliotb. Mathem. 6,, 19U4, 29-i— 297. 

J. C. PoggendorlTs Biographisch-lit««- 

risches Hamiwörterbuch zur Gefchifbl» i 
der exakten Wissenschaften. ViiilM 
Band (die Jahre 1883 bis zur Gegenwut , 
umfassend), borausgegeben von 1 i. 
SOS Oettixoes. Lieferung 20— Ä 
Leipzig, Barth 1904. lÄlj 

9», Xll fS. + 3. 1399-1718. - (15 Jt] 

liutznier, A., Geschichte der dmitKte 

Mathematiker-Vereinigung von ihir i 
Begründung bis zur Gegenwart. ('< | 

Dcntschf; Mathem.-Verein., .lahresher. !♦ I. , 
1901, 1— S7. — S. 50-67 enthalt ein «o»'- 
Wi.LriiNu liearbtiti^tM 0«neTalrisgistu il«r ' 
12 «rstuu Uande der .Jahrasbeiicbts'jr 
IRezcnsionJ Deutsche Lilentturz. it. I". 
255y. (M. Ca» loa.) 

Klein, F., Mathematik, Physik, A«tro- 

nomic au den deutschen UniTergiW 

189.3 — 1903. n^l 

Deatsobe Mathem. -Verein , J«bt«V«t. •*,! 

1904, 457—475. — Aus dem Wtrk»; -IJ" | 

ünterrichtawesen im Deutschen Ileich' tl*"'' , 

International catalcigue uf scientifit' 'i'*" ' 

rature. Second annual issue. A. ^'''^1 

matics. London 1904. \"\ 

go, VIU + 263 S. — [15 ab.] 

[Bericht über die von ilex phy*»» 
mathematischen Gesellschaft in pQ " ' 
zu Ehren des 100. Geburtstage» ; 
W. ( »strogriidskij veranstaltet« 
Poltuwa 1902. 
S>, 13» S. — Roasiseh. 

Loria, 6., Un article de L. Cremon» f^ 
Giovanni Ceva. ' 

Bibliotb. Mathem. &3. 1904. Sil. 

Max Niictber. L 

Americ. K'um. of mallirm. M:l, liO^ 
Nur Bildnis in Pbotographie. 



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cipaux travaux mathOmatiqnes. Paris, 
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leoTge Johnstoii Allman (1824—1904). [84 

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Pedor AJexandrowitsch Bredlohin (1831 — 
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Natnre 70, 1904, 252. — Natnrw. Bundnohan 19, 
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Deutechu Literatarz. 2.^, 1904, I77H-17T9. — 
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Porträt and Schii<tviiverze.iclinis]. (Poloische 
Übersetzung de^^ Ni'krülnges von O. VHat.auK 
in den „Rendiconti dell accad. dei Lincei" 
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Bollctt. di l.ibliogr. d. sc. matem. 7, 1904, 
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Josiali Wiliard 6lbbl (1839—1903). [95 
ItmilMi. Mathem. soo., Prooeedines Ij, 1904, 
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1904. rvt. 

*ro»per Henry (1849—1904). |97 

BrvzeU'is, Soc. scii<nt.. Revnn di-s quest. 
«cient. B,, 1904, M0-.'M2 



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Zeitsclir. für matlieui. tlnlerr. :I6, 1904, 
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Ernest de Jonquieres (1820—1901). [99 

Matheais I;,, \SW. 224—225. 

William Irrine Rttohle (V- 1903). [100 
London, Mattem, soc, Proceedings .15, 1903, 
471. 

Isaak Roberts 11829— 1904). |10I 

Sature 7«, 1904, 202-303. 

George Salfflon (1819—1904). [102 

Bnixcllex, Soc. scient., Revue des qaest. 
scient ü,, 1901, '.W. — Londmi, Mathem. soc, 
Proceediiigs Ij, 1904,XX1I— XXVIII. ;R.Bai.l.) 
- Naturc «», 1901, ;t'^4— 32«. 

Emile Sarrau (18.37—1904). [103 

L'ensoignement mnthem. K, 1004, 311. — 
NaUre 70, 1901, lOtJ. 

Heinrich Edmund Sohwanneoke (1845— 
1902). [104 

Programm des Kimigstädtiscben Realgym- 
nasiums (Berlin) 1902, A—1. (O. Bki-lkshaks.) 

Charles Soret (1.S54— 1904). [105 

Nature 70, 1904, 250-252. (B. Oalti».) 

George Gabriel Stokes (1819—1908). [1W5 
hruxellfii, Soc. scient., Revue des qncst. 
scient. n,. 1904, 33«— 340. — Mani:he3ter, 
Liter, and jibilos. soo., Hemoirs and procee- 
dlngs 47, 1902/3. XL VI— XL VII. — ifilwhm. 
Akad. d. Wiss., SitzungHber. 33, l<Kn, 550— 
.W6. (C. Vorr.) — BoUett. di bililiogr. d. sc. 
matem. 7. 1904, 96. — Revue g^nftr. d. sc. 15, 
1904, 22-29. (U. BuiLuifiR.) 

George Heury Stuart (?— 1903?) [107 

London, Halbem, soc, Prooeedings Ij, 1904, 
XXIX. (A- Q. Okbinhill.) 

f) Aktuelle Fragen. 

Eneström, G., Welche Forderungen sind 

an Kozen.<iionen mathematischer Arlieiten 

zu stellen? [108 

Biblioth. Hatbem. 5,, 1904, 298-304. 

Bosmfkn», H., Sur nn projet de biblio- 

tfaeifne centrale des mathematiquns ä 

ereer en AUemagne. { 109 

Revue des bibliatbt^i|U« et arebives de 

Bclgi.iue. 2 3, liKM. 3 S. 

Favaro, A., Intomo slla opportunitii di 
apporre la data agii orticoli nei periodic! 
acieutilici. 1 1 10 

Rivistu di flsica (Pavia) 5, 1904. 259— 2U:<. 

[Internationaler MathematikerkongrcB in 
Heidelberg 1904.] |111 

L ensetgneraent mathtin. 6, 190», 379-400, 
47fl-481. (H. Fbhb.) — Nature 70, 1904. 417 
— 41H. (ti. H. BntAK.) — Perlodioo di matem. 
2j, 1904, 9.^-9«. — Bevisttt trlnicstrul de 
mateni. 4, 1904, 171— 17(i. (J. Riv8 t Casa».) 



I 



426 



WingeiiHchaftliche Chronik. 



Wissenschaftliche Chronik. 



Emennniigeu. 

— ProfesDor H. Battermahm in Berlin 
zum Professor der Agtronomie an der 
Universität in Königsberg. 

— Dr G. A. Blis« in Chicago zum Pro- 
fessor der Mathematik an der Universität 
Tou Missouri. 

— Dozent E. Cabtan in Lyon zum Pro- 
fessor der Mathematik an iler Universität 
in Nancy. 

— Dr. A. CoTTos in Paria zum Profesior 
der Mechanik au der Universität in Grcuoble. 

— Privatdozent K. Ck.inz. in Stuttgart 
zum Professor der Mathematik an der 
militür-techniachen Akademie in Berlin 

— Dr. P. CitKiK in Paris zum Professor 
der Physik an der Universität daaelbst. 

— Frivatdozent Doi.kzalek in Berlin zum 
Professor der Physik an der Technischen 
Hochschule in Danzig. 

— Dozent J. Dbach in Poitiers zum Pro- 
fessor der Mechanik au der Universität 
daselbst 

— Professor H. Gkassxann in Halte a. S. 
zum Professor der Mathematik an der 
Universität in Gießen. 

— Professor N. .1. Haiv.ipaki.i in Athen 
zum Professor der Mathematik an der 
Universität daselbst. 

— Professor L. Hefkteh iu Bonn zum 
Professor der Mathematik an der Tech- 
nischen Hochschule in Aachen 

— Privatdozent G. Hkmsenhkiiu »um Pro- 
fessor der Mathematik an der Teohnischen 
Hochschule in Berlin. 

— Dozent C. A. Uüi.dkn in Philadelphia 
zum Professor der Mathematik am „Dart- 
mouth College*. 

— Privatdozent J. J. Kossumooofk in Kiew 
zum Professor der Physik au der Uni- 
versität daselbst. 



— Dozent A. Lamva in Wien zum Pro- 
fessor iler Physik an der Universität da- 
selbst. 

— L. Lkcoiini' in Paris zum Professor 
der Mechanik an der ,Ecole polyt«chnique* 
daselbst. 

— Professor L. Fkakctl in Hannover 
zum Professor der Physik an der Uni- 
versität in OOttingen. 

— Professor L. Kaffv in Paris zum Pro- 
fessor der Mathematik an der Unirenität 
daselbtt. 

— Dozent H. L. Rnrrz in ürbana, Dl., 
zum Professor der Mathematik an der 
Universität von Blinois daselbst. 

— Professor K. Koii.x in Dresden zum 
Professor der Geometrie an der ünivei 
tat in Leipzig. 

— Professor E. Rusoe in Hannover v 
Professor der angewandten Mathematik 
an der Universität in Gdttingen. 

— Professor N. N. Scuillkb in Kiew 
zum Direktor der Technischen Hochschule 
in Charkow. ä 

— Professor F. Schii.mxo in GSttingeir 
zum Professor der Mathematik an der 
Technischen Hochschule in Danaig. 

— Privatdozent K. ScnBEOKs in Greift 
wald zum Professor der Physik an der 
Universität daselbst. 

— ProfeMor J. Sommer in Poppeisdorf 
zum Professor der Mathematik an di 
Technischen Hochschule in Danzig 

— Professor Jixes Tashcbt in Paris zum' 
Professor der höheren Analysis an der 
Universität daselbst. 

— Privatdozent P. W. Woaoinrrz in Kiew 
zum Professor der angewandten Mathe- 
matik an der Unive; 



!um^^ 



1 



WigBenachafliliche Chronik. 



427 



Todegfllle. 

— Fbancbsco Chizzomi, Professor der 
Geometrie an der UniTersittt in Modena, 
geboren zu San Martino dell' Argine 
(ProT. Mantna) den 10. Augnst 1848, ge- 
storben in Modena den 20. September 1904. 

— Fbudbich EissKLOHii, a. o. Profeggor 
der Mathematik an der Universität in 
Heidelberg, geboren in Mannheim den 
16. Juli 1881, gestorben den 22. Juli 1904. 

— JosKPH David Evbrktt, früher Professor 
der Phygik am „Queens College" in Belfast, 
geboren in Ipswich den 11. September 
1831, gestorben den 9. Angnst 1904. 

— WiLHKm Febdinard FuBBMAmi, Pro- 
feMor der Mathematik an der Oberreal- 
schnle in Königsberg, geboren zu Borg 
bei Magdeburg den 28. Februar 1883, 
gestorben den 11. Juni 1904. 

— H. P. Gdbket, Direktor des „Durham 
College" und Professor der Mathematik, 
geetoiben den 13. August 1904. 

— R0KAI.D WlUlAH HGlTBy Ti'Biraui.L 

HcMov, „lecturer in mathimatics" an der 
.nniversity College" in Liverpool, gestorben 
Iwi Bethesda (North Wales) den 20. Sep- 
tember 1904, 28 Jahre alt. 

— HtRMAm EoBTCM, Professor der Ma- 
tbematik an der Universität in Bonn, ge- 
boren den 21. September 1836, gestorben 
in Berlin den 24. September 1904. 

— Eabl Sbum LekstbSm, Professor der 
Itysik an der ünirersifät in Helsingfors, 
geboren sn Inga (Nyland) den 17. Nov. 
(*■ 8t.) 1838, gestorben in Helsingfors den 
2- Oktober 1904. 

— Chabltoh Thomas Lewis, Mitglied der 
»American mathematical society*, gestor- 
•>«n in Morriston, N. J., den 26. Mai 1904, 
70 Jahre alt 

~- Jules Chablks Antohin Mace de L^- 
"»«, Professor der Physik an der üni- 
^•niföt in Marseille, geboren in Grenoble 
den 18. Angust 1851, gestorben im No- 
vember (?) 1904. 

— Kau. vob Ott, Professor der Mecha- 
nik an der deatschen Technischen Hoch- 
■chnle in Prag, geboren zu Kiritein (Mähren) 
den 18. April 1835, gestorben in Brunn 
den 23. August 1904. 

— Kabl Pbbhtheb, früher Professor der 
Mathematik an der Technischen Hoch- 
tchnle in Brunn, gestorben- in Wien den 
13. Oktober 1904. 



— Geobob Pibte, Professor der Mathe 
matik an der Universität in Aberdeen, 
gestorben den 21. August 1904, 61 Jahre 
alt. 

— Fbahe Gustave Radelpinqeb, Pro- 
fessor der Mathematik an der ,Columbian 
university" in Washington, D. C, g^torben 
in Washington den 15. August 1904, 34 
Jahre alt. 

— Alaebt Billibt, a. 0. Professor der 
Physik an der Universität in Genf, ge- 
storben im Juni (?) 1904. 

— IsAAK Robbbts, Astronom, Besitzer des 
„Starfield observatory" in Crowborough 
(Sussez), geboren in Denbigh (North Wales) 
den 29. Januar 1629, gestorben in Crow- 
borough den 17. Juli 1904. 

— Emile Sabsau, Professor der Mechanik 
an der „Ecole polytechnique" in Paris, 
geboren den 24. Juni 1837, gestorben den 
10. Mai 1904. 

— Jebomb Soitdbbickbb, Professor der an- 
gewandten Mathematik an der Technischen 
Hochschule in Boston, gestorben in Wil- 
mington. Vi den 22. Juli 1904. 

— Paui. TAmrBBY, Direktor der Tabak- 
fabrik in Pantin, geboren in Mantes den 
20. Dezember 1848, gestorben in Pantin 
den 27. November 1904. 

— P. VAU DEB VijET, früher Professor 
der Physik an der Universität in St. Pe- 
tersburg, gestorben daselbst 1904, 64 
Jahre alt. 

— Emilio Villabi, Professor der Physik 
an der Universität in Neapel, geboren in 
Neapel den 25. September 1886, gestorben 
daselbst den 19. Augnst 1904. 

— Wilhelm Wbisb, Professor der Mathe- 
matik an der deutschen Technischen Hoch- 
schule in Prag, geboren 1859, gestorben 
in Prag den 18. Juni 1904. 

Mathematl8oh«liigtorlsehe Arbeiten 
in Vorbereitung. 

— Eine Fortsetzung der CAirroBschen 
Vorlesungen über Geschickte der Mathe- 
matik ist jetzt in Aussicht genommen. 
Diese Fortsetzung bezieht sich auf den 
Zeitraum 1759 — 1799 und wird neun Ab- 
schnitte enthalten, von denen der letzte 
(Die Entwickelnng der mathematischen 
Ideen 1759— 1799) von Herrn Cantob selbst 
bearbeitet werden wird. Als Mitarbeiter 
sind angekündigt die Herren S. GOnthek 



428 



WisaeuBchsniiche Chronik. 



((ieschichte ilcr Mathematik, Klassiker- 
Busgabeu, Würterbücberj, V. BuiiyMs (Ele- 
mentargeometrie), A. vox Bhai-xui iii. (Tri- 
gouometrie), F. Cajori (Arithmetik und 
Algebra), E. Nktto (Reihen, Kombinatorik, 
Wahracheinlicbkeitsrecbnung, Imaginäres), 
y. KoHMERiu. (Analytische Geometrie;, 
G. Luau (Darstelleude Geometrie), G. Vi- 
VASTi (Differential- und Integralrecbnnng), 
C. U. Wallseu iBifierentialgleichungen, 
Variations- und Differenzrcchnnng). Herr 
Cantdb hofft, daB die Arbeit schon im 
Jahre 1906 erscheinen wird. 

YorlesiiDgcn Über (Jesrhichte der 
Matheinnllk und Astronomie. 

— An der Universität in Berlin bat 
Professor W. Föbsteb fiir das Winter- 
semester 1904 — 1905 eine zweistündige 
Vorlesung über Geschichte der alten 
Astronomie angekündigt. 

— An der Lniversität in Breslau hat 
Professor K. Sxrnv für das Wintersemester 
1904—1905 eine einstüudige Vorlesung 
über Geschichte der Mathematik ange- 
kündigt. 

— An der Technischen Hochschule in 
Darmitadt bat Professor Fb. Graefe für 
das Wintersemester 1904 — 1905 eine Vor- 
lesung über Geschichte der Mathematik 
angekündigt. 

— A propoB de memoriaux des factiltes 
des scienccs h Padora et u Napoli, le 
conseil supörieur de l'instruction publique 
en Italie a recommande Tiustitution de 
conrs d'histoire des mathematiques :i ces 
deux nniversites, pour ctre professes par 
MM. A. Favaho et F. Ahodco. 

Mathematiker- VorsamniInngPD 
im Jahre li»04. 

— Internationaler Mathenuiliker- Kongreß 
in Heidelberg. Der dritte internationale 
Mathematiker-Kongreß wurde vom 8. bis 13. 
August 1904 in Heidelberg gehalten und 
die Zahl der Teilnehmer betrug 336. 
Nach einem Begrüfiungsabend am 8. August 
fanden am 9., 11. und 13 August drei 
allgemeine Sitzungen unter dem Vorsitze 
des Herrn HümBicn Weber statt; in der 
ersten Sitzung hielt Herr L. K'ixinxBKRnEB 
eine Rede über C. G. J. .Iacobi und in 
den zwei folgenden Sitzungen wurden 
Vorträge von den Herren P. PArxi,E^Ti, A. G. 



GREKXUtLL, C. SbOKE Und W \V 

gehalten. Die Sektioussitznngen ÜLim 
am 9., 10. und 12. August statt; n nt) 
6 Sektionen (Arithmetik und Al^iia. 
Analysis, Geometrie, Angewandte Htft«- 
matik, Geschichte der Mathematik, IM«- 
gogik I und in denselben wurden nnsaa 
etwa 90 Vorträge gehalten. Von iIimb 
gehörten der Sektion für Geschicblt te 
Mathematik 1 1 Vorträge, nämlich rot de 
Herren M. Cajitob (Einführender Vuiteig 
P. TAMttBv (l'ber die Kurresponileni i 

sehen rtEBKAl NE Uud DiSSrAnTKSI. S. Dl 

STEIN (Über Wbonäki), M. Sixux \X\m 
Mathematik der Ägypter), H. G. Ism 
(l ber mathematische Terminol 
ScnLisi-v'GkK (Lber Fitii»' Gi 
Werke/, G. Eseströii (Über die 
sicbtignng des historischeu Elemeotei 
einer Encyklopädic der Matbemttikt, 
A. VON Brainmühl (Über die 6cmI 
der Differentialgleichungen), H.Si-m(' 
die Geschichte der arabischen xini 
dischen Mathematik), 6. Loria (CImi 
Geschichte der analytischen 6i 
G. Vailafi I über die griechischeG 
Auch in der Sektion für Pädagogik 
historische Mitteilungen vor. und die 
träge der allgemciuen Sitzungen «im 
zum großen Teil historischen Inhalt« - 
Mit ilem Kongresse waren zwei Ai 
Stellungen verbunden, nämlich ein« Lil 
raturaugstcUung und eine ModelUi 
Stellung: die erste wurde von 
A. Gl rxuKa, die zweite von Herrn M Di'nn 
eingeleitet. — Von den Kesolutionro d« 
Kongresses bezogen sich drei auf historucbe 
Gegenstände, nämlich : 1 . BefSrdenmg 
mathematisch -historischen l'nteiridil 
2. Herausgabe der Gesammelten Wri 
von Eileb; 3. Bildung einer mathemal 
historischen Gesellschaft. 



rucbe 

idiiS 
lifitm^ 

ittelfl 
Bre^l 

DSCb^ 

itech^ 



— Deutsehe Mathematiker- Vereinig 
Die.lahresversammlung 1904 der Dentteh 
Mathematiker-Vereinigung fand zu Bri 
18. — 24. September statt, in Oemetns 
mit der Abteilung I der 76. Deotscb 
Naturforscher-Versammlung. Vortragest)^* 
rein mathematische Gegenstände wunl^^ 
von den Herren F. Klkui, E. laa 

A. GlTZMKR, G Kon-ALVWaKI, R. !^« 

G. Lanuhbebu, E. SiKisiT)! und W. Ln 
gehalten. In betrcft' der im vorigen Jahi'^ 
vertagten Frage der Gründung einer mati 






WisBenschaftliche Chronik. 



429 



matischen Zentrslbibliothek wurde mit- 
geteilt, dafi «ich der Plan vielleicht in 
Yerbindnng mit dem Museum der Meister- 
werke der KaturwiBBenschaften und der 
Technik in München yerwirklichen kOnnte. 
Über die Yorbereitnngen zur Einrichtung 
einer mathematisch-bibliographischen Zen- 
tralstelle lag kein Bericht vor. 
— Matiiematics at the British association 
1904. The British association met et 
Cambridgfe 1904, August 17Ui. Professor 
A. R. FoBSTTH presided ower the subsection 
of pnze mathematicB and several mathe- 
matical papers were read. 
— Lea tnafhimatiques ä l'agsociation fran- 
fawe 1904. Le congräs de Tassociation 
franfaise ponr l'avancement des sciences 
s'est tena en 1904 ä Gr^noble da 4 au 11 
toüt aons la pr^sidence de M. C. A. Laisant, 
qoi a pronouc^ un discours sor le röle 
social de la science. Dans la section des 
sciences math^matiques, qui a 6i6 präsidäe 
par M. Ch. AssbiS, quelques Communications 
lOT les math^matiques pures ont 6i6 faites, 
ei one discussion sur la mdthode d'en- 
leignement de la g^omötrie a ea lieu. 

Kengrefi für Gesehlehte der mathe- 

uttgehen and physischen Wissen- 

sehaften in tienf 1904. 

— Dans le congr^s international de Philo- 
sophie qui s'est tenn ä Gen^ve, du 4 an 8 
(«ptembre 1904, la section d'histoire des 



sciences, Organist par Padl Tahkery, 
a entendu 13 Communications. L'histoire 
des math^matiques a ii6 repr^sent^e par 
des m^moires de M. H. 6. Zbutuen (Le 
theor^me de Pyteauobe, origine de la 
g^omätrie scientifique) et de M. P. Duhem 
(De l'accäeration produite par une force 
constante. Notes pour servir ä l'hiBtoire 
de la dynamique). 

Le congres, en s^nce generale, a 
d^clarä adopter et faire siens les vceux 
ämis an congres des mathematiciens 
d'Heidelberg pour l'organisation de l'en- 
seignement de rhistolre des sciences. 

Yermischtefl. 

— Die ArbeitstDeise der Mathematiker. 
Die Herren H. Fbhk und C. A. Laisant 
haben eine Untersuchung über die Arbeits- 
weise der Mathematiker in Angriff ge- 
nommen. Ffir diesen Zweck haben sie 
einen Fragebogen unter die Mathematiker 
verteilt, und nachdem die Antworten ein- 
gegangen sind, wird das auf diese Weise 
gesammelte Material bearbeitet werden. 

— Bildnisse von Mathematikern. Auf 
Anregung des Herrn D. E. Smith hat 
die .Opeo coort Publishing Company* in 
Chicago begonnen', eine Reihe Bildnisse 
von Mathematikern zu veröffentlichen. 
Demnächst werden Portraits von 12 Mathe- 
matikern aus der Zeit vor 1700 heraus- 
gegeben werden. 



Berichtigung. 

Anf S. 864 Zeile 2 v. u. ist die Formel infolge eines Druckfehlers falsch wieder- 
K*g*b«n worden; es muß dort richtig heißen: 

F=eÄ + fB+gC und G =eB+fC + gD. 



1 


^^^^^^^1 Namenregister. ^^^^^^^^^^^^^^ 


1 


Namenregister. m 


^^^p 


AbB<)io, 14» 


dAlembert. .1 R., 15, 34, 47-50. 51, 3i, " 


^^^H 


Abderralimau el-C^azini, debo el-ChMsini. 


303, 310. 


^^^H 


Abel, N. H., 92, 129, 132. 133, 178-175, 


Alexander, A , 90. ' 


^^^H 


189. 317. 318, 424. 


Alexander de Villa Dei, 408. 40». 


^^^H 


Abraham bar Chüja, 87. 90, 811, 325, 416 


Alexander der Große, 80. 


^^^H 


Abraham Zalnit, 87. 


Alexander (Hersog von Dstrog), Jöü. 


^^^^H 


Abu Bokr Muhammed beti Ahmed beu 


Alexander V (Pabst), 336. 339. 


^^^H 


Abi Uisr el-Charaqi, siebe el-Charaqi. 


Alfniganus, siehe ol-Fargani. 


^^^H 


Abul Feda, 79. 


.Algorismi* Vj,Algoritmi'), 407-411 


^^^^H 


Abul-Hasan von Marokko, 83, 86. 


.Algus«. 330. 


^^^H 


Abul Wela, 419. 


.Aliabras', 214. 


^^^H 


Ab» Maaschar, 79. 


Ali ben Ahmed el-luirani, siehe el-tonci 


^^^V 


Abu Muhammed Abdcigabbar ben Abdel- 


Aliheriu», B.. 329-331, 336, 337. \ 


^^^H' 


gabbnr el-Charaqi, siehe el-C^haraqi. 


Alkarchi, 97-101, 105. 


^^^^H 


Abu Said Sadan ben Bahr, 79. 


Alkhwarizmi, 85, 404-408, 416. j 


^^^H 


Acquaroiie, B., 130 


Alkuin, 201. 


^^^H 


Adam, H.. 215. 


Allman, G. J„ 319, 425 


^^^H 


d'Adda, G., 326. 


Alpetragias, siehe «UBitrudji. 


^^^^B 


Adelbold. 90 


Amiot. A., 134. 


^^^H 


Affucchi, G. B., 222. 


Amiruoios, 0.. 88. 


^^^H 


Ahlwardt. W., 79. 


Ammonios, 80. 


^^^H 


Ahmed beu Jtisut'ben el-I)^e, siehe el-Daje. 


Amodeo, F, 89. 91, 428. 


^^^^H 


Ahmed ben Muhammed el-Sigsi, siehe el- 


Anaritius, siehe Neirizi. H 


^^^H 


Sigzi. 


.\.odre, Ch.. 429. ■ 


^^^H 


Ahmed ben Musa beu Schakir, 10, 11, 


Andr^, D, 221, 223, 421, 425. ■ 


^^^H 


217, 218, 341, 323-325. 


Andre, Valere, 343, 352. ^J 


^^^H 


Ahrens, W,, 89, 92, 421, 422 


Angelus, .1., 336, 339. ^^H 


^^^H 


Alasia, C, 89, 91. 


Apastamba. 106. ^^H 


^^^H 


Albategniug (Albatenius), siehe Albattani 


Apel. R., 421, 425. ^^M 


^^^^H 


Albattani, 78—88, 221, 222, 419. 


Apiauus, Petr . 321. ^^^H 


^^^H 


Albi-ri, E., 244-246. 


Apollouios von l'erga. HO, 899. ^^^^ 


^^^H 


Albert (Erzherzog), 347. 


ApoUonioB von Thvana, 80. ^^H 


^^^^B 


Albrecht, M., 317. 


Archenhold, F. S., 317. ^^ 


^^^H 


AJbicini (Graf), 182. 


Arohimedes, 17. 69, 70, 99, 101-ia*# 


^^^H 


Albini, Soüa, 130. 


123, 207, 209, 226, 283, 280, 31'?'« 


^^^H 


Alchodschandi, 419. 


828, 335, 346. ■ 


^^^H 


.Alchorismi" („Alchoarismi"), 312, 404t, 


Arisi, F., 332. fl 


B 


405. 416. 


Aristoteles, 17, 418, 422 ^^ 



Namentegister. 



431 



Atmenante, A., 146, 173. 

AniBud de Bnucelles, 321, 822, 324. 

Anauld, A., 91. 

Aionhold, S. H., 14$. 

AiMuniteB (= Arohimedes), 385. 

AmoU, G., 173. 

Atelhard von Bs«h, 85, 403, 416, 

Anbry, A., 421, 428. 

AngDBt, F., 162, 223, 293, 297. 

Ayer, E. E., 90. 

BMceUi, G., 185. 

Bkchet de Häziriac, C. 6., 420. 

Bwlly, J. S., 80. 

Bȟy, F., 391. 

Baker, H. F., 94. 

Biker, M , 94. 

B»ll, R. S., 421, 425. 

B»U, W. W. R., 11, 216, 313—315. 317, 

420-422. 
Bkltiei, R., 146. 
Burow, I., 114, 128, 213. 
BMhforth, F., 89, 90. 
Batet, H., 79. 

Bkttaglini, G., 148, 167, 294. 
Battermann, H., 426. 
Btadhäyana, 106. 
Baodin, P., 65, 89, 92. 
Bdare, H., 172. 
^vne, siehe Debeaune. 
Beldomandi, Piosdocimo de', 340. 
ßeleni (= Apollonios), 80. 
Belini (= ApollonioB), 80. 
ß«Uair, 286. 
^llavitis, 6., 166. 
öellermann, G., 421, 425. 
^tmni, E., 181, 140, 144, 152, 180, 194, 

195. 
^«reni, 80. 
^«rnoulli, Daniel, 15, 28—30, 55, 71, 72, 

208, 250-255, 257, 262, 271, 275, 288, 

284, 286, 291. 
BemonUi, Jakob, 206, 209, 216, 217, 249, 

253, 302. 
Betnonlli, Johann 1, 15, 27—30, 55, 71—73, 

91, 205, 216—218, 248—256, 260, 

262—264, 267-269, 271, 275, 276, 280, 

281, 285, 286, 288, 802, 360, 363, 366, 

367, 414, 421, 428. 



Bernoolli, Johann II, 71, 249, 251, 252, 

255—267, 262, 263, 271. 
Bernoolli, Johann IQ, 249. 
Bemoulli, Nikolaus I, 276, 282, 810. 
Bertini, E., 125, 130, 146, 165, 166, 171, 

178, 182, 188, 421, 425. 
Bertrand, E., 89, 90, 422. 
Bertrand, J., 134, 168. 
Benolari, L., 126. 
Bessel, F. W., 424. 
Bethen (Bethem), 80. 
Betti, E., 127, 146, 183. 
Beyel, Chr., 89, 93. 
Bhaskara, 311. 
Biagio da Parma, 328. 
Bindel, E., 421, 422. 
Biot, J. B., 204. 
Birkenm^jer, L., 215. 
Bischoff, J. N., 151. 
Bjerknes, K A., 92, 228, 318, 425. 
Bjerknes, W., 221, 223. 
Bjömbo, A. A., 18, 14, 79, 89, 90, 203, 

215, 220, 823-325, 407, 415. 
Blasema, P., 89, 92. 
BlasiuB, siehe Biagio. 
I Bliss, G. A., 94, 426. 
I Bobilier, E., 148. 
Bobynin, V. V., 221, 222, 428. 
Boccardi, G., 224. 
Boocardini, G., 89, 91, 421, 423. 
BoStins, A. M. T. S., 419, 428. 
Boffito, G., 89, 90. 
Bohlmann, G., 210. 
BOklen, 0., 142. 
Bombelli, R., 401, 404. 
Bonaini, F., 201. 
Boncompagni, B., 9, 806, 311, 816, 328, 

329, 340, 341, 400, 404—406, 408, 410, 

414. 
Bonino, G. G., 327. 
Bonnesen, T., 423. 
Bopp, K., 89, 91. 
Borchardt, C. W., 162, 293. 
Bordoni, A., 129, 131, 182. 
Borgi, P., 404. 

Boscovich, R, J., 367—371, 873—375, 387 
Boselli, P., 185. 
Bosmans, H., 89—91, 209, 342, 421—423, 

425. 



^^^^H ^^^^^^^V ^^^^^^^^^^^^1 


^^^H Boucha, 


CaporaU, E., 146, 178. ^^M 


^^^H Bouguer, P., 374. 


Carcary, 1'. de, 117 ^H 


^^^B Boulliau, I., 236-242, 245—247. 


Cardano, G., 418. ^H 


^^^1 Bunton, C. L., 319. 


Cardinaal, J., 89, 421. ^H 


^^^H Brsbe, T, 213, 215, 219, 317, 423. 


Camerali, Caterina, 126 ^^M 


^^^H Bishmagupta, 108—111, 311 


Camot, L. N. M., 77 ^^M 


^^^1 Brancker, Th , 


Carrara, B., 89, 90. ^H 


^^^P Braimmübl, A. von, ()3, 74, 81, 83, 85, 89, 


Cartan, E., 426. ^m 


^^^K 90, 215, 221, 342, 350, 355, 420-422, 


Casey, J., 294, 297. ■ 


^^H 


Casorati, F., 131, 173, 175. 193. ■ 


^^^H Bredichin, F. A., 319, 425. 


Caggani, F., 421, 422. ■ 


^^^H Bremiker. K., 146. 


CastUlou, G. F. M. iL, 355 ■ 


^^^1 Briggs, H., 309. 


Cavalieri. B., l'?, 24, 113, 115, U7-5 


^^H 


123. 203, 204, 208, 209, 212, 31M 


^^^H BriUouin, M., 421, 425. 


419. ■ 


^^^^^— Itrioechi, F., 129, 131, 133, 135, 146, 162, 


Cavendish, H., 374. 375, 391. 1 


^^^^B 


Cayley, A., 139. 148, 155-160. 16» 


^^^^^^ Bristcr, J. W., 94. 


175, 178, 180, 189, 294. 297. ■ 


^^^B Broch, 0. J., 


Ccrodini, 182. J 


^^^H Brockelmann, C, 80. 


Ceretti, C, 421, 422. ^^1 


^^H Brouncker, W., 219, 420. 


Ceiileo, L. van, 343. ^^^| 


^^^H Browne, K., 79, 80. 


Geva, G., 190, 311, 424. ^H 


^^^H BninB, H., 293, 297. 


Cliapelain. 237, 244. 247. ^^M 


^^^H Bryan, G. H , 89, 92. 421, 423, 425. 


Chasles, M., 9, 12-14, 70, 13^ 


^^^1 Buchholz, n., 198, 221, 22.3. 


138, 139, 143, 144. 14-<. 149, in 


^^^B But-e, A. g., 400. 


157, 159, 160. 167—169. 171. iM 


^^^H Buigson, H., 224. 


Chazottea, J., 421, 423, 1 


^^^H Burcard, J., 


Cholini, D.. 144. 194. ^J 


^^H 


Chizzoni, F., 427. ^^H 


^^^H 


Chowarozmi, siehe Alkhwariznii. 


^^^^r Hurkbardt, H., 89, 91, 421, 424. 


Chuquct, N., 215, 219, 404, 405, i 




Ciampoli, G., 204. 


^^^^^ Cairoli, 


Cinielo, P. S., 306. 


^^^H Cairoli, Enrico, 127. 


Clairaut, A., 15, 29—32, 55, 57. 


^^^1 Cairoli, Emesto, 127. 


Claparede, E., 95. 


^^^1 Cairoli, G., 127. 


Clavin«, Chr., 342, 343. 


^^H Cajori, F., 89-91, 428. 


Clebsch, A., 76, 148, 150, 154, 11 


^^^H van, 235. 


165, 169, 173—178, 194, 294, 2 


^^^1 CaUandreau, 0., 223, 224, 425. 


aement, 240. 


^^H Campagne, M., 421, 423. 


Clifford, W. K, 155. 


^^^H Campani, M., 237, 241, 242, 244. 


Cohn, F., 319. 


^^^B Campano, J., 327, 335, 338, 411. 


Coignet, M., 346, 348. 


^^^^_ Cantor, M., 9, 11-14, 18, 68-71, 74,83, 


Collen, L. van. siehe Coulera. 


^^^^H 89, 92, 103—105, 107, 114, 116, 117, 119, 


Commandino, F., 18, 122. 


^^^^H 122, 200, 203, 205-209, 215, 216, 221, 


Coiululmer (= Eugeuius", 389. 


^^^^^H 301—303, 305—307, 313, 314, 317. 355. 


Copcmicug, siehe Koppemicus. 


^^^^H 356, 360, 403, 406—410, 414, 418—422, 


Coppino, M., 183, 185. ^H 


^^^^^r 


Comn, A., 391, 425. ^^M 


^^^B Capelli, Ä , 


Coater, S., 235. ^H 




^^^j 



NamenregiBter. 



433 



Ootes, R., 355, 356, 368-365. 
Cotton, A., 426. 
CTozzolino-Cremona, Itala, 125. 
Caranz, K., 426. 
Orelle, A. L , 162. 
Cx-emona, Francesca, 126. 
dc-emona, Gaudenzio, 126. 
Oremona, Giovanna, 126. 
CjT^mona, Giovanni, 126. 
C^^emona, Giuseppe, 126, 128. 
Ox^mona, L., 92, 125—144, 146—190, 311, 

318, 424, 425. 
C^sremona, P., 126. 
C;»emona, Tr., 126. 
CSxespi, A., 89, 90. 
CJtümann, K., 169, 172. 
Oxiiie, F., 426. 

Onrtze, M., 10, 11, 89, 90, 148, 151, 162, 
163, 172, 201, 202, 214, 218, 221—223, 
294, 297, 311, 312, 824, 326, 337, 
403-406, 408, 415, 416, 420, 421, 423. 

Aale, J. B., 94. 
I>annemann, F., 89, 90. 

Dante Alighieri, 188. 

Darboux, G., 132, 142. 

Darmstädter, L., 89. 

Dati, C, 247. 

Danblebsky von Stemeck, R., 224. 

Debeaune, F., 307, 314, 315, 428. 

Deichmüller, F., 425. 

De la Campa, S., 89, 91. 

De la Gonrnerie, J. M., 159, 160. 

Delambre, J. B., 76, 80, 81, 83, 86. 

De la Roche, E., 219. 

DelassuB, E., 224. 

Del Monte, G. U., 214. 

Deruyta, F., 223. 

DesargueB, 6., 191, 212, 219. 

Descartes, R., 31, 116, 119-121, 123, 
212—217, 252, 282, 307, 314, 315, 318, 
401, 406, 412, 418, 423, 428. 

Des Marez, 6., 89, 91. 

Dewnlf, E., 155, 171, 179. 

DickBtein, S., 89, 90, 92, 297, 421, 425, 
428. 

Dini, U., 183,310 

Diofantos, 5—8, 110, 118, 260. 

DionyaodoroB, 90. 

Bibliotheca Uatliematica. III. Folgu. V. 



üisteli, M., 428. 

Dolezalek, 426. 

Douw, S. S., 235. 

Dozy, R., 78. 

Brach, C. A. von, 140. 

Brach, J., 426. 

Dschabir ibn Aflah, 86, 336. 

Du Boia Reymond, R., 89. 

Duhem, R, 89, 90, 221, 321, 322, 421, 422, 

429. 
Dühring, E., 16. 
Dünner, L., 89, 90. 
Bunthome, R , 80. 
Bnpin, P. Ch. F., 131, 190. 
Duporcq, E., 89. 
Durando, 127. 
Durfege, H., 149. 
Byck, W. von. 224. 

Eberhard, J. P., 309. 

Eckardt, F. E., 165. 

Edleston, 359. 

Egoroff. D. Th., 89, 92. 

Ehwald, R., 421, 423. 

Eisenlohr, Fr., 427. 

cI-Battani, siehe Albattani. 

el-Bimni, 82, 84, 87. 

el-Bitrodji, 87. 

el-Charaqi, 84. 

el-Chazini, 85. 

el-Daje, 84. 

el-Fargani, 84, 86. 

el-Hasan ben Ali, siehe Abul Hasan. 

el-Imrani, 416. 

el-Madjriti, 79, 84. 

el-Motasim, 79. 

el-Sigzi, 80. 

el-Tabari, 88. 

el-TuBi, siehe Nasireddin. 

el-Zajj«t, 78, 79. 

el-Zarkali, siehe Zarkali. 

Kneström, G., 1, 4, 9, 14, 63, 70, 72, 
73, 89—91, 93, 98, 105, 196, 200-210, 
218, 220—223, 248, 249, 255, 262, 268, 
297, 298, 300, 307, 309, 310, 312, 
316—318, 346, 398, 407-416, 420—423, 
425, 428. 

Engel, F., 221, 224, 297. 

Eukle, J., 308, 421. 

28 



434 



Namenregieter. 



Enriques, F., 421, 425. 

EpaphrodituB, 104. 

Emat, G., 421, 428. 

Escherich, 6. von, 320. 

Ette, C. P., 421, 425. 

EndozoB, 222. 

Eagenius (Pabst), 339. 

Eukleides, 70, 90, 91, 98, 99, 106-108, 
110, 146, 147, 225, 226, 230, 232, 233, 
315, 317, 322, 831, 383-336, 399, 405, 
411, 414-416, 419, 422, 423. 

Enler, L., 15, 27, 32, 34—49. 51, 52, 54, 
55, 57, 58, 71, 76, 91, 207—209, 248—261, 
258-263, 268, 271, 275, 276, 281—286, 
291, 810, 813, 318, 365, 401, 414, 419, 
421, 423, 428. 

fiumathioB, 80. 

Everett, J. D., 425, 427. 

Fabricius, W., 867. 

Fabroni, Ä., 246, 341. 

Fahie, J. J., 421, 423. 

Farini, C. L., 143. 

Fanre, H. A., 150, 192. 

Favaro, A., 9, 89-91, 221, 222, 239, 326, 

415, 421, 423, 425, 428. 
Fazzari, G., 89, 92, 221, 222, 421, 422. 
Fehr, H., 91, 221, 223, 421, 425, 429. 
Feldhaus, F. M., 89, 91, 421—424. 
Fergola, N., 91. 
Fermat, P. de, 114, 115, 119, 121—123, 

212, 213, 218, 802, 355. 
Ferrari, N., 130. 
Ferrari-Cremona, Elisa, 130. 
Ferrari-Cremona, Margherita, 126. 
Ferrers, N. M., 148. 
Ferretti, G., 94. 
Fibonacci, siehe Pisano. 
Fiedler, W., 148, 153, 166, 167. 
Filippos Arhidaios, 80. 
Füon von Byzanz, 421, 423. 
Finali, G., 181. 
Fincke, Th., 348. 
Fine, 0., 346. 
Folkierski, W., 425. 
Fondnlo, Gabrino, 332. 
Fondulo, Giorgio, 332—335, 337, 339. 
Fontaine, A., 15, 31—34, 46, 48, 51, 58. 
Forcadel, P., 13. 



Förster, W., 221, 222, 224. 428. 
Forsyth, A. R., 429. 
Fran?ais, J. F., 400. 
Fran9aiB (de Colmar), 400. 
Franciscus de Esculo, 828. 
Fr^nicle de Bessy, B., 215, 218. 
Freycinet, C. de, 16. 
Frezo, P. da, 332—385, 339. 
Fricius (= Frezo), P., 382. 
Friedlein, J. G., 222. 
Friedrich Wilhelm von Sachsen, t&. 
Frigi, Frizi (= Frezo). P., 332. 
Friis, F. R., 215, 421, 428. 
Fuchs, L., 425, 428. 
Fuhrmann, W. F., 427. 
Fundulus, siehe Fondulo. 
Fuss, P. H., 71, 248, 251-253, 275, 2T6, 
283, 284, 286, 810. 

«abba, A., 129. 

Gabir, siehe Dschabir. 

Galüei, G., 18—20, 24, 91, 121, 203, ä«, 

209, 222, 234, 237— 239, 241— 247, 415y 

423. 
Galilei, V., 237, 238, 241, 242, 2«. 
Gambioli, D., 313, 817, 420. 
Garibaldi, G., 146. 

Gauss, K. F., 89, 92, 221, 222, 382, 424. 
Gautier, R., 421, 425. 
Geber, siehe Dschabir. 
Geer, P. Tan, 421, 422. 
Gegenbauer, L., 183, 223, 425. 
Geiser, C. F., 174. 
Geminos, 84, 225. 
Genardus (Gemardus), 14, 315. 
Generini, 245. 
Gerbaldi, F., 183. 
Gerbert, 90. 
Gerhardt, K. I., 9, 14, 204, 215, 216, 226, 

243, 308. 
Gerhardt, 0., 221, 228. 
Geriach, H., 92. 

Geriand, E., 89, 284, 238, 421, 428. 
Gherardo Cremonese, 811, 815, 404-406 

415, 420. 
Gherardo da Sabbionetta, 80. 
Gibbs, J. W., 92, 425. 
Gilbert, Ph., 342. 
Gilberii, W., 18, 20, 91, 423. 



NameniegiBter. 



435 



, F. K., 86. 

!, A., 76, 216, 217, 405. 

er, Jamee, 223, 425. 

«r, J. W. L., 294, 297. 

8i, G. C, 91. 

er, J. A., 221, 223. 

roy, M., 89, 91, 221, 222. 

ach, Chr., 259. 

eck, E., 18. 

peed, E. J., 89, 90. 

n, P., 173, 174. 

niez, G. de, 236. '»' 

G., 316. 

F., 306, 421, 428. 

J. P., 422. 

nateus, H., 215, 404, 406. 
Qann, H. d. X., 148, 149, 162, 164, 190. 
Dann, H. d. j., 426. 
hin, A. G., 421, 425, 428. 
ry, J., 75, 76, 115, 116, 420. 
F. P. de, 423. 
1, P., 115. 

er, S., 9, 10, 83, 221, 230, 422, 427. 
y, H. P., 427. 
ann, M., 89, 90. 
ler, A., 421, 424, 428. 
a, H., 198, 223. 

K., 421, 423. 
ch, 82-84, 419. 
bach, A.. 224. 
•, E., 80, 218. 
-eU, J. 0., 409. 
k. N. B., 230. 
d, 6. B., 94. 
erg, H., 221, 223. 
erger, G. E., 309, 310. 
arger, M., 92, 294, 297, 318. 
ralt, F. W., 94. 
.1, H., 97, 98, 105, 108. 
Q, P. C. V., 294. 
, G. F., 210. 
it, T., 405. 

ben Musa ben Schakir, 10, 11, 217, 

811, 323-325. 
berg, B., 421, 423. 
t, G. van, 235. 
lakis, N. J., 426. 
, G., 173. 



Hanssner, B., 91, 222. 

HayaBhi, T., 421, 422. 

Hayward. R. B., 228. 

Hefiter, L., 426. 

Heiberg, J. L., 6, 89, 90, 225—227, 280, 

232, 316, 899, 421, 422. 
Heilbronner, J. C, 9, 13, 215. 
Helmholtz, H. Ton, 92, 222, 424. 
Henneberg, L., 173. 

Henoch, M., 296, 297. 

Henrici, 0., 294. 

Henry, Ch., 409, 410. 

Henry, Pr., 425. 

Hörigone, P., 401. 

Hermann, J., 27, 250, 262, 264, 266, 271, 

272, 276, 278, 308. 
HermannuB Seeundug (Dalmata), 79, 423. 
Hermes, 87. 
Hermias, 80. 
Heron, 5, 6, 12. 101, 105, 107, 109, 225, 

311, 812, 323, 325, 419, 428. 
Hess, A. E., 94, 223, 425. 
Hesse, 0., 92, 148, 167, 191. 
Hessenberg, G., 426. 
Hettaier, G., 89, 91. 
Hevel, J., 236. 
Hindenburg, C. F., 400. 
Hipparchos, 111, 222, 230, 231, 233. 
Hirst, T. A., 154. 
Hlibowicky, K., 89, 92. 
Hobson, E. W., 94, 221, 222. 
Hoffmann, E., 366. 
Holden, CA., 426. 
Homeros, 127. 
Honein ben lahaq, 88. 
l'Höpital, G. F. A. de, 205, 215, 216, 315, 413, 

414. 
Hoppe, E., 293, 297. 
Hoüel, J., 147. 

Hudde, J., 116, 204, 212, 213, 216, 405, 406. 
Hudson, R. W. H. T., 427. 
Hugo, Victor, 188. 
Hulsius, L., 347, 852, 353. 
Hultsch, F., 221, 222, 225, 226, 230, 281, 

233, 406, 421, 422. 
UumenuB, 80. 

Hutt, E., 293. 

Huygeng, Chr., 19, 24, 31, 75, 115, 116, 207, 
212, 219, 234—238, 240—247, 269, 412. 

28* 



436 



Namenregister. 



Ibn ChallikaD. 79. 

Ibn Junis, 83. 

Initiua Alpebras, 202, 214, 406. 

Ishaq ben Honein, 88. 

Jacobi, C. G. J., 129, 173, 424, 428. 

Jacquier, F., 367, 371. 

.lägermann, R., 421, 42.5. 

Jahnke. E., 92. 

.Tanni, V., 148. 

Johannes de Muris, 14. 

Johannes Hispalensis, 84, 405, 408 — 410. 

Jolly, Ph. G., 384, 386, 391. 

Jonqui&res, E. de, 148, 149, 151, 153, 154, 

174, 425. 
Jordan, C, 165. 
Jordanus Nemoraxius, 9—14, 70, 203, 217, 

222, 311, 321-325, 418, 419. 
Jordanus Saxo, 418, 419. 
Joteyko, Mlle J., 317, 818. 
Jung, G., 146, 169, 172, 173, 294. 
Jurin, J., 258. 

Kaltenbrunner, F., 339. 

Kapteyn, W., 89, 421. 

Kästner, A. G., 9. 

Keller, F., 382—387, 389-391, 397. 

Kelvin, W., 92. 

Kepler, J., 18, 20, 24, 123, 212, 222, 423. 

Ke witsch, G., 221. 

Khowarezmi, siehe Alkhwarizmi. 

Kircher, A., 236. 

Klein, F., 77, 92, 171, 294, 359, 421, 424, 

428. 
Kleist, E. J. von, 424. 
Klöres, C, 89, 92. 
Klügel, 6. 3., 76. 
Kluyver, J. C, 89, 421. 
Kobald, E., 221, 223. 
Kommerell, V., 428. 
Konen, H., 224. 
König, A., 384, 386, 391. 
Königsberger, L., 89, 92, 221, 222. 295, 

421, 424, 428. 
Koppe, M., 317. 
Koppemikus, N., 18. 215, 243. 
Korkine, A., 294. 
Korn, A., 47. 317, 318. 
Konidörfer, G. K. L., 177. 



j Kömer, Th., 15, 221, 222. 
i Körte weg, D. J., 89, 421. 
I Kortum, H., 427. 
! KoBsonogoff, J. J., 426. 

Kowalewski, G., 428. 

Kowalevski, Sophie, 316. 

Krazer. A., 89, 93 
I Kretzschmer, E.. 293. 
I Kronecker, L., 293, 294, 296 
' Kucharzewski, F., 421, 423. 
■ Kugler, F. X., 85. 
; Külp. "«. J., 318: 

Kammel, G., 319. 

Kummer, E. E., 160, 162, 293. 

Kutta, W. M., 78, 221. 

Kwietniewski, W., 228. 

Ija Condamine, Cb. M. de, 374. 

Laconr, E., 94. 

Laffitte, P., 65. 

Lafitte, 134. 

Lagarde, P. de, 399. 

Lagny, Th. F. de 75, 76. 

Lagrange, Ch., 89, 91. 

Lagrange, J. L., 15, 47, 49—54, 58, Ti. 

La Hire, Ph. de, 218. 

Laisant, C. A., 429. 

Lalande, J. de, 80. 

Lambert, J. H., 75, 76, 207. 

Lampa, A., 426. 

Lampe, E., 89, 92, 292, 296, 297, 37-5, Z'l. 
382, 383, 395—397, 421, 422, 424 42S- 

Lancetti, V., 332. 

Landsberg, G., 428. 

Lange, J., 92, 297. 

Langren, M. F. van, 91, 423. 

Laplace, P. S., 15, 52—54, 57. 

Läska, W., 391. 

Lasswitz, K., 16. 

Lazarus, W., 297. 

Lazzarini, M., 89, 90, 200. 

Le Chatelier, H., 89, 92. 

Lecomu, L., 426. 

Lefövre-Gineau, L., 418. 

Lefort, F., 204. 
I Legendre, A. M., 76, 133, 207. 
! Leibniz, G. W., 114—118, 124, 204, 20 
212, 216, 243, 253, 258, 264, 308,8^ 
! 35fi, 360, 364, 401, 414, 420. 



Namenregister. 



437 



427. 
'Ose, 311, 312, 326—841. 
ii, 331, 336, 338-340. 



42.5. 



% 



, .121, 311, 313, 317, 
*21, 422, 424, 428. 
-4. 
.., J. W., 210. 
iB, F., 78. 
wig XIV, 246. 
Iwig, F., 221, 223. 
Iwig, W., 428. 

ce de Lepinay, J. Ch. A., 427. 

tfarlane, A., 221, 222, 421, 424. 

sh, E., 1.5, 18, 24, 32, 89, 90, 221, 

21, 422. 

ikay, J. S., 89, 91. 

slcenzie, M. A., 94. 

jlaurin, C, 72, 148, 208-210, 379, 418. 

jenta, G. B., 126, 130. 

jini, G. A., 343. 

jni, 167. 

I^us, L. J., 153. 

iler, E., 421, 422. 

ier, Fr. Ch., 76. 

imonides, 90. 

inardi, L., 90, 222, 326, 337, 341. 

lacame, V., 327. 

niani, T., 143. 

ler-MüUer, Anna, 186. 

igoldt, H. Ton, 319. 

litius, K., 85, 90, 317. 

nitiuB, M., 317. 



Mannheim, A., 167, 189. 

Mannoury, G., 221. 

Mansion, P., 63, 297. 

Marius (Mayr), S., 91. 

Markoff, A., 207. 

Marriott, W., 421, 425. 

Mareili, C, 209, 423. 

Marty, 81. 

Mascart, .1., 89, 92. 

MaBkelyne, N., 374, 375, 378. 

Maslama el-Ma^jriti, siehe el-Madjriti. 

Manpin, G., 89, 91. 

Maurain, Ch., 319. 

Mauro. 127, 128. 

Manrolico, F., 18, 407, 419. 

MaximoB Planudes, siehe Planudes. 

Maxwell, Cl., 172. 

Mayer, 391. 

Mayni, A.. 293, 297. 

Mayr, S., siehe Marius. 

Mazzini, G., 130. 

Medici, Leopoldo de', 237—289, 241, 246, 

247. 
.Menelaos, 281, 828, 407, 415, 419. 
Mercator, N., 219. 
Merian, F., 71, 217. 
Mertens. F.. 320. 
Messabala, 828. 
Meyer, Edm., 298, 294. 
Meyer, R., 211. 
Meyer, W. Fr., 142, 297. 
Meyer, 92. 
Michaelis, K., 297. 
Milanesi, G., 200. 
Mirabeau, G. H. R., 188. 
Misani, M., 125, 133, 178. 
Mlodziejowski, B K., 89, 92. 
Möbins, A. F., 75, 77, 135, 189, 171. 
Mögelin, M., 228. 
Moivre, A. de, 75, 206, 207, 418. 
Molk, J., 898, 899. 
Monge, G., 166, 177. 
Montigny, E. M. de, 867. 
Montmort, P. R. de, 808. 
Montucla, J. E., 9, 84, 80. 
Moors, B. P., 421, 422. 
Moreno, H. C, 319. 
Moaso, A., 184. 
Mossotti, 0. F., 127. 



438 



Namenregister. 



Mott, H. C. de, 94. 

Muhammed ben Mnsa, siehe Alkhwarizmi. 

Mahammed ben Musa ben Scbakir, 10, 

n, 217, 218, 311, 323-325. 
Muir, T., 89, 91, 221, 222. 
Unller, Ad., 421, 423. 
Müller, C. F., 404. 
Müller, Conrad H., 809, 310, 817, 318, 

421, 424. 
Müller, Felix, 89, 91, 92, 94, 131, 292, 293, 

295, 297, 309, 317, 318, 421, 424. 
Müller, J. W., 205, 413. 
Musa ben Schakir, 10, 11, 217, 218, 311,825. 

»faUino. C. A., 78-88, 221, 222, 419. 

Nardncci. E., 410, 411. 

Nasireddin, 82, 85. 

Natani, L., 293. 

Neirisi, 404, 408. 

Nelli, G. B. C. de, 244, 246. 

NemorariuB (de Nemore), siehe Jordanus. 

Neper, J., 75, 317, 359. 

Nesselmann, G. H. F., 63. 

Netto, E., 293, 297, 398, 428. 

Nenmann, C, 294, 297. 

Neumann, F., 424. 

Neumann, Lnise, 421, 424, 

Newton, I., 15. 16, 18—31, 34, 46, 50, 
53, 54, 58, 72, 91, 115, 121, 124, 133, 
149, 212, 216, 224, 250, 252, 254, 256, 
258, 262-266,271, 272, 282,355-360, 
362, 364, 366, 374, 383, 405, 420. 

Nikomachos, 98—103, 105. 

Nöther, M., 89, 92, 155, 178—180, 421, 
424, 425. 

Novati, F., 221, 222. 

Oberbeck, A., 294, 297. 
Ocreat, 403, 408. 
Ohrtmann, K., 292—297. 
Ohrtmann, Luise, 293, 296. 
Oldenburg, H., 216, 400. 
Oppel, F. W. von, 76. 
Oppolzer, E. v , 221, 223. 
Oppolzer, Th. v., 86. 
Oresme, N., 12, 120, 218. 
Örtel, K.. 319. 
Oskar U, 198. 
Ostreich, P., 96. 



Ostrogradskij, M. W., 434. 

Ostwald, W., 47. 

Ott, K. von, 427. 

Öttingen, A. J. von, 89, 82, 221, 222, 421. 

424. 
Oudemans, J. A. C, 89, 91. 
Oughtred, W.. 76. 
d'Ovidio, E., 89, 92, 161. 

Pachymeras, 7. 

Paciaudi, P. M., 341. 

Paciuolo, L., 311, 400, 404. 

Painleve, P., 428. 

Paolis, E. de, 146. 

Papperitz, E., 89, 90. 

Pappos, 6, 122, 225, 226. 

Pascal. Bl., 72, 73, 115, 117, 118, 12», 

165, 212, 222, 302, 406. 
Pauly, A., 230. 
Pell, J., 315. 
Pepmy, L., 421, 422. 
Pemtner, K., 427. 
Pescetto, 827. 
Peterson, K., 92. 
Petit, P., 237. 
Petrarca, F., 125. 
Petrus de Gurte, 336. 
Petzval, J., 223. 
Peurbach, G. von, 12. 
Piani, D., 143, 144, 193. 
Picard, E., 89, 90, 92. 
Pierpaoli, N., 882, 887, 390, 391, 395. 
Pierpont, J., 820. 
Pirie, G., 427. 
Pisano, L., 13, 90, 200, 201, 311, 316, 

825, 830, 840, 400, 404, 405, 414, 415, 

419, 420. 
Plana, G., 421, 423 
Planudes, Maximos, 7, 226. 
Piaton, 90, 102, 106, 145, 226, 288, 406. 
Piatone Tiburtino, 80. 81, 84-87, 811,405. 
Playfair, J., 366, 375—379, 381-388,896. 
Plücker, J., 148, 222. 
Poggendorff, J. C, 89, 92, 205, 216, 221, 

222, 306, 309, 413, 421, 424. 
Poincarö, H., 198, 199, 223. 
Poisson, S. D., 91. 
Poor, C. L., 319. 
Porro, F., 317. 



NamenregiBter. 



439 



Porte, E. de, 421, 423. 

PoaeidouioB, 225. 

Poudra, N. G., 149, 190, 191. 

Poynting, J. H., 391. 

Prändtl, L., 426. 

Pringsheim, A., 221, 223, 398. 

Pritzel, 293. 

Proklos, 87, 225, 226, 232, 406. 

Ptolemaios, Kl., 6, €, 79, 81, 84, 86, 87, 

89, 90, 109, 111, 112, 222, 230, 231, 

287, 334-836, 339. 
Puliti, G., 313, 317. 
Pythagoras, 106, 107, 110, 429. 

Rabban el-Tabari, siehe el-Tabari. 

Radan, R., 293, 294. 

Radelfinger, F. G., 427. 

Raffy, L., 426. 

Ragnoli, A., 382, 395. 

Rahn, J. G., 315. 

Ramorino, A., 127. 

fiamuB, P., 12, 13, 325. 

Ratdolt, E., 70, 419. 

Rath, E., 73, 221, 222, 

Ravean, C, 421, 425. 

Begimontanus, J., 9-12, 14, 81. 85, 411. 

Reich, F., 391. 

Reiff, R., 209. 

Reimer, G., 294. 

Reimers, N., 346. 

Reye, Th., 140, 166, 169. 

Heyes Prosper, V., 421, 423. 

Beyneau, Ch., 205, 401, 414. 

Rhonius, siehe Rahn. 

Riccardi, P., 306, 314, 367. 

Richards, H. C, 94. 

Richans, F., 384, 386, 391. 

Richmond, H. W., 165. 

Richter, A., 89, 93. 

Richter, G. Fr., 309. 

Richter, J. P., 326. 

Biemann, B., 117, 163, 173, 175. 

Riese, A., 215, 406. 

Rietz, H. L., 426. 

Rilliet, A., 427. 

Ripert, L., 92, 94. 

Ritchie, W. J., 425. 

Rius y Casas, J., 421, 425. 

Robartes, F., 206. 



Roberts, F., 206. 

Roberts, I., 425, 427. 

Roberts, M., 188. 

Boberts, S., 148. 

RobertuB Betinensis, 84, 404, 405. 

Böberral, G. P., 117, 121, 123, 212, 236, 

237, 243. 
BobisBon, J., 216. 
BockweU, Ch. H., 223. 
B«hn, K., 159, 426. 
Bomance, L., 191. 
Bömer, 0., 213, 224. 
Boomen (Romain), A. van, 842 — 354 
Bosanes, J., 89, 91, 155. 
Rose, V., 68. 
Bosenberger, F., 23. 
Boseveare, W. N., 221, 223. 
BosBO (de Bubris), G., 327. 
Bubenson, R., 228. 
Bubris (Bosso), G. de, 827. 
Budio, F., 207. 
Bndolff, Chr., 201, 202, 406. 
Bndolph von Brfigge, 79. 
Buland, A., 342, 343, 852. 
Runge, K., 426. 

Saccheri, G., 89, 91, 206, 421, 423. 

Sachau, E., 82, 84, 87. 

SacroboBCO, J., 328, 404, 420. 

Safarik, V., 223. 

Saini-Jacques de SilTabella, 371—870, 375, 

383, 387. 
Saint- Venant, B. de, 73. 
Saint- Vincent, Gr^goire de, 117, 123, 208, 

209, 212, 236, 415, 423. 
Salmon, G., 94, 189, 148, 153, 155-157, 

162, 167, 223, 425. 
Salvatore-Dino, N., 161, 163. 
Sanctis, F. de, 184. 
Santagata, D., 148. 
Sanzio, Raffaele, 188. 
Sartan, E., 425, 427. 
Sauerbeck, P., 421, 423. 
Savasorda, siehe Abraham bar Ch^ja. 
Saviotti, C, 169. 
Scaliger, J., 346. 
Scheffers, G., 89, 92. 
Scheiner, Chr., 91. 
ScheU, W., 94, 223. 



440 



NamenregiBter. 



Schellbach, K. H., 366, 382. 

Scheubel, .1., 13. 

SchiapareUi, G., 78, 81, 85—87, 152, 153, 

817, 421, 422. 
Schiller, N. N., 426. 
Schilling, F., 426. 
Schläfli, L., 162, 164. 
Schlegel, V., 297. 
Schlesinger, L., 428. 
Schmidt, Wilh., 68, 89, 90, 421, 423. 
Scholz, W., 294. 
Schöne, H., 5, 6, 101. 
Schöner, J., 9, 10, 12. 
Schonerus, L., 12, 13. 
SchOnflies, A., 221, 222. 
Schooten, P. ran, 204, 213, 235, 307, 315, 

412. 
Schoute, P. H., 89, 421. 
Schräm, 11., 85, 86. 
Schieber, K., 426. 
Schreiber, H., siehe Grammaieus. 
Schreiber, P. J., 89, 91. 
Schröder, E., 223. 

Schröter, H., 139, 149, 150, 160, 192. 
Schobert, H., 140, 294, 297, 398. 
Schumann, A., 293, 297. 
Schwalbe, B., 293. 
Schwannecke, H. E., 425. 
Schwarz, H. A., 159, 161, 424. 
Schwarzschild, K., 223, 421, 424. 
Schweins, F., 92. 
Schwenter, D., 203. 
Scialoja, A., 182. 
S^diUot, J. J. E., 83, 86. 
Sedillot, L. A., 83, 86. 
Seeliger, H., 421, 425. 
Segner, J. A., 309, 310. 
Segre, C, 428. 
Seki, K., 423. 

Sella, A., 379, 382, 387—397. 
SeUa, Q., 182—184. 
Seydewit«, F., 137, 139. 
Shedd, .7. C, 89, 91. 
Simon, M., 89, 91, 428. 
Simplikio», 225. 
Simsoii, R,, 91, l.')0. 
Slocum, S. E., 319. 
Slonimski. (.'h. S.. 319. 
Sinne, 1!. de. 11(1. 204, 212. 



Smith. D. E., 91, 319, 429. 

Smith, H. J. S., 194. 

Smith, Robert, 359, 362, 364, 365. 

Sobotka, J., 319. 

Sohncke, L. A., 9, 12, 13. 70. 

Sommer, J., 426. 

Sonderickcr, J., 427. 

Soret, Ch., 319, 425. 

Speusippos, 102. 

Spiess, P., 319. 

Spitzer, S., 210. 

Spottiswoode, W., 133, 194. 

Stäckel, P., 16, 89, 91, 262, 272, 

424. 
Stahl, W., 297. 
Staigmüller, H., 13. 
Stampioen, J. J., 307. 
Staude, 0., 89, 91. 
Staudt, K. G. Ch. von, 136, 169, 171, 

189. 
Steiner, J., 92, 134, 137—139, 147, 

150, 155, 160-162, 169, 171, 175- 

180, 192. 
Steinitz, E,, 428. 

Steinschneider, M., 80, 84, 317, 416, 
Stephanus philosophus, 80. 
Stern, M. A., 9. 
Steur, J. de, 235. 
Stevin, S., 18. 214, 217, 401. 
Stewart, M., 91. 

Stifel, M., 214, 217, 402, 405, 418. 
Stirling, J., 91, 207, 209. 
Stokes, G. G., 92, 425. 
Stolz, 0., 221, 223, 294. 
Stone, K., 72, 205. 
Störmer, C, 317, 318. 
Stouff, M. A. X., 319. 
Strabo, siehe Walafried. 
Streit, H., 89, 91. 
Stnive, H., 94. 
Stuart, G. H., 425. 
Studnicka, F. .1., 215, 297. 
Study, K., 77, 94. 
Sturm, A.. 417 422. 
Sturm, K., 140, 162, 421, 425, 42S. 
Suter, H., 88, 222, 419. 428. 
Swinden, J. H. ran, 234. 
Sylvester, .1. .7., 149, 162, 164, 166, 
' 179. 



lT-2, 
14*. 



i-il 



167 



Kunenregister. 



441 



328. 



95, 
828, 
428, 



Tabit ben Kurrah, 80, 82, 84, 827, 

Tacquet, A., 123. 

Tannery, J., 398, 426. 

Tannery, P., 5, 63—66, 89, 92, 93, 

101, 102, 121, 221, 222, 817, 318, 

329, 399, 406, 415, 416, 419, 421, 

427-429. 
Tartaglia, N., 18, 306, 314, 322, 423, 
Taylor, Br., 166, 192, 216. 
Teichert, R., 293. 
Teixeira, F. G., 297. 
Terqnem, 0., 168. 
Theaitetos, 226, 422. 
Theodoros, 226, 233. 
Theon Ton Alexandria, 280, 231. 
Thiesen, M. F., 386. 
Timtchenko, I., 361. 
Toledo, L. 0. de, 89, 91. 
Toni, G. B. de, 326. 
Tonni-Bazza, V., 421, 423. 
TöpUtz, E., 297. 
Torricelli, E., 212. 
Traumfilier, F., 288. 
Trautvetter. 171. 
Treffler, 245. 
Trenchant, J., 403. 
Treutlein, P., 10. 
Trojano, C, 322, 328. 
Tropfke, J., 11. 89, 217, 221, 406, 

421. 422. 
Trudi, N., 137, 138, 150, 191. 
Tschimhaug, E. W. von, 218, 420. 
Tuckermann. A., 221, 222. 



Uglieni, M. [= Cremona, L.], 192. I 

Ulug Beg. 83. 

Ur8U8, RaymaruB, siehe Reimers. ! 

I 
Vaoca. G.. 215. 

Vailati, G.. 89, 91, 206. 317, 421, 422, 428. | 
Valentin, G., 318. 
Valerio, L., 115, 119, 123. 
Vall^e, L. L.. 73. 

van der Vliet, P., 427. ' 

Vaui, C. de, 421, 423. 
Ventadour, 367. ' 

Venturi, G. B., 325. 

Verouese, G., 89, 92, 125, 130, 146, 165, I 
184, 421, 425. i 



409, 



Vicaire, E., 223. 

Viete, F.,69, 70. 111, 118, 119, 121, 122, 

217, 843—346. 360, 401, 402, 405. 
Vigo, G. da, 327. 
ViUari, E., 427. 

Vinci, L. da, 18, 90, 822. 823. 326, 327. 
VirgiliuB, F., 127. 
Viterbi. A . 89, 92. 
Vitruvius Pollio. 68, 69. 
Vittorio Emanuele II. 146. 
Vivanti, G., 422. 428. 
Viviani, V., 91. 287—246. 
Vögelin, J., 10. 
Vogt. H.. 898. 
Voit, C. 421, 425. 
Voss, A., 16, 34, 51. 
Vossius, G. J., 9. 

Wachtchenko-Zakartchenko, M. E., 10. 

Waesseuaer, J. van, 307. 

Walafried Strabo. 81. 

Wallenberg, G., 89, 296. 

Wallis, J., 113, 114, 117, 120, 123, 212, 

236, 282, 355, 412, 420. 
Wallner, C R., 89, 90, 113, 317, 318,428. 
Wangerin, A., 92, 293—297, 366. 
Wappler, E., 13, 14, 202. 
Ward, R. de C. 89, 92. 
Weber, H., 222, 428. 
Weierstraß, K., 160, 175, 198, 199, 294. 
Weiss, W., 163, 427. 
WeUstein, J., 319. 
Werner, J.. 215. 
Wertheim, G., 419. 

Weyr, Emil, 142, 146, 148, 158, 173, 179. 
White, S. A. F., 94. 
Whittaker, E. T., 221, 223. 
Widman. J., 214, 311. 312, 404. 
Wiedemann, G. H., 234. 
Wieleitner, H., 422, 423. 
Wien. W., 319. 
Wilsing. J., 891. 
Wilson, E. B., 421, 425. 
Wilson, J. C, 317. 
Wilson, J M., 147. 
Wilson, R. E., 89, 98. 
Winlock, Anna, 223. 
Wirtinger, W.. 320. 428. 
Wirtz, C. W.. 90. 



442 



Namenregister. 



-*a 



Wislicenus, W. F., 224. 

Wisso-wa, G., 230. 

Withworth, W. A., 148. 

Wittstein, A., 294. 

WoUwiU, E., 238, 243, 244. 

Wolack, G., 202. 

Wolfers, J. Ph.. 48, 45. 

Wolff, Chr., 309. 

Wölffing, E., 89, 91, 92, 221-223, 317, 

818, 421, 424. 
Wöpcke, F., 419. 
Woronetz, P. W., 426. 
Worpitzky, J., 293. 
Wrenn, F. G., 94. 



Wronski, H., 428. 
Wüstenfeld, F., 84. 
Wyrouboff, G., 65, 66, 98. 

Zach, F. X. von, 373, 874. 

Zakut, siehe Abraham Zakiit. 

Zarkali, 80, 86. 

Zech, P. H. von, 169. 

Zeoner, 6., 295. 

Zeuthen, H. G., 3, 89, 90, 95, 
164, 168, 171, 209, 211—21«, 
221, 317, 420—422, 428, 429. 

ZolotarefF, G., 294. 

Zurria, G., 228. 



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Druck von Theodor Hotaann in Gera. 



In 



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