Bulletin des sciences mathématiques

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BULLETIN

SCIENCES MATHÉMATIQUES

ASTRONOMIQUES.

PARIS. - IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS,

Quai des Augustins, 55.

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BIBLIOTHÈQUE DE L'ÉCOLE DES HAUTES ÉTUDES,

PUBLIÉE SOUS LES AUSPICES DU MINISTERE DE l'iNSTRUCTION PUBLIQUE.

BULLETIN

SCIENCES MATHÉMATIQUES

ASTRONOMIOLiES,

RÉDIGÉ PAR IVm. G. DARBOUX, J. HOÛEL ET TANNERY,

AVEC L.V COLLABORATION DE

MM. ANDRE, BATTAGLINI, BOUGAIEF, BROCARD, KLEIN, LAISANT, LAMPE,
LESPIAULT, POTOCKI, RADAU, WEYR, ETC.,

sous LA DIRECTION DE LA COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES.

TOME ONZIÈME.- SECOND SEMESTRE 1876.

PARIS,

GAUTHIER-VILLARS , IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLVTEC UNIQUE ,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,

Quai des Aiigustins, 55.

1876

/

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in 2010 with funding from

University of Ottawa

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http://www.archive.org/details/bulletindesscien11fran

COMMISSION DES HAUTES ÉTUDES.

mi. CHASLES, président.
BERTRAND.
HERMITE.
SERRET.
PUISEUX, secrétaire.

LISTE DES COLLABORATEURS DU BULLETIN.

MM. B.viLL.viD, professeur au Lycée Charlemagne.
Battaglim, professeur à TUniversilé de Rome.
Beltrami, professeur à l'Université de Rome.
Bertra>d (J.), secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences.
Bonnet (0.), membre de l'Institut.
Bouquet, membre de l'Institut.
Brocard, capitaine du Génie à Alger.
Clebsch, professeur à l'Université de Gôttingue.
De Tilly, capitaine d'Artillerie, à Bruxelles.
De la Rue, professeur à l'Université Kharkof.
Dewulf, commandant du Génie, aux îles d'Hyères.
Hermite, membre de l'Institut.
Imschenetskv, professeur à l'Université de Kharkof.
Klein, professeur à l'Université d'Erlangen.
Laguerre, répétiteur à l'École Polytechnique.
Lampe, professeur à Berlin.
Laurent (H.), répétiteur à l'École Polytechnique.
Lie, professeur à l'Université de Christiania.
LiNDELOF, professeur à l'Université de Helsingfors.
LiPSCHiTZ, professeur à l'Université de Bonn.
Mannheim, professeur à l'École Polytechnique.
Mansion (P.), professeur à l'Université de Gand.
Padova, professeur à Pise.
Pellet, professeur au Lycée de Bourg.
PoTOCKi, licencié es Sciences, à Bordeaux.
Rayet, professeur à la Faculté des Sciences de Bordeaux.
Resal, membre de l'Institut.
Serret (J.-A.), membre de l'Institut.
Simon (Ch.), professeur au Lycée Louis-le-Grand.
Tisserand, directeur de l'Observatoire de Toulouse.
Wetr (Em.), professeur à l'Institut Polytechnique tchèque.
Wolf (R.), professeur à Zurich.
Zeuthen, professeur à l'Université de Copenhague.

MLLETIN

SCIENCES MATHÉMATIQUES

ASTRONOMIQUES.

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

GLAISHER (J.-W,-L.), Reporter. — Report of the Commutée on Mathema-
TicAL Tables, consisting of Prof. A. Cayley, Prof. G. -G. Stokes, Prof.
sir W. Thomson, Prof. H.-J.-S. Smith, Mr. J.-W.-L. Glaisher. — London,
1873. Printed by Taylor and Francis, in-8°, i-5 p.

Un astronome viennois, qui a visité les Etats-Unis pendant l'été
de 1873, rapporte qu'il a vu, dans le jardin d'un Observatoire
( l'Observatoire Dudley, à Albany), une machine à calculer suédoise
occupée à calculer des Tables de réfraction sous l'impulsion d'un
moulin à vent. Ce simple fait ouvre toute une perspective d'avenir :
c'est peut-être pour les Sciences mathématiques un pas compa-
rable à celui qui a été fait en industrie par l'introduction des ma-
chines-outils. Les Tables de toutes sortes qui nous épargnent la
peine de calculer dans chaque cas les valeurs numériques des
diverses fonctions ne sont autre chose que des machines d'une
espèce particulière -, mais ces machines ne sont encore ni assez
nombreuses ni assez puissantes, et cela sans doute parce qu'elles
coûtent trop cher à construire. C'est pourquoi il faut nous réjouir
de voir surgir des inventions qui permettent de les fabj-içuei' plus
vite et à moins de frais.

Lorsqu'on songe à l'immense quantité de matériaux accumulés
depuis près d'un siècle par le zèle des observateurs, matériaux qui
vieillissent et perdent chaque jour en valeur en attendant qu'on

8 BULLETIN DES SCIENCES

puisse les réduire et les discuter, on ne peut en effet s'empêcher de
souhaiter que le travail de ces réductions soit simplifié et rendu
abordable par la construction de Tables appropriées. Jusqu'à pré-
sent les Tables auxiliaires en usage parmi les astronomes, les météo-
rologistes, les physiciens, ne sont guère encore que des outils pri-
mitifs, qui permettent d'aller plus vite en besogne, mais qui sont
loin d'épargner les calculs. Que de chiffres à remuer, par exemple,
pour réduire le lieu apparent d'une étoile à son lieu moyen ou
réciproquement ! Que d'opérations à faire, tout en nous aidant des
Tables connues, pour nous débarrasser des effets de la précession, de
la nutation, de l'aberration, puis de la réfraction et du mouvement
propre, et parfois de la parallaxe annuelle ! Quelle perte de temps
et quelle source d'erreurs que ces opérations multiples et fasti-
dieuses !

Evidemment les Tables auxiliaires auraient besoin d'être spécia-
lisées davantage •, le temps et le travail qu'on y consacrerait seraient
regagnés au centuple par l'économie de temps et d'argent qui en
résulterait pour la réduction des observations.

D'un autre côté, que de fonctions dont l'analyse a découvert et
développé les admirables propriétés attendent, pour devenir vrai-
ment utiles, pour obtenir droit de cité dans les bureaux de calcul,
que des Tables suffisamment étendues et commodes permettent d'en
faire couramment usage !

Le moment est donc venu, ce semble, de faire l'inventaire géné-
ral de ce qu'on possède en matière de Tables, de déterminer ce qui
reste à faire et surtout ce qui est urgent, puis d'attaquer résolu-
ment la confection des Tables que les besoins de la Science récla-
ment aujourd'hui.

C'est ce qu'a compris l'Association Britannique pour l'avance-
ment des Sciences, et c'est de cette préoccupation qu'est né un
premier Rapport présenté à l'Association en 1872, à la réunion de
Brighton, par une Commission composée de MM. Cayley, Stpkes,
Thomson, Smith, membres de la Société Royale de Londres, et de
M. J.-W.-L. Glaisher, rapporteur.

Ce Rapport, qui a été imprimé en iSjS, après avoir reçu quelques
développements nouveaux, remplit i y5 pages 5 il n'y est encore
question que des Tables mathématiques proprement dites, qui sont
d'un usage énéral dans toutes les branches des Mathématiques

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 9

pures ou appliquées. Très-concis, très-substantiel, il entre en ma-
tière sans préambule : « La Commission a été nommée en vue d'un
double objet : 1° former un Catalogue aussi complet que possible
des Tables mathématiques qui existent 5 2° réimprimer ou con-'
struire les Tables qui seraient nécessaires aux progrès des Sciences
tnatbématiques )).

Les Rapports du Comité des Tables paraîtfont dans le Compte
rendu annuel des réunions de l'Association Britannique-, mais pour
les Tables on a décidé qu'elles seraient imprimées à part, et livrées
à la publicité au fur et à mesure de leur impression. Comme elles
sont stéréotypées, les clicliés de ces Tables restent entre les mains
du Comité, qui se propose de les réunir plus tard en volume. Le
format choisi est rin-4° des Transactions Philosophiques de la So-
ciété Royale; il permettra de donner sur la même page les valeurs
des fonctions et jusqu'aux trois premières différences .

On voulait d'abord commencer par l'impression des Tables d'ex-
ponentielles ou antilogarithmes hyperboliques (e'^ete"^) et des
sinus et cosinus hyperboliques, dont M. Glaisher avait entrepris la
construction avant la nomination du Comité. On se proposait ensuite
d'alDorder le calcul des fonctions de Bessel et des fonctions ellipti-
ques 5 mais on a préféré ajourner les fonctions hyperboliques pour
permettre à M. Glaislîer de consacrer tout son temps à l'achève-
ment des Tables des fonctions elliptiques, dont la publication a paru
plus urgente.

Dresser l'inventaire complet des Tables numériques déjà exis-
tantes était avant tout chose indispensable 5 car ces Tables sont épar-
pillées dans les divers Recueils spéciaux, dans les publications des
nombreuses Sociétés savantes, etc., et il n'est pas facile de s'assurer,
dans chaque cas particulier, si telle Table qu'il paraît utile de faire
construire n'a pas été déjà publiée quelque part. Si, dans toutes les
parties de la Science, il est malaisé de savoir exactement ce qui a
été déjà fait, ici la difficulté est encore augmentée par cette circon-
stance, que souvent le titre que portent certaines Tables en cache la
véritable nature, ou du moins ne suffit pas pour la faire deviner.
Des Tables numériques destinées à telle application spéciale seraient
parfois d'un grand usage pour des calculs d'une nature toute diffé-
rente, et il arrive ainsi que l'astronome ou le physicien regrette le
manque d'une Table qui existe depuis longtemps, déguisée sous un

10 BULLETIN DES SCIENCES

nom qui déroute les reclierclies, et même qu'il se décide à la calcu-
ler à nouveau pour l'objet qu'il a en vue, perdant ainsi un temps
précieux à refaire un travail fait avant lui. On sait déjà, par exem-
ple, que l'intégrale

e"*' dx,

J X

qui, réduite en Tables, sert à la détermination de l'erreur probable
dans la méthode des moindres carrés, joue également un rôle
important dans la théorie de la réfraction astronomique ( ^ ) et dans la
théorie de la chaleur, de sorte que la même Table peut servir pour
les recherches en apparence les plus hétérogènes. De même les
recueils de Tables nautiques donnent les logarithmes des sinus
verses et des cosécantes sous le titre de « Tables pour le calcul de
la latitude par deux hauteurs du Soleil », etc. Il est donc évident
qu'avant toute chose il était nécessaire de former un Catalogue
des Tables existantes avec indication exacte de leur nature et de
leur contenu.

Le Catalogue du Comité doit comprendre toutes les Tables nu-
mériques qui de près ou de loin appartiennent aux Sciences mathé-
matiques ou paraissent propres à faciliter des recherches qui en
relèvent \ mais on laissera de côté toutes celles dont les nombres ou
seulement les données fondamentales sont d'une nature empirique,
c'est-à-dire empruntées à l'observation ou à l'expérience, comme
aussi toutes celles qui concernent des applications spéciales qu'on
ne saurait classer dans les Sciences mathématiques.

C'est ainsi qu'on a cru devoir exclure la plupart des Tables
astronomiques, les Catalogues d'étoiles, les Tables -de réfraction,
les Tables qui dépendent de la figure de la Terre, etc., les données
de ces Tables étant essentiellement dérivées de l'observation. On a
également laissé de côté les Tables des équivalents chimiques, des
poids spécifiques, les Tables de conversion des poids et mesures,
celles qui servent au calcul de la longitude en mer, les Tables de
mortalité, enfin celles qui se rapportent aux assurances ou qui sont
destinées aux calculs commerciaux, sauf quelques-unes qui offrent

(') yoir, par exemple, Kramp, Analyse des réfractions astronomiques et terrestres.
Leipsic et Paris, an VII.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. ii

un certain intérêt au point de vue des Mathématiques pures, comme
par exemple les Tables d'intérêts composés, qui peuvent être envi-
sagées comme des Tables de puissances, ou certaines Tables nauti-
ques qui, malgré leur titre annonçant un usage tout spécial, sont
simplement des Tables trigonométriques. Même pour les Tables de
logarithmes, etc., le rapport n'a pas la prétention d'être absolu-
ment complet : M. Glaisher déclare expressément qu'il s'esl dis-
pensé de mentionner une foule d'Ouvrages du siècle dernier qui
lui ont paru dénués d'intérêt, ainsi que des Tables italiennes, espa-
gnoles, etc. (il aurait pu ajouter : françaises et allemandes) relati-
vement récentes, qu'il n'a pu se procurer (*).

Avant d'entreprendre la description des diverses Tables numé-
riques qui existent, il fallait s'entendre sur une classification ration-
nelle. Le Comité adopta la classification suivante, qui est due à
M. Cayley.

A. — Tables auxiliaires pour les calculs qui se font sans logarithmes.

1. Multiplication.

2. Quarts de carrés.

3. Carrés, cubes et puissances suivantes ; valeurs réciproques, etc.

B. — Logarithmes et fonctions circulaires. *

4. Logarithmes vulgaires et antilogarithmes; logarithmes d'addition et de
soustraction, etc.

5. Fondions circulaires (sinus, cosinus, etc.), valeurs naturelles; longueurs
des arcs de cercle.

6. Logarithmes des fonctions circulaires.

C. — Fonctions exponentielles.

7. Logarithmes hyperboliques.

8. Antilogarithmes hyperboliques {(f) et logtang ( 45° h- - 9 ) ; sinu^el cosinus
hyperboliques, etc. ; valeurs naturelles et logarithmes.

(') On verra plus loin que, parmi les Recueils oubliés dans le Rapport, il y en ado
fort répandus et qui méritent de l'être. Ces lacunes, que les ressources immenses de
l'Association Britannique auraient pu mettre la Commission en ét;it de combler, nous
semblent ôtcr au Catalogue actuel une partie de sa valeur. C'est surtout en cette
occasion que l'on peut reconnaître l'utilité de cultiver avec plus de soin la Bibliographie
mathématique.

12 BULLETIN DES SCIENCES

D. — Constantes algébriques.

9. Valeurs exactes en nombres entiers ou fractionnaires : nombres de Ber-
noulli, A"o"', .... CoetBcients binominaux.

10. Valeurs approchées en fractions décimales, pour le calcul des développe-
ments en séries.

E. — Constantes transcendantes.

il. Les nombres e, t:, y, . . . , avec leurs puissances, et fonctions de ces nom-
bres.

F. — Fonctions ARITHMÉTIQUES ((7r//A/«o/oj^/c«/).

12. Diviseurs, nombres premiers. Racines premières. Canon arithmeticus , etc.

13. Équation de Pell.

14. Décompositions.

13. Formes quadratiques, a^ -^0-, Décomposition des nombres en carrés,

cubes, bicarrés, etc.

16. Formes binaires, ternaires, etc., quadratiques, etc.

17. Théories complexes.

G. — Fonctions transcendantes.

18. Fonctions elliptiques.

19. Fonctions r ( intégrales eulériennes).

20. Sinus intégral, cosinus intégral, logarithme intégral.

21. Fonctions de Bessel, etc.

22. Coefficients des perturbations pour des valeurs données de — ,•

23. Transcendantes logarithmiques.

24. Mélanges.

Le seul moyen sûr de découvrir toutes les Tables, comprises dans
cette classification, qui ont été publiées, c'était de parcourir l'un
après l'autre tous les volumes des Recueils scientifiques mention-
nés dans la liste, cjui se trouve en tête du Catalogue of scientijic
Papers, imprimé j)ar la Société Royale, sans négliger de consulter
les catalogues des libraires étrangers. Il s'agissait là de compulser
avec attention bieu des milliers de volumes, et l'on comprend
qu'une pareille besogne demande des années. Heureusement que
cette difficulté n'existait pas pour certaines catégories de Tables,
comme celles qui sont comprises dans les groupes A, B, C 7,F 12,
ces sortes de Tables ayant été généralement publiées à part, dans

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i3

des volumes spéciaux. On pouvait donc espérer d'acliever cette
partie du Rapport dans un délai assez rapproché, et c'est en effet la
partie qui a été présentée à l'Association. On se voyait ainsi forcé
d'abandonner l'ordre indiqué par la classification de M. Cayley -,
mais cette classification sera rétablie dans ses droits lorsqu'on dres-
sera l'index général des divers Rapports.

Au point de vue purement pratique, les diverses Tables peuvent
évidemment se classer comme il suit :

1*' Tables auxiliaires [subsidiajy Tables)^ destinées à faciliter
les calculs, mais sans intérêt par elles-mêmes : telles sont les Tables
de logarithmes, les Tables trigonométriques, les Tables de multi-
plication, etc; presque toutes ces Tables ont été publiées à part.

2° Tables définitives [concliisive Tables)^ dont les nombres ont
de l'intérêt par eux-mêmes ; cette catégorie comprend : (a) les Tables
de fonctions continues, qui sont généralement des intégrales défi-
nies ; {b) les Tables qui se rattachent à la théorie des nombres.

C'est sur la première de ces divisions que roule, comme nous
l'avons déjà dit, le premier Rapport présenté à l'Association Bri-
tannique par la Commission. On a soin d'ailleurs de nous avertir
que ce travail n'a qu'un caractère essentiellement provisoire, et
qu'on se propose de le compléter un jour par un R^apport supplé-
mentaire.

Le nombre des Tables comprises dans cette première division, et
qui sont décrites dans le Rapport, est, soit dit en passant, beaucoup
plus grand que celui des Tables de la seconde division ; en revanche,
elles n'exigent pas, comme ces dernières, des explications détail-
lées. Presque toutes ont été publiées dans des ouvrages séparés 5
cinq ou six seulement sont mentionnées dans le Rapport, qui ont été
insérées dans des Recueils périodiques. Au contraire, c'est là qu'il
faudra chercher presque toutes les Tables qui forment la deuxième
division .

Dès le principe, mais contrairement aux intentions primitives,
le Rapport a pris la forme d'un compte rendu bibliographique. H ne
pouvait en être autrement. Tandis, en effet, que, dans une science
qui se développe, les livres anciens sont bientôt détrônés par les
livres nouveaux, et n'ont plus qu'un intérêt historique, une Table
numérique représente une quantité de travail une fois fait et qui,
s'il a été bien fait, l'a été pour tout jamais. C'est un capital, au

i4 BULLETIN DES SCIENCES

même titre que l'or en barre qui a été extrait des entrailles de la
terre. Beaucoup de Tables qui datent du xvii^ siècle ont conservé
leur pleine utilité : V Arithmetica logarithmicade Vlacq ( 1628) est
encore la meilleure Table de logarithmes à dix décimales, et le Ca-
non sinuuni de Pitiscus ( 1 6 1 3 ) la meilleure Table des sinus naturels ;
on peut dire la même chose du Canon triangulorinn logavithmi-
ciis (logarithmes naturels), publié par Ursinus en i624.TeJleTable
a été calculée en vue d'un but spécial, lequel dans la suite a perdu
son intérêt ; elle n'en est pas moins l'expression d'une certaine
quantité de vérités abstraites, et elle garde à ce titre une certaine
valeur, et pourra, un jour ou l'autre, être utilisée pour une appli-
cation nouvelle et imprévue. C'est pour toutes ces raisons qu'on n'a
pas jugé inutile d'entrer dans' quelques détails bibliographiques,
même sur les Recueils de Tables anciens qui, à première vue, ne
paraissaient pas offrir une grande importance. On s'est notamment
efforcé de fournir des indications sur le degré d'exactitude qu'il est
permis d'attribuer à ces Recueils.

On a aussi profité de l'occasion pour donner une description
quelque peu détaillée de divers ouvrages qui jouent un rôle mémo-
rable dans l'histoire des Mathématiques et qui sont généralement
décrits d'une manière fort inexacte. Des détails de ce genre étaient
d'autant plus nécessaires que les titres des ouvrages sont souvent
trompeurs. Sous le titre de « Tables de logarithmes à huit déci-
males », on rencontre des Tables à cinq décimales, avec une for-
mule pour calculer les trois autres, La Table de logarithmes pu-
bliée par Steinberger en 1840 prétend donner les logarithmes de
tous les nombres depuis i jusqu'à 1 000000, mais elle s'arrête en
réalité à 10000 5 l'interpolation doit faire le reste ! D'autres fois un
Catalogue de librairie annonce une « Table des diviseurs des nom-
bres depuis 1 jusqu'à 1 000000 », et oublie d'ajouter qu'il ne s'agit
que de la première section (i à iSoooo ), qui a été seule pidiliée -,
et ainsi de suite.

Dans les premiers temps qui suivirent l'invention des loga-
rithmes, l'usage était d'inscrire le nom de Neper en tête des Tables
et d'y ajouter celui de Briggs quand le livre renfermait des loga-
rithmes vulgaires. C'est de là qu'est venue l'erreur assez commune
qui consiste à attribuer à Briggs ou à Neper Y Arithmetica d'Adrien
Vlacq. Si l'on ajoute à cela les cent manières différentes dont les

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i5

contemporains orthographiaient les noms des premiers inventeurs
des logarithmes, on comprendra aisément que les rapporteurs aient
eu quelque peine à débrouiller les informations concernant les pre-
miers Recueils de Tables logarithmiques.

Des Notices bibliographiques sur ces vieux livres forment un élé-
ment important de l'Histoire des Sciences mathématiques en géné-
ral, et elles ont d'autant plus de prix que les renseignements que
l'on ti'ouve dans les Recueils bibliographiques sont souvent peu
dignes de confiance. «L'examen d'un grand nombre d'Ouvrages
spéciaux qu'il nous a fallu consulter », dit M. Glaisher, « a montré
combien sont inexacts, non-seulement dans les détails, mais encore
dans les faits importants, les renseignements bibliographiques
qu'on rencontre chez la plupart des écrivains. Si nous exceptons
Del ambre, Lalande [Bibliographie astronomique) et de Morgan,
on peut dire hardiment qu'il n'est pas un seul écrivain sur la ma-
tière auquel on puisse se fier complètement (*). Ceux qui ont eu l'oc-
casion d'élucider un point d'histoire, comme par exemple l'inven-
tion des logarithmes, peuvent seuls juger du peu de souci qu'on
avait de l'exactitude avant le commencement du siècle présent, qui
peut être considéré comme l'aurore d'un âge plus scrupuleux ».

Parmi les listes de Tables mathématiques dressées par divers
érudits avant la noinination du Comité de l'Association Britanni-
que, la plus complète était celle que de Morgan avait donnée
en i84'2, à l'article Table de la Penny Cjclopœdia, et qu'il
avait ensuite fait réimprimer avec beaucoup d'additions, dans
l'Encyclopédie de Kniglit [English Cjclopœdia)^ en 1861. Cette
liste renferme 4^7 Tables, dont beaucoup cependant étaient en
dehors du cadre de ce Rapport.

On a puisé en outre des indications plus ou moins précieuses
dans les Ouvrages suivants :

Heilbronner. — Historia Matheseos unwersœ. — Lipsiae, 1742.
Kaestxer (A. -G.). — Geschichle cler Mathematik. — Guttingen, 1 796-1 800.
MURHARD (J.-W.-A.).— Bibliotheca mathcmatica. — Lipsiœ, 1797-1804.
RoGG (J.). — Bibliotliecn uiathematica sive index criticus lihrorum mathcmati-

(') M. Glaisher aurait pu citer, à côlé des précédents auteurs, l'étude remarquable
publiée par Biot en i835, dans \c Journal des Savants.

i6 BULLETIN DES SCIENCES

corum,elc. — Tubingue, i83o. — De cet Ouvrage, la première Section seule a

été publiée.
SoHNCKE (L.-A.). — JBibliothecn mathematka. (Catalogue de livres publiés de

i83o à 1854.) — Leipzig et Londres, i854.
La Lande (J. de). — Bibliographie astronomique . — Paris, i8o3.
Ersch (J.-S.). — Lileratur der Mathematik, Natur und Gewerhshunde . Neue

Ausgabe, von J.-W. Sclnveigger-Seidel. — Leipzig, 1828.
PoGGENDORFF. — Biograplùsch-Uterarisches Handivôrterbuch. — Leipzig, i863.
Milliet-Dechales (R.-P,). — Cursus seu imindus mathematicus . — Lugduni,

1690.
Morgan (de). — Arithmetical Boohs. — London, 1847.
Peacock. — History of Arithmelic, etc., etc.

Le Comité n'a pu se procurer le Recueil de Sclieibel [Einleitung
zurinath. Bilcher-Kemitiiiss, Brcslau, 1769-1^98), qui est souvent
cité par Murliard et d'autres. \J Histoire des Mathématiques de
Montucla n'a rendu aucun service ^ au contraire Y Histoire de
l'Astronomie moderne de Delambre (Paris, 1821) a fourni de
précieux renseignements.

Les bibliothèques qui ont été mises à contribution pour la des-
cription des Ouvrages sont celles du Britisli Muséum, de la Société
Royale, de l'Université de Cambridge, de l'Observatoire de Green-
wicli, du Collège de la Trinité à Cambridge, de la Société Royale
Astronomique, et celle de feu Graves, qui appartient au Collège de
l'Université de Londres et qui renferme une des plus belles collec-
tions de livres de Mathématiques anciens 5 malheureusement cette
dernière n'était pas encore classée, et plusieurs des grandes biblio-
thèques publiques n'ont pas de Catalogue. De là sans doute plus
d'une lacune grave dans le Rapport j on s'en aperçoit en jetant les
yeux sur la statistique suivante, où sont classés par nationalités les
aSo Recueils de Tables cjue le rapporteur a pu se procurer :

Angleterre 109 Suisse 2

Allemagne, Autriche. . . 66 Espagne

France 27 Portugal

Hollande 8 Suède

Danemark 7 Russie .

Italie 3 Egypte .

Étals-Unis 3

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 17

Le Comité espère que ces lacunes pourront être comblées par la
publication d'un supplément, et il prie les mathématiciens et les
bibliophiles de tous pays delui communiquer les titres des Ouvrages
non mentionnés dans son Catalogue qui seraient à leur connais-
sance (*). On se propose également de donner dans ce supplément
une plus large place aux errata des Tables les ydus répandues.
On trouvera plus loin une liste de quelques-uns des Ouvrages qui
ne figurent pas dans le Rapport, et qui pour la plupart nous ont été
obligeamment signalés par M. Houel.

Le Rapport décrit d'abord avec plus ou moins de détails les Tables
numériques classées sous les vingt-cinq rubriques suivantes :

\. Tables de multiplication.

2, Parties proportionnelles.

3. Quarts de carrés.

A. Carrés, cubes, racines carrées et cubiques.
o. Puissances plus élevées que la troisième.

6. Conversion des fractions ordinaires en fractions décimales.

7. Valeurs réciproques.

8. Diviseurs et nombres premiers.

9. Tables sexagésimales et sexcentenaires.

'10. Valeurs naturelles des fonctions trigonométriques.
W. Longueurs des arcs de cercle.

42. Conversion des heures, minutes et secondes en fractions du jour; conver-
sion du temps en degrés, et vice versa.

13. Logarithmes vulgaires.

14. Antilogarithmes.

\o. Logarithmes vulgaires des fonctions trigonométriques,

16. Logarithmes naturels (ayant pour base le nombre e).

17. Logarithmes népériens.

18. Logarithmes logistiques et proportionnels.
18. Logarithmes d'addition et de soustraction.

20. Conversion des logarithmes vulgaires en logarithmes naturels, et vice
versa.

21. Tables d'interpolation.

(') Cos Communications deviont être adressées à M. J.-\T.-L. Glaislicr, Trinity
Collège, Cambridge.

Bull, des Sciences mathcm. et asCon., t. XI. (Juillet 1876.) 2

i8 BULLETIN DES SCIENCES

22. Tables de mensuration (aires de surfaces, volumes, etc.).

23. Logarithmes dualistiques.

24. Constantes mathématiques, nombres usuels.
2o. Tables diverses : nombres figurés, etc.

Cette description analytique remplit jo pages du Rapport
(p. i4-85); chacun des paragraphes consacrés aux diverses catégo-
ries de Tables est précédé d'une courte introduction. Dans la
seconde partie du Rapport, on trouve la description détaillée de
1 18 Ouvrages, qui sont des Recueils de Tables diverses et c|u'il eiit
été difficile de classer sous l'une des 25 rubriques spéciales cjui pré-
cèdent (p. 85-i43). Entin les titres de tous les Ouvrages décrits
dans ces deux Chapitres sont réunis dans une liste où ils sont clas-
sés par ordre alphabétique des noms d'auteurs (p. i43-i64). Un
post-scriptuin rend compte de l'état du travail au moment de l'im-
pression du Rapport.

jNe pouvant suivre le savant rapporteur dans les détails qu'il
donne sur l'histoire de ces diverses catégories de Tables, nous nous
contenterons de prendre çà et là ce qui nous a paru intéressant.

Les premières Tables de multiplication sont probablement celles
de Thomas Finck, publiées à Copenhague en 1604 i mais les pre-
mières qui aient une certaine étendue sont celles de Herwart de
Hohenburg ( 1610), C[ui ont été égalées, mais non surpassées, par
les Tables de Crelle ( 1864 ), les plus commodes que l'on possède
aujourd'hui, et les plus répandues.

Ces Tables étant à double entrée, on a cherché, par divers arti-
fices, à construire des Tables de multiplication à une seule entrée:,
telles sont les Tables des quarts des carrés [ai'iflmomes]^ dont le
principe est fondé sur la formule

ob = ^. [a + by— j{a — bV.

4 4

Pour obtenir le produit de deux nombres «, Z>, il suffit de cher-
cher dans la Table le quart du carré de leur somme et celui de leur
dilîerence, et de retrancher le dernier du premier. Voisin a fait
paraître une Table de ce genre en 1817; mais Ludolf en avait
indiqué le principe dès 1690. D'autres Tables analogues ont été pu-
bliées par Centnerschwer (i825), Merpaut (iSSs), Laundy (i856).

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 19

Ce dernier avait été conduit à construire ses Tables par la lec-
ture d'un Mémoire de ]M. Sylvester. Au reste, une Table des carrés
peut évidemment servir au même usage, témoin la Table des carrés
publiée dans ce dessein par M. A. Gossart en i865.

Laplace, dans un Mémoire Sur divers points d' Analyse que l'on
trouve dans le Journal de l'Ecole Polytechnique (1809), s'est
«gaiement occupé de cette c|uestion 5 il montre que la multiplica-
tion au moyen d'une Table à une seule entrée peut s'obtenir de
trois manières différentes : par les logaritlimes, par les c[uarts de
carrés, et par les fonctions trigonométriques en profitant de la rela-
tion connue

sinasinô = - [ces [a — b] — tos [a-\- b\\.

<(. Cette manière ingénieuse (^) de faire servir des Tables de sinus
à la multiplication des nombres )>, dit-il, « fut imaginée etemployée
un siècle environ avant l'invention des logaritlimes n.

Il est à remarquer que le produit sin^ sinZ» sine peut s'expri-
mer d'une manière analogue par une somme de quatre sinus,
puisque

sina sin6 sine = y£sin(<z-i-/> — c) +sin(<2 + c — 6)

+ sin(6-T-c — a) — sin a + 6-}-c:],

et qu'on trouve des expressions analogues pour les produits de
quatre et cinq sinus, etc. ; de sorte que les Tables de sinus permet-
tent d'exécuter la multiplication d'un nombre quelconque de fac-
teurs. C'est là une supériorité que les formules trigonométriques
ont sur les formules algébriques correspondantes 5 car, en partant de
ces dernières, la multiplication de deux facteurs exigerait une
Table des carrés, la multiplication de trois facteurs une Table des
<"ubes, et ainsi de suite, puisque

-(ihc z=—\^a-\- b-hc]^— [a-^h — c)^ — [a-hc — b]^ — {b -^c — ri ^], etc.
Ces form^ules algébriques se déduisent d'ailleurs des formules

(') Méthode de la prostaphérèse, connue du temps de Tycho Rrahc. ^Voir le»
^stroit. Mittheilungen d« R. Wolf, et Bulletin, t. VU, |>. 35.)

S.

BULLKTJN DF.S SCIENCES

trigonométriques en développant et égalant les puissances homo-

logues.

De bonnes Tables des puissances successives des nombres seraient
très-utiles pour le calcul numérique de diverses fonctions qu'on
peut développer en séries ordonnées suivant les puissances ascen-
dantes ou descendantes de la variable \ car il arrive parfois, pour
certaines valeurs de la variable, qu'il faut aller jusqu'à quinze ou
vingt ternies pour avoir la valeur de la fonction exacte à sept dé-
cimales. Les Tables de logarithmes ne sont pas toujours suffisantes
pour ces calculs, et c'est alors qu'on serait bien aise d'avoir sous
la main une Table des puissances élevées.

M. Glaisher avait déjà calculé en double une Table des douze
premières puissances des nombres depuis i jusqu'à looo; dès
qu'elle aura été calculée une troisième fois et collationnée, on la
fera stéréotyper pour la livrer à la circulation.

Des Tables des plus petits diviseurs des nombres ont été données
par Burckhardt pour les trois premiers millions, puis récemment
par Dase, pour le septième, le huitième et le neuvième million. Ce
travail fut entrepris par le célèbre calculateur vers i8jo, à l'in-
stigation de Gauss, qui était d'avis qu'il fallait étendre les Tables
des diviseurs jusqu'aux dix premiers millions. Un manuscrit con-
tenant ces diviseurs pour le quatrième, le cinquième, le sixième
million avait été déjà présenté à l'Académie des Sciences de Berlin
par Crelle \ il ne restait donc alors qu'à compléter le travail par les
quatre derniers millions. Dase est mort en 1862 avant d'avoir achevé
sa tâche \ le manuscrit de Crelle dort encore dans les cartons de
l'Académie. 11 parait d'ailleurs que Burckhardt a laissé un travail
analogue. L'existence de ces deux manuscrits a peut-être em-
pêché les calculateurs de bonne volonté de combler la lacune qui
existe encore dans les Tables des diviseurs : c'est ainsi qu'un ma-
nuscrit qu'on ne publie pas peut devenir un obstacle au progrès.

L'histoire des Tables des sinus, tangentes et sécantes est fort
curieuse. Les premières lignes trigonométriques, déjà employées
par les anciens, étaient les cordes ; on trouve une Table des cordes
chez Ptolémée \ mais la division sexagésimale y est appliquée au
rayon aussi bien qu'à la circonférence 5 on prend pour unité l'arc
de 60 degrés, dont la corde est égale au rayon. Ainsi la corde de
l'arc de go degrés a pour valeur 84"^^i''o'', le rayon étant égalé

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 21

à 60 degrés. Les Tables des sinus calculées par Purbacli et par Re-
giomontanus au xv*^ siècle ne paraissent pas avoir été imprimées.
D'après de ^Morgan, la première Table de ce genre qui ait été im-
primée est une Table publiée avant 1000, sans nom d'auteur.

Regiomontanus a fait paraître en i5o4 sa Table des tangentes,
puis Rlieticus en i55i un Canon complet des six rapports des côtés
d'un triangle rectangle. Une Table de tangentes s'appelait alors
Tabula fœcunda, une Table des sécantes Tabula benejica ou
fœcundissima. En iSpô, 20 ans après la mort de R.heticus, parut
son grand Canon trigonométrique intitulé : Opus palatbiuin^ où les
valeurs naturelles des six rapports sont données avec dix déci-
males, de dix en dix secondes \ puis, en i6'i3, Pitiscus publia les
Tables des sinus calculées par Rlieticus avec quinze décimales,
dont il avait retrouvé le manuscrit à moitié pourri parmi les papiers
du libraire qui avait édité VOpus palatinum. Ces Ouvrages, avec
V yirithinetica logarithmica et la Trigononieti'ia arUJîcialis de
\ lacq, sont les sources d'où dérivent les Tables modernes.

Parmi les auteurs qui ont raconté l'histoire de l'invention des
logarithmes, quelques-uns, comme Hutton, ont accusé John Napier
d'avoir passé sous silence la part d'initiative qui revient à Briggs
dans l'introduction du système décimal à la place du système natu-
rel -, d'autres, comme Mark Napier, diminuent Briggs et en font
un simple calculateur. Le rapport de M. Glaisher rétablit la vérité
sur ce point en montrant par des citations que Briggs et Napier ont
eu, chacun de son côté, l'idée de ce perfectionnement, et que ces
deux hommes sont restés, jusqu'à la mort de Napier, dans les rela-
tions les plus amicales, ce qui suffit à laver la mémoire de Napier
de tout reproche.

On sait d'ailleurs que les logarithmes népériens ne sont pas tout
à fait les mêmes que ceux que l'on appelle aujourd'hui logarithmes
hyperboliques ou naturels, et qui ont pour base le nombre
e=: 2,^1828. . . . Les deux systèmes sont liés l'un à l'autre par la
relation suivante :

Ing nép

e'°""*' •= loooooooe
ou bien

lognép. X ■:=.■ looooooo (log nal. looooooo — lognal. x).

■Il '■ BULLETIN DES SCIENCES

Quoique le nom de Juste Byrg ou Bûrgi ne soit pas passé sou»
silence, M. Glaisher ne donne ni le titre de son Ouvrage (publié à
Prague en 1620}, ni aucune indication sur son système. Biirgi
A'emploiepas le mot de logarithmes ; mais ses « nombres rouges »
peuvent être considérés comme formant un système de logaritliraes
dont la base serait le nombre 1,0001, de sorte que

log Biirgi = lognat. x 10000,49999166. . . ,
et

log Bûrgi 10 = 23027 ,00220. • • •

Il est bien entendu d'ailleurs que les droits de JNeper au titre
d'inventeur des logarithmes sont liors de toute contestation.
Comme Archimède avait trouvé dans les progressions numériques
le moyen de compter les grains de sable que peut contenir la sphère
des étoiles, ainsi le « baron écossais ;> y a vu celui de nous libérer de
l'écrasant labeur des divisions et des multiplications, et il a facilité
dans une étonnante mesure les progrès de l'intelligence humaine.

Les Tables de logarithmes à quatorze décimales de Briggs, ré-
duites à dix décimales et complétées par Adrien Ylacq, sont la
source où Vega a puisé son Thésaurus, publié en i794- Cependant
à ce moment la France possédait déjà les fameuses Tables du Ca-
dastre, calculées en double sous la direction de Prony, « le monu-
ment de calcul le plus vaste et le plus imposant qui eut jamais
été exécuté ou même conçu ». Il en existe deux exemplaires ma-
nuscrits, formant chacun 17 volumes in-folio, dont l'un est déposé
aux Archives de l'Observatoire de Paris, l'autre à la Bibliothèque
de l'Institut. M. Lefort en a donné une description détaillée en
i8j8, dans les Annales de l'Observatoire. En 1820, le Gouver-
nement anglais offrit, parait-il, de faire la moitié des frais d'im-
pression, mais cette oifre ne fut point acceptée.

Parmi les publications récentes les plus importantes, il faut citer
les' Tables de IM. Sang(i87i}, qui donnent les logarithmes des
nombres depuis i jusqu'à 1000 avec dix décimales, et depuis
20000 jusqu'à 200000 avec sept décimales, disposition qui offre de
grands avantages au point de vue des interpolations.

Les premières Tables logarithmiques des sinus et tangentes sont
celles de Gunter ( 1620), qui ont sept décimales, puis viennent la
Trigonometria Britannica de Briggs (i633), qui donne les loga-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 2,1

ritlimes des sinus, etc., avec; quatorze décimales pour chaque cen-
tième de degré, et la Tvigonometrla avtificialis de Vlacq, qui les
donne avec dix décimales de lo en lo secondes.

Il faut ensuite mentionner les Tables de Micliael Taylor ( 1^92),
de Bagay (1829) et de Sliortrede (i 844) ^ qui toutes sont à sept déci-
males et vont de seconde en seconde. Les Tables trigonométriques
du Cadastre ont été calculées pour la division décimale du quart de
la circonférence.

Sans l'apparition des Tables de Vlacq, il est probable que la
division décimale du degré ordinaire, inaugurée par Briggs, eût
prévalu. M. Glaislier exprime l'espoir qu'on y reviendra, et que ce
système, qui oftVe tant d'avantages, sera un jour définitivement
adopté; « car il faut tenir pour certain », dit-il, « que la grandeur du
degré ne sera jamais changée ». Selon le rapporteur, le centième
du quart de la circonférence est une unité tout aussi arbitraire que
le degré nonagésimal, et la substitution de l'un à l'autre n'aurait
que des inconvénients, tandis que la division décimale du degré, en
nous débarrassant des minutes et secondes, nous procurerait tous
les avantages d'un véritable système décimal. 11 nous semble
cependant que le quart de la circonférence, pris comme unité, mé-
rite la préférence dès qu'on dépasse 90 degrés, comme dans la plu-
part des calculs de la Mécanique céleste. Des Tables construites
suivant la division naturelle du quadrant, laquelle est sans aucun
doute la division décimale, serviraient aux astronomes calculateurs
(qui n'empruntent que très-peu de données aux recueils d'obser-
vation, et se bornent à opérer sur un petit nomlîre d'angles donnés),
aux mathématiciens purs, aux ingénieurs, aux arpenteurs. Toutes
les personnes sans exception qui en ont fait l'essai y ont trouvé de
très-grands avantages, et notamment une réelle économie de temps,
ce qui entraine toujours comme conséquence une diminution des
erreurs de calcul. Une question aussi capitale eût d'ailleurs mérité
d'être discutée à fond dans le Rapport, au lieu d'être tranchée en
quelques lignes, au bas d'une page.

Il est digne d'être noté que la division décimale du degré avait
été proposée par Simon Stevin longtemps avant Briggs, dans son
célèbre Traité de la Disnie, où il expose l'invention des fractions
décimales (i585). ^ oici le passage qui renferme cette proposition :

« Article \. — Des compiitations astronomiques. — Aians les

xî BULLETIN DES SCIENCES

anciens astronomes parti le eircle en 36o degrez, ils voioient que
les computatious astronomiques d'icelles, avec leurs partitions,
estoient trop laborieuses, pourtant ils ont parti cliasque degré en
certaines parties, et les mesmes autrefois en autant, etc., à fin de
pouuoir par ainsi tousiours opérer par nombres entiers, en choi-
sissans la soixantiesme progression, parce que 60 est nombre mesu-
rable par plusieurs mesures entières, à scauoir i, 2, 3, 4^ 5, 6, 10,
12, 10, 20, 3o 5 mais, si l'on peut croire l'expérience (ce que nous
disons par toute reuerence delà vénérable antiquité et esmeu avec
l'y milité commune), certes la soixantiesme progression n'estoit pas
la plus commode, au moins entre celles qui consistoient poten-
tiellement en la nature, ains la dixiesme, qui est telle : Nous nom-
mons les 36o degrés aussi commencemens, les dénotans ainsi :
3^0 (**), et cliascun degré ou i (*) se diuisera en dix parties égales,
desquelles chascune fera 1 (*}, puis chasque i ( * ) en io(^),et
ainsi des autres, comme le semblable est faict par plusieurs fois
ci-deuant ».

Les logarithmes logistiques ou proportionnels sont des loga-
rithmes de certains rapports 5 ce sont des logarithmes ordinaires
qu'on a retranchés d'un nombre constant. Les logarithmes d'addi-
tion et de soustraction, dont la première idée est due à Leonelli
( 1 802}, ont été vulgarisés par Gauss, et on les a modifiés de bien des
manières. 11 est à regretter que le Rapport ne discute pas la dispo-
sition plus ou moins convenable adoptée par les divers auteurs^
celle de \a.Ji/ie Table of Gaussian Logarilhms de Wittstein (p. y8
du Rapport) est la moins bonne de toutes.

Notons encore que les Tables de Babbage, si vantées pour leur
correction, renferment environ 200 fautes sur la dernière figure,
dans la partie à 8 décimales (à la fin), empruntée de confiance à
Callet, qui a calculé avec peu de soin les logarithmes de 102000
à 108000. Ces fautes ont été reproduites dans le Recueil de Vega-
Hiilsse (où elles se trouvent encore aujourd'hui) et dans les Tables
de Kôhler, où elles ont été ensuite corrigées. C'est M. Hoûel et
M. Lefort qui les ont signalées les premiers et corrigées d'après les
Tables du Cadastre.

En i863, M. Oliver Byrne a fait une curieuse tentative pour
remplacer les logarithmes par un autre système de nombres qu'il
appelle Diial Logarithms et dont il a publié des Tables. Un

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 25

« nombre dualistiquc ( Dual Number) de l'écliclle ascendante »
est un produit formé par les puissances entières des facteurs :

I , I ; 1 ,oi ; I ,ooi ; ....

On se contente d'écrire les exposants précédés du signe ^, de
sorte que

56, 9, 7, 6= (i,i)'= (i,oi)«(i,ooi)' ( 1,0001 )«.

Quand tous les exposants, sauf le dernier, sont égaux à zéro, on
a ce que ]M. Byrne appelle un logarithme dualistique. Il s'arrête à
liuit facteurs ; ses logarithmes dualistiques ont par conséquent
sept zéros avantle cliiifre qui les caractérise. La branche descendante
est formée par les produits des puissances de facteurs, tels que

0,9, 0,99, 0,999,

dont on écrit les exposants suivis du signe ^, et ainsi de suite.

Ces citations suffiront pour faire comprendre l'intérêt que pré-
sente le Rapport du Comité des Tables, et le service que la publi-
cation de ce travail a rendu à la Science. Ajoutons quelques mots
sur les Tables dont la construction et l'impression ont été com-
mencées.

Les Tables des fonctions de Legendre donnent les valeurs
exactes des sept premiers P"(x) pour toutes les valeurs de x com-
prises entre zéro et l'unité, de centième en centième. On a

V' = x, P' = -(3^-'- 1), ...,
2

P' = — r iic\x' — DQ3.r* + 3i5 x^ — 35 :r),
16 ^ ^

Ces Tables ont été calculées en double, par l\L W. Barrett Davis et
par les calculateurs placés sous les ordres de M. Glaisher. Elles
seront publiées avec une introduction de NL Cayley.

Les l^ables des fonctions elliptiques donneront les valeurs des
quatre fonctions ^ et leurs logarithmes à huit décimales pour les
arguments

.r =r I", ?.", . . ., go",
/=:sini", sina'^, ..., singo".

Ces Tables, qui sont à double entrée, renferment par conséquenL

2G BULLETIN DES SCIENCES

8 nombres pour chacun des 8100 arguments, en tout 64800 nom-
bres. Huit calculateurs ont été employés à ce travail sous la direc-
tion de M. James Glaisher et du Rapporteur ; on espérait qu'elles
seraient achevées dans le courant de l'année 1874- Elles seront pré-
cédées d'une introduction dans laquelle MM. Cayley, Smith,
Thomson et Stokes exposeront les usages variés auxquels se prê-
tent les fonctions elliptiques. « La publication de ces Tables )■>, dit
M. Glaisher, « ouvrira aux applications pratiques une vaste et fertile
province du domaine de l'Analyse. »

Il faut regretter qu'on n'ait pas adopté, pour ces Tables, la di-
vision décimale du quadrant, qui en aurait beaucoup facilité l'usage.
Au reste, l'emploi de l'ancienne division n'est pas le seul inconvé-
nient qu'elles offrent. Il est à craindre que ces Tables à double
entrée ne soient d'un usage peu commode, l'interpolation de pa-
reilles Tables étant plus difîicile que le calcul direct à l'aide des
formules que l'on possède maintenant. Ce qui serait très-utile, ce
seraient des Tables à simple entrée, donnant les valeurs de K, E,
^,. . ., en fonction du module; avec cela et de bonnes Tables des
fonctions hyperboliques, le calcul des fonctions â- se ferait proba-
blement dans tous les cas avec presque autant de rapidité que la
recherche d'un nombre par interpolation simple. R. Radau.

OUVRAGES OMIS DANS LE RAPPORT DU COMITÉ DES TABLES.

BuRGi (Jobst). — A7-itIimctische uud geninclrischc Pr-ogress Tabiden , sainht
griïndliche/i Untcrriclu, ivic solchc niïlzlich in ollcrley Rechnungcn zu gc-
brauclien und vcrstandcn iverdcn snl. — GedruckL in der allen Stadt Prag,
im Jahr 1620. — In-4°, de 7 ^ feuilles. (Cité par Kastner. Les nombres sont
imprimés en noir, les logarithmes en rouge. Voir à ce sujet un Mémoire de
M. Gieswald, publié vers i856 dans VJ/r/iir de Grunert,el citéà la page 71
du Rapport).

Baudusson. — Le Rapporteur exact ou Table des cordes, etc. 4" édition. —
Paris, 1861.

Bouché. — Notice sur les usages cran nouveau système de logaritlunes. In-8°,
avec une planche. —Angers, iSîg. (Log. graphiques.)

Carr (Rev. John). — A Synopsis of Practical Philosopliy. — London, i843.

NoEL DuRRET. — Tabulœ RichcUaniœ , i64r. (Log. népériens.)

Etienne. — Tables des racines carrées. i8j2.

Gossart. — Table des carrés de i « 100 i/ii liions, au moyen de laquelle on ob-
tient des produits exacts, etc.. !865.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 27

Hertzer. — MatJienmtische Tnbellen. — Berlin, 1864.

Hoi'EL. — Recueil (le formules et de Tables numériques. In-8°. — Paris, 1866.
(Contient 19 Tables de logarithmes et d'autres fonctions telles que les fonc-
tions hyperboliques, elliptiques, etc., et une excellente Introduction; le Rap-
porteur y aurait trouvé d'utiles renseignements et l'accomplissement de
quelques-uns des desiderata qu'il signale.)

KusTER. — Tahelle der Sinus iind Cosinus, etc. In-fol. — Miihlhausen, 1868.

Le Besgle. — Table des plus petits diviseurs de i à 2i5ooo. — Tables d' in-
dices pour les nombres premiers < 200.

Ovox. — Tables de multiplication. 1 vol. in-4°. 4" édition. — Paris, 1864.

Prestet. — Éléments de Mathématitiues, i68g. (Log. de i à 20000.)

ScmvEiZER. — Quadrattafeln. — Mi tau, 1862.

Tables de logarithmes. A 27 décimales : Fédor Thoman, 1867.

A 7 décimales : Caillet, 1848; Croizet; Luvini, i865; Matzek^ 1861; Querret,
i83o; Vega (1" édition), 1783.

A 6 décimales : Bouguer, Bezout; Caillet, i858, 1872; Guépratte; Hierl, i85i;
Marie et Lalande, 1760; Plauzoles, 1809, i83o; Queipo, i863, 1876; Ruhlmann
(7' édition), i865; Stampfer, i852.

A 5 décimales : August, 1846 (G" édition, i8(rj); Bourget et René, 1864 ;
Delagrive, 1806; F. -G. Gauss, 1870; Gernerth, 1866; Hahn, i823; Keith, 1826;
Ligowski, 1867; Lukas, 1860; Lutter, 1866; Meldola, 1840; Midy [Tables pres-
tinventives), i83o; Nell, 1866; Oeltzen (antilogarithmes), 1866; Picarte ; de
Prasse et Molhveide, 1821; Westphal, 1821; Wittstein, iSSg; R. Wolf, 1860.

A 4 décimales : Hoiiel, 186G; Schoder, 18G9; Wittstein; Wild ; Zech, 1864.

REVUE DES PUBLICATIONS PÉRIODIQUES.
JOURNAL FCR DIE REINE u.ND ANGEWANDTE Mathematik, herausgegcben von

C.-W. BORCHARDT ( ' ) .

T. LXXX; 1875.

KowALEvsKY (Sopliie von). — Sur la théorie des équations aux
dij^ér en ces partielles. (82 p.)

M™^ de Kov\^alevskY, native de Russie, ayant fini ses études de
Matliématiques auprès de M. Weierstrass, a publié ce Mémoire
comme dissertation inaugurale pour obtenir par là le grade de

('^ Voir Bulletin, t. IX, p. 176.

28 BULLETIN DES SCIENCES

docteur auprès de la Faculté de Philosophie de l'Université de
Gottingue (*).

Aucoranicneement de ce savant Mémoire, on trouve les théorèmes
fondamentaux sur l'existence de séries de puissances (Potenzrei-
hen), qui satisfont comme intégrales aux équations dilférentielles
ordinaires, théorèmes empruntés, dans la forme où ils sont énoncés,
aux cours de M. Weierstrass. Les recherches de M™^ de Kowa-
levsky ont pour objet de répondre à la question, si les théorèmes
qui servent de base à la théorie des équations dilîerentielles ordi-
naires admettent une généralisation pour les équations algébriques
aux différences partielles.

Le premier paragraphe traite de Ti équations différentielles li-
néaires homogènes contenant n fonctions indéterminées et r + i
variables indépendantes. Le deuxième s'occupe d'une équation dif-
férentielle d'ordre n contenant une fonction indéterminée cj) et
/• 4- I variables indépendantes. La recherche se restreint d'abord
au cas dit normal^ où une quelconque des dérivées d'ordre /z, soit

y--^5 est réellement contenue dans l'équation différentielle. Le

troisième paragraphe montre la réduction du cas général au cas
normal, et enfin le quatrième roule sur le problème général de
déterminera fonctions analytiques ©i, . . ., o,,, des /' -I- i variables
a:, Xj, . . . , jCr, quand on se donne un système de jji équations algé-
briques aux différences partielles, qui est de l'ordre /i^ par rapport

M™'' de Kowalevsky prouve qu'en général il est possible de
trouver des développements en séries de puissances; cependant il
y a des exceptions et des précautions dont il faut user, mais que
nous ne p£«îrrions pas détailler sans dépasser de beaucoup les limites
d'un simple compte rendu.

CoMBEscuRE (Ed.). — Sur f/uelques systèmes parùculiers d'é-
quations différentielles. (20 p.; fr.)

Ce Mémoire comprend six paragraphes : § 1 . Remarques géné-

( ') Du temps de la publication (1874), il n'était pas encore nécessaire d'y passer un
examen oral; il sufllsait d'avoir fait des études régulières et de présenter un Mémoire
scientifique. Depuis, les règlements de cette Université ayant été changés, la promotion
in absentia n'y est plus permise.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 29

raies. (Sur un système d'équations différentielles du premier ordre.)
§ 2. Cas des équations linéaires. Etant donnée une intégrale d'un
système d'équations linéaires homogènes et une solution particu-
lière de ce système, on peut en déduire le tout ou partie des inté-
grales de ce système. § 3. Problème de Géométrie : «Etant donnée
une courbe [x^^ Xg, x^)^ située sur une surface du second ordre,
aussi donnée,

^ + -: 4- ^ = I ,
a? «ï «3

trouver une autre courbe (Xi, Xg, X3), située sur la même sur-
face, telle que ses tangentes soient respectivement parallèles aux
tangentes successives de la première. « § 4. Problème de Mécanique :
« Détermination des cosinus des angles que font trois axes rectangu-
laires mobiles avec trois axes rectangulaires fixes, quand on connaît
en fonction du temps les composantes de rotation du système autour
de chacun des axes mobiles. » § 5. Problème d'Analyse : « Le système
d'équations différentielles proposé est le suivant :

rti X| -+- «2X2 + «73X3 -i- «4 X4 = h,

d\, _ dX, _ (/X3 _ dX,

«1 «2 03 «4

«1, «2, «3, «4, h étant des fonctions données quelconques d'une va-
riable indépendante t. » § 6. Digression relative à un système parti-
culier d'équations algébriques.

RosAKEs. — Sui^ fa transfoi-jnatioji d'une forme quadratique
en elle-même. (21 p.)

La généralisation du problème de la substitution orthogonale
conduit au problème traité par M. Hermite, tome LXVII de ce
Journal, et qui consiste à déterminer les coefUcients d'une substitu-
tion linéaire, de sorte qu'une forme générale quadratique /(.r) soit
transformée en elle-même, soit en f{X). Dans le Mémoire que
M. Hermite a consacré à cet objet, il a réussi à établir pour une
forme ternairey(x) les neuf coefficients de substitution, formés des
six coefficients de f[x) et de trois constantes arbitraires. C'est
pourquoi M. Rosanes désigne une telle substitution sous le nom de
substitution d' Hermite [Hernnte' sche Substitution). Mais, tandis
que le problème delà substitution orthogonale mène à des équations
où entrent les seuls coefficients c\ de la substitution, on ne rencontre

3o BULLETIN DES SCIENCES

dans la substitution (l'Hermitc, au premier abord, que des relations
entre les coefficients c\ et ceux de la forme proposée. Cependant,
après avoir remarqué que l'équation, dita fondamentale, de la sub-
stitution devient réciproque, on entrevoit la possibilité d'établir une
détermination de la notion de substitution d'Hermite indépendam-
ment de la forme quadratique individuelle.

Ayant trouvé ce point de vue, M. Rosanes représente la substi-
tution qui transforme une forme quadratique en elle-même, sous
une forme qui la caractérise distinctement et qui en fait reconnaitre
aisément la propriété essentielle. De plus, il montre que le système
des coefficients c^., qui ne sont pas indépendants les uns des autres,
admet une représentation simple, non pas au moyen du nombre
nécessaire des grandeurs indépendantes, mais par un nombre supé-
rieur à celui-là. Enfin, dans la dernière Partie du Mémoire, on
trouve une métliode développée pour résoudre le problème : «Etant
donnée une substitution d'Hermite, déduire d'une forme adjointe
f{x) successivement d'autres formes qui puissent être transformées
aussi en elles-mêmes par cette substitution ».

GuNDELFiiVGER (S.). — Sur le sjstème simultané de trois formes
ffuadratif/iies ternaires. (i3 p.)

Ce Mémoire développe d'abord les résultats obtenus par M. Her-
mite (t. L\ II du même Journal), sur la représentation typique de
trois formes quadratiques ternaires, résultats qui n'avaient pas
encore été démontrés jusqu'à présent. Pour cela, les coefficients de
la forme cubique ternaire dont les dérivées partielles représentent
les formes données quand on v introduit certaines nouvelles varia-
bles sont exprimés d'une manière simple par onze invariants fon-
damentaux. Alors M. Gundelfinger étudie, à l'aide de la représen-
tation typique, les relations entre les formes du système, et il fait
voir que presque tous les théorèmes relatifs à des formes cubiques
ternaires se transforment immédiatement en d'autres sur trois
formes quadratiques j par exemple, il s'ensuit que «tous les inva-
riants du système, qui jouissent de la propriété des combinants,
sont des fonctions entières de deux d'entre eux». A la fin on ren-
contre quelques applications aux réseaux de surfaces du second ordre.

ScHENDEL (L.). — Sur la théorie des fonctions spJiériques. (9 p.)
Définition des fonctions de Laplace au moyen de dérivées, et
développement rapide des formules principales.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 3i

ScHEKDEL (L.). — ' Sîi7' 1171 développement en fraction continue.

Mathieu (Em.) — Mémoire sur les inégalités séculaires des
grands axes des orbites des planètes. (3i p.; fr.)

« Laplace démontra d'abord que les grands axes ne sont sou-
mis à aucune variation séculaire, si l'on néglige les termes du
troisième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons
supposées très-petites. Lagraiige prouva ensuite que cette proposi-
tion a lieu, quelque loin que l'on pousse l'approximation, et par con-
quent aussi pour des excentricités et des inclinaisons arbitraires.

)) Toutefois, les démonstrations de Laplace et Lagrange suppo-
sent encore que l'on néglige les termes de la fonction perturbatrice
multipliés par les carrés et les pi-oduits des masses. Poisson, dans
le Journal de V Ecole Polytechnique (X^'^ Cahier), a ensuite dé-
montré que le tliéorème est également vrai, quand on a égard aux
termes de la fonction perturbatrice du second ordre par rapport aux
niasses. . . .

» Maintenant que l'on sait C|ue les grands axes des orbites des
planètes ne sont soumis à aucune variation séculaiie, quand on
néglige les termes du troisième ordre par rapport aux masses per-
turbatrices, il reste à se demander si le théorème est encore vrai,
lorsqu'on tient compte de tous les ordres suivants, et si par con-
séquent les valeurs des grands axes oscilleront éternellement autour
d'une valeur moyenne, en admettant que le système planétaire ne
soit dérangé par aucune cause extérieure.

» Dans le Mémoire qui suit, je ne suis pas parvenu à traiter en-
tièrement cette question 5 mais, après avoir retrouvé le résultat ob-
tenu par Poisson, je vais plus loin et je démontre que l'inverse du
grand axe d'une planète n'est sujet à aucune inégalité séculaire, en
ayant égard à tous les termes jusqu'au troisième ordre inclusive-
ment. . . . ))

Stuk:m (11.). — Suite des recherches sur les courbes gauches
cubiques. (22 p.) •

JNous avons déjà signalé ce Mémoire [Bulletin, t. IX, p. 180), à
l'occasion du premier travail de M. Sturjn. En comptant d'une ma-
nière habile le nombre des courbes gauches cubiques déterminées
par des éléments donnés, M. Sturm a obtenu les caractéristiques

3-2 BULLETIN DES SCIENCES

dans difTércnts cas remarquables : c'est pourquoi nous ajoutons ici
le tableau où il a réuni les nombres trouvés par lui dans ses deux
Mémoires.

Soient xP la condition signifiant que la courbe passe par x points^
X5, qu'elle a x droites pour cordes; xl^ qu'elle est rencontrée une
fois par chacune des x droites; jctt, qu'elle touche x plans 5 7:^, qu'il
y a osculation entre elle et un plan ; 7:/, qu'elle touche un plan sur
une droite : alors le tableau suivant donne le nombre des courbes
gauches cubiques qui satisfont aux conditions écrites dans les pa-
renthèses :

(6P)= I,

(5P,i5) = i, (5P,2/)= 5, (5P, i/, i7r) = io,

(4P,25) = o, (4P,i^,2/)= 4, (4P, 1^, i/, i7r)= 8,
(3P,3^) = i, (3P,2^,2/j= 4, (3P, 25, i/, 17:)= 8,
(2P,4.s) = i, (2P, 3^, 2/)= 6, (2P, 35, i/, itt) = 12,
(iP,55) = i, (iP,45,2/)= 9, (iP,45, i/, i7r)=i8,
(65) =6. (55, 2/) = 20. (55, I /, ir) =40'

(5P,27r) = 2o, (5P,7:')= 6, (5P,7r/) = 3,

(4P, i5,27t) = i6, (4P,i5,7r')= 3, (4P, 15,7:/) =3,

(3P, 25, 27:) = 16, (3P, 25,7:^]= 3, (3P, 25,7:/)=2,

(2P, 35, 27:) = 24, (2P, 35, 7:^) := 6, (2P, 35, 7:/) = 3,
(iP, 45, 271) = 36, (iP,4s,Tr=)= ^, (iP,45,7:/) = 6,

(55, 27t) =80. (55,7r') = 2I. (55,7r/):=7.

JûRGENS (E,). — La formç des intégrales des équations dij^é-
rentielles linéaires, (ig p.)

Par une nouvelle voie, M. Jûrgens déduit les résultats obtenus
par ÎM. Hamburger dans un Mémoire dont nous avons rendu compte
{Bulletin, t. V, p. 288). De plus, il examine la nature des équa-
tions différentielles d'ordre inférieur qui ont toutes leurs intégrales
communes avec l'équation dillérentielle proposée. En même temps
cette recherche fait voir la connexion intime qui existe, vu la pré-
sence de puissances du logarithme dans les intégrales, entre une
équation diflerenticUe et l'équation correspondante du multiplica-
teur.

Pasch. — Sur la théorie du déternnnant hessien. (8 p.)

Si, au moyen d'une substitution linéaire, une forme homogène

MATIlÈMATlQUnS ET ASTRONOMIQUES. 33

peut être transformée eu une autre qui ne dépend pas de toutes les
nouvelles variables, il faut que le déterminant de la forme s'éva-
nouisse identiquement j mais les recherclies de Hesse (t. XLII et
LVI du même Journal) n'ont pas montré l'inverse, c'est-à-dire
jusqu'où la possibilité d'une telle transformation dépend de la pro-
priété du déterminant de s'évanouir. Après avoir développé quel-
ques relations qui se rapportent au déterminant hessien, M. Pascb
déeide la question pour les formes cubiques à trois ou quatre va-
riables, en examinant tout à la fois les cas spéciaux qui s'y pré-
sentent.

Pasch. — ]Vote sur les détermuiaiUs formés de fonctions et des
dérwées de ces fonctions . (6p.)

Démonstration purement algébrique du théorème connu :
« Si le déterminant des fonctions/",, . . . , />,

jr ./„...,./. J^Txlh;- "dx^

s'évanouit pour toute valeur de .r, tous les déterminants de l'ordre
\ du système

•^' dx dx^ dx'=

f. '3 'ta tll-
•^'" dx dx- dx^

s'annulent pour toute valeur de x. Généralisation du résultat. »

FuobejN'ius (G.). — Sur des écjuations différentielles linéaires
(] ai admettent des intégrales algébriques, (i i p.)

Au commencement, M. Fiobenius établit ce théorème : « Si
toutes les intégrales d'une équation différentielle linéaire et homo-
gène, à coefficients uniformes, sont des fonctions algébriques, elle
possède une intégrale au moyen de laquelle toutes les autres peu-
vent être exprimées rationnellement. « Ce théorème donne lieu à
la question inverse ou à ce problème: « Trouver toutes les fonctions r
qui satisfassent à une équation différentielle de la forme proposée,
lorsque les intégrales, n'étant pas toutes des fonctions algébriques,
peuvent pourtant être exprimées rationnellement en y » . La recherche
montre qu'une équation différentielle de la forme proposée est

/?«//. des Sdfiices mnthrm. rt uitron., t. \1. (.liiillcl 187(1.) 3

34 BULLETIN DES SCIENCES

algébriquement intégrable quand elle possède une intégrale au
moyen de laquelle toutes les autres peuvent être exprimées ration-
nellenicnl, à juoins (jue cette intégrale n'ait une des deux formes
caractérisées dans le Mémoire, Le résultat se prête à un énoncé
élégant dans un cas important, savoir : « Si une équation dillérentielle
linéaire irréductible, de la forme proposée et d'ordre supérieur au
second, possède une intégrale à l'aide de laquelle toutes les autres
peuvent être exprimées rationnellement, toutes les intégrales en
sont des fonctions algébriques ».

ScHELLBACH. — CojistructioTi de la trajectoire d'un point attiré
vers un point fixe d'après la loi de Newton. (lo p.)

Après avoir développé d'une manière rapide les formules les plus
importantes qui servent à intégrer les équations différentielles du
mouvement planétaire, M. Scliellbacli donne cette construction
très-élégante de l'orbite :

Soient F le point fixe attirant, C le point mobile attiré, A* l'ac-
célération imprimée par le point F au point C à l'unité de distance,
\'' la grandeur de la vitesse initiale, q' la longueur de la perpendi-
culaire abaissée de F sur la direction de la vitesse initiale passant

par C. Tirez FC, coupez-en la longueur YV = §=—;—,•, faites

PV= v' et normale à la direction de la vitesse initiale, et joignez
FV; FV^ sera la direction du grand axe de la trajectoire 5 l'autre
foyer F' se construira donc facilement. La courbe sera une ellipse,
une liyperbole ou une parabole, suivant que le point V sera à l'inté-
rieur, à l'extérieur ou sur la périphérie d'un cercle décrit autour
de F comme centre, avec FP comme rayon. D'ailleurs, la droite
qui joint V à l'intersection R d'un rayon vecteur FR' (R.' étant sur
la trajectoire), c'est-à-dire VR, est tout à la fois la vitesse du point
mobile lorsqu'il passe par le point R'.

PopoFF. — Sur le dé\^eloppeuient en une série d'exponentielles.
(. p.; fr.)

CoRRESPOKDAivcE MATHÉMATIQUE entre Lcgeudre et Jacobi.[ 7^ p.)
Réimpriméedans liiBulletin^l. VIII, p. 9.87 5 t. IX, p. 38, 5i eti 26.
ScHWAuz (H.-A.). — Mélanges sur la question des surfaces
ndnima. (21 p.)

Ces mélanges sont une réimpression d'articles du Vicrteljahr-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 35

schrift lier Natuvfovschenil en Gcscllschaft in Ziirich. Ils donnent
dans dix articles les résnltats auxquels est parvenu M. Scliwarz par
ses études sur dillérents points de la théorie des surfaces miniina.
M. Fiedier a ajouté un abrégé de ces reclierches à l'édition alle-
mande de la Géométrie à trois dimensions de M. Salmon : I. Dé-
monstration de quelques théorèmes de M. Ossian Bonnet, qui sont
intimement liés à la représentation conforme de ces surfaces.

II. Formules générales pour les coordonnées d'une surface minimum,

III. Surfaces minima qu'on engendre en déformant par la llexion
une surface minimum donnée. I\' . Aire de la surface d'uu certain
cône comparée à celle d'une partie de la surface minimum. V. Dé-
terminer analytiquement une surface minimum passant par une
ligne analytique donnée, et possédant en chaque point de cette li^ne
une normale donnée dont la direction varie tout le long de la ligne
suivant une loi analytique donnée. Exemples. \1. Remarque histo-
rique sur le problème où une ligne fermée L est le contour d'une
partie de la surface minimum qui ne présente pas de singularités
en dedans de la ligne L. VIL Surfaces minima applicables à des
surfaces de rotation. VIIÏ. Surfaces minima qui contiennent un
faisceau de lignes données. IX. Tracer sur une surface minimum
donnée des contours fermés, tels que la partie renfermée soit elle-
même un minimum entre toutes les surfaces qui passent par le
contour. X. Sur le nombre de solutions du problème M.

ScHWAiiz (H.-A.). — iS«7' les surfaces minima (juisont em>elof?~
pées par un faisceau de cônes du second ordre. ^i4 p.)

Le Mémoire s'occupe d'abordde ce problème : «Déterminer toutes
les surfaces minima qui sont enveloppées par un faisceau de cônes
concycliques (c'est-à-dire dont les sections circulaires sont situées
sur les deux mêmes faisceaux de plans parallèles) », et la seconde
partie du travail prouve qu'il n'y a j)as d'autres surfaces minima
jouissant de la propriété d'être enveloppées par un faisceau de
cônes du second ordre.

Meyer (O.-E.). — u4ddition au Mémoire sur la théorie du
frottement intérieur, t. LXXVIII de ce Journal. (2 p.)

Frobejnids (G.). — Sur- les intégrales régulières des é.y nations
différentielles linéaires, {^ij p.)

Les intégrales d'une équation diUérenticlle linéaire dont les ccef-

3.

36 BULLETIN DES SCIENCES

ficients sont des fonctions analytiques uniformes daiis le voisinage
d'un point zéro sont de la forme

où Uo, "i, • • •■) W/t peuvent être développés suivant des puissances
de X à exposants entiers positifs ou négatifs 5 ou bien les intégrales
sont des agrégats linéaires de plusieurs expressions de cette forme.
Les coefficients de ces séries n'ont été déterminés jusqu'à présent
que lorsqu'ils contiennent seulement un nonabre fini de puissances
de la variable à exposants négatifs. C'est pourquoi de telles inté-
grales ont été nommées légulières ipar M. Thoiné (/oh/vz.^ t.LXXV;
Bull., t. IV, p. 237). Après. M. Fuclis, qui avait déjà entrepris l'é-
tude des équations différentielles linéaires qui n'admettent que
des intégrales régulières, M. Tliomé avait étendu ses recherches
aux équations différentielles qui parmi leurs intégrales en ont quel-
rmes-unes de régulières, et il était parvenu à des résultats remar-
quables. M. Frobenius avait un peu plus tard introduit la notion de
l'irréductibilité dans la théorie des équations différentielles linéaires.
Secondé par cette nouvelle idée, il reprend ici la question traitée
par M. Thomé, et de là il réussit à déduire presque sans calcul
quelques-uns des théorèmes de M. Thomé.

Sturm (R.). — addition aux recherches sur les courbes cubi-
ques gauches, (i p-)

Remarque sur le droit de priorité.

Table des matières des tomes LXXI-LXXX. (10 p.)

T. LXXXI; 1876.

Thomé (L.-W.). — Sur la théorie des équations différentielles
linéaires [suite (*)]• (32 p.)

M. Thomé, dont les recherches antérieures sur les équations diffé-
rentielles linéaires ont été publiées dans les tomes LXXIV-LXXVIII
du même Journal, continue à en étudier les propriétés ; en particu-
lier il s'occupe maintenant de la question suivante : «Etant donnée
une équation différentielle linéaire homogène à coeflicients ration-
nels, à quelles conditions doit-elle satisfaire pour qu'elle contienne

(«) Voir t. 78. — Bulletin, t. VU, p. <>(\.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 3;

les intégrales d'un autre d'ordre inférieur, à coefficients rationnels et
qui ne possède que des intégrales régulières?» Ce qui fait le progrès
essentiel du nouveau Mémoire comparé à celui du tome LXXVIII,
c'est que l'équation difïërentielle cliercliée peut avoir des points
singuliers quelconques (*). M.Tliomé réussit à établir ces résultats
généraux :

Si, dans l'équation différentielle proposée, les indices caractéris-
tiques (^) sont soumis à la seule condition de satisfaire à l'inégalité
o ^h<Ci fn^ où h est le plus grand des indices, 7?i l'ordre de l'équa-
tion différentielle, il ne peut exister qu'une équation différentielle
d'ordre m — - h k coefficients rationnels et dont les intégrales, étant
toutes régulières, soient comprises parmi celles de l'équation donnée.
Le Mémoire actuel apprend à rechercher si cette équation différente
existe et quelle elle est.

Toute la recherche tend à remplacer l'équation différentielle
proposée

par le système

i -^ pi" ;7:3;:^ + • . ■ + pt-,r = F™-/. ( r, ^ ;

dx"'-'' ^' dx'"-''-'

d''s , , d''-'s , , -,

ou bien à faire

(3) F„,(j, x) =y;;F„_/„ ^),

F,n-h(j'i x) étant l'équation différentielle cherchée.

Pour découvrir les points singuliers de l'équation différentielle
F,„_/j = o qui ne reviennent pas dans l'équation différentielle
donnée F„ ::^ o, l'auteur observe que ce sont des points non essen-
tiellement singuliers^ c'est-à-dire où les intégrales de l'équation
différentielle restent toutes uniformes et finies; et que d'ailleurs,
d'après un théorème de M. Fuchs (t. LXVIII du Journal), le pro-

(') Rappelons la définition àe& points singuliers dans la théorie des équations dil-
férentielles linéaires : ce sont les points du plan de conslruciion où les coefficients
de l'équation différentielle cessent d'être finis.

{'■) Voir Bulletin, i. IV. p. 238.

3iS BULLETIN DES SCIENCES

duil du premier eoeliicient de l'équation dilîércntielle par x — (t
devient pour x ^^ a un nombre entier négatif dans un point non
essentiellement singulier. Si l'on décompose alors le coefEcient y»'/"

en fractions simples, soit > ^—^ la partie de ce coefficient qui pro-

1

vient du point singulier clierclié, alors le produit TT (x — «a)"""

a = l

devient une fonction entière et rationnelle.

Pour un point singulier dont l'indice caractéristique h est supé-
rieur à zéro, le développement formel de la grandeur ;?'/" peut se
déduire des /«équationspour les coefficients/7, /7^''^ et g^^'""''^, lesquelles
résultent de l'équation (3 )c[uand on égale les coefficients des dérivées
de même ordre; on peut donc en tirer la détermination des coeffi-
cients de la fonction entière et rationnelle que nous venons de men-
tionner, ///"ayant été ainsi complètement déterminé, les autres quan-
tités/^^''^ et g^('"~'') se déduisent d'un certain nombre des m équations
d'une seule manière. La condition nécessaire et suffisante pour
qu'une solution du problème soit possible demande enfin que les
valeurs trouvées pour les /7'''^ et les ç^t"'-^) satisfassent aussi aux autres
de ces équations.

PocHHAMMEii (L.). — Contribution à la théorie de la flexion
du cjlindre à base circulaire. [iCj p.)

Le problème de la ilexion d'un cylindre, après avoir été traité
par beaucoup d'éminents géomètres, a été résolu dans un certain
sens parNavier-, INL de Saint-Venant a complété les formules de
son célèbre prédécesseur, et les valeurs qu'il établit pour les dépla-
cements sont, en elïet, des solutions des trois équations aux difïeren-
tielles parti(d]es qui régissent les déformations des corps solides à
élasticité constante. Enfin M. Kircliliolf a développé la solution
exacte pour un cylindre infiniment mince.

Actuellement M. Pocliliammer a repris ce problème, parce que
les hypothèses d'où JNavier est parti dans sa déduction n'ont pas
été vériiiées par un exemple, qui, tout en se bornant à des dimen-
sions finies, ait été traité par l'Analyse mathématique. Le cas du
cylindre solide qu'il a choisi pour sujet du présent Mémoire per-
met d'obtenir, par l'intégration complète des trois équations ditîé-
rentielles de l'élasticité, les déformations que produit la fiexion à

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 39

l'intérieur. Les calculs confirment en général la théorie de Xavier,
eu montrant que ses hypothèses constituent une approximation de
premier ordre.

Ce problème spécial a été déjà soumis à l'Analyse dans un tra-
vail de Lamé et Clapeyron {^Mémoire sur V équilibre intérieur des
corps solides homogènes. — Journal de Crelle, t. 7) ; cependant
on n'y trouve que les idées générales qui président au calcul , et
les lois de la flexion n'y ont point été développées. Dans ses Le-
çons sur la théorie niathéniatique de l'élasticité. Lamé n'a pas
reproduit sa solution, et il semble que la complication inhérente à
sa première manière de traiter le problème l'ait empêché d'y reve-
nir plus tard. Toutefois il faut avouer que les travaux prépara-
toires étaient donnés par le Mémoire de Lamé et Clapeyron ; la mé-
thode d'intégration qu'a suivie M. Pochhamraer se rattache à celle
qui a été développée par Lamé à propos dé la question de l'équi-
libre d'élasticité des enveloppes sphériques.

M. Pochliammer divise son sujet en trois Parties : la première
comprend l'intégration générale*, dans la deuxième, il détermine
les constantes arbitraires par les forces données qui sollicitent la
surface du solide j la troisième s'occupe de formules d'approxima-
tion. Pour plus de facilité, il décompose le problème en trois autres
plus simples. Il considère les cas où la surface du cylindre est sol-
licitée seulement : i^ par des forces normales-, 2° par des forces
tangentielles et normales à l'axe du cylindre 5 3° par des forces tan-
gentielles et parallèles à l'axe. Le premier de ces trois problèmes
spéciaux explique déjà les phénomènes (proprement dits) de ilcxion^
car les formules d'approximation du deuxième deviennent, abstrac-
tion faite d'une simple torsion, identiques à celles du premier, et
le troisième ne fournit qu'une llexion secondaire. C'est pourquoi les
calculs approchés de la troisième Partie ont été limités au premier
problème. Le système des expressions obtenues par là pour les dé-
placements est analogue à celui qu'a développé M. de Saint- Venant
pour le cylindre à section normale circulaire; mais les fonctions
cjui y entrent sont plus générales, Eniin deux exemples ont été trai-
tés où la ligne élastique se réduit, dans une première approxima-
tion, aux paraboles connues du troisième et du quatrième ordre.

Obekbeck (L.). — Sui' les mouvements jyermanents d'un fluide
quand on a égard au frottement intérieur. ( 19 p.)

Les équations dillérentielles générales de l'Hydrodynamique (pii

»o BULLETIN DilS SCIEiNCES

lie négligent pas le frottement intérieur ont été employées jusqu'à
présent presque exclusivement lorsqu'il s'agissait de résoudre les
problèmes de déterminer par l'expérience les valeurs numériques
des constantes de frottement. En général, c'est en renonrant au frot-
tement intérieur qu'on a abordé les nombreuses questions de l'Hy-
drodynamique qui ont été examinées. Parmi ces problèmes, il v a
un certain genre de mouvements qu'on peut désigner sous le nom
de courants injluencés par des corps solides dans le fluide. Ces pro-
blèmes ont été l'objet des spéculations d'éminents géomètres alle-
mands, tels que Dirichlet, Clebscli, Kircbhoff. M. Oberbeck a
trouvé qu'une partie de ces problèmes reste accessible à l'Analyse
(juand on part des équations diliérentielles générales.

Si le mouvement d'un fluide, abstraction faite du frottement,
admet un potentiel de la vitesse, et que ce potentiel soit déterminé,
il faut seulement, pour introduire le frottement, ajouter aux com-
posantes de la vitesse déjà trouvées les intégrales des équations
différentielles liydrodynamiques qui correspondent aux mouvements
de tourbillon et qui ont été traitées par MM. Helmboltz et Stefan.
Alors les fonctions arbitraires qui y entrent peuvent souvent être
déterminées à l'aide du potentiel de la vitesse, par les conditions à
la surface.

De cette manière, l'auteur a traité quelques problèmes d'Hydro-
dynamique où, quand on ne tient pas compte du frottement, les
composantes de la vitesse peuvent être exprimées par les dérivées
d'une même fonction. Cette fonction a été supposée indépendante
du temps, c'est-à-dire que l'on suppose le mouvement devenu per-
manent. La question posée est toujours la suivante : «Etant données
les bvpothèses sur le potentiel de la vitesse et sur les limites du
lluide, quelles quantités faut-il ajouter aux composantes primitives
de la vitesse quand on veut introduire aussi le frottement.'^ » Parmi
les diflerents problèmes du Mémoire, signalons surtout l'exemple
d'une splière fixe dans un fluide illimité.

Thomae (J.). — Sur la nkluclion de l'intégrale elliptique
f [sinamuY'du. (12 p.)

M. Tiiomae s'est proposé de clierclier une formule pour l'intégrale

/^x'dx , . 1 r I C x"-' dx

— analogue a la formule pour | ■ — =^ qu on

\lx\x — x][\ — kx) J V' I — X'

trouve dans tous les Cours d'Analyse. Mais il découvre qu'il n'est

xMATHÉMATlQUES ET ASTHONOMIQUES. 4i

guère possible d'établir des formules finies, parce que les séries hy-
pergéométriques qui entrent dans les formules de réduction ne se
prêtent pas bien à une expression simple au moyen de leurs argu-
ments. Néanmoins, quoique ainsi l'évaluation numérique des in-
tégrales ne soit pas avancée par ses formules, M. Thomae les croit
assez intéressantes pour les communicjuer : car elles démontrent
l'importance de l'intégration des formules récurrentes, etleurs coeffi-
cients sont en même temps les modules de périodicité d'intégrales
elliptiques de seconde espèce. D'ailleurs l'auteur cherche à s'ap-
procher d'expressions finies en donnant les coefficients comme nu-
mérateurs des fractions réduites d'une fraction continue.

Heumite (Ch.). — Extrait d'une lettre à 31. Borchardt. Sur
les nombres de BernouUi. (3 p.; fr.)

BoLTZMAiNN (L.). — Remarque relative au Mémoire de
M. O.-E. 3Iejer sur le frotteiuent intérieur, (i p.)

Ftjchs (L.). — Sur les équations di^érentielles linéaires du
second ordre qui possèdent des intégrales algébriques, et sur une
nouvelle application de la théorie des invariants. (46 p.)

Voici le point de départ du nouveau Mémoire de INI. Fuchs :
Soient JiiJ-î les termes d'un système fondamental d'intégrales de
l'équation différentielle proposée; toute aulre intégrale en sera une
fonction linéaire homogène à coefficients constants; donc, si [i est
une intégrale algébrique quelconque, toute fonction symétrique des
différentes valeurs qu'admet ^i sera une forme binaire des deux
quantités j>i, } 2. Cette forme binaire est une fonction rationnelle de
la variable indépendante :;. Toutefois, il se peut qu'elle soit une
puissance d'une autre forme binaire; par conséquent, il faut consi-
dérer généralement les formes en ri et y^ qui représentent une ra-
cine d'une fonction rationnelle de z. Nous en désignerons le com-
plexe par 4>.

Si une racine d'une fonction rationnelle satisfait àl'équation diffé-
rentielle, la forme linéaire est, de toutesles formes <I>, celle de l'ordre
le moins élevé; donc, dans le cas général, il faut rechercher l'ordre
le moins élevé N que puisse avoir une formule du complexe ^.

Or, si z décrit des contours fermés, j'^i et j^ se transforment en
des fonctions linéaires homo£;ènes et à coefficients constants de
j'^i, r, ; partant, les différentes valeurs qu'obtient une forme en
} 1 et } 2 par suite de ces mouvements résulteront de certaines sub-

42 BULLETIN DES SCIENCES

slitutions linéaires opérées sur 71, ja- Cela étant, INI. Fuehs dé-
montre que les covariants d'une forme du complexe 4> représentent
eux aussi des racines de fonctions rationnelles ; d'où il s'ensuit que
les covariants de la forme de ]\ "''"'= ordre dont les ordres sont infé-
rieurs à N doivent tous s'évanouir identiquement. Il serait donc
facile d'eifectuer la détermination du nombre JN, si l'on possédait
la solution du problème, d'indiquer l'espèce des formes binaires de
/7i"^""' ordre dont les covariants d'ordres inférieurs à m s'évanouissent
tous identiquement 5 mais, comme il n'en est pas ainsi, l'auteur
prend le chemin suivant pour déterminer N.

Parmi toutes les racines d'une équation algébrique irréductible,
nommons système radical réduit le système de celles dont le quo-
tient n'est pas constant; et désignons par forme première toute
forme du complexe ^ qui se compose des termes d'un tel système
comme facteurs. Alors il en résulte que la forme de ]\i*^™« ordre et
en même temps son covariant liessien représentent des formes pre-
mières. Et la forme que prend le covariant liessien du covariant
liessien de la même forme amène à conclure que le nombre jN
n'est jamais supérieur à douze. Si l'on réduit encore davantage, on
trouve qu'il ne faut attribuer à N qu'une des valeurs 2, 4i 6, 8, 10,
125 donc, si l'équation différentielle doit avoir une intégrale algé-
brique, cette intégrale (c'est-à-dire une forme de premier ordre
enj^i , j) 2)1 0^1 une forme de ces mêmes intégrales dont le degré égale
un des nombres 2, 4î 6, 8, 10, 12, est la racine d'une fonction ra-
tionnelle. L'inverse de cette proposition a aussi lieu, à l'exception
du cas de N= 2.

Pour reconnaître s'il y a des formes qui représentent des racines
de fonctions rationnelles, l'auteur prend deux voies différentes. La
première nous conduit à la question de savoir si une racine d'une
fonction rationnelle satisfait à une équation différentielle à coeffi-
cients rationnels ; car on découvre que toute forme en ji , j^ de
l'ordre m satisfait à une certaine équation différentielle linéaire à coeffi-
cients rationnels de l'ordre m -|- i , et de là on tire la condition néces-
saire et suffisante pour que l'équation différentielle donnée possède des
intégrales algébriques. Il faut, en général, qu'une certaine équation
différentielle linéaire à coefficients rationnels, dont l'ordre n'est pas
supérieur à 12, soit satisfaite par la racine d'une fonction ration-
nelle. La question de savoir si la racine d'une fonction rationnelle
satisfait à une équation diflérentielle linéaire à coefficients ration-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 43

nels se réduit au problème élémentaire de juger si un système d'é-
quations linéaires a des solutions finies. Au reste, M. Fuchs montre
comment on peut parvenir à ce système d'équations linéaii'es sans
établir en eftet l'équation différentielle d'ordie ]N + i .

La seconde voie revient à une étude directe de la forme enj^i, 7 25
lorsque z décrit les différents contours fermés. Pour cela, M. Fuchs
tire parti des coefficients des relations linéaires liomogènes qui lient
les systèmes fondamentaux d'intégrales appartenant aux différents
points singuliers d'une équation différentielle linéaire , relations
qu'il a développées dans le tome 75 du Journal de Borchardt.

La fin est consacrée au développement de quelques théorèmes

spéciaux; en voici un : « Qu'on réduise au plus petit dénominateur

les nombres rationnels qui représentent les racines des équations

fondamentales appartenant aux points singuliers et à l'hypothèse

u ' v
~ z=: ce de l'équation différentielle — -^=P)'; supposons qu nu

quelconque des dénominateurs soit supérieur à dix : cette équation
différentielle ne possédera pas d'intégrale algébrique, à moins que
la racine d'une fonction rationnelle ne satisfasse à l'équation elle-
même ou à l'équation différentielle linéaire en j^. )>

Caspaky (F.). — La surface des centres de courbure dans le
paraboloïde elliptique. (5o p.)

Les surfaces des cen très de courbure ont été souvent traitées par les
géomètres -, en particulier, Clebsch a publié dans le Journal de Bor-
chardt un Mémoire qui contient les résultats détaillés de ses recher-
ches sur les surfaces des centres de courbures des surfaces du second
ordre. Cependant l'absence de centre dans une surface du second
ordre modifie et simplifie beaucoup les propriétés de ces surfaces,
et c'est pourquoi la Faculté de Philosophie de l'Université de Berliu
avait posé en 1 874 ce problème de concours pour les étudiants :

« Etudier la surface des centres de courbure du paraboloïde el-
liptique et de sa polaire réciproque, et rechercher exactement les
propriétés correspondantes de ces deux surfaces. »

Le prix a été décerné séparément à chacun des deux concurrents,
ISYSl. Caspary et Rohovsky. Plus tard, M. Caspary a complété ses
études sur cet objet et a présenté ses résultats comme dissertation
inaugurale à la même Faculté. Le fruit de ces travaux est le Mé-
moire publié dans le Journal de Borchardt, et qui forme une véri-
table monographie détaillée des propriétés de la surface des centres

44 BULLEThN DES SCIENCES

de courbure du paraboloide elliptique. Le grand nombre des détails
ne nous permet pas d'en énumérer quelques-uns^ contentons- nous
de reproduire les titres des diiïérentes parties du Mémoire.

§ i . Représentation des coordonnées de la surface par deux pa-
ramètres. Relation qui existe entre la surface et le problème des
normales.

§ 2. Déduction d'une équation fondamentale pour la recherclie
et la discussion de la surface des centres.

§ 3. Relations d'invariants. Représentation de la surface des
centres sous la forme finale F [x, y^ z) = ay U^ — 8 VW^ = o.

§ A. Recherche des points de la surface d'où l'on peut mener
trois normales coïncidantes ; plans tangents singuliers et courbes
suivant lesquelles ils coupent et touchent.

§ 5. 1° Points de la surface d'où l'on peut tirer des normales
formant deux couples de normales coïncidantes ^ i° points de la
surface d'où l'on peut tirer des normales formant un svstème de
deux et un système de trois normales coïncidantes; 3° points de la
surface d'où l'on peut tirer des normales dont quatre coïncident.

§ 6. La courbe double de la surface; ses dilîérentes représenta-
tions; ses singularités et nombres caractéristiques.

§ 7. Recherche de la surface polaire réciproque à la surface des
centres; ses singularités et l'abaissement de classe qu'elles pro-
duisent.

KoENiGSBERGER (L.). — Suv Ics l'elatious les plus générales qui
existent entre les intégrales hyperelliptiques. (24 p-)

Le Mémoire résout deux problèmes : 1° réduction du problème
de transformation algébrique au problème rationnel ; 2° relation la
plus générale entre les intégrales hyperelliptiques de même irra-
tionalité.

Les formules qui contiennent les résultats définitifs nous sem-
blent être trop longues et exiger trop d'explications pour pouvoir
être communiquées ici.

Faa de BRtNO. — Sur les fonctions génératrices de Borcliardt.
(3p.;fr.)

Hermite (Ch.). — Extrait d'une lettre à M. L. Kœnigsberger
sur le développement des fonctions elliptiques suiua?it les puis-
sances croissantes de la variable. (9 p. ; fr.)

Il s'agit de l'expression générale, en fonction de l'indice, des po-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 45
Ivnômes rationnels et entiers par rapport au module, qui se présen-
tent dans les développements des fonctions sinam x, cosamo:, Aama;
suivant les puissances croissantes de la variable. M. Hermite trouve
que les développements de ces trois fonctions tendent de plus en
plus à se confondre dans leurs derniers termes avec de simples pro-
gressions. Deux nouvelles séries de polynômes définies par les coef-
ficients des développements de — et présentent en-

^'- smamor cosamx^

core beaucoup d'intérêt^ c'est à l'égard de ces polynômes que
M. Hermite tire de la transformation de nombreuses propriétés
qu'il indique succinctement.

Cavley (A.). — CorrectioTi de deux ci'reius numériques qui se
trouvent dans le travail de Sohnche sur les équations modulaires,
t. XVI. ( I p.)

LiPSCHiTz(R.). — Contribution à la théorie de la courbure .[l'à^ .)
M. Lipschitz se propose de généraliser, pour une variété de ii
variables, le théorème connu de la théorie de la courbure qui dit
que la somme des valeurs réciproques des deux rayons principaux
varie quand on effectue une flexion de la surface, mais que le
produit des mêmes quantités ou la mesure de la courbure de
Gauss reste invariable. Pour donner une idée des recherches de
M. Lipschitz, il nous faut revenir à l'équation B(cù) =: o expli-
quée par l'auteur (*). Le dernier coefficient D„_j de cette équation,
divisé par le premier Do, forme la généralisation naturelle de la
mesure de la courbure de Gauss. Les propriétés invariantives des
coefficients de cette équation, qui avaient été déjà signalées dans les
Mémoires antérieurs, en particulier ^«//e/m^ t. IV, p. 3o4, mènent
rapidement au théorème correspondant, dont voici l'énoncé : « La

généralisation de la mesure de courbure "~' est pour tout 7i im-

■L'o

pair un invariant de la forme g[dy) [Bulletin, t. IV, p. Soy), et,
pour tout n pair supérieur à 2, la racine carrée d'un invariant de
la forme g[dj).

Hamburgek. — Sur la théorie de lintégratioji d'un sjsLènie
de n équations linéaires de premier ordre aux différences par-
tielles contenant deux variables indépendantes et n dépendantes .
(38 p.)

(•) Voir BuUeiiii, t. IV, ]>. '?,o^ (l'i et 1 5).

46 BULLETIN DES SCIENCES

L'étude (les recherches de M. Natani sur les équations diflercn-
tielles, contenues dans son Livre : Die liohere Analysis in vier
Ahhandlan^en, a suggéré à M. Hamburger l'idée de les porter
plus loin. Les §§ 1-3 du Mémoire ont pour objet de rame-
ner l'intégration de « équations différentielles linéaires du premier
ordre aux diilérentielhîs partielles et à n variables dépendantes et
deux indépendantes, à l'intégration de plusieurs systèmes incom-
plets d'équations dillérentielles ordinaires pour toutes les n-\- i va-
riables, si cela est possible, c'est-à-dire si les conditions connues
d'intégrabilité sont remplies. Il résulte de cette recherche que la
classe d'équations linéaires simultanées aux diilérences partielles
intégrée par Jacobi, t. II du Journal de d'elle, est la seule qui
mène à un seul système de n-\- i équations dillérentielles ordi-
naires pour les w -h 2 variables, ou bien à un système complet. Un
complément essentiel des développements de ces trois premiers pa-
ragraphes est fourni par les considérations du § 4 sur la forme des
équations aux diilérences partielles qui dérivent d'intégrales gé-
nérales d'une certaine forme en les dilférentiant et éliminant les
fonctions arbitraires. Cette forme des intégrales est F = (j)(y),
où F et y représentent des fonctions des /i -f- 2 variables, et Q> une
fonction arbitraire. Tandis que l'équation aux dillérentielles par-
tielles dérivée de cette forme d intégrale est toujours linéaire s'il
y a une seule variable dépendante, elle contient en outre, dans
le cas de plusieurs variables dépendantes , des termes tels que
(JrPs — Prf/si où ])i et qi sont les dérivées des ii variables dépen-
dantes prises respectivement par rapport aux deux variables indé-
pendantes. Il existe encore une autre dilférence entre ces deux cas ;
c'est qu'il existe, lorsqu'il y a plus d'une variable dépendante, cer-
taines relations entre les coefficients de l'équation dérivée, au
nombre àe \n[n — i). En confirmant ainsi la solution donnée
dans les premiers paragraphes, on est conduit en même temps à
intégrer ces équations simultanées aux dillérentielles partielles où
entrent les agrégats du second ordre mentionnés ci-dessus, pourvu
qu'il existe certaines équations de condition entre leurs coefficients.
Enfin l'auteur applique sa méthode à l'intégration d'une écjualion
de ^n"^"* ordre aux dillérentielles partielles; M. Natani avait déjà
établi la forme de cette équation dilïérentielle, qui est une généra-
lisation de celle d'Ampère, et en même temps il avait indiqué une
voie pour l'intégrei-.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 47

KosTKA. — 6m/' la déteruiinntion des fonctions symétriques des
racines d'une éc/uatioJi algébrique par ses coefficients. (9 p.)

C'est en construisant \a. fonction génératrice que M. Borcliardt
a montré la source de toutes les méthodes employées pour atteindre
le but indiqué par le titre, et M. Mertens a complété cette re-
cherche. Actuellement xM. Kostka fait voir que la forme fondamen-
tale, d'où découlent toutes les autres fonctions symétriques, admet
une détermination par des considérations simples de permutation
et de combinaison.

Sterjx (M.). — Sur une propriété des nombres de Bernoulli. (5 p.)
Généralisation d'un théorèuie de v. Staudt.

LiPSCHiTz (R.)- — Généralisation de la théorie du rajon oscu-
lateur d' une surface. (7p.; fr.)

Extrait des Comptes rendus de l'Académie des Sciences à^Va.-
ris, séances des 10 et 17 janvier 1876. — Comparaison de sa mé-
thode de généralisation avec celle de M. C. Jordan.

Simon (Max.). — Multiplication des fonctions elliptiques par
des nombres entiers, dans son rapport avec le problème des poly-
gones fermés inscrits aux courbes. (28 p.)

Le problème de la division du cercle dépend de la multiplication
des fonctions cycliques ; le problème d'inscrire certains polygones
fermés à des courbes, par exemple d'inscrire un polygone fermé à
une conique donnée, de sorte que ses côtés touchent une autre conique
donnée, et d'autres pour les courbes du troisième et du quatrième
degré, se lie à la multiplication des fonctions elliptiques. Le Mé-
moire de Jacobi, où il a découvert cette relation et résolu le pro-
blème pour deux cercles (non concentriques), a donné lieu à une
série de travaux scientifiques. M. Simon, élève de M. Weierstrass,
traite le problème spécial de deux coniques générales que nous
venons de mentionner. Son travail donne des formules très-élé-
gantes, tant pour la multiplication des fonctions elliptiques sous la
forme normale de M. Weierstrass que pour la solution du pro-
blème spécial, où les seules constantes qu'il fait entrer sont les in-
variants simultanés des deux coniques.

PocHHAMMER (L.). — Sw les 'vitesses de propagation des pe-
tites oscillations dans un cylindre circulaire infini et isotrope.
(ï3p.)

48 BULLETIN DES SCIENCES

Les rcclierclics malliéinatiques de Bernoulli, d'Euler, de Pois-
son, de Caucliv sur les oscillations de cylindres de longueur finie
fout al)stractiou de certaines parties intégrantes du mouvement^
d'où il s'ensuit que leurs calculs ne peuvent être regardés comme
exacts que pour le cas de cylindres infiniment minces, cas pour le-
quel M. KirchliofFa développé la déduction systématique des équa-
tions diliérentielles. Une méthode plus rigoureuse demande qu'on
cherche à intégrer les trois équations diliérentielles de l'élasticité
et qu'on prenne en considération les conditions à la surface. C'est
ainsi que M. Pochhammer a tâché de procéder pour fixer exacte-
ment les vitesses de propagation des oscillations dans un cylindre
infini à base circulaire.

KiEPEUT (L.). — Su/' les suT'faces miniina. P*" Mémoire. (12 p.)
Ce Mémoire est désigné par l'auteur comme une étude prépara-
toire; on y trouve une série de formules destinées à être employées
dans les recherches ultérieures.

ButNS. — Sur un théorème de la théorie du potentiel. (8 p.)

Cette Note a été occasionnée par le Mémoire de M. Stahl, t. ^9

du même Journal (*). Nous citerons ici le passage qui donne les

conclusions auxquelles M. Bruns est conduit sur la forme de la

Terre ,

«... D'après les explications données, on peut dire ceci sur la surface mathéma-
tique qui renferme le solide de la Terre : Elle est une surface fermée, continue; la
direction de la normale change d'une manière continue; elle est dépourvue d'arêtes,
de sommets ou de points singuliers analogues, parce que la gravité possède partout
une valeur difTérente de zéro. D'après ce que nous savons sur la composition de la
couche superficielle de la Terre, elle passe par des lieux où la densité varie d'une
manière discontinue; donc elle n'est pas formée d'une seule surface analytique, mais
elle est soumise à différentes lois de formation sur différents points. La loi de la for-
mation est la même pour tous les points de la surface qui sont compris dans une
couche matérielle continue, à l'intérieur de laquelle la densité est constante ou va-
riable d'après une certaine loi analytique. Aux lieux de transition, il y a variation
subite de la courbure moyenne, de la mesure de courbure et des azimuts des lignes
de courbure.... » E. L.

(') \oir Builetin, t. X, p. i83.

MATHÉMATIODES ET ASTRONOMIQUES. 49

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

JoHANNis KEPLERI, ASTRONOMi, QpERA OMMA, edidil D"^ Chr. Frisch, Stuttgart.
— 8 volumes grand in-8° de 63oo pages. Francfort-sur-le-Mein et Erlangen,
Heyder et Zimmer, 1858-1871.

Depuis longtemps les nations civilisées ne se sont pas contentées
de rendre liommage à la mémoire des savants illustres en leur éle-
vant des statues et des monuments : elles ont tenu aussi à faire re-
vivre leurs écrits, leurs pensées et leurs travaux. C'est ainsi que
les Français, les Anglais, les Italiens ont réédité, sous le patronage
du gouvemiement et des corps savants, les OEuvres de Laplace,
de Fresnel, de Lagrange, de Lavoisier, de Newton, de Galilée. Les
Allemands les ont suivis dans cette voie lorsqu'ils ont débuté par
la publication des OEuvres de Goethe, de Schiller et de Lessing. Ils
ont pensé avec raison que l'auteur et le fondateur de l'Astronomie
moderne était digne aussi d'un semblable liommage, le célèbre dis-
ciple de Moesllin, Kepler, dont le nom est cher à tous les hommes
qui étudient les mouvements célestes, et qui savent à quelles lois ils
sont soumis.

Les OEuvres de Kepler se distinguent, en effet, par la science
profonde et variée, l'argumentation habile, la pensée ingénieuse,
l'expression originale et empreinte de verve poétique, qui témoigne
d'un caractère heureux, aimable et bien doué. Ces qualités les ren-
daient dignes entre toutes de fixer l'attention des hommes qui s'in-
téressent à la Science comme à la Littérature.

-Mais, en dehors des premières éditions préparées par Kepler lui-
même, il n'existait pas de collection complète de ses OEuvres, et
même plusieurs de ses écrits n'avaient pas été publiés^ aussi une
édition des OEuvres complètes de Kepler vient-elle heureusement
combler cette lacune regrettable.

Une publication de ce genre devait exiger plusieurs années de
travail : commencée en iSJy, elle a été terminée en 1871.

Il est difficile de se figurer quels obstacles aurait eu à surmonter,
pour entreprendre cette tâche, un simple particulier privé de res-
sources et de moyens d'action^ mais cet immense labeur a été lio-
uoré du patronage et de la libéralité de Maximilien II, roi de Ba-

Lull. des Sciences inntlicrn. et /islro/i., t. XI. (Août 1S7G.) 4

5o BULLETIN DES SCIENCES

viôrc, et do M. Norof, ministre de rinstiuclioii publique en Russie;
de Tapprobatiou des astronomes allemands et des sull'rages des Aca-
démies de Vienne et de Berlin, et enfin de la souscription de di-
vers savants, de bibliothèques et de Sociétés d'Europe et d'Amé-
rique.

L'éditeur est enfin arrivé au but de ses efibrts, grâce à la savante
et bienveillante collaboration de M. W. Struve, directeur de l'Ob-
servatoire de Poulkova, qui a généreusement communiqué les ma-
nuscrits de Kepler, que la bibliothèque de Poulkova conserve à
l'égal du trésor le plus précieux; grâce au soin dévoué avec lequel
M. Otto Struve lils a coordonné et discuté ce que ces manuscrits
renfermaient de plus difficile; grâce aussi au zèle éclairé de
MM. C. Scliaaf, professeur au gymnase de Tubingue, et H. Kratz,
professeur au gymnase de Stuttgart.

Possédant à fond la langue latine, M. Scliaaf a réussi à traduire
les passages embarrassants que leur style un peu archaïque avait
rendus obscurs, et M. Kratz a bien voulu se charger du travail pé-
nible de la composition typographique et de la correction de l'Ou-
vrage.

Telles sont, ainsi que l'explique M. le D"" Chr. Frisch, les bases
d'après lesquelles a pu être menée à bonne fin la publication des
OEuvres complètes de Kepler.

L'analyse que nous désirons exposer servira d'énumération des
sujets d'études de l'illustre précurseur de Newton. L'examen dé-
taillé des écrits de Kepler a été fait depuis longtemps, et à diverses
reprises; il n'est donc pas utile de le reproduire ici. Il en est de
même de la biographie de Kepler; nous renverrons donc, comme
pour la critique de ses Ouvrages, aux nombreux écrivains c[ui en
ont fait une étude spéciale, et parmi lesquels nous mentionnerons
Arago, Bailly, Delambre, Saverien, Trouessart, Montucla, Hoefer,
Michaud, Joecher, Niceron, J. Bertrand, etc., etc.

Mais, si la biographie de Kepler est connue dans tous ses détails,
il n'est pas sans intérêt de revenir sur un des caractères spéciaux
du génie de ce grand homme. Doué d'une imagination ardente,
Kepler envisageait la recherche des lois du mouvement des corps
célestes, et de la planète Mars en particulier, comme la poursuite
d'un ennemi entreprenant, et prêt à déjouer toutes les combinai-
sons. Le tableau des phases de la lutte, des tentatives avortées, des

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 5i

l'ssais infructueux, des moments de défaillance, tout cela est lidè-
lement retracé dans les écrits de Kepler. Nous en reproduirons
deux passages, nous bornant à ce court extrait, parce qu'ils nous ont
paru, entre tous, plus particulièrement conçus dans cet esprit poé-
tique qui témoigne de la profondeur de vues de Kepler, et de l'en-
thousiasme que lui firent éprouver le spectacle de son œuvre et \r.
succès de ses elîbrts, exemple admirable et bien digne de l'hom-
mage éclatant que lui a décerné la postérité.

jNous signalerons en premier lieu un passage du Commentaire
des mouvements de Mars, Ouvrage entièrement inspiré par une
pensée unique, et auquel le style imagé qui le distingue donne un
cachet de remarquable vivacité. Kepler n'a pas eu seulement le
génie brillant des grands inventeurs : il a eu encore le génie poé-
tique des grands écrivains.

Voici comment il s'exprime au début du Chapitre LI (IV^ Partiel :
« Mais tandis que, par ce moyen, je triomphe des mouvements
de Mars et que, le croyant subjugué, je lui prépare des Tables et des
équations pour l'entraver et l'emprisonner, on me l'annonce par-
tout ailleurs! Vain succès! Il me faut recommencer la lutte gigan-
tesque; car l'ennemi, retenu prisonnier chez moi, enchaîné comm(;
un captif que l'on dédaigne, a brisé toutes les entraves des équa-
tions, et s'est échappé des prisons de mes Tables. Et cependant, si
l'on se reporte à ce que j'ai dit au Chapitre XLV (à savoir, que l'or-
bite est de forme ovale), aucune méthode, interprétée par la Géo-
métrie, n'a pu lutter d'approximation numérique avec l'hypothèse
auxiliaire du Chapitre XVI qui, bien qu'elle soit erronée, conduit
néanmoins à des équations exactes. Mais les vedettes du dehors,
réparties sur le pourtour de l'orbite, c'est-à-dire dans un ordre par-
faitement naturel, ont taillé en pièces les légioiis d'hvpotlièses phv-
siques du Chapitre XLV, que j'avais mandées en toute hâte; elles
ont secoué leur joug et recouvré leur liberté. Et peu s'en est fallu
que l'ennemi en fuite ne courût rejoindre ses rebelles partisans, et
ne me réduisit au désespoir, si je n'avais eu soudain l'idée d'appe-
ler à mon aide de nouvelles hypothèses physiques, les anciennes
ayant été détruites et dispersées, et si je n'avais fait toute diligence
pour être exactement renseigné et savoir par où mon prisonnier
s'était échappé, le poursuivre sans repos ni trêve et arriver enh'n à
m'attacher à ses traces. Dans les quelques Chapitres qui vont suivre,

4.

52 BULLETIN DES SCIENCES

je raconterai avec ordre chacun de ces événements et comment ils
se sont accomplis. »

Bien (ju'ellc soit exprimée avec beaucoup moins de coloris et de
vivacité, la manière dont Kepler raconte la découverte de la troi-
sième loi mérite également d'être rapportée :

« Jusqu'à présent » , dit Kepler, « il s'est agi des divers éléments de
l'orbite d'une seule et même planète. Je veux, maintenant, lu'oc-
cuper de la relation cjui existe entre les mouvements de deux pla-
nètes.

« Le moment me parait venu de reproduire et de terminer ici
un certain passage de mon Mj stère cosmo^raphii/ue, perdu de vue
pendant vingt-deux ans, parce qu'il ne me semblait pas encore assez
clair. Ayant donc réussi, au prix d'un travail opiniâtre, à déduire
des observations de Tyclio Bralic les véritables durées des mouve-
ments, enfin, enfin, j'ai eu le bonheur de trouver la proportion réci-
proque qui unit les temps à la grandeur des orbites.

Sera quidem respexit inerteni,

Respexit tanien, et longo post tempore venit.

» Lente à se présenter à mon esprit impuissant à la saisir, elle
lui est enfin apparue, après un laps de temps bien long.

» Et, si vous en demandez la date certaine, c'est le 8 mars de cette
année 1618 que, conçue d'abord dans mon esprit, mais soumise
sans succès au calcul, et rejetée alors comme inexacte, enfin re-
prise le i5 mai par un nouvel efibrt, elle a déchiré le voile de
ténèbres de mon intelligence et mis fin à une si longue épreuve, à
dix-sept ans de laborieuse étude des observations de Tycho, et à
une méditation constante, au point que je croyais rêver et faire
quelque pétition de principe. Mais c'est une chose très-exacte et
très-certaine que la relation entre les durées des révolutions de
deux planètes est précisément exprimée par la proportion semi-
cubique des distances moyennes, c'est à-dire des rayons moyens
de leurs orbites, en se l'appelant, toutefijis, que la moyenne arith-
métique entre les deux axes d'une ellipse est un peu moindre que le
plus grand diamètre. » [Harnionices mundi, Lib. V, Cap. III).

Ces quelques extraits sulBront sans doute pour donner l'idée
d'entreprendre l'étude intéressante de Kepler comme astronome,
mathématicien, poète, physicien, etc. 5 mais ces côtés trop spéciaux

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 53

du génie de Kepler ne peuvent être examinés ici, quant à présent,
ri notre intention est simplement de donner une analyse rapide de
la dernière édition des OEuvres complètes.

Tome I. i858.

Le premier Volume (i858) des OEuvres complètes de Kepler a
été consacré aux vingt-trois Chapitres du Mjsteriuui cosniographi-
cum, à la Correspondance de Kepler relative aux théories astrolo-
giques, et enfin aux écrits de Kepler plus spéciaux à cet objet
(prophéties et calendriers pour les années 1098, 1399, i6o5, 1618
et 1619).

Les elForts que l'esprit humain eut à faire pour briser les liens
qui aiTctaient son élan, ou pour donner libre carrière aux nouvelles
idées, et construire l'édifice de la Science sur de nouvelles bases,
les difficultés de toute nature avec lesquelles il allait lutter, tout cela
se trouve décrit à chaque page de ce livre. Cet Ouvrage donne ainsi
une idée nette de l'état des esprits au xvi*^ siècle, et delà tâche in-
grate et laborieuse que, seul, un homme de génie allait entreprendre
et couronner par une découverte aussi brillante. La philosophie
d'Aristote régnait dans la majorité des écoles, ne laissant aux no-
vateurs qu'un champ rcistreint^ à part quelques esprits, tous les
autres étaient tenus sous sa dépendance. Dans les Mathématiques,
on ne connaissait qu'Euclide et Archimède \ l'Algèbre, encore peu
connue, n'était que bien rarement associée à la Géométrie ^ les lo-
garithmes, d'un si grand secours dans les opérations numériques,
n'étaient pas en usage courant. En Géométrie, on n'avait encore que
des méthodes de raisonnement d'un emploi difficile, et qui allaient
attendre une vingtaine d'années pour s'enrichir d'un précieux auxi-
liaire et revêtir une forme plus tangible. En Astronomie, on ne
connaissait cjue Plolémée; peu d'esprits, en elfet, osaient suivre les
idées de Copernic ; l'Astronomie était, d'ailleurs, confondue avec
l'Astrologie et sous son entière dépendance. Pour enseigner l'Astro-
nomie, il eût même été dangereux de se mettre en opposition avec
ces idées, alors en grande faveur. Ces réflexions servirent de ligne
de conduite à Kepler, lorsque ce géomètre, à peine encore âgé de
vingt-cinq ans, entreprit la publication de cet Ouvrage, fruit des
premières réflexions de sa jeunesse.

54 I5ULLET1N DES SCIENCES

L'harmonie de 1 univers avait de bonne heure attiré l'attentioii
de Kepler. La lecture des écrits de l'astrologue Scaliger avait puis-
samment contribué à éveiller sa curiosité. Il pensa, avec raison, que
la clef de l'harmonie céleste lui serait donnée par une étude préa-
lable et approfondie de la nature. Ces méditations constantes,
jointes à une force de pénétration étonnante et à une fécondité
d'imagination qui lui permettait de concevoir et d'inventer les
théories les plus dissemblables, amenèrent ce vaste esprit à renverser
le vieil édifice consacré par tant de siècles, et à jeter les bases de la
construction inébranlable qui lui a fait place pour toujours.

Le 3Iysteriuni cosniograpliicuui, édité en 1096, est divisé en
vingt-trois Chapitres, suivis, chacun, de notes de l'auteur. Il ren-
ferme l'exposé des idées de Kepler sur la filiation des cinq polyèdres
réguliers, et la relation de ces corps avec les sept planètes, les si-
gnes du zodiaque, les notes de la gamme, etc. Le Chapitre XX con-
tient l'énoncé, très-explicite, de la loi des révolutions, et sa vérifi-
cation numérique au moyen des logarithmes. Cependant, à l'époque
de la publication de ce livre, Kepler doutait encore de l'exactitude
de cette loi.

La préface de l'Ouvrage renferme la correspondance échangée à
ce sujet entre Kepler et divers astronomes, Mœstlin, Herwart, etc.
Elle est suivie de la correspondance relative aux théories astrolo-
giques. On y trouve les idées les plus originales sur les sciences
physiques et astronomiques; car il faut dire que Kepler était pris
pour arbitre sur une foule de questions par tous les savants. Fabri-
cius, entre autres, eut avec lui un échange de lettres des plus actifs,
de 1601 à 1608.

Les autres Mémoires, moins importants, que renferme le même
volume sont désignés dans ce qui suit :

Calendarium in an/ins. i J98 et 1 '5(jfj (ail.).
De Fundcimentis Astrolngiœ certioribits, 1602 (lat.).
Jacllciuin de trigono igneo, i6o3 (ail.).
Prognosticum in annuin iGo5 (ail.).
Description de Vétoilc nouvelle apparue en 1604 (ail.).
Progno.sticuni in annos 161 8 et 1619 (ail.).
Réponse à Rôslin, 1609 (ail.).

Tertius intcrcenicns, 1610 (ail.), exposé de i {o propositions relatives à l'As-
tronuiiiit', à l'Aslrulogie, à la Physique, etc., etc.

MATHÉMATIQUES ET ASTllONOMIQUES. 55

La presque totalité des Ménioii-es de Kepler écrits eu allemand
{igure dans ce volume*, au reste, ces Mémoires sont très- peu
nombreux. La correspondance et les OEuvres de Kepler ont été
écrites en latin ; il n'a employé l'allemand que par exception.

Tome II. 1859.

Le Tome II (1809) renferme V astronomie optique, en onze Cha-
pitres, avec les notes de l'éditeur.

Cet Ouvrage est précédé de la Correspondance de Kepler à ce
sujet (i6o4)- Celle-ci contient des considérations très- judicieuses
sur la nature et les lois des phénomènes optiques, la direction de
la lumière, la réflexion, la chambre noire, la réfraction ordinaire,
les réfractions astronomiques, la hauteur de l'atmosphère, les opi-
nions des anciens sur la réfraction 5 l'anatomie et les fonctions de
l'œil 5 la réfraction dans une masse d'eau de forme sphérique;
l'étude des vues presbytes et myopes, etc. ; l'emploi des lentilles.

On y trouve aussi les Chapitres suivants :

De la nature diverse des rayons lumineux du Soleil et de la Lune;
phases de la Lune 5 taches de la Lune; radiation des autres astres,
planètes et comètes.

Ombre et pénombre de la Terre. Coloration rouge de la Lune au
moment des éclipses. Eclipses de Soleil les plus remarquables. Oc-
cultations.

Définition des parallaxes.

Etude optique des mouvements des planètes, etc., etc.

Au même \ olume ont été ajoutées les Lettres de Kepler Sur l'in-
vention de la lunette de Galilée et les découvertes de cet astro-
nome (satellites de Jupiter, phases de Vénus, aspects de Saturne,
taches du Soleil, montagnes de la Lune, etc.).

Kepler publia, en 1610, sa Conversation as^'ec l'En^'ojé céleste
de Galilée. Cet écrit est le résumé des lettres qui précèdent.

En 161 1, parut la Description des satellites de Jupiter, puis le
grand Traité de Dioptricpie, renfermant i4i propositions ou pro-
blèmes sur la réfraction, la marche des rayons lumineux dans une
sphère, dans un prisme, dans une lentille convexe ou concave;
sur l'edét de ces verres placés devant un œil presbyte ou myope.
Combinaison de lentilles, marche des rayons dans la lunette as-
tronomique et la lunette de Galilée.

VG BULLETIN DES SCIENCES

Les physiciens modernes n'ont presque rien eliangé à cet en-
semble.

En 1G06, Kepler publia sa Description de l'Etoile nouvelle qui
apparut en it)o4 au pied du Serpentaire (trente Chapitres). Cet
Ouvrage, comme le dit l'auteur, abonde en dissertations suri' Astro-
nomie, la Physique, la Métaphysique, la Météorologie et l'Astrolo-
gie, et il est suivi de la description de l'étoile variable du Cygne,
observée en 1600, de la détermination de la Nativité du Christ, et
d'une prétendue observation d'un passage de Mercure sur le Soleil
(1607).

Tome III. 1860.

Le Tome III renferme l'œuvre capitale de Kepler : la discussion
et l'étude des mouvements de Mars, fondées sur dix observations de
cette planète par Tycho Brahe. Soixante-dix Chapitres, procédant
les uns des autres par voie de dédoublement logique, constituent le
fond de ce magnifique Ouvrage, dont l'analyse ne saurait être dé-
taillée ici, et devra être réduite à quelques indications sur l'en-
chaînement des diverses propositions.

Première Partie. — De la comparaison des hypothèses.

Distinction entre la première inégalité (mouvement diurne, com-
mun à tous les astres), et la seconde (mouvement pi'opre des pla-
nètes d'occident vers l'orient). — Figuré des positions de Mars
depuis le commencement de i58o jusqu'à la fin de 1696. — Expli-
cation de ces mouvements dans l'hypothèse de l'excentrique et des
contrépicycles dePtolémée. Hypothèse des cieux solides d'Aristote,
détruite par Tycho Brahe. Accord des apparences et des hypothèses
concourant à produire une seule et même orbite. — Transforma-
tion que Copernic a fait subir à l'hypothèse de Ptolémée. — Com-
paraison des trois hypothèses de Ptolémée, de Copernic et de Tycho;
leurs caractères distinctifs. — Théorie du mouvement propre des
planètes.

Deuxième Partie. — De la première inégalité de Mars , selon
la théorie des anciens.

A quelle occasion je fus conduit à m'occuper de la théorie de
Mars. (Kepler raconte comment se développa en lui la passion des
études astronomi((ues, qui le détermina à écrire le Mjsteriam cos-
niographicwn. L'accueil que Tycho Brahe avait fait, en 1697, '' ^^^^

MATHÉxMATlQUES ET ASTRONOMIQUES. 5;

Ouvrage, rcnflamma du plus vif désir d'avoir communication de
ses observations. Un liasard providentiel prépara le rapprochement
des deux astronomes : Tyclio Bralie fit le voyage de Prague, où Ke-
pler vint bientôt le rejoindre.)

Table de dix observations de Mars, faites par Tyclio, de i58o à
1600. — Réduction du lieu de l'écliptique à l'orbite de Mars. —
Discussion des observations qui permirent à Tyclio Bralie de dé-
terminer l'époque des oppositions. — De la parallaxe diurne de
Mars. Série des observations de Kepler. — Détermination des
nœuds et de l'inclinaison de l'orbite sur l'écliptique. — • Nature de
l'orbite des planètes. — Réduction des dix positions de Mars et de
deux autres nouvelles à la ligne du mouvement apparent du Soleil.

— Méthode de recherche de l'hypothèse qui doit servir à détermi-
ner la première inégalité. — Détermination sommaire de l'apogée
et du mouvement des nœuds. — Discussion de douze positions du
soir au moyen de l'hypothèse trouvée. — Désaccord, par les lati-
tudes du soir, de cette hypothèse basée sur l'avis des auteurs et con-
firmée par toutes les positions du soir. — Réfutation de la même
hypothèse par la discussion des observations faites en dehors des
positions du soir. — Raison pour laquelle une hypothèse erronée
a cependant conduit à un résultat exact.

Troisième Partie. — Recherche de la seconde inégalité de
Mars, c est-à-dire du mouuenient du Soleil ou de la Terre.

L'épicycle ou orbite annuelle n'est pas concentrique au point
d'égalité du mouvement. — Recherche de l'excentricité de l'orbite.

— Confirmation et preuve plus directe de l'excentricité. — Etant
données trois distances du Soleil au centre du monde, et leurs points
correspondants sur le zodiaque, trouver l'apogée et l'excentricité de
l'orbite du Soleil ou de la Terre. — Déduire, des mêmes observa-
tions, que l'orbite est excentrique au Soleil ou à la Terre. — De
quatre observations de Mars en dehors de la position du soir, mais
dans la même région, déduire l'excentricité de l'orbite terrestre,
son aphélie et la proportion des orbites. — Preuve de l'égalité de
l'excentricité du Soleil à 1800. — Construire la distance du Soleil
et de la Terre d'après la connaissance de l'excentricité. — Con-
struction et usage d'une Table de la distance du Soleil à la Terre.

— La bissection de l'excentricité du Soleil ne modifie pas sensible-
ment les équations du Soleil données par Tyçho. — Des quatre

58 BULLETIN DES SCIENCES

métliodes pour la calculer. — La force qui fait mouvoir les pla-
nètes sur une courbe s'atïaiblit à mesure que la distance augmente.
— Elle réside dans la niasse du Soleil, [qui est doué d'une force
magnétique, et qui se meut sur lui-même. — La force, à l'inverse
de la lumière, n'est pas arrêtée par l'interposition d'autres corps. —
Loi de son affaiblissement lorsque la distance augmente. — Comparai-
son de la force motrice de la Lune. — Outre la force motrice éma-
née du Soleil, les planètes sont douées d'une force particulière ; le
mouvement de chacune d'elles résulte de deux causes. — Du rôle
et du mode d'action de la force qui anime les planètes, de manière
que ces corps décrivent des lignes courbes. — ^Méthode approxima-
tive et suffisante pour la théorie du Soleil, pour déduire les hypo-
thèses d'une cause physique.

Quatrième Partie. — Détermination de la véritable mesure de
la première inégalité.

« Ce que j'ai exposé », dit Kepler, « dans la troisième Partie, s'ap-
plique à toutes les planètes; c'est pourquoi je suis en droit de l'ap-
peler la clef de V Astronomie future ; et nous devons d'autant plus
nous réjouir de l'avoir découverte, qu'il est certain qu'on n'aurait
pu y parvenir autrement que par les observations de Mars ; car,
bien que Ptolémée ait remarqué cette bissection de l'excentricité
du Soleil dans Vénus, ainsi que dans Mercure, et que, pour l'expli-
quer, il ait imaginé les centres des excentriques, ou, ce qui revient
au même, les mouvements du centre de l'épicycle, toutes choses
dont l'exposition est réservée pour une description spéciale de ces
planètes, la condition des observations mômes, et les courtes digres-
sions de ^ énus, qui ne se laisse observer que pendant quelques
nuits, auraient créé un grand obstacle à la recherche méthodique,
et un plus grand encore, si la planète se fût trouvée en dehors de
Mars. Cette tentative eût été plus inadmissible dans le cas de Mer-
cure-, cette planète sort, en ellèt, très-rarement des rayons du So-
leil, et elle est plus éloignée de la Terre que ^ énus et Mars, qui
sont le plus rapprochées de nous. Il nous aurait fallu, comme Pto-
lémée, chercher la vérité sur un champ indéfini, et la saisir au mi-
lieu d'épaisses ténèbres. »

Essai d'une détermination des apsides, de l'excentricité et du
rapport des orbites. — Même recherche, plus attentive et plus
exacte. — Du défaut des équations déduites de la bissection de

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 09

l'excentricité et de l'aire des triangles en admettant une orbite par-
faitement circulaire. — Preuve que l'orbite n'est pas un cercle. —
Des causes naturelles de l'aplatissement de l'orbite. — De la nature
de l'orbite. — Méthode de quadrature de l'orbite par l'emploi de la
conchoïde (Kepler désigne ainsi une courbe, dont l'abscisse est
l'arc d'une circonférence, et l'ordonnée un rayon vecteur de cette
circonférence, rapportée à un point intérieur, pris pour pôle). —
Méthode de calcul des retards de la planète. — Méthode plus ap-
prochée. — De six autres méthodes pour arriver au même but. —
Degré de confiance qu'il faut accorder à l'hypothèse faite sur la
nature de l'orbite. — Emploi d'autres méthodes pour déterminer
la distance de Mars au Soleil. — Examen plus approfondi de la
proportion des orbites. — Explication du mouvement par l'action
magnétique attractive exercée par le Soleil. — Enoncé de la loi des
aires. — Enoncé du problètne de Kepler :

« Il me suffit de croire », ajoute l'auteur, « qu'il ne peut, a priori,
être résolu, à cause del'hétérogénéité de l'arc et du sinus 5 mais celui
qui me montrera la route à suivre, à moi qui cherche avec peine,
celui-là sera un nouvel Apollonius. »

Cinquième Paktie. — De la latitude.

Discussion de la position des nœuds et de l'inclinaison des or-
bites. — Hypothèse physique de la latitude. — Discussion des pa-
rallaxes de Mars. — Recherche de la plus grande latitude, tant au
moment de la conjonction qu'à celui de l'opposition. — Les plus
grandes digressions n'ont pas toujours lieu à l'opposite du Soleil.
— De la position des nœuds et de l'inclinaison de l'orbite de Mars
sur l'écliptique, on conclut que cette orbite a bien le Soleil pour
foyer. — L'inclinaison de l'orbite de Mars est-elle la même, de nos
jours, que du temps de Ptolémée? — Sur les latitudes de l'éclip-
tique et la révolution inégale des nœuds. — Discussion de trois ob-
servations de Ptolémée; correction du moyen mouvement et du
mouvement de l'aphélie et des nœuds. — Discussion de deux der-
nières observations de Ptolémée, dans le but de déterminer la lati-
tude et la proportion des orbites du temps de Ptolémée.

Cent neuf Aotes de l'éditeur, comprenant 66 pages, éclaircissenl
et complètent divers Cliapitres de l'Ouvrage.

Le troisième volume (pie nous analysons ici se termine par les

On BULLETIN DES SCIENCES

Iragiuciils dos manuscrils de Kepler relatifs à l'Astronomie, con-
servés d'abord à Saint-Pétersbourg, et enfin à Poulkova.

Le plus intéressant porte pour titre : Hipparque ou Traite des
f^randeuvs et distances relatives des trois corps ; composé à Prague
depuis plusieurs années, et complété à diverses reprises, surtout en
1616, comprenant dix-neuf théorèmes et dix-huit problèmes, suivis
de trois Chapitres imparfaitement coordonnés.

Catalogue d'é plié inér ides de quarante-six éclipses de Lune,
observées de i^'ji à \Qi\i .

Traité du mouvement de la Lune (1601)^ réllexions sur la théo-
rie de la Lune, sur la variation découverte par Tycho Brahe, sur
\ équation annuelle, due à Kepler 5 notes sur la détermination des
phases des éclipses.

Notes de Kepler sur diverses observations de la Lune faites
par Tyclio.

Notes de l'éditeur.

Lettre de Kepler sur l'éclipsé de Soleil du 12 octobre i6oj>.

Tome IV. i863.

Le quatrième Volume (i863) des OEuvres complètes de Kepler
renferme tous les écrits de ce grand homme sur la chronologie et
l'art de vérifier les dates. Un génie aussi vaste que le sien devait
aborder les sujets les plus variés, et, entre autres vues originales et
fécondes, Kepler avait ^parfaitement compris le service que l'on
était en droit d'attendre de l'Astronomie pour fixer avec certitude
quelques points de repère à travers les événements historiques. Il
revint avec prédilection à des études qu'il avait commencées à Tu-
bingue, de i58g à lopS. De nombreuses lettres échangées avec
Brengger, Calvisius, Crûger, Hervvart, Mœstlin, Scaliger, etc.
(1597-1616), témoignent suffisamment de l'intérêt que Kepler at-
tacha à ces questions. Elles sont le résumé des théories et aperçus
développés dans les Ouvrages suivants, les plus importants du vo-
lume dont il s'agit pour le moment :

Livre de J. Kepler sur le Calendrier Grégorien, autrement dit,
sur la nécessité de la réforme du Calendrier Julien, et sur les
principes et les motifs de la coriection Grégorienne.

Dans ce Livre, écrit en allemand, et annoté en latin par Han-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 6i

schius, l'auteur mathématicien entre en discussion avec quatre per-
sonnages auxquels il expose en détail la question du Calendrier, et
la détermination des dates des fêtes religieuses, etc.

Kepler est sans doute le premier astronome qui ait cherché à re-
produire les éphémérides des éclipses de Soleil et de Lune, ancien-
nement observées. Cette question forme, de nos jours encore, le
sujet des grands prix proposés par l'Institut 5 il n'en a pas été
donné, jusqu'à présent, de solution complète.

Quoi qu'il en soit, Kepler a basé sur un travail de ce genre la
vérification des dates de la chronologie des Juifs, des Grecs et des
Romains.

Il a aussi discuté et commenté divers passages de la Science des
Temps : « De Doctrina temporuni », du P. Pétau, et de la Chro-
nologie de Scaliger.

Il édita en 1606, à Francfort, sa discussion Sur la date véritable
de la Nativité du Christ. Cet Opuscule, écrit en latin, fut suivi de
la publication, en 161 3, à Strasbourg, d'une réponse à des re-
marques de Roslin, et d'un autre Mémoire sur la Nativité, divisé
en quinze Chapitres. Ce nouvel Ouvrage est écrit en allemand. C'est
un commentaire détaillé du précédent.

Nous ne ferons qu'indiquer les titres des Mémoires que nous
rencontrons ensuite :

Responsio ad Setimm Calvisium (môme sujet). Francfort, 1614.

De anno natnli Christi. Francfort, iGi4; traduction presque littérale, en

langue latine, du Mémoire de i6i3, publié en allemand et divisé, comme

lui, en quinze Chapitres.
Eclogœ chrnnicœ. Francfort, iGi5; correspondance relative à la clironologio

et à quelques dates de la vie du Christ.
Connues puériles. Ulm, 1620; chronologie depuis Adam jusqu'à l'an du

Christ 1620.
Notes de Véditeur sur les Ouvrages de Chronologie.

Le quatrième \olume est terminé par les écrits de Kepler, en la-
tin, sur la Stéréométrie des tonneaux , supplément à la Stéréomé-
trie d\Archimède ; emploi de la jauge graduée.

On sait qu'il faut attribuer à Kepler l'honneur d'avoir remarqué
le premier qu'une fonction continue varie par degrés insensibles
dans le voisinage de ses maxima et de ses minima. Kepler fit, d'ail-

r.j, BULLETIN DES SCIENCES

leurs, usage; de la métliode infinitcsimalo pour établir l'expression

des volumes et des surfaees.

Tome V. 1864.

Le cinquième Volume des OEuvres de Kepler renferme divers Ou-
vrages sur V Harmonie de l'Univers [Harmonices mandi /JJ\hr'\ ^ ).
Le premier est divisé en cinq Livres où sont développés les aperçus re-
latifs à la Géométrie, à l'Architeeture, à la Musique, à la Physique,
à la Psychologie et à l'Astrologie, à l'Astronomie et à la Métaphy-
sique (16 19), suivi de la traduction du Livre III des Harmonies de
Ptolémee (moins les deux premiers Chapitres).

Cet Ouvrage excita de vives discussions auxqvielles Kepler dut
répondre, en 1622, par l'apologie et la défense de sa théorie.

Le Volume se termine, comme le précédent, par un écrit de Ke-
pler sur la Stéréométrie, commentaire et traduction, en allemand,
de la méthode de mesures d'Archimède, appliquée au jaugeage des
tonneaux, divisé en cent paragraphes.

Mentionnons aussi les mesures de la cité d'Ulm, et eniin la des-
cription d'une machine hydraulique.

Tome VI. 1866.

Les études astronomiques de Kepler, commencées par une cor-
respondance avec les astronomes d'Allemagne, furent poursuivies
sans interruption pendant vingt-deux ans à dater de l'année i5g6.

Dans son Mjsteriuni cosmographicum, Kepler avait cherché à
formuler des règles et des principes géométriques sur le mouvement
et les distances des planètes, espérant jeter ainsi les bases d'une As-
tronomie nouvelle. Cette recherche fut le but des efforts de sa vie
entière, et il y mit la dernière main lorsqu'il publia l'/Z^rmo/zie du
monde, en 1619. Ces études lui avaient fait remarquer l'utilité de
recherches sur les principes mêmes de l'Astronomie, les éclipses
de Lune et de; Soleil, la théorie des instruments d'optique, la théo-
rie des réfractions, les anomalies et inégalités du mouvement de la
Lune et des planètes, etc. Il se trouva naturellement amené à com-
poser un Ouvrage didactique et une série de Traités dans lcsqui;ls
ces diverses questions étaient exposées avec plus ou moins de
détails.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. GS

Au nombre des plus importants que renferme le Tome VI des
OEuvres complètes de Kepler, nous trouvons VEpitome Aslronomiœ
Coperiiicanœ^ exposé raisonné, par demandes et par réponses , de
la nouvelle tliéorie astronomique fondée par l'illustre Copernic,
L'Ouvrage , édité à Linz en 1 6 1 8 et à Francfort en 1621, se com-
pose de sept Livres ou Chapitres : les trois premiers, relatifs à la doc-
trine spliérique, le quatrième à la Physique céleste, et les trois
derniers à la doctrine théorique.

La correspondance de Kepler au sujet de cet Ouvrage se trouve
réunie à ce Volume.

Nous avons dit précédemment que toute l'autorité d'un génie, tel
que celui de Kepler, devait suflire à peine pour faire admettre les
idées nouvelles de Copernic. Tycho Brahe avait du leur donner
une forme un peu indécise, constituant pour elles une sorte de
correctif. Il avait admis, en principe, la théorie de Copernic, et,
pour lui, toutes les planètes tournaient autour du Soleil, mais ce
vaste ensemble se mouvait lui-même autour de la Terre. Les sys-
tèmes de Ptolémée et de Copernic se trouvaient ainsi conciliés.

L'importance d'un Ouvrage de ce genre, l'inlluence qu'il exerça
à l'époque de sa publication et sa haute valeur scientifique, qui lui
donnerait, de nos jours encore, un rang très-élevé, motiveraient
suffisamment une analyse approfondie. Mais, pour ne pas sortir du
cadre même de ce Bulletin, nous croyons devoir nous borner à un
exposé plus sommaire et à une simple et rapide indication du sujet
des Chapitres.

Livre I. — Des principes de l\Astronornie en général, et de la
doctrine sphérique en particulier .

Au début du premier Livre, Kepler démontre que la Terre est de
forme sphérique, et décrit les méthodes pour en évaluer la gran-
deur.

Chapitre II : Piéllexions sur la forme, le nombre, les dimensions
et l'éloignement des étoiles. Nature matérielle des planètes et du
Soleil.

Chapitre III: Nature et hauteur de l'atmosphère. Réfraction as-
tronomique, etc.

Chapitre IV : De la place de la Terre dans l'univers. Explication
du mouvement diurne. Exposé dCvS raisons qui militent en faveur

{)\ BULLETIN DES SCIENCES

(le la théorie de Copernic. Les principaux arguments invoqués par
Kepler sont au nombre de sept, empruntés à la Métaphysique, à la
Physique, à la IMécanique, etc. L'oriyinc du mouvement le conduit
à formuler une théorie des fibres magnétiques qui, de nos jours, a
servi à la conception des lignes <fe yo/ce. Kepler fait également
allusion à Vdnie de la Terre, qu'il définit et défend par les mêmes
considérations qu'on retrouve à chaque instant dans ses écrits.

Livre IL — De la sphère et de ses cercles.

Tout ce Livre est consacré à des définitions. En premier lieu,
Kepler donne l'énumération complète des cercles de la sphère ^ puis
il indique les différents caractères de ces cercles, la division géomé-
trique de la circonférence, la division astronomique du zodiaque,
sa division astrologique en triangles ou trigones, etc. Un paragraphe
est réservé à la désignation des rhumbs de vent. Le Livre se ter-
mine par la définition des petits cercles et d'autres lignes.

Livre IIL — De la doctrine sphérique du prender mouvement
[mouvement diurne).

Après une courte introduction, et un précis de la division du
Livre, le premier Chapitre est consacré à la description du lever et
du coucher des astres. La constance de la hauteur du pôle est clai-
rement affirmée, contrairement à l'opinion qui régnait alors à ce
sujet.

Chapitre II : Détermination des coordonnées des divers points
de l'écliptique. Tables numériques.

Chapitre III : Définitions et qualifications de l'année et du jour.
De l'équation du temps.

Chapitre W : Saisons et zones.

Chapitre \ : Du lever et du coucher des astres à certaines époques
de l'année : De l'année caniculaire des Egyptiens. Du lever héliaque.
Des apparences dues à la sphéricité de la Terre. Antipodes.

Livre I\ . — Premier de la doctrine théorique, et intitulé : Du
système du monde.

Chapitre I : Eléments du système planétaire. Raisons pour les-
quelles le Soleil en occupe le centre. Estimation de la distance de
la Terre au Soleil. Kepler trouve 229 rayons solaires pour la dis-
tance, et le rapport de 69880 à l'unité pour les volumes.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 65

Reclieiclics sur la deii>ité des planètes. Les nombres donnés par
Kepler sont vm peu supérieurs aux évaluations de l'Astrononiie
moderne.

Enfin, selon Kepler, l'éloignement des étoiles est de 4 millions
de rayons solaires.

On \oit, par ces évaluations, que l'illustre fondateur de l'Astro-
nomie n'hésitait pas à donner à l'univers les dimensions gran-
dioses que les perfectionnements apportés aux moyens d'observa-
tion allaient bientôt encore obliger à élargir.

Chapitre II : Du mouvement des corps célestes. Le Chapitre dé-
bute par l'énoncé très-explicite de la relation connue aujourd'hui
sous le nom de troisième loi de Kepler : « La proportion des temps
des planètes)), dit-il, « n'est pas égale, mais supérieure à celle des or-
bites; elle est très-exactement marquée, pour les planètes supé-
rieures, par la propurtio/i sesquialtère. En d'autres termes, si des
nombres 3o et i:>., années de Saturne et de Jupiter, vous prenez les
racines cubiques et les élevez au carré, vous retrouvez la propoi-
tion des orbites de ces planètes. Même relation pour deux planètes
non consécutives. Par exemple, l'année de Saturne est 3o, celle de
la Terre étant i ; v 3o =r 3, 1 1 ; v i = i ; leurs carrés ont pour valeurs
9,672 et I. La distance de Saturne est donc à celle de la Terre
:: 9672 : looo, et l'approximation est d'autant plus grande, que
vous avez pris une durée plus exacte. »

Une autre proposition, aussi importante et non moins claiie-
ment exprimée, est le principe de l'inertie formulé plus loin par
Kepler, qui se trouve amené à étudier l'action attractive et directrice
du Soleil, qu'il compare à la force magnétique. Il ajoute môme que
cette force conserve son unité, mais qu'elle varie, comme la lu-
mière, en raison inverse du carré de la distance, et qu'elle se pro-
page à travers les corps, semblable en cela au magnétisme; qu'élit-
émane de toutes les planètes, et que c'est elle, par exemple, qui,
nous arrivant de notre satellite, produit l'intumescence de l'O-
céan.

Kepler revient ensuite à l'énoncé et à la preuve de la pi'oportio/i
sesquiahère; puis il s'elïbrce de trouver des relations harmoniques
dans le mouvement annuel de notre planète. Du mouvement diurne
il conclut cà une rotation de toutes les autres planètes, analogie con-
firmée par les découvertes ultérieures. La Terre, livrée à elle-

Bull. des Sciences inathéin. et uslroii., t. XI. (Août i!^7().) '^

66 BULLETIN DES SCIENCES

mémo, accomplirait un nombre de révolutions exprimé par 36o,
noml)i(' cssontiellcmont harmonique-, le complément de 5,a5 doit
être attribué à une action spéciale du Soleil, et vraisemblablement
à la Imnière qu'il répand sur la Terre. Le mouvement des planètes
secondaires (satellites) est dû h des causes semblables à celles qui
produisent le mouvement des planètes primaires (planètes). La
preuve en est doniiée par la 'variation de la Lune, découverte par
Aboul Wcfà et reconnue par Tycho Braliée, k laquelle Kepler
ajoute la mesure d'une inégalité spéciale du mouvement lunaire,
connue depuis cette époque sous le nom adéquation annuelle. Tan-
dis que la variation, dont la période est d'un mois synodique, et
dont l'argument est la dili'éreuce des longitudes du Soleil et de la
Lune, reconnaît pour cause la dillérence des attractions exercées
par le Soleil sur la Terre et sur la Lune, \ ètjaation annuelle a pour
période l'année, et pour argument l'anomalie moyenne du Soleil.
Elle dépend de l'excentricité de l'orbite terrestre. Cette inégalité
se trouve déjà décrite par Kepler dans le Tome III (Chapitre De
Luna, anno 1616).

Chapitre III : Du mouvement réel des planètes, de leur véritable
inégalité et de sa cause.

L'inégalité du mouvement des planètes est, en partie, réelle et,
en partie, produite par les illusions de la vue. Explications don-
nées par les anciens, auxquelles Kepler ajoute son opinion. Dans
sa Philosophie magnétique, W. Gilbert avait attribué à la Terre
une nature magnétique. Kepler adopte cette base et explique le
mouvement des planètes par le jeu de jihres ou lignes de force
magnétiques. Celles des planètes restent toujours parallèles à elles
mêmes, de sorte que le Soleil les attire et les repousse alternative-
ment. Les conclusions de cette théorie s'appliquent au mouvement
de la Lune. Bien que cet astre tourne toujours la même face vers la
Terre, il peut être doué de quelque nutation qui échappe à la fai-
blesse de notre vue; de plus, il n'est pas inadmissible qu'un globe
intérieur à celui de la Lune vienne jouer le rôle du corps magné-
tique dont il a été question.

Livre \. — Second de la doctrine théorique, et intitulé : Des
cercles excentriques, ou de la théorie des planètes.

Chapitre I : Combinaison des facultés de la planète et delà force

iMATlIÉMATlOUES ET ASTRONOMIQUES. 67

molrice du Soleil, qui détermine une orbite elliptique dont le So-
leil oecupe un des loyers. Néeessité de la notion de l'arc et de
l'angle ayant son sommet au foyer. Enoncé de la loi des aires : les
aires décrites par le rayon vecteur sont pi^oportionnelles aux
temps.

Chapitre II : Définitions des termes usités en Astronomie ; ces dé-
finitions sont très-nécessaires pour l'intelligence des écrits de Ko
pler. Les termes cju'il a employés, et le sens qu'il faut leur atta-
cher, diffèrent quelque peu de ceux que les astronomes ont adoptés
de nos jours : Excentricus , linea apsiduni, libratio, anoinaVue
média, eccenlvi et coœquata ; locus eccentricus. œquatio i^el pros-
thaphœresis. Cette éipiation est composée de deux termes, dont
l'un dépend de l'inégalité physique et réelle du mouvement, et
l'autre de l'égalité optique et apparente.

Kepler termine le Livre par l'explication de l'inclinaison de
l'orbite et du mouvement des apsides et des noeuds.

Livre ^ J. — Des mouK'enients appai'cnts des planètes.

1° Du mouvement du Soleil. L'inégalité apparente du Soleil,
prouvée par les observations, provient de la variation de distance
de cet astre à la Terre, ainsi que l'atteste la variation du diamètre
apparent. Détermination de l'excentricité. Tycho l'avait déduite de
la différence des durées de l'été et de l'hiver. L'emploi de la varia-
tion de diamètre du Soleil durant ces deux saisons constitue une
méthode plus élégante, mais trois observations d'une planète con-
duisent à un résultat plus précis.

Définition de l'anomalie annuelle de Copernic. Définition des
années égyptienne, julienne et grégorienne.

2° Des trois planètes supérieures, Saturne, Jupiter et Mars, et
des généralités communes aux deux planètes inférieures. Leur
mouvement s'accorde parfaitement avec la théorie elliptique; au
moment de leur opposition vraie; en dehors de cette position, on
observe de petites irrégularités dont on peut corriger l'influence; en
les réduisant en Tables.

3° Des planètes inférieures, Vénus et Mercure, et de leurs éloii-
gations.

4" De la Lune. Le mouvement de notre satellite n'est pas sou-
mis à toutes les inégalités du mouvement des planètes : ainsi on n'v

5. •

G8 BUI.LiniN DES SCIENCES

observe pas de stations. Tliéorie des inégalités du mouvement lu-
naire (variation, équation annuelle).

5" Des aHections ("ommunes des planètes, considérées en tota-
lité ou en certain nombre.

Au milieu de considérations astrologiques et astronomiques dé-
veloppées dans ce Chapitre, on trouve quelques mots sur les années
lunaires politiques, la théorie des éclipses de Lune et de Soleil, et
les proportions harmoniques des orbites des planètes.

Livre Vil , relatif, à la fois, à la doctrine sphérique et à la doc-
trine théorique.

Du mouvement de la huitième et de la neuvième sphère (des fixes) .
Kepler rappelle le mouvement de précession des équinoxes et l'ex-
pose avec détails; « mais les véritables inclinaisons des planètes
sur l'écliptique, les causes et les valeurs des mouvements, des li-
mites et des nœuds, tout cela, dis-je, et toutes choses semblables,
resteront comme questions à résoudre dans l'âge futur, et ne pour-
ront être apprises avant que Dieu, arbitre des siècles, n'ait révélé
ce Livre aux mortels )) .

Ces réflexions terminent l'Ouvrage, puis viennent 95 Notes et
additions des éditeurs avec les extraits des Tables Rudolphines.

Le même volume renferme les Tables Rudolphines, préface et
lettres à ce sujet, jugement d'Horoccius, forme et disposition des
Tables, dédicace k Ferdinand II, préface et résumé analytique du
contenu des Tables.

Cet Ouvrage n'est pas reproduit en détail, parce qu'il n'offre pas
une grande utilité pratique, les Tables d'éphémérides et de loga-
rithmes étant arrivées aujourd'hui à un degré de perfection très-
marqué.

L'éditeur s'est donc borné à donner des extraits des Chapitres les
plus importants, avec quelques spécimens de la disposition des
Tables. Le travail est terminé par le Chapitre relatif à l'usage des
Tables Rudolphines dans les supputations astrologiques, suivant
une méthode nouvelle et naturelle.

Nous trouvons enfin, dans ce sixième volume, l'examen des ob-
servations de J. KegiomontanusetdeB.Walther 5 discussion des po-
sitions des cinq planètes observées par ces deux astronomes, durant
la période i^i^i à i5o4.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 69

Ce n'est pas précisément un recueil didactique, mais plutôt une
série deîNotes éparses dans les manuscrits de Poulkova, et qui se
rapportent aux sujets traités dans la préface des Tables Rudol-
phines. C'est pourquoi l'éditeur a cru devoir les réunir dans ce
Volume.

Tome VU. 1868.

Le septième Volume renferme les écrits de Kepler sur les co-
mètes, les logarithmes, les éphémérides astronomiques et météoro-
logiques, la correspondance relative k ces divers objets d'études, et
enlin divers commentaires historiques.

En voici l'éuumération complète :

Aussfiihrlicher Bericht... Description détaillée de la comète ap-
parue en septembre et octobre 160^. Halle, i6o(S. La question de la
nature des comètes n'est guère plus avancée de nos jours encore que
du temps de Kepler. Ce dernier, n'ayant pu observer que deux co-
mètes, supposa que leur trajectoire était rectiligne. Les observations
anciennes n'étaient pas assez exactes pour permettre de corriger
l'erreur ainsi commise.

C'est dans cet Ouvrage que nous trouvons la comparaison du
nombre des comètes dans le ciel à celui des poissons dans l'Océan.
Cette idée est généralement attribuée à Kepler 5 Stobée en est le
véritable auteur [voir, à ce sujet, la Science pour tous, année 1876,
p. 5 2. Essai historique sur la théorie des étoiles filantes, des bo-
lides et des comètes).

Après ce Traité vient celui des comètes, divisé en troisLivres, tra-
duction latine et commentaii^e du précédent (1618).

Dans le Livre 1 (astronomique ), Kepler établit la forme rectiligne
de la trajectoire des comètes de i6oy et 16 18. Il appuie sa recherche
sur trente propositions qui foi'mcnt la première Partie de ce Livre.
La seconde Partie est consacrée à la discussion des observations
faites en lô'oy, de la parallaxe diurne de cet astre, et enfin de treize
coHclusions confirmant la nature de l'orbite.

Description détaillée des trois comètes de 1618^ observations de
l'auteur.

Chapitre II : Indication de la route suivie par la comète de 1 6 1 H.

Chapitre III : Huit propositions au sujet du mouvement de la
dernière comète de 1618. Appendice de neuf paragraphes.

yo BULLETIN DES SCIENCES

Livre II (Pliysiquc), contenant la Pliysiologie nouvelle des co-
mètes.

Kepler admet que les comètes proviennent de la condensation de
l'étlier sous l'influence d'une certaine force. 11 affirme que les co-
niètes sont lumineuses par elles-mêmes et qu'elles se résolvent sous
l'action des rayons du Soleil, qui repousse et illumine en même
temps la matièn; de leurs queues. 11 explique enfin leurs divers
aspects et les singularités de formes qu'elles présentent parfois.

Livre 111 (astrologique) ou delà signification des comètes de
1607 et de 1618.

Kepler .ne nie pas qu'une comète puisse toucher la Terre. 11 at-
tribue à la substance qu'elle répand alors dans l'atmosphère la cause
de maladies épidémiques régnant sur une plus ou moins grande
partie de l'univers. 11 suppose aussi que les comètes exercent d'au-
tres influences sur les liommes et sur la Terre.

Signification des comètes de l'année 1619.

Notes de l'éditeur.

Hjpernsjnstes Tyclionis . — Réponse de Kepler à un libelle de
Scipion Claramontius, professeur à Pérouse et à Pise, intitulé An-
titycho, dans lequel Scipion établit que les comètes sont des satel-
lites de la Terre, et non des corps célestes.

U Hyperaspistes , paru en 1625 à Francfort, se divise en plusieurs
paragraphes où est développée la réfutation de divers passages de
V Antitjclio. Nous ne croyons pas qu'il soit nécessaire de les indi-
quer ici avec détails.

Il est suivi de V Appendix H} peraspistis, seii spicilegiuni ex trii-
tinatore Galilcei^ autre discussion sur le même sujet.

Des Notes de l'éditeur complètent ces divers Ouvrages.

Nous arrivons maintenant à un important Traité de Kepler inti-
tulé : Chiliade de Logaritlinies, précédée de l'exposition ration-
nelle de la recherche et de l'emploi des logarithmes (Marbourg,
1604).

S oici la division de cet Ouvrage :

Supplément de la chiliade de logarithmes.

Exposé de la nature des logarithmes.

Chapitres 1 à V : Divisions de la Table.

Chapitre \I : Opérations effecluées au luovcn des logarithmes.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 71

Cliapilie VII : Applications à la Trigonométrie rectiligue et
spliériquc.

Chapitre VIII : Problèmes sur la recherche des logarithmes et
sur le retour des logarithmes aux nombres.

Chapitre IX : Applications à l'Astronomie.

Chiliade de logarithmes.

Appendices. — I. Trente propositions sur les logarithmes énon-
cés dans les Tables Rudolphines (neuf Chapitres).

IL Notes des Tables de J. Bartschius sur les logarithmes de
Kepler.

De ephemeridibus. — Série d'Ouvrages renfermant l'indication
des mouvements célestes pour les années 161 j à i636, et, en parti-
culier, les éphémérides des éclipses de Soleil et de Lune.

Marginalia ex ephemeridibus ad annos 1617-1636. — Obser-
vations de l'état du temps, de l'aspect et de l'influence des planètes
pour les divers jours de cette période de vingt ans.

Commentaire de Kepler sur une lettre du P. J. Terr(;ntius, S. J. ,
missionnaire en Chine, adressée aux mathématiciens d'Europe,
i63o.

Discours de Kepler sur la grande conjonction de Saturne et de
Jupiter dans le signe du Lion, en juillet 1623 (ail.), Linz, 1623.

Strenn, seu de niue sexangida. Francfort, i6ix . Remarques sur
la cristallisation hexagonale de la neige.

Extraits des manuscrits de Poulkova :

i" De motu terrœ^ Traduction et annotations, en allemand, de
divers passages d'Aristote.

2" In libellum Sleidani de (juatuor iiionarchiis (i5()6), Disser-
tation sur l'Histoire sainte.

3° De origine gentium ex Mose , Essai historique et géogra-
phique.

4" De septuaginta hebdomadibus in Daniele , Commentaire
des Prophéties (35 pages).

Tome VIII. 1S70-1871.

Les derniers Ouvrages de Kepler, ainsi que les fragments re-
trouvés dans les manuscrits de l'Observatoire de Poulko\a, ont

72 BULLETIN DES SCIENCES

été réunis dans le huitième et dernier volume de celle édition des
OEuvres complètes.

Voici l'énuméralion de ces divers Ouvrages ou fragments, compo-
sant la première Partie du Tome ^ 111 :

yistroiioniisclier Bericht . . . Description astronomique des éclipses
de Lune observées dans l'année 1620, qui vient de s'écouler, suivie
de l'étude des grandes éclipses de Soleil observées depuis i544'
Ulm, 1621 .

Somnium seu de yistronouiia lunnri. — So?i^e de Kepler ou
Précis de L' uJstrononde lunaire (Ouvrage posthume). Francfort,
i634, édité par Louis Kepler lils. Ce petit écrit est une fantaisie
astronomic|ue sur l'aspect de la Terre vue de la Lune, et sur la
nature et les productions de notre satellite. laS JNotes, écrites de
1620 à i63() complètent cette description. J^oir, à ce sujet, les
Mondes imaginaires et les inondes réels, par M. C. Flammarion,
J870, p. 320 et seq.

Plutarchi de facie qiue in orhe Lance appar et , traduction latine
du Livre de Plutarque sur la figure humaine dessinée sur la Lune,
avec 137 ÎNotes du traducteur.

Catéclnsnie du Saint-Sacrement, du Corps et du Sang de
N.-S. Jésus-Christ, (ail.), composé par Kepler pour ses en-
fants, etc. Prague, 16 17.

Elégies en vers latins.

Kepler a composé une de ces élégies à la mémoire de Tyclio
Brahe, son digne précurseur.

Les Fragments sont classés dans les catégories suivantes :

I. Mathématiques. — Notions d'arithmologie élémentaire.
Nombre polygonaux (latin). Notion des logarithmes (ail.). Divisibi-
lité (latin).

Institutionum geometricaruni liber H. Fragments sur la Géo-
métrie plane et sur les solides réguliers.

Enoncés de théorèmes.

IL Histoire et Philologie [\at. et all.\ F^tvmologies de quelques
noms propres tirés de Tacite.

Traduction allemande du premier Livre des Commentaires de
César (douze paragraphes) ; le reste manque.

Fracmenls divcis.

MATHÉMATIQUES ET ASTIIONO.M IQUES. 73

III. Astronomie. — Des triangles sphériques. Premières re-
cherches sur la loi des aires. Préface des troisième et quatrième
Parties du Livre du mouvement de Mars. Fragments. Notes sur des
écrits de Scaliger.

IV. Astrologie. — Fragments (lat. et ail.). Analyse du Pronostic
de Paul Sutorius. Horoscopes de l'empereur Rodolphe et de Wal-
lenstein.

Judicium matris Kepleri. — Dossier complet du procès intenté à
Catherine Guldenmann, épouse d'Henri Kepler, père de l'astronome
Jean Kepler (200 pages ail.).

Ce document termine la série complète des OEuvres de Kepler.
On voit que tout ce qui pouvait intéresser à cet homme illustre a
été précieusement recueilli.

Près de cinq cents pages, composant lasecondePartie du tome VIII,
ont été consacrées à la biographie de Kepler, et sont divisées en
Chapitres dont voici la substance :

I. Histoire de l'Astronomie auxvi" siècle. De l'état où se trouvait
l'Astronomie lorsque Kepler entreprit ses travaux.

II. Biographie de Kepler suivant l'ordre chronologique.

III. De la famille de Kepler.

De ses amis et de ses protecteurs.

Étude etdiscussionde la correspondance de Kepler.

Index rerum et auctorum. — Table analytique, extrêmement
utile, qui facilite les recherches et les comparaisons (i i5 pages).

Toute la seconde moitié du huitième \ olume est le fruit des re-
cherches de l'éditeur lui-même. Ce long travail dénote chez, son
auteur les qualités d'une vaste érudition et un soin attentif à
donner les faits précis, base de toute étude sérieuse. Les réflexions
qui terminent ce magnifique ensemble en fout saisir le caractère
général.

^ oici comment s'exprime M. le D*" Frisch, après avoir rapporté
l'éloge que M. J. Bertrand a fait des OEuvres de Kepler :

« Arrivé au terme de notre Ouvrage même, nous avons toujours
regardé comme plus à propos de citer l'appréciation dt: Kepler
faite par d'autres que nous, que de conclure en reproduisant des
extraits de ses OEuvres. Nous avons, en eifet, consacré trcnti" années

74 BULLETIN DES SCIENCES

cl plusà coordonner ctàterminerce travail. Doit-on s'étonner, après
cela, fjuc nous ayons hésité à formuler un jugement sur le génie
qui a été si longtemps et si continuellement présent à notre esprit
et à nos regards. Il pouvait arriver, en ellet, que l'éditeur et l'in-
terprète des OEuvres de Kepler n'eût pas le jugement impartial et
indépendant. Pour éviter tout soupçon de cette nature, nous avons
préféré que d'autres vinssent parler à notre place.

» Que le lecteur reste donc bien persuadé que, seul, un sentiment
d'admiration pour un homme aussi éminenl que Kepler nous a
déterminé à entreprendre, à poursuivre et à accomplir une tâche
aussi ardue. Puisse notre travail être accepté comme un signe et
un témoignage de profonde vénération, dû et offert à la mémoire
d'un savant illustre, et puisque, depuis huit mois déjà, le bronze a
perpétué son souvenir dans son village natal , qu'il me soit per-
mis de faire les vœux les plus ardents pour que ce monument litté-
raire ne soit pas jugé indigne du monument élevé à sa mémoire ! »

H. B.

REVUE DES PUBLICATIONS PÉRIODIQUES.

HEVUE D'ARTILLERIE. — Recueil paraissant le 1 5 de chaque mois.

Le premier numéro de cette publication périodique a paru le
i5 octobre 1872.

Ainsi que l'explique l'Avant-Propos, la nouvelle Revue a pour
objet principal de tenir les officiers d'artillerie au courant des ques-
tions qui sont à l'étude dans leur arme, et particulièrement de
celles qui sont soumises à l'examen du Comité; elle doit leur don-
ner, sur le personnel et le matériel de l'artillerie, tous les rensei-
gnements jugés utiles, et otfrir en même temps aux travaux indi-
viduels une large publicité.

Les documents insérés dans cette Revue se composent d'articles
vaj'iés sur les diverses questions relatives au personnel et surtout
au matériel, d'articles traduits des différentes Revues étrangères;
d'extraits des rapports du Comité ; de communications diverses
d'un intérêt général pour l'arme (organisation des commissions

MATllÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 71

d'expériences; essais entrepris clans diirérents centres d'artillerie);
d'études bibliograpliiqnes, etc.

Chaque numéro renferme, en outre, et avec pagination distincte,
des renseignements extraits du journal militaire officiel, partie ré-
glementaire et promotions, etc.

Chaque année forme ainsi trois Volumes, un par semestre pour la
partie technique, et un troisième pour la paitie officielle et admi-
nistrative.

On trouve, dans les six premiers \ olumes, d'intéressantes études
sur l'artillerie étrangère, sur la tactique de l'arme pendant la guerre
de Bohème (1866) et pendant la campagne de France 1870-ji ; sur
la fabrication des armes et du gros matériel; sur le tir des pièces
nouvelles, etc., etc.

Dans l'analyse succincte que nous allons faire de cette publica-
tion, nous nous bornerons à signaler plus particulièrement les Mé-
moires ou travaux dans lesquels les recherches mathématiques
tiennent une place plus ou moins large. Il en est, dans le nombre,
de très-recommandables par la difficulté des recherches auxquelles
ils ont donné lieu.

Tome I. (Octobre 1872-mars 1873.)

JouFFRET etMATsCERON. — Desci'iplioJi des nriilleries prussienne,
aatricliienne , anglaise et russe.

Sahràu. — Sur les expériences de Ratnford et la lui suivant
laquelle la tension des produits de la combustion de la poudre
dépend de leur densité. (8 p.)

Les expériences de Rumford datent de 1797. Elles ont été faites
à l'arsenal de Munich, et décrites dans le Traité d'artillerie du géné-
ral Piobert.

La discussion attentive des expériences de Rumford a conduit
M. Sarrau à admettre, pour les résultats de ce physicien, une frac-
tion discontinue de la densité. En prenant pour abscisses les in-
verses des racines cubiques des densités, la courbe des pressions est
représentée par quatre segments de droite.

76 BULLETIN DES SCIENCES

Tome IL (Avril-septembre 1873.)

Manceuok, JotFFRET ct JouART. — Description des (Utilleries
russe, suisse et italienne.

Page. — De la dérivation. ^12 p.)

Etude théorique, foudée sur les principes malhéinatiques les plus
simples. L'auteur applique ses reclierclies au mouvement du gyro-
scope et de la toupie, et arrive à cette conclusion, qu'on parviendrait
à supprimer la déi'ivation ou tout au moins à la rendre à peu près
nulle, si l'on pouvait augmenter la vitesse angulaire.

Crelzet de Latouche. — Etude sur la construction des bouches
à Jeu de l' artillerie moderne. (2 articles.)

JNoble. — Sur la pression nécessaire pour donner le niouuenient
de rotation aux projectiles des canons ra^ es. (16 p.)

JoTJFFRET. — Sur l' établissement et l'usage des Tables de tir.
(20 p.)

Considérations générales, calculs relatifs aux points moyens. Inter-
polation. Méthode des moindres carrés, formulée d'abord par Le-
gendre (i8o4), puis rattachée par Laplace au Calcul des probabili-
tés. Formule de compensation des dérivations.

Tome III. (Oclobre 1873-mars 1874.)

Jouffret,. — Sui- V établissement et l'usage des Tables de tir
(suite). (22 p.)

Equations normales qui servent de point de départ à la méthode
des moindres carrés. Leur résolution par les coeiîicients indéter-
minés.

Méthode d'interpolation par laquelle s'obtient directement le
polynôme qui satisfait aux deux conditions de représenter les obser-
vations avec un écart moyen moindre que tout autre polynôme de
même degré, et d'avoir le degré le mf)ins élevé parmi tous les poly-
nômes pour lesquels cet écart moyen est inférieur à la limite donnée.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMigUES. 77

Loi de formation d'une série remarquable signalée d'abord par
M. Tcliebychef. Démonstration élémentaire de cette série, rattacliée
par M. Hermite à celle de Lagrange.

Règles pratiques de calcul des diiïérences.

AsTiEPw — Du tir en brèche à grande distance contre des ma-
çonneries couvertes.

Application des formules du tir plongeant.

JoLFFRET. — Sur l' ctahUssenient et l'usage des Tables de tir
(suite et fin). (20-ij-ijp.)

Des diverses opérations analeptiques qu'on peut faire au moyen
de la Table de tir. Intercalation. Dillérentiation. Intégration.

Calcul, au moyen de la Table, des éléments qui n'ont pas été
observés, mais qui sont néanmoins déterminés en vertu des résul-
tats et des expériences, tels que les bausses verticale et borizontale.

Angle de chute. Zone dangeieuse. \ itesse d'arrivée. Durée du
trajet.

Equation de la projection verticale de la trajectoire. Point cul-
minant. Justesse du tir. Résistance de l'air.

Résumé et observations complémentaires.

Cette intéressante monograpliie des Tables de tir a fourni à l'au-
teur la matière d'un savant travail qui démontre que cette question
est subordonnée à l'emploi de eonsidéralions analytiques parfois
très-délicates.

Tome IV. (Avril-septembre iSjJ.)

JouART. — Balisti(jue intérieure expérimentale, d'après G. El-
lena. (18 p.)

Des métliodes indirectes pour la recliercbe expérimentale des
tensions intérieures.

Résultats des expériences faites en 186^ parle général Mavevski.

JouFFRET. — Théorie élémentaire du mouvement du gyroscope,
de la toupie et du j)rojectile oblong. (20 p.)

On considère généralement la ((uestion de l'eilét des forces sur \n\

78 BULLETIN DES SCIENCES

corps Lournaul connue pou susceptible d'être traitée aulrenieut cjue
par une analyse élevée. La méthode exposée dans ce travail, où
cette question est rattachée à celle des pressions qu'un corps tour-
nant exerce sur ses appuis, fournit une solution permettant à toute
pei'sonne de comprendre et de prévoir ces elî'cts singuliers, dont la
connaissance s'impose aujourd'hui à l'artilleur.

Examen de l'influence déviatrice générale sur le mouvi'ment des
corps, résultant de la rotation de la Terre.

Conséquences relatives à la théorie des vents alizés, à la rotation
diurne des vents, à la direction du gulf-stream, à l'eflet du cou-
rant des fleuves sur une rive ou sur l'autie, selon l'hémisphère^
à la déviation des projectiles.

Phénomènes de précession et de mitation observés dans la rota-
tion de la Terre. JMouvement du gyroscope.

JouART. — Balisiùjue expérinienUile d'après G. Ellena (suite
et fin). (i6 p.)

Méthodes de mesure directe de la tension des gaz dans l'âme.

Méthode des cylindres. Mesureur Rodman. Appareil deM. jNoble,
appelé aussi cruslier.

JouFFRET. — Théorie élémentaire du mouvement du gjroscope
(fin). (II p.)

Conséquences relatives au })rojectile oblong. Mouvement de la
toupie. De nomljreuses figures, intercalées dans le texte, facilitent
la lecture de cet intéressant Mémoire, coiume de celui du même
auteur sur les Tables de tir.

Tome V. (Octobre 1874-mars 1875.)

Perrodon. — Sur un appareil destiné et figurer le mouvemenl
des projectiles ohlojigs dans l'air. (i4 p-, 4 ^îg-)

DucHÈKE. — Sur une question de balistique expérimentale.
(20 p.)

Recherches tentées dans le but de prolonger les Tables de tir-
jusqu'à la portée maxima pour les plus grandes charges.

Considérations lliéori([ues. Angles de tir. Hausses. Dérivations.

MATIlfiMATlQUES I<T ASTRONOMIQUES. 79

Dérives. Angles de cluile. Vitesses restanles. Durées de IrajeL.
Tables de tir.

AsTiER. — De l'influence de la rotation terrestre sur les écarts
du tir. (10 p.)

SiAcci. — Sur les principes du tir. (2 art., 17-7 p.)

André. — Détermination de (juelques éléments des solides de
révolution. C^ p.)

Tome VI. (Avril-septembre 1875.)

DucHÈisE. — Sur la dépendance mutuelle des divers éléments
d' un système d'artillerie. (27 p.)

Tome VII. (Octobre iS75-mars 1876.)

JouART. — Le marteau-pilon de 5o tonnes de Perm. ( i 1 p. , i pi .)

Mannheim. — Note sur le tir lorscpie le hat est éle\'é au-dessus
de l'horizon. (5 p.)

SiAcci. — Sur une cpiestion de balistique. (4 p.)
Proposition extraite d'un nouveau Mémoire, dans lequel l'auteur
relie très-lieureusement l'une à l'autre la balistique expérimentale
et la balistique théorique. lï. R.

CASOPIS pRO pestovÀnÎ Matîif.matikv A FVSIKV (').

T. IV; 1875.

Stl'Dnicka ([".-J.). — Sur l'origine et le développement de la
théorie des nombres. (4t) p.)

L'auteur donne un court aperçu historique de l'origine et déve-

('} Voir niiUeùn, l. VIII, p. 133.

8o BULLETIN DES SCIENCES

loppement de la llicorie des nombres : son IMénioirc se divise en
deux Parties, dont la première comprend l'intervalle depuis les
premiers commencements connus de l'antiquité jusqu'à Fermât, la
seconde l'intervalle depuis Fermât jusqu'à ces derniers temps. La
clarté de l'exposition est encore rehaussée par des citations heureu-
sement choisies.

Ctjbr (E.). — Sur les mesures de la Terre [suite et fin (*)].
(5 art., 37 p.)

Fin du travail commencé dans le Volume précédent.

Hejzlar (Fr.). — Sur les courbes causti(/ues. (4 p.)
Dans ce court article, l'auteur démontre d'une manière élémen-
taire que l'enveloppe de tous les rayons lumineux refléchis, tombés
parallèlement à l'axe sur un miroir spliérique, dans un plan passant
par l'axe, est une épicvcloïde.

Seydleu (A.). — Sur le passage de f énus dci'a/it le Soleil^, le
8 décembre 1874- (2 art., 19 p.)

Courte exposition populaire de la méthode de Halley et des
moyens fournis par les travaux les plus récents pour la détermina-
tion de la parallaxe du Soleil.

Studnicka (F.-J.). — Sur les séi'ies de soumies en i^enéral, et.
sur les Jiombres Jigurés en particulier, ['i. art., i5 p.)

Exposition des propriétés les plus importantes des nombz-es fi-
gurés et particulièrement des nombres polygonaux «.'t polyédraux.

STTjD:NtcKA (F.-J.\ — Démonstration des formules fond amen-
dales de la Trigonométrie spliérique au moyen de quelques théo-
rèmes sur les déternnnants. (9 p.)

A l'aide de quelques propositions empruntées à la théorie des
déterminants et à la Géométrie analytique, l'auteur établit d'une
manière élégante et générale les formules fondamentales de la Tri-
gonométrie spliérique. L'article se termine par un coup d'ctil histo-
rique sur le développement de cette branche des Mathématiques.

• Paivek (A.). — Sur la somme des nombies cubiques. (3 p.)

(') Voir Bii/let/'fi, t. VIII, p. io().

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 8r

L'auteur établit une expression de la somme

1

{c -h nbY;

d'où résulte, comme cas particulier, la formule pour la somme des
cubes.

Hromadko (F.). — Démonstration analytique de la construction
des normales à l'ellipse. (2p.)

Stld^ickv (F.-J.). — Comment les Arabes résolK>aient les équa-
tions du troisième degré de la forme x^ — Pj:-|-Q = o. (4 p.)
Article rédigé d'après Hankel.

Stvdmcka (F.-J.). — Eléments de la théorie des nombres.
(4 art., 62 p.)

L'auteur développe d'une manière très-claire la théorie de la
divisibilité des nombres, leurs propriétés les plus importantes, le
calcul des congruences, avec son application aux équations indéter-
minées du premier degré.

SolÎln (J.j. — Eléments d' A rithmo graphie (fin). (18 p.)
Conclusion d'un article commencé dans le Volume précédent.
L'auteur y traite de la solution graphique des équations biquadra-
tiques, de la diilerentiation et de l'intégration graphiques, de la
détermination graphique des aires et des volumes.

Stldmcka (F.-J.). — Le calcul des fractions chez les Romains.
(6 p.)

D'après Hankel.

Sttjdkicka. (F.-J.). — Tliéorie mathématique des gaz. (3 art.,

^8p.)^

Rédigé d'après Lang. [Einleitung in die theoretische Physih .)

Vanals (J.-R.). — Sur une interprétation de l' équation de la
parabole. (6p.)

Cette jNote indique comment on peut établir une dépendance
entre la résolution des équations quadratiques et la parabole.

Pamck (A.). — Méthode élémentaire j)Our l'étude des courbes
dans le plan. (2 art., 19 p.)

DiiU. (tes Sciences inathéw . et astroii., t. XI. (Août iS;*"'-) 6

82 BULLETIN DES SCIENCES

Dans celte Noie, écrite pour les élèves de l'enseignement moyen
l'auteur indique d'une manière élémentaire des métliodes pour l'é-
tude de la forme générale des courbes planes, et éclaircit son expo-
sition par des exemples.

Hromadko (F.). — Remarque sur la somme des nombres carres.
( ' P-)

TArtOLÎMEK (C). — Sur la coiistructiou, par la Géométrie des-
criptis^e, de l'intersecdon des droites auec les courbes du second
degré données par leurs axes, (j p.)

Le problème proposé est résolu par la considération des figures
dans l'espace, pour la parabole, l'hyperbole et l'ellipse.

\ ANAus (J.-R.). — Sur le mouvement des projectiles. (5 p.)

HroaiÂdko (F.). — Comment on peut doubler la puissance d'un
courant galvanique. (4 p-)

Blazek (G.). — Remarque sur le calcul de l'intérêt composé.

(IP-)

Nouvelle démonstration de la formule

X = a't^-

ry- I

T. V; 1876.

Stldnicka (F.-J.). — Sur l'origine et le développement de la
théorie des dé te i minants . (2 art., i3 p.)

L'auteur donne un aperçu complet de tous les travaux qui ont
contribué à la création et au perfectionnement de cette théorie, à
commencer par les agrégats symboliques dont il est question dans
la correspondance entre Leibnitz et l'Hospilal, jusqu'à notre époque.

ZahradnÎk (K.). — Géométrie du cercle, à V usage des élèves
de V enseignement moyen. (3 art., 3i p.)

KucHYNKA (M.). — Sur les principes scientifiques de Vart du
dessin, depuis son origine jusqu'au ndlieu du xv*^ siècle. (2 art.,
II p.)

Hromadko (F.). — Remar(jue sur les équations quadratiques.
Contre Note relative au cas où une racine d'une équation qua-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 83

dratîque devient infinie, et à la moyenne liarmonique des deux

racines.

Plasil (J.). — Une aiialogie goniométrico-phjsique. (3 p.)
Si l'on écrit dans les sextants d'un cercle les fonctions sin^ tang,

séc, coséc, cot, cos, ce schéma donne lieu à plusieurs propositions,

qui peuvent se réduire aux trois suivantes.

1. Le produit des fonctions opposées est égal à l'unité.

2. Le produit de deux fonctions, prises alternativement de deux
en deux, est égal à la fonction située entre les deux facteurs.

3. Le produit de trois fonctions alternées de deux en deux est
égal à l'unité.

Des propositions analogues, très-faciles à trouver, ont lieu main-
tenant relativement aux six couleurs principales du prisme, in-
scrites de la même manière dans un cercle, l'unité ayant naturelle-
ment pour analogue la couleur blanche.

Studnicka (A.). — Nouueaux phénomènes produits par la lu-
mière, (a p.)

D'après The Engineer. Il s'agit des actions répulsives que
M. Crookes avait cru constater dans les rayons lumineux.

Becka (B.). — Détermination de la valeur du produit imagi-
naire

n/i(n-4-i) + (i4- i)
n[n -^ i) -t- [i ~ i)

/? = !

L'auteur démontre que ce produit a pour valeur /(= J — i ).

SiMERKA (V.). — Sommes des entiers contenus dans une pro-
gression arithmélifj ue fractionnaire, (p p.)

L'auteur détermine la somme des entiers contenus dans uu
nombre donné de termes de la progression arithmétique

a -f- h ?. a H- h r.) a -î- b

et applique le résultat obtenu à la détermination du nombre des

6.

84 BULLETIN DES SCIENCES

solutions onliôres el positives des équations

(m ^ m'
X z= mr — nz, y^^= ~ m r -i- n z, — ~> — 7

\n n

r satisfaisant en outre à la condition /'5w, et o) étant un nombre
entier et positif. On détermine de même le nombre des solutions
dans le cas où x ^\.y doivent être compris entre des limites données.
Enfin l'auteur considère au même point de vue les équations

gx = mr — Jiz, liy=^ — m'r + n'z.

Studnicka (F.-J.). ■ — Sur les qaaternions. (3 art., 21 p.)
Exposition rapide des opérations fondamentales sur les qualer-
nions, jusqu'à l'élévation aux puissances.

Vervaet (P.-J.). — Cont.rihution à la résolution des triangles
plans. (10 p.)

L'auteur établit une série complète de relations très -élégantes
entre les côtés, les angles, les hauteurs, les rayons du cercle cir-
conscrit et des cercles inscrits, et l'aire d'un triangle quelconque.

HoûEL (J.). — Remarques sur l' enseignement de la Trigono-
métrie. Traduit du français par jI. Kostenec. (10 p.)

Traduction d'un article publié dans le Giornale di Materna-
tiche (').

Baudys (V.). — Sur Le centre optique et les foyers principaux
des lentilles. (2 art., 27 p.)

Développement et coordination des formules les plus importantes
concernant cette question.

MiKSiC (M.). — Le triangle et le quadrilatère dans leurs rela-
tions avec les suites arithmétiques et géométriques. (6 p.)

Si l'on considère les milieux des côtés d'un triangle (ou d'un
quadrilatère) comme les sommets d'un nouveau triangle (ou qua-
drilatère), et que l'on continue cette construction de nouvelles fi-
gures, on obtient une suite de triangles (ou de quadrilatères) dont
les aires forment une progression géométrique dont la raison est

y ( OU - J • L'auteur considère ces aires, leurs sommes, leurs pro-
duits et les logarithmes de leurs produits.

(') Voir BiiUetin, t. X, p. 579.

MATHÉMATIQUES lîT ASTRONOMIQUES. 85

Pànek (A.). — Sut' la progression géométrique. (2 p.)
L'auteur établit la formule de sommation de la progression géo-
métrique I -f- p» -f- 1'^ -h . , . -h i^" par des considérations empruntées
au Calcul des probabilités.

Studnicka (A.). — Nouuel ellipso graphe. [1 p.)
L'ellipsograplie de Toulmin , d'après un jouinial scientifique
américain.

Becka (B.V — Sur les points multiples . (9 p.)

En partant d'une forme symbolique de l'équation d'une courbe
du /z'^™^ ordre, l'auteur établit d'une manière élémentaire les équa-
tions de condition qu'entraine l'existence d'un point z/z-uple, et
éclaircit la marche du calcul par des exemples.

PÂkek (A.). — Le théorème du binôme dans le Calcul des pro-
babilités. (4 p.)

L'auteur présente des considérations sur le Calcul des probabilités,
qui se rattachent au théorème du binôme.

Hromadko (F.). — Extraits du Traité indien d' arithmétique,
intitulé Lilàvàti. (5 p.)

Reiss (F.). — Sur la vitesse du mouvement des ondes. (2p.)

Vekvaet (P.-J.\ — Deux règles générales pour la divisibilité
des nombres décimaux. (4 p.)

i . Un nombre N(:= loD-t-J) est divisible par un nombre im-
pair L, quand le nombre (D) des dizaines contenues dans ]N , di-
minué d'un certain multiple des unités (J.), est divisible par L. Ce
multiple est le produit par m., m étant donné par l'équation

« L ■ — loni^zi.

2. Un nombre N est divisible par un nombre pair S, quand le
double (2D) du nombre des dizaines de N, diminué d'un certain
multiple (le m-uple) des unités (,T), est divisible par S. Ici m est
déterminé par l'équation

/i S — 5 /?i = I .

Dans les deux règles, le diviseur L ou S doit être supposé ne pas
contenir le facteur 5.

8(i BULLETIN DES SCIENCES

Hoz.v (P .). — Les inlérels composés et le calcul des renies, pour
les élèues de l'enseignement mojeji.

PÂNEK (A.). — Contribution au calcul des probabilités.

Baudys (^ .). — Théorie de l'arc-en-ciel secondaire.

DuRRANDE (H.). — Sur l' application des déterminants à la
théorie des moments des forces . Traduit parK. Zahradnih.

Traduction d'un Mémoire publié en 1873 dans les Nouvelles
ylnnales de Mathématiques (^).

HromÂdko (F.). — Sur la prohabilité de V existence des rayons
ultra-rouges dans le spectre solaire.

Si l'on observe, au moyen de l'érythroscope (de Wild), le spectre
solaire projeté sur un écran blanc, dans un lieu obscur, on aperçoit
le spectre prolongé au-dessus de son extrémité rouge.

Studivicka (F.-J.) . — i5/^/" le développement de notre littérature
physique pendant les cinquante dernières années.

Coup d'oeil sur les travaux publiés sur cette science en langue
bohème.

PÂnek (A.). — Sur quelques théorèmes de Trigonométrie, pour
les élèves de l'enseignement moyen.

Plch (P.-C). — Equation de l'ellipse rapportée à deux dia-
mètres, appropriée à la théorie des vibrations elliptiques.

Ces deux volumes contiennent en outre des problèmes de Ma-
thématiques et de Physique avec leurs solutions, des annonces et
des comptes rendus des nouvelles publications. Ed. W.

(') Voir Bulletin, t. VI, p. 187.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 87

MÉLANGES.

SL'R LES SYSTÈMES ABSOLIMENT l^'TÉGRABLES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES AUX DIFFÉ-
RENTIELLES TOTALES, ET Sl'R L'INTÉGRATION SIMULTANÉE DES ÉQUATIONS LINÉAIRES
AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES (');

Par m. a. MAYER, à Leipzig.

Toute équation linéaire aux différentielles partielles du premier
ordre est équivalente à un certain système d'équations diiléren-
tielles ordinaires. De la même manière, il existe, entre les systèmes
d'équations linéaires aux différentielles partielles du premier ordre,
admettant une solution commune, et certains systèmes d'équations
linéaires aux diilérentielles totales, une dépendance réciproque
facile à reconnaître, qui, du reste, a déjà été plusieurs fois re-
marquée et utilisée dans des cas spéciaux, par exemple dans la mé-
thode d'Ampère pour l'intégration des équations aux différentielles
partielles du second ordre qui ont une intégrale intermédiaire.

Soient, en elfet, les m — i équations simultanées aux dérivées
partielles

(I) A,(/) = o, A.(/)=o,..., A._.(/; = o,

dans lesquelles on a, en général,

"^ ' Ox '" (Jx,n " dx„

les coefficients a\ étant des fonctions données de J^i, Xg, . . ., x„ -,
si ces équations admettent une solution commune /, cette solution
sera toujours, en même temps, et quelles que soient les fonctions
arbitraires ^i, /j. ..., ).,„_i de Xj, x.,^ . . . ^ x^^ une solution tie
l'équation linéaire aux différentielles partielles

X A, (/) -h X Ao (/) -(-... -h /.„,_, A«_i (/ 1 = o,
cl, par conséquent, en l'égalant à une couslaule arbitraire, /'scia

88 BULLETIN DES SCIENCES

une iuléyralc des n — i équations diirérentielles ordinaires

ilxx : dx-i : ... : dxm-\ '. dxm : ... : dx,,

= lt : I2: . . . : Xn-> : \ ha'„ : • • • : \ h n'^ ,

et partant aussi une intégrale des n — ni-hi équations linéaires
aux diilérentielles totales

11 ) dxit = \ aj, dxh, (/r = /??, m -h i ,

que l'on obtient par l'élimination de Jvj, ^,5 • • •■> ^m-i entre les précé-
dentes, et l'on voit immédiatement que, réciproquement, si les
équations (II) admettent une intégrale y"= const., c'est-à-dire s'il
existe une fonction /" de o^i, Xj, . . ., x„, dont la ditïérentielle s'an-
nule identiquement en vertu des seules équations (II), cette fonc-
tion est une solution commune des équations (I).

Le problème de trouver une solution commune des m — i équa-
tions linéaires aux diilérentielles partielles (I) est, d'après cela,
identique avec le problème de ti^ouver une intégrale des n — m -f- 1
équations linéaires aux diilérentielles totales (II). En conséquence,
on doit s'attendre à ce que toute méthode conduisant à l'intégra-
tion des équations (II) devra aussi contenir le germe d'une mé-
thode d'intégration pour les équations (I). C'est cette idée qui a
donné lieu aux recherches suivantes, dont le but principal est de
trouver une voie par laquelle on puisse arriver, par le moindre
nombre possible d'intégrations, h trouver une solution commune de
plusieurs équations linéaires simultanées aux diilérentielles par-
tielles du premier ordre d'une même fonction inconnue.

Un peut d'ailleurs introduire préalablement une simplification
importante. En ellét, ainsi que l'a fait voir Clebsch (^), tout sys-
tème d'équations aux diilérentielles partielles de cette forme, qui
admet généralement une solution commune, pouvant se ramener à

(') Juuntal (le Cl elle, l. GJ, \>. '1J~.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. Sg

un syslème jacobien, c'est-à-dire, en particulier, à un système de la

r /T\ 1 1 11 ' • * • /• {m—-2){m — i)
lorme (l),dans lequel les opérations A satisiont aux ^ ~

identités suivantes :

(III) A,-[A,(/)]-A,[A,-(/)] = o,

il suffit alors de considérer les systèmes d'équations aux dilleren-
tielles totales dont les coefficients satisfont aux conditions qui ré-
sultent des identités (III).

Ces systèmes jouissent de la propriété d'être satisfaits par
/i — m H- I intégrales, et l'on peut d'abord montrer que leur inté-
gration revient à l'intégration complète de m — i systèmes cliacun
de n — iri-j- i équations diliérentielles ordinaires du premier ordre,
comme l'a déjà remarqué M. JNatani (*), dans l'hypotlièse d'un
système d'équations aux différentielles totales admettant le nombre
indiqué d'intégrales.

Mais, par une transformation des équations données, pareille à
celle qui a servi à M. P. du Bois-Reymond pour ramener les équations
linéaires aux différentielles totales intégrables par une seule équa-
tion à une seule équation différentielle ordinaire du premier oidre,
entre deux variables (^), on peut faire en sorte que l'intégration du
premier de ces i7i — i systèmes suffise déjà pour l'intégration des
équations données, ce qui ramène en même temps la solution com-
plète du système jacobien équivalent à l'intégration complète d'un
seul système de Ji — /« 4- i équations différentielles ordinaires du
premier ordre.

Il en résulte enfin, ce qui est beaucoup plus important dans
les applications, que, pour la détermination d'une solution com-
mune du système jacobien , il n'est indispensable de connaître
qu'une seule intégrale de ce système d'équations différentielles
ordinaires^ ainsi, par exemple, le nombre d'intégrales dont on a
besoin pour la solution complète d'une équation non linéaire aux
différentielles partielles du premier ordre est, abstraction faite de
la première, égale précisément à la moitié du nombre d'intégrales
dont la connaissance était nécessaire dans la meilleure des an-
ciennes métbodes, celle de Weiler et Clebscli (^).

(') Journal de Crelle, t. 58, p. 3o.
(") Journal de Crelle, t. 70, p. 3ia.
(") Journal de Crelle, l. (J5, p. 2ii.'>.

go BULLETIN DES SCIENCES

Si-

Conditions d'intégrabllité absolue.

On est conduit aux systèmes d'équations linéaires aux dilléren-
tielles totales, que nous considérerons exclusivement dans ce qui
va suivre, en égalant à des constantes arbitraires n — m -{- i fonc-
tions quelconques, indépendantes entre elles, de n variables Xj,
Xa, . . . , jr„, et prenant les différentielles totales des équations ainsi
obtenues.

La résolution des équations dérivées par rapporta n — m-|-i
des Ji ditlérentielles donne n — in-\-i équations dillércntielles si-
multanées de la forme

h z= ;n — I

( I ) dxk = y ni dxi, , Iji = m, m -h i , ...,«),

dans lesquelles a^ sont des fonctions données de toutes les n va-
riables, et auxquelles, par suite de leur mode de formation, on
pourra satisfaire en prenant pour x,,,, x^+i-, • • • •. JC^ des fonctions
convenables des variables indépendantes Xi, .x,, ...,a',„_i, fonc-
tions qui contiendront encore de plus ii — - m -+- 1 constantes arbi-
traires. Pour pouvoir m'exprimer plus brièvement, je donnerai à
un tel système d'équations linéaires aux différentielles totales (i)
le nom de système absolument intégrable.

Etant proposé, réciproquement, un système d'équations linéaires
aux différentielles totales de la forme (i), on peut se demander
d'abord sous quelles conditions il sera absolument intégrable, et
ensuite, quand ces conditions sont remplies, comnient on pourra
l'intégrer.

Pour qu'il existe Ji — m 4- i fonctions .r,„, x,„^,, . . . , jr„ des va-
riables indépendantes Xj, J"*, . . . , x,„_i satisfaisant identiquement
aux équations données (i), il faut que, h et i désignant deux nom-
bres quelconques, différents entre eux, de la suite i , 2, . . . , m — i ,
on ait, pour ces fonctions,

, . àxi, h ôxk ,

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. <ji

et par suite, en indiquant par la caractéristique d que, dans la dif-
férentiation, a:,„, x,„+i, . . . , x„ doivent être considérés comme des
fonctions de Xh et de x,, pour lesquelles ont lieu les relations (2),
il faut que l'on ait

dxi dxh
c'est-à-dire que ces fonctions satisfassent aux équations

Si l'on emploie la notation ^i[f) pour désigner généralement
l'opération

les équations (3) pourront s'écrire plus simplement de cette ma-
nière :

(5) A,-(4)-A^(«i)=o.

„ , . . , 1 f /? — m H- 1 U w — I ) ( w — 5 ) j .
Les conditions, au nombre de > aoi-

vent être satisfaites, d'après cela, par les fonctions a-,», . . ., x„ des
variables indépendantes x^^ ..., x„,_i , qui résolvent les équa-
tions (i). Mais si, comme on le suppose ici, ces fonctions doivent
contenir n — m -+- i constantes arbitraires, cela ne pourra avoir
lieu que si ces conditions sont déjà identiques par elles-mêmes.

La vérification identique des relations (3) ou (5) est donc né-
cessaire dans tous les cas pour que les équations (i) soient absolu-
ment intégrables. Cette condition est, de plus, suffisante, comme
nous le verrons dans le paragraphe suivant, où l'on montrera
comment, dans la supposition des identités (3), on peut déter-
miner jc„., ..., x„ en fonction de Xj, . . . , x,„_i et de n — m -f- i con-
stantes arbitraires, de manière à satisfaire identiquement aux équa-
tions (1).

En attendant, je ferai encore remarquer qui;, comme on a, en

92 15ULLET1N DES SCIENCES

vertu de (4),

()r

A,[A,(/)] - A,[A,.(/)] -^ [A,(«ij - A,{a')] -;-

les identités (j) eiitraineront aussi les suivantes :

(6) A,[A,(/)] = A,[A,-(/)],

qui ont lieu pour toute Ibnetiony, et qui, réciproquement, peu-
vent remplacer les conditions (5).

§IJ.

Réduction du système (i), lorsque les relations (3) ont lieu identiquement, à
m — I systèmes de n — /«-t-i équations ditterentielles ordinaires du premier
ordre.

Lorsqu'on a en général n — ni -j- i fonctions .r,„, . . ., .r„ des va-
riables indépendantes Xj, . . . , Ji'm-i satisfaisant aux équations (i),
elles devront d'abord satisfaire aux /z — m -{- i équations

Ces équations, dans lesquelles a'2, .-., Xm^s, n'entrent que comme
des constantes, forment un système de n — m -{- 1 équations difîé-
rentielles ordinaires entre a',„, . . . , a:'„ et arj.
Si donc les équations

(8) ox ( ^1 , ^î, • . . , Xm-\ ■,x„u . . ., x„ ] = Cl, [ X = m, m + I , . .., n)

sont /i — «/ -H I intégrales de ce système, indépendantes les unes
des autres, les solutions a:,„, . . . , a,'„ des équations (i) doivent être
contenues dans les équations (8), dans lesquelles les constantes
d'intégration c\ ne peuvent dépendre que de Xs, . • • , x,„_i.

Les équations (8), étant les intégrales complètes du système (7),
peuvent être toujours résolues par rapport à a,,,, . . . , x„. On peut
donc utiliser ces relations pour introduire c',„, ..., c„ comme de nou-
velles variables à la place de a„,, . , . , a„.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. <)3

Dos équations (8) ou tire, en diiîérentiant complètement, et
substituant les valeurs données par les équations (i),

'''■■■■= 2 (^Ii^ S"' -->"'"'■•

* dxk

Or ici le coefficient de dx^ est identiquement nul, puisque les
équations (8) sont, par hypothèse, des intégrales du système (n).
En faisant usage de la notation (4), il restera donc simplement

De ces n — ni-r- i équations, dans les seconds membres desquelles
on remplacera .r,„, . . . , a:„ parleurs valeurs résultant des équa-
tions (8) , on devra tirer les nouvelles variables c„, . . • , r„.

Mais, pour que les équations (8) continuent à être des intégrales
du système {7), il faudra que les c\ deviennent indépendants de
a:, \ donc x^ ne devra pas entrer dans les équations (9).

C'est en effet ce qui a lieu; car, comme on a, d'après (6),

A,l_A/i:90] = AA[A,(?0]
et

A, (cpx) =0,

il en résulte que f =^ A/, ;'cp,.) est aussi une solution de l'équation
Al (y) =: o-, autrement, A^ (ox" = const. est une intégrale du sys-
tème (7). Aussi, lorsqu'on aura substitué pour x,„, . . . , J"„ lein-s
valeurs provenant des intégrales (8), les expressions A/, (cj^x) seront
indépendantes de x^

Les équations (9) sont donc toutes indépendantes de j?i, et ne
peuvent par conséquejit pas changer , quelle que soit la valeur
que l on y attribue à cette variable .

Le système donné (i) est maintenant ramené au système (9),
qui contient encore m — 2 variables indépendantes. Ce dernier
système ne peut évidemment être établi en général [c'est-à-dîre tant
que l'on ne précise pas davantage le système d'intégrales des équa-
tions ( 7) au moyen duquel les quantités ex ont été introduites comme

94 BULLETIN DES SCIENCES

constantes d'intégration] qu'après que l'on a trouvé ces intégrales.
Mais, si l'on prend pour les C\ un système déterminé de con-
stantes d'intégration des équations (7), savoir les valeurs initiales
des variables dépendantes, on obtient le grand avantage de pouvoir
former les équations (9) avant toute intégration.

On peut reconnaître ce fait directement sur les équations (9)-, mais
il se manifeste plus clairement encore quand on prend pour point
de départ un autre système d'équations équivalent au système (9).

Désignons par

[loi ^'/i — 'y/ -^i» •^ij • • •» -^m — 11 c„ij • • •> ^'/i j

les résultats que l'on obtient en résolvant les intégrales (8) suivant
x,„, ..., x„, ou les solutions complètes des équations diileren-
tielles (7). Si l'on introduit directement, au moyen des équa-
tions (10), les quantités c. comme nouvelles variables dépendantes
dans les équations (i), on aura maintenant, pour déterminer les o.,
les équations

II

> = 71 /j rr /?; — r

dans lesquelles on devra exprimer aussi, à l'aide des suljstitu-
tions (10), les n'i- au moyen de a:,, x^^ . . . , x,„_i^ c,„, . . . , c„, et
par la formation desquelles on aura gagné ceci, que ces substitu-
tions rendront identiques les équations

, d^,
al — -, , = o.

Si l'on résout ces n — ni-^\ équons paitar rapport à Jc,„, ...,
rfc„, on devra retomber sur les équations (9). On pourra donc
remplacer ces dernières par les équations (11), et comme, d'après
ce qui précède, les équations (9) ne contiennent pas j:,, il sera
permis àH attribuer directement, dans les équalions (11), avant
même de les résoudre, à la variable Xi une l'aleur arbitraire,
pour laquelle ces équations restent encore résolubles.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. .,5

Cela établi, soient maintenant

(12) XI, = x*(^i, .V., . . . , x„_,, .r;„ Xn]

les solutions complètes des équations (7), exprimées au moyen de
Xi et des valeui-s jc,",, . . ., x,° des variables dépendantes x,„,. . . , a^„,
qui correspondent à la valeur initiale x^ de Xi. Cette valeur ini-
tiale x^ peut être clioisie arbitrairement; seulement il faut, pour
que les valeurs correspondantes des variables dépendantes restent
arbitraires, qu'aucune des quantités al ne puisse, pour cette va-
leur, devenir infinie ou indéterminée. Les expressions yj^ repré-
sentant les valeurs qui résultent pour les variables Xj, de la ré-
solution des équations suivantes, conséquences des intégrales (8),

ont alors la propriété de se réduire à xl pour Xi =^ x" .
Par conséquent, si, dans le système

qui se déduit de (i) c|uand on introduit par les substitutions (12),
comme nouvelles variables, à la place des quantités .r,„, . . ., x^-,
leurs valeurs initiales a:°„, . . ., x^, x^ pouvant d'ailleurs prendre,
d'après ce cjui précède, une valeur queleoncjue, on pose Xx = x\-^ il
se réduit au suivant :

/; = h; — I

(i3) dxl= S a'yxh,

h=%

dans lequel af représente ce que devient a\ lorscju'on remplace les
quantités x^^ .r,„, . . . , x„ par x°, .r°,, . . . , x^.

C'est à l'aide de ces n — ni -r- i équations (i3), qui peuvent être
établies, comme on le voit, avant toute intégration du système (7),
(]ue l'on déterminera les valeurs initiales, considérées comme des
Ibnctions de x,, . . . , a:„,_,.

Les équations (i3 ) forment un nouveau système tout à fait seni-

96 BULLI'TIN DES SCIENCES

blable aux équations données (i), seulement avec une variable in-
dépendante Xi de moins; cai% puisque, par hypothèse, on a iden-
tiquement

'Z^ _ 'M _!_ V ici — — a '^"'' ^

on a aussi identiquem.ent

dxi dxh 2mi V ^ àx{ '"■ ôx{

Le système (i3) remplit donc aussi les conditions de l'intégrabilité
absolue. On pourra, par conséquent, opérer sur ce second système
exactement comme sur le système donné, c'est-à-dire que l'on
pourra, par l'intégration d'un second système de n — ui-\- ^ équa-
tions diilërentielles ordinaires du premier ordre, le ramener à un
système complètement intégrable, ne contenant plus que m — 3 va-
riables indépendantes, et ainsi de suite; de sorte que finalement,
après l'intégration de m — i systèmes, chacun de n — in-\- i équa-
tions diderentielles ordinaires du premier ordre, et pouvant chacun
s'établir et se traiter indépendamment des autres, on parviendra
à l'intégration complète du système donné (i), et l'on obtiendra,
par un système récurrent de formules, x,^-; . . . , a:"„ au moyen de
Xi , jCj, . . • , ^,„_i et des n — m -\- \. constantes arbitraires du der-
nier de ces m — i systèmes.

[^A suivre.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 97

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

HATTENDORFF (Kaul). — Schwere, Electricitat und Magnetismus, nach
DEN YoRLESUNGEN VON Bernhard Riemanx (').— ! vol. in-S". Hannovcr, 1876.

Les physiciens désiraient depuis longtemps la publication d'un
livre vraiment classique, où l'on pût étudier la théorie de l'électricité.
Les leçons de Riemann donneront pleine satisfaction à leur vœu.
Il y trouveront réunies, sous un faible volume, toutes les
notions essentielles qu'ils étaient obligés de chercher dans des
ouvrages de longue haleine, comme celui de Clerk Maxwell, et cela
sous une forme plus claire, plus méthodique que dans aucun des
Traités qui sont entre leurs mains. L'auteur, mathématicien avant
tout, écarte de la rédaction de son livre toute préoccupation
relative à la théorie des instruments ou des méthodes de mesure.
Ces questions, d'un intérêt essentiellement pratique, se trouvent
suffisamment traitées ailleurs pour qu'on n'ait pas à regretter leur
suppression. La rédaction y gagne même d'être beaucoup plus
vivante et le lecteur peut plus aisément embrasser d'un coup
d'oeil l'ensemble de ces questions difficiles.

M. Hattendorff nous offire les Leçons professées par Riemann à
l'Université de Gôttingue, pendant le semestre d'été de 186*1. Eu
dehors de quelques notes assez courtes, l'auteur n'a pas laissé de
manuscrit sur ce sujet. L'éditeur se déclare seul responsable pour
la disposition et la rédaction de l'Ouvrage. Malgré quelques redites
que l'on aurait peut-être pu éviter sans nuire à la clarté, M. Hat-
tendorff a droit à toutes nos félicitations pour la manière dont il
a accompli sa tache.

(( L'accueil favorable fait par les savants compétents à ma
publication des leçons de Riemann sur les équations aux dillérences
partielles «, nous dit-il dans une courte préface, a me fait espérer
que le nouveau livre trouvera grâce auprès des amis de Riemann, et
des personnes qui se livrent à l'étude des Mathématiques.

)) Comme pour les équations aux différentielles partielles, nous

(') Gravitation, électricité et magnétisme, d'après les leçons de Bernard lliemann,
publié par Karl Hattendorff.

Bull, des Sciences mathéni. et astroii., t. XI, (Septembre 187G.) ;

98 BULLETIN DES SCIENCES

devons aussi beaucoup à Lejeune-Diilclilet clans le sujet actuel.
Au nombre des services qu'il a rendus à la Science, il ne faut pas
oublier que c'est à lui que Ton doit d'avoir introduit dans les
Universités allemandes l'étude des équations différentielles et du
potentiel. Les matières qu'il a traitées dans ses Leçons constituent
encore aujourd'hui une part essentielle de nos programmes d'en-
seignement.

1) Venu après Diriclalet, Riemann a dû nécessairement lui
emprunter beaucoup. Cependant il ne s'est pas borné à recueillir
l'héritage de son illustre devancier. Le lecteur compétent trouvera
qu'il y a ajouté beaucoup du sien. »

Ce serait rendre un vrai service aux personnes qui s'intéressent
à la Physique mathématique de leur faire connaître, par le détail,
les matières traitées dans ce Volume. Obligé de nous borner au
plus essentiel, nous tâcherons d'insister plus particulièrement sur
les parties originales de l'oeuvre de Riemann, ou sur les points qui
sont les moins connus en France.

Les Leçons de Riemann sont divisées en deux Parties. Dans la
première, l'auteur étudie les lois générales relatives à la fonction
potentielle et au potentiel. Dans la seconde, il expose les donjiées
physiques de la science de l'électricité et du magnétisme, et il
apprend à former les équations générales qui résolvent les pro-
blèmes fondamentaux, relatifs à chaque subdivision de ces sciences.

Nous insisterons peu sur la première Partie. Les matières que
l'on y traite ont été récemment vulgarisées par la publication d'un
certain nombre d'Ouvrages élémentaires et sont assez connues des
physiciens français (^). Nous y relèverons cependant plusieurs
points dignes de fixer l'attention.

La fonction potentielle V = S— (^), et ses dérivées du premier

et du second ordre font l'objet du premier Chapitre de la première
Partie. On y remarque l'étude approfondie du cas où la masse
attractive est répandue sur une surface, ou distribuée le long d'une
courbe. Dans le premier cas, et quand le point attiré est situé sur

(') Signalons le Livre de Clausius : Die Potentialfiiiiction und das Potential, traduit
par Folie (in-S°; 1870. — Paris, Gautîiier-Villars), et rexcclleiit Traité d'électricité
statique de I\I. Maseart.

(*) Appelée le plus souvent en France le potentiel o\\ premier potentiel.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 99

la surface attirante, les dérivées premières de la fonction potentielle

présentent d intéressantes particularités. La dérivée -y- > prise par

rapport à un déplacement situé dans le plan tangent, possède une
valeur finie et déterminée, infiniment peu dillérente de celle qui
convient à un déplacement parallèle pour un point extérieur, très-
voisin de la surface 5 cependant la composante tangentielle de
l'attraction est absolument indéterminée. Au contraire, pour un

, . , d\
déplacement normal à la surface, la dérivée — est indéterminée.
^ Op

et l'on a, en désignant par p la densité de la matière attractive au

point considéré de la surface,

cependant la composante normale de l'attraction garde une valeur
déterminée. Cet exemple est bien choisi pour montrer qu'il n'est
pas permis dans tous les cas de confondre les dérivées de la fonction
potentielle et les composantes de l'attraction.

Le deuxième Chapitre, intitulé : Loi de Green, contient l'exposé
delà méthode générale donnée par Green pour former l'expression
du potentiel en un point quelconque intérieur à une surface
fermée T, quand on donne sa valeur en tous les points de cette
surface, et c[ue l'on connaît dans l'intérieur de T la valeur que

prend en chaque point la somme — ;^ ! 1 — ^ Après avoir

^ ^ ^ dx' oy dz' ^

exposé les cas particuliers de l'ellipsoïde et du cylindre elliptique
homogènes, enfin d'une sphère hétérogène, l'auteur étudie les pro-
priétés générales de la fonction auxiliaire U introduite par Green.
Dans son Essai sur V application de V ylnalyse niaUicinalique aiuc
théories de V électricité et du magnétisme, l'illustre analvste n'éta-
blit pas que, pour chaque forme particulière de l'espace S compris
dans la surface T, il existe une fonction U et une seule satisfaisant
aux conditions imposées. Il s'en rapporte simplement à la significa-
tion physique de la fonction U : « Pour nous convaincre », dit-il,
« qu'il existe une fonction V telle que nous l'avons admise, concevons
que la surface S soit un conducteur parfait en relation avec la terre,
et qu'une unité d'électricité positive se trouve concentrée au

7-

100 BULLETIN DES SCIENCES

point //; alors la fonction potentielle totale produite par p' et par
l'électricité induite sur la surface sera la valeur cherchée de U. »
Gauss a comblé cette lacune de la théorie de Green, mais la preuve
qu'il fournit n'est pas purement analytique : sa forme est empruntée
à la théorie même de la fonction potentielle. Enfin Dirichlet a
donné une démonstration purement analytique ; Riemann la repro-
duit et l'applique plus tard au potentiel électrodynamique.

Il termine en démontrant que la fonction V qui obéit à l'équa-
tion de Laplace n'a ni maximum ni minimum.

Le potentiel (^) forme l'objet du troisième et dernier Chapitre.
L'auteur établit que, quand les composantes X, Y, Z delà force
agissant au point dont les coordonnées sont x, j^ z sont les dérivées
partielles d'une même fonction jn\ qvii ne dépend directement que
des coordonnées (et par suite ne contient pas la variable t d'une
manière explicite), la variation de la force vive cori^espondant à un
déplacement quelconque est égale à la variation de la fonction iiiW .
C'est le principe delà conservation de la force vive pour un point
matéiiel. Le même principe s'applique sous les mêmes conditions
à un système quelconque de points, libre ou non. La fonction P,
dont la variation représente le travail élémentaire, est le potentiel.
Elle jouit de cette propriété, que sa valeur est égale au travail pro-
duit par le transport de tous les points du système depuis l'intini
jusqu'à leurs positions actuelles, indépendamment du chemin
suivant lequel s'est opéré le transport. Cette propriété peut, si l'on
veut, servir de définition au potentiel. On verra, par la suite,
comment la notion de potentiel est susceptible d'être étendue,
quand les composantes des forces agissantes sont fonctions des
vitesses de tous les points du système.

Les généralités précédentes suffisent pour permettre d'aborder les
problèmes soulevés par l'étude de la gravitation. INous allons voir,
dans la seconde Partie de l'Ouvrage, comment on les adapte aux
besoins spéciaux d'autres branches de la Science. Comme premier
exemple, nous analvserons succinctement le Chapitre Electro-
staLicjue.

Après avoir défini les corps conducteurs et non conducteurs et
énoncé la loi de Coulomb, l'auteur pose ainsi le problème général

(') Appelé ({\\C:\(\\\eïo\.s secojid potentiel.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. loi

à résoudre : Etant donnés un certain nombre de corps isolants
dans lesquels la distribution électrique est connue, et en outre
k conducteurs dont les charges respectives sont ni^^ /«s, .... m^^
on demande de déterminer la distribution électrique sur ces con-
ducteurs quand le système est en équilibre.

Soient «i, rtj, . . . , «^ les valeurs constantes de la fonction poten-
tielle V à l'intérieur des A conducteurs à l'état d'équilibre. Soit de
plus z/i une fonction de -i'^j-, - qui dans tout l'espace obéit à la loi
de L api a ce

â^u, â-u, à-u.

^"' dx- ôy- Oz'

et dont la valeur à la surface et dans l'intérieur du premier con-
ducteur soit égale à i ; soient i;,^ "37 • • • i"â les fonctions analogues
pour les autres conducteurs. Alors la ditférence

(3) Y — [tti Ux -f- «2 f<2 -f- . . . -i- cih Uk) = «'

est une fonction nulle à l'intérieur et à la surface de tous les conduc-
teurs , qui en tous les points extérieurs aux corps isolants obéit
à l'équation de Laplace, et qui, dans l'intérieur des isolants, donne
la densité électrique par la même relation que la fonction poten-
tielle V. On a

dY du,

du.

dUl:

àa'

ap dp

dp

. . -1- Ok -.

à,^

'Ô'-'î

(4)

Prenons maintenant l'intégrale (^ )

étendue à la surface entière du neuvième conducteur, et posons, pour

(') On a / — 1 ^ o, puisque dans l'intérieur du conducteur la force agissante est
nulle. Par suite, d'après (i), ( t— ) =^ \-zp, puisqu'il s'agit de forces répulsives.

102 BULLETIN DES SCIENCES

Les équations (i) deviennent

; m^ —- fl,,!»: + y-i,2«2-1-. ■ .-\- !J.\,kCtk H- V,,
\ «22 = y.n,,rt, -i- «2,2 ^-f.-f- ... H- iM.k fil. + Vj,

(6) t ' '

\ Wi = u.k.ia, -+- p., «2 -i- . . • -r- f-i.i «A H-v* ;

ce sont les équations générales du problème. On démontre que l'on
a, en général,

et l'on trouve sans peine la signification physique des diverses con-
stantes contenues dans les équations (6). 11 ne reste plus qu'à les
résoudre par rapport aux inconnues rt^, rt,,. . . .

Tviemann choisit ensuite comme exemple le cas de deux sphères,
traité d'abord mathématiquement par Poisson et plus tard par
Plana, et géométriquement par W. Thomson. La méthode qu'il
emploie est toute personnelle. Elle est, eu quelque sorte, la traduc-
tion analytique de la méthode des images électriques de Thomson,
On sait que l'image électrique d'un point P extérieur à une sphère
du rayon a et situé à une distance ;■ du centre, est un point P
situé sur le rayon qui aboutit en ce point, et tel que sa distance
/•' au centre est donnée par la relation

rr' = a'.

La propriété physique qui les caractérise est la suivante. Soit
une unité d'électricité en P, et la sphère en communication avec
le sol; la distribution électrique [produite par induction sur la
sphère peut être remplacée, au point de vue de son action à l'exté-
rieur, par une charge - supposée concentrée au point P'. On

démontre aisément que l'image électrique d'une sphère A dans une
sphère B extérieure à A est une sphère C intérieure à B; de même
l'image de C dans A est une sphère intérieure à A, et ainsi de suite.
Le principe de la méthode de Riemann consiste à chercher quelles
sont les charges qu'il faudrait supposer appliquées aux centres des
deux sphères et à leurs images électriques en nombre infini, pour
produire, à l'extérieur des deux sphères, la fonction potentielle
résultant de leurs charges réelles. Le problème ainsi posé est, a

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. io3

priori, susceptible cVune solution unique et parfaitement déter-
minée, puisque toutes les images considérées sont intérieures à l'une
ou à l'autre sphère, et que si la fonction V est variable et contenue à
l'extérieur des deux conducteurs sphériques, et prend réellement,
à partir de leur surface interne, deux valeurs constantes g et /^,
rien ne s'oppose à ce que l'on prolonge la fonction potentielle à
l'intérieur de ces conducteurs en la laissant variable et continue,
sauf en des points déterminés, et d'après telle loi que l'on voudra.
Convenons que, si la fonction potentielle a pour valeur V en un
point quelconque extérieur P, elle aura pour valeur \'j au point P
qui est son image dans la sphère A,

(7) (V.-.^)=:-^;(V'-^), et [y-h] = -'-[T-h],

au point qui est son image dans la sphère B. A chaque point inté-
rieur correspond une valeur définie de \', , sauf aux points conte-
nus dans l'image de la sphère (2) dans la sphère (i), et de même
dans l'image de la sphère (1) dans la sphère (2); \\ est d'ailleurs
infini au centre de chaque sphère ( ^ ) , où l'on devra, par conséquent,
supposer placée une première masse électrique. A l'aide de \', on
continuera la formation de la fonction potentielle dans les images
de premier oindre, à l'exception des points contenus dans les images
de deuxième ordre et ainsi de suite; et à chaque centre la fonction
potentielle se trouvera infinie et l'on devra supposer placée une
nouvelle masse électrique.

Toute l'analyse qui suit consiste à déterminer les coordonnées et
les charges des images successives. Quand on les a obtenues, et par
suite qu'on a l'expression de la fonction potentielle \', on n'a pas
de peine à exprimer la densité électrique eu chaque point de la
surface des deux sphères.

Le Chapitre II de la seconde Partie est l'exposition de la théorie
des courants de KirchhoiF ( ^ ) , qui conduit pour les courants linéaires
constants aux lois de Ohm et de Joule.

Le Chapitre III est plus intéressant. Après avoir énoncé la loi

(') Le centre d'une sphère est l'image des points situés à l'infini.
(') Voir Verdet, Théorie mécanique de la chaleur, tome II.

io4 BULLETIN DES SCIENCES

élémentaire des actions magnétiques, l'auteur admet comme prin-
cipe démonlré par l'expérience que les actions magnétiques exer-
cées par un courant obéissent, extérieurement au courant lui-même,
aux mêmes lois que si elles provenaient de masses magnétiques, sur
la situation desquelles, d'ailleurs, on ne préjuge rien. Il donne
ensuite à la fonction potentielle des actions électromagnétiques
une forme particulière sous laquelle elle est susceptible de deux
interprétations remarquables, l'une mécanique, l'autre géomé-
trique .

1° Limitons une surface courbe quelconque au contour du conduc-
teur linéaire du courant, et fermons-la en lui adjoignant une
deuxième surface parallèle à la première et infiniment voisine. On
peut remplacer le courant d'intensité I, au point de vue de son
action électromagnétique, par deux distributions magnétiques de

signe contraire et de densité ^» recouvrant les deux faces de la

o

surface S 5 a est la dislance constante de ces deux faces.

2° La valeur delà fonction V en un point P, extérieur au courant,
est égale à l'angle solide sous-tendu en ce point par le courant,
multiplié par l'intensité L Ce produit doit être allècté du signe -+-
si, pour l'observateur placé en P, le sens du courant est le sens de
la marclie des aiguilles d'une montre, et du signe — si c'est le sens
contraire.

Cette dernière interprétation de l'expression de la fonction V
permet de la transformer en une intégrale dont l'élément différen-
tiel contient en facteur la loncueur clo de l'élément de courant. Les
dérivées par rapport à x, j , z de cet élément d'intégrale doivent
représenter les composantes de l'action électromagnétique de l'élé-
ment de courant. On obtient ainsi la loi élémentaire connue des
actions électromagnétiques.

On peut maintenant, à l'aide de l'interprétation mécanique de V
développée ci-dessus, remplacer un courant par un aimant, et
inversement, et l'on formera sans peine l'expression du potentiel
électrodynamique. Il suffit alors de lui donner la forme d'une
intégrale dont l'élément contient en facteur les longueurs ds et dp'
de deux éléments appartenant respectivement aux deux courants
que l'on considère, et leurs intensités I et 1', pour que cet élément
d'intégrale représente le travail élémentaire correspondant à
l'action réciproque des deux éléments de courant. On obtient ainsi

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. io5

la loi d'Ampère. Toute cette analyse est extrêmement intéressante.

Le Chapitre IV, relatif à l'induction, est d'une concision et d'une
netteté remarquables. L'auteur démontre en peu de mots la néces-
sité des phénomènes d'induction. S'attachant ensuite au cas de
l'induction voltaïque, il en établit la loi par les considérations
suivantes :

Le potentiel P, relatif à deux courants constants d'intensité I et 1',
peut être mis sous la forme

(8) P=-irQ,

Q étant un facteur qui ne dépend que des positions relatives des
deux courants. Le travail élémentaire électrodynamique correspon-
dant à un déplacement infiniment petit des conducteurs est

dt

Admettons que cette expression représente toujours ce travail
élémentaire, même quand I et I' sont variables. Cela exige d'abord
que I et F varient d'une manière continue.

Jusqu'ici nous avons appelé potentiel une fonction dépendant
des coordonnées, et dont l'expression ne contient pas la variable t
d'une manière explicite, telle que sa variation représente le travail
accompli par une déformation quelconque du système. L'existence
de cette fonction P est l'expression môme de la loi de la conser-
vation de la force vive.

jXous allons étendre la notion de potentiel à une fonction des
coordonnées de tous les points d'vin système qui dépend aussi des
^ntesses de tous les points, mais qui ne contient pas le temps d'une
manière exj)licite. Dans ces conditions, le principe de la conserva-
tion de la force vive est encore applicable.

Il est aisé de voir que le travail électrodynamicjue

r

ir - <H

est une fonction explicite du temps, puisque I et I' sont des fonc-
tions quelconques de cette variable. Le travail électrodynamique
correspondant à des courants d'intensité variable n'admet donc pas
de potentiel, même dans l'acception étendue que nous venons de

io6 BULLETIN DES SCIENCES

donner à celte expression. Si ce travail était le seul produit, le
principe de la conservation de la force vive ne serait pas appli-
cable aux pliénoniènes électriques.

Mais nous avons reconnu la nécessité d'admettre la production
d'un travail électromoteur, pour expliquer les pliénoniènes d'in-
duction. jNous allons déterminer ce travail par la condition que le
travail total admette un potentiel, c'est-à-dire que le principe de
la conservation de la force vive soit applicable aux phénomènes
qui nous occupent. Il faut, pour cela, que l'élément d'intégrale
représentant la somme du travail élémentaire électrodynamique et

électromoteur soit une différentielle complète. Au ternie lî'— dt^

., ^ . , , ^diVQ] j .,d(lQ) j ^

il laut ajouter les deux termes 1 — ^ — - rft H- 1 — -, — cit. Cette

somme est la différentielle de II'Q, et le potentiel est — II'Q. Le
premier des deux nouveaux termes représente le travail électro-
moteur dans le conducteur du courant d'intensité I'^ le second, le
travail dans le conducteur du courant d'intensité I. Cette expres-
sion du travail électromoteur fournit l'énoncé de la loi de l'induc-
tion donnée par jNeumann.

J'insisterai encore sur le Chapitre suivant, dont le titre est : Loi
fojidavientale des actions électriques. L'auteur, après avoir déve-
loppé sous la forme complète le potentiel de l'action réciproque
de deux courants, en tenant compte de l'induction, démontre que
dans ce cas l'expression du travail élémentaire ne détermine pas
complètement les forces motrices. On peut donc admettre plusieurs
lois élémentaires différentes conduisant à la même expression du
travail total. L'auteur en donne deux : l'une due à Weber, l'autre
qui lui est propre.

Weber (^) admet pour le potentiel élémentaire l'expression

T\!-m]

où /• représente la distance des deux particules électriques de masses
s et e', et — ^ la quantité par laquelle il faut multiplier l'unité

V/2

(') Weber, Elektrodjnamische Maassbestiminungen, Theil i.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 107

électrostatique d'électricité pour obtenir l'unité électromagné-
tique. La loi élémentaire correspondante est représentée par

££' r I [dry -ird'rl

Riemann admet, pour la forme du potentiel élémentaire l'ex-
pression

££' _F_

T P ~ c^

[cix_dx\, (^]r_dr\- /'^_^V1

\dt dt] ^ \dt dtj '^\dt dt) J

dans laquelle (.r, j, :;), (j^^i, ji, ^1) sont les coordonnées des deux
particules électriques au temps t. Les composantes de la force
élémentaire sont alors

.fa f dx ^/:r,\n
;' \'r\dl~lfr]\

££' dr ££■

T^cZr^c^ dt

ee'irfdx dx,y ( dy (h\y /'_^ _ ^Vl

'^~cFr'i\'dï~~di] '^[dJ dt) '^\dt dtj y

et pour Y et Z les expressions analogues.

En l'absence d'expériences directes sur l'électricité en mou-
vement, on ne peut se décider pour une forme ou une autre que
par des considérations d'ordre purement analytique. La loi élémen-
taire de Riemann conduit, soit pour l'action de toutes les parti-
cules z' sur une particule e, soit pour le mouvement delà particules,
à des équations différentielles plus simples. Les deux lois élémen-
taires se réduisent d'ailleurs à la loi de Coulomb quand on suppose
les particules électriques immobiles, et conduisent également à la
loi d'Ampère quand on néglige la portion du potentiel fournie par
les phénomènes d'induction.

Le dernier Chapitre relatif au magnétisme terrestre contient
l'exposé de la méthode de Gauss(*) pour le développement de la
fonction potentielle de l'aimant terrestre en série de fonctions
sphériques, et pour l'évaluation approchée de cette fonction d'après
une série d'observations de la déclinaison, de l'inclinaison et de
l'intensité magnétiques en un certain nombre de lieux.

(') Voir Verdet, Conférences de Pbjsiqiie faites à l'École Normale.

io8 BULLETIN DES SCIENCES

GÛNTHER (D"^ Siegmund). — Vermisciite Unterslchunge.n zir Geschiciite
DER MATHEMATiscHEN WissENSCHAFTEN , mit in clen Text gedruckten Holz-
schnitten und 4 lilh- Tafeln. — Leipzig, Teubner, 1876, yiii-3j2 p. in-B".
Prix : 9 Mark.

M. S. Giinther, privat-docent à l'Ecole Polytechnique de Munich,
s'est déjà fait connaître au public, par un excellent Manuel de la
théorie des déterminants (*) et par plusieurs articles, relatifs à
l'histoire des Mathématiques, qui ont paru dans divers recueils.
Le nouvel Ouvrage qu'il vient de publier contient sept nouvelles
monographies qui, comme les précédentes, sont des matériaux
tout prêts, pour le savant qui voudra enfin écrire une liistoire
des Mathématiques digne de ce nom. ^ oici un aperçu sommaire des
matières contenues dans le Livre de M. Giinther, qu'il dédie, avec
juste raison, au prince B. Boncompagni.

L Les polygones et les poljèdres étoiles depuis la Rejiaissance .
(p. 1-92.) — L'auteur donne d'abord le résumé de son histoire
des pohgones étoiles avant la Renaissance, qui a été publié dans le
tome M du Bullettiiio de ]\L Boncompagni; ensuite il analyse les
travaux de Lucas de Borgo, Bouvelles, Barbaro, Peletier, Clavius,
Piamus, Paracelse, Alstedius, Kircher, Schwenter, Broscius, Ke-
pler et Jamnitzer. Entre ces divers auteurs, il faut surtout distin-
guer, Girard, Broscius, Jamnitzer et Kepler. Le premier a fait une
classification de toutes les formes polygonales à quatre, cinq, six
côtés que M. Gûnther explique probablement pour la première fois;
le second, en voulant réfuter Piamus, a fait une étude assez appro-
fondie des polygones étoiles 5 Jamnitzer a dessiné un polyèdre étoile,
et Kepler en a donné deux autres, en les considérant explicitement
comme des polyèdres étoiles, contrairement à une opinion géné-
ralement admise en France.

Au xv!!!*^ siècle, il faut citer parmi ceux cjui s'occupent des
polygones et des polyèdres, étoiles ou non, Meister, Lhuilier,
Lexell, Euler; au xix" siècle, Gauss , Mobius, Poinsot, qui
trouve deux nouveaux polyèdres réciproques de ceux de Kepler
(Poinsot cite Kepler, mais il ne semble pas l'avoir lu), Cauchy,
qui prouve qu'il n'y a que Cjuatre polyèdres réguliers étoiles,

(') Voir LtiUetiii, t. X, p. i3i.

xMATHÉMATlQUES ET ASTRONOMIQUES. 109

Krause, Scliroder, Jacobi, Hermès, Bertrand, Cajley, Wiener.
M. Gûntlier remarque, avec beaucoup de justesse, que ce n'est
qu'au xix*^ siècle qu'un travail systématique comme celui dePoinsot
était possible, parce qu'il suppose certains progrès de la théorie
des nombres qui datent de la tin du xviii'^ siècle. [11 ne cite pas le
travail de Catalan sur les polyèdres semi-réguliers [Journal de
V Ecole Pol) technique. Gabier XLI).

II. Fractions continues ascendantes [^. 93-i36). Définition.

— Elles comprennent les fractions décimales et sexagésimales :

-1 ÎL

ainsi 4^ 2''4'"6^ ^= 4r7 ^ " jours. Hébreux, Grecs , Romains,

Egyptiens, Indiens, Babyloniens, Ptolémée , Tbéon , Barlaani,
Planudes, Alkasaldi, Léonard de Pise, Jean de Séville, Arzachel,
Regiomontanus, Cardan, Buckley, Stevin, Prœtorius , Lagrange,
Lambert, Druclienmûller, Kunze, Hess, Scklômilcli, Gûntber.
Notes. Cette monographie, sur un sujet peu connu, contient
maints détails curieux sur l'histoire du calcul décimal.

m. Le par allélo gramme de Newton et la règle de Cramer et
Puiseux (p. 136-187). — Newton a indiqué, le premier, une
règle mécanique pour déterminer l'espèce d'un point singulier
d'une courbe algébrique. Clebsch, dans sa Notice sur Plûcker,
a attribué cette règle à Cramer, et a fait remarquer qu'elle est
identique avec celle de Puiseux. M. Giinther a cru intéxessant
de faire l'histoire complète de ce procédé célèbre. Newton énonce
sa règle sans démonstration et il croit qu'il est à peine nécessaire
d'en donner une. Les commentateurs Colson, s'Gravcsande, Stir-
ling exposent plus au long la règle du grand géomètre ; mais ce sont
Kastner et surtout Cramer qui, les premiers, la démontrent tout
au long. Parmi ceux qui ont connu et employé la règle de iSewton,
on doit citer particulièrement Taylor et Lagrange, le dernier sous
une forme purement analytique. (Soit dit en passant, ce point est
signalé dans le Cours d .Analyse de M. Hermite, p. 3i, note.)
Les recherches de Puiseux, cent ans après Cramer, ont rappelé
l'attention sur le parallélogramme, d'autant que la théorie des fonc-
tions abéliennes touche de très-près à celle des courbes algébriques,
ou plutôt se confond avec elle.

IV. Etudes historiques sur les cairés magiques (p. 188-2J0).

— On ignore si les carrés magiques sont d'origine indienne comme

110 BULLETIN DES SCIENCES

le dit La Loubèrc. Les astrologues arabes oonnaîssaient ces carrés
jusqu'à 9^ 5 ils les inscrivaient sur des talismans consacrés aux pla-
nètes d'où le nom de carrés planétaires . L'un des deux, Moschopule,
auteur byzantin de la fin du moyen âge, écrivit sur les carrés
magiques un Traité dont M. Gûntlier publie , pour la première fois,
le texte grec (p. 196-208). Dans le grand nombre d'auteurs dont
il parle ensuite (Durer, Agrippa, Paracelse, Théopliraste, Piiese ,
Stiefel, Scliwenter, Spinola, Heniscli, Rotli, Locliner, Faulhaber,
Remmelin), il faut distinguer Riese, qui trouva un procédé gé-
néral pour les carrés à racine paire, et Stiefel qui fit connaître
le moyen de construire les carrés magiques par enceintes. Au
xvii'' et au xv!!!*^ siècle, nous citerons, parmi un grand nombre
d'autres indiqués par M. Gûntlier, Bachet de Meziriac qui trouve
la méthode par terrasses 5 Frenicle, qui montre que le carré de
4^ éléments peut être formé de 880 manières (Fermât, lettres à
Mersenne, est oublié), la Hire et Poignard, Sauveur, D'Ons-en-
Bray et Rallier des Ourmes, qui épuisent en quelque sorte la ques-
tion des carrés magiques, telle qu'elle était posée de leur temps.
Au xix^ siècle, MolUveide, Holindell, Zuckermandell , Hugel
et Pessl , en Allemagne , ont étudié sous une forme nouvelle
ou plus systématique la formation de ces curieuses figures aritli-
métiques. En Angleterre, Horner, Drach, Thomson (Frost, Hol-
ditcli) ont fait aussi des reclierolies sur le même sujet. Dans le
cours de cette étude historique, M. Gùnther comj)lète souvent les
travaux qu'il analyse en donnant la démonstration des règles trou-
vées inductivement par divers auteurs.

V. Sur l'histoire des logarithmes (p. 2^1-290). — 1° Montucla
et après lui beaucoup d'auteurs modernes confondent les loga-
rithmes hyperboliques et les logarithmes népériens. M. Gûntlier
montre que cette erreur a été souvent réfutée, tant au siècle passé
que de notre temps \ il fait l'historique de cette réfutation et con-
clut comme suit : Neper n'avait pas l'idée de base d'un système de
logarithmes, et la base implicite de son sj^stème n'était pas e. aP Sur
une méthode d'interpolation logarithmique de Jean Bernoulli IIL
3° A. de Humboldt, dans sa jeunesse, Joseph Muschel de Moschau,
Wolf, Hermann et Del ambre ont proposé, sous une forme trigono-
métrique, des méthodes de calcul de log(ad=Z»), au moyen de
log<7., logZ», assez analogues à celles de Leonelli [voir encore un

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. m

écrit très-curieux de Delambre, dans l'édition de Leonelli publiée
récemment par M. Hoùel.)

YI. Sur le calendrier juif [^. api-Soj). — Rectification d'une
assertion historique de Littrow.

VII. Histoire des horloges à pendule aidant Hujgens (p. 3o8-
344)- Cette Notice est une nouvelle édition complètement remaniée
d'une monographie antérieure de M. Giinther, publiée dans les
Bulletins de la Société physico-médicale d'Erlangen (6*^ cahier,
p. 12 et suiv.). Il examine soigneusement le parti que Galilée,
Bûrgi et Hevelius ont tiré de l'isochronisme du pendule pour la
mesure du temps et prouve qu'en réalité le vrai inventeur des hor-
loges à pendule est Huygens (M. Giinther écrit toujours Huyghens,
à tort, d'après M. Chasles, Rapport sur les progrès de la Géomé-
trie, ^. /i^) [').

L'Ouvrage se termine par un Index nominum (p. 345-35o) très-
soigné, et deux pages d'additions et de corrections.

P. IMansion.

ESCHERICH (G. vo.\). — Die Géométrie auf den Flachen constanter nega-
TivER Krummung. [Sitzungsberkhte der K. Akademie der IVissenschaften zii
ÏVien, LXIX. Rd., 1874.)

L'auteur étudie directement, d'après la méthode de Gauss, la
Géométrie des surfaces à courbure constante négative, laquelle
coïncide, on le sait, avec la Géométrie du plan établie dans l'hypo-
thèse non-euclidienne de Lobatchefsky et de Bolyai.

Après avoir retrouvé les relations connues entre les éléments
d'un triangle, ainsi que l'expression de son aire, l'auteur introduit
un système de coordonnées, analogue à celui que Gudermann a
employé pour la sphère, et au moyen duquel il arrive assez rapi-
dement à l'équation de la ligne géodésique et à la distance de deux
points donnés par leurs coordonnées. La ligue géodésique ayant
une équation linéaire, ce système doit coïncider avec celui de
]M. Beltrami (^), ce qui est, en ellet, facile à vérifier directement.

(') L'emploi du gh correspond à l'ancienne orthographe néerlandaise en usage au
xvn*^ siècle. Aujourd'hui on écrirait Iluijgens. On sait d'ailleurs quelle indécision
régnait à cette époque sur la manière d'écrire les noms propres. (J. II.)

(') Saggio d'interpretazioiie délia Gcomctiia non euclldea.

112 BULLETIN DES SCIENCES

Il est facile aussi de transformer la méthode de M. von Eschericli,
de manière à la rendre applicable aux trois dimensions, les droites
remplaçant naturellement alors les lignes géodésiques, et cette
transformation peut offrir une certaine utilité, comme moyen d'ar-
river le plus simplement possible à comprendre toute la partie g^eo-
métriqiic des travaux de l'illustre géomètre italien cité plus liant.

La Géométrie analytique des surfaces à courbure constante néga-
tive, au moyen des coordonnées admises et de l'équation linéaire de
la géodésique, est poussée plus loin ici que dans d'autres Ouvrages.
]\ous citerons, par exemple, le calcul de l'angle de deux géodé-
siques, celui des éléments linéaire et superficiel 5 les équations
générales des tangentes et des normales, la détermination du rayon
de courbure, enfin la discussion générale des courbes représentées,
sur les surfaces en question, par des équations du second ordre.

Le ^lémoire se termine par l'étude des propriétés projectives des
figures, qui se conservent dans la Géométrie abstraite, ou, ce qui
revient au même, dans toutes les surfaces à courbure constante.
Cette étude est facilitée par le système de coordonnées emploj^é, le-
quel permet la représentation de tous les points d'une surface à
courbure constante au moyen des points d'un plan qui leur corres-
pondent, c'est-à-dire qui ont les mêmes coordonnées, chaque droite
du plan correspondant aussi à une ligne géodésique de la surface;
ou, plus généralement, chaque ligne du plan correspondant à une
liene de même ordre dans la surface.

Ce mode de correspondance , dont l'idée n'est pas entièrement
neuve, est simple et naturel, et l'on en conçoit a priori tous les
avantages. ]N"ous nous bornerons à faire observer :

1° Ou'il conduit à distinguer, lorsqu'il s'agit de l'intersection de
deux lignes, les points de rencontre réels des points imaginaires et
des points idéaux, ces derniers répondant au cas où les lignes ana-
logues dans le plan se rencontrent, mais en un point qui n'a pas de
correspondant sur la surface donnée.

2° Que les raisonnements présentés ici en général pour les sur-
faces à courbure négative peuvent être facilement transformés de
manière à s'appliquer à la sphère \ l'étude de la géométrie abstraite
aura donc fait progresser non-seulement la Géométrie des pseudo-
sphères, mais aussi celle de la surface sphérique elle-même.

J. D. T.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. ii3

POîMEPT) (n.). — OcHOBHbiR HazaJia Memoda KBnmepHehom. KioBi,
btj jHiiBepciiTCTCKOU Timorpafjiiii ; 1868. l^tna 2 py6. cepeG. (^).

Cet Ouvrage, dont nous devons la connaissance à une obligeanLe
communication de ^I. Imclienetsky, contient une exposition très-
claire et très-complète de la doctrine d'Hamilton, la première qui
ait paru sur le continent, en dehors des résumés sommaires don-
nés par MM. Allégret, B(dlavitis et Hankel.

Il se divise en deux Parties, dont la première est intitulée :
« Principes du calcul des cjuaternions ».

L'auteur part de la notion du vecteur, défini comme l'opération
géométrique qui sert à déterminer la position d'un point B de l'es-
pace au moyen de la distance de ce point à un point donné A et de
la direction de la droite qui va de A. vers B. Il expose les propriétés
de l'addition et de la soustraction des vecteurs, leur décomposition
suivant trois directions rectangulaires, etc.

Il définit ensuite le (juotient - de deux vecteurs, comme l'opéx-a-

tion qui consiste à passer du vecteur a au vecteur |3. Cette trans-
formation dépend de quatre quantités, d'où le nom de quaternion
attribué au symbole de l'opération. L'auteur établit les règles de la
nuilliplication des vecteurs unitaires rectangulaires t, y, /., d'où il
déduit celles de la multiplication des vecteurs quelconques, puis
des quaternions en général 5 la propriété associative dans ce cas
général est démontrée en s'appuyant sur la propriété associative de
la multiplication des vecteurs unitaires i, y, A. Il donne les formules
les plus importantes qui résultent de la multiplication des vecteurs
et de l'emploi des signes S et V d'Hamilton. 11 applique ces for-
mules à la démonstration des formules fondamentales de la Trigo-
nométrie plane et de la Trigonométrie spliérique.

Vient ensuite la théorie de la résolution des équations du pre-
m.ier degré en quaternions, au moyen de la fonction linéaire
cp d'Hamilton. M. Ptomer explique comment cette fonction impor-
tante satisfait à une équation cubique, qui est la base de tant d'ap-

(') RoMER (P.). — Principes fondamentaux de la méthode des Quater-nions. Kief,
typographie universitaire, 18G8. Prix : 2 roubles arg. — i vol. in-8°, 2i5 p. 4 p'- î'''^'-
Bull, des Sciences macficm. et astroii., t. XI. (Septembre 1876.) O

ii4 BULLETIN DES SCIENCES

pllcations, et qui sert à exprimer une déformatioJi lincaire; puis
il traite de ladillérentialion et de l'intégration des quaternions.

La seconde Partie, composée de deux Sections, a pour ohjet les
applications géométriques. La première Section est relative au pro-
blème concernant la ligne droite, le plan et les surfaces du second
ordre, et l'auteur entre dans tous les détails nécessaires pour faire
comprendre aux commençants cette théorie qui n'est pas sans pré-
senter quelques difficultés C|uand on l'étudié pour la première fois
dans les Ouvrages un peu trop concis d'Hamilton et de M. Tait.

Dans la seconde Section, l'auteur s'occupe des applications des
quaternions h. la Géométrie inUnitésimale. Il traite successivement
des lignes dans l'espace, de la courbure des surfaces, et termine par
le calcul de la mesure de la courbure de Gauss et par l'étude des
propriétés des lignes géodésiques.

11 est à souhaiter que M. Ptomer donne une suite à son remar-
quable travail, et consacre un second \ olume aux applications des
quaternions à la Mécanique et à la Physique. J. H.

REVUE DES PUBLICATIONS PÉRIODIQUES.

y^IEHblil 3x\nîICKII Ihrn. KasancKaro yniiBepciiTeTa (^).

Année 1872,

YiTvoGRADSKY (V.-N.) — De la détermination des orbites des
étoiles doubles. (60 p.)

Le problème de la détermination des orbites des étoiles doubles,
cjuoique assez simple théoriquement, présente cependant de grandes
difficultés pratiques, par suite des erreurs résultant de la petitesse
extrême d'un des éléments observés.

Les observations directes des distances apparentes f, de l'astre
mobile à l'astre fixe et des angles de position B permettent d'obtenir,
à l'aide des formules .v = p cosS, y =:= p sin0, un certain nombre des

(') Mémoires scientifiques de l'Université Impériale de Kazan. Ces Mémoires, écrits
en langue russe, sont publiés chaque année en plusieurs fascicules grand in-8°.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. ii5

coordonnées orthogonales de la projection de l'orbite sur un plan
perpendiculaire au rayon visuel de l'observateur, et passant par le
centre de l'astre fixe. On peut donc, soit graphiquement, soit en
substituant les valeurs de x et y dans l'équation générale des coni-
ques, tracer ou calculer les éléments de la projection de l'orbite et
en déduire l'angle du plan de l'orbite avec sa projection, la posi-
tion des nœuds et enfin les éléments de l'orbite réelle.

Les premiers essais de solution de ce problème, faits parSavary (^),
sont fondés sur les propriétés des diamètres conjugués. Les élé-
ments sont déterminés par un tâtonnement long et pénible.
Encke (^) a cherché à modifier les formules de Savary -, mais sa
méthode, consistant dans la détermination des deux inconnues à
l'aide des trois équations, conduit à des calculs répétés, très-péni-
bles, quoique un peu facilités par les Tables qu'il a dressées.

Sir John Herschel (^) a donné une solution purement géomé-
trique. Sa méthode consiste dans le tracé d'une courbe représen-
tative, ayant les époques d'observation pour abscisses et les angles
de position pour ordonnées. Une fois cette courbe tracée, la connais-
sance de ses tangentes donne les variations.de la vitesse angulaire
et par conséquent les distances, avec lesquelles on peut construire
la perspective de l'orbite, déterminer ensuite ses axes et le diamètre
passant par l'astre fixe. En 1849, le n^ème astronome (*) a indi-
qué une autre méthode où les éléments de l'orbite projetée ne sont
plus déterminés graphiquement, mais par le calcul.

Presque en même temps, M. Yvon Villarceau, en partant du
même principe que Herschel, a exposé, dans la Coiviaisscuice des
temps pour iSja, une méthode analytique où, pour déterminer les
éléments de l'orbite projetée, il développe p et0, et par suite x ç.\ j
en séries, en fonction des puissances du temps, et donne des for-
mules exprimant les paramètres cherchés en fonction de x^ y et de
leurs dérivées.

Enfin Klinkerfues (^) a indiqué une méthode de détermination

(') Connaissance des temps, i83o.
(') Astronomisches Jahrbuch, 18^2.

(') Memoirs of the Rojal Astronomical SocieCj, vol. V.
(■*) Memoirs of the Royal Astronomical Society, vol. XVIII.

C) Ueber eine neue Méthode, die Duluien der Doppelster ne zu berechnen, Gottingiiii,
i855.

ii6 BULLETIN DES SCIENCES

directe de l'orbite réelle, fondée sur l'égalité des rapports entre les
aires des triangles dans cette orbite et les projections de ces aires.

Aprèscet aperçu historique de la question, M. Yinogradsky expose
la méthode de Herschel, que nous reproduirons en quelques mots :

Soient /', u les coordonnées polaires de l'orbite réelle, et p et 0 les
coordonnées observées de l'orbite projetée 5 on a, d'après la
deuxième loi de Kepler,

r--j~ = c et p' -y- = ff cos i = c^
dt ^ dt

i étant 1 angle des projections. Eu supposant — connue, etenposant

c" = I , on calculera une série des valeurs de p exprimées en fonc-
tion de cette unité arbitraire -, on aura alors un certain nombre
d'équations de la forme

p( observé ) = — r^r et p, (calculé^

^1 sj

dt

d'où

c = lt

-p

louant a -r-i on aura, en posant

e = A-l-B?+ C?= + D^M-

dB
dt

une série d'équations à l'aide desquelles on déterminera les coefficients
A, B, C,. • . soit par la méthode des moindres carrés, soit à l'aide
des méthodes d'interpolation de Cauchj (*) ou de Tchebychef (-).
On calculera ensuite une série des valeurs de ôj, 0,, 63, ... , jOj, p,,
p3, ..., correspondant aux époques d'observation tj, t^, ?3, ...;
puis une série des valeurs de Xi =: Cj cos 9), . . . , Vi = ''i sin9i, ....

C) Cauchy, Mémoire sur V interpolalion {Journal de Liouville, IX, 1837). — Villarceac,
Méthode d'interpolation de M. Cauchj [Connaissance des temps, i852).

(-) Sur l'interpolation par la méthode des mçindres carrés [3Iémoires de l' Académie
de Saint-Pétersbourg, t. I, iSJg).

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 117

et l'on obtieiidz^a ainsi un certain nombre d'équations

(i) o-x -f- j3j* M- 'jx'' -H ^xy -i- tj"' + 1 = 0,

dans lesquels les coefficients a, j3, y, ... sont inconnus.

Les valeurs de ces coefficients peuvent être obtenues par la mé
tliode des moindres carrés, et, connaissant ces valeurs, on calculera
sans difficulté les paramètres de la projection de l'orbite, lesquels
étant connus, on pourra tracer cette projection, et par des considé-
rations géométriques obtenir ensuite des formules donnant les
valeurs des éléments de l'orbite réelle.

Les valeurs de p étant exprimées en unité arbitraire, la valeur du
demi-axe a sera aussi exprimée en même unité. En calculant avec
a ainsi obtenu les valeurs de p correspondantes aux temps connus, et
en les comparant avec les p observés, on obtiendra la grandeur de
l'unité arbitraire, et par suite la vraie valeur de a.

L'auteur applique ce procédé au calcul des éléments de l'orbite
de l'étoile du \ Bouvier, en prenant pour base les observations faites
par Herscliel, O. Struve, Dembowski.

Voici le tableau de ces éléments ainsi que de leurs valeurs cal-
culées par Herschel :

Yinogradsky. Herschel.

Demi-grand axe. , «:^5",425 12", 56

Excenlricilé e ~ 0,64099 0,59874

Inclinaison... / rr= 48''25',5 80" 5'

Longitude du nœud Q"=ii"35',6 359°59'

Position du périaslre par rap-
port à l'origine ra= i47°i4'5<^ i38°24'

Longitude du périaslre comptée
à partir du nœud sur l'orbite

réelle A .= i24''9'4 100° 59'

Epoque du passage au péri-
astre 1^^1767"°% 76 1779,96

Mouvement moyen n^--— 2%5597 — 3",o733

Durée de révolution 7 — i4o'''"%64 117^"% 14

Dans une brève analyse du précédent ^lémoire, j\L Kowalski,
professeur à l'Université de Kazan, fait à propos de la méthode

1,8 BULLETIN DES SCIENCES

de liersclicl plusieurs remarques importantes, que nous jugeons
utile de reproduire.

Dans la plupart des cas, les distances p sont excessivement
petites et les erreurs de leur observation sont très-comparables
avec leur grandeur^ souvent même il est impossible de les mesurer
directement, et l'on se borne à les calculer d'après les valeurs des 0.
Ou pourrait donc introduire directement dans le calcul les élé-
ments 9 et i, pouvant être observés avec beaucoup plus d'exacti-
tude, quoique dans ce cas les résolutions d'équations du second
degré fussent remplacées par celles d'équations transcendantes.

Dans la méthode de Herscliel, après avoir évalué les coefficients
a, (3, y, ^, s et l'équation générale delà projection (i), on détermine
en premier lieu les éléments de cette projection. Or l'équation (i)
peut servir à la détermination directe de l'orbite réelle. En effet,
si les coefficients a, (3, . . . sont suffisants pour déterminer les con-
stantes de l'équation

( 2 ) z = mûc -^r- ny-

du plan de l'ellipse réelle, ces constantes doivent être fonctions de
ces coefficients. En outre, une des conditions du problème est que
l'origine des coordonnées x^ j coïncide avec le foyer de l'ellipse
située dans le plan (2) ^ donc, en introduisant immédiatement celte
condition dans l'équation (i), on pourra en déduire les éléments et
la position de l'ellipse réelle.

En désignant par p le paramètre, par 1 l'angle du grand axe et de
l'intersection du plan (2) avec celui des xj, par o) l'angle de cette
intersection avec l'axe des x^ l'équation générale de l'ellipse

p =z r -\- ercosv

se transforme, en projetant /■ et p sur la ligne des noeuds, en

/p = ep[sin(9— 6)'sinÀséc?-4-cos'5— wcos/.j-i-pv/i-f-iang='/sin*(ô — w).

En y introduisant a==pcos0, j)=psin(5, on aura une équa-
tion dvi second degré en x etj , et, en comparant ses coefficients de
cette nouvelle équation avec ceux de l'équation (i), on obtiendra les

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 119

cinq relations :

(4)

ecosX =: — - l'S sino) -I- acosco),

2 "

qni expriment les éléments de l'orLite réelle, /?, e, co, i et X, en fonc-
tion des coefFicients a, (3, y, ^ et e.

Le calcul des coefficients a, j3, ... est assez difficile, même
dans le cas où. le nombre d'équations serait réduit à cinq, tandis
que la méthode des moindres carrés , appliquée au calcul des
coefficients des séries périodiques, est assez facile. Pour obtenir
une pareille série, supposons que les observations de 0 et p sont

faites à des intervalles égaux a, assez petits pour que ^5 et

qu'elles embrassent un arc de 060° — a. Dans ce cas, en dévelop-
pant le radical de l'équation (3) suivant les cosinus des multiples
de 0 — w, on peut introduire cinq nouvelles inconnues auxiliaires,
exprimées en séries périodiques, et qui permettent de déterminer
les éléments cherchés.

On peut observer, à propos de cette dernière remarque, que ce
procédé, tout en rendant le calcul facile, n'est applicable que dans
le cas où l'on possède des observations le long de l'orbite presque
entière, ce qui n'est pas le cas général.

ViNOGRADsivY (iS.-\'.) — Détenmnatioji de l'orbite du compa-
gnon de l'étoile y} du Bouvier, (la p.)

Application des formules (4) données par ]M. Kowalski au calcul
de l'orbite du compagnon de fji^ du Bouvier, si ce n'est que les coeffi-
cients a, /2, y, ... ont été déterminés à Taide d'équations de la
forme (1) par la méthode des moindres carrés.

120 BULLETIN DES SCIENCES

Voici les résultats obtenus par l'auteur, compares avec les résul-
tats trouvés par Wilson :

Vinogradsky. "\Yilson.

Longitude du nœud comptée

à partir de l'axe des x. . . . Q— i66°8' i72",o

Inclinaison i=47°3i' ^5"

Longitude du périastre comp-
tée à partir du nœud sur
l'orbite réelle >. r= 23°i' 2o^5'

Excentricité. , e = 0,491 o,5i

Position du périastre à partir

de l'axe des x y. ^ iS^^S' iSô^So'

Mouvement moyen ;i =: — i'',g';2 — i°,n

Epoque de passage au péri-
astre T -— 1866"% 00 i965='",2

Durée de la révolution z = i82''°%6 200,4

Démi-grandaxe «=i",i65 w

\assilief (A\ — De la dcLerinination du nombre de racines
des équations simultanées . ( 26 p.)

En considérant les fonctions de n variables comme représentant
les points d'un système de n dimensions, le nombre des racines sera
le nombre des points d'intersection de Ji systèmes de ;z — i dimen-
sions, et sa reclierclie sera amenée à celle de la caractéristique d'un
système de n — i fonctions. \. P.

NOUVELLES AN^'ALES de Mathématiques, rédigées par MM. Gero.no et
Ch. Brisse,

T. XV (2« série); 187G (').

LrcAs (E.). — Problèmes sur l'ellipse. (3 p.)

Sur la construction géométrique des normales aune conique. —
Sur la corde normale maximum. — Sur le triangle inscrit et con-
centrique à l'ellipse. — f^oir aussi Nouvelles Annales, 1^ série,
t. VII, p. 023, et t. IX, p. 348; et Salmok, Traité des sections
coniques [traduction française), (p. 3o6.)

(') Voir Bulletin, t. X, p. 32.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 121

Lucas (E.). — De la trisection de l'angle à l'aide du compas
sphérique. (2p.)

Interprétation d'un passage d'une lettre de Descartes. — J^oij'
3L\issi Nouvelles annales, 1^ série, t. III, p. 222.

Laguerre. — Sur les lignes géodésit/ues des surfaces du second
ordre. (2 p.)

Extension à l'espace d'un tliéorème de Maclaurin relatif à l'el-
lipse.

WoRONTzoFF. — Sur les nombres de Bernoulli. (y p.)
Cet article contient plusieurs formules renfermant les nombres
de Bernoulli, et des applications de ces formules à diverses som-
mations.

LrcAs (E.). — Théorèmes Jiouueaux sur la parabole et l'hyper-
bole. ( 2 p.)

L'auteur démontre ou énonce, dans cette étude, vingt-et-un
tliéorèmes relatifs aux aires des triangles et des polygones inscrits à
la parabole et à l'hyperbole. — T oir, du même auteur. Nouveaux
théorèmes de Géométiie supérieure [Bulletin de la Société d'ému-
lation de l'allier, iSyj).

RorcHÉ (E.). — Extrait d'une Lettre.

Réclamation de priorité au sujet d'un article de M. Fontené sur
la discussion des équations du premier degré. [V^oir, pour l'ana-
lyse de cet article. Bulletin, t. X, p. 35.)

Laguerre. — Sur la méthode de Monge pour V intégration des
écpiations linéaires aux différences partielles du second ordre.

(9P-)

M. Laguerre s'est proposé, dans cet article, de présenter, sous

une forme plus nette et plus brève cju'on ne le fait liabituellement,

la méthode de Monge cpii a été élucidée par les travaux d'Ampère,

de Boole et de Bour. [Voir, du même auteur, un Mémoire iSwr le

calcul des systèmes linéaires, inséré dans le Journal de l'Ecole

Polytechnique, XLIP Cahier.)

Lucas (F.). — Démonstration nouvelle du théorème de Coriolis.

Il s'agit d'un théorème sur l'accélération apparente dans un mou-
vement relatif. La démonstration de M. F. Lucas, surtout géomé-

122 BULLETIN DES SCIENCES

trique, s'appuie sur la considération de mobiles fictifs qui obéi-
raient seulement au mouvement d'entraînement.

EscARY. — Remarque sur la Note de M. Floquet, relative à l'in-
tégration de l'équation d' Euler. (3p.)

T^oir, pour la Note de M. Floquet : Nouvelles Annales, 2'' série,
t. XIV, p. I20-, et, pour l'analyse de cette Note, Bulletin, t. IX,
p. 174.

Lucas (E.) — Question nouvelle d' Arithmétique supérieure.

Enoncés de neuf questions d'aritlimologie.

MoREAu (C). — Extrait d'une lettre.

Sur les permutations : indication de résultats obtenus depuis plu-
sieurs années, et confirmant ceux de M. Vacliette.

Lucas (E.)- — Extrait d'une lettre.

M. E. Lucas fait ressortir qu'(;n réalité l'idée de la Cinématique
appartient, non pas à Ampère ou à Wronski, mais bien à Carnot,
comme le prouvent deux citations extraites de la Géométrie de
position.

Haton DE LA GoupiLLiÈRE. — Note sw les courhes que repré-
sente l' équation p" = A sin/z w. (i i p.)

L'auteur expose un résumé des propriétés fort remarquables
de ces courbes, qui ont été étudiées par Maclaurin, Euler, l'Hos-
pital, Fagnano, Riccati , Lamé, Serret, Ossian Bonnet ,W. Ro-
berts, etc. Il a eu soin, pour la plupart de ces propriétés, d'indi-
quer les sources où l'on pourrait retrouver les démonstrations.

TERraER (P.) — Quadrilatères et sections coniques. (6 p.)
M. Terrier énonce onze nouveaux théorèmes relatifs aux quadri-
latères. Cet article fait suite à un précédent, pviblié dans les Nou-
velles Annales, 2*= série, t. XIV, p. oi4- f^oir aussi Bulletin,
t. X, p. 35.

Vachette. — Permutations rectilignes de'iq lettres égales trois
à trois, quand trois lettres consécutives sont distinctes ; calcul de
la formule générale; application . (12 p.)

Suite d'articles publiés précédemment. Foir notamment Bulle-
tin, t. X. p. 32 et 34-

MxVTHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i23

NiEWEXGLOwsKi (B.). — Note sur les courbes planes d'ordre n
à point multiple d'ordre n — i . (2 p.)

Cette iSote est relative au mode de génération des courbes dont
il s'agit; on y trouve l'expression du rayon vecteur issu du point
multiple. Voir , sur ce sujet, les Comptes rendus de V^cadémie
des Sciences, t. LXXX, séance du 26 avril 1875.

NiEWENGLOwsKi (B.). — Sur uji tJièorème de Jacques Ber-
noulli. (i p.)

L'énoncé de ce théorème, relatif au cône oblique, est le suivant,
extrait de Y aperçu historique :

(c Que l'on mène un plan parallèle à la base du cône, et situé à
la même distance de son somme t que 1 e pi an delà section conique pro-
posée 5 ce plan coupera le cône suivant un cercle dont le diamètre

sera le laLus rectum - — de la conique. »

a

Dévia. — Correspondance . (i p-)

Sur cette propriété, que, si deux bissectrices des angles d'un
triangle sont égales, le triangle est isoscèle.

Vachette. — Permutations rectilignes de ?iq lettres égalestrois
à trois, quand trois lettres consécutives sont distinctes ; calcul de
la formule générale ; applicatioji . (2'^art., 22 p.)

Ces articles terminent la série de ceux dont nous avons eu pré-
cédemment l'occasion de rendre compte. [Voir notamment Bulle-
tin, t. X, p. 82.) Les observations que nous avons formulées alors
subsistent en entier. Les résultats obtenus ne semblent pas en
proportion des efforts faits pour les obtenir et de la difficulté des
notations. Dans tous les cas, un semblable travail aurait mieux
trouvé sa place dans tout autre recueil mathématique, plutôt que
dans les Nouvelles Annales, qui, par destination, s'adressent spé-
cialement aux élèves et aux professeurs.

RorQrET. — Note sur la continuité des racines des équations
algébriques. (4 P-)

Démonstration de deux théorèmes intéressants sur les variations
des coefficients et des racines d'une équation algébrique.

Gambey. — Note sur le rayon de courbure des sections coni-
ques, (i p.)

On peut comparer cette Xote avec la méthode de INI. Bellavitis

124 BULLETIN DES SCIENCES

[Exposition de la incthode des équipollences^ p. 147} sur le
même sujet.

Lucas (E.). — Slw larelation de Mohius, qui exprime que quatre
points d'un plan sont situés sur un cercle. ( 2 p.)

Théorème plus général que celui de Mobius, et donnant la
condition pour que quatre cercles soient orthogonaux à un même
cercle. Voir, pour la relation de Mubius^ Journal de Crelle^
t. XVI, p. 26.

Lucas (E.) — -Sur U7i problème de Hallej relatif à la théorie
des sections coniques. (3p.)

Ce problème, posé par Halley sous forme astronomique, revient
à la construction d'une conique, connaissant un foyer et trois points .
La méthode indiquée par M. Lucas est d'une simplicité et d'une
originalité remarquables; elle a pour objet de ramener la solution
à celle id'un problème très-élémentaii'e de Géométrie descriptive.
Nous croyons la méthode de M. Lucas absolument nouvelle.

MiLEwsKi (N.). — Extrait d'une lettre.

Enoncés de deux théorèmes très-simples, et qui paraissent nou-
veaux, sur le triangle rectangle. Ces théorèmes sont dus à
M. E. Karatchinsky.

Parme>tier (Th.). — Simplification de la méthode d'interpo-
lation de Thomas Simpson. (10 p.)

La fo lunule de quadrature du général Parmentier

//

n'est pas nouvelle. Il l'a publiée depuis longtemps (^'oir Mémorial
de V Officier du Génie, n° 16, i854, p. 390, et Nouvelles Annales
de Mathématiques, i""*^ série, t. XIV, i8j5, p. Sjo) ; mais la
manière dont l'auteur présente actuellement cette formule permet
de la comparer directement à celle de Simpson. Pour apprécier
la valeur pratique de cette formule, ce qui est surtout intéressant
en pareille matière, deux tableaux renfermant un certain nombre
d'exemples numériques ont été dressés et sont suivis d'une discus-
sion sur les résultats qu'ils contiennent. La formule de M. Par-
mentier semble ollrir, en général, de grands avantages, et réunir,
comme il le dit, l'exactitude de celle de Simpson à la simplicité de

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i25

celle de Poncelet. Toutefois, nous croyons qu'il ne faut pas être
absolu, et que la meilleure formule à appliquer dans chaque cas
particulier dépend des conditions spéciales du problème, et du
degré d'exactitude dont on a besoin.

Le général Piobert a découvert la même formule. L'article se ter-
mine par une jNote qui établit d'une façon péremptoire la priorité
du général Parmentier.

Fauke. — Tlièorie des indices. (i3 p.)

Le nom du commandant Faure est bien connu des lecteurs des
Nouvelles annales, et ils ont pu constater quel usage habile des
indices il a su faire dans de nombreux problèmes. Il a, dans le même
recueil, publié une tliéorie géométrique des indices, dans laquelle
il considérait l'indice d'un point, d'une droite, d'un plan. Cette nou-
velle étude est consacrée aux indices d'un système de deux points,
de deux droites ou de deux plans. Le présent article devant avoir
une suite, il nous semble préférable de l'attendre, avant d'en pré-
senter une analyse.

BouRGUET. — Extrait d'une lettre.

Enoncés de neuf formules concernant les tangentes, les normales,
les rayons vecteurs et les rayons de courbure des coniques.

A.L.

MÉLANGES.

SIR LES SYSTÈMES ABSOLlME\T IMÉGRABLES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES Ail DIFFÉ-
RENTIELLES TOTALES, ET SLR L'IMÉGRATION SIMLLTANÉE DES ÉCLATIONS LINÉAIRES
AUX DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES (');

Par M. A. MAYER, à Leipzig.

(Suite et fin.)

§ HL

Réduction du système absolument intégrahle (i) à un système unique de
n — m -\-i équations diflerentielles ordinaires du premier ordre.

La méthode exposée dans le paragraphe précédent ramène
l'intégration du système absolument intégrable ( i ) à l'inté-

(•) Voir Bulletin, t. XI, p. 8G.

126 BULLETIN DES SCIENCES

gration de m — i systèmes, chacun de n — /« H- i équations diffé-
rcntitllcs ordinaires. Mais, si l'on avait aifaire au cas particulier
où l'on pourrait choisir x\ de telle sorte que, pour Xi^x", les
[ni- - i){n — //i + i) quantités al^ al^ . . . , af~' devinssent toutes
nulles, les équations (i3), auxquelles se ramène le système
donné (i) par l'intégration des équations (7), se réduiraient à

dxl = G,

et donneraient par suite immédiatement

a7;„ = const., ^"„ + ,= const., ..., ^^^ = const.

Alors donc les solutions complètes du premier de ces n — «^ -r i
systèmes d'équations diiïerentielles ordinaires, exprimées au moyen
de Xi et des valeurs initiales de .r,„, . . . , x,^ pour jrj = x", nous
donneraient immédiatement les solutions complètes du système (i),
dès que l'on y considérerait ces valeurs initiales comme des con-
stantes arbitraires, indépendantes de ^r,, . . . , x,„_i .

Ce cas, en apparence très-particulier, peut toujours être amené
par une transformation convenable des équations ( 1 ) .

Prenons comme nouvelles variables, à la place de j^i, .r,. . ..,
x,„_i , ni — I autres quantités «i, a,, ..., a:,„_i , définies par
m- — 1 équations arbitraires et indépendantes les unes des autres

(i4) ^/, =- ^/, (a,, a>, . . ., «m-, ];

les équations (i) se transformeront dans les suivantes :

i^z m — I

[i5) dxi- = \ h'iJxi,

ou

(.6) 6;= y «/,^'.

On obtient en même temps, en faisant les substitutions (i4) dans
une fonction quelconque /"de jTi, Xj, .... x,„

/( = »; — I

df ^ y àf_ '1^.
àoci Za àxh OoLi '

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 127

par suite,

A = « /i = m — I /i=::n

Comme nous savons, par ce qui précède, que le système pri-
mitif (i) est un système complètement intègrable dès que les iden-
tités (3) sont satisfaites, il en résulte immédiatement que, dans
cette hypothèse, le système transformé (10) jouira aussi de la
même propriété, et, par conséquent, on doit avoir identiquement
entre les coefficients b\ de ce système les relations

dans lesquelles k = m^ m^ i ., . . . , /z, p et cr étant deux quelconques
des nombres i , 2. . . . , m — i , et qui, si nous posons en général

'•'■" ^s

'• '^ ' docr. 2u '-Ox;

entraîneront les suivantes :

(20) B,[B,(/)] = B,[B,(/)].

Cela peut être d'ailleurs facilement vérifié par le calcul.
On a, en effet, d'après les équations (16),

/,= «/—!

Il =zin ^i

A ^ ^ h

dbk dh/; __ V' / à(ik àx/, dn^ àxh

_ V^ V^ (ja,f, (dxh dx^ ôx/, dx^
~ Za Zu àx.^

\dy.^ dx^ OUr^ ôxc

et

'kz=n ;j. =:;,'■ — I

ôxi (Jaj ô:!t\ Ooco

Zj\'^dy..^ '^ dx„ J Zj Zu '•

/. ^ m ■:. = 1

Zj /^ Là '■ Ox-, \0x.

,. ùa^ fOx/, dx.^ dxh àxj,
Oxo Ox. Ox,

128 BULLETIN DES SCIENCES

Si l'on forme avec ces valeurs le premier membre de l'équation (i8),
et qu'on échange entre eux, dans les ternies négatifs, les deux in-
dices de sommation h et p., il viendra

^ _ ^ 4- Y Ib' ^- - [,''3.

dcc^ àa„ ^ V '■ ^-^x '■ ^^'>

> - m
"/.= /;.' — I ;<. = //; — I r~ , 'i ~ Il . — I

__ V^ V ^ àoc^f. I (W _ àc^ 'Vil* 'hlJl _ '' '^^^'- 1 I
Zà lu àa^ dx^ ^a:^,. ôx/, ~' Zj\'' àxi ''• ôx,.) 1 '

formule qui démontre directement que, des deux systèmes de rela-
tions identiques (3} et (i8), l'un entraine toujours l'autre comme
conséquence.

On peut ainsi employer pour l'intégration du système {i5),
déduit du système complètement intégrable (i) par les substi-
tutions (14)5 exactement la même méthode que nous avons ob-
tenue dans le paragraphe précédent pour l'intégration de (i).

D'après cette méthode, nous commencerons par intégrer com-
plètement les n — 772 + 1 équations diÛeren tielles ordinaires

. . OX„i j . UXm+\ j 1 OX„ j

^ ' (Ja^ ôcci dcci

et nous exprimerons les constantes d'intégration au moyen des
valeurs x,°j, . . . , x," des variables ^,„ , .... .r„, correspondantes à la
valeur initiale constante a" de «j. Les solutions complètes ainsi
obtenues des équations (21) nous donnent aussi en inême temps
les solutions complètes du système (13), si nous remplaçons dans
ces équations x,",, . . . , x,° par les fonctions de a,, . . ., a„,_i, qui ré-
sultent de l'intégration complète du système

i = /« — ' I
( 22 ) dx^ := > b'^^ dXn

dont les coefficients ^" se déduisent des coefficients

Il —m — I

//, = y a

h

h àxi,

1

de l'équation (i5), en y faisant aj ■= «", ^,„^= x,",, ..., a'n'=- oc',.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. rag

Or maintenant le choix des substitutions (i4) reste complètement
arbitraire, et l'on voit aisément que nous pourrons toujours en dis-
poser de telle sorte que tous les coefficients b'^ des équations (aa)
s'évanouissent. jNous n'avons, en effet, pour cela qu'à prendre les
substitutions (i4) de la forme

(23) xn=xl -f-(a,-a:i/yi,

a' el xl étant des constantes, et /^j, y,, ...,/^„_i, au contraire,
m — I fonctions arbitraires de aj, ag, . . . , y-m-xt Cj'^ii devront seu-
lement, bien entendu, être choisies toujours de telle manière que
les équations (aS) soient indépendantes -entre elles par rapport à
a,, «2, ..., a„,_i.
On aura ainsi

/; = H7 - 1

/, = . -^

et pour i ^ i

Si donc nous attribuons à a" une valeur constante quelconque,
telle qu'aucune des iti — i fonctions ff, ne soit infinie ou indéter-
minée pour a, = y-% et si nous choisissons en outre les constantes
.r°, j?*, . . . , x°j_i de telle sorte que, pour .rj = .r°, jc2 = x^^ . . . ,
Xm_i^^ x^j_^^ les quantités «^. restent finies et déterminées, alors,
pour «1 = a°, chacun des b\. dont l'indice i^ i s'annulera, tandis
que les quantités bl- conserveront, pour a^ = aj, des valeurs finies
et déterminées.

Pour ce choix des substitutions (14)7 If^s solutions complètes
des n — j?i -\- i équations ditlércntielles ordinaires (21), exprimées
au moyen de y.^ et des valeurs initiales de J?„,,. • . , ^„ pour a^ = a",
si l'on y considère ces valeurs initiales comme des constantes arbi-
traires, indépendantes de aj, ^3, ..., a,„_i, seront également les
solutions du système d'équations dillérenticlles totales (i5). De ces
dernières on déduira les solutions du système donné (i), en v
remplaçant «j, a2, ..., a,„_, par les valeurs résultant des substi-
tutions (23).

L'intégration du système donné de n — in équations linéaires

flit/l. des Sciences 'nathéin, et astron., l. XI. (Septrnihre iS'yf).) 9

i3o BULLETIN DKS SCIENCES

aux dillérentielles totales

h = ;« - I

ii = I

dans l'hypothèse où l'on a entre ses coefficients les relations iden-
tiques suivantes :

2

dxi dxh /u ^ '' ''-*•/. '■ '^ '->.

peut être ainsi ramenée à l'intégration d'un système unique de
n — 77i -h I équations dillérentielles ordinaires du premier ordre,
en opérant comme il suit :

Introduisons à la place de x^,^ x^^ . . . , :r,„_i, par les substitu-
tions

(23) ^h—^h-^{ci,— x1)fh,

choisies arbitrairement, sous les restrictions indiquées plus haut,
les quantités a^^a^^ . . . , a,„_] comme nouvelles variables indépen-
dantes. Le système (i) se changera ainsi dans le suivant :

(i5) dxi,= \ b'/,dc(i,

1 = 1
des coefficients duquel

Il =. m — 1

*;=

2 «;[A+(-.-<i^:}

>4)

iljaudra éliminer x\^ 0*2, . . . , x,„_i par les substitutions (aS). Si
alors on a complètement intégré les n — m -\~ i équations diffé-
rentielles ordinaires du premier ordre, déduites de (i5),

et, si l'on a exprimé les constantes d'intégration au mo) en des

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i3s

valeurs initiales a:",, . . . , .r^ pour «i = a°, les équations ainsi ob-
tenues entre

f A les constantes arbitraires

r* x"

seront les équations intégrales complètes tant des équations diffé-
rentielles ordinaires (sS) que des équatiojis aux différentielles
totales [i?>)^et il ne reste plus, par suite, quà éliminer de ces
équations les quantités a, , a,, . • • 7 ^m-i 1 (f- 1 o-ide des formules ( 23 ) ,
pour obtenir les équations intégrales complètes du sjstème
donné ( i ) .

La manière la plus simple de satisfaire aux conditions exigées
pour les substitutions ( 23) est de poser

^, = a,,

et, pour h = 2, 3, ..., m — i ,

Xk=x* -f-(a,— a^) «A,

où l'on doit seulement choisir les constantes a^, jr^, . . ., .r*,_i de
telle sorte que, pour

aucune des quantités af ne devienne infinie ou indéterminée. On
obtient ainsi

^i = «i- ^- <y-i «l -1- . ■ . + a,„_, <7';'-*,

Dans la démonstration du théorème précédent, on n'a ])as fait
usage de l'équivalence des systèmes absolument intégrables d'é-
quations linéaires aux différentielles totales avec les systèmes jaco-
biens d'équations linéaires aux différentielles partielles, pour le but
déterminé de tirer l'intégration de ceux-ci de l'étude des premiers.
Mais, si l'on veut s'aider des propriétés connues des systèmes jaco-
biens, on peut encore se convaincre, par une autre voie plus courte
et sans aucun calcul, de la possibilité de ramener le système abso-
lument intégrable (i) au système d'équations différentielles ordi-
naires (20). Pour ne pas interrompre l'ordre de ces recherches,
je renvoie à la fin de ce Mémoire (§ VJI) cette seconde démon-

9-

139. BULLETIN DES SCIENCES

stration du théorème précédent, qui se rattache d'une manière en-
core plus intime que la précédente au raisonnement par lequel
M. P. du Bois-Reymond a démontré cette réductibilité pour le cas
spécial d'une seule équation linéaire aux diflerentielles totales.

• § IV.

Intégration du système jacobicn Af^{f) = o.

En vertu du paragraphe précédent, les intégrales complètes des
équations dillercntielles ordinaires (aS), exprimées en fonction de
«1 et des valeurs initiales constantes de x,,,, ..., a:„ pour a^ = o^-",
sont aussi les équations intégrales complètes du système d'équations
aux dilFérentielles totales (i5) qui se déduit du système donné (i)
par les substitutions (aS).

Mais les intégrales complètes d'un système d'équations différen-
tielles ordinaires du premier ordre jouissent de la propriété d'être
résolubles à la fois par rapport, soit aux variables dépendantes,
soit aux valeurs initiales de ces variables. On peut utiliser, d'après
cela, les équations intégrales complètes du système (aS), pour en
tirer d'abord a?,„, ..., a\,, et ensuite jc^^ ..., o:^. Soient

(26) Xk= <])k{oc,, Xj, ...,«„,_,, ^•,;„ ...,x^)
et

(27) a:,: c= y^k{cc^, cc^, . . ., cCm->, -Tm, ...,x„)

les valeurs ainsi obtenues pour X; et x^.

Les équations (2^) doivent être identiquement satisfaites par
les substitutions (26), et, par conséquent, les expressions

l = n

à^k ^ Y àyh dxx
àuh ZmÀ àx^ ùoLh

doivent être identiquement nulles. Mais comme, d'après ce qui
précède, ces substitutions satisfont également au système (i5),
c'est-à-dire aux équations

55; = '^'

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i33

les expressions

doivent également s'annuler, comme cela résulte d'ailleurs directe-
ment de ce fait, que les expressions ^-J'/ii^ doivent devenir, par
les substitutions (26), indépendantes de oci, puisque, d'après nos
suppositions, ^\.{yjk) = o, et par suite, en vertu de l'identité

B.[B4/)] = B,[B,(/)],
on a aussi immédiatement

mais ces expressions s'annulent quand on pose ai = a*, puis-
qu'alors jj doit se réduire à a:^, et que, de plus, chaque b'j^ = o
pour A ^ I .

Or le résultat nul de la substitution des valeurs (26) dans les
expressions ^hix^^) ne peut pas être changé si, à la place dv :■ x°., on
remet leurs valeurs {"^y) ■> ce qui détruit l'eilet de lu ■ tbstitu-
tion (^26). Donc, avant cette substitution, on doit avoir d.' ;i iden-
tiquement

Ba(7j.) = o,
c'est-à-dire que

/ = Z"" X^+i' • • • » X"

sont les solutions du système jacobien de m — i équations linéaires
aux dillerentielles partielles

Mais le système jacobien provient, comme le montre la for-
mule (17), du système

dx.

^"<^)=3|^S"î-^ = "'

lorsque, par les substitutions (23), on introduit comme variables
«1, a,, . , ., a,„_, à la place de a\^ x^^ ..., .r,„_i, et il est clair que
la substitution inverse devra i^éciproquement transformer le sys-
tème jacobien dans le système (17). Les solutions J= j(m: Z"'+i' •••'

i34 BULLETIN DES SCIENCES

;(„ du premier système, dès que nous y mettons pour «i, a^, ...,
a„_i les valeurs résultant des substitutions (23), donnent donc
aussi en même temps les solutions du second système jacobien,
équivalent au système donné (i).

De là résulte la méthode suivante pour l'intégration complète
du système jacobien donné des m — i équations linéaires aux dif-
férentielles partielles

28Î

[Il =1, 2, . . . , m — i).

On exprimera, au moyen de m — i subsliLutions, choisies arbi-
trairement sous les restrictions indiquées au paragraphe précédent,

(23) XA=;r -t- (a. — «')//•( ^" «j, ■■.,oin.

les quantités

<-m—i ,

K= ^ «î[/a+ («.-«:

àcc.

et

A = /n — 1

au mojen de a^^a^^ . . . , a,„_i, x,„, . . . , j:„, et l'on jormera avec
les premières les n — m -[- i équations différentielles ordinaires
du premier ordre

OXm I , OXm+\ . OXn . ^

ooci doc, oxf

Lorsqu'on aura intégré complètement ces équations et exprimé
les constantes d' intégration au moyen des valeurs initiales x"„, . . . ,
x" des variables dépendantes pour ai = a°, la résolution des
équations intégrales ainsi obtenues par rapport à ces valeurs ini-
tiales donnera n — m H- i fonctions

■^Â = X*(a,, a,, . . ., a„,_,, x„, . . ., x„],

qui seront les n — m -+- i solutions du système jacobien

dxh Zj dx.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i35

et qui, par l'élimination de a,, y.„, .... ::z,„_,, à Vaide des équa-
tions (aS), nous donneront les solutions du système jacobien
donné (28).

§ V.

Pour trouver une solution du système jacobien donné (28), il suftit de connaître
une intégrale quelconque des équations différentielles ordinaires (aS).

D'après le théorème précédent, la détermination de toutes les
solutions d'un système jacobien de la forme (28) se ramène à l'in-
tégration complète d'un seul système de n — m -{- i équations
diderentielles ordinaires du premier ordre. Mais, dans la plupart
des applications des systèmes de Jacobi et dans les plus impor-
tantes, par exemple dans l'intégration des équations aux dilleren-
tielles partielles du premier ordre et dans le problème de Pfaff, il
ne s'agit nullement d'obtenir la solution générale des systèmes ja-
cobiens que l'on rencontre, mais il suffit toujours de trouver une
seule solution de chacun d'eux. Dès lors il est de la plus gi^ande
importance de rechercher si l'on ne pourrait pas trouver, sans avoir
besoin d'intégrer cotnplétement le système (23), une solution du
système jacobien (28) ou (29}.

Supposons que l'on ait une intégrale quelconque

F (a,, «:, . . ., am-\, oc m, . . ., Xn'j = const.

des équations (2;)). Les solutions complètes de ces équations diffé-
rentielles, exprimées au moyen de «i et des valeurs initiales de
œ,„^ ..., x„ pour a, =s: a*, satisfont alors à l'équation

Or, d'après le § III, ces solutions, quand on y considère a:",, ..., x^
<;omme indépendants de a.2, ..., a,„_i, satisfont aussi aux équations
aux différentielles totales (i5) ou aux éqtialions

(3i) '^ = 01

Elles doivent, par conséquent, aussi satisfaire identiquement aux
équations

BWU^ = — + V^'— ^o

A ::::: m

]36 BULLETIN DES SCIENCES

que l'on obtient par la différentiatiou de l'équation U =: o par rap-
port à a^, en ayant égard aux relations (3i) (^). La forme de l'équa-
tion U = o est ici entièrement arbitraire. Il en est absolument de
même pour toute équation V =^ o, déduite de l'équation ^3o) par
des opérations algébriques quelconques.

Des m — I équations (32), la première est toujours identique,
ou, dans le cas où cette équation n'a pas été formée directement
avec l'équation (3o), mais avec une autre équation quelconque équi-
valente à (3o), elle est du moins une simple conséquence algé-
brique de l'équation U = o. Quelquefois aussi une partie des
autres équations peut être identique ou être une conséquence de
l'équation U = o. Mais toutes celles des équations (32) qui ne
possèdent pas cette propriété sont de nouvelles intégrales du sys-
tème (ajî). xlvec chacune de ces nouvelles intégrales on pourra
maintenant procéder tout comme avec l'équation U ^ o, et l'on
reconnaît ainsi la possibilité de déduire d'une seule intégrale des
équations différentielles ordinaires (20), par la simple différen-
tiatiou, toute une série de nouvelles équations intégrales, qui ap-
partiennent toutes au système d'équations intégrales complètes de
ces équations dillérentielles, au moyen de quoi les variables dépen-
dantes se déterminent en fonction de a^ et des valeurs initiales cor-
respondantes à ai = aj.

Si l'on ajoute à ce qui vient d'être dit la remarque [que l'on eût
déjà pu utiliser dans le paragraphe précédent pour montrer que
les expressions ^h{'fS) obtenues dans ce paragraphe doivent être
nulles identiquement], que des équations qui appartiennent à un

(') On peut aussi démontrer cela directement. Par hypothèse, on a

B.(F) = o,

et par suite

B. (L, = o,
et. à cause de la relation

b.lb,(/)] = b,[b.c/)],

on a aussi

B.[B,CU)] = o.

La valeur que prend B^(U) pour les solutions complètes des équations différen-
tielles (25) est donc indépendante de a,. Mais cette valeur s'évanouit pour a, ^ a",

puisqu'on a alors -ï',,, = •i,",, , ..., •*'„ = .r ji ; il en résulte que, d'après (3o), -^ =^0. et

qu'en même temps chacune des quantités b', s'évanouit.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. t37

tel système d'équations intégrales complètes, jamais aucune ne peut
être complètement indépendante des valeurs initiales des variables
dépendantes, ou que, si une tulle équation se présente, elle doit
être nécessairement identique, on est conduit à la marche sui-
vante pour parvenir de l'intégrale dojinée ¥ =^ coust. ou \J:^o
des équations ( aS) à une solution du système jacobien (29).

En résolvant l'intégrale 11 = 0 relativement à une quelconque
des valeurs initiales des variables dépendantes qu'elle contient, par
exemple, relativement à x^„, ramenons cette équation à la forme

(33) Xl=\},n[auOC2, . . . , 0C„,-„ a:,,,, . . . , Xn, Xfn+U .--y^n],

et formons ainsi les ni — i équations

/, = rt
lor\ t> TT ^ ^^U„ V jl'à^m

(34) "'■■'"-.= 551 + 2 '''âT-,='''

dont la première est identique. Aucune de ces équations ne peut
être une simple conséquence algébrique de l'équation (33), puis-
que x^„ n'y entre pas. Si elles sont, comme la première, toutes
identiques par elles-mêmes, la valeur U,„ de Ji:°„ tii'ée de U =: o
est alors une solution commune des m — i équations linéaires aux
diitérentielles partielles (29). S'il n'en est pas ainsi, on devra
toujours pouvoir encore tirer des équations (34) une partie des
autres valeurs initiales x",^,, . . . , x°, puisque, d'après ce qui pré-
cède, il est impossible d'éliminer complètement toutes ces valeurs
initiales. Admettons que nous puissions déterminer a "„^i, . . . , a°„^/,_,
au moyen des équations (34); nous pourrons opérer maintenant
avec chacune des valeurs ainsi obtenues :

■^w+l— - *J;/!+l^^ii • • •> ^■m—\y X,n^ • • -j X„, X/,i^/^, • • •, X,,],
.••.•,«• ■ «....,

comme on a opéré avec l'équation (33), et nous parviendrons ainsi
à obtenir des équations qui ne pourront être de simples consé-
quences algébriques des précédentes, puisqu'elles ne contiendront
pas les quantités

-r" -y" ,

•^ lin • • " > '*' m+li — 1>

et qui, au contraire, seront identiques," par elles-mêmes, ou qui

i38 BULLETIN DES SCIENCES

serviront à leur tour à déterminer une partie des valeurs initiales
restantes. De cette manière, si l'on n'est pas déjà parvenu à une
solution commune des m — i équations (29), on devra nécessaire-
ment finir par arriver à exprimer, au moyen des seules quantités
aj, a,, ..., a„,_i, a:,„, ..., jr„, toutes les valeurs initiales des variables
dépendantes contenues dans l'intégrale donnée U=: o. Si l'on forme
maintenant, avec une quelconque de ces expressions, les m — i
équations ^^[f) = o, celles-ci ne contiendront aucune des valeurs
initiales, et devront, par conséquent, être identiques par elles-
mêmes. Chacune de ces expressions est ainsi (ce qui résulte d'ail-
leurs du paragraphe précédent) une solution du système jaco-
bien (29), et par suite aussi, lorsqu'on aura remis pour 2<i, ^a, . . . ,
y-m-i leurs valeurs tirées des substitutions (23), une solution du
système jacobien (28).

^insi, pour troux^er une solution du sjstèuie jacobien de
m — I équations linéaires aux différentielles partielles contenant
n 'variables indépendantes, il nest besoin que de connaître une
intégrale quelconque des équations différentielles ordinaires (23).

Les meilleures méthodes (') connues exigeaient, pour arriver au
même résultat, la connaissance d'une intégrale de chacun de
ni — I systèmes, dont le premier comprenait îi — ni -\- i équations
diirérentielles ordinaires du premier ordre, et les autres autant ou
un moindre nombre de ces équations.

M.

L'iDtégratiou des équations aux différentielles partielles du premier ordre
et le problème de Pfaff.

On sait que Jacobi a ramené l'intégration des équations aux
diiîérentielles partielles du premier ordre au problème de la déter-
mination successive d'une solution de chaque système d'une suite
de systèmes jacobiens d'équations linéaires aux diiîérentielles par-
tielles delà forme (28). Si, dans l'équation aux différentielles par-
tielles donnée, que l'on peut supposer ne pas contenir la fonction
inconnue elle-même, il y a n variables indépendantes, ces sys-

(') t'oir Clebscii, Journal de Crclle, l. 65, p. 261.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. iSg

tûmes jacobiens con tiendront alors respectivement

I, 2, . . . , m — I , . . . , n — I
équations linéaires aux différentielles partielles, avec

in — 1 , 111 — 2, . . . , 2 n — /?î — I , . . . , n H- I

variables indépendantes.

D'après la méthode exposée dans le paragraphe précédent, on
sait que, pour obtenir la solution complète de l'équation donnée,
on n'a besoin que de connaître une seule intégrale de chacun
des systèmes de

i[n — i), i[n — i), i[n — m-4-i), .... i

équations différentielles ordinaires du premier ordre, tandis que,
anciennement (^), on avait besoin d'une intégrale pour un système
de 2 (/z — i) équations différentielles ordinaires et pour deux sys-
tèmes de

2 ( Ai — 2 ) , . . . , i[n — tn-r-i], ■ • ' y 2

équations différentielles ordinaires, et que, dans les cas défavora-
bles, ce nombre d'intégrations pouvait n'être pas encore suffisant.

Quand on clioisit la forme la plus simple des substitutions (23),
l'intégration s'effectue de la manière suivante :

En général, le {m — ijième système jacobien ( ^ ) est de la forme

V. — m

h^ i, 2,. . . , m — I,

/^i, /^2, ..., /?,„_! étant des fonctions de q^^ (/,, ..., <y„, />,„, ..., p^ dé-
terminées au moyen du système jacobien précédent , et pour
lesquelles les expressions

A.[A,(/)]-A,-[A,,:/)]
sont identiquement nulles.

(') Voir Clebsch, Journal de CrcUe, t. 65, p. 265.

(') Foir ikCOM, Forlesungen iiber Dynamik, p. 292,01 Journal de Crcllc, t. GO, p. iJ-

i4o BULLETIN DES SCIENCES

Si l'on pose maintenant

(36) </, — «,, q,=q]-h{x,— x'',)x„ ..., (/,„_, = </,»_i^ 'a,— aj; 5<,„_,,

a°, (/", . . ., <y°,_i étant des constantes choisies arbitrairement, sous
la condition que les fonctions /^i, /7,, ..., /^._i conservent des
valeurs finies et déterminées pour

q>=x% q.= q\, ..., q„,_,= ql_u

et qu'on élimine par ce moyen c/,, yj, ..., q„^_^ des expressions

I cv/= icci — a.1 Pi, f >> I,
on translorme ainsi le système jacobien (35) dans le suivant :

38) B,.(/)= -^ +'y 1'^ ^ - ^^^ ^\

o.

On peut, en se servant des explications données dans le paragraphe
précédent, trouver une solution de ce système, dès que l'on con-
naîtra une intégrale du système de 2[ji — m -+- 1) équations difté-
rentielles ordinaires

I3q] dq\_àa\^ ^'^ _ ^.

^ dxi ~ dpx ' dx, " dqx '

l=z m, m -f- 1, . . ., n,
et il suffit dans cette solution de poser

__q2—ql _ qm-t — qm-i

= q^, ce,:

q^ — cc: q<—<

pour en déduire une solution du système donné (35).

Par une méthode tout à fait analogue à celle qu'on a employée
pour l'intégration des équations aux différentielles partielles du
premier ordre, on peut aussi, dans le problème de Pfaff, c'est-à-dire
dans le problème de l'intégration de l'équation différentielle li-
néaire donnée

Xi dx^ -h y 2 dxi -h. . .-h '/,„ dx,„ = o,
réduire, par le procédé indiqué, le nombre des intégrations né-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 141

cessaires presque de moitié. On reconnaît, en effet, sans difficulté,
en examinant la métliode que Clebscli a donnée pour la résolution
de ce problème (*), que celui-ci peut se ramener à la détermination
d'une solution de chacun de n systèmes jacobiens de la forme (28),
composés respectivement de i, 2, ..., 7^ équations aux différen--
tielles partielles h. in variables indépendantes chacune. En vertu
de ce qui précède, la détermination d'une solution du i'*^™'' de ces
systèmes ne dépend que du calcul d'une intégrale de iji — i équa-
tions différentielles ordinaires du premier ordre. Mais ce i'^™^ sys-
tème, que l'on ne peut former qu'après avoir trouvé une solution
de chacun des précédents, possède lui-même, par suite de la ma-
nière dont il résulte de ceux-ci, i — i solutions connues. Aucune
de ces solutions n'est celle que l'on emploie réellement (celle-ci
devant être indépendante de celles-là)^ mais chacune d'elles, ex-
primée au moyen des nouvelles variables a et égalée à une con-
stante, nous fournit une intégrale de ces in — i équations différen-
tielles ordinaires. On connaît donc d'avance i — i intégrales de
ces équations, et l'on peut par leur moyen ramener les 2« — i équa-
tions différentielles à

2/i — / — [i — i]=iin — 2i+i.

La détermination d'une solution utile du i*^""^ systèzne jacobicn
n'exige par conséquent que la connaissance d'une intégrale de
m — 2i -+- I équations différentielles ordinaires du premier ordre.
Ainsi :

Pour la solution complète du problème de Pfaff, il suffît de
connaître une intégrale de chacun des systèmes de

171 — \, m — 2>, m — 5, . . . , i ,
équations différentielles ordinaires du premier ordie.

§ VIL

Autre démonstration du théorème du § III.

Dans l'hypothèse où l'on a les identités

(4o) - A,y,)-Ak{a',) = o,

(') Journal de Ci elle, t. 65, p. ;>(îo.

i42 BULLETIN DES SCIENCES

les m — 1 cqualioiis linéaires aux dilFércnlielles partielles

A-zr ni

possèdent, comme Clebscli l'a remarqué (^), Ji — m-\- i solutions
indépendantes entre elles, que nous désignerons par

U.U. ...,fn.

Puisque, en posant
on a

k=zn

ùô "S^ K I f \ ^^9 ^9

^'tf)=^-i;^''/"i

Ofk Oxx

on voit que ces solutions sont indépendantes entre elles par rap-
Si l'on pose donc

on devra pouvoir, au moyen de ces équations, déterminer x,,,,
Xm+n •••, ^n Cil lonction des variables x\^ x,, ..., x,„_i et des quan-
tités C,„, C,„^i , • • • , c„.

Si l'on considère ces dernières quantités comme des constantes
arbitraires, les valeurs de x,„, . . . , jc„ tirées des équations (42) sa-
tisferont aux 71 — m -\- 1 équations

't~ — in \ A r= 1 /

que l'on obtient par la diiïëreutiation complète des équations (42)
en ayant égard aux identités A^ [fk] = o. D'ailleurs le déterminant
de ces équations :

U OC n\ OjOjji_^\ O oc ji

S-

(*) Voir notamment Journal de Crelle, t. 61, p. i53, et t. 65, p. 266.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 143

lie s'annulant pas de lui-même, et ne pouvant conséquemment de-
venir identiquement nul par la substitution de ces valeurs, il s'en-
suit que ces valeurs doivent aussi satisfaire aux 7i — m -h i équa-
tions linéaires aux diiFérenti elles totales

A = //; — !

(43) dxx= \ aUlxu.

h -\

Mais, si les identités (4o) ont lieu, il existera toujours n — m-\- i
fonctions de Xj, jTj, . . . , x,„_i et de n — m -h i constantes arbi-
traires r,„, r„_i, ..., c„ (fonctions indépendantes entre elles par
rapport à cescons tantes), lesquelles, mises pour a:,,,, .r,„^, , . . . , x,,-,
satisferont identiquement aux équations (43).
Représentons les solutions du système (43) par

(44) :rx=9).(x,, Xi, . . ., .r„,_,, 6-„,, . . ., 6'„)f

et désignons par x", x', . . . , x^ des constantes indéterminées 5 les
n — m -h I équations

X\ =; Cpx ( .T , , ^ j , . . . , X ,„_ 1 , Cmy • • • ) <^';i j

pourront toujours être résolues par rapport à c,„, ...,c„. Par la
substitution de ces valeurs, les solutions (44) piendront la forme

( 4^ j "^^ ~~ T '■ ( "^^l» ■^'' • • ' t Xm~\ » X ^ , TC ^, • • • ) Xfi j y

la fonction ^^a devant, en vertu de son origine, se réduire à x\ pour

vC- 1 -^ 1 > >*2 ■ — • '* 2 > • • • > "^n' — ' •*;« — 1 •

En introduisant maintenant à la place de ^1,0:2, ...,x„_i les
nouvelles variables aj, ci.^^ . . ., a,„_i, au moyen des m — i équations

(46) Xh=-xl-^-[a.^— x\)fu[a,, a„ . . . , a™-,),

ce qui donne

1 yi l '^1 J '^Jj • • • > -^m— 1 > -^ I > '^ 2 ' • * • ' ■^n j

^ '^' — ■^•fo' o' '/ rtr" T* r" x")

on obtiendra, en vertu de (45), les solutions

i44 BULLETIN DES SCIENCES

du système d'équations linéaires aux diiïérenlicllcs tol;iles entre

o-^, ...,a-„ct ai, 5:2, ..., a,„_i,

(49) flx„=z. \ lK(h.i,,

dans lequel le système (43) se change par la substitution (4^)-
D'après cela, les équations (48) satisfont aussi en particulier aux
n — m-i-i équations difîérentielles ordinaires

(50) ^-/>..

Si l'on a choisi la constante a* de telle sorte qu'aucune des
m — I fonctions /^ ne devienne infinie ou indéterminée pour
«j :== a° , chacune des quantités Xk se réduira à x\ pour aj = a°, et
par suite, d'après {47) •> ou aura aussi

Ainsi les équations (48) sont précisément les solutions des équa-
tions dillerentielles ordinaires (5o) qui se réduisent, pour aj ^= a°,
aux valeurs des variables dépendantes x;. qui correspondent à la
valeur initiale a° de «i.

Réciproquement, il doit être toujours possible de déterminer
les constantes d'intégration d'un système de solutions complètes
des n — m -\- i équations différentielles ordinaires (5o), de telle
sorte que, pour «i = a", ces solutions prennent les valeurs encore
arbitraires x",, x'l,_^^ ■•■t^ni et les solutions ainsi obtenues devront,
si l'on y considère ces valeurs initiales comme indépendantes de
ai, a?, ..., a,„_i, satisfaire en même temps aux équations aux diffé-
rentielles totales (49)1 et par suite, lorsqu'on y a remis pour a,,
^2, ..., a,„_i leurs valeurs tirées des substitutions (46), elles devront
aussi satisfaire aux équations aux différentielles totales (4^).

Leipzig, février 1872.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. t45

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

RUBINI (R.). — Elementi di Calcolo infinitésimale. Seconda edizione rive-
duta ed aumenlata. — Napoli, 1 874-1 876; 2 vol. grand in-8, a88-365 p.
Pris : 12 lires.

Nous aunouçons avec plaisir la seconde édition de cet Ouvrage,
dont le succès a répondu aux soins donnés déjà par l'auteur à la
première édition, et ne fera que grandir par suite des nouveaux
efforts qu'il a faits pour y apporter encore de nombreux perfec-
tionnements.

On reconnaît dans le Livre de M. Rubini l'œuvre d'un professeur
expérimenté, qui sait appeler l'attention du lecteur sur les points
importants et délicats, en introduisant dans le texte des remarques
et des rapprocliements très-utiles pour aider l'intelligence et Ja
mémoire, et que l'on ne rencontre ordinairement que dans l'ensei-
gnement oral.

Parmi les additions qui distinguent la nouvelle édition, nous
citerons des recueils d'énoncés de problèmes relatifs aux diverses
parties de l'Ouvrage, et qui rendront de grands services, tant aux
personnes étudiant sevdes qu'au professeur, dont la tàclie sera ainsi
facilitée.

Le premier Volume, consacré au Calcul différentiel, se divise en
deux Livres :

Le Livre I [algorithme du Calcul différentiel) comprend trois
Chapitres.

Chapitre L — Objet du Calcul différentiel. — Dérivées et diffé-
rentielles des fonctions d'une ou de plusieurs 'variables.

La question difficile de l'existence de la dérivée et des consé-
quences immédiates de cette liypotlièse,pour l'établissement des
premiers principes fondamentaux du Calcul infinitésimal, n'est
peut-être pas traitée ici avec toute la rigueur que l'on exige main-
tenant, et dont on trouve un modèle dans le Traité de Calcul diffé-
rentiel et de Calcul intégral de M. Serret.

Chapitre IL — Dérivées et dijfére/itielles des divers ordres
d' une fonction d'une ou de plusieurs 'variables.

Chapitre IIL — Du changement de variables . — De V élindna-

hull. des Sciences mathéni. et astron., t. XI, (Octobre 1876.) îO

i46 BULLETIN DES SCIENCES

tion des constantes et des Jonctions. — Des Jonctions imaginaires.
— Déterminants Jonctionnels .

La question de l'élimination des constantes et des fonctions arbi-
traires nous aurait paru mieux à sa place dans la théorie des équa-
tions diirérentielles et aux dérivées partielles, dont elle sert à faire
comprendre la formation.

A la dénomination de Jonctions imaginaires nous aurions pré-
féré celle àe Jonctions complexes, plus en harmonie avec les idées
actuelles sur ces sortes de quantités.

Le Livre II a pour titre : applications du Calcul différentiel, et
contient les Chapitres suivants :

Chapitre I. — Formules pour le développement en séries. —
Des expressions qui se présentent sous forme indéterminée. — Fa-
leurs maxima et minima d' une Jonction d'une ou de plusieurs
variables.

Chapitre IL — Applications du Calcul dijférentiel aux courbes
planes.

Chapitre III. — Applications du Calcul dijférentiel aux sur-
faces.

Chapitre I\ . — Application du Calcul différentiel aux courbes
dans l'espace.

Chapitre '\ . — Autres applications aux surjaces.

Questions à résoudre comme exercices.

Le second Volume traite du Calcul intégral, et se compose de
trois Livres.

Le Livre I {Intégration générale des Jonctions d'une ou de
plusieurs variables) se divise en cinq Chapitres, précédés de Déji-
nitions et principes généraux.

Chapitre I. — Intégration des fonctions algébriques ration-
nelles, de certaines JoJictions irrationnelles et des Jonctions expo-
nentielles, logarithnnques, trigonométriques et circulaires .

Chapitre IL — Intégrales dé Juùés. — Dijjérentiation et inté-
gration sous le sigjie intégrale. — Intégrales multiples.

Chapitre III. — Intégrales eulériennes . — Intégration par séries
ordonnées suivant les sinus ou les cosinus d'arcs multiples .

L'auteur donne un aperçu des formules de Fourier, dont il attri-
bue, comme la plupart des écrivains, la première idée à Lagrange.
P oir à ce sujet une rectification de Riemann [Bulletin , t. ^ , p. 2^7).

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 147

Chapitre IV.— ^application des théories précédentes à la recti-
fication des courbes, à la quadrature des surfaces et à la cubature
des solides.

Chapitre V. — Intégrales multiples. — Intégration des fonctions
de plusieurs variables.

Le Livre II traite De l'intégration des écpiatioiis différentielles.

Chapitre I. — Intégration des équations différentielles du pre-
mier ordre entre deux 'variables, et des équations aux dijféren-
tielles totales entre trois variables ou plus.

Chapitre II. — De l'intégration des équations différentielles
d' ordre supérieur entre deux variables.

Dans ce Chapitre, l'auteur a remis en évidence l'élégante mé-
thode de Brunacci pour l'intégration des équations linéaires à coef-
ficients constants (*).

Chapitre III. — Intégration des équations au moyen des séries
ou des intégrales définies. — application de l'intégration des
équations à la sommation des séries ou au calcul des intégrales dé-
finies.— Solutions ou intégrales singulières des équations d'ordre
supérieur au premier.

Chapitre I\ . — Intégration des équations simultanées.

Chapitre V. — Intégration des équations aux dérivées partielles .

Le Livre III a pour objet le calcul des 'variations, le calcul di-
rect et le calcul inverse des différejices fnies, et comprend trois
Chapitres correspondant à ces trois théories. J. H.

STUDNICKA (D' F. -J.). — Zâkladové nvukv g cisLEic; pro milovniky po-
clâfstvi vubec a studujici zvlâst'. Knihn I : 0 vlastnostech clsel prostych a
jich upotrebeni. S dîevorytinami. — V Praze, tiskem dra. Edv. Grégra. Nâ-
kladem jednoty ceskych malhematikù. 1873 (^).

La plupart des Ouvrages qui traitent de la théorie des nombres
s'adressent aux personnes déjà familières avec les méthodes d'ana-

(') Brunacci, Calcolo intégrale délie equazioni luieari, Fireiize, 1798; p. 8G.

(') Studmcka (F.-J.), Eléments de la Théorie des nombres; pour les amateurs de
l'Arithmétique, et en particulier pour les étudiants. Livre I : Sur les propriétés des
nombres premiers et leur application. ,\vec figures sur bois. — Prague, imprimerie
du Dr Ed. Grégr. Aux frais de la Société Mathématique de Bohême. — In-8°, i54 p.

10.

i48 BULLETIN DES SCIENCES

lyse, et leur lecture présente de sérieuses difficultés à ceux qui
ne connaissent que les premiers éléments d'Arithmétique et d'Al-
gèbre. ÎM. Studnicka a voulu faire un Livre accessible à un public
moins savant, tout eu conservant aux tiiéories leur rigueur et leur
forme complète, et nous croyons pouvoir dire qu'il y a réussi, dans
la partie publiée que nous avons sous les yeux. Pour cela, il lui a
suffi de reprendre les théories d'un peu plus haut que ses prédé-
cesseurs, de ne pas omettre les explications nécessaires aux
commençants, et de multiplier les exemples et les applications.

L'Ouvrage commence par un aperçu de quelques pages « sur l'o-
rigine et le développement de la Théorie des nombres », que l'au-
teur divise en deux époques : I, de Pythagore à Fermât; II, de Fer-
mat jusqu'à nos jours.

Ulntj-oduction, qui vient ensuite, comprend les paragraphes
suivants : 1. Sur les nombres en général. 2. Sur les sj'^stèmes de
numération. 3. Sur les opérations arithmétiques. ^Notions sur les
nombres complexes a-^b \j — i .

Livre I. — Sur les propriétés des nombres premiers et leur
application.

Sectiojv I. Propriétés des suites de nombres. — 4. Partage de la
série naturelle des nombres. Diverses formes 2 72 -h/', 3 72 4- /',... .
5. Nombres figurés en général. Triangle de Pascal. 6. Nombres
polygones et multilatères. 7. Nombres polyèdres.

Section II. Divisibilité des nombres. —^. Sur les relations
mutuelles de deux nombres en général. 9. Caractères de divisi-
bilité. 10. Propriétés des diviseurs. 11. Des nombres premiers
entre eux.

Section III. Des résidus du premier degré. — 12. Des résidus
en général. 13. Théorème de Fermât. 14. Théorème de Wilson et
sa liaison avec le théorème de Fermât. 15. Sur la congruence des
nombres.

Section IV. Résolution des équations indéterminées du premier
degré. — 16. Sur la nature de ce problème. 17. Résolution des
équations indéterminées dans des cas particuliers. 18. Résolution
au moyen du théorème de Fermât. 19. Résolution au moyen des
résidus. 20. Résolution au moyen des valeurs approchées des frac-
tions continues.

Section Y. Résolution des congruences. — 21, Résolution des

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 149

congrueiices à une seule inconnue. 22. Eésolution des congruences
par la décomposition du module. 23. Ptésolulion d'un système de
congruences simples. 2i. Résolution d'un système de congruences
composées.

Table des nombres premiers entre i et 10 000. J. H.

REVUE DES PUBLICATIONS PÉRIODIQUES.

MONTHLY NOTICES of the Royal Astroxomical Society of Lo.ndox.
T. XXXVI ; février i S76.

RAPPORTS ANNUELS

ADRESSÉS AU CONSEIL DE LA SOCIÉTÉ ROYALE ASTUONOMIOLE, PAR LES DIRECTEURS
DES DIFFÉRENTS OBSERVATOIRES DE LA GRANDE-BRETAGNE (').

I. — Observatoire Royal de Greenwich.

En dehors de ses travaux ordinaires et pour ainsi dire ioiidamcn-
taux, observations de la Lune et formation de Catalogues d'étoiles,
l'Observatoire royal de Greenwich a terminé l'installation de sou
service d'Astronomie physique. Pendant toute l'année, le grand
équatorial et celui du Sheepshanks ont été consacrés à l'observation
des phénomènes des satellites de Jupiter et surtout à l'étude spec-
troscopic[ue continue du Soleil et des principales étoiles.

La mesure du déplacement des raies dans les spectres des étoiles
donne immédiatement, on le sait, la valeur et la direction de leur
mouvement propre; mais, jusqu'ici, la Science ne possède qu'un
petit nombre de déterminations, faites presque toutes par deux
observateurs, d'ailleurs fort distingués, M. Huggins en Angleterre
et M. Vogel en Allemagne, et il restait quelques doutes sur la pré-
cision et la sensibilité de la méthode. Or les résultats des mesures
faites à Greenw^ich, sous la direction de M. Ghristie, s'accordent

(') Voir Liilletiii, t. IX, p. :>.()-.

i5o BULLETIN DES SCIENCES

de la façon la plus satisfaisante avec ceux qu'avait autrefois obte-
nus M. Huggins; toujours le sens du mouvement est le même, et la
diflérence maximum des vitesses trouvées par les deux astronomes
ne dépasse pas lo milles par seconde.

La Physique solaire a été suivie avec beaucoup de soin; pendant
qu'avec le spectroscope de Spottiswoode on étudiait et dessinait les
protubérances, on prenait aussi souvent que possible des images du
Soleil avec le j^liotoliéliographe. On a pu constater ainsi la simul-
tanéité complète entre l'absence de taclies sur la surface de l'astre
radieux et la disparition des protubérances gazeuses qui l'entourent
d'ordinaire.

La mesure des aires des taches etfacules photographiées en 1874
est d'ailleurs entièrement terminée.

L'initiative intelligente prise par M. Airy a donc été couronnée
d'un succès mérité; l'Observatoire de Greenwich aura bientôt
recueilli des documents aussi rares qu'utiles et précieux.

II. — Observatoire de Radcliffe, à Oxford.

L'Observatoire de Radcliffe, outre son travail ordinaire d'obser-
vations, qui est assez connu de nos lecteurs, a continué la mise à
jour de la réduction et de la publication de ses travaux antérieurs.
Le Volume de 1873 vient d'être publié ; il renferme 1496 observa-
tions d'étoiles, gj du Soleil, 55 de la Lune, 20 de Mercure, 33 de
Vénus, 24 de Mars et 18 de Saturne.

III. — Observatoire de l'Université d'Oxford.

Cet Observatoire, destiné à des études d'Astronomie physique, est
aujourd'hui complètement installé.

Le programme des travaux que M. Pritchard se propose d'exé-
cuter est le suivant :

1° Observation des comètes nouvelles, calcul de leurs orbites,
étude de leurs spectres et de leurs relations avec les étoiles filantes ]

2" Observation de quelques systèmes binaires ;

3" Photographies lunaires en vue de l'existence d'une libration
physique.

Ces études photographiques sont déjà commencées et paraissent
en excellente voie.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i5i

IV. — Observatoire de Cambridge.

On a continué à Cambridge l'observation des étoiles de la zone
que l'on s'est engagé à observer pour la Société Astronomique
allemande.

V. — Observatoire Royal de Dunsink (Dublin).

L'année a été presque entièrement consaci^ée à l'installation et à
l'étude du nouveau cercle méridien et de la nouvelle pendule sidé-
rale. M. Bail a néanmoins fait avec l'équatorial du Sud C[uelques
observations destinées à donner la parallaxe annuelle.

VI. — Observatoire Royal d'Edimbourg.

On n'a pas fait cette année de travail astronomique à Edimbourg.
Le budget annuel de l'établissement, cjui n'est que de aôjjofrancs,
a été entièrement absorbé par le service météorologique de l'E-
cosse.

VII. — Observatoire de Glasgow.

Les ressources de cet établissement ont été surtout consacrées à
la réduction et la publication des observations faites depuis 1860.
On n'a fait d'autres observations que celles nécessaires à la trans-
mission de l'heure au port et à la ville de Glasgow.

VIII. — Observatoire de Kew.

On a réinstallé le pliotoliéliograplie qui avait été envoyé à
Greenwicli en février 1878, et toutes les dispositions sont prises
pour recommencer prochainement le beau travail sur les taches so-
laires que M. Warren de la Piue y avait inauguré.

IX. — Observatoire de Liverpool (Bidston, Birkenhead).

M. Hartnup a continué ses belles études sur les chronomètres de
la marine marchande. L'Observatoire a abaissé à 25 francs la somme
à payer par les armateurs pour obtenir la marche exacte d'un chro-
nomètre et la loi de sa variation avec les changements de la tempé-
rature.

i52 BULLETIN DES SCIENCES

X. — Observatoire de l'École de Rugby.

L'année 187a a été surtout employée à des mesures d'étoiles
doubles avec l'équalorial d'Alvan Clark 5 on a étudié ainsi 3o3 de
ces systèmes stellaires.

Quant au télescope de o™,3o, il a servi à dessiner les protubé-
rances solaires. D'ailleurs, à cause du petit nombre de ces protubé-
rances qui ont été visibles cette année, on a substitué à la fente
annulaire qui montrait à la fois, dans le champ, la moitié de la
cliromosplière, une fente bornée à un segment de cercle et qui
donne environ 20 degrés du limbe solaire 5 on obtenait ainsi une
image plus agrandie de la photosphère.

XI. — Observatoire de Stonyhurst.

En l'absence du D" Perry, en mission à l'ile de Kerguelen pour
le passage de Vénus, on s'est borné à observer les phénomènes des
satellites de Jujiiter, les occultations et les météores de novembre.

XII. — Observatoire de M. Barclay (Leyton, Essex).

L'Observatoire de Leyton est, on le sait, spécialement consacré
à l'étude des étoiles doubles. Pendant l'année qui vient de s'écouler,
les astronomes de M. Barclay ont observé un certain nombre de
systèmes binaires que, peu de temps avant sa mort, sir John Herschel
avait recommandés k leur attention.

XIII. — Observatoire du colonel Cooper (Markree).

Le D"" Doberck, qui est aujourd'hui chargé de la direction de cet
antique et célèbre établissement, s'occupe activement de remettre
tout en état. Depuis la mort de M. Cooper, l'Observatoire avait été
inoccupé 5 aussi M. Doberck a-t-il trouvé les salles d'instruments
ouvertes pour ainsi dire à tous les vents et ceux-ci exposés à toutes
les intempéries des saisons. Il y a là presque à refaire une instal-
lation nouvelle : elle a du être terminée à la fin de iSyS.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i53

XIV.— Observatoire de M. Edward Crossley (Bermerside , Halifax).

L'observation d'étoiles doubles et des pliénomènes des satellites
de Jupiter, tels sont les travaux principaux de ce petit et nouvel
Observatoire, qui semble dirigé par un astronome actif et intelli-
gent. On a mis en même temps à jour les mesures d'étoiles doubles
faites depuis 1869.

XV. — Observatoire de lord Lindsay (Dun Echt).

Le noble lord et ses astronomes ont consacré l'année 1870 à la
réduction des observations faites lors du passage de \ énus et à la
détermination des différentes corrections instrumenlales qu'elle
nécessite.

XVI. — Observatoire du comte de Rosse (Birr-Castle, Parsonstown).

Les observations ont été reprises d'une façon régulière à Parsons-
town, quoique le télescope de 3 pieds ne soit point encore réin-
stallé. Continuant l'une des plus belles recberclies de son père, le
comte de Rosse s'est surtout attaché aux observations des nébu-
leuses et aux mesures de leurs positions et de leurs distances par
rapport aux étoiles voisines.

XVII. — Observatoire du colonel Tomline (Orwell Park, Ipswich).

L'outillage de l'Observatoire pour Tobservalion des comètes a été
complété vers le milieu de cette année, mais seulement après
l'apparition de la comète d'Encke. Le travail important de l'Obser-
vatoire a donc consisté dans des observations de la Lune et de ses
étoiles en vue d'une détermination de la longitude.

XVIII. — Observatoire Royal du Cap de Bonne-Espérance.

On a continué à l'Observatoire du Cap la révision du ciel aus-
tral. M. Stone, on le sait, la limite aux étoiles de grandeur au plus
égale à la 7^ (d'après Féclielle de La Caille.) On a terminé cette
année la zone comprise entre i45 et i55 degrés de distance polaire
Nord; les 1700 étoiles que renferme cette zone ont été chacune
observées trois fois. On a préparé en outre le Catalogue préliminaire

i54 BULLETIN DES SCIENCES

pour la zone i35 à i45 degrés et terminé les réductions relatives à
la zone comprise entre io5 et i65 degrés de distance polaire Nord.
Ajoutons que M. Stone vient de recevoir d'Angleterre un plioto-
héliograplie et un spectroscope et qu'il compte consacrer une partie
des ressources de son établissement à des études d'Astronomie phy-
sique qui seront un complément fort utile de celles qu'ont entre-
prises les Observatoires de Gi'eenwicli et d'Oxford.

XIX. — Observatoire d'Adélaïde.

Le Directeur du service télégraphique de l'Australie du Sud,
:M. Todd, parait avoir réussi à commencer enfin l'Observatoire cju'il
désire depuis si longtemps. A l'occasion du passage de Yénus, le
gouvernement avait acheté un équatorial de Cooke de o™, 20 d'ou-
verture, équatorial cjue M. Todd a fait, dès son arrivée, installer
d'une façon définitive. C'est le premier instrument sérieux dont
dispose le nouvel Observatoire d'Adélaïde : bientôt arrivera à l'Ob-
servatoire un cercle méridien de o™,i3 d'ouverture, qui remplacera
le petit instrument des passages de o™,o3 d'ouverture employé jus-
<ju' alors par M, Todd et avec lequel il donnait l'heure à la ville.

XX. — Observatoire de Melbourne.

L'outillage de l'Observatoire de Melbourne a été considérable-
ment augmenté pendant l'année qui vient de s'écouler: c'est encore
l'observation du passage de \énus qui a fait décider l'acquisition
de ces instruments nouveaux. Ce sont un photohéliographe, un
équatorial de o™, 20 d'ouverture, du à Troughton et Simms, un pe-
tit équatorial de o™, 1 1 d'ouverture du à Cooke, un micromètre à
double image de Browning et deux clironograplies.

Les instruments méridiens ont d'ailleurs été employés comme à
l'ordinaire à la formation d'un Catalogue austral, et le grand téles-
cope a surtovit servi à dessiner quelc|ues-unes des belles nébuleuses
du ciel austral et à encarter les étoiles voisines : on a ainsi obtenu les
dessins de dix des nébuleuses étudiées autrefois par sir John Herscliel.

On a repris, en outre, l'étude de la nébuleuse voisine de r, d'Ar-
gus et des étoiles qui l'accompagnent, et l'on n'a pu constater dans
cet immense amas de matières cosmiques aucun changement
appréciable.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i55

JOURNAL DE Mathématiques pures et appliquées (')• — Troisième Série,
publiée par M. Resal.

T. I (suite); juin-décembre 1875.

Catalan (E.). — Sur la constante d'Euler et la fonction de
Binet. (32 p.)

Ce Mémoire contient un assez grand nombre de résultats nou-
veaux et des procédés ingénieux pour obtenir simplement des ré-
sultats déjà connus, relativement à des intégrales définies, à des
sommes de séries, à des limites de produits infinis qui peuvent être
rapprochées de la théorie des fonctions eulériennes.

Nous citerons en particulier l'identité remarquablement simple

I I I II I

n -T- 1 n-T-2 2Ai 2 3 ' 111

que l'auteur donne au début de son travail, et les résultats suivants :
I — qk' I — k'

X"[^v

q" q([<iiA

o)dq = 71/(2),

I — C /f2i=- / — dz.

2 2 /,> le' e' — I ,

C étant la constante d'Euler 5

jx-l

r ^ X - -^ X- — IX'-'-

dx = 2/(2]:

si cj(fji) représente la fonction de Binet, savoir

on a

V I ,, , r' dx r x"'^ x^'f- a:»!'- I

-^ ^ ' Jo ll-^)/WL 2 4 6 J

C) Voir Bulletin, t. IX, p. 12 r.

i56 BULLETIN DES SCIENCES

Allégket. — Mémoire sur l'inlégraLion des équations aux
dérivées partielles du premier ordre. (22 p.)

L'auteur expose d'une façon nouvelle la métliode de Jacobi et
indique quelques simplifications pratiques.

Breton (de Champ). — Réponse à la Note de M. J. Bertrand,
relative à l'article : (c Sur de prétendues inadvertances de
Lagrange ». (2 p.)

Laguerre. — ■ Sur les singularités des courbes de quatrième
classe.

Etant données deux équations à une inconnue, de degré m, F = o
et F'= o, déternainant par leurs racines deux systèmes de points
situés sur une même droite (ou deux faisceaux de droites passant
par un même point), M. Laguerre nomme ces systèmes (ou ces fais-
ceaux) harmoniques, si l'invariant quadratique des deux formes F
et F' est nul. Le lieu des points d'où l'on voit deux courbes de
^^leme ^lassc suivaut deux faisceaux harmoniques est une courbe du
^^leme Qrdrc, qui est dite la courbe harmonique des deux premières,
ou de deux quelconques des courbes du faisceau qu'elles détermi-
nent, ou plus simplement de ce faisceau.

Après avoir posé ces définitions, l'auteur démontre les théorèmes
suivants :

Etant donnée une courbe de quatrième classe K, si Von consi-
dère les dijférentes droites que Von peut mener par uji point M,
leurs premières polaires relativement à K forment un faisceau
de courbes de troisième classe dont la courbe harmonique est la
droite polaire du point M, relativement à la courbe du quatrième
ordre S qui passe par les ^vingt-quatre points de rebroussement
de K.

Si la première polaire dune droite P, relativement à la courbe
de quatrième classe K, se décompose en un point p et une conique
résiduelle , la droite P est la droite polaire de /?, relativement à
la courbe du quatrième ordre S, qui passe par les vingt-quatre
points de rebroussement de K.

Si les vingt-huit points doubles d'une courbe de quatrième
classe K sojit situés sur une courbe de sixième ordre, elle fait
partie d'un couple harmonique: la réciproque est également vraie.

(L'auteur dit que deux courbes de même classe forment un couple

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. iS;

liarmoiiique, si elles sont vues d'un point quelconque du plan sui-
vant deux faisceaux harmoniques).

Allêgret. — Mémoire sur le problèîne des trois corps. (4© p.)

Ce Mémoire comprend trois Sections. Dans la première Section,
l'auteur étend la réduction de Jacobi (par laquelle l'équation dont
le problème dépend est ramenée au sixième ordre) au cas de n -\- i
corps, soumis à leurs attractions mutuelles. L'ordre 6n des équa-
tions du mouvement peut toujours être abaissé de six unités.

Dans la Section suivante, après avoir rattaché les mômes équa-
tions à une autre aux dérivées partielles à S/z variables indépendantes,
l'auteur élimine deux des dérivées à l'aide de deux intégrales trans-
formées en équations aux dérivées partielles et compatibles avec
la première. Le problème est ainsi ramené à l'intégration d'un sys-
tème d'équations aux dérivées ordinaires d'ordre 6[ji — i). Cette
méthode, appliquée au problème des trois corps, n'exigerait plus
qu'une ou deux intégrales d'un système canonique du sixième ordre.

Dans la dernière Section, M. Allêgret propose une réduction en-
core plus grande. Après avoir successivement annulé deux et trois
constantes des intégrales des aires, il fait voir que ces équations
deviennent compatibles avec l'équation fondamentale et admettent
une solution singulière à trois constantes arbitraires, laquelle peut
être déduite de l'intégration d'un système différentiel du quatrième
ordre 5 et, quoique le nombre des constantes annulées soit supérieur
à deux, le mouvement conserve toute sa généralité, pourvu cju'on
ajoute à la fonction des forces certains termes convenables.

Pepiiv. ^le P.) — Sur certains nombres complexes compris dans
la formule a-\- b y — c. (66 p.)

Euler, pour résoudre certaines équations indéterminées, a intro-
duit des nombres complexes de la forme a-i-b\/ — c, mais sans
démontrer que les solutions obtenues par ce moyen étaient les
seules : Gauss adonné la théorie rigoureuse des nombres complexes
de la forme a-\-b \j — i 5 enfin Lejeune-Dirichlet a considéré les

nombres complexes de la forme a-\-b y' — 5 et a -\- b \J — 7 . Dans
la première partie de l'important Mémoire que nous analysons, l'au-
teur s'occupe en général des nombres complexes compris dans la

formule a ~{- b y — c , où « et Z> sont des entiers quelconques et où
c est un nombre entier positif.

,58 BULLETIN DES SCIENCES

Nous citerons quelques tliéorèmes résumant les reclierclies de
l'auteur.

En supposant que les formes quadratiques positives et impaires
de déterminant — c soient comprises dans une même classe
(c = I, 2, 3, 4i 7)5 Oïl ^ ^6S trois propositions suivantes :

La manière la plus générale de résoudre l'é(/ nation

quand les nombres x^ y et z doiuejit être entiers et premiers entre
eux, et qu'en outre z doit être impair, est de poser

de prendre x =: rt P, j) ^ =!= Q, z ^=^p--{- cq' et d'attribuer aux
lettres p et q toutes les valeurs entières et premières entre elles,
qui déterminent pour z des valeurs impaires.

Soient A, B, D des diuiseui^s impairs de la formule x^ H- cj^^,
premiers entre eux deux à dieux; pour obtenir toutes les solutions

de r éq nation

x^--\- c/== A'"B'".D'"-. . .

en nombres entiers et pre/niers entre eux, il suffit de poser

zhxz-ysj— 0 = {a -h a, sj -- c)'"{b -^ 6, v'— c)"''{d -i- dis/— cf'. . . ,

de ramener le second membre à la forme P -j- Q y/^ — c en ej^ec-
tuant les calculs indiqués, puis de donner, dans les deux poly-
nômes P et Q, aux lettres («, «i), (è, ^i), (f/, <fi), . . . , toutes les
valeurs entières qui forment respectivement des représentations
propres des nombres A, B, D, . . . par la forme x^ -f- cy^ .

Si l'on désigne par H un diviseur impair de la formule jc^-f-cj^,
et par x^ y^ z des nombres entiers et premiers entre eux deux à
deux, dont le dernier z doit être impair, toutes les solutions de

V équation

x"^ H- C j^ = H z'"

peuvent se déduire des formules

± X zhy y/ — c = (a -4- 6 y — c) [p -\- q y'— cf, z =p--t- cq^,
en y combinant successivement chacune des représentations pro-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i5ç)

près (rt, b) du nombre H par la Jornie x^-j-cj^, avec toutes les
valeurs entières et premières entre elles de p et q propres à donner
des valeurs impaires à la formule p^ -\- cq^ .

Supposons maintenant que, pour le déterminant — n {ii entier
positif), les formes quadratiques soient distribuées en divers genres
dont chacun ne renferme qu'une classe 5 on aura les théorèmes
suivants :

Toutes les solutions en nombres entiers et premiers entre eux
de l'équation

dans laquelle z a une valeur impaire, se déduisent des équations

zàzx-^ysj- n~ ip-i-qs/— n)'"'^'. z=p'-\- nq\

en donnant aux lettres p et q, de toutes les manières possibles, des
valeurs entières et premières entre elles.

Pour trouver toutes les solutions entières et prennères entre
elles de l'équation

(1) X' -h AZJ'=2="',

en supposant z impair, il faut d'abord chercher toutes les solu-
tions de l' équation

(2) /?M-HJ=^=2%

OU plutôt toutes les formules générales propres à l^s déterminer .
Ces formules générales se déduisent des suivantes :

( 3 ) z=:af-^ bg\ p = af- - bg\ q ^ if g, ab -^- n,
(4) 2 = :^ ' P = ^ ■ 'i =fS^ ''^ "- "'

en prenant pour a et b toutes les décompositions du nombre n en
deux facteurs premiers entre eux pour les formules (3) et, pour
les formules (4), en deux facteurs premiers eîitre eux, si n est de
la forme ^l-\- i^ en deux facteurs dont le plus grand commun
diviseur soit 2, si /^ = 8/. Puis on obtiendra les valeurs de x et
de ■)'■, au moyen de l' équation

±xz^f\j— n = {p -\- q s^ — uY = V + Q\/— n.

i6o BULLETIN DES SCIENCES

en remplaçant dans les fonctions entières P, Q les indéterminées
p et q par les fonctions quadratiques déduites des formules (3)
ef(4).

Enfin, relativement aux équations de la forme ax'^ -f- cj'=^ -"*,
(«^ I, t\> i), pourvu que le nombre des classes de formes qua-
dratiques de déterminant — ac soit égal au nombre des genres, le
P. Pépin donne les théorèmes suivants :

Si Vexposant m est pair, l'équation proposée n'adînet aucune
solution en nombres entiers et différents de zéro.

Si m est impair et si z doit être impair et premier auec le pro-
duit ac^ toutes les solutions en nombres entiers et premiers entre
eux sont exprimées d'une manière générale par les formules

r?n— t 1 \ /7' — 3

, --r- m'm — V , .-t~ , >
. ^ap") -^71 — .«p'j i^^q')

ni' m — I ^ ' w? — 9.^ ' m — 3 ) , , '~^ ,

{af-) - [cq'

2.3.4

]■

:^r = q

m — 1 / ■ / \ IV — 3

mm — ï m — i\

mlap^] ' -^- -—^ ^[ap^] ' [cq^]

m' w — \...m — 4 V ^V~' f .^. 1

— ,ap-] - (c^=^--f-...J,

1.2.

.5

z = ap^ -T- cq^.

oii l'on désigne par p et q deux nombres entiers et premiers entre
eux.

La deuxième Partie du Mémoire contient un très-grand nombre
d'applications particulières à des équations de la forme

et l'examen de quelques équations impossibles de la forme

Lalreat (H.). — 31émoire sur les fonctiojis de Legendre. (26p.)

Partant du théorème de Cauchv, sur la valeur de la /^'ème ^^_

rivée d'une fonction, l'auteur déduit les diverses propriétés des

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i6i

fonctions X" des deux formules suivantes :

Y _ . , dz

A„ —

:t:v-i j 2"-"'vi

X„

2 77 V — I ./ -S""^' y 1 — 7.ZX

' z-—\Y

^

l'intégration étant elfectuée, pour le premier cas autour de l'orir
gine, pour le second autour du point x.

En passant, l'auteur rencontre la formule déjà connue

XoZo -1- 3X,Zi +...-+- (2/1-4- ijX„Z„ = ~^- (Z„^-lX„— X,,+,Z„),

où Z„ représente en général ce que devient X„ quand on y rem-
place X par z^ et en déduit la suivante :

' _Z„r/2_
z — X

l

= 2X„(log\/-'^^ + vV + -v^ -4-.. .4- ^. ^ ^ )•
\ °V 1-r^' XoX, 2X1X2 /lX„_,X„/

Cette dernière formule est à son tour la source de plusieurs déve-
loppements intéressants : la fonction

£

' Z„rh

Àj ' OC

est l'objet d'une étude particulière,

GuiEYssE (P.). — De la propagation des marées dans les ri-
vières. (52 p.)

Traduit et extrait des Tides and TVaues de M. Airy, Astronome
Royal d'Angleterre. J. T.

Bull, des Sciences niachéin. et astroii., t. XI. (Octobre iS;^ )

iGa BULLETIN DES SCIENCES

MELANGES.

APPLICATION DES EXPRESSIONS COMPLEXES IMAGINAIRES A LA FORMATION DE CERTAINS
SYSTÈMES COMPLÈTEMENT INTÈGRABLES D'ÉÛIATIONS CANONIOLES ET D'ÈQIATIONS
Ail DÉRIVÉES PARTIELLES;

Par m. V. IMCHENETSKY,

Professeur à l'Université de Kharkof.

Une équation

(0 6[z,z') = c,

entre deux variables ^, z' et une constante arbitraire c, prend la
forme

(2) H-i-G/ — rt + 6i,

lorsqu'on y substitue les valeurs

z ^=. X -^yi, s' = ^' H- y^' i, c ^^ a H-- bi.

oixi = \J — 1 .

Entre les dérivées partielles du premier ordre des fonctions
H et G de x, y^ x' ^ j' existent des relations simples, en vertu
desquelles, lorsqu'on établit une certaine correspondance entre
x^y, x'^y'^ il est facile de démontrer que l'expression (H, G),
connue sous le nom de parenllièse de Poisson, est rendue iden-
tiquement nulïe.

Cette circonstance indique l'existence d'un système canonique
d'équations complètement intégrables au moyen des seules qua-
dratures, et dans lesquelles H et G jouent le même rôle que l'inté-
grale des forces vives dans les équations de la Dynamique.

Lorsqu'on connait la moitié des intégrales d'un système cano-
nique, l'intégration de ce système peut s'achever par diverses
méthodes. La plus simple de ces méthodes, dans le cas donné,
exige seulement la résolution algébrique de la seule équation
co(z,3'} =:^ (?, par rappoi't à :î ou à z\ et le calcul de l'intégrale
Jz' dz ou fzdz' d'une fonction d'une seule variable 5 les autres

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i63

opérations consistent en des substitutions d'expressions complexes
et en des différentiations.

En même temps que l'intégration complète d'un système cano-
nique, on obtient toujours, comme résultat parallèle, la solution
d'une ou de plusieurs équations aux dérivées partielles. Dans le cas
donné, ces équations sont H = «, G =^ &, où l'on peut prendre
deux quelconques des quatre variables x,j', x\j' pour variables
indépendantes, et exprimer les deux autres au moyen des dérivées
partielles d'une seule fonction de ces variables indépendantes.

Le problème exprimé par l'équation

clz'

^=/!^'^')

peut toujours se ramener au problème de l'intégration d'une
équation aux dérivées partielles^ mais ce dernier problème exige la
résolution préalable du premier. Toutefois, si l'on remplace les
variables z el z' par les expressions complexes x-hji, x'-f-j-^/,
on obtient deux équations aux différentielles ordinaires entre quatre
variables, formant un système incomplet d'équations simultanées
qui se réduit à un système de deux équations linéaires aux dérivées
partielles. Relativement à ces dernières, on peut remarquer :

1° Qu'au nombre des équations différentielles ordinaires qui leur
correspondent n'est pas comprise l'équation donnée dz' ^^f[z^z') dz ;

2° Que les deux équations aux dérivées partielles forment un
!ijstèïD.e jacobien ou sysièm.e Jermé ;

3** Que, si l'on connaît l'intégrale générale (f [z^ z') ■=: c^ ou
H -h G i = rt -f- ^i de l'équation dz' --^f[z, z') dz^ alors une fonc-
tion arbitraire de H et de G sera une solution du système fermé en
question ;

4° Si l'intégrale de l'équation dz! ^=f[z^z') dz est inconnue, il
est théoriquement possible de l'obtenir au moyen de l'intégration
du système jacobien en question, ce qui constitue finalement un
problème d'ordre plus élevé, et alors sa solution ne peut servir
à la réalisation du but principal qu'en vertu d'une condition
particulière.

Ces considérations, relatives à une seule équation difïérentielle,
peuvent aisément s'étendre à un système de semblables équations.

i64 BULLETIN DES SCIENCES

§1-

^Y'

dX"

â\"

àf'

à/ ~

dx

dY'

d\"

d\"

d~x^'

dx' ~

àf

En faisant, dans le premier membre de l'équation (i), z = x4-}a*,

il vient

9(^-1- yi, z'] = X -f- Y /,

avec les égalités

dX_^ ^ _^

^ ' dx dy^ dy dx

Si l'on fait ensuite z = x -^y i-, on a

X = X'-!-Y'/, Y=:X"-f-Y"/,

avec les égalités

(^) f=

En même temps les équations f 3) prennent la forme

^X' ^Y'._^X" , ^. d\^ , àY' ._ ^X^^ dY" .
'dx ^ dx ' ~ dy '^ dy ' dj "^ <^j ~ dx dx '

et elles se décomposent dans les suivantes :

aX_ dY^ dY' __ aY^^

^'' dj do; ' d;c dy

Si l'on pose encore c = a^hi^ l'équation (i) prend la forme

H -f- Gi = « -i- hiy

où l'on a

(8) H=:X'-Y", G = Y'H-X".

Il est maintenant aisé de remarquer que les dérivées partielles
des fonctions H et G, tant par rapport à x cl y que par rapport à
x et r', sont assujetties à des conditions semblables à (3). En effet,

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i65

les équations (8) donnent

dU_

â\'

d\"

dG

dY'

d\"

4_

dx

dx

dx

àr

Or les seconds meuibres de ces équations sont égaux en vertu des
équations (6) j par suite,

dll_dG
(9^ dx~dy'

On tire de même de l'équation (8), en vertu de (7),

an dG

(lo)

dy dx

en vertu de ( 4 ) ,

dYi dG

(ïï)

dx' ~ dy' '

et, en vertu de (5),

^H ^G

(12)

df ~ dx'

De ces équations découle immédiatement une conséquence
imj)ortante pour notre objet, et consistant en ce que l'expression
différentielle formée avec les dérivées partielles de H et de G, et
connue sous le nom de parenthèse de Poisson, se réduit immé-
diatement ta zéro, si l'on prend pour couples de variables corres-
pondantes soit X et j', y et x . soit x et x\ y' et j".

En effet, en multipliant l'équation (9) par l'équation (i i) écrite

sous la forme -r — = -; — ;• et faisant passer tous les termes dans le

dy' dx' ^

premier membre, il vient

^ dG _ m à_G_
dx dy dx' dy

On tire de même des équations (10) et (12)

_ ^ ^G (JH ^G _

dy' dx dy dx'

iGG BULLETIN DES SCIENCES

En ajoutant les deux dernières équations, on aura

à^^__^àG àUdG ÔR dG _
ôx ày df dx df ôx' dx' dy '

égalité dont le premier membre est une parenthèse de Poisson, où
l'on a fait correspondre les variables x et j'^j et x'5 nous repré-
senterons d'après cela cette égalité d'une manière abrégée par

(i3). ' (H,G; = o.

On trouve absolument de la même manière, en vertu des équa-
tions (9) et (12),

^^ ânâG_

dx dx'' dy df '

et, en vertu des équations (10) et (11),

dBdG dRdG
dx' dx dy dy'

o,

et, en soustrayant la dernière équation de la précédente, on obtient
l'égalité

dx dx' dx' dx dy' dy dy dy' '

dont le premier membre est encore une parenthèse de Poisson, où
l'on a fait correspondre les variables x et x\y ei y. Nous repré-
senterons cette égalité, pour la distinguer de (i3), par

(l4) [H,G]::=0.

§11.

En conservant la double notation pour les parenthèses de Pois-
son, établie dans le § I, formons les équations

(H, t];) = o, [H, x] = o, (w,G]=o, [gt, G] = o,

linéaires par rapport aux dérivées partielles des fonctions incon-
nues c|^, ;)(, w, tj de x^ y^ x'tj'-

Ayant écrit les systèmes d'équations différentielles ordinaires
correspondants à ces équations et auxquels se ramène leur intégra-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. iG-

tion,il est facile de se convaincre, en vertu des équations (9), (10)
(il), (12), que les systèmes appartenant aux équations (H, ^]>) = o,
et [n;. G] = o, et ceux qui appartiennent aux équations [H, ^] = o
et (c«>,G) = o, sont parfaitement identiques.

D'après cela, si l'on veut intégrer les équations précédentes, il
suffira de considérer seulement deux de ces équations, diflérentes
entre elles, par exemple

(H, d;)=:o, et (w, G) = o.

Mais la première de ces deux équations peut aussi s'écrire sous
la forme (ip, H) = o, et il suffit évidemment de considérer la marche
de l'intégration d'une seule de ces équations; tout ce que l'on
trouvera pour celle-là pourra s'appliquer à l'équation (&), G) = o,
en y changeant H en G, et réciproquement.
A l'équation linéaire

(^,H) = o

correspond le système d'équations différentielles ordinaires

(i5)

dx dr dx' df

dy' dx' ôf dx

Une intégrale de ce système est évidemment H = «, et l'on
démontre, au moyen de (i3), qu'il admet aussi l'intégrale G = ^.
Enfin la dernière intégrale, qui complète la solution, peut toujours
s'obtenir par l'emploi de la théorie du multiplicateur généralisée
par Jacobi, en se fondant sur le théorème suivant (^ ) :

Etant donné un système d'équations différentielles

dx : dxi : dx> : ... : dx„ = X : Xi : X2 : . . . : X„,

si l'on connaît n — i de ses intégrales

/ = CC2, /s — 0:,, . . . , /, = a,„

et aussi la solution ÎM de l'équation différentielle

, ^ (/logM ^ ^ ^ ^^" _

d.x dx dx^ ' Ox„ ~~ *

(') Vorlesungen iiber Dynarnik, p. iij.

iG8 BULLETIN DES SCIENCES

alors, cil r amenant, au moyen de ces intégrales^ le système proposé
à l'équation différentielle

( ^) X f/x, — X, dx = o

entre les deux variables x et Xj, cette équation aura pour facteur
d'intégration

M

[y] \±^^fL...Èk

Il faut remarquer que le système (i5) est cauouique; par suite.
])Our ce système, tous les termes de l'équation (a), à l'exception
(lu premier, se détruisent, quelle que soit l'équation du système (i5 )
que l'on ait prise pour (j5) ; par suite, M est ici une quantité con-
stante, et l'on pourra la supposer égale à l'unité.

Pour l'équation (|3), ce qu'il y a de plus simple, c'est de prendre
l'équation

^H , d\l ,

-— , dx r-7 «r = o,

dx' dy' -^

ou l'équation

— dx dy =. o.

Ox dy "^

L'intégration de ces équations, à l'aide des facteurs d'intégration
donnés par la formule (y) et pour M= i, se ramène aux quadra-
tures

— dx-^dy ^

dx' dy' dy' dx'
et

— dx 7— a r

dx dy '

àHdG_dH ÔG ~~ ^^^^^'

dx dy dy dx

Mais, avant de calculer ces quadratures, il faut, sous le signe _/,
éliminer de la première x' et j) ', et de la seconde x et y, à l'aide
des équations \i = aelQ = b. Cela exige, à ce qu'il semble, la
résolution de ces deux équations à deux inconnues j mais, ces

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 169

équations étant équivalentes à l'équation unique

H-r-G/ = «+6/, ou o [z,z') = c,

il suffira de tirer de cette dernière la valeur de z' ou celle de .::, et,
après avoir remplacé de nouveau z^ z' ei c par leurs expressions
complexes, de décomposer le résultat en deux équations, pour
obtenir les valeurs de x\j' en x, j', ou i^nce uersa.

Il est évident que, pour tout autre clioix de la dernière équation
à intégrer du système (i 5),' on n'éviterait pas la résolution algé-
brique de deux équations R = a, G^= b k deux inconnues.

§111.

On peut encore acliever autrement l'intégration du système (i5 ).
Introduisons dans ces équations une nouvelle variable «, en égalant
sa différentielle à chacun des rapports (ia).]\ous aurons de cette
manière

i dx_ dR chr__ m
TU ~ df' dt "~ dx''

dx' __<m dr' _ dR
dt ~' ôy^ dt dx

Nous connaissons deux intégrales de ces équations, H et G,
satisfaisant à l'identité

(h,g; = o;

par suite, en vertu d'un tliéorème de ]M. Liouville (*), les expres-
sions différentielles

y' dx -\- x' dy, et y dx' -\- x dy'

deviennent des différentielles exactes, si l'on élimine x' cl y' de la
première, x et y de la seconde, au moyen des équations H = « et
G = ^, ce qui, d'après le § II, n'exige que la résolution algébrique
d'une seule équation (f [z^ z') = c.

Mais, pour obtenir les intégrales des deux expressions différen-
tielles précédentes par une voie encore plus simple, supposons que

\

(') Journal de Mathématiques , t. XX, i855, p. iS;.

lyo BULLETIN DES SCIENCES

les valeurs de ^'et de z^ tirées de l'équation o (c, z') = c, soient

2' = (|» (z,c), et z =y^{z', c).

Multipliant la première par dz^ la seconde par dz' et intégrant, on
trouve

fz'dz=f^{z,c]dz = Z, fzdz'=fx[z',c]dz' = Z'.

On peut maintenant démontrer que les quadratures dierchées

f [y dx -\- x' dy] = M, et J [y dx' + x dy' ) = c

sont les coefficients de i dans les résultats de la substitution des
expressions complexes de z^ z' ^ c dans les fonctions Z et Z'. En
effet,

Z = y [x'-+-iy' ) [dx + idy) = f [x' dx — y"" dy) + i f [y" dx -h x' dy),
Z'= J" [x -i- iy) ( dx' H- idy'] r= f{ x dx' — ydy' ) 4- if [y dx' -h xdy') .

Ayant trouvé une des fonctions «, t^, on aura, d'après le tliéorème
de M. Liouville que nous venons de citer, une troisième intégrale
du système (16) sous la forme de l'équation

du dv

-— = const., ou ^-Y = const.

00 ôb

Ces intégrales doivent être complètement identiques avec celles
qu'on a obtenues au § II, ce qu'il suffît de démontrer pour l'une
d'elles, par exemple, pour la première. On a

du r i dy' , dx' ,

Tb=J [-ôb^'^''^--db''y\

Mais, en considérant x' et j' comme des fonctions implicites de
X, 7, «, b^ déterminées au moyen des équations H = a et G = ^,
et ditférentiant ces dernières partiellement par rapport à è, on
trouve

m dx' r)H dy' _ d^dx^ <li(j^dy___
dx' W^d/W^^' dx' db '^dy'db~^'
d'où

m m

dx' _ dy' dy' _ dx'

db dHdG_ md^ db dH dG dti dG

dx' dy' dy dx' dx' dy dy dx'

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 171

et en substituant ces valeurs, on trouve une expression de l'inté-
grale

dx' dy' -^ _

ôx' df' dy dx'

parfaitement identique avec celle qu'on a obtenue au § IL

L'introduction dans le système (10) d'une nouvelle variable f,
au moyen de sa différentielle, augmente d'une unité le nombre des
intégrales des équations ainsi transformées 5 cette nouvelle intégrale,
la seule qui renferme t, s'exprimepar l'une ou l'autre des équations

du ()<.'

-— = i -F- const., -T- = consl. — ^

oa oa

que l'on peut encore ramener à la forme suivante :

ridf , dx' /
t -r- const. = I ( -T— dx H j— dy

dr''^^~ôx''^''

dR di\ dU dG '

dx' df' df' dx'

dG jj _àG^^^,

dy dx \ m dv dx

consi.-t = j\^-dx' + ^^df')= I ^^^^-^^^,

dx df df dx

où l'on devra encore, avant d'intégrer, éliminer, sous le signe y,
a/ et y dans la première formule, x et j~ dans la seconde, au
moyen de l'équation }l-\-Gi = a-j-bi.

§IV.

L'avantage que présente la méthode d'intégration exposée au
^ III sur celle du §11 consiste en ce que, en intégrant le système (16),
on résout en même temps un autre problème de Calcul intégral. Il
est clair, en effet, que la solution commune des deux équations aux
dérivées partielles H = a et G =3 ^, ainsi que l'intégrale complète
de chacune d'elles en particulier, sera

ef-i- const., ou (^-4- const.,

172 BULLETIN DES SCIENCES

en ayant soin, si l'on prend pour variables indépendantes x et j ,

, , du , du . . ,, ,

de poser j = -^ ■, a: — - —5 ou ^>lce 'vei'sa, si 1 on prend pour

• 1 1 • 1 ' 1 III dv dv

variables indépendantes x et r , de poser j^ = -p-^? x = -j—,'

Mais, dans les équations H -- a et G = ^, on peut aussi prendre
pour variables indépendantes deux quelconques des quatre variables
X, j'', x\ )', en exprimant en même temps, de la manière connue,
les deux autres variables au moyen des dérivées partielles du
premier ordre d'une seule et même fonction, prises par rapport à
ces variables indépendantes. Cette fonction inconnue peut toujours
s'obtenir au moyen d'une quadrature, et, celle-ci étant complétée
par la simple addition d'une constante arbitraire, on aura la solu-
tion commune des deux équations simultanées H = a et G = ^, et
l'intégrale complète de chacune d'elles en particulier.

Les diverses combinaisons deux à deux des quatre variables
x^y, ^', j^ présentent six cas, dont deux ont été déjà considérés,
de sorte qu'il reste les quatre cas suivants :

1° En prenant pour variables indépendantes x et a/, on pourra
poser

àP , dP

r = - — - 1 r = — •

•^ Ox' '' dx

En effet, si, dans les équations H ^= a et G ^= ^, on regarde y et
y comme des fonctions de x et x', on trouve

an JG an dG ()H dG

df dx dr' dx' dx dy' dy dx'

dE dG

dx' dr

dx~ dH^G dH^G' dx'" dH dG

dnôG

dr ^j' ^/ ^r <)r ^y

dy df

>n en tire, en vertu de l'égalité (i3),

dr , dy (H, G)

dx "^ dx' ~ dRdG dHdG"^'

dr dy dy df

par conséquent,

dp =z -— dx ->r - — dx' =1 — r' dx -t- r dx' ,
dx (Jx' '' -^

et

P =/ { — y dx + r dx' ) + const.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. lyS

2" En prenant pour variables indépendantes xet j', on pourra

poser

, dO dO

dx '' dj

Si l'on considère maintenant, dans les équations H = a et G=^,
od çXy comme des fonctions de x et j"', il vient

()H _()G _ OH aG ()H OCt ()H ()G

()>^ d^ d.r' 0^' 0^ dx' dy ùy' dy' dy

tx'^~ dH 6>G dIOG' âp" ^ ~ d'H dG 6>H dG

ày ôx' dx' dy dy dx' dx' dy

d'où l'on tire, en vertu de l'égalité (14)5
dr dx' _ [H, G]

S'

dx dy' ~ ()H c)(i _ dH^ (KÎ °'
dy dx' dx' dy
par conséquent,

dQ= -j^dx-h ^ dy' = x' dx -{- y dy' ,

et

Q=f[x'dx -hy dy' ) + consl.

3^ Quand on prend pour variables indépendantes j^ et j'', il faut
alors poser, pareillement à ce qu'on a fait dans le cas i**,

dK , dR

dy dy

En effet, on trouve, absolument de la même manière que dans le

cas 1°,

dx dx' _ (H. G) _

dy'^dy~ da dCr dR dG ~ °'

dx dx' dx' dx

et partant

R =f{x dy' — x' dy) + const.

4° Enfin, le cas où l'on prend pour variables indépendantes 7
et x' est semblable au cas a''; on posera alors

()S , _dS

dx' ' "^ ~~ dy

174 BULLETIN DES SCIENCES

Comme on tire des équations H =^ a, G = Z>,
dx_dx^_ [H, G]

d^ dy Oy dx
on a, par suite,

S=f'xdx'-A-f'df] -h consl.

Les fonctions P, Q, R, S ont, par rapport au système canonique
du § III, la même importance que les fonctions u et u:, c'est-
à-dire que, au moyen des dérivées partielles de chacune de ces
quatre fonctions par rapport aux constantes arbitraires a et ^, on
peut exprimer les deux intégrales qui constituent, avec H = a et
G = ^, le système complet des intégrales des équations canoniques
considérées (i6).

Pour se convaincre que cette propriété appartient, par exemple,
à la fonction P, en désignant a ou b par a, prenons la dérivée par-
tielle—-: suLsti tuons-y H à la place de a et G à la place àebi enfin,
àx' j L j.

prenons la dérivée totale par rapport à £ du résultat de la substitu-
tion 5 ce qui donne

/ ^

Qy. _ d'P dx , d^P dx' d^P r/H , d'P dG

dt ~~ Oy.Ox ~dt ^ ôxôx' dt Oy.ô)l dt ^ dx dG dt

Ur, 11 et G sont des intégrales, et par suite -r— = o et — = o.
De plus,

Ox ■^'' dx' ^'

donc

Enfii

ôxdx

par conséquent

dx _m dx' _ dH
dt d/' dt d/

/ —

' ôx /dH ôy' dH dy

dt \ôy' ôx Oy dx

iMATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 175

L'expression entre pareiitlièses dans le second membre de la
seconde égalité représente le résultat de la différentiation par-
tielle, par rapport à a, de la première des deux équations H = a et
G ^= ^, dans laquelle on a substitué àj et à y' leurs valeurs tirées

de ces équations. Far suite, si 5:= t», on a rt.— 7-=r. 05 si c<.=a^

1 ^ ^P j

alors a. —— = — cit.

âa
En intégrant, on tire de là les deux intégrales cliercliées du
système canonique,

— -:=const., et -r- = consl. — /.
do ôa

Le même mode de démonstration s'appliquerait exactement aux
fonctions Q, R, S.

jNous ferons encore la remarque suivante. Dans le § III, nous
avons trouvé les formules

Z^Jz'dz, T=Jzdz',

où les valeurs de z et de ^ étaient tirées de l'équation '^f-, 3') = c^
en y substituant les expressions complexes de -^, z\ c, et posant

u^:^ f [y' dx -~ x dy), ^ = f [y dx' -+- z df ] ,
Uy^= J [x' dx — y' dy], <', = / [x dx' — ydy'],

nous aurons

Z=: U, -\- Il i , Z' = Ç\ -i- (•/.

Les fonctions Ui et i^^ jouissent , relativement au système cano-
nique considéré {16), de la même propriété que les fonctions «, i^,
P, Q, R, S5 en sorte que, connaissant les deux intégrales H ^«,
G = ^ de ce système, on peut obtenir les deux intégrales restantes
au moyen, par exemple, de la fonction z<i, sous la forme des équa-
tions

du, du,

-7- = const., et -pT = consl. — t.

da do

Il est superflu d'en donner la démonstration, qui se ferait par
un calcul presque littéralement identique à celui que nous avons
donné pour la fonction P.

lyG BULLETIN DES SCIENCES

Ajoutons à cela que, en considérant, dans les équations H =^ a
c.iQ=^h, X el j' comme les variables indépendantes, et posant

X z^ — , y r:^ — -j on trouvera que Ui -+- const. représentera

dx -^ ôf ^

l'intégrale complète de chacune des deux équations précédentes aux
dérivées partielles, et la solution commune de leur système.

Nous avons vu que u^ v^ Wi, <i\ s'obtiennent au moyen des inté-
grales 7j^^ Jz' dz et Z' =fzdz' de fonctions d'une seule variable,
tandis que la détermination de P, Q, R, S exige le calcul de qua-
dratures dépendant de deux variables. En conséquence, il n'est pas
inutile de remarquer que le calcul de ces dernières fonctions se
ramène au calcul des premières, en vertu des formules suivantes,
faciles à vérifier :

dP — dv rTir — d[xy'), dP + du = d[x'f),

dQ-hdi'i^^ d[xx'], dQ — dui = d[xx'),

dR — dv =z — d{x'f), dR-hdu =d{xf'),

dS — di'i = d[yj' ], f/S H- du, = d[xx'),

d'où l'on tire, par l'intégration,

P ::-= t' — ^ xj^' = x'y' — u,

Q=:XX' — (^1 = Ml -t-Jj',

R rr: u — a:' y --=■ xy' — u,
S =; c'i + jy =^ xx' — Ui,

en omettant, pour plus de simplicité, les constantes arbitraires.

§ V.

Prenons maintenant une équation différentielle de la forme
générale

S =/(-■)•

Remplaçons les variables rr, z' par leurs expressions complexes
x+jt:", x' -T-j'i-, ce qui donne

f[x+ yi, x' + j' / ) = X + Y i.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 177

en désignant par X, Y des fonctions de a:, /, oc\y' ^ assujetties
nécessairement (§1) aux conditions

dx

d\

dX

âY

oX ÔY

dX

ÔY

dx '

-à/

ôf-

dx

dx' ~ df' '

ày~

dx'

L'équation différentielle précédente prendra la forme

dx' -+ idy = Xdx — Ydf -h i[Ydx -f Xdf],

et se décomposera dans les deux suivantes :

dx' =.Xdx — Ydf, dy =zYdx-^X dy\

Ces équations forment un système incomplet d'équations diffé-
rentielles, dont l'intégration peut se raDiener à l'intégration d'é-
quations linéaires simultanées aux dérivées partielles du premier
ordre. Une équation de la forme

U = consl.,

où U est une fonction de x^j^ ^'ij'i sera une équation intégrale
relativement aux équations précédentes, et la fonction U en sera
une intégrale, si sa différentielle totale s'annule identiquement en
vertu de ces mêmes équations. Or on a

d\j = -^dx -h -—dr-^ -— dx' + -r— r df,

dx df -^ dx dy' ■^

et, après la substitution des valeurs de dod et de dy' tirées des équa-
tions données, il vient

/OU OU , vOU\ , /ou ^^ou ^ou\ ,
^u^^U^-^o-^-^^o/j^^^-^io^-Yô^'-^^op)'^^-

On voit par là que, dx et dy étant arbitraires, on aura

f/U = o,
sivU satisfait aux deux équations simultanées

_^H_I_X'- -^ Y— — o
dx " dx' ' dy '

OU ^^ ou ^ /)U

-T— — ï -T—, -i- X-— - ^ o.

dy dx' dy

Bull, des Sciences machém. et astroii., t. XI. (Octobre 1S7G.)] 12

178 BULLETIN DES SCIENCES

Il est facile de s'assurer que ces deux équations forment ce qu'on
appelle un système jacohien ou sjstème fermé, jouissant, comme
on sait, de cette propriété que toute intégrale de l'une d'elles dans
le résultat de la substitution dans le premier membre de l'autre
donne une intégrale de la première équation.

Pour le faire voir, introduisons les symboles A et B pour désigner
respectivement les opérations

d

^. à ^r d

d

,^ d ,^ ô

-i-x-^, + y — .-

Y . , + X , ,

<Jx

dx' (jy

^"

Oa; ay

de sorte que les équations données seront représentées par

A(U) = o, B{U)=.o;

il suflîra de démontrer l'identité symbolique de l'égalité

B[A(U)] = A[B(U)],

pour une valeur arbitraire de la fonction U. Mais pour cela il faul
et il suffit que les conditions

B(X)=A(-Y), B(Y) = A(X)

soient satisfaites. En introduisant de nouveau, à la place des sym-
boles A et B, leurs valeurs, ces conditions prennent la forme

^ . ^'4_X('''^^-^ — ^ - yI^— -— V-o
ùy ^ ùx ^ \^y^' c)x'/ \dx' (Jy j

et, en vertu des conditions (c) auxquelles sont assujettis X et Y,
il est clair que les dernières conditions sont aussi remplies.

L'équation A(V) = o a pour intégrale j, et soit a une autre de
ses intégrales, dillérente dej'5 a ne sera pas exprimable au moyen
de y seul.

En faisant successivement V = J% ce, dans l'expression B ( V), on

trouvera

B(j)==i, B(a)==(3.

Si p = o, a sera alors la solution commune clicrcliée des équations
A(V)r=o etB(V) r^. o.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 179

Si /3 s'exprime au moyen des seules quantités j et a, de sorte que
j3 = f (J^5 a), en supposant alors que

V = F(j, «)

soit la solution commune cherchée, on voit que la fonction F devra
satisfaire à la condition

Celle-ci conduit à l'intégration de l'équation
dy (la.

f(r>

5 ou f [y, a. ) dy — dy.=^o,

et il est clair que l'intégrale de celle-ci s'obtiendra immédiatemenl
au moyen des quadratures, si jS s'exprime au moyen de y seul
sans a, ou au moyen de oi seul sans j , ou enfin se réduit à une
valeur constante quelconque.

Si j3 ne peut s'exprimer au moyen des seules variables j' et a.
alors, en posant \ -— ,6 dans l'expression B(V), il viendra

Il est clair que (3 sera la solution commune cherchée, si y = o ;
dans le cas contraire, y sera une constante, ou devra nécessaire-
ment s'exprimer au moyen dej , y. et (3 seulement. En eiïét, si y ne
s'exprimait pas en j), a, S, on aurait alors, outre ces trois intégrales,
une quatrième intégrale, distincte des précédentes, de l'équation
A(V) = o, ou ce qui revient au môme, du système des équations

dx dy dx dy'

"^r ^ "(7 "^ X "^ T" '

tandis que ces dernières ne peuvent admettre que trois intégrales
distinctes.

Ainsi, si y = f ( j-, a, [3) , en supposant alors que la solution
commune cherchée soit

V = F(;-, a, 3),

i8o BULLETIN DES SCIENCES

on parviendra à la condition nécessaire

_ ,„, ÔF ()F „ ^F „,

conduisant à l'intégration du système d'équations
dr __ dcc _ rf[3

lequel se ramène à son tour à l'équation différentielle du second

ordre

d'ûi J da\

La connaissance de l'une des deux intégrales premières de cette
équation suffit pour la détermination de la solution commune des
équations A(V) =; o et B(\ ) = o.

Il est évident que, si l'expression de y est indépendante d'une ou
de deux ou de trois des variables j-, a, |3, il en résultera dans l'in-
tégration de l'équation précédente une plus ou moins grande sim-
plification.

La résolution des équations A(U; = o, B(U) = o se fera immé-,
diatement, si l'on a trouvé préalablement l'intégrale générale

(^[z,z')=c

de l'équation diÛerentielle

Dans ce cas, on aura l'égalité

En remplaçant z el z' par leurs expressions complexes, il viendra
f[x H- j/, x' -^-f' i] 1= X H- Yi, o[x -h fi, x' -^ f i) = H 4- Gi,

avec les conditions (c) pour X et Y, et les conditions (9) à (12)
pour H et G.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i8i

En vertu de ces dernières, on a

'•>

^ = — fH -4- Gi] = ^
ôz ôx ^ ' ôx

ô^~ô^^^^''-ô^'

ôG .OU

ôx ôx

r)H._()G ÔG .
ôy ôy ôx '

ÔG . ÔR
ôx''' ôx'

ÔR . ôG ÔG .
d/'~" ôy ' ôx'^'

Par conséquent, l'équation précédente, exprimée à l'aide des déri-
vées partielles de cj-, peut s'exprimer à l'aide des dérivées partielles
de H seul ou de G seul. En substituant également les expressions
complexes dansy(c,^'j, on trouvera ainsi les deux égalités

A(H) — fB{H>=o, B(G)-4-iA(G)=o, ■

lesquelles se décomposent dans les quatre suivantes :

A;H]=-o, B{Hj = o, B ;g>=o, A(G;=o;

ce qui démontre que les équations linéaires A (U) :r^ o et B (U) =:^ o,
étant satisfaites par Les valeurs H et G de U, le seront aussi par la
valeur U = H (H, G), Il désignant une fonction arbitraire.

La question de savoir à quelles conditions la solution commune U
des deux équations A(U) =o, B(U) =o peut représenter une des
parties composantes de l'intégrale inconmie 9(^, z') = H -i- G/,
peut se résoudre de la manière suivante.

Si, par exemple, U = H, il devra exister une fonction V, repré-
sentant la seconde composante G de l'intégrale cj), de sorte que l'on
devra avoir V =: G. Il s'ensuit de là que

d^_ôY du _ _ dv ^ _ ay ^U _ _ ^

ôx dy Oy ôx Ox' ôy ôy* ôx'

Mais on a

dN = . dx H — — f/r 4- -:--, dx' + -x-, dr ,

Oy Oy •' ôx' Oy ''

et, en vertu des égalités précédentes, il viendra

i82 BULLETIN DES SCIENCES

par conséquent, V se déterminera au moj^en de la fonction connue U
par une quadrature, si les conditions d'intégrabilité

a— — -f-^— o S — -^__iiL —

dx' "^ dy ' ' ^ ôfdx' ôy dx '

àfdy ' dxdx' " ' ()^'2 oy^

soni satisfaites.
Or des équations

,._,, d\} ^, au ,,dU

B(U) = f-YfI-.X^=o,
()j d^ of

en ayant égard aux conditions (c), on tire sans peine les égalités
suivantes :

ôx dy

d^' dj''

a + Xy-Y(3 = o,
y — Xôi= G,

lesquelles démontrent que, si l'une des quatre quantités a, (3, y,
à s'annule, il en sera de même aussi des trois autres.

Par conséquent, si la solution commune U des deux équations
A(U) :-= o, B^U) = o satisfait à l'une des quatre conditions

a =r o, (3 = o, y = o, 0 = 0,

on pourra alors, par son moyen, calculer l'intégrale générale

0(2, z) = c
de l'équation

dz' „ ,

dï =/(^. ' )•

En introduisant les expressions complexes des variables dans un
système d'équations différentielles, il est facile d'obtenir des trans-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i83

formations et des conséquences semblables aux précédentes 5 mais
nous ne les développerons pas, parce qu'elles sont des applications
particulières des §§ I-IV. Une de ces applications, qui s'était pré-
sentée à moi avant le problème général, a été communiquée par
fnoi à la rédaction du Journal de la Société Mathémalique de
AIoscou, au commencement de cette année.

Kharkof, 1876.

SIR LE PLAN OSCULAîEUPi AIX CUMOrES GAUCHES;
Par m. Jules TANNERY.

Dans une thèse récem.ment soutenue devant la Faculté des
Sciences de Paris, M. Appell a étudié, après M. Chasles, un système
de pôles et de plans polaires relatif aux cubiques gauches. Le
travail de M. Appell est fondé sur la considération d'une relation
involutive entre trois valeurs de la variable au moyen de laquelle
peuvent être exprimées les coordonnées d'un point f[uel conque de
la courbe : l'auteur parvient ainsi, d'une façon très-élégante, et
presque sans calculs, à la série de propositions qu'il avait en vue.
Il était aisé de prévoir, après la lecture de sa thèse, que l'équation
même du plan osculateur devait naturellement conduire à la même
série de propositions; c'est, enellet, ce queje vais montrer, d'autant
qu'on parvient ainsi à quelques vérités nouvelles.

Je ferai d'abord les remarques suivantes : si

sont les équations d'une courbe unicursale quelconque, P, Pj, P,,
P3 étant des polynômes entiers, homogènes, du degré n en ?, 5, la
tangente au point [t, s) joindra les deux points dont les coordonnées
sont

P, P„ P., P.,
d'une part, et

']^ ^ ']h '^'
Tt' W "^7' Tt'

i84

BULLETIN DES SCIENCES

de l'autre 5 ou, si l'on veut, les deux points dont les coordonnées
sont

ÔP dP, dP, dP,

d'une part, et

de l'autre. Le plan osculateur au même point passera par les trois
points dont les coordonnées sont respectivement

d7'

Tt'

"ôt '

ôt

dP

Os'

ÔP,

-ôs'

ôs

p,

P.,

P=,

P.;

dP

ÔP,

ôt'

ÔP,

ôt'

OP.,
ôt '

d'P

r>P,
ôt^'

Ô-^P-,
Ot^'

ôt'

ou, si l'on veut, par les trois points dont les coordonnées sont
respectivement

ô'P

d^p,

Ô'P,

Ô'P,

ôt^'

ôt^'

ôt''

ôt' '

Ô'P

ô'-p,

ô^p.

ô^P.

ÔtÔs"

ôtôs'

ôtôs'

ôtôs

Ô'P

Ô'P,

Ô'P,

Ô'Ps

ôs' '

ôs' '

ÔS' '

ôs'-

Cela posé, si l'on a affaire à une cubique gauche, on prendra

P = at' -^ ZbPs^ 3cts' -f- ds\
P,= a't^ -i- 3 6'r5 -f- 3 c'ts'' -i- d's\
?,= a"f J- 3 b"t's + 3 c"ls-' + d"s\
P3= a"'P -f- Zb"'Ps + 'àd"ts- -+- d"'s';

et l'équation du plan osculateur au point (z, 5) sera

>■)

X at -h hs ht -(- es et -t- ds

y a' t -{- b's b't -t- c's c' t -\-d' s

z a"t-hb"s b"t^c"s c"t-\-d"s

Il a"'t-hb'"s b"'t-hc"'s c"'t-^d"'s

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. i85

Cette équation montre déjà que par un point quelconque de l'es-
pace on peut mener trois points osculateurs à la cubique ; les coor-
données de ces trois points seront déterminées par les trois valeurs

de - que l'on tirera de cette équation, en y regardant or, j-, ^, u

comme données.

Cette équation développée et ordonnée peut s'écrire

Xs' — Yts' -\-ZPs — \jPz=z o,

en faisant

(4:

X = A^ -h h.' y -f- k" z -h k"'u,
Y ^-- B X + B' j + B' z -h B ' u,
7. = Cx-\-aX'^-C"z 4-C"'w,
u = D^ -}- D' j + D ' 2 -!- D ' u.

A, A', . . . étant les mineurs relatifs à «,«',.. . du déterminant

a b c d

a' b' c' cl'

a" b" c" d''

d" b" c'" d'"

L'équation (3) peut aussi être considérée comme étant l'équation
du plan osculateur au point (i, s), dans le système de coordonnées
tétraédriques X, Y, Z, U : dans ce système, les équations de la
cubique gauche prennent la forme simple

X = i^

3^=5, Z = Zts\ U = 5';

enfin, en écrivant que l'équation (3) en - a deux racines égales, on

obtiendra l'équation de la surface développable du quatrième ordre
dont la cubique gauche est l'arête de rebrousseraent.

Revenant à l'équation (2) du plan osculateur au point (^, ^) de
la cubique et désignant par x'^j\z\ u' les coordonnées de ce point,

i80 BULLETIN DES SCIENCES

ou la metlra successivement sous les deux formes suivantes

X X

r y

X

r

z
I u

h
b'
b"

b'"

X'

y

h'
c
c'

c''

c"

at -t- bs
a'l-\b's
a"l-\-b"s
a"t-\-b"'s

I X
1 r

! -h r

bt -\- es I

b't ~h c's !

b"t-\-c"s j ""°'

b"'t-^~c"'s I

•'a bf ~\-cls

■' a' b'r--v-c'ts
z z' a" b"P-T-c"ts
u u' Cl" b"'P-\-c"'ls

ou, en remplaçant hL~ -4- cts^ . . . par
s"^ et simplifiant le second déterminant,

— aP — (h^

(6)

X

X

b

c

T

y'

b'

c'

z

„i

b"

c

u

u'

b"'

c

■6s

a
a'
a"
a'"

■i divisant par

d

cl'

ci'

cl'"

Telle est l'équation du plau osculateur au point x' ^ j\ z\ u' de
la cubicfue. Si x', y\ z\ u' sont les coordonnées d'un point c|uel-
conque de l'espace, on aperçoit de suite, en vertu de la symétrie
par rapport à x, j', ^, «. d'une part, oc' ,j\ z\ u\ de l'autre, que
cette môme équation représente le plan des trois points de contact
des trois plans osculateurs à la cubique C|ue Fou peut mener par le
point x', j) ', z'^ u' : ce plan j)asse par ce dernier point, qui peut en
être regardé comme le pôle. Au surplus, l'équation (6) se présente
sous la forme de l'équation d'un complexe du premier ordre 5 de
là, la série des propositions établies par M. Appell. On mettra l'é-
quation de ce complexe sous la forme habituelle

k[x — x') -1- B ( j — j' ^ 4- C ( 2 — s' 1 -4- A 1 ( jz' —fz]

-4- B| [zx' — z' x) -t- C, [xf' — x' y) = o,

en faisant

A := 3 ( 6' c" -b"c'] - ( a' cl" — a" d'),
B = 3(Z»"c - bc") - [a"d - ad"),
C z=z'6[bc' — b' c^ — [ad' — a'd)',

A, = 3 ( bc"' — cb'" ) — ( ad'" — da!" ) ,

B, = 3 ( 6' c'" — c' b'" ) - ( a' d'" - d' a"' ) ,

C, = 3{b"c"'~ c"b"') — [a"d'"— d"a"'].

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 187

Dans le système de coordonnées tétraédriques défini par les
équations (4), l'équation de ce complexe ou du plan osculateur au
point X', Y', Z', U' de la cubique, ou encore Téquation du plan
polaire du point X', Y', Z', U' de l'espace, prendra la forme simple

XU' - X' U - -'- ' YZ' - Y' Z ) r^ o.
o

Si l'on se reporte à l'équation (6) et si l'on désigne par A, B,
C, D les points dont les coordonnées sont respectivement

«,

(i ,

a ,

a

b.

b'.

b",

b'

c.

c'.

c" ,

c'

d, d', d", d'",

on aperçoit immédiatement que les deux droites AD d'une part,
BC de l'autre sont deux droites conjuguées du complexe ; si, en effet,
P est le point dont les coordonnées sont x', 7', ^', i/, le premier
déterminant égalé à zéro représente le plan PBC*, le second, égalé
de même à zéro, le planPAD : le plan représenté par l'équation (2),
à savoir, si l'on veut, le plan polaire du point P, passe par l'inter-
section de ces deux plans, ou par la droite menée par P qui ren-
contre les deux droites AD, BG. Celle remarque conduira immé-
diatement à l'identification d'un complexe tel que (2) avec un
complexe donné du premier ordre; si, en effet, AD, BC sont deux
droites conjuguées de ce dernier, et si l'on désigne par les mômes
notations que ci-dessus les coordonnées des points A, B, C, D, on
reconnaît de suite que l'équation du complexe donné devra être de la
forme

o,

1 étant une certaine constante qui sera donnée avec le complexe ;
il est bien aisé de mettre cette dernière équation sous la forme (6),
et de trouver par conséquent une cubique gauche, telle que le com-
plexe du premier ordre qui s'en déduit comme il a été expliqué
précédemment coïncide avec le complexe donné.

X

x'

b

c

r

y

b'

c'

z

z'

b"

c

u

u'

b'"

c'

X

x'

a

d

T'

Y'

a'

d

Z

z

a"

d"

u

1

u

a'"

d'"

i88 BULLETIN DES SCIENCES

Observons encore que la droite AD est une corde de la cubique,
que AB est la tangente au point A, DC la tangente au point C, que
ABC est le plan osculateur au point A et DBC le plan osculateur
au point D; qu'ainsi BC est l'intersection de ces deux plans oscu-
lateurs : tout cela résulte immédiatement des remarques qui ont
été faites au début.

Enfin, les plans X =i o, 1= o, Z = o, U = o sont respective-
ment les plans BCD, ADC, ABD, ABC.

Les points AD sont des points particuliers de la cubique corres-
pondant respectivement aux valeurs particulières 5=0, t = o^
mais on les remplacera aisément par deux points quelconques de
cette même courbe, en employant la substitution

t — Itt H- V s,,
s = iJ.t,-h [x'Si ;

rt, ^, ... seront remplacés par «i, ^1, . . . , en faisant

a, = a}? -^ 3b}:-u. -h 2, du? -\- (D? ,

On remarquera d'abord, en passant, que, si l'on remplace a^h^ ...
par «1, ^1, . . . , dans les coefficients du complexe, ces coefficients
se reproduiront, multipliés par le cube du déterminant \)J. — X'u de
la substitution. Soient maintenant Ai, Bi, Cj, Dj les quatre points
qui remplacent A, B, C, D et qui jouissent des mêmes propriétés 5
regardons momentanément A, ^ comme fixes, X', \x' comme varia-
bles. Le point Al restera fixe et le point D^ décrira la cubique 5 le
point Bj, dont les coordonnées sont

dd, ., dd, ,

décrira la droite qui joint les deux points E, F dont les coordonnées

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. il

sont respectivement

X =

3 (a).- -4- 2bly. -^ cyJ),

jr=^ = 3(«'XM 2^»'}.a+C>=),

d'une part, et

x=-^ =Z[bl?-r0.cla ^du?),

Oy i i ;

X=^-^ =3{b'}?-h2 c' lu. -^ d' IJ} ) ,

de l'autre. Cette droite EF est la tangente en Aj, les points E et F
sont les points où elle perce respectivement les plans x\BC, BCD,
osculateurs en A et D 5 ils décrivent dans ces deux plans, lorsque )v,fi
varient, et que, par suite. Ai décrit la cubique, deux coniques (a),
(o), tangentes la première à AB en A et à BC en C, la deuxième
à BC en B et à CD en D : ces deux coniques sont les intersections
des deux plans osculateurs ABC, BCD avec la surface développable
dont la cubique est l'arête de rebroussement.

Si on laisse encore X, y. fixes et si l'on fait varier À', y/, le point C, ,
dont les coordonnées sont

X = -^^ /'- -t- 2 -r-— // fJ. H — „- !J.",

dh^ d/.ôu. ' ôyr '

d''d, -, ()-«',, (Va, ,

•^ d/.- ôt.ôu. ^ du? ^

décrit une conique (aj) située dans le plan des trois points P, Q, R,
dont les coordonnées sont respectivement

X = —r^ = 6{al -f- bu.],

dV
d'à

d''d
r=^=6[a'l-hb',x\

I90 BULLETIN DES SCIENCES

pour le point P5

X = -., ' =6[bl -i- eu.).

pour le point Q;

X = — — ^ rir 6 ( c>. -1- du.].

pour le point R. Ce plan PQP». est le plan osculateur en A^ : les
points P, Q, R situés respectivement sur les droites AB, BC, CD
sont, par suite, les points d'interseetion de ces droites avec le plan
osculateur 5 en outre, les droites PQ, QR sont respectivement
tangentes en E et F aux coniques (a) et (0 ) : lorsque, ). et ^ venant
à varier, le point A^ décrit la cubique, les points P, Q, R décri-
vent respectivement sur les trois droites AB, BC, CD trois divisions
liomograpliiques : ainsi, un plan osculateur à une cubicjue gauche,
en se mouvant autour de cette cubique, trace sur deux tangentes
quelconques deux divisions liomograpliiques ('). Eu vertu des équa-
tions qui la déterminent, la conique (ai) est tangente à PQ en P
et à QR en Jx. En un point quelconque (//, jj!) de cette conique,
la tangente joint les deux points dont les coordonnées sont

d'une part, et

cV- a, ., d^ a,
dV ÔAOu.^'

d^ a. - , d- a.

Oh Ou. Ou?

F-

(') Ce théorème est dû à jM. Chasles [Journal de Mathématiques, 1857.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 191

de l'autre; les coordonnées du point Bj pouvant s'écrire

On voit que Bj est sur la tangente en Ci ; enfin, en faisant X' :::=: X,
^' ziz^ u, on voit que la conique («j) passe en A^ et qu'elle est tan-
gente en ce point à la tangente AjBi à la cubique : au reste, tous
ces résultats se coordonnent enreniarquantque, d'après sa définition
même, la conique (^i) est l'intersection du plan osculateur en Ai
à la cubique et de la développable du quatrième ordre circonscrite
à cette cvibique. Sur ce plan, la conique [a^) est tracée par une
tangente DjCi à la cubique quand le point de contact Di décrit
cette cubique, etenvelo2)pée par l'intersection BiCi du plan oscu-
lateur en Di-

De ce qu'elle est tangente en Ai à la droite AjBj ou EF, et aux
points P, R aux droites PQ et QR, on conclut que le point Aj est
conjugué liarmonique, par rapport aux points E, F du point d'in-
tersection des droites EF et PR : de là on peut déduire la construc-
tion point par point d'une cubique gauche et aussi la construction
en un point quelconque du plan osculateur et delà tangente.

Etant donnés quatre points A, B,C, D5 unepremière conique (a)
située dans le plan ABC, tangente à AB en A, à BG en C; une
deuxième conique (a), située dans le plan BCD, tangente à CD en D
et à BC en B; il existe une cubique gauclie tangente à AB en A, à
CD en D, admettant comme plans osculateurs en A et D les plans
ABC, BCD, telle enfin que la surface développable qui lui est cir-
conscrite passe par les coniques (a) et [^).

D'un point quelconque Q situé sur la tangente commune BC aux
deux coniques (a) et (J), menons à ces deux coniques les secondes
tangentes QE, QF qui rencontrent respectivement les droites
AB, CD en P et R : le plan QEF sera un plan tangent à la surface
développable circonscrite ( ou un plan osculateur à la cubique), la
droite EF sera une génératrice de la surface développable (ou une
tangente à la cubique), enfin le point conjugué liarmonique par
rapport aux points E, F du point d'intersection de EF et de QR

iga BULLETIN DES SCIENCES

sera unpointde la cubique, où EF sera la tangente et le plan QEF
sera le plan osculateur.

Si a, «', a"^ ce" \ h^ h\ b", h'" -^ . . . sont les coordonnées des points
A, B, C, D, les équations de la cubique seront de la forme

^ = a /' -I- 2 IbPs H- 2 [j.cts^ -+- ds^,
j = a'P -f- 2 Ih'ts-^iac'ts'' ■+- ds\

X et [K étant deux constantes qui dépendent des coniques (a), [à).

PUBLICATIONS NOUVELLES.

AousT (l'Abbé). — Analyse infinitésimale des courbes dans l'es-
pace. — Paris, Gauthier- Villars, 1876. In-8, xx-564 p. 1 1 fr.

BoussiivESQ (J.). — Essai théorique sur l'équilibre des massifs pul-
vérulents, comparé à celui des massifs solides, et sur la poussée
des terres sans cohésion. — Bruxelles, Hayez, 1876 (Paris,
Gauthier-Villars). In-4, 180 p. 10 fr.

Connaissance des Temps ou des mouvements célestes, à l'usage des
astronomes et des navigateurs, pour l'an 1 878, publiée par le Bu-
reau des Longitudes. — Paris, Gauthier-Villars, 1876. i vol. in-8.

Auec Additions 7 fr. 5'o c.

Sans Additions 5 fr.

Additions. — Villarceau {Y.'). Théorie de l'aberration, dans laquelle il est tenu
compte du mouvement du système solaire (io3 p.). — Puiseux (F.). Recueil de
nombres pouvant servir à la discussion des observations du passage de Vénus du
8 décembre 1874 (4° pO- — Schulhof {L.). Recherches sur l'orbite de la planète
Maïa et éphémérides pour l'opposition de 1876. (3r p.)

Tisserand (F.). — Ilecueil complémentaire d'Exercices sur le
Calcul infinitésimal. — Paris, Gauthier-Villars, 1877. In-8,
xix-388 p. 7 fr. 5o c.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 193

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

AVIXCKLER (A.). — I. Intégration verscuiedener Differentialgleichungen
ZWEITER Ordnung. [SitzuTigsberichte der K. Akademie der JVissenschaften
zu IVien, 28 juillet 18-4.)

— n. Intégration zweier linearen Differentialgleichungen. [Ibid., 7 jan-
vier 1876.)

I. Dans le premier Mémoire, l'auteur traite des équations li-
néaires et des équations plus générales du second ordre, telles, par
exemple, que les équations de la forme

/>, <7, /■ désignant des fonctions de x. Pour les équations linéaires,

rintégration complète s'obtient au moyen d'intégrales indéfinies,

dy ii^ y
dans le cas où les coefficients de t , -7- et -7-^ satisfont à certaines

■^ dx dx-

relations. Le nombre considérable des résultats particuliers obtenus

est ordonné d'une manière très-claire, grâce à un mode spécial

pour les formules, qui facilite l'usage de ce Recueil.

n. Dans le second Mémoire, il est cj^uestiou de l'équation dilîé-
rentielle

dans le cas particulier où le coefficient de -; — est le carré d'une

expression linéaire. Dans cette hypothèse, l'équation est ramenée
à la forme

.d-v , , > -, dr ,

et ensuite, l'auteur, s'appuyant sur son Mémoire intitulé : Intégra-
tion der linearen DiJ^erenlialgleichungen zweiter Ordnung ,
der en Coeffîcienten lineare Funclionen der nnahhdniii^en Veran-

Bull, des Sciences madiéin. et astron., t. XI. (Novembre iSjG.) l3

igî BULLETIN DES SCIENCES

devUchen sind [Siizungsberichte, t. LX\ II), intègre celle équa-
lion au moyen des quadralurcs. Il atlribue maintenant des valeurs
complexes aux constantes et aux variables, et en déduit des résul-
tats nouveaux.

Enfin il ramène l'équation de Riccati,

— h bz--=^ax"',

clx

par le procédé connu, à une équation linéaire du second ordre,
dont il obtient, dans tous les cas, l'intégrale générale par des qua-
dratures simples, prises entre les limites o, i et co . Ed. W.

REVUE DES PUBLICATIONS PÉRIODIQUES.

MONTHLY NOTICES of the Royal Astronomical Society of London (').
T. XXXVI; novembre iSjS à juin 1876.

Novembre 1875.

PuiTCHAKD (C). — L! Observatoire de rjjniversité d'Oxford.

Nos lecteurs se rappellent qu'en novembre 1 878 le Rev. Pritchard,
professeur à l'Université d'Oxford, annonçait à la Société Astrono-
mique de Londres que la création à Oxford d'un Observatoire spé-
cialement destiné aux études d'Astronomie physique avait été déci-
dée par le Conseil de l'Université. 11 apprend aujourd'hui que cet
établissement est presque complètement achevé et donne quelques
détails sur son installation.

Son principal instrument est unéquatorial deGrubb, de Dublin,
à c{ui la construction du grand télescope de Melbourne a fait une
réputation si justement méritée : l'objectif de ce bel appareil a 12, i5
pouces (o'",3i) d'ouverture libre et i4 pieds 8 pouces (4'",46) tle
foyer-, ses qualités optiques sont, parait-il, excellentes, et M. Grubb

(') \oïv Bulletin, t. XI, p. i/jQ.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. jgS

s'est, dit-on, surpassé dans la résolution des différents problèmes
mécaniques que présentent l'établissement et la monture des diffé-
rentes pièces d'un instrument de cette dimension.

On aura une idée des difficultés que le constructeur avait à
vaincre lorsqu'on saura qu'au lieu d'un seul chercheur, que portent
d'ordinaire les équatoriaux, l'équatorial de l'Université d'Oxford
porte, attachées à son tube, quatre lunettes, dont deux, de 4 pouces
(o'",io) d'ouverture, sont munies de micromètres comme des équa-
toriaux, et dont les deux autres sont des chercheurs ordinaires
de 2,5 pouces (o™,o6) d'ouverture. Cet équatorial est placé sous le
dôme occidental de l'édifice.

Le dôme oriental abrite un télescope donné à l'Université par
M. Warren de la Rue.

Les deux ailes sont reliées par un bâtiment central qui renferme
un autre télescope de M. Warren de la Rue, monté altazimutale-
ment avec de légers mouvements de part et d'autre du méridien, et
un petit instrument des passages de 5 pieds ^i™, 53) de foyer.

WAKrŒiV DE LA R.CE. — Effovts fcdts sur le continent pour le
progrès des études d' Astronomie physique.

Depuis que l'alfaiblissemeut de sa vue empêche cet illustre astro-
nome de continuer ses beaux travaux, il ne néglige aucun moyen
d'exciter chez les autres l'ardeur qui l'a si longtemps soutenu.

De retour d'un assez long voyage sur le continent, il entretient
aujourd'hui les astronomes anglais du nouvel Observatoire que fait
actuellement construire, près de ^ ienne, le gouvernement Impérial
et Royal d'x\utriche-Hongrie.

Fondé en 1^53 parle P. Hell, l'Observatoire de^ ienne avait été,
en 1826 et 1827, reconstruit à la même place par J.-J. v. Littrovv,
père du directeur actuel, et muni de tous les instruments que récla-
maient alors les exigences astronomiques \ mais, depuis cette époque,
les constructions s'étaient peu à peu multipliées à l'entour, et pro-
gressivement sa situation était devenue intolérable, car il est au-
jourd'hui presqu'au centre de la ville de ^ ienue.

Après de nombreuses démarches, le Directeur actuel, M. C. de
Littrow, réassit à faire accepter par le gouvernement le projet de
transférer l'Observatoire aux environs de \ienne,dans une position
plus avantageuse et plus profitable pour la Science.

i3.

igG BULLETIN DES SCIENCES

Avant de rien décider sur le plan et l'outillage du nouvel Obser-
vatoire, le gouvernement austro-liongrois donna à M. Weiss, pre-
mier assistant de l'Observatoire, mission de visiter les observatoires
publics et privés d'Angleterre et d'Amérique, ainsi que les princi-
paux ateliers de construction d'Eurojje et des Etats-Unis.

A son retour, il fut décidé que, conformément à ce qui existait à
l'Observatoire jNaval de Washington, le principal instrument de
l'Observatoire de Vienne serait un équatorial de 26 pouces (o™,66)
d'ouverture. Le plan général de l'établissement en résultait.

Au centre un dôme de 4^ pieds (12™, 85) de diamètre pour le
grand équatorial commandé à M. HovN^ard Grubb, de Dublin, à l'est
et à l'ouest des dômes de dimensions moindi^es destinés à abriter
l'un un équatorial de 12 pouces (o™, 3i) commandé à M. Alvan
Clark, de Cambridge-Port (Massachuscts, Etats-Unis); l'autre un
télescope devant servir aux études pliotograpliiques. Au nord de
ce bâtiment principal, dans l'axe du dôme central, un quatrième
dôme recouvre une lunette installée dans le premier vertical. Si l'on
ajoute àces appareils un cercle méridien dont l'objectif aura 8 pouces
(o™, 20) d'ouverture, ainsi que les instruments dont disposait l'ancien
Observatoire et qui ont leurs places marquées dans le nouvel éta-
blissement, on reconnaîtra sans peine que l'esprit si juste et si pra-
tique de M. Littrow a su, tout en se gardant de faire des dépenses
fastueuses, mais souvent inutiles, créer un Observatoire où tout in-
strument a sa fonction, et en même temps réaliser les conditions les
meilleures pour le but qu'il est destiné à faire obtenir.

Etabli d'ailleurs dans un site admirablement choisi, à 3 milles
(5 kilomètres) environ du centre de \ ienne, sur un plateau élevé
de 60 mètres environ au-dessus du niveau moyen de la ville, le
nouvel Observatoire formera un immense bâtiment de 100 mètres
de long du nord au sud et de yj mètres de large dans le sens de l'est
à l'ouest, qui reni'ermera non-seulement tous les laboratoires néces-
saires au service scientifique, mais aussi les logements de tous les
fonctionnaires de l'établissement.

LiriDS.VY (lord) et GiLL (D.). — Su?' l'état des réductions de
leurs observations lors du passage de T énus.

Cette Note renferme surtout des détails sur les moyens employés
pour avoir une longitude parfaitement contrôlée. Un détail nous

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 197

frappe, c'est le nombre considérable de chronomètres emportés par
Lord Lindsay. Il avait avec lui cinquante chronomètres qui avaient
été soigneusement étudiés avant le départ, et qui le furent au
retour, au bel Observatoire chronomé trique de Liverpool.

Quand donc aurons-nous en France un établissement du genre
de celui qui, sous l'habile direction de M. Hartnup, rend de si
grands services ?

Tennant (le Colonel). — Sur l'erreur des positions tabulaires
de F énus pendant le passage du 8 décembre 1874-

Il résulte des calculs du colonel Tennant que les corrections en
ascension droite (yî\.) et en distance polaire nord (D. P. JN ^ sont
données dans les formules suivantes :

IK 9 -- iT\. O == H- 4", 47 - o", 07 1 f/L - o, 989 d-,
D.P.N.9— D. P. N. 0=^^-1- 2", 24 — o", 017^/1 — 2,629 f/::,

où L représente la longitude du lieu et t: la parallaxe solaire.

Capello. — Sur ses anciens dessins du Soleil.

M. Capello, directeur de l'Observatoire de Lisbonne, adresse à
la Société une photographie d'un dessin allégorique publié à Piomc
en i635 par Scheiner et Kircherpour représenter le Soleil. «A la
vue de ce dessin», dit M. WarrendelaRue, «on serait presque tenté
de croire que ces deux astronomes connaissaient déjà les protubé-
rances solaires et la photosphère. »

Davjs (C.-H. ;. — Dessins de Mars et de Jupiter faits avec V è-
quatorial de o™,66 de V Observatoire Naval des Etats-Unis .

Ces dessins ont été faits par M. Holden, l'habile collaborateur
de M. Newcomb et comme lui pi'ofesseur à l'Observatoire JNaval de
Washington.

jNeison (E.). — Catalogue d'un certain nombre de points de la
surface lunaire déterminés ndcrométriquemejit .

Quelle que soit, pour tous les problèmes que soulève l'Astrono-
mie lunaire, l'importance d'une détermination exacte des positions
relatives des points principaux de sa surface tout entière, peu
d'astronomes s'étaient occupés de cette question, et par suite les

igS BULLETIN DES SCIENCES

résultats de leurs travaux présentaient des lacunes assez consi-
dérables.

Lolirmann est le premier qui ait entrepris la cartographie exacte
de la Lune; il fit i5o bonnes mesures, qui fixèrent les positions de
21 de ses points principaux.

Après lui, Madler fit sur le même sujet un travail remarquable
qui est un véritable modèle et d'où datent réellement nos pre-
mières connaissances d'ensemble sur la surface de notre satellite.
Ces mesures, au nombre de ^84 (')î le conduisirent à la détermina-
tion exacte de 85 nouveaux points de la surface lunaire et à la véri-
fication de quelques-unes des positions données par Lolirmann ; de
telle sorte qu'en 1882, io5 points principaux de la Lune avaient
été déterminés, et leurs positions résultaient d'au moins 8 mesures.
Depuis, sauf" quelques déterminations isolées de Madler en vue de
trouver le pôle nord de la Lune et de Bessel et Wichmann, afin d'ob-
tenir la position de Màsting A^ aucun travail d'ensemble n'avait
été entrepris. Cependant Bessel, Encke, IMiidler et le Conseil de
l'Association Britannique en avaient signalé la nécessité.

M. Neison vient de combler cette lacune, et, dans un travail qui
Fa occupé pendant les années 1874 et 1875, il a mesuré les posi-
tions de 35 points de la surface de la Lune, qui permettront d'obte-
nir très-exactement et l'équateur lunaire et le premier méridien
sélénograpliique.

AïRY (G.-B. ). — Carte de V orbite apparente de la planète Mars
dans le ciel, du o.^ juillet au 28 octobre 1877, ^^ Catalogue des
étoiles cpd V avoisinent.

Cette Carte et ce Catalogue ont pour but de faciliter les obser-
vations que feront les astronomes lors de la prochaine opposition
de Mars, en vue d'obtenir la valeur de la parallaxe solaire. Ce Cata-
logue donne les positions pour 1877, janvier i, de 629 étoiles de
grandeurs inférieures à la p'^, tirées de Zonœ Begiomontanœ de
Bessel et Weisse.

AiRY (G.-B. ) . — Observations spectroscopiques faites à V Obser-
vatoire Royal de Qreemvich .

(') Madler (il en réalité 919 mesures; mais il en rejeta lui-même io4 comme en-
tachées d'erreurs provenant de causes diverses.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 199

Depuis le mois de juillet 1874^ une division d'Astronomie phy-
sique est établie à l'Observatoire de Greenwicli 5 MM. Cliristie et
Maunder sont chargés des observations qu'elle comporte. Ces obser-
vations, que M. Airy communique à la Société Astronomique, sont
donc les premières de ce genre qui aient été faites à Greenwich.

Elles s'étendent du 17 juillet 1874 ^^ 3o août 187a, et donnent
les naouvements propres des étoiles suivantes :

Véga, Arclurus, Altaïr, a d'Andromède, la Chèvre, j3 du Cocher,
Sirius, Procyon, Castor, Régulus, y de la Grande Ourse, y; de la
Grande Ourse, a de la Couronne, a d'Ophiuchus, a du Cygne,
y. de Pégase.

Ces astronomes ont fait aussi une étude complète des spectres de
!Mars , Aldébaran et ^ de la Vierge.

AiRY (B. -G.) . — Observation de V éclipse de Soleil du 28-29 ^^P~
tembj^e iSyo, faite à V Observatoire rojal de Greenwich.

En raison de la petite portion du disque solaii^e occultée par la
Lune, cette éclipse ne pouvait servir à donner les corrections des
diamètres du Soleil et de la Lune. Les observations faites avec le
grand équatorial n'ont eu d'autre but que de fournir les corrections
des positions tabulaires des deux astres. Elles sont les suivantes :

Gledhill ( J.\ — ■ Phénomè.Jies des satellites de Jupiter, observés
à r Observatoire de M. Crossley.

Te:nîn ANT (le Colonel ) . — Sur l' éphéméride des étoiles circumpo-
laires de M. Prilchard.

Blackhouse (T.-W.). — Sur la lumière zodiacale.

Aru.aiis (A. -F. ). — Observations de lumière zodiacale faites à
Cadix.

Découverte de huit petites planètes.

200 BULLETIN DES SCIENCES

Ces liuit petites planètes sont les suivantes :

Numéros. Auteur de la découverte. Observatoire et date-

(w) Perrolin, Toulouse, 21 septembre 1870.

(im) Walson, Ann-Arbor, 19 octobre 1875.

(2) Palisa, Pola, i novembre iSyS.

(2) Paul Henry, Paris, 2 novembre 1875.

@ Palisa, Pola, 2 novembre 1875.

(îm) Prosper Henry, Paris, 4 novembre 1875.

@ Palisa, Pola, 8 novembre 1875.

@ Palisa, Pola, 22 novembre 1875.

Décembre 1875.

Peery (le P.). — Sur les pJiolo graphies obtenues à Manille pen-
dant le dernier passage de Vénus.

Cette collection présente cette importance que quelcjues-unes des
photograpliies, prises au moment où la planète mordait sur le So-
leil, montrent nettement la portion du disque de la planète alors
située en dehors du Soleil; cette portion y est notablement plus
noire que le fond du ciel environnant.

RiGAiiD ( G . ) . — Sur les papiers posth urnes du professeur Rigaud .

Makth (A.). — J^phéméride destinée à donner les positions des
satellites d' JJranus.

HoLDEN (E.-S.). — Dessins de la nébuleuse annulaire de la
Lyre.

Ces dessins ont été faits au grand équatorial de o'",66 de l'Ob-
servatoire j^Saval de Washington. Ils diffèrent en général notable-
ment de ceux qu'obtinrent autrefois Herschel, d'Arrest, Auwers
et Schultz; mais M. Holden attribue ces différences, d'une part à la
difficulté même d'avoir un dessin rigoureusement semblable à ce
que l'on voit, et d'autre part à ce fait bien connu et contre lequel on
ne se met pas toujours suffisamment en garde, à savoir que, dès que
les lunettes employées ne sont pas optiquement parfaites, les images
que donnent d'une même nébuleuse deux lunettes différentes doi-
vent difïérer les unes des autres.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 201

BuRTON (C.-E.). — Suj- la nébuleuse australe 3o [Bode] de la
Dorade et sur celle qui entoure 7; d'argus.

PuijvcE (C.-L.). — Sur d'anciens dessins de Satunie.
M. Prince envoie à la Société des observations et des dessins iné-
dits de la planète Saturne, faits par Gassendi de i633 à i656.

Ellery (L.-J.). — Résultats de quelques expériences faites avec
le pendule parabolique d'Hujghens.

Ces expériences ont été entreprises en vue d'obtenir un mouve-
ment de rotation uniforme pour les cylindres d'enregistreurs. Elles
ont parfaitement réussi, et M. Ellery s'occupe actuellement de
chercher un moyen d'appliquer le même mode de régulation aux
mouvements d'horlogerie des équatoriaux.

Janvier 1816.

WiNNECKE. — Observation de l'éclipsé de Soleil du 29 sep-
tembre 1870, faite à V Observatoire de V Université de Stras-
bourg.

Les observations ont été faites avec deux héliomctres de 0^,076
d'ouverture et o™, i5 de foyer.

AiRY (G.-B.). — Sur l'état actuel des calculs de sa nouvelle
théorie de la Lune.

AiRY (G.-B.). — Occultations d'étoiles par la Lune et phéno-
mènes des satellites de Jupiter observés à Greenwich pendant
l'année 1875.

BuRKiiAM (S.-W.) . — - Sur les systèmes stellaires doubles 2 1 156
et 2 1 1 63 .

D'après M. Burnham, il y aurait une erreur dans le Catalogue de
Struve, Mensurœ micrometricœ ; l'étoile double 2 ii56 existerait
seule, et la principale étoile de ce système serait identique avec
la i346 de la septième heure du Catalogue de Weisse.

Tebbutt (J.). — Phénomènes des satellites de Jupiter observés
à Windsor [New-South-Wales) .

Orde Browwe (C). — Observations du passage de T'énus faites
en Egypte par la niission anglaise.

En général, le phénomène du contact n'a point apparu aux obser-

202 BULLETLN DES SCIENCES

valeurs dans sa simplicité géométrique théorique 5 mais, soit un liga-
ment, soit des lignes semblables à des lignes d'interférences, l'ont
compliqué considérablement. Aussi les nombres donnés par les
diliérents observateurs d'une même station diffèrent-ils beaucoup
les uns des autres ; comme exemple, je citerai les nombres suivants
obtenus à Suez :

h m s

M. Hunier 11.16.39,29

M. Engleson 1 1 . 17 . 10,87

M. Hunier 1 1 . 1 8 . 57 , 29

Webb (T.-W.). — Sur- l'ckoile variable S d' Orion.

La période de variabilité de celle étoile serait d'environ i4 mois.

Pllm5ie:i (J.-J.). — Mouvements propres de quelques étoiles.

Les observations méridiennes avant acquis depuis une quaran-
taine d'années une précision Ijien supérieure à celles qu'elles avaient
au commencement du siècle, il a paru convenable à M. Marlh de
déterminer les mouvements propres des étoiles les plus brillantes à
l'aide d'observations récentes, au lieu de recourir, comme on l'avait
fait pour le Briiish Association Catalogue, aux anciennes observa-
tions de Bradley et de Piazzi. Le peu de temps qui sépare les époques
des deux observations que l'on combine entre elles se trouve con-
pensépar leur précision plus grande. De plu-;, rien ne prouve que,'
pendant le long intervalle de 120 ans qui nous sépare des observa-
tions de Bradley, les mouvements propres soient restés constants en
grandeur et en direction.

Pour certaines étoiles, comme par exemple l'étoile 366 de Bradley,
la différence du mouvement propre donné par M. Martli avec celui
qu'avaient adopté les rédacteurs du 5. A. C. s'élève à o%o8.

Christie (H. -M ] . — Sur un nouvel oculaire solaire.

Pour réduire l'intensité de la lumière solaire, on fait souvent réflé-
chir la lumière sur un certain nombre de prismes successifs dont les
faces réfléchissantes sont placées en avant de la lentille de champ;
mais ce procédé nécessite l'emploi de grandes surfaces planes, et rend
l'appareil oculaire dispendieux et encombrant. M. Christie obvie à
cet inconvénient en plaçant les faces réfléchissantes entre la len-
tille oculaire et l'œil ^ tous les faisceaux lumineux passent alors pai-
un petit cercle, l'anneau oculaire, qui n'est autre que l'image de

Î^JATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 2o3

l'objectif donné par l'oculaire, de telle sorte que l'on n'a plus besoin
que de surfaces réllécliissantes de dimensions Irès-restreintes.

Kkorre. — Découi>erte de la planète (''^.

Février 1876.

Ce numéro a été analysé à part

Mars 1876.

Cauringtok. — Sur les tacites solaires.

Le secrétaire de la Société Royale Astronomique annonce que la
bibliothèque est en possession de tous les manuscrits et dessins de
Carrington relatifs aux taches solaires, lord Lindsay lui ayant fait
don de ceux qu'il possédait. Cette collection comprend :

3 Volumes in-folio de dessins des taches solaires faits à une
échelle telle que le Soleil y ait 1 2 pouces (o™, i45) de diamètre^

3 Volumes in-4° contenant les observations de position des
taches 5

'j Volumes in-4'' renfermant les réductions de ces observations \

I \olume in-folio plein de dessins de groupes de taches pris de
jour en jour, et faits les uns au-dessus des autres sur la môme page,
de manière à montrer d'un seul coup d'oeil l'histoire de chaque
groupe et son mouvement en latitude et en longitude.

Ces manuscrits ne sont d'ailleurs point les seuls que possède la
vSociété relativement à ce sujet; leur liste complète est assez intéres-
sante pour être reproduite. Elle est la suivante :

Août. Mars.

1 Volume de dessins par Charles B. Adams 1819 1822

3 » .. J.-W. Paslorff 1819 i833

2 " )) n le Rev. T.-J. Hussey 1826 1887

I » » Mr. Lawson i83i i832

1 )) » le capitaine C. Shea 18^7 1866

2 ;) » le Rev. Temple-Chevalier. 1847 '^49
Des dessins détachés du Soleil par sir J. Herschel... 1846

La Société Royale Astronomique a donc dans sa bibliothèque l'his-
toire complète de la surface solaire depuis 18 19 jusqu'en 1866. Les
observations de Carrington, ainsi que la belle série des observations

ao4 BULLETIN DES SCIENCES

photograpliiques faites à Kew d'abord et continuées à Greenwicli,
poursuivent cette histoire jusqu'à l'époque actuelle.

RoYSToN-PiGOTT. — Sur lui oculaiie destiné à l' observation des
passages des étoiles.

M. Pigott remplace les fils derrière lesquels on observe les
passages, par une lame de verre recouverte d'une mince couche
d'argent, placée dans le plan focal, et où l'on a tracé une série de
lignes très-fines 5 l'argenture est peu épaisse et permet d'apercevoir
les étoiles d'une façon continue ^ mais celles-ci paraissent beaucoup
plus brillantes quand elles traversent les lignes dont nous venons
de parler. Ce système ne saurait évidemment convenir pour l'ob-
servation des astres de faible éclat.

Zenger (V.). — Le Stereo-Micrometer.

Comme son nom l'indique, ce micromètre est fondé sur le prin-
cipe de la vision binoculaire. Il se compose de deux tubes à tirages,
identiques et placés parallèlement à l'axe depa lunette. L'un sert à re-
garder avec ses deux yeux l'image focale de l'étoile; l'autre vise sur
un oculaire micrométrique formé d'une mince lame de mica divisée
par des droites rectangulaires en carrés de -V ou — de millimètre
de côté.

Si l'une de ces droites est dirigée parallèlement à la direction du
mouvement diurne, et si l'on place en un point constant de ce ré-
seau l'image focale d'une des étoiles d'un groupe, on lira, à la seule
inspection de la position qu'occupera l'image de la seconde étoile,
son angle de position et sa distance par rapport à la première.

Cet instrument parait surtout pouvoir servir à l'observation des
astres assez faibles pour disparaître dès que l'on éclaire le champ
de la lunette ou du télescope employé.

DuNKiN (E.). — Comparaison des observations récentes et
anciennes de V étoile B.A.C. 793; remarques sur la variabilité
supposée de son mouvement propre.

M.PiazziSmyth, Astronome royal pour l'Ecosse, avait annoncé ('),
d'après ses observations, que le mouvement propre de cette étoile
était variable. Une conclusion semblable pour Sirius et Procyon

•) Monthlj Notices, t. XXX.V, p. 35G. — Voir Bulletin, t. X, p. 56.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 2o5

ayant conduit les astronomes à des conséquences importantes, il
importait de reprendre à nouveau cette question, et de vérifier l'as-
sertion de ]M. Smytli, d'autant plus qu'elle se rapportait cette fois
à une étoile relativement faible.

Une discussion complète, appuyée sur de nouvelles observations
faites au Cap de Bonne-Espérance, a conduit M. Dunkin à une con-
clusion diamétralement opposée à celle de M, Piazzi Smylli. Il en
résulte que le mouvement propre de l'étoile B.A.C 793 n'a pas
varié depuis le commencement du siècle.

Stoxe :E.-J.). — Suj' la "variabilitc supposée du iiiouvenienl
propre de l'étoile B. A. C 793.

M. Stone arrive à la même conclusion que M. Dunkin.

Stoke (E.-J.). — Sur les mouvements propres des deux compo-
santes du système binaire a du Centaure.

Ce système est, on le sait, formé d'une étoile de grandeur i, et
d'une autre de grandeur 2, 3. Les observations montrent que leur
mouvement propre n'est pas le même; si l'on suppose qu'elles sont
un système physique, il convient de cherclier le mouvement propre
de son centre de gravité 5 c'est ce que fait M. Stone, et il arrive aux
valeurs suivantes :

Mouvement propre en ascension droite — o% 476

» n )) déclinaison. — o",8o5

PoGSON (iN.-R.). — Occultation des Pléiades observée à Ma-
dras le 'j janvier 1876.

AiRY (G.-B.]. — Mesures micrométriques des satellites de Sa-
turne faites à V Observatoire royal de Greenwich pendant l'an-
née 1875.

Ces observations ont été faites avec le grand équatorial par
MM. Christie, Maunder et Jenkins.

Abmey (W. deW.\ — Sur la photographie de la partie la
moins réfrangible du spectre.

WiTH G.-H.). — Observations de la comète de Coggia.

Ces observations ont été laites avec un télescope newtonien en

2o6 BULLETIN DES SCIENCES

verre argenté, dont on faisait varier l'ouverture de 8'', 5 (o'",ij6)
à i?.P,2 5 (o"',253).

Avril 1876.

Penrose (F.-C.,. — Sur un bislruincnt destiné à la résolulion
des triangles sphériques par un procédé mécanique.

Deniving ( W.-F. ) . — Points radiants de quelques étoiles filantes
et observation faite à Bristol de novembre i8j2 à mars 1876.

Stoke ( E.-J. ) . — Sur le résultat le plus probable qu on puisse
déduire d'un nombre donné de déterminations directes ayant des
poids assignés.

Webb (T.-W/:. — Sur les deux satellites intérieurs d' Uranus.

Sir John Herscliel et l'amiral Smytli ont lait passer pour ainsi
dire à l'état d'axiomes astronomiques que l'observation de ces deux
satellites était l'une des plus difficiles de l'Astronomie et exigeait des
instruments d'une grande puissance.

D'après M. Webb, il n'en serait pourtant rien et la plupart même
des amateurs d'Astronomie pourraient observer ces deux satellites.
Il cite à l'appui de son dire douze observations faites à Belfast par
M. Isaac William W ard avec un objectif de Wray de l^ .^'i> (0^,09)
d'ouverture.

Mai 1876.

Hov^'^LETT ;F. ) . — Dessins des taches solaires.

M. Howlett olire à la Société cinq volumes in-4° de dessins de
taclies solaires faits par lui dans les 17 dernières années. M. Dunkin
fait alors remarquer que dans la liste publiée précédemment on a
oublié de mentionner les manuscrits des observations de Scbw^ab,
de Dessau; ils forment 3i volumes, et les observations s'étendent
d'une façon continue depuis 1820 jusqu'en 1867.

Birmingham (J-^^. — Sur les cartes lunaires de Lolirmann et
Sclnnidit et sur une nouvelle étoile rouge.

Cette carte, entièrement achevée, et gravée dans les ateliers de
i'État-major prussien, donne les positions d'environ 34oo cratères,
d'un nombre égal de collines, ainsi que de 35o ruisseaux et autres
objets. Elle mesui^e 6 pieds français de diamètre, et ^e\il être con-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 207

sidérée comme le résultat d'une intelligence et d'une persévérance
scientifiques qu'on ne pourra guère surpasser,

Palmer ( H. -S. ; . — Su7^ les récentes déterminations américaines
des positions géographiques dans V Amérique centrale et les ter-
ritoires de l'Ouest.

RoBiNsON (F.-R.). — Sur la comparaison des luneLtes achro-
matiques et des télescopes.

M. Robinson revient sur cette question, si intéressante, de la
comparaison des grands miroirs et des grands objectifs : tous les
observatoires principaux se lancent, en effet, aujourd'hui, dans la
construction d'instruments de très-grande ouverture-, Washington,
Greenwich et \ ienne ont un équatorial de o™,66; Melbourne et
Paris ont un télescope de i'",2o d'ouverture. On doit donc savoii'
gré à 31. Robinson d'avoir clierché à comparer les avantages réci-
proques de ces deux genres d'instruments. jNous compléterons son
travail en l'analysant.

Cette comparaison dépend de plusieurs conditions qu'il convient
d'examiner successivement.

1° Pouvoir éclairant d'un miroir et d'un ohjeclif. — Toutes
choses égales d'ailleurs, ce pouvoir éclairant est proportionnel à la
surface du cercle qui limite le miroir ou l'objectif, c'est-à-dire au
carré de l' ouverture ; mais, pour deux instruments de même ouver-
ture, il dépend, en outre, d'un coefficient qui n'est pas le juème
pour les miroirs et pour les objectifs.

Dans un miroir, ce coefficient est constant et n'est autre que le
pouvoir réflecteur delà matière polie qui en forme la surface exté-
rieure. Dans un objectif, au contraire, ce coefficient dépend non-
seulement de la nature des verres qui le constituent, mais aussi de
l'ouverture (*), de telle sorte que, pour les petites ouvertures, le
pouvoir éclairant d un objectif surpasse celui d'un miroir de même
dimension; l'ouverture augmentant progressivement, les pouvoirs
éclairants deviennent égaux; puis le pouvoir éclairant d'un miroir
surpasse celui d'un objectif de même grandeur.

(') Si a désigne l'ouverture, a une constante, A un terme qui représente toutes
les autres causes des variations de ce cocfficieiU, que je désigne par m, on a

2o8 BULLETIN DES SCIENCES

2" Difficulté du travail optique. Qualités du 'vene. — A cel
égard, l'avantage est constamment au profit du télescope. Il suffit
d'une surface optiquement parfaite, pour o])tenir un miroir parfait 5
il faut en avoir réuni quatre, dans le cas d'un objectif.

Mais, en outre, l'homogénéité intérieure du verre qui sert à faire
le miroir du télescope n'a pas d'influence-, il suffit que cette homo-
généité existe dans la portion du disque par laquelle doit passer la
surface optique, son indice de réfraction peut être quelconque; la
seule condition exigée est qu'il ne soit pas facilement attaquable
par les agents atmosphériques.

Pour un objectif, au contraire, il faut deux discjues parfaitement
homogènes dans toutes leurs parties, faits de verres différents
dont les indices de réfraction doivent avoir des valeurs détermi-
nées et dont l'un, le ilint, s'obtient très-difïïcilement homogène en
grandes masses.

3" Prix relatif d' un télescope et d'un équatorial. — La monture
d'un télescope ou d'un équatorial de grande dimension coûte à
peu près la même somme; mais on n'exagère certainement pas,
en disant qu'un objectif exige six fois plus de dépenses qu'un
miroir de même grandeur.

Influence des changements de positions et de V atmosphère
extérieure. — Les molécules d'un corps solide ne sont jamais
tellemerit liées entre elles qu'elles ne puissent changer un peu les
unes par rapport aux autres, sous l'influence de forces même rela-
tivement faibles, mais agissant constamment : c'est ainsi qu'une
barre de fer s'infléchit sous l'action de son propre poids.

Il en est de même de la masse de verre qui forme le miroir ou
l'objectif; la forme des surfaces n'est pas la même, lorsqu'ils sont
disposés horizontalement ou verticalement, et elle varie d'une façon
continue en passant de l'une à l'autre de ces deux positions. Les
images que donne, d'un même objet, le miroir ou l'objectif changent
donc aussi d'une façon continue dans les mêmes circonstances.
Mais, dans le miroir, ces changements, dus à des différences de
réflexion, sont doubles de ce qu'ils sont dans un objectif pour une
même variation de la forme des surfaces optiques : c'est là un
désavantage des miroirs. Pour y remédier, Foucault avait imaginé
de faire porter le miroir par un coussin à air, dont on pouvait
à volonté changer la pression intérieure ; mais je ne sache

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. aoy

pas que cet expédient original, Lien digne de ce génie inventif qui
ne laissait aucune solution incomplète, ait été employé par d'au-
tres que par lui.

En outre, dans tout télescope, il y a au-dessus du miroir une
colonne d'air dont l'une des bases est en communication directe
avec l'atmosplière. Ainsi, dès qu'une cause quelconque vient à
faire varier la température dans une de ses portions, il s'établit
immédiatement à l'intérieur de cette colonne des courants de sens
divers, qui changent la course relative des rayons lumineux etdimi-
nuent la netteté des images. Lorsque le tube, au lieu d'être entière-
ment continu, est formé d'une série de tiges parallèles et distantes
comme dans le télescope de Lassell, ou bien d'une sorte de treillis
métallique comme dans celui de Melboui^ne, les elfets fâcheux
de ces variations de température sont considérablement réduits,
mais ils n'ont pas encore disparu entièrement.

Rien de pareil n'a lieu dans une lunette achromatique, si ce n'est
pour l'observation du Soleil ^ mais Foucault a montré que, si l'on
argentait légèrement l'une des surfaces de l'objectif, les rayons
calorifiques étaient presque entièrement réfléchis, quoique l'objectif
fût cependant traversé par un nombre assez grand de rayons lumi-
neux pour que l'image focale du Soleil eût une netteté parfaite.

L'image du Soleil, daus une lunette ainsi modifiée, est absolu-
ment calme 5 et ce moyen, adopté par la Commission du passage
de Vénus, a assuré aux expéditions françaises une grande supériorité
sur celles organisées par les nations étrangères.

Conclusion. — Il ressort de tout ce qui précède que le choix
à faire entre le télescope et la lunette achromatique dépend surtout
du but que l'observateur se propose d'obtenir.

S'il a principalement en vue la mesure des positions relatives
de deux astres voisins, il donnera la préférence à la lunette montée
équatorialement.

Si, au contraire, il veut surtout obtenir, soit directement, soit
photographiquement, les derniers détails d'un astre, la résolution
d'une nébuleuse ou la visibilité d'astres très-faibles, il devra de
préférence s'adi^esser au télescope.

Mais ce n'est point à dire pour cela que l'on devra dans les
deux cas chercher à produire des surfaces optiques de môme ouver-
ture. Les difficultés du travail d'un objectif croissent, en effet,

Bull, des Sciences mathéin. et astron., t. XI. (Novembre 187G.) l4

210 BULLETIN DES SCIENCES

beaucoup plus rapidement avec l'ouverture que pour un simple
miroir. D'un autre côté, la précision des pointés faits avec un
équatorial ne peut devenir supérieure à une certaine limite, indé-
pendante de l'ouverture et fonction d'autres causes, qui ne surpas-
sent certainement pas ~ de seconde ou tout au plus i ^ dixième.
Il serait donc superflu d'employer des objectifs dont le poiwoir
séj?arateuj' serait supérieur à cette distance angulaire. Ainsi, il
n'y a pas d'avantage appréciable à construire des équatoriaux
d'ouverture plus grande que 60 centimètres.

Pour le télescope, au contraire, il convient d'augmenter autant
cjue faire se peut le diamètre du miroir. La seule question qui soit
encore en suspens est le choix de la monture à adopter.

La disposition dite de Newton est incommode pour l'observa-
teur qu'elle oblige à des déplacements considérables et pour ainsi
dire continus. Pour les diminuer, on est alors obligé de rendre
tout le svstènie oculaire mobile autour de l'axe de l'instrument,
ce qui complique beaucoup l'appareil.

La monture à la Cassegrabi est beaucoup plus commode pour
l'observateur, qui se sert de ce télescope comme d'un équatorial
ordinaire-, elle est aussi plus simple à installer.

Mais la disposition de beaucoup préférable à notre avis, quoi-
qu'elle n'ait pas encore été fréquemment employée, est celle qu'a
imaginée M. Martin et qui consiste à remplacer le petit miroir
convexe de Cassegrain par un miroir plan normal à l'axe du miroir,
et placé à peu près à moitié distance entre le sommet du miroir et
son foyer. La longueur du tube dii télescope se trouve ainsi moitié
m.oindre que dans le Cassegrain, sans que l'on perde aucun des
avantages de cette disposition. Il en résulte, en même temps qu'une
facilité bien plus grande dans le maniement de l'appareil, une
économie considérable de temps et d'argent dans la construction
de la partie mécanique.

Hi^D fJ.-R.). — Sur le passage de la grande comète de 1819
au devant du disque solab^e.

Christie (H.-M.). — Sur le déplacement des lignes des spectres
stellaires.

M. Christie cherche à expliquer les différences qui existent entre
les résultats qu'il a obtenus à l'Observatoire de Grcenwicli et ceux

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. an

qu'a trouvés le P. Secclii à l'Observatoire du Collège Romain.
11 y ajoute une nouvelle liste de mouvements obtenus spectrosco-
piquement àl'ObservatoiredeGreenwicliparM. jMaunder et lui. Ils
sont résumés dans le tableau suivant, où la colonne E renferme le
nom de l'étoile, et la colonne [x son mouvement propre en une
seconde suivant la ligne de visée, mouvement exprimé en milles, et
où le signe -f- correspond à unéloignement de la Terre, le signe —
à un rapprochement.

a Andromède.
Aldébaran. . . .
La Chèvre. . . .

Rigel

a Orion

Shius

Castor

Procyon

Pollux

Régulus.

y Lion

Berg(F.-W.
ÎNeiso:\' (E,).

■ — 33,0
-h 35,1
-I- 16,0
-t- 25,2
-^ 76,0
-^ 22,0
^ 29,0
-I- 46,0
-527,9

-T- 32,0
— 71,3

[3 Grande Ourse
a Grande Ourse

[3 Lion

L'Épi (Spica). .

Arcturus

a Couronne.. . .
Ophiuchus. . . .

a Cygne

a. Pégase

La Lune

y-
4- i5,5

— 37,1

— 32,7

H- 37,2

— 35,0
+ 59,9

— 39,0

— 5o,o
■ — 32 ,0
+ 2,0

— Sur la précessioii générale.
Sur les satellites d'Uranus.

Sur la ^nsibilité d'Ohéron et de Titan.

Catalogue d'étoiles doubles rouges.

R.OGERSO:\ (G.-R.).
BURAHAM (S.-W.).

Cette liste comprend les positions des 102 systèmes binaires
dont l'une des composantes au moins est rouge. C'est un beau
complément du Catalogue publié autrefois par Schjellerup.

Drever (J.). — Sur la comète de Coggia (IIÏ, i8y4)-
Ces observations ont été faites avec l'équatorial de 1 1 pouces
( o™ , 23 ) de l'Observatoire de Copenhague .

DcNKiiv (E.). — Découverte de quatre petites planètes.
Ces quatre planètes sont les suivantes :

(îûo) découverte par Peters (G.-H.-F.) à Clinton (Élals-Unis).
(^ » » Watson à An n-Arbor (Élals-Unis).

(Q i) » Henry (P.) à Paris.

(i«) » » Perrotin à Toulouse.

14.

BULLETIN DES SCIENCES

Jyia 187G.

De:n]Mng ( W.-F.\ — J^isibllité de Mercure et de Kénus pen-
dant le jour.

M. Denning informe la Société que, du 5 au 28 mai, il a pu voir
<à l'œil nu la planète Mercure i3 fois le soir, lorsque, après le cou-
cher du Soleil, le ciel était pur. De même, dit-il, pendant les trois
mois de mars, avril et mai, Vénus était aisément visible à l'oeil nu
pendant le crépuscule.

Ces faits, quoique intéressants, sont loin d'être les premiers ob-
servés. A Nouméa, avant le passage du 8-9 décembre 1874, nous
avons suivi pendant plus de Luit jours cette planète Vénus à l'oeil
nu presque en plein midi, et tous nos collaborateurs la trouvaient
aussi aisément que nous.

Neison (E.). — Sur r atmosphère de T^énus.

Eu 1849, Clausen et Madler (^) ont publié quelques observations
et mesures sur l'allongement des cornes de Vénus quand la planète
était près de sa conjonction, observations qui démontraient d'après
eux l'existence d'une réfraction considérable due à l'atmosphère de
cette planète.

Les calculs qu'ils ont fondés sur les observations, faites avec le
grand équatorial de Dorpat, ont conduit ces astronomes à la va-
leur 43", 7 pour la valeur de la réfraction horizontale à travers
l'atmosphère de Vénus 5 réfraction plus grande environ d'un sixième
qu'à travers l'atmosphère terrestre.

M. Neison a repris leurs calculs \ et, après y avoir constaté une
erreur, il trouve pour valeur de cette réfraction horizontale 53", 4o.
Il en résulterait c[ue la densité de l'atmosphère à la surface de
Vénus serait à peu près deux fois plus grande qu'à la surface de
la Terre.

Noble (W.) — Observations physiques de la planète Vénus.

Pr.UMMER (J.-I.). — Essais photométriques sur la lumière de la
planète Vénus.

D'après ces expériences, la lumière de Vénus, au moment de son

C) Jstronomische Nachrichten, 1849, t. XXIX, p. 107.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 2i3

plus grand éclat, serait de

de la lumière envoyée par la Lune lorsqu'elle est en opposition.

Bond a fait autrefois une comparaison analogue sur Jupiter, et
trouvé qu'au moment de son opposition moyenne cette planète
émettait une quantité de lumière égale environ à

I

de celle de la pleine Lune.

En admettant que les deux résultats soient comparables, la lu-
mière émise par Jupiter serait donc à très peu près huit fois moindre
que celle qu'envoie \énus.

Brett (J.). — Sur le mouvement propre des taches brillantes
que Von observe à la surface de Jupiter.

Deux taches isolées et bien définies étant apparues sur Jupiter,
M. Brett les a soigneusement observées. 11 est incontestable pour lui
que pendant cinq jours consécutifs d'observations elles ont con-
servé la même latitude, mais la question de savoir si elles ont eu
un déplacement en longitude lui parait douteuse.

jNewcomb ( s.) . — Sur une inégalité non encore signalée dans la
longitude de la Lune.

Le célèbre astronome américain signale une nouvelle inégalité,
dans la longitude de la Lune, qu'il déduit de la comparaison des
observations de Greenvi^icli et de Washington avec les Tables
d'Hansen.

« Un terme d'une période inconnue », dit M. New^comb, « ne
saurait être découvert à moins que sa grandeur ne soit telle qu'il
affecte les comparaisons individuelles de la théorie et des observa-
tions. Les Tables d'Hansen sont les premières qui permettent de
remarquer une différence résiduelle aussi faible, i'', 5, dans la com-
paraison des observations. » On voit ainsi tous les progrès qu'a faits
dans ces dernières années la théorie de la Lune, progrès qui seront
bientôt de beaucoup surpassés lorsque les travaux de Delaunay et
de M. Airy auront été entièrement publiés.

Berg (F.-W.). — Sur la déternnnation de la distance d'une
comète à la Terre, à l'aide de trois observations.

2i4 BULLETIN DES SCIENCES

Juillet à novembre 1876.

KivoBEL (E.-B.) . — Bibliographie de diverses publicaliojis astro-
nomiques.

M. Knobel publie le catalogue métliodique et systéaiaticjue des
reclierclies faites par les différents astronomes sur : les Etoiles
doubles, les Etoiles variables, les Etoiles rouges, les nébuleuses et
les amas d'étoiles, le mouvement propre des étoiles, la parallaxe
des étoiles, le spectre des étoiles.

Les indications bibliographiques de l'auteur permettront de re-
trouver de suite certains Mémoires que sans cela on ne rencontre-
rait que bien difficilement.

Lassell (W.). — Sur la 'visibilité de la portion non éclairée
du disque de T^énus.

Le 12 et le i3 juillet, par un temps clair et pendant l'après-midi,
le célèbre astronome a pu, avec son équatorial de i pieds, voir le
disque entier de Vénus, quoiqu'il n'y eut qu'un croissant d'éclairé.

ARCfflV DER MATHEMATIK UND PHYSIK; gegriindet von J.-A.Grunert,fort-
gesetztvonR. Hoppe (').

T. LVII-, 1875.

Affolter (Fr.-G.). — Sur la géométrie du cercle et de la
sphère. (1-62).

1*^'" Mémoire. — 1'"'^ Section : Théorie de la puissance. — 2^ Sec-
tion : Le principe des rayons réciproques.

Peschka (G.-Ad.-V.). — Images perspectives du cercle, et
détermination directe de ses diamètres. (63-72).

Siebel (Alfred). — Recherches sur les équations algébriques.
(2' art., 73-88; 3*^ art. 35o-365) (-).

(') s oiv DuUetin, t. YIII, p. 170. — Dans cet article et dans les suivants, les chiffres
placés entre parenthèses indiqueront la pagination du commencement et de la fin de
chaque Mémoire.

(-) Voir Archiv, t. LVI, p. 422, et Bulletin, t. Vlll, p. 181.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. ai5

n. Considérations théoriques. — III. Calcul des racines réelles.

HoppE (R.;. — Sur le prohlème du sjstème de surf aces triple-
ment orthogonal. (4*^ art., 89-106; 5^ art., aSa-ayôj 6^ art., 366-
384).

8. Discussion des équations générales de condition pour un sys-
tème de surfaces orthogonal qui correspond à un système plan de
droites et de trajectoires parallèles. — 9. Cas où il n'existe aucune
relation linéaire entre jui, f/i etTï. — 10. Cas où A' est une fonction
entière du troisième degré. — 11. Cas où A n'est pas une fonction
cubique de h. — 12. Cas où t: est linéaire en ^ et ^ijii, mais où fjtj
n'est pas linéaire en p. — 13. Cas où 7Z et tx sont linéaires en [x. —
14. Surface la plus générale d'un système plan commun avec une
surface du second degré. — 15. Système orthogonal de surfaces le
plus général dont se compose un groupe de surfaces coaxiales du
second degré.

Oelschlagek, Stam:vier (W.) et Hoppe (Pt.)- — Sur une formule
connue du volume d'un tétraèdre. (lO'j-ii i).

DosTOu(G.). — Le trièdre et le tétraèdre, avec application
des déterndnants. [\ 1 3- 1 90 ; fr. ) .

DosTOR G.). — Equation générale des deux tangentes menées
d un même point à une conique, et équation du cône circonscrit à
une surface du second degré. ( 1 9 1 -2o3 ; fr.) .

DosTOR (G.). — Nouvelle expression de la surface du triangle,
avec application au calcul en déterminant de cette surface en
'valeur des trois côtés du triangle. (204-208; fr.).

GûNTHER (S.). — Problème de Stéréométrie. (209-210).
Nombre maximum de sphères qui peuvent toucher à la fois une
sphère de même rayon c|ue chacune d'elles.

CuRTzE (M.). — Note surun Mémoire de M. H. Rath,intitulé :
« Les triangles rationnels » (*). (216-21^).

Haijv (Em.). — Sur le pentagone des diagonales d'un pentagone
inscrit au cercle. — Sur les cercles inscrits au triangle. ( 2 1 8-2 19).

(') Archii', t. LVI, p. 188.

2i6 BULLETIN DES SCIENCES

LiGOwsKi. — Limites de la base des logarithmes naturels.
(220-221) .

DosTOR (G.). — Sommation directe et élémentaire des carrés,
des cubes., des quatrièmes puissances des n premiers nombres
entiers. (22.2-224^ fr.).

DosTOR (G.) — Distances du point à la droite et du point au
plan. (225-233; fr.).

HocHHEiM (Ad.). — La poloconique mixte de deux droites par
rapporta la courbe di^érentielle de la parabole. (234-239).

GiJJVTHER (S.). — Résolution d' un sj sterne particulier d'équa-
tio ns lin éaires. (240-204)-

GuKTHER (S.). — Z<? développement des côtes, contribution
mathématique à la Géographie comparée. (2^7-284)-

GûjvTHER (S.). — Démonstration d'un théorème fondamental
sur les carrés magiques. (28J-296).

Broda (K.). • — ■ Contributioji à la théorie des fractions décimales
périodiques mixtes. ( 29y-3o i ) .

Wasserschleben (v.). — Sur la théorie du triangle équilatéral
inscrit dans les sectiojis coniques. (3o2-3i5).

Hain (Ein.). — Sur les harmoniques dans le triangle (3i6-32i).

Hain (Em.) — Tliéorèmes divers sur le triangle. (322-320).

Zahradaik (K.). — ■ Problème sur les cercles tangents. (32^}.

HoppE (R.). — Exemple d'une surface à un seul côté. (328-
334).

DosTOR (G.). — Kolumes des solides engendrés par la révolu-
tion des polygones réguliers autour d'un de leurs côtés. (334-
3365 fi.).

Greiner (M.). — Le facteur de transformation. (337-342).

Greiner (M.). — La ligue orthoptique d'une section conique.
(343-349).

EscHERicH (G.). — Démonstration de la formule générale de
la mesure de la courbure des surfaces. (385-39 1 ) •

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 2J7

LÔWE (O.). — Sur les solides réguliers et les solides de Pain-
sot, et sur le calcul de leurs volumes au moyen des déterminants.

DicKSTEiN (S.). — Démonstration d'un théorème de la théorie
du calcul des opérations. (420-421).

HoppE (R.;- — Sur les points de symétrie du triangle. (422-
438).

Hain ^Ein.) — Sur les transversales parallèles dans le triangle.
— Sur le point de concours de transversales parallèles égales.

(438-440-

Maly (Fr.). — Théorèmes sur la droite dans l'espace, [^^i-
446).

Meissel (E.). — Remarques sur la série h jper géométrique.
(446-448;.

T. LYllI; 1875-1876.

DosTOR (G.). — Relations entre les sinus des quatre trièdres
formés par quatre droites issues d'un même point, avec applica-
tion au tétraèdre. (i-45 fr-)-

DosTOR (G.). — application des discriminants aux courbes et
surfaces du second degré. ( 5-i6 ^ fr.) .

DosTOR (G.). — application des déterminants aux surfaces de
révolution et, en particulier , à celles du second degré. (17-225 fr.).

Zahradkik (K.). — Courbes planes rationnelles du troisième
ordre. (23-36).

HoppE (R.). — Sur le problème du système de surfaces tri-
plement orthogoiml; y^ avùc\e (^). (37-48).

LiGOwsKi. — Contribution aux quadratures mécaniques. (49-83).

Hain (Em.). — Sur le point de Grèbe. (84-B9).
Ayant construit des carrés sur les trois côtés d'un triangle ABC,
soit A' B' C le triangle formé par les côtés de ces carrés, parallèles à

(*) Voir ci-dessus, p. 21 5.

2i8 BULLETIN DES SCIENCES

ceux du triangle. Les droites AA', BB', CC concourent en un
point dont M. Hain étudie, après Grèbe, les propriétés.

Hain (Em.). — Sur les bissectinces des ayigles (Vun triangle.
(90-95)-

LiGOWSKi. — Démonstration de la formule donnée par Ll tuilier
pour l'excès sphérique. (96-98).

KoscH (F.). — Trisection d'un angle quelconque au m.ojen de
l'hjperbole équilatère. (98).

Majvsion (P.) — Démonstration de la propriété fondamentale
des équations diljérentielles linéaires. (99-100).

Spitzer(S.). — Note sur les équations différentielles de la
forme y'" := x'" ( A x^ y" H- B xy' -h C j-" ) . ( i o o- 1 o3 ) .

Bender ( C .) . — Sur la théorie des lois d' attraction . ( i o4- 1 09) .

LuKAs (F.). — Démonstration de ce théorème ; x" -h r" = z",
pour 7z^ 2, n'est pas résoluble en nombres entiers, avec une courte
solutioji pour 7^ = 2. (109-1 12).

Oberbeck (A.). ■ — ■ Sur le potentiel de l' ellipsoïde . (i i3-i 26).

Siebel (A.). — Recherches sur les équations algébriques (suite).

(.27-146) (^).

Pfeil (L. V.). — Sur la manière de trouver commodément les
fonctions des petits angles dans les Tables à cinq décimales . f^']-
i63).

Hain (Em.) . — Sur le point de Spieker. (i64- 169) .

Hain (Em.). — Sur le centre de gravité du triangle. (170-

175).

Hain (Em.). — Sur les points de symétrie du triangle. (176-
179)-

Hellwig (C). — Contributions à la théorie du tétraèdre et des
angles solides. (i8o-i84)-

(') /^"oi/- ci-dessus, p. 21/1 ■

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 219

Thieme (F.-E.). — Calcul de 'valeurs limites, avec un aperçu
de la tliéorie des courbes latérales. (i85-2i4).

HoppE (R.). — Sur le problème du mouvement rectiligne d'un
point. (21 5).

ArcrsT (F.). — Démonstration du théorème de Peaucellier.
(216).

AuGUST (F.;. — Tliéorème concernant certaines courbes du
sixième degré dans l'espace. (216-218).

Thieaie (F.-E.) — Sur les droites latérales ou imaginaires .
(218-222).

HozA (F.) — Remarque sur uTie proposition de M. Dostor rela-
tive au trièdre. [a'i.l-'XI^).

Karger (Ed.) . — Etude de V orbite d'un point attiré ou repoussé

k
par la force —•> k étant une constante et r la distance au centre de

la force, [iiD-^yy).

HocHHEni (Ad.). — Les foyers de la courbe différentielle de
la parabole. (278-284)-

Dostor ( G. ) . — Application des déterminants aux surfaces de ré-
volution et en particulier à celles du second degré. (280-289 \ fr.) .

Dostor (G.). — Expression en déterminant de la surface d'un
triangle de V espace, en valeur des coordonnées de ses trois sotn-
mets. (289-293^ fr.\

Dostor (G.j. — ylpplication des déternnnants au.x surfaces
cylindriques, et en particulier aux cylindres du second degré.
( 293-800^ fr.).

Gravelaar (N.-L.-W-A.). — Nouvelle démonstration de la
Idéalité des racines d'une équation importante. (3oi-3i8).

Pfeil (L. V.). — Sur l' enseignement de la Trigonométrie. (319-
325).

Hertz (C). — Démonstration d'une proposition de la théorie
de l'addition géométrique des droites dans l'espace. (320-32^).

220 BULLETIN DES SCIENCES

HoppE (R). — Surfaces minima des t/ois premières classes de
polyèdres. (328-336).

Veltmanjv (W.). — Critériums des intégrales singulières des
équations différentielles du premier ordre. (337-3 4 1 ) •

Veltmann ( W.) . — Sur une espèce particulière de substitutions
linéaires successives. (342-352).

Veltmahn (W.). — Théorie de la machine à influence de
seconde espèce de Holtz. (353-36o).

Spitzeb. (S.). — Note sur les équations différentielles de la
forme [a.i-\- b^x)j" ~\~ [a^-^b^x) j' -- [a^ -\- bQx)j ^=^ o. (36i-
'368).

Pfeil (L. V.). — Quelques desiderata touchant la planimétrie.
(369-376).

Pfeil (L. v.). — Installation de la planchette sur trois points.

(377-379).

Hain (Em.). — Sur le cercle circonscrit au triangle. (38o-
384).

Hain (Em.). — Sur les systèmes symétriques de points du tri-
angle. (385-393).

Hain (Em.). — Sur la formation de nouveaux poijits de symé-
trie. (394-4i5).

Réthy (M.). — Les équations fondamentales de la Trigonomé-
trie non-euclidienne établies d'une manière élémentaire. (4^6-

420).

HocHHEiM (Ad.). — Les polaires réciproques de la courbe dif-
férentielle de la parabole par rapport à un cercle. (423-43o).

Spitzer (S.). — Transformation de la fonction x" e'^''- . (43i-
432).

DosTou (G.). — Propriétés des nombres. (433-435^ fr.).

DosTOR (G.). — Détermination du chiffre qui termine les puis-
sances successives des nombres entiers. (436-337).

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 221

HoppE (R.) — Reinarque sur le calcul des logarithmes à quatre
décimales. (437-439).

LiNDMAN (C.-F.). — Problème de Géométrie. (440-443^131.).

Kllp. — Procédé expérimental pour déterminer la résistance
de conductibilité dans les éléments et dans les boussoles des tan-
gentes. (444-447).

KuLP. — Sur le rapport d' un élém,ent à petite surface à un élé-
ment à grande surface. (448)-

MELANGES.

SUR LES SUBSTITITIOAS mÉAlRES PAR lESÛl'ELLES UNE FORME QUADRATlfilE
TERNAIRE SE REPRODUIT ELLE-MÊME;

P.\R M. Jules TANNERY.

Dans plusieurs Mémoires bien connus, M. Herniite s'est occupe
des substitutions linéaires par lesquelles une forme quadratique
ternaire se reproduit elle-même. Plusieurs des formules fonda-
mentales que l'éminent géomètre a utilisées dans ses recherclies
arithmétiques ont été données par lui sans démonstration. L'in-
térêt que ces formules ont en elles-mêmes est assez grand pour que
j'aie cru pouvoir me permettre d'en donner une démonstraiion
tout élémentaire, en insistant sur quelques points de détail.

Soit

f\x, fy s ) = ax' -\- a' y -^ a" z- -h 2 by^z -f- 2 b' zx -r- 1 h"xy

une forme quadratique ternaire 5 on se propose de trouver toutes
les substitutions linéaires, telles que

(i) j=:(3X-f-p'Y-f-(3"Z,

j z =yX-!-/Y + /Z,

222 BULLETIN DES SCIENCES

par le moyen desquelles on ait identiquement

(2) f[x,r,z)=f[\,Y,Z).

Désignant par f^^f^^fJ^f^^ ... les demi-dérivées partielles de
y(x, 7, z), /^(X, Y, Z) prises par rapport à a:, j', 2, X, . . ., on
pourra écrire l'égalité '2) sous la forme

et lui adjoindre l'identité

^/x + r/v - ^/z' - x/; -r- Y/; - z/; ;

de là on tirera

[ihis] (^-x)(/:-i-^; + (j-Y)(/;+yv)+>-z):yv-r-/z')-o.

Si la substitution (i) rend cette dernière équation identique, elle
rendra de même identique l'équation (2). Or, en posant pour un
instant

( X — \.^^ u, y — Y = (^, z — Z = (V,

!/;--/x=-u, /;+/; = ¥, f:^fi=yv,

(3j

l'équation ( 2 bis) deviendra

(4) «U + (;V-f (vW = o

Si, comme nous le supposons essentiellement, le discriminant

A = aa'a" -!- ^bb'b" — a¥— a'b"— a"b"-

n'est pas nul, les trois dernières équations (3 , pourront être réso-
lues de manière à exprimer j: H- X, j'' -f- Y, ~ -h Z linéairement
en U, V, W^ supposons que, dans les équations ainsi obtenues, on
remplace oc^j.^ z par leurs valeurs (i) en X, Y, Z : si le déter-
minant

a H- I Cf.' a."

^ P'-f I P>"

y / /+t

(') C'est à 'SI. Hermite qu'est dû ce point de départ, consistant à ramener le pro-
blème à la recherche des substitutions linéaires par lesquelles les variables de l'un
des groupes [u, c, w), (U, V, W) s'expriment au moyen des variables de l'autre groupe,
et qui rendent identique l'équation (4).

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 223

est différent de zéro, on pourra exprimer X, Y, Z (et aussi ^, j>^, z)

linéairement en U, V, W; portant les valeurs trouvées dans les

trois premières équations ( 3 ) , on obtiendra les exj)ressions linéaires

de M, fr*, w en U, V, W, expressions linéaires qui devront rendre

identique l'équation (4)? et qui, par suite, seront nécessairement

de la forme

j u=vY — p.W,

(5) v=^lW-vV,

( w=ij.\] -}.V.

On voit dans ce cas que les équations (i) devront rendre identique
l'équation

(6) >i;a:-X)-+- a{jr— Y]+v(z-Z) = o.

Examinons maintenant le cas où le déterminant [d) est nul, ou,
ce qui revient au même, le cas où les équations

ne peuvent pas être résolues par rapport à X, Y, Z, quand on y a
remplacé x^y^z par les valeurs (i); il existera alors trois con-
stantes A, /ut, V telles que ces mêmes valeurs de x, y^ z rendent
identique l'équation

(7) M/; -^fi) -^ V\fy ^K: -^[n^fz) = o.
Des équations

>.U +p.V-i-vAV = o,

rendues identiques par la substitution (i), on tirera, en ne tenant
pas compte d'un facteur commun indifférent,

U = VC — U.W,

V = "kw — vu,

W:= IJ.U — ?>f,

à moins toutefois que la substitution (1} ne rende identiques les
équations

(9) vv — y.w ^- o, }.(V — vw:=o, [xu ~lv =-0.

224 BULLETIN DES SCIENCES

On fera rentrer ce cas particulier dans le cas général, en rempla-
çant }., ^, V par -'? -5 -? chassant les dénominateurs, et supposant

que p puisse s'annuler.

11 ne sera pas sans intérêt de remarquer que l'on aurait pu mo-
difier l'ordre des raisonnements, et supposer tout d'abord que l'on
clierclie à résoudre par rapport à x^y^ z, X, Y, Z l'ensemble des
équations (i) et des ti'ois premières équations (3)5 cette résolution
aurait été ou non possible selon que le déterminant

! a-i a' oc"

\y , y' 7"-ï

aurait été différent de zéro ou non. Dans le premier cas, les va-
riables U, V, W pourraient être exprimées linéairement en m, w^ w
par des formules telles que (8) et la substitution (i) rendrait
identique l'équation (y), en sorte que le déterminant

u ^- I

a'

a!'

P

[3'-^i

P"

y

y'

/'-f-i

serait nécessairement nul. Si, au contraire, le déterminant (c?')
était nul, on serait conduit à des équations telles que (5), à moins
toutefois que la substitution (7) ne rendit identiques les équa-
tions

(96/5) yV-pW:=o, XW-vU=:o, f;.U — >.V=o.

On fera encore rentrer ce cas dans le précédent, en supposant que
les quantités X, p, v puissent devenir infinies.

En résumé, on parvient à deux systèmes de substitutions satis-
faisant à la condition énoncée.

On rendra identique l'égalité

/(^,j,z)=/(X,Y,Z),
en faisant soit

:io) {r-Y = x(/:'+/,')-v(/;+A'),

-z=p.(/;.+/x)-m/;+/y).

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

soil

/;--/x-v(j-Y)-p.(z-z),

f:-r-f;^u{x-x)-i[r-Y).

En résolvant ces équations par rapport à x^j', z, on aura deux
systèmes d'équations telles que (i^, satisfaisant à la condition
énoncée, les neuf coefficients de la substitution étant exprimés au
moyen des coefficients de la forme quadratique et des trois quan-
tités X, fJ!, V.

Mais il est aisé de passer d'un système à l'autre, comme on va
le montrer, en transformant légèrement les équations (lo). Multi-
pliant ces équations par <7, Z»", b\ et ajoutant, il vient

(•2;

Pos

/;-/x=

^ « /;-^/x

A = a' a"— b\ A' = a" a— b'-, X"= aa'— b"\
B = b'b"—ab, B' = b"b~a'b', W^^bb' — a"b",
A = aa'a" 4- 266'^" — ab^— a'b'-—a"b"\

IJ.'^Wk-r-k'lJ.^Bv,

et remarquons que l'on a

I ^ « /; -fi

et par suite

I A
B"
B'

B B'
A' B

B A."

/' A A'>-i-X,
[jf o A(j-hY)
v' o A(2-i-Z)

:A^[v'(jH-Y)-/(2+Z)],

:v'[

/?«//. dfe^ Sciences mathém. et astron., t. XI. (Novembre 187G.)

v'(j + Y)-^'(2-Z);

226 BULLETIN DES SCIENCES

on voit que l'équation (12) peut s'écrire

/;--/x = ^'(r-Y)-f/(2-^z).

Cette équation, si l'on change respectivement A, jji, v et X, Y, Z en
X', ^l'^ v' et — X, — Y, ■ — Z, deviendra la première des équa-
tions (11); en faisant le même changement dans les trois équa-
tions (lo), on aura donc un système équivalent au système (ii).
Comme le nom des variables n'importe pas, on voit, en résumé,
que, des deux systèmes de substitutions auxquels nous sommes
parvenus, le premier peut être mis sous l'une ou sous l'autre des
deux formes équivalentes qui suivent :

Ibis) if;-f;..--i'{z -r-z) -v'(^-f-x),

/;'-/z-«'(^+x)-^Â'(j-i-Y),

et que le second se déduit du premier en changeant X, Y, Z en

-X, _Y,-Z:

lî)

II bis]

Il suffit évidemment d'étudier le premier système.

La résolution des équations (I) se fait aisément, en considérant
à la fois les six équations (I), (I bis)^ et les six inconnues x, ;'•, ^,
foc 1 fr 1 fz '•) Oïl '^'oit d'abord que

Ix —- \j.y ^ vz =1 >.X -\- uY H- vZ.
Si l'on désigne ces deux quantités égales par H, on aura

^'L ^- 1-7; -- y'f. ='>'Â + [-fi - ^y/l = An.

Si, des deux dernières équations (I bis]^ on tire les valeurs àe fy' et

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 227

de/.' ,et qu'on les porte dans la première équation (I), on aura

X~X - 2(v/; - a//) ^ l'mx -f- X) + p.( j-l- Y) H- v(2 + Z)]

-(?.//-- y,a'~vv')(^ H- X),

ou encore

^ ( I -r }.}/ — p.a' -^ vv'l ^ X ( I - >.//- ay.' - vv' j -h 2 (v/^- - y.f) -- 2 )/ H ;

on trouvera de même

/; ( I - >^>-r /V~ vv') =/x'( I - ///- iJ.y.'~ vv') + 2[v' Y- ij/Z) --2 AHL

Si donc on pose

>.À' -!- au' -t- vv'

^AX^ +Ay-:- AV-^- 2Ba V -i- 2B'/v -h- 2B">.y. = F(>., ^., v),

les six équations (I) et (I bis) pourront être remplacées par les sis
équations suivantes :

x[i -- F(X, y., v)] := X[i - F(^ p., v)] - 2 (vf,'- p./,'] ~ 9.m! ,

j[i -- F(}., p., v)].- Y[i -F(?., a, v)] - 2(X/,'- - v/^) - 2n/y,

^ 4'-Fl^W^-'^-')]=Z[ï-F(^'^-,v)]-:-2(^7./^'->./,r)4-2nv';
I Iét

■ ' /;[i --^ F(A, u, v)]^-/^'[i - F{A, .a, v)] -f- 2(v'Y- p'Z) -^ 2An/..,

f;[i -- F (>., a, v)]=-./,;[i - F (>, ^., v)] -:- 2 (>/Z - v'X) -h 2 Am,

/;[i -- F(X, a, v)]--/z'[i - F(A, a, v)] -^ 2(y/X- }/ Y) -i- 2 Aïïv.

D'ailleurs on déduirait bien facilement les trois dernières des trois
premières, ou inversement. Si l'on voulait avoir les équations réso-
lues par rapport à X, Y, Z, il sufiirait, dans les formules précé-
dentes, de clianger Jr^y^ z en X, Y, Z, et réciproquement, puis ).,
p, y en — ^, — p., ■ — v, et par conséquent H en — H, ).', a', v' en
_>//, __p//, _<//.

Si, dans les équations (i ter)^ on remplace X, ju, y par -» ^-'5 -•>

qu'on cliasse les dénominateurs et qu'on fasse p = o, on trou-

i5.

■228

vera

BULLETIN

DES SCIENCES

a: = — X

-f-

2 m'

F(>.^.,v)'

r=-Y

+

rr 7

sHv'

• F(>.,fx,v)
Ce sont les mêmes valeurs qu'on tirerait des équations (9 bis) ou

en leur adjoignant la condition

f[x,y, z) =/(X, Y, Z; ;

car, si l'on désigne par t la valeur commune des trois rapports, on
voit aisément que ces équations peuvent être remplacées par les
suivantes :

^ = -X + ?/ -■>

r = -Y-^lj:

t sera déterminé par l'équation

/(X,Y,Z)=--/(-.XH->/^, -Y + f./^, -Z + v'i),
ou

Or

:!= A ( XX' -f- p.a' -i- vy' ) = AF (X, fji, V ) ;
donc

; an

Â~FiX, a, vj'

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 229

et l'on retombe par conséquent sur les mêmes valeurs que précé-
demment.

Pour résoudre les équations (II) ou (II his)^ il suffira évidem-
ment, dans les formules (I ter)^ de clianger X, Y, Z en — X, — Y,
— Z : on trouvera ainsi

Il ter

^[i-f-F(>.,p.,v)]=-X[i-F(?„^..,v)]

IL

Je passe maintenant à la question suivante : si, dans les équa-
tions (I), qui définissent x^j^ z au moyen de X, Y, Z, on remplace
X, Y, Z par des fonctions linéaires de Xj, Yj, Zi définies par les
équations (I) elles-mêmes, dans lesquelles on aurait substitué res-
pectivement X, Y, Z5 Xi, Yi, Z, 5 Xi, /:xi, Vi à ^, 7, 25 X, Y, Z 5 >.,
p, y, on exprimera x^j^ z linéairement en Xj, Yj, Zj, de façon
que l'on ait évidemment

/(^,j,^;=/(x„Y.,z.),

en sorte que les coefficients de la substitution devront dépendre de
trois quantités -(^, OTL, 3b analogues à X, f/, v^ ces trois quantités
dépendent évidemment de X, p., v, Xj, ^j, v^ et des coefficients de la
forme quadratique : je me propose de les calculer.
Posons donc

f:~fx-~=y'{r -Y) -p'

bis]

/;-/v = >'{^

X-X.= v.(/^
Y -Y, --.>.(/,'

(r

[fi

+ Z) - v'

-/x)>

-X),

-Y);

-/xJ.

23o BULLETIN DES SCIENCES

j/x-/x,= ^'.(Y -f-Y,)-p.'(Z -f-Z,),

i^bis] A' -/v - >',(Z H- Z.) - v'.(X -u X.),

(/z-/z'=--/^'.(X -X,)- /.'.(Y +¥,).

Les équations (i) et (i bis) sont équivalentes ainsi que les équa-
tions (2) et (2 bis)-^ les quantités À', p.', v', d'une part, et )/ , f/ , v', ,
de l'autre, dépendent de l, /!/, v et de Xi, f/i, Vj, comme il a été
expliqué dans la première Partie.

Tirant des deux dernières équations ( 2 bis) f^ et f^ , et les por-
tant dans la première équation (i), il vient

^ M +X',[>.(X+X.)'-:-fz(Y+Y,)-hv(Z-r-Z.)]-r(X--X.),

en faisant

ir = XÀ', H- p.u', ~ vv', = >., >/ — p., p.' 4- V, v'
= A /A, -f- A' iJ.ij.i -t- A" vv,
-i- B { p.v, + a, V ) + B' ( }.v, -;- X. V ) -4- B"( V-, -f- >.,//) .

Tirant de même /y et y^ ^^^ deux dernières équations (i bis) et
les portant dans la première équation (2), il vient

^ ^ j -/'[^(ar-^-X)4-f/..(jH-Y)-;-v,(z+Z)]-i-r(^^X,);

ajoutant les équations (3) et (5), et tenant compte des identités

IX. -I- /:/Y -}- vZ .— >,^ -4- [J.f -h HZ,
>.,X-i- |7.,Y-r- v,Z = À.X,+ p-,Y,H- y,Z„
il vient

l (i - r) (^ - X) = (v -f- y.) (/; -/v.) - (/^- - F-0 (y;' -/z'J

(6) 4-À',[M^H-xo-/x(r-Y.)-!-v{2 + z.)]

( _ >,' [>,(^ -f- X.) + p.,(r H- Y.) -i- v.(2 + z,)].

Or les deux derniers termes du second membre, si l'on y remplace

A, ...,Ai, ... par ^ , ■■', ^ ' •••'

BULLETIN DES SCIENCES

23l

deviennent

I -,

en sorte que l'équation (6) prend la forme

'i-Dfx-X'

À>'-X>'.

^. + F-

)(/;-^/v.:

Si donc on pose

- - U V — U V ,

l-^-X-V- ^' ^ u. '-- IM

[f^-'fz:'

vU'-v'a'

i-r

1 — 1

, k.u. — k u. ,

Db =

A

i-r

X, j', s s'exprimeront au moyen de Xj, Ij, Z^ par les formules

^-Xr-= 3b(/;

17,

^-z.=^oii.(/;

■f^j-^[f:-^Â,]>

r-Y,- -^{f^^-f^j-sf^iL+f^^.,

■fij- af;^fij,

qui sont tout à fait analogues aux formules (i).

Les valeurs de 4^, 31L, X peuvent être mises sous une forme un
peu différente.

En faisant

m -- vil — Vil,
n = li).x— l,y.,

et

h rz^ al H- b"ni -- b'n,
M==b"l ^-a'm ^ bn,
^ = b'l -\~bin -r-a"/?,

232 BULLETIN DES SCIENCES

on vérifie aisément que l'on a

AL = p/y', — «', v',

AN=Vp.',-/.',/7.';

les valeurs de ^, OTL', % peuvent donc s'écrire sous la forme sui-
vante, que leur a donnée M. Hermite :

X -^ >., — L f/. -^ fz, — M V H- V, — N

-L--73rr"-' ^- ,_r ' ^^="T~r~'

Nous avons combiné deux substitutions du type I; on obtiendra
des résultats analogues en combinant deux substitutions du type II.
Si l'on fait

X-rX.= v.(/,:-/^, )-p..(/,' -/,'J,

on trouvera

4^,011, OL conservant les mêmes valeurs que précédemment. En
combinant deux substitutions appartenant toutes les deux au même
type, on obtient donc comme résultat une substitution appartenant
au premier tvpe^ au contraire, si l'on combine deux substitutions
appartenant à des types différents, on obtient une combinaison ap-
partenant au second type. Si l'on fait, par exemple,

^ - X = V (/; ^fi) - p. [fi -^fi),
' * >

x+x,= v,(/;-/;,)-p.,(/, -/,'j,

on trouvera, en changeant simplement Xj, Yi, Zj en — Xj, — Y,,

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. -233

Z, dans les équations (7),

^ H- X. =3 ,% (/; -/;,; - orc (_/;' -/^j,

naturellement les valeui^s de 4^, ^l'^-- -^^ sont encore les mêmes.

FORMULES FONDAMEmiES DE ClNÉÎIATIftlJE DAAS LES ESPACES DE COIjRBIJRE

CONSTANTE;

Par m. E. BELTRAMI.

(Extrait d'un Mémoire lu à l'Académie Royale des Lincei, à Rome.)

Je prendrai Fexpression du carré de l'élément linéaire ds sous la
forme connue

ds- dx' - dx] -'- dx] -j- . . . -t- dx„

(0 ^= -, '

où Xi , Xç, , . . . , a:„ sont les coordonnées linéaires d'un point quelconque
du 7^1*^™^ espace (c'est-à-dire telles que chaque droite est représentée
par ji — I équations du premier degré), R est le rayon pseudo-
sphérique constant, et x est une variable surnuméraire définie par
l'équation

( 2 ) X' ->- Xl -^ X] -r- . . . -h- X-„ =^ «%

où a est une constante finie.

Je considère maintenant un système continu de points 5 je désigne
par 0X1, 0X2, . . . , ox„ les variations infiniment petites des coordon-
nées Xi, o'a, . . . , x„ d'un de ces points par suite d'un déplacement
élémentaire quelconque, par dx la variation qui s'ensuit pour j:,
et je vais cherclier une expression de forme convenable pour la
variation âdsque reçoit la distance ds de deux points contigus du
système.

De l'équation (i), écrite de cette manière

ds- [dx\- \^ (dxr

R^ \ X / ^ \ X j

1}

234 BULLETIN DES SCIENCES

ou tire

ds ô ds dx 5, dx \^ dxr ^ dxr

— — — = — 0 — h- y — 0 —

K'' XX ^ X X

ce qui, par suite de l'identité

— - =^d ! ,

X X x^

peut être aussi écrit sous la forme

dsôds dx . dx \^ dxr ,^Xr V <J^r ^ I Xr dx\

— 0 ■ 1- > do 1- > 0

dx V dXr i^Xr V

■ — h y — dû — t- >

X ^ X X ^

K'' X X ' ^ X X Zu ^ \x X )

Mais on a aussi

1

dxr ^ (Xr dx\ _ dx V^ dxr r^Xr , ^dxX^ Xr dxr

X \X X j X ^ XX X ^ x'

savoir (2),

dxr ^ fxr dx\ dx V^ dxr ^Xr dx ^ dx

— Q — 0 — :

don

V^ dxr ^ ( Xr dx\ dx V^

^j X \x X J X Z=À

ds 0 ds V^ dx,- f ,^Xr dx ^ Xr\

— — — =^ > ■ — [do 1 (5 —

Iv ^ X \ X XX

d'où

3 ) àds -- -V y ^^^ d \ xo

R= V (JXr , / ^Xr

T 7 ■ d { xo —

X- Au cls \ X

Telle est la forme qu'il convient de donner à l'expression de ^ds.

Cette formule pourrait servir, à cause de sa généralité , à la
recherclie des équations fondamentales de la Cinématique des
systèmes de forme variable. Mais, me bornant, pour le présent, à
la considération des systèmes rigides, je poserai or/^ = o, ce qui
donne, comme condition nécessaire et suffisante de chaque dépla-
cement non accompagné de déformation,

(4) 7 dxr d ( xô —

11 s'agit maintenant de tirer de cette équation les valeurs les plus

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 235

générales des variations (^Xj, ^x,. . . . , ox„, en fonction des coor-
données X, , x^. . . . ^ x„.
Posant d'abord

Xr=: xô—^ ;• =_~ 1 , 2 , . ,n,

X

on voit que les/z fonctions inconnues X|, X2, • • ■ X„ doivent satis-
faire, en vertu de l'équation (4)i « l'identité

r— I ,2. . . . 7z,
s — 1 , 2 , . .11,

\ \ -^^ c/^, clXs =r. 0 ;

LUr LUs OXs

\ r
1 s.

ce qui exige que l'on ait

(5) ''^' - f

= 0,

pour toutes les valeurs, égales ou inégales, des indices /' et s. De
cette équation on tire, quelque soit le troisième indice t.

dXi \ OXt ) OXr \ (JXt I

savoir, à cause de la même équation (5) appliquée successivement
aux indices r, i, et 5, ?,

enfin

A i^\ -x^A^ {^\ =0

dXs \ âXr j ' OXr V àxs

o.

OXr CfXs

Puisque r, s, t sont ici trois indices quelconques, égaux ou iné-
gaux, de la série i, 2, . . . , /z, on voit, par cette dernière formule,
que les « fonctions Xj, Xj, . . . , X„ ont toutes leurs secondes déri-
vées nulles. Elles sont donc nécessairement de la forme linéaire

les quantités c^, aussi bien que les c^^, étant constantes par rapport
aux coordonnées (et fonctions, en général, du temps) \ mais, puisque
les fonctions X doivent encore satisfaire aux conditions primitives

236 BULLETIN DES SCIENCES

(5), les quantités c,.^ ne sont pas absolument arbitraires ^ on doit
avoir

pour toutes les valeurs, égales ou inégales, des indices /' et s.
Ces conditions étant supposées satisfaites, on a donc

XÙ — = Cr -r- > Cir X;,
X ^ui

d'où l'on tire

V X,. ^

OX,. = Cr 4 • > Cir Xi -i, QX, r rzr I , 2, . . . ,11.

Multipliant par x^ et sommant par /•, eu égard aux équations (2)
et (6), on trouve

OX ::=: - \ Cr Xr,

valeur qui, étant substituée dans la formule précédente , donne
enfin

( 7 ) ô^r — Cr H- % Cir Xi ^ \ Ci Xi,

pour ;■ ^^ 1 , 2. . . . , 7z. On doit compléter ces n expressions par celle

de ^x.

ûx

— ^ > C/.r,.

Les 7z équations ['j) sont les formules différentielles fondamen-
tales (analogues à celles d'Euler) de la Cinématique des corps so-

Mi j 1 j n[nA-\]
es clans un 7z-espace de courbure constante. Les quan-
tités arbitraires c^ et c,.^, qu'on doit considérer, généralement parlant,
comme des fonctions arbitraires du temps t, multipliées par dt.
(durée infiniment petite du déplacement élémentaire), sont les
analogues des six composantes de la translation et de la rotation
dans la théorie ordinaire.

De l'équation complémentaire (8), qui est une suite nécessaire
des formules (;;), oii peut tirer une conséquence très-importante.
lien résulte, en effet, que, pour tous les points du (« — i)-espace-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 287

limite x ^= o (supposés reliés au système solide) , on a àx-=^o-^
c'est-/i-dire que ces points ne quittent pas cet [n — i)-espace, ou,
ce qui est la même chose, que cet esj)ace se déplace sur lui-même,
en restant invariable par rapport au /z-espace que l'on considère.
Cette propriété, qui n'est ici qu'un corollaire de l'invariabilité qu'on
a supposé à l'élément linéaii'e, devient au contraire la définition de
la transformation liomograpliique spéciale, appelée mouvement
de système invariahle, lorsque la géométrie des espaces de courbure
constante est envisagée, d'après MM. Cayley et Klein, comme une
théorie projective générale; la conception projective de la distance
est la clef de cette identité admirable autant que fondamentale.

Désignant par Mj, Mj, . . . , Un les coordonnées d'un point ou pôle,
l'équation linéaire en .Tj, Xo, .... x„,

(9) M, Xi -4- «2 X2 -\- - ■ ■ -^ U„ Xn = a^,

représente ce qu'on peut appeler le {11 — i)-plan polaire de ce point
par rapport à l'espace limite jf =:= o. Si le point («) est réel, je veux
dire intérieur kx = o, le plan (9) est idéal, c'est-à-dire extérieur h
X ::^ o\i si, au coutraïrc, le point [u] est idéal, le plan (g) est réel,
c'est-à-dire qu'il possède une région simplement connexe, et indé-
finie en tous sens, intérieure à x =: o. Comme, du reste, l'équa-
tion (9) peut représenter un {« — i )-plan quelconque, on peut
définir aussi les coefficients «1, zf,, . . . , z<„ du premier membre de
cette équation comme les coordonnées (tangenlielles) d'un (ii — i)-
plan. Or, si l'on considère le lieu limite x = o et le plan quel-
conque (9) comme invariablement liés entre eux, le pôle(«) du plan
devient, lui aussi, invariablement lié au lieu x =^ o\ et puisque ce
lieu ne fait que glisser sur lui-même lorsqu'il fait partie d'un
système invariable mobile dans le zz- espace, il est évident que \v.
pôle [u) doit se déplacer, lui aussi, avec le système, et par suite que
les variations Juj, du^^ . . . , ^u^ des coordonnées tangenlielles d'un
[n — i)-plan, qui fait partie d'un système invariable mobile dans
le Tz-espace, sont des fonctions de u^^ u^i ■ ■ • •?/„ de même forme que
les ^^1, ^j:,, , . . , par rapport aux x^^ Xg, • • • •

Cette conclusion peut être vérifiée directement, en tirant de
l'équation (9)

Z Ur dXr -!- 2 Xr OUr = O,

238 BULLETIN DES SCIENCES

savoir (7)

^ Cr Ur -^- ^r^i Cir tir ^i 2 tV ^r -- — XrOUr -- O,

OU encore

2r ( àUr — ^,- Cir Ui — Cr) Xr H- 1i Ci Ui z^ O.

La relation que cette formule établit parmi les Xi, o:,. . . . ,x„ ne
peut évidemment dillérer de celle (9) dont on est parti j on aura
donc

OHr — Cr — 2; Cj. Ui 2; C; If;
1 1=: O,

Ur a'

d'où

7 / OUr — Cr -;- 2, Cir l(, : li Ci Ui,

pour /•= I, 2. . . . ,/z. Ces n formules sont parfaitement semblables
aux formules (7).

Si, pendant le mouvement élémentaire du système invariable, il
T a quelque point (o^i, Xg, . - . , J"„) qui reste immobile, les variations
0X1, ^jc,, . . --^^Xn de SCS coordonnées doivent être toutes -^-^ o \\
l'instant considéré; et partant on aura aussi, pour ce même point,
j:(5x = o, c'est-à-dire ûx = o, si l'on suppose que ce point ne se
trouve pas à la limiter -- o. Or ces conditions, x^> o, i^x =:^ o
donnent, à cause de (8),

et, par suite, les conditions dx^ = o donnent à leur tour

(10) dr -- 2CirXi= o, r z:= 1 , 2, . . . , n,

équations qui entraînent la précédente.

Lorsqu'il existe un système de valeurs des Xi, -r,,. • . ,a:„ satis-
faisant à ces n équations linéaires, il y a un point (réel ou idéal
suivant qu'on a x] -r- x] -h - • • -r- xl <^ ou '^ ci^) qui possède les
caractères d'un centre instantané de rotation^ et dont le (n — i)-
plan polaire par rapport -à. x ^^ o est un [n — i)-plan instantané
de glissement (idéal ou réel suivant que le pôle est réel ou idéal).

' iMATHÉMATKJUES ET ASTRONOMIQUES. aSg

Or le déterminant

des équations (lo) est, à cause de (6), égal à zéro ou à une quantité
positive, généralement diliérente de zéro, suivant que le nombre n
est impair ou pair. Donc :

Dans un /z-espace de courbure constante, il existe toujours, lors-
que n est pair, soit un centre réel instantané de rotation, soit
un (« — i)-plan réel instantané de glissement pour chaque mouve-
ment élémentaire (tout à fait général) de système rigide.

Dans un «-espace de courbure constante, lorsque n est impair,
il n'existe, en général, ni centre de rotation ni [71 — i)-plan de
glissement pour chaque mouvement élémentaire de système rigide ;
mais, si le mouvement est tel qu'il y ait un centre instantané [ou
un [n — i)-plan instantané], il y en a une infinité, formant une
droite ou un faisceau .

Je m'arrête, pour le moment, à ces conclusions de nature abso-
lument générale, dont le développement et la discussion me mè-
neraient d'ailleurs très-loin. J'ajouterai la simple remarque que la
Cinématique ordinaire nous offre déjà, dans ses théorèmes fondamen-
taux, des exemples particuliers des propriétés générales qui précè-
dent. Elle nous apprend, en eflet, que dans le plan il existe toujours
un centre instantané de mouvement, tandis que dans l'espace à
tj'ois dimensions il n'existe pas, en général, de point analogue, ou,
s'il en existe un, il y en a une infinité en ligne droite. Dans cet
espace il existe toujours, au contraire, une droite instantanée,
qu'on appelle axe central de mouvement : or ce fait s'accorde
parfaitement avec les théorèmes précédents; car l'espace euclidien,
lorsqu'on y considère la droite comme élément primitif (point
analytique) est un /z-espace de com^bure constante, pour lequel n
est pair et = 4 i il doit donc y avoir toujours un élément instantané-
ment invariable, et cet élément, qui est dans ce cas une droite, est
précisément l'axe central. Dans ce même cas de « :r= 4 on a, comme
on sait,

2[-±ZC,, CnC^iCii) =: [d Cr, -\- Cj.. C3, -r- C34C1,)-,

et, dans l'hypothèse particulière Cj; C23 -f- c,; C31 -l-Cai Cj, -- o, le

240 BULLETIN DES SCIENCES

nombre des éléments invariables peut devenir infini. Cette condi-
tion répond, ainsi qu'on peut s'en assurer, à celle de la rotation
(ordinaire) simple.

En adoptant, avec M. Scbering, la dénomination d'espaces gaus-
siens et rienianniens pour les espaces de courbure constante dont la
mesure de courbure est négative ou positive (respectivement), on
voit que les résultats précédents se rapportent aux espaces gaus-
siens. Il y a une théorie tout à fait semblable pour les espaces
riemanniens, et il sera facile au lecteur de la constituer d'après
celle qui précède. Il n'y a pas de différence essentielle quant aux
n-espaces pour lesquels n est impair \ mais, lorsque n est pair, le
centre de rotation et le [n — i)-plan de glissement existent toujours
s'unidtanèinent à l'état réel, quel que soit le mouvement élémentaire.
L'exemple le plus simple, tiré de la Cinématique ordinaire, est
offert par le déplacement d'une figure spliérique sur sa propre
splière : il y a toujours alors un centre de rotation et, en même
temps, un grand cercle de glissement (dont le centre est le pôle).

M AT 11 KM ATI QUI' s ET ASTRONOM lOUES. aii

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

DUHAMEL (J.-M.-C). — Éléments ue Calcul infinitésimal. 3* édition, revue
et annotée par M. J. Bertrand, Membre de l'Inslilut. 2 vol. in-8". — Paris,
Gauthier-Viliars; 1874-1875. Prix : i5 fr.

Lorsque, après avoir terminé nos études élémentaires, nous avons
commencé celle des Mathématiques spéciales, un des noms que
nous avons entendu jirononcer le plus souvent et avec le plus de
reconnaissance par notre maitre est certainement celui de M. Du-
hamel. On peut se faire une idée très-précise des mérites de IM. Du-
hamel comme savant et comme inventeur : il suffit de lire les Mé-
moires si parfaits, si achevés de forme qu'il a publiés, et qui sont
tout à fait dignes de celui qu'il reconnaissait comme son maitre,
de Fourier. Mais l'influence considérable qu'il a exercée sur l'en-
seignement n'est bien connue que de ses anciens élèves de l'Ecole
Polytechnique et de l'Ecole Normale. M. Duhamel était un esprit
très-net, ayant horreur des raisonnements vagues, cherchant avant
tout la clarté et l'ordre dans l'exposition. 11 avait beaucoup de goût
pour toutes les questions d'enseignement, sur lesquelles il aimait à
causer longuement avec ses anciens élèves. Comme il avait ensei-
gné toutes les parties des Mathématiques, il avait réfléchi sur toutes,
et il avait conçu depuis longteuips le projet de publier des Elé-
ments de Mathématiques s'étendant depuis l'Arithmétique et la
Géométrie élémentaire jusqu'au Calcul infinitésimal et à la Méca-
nique rationnelle. Ce dessein, il n'a pu le réaliser d'une manière
complète et en temps utile que pour le Calcul iniînitésimal et la
Mécanique rationnelle. L'Ouvrage sur les Métîiocles dans les Sciences
de raisonnemejit contient sans doute, même si l'on se borne à la
partie mathématique, bien des vues justes et utiles-, mais on peut
dire qu'il est arrivé tiop tard, quand la bataille était gagnée, et que
les anciens élèves de l'auteur avaient défc-ndu et introduit dans
toutes les branches de renseignement beaucoup des méthodes de
leur maitre.

De tous les Ouvrages de M. Duhamel sur l'enseignement, celui
qui a subi le plus de modifications dans ses éditions successives,
celui sur lequel sans doute l'auteur a le plus tiavaiilé et qui est

liull . des Scic-itccs iiuttlit-ni . <-t ualroii., t. XI. ' Di-ccin!)! e 1^7^!.) »tj

■i\i BULLETIN IJliS SCJENCKS

arrive aussi à la lorine la plus parfaite nous parait être le Calcul
infifiitésimal. Publié d'aboid sous le nom de Cours iV Ajialjse de
l École Polytechnique, c'est seulement dans les deux dernières
éditions qu'il a pris la Ibnne déiinitive que M. Bertrand a tenu à
lui conserver dans celte nouvelle réimpression. Une analyse dé-
taillée serait donc bien inutile^ le lecteur nous permettra seule-
ment quelques remarques sur le plan général suivi par M. Duhauiel.

Au coiumeucement de ce siècle, les sujets de recherche introduits
dans la Science par la découverte du Calcul inlinitésimal commen-
çaient à s'épuiser, et. après avoir tiré parti de l'instrument nouveau
que Newton et Leibnitz leur avaient transuiis, les géomètres com-
juencèrent à reporter plus qu'auparavant leurs pensées sur la route
(ju'ils avaient tracée, et à chercher un mode aussi rigoureux que
possible d'exposition des Mathématiques élevées. C'est l'époque des
tentatives célèbres de Lagrange, teutatives qui sont loin du reste
de demeurer isolées et qui suscitent de nombreux imitateurs. C'est
ainsi qu'Ampèi-e cherche, en Mécanique, à donner une bonne dé-
monstration du principe des vitesses virtuelles et une exposition
satisfaisante des axiomes et des propositions fondamentales de la
dynamique du point matériel; dans le Calcul infîuitésimal, il ap-
porte sa part à l'œuvre commune par un essai de démonstration de
l'existence de la dérivée, essai qui devait du reste demeurer infruc-
tueux, comme cela a été démontré par les recherches les plus ré-
centes. Ou a conservé dans le tome 111 de la Correspondance sur
l'École Polytechnique la trace des efforts de Poinsot et une indi-
cation rapide du mode personnel d'exposition qu'il avait adopté
dans ses leçons d'Analyse à l'École Polytechnique en i8i5. Est-il
nécessaire enlin de rappeler le noui de Cauchy, qui, dans ses Mé-
moires, dans ses Ouvrages et dans son enseiguement. a été, sinon h;
prophète, au moins le précurseur d'un ordre nouveau, dans lequel
on essaye de ne rien sacrilier de la rigueur des raisonnements.

Ces tentatives, celle au moins de Lagrange, ont pour base
l'exclusion des infiniment petits. On se rappelle le titre de l'Ou-
vrage célèbre de Lagrange : Théorie des fonctions analytiques,
conlenant les princi/)es du Calcul dijjérentiel dégagés de toute
considération cV infiniment petits ou d' éi'anouissants , de limites
ou de fluxions, et réduits à l'analyse algébrique des quantités
finies. Aussi, sous rinlhience puissante de Lagrange, l'emploi

MATlIK-MATigUES liï ASÏHUNU.MKjU LS. -243

(le la mélhode inijiiitésiinalo était, presque universelleiiieiit eon-
dainiiée, si bien que, dans son éloge de Jacobi, Lejeune-Diriclilet
fait un mérite au grand géomètre allemand d'avoir osé adopter cette
méthode au début de sa carrière et d'avoir essayé de la relever du
discrédit dans lequel elle était tombée.

C'est justement l'emploi des infiniment petits, concilié avec la
rigueur dans les raisonnements, qui constitue le mérite du mode
d'exposition auquel s'est arrêté ^l. Duliaïuel. De tout temps, il avait
eu la plus grande admiration pour les créateurs de la méthode infi-
nitésimale, et plusieurs de ses travaux consacrés à Roberval, Fer-
mat, Descartes montrent avec quel soin il a étudié le développe-
ment de cette méthode, avant même jNewton et Leibnîtz, depuis
Archimède. Son Ouvrage porte la trace de ces études profondes,
et ses méthodes sont acceptées aujourd'hui , même par ceux des
géomètres de l'école de Lagrange qui, sans bannir la méthode
infinitésimale, en font l'emploi le moins étendu possible, pour lui
substituer celle des limites et le calcul des dérivées.

Bien des Chapitres du Calcul infinitésimal seront ti-ansformés,
bien des parties seront à refaire dans l'Ouvrage de M. Duhamel,
comme dans tous ceux du même genre. Une portion du premier
volume conservera toujours, selon nous, son intérêt, son utilité et
sa valeur : c'est le Livre I qui est consacré à l'exposition et à des
applications directes delà méthode infinitésimale proprement dite,
et où l'auteur, en la séparant nettement des règles du Calcul diifé-
rentiel et intégral, en fait mieux comprendre l'utilité et le véritable
caractère. Cette distinction entre la méthode et les moyens de l'ap-
pliquer constitue le fondement même de l'Ouvrage, comme le fait
remarquer l'auteur :

« Ainsi j), dit-il en terminant sa Préface, « dans cet essai, que nous
espérons rendre un jour moins imparfait, notre objet a été l'étude
de la méthode infinitésimale considérée en elle-même, et les pro-
cédés si importants du Calcul différentiel et du Calcul inverse ont
été les moyens d'exécution des opérations auxquelles cette méthode
a ramené la solution des questions qu'elle s'est proposées. Cette
subordination, que nous avons tenu à rendre bien explicite et bien
sensible, donne la raison de l'ordre que nous avons suivi dans cet
Ouvrage et du titre que nous lui avons donné. »

M. Bertiand, fjiii publie la nouvelle édition, s'est contenté d'a-

16.

244 BULLETIN IJES SCIENCES

jouter des Notes tirées de son grand Traité et qui traitent de la
tliéorie des fonctions de variables imaginaires, des intégrales défi-
nies prises entre des limites imaginaires et des éléments de la théo-
rie des fonctions elliptiques. Ainsi se trouve comblée une lacune
que le temps avait produite dans une œuvre qui mérite de vivre et
d'être proposée, pendant longtemps encore, comme guide aux élèves
et aux maîtres.

Au point de vue matériel, l'édition est tout à fait digne des pré-
cédentes et fait le plus grand honneur à M. (jauthit'r-\ illars.

G. D.

REVUE DES PUBLICATIONS PÉRIODIQUES.

MÉMORIAL DE L'OFFICIER DU GÉNIE, ou Recieil de Mémoires, Expé-
riences, Observations et Procédés propres a perfectionner la forti-
fication ET LES constructions MILITAIRES, rédigé par les soins du Comité des
Fortifications, avec l'approbation du Ministre de la Guerre. In-S".

i""" série. Tomes I à XV (i8o3-i848).

2* série. Tomes XVI à XXIV et suivants (1854-1875).

Cette publication, fondée par le général Marescot et rédigée par
les soins et sous la direction du Comité des Fortilications, a pour
objet « de développer l'art de l'ingénieur militaire, de propager
l'instruction dans le corps du Génie et d'y établir un mode uniforme
pour l'exécution et l'économie des ouvrages )>.

Le Mémorial, « restreint aux généralités de la Science », ne
renferme pas d'études historiques ou critiques, ni de description
des places fortes de France et de l'étranger, ni d'études sur l'orga-
nisation administrative du service et du corps du Génie. C'est,
avant tout et en résumé, un recueil technique, dans lequel se
trouve exposé le détail des perfectionnements apportés à la théorie
et à la pratique de la construction.

Les tomes I à XV inclusivement forment une première série; les
tomes XVI et suivants, une deuxième série.

Ces divers volumes ont paru à des époques irrégulières, à quatre
ou cinq ans d'intervalle; mais, depuis 1872, la publication sem))]e

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. -^5

avoii- pris plus d'importance et de rapidité et être entrée dans une
voie nouvelle et féconde.

Les quinze premiers volumes (dont les deux premiers ont été
réédités en i8ai) renferment i43 articles ou Mémoires sur divers
points de l'art des constructions. On eu trouve :

i8 sur l'éc^uilibre ou la manœuvix* dt^s ponts-levis^

i4surles manœuvres d'eau (barrage, épuisement, jaugeage, etc.);

lo sur l'emploi de divers matériaux de construction;

9 sur l'installation des cuisines, latrines, accessoires du caserne-
ment des troupes, etc. ;

y sur la poussée des terres;

6 sur cliacun des sujets suivants : fours de campagne, charpente,
protils de revêtement, défilement, instruments et méthodes de le-
vers topograpbiques;

0 sur cliacun des sujets suivants : poussée des voûtes, expériences
sur les mines militaires, pratique de l'art de construire, pompes
et moteurs bvdrauliques, fondation des maçonneries;

4 sur les magasins à poudre;

3 sur l'armement des places, la construction des blindages, etc.;

2 sur riiygiène.

Les autres Mémoires sont relatifs à des questions plus particu-
lières (plantations, travaux de sape, blockbaus, collections de
plans, etc., etc.).

Nous ne pouvons faire ici l'analyse d'une collection aussi éten-
due. Les Mémoires exclusivement mathématiques sont en très-petit
nombi-e, et, bien qu'ils soient dus à des ingénieurs d'une grande
autorité et d'une profonde expérience, il est juste de dire que les
théories cju'ils renferment ont été modifiées depuis et basées sur
des principes nouveaux.

jNous nous bornerons donc, pour la première série de ce Recueil,
au résumé que nous venons de donner et c[ui nous paraît traduire
fidèlement l'esprit dans lequel s'est maintenue la rédaction du Mc-
inorial de V Officier du Génie.

La seconde série du Mémorial.^ très-dillércnte, pour le fonds, de
tous les nunu'ros précédents, a commencé en i854 par l'édition du
tome X\ L

Nous croyons devoir indiquer les divers articles qui composent
ces derniers volumes, en ne donnant c|ue le liti-e de ceux qui u ont

u4G BULLETIN DES SCIENCES

pas spécialement les Mathématiques pour objet. Nos lecteurs juge-
l'out aisément, d'après cette analyse succincte, que l'utile publica-
tion du jMcinor'ial de l' Officier du Génie se recommande aujour-
d'iiui par une plus grande variété dans les sujets d'étude.

Tome XVI; i854 ['i" série, t. I).

Deméport. — Compte rendu sur la construcliou, en 1847, 1^48
et I 849, du pont de la Sorille à Sedan. (38 p., 3 pi.)

GK^'ET. — Note sur les ponls-levis dits en zigzag. (4 p., i pi.)

(iiîKET. — Notice sur les garde-corps des ponts-levis. (21 p.,
.pi.)

Séré de Rivii;r,E. — Notice sur V emploi de plans automoteurs
dans la construction du fort du cap Brun, à Toulon. (24 p., 2 pi.)

Deméport et Jourdain. — Note sur un mode de réparation
des escarpes employé à Sedan. (4 P-5 1 pi-)

Fabré. — Notice sur la ferme funiculaire. (10 p., 1 pi.)

C'\n.nER. — Note sur V emploi, aux fortifications de Paris, de
la machine à écoperche pour le transport vertical des terres.
(12 p., 2 pi.)

Saint-Qijeîjtiiv. — Note sur la machine dite écoperche double,
employée au terrassement de la place de Douai. (8 p., 2 pi.)

Coxjlaine (de). — Note sur une noui^elle forge pour le ferrage
des chevaux. (4 P-5 i P^^-)

Yerdal (ue). — Note sur les précautions prises pour fixer les
remblais du fort des Saumonards et les sables environnants. (4 p.)

(Cageot. — Note sur le moyen employé pour exécuter écono-
mi(/uement les terrassements des glacis du fort Risban, à Calais.
(3 p.)

BicHOT. — Notice sur la boussole topographi(pie. (18 p.)

G0ULIER. — Mémoire sur la sLadia et sur les instruments ser-
vant, conjointement avec elle, au mesurage des distances, (jo p.,
2 pi.)

iMÂTHÉMATIQUl-S l^T ASTUONOMlQUliS . 747

Lai;ssedat. — Mémoire sur l'emploi de la chambre claire (huis
les reconnaissances toj)ographif/ues. (4'^ p-i 2 pi.)

Grasset. — Mémoire sur la mesure des surfaces et des volumes
et sur la détermination de leurs centres de i^ra^'ité, avec une ap-
plication à la poussée des voûtes cylindriques. (42 p., i pl.j

Parmentier. — Note sur la comparaison des différentes mé-
thodes d' approximation pour la quadrature des courbes. (10 p.,
,pl.)

JjAziix. — Résistance des panneaux à la halle de calibre. (2 p.)

Tome XVII; 1864 (2^ série, t. II).

La Gréverie (be). — j\ olice sur un appareil à plans inclinés
employé au transport vertical des terres. [i/\ p., i pi.)

Exposé des lois relatii^es aux courants électriques. (16 p., i pi.)
Eésumé, d'après les Ouvrages de Physique, des lois et formules
nécessaires à l'étude des Mémoires sur les applications de l'électri-
cité.

Barisie>. — Mémoire sur V application de V électricité dyna-
mique à l'ijifl animation des fourneaux de mine. (44 P'i i P^-)

Compte kewdij des expériences sur un barrage à aiguilles ver-
ticales, exécuté en 1862 au pont sur la Moselle, à Thionville.
{17 p., I pi.)

La Gréverie (de). — Notice sur les revêtements avec voûtes en
décharge. (34 p., ï pl)

Blo^deau. — Expériences sur un ventilateur à jorce centri-
fuge. (3i p., I pi.)

Martin (G.). — Note sur un déblai de roc exécuté au fort du
Roule, à Cherbourg, en i8ji et i852. (11 p., i pi.)

Beivoît. — Mémoire sur les appareils de chauffage et de 'venti-
lation construits à l'hôpital militcdre de Vincennes. (48 p., 4 p'-)

Laussedat. — jSIénioire sur V application de la Photographie
au lever des platis. (64 p., 2 pi., 5 fig.)

2»8 lUJLLHTlN DES SCIILNCES

Javarv. — Oi)cralioiis photographiques. (3i p., 5 fig.)

Kleîjv. — Mémoire sur l électricité appliquée à l'inflamitutlion
des fourneaux de mine. (6t) p., 2 pi.)

Tome XVIII; 18G8 (2" série, t. III).

CoAïPOAT (de). — Mémoire sur les peispectives rayonnantes et
leur application au défilement. (Sy p., i pi.)

Peaucelher et AVagker. — Mémoire sur l'amélioration des
ponts-levis et des entrées des places fortes . (60 p., 3 pi.)

Compte rendu des travaux de démolition par la mine, exécutés
à Séhastopol, en i8j5 et i3a6, par le Génie militaire français.

(4; p., 2 pi.)

GouLiER. — Mémoire sur le télémètre à prismes, appareil don-
nant la distance au but pour le tir des bouches à feu et les recon-
naissances. (53 p., I pi.)

Peaucellier et Wagjver. — Mémoire sur wi appareil diastimo-
métrique nouveau, dit appareil autoréducteur . (98 p., 3 pi.)

Tome XIX; 1872 [1" série, t. IV).

Barisiejv. — Rectifications proposées à deux Mémoires de
MM. les généraux Poncelet et ^rdant sur la stabilité des revê-
tements. (i4 p., I pi.)

Morellet. — Mémoire sur la question des démolitions par la
nnne. (i^yS p., 2 pi.)

Bardonwaxjt. — Note sur la mise du feu aux nûnes au moyen
de l électricité . (02 p., i pi.)

Devèze etBARisiEjv. — Mémoire sur le pont-levis à contre-poids
constant avec spirales de la porte Randon, à Grenoble. (33 p.,
2 pi.)

INIangin. — Mémoire sur un nouveau pont-levis à contre-poids
"variables et à poulies mobiles. (22 p., i pi.)

Varaigke. — Mémoire sur la réparation des ponts de chemin
de fer. (71 p., 3 pi.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 249

Lyon. — Extrait d'une ÎYote relative au choix des arbres des-
tinés à être débités en blindages et en palissades. (6 p., i pi.)

Ce même volume renferme une étude de ponts-levis à bascule
en dessous et à bras indépendants, d'après un type adopté par le
Comité des Fortifications. (i4 p-, 2 pi.)

Les XIII Planches qu'il contient ont été obtenues à la litliopho-
tographie du Dépôt des fortifications ; celles des volumes précé-
dents ont été gravées sur acier.

Nous retrouvons encore des Planches de lithopliotographie dans
les volumes XX et suivants^ mais, à partir du tome XX, le Mémo-
rial a été enrichi de nombreuses figures intercalées dans le texte
et facilitant ainsi sa lecture et sa compréhension. Ce détail d'exé-
cution typographique a son importance, et ajoute aux qualités qui
distinguent aujourd'hui cette publication, parmi tant d'autres qui
sortent, comme celle-là, des presses de la maison Gaulhier-\ illars.

Tome XX; 1872 [1' série, t. V).

Le tome XX (402 p., 1 15 fig. et 4 pi-) est entièrement consacré
à V Etude théorique et pratique des dynandtes et de quelques pou-
dres brisantes dérivées de l'azote, par ^I. Fritsch, capitaine du
Génie.

Cette monographie complète sera très-utilement consultée, eu
raison de l'emploi, devenu plus fréquent, de la dynamite.

Tome XXI; 1873 (2' série, t. \T).

Petit. — -^ff^^ ^" ^"* "^"^ les ouvrages de Paris (1870-1871).
Brèches du fort d'Issj (63 p., 34 fig-, i pi-)

Petit et ^ iaclaire. — Plan du bonihardenient de Paris. (4 p.,
ipl.)

Peltier. — Rupture des tunnels et des ponts entre Kernon et
Rouen, etc. (lyp,, i3 fig.)

Dambuujv. — Effets des mines militaires.

Discussion des formules de Lebrun. Nouvelles recherches théo-
riques sur l'expression des elï'cts souterrains de la poudre. (86 p..

25o BULLETIN DIÏS SCll-NCIÎS

Dambiiun. — Recueil d'expériences sur les effets souterrains
des fourneaux de mine, (loo p., 69 iig.)
Suite du Mémoire ci-dessus,

RicouR. — Mémoire sur les mines militaires. (6y p., 4 pJ>

32%.)

Description raisonnée et construction d'ua abaque donnant la
solution des questions relatives aux cliarges des fourneaux démine,
d'après les formules de Lebrun.

Guillemot. — Figure donnant les cliarges de fourneaux quet-
conques. (14 p., 2 fig., i pi.)

Del.\mbue. — Mémoire sur un manuel-memento du mineur,
avec abaijue, etc. (4o p., 8 Iig., 2 j)I.)

Roulet. — Etude d'une machine élevât oire. (3o p., 2 iig.,

Cette macliine est semblable à la fontaine de Héron; son rende-
ment varierait de 3o à 89,5 pour 100.

Makgiiv (A.). — Mémoire sur trois projets d'ajjdts à éclipse.
(21 p., 9 fig., I pi.)

^Iaingin ^A.). — Note sur un nouveau sjstème de télégraplne
optique. (5 p.)

Tome XXII; 1874 (2^ série, l. VII).

Grillon . — Etude sur le casernement de la cavalerie en France.
(110 p., 02 fig.)

Peatjcellier. — Emploi du planimetre polaire de M. Amsler
dans le dessin de la fortification. (28 p., 12 fig.)

Théorie mathématique, très-intéressante et très-complète, de
l'emploi de l'instrument imaginé par M. Amsler pour évaluer mé-
caniquement la surface d'une courbe plane et donner ainsi la so-
lution d'autres problèmes qui dépendent du précédent, tels que la
cubature de certains solides et la détermination de leur centre de
gravité.

Cette étude, datée d'avril i863, débute par des considérations
générales sur l'utilité des méthodes expéditives pour la mesure des
surfaces planes et des volumes quelconques; puis vient l'exposé

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. uôi

des cinq ou six métliodes les plus usitées pour la quadrature des
surfaces çu la cubaturc des volumes. L'auteur décrit ensuite le pla-
nimètre polaire d'Anisler, plus simple et moins coûteux que le pla-
uiraètre sommateur de M. Beurriée, employé par l'administration
du cadastre, et que le planimètre à cône de MM. Oppikodbr et
Ernst. Le planimètre d'Anisler est fondé sur le principe géomé-
trique suivant : Deux droites finies OA = <7, AM = Z», articulées
en A, forment un triangle variable OAM, dont le sommet O reste
fixe, tandis que le point M se meut suivant une courbe donnée de
superficie S, enveloppant le point fixe O. Sur le prolongement RM
de AM, à une distance constante AR = a, se trouve une roulette
ayant la droite A^l pour axe.

Cela posé, la surface cliercliée est égale à une quantité constan'te

t:, rt^ + 6^ -r ^.boj,

augmentée d'un rectangle ayant j^our base la ligne constante b et
pour bauteur la quantité D, dont la roulette mobile s'est dévelop-
pée en roulant sur le plan de la courbe, après le parcours total de
la courbe donnée par le point M.

Dans le cas d'une courbe extérieure par rapport au pivot fixe,
la superficie de la courbe décrite est égale à celle d'un rectangle
ayant pour base la longueur constante Z> et pour bauteur la quan-
tité dont s'est développée la roulette mobile.

Le travail d'étude est terminé par l'indication des propriétés du
planimètre, permettant la détermination des centres de gravité des
surfaces et des volumes, celle des expressions de la forme

Xf + X,y, + . . . + XnXn

et de l'aire d'un polygone défini par ses sommets.

^L Hirn vient de publier aussi une tbéorie analytique et élémen-
taire du planimètre d'Amsler, dans laquelle il a signalé l'intéres-
sante application qu'il a faite de la roulette de ce planimètre comme
totalisateur à son pandynamomètre de torsion, qui permet d'enre-
gistrer exactement le travail pendant des journées entières.

RicHAiîD (J.). — ExperiencfS Jai/.es en 1869 à l'I£cole réginien-
taire d' Arras avec les pyrotJièques et une nouvelle machine dy-
nanio-élecli iquc à basse tension, 33 p., 1 pi.)

252 BULLETIN DES SCIENCES

RoussET et Delambre. — A tildes su/' la fabrication ries amorces
à employer pour mettre le feu aux mines au moyen de l' électri-
cité de tension (iio p., 5^ (ig.)

Barisien. — Note sur la manœui>re du pont-levis à contre-poids
constant avec spirales du colonel Deveze. (i4 p-, 4 fig-)

Nous signalerons la proposition suivante : « Si une développante
de cercle tourne autour du centre de ce cercle, l'extrémité d'un fil
vertical, enroulé sur cette courbe, décrit une parabole. »

Percin. — Notice théorique et pratique sur la manœuvre du
pont-levis à contre-poids constant avec spirales du colonel Devèze.

(48 p., 24fig.)

Curie. — Note sur le réglage des ponts-levis. (lo p.)

PouLAiiN. — Nouvel organe mécanique réciproque de transfor-
mation du mouvement circulaire alternatif en rectiligne alterna-
tif {lap., 1 iig.)

Ce nouvel organe peut être considéré comme une modification
ingénieuse de la disposition de la balance de Pvoberval à plateaux
supérieui^s. Les tiges verticales qui portent ces plateaux sont gui-
dées par des glissières et soutenues, par un galet, sur une rainure
pratiquée à l'extrémité des bras du fléau. L'auteur arrive à un ren-
dement de 0,995.

Javary. — 3Iémoire sur les applications de la Photograpliie
aux arts militaires.

Intéressante question, dont Arago parait avoir été le promoteur.
Ce Mémoire est divisé en deux Parties : 1° application delà Photo-
graphie aux levers. Nivellement. Pieconnaissances. Panoramas, etc.
2° Reproductions photographiques. Précautions à prendre. Procé-
dés opératoires. Stabilité des images, etc.

La NoË (A. de). — Extrait d'une Note sur la reproduction des
dessins au Tnojen du papier préparé au ferroprussiate de potasse.

(4 p.)

Fritsch. — Les dynamites ; suite au Mémoire inséré au n° 20
du Mémorial. (89 p.)

N'oublions pas de dire que le volume que laous venons d'analy-
ser est orné d'un remarquable Portrait de Vauhan, par Ch. Le
Brun.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. ^53

Tome XXi:i; 1874 (a-^ série, t. YIII).

Makgiis (A.) . — Jlcmoire sur le s) slenie de télégiaphie optique
de la défense de Paiis. (45 p., 2 pL, 6 fig.)

Etude raisonnée des divers sYStèmes de télégraphie optique ima-
ginés par MM. Lissajous et Cornu, et perfeetionnés par MM. Brion,
Laussedat et A. Mangin.

JSotice su/' la nouvelle carte de France à 777077. dressée au Dé-
pôt des fortifications . (19 p.)

Grillok. — Etude sur le casernement de l'infanterie en France.
(85 p., 49 fig.)

Continuation du travail d'ensemble commencé dans letomeXXII.

WàGjNKr,. — JSole sur une mire parlante spéciale imagi/iée par
M. le garde du génie Marc pour lire directement les altitudes.

Description d'une mire parlante employée, depuis quelques an-
nées, à la brigade topograpliique.

AVagiver. — Des méthodes de levers en usase à la briirade
topographique et de l'emploi d'un nouvel instrument [appareil
homolo graphique de MM. Peaucellier et TFagner)., destiné à sub-
stituer aux opérations habituelles des procédés purement méca-
niques. (53 p., I pl.^ ^ fig-)

Description et emploi de Vhomolographe, basé sur une propriété
du système articulé nommé depuis élément ou inverseur Peaucel-
lier, qui a valu <à son auteur une si juste célébrité.

CorvBi>. — Mémoire sur les cuisines à l'apeu/'. 8~ p., i pi.,
7 ^'g-)

LoYRE. — A otesur V emploi des marmites thernioslaliques chauf-
fées par l introduction de la vapeur d'eau. (24 p-, 7 lig.)

lMori>' (le Général). — i\ote sur l'espace cubique et sur le
volume d'air nécessaires />our assurer la salubrité des lieux
habités. (10 p.)

Extrait des Comptes rendus des séances de V Acadénne des
Sciences, séance du 4 AOÙX i8-3.

234 BULLKTIN DES SCIENCES

Fritsch. — Les dynatuiles . (224 p-, 107 tîg.)
Suite des Méinoîres insérés au Mémorial^ tomes XX et XXII.

T. XXIV; 1875 (2- série, t. IX).

Marcille. — Notice sur le rétahlissement du ponl. de Clerval
[sur le Doubs) en janvier i8ji. (i^ p., 6 flg.)

Marcille. — Xote sur la destrucliofi du tujinel de Martainville
en septembre 1870. (8 p., 3 fîg.)

Bailly-Maître. — Mémoire sur la mise en place et le fonc-
tionnement des barrages de la Moselle, à Thionville , pendant le
blocus de i8yo, et sur les améliorations dont ces sj sternes de bar-
rage sont susceptibles. (3(> p., 16 lig.)

Sadoxjx. — Compte rendu des travaux de roctage exécutés au
fort de la Croix-Faron, suivi d'observations relatives à l'emploi
des dj nanntes et du coton-poudre comprimé.

Curie, — jS ouvelles expériences relatives à la théorie de la
poussée des terres. (70 p., 16 11 g.)

Nos lecteurs trouveront dans le Bulletin (t. Il, p. 212; t. \I,
p. 87) un résumé des Communications faites à l'Académie des Scien-
ces par M. le commandant Curie et de la discussion des méthodes
de MM. de Saint-\enant et Lévy.

L'auteur établit que les surfaces de rupture dans un remblai dé-
pourvu de cohésion sont bien réellement planes et que, dans les
terrains argileux, elles doivent être des cycloïdes, comme ]M. Col-
lin l'a conclu de nombreuses observations, dans un Ouvrage qu'il a
publié en i84t)-

Peaucellieu. — JMémoire sur les conditions de stabilité des
voûtes en berceau. (54 p-, 27 lig.)

Insuftisance des méthodes connues pour l'étude des conditions de
stabilité des voûtes. Principe et méthode de vérilication géométri-
que de la stabilité des voûtes en berceau. Ptésistance limitée de la
matière, modifications qu'elle apporte à l'étude des conditions de
stabilité d'une voûte et constructions à faire pour apprécier la sta-
bilité d'une voûte donnée.

(ioiLiKR. — !\(>te sur les niveaux à collimateur. (18 p., i4 lig-)

MATIIÉMATIQUIÎS ET ASTUONOMig UIÎS. i5'y

(jOtiLiER. — Description raisoJinée des mires de Jiivellement de
l'Ecole d'application de l'^itilleiie et du Génie (24 p., 36 fig.)

GoxjLiER. — ^ote sur une boussole nivelante en métal, organi-
sée en vue du seivice du Génie. (3o p., 5 lîg.)

GouLiER. — Xotc. sur la lunette anallatique de M. Goulier.
(20 p., 4 lig.)

Goulier. — Note sur divers instruments de nivellement jn'opres
à être utilisés en campagne, et dont la plupart sont susceptibles
d'être improvisés au moment du besoin.

Delord et Goulier. — Note sur le téléiconographe de MM. Ré-
voil et f lollet-le-Duc. (i i p., 2 fig.)

Reaseigivements sur le poids des charges de dynannte Nobel
n° 1 à employer pour détruire des maçonneries. (10 p.)
Traduit et extrait d'un Méiuoire de M. le major Julius Vogl.

Vérokique (le Général). — Emploi de V asplialte dans les con-
structions ndlitaires. (i3 p.)

Curie, De Lapparent, Henivebert, JMassu, Loisy, Delacroix,
HiivsTiA', Le Beurriée, Merlin (F.), \ illeboknet. — Notes di-
verses sur l' art des constructions , (3i p., 22 lig.) H. B.

PROCEEDINGS of tue Litkrarv am> Piiilosophical Society of .Manchester.

Tome V (i8()j-i8GG).

CocKLE. — Sur les corésolvants. (2 p.)

Clifton. — Essai de description de tous les jdiénomcnes ten-
dant a ramener l'énùssion de la lunnère à des principes mécani-
ques. (5 p.)

Baxendell. — Sur l'étoile varicd)le S du Dauphin.

Depuis la découverte de sa variabilité en i863, l'auteur comliit
que cette étoile a eu un maximum d'éclat le 14 octobre i863, la
grandeur étant 8,5. Le maximum suivant a été observé le 12 sep-
tembre 1864 : grandeur 8,3, et le troisième le 9 août i865 :
grandeur 8,q. L iiilcr\ aile moveii eiitic ces maxima est donc de

256 • BULLKTIN DKS SCIHXCES

332 jours. Dans le n" 1323 des ylstronotiiiscJie Nachricliten, le
D"" Scliijnfeld mentionnait une observation de cette étoile, faite le
8 septembre i855 et notée de 9^ grandeur 5 mais, n'ayant pu être
répétée le 9 septembre ni le 20 novembre par Argelander, on
dut la considérer comme douteuse. La discussion de cette observa-
tion conduit à cette conclusion qu'un maximum a dû se produire
vers le 12 août i8j5. En résumé, la période de cette étoile parait
être de 33 iJ, 8.

La courbe de sa variabilité montre que son éclat croit beaucoup
plus rapidement qu'il ne diminue. Lors de sa dernière observation,
elle a passé de la 13" grandeur à son maximum en 48 jours, puis
elle est revenue en 89 jours à sa grandeur initiale. Elle reste au-
dessous de la grandeur i3,.5 et invisible au télescope de puissance
ordinaire pendant la moitié de sa période complète.

La couleur de cette étoile est nettement rougeàtre et se fonce à
mesure que l'éclat diminue. C'est à la couleur de cet astre qu'il
faut sans doute attribuer la différence de grandeur de 0,10 qui
existe entre les observations de l'auteur et celles de M. Knott, qui
plaçait aussi un maximum d*éclat le 1 1 août i865, grandeur 8,8,
tandis qu'il a dû se produire exactement le 9 août.

Brothers. — Description d' un appareil de pltotographie ce-
leste. (18 p., I pi.)

Baxendell. — Sur la variabilité de l'éloileT de l'yligle (3 }).,

L'auteur en avait annoncé la découverte le 12 novembre i863.
La période parait être de 1 02^,4. Epoque du maximum, 24, i jan-
vier i865.

Son éclat varie de 9, a à 11,2. Le principal maximum a lieu
64 jours après le minimum • un second maximum a lieu 6'3 jours
après le premier.

Baxejvdell. — Sur la variabilité de l'étoile S de la Couronne.
(3 p., I tig.)

Découverte par Encke le .> août i86u, et signalée dans le n" l!28i
des Astr. Nachricliten.

Période moyenne, 35^^, 2 ; époque du maximum, 10,6 août i8()3.

Knott. — Sur la variabilité de l'étoile V\. du Petit Renard.
i 10 p., 2 lig.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 257

Observée depuis i8o3 par Piazzi Sniyth, cette étoile varie de la
grandeur 7,77 à la grandeur i3, i4- Sa couleur est rose clair. Pé-
riode 137^,55; époque du maximum, 17,5 juin 1864.

La courbe de sa variation d'éclat est très-régulière; le maximum
se produit 66 jours après un minimuna et 71-', 6 avant le suivant.

Johnson. — Sur la chauibre pantoscoinque ( 10 p., 6 lig.)

Knott. — Késultats de la comparaison des grandeurs d' étoiles
indiquées dans les catalogues de Bedford et de Bonn. (4 p)

Baxendell. — Sur une nouvelle étoile variable J\. de la Coupe.

Tome VI (1866- 1867).

Knott. — Sur la grandeur combinée de deux étoiles en voisi-
nage immédiat. {2p.)

Baxendell. — Observations d'une nouvelle étoile variable T
de la Couronne. (5 p.)

Indication détaillée de ses changements de couleur et d'éclat.
Cette intéressante étude peut être résumée ainsi qu'il suit :

Dates. Grandeur. Couleur.

1866. i5 mai 3,7 Blanche.

16 mai 4,2 Couleur de crème.

20 mai 6,2 Foncée.

21 mai 7,1 Plombée.

24 inai 7,7 Blanc mat.

29 mai 8,4 Jaune orangé terne.

25 juin 9,6 Jaune orangé.

26 juin 9,7 Orangé.

II juillet 9,7 Jaune terne.

3 1 août 9,3 Jaune mat.

1 4 septembre 7,9 Jaune mat.

1 5 septembre 7,8 Jaune.

10 octobre 7,5 Jaune.

19 novembre 8,3 Rose orangé mat.

Les observations speclroscopiques n'ont pas encore permis de se
prononcer sur la cause probable de ces vai'iations singulières.

Bull, des Sciences 'nathcin. et asCruii., l. XI. (Décembre 1876.) 17

258 BULLETIN DES SCIENCES

S(;h()Nfeld. — liciultats d' observations d^ étoiles variables faites
à V Observatoire de Mannheim. (5 p.)
Indications sommaires sur 20 étoiles.

Baxekdell. — Eléments de l'étoile variable R de Persée.

Période, 2o6J,8^ époque moyenne, 10,7 août 1864, variant de
la grandeur 8,7 à la i3'' grandeur.

Knott, — Sur l'étoile ^'ariable 11 du Petit Renard. ( i p.)

Ransome(A.). — Sur les conditions de V action moléculaire.
(6 p.)

HijVD. — Ephémérides de yi étoiles ^^ariables pour l'année
1867. (3 p.)

Tome VII (1867-1868).

l^ROTHEiis. — De la couleur de la Lune durant les éclipses.
(3 p.)

CocKLE. — ■ Mémoire sur V évaluation des intégrales. (2 p.)
« Les procédés que j'ai indiqués «, dit l'auteur, « dans mon
travail sur la conversion des intégrales [Plnl. Mag., Suppl., juil-
let 1867, p. 537), reposent sur l'application directe delà discussion
des reclierclies de MM. Harley et Cayley à certains résultats aux-
quels Coole était déjà parvenu. Le présent Mémoire a pour objet
de donner une forme plus générale et. peut-être aussi, un exposé
plus lucide à une partie des méthodes employées dans l'Ouvrage
précédent.

» Depuis, ]M. Harley et moi, nous avons été conduits, chacun
de notre côté, à la généralisation d'un des résultats obtenus par
Boole, qui consiste dans l'application des méthodes de ce géomètre
à des formes d'équations trinômes diiïérentes de celles qu'il avait
discutées. Il est, d'ailleurs, juste de dire que la communication que
m'a faite M. Harley à ce sujet renferme l'exposé de sa généralisa-
tion, la mienne pouvant alors servir de vérification à la sienne et,
peut-être aussi, aux deux méthodes à la fois. »

WiLKiNSON. — Sur divers points de la restauration des poris-
mes d'Euclide. (5 p.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. aSg

Réclamation de priorité en faveur de Simson. Extraits d'une
correspondance à ce sujet entre Cli. Wildbore et John Lawson.

BiRT. — Sur une lâche variable de la surface de la Lune.

Réflexions sur les variations du cratère de Linné.

ScHMiDT. — ]\ote sur le sujet précédent. ( i p.)

Dyer. — - Simples notes sur les lois des forces physiques. (8 p.)

KiRKMAx. — Note sur un essai de résolution des équations al-
gébriques, par feu Hargreave. (5 p.)

Rectifications au sujet de l'équation du cinquième degré.

KiRKMAN. — Suite du même article. (8 p.)

H. B.

ANNALES DES Ponts et Chaussées (').
5" série. Tomes I à V (1871-1875).

Sous \e titre à' ^n7iales des Ponts et Chaussées, le service général
des Ponts et Chaussées publie, tous les mois, un Recueil consacré
aux « IMémoires et documents relatifs à l'art des constructions et au
service de l'ingénieur : lois, décrets, arrêtés et autres actes concer-
nant l'Administration des Ponts et Chaussées w.

Cette publication forme déjà quatre séries complètes, embras-
sant chacune dix années. Elle a commencé en i83i, et elle est
placée sous le contrôle d'une Commission nommée par le Ministre
des Travaux publics.

Chaque cahier mensuel, composé en général de dix à douze
feuilles d'impression et de deux Planches ou cartes gravées, se
divise en deux Parties. La première renferme les Mémoires et
documents techniques; la seconde contient les lois et documents
relatifs aux affaires administratives et litigieuses. Chacune de ces
parties présente une pagination différente et suivie, pour que l'on
puisse former chaque année trois volumes, savoir un volume de

(') In-8°. Paris, Dlnod, éditeur, i^g, quai des Auguslins.

26o BULLETIN DES SCIENCES

Mémoires et documents par semestre, et un volume des lois,
décrets, etc., publiés durant l'année entière.

Une cinquième série est en cours de publication depuis l'aunée
1871. Elle renferme, comme les précédentes, d'intéressants Mé-
moires sur les applications des Mathématiques à l'art des construc-
tions, et, pour ce motif, nous avons cru devoir présenter une
analyse succincte de la partie technique de celte dernière série.

Tome I; année 1871.

Bazin. — Etude comparntwe des formules nouvellement pro-
posées pour calculer le débit des canaux découverts. (34 P-)

Ces formules sont monômes ou binômes. Les premières, en rai-
son de leur excès de simplicité, ne se prêtent pas à la représentation
des phénomènes. On leur donne plus de généralité en admettant
deux exposants fractionnaires et variables avec la nature de la
paroi.

Les formules binômes se ramènent à deux types principaux :
d'un côté, la formule des ingénieurs américains, MM. Humphreys
et Abbot, de l'autre, les dérivées de la formule binôme admise
par M. Darcy pour les tuyaux,

^ = ÏJ^ = ^ + R'

et étendue par M. Bazin aux canaux découverts

A = a4-— ^î

U étant la vitesse moyenne, R la profondeur moyenne, I la pente
moyenne .

Pierre. — Note sur V approximation sur laquelle on peut
compter dans la méthode actuelle de calcul des poutres à plusieurs
travées, [y p.)

Lechalas. — Note sur les j-ivières à fond de sable. (5o p.)

MiCHAL. — Deuxième Note sur le jaugeage des eaux courantes
au moyen des déversoirs . (11 p.)

Rekoxjst des Orgeries. — Mémoire sur les poutres droites.
(104 p., I pi.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. -261

Conditions de maximum relatif de résistance. Mode correspon-
dant de flexion et aperçu du parti qu'on peut en tirer pour le per-
fectionnement du calcul des moments iléchissants dans les poutres
continues à section variable.

Tome II; année 1872.

Decomble. — Calcul des dimensions des dalles employées en
couverture d' aq ued ucs . (3o p., 1 pi.)

CoLLiGivoN. — Note sur l'intégromètre de M. Marcel Deprez.
(i4p.,6iig.)

Cet instrument est une extension du planimètre d'Amsler, et se
compose essentiellement :

i" D'une règle OX, que nous prendrons pour axe des x, et le
long de laquelle peut glisser librement un coulisseau A;

2" D'une tige rectiligne MAD, qui pivote librement autour du
coulisseau A, et qui porte à l'une de ses extrémités M un style avec
lequel on suit le contour de la figure donnée EMF; à l'autre extré-
mité elle porte un étrier dont les branches sont traversées par l'axe
horizontal d'une roulette qui roule sur le plan de la figure.

Une disposition spéciale oriente à chaque instant l'axe dans une
direction faisant avec la règle OX un angle [3 qui dépend, suivant
une certaine loi, de l'inclinaison a = MAX, prise par la tige.

L'instrument est muni enfin d'un tambour, d'un vernier et d'un
disque totalisateur.

Cela posé, l'évaluation des aires sera donnée en prenant /3 = a;

la détermination du centre de gravité en prenant (3 = 9. a -1 : et

celle du moment d'inertie, en prenant (3 == 3a.

En changeant les engrenages planétaires, qui rendent le rap-

port - égal à 2 ou à 3, on arriverait à déterminer des intégrales de

la forme Jj^~-"dx. M. Marcel Deprez a reconnu aussi que cet
intégromctre pouvait servir à la résolution graphique des équations
algébriques de degré quelconque.

Cézajvjnp: (de). — Relation d'un l'oyage aéronautique. (22 p.)
Récit émouvant d'une péi'illeusc ascension aéronautique, tentée

262 BULLETIN DES SCIENCES

le 2 noveml)rc; 1870, sur le Falton, parti de la gare d'Orléans, pen-
dant le blocus de Paris.

Lavoinne. — Note sur la résistcmce des parois planes des chau-
dières à vapeur. (27 p., i fig.)

Henry (F.). — Description d'un ellipsometre. (i i p., i pi.)
Cet instrument est fondé sur les propriétés des roulettes décrites

par les points d'un cercle qui roule dans un autre cercle de rayon

double (Scliooten et La Hire).

Les pièces àcV ellipsometre réalisent précisément cette condition.

Pelletreau. — Note sur le coefficient d'écrasement des maté-
riaux. (10 p., 1 pi.)

Considération sur l'influence de la forme et de la grandeur de la
section.

Perrodil (ue). — Application des équations du problème géné-
ral de la résistance des matériaux au problème de la stabilité
d'une 'voàte d' épaisseur variable traitée comme un monolithe
homogène . (42 p., i pi.)

Poulet. — Du soulèvement des poutres métallicpies au-dessus
des culées. (3i p.)

Flamant. — Note sur la poussée des terres. ( 26 p., i pi.)
Essai de vulgarisation des idées de Macquorn Rankine.

Tome III; année 187.3.

Stoecklin. — Note sur les onglets, (ijp., i pi.)
Détermination des arêtes et charnières de l'onglet d'une bande
de papier, suivant lesquelles il faut la plier pour qu'une ligne
donnée se place exactement sur une autre, un point de cette ligne
venant se placer en un point donné.

Durand-Claye. — Les pompes centrifuges simples et accouplées .
{23 p., ipl.)

Malézielx. — Le serv'ice météorologique aux Etats-Unis.
(lop., I c.)

Lefort. — Théorie de l'intérêt composé et des annuités,
d'après un Ouvrage de Fédor Tlioman, (54 p-)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 263

Le but de cet article est de faire connaître l'Ouvrage de F. Tho-
man, d'en faciliter la lecture, et d'inspirer le désir de l'acquérir
aux personnes qui sentiraient le besoin de profiter des Tables pi'é-
cieuses et peu volumineuses qu'il contient.

Cet Ouvrage porte pour titre : TJieory of conipound interest and
annuities, witli logarithnùc Tables. London , Lockw^ood and C°,
1872.

Tome IV; année 1874.

Malézielx. — Les cliemins de fev anglais en 1878. (109 p., 2 pi.)

Gariel. — Pressions dues à la congélation de Veau; travaux
de 31 M. Cil. Martins et Cliancel. (op.)

La force d'expansion de la glace a été signalée et prouvée dès
1667 par Huygens; plus tard (1784) Edwards Williams fit éclater
des bombes remplies d'eau et soumises à des températures de — 19°
à — 28°. M.\L Martins et Chancel ont repris ces expériences et
conclu de leurs recherches quelapressiondevait être de 433 à 074 at-
mosphères, et que le point de congélation de l'eau est abaissé de
I degré pour i33 atmosphères.

Lavoiivjve. — De la répartition des charges sur les tabliers des
pojits. (38 p.)

Suite d'un Mémoire déjà publié en 1867, dans le même Recueil,
sur la résistance des eutrctoises dans les portes d'écluse.

Gariel. — Grue flottante de 100 tonnes, construite , à New-
York par M. Isaac Newton. (8p., i pi.).

Gariel. — Les djnanùtes, par M. L^ritsch, capitaine du
Génie. (i3 p.)

Analyse du ]Mémoire composant le tome XX du ISléniorial
de V Officier du Génie.

Malézieux. — Fondations à l'air comprimé. (78 p., 2 pi.)

HiRSCH. — Théorie des machines aérothermiques. (120 p., 1 j)l.)
L'auteur étudie, sous ce nom, les machines (jui loucliomieiit
d'après les principes suivants :

i" Emploi de l'air à haute température;
2" Emploi de régénérateurs de chaleur;

...04 BULLETIN DES SCIENCES

3" Combustion dans la machine même.

Exposé élémentaire des principes de la Thermodynamique^ défi-
nition des cycles de Sadi Carnot.

Tiiéorie des régénérateurs de chaleur et de leur application aux
machines aérothermiques.

Des générateurs de pression.

Machines souillantes.

Machines directes.

Machines marines.

Résumé. Le rendement théorique des machines aérothermiques
est donné par la formule

dans laquelle q désigne la chaleur transformée en travail ; Qj la
chaleur transmise au cylindre chaud; Tq la température absolue
moyenne du cylindre froid; Tj la température absolue moyenne du
cylindre chaud. La quantité de travail théorique produite est
exprimée par 4^5 rjQi.

Flamant. — Traduction d'un Mémoire de Macquorn Rankine
sur la stabilité de la terre sans cohésion. Année i856. (5y p.)

Théorie mathématique basée sur le seul principe suivant : « La
résistance F au glissement, le long d'un plan donné, dans une
masse granuleuse sans cohésion, est égale à la pression normale P
qui s'exerce entre les deux parties de la masse situées de part et
d'autre de ce plan, multipliée par une constante spécifique, tang (Jj,
qui est le coefficient de frottement. )) La solution de quelques pro-
blèmes exige en outre l'application du principe de moindre résis-
tance àe Moseley; mais le traducteur a désiré aussi démontrer
qu'on peut ne pas avoir recours à ce dernier principe regardé
comme contestable.

— Dans une ÎNote complémentaire, M. Boussikesq reprend la
théorie de Macquorn Rankine et retrouve la formule fondamentale
de son Mémoire, qui représente l'équation dillércntielle d'une 5«/-
face de poussée uniforme,

dn ' dy

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 265

X désignant la pression au point [x^y), G le poids de l'unité de
volume du massif, H la somme de toutes les poussées horizontales
supportées par les matières comprises entre la face supérieure d'une
première couche et la face supéiicure d'une couche quelconque.
Si 9 est l'obliquité de la pression, cette équation et la suivante :

dx ( I 'dx^' \'

X^cos'9 = ^^n-Y/sin'9 — ^cos^9J

résolvent complètement le problème. Rankine a admis, pour faci-
liter l'intégration, la relation suivante :

X=F(H) + 0(j).

M. Boussinesq discute cette hypothèse et montre qu'elle ne s'ac-
corde pas entièrement avec les faits : « Peut-être trouvera- t-on un
jour quelque ordre de phénomènes auquel l'hypothèse considérée
serait plus applicable, et qui réaliserait ainsi cette curieuse analo-
gie d'une distribution de pressions avec le mouvement de la cha-
leur dans une barre. «

Choron. — Calcul des moments fléchissants et des flèches dans
les poutres djoites métalliques à plusieurs travées. (64 p., i pi.)

Thoyot. — Détermination du nombre nùjùmum de freins à
introduire dans les trains. (33 p., 4 ph)

Cètre. — appareil hélicoïdal des voûtes biaises à section
droite circulaire. (21 p., i pi.)

Tome V; année i8-5.

Bouvier. — Calculs de résistance des grands barrages en
maçonnerie. (34 p-, i pi)

Application des formules au barrage de Thernay.
Considérations sur la détermination d'un profil-type.

Bazik. — Discussion des expériences les plus récentes sur la
distiihution des vitesses dans un courant. (42 p., 2 pi.)

On admet généralement que les vitesses sur une même verticale
varient comme les ordonnées d'une parabole : la plus grande
vitesse V est, tantôt à la surface, tantôt au-dessous, sans que l'on
ait pu jusqu'ici se rendre bien compte des causes qui font varier

2GG BULLETIN DES SCIENCES

sa position. D'après cette loi parabolique, la vitesse r en un point
donné d'une v(;rlicale se déduit de sa profondeur li par la formule
ti'ès- simple

h — II"

V-M

H

dans laquelle h' désigne la distance du sommet de la parabole à la
surface, H la profondeur totale, M un paramètre.

Dans des expériences en petit, iNI. Bazin a été conduit à donner

à ce paramètre la valeur M=20y^HJ, I désignant la pente du
canal. L'équation de la parabole devient alors

\ I — a
ou

f = V — aoy/Hl x"^,

suivant que la vitesse maximum était observée au-dessous de la sur-
face ou à la surface même.

L'auteur discute ensuite les résultats des expériences faites en
Europe sur de grands cours d'eau 5 celles de MM. Humplireys et
Abbot sur le Mississipi et de M. R. Gordon sur l'Irrawaddi.

PiARKOiV deMondésir. — Théorie de la locomotive sans foyer.
(14 p.)

Il s'agit d'un moteur très-ingénieux, inventé par M. le D*" Lamm,
et appliqué à la traction de tramw^ays en Amérique. Cette loco-
motive sans foyer consiste en un récipient d'eau surchauffée, qui
fournit de la vapeur saturée, dont la température et la pression
vont naturellement en diminuant.

Dans les éléments de travail pris pour exemple, l'auteur arrive
à cette conclusion que, pour atteindre la vitesse de 2j kilomètres à
l'heure, l'appareil devrait pouvoir vaporiser 1000 kilogrammes
d'eau par lieure, c'est-à-dire le neuvième du poids d'eau nécessaire
à la remorque d'un train de 00 tonnes, sur un chemin de fer à
voie étroite, dont les accidents du pi'ofil en long équivaudraient à
une rampe continue de o,oo36'.

HiRSCH. — iMachiiies aérollH'nniijucs. (5 p.)

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 267

Réponse à une réclamation de priorité. Xous en signalerons le
passage suivant :

« On u'est pas d'accord, jusqu'à présent, sur les fonctions des
régénérateurs de chaleur : un grand nombre de savants fort auto-
risés dénient à ces appareils toute espèce de valeur et d utilité;
d'autres, au contraire, en admettent l'efficacité dans certains cas
particuliers. Briot et \ crdet prouvent que, par l'emploi des régé-
nérateurs, les machines de Stirling et d'Ericsson sont théorique-
ment parfaites; M. l'inspecteur général Combes est arrivé à la
même conclusion pour la machine de Franchot; mais, en dehors de
ces cas particuliers, je ne sache pas que l'on ait démontré l'ellicacité
des régénérateurs : c'est ce que je me suis efforcé de faire, et je crois
avoir réussi à démontrer que toute machine à air chaud, munie
d'un régénérateur de chaleur convenable, est théoriquement par-
faite, et présente un coefficient économique égal à celui du cycle
de Carnot. Cette démonstration et l'étude du jeu de la chaleur
dans les régénérateurs sont les bases de mon travail. La théorie des
générateurs de pression n'en est qu'une application spéciale, un
cas tout à fait particulier. »

H. B.

ROCZNIKI C. K. TowARZYSTWA naukowego Krakowskïego C).

3' série. Tome VII; 1862.

Zebkawski (Th.). — Adam Kochanshi et ses écriis malliê-
maliques. (9 p)

Adan Adamandy Kocliaiiskj, jésuite, connu dans l'Europe occi-
dentale sous le nom de Polono-Dobriniacus, professeur de Mathé-
matiques à Mayence (1659), au Collège des Jésuites à Floi'ence

(') Annales de la Société I. et R. des Sciences de Cracovie.

Les Annales de la Société scientifique de Cracovie, publiées en langue polonaise,
forment à l'heure actuelle trois séries de vingt volumes chacune, dont la moitié est
consacrée aux Sciences. Nous donnons ici un court aperçu des articles math, nialiques
contenus dans les six derniers volumes qui nous sont parvenus.

Depuis le commencement de l'année 1S73, ceUe Société s'tst transformée et a pri*
le titre à.' Académie des Sciences de Cracovie.

a68 BULLETIN DES SCIENCES

{i66y), à Olmûtz (1677), ^^ onfiii conservateur de la biblioihèque
de Jean Sobieski à ^ arsovie (où il est mort vers 1690), a laissé
plusieurs écrits mathématiques, dont les principaux sont :
. ^nalecta inatheinatica, sive theoreses inechanicœ de natiiva
machinariun fiind ainenlallain ;

Et MirabiLia chrofionietrica, dont Schott parle avec beaucoup
d'éloge (').

On lui doit la rectification approchée de la circonférence à l'aide
d'une construction géométrique, pouvant être traduite par la
formule

-circ. = v/(?.R)' — {3R — Rlang3o'')^=3,i4i533 ... X R.

Zebrawski (Tb.). — Nouvelle solution du problème de la
trisection de l'angle. (i4 p»)

Soit un angle ABC extérieur à un triangle BCD (^) et une cir-
conférence quelconque ayant son centre O sur le côté BC et tan-

ABC

gente en M et N aux côtés AD et DC. L'angle BCD = — _— -, pour

trouver le tiers de ABC, il suffit donc de connaître un des points
D ouC.

Le premier se trouve sur une courbe de forme parabolique, dont
l'équation par rapport à OB, prise pour l'axe des x avec O pour

origine, estj; = ; le dernier sur une autre courbe qui, rap-

portée à AD, prise pour l'axe des x avec M pour origine, a pour

3 y y^ . , , ^ 1 \

équation x = — — := ; le rayon de la circonférence étant égal a

v4r— j' ^

l'unité).

Les paramètres de ces courbes étant indépendants de la grandeur
de l'angle ABC, un gabarit tracé suivant une de ces courbes peut
donc servir pour tous les angles donnés. Au point de vue pratique,
c'est un avantage que ni la conclioïde ni la cissoïde ne possèdent.

(') Plusieurs autres dissertations sont insérées dans les Acta eiiuUtoritm, de
Leipzig.

(') Le lecteur est prié de faire la figure.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 269

Tome X, 1866.

KuczYNSKi (E.). — Nouveau thenno graphe métallique.
(29 p., I pi.)

Cet iiistrumeiJt est fondé sur le principe connu de l'inégalité de
dilatation de deux métaux (fer et laiton), appliqué aux balanciers
de pendules, avec la disposition inverse de tiges. L'allongement
total est alors la somme des dilatations partielles et peut être encore
amplifié par un système de leviers. Les variations de température
sont notées automatiquement sur une feuille roulante, à l'aide d'un
mécanisme semblable à celui des marégraphes.

L'auteur insiste sur les avantages de cet instrument, dont les
dimensions restreintes (i™,5o de hauteur) permettent d'étudier la
température d'une couche d'air assez mince et rendent son instal-
lation facile, et qui fournit des indications très-peu affectées par
les erreurs dues à la dilatation de l'édifice auquel il est fixé^ ce
qui n'a pas lieu pour les thermographes métalliques formés d'une
seule tige, qui nécessairement doit être très-longue.

Karlijnski. — Observations des petites planètes (84) et @ [Clio
et lo) à l' Observatoire de Cracovie.

Calcul de la déclinaison et de l'ascension droite de ces planètes.

Tome XII; 1867.

Zajaczkowski (W.). — Contribution à la théorie des niaxinia
et des mininia des fonctions de plusieurs variables. (8p.)

Soit y (xi, 0:2, ...,.r„) une fonction de plusieurs variables, où
Xi , Xs, . . . , Xn sont des valeurs qui rendent/ maximum ou minimum.
En posant

^^■^ -A.

dx\ ôx.^

l'auteur démontre que la fonction donnée sera minimum, ou
maximum, selon que toutes les racines de l'équation

A,,, — p A, ,2 ... A|.„

Aj,, A2,2 p . . . A2,„

A„,, A„,2 ... A„,„— p

270 BULLETIN DES SCIENCES

seront négatives ou positives, ou lorsque le polynôme («) présen-
tera exclusivement des permanences ou des variations de signes.

Mertens (Fr.). — Calcul du potentiel pour les poljèdres
homogènes. (9 p.)

Tome XVI; 1870.

Habich (E.) — Un système particulier des coordonnées, ^appli-
cation au jc caustiques. (23 p.) (*).

Soit OM une tangente à une courbe plane (E) 5 posons OM=: /■,
S0 = ^, S étant un point fixe sur (E), et 9 l'angle de la tangente
MO avec un axe fixe. On peut déterminer la position du point M
par des relations

(i) s=o[0], r='\>[Q],

coordonnées liées avec les coordonnées cartésiennes par les rela-
tions

x=zj'dscos0, }~ =: f ds s\n 0 .

Ce système facilite les recherches relatives aux lignes caustiques,
dont l'étude dépend des transformations à l'aide des rayons vec-
teurs réciproques et des podaires.

PiOTROwsKi (G.). — Sur des microscopes et des télescopes diffé-
rents de ceux qui sont actuellement en usage. (20 p.)

L'auteur propose d'augmenter le grossissement de ces instru-
ments par l'adjonction convenable d'un système de lentilles
concavo-concaves. 11 a obtenu, en modifiant ainsi un microscope
ordinaire, des grossissements atteignant 80000 diamètres.

Zmurko (L.). — Du contact des circonférences et des sphères.
(M p.)

Solution générale du problème de contact d'un cercle avec trois
autres et d'une sphère avec quatre sphères données.

(') Ce Mémoire a été publié aussi en italien, dans les Anuali di Matematica piira
cd appUcata ; 1867-18G8. — Voir Bulletin, t. I, p. 3ii.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 271

Tome XÏX; 1871.

Zajaczkowski (W.). — Contribution à la théorie des équations
linéaires aux déri^^ées partielles du premier ordre, [ly p.)

Dans son Ouvrage intitulé : Treatise on differential équations,
1875, Boole ramène l'intégration d'un système d'équations linéaires
aux dérivées partielles à l'intégration d'un système d'équations
différentielles ordinaires de la forme

cioCfi^\ — -^1,1 a*^\ ~i" j»2,i aX'i —h • • . *t* -A»,i cij^ji^

mais il ne donne qu'indirectement le moyen d'intégrer ce système.
M. Zajaczkowski démontre que le système d'équations ci-dessus,
dont le type peut être mis sous la forme

i—n

dfk = \ Ai.i< dxi, ( /r = 1 , 2 , 3, . . . p),

OÙ le nombre n-\~p des variables surpasse le nombre p des équa-
tions de plus d'une unité, est intégrable sous la forme de p équa-
tions iiiiies avec Ji constantes arbitraires, toutes les fois que les

coefficients A,^^ satisfont à p — conditions de la forme

<- 7 \^^s.i-r-^ — Ar,

âxs Oxr ^u\ ' <^yi ' Ofi

où il faut substituer pour ;■ et s toutes les combinaisons des nombres
I, 2, 3, . . . 7Z, et pour A les nombres consécutifs i, 2, ...,/?.

Zajaczkowski ( W.). — Des intégrales singulières des équations
différentielles ordinaires du premier ordre. (i5 p.)

Les caractères des intégrales singulières établis par Caucliy et
ensuite par Boole conduisent à la rcclierchc d'une intégrale délinie,
dont on ne peut pas toujours effectuer le calcul. Il est cependant
facile de dc'-duire du caractère de Caucliy un autre caractère plus

1-1 BULLETIN DES SCIENCES

simple qui n'exige aueune intégration. Tel est l'objet de ce Mémoire,
dont le résultat peut s'énoncer ainsi :
Soit u =f[x^j) = o une intégrale de

il faut et il suffit, pour que u soit une intégrale singulière, que l'on
ait

' I

d-

do { x.r\ © [x,r]

—r = 00 , ou -J— \^^^ = co .

Of dx

Ces conditions ont été déduites encore par Laplace du caractère
d'EuIerj mais de sa déduction on pouvait seulement conclure
qu'elles étaient nécessaires : il restait à démontrer qu'elles sont
suflisantes. A. P.

NACHRICHTEN von der K. Gesellschaft der Wissenschaften und der
Georg-Augusts-Universitàt zu Gottingen C).

Année 1875.

Réthy (M.). — Sur un principe de dualité dans la Géométrie
de l'espace. (6-ii).

ScHERiNG (E.) . — Lignes, surjaces et figures d'ordres supérieurs
dans les espaces à 7i dimensions de Qauss et de Rieniann. (i3-2i).

QuiNCKE (G.). — Sur la diffraction de la lumière. (22-32).

Listing ( J.-B.). — De l'état actuel de nos connaissances sur la
forme et la grandeur de la Terre. (33-98) (^).

Brill (A.) et NoETHER (M.). Sur les fonctions algébriques et
leur emploi en Géométrie. (ii6-i32).

§ 1 . Le théorème de l'équivalence. — § 2. Groupes de points parti-
culiers. Caractère d'invariant des courbes ^. Théorème sur le genre.

(♦) Voir Bulletin, t. IX, p. 276.
(') Voir Bulletin, t. IX. p. a^i.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 7.73

— § 3. S\'slèines de points spéciaux dans le plan. — § 4. Le théo-
rème de Riemann et de Rocli. — ^5. Application à la rtklnctioii
aux formes normales des courbes à modules généraux.

ScHERiKG (E.). — La force de la pesanteur dans les espaces à
n dimensions de Gauss et de Riemann. (149-1 09).

MiNMGERODE (B.). — Sur la distribution en i^enres des formes
ffuadratiffues à coefficients et à variables complexes. ( 1 60 -180).

E]\A,EPEa (A.). — Remarques sur l'eni'eloppe d'une surface
spliérique. ''21^-248).

]NoETHER (M^-). — Sur les fonctions algébriques; 5*^ jNote (* .
Deux nouveaux critériums de la cojrespondance uniforme des
surfaces algébriques. (248-254).

KoHLKALSCH (F.). — Sur V équivalent éleclroclùnùque de V eau .
(26^-264).

Klijvkekfues (W.). — Sur une grande pluie d'étoiles filantes
dans l'année 624 après J .-C, et sa relation probable avec la
comète de Biela et celle de Vannée 1 162. (270-296).

Mayer (A.). — Sur l'intégration des équations aux différen-
tielles partielles du premier ordre. ( 299-8 10).

I. Extension donnée par Lie à la méthode de Cauchy. — IL Sur
une imperfection des nouvelles méthodes d'intégration et sur un
moyen d'y remédier.

Sttrm (R.). — Le problème de la projectivité dans l'espace.
(3i i-32o).

Klikkerixes (W.). — Sur les syslè/nes d'étoiles fixes, leurs
parallaxes et leurs nwuvements. Communication prélindnaire.
(339-362).

QtiiscKE (G.). — Nouvelle méthode pour étudier les divisions
d un cercle. (41 1 -4 1 4 •

^ oss (A.). — Note concernant la transformation uniforme des
courbes planes . ( 4 > 4-4 17)-

(') Voir Nachricliten, 18G9, 11° 15; 1871, n" 9; 1870, n" 25, ot la Noto ci-dossiis
rédigée en romm\in par l'auteur et i\r. I^rill. — liuUetin. t. I, p. 2!;); t. IX, p. iS- cl
279-

Bull, (les Sciences nutllténi. et aUro/i., t. XI. (Décembre i87r).) 18

274 BULLETIN DES SCIENCES

Voss (A.). — iSiw laGéométrie des surfaces. (418-420).

Enneper (A.). — Remarques sur les surfaces orlliogonales.
2«Note ('). (423-437).

Bjerkkes (C.-A.). — Notices historiques sur le problème de Di-
riclilet concernant la splière et V ellipsoïde (439-447)-

Bjerknes (C.-A.). — Généralisation du problème de l'ellip-
soïde en repos dans un fluide indéfini en mouvement. (44^-
460).

Kluvkerfues (W.). — addition à la méthode de détermina-
tion de la parallaxe au moyen des radiants. (460-462).
Foir le Mémoire ci-dessus du même auteur.

R1ECK.E (Ed.) . — Sur la loi fondamentale de TTeher concernant
l'action mutuelle électrique, dans son application à l'hypothèse
unitaire. (536-543).

Voss (A.). — Sur la géométrie des figures de lignes de Plii-
cker. (544-55 1)-

Du Bois-Reymoivd (P.). — Sur les séries de Fourier. (571-

584).

Sur la possibilité de représenter les fonctions continues par les
séries de Fourier. — Sur les conditions de possibilité de la repré-
sentation d'une fonction par les séries de Fourier.

Voss (A.). — Sur la géométrie des surfaces focales des con-
gruences. (61 1-6 18).

Minnigehode (B.). — Sur une nouvelle méthode pour résoudre
V équation de Pell. (619-652).

ScHEKiiN'G (E.). — Théorie d'Hamilton et Jacobi pour les
forces, dont la mesure dépend du mouvement des corps. (744"
'753).

LUiiOTH (J.). — Sur le calcul des Wûrfe. ( 767-779).
Foir, pour la signification de l'expression TT urf, v. Staudt,
Beilrâge zur Géométrie der Lage, § 19 et suiv.

(') Voir ISnchrichtcn, iS^t, p. 226. — nuUetin, t. IX, p. 278.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 077

H\TTEj\noiiFF (K.). — Rcmarquo); sur la théorème de Sturvi.

(779-:84).

Ennepeu (A.). — Remarcfiies sur la théorie gé/iérn/e des sur-
faces. (78J-804).

Bjerkjnes (C.-A.). — Généralisation du problème des mouve-
ments ])rod ails par le mouvement d'un ellipsoïde dans un fluide
non élastique en repos, i^'^ et p. *" Mémoire. (829-867).

Amicc 1874.

KoHLRAuscH (F.). — Sur la thermo-électricité et sur la conduc-
tibilité thermique et électrique. (65-86).

4. Loi des forces tlienno-électroinolrices. — 2. Dévelo|)pemenl,
delà clialeur de Peltier. — 3. Réaction du courant llierinique sur
un courant électrique lié avec lui. — 4. Conséquence du principe
de la conservation de l'énergie. Exception à la loi de Joule. —
5. Déplacement du rang thermo-électrique des métaux par la tem-
pérature. — 6. Sur le travail et la conductibilité de la chaleur. —
7. Sur les forces de contact de Volta et le développement de la
chaleur de Peltier.

Ennepeu (A.). — Remarques sur les recherches de Géométrie
analytiijue. (laS-iay).

Eiv]\EPER (A.). — Sur quelques théorèmes concernant les sur-
faces de second degré. ( i 27- 1 5 1 ) .

Fromme (C.J. — La fonction magnétisante d'une sphère de fer
doux. (16J-171).

Thomae (J.). — Formation d'une équation dijjérenticlle inté-
grable, au moyen de la méthode de la diff'érentialion à indice
quelconque de Liouville. (2.49-267).

Schubert (11.). — Les caiacté/'istiques des courbes planes du
troisième ordre dans l'espace. (267-283).

Bjeukkes (C.-A.). — Généralisation du problème des mouve-
ments produits par le mouvement d'un ellipsoïde, dans un fluide
non élastupie en repos. 3*" Mémoire. (2.85-3 16).

I. Généralisation et variation de la fonction i|/ . — 11. Mouve-

18.

2;G BULLETIN DES SCIENCES

ment de transi a lion. — III. Mouvement de rotation. — IV. Clian-
gement de forme avec conservalion du volume. — V. Changement
de volume avec conservation de la similitude. — \I. Mouvements
composés^ remarques finales.

Mayer (A.). — ■ Sur les transformations de contact de Lie.
{3i7-33i).

Voss (A.) . — Sur les complexes et les congruences. (375-378) (^) .

Enneper (A.). — - Sur un problème de Géométrie. (474~485).

Lie (S.). — Sur les groupes de transformations. (529-542).

RiECKE (Ed.). — Sur les lois de l' induction volta'ùjue. (657-

664).

I. Force éleclromolrice d'éléments de courant en repos et d'in-
tensité variable. — II. Force électromotrice d'un élément de cou-
rant d'intensité constante, agissant sur un point d'un conductejur
en mouvement.

RiECKE (Ed.). — Sur le mouvement moléculaire de deux par-
ticules., dont V action mutuelle est régie par Ui loi de JVeher sur
la force électrique . ( 665-672 ) .

ADoée 1875.

KoHLRAuscH (F.)- — Sur la réaction élastique. (4i-49)-

Mittag-^Leffler (G.). — Démonstration de ce théorème de
Caucliy : «. Si une fonction f[x), en chaque point pris à l'inté-
rieur ou sur le parcours d' une ligne fermée ne se coupant pas
elle-même , n'ayant pas une infinité de points anguleux et située
dans le plan de la variable complexe x, reste toujours uniforme,
continue et finie, et si, en chacun de ces points, elle a une dérivée
finie et déterminée, l intégrale ff(^x)dx prise le long de cette
ligne est nulle. (63-73).

Voss (A.). — Sur un problème fondamental de la Géo7iiélrie
pliïckéj'ienne. ( 1 o i - 1 2,3 ) .

i. Introduction. — 2. Sur un principe de coordination des

(') Par iiiio orroiir do pa[Tiiialion, les pagos qui devraient porter les ii"' SSi-ZiO/j sont
munérolées .'i^ i-'îr)']. F.a dernière pafje du Mémoire de ÎM. Voss devrait avoir le ii" 388.

MATHÉMATIQUES ET ASTUONOMIQUES. 277

droites relativement aux complexes spéciaux. — 3. Droites dou-
bles et discriminant d'un complexe. — 4. De la représentation
d'une forme géométrique à l'aide d'un complexe. — 5. Sur les
équations diilérentielles de certains complexes spéciaux. — 6. Mé-
thode des complexes polaires.

Enneper (A.). • — Remarques sur la flexion de certaines sur-
faces. (129-162).

Fromme (C). — Recherches sur le magnétisme des barreaux
d'acier. (297-308).

HiMSTEDT (F.). — Sur les oscillations d'un aimant sous l'in-
fluence retardatrice d' une sphère de cuivre. (3o8-325).

KoEiMGSBERGER (L.). — Relations entre les modules de pério-
dicité de deux intégrales hj perelliptiques . (32^-333).

Schubert (H.). — Les treize dégénérescences et les nombres
fondamentaux des courbes planes du troisième ordre à point de
rebroussement. (359-387).

ToNELLi (A.). — Sur la théorie de la connexion. (387-390).

Ejvneper (A.). — Table des fonctions sjmétriques de poids XI,
par M. le professeur Faà de Bruno. (390-393).

Fromme (C). — Note sur le maximum du magnétisme tem-
poraire dans le fer doux. (5oo-5o2).

ToNELLi (A.). — Sur la fonction potentielle dans un espace à
n dimensions. (52 1-552).

Fl'chs (L.). — Sur les équations différentielles linéaires du
second ordre qui ont des intégrales algébriques, et sur u/ie nou-
velle application de la théorie des invariants. (56*8-58 1).

■2-;S UULLETII^ IJliS SClliNCJiS

MÉLANGES.

sut LA THÉORIE DES NOMBRES EHIERS ALGÉRRIQIES;
Pau m. R. DEDEKIND.

IKTRODUCTIOiV.

Eu réponse à l'invitation que l'on m'a fait l'honneur de ni'a-
dresser, je me propose, dans le présent Mémoire, de développer les
principes fonddiuentaux de la tliéorie générale, échappant à toute
exception des nombres entiers algébriques, principes que j'ai pu-
bliés dans la seconde édition des Leçons sur la Théorie des nom-
hres de Dirichlct. Mais, à cause de l'étendue extraordinaire de ce
champ de recherches mathématiques, je me bornerai ici à pour-
suivre un but unique, que je vais essayer de définir clairement par
les remarques suivantes.

La théorie de la divisibilité des noml)i'es, qui sert de fondement
à l'arithmologie, a déjà été établie par Euclide dans ce qu'elle a
d'essentiel ^ du moins, le théorème capital que tout nombre entier
composé peut toujours se mettre, et cela d'une seule manière, sous
la forme d'un produit de nombres tous premiers, est une conséquence
immédiate de ce théorème démontré par Euclide (*), qu'un produit
de deux nombres ne peiit être divisible par un nombre premier que
si celui-ci divise au moins l'un des facteurs.

Deux mille ans plus tard, Gauss donna, pour la première fois,
une exteusion à la notion du nombre entier; tandis que, jusqu'à lui,
on ne désignait sous ce nom que les nombres o, ±i, =t a, . . .,
que j'appellerai dans tout ce qui va suivre nombres entiers ration-
nels^ Gauss introduisit (^) les nombres entiers complexes^ de la
forme a-\-h y/ — i , a et b désignant des nombres entiers rationnels
quelconques, et il démontra que les lois générales de la divisibilité
de ces nombres sont identiques avec celles qui régissent le domaine
des nombres entiers rationnels.

La plus haute généralisation de la notion du nombre entier con-

(') Eléments, VII, 3>,

(•) Tlivoria ivstdaoi iiin hiqtuuli allconiw, II; i83''.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 279

siste dans ce qui suit. Un nombre Q est dit un nombre algébrique^
lorsqu'il satisfait à une équation

B" + a, 0"-' -h a-/j"-- + ...-!- itn-, 0 + «„ = o,

de degré fini ii et à coefficients rationnels «i, rt,, . . ., rt„_i, «„; il
est dit un nombre entier algébri//ue, ou plus brièvement un nombre
entier, lorsqu'il satisfait à une équation de la forme ci-dessus,
dans laquelle les coefficients rtj, a,, ..., «„_i, a„ sont tous des
nombres entiers rationnels. De cette définition il résulte immédia-
tement que les sommes, les différences et les produits de nombres
entiers sont tous aussi des nombres entiers; par suite, un nombre
entier a sera dit dii'isible par un nombre entier j3, si l'on a a = |3y,
y étant également un nombre entier. Un nombre entier e s'appel-
lera une unité, lorsque tout nombre entier quelconque sera divi-
sible par e. Par analogie, on devrait entendre par nombre premier
un nombre entier a qui ne serait pas une unité, et qui n'aurait poui'
diviseurs que les unités e et les produits de la forme ex\, mais il est
facile de reconnaître que, dans le domaine de tous les nombres en-
tiers que nous considérons ici, il n'existe pas de tels nombres pre-
miers, puisque tout nombre entier qui n'est pas une unité peut
toujours être mis sous la forme d'un produit de deux facteurs ou
plutôt d'un nombre quelconque de facteurs , qui sont tous des
nombres entiers, mais non des unités.

Toutefois, l'existence des nombres premiers et l'analogie avec
les domaines des nombres entiers rationnels ou complexes com-
mence à se montrer de nouveau, lorsque du domaine de tous les
nombres entiers on sépare une partie infiniment petite, de la ma-
nière suivante. Si Q est un nombre algébrique déterminé, parmi
les éqviations cà cocllicients rationnels, en nombre infini dont B est
racine, il y en a une et une seule,

b" -f- rt, 6"-' -f- . . -t- «„_, B H- a„ = o,

qui est de degré moins élevé que toutes les autres, et que l'on nomme
à cause de cela irréductible. Si ^o, ^"i, Ji'^i . . . , JCn-i désignent des
nombres rationnels pris à volonté, tous les nomJjres de la forme

dont nous représenterons le complexe par 12, seront aussi des
nombres algébriques, et ils jouiront de la propriété fondamentale

28() liULLiniN DES SCIENCES

([ue Jcurs soiuiiics, leurs didérenccs, leurs produits et leurs quo-
tients appartiendront tous aussi au même complexe 12 5 j'appellerai
un tel eoniplexe Q. un curps Ji/ii du de^^ré n. Tous les nombres
o(0) appartenant au corps il se partagent maintenant, conformé-
mejit à la définition ci-dessias, en deux grandes classes, savoir, eu
nombres entiers dont nous désignerons le complexe par 0, et en
nombres non entiers ou nombres fractionnaires. Le problème que
nous nous proposons consiste à établir les lois générales de la divi-
sibilité qui régissent un tel système 0.

Le système 0 est évidemment identique avec le système de tous
les nombres entiers rationnels, lorsqu'on a « = i , ou avec celui des
nombres entiers complexes, lorsqu'on a /z = 2 et 0 = y/' — i . Cer-
tains phénomènes qui se présentent dans ces deux domaines 0 spé-
ciaux se reproduisent encore dans tout domaine 0 de cette nature;
il faut observer avant tout que la déconq:>osition illimitée dont il a
été question plus haut, et qui règne dans le domaine qui comprend
tous les nondjres algébriques entiers, ne se rencontre jamais dans
un domaine 0 de l'espèce indiquée, comme on peut aisément s'en
assurer par la considération des normes. Si l'on entend, en effet,
par norme d'un nombre quelconque p. = 0(6), appartenant au
corps 0, le produit

^[\)]=^mj-,\>-i . . . p.„-i,

dont les facteurs sont les nombres conjugués

0, 01, 02, . , . , 9„_i désignant toutes les racines de la même équation
irréductible du ?^"^'"'^ degré, IN (|u) sera toujours, comme on sait, un
nombre rationnel, et ne deviendra =0 que si p. =:: o\ en même
temps, on a toujours

N(a[3)=N(«)N(j3),

a et j3 étant deux nombres quelconques du corps 0. Si maintenant
p. est lin nombre entier et par suite un nombre compris dans 0, les
autres nondjres conjugués p.), |U,, . . ., M„_i seront pareillement des
nombres entiers, et par suite JN (y.) sera un nombre entier ra-
tionnel. Cette norme joue un rôle extrènKunent important dans la
théorie des nombres, du domaine 05 en effet, si deux nombres quel-
concjues a , j3 de ce domaine sont dits congrus ou incongrus par rappoi-t

MATHÉMATIQUES ET ASTUONUMIQUES. 281

à un troisième fji, pris pour module, selon que leur dillerence
=b (a — ,S) est ou n'est pas divisible par |:jt, on pourra, exactement
comme dans la théorie des nombres entiers rationnels ou complexes,
partager tous les nomljres du système 0 en classes de nombres, d(;
sorte que chaque classe comprenne l'ensemble de tous les nombres
qui sont congrus à un nombre déterminé, lequel sera le représentant
de cette classe, et une étude plus approfondie nous apprend que le
nombre de ces classes (à l'exception du seul cas de fx = o) est tou-
jours fini, et de plus égal à la valeur absolue de N(|tJi). Une consé-
quence immédiate de ce résultat, c'est que N (a) sera toujours =± 1
dans le cas, et seulement dans ce cas, où f/ sera une unité. Si main-
tenant un nombre du système 0 est dit décoinposable, lorsqu'il est
le produit de deux nombres de ce système, dont aucun ne soit une
unité, il suit évidemment de ce qui précède que tout nombre dé-
composable peut toujouis être représenté comme le produit d'un
nombre fini de facteurs indécomposables .

Ce résultat correspond encore complètement à la loi qui a lieu
dans la théorie des nombres entiers rationnels ou complexes, savoir
que tout nombre composé peut être représenté par le produit d'un
nombre fini de facteurs premiers*, mais en même temps c'est ici le
point où l'analogie, observée jusqu'ici, avec l'ancienne théorie me-
nace de se rompre pour toujours. Dans ses recherches sur le domaine
des nombres qui appartiennent à la théorie de la division du cercle,
et qui correspondent par suite aux équations de la forme 6'"= i,
Kummer a remarqué l'existence d'un phénomène par lequel les
nombres de ce domaine se distinguent en général de ceux qu'on a
considérés auparavant, d'une manière si complète et si essentielle,
qu'il restait à peine un espoir quelconque de conserver les lois
simples qui régissent l'ancienne théorie des nombres. En eii'et,
tandis que, dans le domaine des nombres entiers, tant rationnels que
complexes, tout nombre composé ne peut se mettre que d'une seule
manière sous la forme d'un produit de nombres premiers, on recon-
naît que, dans les domaines numériques considérés par Kummer,
un nombre décomposable peut souvent se représenter de plusieurs
manières, entièrement différentes entre elles, sous la forme d'un
produit de nombres indécomposables, ou, ce qui dans le fond
levient au même, on reconnaît que les nombres indécomposables
ne possèdent pas tous le caractère d'un nombre premier propre-
ment dit, lequel consiste en ce qu'un nombre ])rcmier ne peut

9.82 BULLETIN DES SCIENCES

diviser un produit de deux ou de plusieurs facteurs, s'il ne divise
au moins un de ces facteurs. Mais plus le succès des recherclies
ultérieures sur de tels domaines numériques devait sembler déses-
péré (*), plus on doit de reconnaissance aux eil'orts persévérants
de Kummer, qui ont été enfin récompensés par une découverte
vraiment grande et féconde. Ce géomètre est parvenu (*) à ramener
toutes les irrégularités apparentes à des lois rigoureuses, et en con-
sidérant les nombres indécomposables, mais dépourvus du caractère
de véi'i tables nombres premiers, comme des produits de facteurs
premiers idéaux, qui n'apparaissent et ne manifestent leur ellet
que combinés ensemble, et non pas isolés, il a obtenu ce résultat
surprenant, que les lois de la divisibilité dans les domaines de
nombres étudiés par lui coïncident maintenant complètement avec
celles c[ui régissent le domaine des nombres entiers rationnels.
Tout nombre qui n'est pas une unité se comporte, dans toutes les
questions de divisibilité, tant dans un rôle actif que dans un rôle
passif, ou comme un nombre premier, ou comme un nombre formé
par la multiplication de facteurs premiers, existants ou idéaux,
complètement déterminés. Deux nombres idéaux, soit premiers,
soit composés, qui se cliangent en deux nombres existants par la
combinaison avec un seul et même nombre idéal, sont dits équi-
valents, et tous les nombres idéaux équivalents à un même nombre
idéal déterminé forment une classe de nombres idéaux; l'en-
semble de tous les nombres existants, qui sont considérés comme
un cas spécial des nombres idéaux, forme la classe principale^ à
cliaque classe principale correspond un système d'une infinité de
formes liomogènes équivalentes, à n variables et du degré «, qui
sont décomposables en n facteurs linéaires à coefficients algébri-
ques 5 le nombre de ces classes est fini, et Kummer est parvenu à
étendre à la détermination de ce nombre les principes par lesquels
Diriclilet a déterminé le nombre des classes des formes quadra-
tiques binaires.

(') Dans le Mémoire : De niimeris complexis qui radicibus unitutis et numcr'is integri
realibus constant {^Vrastistaviœ , iS^^» § ^)> Kummer dit: « Maxime dolendum videtur,
quod hœc numerorum realium virtus, ut in laclores piimos dissolvi possint qui pro
codem numéro scmper iidem sint, non eadem est numerorum complexorum, quœ si
esset tota hœc doctriiia, quaî majjnis adhuc diflicullatibus laborat, l'acile absolvi et ;id
linem perduci posset. »

(■) Zur Thcoric dcr cuniplcxcn Zahlcn '^Jaunuil de Civile, t. 3j).

MATllEMATlgUliS ET ASTKUiNOxMKJUl^^^ • '^83

Le grand succès des recherches de Kummer, dans le domaine de
la division du cercle, donnait lieu de présumer que les mêmes lois
subsistaient dans tous les domaines numériques o de l'espèce la plus
générale, dont il a été question plus haut. Dans mes recherches,
qui avaient pour but d'amener la question à une solution définitive,
j'ai commencé par m'appuyer sur la théorie des congruences d'ordre
supérieur, parce que j'avais déjà précédemment remarqué que par
l'application de cette théorie les recherches de Kummer pouvaient
être considérablement abrégées ^ mais, bien que ce moyen conduisit
jusqu'à un point très-voisin du but de mes ellorts, je n'ai pu tou-
tefois réussir par cette voie à soumettre certaines exceplions appa-
rentes aux lois constatées pour les autres cas. Je ne suis parvenu à
la théorie générale et sans exceptions, que j'ai publiée pour la
première fois au lieu indiqué plus haut, qu'après avoir entièrement
abandonné l'ancienne marche plus formelle, et l'avoir remplacée
par une autre partant de la conception fondamentale la plus simple,
et fixant le regard immédiatement sur le but. Dans cette marche,
je n'ai plus besoin d'aucune création nouvelle, comme celle du
nombre idéal àe Kummer, et il suffit complètement de la considé-
ration de ce système dénombres réellement existants, que j'appelle
un idéal. La puissance de ce concept reposant sur son extrême sim-
plicité, et mon dessein étant avant tout d'inspirer la confiance en
cette notion, je vais essayer de développer la suite des idées qui
m'ont conduit à ce concept.

Kummer n'a pas défini les nombres idéaux eux-mêmes, mais
seulement la divisibilité par ces nombres. Si un nombre a possède
une certaine propriété A, consistant toujours en ce que a satisfait
à une ou plusieurs congruences, il dit que a est divisible par un
nombre idéal déterminé, corr(!spondant à la propriété A. Bien que
cette introduction de nouveaux nombres soit tout à fait légitime, il
est toutefois à craindre d'abord (]ue, par le mode d'expression que
l'on a choisi, dans lequel on parle de nombres idéaux déterminés
et de leurs produits, et aussi par l'analogie présumée avec la théorie
des nombres rationnels, on ne soit entraîné à des conclusions préci-
pitées et par là à des démonstrations insuffisantes, et en eiîet cet
écueil n'est pas toujours complètement évité. D'autre part, une défi-
nition exacte et qui soit commune à tous les nombres idéaux qu'il
s'agit d'introduire dans un domaint- numérique déterminé o, et vu
même teuq)s une définition généraledi' leur multiplication [)araissenl

284 BULLETIN DES SCIENCES

d'autant plus nécessaires, que ces nombres idéaux n'existent nulle-
ment dans le domaine numérique considéré o. Pour satisfaire à ces
exigences, il sera nécessaire et suffisant d'établir une fois pour toutes
le caractère commun de toutes les propriétés A, B, C, . . . , qui tou-
jours, et elles seules, servent à l'introduction de nombres idéaux
déterminés, et ensuite d'indiquer généralement comment de deux de
ces propriétés A, B, auxquelles correspondent deux nombres idéaux
déterminés, on pourra déduire la propriété C qui doit correspondre
au produit de ces deux nombres idéaux (*).

C) La légitimité ou plutôt la jiécessité de telles exigences, qui devraient toujouis
s'imposer dans l'introduction ou la création de nouveaux éléments arithmétiques,
deviendra encore plus évidente par la comparaison avec l'introduction des nombres
réels irrationnels, objet dont je me suis occupé dans un écrit spécial {Stetigheit und
irrationale Zahlen ; Brunswick, 1873). En admettant que l'arithmétique des nombres
rationnels, dont nous désignerons l'ensemble par R, soit définitivement fondée, il
s'agit de savoir de quelle manière on devra introduire les nombres irrationnels, et
définir les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division
à exécuter sur ces nombres. Comme première exigence, je reconnais que l'Arithmé-
tique doit être maintenue exempte de tout mélange d'éléments étrangers, et pour
celte raison je rejette la définition d'après laquelle le nombre serait le rapport de
deux grandeurs de même espèce; au contraire, la définition ou la création du nombre
irrationnel doit être fondée uniquement sur des phénomènes que l'on puisse déjà
constater clairement dans le domaine R. En second lieu, on devra exiger que tous les
nombres réels irrationnels puissent être engendrés à la fois par une commune défi-
nition, et non successivement comme racines des équations, comme logarithmes, etc.
La définition devra, en troisième lieu, être de nature à permettre aussi une définition
parfaitement claire des calculs (addition, etc.) que l'on aura à faire sur les nouveaux
nombres. On parvient à tout cela de la manière suivante, que je ne ferai ici qu'in-
diquer :

i" J'appelle section du domaine R un partage quelconque de tous les nombres
rationnels en deux catégories, tel que chaque nombre de la première catégorie soit
algébriquement moindre que chaque nombre de la seconde catégorie.

1° Tout nombre rationnel déterminé a engendre une section déterminée ( ou deux
sections, non essentiellement différentes), par cela qu'un nombre rationnel quelconque
sera classé dans la première ou dans la seconde catégorie, suivant qu'il sera algébri-
quement plus petit ou plus grand que a (tandis que a lui-même pourra être inscrit
à volonté dans l'une oii dans l'autre des deux catégories).

3° 11 y a une infinité de sections qui ne peuvent pas être engendrées par des nom-
bres rationnels, de la manière indiquée: pour toute section de cette espèce, on crée
et l'on introduit dans l'arithmétique un nombre irrationnel spécial, correspondant U
cette section (ou l'engendrant).

l\° Soient K, ,3 deux nombres quelconques réels (rationnels ou irrationnels); il
est facile, d'aptes les sections qu'ils engendrent, de définir si l'on a a > ,2 ou k <i^;
de plus, on peut aisément définir, au moyen de ces deux sections, les quatre sections
auxquelles doivent correspondre la somme, la dillerence, le produit, le quotient des
deux nombres v., ji. Par là sont définies sans aucune obscurité les quatre opérations

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. -2X3

Ce problème est essentiellement simplifié par les réflexions sui-
vantes. Comme une telle propriété caraetéristique A sert à définir,
non un nombre idéal lui-même, mais seulement la divisibilité des
nombres contenus dans o par un nombre idéal, on est conduit natu-
rellement à considérer l'ensemble a de tous ces nombres c/. du do-
maine 0 qui sont divisibles par un nombre idéal déterminé ; j'appel-
lerai dès maintenant, pour abréger, un tel système a un idéal, de
sorte C[ue, à tout nombre idéal déterminé, correspond un idéal
déterminé a. Maintenant comme, réciproquement, la propriété A,
c'est-à-dire la divisibilité d'un nombre a par le nombre idéal, con-
siste uniquement en ce que a. appartient à l'idéal correspondant a,
on pourra, au lieu des propriétés A, B, C, . . . , par lesquelles a été
définie l'introduction des nombres idéaux, considérer les idéaux
correspondants a, 6, c, . • . , pour établir leur caractère commun
et exclusif. En ayant égard actuellement à ce que l'introduction des
nombres idéaux n'a pas d'autre but que de ramener les lois de la
divisibilité dans le domaine numérique o à une complète conformité
avec la théorie des nombres rationnels, il est évidemment néces-
saire que les nombres réellement existants dans o, et qui toutefois
se présentent en première ligne comme facteurs de nombres com-
posés, ne soient considérés que comme un cas particulier des nom-
bres idéaux; si donc ^ est un nombre déterminé de o, le système a
de tous les nombres a = fjtoo du domaine o divisibles par f/ aura
également le caractère essentiel d'un idéal, et il sera appelé un idéal
principal; ce système évidemment n'est pas altéré, quand on rem-
place li. par Sf/, e désignant une unité quelconque renfermée dans o.
Maintenant, de la notion de nombre entier établie plus haut résul-
tent immédiatement les deux théorèmes élémentaires suivants sur
la divisibilité :

1*^ Si les deux nombres entiers a=:u'.), a'=[Wsont divisibles par
le nombre entier p, leur somme a H- a'r^ p. {'ù -{- w') et leur ditlérence

fondamentales de l'Arithmétique pour deux nombres réels quelconques, et l'on peut
démontrer réellement des propositions telles, par exemple, que l'égalité \J:i.^^ = yb ,
ce qui n'a pas encore été lait, que je sache, dans le sens rigoureux du mot.

5° Les nombres irrationnels ainsi définis forment, réunis aux nombres rationnels,
un domaine Sî sans lacunes et continu; toute section do ce domaine Ot sera produite
par un nombre déterminé du même domaine; il est impossible de classer encore de
nouveaux nombres dans ce domaine St.

28(5 BULLETIN DES SCIENCES

a — 0:'= u.(o) — w') seront aussi divisibles par a, piiisc|uc la somme;
w -f- '>)' et la dillérence w — w' de deux iiomjjres entiers o), oi' sont
elles-mêmes aussi des nombres entiers.

2° Si a = /Jiw est divisible par ^, tout nombre ah^' ^n a(o)oj'j, divi-
sible par a, sera aussi divisible par u.. puisque tout produit ooco' de
deux nombres entiers w, œ' est aussi lui-même un nombre entier.

Si l'on applique ces théorèmes, vrais pour tous les nombres en-
tiers, aux nombres o) de notre domaine numérique 0, en désignant
par p. un de ces nombres déterminés, et par a l'idéal principal qui
lui correspond, on obtiendra les deux propriétés fondamentales
suivantes d'un tel système numérique a :

I. Les sommes et les différences de deux membres quelconques
du système a sont toujours des nombres du même système a.

II. Tout produit cV un nombre du système a par un nombre du
système a est un nombre du système a.

Maintenant, comme nous poursuivons le but de ramener généra-
lement, par l'introduction des nombres idéaux et d'un mode de lan-
gage coirespondant, les lois de la divisibilité dans le domaine nu-
mérique 0 à une complète conformité avec celles qui régnent dans
le domaine des nombres entiers rationnels, il s'ensuit que les défi-
nitions des nombres idéaux et de la divisibilité par ces nombres
devront s'énoncer de telle manière que les deux théorèmes élémen-
taires ci-dessus, 1° et oP. continuent à subsister lors même que p ne
serait pas un nombre existant, mais un nombre idéal, et par suite les
deux propriétés I et II appartiendront non-seulement aux idéaux
principaux, mais aussi à tous les idéaux. Nous avons donc trouvé
par là un caractère commun à tous les idéaux 5 à tout nombre exis-
tant ou idéal correspond un idéal complètement déterminé a, jouis-
sant toujours des deux propriétés I et II.

Mais un fait de la plus haute importance, et dont je n'ai pu
démontrer rigoureusement la vérité qu'à la suite de nombi'eux et
vains efforts et après avoir surmonté de grandes difficultés, c'est
que, réciproquement, tout système a qui jouit des propriétés I et U
est aussi un idéal, c'est-à-dire que a forme l'ensemble de tous
les nombres a du domaine 0 qui sont divisibles par un nombre exis-
tant déterminé, ou par un nombre idéal, indispensable pour com-
pléter la théorie. Les deux propriétés I et II sont donc non-seule-
ment les conditions nécessaires, mais encore les conditions suffisantes

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES. 18-

pour qu'un système numëriquo a soit un idéal : toute autre condi-
tion à laquelle on voudrait assujettir les systèmes numériques a, si
elle n'était pas une simple conséquence des propriétés 1 et II, ren-
drait impossible l'explication complète de tous les phénomènes de
la divisibilité dans le domaine 0.

Cette constatation m'a conduit naturellement à fonder toute la
théorie des nombres du domaine 0 sur cette définition simple, entiè-
rement délivrée de toute obscurité et de l'admission des nombres
idéaux ( * ) :

2hut sjstème a de nombres entiers du corps Q, qui possède les
j)ropriétés I et II, est dit va idéal de ce corps.

La divisibilité d'un nombre a par un nombre [i consiste en ce
que a est un nombre uco de l'idéal principal, qui correspond au
nombre ^ et peut être convenablement désigné par 0 [u.) ou oa^ et
de la propriété II ou du théorème 2°, il résulte qu'en même temps
tous les nombres de l'idéal principal oa sont aussi des nombres de
l'idéal principal Ofz. Réciproquement, il est évident que a est
certainement divisible par^, quand tous les nombres de l'idéal oa, et
par suite aussi a lui-même, sont contenus dans l'idéal o^u. De là on
est conduit à établir la notion suivante de la divisibilité, non-seule-
ment pour les idéaux principaux, mais encore pour tous les idéaux :

Un idéal a est dit divisible par un idéalh^ ou un multiple de i\
et B un diviseur de a, lorsque tous les nombres de l'idéal a sont en
même temps contenus dans 6. L n idéal Ip, dijférent de 0, qui n'a
aucun diviseur autre que 0 ei Ip, est dit un idéal premier (*).

De cette divisibilité des idéaux, qui comprend évidemment celle
des nombres, il faut d'abord bien séparer la notion suivante de la
i?iultiplicatioji el des produits da deux idéaux :

Si Cf. parcourt tous les nombres d'un idéal a, et [i tous les nom-
bres d'un idéal \i^ tous les produits de la forme a{ù et toutes les
sommes de ces produits formeront un idéal qui s'appellera le pro-
duit des idéaux 0, b, et que l'on désignera par ab (-).

Or on voit immédiatement, il est vrai, que le produit ah est divi-

(' ) Il est naturellement permis, quoifiue cène soit aucunement nécessaire, de faire
correspondre à tout idéal tel que a un nomùre idéal qui VenQendre, si ce n'est pas un
idéal principal.

(') En même temps le nombre idéal correspondant à l'idéal a& s'appellerait dit-i-
sible par le nombre idéal correspondant à l'iiléal b; ;i un idéal premier correspondrait
nn nombre idéal premier.

288 BULLETIN DES SCIENCES

siblc aussi bien par a que par B; niais l'établissement complet tle la
liaison entre les deux notions de la divisibilité et de la multiplica-
tion des idéaux réussit seulement après que l'on a vaincu des diffi-
cultés caractéristiques, profondément atlacliées à la nature du sujet;
cette liaison s'exprime essentiellement par les deux théorèmes sui-
vants ;

Si l'idéal c est. divisible par l'idéal a, il existera toujours un
idéal 6, et un seul^ tel que le produit ab soit identique avec c.

Tout idéal différent de o ou est un idéal premier, ou peut être
représenté, et cela d'une seule manière, sous forme d'un produit
d'idéaux tous premiers.

Dans le présent Mémoire, je me borne à démontrer ces résultats
avec une entière rigtieur et par voie synthétique. En cela consiste;
le fondem,ent propre de la théorie complète des idéaux et des
formes décomposables, laquelle offre aux mathématiciens un champ
inépuisable de recherches. De tous les développements ultérieurs,
pour lesquels je dois renvoyer à l'exposition faite dans les Forle-
sungen ilher Zahlentheorie de Dirichlet et à quelques Mémoires
qui paraîtront plus tard, je n'ai inséré dans le Mémoire actuel que
le partage des idéaux en classes, et la démonstration que le nombre
de ces classes d'idéaux (ou des classes de formes correspondantes)
est fini. La première Section contient seulement les propositions
indispensables pour le but présent, extraites d'une théorie auxi-
liaire, importante aussi pour d'autres recherches, et dont je publie-
rai ailleurs l'exposition complète. La seconde Section, qui a pour
but d'éclaircir sur des exemples numériques complètement déter-
minés les notions générales qui devront être introduites plus tard,
pourrait être entièremeiit supprimée; mais je l'ai conservée parce
ciu'elle peut être utile pour faciliter l'intelligence des Sections sui-
vantes, où l'on trouvera la théorie des nombres entiers d'un corps
fini quelconque développée jusqu'au point indiqué ci-dessus. Pour
cela, il suffit d'emprunter seulement les premiers éléments à la
théorie générale des corps, théorie dont le développement ultérieur
conduirait aisément aux principes algébriques inventés par Galois,
lesquels servent à leur tour de base aux recherches plus approfon-
dies dans la théorie des idéaux.

[A suivre.)

TABLES

DES

MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS.

TOME XI. - JUILLET-DÉCEMBRE 1876.

TABLE ANALYTIQUE

DES MATIÈRES.

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

l'aî^e.s.

Di'HAMEL (J.-M.-C). — Éléments de Calcul infinitésimal. 3^ édition ... 2'|i

EscHERicB (G. V.). — Die Géométrie aiif den Flachen constanter negativer Kriini-

mung III

Glaisher (J.-W.-L.). — Report o( the Committee on mathematical Tables 7

GiJNTHER (S.). — Vermischte Uiitersuchungcn zur Gcsehichte der mathetnatischeu

Wissenschaften loN

Hattendorff (K.). — Schweie, Eiectricitat iind .Maj;iietisinus, nach den A'orle-

sungen von B. Riemaxn 97

Kepleri (J.) astronomi Opéra omnia. Edidit D'' Chr. Frisch /|9

RoMER (P.). — Osnovnyia . . . . Principes fondamentaux de la théorie des quater-

nions 1 j .'3

RuBiNi (R.). — Elementi di Calcolo infinitésimale. 2" edizione i/|.i

Studnicka (F.-J.). — Zâkladové naiiky o èlslek. Kniha I i^/

WiNCKLER (A.). — I. Intégration verschiedener DiHércntialgleichungen zweiter

Ordnung. — 11. Intégration zweier linearen Diflerentialgleichungen igli

RECUEILS ACADÉMIQUES ET JOURNAUX DONT LES ARTICLES
ONT ÉTÉ ANALYSÉS DANS LE BULLETIN.

Annales des Ponts et Chaussées. 5^ série, t. I-V 209

Archiv der Mathematik und Physik, gegrûndet von J.-A. Grunert, fortgesetzt von

R. Hoppe. T. LVII-LVIII 21-}

Casopis pro pestovânl mathematiky a f'ysiky. T. IV-V , 71)

Bull, des Sciences mathém. et astruii., t. XI. (Juillet-Décembre 1876.) 19

290 BULLETIN DES SCIENCES

Page .
Journal de Mathématiques pures et appliquées, 3* série, publiée par H. Resal.

T. I, juin-décembre 187.5 155

Journal fur die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von C.-W.

Borchardt. T. LXXX-LXXXl ^-j

Mémorial de l'Officier du Génie. T. XVI-XXVIII (2^ série, t. I-VIII) 2^4

Monthly Notices of the Royal Astronomical Society of London.T. XXXVI. 149 et 19^
Nacbrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusls-

Universitât zu Goltingen. Années iSjS-iSyS i-.i.

Nouvelles Annales de Mathématiques, rédigées par MM. Gerono et Ch. Brisse.

2« série, t. XV (i*"" semestre); 1876 120

Outchonjia Zapiski.... Mémoires scientifiques de l'Université Impériale de Kazaii.

Année 1872 ; 1 1^

Proceedings of the Literary and Philosophical Society of Manchester. T. V-VII.. 255

Revue d'Artillerie. T. I-VI 74

Roczniki C. K. Towarzystwa naukowego Krakowskiego. 3" série; t. VII, X, XII,

XVI, XIX 267

MÉLANGES.

Reltrami (E.). — Formules fondamentales de Cinématique dans les espaces de

courbure constante 233

Dedekixd (R.). — Sur la théorie des nombres entiers algébriques 278

Imschenetsry (V.). — Application des expressions complexes imaginaires à la for-
mation de certains systèmes complètement intégrables d'équations canoniques

et d'équations aux dérivées partielles 162

Mayer (A.). — Sur les systèmes absolument intégrables d'équations linéaires aux
différentielles totales, et sur l'intégration simultanée des équations linéaires

aux différentielles partielles 87, 1 25

Tasnery (J.). — Sur le plan osculateur aux cubiques gauches i83

— Sur les substitutions linéaires par lesquelles une forme quadratique ternaire
se reproduit elle-même 221

Publications nouvelles.

192

MATHÉMATIQUES ET ASTROiNOMIQUES,

291

TABLE GENERALE DES MÉMOIRES ET OUVRAGES

CITÉS DANS CE VOLUME.

Abney ( W. de W.). — Sur la photo-
graphie de la partie la moins ré-
frangible du spectre 2o5

Affolter (Fr.-G.). — Sur la géomé-
trie du cercle et de la sphère. ... 214

AiRY (G.-B.). — Carte de l'orbite
apparente de la planète Mars dans
le ciel, du 2.5 juillet au 28 octobre
1877, et Catalogue des étoiles qui
l'avoisinent igS

— Observations spectroscopiques
faites à l'Observatoire Royal de
Greenwich 1 98

— Observation de l'éclipsé de So-
leil du 28-29 septembre 1873,
faite à l'Observatoire Royal de
Greenvvich 199

— Sur l'état actuel des calculs de

sa nouvelle théorie de la Lune. . . 201

— Occultations d'étoiles par la Lune
et phénomènes des satellites de
Jupiter observés à Greenwich. . . . 201

— Mesures micrométriques des sa-
tellites de Saturne, faites à l'Obser-
vatoire Royal de Greenwich pen-
dant l'année 1875 20j

Allégret. — Mémoire sur l'intégra-
tion des équations aux dérivées
partielles du premier ordre i56

— Mémoire sur le problème des
trois corps 157

André. — Détermination de quelques
éléments des solides de révolution. 79

Arlmis (A. -F.). — Observations de
la lumière zodiacale faites à Cadix. 199

AsTiEU. — Du tir en brèche à grande
distance contre des maçonneries
couvertes 77

Pages.
AucusT (F.). — Démonstration du
théorème de Peaucellier 2iy

— Théorème concernant certaines
courbes du sixième degré dans
l'espace 219

Bailly-Maître. — Mémoire sur la
mise en place et le fonctionnement
des barrages de la Moselle, à
Thionville, pendant le blocus de
1870, et sur les améliorations dont
ces systèmes de barrages sont sus-
ceptibles 25/)

Bardonnalt. — Note sur la mise du
feu aux mines au moyen de l'élec-
tricité 2^8

Barisien. — Mémoire sur l'applica-
tion de l'électricité dynamique à
l'inflammation des fourneaux de
mine 247

— Rectifications proposées à deux
Mémoires de MM. les généraux
Ponceletet Ardant sur la stabilité

des revêtements 2^8

— Voir Devèze et Barisien 2^8

— Note sur la manœuvre du pont-
levis à contre-poids constant avec
spirales du colonel Devèze 262

Baudys (V.). — Sur le centre optique
et les foyers principaux des len-
tilles 84

— Théorie de l'arc-en-ciel secon-
daire 8G

Baxendell. — Sur l'étoile variable S
du Dauphin 2j5

— Sur la variabilité de l'étoile T

de l'Aigle 25G

— Sur la variabilité de l'étoile S

de la Couronne. 2 JG

'9-

292

BULLETIN DE

Pages.

— Sur une nouvelle étoile variable R

de la Coupe 257

— Observations d'une nouvelle étoile
variable T de la Couronne 267

— Éléments de l'étoile variable R

de Persée 2^8

R^zijj. — Résistance des panneaux à
la balle de calibre 2^7

— Étude comparative des formules
nouvellement proposées pour cal-
culer le débit des canaux décou-
verts 260

— Discussion des expériences les
plus récentes sur la distribution

des vitesses dans un courant 2Gj

Becka (B.). — Détermination de la
valeur du produit imaginaire

n

«(« H- 0-1- (n- i)

83

— Sur les points multiples 83

Beltrami (E.)- — Formules fonda-
mentales de Cinématique dans les
espaces de courbure constante. . . 233

Bender (C). — Sur la théorie des
lois d'attraction 218

Benoît. — Mémoire sur les appareils
de chauffage et de ventilation
construits à l'hôpital militaire de
Vincennes 2.17

Berg (F.-W.). — Sur la précessiou
générale 211

Sur la détermination de la dis-
tance d'une comète à la Terre, à
l'aide de trois observations 21 3

BiCHAT. — Notice sur la boussole to-
pographique 246

Birmingham (J.). — Sur les cartes
lunaires de Lohrmann et Schmidt,
et sur une nouvelle étoile rouge. 206

BiRT. — Sur une tache variable de
la surface de la Lune 25{)

Bjerrnes (C.-A.'). — Notices histori-
ques sur le problème de Dirichlet
concernant la sphère et l'ellip-
soïde -7^

— Généralisation du problème de
l'ellipsoïde en repos dans un fluide
indéfini en mouvement 27^

— Généralisation du problème des
mouvements produits par le mou-
vement d'un ellipsoïde dans un
fluide non élastique en repos. ... 275

S SCIENCES

I'ase^

Blackhouse (T.-W.). — Sur la lu-
mière zodiacale it)'.;

Blazer (G.). — Remarque sur le
calcul de l'intérêt composé 8-.^

Blondeai). — Expériences sur un
ventilateur à force centrifuge. . . . 2/17

BoLTZMANN (b.)- — Remarque rela-
tive au Mémoire de M. O.-E.
Meyer sur le frottement intérieur. f\ 1

BouRGUET. — Extrait d'une Lettre au

Rédacteur des Nom'elles Annales, i 2."»

BoussiNESC). — Sur la stabilité des
terres sans cohésion 7B!\

Bouvier. -^ Calculs de résistance des
grands barrages en maçonnerie. . 265

Breton (de Champ). — Réponse h
M. J. Bertrand, relative à l'article:
« Sur de prétendues inadvertances
de Lagrange » i56

Brett (J.). — Sur le mouvement
propre des taches brillantes que
l'on observe à la surface de Ju-
piter 2|.'î

Brill (A.) et Noether (M.). — Sur
les fonctions algébriques et leur
emploi en Géométrie 272

Broda (K-)- — Contribution à la
théorie des fractions décimales
périodiques mixtes 219

Brothers. — Description d'un appa-

• reil de photographie céleste 206

— De la couleur de la Lune durant

les éclipses .^. • 20S

Bl'rnham (S.-W.).— Sur les systèmes
stellaires doubles S 11 56 et 2 ii63. 201

— Catalogue d'étoiles doubles rouges. 21 1
BuRTON ( C.-E.). — Sur la nébuleuse

australe 3o (Bode) de la Dorade,

et sur celle qui entoure vj d'Argus. 201

Capello. — Sur ses anciens dessins
du Soleil '97

Carlier. — Note sur l'emploi, aux
fortifications de Paris, de la ma-
chine à écoperche pour le trans-
port vertical des terres 246

Carrington. — Sur les taches so-
laires 2o3

Caspary (F.). — La surface des
centres de courbure dans le para-
boloïde elliptique P

Catalan (E.). — Sur la constante
d'Euler et la fonction de Binet. . . i35

Cavley (A.).— Correction de deux
erreurs numériques qui se trou-
vent dans le travail de Sohncke

MATHÉMATIQUES ET

Pages.
sur les équations modulaires (t. IG
du Journal de C relie) /|5

Cètre. — Appareil hélicoïdal des
voûtes biaises à section droite
circulaire 26 3

Cézanne (de). — Relation d'un voyage
aéronautique 261

Choron. — Calcul des moments llé-
chissants et des flèches dans les
poutres droites métalliques à plu-
sieurs travées 26 j

CiiKiSTiE (H.-!\I.). — Sur un nouvel
oculaire solaire 201

— Sur le déplacement des lignes

des spectres stellaires 210

Clifton. — Essai de description de
tous les phénomènes tendant à ra-
mener l'émission de la lumière à

des principes mécaniques 255

CoATPONT (de). — Mémoire sur les
perspectives rayonnantes et leur

application au défilement 2.^8

Cùckle. — Sur les corésolvants. . . . 255

— Mémoire sur l'évaluation des in-
tégrales 258

CoLLiGNON. — Note sur l'intégromètre
de M. Marcel Deprez 261

Combescure (É.). — Sur quelques
systèmes particuliers d'équations
diftérentielles /|8

CORBIN. — Mémoire sur les cuisines
à vapeur 253

CouLAiXE (de). — Note sur une nou-
velle forge pour le ferrage des
chevaux. . . . 2jj6

Creuzetde Latouche. — Étude sur la
construction des bouches à feu
de l'artillerie moderne ■^G

CuBR (E.). — Sur les mesures de la
Terre 80

Ccrie. — Note sur le réglage des
ponts-levis 252

— Nouvelles expériences relatives à

la poussée des terres 25i|

Curie, deLappap.ent, Hennebert, Mas-
su, LoiSY, Delacroix , Hinstin, Le
Bel'rriée, Merlin (F.), Villeboxnet.
— Notes diverses sur l'art des

constructions 255

CuRTZE (M.). — Note sur un Mémoire
de M. Rath, intitulé : «Les trian-
gles rationnels » 2i5

Dambrun. — Effets des mines mili-
taires 249

— Recueil d'expériences sur les ef-

ASTRONOMIQUES. 298

Pages,
forts souterrains des fourneaux de
mine 25o

Davis (C.-H.). — Dessins de Mars
et de Jupiter faits avec l'équatorial
de on>,66 de l'Observatoire Naval
des États-Unis 197

Decomble. — Calcul des dimensions
des dalles employées en couver-
ture d'aqueduc 261

Dederinu (R.). — Sur la théorie des
nombres entiers algébriques 278

Delacroix. — Voir Curie, de L appa-
rent, etc 255

Delambre. — Mémoire sur un ma-
nuel-mémento du mineur, avec
abaque, etc 200

— Voir RoussET et Delambre 252

Delort et Goulier. — Note sur le té-
léiconographe de MM. Révoil et
Viollet-le-Duc 255

Deniéport. — Compte rendu sur la
construction en 1847, i848 etiSSg
du pont de la Sorille à Sedan. . . 246

Deniéport et Jourdain. — Note sur
un mode de réparation des es-
carpes employé à Sedan 2^0

Denning (W.-F.). — Points radiants
de quelques étoiles filantes, et
observation faite à Bristol de no-
vembre 1872 à mars 1876 206

— Visibilité de Mercure et de Vénus
pendant le jour 212

Devèze et Barisien. — Mémoire sur
le pont-levis à contre-poids con-
stant avec spirales de la porte
Randon, à Grenoble 2^8

Devin. — Théorème sur le triangle.. 123

DicKSTEiN (S.). — Démonstration
d'un théorème de la théorie du
calcul des opérations 217

DosTOR (G.). — Le trièdre et le té-
traèdre, avec application des déter-
minants 213

— Équation générale des deux tan-
gentes menées d'un même point
à une conique, et équation du cône
circonscrit à une surface du second
degré 21.)

— Nouvelle expression de la surface
du triangle, avec application au
calcul en déterminant de cette sur-
face en valeur de trois côtés du
triangle . . 2i5

— Sommation directe et élémen-
taire des carrés, des cubes, des

294

BULLETIN DES SCIENCES

Pages.
quatrièmes puissances des n pre-
miers nombres entiers 216

— Distances du point à la droite et

du point au plan oiG

— Volumes des solides engendrés
par la révolution des polygones
réguliers autour d'un de leurs
côtés 216

— Relations entre les sinus des
quatre trièdres formés par quatre
droites issues d'un même point,
avec application nu tétraèdre. ... 217

— Application des discriminants aux
courbes et surfaces du second de-
gt^é. . . 217

— Application des déterminants aux
surfaces de révolution et, en par-
ticulier, à celles du second degré, ai"

— Expression en déterminant de la .
surface d'un triangle de l'espace,
en valeur des coordonnées de ses
trois sommets 210

— Application des déterminants aux
surfaces cylindriques, et en parti-
culier aux cylindres du second
degré 219

— Propriétés des nombres 220

— Détermination du chiffre qui ter-
mine les puissances successives des
nombres entiers 220

Dreyer (J.). — Sur la comète de
Coggia(IlI, 1874) on

Du Bois-Reymond (P.). — Sur les sé-
ries de Fourier 27'.

Dl'chêne. — Sur une question de ba-
listique expérimentale 78

— Sur la dépendance mutuelle des
divers éléments d'un système d'ar-
tillerie -jQ

Di'iiAMEL (J.-M.-C). — Eléments de
Calcul infinitésimal 2.'| i

DuNKiN (E.). — Comparaison des ob-
servations récentes et anciennes de
l'étoile B.A.C. 7g3 ; remarques sur
la variabilité supposée de son mou-
vement propre 204

— Découverte de quatre petites pla-
nètes 211

Dl'rand-Claye. — Les pompes cen-
trifuges simples et accouplées 2G2

DuRRANDE (H.). — Sur l'application
des déterminants à la théorie des
moments des forces. Traduit par
K. ZAnRADxiR 8f>

Dyer. — Simples notes sur les lois

des forces physiques oSg

Ellery (L.-J.). — Résultats de quid-
ques expériences faites avec le pen-
dule parabolique d'Huygens 201

Enneper (A.). — Remarques sur l'en-
veloppe d'une surface sphérique. 278

— Remarques sur les surfaces ortho-
gonales. 2^ Note 274

— Remarques sur la théorie géné-
rale des surfaces 27^

— Remarques sur les recherches de "
Géométrie analytique 270

— ■ Sur quelques théorèmes concer-
nant les surfaces du second degré. 273

— Sur un problème de Géométrie. 276

— Remarques sur la llexion de cer-
taines surfaces 277

— Tables des fonctions symétriques
de poids XI, par IM. le professeur

Faà de Bruno 277

Escary. — Remarque sur la Note de
M. Floquet relative à l'intégration

de l'équation d'Euler 122

Escuericii (G. v.). — Die Géométrie
auf den Flâchen constanter ncga-
tiver Kriimmung 111

— Démonstration de la foimule gé-
nérale de la mesure de la courbure

des surfaces 21G

Faà de Brl'xo. — Sur les fonctions

génératrices de Borchardt /(5

Fahré. — jVote sur la ferme funicu-
laire 24G

Faire. — Théorie des indices laj

Flamant. — ]\ote sur la poussée des
. terres

— Traduction d'un Mémoire de .Mac-
quorn Rankine sur la stabilité de
la terre sans cohésion

Friscii (Chr.). — Voir Kepler

Fritscii. — Étude théorique et pra-
tique des dynamites et de quelques
poudres brisantes dérivées de l'a-
zote 2^9, 262 et -'S I

FnoBENius ( G.). — Sur des équations
différentielles linéaires qui admet-
tent des intégrales algébriques... 33

— Sur les intégrales régulières des
équations différentielles linéaires. 35

Fromme (C). — La fonction magné-
tisante d'une sphère de fer doux. 276

— Recherches sur le magnétisme des
barreaux d'acier 277

— Note sur le maximum du magné-
tisme temporaire dans le fer doux. 277

262

2G4
49

MATHEMATIQUES E

Pages.

FucHS (L. ). — Sur les équations
différentielles linéaires du second
ordre qui possèdent des intégrales
algébriques et sur une nouvelle
application de la théorie des in-
variants 4 1 et 277

Gageot. — Note sur le moyen em-
ployé pour exécuter économique-
ment les terrassements des glacis
du fort Risban, à Calafs 2/|G

Gambey. — Note sur le rayon de
courbure des sections coniques.. . i23

Gariel. — Grue flottante de 100 ton-
nes, construite à New-York par
M. Isaac Newton 263

— Les dynamites, par M. Fritsch,
capitaine du Génie 263

Geset. — Note sur les ponts-levis

dits en zigzag 2/|6

— Notice sur les garde-corps des
ponts-levis 246

GiLL (D.). — T'oir LiNDSAY (lord) et
GiLL (D.") 196

Glaisher (J.-W.-L.). — Report of the
Committee on mathematical Ta-
bles 7

Glephill (J.). — Phénomènes des
satellites de Jupiter, observés à
l'Observatoire de M. Crossley. . . . 199

GoL'LiER. — Mémoire sur la stadia et
sur les instruments servant, con-
jointement avec elle, au mesurage
des distances 246

— Mémoire sur le télémètre à pris-
mes 248

— Note sur les niveaux à collima-
teur 254

— Description raisonnée des mires
de nivellement de l'Ecole d'appli-
cation de l'Artillerie et du Génie. 2J4

— Note sur une boussole nivelante
en métal organisée en vue du ser-
vice du Génie 255

— Note sur la lunette anallatique

de M. Goulier 25 J

— Note sur divers instruments de
nivellement propres à être utilisés
en campagne, et dont la plupart
sont susceptibles d'être improvisés

au moment du besoin 255

— Voir Delout et Goelieu 255

— Renseignements sur le poids des
charges de dynamite Nobel n° 1 à
employer pour détruire les ma-
çonneries . 255

T ASTRONOMIQllES.

295

Pases.

247

161

2D0

3o

les

Grasset. — Mémoire sur la mesure
des surfaces et des volumes et sur
la détermination de leurs centres
de gravité, avec une application à
la poussée des voûtes cylindriques.

Gravelaar (N.-L.-W.-A.). — Nou-
velle démonstration de la réalité
des racines d'une équation impor-
tante 219

Greiner t' m.). — Le facteur de trans-
formation 2 ! 6

— La ligne orthoptique d'une sec-
tion conique. 216

Grillon. — Étude sur lecasernement
de la cavalerie en France 200

— Étude sur lecasernement de l'in-
fanterie en France 253

Guevsse (P.). — De la propagation
des marées dans les rivières

Geillemot. — Figure donnant les chai'-
ges des fourneaux quelconques. . .

GuNDELFiNGER (S.). — Sur Ic systèmc
simultané de trois formes quadra-
tiques ternaires

GiJNTHER (S.). — Vermischte Untcr-
sucbungen zur Geschichte der ma-
tematischen Wissenschaften

— • Problème de Stéréométrie 21 5

— Le développement des côtes; con-
tribution mathématique à la Géo-
graphie comparée 216

— Démonstration d'un théorème
fondamental sur les carrés magi-
ques

Habich (E.). — Un système particu-
lier de coordonnées. Application
aux caustiques

Hain (Em.). — Sur le ])entagone des
diagonales d'un pentagone inscrit
au cercle. Sur les cercles inscrits
au triangle

— Sur les harmoniques dans le trian-
gle

— Théorèmes divers sur le triangle.
~ Sur les transversales parallèles

au triangle. Sur le point de con-
cours de transversales parallèles
égales "7

— Sur le point de Grèbe 217

— Sur les bissectrices des angles
d'un triangle 218

— Sur le point de Spieker J18

— Sur le centre de gravité du trian-

gle 2'«

— Sur les points do symétrie du

216

216
216

A(j(i

BULLETIN DES SCIENCES

Pages.

triangle 218

— Sur le cercle circonscrit au trian-

ffJe 220

— Sur les systèmes symétriques de
points du triangle 220

— Sur la formation de nouveaux
points de symétrie 220

Hamburger. — Sur la théorie de l'in-
tégration d'un système de « équa-
tions linéaires du premier ordre
aux différentielles partielles con-
tenant deux variables indépendan-
tes et « dépendantes 4*^

Haton de la Golpillière. — Note sur
les courbes que représente l'équa-
tion p" = A sin noi "122

Hattendorff (K.). — Schwere, Elec-
tricitât und Magnetismus , nach
den Vorlesungen von Bernhard
PiiKMANN 97

— Uemarques sur le théorème de
Sturm 275

IIejzlar (Fr.). — Sur les courbes
caustiques 80

Hellwig (C). — Contributions à la
théorie du tétraèdre et des angles
solides '218

Henmebekt. — f'oir Clrie, de Lappa-
RENT, etc 255

Henry (F.). — Description d'un el-
lipsomètre 262

Hermite (Ch.). — Sur les nombres
de Bernoulli 4i

— Sur le développement des fonc-
tions elliptiques suivant les puis-
sances croissantes de la variable.. 4-^

Hertz (C). — Démonstration d'une
proposition de la théorie de l'ad-
dition géométrique des droites
dans l'espace 219

Himstedt (F.). — Sur les oscillations
d'un aimant sous l'influence re-
tardatrice d'une sphère de cuivre. 277

HiND ( J.-R.). — Sur le passage de la
grande comète de i8ig au devant
du disque solaire aïo

HiND. — Ephémérides de 71 étoiles
variables pour l'année 1867 258

Hinstin. — Voir Curie, de Lappa-
RENT, etc 255

HiRscn. — Théorie des machines aé-
rothermiques 263 et 266

HocnnEiM (Ad.). — La poloconique
mixte de deux droites par rapport
à la courbe différentielle de la pa-

rabole 216

— Les foyers de la courbe différen-
tielle de la parabole 219

— Les polaires réciproques de la
courbe différentielle de la parabole

par rapport au cercle 220

HoLDEN (E.-S.). — Dessins de la né-
buleuse annulaire de la Lyre. . . . 200
HoppE (R.). — Sur le problème du
système de surfaces triplement or-
thogonal 2i5 et 217

— Foir Oelschlager, Stammer (W.)

et Hoppe (R.) 2i5

— Exemple d'une surface à un seul
côté 216

— Sur les points de symétrie du
triangle 217

— Surfaces minima des trois pre-
mières classes de polyèdres 230

— Remarques sur le calcul des lo-
garithmes à quatre décimales. . . . 221

HoiJEL (J.). — Remarques sur l'en-
seignement de la Trigonométrie.. 84

HowLETT (F.). — Dessins des taches
solaiies 206

HozA (F.). — Les intérêts composés
et le calcul des annuités, pour les
élèves de l'enseignement moyen.. 86

— Remarque sur une proposition de

M. Doscor relative au trièdre .... 219
Hromâdro (F.). — Démonstration
analytique de la construction des
normales à l'ellipse 81

— Remarque sur la somme des nom-
bres carrés 82

— Comment on peut doubler la
puissance d'un courant galvani-
que 82

— Extraits du Traité indien d'Arith-
métique intitulé Lilwâti 85

— Sur la probabilité de l'existence
des rayons ultra-rouges dans le
spectre solaire 86

Imscmenetsky (V.). — Application des
expressions complexes imaginaires
à la formation de certains systè-
mes complètement intégrables d'é-
quations canoniques et d'équations
aux dérivées partielles 162

Jarolimer (C). — Sur la construc-
tion, par la Géométrie descriptive,
de l'intersection des droites avec
les courbes du second degré don-
nées par leurs axes. 82

Javary. — Opérations photographi-

MATHÉMATIQUES E

Pages. I
ques 248 I

— Mémoire sur l'applicaliou de la
Photographie aux arts militaires. 252

Johnson. — Sur la chambre panto-
scopique 267

JoLAKT. — Voir Manceron, Jodffret
et JOUART 76

— Balistique intérieure expérimen-
tale, d'après G. Ellena... 77 et 78

— Le marteau-pilon de 5o tonnes

de Perm 79

JocFFRET. — Voir Manceron, Jouffret

et JOL'ART 76

— Sur l'établissement et l'usage des
Tables de tir 76 et 77

— Théorie élémentaire du mouve-
ment du gyroscope, de la toupie

et du projectile oblong... 77 et 78
Jouffret et Manceron. — Description
des artilleries prussienne, autri-
chienne, anglaise et russe 75

louRDAiN. — Voir Deniéport et Jour-
dain 2')G

JiJRGENS (E.). — La forme des inté-
grales des équations différentielles
linéaires Sa

Karlinski. — Observations des peti-
tes planètes (84) et (85) (Clio et
lo) à rObservaloire de Cracovie. . 269

Kepler (J.). — Johann is Kepleri opéra
omnia; edidit D"" Chr. Frisch.... /jg

KiEPERT (L.). — Sur les surfaces mi-
nima. i""' Mémoire ^8

KiRRMAN. — Note sur un essai de
résolution des équations algébri-
ques, par feu Hargreave 259

Klein. — Mémoire sur l'électricité
appliquée à l'inflammation des
fourneaux de mine 248

Klinkerfues ( VV.). — Sur une grande
pluie d'étoiles filantes dans l'an-
née 524 après J.-C, et sa relation
probable avec la comète de Biela
et celle de l'année 1 162 273

— Sur les systèmes d'étoiles fixes,
leurs parallaxes et leurs mouve-
ments. Communication prélimi-
naire 27.3

- — Addition à la méthode de déter-
mination de la parallaxe au moyen
des radiants 274

Knobel (E.-B.). — Bibliographie de
diverses publications astronomi-
ques 214

T ASTRONOMIQUES. 297

Pages.
Knorre. — Découverte de la pla-
nète (^ 2o3

Knott (G.). — Sur la variabilité de
l'étoile R du Petit-Renard 256

— Résultats de la comparaison des
grandeurs d'étoiles indiquées dans
les catalogues de Bedford et de
Bonn 257

— Sur la grandeur combinée de deux
étoiles en voisinage immédiat. . . . 267

— Éléments de l'étoile variable R

du Petit-Renard 268

Koiilrausch (F.). — Sur l'équivalent
électro-chimique de l'eau 273

— Sur la thermo-électricité et sur
la conductibilité thermique etélcc-
trique 27^

— Sur la réaction élastique 276

Konigsberger (L.). — Sur les rela-
tions les plus générales qui exis-
tent entre les intégrales hyperel-
liptiques 44

— Relations entre les modules de
périodicité de deux intégrales hy-
perelliptiques . . 277

Kosch (F.). — Trisection d'un angle
quelconque au moyen de l'hyper-
bole équilatère 218

KosTKA. — Sur la détermination des
fonctions symétriques des racines
d'une équatirn algébrique par ses
coefficients 47

Kowalevsky (Sophie v.). — Sur la
théorie des équations aux dérivées
partielles 27

KucHYNKA (M.). — Sur les principes
scientifiques de l'art du dessin,
depuis son origine jusqu'au mi-
lieu du xv^ siècle 82

KuczYNSRi (E.). — Nouveau thermo-
graphe métallique 269

KuLP. — Procédé ex|)érimental pour
déterminer la résistance de con-
ductibilité dans les éléments et
dans les boussoles des tangentes. 221

— Sur le rapport d'un élément à
petite surface à un élément à grande
surface 221

La Gréverie (de). — Notice sur un
appareil à plans inclinés employé
au transport vertical des terres.. 247

— Notice sur les revêtements avec
voûtes en décharge 2)7

Laguerre. — Sur les lignes géodési-

298

BULLETIN DE

ques des surfaces du second ordre. 121

— Sur la méthode de Monge pour
l'intégralion des équations linéai-
res aux dilléreulielles partielles du
second ordre 121

— Sur les singularités des courljes

de quatrième classe i5()

La Noë (de). — Extrait d'une INote
sur la reproduction des dessins au
moyen du papier préparé au fer-
roprussiate de potasse 2.32

Lapparent (de). — Voir Curie, de
Lapparent, etc 255

Lassell (W.). — Sur la visibilité de
la portion non éclairée du disque
de Vénus 2 1 /(

Lal'rent (H.l. — Mémoire sur les_
fonctions de Legendre 160

Laussedat. — Mémoire sur l'emploi
de la chambre claire dans les re-
connaissances topographiques.... '2')7

— Mémoire sur l'application de la
photographie au lever des plans. 2'(7

Lavoinne. — Note sur la résistance
des parois planes des chaudières
à vapeur 262

— De la répartition des charges sur

les tabliers des ponts 263

Le Bel'buiée. — Voir Curie, de Lap-
parent, etc 255

Leciialas. — Note sur les rivières à
fond de sable 1G0

Lefort. — Théorie de l'intérêt com-
posé et des annuités, d'après un
ouvrage de Fédor Thoman 2G2

Lie (S.). — Sur les groupes de trans-
formations 276

LiGOwsRi. — Limites de la base des
logarithmes naturels 21G

— Contribution aux quadratures
mécaniques 217

— Démonstration de la formule don-
née par Lh ailier pour l'excès sphé-
rique 218

LiNDMAN (C.-F.). — Problème de
Géométrie 22 i

LiNDSAY (lord) et Gill (D. ). — Sur
l'état des réductions de leurs ob-
servations lors du passage de Vé-
nus igC

LiPSCHiTz (R.). — Généralisation de
la théorie du rayon oscillateur
d'une surface 4?

Listing (J.-B.). — De l'état actuel
de nos connaissances sur la forme

S SCIENCES

Pages,
et la grandeur de la Terre 272

LoisY. — Voir Curie, de Lappa-
REST, etc 255

LiJWE (O.). — Sur les solides régu-
liers et les solides de Poinsot, et
sur le calcul de leurs volumes au
moyen des déterminants 217

LovRE. — Note sur l'emploi des mar-
mites thermostatiques chauffées
par l'introduction de la vapeur
d'eau 253

Lucas (É.). — Problèmes sur l'el-
lipse 120

— De la trisection de l'angle \x l'aide

du compas sphérique 121

— Théorèmes nouveaux sur la pa-
rabole et l'hyperbole 121

— Question nouvelle d'Aiillunetique
supérieure 122

— Sur l'origine de l'idée de la Ci-
nématique 122

— Sur la relation de Mobius, qui
exprime que quatre points d'mi
plan sont situés sur un cercle.. . . i2'i

— Sur un problème de Halley rela-
tif à la théorie des sections coni-
ques 124

Lucas (F.). — Démonstration nou-
velle du théorème de Coriolis... 121

LuKAS (F.). — Démonstration de ce
théorème : x" -h y" =3", pour
«> 2, n'est pas résoluble en nom-
bres entiers, avec une courte so-
lution pour n =z. 2 218

LuROTH (J.). — Sur le calcul des

JViirfe 274

Lyon. — Extrait d'une Note relative
au choix des arbres destinés à être
débités en blindages et en palis-
sades 249

Malézieux. — Le service météorolo-
gique aux Etats-Unis 2C2

— Les chemins de fer anglais 2G3

— Fondations à l'air comprimé.. . . 263
Maly (Fr.). — Ihéorèmes sur la

droite dans l'espace 217

MaNCERON. — Voir JOUFFRET et Man-

ceron 75

Manceron, Joufiret et Jowart. — Des-
cription des artilleries russe, suisse

et italienne 76

Mangin. — Mémoire sur un nouveau
pont-levis à contre-poids varia-
bles et à poulies mobiles 248

— Mémoire sur trois projets d'affùls

MATHÉMATIQUES E

Pages
à éclisse 25o

— Note sur un nouveau système de
télégraphie optique 25o

— Mémoire sur le système de télé-
graphie optique de la défense de
Paris 253

Manxheim. — Note sur le tir lorsque
le but est élevé au-dessus de l'ho-
rizon 7!)

Mansion (P.). — Démonstration de
la propriété fondamentale des
équations différentielles linéaires. 218

Marcille. — Notice sur le rétablis-
sement du pont de Clerval, sur
le Doubs, en janvier 1871 25/|

— Note sur la destruction du tun-
nel de Martain ville en septembre
1870 254

Marth (A.). — Éphéméride destinée
à donner les positions des satelli-
tes d'Uranus 200

Martin (G.). — Note sur un déblai
de roc exécuté au fort du Roule, à
Cherbourg, en i85i et i852 247

Massu. — Voir Curie , de Lappa-
RENT, etc 255

Mathieu (É.). — Mémoire sur les
inégalités séculaires des grands
axes des orbites des planètes 3i

Mayer (Ad.). — Sur les systèmes ab-
solument intégrables d'équations
linéaires aux dilférentielles totales,
et sur l'intégration simultanée des
équations linéaires aux différen-
tielles partielles. 87 et I25

— Sur l'intégration des équations
aux différentielles partielles du
premier ordre 278

— Sur les transformations de con-
tact de Lie 27G

Meissel (E.). — Pvemarques sur la
série hypergéométrique 217

Merlin (F.). — Voir Curie, de Lap-
PARENT, etc 255

Mertens (Fr.). — Calcul du poten-
tiel pour les polyèdres homo-
gènes 270

Meyer (O.-E.). — Addition au Mé-
moire sur la théorie du frottement
intérieur {Journal de Crelle, t. 78). 35

IMicnAL. — Deuxième Note sur le
jaugeage des eaux courantes au
moyen des déversoirs 2G0

MiKsic (M.). — Le triangle et le qua-
drilatère dans leurs relations avec

T ASTRONOMIQUES. 299

Pages,
les suites arithmétiques et géomé-
triques • 84

MiLEWSKi (N.). — Énoncé de deux
théorèmes sur le triangle rectan-
gle 124

MiNNiGERODE |,B.}. — Sur la distribu-
tion en genres des formes quadia-
tiques à coefficients et à variables
complexes 27''

— Sur une nouvelle méthode pour
résoudre l'équation de Pell 27.1

Mittag-Leffler (G.). — Démonstra-
tion de ce théorème de Cauchy :
Si une fonction f{x), en chaque
point pris à l'intérieur ou sur le
parcours d'une ligne fermée ne se
coupant pas elle-même, n'ayant
pas une infinité de points angu-
leux et située dans le plan de la
variable complexe .r, reste tou-
jours uniforme, continue et finie,
et si, en chacun de ces points, elle
a une dérivée finie et déterminée,
l'intégrale ff{x)d.v prise le long
de cette ligne est nulle 276

MoREAU (C). — Sur les permuta-
tions 122

Morellet. — Mémoire sur la ques-
tion des démolitions par la mine. 24S

MouiN (le général). — Note sur l'es-
pace cubique et sur le volume
d'air nécessaires pour assurer la
salubrité des lieux habités 253

Neison (E.). — Catalogue d'un cer-
tain nombre de points de la sur-
face lunaire déterminés micro-
métriquement '97

— Sur les satellites d'Uranus 211

— Sur l'atmosphère de Vénus 212

Newcomb (S.). — Sur une inégalité

non encore signalée dans la lon-
gitude de la Lune 2i3

NiEVVENGLOAYSRi (B.). — Note sur les
courbes planes d'ordre n à point
multiple d'ordre n — i i23

— Sur un théorème de Jacques Ber-
nouUi 123

Noble (\V.). — Observations phy-
siques de la planète Vénus 212

Noether (M.). — Voir Brill (A.), et

NOETHER ( M.) 272

— Sur les fonctions algébriques,
cinquième Note. Deux nouveaux
critériums de la correspondance
uniforme des surfaces algébri-

3oo

BULLETIN DES SCIENCES

/io

201

Pages,
ques 273

Oberbeck (A.). — Sur le potentiel
de l'ellipsoïde 218

OuEnsECK (L.). — Sur les mouve-
ments permanents d'un fluide
quand on a égard au frottement
intérieur

OELSCHLÀGEn, StAMMER (W.) et HOPPE

(R.)- — Sur une formule connue

du volume du tétraèdre aij

Orde Rrowne (C). — Observations
du passage de Vénus, faites en
fclgypte par la Mission anglaise...

Page. — De la dérivation

Palmer (H. -S.). — Sur les récentes
déterminations américaines des
positions géographiques dans l'A-
mérique centrale et les territoires
de l'Ouest ' 20-

PÂMER (A.). — Sur la somme des
nombres cubiques So

— Méthode élémentaire pour l'étude

des courbes dans le plan 81

— Sur la progression géométrique. 85

— Le théorème du binôme dans le
Calcul des probabilités 85

— Contribution au Calcul des pro-
babilités 86

— Sur quelques théorèmes de Tri-
gonométrie, [lour les éjèves de
l'enseignement moyen 86

Parmentier (Th.). — Simplification
de la méthode d'interpolation de
Thomas Simpson 124

— Note sur la comparaison des dif-
férentes méthodes d'approxima-
tion pour la quadrature des cour-
bes 2'|7

Pasch. — Sur la théorie du déter-
minant hessien 32

— Note sur les déterminants formés
de fonctions et des dérivées de ces
fonctions 33

Peaucellilr. — Emploi du plani-
niètre polaire de M. Amsler dans
le dessin de la fortification 25ù

— Mémoire sur les conditions de
stabilité des voûtes en berceau. . .

Peaucellier et Wagner. — Mémoire
sur l'amélioration des ponts-levis
et des entrées des places fortes . .

— Mémoire sur un appareil diasli-
nométrique nouveau, dit appareil
aiUoréductcur 2/1

Pelletreau. — Note sur le coefficient

23/|

2^8

Pages,
d'écrasement des matériaux 262

Peltier. — Rupture des tunnels et des
ponts entre Vernon et Rouen, etc. 2^9

Penrose (F.-C.) — Sur un instru-
ment destiné à la résolution des
triangles sphériques par un pro-
cédé mécanique 20G

Pépin (le P.).— Sur certains nom-
bres complexes compris dans la
formule a-^-b \J — c 137

Percin. — Notice théorique et pra-
tique sur la manœuvre du pont-
levis à contre-poids constant avec
spirales du colonel Devèze 262

Perrodil (de). — Application des
équations du problème général
de la résistance des matériaux au
problème de la stabilité d'une
voûte d'épaisseur variable traitée
comme un monolithe homogène. 262

Peurodox. — Sur un appareil destiné
il figurer le mouvement des pro-
jectiles oblongs dans l'air 78

Perry (le P.). — Sur les photogra-
phies obtenues à Manille pendant
le dernier passage de Vénus 200

Peschka (G.-A.-V.). — Images per-
spectives du cercle, et détermina-
tion directe de ses diamètres ... 214

Petit. — Effet du tir sur les ou-
vrages de Paris (1870-1871). Brè-
che du fort d'issy 2^9

Petit et Vinclaire. — Plan du bom-
bardement de Paris 2^9

Pfeil (L. V.). — Sur la manière de
trouver commodément les fonc-
tions des petits angles dans les
Tables à cinq décimales 218

— Sur l'enseignement de la Trigo-
nométrie 219

— Quelques desiderata touchant à

la Planimétrie 220

— Installation de la planchette sur
trois points 220

PiARRON DE MoNDÊsiR. — Théoric de
la locomotive sans foyer 266

Pierre. — Note sur l'approximation
sur laquelle on peut compter, dans
la méthode actuelle de calcul des
poutres à plusieurs travées 2G0

PiOTROwsKi (G.). — Sur des micro-
scopes et des télescopes différents
de ceux qui sont actuellement en
usage 270

Plasil (J.). — Une analogie gonio-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

ooi

Pages,
métrico-physique 83

Plch(P.-C.). — Équation de l'ellipse
rapportée à deux diamètres, ap-
propriée à la théorie des vibrations
elliptiques 86

Plummer (J.-I.). — Mouvements pro-
pres de quelques étoiles 202

— Essais pholométriques sur la lu-
mière de la planète Vénus 212

PocHHAMMER (L.). — Contribution à
la théorie de la flexion du cylindre
à base circulaire 36

— Sur les vitesses de propagation
des petites oscillations dans un
cylindre circulaire infini et iso-
trope '^8

PoGSON (]\".-R.). — Occultation des
Pléiades, observée à Madras le
7 janvier 1876 2o5

PopoF. — Sur le développement en
une série d'exponentielles 34

Poulain. — Nouvel organe mécanique
réciproque de transformations du
mouvement circulaire alternatif
en rectiligne alternatif 2.52

Poulet. — Du soulèvement des pou-
tres métalliques au-dessus des cu-
lées 262

Pr.iscE ( C.-L.). — Sur d'anciens des-
sins de Saturne 201

Pritciiard (C). — L'Observatoire de
l'Université d'Oxford 19 j

QiTiscKE (G.). — Sur la diffraction
de la lumière 272

— Nouvelle méthode pour étudier

les divisions d'un cercle 273

Rankixe (M.). — Voir Flamant 26'|

Ransome (a.). — Sur quelques-unes
des conditions de l'action molé-
culaire 258

Reiss (!'".). — Sur la vitesse du mou-
vement des ondes 83

Renolst des Orgeisies. — Mémoire

sur les poutres droites 260

Réthy (M.). — Les équations fonda-
mentales de la 1 rigonométrie non
euclidienne établiesd'une manière
élémentaire 220

— Sur un principe de dualité dans

la Géométrie de l'espace 272

Richard (J.). — Expériences faites
en 1S69 à l'Ecole régimentaire
d'Arras avec les pyrotlièques et
une nouvelle machine dynamo-
électrique à basse tension 25 1

Pages.

RicoiR. — Mémoire sur les mines
militaires 25o

RiECRE (Ed.). — Sur la loi fondamen-
tale de Weber concernant l'ac-
tion mutuelle électrique, dans
son application à l'hypothèse uni-
taire 274

— Sur les lois de l'induction vol-
taïque 276

— Sur le mouvement moléculaire
de deux particules, dont l'action
mutuelle est régie par la loi de
Weber sur la force électrique. . . . 276

RiEMANN (B.). — T^oir Hattendorff
(K.) 97

RiGAUD (G."). — Sur les papiers post-
humes du professeur Rigaud 200

RoBixsoN (F.-R.). — Sur la compa-
raison des lunettes achromatiques
et des télescopes 207

RoGERSON (G.-R.). — Sur la visibi-
lité d'Oberon et de Titan 211

RoMER (P.). — Osnovnyia natchala
metoda kvaternionof ii3

RosANES. — Sur la transformation
d'une forme quadratique en elle-
même

RoucHÉ (E.). — Réclamation de prio-
rité

Roclet. — Étude d'une machine élé-
vatoire

Rouquet. — Note sur la continuité
des racines des équations algébri-
ques

RocssET et Delambre. — Étude sur la
fabrication des amorces à employei-
pour mettre le feu aux mines au
moyen de l'électricité de tension. 252

RoYSTON-PiGOTT. — Sur uu oculairc
destiné à l'observation du passage
des étoiles 204

RcBi.Ni (R.)- — Elcmenti di Calcolo
inflnitesimale. 2^ edizione i.'iJ

Sadoux. — Compte rendu des tra-
vaux de roctage exécutés au fort
de la Croix-Faron, suivi d'obser-
vations relatives à l'emploi des dy-
namites et du coton-poudre com-
primé

Saint-Qlentin. — Note sur la ma-
chine dite écoperche double, em-
ployée au terrassement de la place
de Douai 2^6

Sarrac. — Sur les expériences de
Rumford et la loi suivant laquelle

29

23

254

3o'2

BULLETIN DES SCIENCES

Pages.
la tension des produits de la com-
bustion de la pondre dépend de
leur densité 70

ScHELLB.vcn. — Construction de la
trajectoire d'un point attiré vers
un point fixe d'après la loi de
Newton 3^

SciiENDEL (L.). — Sur la théorie des
fonctions sphériques 3o

— Sur un développement en frac-
tion continue 3i

ScHERiNO (E.). — Lignes, surfaces et
figures d'ordres supérieurs dans
les espaces à n dimensions de
Gauss et de Riemann 272

— La force de la pesanteur dans les
espaces à n dimensions de Gauss

et de Riemann 278

— Théorie d'Hamilton et de Jacobi
pour les forces dont la mesure
dépend du mouvement des corps. 27']

ScuMiDT (J.-F.-J.). — Sur le cratère
lunaire Linné aSg

ScHONFELD (E.). — Résultats d'ob-
servations d'étoiles variables faites
à l'Observatoire de Mannheim. . . 258

Schubert (H.). — Les caractéristi-
ques des courbes planes du troi-
sième oi'dre dans l'espace 270

— Les treize dégénérescences et les
nombres fondamentaux des cour-
bes planes du troisième ordie à
point de rcbroussement 277

ScuwARz (H. -A.). — Mélanges sur
la question des surfaces minima. 3'|

— Sur les surfaces minima qui sont
enveloppées par un faisceau de
cônes du second ordre 35

Sére de Rivière. — ÎNotice sur l'em-
ploi de plans automoteurs dans
la construction du fort du cap
Brun, à Toulon 2^6

Sevdler (A.). — Sur le passage de
Vénus devant le Soleil, le 8 dé-
cembre 1 87.') 80

SiACCi. — Sur les principes du tir. . 79

— Sur une question de Balistique. . 79
Siebel (A.). — Recherches sur les

équations algébriques ii!\, 218

SiMERKA. — Sommes des entiers con-
tenus dans une progression arith-
métique fractionnaire 83

Simon (M.). — Multiplication des
fonctions elliptiques par des nom-
bres entiers, dans son rapport

47
262

205

Pages.
avec le problème des polygones
fermés inscrits aux courbes [^-)

SoLiN (J.). — Éléments d'Arithmo-
graphie. (F//2) 8i

Spitzer (S.). — Note sur les équa-
tions différentielles de la forme

y"=ar'"(A:iV-4-Bxr'-l-Cjr) .. 218

— Note sur les équations différen-
tielles de la forme

(«s -H ^. x)y" -H (a, -h (^, x)y

H- (fli,-i-è„jr)j- ^ G. . 220

Stammer (W.). — T'oir Oelschlager,
Stammer (W.) et HoppE (R.)

Stern ( M.). — Sur une propriété des
nombres de Bernoulli

Stoecklin. — Note sur les onglets. .

Stone (E.-J.). — Sur la variabilité
supposée du mouvement propre
de l'étoile B.A.C. 793

— Sur les mouvements propres des
deux composantes du système bi-
naire a du Centaure

— Sur le résultat le plus probable
qu'on puisse déduire d'un nombre
donné de déterminations directes
ayant des poids assignés

Studnicka (F.-J.) — Sur l'origine
et le développement de la théorie
des nombres

— Sur les séries de sommes en gé-
néral et sur les nombres figurés
en particulier

— Démonstration des formules fon-
damentales de la Trigonométrie
sphérique au moyen de quelques
théorèmes sur les déterminants. .

— Comment les Arabes résolvaient
les équations du troisième degré
de la forme x^ — P.r-i-Q=;o.
(D'après Hankel)

— Éléments de la théorie des nom-
bres

— Le calcul des fractions chez les
Romains. (D'après Hankel)

— Théorie mathématique des gaz..

— Sur l'origine et le développement
de la théorie des déterminants..

— Nouveaux phénomènes produits
par la lumière

— Sur les quaternions

— Nouvel ellipsographe

— Sur le développement de notre

80

81

Si

8t
81

82

83

85

MATHÉMATIQUES E

Pages,
littérature physique pendant les
cinquante dernières années 8G

— Zdkladové o cislek. Kiiihn I : O
vlastnostech cisel prostych a jich
upoti-ebcni \!\']

Stl'rm (R.;- — Suite des recherches
sur les courbes gauches cubi-
ques 3i et 36

— Le problème de la projectivilc
dans l'espace 278

Tannery (J.). — Sur le plan oscula-
teur aux cubiques gauches iS3

— Sur les substitutions linéaires par
lesquelles une forme quadratique
ternaire se reproduit elle-même. "JS!

Tebbltt (J.). — Phénomènes des sa-
tellites de Jupiter observés à Wind-
sor (New South-Wales) 201

Tennant (le colonel ). — Sur l'erreur
des positions tabulaires de Vénus
pendant le passage du 8 décembre

'8:4 .07

— Sur l'éphéméride des étoiles cir-
cumpolaires de M. Pritchard 199

Terrier (P.). — Quadrilatères et
sections coniques 122

Thieme (F.-E.). — Calcul des valeurs
limites, avec un aperçu de la théo-
rie des courbes latérales 219

— Sur les droites latérales ou ima-
ginaires 219

TuoMAE (J.). — Sur la réduction de
l'intégrale elliptique

y"(sin am uY"" du ^o

— Formation d'une équation diffé-
rentielle intégrable au moyen de
la méthode de la différentiation à
indicequelconque de M. Liouville. 273

TiiOMÉ (L.-W.). — Sur la théorie des
équations différentielles linéaires.
{Suite) 3G

TuOYOT. — Détermination du nom-
bre minimum de freins à inti'O-
duire dans les trains 265

T0NELLI (A.). — Sur la théorie de la
connexion 277

— Sur la fonction potentielle dans

un espace à n dimensions 277

Vachette. — Permutations rectili-
gnes de 3 y lettres égales trois à
trois, quand trois lettres consé-
cutives sont distinctes; calcul de
la formule générale , applica-
tion 122 et 123

T ASTRONOMIQUES. 3o3

Pages.
Vanols (J.-R.). — Sur une interpré-
tation de l'équation de la para-
bole 8(

— Sur le mouvement des projec-
tiles 82

Varaigne. — Mémoire sur la répara-
tion des ponts de chemin de fer. 248

Vassilief (A.). — De la détermina-
tion du nombre de racines des
équations simultanées 120

Veltmanm ( W.). — Critérium des in-
tégrales singulières des équations
différentielles du premier ordre.. 220

— Sur une espèce particulière de
substitutions linéaires successives. 220

— Théorie de la machine à influence

de seconde espèce de Holtz. . .. 220
Verdal (de). — Note sur les pré-
cautions prises pour fixer les rem-
blais du fort des Saumonards et

les sables environnants 246

Véroniqce (le général). — Emploi
de l'asphalte dans les construc-
tions militaires 255

Vervaet (P.-J.). — Contribution à
la résolution des triangles plans. 84

— Deux règles générales pour la
divisibilité des nombres décimaux. 85

Villeron.net. — Voir Curie, de Lap-

parent, etc 255

ViNCLAiRE. — Voir Petit et Visclaire. 249
ViNOGRADSRY (V.-N-). — De la déter-
mination des orbites des étoiles
doubles 114

— Détermination de l'orbite du
compagnon de l'étoile /y." du Bou-
vier irg

Voss (A.). — Note concernant la
transformation uniforme des cour-
bes planes 278

— Sur la Géométrie des surfaces.. . 274

— Sur la Géométrie des figures de
lignes de Plùcker 274

— Sur la Géométrie des surfaces
focales des congruences 274

— Sur les complexes et les con-
gruences 27G

— Sur un problème fondamental de

la Géométrie plûckérienne 276

W^agner. — Voir Peaicellier et Wa-
gner 248

— Sur une mire parlante spéciale
imaginée par M. le garde du Gé-
nie Marc pour lire directement les
altitudes 253

304

BULLETIN DE

253

9^

— Des niéthotles de levers en usage
à la brigade topographique et de
l'emploi d'un nouvel instrument
( appareil homolographique de
MM. Peaucellier et Wagner) des-
tiné à substituer aux opérations
habituelles des procédés purement
mécaniques

Warren de la Rue. — Efforts faits
sur le continent pour le progrès
des études d'Astronomie physique.

Wassersciileben (v.). — Sur la théo-
rie du triangle équilatéral inscrit
dans les sections coniques 216

Webb (T.-W.). — Sur l'étoile va-
riable S d'Orion 202

— Sur les deux satellites intérieurs
d'Uranus 206

WiLKiNSON (T.-T.). — Sur divprs
points dans la restauration des
porisnies d'Euclide 2j8

WiNCKLEU (A.). — 1. Intégration ver-
schiedenerDifferentialgleichungen
zweiter Ordnung. — II. Intégra-
tion zweier linearen Differential-
gleichungen igS

WiNNECRE (A.). — Observation de
l'éclipsé de Soleil du 29 septem-
bre 1S75, faite à l'Observatoire de
Strasbourg 201

S SCIENCES

Paues.

WiTH (G. -H.). — Observations do la
comète de Coggia 2o3

WoRONTZOFF. — Sur Ics nombres de
Bernoulli 121

Zaiiradni'k (K.). — Géométrie du
cercle à l'usage des élèves de l'en-
seignement moyen 82

— Voir DURRANDE (H.) 8G

— Problème sur les cercles tangents. 21G

— Courbes planes rationnelles du
troisième ordre 217

Zajaczkowski ( W.). — Contribution
à la théorie desmaximaet des mi-
nima des fonctions de plusieurs
variables 26;)

• — Contribution à la théorie des
équations linéaires aux dérivées
partielles du premier ordre 271

— Des intégrales singulières des
équationsdifférentielles ordinaires

du premier ordre 27 1

Zebrawski (Th,). — Adam Kochanski
et ses écrits mathématiques 267

— Nouvelle solution du problème

de la trisection de l'angle 2(18

Zenger (V.). — Le Stereo-Microme-

ter 20/1

Zmurko (L.). — Du contact des cir-
conférences et des sphères 270

-MATHÉMATIQUES KT ASTRONOMIQUES.

TABLE DES NOMS D'AUTEURS

PAR ORDRE DE MATIÈRES.

HISTOIRE DES SCIENCES.

tayley, 7, n.
Ersch, 16.
Frisch, /19.
Glaisher, 7.
Gûntlier, 108.
Hankel, 81.
Hoilbronncr, i.j.
Hromddko, 85.
Kàstner, i5.
Kepler, /JQ-
Lalande, iG.
Lucas (É.), 123.

Milliet-Dcchalcs, iH.
Morgan (de), iG.
Murhard, i5.
Peacock, 16.
Poggendorff, 16.
Rigaud; 200.
Rogg, 16.

Smith (H.-J.-S.). 7.
Sohncke, 16.
Stokes, 7

Sludnicka, 79, Si, 8
Thomson (sirW.), '

2. 8G.

II. - ARITHMÉTIQUE ET ANALYSE.

ARITHMÉTIQUE ET AL(;ÈBr,F. F.LÉMENTAlRi:.

Blazek, 82.
Broda, 216.
Dostor, 216, 220.
Hoza, 8/|.
Hromâdko, 82.
Lefort, 262.
Ligowski, 21G.
Miksic, 8').
Moreau, 122.
Pdnek, 80, 85, 8G.
Houché, 121.
Simerka. 83.
Studnicka, 80.
Thoman, 2G2.
Yervaet, 85.

Bull, des Sciences mathém. et asCroii,

THÉORIE DES NOMBRES.

Ciirlze, 21 5.

Dedekind, 278.

Dostor, 220.

Giinther, 109, 21 G.

Lucas (É.), i2'2.

Lukas, 218.

ÎMinnigerode, 27 j, 27 '|.

Pépin, IJ7.

Studnicka, 79. 80, 81, 1/17.

TABLES LOGARITHMIQUES. ï
nE CARRÉS, ETC.

Baudussoii, 2G.
Bouché, 26.
Biirgi, 2G.

, t. \l. i; Juillct-Dé(puilire 187G.}

3oG

BULLETIN DES SCIENCES

Byrne, 24.
Carr, 26.
Durret (N.), 26.
Etienne, 26.
Gossart, 26.
Gûnther, 110.
Hertzer, 27.
Hoppe, 221.
Hoiiel, 27.
Kûster, 27.
Le Besgue, 27.
Oyon, 27.
Pfeil (v.), 218.
Prestet, 27
Schweizer, 27.
Thoman, 262.

ANALYSE ALGÉBRIOLE. THÉORIE DES ÉQUATIONS.
DÉTERMINANTS, SÉRIES, ETC. PROBABILITÉS.

Becka, 8,^.
Cockle, 233.
Dickstein, 217.
Dostor, 2i5, 217, iig.
Durrande, 86.
Gravelaar, 219.
Gûnther, 109.
HattendorfT, 275.
Kirkman, 25g.
Koslka, 47.
Lijwe, 217.
Meissel, 217.
Pdnek, 85, 80.
Pasch, 32, 33.
Popof, 34.
Rouquet, I23.
Schendel, 3i.
Siebel, 214, 218.
Stone, 206.
Studnicka, 80.
Vassilief, 120.
Zahradnfk, 86.

THÉORIE DES FORMES. INVARIANTS , COVA -
RIANTS, ETC. SOBSTITCTIONS.

Enneper, 277.
Faà de Bruno, 45, 277.
Fuclis, 4', 277.
Gundclfinjjer, 3o.
Lie, 276.

Minnigerode, 273.
Rosanes, 29.
Tannery, 221.

CALCl'L DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL. ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES, ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
PARTIELLES.

Allégret, i56.

Catalan, i55.

Cockle, 258.

Combescure, ^S.

Duhamel, 241.

Escary, 122.

Frobenius, 33, 35.

Fuchs, 4i, 277.

Hamburger, 46-

Imschenetsky, 162.

Jûrgens, 32.

Kowalevsky (M">® de), 27.

Laguerre, 121.

Ligowski, 217.

Mansion, 218.

Mayer (Ad.), 87, I25, 273, 276.

Mertens, 270.

Mittag-Lefïler, 276.

Rubini, i45.

Spitzer, 218, 220.

Thomae, 275.

Thomé, 36.

Veltmann, 220.

Winckler, igS.

Zajaczkowski, 269, 271.

FONCTIONS SPÉCIALES.
NOMBRES DE BERNOULLI, ETC. QUATERNIONS.

Cayley, 45.

Du Bois-Reymond (P.), 274.

Hermite, 4') 4^-

Hertz, 219.

KOnigsberger, 44i 277-

Laurent, 160.

Romer, ii3.

Schendel, 3o.

Simon (M.), 47.

Stern (M.), 47.

Studnicka, 84.

Thomae, 47-

Worontzoff, 121.

M

ATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

307

III. - GÉOMÉTRIE.

GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE. TRIGONOMÉTRIE.

Affolter, 214.

Devin, i23.

Dostor, 2i5, 216, 217.

Gûnther, 108, 21 5.

Hain, 2i5, 216, 217, 21S, 220.

Hellwig, 218.

Hoppe, 2i5, 217, 220.

Hoûel, 84.

Hoza, 219.

Ligowski, 218.

Lindman, 221.
Ltiwe, 217.

Lucas (É.), 121, 124.

Milewski, 124.

Oelschlâger, 21 5.

Pdnek, 81, 86.

Penrose, 206.

Peschka, 2i4-

Pfeil (v.), 219, 220.

Plasil, 83.

Stammer, 2i5.

Vervaet, 84.

Zahradnik, 82, 216.

Zmurko, 270.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. LIGNES ET SURFACES
DU SECOND ORDRE. COURBES ET SURFACES
SPÉCIALES.

André, 79.

August, 119.

Becka, 85.

Bourguet, i25.

Brill, -272.

Caspary, ^"i.

Enneper, 278, 274, 27.5, 276, 277.

Faiire, i25.

Gambey, i23.

Greiner, 216.

Habich, 270.

Haton de la Goiipillière, 122.

Hejzlar, 80.

Hochheim, 216, 219, 220.

Hoppe, 2i5, 216, 217.

Kiepert, 48-

Kosch, 218.

Laguerre, 121, i56.

Lucas (É.), 120, 121, 124.

Maly, 217.

Mewenglowski, i23.

Nothcr, 272.

Schubert (H.), 275, 277.
Schwarz (H. A.), 34, 35,
Sturm (.R.), 3i, 3G.
Tannery, i83.
Terrier, 122.
Vanous, 81 .

Wasserschleben (v.), 216.
Zabradn'ik, 217.
Zebrawski, 267.

GÉOMÉTRIE SYNTHÉTIQUE. GÉOMÉTRIE DE SITUA-
TION. GÉOMÉTRIE NON EUCLIDIENNE. ESPACES
A n DIMENSIONS.

Beltrami, 233.
Brill, 272.

Escherich (v.), m. 216.
Lipschitz, 47-
Lûroth, 274.
INether, 272, 273.
Réthy, 220, 272.
Scbering, 272, 273.
Sturm (R.). 273.
Thieme, 219.
Tonelli, 277.
Voss, 273, 274, 276.

GÉOMÉTRIE APPLIQUÉE, CALCUL GRAPHIQUE, GÉO-
DÉSIE. TOPOGRAPHIE, NIVELLEMENT.

August, 219.
Bichot, 246.
Coatpont (de), 248.
CoUignon, 261.

Cubr, 80.

Delorl, 255.

Goiilier, 246, 248, 254, 255.

Grasset, 247.

Gûnther, 216.

Henry (F.), 262.

Jarolimek, 82.

Kuchynka, 82.

La Noë (de), 252.

Laussedat, 247-

Listing, 272.

Palmer, 207.

Parmentier, 124, 247-

Peaucellier, 248, 25o.

Pfeil (v.), 220.

Solin, 81.

Stoecklin, 262.

Wagner, 253.

3o8

BULLETIN DES SCIENCES

IV. - MÉCANIQUE ET PHYSIQUE MATHÉMATIQUE.

MECASlOtE GENERALE. STATIOEE.
DYNAMIQUE, ETC.

Beltranii, 233.
Bender, 218.
Bjerknes, 27/^, 275.
Boltzmann, /(i.
Breton (de Champ), i5G.
Durrande, 86.
Jouffret, 77, 78.
Lucas (F.), I -.îi .
Meyer (O.-E.), 35.
Oberbeck (A.), aib.
Oberbeck (L.), 4o.
Schering, 27:}.
Vanous, 82.
Zahradnik, 86.

MÉCANIQLE APPLIQUÉE. IIYDP.AILIOIE.

Airy, 161.
Baiily-Maître, 3 5/,.
Bazin, 260, 265.
Blondeau, 2!}7.
Boussinesq, 264.
Bouvier, 265.
Choron, 265.
Curie, 252, 254.
Durand-Claye, 262.
Flamant, 262, 26/1.
Gariel, 263.
Grasset, 247.
Gueysse, 261.
Hirsch, 263, 266.
Jouart, 79.
Lavoinne, 262, 263.
Lechalas, 260.
Michal, 260.

Piarron de !\Iondésir, 266.
Poulain, 252.
Thoyot, 265.

ART DES CONSTRUCTIONS.

Baiily-Maître, 254-
Barisien, 2/|8, 262.
Benoît, 247.
Bouvier, 265.
Carlier, 246.
Cètre, 265.
Choron, 265.
Corbin, 253.
Coulaine (de), 2'|6.
Curie, 252, 254) '■^55.

Decomble, 26 1.

Delacroix, a55.

Deniéport, 2'|6.

Devèze, 248.

Fabré, 246.

Flamant, 262, 26').

Gageot, 246.

Genêt, 246.

Grillon, 25o, 253.

Hennebert, 255.

Jourdain, 246.

La Gréverie (de), 247.

Lapparent (de), 255.

Le Beurriée, 255.

Lyon, 249.

Malézieux, 262, 263.

Mangin, 248.

Marcille, 254-

Massu, 255.

Merlin, 255.

Morln, 253.

Peauccllier, 248, 254-

Pelletreau, 262.

Perein, 252.

Perrodil, 262.

Pierre, 260.

Poulet, 262.

Rankine, 264.

Renoust des Orgeries, 260.

Saint-Quentin, 260.

Séré de Rivière, 246.

Varaigne, 248.

Verdal (de), 246.

Véronique, 255.

Villebonuet, 255.

AUT MILITAIRE. DALlSTIQtE.

Astier, 77.
Bardonnaut, 248.
Barisien, 2)7.
Bazin, 247.
Cézanne (de), 261.
Creuzet de la Touche, 76.
Dambrun, 249, 260.
Delambre, 25o, 252.
Duchéne, 78, 79.
Fritsch, 249, 252, 254, 268.
Gariel, 263.
Goulier, 255.
Guillemot, 25n.
Javary, 248, 252.
Jouffret, 75, 76, 77, 78.

MATHÉMATIQUES ET ASTROiNOMIQUES.

ooq

Klein, 3',8.
Manceron, 76, 76.
-Alangin, 25o. '253.
Mannheini, 71).
Morellet, s^S.
Page, 76.
Peltier, 2/19.
Perrodon, 78.
Petit, 249.
Kichard, 25 1.
Ricoiu-, 200.
Roussel, 253.
Sadoux, 20 |.
Sarrau, 75.
Siacci, 79.
Vogl, 255.

PHYSIQUE GÉNÉRALJ:. ÉLASTICITÉ. CIIALELR.

Benoit, 2/17.
Dyer, 209.
Hattendorff, 97.
Kohlrausch, 275, 276.
Loyre, 253.
Plch, 86.

Pochhammer, 36, 48.
Relss, 85.
Riemann, 97.

ÉLECTRICITÉ. MAGNÉTISME.

Bardonnaut, 2/(8.
Barisien, 2 '17.
Fromme, 275, S77
Hattendorff, 97.
Himstedt, 277.
Hromàdko, 82.
Kohlrausch, 273,
Kùlp, 271.
Riecke, 27/}, 276.
Riemann, 97.
Vellmann, 220.

OPTIQUE.

Baudys, 84, 86.
Clifton, 255.
Hromddko, 86.
Quinckc, 272,
Studnicka. 83.

V. - ASTRONOMIE.

ASTRONOMIE GENERALE. MÉCANIQUE CÉLESTE.

Airy, 201.
Allégret, 157.
Berg, 211, 21 3.
Frisch, 49.
Gûnther, 1 1 1.
Kepler, 49.
Mathieu (É.), 3i.
Newcomb, 21 3.
Schellbach, 34-

DESCRIPTION ET THÉORIE UES INSTRUMENTS.

Bichat, 240.

Brothers, 258.

Christie, 201.

Collignon, 261.

Delort, 255.

Ellery, 201.

Goiilier, 246, 2'|8, 254, '^55.

Giinther, 1 1 1.

Henry (F.), 262.

Johnson, 257.

Kuczyiiski, 269.

Peaucellier, 248, 25o.

Penrose, 206.

Piotrowski, 270.

Pritchard, 194.
Quincke, 278.
Robinson, 207.
Ryoston-Pigott, 204.
Studnicka, 85.
Zenger, 204.

ASTRONOMIE STELLAIUE. SPECTROSCOFIE.

Abney, 2o5.

Airy, 198.

Baxendell, 255, 256, 257, 258.

Birmingham, 206.

hurnham, 201, 211.

Burton, 201.

Christie, 210.

Dunkin, 204.

Hind, 258.

Holden, 200.

Klinkerfues, 273.

Kiiobel, 2i4-

Knott, 256, 257, 208.

Plummor (J.-I.), 212.

Schônl'eld, 258.

Stone, 2o5.

Tennant, 199.

Vinogradsky, ii'i, 119.

\A'ebb, 202.

3io BULLETIN DES SCIENCES MATHÉMATIQUES, ETC.

SOLEIL, PLANÈTES, LUNE, SATELLITES, ECLIPSES

Airy, 198, igg, soi, 2o5.
Birmingham, 206.
Birl, aôg.
Blackhouse, 199.
Brett, 2i3.
Brothers, 258.
Capello, 197.
Carrington, 2o3.
Davis, 197.
Denning, 211.
Dunkin, 211.
Gill, 196.
Gledhill, 199.
Howlett, 206.
Karliriski, 269.
Knorre, 2o3.
Lassell, 21/].
Lindsay (lord), 196.
Marth, 200.
Neison, 197, 211, 212.

Newcomb, 21 3.
Noble, 213.
Orde Browne, 201.
Perry (le P.), 200.
Plummer (J.-I.), 212.
Pogson, 2o5.
Prince, 201.
Rogerson, 211.
Schmidt (J.-F.-J.), 259.
Seydler, 80.
Tebbutt, 201.
Tennant, 197.
Webb, 206.
Winnecke, 201.

COMÈTES. ÉTOILES FILANTES

Berg, 21 3.
Denning, 206.
Dreyer, 211.
Hind, 210.

Klinkerfiies, 278, 274.
With, 2o5.

FIN DU TOME ONZIEME.

ERRATA.

âges.

Lignes.

Au lieu de :

Usez :

279

16

SX

sa.

282

26

classe principale correspond,

classe correspond

286

i5

système a est

système 0 est

287

25

(')

(■=)

287

32

(')

(')

37

Au bas de la page 287, rétablir la Note oubliée :

(') Le nombre idéal correspondant a l'idéal ab s'appellerait le produit des deux
nombres idéaux correspondant à a et b-

TABLES GÉNÉRALES

DES

MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS

CONTENUS DANS LA PREMIÈRE SÉRIE.

TABLES GÉNÉRALES

DES

MATIÈRES ET NOMS D'AUTEURS

CONTENUS DANS LA PREMIÈRE SÉRIE

DU BELETD DES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

(TOMES I A XI; 1870-1876.)

TABLE ANALYTIQUE

DES MATIÈRES.

REVUE BIBLIOGRAPHIQUE.

Abbadie (Anl. d'). — Géodésie d'Ethiopie.

VI, 7-

— Observations relatives à la Physique

du globe. VI, 7.
Alexéief (N.). — Intégralnoié. . . . Calcul

intégral, t. I; 2^ édition. X, i()8.
AsDRÉiEF (K.-A.). — O geometritcheskom

Sur la représentation géométrique des

courbes planes. IX, 7.
Arcand (R.). — Essai sur une manière de

représenter les quantités imaginaires

dans les constructions géométriques.

2® édition. VII, i/p.
Bacuet de Mèziuiac. — Problèmes plai-
sants et délectables qui se font par les

nombres. 3^ édition. VII, igj.
Bachmann (P.). — Die Lehre von der

Kreislheilung iind ihre Beziehungca

zur Zahlentheorie. IV, 68.
Raeyer (J.-J.). — Ueber die Grosse und

Figur der Erde. IX, 2\i.
Baltzer (R.). — Die Elemente der Mathc-

matik. I. l'and. I, 80.

— Théorie und Anwendung der Determi-

nanten. S.Aull. II, 198.
Baier (R.-W^.). — Femciffrede Logarith-

mer til hele Tal ira i-i55oo, og Anti-

Logarithmer. X, 262.
Bai'schinger (J.). — Elemente der gra-

phischen Statik. III, 36r.
Bellavitis (G.). — Riassunto délie Lezioni

di Algebra. X, 67.
Bercer (Al.").— Om poriodiska funktioner.

VI, 72.
Bergstrand (P.-E.). — Fera-sifTrige loga-

rilmer till iiooo. — Fcm-siflViga tri-

gonometriska logaritmer. X, 260.
Bertrand (J.). — Traité de Calcul diffé-
rentiel et de Calcul intégral. (Calcul

intégral, i""^ Partie). I, !\\.
Bjerknes (C.-A.). — Sur le mouvement

simultané de corps sphériques variables

dans un fluide indéfini et incomiires-

sible. i^"" Mémoire. III, 198.
Bonsdorff (E.-V.). — Den geometriska

théorie for complexa funktioner. II,i3G.

Bull, des Sciences machém. et astron., t. XI. (Juillet-Décembre 187^.) 21

3!4

BULLETIN DES SCIENCES

BoOTH (J.). — A Treatise on some new
geonietrical Melhods. VI, ii3.

BoL-GAÏEF {'N.-Y.). — Outchénié.... Théorie
des dérivées numériques. X, i3.

Boioi'ET. — Foir Briot et Bouquet. VI, G5 ;
VII, 193.

BKETSCiiNEiDER ( C.-A.). — Dic Géométrie
und die Geometer vor Euclides. IV, 1 13.

Brill (A.). — Carton-Modelle von FlJi-
chen zweiter Ordnung. A III, 7.

Briot (Cli.). — Théorie mécanique de la
chaleur. I, 85.

Briot et Bouquet. — Théorie des fonctions
elliptiques. 2" édition. VI, 65; VII, 198.

Bruiins (C). — Nouveau manuel de loga-
rithmes à sept décimales pour les nom-
bres et les fonctions trigonométriques.
I, 171.

Brijnnow (F.), traduit par MM. Lucas et
André. — Traité d'Astronomie sphériqiie
et pratique. II, 169.

Cantor (M.). — Die romischen Agrimen-
soren und ihre Stellung in der Ge-
schichte der Feldmesskunst. X, 161.

Casorati (F.). — Teorica délie funzioni
di variabili complessc. Volume 1°. I, 16.

— Le proprictà cardinali dcgli strumenli
ottici anche non centrati. IV, 65.

Cassam (P.)- — Geometria rigorosa. V,

263.
Catalogue of Scientific Papers (i8oo-i863),

compiled and published by the Royal

Society of London. IV, 39.
Chasles (M.). — Rapport sur les progrès

de la Géométrie. Il, 7.

— Aperçu historique sur l'origine et le
développement des méthodes en Géo-
métrie. 2° édition. IX, 97.

CuELiM (D.). — Sulla composizione geo-
metrica de' sistemi di rette, di aree e
di punti. — Sulla nuova Geometria de'
complessi. VII, 2'(i.

Cuiô (F.). — Théorème relatif à la diffé-
rentiation d'une intégrale définie par
rapport à une variable comprise dans
la fonction sous le signe / et dans les
limites de l'intégrale, étendu au Calcul
aux différences et suivi de quelques ap-
plications. III, 68.

Curistofiel(E.-B.). — Allgemeine Théo-
rie der geodiitischen Dreiecke. I, 169.

Clacsius (R.), traduit par F. Folie. — De
la fonction potentielle et du potentiel.
II, 65.

Clebscu (A.). — Théorie der biuâren al-
gebraischen Formen. III, 225.

CoPERsici (N.) De revoUitionibus orbium

cœlcstium libri VI. VI, ■?.].
Cremona (L.). — Preliminari di una

Teoria geometrica délie superficie. I,

233.

— Le figure reciproche nella Statica gra-
fica. IV, 65.

— Elément! di Geometria projettiva.
Vol. 1°. V, 10.

— Éléments de Géométrie projective,
traduits par Ed. Dewulf . V^ Partie.
X, 65.

Curtze (M.). — Die mathematischen Schrif-
ten des Nicole Oresme. III, 82 1.

Darboux (G.). — Sur une classe remar-
quable de courbes et de surfaces algé-
briques, etsurlaThéorie desimaginaires.
V, 52.

DiLLNER (G.). — Grunddragen af den geo-
nietriska kalkylen. I, 249.

Duhamel (J.-M.-C). — Éléments du Cal-
cul infinitésimal. 3*^ édition. XI, 2.^1.

DCuring (E.). — Kritische Geschichte der
allgemeinen Principien der Mechanik.
IX, 98.

Durêge (H.). — Théorie der elliptischen
Functionen. I, 49-

— Die ebenen Curven dritter Ordnung.
111,7.

— Eleraente der Théorie der Functionen
einer complexen verànderlichen Grosse.
2. Auflage. VI, 225.

Emsmann (G.). — Alatliematische Excur-
sionen. III, 197.

Erlecke (a.). — Bibliotheca matheraatica.
IV, 38.

EsciiERiCH (G. v.). — Die Géométrie auf
den Flachen constanter negativer Krûm-
mung. XI, III.

FaÀ de Bruno. — Théorie des formes bi-
naires. X, 166.

Falr (M.). — Liirobok i determinant-teo-
riens forsta grunder. X, ib-.

FlEDLER (W.).— ?^OtVSALM0>-(G.).VIII,fi5.

— Die darstcllende Géométrie. VIII, ii3.

Flye Sainte-Marie (C). — Études analy-
tiques sur la théorie des parallèles.
111, i3i.

Foerster (W.). — Johann Kepler. III, 198.
Folrierski (AV.). — Zasady Rachunku rôz-

niczkowego i calkowego z zastosowa-

niami. VII, 1 1.
FoRTi (A.). — Tavole dei logaritmi de'

numeri e délie funzioni circolari ed

iperboliche. I, 265.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

3i5

Frenet (E.). — Recueil d'Exercices sur le

Calcul infinitésimal. VI, 70.
Friis (F.-R.). — • Tyge Brahe. En historisk

Fremstilling. 111, 35S.
Friscuauf (J.). — Absolute Géométrie,

nach Johann Bolyai. VII, io5.
Frost (P.). — An Elementary Treatise on

Curve tracing. IV, 177.
Galss (F. -G.). — Funfstellige vollstandige

logarithmische und trigonometrische

Tafeln. III, 23^.

— Funfstellige vollstândi;;e logarithniisch
trigonometrische Tat'eln fur Decimal-
theiiung des Quadranten. V, 2G1.

General-Bericht ûber die mittel-euro-
pâische Gradmessung. IX, 241.

Gilbert (P.). — Cours d'Analyse infinité-
simale. Partie élémentaire. IV, 33.

Glaisher (J.-AV.-L.). — Report of the
Committee on Mathematical Tables.

XI, 7-
Gbaindorge. — Mémoire sur l'intégration

des équations de la Mécanique. II, 199.
Grelle (Fr.). — Leitfaden zu den Vortrà-

gen ûber hohere Mathematik. V, 262 .
Guiracdet. — Mémoire sur le mouvement

d'un point matériel sur une surface.

III, 19.^.
Guldberg ( A.-S.}. — Om Ligningen af 3'"

Grad. — Om Ligningen af 5"^ Grad. IV, 35.
GC'.NTHER (S.). — Studien zur Iheoreti-

schen Photometrie. III, 194.

— Lehrbuch der Determinanten-Theorie
fiir Studirende. X, i3i.

— Verniischte Untersuchungen zur Ge-
schichte der mathematischen AVissen-
schaften. XI, 108.

Gyldéx (H.). — Untersuchungen ûber die
Constitution der Atmosphàre und die
Strahlenbrechung in derselben. — Ue-
ber eine Méthode, die Storungen eines
Cometen vermittelst rasch convergi-
render Ausdrûcke darzustellon. 111,97.

Hankel (H.). — Untersuchungen ûber die
unendiich oft oscillirenden und unste-
tigen Functionen. I, 117.

— Zur Geschichte der Mathematik in Al-
terthum und Miltelalter. X, 209.

Hattendokff (K.). — Schwere, Electri-
citiit und Magnetismus, nach der Vor-
lesungen von Bernhard Riemanx. XI, 97.

Hecer (R-). — Elemente der analytischen
Géométrie in homogenen Coordinaten.
III, 257.

Hennederg (L.). — Ueber solche Minimal-
llâchen, welche eine vorgeschriebene

ebene Curve zur geodâtischen Finie
haben. IX, 148.

Hermite (Ch.). — Cours d'Analyse de l'É-
cole Polytechnique. I''*' Partie. V, 49-

Herpin (a ). — Dictionnaire astronomique.
X, 139.

Herr (J.-Ph.). — Lehrbuch der hoheren
Mathematik. 2. Auflage. Vil, 5i.

Hesse (O.). — Die Determinanten, ele-
mentar behandelt. I, 3o3.

HiRN (G. -A.). — Mémoire sur les condi-
tions d'équilibre et sur la nature pro-
bable des anneaux de Saturne. IV, 193.

Hoefer (F.). — Histoire des Mathémati-
ques, depuis leurs origines jusqu'au
commencement du xix^ siècle. X, i36.

— Histoire de l'Astronomie, depuis son
origine jusqu'à nos jours. X, 258.

Hoffmann (L.) undNATANi (L.). — Mathe-
raatisches Wôrterbuch. I, 137.

HouEL ( J ). — Cours de Calcul infinitési-
mal. II, 257; VII, 7.

— Elémenls de la théorie des Quater-
nions. VIÎI, g.

Hrabàr (J.). — Geraeinnûtziges mathe-
matisch-technisches Tabellenv^erk. VII,

49-
Imschenetsky (V.-G.). — Voir Todhlntek

(I.). VI, 22.
Jacobi (C.-G.-J.). — A'orlesungen ûber

Dynamik. V, i45.
Jellett (J.-H.). — A Treatise on the

Theory of Friction. IV, 225.
JoACHiMSTHAL (F.). — Elemente der ana-

Ivtischen Géométrie der Ebene. 2. Aufl.

lil, 166.

— Anwendung der Differential-und Inte-
gralrechnungauf die allgemeine Théorie
der Flâcheu und der Linien doppelter
Kriimmung. IV, 36.

Jordan (C). — Traité des substitutions
et des équations algébriques. II, 161.

Kelland (P.) and Tait (P. -G.). — Intro-
duction to Quaternions, with nunierous
Examples. VI, i6i .

Kepleri (J.) Astronomi Opéra omnia,
edidit Chr. Frisch. XI, 49-

Klein (F.) et Lie (S.). — Sur les lignes
asymptotiques de la surface de Kummer
du quatrième ordre à 16 points singu-
liers. H, 72.

Klein (H.). — Die Principien der Mecha-
nik, historisch und krilisch dargestellt.
IX, 98.

Klinkerfles ( W.). — Thcoretische Astro-
nomie. I. Abtheilung. I, 3o2.

21.

3i6

BULLETIN DES SCIENCES

KOnic (J.). — Ueber eine reale Abbildung
der s. Q. Nicht-Euklidischen Géométrie.
IV, 3S.

KoPKA (C). — Formel-Sammiung aus der
reinen Malhematik uiid ans den mecha-
nisclicn Wissenschal'ten. IV, 179.

KossAK (E.). — Das Additionstlieorem
der ultra-elliplischen Fuiictionen erster
Ordnung. II, 68.

— Die elemeiite der Arithniclik. III, igS.
Lal'kent (H.). — Traité de Mécanique ra-
tionnelle. II, igS.

— Traité du Calcul des probabilité. VI, 18.
Lejelne-Dirichlet (P. -G.). — Vorlesungen

ûber Zahlentlieorie. 1. Auflage. III, 1G8.

Leonelli (Z.). — Supplément logarith-
mique. Deuxième édition, avec une
Notice par/. Hoilel. X, i6'|.

Levy (M.). — La Statique graphique et ses
applications aux constructions. VIII, i3.

Lie (S.). — Voir Klein (F.) et Lie (S.).
11,72.

— Over en Classe geometriske Transfor-
iiiationer. — Ueber eine Classe geome-
trischer Transl'ormationeii. 111, 365.

Listing (J.-B.). — Ueber uiisere jetzige
Kenntniss der Gestalt und Grosse der
Erde. IX, 2/,i.

Lucciiesixi (a.). — Tavole dei logaritmi
comuni a sette cifre decimali. VIII, 257.

Maillard (S.). — Recherche des caracté-
ristiques des systèmes élémentaires de
courbes planes du troisième ordre. III,
161.

Mansheim (A.). — Elude sur le déplace-
ment d'une figure de forme invariable.
Nouvelle méthode des normales. Appli-
cations diverses. I, 297.

Mansion ( P.). — Théorie de la multipli-
cation et de la transformation des
fonctions elliptiques. I, 20S.

Matuieu (Ém.). — Cours de Physique
mathématique. IV, aSi.

Maxwell (J.-Cl.). — A Treatise on Elec-
tricity and Magnetism. V, 241.

Ma\r(A.). — Construction der Differen-
zial-Gleiclîungen aus partikularen Inte-
gralen. I, 36 1.

Mellblrc (E.-J.). — Om ytspiinningen hos
vàtskor. II, 137.

Meyer (G. -F'.). — Vorlesungen iiber die
Théorie der bestimmten Intégrale zwi-
schen reellen Grenzen. II, 22S.

Natani (L.). — Voir Hoffmann (L." und
Natasi (L.). I, 137.

Neo viL's ( V . ) . — Lârobok i minsta q vadrat-

metoden. II, i34.
Neumann (C). — Die electrischen Krafte.

IX, 193.
Nkwcomb (S.). — On the Investigation of

the Orbit of Uranus. X, 70.
NicOLAÏDÈs (N.). — Analectes, ou série de

Mémoires sur les diverses parties des

Mathématiques. Livraisons i et 2. II, 71.
Oppolzer (Th. v.). — Lehrbuch zurBahn-

bestimmungderKometenundPlaneten.

i. Band. I, 201.
OviDio (E. d'). — T^oir Sannia (A.) e d'O-

viDio (E.). I, 329.
Painvin (L.). — Discussion de l'intersec-
tion de deux surfaces du second ordre.

I, 157.

— Note sur la transformation homogra-
phique. I, iSg.

— Principes de la Géométrie analytique.
Géométrie de l'espace. IV, 228.

PELLucni (S.). — Poligonometria anali-

tica. III, 194.
Peters (C.-F.-W.). — Astronomische Ta-

feln und Formcln. III, 196.
PiCQUET. — Étude géométrique des systèmes

ponctuels et tangentiels de sections

coniques. III, G5.
Plateau (J-) — Statique expérimentale

et théorique des liquides soumis aux

seules forces moléculaires. VI, 69.
Pll'Crer (J.). — Keue Géométrie des

Raumes, gegrûndet auf die Betrachtung

der geraden Linie als Raumelement.

1,73.

PoiNSOT (L.). — Éléments de Statique.
1 1^ édition. IV, 7.

Poncelet (J.-V.). — Introduction à la
Mécanique industrielle, physique et ex-
périmentale. 3^ édition. II, 8.

— Cours de Mécanique appliquée aux
machines. VI, 273.

Renshaw (S.-A.). — The Cône and its
Sections treated geometrically. IX, 266.

RiccARDi (P.). — Biblioteca matematica
italiana. IV, 227.

Richelot (F.-J.). — Die Landen'sche
Transformation in ihrer Anwendung
auf die Entwickelung der elliptischen
Functionen. II, 129.

RiEMANN (B.). — Partielle Dilferential-
gleichungen undderen Anwendung auf
physikalische Fragen . II, 225.

— T'oir Hattendorff (K.). XI, 97.
RoMEK (PO- — Osnovnjia. . . . Principes

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

fondamentaux de la méthode des Qua-
ternions. XI, 1 13.
RuBiM (R.)- — Trattato d'Algebra. Parte
1^ e 2^. VI, 21.

— Elementi di Calcolo infinitésimale.
2^ edizione. XI, i45.

Saint-Venant (de). — Sur les diverses
manières de présenter la théorie des
ondes lumineuses. III, igS.

Saleta (F.), — Exposé sommaire de l'idée
de l'espace au point de vue positif, ou
Remarques sur les principes de la Géo-
métrie, et notamment sur le Postulatuin
d'Euclide. IV, 28.

Salmon (G.) — Leçons d'Algèbre supé-
rieure. Traduit par Bazin. I, 5'|.

— ATrealise on Ihe Higher Plane Curves.
2'! Edition. V, igS.

— A Treatise on the Analytic Geomelry of
three Dimensions. 3'"'' Edition. VIII, 65.

— Analytische Géométrie des Raunies.
Rearbeitet von Dr. W. Fiedler. VIII, G5.

Sands (R.-F.). — Astronoraical und Me-
teorological Observations made during
the Years 1871 and 1872 at the U.S.
Naval Observatory. X, lo.i.

Sannia (a.) e d'Ovidio (E.). — Elementi
di Geomelria. 2^ edizione. I, 329.

ScuLEUSiNG (R. V.). — Beitrag sur Inte-
gralrechnung. V. 260.

ScHLOMiLCH (O.). — Uebungsbucli zum
Studium der hôheren Analysis. II, 66.

SciiORR (F.). — Der Venusmond und die
Untersuchungen ûber die friiheren
Beobachtungen dièses Mondes. X, 7.

SCHULENBLRG (A. V. DER ) . — Die Glei-
chungen der drei ersten Grade. II, 2S9.

Serret (P.). — Géométrie de direction.

1,9-

Simon (Ch.). — Mémoires sur la rotation
de la Lune. II, 11.

SorcnoN (A.). — Éléments de Calcul dif-
férentiel et de Calcul intégral. III, 33.

SouvoROF (F.). — o kharakteristikakh

Sur les caractéristiques des systèmes
de trois dimensions. IV, 180.

Spitz (C). — Erster Cursus der Differen-
tial- und Integralrechnung, 1, 33 r.

Stolétof (a.). — Izslédovanié.... Re-
cherche sur le pouvoir magnétique du
fer doux. IV, 126.

Studnicka (F.-J.). — Zàkladové nauky o
cislek. Livre F''. XI, 1/(7.

Scter (H.). — Geschichte der mathema-
tischen Wissenschaften. i.Theil. VI, 14.

Sylow (L.). — Sur le groupe de l'équa-

017

tion pour la division des périodes des
fonctions elliptiques. III, 19g.
Tait (P.-G.). — Voir Thomson (W.) und
Tait (P.-G.). IV, 27S.

— An elementary Treatise on Quater-
nions. 1'^ édition. VI, 161.

— Voir Kelland (P.) and Tait (P.-G.).
VI, 161.

TCHEBYCHEF (P.). — Teoriia... Théorie
des congruences. II, 25g.

— Mémoires publiés dans le Recueil de
l'Académie de Saint-Pétersbourg. 111,36.

Thomson (sir W.). — Reprint of Papers

on Electrostatics and Magnetism. V,

7 et 2/(1.
Thomson (sir W.) und Tait (P.-G.). —

Handbuch der theoretischen Pliysik.

I.Bd. i.Th. IV, 278.
Todhunter (I.). — Dijferentsialnoïé

Calcul différentiel, avec un Recueil

d'exemples. Traduit par V.-G. Im-

schenetsky. VI, 24.

— A History of the Mathematical Théo-
ries of the Attraction and the Figure
oftheEarth, from the time of ISewton
to that of Laplace. VI, 276.

TuKAzzA (D.). — Elementi di Slatica.
Parte 1^ : La Statica dei sistemi rigidi.
IV, 28.

Valson (C.-A.). — La vie et les travaux
du baron Cauchy. I, io5.

Vassal (VI.). — Nouvelles tables don-
nant avec cinq décimales les loga-
rithmes vulgaires et naturels des nom-
bres de I a 10800, et des fonctions
circulaires et hyperboliques pour tous
les degrés du quart de cercle de mi-
nute en minute. 111, 353.

Verdet (Ém.). — OEitvres. V, 97.

Walras (L.). — Eléments d'économie
politique pure, ou théorie de la richesse
sociale, i''^ Partie. VII, i52.

Wiener (C). — Épreuves stéréoscopiques
du modèle d'une surface du troisième
ordre à 27 droites réelles. I, 170.

W1LLIAMSON (B.). — An elementary Treat-
ise on the DilTerential Calculus. V, i58.

Wincrler (A.). — I. Intégration verschie-
dener Differentialgleichungcn zweiter
Ordnung. — II. Intégration zweier
lincaren Differentialgleichungon. XI,
193.

Wolf(R.). — Handbuch der Jlathematik,
Physik, Geodàsie und Astronomie.
IV, 70.

3i8

BULLETIN DES SCIENCES

Zeutiien (II. -G.) — Sur les singularités
ordinaires d'une courbe gauche et
d'une surface développable. I, iSg.

— Alniindeliye Egonskaber ved Systemer

af plane Kurver, mcd Anvendelse til
Bestemmelse af Rarakterislilverne i de
clementasre Svstemer af fjerde Orden.
VU, 97.

RECUEILS ACADÉMIQUES ET JOURNAUX DONT LES ARTICLES
ONT ÉTÉ ANALYSÉS DANS LE BULLETIN.

Abhandlungen der konigl. bohmisclien
Gesellscliaft der Wissenschaften zu
Prag. 6. Reihe. T. I-VI ; 1867-1874. —
I, 99; 111, 170; VI, io5;IX, 37.

Abhandlungen der mathematisch-physi-
kalischcn Classe der kôniglich bayer-
ischen Akademie der AVissenschaften
zu Mlxcuen. t. X et XI {i'^ livr.);
1866-1871. — VI, 21 3.

Abhandlungen der malhematisch-physi-
schen Classe der kôniglich siichsischcn
Gesellschaft der Wissenschaften zu
Leipzig. T. IX-X; 1863-1871. — V, 264.

Acta Societatis Scientiarum Fennicœ.
Helsingfoksi.iî. t. VII-IX; 1 863-1 871.
— I, 2-4; VI, 108.

Acta Universitatis Lundensis. Lcnds Uni-
versitets Arskrift. T. V-IX; années
1868-1872. — 111, 24; VIll, i3o.

Analectes, ou série de Mémoires sur les
diverses parties des Mathématiques.
Par N. rsicolaidès. Livr. 1-2; 1871. —

H, 7>-

Annalen der Physik und Chemie, heraus-
gegeben von J.-C. Poggesdorff. T. CXL;
1870. — II, 83.

Annales des Ponts et Chaussées. 5^ Série;
T. I-V; 1871-1873. — XI, 2Î9.

Annales scientifiques de l'École Normale
supérieure, i""^ Série, t. VI-VIl ; 2^ Sé-
rie, t. I-IV; 1869-1875. —I, 27; II,
II, 263; VI, 196; X, 73.

Annali délia R. Scuola Normale di Pisa.
T. I, 1871.-111, 27.

Annali délie Università Toscane. T. X-Xl;

1868-1869. — II. 21; m, 377.

Annali di IMatematica pura ed applicata,

diretti da F. Briosciii e L. Cremona.

2« série, t. I-V; 1867-1871. — I, i39,

3ii, 370; VI, 237.
Archiv der Matliematik und Physik, ge-

grûndet von J.-A. Grunert, fortgesetzt

von R. Hoppe. T. L-LVllI; 1 869-1 876.

— I, 100, 248, 279; 111, 82, 373;

IV, 278; VII, 1.2; VIII, 170; XI, 2i'|.
Archiv mathcmatiky a fysiky, kteryz

vydava Jednota Ceskych mathematikû
V Praze. t. I ; 1S75-1876. — VIII, 112.
Archives néerlandaises des Sciences exactes
et naturelles, pvibliées par la Société
Hollandaise des Sciences de Harlem, et
rédigées par T.-H. von Baumiiauer.
T.I-IX; 1866-1874.— ni, 347; V, 279;

VIII, 181.

Astronomische Nachrichten , gegrûndet
von H.-C. Schumacher, herausgegeben
vonC.-A.-F. Peters. T. LXXlll-LXXX,

jjos i-j2()-i()20; 1S69-1873. — I, 87,
280, 363; II, 23l; V, 171; VI, 166;

IX, 27; X, 262.

Atti dell' Accademia Pontificia de' Nuovi
Lincei. T. XX-XXVIl; 1 866-1 874. —
II, 19, 82, 148; III, 104 ; V, i5; VII,
i35; Vlll, 145.

Atti délia Reale Accademia del Lincei.
Ancienne série, t. XXIV-XXVI ; 1870-
1872.— VI, 28; VIII, 233.

Atti délia R. Accademia delle Scienze di
ToRiN-o.T- V-VII; 1869-1872. — V, 267.

Berichte ûber die Verhandlungen der
kôniglich sachsischen Gesellschaft der
VS'^issenschaften zu Leipzig. T. XX-
XXIH; 1868-1871. —V, 195.

Bulletin de l'Académie Impériale des
Sciences de Saint-Pétersbourg. T. XIII-
XIX; 1868-1874. — I, 240; II, 299;
IV, 58; VI, 32; VII, 190; VIll, 143.

Bulletin de la Société de Statistique, des
Sciences naturelles et des Arts indus-
triels du département de l'Isère.
3« série, t. I-II ; 1869-1871. — V, 204.

Bulletin de la Société Mathématique de
France. T. I; 1873. — VII, 1G4.

Bulletins de l'Académie Royale des
Sciences de Belgique. T. XXVII-XXXII ;
1S69-1871. — I, 281; n, 289; IV, 55.

Bullettino di Bibliografia e di Storia delle
Scienze matematiche e fîsiche, pubbli-
cato da B. Boncompagni , T. II-VIl ;
1869-1S74.— 1, 98; II, i/|6; IV, 243;
VI, 232; VII, 120; VIII, 259.

Casopis pro pèstovani mathematiky a

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

3i9

fysiki, kteryz se zvlâstnim zretelem k
studujici'm rediguje Dr. F.-J. Sti'dmcka.
T. I-IV; 1872-18-5. — YI, 88; YII,
260; VIII, 122; XI, 79.

Comptes rendus hebdomadaires des
séances de l'Académie des Sciences.
T. LXX-LXXXI ; 1870-1875. — I, 29,
63, i54, 211, 254, 3iG, 334, 377 ; II, 2o3,
241, 276, 33o ; III, 54, 94, 107, 148,
2i3, 295 ; IV, 72, 127; V, 120; VI, 42,
76, 116, 285; VII, i53, 197; VIII, 37,
67, 161; IX, 149, 199.

Forhandlinjjer ved de Skandinaviske Na-
turforskeres tiende Mode. Christiania,
1868.— I, 282.

Giornale di Matematiche, pubblicato da
G. Battaglim. t. VII-XÏII; i 869-1875.

— i, 102, 219, 28G, 33i ; II, 142; m,

171 ; IV, 196, 254; ^ïi JIO; VII, 90;
VIII, 32; X, 278.

Jahrbuch iiber die fjesammten Fortschrilte
der Matlieraatik ; herausgegeben von
C. Ohrtmann und F. Mlller. T. I,
année 1868. — III, 129.

Journal de l'Ecole Polytechnique. T.
XXVI, KLiu** Cahier. — I, 269, 297.

Journal de i\Iathématiques pures et ap-
pliquées; publié par J. Liouville (con-
tinué par H. Resal). 2^ Série, t. XIV-
XIX; 3« Série, t, I; 1869-1875. —
I. 91: II, 33; III, 88, 379; VI, 125;

VIII, 17; L\, 121 ; XI, i55.

Journal des Actuaires français. T. I; 1872.

— 111. 169.

Journal fur die reine und angewandte
Wathematik; gegrundetvon A.-L.Crelle.
fortgesetzt von C.-Vv. Borchardt. T.
LXXII-LXXX; 1869-1875. — I, 24:
III, i38, 238. 258, 367; IV, 87, 233;
V, 283; VI, 188; VII, 223,248; VIII, 17;

IX, 176; XI, 27.

Kongliga Svenska Vetenskaps-Akademiens
Handlingar. Ny fôljd. Stockholm.
T. V-Vlll; 1863-1869. — I, 2.i2; VI, 36.

Matematitcheskii Sbornik , izdavaïémyi
Moskovskinî Alatematitcheskim Ob-
chtchestvom. T. I-VIl; 1866-1874. —
III, II, 70, 300 ; V, 292; VI, 3i4; Vil,
233 ; X, 96.

Mathematische Annalen , begrûndet von
A. Clebsch und C. Neumann, fortgesetzt
von F. Klein und A. Mayer. T. I-VIIl;
1869-1875. — I, 124; II. 173, 235, 353;
III, 327; VllI, 78, ii5, 209; X, 175.

Mémoires de l'Académie des Sciences,
Inscriptions et Belles-Lettres de Tou-

louse. 76 série, t. I-Ill; 1869-1871.—
V, 100.

Mémoires de la Société des Sciences phy-
siques et naturelles de Bordeaux. T. II-
VIII; 1861-1872. —V, 60.

Mémoires de la Société Royale des Sciences
de Liège. 2^ série, t. 111; 1873. — VI,
37.

Memoirs of the Literary and Philoso-
phical Society of Manchester. 3^ série,
t. II-III; 1 865-1868. — I, 162.

Memoirs of the Royal Astronomical So-
ciety of London. T. XXXVI-XXXIX ;
1867-1872. — I, 238; V, i58.

Mémorial de l'Officier du Génie. 2^ série;
t. XVI-XXIV; 1854-1875.— XI, 274.

Memorie dell' Accademia délie Scienze
dell' Istituto di Bologna. 2^ série, t.
VII-X; 3^ série, t. I-II; 1868-1872. —

I, 219; IV, 247.

Monatsberichte der koniglich preussi-
schen Akademie der AVissenschaften zu
Berlin. Années 1869-1874. — I, 187 ;

IV, 200; VI, 40; VII, i3i ; X, 285.
Monthly Notices of the Royal Astronom-
ical Society of London. T. XXX-
XXXVI; 1870-1S76.— II, 149; III, 2'^5;

V, io3; VI, 299; VII, i5, 53; IX, 9,
107, 267 ;X, 37, 86; XI, i4ç), ig'i.

Nachrichten von der K. Gesellschaft der
AVissenschaften und der Georg-Augusts
Universitat zu Gottingen. Années 1868-
1872. —I, 238; III, 42; IX, 186, 276;
XI, 272.

Nieuw Archief voor AViskunde. T. I; 1870.
— VIII, 159.

Nouvelle Correspondance mathématique ;
publiée par E. Catalan et P. Mansion.
T. I; 1875. — VIII, 217; X, 146.

Nouvelles Annales de Mathématiques, ré-
digées par MM. GEKONoetBRissE, 2<' série,
t. IX-XV, 1870-1S76. — I, 157, 159;

II, 75; IV, 40; VI, 178; VIII, 25; IX,

173; X, 32; XI, Î20.

Nova acta regiae Societatis Scientiarum
Upsalensis. 3« série, t. VI-VII; 1866-
1870. — I, 247; V, 168.

Ôfversigt af kongl. Vetenskaps-Akade-
miens forhandlingar. Stockholm. T.
XXII-XXVII; 1S65-1870. — I, 245;

VI, 3',.

Outchonyia Zapiski Imper. Kazanskavo
Ouniversiteta. Année 1872. — XI, ii4.

Pamiçtnik Towarzvstwa nauk scisîych w
Paryzu. T. I-III ;" 1871-1873.— VI, 148.

Periodico di Scienze matematiche e na-

320

BULLETIN DES SCIENCES

turali per l'insegnamento secondario.

T, I; 1873- 187',. — VU, lofi.
Philosopliical Transactions of Ihe Royal

Society of London. T. CLVII-CLXÎl ;

1867-1872. — I, 181, 365; VI, 22H.
Proceedinjjs of the American Association

for the Advancenient of Science. Cam-
bridge (Mass.); 1868. — III, 1.54.
Proceedings of the Cambridge Philosoph-

ical, Society. T. XI, i8C)G-6g. — I,

237.
Proceedings ofthe LiteraryandPhilosoph-

ical Society of Manchester. T. V-VII ;

18G5-18G8. — XI, 255.
Proceedings of the London Mathematical

Society. T. I-IV; 1865-1S73. — III, 3',4 ;

IV, /|5; Vil, 25.

Proceedings of the Royal Irish Academy.
Dublin, i""^ série, t, VIII-X; 1^ séçic,
t. I; 1861-1872. — I, 309; VII, 181.

Proceedings of the Royal Society of
Edinburgh. Années 1869-1 871. — II,

274; V, 164.

Proceedings ofthe Royal Society of Lon-
don. T. XVIII..XXI; 18G9-1873. —
VII, 73.

Programmes des Gymnases et des Real-
schulen de Berlin. Années 1871-1875.

— X, 2^2.

Programmes publiés par les Écoles alle-
mandes sur des sujets mathématiques.
Années i87i-i87.'î. — X, 290.

Pubblicazioni del Reale Osservatorio di
Brera in Milano. N"*^ i-io. — X, 25i.

Publications danoises. — VII, 86 ; VIII,
i4o.

Publications norvégiennes. — VI, 255.

Quarterly Journal of Pure and Applied
Mathematics; editcd by J.-J. Sylvester
and N.-M. Ferreus. T. XI-XII ; 1870-
1873. — II, 267; VI, 204.

Rendiconti del Rcalelstituto Lombarde di
Scienze e Lettere. Milano. T. II ; 18G9.

— I, 188.

Revue d'Artillerie. T. I-VII; 1 872-1876.

— XI, 74.

Rivista di Giornali ; pubblicata da G. Bel-
LAviTis. ]N« X-XII; 1870-1874. — III,
289; X, 141.

Rivista scientifico-industriale délie prin-
cipali scoperte ed invenzioni fatte nelle
scienze e nelle industrie ; compilata da

G, VlMERCATI. T. III-IV; 187I-1872. —

V, 17.

Roczniki C. K. Towarzyrstwa naukowego

Krakowskiego. 3^ série; t. VII, X,XII,
XVI, XIX; 1862-1871. — XI, 267.

Sitzungsberichte der kônigl. b(3hmischen
Geseilschaft der VS'issenschaften in
Prag. Années 1870-1874. — VI, 102:
VIII, 229; IX, 49.

Sitzungsberichte der mathematisch-na-
turwissenschaftlichen'Classe der Kaiser-
lichen Akadcmie der A^'issenschaften
zu Wien. T. LVllI-LXVlIl, 1SG8-1873.

— I, 208; VII, i3S, 2o3; VIII, 223.
Société des Sciences naturelles du Grand-
Duché de Luxembourg. T. X; 1867-1868.

— I, 3o4.

Tidskrift for matematik nch fysik, utgiven

af G. DlLI.NER, F.-W. HULTMAN och T.-

R. Thalén. — T. II-V; 1869-1874. —
I, '77. 249. 295-, HI, 219; X, 170.

Tidsskrift for Mathematik. Anden Raekke,
udgivet af C. Tyciisen; t. V.-VI ; 1869-
1870. Tredie Rœkke, udgivet af H. --G.
Zelthen; t. I-IV; 1871-1874. — I, 179,
369; II, i5; V, 277; VII, 29; VIII, 137.

Tijdschrift voor reken-, stel- en meet-
kunde; uitgegeven van wcge de Gewest-
lij'ke Vereeniging Noord-Holland van
het Nederlaiidsch Onderwijzers-Ge-
nootschap. — IV, 204.

Transactions of the Cambridge Philoso-
phical Society. T. XI, 18G6-1869. —
I, 2l5.

Transactions of the Royal Irish Academy.
Dublin. T. XXIII-XXV; 1856-1872.—

1, 3o6; vu, 174.

Transactions of the Royal Society of
Edinburgh. T. XXV-XXVI; 1867-1872.

— I, 159; II, 200; V, 57.

Verslagen en .Mededeelingen der Konink-
lijke Akademie van Wetenschappen
te Amsterdam. 1^" Reeks. T. III- VII;
1869-1872.— I, 1S6; VII, 126.

Vierteljahrsschrii't der Astronomischen
Geseilschaft. Années V-VII; 1870-1872.

— I, 089; II, 321 ; III, 16; IX, 227.
Vierteijahrsschrift der Naturforschenden

Geseilschaft in Ziirich ; redigirt von
Dr R. AVOLF. T. XV-XVIII ; 1870-1873.
^ IV, 5o; V, 2o3 ; VII, 34 ; VIII, 269.

Werken, uitgegeven door het "VViskundig
Genootschap onder de zinspreuk :
« Een onvermoeide arbeid komt ailes
te boven ». Amsterdam. — IV, 209.

Zeitschrift fur Mathematik und Physik ;
herausgegeben von O. Schlomilch, E.
Kahl und M. Cantor. T. XIV-XX;

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

321

1869-1875. — I, 59, 275; II, 187; m,

290; IV, 283; VI, 2/,7; VIII, l85; IX,
238,280.

Zeitsclilift fur mathematischen iind na-
turwissenschaftlichen Unterricht : he-

rausgogeben von J.-C.-V. Hoffmann.
T. I-V; 1 870-1 874. — III, 48; IV, 205;
V, 169; YII, 93; VIII, 226.
Zpravy Jednoty ceskych matheniatiku.
Années 1870-1872. — VI, 97.

MÉLANGES.

AcADÉsiiE DES Sciences. — Séance 'publi-
que du 1 1 juillet 1870. Prix décernés
pour les Sciences mathématiques. —
1, 254.

André (Ch.). — Sur la parallaxe du Soleil
déduite des observations méridiennes
de Mars en 1862. — II, 89.

— De l'emploi des petites planètes pour
la détermination de la parallaxe du
Soleil. — III, 27^1; VI, Go.

Anonyme. — Sur les lignes asymptotiques
des surfaces gauches. — I, 228.

Beltrami (E.). — Formules fondamen-
tales de Cinématique dans les espaces
de courbure constante. — XI, 233.

Bertrand (J.). — Discours prononcé aux
funérailles de G. Lamé. — I, 189.

Bonnet (O.). — Démonstration de la con-
tinuité des racines d'une équation algé-
brique. — II, 21 5.

BoRciiARDT (C.-W.). — Sur l'ellipsoïde
de volume minimum parmi ceux dans
lesquels un certain nombre de sections
centrales ont des aires données. — V,
3oi.

— Sur la transformation des équations
de l'élasticité en coordonnées ortho-
gonales générales. — VIII, 191.

BOL'QUET (C). — De l'intégration d'un
système d'équations différentielles to-
tales simultanées du premier ordre. —
III, 265.

Catalan (E.). — Réclamation de priorité.

— I. 197-

Cauciiy ( A.-L.). — Mémoire sur les inté-
grales définies, prises entre des limites
imaginaires. — VII, 263; VIII, /)3, 148.

Clebsch (A.). — Annonce de sa mort. —
III, 384.

— Sur un nouvel élément fondamental
de la Géométrie analytique du plan. —

VIII, 234.

Combes. — Discours prononcé aux funé-
railles de G. Lamé. — I, 191.
Correspondance mathématique entre Le-

cendre et Jacobi. — VIII, 287; IX, 38,

5i, 126.
Cours de la Faculté des Sciences do Paris

pendant le second semestre de l'année

1^69-1870. — I, 166.
Cours de Mathématiques du Collège de

France pendant le second semestre de

l'année 1869-1870. — I, 196.
Clrtze (M.). — Notice sur la vie de Jeax-

Auglste Grl'nert. — III, 285.

— Extrait d'une Lettre à la Rédaction
du Bulletin. (Sur des manuscrits de
Nicole Oresme). — VI, 67.

Darbolx (G.). — Sur les systèmes linéaires
de coniques et de surfaces du second
ordre. — I, 348.

— Note sur un Mémoire do M. Dini. —
I, 383.

— Sur une méthode nouvelle pour l'étude
des courbes tracées sur les surfaces al-
gébriques. — II, 23, 184, 221, 3i4 ; III,
221, 25i , 281.

— Sur une surface du 5® ordre et sa re-
présentation sur le plan. — II, 4o.

— Sur la représentation des surfaces al-
gébriques.— II, i55.

— Sur une classe particulière de surfaces
réglées. — II, 3oi.

— Sur la surface des centres de courbure
de l'ellipsoïde et sur les coordonnées
elliptiques. — III, 122.

— Sur un théorème relatif à lacontinuité
des fonctions. — III, 30".

— ■ Sur les solutions singulières des équa-
tions aux dérivées oi'dinaires du pre-
mier ordre. — IV, i58.

— Mémoire sur le théorème de Sturm.
ire Partie. — VIII, 92.

— Sur la première méthode donnée par
Jacobi pour l'intégration des équations
aux dérivées partielles du premier ordre.
— VIII, 249.

— Sur la composition des forces en Sta-
tique. — IX, 281.

— Sur la théorie de réliminalion entre
deux équations à une inconnue. — X, 56.

322

BULLETIN DES SCIENCES

Dedekixd (R.). — Sur la théorie des nom-
bres entiers algébriques. Introduction.

— XI, ;!78.

Dewllf (Ed.). — Sur les tranformations
géométriques des figures planes. — V,
2oG.

— Des tranformations rationnelles dans
l'espace. Travaux de M. Cremona. — Vil,
37.

— Note sur un théorème de M. G. Bruno.

— VII, 1,^2.

Dior.io (V.). — Sur la vie et les travaux
de Mgr. D. Barnabe Tortolini. — VIII,

2'^2.

Ermakof (V.). — Caractère de conver-
gence des séries. — • II, 25o.

Falk(M.). — Sommation de quelques sé-
ries. — X, -io/j.

Fave. — Paroles prononcées aux funé-
railles de M. Deealnay, au nom de
l'Académie des Sciences. — III, 317.

Funérailles de G. Lamé. Discours de
MM. Bertrand, Combes et Puiseux. —
I, .89.

Gilbert (Ph.). — Envoi d'un Mémoire
« Sur une propriété des déterminants
fonctionnels et son application au dé-
veloppement des fonctions implicites ».

— I, -yS-

Hermite. — Sur l'intégrale

f"

sin a (7r

I, 320.

— Sur la construction graphique de
l'équation relative à l'addition des in-
tégrales elliptiques de première es-
pèce. — II, 21 .

— Sur une équation transcendante. —
IV, 61.

Hesse (0.). — Des relations analytiques
entre six points situes sur une conique.
— I, 33.

— Sur un théorème relatif à six des huit
points d'intersection de trois surfaces
du second ordre. — 1, 19G.

HoiJEL (J.). — Notice sur la vie et les tra-
vaux de N.-I. Lobatchefsky. — I, 6G,
324,334.

Imschenetsky( V.). — Étude sur les mé-
thodes d'intégration des équations aux
dérivées partielles du second ordre
d'une fonction de deux variables indé-
pendantes. {Introduction). — I, 164.

— Application des expressions complexes

imaginaires à la formation de certains
systèmes complètement intégral)les d'é-
quations canoniques et d'équations aux
dérivées partielles. — XI, 162.

Jacobi (C.-G.-J.). — Correspondance ma-
thématique avec Legendre. — VIII, 291 ;
IX, 38, 5i, G7, 74, 82, 89, 12G, i32,
i33, i38.

Jamin. — Discours prononcé 'aux funé-
railles de M. Duhamel, au nom de
l'Académie des Sciences. — III, 3r4.

Klein (F.). — Sur la Géométrie dite non-
euclidienne. — II, 341.

KnoNECKER (L.). — Sur la théorie algé-
brique des formes quadratiques. — IV,
256.

Laci'erre. — Application du principe du
dernier multiplicateur à l'intégration
d'une équation différentielle du second
ordre. — II, 246.

— Sur une propriété de l'hyperboloïde
de révolution. — II, 27g.

Lamé (G.). — Liste de ses travaux et des
fonctions qu'il a occupées. — I, 224.

Legendre (A. -M.). — Correspondance ma-
thématique avec Jacobi. — VIII, 299,
3o2 ; IX, 44, 61, 63, 65, 71, 80, 87, 92,
129, i36, i4o.

Lespiault (G.). — Question de Méca-
nique. ■ — IV, 293.

Levy (M.). — Note sur les équations gé-
nérales de la théorie mathématique de
l'élasticité en coordonnées curvilignes.
— VI, 214.

LiPScniTZ (R.). — Extrait d'une Lettre.
Sur un nouveau théorème de Méca-
nique. — III, 349.

— Extrait de six Mémoires publiés dans
le Journal de DIathématiques de Bor-
chardt: 1 et 2. Recherches sur les fonc-
tions entières et homogènes de n diffé-
rentielles. IV, 97, 142. — 3. Recher-
ches sur un problème du calcul des
Variations, qui renferme le problème
de la Mécanique. IV, 212. — 4 et 5.
Développement de quelques propriétés
des formes quadratiques de n dilféren-
tielles. IV, 297, 3o8. — 6. Dévelop-
pement d'une dépendance entre 1er,
formes quadratiques de « différentielles
et les transcendantes abélienncs. IV,
3i4.

— Sur la possibilité d'intégrer complè-
tement un système donné d'équations
diiferentielles. — X, 149-

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

323

Mansheim (a.). — Théorème de Géomé-
trie. — I, 198.

— Détermination simple et rapide d'une
équation des suil'aces du second ordre
contenant six points donnés. — II, i25.

— Remarque sur une classe générale de
surfaces, et en particulier sur la sur-
face lieu des points dont la somme
des distances à deux droites fixes est
constante. — III, 119.

Mansion (P.). — Sur les travaux de Jules
Plùcker. —V, 3i3.

Mayer (A.). — Sur les systèmes absolu-
ment intégrables d'équations linéaires
aux différentielles totales, et sur l'inté-
gration simultanée des équations aux
différentielles partielles. — XI, 87, 125.

NicoLAÏDÈs (N.). — Sur quelques surfaces
à courbure constante. — IX, 242.

Painvin (L.). — Étude d'un complexe du
second ordre. — II, 368.

— Sur la théorie des caractéristiques. —
III, i55.

— Courbure d'une courbe plane, donnée
par son équation tangentielle. — III,
174.

— Sur les surfaces algébriques. — IV, 91.

— Sur l'abaissement de la classe d'une
courbe produit par la présence d'un
point de rebroussement. — IV, i3i.

— Note sur l'intersection de deux cour-
bes. — V, i38.

— • Annonce de sa mort. — IX, i/p.

— Liste de ses travaux. — IX, 188.
Pellet (E.). — Note sur les podaires

obliques. — • III, 278.
Plasa (J.). — Liste de ses ouvrages et de
ses Mémoires. — V, 65.

Plûcker (J.). — Liste de ses travaux. —

III, 59.
PuiSEtx (V.). — Discours prononcé aux

funérailles de IM. Lamé. — I, 194.
— Discours prononcé aux funérailles de

I\I. Delaunay, au nom du Bureau des

Longitudes. — III, 319.
Question mise au concours pour l'année

1873 par la Société Royale Danoise des

Sciences et des Lettres de Copenhague.

— V, 191. •

Quetelet (E.). — Notice sur l'Observa-
toire Royal de Bruxelles. — X, 106.

Resal (H.). — Du mouvement relatif d'un
point pesant sur une courbe comprise
dans un plan vertical tournant d'un
mouvement uniforme autour d'un
point de ce plan. — III, 29.

Riemann (B.). — Sur la possibilité de re-
présenter une fonction par une série
Irigonométriqne. — V, 20, 79.

Serret ( J.-A.). — Mémoire sur le principe
de la moindre action. — II, 97.

Simon (Ch.). — Note sur la formule de
Gompertz et sur son application au cal-
cul des probabilités de la vie humaine.

— II, 282.

Tanxery (J.). — Sur le plan osculateur
aux cubiques gauches. — XI, i83.

— ■ Sur les substitutions linéaires par les-
quelles une forme quadratique ter-
naire se reproduit elle-même. — XI,
221.

WoLF (R.). — François-Xavier de Zach.

— VI, 258.

Zeiîthen (H. -G.). — Note sur le principe
de correspondance. — V, 186.

324

BULLETIN DES SCIENCES

TABLE DES NOMS D'AUTEURS

PAR ORDRE ALPH.4J}ÉTIQUE.

Abbadie (d'). I, Sig, 335, 877; VI, 7;

IX, i53, 162.
Abbati. X, i/p.
Abbay. III, 247.
Abbe." I, 388; III, i54.
Abbott (F.). III, 35o.
Abbott (R.). II, i58; VI, 206.
Abel. III, i3o; VI, 189; X, 146.
Abendroth. X, 3oo.

Abelti. V, 179.

Abney. IX, 19; X, 5i, 92; XI, 2o5.

Abonné. I, 228.

Abria. V, 60, 62.

Académie des Sciences. I, 2j4.

Achard. 111, 169.

Acquoy. IV, 204.

Adams. I, 218; III, 249.

Adolph. V, 184 ; VI, 169.

Affolter. III, 291, 335; VI, ni; Vil, 94,

116; VIII, 122, 177; XI, 214.
Aichinger. X, 296.
Airy. I, 182, 184, 186, 218,367; II, 149,

i54; V, io5, 106; VI, 2')6, 287, 3i3;

VII, i5, 53, 78, 79, 80, 82, 83; IX, 9,

14, i5; X, 37, 43, [\-], 5o; XI, 161, 198,

199, 201, 205.
Akerlund. X, 172.

Albeggiani. IV^, 255 ; VIII, 34 ; X, 278, 280.
Albenque. III, 216.
Albrich. I, 358; III, 85, 877.
Alemberl (d'). III, i3o;X, 142.
Alexandre. II, 79.
Alexéief. III, 11, i3, i5, 2o3 ; IX, 4?;

X, 16S.

Alli-gret. I, 2i5; II, 70; VI, 182, 2o3 ;

VII, 170, 201; XI, i56, 157.
Almqvist. I, 29G ; X, 170, 173.
Alverà. X, 296.

Amanzio. VIII, 33.

Amberg. X, 293.

Amigues. IV, !\i, 42; VII, iSg.

Amstein. V, 204.

Andalô di Kegro. VIII, 265.

Andersson. VIII, i32, i34; X, 271.

Andrae(v.). I, 89; IX, 28.

André. XI, 79.

André (C). II, 89; III, 274; IV, 112;

VI, 45, 60, 81, 82, 3 19 ; VII, 144 ; VIII, 74,
i64; IX, i54, 161.

André (D.). IV, 4i, 43, 44, 45; VI, i83,
i85, 188; Vil, 166; VIII, 25, 26, 28;
X, 33.

Andréief. VI, 3 18; IX, 7.

Andréiefskv. lll, 74, 76, 211, 339, 343;
V, 294. '

Andres. III, 375.

Andrews. I, 365; VII, 78.

Angelitti. X, 282.

Anjot. VIII, 74.

Angstrom. I, 293.

Anonyme. I, 228; II, 76; IV, 43; V, 177;

VIII, i3o, 189; X, 298.
Ausart. VI, 272.
Ansted. VII, 78.
Antonelli. VI, 258.

Aoust. I, 28, 2i3, 3i4, 872; IV, 271; VI, 245;

VII, i56, i58, 159, 198; VIII, 256; XI, 192.
A. . .r. X, 172.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

325

Arcais (d'). III, 28.

Argand. VII, i^5, 192; VIII, 221.

Argelander, I, Sg, 90, 274, 280 ; II, 32i ;

III, 17; IV, 59; V, i83, 186; IX, 3i,

227; X, 267.
Arlincourt (d'). VI, 2o3.
Armenante (A.). I, i53, i54; VI, 2/|0;

VII, 90; VIII, 36; X, 280.
Armenante (F.). VII, 91.
Arntzen. II, i58.
Aron. VII, 20.].
Aronhold. VI, 184. v
Arumis. XI, 199.

Arzelà. II, i43; Vir,92, iio; VIII, 3G.
Aschieri. I, 220, 332; III, 27; IV, 255;

VI, m; VII, 91; VIII, 32, 33, 37;

X, 283.

Ascoli. VI, 238, 242; VIII, 118.

Asten. VII, 191.

Astier. XI, 77, 79.

Astolf. III, 106.

Astrand. I, 246; II, 127; X, 266.

Augier. IV, 42.

Augusl. VII, n8; VIII, 180; X, 244, 293;

XI, 219.
Aussem. X, 3oo.
Autenheimer. III, 190.

Auwers. I, 187; VI, 3o3; VII, i32, i33;

IX, 10, 11; X, 287, 288.
Avout (d'). VI, 121.
Azzarelli. III, io4, io5, io6; V, 16; VII,

i35, i3G; VIII, 146, 147; X, 144.
Bach. I, 29; X, 73.
Bachet de Meziriac. VII, ig5.
Bachmann. III, i4i, 192; IV, 68, 87;

VI, 196; IX, 280; X, 1-46.
Bàcklund. III, 25; VIII, i3o, i33, i34.
Badon Ghijben. IV, 211, 212.

Baehr. III, 289, 348; IV, 211, 212, 224;

V, 279, 283; VII, 126, 127, 128, 129.
Baeyer. IX, 241; X, 289.

Baillaud. I, 28; IV, i3o; V, 121 ; VI, 45;

VII, 199.
Baille. V, i36.

Bailly-Maîlre. X, 255; XI, 254.
Bakhuyzen. X, 272.

Baldi, VI, 255.

Bail. I, 3o8; II, 272; IV, 176; V, ii5;

VI, 206, 207; \U, 85, 174, 175, 176,
187.

Baltzer. I, 80, 23o; II, 109, 198; 111, 241,

245; V, 199; VIII, 64.
Bammert. II, 159.
Bangnia. IV, 210.
Barbarin. X, 33,
Barber. X, 272.

Barchauck. X, 290.

Barclay. VI, 232.

Barczynski. IV, 286.

Bardelli. V, 241.

Bardey. I, 388; V, 170.

Bardonnaut. XI, 248.

Bardy. 111, 119.

Barillari. Il, i45.

Barisien. VII, 240; XI, 247, 248, 252.

Barker. X, 44.

Barlel. III, 96.

Barlow. VII, 75.

Barnery. IX, 17.

Barthei. III, 296.

Barthélémy. III, 96; VII, 19g, 201.

Bashforth. I, 184.

Bassac. I, 39.

Battaglini. I, i52, i53, 220, 286; II, 142,

143, i45; III, 171; IV, 198, 199, 200,

254, 255; VI, 3o, iio; VII, 92; VIII, 35,

36, 233, 234; X, 279, 281.
Baudrimont. V, 60, 61.
Baudusson. XI, 26.
Baudys. XI, 84, 86.
Bauer. I, 25 ; X, 290.
Bauer (K.-L.). VUl, 227, 228.
Bauer (R.-W^.). X, 262.
Bauernleind. 11, ibg; IV, 279; VI, 2i3,

2.4.
Baumhauer (v.> III, 214, 347; VIII, i83.
Bauquenne. X, 145.

Baiir. I, 60, 62, 388; IV, 290 ; X, 3oo.
Bauschinger. III, 36i, 384 ; IV, 292.
Baxendeli.I, i63; XI, 255,256, 257, 208.
Bazin. XI, 247, 260, 265.
Beaiijeux. II, 79.

Beaumont (Élie de). II, 210; VI, 296.
Bebber (van). VIII, 228.
Beck. VI, 252; VU, 36.
Becka. XI, 83, 85.
Becker. (E.), I, 388 ; VI, 167, 173; IX, 3o;

X, 277.
Becker (F.). I, 388; X, 290.
Becker (J.-C). 1,59, ^i; III, 53, 160,294;

IV, 207, 287; V, 1C9; VI, 25o ; VII, 94 ;

VIII, 190.
Beckniann. III, 53.
Becquerel. IV, 83,84-
Becquerel (E.). 111, 211.
Bcer (W.). Il, i5q.
Béez. VllI, 21 3.
Belgrand. IV, 128, 129; V, 137.
Bellachi. X, i43.
Bellavenctz. VII, 77.
Bellavitis. II, 76; 111, 289; VI, i85; VII,

239; VIII, 26; X, 67, i4>, 143, li'h 145.

32G

BULLETIN DES SCIENCES

Bellucci. V, 20.

Beltrami. I, 29, i36, 189, 219, 3i/|, 3i5;

II, 159; III, 173, 290; IV, 197, 198, 199,

247, 252, 256; VI, III, 244; X-, 142;

XI, 233.
Bender. VIII, 180; XI, 218.
Benif;ar. VII, 209.
Benoit. XI, 347.
Benthera. VIII, 160.
Berg (Fr.-W.). I, 23o, 389; IX, 26; X,

100 ; XI, 21 1, 2l3.
Berger (A.). VI, 72.
Berger (G.). II, 128.
Bergsma. III, 3o5 ; VII, 127.
Bergstrand. X, 260.
Bermann. III, 376; VIII, 177; X, 3oo.
Bernaerts. II, 292.
Bernardinis (de). III, 172.
BernouUi (Jean). III, i3o.
Bernstein. IV, 2o3.
Berruti. V, 267, 278.
Bertelli. IV, 245; V, 18; VII, 120, 137.
Berthold. X, 288.
Berlin. I, Sg; V, I23; VI, 272, 296; VII,

144, 239.
Bertini. I, iSS ; III, 27 ; VII, 107, 110.
Berton. III, 3o2.
Bertrand (J.). I, 29, Sg, 4i, 63, 189, 196,

3i6. 34',; II, 244, 335, 338, 34o; III,

54,'i3o; IV, 7,41, 78,81; V, i35, i45;

VI, 116, 121, 124; VII, 198, 199; IX,

125, 225, 226; X, 546.
Besant. I, 71; H, 269, 272; IV, 45; VI,

212.
Besge. VI, i35; VIII, 21. 24.
Bessel (A.). I, 129; IH, i5.
Bessel (F.-W.). IX, 288.
Besso. I, i53; IV, 198, 199; VII, 106, iio;

VIII, 32.
Bette. I, 23o.
Betti. I, i3i, 3x2, 3i4; II, 21; III, 290;

VI, 240; X, 146.
Beyer. X, 296.
Beyer (v.). III, 79, 202.
Béziat. II, 77.

Biadego. VI, 202; VII, 121.
Bianco. IX, 95.
Bichot. XI, 246.
Bidder. IX, 25.
Biehringer. IV, 289; VI, 25a.
Bienaymé. I,39,38i;II, 2o3 j VI, i35; IX,

219.
Bierbaum. X, 293.
Bierens de Haan. I, 1S7 ; II, 256; III, 348 ;

IV, 212 ; V, 280, 283 ; VI, 64, 253 ; VII,

121, 128, 129; VIII, iGo, 182, 260.

Bille. I, 359.

Bing. VIII, i4o.

Birmingham. II, 233; IX, 12, 17, 26; X,

272; XI, 206.
Birt. m, 249 ; XI, 259.
Bishop. IX, 12.

Bitonti. I, 224, 333, 334; II, 144.
Bjerknes. I, 284; III, 198; XI, 274, 273.
Bjorling (C.-F.-E.). I, 100, 246, 247, 359;

II, 159; V, 168; VI, 34; VII, 119.
Bjorling (E.-G.). I, 246, 296; II, 159.
Klackhouse. XI, 199.

Blaserna. III, ii5.

Blavet. VIII, i23, i3o.

Blazek. VI, 90, 92, 102; VIII, 123, i3o;

IX, 5o; XI, 82.
Bloek. VII, 2x5.
Bloem. IV, 204.
Blondeau, XI, 247.
Blondel. IV, i3o.
Blum. III, 190.
Bobylef. VIII, 117, 21 3.
Bode. IV, 208; X, 290, 296.
Boehmer. X, 3oo.
Boguslawski (v.). V, 175 ; IX, 235.
Bohme, X, 290.
Bohnstedt. X, 3oo.
Boidi. II, 159.
Boije. I, 296.
Boileau. I, 97.
Boillot. II, 246.
Bôklen. X, i45.
Bolten. IV, 210.
Boltzmann. I, 208, 209, 210, 211, 276;

III, 242; VII, 210, 212, -iiB, 219; VIII,
223; XI, 4i.

Bolyai. V, 61.

Bolze. III, 5o.

Bonanzia. X, 142.

Boncompagni. 1, 98, 99; II, i47J I^» 244>

245, 246; VI, 203, 255; VII, 120, 121,

124, 126; VIII, 262, 265.
Bonnange. VI, 272.
Bonnet (O.). I, 261; II, 2i5; VIII, 169;

IX, X69.
Bonolis. VI. xio; VII, 90, 92; VIII, 34-
Bonsdorff. II, i36.
Bontemps. VII, x59, 162.
Boole. I, 218; X, 142.
Booth. I, 3x4; VI, ii3.
Boquel. IV, 176.
Borch. VIII, i38.
Borchardt. V, 280, 3oi ; VI, 4i ; VII, i3i,

i33; VIII, 191, 287; IX, i85.
Borgen. II, 23i; III, 17; V, 178, 179; VI,

I74;X, 2G8.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

327

Borius. VIII, 256.

Borner. VIII, 226; X, 296.

Borrelly. II, 337; IV, 128, i3o; V, 121,

122, 123; VI, Si, 170, 177; VIII, 42; X,

276, 277.
Borsch. X, 293.
Borsendorfi. I, 167.
Bosramier. II, 210.
Bosscha- V, 281; VU, 127, 128.
Bosser. II, i38.
Bossert. V, 121, I23 ; X, 277.
Bouché. XI, 26.
Bouchon-Brandely. VII, 121.
Boudin. III, 96.
Boue. VII, 220.
Bougaïef. III, 11, iS, i4, i5, 16, 71, 117,

200; V, 296, 298; VI, 3i4; VIII, 3o; X,

i3, 102.
Boulyghinsky. III, 207.
Bouniakofsky. I, 240; II, 299, 3oo, 3oi ;

V, 29/,.

Bouquet (C). I, 167, 340; III, 265; V,
319; VI, 65, 272; VII, 193; X, 7^.

Bouquet de la Grye. VIII, 78, 164.

Bour. VII, 239.

Bourdin. II, 210.

Bourdon. IV, m.

Bourget. I, 66; II, 81, 82, 2^2 ; III, 58, 89,
3oo; IV, 43, 72, 86; V, 124; VI, i32,
159; VII, 1C6.

Bourguet. XI, i25.

Boussinesq. I, 3o, 32, 96, 167, 338, 379;

II, 37, 214, 24r, 276, 33o, 33i, 334;

III, 58, 90, 95, 112, II 3, 117, 2i5, 296,
38i, 383; IV, 78, -4, So, 83; V, i35;

VI, 44, 82, i3i, i38, 139, 2S8, 297;
VIII, 42, 162, i65; XI, 192, -264.

Boussingault. VI, 319.

Bouvier. X, 142.

Bouvret. XI, 265.

Bozzo. I, 167.

Brae. II, 159.

Brahe (Tycho). III, 358.

Braschmann. III, 11, 12.

Brasseur. VI, 38, 39.

Brassinne. V, loi, 102.

Braun (C). X, 265.

Braun (W.). X, 2o3.

Bredikhine. III, i3; V, 3oo ; VI, 3i8.

Breen, I, 89, 389.

Breevilt. IV, 210.

Brehmer. X, 290.

Bremiker. I, 71, 23o, 264.

Bresina. X, 3oo.

Bresse. III, 216; X, i44>

Breton (de Champ). I, 2i.'i; IX, 12',; X,

i'l4; XI, i56.
Breton (Ph.). V, 204, 2o5, 206.
Bretschneider. I, 100, io4; II, 159: III,

85, 87, 295 ; IV, II 3.
Brett. V, ii4; IX, 25 ; X, 39 ; XI, 2i3.
Brewster. I, 71, 160.
BrilTaut. II, 27C.
Brill. I, 129, i32, 372; II, 237, 366; III,

46, 342, 343; VIII, 7, 84, 85, 116, 117,

209, 212, 2i6 ; IX, 277; X, 201, XI,

272.
Brioschi. I, 66, 1S8, 289, 3ii,3i3; II,

237; III, 109, i3o, 332; VIII, 40, 76,

168; X, 143.

Briot. I, 85, 166; IV, 292; V, 319; VI, 65,

272 ; VII, 193.
Brisse. II, 37, 76; IV, 112; VIII, 21 ; IX,

125 ; X, 73, 1 12.
Brocard. III, 289; VI, 182, i83; VII. 171;

X, 145.

Broch. VIII, i63.

Rrockmann. III, 53; VII, 93; X, 290.

Broda. VIII, 177; XI, 216.

Rroman. III, 220.

Bronwin. X, 142, i43.

Brothers. I, i63 ; V, ii3; XI, 256, 258.

Broun. V, 60; VII, Si.

Brown. X, 37, 44-

Browning. II, i5f, i53; III, 246; V, io5,

108, 114 ; VI, 3o6; VII, 65.
Bruhns. I, 167, 171, 23o, 389; II, 282,

233, 235,321; V, 179, 182, i83; VI,

167, 169, 174, 177; VIII, i32; IX, 29,

35 ; X, 272, 27J.
Brunimer. II, 96.
Brûnnow. I, SSg; II, 169; V, 2^0.
Bruno. V, 270, 272, 276; VU, 142.
Bruns. XI, 48.
Brusotti. VI, 32.
Buchbinder, III, 5o.
Buchmann. X, 146.
Buchwald. V, 277.
Budde. VIII, 189.
BufOiam. VI, 3i'3.
Bunte. IX, 191.
Burat. X, 3o3.

Bureau des Longitudes. IV, 110, 112.
Bùrgi. XI, 26.
Burmester. I, 61 ; III, 20', ; VI, 248; VIII,

187. 190. '91-
Burnham. VII, 60, 63, 69; IX, i3, i4, 25;

X, 42; XI, 201, 211.

Burton. VII, 65, i85; IX, i4, i5; X, 43;

XI, 201.

Bustelli. I, i53; X, 280.

328

BULLETIN DES SCIENCES

Butz. II, lôg.

Buys-15allol. VIII, i83.

Byrne. XI, 2'|.

Cagnassi. V, i8.

Cahen. IX, 1/3.

Cahours. VI, Sig; VII, 289; VIII, 256.

Caldaiera. III, 172; VIII, 87.

Caligny (de). I, 97, 98; IV, 80, 82, 128;

V, 121, 123, 12/), i33, i34; VI, 76.
Gallon. X, 112.
Calza, I, 72.

Caizolari. I, i53, lô^, 220.
Canibier. VIII, 21 S.
Campanella. II, 96.
Campbell. X, l\'].
Campoux (de). II, 77.
Cantoui (G.). VI, 29; VIII, 233.
Cantor (G.). I, 6û; III, i43, 2^4, 333;

VII, 23o; VIII, 81.
Cantor (M.). IV, 290; VI, 252; IX., 288;

X, iGi.

Capello. IX, 23 ; XI, 197.

Caporali. VI, m.

Caqué. X, i43.

Cardenas (de). VIII, 36.

Carini. VI, 255.

Carlier. XI, 246.

Carnot (S.). VI, 201.

Carnoy. II, 79.

Caron. VI, 187.

Carpentcr. VII, 77, Si.

Carr. XI, 26.

Carrington. VI, 3o5, 3io ; XI, 2o3.

Carvallo. IX, iGi.

Caselli. II, iSg.

Casey. I, 3o8, 3ii, 3i5; VI, 232; VII, 78.

Casorati. I, 16, 188, 870; IV, 65; X, i4i.

Caspari. VI, 248.

Caspary. XI, 43.

Cassani. I, i54, 332, 334; II, il\o, i46;

III, 290; IV, 254; V, 263 ; VII, 92.
Cassini (IV). II, 208.

Catalan. I, 167, 197, 282, 34i ; II, 19, 20,
78, 290, 295, 297; III, 96, 112, 289;

IV, 244; V, i5, 16; VI, 77, 188; VII,
i54> 1^8, 197; VIII, 26, 3i, 217, 220,
222, 223, 262; IX, 225; X, 145, 148;

XI, i55.

Cauchy. I, 16, io5, 3i2; VII, 265 ; VIII,
43, 148 ; X, 142, 146.

Caux (Salomon de). VIII, 168.

Cayley. 1, 17, 126, iSg, 162, 181, 182,
i83, 184, i85, 2i5, 216, 217, 3i2, 3i4,
3i5, 366; II, 79, i5o, i52, i53, 268,
269, 270, 271, 272, 273, 274, 36i, 366,
367; III, 10, i56, 157, i58, 214, 244,

246, 3o3, 3o5, 339, 343, 345, 346; IV,
46, 48, 49, 73, 74, 75, g6; V, io4, io5,
107, 120, i5g, 160, 161, 162, 167, 240;

VI, 2o5, 206, 207, 208, 2og, 210, 211,
212, 228, 23i, 236; A'II, 25, 26, 27, 29,
74, 75, 7g, 83, 161; VIII, 91; IX, 20,
23o ; X, 54, 14c, 195 ; XI, 7, II, 45.

Cazin. II, 244-

Cecchi. V, 18.

Celoria. I, 90; X, 25i, 252, 253, 254.

Cerruti. II, i44; X, 284.

Cètre. XI, 265.

Cézanne (de). XI, 261.

Chabanel. VIII, 2g.

Chadu. X, 36.

Challis. I, 8g.

Chambers (Ch.). I, 186; VII, 80, 84.

Chambers (F.), VII, 84.

Chapelas. I, 157, 38i, 382; II, 33i, 335;
III, ii5; IV, 76; VII, 201.

Charlon. III, 169.

Chasies. I, i3, i55, 2i3, 382 ; II, 7, 208.
209, 2x3, 241, 242, 243, 276, 333, 336^
338, 340, 341; III, 10, 54, 5g, 94, 107,
109, i56, 157, i58, i5g, 2g8, 3oi ; IV,
41, 42, 43, 44, 45, 78; V, 122, 127,
i35; VI, 83, i35, i36, 294; VII, i53,
157, 160; VIII, 38, 73, 77, 161, 256;
IX, 97, l63, 205 ; X, i44, i45-

Chelini. I, 219; II, 19, 148; IV, 248, 200;

VII, 125, 241; VIII, 32, 35.
Cherbulliez. X, 3oo.
Cheux. II, 276; III, 119.
Chcvilliet. VII, 164 ; VIII, 26, 28, 169.
Cheync, II, 160.

Chiô. III, 68; V, 269, 270, 274; VII, 121.

Clioron. XI, 265.

Christiansen. VII, 32, 86.

Christie. VII, 66; IX, i4, 18, 27; X, 55;

XI, 202, 210.
Christoffel. I, 160, 187, 3i2; III; 45, 46;

VI, 237 ; IX, 276.
Ciotti. III, i48.
Cipoletti. V, 17, 19.
Clarinval. III, 1 19
Clark. VII, 81.

Clarke. I, 181; V, ôg; VII, 85.
Clasen. X, 298.
Clausius. I, i3i, 338; II, 65, 142; III,

336; IV, 82, 285; VI, 298; VII, 162;

VIII, 21, 120; IX, 187, 279.
Clebsch. I, 124, 126, 129, i32, i36, 23q,

3i2, 389; II, 173, 178, i83, 184, 236,
355, 358, 36o ; III, 10, 43, l\ô, 46, 4?»
160, 190, 225, 336, 342, 384 ; IV> 965
298; V, 240; VI, II 0, 112, 253; VIII,

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

329

32, 78, 86, 87, ii5, 117, 120, 209, 234;
IX, 186, 187, 192, 377, 278, 279; X,
ii3.
Clément. III, 96.
Clifford. III, 345, 346 ; IV, 45, 47 ; VII,

27, 85.
Clifton. I, 216; XI, 255.
Clouth. I, 389.
Coatpont (de). XI, 248.
Cockle. II, 271 ; VI, 206, 212 ; XI, 255,

258.
Codazzi. I, 3i3, 3i4, 3i5; VI, 237, 244.
Coffîn. I, 389.
Coggia. II, 335.
Cohen Stuart. I, i86; III, 348.
Colding. VII, 86, 87.
Collet. II, 263, 264 ; VI, 42.
Collignon. VIII, 3o ; XI, 261.
Cûllins. III, 86; V, 63.
Colnet d'Huart(de). I, 3o4.
Comberousse (de). IV, 112; VII, 3o4 ; XI,

28.
Combes. I, 191, 268, 336.
Combescure. I, 32o; III, 117, 216, 296,
297, 3o6; VI, 243, 245; VII, i56, 161;
X, 75; XI, 28.
Compagnon. VI, 181, 182, i83.
Comte. III, 119.
Connal. X. 47-
Conradi. X, 296.
Contamin» VII, i44-
Conti. X, 112.
Copeland. III, 17 ;X, 47-
Copernic. VI, 24.
Corbin. XI, 253.
Cornu. II, 333, 335, 34o ; III, ii4, ii5;

V, 124, i36; VI, 199.
Correspondance entre Legendre etJacobi.

VIII, 287; IX, 38, 5i, 126; XI, 34.
Cotterill. III, 345, 347; VII, 26.
Coulaine (de). XI, 246.
Coumbary. III, 216.
Courcelles-Seneuil. III, 1G9.
Cousté. IX, i5o.
Covrich. X, 293.
Cramer (G.-H.). I, 359.
Cremona. I, 188, 2i3, 219, 233, 3i3; III,
10, i56, 332, 336; IV, 65, 96, 197, 247,
249, 25i, 253; V, 10; VI, 244; VII, 37,
107; IX, 186, 192; X, 65, i4r, 143.
Crespigny (de). V, 112.
Creuzet do Latouche. XI, 76.
Crevaux. II, 211.

Crocchi. IV, 254, 255; VIII, 37 ; X, 282.
Crofton.I, i83, 366; 111,345, 346;IV,45.
Crosnier. VIII, 25.

Ciibr. VIII, 112, 124, 127, 128, 129; XI, 80.
Culmann. IV, 5o; V, 2o3 ; VII, 37.
Curie. II, 212; VI, 57, 87; X, 255; XI,

252, 254, 255.
Curioni. V, 274.

Curtze. I, 3i3; III, 85. 286, 32i; IV, 244,
245, 283; VI, 57; VII, 112; VIII, 180,
i85, 186, 188, 227; IX, 281; XI, 2i5.
Dabi. VIII, 139.

Dahlander. I, 245, 247; VI, 35, 36.
Dambrun. XI, 249, 25o.
Darboux. I, 27, i55, 339, 348, 383 ; II,
23, 4°) i55, 184, 221, 266, 3oi, 3i4j
337; III, 122, i58, 221, 25i, 281, 307;
IV, 64, i58; V, 52, 64, 65, 121, 122;
VI, i36, 199; VII, 91, i58, i59, 161,
i63; VIII, r7, 22, 56, 76, 77, 92, 249;
IX, 281 ; X, 66, 76.
Darget. I, 72.
D'Arrest. V, i83; VI, 166, 168, 176; X,

270.
Daru. X, 142.
Da Schio. I, 389.
Dase. I, 389.
Dauber. X, 290.
Daug. I, 177, 17S, 245; III, 219, 220; X,

170.
Davldof. III, 12, i3, 16, 79, 81.
Davidson. II, 224.
Davis. X, 43 ; XI, 197.
Day. IV, 42.
Deas. II, 2o3.
Decharnie. I, 157.
Decomble. XI, 261.
De Coninck. Vlil, 3i ; X, 112.
Dedekind. XI, 278.
De Gelder. IV, 2io.
Deike. I, 280.

De Jong. V, 281 ; VIII, 184.
Delabar. I, 359; "ï» 87.
Delacroix. XI, 255.
Delaistre. V, 319.
Delambre. XI, 25o, 252.
De la Rue. (A.-M.). III, 81 ; IX, 47.
Delaunay. I, 3o, 167, 212, 256, 262, SSg,
379; II, 208, 210, 242,339, 340; III, iG,
109, III, i48, 317, 319; VI, 128.
Délègue. VI, 188.
Delort. XI, 255.
Dembowski. I, 280, 281, 364; ^'I> i// 5 I^»

29.
De Montel. VII, 106, 109.
Deniéport. XI, 246.
Denison. VI, 3io.

Denning. VI, 3i4; IX, 2û; X, 276; XI,
206, 212.

Bull, des Sciences mathém. et astron., t. XI. (Juillet-Décembre 1876.) 22

33o

BULLETIN DES SCIENCES

Denza. I, 23o, 389; II, 9G, 335; III, 216;

V, 17, 18, 269, 272; VII, 137.
Denzicr. VII, 35.
De Paolis. X, 283.
Deprez. II, 33/, 338.
Derrien. VII, 239.
Dersch. VIII, 2i5.
Desboves. IV, 32o'; X, 34, 35.
Despeyrous. I, 23o ; V, 100, lOi, 102; X,

i4G.
Desprez (M). II, 337, 338; V, i34.
De Tilly, II, 294; IV, 57; VIII, 219; X,

i46.
Devèze. XI, 248.
Devin. XI, i23.
Dewar. V, 167.
Dewulf. V, 206; VI, i83; VII, 37, 142, ;X

65, 282.
Diamilla-Mûller. V, 272,
Dickstein. VII, 96; VIII, 180; XI, 217.
Didion. III, iio; VI, 76.
Didon. I, 27, 29, 95, i5G ; II, 260, 266; VI,

201, 202.
Dieckmann. III, 34o; VII, 96.
Dienger. III, 170; VI, io5, 107.
Dietzel. I, 389.
Dieu. VI, i3o, 186.
Dillner. I, 177, 178, 179, 243, 249, 295,

296; III, 219, 220; X, 170.
Dini. I, 3i3, 3i4, 375, 383 ; III, 377, 378 ;

IV, 224; VI, 240, 241, 246.
Diorio. VIII, 272.
Dislere. V, 320.
Dittmar. X, 245, 296.
Dittrich. X, 293.

Dilscheiner. VII, i38, i39, 211, 221.
Doberck. IX, 36; X, 89, 91, 93, 278.
Dobrowolsky. VI, [\0.
Doergens. I, 72.
Dolinski. VI, 157.
Dollen. X, 44.
Dcilp. VI, lia; VII, 192.
Domallp. VI, io3, 107; VII, 219; VIII,

224.
Donati. I, 72; III, 3oi ; V, 17, 18, 175,

178.
Donders. V, 282; VII, 128.
Donnini. V, 18, 19, 20.
Donovan. I, 3oS.
Dormoy. VI, 319.
Dorn. VIII, 2i5.

Dorna. V, 267, 268, 269, 273, 276.
Dostor. I, 249, 280; II, 82 ; III, 82, 374 ;

IV, 279; Vi, 184, 188; VII, 117; VIII,

3i, 177, 179, 180; XI, 2i5, 216, 217,

219, 220.

Doutrelaine. V, 121.

Dove. X, 285, 286, 287, 289.

Downing. I, 3o6.

Dozy. VIII, 190.

Drach (v.). II, 176; VIII, 85.

Drew. I, 39.

Dreyer. X, 271, XI, 211.

Drobisch. V, 201.

Dronke. I, 359, ^^9-

Dubois. III, 112, 118; VI, 46, 124, 159.

Du Bois-Reymond (E.). I, 187; IV, 202;

X, 288, 290.

Du Bois-Reymond (P.). III, 333, 339, 271 ;

V, 287; VI, 242; VIII, 85, 211, 216; IX,
177, 178, i83; X, 195; XI, 274.

Duchéne. XI, 78, 79.

Ducrocq. III, 1 19.

Duda. I, 39; III, 53.

Dufek. VI, 98.

Duhamel. I, 343; III, i3o, 3i4; IV, 79;

VI, 127; X, i44; XI, 241.
Duhil de Benazé. VI, 46.
Dûhring. IX, 98.

Dumas. VII, iG3.

Du Moncel. VI, 3iO; VIII, 25G ; X, 205.

Dumoulin. VI, 272.

Dunér. II, 234; V, <8i, i83; VI, 36.

Dunham. I, 389.

Dunkin. VI, 3i4; VII, 56; X, 45, 86, 91;

XI, 2û4, 211.

Duprez. II, 298.

Dupuis. X, 293.

Dupuy (L.). VI, 319.

Dupuy de Lôme. I, 38i, 382; III, ii4; VI,

42, 77-
Durand. X, i45.
Durand-Claye. XI, 262.
Durège. I, 49, Gi, i35; III, 7, 171 ; IV, 90,

291; V, 28G; VI, G4, io5, 225, 320; VIII,

80.
Dûrr. I, 167.
Durrande. I, 2i3; II, 80, 337; III, 3oo ;

IV, 85; VI, 1S7, 2o3, 020; VII, i54, iSg,

162; VIII, 169, 3o4; X, 74;XI, 86.
Durret. XI, 26.
Dvor.-;k. VII, 219; VIII, 226.
Dyer. XI, 259.
Eberhardt. I, 23o.
Eccher (de). V, 18, 20.
Eckardt. I, 279; VI, 247, 25o; VIII, 79,

188, 216; IX, 2S0.
Eckhardt. II, 160; III, 160.
tckl. X, 3oo.

Kdlund. I, 245, 24G; VI, 35, 3;.
Egger. II, 332.
Eggers. VII, 118.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

33 1

Eichler. X, 3oo.

Eisenlohr. III, i43.

Elger. VI, 3io; VII, 62.

Ellery, I, 23o ; IX, i54; XI, 201.

EUinger. X, 290.

Elliol. III, 154.

Ellis. m, 290; IV, 41 ; VII, 85.

Emsmaiin. 111,83, 190, 197 ;X, 3oo.

Endemann. X, 293.

Endrès. V, 192; VII, 239.

Engelmann. I, 364; III, 224 ; VI, 172 ; IX,

233, 234, 235; X, 277.
Enneper. I, 60, 62, 238, 289, 276, 278; II,

139, i4i, 240; III, 45, 46, 4?» 293; VI,

247, 261, 252; VIII, 84, 119, 1S6, 2i4;

IX, 186, 187, 240, 277, 278, 279, 288;

XI, 273, 274, 275, 276, 277.
Erdmann. II, 76.
Ericsson. III, 24; VI, 34, 35.
Erlecke. IV, 38.
Erler. VII, 95 ; VIII, 228.
Ermakof. II, 25o ; V, 294 ; VIII, 91.
Erman. I, 89, 90; X, 266.
Ermanska. III, 289.
Ersch. XI, 16.
Escary. XI, 122.
Escherich (v.\ XI, m, 216.
Estocquois (d'). III, 3oi; VII, 144.
Etienne. XI, 26.
Eugenio. II, 144 ; III, 173.
Euler. III, i3o.
Evans. VI, 236; VI, 81.
Everctt. I, 181.
Exner. I, 209, 248 ; IV, 290 ; VII, 208, 209 ;

VIII, 225; X, 291.
Faà dt; Bruno. V, i23; IX, 240; X, 166;

XI, 14.

Fabré. XI, 246.

Fabri. X, 144.

Fahle. III, 5i, 53.

Fais. VIII, 34, 36; X, 279, 284.

Falb. I, 88.

Falisse. III, 96.

Falk. I, 296; II, 224 ; III, 220, 221 ; X,
171, 172, 173, 204, 257.

Fasbender. I, 249; III, 85, 83; X, 293.

Fasel. VI, 3o6, 3o8 ; IX, 26.

Faure. V, 2o5, 206; VI, 182, 184 ; X, 35;
XI, 125.

Favaro. VIII, 32, 2G5; IX, 93; X, 283.

Faye. I, i54, 212, 257, 344, 379,381, 383;
II, 340; III, 55, 56, 57, III, 112, 217,
297, 317; IV, 77, 80, 84, 129, i3o; V,
120, 124, 125, 128, i34, i35, i37; VI,
43, 79, 80, 81, 82, 121, 124, 128, 285.
295; VII, i54, 157, 162, ig8, 199, 201 ;

VIII, 38, 39,40, 78, 167, 1G9, 170; IX,
149, i52, i54, i55, 159,218; X, 112.
Féaux. X, 2g6.
Fehrs. X, 2g3.
Feidner. X, 296.

Fergola. IV, 198; V, i5; X, 144.
Ferguson. I, 167.
Fermât. III, 289.
Ferrari. VllI, 146.
Ferrers. I, 365; VI, 20G.
Ferririi. V, 19.
Ferron. VIII, 221 ; X, 293.
Ferry. IV, 56.
Fialkowski. X, 291.
I Fiedler. IV, 52; Vill, 65, n3; IX, 192.
I Finance. VI, 32o; X, 160.

Finger. VIII, igo, 224; X, 291, 296.
I Fiore. IV, igg.
I Fischer (A.). VII, 219.
j Fischer (F.-W.). VII, 117.

Filremann. IV', 4i.
I Fizeau. I, 261.
I Flamant. XI, 262, 264.
Flammarion. I, 157, 2i3, 383; II, 20g;
VI, 78, 125, iSg, 292, 296; VII, i55,
i56, 239; VIII, 42, 76, 167; IX, 162,
i63; X, 160.
Fleuriais. VIII, 74, 164 ; IX, i52, 227.
Floquet. IX, 174.
Flye Sainte-^iarie. III, i3i; IV, 292; VII,

166.
Foerster. I, 23o; II, 128; III, 198.
Folie. I, 282, 359; VI, 38, 39.
Folkierski. Vî, i56, i58; VII, 11.
'. Follie. III, 1 19.
] Fontaine. lil, i3o.
Fontené. X, 35.

Fonvielle (de). I, 378; II, 209, 335, 339;
111,59, 109, no, m ; V, 121 ;!X, iba,
154.
Forbes. VII, 61.
Forcke. X, 296.
Forster. I, 307.
Forti. I, 265, 35g; III, 290.
Foscolo. V, 272.
Foiicart. III, 1 18.

Fouret. III, 289; VI, 290, 298; VII, 162,
164, 168, 173, 200, 202; VIII, 75, 162,
1G8, 3o4; IX, i5o.
Fournier. IV, 72.

Frahm. VI, 25o ; VIII, 2i5, 216; X, 176.
Franchini. X, 142.
Françoise. II, 76 ; III, 28g.
Franke. X, 297.
Franke (H.). X, 2g3, 297, 3oo.
Franke (J.-N.). VI, i52.

22.

332

BULLETIN DES SCIENCES

VIII.

IV,

297-

100.

263.

89,
, 35,

Frankenbach, X, 298.
Frankland. VII, 78.
Franz. VII, ii'|.
Franzky. X, 293.
Frattini. IV, 254 ; X., 281.
Frauenholz. I, 168.
Freeman. V, 106; VI, 3oo.
Frenet. V, 62, 63 ; VI, 70.
Fresenius. III, 5o, 53; VU, 98, 96;

227.
Freudien. I, 870.
Friedlein. II, 1^7 ; III, 53, 290, 298

244, 246, 293; VII, 125; X, 294,
Friis. II, 128; III, 358.
Frisch. XI, 49-

Frischauf. II, 224 ; III, 191, 291 ; VII,
Frisiani. X, i46.

Fritsch. VII, 240; XI, 249, 252, 254,
Fritsch. IX, 235.
Fritsch (H.). X, 3oi.
Fritsche. IV, 60; X, 297.
Fritz. VII, 78.
Frobenius. III, 238, 288, 870; VI,

191 ; VII, 23o, 255; IX, 182; XI, 33
Froger. IV, 211.
Frolich. III, 291.
Frombeck. VII, 214, 216.
Fromme. XI, 275, 277.
Fron. III, ii5.
Frosch. IV, 292; X, 297.
Frost (A.). II, 269.
Frost (P.). II, 269, 271 : IV, 177; VI,
Fry. X, 291.
Fuchs. I, 25, 26; III, 145, 244; IV,

V, 292; VI, 188, 189, 238; VII, 282,

XI, 41, 277.
Funcke. III, 224.
Fuortes. II, i44, i45; III, 86, 172 ; IV,

198; VIII, 34.

Fûrstenau. X, 3oi.

Gadolin, VI, 108.

Gageot. XI, 246.

Gall(v.). X, 801.

Galle. VI, 170, 178; IX, i5o; X, 38, 262,

Galiien. X, 3oi.
Gambardella. III, 172; VI, iio.
Gambey. X, 38;XI, 128.
Gandlner. III, 160; V, 171.
Gantner. X, 291.
Garbett. VII, 67.
Garbich. I, 890.
Garbieri. VII, i44-
Gardiner. III, 346.
Gariel. XI, 268.

209.

288;
260:

Gasparis (de). II, 281; III, Sg; IV, 76;

V, 106, 178, 184.
Gasser. I, 168.
Gatien-.^rnoult. V, 102.
Gaudiu. IV, 271.
Gaumet. IX, 162.

Gauss (C.-F.). III, 160; VI, 112, iSg.
Gauss (F.-G.). I, 890 ; II, 224, 256; IH,

234; V, 261.
Gaussin. VI, 79.
Gautier. III, 1 19.
Gay. III, 119.
Gay-Lussac. VI, 160.
Gebhardt. X, 297.
Geelmuyden. II, 288.
Gegenbauer. VII, 116, 117, 2i5, 216, 217,

218, 221 ; VIII, 224; ^) 294, 297.
Geijer (v.). X, 171.
Geisenheimer. IV, 289; VI, 247, 25o ; X,

294-
Geiser. I, 89, 127, 3i3; II, 867 ; III, 147 ;

VI, 287 ; VII, 192 ; VIII, 191.
Gellenthin. X, 291.

Gemma Frisius. VIII, 180.

Genei al-Bericht ûber die mittel-ewo-

pàische Gradmessung. II, 256; IX, 241.
Genêt. XI, 246.
Genocchi. I, 3i5 ; II, 147; III, 28g, 3o6 ;

IV, 246; V, 269, 274; VI, 255, 288,

292 ; VII, 121, 125; VIII, 75, 76; X,

145.
Gent. IV, 291.
Gentzen. X, 297.
I Gerhardt. IV, 201.
Gericke. V, 179; VI, 170.
Gerlach. I, 1G8 ; X, 294.
Germann. X, 294.

Gerono. II, 80, 81 ; III, 290; VI, i83.
Geits. X, 271.
Gessner. X, 291.
Geyser. X, 294.
Gherardi. I, 72; III, 85, 191, 29J ; IV,

298 ; V, 17, 820.

Gibbs. I, 298.

Gibson. VI, 282.

Gilbert. I, 198, 282 ; II, 80 ; IV, 38, 020;

VI, 182; X, 144.

Gill. VI, 801 ; IX, 12, 19 ; XI, 196.

Gilles. VI, 248, 25i, 252.

Gilliss. IX, 281.

Giorgi. II, 149.

Giorgini. X, i44'

Girdlestone. I, 168.

Giulio. V, 267.

Glaenzer. X, 3oi.

Glaisher (J.-AV.-L.). I, 368; II, 274; V,

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

333

no, III, 112, 162; VI, 2o5, 206, 208,
211 ; VII, 25, 26, 27, 28, 59, 63, "jb,
78 ; VIII, 76, 221 ; IX, 20, 26 ; XI, 7, 20.

Glan. X, 288.

Glasenapp. IV, 60; V, 170, 182; VI, 33;

VII, 190; VIII, 143.

Glaser. X, 29^, 3oi.
Gledhill. IX, 25; X, 46 ; XI, :99.
Gloesener. VI, 272.
Glotin. V, 60, 61.
Gobbi-Belcredi. V, 273.
Godecker. X, 294.
Godt. III, 336.
Goldberg. I, 72.
Goldstein. X, 288.
Gompertz. II, 282.
Gôransson. VIII, 182.
Gordan. I, 26, 126, 127, i32, 3i2, 3i4,
3i6; II, 180, 363, 368; III, 46, 334;

VIII, 81, 8'|, 91, ii5, 120, 209, 214.
GOriiig. VIII, 212.

Gosiewski. VI, 149, i5i, i54, 157, 159.

Gossart. XI, 26.

Gotting. II, 362; X, 291.

Gould. I, 281.

Goulier. X, 255; XI, 246, 248, 254, 255.

Govi. II, 147; IV, 81; V, 267, 2(i8, 269,

270, 272, 273.
Grad. III, 3o5.
Graeff. V, 187; VI, I23.
Graffweg. II, i4o.
Graindorge. II, 199; III, 96; IV, 44; VI,

38, 39, i3o, 134.
Gram. VII, 3o; VIII, 189, i4o, 211.
Grandi. I, i54 ; II, 12S.
Grant. II, 23i ; V, io4; VI, 3o6 ; IX, 271.
Grashof. III, 191.
Grasset. XI, 247-
Grassmann (H.). I, 249; III, 10, i43;

VIII, 216; IX, 279.
Grassmann (R.). V, 320.
Gravelaar. XI, 219.
Graves. I, 3 10, 3i i.
Green. I, 390.
Greg. V, 118.
Greiner. XI, 216.
Grelle. I, 62; II, i4o; III, 293; V, 262;

X, 143.

Grellois. III, 119.

Gretschel. I, 2/|8.

Grifliths. III, 290; IV, 49; VI, 2o5.

Grillon. VII, 240; XI, 25o, 253.

Grimes. III, i54.

Grinwis. VII, 128, 129, i3o; VIII, i83.

Grosso (del). I, i53, 224, 332.

Grubb. I, i85; III, 246; IX, 23i.

Grube. I, 61; II, i4i; VIII, 190.
Gruey. II, 266; VII, 201; VIII, 76.
Gruhl. X, 294.
Grunert. I, 100, loi, 279; III, 83,86,87,

88, 285, 374, 376, 377; IV, 279, 280,

281TVII, 112.
Grûnwald. I, 63.
Griitzmacher. VI, 167.
Gualterotti. VIII, 265.
Guarnieri. I, 168.
Guéronlt. III, 3o2.
Gueysse. XI, 161.
Guillemin. I, 382; II, 256, 338.
Guillemot. XI, 25o.
Guiraudet. III, 195.
Guldberg (A.-S.). I, 283, SSg; II, 96; IV,

35 ; VI, 258.
Guldberg (C.-M.). I, 285; VI, 257.
Gundelfinger. I, 23i; II, 36i ; III, 242,

262, 333, 334, 344; VI, 244, 249, 252;

VIII, 87, u5, i85, 2i4;IX, 280; X, 179;
XI, 3o.

Gunning. V, 281 .

Gûnther. III, 194; IV, 293 ; VII, ii5, 116,

118, 124; VIII, 172, 173, 179, 211, 262,

267; IX, 239; X, i3i; XI, 108, 2i5,

216.
Gûssfeldt. II, 174.

Guthrie. I, 365; II, 256; VII, 76, 84.
Guyot. II, 335; III, 112, 118.
Gyidén. 1, 241; II, 32i, 325; III, 97, loi,

io3; IV, 59; VI, 108; VIII, 168, 169;

IX, i5o, 227; X, 55, 171.
Haase. II, 239.

Habich. I, 3'5 ; XI, 270.

Hachette. I, 382.

Hahnemann. X, 294.

Haidinger (v.). VII, i38.

Hain. IV, 281, 283; VII, 117, 118; VIII,

177; XI, 2l5, 2lfi, 217, 218, 220.

Hall (Asaph.). I, 280; II, 234; V, 177; VI,

173; VII, 63; IX, 3o; X, 264,265.
Hall (Maxwell). V, no; IX, 24.
Haller v. Hallerstein. I, 168.
Hallstén. VI, 108, log.
Halphen. 1,65 ; III, 108, no; V, 127, i38;

VII, i55, i63, 164, 168, 169, 171, 172;

VIII, 75, 76, 166.
Hamberg. X, 174.

Hamburger. HI, 294; V, 288; XI, 45.

Hamerle. X, 297.

Hamilton (sir W.-R.). I, 3o9, 3io.

Handl. I, 209; VII, 216, 217.

Hankel (H.). I, 60, 62, n7, i35; VI, 254;

VII, 192; VIH, 216; IX, 2S8; X, 197, 198,

209; XI, 81.

33J

BULLETIN DES SCIENCES

Hankel (W.). Y, 265.

Hanlon. IV,' /,5-

Hann. VII, i/|0, 2i/|.

Hansemann. III, 191, 295.

Hansen (Chr.). I, 179, 180 ; VII, 87.

Hansen (P.-A.). I, 1G8; III, 18; V, igS.

197, 199, 200, 264, 265, 2G6.
Hansen (P.-C.-V.). I, 180, 3C9, 870; V,

278; VIII, i^o.
Happach. X, 297.
Harbordt. I, 129.
Hargreave. X, i43.
Harkema. VIII, 3i ; X, i^S.
Harley. I, i63 ; III, 345.
Harms. X, 294-
Harnischmacher. X, 291.
Hart. III, 10.
Harting. VII, 129.
Hartmann. X, 291, 994.
Hartniip. X, 52.
Haton de la Goupillière. I, 270; III, 108.

i3o; IX, 218; XI, 122.
Hatt. VI, 296.
Hattendorff. II, 225; HI, 160; IX, 187; XI,

97, 275.
Haub. X, 3or.

Haughton. I, 3o6, 3o8, 809; VII, 78, 80.
Hayden. VII. 81.
Hayward. VII, 28.
Hechel. II, 25G.
Heelis. I, i63.
Heger. I, 277 ; II, 189, i4i ; III- 257, 290 ;

IV, 285 ; VI, 249; VIII, 186, 187.
Heilbronner. XI, i5.
Heilermann. X, 297.
Heine. II, 177; III, i4i, 26'|, 344, 378; VI.

192; IX, 17G, 187; X, 286.
Heinze. X, Soi .
Heinzerling. III, 25G.
Heis. I, 33, 364; IV, 129; V, 128; VII,

200; X, 272.
Hejzlar. VHI, 126, 129; XI, 80.
Heike. X, 294.
Heller. X, 297.
Hellmann. III, i53; VIII, 228.
Hellwig.X, 297; XI, 218.
Heimert. I, 60.
Helmes. I, 1G8.
Helmhoitz. I. 238; III, i'|2, 256; IV, 88.

201, 2o3; V, 62; VI, 40; VII, i32, i33,

i35, 256; X, 289.
Hemming. IV, 186; Y, 2o3.
Henke. X, 39 '|.
Henneberg. IX, i48.
Hennebert. XI, 255.
Hennessy. I, 3o8 ; II, 210; VII, 76, 77.

Hennig. X, i45.

Henrich. I, 168; III, 256.

Ilenrici. III, 346,347.

Henry (F.). XI, 262.

Henry (J.). VI, 45.

Henry (Paul). III, 112; IV, 85, i3o; VI,

45, 81, 177; VIII, 76 ;X, 272, 276; XI,

211.
Henry (Pr.). III, 112; IV, 85, i3o; VI, 45;

X, 269, 272, 276.
Hentschel. IV, 284; X, 3oi.
Heppel. VIL 74, 77.
Héraud. III, 3oû ; VIII, 74, 76.
Hermann. I, 199.

Hermann (A.). H, 78; IV, 4i ; VIII, 3o4.
Hermès. III, 243.
Hermite. I, 3i3, 3i4, 820, 878 ; II, 21 ; IV,

61; V, 49; VI, 77, 73, 178, 181, 195,

196, 198; VH, 27, 29, 124, 289, 259;

VIII, 218, 220; IX, 177, iS5; XI, 41,

Herpin. X, 189.

Herr. VII, 5i.

Herrmann. III, i3i; VII, 2i5.

Herschel (A.-S.). V, io4, 119; VI 3o6;

VII, 66.
Herschel (Cap. J.^ VII, 78; IX, 26.
Herschel (J.-F.-W.% II, i5o ; III, 248,

25o, 201.

Herschel (sir John-F. -AV.". I, 72 ; V, io4,

159.
Hertz, ni, 76, 81; XI, 219.
Hertzer. XI, 27.
Hervert. VI, 92, 98, 100; VII, 268; VIII,

126.
Hess. II, 140; IV, 283.
Hesse. I, 33, 89, 196, 3o8, 890; III, 10,

245, 262; IV, 87, 254; VI, 214 ; VII, 91,

192; VIII, i85; IX, i85.
Hessel. I, 359.
Heyden (v. der). V, 169.
Heym. X, 297.
Hickelhier. X, 801.
Hierbolzer. 11,239; III, 385.
Hilaire. VI, 179.
Hildebrand. X, 291.
Hildebrandsson. I, 177; X, 178.
Hill. III, 24; VI, 160; Vni, i3o, i83.
Himsiedt. XI, 277.
Hind (J.-R.). 1,390; V, 179, 181, 182; VI,

45, 169, 3o5, 3o8, 809; VII, 57, 59; IX,

14 ; X, 44> 267, 269; XI, 210, 258.
Hinse. IV, 204.
Hinstin. XI, 255.
Hippauf. IV, 207, 224.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

335

Hirn. IV, 112,193; V, 187; IX, 159,288;

X, iCo, 3o4.
Hirsch. XI, 263, 266.
Hirst. II, 146; III, 346, 347.
Hocbheini. I, 276; II, i4o; III, 83, 85, 88,

376; VII, II 3, 116; X, 297; XI, 21C,

219, 220.
Hoefer. VII, 192; X, i36, 258.
Hoek. I, 88, 187; III, 348; VIII, i83.
Hoessrich. X, 3oi.
Hoffmann (A.). II, 256; III, 295.
Hoffmann (J.-C.-V.). III, 48, 5o, 52, 53;

IV, 2o5 ; V, 169, 170; VII, 93, g*!, gô,

96; VIII, 227, 228.
Hoffmann (L.). I, 137.
Hofmann. I, 359; -^i 294-
Hohr. VIII, 227.
Holden. X, 39, 54 ; XI, 200.
Holetschek. VI, 174 ; VIII, 223; X, 274.
Hollis. V, 106.
HoUweck. X, 291.
Holmberg. VII, 87.
Holmgren (Hj.). I, 243, 24',; VI, 36.
Holmgren (K.). I, 246; VI, 37.
Holst. X, 170.
Holten. I, 285.
Holzmûller. I, 276; II, 820; III, 298; VI,

248; IX, 238; X, 297.
Honsig. X, 29'(.
Hoorweg. VIII, i83.
Hoppe (C). X, 3oi.
Hoppe (R.). I, 62, 248, 339; II, 238; III,

i3r, 242, 332; IV, 2o5, 286; VI, 2o5,

242; VII, ii3, ii4, 116, 118, 119; VIII,

170, 173, 177, 181; XI, 2i5, 216, 217,

219, 220, 221.
Horner. II, 269, 271, 278; VI, 211.
Hornstein. U, 233, 820; III, 294 ; VII, 208,

212, 218, 222; IX, 234.

Horvath. I, 60; VII, 170.

Hoschek. II, 96.

Hossenfelder. III, 335; X, 291.

Hoûel. I, 66, 223, 324, 339, 384; H, 76.

80, 257; ni, 160, 21-j; IV, 43, 280 ; V,

61, 62, 63, 64, 170; VII, 7, 145 ; VIII,

9; X, 279; XI, 27, 84.
Hough. III, i54; V, 106, 186.
Housel.in, 289; VI, 159.
Houzeau. IV, 56.
Howlett. X, 206.
Hoza. III, 373, 376, 377; IV, 279; VI, 92,

100; VII, 118, 119; XI, 86, 219.
Hrabik. VH, ',q.
Hroniàdko. XI, 81, 82, 85, 86.
Hûdel. X, 297.

Huggins. I, 184 ; V, 119, i85 ; VII, 79,
80; IX, 14.

Hugo. V, I2'|; VII, 166.

Huguenin. IV, 210.

Hullman. I, 177, 178, 295, 296; III, 219,

220; X, 170, 171, 172, 1^3.
Hiinger. X, 3oi.
Hiint. V, 107.
Hunter. X, 44*
Hunyady (de). VI, 179.
Hûssener. X, 249, 3oi.
Htitt. X, 245, 294, 297, 3oi.
Huygens. III, i3i.
lanichefsky. I, 99.
larochenko. III, 211.
Igel. IV, 289, 292; VIII, 122.
Inischenetsky. I, 72, ici, iG4; II, 141; I^>

2S0; VI, 22; Vn, 238; XI, 162.
Inskip. I, 069.
lourief. III, 12, 78.
Irmer. II, 320.

Isè. I, 219; IV, 254; VII, 9'.
Issalène. V, 32o.
Jacobi (C.-G.-J.). I, 27, 90; III, 243; V,

i45;VI, 189; Vm, 2 ,, 29i;IX, 38, 5i,

67, 74, 82, 89, 12 i32, i33, i38; XI,

34.
Jacobi (M. V.). V, 32, 33.
Jacoli. I, 99; r. , 246; VIII, 265.
Jadanza. I, i " .
Jàderin. IX, jo.
Jago. VII, 84.

Jamin. III, 3i4 ; VI, 127 ; VIH, 3o4.
Janni. I, i52, 287, 333; III, 172; IV, 254;

VI, 110; VII, 91, 92; VIII, 32, 34, 35,

36; X, 145.
Jansen. X, 294.
Janssen. X. 294.
Janssen (J.). I, 382; II, 209, 211, 335,

338; III, III ; V, i33; VII, 80, 19-;

VIII, 74, 77, 234; X, 112.
Jarolimek. VI, 10 r ; XI, 82.
Javary. VII, 240; XI, 248, 252.
Jean. VU, 48.
Jeans. I, 199.

Jcffery. II, 269, 271, 278; VI, 207, 212.
Jelïreys. VII, 77.
Jelineck. X, 291.
Jellett. IV, 225.
Jenkin (FI.). I, 161 ; V, 167.
Jenkins (M.). III, 346.
Jensen. I, 870.
Jevons. I, 368; VII, 74.
Jicinsky. VI, loi .
Joachinisthal. II, 81; III, 166, 243; IV,

36; VI, 178.

336

BULLETIN DES SCIENCES

Jochmann. I, 63; III, 1^53; IV, 292.

Joerres. III, i/jS.

JofTroy. IX, 170.

Johnson (Rev. S.-J.).V, ii5; VII, 61; IX,
17 ; X, 39, 43 ; XI, 257.

Jonquières (de). I, i32; III, 10, i5G, 157,
i58.

Jordan (C). I, 6^, 92, 128, i36, 2i3, 2i5,
3i3, 3i5, 319; II, 161, 211, 279, 338,
339; III, 88, g'i, 95, 296, 297, 3o3, 3o5;
IV, 77, 83, 129, i3i, 199; V, i36; VI,
128, 287, 295, 297; VII, i56, i63, i65,
170, 171, 173, 174, 202; VIII, 19, 24,
39, 4i, 42, 169; IX, 121, i5i, 182, 226;
X, 143, i46.

Jordan (W.). I, 89, 90, 364 ; I", 291, 294 ;
IV, 288; VI, 248; IX, 27; X, 264, 260.

Jost. X, 248, 3oi.

Jouanne. II, 76.

Jouart. XI, 76, 77, 78, 79.

Jouffret. VII, 239; XI, 76, 76, 77, 78.

Jourdain. XI, 246.

Jourjon. VI, 2C)3.

Joynson. III, 2'|8.

Juèl. VII, 33; VIII, i38.

Julin[j. X, 3oi.

Jullien (A.). VIII, 3o^ ; IX, 176; X, 33.

Jullien (le P.). III, 118, i3i.

Jung. I, i53, i54, 333; VII, 107, 109.

Junghann. IV, 291.

Junghans. II, 128; III, 160; V, 171.

Jûrgens. XI, 32.

Jurien de la Gravière. VI, 128.

Kachel. X, 290.

Kaestner. XI, iS.

Kaiser. II, 128, 232, 32o; III, 348; VI,
174; VII, 128; X, 260.

Kâmpf. X, 29 r.

Kapp. IV, 290.

Kappe. III, 160.

Kârger. XI, 219.

Karliiiski. XI, 26g.

Kayser (E.). I, 88; X, 271.

Keijser. IV, 210.

Kelland. VI, 112, 161.

Keller. VI, 26, 3i, 254; VIII, 233, 234.

Kepler. I, 199; XI, 49-

Ketteler. II, 83; X, 285.

Key. V, 108.

Khandrikof. III, 12, 14, 16; V,3oo; IX, 36.

Kiechl. I, 211.

Kielldahl. X, 173.

Kiepert. III, 191, 372: IV, 237, 243, 286,
290; V, 284, 285 ; IX, 184 ; XI, 48.

Kiessler. X, 2g5.

Kiessling. III, 5o; X, 3oi.

Kinkclin. I, i35; II, i38; III, 212.
Kirchhoff. I, 188; II, 358; III, iSg, 140,

143 ; VII, 192; IX, 95.
Kirkman. I, i63; XI, 259.
Kirpitchof. VIII, i45.
Klein. XI, 248.
Klein (F.). I, 239, 335, 338; II, 72, 179,

i83, 341; III, 33o, 338, 339, 344; IV,

2o3; VIII, 83, 117, 122, 209, 211, 216;

IX, 186, 276, 277, 278.
Klein (H.). IX, 98.
Klein (H.-J.). II, 128, 32o; X, 268.
Kleitz. III, 1 15.
Kiepert. II, 320.
Klette. II, 320.
Klingenfeld (v.). IV, 292.
Klinkerfues. I, 90, 239, 281, 3o2, Sgo; II,

320 ; III, 45, 47, 48; VI, 3i2; IX, 237,

277; X, 274; XI, 273, 274.
Klippert. X, 295.
Klûgel. I, 137.
Kluger. VI, 157, i58.
Knapp. III, 295.
Knauer. X, 297.
Knipschaar. X, 295.
Knobel. VII, 66; IX, 17, 26; X, 46, 90;

XI, 214.
Knorre. XI, 2o3
Knott. I, i63; V, 179; X, 89; XI, 266,

257, 258.
Kober. III, 5i, 52, 53; IV, 207; V, i6g;

VII, 94, 96; VIII, 227.
Koehler. VI, 179, 180, 181; VII, i65,

168; X, 3oi.
Koessler. X, 3oi.
Kohlrausch. III, 288; IX, i86, 279; XI,

273, 275, 276.
Kolbe. VII, 220.
Kommerel. I, 39.
Kônig. II, 320; IV, 38; VII, 208; VIII,

28, 84; IX, 278.
Konigsberger. I, 12S; II, 353; III, i44;

Vil, 192; IX, 145 ; XI, 44, 277.
Konkoly. X, 272.
Kopka. IV, 179.
Koppe. IX, 235.
Korkine. II, 173; IV, 60; VI, 187; VIII,

90, iig.
Korndorfer. I, i36; II, 173,364, 366; III,

333; X, 3oi.
Korneck. X, 291, 295, 297.
Korteweg. VI, 112.
Kosch. XI, 218.

Kossak. II, G8; III, 193; X, 245, 296.
Kostka. IV, 200; XI, 47-
Kosller, X, 291.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

33-

Kotteritzsch. I, 6i, 276; II, i38; III, 291 ;

IV, 287; \'I, 248, 249; VIII, 188.
Koutny. VII, 2(2.
Kowalczyk. II, 234; III, 16; X, 272.
Kowalevsky (Sophie v.). XI, 27.
Kràhe. X, 249, 3oi.
Krakow. X, 291.
Kramm. X, 297.
Krause. X, 295.
Krause (M.). X, 201.
Krejci. VI, 89, io5; VIII, 122, 127, 23o.
Kretschmer. I, Sgo ; X, 291.
Kretz. V, i25; VI, 2o3; VII, 199; VIII,

3o4 ; X, 160.
Krey. II, i4i ; X, sgS.
Krohncke. III, 191.
Krok. VIII, 137.
Kronecker. I, 187; III, i44; IV, 2o3, 266;

VI, 4i, 42; VII, i32, i55; X, 286, 286,

287.
Krueger. I, 274; VI, 109.
Krumme. I, 62; II, iSg; IV, 2o5 ; VII, 96.
Kucharzewski. VI, i56, 167, i58.
Kiichynka. XI, 82.
Kuckuck. III, 52.
Kuczyriski. XI, 269.
Kudeika. I, loo; III, 374; IV, 281; VIL

95; VIII, 228.
Kuhn. II, 14 1.
Kûlp. III, 88, 374; IV, 279, 280; VIII,

181 ; XI, 221.
Kummer. IV, 202; VI, 4i; X, 287.
Kupoustin. I, 23 1.
Kûpper. VI, io3, 108; IX, 37.
Kurz. I, 62; II, i38.
Kùster. XI, 27.
Labrousse. II, 208.
Lacolonge (de). V, 61, 62.
La Caille (de). VI, 253
La Cour. VII, 87.
Lafitte (de). X, i45.
La Gournerie (de). I, 91, 92, 98; II, 33,

37; VI, 81; VIII, 20; X, 144', 145.

Lagrange. I, 378; III, i3i; VII, 121, 12(1;

X, 145.

La Gréverie (de). XI, 247.

Laguerre. II, 35, 75,77, 78, 79, 246, 279;
III, 289, 379; VI, 178, 180, 181, 182,
i83, i85, 291, 293, 297; Vil, 164, i(ÏJ,
166, 167, 172, 174, 200; VIII, 89, 1G8;
IX, 124, i53; X, 145, 148; XI, 121,
i56.

Laisant. II, 79; III, 289; VI, i85; VIII,
26, 3o, 3i ; X, 145.

Lalande(de). XI, 16.

Lalanne. III, i5i.

Lamarle. X, i45.

Lambert. III, 96.

Lambert (G.). I, 65.

Lambert, S. J. X, 92.

Lamé. I, 189, 224; VIII, 21.

Lamla. X, 142.

Lamont. I, 23 1.

Landes. III, 1 19.

Landriani. X, 284.

Lang (v.). VII, 139, 2o3, 211, 214. 2"?:

XI, 81.
Langdon. V, 114.
Langer. X, 297.
Langley. IX, 18, 225 ; X, 270.
La INoë (de). XI, 252.
Lapchine. III, 81.
Laplace. III, i3i .
Lapparent (de). XI, 255.
Lappe. III, 142.
La Rive (de). III, 217.
La Roche-Poncié (de). VIII, 256.
Laroque. V, 10 1, 102.
LasselL I, 238; III, 25i ; V, io3, 106; IX,

12 ; X, 39, 42; XI, 2i4-
Laterrade. II, 33o.
Laudi. VII, 209; X, 291, 298.
Laugier. I, 256; VI, 128.
Laurent. II, igS; V, 320; VI, 18, i3o, 187,

199; VII, 239; VIII, 25, 27, 28; IX,

123, 174; X,'33; XI, 160.
Laussedat. I, 33, 34S; III, ii5, i53; IV,

128, i3o; VI, 299; VII, 197; XI, 247.
Lavaiix. VIII, 3o4.
Lavisato. V, 18.
Lavoinne. XI, 262, 268.
Léaulé. Vil, 198, 201.
Lebedef. Ill, 81.
Le Besgue. I, 336; II, 81 ; V, 60, 61; VI,

j8o, 188; XI, 27.
Le Reurriée, XI, 255.
Lechalas. XI, 260.
Lecky. IX, i5, 19.
Leclert. Il, 79.

Lecoq de Boisbaudran. VI, 320.
Le Cordier. VIII, 39.
Ledent. VI, 87.
Ledieu. III, ii3; VI, 76, 78, 79, 80, 289,

290, 291, 298; VII, i55, i56, 157, 162,

i(i3; IX, i49, l52, i54, 162.
Lefébure de Fourey (L.-É.). I, 23 i.
Lefébure de Fourey (R.). VIII, 3o.
Lefort. X, 3o4 ; XI, 262.
Lefranq. 111, 96.
Legendre. VIII, 287, 299, 3o2 ; ÏX, ^,

61, 63, 65, 71, 80, 87, 92, 129, i36,

i4o; XI, 84.

338

BULLETIN DES SCIENCES

Lcggc (di). m, 173.

Le Hir. II, 20S.

Lehmann. I, 88.

Leiher. X, 2 98.

Leidenfrost. X, 3oi.

Leinemann. X, 3o2.

Leitch. II, 275.

Lejeuiie-Dirichlet. H, 32o; III, 1G8, 25C.

Lcmaly. II, 332, 335.

Lenikes. III, 288.

Lenioine (E.). II, 79, 80; III, 290; VII,

i()5.
Lemonnier. II, 81, 82; IV, ,\\ ; VIII, 29.

75, 76; IX, 175; X, 3/,, 85.
Lemoyne. IV, 198.
Lemslrôm. VI, 35, 37.
Lenthéric. VII, 239.
Lcnz. I, 2/1 1.
Leonelli. X, iCo, 16^.
Leonhard. VI, 21 3.
Wpig- I, 90; VI, 174.
Le Roy (A.). I, 99.
Leroy(C.-F.-A.). I, 23 1.
Lespiault. I, 72; III, 119; IV, 293; V

61, r,2; VIII, 73.
Le Sueur. VII, 75, 76.
Letnikof. III, 12, i/), i5; VI, 3 16; VII,
Leveau. II, 209, 33/| ; III, 55; IV, 77,

VIII, 256; IX, 162.
Le Verrier. I, 157, 166; II, 335; III

57, 95, 3oi; IV, 73, 75, 76, 85; V,
i33; VI, 289, 320; VIII, /^o, 4i, 42,

IX, i53, 154, i55, i59, 172, 199,
226, 227; X, 92.

Levret. IV, i3o; V, 124, 126.
Levy. I, 271, 338; III, 56, 93, m;
84; V. 137; VI, 137, 2ii, 286;

i44; VIII, i3, 167.

Lewànen. VI, 25 1.

Lewin. IX, 95.

Lewis. IX, 18.

L...f. III, 16.

Liais. I, 88; III, 112, ii3; X, 90.

Lie. I, 335, 338, 382; II, 72; III, 43, 33o,

365, 367; IV, 2o3; VI, 255, 256; VIII,

81; IX, 186, 277, 278, 279; X, 182;

XI, 276.
Lieber. I, 19g ; X, 298.
Lieblein. I, 362; III, 171; VIII, 81.
Liersemann. X, 295, 298.
Ligowski. I, 280; ni, 374, 375; VII, 116;

VIII, 180; XI, 216, 217, 218.
Liguine. V, 298; VI, 188; VII, 170, 172;

VIII, 3o; X, 36.
Lindelof. I, 242, 274, 275; II, 78, 177; IV,

43; VI, 108, 109.

.60,

233.
84;

, 55,
1 15,

214,

IV,
VII,

Lindemann (Ed.). VII, 190.

Lindemann (F.). VIII, 209.

Linder. V, 62

Lindhagen. VI, 35.

Lindman. I, loi, 178, 242, 243; III, 83,

375; X, 170 ; XI, 221.
Lindquist. III, 220.
Lindsay (lord). VI, 3oi; IX, 12, 19; X,

47, 53 ; XI, 196.
Linsser. I, 240.
Lion. III, 58.
Lionnet. III, 289; VIII, 29.
Lioubimof. III, i3, 81 ; V, 296; VI, 3i8.
Liouville (E.). VI, i35.
Liouville ( J.). I, 91,95,96,97, 166, 190;

II, 34; VI, i35; VIII, 19, 21.
Lipkine. IV, 59.
Lippich. II, 35 1; VIII, 211.
Lips. X, 292.
Lipschitz. I, 187, 3i5; III, 46, 14O7 '42,

263, 349; IV, 97, 142, 212, 297, 3o8,

3i4; VI, 40, 212, 241; VII, 248, 256,

259; VIII, 120; X, 149; XI, 45, 47.

Listing. I, 239; ^IX, 186, 241, 277; XI,

272.
Littrow (v.). I, 210, 249, 365; V, 182,

184 ; VII, 2o3, 209, 212, 217, 218.
Liventsof. X, 104.
Liverani. V, 20.
Lloyd. I, 307, 3o8.

Lobatchefsky. I, 66, 324, 384; V, 61.
Lobatto. III, 347, 348; IV, 210, 211, 212.
Lockyer(N.). I, 186, 199, 337; V, 124; VI,

46; VII, 73, 75, 82, 86.
Lœwy (B.). I, i85, 368; II, i5o; VII, 75,

79, 80, 85.
Lœwy (M.). II, 2i3, 339; III, 148, 297; X,

112.
Loisy. XI, 255.
Lommel. I, 59; II, 137, 240, 366; 111,333;

IX, 281.
Loomis. III, 154.
Lorberg. I, 25; III, i43.
Lorenz. I, i3i, 180, 369; II, i5, 16; V,

277, 279; VII, 3o, 3i, 33, 86, 87; VIII,

137, i38, i4o.
Lorenzoni. V, 1S2; VI, 167.
Loschmidt. I, 60, 61, 208, 210; VII, 204,

208.
Losfâk. VII, 263.
Lijtzsch. II, 35 1.
Lovering. III, i54.
Low. X, 47-
Lowe. VI, 3o6.
Lôwe. XI, 307.
Lowenherz. II, 35i.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

339

Loyau. X, 160.

Loyre. XI, 253.

Lùbeck. \'II, 223.

Lubin. VIII, 3i.

Lûbsen. I, iôg.

Lucas (Éd.). II, 76, 79; IX, 173, 2i3; X,

35, 36; XI, 120, 121, 122, 124.
Lucas (F.). I, 65, 66, 32o, 339, 3',4 ; II, 34 ;

III, 3oo; IV, 86, i3o; VI, 287, 289, 290,

291; VII, 161, 198; XI, 121.
Lucchesini. VIII, 257.
Lùhmann (v.). I, 199; X, 298.
Lukas. XI, 218.

Lundberg. III, 221 ;X, 170, 172.
Lundstrom. V, 168.
Lûroth. 1,88, 126; II, 357; III, 335; VIII,

118; X, 179; XI, 274.
Luther. II, 211, 23i, 232, 338, SSg; IV,

So; V, 179, i84; VI, 174; IX, 12, 29,

35; X, 267, 270, 272, 278.
Lutterbeck. I, 199.
Luvini. II, 352; V, 20, 269.
Lynn. III, 246; VI, 3o5, 309; VII, 65.
Lyon. XI, 249.
Maas. III, 169.

Mac Berlin. III, 26; VIII, i35.
Mac Dermott. III, i54.
Mac Farlane. VII, 79.
Mach. I, 209; VI, 104 ; VII, 218, 219.

222 ; VIII, 225.
Mac Kichan. VII, 84.
Maclaurin. III, 10; X, 249.
Maclear. I, 294.
Màdier. I, 199; II, iSg.
Madsen. VII, 88.

Magnac (de). III, gS ; IV, 82 ; VII, 240.
Magnus. X, i44-
Maguire. V, 112.
Maillard. III, iSg, 161.
Mailly. IV, 271.

Main. I, 232, 890; V, ii4 ; IX, 26; X, 91.
Mainardi. II, 20, 149; VII, i35, 187; X,

143.
Maire. X, 160.
Malet. V, 287; IX, 181.
Malézieux. XI, 262, 263.
Maleyx. VI, 184, VIII, 3o; IX, 174, 175.
Mallet. I, 3o6.
Malmsten. I, 177, 244; IH» 220; X, i43,

174.
Maly. XI, 217.
Manceron. XI, 75, 76.
Mangin. XI, 248, 25o, 253.
Mannheim. I, 198, 214, 297, 3i8, 334,

337; II, 125; III, 55, 92, 11.5, ir8, 119,

i5o, 216, 217, 382; IV, 128; V, 126,

i32; VI, 83, 129, 295, 298; VU, i54,
i56, 167, 240; VIII, 42, 162, 164, 167;
IX, 122, 2i4; X, 145 ; XI, 79.
Mansion. I, 206; V, 3i3; VI, 180, 253;

VII, 123, 124; VIII, 217, 218, 219, 220,

221, 222; IX, 96; X, 143, 147, 148; XI,

218.

Maquieu. II, 332.

Marangoni. V, 19.

Marchand. VI, 124 ; X, 160.

Marcille. X, 255; XI, 254.

Marcks. VIII, 79.

Marco. IX, 47-

Marey. III, i5o; VI, 393.

Marie. III, 3o5; IV, 72, 76,76, 77, 79,81,
82, 84, 86, 128; V, 128, i33, i34, i35,
i36; VI, 128, i3i, i35, 2o4; VII, 240;

VIII, 168, 169.

Marié-Davy. VI, 124 ;X, 112, 255.

Marre. VIII, 264.

Marsano. III, 287, 290; X, i43.

Marshall. V, 166.

Marth. I, 281; VI, 299, 3i3; VII, 67; IX,

i3; X, 46, 5i ; XI, 200.
Martin (Ad.). I, 65.
Martin (G.). XI, 247.
Martin (Th.-H.). II, 147; IV, ^'p, 246;

VI, 252, 253; VIII, 2G2, 264.
Martin de Brettes. I, SSg ; III, m ; IV,

i3o; V, 123.
Martins. III, 118.
Martynowski. VI, i58.
Mar.\. X, 3o2.
Mascart. VI, 198.
Masing. VU, 96.
Massieu. I, 344 i I^ > ^i-
Massu. XI, 255.
Mastaing (de). VI, 320.
Mathieu (C.-L.). VIII, 162.
Mathieu (É.). I, 92, 95,97; II, 33; III,

55; IV, 112, 23i; VI, 43, 124, i25,

i3o, i3i, 292; VII, 91, 171; VIII, 21,

4o, i65; IX, 120, i53, 109; X, i46; XI,

3i.
Matthiessen. I, 39, 63, 276, 3i4, 364,

373; II, 234; m. 292, 293; VI, 25o,

25i; VIII, 179, 187, 188; ix, 289.
Matzek. I, 208.

Matzka. III, 170; IV, 278; VI, 106.
Maur. X, 298.
Maurer. X, 298.
Maury (F.). V, 240.
Maxwell. I, :8i, i85; II, 200, 2o3 ; III.

143, 346 ; IV, 42, 45, 47, 49, 224 ; V, 59,

241; VII, 26, 29, 80; IX, 24.

May. X, 292.

34o

BULLETIN DES SCIENCES

Mayer (A.). H, 176, 364; I"- 332; VIII,
87, 117, 209; IX, 278, 27g; X, 190, 191 ;
XI, 87, 125, 273, 276.

Mayer (A.-M.). I, 23i ; III, 2i5, 332.

Mayevski. III, i5; IV, 77.

Mayr. I, lo^, 36i.

Maywald. I, 2S1 ; II, 232.

Mees. IX, 280.

Mehler. I, 23i; VIII, 81.

Meissel. II, 2^0, 8^7 ; III, i3i ; VII, 116;
VIII, 180 ;X, 298,302; XI, 217.

Meidrum. VI, 3i3 ; VII, 84.

Mellberg. II, 137.

McIsens. II, 29^, 298.

Menabrea. V, 268; VI, 25 '|, 255, 286; VII,

125.

Mendeléief. VIII, 145.

Mendthal. VII, 116.

Menge. X, 3o2.

Meray. III, 384; IV, 24; VIII, 78.

Mercadier. II, 333; III, ii4; V, 124; VI,

82, 83,286.
Merlin. XI, 255.
Merrifield. I, 184 ; III, 347.
Mertens. III, 3-]i; IV, 287; V, 287; VII,

226, 23i, 249; IX, 181, 281 ; XI, 270.
Messmer. X, 292.
Metzer. IX, 3o.
Meunier (St.). II, 209.
Meusnier. I, 882.
Moutzner. VII, 119; X, 191.
Meyer. X, 292.
Meyer (F.). VIII, 226.
Meyer (G.-F.). II, 96, 228, 357; VIII, 118.
Meyer (O.-E.). III, 289; IV, 242; VII, 254;

XI, 35.
Meyerstein. I, 090.
Meynert. I, 199.
Michaelis. VIII, 182.
Michal. XI, 260.
Michez. II, 248, 25i ; IX, 35,
Middendorf (v.). VI, 33; VII, 190.
Miksic. XI, 82.
Mildenberger. II, 128.
Milewski. XI, 124.
Milinowski. VI, 249; VII, 23o, 255 ; VIII,

186, 187, 188; IX, 180, 238; X, 295.
Militzer. I, 210.
Miller. I, 237.
Milliet-Dechales. XI, 16.
Milner. X, 295.
Minchin. VI, 208.
Minding. I, 2'|0, 241 ; IV, 60.
Minich. X, 142, 144.
Minine. X, io5.
Minnigerode. III, 4/5 342; IX, 277; XI,

273, 274.
Mischer. IX, 281.
Mischpeter. X, 3o2.
Mister. VI, 184.

Mittag-Leffler. I, 179; XI, 276.
Mittelacher. III, 86; VI, 247.
Moberg. VI, 108.
Mobius.III, 10.
Moesta. X, 3o2.
Mogni. X, 281, 282.
Mohn. III, 216.
Mohr. II, 189; III, 293, 294; VI, aSi ; X,

298.
Moigno. X, 255.
Molins. VIII, 25.
Mollame. I, 333; II, 144, i45; III, 172;

VII, iio.

MôIIer. I, 90, 245, 390; II, 16, 281, 282,

234; III' 27; V, 179, 181, 182; VI, 82,

87, 178, 174; VIII, i3a, i38; IX, 29,

282 ; X, 269, 277.
Momher. X, 295.
Monniot. VIII, 3o.
Montag. I, 36o.

Montigny. II, 289, 298; IV, 56.
Montucci. I, 65.
Mooek. VI, 820.
Moon. VI, 211.
Mora. X, 292.

Moreau. VI, i83;X, 36 ; XI, 122.
Morel. IV, 42, 43.
Morellet. XI, 248.
Morgan (de). I, 216, 217; III, 344. 345-

846; X, i44; XI, 16.
Morgenstern. VIII, 228.
Morin. I, 878, 882 ; II, 208; III, 216; IV,

75, 77; V, 128; VI, 88, 128, 285, 290,

292 ; XI, 253.
Morstein (v.). X, 292.
Moseley. VII, 77.
Mossa. X, 282.

Most. I, 62, 248; II, i4i; III, 292, 342.
Mouchez. V, 121 ; VIII, 78, 164 ; IX, i55;

X, III, 112.
Mourgue. VI, 188.
Mousson. III, 96; IV, 55; VII, 35; VIII,

270.
Moutard. I, 21 1, 816; VIII, 167.
Moutier. I, i54, 883; II, 81, 336; VI, i25;

VIII, 26, 74; IX, 175.
Mugnier. IX, 47-
MûUer. X, 295, 298.
Millier (C.-É.). II, 352.
Mûller (Ed.). V, 170.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

341

Mùller (F.). III, 53, 129; V, 320; VI, 2^9;

X, 249.
Mûller (H.). I, i32, i36; II, 181 ; III, i6o.
Mùller ( J.-J.). V, 198, 200, 201, 202; VII,

95 ; VllI, 271.
Mûncli. III, 191.
Mundt. VII, 88.
Munk. VI, 44.
Murhard. XI, i5.
Mylord.I, 181; II, i5, 16.
Nàgelsbach. IV, 288; VIII, 188.
Narducci. I, 99; IV, 243, 244-
Nares. VII, 80.
Natani. I, 13;.
Naudin. III, 118.
Nawrath. I, 100; X, 3o2.
Necker. 111, i3i.
Neesen. X, 283.
Negelsbach. X, 292.
Neison. IX, 9, 10, 23; X, 54; XI, 197,

21 1, 212.
Nell. Il, 352; 111, 288; VllI, 181, 189.
Neovius. II, 134.
Nesbit. II, 352.
Netto. Vil, 2ji.
Neuberg. II, 76, 79; VIII, 219, 221, 222,

223; X, i47, 148.
Neuhaus. X, 292.
Neumann (Cari). I, 124, 129, i3i, i32,

i35, 23 1, 238, 239, 264, 3i3, 3i4 ; II,

128, 177, J78, 238, 363, 364, 368; 111,

143, 373; V, 196, 197, 198, 202; VI,

IIO; VIII, 91, I 19; IX, 192, 193; X, 202.
Neumann (M.). VI, 92, 98, 99, loo, lOi ;

VII, 140.
IVeumayer. 1, 181, 391; II, 352; VII, 2o5.
Keumûller. X, 298.
Neiiss. X, 292.
Newcomb. I, 65, 364, 278, 379; II, 214 ;

111,93, i54, 25i ; IV, i3o; V, io4, ii4i

VII, 71; IX, i3, 29; X, 54, 70, 92; XI,

2l3.

Newton. X, 44.

Newton (Is.). III, i3i.

Nicodemi. X, 280.

Nicolaïdès. 11, 71; IX, 142, i63, 2i3; X,

145, 206.
Nicoli. VIll, 34.
Niemtschik. 1, 209, 210; II, 352; VII,

204, 211, 212, 221 ; VIII, 224, 226.
Niewenglowski. II, 75; VI, i58, 2o3; VllI,

29; IX, i5o, 175; X, 33, 147; XI, 123.
Nippert. I, 279 ; III, 85.
Niven. IX, 21.
Noble (W.). V, 108, 112; IX, 12; XI, 76,

212.

Noël. V, 134.

Nôrdlinger. I, 199.

Nordlund. 111, 220.

Normand. VI, 320;X, 256.

Noth. X, 3o2.

Nôther. I, 239; 11, 181, 358, 367; 111, 42 ;

V, 240; VI, 244; VIII, 91, 119, 209,

212; IX, 1S7, 279; X, 199; XI, 272,

273.
Nursinga-Row. X, 52.
Nyberg. 1, 36o.
Nyrén. I, 289; 11, 3oi.
Oberbeck (A.). VIII, 181 ; XI, 218.
Oberbeck (L.). XI, 39.
Obermann. VII, ii3.
Oberniayer. I, 209.
O'Brien. X, 144.
Odenthal. X, 298.
Oelschlâger. X, 3o2 ; XI, 2i5.
Ofterdinger. IV, 64.
Ohrtmann. 111, 129, i3o; V, 820 ; X, 245,

295.
Okatow. Il, 173; VI, 248.
Olivier (A.). I, 24, 26, 60.
Olivier (Th.). X, 144.
Oltramare. 1, i56.
Ommanney. X, 47-
Onnen. VllI, 160.
Oppel. III, 5o.

Oppenheim. VI, 173; IX, i5; X, 272.
Oppermann. II, i5, 16; IV, 4' ; VII, 32,

88.
Oppolzer (v.). I, 90, 104, 199, 2or, 209,

211, 281, 364; II, 232, 233, 234, 352; V,

176, 177, i83, 184 ; VI, 167, 172, 177;

VII, i38, i39, 2o5, 208, 211, 214, 2i5,

218, 221; VIII, 224; X., 274.
Orde Browne. XI, 201.
Oresme. 111, 32 1.
Oriani. X, 252.
Orlando (d'). I, 332.
Orlof. 111, I',, i5, 71; VI, 319.
Orsoni. VI, 32.
Ostrogradsky. 111, 11.
Ott (Ed.). VllI, 269.
Ott (K. y.). III, 191, 295; VII, 240; X,

298.
Ottema. IV, 211.
Oudemans. I, 88; IV, 77; V, 282; VI,

123; VII, 127, 129; VIII, 182 ; IX, 36;

X, 272.
Oumof. 111, 206; VI, 3i6; VIII, 186, 190.
Ouroussof. m, 12, i3.
Oussof. 111, r'i.
Ovidio (d'). I, i52, i53, 329, 333; II, i4j;

312

BULLETIN DES SCIENCES

III, 172; IV, 43, 197, 253; VI, ç)-î; VII,

90; X, 28/1.

Oxmantown (lord). I, 182, 290. [Voir

Rosse (lord)].
Oyon. XI, 27.
Paci. VII, 91 ; VIII, 33.
Paczkowski. X, 3o2.
Padelletli. X, 281, 282.
Padova. I, 104, 223, 333 ; II, i45 ; III, 27 ;

VI, 182.
Page. XI, 76.
Painvin. I, 157, iSg, 344; II> 76, 78. 80,

340, 368; III, i46, i55, 174, 383;

IV, 44, 91, i3i, 228; V, i38;VI, 179,
241, 289, 292, 298; VII, i55, 240; VIII,

19, 2G, 29; IX, 145, 188; X, 143, 145.

Palermo. II, 147.

Palisa. II, 23i, 232; VI, 167; IX, i5o; X,

26g, 270, 271, 272.
Pallaveri. X, 298.
Palmcr. XI, 207.
Pambour (de). III, 117, i53, 3o5 ; IV,

73.
Pànek. VI, 96, 99, 100; VII!, 129; XI, 80,

81, 85, 86.
Pantanelli. I, 288.
Pareto. VIII, 234.
Parkes. I, i85.
Parmentier. XI, la'i, 247.
Partioî. II, 33 1.

Parville (de). III, 2i4; VI, i25.
Pasch. III, 262; IV, 89; V, 291; XI, 3:-,

33.
Paschen. I, 91; V, 178; VI, 174.
Paiiûer. X, 292.
Paul. X, 295.
Paulis (de). IV, 255.
Peacock. XI, 16.
Peaiicellier. VI, i85; VII, 240; X, 255,

256; XI, 248, 25o, 254.
Péchadergne. V, 61.
Pecliûlc. V, III, 175 ; VI, 174, 177 i IX , 29

3i, 35; X, 267.
Peinlich. IV, 282.
Pellet. I, 64; III, 278; IX, 175.
Pelletreau. XI, 262.
Pellucchi. III, 194.
Peltier. XI, 249.

Peiz. III, 87; VI, 104 ; VII, 2i5, 219.
Penny. I, 3ii.
Penrose. IX, 19; XI, 206.
Pépin (le P.). II, 36; V, 122; VI, 289;

VIII, 42, 168; X, 75; XI, 157.
Percin. VII, 240; XI, 252.
Pereire. IV, 272.
Péri. X, 143.

Perlewitz. VI, 247.

Perrier. IV, 85, i3o; VII, ijg; X, m,

112.
Perrin. V, 192.
Perrodil (de). XI, 262.
Perrodon. XI, 78.
Perrot de Chaumeux. VII, i44-
Perrotin. IX, i5o; XI, 211.
Perry (G.). V, i25, i33.
Perry (le Kév. S. J.). I, 366; III, 2',7, 2',9;

VI, 228, 236, 3o8; VII, 62, 63, 79; IX,

26; XI, 200.
Peschka. XI, 214.
Peslin. VIII, 167, 169, 170; IX, i5o, i53,

162.
Pessl (v.). X, 295.
Peterin. VII, 208.
Peters (C.-A.-F.). I, 281; V, 184.
Peters(C.-F.-W.). 1,90; II, 232; III, 196;

V, i83; VI, 174 ; IX, 23i ; X, 271, 272,

274.
Peters (C.-H.-F.). I, 8S, 364; ". 337, 339;

IV, 76; V, 177, 179, 181, 184 ; VI, 167,

i6g, 172, 177; IX, 3o, 35; X, 267, 269,

271 ; XI, 211.
Pelersen. I, 180, 181, 284; II> 16; V, 277,

278, 279; VI, 240; VII, 3i, 88, 89; VIII,

139.
Peterson. III, 12, i3.
Petit. VII, 3o4 ; XI, 249.
Petterson. I, 199, 247.
Pettigrew. V, 57.
Petzsch. X, 3o2.
Petzval. X, 143.

Pfaundler. VII, 208, 210; VIII, 225.
Pfeiffer, I, 180.

Pfeil (v.). III, 88; XI, 218, 219, 220.
Philippin. VIII, 222.
Phillips (E.). I, i54, 377; III, 55, 57, i5o;

IV, i3o; V, 125; VI, 201, 2o3, 296; X,

256.
Phillips (J.). I, 184.
Phragnién. I, 178; X, 170.
Piani. IV, 249; X, 142, i44-
Piarron de Mondésir. I, 3o, 32, 33 ; XI,

2GG.
Piazzi. I, io4; X, 252.
Picardat. VII, 240.
Picart. III, 289; VI, 188, 298; VIII, 25,26,

28, 3o; IX, 173.
Pick. III, 53.

Picquet. III, 65, 244; "VI, 80; VII, 173. ,
Pieper. X, 298.
Pierre. XI, 260.
Pierre (Is.). III, 119.
Pihl. I, 391; II, 329; VI, 3o8.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES.

59;

6S;
VII,

; V,

205.

Pinson. VII, 3of\.

Pinzger. X, 3o2.

Piotrowski. XI, 270.

Pisloye (de). VII, i55, 168.

Pittarelli. VI, m; VIII. 33, 34; X, 283.

Plagge. III, 53; VII, .j6.

Plana. V, 65; X, 142.

Plabil. XI, 83.

Plateau. IV, 5G ; VI, 69.

Flatter. VII, 20S.

PIch. XI, 86.

Plûeker (Julius). I, 73, 3i3; III, lo,

V, 3i3; VI, 112, 253.
Plùcker (J.). II, 297; III, 96.
Plummer (J.-J.). II, 235; VII, 60, 61,

IX, 34, 270, 274; XI, 202, 212.
Plummer (W.-E.). III, 25o; VI, 82;

59; IX, 12, i3.
Pochhammer. III, i4i, 240, 242, 372

292; VIII, 188; XI, 38, 47.
Poggendorff. IV, 202, 2o3; VI, 42;

285; XI, 16.
Pogson (N.-R.). V, ii5; VI, 3i2; XI,
Poincaré. VIII, 3o.
Poinsot. IV, 7 ; X, 144, 145.
Poisson. III, ]3i.
Pokorny. VI, 100.
Polignac (de). III, 346.
PoUoek. I, 184.
Poncelet. I, 33G; II, 8; III, 10; VI, 160,

273.
Popof. VIII, 208; XI, 34.
Porcelli. IV, 197.
Poreto. VIII, 234.
Posse. IX, 174.
Potocki. I, 99.
Pouillet. VI, 160.
Poulain. VII, 2^0; XI, 252,
Poulet. XI, 262.
Powalky. I, 89, 363;^VI, 168; IX, 26; X,

267.
Powell. II, i53.
Praetorius. X, 298.
Pratt. VI, 2Î0; VII, 77.
Prazmowski. III, u5.
Preobrajensky. III, i5 ; VII, 238.
Prestet. XI, 27.
Pretzler. X, 298.
Prey. I, 280.
Price. I, 40.
Prince. III, 248; VI, 169; IX, i3; XI,

201.
Pringle. IX, 19.
Pringsheim. X, 289.
Pritchard. IX, 12; X, 46; XI, 194.
Prix. X, 295.

343

Proclus. VIII, 262.
Proctor. I, 391 ; II, i5i, i52, i54 ; III, 245,

246, 247, 248, 249, 250; V, io3, 104,

io5, 110, III, 118, 240; VI, 299, 3o4,

3i3; VII, 55, 56, 60, 61, 63, 67, 7J;X,

53, 90.
Proja. II, 19.
Prondzynski (B. v.). I, 90.
Prouhet. X, 144.
Provenzali. III, io5 ; V, i5, 16, 20- VII

i36; VIII, 146.
Prym. III, iSg, 141, 244.
Puiseux. I, 194; II, 33; III, i3i, 319; V,

128; yi, 44, i35, 196, 288; VIII, 77,

170, 256; IX, 192, 218.
Pullich. VIII, i38; X, 172.
Puluj. VIII, 190.
Purser. I, 309; X, i45.
Pusehl. VII, 2o3, 208,219; VIII, 223.
Quapp. X, 292.
Quesneville. I, 212.
Quercia. VIII, 259.
Quel. IV, 129.
Quetelet (A.). II, 128, 293, 297, 336; IV,

55,58.
Quetelet (E.). X, 106.
Quidde. X, 292.
Quincke. I, 2%; XI, 272, 278.
Raabe. VII, 212.
Radakowitsch. III, 256.
Radau. I, 29, 88, 89, 92; II, 177, 266; Vî,

160.
Ragona. V, 18.
Rakhmaninof. V. 299.
Rammeiraan Elsevier. IV, 211.
Rankine. I, 162, 367; V, 59; VI, 229;

VII, 73, 74, 75, 77 ; VIII, 259.
Ransome. XI, 258.
Ranyard. III, 249, 25o ; V, 106, 112; IX,

II, 25.

Rapisardi. VI, 160.

Rasch. IV, 212.

Ratchnisky. III, 14.

Rath. III, 191; VIII, 178.

Rayet. I, 34i; VI, 81, 82, 298, 319; VII,

144.
Rayoonathachary. III, a^S.
Realis. II, 75; III, 171, 173; VI, 187; VIII,

26; IX, 176.
PvcchenLach. IV, 272.
lîeech. IX, i55; X, i45.
Rééd. VI, 23 1.
Régis. I, 332; V, 271.
Regnani. III, ioj.
Reidt. IV, 207, 291, 292; V, 169, 170, 171;

VII, 95; X, 298.

3ii

BULLETIN DES SCIENCES

Reier. X, 3o2.

Reimann. I, 36o.

Reiss. II, 235; VI, 243; XI, 85.

Reitlinger. H, i/Ji.

Renan. VII, i56.

Renny. I, 3o6, 307.

Renou. II, 210.

Renoust des Orgeries. XI, 2G0.

Renshaw. IX, 266.

Resal, II, 332, 334, 335, 337; III, 29, 67,
95, 108, III, ii5, 2i5; IV, 72, 83, 128;
V, 121, 192; VI, 80, 182, 184, i85, 188,
198, 204, 273, 285, 290, 293, 296; VII,
i58, 170, 200, 202, 3o4; VIII, 37, 4i)
76; IX, 122, 124, i52, 226; X, 82.

Respighi. II, 19,82, 83; III, 148, 3o2; IV,
73; VI, 28, 3o, 43, 83, 87; VIII, 233,
234; IX, 233.

Retali. III, 172; VII, 92; VIII, 36.

Réthy. XI, 220, 272.

Reuschle. VIII, 189; X, 3o2.

Renier. III, 191.

Revellat. VI, 79.

Rey. X, 34.

Reye. I, i33, 276, 3i4, 3x5; II, 238; III,
145, 258; VI, i2'|, 289; VII, 23 1, 25 1,

252, 260; IX, 180.

Ribaucour. I, 6',; III, 3o3, 3o6; IV, 7G;

V, 125, i34; VI, 45; VIII, 166.
Riccardi. II, 160, 352; IV, 227.
Richard. VII, 240; XI, 25 1.
Richaud. II, 19.

Richelray. V, 267, 268.
Richelot. II, 129; IV, 200.
Ricour. XI, 25o.
Ricq. VII, 202.

Riecke. IX, 278; XI, 274, 276.
Rieller. I, 281.

Riemann. I, 26, 4o> i3i, 377 ; II, 22 j;
III, 160; V, 20, 79; IX, 192; XI, 97.
Riess. VI, 40, 48; VII, i35; X, 286.
Rigaud. XI, 200.
Riha. I, 209.
Rink. Vin, 160, 182.
Risbec. VI, 46.

Ritsert. IV, 292; VI, 25o; VIII, 187.
Ritter. III, 288; VII, 3o4.
Robert (de). III, 288,
Roberts (M.). I, 3i2, 3x4, 3i5, 373, 377;

VI, 240, 242; X, 143.

Roberts (S.) II, 269; III, xo, loi, 345,
347; IV, 43, 45, 47, 48, 49 ; V, 240;
VI, 20C, 211, 212; VII, 25, 26, 27, 28,
29.

Roberts (W.). I, 377; VI, 241.

Roberts (AV.-Ch.). VII, 8(j.

Robinson, I, i85; VI, 3io; IX, 23i; XI,

207.
Rodet. VI, 188.

Roger. II, 279; III, 3o6; V, i34.
Rogers. III, i54; V, 179.
Rogerson. XI, 211.
Rogg. XI, 16.
Rogner. IV, 281.
Rohrs. I, 218.
Roiti. III, 29.
Rolland. I, 269; lîl, ixo.
Rollwyn. I, Sgi.
Romer. XI, xi3.
Rosanes. I, 36o; II, 160, 239, 3(17; III,

241, 293; IV, 91, 207, 287; V, 240;

VI, 195; VIII, 118; XI, 29.
Roscoe. I, 368; III, 128, VI, 281; VII,

78.
Rosén. I, 241, 292.
Rosse (lord). I, 182; 290; VI, 3oG ; VII,

76, 84; IX, 16; X, 5o.
Rouché. IV, XI2; VII, 3o4;XI, i2x.
Roudaire. VII, x63.
Roulet. XI, 25o.
R-Ouquet. XI, 11 3.
Rousseau. III, 119.
Rousset. VII, 240; XI, 252.
Routh. II, 271 ; VII, 84,
Row. V, II 5.
Royston-Pigott. I, 369; VII, 75, 85; XI,

204.
Rozé. III, 58.

Rubenson. I, 178; X, 171.
Rubini. VI, 21; VIII, 64; XI, x45.
Ruchonnet. II, 80; IV, 44; VI, 187; IX,

48.
Ruflîni (F.). II, 160; VII, 241 ; VllI. 32.
Ruffini (P.). X, 145.
Rûhlmann. V, 202.
Rùmker. II, 232, 235; V, 176, 179, 182,

i83; VI, 172; X, 272.
Ruinp. III, 87 ; X, 3o2.
Russell (C.-W.). V, 108; VI, 3o6 ; VII,

63.
Russell (W^-H.-L.). I, i63; VII, 73, 76,

82; X, 143.

Rutgers. V, 281.

Rybicka. VI, 88.

Ryew. VI, m.

Sabato. I, 109, 200.

Sabine. I, i'^84, 367; VI, 23o, 236; VII,

73.
Sabinine. III, i3, 73; IV, 58; VI, 187.
Sacchetti. I, 219.
Sacchi. X, i45, 298.
Sachse. X, 298.

MATHÉMATIQUES ET

Sadous. XI, 20^.

Safarik. VIII, -229, 232.

Sagajlo. VI, iSg.

Sagols. II, 27G.

Sainte-Claire Devillc (Ch.). III, 2i5.

Saint-Germain (de). IV, /ji; VI, 18G,

18;; VII, 170; VIII, 3o.
Saint-Loup. I, 282; II, 266; VI, 186;

VIII, /I2; X, 143.

Saint-Quentin. XI, 2^6.

Saint-Robert (de). III, 28S;VIII, 6^.

Saint-Venant (de). I, 82, 63, 6^, G6, 96,
i56, 2i3, 3_'i3 ; II, 37, 212, 2i3, 33o,
33i, 334, 335, 336; III, 67, 89, 92, 93,
ii5, 149, 195, 2i3, 214, 2i5, 296, 297;

IV, 127, 128; V, i35;VI, 77; IX. 162,
225; X, 144.

Saleta. IV, 38.

Salicis. I, 382; III, ii5.

Salmon. I, 40, 54, 807; III, 10; IV, 96;

V, 198; VIII, 65; X, 145.

Saltel. II, 80; IV, 58, 176; VI, i85, 188;

VIII, 222; IX, 48, 149, i54, 175.
Saltzmann. X, 3o2.
Salvert(de). VII, 48.
Sancery. IV, 45; IX, 175.
Sand. X, 272.

Sandberg. II, 285; V, 170; X, 2G7, 271.
Sands. IX, 36; X, 122.
Sang. II, 201, 275; V, 58, 16Ô, 1G7.
Sannia. I, 829 ; IV, 43.
Santagata. IV, 249.
Sardi. I, i52, i53, i54; VI, iii.
Sarrau. VII, 200; XI, 75.
Sauveur. IV, 210.
Savitsch. I, 240, 241; III, 25o; IV, 5g;

V, 160; VI, 32; VIII, 143, 145.
Schell. I, 61, 208; III, i3ï, 191, 295 ; IV,

291 ; VIII, 187.
Schellbach. X, 142; XI, 84.
Schellen. III, 191, 295.
Schendel. III, 292 ; VIII, 191 ; XI, 3o, 3i.
Scherk. X, 802.
Schering. I, 12S, 288; II, i48; III, 4..,

47, 48 ; IX, 277 ; XI, 272, 278, 274.
Scherling. III, 192, 296; VIII, 227.
Schiaparelli. I, 891 ; III, 81 ; IX, 235 ; X,

25l, 252, 253.

Schilke. VIII, 190.
Schiller. V, 295 ; X, 100.
Sclijellerup. I, 89 ; X, 276.
SchlaQi. I, 3i2, 3i3, 3i4, 874, 875; 11,
357, 362; III, 145, I^7 ; V, 289, 291;

VI, 244, 2'|5; VII, 25i.

Schlegel. III, 53; VI, 247, 248; VIII, 118;
X, 292.

litiU. des Sciences matliém. et astroii.

ASTRONOMIQUES.

345

Schlesinger. I, 208, 209, 210; III, iGo;

IV, 280.
Schleusing (v.). V, 260.
Schlôgelhofer. X, 29'8.

Schlomilch. I, 4O) 5o, Sg, 60, 278, 279;

II, 66, i38, 352; III, 298; IV, 285, 288;

V, 196, 201; VI, 2/|9, 25i ; VIII, 188,
190.

Schlotke. I, 200; II, 160; III, 192, 295.

Schlotter. III, 192.

Schmidt (Fr.). V, 61.

Schmidt (G.). I, 100.

Schmidt (J.-F.-J.). I, 88, 89, 282, 365;

III, 95; V, 175, 178, 182, i83, 184,
i85; VI, 167, 172, 178; IX, 3o, 35, 36;
X, 263, 267, 269, 270, 271, 272, 276,
278; XI, 259.

Schmidt (J.-R.). IV, 210.

Schmidt (K.). X, 29g.

Schmidt (L.). X, 29g.

Schmidt (W.). VIII, i83.

Schmiedhauser. X, 3o2.

Schneebeli. IV, 53, 55; V, 204 ; VII, 35;

VIII, 269.
Schneider. X, 802.
Scholz. X, 25o.
Schônborn. X, 29g.
Schonemann. VI, 25o.

Schonleld. 1, 87, 89, 90, 364; V', 175, 177 ;

IX, 36, 227; X, 269, 276; XI, 2.J8.
Schorlemmer. III, 128.

Schorr. X, 7.

Schoute. V, 280.

Schrader. X, 292, 3o2.

Schrader (F.). Ill, iig.

Schramm. I, 3i3, 872; IV, 292; X, 299.

Schreiber. X, 292.

Schroder (I.-C.). IV, 210.

Schroeder (E.). II, i4o, 182, 362; X, 292,

302.

Schroter. II, 23g; IV, 87, 292; Vil, 227,

23o; VIII, 3o, 79, ivj, 2i5.
Schubert (E). I, 89, 2S1, 364, 365, 891 ;

V, 175, i83; IX, 36; X, 272.
Schubert (F.-G.). I, 36o.
Schubert (H.). I, 68, 278; III, i4i, iSg,

241. 2gi ; XI, 275, 277.
Schubert (J.). VIII, igo.
Schulenburg (v. der). II, 289.
Scbulhol'. I, 281; II, 235; V, 170, 177,

178, i83, i85, i86; VII, 210; IX, 35;

X, 264, 266, 26g, 278; XI, 192.
Schultz (H.). IX, 3o; X, 48, 265.
Schullze (Ed.). X, 242, 292.
Schulz (K.). X, 2g9.

Schuize. X, 295.

, t. XI. (Juillel-Dcceml.re 187G.) 23

346

BULLETIN DES SCIENCES

Schumann (Ad.). VIII, 216.

Schumann (E.). X, 3o3.

Schiir. I, 88.

Schuringa. A'III, 181.

Schwabe. X, 272.

Schwartz (F.-H.). X, 2G9.

Schwarz (A.). X, agj.

Schwarz (IL). III, 5i, 52; Vlll, 227; X,

299-
Schwarz (H.-A.). I, 37/1; III, SGg ; IV, 5i,

53, 202, 239; VI, l\o, 4ï; Vil, 224; X'.

34, 35.
Schwarzkopf. X, 299.
Schweizer. III, i4, 2i3; XI, 27.
Sclopis. V, 273.
Scot. I, 160.
S. E. IV, 207.
Seabroke. Il, i53; V, 106, 12',; Vli, 82;

IX, 12; X, 43.

Secchi.I,3o,88,33'|,3'i4,378;II,i9,82,2i2,
233,279, 334, 336, 339, 383; II!, 54,
57, 95, 104, io5, 106, iio, 112, ii3,
i5o, 297, 3o2, 3o6; IV, 74, 76, 79, 128;
V, i5, 16, 18, I i4j 123, 125, i35, 137,
272; VI, 43, 45, 46, 77, 121, 12a, 169,
295, 296; VII, i35, i36, i58, 199; VIII,
39, 145, 146, 147; IX, i54; X, 256.

Sédillot. I, 99; II, 147; IV, 139, 246; VI,
44, '^54 ; VII, 123.

Seegor. X, 299.

Seelir.g. I, loi ; III, 85.

Seidel. I, 36o; III, 24'); VI, 2i3.

Seideliii. I, 3 'g; VII, 89.

Selling. VII, 228.

Semeijns (Meindert). VI, 253.

Serdobinsky. V, 295, 3oo; VII, a38; X,
io3.

Séré de Piivière. XI, 246.

Sergent-Marceau. II, 160.

Scrpieri. V, 18.

Sorret (J.-A.). I, 28, 166, 196, 254, 34",
378; II, 97, 24 '1, 33r, 334 ; III, 10, ii3,
2i5;VI,V', i38, 140; VII, 157; VIII,
64; X, ,46.

Scrret (P.). I, 9; II, 76; X, 144.

Settimani. I, 232.

Sexe. I, 202.

Seydler. I, 281; VI, 9'), 98; VII, 210, 2i3,
216, 264; VIII, 121, 1^8; XI, 80.

Slianks. VII, 73, 7g, 84.

Siacci. lî, 146; IV, 200, 256; V, 271,
276; \l, 3i, m, 2)5, 285, 289; XI,

79-
Sickcnbprger. "\ II, 96.
Sldgreaves. VH, 79.
Sidler. X, 295.

Siebeck. I, 3i4.

Siebel. VIII, 181; XI, 214, 218.

Siemens. X, 285, 290.

Silbermann. III, 149, i53, 2g5.

Silldorf. VI, 25i; VIII, 177, i8g; IX,

240; X, 299.
Simerka. III, 83; XI, 83.
Simon (C). I, 27; II, 11, 282; III, 16g.
Simon (M.). XI, 47-
Simoni. VIII, 2G5.
Simony. VI, 25i; VII, ii4, 116; VIII,

189 ; IX, 280.
Slatter. V, 114.
Sloudsky. III, 12, i3, 14, i5, i6, 77, 81,

83; V, 299; VI, 3i6; X, ICI, io5.
Smith rC.).' VI, 211.
Smith (H.-J.-St.). I, 181, 3i5, 373, 375;

III, 345, 346, 3 '17; IV, 4i, 45; VII, 27;

XI, 7.
Smith. (J.-H.). I, 200.
Smith (W^-R.). I, 161; II, 275.
Smyth (Piazzi). I, 3Go; V, 112; VII, 80;

X, 56.
Sobicka. VIII, 12',.
Sohncke. VII, i34, 225; XI, 16.
Sokolof. III, i3, i5, 2o5.
Solin. III, 170; Vî, 107; VIII, 128; XI,

81.
Sommer. X, 292.
Somof. I, 240, 241; II, 299; m, 14, i3i,

210, 342; IV, 58, 59; VI, 33; VII, 190,

191, VIII, 143.

Sonderhof. I, 249; IV, 285.

Sonine. lîl, 208, 212; V, 292, 299; VI,

317; X, 96.
Sonnenburg. III, 192; X, 3o3.
Sonnet. I, 200; X, i4'i.
Sonrel. I, 344-
Souchon. III, 33.
Souillart. VI, 57; VIII, Sg.
Souvorof. IV, 180.
Souza (de). VII, 75.
Sparagna. VII, 12^; VIII, 262, 267.
Sparre (Magnus de). IX, 48, 95; X, 256.
Spear. V, 104.
Spieker. I, 248; III, 192.
Spielmann. X, 3o3.
Spina. II, 83; X, 146.
Spitz. I, 33 1; II, 383; IV, 292.
Spitzer. II, 366; 111,84, 85,87 373, 370,

376; XI, 218, 220.
Spôrer. I, 87, 90, 280, 36 '| ; II, 232; IV,

2o3; V, 175, 177, i85; M, 4i; 1^, 35,

235 ; X, 26g, 277.
Spolliswoode. I, i55, ifi3, 2(3, 3G8 ; \],

-MATHÉMATIQUES ET ASTllONOiMIQUES.

347

43, 12/1, 236; Yll, 26, 70, 80, 197,

198 ; X, 143.
Spratt. VU, 78.
Spriggs. II, 160, 383.
Stacger. X, 3o3.

Stahl.II, 366; IX, i83; X, 246, 299.
Stahiberger. II, 14 i.
Stamkart. I, iSiJ; IV, 211, 3i2; V, 280;

VU, 128.

Stammer. XI, 2i5.

Stampfer. II, 383; III, 192.

Stark. I, 281.

Staudigl. I, 60, 209; H, 383; III, 29 j;
VII, 2o5, 21/,; YIIl, 224.

Stebnicki. IV, ôg.

Steeii. I, 17S, 179, 282, 36g, 370; H, ij,
16, ig; IV, 43; V, 277, 278, 279; VU,
32, 33, 86, 87, 89; VIII, i38, iSg, i4i;

X, 143.

Stefan. I, 210 ; VII, 204, 209, 2:0, 2i3,

2l5, 216, 217, 218; VIII, 225.

Steiner. III, 10; VIII, 191.

Steinhauser. II, 160; III, 87, 160.

Steinheil. VI, 21 3.

Steinschneider. III, 292, 2g3 ; iV, 243 ;
VI, 25o, -ibô ; IX, 280.

Stephan. I, 4o, 363; II, 232, 266; III,
117; IV, 80, 82, 83, 85; V, 104, 109,
137, i38, 181, 182, i83; VI, 43, 45,81,
82, 170, 286; VII, 62, i54, 199; VIII,
42, 76; IX, i3, ij, 161, 162; X, 270,
271.

Stern (M.-A). I, 26, 239; III, 45, 47, 48,
245; VII, 2C0; IX, 17g, i83, 277; XI,

47-
Stern (S.). VII, 2o3, 204, 210, 217.
Stewart (B.). I, i85, 368; II, i5o; VU,

75, 7g, 80, 84, 85.
Stiattesi. II, 148; VI, 2j3.
Stieltjes. VII, 127, i3o.
Stockwell. III, 154.
Stoddard. III, i54.
Stoecklin. XI, 262.
Stoeckly. VIII, 178.
Stokes. I, 184, 218; VII, 81; XI, 7.
Stolétof. in, 70, 292, 340; IV, 126; V,

297-

Stoll. VIII, 122; X, 2gg, 3o3.

Stolz. I, 20g; III, 2g2, 340; X, ig7.

Stolzenbiirg. X, 29g.

Stone (E.-J.). II, "i54; Y, !5g, 175; VI,

236, 3i4; VII, 6g, 7',, 79; ix, 10; XI,

2o5, 206.
Stoney (B.). I, 3û8, 3og.
Stoney (G.-J.). I, 3o8.
Stoseck. X, 292.

Sloiiff. IV, 42.

Strabbe. IV, 210.

Strange. III, 246; Y, un; VII, 80.

Strasser. VI, 170; X, 271.

Strelilke. X, 292.

Streintz. VII, 221.

Slreit. X, 299.

Strnad. VIII, 122, i23, I23.

Sti-ouhal. VI, 98.

Striitt(lord Rayleigh). I, 368; IV, 4g;

VI, 228; VII, 26, 28, 29, 75,77.
Struve (0.). I, 240, 242; IV, 80; V, loS;

VII, 61, 62, 191; VIII, 144, 145 ; IX,
20 ; X, 87, 93.

Sti'ùver. V, 273.

Strzelecki (v.). VU, 217.

Stuart. VU, 82.

Stubba. III, 384.

Stubbs. V, 240.

Studnicka. II, 256, 383 ; IV, 198; VI, 89,

gr, 96,97,9g, 100, 101,102, io3, io4;

VU, 260, 262, 263; VIH, 125, 127, 128,

129, 229, 232; IX, 49, 5i; XI, 7g, 80,

8r, 82, 83, 84, 85, 86, 147.
Sturm (C). V, iga; X, 256.
Sturm (R.). I, i36, 371 ; II, 5o, 5i, 53,

356; III, 147, 336; IV, 96; VI, 240;

VIII, 118, 121, 216; IX, 180; XI, 3.,

36, 273.
Slurmer. I, 391.
Sundell. VI, 36.
Suter. VI, i4, 254; X, 64.
Sylow. I, 232, 285; III, 19g; VIII, go.
Sylvcster. III, 344, 345, 347; VU, 25.
Sczenic. X, 2gg.
Taccbini. V, 18, 124, i32, i34; VI, 77,

82; VII, igS; VIII, 74.
Tâgert. X, 2g2.
Tait. I, iCi ; II, 202, 274, 275; IV, 278,

292; V, 164, i66, 167, 16S; VI, 112,

160, 161; VU, 84.
Talir. X, 296.
Talraage. VI, 167; IX, 36.
Talyzine. III, i3, i5.
Tanichyna. X, 299.
Tano. II, i4i, i4^-
Tannerv. X, 82; XI, i83, 221.
Tardy. "l, 377.
Tarry. III, 59, 119, i]<), 298; IV, 77; VI,

3o.
Tastes (de). III, ç)'], iiS, 119.
Tchebychef. 11, 25g; III, 12, i3, i5, 36

78; VIII, 18, 20, '22.
Tebbutl. V, 106, i83, 186; VI, 177; IX,

i3, 26; X, 46, 02, g3; XI, 201.
Tcding van Rerkhout. IV, 211, 212.

318

BULLETIN DES SCIENCES

Teichert. X, 296.

Tempel. II, 235; V, 177, i83; X, a52, 265.

Tennant. V, 106, iio, i58; VI, 3oo; VU,

65, 68-, X, 44, 55,92; XF, 197, 199.
Terquem (A.). H, 267, 33:5.
Terrier. X, 35 ; XI, 122.
Tessari. V, 270.
Thalén. I, 177, 178.
Theorell. I, 200, 2/17; V, 168.
Tbiele. I, 180, 370; II, 96; VII, 3o, 3i;

VIII, 139; X, 2y9.
Thieme. XI, 219.
Thomae. I, Sg, 61, 232; II, 236; III, i38,

291, 294, 373; IV, 236, 285; V, 96; VI,

240, 243, 201; VIII, 122, 189; XI, 40)
275.

Thoman. IV, 4i ; XI, 27.

Thomé. III, 367; IV, 237; VI, 192 ; VU,

256 ; X, 36.
Thomson (sir '\V.). I, 160, i63; II, 274;
IV, 278, 292; V, 7, 164, 166, 167, l'ii ;
VII, 77, 78, 91; XI, 7.
Thorpe. VI, 23 1 ; VII, 78.
Thoulet. VI, 295.
Thoyot. XI, 265.
Tidblom. VIII, 137.
Tiele. II, 232; IX, 235.
Tietjen. I, 88, 89; II, u32, 233; V, i84;
VI, 170, 173, 174; IX, 235; X, 268,
269, 271, 277.
Tirelli, VIII, 33; X, 282.
Tisserand. I, i55 ; II, 21 3, 246, 339, ^^o;
III, 148; IV, 79, 86; VI, 292; Vil, i54 ;
IX, 20, 172 ; XI, 192.
Tissot. I, 166, 272.

Todhunter. I, 40, 216; II, 160, 383; IV,
278; V, log, 116; VI, 22, 276, 3oo;
Vil, 74, 76, 8r, 82.
Tognoli. I, 288, 33i; II, i43, 144, 146;
III, 173; IV, 196, 199; VI, 112; VII,
92; VIII, 33, 34, 35; X, 284.
Tomline. IX, 274.
Tonelli. XI, 277.
Toplitz. I, 61; X, 293.
Topsôe. V, 86.
Torelli. IV, 199; VI, iio; VIII, 34; X,

284.
Tortolini. II, 148; III, io4, io5; VII, 272,

279 ; X, 143.
Touchimbert (de). III, 119.
Townsend. lil, 345; VI, 2o5, 207, 208,

209, 211.

Transon. II, 78, 334; IV, 4i; VI, 182,

i84, i87;VIII, 27,29; X, 142, i4',.
Treichl. X, 299.
Tremeschini. Il, 243; III, 119.

Trépied. VIII, 74.

Tresca. III, 67, 95; IV, 81, 85; VI, 43,

293; VII, 161; IX, i52, 162.
Trudi. I, i53, 3i5; IV, 254; VIII, 35, X,

143.
Trzaska. VI, 162, i53, i56.
Tscherniak. I, 391.
Tserasky. VI, 3ig.
Tsinger. III, ii, i3, i5, 81, 211; V, 299;

X, 100.
Tucker. III, 345.
Tupnian. V, 106; VI, 3io, 3i2; VII, 56 ;

X, 37.

Turazza. IV, 28.

Tychsen. I, f\0, 179; II, i5, 16; VIII,

i38.
Tyndall. I, 36S; III, 256.
Uhdolph. X, 29g.
UlfTers. I, 200.
Ulman. IV, 211.
Ulrich. III, 46, 47, 48; IX, 277.
Unferdinger. I, 208, 210, 249, 264, 27O;

II, 383; m, 86, 87, 373, 374, 377; IV,

282; VII, i38, iSg, i4i, 204, 212, 221.

222; VIII, 177 ;X, 296.
Unterhuber. X, 296.
Unverzagt. III, 295; X, 293.
Uth. X, 3o3.

Vachenko-Zakhartchenko. IIÎ, i5.
Vachette. VIII, 3i ; IX, 176; X, 32, 34;

XI, 122, 123.
Vacquant. V, 96.

Vaillant (le maréchal). III, 148, 214.

Valat. V, 62.

Valeutiner. I, 264; H» ^29; III, 21; V,

17g; VI, 173; X, 265, 267.
Valeriani. I, i54; III, 173; IV, 254; VII,

91, 109; VIII, 35; X, 279, 280.
Vallès. III, 290; X, 3o4.
Valson. 1,99, io5, 2i5.
Van Blanken. IV, 211, 212.
Van den Berg. IV, 212.
Van der iVIensbrugghe. II, 292, 296.
Vandemionde. X, i45.
Vanderweyde. III, lôj.
Van der Willigen. VII, 127, 128, 129, i3o;

VIII, i83.
Van Diesen. VII, 127.
Van Geer. V, 28o;VI, 247; VII, 12S ;

VIII, 186.
\'an Haarst. IV, 212.
Van Hemert. IV, 210.
Van Otterloo. IV, 204.
Vanous. XI, 81, 82.
Van Pott. VIII, 220.
Van Rees, X, 142.

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

349

Vantin. III, 290.

Varaigne. XI, 2.'|8.

Vassal. III, 353.

Vassilief. XI, 120.

Vazeille. IV, 40.

Vecchio. I, 162; IV, 200 ; VII, 91.

Vega (v.). I, 264.

Veltmann. I, 90, 281; II, i/ji; III, 29:^",

XI, 220.
Verdam. IV, 212.
Verdal (de\ XI, 246.
Verdet. V, 97.
Vering. X, 296.

Véronique (le général). XI, 255.
Vershiys. I, 100, 2/(9, 892; III, 86, 88,

376; IV, 212 ; V, 282 ; VIII, 160.
Vervaet. XI, 84, 85.
Vicaire. III, no, 118; IV, 76; V, i33,

i36; VI, 43, 46, 288, 297; VII, 154.
Vierordt. V, 180.

ViUarceau (Y.). I, 336, SSg, 378, 383; II,
38, 2o3, 33'|, 338; III, 57, 3o4, 3o5 :
IV, 73, 74, 81, 82, 83; V, i3fi; VI, 76,
189; VIII, 256; IX, 162; X, 112; XI,
192.
"Villebonnet. XI, 255.
Vimercati. VII, 121.
Vincent. V, 820 ; X, if\!{.
Vinclaire. XI, a'ig.
Vinogradsky. XI, ii/), 119.
Vinson. III, 214.
Violeine. IV, 272.
Violle. VII, i58, i63.
Virieu ( de). X, 33.
Virlet d'Aoust. VU, 201.
Vito. I, 288.

Vogel. II, 232, 233; V, 180, 202; IX, 3^,
235 ; X, 26g, 272.

Vogl. XI, 255.

Volkmann. V, 196, 199.

Volpicelli. I, 873; II, 20, 1^9; III, 298:
IV, 83; VI, 28, 29; VIII, 283, 234.

VonderMùhlI. II, 2.^0; VIII, 89, 209.

^'orslerman van Oijen. II, 147.

Voss. X, 296.

Voss (A.). IV, 289; VI, 247; X, 177; XI,
278, 274, 276.

Vryer. IV, 210.

Vydra. VI, 88.

Wackerbarth. I, 247, 29G; V, lo^; X,
93.

V^^agner. XI, 2'|8, 253.

Wagner (C). VIII, 172 ; X, 299.

Wagner (H.). IV, 2o5.

Waha (dej. X, 3o3.

Waille. VI, 187; IX, 178.

Walda. X, 299.

W^alker (J.-J.). III, 847; IV, 47, 49.
Walker (J.-T.). V, 108; VII, 77.
Wallace. IX, 270.
Walras. VII, i52.

W'altenhofen (v.). I, 211; VI, io5, 107;
VII, 206, 208, 222; VIII, 229; IX, 49,

2'|0.

Wallon (J.). 11, 388.

Wallon (W.). Il, 267, 269, 270, 271, 272,

278, 274; IV, 42, 4^; VI, 204, 2o5,

206, 208, 209, 210, 212.
Wand. I, 36o; IV, 292.
Wangerin, V, 820; VII, 112, ii3, ji/|,

116; X, 247, 299.
Wargnies-Hulot. IX, 48.
Warren (J.). VI, 212.
Warren de la Rue. I, i85, 368; II, i5o;

VII, 75, 79, 80, 85; IX, 28; X, 89; XI,

195.
Wasserschleben (v.). IV, 281; VIII, 180;

XI, 216.
Wassmuth. I, 36o ; VII, i4o, 20g.
Watelet. X, i',^.
Waters. VII, 61, 68.
Watson (J.-C). IV, i3o; V, 177, 178;

IX, 29, 35, 226; X, 277; XI, 211.
Watson (W.-H.). VI, 209, 212.
Webb. III, 248; V, 107; X, 54; XI, 202,

206.
Weber. X, 296.
Weber (H.). I, 25, 124; II, 176; III, i43,

259; IV, 89; V, 2o3, 283; VI, 196; VllI,

117 ; X, 177.
Weber (L.). X, 177.
Weber (W.).I, i3i; V, 266.
Weerth. X, 3o8.
Weierstrass. I, 187; VI, 189.
Weihrauch. I, 860; VIII,] i85, 189; IX.

289, 240.
Weil. VII, 289.

Weilenmann. VII, 85; VIII, 272.
Weiler. I, 8g, 90, 96; VIII, 210; IX, 280.
Weinberg. III, 81.
Weingarten. I, 87, 90.
Weisbach. III, 256.
Weiss. I, 20g, 211, 363, 865; II, 235, 3^'>'i;

V, 181; VII, 208, 209, 212, 216; IX,

3i.
Weissenborn. I, 264; X, 800.
Weiler. III, 192.
Welsch. II, 77.
Wenham. VU, 82.
Wenzel. I, 860.
Wernekke. X, 3oo, 3o3.
Wernickc. III, 192 ; X, 289.

35o

BULLETIN DES SCIENCES

Werr. X, 3o3.

Wertheim. X, 296.

Wesely. III, agS.

Weston. m, 216, 2/,8.

Westphal. VII, 119.

Wettstein. VII, 35.

"VYeyer. I, 392.

Weygandt. II, 384.

^Veyr (Ed.). I, a'i, 62, 20S; III, 340; IV,

89, 286; V, 124, 1^6; VI, 90, 97, 241;

VII, 208; VIII, 112, 126; l'x, 37.
Weyr (Em.). I, 4o, 62, 63, 208, 209, 36o:

II, i4o, if\i, i!\2, 145, 354, 358, 384;

III, 145, 172, 265, 289, 290, 293, 29'|,
336, 371 ; IV, 199, 200; VI, 89, 92, 93,
98, 102, io3, io4, io5, 106, 107, 241 ;

VII, 140, 161, 164, 2o3, 2o5, 209, 210,
221, 263; VIII, 112, 123, 125, 126, 229,
23i ; IX, 37, 5o.

Weyrauch. III, 371; VI, 25i ; VIIl', 189,

190.
Wharton. VII, 85.
A^'heatstone. VII, 77.
Whitehoiise. VII, 78.
"Wicksen. X, 17').
Wiecke. X, 3oo.
"VViedemann. V, 202.
Wiederhold. X, 197.
Wiener, I, 5g, 175, 3i2; II, 354; "L 29';

VIII, 116; X, 145.

VViesing. X, 3oo.

Wljkander. V, 184 ; VIII, i33; IX, 36.

Wild (H.). I, 392; IV, 58, 6o;VI, 3i:

VII, 191; VIII, 143, 145.

Wilde (F.), X, 296.

Wilkinson. XI, 258.

Willert. X, 3oo.

Williams (J.). VII, 60.

Williams (W.-M.). I, 36o.

Williamson. V, i58, 240; VI, 2o5, 206.

Wilson (J.-M.). V, III, 117, 240; VI,

3o6; vil, 56, 61, 63; IX, 12, i5, 27; X,

43, 53, 87.
Winckler (A.). I, 4o, 209, 210, 211; 11,

384; m, 384; VII, i39, 206, 2i3, 2i5,

220; XI, 193.
Winkler (F.). Ill, 192.
Winlock. X, 270.
Winnecke. I, 281, 337, 363; II, aSa, 235 ;

V, 179, 181, 182; VI, 170; XI, 201.
AA'ith. XI, 2o5.
Willage. IV, 212.
Wittiber. X, 3oo.
Wittstein. I, 89; X, 273.
Wiltstein (Th.). M, 384; HI, 192.

Wimver. I, 60, 63, 277 ; IV, 284 ; VI, 248,

IX, 238. ^

Wochel. III, ic)2.
Wockel. I, 392.
Woepcke. VIII, 264.
WohIwill. III, 295, 384.
Woitylack. X, 293.
Wolf(C.). I, 334, 34i; IV, 75; VI, 198,

28G; VII, 199; IX, 161, 225.

Wolf(E.). I!I, 192.

Wolf(R.). I, 99, j56, 392; II, i52, 384;

III, 384; IV, 52, 55, 70; V, 179, 2o3,

204 ; VI, 258; VII, 34, 35, 36, 37, 78;

VIIl, 270; IX, 35; X, 263.
Wolfers. II, i52; X, 91.
Wolff (J.-F.). II, 269, 384.
Wolhouse. III, 346.
W^olstenholme. II, 269, 273; IV, 4',;

Vil, 28, 29.
Worontzof. XI, 121.
Worpitzky. I, 392; VII, 11 4, 118; VIII,

186.
W^ede. VI, 34.
Wretschko. Vil, 208 ; X, 3oo.
Wûllner. X, 2S9.
Xambeu. II, 211.
Young (.Fr.). I, 392.
Young (J.-R.). I, 3ii, 392.
Zach (v.). VI, 258; VII, 35.
Zachariœ. I, i8o; II, 224; V, 278, 279;

VU, 3o ; X, 264, 277.
Zahn(v.). VIII, 216.
Zahradnik. VI, gS ; VIII, 112, laS, 127,

172, 177, 180, 23l, 232; IX, 49, 5o;

XI, 82, 86, 216, 217.
Zajcazkowski. VIII, 177, 178; XI, 269,

271.
Zannotti. I, i53, 223.
Zech (P.). IV, 289.
Zebrawski. VI, 159; XI, 267, 268.
Zeidler. X, 293.
Zeigler. VIII, 272.
Zeipel(v.). VMI, i33, i33.
Zelewski. I, 392.
Zeller. VI, 42.
Zenger. V, m; VI, 96, lofi, 299; VIII, 124,

229; IX, 25, 5o; XI, 204.
Zengerle. X, 3o3.
Zenkcr. II, 235; IX, 3i, 235.
Zcrlang. 111, 53; VU, 9G.
Zernof. III, i5,
Zetsche.I , 40.
Zetzsche. Ill, 294; IV, 279.
Zeuner. I, 392.
Zeuthen. I, i32, 139, i56, 180, 280, 36g,

375; II, i5, 16, 357, 362; III, 148, i5i,

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES,

35]

i5-, i58, iSg, 21^, 027; lY, 77, 82, 96;

V, 186, 277, 278,279; VI, 78, 241, 291;

VIF, 29, 3o, 32, 97, 159; VIII, i33, 139,

1^0, 2i3 ; X, 175.
Ziegler. III, 5i; IV, 207; VII, 116; VIII,

191.
Zielinski. X, 3oo.
Zilettj. VII, 112.

Zimmerraann. VIII, 188; IX, 238; X,293.
Zinken. III, 295, 38/(.
Zmurko. 11,384; III, 38'i; VI, i52; XI,

Zôllner. I, 89, 363, 365 ; V, 171, 196,

197, 19S, 199, 200, 201, 202; X, 268.
Zolotaref. IV, 69; V, 29'); VI, 18/,, 187;

VIII, 20, 90, 119.

Zorer. III, 192; X, 3o3.
Zrzavy. VI, io5, 25i.
Zschiedricli. X, 3o3.
Zucchetti. V, 273.
Zulejer. II, 224.
Zumloh. X, 3oo.
Zurria. III, 290.

FI.\ DES TABLES GENERALES.

l'ar.i — Imprimerie de GiUTHiER-ViLLAiis, giiai des AUijUâliiif, ij

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