Ostwald's Klassiker der exakten Wissenschaften

Ostwald's
Klassiker der

exakten
Wissenschaf

ICAI EIBBAÄ

J. H. Lambert's

Abhaudliuigeu zui* Bahnbestimmuiig

der Comcteii

Insigniores orbitae Cometarmn proprietates (1761)
Observations sur TOrbite apparente des Com6tes (1771)

Auszüge ans den

»Beiträgeu zum Gebrauche der Mathematik« (1772)

Deutsch kerausgegebeu und mit Anmerkuugeu verseheu

von

J. Bauscliinger

Hit 35 Figuren im Text

— r - ■ . • • •

Leipzig

Verlag von Wilhelm Engelmann

1902

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I.

üeber die Eigenschaften der Cometenbewepng.

(Insigniores orbitae Cometarum proprietates, 1761.)

Vorrede.

[III] Es gle])t viele Ca})it6l der angewandten Mathematik,
die trotz mehrfacher Behandlung noch weit von dem nothwen-
digen Grade der Ausbildung entfernt Bind. Zwei Grttnde sind
es wohl hauptsächlich, die eine YerzögeruDg hierin yerursachen.
Wenn nämlich, wie in der Regel der Fall ist, die Theorie der
Anwendung halber ausgebaut w!rd^ so geht man häufig, erstere
nur oberflächlich behandelnd, rasch zur Anwendung: über und
betritt den sich zuersl darbictondeu Weg ohne, Ü Ucksicht, ob er
[IV] kurz oder ein Umweg ist. Und andcverseita zeigt auch
die Theorie, wenn man sie sorgfältig entwickeln will, nicht
selten das rr()l)lcm von einer so verwickelten und schwierigen
Seite, schon beim ersten Angriff", dass auch ein geduldiger
Arbeiter, der unverdrossen nach Problemen sucht, abgesehreckt
wird. Aber welche Hoffnung konnte einen Forscher mehr an-
reizen, ein Problem nochmals anzugreifen, als die, es schliess-
lich doch zu ttberwinden oder wenigstens Anderen den Weg zu
bahnen, die um jeden Preis zum wahren Ziele gelangen wollen.

Wo ich immer diese Ursachen vorfand, habe ich gesehen,
dass jedes schwierige Problem eine ihm eigenthflmliche Methode
und eine besondere Verbindung von heuristischen Kunstgriffen
verlangt; solange diese nicht beisammen sind, bekommt man
keine cleganle Lösung oder wenigstens nur auf weiten Um-
wegen. Häufig wird auch der wahre Kern der Frage noch
[V| verkannt, oder man sieht nicht, was mau suchen soll,
und geht so an dem wahren Angelpunkt vorüber. Nach meiner
Erfahrung empfiehlt es sich, wenn man eine solche schwierige
Materie zu behandeln hat, unter allen Umständen, einen ein-
fachen speciellen Fall herauszugreifen; denn nicht selten findet

1*

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4

J. H. Lambert.

sich, dass die schönsten Eigenschaften desselben sieh mit ge-
ringen Acnderuugen verallgemeinern lassen; so stellt sich oft
eine schwierige Bache, wenn gehörig durchgeführt, als leicht
heraus. Anch deshalb kann eine Sache oft nicht in Fluss
gebracht werden, weil sie durch zu yiele Nebenumstände ver-
hüllt ist, und erst wenn sie ganz durchschaut ist^ erkennt man
diese als fremd oder wülkttrlich.

Beispiele für diese Behauptungen will ich ans anderen
Wissenschaften nicht vorbringen, da man ilirer in dem vor-

[VI] liegenden Werke genug findet. Ich habe darin die wi'lt-
tigsten Eigenschaften der Cot?ietenbewegung auf dieselbe Weise
entwickelt wie \ or drei Jahren die der Lichtstrahlen auf ihrem
Wege durch mehrere durchsichtige, sphärisclie und concentrische
Medien (»Les proprietes remarquables de la route de la lumiere
par les airs etc.« A la Haye 1758),

Methoden, eine Gometenbahn aus drei geocentrischen Beo-
bachtungen durch Versuche, Constmction oder Messung zu er^
mittein, kennt man schon viele; wer meine Vorgänger kennt,
wird daher glauben, es werde hier eine alte Sache nochmals
abgewandelt. Ich gebe auch zu, dass ich sehr berühmte
Vorgänger habe, aber doch eben nur Pfadfinder, die von den
Quellen an sprungweise dahin gelangt sind, wohin eine gute
^Theorie auf einem schönen Wege hätte führen mttssen. Die
ersten Principien und Gesetze des Himmels ausgenommen,
blieben sie von dem eigentlichen Problem, das hier unser Haupt-
ziel ist, nämlich die Bahn aus drei Beobachtungen zu entwickeln,

[VII] sehr weit entfernt. Musste es nicht autiallen, da;?» die
schönen Eigenschatten der Kigelschnitte, die durch den Wett-
eifer der gröööten (icumeter aller Zeiten erforscht, wurden, ganz
unnütz sein sollten, sol^ald es sich um Cometenbahnen handelte?
Das war doch unter allen Umständen des Versuches werth und
keine eitle HoÖnung, und der Erfolg hat denn auch gezeigt,
dass jene schönen Eigenschaften nur noch schöner hervortreten,
wenn man sie auf die Cometenbahnen in der Weise anwendet,
dass man an Stelle der Flächen die Zeit setzt. Ich habe die-
jenigen Sätze, welche die Kegelschnitte unabhängig tou den
Cometenbahnen betreffen, um ihre allgemeinere Bedeutung
hervorzuheben, mit ^Lemma* bezeichnet und sie so von den
übrigen, die sich auf die Cometenbahnen beziehen, unter-
schieden. Die schon bekannten Sätze habe ich unter die
neuen eingereiht, damit der Zusammenbang klarer hervortrete.
Von dem Neuen halje ich jedoch nur das vorgebracht, was

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Abhandlungen znr Bahnbestimmang der Cometen. 1, 1. 5

mir schön crsclxien, und dann solches, was Weiterforschenden
den Weg weisen kuuute, wie ich immer gleich angedeutet
^VTII] habe. Ich meine hier z. B. die üeberlegungen üb« n die
niiliographische Projection auf die Ebene der Ekliptik oder
eine andere zweckmässig gewählte Ebene : dann srewisse Sätze
im ersten der eigentlichen Abhandlung vorausgehenden Theile,
und solche im vierten Theile, wo ich kurz den Unterschied
zwischen parabolischen, elliptischen und hyperbolischen Bahnen
berühre. Mein n.uiptziel war die parabolische Bahn; hier sind
die Sätze und Aufgaben so einleuchtend, dass ich auch der
Beispiele nicht bedurfte, die man sonst binzuftigt. Die ellip-
tischen Bahnen habe ich im vierten Theile nur so weit aus-
gefttbrt, dass man den Zusammenhang der schönsten Eigen-
schaften der parabolischen Bahn mit den entsprechenden der
anderen Kegelschnitte klar durchschauen konnte. Wer auf
diesem Gebiete sich gründlicher belehren will, muss zu dem
ausgezeichneten Werke von Euler » Theona mohium Planctarum
et Com4itarum*- greifen.

Erster The iL
Allgemeinere vorbereitende Sätze über die Parabel.

[1] § 1. Lemma 1. (Fig. 1.) WM in der Parabel AN,
deren Axe AF und deren Brennpunkt F ist, ein beliebiger Eadim-

T Ar KB

Fig. 1.

vec^r FN f/' oqen und in seinem JEndpwikt die Tangente N Tf
80 ist WifM TNF = ^NFB.

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6

J. H. Lambert»

Beweis: Da nach der Natnr der Parabel FT= FN ist,

so wird Winkel FTN= TNF] nun ist FTN+ TNF== NFB,
also TNF= \NFB,

§ 2. Lemma 2. (Fig. l.) Wird im Scheitel A der Parabel
das Lot AS xur Axe errichtet^ welches die Tangfufe TN m S
schneidet^ und ivird S mit dem BrennjnmJ'ff F verbunden ^ so
wird der Wmkel ÄFN durch FS haJbirt und die Dreiecke AFS
imd F8N werdm ähnHdi,

[2] Beweis: Da nämlicli TS = SN und FT == FN, so
wird Winkel TFS = SFK Verner steht FS auf der Tau-
gente TN senkrecht und das Dreieck FSN ist somit recht-
winklig. Da aber Winkel aSAF ein Rechter ist, so ist auch
das Dreieck FAS rechtwinklig. Wegen der Gleichheit der
Winkel AFS und SFN haben also beide Dreiecke gleiche
Winkel, sind somit ähnlich.

§ 3. Zusatz 1. Es ist also: ÄFiFS^ FS: FN oder
FS ist die miitkre ProporUonale zwischen FA v/nd FN,

§ 4. Znsatz 2. Da Winkel ASF = SNF, so ^vird
AF = SF . 9\nASF^ SF • sin SNF= FN - sin FNT\ Ist
daher der Eadiusrerfor FN gcgrhm qnul der Winkel FNTy
so wird daraus sehr leicht der Abstand des Brennpunktes vom*
Scheitel AF imd die Lage der Aze gefunden,

§ 5. Zusatz 3. Da der Winkel FSN constant ein Rechter
ist, so können, wenn der Brennpunkt F nnd die Gerade AS

ihrer Lage nach gegeben sind, durch Zielten von Normalen xu

den Verbindungslinien von F mit beUebigen Punkten S beliebig
viele die Parabel einhüllende Tangenten construirt werden.

§ 6. Auilicrkuil^i:. Die folgendeii Sätze sind längst be-
kannt und können mit wenig Aenderungen auf die anderen
[3] Kegelschnitte angewendet werden; in Bezug auf die Parabel
mögen sie wie folgt dargelegt werden.

§ 7, Lemma 3. (Flg. 2.) Wenn an xwei Punkte N und
M der Parabel die Tangenten NB und RM gelegt und vom
Brennjyunkte. F die Geraden FN^ FMj FE gezogen werden^
so si)id die Dreiecke FNE und FEM ähfdich und, wenn die
Tangente 3/7/ his T verlängert ivirdj ist der Winkel TEN =
NFE = EFM.

Beweis: Man errichte im Scheitel A die Normale AT
zur Axe AF^ verlängere die Tangenten EM und NE biri zu
ihren Schnitten T und S mit dieser Normalen nnd ziehe FT

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Abhandlangen zor Bahnbestimmang der Cometen. 1, 1. 7

und FS, Da dann die Winkel FSB nnd FTR Rechte sind

(§ 5) und dieselben der Geraden FE gegenüber liegen, so
liegeu die vier Punkte T, E auf eiuem Kreise, dessen

Durchmesser FE ist.
Also ist ^Vinkel FJST
4- rKT= 180° und
da\niYASF=FET=
FNS (§ 2 . Da somit
die Dreiecke FNS und
FTE ähnlich sind, so
wird auch Winkel S'FJN^
TFE und Winkel
SFT=:^NFB^SET.
Nun ist aber (§ 1) SNF
= iNFB und TMF
s= i JfiPB, also SNF
—TMF^iNFMJet-
ner im Viereck FNRM:

Winkel >s'A'i'^ — TMF =^ NFM — TES und daher .V7^Jf
^ TES = j^NFM oder = ^iV^i^'JW = A^i^'/^. Die

Gerade FE halbirt also den Winkel NFM, Da Winkel
SNF= TEF, so wird auch FNE = FEM. Somit sind in
den Dreiecken FNE und FI?M entsprechende Winkel gleich,
sie selbst also einander ähnlich.

[4] § 8. Zusatz 1. Es wird also FN:FE = FE:F2L
und daher ist FB die mittlere Proportionale xumchen FN uiid
FM (vergl. § 3). Es ist auch

Fig. 2.

FN : FB = FB : FM = VFN : VFM ,

§ 9. Zusatz 2. Wenn also der Brennpunkt und zwei
Punkte N uud M der Parabel gegeben sind, so erhält mau,
wenn man den Winkel NFM durch die Gerade FE halbirt

nnd FE = VFN- FM macht » sofort die Möglichkeit, die
Tangenten EN und BM zu construiren; fällt man auf sie die
Lote FS und FTj so erhält man die Gerade TS, welche
durch den Scheitel geht, und somit diesen selbst und ÄF.

§ 10. Zusatz 3. Ebenso: wenn das Dreieck FNM ge-
geben ist, so ist aueh Dreieck FEM bekannt und daher der
Winkel JIMF: -aUo liat man nach § 4: AF = FM - sin EMF^.

§ 11. Zusatz 4. Da FEM ^ FNE, so wird, wenn
wir die Gerade FN und die Tangente NB festhalten, der

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S J- H. Lambert.

Winkel FJiM eiu constanter sein, welches auch die Lage von
F3I gegen FX sei. Hiermit ist die oben (§ 5) angegebene
Consti'uction der Parabel allgemeiner dargethan.

§ 12. Zusatz 5. Wird die Sehne NM gezogen, so wird
die Samme der Winkel

RNM+ RUN ^ TRS = NFB .

§ 13. Zusatz 6. Da ierner ist:

NR .RM^Bisk RMN : sin RNM

b und, weil Winkel NFM duich Fli halbirt wird:

NRiRM = ^RMF: smRNF,

80 folgt

sin laiN : sin RNM = sin RMF : sin RNF .

§ 14. Znsatz 7. Wegen der Aehnliehkeit der Dreiecke
FNR und FEM ist:

NR:EM= FN:FIl;

du nun (§ 8)

FN : FR ^ VFN : VFM ,

so folgt (§ 13)

VFN: \ FM= sin ILlfF: %mBXF.

§ 16. Lemma 4. (Fig. 3.) Werden m drei Putzten L, J/, N
der Parabel die Tangmten LR, PMQ, RN gezogen^ so liegen

die SeJmitipunkie P, R,
Q derselben tmd der
Bren/npunläF auf einem
Kreise.

Beweis: Es ist
nämlich (§ 7) Winkel

TRL^^^LFN

^^LFM+iMFN,

aber (§ 7)

^LFM=:=^FFM und
^MFN=MFQ,9Xso:

TRL = rFM+MFQ

Im Viereck PRQF sind somit die Summen zweier gegenllber-
liegender Winkel PFQ + FRQ ^ ISO'', eine Eigenschaft,

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Abbandlangen zar Babnbestimmung der Cometeo. 1, 1. 9

die nur dem in einen Kreis eingeschriebenen Viereck zu-
kommt.

[6] § 16. Zusatz 1, Sind daher drei Tangenten einer
Parabel ihrer Lage nach gegeben^ so kann durch ihre Schnitt-
punkte Py Qj R ein Kreis gelegt werden, der durch den Brenn-
pnnkt der Parabel hindurchgeht.

§ 17. Znsatz 2, Sind fernerhin vier Tangenten einer
Parabel ihrer Lage nach gegeben, so können zwei solche
Kreise beschrieben werden, in deren einem Schnittpunkte der
Brennpunkt der Parabel liegt.

§ 18. Lemma 5. (Fig. 3.) Hält man die heideyi Tangenten
LR und RN fest und ändert die Lage der dritten PMQ be-
liebig ^ so bleibt das Verhältmss uswischm dm Absdmüten LP
und RQ eomtani.

Beweis: Es ist nftmlich

•addirt man also zn beiden den Winkel RFM^ so wird

Es ist aber auch PLF= QRF, also sind die Dreiecke LPF
und RQF fthnlich und daher das Yerhältniss zinschen LP
und RQ constant.

. [7] § 19. Zusatz 1. Es wird sonach:

Winkel LFP = ^LFM und
LFR = iLFN,

also:

PFR = ^MFN == MFQ ;

PFM= RFQ LFP.

LP : RQ = LR : RN ^ LF: RF

oder:

LP:RQ ^^VLFiVNF. (§ 8J

§20.

Znsatz 2« Daraus folgt auch:

RP:QN=yLF:yNF,

§21.

Zusatz 3. Femer:

oder:

PR . RQ

= 1 .

LR~^ RN

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10

J. H. Lambert

§ 22. Zusatz 4 Da man hat:

FFM=LFF

und

MFQ = FFB,
so folgt durch Addition:

PFQ = LFE=ILFN.
£s ist aber auch;

FPM= FLP=zFBQ.

Also sind die Dreiecke LMF^ MNFy PFQ ähnlich.

§ 23. Zusatz 5* Welches also auch die Lage der Tan«
gente PMQ sei, immer wird, wenn die Tangenten LR und

RN festgehalten werden, das Verhältniss zwischen den Seiten
FP^ PQ und FQ constant sein.

[8] § 24. Lemma 6. (Fig. 4.) Von drei ihrer Lage mvlt
gegebmm Tangenten RQM^ MPr imd qrm einer Parabel werden
auf einer bdiebigm viertm qPQ Stücke qp und PO ahge^

sehnittenj deren Verhält-
niss constant ist»

Beweis: NacL§ 23
ist nämlich sowohl das
Verhältniss z wis i h cn
PF lind PQ als auch
jenes z^vischen PF und
Pq coustant, also muss
auch das zwischen Pq
und PQ constant sein.

§ 25. Lemma 7*

Aufgabe L (Fig. 4.J
Wenn drei Oerade Rr^
RQjrq ihrer Lage nach

gegeben sind, eine vierte
qQ so XU legen y dass
die Absehnitte q P und
PQ in einem gegebenen
Verhält ?iiss stellen.

Erste Lösung. Die Aufgabe ist unbestimmt. Wenn eine
einzige Gerade qQ gezogen ist, die der Bedingung genügt, so
liegen vier Tangenten einer Parabel vor, mit deren Hülfe der

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AbhandluBgen znr BahnboBtiBrnrang der Gometen. 1, 1. 11

Brennpunkt 7^' nach § IT brefuuden wird, und hernach können
die Parabel selbst nach § iJ oder beliebig viele Tangenten
derselben nach § 5 constniirt werden. Alle diese letzteren
aber genügen nach Satz 6 der Bedingung der Aufgabe.

Zweite Lasung. Da nach § 24

so folgt
[9] oder

SM\Sm = SR:rm.
£s ist aber auch (§ 19)

SM:Sm= QMiSq ,

SJR: rm = Q31: Sq,

Wenn daher das Yerhältniss zwischen qP und PQ gegeben
ist, se ergiebt die erste Proportion BM und rm und daher
die Lage der Berührungspunkte M und m. Wird weiter der
Absehnitt QM beliebig angenonunen, so steht dieser zu Sq in

dem Constanten Verhältniss SB : rm. Zu jedem beliebigen
Punkte Q wird also der entsprechende q gefunden werden
können, so dass die Gerade Qq gezogen werden kann.

Dritte Lösung. Da

Pq : biu tjrP = qr : sin ^i^r
PQ : sin QBP = QR : sin QPR

und

Winkel qPr r= QPR ,

so wird

^ ^ qr • sin qrP ^ QP • sin QPP

^luqPr diuqPr

also:

— smori': sm QPP = QP:qr = — - : — •
Pq ^ Pq SR

Wild also QR angenommen, so ist hiernach qr gegeben und
umgekehrt.

§ 26. Lemma 8. Aufgabe 2. [Fig. 5.) Man soll die Parabel
eonsiruiren^ wenn zwei ihrer Punkte M und N und der Brenn-
punkt F gegeben sind.

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12 J- H. Lambert.

[10] Lösung: Mit MN als Durchmesser wird ein Halb-
kreis MVN beschrieben, dann mache man Fn = FN nnd

erhalte die Difi'erenz n 31;
diese wird uus iV nach V
iiheitrapreü, so dass die
Sehne A'K= nM wird.
Dann Avird MV TT ge-
zogen und darauf aus
die Normale FH gefällt.
Diese wird die Axe der
Parabel sein. Endlich
macht man

AF=: 1{FM—FH)

Fig. 5. und A wird der Scheitel

der Parabel sein. Mit
diesen Stücken aber kann die Constmction der Parabel leicht
ausgefflhrt werden.

Beweis: In der Parabel ist:

FM=FH+2AF
FN=FK+2AF,

also

FM — FX = FH— FK = IlK = N V.

Da aber der Winkel NVM ein Rechter ist, so spannt die
Sehne NM den Halbkreis NVM nnd NV ist der Axe AH
parallel.

§ 27. Anmerkung. Eine andere Lösung des Problems

haben wir schon oben ^§ 9j augegebeu.

g 28. Lemma 9. Aufgabe 3. (Fig. 5.) Gogehen i^f dcLs
Dreieck NFM\ man soll die Fläche des Segmentes NQM er-
müteln*

Lösung: Es sei p der Parameter der Parabel und es
werde gesetzt:

AH=x HM=y

[11] dann wird die Fläche

des Segmentes AMH =
des Segmentes ANK ^
des Vierecks KNMH= \{x-^ 'i)[y + ij) ,

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Abhandlungen zur Babnbestimmung der Cometen. 1. 13

also wird die Fläche

des Segmentes JV03I = ^ — | — ^[x — ^j{y + /^j
oder nach gehöriger Heduction:

= ii^y — b*; — ^^'i + ^z/?; •

Nau iät aber:

JU — — , 1^ ,

p p

also, nach Substitution, die Fläche des Segmentes NQM
B = (y' — 3/- q + 3yr}^- t^'}

oder

^9 hängt also die Fläche des Segmentes NQM eimig und allein
von der Differenz der Ordinaten KN tind UM und von dem
Abstände des Brennpunkten vom Scheitel ab.
Sei nun

FiM =a, FN = b
Winkel NFM 2e
NM=k,

so wird

2 ab cos 2 6* = a- + 6^ — A;*

oder, da

cos 2 = 1 — 2 sin c- ,
Aabsmc^ = — (a — br =
MV= 2\ a^sinc.

Weiter ist (§ 8) (Fig. 2)

FE = Vab ,

[12] also:

MW = a — Vab cos c
sin RMW*

5 sine?*

""' ——————— ' ^ B

a4-6 — 2 Va^»co8c Fig. 2.

♦

uiyitized by

14

J. H. Lambert-

Ferner ist (§ 4j
also:

ah sine*

a b — 2 Vab cosc
MV

oder

und daher wegen B = gj^^ (Fig. 5] und MV= 2Vaü&mc

B = i Yab {a + b — ^ Vabeosc) sine .

§ 29. Zusatz. (Fig. 5.) Hieraus wird nun leicbt die
Fläche des parabolischeu Sectors NFMQ gefunden, indem
mau dem Segmeute NQ2I die Fläche des Dreiecks FJS'Mj
welche ist:

^ ab sin 2g = ab ainc cose y

bmzufttgt. l^ennt man die Fläche des genannten Sectors
80 wird man erhalten

A = -^Vab {a + b) äinc-^- '^absiaceose

-4 s= } Yab {a + b + Vab cosc) sine .

§ 30. Lemma 10,
Aufgabe 4. (Fig. 5.} Gc-
liehen sind die Seiten des
Dreiecks NFM\ man soll
düEntfenmng des Brenn-
punktes F vom Scheitel A
ftr/d die Fläche des jwra-
hol i seilen Sectors NFM
ftndm,

Lösung: Nach tri-

goiiometrischün Formeln

hat iiian;

4a6 sine- = [k + a^ b)(k — a -f. 6) = Ä;* — (a — t)«
4a6 cosc* = (Ä; 4- flj + 6 — k) == (a + h)- — k' .

13] Da nun ist (§ 28, 29J

a + 6 — 2 Va^coae
A:= { Vab (a + h + Vab cosc) sin c ,

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AbkandiuDgen zur Bahubestimmung der Cometen. 1, 1. 15

80 folgt durch Sabstitation :

_ (a —

§ 31. Zasatz L Da

so hat mau auch:

a + ^ + y + b)* —

_ ik* — (g -- + ^> + V{a + - k^)

§ 32. Zusatz 2. Weun der Winkel c = iNFM gleich
90*^ wird, so wird k = a + b und daher in diesem Falle:

ab

ab
T

A = \(a + b) y^^^kVab.

§ 33. Anmerkung. Die Buclistaben a, <?, A;, von denen
wir in den vorhergehenden Sätzen Gebrauch gemacht haben,
werden wir im Folgenden in der gleichen Bedeutung beibe-
halten, ohne dieselbe Immer zu wiederholen.

[14] §34. Lemma IL
Aufgabe 5. (Fig. 2.)
gd>m sind die Sdtm des
Dreieckes NFM\ man soll
dm Winkel BMF bcx.,
SNF finden.

Lösung: Da nach r
§28:

sin RMF^
b sing* *

a + b — 2yab coac
und nach § 30: Fig. 2.

4a6 sin S5 ifc« — (a — ft)«
^ab cosc^ = (a 4- 6]- — k^ ,

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16 J« H. Lambert

so erhält man nach dui'chgeführter Substitution:

Qin BMF' =

4a(a + 6 — y(a + 6)* — Ä*)
nnd auf äbnUche Weise (§ 14)

46 (a + 5 — V(a 4- b}^ Ä;*)

§ 35. Zusatz 1. Da nach § 1

Winkel MFB ^ 2BMF ,

so wird

coB MFB =1 — 2 Bin BMF^

und daher

jk« — (a —

cosMFB = 1 —

2a(a4-i> — V(a + ^J* —

§ 36. Zusatz 2. Wenn der Winkel NFM = 180" wird,
so wird a + b = k und daher

[15J § 37. Anmerkung. Der Winkel BMF und zudem
der Winkel MMN können auch noch auf andere Weise durch
üj c ausgedrtlckt werden ^ wenn man die Ootangente der-
selben sucht Es ist nämlich:

FliM = 180** ^c--EMF,

ul?)o:

FB __ h'mUMF
FM ^{EMF-^c) '

Nun ist aber nach § 8

FBiFM^VbiVä,
Nennen wir also den Winkel BMF = 4?, so wird sein

Vh: Va = slnv : sinff? + e) ,
oder wegen sin(i; + c) = sinr cosc 4- cosf sine:

Yb : Va = sinv : (siui." cosc + cosi^ sine)

1

Vb :Va=-

smccotgt^+ cos 6

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Abhandlnngeii zur BahnbeBtimmiiiig der Cometen. 1, 1. 17

Hieraus folgt:

cotg

'-Vi

eosecc — eatgc.

Weiter hat man, wenn man den Winkel RMN s= ai nennt^
wegen TRN=RFM= c, (§ 7):

MNR = c — w

und daher

iV^-ß : RM = sin w : 8in(c — w).
Nun ist aber nach § 14

^R\RM=n\\a,

also:

: Va s= aincü : 8in(c — w)

oder: _ _

1 ö : > a = siutu : (sine- cos w — cos c sin w).

Hieraus wird:

cotg CO = \ cosecc + cotgc.

[16] Da aber

cotg

'-VI

^ coaecc — cotgc,

90 erheUt, dass mau mir durch Wechsel des Zeichens durch
dieselbe Formel sowohl die cotg von v als jene vou er-
halten kauii.

§ 38. Lemma 12. (Fig. 6.)

TVenn man durch die Mitte G
(kr Sehne NM eine Parallele
RQQW xur Axe and die auf
dieser Geraden sieh schneidenden
Tangenten RN und RM an die
Endpwnkk der Sehne xieht, so
wirdy wenn noch Q mit dem
Brennpunkte F durch die Ge-
rade QEF verhunden wird,
2iQ=:QQ = QE. ^

Beweis: Wird die Tan-
gente in N von der durch M
zur Axe parallel gelegten Geraden MP in P getroffen, so
folgt aus den Eigenschaften der Parabel:

OstWAld*« Klassiker 133. g

Fig. 6.

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18 J* H. Lambert

JRQ\PM=NR''\NPK

£a ist aber aucb

NR:NP= NG:NM^\:2y

also

RQ : PM =1:4;

und ferner:

RG\PM=:X:2,

also

RQ:RG= 1:2

und daher:

RQ=.QG.

Nun ist ferner die Gerade, welche die l'arabel in Q berührt,
der Sehne XM parallel und gegen die Geraden QF und QU
gleich geneigt, also wird

Winkel QEQ = QQE

und daher

QE=QG = RQ.

[17] § 39. Aninerknilg. Man kann eine BeziehiiDg zwischen
FQy QO und NM nachweisen, nämlich:

NM' = IQFQ'QG.

Aehnlich findet manr

NP^ = IQFN . QR == 16i\Y QG ]
uud man hat daher

NP:NM= VFNiYFQ

oder

XRiXG = VYX:

§ 40. Lemma 13. (Fig. 6.) Wenn durch die Mitte O der
Sehne NM die zur Jxe senkrechte Ordinate JGg gexogen %md

FN-h FM

g mit F verbunden wird, so ist gF ^ 5 •

Beweis: £s ist nämlich

Fg -^FNz= NK
F2I^Fg = KV=^NK,

also :

Fg — FN^ FM-- Fg

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Abhandlangen znr Bahnbestimmii&g der Oometen. 1, 1. 19

oder

FM-hFN

Fg. ^

§ 41. Anmerkiuig« Dieser Satz wird sehr viel gebraucht
und ist auch auf die anderen Kegelschnitte anwendbar.

[18] § 42. Lemma 14. (Fig. 6.) Wetm FQ, QG und Fg
wie in den beiden voraitsgehenden Sätzen gexogen werden^ so ist
Fg =^ FQ + QG.

Beweis: Es ist nämlich:

G W = IH= FM — Fg
QW^FM—FQ.
Also durch Subtraction:

OTT— QW^Fg-^FQ^QQ

und daher

Fg=^FQ+QQ.
§ 43. Zusatz. WeU QF=QG (§ 38), so ist auch:

Fg = FQ+ QE,

§ 44. Lemma 15. Aufgabe 6. [Fig. 6.J Gegeben sind die
Seiten des Dreieckes FNM\ man soU die Distanz FQ ermitteln.

LGsung: Da nach § 42 und 40:

FN 4- FM
Fg = FQ+QG=rt^l^r^

und weiter nach § 39

NM^ c= IQFQ-QG,

so wird

NM' _ FN-^FM
^'^16FQ'~ 2

[19J iSennt mau also FQ = so wird

a + b

g= — +iV(a + ^J* — A?*.

§ 45. Aumerkung. Nach Aenderung des Zeichens giebt
dieselbe Formel QE:

2*

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20

J. H. Lambert.

§ 46. Zasatz l. Hieraiis folgt:

FQ^QE=FE==^i y[a + b)* — .

§ 47. Zasatz 2. £s ist nach § 30

'^a 4- b)* — Ä;* s= 4a5 cosc* ;

also:

FE = Vab cosc = FE • iiosRFM (§ 8).

§ 48, Lemma 16. (Fig. 6.) Wird van B das Lot EL.
auf FM gefällt, so ist FL = FE wd RL ^ OK.
Beweis: Bs ist nämiicii (§ ö)

FE = yä6

Winkel EFM^e,

also:

FL = Vab oosc

EL = Va6sin<?»

[20] Da aber ferner ^§ 30, 47;

y^sinc = IVA;'— [a ^ bf = JJfF^ GfJT

yi&eosc=sJ*J?,

so folgt

FL=^FE und EL^GK.

§ 49. Lemma 17. (Fig. 7.) Wenn drei behebtge FuifiMe
N Ü M der Parabel und ihr Brennpunkt durch dte Oeraden
' ^' FN, FQ, FM, NQ, QM, NM

verbunden werden, so verhüten
sich die Flächen der Dreiecke
NFQ und QFM ivie die Ab-
schnitte NE und EM und die
Segmente NMQ, NQ und QM
verhalten sich wie die Guben der
Geraden NM, NG, GM, wobei
Q Q parallel %wr Axe gezogen ist.

Beweis: Die Dreiecke NQE
lind EQMsm^j da sie die gleiche
Spitze Q haben, gleich hoch und
7 ihre Flächen verhalten sich also

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AbhancUangdn zur Bahnbestimmttng der Gometea. 1, 1. 21

wie ihre örnndlinieii NE und EM\ ebenso sind die Dreiecke

NEF und EFM^ da sie die Spitze F gemeinsam haben, gleich
hocli und sie verhalten sich daher ebenfalls wie NE zu EM\
also durch Zusammensetzen:

A NFQ :AQFM=NM: EM.

Zieht mau sodann V parallel zur Axe und fällt darauf von
M das Lot MVy so werden nach § 28 die lachen der Seg-
mente :

begm. NMQ =

Segm. NQ =

Segm. QM =

MV'

24: AF

VW

r3

24.AF

MW

24AF

also;

r^3

NMQ : MV' = NQ : FIF' = QM:M\V

[21] Diese Abaeissen MV^ VW nnd MW verhalten sich aber

wie NM^ NG und (71f, also ist der Sata bewiesen.

§ 50. Anmerkung. Wenn der Winkel NFM 20 bis 30 Grad
nicht iib erschreitet, dann kann man die Se^rmente NQ und 03/
im \ erhältniss zu den Flächen der Dreiecke NFQ und QFM,
zu denen sie gehören , ihrer Kleinheit halber vernachlässigen,
80 dass die Sectoren
NFQ und QFM sehr
nahe im Yerhäitniss
der Abschnitte NE
nnd EM stehen wer-
den, welche auf der
znm ganzen Bogen
NM gehörigen Seline
von FQ gemacht wer-
den.

§ 51. Lemma 18.
Auigabe 7. (Fig. 8. ;

Gegeben seieri vier Gc-
rade BL, BIj DK,
DH\ man soU eine

fünfte LH so ziekm, Flg. 8.

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22 J* H. Lambert

dasä die Absehmtte HIj IK, KL in einem gegdmm Verhält
nisse stehen.

Erste Lösung. In dem Dreiecke ABC^ welches von
den in /, L schneidenden Geraden gebildet wird, bestimme
man auf AB den Punkt e durch

AB\Be = KI:IH
und hierauf auf BG den Punkt g durch

Bö: Cg = LK:KH
oder auf AG den Punkt f durch

.IC: C/*= LI'.IH,

Die Punkte f liegen dann auf einer Oeraden, welche
die vierte gegebene Gerade ED in dem Punkte H treffe.
Dann bestimme man den Punkt M durch

1W:DM==: HKiIK.

Wird schliesslich durch M eine Parallele txi AO gezogen, so
wird diese BO in I treffen und HI wird die gesuchte Gerade
sein (siehe § 62).

[22] Zweite Lösung. Durch Trigonometrie hat man:

»in GKI BmBAD

AL

KL

sin CKI

»in ADE

DE

EK

sin CJK

sin BEB

EH

HI

sin GIK

^inABE

BL IL
Hieraus kommt:

AL sin BAD DH%\nADE

KL ~ HK

EHmiBEB _ BL sin ABE
EI IL

Macht man nun

KL : HK = 1 : w

t HI : IL =1:h

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Abhandlangeh zur Bahnbestimmung der Cometen. 1, 1. 23

so wird sein:

m{ÄB + BL) »inBAD » DHimADE

n(ED + DE) äiuJjEB = BL bIrABE.

Hieraus folgt aber

_ m{AB+ BL) sinBAD
^in ADE

und

jj„_ BL BinABE "-n-ED mPEB

n-smUEB '

also:

n ' sin DEB[m • AB f^BAD + ED sin ADE)

BL ^=

sin ABE sin ADE — mn sin B^D 8ini>^^

Wird hieraus BL berechnet, so findet man leicht DH und
damit die Lage der Geraden HL,

[23] § 52. Anmerkung L Der Beweis der ersten Ldsung
ergiebt sieb aus Lemma 6 und 7 (§ 24, 25]. Es sind nämlieh
die Geraden ABy AC^ BC^ eg und LH Tangenten einer
Parabel.

Wenn man es vorzieht in der Formel, auf der die zweite
Lösung beruht, nur von den Strecken Gebrauch zu machen,
so kann man sie in folgender Weise umändern. Zunächst
kann man sie in folgende überführen:

AB^mBAD ,
mn — : — — I- n - ED
sin .lZ>^

sin^^J? sin.g^I> '

mDWB ^^^*\mADE

Zieht man nun Bd parallel zu ED^ so wird sein:

Winkel AdB = ADE

ABmBAD _
sin ADE

sin ABE Ea
BUiDEB^ aB

mjxBA D aD
sinADE~~Aä

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24

J. H. Lambert

und daher

m n- Bd + n ED

Ea aD

— •

aB Äa

oder

aB* Aa '{m» Bd'\- ED)

OMj SS ■ — ■ •

' Aa — m • u • aD aB

§53. Anmerkug 2. Eine andere Lösung dieses Probleme
findet man in Newtons ^ArükmeHm uniwersaH9*. Dieser hat
es zur Ermittelnng der geocentrisehen Distanz des Oometen

benutzt, indem er die Annahme machte, dass ein kleines Stück

der Bahn als eine Gerade betrachtet ^verdell dürfe, und weiter,
daäs die vier Punkte //, /, A', L die Projectioneu von vier
OometenÖrtern auf die Ekliptik seien.

[24] § 54. Lemma 19. Aufgabe 8. (Fig. 9.) Gegeben
sind vier Gerade AEy AGy BF^ BH\ man soü demelbm ein
gegelmiea Viereck EFQH einschreiben,

Lösung: Da die Geraden ihrer Lage nach gegeben sind,
so kennt man die Winkel CAD, CBD, GAB und CBA,

Zieht man nun durch gegenflber^

' liegende Ecken des Vierecks
EFGHj nämlich EG einerseits
und FH andererseits Kreislinien
so, dass die Bogen EG und FH
doppelt so j^ross werden, als die
^Vinkel EAG bez. FBH, so ist
leicht zu sehen, dass die Punkte
A und B auf diesen Peripherien
liegen mtlssen. Macht man weiter
Ea=2CAB und Fb = 2ABD
und zieht durch die Punkte a, b
die Gerade baBA, so wird diese
auf den beiden Peripherien die
Lagen der Punkte A und B au-
geben. Zieht man endlich die
Geraden HBC und FBD^ so werden EA^ GA, FB und HB
jene yier Geraden sein, denen das Viereck EFGH einzu-
schreiben war.

§ 55. Anmerkung. Ks ist, wie man leicht erkennt, nicht
nöthig, dass die Seiten des Vierecks EFGH in demselben

Fig. 9.

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Abbandlangen zur BahnbeBtimmang der Cometen. 1, 1. 25

Maaase gegeben seien* wie die Smten des Vierecks AB CD,

sondern es genügt, dass die Winkel E, G, H und das
Verhältniss der Seiten bekannt sei. Aus diesem Grunde kann
das Problem dann von Nutzen sein, wenn die Bahn eines
Cometen schon srlir nahe bekannt ist. Das Problem wird
nämlich, wenn die Krümmung desjenigen Theiles der Cometen-
bahn, den derselbe im Intervall von vier Beobachtungen
zurücklegt, sehr nahe bekannt ist, besser genügen, als das vor-
beigehende, welebes einen Theil der Bahn als geradlinig
voranssetzt.

[25] § 56. Lemma 20. (Fig. 10.) Wmn man die Seime NM
einer Parabel in G Jfalbirt, G Q parallel zur Axe A F zieht, Q mit
dem Bren?iptitikte F verbindet und endlich die Seime NM derartig
in die Lage n in bringt,
dass FQ dieselbe rech t-
winklig halbirt, dann
liegen die Funkte n
und ni auf einer Para-
hd nQm, deren SeJmtd
Qy deren Axe FQ und
deren Brempunki F
ist; ausserdem verhal-
ten sieh die Flächen
derSeetorenNFMund
nFfn wie die Quadrat-
wurzeln aics den Halb- j1 F 3

Parametern der beiden Fig. 10.

Parabeln.

Beweis: Da. NG = GM und OQ der Axe parallel ist,
so ist die Sehne NM parallel znr Tangente der Parabel in Q
und femer ist

Winkel NEF= \QFB

und QQ^QE (§ 38).

Ferner ist:

nW = UFQQG

und daher auch:

nm s= 16 J'O • QE,

Dies ist aber die Gleicbang einer Parabel, deren Axe nnd
Focaldistanz FQ ist

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26

J. H« Lambert.

Ferner wird sieh, wegen QG = QE^ die Flftobe des Seg-
mentes NQM zur Flftche des Segmentes nQm verhalten^ wie
der Sinns des Winkeis QGB ^ QEG « NEF zn 1; in
demselben Verhältnisse stehen aber anch die Flächen der

Dreiecke NFM und riFm^ weil die Grundlinien NM und n m
gleich sind. Also stehen die ganzen Sectoren iVi^Jf und ni^Vi
im Verhältniäs des sin NEF zn 1. Nun ist aber (§ 4)

%\ikNEF: 1 = VlF: VFQ = V2ZF: \2FQ,

Da nun 2ÄF nnd 2FQ die Haibpaiameter sind, so ist der
Satz bewiesen.

[26] § 57. Amnerkug* Dieser Satz lässt sieh mit ent-
sprechender Begrenzung anch anf die andern Kegelschnitte

ausdehnen. Es ist auch ohne besondere Darlegung klar, dass

er in der Weise umgekehrt werden kann, dass man aus der
Parabel nQm eine beliebige andere ableiten kann, welche
durch den Scheitel Q hindurchgeht,

§ 58. Lemma 21. Aufgabe 9. (Fig. 10.) Gegeben sei die
Sehne NM tmd der Pfeil QG] man soll die Fläche des Seg*
mentes NQM und des Seetors NFM finden,

Lösnng: Die Fläche des Segmentes nQm ist ^ QE*nm

und die des Dreieckes nFm ist ^FE-nm, Also wird

Nnn ist aber 5G)

Sector nFm : Sector NFM = Segm. nQm : Segm. NQM

Sector ü Fm 0 = | QE • mn + ^ FE • mn

oder

* nFmQ — -^QE • nm -|- \ FQ • nm.

VFQ : VäF

nm = NM

also wird:

QE=^QG,

«
*

Segm. NQM^ jNM- Q^Y^

Da nnn

NM' :^XQQG'FQ

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AbhandlaDgen zur Babnbeatimmsng der Cometen. 1, 1. 27

[27] so -wird

Segm. NQM = | Vqg'-AF

Sector NFM = (f QG* + iNM*) '
§ 59. Zasats. Aehnlich erhält man:

Sector NFM==.\'M(^^+iFQ) ]/^.

§60. Lemma 22. Aufgabe 10. (Fig. 10.) Gegeben sei die
Sehic N3I = k tmd die Summe der Seiten FM-^ FN =^ a'\'b]
man soll die Fläche des Seetars NFM finden.

Lösung. Da man hat (§ 58):

Sector NFM =: NM(i QG + ^FQ) |/^^
und weiter nach § 44, 45:

FQ=:\{a + b+V{a + b)* — k*)
QG = ^(a + b'- + — äM,
so folgt nach Snbstitation und ansgefUhrter Bednction:

Sector NFM = — * ^ \ * f yAF.

sVa 4- 6 -i- y (a -i- bf- — k*

[28] § 61. Zusatz h Da

(a + 6 + y{a + 6)* — ifc*)(a + i — y(a + ^)* — &*)
so folgt andi:

Seciüi- 2iFM

§ 62. Z nsatz 2. Der zw eite Faotor dieser Formel, nttmlich

a + ^ + 4 y (a -|- ft)* — Ä*, geht nach leichter Aendernng
über in

i{a + b) + ^ [a + b + y(n + hf — k^) ,

so dass man die Formel selbst in folgende fiberf&hren kann

3 Sect. NFM
VAF

^\[a+b]V[a^b)^V[a+bf'-L'^

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28

J. U. Lambert

oder wenn man der.KtIrze halber a + b =g setzt,

§ 63. Zusatz 3. Hieraus aber folgt:

3 Sect. NFM

VAF

Die Flftche Ä des Sectors wird also:

A = iyAF([ ) - ( ) ).

§ 64. Anmerkung 1. Für diese sehr schöne Formel, die
wir hier doroh du weitläufiges Rechnungs verfahren ermittelt
haben, werden wir unten einen kfirzeren Beweis geben, wenn
von der Ermittelung der Zeit, in welcher ein Comet eineo
bestimmten Bogen seiner parabolischen Bahn durehmisst, die
Rede sein wird. Dann werden wir auch angeben, was man
erhftlt, wenn die Bahn ein beliebiger Kegelsehnitt ist und
welche Aendeniniren und Bescliränkungen dann eintreten.

§ 05. Alimerkuug 2. Das sind die liauptsäcMichÄteu Sätze,
welche ich vorausschickeu wollte, um die Theorie der parabo-
lischen Cometenbewegnng um so eleganter darstellen zu können.
Wir werden in der That sehen, dass die bisher abgeleiteten
Formeln sich einfacher gestalten, wenn wir an Stelle der Fläche
des Sectors die Zeit einfthren, die der Oomet zum Durchlaufen
des Bogens braucht

und auch:
3 Sect. NFM

[99] oder am kürzesten:

Abbaadlmigeii zur BahnbeBtimmimg der Cometen. 1, 2. 29

[30J Zweiter TheiL

Die wichtigsten Eigensohaften der parabolischen

Bewegung der Gometeni

§ 66. (leset z 1. Alle Himmdskörpcr^ welche sich um die
Sonne bewegen, Fhineten sowohl als Gameten ^ werden durch
Centralkräße getneben und irerden vm der Sonm angezogen^
so dass die Jnxwhtmg umgekehrt proporHonal dem Quadrai der
Distanz ist

§ 67. Gesetz 2. Die Zeiten^ in welchen sie die Bogen ihrer
Bahn durchlaufen , sind den Fiärhen proportioyial^ welche der
Radiusvector ^ d. h. die VcrhimlioigsUnic der Sonne mit den
Cometen oder rhuu ten, iibrrstreicllL

§ 68, Clesetz 3. Die Bahnen^ in demn sie sieh um die
Sonne bewegen^ sind nothwendig Kegelschnitte^ in deren einem
Brennpunkte sieh die Sonne befmdet.

[31] § 69. Gesetz 4» We^m verschiedene Cometen und
Planeten unter sieh verglichen werden, so ist die Zeitj in welcher
der Comet oder Planet einen Bogen seinn* Bahn durchluufty
proportional der vom Radiusvector überstrichenen Fhwhey divi-
dirt durah die fhtndrntururxel aus dem Halbparameter der Bahn^

§ 70. Anmerkuag. Es ist hier nicht der Ort aaseinander-
zusetzen, wa!^ m diesen Gesetzen der Beobachtung und was
den Principien der Mechanik zu verdanken ist. Die Ornndlage
hat K^kr gegeben, indem er die drei letzten Gesetze mit
▼ieler Mflhe ans den Beobachtungen ableitete und sie anf die
•Planeten anwandte. Das erste Gesetz hat Newton aus Beob-
achtungen dedueirt, dann aber alles ans den Principien der
Mechanik abgeleitet, indem er die ersten Fundamente einer
Tlieorie der Centralkrätte schuf. Das dritte Gesetz und nament-
lich die Nothweiuli^ckeit desselben hat Joh. BernouUi mit ge-
wohntem Scharfsiiui ins volle Licht gesetzt. Diese Gesetze
sind so einleuchtend und so allgemein bekannt, dass es Zeit-
verschwenduiig wflre, wenn ich von Nenein auf ihren Nachweis
einginge. Sie sollen hier als Principien hingestellt sein, aus
welchen die specielleren Eigenschaften der Bewegungen der
Himmelskörper abzuleiten sind. Diese letzteren aber will ich
in natttrlicher und stetiger Folge, soweit sie zu unserem Ziele

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30

J. H. Lambert.

beitragen können , ans jenen Gesetzen ableiten, indem ich
bereits bekannte roransschieke nnd nnter die neuen einfttge.

[82] § 71. Lehrsatz 1. (Fig. ll.) Wmn xum od&r mehrere
Gonieten in elliptisckm Bahnen sich heivegen^ deren grosse ukcen
gleich sind^ so sind auch die Umlaiifsxeiten gleich.

Pig. 11.

Beweis: Sei F das Centrnm der Sonne nnd zugleich

Brennpunkt der Ellipse A])B mit der grossen Axe AB^ der
kleinen Axe EG und dem Halbparameter FD\ dann ist iiacli
den Eigenschaften der Ellipse:

^ das Yerhaltniss des Kreisdurchmessera

Bezeichnet femer

7t

zur Peripherie, so ist die Fläche der Ellipse

Nach Gesetz 4 (§ 69) ist aber die Zeit proportional der Fläche,
dividirt durch die Quadratwurzel aus dem iialbparameter.
Nennt mau aläo T die ümlaufazeit, so wird

ttAG-ÖE

Kun ist aber

also wird:

mV FD

CE

\ FD = ,

7t ^

T=—AC^
m

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AbhaiidluugeiL zur Bahnbeäiimmung d^r Cometen. I, 2. 31

Die Umlaufszeit hängt also einzig und allein von der grossen
Axe der Ellipse ab. Damit ist unsere Behauptung bewiesen
zugleich mit dem folgenden

[33] § 72. Lehrsatz 2. (Fig. 11.) Die UmlaufsxeUm
der in Eäipsen sich bewegenden Cometen und Pkmeten verhaUen
sicfi wie die dreihalbten Potenzen der grossen Halbaxen oder
der mit&eren hdioeenirisehen Entfernungen.

Beweis: Die mittlere Distanz ist nämlich

AF-h FB

nach dem voransgehenden Lehrsatz ist aber

also ist auch

m

§ 73. Aufgabe 12. Man soll die Distanxcn und Umlaufs-
xeiten der Cometen und Planeten^ sowie auch deren VerMltnisse
in Zahlen ausdrucken.

Erste Ldsung. Da die Erde sich in einer £liipse be-
wegt, so setze man die mittlere Distanz derselben von der
Sonne s= 100000 und drücke in denselben Einheiten alle
anderen Diatanzen ans. Sodann zähle man die Zeit in ge*
wC^hnlichen Tagen und deren Decimaltheilen. Es ist aber die
Umlanfszeit der Erde gleich 866.25659 Tage. Daher haben wir
[34} in der Formel des vorhergehenden Lehrsatzes:

AG = FE= 100 000, r 365.25659 ;

damit wird der Werth von m gefunden, welcher das gesuchte
Yerhflltniss ist. Es wird

7t 'AC^
m = -

und daher

T

logJ10*' = 7.600

log>r 0.497 1499

7^71499
log T ^ 2.562 5980

logwi = 5.434 5519

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32

J. H. Lambert

woraus

m ^ 271 9S9.4

und daher

5r=

271989.4

Zweite Lösung. Seit Ki iiiulung der Decimalbrüche ist
es bequemer^ die mittlere Distanz der Erde gleich 1 zu setzen.
Setzt man daher

und nimmt A C = 1 , so folgt

T

und man hat

woraus

log T 2.562 5980
log jc = 0.497 1499

logn = 2.065 4481

n -i- = 116.2648 .
m

35 Ist daher die Flüche eines beliebigen Sectovä gleich ^1,
der llalbparametev gleich 5, die Zeit, in der der Bogen durch-
laufen wii'd, in Tagen ausgcdriis kt gleich Tj so wird

1) wenn die mittlere Distanz der £rde = lOQOOO gesetzt
wird,

^ A nA A

m\ s y s vi - 271 989.4 *

2j wenn die mittlere Distanz der Lide = 1 gesetzt wird:

A nA A' 116.2648

m V s y s V s

§ 74. Anmerkung. Den Buchstaben t, m, «, A, T
werden wir im Folgenden meistens dieselbe Bedeutung bei-
lesren wie liier, wie wir auch die Bedeutnnor der oben ^§ 33^
eiii^iretuhrteu Buchstaben a , h, k beiltelialten wollen. Die
Buchstaben T, .1 hat schon Kuler in der ^Tlteoria Come^
mi et Flaneiarum* im selben Sinne benutzt.

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Abhandlangen zar Bahnbeptimmung der Oometen. I, 2. 33

§ 75. Aufgabe 18. Man $oU die OesekwindigkeU emes in
einem Kreise sieh beweffendm HimmekkÖrpers finden*

Lösung. Ist r der Halbmcssev dos Kreises, r*>"r seine
Flächtij so wird die Umlauiszeit

T= — y= = - r*.
mVT

[36 lu dieser Zeit wird die Peripherie 2rjc beschrieben. Wenn
man daher die Geschwindigkeit ausdrtickt durch den Bogen,
der iu einem Tage dnrchlaafen wird, und sie K nennt, so wird

2m

Vr

§ 76. Lehrsatz 3. (Fig. 12.) Wenn ein Comet sich in
einer Parabel AM bewegt, so verhält sich seine Geschwindig-
keif an einer beliebigen SteUc M zu der Geschwindigkeit ^ mit
ivclchcr er sich in derselben
Entfernung von der Sonne F
auf einer Kreisbahn bewegen

tuUrdSy wie V2 : 1.

Beweis: Da die Zeiten
sich wie die Flächen, divi-
dirt durch die Quadrat-
wurzeln aus den Halbpara-
metem verhalten (§ 69), so
wird die Zeit, in der der
unendlich kleine parabo-
lische Bogen MN durch-
laufen wird, sein

Plg, 12.

8ect. MFN

mV2AF

die Zeit aber, in der der Kreisbogen MF durchlaufen wird:

Sect MFP

i =

mVFM

Da aber die (leschwindigkeiteii gleich den Bogen, getheilt
durch die Zeit sind, so wird, wenn wir sie bez. mit C und A'
bezeichnen :

Ostwftld*! Xlanilcer. 13X

3

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34

J. U. Lambert.

also:

_ MP^ _ MP ' m VF M
"7 i "~ &eet(MFF) '

Sect. (MFN) ' Sect. (If i^^PJ '
Es ist aber (§ 4j '

ÄF = MFälnMNF* =i* JlfjP • ,

[87] aJöo:

mnVJf ^ mpVmf,

Da nun der Winkel MFP unendlich klein ist, so werden die
Flächen gleich und daher

§ 77. Zusatz. Da die Ereisgeschwindigkeit nach § 75 ist

¥

„ 2m
K = ,

\MF

so wiril die parabolische (jeschwindigkeit:

^ 2mV2

O = — - — •

VMF

♦

Diese Formel drückt die Strecke aua/ welche der Oomet in
einem Tage in der Richtung der Tangente dux!chlaiifen würde
(§ '^^j> wenn er nicht durch die Anziehüng von der geraden
Linie abgelenkt würde.

§ 78. Aimierküiii:'. Von dieser Eigenschaft der parabo-
lischen Bewegung kaiiii man Gebrauch machen, wenn man die
Länge dos in einem kleinen Zeitintervall dnrclüaufenen Bogens
genähert anzugeben hat; dieselbe kann aueh mit entsprechen-
der Beschränkung auf elliptische Bahnen ausgedehnt werden.
Die schöne Einfachheit des Satzes rührt daher, das3 die
parabolische Geschwindigkeit ausschliesslich von der helioeen-
trischen Entfernung des Oometen abhängt und dieselbe bleibt,
welches auch der Parameter der Parabel sei. Da aber die
Geschwindigkeit sich von Moment zu Moment ändert, so ist
der Nutzen des übrigens längst bekannten Satzes ein geringer.

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Abhandlungen zur Bahnbestimmnng der Cometen* 1, 2. 35

[38] § 79. Auf-
gabe R (Fig. 5.) Oe-
gfibm mm beidm
BoiUenveeknmNFund
MF und der Winkel
NFM; man soü die ZeU
finden j in wdeher der
Co m et de nparahüU sehen
Bogen NM hesclireiht

Lösung: Die Flä-
clio des öectors NFM . ^ ^
ist (§29) ' ^•

Der Halbparameter ist (§ 28)

5= 2Äß':

2 ab siüß^

a-\-h — 2 Vab • cosc
Da nun die gesaehte Zeit durch (§ 7ö)

Vs

' .» •

gegeben ist, so erhält man durch Substitution:

T= — =•(« + 6 + Vab cosc).Ka + 6 — 2Vab cosö.
3V2

§ 80. Zusatz 1. Diese Formel giebt entwickelt:

ISw^T" = (a + 6)' — 3(a + b)ab cosc* — 2ai> cosc'

oder '

ISm* T* = + + 3(a + ab sine« — 2a6 Vä& cose»,

so dass also, yvcnn die Zeit ^e^eben ist, jede der Grössen
bj c durch eine (iieicbimg (Iritten Uradea gefunden wird.

[3Ö] § 81. Ziisata 2, Wird c = ^NFM= 90^ oder
NFM = 180", also cos 6 = 0, so wird die Formel sehr kurz:

T^^{a + b]i.

Dies ist also die Zeit, die ein Comet braucht, um von einem
beliebigen Punkte seiner hahn zum entgegengesetzten auf
demselben Durchmesser zu gelangen.

3*

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36 , J- Lambert.

§ 82. Zusatz 3. Ist also die Zeit bekannt^ die der Gomet
von einem seiner Knoten bis znm andern bmuoht, so kann
4ainit die Summe der in der Knotenlinie liegeaden Kadien-
vectoren a^b angegeben werden:

a + 5 1^18

§ 83. Aufgabe 15. (Fig. 5.) Gegeben ist die Summe der
Badimvectoren NF tmd MF und die Sehne NM^ ivelche das
Dreieck NFM begrenxt\ mm soU die Zeit finden^ in welcher
der Bogen NQM durcläaufm wird.

Erste Lösung: Da nach § 30 ist:

— — 6)*
2(a + b'-y{a + b)* — k^)

und

Ä^i(a + b + i V(a + 6J« — Ä*) J/Aj* — (a — b)^ ,
so erhftlt man durch Substitution in die Formel (§ 73 j

Ys

[40] naeh dniebgefldirter Bedoetion

T== -^(a+b+iY{a+b)*—K')Va+b-Vl^a + bf — k':
3 V 2

Zweite Ldftnng: Gebrmnoht man die Fwrmel (§ 31)

2AF^(k^-^{a-bY){a + b + y{a + 6)* - k* ) ^-^ ,
so hat man aneh:

y_ k ja + b + j^Ha b}* — k* )
ya + h + fia + bj'^^k^
Dritte Lösung; Nach § 63 ist

3 Ä la -{-b + k\^ la + b — kV

VAF

_ 4- ^> + k >^ ^a_Hh_^_:2iy

n Ä A

Also hat man nach § 73, wonach T =■ - = =rr — ist,

auch: U mV2AF

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Abhandlungen zur Bahnbestimmung der Comoten. I, 2. 37

2 / ~ l"~2

3

)1

§ 84. Zusatz 1, Nennt mau die Summe der Radienvec-

torcn a + 6 = ^, so kauu die Formel der ersttüi Lösuug in
folgende Gleichuug aufgelöst weiden:

[41] § 85. Zusatz 2. AehTilicli kann die Formel der
dritten Lösung in die Beihe übergei'übrt werden:

^ 4 6^^ 4 6 8 10 4 6 Ö lO ia-U^y

oder wenn die Brilehe aui^geiecluiet werden:

8 148 ib«

1024

98304^'/

Diese Reihe iat um so eonTergenter, je kleiner d6r Winkel
NFM ist. Für grossere Winkel ist die endliche Formel selbst

vorzuziühen.

§ 86. Anf^abe 16. (Fig. 6.) Gegeben ist die Sehne NM
und der Pfeil Q G = Q??, man soll die Zeit finden^ in weki^er
d&r Comet dm Boge» NM dm-chläuft.

Ldsnng: Da naeh § 58

und ferner nach § 73

\ 2AF

[42J so wird:

Fig. 6.

§87. Aufgaben. (Fig. 6.)

geben itft die Sehne NM umd dir Radkisvecior FQ] man soll

die Zeit finden^ in der der Comet den Bogen NM besöhreibt

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38 J* H. Lambert

Lösung: ^ach der Jb'ormei der vorhergehenden Aufgabe ist

Da nun

ist, so folgt:

Y2QG

N3P

= QG

1/. 5 + i VI^V)^

§ 88. Zusatz. Entwickelt man diese Formel in die
Gleiehong

NM' + ASNM'FQ'' = 96 y2m • T- FQ^

und wendet dann die Methode an , die ich im Bande III der
>Acta Helvetica« (1758) beschrieben habe, so ergiebt sich die

Reihe :

^ FQ^ FQ^ FQ^ FQ^ '
[43] Wenn man die mittlere Entfernung der Erde = 1 nimmt

und für = — den Werth setzt, den wir oben (§ IS) go-

funden haben, nAmlich n = 116.2648, so whrd die Beihe, in
Zahlen ansgedrttckt:

NM^ 0.024 3275 — 0.000000299 9600

FQ' FQ^

O.OÜO ÜOÜOÜÜOII 094 87 , , H

FQ'

Die liOgarithmeu der Coefficienten sind:

des ersten 0.386 0967 — 2

dcd zweiten 0.477 0488 — 7
i des dritten 0.045 1222 — 11

§ 89. Anmerknn^ 1. Diese Reihe scheint auböerordentlich
convergent zu sein ; sie coiivergirt um so schneller, je weniger
Tage die Zwischenzeit T betrügt, vorausgesetzt, dass der Radios-
vector nicht beträchtUch kleiner als die Einheit ist.

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Abhandiuiigeu zur BahnbestiiumuDg dai Cometeu. I, 2. 39

§ 90. Anmerknnp: 2. (Fig. 10.) Unsere Formel wird
flberdies auch iu dem Falle von Nutzen sein können, wo man
die Länge der Ordi*
nafe nm za berech*
nen hat, wenn die
Zeit, in welcher der
Bogen nQm dnrch*^
laufen wird, gegeben
isi

§91. Aur^abelS.

(Fig. 10.) Gegeben ist
der rfcü QG und der
Radi}(sveetorFQ\ man
soll die Zeit finden^ in
tveloher de?- Oomet den
Bogen NQM dwch-
läuft,

[44] Ldsnng. Da (§ 86)

— :=LJ=

V2QG

Fig. 10.

und

so folgt:

^ ^ iQG' + 2FQ^QG

V2Qa

§92. Zusatz, iiieraus folgt umgekehrt:
FQ =

also:

V2QG '

§ 93. Lehrsjltz 4. (Fig. 10.) Wird dieselbe Constnietion
ausgeführt ivie in Lemma 20 (§ 50)^ dann, sind die Zeiten^ in
toeickm die Bogen NQM imd nQm duardürnfm werden^ ein^
cmäer gleich.

Erster Beweis: Ans der 7orhergehenden Anfgabe erhellt
nftmlich) dass die Zeit gegeben ist durch den Radiusyector FQ
und den Pfeil U G, Nun sind aber in beiden Parabeln nach

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40

dem ftitiitea Mte (§ 56; die BadlenTeotoFM «md die Pfeile
QO = QE eimmder gleich. Also Bind es «noh die ZeUeB,

in denen die Bogen NM und nm durchlaufen werden.

[45] Zweiter Beweis: Da die Zeiten iich wie die Flächei!
dividirt durch die (^uadiat wurzeln aus den HMlbparameteni
verhalten (§ 69), so verhalten sie sich also wie

Sect [NF3i) 8ect.(nF«ij

V2AF V2~FQ

Da nun naeh § 56

Sect. (N FM) _ S ect. (nFm)

VJaf " y2FQ '

80 sind auch die Zeiten gleich.

§ 94. Zusatz. Da die Zeit gegeben ist dureii die Summe
der Kadienvectoren Fn + Fm bez. FN+ FM und durch die
Sehne ?// bez. iY3/, im vorliegenden Falle aber nni = NM
(§ 56) und die Zeiten gleich, so ist umgekehrt klar, dasa auch
nF+ mF = NF+ MF oder die Samme der Radienvectoren
gleich sein mnss.

§ 95. Anmerkan^. Diese hervorragende Eigenschaft der
])aiabolischen Bewegung der Cometeu kann auch mit ent-
sprechender Begrenzung auf die anderen Kegelschnitte aus-
gedehnt werden. Uebrigens ist auch hier dasselbe zu bemerken,
was wir schon zum Lemma 20 (§ 5ö) bemerkt haben, nämlich
ä'A^^ wir, wenn der Brennpunkt F festgehalten wird, statt der
Paiabel NM eine beliebige andere nehmen können, die durch
Q hindurchgeht. Und da die Zeit, in welcher die Bewegung
des Cometen durch den beliebigen Bogen NQM ausgeführt
wird, einzig und allein abhängt von der Länge der Sehne NM
und von der Summe der Seiten NF-{-MFj so ist damit gam
allgemein der Isochrouismus der Cometenbewegung dargethan
und die Geschwindigkeit ist, weun sie auch selber unbekannt
[46] ist, in derselben Distanz von der Sonne in allen Parabeln
dieselbe. Nunmehr wollen wir untersuchen, waa Uerim folgt.

§ 96. Lehrsatz 5. (Fig. Kl) Wmn die Summr der Radien-
vectoreu FN -f- FM und die Sdine NM ffegthm siiid^ dann wird
die Zeif^ in wclchei' der Bogen NQM^ der die Schm spannt^
durchlaufen' mirdy stets völlig dieselbe seift, von irelcMr Parabel
wir auch Gebrauch machen, wofern nur die Sumim der S$ikn
FN + FM grosser als der Baibparameter ist

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Abhaadiuugeu zar BaiiabestimLauQg der Cometen. I, 2. 41

Beweis: Der erste Theii des Satzes folgt daraus, dass
die Zeit nur von der Sehne NM und der Summe der Seiten
FN-)r abhängt. W«]iii aber irgend welche Parabel ange*
nommen wird und die-
selbe durch den Punkt
Q gehen nins8| so iBt
klar, daas der gröaste
Halbparameter nur
2 i^Q sein kann. Kun
Ist aber (§ 94) FN
FM = Fn + Fm
und Fm = Fn = FQ
4- QE und daher Fn

FQ und mithin
FN'^FM:> 2FQ.

§ 97. Anmer-

kllDg. Man mufls also Fig. 10.

eine solche Parabel

auswählen^ dass ihr Halbparameter kleiner als 2FQ wird.
Wenn daher eine Scala zu constmiren ist, die für beliebige
Parabeln dienen kann, so wird sich diejenige am meisten em-
pfehlen, deren rüiamet* r gleich 0 ist, oder was dasselbe ist,
die gerade Linie, die vum Centrum der Öonne ins Unendliche
gezogen wird. Wenn nun auch kaum ein Com et sich in einer
derartigen geradlinigen Parabel bewegt, so kann sie doch mit
Nutzen verwendet werden und gewiss als Maass dienen, um
die Bewegung der Cometen in beliebigen anderen Parabeln au
[47] definiren. Da diese Parabel mit einer Geraden identisch
ist, so scheint der Comet, der in ihr sich zu bewegen supponirt
wird, gleichsam auf die Sonne an au fallen. Es Cfgiebt sieh
so ganz natürlich folgonde

§ 98. Definition 1. Unter »lajjstcti paraboli€us<^ eitics Cometen
in Bezug auf dir Sonne versteht man die Bcwrgun/ji de^i^clbot auf
einer Parabel^ deren I 'ara/neter gleich Ntdl ist^ oder deren Sclmtd
mit dem Brennpunkte im Ceiitrum de?- Sonne zusamnmifüUt.

§ 99. Zusatz 1. Da die Parabel ins Unendliche anslftnft,
80 beginnt der »lapsus parabolicus« mit Null; in irgend einer
bestimmten Entfernung von der Sonne aber ist er daa wiobU
definirte Maass der Geschwindigkeit.

§ 100. Zusatz 2. Da die Geschwindigkeit des Cometen
in der Parabel nur von seiner Entfernung von. der Sonne

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42

J. H. Lambert.

abhäDgt (§ 78), so wiid sie, wenn diese mit MF bezeichnet
wird, sein (§77):

" Vmf

§ TOI, Zusatz 3. Da ferner der lapaus parabolieus im

Anfauii xMili ist {§ 99), so ist es bequemer, die Zeiten vom
Centiuiu der Sonuc nach rückwärts zu zälileii, indem man an
Stelle des Falles den panibolisclien Aufstieg nimmt.

[48] § 102. Aufgabe 19. (Fig. 13.) Mm soU die Intervalk
der Zeiten im Japsus paraboli&us definiren, oder die Zeit, in
tvelcher der Gamet ^ihM^ einer gegebenen Entfermmg bis xu evn&r
besHmnUen anderen gdat^,

Lösung: Sei F das Oebtnim der Sonne, PM die eine
Distanz, FN die andere, so ist nach der Zeit gefragt, in

r

h— r H — H = — -

Fig. 13.

welcher der dornet die Strecke MN znrftcklegt. Wir betrachten
FM und FN als Badienreetoren, MN als die Sehne des zu
dorehlaufenden Bogens, welcher in nnserem Falle keine Krüm-
mung hat, dann wird sein (§ 83.)

_ 1 ii FN-^FM+MN y^ i FN+FM—MN \h

Nun ist im vorliegenden Falle:

MN=FM^FN,

also *

FN + FM + MN

2

FN+FM'-MN

2

und daher die gesuchte Zeit:

=^ FM

= FN

— ^ [FM^ - FN^).
3wV2

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Abbandlungen zur BabnbeBtimmung der Cometen. I, 2. 4-3

[49] § 103. Znsatz 1. Die Zeit, in welcher der Comet
von M bis zum Centrum gelangt, wird also erhalten, indem
man FN=Q setzt, nämlich:

§ 104. Zusatz 2. Hieraus toigt umgekehrt:

oder wenn wir ffir n den Wertb substitniren, der der mittleren
Entfernung X der Krde von der Sonne entspricht (§ 73)

log FM =^ I log T — 0.958 5412 .

Dvttck diese Formel wird also in besümmten Zahlen die Diatanz
FM durch die Zeit des lapsus parabolicus definirt und umr
gekehrt.

§ 105. Aiimcrküu^. Wenn man in die Formel des ersten
Zusatzes für F3[ der Keihe nach die mittleren Entfernuii^eu
der Planeten substituirt, so findet man die Zalil der Tage, in
welchen dm* parabolische Fall des Cometen in die Sonne aus-
geführt wird, nämlich

vom "1^ aus in 807.50 Tagen

> 4. » * 325.00 »

» cT » > 51.54 »

» $ » » 27.40 *

. » 9 > 16.85 .

. ... » 5J . » » 6.60 • .
» • • •

Genauer ist der > lapsus })arabüücus« für die Längeneinheit
s mittlere Entfernung der Erde:

27* 9^ 41"» 34«.

[60' § 106. Zusatz. Da der besprochene Fall schneller
ist als in jeder beliebigen elliptischen, parabolischen oder kreis*
förmigen Bewegung, so geben die obigen Zahlen die halbe
Daner der kürzesten Zeit, welche ein Gomet innerhalb einer
Planetenbahn zubringen kann. Die kttrzeste Dauer selbst wird
flu: ^e

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44

J. H. Lanbtrt

^-Bahn 1615.00 Tage
4-- » 650.00 »
Cf- » 108.08 »
» 54,80 *

Q. > aa.TO »

g. . 13.20 •

Wenn ein hyperbolischer Fall angenommen würde, so wflrde

diese Dauer eine kürzere sein, wie man dnrch leichte Ueber-

leguug findet. Da aber der parabolisclie Fall die Grenze des
oliiptischen ist, so haben wir doch lieber den parabolischen den
kürzesten gouaunt. Es erhellt übrigens hieraus, dass die Oo-
raetcn, welche sich ünserer Betrachtung darbieten, fast volle
fünf Jahre innerhalb der Bahn des Saturn verweilen, wenn
wir sie auch kaum ebeusoviele Monate sehen können.

§ 107. DeflnitiOB 2« Untc/)- Smh der paraboHschcn Oe-
s^nffmiigkeUm woUm mr dis DarsteUung der Oeschmnäigkeikn
eines m emer Parabel sich bewegenden Oameien ßr jede beHeb^
Enifemung von der Sonne nenrtekm.

§ 108. Lehrsatz 6. (Fig. 13.) Wenn F das Gmtnim der
Sonne hedeutrt und wird zu jedetn hcliehigen Punkte M du
ZaJil der Tage fjes-rlirtelim^ in weichen der paraboliörJic Fall von
[51] M nach F ausycjTdn-t wird, so ist die auf die^se Weis(
gctImUc G&i ade FM dio Soakt der paraboUsdim Ueschunndig-
keifen.

Beweis: Es stellt nämlich eine beliebig kleine Abscisse
Mm die Strecke des Falles dar. Wenn nun die Zeiten bei-
geschrieben sind, so wird aneb der Zeitraum gegeben sein, in

I i 1 H

Flg. 18.

welchem der Fall Juk h 2lm ausgeführt wird. Wenn man
aber die Strecke M n> durch diesen Zeitraum dividirt, so hat
man die (i(^sch windigkeit. Es stellt also FM die Geschwin-
digkeiten des parabolischen Falles dar. Da nun die Oe-
schwindigkeit eines in einer beliebigen Parabel sich bewegenden
Oometen für dieselbe Distanz von der Bonne constant ist (§ 78],
so folgt; dass die Scala FM ganz allgemein die Geschwindigkeit
der parabolischen Bewegung darstellt.

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AbbandlaBgea zur Bahnbestimmang der Cometen. l, 2* 45

§ 109. Anmerkang. Man kann tnch noch andere Me-
thoden dieser Art geben, nm die Soala zu constniireii, die bier
beaeJuriebene ist aber fttr unseren Zweck die angeMssenste«

§ 110. Aufgabe 20. (Fig. 13.) Man söU die Seaki der

jjarabolLscJien OescJmindigkeiten conMruiren.

Lösung. Setzt man die mittlere Entfernung der Erde von
der Sonne FT = 1 , so kann nach der Formel (§ 104)

log FM == I log r — 0.958 5il2

[52] fflr jede Anzahl von Tagen T die entsprechende Distanz
FM berechnet werden; dieselbe wird ans F anf der Geraden
FM aufgetragen und zu M die zugehörige Zahl der Tage hin-
zugeschrieben; dann ist die Scala construirt.

§111. Aumerkiiiii;'. [Fig. 14.) Beistehende Figur stellt
eine ScaUi dar, ausgedelint bis auf 100 Tage. F ist das
Centram der Sonne, FT die mittlere Entfernung der Erde von

der Sonne; der Punkt T muss also auf 37^ 9^ 41^ 34" fallen

(§ 105). In einem grösseren Massstab angelegt, werden die

Theile leichter zu untiirscheiden sein. Ks ist selbstverständlich,
dass man bei Gonstmction einer Gometenbahn denselben Mass-
stab, d. h. dieselbe Strecke für die Entfernung FT wählen
muss, wie in der Bcala. Hieran brauche ich also in Zukunft
nicht mehr zu erinnern.

§ 112. Aufgabe iL (Fig. 14, 15.) Wem eine öome$m^
hahn, m demeei^ Ifassskie ufie die SeaiOy gex/mhmt vorUegft^
so 60Ü mam d^ Ze^ angeben, in wddur ein beliebiger gegebene
Bogen derselben durehlmfin wird,

Lösung: I. Sei AM die Parabel, F ihr Brennpunkt, FT
die astronomische Einheit; gefragt wird, in welcher Zeit der
Bogen MN durchlaufen wird. Man trage FN in Fr anf.
halbire vM m r/, dann wird Fg =^ \(FN -\- FM). Fhenno
halbirt man die Sehne NM in O. Dann trägt man Fjj auf
der Scala von F aus auf, wo es in 2^6 einschneidet. Ferner

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46

J. H. Lambert

[53] wird die halbe Sehne auf der Scala von g nach beiden
Seiten auf'getracren, wodurch man ni und n erhält, die in 42^8
bez. einschneiden. Diese beiden Zeiten von einander sub-
trahirt, geben 34*?9 und das ist die, Zeit, ia der der Bogen
MM darchlaafen wird.

II. Wenn der durchlaufene Bogen MAN' im Brennpunkte
einen stumpfen Winkel oder einen, der grosser als zwei Rechte
ist, spannt, so wird anf dieselbe Weise die halbe Summe der

Radienvectoren \ {MF -f N'F) mä die Hftlffce der Sehne 3IN'
gesucht. Jene fällt auf 21^2 und die halbe Sehne von 21^2
aus vorwärts und rückwärts aufgetragen giebt die Punkte 59^'0
und 0'^8. Da aber der Winkel MFN' ein stumpfer ist, so ist
die Suiüiue dieser Zeiten zu nehmen, d. h. 59?0 + O'^S =
ist die Zeit, in welcher der Bogen MAN' durchlaufen wird.

III. Wenn die Zeit gesucht wird, in welcher der Oomet
vom Punkte M nach dem enl^egengesetasten Punkte M' kmnmt,
so fallen hier die Radienvectoren FM und FM* mit der Sehne
MM' zusammen und die Zeit wird am schnellsten gefonden,
wenn man die ganze Sehne MM' auf die Scala auflägt; sie
fällt hier auf 52")2, welches die Zeit sein wird, in welcher
der Bogen MAM' durchlaufen wird.

A

Fig. 15.

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Ablianüluogeu zar Bahnbefitimmung der Cometen. I, 2. 47

Beweis: Wenn nämlich die Summe der Radienvectoren
und die Sehne des darchlanfenen Bogens dieselben sind^ so
ist die Zeit dieselbe, von welcher Parabel man auch Gebianoh
maohe (§ 96J ; wenn daher die halbe Summe in Fg aufgetragen
und die halbe Sehne von p aus nach m nnd so ist m 9»
die Lftnge der Sehne. Da aber in der Seala die Zeiten ein-
[54] geschrieben sind, in denen der Comet die Strecke mn
darchlftnft, so ist klar, dass damit auch die Zeit gegeben ist,
in der J/A zuriickgekgt wird.

§ 113. Anmerkung 1. Aua der Formel (§ 104, 110)
log FM = I log T — 0.958 5412

oder •

erhellt, dass das Quadrat der Zeit^ in welcher ein Comet van
einem gcrjebenen Punkte g i?? paraboUsrJirr B&ivegung zur Sonm
F gelangt^ ^ich vn-hiilt irio der Cubus der Distanx Fg. Die
Folge davon ist, dass in der Scala der parabolisdu^n Qeschimn"
digkeite?i in der vierfachen Etitfermmg von der Sonne die Zeiten
Brual grösser sind. Ueberhaupt ist der Ciibus des Vierfachen
gleich dem Quadrate des Achtfachen. Wenn man daher in
die Scala auch nur die ganzen Ti^pe einschreibt, so können
doch Bruchtheile derselben abgelesen werden, etwa Intervalle
von drei Stunden oder halben Tagesquadranten. Ea ist mmliek
dem inerten Tkeüe der Distanz der uMe Theü der Zeit heim-
schreiben.

§ 114. Anmerkung 2. Um iu der Anwendung die Hal-
bimng der Sehne NM uud der Strecke vM sich zu ersparen,
ist es gerathen, die Scala im doppelten Massstab zu con-
struiren. Dann hat man die ganze Summe der Radienvectoren
FM und FN und die ganze Sehne auf die beschriebene Weise
auf der Seala abzutragen und es leuchtet ohne Weiteres ein,
dass man dadurch die doppelte Genauigkeit der Ablesung
erhält

[55] § 115. Anmerk 11112; 3. Um die Zeichnung der Scala
kflr7.er und leichter beweik:^ielligen zu können, kann mau eine
l'afel berecluien, die d;is Vcrhitltniss zwischen der Zeit uud
(lern »lapsus paraboliciis'^ eiithfüt. (§ 110.) Diese Tafel wird
auch von JSutzeu seiu, wenn man die Aufgabe durch Rechnung:?
lösen will. Wir haben des häufigen Gebrauches halber eine

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48

J. H. Lambert.

solchp Tafel am Schlüsse des Buches angehängt. Uebrigeus
y^llt von der Tafel dieselbe Bemerkung wie von der Scala (§ 113),
wenn mm ürachtheiie der Zeit 2a erlhalteii wünscht.

§ 116. AnMerkmig 4* Aus Vontehendem erhellt, dass
der Gebrancli der Bcala leiclit und beqaein ist^ wenn mau ans •
der Summe der Radienveetoren und ans der Sehne die Zeit

ermitteln will, in der der Böigen dnrehlanfen wird. Wenn

man aber die Aufgabe umkehrt und aus der Summe der Kadien-
vectoren und der Zeit die Sehne, oder ans der Sehne und der
Zeit diö Summe der Kadieuvectoreu oder, was am häufigsten
vorkommt, aus einem der beiden Radien, der Zeit und dem
Halbparameter der Parabel den anderen Radius und die Sehne
ermitteln will, so kann diese nur durch Versuche gelöst werden.
Damit also der Gebrauch der Scala bei Ermittelung einer
Cometenbahn sich leichter gestalte , ergiebt sich aus dem >
Problem selbst^ dass man die Frage umkehren, d. h. die Zeit
aus der Summe der Badienvectoren und der Sehne suelien
mttsse. Diese moss dann mit der thatsttohlich beobaohteten
übereinstimmen.

[56] § 117. Lehrsatz 7. (Fig. 15.) Wenn d4e Sehne MM'

dmoii den Brennpuiilä g<'ht^ dann Jüingt die Zeit., in wclclier
der Bogen MäM\ den die Sehne spannt y durehhiufen wird^
einzig und alhin von d^ir Länge der Sehne ab und daher ist
die Lage des Brentipunktes oder seiner MUferntmg von dm
Enden der Seltne M und M' gledek^ültig.

Beweis: In diesem Falle ist nimlich der Winkel c 90^
nnd daher (§ 81)

Da aber a 6 = MM\ so folgt

I
I

T= — MM'K

§ 118. Zusatz 1. Lä^st man daher den lircunpuukt mit
dem Anfang der Sehne zusammenfallen, so drückt diese Foi mel
ebenfalls die Zeit des parabolischen Falles des Cometeu auf
die 8oune aus (§ 103).

§ 119. Zusatz 2. (Fig. 13.) Hieraus kann nun umge-
kehrt die Formel (§ 83)

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Abhandiimgen znr Babnbefitüumimg dei Cometen. I, 2. 40

m

3V2U

FN+ FM+ NMx* lFN+ FM — NM

7

3

n

bewiesen werden. Bewegt sich nämlich der Comet von M
nach so wird die Zeit, welche er braucht, gleich der
Differenz der Zeiten, in welchen er von M nnd N zum Gentnim
[57] der Sonne gelangen wfirde, daher nach § 118 gleich

Nun ist aber

FM+FN+MN

FM

FM+FN—MN
2 '

also kommt durch Substitution unsere Formel. Hieraus erhellt,

dass dies in der That eine allgemeine Formel ist, weil die
Zeit einzig und allein von der Sehne und der Summe der
Radienvectoren abhängt.

§ 120, Aufgabe 22. (Fig. 6 )

Ist alles wie m Lemma 12 (§ 38),
9Q finde man die Zeit, in toelcher
der Bogen NQ oder MQ dwrch-
laufm tmrd, faäs die Seäen des
JDreieeks NFM gegeben sind,

Lösung: Da die Sehne iV^J/
in G halbirt ist und Q G der
Axe AF parallel ist, so halbirt
die Gerade QG das Segment
ITMQ und die Gerade FG das
Dreieck FNM. Das von Ge-
raden und Curven begrenzte

Flächenstück NQGF ist also die Hälfte des Sectors NQMF.
Ziehen wir daher das Dreieck NQ Q ah oder addiren dasselbe,
so wird

Sector NFQ = \ NQMF ^FQQ
* MFQ=»lmMF+FQO.

[58] Nennen wir daher t und r die Zeiten, so wird (§ 73]
t =^ i {NQMF ^FQQ}:m V 2AF

r = I {NQMF-\- FQ G) : m \2uiF

Ostwald' s Klassiker. 133. 4

Fig. 6.

Digitized by

50 J- H. Lambert

oder wenn wir die Zeit, in der der Bogen NQM dnrchUnfen
wd| T nennen, so wird:

mV2AF
FQG

mV2AF

Nun ist aber die Fläche des Dreiecks

AFQG^iQO'GI
und nack der Gieickuug der Parabel ist

Daher

GI=2y{QF-'AF)AF,

AFQG

}äF

= QGyQF^AF

oder

VAF ^ QF

Weil aber QW und QV der Aze AF parallel sind, so wird

nach § 4 und § 38

und daher

Weiter ist
oder

■i/AF . MV

^ QF'~~ NM'^ k
NM^ = l^QF- QG

QG'VQF=\NMyQG

[Ö9J und daher nach § 45:

AFQG __ a — b li a + b + k \^ l a + h — k A
VAF ö H 2 / \ 2 / /'

Wird also der Kürze halber die Öumme der Seiten a -j- 6 = ^
^tzt, so folgt;

Digitized by Google

Abhandlungen zur Balmbestimmung der Cometen. I, 2. 51

§ 121. Aufgabe 23. (Fig. 6.) Wenn die Summe der
Eadienvectoren NF MF=a'j-b = g und zugleich die
Zeit Tj in welclwr der Bogen NM durchlaufen unrdy gegeben
isty SO soll man die Länge der Sehne NM= h ermitteln.

Lösung: Nach der ersten Lösung von Aufgabe 15 (§83)
bat man:

Daraus folgt:

6 V2wr= (2^ + 1//^=^) Yg-y^rm^

und weiter:

72 r == (ö^* — Jk* + 4^ /t-) (g — V/ — k^)

oder

72 — / — Si^it* = — — Ä;*)^
[60] Setzt man nun:

A«s=«?* nnd 12m^ + 4g^ ^ h,
so folgt durch Substitution

Wird diese Qleiclmiig aufgelöst, so erhält man v and dann k.
Wendet man die oben (§ 88) citirte Methode an, so geht diese
Gleichung in die eine oder die andere der folgenden Beihen-
entwiekelnngen über:

(3# * W ^(3^)V 4.6 M

_ 9 11 j^S h^ 1Q.12»1416 h* \

~T^6T8~ 4 . 6 . 8 • 10 {3gy^ ' * 7

oder:

4*

Digitized by Google

52 J- H. Lambert

7 41 (?,gY , , 11.8-5.2.1 (3^)'
+ * +

6-9. 12 • • 6. 9. 12. 15. 18 ^4

13. 10-7. 4. 12 (3^7)«

+

)

69. 12. 15. 18. 21

Die eine oder die andere dieser Reihen ist immer mehr oder
weniger convergent, aber niemals beide zugleich.

[61] § 122. Zusatz 1. Da

= ^* — und g = a'\-by

so folgt:

t;« = a* + ft« — Ä;* + 2aft.
Nim ist durch Trigonometrie

-j- 5' — = 2 a 6 cos 2c .

Also:

t?« x= 2 aö (1 + coa 2cj = 4a6 coso* .

*

Nach § 48 wird somit

V := Syö&COSC = 2J?'-&.

§ 123. Zusatz 2« Da also

nnd

so wird

Äj« = ^« = ^IPg^ — J'^*).
§ 124. Zusatz 3. Ferner wird jetzt:

2FE^ + %Fg'FE^ = %Fg^ —-ISm^T^

oder

2a5 Vö^ cosc* + 3 (a + ft) aft cosc« (a + fc)* — 18 7^

ganz wie oben (§ 80j.

§ 125. Aninerkllllg. Eine andere Reihe, durch welche
direct k durch die Summe der Seiten a + 6 = ^ ausgedrückt
[62] wird, kann man aus jener ableiten, die wir oben gefunden

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Abhandlungen zur Bahnbestimmuug der Cometen. I, 2. 53

haben (§ böj^ wenn mau sie eatsprechend umkekrt. £s ist
in der That:

A rr 1 1 k 1 Ä'^ 3 Je''

4m/ = ftV^---5- — -^-j^^-y

Theiit mau durch gyg und setzt — = ä, so wird

X

^ g 24 U; 128 U) 1024 U/

Setzt man nun
so wird:

128 17) = 128 + 128 + U

+ 128^*'^+-

3 , , 21
(7) =iÖ2i*+i^ +

1024 \ g

143 /fci" 143

9

9830d-\^/ 98308

[63] Also folgt;

1

a t= —
24

+

1.1 1.1 5

^ 8 ^ 128 192 ^ 128 384

^■"8""*"8'^^"*"l28""*" 1024 " 9216

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64

J. H. Lsnibert.

und daher:

Ä _ 1 3 5 59

oder nach Sabatitation des Warthes » =

* = — i — r 1 h — r —R Tö — r

4mr

9 «V

Da w = — = ^ (§ 73), so ist die Beihe nur daoB

convergeiit, wenn die Zwischenzeit wenige Tage beträgt.

§ 126. Aufgabe 24. (Fig. 6.) Gegeben ist der Pfeü QQ
tmd die Zeity m welcher der Bogen NQM durchlaufen wird; mm
8oU die Stmme der Eadimveciorm NB'^ MF = g fmdm,

Lösung: Da nach § 79

n

[64] und

3V2

— (a + 6 + Vah cosc) Ya -\- b — 2 \ ah cosc

Vah eosc = FE= Fg — ^QQ^

a + h

so wii'd:

n

und daher

T = — ^ (i(a + b) — 2QG) V 4 Q G
3V2

a + b = g= ^^^^ + 1 0 ö^.

VQG

Fig. 5.

§127. Aufgabe 25.

(Fig. 5.J Gegeben ist der
Halbparameter utul die
Ordinate NK; man soll
die seit dem Perihel-
durohgang verflossene Zeit
bestimmen^ d. h. die Zeit,
in der der Bogen A2t
darchUmfen wird,

LGsnng: Sei 2AF
= s der Halbparametet

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AbhandluDgeu zur Baimbestimmung der Cometen. I, 2. 55

und die Ordinate NK=y^ dana wird die Fläche dea
Sectors AFN

12s

j^enut man also die Zeit so wird (§ 7SJ

§ 128. Zusatz 1. Hieraus folgt:
Diese Qleiohimg kann, wenn der Kfirze halber

[65] gesetzt wird, in folgende Beihe entwickelt werden:

3 - 11- 10 3>14> 13« 12 g**

2-3-3** Ä«* 2.3-4.3** s'*"^

§ 129. Zusatz 2. Aehnlich wird nach der (7ar(2anischen
Formel:

YS

§ 130. Zusatz 3, Da ^J^ = |- , i\ri^ = |- + ist,

80 wird, wenn die Ordinate y gegeben ist, auch leicht die

Abscisse ÄK get'uncleu und damit der Kadiusvector oder die
heliocentrische Distanz FN und hieraus dann weiter der Winkel
MFE, da

%mNFE=KN:FN.

% 131. Aufgabe 26. (Fig. 1.) Qegebm ist die Perihdr
distam ÄF %md der Badmsvector FN\ man soU die seit dem

Feriheldurchgang verfJossem Zeit finden.

Lösung: Da allgemein (§ 79]

(a 4- 6 + Vab cosc) Va + b — 'iVab cosc,

3^2

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56

J. H. Lambert.

[W\ so wird in unserem Jb'alle:

a = FN, h = AF^ Vab==^F8, e ^ AFS

imd

also:

Vabcosc = ÄF^

n

T = — ' (FN + 2 AF] VFN
dV2

— ÄF.

Fig. 1.

§ 132. Znsatz 1. Hiernach wird also wiederuiu:
18 ==: FN* + 3FN^ • AF - ^AF*

oder

FN* + ZAF' FN* 18 T* + AAF* .

§ 133. ZasaU 2. Da nach der Natur der Parabel

FN=AF+AK

so iulgt durch Substitution:

n

T = - _ [AK+ ^AF] VAK
3V2

und daher:

AK' + QAK^'AF+dAK AF* := IBm^TK

§ 134. Aufgabe 27. (Fig. 1.) Gegeben ist die Perihd-
(Ji stanz AF mid der Winicel NFA\ man soll die Perüielzeit
finden.

[67] Lösung: Wird AF = /*, Winkel AFS = SFN = e
genannt, so wird (§ 2)

AS:= / tangc = ^NK = ;

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Abhandlaugen zux Bahnbeatimmung der Cometen. I, 2. 57

also:

y ^ 2f lange

oder, wenn der Ilalbparameter s ist

Nun ist aber (§ 127)

^_ y' + dsUj

12 jjis^

also folgt dorcli Subaütution:

§ 135. Zusatz. Hieraus folgt nach der Carctomschen
Fonnel:

tauge .yr« V6wr+V36m« 2"+?+ K 6mT— V96m«!r*+ *\
§ 136. Aufgabe 28.

(Fig. 12.) Mm gebe die'
iemge PeriheMistan» oder
denjenigen HaUtparameter
an, bei welchem der Comet
am längsten innerhalb der
BaJui eines gegebenen Plü"
neten veiimüt

Lösung: Sei F das
Centrum der Sonne, AM
die Bahn des Oometciij .1 ^
dessen Periliei, MF die Bahn Fig. 12.

des Planeten, so wird die

[68] Zeit, innerhalb welcher der Bogen MÄ dnrohlaafen wird,
die halbe Anfenthaltsdaner innerhalb der Bahn MP darstellen.
Es wird also sein (§ 132)

18m* == FM^ + ZFM"^ . AF 4:ÄFK

Durch Diflferenziren eiliält man:

0 = ^^m'TdT^^FM^dAF-^ 12 AF^dAF,

£s muss also sein

^AF^^FM^ oder FM^2AF.

%

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68

J. H. Lambert.

Es mtiss also der Halbparameier defi* Parabel gleich sein der
lielioeentrischen Distanz des PlmiPten, damit der Aufenthalt des
Conieten innerJialb der Plane U nbahn ein Maximum werde.

§ 137. Aufgabe 29. (Fi^. 12.) Man soll die ZeU des
längsten ÄufenikaUes eines in emer Parabel sieh bewegenden
Cometen innerhalb einer gegebenen Planetenbahn berechnen.

Da

und für die Maximaldaaer

IFM = AF
ist, 80 folgt durch dabstitatioii:

18 //r = F3P{1 + 1 — i) = 2F2P

und daher ^

T^^nFM\

Dies Ist die grösste halbe Dauer und daher die ganze:

inFM^,

§ 138. Zusatz. Da die Zeit des kürzesten Aufenthaltes
nach § 103, 105 ist:

~ uFM\

[69J so erhellt, dass die Maximaldauer xur Minimaldauer sich

wie V 2 sm 1 verhäU,

§ 139. Anmerkung 1. Wenn wir fOr die Distanz FM
die mittleren Entfernungen der Planeten nehmen, so wird die

Maximal zeit, die ein in einer Parabel sich bewegender Comet

sich iiiuerlialb der Planeteubahneu autlialtcu kann, gefunden zu

Fttr ^ 2282.66 Tage
» %. 919.28 »

» C;^ 145.80 »
» 5 77.50 »
» 2 47.66 »
» g 18.67 »

§ 140. Anmerkung 2. Die Maximal- und Minimaldauer
des Aufenthaltes kann mit der Umlaufszeit der Planeten auf
folgende Weise verglichen werden. Die Umlaufszeit ist (§ 7&)

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Abhandlungen znr Bahnbefitimmung der Cometen. I, 3. 59

m '

die kfirzeste Dauer ^r—F3P.

om

die Hingste Dauer

Die ümlaufszeit eines Planeten verhält sieh also zur kürzesten

Aufenthaltsdauer eines Cometen vie Zn zn V2 (rund wie 20
zu 3) und znr längsten wie Stt zu 2 (rund wie 33 zu 7)«

[70] Dritter Theil.

Die scheinbare Cometenbewegiing.
Yersohiedene Methoden, eine parabolische Oometenbahn
aus den Beobachtungen zu bestimmen.

§ 141. Definition 5. Unter den Elementen einer Cmnetm-
bahn versteht man die Stücke^ dii^rch welche sieh die Bahn emes
Oametm von allen anderen untersi^ieidet,

§ 142. Anmerkung 1. In zwei Punkten stimmen aUe
Bahnen ttberein, nftmlich dass sie Eegelsehnitte sind und dass

ihr Brennpnnkt mit dem Mittelpunkte der Sonne zusammen-

Mlt. Dagegen triebt es sechs Stücke, durch welche sich die
Üiihiien von eiuaiider nnterscheidcn, nämlich:

1) Die Distanz der Periheles von der Sonne,

2) Das Yerhältniss dieser Distanz zum Halbparameter, oder
was auf dasselbe hinauskommt, die ümlaufszeit, wenn die Bahn
elliptiseh oder kreisförmig ist.

[71] 3) Die Zeit, zu der der Comet im Perihel oder in
einem bestimmten Punkte seiner Bahn sich befindet.

4) Die Neigung der Bahn gegen die Ebene der Ekliptik.

5) Die Ls^e der Euotenlinie oder die heliocentrische Länge
des aufsteigenden Knotens.

6) Die Entfernung der Axe der Bahn von der Knotenlinie
oder die heliocentrische Lfinge des Periheles.

Durch die beiden ersten Stucke wird die Art des Kegel-
äciuiittes und seine Grösse bestimmt, durch das dritte die

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60

J. n. Lambert.

Epo( ]it' inul durch die drei letzt<Mi die Lage der liitm zur
Ekliptik. Sind diese Stücke gegeben, so kann jeder Comet
von allen anderen unterschieden werden.

§ 143. Anmerkimg 2. Um diese sechs Btttcke zn be-
atinunen, braucht man drei Beobachtungen oder drei geocen-
trische Oerter, nämlich drei Längen und drei Breiten, ge-
messen von der Erde ans. Es steht aber fest, dass der Theü
der Bahn, welchen der Comet dnrchlänft, während er den
Erdbewohnern sichtbar ist, sehr klein ist. Daraus folgt, dass
das zweite Element, die Umlauf.szeiij aas drei nahe benach-
barteu Beobachtungen kaum bestimmt werden kann. Wenn
aber ein schon früher beobachteter Comet wiederkehrt, so wird
hierdurch die Umlaufszeit l)ekannt und damit ist dann auch
die grosse Axe der Ellipse genau definirt (§ 12),

§ 144. Anmerkung 8. Ferner hat man durch Beobach-
tungen constatirt, dass die Bahnen der Cometen, wenn sie
überhaupt elliptisch sind, sehr langgestreckt sind) so dass
jener sehr kleine Theil, welchen sie während ihrer Sichtbar-
[72] keitsdauer durchlaufen, ohne nennenswerthen Fehler als
Theü einer parabolischen Bahn angesehen werden kann. Da
nämlich die Umlaufszeit meistens mehrere Jahrhunderte beträgt^
so mu89 das Aphelium ungeheuer weit von der Sonne entfernt
sein. Dagegen befinden üich die Peribele derjenigen Cometen,
welche uns sichtbar werden, fast immer innerhalb der Erdbahn,
sind also der Sonne sehr nalie. Daraus folgt, dass das Ver-
hältniss zwischen der Periheldidluiiz und dem Halbparameter
sich fast nicht von dem bei der Parabel atattündenden unter-
scheidet.

§ 145. Lehrsatz 8. (Fig. 15.) Wenn ein in einer ParaM
sich bewegender Comet in heidm Knotm N und N' von der
Erde m E he». E* heobadäet wird^ so ist hierdurch die Lage
und Grösse der Knotenlinie , die Periheldistanz und die Lage
der Axe gegeben^ dagegen bleibt die Neigung der Bahn unbekannt.

Beweis: Wenn nämlich die Punkte der Ekliptik gegeben
sind, in denen der Comet von der Erde aus gesehen dieselbe
schneidet, so ist damit die Lage der ( ier*uleu EN und E'N'
bekannt. Da ferner das Zeitintervall gegeben ist, in welchem
der Comet von N uaeli N' j^^clangt, so ist damit die Ent-
fernung der Knotenpunkte oder die Strecke NN' bekannt; es
ist nämlich nach § 117 :

NN'^ = %V2mT.

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Abhandlangen zur BabnbeatimmaBg der Cometea. 1, 3. 61

Die Frage kommt also darauf hinaus, dass durch das Centmm
F der 8oiine eine Gerade so gelegt werde, dass auf ihr tob
den Geraden EN und E'N\ die ihrer Lage naeh gegeben
sind, ein Stttok von bekannter Länge abgeschnitten verde. Ist
diese Gerade gefanden, so ist damit die Lage der Axe nnd
die Periheldistanz, also die ganse Parabel ermittelt Da hin-
gegen die beobachteten Punkte JV und N' in der Ebene der
[73] Ekliptik liegen, so kann ans ihnen allein die Neigung
nicht abgeleitet werden, die also unbestimmt bleibt.

Fig. 15.

§ 146. Znsatss. Wenn aber eine dritte Beobachtung dazu*
kommt ^ so wird hierdurch nicht nnr die Keigung bekannt,

sondern man kann auch angeben, welche von den vier Lösungen
des Problems der Wirklichkeit entspricht.

§ 147. Anmerknn^. Von diesem Theorem kann man
ausserordentlich selten Gebrauch machen; zumeist nämlich ist
entweder einer der Knoten zu weit von der Erde entfernt
oder man kann den Oometen wegen zn grosser Nähe an der
Sonne nieht sehen, während er in demselben steht

§ 148. Lekrsatc 9. Wmn em Gamet van der Erde aus
xweimal heobachM wird und man tmee, dass er sidi mr Zeit

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Abhandlangen zur Baknbestimmnng der Oometon. 1, 3. 63

§ 152. Anmerkimg. (Fig. 7.) Dieser Satz kann von
Nutzen sein, wenn man eine branelibare Formel findet, welche
das Yerhftltniss zwischen den Winkeln NFQ, QFM und den
Zeiten, die zum Durchlaufen der Bogen NQ und QM gebraucht
werden, ausdrückt. Diese Winkel sind nftmlich Bogen des
Kreises, auf welchen die heliocentrischen Oerter des Cometen
liegen, und werden von den Kreisen, die durch die Oerter
der Sonne nnd die geocentrischen Oerter des Cometen gelegt
werden, ausgeschnitten.

§ 153. Aufgabe 30. (Fig. 8.) Gegeben sind vier Be-
obaehttingen eines Cometen , die in kurzen Zeitintervallen auf-
einander folgen; mm soll Lage und Grösse der Bahn durch
sttecessive Armahenmg finden, wenn diese cds paraboUsdi vorauS'
gesetzt toird.

Lösung: Weil wegen der kleinen Zwischenzeit der Bogen,
welchen der Oomet von der ersten bis zur Tierten Beobachtung
durchläuft, als eine Gerade betrachtet werden kann, die mit
gleichmässiger Geschwindigkeit durchlaufen wird, so kann man
die vier beobachteten
Oerter, projicirt uuf
die Ekliptik , durch
die vier Punkte II, 7",
K, L darstellen. Sind
weiter Ell, EI, AK
und AL die Geraden,
die von den Oertem
der Erde nach den
Oertem des Cometen
gezogen werden , so
sind diese durch die
geocentrischen Län-
gen des Cometen ihrer
Lage nach gegeben.
Nun erinnern wir uns Fig. 8.

[76] an Lemma 18

(§ 51), wonach eine Gerade HL so gezogen werden kann, dass
sie von den ihrer Lage nach gegebenen Geraden EII^ EI^ AK
und AL so geschnitten wird, dass die drei Theile Liv, Ä'i,
IH proportional den Zwischenzeiten werden. Ist die (Jerade
construirt, so behalten wir nur die beiden äussersten Punkte II
nnd L bei, errichten in ihiM ii Senkrechte und erhalten auf
diesen mit Hülfe der geocentriachen Breiten zwei Punkte der

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64

J. Q. Lambert

Cometenbahn, die nicht viel von den wirklichen abweichen.
Nach Lemma 8 (§ 26) ist dadurch die ganze Bahn gegeben. Da
aber nach Anfgabe 15 (§ 83] damit gleichzeitig die Zwischen-
zeit gefunden werden kann, so kann man prüfen , ob sie mit ■
der beobachteten flbereinstimmt oder mehr oder weniger ab*
weicht. Tritt letzteres ein, was sogar die Regel sein mnss,
so suche muu mit JJülfe der ermittelten Bahn jene Oerter des

Cometen, in welchen er zu den
Zeiten der zwischenliegenden Be- •
obachtnn^en hätte sein müssen,
wenn die beobachteten Zeiten mit
den berechneten vertauscht wer- \
den. (Fig. 9.) Hierdurch wird '
ein Viereck EF G II bekannt, wel- :
ches Ton dem, das die wahren !
Cometenörter bilden, Tiel weniger \
abweichen wird, wie die zuerst |
angenommene Gerade. DiescB ;
Viereck mnss man auf die Ekliptik ,
projiciren; dann hat man, indem ■
man die Winkel nnd das Ver-
Fig. 9. hältniss der Seiten festhält, ein |

ähnliches Viereck den vier ihrer '
Lage uaeli gegebenen Oorjulen AE^ AG, BE, BII einzn- I
schreiben, was mit Hülfe von Lemma 19 (§ 54) gelingt, liehäit ,
man dann wiederum nur die beiden äussersten Punkte E
nnd H bei , so kann aus ihnen wie oben die Bahn ermittelt
werden, die nun von der wahren gewiss weniger abweiche
wird. Da man in dieser Weise beliebig lange fortfahren kann,
so wird schliesslich die Bahn gefunden, welche der Wahrhut
entspricht.

[77] § 154. Anmerkung. (Fig. 7.) Von der Hypothese,
die wir eben benutzt hfiben, nämlich, daas der Comet sich auf
gerader Linie mit gleichuiilssigcr Geschwindigkeit bewege, kann
auch noch auf andere Weij^e Gebrauch treniacht werden. Sind
N und M die beiden äusseren Cometenörter und N3f die
Sehne zwischen beiden, so wird vorausgesetzt, dass die Sehne
vom Cometen durchlaufen werde nnd dass er sich zur Zeit,
einer zwischenliegenden Beobachtung, wo er sich thatsächlich
in dem Pnnkte Q der Bahn befunden hat, in dem Pnnkte E
(Schnitt Yon FQ mit NM) befinde. Hieraus entspringen zwei
Uebelst&ide. Zuerst nämlich hat der Pnnkt E eine andere

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Abhaudiungeu zur Uabubestimmung der Cometeu. I, 3. 65

geocentrische Länge und Breite, wie der thiitsäclilieli beobn htete
Ort Q des Cometen und dann sind die Zeiten, in welchen die
Bogen MQ und (JN durchlaufen werden, den Abschnitten der
Sehne ME und EN nicht vollständig proportional. Es erhellt
jedoch aus Lemma 17 (§49,50), dasä ie Verhältnisse zwischen
den Flftehen der Sectoren NFQ und QFM Und den Ab-
Bchnitten NE nnd EM sieh sehr wenig voneinander unter*
scheiden, wenn der Winkel NFM 20^ bis 30^ nicht ttbeiv
schreitet. Dem zweiten Uebelstand begegnet man also dadurch,
dass man zuerst die Abschnitte NE nnd EM als proportional
den Zeiten annimmt. Hierdurch wird die Bahn sehr nahe
bestimmt und mau kann dauu das VcrhilUiiiss zNAiaeLen dcu
Abschnitten NE und V'M genauer augeben, so dass nun die
eiprentliche Rechnung beginnen kann.- Dem ersten Uebelstand
kann man auf verschiedene Weise abhelfen. Man bestimmt
iiäniiich (wie Euler gethan hat) aus dem Mittel zwischen den
beiden äusseren Distanzen NF und MF^ das durch Versuch
zu ermitteln ist, und aus den Zeiten, in denen die Bogen MQ
und QN durchlaufen werden, sehr nahe den Pfeil QE aus
dem Fall der Körper gegen die Sonne. Wenn jene Zeiten
nahe gleich sind, so wird der grösste Pfeil QG = QE durch
[78] die Formel § 92 gefunden, die als sehr nahe zutreffend
angewendet werden kann. Da man nun mit dem Punkte E
insofern viele Mühe hat, als die von ihm nach dem Centmm
der Erde gezogene Qerade auf die Ekliptik projicirt werden
muss, so wird es dem Vorhaben förderlicher sein, wenn man
an Stelle der Ekliptik eine andere Ebene einfölli-t, die der
Aufgabe auzupassen ist. Ls ist leicht einzusehen, dass zu
dem Ende die Projectionen der vom Centrum der Erde nach
den Punkten (,) und E gezogenen Geraden auf jene Ebene
zusammenfallt u uuisHPu. Dieser Bedingung genügt aber jede
Ebene, weiclif senkreclit zu der Kbene angenommen wird, die
durch die zur selben Zeit gehörigen Oerter von Sonne, Erde
und Comet gelegt wird. Um dies noch einleuchtender zu
machen und zugleich eine Methode der Cometenbahnbestimmung
«usein nul erzusetzen, behandeln wir die folgende
. § 15Ö. Aufgabe 31. (Fig. 16.) Gegeben sind drei geo-
eenirisdie Oerter eines in einer Parabel sich bewegendm Gometen;
man soU Lage und Grösse der Bahn ermitkiln»

Lösung: Es seien Dj G, E die senkrechten Projectionen der
drei Cometenörter auf die Ebene der Ekliptik. Die Erde befinde
fMn zu denselben Zeiten in B, Nach dem mittleren Ort

Ostwald's Klassiker. 133. 5

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66 J' H. Lambert.

T der Erde ziehen wir von der Sonne S die Gerade und
erricliten liieranf die Normale T1\. Anf die?^e fällen wir Ton
den beiden äusseren Uertern der Erde Ä und B die Normalen
Aa und B[i und ebenso von den Projectionen der Oometen-
örter D, C, E die Normalen BRH, ÖQK, EPG, Es seien
femer RII^ QK, Pfr gleich den senkrechten Abständen der
Cometenörter von der Ekliptik. Endlich sieben vir die Geraden
aHj TK und ß Q.

Fig. 16,

(79] Nach dieser Constvuetiou kann die Ebene aRIIG als
senkrecht zur Ebene der Ekliptik aUDS und besonders zur
Geraden TS angesehen werden, und sie enthält die ortho-
gniplii^ehe Projection der Oerter der Erde (f, 7', ji , und des
Cunieten IT, /f, 0. Es ist nun klar, dass (iie Gerade TK nicht
nur die Projection der Geraden ist, welche vom mittleren Ort
der Erde nach dem Ort des Oometen gezogen wird, der senk-
recht über C steht, sondern auch jener Geraden, die aus dem
Oentnun der Sonne nach demselben Cometenort gezogen wird
und damit der gansen Ebene, in welcher sich sa derselben
Zeit Sonne, Gomet nnd Erde befinden.

Da nnn die Geraden ADj TCj BE durch die geocentrisoben
Längen des Oometen ihrer Lage nach bekannt sind, ebenso

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AbbaudluDgeu zur BuhubestimmuDg der Cometen. I, 3. 67

7"^ durch die Länge der Sonne oder der Erde zur Zeit der
mittleren Beobachtung, nnd AS und BS durch die Lftngen
der Bonne zu den Zeiten der ftnaseren Beobachtnngen^ so Bind
damit ersteng gegeben die Btreeken

liT= BS^TSB;

zweitens sind die Winkel ADJR, TCQ und BEP die Differenzen
zwischen den Längen des Cometen und der Länge der Sonne
zur Zeit der mittleren Beobac)itang, also ebenfalls bekannt
nnd es wird sein

aB= AD wiADB

TQ ^ TC sin TCQ
ßP=z BEmiBEP.

Seien ferner k" die geocentriachen Breiten des Cometen

in Aj B^ so wird

RH ^ AD i&ü^ l
QK = TO lang V
PG=^BEimf^ r.

Daraus folgt:

tang Hu Ii
tang KTQ
tang GiiP

[80] £s sind also in der angenommenen Normalebene jetzt
bekannt

die Strecken ciT, T^V, aß
und die Winkel HaR, KTQ, GßP^ *
die wir wie folgt bezeichnen wollen;

aT=g, ßT=h,

Verbindet man die Pnnkte G nnd Hj so ist die Gerade GH
die Projection der Sehne, deren Bogen vom Cometen iu dem

lang X
^ Sin i^Ä

taug }J
^ &m~TCQ

tang r
~ sin-B^?P '

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68 BL Lambert.

Intervall dor Zeit zwischen den iiusseren Beobaehtinttren durch-
laufen wiiil. Da TK die Frojection des mittleren Kadins-
vectors ist, so ist. Z^iC die Frojection des Ffeiles und di€
Zwischenzeiten stehen sehr nahe im Yerhältniss:

GL:LII= FO:OE=-j) : q.

Wenn es sieh nach vollendeter Reohnnng lohnt^ dieselbe noeb-
mals zn wiederholen, so kann dieses YerhftltnisB leicht genauer

angenommen werden. Macht man nun

so wird

und ferner:

P

OL = X taug t

P

HR =\^ + ^ + y^ \Ark%a
PG ^[x-^h^y] taug .

^un ist aber

{OL — GP):[RH— OL)=p:q,

[81] also

gajtangr— 3(a?— ^)tang/^=;?|^+»+|^t/j<ga— jE)a;tangr
oder nach gehöriger Reduction:

[Q + p) tangr — 7 t&n^ß — p taii^ a nh tano: ; i — p q taug a

f/SSZ — " ■ ■ tP^T™ ' '-

q (taug a — taug ^) q (taug a — t&ugfS)

Da diese Formel numerisch zu berechnen ist, setzen wir kurz

Es ist also y = PO durch x = TO gegeben. — Daraus folgt
weiter

ßPs=X'^yx — d — k

aß ^ X + — yx + ~ 6 + g
p p

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AbhandlaBgen %nt BahnboBtlmmiiiig der Cometen. 1, 3. 69

und daher

FE = TW=^ (aj — ya; — d — Ä) eo^j^BEP-^ßB

Da aber aaeh diese Formeln nnmerisch berechnet' werden
mfissen, so machen wir

TX'-TW=WX=:vx+ Q = EV

[82j Ferner ist

WE s=: ITP = a; — yaj — a

XD^TR^x-i-^yx

nnd hieraus:

FD = [yx + (5) = + .

JT'

Da aber

VE^vx + ^f

80 folgt

ED^ = + p^}x'' + {2ai] + 2pq}x + if + q'.
Ferner ist:

ffp = (a? — — (J — Ä) tang/?

RH = (oj ^ — ya; + — 5 -4- ^/ J tanga
\ P P I

und daran» kann die Differenz der senkrechten Abstände des

(!ümeten über der Ekliptik zur Zeit der üiisseren Beobacbtimgen,
nämlich RH — GP dargestellt werden durch

rx + s.

Damit ist nun das Quadrat der Liiugc der Sehne zu ermitteln,
welche der Coinet überspannt:

ED^ + [RH-' GP)^ = Ax^ + Bx+C\

Da

WE = » — yoj — d

XD = x + ^yx+ ö,
P P

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70 * H. Ijambert.

80 wird:

2

FS =» (px + oj

[83] giebt die Hälfte der Summe der äusseren heliocentri sehen
Distanzen des Cometen zu:

Ans dieser Grosse, ans der Länge der Sehne nnd ans der Zeit,
die zwisehen den äusseren Beobachtungen liegt, kann x durch
die Aufgabe 15 [§ 83] ermittelt werden« Wenn die Sehne
klein ist^ wird sekr nahe:

welches eine Gleichung 6. Grades in x ist.

Ist X — TO gefunden, so folgt leicht y — PO und dann
07? und alle Grössen, welche zur Bestimmung der Lage der
auf die Kkliptik projicirteu Sehne ED und der Lage der
Sehn« selbst nothweudig sind. Da die äusseren Radien-
vectoren

h =F VSW'' + WE^ + TQ^ .
a = VSX* + XD' + EH*

sind, so kann die ganse Bahn durch Lemma 8, 10, 11 und 11,
Zusatz 1 bestimmt werden.

•

Lösung durch Conatrnction: Da nun auch durch diese
recht weitläufige Kechnnug die Bahn des Cometen nnr ge-
nähert bestimmt wird, so kann man, wenn man diesr nicht
durchführen will, die ganze Sache auch kürzer und beq^aemer
durch Construction erledigen.

Sei S der Mittelpunkt der Sonne, T der Ort der Erde zur
Zeit der mittleren Beobachtung, B und A die Oerter derselben
zur Zeit der ersten und dritten Beobachtung. Mit HQlfe der
bekannten geocentrischen Längen des Cometen ziehe man die
[84] Geraden TC, BEj AD. Naohdem man dann TB senk-
recht zu TS gezogen hat, Me man Aa und Bß wie in der
vorigen Lösung und ähnlich werden entweder durch Reehinung
oder durch Construction die Winkel GßP^ KTQ und HctR
gefunden; endlich wird wie zuvor TK die Projection der vom

I

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Abbandlniigeii snr Bahnbettinmiiuig der Cometeii. 1, 3. 71

Centrum der Sonne und der Eide nach dem mittlereü Cometenort
gezogenen Geraden sein.

Nun nehme man auf der Geraden TK i'ineu beliebigen
Punkt L an, welcher dem Schnittpunkte der Sehne mit dem
mittleren Radrasrector entsprechen aolL Wenn dieser Punkt
zafällig richtig angenommen worden ist, so wird die wahre
Cometenbahn bestimmt sein; im anderen Falle wird die Ab-
weiehnng bekannt nnd es wird dn «nderer Punkt dnreh Versnch
aaaznwfthlen sein. Die Oonstntetion ist ftLr alle FflUe dieselbe;
damit also die Figur niebi sa sehr mit Geraden belastet
werde^ haben wir &b wahre Lage des Punktes L angenommen,
ihn aber sonst als noch Ungewissen behandelt.

Durch L werde die Gerade OLH so geführt, dass die
Theile GL und LH sich wie die Zwischenzeiten verhalten;
sodann werden von G nnd // die Lothe GPE nnd HUT) auf
die Linie aR gefällt und bis zum Schnitt mit den früher «be-
zogenen Geraden BE und AD verlängert. Damit erhält man
EDj die Frojectlon der Sehne auf die Ekliptik.

Aus dem angenommenen Punkte L werde ebenfalis das
Loth auf aR gefilUt; nennt man Z den Schnittpunkt mit ED^
so wird sein

QL:LH^EZ:ZD.

Ist nun der Punkt L richtig angenommen worden, so mttssen
die drei Punkte C in einer und derselben Geraden

liegen, welche die Projection des mittleren Radius vectors auf
[85] die Ekliptik ist. Da dies aber noch nicht sicher ist, so
yerbinde man die Oei*ter B der Erde und ziehe aus dem
Schnitipunkte t mit dem mittleren Radiusvector der Brde die
Gerade tZ nach dem Punkte Z, Diese Gerade ist von der
Beschaffenheii, dass sie ftr jede beliebige Lage der auf die
fikUptik projidrten Sehne dieselbe in demselben Verhftltnisse
schneidet^ in welchem die Gerade EZD geschnitten wird, d. h.
sehr nahe im Verhältniss der Zwischenzeiten.

Nimmt man daher auf der Geraden tT beliebige Punkte Z
Uli, so können leicht ebensoviele Gerade EZD gezos^eii wi'rden,
die von den Geraden AD^ BE, fZ in dem gegebenen Ver-
hältnisse der Zwischenzeiten geschnitten werden.

Hat man ED^ so werden mit Heranziehung der geocen-
trisehen Breiten in den Punkten E und D Normale errichtet,
deren Lftngen gleich GP und ifA'^ sind. Die £ndpunkte der-
selben mflssen um die Länge der Sehne von einander abstehen

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I

72 J* H. Lambert

uud ihre Verbindungslinien mit der Sonne stellen die änsseren
ßadienyectoren dar. Mit diesen Distanzen bestimme man nun
nnter Anwendung der Formeln der Aufgabe 15 (§ 83) oder
der Scala der parabolischen Geschwindigkeiten (§ 112 ff.) die
Zeit, in welcher der Comet die mit Httlfe des angenommenen
Punktes Z bestimmte, Sehne h&tte durchlaufen mflssen. Wenn
diese Zeit . mit der zwischen der ersten und dritten Beobach-
tung liegenden Zeit llbereinstimmt, dann war der Punkt Z
richtig angenommen, wenn nicht, so merke man die Differenz
und nehme in der Geraden tZ nacheinander andere Punkte Z
au. Daraus erliült man ebensoviele Difiereuzeu der beoljachteteu
und der durcli Consti'uction getuüdenen Zeit. Trägt man die
Distanzen t Z als Abscissen und die Differenzen der Zeiten als 1
Ordinalen auf, so kann eine Curve gezogen werden, welche die
[86^ Oerade tTi an der Stelle schneiden wird, die dem wahren j
I'uukte Z entspricht. Selbstveratändlich sind die Punkte Z so i
anzunehmen, dass die genannten Differenzen sowohl positi\r als |
negativ werden. j

Ist nun der richtige Punkt 7, gefunden, so wird die Con- ,
struction der wahren Projection ED der Sehne gemacht und I
damit die Gonstruclion der ganzen Bahn sehr leicht zum Ab-
schluss gebracht.

Dui'ch diese Construction kann man aber auch sehi* leicht

einer Prüfung unterwerfen, ol) das Yerhältniss zwischen den
Theilen GL und hll den Zwischenzeiten proportional ist oder
merklich davon abweicht. Ist letzteres der Fall, so kann man |
das Verhältniss genauer ])e.stiiiiiiieu und dann entweder die
Construction oder die Rechnung einschlagen, um Grösse und
Lage der Bahn genau zu ermitteln.

§ 156. Anmerkun^^ 1. Diese Construction der Bahn wird '
weitläufig in Folge der Neigung der Bahn gegen die Ekliptik.
In Folge dieser nämlich muss man die Abstände des Cometen
von den Punkten E und D auf doppelte Weise, auf die Ebene
der Ekliptik fibertragen, damit man die Länge der Sehne und
der äusseren Radienvectoren bestimmen könne. Uebrigena wird '
diese Weitläufigkeit, durch die Ersparniss an Arbeit,. welche ■
man bei der Bereclmung der Zwischenzeit aus der Benutzung |
der Scala der parabolischen Gesch¥dudigkeiten ziehen kann,
zum grossen Theil compensirt. •

§ 157. Anmerkung 2. Da bei der zweiten Lösung der '
Punkt Z durch Versuche zu ermitteln ist, so werden einige

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Abhandlungen vnt BnfanbeBtimmnng der Cometen. I, H. 73

[87] Anhaltspunkte hierfür nicht für unnütz erachtet werden.
Zu diesem Behufe dient der Lehrsatz 3 (§ 76 ff.), mittelst dessen
aus der heliocentriscben Distanz des Cometeu seine Geschwin-
digkeit bestimmt werden kann und durch den diese Oeschwin-
keit mit der eines in gleicher Entfernung beiiudlicheu, auf
einer Kreisbahn sich bewegenden Planeten verglichen wird.
Da der Bogen oder die Sehne zwischen der ersten und dritten
Beobachtung meistens klein ist, so wird die vom Cometeu
dnrchmessene Sehne, mit jener, welche in derselben Zeit die
Erde durchläuft, also mit AB in irgend einer Weise verglichen
werden können. Nehmen wir am, der Gomet sei in T, so ist

klar, daas die von ihm durchlaufene Sehne sehr nahe V2AB
(§ 76} sein mttsste, was aber nicht sein kann, da sie zwischen
den Geraden AD nnd BE liegen mnss. Wenn nnn der Punkt Z
auf der Geraden tZ so angenommen wird, dass seine Distanz

von der Sonne kleiner wird, als eben, so wird die Länge der

St'liuc vergrüssert, welclic er durchlaufen müsste. Man wird
also Z erst dort annehmen dürfen, wo die Distanz von der
Souiiü anfängt grösser zu werden. Ist Z angenommen, so
wird die Lage der projicirten Sehne meist schon nach dem
Augenmaass allein nahe richtig gewählt und ihre Länge mit
AB und der Entfernung von der Sonne verglichen.

§ 168. Aufgabe 32. (Fig. 17.) Mm soll eine eehon nahe
bekamUe paraboUsche Bahn eines Gameten wrbessmt,

[88 J Lösung: Da die curtirten geocentrischen Distanzen
ADy TCj BE in nahe richtigen Zahlen vorliegen, so wollen
wir annehmen, sie seien zu klein, und die DilVereuzeu, welche
addirt werden müssen, damit sie in die wahren Werthe über-
gehen, seien so klein, diiss ausser der ersten alle liöheren
Potenzen vernachlässig l werden können. Diniii ist es erlaubt
sie wie DiÜerenziale zu behandeln, die bei der iu Zahlen aus-
zuführenden Rechnung hinzuzufügen sind. Die Rechniinjr selbst
aber wird damit zu beginnen haben, dass aus den angenommenen
Distanzen die Zeiten zwischen der ersten und zweiten, der
zweiten nnd dritten, der dritten und ersten Beobachtung er-
mittelt werden. Dann werden die berechneten Zeiten mit den
beobachteten yergiichen , wodurch man zu drei Gleichungen
kommt) ausweichen die Differenzen zwischen den angenommenen
und den wahren Distanzen ADy TC^ BE ermittelt werden
können, die nun addirt oder subtrahirt werden mflssen, je
nachdem sie positiv oder negativ sind.

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74

Die HerBteUnng jener Qleiohimgeii aber woUen vir dnzdi
folgendes Beispiel zeigen.

Sei 8 die Sonne, T und t Oerter der Erde, K nnd k Pro-

jectionen der beiden Cometenörter (' und c auf die Ekliptik,
dann werden TK und iL duich die geocentrischen Längen

Fig. 17.

gegeben sein und die Winkel CTK und ntk sind die geo-
eentriachen Breiten. Nun verlilugert man TK und tk bis zu
ihrem Schnittpunkt in 1, verbindet A mit S und zieht
parallel zu KL Setzt man dann

AK^K OTK^C TS^T

AT= a

At = ß

TAt = LQ

Ak = k
TK

ctk = c
CTS = e

tS=T

[89] so wird:

öe*r=:^ +k^ — 2Kk cosw + A''*tang6'* + Ä'-tangc*

— 2K'k' tangO tauge.

Weiter igt:

GS^ = + K"^ sec C — 2 TK secC coae

c5* = -h Äc'* aeec' — 2 tä;' seee Cös^

Diese Aunilrücke sind in Zahlen zu berechnen. Da ihnen abt'i
Dilferenziale hinzüzutüi;eii sind, so bemerken wir, diss dir
Grösseu K, K\ k^ k' als variabel betrachtet werden mUsseD,
und zwar aind, da

iC = 4- «

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Abhandlungen xnr Bahnbestiiumiuig der Cometen. I, 3. 76

die Differenziale dK, dlC und ebenso dk^ dk' nicht etwa gleich,
sondera man wird dmxh Differenziation haben:

dCG^Lz{K'^ K tangC* k cosco — k' tangc tangC?) dK

Co

+ i (Ä; — A'coscu + k' tango' — K tangc tangO) dk

Cc.

des = (IC secC- - rsecGcoa^?) dK

CS '

dcS = ik' secc* — t secc cos/) (ZA; .

Da (lie^e Ausdrücke wieder in Zahlen berechnet werden mttssen,
schreiben wir kuns

dCc = mdK ndk

dCS^pdK

dcS = qdk.

Durch Gcj CS, cS i^l aber die Zwischeuzeit gegeben nach der
Formel (§ 83J:

31 2ml = ( — ) - ( ).

Da nun die angenommenen cnrtlrten geocentrisehen Distanzen
TK nnd tk von den wahren yerscbieden sind, so wird anefa die
Zwischenzeit T, welche diese Formel giebt, von der beobachteten
[90] verschieden sein. Damit also T zur beobachteten Zwischen-
zeit werde, mnss man der Formel ihr Differenzial hinzufügen,
womit sie wird

, ^ 2mJ = ( ) - ( g )

+ HCS + CS+ GoY (dös + dcS -f dcÖ)
— I (es + cS— Cef (dCS + d^ — dcC) .

CSf e8f eC sind in Zahlen gegeben, ebenso anch ihre Differen-
ziale dnrch dK nnd dk\ man hat also anf diese Weise eine
Gleichung zwischen dK nnd dk erhalten.

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76

J. H. Limbert.

Nimmt man zu den hier benutzten Oertern noch den dritten

hinzu, 80 erhält man auf dieselbe Weise zwei weitere Glei-
cliuiigen zwischen dk und r/f einerseits und d K und dl anderer-
seits und kann also dauu die drei Differenzen dKy dk, d\
bestimmen. Sollten sie nach vollendeter Rechnung als beträcht-
lich sich herausstellen, so wird die liechnung auf dieselbe Weise
wiederholt, indem mau jetzt für die in Fig. 16 mit AD^ TO, BE
bezeichneten Di z tanzen die durch die erste Yerbessening corii-
girten Werthe annimmt.

§ 159. Aufgabe 34.*) (Fig. 17.) Wenn zwei htnlmigluli
ndlie gcocentriscfie Ocrter des Cotncien gegeben sind mid ai^sscr-
dem die geocmtrische Distanx des Gometmi für eine der beiden
Beohachtimgm^ so soÜ man die Lage und Grösse der Bahn
ermitteln.

Fig. 17.

Lösung: Sei S das Centruni der Sonne, t Oerter der
Erde, (7, c Oerter des (Jonit ti ii, Ic deren Projeettoiien auf
die Ekliptik. Dann sind TK und tt durch die beobachtettn
Längen ji:egeben und die Winkel Cl'K und etk sind die be-
obachteten Breiten. Es möge nun noch die Distanz TC und
damit auch TK ^ TöiHQ&UTK gegeben sein. Vod deo
Punkten K und T filllen wir auf die Gerade ^ A' die NormAleD
[91] KQ und TIi und ziehen ferner vie. b.ei der vorigen
Aufgabe AS und CF, Sodann setzen w:

TK^x ÖTK^l

Qk = y ' etk — yl

AT=:p CTS = h , •

*] Aufgabe 33 fehlt im Original.

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Abhandlungen zur BahubeBtiminnng der Cometen. 1, 3. 77

Ua die geoceutrischeu Brciteu / und yl wenig von einander
verschieden sind; werde gesetzt;

dann sind ?/, a, lo hiulängiicb kleine Grössen, da wir 7", t
bez. 6 als nahe beisammen liegende Oerter angenommen
haben.

£s wird also sein: .

AK = X -\~ p

KQ =s (x + p) amof

Kk = V/* -J- + sin cü* ,

ferner:

= j^COSCcI

AQ = [x -\- j>)
Ak = {x-^-p) cosw + y

Rk = (a; -j- })) cos vj — p coü tj + // = cos w + ^
= a? cos w + y — «

uud daher

eA;=s (o; oosca -f- ^ a)(taiigA

CK = ic taug ^ .

Mithin

eF = x (cos w — 1) tangyl + — «) tangÄ +0;^ cos w + (j^ — a} ^
oder

cP=^(tangA-(-gJ — a(tangA+g)— £c(l — cos<(>)tgA.4-^9COseü.

[92] Für diese Formel schreiben wir der Kurze halber

Eb ist aber
Daher wird

Co* = + {x +pY sinw' + A^y^ + %AByx + (7*
— 2ACy^2BCx + B^x^

oder

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I

78 J. H. Lambert.

Weiter wird sein

4

CS' = r' 4" secÄ* — 2rM &ec/ cos/i.
Nach der zweiten Lösnng der Aufgabe 15 (§ 83] ist

oder, da die tieliue k klein nnd auch sehr nahe a = 6 ist,

3kya

2

VSm T

oder

Vcs

und daher .nach Substitution der Werthe

Vr' + u;" jsecA* — 2rx secA cos/*

Aus dieser Gleichung kann, wenn die Distanz x gegeben ist
y gefanden werden nnd damit die Lage der projicirten Sebm

Kk. Ist dies aber erreicht, so kann die ganze Bahn leichi

ermittelt werden.

[93] § 160. Anmerkung. Da die Gleichung, auf welche
wir schliesslich gekommen sind, quadratisch ist^ so ergebet
sich zwei Werthe von y und es mnss daher eine dritte Be-
obachtung zugezogen werden^ um entscheiden zn können,
welche der Wirklichkeit entspricht. Weiter nahmen wir an*
dass die Distanz x gegeben sei. Wenn sie aber nnbestioiiic
ist, so kann man nach einander Ycrschiedene Werthe dafö:
einsetzen, bis schliesslieli // iniagiiiilr herauskommt. Es Averde:
hierdurch die Grenzen gegeben, über weloLc die Distanz -
nicht hinausgehen kann und sie werden gefunden, wenn niai
in der b-tzten Oleieliun^ ?/ = 0 setzt. Die Gleichung get
dadurch in eine andere tlber, in welcher x in der sechstca
Potenz auftritt.

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AbhandluDgeu zur U:ihube»tiiimiuDg der Cometcn. 1, 3. 79

§ 161. Anfgabe 35. (Fig. 18.) Gegeben sei dir Ijogc
einer paraholischrn ComctmhaJni ; man soll dir Lafjr und die
£Jigmschaften der auf die Ekliptik proficirtm BaJm ermitteln.

Lösnng: Bei F das Oentnim der Sonne nnd daher der
Brennpunkt der Balm, Nn die Enotenlinie, NQn die Bahn
selbst, die gegen die Bbene der Eküplik unter ^em belie-
bigen Winkd geneigt ist, A sei das Perihel, AFB die Axe.
Wird ein beliebiger Punkt
Q angenommen nnd QP
senkrecht zn Nn gefüllt
und das Verhältniss QP
zu qP gleich dem Ver-
hältniss von 1 zum Cosinuä
der Neigung gemacht, so
wird der Punkt q in der
piojirirten Bahn liegen und
der i'unkt Q wird senkrecht
darüber liegen.

[94] Wenn ^^ r höchste
i*unkt der Bahn liher ihw
Ekliptik ist, dann wird die
Richtung beider Parabeln
in Q und q der Knoten-
linie parallel sein. Haihirt
man Nn in G nnd sieht
FOj Fq, GQ, Gq, so
wird GQ der Axe AB nnd
Gq der Axe der projielrten
Bahn aß parallel nnd es Fig. 18.

ist ^0= Oö, Fq=:qG,

FP = PO. Weiter verhält sich FQ zn Fq me 1 zum
Oosinns der heliocenMsohen Breite jenes höchsten Punktes Q.

Da NO — On nnd Gq der Axe aB parallel ist, so geht
die Gerade qF dnrch den Brennpunkt f der projicirten Bahn
nnd es ist:

Nn = IQFQ' = i^Fq ' fq

und daher

Fq ; FQ = FQ : fq .

Da aber beide Parabeln in Q nnd q der Enotenlinie Nn

parallel sind, so werden die Winkel^ welche sie mit FQ bez. Fq
bilden, den Winkeln QGF bez. qGF ^Wich und duiier wird:

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80 J* H. Lambert

fQ ' Pn^

Nennt man die Neigung der Bahn, so ist

nnd daher

also feruer
Ks ist aber

also:

__ f(] ' PQ^ cos
F^

= 1^:^ >

AF: a f = Fq- : FQ coa rf' -fq^

FQ'
Fi

AF: af^ Fq^ : FQ^ cos 17*.

[951 Da der Cosinns der heliocentrischen Breite de»

FQ

Punktes Q ist, so wird, wenn wir diese mit .^ bezeichnen:

AF :af =^ coa : coa

Va/ = ^ •

cos/.

Wird vom liadiusvector eiue beliol)ige Flüche besehriehen, il;^
wir .1 nennen wollen und ist die dazu gebrauchte Zeit J, ^
wird

T = ' ...

mV2JF

Pa aber diese Fläche in der projicirten Bahn verkleinert ist
im Verhftltniss 1 : cos , so wird sie sein A cos 1; ss Ik
Da nun

so folgt

T

mV 2a/ cos/'

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AbbandiuDgeii zur Bahnbestimmung der Cometen. I, 3. 31

Die Zelt wird also gegeben durch die auf die Ekliptik pro-
jicirte liiiclie D, durch den Halbparameter dpr projicirten
Bahn 2a f und durch den Cosmaa der helioceutiischea Breite
des hdchsten Punktes Q.

§ 162. Aufgabe 36. [Fig. 18.) Gegeben sei die prafünrte
Bahn aqn\ man soU die wahre Bahn NQn fmdm tmd deren

Nehjiiiuj nnd KnotenUnie.

[96] LOsuu^: Es sei aNqii die projicirte Bahn, ihreAxea/',
ihr Brennpunkt /*, und das Centrum der Sonne F. Da F der
Brennpunkt der wahrtu Bahn ist, SO führe man die Gerade
fFq durch beide Brennpimkre, ziehe die Tangente tq und zu
ihr die Parallele NF)t durch den Mittelpunkt der Sonne jP;
das wird dann die Knotenlinie sein. Fällt man auf diese die
iNormale QqP and macht FQ s=^ so wird der Punkt Q

qP

der höchste Punkt der wahren Bahn sein nnd der Cosinus

der Neigung. Endlich mache man QG = QF oder NG = Gn,
und siehe zu QG die Parallele AFj dann ist dies die Axe

PO*

der wahren Bahn. Da AFs=:—j (g 161), so ist damit

auch die Periheldistanz AF gefunden.

§ 163. Lehrsatz IL Die projicirte Bf ihn ist durdi lauter
geoeentrischc Längen gegeben und fünf BeolmslUungen sind zu
ihrer Besiimmmg erforderlich»

Beweis: Die projicirte Bahn ist beslsmmt, sobald der

Scheitel a und der Brennpunkt f gegeben sind oder die Lage
dieser beiden Punkte in Bezug auf eine Gerade, die von einem
gegebenen Ort der Erde nach dein Centruiu der Sonne gezogen
wird. Es hängt da})er diese Lage von vier zu diesem Ende
anzunehmenden Unbekannten ab. Sind aber diese angenommen,
so wird die Knotenlinie nN gegeben sein (§ 162), ferner die
Distanz af und die beiden Geraden h ij und Fq und dann
Fq: FO = cos/. [§ IGlj. Da nun diese vier angenommenen
Unbekannten durch geoeentrische Laugen und durch die in
der projicirten Bahn zurückgelegten Räume zu bestimmen sind,
[97^ so werden diese Käume gegeben sein, welclie mit den
vertiossenen Zeiten verglichen werden können (§ 16 IJ nnd
jeder Kanm ftihrt zu einer Gleichnng. Weil nun aber vier
Gleichnngen nöthig sind, so braucht man auch vier projicirte
Räume nnd daher ftlnf beobachtete geoeentrische Längen.

üstwald's Klassiker. 133. 6

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82

J. H. Lambert.

164. Lehrsatz 12. Wenn sich ein Caniet zur ZpH rinn-
BeobachPimg im Pol der Ekliptik ht fntAef, so ist dir prqjidrk
Bahn durch drei weitere geocmitrisdie Li'ingm bestimmt.

Beweis: Wenn nämlich der Ort des Cometen im Pol der
Bkliptik aaf diese projieirt wird, so Mit dieser Pimkt auf
den Orty wo sieh zur selben Zeit die Erde befindet Welekes
daher auch Lage und Grösse der projieirten Bahn sein mdge,
jedenJUls mnss sie durch diesen Ort der firde hindurchgehen.
Es ist also ein gewisser bestimmter Punkt der Bahn gegeben.
Daraus folgte dass aus vier anzunehmenden Unbekannten eine
als überflüssig ausscheidet, wodurch die Zahl der Biume und
damit der beobachteten Längen vermindert wird.

§ 165. Anmerkung 1. Es versteht sich von selbst, dass
wenn der Comet im Pol der Ekliptik stationär gewesen ist,
dann die projicirto Bahn bereits bestimmt seiu wird, wenn
man diesen zwei Beobachtungen eine dritte hinzufügt. Uebdgens
wird die Rechnung, durch welche die Bahn bestimmt wird, anf
eine wunderbare Weise complicirt, so dass man es unter allen
[98] Umständen vorzieht, die geocentrischen Breiten zugleich
mit den Längen zur Bestimmung der Bahn anzuwenden.

§ 166. Anmerkung 2. Was wir bisher über die Projection
der Cometenbahn auf die Ekliptik gesagt haben, gilt allgemein,

da die Projection auf die Ebene der Ekli])tik rein willktirlich
ist und man aucli eine belieV)io^e andere Ebene wählen kann,
deren Lage gegen die Ekliptik gegeben ist. Diese tritt dann
an die Stelle der Ekliptik und auf sie sind die Oerter der
Erde zu projiciren und ebenso die Geraden, weiche von diesen
nach den Oertern des Cometen gezogen sind, wie wir dies
sehen bei der Aufgabe 31 (§ 155) durch ein Beispiel erläuteil
tindcn. Khf Jim dieser Art, welebc zur Al)kiirznno' der Rech-
nung beitragen ktinnen, gielit es mehrere. Bo bringt uns z. B.
die Ebene, welche durcli die Centra von Sonne, Erde und
Comet geht, dieselbe Vereinfachung, wie die Ekliptik, wenn
der Comet sich in einem seiner Knoten befindet. Und ähnlich
bietet uns die Ebene, welche auf der von dem Centrnm der
Erde nach dem Cometen gezogenen Geraden senlcreeht steht^
einen Fall dar, der analog ist zu jenem von Lehrsatz 12
{§ 164).

§ 167. Lehrsatz 13* Wenn ein Comet derartig stationär
istf dass er viermal an demselben Orte des Himmels beobadifet
wird, so kann seine Balm ohne alle Bedmurig gefunden taerden.

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Abbandlangexi zur BulinbestimmiiDg der Gometen. I, 3. 83

[98] Beweis: Wenn er nftmlich statioiiär ist, so sind die
Germdett, die von den Oeriern der Erde nfteh den Oertem des
Cometen gezogen werden, parslleL Nimmt man daher eine

Ebene, die durch das Oentrum der Sonne geht und auf jenen

GeradtiU senkrecht steht, so sind in dieser Ebene vier Punkte
der auf sie prqjicirten Bahn gegeben. Da diese paraholisch
ist, so kann sie construirt werden. Durch die Aufgabe 36
(§162) wird dann weiter Lagis nnd GrO^jäe der wahren Bahn
gegeben.

§ 168. Anmerkimg* Es wird allerdings kaum jemals ein
Oomet yiennal an derselben Stelle des Himmels beobachtet
werden, wenn die Zwischenzeiten beträchtlich sind. Sind sie
aber kurs, so mnss man sehr genaue Be/obachtnngen haben,
we^ man auf diese Weise die wahre Bahn ermitteln will.
Man wird aber doch eine angeben können, welche von der
wahren wenig abweicht, wenn die scheinbare Bewegung des
Cometen sehr langsam ist.

§ 169. Lehrsatz 14. (Fig. 19.) Wenti ein Comet zvHmal
an derselben Stelle des Himmels beobachtet wird^ so falle n die
Geraden^ weldie von d&ii beiden Erdörtern nach d&n beide^i
Cometenörtem ffexoffm werdmy in dde Knotmlinie.

Fig. 19.

Beweis: Seien T nnd i die Oerter der Erde, (7 nnd o die
des Cometen. Von letzteren föUe man auf die Ebene die

Normalen CK nnd ek nnd femer die Normalen GN und cn

auf die Knotenlinie Nn. Dauu zlclic mau die Geraden XK^
[100] nky TKy tk, CcM, TtM. Da nun der Comet stationär
ist, so sind die Geraden TC' und fc und ebenso TK und fk
parnllel: überdies sind die Breiten CTK und ctk einander
gleich. Daraus folgt:

CK:ch^GT:ct = KT:kt = CM:cM=TM\tM= KM: UM,

also schneiden sich die Geraden Tt^ Cc, Kk in M. W eiter ist:

CK: ek=:^CN:en^Kn:kn=^ CM: cM^ KM: kM= NM.nM,

6*

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84

J. H. Lambert

also geht die Gerade Nn durch denselben Punkt J/, in dem
sich Ce, Kkj Tt schneiden. Es ist also Nn die Enotenlinief
worans sieh die Behanptnng ergiebt.

§ 170. Lehrsatz 15« Wmn ein Cornea sieh in der Mtene
der Ekliptik hewefft und seine Bahn ist eine paraboUsehe, so

genügen drei geocentrische Längen^ itm dieselbe zu bestimmen',
dagegen ist noch eine vierte nothivendig, tvemi ei' sich in einer
Ellipse betvegtj amser ivenn deren grosse Äxe bekannt ist.

Beweis: Dass drei Längen zur BestiiDmnng der parabo-
lischen Bahn genügen, erhellt aus Aufgabe 31 (§ 155^- und
die Construction der Bahn wird hier noch leichter. Dagegen,
w(Min diese drei Längen zur Parabel nothwendig sind, so kommt
bei der Ellipse noch das Verhältniss zwischen der Periheldistanz
und dem Halbparameter dazu ; dieses bliebe unbestimmt, wenn
nicht eine vierte Beobachtung dazukäme, ansser es ist die
Länge der grossen Axe bekannt oder was dasselbe ist, die
Ümlaufszeit.

[101] § 171. AumerkiiBg. Ist die parabolische Bahn
gegen die Ekliptik geneigt, so sind drei Beobachtungen er^

forderlich, aber nicht vollständig; man kann entweder die Zeit,

zu der die zweite Beobaelituug augestellt ist, oder die geo-
centrische Länge oder die Breite entbehren. Wenn nichtsdesto-
weniger drei vollständige Beobachtungen herangezogen werden,
so hat man mehr Daten als nütliig sind und die überfltissigen
können zur Vereinfachung der liechnung oder wenigstens zur
Controie derselben benutzt werden.

[102] Vierter Theil.

Eigenschaften der elliptif^clien Bahnen der Cometen

und Planeten.

^ 172. Lemma 23. (Fig. 20.) Wenn in einer Ellipse
drei acquidistante O/yJi/tatrn I'Xj QL, RM genommen werden
und man xieht ans dem Brennpunkt F die liadicnvcctorcn FX^
FL, FM, so ist 2 FL = i'A + F3L

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Abhandinngen znr BahnbeBtimmmig der Gometeii. I» 4. 85

Beweis: Nach der Natnr der Ellipse ist nftmlich

daher:

J D 9 4 TP

FN+FM^2ÄF+ —^-^-f- [AF + AR) .

AB

[103] Nun ist nach der Yoraussetzang:

AP+AR^2AQ^

daher

FN-^FM=2^AF'\^

ÄB^2AF

AB

AQ

2FL.

§ 173. Lemma 24. (Fig. 21.) Wenn m einer Ellipse
AQBD em beliebiger Pmkt Q angefnornrnm und dmch ihn der
Durehmesser QOD, femer die Tangente QT und m ihr eine
beUebige ParaUde NOM gebogen wird, dann der Brennpunkt
F mit Q durch die Oerade QFb verbunden und die Strecke NM
senkaredit in die Lage nEm übertragen wirdj so dass nE = Em
isty dmn liegen die Funkte n und m ebenfalls auf einer Ellipse
Qnbm, deren einer Brennpunkt gleichfalls F, und deren grosse
Äxe Qb der grossen Axe der ersten Ellipse gleich ist,

Beweis: Da QCD ein Durchmesser der Ellipse und die
Strecke NM der Tauchente QT parallel ist, so findet nach
einer bekannten Eigenschaft der Kegelschnitte zwischen der
Abscisse QG nnd der Ordinate NM eine analoge (ihiihung
statt, wie zwischen Abscissen in der grossen Axe uml darauf
senkrecht stehenden Ordinalen. Weil nun nach der Construc-
tion NM = 71 m und QE dieselbe Rolle hat wie 0(?, ferner
nwi senkrecht steht auf FQ^ so wird zwischen QE und nm
dieselbe Gleichung in Bezog auf die Ellipse statthaben, deren
grosse Äxe Qb ist. Zieht man also Co parallel zu und

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86

errichtet cy^e'C senkrecht zur Axe Qh^ so wird oy die

kleine Halbaxe sein. Wird nnn

[104] gesetzt und die Gerade Qf nach dem zweiten Brenn-
punkt /^gezogen, so wird der Winkel TQF = 90** — iFQfmä

FQ 4- Qf== a
Ff =^0-^2/.

Fig. 21.

Hieraus folgt nach trigonometi*iscbeu Formeln:

Vax> —

eoa QFÖ

, Vax — — (af — P)

Vax — ;;/^

a

2f)

sinQFÖ:^

2Vaf—f* ,

ii.[a — 2f} \ i I j

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Abhandlttikgeii zur BahabeBtimmimg der Cometen. 1, 4. 87
und es wird daher, weil QTC ^ QFÖ — TQF = Föo ,

Es ist aber

Fc'.^mFCc = FC^: sinOcC

und daher, wenn die gefandenen Werthe sabatitairt werden
und redacirt wird:

Fö^^^ü'^f

Qb = a^ AB.

£s ist weiter der conjugirte Halbmesser Ce' = cy = Va» —
und daher wegen Fy^ ssaFe* + cy*

Jpy^ (|a — x)^ + {ax — »•) =

Fy = {a =z Qc,

Daraus erhellt, dass F Brennpunkt in beiden Ellipsen ist.
[105] § 174. Zusatz L Aehnlieh erhält man den Halbmesser

QO = Viia — 2z)*'i-af — P = VFc + CM'

und weiter:

smQCc =

2Va» — z* V\ {a — 2»)« + af-^ f*

§ 175. Zusatz 2, Da in der Ellipse AHB:

r^^r^ . (77). CV*

0(7*

und in der Ellipse Qyh:

00* Oc* '

so wiri:

QE Eh* Cc'*
Oc*

§ 176. Zusatz 3« Wird daher FE = § gesetzt, so wird:

4-a*

a

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88 J* H. Lambert.

§177. Lemma 25. (Fig. 21.} WM aUes wie im vorigen
Lemma angerummen, und weräm noch die Badtenveetoren Fn,

Fnij FXj FM gebogen, so ist dk Sumine der ersteren Fn + Fm
glcifh der Sunnac der letzteren FN-\- FM.

[106] Beweis. Man ziehe durch den Punkt G die Gerade
POK senkrecht zur grossen Axe ÄB^ und verbinde K mit
dem Brennpunkt F, Da NG = GMy so wird nacb Lemma 28

(§ m

2FK=F'N+FM.

Da ferner Fn = Fm , so ist uaehzuweiscu, das Fn = FK ist.
Weil nuu TQ^ EG und cC parallel sind, so wird

cQiQC^eE: GC
oder nacb Sabstitution der Werthe:

Weiter ist durch Trigonometrie

cosOC7JP= ^^^^

also nach äubäütntion der Werthe

\a{a — 2»)

dQ&QCF^

2(a^2f)

Hierans :

PF = FC ^CP= - - - 2^) ' -2(a-^2z )S ^

Es ist aber nach der Natar der Ellipse

FK = ^ ^-^H 'FP

a a

[107] und daher nach Substitution und gcküriger Keduction

FK =

a a

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Abhandlnngeii zur Bahnbestimmang der Cometen. I, 4. 89

Denselben Werth aber haben wir für den Kadius Fm (§ 17GJ
erhalten und es wird daher

FK = Fm

2FK = 2Fm = Fn + Fm ^ FN + FM.

§ 178. Lemma 26. (Fig. 21.) Wird aUea wie m dm
beiden vorigen Säixen emgenommen, so verhaUen sich die Flädten
der Seetoren NQMF tmd nQmF wie die Quadraiwurxeln am
dm Hcdhparametern der Eüipsen AB und Qb.

Beweis. Wenn nämlich die Ordiuaten NM auf dem Durch-
messer QD senkrecht ständen, so würde die Fläche des Seg-
mentes N2I(J im umgekehrten Verhältniss des Sinus der
Neigung Q 6riV" grösser sein. Wenn sie daher nach n/t/ über-
tragen zur Axe Qb senkrecht stehen, so wird das Segment
nQm unter allen Umstünden in diesem Verhältniss grösser
sein müssen. Da aber die Abscissen QK grösser sind, als
die Abscissen (J 6', so ist das Segment nQm ebenfalls in diesem
Verhältniss grösser, d. k es ist

_ NQM' QE
^^'^^ üvlQQE'QG'

Kon ist durch Trigonometrie

QE 1 1

QQfmQGE smQEG sin TQF
[108] und daher das Segment

NQ3I

nQm =

mnTQF

Nun ist aber (§ 173)

smTQF^ ^

und daher

nQm^ NQM

1 / a:^ —

y

n Qm : NQM = Vax ^x^zVaf^p,

Da femer die Dreiecke nFm und NFM gleiche Gnindlinien
nm und NM haben, so yerhalten sich die Flächen derselben
wie die ans dem Brennpmikt oder dem gemeinsamen Scheitel F

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90

J. H.Lttiiib«rt

ft«f sie geflUlten Lote und daher wie 1 mun Simu dei Winkels
NEF^ TQK Äho hat man ebeii&IU:

und ebeoäo die ganzen Sectoren

n Q mF : NQMF = Vax — : Vaf — /** .
Die Halbparameter der beiden Ellipsen sind aber

a

2{az — z*)

a

also

Beetoren nQmF: NQMF « "[/""^ : ^YSiVs,

was zn beweisen war.

[109] § 179. Zusatz. Es wird daher

nQmF NQMF

V8

Vs

§ 180. Lemma 27. (Fig. 22.) Beschreibt man um die
grosse Axe einer Ellipse A B einen Halbkreis y haUnrt eine be-

Fig. 22.

liebige Sehne NM dermlhen in Gy zieht aus dem Centmm C
(He Gerade OGQ^ verbindet Q mit dem Brennpi^tJäe F durek
die Gfrci/Je Qc und %ieht endlich die Gerade Co parallel xwr
Sehne NM oder zur Tangenie TQy so güt folgender Sai»: Wem

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AbhaüdluiLgeii zur Bahnbestimmuiig der Comeieu. I, 4. 01

durch die Punkte JV, Q, M die Normalen Nn, Qq^ Mm zur
gössen Axe gcßl/t werden und man verbindet die Punkte m
und r/, C durch Gerade, so %üird der Bogm nm in q haänri
und der Ffeü qg QE,

Beweis: Nach der Nater der Ellipse stehen nftmfioh die
Ordinaten Pm und PM in dem YerbftlfBiss der grossen zur
kleinen Axe mid es sehneiden sieh daber die Sebneh mn mA

MN verlängert in dem Punkte R der grossen Axe. Da mm
NQ = GM, so folgt ng = gm. Weiter ist CQ'. QO = Cq : qg.
Da ferner NM und Cc parallel sind^, so wird CQ\ QG = Qc: QE
und daher

Gqxqg = QciQE.

Es ist aber (§ 173]

Cq = AC z= Qcy

mithin :

qg = QE.

[110] § 181. Znsatz. Da. Qc die grosse Halbaxe der
zweiten Ellipse Qh (Fig. 21) ist und der Halbaxe ÄC gleich
ist, so erhellt (Fig. 22), dass der Pfeil QE gleich ist dem
sinus versus des Kreisbogens nq. Es sind daher nicht nur
die Sehnen der Ellipsen NM imä n m (Fig. 22) einander gleich,
sondern anch ^e Sehnen der Kreisbogen, die zu ihnen ge-
hören.

§ 182. Anmerkiing. (Fig. 22.) Um dies noch klarer
auseinanderzusetzen, stellen wir uns yor, dass die Ellipse

AN MB die orthogi'apliiscbe Projection des Kreises AnmB sei,
der gegen dieselbe geneigt ist und deasen Ebene mit der
Ebene der Ellipse sieb in der Knotenlinie AB schneiden und
der Cosinus des Neigungswinkel.^ L^Ieicb PM: Pm ist. Es wird
dann die Sehne NM die Projection <itr Kreissebue nm. und
ebenso wird die elliptische Sehne hEjii iFig. 21; die Projection
der Sehne desjenigen Kreises, dessen Darchmesser und Schnitt-
linie die grosse Axe Qb ist und dessen Neigungswinkel durah
seinen Cosinns = eyiQc bestimmt ist Also sind naeh dem
vorigen ZosatB nieht nur die KzeissehBen gleich^ sondern aneh
die elliptischen, die die Projectionen von jenen sind.

§ 183. Lehrsatz 15\ (Fig. 21.) Wird edles me im Lemma 24
f§ 173) angemmmen^ so können beide Ellipsen Qm h und A(jB
Comcünbahiiefi sein imd beide werden in derselben Zeit durch-
kmfen*

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92

J. fi. Lftll!b0Ft>

[III] Beweis: Es ist nämlich beiden Ellipsen der Brenn-
punkt F gemeinsam, in welchem nach Gesetz 3 f§ 681 das
Centrum der Sonne sein wird, welches nothwendig mit dem
Brennpunkte des Kegelschnittes zusammenfallen muss, in dem
sich ein Comet bewegt. Weil ferner nach Lemma 24 die beiden
Axen AB und Qb gleich sind, so mass nach § 71 auch die
ümlautszeit dieselbe sein.

§ 184. Lehrsatz 16. (Fig. 21.) ünt&- demdhen Voraus-
se^vmgm wie zuvor werden die Bogm nQm und NQM in
derselben Zeü dtvrehlmfen. ,

Beweis: Nach Gesetz 4 (§ 69] verhalten sich die Zeiten
wie die Flächen, welche der ^tdlnsrector überstreicht, dividirt
dnreh die Quadratwurzeln ans den Halbparametern; also verhftlt
sich die Zeit, in welcher der Bogen NM dnrchlanfen wird zur
Zeit, in welcher nQm dnrchlanfen wird wie

Vs vs

Da nun nach § 179

NQMF ^ nQmF
Vi ' ' Vs '

so folgt nothwendig die Gleichheit der Zeiten.

§ 185. Aufgabe 37. (Fig. 21.) Wenn ein Coniet in einer
eUipUschm Bahn einen helirUgm Bogm NQM durchläuft y so
soll man die unendlich vielen onderen Ellipsen angehen^ in
weichen er in der itäiJilicJien Zeit Bogen durdüaufen würde^
taeldie dieselbe Sehne NM haben und bei weHdim die Summe
der ämseren BaMemeeioren gleiiä^ der Summe der äusseren
Badien/veetoren FN + FM ist

[112] Erste Lösung. Man halbire die Sehne NJlf in G
und ziehe vom Centruni 0 die Gernde C(t()\ dann w'wil jede
Ellipse, die mit der gegebeneu isochron ist oder mit ihr gleiche
Umlaufszeit hat, der Aufgabe geniigen, wenn man sie so legt,
dass sie dnrch den Pnnkt Q geht nnd ihr Brennpunkt mit dem
Brennpunkte der gegebenen Ellipse zusammenfällt.

Zweite Lösung. (Fig. 22.) Man betrachte die £Uipse
AQB als die orthographische Projection des Kreises AqB^
dann wird Sehne NM die Projection der Sehne nm sein.
Dann verschiebe man den Bogen nm nach Belieben auf dem
Kreise AqB und suche durch Aendernng der Neigung die

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Abhandlungen zur Babnbe&timmung der Cometen. 1, 4. 93

projicirte Sehne, welche der gegebenen NM gleich ist. Da-
durch erhält man zwei Punkte der zn eonstmirenden Ellipse
und überdies die beiden Seheitel Ä und B. Die eonstrnirte
Ellipse hat man dann so zu legen, dass ihr Brennpunkt mit
dem Brennpunkte F zusammenfällt.

§ 186. Anmerkung. Xchmeu wir der Kürze halber an,
um sei die verschobene Sehne selbst, dann fällen wir nN
und mM zur Axe normal und verlängern die Sehne nm bis
wo sie die Axo schneidet. 2s im suche man zn nut^ Um und der
gegebenen Sehne die vierte Proportionale [n m : Rm — XAf: x).
Mit dieser schneide man aus Jl in M ein, dann werden N
und 31 jene zwei gesuchten Punkte der Ellipse AN MB sein
und der Bogen NM wird der Aufgabe genügen.

§ 187. Deflnition 4, Unier dem ^elliptischen FaU des
Gameten gcgm die Sonne* verstehen wir dessen Bewegung in
einer Elli})se^ deren kleine Jjgße oder HaXbparameter gleieh NuU
[113] i^t odsr deren Scheitel mit dem Brennpunkte im Centrum
der So}uu zusammenfällt.

§ 188. Zusatz 1. Weil die grosse Axe der Ellipse endlich
ist, so ist vom elliptischen Fall der Anfang gegeben und der
Comet, der auf diese Weise in die Sonne fällt, beginnt seine
Bewegung vom Zustande der Buhe aus und durchmisst dann
die ganze grosse Axe.

§ 189. Zusatz 2. Weil femer die Umlaufszeit eines in
einer Ellipse wandelnden Cometen nur von der Länge seiner
grossen Axe abhängt (§ 71], so erhellt, dass wenn diese ge-
geben ist, damit zugleich die Zeit bekannt ist, in welcher der

Comet vom Zustande der Kuhe ausgehend in die Sonne fällt.

§ 190. Aüi'^al^e 38. Gegehcn ist die Etitfrrvuf/g von der
Sninie i/i dein Mi/ment ^ ivo der Comet sich in lüdie he/htdet'^
man soll die Zeit finden^ in welcher er x/ur Sonne gelangt.

Ldsung: Es sei D jene Distanz; dann wird dies die Länge
der grossen Axe einer Ellipse sein, deren ümlaufszeit doppelt
so gross ist als die gesuchte Zeit. Da nun die Umlaufszeit
nach § 71 gleieh

ist, so wird die Zeit des elliptischen Faliea in die Sonne gleich

^ — —
~ m *

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94

J. H. Lambert.

ril4] § nu. Zusatz. Da die Zeit des paraboiidcheii
Calles nacli g 103 gleich

1 Jj'-

ist, 80 verhält sich die parabolis^ zur el^tiscben Zeit m

4 an Stt oder nidie wie 14 an 33 oder 73 zu 172.
«

§ 192. Anmerkmig. Wenn wir für D die mittleren
Distanzen der Planeten annehmen, so wird die Zeit ihres
elliptischen Falles in die Sonne:

t> 1802.60 Tage
2|. 764.38 »
121.42 »
5 64.57 »

Q 39.70 »

g 15.55 »

§ 193. Aufgabe 39. (Fig. 12.) ^fan enmttle rlir Gf-
sckwvndigkeU eines in emer Eüipse sich bewegenden Cunieten.

Loaung: Es aei AM Qm cliipüdclier Bogen, A der Selieitel,

AF = f seine Distanz vom
Brennpunkte oder vom Cen-
trum der Sonne: die grosse
Axe sei a, die Strecke
FM = X , der Bogen MS
nnendlich klein^ MP ein
um die Sonne concentrischer
Kreisbogen. Die Zeit, in
welcher MN durchlaufen
wird, sei T nnd die, in
welcher MP dnrchlanfen
j,. ^2 [115] wird, sei t Da der

' Halbparameter der Ellipse

a

ist, so wird nach Gesetz 4 (§ 69}

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Abbandluügeu zur Bahnbestimmang der Comt ten. I, 4. ' 06

3fFK Vä

mV2af-^2f'

MFP

Kennen wir die Qeschwmdigkeiteu in MN s= C und in MF =
so wird

MF

und daher

MFN'Vä ' MFF

oder

Es ist aber

also nach dnrchgefDhrter Snbstitntion:

Nun ist nach § 7ö die Gesehwiadigkeit aut' dem Kreise:

also wird

O »

Va

9i

Dies ist die Strecke, welche in der Kichtuiig der Tangente
in einem mittleren Sonnentage dnrchlanfen wird.

§ 194. Znflatc. Da die eben ermittelte Formel nur die
grosse Aze nnd die Distanz FM enthält, so ist kiar^ dasa die
[116] Gesehwiadigkeit Ton der Lage des Brennpunktes in der
grossen Axe nnabhfogig ist.

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96 J- H. Lambert.

§ 195. Lehrsatz Iß**. Wenn die UmJaufszeiten zivcicr oder
melu erer in Ellipsen wandelnder Comeien gleich sind^ so int die Ger-
scliwiiidigkeit derseWen in derselben Distanz von der Sonne gleich.

Beweis: Wenn nämlich die Umlaufszeiten gleich sind, so
sind auch die grossen Axen gleich (§ 71); da nun die Ge-
schwindigkeit in der elliptischen Bewegang allgemein gleich

ist, nnd die grossen Axen und die Distanzen bei allen die-
selben sind, 80 sind es auch die Geschwindigkeiten.

§ 196. Lehrsate 17. (Fig. 23.) Wmn ein in ein^ Mipse
iDanddnder Comet den beliebigen Bogen NM dureMäufl und

man haUnrt die Sehne
NM in ö, xidit ans
dem Centrum G den
Halhmcmcr CGQ n^td
aus dem Brennjjiuücte
F eine der grossen Axe
AB gleiciie Gerade Fb;
macht ferner auf dieser
letzteren Ff/ = |;FiV

Fig. 23. + ^^^) 9^^ = !/

= GNj so wird, wenn

der Coniet im Punkte b von der Buhe ausgehend gegen die Sonne

ßUtj die Zeitj in iveMter er den Abschnitt m n durehmisstj gleich

der Zeit, in ujelcher er den Bogen NM mrüddegt,

*

Beweis: Die Gerade Fb kann als eine Ellipse betrachtet
werden, deren Scheitel mit dem Brennpunkte in F znsammen-
[117] fiült; wegen Fb = ÄB wird die Zeit, in welcher er
dieselbe durchläuft, gleich der ümlanfszeit der Ellipse AQB
(§ 71). Femer ist die Summe der Radlenvectoren Fn-{-Fm
=5 FN + FM und die durchlaufene Sehne nm = NM; nach
Aufgabe 37 (§ 185) werden also beide Sehnen in derselben
Zeit durchlaufen.

§ 197. Znsatz. Es kann daher die Zeit, in welcher ein
beliebiger elliptisclier Bogen durchlaufen wird, durch den
»elliptischen Fall des Gometen in die Sonne« bestimmt werden.

§ 198. DeflBition 5, Die Scaia der eUipüsdim Geschwindig''
keiten ist eine geradlimge Theüung, aufwdcher für jede beUebige

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Abbandlimgen zur BabnbestimmuDg der Cometen. I, 4. 97

IHstanA, LOH der Sonni' dir Gpsohvnndighrit eims in eUiptisdv&r
Bahn sich bewegenden Cometen eninotnmen iverdni kann.

§ 199. Znsatz. Da die elliptische Geschwindigkeit von
der grossen Axe abhängt, so ist die Folge, dass die Scaia
dieselbe bleibt, wenn die grosse Axe festgehalten wird; ftlr
jede andere grosse Axe aber muss die Scala geändert werden.

§ 200. Lehrsatz 18. (Fig. 13.) Bexch-htut F das Centrum
der Somif^ in welches der Comet vom Zustand der Ruhe in A
auagehend ßUt und tuird xu jedem beliebigen Punkte M die Zeit
hinxugeechridfen^ wdcke der öomet enlkoeder von Ä naxh M
oder von M nach F brauehty so stdH die auf diese Weise geikeiUe
Gerade AFdie Scala der Oesehmndigkeiten dar fu/r aUe EUipsen^
deren grosse Axe ghieh AF ist,

[118] Beweis: Es wird nftmlieh dadurch die Zeit gegeben,
in welcher die kleine Strecke Mm dnrehfallen wird. Theilt
man aber diese Strecke durch die Zeit, so hat man die Ge-
schwindigkeit in M. Da jede grosse Axe eine andere Scala
der Geschwindigkeiten erfordert ;i? 199) und da die Gerade AF
eine Ellipse vorstellt, deren Brennpunkt und Scheitel i*' und
deren grosse Axe AF ist 197), so kann die Scala nur für
Ellipsen dienen, deren grosse Axe = AF ist.

§ 201. Lehrsatz 19. (Fig. 24.) Sei A das Cmtrnm der
Sonns lind der Comet falle von der Riüie in B ousyrjtend
nach A\ man heschrihe frrncr über AB als Durchmesser einen
Halbkreis^ nehmr dir helvJji'ic Absrisse AP, die zugehörige Ordi-
ncite PM und xiehc AM, dann ver-
heilt sich die Zeit des ganxen Falles
dnrrh BA zur Zeit des Falles durch
BPy wie die Fläche des Halbkreises
AMB km Fläche des Segmentes
AMB.

Erster Beweis: Die Gerade
AB ist nämlich eine Ellipse ohne
Breite nnd die Flächen, welche der Badinsvector überstreicht
und welchen nach dem bekanntesten Satz der Astronomie die
Zeiten gleich sind, werden daher bequemer nnd wohl noth-
wendig dareh die Flächen des Halbkreises Uber AB ersetzt.
Es ist aber der Brennpunkt in A nnd AM tritt an Stelle des
RadinsTcctors; die Zeiten werden sich daher verhalten wie die
Flachen, die er tiberstreicht. Daher verhält sich die Zeit des
ganzen Falles zur Zeit des Falles durch BP, wie die Fläche
des Halbkreises zur Flüche des Sectors MAß.

Ostwald's Klassiker, l'i'i. 7

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98

J. H. Lambert

ril9j Zweiter Beweis: Ks sei AB = AP=i,
Pj) = — dz, uuti die Zeil, in der Fp dmchfallen wird, dr;

dz

dann ist die Geschwindigkeit in P gleich — - - • Wir sahen aber,
dass diese ist: [§ 193)

«in»

dz 2V2mVax — -J

-1 zVa
.9 oder

— oder

— c

2y2mdT %d%

21 2 m r xdx

^ 2 V2m ___ r

Es ist aber — === gleich dem Elementar-
sector ^mif nnd daher

2 MAB 2n 'MAB

* mVZa V2a

§ 202. Anmerkung 1. Diese Formel giebt
die Zeit in mittleren Sonnentagen : dieselbe hängt,
wie man sieht , von der Länge der grossen
Axe .kB ab. Wenn man aber allgemein ilic
Umlaufszeit einer Ellipse in lOU gleiche Theile
theilt und tlit ^loäse Axo in 10000, so kauu
man eine Tatei des elliptischen i alles berechnen,
isiehe Tafel II am Schlnss), deren Gebrauch all-
gemeiner ist. Diese Tnf»'1 kMTin man nach Lehr-
[120] satz IS 1^0(1 auch benutzen, um Scaleu
elliptischer Geschwindigkeiten zu construiren. Eine
solche stellt Fig. 25 vor. Die eingeschriebenen
Zahlen sind die Zeiten, in welchen der Gomet
im elliptischen Falle von einem beliebigen ge-
gebenen Orte aus in die Sonne gelangt, wenn

I der Fall in B seinen Anfang nimmt und die ganze

Zeit in 50 gleiche Theile getheilt wird.

§ 203. Anmerkung 2. [Fig. 23 Seite 96.) Wenn die Gerade
Fh s=t AB (§ 196] auf diese Weise getheilt wird, dann wird

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AbhandluDgen zxa BuünbeatimmoBg der Comcten. I, 4. 99

die Differenz der den Punkten n "und m boigescliriebetten Zeiten
die Zeit sein^ in welcher die Strecke und daher auch der
Bogen NM durchlaufen wird. Der Gebrauch der elliptiBchen
ScaJa ist also derselbe -wie der der parabolischen, den wir
oben auseinandersetzten. Sobald die grosse Axe gegeben ist,
ist auch die Scala der Geschwindigkeiten gegeben und es
genügt dann die Länge der Sehne des durchlaufenen Bogens
und die Summe der äusseren lladienvectoren FX-^-FM^ um
die Zeit zu bestimmen.

§ 2U4. Aufgabe 40, (Fig. 21, Seite 86.) Oegeben ist dir
Länge der grossen Axe, dk Lage des Brennpunktes und die Lage
der beiden Funkte N und M; mm soll die JSUipse eonsirmren,

Lösung: Man ziehe die beiden Radienvectoren FM und
FN von der grossen Axe ab, dann sind die Differenzen oder

Reste nach der Natur der Ellipse gleich den Abständen der

I'üiikte 31 und X vom anderen Brennpunkte f] da die Punkte
aber ilirer Lage uach gegeben sind, so kann auch der Brenn-
punkt f ohne Schwierigkeit gefunden werden. Dann wird die
[121] Gerade Ff in (/ halbirt und die halbe Tj-iiii^e der Ki'Oäseu
Axe von (' aus nacli .1 und B abgetragen: dann ist AB
Lage und Länge der grossen Axe. Die übrige Construction
kann dann sehr leicht erledigt werden.

§ 205. Anmerkung» Es ist klar, dass die Bestimmung
von f zweideutig ist, dass daher anderweitig festgesetzt werden
muss, welche von beiden zu wählen ist.

§ 206. Lehrsatz 20. (Fig. 15.) Wenn ein (o)nct, dcsaen
1 '/nluufszeit bekannt isty von der Erde ans in beiden Knoten
beobachtet icird^ so ist hierdurch die Lage und Lü)ige der
Knotenlinic und die Lage .der grossen Axe und überliaupt die
ganze Bahn bestimmt^ tmr die Neigung der Bahnebene bleibt
unbestmmt.

Beweis: Sei NAN' ein Theil der Ellipse, F ihr Brenn-
punkt oder das Centrnm der Sonne, EE' die Bahn der Erde

und zugleich ihre Oerter zur Zeit der beiden Beobachtungen.
Die Lagen der Geraden EX und E'y' sind durcli die ^eo-
cen tri sehen Längen gegeben und NFN' ist die Knotenlinie.
Da nun die Umlaufszeit und damit die g-rosse Axe ?esrehen
ist, so kann die Scala der Geschwindigkcitt;u construirt wt* rdeu.
Auf dieser zäl^e man von der Sonne aus die Zeit ab, die
Z¥risohen der ersten und zweiten Beobachtung liegt und nehme
die entsprechende Distanz, so wird dies die Länge NN' der

7*

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100

J. H. Lumbert

Knotenlinie sein. Da iliese nothwendig durch F ^eht und
zwischen die Geraden NE und X'E' fallen muss, so kann
sie nun irezogen wiM-den. Es sind jüso jetzt die beiden Punkte
[122] N und N' uud der Brennpunkt F gegeben, so dass die
Constraction der Bahn nach Aufgabe 40 (§ 204) aas^efühn
werden kann. Da die Punkte N und N' in der Ebene der
Ekliptik liegen, so kann die Neigong der Bahn ans diesea
Angaben allein nicht gefanden werden.

Fig. 16.

§ 207. AnDierkuilfT. Es ist nooli zu bemerken, dass
Lösung achtfach ist. Es kann iifinilich zunächst die Strecke,
NN' auf vierfache Weise zwischen die Geraden NE und N'f^
gelegt werden, so dass sie durch F hindurchgeht. Sodann i
lässt jede Lage der Geraden NN' noch eine zweifache Lagt
der Bahn zn (§ 205), woraus also eine achtfache Lösnof
resnltirt. Es ist jedoch nicht schwer, sie auf eine zweifadil
zarflckzuftthren. Wenn nämlich auch die Strecke NN' aiJ
vierfache Weise gelegt werden kann, so geht sie doch nur ^
zwei Fällen selbst durch wie es sein muss, weil das OentrDai|
der Sonne nothwendig zwischen den beiden Knoten iV und 'S*
liegt, lü den beiden übrigen Fällen fällt F ausserliaib dif
Knoten und diese sind daher auszuschliessen. Sodann maciit

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Abhandlangen zur BahnbestimmnBg der Cometen. 1, 4. 101

die doppelte Lage der Bahn ^§ 205; hier keinerlei Schwierigkeit,
weil ja mit Zuhilfenahme einer dritten Beobachtung die rich-
tige Lage der Baku zugleich mit dem ^eigungs» winke! be-
stimmt wird.

§ 208. Lehrsatz 21. Wenn die ündaiifsxeit eines Cometen
bekannt ist und ausserdem drei geoeentrisdie Oerter mit den
Beohaehiungsxeiten^ so kann dadurch die Grösse und Lage der
Bahn bestimmt werden,

[123] Bewei^i: Durch die Umlaufszeit ist nämlich die
grosse Axe mul damit die 8cala der Gesohwindi|K:keiten src-
geben (§ 71, 200 ft'.'. Da der Gebrauch derselht n genau der-
selbe ist, wie der der parabolischen Scala, so kann die Con-
struction der fiahn ebenso absol^irt werden, wie bei der
Parabel, die wir in der zweiten Lösung der Aufgabe 31 (§ 155)
gegeben haben. Es wird nämlich zuerst der wahre Ort zweier
Cometenpositionen bestimmt und dann mit Hülfe der dritten
Beobachtung die Bahn nach Aufgabe 40 (§ 204) constmirt.

§ 209. Anmerkung. Ich überriehe nicht, dass die Umlaut's-
zeit, welche in diesem Satze als gegeben angenommen w urde,
eigentlich fehlen koimte, da doch drei geocentrische Cometen-
r>rter genügen müssen. Damit es nun nicht scheine, als ob
ich ohne Grund die Zahl der Daten vermehrt hätte, will ich
folgendes bemerken. Zunächst steht fest, dass es eine allge-
meine Eigenschaft der Cometenbahnen ist, dass der Bogen,
welcher während der Sichtbarkeitsdauer durchlaufen wird, nur
ein kleiner Theil der ganzen Ellipse ist. Daher kann man
von den secbs Bahnelementen (§ 141, 142) die grosse Axe
ans sich so nahe liegenden Oertern nicht mit Sicherheit ableiten,
da auch der kleinste kaum vermeidliche Beobachtungsfehler
einen sehr merklichen Unterschied erzeugen würde. Man muss
hier auch der Aberration des Lichtes gedenken, welche die
Beobachtungen melir oder weniger unsicher macliL und dereu
Effect man nicht berücksichtigen kann, wenn die Cometenbahn
^124^ nicht schon nahe bekannt ist. Wenn aber die Bahn
richou nahe bekannt ist, so trifft es sich zuweilen, dass ans
den übrigen Bahnelementen erkannt wird, dass der Comet
bereits in früheren Zeiten beobachtet worden ist, und daraus
kann dann die Umlaufszeit geschlossen werden, zumal wenn
er schon mehrere Maie beobachtet worden ist. Ist aber die
Umlaufszeit gegeben, so wird dadurch die Bahnbestimmung in
allen Fällen sehr erleichtert, weil man nun die Scala der

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102

J. H. Lftnibert.

Geschwindigkeiten gebrauchen oder sich eine Tafel des ellip-
tiachen Falles berechnen kann, wenn man die Sache g-enauer
durch Rechnnnor erledigen will. Ist die Umlaiilszeit s^efundtii.
so hat man noch dasselbe zu beachten, was wir schon bei der
Parabel angemerkt haben i< 170, 171).

§ 210. Aufgabe 41. (Fig. 23.) Ea die grosse Jxe AB,
die Summe der BaMmvectorm FN+ FM und die Sehm MS
tjcfjehcn: mm soU die Zeit finden^ in weUsker der Bogen NM
durchlaufen vnrd.

Lösung: Ist alles wie in Lehrsatz 17 (§ 196], so wird
der Comet, von h nach F fallend den Abschnitt 7nn in der-
selben Zeit zurückle};ren , in weicher der Bogen NQM durch-
laufen wird, und es ist:

[125] Wird gesetzt:

Fh = AB = a
Fm = X.
Fn=^

und sind t und x die Zeiten, in welchen Fni und Fn durch-
fallen werden, so dass t — z = T die gesuchte Zeit ist, m
hat mau (§ 201):

2\2mt p xd%
V'ä ^ Vax —
2V2mT_ r CdC

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Abhandlnngen zur BahnbeBtimmniig der Cometen. 1, 4. 103

JBntwickelt man in Reihen uud integriit, so kommt:

» * '.^

und daher

[186] § 211. Zusatz 1. Wenn die grosse Axe tinendlieh

gross ist, die Ellipse also in eine Parabel übergeht, dann erhält
man kurz

wie schon Mher bei der dritten Lösung der Aufgabe 15 (§ 83).

§ 212. Znsatz 2. Es ist jetzt auch ersirhtliclu was man
der Zeit, die nach der H3^pothese der Parabel berechnet ist,
hinzufttgen luuss, um die Zeit zu erhalten, in welcher der
elliptische Bogen durchlaufen wird. Der erste Term der er-
haltenen Reihe ist niimlicli von der Axe der Elüpse unabhängig
nnd dient, allein gebraucht, für die Parabel.

§ 213. Zusatz 3. Ist FB die Axe der Hyperbel, so wird
die Zeit des hyperbolischen Falles der Cometen yon m naeh
F nach § 210

2y2r 2^a^2-4^a* 2.4.6^a*^ /

Hieraus kann leicht die Scala der hyperbolischen Geschwindig-
keiten construirt werden, ähnlich wie bei der Ellipse und
Parabel.

[127] § 214. Lehrsatz 22. (Fig. 26.) 117/7/ um die
grosse Axe der Ellipse AB der Halbkreie AqB geschlagen ^ die
Sehne NM parcdlel xur Axe AB gezogen^ tmd die OnUnaten
PNn^ RMm errichtet, so werden ^ wenn für die Eü^se die
Sonne im Bren/i^nkte Fy für den Kreis aber im Centrum C sich
befindetj die Bogen NQM wnd nqm in derselben Zeit ämehkmfen.

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104

J. H. Lambert.

Beweis: ErricLtet mau im Ceutrum C die Normale COr
so halbirt diese die beiden Sehnen XM und tnfi] zieht mitii
daher i^Q, ao wird QE = qg (§ 180} und die nach den An-
gaben von Lemma 24 (§ 173) durch Q gelegte Ellipse geht id
diesem Falle wegen FQ — A C in einen Kreis vQu über,
der gleich ist dem Kreise AqB, Zieht man daher vEfi normil
za J^O, so wird der Bogen vQ^i in derselben Zeit dnreli-
lanfen wie der Bogen NQM (% 183). Wegen FQ = Cq
QE^qg ist aber der Bogen nqm gleich v()u nnd dit
Sehne nm gleich rni. Wenn man daher das Centrum de:
Sonne für den Kreis ÄqD nach C versetzt, so ^vird
Bogen nqm iu derselben Zeit durchlauien, wie der elliptisclir
Bogen NQM.

% 215. Znsatz 1. Wenn also die Zeit gegeben ist, in
welcher <Ur Comet von Ä nach N gelangt, so ist es nicht
schwierig die Zeit zu finden, in welcher er von A nach I
gelangt und umgekehrt. Es ist nämlich nur die Zeit zn 2^
diren oder zn snbtrahiren, in welcher der Kreisbogen
dnrchlanfen wird. Deren Berechnung aber ist sehr leicht
denn dieselbe verhält sieh zur Umlaufszeit des Cometen, irif
der Bogen nqm zur l\'ripLeric des ganzen Kreises AqB,

[128] § 216. Zusatz 2. (Fig. 26.) Da unser Theoicui
von der Lage des Brennpunktes F unabhängig ist. .so durch-

die Zeit gegeben ist, iu weicher er von B nach R fällt, sehr
leicht die Zeit ermittelt werden, in welcher er von B nach f
fällt, oder auch, wenn die Zeit g^eben ist. in welcher er von
P nach Ä gelangt, jene, die er von R nach A gebraucht

§ 217. Lekrsatz 23. (Fig. 21.) Wmn die grosse Ak
gegeben ist^ so kann die Bewegung eines Cometen über einen

Fig. 26.

läuft der Comet, wenn
das Centrum der Sonne
nach A versetzt wird,äo
dass AF=0 ist, vonf
nach A und wenn er mit
elliptischer Qeschwb-
digkeit sich bewegt, die
Strecke in dersel-
ben Zeit, iu welcher
der Kreisbogen nqni
durchlaufen wird. Und
so kann wieder, wenn

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AbhandlttngdB zur Bahnbestimmuiig der Gometen. 1, 4. 105

beliebigen Bogen NM ersetzt werden durch die Beivegii/ng in
ei?ier and^cm Ellipse nQm von gleicJier Umlaufsxeit^ und zwar
so, dass er in dieser letzteren in derselben Zeit die Bogen nQ
und mO durdiläufty welcJie auf beiden Seiten des Scheitels Q
gleich gross sind.

Beweis: Mau halbire die Sehne XM in nehme die

FN + FM

halbe Summe der Kadienvectoren , und constniire

das rechtwinklige Dreieck FEm^ so dass

Em = ^NM

wird. Kimmt man dann die Differenz zwisclu^n Fm und der
Axe -1 B und schneidet mit derselben von 7n aus auf EF in ip
ein, so ist damit der zweite Brennpunkt der gesuchten Kllipse
gefunden. Wird daher rpF in c halbirt und cQ = cb = AO
gemacht, so wird Qb die grosse Axe. Mit ihr und dem Brenn-
punkte F kann die Ellipse construirt werden und es ist dann
mQn der gesnchte Bogen (§ 183).

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m

J. H. Limbcrt.

i

Taiei I. Zur Berechnung des parabolischen falle«

iu die Sojmo. (§ 115.)

Zeit

Ulst. o

Zeit

Di8t. S

\f H flAJ

0^

A OTT 00

02750

6

28866

6

043f)6

12

29987

0

05721

18

31088

0

12

0

1.')

08042

33233

18

01)082

12

34279

21

10064

18

35311

1

0

1 inn9

6

0

11900

6

37326

6

1276B

12

38318

»

18()04

18

39294

1

a

12

V. 1 'i'x 1 O

7

0

15

15206

6

41211

15976

12

42153

21

16728

18

43085

2

()

/ 1 1 7Aii J_

U. 1 • 41)4:

8

0

U.44UUO

181 8-1

6

44919

6

I881jl

45822

9

19584

18

46712

12

9

0

15

2(M>35

6

48479

18

21595

12

49348

21

22244

mm mm mm m»

18

50211

3

0

10

0

3

23516

12

62753

6

24139

11

0

54415

9

24754

12

56052

3

12

0.25360

12

0

0.57665

15

25961

12

59256

18

26055

13

0

60826

21

27142

14

0

63906

4

0

0.27722

15

0

0.66914

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Abhandlnngen zur Bahnbestimmnng der Cometen. 1, 4. 107

Zeit.

Dist. 0

■ ■

Zeit

DistO

Zeit

*

DiBt 0

1 o

U.Ot^t» 1 Hb

iO

1 . J.JO. J

16

6U85G

46

41243

76

97394

17

72737

47

43282

77

1.99122

18

755B3

48

45307

78

2.00843

19

7Ö336

49

47318

79

02555

u. n n »o i

ou

wn
öU

-21

83741

. 51

51300

81

05960

86379

52

53272

• 82

07651

23

88977

53

55230

83

09336

24

91Ö38

54

57176

84

11014

U. . ''*UOO

OO

l.OtJl 1 1

ÖD

26

96555

56

61034

86

14350

27

0.99015

57

62945

87

16009

28

1.01442

58

64845

88

17661

29

03846

59

66735

89

19307

ou

31

08567

61

70482

91

22580

82

10890

62

72340

92

24208

33

13188

63

74188

93

25829

34

15463

•

64

76026

94

27445

1 17717

1.1* ODO

36

19948

66

79675

96

30660

37

22159

67

81485

97

32260

38

24351

(')8

83287

98

33853

39

26523

69

85080

99

35441

1 u

l.ODODO

IAA

41

30812

71

88639

42

32931

72

90106

43

35032

73

92165

44

37118

74

93916

45

1.39188

75

1.95659

Digitizea by LiOOgle

108 J* H. Lambert.

Tafel II. Zar Berechnnng des elliptischen Falles. (§ 202.

Zeit

Dist. 0

Zeit

Dist 0

0

0

17

7008

34

9355

1

1270

18

7209

35

9434

2

1984

19

7399

36

9508

3

2562

20

7580

37

9577

4

3062

21

7753

38

9642

5

3513

22

7918

39

9699

6

3921

23

8075

40

t 9751

7

4298

24

8226

41

9799

8

4647

25

8368

42

9842

9

4973

26

8503

43

9880

10

5279

27

8631

44

9912

11

5567

28

8753

45

9939

12

5840

29

SHG9

46

9961

13

6100

30

8978

47

9978

14

6343

31

9081

48

9990

15

6575

32

9178

49

9998

16

6797

33

9269

50

10000

17

t 7008

34

9355

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n.

BemerkuDgeQ
über die scheinbare Bahn der Cometen.

(Obsenrations sur l'orbite apparente dea Oom^tes,
Ifouveaux Mämoires de rAoadämie de Berlin Annee 1771.)

[d52] § 1. Die Astronomen haben bis jetzt mehr Gewieht
darauf gelegt, die wahren Bahnen der Gometen zn eimittehi^
als die Erseheinimgen zu bestimmen, welche man daraus für
ihre scheinbaren Bahnen ableiten kann. Man kann zwar, wenn
die wahre Bahn bekannt ist, daraus die scheinbare Bewegung
sehr leicht ableiten, ja sogar voranssagen, aber man macht
dies immer nur für bestimmte Fälle und eine allgemeine
Theorie ist daher nicht ausgebildet worden. Man begnügt
sich zu wissen, dass drei Beobachtungen zur Berechnung der
wahren Bahn nöthig sind, und man hat dafür mehrere Me-
thoden vorgeschlagen, welche alle schliesslich anf Versuche
und Annäherungen hinauslaufen. Das ist eine lange Arbeit
und daher verdient Alles Aufmerksamkeit, was sie abkürzen
kann. In dieser Absieht möclitc ich eine allgemeine Theorie
der öcheinbareu Bahnen vorschlagen und um nicht blos beim
Vorschlag zu bleiben, gebe ich hier eine Probe, aus der man
w ohl ersehen wird, dass es sich lohnt über diese Sache nach-
zudenken.

§ 2. Wenn die Erde und der Comet sich in geraden
Linien mit g-leichförmiger Geschwindigkeit bewegen würden,
so wäre die scheinbare Bahn des Cometen eine sehr einfache
und man brauchte keine Theorie ; denn er würde einen grdssten
Kreis der Sphäre beschreiben. Zwei Beobachtungen würden
genügen, um die Lage dieses grdssten Kreises zu bestimmen
und eine dritte wäre nöthig, um die Ungleichförmigkeit der
scheinbaren Geschwindigkeit zu ermitteln und damit die ganze

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110

scheinbare Bewegung des Cumeten. Aber so liegt die Sache
in Wirklichkeit nicht. Sehr selten liegen mehr als drei Punkte
^353^ der scheinbaren Bahn genau in einem grössteu Kreise;
also können ^\eder die Erde noch der Comet sich in gerader
Linie und mit gleichmässiger Geschwindigkeit bewegen.

§ 3. Wenn ein Comet sich genau in der Ebene der Ekliptik
bewegen witrde, so fände seine scheinbare Bewegung ebenfalls
in der Ekliptik, also in einem grössten Kreise statt. Aber
dieser Fail tritt nicht ein; wenigstens sind bis jetzt alle
Cometen ober- oder unterhalb der Eikliptik gesehen worden
oder sie haben dieselbe nnr in einem Punkte gesehnitten.
Man weiss sogar, dass die meisten Cometenbahnen sehr starke
Neigung haben. Wir kdnnen also auch von dem Falle ab-
sehen^ wo der Comet sieh in der Ebene der Erdbahn bewegt

§ 4. Wenu wir nun nach die scbeiiibare Bewegung der
Cometen in grussten Kreisen nicht zulassen können, so werden
uns diese doch von Nutzen sein, indem sie uns als Vergleichs-
mittel dienen. Betrachten wir die scheinbare Bahn eines
Cometen, nehmen darauf zwei Punkte und legen durch sie
einen grössten Kreis. Ich behaupte, wenn die xivkclienliegen-
dcn Punkte der scJieifüfaren Balm auf derselben Seite liegen^
wie die xiigeitörigen Oertcr der Sonne ^ dann ist der Comet
weiter von der Smine entfet-nt cUs die Erde und im e/iiigegen-
gesetsUeu Falle ist er näher,

§ 5. Da ich hier vorläufig dieses Theorem nmr anfahre,
um den Nutzen der scheinbaren Bahn erkennen zn lassen, so
habe ich die nüheren Bestimmungen nicht ausgesprochen.
Denn es ist nicht gleichgültig, wie die Punkte .4, Bj C ge-
nommen werden; im Gegentheil, es ist angemessen, eine Wahl
zu treffen. Abcur all* das wird sich besser durch die Analyse
zeigen, die mich auf dieses Theorem gefOhrt hat und die ich
jetzt auseinandersetzen will, zuerst im Allgemeinen und dann
im Besonderen.

§ 6. ^Fig. 27.) Sei S das Centrum der Sonne, MX ein
Theii der Cometenbahn, (J ein zwischenliegender Funkt, der
ungefähr in der Mitte liegt. Zieht man die Sehne MN und
die Kadienvectoren SM, SQ^ so behaupte ich erstens,

dass die Zeiten, die der Comet braucht, um die Bogen MQ
und QX zu durchlaufen, sehr nahe im Verhältniss der Stücke
Mq und q iV der Sehne MX stehen. Denn die Zeiten verhalten
sich wie die Flächen der Sectoren M6Q und SQN ond daher

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Abhandlungen zur Bahnbegtimmung der Cometen. 11. III

[354] nahe wie die Dreiecke S3fQ und S(}y. Da nun diese
Dreiecke die Grundlinie SQ gemeinsam haben, und ihre Höhen
sich wie Mq zu qN verhalten, so folgt, dass ihre Flächen sich
wie die Strecken Mq und qN ver-
halten, und folglich Terhalten sich
die Zeiten, die der Comet braucht,
um die Bogen MQ und QN zu
durchianfenj ebenfalls sehr^ nahe wie
diese Strecken 3{q und qN. Ich
bemerke noch, dass man beweisen
kann, dass es immer einen Punkt Q
giebt, für den dieser Satz streng
richtig ist. Aber im Allgemeinen
gentigt es, den Wiükel MSX hin-
länglich klein zu nehmen, um den
Unterschied unmerklich werden zu
lassen.

§ 7. Zweitens setzen wir vor-
aus, dass ftlr jede Cometenbahn die
Zeit, um den Bogen MN zu durch-
laufen dieselbe sei und d(.iss sie so
klein sei, dass der Winkel MSX
15 bis 20 Grad nicht tiberschreitet. W emi dann der Punkt Q
ungefähr in der Mitte des Bogens MN lie^rt. so dass der Pfeil
Qq wenig oder ,?ar nicht sich von seinem Maximum unter-
scheidet, so behaupte ich, dass (Jq sehr nahe umgekehrt pro-
portional dem Quadrat von SQ sein wird. Denn da die
Kxümmui^ des Bogens MQ eine Wirkung der Gravitation ist,
kann man den Pfeil Qq als Wirkung des Falles des Cometen
gegen die Bonne betrachten. Es wird also Qq^ wenigstens
genilhert, proportional dem Quadrat der Zeit und umgekehrt
proportional dem Quadrat der Distanz SQ sein. Nun Ist die
Zeit als constant oder gleich fflr alle Fälle vorausgesetzt ; also
ist Oq einfach und sehr nahe umgekehrt proportional dem
Quadrat von SQ. In Bezug hi! rauf bemerke ich nocli, «lass
es Punkte Q giebt, wo das Theorem streng gilt. Al)er da
man diese Punkte nicht immer :ui> wählen kann, halte ich au
dem »nahezu« fest, das um so mehr der Wahriieit nahe
kommen wird, je weniger spitz der Winkel MqS und je
kleiner der Winkel MSN ist.

§ 8. (Flg. 28.) Sei jetzt S das Oentrum der Sonne, ^0 die
Bahn der Erde, MN die Bahn des Cometen, so zwar dass

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112

J. H. Lambert.

der ( 'omet sich in den Punkten 3/, 0, befindet, wenn die Erde
in Ii, ist. Wir setzen die Zeitintervalle noch als nahezu
gleich voraus. Ziehen wir dann die Sehnen ^ C* und üfJNT und

s

Fig. 28.

[356J die Badienvectoren SB und SQ^ dann wird nach dem
zweiten Satz {§ 7) sehr nahe sein:

und dies giebt:

§ 9. Nach dem ersten Satze (§6} hat man ebenso sehr
nahe

da diese TIk ilr der Sehnen sich nahezu wie die Zwischen-
zeiten verhalten.

§ 10. Und daraus folgt nun, dass wir voraussetzen können,
dass die Erde, statt den Bogen ABC za dorchlanfen, die
Sehne AbC dnrchlänft und dass der Comet, statt den Bogen
MQN zu dnrchlanfen, die Sehne MqN durehlftnft, beide in
gleichförmiger Geschwindigkeit, da die Zeitintervalle, nahe
wenigstens, im Yerhältniss der Strecken Ab:bO nnd Mq : ^.V
stehen.

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Abhaüdluügeü zur l>almbestiiumu,iig der Cometen. iL 113

§ 11. In diesem Falle aber wird die scheinbare Balm des
Coraeteu ein gr »>ster Kreis der Sphäre; mid dieser grüsste
Kreis kann gezeichnet werden mit TTfllfe der in A und G
angestellten Beobachtungen. Diese beiden Punkte sind dem
Bogen ABC und der Sehne AbC gemeinsam. Es wird also
nur die in dem Zwiachenpnnkte B erhaltene Beobaehtung von
der Voraussetzung geradliniger Bahnen abweichen. Unter-
suchen wir, in welcher Weise.

§ 12. Offenbar sieht die Erde in B den Cometen in Q in
der Richtung der Geraden BQ, und unter der Yoraussetzong
geradliniger Bahnen wird die Erde in b den Cometen in q in
der Richtung der Geraden bq sehen. Wenn also die Geraden
BO und bq parallel zu einander sind, so wird der scheinbare
Ort des Cometen in dem einen wie in dem anderen Falle
derselbe sein. Im entgegengesetzten Falle werden sie sich
von einander unk i scheiden. Das wollen wir nun bestimmen.

§ 13. Zunächst sieht man, dass die Punkte b und <7, da
sie den Geraden SB bez. S(j angehören, in der Ebene des
[356] Dreieckes BS(J liegen, welches auch die Lage der
Cometenbahn sei. Nehmen wir also den Fall^ wo die Geraden
BQ und bq VI einander parallel sind, so werden wir haben:

Bb: Qq = SB: SQ.

Da aber nach dem zweiten Theorem (§ 7} allgemein

BbiQq = SQ*:8B*

ist, so folgt:

8B:SQ=: SQ^:8B^

oder

SQ = SB.

Also: die Geraden BQ und bq sind nur dann zu einander
parallel, wenn der Comet in Q eben so weit von der Sonne
entfernt ist wie di(^ Erde. Nur in diesem Falle auch kann
der grdsste Kreis, der durch die scheinbaren Oerter des Co-
meten zur Zeit der ersten und dritten Beobachtung hindurch-
gelegt wird, durch den scheinbaren Ort des Cometen zur Zeit
der zweiten Beobachtung hindurchgehen.

§ 14. Nehmen wir weiter an:

SQ>SB,

dann sieht man nach dem zweiten Satze (§ 7), dass mit noch
grösserem Rechte

Ostwald s Klassiker. 133. 8

<

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114

J. H. Lfttnberi.

Bh^ (Jq

sein wird. . Abo nähern sich die Geraden BQ und bq um
so mehr, je näher man an kommt, und dies noch um so
melir, als in diesem Falle die Gerade SQ gegen die Gerade
BQ geneigter ist als SB, Sie werden also einen Schnitt-
punkt R haben, welcher jenseits des Oometen in Q liegt.
Weiter folgt, dass der Winkel SbB grösser ist, als der Winkel
8BB. Und daraus ergiebt sich, dass der scheinbare Ort des
Gometen gesehen von der Erde in B weniger weit von der
Sonne entfernt scheint, als wenn man ihn vom Punkte b der
geradlinigen Bahn in der Richtung der Geraden bq sähe. Der
Winkel BEb ist das Maass der Differenz.

[357] § lö. Setzen wir allgemein

Bb. ^

0« =

SB"^
n

so wird:

EQ iEB^-.^ AinSQB: ^'^,mSBQ

Da aber
so folgt:

d. h.

^mSQBi&mSBQ =^ SBiSQ,

BQ:EB = ^SB:J^-,SQ

IiQ\llB = :SB^ : ^QK

§ 16. In dem Dreiecke BRb kennt man den Winkel SBB^
die Seite Bb und den Winkel BBb^ welcher die Differenz
ist, fOr die Zeit der zweiten Beobachtung, zwischen der schein-
baren Bahn und dem grdssten Kreise, der durch die schein-
baren Oerter des Oometen, gesehen von A und G aus, hin-
durch^ele^t wird. Das Dreieck BRb ist also nach Grösse,
GcÄtalt und liUi^e gegeben. Ihi inaii also die Gerade 7>ii',
den \Viiikel SBL' und die Gerade SB krimt, so ist di^ gauze
Frage darauf zuriickgelülut, auf der Geraden BB einen Punkt
Q so zu linden, dass

QR.BR^BS^iQS^

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Abliandlangeu zur Bahubestimmang der Cometen. IL 115

wird. Man sieht daraus, dass die geoceiitt-i^cJte DisUmSv des
Coinetm BQ bestimmt isty wenigstens insofern, als es unsere
nur genäficrt richtigen zwei Theoreme (§6, 7) zulassen. Man
sieht auch, dass diese Formeln allgemein sind, wie auch die
Distanz sei. Es muss aber doch ein Wort gesagt werden über
den Fall, wo diese Distanz kleiner ist als SB,

[358] § 17. Nehmen wir

SQ < SB,

80 wird der Paukt der im vorigen Falle jenseits des
Cometen lag, nun diesseits der Erde gegen A fallen. Denn
hier ist Q9 Bb und die Gerade ^SQ ist weniger gegen die
Gerade BQ geneigt als SB, Die Geraden BQ und bq ent-
fernen sich also bei der Annäherung an Qq von einander.
Daraus folgt, dass der Winkel SBQ grösser wird als der
Winkel Sbq und dass folglich der scheinbare Ort des Cometen,
gesehen in der Richtung BQ von der Sonne entfernter er-
scheinen wird, als wenn man ihn in der Bichtung 5 g im Falle
geradliniger Bahnen sähe.

§ 18. Diese Resultate können uns mm von den verschie-
deueu Wendepunkten Rechenschaft geben, die man in der
Curve der scheinbaren Bahn wahrnimmt. Das einfachste
^Mittel, diese zu erkennen, ist, diese Bahn [auf eine Ebene]
zu projiciren, indem man das Auge in den Mittelpunkt der
Erde versetzt. Denn alle grössten Kreise der Sphäre werden
dann durch gerade Linien repräsentirt und umgekehrt jede
Gerade repräsentirt einen ^rössten Kreis an der Sphäre. Die
scheinbare Bahn wird durch eine gekrümmte Linie dargestellt,
welche einen Wendepunkt gerade da haben wird, wo der
scheinbare Ort des Cometen einer heliocentrisohen Distanz
zugehört, die gleich der Entfernung der Erde von der Sonne
ist. Denn in allen Punkten, welche einer grösseren heliocen-
trisehen Distanz entsprechen, wendet die Gurre ihre convexe
Seite gegen den Punkt der Eklipilk, wo der entsprechende
Ort der Sonne ist; und fflr jede heliocentrische Distanz, die
kleiner ist, wenden sie ihre coneave Seite gegen die Sonne.
Das ist immer so, ausser wenn der Ort der Sonne in der
Tangente liegt, die im entsprechenden Cometcnort gezogen
wird; denn dann liat die Curve auch dort einen Wendepunkt,
weil die convexe Seite zur coneaven >vird. Zuletzt möchte
ich noch bemerken, dass diese Curven sehr genau gezeichnet
[359] werden müssen, weil häutig ihre Kiümmung sein* klein

8*

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116

J. H. Lambert.

ist, besonders wenn der Comet weiter von der Sonne entfernt
ist als die Erde und die Neigung seiner Bahn nicht gross ist.

§ 19. (Fig. 29.) Man kann sich auch der Rechnung be-
dienen und zwar wie folgt. Es seien ES die Ekliptik, j9, C
drei geocentrische Uerter des Cometen, projicirt auf die Ekliptik,
Aüj Bhj Cc die zugehörigen Breiten, S der Ort der Sonne,

Fig. 29.

der dem in b gesehenen Ort des Cometen entspricht. Man
ziehe durch ca einen grüssten Kreis der Sphäre, der die
Ekliptik in E schneide. Dann handelt es sich zuerst darum,
diesen Punkt zu finden und sodann den Winkel aEA. Nennen
wir zu dem Ende

Aa = a A E = e

Co — y AEa = (p
AC= l

dann wird sein

cotg cp = sin 8 cotg a = sin '/ + e) cotgy ,

also:

sin [l 4- £) : sin£ = tang;' : tanga ,

woraus :

tang(€ + J /) : tang 4^ A = sin(/ + a) : sin(/ — a)

4. ^ I 1 i\ sin(/ + «)tangp.

tang fc + J / = •

- sin [y — a)

Hieraus findet man den Bogen f -f- ^A, worauf der Bogen
6 = AE und folglich auch der Winkel (p durch

cotg (p = sin e cotg «

sich leicht ergeben.

g 20. Da die Punkte B und 5, ferner die Bogen BS
und Bb gegeben sind und der Winkel bBS ein Rechter ist,

' Google

Abhandlangen zur Bahnbestimmnng der Oometenu XL 117

ho tindet man den Winkel bSB und die Hypotenuse Sb durch
<lie Formeln

cot^bSB = cotgjS6 sin^^
cos 5 5 s cos Bb cos BS ,

360] § 21. Endlich kennt man im Dreieck EdS die
Seite ES und die Winkel dSE und dES und findet daher
die Seite 8d durch die Formeln:

ED — PS _ tan^i ESsmidSE — dES)
2 "■ Bm{dSE+dES)

cotg(i6' = CQsdSD cot^DS.

§ 22. Wenn man also findet, dass der Bogen Sd grösser
ist ih der Bogen Sb^ so wird man sclüiessen, dass der in b
gesehene Comet näher an der Sonne ist als die Erde. Dagegen
wird er entfernter sein, wenn mau iUm liogen Sd kleiner findet
als den Bogen Sb. Wir bemerken iiocli, dass die DitTerenz
beider Bogen, nämlich hd, das Maass für den Winkel BTih
der P^o:ur 28 ist. Man sieht also, wie dieser Winkel gefunden
werden kann.

§ 23. Da alle Folgerungen, welche wir eben ans unseren
2wei Sätzen gezogen haben, unter den »sehr nahe«, welche
wir zugelassen haben, zu leiden haben kannten, so müssen
wir darüber einige Bemerkungen machen. Die erste ist, dass,
wenn man den Bogen bd sehr klein findet, obwohl der Bogen
AC 15, 20 oder mehr Grad beträgt, man im Allgemeinen
schliessen wird, dass die heliocentrisclie Entfernung des Co-
nieten zur Zeit, ayo er sich in b beiindet, sehr nahe glelcii
iler heliocentris( Im II Entfernung der P^rde ist; aber man wird
nicht mit Sicherheit schliessen, ob sie ein wenicr grösser oder
kleiner ist. Das hängt in diesem Falle von der Wahl der
zwischenliegenden Beobachtung in b ab,

§ 24. Femer ist die Differenz bd, für ein gleiches Zeit-
Intervall, um so beträchtlicher, je näher der Comet an der
Sonne ist, weil dann seine Bahn eine grössere Krümmung
besitzt. Wenn der Comet näher an der Erde ist, so trägt

dies auch dazu bei, den Bogen bd oder den Winkel BBb
(Fig. 28) zu ver^russern, der in Hinsicht iiuf die beiden Punkte
i) und h eine Art parallaktischer Winkel ist. Es giebt jedoch
in dieser Hinsicht ein Maximwn, Denn man sieht leicht,

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118

J. H» LambOTt*

dass, wenn alle anderen Umstände dieselben bleiben, der
Winkel bRB gleieh Nnll wird, wenn entweder der Winkel

[361] BSQ gleich 0 oder gleich 180® wird. Nimmt man den
Winkel BBb als sehr klein an, so findet nianj dass er für
dieselben Distanzen SB und SQ ein Maxiiiiuiu wu'd, wenn

S O* — SB*

^"«^^'^ = Wsl-'

weil sich dann die Punkte B^ (J auf der Peripherie eines
Kreises befinden müssen, dessen Mittelpunkt auf der Geraden
SQ liegt, oder was auf dasselbe hinauskommt, weil die Punkte
B, B sich finf der Peripherie eine^i Kreises befinden, dessen
Mittelpunkt auf der Oeraden liegt, welche durch 7? geht und
parallel zu .S'(^ ist. Aber man sieht, dass diese Umstände
nicht ausgewählt werden können, weil man die Cometen
nehmen muss, wie sie sich zeigen.

§ 25. Wir machen noch einige Anmerkungen, wie man
die Wahl des Punktes Q treffen muss. Diese Wahl wäre sehr
leicht, wenn dieser Punkt das Perihel des Cometen wäre. Aber

dieser günstige Umstand
kommt nicht vor und kann
auch nicht im voraus er-
kannt werden. Sei also
(Fig. 30) das Centrura
der »Sonne, A das Perihel
der Cometenbahn, die ich
als parabolisch voraus-
setze. MN sei ein belie-
biger Bogen. Theilen wir
die Sehne in zwei

gleiche Tlicile MH und
GN und ziehen durch Cr
die Parallele G Q zur Axe.
Dann ist das Dreieck J/Cj »9
gleich dem Dreieck XQ S und das Segment MQ G gleich dem
Segment NQG^ also:

SMOGS = SGQNS.

Dann ziehe mau den Kadiusvector Sh so, dass das gemischt-
linige Dreieck QGg gleich wird dem Sector hSg und man
wird haben

SMkS=^ SNhS.

Fig. 30.

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AbbaudluDgen zur Bahubeätimmang der Cometeu. II. 119

Ist nun der Bogen MK iiiclit sehr gross, so wird Qg als
Gerade betraclitet werden düri'eu und mau bekommt:

SgiQg =^ Oy :yh
Qg ' Gg

gk =

[362] DaraiiB sieht man, dass gh eine sehr kleine Grdsse ist
und dass Oh sehr nahezu parallel m SQ sein wird.

§ 26. Es sei T die Zeit, welche der Oomet biauchlj um
den Bogen MN zu durchlaufen. Dumi habe ich in der Ab-
handlung: Insigniores orbitae cometarum proprietates, er-
schienen 1761, gezeigt, dass

V2QQ ^ 2

In dieser Formel ist die mittlere Distanz der Erde von der
Sonne gleich 1 gesetzt und

— = 116.2648
m

Es folgt also:

oder anch

Also ist

nnd

m = 0.008 601 059 .

7)1'

2{Sg-iQG]^
2SQ*

771'

!Nun ist
wenn man also

qQ>gG;

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120

J. H. Lamboit.

macht, so wird diese Formel noch genauer sein. Ich schliease
daraus, dass man iiu Allgemeinen gut thuu wird, drei Lk'ob-
achtungen zu wählen, welche um dasselbe Zeitintervall von
einander abstehen. Und dieses Intervall rausä noch so klein
sein, dass der Winkel ÄfSN20 Grade nicht tibersteigt. Ich lasse
noch einige Vorseliläge folgen, für die dieselbe Beschränkuug
[3631 srilt und deren mau sich bei Bestimmung einer Cometeu-
bahn bedienen kann.

§ 27. Nach dem, was ich oben (§ 19) sagte, sieht man
(Fig. 29), dass der Bogen arrjr des grössten Kreises derjenige
ist; den der Comet scheinbar durchlaufen wttrde, wenn sowohl
seine Bewegan^ wie die der Erde geradlinig nnd gleichl5rmig

wäre, nnd dass f&r die Momente der drei Beobaefatungen die
scheinbaren Oerter des Cometen a, ri, e sein wflrden. Es
bandelt sich also nur dämm, die Länge der Bogen ad nnd de
mittelst der Bogen EÄ^ EC und des Winkels ÄEa^ die nach

Fig. 29.

e

§ 19 bestimmt werden, zu er*
mittein. Sind aber die Bogen

ad und de gefunden, so kann

man s^ie mit den Intervallen der
Zeit zwischen den drei ]>eol)aeli-
tungen vergleichen, um das Ver-
hältniss der geocentrisehen Di-
stanzen des Cometen für die erste
nnd dritte J Beobachtung zu be-
kommen, und zwar folgender-
massen.

T

Flg. 31.

§ 28. Man mache (Fig. 31)
die Winkel aTd und dTc gleich
den Bogen ad und de von Fig. 29.
Nimmt man dann auf der Geraden
Ta einen beliebigen Punkt a an,

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Abhandlungen zur Bahnbestimmung der Cometen. IL 121

so handelt es sich darum, eine Gerade ae zu ziehen, dass sie
die Geraden T d und Tc so sehneidet, dass die Strecken ad und
de proportional den Zeitintervall eii zwischen den den Punkten
€i, V entsprechenden Beol)ai'htungen werden. Seien diese
Zeiteniutervalle t und r, ferner Winkel aTd = oj, dTo=^(p,
Macht mau == 1 und setzt Te = so hat mau:

also

und folglich

d. h.

sin CO : a d = sinat^jT: a T
sin 9) \de = madT: cT

9madT=^ - = — 3 — -

ad de

de sincü

cT = al — r

ad sinr/)

T sinw

X =

^ siu^

[3641 § 29. Hat mau das Yerhältniss zwischen f^T und cT
gefunden, so findet man leicht den Winkel Tac und dann dT
oder das Verhältniss dieser Geraden lm aT und cT. Dieses
Verhältnis^ wird nnr sehr wenisr von dem Verliältnisse der
geocentriscben Distanz des Oometen znr Zeit der zweiten
Beobachtung zu den beiden anderen geocentriscben Distanzen
abweichen. Man findet aber anch sehr nahe die mittlere <^eo-
centrische Distanz zur Zeit der zweiten Beobachtung mittelst
der Formel des § 16. Man sieht also, dass man auf diese
Weise die Versuche, die man zur Enuittelong der Bahn an-
zustellen hat, bedeutend abkürzen kann. Die ganze übrige
Rechnung kann man anf eine einfache snceessive Annähemng
zarück£ähren, indem man die Formel anwendet (Fig. 30)

^ ^ [SM+ SN+ MNf — {SM+ SN — . MNf

12m *

welche ich in dem oben (§ 26) citirten Werke gegeben habe
ond worin T die Zeit bedeutet, welche der Oomet braucht, nm
den Bogen MN zu durchlaufen. Der Buchstabe m hat die-
selbe Bedeutung wie in § 26. Diese Formel ist um so ein-
facher, als sie keiner anderen Daten bedarf, als der Sehne

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122 J. H. Lambert AMuttdlnngen z. BabnbeBtimm. d. Oometen. IL

MN und der Summe der beiden Radienyectoren iSfJf und SJN',
Sie gilt für parabolisehe Bahnen, man kann sie aber leicht

auch auf elliptische und hyperbolische Bahnen verallgemeinern.

Ich beschränke mich darauf dies hier anzudeuten und deu
Leser auf das Werk zu verweisen, woraus ich citire, und
welches ausserhalb Deutschlands nicht sehr bekannt geworden
zu sein scheint.

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^B^r

Anmerkimgeii.

I. Allgemeiues.

Leben nnd Schriften Joharni Heinrich Lamherfs (geb.
26. August 1728 zu Mttlhansen (Elaass), gest. 25. Sept. 1777
als Akademiker zu Berlin) sind bereits in den Anmerkungen
zu seinem dieser Sammlung einverleibten Hauptwerke, der
Photometrie (herausgegeben von E. Anding] ausführlich be-
sprochen worden, so dass es genügen wird, hier nur seiner
Thätigkeit auf dem Gebiete der Bahnbestimmung zu gedenken.
Ausser den beiden in diesem Heft mitgetheilten Abhandlungen
hat er noch folgende hierhergehörige veröffentlicht:

1) Von Beobachtung und Berechnung dar Cometeuj und
besonders des Cometen mn 17 GH. Beiträge zum Gebranche der
Mathematik, dritter Theil 1772 Seite 200—322 (Anwendnng
der constructiTen Methode).

2] Vm dm Cometm 1773 und 1774 , Berliner Astro-
nomisehes Jahrbneh für 1777 (Berlin 1775) Seite 127—137
(Anwendung der Erfimmungsmethode).

3) lieber die Bestimmu/ig der Laufbahn der Cometen^
Berliner Astrouomisehes Jahrbneh für 1779 (Berlin 1777)
Seite 166— -172 (Kritik älterer Methoden).

Diese enthalten grösstentheils Wiederhohingen nnd An-
wenduno^en, so dass es geniio^t, einige Auszüge aus ilineTi in
den folgenden Anmerknnoren zu geben. Die hier vollständig
mitgetheilten dagegen gehören wegen ihrer bedeutenden Ke-
snltate zu den klassischen Schriften der Bahnbestimmung und
zeichnen sich erfreulicherweise auch durch Knappheit des
Inhalts nnd abgerundete Form vortlieilhaft vor fast allen
anderen LamberfschGn Werken ans, die bekanntlich wegen
ihrer weitläufigen Darstellung dem modernen Leser starke Zu-
muthungen stellen.

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124

AnmerknDgen.

Die B«aliubestimmnug der Cometeu vor Lambert.*]

Die Geschichte des Prohlemes der Bahnbestimmung der
Cometen im heutigen Sinne beginnt erst mit Netoton^B Nach-
weis, dass anch diese Körper sieb in Kegelschnitten bewegen

müssen. Vorher hat Kepler versucht, die Bahneu der Cometen
unter der Yoraiissetzuug, dass sie sich auf gerader Linie mit
gleichmässiger Geschwindigkeit beweo^en, zu ernjitteln. ' Diese
iu^>/<^r\scbe Hypothese ist noch im 18. Jahrhundert bei vielen
Methoden zur Erlangung einer ersten Approximation benutzt
worden {Ca.'^siiti\ Bouguer^ Boscovirh, (rrpgori)^ sie musste aber,
wie zuerst Lambert (in der oben unter 3) citirteu Al)handlnngj
und dann Lagrange (Oeuvres IV p. 464) nachgewiesen habeUi
zu schweren Irrthümern führen.

Neivton\ Lösung (Princ. Lib. III, Prop. XLI, in Wolfer^^
Uebersetzung Seite 472) ist eine constructive, graphische und
war brauchbar; Hallcy hat damit eine grosse Zahl von Bahnen
thatsächlich bestimmt und die Methoden des 18. Jahrhnuderts
leimen sich alle mehr oder minder an sie an. Newton macht
bereits von dem Satze Gebrauch, dass die Sehne vom mitt-
leren Badiusvector im Verhäitniss der Zeiten geschnitten
werde (wie alle trigonometrischen Methoden) j tmd was ihr zn
einer vollkommenen Methode fehlt, ist eigentlich nur der
.£%<2er*sche Satz, wofElr er sich mit einem nnvoUkommeneren
Anshtilfemittel begnügt. PUmtanMW bat in seiner »Dis-
quisitio de methodis traditis ad Gometaram orbitas deter-
minandas 1839« eine analytische Darstellung der Methode
gegeben.

Während bei Ncivton als diejenige Unbekannte, die durch

suecessive Näherung bestimmt wird, die Sehue zwischen der
ersten und dritten Leo]>.iclituiig iigurirt, kommt Bowjucr (>fem.
de l'Aead. des sc. Paris Annee 1733) darauf, zwei Distanzen
des Cometen von der Erde als Unbekannte einzuführen: er
kann zeigeu, dass man dadurch direct auf Gleiehuugen 1. Grades
geführt Avird; die Methode selbst ist inusorisch aus dem oben
angedetUeten Gruud^^ Ein in Frankreieli vor Bekanntwerden
der I/O^iace'scheu Methode sehr häutig angewendetes Veiiahreu,

*) Die Gesehichte des Probleius im 18. Jahrhundert beliaiidehr.
iMijrange. Sur le probleme de la determinaiiou des orbites d apris
trois observations, I. Mem. Oeuvres IV p. 439, 1778 und mit be-
sonders eingehender Kritik Olbersy Cometenbahnen 1797.

/

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Anmerkangen.

125

parabolische Baliiien zu ermitteln, ist das von Laraille, bekannt
unter dem Namen »Methode der falschen Voraussetzungen«,
welches mehr oder minder auf ein Errathen der Elemente
hinauskommt und nack Newtons Methode einen Elickschritt
bedeutet.

Die erste rein analytische, aber sehr unvollkommene Me-
thode hat Etiler in dem Werke »Theoria motunm planetarum
et cometarum 1744« (deutsch von Paccassi 1781) gegeben:
er wählt als Unbekannte die Entfernung des Coraeten von der
Erde zur Zeit der mittleren Beobachtung, bestimmt dadurch
Lage und Länge der Behne zwischen der ersten und dritten
Beobachtung und daraus dann die Elemente; mit diesen wird
der Ort fflr die Zeit einer vierten entfernten Beobachtung be-
rechnet, mit der Beobachtong verglichen nnd damit dnrch all-
mähliche Annäherung die Unbekannte selbst bestimmt. Er
fibersieht also vollständig das maohtvoUe Mittel, das ihm sein
schon 1748 bekannter Satz geboten hätte, die Sehne mit der
Zeit zn vergleichen, und verunstaltet seine Lösung durch Her-
anziehung von mehr Beobachtungen, als unbedingt nöthig sind.
Die von ihm durchgefflhrten im Werke selbst mitgetheilten
'Bahnberechnungen haben ihn wohl auch von der erheblichen
Recheuarbeit, die seine Methode verlangt, überzeugt und er
ist auf sie niemals zurückgekommen , sondern hat in dem
Werke »liecherches et calculs sur la vraie orl)ite de la comete
1769«, Petersburg 1770, neue Wege eingeschlagen, die aber
nach Olhers^ Urtheil auch keinen Fortschritt bedeuten (mir
■war die Abhandlung nicht zugänglich \

Die Methoden vor Tjornlrrt bestanden also entweder ge-
radezu in einem Ausprolüren der Elemente, oder in einer
graphischen Darstellung derselben oder endlich sie l)eruhten
auf direct falschen Principien, in Folge deren Anwendung das
Hauptgeschäft der Elementenermittelung wieder auf ein äusserst
langwieriges Verbesserungsverfahren verlegt wurde.

Lambertis Verdienste um das Problem der Bahnbe-
stlmmuug der Cometeu bestehen in folgenden Punkten:

1) £ir hat erkannt, dass es. sich in erster Linie um eine
leicht durchführbare Methode handle, eine erste Appnmmation
fär eine beliebig einzuführende Unbekannte zu gewinnen und
dann um Methoden, dieiae zu verbessern. Er hat zu dem
Ehide eine Gleichung 6. Grades mit einer XJnbekännten auf-
gestellt, nach deren Auflösung genflherte Elemente sich sofort

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126

Anmerkungen.

ergeben. Er selbst lint «Viesc (Tleiclmug freilich nicht anf-
gelöst, sondern hat sie durch elu graphisches Verfahren er-
setzt ^

2) Er hat bemerkt, dass das Yerhftltniss, in welchem die
Sehne zinschen der ersten und dritten Beobachtung Tom
mittleren Badiusrector geschnitten wird, genau gleich ist dem
Verhältniss der Dreiecke ^ welehe von der Sonne und dem i

1. und 2. Cometeiiürt einerseits und der Sonne und dem

2. und 3. Oometenort andererseits gebildet werden, dass mau
also an Stelle diesi r Dreiecke die entsprechenden parabolischen ,
Seetoi Ml setzt, wenn man jene Abschnitte der ganzen behae
den Zeiten ])roportional nimmt.

3) Er fand den wichtigen Satz, dass die Sectoren sieh
genau wie die Abschnitte der Sehne TE verhalten, wenn der I
mittlere Radinsvector dnrch den Schnittponkt der Tangentes
geht, die parallel zu den Sehnen 12 und S3 an die Parabd
gezogen werden.

i) Er hat durch die Entdeckung und sofortiore Verwendung
seines Satzes, dass di«* Zeit, die mr BescIn-eibuTiL^ rincs lioj^ous
gebraucht wird, durch die unter«:espniinte Sehne und die
Summe der Kadienvectoren der Endpunkte ausgedrückt werden
kann, das bequeme und wirkungsvolle Mittel geschaffen, die
aufeinanderfolgenden Hypothesen rasch zu eriedigen.

5) Durch die Projection der Bahn auf eine Ebene, weldie
auf der durch Sonne, Erde und Comet zur Zeit der mittleren

Beobachtung ])estimmten Eigene (oder auf der Linie Erde-
Sonne) si'iikrceht steht, findet er das einfachste Mittel, sofoi-t
die Riehtimg der Projection des mittleren liadiusvectors auf
diese Ebene aii;j:ebeii zu kuniieu, da dieselbe oti'enbar mit dor
Projection dei' bekannten Visirlinie Erde — Comet znsamnieu-
fallt. Dadurch fällt für ihn die Betrachtung des Pfeiles des
duichlaufenen Bogens fort, durch welche die Newtoti'Ache
Methode weitläufig und unsicher wird.

6} Er giebt in seinem Satze Uber die Erflmmung der
scheinbaren Bahn einen geradezu genialen Weg, die EHstam

des Cometen von der Erde zur Zeit der zweiten Beobachtnng

zu ermitteln. Er zeigt, dass der Abstand des mittleren be-
obachteten Ortes von dem grössten Kreise, der durch- die beiden
äusseren beobaehteten Oerter hindnreligelegt wird, von der
Kriiunnung der Uonieten- und ErdHalin herrührt, von denen
letztere bekannt, und erstere näher uugä weise aus der Wirkung

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Anmerkangen.

127

der Centralkrall; abgeleitet werden kann; dadurch entsteht eine
Gleichung, welche als Unhekannte die Entfernung des Gometen
von der Erde enthält.

Bahübestiiiiinimg naeh Lambert bis Olbers«

Lambert selbst hat die vollen Früchte seiner erfolgreichen
Bemühungen nicht geerntet; ihm fehlte der Sinn für die ana-
lytische Behandlung des Problems, die doch allein zu exaeten
Resultaten fuhren kann; gerade am entscheidenden Punkte
kehrt er, seiner Yorliebe fttr die Geometrie folgend, wieder
zur Oonstmction zurück und beraubt sich dadurch um den
vollen Erfolg, den erst Olbers davontrug. Indem dieser, wie
Encke sich ausdrückt, in glücklichster Weise geometrische und
analytische Behandlung verknüpfte, brachte er die Methode zu
einer Vollendung, cüe noch heute nicht übertroiTen ist; aber
es muss doch hervorgehoben werden, dass sich die Olbcrs^sche
Methode abgesehen von einem Punkte, <ler zur Kürzung der
Eeehnuiij^^ beiträgt, kaum von der La mhcrf sehen tmterscbeidet.

Die von Lambert gegebene Anregung fiel jedoch auf frucht-
baren Boden und führte das Problem schnell der Lösung
entgegen. Im Jahre 1777 stellte die Berliner Akademie, wohl
auf Yernnlassung von LarnJurt und Latjramjc^ als Preisarbeit
das Cometenproblem auf. Die eingelaufenen Arbeit* ti von
Condoi'ccf, Hrnnert und Tempelhoff*) fMuden zwar den Deifall
der Akademie, können a])er nocli nicht als Fortschritt 1)e-
zeichuet werden, da sie nur in unwesentlichen Punkten über
Lambert hinausgehen. Auch die Arbeit des Berliner Astro-
nomen Schulze'^ ist nur eine unwesentliche Umarbeitung der
Lamher fichea Oonstmction und enthält keine neuen Gesichts-
punkte. Der Hauptgewinn des Preisausschreibens war jeden-
falls, dass sich Lagrange selbst mit dem Problem zu be-
schäftigen anfing und darüber zwei M^moires schrieb (M^m.
de TAc. de Berlin Ann^e 1778^ Oeuvres Band lY), die hin-
wiederum die Arbeiten von Du Sejour und Laplace (M^m. de
TAc. Paris 1779, 1780) veranlassten, worauf Lagrange in
einem dritten Memoire nochmals auf das Problem zurückkam

*) Dissertations sur hi tbeorie de^ < rjmt ies. Prix de l'Ac. de
Berlin. Utrecht 1780 'enthält alle drei Arbeiten;.

SekiUxe, Heyen simple pour d^terminer etc. Nouv. M6m.
Berlin Ann^e 1782.

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128

Anmerkangen.

(Mem. de TAc. Berlin 1783). Im zweiten Memoire von 1778
(das erste enthält die geschichtliche Entwicklung des Pro-
blems] zeigt Lagramje zuersjt, dass die Einführung der beiden
Elemente, welche die Bahnlage bestimmen, als Unbekannte
auf unüberwindliche Schwierigkeiten führt; er entwickelt dann
aus der Bedingung, dass die drei Oerter in einer durch die
Sonne gehenden Ebene liegen, die Ausdrücke der geocentrischen
Distanzen durch die Dreiecksflitchen, und ersetzt diese unter
Benutzong des Eul6r-La7nbert^ schau. Satzes durch die Zwischen-
zeiten und die Summen der Badienvectoren. Diese Werthe
der geocentrischen Distanzen werden schliesslich in aus der
Betrachtung der Dreiecke Sonne — Erde — Comet hervorgehenden
Formeln eingetragen, wodurch drei Gleichungen mit den drei
Radienvectoren als Unbekannten entstehen. Für die Anfldsung
dieser äusserst con^Ucirten Gleichungen giebt Lagrange ein
auf die Kleinheit der Zwischenzeiten basirtes, in praxi kanm
durchführbares Verfahren an. — Im Memoire Ton 1783 strebt
er Vereinfachungen an, fahrt andere Unbekannte (BadinsTector,
Parameter und grosse Axe) ein, stellt fttr den Radiusyeetor eine
Gleichung siebenten Grades auf, zieht aber schliesslich drei
Gleichungen mit drei Unbekannten vor, deren Auflösung wohl
noch complicirter ist, als die des zweiten Memoire. Für die
astronomische Praxis konnten diese Methoden ebensowenig Be-
deutung gewinnen, wie die im Uerl. Jahrbuch für 1783
(Oeuvres YII, mitgeteilte, welche seeha Beobachtungen er-
fordert; trotzdem bedeuten Lagmnge^a Arbeiten, dui'ch die er-
staunliche Eleo^anz ihrer Analyse und die Klarheit der Auf-
fassung^, für die analvtisehe Beh;indlung des Pruldemes einen
grossen Fortseliritt 2;egenut)cr Eulcr und sie haben gewiss
grossen Antht il an der bald darauf erfolgenden Lösung durch
Da Sejour und Olbers.

Die weitere l'>ntwickhing kann hier nur mehr kurz an-
gedeutet werden. In den Mem. de l'Ac. de Paris 1779 — 80
veröffentlichte Laplace eine gams neue Methode, die mit den
früheren kaum einen Zusammenhang hat: er ermittelt aus
allen vorhandenen Beobachtungen Werthe der ersten und
zweiten Ditferenzialquotienten der Coordinaten und aeigt, wie
durch sie die EUemente dargestellt werden können. Diese
Methode ist reproducirt in M^c. e^l. T. I Livre II (1799), nnd
ist in Frankreich vielfach gebraucht worden. Die M€m. de
l'Ac. de Paris 1779 enthalten zwei Methoden von Du Sefaur;
die principiellen Mängel der ersten hat Olbers ausführlich ans-

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AnmerkäBgen. 129

einandergesetzt; die zweite aber, von der merkwttrdiger Weise
Du Seftmr seibat wenig gehalten zn baben scheint nnd die

Olbers in seiner Kritik gauz übergeht, bat sich später als
identisch mit der Olbers schm Tiösung berausgeätellt ^siehe
Fahrifius Astr. Nachr. Band 106). Abgesehen davon, dass
(Jlhcrs*) seine Methode, durch die das Problem für lange Zeit
zum Abschlnss yehraclit war, zweifellos selbständig gefunden
hat, beruht selu Verdienst darin, dass er kl.u . ikannte, die
einfachste Lösung gefunden zn haben und dass er sie, nament-
lich auch durch eine vortreffliche Kritik der älteren Metli'^deii,
derartig ins Licht stellte, dass sie sofort allgemein ado|)iirt
wurde. Wir schliessen diese kurze Uebersicht über den (iang,
den das Problem nach Lambert genommen hat, mit der An-
gabe des Princips der definitiven Lösung. Die zweckmässigste
Unbekannte ist die geocentriacbe Entfernung zur Zeit der
ersten Beobachtung. Mittelst dieser lässt sich durch eine über-
raschend einfache Gleicbnng die geocentrische Distanz zur Zeit
der dritten Beobachtung ausdrücken. In der Aufstellung
dieser Gleichung, deren Einfachheit auf dem Umstand bembt,
dass anch fär die Sanne angenommen wird, dass der mittlere
Radlnsvector die Sehne im Verbältniss der Zeiten schneide,
liegt der einzige Punkt, wo Olbers über Lambert binanageht
Dnrcb die eingeführte Unbekannte können dann die Äusseren
Radienvectoren nnd die sie verbindende Sehne ansgedrücki
werden. Sebliesslicb wird die Unbekannte durch allmjthlicbe
Annäherung so bestimmt, dass der I<a«t^^'flehen Gleichung
genügt wird.

II. Specielle Beiucrkuugeu.

Zur ersten Abhandlung.

Die erste diesem Bündchen einverleibte Arbeit hoifhfrf's
ist als selbständiges Werk — Lnrnhcrt nennt es später einmal
ein Tractätchen — erschienen und führt den vollständigen
Titel:

*; Dr. Tl'. Olbers Abhandlung über die leichteste und be-
qnemste Methode die Bahn eines Cometen zn berechnen.. Weimar
r797.

Oaiwairs Klassiker. 133. 9

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130

Anmerkungen

J. H. Lambert

Academiae scientiarum Electoriilis iioicae Membri et Professoris
Honorarü, Soeietatia Physico-^Medioae Basileensis Membri, Regiae
Societati Scientiarum Goettingensi Commercio Literario adjuncti

lusigüiores

Orbitae
Cometanim
rroprietates
Augustae Vindelicorum
Sumtibns Eberhardi Klett Yiduae
MDCCLXI

Lambert verfasste es in der Periode seiner Wanderjahre
im Jahre 1761, als er iu seiner Eigenschaft als bayrischer
Akademiker längere Zeit Aufenthalt in Augsburg genommen
hatte und mit der bayrischen Akademie in München in Ver-
handlungen stand, nahe gleichzeitig mit seiner Architectonik
nnd den kosmologischen Briefen.

Die hier gebotene Uebersetznng des Ulogst sehr selten ge-
wordenen Baches sehliesst sich genan an das Original an;
nur die in schwülstigem Latein geschriebene Vorrede habe ich
nach Möglichkeit gemildert. Das Original enthält eine sehr
grosse Anzahl von Druckfehlern namt lillich in den Formeln;
diese habe ich ohne Bemerkung beseitigt; es enthält aber auch
einige Versehen und Flüchtigkeiten; diese habe ich. wo es
möglich war, verbessert, darüber aber in den folgendeu oSoten
berichtet.

Zu § 29. Dieser elegante Ausdruck fflr den parabolischen
Sector rührt von Lamhcrt her. Lagi-angc gab dafür einen
analytischen Nachweis (Oeuvres IV 475 — 478), einen ahn-
lichen Erwke (Berl. Jahrb. 1833 p. 265).

Zfu § 39, Man weist diese Sätze leicht durch Einftthmng
der rechtwinkligen Coordinaten der riinktt^ Q und M nach.

Zu ^ 40. In diesem fiir die älteren Methoden der Bahn-
bestimmung wichtigen Satze weist Ijuinhrrt denjenigen mitt-
leren Jiadiusveetor uacli. der streng gleich dem arithmetischem
Mittel der beiden äusseren gesetzt werden darf.

§ 41. Der Nachweis für die Ellipse und Hyperbel
gelingt leicht dnrch Binführnng der rechtwinkligen Coordinaten
in Besug^ auf ein durch die Axen gelegtes Coordinatensystem.

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Anmerkungen.

131

Zu § 51 — 53. Diese Aufo^abc wird schon von Neirton
behandelt und bildet die Grtmdiage seiner ersten Bäbnbestim-
mungsmetliode.

In der Lambert^h^tn Figur 8 und ebenso im Text kommt
der Buchstabe e in zweifacher Bedentang vor. Um die da-
durch entstehende Verwirrung zu heben, habe ich den einen
Punkt mit a bezeichnet und den Text (§ 52) entsprechend
geändert.

Lambert kam in der oben unter 3j citirten Abhandlung
auf die Aufgabe nochmals zurück. Er schreibt (Berl. Jahrb.

1779 p. 171): ». . . Auf diese Art entstand das Problem: durch
vier Linien von gegebener Lage eine fünfte zu ziehen, welche
von jenen in Theile getheilt sei, die ein gegebenes Verhältniss
haben. Die Auflösung findet man in Neivton^ Arith. Univ.
Probl. 56, bei Gregori L. V. Prep. XF, bei Cn.^sini in den
M^m. de l'Acad. de Paris 1727, wie auch in meinen Orbitis
Oometamm § 51, wo ich aber jedoch (§ 54) angebe, was zu
thun ist, wenn die vier Durchscbnittspunkte nicht in gerader
Linie liegen. Denn die gerade Linie kam mir schon damals
als sehr misslich vor.

»Dermalen kann ich nun
angeben, worin das missliche
eigentlich besteht, und wie es
überaus viel vermindert werden
k(">nne. Eb sei Fig. 32 , S die
Sonne P, J/, Q die vier
Oerter des Cometen zur Zeit, da
die Erde in .1, B, C, D ist.
IVfan ziehe die Chorden PQ^ AD
und die Linien SM, Sm, SN,
Suy SO, wie auch SA, SB, Sh,
SC, Sc, SD, so mtissen nicht die
Linien BM, GN, sondern die
Linien hm^ en gebraucht wer-
den.

»Ungeachtet nun diese Linien
bm, cn nicht durch unmittel-
bare Beobachtung bekannt sind,

Soziussen sie sith tlovh aus den
Beobachtungen herleiten, weil die

Punkte SniMBb, sowie auch die Punkte SnNCc iu einer
Ebene liegen. .

9*

Fig. 32.

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132

AnmerknDgen.

>Man zeichne sieh auf der Kugelfläehe die vier beob-
achteten Oerter des Cometen. Durch die beiden äussersten
ziehe man einen grüssten Kreis. Ferner durch den zweiten
und dritten ziehe man zwei grösste Kreise nach den Punkten
der Ekliptik, wo die Sonne zur Zeit der zweiten und dritten
Beobachtung war. Diese zwei Kreise werden die Ebenen
CSN vorstellen, und da wo sie den durch die beiden
äussersten Oerter des Cometen gezogenen grössten Kreis durch-
schneiden, werden die Oerter sein, wo man den Cometen zur
Zeit der zweiten und dritten Beobachtung würde gesehen
haben, wenn derselbe in 7n und n und die Erde in h und c
gestanden hätte. Dann aber wtirde die Bewegung sowohl des
Cometen als der Erde geradlinig, und wo nicht vollkommen
doch bis auf einen unerheblichen Unterschied gleichförmig ge-
wesen sein.«

Dass auch oder vielmehr gerade mit dieser Modification
die Aufgabe unbestimmt wird, also zu keiner Lösung des
Cometenproblems führen kann, hat Olbers bemerkt (Cometen

Zu § 56. Ich habe hier und im Folgenden »semilatus
rectum« mit Ilalbparameter übersetzt, obwohl für diese Grösse
Jetzt, wenigstens in astronomischen Schriften, »Parameter« ge-
gebräuchlich geworden ist.

Zu § 63. Hier wie in dem ganzen Abschnitt, übergeht
Lambert den in der Anwendung allerdings selten vorkommenden
Fall, wo der von den Kadienvectoren eingeschlossene Winkel
i¥FjV grösser als 180", also c;>90" wird. Es würde hier
zu weit führen, alle Formeln auch diesem Falle anzupassen;
es mag genügen anzudeuten, dass dann das Dreieck vom Seg-
ment subtrahirt werden muss und dass bei der Auflösung der
vorkommenden quadratischen Gleichungen die andere Wurzel
gewählt werden muss. Die zuletzt abgeleitete Hauptformel
(§ 63) lautet allgemein geschrieben:

Zu § 6'). Es wird hier der geeignetste Ort sein, die
schönen Untersuchungen Lanibcrfs über den jmraboUfifhen
Srctor einzufügen, die er in der oben unter 1) citirten Ab-
handlung angestellt hat. Er resümirt im VII. Capitel der-
selben zuerst die Resultate der Orb. Com. und fügt dann am
Schluss folgende neue hinzu.

. . . § 23).

A = J VAU

a + b + L ^_ i g + b — k A c < 9(r
2 ) \ 2 / / c > 9(y\

Anmerkangen

135

[263] § 74. üm dieses za beweisen , so nehme man

Qr:=iQq

und ziehe i/r, Xr durch gerade Linien zuaaiiuiien. Da nun
vermöge des vorhin (§ 72) erwiesenen die Segmente 3fSQM,
NTQN den Dreiecken 3fr Q 31, NrQN gleich sind, so sind
auch die ganzen Sectoren FMSQh\ FQTNF den ganzen
Dreiecken FMrF, FNrF gleich. Diese Dreiecke haben aber
wegen der beiden gemeinsamen Punkte r, F gleiche Höhen
über und unter der Linie MUN^ demnach verhalten sie sich,
wie die Grundlinien Mll, RN. Demnach sind auch die
Flächenräume der Sectoren im Verhältniss von MR zu RN.

§ 75. Da nun die Zeiten, in welchen die Bögen iVQ,
QM durchlaufen werden, im Verhältniss der Sectoren sind,
so sind sie ebenfalls im Verhältniss der Theile MR^ RN der
Sehne MN, Man sieht leicht, dass es mit diesem Satze dahin
abgesehen ist, die Bewegung des Cometen durch den Bogen
MQN anf die Bewegung dnreh die geradlinige 8ehne MN zn
redttciren. Denn das Verhältniss der Zeiten trifft wenigstens
bei den drei Punkten MRN genau mit dem Verhältniss der
Theile MRj UN zusammen.

[264] § 76. Für andere Punkte, die man sich anf der
Sehne MN denken kann, ist hingegen dieses Verhältniss nicht
ganz genau; es weicht aber desto weniger ab, je kleiner der
Winkel MFN ist. Um dieses aufzukliren, sehe man R als
einen jeden beliebigen Punkt der Sehne MN an. Zieht man
die Linien FRQ^ 3IQ^ NQ, so wird immer der Flächen-
raüm der Dreiecke F3IQF^ FN()F im Verhältniss der Linien
J/i?, RN sein. Wenn demnach die ganzen Sectoren F3IS(jFy
FNTQF nicht genau in eben dem Verhältniss sind, so fehlt
es eigentlich nur an den beiden Segmenten 3[SQ3f, NTQN
und zwar nur, sofern sie von dem Verhältniss MR '.RN ab-
weichen. Ist nun aber der Winkel MFN li ichstens nur
20 Grad, so sind diese Spt^nM iite ein sehr kieiucr Theil der
ganzen Sectoren und dieses macht, dass das Verhältniss dieser
Sectoren von dem Verhältniss der Linien J/i?, RN nur un-
merklich wenig abweichen kann. Da es nun auf 31 N einen
Punkt R giebt, wo die Abweichung vollends gleich Null wird,
so trägt auch dieser Umstand mit bei, die Abweichung für
jede andere Punkte E noch um desto geringer zu machen.
Wir können aber genauer sehen, wie gross die Abweichung
jedesmal sein wird.

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136

AnmerkiingeQ.

§ 77. Die Frage kommt darauf an^ dctss ma/ti überhaupt
[266] das Verhältniss des Dreiecken FMNF zu dem Sector

FMmNF bestimme (Fig. 35,.

Haben die Buchstaben b, c
dieselbe Bedeutung wie in den
Orbit. Comet. [§ 28^, so lijiben wir
(Orb. Com. § 29j den Inhalt des
Dreieckes

FMNF= As^ab sine cosc,

des Sectors

Fig. 35

so ist

FMmNF = A =
\yah sine • (a + ^ + ^ o-b cosc).
Man setze nun die Winkel

AFM^%(p

0}

c = (p

und, wemi man AF=f setzt,

FJV^= /-secw« = 6
FM = fsecfp* = a

demnach

~ s=! See Cd' sec 9)* sin Up — w) cos (<)p — lo)

= (tgy — tgWj[l -i- tg(/) tgw)

— = ^sec w sec (p sin(^ — u)) (sec secr/? -+ sec io sec cos [(p
= i (tg«/> — tgwj (3 4- tgr/)« + tg(U* + tgr/ tgw] .

Hieraus folgt nun:

-4 ~ 3 + tgf/- + tg(fj^ + tg(/ tgtu

3 1 4- tgr/o tgfüi

Man setze nun ferner

tgiO =

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AnmerkuDgen.

137

[266] &o ist,

demnaoh

1

A
Ä

1 +

3(l + i&* 4--^)
oder auch, wenn mau (p — w = c uimmt,

A 1 ■ '

1 +

3(1 — tgW tgCy

§ 78. Wenn wir nun in Fig. 34 den mittleren Winkel
AFQ = 2a) setzen, so ist QFN = 2vj uud ebenso kuuuen

. Fig. 34.

wir QFM= — 2y annehmen und wir werden der letzten
Formel zufolge

FQNF 1

FQTNT

FQMF

FQSMF

aeccti- tocf

1 + 7

3(1 — tg w tgcjj
1

1 + -

sec tg: y*

3(l + tgwtg;'j

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138

Anmerkungen.

haben. Sollen nun diese Verhältnisse gleich sein, so wird:

1 — tgcjtgc 1 + tgwtg/

demnach

Uty

^ ^ r+lg77ti^ =^ tgy — tgwtg/* + tg£(>*tg/ ,

Hieraus erhellt, dass die Winkel c und y der Gleichlieit desto
[267] näher kommen, je kleiner sie sind, und je kleiner noch
ttberdies der Winkel oi ist.

§ 79. Da man aber diese Winkel nicht so wählen kaim,
wie sie dieser Bedingnng znfolge sein sollten, so wird man
dennoch nicht merklich fehlen, wenn sie überhaupt nicht von
yielen Graden sind, weU das Yerhältnlss der Sectoren zn den
Dreiecken nnr in der zweiten Potenz der Winkel oder ihrer
Tangenten tgr-, tgv anfängt, von der Gleichheit abzuweichen.
Ist z. B. der ganze WinkL*! 31 FX kleiner als 20" und die
W^inkel / sind nicht merklich verschieden, so ist jeder
kleiner als 5" und das Quadrat ihrer Tangenten kleiner als
0.0077. Wenn man «lemiiach um diesen ganzen Unterschied
fehlte, so wftrde der Fehler auf IBO kaum 1 betrafen. Es
kann sich aber der Fehler niemals so hoch belaufen, es sei
denn, dass man einen der Winkel y unendlich klein nnd

sec (ti* ^ ^ ^ sec ^ ^

> 1 oder .. , ^ — - — : > 1

3(1 — tgto isc) ^ a(X + tg w tgy)

annehmen wollte. Ersteres kann aber, zumal wo man mehrere
BeobacliUiugen vurrätliig hat, immer leicht vei mieden werden,
2681 wenn man die Zeiten zwischen den Beobachtungen nicht
allzu ungleich nimmt.

§ 80. Wie aber auch immeir die Sache ausfallen maor,
so kann man die Voraussetzung, dass die Sectoren den Drei-
ecken gleich genommen werden, dergestalt gebrauchen, dass
beide dadurch bis auf einen geringen Unterschied bestimmt
werden, nnd diese Bestimmung kann sodann dienen, sie noch
näher zu bestimmen, so oft man es nöthig findet.

Zu § 73. Bekanntlich ist die von Eiiler /Th. mot. Com.
et PL § 3) cinsretührte, hier von Lambt/ t adoptirte alier mit
einem neuen W erth der siderischen Umlaufszeit der Erde be-
rechnete Grösse m später von Gaiisb' (Theoria motus § Ij

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Anmerkaugen.

139

dnrch die Grösse k (G^attö^'sche Constaute] ersetzt worden,
die definirt ist durch

9 ;f

^ — L- \u = Masse der Erde).

Euler und Lambert vernachlässigen die Erdmasse und deft-
niren

— i- — IL
n T

als Constaute des Sonnensystems. Der Zusammenhang zwischen
n und k ist also

2

k =5= 2m = — •
n

Mit den 6^ttöd'schen, noch jetzt beibehaltenen Annahmen be-
rechnet, wird

■ w = 0.008 601049 47
n = H6.2649.

Ich habe die Grössen m und n in der Uebersetzung beibehalten.

Will man die Formeln in der jetzt gewohnten Schreibweise

k 2
haben, so hat man m durch — , n durch -v- zu ersetzen.

Zu ß 83, Aufgabe 7.7. Hier entwickelt Lambert den
wichtigen, für die Bestimmung parabolisclier Bahnen grund-
legenden Satz, der lauge seinen Namen s^etrag-en hat, bis
Gauss [Theor. mot. § 106) darauf aufmerksam machte, dass
bereits Euler 1743 in der Al)handhin,2:: Misceli. Berol. Tom.
VII pag. 20 denselben gefunden hatte, ohne jedoch dessen
Bedeutung zu erkennen und ohne dass er ihn selbst bei seinen
Arbeiten über Bahnbestimmung jemals benutzt hätte. Lambert
hat ihn zweifellos selbständig gefunden und jedenfalls zuerst
seine Bedeutung erkannt und für die Bahnbestimmung nutzbar
gemacht. Er selbst sagt darüber (Beitrftge zum Gebrauch der
Mathematik Theil III pag. 257): »Wer die MUhe kennt, die
man auf Berechnung der Cometenbahnen bisher verwendet
hat, wird gar leicht einsehen, dass es noch an einem Satze
von solcher Geschmeidigkeit fehlte und dass ieh mir allenfalls
etwas darauf zu gute halten könne, ihn gefunden, und selbst
auch auf die elliptischen und hyperl)olisehen Laufbahnen aus-
gedehnt zu hiibeu.« niese Veralltremeinerung wird denn auch
jetzt als La/Nhrrt^sQhvv batz bezeichnet, während der specielle,
für die Parabel gültige Fall als Euler'&ahQX Satz citirt wird.

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140

Annierkungen.

Lar/rangc (Xouveaux Mein, de TAcadi^inie de Berlin Annee
1778) kennt ?Ailfrs Priorität nicht, obwohl er, wie aus der
prachtvollen historischen Einleitung hervorgeht, die Geschichte
des Problems genau studirt hatte; er spricht sich über die
Leistung Lamberts wie folgt aus: »C'est ce que Lambert a
fait dans son beau Traite »De orbitis Cometarum«, oü il est
parvenu a un des Th($oremes les plus elegants et les plus
utiles, qui aient (M trouv^s jusqu'ici sur ce subjet, et qui a
en rnrnie temps Pavantage de s appliquer aussi aux orbites
elliptiques« (Oeuvres IV p. 444), und an einer andern Stelle:
». . . un Theoreme qui, par sa simplicitd et par sa gen^ralite,
doit C'tre regard^ comme une des plus iug(5nieuses decouveiies
qui aient ^te faites dans la Theorie du Systeme du monde«
(p. 447). Von dem Satze, den Lambert durch geometrische
Betrachtungen findet, gab Lagratic/r zuerst einen analytischen
Nachweis (Mdm. de PAc. Berlin 1778, Oeuvres T. IV p. 475],
dann Eti/ke (Berl. Jahrb. 1833). Efwke hat an der citirten
Stelle auch eine elegante Umformung desselben angegeben,
durch welche mit Benutzung einer von ihm berechneten Hülfs-
tafel die Sehne rasch aus den Padienvectoren und der
Zwischenzeit berechnet werden kann.

Lambert übergeht auch hier (siehe Anmerkung zu § 63)
den Fall mit Stillschweigen, wo der zwischen den Radien-
vectoren eingeschlossene Winkel grösser als 180° wird. Der
Satz lautet allgemein geschrieben:

_J_ i: a-}^b + lJ _ . a + b^h .h c<90^
^77k3P2\' 2 ) 2 ! I c>m\

Zu § <^S. Die Zahlenangaben sind im Original durchweg
uncorrect; ich habe dieselben verbessert.

Berechnet man die Reihe mit der G'a^f^s'schen Constante,
so kommt (FQ = E] gesetzt)

NM= [8.386 0964-10] ^, — [3.477 0480-io] ^

E- 72-

+ [9.045 1208-20] —

Zu § 02. Beide Formeln sind im Original uncorrect.

Zu § 117. Der letzte Theil des Satzes ist im Original
unverständlich; es ist aber kein Zweifel, dass der Sinn hier
richtig wiedergegeben ist.

I

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Anmerkangen. 141

Zu § 125. Anf dieser Reihenentwiokelimg bernlit die

^«^Ae'sche Auflösung des Lambeff^^en Satzes. Das Emker-
sche ist bei Lambert mit x bezeichnet und das von Emke
tabulirte /t ist:

Eneike hat einen endlichen Ansdrack für diese Reihe gefanden;
wird n&mlieh

gesetzt, so folgt

£s wird dann

sin (j s= -Ti^
V8

Sin

4wr

Zi« §155, Dieser § enthält die erste />'//y«öer/'sche Bahn-
bestimmungsmethode. Lambert führt das Proldem schliesslich
anf eine Gleichung 6. Grades. Lagrange glaubt, dass dies
nnr- daron herrflhrt, dass Lambert die halbe Snmme der
änsaeren RadinsTectoren gleich dem mittleren setzt; denn er
zeigte, dass der Grad dieser Gleichnng im allgemeinen Fall
mindestens der 7. sein mnss (Oeuvres lY, 448). Allein
Cauchy (Oenvres Vol. X) hat später nachgewiesen, dass sich
die Lüfjnuige^wh» Gleichnng anf den 6. Grad rednciren lässt
(Siehe hierüber öaUandreau, D4t des orbites p. 26.)

Die ^^tliiiliclikcit der Lambert' sehen Methode mit der
0/ißrs'schen ist bchon inelirt'ach hervorgehoben worden. Ich
weise dies an einer anderen Stelle ausftthrlieli narh und zeige,
wie die Larnl>frf'%^ht Methode, wenn man .sieh nur die Mühe
nimmt, seine Ausdrücke vollständisr zu entwiekeln und wenn
mau die von ihm zuletzt gauz ülxvrtiüssitrei- Weise i^cuiachte
falsehe Annahme, dass der mittlere Uadiusveetor gleich dem
iirithmetischeu Mittel der äusseren sei. lallen lässt, zu einem
schönen imd brauchbaren Verfahren ausgebaut werden kann.

Eine Anwendung der ursprünglichen Lawi^er^'schen Me-
thode ßndet man in den »Beitragen znm Gebranch der Math.«
Theil 3 Seite 270.

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142

t

Anmerkungen.

Zu § 157. Da sich der Originaltext an einigen Stellen

speciell auf die von Lamhr^'f entworfene (hier durch eine
übersichtlichere ersetzte) Figur bezieht, so inuaste er in der
üebersetzuiig theilweise geändert werden.

Zu § InS. Diese Bahnverbesseruugsmethode hat Ijambert
in den »Beiträgen zum Gebrauch der Mathematik« Theil 3
Seite 280 auf den Coraeten von 1769 angewendet. Die Me-
tbode ist wegen ihrer Weitläufigkeit in der Praxis verlassen
worden.

Zu § 159, Eine »Aufgabe 38« fehlt.

Zu § 17L Lambert hat in der oben unter 1) citirten Ab-
handlung Capitel X eine Ergänzung seiner Bahnbestinunnngs-

metbode gegeben, die wegen der Aehnlicbkeit mit den vier

Grundgleichiingen, von denen Olbers ausgegangen ist, bemerkens-
werth ist und daher hier eingefügt werden soll.

Auszug

aus den »Beiträgen zum GebranclK der Mathematik« Theil 3

Seite 203— 2yy.

[2931

Einige Betrachtungen über die parabolische Bahn.

§ 128. So einfach der Lauf eines Cometen in einer para-
bolischen Bahn ist, so hat man dennoch bisher keine Methode,
denselben ohne vorläufiges Versuchen zu bestimmen, und wenn

es hoch kommt, so fäugt man mit einem quam proxime an,
und holt sodann das übrige nach. Dieses ist auch der Weg,
den ich genommen habe. I^r l^t indessen ungleich kurzer, als
[294] derjenige, den Lrwaille und Lalande vorschlagen. Bei
diesem muss man unzälilige Versuche vornehmen, um nur einer
einzigen Bedingung Genüge zu leisten, und dann kommen erst
noch unzählige Versnclie vor, bis auch der anderen Bedingung
Genüge geschieht. Zuletzt wird alles dennoch nur durch Ein-
schaltungen und >iäherungen erhalten.

§ 129. Ungeachtet ich es nun bei der hier gebrauchten
Oonstruction und Berechnungsart kann bewenden lassen, so
werde ich doch noch zeigen, dass sich in der That die ganze
Sache auf diei Gleichungen bringen lässt. Diese Gleichungen
sind zwar ziemlich verwickelt, indessen werde ich sie dennoch
angeben, theils weil man bisher noch gar keine gefunden,
theils auch weil sich Nähevnngsurten daraus herleiten lassen,
von denen man den Grad der Zuverlässigkeit bestimmen kann.

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Anmerkimgeii.

143

§ 130. (Fig. 36.) Es sei die Sonne in S und zur Zeit
der drei Beobachtungen sei die Erde in Aj der Oomet

in 0, y. Die Linien CB, cby yß stellen die Höhe des

Cometen über der Ebene der Erdbahn vor. Nnn sind gegeben

I. Die Lage und Länge der Linien SA^ Sa, Sa und daraus
findet msm

1) die Sehnen Aa^ Act^ act\

2) die Winkel SAa^ SaA\ SAa, SaA\ Saa\ Saa.

II. Die Lage der Linien AB, ab, aß oder die
beobachteten Längen des Cometen, ond daraus eigeben sich

1) die Winkel BAS, baS, ßaS oder die Unterschiede
der Längen der Sonne und des Cometen;

2) die Winkel BAa^ BAa\ baA, bac<; ßaA^ ßaa.

III. Die Winkel GAB, cah, yaß oder die beobachteten
Breiten des Cometen.

IV. Ans II und III können auch die Winkel CAS, caS,
yaS oder die scheinbaren Abstände des Cometen von der Sonne
berechnet und demnach als gegeben angenommen werden.

§ 131. 2sun kommt die Keclmimg auf die Distanzen SC,
Scj Sy und die Sehnen Cc, Cy^ cy an. Man nenne zu
beiden Absichten

Fig. 36,

AC

X

SA = ^1
Sa ^ a
Sa = a

ae

y

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144 Anmerknngeii.
und die Winkel

CAS = C

caS =■ c
yaS == y

so iindet man erstlich die DiätanzcD :

SC =^ Vaj* + vi* — 2Axc(»C

Sc = V y ' H- a- — 2a y cos c

Sy = }/%^ + — 2 cosy ,
[296j ^ 132. Ferner setze man die Sehnen

Au = k

aa —

und die Winkel (die wir sämmtlich als spitz ansehen)

(lAU = B Aab = b Aaß = ^
aAB = B' aab=zb' aa^ = ß'

und die Breiten (die wir sftmmtlieli nördlich setzen)
ÖAB^L^ cab^l, yaß^l
so ist erstßch

OB = a; sin 1/ ob — y %ml y ß = x&mk

§ 133. Dieses idt, was sich ftir jede Beobachtung für sich
finden lässt. Da nnii aber die Sehnen C'\ Cy ^ cy sollen
gefunden werden, so müssen die Beobaclitungen, je zwei und
zwei^ verglichen werden, und da haben wir erstlich die Unter*
schiede

CB — ob =xsmL — y dinl
CB — yß ^x sinZi — « sinA
cb — y(i — ymil — « sin A .

Von diesen werden wir die Quadrate gebrauchen.

§ 134. Sodann verstehe man, dass in e, Fj f

rechte Winkel seien, so ist:

[297] BD^xco&Ls'mn] BE=:x<iO&LsiüB
6£{ = ^cos/ sinö I ße=zeo%lBinß

hF=yGO»l sin b'
ßf=»t9BlBmß^

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Anmerkangen. 145

and demnach die Unterschiede

BD — hd = X cosL %mB — y cosl sinb
BE — X coaL smB — z cosA sinß

bF jif = y cobI ßinö' — xQOiKBmß'.

Auch Yon diesen Unterschieden werden wir die Quadrate ge-
brauchen.

§ 135. Endlich ist

ÄE =s X cosl/ cosB'

a^^=^cos^ cos 6'
ori^ssjceos^cos)?'

AD =s X cosü cos J9
ad = yGOBl cos 6

und daraas folgt

Dd =5 JT — x cosL oosJS ^ cos cos^

Ee = k — X cos/v cos B^ — z cos A cos ß

Ff = X — y cos / coab' — cos /. cos

Auch hiervon werden nun die Quadrate gebraucht werden.
§ 136. Es sind nämlich die Quadrate der Sehnen

Cc^ = {OB — rh)^ 4- ^BD — bd]^ + D(P
öf (ÖB — y/^)»+ (BE — ßef + Ee*

cy* =r (rh - yß)'-^ [hF- ßf)' -|- /'/*.

§ 137. Werden demnach die gefundeneu VVerthe hierin
gesetzt, so erhält man nach gehörigen Reductionen die Sehnen :
[298]

Ce a= V{x^ + y* — 2xy(s\nL sin/ + cosl> iml cosfB + b])

— 2 Kr cos L cos B — 2 Ky cos / cos b + Ä" *)
C7y= {x* + z^ — 2a;;;;(sjni^ sin^ + cosL cosA cos(Ä'H- pf))

— 2A;i2;cosJ^co8J3' — cosA cos^H-
cy = 1^(2/* + — // (öin / sin Ä + cos / cos / cos [b' + ß'])

— 2/.y cos / cos/>' — 2x^ cosA coa/i'+ z*) .

In diesen Formeln sind die Coefficienten^ womit xy^ xx^ yx
multiplicirt sind, Cosinus der Seiten von sphärisdien Drei-
ecken, in welchen der ge^renüberstehende Winkel nebst den

zwei «iiidcreu Seiten gegeben sind. Es könnte aueli gezeigt
werden, wie sicli diese sphärischen Dreiecke in der Figur
bilden. Man gewinnt al)er weiter keine Abkürzung dalu'i, da
diese Ooefticienten, so wie sie hier sind, ebenso leicht in Zahlen
berechnet werden.

Ostwftld's Klassiker m. IQ

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146 AnmerknngeD.

§ 138. Ea seien nun fttr die Bögen

Cc die Zeiten T
Oy 1^ * t
ey * * T

80 ist

12 m 7' = {SO +Se+ Ocf — (8 O-^^Se^ Oe^
12mt = (SC+Sy +Cy]^—(SC + Sy — Oy}'
12fnt = {Sc + Sy + cy)' — {Sc + Sy — r/jl

Man darf demnach nnr in diesen Formeln die § 131, 137

[299 gefundenen Wertho setzen, um für .r, x drei Glei-
chungen zu erhalten, wodurch diese Distanzen bestininu ?ind.

§ 139. Ungeachtet nun, um o:, //, z zu bestimmen, drei
Gleichungen genug sind, ao lässt sich bei der Parabel nocli
überdies eine vierte finden, und diese beruht darauf, dass die
Linien «SV', .^V;, Sy in einer und derselben Ebene liegen,
demnach die Winkel

( \^r cSy = CSy

sein mttssen. Dadurch wird von den sechs Linien SOj Se^
Sy^ Cr, Cy^ ry eine durch die ttbrigen an sich schon be-
stimmt Es wird aber auch diese Qleichung, so wie die drei
vorhin gefundenen so weitläufig, dass sie schwerlich jemals

werden aufgelöst wrrdrn, ungeachtet mau dadurch, dass man
eine Oleichung niclir hat als nöthig ist, voraussehen kann, dass
sieh dir ganze liechüunir endlich auf drei Gleichungen vom
cräUu Grade herunterbringen lässt.

Zff ^ 17 P, 17 fK Die Fig. 21 zu diesen iSätzen ist in den
Ovh. (.'oni. in>oif'ru eine ungeeignete, als in ihr der Schnitt-
punkt von ('(■ mit Ob und der Schnittpunkt von Cc mit der
KUipse AHB zuialüg zusammenfallen; beide Punkte werden
auch mit nur einem Buchstaben r- bezeichnet, wodurch der Text
theilweise andeutlich wird. Ich habe den ersteren Schnitt-
punkt Cy den letzteren c' genannt und den Text entsprechend
geändert. In der Lamö^ 'sehen Figur ftUt anch der End-
punkt / der kleinen Axe der zweiten Ellipse mfillig anf die
erste BUipse. was aber weiter xu keinen Zweideutigkeiten
Anlass giebt.

Üigiiizeü by <jOü^i(

Anmerkuageu.

147

Zu § 201. Ueber diesen l)emprkeii3werthen Aufdruck der
Zwischenzeit durch ein bestiniintt s Integral vergleiclie man
Klinlrrfues Theor. Astronomie Vorl. 72 und Callandreau, Det.
des orbites § 2 (M^m. de Tübs. de Paris).

Zu § 210, Hier entwickelt Lambert den berflhmten, seinen
Nimen tragenden 8&tz. Den Fall, wo die Differens der wahren
Anomalien grösser als 180^ wird, übergeht er anch hier mit
Stillschweigen. Betreff anderer Beweise, Yerallgemeineningen
und Nntzbarmachung des Satzes namentiioh f&r parabelnahe
Bahnen mnss anf die Lehrbficher der theoretischen Astronomie
verwiesen werden. Ich citire nnr folgende besonders wichtige
Abhandlungen, die sich mit dem Law«6er^ 'sehen Satze be-
schäftigen:

1) Garns j Theoria motiis § 1( K> ff.

2) Marth j Auxiliary Taliles for tbe Solution of Lambert^»
equation. Astr. !Naohr. Band 65, 8. 321.

3) Oppolzer, Lehrbuch der Bahnbestimmung Bd, II, S, 464.

4) QxMandreau^ D6t des orbites Oh. I, 1902.

Zur zweiten Abhandlung.

In dieser machte Lambert seinen schönen Satz über die
scheinbare Balm der Cometen bekannt. Die Bedeutung des-
selben beruht nicht darin, dass er durch den Anblick der
scheinbaren Bahn einen Schlnss auf die Entfernung des Ko-
meten zuläöst, sondern, wie Lambert selbst selir wohl erkannt
hat, in seiner Wichtigkeit für die BahnbeBtiuiuiuug, deren
innersten Kern er blosslegt. Schon Laffrange hat darauf hin-
gewiesen, indem er von einer Gleichung 8. bez. 7, Grades ffir
nachweist, dass dieselbe unmittelbar aus der Betrachtung
Lamberfs über die scheinbare Bahn fliesse:

>la Solution pr^c6dente reviendra k celle, qne Lambert
a propos^e dans les M^moires de 1771. La m^tiiode
de Lambert est fond^e nniquement sur la consid^ration
syntii^qne de Torbite apparente de la Oomfete et n'en
est que plus ingMense; «mais eile ne fait pas voir qne
la Solution qui en r^sulte a r^ellement le demier degr6
de simplicite, qu'on puisse donner au Probleme des
Cometes envisa^(^ directement, et il u'y avait qu'une ana-
lyse teile que la precedente qui püt lui procurer cet
avantage.« (Oeuvres IV, Seite 473.)

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U8

AumerkimgcD.

8päter war es wohl zuerst KUnL'erfiies^ der in seiner »Theo-
retischen Astronomie« Vorl. 31 — 34 den Lmnbert'schidn äatc
in den Mittelpunkt rückte and (Vorl. 47) anf seinen Zusammen-
hang mit der (rottös'echen Grundgleiehnog hinwies, if. Brmt»
(Der Lamherf ficht 8atz, Astr. Nachr. Bd. 118 8. 241) hat die
Gleichung achten Grades direct ans dem Lamhert^M^hdn Satw
abgeleitet nnd zndeni gezeigt, dass darauf eine branchbare
Methode der Bahnbestiininung aufgebaut werden kann. J. Olauser
(Balinbcstiniinuug nach Lambert^ Astr. Kachr. 121, S. 65] hat
sich acK-h näher an die direct von Lambert gegebenen An-
deutungen augescliiossen und eiue Methode daraus zusammea-
gcstellt.

Lcwibert muss also auf Grund der vorliegenden Abhandlung
als der eigentliche Begründer der directen Bahnbestimmungs-
methoden betrachtet werden (CkiUafidrea% \)6t des orbites p. 32).

Zti § 28. Diese Gleichung ist identisch mit der O^^^schen
llauptgleiehung q"= qM [Vogel, Ueber die Identität der Lambeti-
scheu und O/^c/VscLcn Methode, Astr. Nachr. 136, S. 83j.

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Inhalt.

Seile

l'eber die Eigenschaften <ler Cometenbewe gung ä

Vorrede 3

Erster Theil. Allgemeinere vorbereitende Sätze über

die Parabel 5

Zweiter Theil. Die wichtigsten Eigenschaften der para-
bolischen Bewegung der Cometen 21]

Dritter Theil. Die scheinbare Cometenbewegung. Ver-
schiedene Methoden eine parabolische Cometenbahn

ans den Beobachtungen zu bestimmen 5il

Vierter Theil. Eigenschaften der elliptischen Bahnen
der Cometen und Planeten M

Bemerkungen fiber die scheinbare Bahn der Cometen . . . 11)9

Anmerkungen 123

L Allgemeines 123

Die Bahnbestimmung vor Lambert 121

Lambert's Verdienste um das Problem der Bahn-
bestimmung 12a

Bahnbestimmung nach Lambert bis Olbers 122

IL Specielle Bemerkungen 12Ü

Zur ersten Abhandlung 12S

Auszug aus dem Aufsatze im Berl. Jahrbuch 1779 . 131
Auszüge aus den »Beitragen zur Mathematik«.

a lieber den parabolischen Sector 133

b lieber Bahnbcstimmnng 112

Zur zweiten Abhandlung 112

Druck Ton Breitk^pf k Hirtel in Leipu^.

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TIC. /33
1901.

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