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C AEL FRIEDRICH GAUSS WERIE
BAND IX
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CAEL FRIEDRICH GAUSS
A\nERKE
NEUNTER BAND.
HERAUSOEOEBEN
KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN
GÖTTINGEN.
Dl COHMISSION BEI B. G. TEÜBNEE Df LEIPZIG.
1903.
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BESTIMMUNG
DES
BREITENUNTERSCHIEDES
ZWISCHEN DEN
STERNWARTEN VON GÖTTINGEN UND ALTONA
DURCH
BEOBACHTUNGEN AM RAMSDENSCHEN ZENITHSECTOß
VON
CARL FRIEDRICH GAUSS,
BITTEB DES GUELPHEN- UND DANNEBROG-ORDENS ; K. GR08SBR. HANN0YER8CHEM HOFBATH;
PROFESSOR DER ASTRONOMIE UND DIRECTOR DER STERNWARTE IN GÖTTINGEN;
lOTOLIED DER AKADEMIEN UND SOCIETÄTEN TON BERLIN, COPENHAGEN, EDINBURG, GÖTTINGEN,
LONDON, MÜNCHEN, NEAPEL, PARIS, PETERSBURG, STOCKHOLM,
DER AMERIKANISCHEN, ITALIENISCHEN, KURLÄNDISCHEN, LONDONER ASTRONOMISCHEN U. A.
GÖTTINGEN,
BEI VANDENHOECK UND RUPRECHT.
1828.
"A \ "\ <^ Vo
w
INHALT.
Einleitung S. 5
I. Die beobachteten Sterne »98
n. Die Beobachtungen ^^ . . . „10
in. Resultate ^tm . . . „ 29
Einfachste Combination der Beobachtungen zur Bestimmung des
Breitenunterschiedes, Art. 1. Genauigkeit der Beobachtungen,
Art. 2. Collimationsfehler, Art. 3. Absolut vortheühafteste Com-
bination der Beobachtungen, Art. 4 — 7. Berücksichtigung der
unregelmässigen Theilungsfehler, Art. 8 — 11. Lage der Beobach-
tiingsplätze , Art. 12. Bestimmung der absoluten Polhöhe der
Göttinger Sternwarte aus Beobachtungen des Nordsterns am
REicHENBACHschen Meridiankreise, Art. 13 — 17. Endresultat der
hannoverschen Gradmessimg, Art. 18 — 20. Vergleichung der
Declinationen der beobachteten Zenithalsteme mit Bradleys und
PiAzzis Bestimmungen, Art. 21.
IV. Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg »> 52
Zusatz zu [Art. 20] S. 48 „56
BESTIMMUNG DES BEEITENUNTEESCHIEDES
ZWISCHEN
DEN STERNWARTEN VON GÖTTINGEN UND ALTONA
DURCH BEOBACHTUNGEN
AM RAMSDENSCHEN ZENITHSECTOR.
EINLEITUNG.
Durch die von mir in den Jahren 1821 — 1824 durch das Königreich Han-
nover längs des Meridians von Göttingen geführte Dreieckskette sind die
Sternwarten von Göttingen und Altena auf das Genaueste trigonometrisch mit
einander verbunden. Diese Messungen werden in Zukimft ausfuhrlich be-
kannt gemacht werden: hier wird nur bemerkt, dass die absoluten Grössen
auf der von Herrn Prof. Schumacher in Holstein mit äusserster Schärfe ge-
messenen Basis beruhen, mit welcher das Dreieckssystem durch die Seite
Hambui^-Hohenhom zusammenhängt; die Orientirung gründet sich auf die
Beobachtungen am Göttinger Mittagsfemrohr, da die Sternwarte und das
nördliche Meridianzeichen selbst Dreieckspunkte sind. Die Sternwarten von
Göttingen imd Altena liegen durch ein merkwürdiges Spiel des Zufalls auf
weniger als Eine Hausbreite in einerlei Meridian. Obgleich die absoluten
Polhöhen durch die Beobachtungen mit festen Meridianinstrumenten bestimmt
sind, so war es doch wichtig, den Unterschied der Breiten noch auf eine
andere Art mit einerlei Instrument zu bestimmen, und ich war so glücklich,
6 BESTTMMI'XO DEÄ BRElTEMMERSrFIIEUES ZWISCHEN GOlTINGEN l'ND ALTONA.
dazu flen trrfFlirhen RAMSDE>flchen Zenithsector anwenden zu können, der be-
kanntlich zu ähnlichem Zweck bei der englischen Gradmessung gedient hat.
Die damit im Frühjahr 1S27 von mir angestellten Beobachtungen und ihre
Resultate sind der Hauptgegenstand dieser Schrift.
Da die Beobachtungen mit diesem Instrument, wenn viele Sterne in einer
Reihe zu beobachten sind, nicht wohl ohne den Beistand eines geübten Ge-
hülfen gemacht werden können, so hatte Hr. Prof. Schubfächer die Güte,
den Hm. Ingenieur-Lieutenant v. Nehus ' , unter Genehmigung Sr. Majestät
ilvH Königs von Dänemark, für die Beobachtungen an beiden Plätzen damit zu
beauftragen. Dieser sehr geschickte Beobachter hat fortwährend die Ablesung
der Mikrometerschraube und die Einstellung des Lothfadens besorgt, während
ich selbst die Antritte an die Meridianfaden beobachtete und den auf den
Meridian senkrechten Faden auf die Sterne einstellte: nur in den beiden
ersten Beobachtungsnächten in Altona war jenes Geschäft von einem andern
(ieh Ulfen besorgt; allein diese Beobachtungen sind deshalb nicht mit aufge-
nommen, zumal da die Erfahrung bestätigte, dass verschiedene Personen die
Bisection der Punkte durch den Lothfaden ungleich schätzten.
Das Instrument ist durch die ausführliche von Mudge gegebene Beschrei-
bung hinlänglich bekannt. In Göttingen konnte es in der Sternwarte selbst,
unter dem östlichen Meridianspalt, angestellt werden. In Altona war dies
nicht thunlich; es wurde daher in dem Garten des Hm. Prof. Schümachee,
in welchem die dortige Sternwarte selbst liegt, unter demselben Beobachtungs-
zelte, welches Mldge in England gebraucht hat, aufgestellt. Die Solidität
der Aufstellung, auf eingerammten Pfählen, liess nichts zu wünschen übrig:
das Nivellement der Verticalaxe wurde täglich nachgesehen, und gewöhnlich
fast nichts zu ändern gefunden; dasselbe gilt von der Horizontalaxe.
Um die Ebene des Limbus in den Meridian zu bringen, wurde in Göt-
ting(in das südliche Meridianzeichen benutzt, welches zwar in dem Meridian
(l(»s westlichen Spaltes steht, dessen Azimuth am Platze des Sectors sich aber
mit gr()8ster Schärfe berechnen liess. In Altona konnte ein ähnliches Mittel
nicht angewandt werden: der Limbus wurde zuerst, mit Hülfe der Kenntniss
der absoluten Zeit, vermittelst eines culminirenden Sterns sehr nahe in den
[*, Handschriftliche Bemerkung:] Nehus sterb an zurückgetretener Grippe 184 4 Apr. n.
EINLEITUNG. 7
Meridian gebracht; die Beobachtung mehrerer Sterne in der ganzen Aus-
dehnung des Limbus gab dann leicht die noch nöthige kleine Correction der
Aufstellung. Da, wie schon erwähnt ist, von den am Sector culminirenden
Sternen in jeder Nacht auch die Antritte an die Meridianfaden beobachtet
wurden, und die Rectascensionen der Sterne bekannt waren, so erhielt die
richtige Aufstellung im Meridian dadurch eine fortwährende sichere Controlle,
und nur einmal war eine unbedeutende Nachhülfe erforderlich. In der Regel
wurde von einer Nacht zur andern mit der Stellung des Limbus, östlich oder
westlich, abgewechselt, und nur gegen den Schluss der Beobachtungen wurde,
um die Anzahl der Beobachtungen auf beide Lagen ziemlich gleich zu ver-
theilen, von dieser Regel zuweilen abgewichen, und der Sector in Einer Nacht
ein oder mehreremale umgewandt.
Der Stand des Barometers und des innem und äussern Thermometers
wurde in jeder Nacht wenigstens dreimal, zu Anfang, in der Mitte und am
Schluss der Beobachtungen aufgezeichnet. Eben so, nach dem Vorgang von
MüDGE, der Unterschied der Temperatur oben und unten am Sector, da des-
halb der Limbus und der Radius in ungleichem Verhältnisse verändert werden.
Dass übrigens jede andere durch die Einrichtung des Instruments vorgeschrie-
bene Vorsicht sorgfaltig beachtet ist, z. B. das Wassergefass , in welches das
Loth hängt, gehörig angefüllt zu erhalten, von der Mikrometerschraube so
viel thunlich dieselben Gewinde spielen zu lassen u. dergl., ist wohl über-
flüssig besonders zu bemerken. Die Einstellung des Lothfadens auf den
obem Punkt (das Centrum des Gradbogens) wurde bei der Beobachtung jedes
Sterns von neuem unabhängig von der vorhergegangenen gemacht, und die
Einstellung auf den nächsten Theiltingspunkt (oder die beiden nächsten) wurde
in der Regel mehreremale wiederholt, und aus den verschiedenen Ablesungen
der Mikrometerschraube, die meistens auf wenige Decimaltheile der Secunde
übereinstimmten, das Mittel genommen.
I.
DIE BEOBACHTETEN STERNE.
Ich hatte zu Anfang 38 Sterne in schicklichen Lagen zur Beobachtung
ausgewählt, denen ich gegen den Schluss der Beobachtungen in Göttingen
noch fiinf andere beifügte, weil ich besorgte, dass durch ungünstiges Wetter
der Schluss der Beobachtungen in Altona so weit verzögert werden könnte,
dass ein beträchtlicher Theil der ersten Sterne wegen der bei Tage eintreten-
den Culmination nicht oft genug würde beobachtet werden können. Diese
Besorgniss bestätigte sich jedoch nur in geringem Grade, und nur ein ein-
ziger Stern ist in Altona bloss einseitig beobachtet. Ich gebe hier die mitt-
lere Stellung dieser Sterne auf den Anfang des Jahrs 1827 reducirt: die De-
clinationen sind die Resultate, welche die Beobachtungen am Zenithsector
selbst ergeben haben ; die Rectascensionen, bei welchen für den gegenwärtigen
Zweck die allerschäl fste Bestimmung unwesentlich ist, gründen sich meistens
nur auf eine einmalige Beobachtung am Meridiankreise, deren Reduction
Hr. VON Heiligenstein gefalligst berechnet hat. Der Bequemlichkeit wegen
bezeichne ich die Sterne mit fortlaufenden Zahlen. Nro. 8, 13, 15 und 31
sind Doppelsteme ; bei dem ersten ist immer der nachfolgende Stern, bei den
beiden folgenden die Mitte eingestellt; bei Nro. 31 ist der Nebenstem so
klein, dass er im Femrohr des Sectors, selbst bei versuchsweise verdunkeltem
Felde, immer unsichtbar blieb, obgleich er von Hm. Prof. Schumacher im
lichtstarkem Femrohr des REiCHENBAcnschen Meridiankreises sofort bemerkt
wurde, ohne dass uns damals bekannt war, dass schon andere Astronomen
diesen Doppelstem als solchen erkannt hatten.
BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ETC. I. DIE BEOBACHTETEN STERNE.
Beteichnung
G.Aufst. 1827
Declin.
1827
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50
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86 Ursae
47
28, 48
54
34
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, 55
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50
45, 55
55
25
59
, 22
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P. 13. 289
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4», 03
50
16
43
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5, 39
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P. 14. 131
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, 02
12
P. 14. 164
35
24, 18
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44 Bootis med.
58
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48
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13
46
, 68
17
P. 15. 39
10
33,95
51
34
53
, 72
18
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Bezeichnung
G.Aufst. 1827
Declin.
1827
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27
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P. 16. 56
11
34, 31
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16
2, 19
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27
11, 06
30
20
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4,73
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26
34, 90
45
58
5, 85
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16 Draconis
32
6, 42
53
15
3, 64
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37
53, 85
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16
13, 67
34
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P. 16. 253
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37
P. 16. 291
56
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56
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P. 16. 310
17 0
15, 10
49
2
47, 09
39
P. 17. 20
4
23, 12
58
29
49, 33
40
P. 17. 38
8
1, 46
56
52
21, 74
41
74 Herculis
15
28, 30
46
24
52, 90
42
P. 17. 120
20
53, 56
57
10
13, 11
43
ß Draconis
26
31, 90
52
25
57, 91
n.
n.
DIE BEOBACHTUNGEN.
Ein vollständiger Abdruck des Tagebuchs in seiner ursprünglichen Ge-
stalt, welcher die Stärke dieser Schrift mehr als verdoppelt haben würde, hat
mir überflüssig geschienen: ich gebe daher die Beobachtungen sogleich nach
den Sternen geordnet.
Die erste Columne enthält die Zenithdistanzen , wie das Instrument sie
gegeben hat, d. i. die blosse Reduction der Ablesung. Nördliche Zenith-
distanzen sind als positiv, südliche als negativ betrachtet.
Die zweite ('olumne gibt die Vereinigung der Refraction mit der Wir-
kung der ungleichen Ausdehnung des Instruments wegen Ungleichheit der
obem und untern Temperatur: die äussersten vorgekommenen Unterschiede
waren -{-\^2 R^aum. (das obere Thermometer höher) und —0^6. Um ein
reines Resultat zur Beurtheilung der Übereinstimmung der Beobachtungen
unter sich zu erhalten, habe ich die Mühe nicht gescheut, den Betrag für
jede einzelne Beobachtung zu berechnen, wobei jedoch einige kleine sich
leicht darbietende Rechnungsvortheile benutzt sind.
Die dritte Columne enthält die Reduction auf den mittlem Ort für den
Anfang des Jahrs wegen Aberration, Nutation und Praecession, wozu bei
einigen Sternen noch die eigene Bewegung gesetzt ist: es ist nemlich die jähr-
liche eigene Bewegung in Declination angenommen
für 10 — o;'42
25 4-0,33
37 -f 0,38.
BESTIMMUNG DES BREITEN UNTERSCHIEDES ETC. IL DIE BEOBACHTUNGEN. 11
Bei den beiden ersten Sternen ist die eigene Bewegung längst entschieden;
bei 37 zeigt sie sich durch Vergleichung mit Piazzis Bestimmung so, dass,
die Richtigkeit der letztem vorausgesetzt, sie nicht bezweifelt werden kann*).
Der Berechnung der Aberration, Nutation und Praecession liegen Bailys
schätzbare Tafeln zum Grunde, nach denen für jeden Stern eine Ephemeride
von 10 zu 10 Tagen, unter Beihülfe der Hm. v. Nehus und Petersen, be-
rechnet, und in diese mit Berücksichtigung der zweiten Differenzen interpolirt
wurde.
Die vierte Columne enthält endlich die Summe der drei ersten, also die
wahre nur noch mit dem Collimationsfehler behaftete Zenithdistanz für die
mittlere Stellung zu Anfang des Jahrs 1827, wie sie sich aus jeder einzelnen
Beobachtung ergibt.
*' Die Richtigkeit von Piazzis Bestimmung dieses Sterns, auf 8 Beobachtungen gegründet, erh<
durch die nahe Übereinstimmung mit der Angabe der altem Ausgabe seines Verzeichnisses von 1803,
▼eiche auf 6 Beobachtungen beruhte, eine Bestätigung; die genaue Grösse der eigenen Bewegung bleibt
aber deswegen noch etwas ungewiss, weil das Jahr unbekannt ist, welches dem Mittel der Beobachtungen
entspricht. Es ist merkwürdig, diese nicht unbeträchtliche eigene Bewegung bei einem Stern der 7. Grösse
zu finden. Auch Nro. ii scheint in dieser Beziehung die Aufmerksamkeit der Astronomen zu verdienen.
BESTIUML'KG DES BREITEN UNTEBSC HIE DES ZWISCHEN GÖTHNGEN UND ALTOMA.
1. (24 Canum Venaticorum)
Göttingen. Limbua Ost. Göttingen. Limbus West.
('ii;'65 1 — i;'«fi| +13;
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Altona. Limbus Ost.
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Göttingen. Limbus Ost,
2. (83 Ursae maioris)
Göttingen. Limbus West.
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U. DIB BEOBACHTUNGEN.
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Apr.
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3. (t) Ursae maioris)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
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— 1;'38
+ 13;'58
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4, 96
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16, 23
— 1, 34
+ 12,52
5, 05
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— 1, 35
+ 10, 35
3, 25
28
11, 32
— 1, 34
+ 7,33
5, 33
29
10, 62
— 1,34
+ 7,05
4,91
Mittel aus 6 Beobachtungen — l 21 5, oo
Altona. Limbus Ost.
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■1 20 57, 75
— 1;'37
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— 1, 35
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— 1, 29
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+ 13;'32 I
+ 12, 78
+ 11, 99
+ 9, 53
+ 7,60
+ 6,78
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59;'l0
58, 08
56, 64
58, 83
67, 23
57, 49
56, 00
Mittel aus 7 Beobachtungen — i 20
57, 62
Altona. Limbus West.
4
— 3*21' 55;'72
7
54, 87
10
53, 20
11
54, 89
13
52, 91
15
53, 54
— 3/40
1/71
—3, 37
— 2, 32
— 3, 32
— 2, 83
— 3, 30
— 3, 00
— 3, 26
— 3, 34
— 3, 18
— 3, 66
Mittel aus 6 Beobachtungen
—3*21' 60/83
Jun.
6
--3*21'
'52/11
60, 56
9
öl, 86
59, 44
12
49, 73
61, 19
14
50, 27
59, 51
22
47, 73
60, 38
27
Mit
49,23
—3 22 0, 32
tel aus
— 3/32
— 3, 34
— 3, 29
— 3, 33
— 3, 26
— 3, 24
— 2/10
— 2, 65
— 3, 17
— 3, 51
— 4, 66
— 5, 29
— 3*21' 57/53
57, 85
56, 19
57, 11
55, 65
57, 76
6 Beobachtungen — 3 21 57, 02
Apr.
Jun.
5
m
<
9
17
28
29
4
7
10
11
13
15
4. (86 Ursae maioris)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
-f 3*2' 46/67
46, 47
48, 07
51, 65
53, 35
54, 69
Mittel aus
Altona.
+ 1^2'
l'»I
io;'59
13, 02
12, 92
13, 73
15, 16
14, 13
+ 3/10
+ 3,05
+ 3,02
+ 3,04
+ 3,02
+ 3,01
6 Beob
-1-13/4 0
+ 12,84
+ 12, 29
+ 10, 02
+ 6,85
+ 6,56
+ 3*3' 3/17
Apr.
6
+
3*2' 54/56
2, 36
8
54, 79
3, 38
11
54, 86
4,71
20
58, 61
3, 22
27
63, 17
4, 26
30
62, 11
+ 3 3 3. 52
Mittel aus
Limbus Ost.
+ 1/05
+ 1,04
+ 1,03
+ 1,02
+ 1,01
+ 0,98
— 2/61
— 3, 22
— 3, 78
— 3, 96
— 4, 31
— 4. 65
+ 1*2'
9/03
10, 84
10, 17
10, 79
11, 86
10, 46
+ 3/0 8 +13/12
+ 3, Ol +i2, 56
4-2,98 +11,73
+ 3, 04 + 9, 16
+ 3, 12 + 7, 13
+2, 92 + 6, 27
6 Beobachtungen +3 3 11, 04
+ 3*3' 10/76
10, 36
9, 57
10, 81
13, 42
11, 30
Mittel aus 6 Beobachtungen +1 2 10, 52
Jun.
6
9
12
Altona. Limbus West.
+ 1^2' 14/23
15, 43
15. 05
4 1/03
+ 1,03
+ 1,01
3/02
3, 60
4, 14
+ 1*2' 12/24
12, 86
11, 92
Mittel aus 3 Beobachtungen +1 2 12, 34
Apr.
s
7
9
17
28
29
Göttingen. Limbus Ost.
5.
+5»53'
49/88
+ 3/97
+ 13/40
+ 3»54'
' 7/25
52,89
+ 3,91
+ 12,84
9, 64
50, 18
+ 3,87
+ 12,28
6, 33
52, 14
+ 3,89
+ 10, 00
6, 03
56, 29
+ 3,86
+ 6,79
6, 94
58, 85
+ 3,86
+ 6,51
9,22
Mittel aus 6 Beobachtungen +3 54 7, 57
Apr.
Mai
6
8
11
27
30
7
Göttingen. Limbus West.
+ 3*53' 57/95
-1-3/94
+ 13/12
+ 3»54'
15/01
61, 17
+ 3,85
+ 12, 56
17, 58
57, 64
+ 3,82
+ 11,72
13, 18
64, Ol
+ 4,00
+ 7,08
15, 09
65, 16
+ 3,74
+ 6,22
15, 12
66, 07
+ 3, 93
+ 4,22
14, 22
Mittel aus
6 Beobc
Lchtungen
+ 3 54
15, 03
14 |jl,<inwMtN(i DEB BEETTENUNTEESCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
Altoim. Limbus Ost. Altona. Limbus West.
Mittel aua i Beobachtungen +1 S3
6. [Piazzi 13.289)
Ottttingcn. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
Mittel Mii n Beübarhtiin){eii — 1 le U, ui
Altona. Limbus Ost.
Mittel aus 2 Beobachtungen — r. s: ^. •■:\
Göttingen. Limbus Ost.
IM^ + ,,311
7, 11 1—1,71 + 7.SI> _
Mittel sua fi Beobachtungeo — (
Altona. Limbus West,
|_S»S7'l"Sl
H. 11 — «, «L 1, II
Mittel au« t Beobachtungen — 6
7. (13 Bootis)
Göttingen. Thimbus West.
— i;'as
+i3:'i.7
+11, »1
S,TI
— 1,H
+ 3,1»
1 :;','- 7
— I/IB
+ l:i;'7,.
M, 61
+ 1S, 17
+ 11, SS
+ fl.»l
+ 1. »t
4,84
— 1,11
+ :. 10
Altona. Limbus Ost,
»,«7|-=
Mittel aui a Beobachtungen
Mittel au8 6 Beobachtungen — ;
Altona. Limbus West,
7"»1
'11
— 1
'3J '
— 3
2«
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—3
IV
—3
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-'
.0
"
Mittel BUS i Beobaofatungen -
8. (x Bootis sequ.)
Göttingen. Limbus Ost, Göttingen. Limbus West.
k
+i;'»fl
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+ 1,«'
+ 13, S»
+ 1,08
+ 12, SS
+ 1,0'
+ 10,61
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+ ',47
+ 1,0«
+ ', IS
+ 1,0»
+ S,ül
f Beobachtungen +t 4 iB, la
+1""«
+ ia
'HB
+ 1,06
+ 1!
IJ
+ i,os
+ n
+ 1,07
+ f
+ 1,10
+ 1
+ 1,03
+ f
+ i,os
+ '
BT
11. DIE BEOBACHTUNGEN.
15
Jim
4
7
10
11
IS
15
Altona. Limbus Ost.
©•56'35;'42
— 0/95
32, 68
— 0, 94
32, 68
— 0, 93
33, 33
— 0,92
31, 62
— 0,91
32, 63
— 0, 89
— 2;'35
— 0«
56'
38/72
Jun. 6
— 3, Ol
36, 63
9
— 3, 63
37, 24
12
— 3, 83
38, 08
14
— 4,22
36, 75
22
— 4, 60
38, 12
27
chtungen
— 0
56
37, 59
Altona. Limbus West.
— 0°56'
32;'26
31, 73
31, 78
31, 33
27, 35
27, 88
— 0;'93
— 2;'7n
— 0, 9 3
—3, 43
— 0, 91
— 4, 02
—0, 93
—4,41
— 0, 92
— 5, 79
— 0, 91
— 6, 51
-0*56' 35/98
36, 09
36, 71
36, 67
34, 06
35, 30
Mittel aus 6 Beobachtungen — 0 56 35, 80
Apr.
Mai
Jun.
5
7
9
17
28
29
14
9. (Piazzi 14.56)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+4*4l'2s;'l5
27, 90
29, 35
27, 85
32, U i
32, 09
35, 7!
Mittel aus
+ 4/78 ' +13/81 +4*41' 46/74
+ 4, 73 I +^3, 25 45, 88
-1-4,66 -fl2, 69 46,70
+ 4,70 -j-lO, 39 42,94
4-4, 67 + 7, 14 44, 75
+ 4, 66 + 6, 84 43, 59
+ 4, 63 + 2, 46 42, 80
7 Beobachtungen +4 41 44, 77
Altona. Limbus Ost.
10
+2®40' 51/32
11
52, 44
13
53, 59
15
53, 07
Mittel aus
+ 2/67
-J-2, 64
+ 2,61
+ 2,55
—1/31
— 4, 52
— 4, 9 2
— 5, 31
+2*40' 49/68
50, 56
51, 28
50, 31
4 Beobachtungen +2 40 50, 46
Apr.
Jun.
6
8
11
20
27
30
0
9
+ 4*41*34/56
33, 28
34, 13
38, 22
40, 87
42, 34
+ 4/73
+ 4,(55
+ 4,61
+ 4,70
+ 4,82
+ 4,54
+ 13/53
+ 12,97
+ 12,13
+ 9,51
+ 7,43
-h 6,55
+ 4*41' 52/82
50, 90
50, 87
52, 43
53, 12
53, 43
Mittel aus 6 Beobachtungen +4 41 52,26
Altona. Limbus West.
+ 2* in' 56/57
54. 52
—:»:'! 5
-1-2, 67 —4, IM
+ 2*40' 55/78
53, 09
Mittel aus 2 Beobachtungen -|-2 40 54, 44
Apr.
Mai
Jon.
5
7
9
17
18
29
14
4
7
10
11
13
15
10. (6 Bootis)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+ 1*7
Ol'
5/82
4, 51
6, 29
6, 21
10, 80
10, 09
15, 46
Mittel aus
+ 1/14 +14/24
-hl, 13 +13, 70
+ 1,11 +13,17
+ 1,12 +10,96
+ 1, 12 + 7,79
+ 1,11 + 7,51
+ 1,11 +3,20
7 Beobachtungen +i 7 19, 66
+ 1®7' 21/20
19, 34
20, 57
18, 29
19, 71
18, 71
19, 77
Altona. Limbus Ost.
-O» 53' 30/95
28, 57
28, 67
28, 37
27, 74
27, 44
— 0/90
—2/24
— 0, 90
—2, 94
— 0, 89
— 3, 58
—0, 88
— 3, 79
— 0, 87
— 4, 20
— 0, 85
—4,61
'0*53' 34/09
32, 41
33, 14
33, 04
32, 81
32, 90
Apr.
Mai
Mittel aus 6 Beobachtungen — -o 53 33, 07
Jun.
6
8
11
20
27
30
7
+ lM
' 11/72
13, 29
14, 33
15, 63
18, 75
19, 11
22, 14
+ 1/13
+ 1, 11
+ 1, 10
+ 1, 12
+ 1, 15
+ 1,09
+ 1, 13
+ 13/97
+ 13,44
+ 12,64
+ 10, 13
+ 8, 08
+ 7,22
+ 5,19
+ 1*7' 26/82
27, 84
28, 07
26, 88
27, 98
27, 42
28, 46
Mittel aus
7 Beobachtungen
+ 1
7 27, 64
Altona. Limbus West.
6
— 0*53' 26/07
—0/88 —2/71
-0«
53' 29/66
9
27, 24
— 0, 89 ! —3, 37
31, 50
12
24, 97
— 0, 88
—4,00
29, 85
14
24, 82
— 0, 88
—4, 40
30, 10
22
25, 39
— 0, 87 , —5, 87
32, 13
27
22, 54
—0, 87
—6, 66
30, 07
Mittel aus 6 Beobachtungen — o 53 30, 55
16 BEBTIMMUNÜ DES BBEITENUNTEUSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTOKA.
11. (Piazzi 14.131)
Göttiiigeii. Limbu9 Ost. Göttingen. Limbus West.
Mittel au« a lleobtich tunken +1 t
Altona. I^imbus Ost.
!>l
■•f. +u.
f:< +«,
Itl +".
it
71 |+",
1 1—5
Mittet
aus S Be.
bachtu
". ■» 1+1. "+ :
Mittel aus T Beobaehtunneti +1 t
Altona. LimbiiB West.
Mittel aui 4 Bwbacbtungen 4-0 t m.tt
12. iPiazzi 14.164)
Göttingen. Limbus Ost.
Göttingen. Limbus West.
*»;'ii
+ i;-j-.
+n;'3ü
+1,1«
+ 13, S2
+ 1.44
+ 13,3»
SS, 11
+ 1.4«
+ ti,(IB
+ 1.45
+ T,80
i«, 16
+ 1.3-'
+ «. il
Mittel aus « BeobaehtUDgen +i li
Altona. Limbus Ost.
-I), SS —1, ß;
BeobtichtuDgen
+ l*ln's4;'B«
+ i;'4i
+ ii;'i)n
+ '
'17' h;'ii
+ 1,44
+ 13. SS
+ 1,4S
+ 11, !•
8,11
+ t.48
+ 19, )t
+ 1,46
+ 1,41
+ S. 1»
+ T,3«
11,(1
+ 1,43
+ 3,18
Mittel aus T Beobachtungen +i
IJ 10.«
Altena. LimbuB West
— o«3j'44:'«;
— o;'s6
— S'.'OJ
— 0
•»j'48:'ii
43' 0»
— o'is
— ''«1
,,;„
'
-n. SS
—4,88
46,11
Mittel aus 4 Beobachtungeo
— 0
JJ 47.41
13. (30 Bootis med.)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West
— il'is
+ 14;'03
— i*s'4i;'i4
Apr. «
+ U, S3
+ 10, SB
+ S,J2
21
+ 8,03
»0
—1,00
+ 8,50
40, 4!l
Mai 14
— 1 S 41,3*
— i;'io
+i4;'i8
+ 13,78
+ 13,01
+ 8,81
+ T.'S
+ 3,«»
I Beobachtungeii — i s 3
n. DIE BEOBACHTUNGEN.
17
Jun.
Altona. Limbus Ost.
7
—4*6' 31792
10
29, 88
11
30, 57
ts
2S, 00
15
29, 10
Mittel aus
—471 8
—2776
—4,12
—3, 47
— 4, 07
—3, 70
— 4, 06
—4,15
—3,95
— 4, 60
5 Beobachtungen — 4 6 37, 71
—4*6' 38786
Jun.
6
— 4^6'
' 28730
37, 47
9
26, 45
38, 34
12
26, 90
36,21
14
24, 99
87, 65
22
20, 97
Altona. Limbus West.
—4« 6' 34790
33, 83
34, 86
33, 41
81. 08
Mittel aus 5 Beobachtungen — 4 6 38, 62
—4709
—2751
—4,14
—3, 24
—4, 03
—3, 93
—4, 05
— 4, 37
—4, 08
—6, 03
Apr.
5
7
9
20
2S
29
Mai 4
Jun.
14. (Piazzi 14.235)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
— i'ii^
43757
41, 97
40, 64
37, 39
35, 26
35, 23
34, 89
-1722
+ 14758
—1,21
414, 08
— 1, 19
+ 13,57
— 1,20
+ 10, 62
— 1, 20
+ 8,32
— 1,19
+ 8, 03
—1, 14
+ 6,57
l^ll' 30721
29, 10
28, 26
27, 97
28, 14
28, 39
29, 46
Mittel aus
7 Beobachtungen
— 1 11 28, 79
Altona. Limbus Ost
/.
7
— 3*12' I67O8
—3726
—2795
—3^12' 22729
10
17, 60
—3,22
—3, 08
24, 50
11
16, 80
—3, 18
— 3, 92
23, 90
13
16, 89
— 3, 13
—4, 40
24,42
15
14, 98
—3, 08
—4,85
22,91
27
13,25
— 3, 17
—7,29
23, 71
Apr.
Mai
Mittel aus 6 Beobachtungen — 3 12 23,62
6
8
11
27
30
14
■l^ll' 35713
34, 51
33, 89
28, 25
27, 88
23, 17
•1720
1, 19
1, 18
1, 23
•1,17
1, 18
+ 14734
+ 13, 82
+ 13, 06
+ 8,61
+ 7,74
+ 3,64
l'll' 21799
21,88
22, Ol
20, 87
21, 31
20, 71
Jun. 6 —
9
12
14
22
Mittel aus
6 Beobachtungen
-1 11 21, 46
Altona. Limbus West.
—3^12' 16701
—3719
—2770
'3*12' 21790
13, 32
—3,23
—3, 44
19, 99
14, 11
—3,14
—4,15
21, 40
13, 46
— 3, 15
—4, 62
21,23
11, 12
—3, 18
—6, 34
20,64
Mittel aus 5 Beobachtungen — S 12 21,03
Jon.
7
10
11
13
15
27
15. (44 Bootis med.)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
-3* 11' 52742
52, 48
53, 17
50, 04
50, 46
50, 45
Mittel aus 6 Beobachtungen — 3 11 5i,50
Apr. 5
-3'
12'
11792
7
10, 79
9
8,02
20
6,46
28
4, 86
29
4,16
—3726
+ 14764
—3,25
+ 14,16
— 3,20
+ 13, 68
— 3, 23
+ 10, 80
—3,22
+ 8, 65
—3,21
+ 8,26
Mittel aus 6 Beobachtungen —
Altona. Limbus Ost.
— 5»12'
43789
—5732
—2769
45,88
—5, 24
—3,43
45,37
—5, 18
— 3,67
44,21
— 5, 10
—4,15
43,85
— 5, Ol
—4,62
40, 44
—5,17
—7, 13
— 3*11'60754
Apr.
6
59, 88
8
57, 54
11
58, 89
27
59, 53
30
59, 11
Mai
14
—3 11 59,25
—5*12' 51790
Jun.
6
54, 55
9
54,22
12
53, 46
14
53, 48
22
52, 74
3'
11' 63761
—3722
+ 14^41
63,21
—3, 19
+ 13,92
63, 18
—3, 17
+ 13,18
65, 57
— 3, 30
+ 8,83
55,27
—3, 15
+ 7,96
51, 19
—3, 17
+ 3,91
Mittel aus 6 Beobachtungen — 5 12 53, 39
Altona. Limbus West.
IX.
— 5*12'497l6
51, 15
51, 93
51, 16
49, 99
Mittel aus 5 Beobachtungen — 5 12 50,68
3
5*12'
41753
—5720
—2743
42, 70
—5, 26
—3, 19
42, 90
— 5, 12
—3, 91
41, 65
—5, 13
— 4, 38
38,66
—5, 19
—6, 14
18 VEamMMTSG DES BREITENUI^TERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
16.
Apr.
Mai
JUD.
Apr
Mai
Jan.
Göttingen. Limbus Ost.
Göttingen. Limbus West
So
1'*
4
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7
10
11
13
IS
— J«18'
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14, 3i — 2,33 4■l*^84
10, 51 ; — 2, 31 + *. 2ö
10, fi'j — 2, 2o + *» *^
Mittel au« s Beobachtungen <— 3 18 5,07
»:'«2
3, 31
i, 81
4, 53
6, 06
Apr.
6
8
11
27
Mai 14
2» 18' li;'77
9, 11
8, 96
4, 34
•2 17 5», 03
Mittel auB
—2/33
— 2, 30
—2,28
— 2, 38
— 2, 2^
-|-14;'44
+ 13, »6
4-13, 22
4- 8,87
+ 3,87
-2*17'SS;'66
58,02
s;,ss
»7,44
5 Beobachtungen — 2 17 »g,
Altena. Limbus Ost.
Altena. Limbus West.
•4*1<»' 5l!'74
50, ÖS
51, 7%
50, 7 0
49, 65
— 4;'41
—4, 35
—4, 29
— 4,22
—4,12
— 2:'%9
— 3, 65
—3, »0
— 4, 39
—4, 87
•4«18' 59;'04
58, 98
59, 97
59, 31
58, 64
Mittel aus 5 Beobachtungen — 4 18 59, 1 9
Jon.
6
9
12
14
22
•4*18' 49;'98
47, 40
47, 25
47, 05
43, 80
-4/31
— 4, 36
—4, 24
— 4, 24
—4,31
— 2;'63
— 3, 40
— 4,15
— 4, 63
—6, 46
18'»6;'»2
S5, 16
54, S7
Mittel aus 5 Beobachtungen —4 18 55,64
17. (Piazzi 15.39)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
5
+ 0»2'45;'a7
-f o:'o5
+ 14;'71
+ 0*2'60;'73
7
47, ih
4-0, 0 5
+ 14,21
61, 74
9
49, 4S
4-0, 05
+ 13,72
63,25
20
53, 09
+ 0, 05
+ 10,79
63, 93
28
50, S8
-f-0, 05
+ 8,48
59, 41
29
53, 96
+ 0,05
+ % iö
62,20
4
55, 86
+ 0, 05
+ 6,69
62,60
Mittel aus 7 Beobachtungen +0 3 1, 98
Apr.
6
8
11
27
30
Mai
7
14
Altena. Limbus Ost.
—3/21
— 4, 00
— 4, 25
—4, 76
— 5,26
—7,95
Mittel aus 6 Beobachtungen — 1 57 51, 14
7
— 1*57' 46/22
— 2/01
10
44, 24
— 1, 98
11
45, 52
,—1,95
13
44, 67
-1,92
15
43, 54
— 1, S9
27
41, 50
. — i, 95
1^57' 51/44
50, 22
51, 72
51, 35
50, 69
51,40
Jun.
6
9
12
14
22
+ 0*2' 54/39
54, 29
54, 24
60, 20
60, 93
64, 81
66, 31
Mittel aus
+0/05
+ 0.05
+ 0,05
+ 0,05
+ 0,05
+ 0, 05
4-0, 05
+ 14/46
+ 13, 9 7
+ 13,21
+ &. 7S
+ 7,90
+ 5, 79
+ 3, 68
+ 0« 3'
8;'»rt
S, 31
7,50
9, ü3
8, SS
10,65
10,04
7 Beobachtungen +o 3 9, 04
Altena. Limbus West.
—1^57'
45/15
44, 07
43, 00
42, 67
40, 60
1/96
1, 99
1, 93
1, 93
1, 96
—2/94
— 3, 74
— 4, 51
— 5, Ol
—6. 89
— 1O57'Bö;'05
49,80
49,44
49, «t
49,45
Mittel aus 5 Beobachtungen — i 57 49,67
18.
Apr.
Mai
5
7
9
28
29
4
Göttingen. Limbus Ost.
+ 1*2' 58/79
60, 02
60, 00
63, 20
62, 63
66. 81
+ 1/07
+ 1,07
+ 1,05
+ 1,06
+ 1,06
+ 1,01
+ 14/73
+ 14,23
+ 13,74
+ 8,47
+ 8,17
+ 6, 68
Jt.
Göttingen.
+1Ö3'
' 14/59
Apr. 6
+ 1®3' 5/6 1
15, 32
8
5, 04
14, 79
11
5, 91
12, 73
27
12,27
11, 86
30
11,69
14, 50
Mai 7
15,22
14
17, 70
Mittel aus 6 Beobachtungen +1 3 13,96
Limbus West.
+ 1/07
+ 1,05
+ 1,04
+ 1,09
+ 1,04
+ 1,06
+ 1,04
+ 14/49
4-13, 99
4-13, 23
+ 8,76
+ 7,88
+ 5,75
+ 3, 63
+ l«3'2l/n
20, es
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22, 12
20,61
22,03
22, 37
Mittel aus 7 Beobachtungen +1 3 21, 22
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Altona. Limbus Ost.
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13,72 -fö, »7 —4,46
12, SO +0,95 —4,73
13,02 +0,94 — i, 28
12, 85 +0,92— -5, 81
18, 48 1+0, 95!— 8, 74
Mittel aus 6 Beobaehtuxigen +o 57 9
»f.
10,23
9, 02
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10, 69
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Apr.
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14
22
Göttingen- liiubus Wos^t.
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Altona, Limbus Wost,
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Mittel aua 5 BeobaohtuuK*« +*^ *^ ^^'' '*^
3*
20 BEsrrauiuKa des Breitenunterschiedes zwischen oiVmNGEN und altona.
Göttingen. Limbus Ost.
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Gottingen. Limbus West
4 BeobaehtimgeD ^
Limbos Ost.
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Göttingen. Limbus Ost.
Göttingen. Limbus West.
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Altona. Limbus Ost.
Altona. Limbus West.
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11,11 —7.33
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Göttingen. Limbus Ost.
Göttingen. Limbus West.
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8 Beob.
n. DIB BEOBACHTtTNGEN.
21
Jan.
7
10
11
13
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27
Altena. Limbus Ost.
Altona. Limbus West.
+J«47'43;'09
+2/87
—3/62
+ 2«47' 42/34
Jun. 6
+2«47'
45/07
+2/80
—3/32
+2047*44/55
43,24
+ 2,83
—4,49
41, 58
9
45, 35
+2,84
— 4, 20
43,99
43, 44
+2,79
— 4, 78
41, 45
12
45, 69
+2,76
— 5, 06
43, 39
42, 85
+ 2,76
— 5, 35
40,26
14
47, 14
+2,75
—5, 63
44,26
44, 97
+ 2,73
—5, 91
41, 79
16
48, 40
+ 2,78
—6, 19
44, 97
45, 63
+ 2,85
— 9, 03
39, 45
22
47, 75
+ 2,82
—7, 78
42, 79
Mittel aus 6 Beobaohtungen +2 47 41, 15
Mittel aus 6 Beobachtungen +2 47 43, 99
24.
Göttingen. Limbus Ost.
Göttingen. Limbus West.
Apr. 7
—1*9' 25/54
-1/18
+ 13/91
— 1*9' 12/81
Apr.
6
— 1«9' 17/28
— 1/19
+ 14/13
— 1«9'4/34
9
25, 17
— 1,16
+ 13,47
12, 86
8
18, 38
— 1,14
+ 13, 69
5, 83
20
21, 69
— 1,17
+ 10, 78
12, 08
11
16, 36
— 1,15
+ 13, 02
4, 49
29
19, 28
— 1,16
+ S, 32
12, 12
27
13, 49
—1,20
+ 8, 88
5, 81
Mai 4
18, 10
-1,12
+ 6,^8
12, 34
30
10, 61
— 1,15
+ 8,04
3, 72
Mittel aus
Mai
14
5, 94
Mittel aus
—1,16
+ 3, 89
3, 20
5 Beobachtungen
— i 9 12, 44
6 Beobachtungen
—1 9 4, 57
Altona.
Limbus Ost
.
Altona.
Tiimbus West.
Jun. 7
—3O9' 57/17
—3/24
— 3/28
— 3*10' 3/69
Jun.
6
— 3*{»' 55/99
—3/17
— 3/0(1
—3'» 10' 2/16
10
59, 67
—3, 21
— 4, 13
7, Ol
9
57, 92
—3, 22
— 3, S5
4, 99
11
59, 33
— 3, 16
—4,41
6,90
12
56, 34
— 3, 13
— 4, 69
4, 16
13
5S, 17
— 3, 12
— 4, 96
6,25
14
56, 22
-3,11
—5, 23
4, 56
15
57, 40
—3, 09
— 5, 51
6, 00
16
55, 56
—3, 13
—5, 78
4,47
27
55, 96
—3, 17
— 8, 55
7, 68
22
52, 12
—3, 19
—7, 34
2, 65
^ttel aus
6 Beoba
lohtungen
— 3 10 6, 25
Mittel aus
6 Beobachtungen
—3 10 3, 83
Apr.
Mii
Jun.
5
7
9
20
29
4
25. (6 Draconis)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+ 7«29' 32/55
33, 05
34, 36
36, 61
40, 62
41, 20
+ 7/66
+ 7,64
+ 7,55
+ 7,57
+ 7,65
+ 7,25
+ 14/78
+ 14,32
+ 13, 85
+ 10, 96
+ 8,31
+ 6,77
+ 7*29' 54/99
55, Ol
55, 76
55, 14
56, 48
55, 22
Mittel aus 6 Beobachtungen +,7 29 55, 43
Altona. Limbus Ost.
+5029*2/10
0, 94
1, 59
2, 52
1, 68
1, 85
Mittel aus 6 Beobachtungen +5 29 1, 7 8
+5«29' 0/59
0, 40
1, 43
3, Ol
2, 80
6. 11
+6/62
- 4/1 1
+ 5,56
— 5, 02
+ 5,48
— 5, 32
+ 5,42
— 5, 91
+ 5,38
— 6, 50
+ 5, 50
— 9, 76
Apr.
Mai
Jun.
6
8
11
27
30
14
6
9
12
14
16
22
+7®29' 39/72
39, 87
42, 72
46, 63
48, 83
53, 64
+ 7/77
+ 7,41
+ 7,47
+ 7,76
+ 7,46
+ 7,46
+ 14/55
+ 14, 09
+ 13, 36
+ 8,91
+ 8,01
+ 3, 56
+70
30'
' 2/04
t,
37
h
55
3,
30
4,
30
4.
60
Mittel aus 6 Beobachtungen +7 30 3, 20
Altona. Limbus West.
+5029'
0/46
+ 5/49
— 3/80
+ 5029'2/l5
2,40
+ 5,57
—4,71
3, 26
2, 40
+ 5,42
—5, 61
2, 21
4, 13
+ 5,40
—6, 20
3, 3 3
5, 31
+ 5,42
—6, 79
4, 94
7,61
+ 5,54
—8, 46
4, 69
Mittel aus 6 Beobachtungen +5 29 3, 43
22 BESTIMMUNG DES BREITEN UNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
26.
Apr.
Mai
Jun.
5
7
9
20
2»
4
7
10
11
13
15
27
Göttingen. Limbus Ost.
— 0«63'
50;'3H
4», 7H
&0, 43
iS, OK
45, 72
4«, 07
— 0
— 0
— 0
— 0
— 0
— 0
//
U2
IM
yo
»0
S7
+ 147««
+ 14,27
+ 13, »»6
+ 11,17
+ S «« j
+ 7,2"»|
— O'SS'
3«;'«1
3fi, 42
37, 47
37, Hl
37, «3
3y, 71
Mittel aus 6 Beobachtungen — o 53 37, «>6
Altona. Limbus Ost.
—2« 54
' 24;'lM»
25, 37
25, 14
23, 34
25, 90
23, 20
Mittel auB
— 2;'»s
— 3:'22
— 2, 05
—4. 11
—2, Ol
—4,40
— 2, SK
— 4, OS
— 2, S5
— 5, 5«
— 2,02
— S 77
-2»54'
3i;'i«
32, 43
32, 45
31,20
34, 40
34, HO
Apr.
Mai
6 Beobachtungen — 2 54 32, 7 0
Jun.
11
27
SO
14
«
9
12
14
16
22
Göttingen. Limbus West.
—0*53' 4 5;'0>» I — o;'»3 ! +14;'48
44. 42
43, 27
3H, Ol
37, 43
33. 65
•0. K9 +14,05
•0, H« I +13, 39
-0, 03 I + 0, 25
0, HO + «i, 40
— 0, HO , +
4, 20
Sl.ll
so, 77
19,41
30,34
Mittel aoa 6 Beobachtungen — o 5S so, sg
Altona. Limbus West.
.2^54'Si:'«
92,00
31,15
30, 7S
91,40
90,91
Mittel aus 6 Beobachtungen — 2 54 91,24
2*54'25;'37
-.2:'»i
— 2:'92
25, 24
-J, »5
—8, 81
23. 61
— J,»»^
— 4, 69
22,62
— 2, H«
—5,27
22, 67
— 2, »S
— 5, S5
20, 46
— 2, »4
—7,49
Apr. 5
7
Jun.
7
10
13
16
27
27. (Piazzi 16.33)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
— 5«ll'44;'6««
42, 77
-5/31
— 5, 30
+ 14:'46
+ 14, 05
— 5«ll' 35;'53
34, 02
Mittel aus 2 Beobachtungen — 5 il 34,78
Altona. Limbus Ost.
•7*12' 17;'33
19, 26
19, 63
15, 93
14. 63
— 7^38
—7, 31
—7,12
— 7, 07
—7, 23
— 2;'84
—3, 71
—4, 56
— 5, 13
—8, 30
•7«12'27;'55
30, 28
Sl, 31
28, 13
30, 16
Mittel auf 5 Beobachtungen — 7 12 29,49
Apr.
6
14
Jun.
6
9
12
'5*11* 35/62
24, 24
— 5/40
—5,17
+ 14/26
+ 4,38
■5«ll'26;'7«
25,03
Mittel aus 2 Beobachtungen — 5 11 2S,oo
Altona. Limbus West.
7«12' 17/73
13, 53
13, 43
—7/22
—2/55
— 7, 32
-3,42
—7,14
—4, 28
— 7«1J'27;'M
24,27
24, 6S
Mittel aus 3 Beobachtungen — 7 13 25,54
Apr.
Mai
5
7
9
29
4
28. (Piazzi 16.56)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+ 208'
5/31
4, 18
8, 38
11, 12
12, 30
+ 2/18
+ 2, 18
+ 2,16
+ 2,15
+ 2, 07
+ 14/76
+ 14, 33
+ 13, 90
+ 8, 69
+ 7,22
+2« 8' 22/25
20, 69
24, 44
21, 96
21, 59
Mittel aus 5 Beobachtungen +2 8 22, lo
Apr.
Mai
6
8
11
27
30
14
+2<>8' 11/57
10, 66
13, 94
17,23
20, 10
21, 98
+ 2/23
+ 2,11
+ 2,13
+ 2,22
+ 2,13
+2,13
+ 14/55
+ 14,12
+ 13, 45
+ 9,27
+ S, 40
+ 4,12
+2«8'28;'SJ
26,89
29,52
28,72
30,63
28,23
Mittel aus 6 Beobachtangen +2 8 26,72
n. DIE BEOBACHTtTNOEN.
23
Jun.
Altona. Limbus Ost.
7
+OO7'
32;'06
10
31, 75
11
32, 78
IS
33, 38
1&
34, 30
27
36, 46
+o;'i3
+ 0,13
+ 0,13
+ 0,12
+ 0,12
+ 0,13
— 3;'46
— 4, 37
— 4, 67
— 5, 27
—5, 86
—9, 19
Altona. Limbus West.
Mittel aus 6 Beobachtungen +0 7 28, 11
4-007' 28;'73
Jun.
6
+0«7'
30;'66
27, 51
9
33,72
28,24
12
35, 21
28, 23
14
36, 76
28, 56
16
36,28
27, 40
22
38, 46
+o;'i3
+0,13
+ 0,12
+ 0,12
+ 0,12
+ 0,13
— 3;'15
—4, 07
—4, 97
— 5, 56
— 6, 16
— 7, 85
+ 0<>7'27;'64
29, 78
30, 36
31, 32
30, 24
30, 74
Mittel aus 6 Beobachtungen +0 7 30, 01
Apr.
Mai
Jun.
20
29
4
Göttingen. Limbus Ost.
29.
+0«55' 6;'9 8
8, Ol
10, 7 7
+ 0!'93
+0, 93
+ 0, 89
+ li;'22
+ 8,74
+ 7,28
+ 0<*55' 19/13
17, 68
18, 94
Mittel aus 3 Beobachtungen -f-o 55 18, 58
Altona. Limbus Ost.
Apr.
Mai
27
30
14
Göttingen. Limbus West.
-|-0<^55' 15;'38
17, 40
21, 57
+ 0;'95
+ 0,92
+ 0,92
+ 9/31
+ 8,44
+ 4,21
+ OO 55' 25/64
26, 76
26, 70
Mittel aus 3 Beobachtungen +0 55 26, 37
Altona. Limbus West.
Mittel aus 6 Beobachtungen — l 5 34, 18
7
— 10 5';27;'77
— 1/12
— 3/36
—105*32/25
Jun. 6
—IO5' 27/88
— 1/09
— 3/05
—lO 5' 32/02
10
28, 15
— 1,11
-4,27
33, 53
9
26, 21
-1,11
—3, 97
31, 29
11
28, 98
— 1, 09
-4,57
34, 64
12
25, 34
— 1, 08
— 4,v>7
31, 29
13
29, 17
—1, 08
— 5, 17
35, 42
14
25, 91
— l, 07
— 5, 4 6
32, 44
15
26, 95
— 1, 07
—5, 76
33, 78
16
25, 21
— 1, 08
— 6, 06
32, 35
27
25, 29
— 1, 09
— 9, 11
35, 49
22
23, 02
— 1, 10
—7,76
31, 88
Mittel aus 6 Beobachtungen — 1 5 si, 88
30.
Apr.
Mai
Jun.
7
10
u
13
15
27
Gottingen. Limbus Ost.
5
+ 4*3' 53/89
7
56,29
9
54, 54
20
56, 09
29
58, 65
4
59,00
+ 4/16
+ 4,15
+4,11
+ 4,10
+ 4,10
+ 3, 95
+ 14/77
+ 14, 35
+ 13, 93
+ 11,25
+ 8,75
+ 7,26
+A^A' 12/82
14, 79
12, 58
11, 44
11, 50
10, 21
Mittel aus 6 Beobachtungen +4 4 12, 22
Altona. Limbus Ost.
+2*3' 19/16
21, 13
21, 67
22, 97
23,99
24, 67
+ 2<>3'l7/69
18, 72
18, 92
19, 59
19, 99
17, 28
Mittel aus 6 Beobachtungen +2 3 18, 7 0
+ 2/10
—3/57
+ 2,09
—4, 50
+ 2,06
—4, 81
+ 2,04
—5, 42
+ 2,03
— 6, 03
+ 2,06
— 9, 45
Jun.
Göttingen. Limbus West.
Apr.
6
8
11
27
Mai
14
+ 4« 4'
3/51
2, 63
4, 64
7, 88
11, 62
+4/25
+4,01
-+-4,07
-+-4,22
+4,06
+ 14/56
+ 14,14
+ 13, 48
+ 9,32
+ 4,15
+4« 4' 22/32
20, 78
22, 19
21,42
19, 83
Mittel aus 5 Beobachtungen +4 4 21, 31
Altona. Limbus West.
6
+ 2° 3' 23/77
+2/06
— 3/26
+ 203*22/57
9
24, 11
+ 2,09
—4,19
22, Ol
12
24, 77
+2,04
— 5,11
21, 70
14
25, 41
+ 2,03
-5,72
21, 72
16
25, 51
+ 2,03
— 6, 33
21, 21
22
29, 42
+2,08
—8, 07
23, 43
Mittel aus 6 Beobachtungen +-2 3 22,11
24 BESTIMMUNO DES BREITEN UNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
Jvin.
31.
Göttingen. Limbus Ost.
Göttingen. Limbus West.
Apr. 5
— 5^33' &&;'79
— 5;'69
+i4;'j3
— 5<^3S'47','26
Apr. 6
—5« 3 3' 45/22
— 5;'78 ' +14;'05
— 5«J8'S«:'95
7
54, 79
— 5, OK
+ 13, b5
46, 62
8
45, 27
— 5,47 +13,66
37,08
9
54, 74
— 5, 04
+ 13,47
46,91
11
44,40
— 5, 57 +13, 07
S«,90
20
51, 43
—5, 61
-1-11,28
45, 76
27
42, 37
— 5, 77 + 9,27
38, S7
39
4S, 15
— 5, «u
+ S73
45,02
Mai 14
35, 09
—5,55 + 4,43
3fi,21
Mai 4
47, 81
— 5,41
+ 7,36
45, f^6
7
10
11
13
15
27
Mittel aus 6 Beobachtungen —5 33 46, 24
Altona. Limbus Ost.
Mittel auf 6 Beobachtungen — -5 3S 37.30
Altona. Limbus West.
— 7»34'
2!»;S(i
--7;'74
-2;'88
2h, 82
— 7, «5»
—3, 77
2S, «2
— 7, 5«
— 4, 07
27, H5
— 7, 53
— 4, 65
28, 36
— 7, 50
—5,24
25, 06
— 7, 60
—8, 57
Mittel aui 6 Beobachtungen — 1
—7« 34' 40/42
Jun.
6
— 7»34'
26/37
40, 2h
9
27, 67
40, 28
12
25, 22
40, 03
14
25, 32
41, 10
16
23, 99
41, 23
12
20, 31
—7 34 40, 56
Mittel aufl
—7/59
—2/58
— 7«84'56:'S4
—7, 70
—3.47
Zh,H
— 7, 53
—4, 36
37,11
—7,47
—5, 07
37,66
—7, 4»
—6, 54
37,02
—7, 67
—7,22
3&,2«
—7 34 37,10
Apr.
Mai
5
7
9
20
29
4
32. (16 Draconis)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+ 1042*
55/!»i*
55, 64
56, 59
60, 15
61, 53
62, 20
+ 1/7«
+ 1,75
+ 1,74
+ 1,73
+ 1,73
+ 1,67
14/60
+ 14,21
+ 13, 80
+ 11,26
+ 8,84
+ 7,39
-hl®43'
12/:t5
11, 60
12, 13
13, 14
12, 10
11, 26
Mittel aus 6 Beobachtungen +1 43 12, lo
Apr.
Mai
6
8
11
27
30
14
+ 1<>43' 2/15
1, 23
3,20
6, 78
10, 11
13, 72
+ 1/7S
+ 14/41
+ 1,69
+ 14,01
+ 1,72
+ 13, 38
+ 1,78
+ »,40
+ 1,71
+ 8,56
+ 1,71
+ 4.33
+ 10 48MS!'34
Ifi, »3
IS, 30
17,«
30,38
19,7«
Mittel aus 6 Beobachtungen +1 43 is, 61
Jun.
7
10
11
13
15
27
Altona. Limbus Ost.
•0*^17' 37/46
37, 26
35, 98
3«, 3!»
36, 13
— 0/30
— 0, 30
— 0, 29
— 0, 29
— 0, 29
— 3/35
—4, 29
—4, 60
—5, 22
— 5, 83
0» 17' 41/11
41, 85
40, 87
41, 90
42, 25
41, 29
31,67 —0,29 — 9,33
Mittel aus 6 Beobachtungen — o 17 41, 55
Jun. 6
Altona. Limbus West.
— 0*17'39;'l«
38, «1
39,03
39,11
40,13
39,19
Mittel aus 6 Beobachtungen — o 17 39,19
6
— O^n' 35/86
-0/29
—3/04
9
34, 64
— 0, 30
—3, 98
12
33, 83
—0, 29
—4,91
14
33, 45
—0, 29
—5, 52
16
33, 70
—0,29
—6, 14
22
30, 98
—0, 30
— 7, 91
Apr.
5
7
9
20
29
Göttingen. Limbus Ost.
33.
1*15' 51/49
50, 29
50, 36
4S, 65
43, 97
1/29
1, 29
■1, 28
1, 27
1, 27
+ 14/39
+ 14,02
+ 13, 63
+ 11,18
+ 8, 83
1*15' 38/39
37, 56
38, Ol
38, 74
36, 41
Mittel aus 5 Beobachtungen — 1 16 37, 82
Apr.
Mai
6
8
11
27
30
14
Göttingen. Limbus West.
1*
15' 43/77
— 1/30
+ 14/20
43, 57
-1,24
+ 13, 83
42, 77
— 1, 26
+ 13,23
40, 97
— 1,31
+ «,38
37, Ol
—1, 20
+ «, 56
32, 93
— 1,26
+ 4,43
iHb*
30/» 7
30, 9S
30,^0
31,90
19,71
19,7«
Mittel aus 6 Beobachtungen — i 15 30,64
II. DIE BEOBACHTUNGEN.
25
Altona. Limbus Ost.
Jon.
7
to
11
13
17
•3® 16' 8 177 7
31,69
32, 09
32,41
30, 74
Mittel aus 5 Beobachtungen — 3 16 31, 74
S« 16' 25^27
—3784
— 3716
24,28
— 8, 32
—4, 09
24, 41
—3, 28
—4, 40
24, 14
—3,26
— 6, Ol
lÄ, 33
— 3, 29
-9,12
Jun.
6
9
12
14
16
22
Altona. Limbus West.
•3<> 16' 22767
22, 74
22, 08
20, 42
20, 28
19, 03
—3728
—2784
—8, 33
—3, 78
— 3, 26
-4,71
— 3,23
— 5, 32
—3, 24
— 6,93
—3, 32
— 7, 70
■3<^ 16' 28779
29, 85
30, 05
28, »7
29, 45
30, 05
Mittel aus 6 Beobachtungen — 3 16 29, 53
Apr.
Mai
Jun.
5
7
9
20
29
4
Göttingen. Limbus Ost.
34
+50
33' 25704
+ 5769
+ 1476 5
+ 5*33'
'45738
25, 54
+ 5,68
+ 14,27
45,49
26, 74
+ 5,65
+ 13,87
46, 26
29, 95
+ 5,61
+ 11,34
46, 90
30, 50
+ 5,60
+ B, 90
45,00
31, 90
+ 5, 41
+ 7,45
44, 76
Mittel aus 6 Beobachtungen +5 33 45, 63
Altona. Limbus Ost.
7
+ 3«32' 52752
+ 3763
—3750
+ 3<> 32' 62765
10
51, 13
+ 3,61
—4, 46
50, 28
11
50, 91
+ 3,66
—4, 78
49, 69
IS
52, 29
+ 3,54
—6,41
50,42
u
54, 46
+ 3, 53
— 6, 06
51, 94
27
59, 20
+ 3,67
— 9, 67
^68, 10
Apr.
Mai
Mittel aus 6 Beobachtungen +8 82 61,85
Jun.
6
8
11
27
30
14
6
9
12
14
16
22
Göttingen. Limbus West.
+5*33' 35776
32, 10
35, 26
40, 67
41, 41
45, 57
+ 5773
+ 5,46
+ 5,58
+ 5,78
+ 5,54
+ 5, 55
+ 14746
+ 14,07
+ 13, 45
+ 9.47
+ 8,61
+ 4,34
+ 5^33' 55795
51, 63
54, 29
55, 92
55, 56
55, 46
Mittel aus 6 Beobachtungen +5 33 54, 80
Altona. Limbus West.
+ 30 32' 54732
+ 3766
3717
+8®82' 64771
54, 09
+ 3,61
-4,14
53, 56
66, 79
+ 8,63
— 6, 10
55,22
67, 31
+ 3,50
—6, 73
66, 08
67, 96
+ 8,51
—6, 87
56, 10
69, 00
+ 3, 60
—8, 20
54, 40
Mittel aus 6 Beobachtungen +8 32 54, 68
Göttingen. Limbus Ost
35.
Apr. 6
—4® 8 6' 10762
—4769
+ I47O6
— 4«35'l7l6
Apr. 6
7
14, 22
—4, 68
+ 18,71
5, 19
8
9
11, 97
— 4,66
+ 18, 86
8, 28
11
20
8, 76
— 4, 68
+ 11,08
2, 86
80
29
8,81
— 4, 62
+ 8,76
4,17
Mai 14
Mittel aus 6 Beobachtungen —4 86 8, 23
Göttingen. Limbus West.
4°34' 64761
66, 21
64, 91
59, 27
65, 39
—4772
—4, 60
—4, 60
—4, 68
—4, 68
+ 13789
+ 13, 58
+ 12, 97
+ 8,49
+ 4,48
•4® 84' 66744
67, 18
66, 64
66, 86
65,49
Mittel aus 5 Beobachtungen — 4 34 66, 00
Jun.
7
10
11
18
27
Altona. Limbus Ost.
-6« 8 6' 66771
68,27
66, 47
66, 88
66, 98
Mittel aus 6 Beobachtungen — 6 85 57, 04
6<> 85' 47701
—677 8
—2797
47,68
—6, 70
—3,89
46,66
— 6,62
-4,20
46,45
—6,68
—4, 80
41, 40
—6,68
—8, 90
Jun.
6
12
14
16
22
Altona. Limbus West.
•6® 85' 44765
43, 07
46, 32
41, 50
88, 67
Mittel aus
— -6761
— 6, 57
—6, 62
— 6,62
—6, 69
— 2766
—4, 60
—6,11
—5, 72
—7, 48
•60 86' 53792
64, 14
66, 95
58, 74
62, 74
DL
5 Beobachtungen — 6 86 64, 30
4
li, DbN IIHEITENUNTEBKHIEDEB ZWISCHEN gCTT1>'0EN UND ALTOMA.
36. (Fiazzi 16.253)
(ÜiltiiiKfii. Limbus Ost. Gottingen. Limbos West.
.'■H' .,,.')!
— »;'«.!
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Apr. »
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Mltt.'l aui • BeobichtunKen
-4 41 1S.»1
Altena.
Limbus Oal
Mittel aus t Beobachtungen -
1.1«
Idittel vu « BeobwbtuiigCD -
Altona. Limbus West.
—fti'
■ t BeobtchtuDgen — t ti ii.tv
Göttingen. Limbus Ost.
37. (Piazzi 16.291)
Göttingen. Limbus West.
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+ 6. 40
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Altona. Limbus Ost.
Altona.
Limbus West.
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38. (Piazzi 16.310)
Göttingen. Limbus Ost.
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Göttingen. Limbua West.
Apr, «
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Mittet auB
« Beoba
Achtungen
n. DIE BEOBACHTUNGEN.
27
JTun.
7
10
11
IS
17
Altona. Limbus Ost.
■4<>J9'6i;'79
49, 86
49, 55
50, 55
44,94
Mittel aus 5 Beobachtungen
Altona. Limbus West.
— 4;'69
— 3;'04
—4,67
— 3,99
-4,52
-4,81
— 4,61
—4,93
—4,52
— 9, 18
— 4®29'69;'42
Jun. 9
-.4«29'
' 47;'48
68, 42
12
47, 11
58, 38
14
46,23
69,99
16
44, 60
58, 64
22
Miti
44, 20
—4 29 58, 97
^el aus
— 4;'68
— 3;'67
— 4«
29'
66;'73
—4,49
— 4, 62
56, 22
—4,45
—6, 25
66, 93
-4,46
—6, S8
54,83
—4,67
—7,71
66, 48
6 Beobachtungen — 4 29 66, 84
Apr. 29
Jun.
10
11
13
27
39. (Piazzi 17.20)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+ 6'67'42;'47
+ 7;'02
-|-9;'06
+ 6®67'58;'66
Eine Beobachtung +6 67 68, 66
Altona. Limbus Ost.
+4^br 1720
3, 61
2, 60
7,44
+ 6;'04
+ 4,98
+ 4,96
+ 4,98
— 4732
—4, 65
— 5, 31
— 9, 76
+ 4*^57' 1/92
3, 94
2, 25
2, 66
Mittel aus 4 Beobachtungen +4 67 2, 69
Apr.
Mai
Jun.
27
30
14
9
12
14
22
+ 6«57' 49793
50, 63
66, 94
+ 7726
+ 6, 96
+ 6, 96
+ «780
+ 8,78
+4,69
+ 6«68'6779
6, 37
7, 49
Mittel aus 3 Beobachtungen +6 58 6,88
Altona. Limbus West.
+4057' 5717
6, 49
6, 58
8, 07
+ 6704
+ 4, 95
+ 4,89
+ 5, 03
—3799
— 4, 98
—5, 63
— 8, 21
+ 4<»67'6722
6, 46
4, 84
4, 89
Mittel aus 4 Beobachtungen +4 67 5, 60
Apr. 29
4
Apr.
Jun.
10
11
13
40. (Piazzi 17.38)
Gtittingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+6*20' 16713
14, 05
+ 6738
+ 6,23
+97O6
+ 7,66
+50 20' 29767
26, 93
Mittel aus 2 Beobachtungen +5 20 28, 26
Apr.
27
30
Mai
14
Altona. Limbus Ost.
+3*19' 38736
38, 63
36, 66
+ 3;'39
+ 3,36
+3,34
— 4;'22
—4, 56
—6, 21
+ 3*>19'37;'53
37, 33
34, 69
Mittel aus 3 Beobachtungen +3 19 36,52
Jun.
9
12
22
+ 5<^20' 22739
24, 94
28, 40
+ 6766
+5, 33
+ 5,34
+ 9759
+ 8,79
+ 4,64
+ 6®20' 37754
39, 06
38, 36
Mittel aus 3 Beobachtungen +6 20 88,33
Altona. Limbus West.
+ 3<* 19' 39777
40, 67
42, 14
+ 3;'39
+ 3,38
+ 3,38
—3789
— 4, 88
—8, 12
+ 3*19' 39727
39, 12
37, 30
Mittel aus 3 Beobachtungen +3 19 88,66
Apr. 29
Mai 4
41. (74 Herculis)
Göttingen. Limbus Ost.
— 6^7' 2725
0, 37
—6;' 16
— 6,01
+ 8;'66
+ 7,36
— 6<>6'58','76
68, 02
Mittel aus 2 Beobachtungen — 6 6 58, 39
Göttingen. Limbus West.
Apr. 27
30
Mai 14
—6°6' 57712
53, 92
49, 88
—5734
— 6,11
— 6. 12
+971 6
+ 8,41
+ 4,62
— 5«6' 53731
60, 62
50, 48
Mittel aus 3 Beobachtungen —6 6 61,47
4*
»
Z7J» aasr
huzu rrc,
A..v.rji. Iam'/u< ^>*t-
DL D3 ■EijaACHTTlKGEr-
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15
12
Mittel aus 1 Beobachtungen +^ ^^ ^^•
61
Altona. Limbus West
l®«'4i:'40 ,
41. 31 !
42, 00
37, 43
35, S9
— i:'i2 —
— 1. 13
— 1. 11
— 1. 1«
— 1,13 — 7. S7
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•S. «1
4, 61
5. 33
— i»«'4*:'i»
4R, 06
47,71
44,46
44,(9
Mittel aus » Beobachtungen ->i 6 4», 60
m.
RESULTATE,
Die kunstloseste Combination der Beobachtungen zu einem Resultate fiir
den Breitenunterschied der Beobachtungsplätze besteht darin, jeden Stern für
sich zu betrachten. Ist, bei resp. östlicher und westlicher Lage des Limbus,
die beobachtete Zenithdistanz in Göttingen a und a\ in Altona h und h\ so
wird der Breitenunterschied = i(« + ^')^i(^ + ^')- ^^^ bekommt daher so
viele Resultate, als Sterne vollständig beobachtet sind; fiir unsere Beobach-
tungen 42, da nur Nro. 5, als in Altona einseitig beobachtet, ausfallt.
Wären die Beobachtungen, auf welchen die Bestimmungen a, a\ 6, V be-
ruhen, für alle Sterne gleich zahlreich, so würden alle einzelnen Resultate
für den Breitenunterschied fiir gleich zuverlässig zu halten, und daher das
einfache arithmetische Mittel das wahrscheinlichste Endresultat sein. Bei
unsem Beobachtungen findet jene Voraussetzung nicht Statt, und es muss
daher den Resultaten nach Maassgabe der Anzahl der Beobachtungen ein un-
gleiches Gewicht beigelegt werden.
Wenn man sich erlaubt, die Fehler aller einzelnen Beobachtungen als
unabhängig von einander zu betrachten, das Gewicht einer einzelnen Beob-
achtung als Einheit annimmt, und die Anzahl der Beobachtimgen, welche zu
den Bestimmungen a, a\ 6, V concurrirt haben, durch a, a', ß, ß' bezeichnet, so
wird, nach bekannten Gründen, das Gewicht des Resultats ^a-^-^a' — j^h — ^h'
30 BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
durch
1+1+1+1
ausgedruckt werden,
folgende :
Unsere 42 Resultate mit ihren Gewichten sind hienach
Stern
Breitenuntenchied
Gewicht
1
2*0' 66;'65
Mi
2
57, 07
5,51
3
57,36
6,22
4
55, 85
4,80
6
67, 81
3,69
7
66, 11
5,71
8
66,03
6,46
9
56, 07
3,78
10
65, 46
0,46
11
66, 35
5,27
12
66, 05
6,27
13
57, 78
5,46
14
67, 10
6,02
16
56, 66
5,71
16
56, 86
6,00
17
66, 92
6,13
18
65, 78
6,92
19
66,40
6,64
20
56,24
6,45
21
55, 48
6,83
22
66, 69
6,33
Stern
Breitenunterschied
Gewicht
23
2«0'56;'45
5,71
24
66,53
5,71
25
66, 71
6,00
26
57, 88
6,00
27
57, 17
2,61
28
56, 39
5,71
29
56,51
4,00
30
66, 37
5,71
31
57, 11
5,71
32
56, 78
6,00
33
56, 31
5,45
34
57, 19
6,00
36
66, 06
6,00
36
57,48
6,45
37
67,24
5,n
38
66, 62
5,46
39
58, 57
2,18
40
55, 75
2,67
41
56,61
8,24
42
56, 64
2,76
43
66, 82
2,86
Das Mittel aus diesen 4 2 Bestimmungen, mit Rücksicht auf die Ungleich-
heit der Gewichte, findet sich
2® 0' 56^52
und das Gewicht dieses Resultats = 213,42.
2.
Wenn n verschiedene Bestimmungen einer Grösse die Werthe Aj Ä\ Ä"
u. s. w. mit den Gewichten p, p\ p" u. s. w. gegeben haben, Ä* den mit Rück-
sicht auf die Gewichte genommenen Mittelwerth und M die Summe
p (A - A^^f ^p' {Ä - A*f -^p" {A" - 4*)* + u. s. w.
bedeuten, so wird in Folge des allgemeinem Lehrsatzes in der Theoria Com-
binationis Observationum, Art. 38,
in. RESULTATE.
31
V n-1
einen genäherten Werth des mittlem Fehlers einer Beobachtung derselben
Art, deren Gewicht =1 ist, geben. Die Anwendung dieser Vorschrift auf
unsem Fall gibt M= 103,4126, und damit den mittlem Fehler einer Beob-
achtung
103,41
v/
41
= 1,5882.
Den mittlem in unserm Resultat für den Breitenunterschied zu beforch-
tenden Fehler erhält man, wenn man den mittlem Fehler einer Beobachtung
mit der Quadratwurzel aus dem Gewicht jenes Resultats dividirt; aus obigem
Werthe folgt er demnach = 0^1087.
3.
Der Collimationsfehler des Instruments ergibt sich aus den Beobachtungen
eines jeden Sterns in Göttingen = \[a' — a) mit dem Gewicht , ,? und in
Altona = -J- (6' — 6) mit dem Gewicht o\Ja, • Folgende Tafel enthält diese
Werthe.
Stern
Göttingen.
Altena.
Coli. F.
Gewicht
Coli. F. 1 Gewicht
1
3777
8,89
1:
;'68
8,89
2
3,44
12,92
1.
, 19
9,60
3
3, 69
12,92
1.
66
12,00
4
8, 76
12,00
0;
. 91
8,00
6
3, 73
12,00
—
—
6
3, 46
12,00
2>
,36
6,33
7
4, 10
12,00
1.
, 69
10,91
8
4,10
14,00
0,
90
12,00
9
3, 76
12,92
i.
,99
4,00
10
3, 99
14,00
V
,26
12,00
11
3, 19
12,92
1,
39
8,89
13
3, 06
12,92
0:
,87
8,89
13
3,48
12,00
2.
, 04
10,00
14
3, 67
12,92
1.
, 30
10,91
16
3, 87
12,00
1,
36
10,91
16
3,60
10,00
1:
, 77
10,00
17
3, 63
14,00
0,
. 74
10,91
18
3,63
12,92
0
, 68
10,91
19
3,42
11,67
li
, 38
10,91
20
3,66
10,91
0=
, 84
10,91
21
3,46
9,60
1
, 26
12,00
22
3, 10
9,60
2
, 96
12,00
23
4,49
10,91
1
r42
12,00
iU »M7I10C' > .F ML* biue:te> vyrEÄv. Hi£i»E.H^ ziiisCHzy G-7rn>GEy rsD altoxa.
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• • «
4 •
ti . I
n ■ *
Die Mittelwert he *ind fol:£*/ii'le :
Co:limat:oii«^fehler in Gottintr*-n 3175 mit dem Gewicht 455«! 7
CoIlimationÄfehier in Altona K4o mit dem Gewicht 4 32« IS.
Die Realität der Veränderung des Collimationsfehlers ist offenbar, und
^m leidet keinen Zweifel, dass dieselbe auf dem obwohl mit aller möglichen
Vorsicht geleiteten Tran5i>ort eingetreten ist.
Obgleich man sich bei dem für den Breitenunterschied gefundenen Re-
i^uitate vollkommen beruhigen kann, so ist es doch wenigstens in theoretischer
Kdcksicht nicht überflussig zu bemerken^ dass die im I . Art angewandte Com-
bi nation der Beobachtungen noch nicht die möglich Tortheilhafteste ist, in-
sofern nicht an jedem Ort jeder Stern in der einen Lage des Sectors eben so
oft beobachtet ist, wie in der andern. In der That hat die Bestimmung der
wahren Zenithdistanz in Göttingen durch die Formel i a + fl*] das Gewicht
wäre nun der Collimationsfehler in Göttingen genau bekannt und = /*,
499
«-*-«'
so würde die Bestimmung der wahren Zenithdistanz daselbst durch die Formel
m. RESULTATE. 33
das Gewicht a + ot' = V^ , + VxV' ^^^^^i d.i. ein grösseres als nach der
andern Methode, so oft a und a ungleich sind. Eben so verhält es sich mit
der wahren Zenithdistanz in Altona, und auf diese Art würden selbst ein-
seitige Beobachtungen (wie die von Nro. 5) einen, wenn auch nur geringen,
Beitrag zur Vergrösserung der Genauigkeit geben. Nun sind zwar die Colli-
mationsfehler an beiden Plätzen nicht mit absoluter Schärfe bekannt: allein
man überzeugt sich leicht, dass die Anwendung der für dieselben gefundenen
Mittelwerthe das Gewicht nur ganz unbedeutend vermindert.
5.
Will man jedoch ein reines, den Forderungen der strengen Theorie ganz
Genüge leistendes Resultat erhalten, so muss man die Bestimmung des Breiten-
unterschiedes, der CoUimationsfehler und der wahren Zenithdistanzen der ein-
zelnen Sterne an dem einen Ort als Ein Problem behandeln, wo diese un-
bekannten Grössen (in unserm Fall 46 an der Zahl) aus den sämmtlichen
durch sie bestimmten beobachteten Grössen (171) durch eben so viele Glei-
chungen abgeleitet werden müssen, indem diese nach den Vorschriften der
Wahrscheinlichkeitsrechnung combinirt werden. Setzt man die CoUimations-
fehler in Göttingen und Altona = f und ^, den Breitenunterschied = A, die
wahre Zenithdistanz eines Sterns in Göttingen = ä*, so hat man aus den Be-
obachtungen dieses Sterns die vier Gleichungen mit den Gewichten a, a', ß, ß':
a' = k + f
b = k—g — h
V = k-\'g'-h.
Es ist kaum nöthig zu erinnern, dass es zur Erleichterung der Rechnung
vortheilhafter ist, anstatt jener unbekannten Grössen, die noch erforderlichen
Correctionen einzufuhren, welche an die schon sehr nahe bestimmten Werthe
anzubringen sind ; lassen wir die Zeichen /^, ^®, Ä^, k^ diese genäherten Werthe
bedeuten, so mag man annehmen
'^ ~ a + a' + ß + ß'
Bei Befolgung jener Vorschrift (welche man bei Anwendung der Methode
IX. 5
34 BESTIMMUNG DES BEEITENUXTER8CHIEDE8 ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
der kleinsten Quadrate auf nur etwas zusammengesetzte Fälle niemals aus
den Augen setzen sollte) und dem Gebrauch einer schicklichen indirecten
Auflösungsmethode verwandelt sich eine Arbeit, die ohne jene und bei di-
recter Elimination unerträglich weitläuftig ausfallt, in ein leichtes Spiel.
6.
Der Erfolg dieser Rechnung , welche ausfuhrlich herzusetzen unnöthig
wäre, ist, dass die frühem Bestimmungen gar keine merkliche Correction er-
halten. Es findet sich die Verbesserung des Breitenunterschiedes = — 0','0 1 4,
die Verbesserung des Collimationsfehlers in Göttingen = 4* 0','0 12, die Ver-
besserung des Collimationsfehlers in Altona = — 0^0 1 4 ; folglich die neuen
Bestimmungen
Breitenunterschied 2® O' 56','5 1 , Ge^\Ticht = 217,67
Collimationsfehler in Göttingen 3,76 » 457,03
CoUimationsfehler in Altona 1,39 » 437,64.
Die Veränderungen der nach der Vorschrift des vorhergehenden Artikels
zum Grunde gelegten wahren Zenithdistanzen der einzelnen Sterne in Göttingen
sind gleichfalls fast alle unter 0^01. Die sich ergebenden Werthe hier auf-
zuführen, wäre überflüssig, da es dieselben sind, aus welchen die oben mit-
getheilten Declinationen der Sterne unter Voraussetzung der Polhöhe des Be-
obachtungsplatzes 51®3r47'^92 abgeleitet sind. Dagegen setzen wir die Unter-
schiede hier her, welche nach Substitution der gefundenen Werthe in den
171 Gleichungen übrig bleiben.
Stern
Unterschied
Stern
Unterschied
Stern
Unterschied
Stern
Unterschied
+o:'o7
5
+o;'o3
9
— o;'o6
13
+o;'87
+ 0, 09
— 0, 03
— 0, 09
+ 0, 30
— 0, 2«
—
—0, 23
— 1, 35
+ 0,13
— 0, 03
+ 0, 97
— 0, 04
-fO. 66
6
+ 0,62
10
— 0,71
14
+ 0, 40
— 0, OS
+ 0, 03
— 0, 26
+ 0,21
—0, 12
— 1, 95
+ 0, 70
— 0, 29
— 0, 63
— 0, 02
+ 0, 44
— 0, 48
+ 0,48
7
— 0, 52
11
+ 0,12
15
—0, 04
+ 0,34
+ 0,16
— 1, 03
+ 0, 19
— 0, 70
—0, 08
+ 0,72
—0, 04
— 0, 18
+ 0,52
+ 0,71
— 0, 11
— 0, 36
8
— 0, 56
12
+ 0,62
16
— 0. 07
-0, 35
+ 0,12
— 0, 87
— 0, 60
+ 0,79
+ 0,76
+ 0, SO
— 0, 05
—0, 17
— 0, 23
— 0,24
+0,72
Stern
17
IB
19
30
21
22
23
ni
. RESULTATE.
Unterschied
Stern
Unterschied
Stern
Unterschied
Stern
Unterschied
— 0'
;'o6
24
—0
;'i7
31
— o;'4i
38
4-0
;'3o
—0
,52
4-0
, 18
4-1,11
—0
, 10
+ 0
» 06
4-0
f 16
—0, 59
—0
, 24
— 0
, 36
— 0
,20
4-0.09
4-0
, 11
—0,
,23
25
— 0
, 03
32
4-0,14
39
4-0
, 90
— 0
, 40
4-0
>32
—0, 87
4-1
, 71
+1
r 00
4-0
, 46
4-0,63
—0
, 82
—0
>34
— 0
, 07
4-0,11
—0
, 69
+0
,32
26
4-0
,90
33
4-0,19
40
—1
, 81
—0
, 36
4-0
, 46
— 0, 36
4-0
, 75
+0
, 10
— 0
, 06
4-0,41
4-0
, 60
+ 0,
08
— 1
, 32
— 0, 16
— 0
, 14
—0
, 06
27
— 0
, 14
34
—0,48
41
4-0;
, 39
—0
,26
4-1
> 32
4-1,17
—0,
r 21
-1-0
, 66
— u
. 71
—0, 62
—0
38
—0.
44
4-0
, 46
—0, 07
4-",
36
— 0)
, 22
28
4-0
, 46
35
~0, 08
42
4-0,
09
—0,
, 85
— 0
,53
—0,37
4-0,
25
+ 0
,63
4-0
, 62
4-0.25
—1,
02
+ 0
, 37
— «
, 36
4-0,21
4-1,
11
4-0
, 77
2»
—0
, 80
86
— 0, 14
43
—0,
42
—0,
,55
—0
,63
4-1,02
4-0.
86
— 1
,56
4-0
, 68
—0,4 7
4-0,
29
-hl
, 60
4-0
, 10
—0, 58
—0,
47
—0,
, SO
30
—0,
83
37
4-0,11
4-0
,67
4-0,
74
4-0,54
— 0
,03
—0,
21
—0, 93
4-0
03
4-0,
42
4-0,11
35
7.
Die Summe der Producte aus den Quadraten dieser 171 Unterschiede in
die entsprechende Anzahl der Beobachtungen findet sich = 292,8249. Nach
dem bereits angeführten Lehrsatz (Theoria Comb. Observ. Art. 38) hat man
als genäherten Werth des mittlem Fehlers einer einfachen Beobachtung die
Quadratwurzel aus dem Bruch zu betrachten, dessen Zähler jene Summe, und
dessen Nenner der Überschuss der Anzahl der verglichenen Beobachtungsdata
über die Anzahl der nach der Methode der kleinsten Quadrate daraus abge-
leiteten unbekannten Grössen ist, in unserm Falle 171— 46 =125. Es findet
sich hieraus jener mittlere Fehler = 1^'5308, wenig von dem im 2. Art. ge-
fundenen verschieden. Der mittlere in dem Endresultate fiir den Breiten-
imterschied zu befürchtende Fehler würde demnach sein
'•^'^ =0;'1038.
^ 217,67
5*
26 BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
Apr.
6
7
9
20
39
Mai 4
Jun.
36. (Fiazzi 16.253)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
■404J'38;'27
36, 36
39, 14
36, 36
34, S8
33, 43
— 4;'82
—4, 81
— 4, 79
—4,76
—4, 76
—4, 60
+ t3;'97
+ 13,64
+ 18,28
+ 10,98
+ 8,74
+ 7,39
^'^ 42' 29712
27, 43
SO, 66
30, 13
30, 89
30, 64
Apr.
6
8
11
27
.
30
Mai
14
.4«42'29;'S6
29, 96
28, 67
26, 36
24, 96
22,44
— 4;'83
— 4, 80
—4,72
—4, 90
— 4, 70
—4, 70
+ 13;'81
+ 13,46
+ 12,91
+ », J«
+ ^,4«
+ 4,48
— 4»42'20;'S7
21, 29
20,38
20, 99
21, 17
22,66
Mittel aus
6 Beobachtungen
— 4 42 29, 81
1
Mittel am
6 Beobachtungen
-4 42 21, IS
Altena. Limbus Ost
•
Altona. Limbus West.
7
— 6»43' 13;'16
— 6;'86
— 2;'96
— 6®43'22;'97
Jun. 6
—6« 43' 13^22
— 6;'74
-2;'66
-6«43'22;'61
10
12, 02
—6, 83
—3, 80
22,74
9
12, 12
—6, 84
—3, 68
22,64
11
16, 96
— 6, 76
—4, 20
26,91
12
10, 21
—6, 70
—4, 60
21,41
13
11, 48
— 6, 70
—4.81
22,99
16
8, 99
—6, 64
—6,74
21, 37
27
9, H9
—6, 76
-9,14
26, 7 8
22
6, 81
—6, 82
—7,61
20, 14
Mittel aus 6 Beobachtungen — 6 43 24, 28
Mittel aus 6 Beobachtungen — 6 43 21, 61
Jun.
37. (Piazzi 16.291)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
Apr. 6
+ 6024'
3 2/3 6
+ 5/64
+ 14/37
+ 6024'
' 62/26
7
30, 40
+ 6,63
+ 14,02
49, 96
9
31, 60
+ 6,61
+ 13,64
60, 76
20
36, 46
+ 5,46
+ 11,20
62, 12
29
36, 43
+ 6,46
+ 8,84
60, 72
Mai 4
36, 16
+ 6,29
+ 7,42
48, 87
7
10
11
13
27
Mittel aus 6 Beobachtungen +6 24 60,78
Apr.
6
8
11
27
30
Mai
14
Altena. Limbus Ost.
+ 3O23' 65/07
57, 04
66, 13
67, 72
63, 13
+ 8/47
—3/63
+ 8,46
—4, 51
+ 3,42
— 4, 84
+ 3,40
— 6, 49
+ 3,42
—9, 88
+3023' 66/01
55, 99
54, 71
65, 63
66, 67
+ 5O24' 38/36
39, 19
37, 81
44, 10
46, 33
60, 33
+ 5/53
+ 6,31
+ 5,43
+ 6, 63
+ 5,40
+ 6,40
+ 14/20
+ 13, 83
+ 13, 26
+ 9, 39
+ 8, 56
+ 4,36
+ 6024' 68/08
68,33
66,49
69, 12
60,29
60, 08
Mittel aus 6 Beobachtungen +6 24 58, 7S
Altona. Limbus West.
Mittel auB 5 Beobachtungen +3 23 66, 60
Jun.
6
9
12
14
16
22
+3O23' 68/76
60, 9S
61, 15
61, 35
62, 70
64, 31
+ 3/41
+ 3,46
+ 3, 39
+ 3, 36
+ 3, 36
+ 3,45
—3/20
— 4, 18
—6, 16
— 5, 81
— 6, 47
— 8, 36
+3023*68/96
60, 26
59. 38
58, 90
69, 59
59, 41
Mittel aus 6 Beobachtungen +3 23 69, 42
Apr.
Mai
6
7
9
20
29
4
38. (Piazzi 16.310)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
■2029' 15/02
16, 48
12, 92
13, 75
10, 87
9, 92
-2/65
— 2, 54
—2, 53
— 2, 51
— 2, 51
—2, 43
+ 13/95
+ 13, 66
+ 13, 82
+ 11, 05
+ 8,82
+ 7,47
•20 2 9' 3/62
5, 36
2, 13
5, 21
4, 56
4, 88
Mittel aus 6 Beobachtungen —2 29 4, 29
Apr.
6
8
11
27
80
Mai
14
— 2029'
8/56
9, 31
9, 41
4, 81
1, 60
2 28 67, 54
—2/54
—2,44
—2, 50
—2, 59
—2, 48
—2,49
+ 13/83
+ 13,49
+ 12, 96
+ Ö, 34
+ 8, 56
+ 4,54
—2028' 57/27
68, 26
68, 96
5«, 06
55, 52
66, 49
Mittel aus 6 Beobachtungen — 2 28 67, 26
n. DIE BEOBACHTUNGEN.
27
Jim.
7
10
11
13
J7
Altona. Limbus Ost.
.4'>J9'6i;'79
49, 86
49, &6
60, 56
44, 94
— 4','69
— 3;'04
—4,67
— 3,99
-4,62
—4,81
-4,61
—4,93
—4, 62
—9, 18
4«29'69;'42
68,42
68, 38
69,99
68, 04
Mittel auB 6 Beobachtungen — 4 29 68, 97
Jun.
9
12
14
16
22
Altona. Limbus West.
— 4®29'66;'73
66, 22
66, 93
64,83
66, 48
Mittel aus 6 Beobachtungen — 4 29 66, 84
4®29'47;'48
-4;'68
— 8;'67
47, 11
—4,49
— 4,62
46,23
—4,45
— 6, 25
44, 60
-4,46
—6, 88
44, 20
—4,67
—7, 71
Apr. 29
39. (Piazzi 17.20)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
+6«67'42;'47
+ 7;'02
-f-9;'06
+ 6*67'58;'66
Eine Beobachtung +6 67 68, 66
Altona. Limbus Ost.
Jun.
10
11
13
27
+4
i«67'i;'
20
3,
61
2,
60
7,
44
MiUel
auB
-f6;'04
-f4,9S
+4,96
+ 4,98
-4;'82
—4, 66
— 6, 31
—9, 76
+ 4*67' i;'92
3, 94
2, 26
2, 66
4 Beobachtungen +4 67 2, 69
Apr.
Mai
Jun.
27
30
14
9
12
14
22
+6'67'49;'93
60, 63
56, 94
+ 7;'26
+ 6, 96
+ 6, 96
+ 9;'60
+ 8,78
+ 4,69
+ 6*68'6;'79
6,37
7, 49
Mittel auB 3 Beobachtungen +6 68 6, 88
Altona. Limbus West.
+ 40 67'5;'17
6, 49
6, 68
8, 07
Mittel auB
+ 6;'04
+4, «6
+ 4,89
+6, 03
— 3;'99
— 4, 98
—6, 63
—8, 21
+ 4067'6;'22
6,46
4, 84
4, 89
4 Beobachtimgen +4 67 6, 60
40. (Piazzi 17.38)
Gtittingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
Apr.
Uta
29
4
+ 6®20' 16;'l3
14, 06
+ 6;'38
+ 6,23
+ 9;'06
+ 7,66
+ 6® 20' 29/67
26, 93
Mittel auB 2 Beobachtungen +6 20 28, 26
Apr.
27
30
Mai
14
Altona. Limbus Ost.
Jun.
10
11
13
+ 3® 19' 88!'30
38, 63
86, 56
+ 3;'39
+ 3,36
+ 3,34
— 4/22
—4, 66
-6,21
+ 3<^19'87j'63
37, 33
34, 69
Mittel auB 8 Beobachtungen +3 19 36, 52
Jun.
9
12
22
+ 6<>20'22;'39
24, 94
28,40
+ 06
+ 6, 33
+ 6,34
+ 9;'59
+ 8,79
+ 4,64
+ 6»20' 37/64
39, 06
38,38
Mittel auB 3 Beobachtungen +6 20 38, 33
Altona. Limbus West.
+ 3^19' 39/77
40, 67
42, 14
+ 3/39
+ 3,33
+ 8,38
— 8/89
— 4, 88
—8, 12
+ 3*19' 39/27
39, 12
37,30
Mittel auB 3 Beobachtungen +3 19 38,66
41. (74 Herculis)
Göttingen. Limbus Ost. Göttingen. Limbus West.
Apr. 2»
Mai 4
.60 7'2','26
0, 37
—6/ 16
— 6, Ol
+ 8/66
+7,36
•6^6' 68/76
68, 02
Mittel auB 2 Beobachtungen — & 6 68, 39
Apr. 27
30
Mai 14
■6<>6'57/l2
63, 92
49, 88
Mittel aus
—6/34
— 6, 11
— 6. 12
+9/16
+ 8,41
+ 4,52
6® 6' 63/31
60, 62
60, 48
3 Beobachtungen —6 6 6 1,47
4#
38 BEBTIMlIUNr, DES BREITES INT ERSCHIEDE» ZWISCHEN GÖTTISGEN USD ALTOSA.
näh«!rt(> BcstimmuTif; von 'a— l)m»i anzusehen sein. Eine solche einzelne Be-
stininiung kann nun zwar in unsi-rm Fall, wo a nie grösser als 7 ist, von
dem riclitiucn Werthe sehr abweichen; allein die Siunme aller 171 partiellen
Summen 'für alle a, a, b, b' und für alle Sterne muss nach den Grundsätzen
der Wahrscheinlichkeitsrechnung von
in unserm Fall von 728m»i, wenig verschieden sein. Wir haben jene Summe
der 1 7 1 partiellen Summen
= 844,50
gefunden, woraus sich für m der sehr zuverlässige Werth
= i;077U
ergibt, bedeutend kleiner als der im 2. und 7, Artikel gefiindene. Es be-
stätigt sich also die Einwirkung der Theilungsfehler vollkommen, um deren-
willen die firuher herausgebrachten Zahlen kein reines Resultat geben konnten.
10.
In Ermangelung einer directen Kenntniss des mittlem Theilungsfehleis
kann man nun ö auf eine indirecte Art so bestimmen, daaa beim Gebrauch
der ersten Methode, nach dem Verfahren des Art. 2, oder beim Gebrauch
der zweiten Methode nach dem Verfahren des Art. 7 , der mittlere Fehler
einer Beobachtung, deren Gewicht als Einheit angenommen war, wiederum
dem gefundenen Werthe von wi gleich wird.
Es hat indessen nicht belohnend genug geschienen, solche Versuche so
lange zu wiederholen, bis eine vollkommene Übereinstimmiing erreicht wäre.
Vielmehr schien es hinreichend, nachdem durch anderweitige Betrachtungen
erkannt war, dass der letzte Werth von Ö nur wenig von 0,2 verschieden aus-
fallen könnte, diesen Werth bloss der ersten Combinationsmethode unterzu-
legen, woraus sich dann ergeben hat
Breitenunterschied = 2*'0'56"50
Gewicht dieser Bestimmung = 104,29
Mittlerer Fehler einer Beobachtung, deren Gewicht die Einheit,
= i;t31
/ ^
nU RESULTATE. 39
und daher der mittlere in obigem Endresultate zu befürchtende Fehler
= 0^1108.
Die Anwendung der zweiten Combinationsmethode, mit demselben Werthe
von 8, würde vermuthlich eine noch nähere Übereinstimmung mit obigem
Werthe von m hervorgebracht, das Endresultat fiir den Breitenunterschied
vielleicht um O'JOl vermindert, das Gewicht dieser Bestimmung gewiss etwas
weniges vergrössert haben; es wurde aber der Mühe nicht werth gehalten,
deshalb diese Rechnung von neuem durchzuführen. Man kann sich also an
den gefundenen Breitenunterschied 2*'5'56"50 halten, und dessen Fehler als
wahrscheinlich zwischen den Grenzen ± 0'^07 enthalten ansehen.
11.
Wenn wir den obigen Werth von 6 beibehalten, so ergibt sich der mitt-
lere Theilungsfehler = my^ö = 0','48, daher der sogenannte wahrscheinliche
Theilungsfehler der einzelnen Punkte =.o"32 gesetzt werden mag. Offenbar
bezieht sich dies aber nur auf die unregelmässigen Theilungsfehler, oder auf
die Abweichungen der einzelnen Punkte von einer fingirten, sich diesen so
genau wie möglich anschliessenden gleichförmigen Theilung, deren absolute
Richtigkeit hiebei eigentlich gar nicht in Frage kommen konnte. Oder mit
andern Worten, das gefundene Resultat für den Breitenunterschied mit der
ihm beigelegten Genauigkeit bezieht sich, streng genommen, nur auf mittlere
Sectorgrade, und bleibt von der absoluten Richtigkeit derselben abhängig.
Dem Astronomen bietet das Instrument gar kein selbstständiges Mittel dar,
diese zu prüfen. Wenn man indessen erwägt, dass die Endpunkte desBogens
von dem Künstler mit äusserster Sorgfalt niedergelegt sind, und dass hier nur
von einem kleinen Theile des ganzen Bogens die Rede ist, so wird man zu-
geben müssen, dass die Unsicherheit des gefundenen Breitenunterschiedes aus
dieser Quelle nur um ein sehr Geringes vergrössert werden kann. Einige
Controlle für die absolute Richtigkeit der Theilung geben übrigens auch die
von mir am REicHENBACHschen Meridiankreise beobachteten Zenithdistanzen
derselben 43 Sterne, deren Unterschiede von den am Sector beobachteten, bei
einer Anordnimg nach den Declinationen , keine Spur von Regelmässigkeit
zeigen.
40 BEHTIMMlNü DES BKElTESUNTERStlUEDES ZWISCHEN GÖTTINGES rxD ALTOKA.
12.
Der Platz des Mittelpunkts des Si'ctors in Göttingen war 1,060 Toisen
iiJlnilioh und 7, 5!i5 Toisen östlith vom Centrum der Axe des REicHENBACHscheu
Meridiankreises: in Altona hingefien war der Mittelpunkt des Sectors 13,511
'l'oisen südlich und 2,57S westlich vom Mittelpunkt des dortigen Meridian-
kreises. Die Reduction des Breiteuunteraehiedes der Sectorplätze auf den der
Meridiankreise ist daher für (jöttingen (»"07 und für Altona o"S5, und folg-
lieh der Breitenunterschied der Sternwarten von Göttingen und Altona in Be-
ziehung auf die Plätze der Reichen BAtiisehen Meridiankreise
= 2"0'57"42.
13.
Die absolute Polhöhe, welche den oben gegebenen aus den Zenithdistanzen
abgeleiteten Declinationen der Sterne zum Grunde gelegt ist, beruht auf S9
Beobachtungen des Nord.<items, am REirHESB.\(Hschen Meridiankreise, in beiden
C'ubninationen, dirert und von einer '\^'as8erfläche reflectirt. Da die Beobach-
tungen von 1824, welche den grössten Theil ausmachen, bisher noch nicht
bekannt gemacht sind, so stelle ich hier sämmtliche Beobachtungen zusaipmen,
\md bemerke nur, dass meistens die directe Einstellung beim Antritt an den
zweiten, vierten mittelsten und sechsten Faden, die Einstellung des reflec-
tirten Bildes hingegen beim Antritt an den ersten, dritten, fünften und sie-
benten Faden gemacht ist. Von diesen auf die Cubninationszeit reducirten
Zenithdistanzen ist hier das Mittel angegeben, welches bloss von der Refrac-
tion nach Bessels Tafeln befreit ist, also CoUimationsfehler und Wirkung
der Biegung des Femrohrs noch einschliesst.
Zenithdistanzen des Nordsterns.
1820. Kreis in Osten.
l Direct 319° 50' 20;73
Mai 13. Untere Culm.
I Reflectirt 220 5 3,94
1 Direct 323 8 41,51
13. Obere Culm. ! „ „ .
I Reflectirt 216 46 44,31
ni. RESULTATE.
41
1824. Kreis in Osten.
Apr. 20. Obere Culm.
21. Untere Culm,
21. Obere Culm.
25. Untere Culm.
27. Obere Culm.
28. Obere Culm.
29. Untere Culm.
Mai 1. Untere Culm.
1. Obere Culm.
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
Direct
Reflectirt
323® 7' 52';62
216 48 54,93
319 52 30,27
220 4 19,32
323 7 54,16
216 48 54,21
319 52 30,03
220 4 21,10
323 7 55,70
216 48 52,93
323 7 55,40
216 48 52,22
319 52 29,17
220 4 21,34
319 52 28,59
220 '4 22,62
323 7 57,22
216 48 51,66
Mai 2. Untere Culm.
8. Obere Culm.
9. Untere Culm-
Kreis in Westen.
Direct 40® 4' 20;'00
Reflectirt 139 52 27,15
Direct 36 48 49,32
Reflectirt 143 7 57,63
Direct 40 4 22,93
Reflectirt 139 52 25,68
1 Beob.
2
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
3
4
»
»
»
»
»
»
»
)>
))
»
»
»
»
»
»
»
3 Beob.
4
3
4
3
4
»
»
»
»
»
Die Änderungen der Declination des Nordsterns ergeben sich aus Sessels
Tafeln wie folgt:
6
42 ftfMmutvsa der beetten Unterschiedes zwischen gÖtttnoen und altona.
IS2() von der untern Culmination des 13. Mai an gerechnet:
Mai 13. Obere Culm. — f»"lft;
1*121 von der obem Culmination des 20. April an gerechnet:
Apr.
21.
U. C.
-o;i3
21.
O.e.
-0,26
25.
u. c.
-1,29
27.
o. c.
-2,04
28.
o. c.
-2,32
29.
u. c.
-2,45
1.
D. C.
-2,93
1.
O.e.
— 3,03
2.
u. c.
-3,14
8.
o.e.
— 4,64
9
u. e.
— 4,77
14.
Bezeichnet man die Biegung des Femrohrs, oder die Veränderung der
Lage der auf die Ebene des getheilten KreiBes projicirten optischen Axe gegen
die Eintheilung, vermöge der Einwirkung der Schwere auf sämmtliche ver-
bundene Bestandtheile des Instruments, bei horizontaler Lage der optischen
Axe durch /", bei verticaler durch p, und setzt voraus, dass diese Biegung der
Schwerkraft proportional ist {was bei der äusserst geringen Grösse der ganzen
Wirkung unbedenklicli scheint), so wird bei der Neigung der optischen Axe i
die Biegung durch /"sinz+^^cos« ausgedrückt werden, so verstanden, dass wenn
der Collimationsfehler = e und die abgelesene Zenithdistanz = z ist, die wahre
Zenithdistanz
= z — e-\- /"sin [z — e) +^ cos -^z — e)
sein wird. Wäre das Femrohr Tollkommen symmetrisch, so wurde ff ganz
w^allen; allein da keine menschliche materielle Arbeit absolut vollkommen
ist, und überdies die vollkommene Symmetrie schon durch die Balancii^e-
wichte gewissermaassen gestört wird, so scheint es durchaus nicht ungereimt,
die Möglichkeit eines ein oder ein Paar Zefantheile einer Secunde betragenden
III. RESULTATE. 43
Werthes von g zuzugeben, und wenn einmal die Rechnung auf einzelne Zehn-
theile oder gar Hunderttheile der Secunde genau gefuhrt wird, so würde es
inconsequent sein, die Berücksichtigung des zweiten Theils der Biegung, in-
sofern sie möglich ist, zu unterlassen.
15.
Das Complement des halben Unterschiedes der direct und durch Reflexion
gemessenen Zenithdistanz zu 90** gibt die Zenithdistanz vom Collimationsfehler
und von dem ersten Theile der Biegung befreit, also bloss noch den zweiten
Theil der Biegung enthaltend, und zwar mit entgegengesetztem Zeichen, [je]
nachdem der Kreis in Osten oder Westen ist. Offenbar bezieht sich diese
Zenithdistanz auf die Verticale an der Stelle, wo die optische Axe das
Wassergefäss trifft, welche, fiir beide Culminationen des Nordsterns unmerk-
lich verschieden, um 0'^05 nördlicher ist als die Axe des Kreises. Diese Com-
bination ist unserm Zweck auch insofern angemessener, als man der Voraus-
setzung der UnVeränderlichkeit des CoUimationsfehlers während der ganzen
Dauer der Beobachtungen von 1824 ausweicht. Das Gewicht jener Bestimmung
wird, wenn man die Anzahl der directen Beobachtungen = a, die der Re-
4-aS
flexionsbeobachtungen = ^ setzt, = ^^rrä' insofern man die Beobachtungs-
fehler als rein zufällig und von einander unabhängig betrachtet.
16.
Bezeichnen wir nun mit
cp die Polhöhe an dem Platz des Wassergefassee
6 die Declination des Nordsterns in der untern Culmination des
13. Mai 1820
8' die Declination in der obem Culmination des 20. April 1824,
so geben uns die Beobachtungen folgende Bestimmungen:
fax 8-^cp — 0,765^
1820 Mai 13 139® 52' 38^40 Gewicht 6,86
für 8 — cp-f.0,800^
1820 Mai 13 36® 49' I^ÖO Gewicht 2,00
6*
44 BESTIMMtrNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN 6ÖTTINGEN UND ALTONA.
für 8'-t-<p — 0,765^
- T - ^rf~r m0 ww A^^^^*A^M*^ -^^ -^
1824 Apr. 21
139" 54' 5^61
Gewicht 6,86
25
139 54 5,76
» 6,86
29
139 54 6,36
» 6,86
Mai 1 . . . .
139 54 5,91
» 6,86
für 8' — 9 + 0,800y
1824 Apr. 20
36" 50' 3i;i5
Gewicht 2,67
21
36 50 30,29
» 6,86
27
36 50 30,65
» 6,86
28
36 50 30,73
» 6,86
Mai 1 . . . .
36 50 30,25
» 6,86
für 8' + 9+ 0,765^
1824 Mai 2
139" 54' 6^7 1
Gewicht 6,86
9
139 54 6,15
» 6,86
für 5' — 9—0,800^
1824 Mai 8
36" 50' 30^48
Gewicht 6,86
Wir erhalten demnach zur Bestimmung der yier unbekannten Grössen 8,
8\ 9, y die sechs Gleichungen
8-1-9 — 0,765^ = 139^52' 38^40 Gewicht 6,86
8—9 + 0,800^= 36 49 1,50 » 2,00
8'+9--0,765^ = 139 54 5,91 » 27,43
8'— 9 + 0,800^ = 36 50 30,54
8'+? + 0,765^ = 139 54 6,43
8'— 9 — 0,800^= 36 50 30,48
30,10
13,71
6,86.
woraus sich durch die Methode der kleinsten Quadrate '^) folgende Werihe
ergeben :
8 = 88® 20' 50;33
6'= 88 22 18,28
9 = 51 31 47,90
ff = + 0,17.
Das Gewicht der Bestimmung von 9 wird hiebei = 60,8.
*) Hier etwas bequemer nach dem Verfahren im Supplem. Theor. Comb. Observ.
ra, RESULTATE.
45
Um für die Genauigkeit der Beobachtungen einigermaassen einen Maass-
stab zu haben, substituiren wir diese Werthe in den vierzehn Gleichungen,
aus welchen die vorigen sechs zusammengezogen waren; es bleiben dann fol-
gende Fehler übrig:
Fehler
Gewicht der Gleichung
— 0';30
6,86
+ 1,07
2,00
+ 0,44
6,86
+ 0,29
6,86
— 0,31
6,86
+ 0,14
6,86
— 0,63
2,67
+ 0,23
6,86
— 0,13
6,86
— 0,21
6,86
+ 0,27
6,86
— 0,40
6,86
+ 0,16
6,86
— 0,24
6,86
Die Summe der Producte der Quadrate dieser Fehler in die Gewichte
wird = 9,6154; also ein genäherter Werth für den mittlem Fehler einer Be-
obachtung
= v/^ = o:98i.
Der mittlere in dem Endresultat für die Polhöhe zu befürchtende Fehler,
so weit er von unregelmässig wirkenden Ursachen herrührt, ist demnach
o;^98i
V60,8
= 0;'126.
Etwas muss aber die Unsicherheit des Resultats allerdings grösser sein,
da die Voraussetzung, dass sämmtliche Beobachtungsfehler ohne Ordnung von
einander unabhängig sind, nicht ganz richtig ist. Bei gleichnamigen Beobach-
46 BESTIMMUNG DES BREITEN UNTEK8CHIEDE8 ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
tungen zu einer Culmination , und bei den gleichnamigen Culminationen an
mehrem Tagen liegt nemlich nahe dasselbe Ablesungsresultat zum Grunde,
und obgleich, bei der Ablesung durch Vemiers, fast immer andere Theil-
striche sprechend werden, deren unregelmässige Theilungsfehler also bei
unserm Verfahren in den mittlem Fehler einer Beobachtung 0^981 mit ein-
geschlossen sind, so ist doch natürlich, dass in den verschiedenen Gegenden
des Limbus gewisse ungleiche Durchschnittsfehler vorherrschen müssen. Jeden-
falls sind aber dieselben sehr klein. Im Jahre 1826 habe ich mit vier vor-
trefflichen Mikroskopen von Repsold 30 Theilstriche von 12 zu 12 Grad mit
äusserster Sorgfalt geprüft, wobei jeder Theilstrich fast 200 mal, in abge-
änderten Combinationen, eingestellt wurde. Das Resultat ist, dass das Mittel
der Fehler von zwei diametral entgegengesetzten Theilstrichen, A und J. + 1 8 0®,
so weit noch einige Regelmässigkeit zu erkennen ist, durch die Formel
— r;23 cos \2A — 28" 28' — 0^22 cos (4^ — 47® 56')
möglichst nahe dargestellt wird, dass die dann übrig bleibenden Fehler als
regellos erscheinen, und die Quadratwurzel aus dem Mittel ihrer Quadrate
= 0','32 wird. Ich hatte mir vorgesetzt, diese Prüfung auf die doppelte An-
zahl der Theilstriche auszudehnen; allein bei der Geringfügigkeit der sich er-
gebenden Resultate scheint diese Untersuchung den grossen dazu erforder-
lichen Zeitaufwand nicht zu verdienen. Es bedarf keiner Erinnerung, dass
der erste Theil des regelmässigen Fehlers — 1^23 cos (2.A— 28^28') von selbst
wegfallt, wenn, wie bei obigen Beobachtungen immer geschehen ist, alle vier
Verniers abgelesen werden. Er enthält hingegen eine reelle Verbesserung,
falls man die Theilung nur an zwei gegenüberliegenden Stellen abliest, wie
ich gegenwärtig immer thue, seitdem ich mich mit bedeutendem Gewinn für
die Feinheit der Ablesung statt der Vemiers zweier REPsotnscher Mikroskope
bediene.
17.
Zieht man vor, ^ = 0 vorauszusetzen, so fällt die Polhöhe um 0^07
kleiner aus, und das Gewicht dieser Bestimmung wird = 84,1. Anderweitige, an
einem andern Orte anzuführende Beobachtungen scheinen übrigens den obigen
III. RESULTATE. 47
Werth von g^ dem Zeichen und auch sehr nahe der Grösse nach, zu bestätigen,
reichen aber noch nicht hin, über einen so delicaten Gegenstand zu entscheiden.
Den Coefficienten f kann man aus vorliegenden Beobachtungen nicht be-
stimmen, ohne die Unveränderlichkeit des Collimationsfehlers während der
Beobachtungen von 1824 vorauszusetzen. Erlaubt man sich diese Voraus-
setzung, so hat man 28 Gleichungen, deren gehörige Behandlung
cp = 51®3r47';89 mit dem Gewicht 60,9
f = + 0,76
9= + 0,23
gibt. Da man gegenwärtig, durch Einstellen des Femrohrs auf den Nadir-
punkt, den Collimationsfehler jede Stunde mit bewundernswürdiger Genauig-
keit ohne Umlegen bestimmen kann*"), so behalte ich mir weitere Prüfung
dieses Gegenstandes vor.
18.
Mit Vorbehalt der durch künftige weitere Untersuchungen noch auszu-
mittelnden Correction, die wohl schwerlich eine halbe Secunde erreichen kann,
setze ich daher die Polhöhe
in Göttingen
für den Platz des Wassergefasses bei den Nord-
stembeobachtimgen 5 1 ® 3 1 ' 4 7'^9 0
für den Platz des REicHENBACHschen Meridiankreises 47,85
für den Platz des Zenithsectors 47,92
(welche letztere zur Reduction der Declinationen der Zenithalsteme
zum Grunde gelegt ist)
in Altona
für den Platz des Zenithsectors 53®32'44;'42
für den Platz des Meridiankreises 45,27.
*) Ich bediene mich dieses unschätzbaren Mittels, dessen Ausfrlhrbarkeit Bohnenbeboeb zuerst ge-
zeigt hat, seit zwei Jahren best&ndig.
48 H^ATlHUiSi, VZ% BAhnEyf.SThBMHlEDa ZWISCHEN GOTTIXGEX rXD ALTOXA.
19.
Sfu:h Act trigonometrischen Verbindung der Sternwarten von Göttingen
und Altona liegt letztere
115163,725 Toisen nördlich
7,211 Toisen westlich
von yixutx. DieHe Zahlen beziehen sich auf die Platze der Meridiankreise;
nie gründen Hich auf den Werth der Dreiecksseite ELamburg - Hohenhom
13841,S15 Toisen, und diese auf die von Hm. Prof. ScTiUMACHEa in Holstein
im Jahr IS 20 gemessene Basis. Da jedoch die Vergleichung der dabei ge-
brauchtem McHSHtangen mit der Normaltoise noch nicht definitiv vollendet
int, so wird obige Entfernung in Zukunft noch in demselben Verhältniss ab-
'/uändc»m sein, wie die Basis selbst, welche Veränderung aber jedenfalls nur
sehr gering s(?in kann. Der mittlere Breitengrad zwischen beiden Sternwarten
ergibt sich danach
= 57127,2 Toisen,
m^jrklich grösser, als man nach den mittlem Werthen der in Frankreich und
England gemessenen Grade hätte erwarten sollen.
20.
Di(; hannoversche Gradmessung liefert also einen neuen Beitrag zur Be-
Htiitigting der nicht mehr zu bezweifelnden Wahrheit, dass die Oberfläche der
Erde keine ganz regelmässige Gestalt hat. Von dieser Unregelmässigkeit haben
bcnt'itH die Anomalien bei den Theilen der französischen und der englischen
(iradmoRSung Beweise gegeben, noch stärkere die Anomalien bei den Polhöhen
nu»hr(a(U* örter in Italien. Bei der hannoverschen Gradmessung findet sich
atis8(?r der Anomalie zwischen Göttingen und Altona eine noch beträchtlich
stärkere hv\ einem zwischenliegenden Dreieckspunkte, dem Brocken. Wenn
man meine Dreiecke als auf der Oberfläche eines elliptischen Sphäroids lie-
gend, dessen Dimensionen die von Walbeck aus der Gesammtheit der bis-
h(^rig(»n Gradmessungen abgeleiteten sind, und welches nach unserer besten
gegenwärtigen Kenntniss sich am vollkommensten an die wirkliche Gestalt
III. RESULTATE. 49
im Ganzen anschliesst (Abplattung 3Ö278 ' ^^^ dreihundertsechzigste Theil des
Erdmeridians = 57009,758 Toisen), berechnet, und dabei von der Polhöhe von
Göttingen = 51®3r47','85 ausgeht, so findet sich die Breite
des Brockens =51^48' l';85
von Altona = 53 32 50,79.
Während nun die astronomischen Beobachtungen die Polhöhe von Altona
5^52 kleiner gegeben haben, geben die von Hm. von Zach auf dem Brocken
angestellten Beobachtungen die Polhöhe dieses Punktes 10 — 11" grösser*),
ein unterschied, von dem doch jedenfalls nur ein kleiner Theil dem Instru-
mente und den in der Rechnung gebrauchten Declinationen zur Last fallen
kann. Die Vergleichung des Breitenunterschiedes zwischen Altona und dem
Brocken mit der Krümmung, welche dem sich der Erde im Ganzen am besten
anschliessenden Sphäroid entspricht, würde daher eine Abweichung von 16"
geben.
Nach unserm Dafürhalten betrachtet man diesen Gegenstand aus einem
falschen Gesichtspunkte, wenn man bei solchen Erscheinungen immer nur von
Localablenkungen der Lothlinie spricht, und sie also gleichsam nur als ein-
zelne Ausnahmen ansieht. Was wir im geometrischen Sinn Oberfläche der
Erde nennen, ist nichts anderes als diejenige Fläche, welche überall die Rich-
tung der Schwere senkrecht schneidet, und von der die Oberfläche des Welt-
meers einen Theil ausmacht. Die Richtung der Schwere an jedem Punkte
wird aber durch die Gestalt des festen Theils der Erde und seine ungleiche
Dichtigkeit bestimmt, und an der äussern Rinde der Erde, von der allein
wir etwas wissen, zeigt sich diese Gestalt und Dichtigkeit als höchst unregel-
mässig; die Unregelmässigkeit der Dichtigkeit mag sich leicht noch ziemlich
tief unter die äussere Rinde erstrecken, imd entzieht sich ganz unsem Be-
rechnungen, zu welchen fast alle Data fehlen. Die geometrische Oberfläche
ist das Product der Gesammtwirkung dieser ungleich vertheilten Elemente, und
anstatt vorkommende unzweideutige Beweise der Unregelmässigkeit befremdend
zu finden, scheint es eher zu bewundem, dass sie nicht noch grösser ist.
*) Monatl. Corresp. B. X. S. 203. An einem Platze, der etwa o'/b südlicher liegt, als der Dreiecks*
punkt, fand dieser geschickte Beobachter aus 188 Beobachtungen von a Aquilae 51^48' 12 ''12. Aus Sonnen-
beobaehtungen fand er 6 1 * 4 8' 1 1'/ 1 7 .
IX.
50 BESTIMMUNG DES BREITEN L M'EBSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA-
Wären die astronomischen Beobachtungen einer zehn- oder hundertmal gros-
sem Genauigkeit fähig, als sie gegenwärtig haben, so würden sie diese Un-
regelmässigkeit ohne Zweifel überall nachweisen.
Bei dieser Lage der Sache hindert aber noch nichts, die Erde im Granzen
als ein elliptisches Revolutionssphäroid zu betrachten, von dem die wirkliche
(geometrische] Oberfläche überall bald in starkem, bald in schwachem, bald in
kurzem, bald in langem Undulationen abweicht. Wäre es möglich, die ganze
Erde mit Einem trigonometrischen Netze gleichsam zu umspinnen, und die
gegenseitige Lage aller Punkte dadurch zu berechnen, so würde das idealische
Revolutionssphäroid dasjenige sein, auf welchem berechnet die Richtungen der
Verticalen die mögUch beste Übereinstimmung mit den astronomischen Be-
obachtungen gäben. Wenn man gleich von diesem unerreichbaren Ideale
immer weit entfernt bleiben wird, so leidet es doch keinen Zweifel, dass die
künftigen Jahrhunderte die mathematische Kenntniss der Erdfigur sehr viel
werden weiter bringen können. Die Vervielfältigung der Gradmessungen ist
aber eigentlich nur der Anfang dazu, woraus nur einzelne Resultate für eine
kleine Anzahl in isolirten Linien liegender Punkte hervoi^ehen: wie viel er-
giebiger wird aber die Ausbeute sein, wenn diejenigen trigonometrischen Ope-
rationen, welche mit ausgesuchten Hül&mitteln in verschiedenen Ländern aus-
geführt sind, in Verknüpfung kommen und sich zu Einem grossen System ab-
runden. Vielleicht ist die Aussicht nicht chimärisch, dass einst alle Stern-
warten von Europa trigonometrisch unter einander verbunden sein werden, da
schon jetzt solche Verbindimgen von Schottland bis zum adriatischen Meere
und von Formentera bis Fünen vorhanden, wenn gleich bisher nur theü-
weise öffentlich bekannt gemacht sind. Möchte nur dieser letzte Umstand,
mehr als bisher geschehen, beachtet, und kostbare Materialien, die der wissen-
schaftlichen Welt angehören sollten, dieser nicht entzogen, oder gar der Ge-
fahr des Unterganges preisgegeben werden!
21.
Ein nicht uninteressantes Resultat gibt noch die Veigleichung der aus
den Sectorbeobachtungen hervorgegangenen Stemdeclinationen mit altem Be-
stimmungen, wo solche vorhanden sind. Von unsem 43 Sternen finden sich
III. RESULTATE.
51
27 in PiAZZis und 13 in Bessels BRADLEYSchem Catalog. Hier folgt die Ver-
gleichung unserer Bestimmungen (1827) mit den BRADLEYSchen (1755) \md
PiAZzischen (1800), nach Bessels neuer Bestimmung der Präcession reducirt;
positive Zeichen bedeuten eine nördlichere Stellung aus unserer Bestimmung.
Bezeichnung
Bradlbt
1
2
3
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ift
24 Canum
83 Ursae
7} Ursae
86 Ursae
P. 13.289
13 Bootis
X Bootis sq.
P. 14.56
6 Bootis
P. 14.131
P. 14.164
39 Bootii med.
P. 14.235
44 Bootis med.
+ o;'2
- 1,5
— »,4
+ 1,4
— J,9
— 30, 6
1+ 1,»
PlAZZI
+ 1
— 2
— 2
— 0
— 1
-h 2
— 2
— 0
— 10
+ 7
+ 2
— 6
+ 1
'1
0
3
8
3
4
2
4
S
4
1
7
0
1
Bezeichnung
Bradley
PlAZZI
17
P. 15.39
o;'7
25
6 Draconis
-h23;'5
+ 8,6
27
P. 16.33
—
- 2,«
28
P. 16.56
—
— 2,6
32
16 Draconis
+ t.j
— 3,7
36
P. 16.253
—
- 2,1
37
P. 16.291
—
+ 10,3
38
P. 16.310
—
— 4,9
39
P. 17.20
—
— 3,0
40
P. 17.38
—
— 2,9
41
7 4 Herculis
+ 1,7
+ «,7
42
P. 17.120
— 2,1
43
ß Draconis
— 0,5
- 1,6
7*
IV.
BREITENBESTIMMÜNG
DER STERNWARTE SEEBER%
Glc»ichzc*itig mit meinen Beobachtungen in Göttingen und Altona wurden
diemdben Sterne auf meine Aufforderung auch von Hm. Hansen, Director der
Sternwarte Seeberg bei Gotha, an dem dortigen ERXELSchen zweifussigen Meri-
diankreiHe beobachtet. Der sich daraus ergebende Breitenunterschied zwischen
di(?8er und der Göttinger Sternwarte erhält ein noch erhöhtes Interesse durch
den Umstand, dass erstere vermittelst einiger unter Leitung des Herrn General-
lieutenants VON MOfflino gemessener Dreiecke mit dem hannoverschen Drei-
eckssystem verbunden ist.
D(*r Kreis wurde während der Beobachtungen einigemale umgelegt, allein
di(; Bestimmung des Collimationsfehlers wurde unabhängig davon jeden Tag,
und m(»iHtens jeden Tag zweimal, durch Einstellung auf den Nadirpunkt ge-
macht, welches schon oben erwähnte Verfahren Hr. Hansen im Herbst 1826
auf hi(!sig(»r Sternwarte praktisch kennen gelernt hatte. Die Ablesung geschah
nicht mit Vemiers, sondern mit Mikroskopen. Folgende Übersicht enthält
die TIauptresultate dieser Beobachtungen, indem die erste Columne die Be-
zeichnung des Sterns, die zweite die Lage des Kreises, die dritte die Anzahl
der B(»obachtungen , die vierte die von mir auf den Anfang des Jahrs 1827
rciducirtc» Zenithdistanz (nördliche mit positivem Zeichen), die fiinfte die Breite,
welche aus den oben S. 9 mitgetheilten Declinationen sich ergibt, darstellt.
BESTDOfUNG DES BBEITENUNTERSCHIEDES ETC. IV. BREITENBE8TIMMÜNG YON SEEBERG. 53
1
Ost
5
— 1'
> 1'68;'14
60*66' 4/76
Wert
52, 80
4,42
2
Ort
+ 4
87 29, 41
5, 57
Wert
30, 86
*, IJ
S
Ost
— 0
45 19, 00
5, 20
West
17,70
3, 90
4
Ort
+ »
38 50, 88
6,17
Wert
51, 05
4,50
6
Ort
+ *
29 54, 35
4, 87
Wert
54, 80
4, 92
6
Ost
— 4
20 26, 87
6, Ol
Wert
25, 92
5, 06
7
Ort
— 0
39 22,12
5, 56
Wert
20, 70
4,14
8
Ort
+ 1
40 1, 41
6, 06
Wert
3, 24
4, 23
»
Ort
+»
17 29, 69
6, 82
Wert
33, 72
2, 79
10
Ort
• _
+ 1
43 6,51
5, 54
Wert
8, 63
3, 42
11
Ost
+ »
43 27, 76
5,26
West
28, 89
4, 13
12
Ost
+»
2 48, 89
6, 77
Wert
50, 29
5,37
18
Ort
1
29 56,73
6, 19
Wert
56, 64
6, 10
14
Ost
— 0
35 42, 51
6, 00
Wert
42, 84
5, 33
15
Ort
—2
36 14,46
6, 93
Wert
12, 88
5, 35
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Ost
6
— 1
0 42'
' 19;'87
Wert
5
17, 06
Ort
+»
38
48, 22
Wert
48, 7«
Ort
+1
38
59, 63
Wert
61, 61
Wert
+»
41
30, 88
Ost
+s
33
60, 19
West
47, 87
Ort
+1
58
31, 74
West
32, 90
Ost
— 4
39
61, 87
Wert
58, 90
Ost
+»
24
21, 09
Wert
■■•
22, 88
Wert
— 0
33
26, 54
West
+ 8
5
40,64
Wert
—0
17
51, 91
West
— 4
35
46, 63
West
+ »
44
9, 48
West
+ 1
31
6, 78
Wert
+*
40
0, 22
Wert
—4
67
58, 2S
West
+»
18
69, 76
Wert
— 0
39
61, fll
West
+ «
11
34, 86
Wert
— 8
59
16, 66
Wert
— 4
6
42, 83
West
+ «
0
36, 97
West
— 1
53
16, 75
60<^56'6
3
4
6
4
4
4
6
5
4
6
3
6
4
6
6
5
3
3
6
4
4
3
5
2
4
4
6
3
'66
73
50
93
24
36
49
11
43
36
19
07
60
91
12
96
60
03
67
93
28
61
13
88
28
94
09
84
38
84
Diese sechzig Resultate für die Breite haben nun freilich ungleiche Zu-
verlässigkeit; allein um die ihnen beizulegenden Gewichte ohne Willkür an-
geben zu können, müsste das Verhältniss des mittlem eigentlichen Beobach-
tungsfehlers zum mittlem Theilungsfehler bekannt sein; ist dies Verhältniss
wie 1 zu ^ö, so wird, wenn man die geringe den Declinationen noch anhän-
gende Unsicherheit nicht beachtet.
n
l+n8
das Gewicht einer auf n Beobachtungen, die sich auf einerlei Theilstrich be-
ziehen, beruhenden Bestimmung sein.
Nimmt man statt dieses Gewichts schlechthin n an, so wird das Mittel
aus den 206 Beobachtungen
= 50®56'5';i6.
54 BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA.
Inzwischen lassen die Beobachtungen erkennen, dass die Theilungsfehler
Vergleichungsweise betrachtlich grösser sein müssen, als an dem RAMSDENschen
Zenithsector , während die eigentlichen Beobachtungsfehler eher noch etwas
kleiner sein mögen. Bei jenem Verfahren werden also die auf einer grossem
Anzahl von Beobachtungen beruhenden Bestimmungen vor denen, welchen nur
eine oder zwei zum Gnmde liegen, viel zu sehr bevorzugt.
Sobald man aber den Einfluss der Theilungsfehler berücksichtigen wül,
darf auch nicht unbeachtet bleiben, dass die jedesmalige Bestimmung des
Collimationsfehlers einen constanten, von den Fehlem der dabei sprechenden
Theilstriche abhängenden Fehler involvirt. Es ist aber klar, dass derselbe auf
die Polhöhe in entgegengesetztem Sinn wirkt, je nachdem der Kreis östlich
oder westlich sich befindet. Man wird daher die auf die verschiedenen Lagen
des Kreises sich beziehenden Beobachtungen von einander trennen, aus jeder
Reihe, mit Anwendung des Gewichts ^_^ ^ für jede Bestimmung, das Mittel
berechnen, und zuletzt aus diesen beiden Mitteln das einfache arithmetische
Mittel nehmen müssen.
In Ermangelung einer bestimmten Kenntniss von 6, ist diese Rechnung
in den drei Hypothesen 6 = 0, 6= 1, 6 = oo gefuhrt, woraus sich für die
Polhöhe ergeben hat:
8 = 0
e = 1
6 = oo
Kreis Ost
Kieis West
50*56'5;75
4,62
50" 56' 5^69
4,65
50"56'5;71
4,65
Polhöhe
50 56 5,18
50 56 5,17
50 56 5,18
Man sieht also, dass die Berücksichtigung der strengem Grundsätze das
erste Resultat gar nicht merklich ändert, und dass man sich an die Zahl
50® 56' 5;' 17 halten kann.
Bei diesen Rechnungen ist auf die Biegung des Femrohrs noch keine
Rücksicht genommen* Nach Hm. Hansens Angabe ist dieselbe im Horizont
= r,'00, und zwar von der beobachteten Zenithdistanz abzuziehen, oder nach
unserer Bezeichnung /*= —1^00. Man sieht, dass bei Berücksichtigung dieser
Biegung die Folhöhe aus den nördlich vom Zenith culminirenden Sternen
etwas grösser, aus den südlichen kleiner ausfallen, und, weil jene etwas über-
IV. BREITENBESTIMMUNG DER STERNWARTE SEEBERG. 55
wiegen, das Mittelresultat um 0^'02 vergrössert werden wird. Der zweite Theil
der Biegung, oder die Biegung bei verticaler Stellung, kann, da alle hier vor-
kommenden Zenithdistanzen nur klein sind, als eine constante Veränderung
des Collimationsfehlers betrachtet werden, und wird also bei imserm Verfahren
gerade eben so, wie die Theilungsfehler der bei der Bestimmung von jenem
sprechenden Theilstriche, von selbst eliminirt.
Wir haben demnach als Definitivwerth für die Polhöhe aus diesen Be-
obachtungen
50® 56' 5','! 9.
Die erwähnte trigonometrische Verbindung der beiden Sternwarten, nach
den oben angeführten Dimensionen des Erdsphäroids berechnet, gibt den
Breitenunterschied
35'4r;86,
also mit der oben bestimmten Polhöhe von Göttingen die der Seeberger
Sternwarte
= 50®56'5';99.
Diese bezieht sich auf den Dreieckspunkt, nemlich das Centrum der Axe
des Mittagsfemrohrs; das Centrum der Axe des Meridiankreises liegt 1,168
Toisen, oder im Bogen 0![07 südlicher; die Polhöhe des letztem Punktes ist
also, aus Göttingen durch die trigonometrische Verbindimg abgeleitet,
= 50®56'5;'92
oder 0'^73 grösser, als aus den astronomischen Beobachtungen.
Für den Längenunterschied folgt übrigens aus der trigonometrischen Ver-
bindung 47'9^'20 im Bogen, oder 3"8;61 in Zeit, sehr gut mit imserer Kennt-
niss aus astronomischen Beobachtungen übereinstimmend. Endlich folgt aus
jenen Messungen das Azimuth der Dreiecksseite Seeberg — südliches Meri-
dianzeichen bei Schwabhausen 4','6 westlich, welches gleichfalls bei der nicht
unbeträchtlichen Anzahl der Zwischenpunkte, den Verschiedenheiten, die in
den Angaben einiger Winkel der preussischen Messung vorkommen, und der
Ungewissheit, ob der Dreieckspunkt sich genau im Meridian befand, wie eine
gute Übereinstimmung betrachtet werden kann.
ZUSATZ ZU [ART. 20] S. 48.
Walbecks Bestimmung der Dimensionen des Erdsphäroids befindet sich
in einer kleinen Abhandlung: De forma et ma^nitudine teüuris^ ex dimensis ar-
cubus meridianit definiendis^ wovon aber nur die zwei ersten Bogen im Druck
erschienen sind (Abo, 1819). Walbeck hat die peruanische, die beiden ost-
indischen, die französische, englische und die neuere lappländische Gradmes-
sung dem Calcül unterworfen und ist meines Wissens bisher der einzige, der
dieses Geschäft nach richtigen willkürfreien Grundsätzen ausgeführt hat. In-
zwischen hat er bei jeder einzelnen Gradmessung nur den ganzen Bogen, oder
die an den Endpimkten beobachteten Polhöhen, in Betracht gezogen, ohne
die bei mehrem vorhandenen Zwischenpunkte zu berücksichtigen, und in der
Rechnung ist er bei der ersten Potenz der Abplattung stehen geblieben.
Ich habe deshalb den durch mehrere Arbeiten bereits vortheilhaft be-
kannten Hm. Dr. Schmidt unlängst zu einer neuen Berechnung dieser sämmt-
lichen Gradmessungen veranlasst, welche er während des Abdrucks der letzten
Bogen gegenwärtiger Schrift vollendet hat. Er hat dabei sowohl die hohem
Potenzen der Abplattung, als die an allen Zwischenpunkten beobachteten Pol-
höhen mit berücksichtigt, auch die hannoversche Gradmessung hinzugezogen,
und, nach dem oben S. 50 angedeuteten Princip, dasjenige Ellipsoid bestimmt,
auf welchem die astronomisch beobachteten Polhöhen, um mit den geodä-
tischen Messungen in vollkommene Übereinstimmung zu kommen, der mög-
lich geringsten Abänderung bedürfen, d. i. wo die Summe der Quadrate der
hiezu erforderlichen Abänderungen ein Minimum wird. Das Resultat dieser
Rechnung ist:
BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ETC. ZUSATZ.
67
Abplattung
Dreihundertsechzigster Theil des Erdmeridians
298,39
57010,35 Toisen.
Die beobachteten Polhöhen an den 2 5 Punkten der sieben Gradmessungen
und ihre kleinsten zur vollkonunenen Übereinstimmung mit den. gefundenen
Erddimensionen erforderlichen Abänderungen stellt folgende Übersicht dar:
Peruanische Messung.
Tarqui
— 3® 4' 30;'83
+ 2;05
Cotchesqui
+ 02 37,83
— 2,05
Erste ostindische Messung.
Trivandeporum
4-11 44 52,59
— 0,48
Paudree
13 19 49,02
+ 0,47
Zweite ost
indische Messung
•
Punnae
8 9 38,39
— 1,43
Putchapolliam
10 59 48,93
— 1,18
Dodagoontah
12 59 59,91
+ 3,37
Namthabad
Framös
15 6 0,64
ische Messung.
— 0,77
Formentera
38 39 56,11
+ 3,95
Montjouy
41 21 45,45
+ 2,81
Barcelona
41 22 47,16
+ 1,07
Perpignan
42 41 58,01
— 3,67
Carcassonne
43 12 54,31
— 0,96
Evaux
46 10 42,19
— 6,14
Pantheon
48 50 48,94
— 0,17
Dünkirchen
51 2 8,74
+ 3,12
EngUs
che Messung.
Dunnose
50 37 7,81
— 1,73
Greenwich
51 28 39,60
+ 1,00
Blenheim
51 50 27,50
+ 3,02
Arburyhill
52 13 27,79
+ 1,80
Clifton
53 27 31,59
— 4,07
8
58 BE8TIMHUNQ DBS BB£ITENVia'ER8CHIXDB8 BTYX ZUSATZ.
Hannoversche Messung.
Göttingen
Altona
5r3l'47;85
53 32 45,27
~2;65
Schwedische Messung.
MallOxn
Fahtavara
+ 1,40
— 1,40
65 31 31,06
67 8 51,41
Die Zahlen der letzten Colomne sind nun keinesweges wie Fehler der
astronomischen Beobachtungen zu betrachten, sondern sie sind die algebraische
Summe dieser Fehler und der Unregelnmssigkeiten der Richtung der Verticale.
Wenn man diese Oesammtabweichungen nach denselben Regeln, wie die zu-
fälligen Fehler, behandelt, so findet sich die mittlere Abweichung 3^18, und
damit der mittlere zu befürchtende Fehler
in dem Nenner der Abplattung 12,5 Einheiten
in dem Werthe des dreihundertsechzigsten Theils
des Erdmeridians 5,0 Toisen.
Den sogenannten wahrscheinlichen Fehler mag man also auf 8 Einheiten
bei dem Nenner der Abplattung, und auf 3 Toisen bei dem mittlem Breiten-
grade schätzen, und diese Fixirung unserer Begriffe über den Orad der Ge-
nauigkeit, welchen man der Bestimmung der Dimensionen des Erdspharoids
durch alle bisherigen Breitengradmessungen zuzuschreiben berechtigt ist, hat
man als ein wichtiges Resultat dieser verdienstlichen, an einem andern Orte
ausfuhrlich bekannt zu machenden Arbeit des Hm. Dr. Schmidt anzusehen.
ANZEIGE.
Göttingische gelehrte Anzeigen. 1838 Juni 16.
Bei Yandenhoeck und Ruprecht: Bestimmung des Breitenunterschiedes zwi-
schen den Sternwarten von Göttingen und Altana durch Beobachtungen am Rahs-
jfESSchen Zenithsector, von Carl Fkiedrich Gauss. 1828. 84 Seiten in 4.
Die von dem Verf. dieser Schrift während der verflossenen Jahre im
Königreich Hannover ausgeführten Messungen hatten zunächst den Zweck, die
von dem Hm. Prof. Schumacher in den dänischen Staaten imtemommene
Gradmessung um zwei Grad weiter nach Süden auszudehnen. Eine Dreiecks -
kette von der südlichen Grenze des Königreichs Hannover bis Hamburg wurde
in den Jahren 1821 — 1823 vollendet und mit dem dänischen Dreieckssystem
verbunden. Um daraus ein selbstständiges Resultat als Gradmessung ziehen
zu können, war noch die astronomische Bestimmung der Krümmung des ganzen
Meridianbogens erforderlich, welche jedoch, wegen der in den folgenden
Jahren auf hohem Befehl unternommenen Erweiterung des Dreieckssystems
zum Anschluss an die KRAYENHOFFschen Dreiecke, bis zum Jahr 1827 ausge-
setzt bleiben musste. Da die Bekanntmachung der trigonometrischen Arbeiten
aus mehrem hier nicht anzuführenden Gründen einem grossem Werke vor-
behalten bleibt, so hat der Hofr. Gauss Anlass genommen, jenen astrono-
mischen Theil der Gradmessimg jetzt sogleich als ein für sich bestehendes
Werk herauszugeben, damit das Endresultat sofort den übrigen Gradmessungen
beigefügt imd benutzt werden könne.
Vortheilhafter liegende Endpunkte, als diejenigen, welche sich hier von
selbst darboten, hätte man sich gar nicht wünschen können. Es sind die
60 ANZEIGE.
Sternwarten von Göttingen und Altona, beide mit trefilichen Instrumenten
ausgerüstet, und beide, durch ein in seiner Art einziges Spiel des Zufalls, so
genau in einem und demselben Meridian liegend, dass man, um einen Unter-
schied aufrastellen, bestimmte Plätze in den Sternwarten angeben muss: auf
die Mittelpunkte der Axen der REiCHENBACHschen Meridiankreise bezogen
liegt nemlich die Altonaer Sternwarte nur 7|> Toisen westlicher.
Wenn gleich die Ausdehnung des Bogens, welcher dem Stück des Erd-
meridians zwischen diesen beiden Sternwarten am Himmel entspricht, schon
aus den absoluten Folhohen derselben, zu deren Bestimmung die fortgesetzten
Beobachtungen fortwährend neue Beiträge liefern, sich ergibt, so war es doch
von grosser Wichtigkeit, die Bestimmung des Breitenunterschiedes noch auf
eine andere Art, mit einem und demselben Instrument vom ersten Range, zu
erhalten, und der Hofir. Gauss konnte dazu den trefflichen EAMSDENschen Zenith-
sector benutzen, welcher zu ähnlichen Operationen bei der englischen Ghrad-
messung angewandt und bekanntlich von Mudge ausfuhrlich beschrieben ist.
Das Werk zerfallt in vier Abschnitte. Im ersten werden die beobach-
teten Sterne nachgewiesen. Es ist der eigenthümliche Character der neuem
Beobachtungskunst, dass bei wichtigen Anlässen die Anzahl der Beobachtungen
sehr vervielfältigt wird, um den Einfluss der UnvoUkommenheit der Sinne und
der Instrumente (denn absolut vollkommen kann keines sein), so wie der un-
vermeidlichen von aussen störenden Ursachen, wenn auch nicht wegzuschaffen
(denn das ist unmöglich), aber doch auf einen sehr kleinen Theil seiner son-
stigen Grösse herabzubringen. Dieser Zweck kann aber nur dadurch erreicht
werden, dass man die einzelnen Fehlerquellen bei einer grossen Menge von
Beobachtungen auf vielfach verschiedene Art ins Spiel treten lässt. Daher
können namentlich die unregelmässigen Theilimgsfehler eines nicht wieder-
holenden Instruments nur durch Beobachtung einer bedeutenden Anzahl von
Sternen mit ungleichen Declinationen zur bestmöglichen Ausgleichung gebracht
werden, und der Vf. wählte deshalb 43 Sterne in schicklichen Lagen zur Be-
obachtung aus, von denen manche noch in keinem Stemverzeichnisse vor-
kommen.
Der zweite Abschnitt hat die Beobachtungen selbst zum Gegenstande, die
in Göttingen vom Anfang Aprils bis zur Mitte des Mai, und nachher in Al-
tona während des Junius angestellt wurden, und deren Anzahl sich auf 900
BESTIMMUKG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN GÖTTINGEN UND ALTONA. 61
beläuft; sie sind alle einzeln au%eführt, aber nicht in der ursprünglichen
Gestalt des Tagebuchs, was dem Vf. unnöthig schien und den Umfang des
Werks auf das Doppelte vergrössert haben würde, sondern sogleich nach den
Sternen geordnet, nebst ihren Reductionen auf die mittlere Stellung, für den
Anfang des Jahrs 1827.
Der dritte Abschnitt entwickelt die aus den Beobachtungen sich ergeben-
den Resultate. Das Hauptresultat ist der Breitenunterschied zwischen den
beiden Sternwarten, welcher, in Beziehung auf die Plätze der Meridian-
kreise, nach mehrfachen von verschiedenen Gesichtspunkten ausgehenden Com-
binationen auf 2®0'57i'42 festgesetzt wird, wobei nur eine wahrscheinliche Un-
sicherheit von 0'^07 zurückbleibt. Merkwürdig ist die aus den Beobachtungen
auf das Evidenteste hervorgehende Veränderung des Collimationsfehlers, welcher
bei den Beobachtungen in Göttingen 3^76, bei den Beobachtungen in Altena
1^39 betrug, und diese Veränderung auf dem obwohl auf das Vorsichtigste ge-
leiteten Transport erlitten haben muss. Diese Thatsache ist besonders wich-
tig, um das der altem lappländischen Gradmessimg gebührende Zutrauen zu
würdigen, der man mit Recht die Unterlassung des Umwendens des Zenith-
sectors an jedem Beobachtungsplatze zum Vorwurfe gemacht hat, imd bei der
die Gleichheit des Collimationsfehlers durch das, was darüber neuerlich in
einer sonst sehr schätzbaren Abhandlung vorgebracht ist, keinesweges befiriedi-
gend gerechtfertigt wird. Man findet hier femer die Beobachtungen des Vfs.
aus den Jahren 1820 und 1824, welche zur Festsetzung der absoluten Pol-
hohe der Göttinger Sternwarte dienen ; die Vergleichung des aus der hannover-
schen Gradmessimg folgenden Resultats für den Breitengrad mit den Dimen-
sionen des Erdsphäroids, welche Walbeck 1819 aus sämmtlichen zuverlässigen
frühem Gradmessungen abgeleitet hat; die Ansichten des Vfs. von den Un-
regelmässigkeiten der Erdfigur überhaupt; endlich die Vergleichung der aus
gegenwärtigen Beobachtungen folgenden Declinationen der Zenithalsteme mit
den BRADLETschen und PiAZzischen Bestimmungen. Merkwürdig ist bei einem
der kleinem Sterne (Piazzi 16. 291) eine Differenz von 10'^3 mit Piazzis
Catalog, in welcher man nach den vom Vf. beigebrachten Gründen eine
eigene Bewegung nicht verkeimen kann.
Der vierte Abschnitt enthält die Bestimmung der Breite der Sternwarte
Seeberg, aus den Beobachtungen, welche der Vorsteher dieser Sternwarte,
Iljl ANZSIOE. BESTIMMUNO DES BBEITEN UNTERSCHIEDES ETC.
Hr. Hansen, nach der mit dem Vf. genommenen Abrede gleichzeitig mit diesem
Uli denselben Zenithalstemen mit dem ERTELSchen Meridiankreise gemacht hat.
Das auf 206 Beobachtungen gegründete Resultat erhält ein noch erhöhtes In-
teresse durch den Umstand, dass die Seeberger Sternwarte mit dem hannover-
schen Dreieckssysteme durch die unter Leitung des Hm. Generallieutenants
VON MCffling gemessenen Dreiecke in Verbindung ist.
Endlich wird am Schluss noch das Resultat einer auf Veranlassung des
V£s. von Hm. Dr. Schmidt ausgeführten neuen Berechnung sämmtlicher bis-
herigen zuverlässigen Gradmessungen mitgetheilt, nach ähnlichen Frincipien
zwcur, wie der vorhin erwähnten Arbeit von Walbeck zum Grunde liegen, aber
mit schärferer Rechnung, mit Berücksichtigung sämmtlicher in den einzelnen
Gradmessungen vorkommenden astronomischen Funkte (nicht bloss der End-
punkte), und mit Zuziehung der in gegenwärtigem Werke enthaltenen Re-
sultate der hannoverschen Gradmessimg. Man kann diese Bestimmung der
Dimensionen des Erdellipsoids als das Zuverlässigste ansehen, was wir bis jetzt
aus sämmtlichen Breitengrad-Messimgen schliessen können, und es ist inter-
essant, dabei zugleich nach bestimmten Principien unsere Begriflfe von dem
Grade der Genauigkeit fixirt zu sehen, welcher dadurch bis jetzt erreicht
werden kann.
BEMERKUNGEN.
In dem Oiiginaldrueke deg BreitenunterschiedeB , der auch durch dai noch erhaltene GAUSSiche
Manuieript eontroUirt werden konnte, fanden gich in den Zahlenangaben eniige kleine Ungenauigkeiten, die
nur zum Theil berichtigt wurden.
Geändert wurde in dem yontehenden Abdrucke auf S. 9 die Angabe dea Originals fOr
die Deolination des Sternes 36: 60^38' is/i 3 in 60<*S8' 13712
» 9 9 » 40: 66 42 21,84 » 66 62 21,74,
da sonst die auf S. 22 und 27 mitgetheilten Beobachtungswerthe ftbr diese Sterne mit den nach der Aus-
gleichung übrig bleibenden Fehlem auf 6. S6 nicht in Übereinstimmung sind.
In dem n. Capitel, den Beobachtungen, sind einigemale kleine Änderungen von i bis 2 Hundertstel
Secunden in den Endwerthen vorgenommen, um diese mit den Beobachtungswerthen und den Keductionen
in Übereinstimmung su bringen; Yoraussetsung war dabei, dass die in die spätere Rechnung eingehenden
mittlem Endwerthe hierdurch nicht geändert wurden. Unverbessert mussten die folgenden Stellen bleiben:
8. 21 Bei Stem 26 (0 Draconis], Altona. Limbus West. Juni 16, folgt aus dem Beobachtungswerthe und
den beiden Reductionen der Endwerth um l" grösser, als angegeben ist.
S. 22 Bei Stern 26, Altona. Limbus Ost. Juni 2 7,^. ergibt sich, aus dem Beobachtungswerthe und den
Reductionen für den Endwerth . . . 34^98 anstatt . . . S4!'89. Der letztere Werth ist jedoch bei der
Mittelbildung benutst worden.
8. 26 Bei Stem 36, GOttingen. Limbus West, ist das Mittel der Endwerthe . . . 2i;'i4, tOi die Rechnung
ist der angegebene Werth . . . 21^13 verwendet worden.
S. 27 Bei Stem 40, Altona. Limbus West. Juni 22, ist der Endwerth, aus dem Beobachtungswerthe und
den Reductionen abgeleitet, um o^'io grösser, als dort angegeben ist.
Bdm IIL Capitel, Resultate, ist geändert worden:
8. 30 der Breitenunterschied aus den Beobachtungen des Stemes 39, für den im Original 2<>o' 68/61 steht,
in . . . 68^67, wie sich aus den Werthen ron 8. 27 ergibt. Der angegebene Werth des Mittels filr
den Breitenunterschied, 8. 30, wird dadurch nicht beeinflusst. Das Gewicht des Resultats ist, wie
angegeben, 2 1 3,42, wofür sich im Original 213,41 findet.
8. 34 im Art. 6, Z. 8 r. o., die Angabe des Originals für die Verbesserung des Collimationsfehlers in Göt-
tingen: — 0^012 in +o;'oi2, entsprechend den Werthen 3;'76 auf 8. 32, Z. 2 r. o., und s;'76 auf
S. 34, Z. 12 y. o. Die Nachrechnung hat die Richtigkeit des + Zeichens bestätigt.
64 BEMERKUNGEN. BESTIMMUNG DES BRETTENUNTERSCHIEDES ETC.
S. 46 in der Tabelle in der Columne für die Fehler
der erste Werth — o^'ai dei OriginalB in — o^'ao,
der letzte » — 0,23» » » — 0, 34 ;
femer die Summe der Producte der Quadrate der Fehler in die Gewichte, für die im Original twei-
mal 9,6184 angegeben iit, in 0,6164.
Nicht ge&ndert ist:
S. si bei Stern 9, Altena, da« Gewicht des CoUimationifehlen : 4,0 o, daa nach der Anzahl der Beobach-
tungen auf S. 15 gleich 6,3S sein muiB, weil mit dem Werthe 4,oo daa Endreaultat auf S. 32 ab-
geleitet worden ist.
Femer ist zu Art. 7, S. 36, folgendes zu bemerken. Da sich mit der hier angegebenen Summe der
Producte aus den Quadraten der im Art. 6 aufgeführten Unterschiede in die entsprechende Anzahl der Be-
obachtungen: 292,8349 nicht genau der daraus abgeleitete mittlere Fehler einer Beobachtung : i,"6308 ergab,
so wurde eine Nachrechnung dieser Werthe vorgenommen. Diese lieferte an Stelle des ersten Werthei
291,8422 und damit als mittlem Fehler einer Beobachtung + l!'6280 und als mittlem Fehler des Breiten-
unterschiedes + 0/103« an Stelle von Hh o''i038 des Originals.
Endlich ist im IV. Capitel in der Tabelle auf S. 63 bei Stem 31 der im Original angegebene Werth
der Zenithdistanz : +4® 48' 68/28 in + 4^ 67' 58/28 umgeftndert worden; der letzte Werth ergibt sich rück-
wftrts aus der nebenstehenden Breite und aus der auf S. 9 aufführten Declination für den Stem.
Die von Gauss in der Anzeige der Bestimmung des Breitenunterschiedes etc., S. 6i, erwähnte Ab-
handlung zur lapplftndisohen Gradmessung ist wahrscheinlich die Ton O. A. Rosenbeeoee : Über die, auf
Veranstaltung der französischen Academie, während der Jahre 1736 und 1737 in Schweden rorgenommene
Gradmessung. (Astr. Nachr. Sechster Band, 1828. S. 1—32,.
Keüoee, Böesch.
ERDELLIPSOID
UND
GEODÄTISCHE LTME.
IX.
NACHLASS.
Das [Erdjellipsoid.
Es sei a die halbe grosse, b die halbe kleine Axe; eines Orts astrono-
mische Polhöhe cp, die sogenannte verbesserte Polhöhe 9' [und die reducirte
Polhöhe (p]; Abstand vom Mittelpunkt r, von der Erdaxe o?, vom Äquator y^
Da sodann vermöge der Gleichung der Ellipse ^ -f- 1| = l ist , so kann
man
jß = rcoscp' = acos^, ^ = rsincp' = ftsincp
setzen. Nennt man femer s den elliptischen Bogen zwischen dem Orte und
Äquator, so hat man
— sin (f.ds = d.r, cos cp . d5 = dy.
also
Hieraus folgt
Femer
sin cp . d* = fl sin ']/ . d(|;, cos cp . d^ = 6 cos ^ . dcj;.
tang ^ = - tang 9, tang cp' = — tang cp.
I a cos CD / cos 9 cos » ' / aa cos 9
COS 6 = -j-, , ,\, . — i7 = i/ — - — ^5 coscp : ^
* y (aa cos «p* + 00 smcp*) y cos.cp — «p') ^
I bBinw / sin 9 sin 9' > t
^ ^ {aaeosff* + hbBm^*) y cos 19 — 9'; ^
|. = / a*cosy» + &*8in9' __ ^ / cosy ___ ^ / siny
y aa cos 9* + 66 sin <p* y cos 9 'cos (9 — 9') y sin^'coi» (9 — 9')
V^(a-
' cos 9'
&6I
sin 9
sin
«p*.
■ v/(a^
^ cos 9"
sin 9
+ 6»
sin
?•)
9
*
68 NACHLASS.
ee = 1 •
aa
w m
Ist ein Quadrant des Erdmeridians = Q, so ist ein Quadrant des Äqua-
tors [vergl. Band IV, S, 330]
Für die Abplattung ,4^ ist e = ^, löge = 8,9044836
ee. . . 7,808 9672 e* 5,617 9344 e* 3,426 9016
^ 9,3979400 Vr • • • 9,0389180 V<V • • • 8,7678513
Quadr. des Äqu. [wenn Q= 10000000 Meter gesetzt wird:]
100 16 103^015
45,379
0,157
100 16 148?551 7,000 7008
2
. . . 0,196 1199
loga = 6,804 5809.
Abplattung = co, 6 = a (1 — co), ee = (2 — a>)a>.
£= 4'39'3i;355, tang^JE. .. 8,609 3534
««...7,819 3287 e* 5,638 6574 e' 3,457 9861
i ... 9,397 9400 VV • • • 9>038 9180 ,VW •• 8.76' 8513
[Für Qss 10000000 Meter ist mithin der Quadrant des Äquators:]
DAS ERDELL1P801D. 69
10016491^8250
47,5954
0,1682
10 016 539»5886 7,000 7177 118
2
. . . 0,196 1198 770
loga (in Metern) = 6,804 5978 348
[Da der] Meridianquadrant = 5130878,3 Toisen [ist, so ist]
loga (in Toisen) = 6,514 7893 106.
Zahlen, das Erdsphäroid betreffend.
Abplattung = g^^» ee = -^^n^ log^<? = 7,81918 5039945.
[Der Umfang des Meridians ist =] Peripherie des Äquators mal
1.^ 4 1.8.15 g 1.8.15.35 8 1.8.15.85.68 to
16^ 4.16.86^ 4.16.36.64^ 4.16.36.64.100^
f 1.8.16.36.68.99 » 1.8.16.86.68.99.148 u] \
[ 4.16.36.64.100.144 4.16.86.64.100.144.196 J "'/
iee = 0,00164 86370 23537 4099
Vir«* = 20385 03026 5312
Tir«' = 56 01252 6094
ttiitg* = 20200 3209
THir«" = 83 9236
tAWtt«" = 3805
[t*VAVA « g'*3 = 18
0,001650681148101 1773
Summe der Reihe = 0,99834 93188 51898 8227
Logarithm. . . . 9,99928 252599a
''*'"^"" 6,80388 0122970
loga = 6,80459 7596978.
70 NACHLASS.
2.;
Gleichung der Verticalebene des Rotationsellipsoids.
Für die Örter im Schnitt der ( )berfläche des Ellipsoids mit einer Ebene,
die bei der Länge 0 , Polhöhe 9* auf jener senkrecht ist und den nordlichen
Theil des dortigen Meridians unter dem Winkel ^ schneidet, ist die Bedin-
gungsgleichung diese:
cos "5 cos / «in 9* . cos 9 sin X cotanj? C* 1 — ff sin ^ cos 9* efcos^'fino*
V' 1-ffsin^* \ 1 -fesin 5* \' 1- fesin 9« ^/ i-^esin©»*
oder einfacher
1 — ffgmp*
cos^cosXsin^^-fcos^sinXcotangC^— \ — ee sin9cos9®=^ecos^®sin^®4/ — ^^5^.
Gleichung des rRotations>llipsoids in Beziehung auf eine berührende
Ebene :
afx'\ —eesinZß^ 4-y^(l —ee^-^-xzee^m'lrL-^-zz'X — ^ecos'x* ri —, — r = '^.
[Die a?-Axe ist Tangente der Meridianellipse, positiv nach Süden; die sr-Axe
fällt mit der Richtung der Normalen zusammen und ist positiv nach dem In-
nern des Ellipsoids.]
i^Man hat auch:^
(g; sin y — £f cos yy , (xco^^-^- ZBmr^y , yy 2z
a I \ ^ I ^ aa ay^ 1 — ffsiuy*
[Setzt man]
X = 6" cos 0 cos 0
y = s cos ö sin 6
z = s sin 8,
[wo 8 der Depressionswinkel und 6 das Azimuth ist, so wirdj
«fl +73^ (cos 9 cos 6 cos 8 + sin cp sin 8) )J {\ — ^^sincp*) = 2asin6.
[Angenähert ist]
. -i 8 cofl ^ sin 6 v^ 1 — c e sin 9*
Sin A = ^ .
acoBcp
DAS ERDELLIPSOID. 71
BEMERKUNGEN.
Die Notiz [i] ist einem Handbuche entnommen; die dazu gehörigen Zahlenwerthe fanden sich in
zwei andern Handbüchern; die Zahlen, das EUipsoid betre£Pend, sind auf die letzte Seite des OAUSSSchen
Exemplars der »Mathematischen Abhandlungen von Dr. H. F. Schebk. Berlin, 1825« eingetragen. Der
Abplattungsverth ^1^ war der vom General ton Müfflinq bei den preussischen Vermessungen zu Grunde
gelegte. Wie aus dem Briefe an Olbers vom 18. April 1822 hervorgeht, hat Gauss im Anfange seiner
Gradmessungsarbeiten aus Versehen an Stelle des WALBECKschen Werthes die Abplattung — benutzt.
802,08
In der That finden sich verschiedene Tabellen und Rechnungen, die hierauf beruhen. Gauss, der anfangs
diesen Werth beibehalten wollte, entschloss sich jedoch später (vergleiche den Brief von Gauss an Olbers
vom 1. Mbrz 1827] zu Walbecks Werth — - überzugehen. Dieser liegt also der Berechnung der Gauss-
3 0 2,78
sehen Messungen zu Grunde. Die L&nge des Meridianquadranten ist nach Walbeck 6130878,22 Toisen
Dissertatio de forma et magnitudine telluris ex dimensis arcubus meridiani definiendis. Aboae, 1819).
[2] und der erste Theil von [8] gehören demselben Handbuche wie [i] an ; der zweite Theil von [8]
fand sich auf einem einzelnen Blatte.
Krüqer, Börsch.
NACHLASS.
[»0
Begründung meiner Theorie der geodätischen Linie.
[£s bezeichne]
9 Folhöhe, X Länge, C [nordöstliches] Azimuth, s Orösse [einer geo-
dätischen Linie; femer sei a die halbe grosse Axe und e die Excen-
tricität der Meridianellipse].
Aus bekannten Gründen hat man [wenn r der Radius des Parallel-
kreises ist]
r sin C — const.9
also
— ^ ^ » J. = const.
Man setze
cotangC = t,
so ist
(l-.ee + eecofl<p*)(l + «) _ of — (1 - eg + eecos y'*) (1 + i't^)
co«9* "" ' — cos 9'*
oder wenn man ee subtrahirt:
1 — e g + (1 — e g Bin 9*) « 1 — ee+{l — eeBinff'*)t't'
co8<p« cos «p'"
Macht man also
so wird
cos 9 sin 12 = cos 9' sin 12' = const.
GEODÄTISCHE LINIE.
78
Man schreibe
so ist
i)
2)
3)
3*)
4)
6)
[Nun ist
/l-eeain<p* _ ^
V 1-ee --^'
tangC = iltanglS
sinfi
=
cos
9 sin.
K
cos 12
^
cos
^v/-
— «eco»Ä*
l — ee
sin 12
— .
sin
Ci/4
— eeeo»H*
tangP = sin^tanglS
tangQ =
tangH =
tangy
oosJR
iinP
tang9
d^.cosC = d^.coslil/j-3^
— ee
d^ . sin C = d^ . sin E l/ ^
cobH*
l — ee sin 9*
eecosH'
(1 — ecBin^p')"
(1 — eesin^*}»
Da aber
ist, so wird]
coslS.dQ = dcp
sin E . d Q = cos cp . dP
da v^(l-ee)v^(l-eeco8lP)
dg v^(l~eecogg*)dX
adQ "" l~«sin«p* dP'
[also]
10
74 NACHLASS.
oder wegen sin 9 = cos Hsia Q]
r'^ "■ ll-co«Ä»iing-)v/(l-eeooiÄ»img»)^^J
[2.]
Kürzeste Linie auf dem Sphäroid.
C Azimuth, nordöstlich gezählt.
Es sei
-;"'^"!^^, = cos J,
welches constant ist,
v/;l— ee) ^^
[t hat hier dieselbe Bedeutung wie vorher 90®— fl]
^=sinP, fe=sinQl,
SO ist:
cosP8in/= cosC
cosPsini = cosiZ
-n coeCv^d — ceBmf*)
cos/v = ,-, --:
«;« 1? BinCv^{l-eeBinf»)
Sm Ä = — , . — i: —
fern«» P — tangCy/q-ge)
tangÄ= ^^i^,,.i^^»
dX = dPi/, ^"'"-i
d^ = adQ
9'
1 — ee
(1 — ee cos I*)^ il — eeBin «p*)»
j /^\/(l — eejv'll — eeBint")
(1 — eesin^*)*
GEODÄTISCHE LINIE.
75
[Da]
[ist, Bo wird auch]
dC = dP . sin 9 1/ ^-^^^A?-.
^ V 1 — ««Bin?
[oder wegen dP.sin^ = dR]
^ V 1 — ecsincp"
Man setze
v/^^^-=^
acoBR
a
[so ist:]
co8C^(l-e«) \/ (1— ee)v/(l — c«cos/'j
ji- = const. = B,
dQ = ^d^
dX =
dC =
dP
dB
Zur indirecten Bestimmung von 9' — 9, 1?' — JR, AP sind folgende For-
meln sehr bequem, wo Kürze halber
9* = i(? + 9'). R* = i{R + R')
geschrieben ist.
(xr-ff*
go*"
9-9
R'--R
AP
= a . A Q cos R*
= ß . A Q sin Jß^ tang cp^
_ ^QBJnB*
I ' cos 9*
10*
76
NACHLASS.
loga
logß
_ m+aiv
~ 8
m+ai
8
»IV-I
8
m-n
8
I = logsec^^AQ
II = log sec ^ (9' — 9)
ni = logseci(Ä' — Ä)
IV = logseciÄP
und zur Controlle: I + in = II+IV.
Beispiel.
[Gegeben sind 7, A« und C; die Azimuthe sind in diesem Beispiel süd-
östlich gezählt. Die Rechnung bezieht sich auf ein Ellipsoid, dessen Ab-
plattung 3^ ist.]
Kirchhesepe <p = 52* 37' 32;228 C = 284» 54' 46;i85 R = 284* 55' 48^901
Queckenberg <p' = 52 32 23,593 C' = 285 19 35,649 Ji'=285 20 40,189
<p*= 52 34 57,910
J. ... 0,0005306.81 [loga = 6,8045978
A'... 0,000 5327.56
tangC .. 0,574 5975,
l:A ... —5307
logp = 4,685 5749]
COsC . • • 9,410 5228
cos£. . . 9,411 0183
tangJB.. 0,574 0668,
l ^ 0,000 0018
n = 1
lll = 29
IV = 45
—4955
8.508 3901
8,507 8946
-1-15952
8.509 4898
äs 4,563 0874
v^(>-g«)
«P
l:B..
A** ..
JB*= 285 8 14,545
AQ 3,072 5772
cos Tg*.. 9,416 8638
2,489 4410
a -1-40
— (y' — <p) == 308^635
AQ 3,072 5772
sinJB* ..9,984 6634.
3,057 2406.
tang(p*. .0,116 3188
COS<p* . . 9,783 6284
AQ 3,072 5772
ß
3,173 5594.
-1-22
R'—R. . 3,173 5616
AP 3,2736131
l.A*... —5317
C— C= 1489^464
X= 1875^346
= 31'15;346
Jg — JR= 1491^288
3,273 6122
T +9
AP= 1877^643
GEODÄTISCHE LINIE.
77
Alle diese Vorschriften lassen sich mit viel einfachem vertauschen,
wenn man die wahren Azimuthe beibehält und veränderte FolhOhen ^ einfuhrt,
so dass tangcj; = ^{l—ee).tajig(f wird.
Hülfstafel für C.logv^(l — ^^fsintp*); C.logv^(l — «e) = 14372.073
[in Einheiten der 7. Decimalstelle] .
48" 0'
7925,420
50" 0'
8422.342
52" 0'
8913.294
54" 0'
9395.884
4
42.053
4
4
29.528
4
8
58.683
8
55.284
8
45.753
8
9427.701
12
75,309
12
71.745
12
61.969
12
16
7991.932
16
8488.200
16
78.175
16
59.469
20
8008.550
20
8504.648
20
8994,371
20
24
25.163
24
21.088
24
9010.558
24
9491.188
28
41.772
28
37.521
28
26.735
28
32
58.376
32
53.947
32
42.902
32
9522.856
36
74.976
36
70.366
36
59.059
36
40
8091.571
40
8586.777
40
75.205
40
54.474
44
8108.162
44
8603.180
44
9091.341
44
48
24.748
48
19.576
48
9107.467
48
9586.042
52
41.329
52
35,964
52
23.583
52
9601.806
56
57.904
56
52.344
56
39.688
56
17.557
49 0
74.475
51 0
68.716
53 0
55.783
55 0
33.296
4
8191.040
4
8685.080
4
71.868
4
49.022
8
8207.599
8
8701.436
8
9187.941
8
64.734
12
24.154
12
17.784
12
9204.004
12
80,433
16
40.703
16
34.124
16
20.056
16
9696,119
20
57.246
20
50.455
20
36.097
20
9711.791
24
73.783
24
66.778
24
52.127
24
27.450
28
8290.315
28
83.092
28
68.146
28
9743,095
32
8306.840
32
8799.398
32
9284.154
36
23.360
36
8815.695
36
9300.150
40
39.876
40
31.984
40
16.135
44
56.385
44
48.264
44
32.108
48
48
64.535
48
52
8389.374
52
80.797
52
64.019
56
56
8897.050
56
50 0
8422.342
52 0
8913.294
54 0
9395.884
[Dieser Tafel liegt die Abplattung g^^ zum Grunde.]
78
MACHLA8S.
9
X
c
8
[«
e
[Es ist]
[3.]
Geodätische Linie.
. Breite
. reducirte Breite]
. Länge
. rsüdöstlichesl Azimuth )^_ -..^. , t«-i
"■ ■■ } [der geodätischen Linie]
• Grrösse )
. halbe grosse Axe
. Excentricität].
^(1 — «e).tang9 = tang(p
£s sei
so wird
[Da]
1)
[so ist]
CO89
(1-
V^(l — cewn^")
4 / 1 — ee
ee sin 9*) (1 — ee cos (p*)
sin (p cos 9
1 — eesin^* »
COS(p
sincp
1 — e^
dj^
sin ^ cos «l'
= df
«?•?«««= cos/ =C0I18t.
V(l — eesmy')
dX[= d^.sinC^'^-T°^''] - ^'""^
[ acosf
-dy = dg.cosC ^,_J
acos^/
-d«|* =
df.cosC
av'il— e«co8<j;*)
d«
dX
^^ ~ av^d-eecos^;«)' ^' "" ^(l-eecos^*») '
do.sinC
il^^tli!^, _ d(L = do . cos C.
cos 4* ^
cos (p sin C = COS /,
GEODÄTISCHE LINIE. 79
1 d<|i . C08 ^ diinU'
0 = arc cos -r-4 + const.
Setzt man die Constante = 0, so wird
2) sin cp = cos o sin /
[und daher]
3) cotang / = tang C sin o.
[Weiter ist]
d^ = -ÄtangC = -
d^ ,cobI
cos ^ ^ COB ^ ^ (008 ^* — C08 I*)
cotanf^ J.dtang^
V^(l — cotang J* tang «l^")
/ = arc cos (cotang /tang(p) + const.
Also wenn man die Constante = 0 setzt:
4) tangcp = tang /cos/,
[folgUch]
5) sino = sin /cos ^
[Mithin wird]
m\ J » COB I j COB J* j
7) dl = — iido = — -i — =-do.
/ COB^' COB 9* COB J
Das Integral fds wird leicht durch 2 und das Integral fd\ durch 2 und 7
gefunden, nemlich
[dX = {l—eecos^*fdl= (1 — i<?«coscp* — i^^coscp* — ...)dq
dX = d2 — l^ecos J. dojl ■■\--^ee{l — cos o* sin /*) -f- ^tc. }
|~ = do — |ee(l — coso'sin/*)do|l +|-^e(1 — cos o* sin /*) + etc. } ] .
80 NACHLA88.
[Geodätische Übertragung von Breite, Länge und Azimuth.]
[Es bezeichne p die Grösse des Bogens von einer Secunde in Theilen des
Halbmessers, M den Modul des gewählten Logarithmensystems, femer a die
halbe grosse Axe der Meridianellipse des Rotationsellipsoids und e deren
Excentricität. Weiter sei
' ^Ä ,,._y =F
af[l — ee) I2aa{l — ee]
1 __ n Met __ ft
af ~ 12aa(l-ee; ~
= C ^ee^ — H
1 = ^'
C(l — 3*e-f-2e«8m9*) = C
. i)Q*(l-8«e8m9*) = D'
F
6^ Bin 9* ^r
fl'Q*(l— (2 — 4ee)8in<p*— 3<!<?8in<p*) = IT
[Sind A9, AC, AX die Breiten-, Azimuth- und Längendifferenz de8 Anfangs-
und £ndpunkte8 der geodätischen Linie s, femer 9 und C die arithmetischen
Mittel der Breiten und Azimuthe in beiden Funkten, so ist:]
GEODÄTISCHE LINIE.
81
A9 = Ä'.scoaC .Zahllog(i;'AX» + C'AC*-irA<p*)
AC =£'.« sin Ctang(p. Zahl log (F'w +C'AC*+ l'Aip»)
.Zahllog(G'«* +C'AC*-J5'A(p»).
AX =£'.*
BinC
COB9
[Die Coefficienten -4', B\ C, D' u. s. w. haben als Argument 9.]
[Beispiel.]
[Übertragung der geographischen Coordinaten von Göttingen, Sternwarte, 1,
nach dem Hauptdreieckspunkte Hohehagen, 3. Die Azimuthe sind hier süd-
westlich gezählt; die Länge ist positiv nach Westen.]
51^ 31' 48;'1782 = 91 64^ T 17^:5880 = Ci
51 28 31,3844 = 98 243 52 52,6744 = Ca
51 30 9,7813 = <p 63 57 5,1312 = C
— 3 16,7938 = A<p —8 24,9136 = AC
s 4,141 3507
Ä' 8,510 0643
B' 8,508 9486
Ä's 2,651 41 50 B's 2,650 2993
cosC • • ■ 9,642 5960 sinC 9,953 4804
2,294 0110 2,603 7797
+ 5 tang(p. .. 0,099 4371
— A(p = 196"7938 C08<p 9,794 1237
2,703 2168 2,809 6560
+ 3 +1
— AC= 504^9136 AX = 645^1431
SS 8,28270 A<p* ... 4,58802 AC* ... 5,40643 AX* ... 5,61931
F 1,95052 —D'.. . 4,61510« C 4,62648 E' 4,93087
G' 9,55683 T . .. 3,24304
— H'. . . 2,26361
— ff A<p' = 0.000 F' 55 = 1.711 G'ss = 0.007
C'AC* =1.079 rA<p*= 0.007 — D'A<p* = —0.160
E'AX* =3.550 C'AC*= 1.079 C'AC* = 1.079
n. 11
82
NACHLAS«.
51"
logA' 1 logB'
logio'.J"
log 1 (^^ G'
».».... -1«
loglo'.D'
logl0^r
S,J4...-10
iog{- io\ir,
loglo'.Cloglo'.F
<,8JB..-lft <,,10l.-lt|
s;::::
93
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4,BlfiSS 4.O0S*
nutzt worden.'
GEODÄTISCHE LINIE. 83
[5.]
Das Resultat der neuen Methode für die kürzeste Linie auf dem Sphäroid
ist [wenn das Azimuth südwestlich und die Länge nach Osten positiv ge-
nommen wird]:
^^^2e6^^^ee^n^*) [Logarithmus:^ 8,512 701 7. 130 -1 0 - j C. log(l-e^sincp*)
^ ^ 206265,l--ee>ipy«j ^^ 8,509 8272.984-1 0 - -J-C. log(l-^esincp*)
^ = 2räw '' 4,6287228.053-10
^^^ J_-e^^ „ 4,6315972.199-10- C.log(l-^^8incp*)
7 = ^-206 265* » 1,6512518.167 — 10— C. log(l — eesincp*)
^ = 1-^"»^',' " 4,6258483.907 — 10 + 2C.log(l — e^sincp*).
a, ß, f, ^ werden in Einheiten der 7. Decimalstelle erhalten, il und B sind
im vorigen Art. mit A' und -B' bezeichnet worden. Bei den Zahlenwerthen
ist die Abplattimg 35268 ^^^ ^^^ entsprechend
log(l — ^^) = 9,997 1255.854
benutzt worden.]
loga = 6,804 5978.348
log206 264,806 . . = 5,314 4251 . 332.
I = a.8C* log(l) = I + 2II
II = ß.8X* log(2) = I + 2III
III = 7. SS log(3; = II-III = I-IV
IV = a . 8cp* Proxime I + IH = II + IV.
Acp = — (Ij^.^cosC
A^ = —(2)B.s sin C tang cp
CO! 9
Bei diesen Rechnungen sind für C ^md cp die Mittel der Werthe, die an
den beiden Punkten Statt linden, zum Grunde zu legen. [Die Coefficienten
il, B, a, ß, Y, d gehören zu diesem mittlem 9. Die Grösse c = p • -^ = — - — z^J—-l-i
der Tabelle auf S. 84 dient zur Berechnung des Excesses.]
11*
84
NACHLASS.
50"
[log^
logB
logß
logT
log*
logt
8,5101...— 10
8,5089...— 10
4,639..— 10
1,6495.-10
4,839..— 10
1,403.. -lOj
o'
8,510 1751
89
37
14
8,510 1703
8,510 1690
8,508 9858
53
48
48
89
8,508 9835
4,63991
1,64957
1,64957
1,64956
4,83933
4,63933
4,63933
1,40371
1,40370
77
8,608 9881
1,40370
65
37
1,40869
53
38
4,63991
40
19
4,63990
10
38
8,508 9815
4,63933
11
15
8,508 9811
4,63934
13
8,510 1608
06
1,40369
13
8,610 1691
8,508 9803
1,40388
14
78
8,508 9798
15
66
8,608 9794
1,64956
16
64
8,608 9700
1,64965
4,63934
17
41
86
4,63936
18
39
83
1,40368
19
17
78
1,40367
30
8,610 1604
8,608 9774
31
8,510 1493
8,608 9769
4,63990
33
80
65
4,63989
4,63935
38
67
61
4,63936
34
55
67
1,40367
35
43
8,608 9763
1,40366
36
31
8,608 9749
37
18
45
1,64965
38
8,510 1406
41
1,64954
39
8,510 1894
37
4,63936
80
81
8,608 9783
4,63937
1,40866
31
69
8,608 0738
1,40365
33
57
34
38
44
30
4,63989
84
83
16
4,63988
36
30
8,608 9713
4,63937
36
8,610 1307
8,608 9708
4,63938
1,40365
87
8,510 1306
04
1,40364
88
88
8,608 9700
SO
70
8,608 0696
1,64964
40
68
8,608 9691
1,64963
41
46
8,608 9687
4,63938
43
84
' 83
4,63939
1,40364
43
31
79
1,40363
44
8,510 1309
76
46
8,610 1197
8,608 9671
4,63988
46
84
8,608 9667
4,63087
47
73
63
4,63939
48
60
69
4,63930
49
48
66
1,40363
50
36
8,608 9660
1,40362
61
38
8,50S 9646
1,64963
63
8,610 IUI
43
1,64963
63
8,610 1098
38
4,63930
54
86
34
4,62931
66
74
8,608 9630
1,40363
56
63
8,608 9636
1,40361
57
49
33
4,63987
58
37
18
4,63986
4,63931
59
36
14
4,63933
60
8,610 1013
8,608 9610
4,63986
1,64953
4,63933
1,40361
(Bei der Berechnung dieser Tabelle ist der Abplattungswerth ^^^^ benutzt worden.]
GEODÄTISCHE UNIE.
85
[6.]
Vorstehendes [Art. 4 und 5] ist die indirecte Auflösung. Direct ist es so
zu machen:
^(1 — ^^).tang9 = tang^
V(l-^^sin9*) = '-^ = J-lz
o 8 .1 \ — eeiinf*
a V 1 — ee
— te
[wo 8 die lineare Lange der kürzesten Linie auf dem EUipsoid ist]. (Eigent-
lich soll hier statt 9 genommen weiden 4- (cp -j- 7'))* ^^^ ^^^^ ^^ sphärische
Dreieck auf, dessen
Seiten I Winkel
90»- «|;
90"- f
8
180»-C
[Vei^L Band IV, S. 286 u. f.] Meine Fonneln geben hier
8iniC8in(45"-i<I>-i-8)= sm i (C- i) sin (4 5»- i «p")
C08iCsin(45«— i<I; + 4--S) = cosi(C'— i)sin(45«— •l-tj»')
8iniCcos(45"— 4-^ — 1 Ä) = sini(C'-j-i)cos(45"— i^')
C0S4-CC08(45<'— i<I>+4-S) = C08i(C'+2y)C08(45'— ■J-^'),
und es ist dann
tai»g ?' = -^r^^ i^^ angenähert] 9 - <p' = (<}, - (}<') ^ ^ '/-"«f
V'd-««)
X = i\/(l-«eco8(L**) = il/ - -^-"
C ist südwestlich und C' nordöstlich gezählt; X und L sind nach Westen positiv].
Vortheilhafter sind jedoch hier folgende Formeln:
sin(j;'= sinc{;cos/S — cos cp sin Ä cos C
cos^'cosC'= sin (j; sin Ä 4- cos ^ cos Ä cos C
cos if' sin C = cos if sin 4-
^g NACHLASS.
Also
cotang C = cos ö cotang L, + ,.^^ ^
oder näherungsweise:
cotangC = ooUngC(l - ä^l^=^')(l+ ^- JVC -«=in<P*,)
Femer
cos cp'cos L = cos ^ cos S + sin cp sin S cos C
cos (j;' sin i = sin S sin C-
Näherungsweise bis zur 2^**^ Ordnung
i_^««^._M^cosCsinC.
Obiges Problem kann auch so aufgelöst werden:
1; tangcp = v^(l — ^«;.tang9
2, tang u = tang S cos C
•^ ' ^"o ^ "~ coB (^; - u) cos ^; - u
tang cj>' = tang (^ — w) cos L
. f tai
tangcp = ^
tang/) = tang C cos iS
tang q = tang 'ij^ — w; sin C sin S = tang L sin (j^'
V 1 — ccsm^'
4}
5
tt
7
8,
9'
Setzt man
tangy'
ee
tang ^I^ — u = y/(i — ee) . tang (cp — w) ,
so ist hinlänglich genau
W = (4;-4. A'COSC,
_ l-eesin?pV« J j .^ _ , ^ l-eesmy»_
a,l — ee
1- ee
WW
(1 — eeaiuf*)*
GEODÄTISCHE LINIE.
87
[Ferner ist angenähert]
P =
et
aa
log (5) = i[i-fv.
7.
Musterrechnung.
[Übertragung der geographischen Coordinaten von Mannheim nach Seeberg.]
[Hiebei ist der Abplattungswerth 3Ö268 ^^^^*'^t worden.
1. Anwendung der Formebi des Art. 5.]
Mannheim 9 = 49®29'12;'930
Seeberg 9' = 50 56 5,514
C = 224^18' 2;'100 logÄ
C = 226 2 41,480 AX
9* = 50 12 39,222 C^ = 225 10 21,790
s 5,358 6482 s 5,358 6482 a 4,62872
B 8,508 9799
sinC" 9,850 7902«
A 8,510 1594
cosC*^. . . 9,848 1718«
(1)
3,716 9794n
737
tang cp'
Acp = 5212;'584
AC = 6279,380
AX = 8170,868
coscp
^2)
M:
;3)
3,7184183«
0,079 4351
9,806 1553
3,797 8534„
633
3,912 2630n
52
oC*. . . 7,59571
I = 167.66
211 = 569.46
2III = 465.46
7 1,64955
SS ... 0,71730
III = 232 73
= 5,358 6482
= 2^16'10;'868
ß 4,62990
8X^ . . 7,82453
II = 284.73
d 4,629?4
öcp* . . 7,43396
IV = 115.66
[2. Anwendung der Formeln des Art. 6. 1 Directe Methode.
tangcp 0,068 3004 oder genauer: ~|(:^~^^|sin(y-l-^) = sin (9
\j:\ — €e) — 1 4372
1 l — ^,l — ee,
-^)
tang^ 0,066 8632
, . /, _ 2,533 1319
sin((p + (J>) 9,994 7628
+ 2
cp — <]; = 5'37;'206
cp — ^ 2,527 8949
88
NACHIASS.
4» = 49''23'35;724
90"—^ = 40 36 24,276
45" — i«|; = 20 18 12,138
4^5= 1 1 38,582
45" — t}^^ — |S= I = 19"16'33;;556
450_j.<P-|_|fif = II = 2119 50,720
iC = 112 9 1,050
1:^(1 — ««) 0,001 4372.07
1 : ^(1 — ««8in<p**) 8474.43
s
8
0,000 5897.64
1,490 1727.02
1,489 5829
5,358 6482
sini . . 9,518 6703
sin^^C • • 9,966 7039
COSi . . 9,974 9441
sin II
cos II
9,5608046
9,5763844,
9,9691810
sinf Csinl .. 9,485 3742 siniCcosI .. 9,9416480
cosKsinll . . 9,137 1890, cosiCcosII . . 9,545 5654,
8in|(C'— i) . . 9,960 1922 8iiii(C'+I') • . 9,9675138
\/
. . . 3,869 0653
<S= 7397"164
4 (C— i) = 1 1 4" 9'3i;723
i Ü'+L) = 111 53 9,737
C'=226 2 41,460
— L= 2 16 21,986
= 818i;986
L 3,912 8588.
1 — ee
1 — «««ny»
8in(45'—|4*').. 9,525 1820 co8(45"—i(p').. 9,9741342 X 3,9122690,
<P'= 50''50'31"424
— X = 8170"883
tangf ...0,0891844 fjf^^
V(l -ee).. ... + 14372 gi^ (^'4. ^') .
0,0906216
2,5331319
9,9907603
+ 2
(y'= 50"56' 5^536
2,523 8924
(p'_<P'= 334"112
Also Differenzen von den Resultaten der vorigen Methode
beim Azimuth —0^020
bei der Länge -|- 0,015
bei der Polhöhe +0,022.
[8.]
[Geodätische Übertragung auf der Kugel.]
[Für die Kugel ist angenähert, wenn R den Bogen des grössten Kreises,
dividirt durch den Radius, bezeichnet]
GEODÄTISCHE LINIE. 89
A9 = Bco8C^.5i^^8eciAX
AC=i28inCtang9ifi-,-^
[wobei wieder C und (p die Mittel der Azimuthe^\iiid Breiten des grOsst^i
Kreises in den Endpunkten bedeuten].
[9.]
[Berechnung der linearen Länge der geodätischen Linie und ihrer Azimuthe
aus den geographischen Coordinaten.]
[Es sei
r die lineare Länge der geodätischen Linie einer Rotationsfläche
f 1 die geographische Breite des Anfangspunktes
^-|-^ die geographische Breite des Endpunktes
N das südwestliche Azimuth des Endpunktes im Anfangspunkt
M das nordöstliche Azimuth des Anfangspunktes im Endpunkt
X der Längenunterschied.
X wird als positiv angesehen, wenn der Endpunkt westlich vom Anfangs«
pnnkt liegt.]
dr = ^(;?|>d*'-f"icicdX*)
p = a4-6*+ic«+idf*H
[Nach den Disqu. gen. c. superf. curv., art. 22, Band IV, S. 249, ist:]
-g^ =1 —pcosM m^y- := TzcosM
^ = TzsiaM = osiniV^ m-gj =pBixiM.
[Aus der Gleichung
folgt:]
O. 12
90 NACHLASS.
rr = aa«-f aoXX-f a6**+aß*XX
+ (iac+i66)**+(i5|£_|-^aT)«XX-^^X«...
[und hiemit, da
ist:] ^
-rcos3f=a*+tft"+i^XX4-ic*'+(i^-+^)*XX...
rsmlf=aX * +(^^_^^)«X-i«^X«. . . .
[Aus den Gleichungen
r cos iyr = -■ i r cos M ?iJ:^ + i r sin M ^^^^
rsiniV = — -rco8M-i-57 — ^H — rsinJi-^-sT — -
p at * n CA
= — sinAi
a
ergibt sich weiter:]
-rcosi^r = a*+i6«-f ^XX+ic<«+(i^P-iy-i^)*XX. . .
rsmN^aX +ß*X +(^^+|T)«X-i^X». . . .
[Femer ist:]
— cosJtfgl+J'siiilf-gj^ = Bin M ^ -{- % cos M -gr^
/^smlf-^ = iccosM-^)
[folglich, da hier gf = 0 ist, und wenn
JV-lf = A
gesetzt wird:]
[oder]
(a + ß*+*T«.--)(«'+ift«+f^^X+ic<«+(i^-i^)«XX...)
+ (a4-6*+ic«. . .)(aX * 4-(^M_^^)«X-i^Px» . . .)
v^dA "MjT^^ «iT^^
Tcrcosill-g^— l^rsin-fll^ = rsrnJIf-
ÖA
ÖA
dk
GEODÄTISCHE LINIE. 91
[oder]
[woraus folgt:]
a ' 2aa ' \' a ♦ aa • aa • aa ' * a* ' • aaa/
gP(aT-6P)%i
12a* '^ • • • •
[Setzt man
M±N_ .
2 ~" ^»
also -M = J. — + A und iV^= il + ^A, so wird zunächst:]
r cos iisin 4^ A = ^-ßA + l-^WX . . .
-rsin48miA = i^XX + (i^ + i^-i^)<XX..c
-rco84co8iA = a*+i6«+ic<»+(^^-i^-,V^)'XX...
rsin ^cosiA = aX + iß«X + (i^+,VT)«^-i^^'- • •,
[mithin]
-rcos^ = «,4-^6«+^cf«+(Vr?-i^-TV^)<XX . . .
r8in4 = aX + ißfX + (i^+-,VT)«^— rtr^X».... .
[Reducirt man die Coefficienten a, 6, c . . . , a, ß, y - * • 9 ^^^ ^^^^^ Argument
^, gehören, auf diejenigen Werthe a\ 6', c'. . ., a', ß', y'« • •» die sich auf das
Argument ^i + i' ^^ziehen, setzt man also a = a'— 4-6V+ic'« — xV^'** • • •
u. 8. w., so ergibt sich :]
-A=-g;x+uj;-^4Jg;-ig;^4-i^:)»x-''p'y-^^''x«... .
a' ' \* * a' * * a'a' • a'a' ' ' a'a'a'/ 12a'*
[Für das abgeplattete Rotationsellipsoid ist, wenn zur Abkürzung
12*
92 NACHLASS.
gesetzt wird, und Oq die halbe grosse Axe besseichnet :
f ae(l - ee)
a -— jr-
1» t Seeiinvooso
* = « — f^k-
I 8«
c'»=a'~(l — (2 — 4ee)gmy»— 3««8m^*)
und
a' = Ä^ ]
— ß' SB a' sin f
— •(' a=s a' cos 9 + 6' sin y
— 8'= — a'8m7-|-2^'co>?-|~<^'sü^7-
[Damit eigibt sich:
-rcosil = a* J1+A-7«-(tV Jco8y+i8iny»)XX|
rsinil a= a'X|l+(i*r7C08y — i^sin^j«— ,«r*™T*-^^{
A = XsiiKp jl-f(-.^+iJco8^ + ,V^cotangf)«+Vr7Cosy.XXJ
od«
-rcosil = 2£^i^*jl + |p(l-(2-4e«)sin^»-3««8inf*)«
- 24(1^ (2 + (* - ^ ««) «^ ?* + 2 «« sin ^♦) XX|
r sin 4 = 22^ X ( 1 + gip (1 - ««) (1 - 1 0«« sin ^*) « - iV sin ^». XXJ
A = Xsin(ptl4-änr(3 + 2««-5««flin?»)«+i2(r^co8«P'-^-]
[10.]
Vollkommen genaue Formeln för ein Dreieck auf dem elliptischen Sphäroid.
(p, 9' Polhöhen; L^ L + X Langen zweier örter P, P'
a Radius des Erdaquators; e Excentricität
i
GEODÄTISCHE LINIE. 9S
Aj Ä [nordöstliche] Azimuthe [der Verticalschnitte] der örter P' bezw.
P in P bezw. P'
Ä, Ä' Höhen derselben örter über dem Niveau
JT Chorde zwischen den beiden auf das Niveau projicirten örtem
p = (1 — ^e sin 9*)" , p' = (l — ^^ sin 9'*)" .
[Man bilde ein] sphärisches Dreieck [dessen]
Seiten Winkel
90^—9 360^— B'
90«- (p' B
A X
PDann ist]
COtangS' = COtaiig^'+^^gg?^. e«(p'riny'-priny) ,
[Ferner ist]
K— a\^{2— 2pp'(c<»^co8^'co8X4-(l— ««)sin^8in^')— ee(l— «e)(p'Bin9'— psLay)*!-
[11.]
[Übertragung der geographischen Lage vermittelst der Sehne und des Azimuths
des Verticalschnittes.]
9 Polhöhe eines Orts jf, x = cos 9, y = sintp, p = ^(i,/^^^.)
Dasselbe für den Beobachtungsort P: 0, X, F, P
X I^ngenunterschied der örter;? und P, positiv, wenn P westlich [von;? liegt]
K Chorde
8 Depression von P in p
A [südwestliches] Azimuth [der Verticalebene in p nach P].
"K. JET
PXcosX — pj? = — ycosScosil a?sin8
PXsinX = — cosSsinJ.
a
(1 — ^e)(PF— py) = a?cos8cosil ysin8.
94 MACHULSS.
[12.]
[Der Unterschied zwischen dem geodätischen und dem beobachteten Azimuth.]
Ist V = 0 die Gleichung einer Fläche, deren Punkte die Coordinaten
w^y^z haben, wo V eine gegebene Funktion von o?, y, « ist, femer d* =
^(dj?'4-dy*+^^')9 so ^8^9 d^ ^ constant betrachtet, für die kürzeste Linie
auf dieser Fläche
dda;
ddy dds
dF ~ ~W ~ TF '
da; dy d«
Ich nehme an, dass im Anfangspunkt der Coordinaten die Ebene der x^y
zugleich berührende Ebene der Fläche sei, und dass die kürzeste Linie von
diesem Funkt ausgehe.
Man hat dann, den Halbmesser der Krümmung in der Ebene der o?, z
gleich J2, den • Halbmesser der Krümmung in der Ebene der y, z gleich JB'
gesetzt und angenommen, dass dies resp. die äussersten Krümmungshalb-
messer sind,
[und wenn] femer das Azimuth der kürzesten Linie im Anfangspunkt der
Coordinaten gleich C gesetzt wird:
* * ^^\2B ^TW) •
Beim Ellipsoid setzen wir
^ = v/(aaco89 +668U19 ).(-^ + -^) = ,(^_,;^
1 ,1/ t I IL • «\ /cos»* , Bincp*\ (1 — eegmo'r
^ = y/(ao cos <p*+ 66 8m 9») ..(-^-f-^) = '- ^^
7 = ^(l + yr^cosy'cosC'jVU-«««™?*)-
[Auf dem Botationsellipsoid ist, weim das] beobachtete Azimuth. := 3»
GEODÄTISCHE LINIE. 95
Allgemein [wird], wenn
z = aj?j? + 26a?y-f cyy + ^a?*+3/'.r.ry^-35^«^yy + Äy*+..•
[llnd 6 der Winkel ist, den die geodätische Linie mit der ohAxe bildet,]
X = scosb # — |^(acosÖ-f 6sin6)(acos6*4-26co868in6 + csin6')...
y =^8in6 * — |-Ä*(6cos64-csin6)(acose*4-26cos68ine + c8in6*)...
z = # ÄÄ(aco8Ö*+26co8Ösin6-f csinö')
+ 5*(eco8 6*+3/*cose*sine+3^cosÖsine*+Afline*)... .
[Hieraus folgt für das Bogenelement do einer beliebigen Curve auf der Fläche
do* = dÄ*4-wwde*]
wi = 5 -f"-| 5* (66 — ac) ... .
[13.]
[Reduction des astronomischen Asimuthes auf das geodätische.]
Die Correction des beobachteten Azimuthes 0 wegen der Höhe h des
Objects wird [angenähert]
h et
P = -^--5^sin2ecos9*\/(l — ÄÄsincp*)
2ap 1 — «e T V \ T /
= 4^£T^^Aco89*sin2e
[log£ ist aus der^ Tabelle auf S. 84 zu entnehmen].
Correction [des beobachteten Azimuthes auf das Azimuth] der kürzesten
Linie:
-^■ig-sin2e^^"^'^V'~^^'^^'' = -Q
* * aap 1 — ««
[Also ist angenähert]
88
Q^VikP-
ha
96 BEMERKUNGEN.
BEMERKUNGEN.
Die Notiien [i] und [s] fimden neh auf einielneii Blittem; ne nnd wfthnoheixilieh, ebenio wie anelL
[3], am Ende def xweiten Jahnehnti im vergangenen Jahrhundert entstanden. [2] ift einem Handbuchs
entnommen; die in dem Beiapiele erwihnten Punkte Kirchheeepe und Queokenberg gehören der hannorer-
schen Landefvenneafung an. Im Beiipiele eelbst and einige Rechnungtungenauigkeiten richtig geateUt
worden, wodurch die Poiition ron Qneckenberg ron dem durch Gauss erhaltenen Werthe etwas abweicht
Die Formehl lur indireoten Bestimmung ron f'— ff, B^—E und AP unter [3] erhlH man leieht am
den OAüSSschen Gleichungen:
coi£*iiniAQ =^ sinil^'-flooif AP
coi^(£'-£)coiiAQ = coiit7'-7)coiiAP
iinJS^sin^AQ =: coi^^iin^AP
■ini(£'~22)ooiiAO rs dn^p^sin^AP,
wenn man berücksichtigt, dass für kleine Winkel angenähert
■injB := «cosas*, tanga; = assecx*
ist. Aus der ersten Gleichung folgt
^^-« = cosy / cosjAg \*
^ ^ oosiAPVoosi(<p'-<pV ^'
und daher mit Hülfe der sweiten Gleichung:
^'-^ = cos£*.A0(seci[J2'-£)seciAP*)^.
B^—B ergibt sich aus der 4. und s. Gleichung:
sini(£'-^ = tang<f*BinJ3«tangiA0
B'-E = Uitig^*MinB*.^Q(neo\{B^'-B)neei^Q*)*.
Die angegebenen Werihe für AP findet man aus der 3. Gleichung und aus der s. und 3. Gleichung.
Die Schlussfoimel für dX in der Notis [8] lautet im Original
ee
dX
= dZ-i irdö|i-i«c(i-coso«sin2«) + etc.}
■ cosi « • ' »
Die Foimeki unter [4] waren von Gauss auf die letste Seite seines Exemplars der »Mathematischen
Abhandlungen von Dr. H. F. Scheek, Berlin, 1825«, eingetragen; die daau gehörige Tabelle, die sich Ton
47*— 55* erstreckt, und von der 8. 83 eine Probe gibt, befand sich auf losen Blittem. Für log(— f) ist noch
eine auf 7 Stellen berechnete Tabelle für dasselbe Intervall Torhanden. Wahrscheinlich sind diese Formeln
zur geod&tischen Übertragung, die yielleicht durch ein besonderes Verfahren erhalten wurden, Tor den etwas
einfiMhem der »Untersuchungen über Gegenstände der hohem Geodäsie«, Art. 33— 25 oder Art. 80— SS,
GEODÄTISCHE LINIE. 97
entstanden. Man erh&It aus ihnen die letEtem, wenn man berückaichtigt, dasi für die Glieder in den
Klammem
(i-ee«in*») — + AC* = ( ^""^ Ta^'+AX«
AC» = AX'nn^p»,
34(i-ee) v" — A C" 12(1 — «e) aa"*" 12 (i-cc sin©»)» '
alio
und
1- eggin y»>, ^ aAC I ^-<^^»°y* ** ^"^^^ a^«
I2(i-e«) T¥ '. -r i2(i_gg) aa i2{i-eeiin<pV ^
ist. Hierbei ist «u A^, AX, AC der Factor p = zuzufügen.
206 266
Die Formeln [4] sind von Gauss zuc Berechnung der geodätischen Positionen seiner Hauptdreiecks-
punkte benutzt worden; Breite, Länge und Azimuth wurden Ton Göttingen, Sternwarte, aus von Punkt zu
Funkt übertragen. Das den Formeln beigefügte Beispiel ist diesen Rechnungen entnommen, die sich auf
den letzten Seiten eines Beobachtungs- imd Rechnungsheftes für die Gradmessung aus dem Jahre 1825
befinden. Die Bezeichnungen sind in dem Beispiel zugesetzt worden«
Die imter [5] mitgetheilten Formeln, die einem Handbuche entstammen, sind Annäherungen an die
Formeln [4]. Zu ihnen gehört eine Ton 50* bis 54* sich erstreckende, auf dem Abplattungswerthe
903,78
beruhende Tabelle, die in einem besondem Heftchen enthalten ist. Die Tabelle auf S. 84 gibt eine
Probe daron.
Bei der Notiz [6] hat Gauss in der Formel für loghyp (4) als zweites Glied ^u)\d- ^-^ , während
1 — e« . . \ — tt
es heissen muss, wie angegeben ist: \viV)j-^ : — äTi* f<Bmer heisst die Formel] für loghyp (5) bei ihm:
logW = il*-*v.
Li den Beispielen [7], die sich in demselben Handbuche wie [5] imd [6] befinden, sind die Be-
zdehnungen für die Zahlenwerthe zugefOgt und ausserdem einige kleine Rechenfehler berichtigt worden«
[8] ist einem einzelnen Blatte entnonmien.
Die Notiz [9] fand sich auf einem abgerissenen Zettel; theilweue waren die Formeln durcheinander
geschrieben. In den Schlussformeln mit mittlem Argumenten sind den Constanten die Accente zugefügt worden«
Der Schrift nach zu urtheilen, gehört diese Entwickelung einer spätem Zeit an, als die Torherigen J^otizen«
Bei den Formeln unter [10], zur Berechnung der Sehne und der Azimuthe der beiden Verticalschnitte
aus den geographischen Positionen zweier Pimkte, hat Gauss in der Formel für K das Glied
— ce (1 — c«) (p'sin y'— p sm f )*
nicht. In den Formeln unter [11] steht im Original, einem Handbuche, das auch die Torhergehende Notiz
enthält, immer K an Stelle Ton — , imd in der letzten Formel — ITa^cosS an Stelle Ton a;cos8cosii.
a a
Die Entwickelung Ton x, y, z nach Potenzen Ton 8 in dem allgemeinem Falle bei der einem andern
Handbuehe entlehnten Notiz [12] geschieht mit Hülfe der Differentialgleichungen der kürzesten Linie. Wegen
z = axx+7hxy-\-cyy + '"
lauten dieselben
ddrc ,^ I «.v I .• I X dd«
"T^ = (26aj + 2cy + 3raja: + ...)4^
13
98 BEHERKUNGEN. GEODÄTISCHE LINIE.
Alio iflt für den Anfangspunkt
m)r'' im-'
da auMerdem für diesen
ist, so wird mithin zun&chst
X = «cosO + ^«'(. ..), y == «sinO+^«*(...),
und daher
£ = ««(acos6' + 3&cos6Bin6 + CBin0'] + «'(«eose' + 3/'cos0*sine + spoosesin0* + Asin6') +
Aus den Differentialgleichungen folgt jetst weiter für den Anfitngspunkt
)
f^j = -4;acose + 6sinö){acose* + 25coBesine + csine*
(^\ = -4(6cose + C8ine)(acose* + 26cosesine + csine*),
womit die angegebenen Reihen für sb und y erhalten werden. Die Differenz des geod&tischen und dei
beobachteten Azimuthes ergibt sich aus der Gleichung:
/o rr, a: sin Ö — y cos 6
tang 6— Z = ^ , . ^
x cos 6 + y Bin 0
oder
e — Z = f««(i(c-a) sin2e + &cosae)(acose* + i6cosesine + csine») + »*(...),
aus der für
A1./7AJ *!.* icoBp.sinpl
2B' ' 2B" B ^ B^ p
und mit den Werthen von B, J^, ^ für das Rotationsellipsoid, S. 04, die auf S. 95 gegebene Fonnel herrorgeht.
Auoh die Notiz [12] dürfte aus der Zeit um 1820 stammen.
Über die Notiz [13], die sich auf einem einzelnen Blatte befindet, ist der Brief an Olbebs yom
88
14. Mai 1826 zu yergleiohen. Die Schlussformel heisst bei Gauss Qr=^.-.p, weil Gauss in der Formel
SS SS P 1
für — Q, aus Versehen, — an Stelle von geschrieben und in der Formel für P den Factor — weg-
^ ap aap "* P
gelassen hatte. Kbüoee, Böbsch.
BRIEFWECHSEL.
[Änderung der Polhöhe mit der Höhe.]
Gauss an J. J. Baeyer. Göttingen, 22. Junius 1853.
Ich habe Ihnen noch meinen verbindlichsten Dank abzustatten für Ihr
gutiges Schreiben vom 19. Mai und für die interessanten Mittheilungen, die
Verbindung der verschiedenen Dreieckssysteme betreffend. Dass dieser Dank
etwas verspätet ist, muss ich damit entschuldigen, dass ich auf die in Ihrem
Briefe angestellte Frage nicht gleich eine angemessene Antwort geben konnte.
Erinnerlich war mir nicht, sie irgend wo berührt gefunden zu haben, und an
einigen Plätzen, wo man ein Eingehen darauf wohl hätte erwarten mögen,
fand sich nichts. Es blieb mir also nichts übrig, als erst selbst eine Unter-
suchung darüber anzustellen, wobei ich bald zu der Überzeugung kam, dass
hier mit blossen Apercus nichts auszurichten ist, sondern eine tiefer ein-
dringende Untersuchung unerlässlich ist.
Was ich in dieser Hinsicht zunächst zu bemerken habe, erläutere ich
durch beistehende Figur, die in der Meridianebene des Punktes A gedacht
werden muss. Es ist dabei DAE ein Theil der Erdoberfläche (d. i. ihres
Schnittes mit der Meridianebene), AB stellt (nach beliebigem Maassstabe)
die Gravitation in A vor (d. i. die Anziehung gegen den Erdkörper), BC
parallel mit dem Erdäquator nach demselben Maassstabe die Centrifugalkraft,
also ^C die Schwere.
In der Fortsetzung der Geraden CA nach oben sei ein zweiter Punkt a,
daselbst (immer in dem vorigen Maassstabe) ab die Richtung und Grösse der
13*
L
100 BRIEFWECHSEL.
Gravitation, bc parallel mit BC die Centrifugalkraft, also ac die Schwere in
a. Sie bemerken sehr richtig, dass ab <^ ABy hingegen bc '^ BC.
Allein dies ist nicht ausreichend, um über die Verschiedenheit der in
A und a beobachteten Richtung der Schwere (Lothlinie) gegen den Äquator
zu urtheilen, da man nicht berechtigt ist anzunehmen, dass ab mit AB
parallel sei; in der That ist die Ungleichheit der Richtungen von ab und
AB von derselben Ordnung, wie die aus den zwei von Ihnen angeführten
Ursachen entspringende Ungleichheit der Winkel BAC und bac. Nach einem
blossen Apercu würde man geneigt sein, zu vermuthen, dass die beiden Ge-
raden AB und ab, auf beiden Seiten indefinite fortgesetzt, sich nicht oben,
sondern unten schneiden müssten, in welchem Falle dann diese dritte Ursache
in demselben Sinne wirken würde, nemlich die Polhöhe in a grösser zu
machen als in A. Allein eine tiefer eindringende Untersuchung zeigt, dass
diese Fräsumption falsch ist, und dass ab mit aAC einen grossem und nicht
einen kleinem Winkel macht als ^^ mit AC, daher also diese dritte Ur-
sache den beiden ersten entgegen wirkt und es auf das Quantitative an-
kommt, um sicher zu werden, ob nicht gar die Folhöhe in a kleiner wird
als in ^.
Zu einer solchen Untersuchung fehlte mir nun damals die Zeit, auch
abgesehen von einem nicht günstigen Gesimdheitszustande. Jedoch habe ich,
sobald ich es möglich machen konnte, die Untersuchung für den Fall, wo die
Erde wie homogen betrachtet wird, durchgeführt. Das Resultat war, dass die
Polhöhe in a um
206 265". — sin 2 (p.JT
«•
grösser ist als in ^, wo a^ den Halbmesser des Äquators, s die Höhe Aa
ÄNDERUNG DER POLHÖHE MIT DER HÖHE. 101
in obiger Figur, cp die Polhöhe in -4, und K einen Coefficienten bedeutet,
der aber in der Voraussetzung der Homogeneität schlechthin der Abplattung
gleich wird = 0, übrigens aber eben nm' auf die erste Ordnung der Abplattung
genau ist, was jedenfalls hier vollkommen zureicht. Ich bemerke noch, dass
dies K wie aus drei Theilen zusammengesetzt betrachtet werden kann: +-J-6
in Folge des Umstandes, dass hc^ BC\ +^6 in Folge des Umstandes, dass
ah<C^AB und — -J-O in Folge des Nichtparallelismus von ah und AB. Ich
wollte Ihnen jedoch dies Resultat nicht gleich mittheilen, weil ich wünschte,
die Untersuchung von der Voraussetzung der Homogeneität der Erde unab-
hängig zu machen. Ganz unabhängig von aller Voraussetzung ist es natürlich
nicht möglich, ein Resultat zu erhalten. Meiner weitem Untersuchung sollte
aber weiter keine Voraussetzung zum Grunde liegen, als diejenige, der (in
einer oder andern Form) der berühmte CLAiRAuxsche Lehrsatz
zum Grunde Hegt, wo ff und ff' die Schwere am Äquator und Pol und h
die Centrifugalkraft am Äquator bedeuten. Die Gültigkeit dieses Lehrsatzes
ist nemlich abhängig davon, dass man entweder den Erdkörper aus ähnlichen
Schichten zusammengesetzt sich vorstellt (Dichtigkeit in allen Punkten Einer
Schicht dieselbe, aber in verschiedenen Schichten beliebig ungleich) oder auch
bloss annimmt, die Erde sei ein elliptisches Sphäroid, oder drittens auch nur,
dass der Zuwachs der Pendellänge vom Äquator zum Pol dem Quadrate des
Sinus der Polhöhe proportional sei. Alles übrigens, indem man Grössen der
zweiten Ordnung der Abplattung ignorirt.
Diese weitere Untersuchung habe ich jetzt auch ausgeführt, freilich nicht
gerade in der Form einer Zusammensetzung des Resultats aus den gedachten
drei Theilen, die sich aber doch darin wiederfinden lassen. Diese drei Theile
verhalten sich hier aber nicht mehr wie die Zahlen +2, -[-4, —1, sondern
die dritte wird einem complicirtem Ausdruck entsprechen. Das Endresultat
wird aber merkwürdigerweise sehr einfach, nemlich
9
welches also das vorhergehende specielle unter sich begreift, da bekanntlich
bei homogener Zusammensetzung des Erdkörpers
102 BRIEFWECHSEL. ÄNDERUNG DER POLHÖHE MIT DER HÖHE.
9 ^9
wird (die NEwroNsche Abplattung).
Bei dieser neuen umfassenden Form wird, wenn ich mit Sabine
9'-9 _ 1
g — 192,7
setze, die Folhöhe in a
= ^ + 1070".^8in2(p.
Also für die höchsten Berge in Schlesien nur etwa ^ Secunde. Ich muss
Ihnen indessen offenherzig gestehen, dass ich die ganze Untersuchung nur wie
eine theoretische Curiosität betrachten kann, der durchaus alle praktische Be-
deutung abgeht. Sie hätte eine solche nur dann, wenn auf der glatten Erd-
oberfläche DAE eine dünne hohe Säule Aa errichtet wäre, auf deren Gipfel
wie am Fuss man die Polhöhe beobachten könnte. In der Wirklichkeit, wo
a etwa auf einem hohen Berge liegt, kann man erstlich dem Funkt A gar
nicht beikommen, und wenn man es auch könnte, und die Ungleichheit der
Richtung der Lothlinie in A und a durch Messungen scharf bestimmen
könnte, so hätte man doch gar kein Recht, obige Formel wie diesen Unter-
schied darstellend zu betrachten, da die Anziehungen der oberhalb des
Niveaus von A liegenden Bestandtheile des Erdkörpers viel grössere und
einem CalciÜ gar nicht zu unterwerfende Ungleichheiten in den Endresultaten
für die Schwere in A und a hervorbringen werden.
Ich habe mich über diesen Gegenstand im Allgemeinen in meiner Schrift
von 1828 über den Breitenunterschied von Göttingen und Altona, p. 73 [vergL
diesen Band, S. 49], bereits so ausgesprochen, dass ich jetzt nichts Besseres
darüber zu sagen weiss.
BEMERKUNGEN.
Der Torstehende Brief, Ton dem eine Abschrift im GausB-Archiv yorhanden ist, ist abgedruckt in den
»Protocollen der Verhandlungen der permanenten Commission der europäischen GradmeiBung Tom 2S« bis
20. September 1869 in Florenz«. [Als Manuscript gedruckt.} S. <o — S3.
Kbüoeb, Böbsch.
NACHLASS.
Reduction der sphärischen Dreieckswinkel A, B^ C auf die Chordenwinkel
21, 39, e.
Man beschreibe um das Dreieck einen Kreis.
Also die 3 Vierecke das Maass [der Correctionen].
Man mache
ahn
= V
Bin A Bin B sin C
vacos-4 = a, v6cos^=ß, vcco8C = y.
Dann sind die Reductionen
P + T. « + 7. «+P.
8
8
8
[2.]
[Bedingung dafiir, dass 3 Funkte auf der Oberfläche einer Kugel
auf einem grössten Kreise liegen.]
Dass drei Funkte auf der Oberfläche einer Kugel, deren Längen und
Breiten resp.
L, B
L\ B'
L\ B"
sind, in einem grössten Kreise liegen, davon ist die Bedingungsgleichung :
tang-Bsin(i-Ir") + tang^'sin (i"-i) + tang£''sin(Ir-i') = 0.
104 BEMERKUNGEN. REDCCTION DER SPHÄRISCHEN DREIECKSWINKEL ETC.
BEMERKUNGEN.
Die Notiz [i] ist in ein Rechnnngsheft für die hannovenehe Gradmefsung eingetragen. Gauss hat
hier als Werthe der Correctionen fi-i-? , ° "^ ^ , ?-J-£ angegeben. Die Reduction von A auf f[ kann man
au« der Gleichung
cos Ä = «in — sin — -f cos — cos — cos A, (r = Radius der Kugel)
2r Jr 2r 2r
erhalten, die entwickelt zun&chst
^ — 9t = ; — : [hb-\- cc, cotang^ . , .
4rr %mA 8rr
liefert. Beschränkt man sich auf die Glieder zweiter Ordnung, so kann man
56 + cc = aa + ihcco^A
setzen. Damit ergibt sich
.4. — Ä = (abcsin^ — aacotanir J., = f&&cotangJB4' <^<^cotangC7).
8rr 8rr
Zu demselben Ergebniss gelangt man, wenn man bedenkt, dass A^S/i gleich dem Excesse des sphärischen
Vierecks ist, dessen Eckpunkte der Pol des Dreiecks, die Fusspunkte der Lothe von diesem auf die Seiten
h und c und der Punkt A sind.
Die Notiz [3] befindet sich auf dem letzten Blatte des GAUSSsohen Exemplars der »Analytiiehen
Tzigonometrie von G. 8. Klüoel. Braunsohweig 17 70«. Nach einer von Gauss gehaltenen Vorlesung:
»Anleitung zur hohem Geodäsie«, von der eine Nachschrift Torliegt, grOndet sich die Ableitung der in [1]
gegebenen^Bedingungsgleichung darauf, dass, wenn
m =s nsin((p — <P)
m' = nsintf'— <P)
i»"= nsin(<p"-<P)
ist, alsdann
m«in(y'— «p") + *»'ttö(^"— ^) + m"sin(Y — yO = o
wird. Bedeutet nun • den Neigungswinkel der Ebene des grOssten Kreises gegen die Aquatoiebene, und
werden die Längen L — L^, L'—L^, L'^-^L^ Ton dem durch den Durchschnitt bdder gehenden Meridian
an gezählt, so ist aber
tang£ = tangisin(£ —L^)
tang B' = tang i sin [L' — Xr^)
tangB"= tangtBin(i"-io).
Kbügbb, Böbsch.
CONFOBME DOPPELPROJECTION
DES SPHÄROIDS AUF DIE KUGEL
UND DIE EBENE.
14
NACHLASS.
PO
DAS ELLIPTISCHE SPHAROID
[AUF DIE KUGEL ÜBERTRAGEN].
[1.]
Die erste Angabe ist die Übertragung der Oberfläche des Ellipsoids auf
die Kugelflache.
[Es sei]
9 . • . . FolhOhe auf dem Sphäroid
(|» . . . . correspondirende Folhöhe auf der Kugel
e • . . . Excentricitat
a • . . . Halbmesser des Äquators.
pDami ist, vergl. Band IV, Art. 13, S. 207 u. f.]
d<p [1 -- ee) dy
00*4^ oosy (l — eenny*)
oder
Jede unendlich kleine Figur auf der Kugel wird so der correspondirenden
auf dem Sphäroid ähnlich, und gleich, wenn man den Halbmesser der Kugel
r = ^^, ...^ J^ . — = setzt. Soll r für » = P ein Maximum werden, so setzt
man den constanten Multiplicator = L_^^!^pj , wodurch auf jenem FaraUel
auch (|i = P wird. Man hat dann eben daselbst die vollkommenste Gleich-
14#
108 NACHLASS.
heit der Figuren, wenn man den Halbmesser der Kugel = ^_^^^p, setzt
Für andere Parallele sind dann die Lineargrössen auf dem Sphäroid zu denen
auf der Kugel wie
[Hieraus folgt
dlogn 1 dn gjn y — im <|»
00s ^
Die Darstellung eines Stückes der geodätischen Linie auf der Kugel wird
hier ein kleiner Kreis; setzt man dessen Radius = 12, so ist
. T> sin 9 — «in 4^ • ^ f dloen • »1
cotangB = — ?-^8mC [= -äf-sinC],
[wo] C [das] Azimuth [der geodätischen Linie bedeutet].
[Die Darstellung ist] concav nach Süden, wenn sin 9 ^ sin «[^ ist.
Es sei
[also]
[2.]
sinf = j
sin^ ^ a,
dö (l-ce)(l-ao) (l-«e){l-oa)
'dl' = t^:Z^ |(2-2..)a-(2 + 2.e). + 4..^{
dd« (l — «e ««)(!—««)
u. s. w.
Für [<p =] ^ = P werden diese Werthe :
d« l-eeuiaP*
da 1 — ee
dd« 4ee /. • i-*tN • -r*
do« [l-ee)
da
^ = -2eg^/j;^,^;fp,{3-ge^
Folglich
8in9 = sinP+ ^^/l';^^' (sincj^-sinP) - ^j^^ (^ -^e8inP*)8inP(sin([*-8inP)*
i
CONFORME PROJECTION DES 8PHAROID8 AUF DIE KUOEL. 109
[oder]
Femer ist
co8(p* = C08 P* — 2 sin P (sin c|^ — sin P) — [(sin ^ — 8in P)*].
Also
= iZ;;i(8in4>-smP)-^^3^(8m4.-8mP)» s^^iZ^e,). ^(8m(|»-8mP)»...
und
= a (sin <|> — sin P)*— ß (sin 4» — sin P)' . . . .
[Für den Abplattungswerth g^^ und P = 5l"3l'48;70 ist]
1^ 7,8210885
^' 9,336 7543
logo = 7,157 8428
T-?i- 7,821 0885
l — ee '
f 0,124 9387
sinP 9,893 7263
logß = 4,997 5963
[also für bri^iische Logarithmen]
logn = 0,0014382.78(sin«j* — sinP)*— 0,000 0099.45 (sin <|> — 8iaP)'... .
[3.]
Femer ist
d» 1 — (1 -{•ee)88-{-ee8^
dijJ' ~ {l-«c)v^(l-ao)
d4>' (1 — ce)'(l — 00) t^ ^ V I / I j
u. s. w.
110 NACHLASS.
Also für [9 =] 4> = P: |
d« (1 — egimP*)cogP
folglich]
_ [iL:::^^^^^ { 1 + 4 «e - e* - (1 8 c«+ 1 4 **) sm P«+ 2 8 «* ainP* } (<|. - P)«] . . . .
[Da]
8iin|» = sin P+ CO8 P. (4» - P) - i sin P. (<|; — P)*- [i cos P. (((» - P)*] . . .
[ist, 80 wild]
81119 — Bin 4» = i_ee (l'-'P)
- jji^ sin P{ 6 - «« - (6 + 3 e«) sin P» + 4 «e sin P* j («I» - P)«
— [gjj^^co8P{7— 4«« + «*— (19+18«e — e*)8inP»
+ (46««+14«*)smP*-28«*8inP*}(«[»-P)«]
[Mit]
cos (|» = cos P — sin P. (<j> — P) — [i cos P. (<J> — P)*] . . .
[folgt daher]
dlogn r dn<p — wn^il
d<|» [ co«<|» J
= ^co8P».(4,-P)-i^8inPco8P(3 + 4^co8P»)(4.-P)«
_ j_il_ (I cos P*- i sin P») - (i^)'(4 sin P*- i cos P*) cos P»
- (3^)' (4 sin P« - i cos P*) cos P* j (<p - P)» . . . .
CONFOBHE FROJECnON DES SPHAROIDS AUF DIB KUGEL. 111
[4.]
[Man setze
• a
und]
ee ,
1:1^ = *;
* [sei] nach Süden positiv. [Dann wird]
logit^iAcosP»"'^^-;;'^^
+ iAsinPcosP(l + »AcosP«)''<^-y^'*
— { A (i cos P* — i sin P*) — AÄ (sin P* — tV cos P*) cos P*
- Ä» (sin P» - i cos P«) cos P* } 5!ü::i^J^i^
etc.
[5.]
[Ist S der dem « entsprechende Werth auf dem Spharoid, so ist
^ = i = l-logn+iaogw)»...,
also, wenn noch]
r =
[gesetzt wird:]
AeosP*
a =
6rr
P=:*'^fr^^(l + fAcOSP')
T = ^{Ä(VrCosP*— ^sinP*)-AA(isinP»— ■,VVcosP»)cosP»
— A*(isinP*— WcosP^cosP*)-
112 NACHLASS.
[6.]
Zur Berechnung [von ^ oder 7] kann auch dienen, wenn
9 = P + 8
gesetzt wird:
* = -P+"; ^—uT^-T-i-r^ ' Dtt 00+ etc.
T ' l — eeiinP* ' ♦ (1 — eeiinP^* '
eecoiP* a , . ee(l — fe)iin2P^> , .
= y-l~ee.inP'^ + *(l-ee.mPV-^^+ ^te.;
[wenn]
gesetzt wird:
I , eecoiP* - fefl — ef sinP*jMn2P ,
y°=<l'+i_,,rinj"'-<^ 0377'* ••- «*<'•
[7.]
[Setzt man]
ßsin^ = sinii
^ sin P = sin CT",
[so ist auch]
WO
. _ 206 265
-^ ~ Mod.
[Für den Abplattungswerth -^^^-^ ist] log j4c = 4,586 3052.
Sehr nahe [ist]
9 = 4» + T^ (<!'- -P) cos (iP+ *<!.)«.
genauer
noch genauer
_ . . eg((p>-P)^(cogi(y-P)).coii[y + P)coii((p + <|;)
T — r-T l-eeginiiP+<p;» '
oder noch genauer, wenn der Nenner = 1 — eesinPsin^ [gesetzt wird].
cosraaxE projection des bphIroids auf die kugel.
113
[8.]
Wenn
teBg(45«+i« = «-«(«"+ iT)(i^)*'(S^"
+ esm
tang(45®+i(p).e*'
gesetzt wird, so ist
*♦ - JroacL - 2 ^ang (45* + j 4.) _
d^ — |C08y — i + tÄng(45* + i4^;«
C019
l + ßm^.u + |tiu + -^sm9.ti" + Au* + yl^f sin ^ . u* +
und hienach
^ = cp + cos^.t* — ^^cos^sincp.t^M — ^cos<pcos2(p.t** ....
[Femer folgt aus
^^= —i^7e!ilf^^^ = — e^(l + eesincp* + ^*8in<p*H )dsin<p:]
— tt = ee(sincp — 8inP) + -l-e*(8in<p*— sinP^ + ie^sincp*— 8inP*)H
oder, sin 9 = 8inP4-'^ = 0 gesetzt.
u =
— €€X—^e^{iwoQ—iaa:0'{-x^)—-^e^{baQ*—lOxa!Q^'{-iOa^^oO'-ba!*0'\'a/^)..
eez
1 — ««öö
• • •
[Es ist]
COS^
h
1 COIO
l + tang(46* + *(l)* . , - wniu]
sin 9 . tt + i cos 9* . «w — ^ cos 9' sin 9 . w* — . . .
•>
[und]
sin(p = [
, irnttt
tang(45* + i<|^) —^ » 1 smy + tt + ^flmy.ttti + -^ti' + ««.
tang(45* + f i)' + l , sintii l + «nflp.ti + 4utt + 4imflp.u"H '
** ^ COB tu + Bin ^ — : — "■ ' T I ■ I ^ T n
gSinttt
sm© — 8m6 = ^— :- = — cos cp * , , ■ — . « rr-^ — i-; — >
cosfti + ain^ — r
nn<p — Bin<|f
eoB<|»
IX.
= [— cos(p^ =] —cos9.(tt + it**+TiTr «*+•••) [= ^^]
15
114
NACHLAM.
[9.]
[Für P Göttingen) = 5l"3r4S;70 und mit dem Abplattongswerth 3^^ wird:!
?
^-9
48" 0'
+ 36;365
1,888
10
34,477
1,870
20
32,607
1,854
30
30,753
1,837
40
28,916
1,820
50
27,096
1,803
49 0
25,293
1,786
10
23,507
1,770
20
21,737
1,762
30
19,985
1,786
40
18,249
1,718
50
16,531
i,7oa
50 0
14,829
1,684
10
13,145
1,668
20
11,477
1,660
30
9,827
1,684
40
8,193
1,616
50
6,577
1,600
51 0
4,977
1,688
10
3,394
1,666
20
1,828
1,649
30
+ 0,279
1,682
40
— 1,253
1,516
50
2,769
1,499
52 '0
4,268
9
^-?
52« 0'
10
20
30
40
50
53 0
10
20
30
40
50
54 0
10
20
30
40
50
55 0
-4^268
5,750
7,215
8,664
10,096
11,511
12,910
14,292
15,656
17,004
18,335
19,650
20,948
22,230
23,495
24,743
25,975
27,190
— 28,388
1,482
1,465
1,449
1,432
1,415
1,399
1,382
1,364
1,348
1,331
1,315
1,298
1,282
1,265
1,248
1,282
1,215
1,198
CONFORME FROJECnON DES SPHABOIDS AUF DIE KUGEL. 115
» = C
[10.]
Die Correctionen der berechneten Azimuthe [auf der Kugel] wegen
Ellipticität sind, [wenn]
beim ersten Punkt : (9 — (|^) sin C = «
in der Mitte: » = b
beim zweiten Punkt:
[und]
s = ganzer Bogen [sowie C dessen südwestliches Azimuth ist],
am ersten Punkt: (-i-6 + i«)*
» zweiten » : —{•^b-\'-^c)s.
Zum observirten [Azimuth] kommt [also] hinzu
[am ersten Punkt:] — (i-6 + ia)*
[ » zweiten » :] +(-J-6 + -J-c)ä.
BEMERKUNGEN.
Die vontehenden Foimeln für die confoime Übertragung dei Erdellipioids auf die Kugel und auch
_____ _^_^^^ ••
im Wesentliehen die unter [11] und [HI] folgenden Ubertragungsformeln von der Kugel auf die Ebene iind
in derselben Zeit entstanden wie die Formeln zur conformen Darstellung des Ellipsoids in der Ebene, die
dann bei der hannoverschen Gradmessung und Landesvermessung Verwendung fanden. Uire Entstehungszeit
dürfte demnach in das Ende des Eweiten Jahrzehnts des vorigen Jahrhunderts zu setzen sein. Die Über-
tragung des Umdrehungsellipsoids auf die Kugel, wie sie hier gegeben ist, und die sich auf Art. 13 der
»Allgemeinen Auflösung der Aufgabe, die Theile einer gegebenen Fläche auf einer andern gegebenen Flfiche
so abzubilden etc.« grQndet, ist später durch die in den »Untersuchungen über Gegenstände der hohem
Geodäsie, 1844« mitgetheüte zweite Darstellung, die — wie Gauss selbst sagt (Band lY, S. 262) — ftür
geodätische Anwendungen noch viel mehr geeignet ist, überholt worden.
Die Au£Eeichnimgen []], [6], [lo], sowie [i], S.117, bei der stereographischen Projection und [i], S. 128,
bei der Mercatorprojection folgen in demselben Handbuche unmittelbar auf einander.
Die Notizen [2], [3], [7], [8] und [9] finden sich zerstreut zwischen Formeln zur conformen Dar-
stellung des Erdellipsoids in der Ebene in einem andern Handbuche; [4] und [6] stehen auf einzelnen
Blättern zwischen Zahlenrechnungen.
15*
116 BEMERKUNGEN. CONFORME FBOJECTION DES SPHAROIDS AUF DIE KUGEL.
Bei [3] ist im Origiiud in derFonnel filr —3^ iQ dem mit ^^P* multiplicirten Gliede: fooiP'
+ ^Bin P* an Stelle von: } coi P' — ^sin P' angegeben; dem entsprechend steht auch in der Formel f&r log»
unter [4] im letzten Gliede: -^eosP' + ^sinP' an SteUe Ton: ^cosP* — l^tinP' und in dem Auadrack fdr
7 unter [b]: ^ cot P* + -^ Bin P* an Stelle Ton: ^cos P* — ^linP*.
In den Formeln für ^ und ^ unter [6] hat Gauss in den letzten Gliedern an Stelle des Fakten (
den Faktor \\ bei der Formel (p ^ 7 — .'i 8 + ,3, S$ des Beispiels auf S. 119 ist daher (und auch weg^ einsi
kleinen Rechenfehlers; : log ,3) = 1,89733 — 10, wie das Original angibt, durch: log (2) = S,3»88»— 10 ersetit
worden.
Die Unterschiede ^| und ^^ zwischen den Azimuthen des Bildes der geodfttisohen Linie des Sphiroids
und den Azimuthen des grössten Elreises auf der Kugel, Art. [10], ergeben sich nach BandlV, S. S78 u.f.,
aus den Gleichungen:
+1 = i/,s + iXss..
♦1 = -i/iS-iXss..
= —^1^9 + ^X9»..
lg und Z| sind die Werthe von ) as ^ sin C im Anfangs- und Endpunkt der geod&tisohen Linie. Ist Im
der Werth von ) in der Mitte, so ist
Im ^ ^i + X — *•• = I| — X — ••••
Also wird
Nach [1], S. 108, ist / = flm<p-8in4>^^ ^ («-d^lsinC
cos^
K&ÜOEB, BÖB80H.
[n.]
[STEREOGRAPHISCHE PROJECTION DER KUGEL
AUF DIE EBENE.]
Wird nun femer die Kugel durch die stereographische Projection
auf die Ebene gebracht, so ist die Lage des Orts, dessen Abscisse und Ordi-
nate j?, y [sind], folgende. Man mache
2rtang(45®— 4^P)-f-««^ = -4cosa y = ilsina
2rtang(45^+f P) — 0? = Äcosß y = Äginß.
[x ist nach Süden positiv. P ist die geographische Breite des Centralpunktes.
Sind n und ^ die Frojectionen der beiden Pole und ist q die Projection eines
beliebigen Punktes, dessen Breite ^ und dessen Länge X ist, so wird also
nq^ A und sq =^ B; a und ß sind die Winkel, die A und B mit der iT-Axe
bilden.] Sodann ist die Länge des Orts = a + ß [und zwar wächst die Länge
mit y] ; und die Breite findet sich aus
tang(45«+i*) = |tang(45«-iP).
[Feiner ist]
j?+ytangi(a-ß) = 2rtang^(P-.<p).
[Die] Neigung des Meridians des Orts gegen die Abscissenaxe [ist] a — ß.
Beispiel.
Es sei P[Mar8eille] = 43®ir50?l; [die Coordinaten der] Insel Planier [sind]:
ir = + 5628,66 Tois. y = + 5679,67 Tois.
118
KACHLASS.
'Für die Berechnang von r ist der Abplattungswerth x^f ▼cigL S. 68, be-
nutzt wordeiL
a 1n ToiÄcn, 6,51 4 7609
\j [X -^eevmT^^ 9,999 3412
r 6,5154197
2r 6,8164497
tang'45*+f Pj 0,364 7S63
2rtang^45*— 4P;= 2 829 199
2rtaiig'45*+iF; = 15 17S 749
jr= 5 628,56
g 3,754 3231
Acma 6,452 5266
£cos^ 7,181 0749
B
A
a = 6' 5 37258
ß= i 17,210
0,728 5474 X = 8'lO;468
taiig;45*+|F .. .0,364 7863
tang 45*+^^;; ...0,363 7611
45®+i(;; = 66**35'57;71
if = AZ 11 55,42.
Für die umgekehrte Au%abe dient die Formel
) . ^ coB I X lin I P — ^ —inn\}. cof \ P-^-^
^y^lf — ^^ coBlXco»^ P-^ H-tiinlXiin^.P-l-i. *
[Hiebei ist X positiv nach Osten, und wie vorher x nach Süden, y dag^en
nach Westen positiv. Ist das nordöstliche Azimuth des durch den Anfangs-
punkt und den Ort (^, Xj gehenden grössten Kreises im Anfangspunkt = T,
imd im Ort = 7", so ist
co8i(r+r;8iniA = 8ini((};-P)cosiX
sini(r+r)sinf A = cosf((|; + P)8infX
cosf (r-r)cosf A = cosf ((|;-Fjcosf X
sini(r-r)cosf A= 8ini((|; + P)8iniX.
Damit wird
•T.
a?-fty = — 2re*^tangi^A,
also
Of = — 2rtangYC0sr y = — 2rtang-s-sinr.]
[Beispiel.]
Göttingen: P= 51*3r55'' Länge = 27«35'45'
Brocken: (p = 51 48 12 28 17 1
X = +41'16"
[Zunächst hat man nach [7], S. 112, und für den Abplattungswerth ^Ir]
8TEBE0GRAPHISCHE FROJECTION DEB KUGEL AUF DIE EBENE.
119
sinP. .
U =
tang(45"+^l7)...
taiig(45"+T^tt)
9,893 7368
8,9044836
3''36'9;755
0,0273261
0,027 4289
siiKp . . . 9,895 3633
e 8,9044836
u= 3"36'58T484
Bini((J.-P)...
cos ^"k
C08-J-(4> — P) ..
0,0001028 1028 3,01199
e 8,90448
206266 _ ./.-oo
MSärW COS 9 . . . M6788
<p — <{; 0,38435
<p — 1}* = 2"42 if
cos^((|; + P) 9,79255
sinlX 7,77829
8in4-(^ + P) 9,89455
[Man hat auch:]
<p = P+8
(j, = ^ — (1)8+ (2)88
(1)... 7,39837—10
(2)... 2,35885—10
[8 = 977"
<!* = 9-2^42]
J f\ni
. 7,37336
. 9,99999
. 0,00000
= 5l''48'9;58
j-(r'+r) = 57«36' 0"
i{T'—T}= 0 1611
r=57 1949
8miXcosi((j;+P).
cos 4- X sin ^ (^~-P) •
[tang^r+r) . . .
sini(T'+r)
sinl-A
.7,57084 sm4-Xsini((I; + P).. 7,67284
. 7,37335 cos/f Xcosi ((p— P) . . 9,99999
.0,19749 tang-J-(r'— T) 7,67285]
.9,92651 coai{T'—T) 0,00000
. 7,64433 cos^A 9,99999
2a 7,105 6109
cos 17 9,999 1408
2r 7,1064701
tangf A 7,64434
2rtangf A . . . 4,75081
cosT 9,73223
sinT 9,92521
56339 m = \J{xx-\'yy)
— 30411 » =0?
— 47427 » =jf.
Der Hülfswinkel des Nenners [nemlich ^(T'- T)], doppelt genommen, gibt die
Convergenz der Meridiane oder den obigen Winkel a — ß, hier 32' 22".
Endlich findet sich die Correction des Azimuths des Orts x\ y vom
Orte x^y aus gesehen und geradlinigt berechnet durch die Formel:
sin Corr.
^^^^on. = 4,,+%^j:y-jp genau = -^
tangfÄ
cos Corr.
120 NACHLASS.
wenn
d die Distanz in piano
8 » » auf der Kugel [ist].
[2.]
Die stereographische Projection auf den Horizont eines Ortes,
dessen Polhöhe B [und dessen] Länge 0 [ist].
Des zu entwerfenden Ortes Polhöhe [sei] ß, [seine] Lange X. [Dann ißt]
seine Proiection nördlirh- «p?coi J - co»ß»inJ?coiX _
seine rrojecnon, nörancn. i + gin2^gi„ß + coiBcoß:ß"^5ix — ^
M ^ • V C08 8 sin X
östlich: , . . x> . Q ; ^ — z — 7 = *
1 + biuBbiu ß + cob Bcob ß coi X
[wenn der Durchmesser der Kugel = 1 angenommen wird].
Oder
cos 3 sin X
1 + cofl ^>v* COS ß — 2^ — sin ^X* cos ß + -B
_ CO« i^* B'P ^ß - B 4- sin | X* lin ß + B
y ~ 1 -h C50ß iX* CGI (ß - B] - ßin f X* cos ^ß~+ B)
^-^(BinB + ßinß)
cos
.pi ; tang^.
Denomin. ^
Der gemeinschaftliche Nenner [wird auch]
= 2co8iX*cosi(ß — £)* + 2sin^X'sinf(ß + £)*.
1) Die Meridiane werden Kreise mit dem Radius -t-t = aus demMittel-
' sin A cos Ji
punkt:
y = — tang£
1
jp = •
cosBtangX
2) Die Farallelkreise werden Kreise mit dem Radius
icotangi(ß + B)-itangi(ß-£)
aus dem Mittelpunkt:
y = icotangi(ß + £)4-itangi(ß-£)
a = 0.
STEREOGBAPHISCHE FROJECTION DER KUGEL AUF DIE EBENE. 121
[3.]
[Es sei]
2p Polardistanz ) . . , ,. , . ^ ,
^ j.. I [eines Deuebigen Punktes auf der Kugel]
2 9 ... . Polardistanz des Centralpunkts ;
[femer sei in der Ebene die ^-Axe das Bild des Anfangsmeridians, ihre po-
sitive Kichtung gehe nach Süden. Die Ordinate y hat dasselbe Vorzeichen
wie X.
Wenn der Durchmesser der Kugel = 1 ist, so wird]
tangp (coi X + 1 sin X) — tang q
^+*y = T
[Man setze]
-)- tang 3 tang J9 (cos X + i sin X)
[Dann wird]
cos X tang j) — tang q = a cos A
sin X tangp = a sin il
1 -f- tang j' tang j) cos X = bcosB
tang j' tang j^ sin X = bBÜiB.
x+iy = J {cos(il-£)+tsin(il-£)}.
Noch einfacher
x+iy =
sin ip — q) cos f X + »»in (p + g) sinf X
cos(jp — <2)oo8^X — tcos(jp + 2)<^i^
BEMEBKUKOEN.
Wie schon auf 8. 115 erw&hnt, ist die Notiz [l] in einem Handbuche enthalten; in den Zahlenbei-
spielen sind die Bezeichnungen zugefügt und einige kleine Rechnungsimgenauigkeiten beseitigt worden. Die
Aziznuthreduction am Schlüsse dieser Notiz kann man wie folgt erhalten. Es sei x nach Süden positiv und
y habe dasselbe Vorzeichen wie X. Alsdann ist
05 = — artang — cos T = — p cos T, y = 2rtang — sin T = p sin 7,
wo also A der grösste Kreisbogen ist, der den abzubildenden Punkt mit dem Centralpunkt yerbindet, und
IX. 16
122 BEMEBXUNOEN. 8TEBEOORAPHISCHB PROJECTION DER KUGEL AUF DIE EBENE.
T das Azimuth von A bedeutet. I«t nun ^ der Winkel iwifchen A| und dem grOtsten KxeiBbogen h, der
(A|, T|) und (A,, T^ yerbindet, femer ^ der Winkel iwifchen ^ und d, wo iit ~ (C| -- S|) die Reduetion dei
gphftrifchen auf das ebene Azimuth. Dem Übergänge von der poattiTen x-Aze rar pootiTen y-Axe ent-
fprechen hiebei wachiende Azimuthe. Setzt man nun z. B. in die Gleichung
gintCt—^) a Bin^!iinC|Cotang^ — eoaCi):
^»i = T (^y%-»%yi\ cotang«! = "^!? T T\
Jftang^.ef p,tm,2;-r,)
_ rin(7;^2;)BinA,^ _ ^ V cosflecA, ^
^ Bmd ^ imdim7|
to erhtit man, indem man noch BinA|finA|eofl(7',— T|) = cot ) — co« A| co« A, aetit:
1 l
-•in(C-«i) = Y^tang-(«,yt-«iyi).
Die Notiz [2] ist von Gauss auf das letzte Blatt seines Exemplars des »Lehrbegiißs der g^esammten
Mathematik. Aufgesetzt von Wencssl. Joh. Gust. Kabsten etc. Der siebente Theil: Die Optik und Fer-
speetiy. Greifswald, 177S« eingetragen; sie ist von Gauss mit der Überschrift »adpag. 718« yersehenwordeiL
[8] findet sich auf dem letzten Blatte des GAUSSschen Exemplars der »Beytrftge zum Gebrauehe der Math»-
matik etc. von J. H. Lambert. Dritter Theil. Berlin, 177S.«
KEÜOBB, BÖB8CH.
[HI.]
[ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE
DURCH MERCATORS PROJECTION.]
[1.]
Erstreckt sich die Messung hauptsächlich längs des Meridians bei geringer
Ausdehnung gegen Ost und West, so ist Mebcatoes Projection, den Meridian
als Hauptkreis betrachtet, zweckmässiger.
Die Hauptau%aben sind hier folgende.
[Es sei
r Radius der Kugel
P geographische Breite des Anfangspunktes auf dem Haupt-
meridian
<I>, X . . . . geographische Breite und Länge eines beliebigen Punktes der
Kugeloberfläche, dessen rechtwinklige sphärische Coordinaten
2, F sind
x^y ... rechtwinklige Coordinaten des entsprechenden Punktes in der
Ebene, x ist positiv nach Süden, y wächst mit dem Längen-
unterschied X. X = y, tang(45® + iF) = c^]
I. Verbesserung der Richtungslinie, wie sie berechnet ist:
6rr
16*
124 NACHLASS.
n. Wahre Distanz:
V/|((^'-^)'+(/-y)«)(i-i'^y+»-;;+y'»-')j.
in. Geographische Lage:
reo.(p-£)
tang Converg. Merid. = « (i _ J^^) taug (P - f )
sin Converg. Merid. = sin X sin [P — -]
tangi(P-f-4*) = if(l- jlfj tang i Converg. Merid.
rv. Die umgekehrte Au%abe:
y = r8inXcos<J*.(l + J^)
sin Convei^. Merid. = -^ ( i -f- J^ J tang ^
= sinX8in<[..(l4-|j)
tang Converg. Merid. as tang X sin <}*.
[20
Gonvergenz der Meridiane = c.
.inF-J-t(£)-+[A (?)■]...
, ?++ft)'+T+T(f)"--
t«>gc.l.ng(P-e).(£-t(i)+A(?)'-)
sine = sinXsin(P— -]•
[Setzt man]
• • •
• • •
OBEKTRAGUNG der KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS PROJECTION. 125
[ßo wird]
«»*B = ^('-*'^+AV(f)"-)
= langt r'tang(P-f-iK)
= tang 4^X tang c COS ( P — -j
■iniX«8in2[p— -)
00« 0
= f(a...)teog(P-J)
JB = tJitaDg(P-i)-(j)'(itong(P-|)*+A)-i
[für r as 1 ist]
es _ Mn(P-a!).(y-iy*+-Ay'---)
[3.]
Hülfstafel für log sec Y.
Für r = 1 wird [der Logarithmus des Yergrösserungsverhältnisses]
log sec F = lyy - tV/+ xV/- Tifr/
• • •
Bei dem Werthe von r für Göttingen [mit P= 51®3l'48;70 und der
Abplattung ^gg^ ei^bt sich aus ^ = ^^jizr^^S^ • ^^S^ = 6,805 4777] und für
7 Decimalen sind die [britischen] Log. der Coeff. :
2,725 7989 — 10 8,336 6923 — 30 4,1 51 7056 — 40 0,023 Ol 1 1 — 50.
[Damit ist die umstehende Tabelle berechnet worden.]
126
NACHLASS.
logsec Y
1
logsec T
log MC 7
[ y
in Einh.
difir.
y
in Einh.
diff.
y
in Einh.
diff.
d. 7. Dee.
d. 7. Uec.
d. 7. Dec.
0
0
6.82
250 000
3323.29
271.10
500 000
13283.00
6S6.06
10000
5.32
15.95
260 000
3594.39
281.73
510000
13819.06
646.64
20 000
21.27
26.60
270 000
3876.12
292.84
520 000
14365.70
667.20
30 000
47.87
87.28
280 000
4168.46
• 302.96
530 000
14922.90
667.77
40 000
85.10
47.86
290 000
4471.42
318.58
540 000
15490.67
678.38
50 000
132.96
58 51
300 000
4785.00
R'il IQ
550 000
16069.00
liSflfifl
60 000
191.47
69.14
310000
5109.19
0^%.A «/
334.80
560 000
16657.88
WOQ.OO
599.44
70 000
260.61
79.77
320 000
5443.99
345.41
570 000
17257.32
610.00
80 000
340.38
90.41
330 000
5789.40
356.02
580 000
17867.32
620.55
90 000
430.79
101.05
340 000
6145.42
866.63
590 000
18487.87
631.09
100 000
531.84
111 6Q
350 000
6512.05
377.24
600 000
19118.96
fUl ßS
110 000
643.53
AX X ,\JU
360 000
6889.29
610000
19760.59
v^A.Uw
122.81
387.88
652.18
120 000
765.84
182.95
370 000
7277.12
398.45
620 000
20412.77
662.71
130 000
898.79
148.58
380 000
7675.57
409.04
630 000
21075.48
673.25
140 000
1042.37
154.21
390000
8084.61
419.63
640 000
21748.73
683.78
150 000
1196.58
164.84
400 000
8504.24
430.28
650000
22432.51
AQiM
160 000
1361.42
410000
8934.47
660 000
23126.82
v9%.U A
175.48
440.83
704.83
170000
1536.90
186.10
420 000
9375.30
451.42
670 000
23831.65
715.36
180 000
1723.00
1%.74
430 000
9826.72
462.00
680 000
24547.01
726.88
190 000
1919.74
207.36
440000
10288.72
472.59
690 000
25272.89
736.38
200 000
2127.10
217.99
450 000
10761.31
483.18
700 000
26009.27
746.90
210000
2345.09
460 000
11244.49
710000
26756.17
•
228.61
493.76
767.40
220 000
2573.70
289.24
470 000
11738.25
604.34
720 000
27513.57
767.91
230 000
2812.94
249.86
480 000
12242.59
614.92
730 000
28281.48
778.41
240 000
3062.80
260.49
490 000
12757.51
525.49
740 000
29059.89
788.90
250 000
3323.29
500 000
13283.00
750 000
29848.79
ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS PROJECTION, 127
[4.]
[Ist der] Halbmesser [der Kugel] = 1, [so ist]
5( = logtang(45^ + iI')
tang^iy = «tang^ Y
cosiiy = ^^= co8iFv^cost5(
siniy = ttang Y
tangty = tsin Y
cos iy = ^^-y = y ergrösserungsverhältiLiss.
[5.]
[Es sei Q die Polhöhe eines beliebigen Punktes auf der Kugeloberfläche,
dessen Ordinate Y ist, und Q* die" Polhöhe des Fusspunktes von F; femer
sei c die Meridianconvergenz. Dann ist:]
tangX = -^^ = ^
^ teonQ* mnQ
^•^ \ taug»« Brno
sm A = T^ X = -'-TÄ
tangc = ^5?ptangQ*
sine s sinXsinQ*
cosc s= cosXcosty
tangi(Q*- Q) = taiigic^52ail? .
[6.]
Um aus
tangiy [= tsinF]
jf ro finden, setsEe man
sinr=tang(F-8);
dann ist [angenähert]
■mr
y ^ •
128 NACHLASS.
[Denn setzt man sin K = «, so ist :]
also
F--rtr8=* + TV«'+ -iV«'+ i*T«'---
cos(r-TV8)= 1- f««-TVV«* — l*AV«••••
[mithin
"°^ . = sin F+isinF»4-isinF»+iVW8inF'....
cot (r— ,«,»)*
Genau ist
jf = sinF+isinF* + i8inF»+ -». sinF'...].
Um log^ aus log sin F abzuleiten [hat man aus der letzten Gleichmig]
logj^ = logsin F+isin F' + Hsin F^ + ^Wrsin F*....
[7.]
Mercators Ftojection.
x.x' Abscissen ) . n i i. • i i
' [ [zweier Funkte m piano]
y^y Ordinaten J
F, F' . . . . den Ordinaten entsprechende Bögen [auf der Kugel]
D Entfernung der beiden Punkte [auf der Kugel]
\d Entfernung der beiden Punkte in der Ebene]
Ay A! . . . . Neigungswinkel von D oder von den Tangenten an den beiden
Endpunkten gegen die Abscissenlinie
Halbmesser [der Kugel] = 1.
Bei der Darstellung der Kugeloberfläche in der Ebene nach Mercatobs
Projection finden folgende Verhältnisse statt:
sin i(^+^>in iJD = cosi(y- j?)sin i(r— F)
cosi(-4+^>in i2> = sin i(j?'— a?)cosi(F+ F)
sin i-(^ — ^>os J-JD = sin i-(ji?'— j?) sin i(F'+ F)
cosi(^ — -4')cosi-D = cosi(a?'— a?)co8i(F'— F)
ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH BIERCATORS PROJECTION. 129
[oder, da
sin -& coB -^
8iii+ F = - -. — —9 C0S4- F = -. — r- ist,]
cos^(-4-[--4')siii42). \/(cosi^'cosiy) = sin 4 («r'—a?) cos 4^i(y'—y)
f sin 4^ (-4 — -4') cos 4^2). ^ (cos f^' cos iy) = sin ^(a?'— a7)sin ^t(y'-f-y)
co8^(^ — -4')cos^D.\/(cosiy'cosiy) = cos4-(a?'— ,r)cos4^i(y'+y);
[und hieraus]
[Da]
logtangtt = log» + ^M« 4-^,^5^ u*4-tHtu'
.6
■ •
[ist, so wird zunächst
logtangi(^ +-4') = logtang a — -^dd—Tj^d^ cos 2 a— ^yffTnr(5 + 3 cos 4a)...,
wo]
x'—x = dcosa
y —y = rfsin a
[gesetzt ist].
Wenn nun
[ist], so wird
log tang (^ + G) = log tang t + g
dG
^9
ddG
= 4-sin2(f+G0
-^ = ism6(^+G)-isin2(f+G)
etc..
:folgUch]
G = ^g sin 2 f + ^^^ sin 4 f + ^Vi^ (sin 6 f — sin 2 f;
= f^sin ^t[\-\-ig cos 2 f + i^^cos 4 ^ . .).
Et.
17
130 NACHLASS.
Hienach wird [wenn
G = 4^ (-4 -f -4') — a, * = a, ff = —-^dd — iA6<^cos2a — . ..
gesetzt wird:]
= a-i^(«'-^)(y'-y)-TfT(^'-*)(y'-y)((«'-*)*-(y'-jf)*)
• • ••
Aus
tangti = tangv -5|^
folgt
u = vw\\ '\-\[vv — ww)-\--^['ivv — ww)[vv—'iww)^**\^
[mithin wird für u = ■i:{A — Ä'), v = ^^{jp'—x)^ w = 4^(y'+y)0
[Wird]
0?'— a? = a
y+y = c
[gesetzt, so ist auch]
^(-4 — 4') = ^ ac— iV ac(cc — aa)...
[^' = a-y±Ma + .^a{ibc'+b^-.rhfAl&c+b)...].
[8.]
Reduction der künstlichen Kugel auf die Ebene.
[Setzt man
e =i,
so folgt aus den zuerst au%efuhrten Gleichungen des Art. 7, S. 128 unten:]
sinil)..**'^+^'' = «^cosi(r+10 + »^
ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE DURCH MERCATORS FROJECTION. 131
[oder, wenn
F = 90^-/, F= 90®-;?
gesetzt wird,]
= — i^ cos -^p sin 4-/>'4" »S""* sin ^p cos j^p'
[oder, wegen]
6^ = cotang i^p,
8in4-X>.« = 77T7 517^7 _%,A) +
ir'
[Ebenso ist]
cos
-.•6.e*'y-y''+«r'.e*'y'-y)
S/\{ey + e-y){e9'+e-y')\
= V !(*''+«-«')(«'''+ «-"Öl'
= iHJ. COS i (;, -pO + ^ COS i (p +!>')
s= 5 cos ip cos ^p' + 5~' sin ip sin 4^ p'
[Man setze einmal]
Vi(i+e-»s')(i+e-»y')r Vl(i+e''')(i+«'''')l
_ jefiy+y'i+j-ie-ify+y')
^ Vl(e«'+e-«')(e»'+e-y')}
^ \/\{ey+e-y){ey'+e-y')\
_ 2 eo«»{i(y + y') + i« («•-«))
- Sl{{ey+e-y){ey'+e-y')\ '
x' —X = Scosa
y' — y = Ssina,
17*
132 NACHLASS. ÜBERTRAGUNG DER KUGEL AUF DIE EBENE ETC.
[das andere Mal]
x—x = esinß
y+y = ecos^,
[dann wird, da {(e^-^e"^; = cosiy = secK ist:]
• - T^ küÄ-^-Ä') Binll« coso + isinal}
sin + JD.^ =- 7 v—vT — -
. r. \i Ä - Ä') cos j i»t cos ß + »sin ß
cos 4^2?.^' = — ^- , -^ — ^, —
[Nun ist]
logsinu = logM— j^MM — tI^m* — T^rrW^-'-
[mithin wird für u= jSe** beziehungsweise Jis^*^:]
i{A^A) = i eesin2^- ^i,- e^sin4ß4- „Snr e«sin6ß...,
log sin 4^2) = log ^ 8 — ^V^^ cos 2a — y^Vv^^ cos 4a — [tttVtv^* cos 6a]...
— ^ log (sec Fsec F)
log cos 4^ D = 4^ eecos2ß— -p^y e^cos4ß4- [iktW e*cos6ß]...
— ilog(secFsecF).
BEMERKUNGEN.
[l] ist, wie bereits auf S. 116 erwähnt, einem Handbuche entnommen. Die Notiz [2] gehört einem
'S Jf
andern Handbuche an; bei ihr sind die Formeln für II und -^— berichtigt worden-, die bei Gauss lauten:
12 = i y y tang (p - 1) - |i tang (p - -^J+ a) V^- etc.
dR ^ sin(P-a; . y + jy' + TJiryV--)
dy V^(co8 ;P - a;;«+ 2 yy + |y* + ^vy*-..)'
Die Tafel [3] und die Notizen [4^, [5], [fi] und [s] sind verschiedenen einzelnen Blättern entnommen, auf denen
sie zwischen Zahlenrechnungen aus dem Anfang der zwanziger Jahre des letzten Jahrhunderts stehen. Die
Notiz [7] ist nach Aufzeichnungen zweier Handbücher und eines einzelnen Zettels zusammengestellt worden;
die beiden Formeln fttr ^[Ä + A'], S. 130 oben, sind bei ihr geändert worden, im Original heissen sie:
i{A + Ä'j = a — ^«rddsinia — ,VrT^*8in4a — xTlTnr*Vr^!2387Bin2a+ l039Bin6a)
KbÜQEB, BÖB8CH.
STEBEOGRAPHTSCHE DAESTELLUNG DES SPHÄROIDS
[IN DER EBENE].
a Grosse Halbaxe
e Excentricität
90® — PF Polhöhe des ersten Centralorts
90® — w Polhöhe eines unbestimmten Orts
X dessen westliche Länge
x-{-if/ = t. . . [ebene] Coordinaten jenes Orts
4^e
(14-ecost/7\* rf \ 2a tu/ \
1 — ecost(?/ ^ ^' >/ J —tzcosur] ^ ^
tang^K? = b
i{W) ~~ ^
a?'-f-iy' = f' Coordinaten desselben Orts in Beziehung auf den zweiten
Centralort ;
6*5 Ä* Bedeutung wie vorher, aber jetzt in Beziehung auf den zweiten
Centralort [(90»- < X*); also 6'= tangiw', h' = * ^"^'
f(TD
^ 1 1 I 1.0 -Dl.« t 1 I 1.0 D1.0 ""^ ^ '^ ^
2) t = p(ig)— ^^ =jF(M>) ^,_^^. • ..^yj
+-Ä^ ' '+¥±m^^'^^
Vergrösserungsverhältniss :
XX 4- yy
.1 l-~eeco8tg' ^"^(F(^))'
Vl-eecosfF«' , , Y[W) , . , . Ffw)
134 NACHLASS. 8TEREOORAFHI8CHE DARSTELLUNG DES SFHAROIDS IN DER EBENE.
NB. Es ist nicht nöthig hiebei, d. i. wenn man doch endlich stereogra-
phisch in piano darstellen will, die Übertragung des Sphäroids auf die Kugel
nach p. 22 zu machen, wo man
of = Ata.ngi{W—U)
hat; man hat dann nemlich die Unbequemlichkeit, keine allgemeine Tafel
für U anwenden zu können, sondern es reicht zu, sie nach pag. 21 zu
machen, wo dann x die Form erhält
^ = ^' + £'tangi(Fr*-C7).
Hier kann dann die allgemeine Tafel für U gebraucht werden.
BEMERKUNGEN.
Die oben angeführten Seitenzahlen ^[2i und 32) besehen sich auf die, 1825 im Heft 3 der von
H. G. SCHUMACHXB herausgegebenen »Astronomischen Abhandlungen« erschienene »Allgemeine Auflösnng
der Au^be: Die Theile einer gegebenen FlAche etc.« Gemeint ist der Art. is derselben, Bd. IV, 8. 207 u. f.
Die obige Notii selbst, die einem einzelnen Blatte entnommen ist, sohliesst sieh an den Art 12, Bd. IV,
8. 206, an. Nach dieser wird die conforme Darstellung der Oberflftohe des Sphiroids in der Ebene durch
die Gleichung
x + iy = f(x + <logjoot«gt«(i^i^)**j) = m
yermittelt. Für die stereographische Projection ist aber
{{V) = *tang(arctange**-iTr) = Jb-£Ü=^?5tL^
i + c**tangiTr
zu setzen, wo 90*— TT die Breite des dem Augenpunkte diametral gegenüber liegenden Punktes, also des
Anfangspunktes der Goordinaten, bedeutet. Für die Kugel ist, vergl. Notiz [3] auf S. 121, wenn Sg und
2jp die Gomplemente der Breiten des Gentralorts und eines beliebigen Punktes sind,
a, + ty = k ^'-^g , e»' = e«^tangp.
1 + e**tangg
Kbüoeb, Böbbch.
CONFORME ÜBERTRAGUNG
DES SPHÄROIDS
AUF DEN KEGELMANTEL.
NACHLASS.
[CONFORME ÜBERTRAGUNG DES SPHÄROIDS
AUF DEN KEGELMANTEL.]
Zur zweiten Darstellungsart des Sphäroids, auf einen Parallelkreis bezogen.
P . . . . Breite des Hauptparallelkreises
f» . • . . Vergrösserungsverhältniss
X Länge irgend eines Punktes
9 . . . . dessen Breite
x^y . . Coordinaten seiner Darstellung in piano [nach der Abwicke-
lung des Kegelmantels auf die Ebene]
j? = r cos 6, y = r sin 6
JS . . . . Werth von r für cp = P
(1 = sinP
^sin'f = sinw
^sinP= sinfJ»
0 = |iX
a coB P a eo8 P a
R
fiiv'll — eesini^) [lcobü cosUtKogP
r acoBcp aco8 9
m fx^(l — cesin^') fxcosu
dr fjL(l — ee)dy
r (1 — cc sin <p*) cos (p
dm sincp —
m COB y
atang:46* + iPf'
1 — cesmcp" ^ r \ |x /
^ =
CO» n tang ;46» + i D^)"^ * tang P
K.
18
138 NACHLASS.
r = *tang,45<'-i9:^(;^;i;-Jf'
= *tangM5"-^^;'*.tallg•45'' + ^-o;^".
Ist C das Azimuth eines Elements einer geodätischen Linie gegen den
ersten Meridian, so wird
d: = (i-!!L?)de = 6?de.
Sind q', q' die Werthe von q an den Endpunkten einer geraden Linie in
piano, deren Azimuth = Z ist, und C' und C' die Azimuthe der geodätischen
Linie an denselben Endpunkten, [ferner] 9°, 9' die [zu diesen gehSrigen]
Werthe von B, so wird
z = ;'+[2/+j'),ö'-9*;= 180"+ :'-!-(?•+ 2 j')(ö'-e').
Für 6(/ hat man die Keihen,
loghyp^ = p und r = R(l +3)
gesetzt :
L
11— «ffi|i '^ 21 — ee'ni»
3,l-«e,V*
Am hequemsten setzt man q=^a'r—R)\Jr wohl eben ao bequem
q = a'rlog^i und logwi = ^-^ — und gibt die Logarithmen von o [und ß]
in einer Tafel.
Für die Abplattung = g— g , d. i. das Verhältniss der Axen = ' ^ > wird
[vergl. S. 69]
logi?e= 7,8191850399
logv'(l —ee) = 9,998 5632 696
loga = 6,804 5975970.
[Mit diesen Werthen und für P (Göttingen) = 5l°3r48"7 sind die beiden
folgenden Tabellen berechnet worden.]
COI^ORUE ÜBERTRAGUNG D£S SPHAROIDS AUF DEN KEGELMANTEL.
139
logm
^^^V'li-ccsincp«)
(Einheiten d.
9
(Ein-
heiten d.
logr
r
sin»
sinP
loga
logß
T.Decim.}
7. Decimale)
(Meter)
— 20
— 20
47^68'
20"
8149.862
6,738 2224.191
7915.864
547 2961,838
0,061 2376.087
8,964 7419
7,962 0287
48 25
0
6258.626
6,734 2772.859
8026.658
542 3470,546
0,044 6331.717
8,964 7802
7,962 0627
4b 51
40
4612.904
6,730 2973.085
8137.252
537 3995,625
0,038 0862.194
8,964 8096
7,962 0902
49 18
20
3214.161
6,726 2816.265
8247.620
532 4534,268
0,031 5971.467
8,964 8304
7,962 1111
49 45
0
2064.452
6,722 2293.517
8357.734
527 5083,660
0,025 1663.435
8,964 8430
7,962 1257
50 11
40
1165.907
6,718 1395.670
8467.569
522 5640,957
0,018 7941.974
8,964 8476
7,962 1336
50 38
20
520.757
6,714 0113.250
8577.096
517 6203,297
0,012 4810.908
8,9f)4 8441
7,962 1351
51 5
0
131.317
6,709 8436.473
8686.291
612 6767,793
0,006 2274.051
8,964 8333
7,962 1302
51 31
40
0.004
6,705 6355.223
8795.127
507 7331,533
0,000 0335.151
8,964 8152
7,962 1188
51 56
20
129.337
6,701 3859.037
8903.578
502 7891,575
0,006 1002.053
8,964 7900
7,962 1007
52 25
0
521.942
6,697 0937.094
9011.617
497 8444,952
0,012 1733.878
8,964 7581
7,962 0761
52 51
40
1180.553
6,692 7578.194
9119.218
492 8988,664
0,018 1856.670
8,964 7202
7,962 0460
53 18
20
2108.021
6,688 3770.740
9226.356
487 9519,681
0,024 1366.806
8,964 6761
7,9620107
53 45
0
3307.317
6,683 9502.712
9333.004
483 0034,926
0,030 0260.713
8,964 6263
7,961 9676
54 11
40
4781.541
6,679 4761.666
9439.136
478 0531,307
0,035 8534.839
8,964 5713
7,961 9180
54 38
20
6533.927
6,674 9534.689
9544.727
473 1005,674
0,041 6185.684
8,964 5115
7,961 8686
55 5
0
8567.844
6,670 3808.390
9649.754
468 1454,848
0,047 3209.773
8,964 4470
7,961 8019
51 31
48,7
0
6,705 6126.281
8795.718
507 7062,716
0
8,964 8150
7,962 1184
[In der Columne für 6q sind von dem Striche ab die Werthe negativ.]
logr
logo
logß
logr
loga
logß
logr
1
loga
logß
logr
loga
logß
-20
-20
— 20
— 20
— 20
-20
— 20
— 20
«,«70
8,964 4414
7,961 7966
6,687
8,964 6612
7,961 9980
6,704
8,964 8063
7,962 1126
6,721
8,964 8449
7,962 1288
6,671
559
7,961 8106
6,688
721
7,962 0073
6,705
119
165
6,722
434
263
6,672
702
244
6,689
827
161
6,706
170
200
6,723
418
235
«,«73
844
381
6,690
8,964 6930
245
6,707
219
232
6,724
386
201
6,674
8,964 4984
514
6,691
8,964 7031
326
6,708
263
260
6,726
354
164
6,875
8,964 5121
642
6,692
130
404
6,709
303
284
6,726
316
123
6,678
267
769
6,693
225
478
6,710
338
305
6,727
273
079
6,677
391
7,961 8892
6,694
316
552
6,711
370
321
6,728
226
7,962 1080
6,678
522
7,961 9012
6,695
405
622
6,712
399
336
6,729
173
7,962 0977
6,679
652
131
6,696
491
690
6,713
423
345
6,730
114
920
6,6S0
780
246
6,697
573
755
6,714
441
351
6,731
8,964 8051
860
6,«S1
$,964 5905
359
6,698
653
818
6,715
454
353
6,732
8,964 7981
795
6,682
8,964 6028
469
6,699
729
877
6,716
463
351
6,733
906
725
6,«S3
150
676
6,700
803
934
6,717
465
346
6,734
825
649
6,«S4
269
681
6,701
874
7,962 0987
6,718
466
337
6,735
739
567
6,«S5
386
784
6,702
8,964 7941
7,962 1037
6,719
464
325
6,736
647
478
«,es6
500
884
6,703
8,964 8004
083
6,720
458
309
6,737
547
382
«,«87
8,964 6612
7,9619980
6,704
8,964 8063
7,962 1126
6,721
8,964 8449
7,962 1288
6,738
8,964 7442
7,962 0280
18^
140 BEMERKUNGEN. CONFORKE ÜBERTBAOUNG DES SPHAROIDS AUF DEN KJSGELKANTEL.
BEMERKUNGEN.
Die Tontehende ATi&eiohnung , die nebst den beiden Tabellen einem Handbuche entnommen iit|
dürfte aus den Jahren 1829 oder 1834 stammen.
In den beiden Formeln für eg sind die Ausdrücke für die Glieder 9. Ordnung geändsrt worden; bei
Gauss lauten sie
(i + cc— 8(1 4-4ce + c*)fxp^+i6(i 4- ee :i +cg)p^*— i4g*p^*)(i -eep^yL)(i — fifi) ,
und
3 j — ec/fjL*
(i + ee~-(i+8cc+7g*)p^p^+(9ge+>ie* fx*— i4c*p.*)(i — ee|ipL}(i — lipi)
3(1 — eC;*|X*
In der ersten Tabelle wurden die Bezeichnungen der einzelnen Golumnen sugefügt.
Für die geodätische Linie ist
cos«sin.<l . , . A • xi_.
— 1 — : — - SB const: {A «= Azimuth)
also ist auch, wegen
r a cos (p
— Bin.i. ^ const.
ffi
Differentürt man diese Gleichung, so ergibt sich:
. , . dl» dr smo dr
eoXMisA.aA = = ^ —
m r f* ♦•
oder, da cotang.1 = --=-^ und .A = C — B ist :
f dH
dc = (i-^)de.
Die Azimuthreduction ^ — Z erhftlt man nach BandlY, S. 378, aus der Gleichung
wobei hier T und V die Werthe von l = ^-sinC = — ^sinC för die Endpunkte sind. Nimmt
sinC . 8'~-8* ^°^^ ^
man für einen mittlem Werth = . so wird :
r 8
c*-^= -(5 9*+2')(e'-e»).
KHÜOSB, BÖBSCH.
CONFORME ABBILDUNG
DES SPHÄEOIDS IN DER EBENE.
(PROJECTIONSMETHODE
DER HAlöTOVEßSCHEN LANDESVERMESSTTNÖ.)
NACHLASS.
[COKFOßME ABBILDUNG DES SPHlROIDS
m DER EBENE.]
[Berechnung der geographischen Breite und Länge aus den ebenen
rechtwinkligen Coordinaten.]
[Bei der conformen Übertragung der Sphäroidfläche auf die Ebene wird
ein Meridian, der Hauptmeridian, durch eine Gerade, die a?-Axe, dargestellt.
Jeder Abschnitt auf der Abscissenaxe ist dem Theile des Hauptmeridians
gleich, dessen Bild er ist.
Es sei a die halbe grosse Axe und e die Excentricität der Meridian-
ellipse. Einem Punkte auf der EUipsoidfläche, dessen Breite 0 und dessen
Länge X ist, sollen in der Ebene die rechtwinkligen Coordinaten o?, y ent-
sprechen. Zu dem Durchschnitt des Parallelkreises von der Breite 0 mit dem
Hauptmeridian gehöre die Abscisse S, und zu dem Endpunkt der Abscisse cc
die Breite cp. 5 und a? sind also gleichzeitig auch die entsprechenden Meridian-
.«
bSgen vom Äquator an.]
Es sei ein Linearelement
= ^jd<D* + (e(<D))MX*};
man mache
fm = f®.
144
NACHLASS
flo wird
t{x+iy)
= £{9+a
= F(*)+.X
[Für
das
Sphäroid
ist
d,-=5j-
all -et)'
<J«'+r?^,7
"rS"^'
Entwickelt man f{j-}-»^) nach Potenzen von ly, so ergibt sich:
£(E) - FW ~ fw-ij^rw+rt/fw-...
Für ^ = 0 ist * = 9, also]
F(T) - fW-
[Da ,'- = F'(<p), so ist]
[j; wächst mit cp, also]
(1 — eetin^*;'
mithin wird]
* ' a eoi <p
und weiter]
f-> ^ -l-«tiit.9'!«iDy
fx = ,'**'"'''-: j jl 4-(l — ^««jsiny'-i-eesinY*!
1= -"«""f. ji'j — eeli'2 — co8'i'') + «Äco8 9*!l
l a' l — et cu«!p' ' ■ ' ~ T / I T tj
f^'x, = '^"j'"|,"f_.*|^|5— 9ce + (l— 4ec+15e*}8inip*+(««— 13e*}8in<p*+4«*8in(p*}
u. s. w.
l)HH (ii:nt:tz der Differentiation ist das folgende.]
k
CONFORME ABBILDUNG DES 8FHAROIDS TS DER EBENE.
145
Man setze
und
80 ist
^ ^^ = L Isin cp = *1
oder, wenn man die Potenzen von ee vernachlässigt,
f+'(af) = f«+'jn«* + |^(l-w)(l+ce(l-**))j.
So findet man für
n
tt
1
1
2
s
3
1 -{-ss-\-ee{\ —ssf
4
5s-)-«*4-««(l —ssfs
[Die Substitution der Werthe von f (a?) und f"'{x) in der Gleichung für
l gibt:]
[Setzt man]
[wo also
ist, so wird]
[wobei]
F(<D) = F(cp) + a),.
0 = G{F((p) + cü}
^ = [dF =J r::^;^
[Wenn
gesetzt wird, so ist aber]
-F'(7) = |-
?
= 4F'+25F'.ö) + [3CF'.a»a) + 4DF'.«)*4-]
f • 0
tz.
19
146 NACHLASS.
[daraus folgt:]
^F' =1 25 = aa:
2BF' = 4' ZC^AB'
ZCF' = B' iD=AC'
etc. etc.
B = — ^7i Ty sin y cos y ( 1 4- 2 g g — 3 gg sin <p»).
[Wird in der Gleichung 0 = <f -{-Am -\-B mm -{-••' für «o der Werth ein-
gesetzt, so ist zunächst
* = ^-iAr{x).yjf-h(^A{"{ä^)-\-iB{r{x)yy...;
mit den obigen Werthen für A und B und den Werthen von f " (j?) und f ^ (a?),
S. 144, erhält man daher:]
4-(10^e— 22^*)8incp* + 4«*8m^*}y...
[oder]
0(1 — cciincp*) tangep , (1 — ««•in®') sino («./. \i i /« ^^ \ /a \ t
+ 1 0 ^^(1 — ee) cos cp* — 4 ^*co8 9*}y*« • •.
[Wenn 0 = 9 — « gesetzt wird, so ist
loghypsinO = loghyp8in^-j;^«-i^z2r...;
mithin :1
log hyp sin <r) = log hyp sin <p - '2~„7i - jj) ^^
+ i2aM-«V {l-7gg+5ggcosy*-3;3^co8y*{y....
[20
[Berechnung der Meridianconvergenz aus den ebenen rechtwinkligen
Coordinaten.]
[Die Meridianconvergenz c ist der Winkel, den das Bild des Meridians
mit der Parallelen zur «r-Axe bildet, x sei nach Norden positiv, dann ist:
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 147
Aus der Gleichung, die in der Ebene den Meridian von der Länge X
darstellt :
X = const. = yi'[x) — \y^i"' [x) . . .,
folgt aber
also ist:]
dx f'(«)-^yyf"'{aj)...
i. _ yf"{x)-^y*(^{x)...
tangc- f.(^)_^yj^f777(^7-
Daher wird nach S. 144]
tangc = D'^-^ — 5Lij^tang(p,
wo
[oder genähert]
[Femer hat man:]
[oder, wenn
f'[x)
gesetzt wird,
c=yh(j?)-i/h"(^)...].
S = M-)
19*
2(1 — ce •in©*)* sin 9 c/. x2 /. \ 4a4 ail
= aM-«;'coBy' {(1 -ee)'-gg(l -gg)co8<p«-2g«cos<p«}j.
148 « MACHLA8B.
Also ist:
[oder]
[Man hat auch, wenn man X einführt:]
c = X8in^-^i::^|^?|^^
Dann ist
[3.]
Zur numerischen Berechnung sind folgende Formeln am bequemsten.
Es sei
apcos^
3f = (l-eeriny«)*tang<p.yy
2aa^l — ee)p
N = - ^^^tang(p.y.
logX = logi — A.ü
log (cp — <D) = logM — JB. ü
logc = log iV—CÜ,
wo die Logarithmen von -4, JB, C am bequemsten aus einer besondem Tafel
mit dem Argument 9 genommen werden.
Zur Berechnung dieser Tafel dienen die Formeln:
A = irjO,75-icos2(p + 2(T^^^»1^1
CONFORHE ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE.
149
WO
H = iArpp. 10^ log JET = 5,531 8128 — 10
1
[Ar = Modul der briggischen Logarithmen ; p = 2Ö6264 8
Die Correctionen A.LL^ B.LL^ CLL werden in Einheiten der 7. Deci-
malstelle erhalten. X, ^ — 0 und c erhält man in Secunden.
Der nachfolgenden Tabelle für die Logarithmen von -4, -B, C liegt der
Abplattungswerth
302,68
zum Grunde].
9
logA
logJ5
logC
1 —10
— 10
— 10
SO» 0' 5,431 6218
5,510 4149
5,631 3175
3 8666
2206
96
6 '5,432 0880
0263
6,631 3216
»
3222
5,609 8319
36
12
6662
6376
67
15
7881
4432
77
1§
5,433 0208
2488
97
21
2632
0544
5,631 3318
24
4864
5,508 8600
38
27
7174
6656
69
SO
9494
4712
79
33 5,494 1810
2768
99
3«
4124
0823
5,531 3419
39
6438'5,607 8878
39
42 8748
6934
69
45 ;5,435 1057
4989
79
48
3364
3044
99
51
5668' 1100
6,531 3619
54 7»21
5,606 9156
38
»7 5,436 0271
7210
68
51 0 2570
5266
78
3
4867
3320
98
e
7161
1375
5,631 3617
»
9454
6,606 9430
37
12
5,437 1745
7485
66
15
4033
5540
76
18
6319
3595
96
21
8604
1650
5,631 3714
24
5,438 0886
5,604 9704
34
27
3166
7759
63
30
5444
6814
72
33
7720
3869
91
36
9994
1924
6,631 8810
39
6,439 2266
6,603 9979
30
42
4536
8034
49
45
6803
6089
68
?
log^
logB
logC
61»46'
— 10
5,439 6803
— 10
5,503 6080
— 10
5,631 3868
48
61
64
67
52 0
9068
5,440 1332
3693
5852
8109
4144
2199
0254
5,6028310
6365
87
6,631 3906
24
43
62
3
6
9
12
16
5,441 0364
2616
4867
7115
9361
4420
2476
0531
5,601 8587
6643
81
99
6,631 4018
36
65
18
21
24
27
30
5.442 1605
3847
6087
8325
6.443 0660
4609
2755
0812
5,500 8868
6926
73
91
5,531 4110
28
46
33
36
39
42
46
2793
6024
7254
9480
5,444 1706
4982
3039
1096
5,499 9163
7211
64
82
5,631 4200
18
36
48
61
64
57
63 0
3927
6148
8366
5,446 0581
2795
6269
3327
1384
5,498 9443
7601
64
72
80
5,631 4307
25
3
6
9
12
16
6006
7215
9422
6,446 1627
3829
5560
3618
1677
5,497 9737
7796
43
60
78
96
6,631 4413
18
21
24
27
30
6029
8227
6,447 0423
2617
4808
6856
3916
1976
0036
6,496 8097
30
48
66
83
5,631 4600
?
log^
logB
logC
53»30'
— 10
6,447 4808
— 10
5,496 8097
— 10
5,631 4600
33
36
39
42
45
6997
9184
5,448 1369
3651
6731
6158
4219
2281
0343
5,496 8405
17
84
61
68
86
48
61
54
67
54 0
7909
5,449 0084
2268
4428
6597
6468
4530
2594
0667
5,494 8721
6,631 4602
19
36
52
5,531 4669
3
6
9
12
15
8763
6,450 0927
3089
6248
7405
6785
4860
2916
0980
6,493 9046
86
5,631 4702
19
35
62
18
21
24
27
30
9560
5,451 1712
3863
6010
8156
7112
6179
3246
1313
5,492 9380
68
84
6,631 4801
17
33
33
36
39
42
46
5,462 0299
2440
4679
6715
8849
7448
6616
3586
1654
5,491 9724
49
66
81
97
6,6314913
48
61
64
67
65 0
6,463 0981
8110
6237
7362
9484
7794
6866
3936
2007
0079
29
46
60
76
92
[Es ist auch]
oder
[und angenähert]
[Femer ist]
wo [angenähert]
loghyp5' = - iU-i^
= - icc-A^-
Auch kann man setzen
'5^-!^ — - — J-^tang-p.y,
wo
loghypC =-icc-ij ^^ aaii -»)■ ^(yj'-
[oder angenähert
\
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 151
[5.]
Wenn die Lage der Punkte durch Coordinaten a?, y, erstere im Meridian
gleichförmig wachsend, dargestellt wird, findet man des Orts Folhohe 0,
Conyergenz seines Meridians c und Länge X auf folgende Art.
Es sei 9 die zur Abscisse x im Meridian gehörige Folhöhe,
q = Compl. log \J[\—ee sin cp*)
6aa
g._ Jfc.lO'
S. 206265*
\k Modul der briggischen Logarithmen
206264,8 . . ^ 1 ^ _ 1 206264,8..
a
206264,8..
1 x> 1 206264,8.. 1 A 1 206264,8.. ^
logB = log -^ q, log^ = \o^-^^^^^ 3?
logC = logr""r"\-4g.
o "200(1—««) ••
Für den Abplattungswerth s^^ ist:]
\ogE= 2,24756 29768 — 10, logH= 5,5318127903 — 10
logB= 8,50982 72984 — 10 — g
logC- = log2Ä8:: = 1'*<>'07 38825- 10-4g.
[Zur Berechnung von A und -B lässt sich direct die Tabelle von S. 84
benutzen, oder man kann q aus der Tabelle von S. 77 entnehmen.]
c = (l)B^tang9 log(l) = — 2-Eyy — jffcc
^ = (2)^^ log(2) = + Eyy-m-k
= -\Hcc — ^Eyy.
[log(l), log (2), log (3) werden in Einheiten der 7. Decimalstelle erhalten;
c, X, ^ — (p ergeben sich in Secunden.]
152
[Berechnung des Veinrösaerungsverhaltnisses ».]
[«•]
[n ist das Verhältniss eines Linearelemente in der Ebene zu dem eot-
sprechenden Element auf dem Ellipsoid.]
£b sei
fW=a
r(») = 6
r(x) - c
f'W = d
etc.
[Man setze
E = »-«.,
dann folgt aus
% + <j,) = f(iC-»)+a;]
f(*)-i»y* + Vr"'y-TtT/>'---=fW-««' + i»>»«'-ic«*....
[Setzt man]
,,(« Oj'y-.vrfy'+Tiy/'/--,
[« i.t]
( = «!-A„„ + ^,^...
[oder umgekehrt]
"-'+^«+G".-^)''-;
[mithin wird]
^nnd]
S aaä-Sl'.,, aY-16««S6J-16«6'e + «»V.,
2»**+ 24.' * Jaoo- * •••■
[Da
= a-~bw-\-icwiB — •^dw' -{-...
\
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE.
153
ist, so wird]
[Nach S. 144 ist
setzt man
m)
[so ist]
l=H'-+l»j'+Ai»*...) =»
n
6 /, d , 6*\ 8
[wo wieder c die Meridianconvergeiiz bedeutet; folglich eigibt sich:]
[und]
Ai /c ft 66\^ , / 4 c I - 6(1 ,, cc • 66e\ 4
pOer Logarithmus ist hier, wie in den nächsten Axtikehi, der hyperbolische.]
[Es ist auch]
[7.]
[mithin]
logn — tc = logf (6) — logf (^ + tj^),
log n = log f ' (5) — Pars Real, log f ' (iT + iy).
[Nun ist]
1 66 , aabd + Sabhc-^b*^ a
logf (S) =
IX.
20
• • • •
154 NACHLASS.
iogf(«+.»-iog»+i(||->+C"-'^';r"'-^^)y...
+<(|y-(i^t^:+*&y...)]
Pars Real, log f (a? + tj^) = log a + -^^^yy H 24;;r=^^ V
Also:
^o&" = —ii^yjl 24^* — y • ' ' [^eigL S. 1 53 ;
c = -y g^r-^^- — y^..., vergl. S. 147.
Werden in der ersten Gleichung für a = f (1?) , 6 == T (a?) , u. s. w. die Werthe
Yon S. 144 eingesetzt, so erhalt man:]
[worin nun wieder a die halbe grosse Aze und e die Ezcentzicitat bedeutet].
[8.]
Oder setzt man:
e w = s = ji
ATv/ \ 246* — 86a66c + 6aacc + 8aa6cl — a*« „ « «
ü (iJ?j = € = -i u. 8. w.,
logn = —^jfy-A öT-i y -..,
[so wird]
2xL^^ ' 24a>
7 , ggt — Saß?
2S^«y "1 24i^
. Y , oat-SoßJ + SßßY 4
[9.]
Man hat auch [wenn man p-^r = Ö(S) setzt]
öölogn , ööjogn e^^(6)
Ist nun
CONFOBME A3BILDim6 DES SPHIrOIDS IN DER EBENE. 155
80 ist f-g^ = A\ -s — = A'j u. s. w. gesetzt]
+ TiT^'^'+ TiT^^"4- Tfr^")/ . . . .
[Es ist]
[10.]
logn = N
ddN ■ ddN _ (l-ecBinW
oder
ö«* ' dy* aannil — ee)
nddn , nddn (önV fdny (l-eewn^P*)'
dx* ' öy* \ö«/ \öy/ aa{l — ee]
[Beziehungen zwischen .r, y und £, X.]
[11.]
[Die ümkehrung der Reihen für £ und X in Art. 6 ergibt, da nach Art. 8
1 . ß 7 I 2ßp T 8 , 6ßY 6ß« . ..
a = -> 6 = — -t^, c = — ^ + -T^» a = h • t> u. s. w. ist,]
« = 5 — iaßXX+,v(a'8— 2aaßY— 5aß»)X*...
y = aX— i(aaY — 2aßß)X*....
[12.]
Setzt man
/e'^'^d« = f(*), [also nach Art. 8 : e(/) = e*'"]
und
y (a?) = Ol [so wird] : f " (a?) = (- a,)f'(:F)
r(j?) = ß, f"'(^) = (a,a,-ß,)f»
^"C*) =Ti f"(*) = (-«?+3a,ßi-T.)f'(a?)
^(*) = 81 f' W = (at-6a,a,ß, + 4a,T, + 3ß,ß,-8,)f'(*)
[^▼(a?) =ti f"(a?) = (— a5+ 10a?ß, — 10a,a,Yi — 15a,ß,ßi + 5a,8,
+ 10ß.Ti-t,)f(«r)]
etc. etc.,
20*
156 KACHLAS8.
[und die Beihen für ^ und X. des Axt. 6 gehen über in:]
5 = « + ia,yj^ + (TVa;+iaißi-iVT«)y
X = yf'(^) { 1 -i(o,a, - ß,)yy + -r*T(aJ- 6a,a,ßj4- 4a,7i -1- 3ß,ß, -8,)jf*. . .}
[13.]
[Berechnung der ebenen rechtwinkligen Coordinaten aus der geographischen
Breite und Länge.]
Bei der umgekehrten Aufgabe [die Coordinaten Xj y aus der Breite 0
und der Länge X zu berechnen] bezeichnen wir durch g die inverse Function
von f, so dass g(f(.r)) = x ist, und setzen F(^) = F.
Man hat dann
[jy + iy = g(F + lX)
^ = g(F)-Tg"(F) + gg^(F)...
g(F) = X,
[wenn jetzt X die Abscisse bezeichnet, die zum Durchschnitt des Parallel-
kreises <I> mit dem Hauptmeridian gehört; nach Art. 1 ist daher f(X) = F(0),
also jp = jTTx)* Daniit wird:]
g'(F) = 7lX) = 7 = *'
c = cos<I>, Ä = sin^, p = ^{l—eeBin^*)
[a halbe grosse Axe und e Excentricität].
Zur weitem Differentiation [ist nach S. 144]
d<D ppe
dF ~ l-«e
oder wenn man die hohem Potenzen von ee vernachlässigt: -^ = c-j-^^c';
mithin
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 157
d¥ — ~^:Tr[—^^ + ^^' dF — T=Ji — -"^v^ + öcjj,
dF = -**•
Ist also ein g"(F) = Au, wo u rationale Function von c ist, so wird
xmid, wenn man die hohem Potenzen von ee vernachlässigt,]
^+'{F) = -sh\u + ^{c^eec%
ist aber
g"F = ^Au,
wo u rationale Function von c ist, so wird
g»+«(Fj = -Ä|«(l-2cc-8c*)4-J^(l-cc)(c + 8c»)|
und, wenn man die hohem Potenzen von ee vernachlässigt,]
g~+»(F) = -A]ti(l-2cc-«c*) + J-^(l-cc)(cH-^ec')|.
Bezeichnet man [also] der Kürze halber j^^ = ^,'^ " |., mit 8, [wo u) die
Abplattung ist,] so werden die successiven DifFerentialquotienten :
[g'(F)= A
g''(F) = -Äs
g"'(F) = +Ä(1 — 2cc — 8c*)
g>^(F) = — A« (1 — 6 cc— 98c*— 488c')
gT(F)=]+Ä(l-20cc4-(24 — 588)c*4-(728—6488)c'-f (7788- 248») c'+288V")
etc.
Folglich [wenn jetzt x wie auch X, von einem bestimmten Anfangs-
punkt an, nach Süden positiv genommen werden und y dasselbe Yoizeichen
wie X hat]
ae
+ -i5ö77nrni7,0 - 20cc + (24 - 588)c*. . .)X»
120V(l-ee#«)
158 NACHLASS.
[oder auch]
[oder]
wofür auch gesetzt werden kann [wenn die hohem Potenzen von ee vemach-
lassigt werden]
[Mit derselben Vemachlassigang ist:]
j. = X _ 1^ sin I X* (1 + cc (2 + 3 <r<rcc) sin fX«)
= X_a^8iniX»(l +2cc-^sinU«).
[14.]
Berechnung der Meridianconvergenz aus den geographischen Coordinaten.
[Die Meridianconvergenz c ist auch gleich dem Winkel, den im Punkte
0, X der Meridian mit der Curve bildet, deren Darstellung in der Ebene eine
Parallele zur x-Axe ist. Alsdann ist
^s^- g'(F)-uxg'";F)... "^^^Fj■^"*^ li\Fr~^ (g'{F))- ;•••]
tangc = XsinO + iX*sin^(l +38cos^*+288cos *•)...
[oder]
tangc = tangXsin(t |l + itangX* cos (t^^^^^:^^^^
= tangXsinOjl+itangX«cos0^eg'^^"yy^^^
[oder auch]
c = XsinO + 4^X'sinOcosO*(l + 38cosO'+288cosO*)....
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROID8 IN DER EBENE. 159
[15.]
[Die Keduction des Azimuths auf dem Sphäroid auf das Azimuth in piano.]
Die Correction der beobachteten Azimuthe ist
— a(a:'— a?)7] + ß(a:'— J?)7]*+Tf(y'— y)7]>j,
wo >] = iCy'+2y).
[j?, y sind die ebenen Coordinaten des Beobachtungspunktes, x y die
Coordinaten des Punktes, nach dem hin das Azimuth bestimmt ist. Die
dr-Axe ist hiebei nach Süden, die y-Axe nach Westen positiv.]
a =
2aa[\ — te)qq
O _ 1 - 3gg+ (gg+ I6e*)Bmy» - Ue'gjny^
P~ 6a*(l-ce)«2«
eegm20
2a«(l--ec)»2*
oder in Secunden und £ur briggische Logarithmen:]
fl'
b ^ — ^ ^ loga = 1,407 0739 — 10
l** 2aa(l — ee)p ^ '
53= ifl^l?— log© = 7,3178248 — 30
(5 = ^Y^^ ^^S<S = 7,868 9880 — 10
5J)=-11|L log5D= 6,793 4664 — 10
g = ^ „/^ , log® = 2,424 6792 — 20
2a*{l — «c)p ^ '
P ~ 206264,8..]'
[wobei der Abplattungswerth ^^ benutzt worden ist. a, ß, 7 gehören zum
Argmnent -J-(d?'+2d?) = x-\-i\x'—x)\
160
Tabelle für log-r—
V = ^°8«-
X
lOgT-- . i
dia
X
•og, ""'■ .
diff.
(Meter)
»l-M.mtp'
Meier;
"»l-«.m=p'
-j- 800 000
14014,096
90,2B9
0
17597,264
87,869
129
78
104,385
90,296
9
— 2
685,133
87,737
132
76
194,683
90,303
5
4
772,870
87.601
136
74
284,086
90,304
1
6
860,471
87,461
140
72
375,290
00,302
a
8
17947,932
87,319
87,173
87,028
142
+ 700 000
465,592
90,296
e
— 100000
18035,251
146
68
555,888
90,287
9
12
122,424
150
66
646,175
90,273
90,257
14
14
209,447
86.870
86,713
66,534
86,391
86,224
86,054
85,881
153
64
736,448
16
IR
296,317
167
62
+ 600000
826,705
14916,942
00,237
90,2 H
90,187
90,160
90,122
20
28
18
— 200 000
383,U30
469,584
159
163
5S
15007,156
27
22
555.975
167
56
097,343
187,499
31
34
2 4
26
642,199
728,253
170
173
52
+ 500 000
277,621
367,706
90,tis5
90,043
H9,999
39,950
äe,89ä
37
42
28
— 300 000
814,134
899,838
85,704
65,525
85.341
85,156
84,964
84,771
84,574
177
179
48
457,749
44
32
18985,363
164
46
44
54 7,748
637,698
49
52
34
36
19070,704
I55,S59
136
191
42
+ 400 000
727,596
817,4 39
89,843
89,7Ö4
55
3 8
-400 000
240,823
325,594
193
197
3S
907,223
89,723
89,65G
89,587
89,514
89,437
62
42
410,168
84.374
84.171
83,964
83,754
83,540
200
36
34
15990,945
16086,601
66
69
44
46
494,542
5 78,713
203
207
32
176,188
73
48
662,677
210
+ 300 000
265,702
77
— 500 000
746,431
214
28
355,139
89,357
80
52
829,971
83,324
216
26
444,496
89,274
83
54
913,295
83,104
82.981
82,655
82,425
220
24
533,770
89,187
37
56
19996,399
223
22
622,957
89,096
91
58
20079,280
226
+ 200 000
712,053
89,002
94
— 600 000
161,935
230
18
801,055
86,905
97
62
244,360
82,193
232
16
14
889,960
16978,763
88,603
88,699
102
104
64
66
326,553
408,510
81,957
81.717
81.474
81,230
236
240
12
17067,462
88.591
108
68
490,227
243
+ 100 000
156,053
88,479
112
"700 000
571,701
244
8
244,532
88,364
115
72
652,931
80.980
2rjO
6
332,896
88,246
118
74
733,911
252
4
421,142
88,124
122
76
814,639
80,473
255
2
0
509,266
17597,264
87,998
126
129
78
— 800 000
895,112
20975,326
80,214
259
[Die Tabelle ist mit dem Abplattungswerth
punkt für die x hat die Bieite 9 = 5l''3r48"70.]
I berechnet; der Ausgangs-
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE.
161
[Tabelle zur Berechnung der Azimuthcorrection.]
X
?
loga
logp
logr
X
?
log«
logß
logT
(Meter)
1 — 10
7, — SO
2, — 20
(Meter)
1,. . . . — 10
7,.... — 30
2,.... — 20
4-800 000
44*20' i;'646
1,404 2711
7,31611
2,42106
+ 300 000
48*49'67j'275
1,403 8208
7,31467
2,41671
790 000
26 26, 686
621
10
108
290 000
48 55 21, 061
118
66
652
780 000
30 40,618
630
09
|109
280 000
49 0 44, 843
1,403 8029
66
633
770 000
36 13, 646
440
09
110
270 000
6 8,619
1,403 7939
64
611
760 000
41 37, 669
350
08
111
260 000
11 32, 390
850
63
590
-|- 760 000
47 1,687
269
07
111
+ 250 000
16 56, 157
761
62
569
740 000
730 000
730 000
62 25,700
169
06
110
240 000
22 19, 918
671
61
647
44 67 49,708
1,404 2079
06
HO
230 000
27 43, 674
682
60
626
46 3 13,710
1,404 1988
04
108
220 000
33 7, 426
493
69
502
710 000
8 37, 708
898
03
107
210 000
38 31, 172
404
58
479
+ 700 000
14 1,701
808
02
105
+ 200 000
43 54,914
316
58
456
690 000
19 26,689
718
Ol
102
190 000
49 18, 660
226
57
431
680 000
24 49, 671
627
00
099
180 000
49 54 42, 381
137
66
406
670 000
30 13,649
637
7,31600
096
170 000
50 0 6, 108
1,403 7048
55
381
660 000
36 37, 621
447
7,31499
092
160 000
+ 150 000
5 29, 829
1,403 6950
54
356
4-650 000
41 1,689
356
98
088
10 63, 646
870
53
330
640 000
46 26,661
266
97
084
140 000
16 17, 258
781
52
304
630 000
61 49, 609
176
96
079
130 000
21 40, 964
693
51
277
620 000
46 67 13,461
1,404 1086
96
073
120 000
27 4, 666
604
51
250
610 000
46 2 37,408
1,404 0995
94
067
HO 000
32 28, 362
515
50
223
+ 600 000
8 1,360
906
93
061
+ 100 000
37 52, 064
427
49
195
690 OÜO
13 25,288
816
92
064
90 000
43 15, 741
838
48
166
680 000
18 49, 220
725
92
047
80 000
48 39,423
250
47
137
670 000
24 13, 147
634
91
039
70 000
64 3,100
162
46
108
660 000
29 37, 069
544
90
031
60 000
50 69 26, 772
1,403 6073
45
078
+ 660 000
36 0,986
464
89
023
+ 60 000
61 4 50, 439
1,403 6985
44
048
640 000
40 24, 898
364
88
014
40 000
10 14, 101
897
43
2,41017
630 000
46 48,805
274
87
2,42006
30 000
16 37, 758
809
43
2,40986
620 000
51 12, 707
184
86
2,41996
20 000
21 1,410
720
42
954
610 000
46 66 36, 603
094
86
985
+ 10 000
26 25,058
632
41
922
+ 600 000
47 2 0,496
1,404 0004
84
974
0
31 48, 700
644
40
890
490 000
7 24, 382
1,403 9014
83
963
— 10 000
37 12,337
457
39
867
480 000
12 48,264
824
83
962
20 000
42 36, 970
369
38
823
470 000
18 12, 140
733
82
940
30 000
47 69, 598
281
37
790
460 000
23 36, 013
644
81
927
40 000
63 23, 221
193
36
755
+ 460 000
28 69, 879
564
80
915
— 50 000
61 68 46,838
106
36
721
440 000
34 23, 740
464
79
902
60 000
52 4 10,461
1,403 6018
35
686
430 000
39 47, 597
374
78
888
70 000
9 34, 069
1,403 4031
34
650
420 000
45 11,448
284
77
874
80 000
14 57, 663
843
33
614
410000
60 35, 296
194
76
850
90 000
20 21,261
756
32
677
+ 400 000
47 65 69, 136
104
75
844
— 100 000
26 44,856
668
31
640
390 000
48 1 22,973
1,403 9014
75
829
110000
31 8,443
681
30
603
380 000
6 46,804
1,403 8925
74
813
120 000
36 32, 027
494
29
465
370 000
12 10,631
836
73
797
130 000
41 66, 606
407
29
426
360 000
17 34, 452
746
72
780
140 000
47 19, 180
320
28
387
+ 350 000
32 58,268
656
71
763
— 150 000
62 42, 749
233
27
348
340 000
28 22,080
666
70
746
160 000
52 68 6, 313
146
26
308
330 000
33 46, 886
476
69
728
170 000
63 3 29, 872
1,403 4060
25
268
320 000
39 9,687
387
68
710
180 000
8 53,427
1,403 3973
24
227
310 000
44 33,484
297
67
693
190 000
14 16,977
886
23
186
+ 300 000
48 49 67,276
1,403 8208
7,31467
2,41671
— 200 000
53 19 40, 521
1,403 3800
7,31422
2,40146
21
162
NACHLA.8S.
X
?
loga
logß
logT
X
?
loga
logß
logT
(Meter;
j
1, —10.
7,.... — 30
2 -20
^Meter^
1, —10
7,.... — 30
2,. ...-20
— 200 000
53^19'40!
'521
1,403 3800
7,31422
2,40145
— 500 000 56* 1'24'
;'643
1,403 1246
7,31397
2,38676
210 000
25 4,
,061
713
22
103
510 000
6 48
,041
163
96
620
220 000
30 27,
,697
627
21
060
620 000
12 11,
, 434
1,403 1079
96
663
230 000
35 51,
127
541
20
2,40017
630 000
17 34
, 822
1,403 0996
94
606
240 000
41 14,
653
455
19
2,39974
640 000
— 550 000
22 58,
205
912
93
448
— 250 000
46 38,
» 173
369
18
930
28 21,
,584
829
92
389
260 000
62 1,
689
282
17
885
560 000
33 44,
, 958
746
92
330
270 000
53 67 25,
, 200
197
16
840
670 000
39 8,
, 329
663
91
271
280 000
54 2 48,
, 707
111
16
705
580 000
44 31,
, 693
580
90
211
290 000
8 12
, 208
1,403 3025
15
749
590 000
49 55
,053
498
-89
150
— 300 000
13 35,
, 705,1,403 2939
14
703
— 600 000
56 55 18,
, 409
415
88
089
310 000
18 50
,197
854
13
656
610 000
57 0 41
, 760
SS3
87
2,38028
320 000
24 22
,684
768
12
609
620 000
6 5,
106
250
87
2,37966
SSO 000
29 46
, 167
683
11
561
630 000
11 28,
,448
168
86
904
340 000
— 350 000
35 9
, 644
598
10
513
640 000
— 650 000
16 51
785
086
85
841
40 33,
,117 512
09
464
22 15
, 118 1,403 0004
84
777
360 000
45 56
, 585| 427
09
415
660 000
27 38,
446
1,402 9922
83
7t3
370 000
51 20,
, 049. 342
08
366
670 000
33 1,
770
840
83
648
380 000
54 56 43,
508
257
07
316
680 000
38 25,
089
759
82
583
390 000
— 400 000
55 2 6
961
173
06
265
690 000
43 48,
40 :t
677
596
81
518
7 30
,41l! 088
05
214
— 700 000
49 n,
713
80
452
410000
12 53,
, 855 1,403 2003
04
162
710000
54 35,
018 514
1
79
385
420 000
18 17,
29 5 1,403 1919
03
110
720 000
57 59 58,
319 433
78
318
430 000
23 40,
, 730
834
03
058
730 000
58 5 21,
615
352
78
250
440 000
29 4
, 160
750
02
2,39005
2,38951
740 000
10 44,
907
194
271
77
182
— 450 000
34 27,
, 586
666
Ol
— 750 000
16 8,
190
76
113
460 000
39 51
, 007
582
7,31400
897
760 000
21 31,
476
110
75
2,37044
470 000
45 14
,423
498
7,31399
843
770 000
26 54,
755
1,402 9029
74
2,36974
480 000
50 37
, 834
414
98
788
780 000
32 18,
028
1,402 8949
73
904
490 000
55 56 1
,241
330
98
732
790 000
37 41,
297
,562
869
73
833
— 500 000
.56 1 24
, 643
1,403 1246
7,31397
2,38676
— 800 000
58 43 4
1,402 8788
7,31372
2,36762
[Dieser Tabelle liegt der Abplattungswerth 3Ö268 ^^°^ Grunde.
Die ce sind um — 26,264m zu corrigiren, wenn für Göttingen 9 = 51®31'47^85
anstatt 51^3r48'i70 angenommen wird.]
[Der Unterschied zwischen der Projection der geodätischen Linie
und der ihre Endpunkte verbindenden Geraden bei der conformen Darstellung
einer krummen Fläche in der Ebene.]
[16.]
Ein sehr fruchtbares Princip für die allgemeine Theorie der krummen
Flächen ist folgendes.
Es werden die einzelnen Punkte der krummen Fläche durch zwei ver-
änderliche Grössen p, q auf welche Art man wolle [dargestellt]. Alle Punkte,
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 163
für welche q constant ist, bilden also auf der Fläche eine Linie, deren Ele-
ment dtt = fd/> sei, wo t Function von p und q sein wird.
Es werde nun indefinite nach dem Funkte der krummen Fläche, der
durch ji, q bestimmt wird, eine kürzeste Linie, entweder von einem bestimmten
Punkte aus oder senkrecht auf eine gegebene Linie gezogen, deren Länge r
also selbst Function von p und q sein wird. Ist nun 9 der Winkel, welchen
das Element von r mit dem Element di« macht, so wird
g^ = fcos9.
Es werde nun eine kürzeste Linie in der krummen Fläche, bei der ele-
mentähnlichen Darstellung in der Ebene, durch die krumme Linie vorgestellt,
deren Punkte durch i2, Distanz vom Anfangspunkte, [und] 6, Richtung, be-
stimmt werden. Das [reciproke] Vergrösserungsverhältniss sei n*, d. i. corre-
spondirende Elemente in der Ebene und Fläche verhalten sich iwie 1 zu n*.
Es sei femer
logn* = logiV^+ajR + ßi2-K + Tß'+---»
wo a, 6, c, . . . ; a, ß, 7, . . . Functionen von 6 bedeuten.
Man hat dann [dn* = n'^'^dlogn* oder]
(a+2612-|-3cl2J2...) = (iV+al2 + 6-KJ2...)(a+2ßJ2+ SyäU ...)
[und hieraus]
a = Na
26 =i 2iVß + aa
3c= 3iV^Y + 2öß + &a
etc.
[oder]
a = Na
b =N^-\-iNaa
c = N^+Na^+iNa^
etc.
21
164 NACHLASS.
Man hat nun nach obigem
^ = n*co8(p
er 4t •
[femer ist
^016 + 4^^ a.*«;«^ ^öie-H^) «*^^o^
^-Jm = «sin 9, «-^ö(r = « co8(p,
wo md(6-{-^) das Element der Curve constanter r bedeutet; hieraus folgt
-aPcoscp ^-^-^* sm^p = 0
oder]
[^ und 9 bezeichnen die Winkel, die die Darstellung der geodätischen
Linie in der Ebene mit R im Anfangs- und im Endpunkte bildet.]
Man findet hieraus, wenn man
da # Ö6 w _, da' „ db' ,#r
Ö6=^' 5q=6,u. s. w.; 00- = «» ^ = 6,u.8.w.
setzt und bemerkt, dass a" ^= —a [ist, weil a die Form C, cos 6 + Cg sin 6 hat] :
Also
-sin? = Wn^ + (wn- Wn)^^-"
Es findet sich femer aus obiger partieller Differentialgleichung
= ia'i2 + (iß'+-iVoa')iJ-R. . . .
Es sei, wenn die Lage der Funkte in der Ebene durch x, y ausgedrückt
wird, wo d? = J{cos6, y = i2sui6:
CONFORME ABBILDUNO DES SPHÄROms IN DER EBENE. 165
logn* ^ \o%N—Äx—By — \Cxx — Dxy — \Eyy...,
80 wird hienach:
oiJ = — Ax—By a'R = Ay — Bx
ßJSJS = — i Cxx — Dxy — iEyy ß'22 J2 = (C— E)xy — D{xx —yy)
etc. etc.
9 = + \Bx + (iD + tV^-B) (^a? -yy)
-^Ay + {-iC+iE-^AA+^BB)xy...
if = +4-£a?+(iD--^^5)(d?j?-y^)
-^Ay + {-\C^\E-^^AA-^BB)xy...;
r = 2yr(i2 + 4-oBJ24-(iß + ioa--jVo'o')i2». ..)
logr = logiVi^ + 4-oi^ + (iß^-^JV(«a-a'a'))■R■R•••
= logiVE+(TVß+Vr(aa-a'a'))-Ki2...
= logN*R — T^{C-i-BB-AA)xx
—^iD-2AB)xy
-ME + AA-BB)yy
etc.,
wenn N* der Werth von n* für den Punkt in der Mitte der geraden Linie [also
log2V* = logiV4-foJ2+ißi2i2 + ... ist].
Es sei nun
[logn =] log^ = [e ■^e'x+e"xx + ...){Y+y)*
+ (f-^rx-\-rxx-^...){Y+yY
etc.,
indem die zweite Coordinate [im Anfangspunkt] = Y [ist], so ist
-lo^N = eYY + fY* -\- yT' .
A= e'YY-\- f'¥*-\- y'Y' .
B= 2«F+4/'F»+ 6^F* .
i^C = e"YY-\- fY* + yT« .
D = 2e'F +4rF»+ 6y'F» .
4-£= « 4-6/FF+i5yF*.
etc.
Also [ist]
[und]
166 NACHLASS.
Bei der Darstellung der Kugelfläche vom Halbmesser h ist n^ von x un-
abhängig und
A= C=D=0
■D — ülfc — t-JiT ••.
Das Glied -^BBxy [in (p und (j^] kann also nicht grösser als ^j^-^r-RÄ
werden, also £ur JR = X. 100 000 m, F = |x. 400 000 m [nicht grösser als]
XX.|X|i.o;'008.
Die Glieder von 9 und if werden [auch beim Sphäroid im Wesent-
lichen] durch die Formel \Bx — \Ay erledigt, wenn man die Werthe von B
und A resp. fiir die Funkte der geraden Linie nimmt, die um |- und }- ihrer
Länge vom Anfangspunkt abstehen. Diese sind oben [Axt. 15] mit hinläng-
licher Genauigkeit angegeben.
[Sind -4.,, -B. imd -4., B^ die eben bezeichneten Werthe von A und J5,
so wird
^ = ^B^.x-^A^.jf-\-i[Dx-Cy)x + ^[Ax'\-By)[Bx-Ay)...
if = \B^.x-^A^.y + \[Dx-Cif)x + M^^ + B!f)[-B^ + ^!f)'^'^]
[17.]
Die Generalisirung obiger Grundsätze fuhrt auf folgende Behandlung.
Es seien p^ q zwei veränderliche Grössen, die die verschiedenen Funkte
der krummen Fläche bestimmen. Die Länge der kürzesten Linie heisse r,
die Richtung im Anfange werde durch if bezeichnet; endlich sei J^pd^ die
Länge der Linie constanter r tmd d^ [das] Element einer Luiie auf der
krummen Fläche, welches allgemein durch \/(-4djp*-f-2£dj?d5-f-Cdj') ange-
drückt werde.
Man setze
dr = ^d/>+ hdiq
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 167
Hieraus [folgt]:
gg^GG=A
gh-\-GH=B
hh + HH= C,
also [wird]
{A-gff){C-hh) = {B-ffk)*
[oder]
I. AC-BB = Ahh-lBgh-^-Cgg
Feiner ist]
also
d. i.
Ak-Bg= G{Gh-Hg)
Bh-Cg = H{Gh-Hg),
^{Cg-Bh)+f{Ah-Bg) = 0,
n. |i(Cy-5Ä) + |4(4Ä-B^) = 0.
Sind die Winkel, welche die Linien constanter p oder q mit den Linien
constanter ^ machen, respective M, N, so ist
^ = cos N ^A [G = sin N ^ A
h = cosMv/C H=BmU\JC;
mithin]
Wenn z. B.
£ = cos(M-N)VAC7.
p = R X = R cos 0
^ = 6 y = 12 sin 0
ist, wo t, u Functionen von 6 sind, [so wird]
d* = v^{dJR'+BBde*+d;5»},
und
[Nach Gleichung I wird alsdann , wenn t\ ii', . . . die Ableitungen von f ,
w, ... nach ö sind:
168 NACHLASS.
(1 + ff RR + 2 f'u'Ä» . . .) (1^) + (1 4- 4 ttRR + 1 2 tuie . . .) {^J
-2(2tfRR+{2tu'-\.Zut')^...)§^-^,
= i-\-{Att+ft')RR-^{l2tu-\-2t'u):^...,
woraus sich ei^bt:]
r = R * 4-f«B»+|/aJ2*....
[Die Gleichung IE gibt hiemit:
(l-{-{2tt+t't')RR + {6tu+2t'u')I^...)^
folglich wird:
Zur Transformation der Coordinaten.
[18.]
Die Ghrundgleichung ist
f(a, + iy + a>)-4-f(^ + ty) + 4-f(a?-iy) = f(a?H-Q).
Wir schreiben
f (o?) = a
r (o?) = 6
r (o?) = c
etc.
[Dann wird]
[und hieraus]
C0N70RME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 169
etc.
[19.]
Die Entwickelung beruht auf folgender Au%abe.
Wenn
« — ^Mw — -Bm»— C«*— D«* =p-\-Aq + Br + Cs-\-Dt-\ ,
[wo p von derselben Ordnung wie u, q von der Ordnung uu, u. s. w. ist,] so
wird:
u=p-[-A{pp + q)^AA[2p*-^ 2pg)+ ^'(5/+6p;)g + 5rj)
+ C( p'+s)
+ ^il5(21j9'+ 20^^ + 6;?j9r+ 3;>jj'+ 2 jr)
+ AC{ 6/+ 4/)'g+2/>«)
+ 5.B( Zp^-{-Zppr)
+ i>( /+*)
etc.
Allgemein
« = 2j^.ö o ...;> 9 r * .... n(a-x).ii(ß-p).n(T-a)...ni:.nx.flp.n«...'
wo
o, ß, Tf, ..., IC, X, p, 0,..., a — X> ß — P» T — «»•••
ganze nicht negative Zahlen sein müssen und
l+a + 2ß4-3-r + ... = ic+2x+3p+4o + ...
[ist].
IX. 22
170
NACHLASa.
Man hat nun
ii = Q
[und]
f =
-i+'io+j; = «
1 =
— («)+»;'
r =
»»-:»+»)■
1 =
-'«>+')'
t =
j»_,„4-i)'
etc.
[zu setzen]. Also
i
Q = w — A{2tot -{-zz, — AA'Aünaz -\- 2mzz)
— s;3«>«)z-f 30)«;
— A' ( Sw'z - -4ü>i'~«'}
— ^B;i2«)'z*f Ötowiz # * )
— C ( 4u>*z+6u>»i>zz-h4(ui'+iE*)
— J,* (16«>*Ä— 16a»'zz— 24u)a»2r*— 6«»«*}
— J,^B;36u)*« # — 30«»»«*— 9to«*)
— ^C (I6«>*z-l-16u)*«+ 8«HD»*4-2u>z*)
— BB ( 9(i>*z+ 9(1)'«« * » )
— 1> ( 5ü)*«+10u)*«24-10iu«a:*+5ü)**)
etc.
Zur Übertragung in die vorigen Zeichen [Art. 18] braucht nun nur noch
gesetzt zu werden:
C li
ft
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAK0ID8 IN DBB EBENE.
171
[20.]
Auf der Kugel [vom Radius 1 ist nach S. 144, wenn x von einem be-
liebigen Anfangspimkte an nach Süden positiv gezählt wird,
1? — _ 1
-^5
d^
setzt man
[so wird mithin
r(j.) = -l±iL
\ I COS 7 '
sin ^ = Ä, cos cp = c,] tang ^ = ^
und daher
c
c
rm/ X 61+479««+179»* + «*
B = -i(l+2«)
C = +^(5^+60
D = --n!T(5 + 28«+24f«)
£ = +T4-T(61f+180<'+120<*)
F = —TTjVir(61 + 662«+ 1320/*+ 720<')
etc.;
[folglich nach Art. 19 oder 20:]
«+Ö = a! + i?j^j^-(A-'+iO/---
+ a)}l-i(l + «)j^j^ + (Vt+-A«+*0/-.--*('j'-(*'+iO/---)l
+ «>a> il fyy . . . +i(f j^ - (tV + 1«)/. . Ol
+ «''i-(i-i*to-..+»(i*y.--)j
+ a)*{... — i(T8Vj^...)j
etc.
[Reihen zwischen 9, <p und toj
[21.]
[Zur numerischen Berechnung von cp aus a?, Art. 1, oder X aus 0, Axt.
13, dienen die nachfolgenden Gleichungen zwischen y und if.
Die Länge des elliptischen Meridianbogens , dessen halbe grosse Axe a
und dessen Excentricität e ist, vom Äquator bis zur Breite cp sei a?, dann ist :]
22*
1 72 NACHLÄ88,
1.8 ■ « l. 1 1-8 1 1-3. 3. 6 4 . 1.3.6.3.6.7 4 .
, 1,8.35 , » • ^ (, 1 9S . 3.5.5.7 ^^ I 3.6.7.5.7.9
1^2.4.6.0
2.4.6-B.10.12
[oder]
.... 1. , 3,5 . 3.5.5.7 1 . 3.6.7,0.7.9 ■ ,
1.3,3,5.6.7 . « • c 1, I 5 7 , 6.7.7.9 t , 5.7.9.7.9.11 - ,
J" «»6?J'+2.Ü«^ + 2.4:ü:T6^ +2.4.6.U.16.18^ +••
etc.
= <p-eesm2(p{J + A^c + TVTVe* + [TSfVB«* +]■■■!
+ e* sin 4 -f j ,V« + iVr«'^+ UWf c* +j ■ ■ ■ t
ctc.j
[Es sei nun ^ die Breite auf einer Kugel, deren Meridianquadrant die-
Belbe Länge wie der Meridianquadrant des Sphäroids hat, nemlich 10 000 000
Meter. Die Meridianbögen zwischen dem Äquator und den Breiten cp und <|*
auf dem Sphäroid tmd auf der Kugel sollen ferner Ton gleicher Länge sein.
Alsdann ist
'l' = IoWÖÖ = sC +*" + A''' + 'V, «• + ■•■)•
Mit dem Abplattungswerth g^-gj , logee= 7,8193287, eigibt sich daher:]
^ = cp— 5lC94l91sin2y log 2,709 2207
k
+ 0,52942 Bin 4^
9,723 80
— 0,00068 sin 6(p
6,833 33
etc.
Fül <f [GOttingen] = 6l''3l'48;7 wird [Menach] ip = 5l"23'29;768 246
utzt man den Abplattungswerth gö^>
logee= 7,819 1850, BO erhält man:
^ = 9 — 51i;772 0192sin2tp
log 2,70907 65375
+ 0,529 0745 sin 4y
9,72351 68
— 0,000 6807 Bin 6y
6,83295
4- 0,000 0009 sin 3 <p
3,97197
etc.
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 173
[22.]
Wenn
a = ß — 48in2ß — B8in4ß— Csineß — DsinSß...
iflt [worin Ä von der Ordnung ee, B von der Ordnung e\ C von der Ord-
nung e", X) von der Ordnung e', so ist bis einschliesslich der achten Ord-
nung:]
ß = a-\-8isx2a{A — AB — iA^)
+ 8m4a{B -\- AA- 2 AC — AAAB — iA*)
-\- sin 6a{C-\-d AB -\- f A»)
+ Bxa8a{D-\-2BB-\-4AC+SAAB-\-^A*).
[Die Umkehrung der Reihe]
«I> = <p - sin 2 <p'(f ee + We* + Vü'jVe* + ^ViV c' • • •)
+ sin 4 9 (yVe- e* + tVt«" + AVr «•-••)
- sin 6 cp (tI I T e" + T 2 H" e" • • •)
+ sin 8 (p (t AVt t «'•••) — etc.
[ist hienach]
9 = (I; + 8in2(l^(iee + Ae' + VWfff' + TWr«*.-.)
+ sin 4 (|;(,«jV«* + tVt«' + WW «" • • •)
-I- sin m^^^e" + :iW)rc' • • •)
+ sin 8 tj^ (riHfr«* . . .) + etc.
[Da der Meridianquadrant = 10000000 Meter sein soll, so ist 1 Meter
des Kugelmeridians = loöooöoo Secunden = 0"0324. Entspricht 4*0 dem An-
&ngspunkt der Coordinaten, so entspricht mithia der Abscisse x, wenn x
nach Süden positiv ist, die geographische Breite
4» = ({*^, — 0"0324ar.
Für die Abplattung JÖ2M ^^**-l
<p = 4»4-51i;94157 8in2(p log 2,709 2204
-f 0,74092 sin44» 9,869 77
+ 0,00147sin64» 7,167 21
etc.
1 74 NACHLASS.
[23.]
Es finde zwischen der wahren Folhöhe cp und der fingirten o> folgende
Relation statt
woraus,
gesetzt, folgt:
da> dcp 1 — ee
= - 1- . : -i
co8tt> COS 7 1 — eesin^'
Sin ^ = a?, Sin o) =
dy dx
(1 — ee, . 1 — yy] (1 — eexx .1 — xx]
also, wenn «r und y zugleich verschwinden sollen,
= z.
Hieraus [ergibt sich] durch Umkehrung
s l + ee
l-ee " 3" ^i-«cj ' 15 \l-ee)
17+129eg + 129g* + 17g*/ b V
\l-eej
Ü15
, 62 + 824gc+ 1776e^ + 824g*+ 62g* / Jg N*
» 2835 \ 1 - ««/
etc.
Durch Substitution des Werthes von z folgt hieraus
y (3-gg)ge
^ ~ l-ee 3
/ y \' , (25-17ee-f8g^c^ / y \'
(1008-1039«« 4- 368e*-. 45 c« c*
315
\l-ee)
, (18621 -25758ee+ 13708e^~3338e' -h 315e^g' / y y
"f" 2835 ll-ee/
etc.
Setzt man
= 8,
1 — ce
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 175
80 verwandelt sich dieser Ausdruck in folgenden:
10088'+ 19858^ + 13148' + 2928* 7
315 y
, 18621 8* + 487268» + 481608« + 212888» + 86488« o . .
+ 2835-^^= ^ y etc.}.
Eüleraus folgt femer
M_L;i\«i.... 68 + 488^.4 , 19588 + 2588» + 868\,g
j?a? = (l+8) \yy 3 — y H ^ y
3066 8« + 6056 8* + 4014 8» + 892 8« s
315
, 3163058^ + 8303408' + 8222178* + 3637388» + 606238* |o .
> 14175 y ^^')
[und, indem man den daraus sich ergebenden Ausdruck fiir 1 — xx noch mit
(1 -yy) (1 +yy +y* +/ + • • •) multipUcirt,]
/4 \{4 .«> I S5N I 1388+148« + 48* 4
438 c' + 737 0* + 430 8» + 86 8' e
"~ 45 ^y
, 70298^ + 161828» + 143748* + 57988» + 8928* « . j
Hieraus femer
./l-xx _ coay _ . 28 + 88 . 4088 + 448' + 138^ 4
y l_yy cOSU) 2 ^ ^ ~^ 24 "^
23048' + 39768^ + 23908» + 4938* e
720 ^
etc.
Da nun
195 8* + 453 8* + 344 8» + 86 8' « ^ ,
^ — - — r etc.},
80 wird
d« /. , >N(. 48 + 388 , 11288 + 1608* + 578* 4
8064 8« + 16864 8* +117648» + 2739 8* e i. )
^ Tis — y ^*^-l-
Hienach gibt die Integration
[(p = o) 4" Ci sin ü) cos «) -j- C2 sin co^ cos «) + Cg sin co* cos o) . . .,
176 NACHLASS.
also wird,] da
d (sin o) cos co) = (l — 2yy] dco, d [sin co'cos co; = (3^^ — 4y*) do>,
d (sin CO* cos to) = (5y* — 6y*) dco, etc.
ist,
Die Vergleichung mit dem vorigen Ausdruck für ^ liefert die Werthe
der Coefficienten Cj, Cg, C3, ... und damit]
(p = CO -f- 6 sin CO cos CO a sm co cos co
, 224«« + 2178* + 678» . 5
-| ^120 — ®^^ ^^^ ^
171168* + 26570«» +145038« + 2789«^ . 7
-^ T/rS; -^ Sin co' cos co
ÖÜ4Ü
etc.
[24.]
Leichter ist die umgekehrte Aufgabe, [co aus der Gleichung
d^ V i~a?a? \—ttxx
abzuleiten,] wo das Resultat folgendes ist:
CO = 7 — ee sin ^ cos ^ ^— sin 9* cos ^
104e»-46«*+6e*» . ^ 4948e"[— 3360«'» + 777e'"-61e"] - 7
f20-^ smcp^coscp '- ^^ ^sm^p^coß?
etc.
Femer wird, wenn ^ dem Bogen proportional ist, dieser = Kif^ [wo]
-BT =a(l-i^<?-A^*-YiT^*-TH*T «'...)»
[und nach Art. 22]
if = y — sin(p cos^{lee + ^\€^-]-^^e^ + T\^i-t^e^...)
— sin ^* cos cp(^^* + A^* + AW^' • • •)
— sin (p* cos cp (H^* -f ,Wir^* • • •)
— sin cp^ cos ^(iVsV^* • • •)
etc.;
[folglich hat man zunächst:]
CONFORME ABBILDUNG DES SFHABOIDS IN DER EBENE. 177
^ = co + sincp co8^{iee — -^e^ — 'i^\e^—^l^l^e^...)
+ sin cp* cos cp (f -H e* - ,ViV^^ . •)
+ smcp^ cos (p(li-fH* «'...)
etc.
Hier ist zureichend, [nach S. 174 und 175] zu setzen:
r T • «• {/4 \ I 4 I 6\ 86e4-8c*+15«» , 25e* + 108«» 4 16e* «)
[x =] suKj) = smü)|(l+^^ + <?* + c*) =^-3^^^ j^yH ^ / g-/|
coscp = coscüjl ^^-^ — yy-\ ^ / ^/|,
[ako]
U I I 4 I 6 12cc + 31c* + 57«»
Sin <p cos <p = sin o) cos toll-f-ee-^e -{-e ^ yy
, 65e^ + 273e« 4 146 « «)
"^ — 16 — y ~ib^y 1
3 . s U I o 1 £5 4 r8«« + 37e* I 38 4 4)
sin 9 cos <p = sin o)' cos o) 1 + Zee + ße -^ ^.y + ■3"^ y (
sin^'coscp = sin ü)* cos o) { 1 + bee — ßeeyy\
sincp^coscp = sin o)^ cos ü).
Damit wird:
f^ = (ü + sino) cosa)(|-^^ + -/YÖ^ + iVr«' + T*JiT^*---)
— sin o)* cos CO (fl^* + iV^* + -H4I- <?* • • •)
+ sina>'*cosü)(VW^* + +*iH^'...)
— sin ü)^ cos CO (yV^Wir«* • • •)
etc.
oder]
4/ = 0) + sin2ü)(i^« + :iV^' + TTfrT«*-WVW «••-.)
+ 8in4ü)(y^^* + THir^' + WWW«^..)
+ sin6co(TVWir^*+THJir^'..-)
+ sin8<o(:p,W7Vo-^*- • •)
etc.
[Aus der Schlussformel des Art. 23 erhält man]
IX. 23
178 NACHLASS.
+ sin 4 «) (^68 - -jVfS' + ^Wr8* . . .)
+ sin 6 (o(t Jt8' - iVr«* . • •)
+ sin8o)(TfHfTfi*.--)
etc.
0 ^
1 — ee
[und aus der eisten Formel dieses Art. :]
o) = (p-sin2<p(+ee + W«* + A«*+-«WT «'•••)
+ sin 4 <p 'A«* + T.V«* + tHH- e' • . •)
- sin 6 «p(^«f e« + TiHT«' • . .)
+ sin89(TfHiT«'..-)
etc.
[Setzt man
also
[25.]
ie = f.
V(2w-1)
f V \^-n-
wobei - die Abplattung bedeutet, so wird [nach den Art. 22 und 24]:]
(|» = <p — (6/y+48/** + 444/*«+4512/*»...)8in2(p
+ (1 5/"* + 240/"«+ 3240/"». . .)sin4<p
-(^/••+1120r...)8in6?
etc.
[Nach S. 172 oder 176 ist a(l '-\ee — -^e^...)diif = da?, daher wird]
54:(l_4/y-12/^*-80/-«-700/^\..) = ^"^^^^ ^-
^▼^ ^ (1 - 16/*/^iin(p«)*
[Weiter ist]
CONFORME ABBILDUNO DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE.
179
,p = ,l,4-(6/y+48/"* + 426/«+4080/"*...)8in2<I<
+ (2l/'* + 336/'« + 4264/'*...)sin4«I*
+ (?r+24t6r...)8m6<I»
etc.
^=«> + (8/-/-+ifr + lf-V +
106496 /»s
45
, /112 -4 , 7424 ^6 , 207616 ^g
+ [Tf +-15-/ +
+
/3584 /»e ,
\ lö
45
165888^8
35
r
etc.
, /547712^8
315
143872 ^8
«>=?-(8/-/'+^r + 384/- + ^:^Y^
, /8O/.4 1 1792^0 1 178432 /.8
+ iy' +~ö~/ +~45~/ '
/1664/>6 . 236032 />8
\ 16 ' ' 105 '
, /158336/.8
etc.
I I /«^^ I 16-r4 1 28 /.e 2666 /»8 \ • c.
(j, = a)+^2/y+-3-r+ y r- -45- r . . .Jsin 2a>
1 /13 /»4 , 464 /.6 I 6664 ^8 \ • 4
sin 2(0
sin 4(0
sin 6(0
sin 8(0
8in2(p
sin4f
sin 67
sin 89
46
7072
, /244 ^e I 7072 ^8 \ • c
35
/49561 /.g
etc.
+ iw/^*"-)«^8(o
[und hieraus, indem man die Formel von S. 173, oben, benutzt:]
»=t-(2/if+T/"'+"/"-^/"---)»mSt
/4397 -8 \ • o I
etc.
23*
lao
NACHLASa.
[26.]
Zur Beiechntmg von log cos <p.
bt
;.= q-^hBing,
ao wird
1,,^
■ijnp = logsinj + Acosj — -i-AÄ + i-A'cosj — iVA*(l -}-2coBy*)
!'■
Logarithmen sind hier wie auch im Art. 27 die hyperbolischen.]
AU.
h = aco8^ + 6co8 3j + ccos55'4-rfco8 7j...
grarUt.
logsinp = log sin f
+ Ha-i<ia + ia'-T'ri>' + iaab-ibb...)
+ cosigHa — iaa + it — iab + ia'—-ff,a' + taab...)
+ coiHq{ib- iab + ic + fya' — -^a' + iaab — iac. . .]
+ cmeqHe--riia' + iaab-iac-ibb + id...)
+ cot»q{iä...)
etc.
In iinsemi Fall ist [p = 90''— 9 und q= 90"— (|t zu setzen. Aladann
wini wt'iui man Ton der zweiten Reihe zwischen 9 und t[» im Art. 25 ausgeht:]
a = -liff-iif'-'-^^f'-3UTf'...
b= +42/" + i^/-«+4793/-'...
d= +1097/''...
1 I ^j-j- ..A.<.4 2193 j.« 18069 ^8
logcosip = logcosip— 6//— 63^ ^r 2~' ■■•
+ (6ft+42/"+?|5f+2450/"...)co82<,
+ {iif'+?fr+3711f'...)co,ii
+ (^r+2320/-'...)co864.
+ (i?I r...)cos8t
CONFORME ABBILDUNG DES 8PHAB0IDS IN DER EBENE.
181
[27.]
[Berechnung von log(l -..snKp«), log^^^^l^^ und ^..^TeL,',']
Man hat femer [wenn man berücksichtigt, dass
8in9 = (l + 3/y+15/**+ 87 /••+ 528 /**...) sin cp
+ {3ff-\- 30/"*+ 264/*"+ 2235/"* . . .) sin 3(J>
3
+(?/'' + 2184/*»...)sin7<p
+ (531/**...)sin9<p
+ (15/-*+ ^/•«+3360/'»...)sin5«l>
etc.
wird:]
8684
log(l-eesin<p') = - 8/y- 96/"*-^ /*«- 15424/-»
+ (8/y+64/** + 520/'«+ 4288/""
+ (32/'* + 512/'«+ i^ /•«
+ (^/'"+ 3904 f
etc.
und für den Logarithmen des Krümmungsmaasses :
— 2loga * — 64 /'*—1024/''— 14464/"»
+ (16/*/*+ 128/**+ 1040/"«+ 8576/**
+ (64/**+ 1024/*«+ ?Z|??/-8
+ (?/■•+ 7808 /••
etc.
. .) cos 2 ^
. .]cos4^
..]cos6^
..jcosSip
. .) cos 2 ^
. .jcos4c{;
..]co8 6cp
..jcosScp
[Für das Kriimmungsmaass selbst ergibt sich:]
fa""i'!.y' = ^{l + (l6/'/'+128/**+i040/-+ 8576 /•»...) cos 2 «J,
+ (l28/"* + 2048/*«+ ^ /*»...) cos 4 «p
+ (l008/*«+ 24192/*»... )cos6<p
'23662 /.g \ oll.)
— f . ..IcosSy etc.}
+f
1 82 NACHLASS.
Es bleibt noch zu entwickeln , , ^^^9 — welches durch die Foimel
V 1 — eesm^'
—fd'^.sm^ [multiplicirt mit demFactor Ä'=a(l — 4^/'— 12/'^— 80/^— 700/^...)]
erhalten wird.
Wir haben daraus folgenden Werth gefunden:
Wr^-k^, =] l + 3/r+15r + 87/- + 528r..vC08^
4- //'+10/** + 89/**+745/*»...)co8 3<{»
+ (^/-«+312/-»...)co87^,
+ (59/**...)co8 9(l»
etc.
[28.]
[Für n = 302,78 ist]
log//= 6,615 0650.573
[oderlog/'/'^= 3,418 9451.803; [^ //= 2623,887 3172
logf* » = 0,034 0102.376; » /"* = 1,0814594
logf* » = 6,649 0752.949—10; » /** = 0,000 4457
log/"» » =] 3,264 1403.522— 10; » /"* =] 0,000 0002.
[Bei der nachfolgenden Tabelle ist jedoch angenommen worden]
\og-^^ff= 3,418 9411.803; ±^ff= 2623,863 1498,
[dem n = 302,7827 ... entsprechen würde. Auf Grund dieses Werthes von
ff ergeben sich zwischen ^, <p und u> die folgenden Beziehungen, wenn diese
Grössen in Metern, also in 10000000. Theilen des Quadranten gemessen
werden :]
(p — ^P = 15795^278 6227 sin 2(p
+ 22,860 7756sin4^p
+ 0,045 3131 sin6(|;
+ 0,000 1008 sin 8 (ji
etc.
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE. 183
cü — (p = —5253?500 2000 sin 2<j;
— 0,364 7702 siii4(p
— 0,001 0182sin6(p
— 0,0000013sin8(p
etc.
[Mittelst dieser beiden Gleichungen ist die Tabelle auf S. 184 berechnet
worden. Die andern Beziehungen zwischen ip, <p und co sind :]
(p — CO = +5253^498 1263sin2ü)
+ 4,700 0528 sin 4a)
4- 0,007 2875sia6ü>
+ 0,000 0145sin8(o
etc.
CO — (j) = —21048^753 71 73 sin 2(p
+ 28,998 8622Mn4cp
— 0,049 9078 sin 6cp
+ 0,000 0923 sin 8<p
etc.
cp — CO = +21048?734 5472 sin 2co
+ 40,595 1921 sin 4co
+ 0,1073684sin6co
+ 0,000 3194sin8co
etc.
(p — cp = — 15795™286 7250sin2cp
+ 16,329 1611sin4cp
— 0,021 0061 sin 6<p
+ 0,000 0289 sin8cp
etc.
Der Radius des Äquators [ist hiebei, wenn //,/**, ... bereits in Metern
ausgedruckt sind,]
?5^^+4/]f+28/'*+240/'® + 2316/**+24240/'*^ + ... = 637 6723,563 9821m.
\
MeUr
Meter
diff.
Meter'
diff.
578 000o| 579 5312,62571
579 0000; 5%0 5300,3Sj54
!l9«7,75'Jr<3
G0915
45839
30017
157Ö6
9987,00769
isoes
6G
31
17
15004
14990
78
63
50
35
22
14908
14893
78
64
60
33
20
14804
14788
5774903,61218
578 4907,64328
10004,03110
08136
1SI57
13174
23187
28197
S3201
S8202
43198
48189
63177
66160
63138
68112
73081
78046
83005
87960
92910
10004,97856
10006,02796
5026
21
17
13
10
04
5001
4996
91
38
63
78
74
69
64
60
65
50
46
40
4935
5800000
5810000
582 0000
5830000
584 0000
5SI 52^7,99469
582 5275,45328
5835262,76145
5S4 5249,91931
585 5236,92700
5794911,72464
5804915,85621
581 4920,03795
582 4924,26982
5834928,55179
585 0000
586 0000
587 0000
588 0000
589 0000
586 5223,78465
587 5210,49240
588 5197,05037
5895183,45871
5905169,71755
70775
5Ö797
40834
25SS4
584 4932,88380
585 4937,26582
5864941,69780
587 4946,17969
588 4950,71146
590 0000
591 0000
592 0000
593 0000
594 0000
591 5155,82704
592 5141,78731
593 5127,59850
5945113,26076
595 5098,77424
9985,90027
81U9
6G226
Cil348
36484
21634
9985,06001
9984,91981
77177
9984,62389
5894955,29306
590 4959,92444
591 4964,60556
592 4969,33637
5934974,11682
5950000
596 0000
5970000
598 0000
599 0000
596 5084,13908
597 5069,35542
598 5054,42343
599 5039,34324
600 5024,11501
594 4978,94687
5954983,82647
5964988,75557
597 4993,73413
5984998,76209
600 0000
601 5008,73890
599 5003,83940
[Der Tabelle liegt der Abplattungswerth ;
zum Grunde.]
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 185
[29.]
Berechnung der [ebenen rechtwinkligen] Coordinaten [aus den geographischen
Coordinaten mit Hülfe der Reihen zwischen 7, ^ und u)].
Proberechnung fiir Varel.
X = 1® 48' 24';? 109 j [Coordmaten von Vaiel; für Göttingen ist
0 = 53®23'57;'0322 1 X = 0 angenommen.]
[= ^^^^^^^^^^ . 10^] = 5933241,735m.
Daraus [indem man mit dem Werthe von 0 in die Columne für (p der
Yoxhei^ehenden Tabelle eingeht und das zugehörige o> entnimmt:]
Q = 5913075,164m = 53® 13' 3^:6353.
[Man kann Q auch aus der Reihe für co — <p, S. 183, berechnen.
Es seien nun x\y' die rechtwinkligen Coordinaten des Punktes in der
Ebene, der dem Punkte Q,X auf der Kugel, die den gleichen Meridianumfang
wie das Sphäroid hat, entspricht, wenn die Kugel conform auf die Ebene über-
tragen wird, derart jedoch, das« der Meridian X = 0 Hauptmeridian wird.
Hiebei ist also f(j?'+».y') =/^+»^ = loghyptang(45» + fQ) + »X. Zur Be-
rechnung von x', y kann man sich der Formeln für Mercatobs Projection
bedienen :
tangc = tangXsinQ
sin Q := sinXcosQ
tang 4- (d?' — Q) = tang f c tang 4- Q
[a?'-Q = i(Q+jr')tangi-c...
wor = ?^^i8t].
sinQ 9,903 5870 cosQ 9,777 2648 sine 8,402 3953
tangX 8,498 9469 sinX 8,498 7309 tangQ . . . 0,126 3223
tangc 8,402 5339 sin Q 8,275 9957 tang Q ... 8,276 0730
c = 1" 26' 50^3465 Q [= l" 4' 54;4540]
= 120199,197m.
IX. 24
186 NACHLASS.
(Q' 15,239 705 Q' 25,3995
6rr _M,385_91J 24r* ■ . 2S,5957
(»,853 793 6,SÜ38
7,1416 0,0006
Jf'—Q = 7,142m.
Um y' aus Q zu erhalten, kann man auch die folgende Tabelle, Art. 30,
benutzen. Man geht bei derselben mit dem Werthe für Q in die Columne
für X ein und entnimmt das zugehörige y.]
y' = 120206,339m.
(Weiter Uf
tanglc ..
. 8,101 4346
ÜQ+f']-
. 5,0799145
3,181 3491 . .
1518,270
Q
= 5913075,164
x'= 5914593,434m [= 53" 13'52;8273].
[Wenn nun x, y die ebenen Coordinaten sind, die dem Sphäroidpunkte
0, X entsprechen, so ist
f(:r + .>)=/ij^'-^.;*^|jj + a = f;:« + a, oder x+ij, = g(f (« + ().),
WO 4" die Länge des Meridianbogens vom Äquator bis zur Breite 0 bedeutet;
für >. = 0 ist y = 0 und ü = 4"- Es bezeichne femer tu die Länge des Meri-
dianbogens vom Äquator bis zur Breite Q auf der Kugel ; für X = 0 ist y' = 0
und x' = u>. Da nun aber
g(f (([.)) = ^ = ü) + .48in2iB + S8in4»i>+Csin6iD-f-...
ist, worin nach S. 179
4 = 2ff+^/" + f /■•-..., S = ¥/-' + ^V+-, C = ^/-'+...,u.s.w.,
SO wird mithin allgemein :
g(f(4()+iX)==«4-i> = «'+iy'+.48in2(x'+v') + -ß8™'*(j?'+»j'')+f^8in6(j!'+i>')....
Setzt man
y = j;'4--4sin2ip'-l- B8in4j:'+C8in6j?'H ,
CONFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE. 187
WO 5 sich aus der vorhergehenden Tabelle, S. 184, ergibt (zu demWerthe von
x^ in der Columne für co sucht man das dazu gehörige jp in der Columne für
^), so wird
iT — y4-*(^— yO = — 2 -4 sin 2a?' sin iy'* -\-%Aqo%2x^^^ .*^
— 2-Bsin4a? sm2t^ +t-DC0s4ir — r-^
-2Csin6a?'sin3iy'* + iC cos 6^52^
etc.
Man kann jf' auch durch Q ersetzen; es ist
tang Q = — v^ .
Setzt man tang Q = f , so wird
j: = y +24sin2a?'.«
+ 8JBsin4a?'.(^^+f*)
etc.
y =3f''\-2Acos2a:'.t\/{l-\-tt)
+ 4JBco8 4^'. (f 4-2^^(1+«)
etc.
[Nach S. 183 ist für den Abplattungswerth 3027827 '^= 5253,498 1263m,
5 = 4,700 0528m, C= 0,007 2875m.
Die Berechnung von .r, y soll nun vermittelst der zuerst gegebenen For-
mel erfolgen. Dabei ist
log '^\!'^' = log ny ^ + 1 {nyT - Ysö ^^V^ ' " > n= 1, 2, 3, ...,
wo y' bereits durch den Kugelradius r dividirt ist; k bezeichnet den Modul
der triggischen Logarithmen. Die Berechnung von log**"^*.^^ kann auch nach
der Vorschrift des Art. 30 erfolgen.]
A 3,720 4486
sin 2a?' 9,981 8206
co8 2y 9,452 3858n
^sin2y. . . 3,702 2692 ^cos2a^'. . . 3,172 8344„
siniy'* 6,552 1460« ^^^|^ 8,577 1804
2 0,301 0300 1,750 0148n
0,555 4452,
24
188
NACHLASS.
B 0,672 1028
sin 4a?' 9,735 2364,
cos 4«' 9,923 9583,
Bsin 4«'... 0,407 3392,
sin2»y'* 7,154 3608,
2 0,301 0300
7,862 7300
Bcosix. . . 0,596 0611,
!^4i2^ 8,878 5200
9,474 5811,
C 7,86258
sin 6«' 9,81354,
cos6d;' 9,88032
[Das zu]
Csmex' ... 7,67612,
smZijf'* 7,50680,
2 0,30103
5,48395
CcosO«'. . . 7,74290
■inSiy'
# 9 # C
f
9,05513
6,79803
^ = 5914593,434m
[gehörige j ergibt sich, wie bereits erwähnt ist, aus der Tabelle auf S. 184
oder indem man die Reihe für (J' — <«> des Art. 28 benutzt]
y = 5919629,003m / = 120206,339m
+ 3,593
— 0,007
— 0,000
.r = 5919632,589m
Göttingen [51^3l'48;00] = 5710161,658
Varel = 209470,931m.
— 56,236
— 0,298
+ 0,001
y = 120149,806m
[30.]
Die [folgende] Tafel dient zur Berechnung der hyperbolischen Functionen ;
bezeichnet man die Glieder der beiden Columnen mit d?, y, so ist
itango? = siniy
logtang4(90®4-ir) = ikizy: 10^ [k = Modul der briggischen Logarithmen]
logiÄir: 10^ = 2,8339042—10.
CONFORME ABBILDUNG DES 8FHABOIDS IN DER EBENE.
189
Für grössere y, ausserhalb der Tafel, kann man setzen:
log sec ^ = ikizy : 1 0^
oder man sucht in meiner Logarithmentafel
kicy : 10^ = C [kizy : 10^ =] B
log^= 4-C-B -log2 [log'-^= - A-iB ~log2
= A — + C — log2 = iB — C -^log2
= i(A-B)-log2 =]_^(A + C)-log2
Man hat
[Für die Berechnung der nachstehenden Tabelle sind in diesen beiden
Seihen x und y durch - und - mit r =
20000000
zu ersetzen.]
X
(Meter)
y
(Meter)
diff.
0
10000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
0
10000,00411
20000,03290
30000,11103
40000,26319
50000,51405
60000,88828
70001,41057
80002,10560
90002,99804
100004,11259
10000,00411
02879
07813
15216
25086
37423
52229
69603
10000,89244
10001,11455
1,36133
1,63282
1,92900
2,24987
2,59544
2,96573
3,36072
3,78043
4,22486
10004,69401
0
2468
4934
7403
9870
12337
14806
17274
19741
22211
24678
27149
29618
32087
34557
37029
39499
41971
44443
46915
49389
2468
2466
2469
2467
2467
2469
2468
2467
2470
2467
2471
2469
2469
2470
2472
2470
2472
2472
2472
2474
110000
120 000
130 000
140000
150 000
160 000
170000
180 000
190 000
200 000
110005,47392
120007,10674
130009,03574
140011,28561
150013,88105
160016,84678
170020,20750
180023,98793
190028,21279
200032,90680
L_
190
NACHLASS.
X
y
diff.
Meter^
Meter'
1
200 000
200032,90680
10004,69401
49389
2474
—
7
5,18790
2473
210 000
~210Ö38,09470
6,70652
51862
2475
220 000
220043,80122
6,24989
54337
2476
230 000
230050,05111
9
6,81802
7,41089
56813
mm ^ V x#
2474
e\ t «VA
24U000
240056,86913
59287
250 000
250064,28002
61765
2478
260 000
260072,30856
8,02854
8,67096
64242
2477
270 000
270080,97952
66719
2477
280 000
280090,31767
10009,33815
69199
2480
290 000
290100,34781
10010,03014
71679
2480
300 000
300111,09474
10,74693
11,48852
74159
2480
310000
310122,58326
76640
2481
320 000
320134,83818
12,25492
79124
2484
330 000
330147,88434
13,04616
13,86224
81608
2484
340 000
340161,74658
84091
2483
350 000
350176,44973
14,70315
86576
2485
360 000
360192,01864
15,56891
89064
2488
370 000
370208,47819
16,45955
91552
2488
380 000
380225,85326
17,37507
94040
2488
390 000
390244J6873
18,31547
96531
2491
400 000
400263,44051
19,28078
20,27099
99021
2490
410 000
410283,72050
101514
2493
420 000
420305,00663
21,28613
104008
2494
430 000
430327,33284
22,32621
106503
2495
440 000
440350,72408
23,39124
106999 2496 |
450 000
450375,20531
24,48123
111497
2498
460 000
460400.80151
25,59620
113996
2499
470 000
470427,53767
26,73616
116497
2501
480 000
480455,43880
27,90113
118998
2501
490 000
490484,52991
29,09111
121502
2504
500 000
500514.83604
30,30613
31,54619
124006
126514
2504
2508
510 000
510546,38223
520 000
520579,19356
32,81133
129021
2507
530 000
530613,29510
34,10154
131531
2510
540 000
540648,71195
35,41685
134042
2511
550 000
550685,46922
36,75727
136555
2513
560 000
560723,59204
38,12282
139070
2515
570 000
570763,10556
39,51352
141586
2516
580 000
580804,03494
40,92938
144104
2518
590 000
590846,40536
42,37042
146625
2521
600 000
600890,24203
10043,83667
149146
2521
COMFORME ABBILDUNG DES SPHAR0ID8 IN DER EBENE.
191
X
(Meter)
y
(Meter)
diff.
600 000
600890,24203
10043,83667
45,32818
46,84483
48,88678
10049,95401
149146
151670
154195
156723
2521
2524
2525
2528
610000
620 000
630 000
640 000
610935,57016
620982,41499
631030,80177
641080,75578
[31.]
[Berechnung der Länge und Breite aus den ebenen Coordinaten.]
Ist
p = q — Asin^,
BD wird [für hyperbolische Logarithmen]
logtang^j? = logtangly — A-— ^^ÄAcosy
— i Ä' (2 — sin ^*) — yV A^ cos y (6 — sin j*) . . . .
Ist
80 wird
h = acos j' + ^cosSy + ccos 5y + dcos7 5^ + ...,
logtangi;? = logtangiy
-co^q (a + ifla + iafc + ifcfc + Hö' + iVööfc + TVA«^-.)
— cos3y(fe4-+aa-f iafe + iac+A«' + -iVö«* + TWr«*--.)
— cos5^(c + iafc+ife6+^ac+Vir«'+ i aah-\- ^^ a*...)
— co%lq[d-\-\hh +iac4-TV«öfr + T3VF«*.- )
etc.
[Man setze p — 90® + (o und y = 90® + (p. Zunächst erhält man, wenn
man von der letzten Reihe zwischen (o und if im Art. 25 ausgeht:]
a = -4/-/--io/-*-fr+T"
6 =
C =■
d =
_ 68 /.« _ 8253 /.8
15/ Af. f '"
68 /.« 8253
45
4397 ^8
etc.
192 NACHLASS.
Daraus wird zuletzt abgeleitet (in unsem Zeichen)
logtang(45» + ^a>) = log tang (4 5* -f i «[;)
-(^/^•...)sin7f
[Nun ist für den Abplattungswerth ^^ ^^^^ nach S. 183:]
iff=^ 10496,4526992 m
4 f • = 4, 826 7681 -|-^* = 2, 883 8387 m
8
- 4-/^ = -0, 000 6948 —/•• =s 0, 007 7268 ^/^ == 0, 002 6149m
-182/*= -0,0000242 104/* =: 0,0000191 ?|?/* = 0,0000142 i^/* = 0,000 0036 m
3 21
10499,7777388 m 2,8915836m 0,0026291m 0,0000086m
[oder] in Secunden [(im == o;;0324)]
340;'1927987 o;'0936878 0;'0000862 0;'0000001.
[Da] man hat
[tang(45« + i(^ + f/;) = ??!^±^!^ = couiy^mnx
80 wird]
logtang(45''+K^ + »y)) = log\/^|^+«arctang^.
Entspricht Q also der Polhöhe des Orts , dessen Coordinaten «, y sind,
und ist X dessen Länge, so hat man
[logtang(45^ + iÖ) + a = log tang (4 5^ + |(x + ty))
— X) sin (o? + *y ) — ^ 8™ 3 (.r + ty ) — J" sin 5 ( j? -|- V) • • • f
wo X), £, F, ... die Coefficienten der Reihe für logtang(45"4-+«>) 8™d. Sind
D, £, -F, . . . in Secunden gegeben, so ist mithin, p = t^ttt gesetzt, und für
briggische Logarithmen, deren Modul k sei:
A = — arctanff-: — - — XI cos j? — r-^ — jcrcoso^ — ^-^ — •••
p ^ t CO! X t %
logtang(45"'+iQ) = log^ ^^^-kp{DHmxcoBiy + EsmZxcoBZiy + ...).
CONFORME ABBILDUNO DES SPHAROIDS IN DER EBENE. 193
Mit den angegebenen Werthen für X), iS, JF, • . . erhält man daher :]
X = iarctang-?^^~340;i92 7987co8« ^Ä
— 0^093 6873 cos 3«5E|!y
— 0^000 0852 cos 5 J? 5^
— 0^000 0001 cos 7a?5^J^
etc.
— 0,000 716 2824 sin a? COS iy
— 0,000 000 1973 sin SiTcosSiy
— 0,000 000 0002 sin 5a? cos 5ty
etc.
[Vermittelst der Tabelle auf S. 184 ergibt sich dann zu Q das zuge-
hörige 0.]
[32.]
[Die Darstellung der Oberfläche des Sphäroids in der Ebene wird] durch
folgende zwei Formeln ausgedruckt:
1) cotangi;,(l^^f .(cosX + isinX) = cotang4-P(i^£^*'
2) ^+iy== f -'^-"%,
J (l-eecoBP*)^
WO a und a^{l—ee) die beiden Halbaxen des Ellipsoids sind [und p = 90^—^
gesetzt ist.
Setzt man
cotangi|?([-^^) =cotangij
und]
cotang 4" y (cos X 4" * sin X) = cotangn|^Q,
[sowie]
IX. 25
194 NACHLASS. CONFORME ABBILDUNO DES 8PHAROID6 IN DEB EBENE.
[so wird]
taiig4-jr(co8X — tsinX) = tang 4- (iJ-f »'8^)
taiigiy(co8X4-»8inX) = taxig^{R — i8).
[Hieraus folgt:
* T% • • rm
2 tanfi: 4- 6f COS X = -7 — „-i =^t» — 2ttang4-flfsinX = --, — ^-^ rö-i
1 -tangig =t(eo.ü + co.<g)' l+tangig == ^^—^-p—^;
mithin]
tangtS = - i + tong^y = -»Mi^^su^?
[oder]
8 = 4^ log, . . , . •
BEMERKUNGEN.
Eine zusammenh&ngende Darstellung der conformen Abbildung dei SphftroidB in der Ebene, die ali
FrojeetionBmethode der hannoverschen Oradmessung und Landesvermessung diente, hat sich im Nachlass
sieht gefunden. Die vorstehenden Entwiokelungen sind mit Hülfe der Aufzeichnungen in zwei Handbüchern
und einer Reihe einzelner Blätter, die vielleicht von Gauss als Rechenpapiere bei der Ableitung seiner
Fonneln benutzt wurden, zusammengestellt worden.
Das Handbuch: »Den astronomischen Wissenschaften gewidmet« enthält die Formeln zur Berech-
nung der geographischen Coordinaten, der Meridianconvergenz und des Vergrösserungsverhältnisses aus den
ebenen rechtwinkligen Coordinaten. Direct entnommen sind ihm die Artikel [4], [9], [lo], [ii], femer die
Artikel über die Azimuthreduction [is] mit der Tabelle für log 9, [16], [17] und die über die Transformation
der Coordinaten [I8], [19], [20]. Aus verschiedenen Stellen dieses Handbuches sind die Artikel [7], [13] und
[14] zusammengesetzt.
Ein zweites Handbuch mit dem Titel: »Kleine Aufsätze aus verschiedenen Theilen der Mathematik«
lieferte die Artikel [5], [26], [27] imd [31]; für [27] wurde ausserdem noch ein einzelnes Blatt benutzt.
Die Artikel [ij, [2], [6], [8j, [2lj und [22] sind nach Au&eichnungen des ersten Handbuches und denen
einzelner Blätter zusammengestellt worden.
Einzelnen Blättern entnommen sind [3] mit der dazu gehörigen Tabelle, [12], [23], [29] und [32], so-
wie die zweite Tabelle zu [16], die hier vollständig mitgetheilt ist, weil keine andere, auf einem anSem Ab-
plattungswerth als 1:302,68 beruhende, dafür vorhanden ist. Diese Tabelle befindet sich in einem be-
sondern Heftchen. Die Bezeichnungen der einzelnen Columnen sind hier, wie auch bei der ersten Tabelle
zu [15], zugefügt worden; Gauss hatte über die erste Columne geschrieben: Corrige —26,264, was, wie be-
reits erwähnt ist, einer Verkleinerung der Ausgangsbreite um o;'85 entspricht. Die Tabelle zu [2s], von der
vorstehend nur ein Auszug gegeben ist — sie erstreckt sich im Original von <|;=5000000mbis<|/^6500000m —
und die Tabelle unter [30] befinden sich auf demselben Blatte.
Die Artikel [24], [25] und [28] endlich sind nach Aufzeichnungen auf verschiedenen Blättern zu-
sammengesetzt.
In den einzelnen Artikeln ist eine Anzahl von Änderungen vorgenommen worden.
Bei [2] : An Stelle der letzten Formel für c hat Gauss auf einem einzelnen Blatte
•V • (1 — «csin9*)»tane» i , • . * ») .
c = Xsin<p-^ /^ ' ^^ i-ee + ce;3 + «e}cos©« + 4«*coS9* y*.
^ 6a*(i — ee)* * i v 1 ; t 1 t j y
» [4]: Bei der Formel ftir c fehlt bei ihm im Ausdruck für loghyp C das Glied
. 1 — cesincp*
aa ^^
■ [7] : An Stelle der ersten Formel steht im Original
iV+flogConv. = logf'{£)-logf'(a: + fy), N = logn,
was aber wohl nur ein Schreibfehler ist.
25*
196
BEMERKUNGEN.
i [8] : Die letite Formel, die sich auf einem einxelnen Blatte befindet, heiMt dort
wm ■ - ■ 1 ^^ "^^^
yy+
y"-
ta'^'^ ' 14a*
• [9]: In der Formel fOr logn fehlt bei Gauss im Coeffieienten von y* daa Glied y^jF^.
• [11]: Im Original steht an Stelle der angegebenen Formeln ftlr x und y:
y = aX-i(a«r + «ßp)X«.
» [12]: Der Factor von y* in der Formel fOr ( lautet auf einem Zettel, der mit andern bei Gauss Tode
auf seinem Schreibtische lag,
A«l + T*T«JPi -TiT«i«iTi + A«! Pi Pi + VrPiTi -tKOi^ +TH«r
m [1 3] : In dem Ausdrucke für gT (F) und entsprechend in der ersten Formel für y bei dem Factor von X',
S. 157, lautet der Werth in der Klammer im Original:
(1 — 10 cc + (14 — 67 8) c* H ) ,
während es heissen muss, wie vom angegeben ist:
(l — 10CC+(14 — 68 8)c*H ).
m [16]: An Stelle von logS = 7,317 8fl48 — 30 hat Gauss: logS *= 7,317 8148 — so; infolge dessen sind
in der zweiten Tabelle des Art. [16], S. isi und lei, die Werthe für logß um eine Einheit der
letsten Stelle su erhöhen.
» [16]: Der Coefficient von JR' in der Formel für — n^sin^, S. 164, lautet im Original
tktr
a'b
a'* aaa'
14-^ 24iV • 4SNN "^ 2ANN
Gauss schreibt in der Formel für logn*, S. 166 oben, die Glieder zweiter Dimension
— Cxx — lDxy — Eyy\
dazu passt aber die folgende Entwickelung nicht.
» [17]: Für r, S. 168, ist im Original angegeben
dem zufolge lautet weiter die Differentialgleichung für <p
(l + (l« + «'«')ÄÄ + (6«u-l«* + lt'u')Ä»...)
dB
e^
+ (-|««'Ä-(l«u' + Ku + i«'«*)ÄÄ...)^ = 0,
woraus sich dann ergibt:
• [10] : Gauss hat in der Formel fOr x + ^ un Factor von oi
1-4(1 +«)yy+(A-««-vny*....
» [23]: Im Original heisst der Coefficient von y* in der Formel für a;, S. 176,
1862lS*-j- 48826^*+ 481608*-f 212885^ + 36488*
2836 '
und dem entsprechend der Coefficient von y** in der Formel für aso?:
8163068*+ 831840S»4- 8222178*-f 863788^ + 606288*
14176 *'
J
CONFOBME ABBILDUNG DES 8PHÄR0IDS IN DEE EBENE. 197
In der darauf folgenden Formel für l — a;« hat daa Original als Coefficienten von y^ :
70298^+ lgl828*+21674R*-f 5798^+8925*
315
Bei [14]: Der Factor von sin 9* cos 9 in der zweiten Formel fOr «j;, S. 177 oben, heisst im Original:
Als Ausdruck ftir sin 9 cos 9, S. 177, gibt Gauss an:
/ . . A. . 12««+25C*+89C* , 65e*+258e* ^ ^46 . .\
sin u> COS <ttfi +«« + «•+«• ^ — yy + — -j^ ^ TT^J*
Die Formel für 4», durch co ausgedrQckt, S. 177 unten, lautet im Original:
/l 13 . , 178 , , 29029 . \
^ ^ \8 192 1024 368640 /
/47 . 293 , , 1220619 . \
\768 3840 884736 /
/ 970 . 4124089 . \
4- sm 6 tt) c' er ...]
' \15360 10321920 /
/ 12895751 . \
— Sin 8 tt) er...].
\123863040 /
Bei Gauss heisst der Factor von ~ sin 2 9 in der letzten Formel, die u) als Function von 9 liefert,
S. 178,
> [26]: Im Original steht an Stelle der ersten beiden Zeilen im Ausdruck fOr log cos 9: *
1 11-^^ .«r* *10>r. 17559^,
log cos <P = log cos ^ — 6// — 63/^* f* / • . .
8 2
+ (6/'/'+42/'*+^/'« + "00r-...)coS2f
* [28]: Gauss hat in der Formel, die <|/ als Function von oi darstellt, S. 183,
4,800 0528Bin4a>
an Stelle von 4, 700 0528 sin 4«),
und dem entsprechend in der Rechnung bei [29], S. 188, log£ = 0,6812460 an Stelle von
log£ = 0,672 1028. Dadurch wird bei ihm der Werth von y, S. 188, um 0,007m kleiner als
vom angegeben ist.
Der bei den Entwickelungen unter [28] benutzte Werth
, 2.10*--
log ff= 3,4189411.808,
IC
der auch der Tabelle, S. 184, die deif Übergang von <|; zu 9 und cd vermittelt, zu Grunde liegt, ist
wahrscheinlich durch einen Schreibfehler bei Gauss entstanden. Auf einem einzelnen Blatte ist nem-
2 1 o'^
lieh dem eben angegebenen Werthe von log— ^ ff beigefilgt: n = 302,78. Das trifft aber nicht
7C
KU, sondern zu diesem Werthe der Abplattung gehört
2 10'
log-^ ff= 3,41894*1. 808.
198 BEMERKUNGEN.
Bei [31;-. In der zweiten Formel fOr logUngfp. S. l»i, iteht im Original:
im Coeffietenten von — cotg an Stelle Ton H^ • H^
» » » — coasg » • » ^o» : j^a*
» ■ » — coiftj • » » ^o* : ^a*.
Infolge denen heiiat et bei Gauss:
logtang45»+l«: = logtang45»+14» -Lff^Ar + ^r-2tr^^^m^
Als muneriiche Werthe der Coeffieienten dieser Reihe gibt Gauss an:
10494,764 2962m; 2.H<t(i %91 319Sm ; 0,002 927 170 3<>0m; 0,000 003 499 1 70 OSm;
340^0310112; or»^3 600 07S 75; o/uOO 094 840 32 ; o;'000 000 HS 373 11 ;
und all Schluaiformeln :
■iniy
X = arctang
fCOfX
— J40;'031 0112COfX r-=^— 0;'093«001CO8 3« ^— OJ'oOO 0949 CO« 5« r-^ — O/ooO 0001 CO« 7« r-^ ,
« • f t
logtang 45»+iQ; = logv^ . . —
e D "'cofiy — «in«
— 0,000 715 9403 nnxcofty— 0,000 000 i97i iin3xcoa3ty~ 0,000 000 0002 sin 5xeo8 5ty.
Bei [32]: Im Auadruek filr S, S. 194, fehlt im Original der Factor ^.
Zu den Formeln selbst möge noch folgendes bemerkt werden.
Die Orundformeki der QAUSsschen Entwickelung, Art. [1], erhält man, indem man die Ebene con-
form auf das Sphfiroid überträgt. Die Aufgabe ist also die Umkehrung der im Art. 12 der »Allgemeinen
Auflösung der Aufgabe: Die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzu--
büden, das« die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird«, Bd. IV, S. 205 u. f.,
behandelten Übertragung. Es tritt aber hier die Bedingung hinzu, dass die Strecken auf der Abscissenaxe in
der Ebene den entsprechenden Bögen eines bestimmten Meridians, des Hauptmeridians, gleich sein sollen.
Sind Xf y die rechtwinkligen Coordinaten eines Punktes in der Ebene, <I>, X die geographischen Coordinaten
de« entsprechenden Punktes auf dem Sphäroid, so ist im Anschluss an Art. 12:
CD = dx^ + dy",
und die Differentialgleichung tu = 0 gibt JC + ty = const.
Femer ist
,1— eesmV*/ 1— eesm<I>'
1 — 6esin<I>' (\ 1 — eesin<I>* cos<I>/ {'
die Differentialgleichung fi = 0 ergabt mithin
^"■** dO±tdX = o,
(1 — eesiniP*, cosO
r
CONFORME ABBILDUNG DES 8FHAR0IDS IN DER EBENE. 199
oder wenn
1) (i-e<im»»)co«4> _ q,^^
1 ~~ vC
gesetzt wird,
deren Integral
±tdX = 0,
ei<D)
dO
g^ ± A = eonit.,
oder
'^ ^^^' =/l|] = i<>g^yp^(**^+i^)+i«ioghypi-p||^
F {0) ± f X = coMt.
getetzt:
ift.
Zu der Breite ^ loU der Meiidianbogen 6 gehören, vom Äquator ab gerechnet, lo daai also auch
dO
3) F{a>) = f(?) = J.
iit.
Bedeutet gf eine wiUkürliehe Function, so wird mithin die Ebene conform auf das Ellipsoid aber-
tragen durch die Gleichung
f(6)+fX = 8f{aj + fy).
Nun soU aber jede Strecke auf der Abscissenaxe gleich dem entsprechenden Meridianbogen sein.
Für X = 0 muss also i = x und y = O sein ; folglich wird
m = 5(aj).
Mithin lautet die Übertragungsgleichung:
4) m + f X = F (0) -h f X = f (Ä + f y).
Die Ableitung der Formeln für das Vergrösserungsverhaltniss, Art. [6] bis [lo], kann wie folgt ge-
schehen.
Da
d^ (1— e«)dO
df(6) =
f (B =
e;<I>) cos<D[i-cesin<D«)
1 — ee (1 — ««sin4>*}* v^(i — «esinO')
cosOli — eesin«!)») o(i — ec) acos<I> '
wobei i mit 0 wächst, also nach Norden positiv angenommen ist, so wird
i- = ^ = / i Y(df(£))« + dX' ^ / 1 yd(f:e + *X) d(f6)-tX)
nn u) if'(?]j da;* + dy' \f'{?)/ d(a: + fy) ' d(a:-fy)
Führt man die Meridianconvergenz c ein, so ist zunächst tang c = — j^ > ^^ a^ "^^^ ^^' Gleichung
X = eonst. erhalten wird; mithin ist
K
BEMERKUNGEN.
m^iM.
l
. m-Q'
m
•'"••" m '
1 8X
ST
= lf';e^««c = K
=. ~f'{Slime = 0.
Einfacher ergeben lieh dieie Foimeln, wenn nuui bedenkt, dmH in der Ebene (voniugeaettt dm x
nuh Norden poaitiT iit und y mit X wtcbit] füi dal Bild eine* ElemenM dei FaraUelkroH« :
j-dX = fTF^X = dxÜDe + djroM«
iat
Ai» 1] «hiH man:
■' »^ = (f^)"+(Ä)'-
Vermittelit dieier Foimel hat Oaübb in [e] du Vergröueningfrerhlltniii berechnet.
Man hüte dawelbe noch etwas leichter durah die aue s) eich ergebende Formel
erhalten. Direct findet mui dieee Formel, mdem man (Di da« Bild einei Element« des Meridian« anieM:
H.o(i -<el_ j^, ^ ^^g ^ da!co«c-dy»inc.
v';i
-..«.«■l
worau* folgt
«! - leo.c
Nach 1
) iit ferner
1 c9f(E)j_,8X]
od«
f ;. + <»!
oder wenn
logn =- N
geietit wird,
6) N-io = log!':i]-\0g{'[x + iy].
Den hieraui folgenden Werth
ff = log f (6) - Pari Real, log f ' [x + iy)
erhält mui auch lofoit am der luent angegebenen Formel auf der vorigen Srite. Nach dieiar wird
^^ r^e
)j\i'{x + iv)V{x-iy)\'
Wird die Gleichung &) tweimal nach x und y dlfFerentUit, «o findet man w^en «), wenn i
CONFORME ABBILDUNG DES SFHAB0ID8 IN DER EBENE. 201
aoBserdem berücksichtigt, dasg
ddm , dem) ^ .
ist:
und
wo
ift.
'^ da^ "^ öy« nn (f (6)« nn 6(5) '
n/t. _ J «C08<'^
Da hienach ö';£) = -sinO und ö"© = -cosO»^ gesm^ j j^ ^ ^^^^^
a(i — ee)
^ a(i-ee) ^, ^ a
v/(i -ce sin <!)•)•' v^(i — eesinO")'
80 wird
döN , ddN
ÖÄ* öy* rr'nn
Vcrgl. Band Vm, S. 385.
Zu der in den Art. [15] und [16] gegebenen Azimuthreduction ist noch folgendes zu bemerken
(vergl. den Brief an Schumacher yom 2&. Junius I83i). Gauss versteht unter dem Azimuth in piano
des Punktes o^ , y, im Pimkte x^ , y^ den Winkel, welchen die beide Funkte yerbindende gerade Linie mit
der durch rC|, y, gezogenen Parallelen zur a;-Axe bildet. Das Azimuth auf dem Sphäroid ist dagegen der
Winkel, den die geodätische Linie in dem Punkte, der x^ , y^ entspricht, mit derjenigen Curve bildet, deren
Darstellung in der Ebene eine Parallele zur Abscissenaze ist. Ist x nach Süden positiv, und bezeichnet im
Punkte {Xiffi): T das astronomische Azimuth, t das Azimuth auf dem Sphäroid, 0 das Azimuth in piano,
e die Meridianconvergenz, und ^ den Winkel, den das Bild der geodätischen Linie mit der Geraden durch
(£iyi) und (o^y,) bildet, so ist
T= t-c, ö = e-<|;.
Die unter [15] aufgeführten Formeln zur Reduction des Azimuthes auf dem Sphäroid auf das Azi-
muth in piano ergeben sich aus der im Art. [16], S. 166, abgeleiteten Gleichung ftlr <{;, wenn darin die Glieder
zweiter Ordnung vernachlässigt werden. Alsdann ist
+ = T^i(a^-aj,)-lJ^.(y,-yi).
Die Coordinaten x^, y^ entsprechen dem Anfangspunkte und die Coordinaten x^, y, dem Endpunkte
der geodätischen Linie. Um die Coefficienten A^ und B^ zu erhalten, ist logn als Function der Coordi-
naten daizusteHen. Es sei x^ y ein beliebiger Punkt, dem auf dem EUipsoid ein Punkt mit der Breite ^
entspreche. Setzt man dann
, 1 — cesm«')
' aal— ec
26
BEMBBKUNaEN.
•^■tt, i'-a -«11«» funkt Je + x', ff + y' irt mithtn;
lo|r» = i« + r»'+-)[»Sf + iy)»'+y'sf')-lß + ---l(sf*+4y»j(' + . ..) + ■■
= "yy-Py* + "- + (Tys' )«' + |l«y-4py» + ...)y'....
AW Wt Muh [■«], 8. IflS, mit der ang^ebraeii VemMhliMigiiiig :
■* = ry». B = l«y-*py».
Kiiliilich vird für den Punkt, dMMn Coordinaten
C. +tlyi-yil = >i
■^4 = T11. Bj = Ia7|-«p7)»,
will)«! Jctit a, p, } mr Abwiiae £ i^hOren,
DkiDlt «gibt dch aber fllr 4>:
-}. = [«i)-ipi)')(a^-a^)-lTii(y,-y,}
odK
*) -4- = -"llat-flil + ipVla^-ail + tTlllyi-ftl.
a, iß, ij lind dlNelben Ortaaen irie a, p, 7 auf S. iss.
An 8uUe der Foimehi für die MEKCATOE«ihe Projection b« der Übartraping äst KogeUiriie in dw
Kl<*r>*, Art. :iii!, 8. 18», kann man «ich auch der Formeln de»Ait.[is] bedienen, wenn man in ihnen Bas
■«tat, OfthAit lu dem Punkte «'. y' in der Ebene der Punkt 0, X auf der Kugel, lo i<t der Oleiehnng
x' + iy' = e(F[Ü]+iX), F(O)«./^ = loghypt«ig(*«* + iO),
•nUpncliMid. wenn jetrt x' nach Noiden podtiT genommen wird, und wenn unter u der Heridianbogen
ttim Äi|iutftr bi« cur Breite 0 verstanden wird In s 1 0 ooo 000 •—] :
x' = »+ jrinlQ.)iX + — iinlO(«ooiO'-i)X*...
y' = rcMO.X+yOoaUooasa.X« + ^oMÖ(i-jooofO* + l*ooiQ*)X'...;
\
CONFOBlfS ABBILDUNG DES 8PHABOID8 IN DEB EBENE. 203
Für
Q = 53*13' Sj'OSftS X = 1*48'24;'7109 s» 0504;'7109
20 a« lOe 26 7,2706
ift
X 3,813 2279 992 f 6,803 8801 r 6,80388 6 0,77816
1 : 206264,8 . . . 4,685 5748 668 XX 6,907 6057 X* 3,99521 CQgQ* ... 9,55453
8,498 8028 660 ^ 9,397 9400 ^ 8,31876 0,33268
Bin2Q ... 9,981 8818 sin 2Q ... 9,98188 2,1512
3,181 3076 0,06115 1,1512
9,16088
+ 1518,1250
+ 0,1448
Ol = 5913075,164in x' — (ü = +1518,270 m 0?' = 5914593,434m.
r 6,803 8801 230 \ 9,22185 20 1,30103 24 1,38021
X 8,498 8028 660 f 6,80388 COiQ* 9,55453 OOS Q* 9,10906
CObQ. ..9,777 2647 719 X* 5,49641 0,85556 0,48927
5,0799477 609 C08 Q 9,77726 +1 1:120 7,02082
120211,982 COS 20... 9,45168^ — 7,1707 .f 6,80388
— 5,637 0,75108« + 3,0851 X" 2,49401
— 0,005 — 3,0856 0,48934«
y' =s + 120206,340m. 7,70805«
Zu Alt. [30] 8ei bemerkt: Die QAUSSBche Logarithmentafel (V. Zachb Monatliche Correspondenx.
XXVL Band. Gotha 1812, S. 498—528) gibt
A = logn, B = log(i + i), C = log(i +n),
wo n eine potitiye Zahl bedeutet. A + B = C.
Setzt man C = 2 log lec <p = — f- » 80 wird A = 2 log tang <p , B = — 2 log lin <p ; und letzt man
B SS 2log8ec<p SS — j-f 80 wird A s — 2logtang<p, C = — 2 log sin <p. Damit findet man die angege-
^® ginty , sind'*
benen Werthe ftr log — r-^ = log - — ^ •
® f ® 2coß4'
Die bdden Formehi unter [32] erhftlt man wie folgt.
Betst man 0 s 90*— |i, 8o iit nach 2) und 3), S. 199, wenn der Anfangspunkt der Coordinaten
einem bestimmten Punkte des Hauptmeridians entspricht:
0 f(e = logh^(cotangf(i^l^)*)-ir.
26*
204 BEMEKKUNOEN. CONFORKE ABBILDUNO DES BFHÄBOID8 IN DBB EBENE.
wo K der 'Weith dei Logarithnraa fOr den Auftngapnnkt iit ; tlio wird
m + i^ - loghypjwwngf (i^J^) .(«).X + iimM| -ä;
Dab« in E auch die Ltnge de* Meridianbogeu vom Anfangipunkte bU mr Brnte ta*~p, der
ebenio wie die Abariiaen, naeb Baden poiitiv geiihlt werden aoU; mithin
edp_
Setit man nun
s) eotang —
nP) 2 \l+ecoipf
wobei filr X = B; P = p, sowie y » o und x — E i«, lo wird wegen f;E;+*'^ = f(« + »'y):
folglioh muM der Gleichung 1} entsprechend :
Die Entwickeluogen lu den Artikeln [l] — [ii»], [lij und [11] und wabr«oheinlioh in der Zöt twiwhen
ISIS und IBIO entstanden, wKhrend die Qbiigen Artikel aus den Jaltien igis — ISIT lu stAmnien scheinen.
BRIEFWECHSEL.
[Über die Formeln für die hannoversche Landesvermessung.]
Gauss an Schumacher. Göttingen, 18. April 1830.
Es scheint mir bei Ihren Messungen, insofern Sie sich auf Eine
der beiden in meinem frühem Briefe erörterten Methoden beschränken
wollen, am angemessensten, wenn Sie Ihre Resultate für die Lage der einzelnen
Punkte in der Coordinaten-Form berechnen, aus welchen Sie nachher far alle
Punkte, für welche Sie es nöthig finden, die Längen und Breiten berechnen
können. Bei diesem Gange bedarf es nur weniger und compendieuser Hülfs-
tafeln: in der That können alle dann nöthigen Hülfstafeln auf Einer Octav-
Seite Platz finden. Auch ist das Characteristische dann sehr leicht zu lernen.
Es wird unter zwei Capitel kommen.
I. Modificationen, welche die Berechnimg der Coordinaten deshalb er-
halten muss , weil die Oberfläche der Erde kein Planum ist. Dies erfordert
eine kleine Abhandlung, und die Ausführung eine kleine Hülfstafel.
II. Methode, um aus den gegebenen Coordinaten eines Punkts zu be-
rechnen: 1) dessen Länge, 2) dessen Breite, 3) die Richtung seines Meridians
im Coordinatensystem.
Dies wird eine zweite Abhandlung und mehrere kleine Hülfstafeln erfordern.
Heute will ich mit diesem Capitel den Anfang machen.
Abstand eines Punktes vom Äquator, nicht in Toisen oder anderm ähn-
lichen Maass, sondern durch ^5 ööTeö' 90 eo 60 ^^® ganzen Erdquadranten ge-
messen, bezeichne ich durch ^\ desselben Punkts Breite durch 9. Eine Auf-
gabe ist nun, <p aus ^ zu finden.
206
BRIEFWECHSEL.
Ich Yemchte dies durch eine Tafel, die mit dem Argument ^ soglei
^ — ^ gibt. Ich habe diese Tafel mit Schmidts neuester Abplattung
von 51^ bis 56^ berechnet und theile Ihnen solche hier mit.
297,782
^
9-4»
51" 0'
8' 28"78
10
28,14
20
27,47
30
26,79
40
26,10
50
25,38
52 0
8 24,65
10
23,90
20
23,13
30
22,35
40
21,55
50
20,73
53 0
8 19,90
10
19,05
20
18,t8
30
17,30
40
16,40
50
15,48
54 0
8 14,54
'l'
9 ^
54« 0'
8' 14^54
10
13,59
20
12,63
30
11,64
40
10,64
50
9,62
55 0
8 8,59
10
7,54
20
6,47
30
5,39
40
4,29
50
3,17
56 0
8 2,04
Wollen Sie diese Tafel weiter ausdehnen, oder auf mehr Decimalstellen
berechnen, so dient dazu folgende Formel:
(p = (|;+ 520^463 33648in2(j^
+ 0,766 0757 sin 4 ^p
+ 0,001 5444sin6^
+ 0,000 0035 sin 8 (p.
Wie man das ^ für irgend einen Pimkt im Hauptmeridian aus dessen s
und dem Werthe von ^p, welcher dem Anfangspunkte entspricht, 4'*» findet,
bedarf keiner Anleitung, da dies auf einer einfachen Eegel de tri beruht.
ÜBEB DIE FORMELN FÜR DIE HANNOVERSCHE LANDESTERMESSUNG. 207
Natürlich ist diese Torgängige Rechnung nach der Wahl der Lineareinheit
mehr oder weniger expeditiv. Ich hahe daher (und aus andern Gründen) zu
meiner Lineareinheit den 10000000. Theil des Erdquadranten gewählt, den ich
Kürze halber Meter nenne, der aber von dem Metre l^gal verschieden ist.
Mein Meter betragt nach Schmidts Dimensionen 443^^^29849. Ich brauche
daher nur
^ = Y—010Z2A.X [= <p*— 0;00054.a?]
zu setzen. Wenn Sie Toisen wählen, so müssen Sie
67008,551
schreiben.
Das 4'* können Sie, wenn 9* gegeben ist, auch vermittelst obiger Hülfc-
tafel leicht indirect finden. Für Göttingen setze ich
(j^*= 51^23'20;6082,
welchem <p' = 5 1 ® 3 1 ' 4 7;'8 5 entspricht.
Ist also z. B. x = —115163,725 Toisen, so wird
(p= 51^23' 20';6082
+ 2 1 12,4074
= 53 24 33,02
Aus der Tafel findet man hiemit:
<p = 53® 32' 50^80.
Dies ist die Breite Ihres Meridiankreises, wenn sie aus der Breite des
meinigen mit ScHMmxs Erddimensionen abgeleitet wird.
Dies weicht von meiner astronomischen Bestimmung um 5^53 ab, welche
5^53 die Summe der Unregelmässigkeiten der Erdfigur in Göttingen und Altena
(eigentlich richtiger die algebraische Differenz) sind. Der Breite 53® 32' 455^27
würde entsprechen ^ = 53®24'27'^48, und wenn man daher jenen Unterschied
gleich vertheilen wollte, so könnte man auch setzen:
für Göttingen: ^ = 51^23' 17;:84
für Altena: ^ = 53 24 30,25.
208 BRIEFWECHSEL.
Was nun die Hauptaufgabe betrifft, so bezeichne ich die gegebenen Co-
ordinaten [mit] x^ y\ die (nach obiger Vorschrift berechnete) Breite desjenigen
Punkts, dessen Coordinaten x und 0 sind, mit f ; die gesuchte Länge mit \
(vom Hauptmeridian gerechnet}; die gesuchte Breite mit 0; den Winkel,
welchen der Meridian des Orts mit der Linie gleicher y macht idie Conver-
genz der Meridiane , mit c.
Es lassen sich dann diese drei Grössen durch Reihen von folgender Form
ausdrücken :
X = ay — ß/ + T[j^ — etc.
0= (p-a>y + ßy-7y + etc.
c=a>-ßy + -rV-etc.,
wo die Coefficienten a, a', a", ß, etc. von 9 abhängig sind. Man hat jedoch
nie nöthig über y^ hinauszugehen in den Fallen, auf welche ich den Ge-
brauch der Coordinatenmethode beschränke, imd in dieser Voraussetzung finde
ich es vortheilhafter, die Form der Reihen etwas abzuändern. Ich setze nem-
lich ay = /, und mache dann :
X
=
A
<t>
—
9
B
c
C
5
wo Af B, C nur sehr wenig grösser sein werden als l. Die briggischen Lo-
garithmen werden nun schlechthin zu setzen sein:
log^ = i>/;
logB = Ell
log C = Ell,
WO D, JE, F Functionen von cp sind, z. B. D = ^^ wenn k der Modulus der
briggischen Logarithmen ist, oder wenn man logA gleich in Einheiten der
10' Hk
siebenten Decimale ausgedrückt verlangt, D = -'/- (so ist's in meiner unten
copirten Tafel zu verstehen).
Man bedarf also nur noch einer zweiten Hülfstafel, die man so ein-
richten könnte, dass sie mit dem Argument <p angäbe die Logarithmen von
a, a', a", D, E imd -F. Es ist aber vortheilhafter, auch hier eine kleine Ab-
Ober die Formeln fCr die hannoyersche Landesvermessung. 209
anderuBg zu treffen. £s ist nemlich, die Excentricität = e, den Halbmesser
des Erdäquators = a gesetzt,
a =v^(Ll^li5^. 206265
acoif
a' = i^-"^f)*-^^fSf. 206265
2aa(l — ee)
n v^{l — eegin®*)
a
tang9. 206265.
Ich schreibe daher:
206266 V (1 — e e sin y*) p
a
206265.(1 -ee sin y«)* _ „
2aa(I-ee) ~ '
und nehme in meine Tafel statt der Logarithmen von a, a', a" diejenigen von
G und H auf; auf diese Weise erspare ich theils Eine Columne, theils er-
halte ich den Vortheil, dass die Werthe dieser Logarithmen sich sehr lang-
sam ändern, und ich daher in der Tafel das Argument f nur von 10 zu 10
Minuten wachsen zu lassen brauche, während eine Tafel fiir loga, etc. selbst
einen imerträglich grossen Umfang haben miisste, wenn sie bequem sein
sollte. Die ganze Rechnung beruht daher auf den Formeln [^^j]
1) i=-^,
/ cos y
2) log^ = DU
3) log£ = Ell
4) logC = FW;
5) X=l
6) <b = <f-?yy^
7) c = ^^^-
Diese Tafel habe ich von 9 = 51" bis ^ = 55° berechnet und theile
Ihnen solche mit, wobei jedoch zu bemerken ist, dass, wenn Sie eine andere
Lineareinheit wählen, z. B. Toisen, Ihr log Cr um den Logarithmen des Yer-
hältnisses (um log 443 29349) grösser sein muss als der meinige, und Ihr logjBT
um das doppelte grösser. Wollen Sie etwa kiinftig die Tafel auch weiter
[*) VergL Art. 3, S. 148j
27
210
BRIEFWECHSEL.
ausdehnen, so werde ich Ihnen gern die Formeln für D, E und F mittheilen
(für G und H sind sie schon oben angegeben).
Zur Erläuterung setze ich die Berechnung eines Beispiels her, und zwar
doppelt, einmal in DELAMBREscher Breite, das andere Mal in der Gestalt, wie
ich selbst die Rechnung zu schreiben pflege, wobei alles überflüssige wegge-
lassen wird
Zweite Hülfstafel.
9
logG
logH
logD
logE
logF
— 10
10
— 10
— 10
— 10
51» 0'
8,508 9341
1,403 5727
5,43626
5,50708
5,53135
10
299
561
703
643
36
20
258
395
779
578
36
30
216
229
855
513
37
40
175
1,403 5063
5,43931
448
38
50
133
1,403 4898
5,44006
383
38
52 0
8,508 9092
1,403 4733
5,44082
5,50317
5,53139
10
051
568
157
252
40
20
8,508 9010
403
231
187
40
30
8,508 8969
239
306
122
41
40
928
1,403 4074
380
5,50057
4t
50
887
1,403 3910
454
5,49992
42
53 0
8,508 8846
1,403 3747
5,44528
5,49927
5,53143
10
805
583
602
862
43
20
764
420
675
797
44
30
723
257
748
732
44
40
683
1,403 3095
821
667
45
50
642
1,403 2932
894
602
46
54 0
8,508 8602
1,403 2770
5,44966
5,49537
5,53146
10
561
609
5,45038
472
47
20
521
447
110
407
47
30
481
286
182
342
48
40
440
1,4032125
253
278
48
50
400
1,403 1965
324
213
49
55 0
8,508 8360
1,403 1805
5,45395
5,49148
5,53149
Anmerkung. Bei früher von mir mitgetheilten Coordinaten ist die Ein-
heit i ooo'oinnr des Erdquadranten nach Walbecks Dimensionen ; um jene also
in solche zu verwandeln, bei denen die Einheit t o ft o^o o o o ^^s Erdquadranten
nach Schmidts neuesten zum Grunde liegt, müssen jene erst mit nHiHt
oder mit 1 -|- tt4-tt multiplicirt werden.
Ober die FORMELN für die hannoversche LANDESVERMESSimo.
211
Breite Musterrechnung für
Neuwerk.
a? = —266575,038 y = -{-95076,254
i«lt»«<^ —
133,287519
10,663 002
— ' •
— 143,950 521
0,00054<r =
2» 23' 57^03
4,.-
51 23 20,61
^ -
53 47 17,64
9-^-
8 15,73
<p =
53 55 33,37
J5rySftaiig<p
— 31,40
4>= 53" 55' 1"97
I
y 4,978 0721
G 8,508 8620—10
Gy 3,486 9341
COS9 9,769 9904—10
3,716 9437
A 0,000 0764
X 3,716 8673
\ = 5210';355
= 1°26'50;'355 .
yy 9,956 1442 '
tang9 . . . 0,137 5588
H 1,403 2842—10
1,496 9872
B 0,000 0850
1,496 9022
-Zahl = 31,398
Gjf 3,486 9341
tangcp . . . 0,137 5588
3,624 4929
C '. .. 0,000 0923
c 3,624 4006
c == 4211^149
= l"l0'll';i5
II 7,43389
D 5,44934—10
2,88323
—DU = 764
I
I
U 7,43389
E 5,49566
2,92955
■E//= 850
II 7,43389
F 5,53146
2,96535
Fll = 923
—10
—10
27*
BRIEFWECHSEL.
Concise Masterrechnang.
Neuwerk.
-266575,038 +95076,254
133,287 519 4,978 0721 7,43
10,663 002 8,508 8620 5,44934
143,950 52! 3,486 9341 5,49566
2"23'57;03 9,769 9904 5,53146
51 23 20,61 0,137 5588
9,956 1442 5210^355
1,403 2842 1*26'50;35B
3,7169437 421i;i49
— 764 l'l0'li;i5
53*55' i;97 1,496 9872
— 850
3,624 4929
— 923
Gauss an Schuhachee. Göttingen, 30. April 1830.
■ Ich fahre jetzt fort mit dem, was die Hülfetafeln betrifft; heute
nur die Formeln für die übrigen drei Columnen, die bei Berechnung derjLänge,
Breite und Convergenz gebraucht werden, ich weiss aber nicht,"ob ich^siejn
meinem vorigen Briefe mit D, E und JF* bezeichnet habe.
Zahlen, deren Logarithmen angesetzt werden:
Lange [D =] ä(4 — ico8 2(p + ^rj^coß9*)
Breite ....[£ H M* + liSj^°«<P'+2(r^<=°«?*-(i^<^°«9')
Convergenz [F =] A(i — y^T^cosip*- ^j^^coa^').
k = Modulus = 0,434 2945
Hier ist A = t
logA= 5,5318128- 10.
V
ÜBER DIE FORMELN FÜR DIE HANNOVERSCHE LANDESVERMESSUNG. 213
Es ist ZU bemerken, dass diese Formeln vollständig sind, d. i. es sind
keine unendliche Reihen, sondern nur diese Glieder
Um Ihr Vertrauen zu Schmidts Rechnung zu vergrössem, bemerke ich,
dass er die zwei Hauptelemente der Erddimensionen viermal berechnet hat,
aber nur Einmal hat er wegen Rechnungsfehlers von neuem gerechnet.
Nemlich
1) Zahlen in meiner Breitenbestimmung etc.
Diese hatten einen Rechnungsfehler enthalten, den er später ver-
besserte ; daher
2) die Zahlen in seiner Geographie und in Ihren A. N.
Erst später machte ich ihn aufmerksam auf die Correction der in Ost-
indien gebrauchten Maassstäbe; daher die
3) Rechnung, deren Resultat in der Vorrede des Buchs.
Endlich hat er seitdem eine vierte Rechnung gemacht, nicht wegen
eines Rechnungsfehlers, sondern um die ihm erst nachher bekannt ge-
wordenen Resultate von Struves Grradmessung mit unter die Data
au&unehmen. Das Resultat
4) ist mir von ihm handschriftlich mitgetheilt und dasselbe, was meinen
neuen Hülfstafeln zum Grunde liegt, nemlich
Abplattung = ^; ^rdg^ _ 57008J551.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 17. Mai 1831.
Es gibt mehrere Wege, um aus den Breiten xmd Längen die
Coordinaten zu berechnen, die, jeder an seiner Stelle, ihre eigenthümlichen
Vorzüge haben; für den Fall, wozu Sie solcher Rechnungen bedürfen, ist es
am bequemsten, sich der Reihen zu bedienen, die dann so schnell convergiren,
dass sehr wenige Glieder hinreichen.
Entsprechen die Coordinaten x^y der Breite 9 xmd Länge X, so ist die
Form diese [*)]:
x = A — A'W - A^V^ - etc.
y = £X-h5'X* + etc.,
[♦) Vergl. Art. 18, S. 168.]
214 BRIEFWECHSEL.
WO Ä^ A\ A!\ etc.; 5, B\ etc. Functionen von 9 sind, deren numerische
Werthe man für diejenigen runden Grade (oder halben Grade etc.) zu be-
rechnen hat, welche innerhalb der Karte vorkommen.
Zur Berechnung von A bedürfen Sie meiner Anleitung nicht, da sie
lediglich von der Rectification eines elliptischen Bogens abhängt. Ist nem-
lieh 9* die Polhöhe desjenigen Orts, von wo an man die Coordinaten x süd-
lieh zählt; v^ dessen wirkliche Distanz vom Äquator und u indefinite die
Äquatordistanz des FaraUelkreises f (beide, ti, ti*, in derjenigen Einheit ausge-
druckt, die man für die Coordinaten gewählt hat), so ist -4 = ti* — «. Sie
können dazu auch eine Ihnen schon firüher mitgetheilte Hülfstafel benutzen [*)].
Die Werthe der andern Coef&cienten können Sie nach folgenden Formeln
berechnen, die absolut genau sind.
A! =
aBC
2p
6(1 — ee)p^ • '
Wobei folgendes zu bemerken ist.
Es bedeuten:
..
a den Halbmesser des Äquators, e die Excentricität ;
c = cos 9
^ = sin 9 \ Kürze halber ;
jp= Y^(l —eess)
femer ist für X der Bogen 57® 17' 4 5" als Einheit angenommen: will man also
etwa zuletzt die Coordinaten von Grad zu Grad for X berechnen, so wird
/• . 1 3600
man wohl thun, gleich anfangs dem Coefncienten B den Factor gygöe ^^ 206265
= -^ beizufügen und ebenso die Coefficienten A\ B\ A" sogleich mit der
180
zweiten, dritten, vierten Potenz von r^ zu multipliciren.
Die Formeln fallen etwas einfacher aus, wenn man ^j = m setzt und
jene danach umschmelzt. In dieser Form habe ich sie selbst zu meinen
[♦) Seite JO«.]
ijBER DIE FORMELN FÖR DIE HANNOVERSCHE LANDESVERMESSUNG. 215
Rechnungen angewandt, allein nicht aufgehoben [*)] ; ich überlasse also die sehr
kleine Arbeit jener Umformung Ihnen selbst. Indem ich 9'= 5l"3l'47^'85
annehme, fiir die Abplattung Herrn Schmidts letzte Bestimmung zum Grunde
lege und zur Lineareinheit den 10000000. Theil des Erdquadranten in dieser
Gestalt wähle, finde ich, X = n Grad gesetzt :
a?= y =
+ 58947,1— 475,95w» — 0,0167n* 701 80,0n— 0,737n*
— 52287,0 — 472,16nn—0,0154n^ 68660,7n— 0,840n'
— 163539,8 — 467,79nn— 0,0 140 n^ 67120,2n— 0,936n*
— 274811,2 — 462,85 wn — 0,01 27n^ 65559,1 n— 1,026»*
— 386100,9 — 457,34nn— 0,011 4n* 63977,8n— 1,109»*.
<p
51»
52»
53»
54»
55»
Gauss an Schumacher. Göttingen, 25. Junius 1831.
Was die Berechnung der Coordinaten betrifft, so kommt es auf
zwei Aufgaben an, nemlich:
1) Aus der wirklichen Länge JK einer kürzesten Linie auf dem Sphäroid,
deren Endpunkte in der Darstellung resp. die Coordinaten .r, y; x\y' haben,
die Entfernung [in] der Darstellung, d. i. die Grösse r = V((*^'""'^)* + (y'~y)*)
zu finden. Hier ist die Auflösung der umgekehrten Aufgabe. Es ist fiir
alle Ihre Fälle mit hinreichender Genauigkeit
ö ö 2aa{l-ec) 3
Da man dabei y und y nicht sehr genau zu kennen braucht, so ist dazu
die vorläufige Berechnung der Coordinaten, die man so macht, als ob alles
in piano wäre, zureichend, und so dient die Formel auch fiir die Aufgabe, r
12 aus zu finden, k ist der Modulus der briggischen Logarithmen.
Zur wirklichen Berechnung setzte ich die Formel in folgende Gestalt:
logr = logU+}a(y+y')' + ß(y-y?U.
wo
a =
4.206265
= 127206266' g= 206265. 2^^ti_J,) ;
[*) Diege Formeln findet man im Art. 13, S. 157 unten.]
216 BRIEFWECHSEL.
hier ist
loga = 3,72130—10
logß = 3,24418—10.
Für q habe ich eine Hülfstafel, die bloss von x abzuhängen braucht,
und die, wie ich glaube,, ich Ihnen schon einmal mitgetheilt habe[*)]. Offen-
bar sind a, ß von der Maasseinheit unabhängig, aber nicht 9, wofür eine
Hülfstafel nicht bloss von der Maasseinheit, sondern auch von dem Anfang
der X abhängig ist. Die meinige müssten Sie also, wenn Sie eine andere
Einheit und einen andern Anfangspunkt brauchen, erst transformiren.
Übrigens erhalten Sie so log r — log B als Decimalbruch ; wollen Sie den
Werth gleich in Einheiten der 7. Decimale haben, so brauchen Sie nur
loga = 0,72130, logß = 0,24418 anzuwenden.
2) Aus einem im Punkte P gemessenen Winkel zwischen PP' und PP'
den Winkel zu finden, welcher ihm in der Darstellung correspondirt. Auch
hier tritt wieder die umgekehrte Aufgabe an die Stelle.
Sphäroid Zeichnung in piano
•P .p
P\ p\
•P' of'
Es seien die Coordinaten von p^ p\ p" respective
dann ist:
P'PP' ^p'pp^-q* («' - ^) (^^)
/2i/-4-v"\ ^^^^ ^^ Gesuchte in Secunden)
Sie können für q^^ q** den Werth von q anwenden, welcher dem Argu-
ment X correspondirt; wollen Sie genauer gehen, so ist für q^ das Argument
^fLtfL = x-^i{x'^x) und für q^ das Argument ?^-±^ = a + Üx^^x). Ich
selbst setze immer ^^^ in die Form y + -i-(y'— y)j etc. Sie sehen, dass daim
das ganze Verfahren darauf hinausläuft, erst jedem gemessenen Azimuth (von
[*) Seite 210, wo J7= 9 ist.]
ÜBER DIE FORMELN FÜR DIE HANNOVERSCHE LANDESVERMESSUNG. 217
P nach P') die Correction —q{<ß' — ^)(y + -l-(y'-~y)) beizufügen, woraus das ent-
steht, was ich Azimuth in piano nenne. Unter Azimuth auf dem Sphäroid
verstehe ich hier aber nicht das astronomische Azimuth, d. i. nicht den
Winkel mit dem wirklichen Meridian, sondern mit einer Linie, die dem
Fundamentahneridian parallel ist, oder strenger, mit einer Linie auf dem Sphä-
roid, die in der Darstellung in piano eine Parallele mit der Abscissenlinie gibt.
Azimuth in piano ist also immer arctang^,"^ -
Nachdem jene Correctionen angewandt sind, so hat man mit allen Win-
keln so zu rechnen, als ob alles in piano wäre, und wie dann die Coordinaten
zu berechnen sind, darüber bedürfen Sie keiner Vorschriften. Offenbar ist
auch für diese Rechnung eine genäherte Kenntniss von ^, y, x\ etc. hinreichend,
wie man sie erhält, wenn man anfangs ohne Correction rechnet; will man
alles in den O9OOI harmonisch haben, so kann man allenfalls die Rechnung,
nachdem .r, y, etc. schärfer bekannt sind, retouchiren.
Übrigens sehen Sie leicht, dass die obige Rechnimg 1), d. i. Übergang
von J8 auf r, nur bei Einer Linie zu machen ist (der Basis), nachher hat die
Kenntniss der einzelnen Linien auf dem Sphäroid, allgemein zu reden, kein
Interesse, es sei denn, dass man wieder zu einer neuen Basis gelangt, wo da
der verkehrte Weg (von r nach JK) anzuwenden ist. Ohnehin ist in allen
Ihren Fällen R und r immer sehr nahe gleich, jedenfalls hat der Unterschied
auf das Centriren der Winkel keinen merklichen Einfluss ; in dem westlichsten
Theile von Westphalen habe ich zwar Rücksicht darauf genommen, aber bloss
zur Ehre der Rechnung, denn wirklich bringt es auch da nichts.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 9. December 1838.
Die verlangte Formel ist folgende [*)] :
<p = (P4-(6//+48/'* + 426/**^ + 4080/**...)sin2(p
+ (21/** + 336/'* + 4264/**...)sin4(j;
+ (^r+2416r...)8in6^
etc.
[♦) Vergl. Art. J6, 8. 17».]
IX.
28
218 BRIEFWECHSEL. ÜBEB DIE FORMELN fOR DIE HANNOVERSCHE LANDESYERlfESSUNG.
Es hat mich, da ich mich seit ziemlich vielen Jahren mit diesen Dingen
nicht beschäftigt habe, erst viel Suchens gekostet, bis ich die Formel wieder
aufgefunden habe, und nachher neuen Suchens oder vielmehr Rechnens, um
die Bedeutung des f zu ermitteln, die dem Blatt nicht beigeschrieben war.
Es ist aber f =: ^e^ wo e die Excentricitat der erzeugenden Ellipse bedeutet;
oder, wenn die Abplattung - ist, d. i. -: ^ = ^^^^^ so ist f = ^ **~ ■
» r & n » Durchm. d. AquatoM »• ' 4«
Ich habe dieses f deswegen gebraucht, weil, wenn ich e gebraucht hätte,
sämmtliche Coef&cienten Bruche geworden wären, da sie hier grOsstentheils
ganze Zahlen sind. Die numerische Rechnimg hatte ich durchgehends mit
Logarithmen auf 10 Decimalen gefuhrt.
BEMERKUNGEN.
Die enten beiden und der letzte der Torttehenden Briefe und nach den im Gauü-ArehiT befindlichen
Originalen abgedruckt, während für die Briefe Tom 17. Mai und SS. Juni 18S1 nach den Originalen ange-
fertigt Copien benutst wurden« Im Abdruck find einige Schreib- und kleinere Rechenfehler berichtigt
worden. Der Brief vom 9. December 1898 ift die Antwort auf eine Bitte Schumachers, ihm die Ab-
leitung der im Briefe vom 18. April 1830 gegebenen numeriiohen Formel für f — 1|^ mitsutheilen. Die
GAU880che Angabe«
f = f|i+5So;'469SS64ainSf|i etc.
enthält jedoch einen Rechenfshler, wie auch dai noch Torhandene Blatt seigt, das Gauss ^inr Rechnung
benutEt hatte; et muaa heiaaen, wie S. S06 angegeben lat:
^ = t|^-f 5So;'469 9364iin2<|; etc.
Dadurch wird auch die letcte Stelle in der dort gegebenen Tabelle für ^ ~f|i unaieher; femer erhält man
für Göttingen <|;* = 5l*S9'2o;'6062, S. S07, an Stelle von ...So;'60S4, wie ea im Original heiait.
Kbüoer, BöBacH.
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNa
28*
L
J
NACHLASS.
[1.]
Endresultat fiir den Ort eines Punktes in einer Ebene, der von drei bekannten
aus angeschnitten ist.
Es bedeuten 10, 20, 30 die drei beobachteten Richtungen [nach P] und
a, ß, Y die entsprechenden Entfernungen.
Die drei einzehien Resultate aus den Combinationen 2 — 3, 1 — 3, 1 — 2
seien -4, jB, C, zugleich die Winkel des durch jene gebildeten Dreiecks ; die
ihnen gegenüber stehenden Seiten a, b, c.
222 NACHLASS.
Perpendikel von dem gesuchten Orte auf a, 6, c seien jf, y, z. 8 doppelter
Flächeninhalt des Dreiecks.
Es sind dann
die übrig bleibenden Fehler, also
— h fl 5 H — Minimum
und
Also werden ^, y, x proportional den Grössen aaa, ßß6, yt^>
aaa5
•T =
aaaa + ^^bb + yyee
i
etc.
[Bezeichnet {ABC) die Flache des Dreiecks ABC, u. s. f., so ist
8 = 2(il5C) = (aaaa + ßß66 + YT^c)*
2(BPC) = aaaa*
2(^PC) = ßß66Ä
2{APB) = TTCck,
wo Ar die Correlate der Bedingungsgleichung ist. P ist der durch die Perpen-
dikel Xj y, z bestimmte Punkt.
Folglich wird, wenn -4, 5, C, P die complexen Grössen bedeuten, denen
die Eckpunkte des Dreiecks ABC und der Punkt P entsprechen:
(aaaa+ßß66 + TTCc)P = aaaaA + ^^bbB + T^ccC]
TRIGONOMETRISCHE PüNKTBESTIMMUNG. 223
Es folgt hieraus, dass das Endresultat"^)
aaaaÄ + p^hhB + yyeeC
aa aa+ fi^bb + yifec
also ein Mittel aus den drei partiellen Resultaten Aj B, C ist, indem man
diesen die Gewichte
beilegt, oder
aa sin -4.*, ß ß sin B\ fT ^^ ^*-
Offenbar ist hier A zugleich der Winkel zwischen 20 und 30, u, s. f.
[2.]
Bestimmung der Lage eines Punktes P* aus der Lage dreier anderer
P, P\ P", wo jener beobachtet.
-4, A\ A" beobachtete Azimuthe
[8^, 8-4', 8^'' ihre Verbesserungen]
*) £• ift nemlicli leicht nachzuweisen, dass allgemein
P{ÄBC) = Ä{BPC)+B(ÄPC) + C{ÄPB)
ist.
Weü
Q{ÄB) = A{BQ) + B(ÄQ)
ßit, wo (AB) die Strecke AB, u, b. w. bedeutet, 00 wird]
Q{ABC) = A{BQC) + B{AQC)
[und
mithin
Ba femer]
ßft, 10 hat man auch
Q(ABP) = A{BQP) + B{AQP);
QiAPBC) = A(BPÖ) + B{APC),
PiCQ) = Q{PC)+C{PQ)
P{ABC) = Q{APBO)+C(APB),
woraui üch die suent angegebene Beziehung ergibt].
224 NACHLASS.
g^ g\ g" Gewichte [der Verbesserungen]
il + o, A'+a', il''-|-o". . . berechnete Azimuthe aus einer genäherten Lage
r, r', r" Entfernungen [nach der genäherten Lage für den
Punkt P*J.
Man setze
rsin(il'^-A') = /, /8in(^-il'0 = /', r^sint^l'-il) = T;
9 9' 9"
Dann sind die verbesserten Azimuthe:
[A'^hA' =]A'i-^
[3.]
Ausgleichung dreier Schnitte.
a-^-ibj a'-j-i6', a^^+^^'^ie Beobachtungsplätze
t^ t\ f die drei gemessenen Azimuthe
d*, d*', d*^ ihre Correctionen
8, e; 8" ihre Tangenten
X'\-iff der zu bestimmende Ort
X genäherter Werth von x
x = X+l.
Formeln.
/ F =6 +e (X-a)
1) j F' = 6' + e'(X-a')
( l^=6"+8"(X-a'^
2) r = T-» r = jr^ r = TFT
t co8t eo%V cosr'
3) / = r8m(r-0, r = r'8iii(*-0, T = r" sin (*' - /)
TRIGONOBCETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 225
^N «i mir -V f mVr' %// mV'r"
^ coBt cosr cost"
171 ist eine nach Belieben angenommene Grösse, die man am schick-
lichsten so wählt, dass die kleinste der drei Zahlen X, X', X" gleich 1 wird.
( y= F+ee + Xcp
5) y=F' + e'5+^>
( y= F'+e"5 + X''<p
[sind] die Gleichungen, aus deren Combination y, 5, <p bestimmt werden.
6) |JL = 206265m<p
7) d^ = jji/, d^' = |iZ', dr = jjir.
[Die Gewichte der Beobachtungen sind hiebei einander gleich angenommen.]
Man kann dieselben Formeln gebrauchen, wenn man von einem ge-
näherten Werthe von y ausgeht. Es treten dann nur (ausser den sich von
selbst verstehenden Vertauschungen von a mit h und von X mit F, [5 mit tq,]
X mit y) an die Stelle der Tangenten und Cosinus von f, t\ f ihre Cotan-
genten und Sinus, und |jl muss = — 206265m<p gesetzt werden.
Beispiel zu Fall 2. (Red. aufs Planum schon angebracht)
[ a h t ^
Hamburg —224765,616m — 2368,668m 84® 44' 59;'228
Homeburg —220411,663 +23705,056 248 7 57,643
Stade —230811,734 +30884,678 300 11 46,416
York Y = + 17377,200
e[=cotang<]. 8,963 2724 9,603 5071 9,764 8676
Y—h 4,2954762 3,8012566« 4,1305743
sin^ 9,998 1741 9,967 5708» 9,936 6685
r 4,297 3021 3,833 6858 4,193 9058
sin(f^— 0- •• 9,896 91 sin(f— f"). .. 9,763 38 sm(f' — ^).. . 9,456 33
r:sin< 4,299 1280 3,866 1150» 4,2572373
/ 4,194 21 3,597 07 3,650 24
/risin^ 8,493 34 7,463 18» 7,907 48»
2,536 82» 2,536 82» 2,536 82»
IX. 29
n
»
226 NACHLAflg.
a = —224765,616 —220411,663 —230811,734
^OF— 6] = + 1814,465 — 2539,591 -f 7860,351
X = —222951,151 —222951,254 —222951,383
Otj = + 0,09189Tj -r0,40134T] — 0,58193tj
X<p = —10,7192^ +1,000009 +2,7816(p.
[Die Auflösung der Gleichungen
j? = X +6tq +X9
gibt:]
Tf] = —0,110, cp = +0,01169, a? = —222951,286m,
^... 8,06795 jf=F+7] = + 17377,090 .
— 206265m. . . 7,85125
d« = +1^298, dr' = +o;:328, d^ = +0;'371.
Man kann die obige Methode auch dahin abändern, dass man
/ = -!:- (0"- 0'), r = -^ (0 - 0'^, r = -^ (0'- 0)
setzt, wodurch noch wenigstens ein Logarithm erspart wird.
[4.]
[Zur Ausgleichung dreier Schnitte.]
Allgemein [seien die Fehlergleichungen]
a^ + 6^ + m = «
ax -{-Vy +m' = ^'
a"a? + 6> + m" = «".
a, 6, m, a\ u. s. w. gegeben ; ^, y gesucht, so dass
^g + ^V+öV = 2
ein Minimum werde.
Man setze
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 227
a = 66 fn = bn
a' = 6'e' m' = Vn'
«"^fe-e" m"=6"n";
(fi-iv)(e"-e')+(n'-iv)(e-e")+(n"-iv)(e'-e) = Ä,
N eine willkürliche Grösse;
ö — H ___ /» H — H ^^ /»/ H — ö _^ /»ff
[so folgt aus den Fehlergleichungen die Bedingungsgleichung :
Dann ist [wenn mit Rücksicht hierauf 2 zum Minimum gemacht wird:]
e = f9. e' = f9, e" ^fg
I) Ä
^ ~ ff+f'f'+f"f"
und
[femer erhält man aus den Fehlergleichungen:]
(e''_e')^+(n''-»') = (^-|;)^
2) (e-e>+(»-»") = (-f-P)^
Aus einer dieser Gleichungen wird x hestimmt.
Endlich y aus einer der folgenden:
^ x+y + n =-J- = -f^
3) e'^+y+n =|; = tL,g
^''x-^-y + n = ^ = t^,g.
Die Vorschriften für die Ausgleichung [dreier Schnitte] können [daher]
auch so dargestellt werden, [da hiebei, wie aus y — 6 = (a? — a)tang(^ + d<)
folgt, die Fehlergleichungen die Form haben
F+1,-6 = (X+5-a)(tang*+,-5g^^),
29*
228 1IACHLA88.
oder tang ^ = 6 gesetzt,
1) Y=b + Q{X-a)
X-a
#
#
2/ ?=«««•
3; /■=p(e'-e')
4} V = p/"
5) _Ä = '9''-e')(F-iV)+(e-e')(F-iV)+(e'-e)(F'-i^
6) y= *
^/■+ /"/■'+/■"/■"
* 7) 2)=F+v^
* 9) d*=206265/y
10) d«» + dr'* + dr*= 206265VÄ.
Die mit * bezeichneten Formeln 1), 2), 3), 4), 7), 9) gelten jede für
drei. In Formel 5) ist N willkürlich; man nimmt dafür eine der Grrössen
r, r, Y" an.
Aus zweien der Formeln 8) werden 6 und y bestimmt.
[5.]
[Bestimmung eines Nebenpunktes (Schessel) aus den Beobachtungen auf Haupt-
dreieckspunkten (Litberg, Wilsede, Bottel, Bullerberg und Brüttendorf).]
[Es seien x^y genäherte Werthe der Coordinaten des zu bestimmenden
Punktes, femer a^, b^ die Coordinaten der festen Punkte und T. die auf die
Ebene reducirten Azimuthe in diesen Funkten. Setzt man
cc — a^ = r^coBt^y jf — b^=z r^sinl^
— 206265-?^^^ = a„ 206265 •^^• = 8.
r-r.
• »
t^— T^ = n^.
TRIGONOMETRISCHE PÜNKTBESTIMMUNG. 229
SO haben die Fehlergleichiingen , wenn da:, dy die Verbesserungen der Nähe-
mngswerthe x^y sind, die Form:
v^ == n, + Gt,- da? + ßt- dy .
Ist Pi das dazu gehörige Gewicht, so lauten mithin die Normalgleichungen :
[paa]da?-f-[paß]dy+[/)an] = 0
[pa^]dx + [p^^]dy + [p^n] = 0.]
P . Beobachtete Beductioii
L * "f ^i Azimuthe auf d. Ebene ^ J
1 Litbeig -206866,630 m + 21895,748 m 20n4'6;'ö96 — 1/622 [4/074
2 Wügede -182381,889 + 210,307 90 34 62,1 +0,008 52,108
3 Bottel -168168,341 +44014,670 222 15 49,801 +1,467 51,258
4 BuUerberg -181819,664 +35400,829 259 15 12,587 +0,075 12,662
6 Brflttendorf -193340,040 + 45266,609 306 22 9, 726 — 1, 090 8, 636]
Schessel : x = -182691,501 y = + 30807,073
Litberg Wilsede Bottel Bullerberg Brüttendorf
|> — 6.. 3,949 9425 4,485 6742 4,120 8238« 3,662 1679« 4,160 1544»
X — Oi 4,383 3688 2,490 8178« 4,162 3601« 2,940 4353« 4,027 2900
cos^. 9,972 3342 9,869 2616«
sin/.. 9,999 9778 9,992 3161« 9,905 9100«
r, 4,41 1 0346 4,485 6964 4,293 0985 3,669 8518 4,254 2444
r^r^ 8,822 0692 8,971 3928 8,586 1970 7,339 7036 8,508 4888
1 : 206265 . . 4,685 5749 4,685 5749 4,685 5749 4,685 5749 4,685 5749
r^r^: 206265. 3,507 6441 3,6569677 3,271 7719 2,0252785 3,1940637
a.. 0,442 30« 0,828 71« 0,849 05 1,636 89 0,966 09
ß, ] 0,875 72 8,833 85« 0,890 59« 0,915 16« 0,833 23
^. = 20^14^^823, 90"34'47;^151, 222M5'5i;324, 259^ 15' 13^643, 306^22' 9;'500
[ n,. = +0,749 —4,957 +0,066 + 0,981 +0,864
a^da?= — 2,769da? — 6,741d.2? +7,064dj? +43,340da? +9,249da?
ß^d^ =] + 7,511 dj^ — 0,068dy — 7,773dy — 8,225dy +6,811dy.
[Die Fehlergleichung für Wilsede hat das Gewicht p2 = -^ erhalten, den
übrigen Fehlergleichimgen ist gleiches Gewicht, Pi= ^9 gegeben worden.]
230
NACHLASS.
paa, pa^ pan
7,666 — 20,798 — 2,074
1,818 + 0,018 + 1,337
P?? i»ß» P^n
56,421 +5,626 0,5610 rpaa] 3,30606
0,000 +0,014 0,9829 [pa^]
49,900 — 54,909 + 0,466 60,420 ~ 0,518 0,0044 [pan]
1878,360 —856,492 +42,617 67,658 —8,069 0,9624 ^[paa]
85,542 + 62,997 + 7,991 46,894 +5,884 0,7465
2023,286 —369,184 +50,237 230,893 +2,942 3,2572
67,363 —9,166 1,2473
[Pßß.l]
[pßn.l]
2,56724«
1,70102
i
[p^n]
^[p^d]
. 0,91421«
.1 0,04799
. . . 1,65308
. . . 2,21360
■■■'■"^ [^Mi-]'-
97627
163,530 + 12,108 2,0099
[pvv] J 1,1134
v/rj)ß?.l]... 1,10680
dy 8,86947,
\^ 19.26118.
h.
l
[paa]
[pan]
[pää]
[Die Coordinaten von Schessel
sind mithin:
af= — 182691,539m
y = + 30806,999 .]
[Die nach der Ausgleichung übrig bleibenden Fehler sind:]
dy-
+ 0,01351
+ 0,02483
dx =
— 0,038
— 0,074.
[t,-T,= +0,749
— 4,957
+ 0,066
+ 0,981
+ 0,864
a<d«= -f- 0,1052
+ 0,2562
— 0,2684
— 1,6469
— 0,3515
ß^dy 0,5558
+ 0,0050
+ 0,5752
+ 0,6087
— 0,5040
V,
=] +0,298 I —4,696 1 +0,373 1 —0,057 | +0,009.
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 231
[6.]
Astronomische Nachrichten. Band I. Nr. 6, S. 81 — 86. 1823.
Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe
der praktischen Geometrie.
Ihrem Wunsche zufolge schicke ich Ihnen die Vorschriften zur Anwen-
dung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Au%abe der praktischen
Geometrie: Die Lage eines Punktes aus den an demselben gemessenen hori-
zontalen Winkeln zwischen andern Punkten von genau bekannter Lage zu
finden. Der Gegenstand ist zwar ganz elementarisch, und jeder, der den
Geist der Methode der kleinsten Quadrate kennt, kann sich die Vorschriften
leicht selbst entwickeln: inzwischen wird jene Aufgabe, als eine der nützlich-
sten in der praktischen Geometrie, auch wohl oft von solchen Personen be-
nutzt werden können, die nicht ganz in jenem Falle sind, und denen daher
die Mittheüung der Formeln nicht unlieb ist.
Die Coordinaten eines der bekannten Punkte seien a, 6, jene von Norden
nach Süden, diese von Osten nach Westen positiv gezählt — ob die Ab-
scissenlinie wahrer Meridian ist oder nicht, ist hier gleichgültig; ebenso x^y
genäherte Coordinaten des zu bestimmenden Punkts, und da?, dy deren noch
unbekannte Verbesserungen. Man bestimme cp und r nach den Formeln
tangcp = — ^5 r = = -r— ^,
o ^ a — x coB cp Bin «p
indem man cp in demjenigen Quadranten wählt, der r positiv macht, und
setze noch
— 206265 . (6 - y) S — — 206265 .ja-x)
rr ^ P rr
Dann ist das Azimuth des ersten Punkts, vom zweiten aus gesehen (die
Sichtung der Abscissenlinie als 0 betrachtet),
= 9 + ad^-hßdy,
wo die beiden letzten Theile in Secunden ausgedrückt sind.
232 TRIGONOMETRISCHE PL'
In Beziehung auf einen zweiten Punkt von bekannter Lage sollen ^^ a', p',
in Beziehung auf einen dritten 9", a"^ ß", u. s. w. dasselbe bedeuten, was 7, o? ß
in Beziehung auf den ersten sind.
Sind die Winkelmessungen an dem zu bestimmenden Orte auf Einmal
mit einem Tlieodolithen ohne Repetition gemacht, indem bei unyerrücktem
Instrument das Femrohr nach der Reihe auf die verschiedenen bekannten
Punkte gefuhrt ist, so sollten, wenn A, A', A", u. s. w. die dabei abgelesenen
Winkel bedeuten, die Ausdrücke
9— A+odir + ßd^
9' — A' + Ol' da? -1- ß' d^
9''-A"+o''dx + ß''djf
U. 8. W.
durch die Substitution der wahren Werthc von da? und d^ alle einerlei Werth
bekommen, wenn die Beobachtungen absolut genau wären; und wenn man
also drei derselben unter sich gleich setzte, würde man durch Elimination die
Werthe von da? und dy erhalten. Sind überhaupt nur drei bekannte Punkte
beobachtet, so lasst sich auch nichts weiter thun ; ist aber ihre Anzahl grosser,
so werden die Fehler der Winkelmessungen am vollkommensten ausgeliehen,
indem man alle obigen Ausdrücke addirt, die Summe mit der Anzahl dividirt,
die DifTerenz zwischen diesem Quotienten und jedem einzelnen Ausdruck = 0
setzt, und diese Gleichungen nach der bekannten Vorschrift der Methode der
kleinsten Quadrate behandelt.
Sind hingegen die Winkelmessungen unabhängig von einander gemacht,
so gibt jede derselben sofort eine Gleichung zwischen den imbekannten Grössen
da? und dy, und alle diese Gleichungen sind dann nach der Methode der
kleinsten Quadrate zu combiniren, wobei man, wenn man will, auch noch
auf die etwa ungleiche Zuverlässigkeit der Winkel Rücksicht nehmen kann.
Wäre also z. B. der Winkel zwischen dem ersten und zweiten Punkte = i,
zwischen dem zweiten und dritten = i\ u. s. w. gefunden, immer von der
Linken zur Rechten gerechnet, so hätte man die Gleichimgen
,p'_,p_,-_|_(a'-a)d^+(ß'-ß)dy = 0
cp''_^'_i'-^(a"_a')daf+(ß''-ß')dy = 0
u. s. w.
TRIGONOMETRISCHE PUNKTßESTIMMUNG. 233
Haben diese Winkelmessungen gleiche Zuverlässigkeit, so bildet man
aus diesen Gleichungen zwei Normalgleichungen , die erste, indem man jene
der Ordnung nach mit den respectiven Coefficienten von da?, d. i. die erste
mit a' — a, die zweite mit a"— a', u. s. w., multiplicirt und alles addirt; die
andere, indem man dasselbe durch Multiplication mit den Coefficienten von
dy ausfuhrt und gleichfalls addirt. Ist hingegen die Winkelmessung von un-
gleicher Genauigkeit, und z. B. die erste auf |x, die andere auf |jl', u. s. w.
Repetitionen gegründet, so müssen die Gleichungen beide Male vor der Addi-
tion auch erst noch mit diesen Zahlen |jl, |x', u. s. w. respective multiplicirt
werden. Aus den so gefundenen beiden Normalgleichungen werden dann da?
und dy durch Elimination gefunden. (Diese Vorschriften sind nur um derer
willen beigefügt, denen die Methode der kleinsten Quadrate noch unbekannt
ist, und für die vielleicht auch die Erinnerung noch nöthig sein könnte, dass
bei jenen Multiplicationen die algebraischen Zeichen von a' — a, u. s. w. sorg-
faltig beachtet werden müssen.) Endlich bemerke ich noch, dass hiebei nur
die Fehler der Winkelmessungen ausgeglichen werden sollen, indem die Co-
ordinaten der bekannten Punkte als genau angesehen werden.
Ich erläutere diese Vorschriften für den zweiten Fall noch an den mir
von Ihnen mitgetheüten Winkelmessungen auf der Holkensbastion bei Copen-
hagen, obwohl, wie es scheint, die zuletzt angezeigte Voraussetzung dabei
nicht genau genug stattfindet; bei so kleinen Entfernungen haben kleine
Unrichtigkeiten von einigen Zehntheilen eines Fusses in den gegebenen Co-
ordinaten einen sehr viel grossem Einfluss, als die Fehler in den Winkel-
messungen, und man darf sich daher nicht wundem, dass nach möglichster
Ausgleichung der Winkel Difl'erenzen zurückbleiben, die viel grösser sind, als
bei den Beobachtungen der Winkel als möglich angenommen werden kann.
Für den gegenwärtigen Zweck, wo nur ein Rechnungsbeispiel gegeben werden
soll, kann dies jedoch gleichgültig sein.
Winkel auf Holkensbastion"^).
Friedrichsberg— Petri 73® 35' 22" 8
Petri— Erlösersthurm 104 57 33,0
*) Die Coordinaten der Punkte und die Winkel auf Holkensbastion beruhen beide auf Herrn Capit.
T. Cabocs Messungen. 8[dMm(icher].
DL. 30
Petri
+ 487,7
Frauenthurm
+ 710,0
Friedrichsberg
+ 2430,6
ErlöBerßthurm
+ 2940,0
Friedricbsthurm
+ 3059,3
234 TRIOOXOMETBISCHE PUNKTBE8TTHHUNG.
Erlösersthurm — Friedrichsberg 181° 27' 5^0
Friedrichsberg — Ftaucnthurm 80 37 10,8
Frauenthunn— Friedrichsthurm 101 11 50,8
Friedrichathurm — Friedrichsbelg 178 11 1,5.
Cooidinaten, von der Copenbagener Sternwarte gerechnet, in Pariser Fuss.
+ 1007,7
+ 684,2
+ 8335,0
— 3536,0
— 2231,2.
Als genäherte Coordinatcn des Beobacbtungsplatzcs wtirden angenommen:
1= +2836,44, y = +444,33.
Und damit fanden sich die Azirauthe:
Petri 166"30' 42;56+19,92dl+83,04d^
Frauenthurm 173 33 50,64 + 10, 80dx+95,78d^
Friedrichsberg 92 56 39,46 + 26,07dj!+ l,34dy
ErlSserstburm 271 29 25,38 — 51, 79dx— l,35d^
Friedrichsthurm 274 45 41,39— 76,56da;— 6,38dy
Der berechnete Winkel Friedrichsberg — Petri ist daher
73°34'3;i0 — 6,15dai+81,70dy,
welches, mit dem beobachteten verglichen, die Gleichung
— 79,70— 6,15dir+ 81,70dj( — 0
gibt. Ebenso erhält man die fünf andern Gleichungen
+ 69,82— 71,71dl— 84,39djf = 0
+ 9,08+ 77,86da:+ 2,69 dy = 0
+ 0,28— 15,27d;r+ 94,44dj/ = 0
+ 0,05— 87,36da!— 102,16dy = 0
— 3,43 + 102,63dx+ 7,72dj(=0.
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBE8TIMMÜNG. 235
Aus der Verbindung dieser sechs Gleichungen erhält man, indem man
den Beobachtungen gleiche Zuverlässigkeit beilegt, die beiden Normalglei-
chungen
+ 29640d^+14033dy = + 4170
+ 14033da?+33219dj^ = +12384,
und hieraus die Werthe
dx = — 0,04, dy = + 0,39,
oder die verbesserten Coordinaten der Holkensbastion
+ 2836,40 und +444,72.
Die nach Substitution dieser Werthe von da? und d^ zwischen den be-
rechneten und beobachteten Winkeln zurückbleibenden Unterschiede sind noch
viel zu gross, um den Messungen zugeschrieben werden zu können, imd be-
weisen, was oben bemerkt ist, dass die Coordinaten der bekannten Punkte
nicht auf Zehntheüe des Fusses zuverlässig waren, weshalb denn freilich auch
die gefundene Verbesserung selbst diesmal etwas zweifelhaft bleibt.
Die bei dieser Kechnung zum Grunde gelegten genäherten Coordinaten
der Holkensbastion waren durch die directe Methode aus dem vierten und
fünften der obigen Winkel berechnet. Obgleich diese directe Methode als
ein ziemlich erschöpfter Gegenstand zu betrachten ist, so setze ich sie doch
der Vollständigkeit wegen hier auch noch her, in derjenigen Gestalt, in
welcher ich sie anzuwenden pflege.
Es seien a, b die Coordinaten des ersten bekannten Punkts (man wählt
denselben aus den drei bekannten nach Gefallen); die des zweiten seien in
die Form
a + jRcosjB, fe + jRsinJB
gebracht, und die des dritten in dieselbe:
a + 12'cos-E', 6 + U' sin JE'.
Die gesuchten Coordinaten des Beobachtungspunkts bezeichne man durch
a + p cos e, & + p sin e.
Femer sei der hier beobachtete Winkel zwischen dem ersten und zweiten
30*
236 TRIGONOMETKIBCHE PUNKTBESTIMMUNG.
Punkte = Af, der zwischen dem ersten und dritten = M' ; ich setze voraus,
dass diese Winkel von der Linken zur Rechten genommen, und dass sie, faUg
sie so über I8li" betragen haben, erst um 180° vermindert sind, oder was
dasselbe ist, dass, wenn ein Winkel in der verkehrten Ordnung unter 180° be-
trug, statt seiner das Complement zu 180° genommen ist*). Ich mache femer
•h. J/ — "' ^W — **
E-M=N, E'-3r=N'
(wo nöthigenfalls vorher 3G0° addirt wird).
Dies vorausgesetzt, hat man die beiden Gleichungen
p = « sin (e — JV), p = n' sin (« — N^,
welche, wenn 8ie so geschrieben werden :
- = sin (e — 1\ j, -, = - sin [« — iV j,
unter die Aufgabe Theor. Mot. C. C. p. 82[**)1 gehören. Die eine der dort
gegebenen Auflösungen fuhrt zu folgender Regel:
Ich nehme an, dass n' grösser, wenigstens nicht kleiner, als n ist, welches
erlaubt ist, da es willkürlich ist, welchen Funkt man als den zweiten oder
dritten betrachten will. £s sei
^ = tangC
t«ng[46'-C) w*"»y-
Sodann wird
und nachdem i gefunden ist, wird p durch eine der obigen Formeln, oder
besser durch beide, berechnet.
In unserm Beispiele haben wir, den Frauenthurm als den ersten, Fried-
richsbej^ vorläufig als den zweiten und den Friedrichstburm als den dritten
Pimkt betrachtet;
■) Die Ablieht davon ist, die folgenden OrCueo n, n' immer pocitiv tu muhen, umd dadurch i
niger Aufrneikiamkeit auf die algebraiachen Zeichen nöthig lu haben.
[••) Band Vn, Seit« loo.]
\
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG. 237
a = +7t0,0 6 = +684,2
JE?= 77"l9'3l';91 £' = 308"51'45;78
logfi = 3,894 4206 logR' = 3,573 3549
M= 99"22'49;'20 3f = lOl" ir50;'80
(zufolge obiger Anm.)
JV= 337"56'42;71 iV" = 207"39'54;'98
logn = 3,900 2671 logn' = 3,581 7019.
Da hier n ^ n', so vertauschen wir die Ordnung und setzen
N= 207°39'54;'98 iV = 337"'56'42;'71
logn = 3,581 7019 logn' = 3,900 2671.
Hienächst findet sich femer
C = 25"39'3;49, tp = 80"'45'3i;50, e = 353"33'50';34
und logp = 3,3303996, und die Coordinaten der Holkensbastion : -f-2836,444
und +444,327.
238
NACHLASS.
NACHLASS.
(
[7-]
[Bestimmung der Lage des Punktes X durch Beobachtung der Winkel a"^ und p
zwischen 3 gegebenen Punkten A^ Bj C]
[Aus
folgt
BA
BX
BC
BX
BC'
BA
sin
XCB
sinC
= 1
uinBAX
sin C esinß 1
sin^ "" asina J
[Setzt man
180*^-4=] a + a) = X, [C= 360^- (-4 + e),]
a+ß + jB = e
dann ist
^^ V asinocoae'
tang X = tang e cos cp* ,
esinX
srna
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG.
239
[8.] :
Orientirung des Messtisches.
Drei örter A, -B, C sind auf dem M[ess]t[isch] durch a, 6, c vorgestellt ;
die geraden Linien Aa^ Bbj Cc schneiden einander in den Punkten a, ß, f-
In b auf ab und in y ^^ «T errichtete Senkrechte schneiden einander in
^; in c auf ac und in ß auf aß Senkrechte schneiden einander in f; man ver-
binde e und f und falle darauf aus a das Perpendikel aM. So ist M auf
dem Messtisch der Standpunkt.
[9.]
Aufgabe der praktischen Geometrie.
Af JB, C, D sind vier Punkte in einer horizontalen Ebene ; B, C^ D liegen
in gerader Linie und
BC=CD.
Es seien die Azimuthe der Linien
DB f
AB /'+^ — 8
AC . . . .f-{-g — x
AD f+g + ^.
B
f.g-0
BEMERKUNGEN.
\AC _ AC
[BC ~ CB
oder proxime
tangj ^
tnng?" ^
X = 206265"sm5'cotangjf.
BEMERKUNGEN.
Die Notiiea [T und [8|, [^ und '^-i], lowie 's] iriirdcn i TertchiedeneD HandbQohern eDtDommen ; [i
und [7] und kuf die letzten Seiteu von Logarithmenbireln eingetragen; [s] entstammt rinem Rechnung!'
blatte tnr hannoTenchen Oradmeaiung.
Die Fonneln dei Art. [1], die auch bei Art. \3] benutst sind, lauen (ich wie folgt ableiten. Et (eien
X, y die Coordinaten dei tv beatimmenden Punktei ; ^* > y* die Coordinaten ftli eine genftberte Lage dea-
■elben; «, 6, a', b', a", h" die Coordinaten der Beobachtungsplätie ; r, r', r" die Entfernungen dieter
PlitH vom Punkte [x,y,). Dann erhilt man durch Differentiation der Oleiehung
t*ng(.i + ii) = |t^,
indem Duui dx, = x — x^, dy, = y — y,, jl-t-a + d[^+a) >» A-^-lA aelzt, die Fehlerglriehung:
Ebenio erpht lieb
n.A' .
-•-+0"
y-y»
EUminiit man X-X„ y — y,, lo enUteht die Bedinfpngsgleichung :
TÜa.{A'-A").[lA-n)-{-T'äa\A"-A].'fiA'-a']+T"vm(,A-A').(%A"-
l.lA-\-l'.lA' + l".lA" = Ja + i'n' + I"«".
Macht man nun mit Rflokiicbt hierauf
g.%A -^g'.iA' -\-g".lA" lum Minimum,
TRIGONOMETRISCHE FUNKTBESTIMMIXNG. 241
9 g' 9"
Ic =
II VV VI"
9'^ 9' ^ 9"
Hienach ist
y-6 = (x^a)XAng[A + lA) = (aj-a)tang-4 + ?^i^ = (a;-o)tang-4+ ''^*
COfJ. ^* ^cobJ.
In dem Zahlenbeiapiel unter [s] sind einige kleine Fehler berichtigt worden, wodurch hier die Werthe
der Coordinaten für York etwas abweichend von den im Coordinatenverzeiehnisse, Band IV, S. 430, angege-
benen Werthen erhalten wurden.
Ebenso ist in dem unter [5] aufgeführten Beispiele für Vorw&rtseinschneiden ein kleines Versehen
richtig gectellt worden. Die beobachteten Azimuthe auf den festen Punkten und die Coordinaten sind
auch in den »Abrissen u. s. w.«. Band IV, S. 454, 466 und 457, angegeben.
Zur Bestimmung von Nebenpunkten wurde von Gauss sowie von den ihm beigegebenen Ofßcieren
gewöhnlich das Verfahren des Art. [6] angewandt. Die Rechnungen dafOr sind aber fast ganz allein von
Gauss, und swar in der ang^ebenen Weise, ausgeführt worden. In dem Arbeitsbericht fOr 18S0 an das
hannoversche Ministerium heisst es : »Bei der hiesigen trigonometrischen Vennessung habe ich bisher diesen
Theil des Geschftfts [Verarbeitung der Messungen zu Resultaten] ganz allein auf mich genommen. Meine
Berichte über die Arbeiten von 1828 und 1829 geben eine Übersicht über den Umfang des in diesen Jahren
geleisteten. Ohne hier in lunstftndliche Details einzugehen, darf ich doch nicht imbemerkt lassen, dass mir
die Verarbeitung nur dadurch möglich geworden ist, dass ich ihr meine ganze mir von meinen xmmittel-
baren Dienstgeschäften gebliebene Zeit gewidmet habe.« Und in dem am 8. Februar 1838 erstatteten Be-
richt an das Ministerium sagt Gauss : »Zu einer trigonometrischen Messung sind zweierlei ganz verschieden-
artige Arbeiten erforderlich, die Ausftihrung der Messungen an den betreffenden Pl&tzen im Felde, und ihre
Verarbeitung zu Resultaten durch Combination und Calcül im Zimmer. Den zweiten Theil des Gesch&fts
habe ich bisher ganz auf mich selbst genommen.« Nur zwei Monate des Winters isso/si hat ihn sein
Sohn, der Lieutenant J. Gauss, dabei unterstützt; in den letzten Jahren der hannoverschen Landes-
vermessung scheint auch Professor Goldschmidt geholfen zu haben. Einem von diesem ausgearbeiteten
»geodätischen Calcül nach Gauss« aus dem Jahre 1836, der eine »kurze Darstellung nach von Gauss ge-
gebenen Privatmittheilungen« bieten will, sind die nachstehenden Ausftlhrungen entnommen:
»Bei der Festsetzung der Nebenpunkte fangen wir damit an, diejenigen zu bestimmen, welche
sich aus den Hauptdreieckspunkten allein scharf bestimmen lassen, so dass l) die Richtungen sich
nicht unter zu spitzen Winkeln .schneiden und 3) man gewiss ist, dass die angeführten Azimuthe sich
wirklich auf den Punkt quaestionis beziehen, indem es bei ausgedehnten Operationen leider nur zu hAufig
vorkommt, dass eine Namensverwechselung stattfindet. Hat man indessen den Punkt aus mehr als 2 Haupt-
punkten bestimmt, oder auf dem Punkte selbst gemessen, so kann eine solche Verwechselung nicht wohl
stattfinden. 8o setzt man nun diese Nebenpunkte fest, indem man, wenn man scharfe Resultate haben
will, nicht nur alle Hauptdreieckspunkte, sondern auch die nach und von andern schon bestimmten Neben-
punkten gemachten Schnitte mit hinzuzieht. Es entriren dabei 3 unbekannte Grössen, die Coordinaten des
Punktes und die daselbst stattfindende Orientirung. Man berechnet nun auch diese Elemente für die
übrigen Nebenpimkte. Sollte vielleicht es nachher noch für gut gefunden werden, neue Nebenpunkte ein-
sufQhren, indem es vielleicht bei der anfUnglichen Disposition übersehen wurde, dass dieses Einf&hren rath-
sam wire, so hat man doch nicht nöthig, sich auf diejenigen Stationen zu begeben, von denen ab die neuen
31
242 BEMERKUNGEN. TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIipnJNG.
Punkte geschnitten werden könnten; es genügt, von diesen Punkten andere, die schon festgesetzt sind, ein-
zuschneiden, doch muss die Anzahl derselben wenigstens 9 sein; Hat man 4 geschnitten, so ist eine Con-
trolle da; harmoniren indessen diese 4 nicht, was ebenfalls nicht selten ist, indem eine Verwechselung gar
leicht vorfallen kann, so weiss man nicht, wo der Fehler liegt; und deshalb ist es besser, ( oder noch mehr
einzuschneiden Überhaupt ist es nicht genug zu empfehlen, jeden Punkt, so oft es nur irgend
angeht, einzuschneiden, selbst wenn man nicht Willens ist, die Schnitte nach der Methode der kleinsten
Quadrate zu Tereinigen, indem man auf diese Art sicher vor Fehlem ist, und ein Punkt, auch wenn er
weder Haupt- noch Nebenpunkt ist, sobald er scharf bestimmt ist, häufig dazu dienen kann, die Identit&t
eines andern Punktes zu bestimmen. Hat man nun auch fOr die Nebenpunkte die Coordinaten berechnet,
so geht es an die Bestimmung der übrigen eingeschnittenen Punkte. Gauss fahrt darüber, nachdem alle
Rechnungen abgemacht sind, folgendes Protocoll.
4 B
Krückeberg —71304,939 +45842,388
a
h
e
d
e
Süntel
— 706S7,J58
+ 3748t,447
04*58' 27;'964
— 0,886
Klütberg
— 63179,059
+ 41387,860
161 26 44,-009
— 1,553
Wittekindstein
-80356,285
+ 71875,835
289 3 13, 703
— 0,329
Pagenburg
— 75427,470
+ 50454,707
311 22 31, 882
+0.448
Sachsenhagen, Schloss —96486,713 +46075,741
Wittekindstein —80356,285 +71875,835 237 59 11,516
Bergkirchen —99061,252 +47440,144 332 4 3,954.
A ist der Ort, dessen Coordinaten bestimmt werden; diese Coordinaten sind sub£ angegeben, a gibt
die Namen der Örter, aus welchen A bestimmt ist; d, c ihre Coordinaten; d das beobachtete Azimuth;
e die Differenz des aus den Coordinaten berechneten und des beobachteten Azimuths, eine Columne, die
also wegftllt, sobald wir nicht mehr Data haben, als zur Bestimmung des Punkts quaestionis nöthig sind.
Geordnet werden die einzelnen in diesem Protocoll aufgenommenen Punkte nicht, doch thut man wohl,
etwas Raum überzulassen, um Bemerkungen, die sich sp&ter ergeben, und Schnitte, die erst nach dem Be-
rechnen und Eintragen aufgefunden wurden, nachzutragen. Übrigens trägt man die Punkte in dieses Pro-
tocoll in der Reihenfolge ein, in welcher sie berechnet sind. In den Tableaux streicht man die Schnitte,
die schon zur Berechnung gedient haben, an, tun besser übersehen zu können, welche Schnitte noch uner-
ledigt sind.«
Im Nachlass ist noch eine grosse Anzahl solcher ProtocoUe vorhanden. In dem Arbeitsberichte für
1844 sagt Gauss: »Die Resultate [Coordinaten] sind jedes Jahr nach Verarbeitung der Messungen in Ver-
zeichnisse gebracht, und solcher partiellen Verzeichnisse sind sechzehn vorhanden, welche zusammen etwas
über 3000 Bestimmungen enthalten, so jedoch, dass die Anzahl der Punkte selbst etwa tun den 7. Theü
kleiner sein mag, indem viele Punkte, die in einem sp&tem Jahre nach dem Hinzukommen neuer Data
schfirfer oder zuverlässiger bestimmt werden konnten , in mehr als einem Verzeichnisse auftreten Zu
grösserer Sicherheit und bequemem Gebrauch habe ich jetzt angefangen, die partiellen Verzeichnisse in
Eines zu verschmelzen, welches demnach etwa 2600 Punkte enthalten wird.« (Band IV, 8. 413).
In dem Abdruck der aus den Astr. Nachr. entnommenen Abhandlung, Art. 6, sind mehrere Druck-
und Rechenfehler berichtigt worden. Kbüoeb.
AUSGLEICHUNG
EDJFACHER FIGUREN.
31
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.
WO
[1.]
Ausgleichung eines Vierecks.
0, 1, 2, 3 ... die vier Punkte
Ol sowohl Länge als Richtung der Linie 0 1
C^*, u. 8. w. Ausgleichungen, wodurch alles verträglich wird,
u. s. w.
[Man setze]
, , sin (30 - 31) gin (10 - 12) sin (20 - 28) _ ^ o
AOg nyp ^^ ^22 _- 30) sin (13 - 10) sin (21 - 20) ~
12.13.sin(12 — 13) = T*
02. 03. sin (03 — 02) = T
03.13.sin(30 — 31) = T"
02.12.sin(21— 20) = T\
Es bedeuten hier T\ T\ T\ T" die vier doppelten Dreiecke ; man be-
merke, dass allemal zwei Permutationen zugleich gemacht werden müssen: so
entsteht T aus T*, wenn 0 mit 1 und 2 mit 3 vertauscht wird. Es ist [da
r* und T" das entgegengesetzte Vorzeichen von T imd T" haben]
0 = T''\'T+T'\'T'^.
Ebenso entstehen X', X", X'" aus X'.
246 NACHLASS.
Man hat dann
oder
+ S^^^^ls^abäöT ^'"- ''«t^^ (2 1 - 20) . C" - cotaBg (20 - 23) . C«
+ Slsö^nS-rsö) ^'"- «ot^ (30 - 3 1 ) . C« - cotang (32 - 30) . C"
A _i« , 01*r*plO .01* + 12« -02*^» . Ol» + 18« - 03« ^»
U -^ A "^ j,// 77// ^ I 7>^/^ ^ "^ T j>tf ^
Qg'-y^» , 02« + 12' - Ol» ^M , 02» + 28'- 03* ^M
7»! 7»'/! '^ I 7»/w ^^ j fPif
fpf nrit ^ T fpit
OSVr* ^10 . 03' + 18«-01' p3t t 03« + 23'~02»ps»
/r» T« ^ T T« ^ T 7» ^
oder]
- r* r" . 02*. «"»+ r* r" . 02*. d»»
- r* ar . 03*. «»»4- r* r". 03*. i>~
-r r^-isv^^+r r'.(o3»-oi*)D'»
- r r . 12*. -8"+ r T" . (Ol»- 02*)D"
- 2^ r- . 23». S*» + T" T" . (02» - 03*)D««
= 2« + A*.
2', 2", 2"* werden identisch gleich 2». X', X', X", X" sind den T, T, T, T
proportional, wenn die Winkelsummen schon ausgeglichen sind. Hing^en
werden A', A", A"" numerisch dem A* gleich werden müssen, wenn die letztere
Ausgleichung conservirt wird. Symmetrisch hat man diesen Werth
^(A'-f A' + A''+A"') = ij TT D»'(i2»+l3»-02»-03»)
+ r* T" I>^(12*+ 23» — Ol» — 03»)
+ r'r*D'"(13»+23» — Ol» — 02»)
4- 2" 2^D"(03» + 23» — Ol»— 12»)
+ r' r"D"(01»+13» — 02» — 23»)
+ r"r"'D»»(02»4- 12» — 03»— 13»)j.
Jedes A = H"D"* + JEr»D*» + ... gesetzt, wird in die Form gebracht, wo
die Summe der Quadrate der Coef&cienten ein Minimum wird, indem man
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN.
247
schreibt
anstatt E^ i(2H^-fr*«-H«'4-Ä"+H«)
» ff^ i(2fl^»-H*^— J^ + H**+ H^^
u. s. w.,
wo H''^ = -H^\
[Addirt man nemlich zu dem Ausdrucke für A* die 3 Winkelgleichungen,
welche T, T^ T'" entsprechen und die bereits ausgeglichen sein sollen, nach-
dem man sie mit den Factor en f |Xi, n|-[A2, ifis multiplicirt hat, so wird A^
nicht geändert. (Die Constante X^ muss natürlich jetzt auch mit den Werthen
berechnet sein, die die Ausgleichung der Winkelgleichungen ergeben hat).
Es ist also auch, da hienach die Winkelgleichungen lauten
0 = -C^+a'^-C^^+C'^-C'^+C^^ = 2(-D^ + D^+D»*), u. 8. w.:
Bestimmt man nun (i|, 1x9, i^is in der Weise, dass die Summe der Qua-
drate der Coef&cienten von D"", D°*, u. s. w. ein Mroimum wird, so wird
-1*,+ m+3ft, = fl«-fi*»-H*',
also
damit ergibt sich:
4A' =
+
+
+
+
+
2fl*'+ ir"*+ H"»- H"+ H*» * )Jf^
fl»»+ H«*4-2fl«»+ JET» # - H*^iy^
# + fl<»_ H*»- H"- H" + 2^'*)I>**.
Dieser Ausdruck Vkast sich in den folgenden umwandeln:
24S lUCHLASS iniD BHIEFWECHBBU
j-I+oi'.rT' tt +03M*r"'-t2*.r'r' » — as'-rr-ji)"
-j-t+oi'.r'r+oa'.r*!" « • ~i3'.rr"-23«.z*r"|D"
-!-l-oiM*r+o2'.r*r' « • -i3».rr"+23*.r"r"iJE)"
_j_ [+oi».T*r * -Oi'.T'T"+l2'.TT' . -2Z\TT'\iy
+ j * — 02*.rT'+03'.2*jr'"-i2».rT'+i3*.r'2" * }d".
Zu dem gleichen Werthe gelangt man, wenn man die entaprechenden £nt-
wickeloDgen für A', A", A"* macht; man erkennt dies auch daraus, dass for
die Vertauschungen, die A' in A', A', A" überfuhren, die rechten Seiten der
obi^vQ und der vorhergehenden Gleichung ungeändert bleiben, wenn man
berücksichtigt, dass D'* = — D** ist A' geht z. B. in A' übet, wenn man
0 uiit 1, 2 mit 3 und ebenso ' mit ' und " mit " vertauscht Es ist mithin,
Yornusgesetzt, dass die Winkelgleichungen des Dreiecks tot Aufstellung der
Sc-ilongleichungen bereits ausgeglichen waren:
YX'T'").* = T*T''T"\' = TT'T'X" = TTT''V
oder
Gleichung zwischen den Seiten und Diagonalen eines Vierecks.
Zwischen den Seiten \ind Tj 7", T" gibt es die Gleichungen
0 = 2.0l'.r + (0l' + 02'— l2')r' + (0l"+03'— U")!"
0 — (0l'+02'— 12')r+2.02'.T"+(02'+03*— ja*)!"'
0 = (0l' + 03'— 13')J' + (02' + 03' — SS'jr' + J.OS'.T".
Schieibt man dafür
0 = AT+ cT+ bT'~
0 = cT' + B'r+ aT"
0 = bT'+ ar+cr,
so wild
ABC+labc =. aaÄ + bbB+ccC,
welches die zwischen den sechs Seiten stattfindende Bedingungsgleichnng ist.
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 249
Entwickelt gibt dies:
01*.23*{02* + 03*+12*+13*| — Ol*. 23* — Ol*. 23*
+ 02*.13*{0t* + 03*+12*+23*j — 02* . 13* — 02*. 13*
+ 03*. 12*{01* + 02*+13* + 23*| — 03*. 12* — 03*. 12*
= Ol*. 02*. 12*+ Ol*. 03*. 13*+ 02*. 03*. 23*+ 12*. 13*. 23*.
[3.]
[Über die Wahl der Bedingungsgleichung aus den Seitenverhältnissen.]
Gauss an Gerling. Göttingen, 1 1 . Februar 1824.
Zur Prüfiing des Vierecks haben Sie eine Bedingungsgleichung
mit acht Factoren; es ist aber nur eine mit sechsen nöthig, die auf 4 ver-
schiedene Arten eingekleidet werden kann:
B
sin 1 . sin 3 . sin (6 + 7) = sin (2 + 3) . sin 6 . sin 8
sin 3 . sin 5 . sin (8 + 1) = sin (4 -|- 5) . sin 8 . sin 2
sin 5 . sin 7 . sin (2 -|- 3) = sin (6 + 7) . sin 2 . sin 4
sin 7 . sin 1 . sin (4 + 5) = sin (8 + 1) . sin 4 . sin 6.
Am vortheilhaftesten ist es, die 1^, 2^, 3^ oder 4^ Form anzuwenden,
je nachdem das Dreieck ÄBD, ABC^ BCD, ACD am grössten ist.
Es ist mir nicht recht deutlich, wie Sie sich die Art, eine gemessene
Diagonalrichtung zu benutzen, gedacht haben [*)]. Es folgt ja daraus, dass,
wenn sechs Grössen -4, 5, C, D, JS, jP gemessen wären, zwischen deren Correc-
tionen eine Bedingungsgleichung
öil — ö5 + öC—öD + öjB — öF= Quant, data
[*J Oeslimq glaubte, noch zwei Winkelgleichungen , je mit dem Absolutgliede Null, ansetzen zu
mÜMen, wenn in einem Viereck die eine Diagonale nur einseitig beobachtet ist.]
IX. 32
BRIEFWECHSEL.
...t
- .--. hro, weil die sechste, F^ nicht gemessen ist, die
Vielmehr ist eine solche Bedingungsgleichung durchaus
beiden, die Sie anfuhren, addirt, würden sogar etwas in
* • --v* riioh mit dem Übrigen stehendes geben.
V* ^' :uil - Einschnitte können lediglich durch diejenigen Bedin-
^ , / ^vu mit benutzt werden, die solche Gleichungen, wie die oben
.';»>» V Valuten, an die Hand geben. Es macht dabei gar keinen Unter-
^ X,. c* vKr Einschnitt auch reciprok stattgefunden hat oder nicht; es
V ... « \ l. <^ im ersten Fall noch diejenige Bedingungsgleichung hinzu, die
\\ iukolsumme des Einen Dreiecks entsteht (die aus dem andern
>. ,\ vx* ii<t dann implicite schon in den übrigen enthalten), welche im an-
, M l ;\iU ' wegfällt.
ri^uir^'U« wiederhole ich, dass alles viel einfacher in derjenigen Behand-
* »»<v«iotho(lo ausfallt, die ich vorzugsweise für meine Messungen gewählt
^' 5i'^\ Cbrigens kommt in meinem eigenen Hauptdreieckssystem gar keine
XN^uho Diagonale vor, die nicht auch reciprok gemessen wäre; die wenigen
vU V Art, die an den Grenzen vorkommen, als Hohehagen — Meisner, etc., ver-
XX hiinlrm» neue Dreieckspunkte, Syk und Hohenhom, habe ich gar nicht ins
S> stein aufgenommen, sondern bisher alle Ausgleichung nur auf die voU-
•ilcnidiK^* Mc^ssung gegründet, die andern Punkte aber gleichsam als Neben-
iHUikte b(;trachtet, in Beziehung auf welche die Lage meiner Hauptpunkte als
nliHohit gcmau betrachtet ist
k . X
« \
Gauss an Gerling. Göttingen, 19. Januar 1840.
Das Durchlesen Ihrer schönen Schrift über Ihre AA hat mich
vrriuilHHst, mich etwas wieder in die Sache hineinzudenken, und einige Be-
nicrkungen werden vermuthlich für Sie nicht ohne Interesse sein. Obgleich ich
Ihnen vorausgesagt hatte, dass, bei der Zickzack-Behandlung der Bedingungs-
i/lrir^ljungen nach zwei Gruppen, Sie nur eine langsame Convergenz haben
würden, so war ich doch etwas verwundert, dass Sie nach einem Ihrer Briefe
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 251
15-mal alles durchgemacht haben (nach dem Buche 13 -mal; ich weiss nicht,
wie diese Discordanz zu erklären ist). Bei meinem eigenen Gradmessungssystem
hatte ich gegen 50 Bedingungsgleichungen der zweiten und 12 von der dritten
Art ; aber hier war die Convergenz sehr schnell, so dass schon die dritte [Rech-
nung] in der tttW" stehende Resultate gab. Aber freilich wäre dies nicht mög-
lich gewesen ohne einen besondem Kunstgriff, den Sie, wie mir scheint, nicht
benutzt haben. Ob ich ihn Ihnen vor 15 Jahren angezeigt habe (in einem
Ihrer Briefe beziehen Sie sich auf damals gemachte Mittheilungen), weiss ich
nicht, ich bin aber auch ungewiss, ob ich damals ihn schon selbst ausgeübt
hatte; meine grossen Ausgleichungsrechnungen sind, glaube ich, Anfang 1826
gemacht, ich habe aber nirgends eine Zeit notirt. Ich will versuchen, Ihnen
eine Idee davon zu geben, obwohl eine ausführliche Entwickelung eine ziem-
lich starke Abhandlung geben könnte.
Ich nehme also an, die Ausgleichung auf die von den Winkelsummen
abhängigen Bedingungsgleichungen sei schon einmal gemacht, und man wolle
nun auf die Bedingungsgleichungen durch Seitenverhältnisse übergehen. Ich
betrachte Kürze halber bloss ein Vierpunktsystem 0.1.2.3. Ist von den
vier AA 123 das grösste, so benutzen Sie die Formel H-M-^f = 1 (^^^^
sind Ol, U.S.W. Seiten: von jetzt an bezeichne ich aber mit Ol den Winkel,
welchen diese Seite mit der Zerolinie in 0 macht). Jene Gleichung gibt Ihnen
unmittelbar eine Bedingungsgleichung zwischen 9 Correctionen ; es erscheinen
nemlich nicht mit: dOl, d02, d03. Hätten Sie die Formel +f.H.H= 1
gebraucht, so hätten Sie eine Bedingungsgleichung zwischen 9 andern Cor-
rectionen erhalten; es würden nemlich dlO, dl2, dl 3 gefehlt haben. Diese
beiden Bedingungsgleichungen sind also nicht identisch, aber man kann die
eine aus der andern ableiten, wenn man diejenigen Bedingungsgleichungen der
zweiten Art, welche dem Viereck angehören, mit zuzieht. Hier tritt nun ein
Fall ein, der oft vorkommt, und wo ein nicht genug zu preisender Rath seine
Anwendung findet. Nemlich wenn bei einer Untersuchung die Bestandtheile
symmetrisch vorliegen, und man kann auf mehr als Eine Weise zum Ziel
kommen, wovon die eine so gut scheint wie die andere, und wo man also
sich im Fall von Buridans Esel befindet, so soll man keinen dieser Wege
wählen, sondern einen andern suchen, wo allen Bestandtheilen gleiches Recht
wiederfahrt. Darüber lassen sich freilich keine allgemeinen Regeln geben,
32^
\
252 BRIEFWECHSEL.
wie das zu machen ist. Im gegenwärtigen Fall muss man darauf ausgehen,
die Bedingungsgleichung
adlO + pdl2+7di3-i-Sd2fl-i-ed2i-LCd23 4-T)d30 + 9d31+xd32 =X
so abzuändern, dasH alle Correctionen darin sind; das ist nun sehr leicht
gethan, man braucht nur
X d«! ~dlü-l-dl2 — d21 4-d2ü— d02) = «
_ydOJ— dl0 + dl3 — d31+d3ü— d03; = 0
zd12— d21+d23 — d32 4-d31— dI3; = «
hinzu zu addireu, indem man j, y, z nach Gefallen wählt. Aber so sind wir
noch um nichts gebessert, wenn wir nicht wissen, wie wir wählen sollen. Ich
sage : wälilt x, y, z so, dass die Summe der 1 2 Quadrate von den Coefficienten
in der entstehenden Gleichung ein Minimum bildet, also
'x-^y^ ^x^ -\-y^ -\-''a. — x—y"^ -\-'^-\-x-\-zf -\-fitt.. = Minimum,
woraus Sic x, y, z mit leichter Mühe bestimmen.
Es lässt sich beweisen (freilich wird etwas künstliche Rechnung für diesen
Beweis erfordert) :
I. Dass man , wenn man dieses Geschäft viermal ausführte , nemlich
zweitens ausgehend von -J-J.+f. + J = l, dann von if-H-H = • und viertens
von If .|-J-.|i = I, man 4 Endgleichungen erhält, die, genau besehen, identisch
unter einander sind, d. i. die sämmtlichen 1 3 Theile (den absoluten mit gezählt)
sind in allen proportional. Der Rath, die erste Entwickelung, auf das
grösste Dreieck gegründet [zu nehmen], hat bloss zum Zweck, alles in den
grössten Zahlen zu erhalten, die wirklich resp. den Flächen der AA 123, 023,
013, 012 proportional sind. Ich pflege übrigens der Sicherheit wegen alle
4 zu entwickeln.
Bei der Form ^^ geben zwei zu einander addirt dieselbe Summe wie
die beiden andern; hei der Form ^^ ist Eine die Summe der drei andern.
Ich addire alle 4, natürlich so gefasst, dass absolute Addition stattfindet.
So erhellt, dass der Symmetrie ihr volles Recht wiederfahren ist. Übri-
gens gibt es hiebei noch Abkürzung der Arbeit, die ich übei^ehe, da die
Arbeit, gegen das ganze Geschäft gehalten, jedenfalls ganz unbedeutend ist
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 253
n. Aber es ist nicht bloss wegen der Symmetrie. Existirte bloss Ein
solches Viereck, so würde hier der grosse Vortheil gewonnen, dass die Aus-
gleichung in dieser Form die Ausgleichung der 4 (unabhängig von einander
bloss 3) Bedingungsgleichungen [der 2. Art], welche dies Viereck darbietet, gar
nicht stört. Gibt es mehrere solche Vierecke, die von einander getrennt sind
(keine Seite gemein haben), wie in meinem System mehrfach der FaU war, so
bleibt derselbe Vortheil für alle diese ; es werden dann immer nur die Winkel-
summen in den angrenzenden AA gestört. Aber ich bin überzeugt, dass,
selbst bei einem so verschränkten System wie das Ihrige, auf diesem Wege
eine sehr bedeutend schnellere Ausgleichung gewonnen sein würde.
Ich glaube, es wird Ihnen Vergnügen machen, dieses Verfahren einmal
auch nur auf Eines Ihrer Vierecke anzuwenden. Bei 5-Ecken, 6-Ecken, etc.
ist es übrigens ganz analog.
Mir war wirklich dies Verfahren beinahe aus dem Gedächtniss gekommen,
so dass ich es erst bei der Inspection alter Rechnungen von 1826 wiederfand.
Denn bei den spätem AA, wie auch dieses Jahr bei den Messungen im
Bremischen, gehe ich etwas anders zu Werke, da sie den grossen Zeitaufwand
nicht verdienen. Ich gleiche erst bloss die Winkelsummen scharf aus, worin
ich eine solche Fertigkeit habe, dass ich z. B. fär die sehr verschränkte
Bremer Messung nur Eine Stunde dazu brauche. Dann gehe ich zu den
Bedingungsgleichungen der 3. Art (Seitenverhältnisse), die ich so behandle, dass,
während ihnen genau Genüge geleistet wird, jene Winkelsummen durchaus gar
nicht wieder gestört werden. Dies gibt zwar nicht das absolute Minimum
der Quadratsumme, bleibt aber jedenfalls nicht viel davon zurück und bringt
alles in vollkommene Übereinstimmung. Bei den westphälischen Messungen
habe ich das Verfahren wohl so modificirt, dass ich das Geschäft mehrere
Male durchmachte, was sich so einrichten lässt, dass man der absoluten klein-
sten Quadratsumme immer näher kommt, je öfter man wiederholt. Indessen
ist es ganz unmöglich, dies Verfahren in der Kürze zu beschreiben.
NACHLASS.
• >».
[4.]
.: Ausgleichung der Winkel im Viereck.
« Tunkte a, 6, c, rf;
• '^l'.or Inhalt des Dreiecks bcd
cda
dah
abc\.
i vol bcd werde mit Ac bezeichnet, und so die übrigen.
»
»
»
»
»
»
»
»
»
iO
log-
B
logj
n Bc . sin Cd . sin I)b
nBd. 8inC6 . lin 2>c
n C(2. sin Da. sin ^c
= a
ß
in Ca .ün De. üin Ad
1 sin Da. sin ^&. sin JB(i
" «iuD^.sinuld.öin^a •
in^&.sinBc.sin Ca
nAc . sin Ba . sin Cb
= 8.
$
Muu hat dann [wenn die Winkelsummen in den Dreiecken bereits aus-
^vxUohou sind:]
A '^ B C '" D ~' ^'
\\\\{\ angenähert nach Art. 1, indem man die Richtungsverbesserungen C®* und
(*^*\ u. »• w., die jetzt mit dab und dba, u. s. w. bezeichnet werden, einander
^\v\vh setzt und gleichzeitig A für — T% B für T\ C für — T^ und D für
T Nchreibt,]
^l* = S-^^^""i-ii-^^^ + ^-^^^ + ii-^*^~^-^*^+2^'^^^'
M =
206265
k = Modulus der briggischen Logarithmen
log 31= 5,676 6408.
Beispiel.
Viereck: Deister, Lichtenberg, Garssen, Falkenberg.
de b a
[Die Ausgleichung der Winkelsummen der 4 Dreiecke des Vierecks in der
Kbene hatte die nachstehenden Werthe ergeben.]
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN.
255
[Ab 47" 18' 46"567
Ac 66 1 16,315
Ad] 66 39 57,118
[Ba
Bc
Bd\
34" 33' 59;066
55 34 13,347
89 51 47,587
[Ca
Cb
Cd]
57" 33' 17^328
99 14 52,202
23 11 50,470
[Da
Db
De]
22" 59' 18^262
146 33 38,770
10 27 2,968
180 0 0,000| {180 0 0,000| |180 0 0,000| |180 0 0,000
[Die angenäherten Werthe der Logarithmen der Seiten sind:
ab .
..4,44961 6c...
4,78266
ac .
..4,93218 bd...
4,78052
ad.
..4,84854 cd...
4,68605.
)ainit
ergibt sich
•
m
log^
— 9,42951
aiaCd.. .9,595 3854
sin Ca . .
. 9,926 2936
log 5
— 9,53459
sinDa. .. 9,5916709
sin De . .
. 9,258 6170
logC
— 9,22445
8in.4c. . . 9,960 8017
ainAd. .
.9,962 9423
logD
— 8,97346
9,1478580
9,147 8529
B.
V- •
M.
. . 4,70757
. . 9,53459
. . 5,17298
.. 5,67664
.] 0,84962
[ab' . . . 8,89922
CD... 8,19791
[ß = 0,000 0051]
[ac* 9,86436
BD . . . 8,50805
[ad* 9,69708
BC 8,75904
0,70131
1,35631
0,93804
bc\.
. . 9,56532
bd*..
...9,56104
crf* . .
..9,37210
AD.
.] 8,40297
AC .
.; 8,65396
AB..
.; 8,96410
1,16235
0,90708
0,40800
WO
also
ist.]
7;'073 = 5,027öa6— 22,715öac + 8,670öarf+14,533öfec
— 8,074ö6rf + 2,559dcrf.
[Hieraus erhält man für die Verbesserungen
öaft = 5,027x, öac = — 22,715x, u. s. w.,
899,35x = 7,073,
logx = 7,89567 — 10
256
NACHLASS.
dab = +o;'0395
dac = —0,1786
dad= 4-0,0682
dbc = +0,1143
dbd = —0,0635
dcd = +0,0201.
[Die Winkelverbesserungen sind daher
dAb =
dÄc =
dAd =
dbc-\-dbd
dcd-\-dbc
dbd^dcd
U. 8. W.
— 0^178
+ 0,094
+ 0,084
Mit dem gegebenen Werthe der Seite cd (Lichtenberg — Deister) als Aus-
gangswerth für die Seitenberechnung ergibt sich mithin die folgende Zu-
sammenstellung :]
[ Station
Winkel
log sin
Log. 1
der Seiten J
Garssen
Lichtenberg
Deister
Falkenberg
Lichtenberg
Deister
Falkenberg
Garssen
Deister
Falkenberg
Garssen
Tiichtenberg
47" 18' 46';389
66 1 16,409
66 39 57,202
34 33 59,313
55 34 13,148
89 51 47,539
57 33 17,357
99 14 52,305
23 11 50,338
22 59 18,044
146 33 38,695
10 27 3,261
9,866 3270
9,960 8018
9,962 9424
9,753 8603
9,916 3595
9,999 9988
9,926 2937
9,994 3182
9,595 3848
9,591 6698
9,741 1930
9,258 6204
4,686 0451
4,780 5199
4,782 6605
4,686 0451
4,848 5443
4,932 1836
4,780 5199
4,848 5444
4,4496110
4,782 6605
4,932 1837
4,4496111
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN. 257
[5.] -
Viereck zwischen 4 Punkten 1. 2. 3. 4.
Bedingungsgleichimg wird so formirt: Product der Perpendikel auf die
Seite 12 aus den Punkten 3 und 4 sei /?'/>', etc.; dann ist, Richtung der
Seite 12 mit a [ihre Verbesserung mit da = dl2] bezeichnet imd p'p' = A
gesetzt, und so mit den übrigen:
o = ^+'4+
• • •
[oder]
j-ft flinl42Bm321 , -^ , sin 213 ein 421 ,. .
0 = dl2 ^-qT7-=— r^dl3 + -.-Q-,>r. -r^dl4
Bin 314 am 182 ' Bin 314 sin 142
, Bin213Bin421 ,^^ Bin 214 Bin 321 , ^ . , / Bin 214 Bin 321 , ^.
' flin3248inl32^^^ sin 324 Bin 142 ^ '^ ^ "• I Bin 143 Bin 432 **^^
Oder "^l^rfUiA,
Bin 431 Bin 243
[6-]
[Ausgleichung eines Polygons.]
Schliesst eine Anzahl von n Dreiecken um Einen Punkt zusammen
und ist
A Correction der Summe der Winkel a, a\ a" im ersten Dreieck
JB » » yi bj b\ b" » zweiten »
C » » » Cj c\ c" » dritten »
u. s. w.,
und 8 die Correction der Summe der Winkel a-\'b-\-c-\- etc. [die um den
Punkt herum liegen], so corrigirt man
^; j jeden um ^^ + ^5 + ^C+..._^S
u. s. w.
[Vorausgesetzt ist hiebei, dass man nur die Winkelgleichimgen, nicht
IX.
33
258 NÄCHLA8B.
aber die Seitengleichung, in RückBicht zieht, und dass alle Winkelbeobacli-
tungcn gleiches Gewicht, 1, haben.]
Diese Vorschrift kann auch auf folgende Art eingekleidet werden.
1) Man verbessere zuerst jeden "Winkel im ersten Dreieck \mi ^A, im
zweiten um ^B, u. s. w.
2) Sodann nochmals die um den Einen Punkt herum liegenden, so dass
sie Bchliessen.
3) Dann bringe man noch die Hälfte dieser andern Correction mit ent-
gegengesetztem Zeichen auf jeden der übrigen Winkel.
Der mittlere noch zu befürchtende Fehler [eines jeden a, b, c, . . . ist
gleich]
[und eines jeden a', b', a", i*, ... gleich]
[m ist der mittlere Fehler der Gewichtseinheit.]
['■]
Gewicht von Höhenbestimmungen.
Mit einem Anfangspunkt P ist eine Reihe anderer [Funkte] p, p\ p',
p"\ . . . p'"*, u. 8. f. SO verbunden, dass die Höhenunterschiede Pp, Pp', pp\
pp"i V'p'y pp"* p"?"' p''p'^f "■ ^' ^'» *1^ die Unterschiede jeder Höhe von den
Höhen der beiden vorhergehenden und der beiden folgenden, mit gleicher
Zuverlässigkeit beobachtet sind. Dann ist das Gewicht der Bestimmung des
Höhenunterschiedes zwischen P und p^"^ nach der Methode der kleinsten Qua-
drate
«=01234 5 6 7 8 9
Gewicht: f i 1 H H iH Hi iVÄ HH tWA-
Die Zähler sind die Coefficienten der Reihe ans der Entwickelung dra
ßruchs
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUKEN. 259
und folglich in der Formel
begriffen, wo
2r=3 + \/5 oder r= 2,618 0340
logr = 0,417 9752
ist; ebenso entstehen die Nenner aus der Entwickelung des Bruchs
{l + x){l-dx + xx)^
und werden also dargestellt durch die Formel
-jV{(3w + 7)r"+* — (2w + 2)r" — (2w+2)r-'* + (3n+7)r-'*-* + (— 1^8}.
Der Grenzausdruck für das Gewicht wird
26
6n + 6 + 4V6'
BEMERKUNGEN.
Die Notiz [l] und der grösste Theil von [2], sowie die Notiz [7] befinden sich in demBelben Hand-
buche. [6] gehört einem andern Handbuche an. Das SchlussergebniBB von [2] steht auf der letzten Seite
des QAüBSschen Exemplars von Cabnotb Geometrie der Stellung, übersetzt yon Schumacheb. Erster
Theil, 1810.
Wenn in einem Viereck mit Hülfe yon 3 Winkelgleichungen, in der Weise wie unter [s] im Briefe
an Gbblino vom 19. Januar 1840 angegeben ist, die Seitengleichung umgeformt wird, so lässt sich leicht
zeigen (yergl. IE, S. 268), dass die durch die Ausgleichung des Vierecks sich ergebenden Verbesserungen
sich zusammensetzen aus den Verbesserungen, welche die Ausgleichung mit Bücksicht auf 3 Winkeiglei-
chungen allein, und den Verbesserungen, welche die Ausgleichung der umgeformten Seitengleichung allein
erfordert. Denn bildet man aus den Winkelgleichungen und der umgeformten Seitengleichung die Aus-
drücke für die Correlaten und mit diesen die Normalgleichungen, so h&ngen die den Winkelgleichungen ent-
sprechenden Normalgleichungen mit der Normalgleichung , die aus der umgeformten Seitengleichung ent-
steht, nicht zusammen. Vorausgesetzt ist dabei, dass die Factoren, mit denen die Winkelgleichungen
multiplicirt sind, bevor sie zur ursprünglichen Seitengleichung addirt wurden, so bestimmt werden, dass die
Summe der Quadrate der Coefficienten in der neu entstandenen Seitengleichung ein Minimum wird. Es ist
hiebei nicht nöthig, dass die constanten Glieder der Winkelgleichungen, die zur Umformung der Seiten-
gleichung benutzt werden , vorher durch Ausgleichung auf Null gebracht sind. Ist aber das letztere der
33*
260 BEMERKUNGEN. AUSGLEICHUNO EINFACHER FIOUREM.
FkU, ao muH die Conltanta der Seitengleiohung natürlich mit den Werthen beTeehnet werden, die die Aui-
gleichnog der Winkelgleiohungeu geliefert hat.
Die Ao&eichnung unter [<] itt einem tur huknorenchen OradmeMung gehörigen Bechnungihefte
entnommen. Die Seitengleichungen in der angegebenen Form sind dort bei einer Au^leiohung der auf
den Jahren IBII bii 1B31 itanunenden Dreiecke bis lur Seite Hambrni;- Timpenberg angeaetzt worden.
Nachdem tuerat die Winkeliummen der Dreiecke su^egUchen «ind,, erfolgt die Anigleichung der von den
Beitenverhiltniuen berrflhrenden abgekünten BedingungigleJchungen. Die 'Winkeliuimnen der Drriecke
werden durch dieae Auagleiehung nicht geAndert. Auf dieae« Verfahren beneht lich wohl der Sehluaa dea
unter [i] mitgetheilten Briefea an ObbliHO vom ii. Januar i84a. Für numeriaahe Bechnungen erhih man
dieae Beitengleichung ebenao bequem, wenn man die Coetficienten ihrer Verbeicerungen in gewöhnlicher
Weile entweder mittelat logarithmilcher Differenien oder mittelat der Cotangenten der tugehörigen Winkd
bildet, nnd aladann die Verbeiaerung der Richtung ht gleich der Verbetierung der Richtung ih ietzL
Die ente Formel dei Art. 1(] befindet lich in demselben Rechnungthefte wie [4], wihrend die twdte
Formel auf da« Vonatibktt einer Logarithmentafel eingetragen iat. Wenn dai Froduot der Perpendikel
von den Funkten t und t auf die Seite ii durch P„, da« Frodnct der Ferpendikel aua i und * auf u
dureb P,,, u. a. w. beieichnet wird, femer dii, di3, u. a. w. die Richtungalnderungen von ti, is, n. ■. w.
bedeuten, ao lautet, wenn daa Viereck ausgeglichen ist, nach Art. [(] die Beitengleichung in der angeni-
herten Form :
du du du du ■ di4
^,7 ~ >,7 ~^ J\^'^
- + -.
Hierana ergibt ateh aofort die iweite Formel dei Art. \i]. Im Original hat daa Glied mit di4 der
letct«n da« Uinuironeiohen, wfihrend die flbrigen Glieder iimmtliah poiitiT aind; ea iat jedoch di«Mr
Formel von OaDbb tngefligt: ■ Vorbehaltlich der Voneichen.'
Zu der Notii [T] itä noch folgendee bemerkt. Iit
wobei Nf^o und .ST] ^ i iat , io wird daa reeiproke Gewicht de« Höhenuntenohiedea durch die Foimel
(>n+ n}jy^, - »iy, + !- i:"g
erhalten, aua der, wegen lim, .. " = — - — < »!■ Greniauadruok
l^tgt, KxCqek,
STATIONSATTSGLEICHÜNGEN.
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.
[10
[Stationsausgleichung fiir] Zeven aus sämmtlichen Messungen
von 1824 und 1825 (ohne die vom 4. und 5. August).
[Annahme für die Azimuthe.]
1
Steinberg
1«
17' 45^262 + a
Brüttendorf, Centr.
17
21 48,275
2
— Strich
17
21 58,264+/"
Bremen, Centr
•
53
26 10,871
3
— Heliotrop
53
26 13,375 + 6
4
Brillit
124
13 47,128 + c
5
Seisingen
152
47 56,646 + rf
6
Litberg
246
0 49,110 + «
7
Wilsede
288
22 42,653+/"
Beobachtete . . , ,
..,. , , Anzahl der
Winkel
Bepet
ätionen
Beobachtungiwerthe
iia
r.
1.3 57—
35^
-22
52" 8' 27"798
1.4 68
40
28
122 56 1,603
1.5 9
2
7
151 30 11,417
3.4 132
70
62
70 47 33,506
3.5 16
2
14
99 21 44,047
4.5 12
*
12
28 34 8,541
4.7 48
30
18
164 8 54,719
6.7 45
15
30
42 21 53,578
6
. 1 53
29
24
115 16 56,075
264 NACHLASS.
[Boobftchtoto 1
■^f. . I Anzahl der Bepetitionen Beobachtungiwerthe I
KreU
l. r.
6.3 2 = 2-1- * 167*25' 25*500
7.1 27 5 22 72 55 1,408
7.2 20 10 10 88 59 15,611
7.3 3 3 # 125 3 29,167
3.4 + 3.1 i # i 18 39 5,500.
[Die Ausdrucke für die Fehler der Beobachtungswerthe sind alsdann:]
-|-o;315 — a + 6
-1-0,263 — o + c
— 0,033 — a + i
-1-0,247 — 6 -f-C
— 0,776 — 6-t-rf
-i- 0,977 — c-frf
-1-0,806 — c-H^
— 0,035 — «+/"
+ 0,077 + a — «
— 1,235 + 6— e
+ 1,201+0-/"
* #
+ 1,555 + 6—/"
+ 0,140 + a— 26 + c.
[Wenn diesen Ausdrucken die Repetitionszahlen iur die zugehörigen
Winkel als Gewichte beigelegt werden, so ei^eben sich die nachstehenden
Normalgleichungen :]
[0= +l,036 + 214,5a— 586— 67,5c— Qd— 53«— 27/"
0= —0,178— 58 a+2126 — 133 c— 16d —
0= +0,146— 67,5a— 1336 + 260,5c—12rf
0= —0,989— 9 a— 166— 12 c+37<f
0= —0,036— 53 a— 26 # * +I00e— 45/
0=] +0,021— 27 a— 36— 48 c # — 45«+ 123/".
2e —
3/-
# —
48/"
#
#
STATIONSAUSGLEICHUNGEN.
266
[Zu ihrer Auflösung hat man das folgende Tableau, bei dem die Werthe
der Constanten und der Unbekannten in Einheiten der 3. Decimalstelle der
Secunde zu verstehen sind.]
rf— +27
a 4
6 — +2
e 2
f--t
« — — 1
+ 793
— 65
— 181
— 75
— 21
+ 32
— 610
— 378
+ 46
+ 50
+ 56
+ 58
— 178
+ 92
— 174
— 174
— 78
— 78
+ 10
+ 46
+ 14
+ 14
+ 14
+ 14
— 36
+ 176
+ 172
— 28
+ 62
— 38
+ 21
+ 129
+ 123
+ 213
— 33
+ 12.
a
— 4
b
+ 2
c
0
d
+ 27
e
— 3
f
— 2
1
2
3
4
[2.]
[Stationsausgleichung für] Brillit.
[Annahme für die Azimuthe.]
1 9® 4 r 5 7;'9 8 2 + a Bremen, Heliotrop
49 19 52,539 + 6 Garlste
124 0 37,9674-c Bremerlehe, Heliotrop
304 13 51,679 + rf Zeven, Heliotrop.
[Beobachtungstableau.]
Oemeisene
Winkel
Anzahl der 1
Repetitionen
[Kreis]
l. r.
dir. luppl.
1.2
42
22
20
21 21
2.3
48
24
24
24 24
4.1
44
23
21
23 21
4.2
40
20
20
20 20
4.3
24
7
17
13 11,
34
266
Mit Rückricht auf die
constante Verbesserung der Winkel >= x\ steht
daa Tableau bo:
[ Wink«!
l.J
21 29°3r63;381+ x'
21 55,846- x'
2.3
24 74 40 44,844+ x'
24 46,021 - *'
4.1
21 75 28 6,631+ x'
20 7,060- *'
3 6,333 +il'[*)]
4.S
16 106 6 0,317+ »'
15 1,533— x'
10 0,460 . [•*)]
4.3
13 179 46 45,962+ x'
11 46,522- x'.
[Wild] x = +0^723 +
X [gesetzt, so lauten die Ausdrücke für die Be-
obacfatungsfeblei der Winkel;]
+ 0"453 — a + 6— X
-0,565-a + 4+ X
— 0,139 — i + c— X
+ 0,130 — 6+1:+ X
— 0,051+« — d— X
— 0,024 + 0 — d+ X
— 0,271 +a—d—ix
-0,180+J— iJ— X
+ 0,050 + 6— lj+ X
+ 0,410+6-1« .
— 0,397+c — d— X
+ 0,489+1;— iJ+ X,
[auB denen, wenn die zugehörigen Repetitionszahlen als Gewichte angenommen
['] Im Beobachtitagibuche ist dieser Meisung lugefQgt:) >1. und 3. |Repetition] düeet, i. Supplement«
[**) Zu dieier MeHung iit im Beobttehtungtbuche bemerkt:] nabwecbielnd dii. und Buppl.; t. S. t.
T. B. direct, 1. t. S. ». lo. Supplement.'
STATIONSAUSGLEICHUNGEN.
267
werden, sich die nachstehenden Normalgleichungen ergeben:]
[0= —0,070-1-185^0?— 2a # — 2c+ Ad
0= —0,012— 2 x+S6a— 426 # — 44rf
0= +0,014 # — 42a4-1306 — 48c— 40rf
0= +0,002— 2 J? # — 486 + 72C— 24d
0=]— 0,004+ 4 0?— 44a— 406— 24c+ 108rf.
[Ihre Auflösung beeinflusst die dritte Decimalstelle der Secunde in den
angenommenen Werthen nicht mehr; mithin sind diese auch zugleich die
Ausgleichungswerthe.]
Summe der [mit den zugehörigen Repetitionszahlen multiplicirten] Qua-
drate [der Fehler]: 19,052630.
[Mittleres Fehlerquadrat:] i. 19,052630 = 2,381579.
[Mittlerer Fehler der Gewichtseinheit:] ^2^381579 = ± i;543236.
[Nach der Ausgleichung ist das] Gewicht von a?' = +0^^723 +ir gleich
185,1624; [daher]
E. pr. [= ± 0,1 1 3 . 0,674 . . .] = ± 0,076.
Bei den neuen Messungen in Zeven ist
Bremen— Brillit 25 [Rep.] direct 70"47'32;'810
25 » Supplement 34,510
X = 0^850.
50 [Rep.].. 70" 47' 33^660
[3.]
Wilsede
aus sämmtlichen Messungen von 1822 und 1824.
[Annahme.]
1
Falkenbei^
7« 51'
9';430 + a
2
ElmhoTSt
46 31
36,382 + 6
3
Steinberg
67 11
27,430 + c
4
Bottel
72 0
39,776 4-rf
5
BuUerbexg
89 5
3,816+«
34
268
NACHT. ARS.
6
Brüttendorf
103"
40'
9^1 94+/"
7
Zeven
108
22
39,286+^
8
Litberg
138
28
9,283 + Ä
9
Hamburg
183
29
1,167 + t
10
Syk
204
28
34,438 +*
11
Hohenhom
219
29
33,893 + /
12
Lüneburg
253
20
5,387-f-m
13
Nindorf
275
29
13,209+n
14
Timpenberg
283
5
9,299 + 0
15
Wulfsode
298
29
57,926+;)
16
Breithom
330
3
15,798+^
17
Hauselberg
334
25
35,1 52 +r.
f Beobachtete
Winkel
Gewichte
Beobachtungawerthe
Fehlerauidrflcke
1.5
7
81"
13'
53^429
+ 0;957— a + «
1.6
20
95
49
0,287
— 0,523 — 0 + /"
2.3
40
20
39
50,369
+ 0,679— 6 +c
2.6
8
57
8
33,469
— 0,657 — 6+/"
2.7
29
61
51
3,103
— 0,199 — 6+y
2.8
68
91
56
33,140
— 0,239— 6 +A
2.9
3
136
57
24,167
+ 0,618 — 6+1*
3.6
10
36
28
41,225
+ 0,539 — C+/"
3.7
11
41
11
10,773
+ l,083-c+y
3.8
11
71
16
42,455
— 0,602 — C+Ä
3.9
12
116
17
32,417
+ 1,320 — c+»
4.5
15
17
4
23,800
+ 0,240 — <£ + e
4.6
20
31
39
29,687
— 0,269 — d+/"
4.7
5
36
21
59,300
+ 0,210 — d+y
5.6
20
14
35
4,863
+ 0,515 — «+/"
6.7
18
4
42
30,458
- 0,366 -/"+y
6.8
50
34
48
0,125
— 0,036— /" + A
7.8
41
30
5
30,067
— 0,070— y + A
8.9
30
45
0
52,592
— 0,708 — A +
•
1
STATIONSAVSGLEICHUNGEN.
269
f Beobachtete
Winkel
Oeiriehte
Beobaehtungfwerthe
4
Fehlerauidrüoke
8.12
10
114«
'51'
56?275
— 0^171— A + m
9.10
30
20
59
33,575
0,304 i -\-k
9.11
50
36
0
32,745
— 0,019—» +/
9.12
58
69
51
3,840
+ 0,380— t +m
9.17
20
150
56
34,762
— 0,777 — » +r
10.11
20
15
0
59,912
— 0,457— *+/
11.17
21
114
56
1,738
— 0,479 — / +r
12.13
30
22
9
7,983
— 0,161 —m-^n
12.14
15
29
45
3,917
— 0,005 — m+o
12.15
2
45
9
52,875
— 0,336—»»+;)
12.17
27
81
5
29,213
+ 0,552— »n+r
12.1
20
114
31
3,413
+ 0,630 — m + a
12.4
12
178
40
34,521
— 0,132 — m+d
13.14
4
7
35
56,812
— 0,722 — n +0
13.16
20
54
34
2,687
— 0,098— n -\-q
14.15
72
15
24
48,837
— 0,210 — 0 +JB
14.16
52
46
58
6,423
+ 0,076 — 0 +g
14.17
21
51
20
25,464
+ 0,389 — 0 +r
15.16
54
31
33
17,733
+ 0,139— ;> +g
15.17
52
35
55
37,356
— 0,130— ;>+r
15.1
38
69
21
11,941
— 0,437— jo +a
16.17
10
4
22
18,400
+ 0,954 — g+r
17.1
55
33
25
34,273
+ 0,005 — r +a
(2. 3) + (2. 7)
i
82
30
55,250
— 1,298 — 26 + c+^
(2.7) + (6.7)
i
66
33
34,000
— 1,004— b — f-]-2ff
(6. 8) + 9 (7. 8)
iV
305
37
28,000
+ 2,062— /"- 9^+lOA
(6. 4) + 3 (6. 8)
i
72
44
27,500
+ 3,349 + d— 4/' + 3A.
270
NACHLAB8.
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CD
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P
8TATION8AU8GLEICHtJNOEN. 27 1
[4.]
(Ausgleichung der auf dem Wiudberge gemessenen Winkel
[vom Art.-Lieut. F. Habtmaiin].
Zielpunkte [Annahme]
1 Kiichhesepe 37" l' 38"0
2 Kloster ter Apel 91 23 46,2 + a
3 Onstwedde 119 22 52,6+6
4 Leer 174 5 30,3-j-c
5 Bassel 205 42 28,0 + d
6 Molbergen 276 35 42,5 + «
7 Queckenberg, Signal. ... 339 44 55,9-)-/'.
[Winkel Annahme Beobachtung]
1.2 54" 22' 8^2 + « = 54" 22' 7;575
1.3 82 21 14,6 #+6 =82 21 13,925
1.4 137 3 52,3 * « + C =137 3 52,650
1.5 168 40 50,0 # * *-{-d =168 40 49,575
6.1 120 25 55,5 * # # # — e =120 25 55,400
7.1 57 16 42,1 * # # # *— /■= 57 16 41,900
2.3 27 59 6,4 — a + 6 = 27 59 6,237
2.4 82 41 44,1— a # + c = 82 41 45,100
2.5 114 18 41,8 — a # * + d = 114 18 41,465
2.6 185 11 56,3— a * * # + 6 =185 11 55,500
7.2 111 38 50,34-a * # * *— /"= 111 38 51,240
3.4 54 42 37,7 *— 6 + c = 54 42 37,625
3.5 86 19 35,4 *— 6 * + rf = 86 19 36,900
3.6 157 12 49,9 *—b * *-{-e =157 12 50,350
7.3 139 37 56,7 *-\-b * * *— /"= 139 37 58,450
272 MACHLASS.
4.5 3l"36'57"7 * # — c + i = 31* 36' 567275
4.6 102 30 12,2 * # — c * + « =102 30 13,050
4.7 165 39 25,6 # # — c # #-{-/•= 165 39 26,450
5.6 70 53 14,5 * * * — d-{-e = 70 53 14,900
5.7 134 2 27,9 # # * — d #4-/"= 134 2 29,475
6.7 63 9 13,4 * # * m—e-\-f= 63 9 13,255.
[Fehlerausdrücke für die beobachteten Winkel:]
+ 0;625 + a
+ 0,675 *4-6
— 0,350 » #-|-c
+ 0,425 # # * + d
+ 0,100 # # # # — e
+ 0,200 #•*##—/•
+ 0,163— a + 6
-1,000-0 # + c
+ 0,335 — 0 # # + rf
+ 0,800—0 # * # + «»
— 0,940 + a # # * *— /•
+ 0,075 # — 6 + c
— 1,500 » — 6 * + rf
— 0,450 # — 6 * # + g
— 1,750 # + 6 # * #—f
+ 1,425 # # — c + i
— 0,850 * # — c # + e
— 0,850 * « — c » *+/•
— 0,400 * * ^t: — d-\-e
— 1,575 * * * — d «+/"
+ 0,145 # * # <^_g+^.
STATIONSAUSGLEICHUNGEN. 273
Normalgleichungen.
0 = — 0,61H + 6a— 6— c— d-- e— f
0 = +0,963— a+66— c— d— e— f
0 = — 1,000— a— 6+6c— rf— e— f
0 = +2,660— a— h— c+6rf— e— f
0 = — 1,145- a— 6— c— d-\-%e— f
0 = +0,210— o— h— c— rf— Ö+6/"
[woraus folgt, da 0 = + l,075 + a + 6 + c + {i + e + /* wird:
fl = — o;'o66 c = — o';oii <? = +o';oio
6 = —0,291 rf=— 0,534 /*=— 0,183,
und hiemit als mittlerer Winkelfehler: ± 0'J96].
Bemerkung. Die Winkel sind mit dem 8 -zölligen alten Reichenbach -
sehen Theodolithen gemessen worden, ich pointirte indessen mit meinem
eigenen Femrohr von 40 -maliger Vergrösserung ; jeder einzelne Winkel
wurde 20 -mal repetirt, Ablesungen von 5 zu 5, und zwar wurden erst 5
vorwärts, dann 5 rückwärts gemessen. Die Hemmung des Nonienkreises
und das Einstellen des Femrohrs geschah mit der rechten Hand (Klemme
des Nonienkreises rechts). Die Beweglichkeit des Armes mit dem Versiche-
rungsfemrohr wurde durch das Anziehen der Schrauben, welche durch das
Band gehen, ganz aufgehoben; die Kugel und Mutter von der Micrometer-
schraube an der IQemme des eingetheilten Kreises wurden so fest gepresst,
dass wenigstens kein Spielraum übrig blieb; die Kugel und Mutter von der
Micrometerschraube des Nonienkreises wurden nicht ganz so stark, aber hin-
länglich fest geklemmt. Die Hemmung des Nonienkreises geschah mit vieler
Vorsicht, und es wurde nur so fest geklemmt, dass sich durch den Schwung
bei dem Herumfahren des ganzen Instruments der Nonienkreis nicht ver-
stellen konnte. Der verticale Faden und die optische Axe wurden fast jeden
Tag berichtigt ; das Nivellement erhielt sich fast durchaus unveränderlich, die
Aufstellung war sehr fest.}
35
274 NACHLAB8.
[5.]
[Beobachtungen auf] Breithom [1822].
Sept. 13. Nachmittags.
Z[^enith-]D[i8tanz] der Oberfläche des Hauselbetg-Steines.
[Bep. Ables. an 4 Nonien]
0
20
0
20
0
10
101' 41' 22T22"22T24'' = 101* 41' 22!50 )
90* r 47:9625.
102 17 22.23.20.22 = 102 17 21,75 I
Z.-D. der Oberfläche des Escheder Steines [*)].
102 17 22. etc. = 102 17 21,75 |
90 10 36,375.
105 49 28.30.30.29 = 105 49 29,25 I
Theodolith. Kreis links.
Eschede, Stein — Hauselbeig, Stein.
283 13 63.59.70.65 = 283 14 4,25 |
121 56 7,900.
62 35 21.24.29.19 = 62 35 23,25 1
Eschede, Stein — Falkenberg, Stein (schwer von naher Baumspitze zu unter-
scheiden).
0 62 35 21. etc. = 62 35 23,25 )
93 38 25,850.
10 .278 59 39.38.47.43 =278 59 41,75 )
Eschede, Stein — Hauselbeig, Stein.
0 278 59 39. etc. = 278 59 41,75 \
121 56 9 525 f
10 58 21 15.19.20.14 = 58 21 17,00 ' | 121* 56' 8:925.
20 197 42 39.37.39.46 = 197 42 40,25 ' l
Wilseder Signalbaum — Hauselberg, Stein.
0 197 42 39. etc. = 197 42 40,25 |
27 28 1,000.
2 142 46 40.38.37.38 = 142 46 38,25 i
[*) Der Funkt Eiehede ist ip&ter Sehanihont genannt.]
8TATI0N8AU8OLEICHUNOEN.
275
0
2
4
6
0
4
8
12
0
8
20
0
5
0
4
0
5
Sept. 14. Yoimittags li''. Sehr stark undulirende Ltift.
Z.-D. des Wilseder Heliotrops.
108*47' 14:11:17:17" = 108" 47' 14';75
289 2 45.50.49.47 = 289 2 47,75
109 17 29.35.33.31 = 109 17 32,00
289 33 29.38.35.31 = 289 33 33,25
90* 7' 46^500
7 22,125
8 0,625
90" T 43^083
Z.-D.
289 33 29. etc.
290 18 29.38.33.30
291 4 5. 9. 6. 6
291 48 23.30.24.24
des Escheder Heliotrops.
289 33 33,25
290 18 32,50
291 4 6,50
291 48 25,25
90 11 14,812
11 23,500
11 4,687
90 11 14,333.
Z.-D. des Wilseder Heliotrops (von 2" an).
291 48 23. etc. = 291 48 25,25
292 42" 19.23.18.17 = 292 42 19,25
293 58 30.33.34.31 = 293 58 32,00
Luft etwas besser.
90 6 44,250
6 21,062
90 6 30,337,
Theodolith. Kreis rechts.
Wilsede [Heliotrop] — Hauselbei^, Stein.
322 46 31.32.34.35 = 322 46 33,00
185 30 26.22.17.23 = 185 30 22,00
27 27 14,200.
Wilsede, Heliotrop — Eschede, Stein.
185 30 26. etc. = 185 30 22,00
307 57 4. 6.10. 9 =307 57 7,25
149 23 18,6875.
Wilsede, Heliotrop — Hauselbei^, Stein.
307 57 4. etc. = 307 57 7,25
170 41 6. 9. 1. 7 = 170 41 5,75
27 27 12,300.
35'
276
NACHLABB.
0
2
12
19
26
33
35
38
39
Wilsede [Heliotrop] — Eschede, Heliotrop.
170*^41' 67 etc. = 170^41' 5';75
231 54 30.24.26.30 = 231 54 27,50
178 0 68.63.59.67 = 178 1 4,25
212 17 58.53.54.59 =212 17 56,00
246 34 37.30.35.33 = 246 34 33,75
280 50 59.57.59.58 = 280 50 58,25
342 4 14.20.17.18 =342 4 17,25
253 54 20.14.19.14 =253 54 16,75
104 30 60.56.51.49 = 104 30 54,00
149^23' 19';i25
20,325
18,321
20,321
22,214
20,500
20,167
22,750
149® 23' 2O';300.
149 23 17,650.
Sept. 15. Theodolith. Kreis links.
Wilsede [Heliotrop] — Eschede, Stein. Papier - Streifen 0,0475 m westl. vom
Centr., beträgt 0^8 7 3.
0 284 30 48.51.61.54 = 284 30 53,50
10 230 37 58.52.59.59 = 230 37 57,00
Eschede (wie oben) — Falkenberg, Stein.
0 230 37 58. etc. = 230 37 57,00 )
93 38 24,906.
8 259 45 13.13.22.17 =259 45 16,25 )
Eschede (wie oben) — Hauselberg, Stein.
0 259 45 13. etc. = 259 45 16,25
5 149 25 49.51.47.50 = 149 25 49,25
121 56 6,600.
Sept. 16.
Z.-D. des Falkenberg- Heliotrops. Die ersten 20 [ßep.] Vorm. von 9|~10^^,
an den übrigen Nachm. 2^40" fortgefahren.
0 293 58 29.36.34.29 = 293 58 32,00
2 114 3 49.54.50.51 = 114 3 51,00
4 294 9 19.23.19.18 = 294 9 19,75
6 114 14 50.50.48.48 = 114 14 49,00
8 294 20 26.33.27.25 = 294 20 27,75
10 114 25 54.58.58.57 =114 25 56,75
12 294 31 35.35.35.36 = 294 31 35,25
20 294 53 50.58.55.51 = 294 53 53,50
22 114 59 14.18.14.14 = 114 59 15,00
30 115 20 41.50.42.43 = 115 20 44,00
90 2 39,500
44,375
44,625
49,375
44,500
49,250
47,281
40,750
41,125
90 2 44,400.
STATIONSAUSGLEICHUNGEN.
277
0
1
2
5
9
19
27
35
49
52
0
11
0
6
Theodolith. Kreis rechts.
Falkenberg, Heliotrop — Wilsede, Heliotrop.
329® 25' 48749':5(/:49'' = 329® 25' 49;'00
25 10 39.46.38.40 = 25 10 40,75
80 55 40.35.33.29 = 80 55 34,25
248 10 21.10.16.16 =248 10 15,75
111 9 58.53.47.46 = 111 9 51,00
308 38 48.47.52.52 = 308 38 49,75
34 38 7. 7. 4. 1 = 34 38 4,75
120 37 33.25.22.23 = 120 37 25,75
181 6 19.15.10.19 = 181 6 15,75
348 20 57.59.53.59 = 348 20 57,00
55® 44' 5l';750
53,500
53,833
53,812
53,875
54,375
55,125
55,000
53,750
Falkenberg, Heliotrop — Hauselberg, Stein.
348 20 57. etc. = 348 20 57,00
299 35 41.41.41.45 = 299 35 42,00
28 17 42,275.
Wilsede [Heliotrop] — Hauselberg, Stein.
299 35 41. etc. = 299 35 42,00
134 52 30.29.21.25 = 134 52 26,25
27 27 12,625.
Einfache Winkel.
122® 36' 6" Hauselberg, Stein
Tempelbäume 1
— 2
55® 44' 54;'385.
121 26 22
121 25 47
121 25 26
121 23 37
121 22 49
121 22 17
121 20 54
3
4
5
6
7
Mehrere wurden nicht geschnitten; theils
weil es schon zu spät geworden war (die
Sonne längst unter dem Horizont), theils
weil die Tempelbäume nicht genug von
den Wichelbäumen zu unterscheiden waren,
zu welchen letztem vielleicht schon einer
oder der andere der geschnittenen gehören
mag.
278
BRIEFWECHSEL.
[6.]
[Über Stationsausgleichungen.]
Gauss an Gerling. Göttingen, 26. December 1823.
Mein Brief ist zu spät zur Post gekommen und mir zurückgebracht. Ich
erbreche ihn daher wieder, um noch die praktische Anweisung zur Elimination
beizufügen. Freilich gibt es dabei vielfache kleine Localvortheile , die sich
nur ex usu lernen lassen.
Ich nehme Ihre Messungen auf Orber-Reisig zum Beispiel [*)].
Ich mache zuerst
[Richtung nach] 1=0,
nachher aus 1 • 3
3 = 77®5r53;'l07
(ich ziehe dies vor, weil 1 . 3 mehr Gewicht hat als 1.2);
dann aus
13
50
1.2
2.3
2
2
26^44' 7';423
6,507
2 = 26^44' 6;'696;
endlich aus
26
1.4
4
6
2.4
4
78
3.4
4
136^21' 13;;481
8,529
11,268
4 = 136®2l'li;'641.
Ich suche, um die Aimäherung erst noch zu vergrössem, aus
[*) Die von Oerldto mitgetheilten WinkelmeBSungen waren (nach einem in Gauss' Naohlass befind-
lichen Blatte], wenn i Berger Warte, 2 Johannisberg, 3 Taufstein und 4 Milseburg beseichnet:
Bep. Winkel
IS l.i = i6*44' 7;'4i8
38 1 .3 = 77 67 63, 107
36 1 .4 = 136 31 13, 481
60 3.3 = 61 13 46, 600
6 3.4 == 100 37 1,833
78 3.4 = 68 33 18, 161.]
8TATI0N8AU8OLE1CHUNGEN. 279
13
1.2
1 = — 0^727
28
1.3
1 = 0
26
1.4
1 1,840
1 = —0^855,
Da jede gemeinschaftliche Änderung aller Richtungen erlaubt ist, so
lange es nur die relative Lage gilt, so ändere ich alle vier um 4*0^855
und setze
1 = 0® 0' 0^000 + a
2 = 26 44 7,551+6
3 = 77 57 53,962 + c
4 = 136 21 12,496 + d.
Es ist beim indirecten Verfahren sehr vortheilhaft, jeder Richtung eine
Veränderung beizulegen. Sie können sich davon leicht überzeugen, wenn Sie
dasselbe Beispiel ohne diesen Kunstgriff durchrechnen, wo Sie überdies die
grosse Bequemlichkeit, an der Summe der absoluten Glieder = 0 immer eine
ControUe zu haben, verlieren. Jetzt formire ich die vier Bedingungsgleichungen
und zwar nach diesem Schema (bei eigener Anwendung und wenn die Glieder
zahlreicher sind, trenne ich wohl die positiven und negativen Glieder), [wobei
die Constanten in Einheiten der dritten Decimalstelle angesetzt sind:]
ab — 1664 ba + 1664 ca +23940 da —25610
ac —23940 bc + 9450 cb — 9450 db +18672
ad +25610 bd —18672 cd —29094 de +29094.
Die Bedingungsgleichungen sind also:
0 = + 6 + 67a— 136— 28c— 26d
0 = — 7558 — 13a+696— 50c— 6d
0 = —14604 — 28a— 50ft+156c— 7Sd
0 = +22156 — 26a— 66— 78c+110rf;
Summe = 0.
Um nun indirect zu eliminiren, bemerke ich, dass, wenn 3 der GxOssen
a, 6, c, d gleich 0 gesetzt werden, die vierte den grössten Werth bekommt,
wenn d dafür gewählt wird. Natürlich muss jede Grosse aus ihrer eigenen
Gleichung, also d aus der vierten, bestimmt werden. Ich setze also d = — 201
280
BRIEFWECHSEL.
und substituire diesen Werth. Die absoluten Theile werden dann: +5232,
— 6352, +1074, +46; das Übrige bleibt dasselbe.
Jetzt lasse ich b an die Reihe kommen, finde 6 = +92, substituire und
finde die absoluten Theile: +4036, —4, —3526, —506. So fahre ich fort,
bis nichts mehr zu corrigiren ist. Von dieser ganzen Rechnimg schreibe ich
aber in der Wirklichkeit bloss folgendes Schema:
d 201
b — +92
a — — 60
c — + 12
a — + 5
i = -2
a=— 1
+ 6
-1-5232
+ 4036
+ 16
— 320
+ 15
+ 41
— 26
— 7558
— 6352
— 4
+ 776
+ 176
+ 111
— 27
— 14
14604
+ 1074
— 3526
— 1846
+ 26
— 114
— 14
+ 14
+ 22156
+ 46
— 506
+ 1054
+ 118
— 12
0
+ 26.
Insofern ich die Rechnung nur auf das nächste 2000*®^ [der] Secunde
fahre, sehe ich, dass jetzt nichts mehr zu corrigiren ist. Ich sammle daher
a =
— 60
6 = + 92
c = +12
d= —201
+ 5
— 2
— 1
— 56
+ 90
+ 12
— 201
imd fuge die Correctio communis +56 bei, wodurch wird:
a= 0 6 = + 146 c = +68 rf = — 145,
also die Werthe [der Richtungen]
1
0" 0'
0^000
2
26 44
7,697
3
77 57
54,030
4
136 21
12,351,
Fast jeden Abend mache ich eine neue Auflage des Tableaus, wo immer
leicht nachzuhelfen ist. Bei der Einförmigkeit des Messungsgeschäfts gibt dies
immer eine angenehme Unterhaltung ; man sieht dann auch immer gleich, ob
etwas zweifelhaftes eingeschlichen ist, was noch wünschenswerth bleibt, etc.
Ich empfehle Ihnen diesen Modus zur Nachahmung. Schwerlich werden Sie je
wieder direct eliminiren, wenigstens nicht, wenn Sie mehr als 2 Unbekannte
STATIONSAUSGLEICHUNGEN. 28 1
haben. Das indirecte Yerfahren lässt sich halb im Schlafe ausfuhren, oder
man kann während desselben an andere Dinge denken.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 22. December 1827.
Die Einheit in meinem Coordinatenverzeichnisse ist 443,307885 [Pariser]
Linien; der Logarithm zur Reduction auf Toisen
= 9,710 1917.
Inzwischen gründet sich das absolute nur auf Ihre Basis, oder vielmehr
auf die von Caroc mir angegebene Entfernung zwischen Hamburg und Hohen-
hom, log = 4,141 1930, wofür ich also genommen habe: 4,431 0013. Sollte
nach der Definitivbestimmung Ihrer Stangen Ihre Basis, und damit die obige
Angabe der Entfernung Hamburg -Hohenhom, eine Veränderung erleiden, so
werden in demselben Verhältnisse auch alle meine Coordinaten zu verän-
dern sein.
In der Form der Behandlung ist ein wichtiges Moment, dass von jedem
Beobachtungsplatz ein Tableau aufgestellt wird, worin alle Azimuthe (in
meinem Sinn) geordnet enthalten sind. Man hat so zum bequemsten Ge-
brauch fertig alles, was man von den Beobachtimgen nöthig hat, so dass man
nur ausnahmsweise, um diesen oder jenen Zweifel zu lösen, zu den Original-
protocoUen recurrirt Ist der Standpunkt von dem Zielpunkt verschieden,
so reducire ich keinesweges die Beobachtungen auf letztem (Centrirung) , da
sie ohne diese Reduction ebenso bequem gebraucht werden können (insofern
nemlich von vielen Schnitten untergeordneter Punkte die Rede ist, die nicht
wieder Standpunkte sind).
Die Bildung eines solchen Tableaus beruht nun wieder auf mehrem
Momenten, wozu eine Anweisung nur auf mehrere Briefe vertheilt werden kann,
daher Sie vielleicht wohl thun, dieses Tableau erst selbst gleichsam zu stu-
diren und mit den Beobachtungen zusammenzuhalten, damit Sie mir beson-
iz. 36
282
BRIEFWECHSEL.
ders angeben können, worüber Sie Erläuterung wünschen. Diesmal bemerke
ich nur, dass zu jener Bildung zwei Hauptstücke vorkommen, nemlich :
I. Bildung eines Tableaus, welches sich bloss aus den Messungen andern
Platze ergibt, und welches also noch nicht orientirt ist.
n. Orientirung des Tableaus durch Hinzufugung einer Constanten. Dabei
bemerke ich, dass ich das erste Tableau der Bequemlichkeit wegen gern so
einrichte, dass es wenigstens sehr nahe orientirt ist.
In das erste Tableau braucht man nicht alle Richtungen einzutragen,
sondern kann sich begnügen, nur diejenigen aufzunehmen, die auf solchen
Winkelmessungen beruhen, die einander auf irgend eine Art controUiren, und
von den übrigen eben nur solche, die nöthig sein können, um die absolute
Orientirung zu erhalten. Im gegenwärtigen Fall bestehen erstere aus [den
Richtungen]
1 Neuenfelde
2 Altenwerder
3 Altona, Heliotrop ) O
4 Hamburg
5 Wilhelmsburg
letztere aus [den Richtungen nach] dem Pfahl, dem Meridianpfahl und etwa
nach Rönneberg. Ich würde unter letztere auch Harburg angenommen haben,
wenn es mit Repetition geschnitten wäre.
Die sämmtlichen auf die Punkte 0 sich beziehenden Messungen sind*)
1.
2
5
41» 4'
39^700
1.
.3
4
45 11
31,400
1 .
,4
4
54 45
31,562
1.
,5
5
85 36
40,200
2.
.3
1
4 6
50,750
2,
,5
10
44 32
2,275
3.
.4
28
9 34
1,973
3.
.5
2
40 25
10,000
4
.5
20
30 51
9,255
> A
*) Ich habe die Mittel zum Theil etwas anders genommen als Herr Petebs.
8TATION8AU8GLEICHUNGEN.
283
Um das Tableau I fiir die Punkte O zu erhalten, muss erst noch ein
anderes genähertes vorausgehen, wo die Messungen A noch nicht ausge-
glichen sind. Damit es wenigstens ungefähr orientirt werde, bemerke ich,
dass mein früheres Tableau für Altena folgendes enthält:
Harburg 344® 52' 54';294
Meridianpfahl 359 59 56,741.
Es ist also Vahrendorf
aus Harburg
aus Meridianpfahl
344® 52' 54;'294
28 41 26,413
13 34 20,707
359 59 56,741
13 34 23,400
13 34 20,141
13® 34' 20';225
15 Beob., denen ich nur halben
Werth beilege.
43 Beob.
Mittel.
Es würde also vom Vahrendorf er Pfahl aus das Azimuth von Altena
193® 34' 20^225 sein, wenn die Erde ein Plan wäre; wegen der Krümmung ist
aber eine kleine Reduction nöthig, die aber erst berechnet werden kann,
wenn die Lage von Vahrendorf bekannt ist; dazu noch die Centrirung auf
den Beobachtungsplatz, die gleichfalls noch nicht berechnet werden kann,
aber negativ ist,
(Durch Versehen hatte ich hier imrecht [positiv] geschrieben und danach
die Wahl der ersten Zahl gesetzt. Dies ist aber im Tableau I ganz gleich-
gültig, da dies bloss die .relative Lage enthielt. Man fängt gern gleich
nahe an, um mit kleinen Zahlen nachher zu thun zu haben.)
Man mag also damit anfangen, Altona = 193®34'30'j[000 zu setzen. Um
nun erst genäherte Werthe für die übrigen Richtungen zu erhalten, verhalte
ich mich so:
3 = 193*^34' 30';000
1.3 = 45 11 31,400
1 = 148^22' 58';600.
36*
284
BBOBFWECHSBL.
Dann femei
4 aus 3 -{-3. 4
1 + 1.4
»
203* 8' 31^973 28 Mess.
30,162 4
Mittel: 4 = 203" 8' 3i;747.
Dann
5 aus 3 + 3.5» 233* 59' 40"000 2
1 + 1.5 =
4 + 4.5 =
»
38,800 5
41,002 20
Endlich
Mittel: 5 = 233*59' 40"520.
2 aus 1 + 1 . 2 = 189* 27' 38^300 5
» 3 — 2.3= 39,250 1
38,245 10
»
5 — 2 . 5^
[Mittel: 2] = 189*27' 38*325.
Diese Bestimmungen müssen nun aber zu sämmtlichen A nach der
Methode der kleinsten Quadrate erst strenge ausgeglichen werden, wobei Eine
der fünf Grössen als unveränderlich betrachtet werden kann. Es ist am vor-
theilhaftesten, den Ort dazu zu wählen, der am Oftesten geschnitten ist, also
diesmal 4. Die vier übrigen bedürfen noch Correctionen, die ich mit a, 6, c, i
bezeichne, also schreibe
1 = 148*22
' 58^600+0
2 = 189 27 38,325 + 6
3 = 193 34 30,000+c
4 = 203 8 31,747 *
5 = 233 59 40,520 + <f.
Die 9 Messungen A geben nun folgende Bedingungsgleichungen:
Gewicht 5
0 = +0^025 — a + 6
Gewicht 10
0 = _o;080— 6 + rf
4
0 = 0 —a-\-c
28
0 = —0,226 — c
4
0 = +1,585 — a
2
0 = +0,520 — c+i
5
0 = +1,720 — a + rf
20
0 =— 0,482 + rf,
1
0 = +0,925 — 6 + c
STATION8AU8GLEICHXJNGEN.
285
die nach der Methode der kleinsten Quadrate au%elöst werden müssen. Es
gibt aber dabei mancherlei Kunstgriffe, die sich nicht ohne yiele Weit-
lauftigkeit schriftlich werden mittheilen lassen, die aber von sehr grosser Wich-
tigkeit sind. Das Weitere muss ich mir auf einen andern Brief versparen.
Auch ist heute die Zeit zu kurz, das definitive Tableau noch abzuschreiben.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 7. Januar 1828.
Ich fahre heute fort, Ihnen die weitere Behandlung der Vahrendorfer
Messungen mitzutheilen.
Die Elimination aus den 4 Normalgleichungen gibt folgende Resultate:
a = -f i;061
b = +0,520
c = —0,024
d= +0,304
und damit ein neues Tableau der Azimuthe, in welches ich auch noch den
Pfahl, den Meridianpfahl und Rönneberg, Signal, mit aufiiehme, da die beiden
letztem Richtungen auch mit Repetition gemessen sind.
Pfahl
Neuenfelde
Altenwerder
Altena, Heliotrop . .
Hamburg
Wilhelmsburg
Meridianpfahl
Rönneberg
63^57' 32"
148 22 59,661
189 27 38,845
193 34 29,976
203 8 31,747
233 59 40,824
261 12 32,414
278 15 23,322.
Dieses Tableau ist nun aber noch nicht orientirt, obwohl schon nahe.
Die genaue Orientirung wird in gegenwärtigem Fall am besten durch Altena
erhalten. Allein es ist dazu nöthig:
286 BRIEFWECHSEL.
Altena I. Dex Winkel in Altena zwischen den Richtungen
nach dem Pfahl und Standpunkt;
II. eine kleine Correction wegen der Krümmung
der Erde, welche bewirkt, dass der Unterschied der
6—-— Standpunkt Richtung Altena - Standpunkt und Standpunkt - Altena
nicht genau 180® ist. Beide Berichtigungen können
aber erst berechnet werden, wenn die Lage des Standpunkts schon nähe-
rungsweise wenigstens bekannt ist. Man mag diese also erst suchen, indem
man jene beiden einstweilig ignorirt. Dazu bedarf es nun keiner Anleitung;
Sie mögen nach Gefallen das A Altona, Standpunkt, Hamburg oder Altena,
Standpunkt, ßönneberg, etc. dazu anwenden. Ich bemerke nur, dass um I.
zu berechnen, bloss die Entfernung Altona-Standpunkt nöthig ist; in obigem
Dreieck sind dann 2 Seiten und ein Winkel bekannt. Ich finde nun
log (Altona-Standpunkt) =4,09915 j Der Winkel in Altona = 1 8;5 5 1
log Standpunkt-Pfahl) =0,16643 > und also, da in Altona
Winkel [im] Standpimkt = 1 2 9® 3 6' 5 8") Azimuth des Pfahls = 13^34^ 20^225,
ebendaselbst
Azimuth des Standpunkts = 1 3® 3 4' 1 "6 74.
Ad n. bemerke ich, dass zu dieser Correction die genäherten Coordinaten
vom Standpunkt erforderlich sind.
Sind die von Altona a, ft,
vom Standpunkt o?, y,
so ist die Correction = — A[x — a)[j/-\-b]^
wo A eine Grösse ist, die eigentlich Function von x ist, genauer von
^(j?-(-fl), aber sich sehr langsam ändert |^*].
Für Altona ist log -4 = 1,40336— 10
» Lysabbel » » =1,40323 — 10.
Die Rechnung steht also so:
a = — 224495,3 6 = + 16,4
0?=— 212281,4 ^ = +2963, 7 (sind übrigens schon gute Coordinaten)
[*) Vergl. 8. 2i6/il7, wo q für -4 geschrieben iat. Die Correction igt, wenn Ä filr beide Punkte
gleich angenommen wird : —A{x — a) — ^^^ + -4 (a — a:) • ]
STATION8AÜ8GLEICHUNGEN. 28 7
x — a = +12213,9 log 4,08686
y-L-6=+ 2980,1 log 3,47423
log(— ^). . 1,40336«— 10
8,96445«— 10.
Zahl = — 0;'092.
Azimuth in Altona = 13^34' i;'674
180
Azimuth von Altona = 193^34' i;'582.
Obiges Tableau bedarf also, um orientirt zu sein, einer Correction von
28^394 und steht also so:
Pfahl 63^57' 4"
Neuenfelde 148 22 31,267
Altenwerder... 189 27 10,451
etc.
BEMERKUNGEN.
Eine ZuBammenstellung der endgültigen AuBgleichungen von Stationsbeobachtungen, deren Ergeb-
nisse in die Netzausgleichung eingeführt sind, ist nicht vorhanden. Die Resultate der Stationsausgleichungen
selbst sind mitgetheilt , Band IV, S. 449 u. f. , in den »Abrissen der auf den verschiedenen Stationen der
GradmesBung, 1821, 1822, 1823, und deren Fortsetzung bis Jever, 1824, 1826, festgelegten Richtungen.« Doch
zeigen die Richtungswerthe, welche Gauss fOr die Netzausgleichung benutzt hat (wie aus der Dreiecks-
Zusammenstellung der beobachteten Winkel im folgenden Abschnitt hervorgeht) noch kleine Abweichungen
von jenen, die von den Reductionen wegen der Höhe des anvisirten Objects und wegen der Abweichung
der geodätischen Linie vom Verticalschnitt herrühren (vergl. dazu den später folgenden Brief an Olbebs vom
14. Mai 1826), bei manchen Richtungen aber auch noch in Gentrirungsbeträgen ihren Grund haben müssen.
Die mitgetheilten Stationsausgleichungen für Zeven und Brillit, [i] und [2], die nicht die endgültigen
sind, wurden einem Handbuche entnommen, in welches Gauss im Ganzen 8 Ausgleichungen von Stations-
beobachtungen eingetragen hatte. An Stelle der angegebenen Gonstanten in der dritten und vierten Nor-
malgleichung fOr Zeven hatte Gauss irrthümlich +0,346 und — 1,189; infolge dessen weicht sein Auf-
löBungstableau von dem vorstehend gegebenen ab. Je nach dem Stande der Beobachtungen sind die Aus-
gleichungen von Gauss mehrmals wiederholt (vergl. S. 280, unten); so ist die hier mitgetheüte Ausglei-
chung für die Station Wilsede, Notiz [3], die vierte, die sich in einem Beobachtungs- und Rechnungshefte
für die hannoversche Gradmessung befand. Ihr Ergebniss stimmt mit der Angabe unter den »Abrissen
288 BEMERKUNGEN.
ete.«, Band IV, S. 464, überein, wenn man hier die Orientirung um — o''666 rerändert. Berechnet man
nach Art. 13, S. 95, für Wilsede die Correctionen der beobachteten Bichtungen wegen der Meereahöhe dei
eingestellten Objeota und wegen der Abweichung der geod&tiachen Linie vom Verdcalachnitt, bo erhält man
itbr die Richtung nach Falkenberg (I60,8m]: -{-o'/ooi, nach Elmhorst (oo,om): -{-o^'oos, ftkr die Richtungen
nach Steinberg (73,8 m), Bottel (52,4 m;, BuUerberg (53,3 m', Brüttendorf (49,6 m) und Zeven (44,8 m) je o^'ooo,
itbr die Richtung nach Litberg (65,5 m): — O^'OOI, nach Hamburg (144,9 m): O^'ooo, nach LOneburg (99,1 m):
+ 0''003, nach Nindorf (116, 7m]: —O^'ooi, nach Timpenberg (117,1 m): — o;'oo2, nach Wulfiiode (104,5m):
— 0','003, nach Breithom (120,5 m) : — 0/002 imd nach Hauaelberg (120,4 m) : — o/oo3. Die eingeklammerten
Werthe der Meereshöhen sind einem GAUSsschen Handbuche entnommen. Werden diese Correctionen an
die Ausgleichungsergebnisse angebracht, so folgen die für Wilsede in die Netzausgleichung eingeführten
Werthe.
S&mmtliche noch vorhandenen Stationsausgleichungen finden sich theils in kleinen Beobaehtungs-
und Rechnungsheften zur Gradmessung, theils auf losen Bl&ttem zerstreut. Die Form der Ausgleichung ist
bei allen Hauptdreieckspunkten so, wie bei Zeven oder Wilsede, in wenigen Fällen wie bei Brillit (vergL
die Briefe an Olbebs vom Juli 1825, an Scb:umachek vom 14. August 1825 und an Bessbl vom
39. October 1843).
Eine symmetrische Anordnung der Messungen hat auf keinem Hauptdreieekspunkte stattgefunden.
Nur auf einigen Nebenpuiikten scheinen alle Winkel-Combinationen beobachtet zu sein. Die Beobachtungen
auf dem Windberge, Notiz [4], von dem ArtiUerie-Lieutenant F. Habtmann, einem der Oehülfen Gauss* bei
der Triangulation, geben ein Beispiel dafür. (Auf dem Original, einem einzelnen Blatte, ist von Habtmann
noch hinzugefügt : » Wegen Abgang der Post nicht vollständig. Den Winkel 7 . 3 will ich noch einmal
messen, vielleicht hat diese Wiederholung auch auf den Winkel 8.5 einen günstigen Einfluss«. Sie ist
aber nach dem Beobachtungsbuche nicht erfolgt.) Die Messungen auf dem Windberge haben im Juni 1830
stattgefunden.
In welcher Weise Gauss beobachtet hat, zeigt der Auszug aus einem Beobachtungshefte für den
Gradmessungspunkt Breithom, Notiz [5j.
Über das bei der hannoverschen Triangulation angewandte Verfahren gibt auch der nachfolgende
Auszug aus dem bereits erwähnten Heftchen mit dem Titel: »Geodätischer Calcül nach Gauss« von Prof.
Goldschmidt Auskunft. Goldschmidt hat Gauss wahrscheinlich, wie schon früher mitgetheilt ist, in den
letzten Jahren der Landesvermessung bei den Rechnungen unterstützt; 1834 hat er bei dem Lieutenant
Gauss an den Messungen für die Detailaufhahme Theil genommen.
»Bei der Triangulirung selbst wird zuerst eine massige Anzahl von Punkten, die den aufzunehmenden
Raimi so bedecken, dass sie eine weite Aussicht haben, ausgewählt. Von diesen Hauptpunkten nimmt
man nur so viele, als gerade nöthig sind, um die sogenannten Punkte zweiter Ordnung, von denen wir so-
gleich reden werden, zu bestimmen ; ihre Entfernung wird übrigens so gross genommen, als das Terrain und
die Stärke der anzuwendenden Femrohre es nur irgend gestatten. Auf jedem der ausgewählten Haupt-
dreieckspunkte schneidet man nun alle überhaupt sichtbaren Objecte, deren Bestimmung mit im Plane
liegt, ein, misst aber hauptsächlich die Winkel unter den übrigen hier sichtbaren Hauptpunkten mit viel-
facher Repetition, ebenso misst man die Winkel zwischen den ausgewählten Nebenpunkten und den Haupt-
punkten.
Die Hauptdreieckspunkte dienen dazu, dem ganzen Systeme eine feste Haltung zu geben, und des-
halb wählt man nur wenige derselben, und nimmt lieber ihre Entfernung so gross als möglich, um weniger
Zwischenstationen zu haben, bei denen sich die begangenen Fehler immer mehr und mehr anhäufen könnten.
Die geringe Menge der ausgewählten Hauptdreieckspunkte würde es uns aber immöglich machen,
alle von ihnen umschlossenen Punkte mit Genauigkeit zu bestimmen, selbst wenn das Terrain es verstattete,
STATIONSAUSGLEICHUNGEN. 28 9
nach allen feitsEusetzenden Punkten zu visiren, denn es würde hiebei nicht zu Tenneiden sein, dass viele
Punkte durch sehr spitze Dreiecke bestimmt werden müssten, in denen bekanntlich ein sehr kleiner beim
Messen der Winkel begangener Fehler die Lage des Punktes ungemein abändern würde. Dies ist der
Grund, warum man noch eine grössere Anzahl Ton Nebenpunkten auswählt.
Diese wählt man so, dass sie i) zur Bestimmung aller überhaupt festzusetzenden Punkte genügen,
1] daas sie wo möglich aus den Hauptdreieckspunkten sich mit Schärfe bestimmen lassen, wobei man
indessen nicht zu ängstlich zu sein braucht, denn wenn ein solcher Punkt sich nicht aus Hauptdreieckspunkten
bestimmen lässt, so kann man ihn durch Nebenpunkte bestimmen; doch ist es, der Orientirung halber,
immer gut, wenigstens einen Hauptdreieckspunkt einzuschneiden. Übrigens schneidet man auch von den
Nebenpunkten alle überhaupt sichtbaren Objecte, die mit bestimmt werden sollen, ein, die Haupt-
luid Nebenpunkte mit mehrfacher Repetition und Ablesung, die übrigen Punkte, welche keine Standpunkte
sind, allenfalls nur einmal.
Dies ist die allgemeine Übersicht der Triangulation; jetzt einige ins Einzelne gehende Bemerkimgen.
Durch Drehung des Alhidadenkreises wird immer eine, wenn auch geringe Drehung des eingetheilten
Kreises herbeigeführt, und hiedurch können coüstante Fehler entstehen, dergestalt, dass man, beim
Messen von der Linken zur Rechten, den Alhidadenkreis immer auf dem kürzesten Wege nach dem Ob-
ject hin bewegend, die Winkel immer zu klein finden würde. (Bei der Disoutirung der Messungen, die
Lieutenant Gauss 1833 in Westphalen vorgenommen, habe ich den mittlem hieraus sich ergebenden Fehler
etwa i^'5, bei den Messungen vom Hauptmann Müller 3" gefunden.) Um dies zu compensiren, führt
Gauss den Alhidadenkreis ebenso oft auf dem kürzesten als auf dem längsten Wege in die Richtung des
zweiten Objects.
Messungen der Winkel von einem Standpunkte aus.
Wir wählen zuerst einige Punkte aus, die eine für ein scharfes Pointiren geeignete Gestalt haben.
Die Anzahl derselben darf, wenn man scharfe Resultate haben will, wohl nicht unter 4 und, wenn unnöthige
Weitläuftigkeit vermieden werden soll, nicht über 6 sein. Am gerathensten ist es, wenn dieselben Haupt-
punkte des Systems sind und zu gleicher Zeit den Horizont in gleiche Theüe theilen. Doch braucht man
nicht zu ängstlich rücksichtlich dieser Bedingungen zu sein. Man misst nun die Winkel zwischen je zweien
dieser Objecte, indem man alle möglichen Combinationen macht. Nachher gleicht man die gefundenen
Werthe nach der Methode der kleinsten Quadrate aus. Jeden andern festzusetzenden Punkt vergleichen
wir nun mit einer der so bestimmten Richtungen ; wenn er schärfer bestimmt werden soll, durch mehrmalige
Repetition, vielleicht auch vergleichen wir ihn mit zweien; geben diese nicht dasselbe Resultat, so wendet
man auch hier die Methode der kleinsten Quadrate an. Wie dies geschieht, wollen wir sogleich angeben.
Die Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate wollen wir an einem Beispiele zeigen. Vom
Standpunkt Hoheegge wurden Enegerloh (l), Dörenberg (3), Nonnenstein (3), Hünenburg (4)
als Vergleichungspunkte ausgewählt und folgende Winkel, jeder mit 20-maliger Repetition, gemessen :
1. J = 77*42'88;'813
1 .3 = 163 40 3, 500
3.3 = 84 67 24, 760
8.4 = 107 69 41, 876
4.1= 89 30 16, 438
4.3 = 167 2 63, 035.
Man nehme jetzt dieAzimuthe der 4 Punkte i, 3, 8, 4, d. h. man beziehe alle auf eine und dieselbe
Fundamentalrichtung; ob diese wirklich der Meridian ist, ist hiebei ganz gleichgültig, doch thut man wohl,
37
290
BEMERKUNGEN.
diese Richtung nicht allzuweit vom Meridian su entfernen, um nachher keine zu groMe Correction wegen
der Orientirung anbringen zu müssen. Näherungsweise kann man sich ja immer die Richtung des Meri-
dians allenfalls mit der Boussole yerschaffen (wie Habtmann dieses auf dem Harze da that, wo er kein
Asimuth kannte). Ein genäherter Werth des Azimuths Ton l ist 4i*36'o/0; wären alle Winkel, von denen
1 ein Schenkel ist, richtig gemessen, so wären die Azimuthe von
3 = 119*7'88j'S18
3 = 304 6 3, 600
4 = 313 4 43,663.
Berechnet man z. B. 3 nicht aus l und 1.3, sondern aus 3 und 3.3, so findet man • = 3 + 3.3
= 304* 6' 3^063, also Ton dem oben angegebenen Werthe verschieden ; wir müssen also bei 3, 3, 4 nochCor-
rectionen anbringen. 3, 3, 4 sind nur genähert, und wir lassen der leichtem Rechnung halber die Decimal-
theile der Secunde weg, indem wir diese mit in der Correction enthalten sein lassen; d^nn ist
1 = 41* 35' oj'o
3 = H» 7 38, 0+X
3 = 304 6 3, 0+y
4 = 313 4 4t, 0+*.
Berechnet man hieraus die Winkel, so ist:
Calc.
1.3 = 7 7*43'38;'0+a;
1.3 = 162 40 3, 0+y
3.3 = 84 57 34, 0—X + y
3.4 = 107 50 41,0 — y-f-xr
4.1 s=s 89 30 17, 0 — «
4.3 = 167 3 55, 0 + $ß — M
Obs.
Obs.-Calc.
38/313
— o;'813+« =
t'
3,500
~o,500 + y =
t''
34,750
-0, 750-aj+y Ä
t'"
41, 376
-0,376 —y + M =
«^
16,438
+ 0,563—* =
.^
53,035
+ 1,975+« — « =a
.^
E
l
0
Bildet man hieraus nach der Methode der kleinsten Quadrate die Fundamentalgleichungen, so ist
+ 3,413 + 3«— y— «=o
— 0,875— «+3y— M =: 0
— 3,913— «— y+ig sa 0.
Gleichungen dieser Form lassen sich am besten auf folgende Art lösen ; addirt man sie, so ist
-l,375+« + y + « = 0,
und addirt man diese zu jeder einzelnen Fundamentalgleichung, so kommt:
+ 1,037 + 4« «0 « s=s —0,359
— 8,350 + 4y = 0 y = +0,663
— 4,387 + 4« = 0 « = +1,073.
Diese leichte Eliminationsmethode lässt sich bei den symmetrischen Fundamentalgleichungen, auf
welche diese Aufgabe jedesmal f(\hrt, wenn alle Combinationen unter den Richtungen und zwar alle mit
gleicher Repetition gemessen sind, jedesmal anwenden. Wir finden also die verbesserten Azimuthe :
STATI0N8AUSOLEICHUNOEN.
291
Calc.
Calc-Obs
1.
41*J5^ Oj'OOO
1 .2
77*42' 37;'741
— 0/672
2.
119 7 37,741
1.3
162 40 2,663
+ 0,063
3.
204 6 3,663
2.3
84 67 24,822
+ 0,072
4.
312 4 44,072
und hieraus
3.4
107 60 41, 600
+ 0,184
4.1
89 20 16,928
— 0,610
4.2
167 2 63, 669
+ 0,644
^ii
ikel nicht alle mi
t einer irleioh
len Anzahl Renetitionen ire
messen, sc
schiedene Gewichte haben, so muss man jeden Beitrag der Fehlergleichungen für c', t", %"\ ... zu den
Fundamentalgleichungen mit dem Gewicht, d. h. mit der Zahl, welche der Anzahl der Repetitionen propor-
tional ist, multiplidren. Um auch hierClber ein Beispiel anzuführen, nehmen wir die von [Lieutenant] Gauss
in Neuenkirohen gemessenen Winkel.
1. Dörenberg 2. Quekenberg 3. Quackenbrück 4. Mordkuhlenberg.
Er fand
Pond.
Azhnuthe
1.2 93* 9' 2;'876
6
1.
6*26'68;'000 [♦)]
1.3 147 10 10,938
1
2.
99 36 0, 876 + 5
2.3 64 1 4,126
6
3.
163 36 6, 666 +C
3.4 86 21 14,876
6
4.
239 67 22, 463+d
4.1 126 28 33,626
6
Calo.-Obs.
Pond.
1.2 07000 +&
6
1.3 -3, 282 + C
1
2.3 +0,666—6 +
e 6
3.4 +1,922— C + d 6
4.1 +1,922— (J
6.
Bildet man die Fundamentalgleichungen, indem man die Beiträge der obigen Fehlergleichungen mit
ihren resp. Gewichten multiplicirt, so findet man
— 3,280 + 105— 60 « as 0
— 9,612— 65+llC— 6(1 = 0
0 « — 6e+10(l SS 0,
und jetzt werden nach bekannten R^eln 5, e, d gefunden, und damit die obigen Werthe der Azimuthe ver-
bessert.
Hat man auf diese Art die zwischen den Hauptrichtungen gemessenen Winkel ausgeglichen, so bestimmt
man mit ihnen die übrigen, die, wie schon gesagt, beim Einschneiden mit einer der angenommenen Haupt-
richtungen verbunden werden. Ist z. B. ein Punkt A mit der Hauptrichtung 1 , deren Azimuth wir 1
nennen, verbunden, indem der Winkel i.ii gemessen ist, so haben wir das Azimuth von A s= 1 + l..i.;
[*) In einem Vorlesungsheft Aber höhere GeodAsie, das dieses Beispiel auch enthält, ist der Bichtung
nach 1 gleiohfklls eine Verbesserung gegeben, so dass die Summe der Normalgleichungen gleich Null wird.]
37*
BEMERKUNGEN.
wbe dagegen ÄA gemeHen, lo würde dai Aiimuth 1~A.:
andern Hsuptrichtung verbunden, i. B. mit 3, V) haben wir
■ein. bt der Punkt A auch noch mit e
A" — t + t.A.
Geben beide Beatimmungen denielben Wcrth fOr ^. lo iit natflilich weiter knne Rechnung nCthig.
ist dies nicht der Fall, so nimmt man aiia beiden mit Berflokaichtigung dei venchiedenen Oewiehts dai
Mittel, WSre nemlich l.A p'-mal, i.A dagegen fi "-mal repeüit, ao ift der wahncheinücbcte Werth von
^ _ A'p' + A"p"
P' + P"
Die Mesiungen eines jeden Tages mdssen ohne Ausnahme noch denselben Tag mit Tinte einge-
tragen werden, wobei indessen Gauxs nicht die eintehien Nonien, sondern sogleich da* Mittel aus allen an-
gibt. Das ProtocoU hat nach ihm folgende Gestalt:
(LS33) den Si.Sept. Wtttekindstein.
Die l.uft heiter und rein.
Hflnenburg — Nonnenstein
iHep.) 'abgcleaen' (j-fncher Winkul} aus allen sich ergebender einfacher Wmkel,*
Gauss hat auf den Stationen auch gleich die Ausgleichung der Winkel und die Aufirtellung dea
ersten Tablenus voi^enommen. Diese Aufstellung geschieht folgendermaossen. Nachdem äae vorliufige
Orienb'rung festgesetit und die Ausgleichung der Hauptrichtungen vorgenommen, werden nach der oben
angegebenen Methode die Aumuthe s&mmtlicher eingeschnittener Objecte berechnet und nach ihrer Grösse
geordnet ; dieses Tableau hat also folgende Geltalt :
Wittekinditein
Hattendorf
Pageaburg
Schaumbui^ kleine rothe Spitze)
Sehaumbuii; (höhere SpiUej
BtO.
^
Die cursiv geschriebenen Punkte geben die Hauptrichtungen an.
Bei Hauptdreieckapunkten wie bei Nebenpunkten wird hftufig der Fall vorkommen, dass der Punkt,
auf welchen man von andern Stationen ab pointirt hat. nicht lum Standpunkt genommen werden kann, weil
die Loealit&t die Aufstellung des Instruments auf diesem Platze nicht gestattet. In einem solchen Falle
muss ein in der Nähe liegender schicklicher Punkt fOr <Ue Aufstellung des Instruments gsw&hlt und dann
eine Centrirung vorgenommen werden, um die von den übrigen Standpunkten nach dem Funkt qnaeationis
genommenen Bichtungen mit den hier gemessenen Winkeln vei^leichen lu können. Diese Centrirung kann
auf doppelte Art angebracht werden, entweder indem man die Anmuthe nach dem Orte hin so oorri-
STATIONSAUSGLEICHUNGEN . 293
girt, dau sie fieli auf den Standpunkt bedehen, oder dass man die vom Standpunkte ab gemessenen Winkel
auf den Zielpunkt reducirt. Übrigens ist es am einfachsten, nicht die gemessenen Winkel, sondern die aus
ihnen sich ergebenden Azimuthe zu eentriren. Um die Centrirung wirklich vornehmen zu können, wird die
Xenntnias der sogenannten Centrirungselemente erfordert, d. h. die Entfernung des Zielpunkts vom Stand-
punkt und das Azimuth dieser Richtung. Ist l der Zielpunkt, 2 der Standpunkt und P der entferntere
Punkt, auf den man pointirt hat, so ist, wenn wir die Azimuthe durch ein darüber gesetztes — , die Ent-
fernungen durch — bezeichnen :
-rj. .-^ , 206266". il . ,-^ ^ ^-- 206266". 21 ^ .-.
i^= 1-P+ == 8m(iP-i2) = iP+ _ sin (21 - iP)
2P 2P '
^^ , 206266". 21 . ,--5. ^ -^ 206266". 2? . -— -^
= 1-PH ==: sm(2P~ 12)= iP+ _ sin(2i~2P),
IP IP
wobei es sich von selbst versteht, dass die Lftngen 21, iP oder 21, 2P mit demselben Maasse gemessen
sein müssen. Bei dieser lU^uction ist also die Kenntniss der Länge TP oder 2P erforderlich, und da diese
erst durch Messungen an beiden Stationen definitiv ausgemittelt wird, so scheint es, dass man sich hier in
einem Cirkel bewegte; da indessen die Correction — 8in(iP— 12) immer nur sehr gering sein
^ 2P
wird, indem das Verhältniss ^:z »ehr klein ist, so reicht eine oberflächliche Kenntniss von iP, die man
2P
sich jedesmal auch ohne Kenntniss der Messungen in 2 verschaffen kann, zur Bestimmung der Correc-
tion hin. —
Die Berechnung der Correction der Centrirung macht also durchaus keine Schwierigkeit, sobald man
die Centrirungselemente kennt; die Bestinmiung von diesen kann in manchen Fällen mit Schwierigkeiten
verknüpft sein, und es lässt sich im Allgemeinen nichts darüber sagen. Der Beobachter wird in jedem vor-
kommenden Falle die zweckmässigste Methode selbst auffinden müssen. Wir wollen hier nur den Fall vor-
nehmen, wo man von 1 nach 2 wirklich messen kann; dann bestimmt Gauss das Azimuth, indem er über
die Mitte des Theodolithen einen feinen Gegenstand, etwa eine Stecknadel, bringt, dann das Auge in das
Alignement dieser Stecknadel und des Punktes 2 bringt, und nun sich den Punkt des Horizonts merkt,
welcher dieser Bichtung entspricht, und wenn hier kein passendes Object sein sollte, durch den Qehülfen
eine Stange hinsetzen lässt; dann misst er den Winkel zwischen irgend einem von 1 sichtbaren Haupt-
punkte und dieser Stange und erhält hierdurch das Azimuth von 2 ; übrigens ist eine Kenntniss desselben
bis auf 2 — 4 Minuten fast in allen Fällen hinreichend. Lässt sich dies Verfahren nicht anwenden, vielleicht
weil 2 in 1 nicht sichtbar ist, so wählt man zwei Punkte «, s', von denen i und 2 gesehen werden können,
und pointirt aus diesen Punkten l und 2; man kann die Orientirung für die beiden gewählten Punkte
durch Einschneiden derselben aus l finden, und indem man nun die Entfernung 88' misst, erhält man durch
eine leichte Rechnung die Lage von 1 und 2 in Bezug auf s, s', und hieraus sowohl 12 als 12.«
In den Briefen an Schumacher unter [6] sind einige Schreibfehler verbessert worden.
KbüG£&.
\
ZUE NETZAUSGLEICHÜNG.
i
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.
[10
[Anzahl der Bedingungsgleichungen in einem Dreieckssystem.]
Ein System von p Punkten durch / Linien verbunden, gibt
/- ^+1 Bedingungsgleichungen aus Winkelverhältnissen,
l—2p'\-Z aus Seitenverhältnissen; zusammen also
2/— 3/1 + 4.
Bei den Messungen von 1824 ist p = 13, /= 29, also respective 17 und
6 Bedingungsgleichungen.
Für das ganze System ist jp = 33, / = 75; wir haben also
43 Bedingungsgleichungen der ersten,
12 Bedingungsgleichungen der zweiten Art.
[2-]
Die 33 Hauptdreieckspunkte und ihre Verbindungen.
1
2
Göttingen
Merid. -Zeichen
1 ... 2. 3
2 ... 1. 3. 4
3
4
Hohehagen
Hils
3 ... 1. 2. 4. 5. 6
4 ... 2. 3. 5. 7. 8
5
Brocken
5 ... 3. 4. 6. 7
6
7
8
Inselsberg
Lichtenberg
Deister
6 ... 3. 5
7 ... 4. 5. 8. 9. 10
8 ... 4. 7. 9. 10
9
Garssen
9 ... 7. 8. 10. 11
10
Falkenberg
10... 7. 8. 9. 11. 12. 13. 14. 15. 19
38
800
NACHLA88.
[3.]
[Zusammenstellung der beobachteten Dreiecke und ihrer Widerspruche.]
mj, Eck-
"'• pnnkt
Winkel
EzceM
Nr.
Eck-
punkt
Winkel
EzceM
Nr.
Eck-
punkt
Winkel
Szoeu
1
115*68' 47;'496
8
39* 11' 53/306
13
37* 27' 13;'046
1
1
48 19 96,048
10
9
99 14 53,453
19
13
148 10 28, 108
S
16 41 95, 239
0;'l58
10
57 99 19, 358
4;'346
15
4 32 19,954
o;'921
179 59 58, 733
180 0 9,916
179 59 59, 508
— 1,436
— 0,939
— 0,819
3
119 37 39, 368*
9
87 32 16, 986
13
34 26 46, 752
3
3
43 31 35, 667
11
10
31 0 11,004
30
14
109 98 96, 566
4
17 51 7, 707
1, 348
11
71 37 33,968
0, 758
15
95 55 97,337
1,395
180 0 3,643
180 0 1, 958
180 0 0,545
+ 1,294
+ 1,300
— 0, 750
9
53 39 10, 876
10
22 10 9, 986
14
80 10 54, 559
9
4
84 40 36, 895
13
11
64 11 34,606
21
15
15 34 48, 636
5
43 50 30, 659
6,568
13
03 38 25, 839
0, 759
16
84 34 15,830
0,949
180 0 8,430
180 0 0, 431
179 59 59,005
+ 1,863
— 0, 338
— 1,944
3
86 13 58, 366
10
8 0 47, 395
15
7 96 56,089
4
6
53 6 45,643
13
13
38 17 43, 399
32
16
96 87 6, 464
6
40 39 30, 165
14, 853
13
143 41 29, 140
0, 303
17
75 46 59, 128
0,176
180 0 14, 173
179 59 58, 834
180 0 1,681
— 0, 680
— 1,368
+ 1,505
4
49 57 33, 858
10
86 37 13,333
15
99 96 8, 190
5
5
46 6 58, 013
14
13
65 44 54, 345
23
16
54 97 5, 482
7
83 55 43, 742
4, 270
15
37 47 53, 635
3, 442
31
25 46 48, 333
3,401
180 0 3,608
180 0 1, 303
180 0 1,945
— 0, 663
— 1, 199
— 0,456
4
73 58 37,221
10
41 4 16, 563
15
32 9 7,819
6
7
53 48 20, 111
15
13
103 33 49,504
24
17
118 34 3,410
6
53 18 6, 563
3, 958
14
86 21 56,963
1, 357
18
39 36 51, 803
0,712
180 0 3,804
180 0 3,030
180 0 3,032
— 0, 064
+ 1,773
+ 1,320
7
66 1 19,295
10
78 26 25,928
15
93 0 13, 041
7
8
66 89 58, 909
16
13
68 8 2,752
35
17
59 48 13, 693
0
47 18 49, 070
6, 807
15
38 25 84, 281
1,919
31
38 11 96, 976
2,493
180 0 7,274
180 0 2,961
180 0 2,709
+ 0,467
+ 1,042
+ 0,316
7
55 34 16, 315
10
37 22 9, 365
15
69 51 4, 223
8
•8
89 51 51, 115
17
14
73 16 39, 603
36
18
66 17 19,916
10
34 34 2,262
8,671
15
69 21 11, 508
1, 957
31
49 51 97, 728
3,243
180 0 9,692
180 0 0,476
ISO 0 1,866
+ 1,021
— 1,481
— 1, 377
7
10 27 2, 980
10
51 5 27, 894
15
91 56 92, 897
9
9
146 33 41, 522
18
15
38 40 36, 954
27
19
48 13 34, 654
10
33 59 16, 996
2,383
19
90 14 4, 919
1,604
30
39 49 51, 619
2,925
1
180 0 1,498
179 59 59, 767
179 59 59, 170
1
— 0, 884
— 1,837
— 3, 155
ZUR NETZAUSOLEICHUN6.
301
Nr.
Eck-
punkt
Winkel
Excess
Nr.
Eck-
punkt
Winkel
ExceiB
Nr.
Eck-
punkt
Winkel
EZCCBB
28
15
19
22
15
20
21
15
20
23
15
20
25
15
22
23
15
22
24
15
23
24
15
28
25
42» 33' 27/431
84 47 57,993
52 38 34, 441
i;'698
2,487
2, 191
1, 921
1,040
1,205
2, 837
0, 446
36
37
38
39
40
41
42
43
15
24
26
15
25
26
16
17
21
17
18
21
20
23
25
22
23
24
23
24
27
23
25
27
4»49'12','346
118 47 2,512
56 23 44, 550
0;'476
3, 739
0, 269
1, 461
•
0, 176
0, 592
2,046
0, 228
44
45
46
47
48
49
50
51
24
26
27
25
26
27
*
25
27
28
27
28
29
28
29
30
29
30
31
30
31
32
31
32
33
87*50' 59;'267
84 1 37,540
8 7 19,939
0;'384
2, 677
2,207
1, 207
1,908
2,076
1,214
1,461
29
30
31
32
33
34
36
179 59 59, 865
— 1, 828
45 0 51, 885
84 52 57, 886
50 6 11, 565
179 59 59,408
— 1,067
41 11 11, 856
72 55 2, 636
65 53 47, 465
179 59 56, 746
— 3, 638
52 8 25, 642
74 31 34, 625
53 20 2, 799
180 0 1,286
— 1,201
34 48 0,088
101 28 7, 642
43 43 53, 705
180 0 1,957
— 1, 782
42 0 0,982
135 35 12, 820
2 24 48, 643
180 0 3, 066
+0, 389
70 47 36, 223
33 44 16, 825
75 28 6, 218
180 0 1,435
— 0, 756
SO 5 29, 996
107 82 36,600
42 21 53, 525
180 0 2,445
+2,176
58 35 48, 718
105 44 11, 719
15 40 0, 752
179 59 59,266
— 2, 941
34 29 55, 787
29 37 54, 644
115 52 10, 501
180 0 0,121
— 1, 800
14 35 5,^378
129 39 39,937
35 45 16, 305
180 0 1,189
— 0,272
6 4 28,958
42 34 30,482
131 20 59, 151
180 0 0,932
-0,275
74 40 45,427
62 1 7,722
43 18 7, 460
180 0 1,620
+0, 580
17 4 24, 040
123 8 53, 705
39 46 43, 583
179 50 58, 591
— 1, 585
107 11 26, 358
37 43 48, 676
35 4 44, 497
180 0 0, 609
— 1,299
55 8 33, 295
72 2 17, 413
52 49 7,348
180 0 1, 328
+ 0,123
81 39 29, 418
73 29 4,981
74 51 28, 080
179 59 59, 531
— 1, 061
59 44 38, 189
78 30 30, 141
41 44 55, 085
179 59 58, 056
— 4, 920
44 10 12,284
31 37 2,215
104 12 45, 166
180 0 2,479
— 0, 358
4 42 30, 092
86 18 24, 187
88 59 5, 626
180 0 3, 415
+ 1, 369
140 27 52, 643
36 4 22, 652
3 27 47, 775
179 59 59, 665
— 1, 549
64 45 53, 786
56 15 43, 900
58 58 23, 815
179 59 59,905
— 0,541
180 0 3,070
+ 2,842
180 0 1,501
+0, 040
[Zwischen den Widersprüchen in den folgenden Dreiecken (ebenso zwi-
schen den dazu gehörigen Normalgleichungen des Art. 4) bestehen die Be-
ziehungen :
7 + 10 = 8 + 9
14 = 13+16 + 19
15 + 17 = 16 + 20
22 + 25 = 23 + 38
24 + 26 = 25 + 39
30 + 40 = 31 + 35
34 = 32 + 33 + 41
37 + 45 = 34 + 35 + 36
+ 42 + 43 + 44.]
v
802 NACHU8S.
[Nonnalgleichungen, die den Winkelgleichungen entsprechen.]
[Bezeichnen {1-2), (i-3), (2.3), u. b. w. die Verbesserungen der Rich-
tungsbeobachtungen 1.2, 1.3, 2.3, u. B. w., Bo ergeben sich für die 51 Drei-
ecke die folgenden Bedingungsgleichungen :
-j-(l.2) — (2. l) + (2.3) — (3.2) + (3.l) — (1 .3) — 1,436 = 0
+ (2 . 4) - (4 . 2) + (4 . 3) - (3 . 4) + (3 . 2) — (2 . 3) + 1,294 = 0
U. 8. W.
Unter diesen sind aber nur 43 von einander unabhängig. Die Correlaten
der Bedingungsgleichungen seien, den Dreiecksnummem entsprechend: (1), (2),
(3), u. 8. w. Dann ist, gleiche Gewichte für die Richtungen vorausgesetzt, und
wenn die Bedingungsgleichungen, die aus den Seitenverhältnissen entstehen,
unberücksichtigt bleiben:
(1.2) = -(2.1) = +(1)
{J.3) = -{3.1) = -(1)
(2.3) = -(3.2) = +(l)-(2)
(2.4) = -(4.2) = +(2)
(3.4) = -(4.3) = -(2)-(3)
u. s. w.
Nur die Richtung 24.26 (Büttel — Steinberg) hat das Gewicht i er-
halten; ihre Verbesserung ist demnach
(24.26) = 4(36) — 4(44).
Substituirt man diese Werthe in den Bedingungsgleichungen, so erhält
man die Normalgleichungen;
6(1) — 2(2) —1,436 = 0
— 2(l) + 6(2) + 2(3)-|-l,294 = 0
U. 8. W.
Da eB sich hier nur um die Berechnung der Correlaten handelt, so
können diese Gleichungen sammtlich durch 2 dividirt werden. Es ergeben
sich somit die nachstehenden Gleichungen zur Bestimmung der Correlaten.]
ZUR NETZAUSOLEICHUNO.
303
1. 0 =
2. 0 =
3.
4.
5.
6. 0 =
(7. 0 =
8.
9.
10.
11.
12.
(13.
14.
(15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
(34.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
— 0,718
+ 0,647
+ 0,931
— 0,340
— 0,331
— 0,032
+ 3(1) -(2)
-(l) + 3(2) + (3)
+ (2) + 3 (3) -(4) -(5)
- (3) + 3 (4)
- (3) + 3 (5) - (6)
_(5) + 3(6)-(7)-(8)
+ 0,233.5 - (6) + 3 (7) + (8) + (9) - (1 0))
: +0,510.5-(6) + (7) + 3(8)-(9) + (l0)
: -0,442 +(7)-(8) + 3(9) + (l0)-(ll)
: -0,164.5- (7) + (8) + (9) + 3(l0)-(ll)
+ 0,600 — (9) — (10)+3(11) — (12)
— 0,164 — (11) + 3(12) — (13) — (14)
— 0,684 — (12) + 3(13) + (14) — (15) — (16
— 0,569.5 — (12) + (13) + 3 (14) + (16) + (17
+ 0,886.5 — (1 3) + 3 (1 5) + (1 6) — (1 7) + (20
+ 0,521 —(13) + (14) + (15) + 3(1 6) + (17
— 0,740.5 + (1 4) — (1 5) + (1 6) + 3 (1 7) — (1 8
— 0,918.5 — (14) — (16) — (17) + 3(18) — (27
— 0,406.5 — (13) + (1 4) — (1 6) + 3 (19) + (20
— 0,375 +(15) — (l6) + (l7) + (19) + 3(20
— 0,672 —(17) — (20) + 3 (21) — (22) — (23
+ 0,752.5 — (21) + 3 (22) + (23) — (24) — (25
— 0,228 —(21) + (22) +3 (23) + (25) + (26
+ 0,660 —(22)+ 3 (24) + (25) — (26) + (39
+ 0,108 —(22) + (23) + (24) + 3 (25) + (26
— 0,688.5 + (23) — (24) + (25) + 3 (26) — (29
— 1,577.5 — (1 8) + 3 (27) + (28) — (29) + (30
— 0,914 —(18) + (27) + 3 (28) — (32) + (33
— 0,600.5 — (23) — (25) — (26) — (27) + 3 (29
— 0,378 + (27) — (29) + 3 (30) + (31) — (32
— 0,900 +(27) — (29) + (30) + 3 (31) — (35
+ 0,290 —(28) — (30) + 3 (32) — (33) + (34
+ 0,06 1.5 + (28) — (32) + 3 (33) + (34) — (36
— 0,179 —(30) + (32) + (33) + 3 (34) — (35
-(19))
-(18) + (19)
)
-(18) -(19) -(20)
+ (20)-(2l)
-(28)
-(21)
+ (38)
-(29) -(38)
_ (29) + (38) -(39)
+ (39)
+ (31)
-(30) -(31)
-(34) + (35) -(40)
-(37) + (40)
-(35) -(41)
-(41)
-(36) + (4l)-(42))
•4
(35. 0 = -0,270.6 + (30) — (31)-(32)-(34)+3(36) + (37) + (40) — (43))
36. 0 = —0,533.8— (33) — (34) + f(36) + (37) — K44)
37. 0 = — 0,891 — (31) + (35) + (36) + 3(37) — (45)
(38. 0 = + 1,088 +(22) — (23) + (25) + 3 (38) — (39))
(39. 0^-0,136 +(24) — (25) + (26)-(38) + 3(39))
40. 0 = —0,792.5 — (30) + (3l) + (35) + 3(40) — (43)
41. 0 = —0,530.5 — (32) — (33) + (34) + 3(41) — (42)
42. 0 = +0,684.5 — (34) — (41) + 3(42) — (43) — (44)
43. 0 = +1,421 — (35) — (40) — (42) + 3(43) + (45) — (46)
(44. 0= — 1,819 — i(36) — (42)+|(44) + (45))
46. 0 =+0,194.5 — (37) + (43) + (44) + 3(45) — (46)
46. 0 = — 1,470.5- (43) — (45) + 3(46)-(47)
47. 0 = — 0,1 37.5 — (46) + 3 (47) — (48)
48. 0 = — 0,649.5 — ^4 7) + 3 (48) — (49)
49. 0 = — 2,460 — (48) + 3(49) — (50)
50. 0 = —0,774.5 — (49) + 3{50) — ;51)
51. 0 = +0,020 — (60) + 3(61).
[Die eingeklammerten Normalgleichungen entsprechen den 8 abhangigen
Bedingungsgleichungen ; bei der Auflösung sind die Correlaten (7), (13), (15),
(34), (35), (38), (39), (44) gleich Null zu setzen.]
[6.]
Bedingungsgleichuugen der zweiten Att.
[Nachdem die Dreieckswidersprüche ausgeglichen sind, werden die Be-
dingungsgleichungen angestellt, die von den Seitenverhältnissen heciühren.
Tür das Viereck 7. 8. 1 0 9 ist, wenn 9 als Centralpuiikt gewählt wird;
eieck
w«gegl.
Winkel
tEic...
log .In
7 auf 7
8
66° 1
66 39
19^151
58,666
— 2','269
— 2,269
9,960 8021.983+ 9
9,9629416.342+ 9
36| (7.9)-
08 1 (8.7) —
(7.8)1
(8.9)1
9 10
7
22 59
10 27
17,428
3,217
— 0,794
— 0,794
9,591 6628.409+ 49
9,2586108.427 + 114
63|(10.7) —
15| (7.9)-
(10.9)1
(7.10)1
ZUR NETZAUSOLEICHUNG. 306
||. , V Busgegl. Winkel |Exeeu log «in Verbesserung ]
10 auf 8:23"'ll' 52';i67 — i;;4i5 9,595 3867.516+ 49.13|( 8.9) — ( 8.10)}
10:57 33 19,333 —1,415 9,926 2943.910+ 13.39}(10.8) — (10. 9)|
9,997 8605.641
0,333 0519.982
9,669 0923.606
+ 49.229
(vorher + 57) [*)]
[mithin lautet die Seitengleichung für 7. 8. 10 9:]
0 = +49,229— 9,36( 7.8) — 104,79( 7.9)+114,15( 7.10)
— 9,08 ( 8.7)+ 58,21 ( 8.9)— 49,13 ( 8.10)
+ 49,63(10.7)— 13,39(10.8)— 36,24(10. 9).
[Diese Gleichung wird umgeformt: Wenn nemlich bei der Ausgleichung
einer Figur ausser einer Anzahl von Winkelgleichungen, deren absolute Glieder
Null sind, nur eine Seitengleichung zu erfüllen ist, so kann man dies durch
Ausgleichung einer einzigen Gleichung erreichen. Und zwar wird diese
Gleichung dadurch erhalten, dass man die Winkelgleichungen, nachdem man
sie mit gewissen Factoren multiplicirt hat, zur Seitengleichung addirt. Diese
Factoren sind so zu bestimmen, dass die Summe der Quadrate der Coeffi-
cienten in der umgeformten Seitengleichxmg ein Minimum wird. Addirt man
also die bereits ausgeglichenen Winkelgleichungen der Dreiecke 7, 9, 10:
+ (7.9) — (9.7) + (9. 8) — ( 8.9) + ( 8.7) — (7. 8) = 0
+ (7.9) — (9.7) + (9.10) — (10.9) + (10.7) — (7. 10) = 0
+ (8.9) — (9.8) + (9.10) — (10.9) + (10.8) — (8.10) = 0,
nachdem man sie mit x, y, z multiplicirt hat, zur obigen Seitengleichung, so
ergibt sich zunächst:
0 = + 49,229 — (9,36 +a?) (7.8) — (1 04,79 —ar—y) (7 . 9) + (1 1 4, 1 5 —y) (7.10)
— (9,08 — ir)(8.7)+ (58,21— a?+«) (8. 9)— (49,13 + ^) (8. 10)
- (^+y) (9.7) + (x-z) (9 . 8) + (y + «) (9 . 1 0)
+ (49,63+y)(10.7) — (13,39 — «)(10.8) — (36,24+y + 2)(10.9),
[*) Der eingeklammerte Werth, + ^ ^i '^ürd erhalten, venn die Seitengleichung mit den beobaohteten
Winkelirerthen des Art. s berechnet wird.]
IX. 39
806 NACH1A88.
und macht man jetzt die Summe der Quadrate dex Coefiicienten dex Ver-
beaserungeD zum Minimum, so musB
6i+2y— Ji = + 162,7
2l+6y+2s = +133,1
— 2»+2^ + 6s== — 130,2
Bein.] Es findet sich
z=, + 7,76
y = +29,21
z = —28,85,
und die hienach verbesserte Bedingungsgleichung;
I, 0 = +49,229 — 17,12( 7.8) — 67,82( 7.9) + 84,94( 7.10)
— 1,32( 8.7) + 21,60( 8.9) — 20,28( 8.10)
— 36,97 ( 9. 7)+ 36,61 ( 9.8)+ 0,36 ( 9.10)
+ 78,84 (10.7) — 42,24 (10.8) — 36,60 (10 . 9).
rim Folgenden werden nur die ursprünglichen und die umgeformteD
Seitengleichungen mitgetheilt. Die Überschrift gibt immer die Figur an, zu
welcher die betreffende Seitengleichung gehört, und die Dreiecke, deren Winkel-
gleichungen zu ihrer Umformung herangezogen werden. Für die Factoren
dp, y, z werden die Dreiecksnummem geschrieben.]
10. 12. 15 13; Dreiecke 13, 16, 19.
II = -62,512 + 149,57(10. 12)— 153,88 (10 . 1 3)+ 4,31(10.15)
loihir+n) _|_ 39^11 (12. ]oj_ 79,64(12.13)+ 40,53(12.15)
+ 31,90 (I 5 . 10) + 276,39 (16.12) — 307,29 (15.1 3).
Es findet sich
13 = — 10,99, 16 = — 10,52, 19 = +69,91,
und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:
n. 0 = -52,512+138,58(10. 12)— 153,41(10.13)+ 14,83(10.15)
+ 60,10(12.10)— 160,54 (12. 13) +110,44 (12. 15)
— 0,47(13.10)+ 80,90(13.12)— 80,43(13.15)
+ 21,38 (1 5 . 10) + 205,48 (1 5 . 12) — 226,86 (15.13).
i
ZUR NETZAVSGLEICHUNG. 307
10. 14. 15 13; Dreiecke 15, 16, 20.
0 = —24,795 4-19,85(10.13)^24,16(10.14)4- 4,31(10.15)
(vorher-») _ 28,59 (14 . 10) 4- 36,1 1 (14 . 13) — 7,52(14.15)
4- 31,90 (1 5 . 10) — 60,96 (1 5 . 1 3) 4- 29,06 (1 5.14).
Es findet sich
15 = 4-2,02, 16 = — 12,98, 20 = 4-17,28,
tmd die hienach ergänzte Bedingongsgleichung :
m. 0 = — 24,7954- 8,89(10.13) — 26,18(10.14)4-17,29(10.15)
-f- 10,96 (13 . 10)4-19,30 (13 . 14) — 30,26 (13 . 15)
— 26,57(14.10)4-16,81(14.13)+ 9,76(14.15)
+ 18,92(15. 10) — 30,70(15. 13)4-11,78(15. 14).
15. 17. 21 16; Dreiecke 22, 23, 38.
0 =+244,621 + 161,39(15.16) — 157,83(15.17)— 3,56(15.21)
(vorher -18«) _ 5,33(17.15)+ 26,82(17.16)— 21,49(17.21)
+ 43,59 (21.15) — 543,19 (21 . 16) + 499,60 (21 . 17).
Es findet sich
22 = — 114,19, 23 = — 15,66, 38 = +214,69,
und die hienach ergänzte Bedingongsgleichung:
rV. 0 = +244,621+ 31,54(15.16)— 43,64(15.17)+ 12,10(15.21)
+ 129,85 (16 . 15) + 100,50 (16 . 17) — 230,35 (16 . 21)
— 119,52(17.15)— 73,68 (17. 16) + 193,20 (17. 21)
+ 27,93(21.15) — 312,84 (21. 16) + 284,91 (21. 17).
15. 18. 21 17; Dreiecke 24, 25, 39.
0 = — 153,010 + 52,46(15.17)— 51,72(15.18)— 0,74(15.21)
(vorher -lU) _ 25,59 (18 . 15)+ 31,52(18.17)— 5,93(18.21)
+ 39,28 (21 . 15)— 114,35 (21 . 17) + 75,07(21 . 18).
Es findet sich
24 = — 14,27, 25 = — 17,47, 39 = +36,75,
39*
808 NACHLASB.
und die hienach ergänzte Bedingimgsgleichung :
V. 0 = —153,01 0+20,72 {16. I 7) — 37,45 {15 . 18) + 16,73(15.21)
+ 31, 74 {17. 15) + 22,48 (17. 18) — 54,22 {17. 21)
— 39,86(18. 15;+ 9,04 (18 . 17) + 30,82 {18 . 2!)
+ 21,81 (21 .15) — 60,13(21 . 1 7) + 38,32 (21 .18).
10. 14. 16. 21. 20. 19 15; Dreiecke 17, 21, 23, 29, 27, 18.
0 = +51,578 + 27,57(10. 14) — 44,56 (10 . 15)+ 16,99 (10 . 19)
(.orhet+i!) _|. 6,33(14.10)- 9,97(14.15)+ 3,64(14.16)
+ 2,06(16. 14)— 17,01 (16. 15)+ 14,95(16.21)
— 0,09(19. 10) — 18,72(19. 15) +18,81 (19.20)
— 27,1 3 (20 . 1 5) + 25,24 (20 . 1 9) + 1,89 (20 . 21)
— 61,19(21 .15) + 43,59 (21. 16) +17,60 (21. 20).
Es findet sich
17 = — 7,40, 21 =+2,09, 23 = +10,93, 29 = — 5,71, 27 = — 3,16, 18 = +3,63,
und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:
VI. 0 =+51,578 + 20,1 7 (10. 14) -33,53 (10. 15)+ 13,36 (10. 19)
+ 13,73(14.10)- 19,46(14.15)+ 5,73(14.16)
— 11,03(15.10)+ 9,49(15.14)+ 8,84(15.16)
+ 6,79 (I 5 . 19) + 2,55 (15 . 20) — 16,64 (15 . 21)
— 0,03(16. 14) — 25,85(16. 15) + 25,88 (16 . 21)
+ 3,54(19.10) — 25,51 (19. 15) + 21, 97 (19. 20)
— 29,68 (20 . 1 5) + 22,08 (20 . 19) + 7,60 (20 . 21)
— 44, 55 (21. 15) + 32,66 (21. 16) +11,89 (21 .20).
15. 20. 23 25; Dreiecke 31, 35, 40.
0 = — 76, 113 + 36, 33(15. 20) + 255, 65(15. 23) — 291,98(15.25)
(rahBT - 18S! _ 6,66(20. 15) — 197,84(20. 23) + 204, 50(20. 25)
+ 1,36(23.15)— 22,92(23.20)+ 21,56(23.25).
ä findet sich
31 = — 19,16,
. +119,26,
40 = -
3,01,
ZUR NETZAÜSOLEICHUNG. 309
und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:
Vn. 0 = — 76,113+ 17,17(15.20)4-136,39(15.23)— 153,56(15.25)
4- 12,50(20.15) — 104,83(20.23)+ 92,33(20.25)
+ 120,62 (23 . 1 5) — 1 1 5,93 (23 . 20)— 4,69 (23 . 25)
— 1 38,42 (25 . 1 5) + 1 1 2,1 7 (25 . 20) + 26,25 (25 . 23).
15. 23. 24 22; Dreiecke 32, 33, 41.
0 = + 63,032 — 1 49,58 (1 5.22) + 80,92 (1 5.23) + 68,66 (1 5 . 24)
(vorher +08) ^ 29,24 (23 . 15) — 56,45 (23 . 22)+ 27,21 (23 . 24)
+ 25,29 (24 .15)— 55,27 (24 . 22) + 29,98 (24 . 23).
Es findet sich
32 = — 18,79, 33 = +16,52, 41=— 0,49,
und die hienach er^nzte Bedingungsgleichung:
Vm. 0 = +63,032 — 114,27(15. 22) + 62,13(l5.23) + 52,14(15. 24)
— 35,31(22. 15) + 18,30(22.23) + 17,01 (22.24)
+ 48,03 (23 .15) — 74,75 (23 . 22) + 26,72 (23 . 24)
+ 41,81 (24 . 15) — 72,28 (24 . 22) + 30,47 (24 . 23).
19. 20. 23. 22 15; Dreiecke 27, 30, 32, 28.
0 = —25,870 + 16,89(19.15) — 18,81(19.20)+ 1,92(19.22)
(Torher-17) ^ 29,51 (20 . 15) — 25,24 (20 . 19) — 4,27(20.23)
+ 1,39 (22 . 15)+ 16,07 (22 . 1 9) — 17,46 (22 . 23)
— 51,25(23. 15) + 22,01 (23 . 20) + 29,24 (23 . 22).
Es findet sich
27 = +3,33, 30 = +11,16, 32 = — 16,71, 28 = — 11,62,
und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:
IX. 0 = — 25,870+ 8,29(15. 19) + 14, 49(15. 20)+ 5,09(15.22)— 27,87(15.23)
+ 8,60(19.15)— 22,1 4 (19. 20) +13,54 (19. 22)
+15,02(20. 15)— 21,91(20.19)+ 6,89(20.23)
— 3,70(22.15)+ 4,45(22.19)— 0,75(22.23)
— 23,38(23.15)+10,85(23.20) + 12,53(23.22).
I 6. 25. 27. 24 23 ; Dreiecke 35, 43, 42, 34.
0 = + 332,394 — 289,80 115.23; + 255,65 (I 5 . 25; + 34,1 5 (1 5 . 24)
(voihet+i.i _|_ 5,70(24.15)— 9,98(24.23;+ 4,28(24.27)
+ 0,37(25.16)- 29,27 (25. 23) + 28,90 25.27)
— 371 ,54 (27 . 23) + 347,95 (27.25) + 23,59 (27 . 24).
Es findet sich
35 = — 48,79, 43 =+85,19, 42=— 26,30, 34 = +26,35,
und die hienach ergänzte BedingimgBgleichung :
X. 0 =+332,394 — 214,66(15.23)+ 7,80 (15 . 24) + 206,86 (15. 25)
— 75,14(23.15)+ 52,65 (23. 24) +133,98 (23. 25)
— 111,49(23.27)
+ 32,05(24.15)— 62,63(24.23)+ 30,58(24.27)
+ 49,1 6 (25. 15) -163,25 (25. 23)+ 114,09:25. 27)
— 260,06(27.23)- 2,71 (27. 24) + 262,76 (27 . 26).
15. 23. 27. 26 24; Dreiecke 34, 42, 44, 36.
0 = —305,978 + 34,15(15.23) — 283, 83(15. 24j + 249,68(16. 26)
(Torber -m) _|. 6,24(23.15)— 18,52(23.24)+ 12,28(23.27)
+ 13,99(26.15)- 16,19(26.24)+ 2,20(26.27)
+ 23,69 (27 . 23) — 171,12 (27 . 24)+ 147,53 (27 . 26).
Es findet sich, [wenn man beachtet, dass die in XI wie auch in der
folgenden Bedingungsgleichung XII Torkommende Verbesserung (24 . 26) das
Gewicht ^ hat]
34 = — 26,82, 42 =+17,56, 44=— 2,46, 36 = + 48,60,
und die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:
XI. 0 = -306,978+ 7,33(16.23) — 208,41 (15. 24) + 20I,08(15. 26)
+ 33,06(23.15)— 62,90(23.24)+ 29,84(23.27)
-76,42(24.15)+ 44,38 (24 . 23) + 102,12 JM^
— 20,02(24.27)
+ 62,59(26.16)— 67,25(26.24)+ 4,66(26.27)
+ 6,03 (27 . 23) — 1 51,10 (27 . 24) + 1 46,07 (27 . 26).
\
ZUR NETZAUSGLEICHUNO. 311
23. 24. 26. 25 27; Dreiecke 42, 44, 45, 43.
0 = + 10,719 — 12,28 (23 . 24) + 25,51 (23 . 25) — 13,23 (23 . 27)
(vorher +89) _ 4,28(24.23)— 0,79(24.26)+ 5,07(24.27)
— 28,90 (25 . 23) + 16,37 (25 . 26) + 12,53 (25 . 27)
— 2,20(26.24)+ 5,83(26.25)— 3,63(26.27).
Es findet sich
42 = — 5,14, 44=— 3,53, 45 =+5,92, 43 = — 17,05,
xmä die hienach ergänzte Bedingungsgleichung:
Xn. 0 = +10,719— 7,14(23.24)+ 8,46(23.25)— 1,32(23.27)
— 9,42(24.23)+ 5,48-^^^+ 6,68(24.27)
— 1 1,85 (25 . 23) + 10,45 (25 . 26)+ 1,40 (25 . 27)
— 5,73 (26. 24) + 11,75 (26. 25)— 6,02(26.27)
— 1 1,91 (27 . 23) — 1,61 (27 . 24) + 1 1,13 (27 . 25)
+ 2,39(27.26).
[6.]
[Noimalgleichungen, die den Seitengleichungen entsprechen.]
\jyie Bedingungsgleichungen des vorhergehenden Artikels hängen durch
gemeinschaftliche Verbesserungen wie folgt zusammen:
I mit keiner
n » in, VI
m .. n, VI
IV » V, VI
V » IV, VI
VI » n, m, IV, V, vn, ix
vn .. VI, VIII, IX, X, XI, XII
vm ). vn, IX, X, xi, xn
rx » VI, vn, VIII, x, xi
X » VII, vm, IX, XI, xn
XI » VII, vin, IX, X, XII
XII » vn, vm, X, xi.
^
312 NACBLASB.
Aas den 12 Bedingungsgleichungen aua den Seitenverhältnissen etgeben
sich für die Verbesserungen die folgenden Ausdrücke, wenn A, B, . . ., M die
Correlaten der Gleichungen I, II, . . ., XII bedeuten :
'J .H, = —n,\2A jO.12) = + 138,58 5
(7.9; = —67,82^ (10.13) = — 153,4lB+ 8,89 C
(7.10} = +84,94^ (10.14)= « —26,180+20,17^
{8.7J = — 1,324 (10.15) = + 14,835+17,290— 33,53f
u. 8. w. (1 0 . 1 9) = # * +1 3,36 F
XL 8. W.
Werden diese Werthe der Verbesserungen in die Bedingungsgleichungen
eingesetzt, so erhält man die Nonnalgleichungen :]
0 = + 49,229 + 25034.2 A
0 = — r>2fili + 190699 B + 8690,6 C • . — 7SS,0 F
0 = — 24,796 + 8690,6 B + 4994,7 C . . — 1759,42F
0 = +244,621 . . +819988 D — 31493 E— 20702,3 F
0= —163,010 . , _ 31493 D + 14744,6 E— 1260.04^
0= + 61,678— 733,0 B~ 17B9,42C— 20702,3 D— 1260,04E+ 10026,61J"— 327,22 0—1542,181
0 = — 76,113— 827,22*'+ 122689 ff+ 14267,2 H— 8163,9 /— 81824 Z+ 4987,3 L— 3B0|,74Jf
0 = + 68,032 . + 14267,2 ff+ 38017 H— 4266,8 I — 15700 K— 12306,1 L~ 477,81Ä
0 = — 26,870— I542,13f— 8163,9 ff— 4255,8 fl+ 3438,667+ 7739,4 S— 977,22X •
0= +882,394 • — 61824 O— 15700 n+ 7739,4 7+312374 K— 19289,1 X+9819,36Jr
0 = — 805,978 . + 4987,3 G— 12305,1 fl^— 977,227- 19289,1 Ä+ 160725 i + 1292,98*
0« + 10,719 • — 360,740— 477,81H • + 9B19,2ejr+ I292,98X + 1030,37 JC
[Die Verbesserungen.]
[Die 4 -malige altemirende Ausgleichung in 2 Gruppen, indem zuerst
die Winkelgleichungen allein, dann die hiedurch geänderten Seitengleichungen
allein, darauf von neuem die verbesserten Winkelgleicbuogen u. s. f. in Be-
tracht gezogen wurden, hat die folgenden Verbesserungen geliefert:]
ZUB NETZAUSGLEICHUNG.
313
(1.3)
(1.2)
(2.1)
(2.3)
(2.4)
(3.4)
(3.2)
(3.5)
(3.1)
(3.6)
(4.3)
(4.8)
(4.7)
(4.5)
(4.2)
(5.6)
(5.3)
(5.4)
(5.7)
(6.3)
(6.5)
(7.4)
(7.8)
(7.10)
(7.9)
(7.5)
(8.10)
(8.9)
(8.7)
(8.4)
(9.8)
(9.10)
(9.11)
(9.7)
— 0
+ 0
— 0
+ 0
— 0
+ 0
— 0
— 0
+ 0
+ 0
— 0
+ 0
— 0
+ 0
+ 0
— 0
+ 0
— 0
— 0
— 0
+ 0
+ 0
+ 0
— 0
+ 0
+ 0
+ 0
+ 0
— 0
— 0
— 0
+ 0
— 0
+ 0
225
225
225
267
042
337
267
310
225
015
337
073
061
283
042
015
310
283
012
015
015
061
183
395
139
012
176
044
146
073
160
212
122
070
10.8)
10.19)
10.15)
10.14)
10.13)
10.12)
10. It)
10.9)
10.7)
11.9)
11. 10
11. 12
12
12
12
12
13
13
13
13
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
15
11
10
13
15
10
15
14
12
14.13
14.10
14.15
14.16
10
19
26
24
22
23
25
20
21
18
17
16
14
— 0,051
— 1,046
+ 0,214
-j- 0,542
— 0,210
+ 0,321
+ 0,301
-0,140
+ 0,069
+ 0,122
— 0,301
+ 0,179
— 0,179
— 0,312
+ 0,113
+ 0,378
+ 0,295
— 0,304
+ 0,125
— 0,117
+ 0,046
— 0,806
+ 0,237
+ 0,525
— 0,020
— 0,136
— 0,401
— 0,180
+ 0,399
+ 0,093
— 0,320
+ 0,625
+ 0,318
+ 0,108
+ 0,304
— 0,301
— 0,131
15
15
16
16
16
16
12) =
13) =
20
20
20
20
20
21
21
21
21
21
14
15
21
17
17.16
17.15
17.21
17.18
18.17
18. 15
18.21
19.22
19.20
19.15
19.10
23
25
21
15
19
15
20
18
17
16
22.24
22.23
22.15
22. 19
23.27
23.25
23.20
— 0"361
+ 0,001
— 0,528
+ 0,359
+ 0,548
— 0,379
+ 0,386
+ 0,225
— 0,620
+ 0,008
+ 0,338
— 0,958
+ 0,620
— 0,207
— 1,176
+ 0,346
+ 1,037
+ 0,118
+ 0,448
— 0,954
— 0,242
+ 0,630
+ 0,148
+ 0,946
+ 0,140
— 0,496
— 0,738
— 0,256
+ 0,152
— 0,317
+ 0,421
+ 0,479
— 0,462
— 0,048
(23
.15)
= -o;
(23,
.22]
= +0,
(23
.24]
= +0,
(24.
,26)
--0,
(24.
,27)
= +0,
(24.
,23
/
= -0,
(24.
,22)
= +0,
(24.
,15)
= -0,
(25.
,26)
-+0,
(25.
23)
= +0,
(25,
27)
0,
(25.
,28)
-+0,
(25.
20)
0,
(25.
,15)
0,
(26.
,27)
= -0,
(26.
,25)
--0,
(26.
,24)
-+0,
(26.
.15)
*
_+0,
(27
.29)
= -0,
(27
.28)
= -0,
(27.
.25)
= +0,
(27.
,23)
= +0,
(27.
,24)
0,
(27.
,26)
= +0,
(28.
,27)
-+0,
(28.
,29)
= -0,
(28.
30)
= +0,
(28.
25)
0,
(29.
31)
— 1,
(29.
30)
-+0,
(29.
28)
+ 0,
(29.
,27)
-+0,
(30.
,31)
-+0,
(30.
,32)
= +0,
(30.
,28)
0,
013
201
472
500
183
282
482
260
523
960
648
318
153
676
353
097
934
547
100
484
068
898
993
101
310
857
648
373
516
310
547
570
803
857
IX.
40
S14
NACHLASa.
(30.29) = — o;516 (31 .33) = —0^261 (32.31) = +0^542 (33.32) = — 06t
(31 .32) = —0,542 (32.33) = +0,261 (33.31) = +0,261.
(31.30) = - 0,570 (32 . 30) = — 0,803
(31.29) = + 1,373
[Für jede Station ist die Summe der Verbesserungen Null ; bei der Station
24 ist jedoch zu beachten, dass die Richtungsverbesserung (24.26) das Ge-
wicht i hat.
Der mittlere Fehler einer Richtung wird hienach]
v^^
! + 0;7548.
[Bildet man aus den Richtungsverbesserungen die WinkelTerbesserungen,
und corrigirt mit diesen die beobachteten Winkelwerthe des Axt. 3, so erhält
man die in der folgenden Tabelle zusammengestelltea ausgeglichenen Oreiecks-
winkeL]
[8.]
Ausgleichungswerthe.
St.
Eok-
punkt
""T^r-
Log.
der Seiten
Nr.
Eck-
punkt
*"vjir'
Log.
der S(»ten
1
1
2
3
116*58' 47;'885
48 19 36, 540
16 41 36, 731
4,221 7939
4,141 3507
3,700 2059
7
7
8
9
66* l'19;'26l
66 39 68, 719
47 18 48, 840
4.7806184
4,7826678
4.6860435
2
2
8
4
119 37 28,959
42 31 25,063
17 61 7, 328
4,6744426
4,565 1592
4,2217939
8
7
8
10
66 34 16, 737
89 61 60, 793
34 34 2, 142
4,3486426
4,932 1622
4,6860436
8
8
4
6
62 29 10, 229
84 40 26, 275
42 60 30, 066
4,741 3374
4,8400752
4,6744426
9
7
9
10
10 27 8. 514
146 33 41, 664
22 59 17, 206
4.449 610S
4,932 1823
4,7826679
4
3
5
6
86 13 68, 691
63 6 45, 967
40 39 30, 195
5,026 2012
4,929 1248
4,8100752
10
8
9
10
28 11 53.074
99 14 62, 834
67 33 19, 347
4.4496103
4.8486426
4,7806184
5
4
6
7
49 57 23, 197
46 6 68, 284
83 66 42, 791
4,6277548
4,601 5606
4,741 3374
11
9
10
11
87 32 16, 662
21 0 10, 563
71 27 33, 646
4,4723562
4.027 1430
4,4496103
6
4
7
8
73 68 37, 087
58 48 20, 233
52 18 6, 635
4,6860436
4.6096711
4,601 6606
12
10
11
12
22 10 9, 966
64 11 26.086
93 38 36,706
4.049 9723
4.427 5939
4,4723562
ZUR NETZAUSOLEICHITNO.
315
Nr.
Eck-
punkt
Ausgeglichene
Winkel
Log.
der Seiten
Nr.
Eck-
punkt
Ausgeglichene
Winkel
Log.
der Seiten
13
10
12
13
8» 0'47;'926
28 17 42, 724
143 41 29, 552
3,799 4467
4,330 9664
4,427 5939
27
15
19
20
91»56'33;'658
48 13 36, 176
39 49 52, 491
4,641 7790
4,5146418
4,448 5652
14
10
12
16
86 27 13, 430
55 44 55, 035
37 47 53, 976
4,639 3854
4,557 4996
4,427 5939
28
15
19
22
42 33 27, 966
84 47 58, 546
52 38 35, 179
4,3784286
4,546 4777
4,4485651
16
10
13
14
41 4 15,811
102 33 49, 334
36 21 56, 111
4,375 5210
4,547 4347
4,330 9665
29
15
20
21
45 0 51, 578
84 52 58, 548
50 6 12,363
4,479 3245
4,6279981
4,5146418
16
10
13
15
78 26 25, 504
68 8 2,153
33 25 34, 260
4,581 0258
4,557 4996
4,330 9664
30
15
20
23
34 48 0, 620
101 28 8,002
43 43 53, 571
4,431 4071
4,666 2301
4,5146418
17
10
14
15
37 22 9, 693
73 16 40, 646
69 21 11, 619
4,359 4169
4,557 4996
4,547 4347
31
15
20
25
30 5 30, 941
107 32 37, 290
42 21 53, 690
4,386 2524
4,665 3954
4,5146418
18
10
15
19
51 5 29, 154
38 40 26, 838
90 14 5, 610
4,448 5652
4,353 3054
4,557 4996
32
15
22
23
14 35 5, 072
129 39 39, 468
35 45 16, 500
4,1809050
4.666 2300
4,646 4777
19
12
13
15
27 27 12, 311
148 10 28, 296
4 22 19, 716
4,581 0257
4,639 3853
3,799 4468
33
15
22
24
17 4 24, 619
123 8 53, 766
39 46 42, 819
4,208 1702
4,663 2796
4,6464777
20
18
14
15
34 25 47, 181
109 38 36, 757
35 55 37, 359
4,359 4169
4,581 0257
4,3756210
34
15
23
24
31 39 29,691
73 29 5, 364
74 51 27, 781
4,401 6104
4,663 2796
4,666 2300
21
14
15
16
80 10 54, 847
15 24 48, 796
84 24 16, 707
4,355 0834
3,7860195
4,359 4169
35
15
23
25
4 42 29, 679
86 18 24, 467
88 59 6, 302
3,580 6419
4,666 3953
4,6662301
22
15
16
17
7 35 55, 484
96 37 5, 726
75 46 58, 967
3,4899371
4,365 6888
4,355 0834
36
15
24
26
4 49 12, 567
118 47 2,522
56 23 45, 387
3,6671184
4,686 4190
4,663 2795
23
15
16
21
99 36 7,511
54 37 5, 671
25 46 49, 219
4,7105482
4,6279981
4,355 0834
37
15
25
26
41 11 11,937
72 55 3, 049
65 53 48, 752
4,523 6773
4,686 4191
4,666 3953
24
15
17
18
22 9 8,015
118 24 2, 193
39 26 50, 507
4,139 0825
4,506 9703
4,365 6888
38
16
17
21
42 0 0,055
135 36 11,814
2 24 48, 401
4,691 0661
4,7106482
3,489 9371
25
15
17
21
92 0 12, 027
59 48 12, 847
28 11 37, 620
4,691 0660
4,627 9981
4,365 6888
39
17
18
21
58 35 49, 346
105 44 12, 001
15 40 0, 116
4,6388717
4,691 0660
4,1390825
26
15
18
21
69 51 4, 012
66 17 21,494
43 51 37, 736
4,6388717
4,627 9981
4,506 9703
40
20
23
25
6 4 29, 288
42 34 30, 896
131 20 59, 992
3,6806420
4,386 2624
4,4314071
40'
316
MACHLA88.
Nr.
Eck-
punkt
Ausgeglichene
Winkel
Log.
der Seiten
Nr.
Eck-
punkt
Ausgeglichene
Winkel
Log.
der Seiten
41
22
23
24
107*11' 26;'766
37 43 48,864
85 4 44, 962
4,401 6104
4,208 1702
4,1809050
47
27
28
29
34»2y 56;'234
29 87 54, 233
115 52 10,738
4,891 5208
4,382 5030
4,5925466
42
23
24
27
59 44 38, 467
78 30 29, 458
41 44 54, 119
4,5146826
4,569 4338
4,401 6104
48
28
29
30
74 40 46, 594
62 1 7,516
48 18 7,801
4,589 5811
4,501 8055
4,391 5206
43
23
25
27
140 27 51, 702
36 4 21, 169
3 27 47, 359
4,603 2978
4,569 4339
3,5805418
49
29
80
81
55 8 85, 184
72 2 18,499
52 49 9, 291
4,552 3905
4,616 5702
4,5395811
44
24
26
27
87 51 0, 239
84 1 38,313
8 7 21,830
4,516 6908
4,5146326
3,6671184
50
80
81
32
44 10 12,517
81 87 2, 187
104 12 46,511
4,4089936
4,2854226
4,552 3905
45
25
26
27
52 8 24, 422
74 31 34, 948
53 20 3, 308
4,516 6908
4,608 2978
4,523 5778
51
31
82
83
64 45 58, 505
56 15 43, 619
58 58 24, 837
4,432 4893
4,395 9568
4,4089986
46
25
27
28
70 47 37, 831
33 44 17, 409
75 28 6, 967
4,592 5466
4,362 0207
4,603 2978
[Der Anschluss an die Seite 21 (Hamburg) — Hohenhom, deren Logarith-
mus 4,4310013 ist, wird durch die folgenden Dreiecke hergestellt.]
Station
Beobachtet
Verb.
Ausgegl.
Log.
der Seiten
Wilsede
Nindorf
Hohenhom
55*59' 89;'815
92 39 53, 189
81 20
-ho;'52i
-0, 694
89^836
52, 495
29,841
4,5681158
4,649 1015
4,3656888
Wilsede
Lüneburg
Hohenhom
88 50 31, 496
101 8 31,098
45 0
-hO, 825
+1, 748
*
31, 821
32,841
67, 857
4,408 1466
4,649 1015
4,506 9703
Wilsede
Hamburg
Hohenhom
36 0 32,726
76 16 12, 988
67 43 18,070
-0, 585
-1-0,808
-0,740
82, 191
18,296
17,330
4,481 0012
4,649 1015
4,627 9981
Nindorf
Lüneburg
Hohenhom
25 44 9, 221
140 35 22, 896
13 40
+0, 477
-1-0, 452
*
9,698
28,348
27, 516
4,403 1465
4,5681157
4,1390824
Nindorf
Hamburg
Hohenhom
32 51 89, 497
48 4 36, 012
99 8
+0, 151
-0, 886
♦
89,648
35, 676
47, 171
4,481 0018
4,5681156
4,691 0660
Lüneburg
Hamburg
Hohenhom
84 51 11, 177
32 24 35, 260
112 44 18, 940
+0, 170
4-0,800
-hO, 747
11, 847
85,560
14,687
4,4810013
4,408 1468
4,6388717
ZUR NETZAUSGLEICHUNG.
317
[9.]
[Die Azimuthe der Seiten des sphäroidischen und des ebenen Dreieckssystems.]
Dreiecka-
Azimuth
Beduction
auf
die Ebene
Azimuth
Dreiecks-
Azimuth
Beduction
auf
die Ebene
Azimuth
•eite
auf dem
Sphäroid
in piano
seite
auf dem
Sph&roid
in piano
1 . 3
64» 1'
17','588
0;'064
17;'524
11.9
45» 0'
59;'990
+ oj'seo
60;'85O
1 . 2
180 0
5,473
"^^
0,000
5, 473
11.10
11.12
116
180
28
39
33, 535
58, 621
— 0,421
— 0, 610
33,114
58,011
2.1
0 0
5,473
+
0, 000
5,473
2 .3
48 19
42, 013
0, 116
41, 897
12.11
0
39
57, 400
+ 0,611
58, 011
2.4
167 57
10, 072
+
0,233
11,205
12 10
12.13
94
122
18
36
23, 106
5, 830
— 0, 064
— 0, 170
23, 042
5, 660
S.4
185 48
16, 602
+
1,292
17, 894
12.15
150
3
18, 141
— 1, 367
16, 774
S.2
228 19
41, 665
+
0, 233
41, 898
3.6
238 17
26, 831
—
0,661
26, 170
13.10
86
17
35,057
+ 0,032
35,089
3.1
244 1
17,396
+
0, 127
17, 523
13.15
154
25
37, 210
— 0,936
36, 274
3.6
324 81
25, 522
+
0,698
26,220
13.14
13.12
188
302
51
36
24, 391
5, 505
— 1,037
+ 0,155
23, 354
5, 660
4.8
5 48
18,997
—
1, 103
17, 894
4.8
157 11
52,438
+
1,228
53, 666
14.13
8
61
22, 245
+ 1,109
23, 354
4.7
231 10
29, 525
—
0, 172
29, 353
14.10
45
13
18, 356
+ 0, 726
19,082
4.6
281 7
52,722
+
0,279
53, 001
14.16
118
29
59, 002
— 0, 366
58, 637
4.2
847 57
11, 669
— —
0,465
11, 204
14.16
198
40
53,849
— 0, 301
53, 548
5.6
5 10
37, 734
+
11,565
49,289
15.10
7
51
10,076
— 0, 168
9,908
5.3
58 17
28,701
+
2,468
26,169
15.19
46
31
36,914
— 0, 343
86, 571
6.4
101 7
53,767
—
0, 766
53,002
15.26
67
11
27,694
— 0,718
26,976
5.7
147 14
52,051
""~
3, 504
48, 547
15.24
15.22
72
89
0
6
40,261
4, 880
— 0,538
— 0,017
89,728
4,863
6.3
144 31
29, 797
—
3, 577
26, 220
15.28
103
40
9,952
+ 0, 422
10,374
6.5
185 10
59,992
10,703
49,289
15.25
15.20
108
188
22
28
39,631
10,572
+ 0, 649
+ 0, 461
40, 180
11,088
7.4
51 10
28, 524
+
0,880
29, 354
15.21
183
■29
2, 150
— 0, 070
2,080
7.8
104 53
48, 757
—
0, 247
48,510
15.18
253
20
6,162
— 0,234
6,928
7.10
160 28
4,494
—
2, 843
1,651
15.17
275
29
14, 177
+ 0, 042
14,219
7.9
170 55
8, 008
—
3, 072
4,936
15.16
283
5
9,661
+ 0,093
9, 764
7.5
827 14
45, 733
+
2,812
48, 545
15.14
15.12
298
330
29
3
58, 457
16, 100
+ 0,179
+ 0,673
68, 636
16,773
8.10
195 1
57, 965
+
2,992
60,957
15.13
334
26
35,816
+ 0,459
36,275
8.9
218 13
50,039
+
1,320
51, 359
8.7
284 53
48, 758
—
0, 247
48,511
16.14
18
40
58, 236
+ 0, 311
58, 547
8.4
837 11
55, 393
•~"~
1, 728
53,665
16.15
16.21
103
157
5
42
9, 943
16, 614
— 0,188
— 1,847
9,755
13, 767
9.8
88 13
51, 187
+
0,178
51, 360
16.17
199
42
15, 669
— 0, 163
15, 506
9.10
137 28
44, 011
—
0, 396
43, 616
9.11
225 1
0,663
—
0, 312
0,351
17.16
19
42
15, 338
+ 0,166
15, 504
9.7
350 65
2, 347
+
2, 589
4,936
17.16
17.21
95
155
29
17
14,806
27, 152
— 0,086
— 1,813
14,220
25,339
10.8
15 2
2,898
—
1, 940
0,958
17.18
213
53
16,498
— 0, 737
15,761
10.19
136 46
40, 438
+
0,428
40, 866
10.16
187 51
9, 592
+
0,817
9,909
18.17
33
53
14, 948
+ 0,811
15,759
10.14
225 13
19,285
—
0,201
19,084
18.15
73
20
5,456
+ 0, 474
6,929
10.18
266 17
35,096
—
0,007
35,089
18.21
139
87
26,949
— 1,778
25,171
10.12
274 19
23, 022
+
0,019
23,041
10.11
296 28
32,988
+
0, 124
33, 112
19.22
141
48
37, 852
+ 1,218
38,565
10.9
817 28
48,551
+
0,068
43,614
19.20
178
17
59, 722
+ 2,332
62, 054
10.7
340 28
0,756
+
0,896
1,652
19.15
226
91
85, 898
+ 0, 675
86, 578
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.
Drüeoka-
■«te
Aümuth
auf dem Sphiroid
«uf
die Ebene
Aamiilh
inpUno
leite
Aünuth
mf dem SpUroid
Reduction
kOf
die Ebene
Aiimuth
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10. IS
10. IS
10.11
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« 11 1,91»
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319 37 14, 183
33S 17 14.190
1S7 41 11,700
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139 IB 15, 303
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139 t« 17,844
183 40 11, HS
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177 9 IoIbsB
111 11 tt, BSO
181 0 IB. 880
1 17 44.318
IT 11 47,871
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114 11 «8,871
188 11 4l[l8i>
— o;'043
— 1,017
— 0,7)4
+ 0, 818
— lis80
+ 0,1.1
— 0, IS»
+ 0,9S8
+ 1,0*0
+ 1,008
+ o;034
— 1, SS4
+ 0.411
+ 1.183
+ o;881
+ 1, 833
+ 1.413
+ 1,089
— 3,780
— 0,40»
— 3,310
+ 0,910
40;'B8i
18, »18
14,011
l'. 084
1,081
14.013
18,171
18, 119
87,173
1«, 491
3») S83
81,101
47,181
10^491
13,710
4l|lll
13,711
39[t18
40,868
47, 181
5,410
48, IIB
18. IS
11.31
108'40' i;'B49
181 17 38, T97
190 47 40, 181
11) 18 1,'440
138 81 48,808
178 18 41, 91T
188 48 4. T8T
19 41 BT, 0S4
114 0 IT, 881
111 10 1,894
187 18 37,878
119 19 48,384
348 11 88, 111
BO 11 11,014
347 IB $1^838
141 88 8,891
IDT 4t 00,10«
110 11 i.ss'a
101 10 10,874
17 44 11,311
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i+ III I+++ ll+l I+++ l+ll 1 I++++ ++++
SI'ITB
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40,877
1«, »7«
Sl,911
80, 781
41^11
80,783
48,487
41,111
48, Ms
4S, 0(8
siiuii
48.09»
8,871
8t, 09^
14, 049
[Zur Orientirung des Dreiecfcsnetzes diente das Azimuth der Seite Göttingen,
Sternwarte (Theodolithplatz von 1823) — Nördliches Meridianzeichen.]
^
\
ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 319
[10.]
[Briefwechsel zur Netzausgleichung.]
Gauss an Olbers. Göttingen, 2. November 1823.
Ich habe nunmehro die mühsame Ausgleichung meiner sämmt-
lichen Messungen von 1821 — 1823, so weit sie die Hauptdreiecke betrifft,
vollendet, so dass mm nicht nur die Summen der Winkel der einzelnen Drei-
ecke, sondern auch die Verhältnisse der Seiten in den gekreuzten Vierecken
und Fünfecken genau zu einander passen, imd zwar nach den strengen Prin-
cipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung sine ira et studio, und ohne alle
Willkürlichkeit. Es scheint nicht, dass man das letztere von den Messungen
anderer Geodäten sagen könne. Im ganzen Systeme sind 76 Richtxmgen, d. i.
38 jede hinwärts und herwärts. Bei keiner von ihnen hat die Ausgleichung
1" betragen; die grösste ist o![813 bei der Richtung von Nindorf nach Ham-
burg, wo das Pointiren auf den Michaelisthurm bei der heerrauchartigen At-
mosphäre und der Phasenstörung immer sehr schwierig war ; die nächst grösste
ist 0^788 bei der Richtung von Lüneburg nach Wilsede, wo zwar der Ziel-
punkt Heliotroplicht, aber die Aufstellung auf einem hölzernen Stativ in der
Laterne des Thurmes gewiss nicht von der Solidität war, wie auf Stein-
postamenten, und das Gewicht des Beobachters nach seiner verschiedenen
Stellung Einfluss auf das Instrument gehabt haben mag. Der mittlere
Fehler aller Richtungen, so verstanden wie in meiner Theoria Combinationis,
ist 0^486.
Es bilden sich in dem ganzen System 26 Dreiecke, in denen ich alle
Winkel gemessen habe. Der grösste Fehler der Summe der Winkel ist jetzt
2^175 bei dem Dreieck Nindorf- Hamburg -Timpenberg, wo die Richtung von
Nindorf nach Hamburg vorzüglich Schuld haben mag. Der nächst grösste Fehler
ist, wie schon oben erwähnt, bei dem Dreiecke Brocken-Hohehagen-Hils ; er
beträgt 1^^806, und die Richtung vom Hils zum Brocken wird nun noch vor-
züglich Schuld sein.
BRTEFWECHBEL.
Gauss an Olberb. Zeveo, 6. Julius 1824.
Die neuen Messungen vom Jahr 1823 [haben] einige obwohl
sehr kleine Modificationen in dem ganzen System hervoigebracht *}.
Gauss an Olbers. Göttingen, M. Mai 1826.
Ich bin eine beträchtliche Zeit mit der Ausgleichung meines
Winkelsystems beschäftigt gew^en, eine, weil ich alle Willkür aufischliessen
wollte, sehr beschwerliche Arbeit, da dabei alles unter einander zusammen-
hängt, und gewissermaiisBen die Messungen in Jever auf die in Göttingen
reagiren. Es hat vielleicht noch niemals jemand eine so complicirte Elimi-
nation ausgeführt, wo 55 Gleichungen ebenso viele unbekannte Grrössen in-
Tolvirten. Heute bin ich damit fertig geworden, so dass nun alle 150 Hich-
tungen, die das System enthält, so ausgeglichen sind, mit den möglich kleinsten
Änderungen, dass sie genau mit einander harmoniren. £b sind unter den
150 fünf, die über l" haben geändert werden müssen (die grössten 1"373,
nemlich Garlste- Varel und Varel-Garlste), und der sogenannte mittlere Rich-
tun^fehler wird 0"755, viel grösser, als nach der schönen Übereinstimmung
der Messungen auf jeder Station unter sich, zulässig ist, so dass ich das
Dasein der Lateral -Re&action in den flachen Gegenden gar nicht bezweifeln
kann; in den hohem Gegenden sind die Ausgleichungen immer viel kleiner. —
Es war eine langweilige Arbeit, alle Messungen erst genau vorzubereiten,
da ich nichts vernachlässigen wollte, und die kleinen Reductionen der Conse-
quenz wegen doch überall zugezogen werden sollten. Bessel hat, so viel ich
weiss, zuerst öffentlich von derjenigen gesprochen, die daher rührt, dass der
Winkel der kürzesten Linie von dem Winkel der Verticalebene differirt; allein
er hat dabei bloss die Punkte als auf der Oberfläche des Sphäroids betrachtet :
*) Auch üt in meiner jetzigen Kechnung Walbbckb Abplattung genau nun Qrunde gelegt, w&h-
r>/nd bei der vorigen, wie Sie wissen, durch Versehen eine obwohl äusserst kleine DiSereni statthatte.
ZUR NETZAUSGLEICHÜNG. 321
meistens beträgt diese Reduction nur ein Paar Tausendtheile einer Secunde;
wollte ich sie aber einmal zuziehen, so durfte ich eine andere nicht über-
gehen, die gewöhnlich viel grösser (obgleich auch noch unbedeutend) ist, und
daher rührt, dass die Punkte, die in Einer Verticallinie liegen, nicht in Einer
Verticalebene erscheinen, so dass eine von der Höhe abhängige Reduction
hervorgeht. Diese hat immer das entgegengesetzte Zeichen von Bessels Cor-
rection und ist schon bei massigen Höhen immer grösser, oft 4 -mal, 8 -mal
so gross, so dass jene immer destruirt und weit überflügelt wird. Der grösste
Betrag in meinem System ist von Lichtenberg zum Brocken, wo er — 0'^041
ausmacht. — Die genaue Berechnung der 51 Dreiecke selbst wird jetzt ein
leichtes Spiel sein.
Ich habe mich heute noch etwas in dem System der KRATENHOFFschen
Dreiecke im Innern von Holland umgesehen. Ich sehe immer mehr, wie
wenig ich Ursache habe, mich über meinen grössten Richtungsfehler von 1^4
zu beunruhigen. Wenn man Käayenhoffs Messungen oberflächlich prüft, d. i.
die Summen der 3 Dreieckswinkel und den Gyrus horizontis, so findet man
überall so schöne Übereinstimmung, dass man verleitet wird, diesen Messxmgen
eine Genauigkeit beizulegen, von der sie doch sehr weit entfernt sind. Nichts
ist dazu zweckmässiger als die Verbindungen von mehr als 3 Punkten, die
verknüpfte Dreiecke geben. Hier findet man häufig viel grössere Differenzen.
BaUUtm,
lockunh
ffarGn^en
Wrachteii'
Z. B. das System von 6 Punkten [*)] gibt den Gyrus horizontis von Leeuwarden
vortrefflich, auf 2j[l97 genau; die Summen der Winkel in den 5 Dreiecken
fehlen resp.
i;'432
0,714
0,759
2,842
2,590,
[*) Vergl. Band IV, ß. 82/87.]
IX. 41
322 BRIEFWECHSEL.
also auch erträglich. Aber wenn man die Seitenverhältnisse prüft, so findet
man, dass die Messungen sich nicht vereinigen lassen, ohne an den 1 0 Winkehi
in der Peripherie viel grössere Änderungen zu machen; nach der Methode
der kleinsten Quadrate müsste man sie um 3^-8, 3^6, 3'^6, 3^3, 3^0, 2^7, 2^7,
l'JO, l^'l, O'^S ändern; wollte man die Änderungen so klein wie möglich haben,
so müsste man sie alle 10 gleich und jede = 3^^ setzen"^. Man sieht also,
dass bei solchen Messungen die Summe der 3 Dreieckswinkel oft über 10''
fehlen müsste. Davon sind die angestellten Zahlen aber weit entfernt, und
also [ist] gewiss, dass wenigstens immer nur so ausgesucht ist, dass diese
Prüftmg harmonirt, wodurch aber offenbar oft geschehen muss, dass die
Winkel eher verdorben als verbessert werden, und ein ganz falscher Maass-
Stab für ihre Genauigkeit hervorgeht. Um die Genauigkeit von Messungen
gehörig würdigen zu können, darf nichts willkürlich ausgeschlossen werden.
Die leichten Prüfungen durch die Summen der 3 Dreieckswinkel und den
Gyrus horizontis sind wohl gar zu verführerisch, wenn auch nicht gerade zu
verfalschen, doch zum Wählen und Ausschliessen , was nicht viel besser ist
Leider bieten andere Messungen, wie die von Delambre, sonst fast gar keine
Prüfungen dar, als die erwähnten, sonst möchte man wohl oft ähnliche
Discordanzen finden.
Bei meinem System habe ich die Satisfaction gehabt, dass die Prüfungen
der einen und der andern Art Differenzen geben, die ganz von einerlei Ord-
nung sind. Dass' die Seitenrefiractionen so grosse Wirkungen geben, wie die
Disharmonien, die sich bei Kbayenhoffs Dreiecken zeigen, ist mir doch be-
denklich, da seine Seiten immer so klein sind, seine Stationen hoch in der
Luft, und Holland auch wohl viel weniger von Holz coupirt, wie mein nörd-
liches Terrain, so dass bei ihm das Licht wohl selten oder nie so knapp an
Hindernissen wegstrich, wie so sehr oft in dem letztem. Ich möchte also die
Anomalien eher den Messungen selbst zuschreiben.
*) Kbayenhoffs eigene Ausgleichung, die aber nicht klar aufgestellt ist, sondern erst heraxiBgesucht
werden muss, enth< hier cum Theil noch viel grössere Änderungen z. B. von 6''25S an dem einen Winkel
in Brachten, 5/530 an einem Winkel in Doekum, etc.
ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 323
Gauss an Gerling. Göttingen, 2. Mai 1837.
Was die Berechnung der geodätischen Messungen betrifft, so
liabe ich zwar die Elimination bei meinen eigenen Hauptdreiecken von Göt-
tingen bis Jever, gegen 4 0 Dreiecke zwischen 3 3 Punkten, ganz vollständig und
nach aller Strenge ausgeführt. Es blieb dies aber damals eine sehr beschwer-
liche langwierige Arbeit trotz der Kunstgriffe, die ich dabei fireüich angewandt
habe. Allein diese Ihnen genügend zu erklären, würde ein kleines Buch, und
um dieses auszuarbeiten, erst ein Wiederhineinstudiren von meiner Seite nöthig
sein, woran ich jetzt gar nicht denken kann.
Bei den später von meinem Sohn, Hartmann und Müller ausgeführten
Dreiecken, in Westphalen, Lüneburgschen , Harz und Wesergegend, sowie
den vorjährigen, habe ich von der äussersten Strenge etwas nachgelassen, und
es so gemacht, dass ich
1) die Winkelbedingungen allein in Betracht zog und danach scharf aus-
glich. Dann
2) zu diesen ausgeglichenen Zahlen die neue Ausgleichung suchte, welche
die Seitenverhältnisse erfordern [*)].
Will man sich die Mühe geben, dies Verfahren altemirend wiederholt
anzuwenden, bis man zu stehenden Resultaten kommt, was ich bereits im
Supplementum etc. p. 28[**)] anempfohlen habe, so gelangt man, wie dort
bewiesen ist, genau zu denselben Resultaten, als wenn man alle Bedingungen
auf Einmal berücksichtigte.
Gauss an Gerling. Göttingen, 5. Junius 1838.
Nach einem Theorem, wovon ich nicht bestimmt weiss, ob ich es Dinen
früher schon mitgetheilt habe, muss man, wenn in einem Dreieckssystem p
Punkte durch l Linien verbunden sind, gleichviel ob die Richtungen der letz-
tem bloss einseitig oder hin und zurück festgelegt sind, ausser den Bedin-
[*) VergL ß. 263.]
[**) Band IV, 8. 77/79.]
41
824 BRIEFWECHSEL. .
gungsgleichimgen der (ersten und) zweiten Klasse [den Horizontabschlüssen
und den Winkelgleichungen] noch /—2p + 3 von einander unabhängige Be-
dingungsgleichungen erhalten. Weder mehr noch weniger. Es kann sich
zwar fügen, dass diese nicht alle in die Form der dritten Klasse [der Seiten-
gleichungen] gebracht werden können, z. B. bei einem Dreieckskranze.
Allein ich nehme auf diese Ausnahme keine Rücksicht, da sie bei Ihrem
System unnöthig ist.
Ich zähle nun
p = 2A Punkte
/ = 66, nemUch 22 einseitige Richtungen,
44 conjugirte Richtungen,
so dass 21 Bedingungsgleichimgen quaestionis da sein müssen, und so viele
haben Sie wirklich. Die Unabhängigkeit kann man prüfen, wenn man die p
schicklich ordnet, wobei ich von der Ordnung Ihrer Zahlen 1 .... 112 zum
Theil habe abgehen müssen, und das nemliche Theorem wiederholt anwendet,
indeih man p successive vollständig werden lässt. Auch diese Prüfung haben
Ihre 21 Gleichungen bestanden. In Ihren Zahlen ist einige Confusion; 24
und 6 1 fehlen, so dass zusammen (wie oben 22 + 2.44)= 110 Richtungen her-
auskommen, und 112 steht am unrechten Platze.
Nach dieser Prüfung zweifle ich nicht, dass Sie Ihre 21 Gleichungen
dreist serviren können.
Habe ich übrigens recht gezählt, so müssen Sie 2 4 Bedingungsgleichungen
der 2^^ Klasse haben.
Nur auf einen Umstand bei der Ausfuhrung muss ich Sie noch aufinerk-
sam machen. Habe ich es vielleicht schon früher gethan, so entschuldigen
Sie meine Vergessenheit mit der guten Absicht.
Sie weichen in der Aufstellung Ihrer Tableaus darin von meiner Form
ab, dass Sie alle Richtungen von einer derselben an zählen, während ich
von einer gewissermaassen willkürlichen, richtiger von einer dem System
ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 325
fremden, an zähle. Sie dürfen daher bei der Ausführung nicht vergessen,
dass sammtliche Richtungen gleich zuverlässig, oder richtiger, gleich unzuver-
lässig sind, und dass Sie also Ihr jedesmaliges 0 mit unter die Corrections-
bedürftigen setzen müssen. Der Erfolg wird übrigens immer der sein, dass
die Summe aller Correctionen an Einem Standpunkt = 0 wird.
Ich bewundere aber Ihre Intrepidität, eine so grosse Eliminationsarbeit
zu übernehmen. Ich würde einen gleichen Muth nicht gehabt haben. Bei
meinen 33 Punkten war die Anzahl der Bedingungsgleichungen 3^' Klasse
[der Seitengleichungen] viel kleiner (ich glaube 7)[*)]; das Eliminiren, indem
man zuerst nur die der 2^° Klasse [der Winkelgleichungen] berücksichtigt, war
trotz der grossen Zahl auf indirectem Wege leicht und Fehler der Rechnung
unmöglich, und der Umstand, dass sammtliche Richtungen hin und zurück
gemessen waren, verstattete sehr erleichternde Modificationen und ein schnelles
Hingelangen zu stehenden Resultaten. Ich furchte, dass letzteres bei Ihnen in
viel geringerm Grade stattfinden wird [**)]. Wollen Sie aber einmal den Zweck,
so gibt es kein Mittel als Aufmerksamkeit und Geduld.
Hätte ich selbst diese Rechnungen zu führen gehabt, so würde ich die
drei Plätze, wo nicht gemessen ist, gar nicht in das System aufgenommen
haben, nicht weil ich es missbillige, sondern weil ich die grosse Arbeit ge-
scheut haben würde. Würden alle nur einseitig beobachteten Richtungen aus-
geschlossen, so würde die Compensation des Systems sehr leicht sein, aber
freilich gewinnt bei Ihrer Unternehmung die Sicherheit durch vollständige
Berücksichtigung sehr bedeutend
Das Arrangement bei den Vierecken ist übrigens an sich willkürlich,
und nur um die Willkür abzuschneiden, befolge ich die von Ihnen citirte
Regel [***)], die weiter keinen Vorzug hat, als den von Ihnen richtig errathenen.
[*) Es sind deren 12.]
[*») Vergl. ß. 250/261.]
[***) Vergl. den Brief an Geeling vom lt. Februar 1824, S. 249. Gerlino hatte in Bezug darauf
[am 2. Juni 1888) geBchrieben: »Ich habe mir von dem Grunde der Kegel bis jetzt keine andere Rechen-
lehaft geben können, als dass auf diese Weise verh<nissmässig die grössten Coefficienten zum Vorschein
kommen.«]
k
BRIEFWECHSEL. ZUR NETZAUSOLEICH UNO.
Gauss an Gerling. Göttingen, 14. November 1838.
Rücksichtlich der Formeln für die Anzahl der Bedingungsglei-
chungen habe ich gar nichts gegen die Bekanntmachung. Allein es ist mix
jetzt unmöglich, die Aiunahmsialle auf eine präcise und erschöpfende Art
zu bezeichnen, und ich weiss auch nicht, ob dies überhaupt möglich sein
wird, ohne tiefer eingreifende Entwickelungen damit zu verbinden. S[ine] m[e-
ditatione] dürfte es zureichen zu sagen, dass wenn in einem System von p
Punkten, zwischen denen es l Verbindungslinien gibt, die Richtung jeder Ver-
bindungslinie an beiden Endpunkten gemessen, d. i. an eine andere Richtungs-
linie des Systems geknüpft ist, es
l—p-\-i von einander unabhängige Bedingungsgleichungen aus blossen
Winkelsummen und ausserdem noch
/— 2^ + 3 andere Bedingungsgleichungen geben muss, die in den ge-
wöhnlichsten Fällen sämmtlich unter die Kategorie der in dem Supplem.
Theor. p. 31 unter in[*)] angeführten fallen.
i
BEMERKUNGEN. ZUR NETZAUSGLEICHUNG. 327
BEMERKUNGEN.
Von der Netzaufgleichung iBt nur eine Anzahl loser, nicht numerirter Bl&tter vorhanden. Eine voll-
Btfodige in alle Einzelheiten gehende Wiederherstellung an der Hand derselben — wenn sie Überhaupt
möglieh ist — würde mit umstfindlichen Rechnungen verknüpft sein.
Direct entnommen sind diesen Blättern Art. [2] , die Nonnalgleichungen des Art. [4] , die Seitenglei-
ehungen im Art. [6] und die Tabelle unter [9] , der nur die Bezeichnungen der Columnen zugefügt sind ;
nach ihnen zusammengestellt sind Art. [3], die Tabellen der Art. [7] und [8], sowie die Normalgleichungen
des Art. [6]. Die Notiz [i] ist einem Beobachtungs- und Rechnungsheft zur hannoverschen Gradmessung aus
dem Jahre 1825 entnommen.
Der Gang des OAUSSschen Ausgleichungsverfahrens ist folgender. Nachdem aus den Winkelgleichungen,
der Methode der kleinsten Quadrate entsprechend, die Normalgleichungen, S. 303 und 304, hergestellt waren,
hat Gauss diese (auf indirectem Wege, vergl. S. 3J5) aufgelöst und daraus die Verbesserungen berechnet,
die die Dreieckswinkelgleichungen allein erftdlen. Mit den erstmalig verbesserten Winkelwerthen wurden
die 12 Seitengleichungen in der Gauss eigenthümlichen Weise aufgestellt, S. 304 — 311. Durch die modi-
ficirte Seitengleichung erreicht Gauss, dass, wenn sie nicht mit einer andern zusammen hängt, immer nur
die Winkelsumnien der angrenzenden, nicht aber die der innem Dreiecke der Figur, auf die sich die
Seitengleichung bezieht, durch die Ausgleichung beeinflusst werden; vergl. den Brief an Gebling vom
19. Januar 1840, S. 253. Aus den umgeformten Seitengleichungen wurden die 12 Normalgleichungen,
8.312, hergeleitet, durch deren Auflösung neue Werthe der Verbesserungen der Richtungen erhalten
werden, welche die Seitengleichungen allein erfdUen. Nach dieser ersten Ausgleichung werden wieder die
neu entstandenen Widersprüche der Dreiecke ausgeglichen, mit den gefimdenen Verbesserungen von neuem
die Seitengleichungen und die zugehörigen Normalgleichungen aufgestellt, die sich jetzt von den vorigen
nur in den constanten Gliedern unterscheiden. Durch ihre Auflösung ergeben sich wieder neue Werthe
der Itichtungsverbesserungen. In dieser Weise hat Gauss die Ausgleichung noch zweimal wiederholt. Dies
Verfahren führt, wie im Supplementum theor. comb, observ. Art. 19 gezeigt ist, zu denselben Werthen, wie
die Ausgleichung sämmtlicher Winkel- und Seitengleichungen in einem Gusse. Dass die Rechnung so bald
stehende Resultate ergeben hat, liegt nach Gauss an der von ihm gewählten Form der Seitengleichungen,
vergl. S. 251.
Substituirte man die Verbesserungen des Art. [7] in allen 61 Winkelgleichungen, so würde, wie man
aus der Zusammenstellung des Art. [s] ersieht, bei ii Gleichungen der Fehler o, bei 18 Gleichungen der
Fehler o^'ooi, bei 18 Gleichungen der Fehler 0^002 und bei 4 Gleichungen der Fehler o('oo3 sein.
Die von den Punkten 28 bis 33 ausgehenden Richtungen haben von Gauss nochmals Correctionen
erhalten, deren Herkunft nicht ersichtlich ist. Wahrscheinlich rühren 8ie4Von einer nachträglichen Ände-
rung der beiden beobachteten Winkel inLangwarden um o''l28 und o;'oi5 her. Jedenfalls sind die unter [7]
mitgetheilten Verbesserungen, die zur Ableitung der folgenden Tabellen benutzt wurden, diejenigen, welche
lieh aus seiner Ausgleichung ergeben haben.
Aus den 51 Dreieckswidersprüchen «7^ erhält man für den mittlem Richtungsfehler m nach derNähe-
1 M
nmgsfoimel mr = - — - y wf :
6.51 1
m = ± o;'643.
328 BEMERKUNGEN. ZUR NETZAUSGLEICHUNG.
Bei dem Anschhisfl des Punktes Hohenhom an das Dreiecksnetz, S. 316, Termittelst der Figur Hohen-
hom. 21. 15. 17. 18 sind die Seitenverh<nisse und die Winkel der Gradmessung festgehalten worden. Die
Dreiecksseite Hamburg-Hohenhom diente der hannoverschen Grad- und Landesvermessung als Basis; reigl.
Bestimmung des Breitenunterschiedes etc., S. 48, sowie den Brief an Schumacher vom 22. December 1827,
S. 281.
Zu der Tabelle, Art. 'o], ist folgendes zu bemerken. Die Darstellung einer Dreiecksseite iJc in der
Ebene bilde mit der Geraden diu>ch ihren Anfangs- und Endpunkt die Winkel ^^^.^ und «p».«- Bezeichnet
dann T das astronomische Azimuth, t das Azimuth auf dem SphAroid, 8 das Azimuth in piano und e die
Meridianconvergenz, so ist T^rgl. S. 20 1):
Die Berechnung von 6 erfolgt nach der Formel des Art. t5, S. 159; vergl. auch S. 2iß/2i7. Diese
Formel, wie die zur Rediiction der sph&roidischen Dreiecksseite auf die ebene, verlangt die Kenntniss ange-
n&herter Coordinaten der Dreieckspunkte , die man sich durch eine vorläufige Berechnung von geringer
Sch&rfe verschaffen muss.
Ist also in dem sph&roidischen Dreiecksnetz das astronomische Azimuth einer Dreiecksseite bekannt,
so kann man durch successive Anwendung der Gleichungen ,2} und mit Hülfe der Winkel des Netzes
t und 8 für alle Seiten berechnen. Nun ist aber fQr alle Punkte des Hauptmeridians c = 0. Geht daher
die Dreiecksseite 1.2, deren Azimuth beobachtet ist, von einem Punkte desselben aus, so ist
3) ti.t = 2i.|.
Zur Orientirung des hannoverschen Dreieckssystems dient die Seite Göttingen, Theodolithplatz 1823~-
Nördliches Meridianzeichen; ihr Azimuth ist nach Art. [9]: Ti.i = t|., = 5/473. In einem Briefe an Ger-
LING vom 26. December 1823 (vergl. auch Geblino, Beiträge zur Geographie Kurhessens etc., S. «9j gibt
Gauss dafür 5''47i an. Aus den Coordinaten des Theodolithplatzes von 1823 auf der Göttinger Sternwarte:
x=i — 5,507m, y = 0, und des nördlichen Meridianzeichens: x = — 5019,756m, y = — 0,183m, Band IV,
S. 416/417, folgt ebenfalls das Azimuth = 5;'47i.
Sind nun die ebenen Azimuthe berechnet, wie es in der Tabelle unter [9] geschehen ist, so kann
man aus ihnen die Winkel der ebenen Dreiecke zusammenstellen und alsdann, wenn die lineare Langa
einer Dreiecksseite bekannt ist, die Längen aller übrigen Dreiecksseiten berechnen. Man hat demnach nur
einmal nöthig, von einer sphäroidischen Dreiecksseite auf eine ebene zu reduciren. Diese Übertragung
geschieht nach der auf S. 215 gegebenen Formel; wendet man sie auf alle sphäroidischen Dreiecksseiten
an, so gelangt man gleichfalls zu den ebenen Dreiecksseiten.
Wenn aber die Seiten der ebenen Dreiecke und ihre Azimuthe bekannt sind, so lassen sich aus ihnen
leicht successive die ebenen rechtwinkligen Coordinaten der Dreieckspunkte berechnen.
Die auf S. 209 gegebene Karte des der Ausgleichung imterworfenen Dreiecksnetzes ist die Copie einer
von Gauss dem hannoverschen Cabinetsministerium eingereichten Zeichnung. Aus Versehen sind im Original
die Richtungen Wilsede-Brüttendorf und Timpenberg-Hamburg fortgelassen; dagegen enthält dasselbe noch
den Anschluss der Punkte Hohenhom und Lauenburg, sowie den der Punkte Wangeroog und Neuwerk.
Über die Ausgleichung der in den ersten Jahren der Gradmessung beobachteten Dreiecke sind die
später folgenden Briefe an Bessel vom 5. November 1823 und an Bohnenberoer vom 16. November 1823
zu vergleichen. Kbüoee.
DEEIECKSKRAJSrZ UM OLDENBUEG.
42
1
\
NACHLASS.
Zur Ausgleichung des Dreieckskranzes, der das Oldenburgsche umgibt.
Das ursprüngliche Tableau, angeschlossen an die Seite Zeven- Steinberg,
[deren] vorausgesetztes Azimuth in piano: 1®17'405[568, logDist: 4,5235878,
steht so, alle Azimuthe aufs Planum reducirt :
2
21
20
s
21
1
5
4
21
2
6
21
3
6
7
6
4
8
[Ebener
BeobachtungBw.]
1. Zeven
1»17'39;'871
63 26 5, 943
124 13 47, 140
2. Steinberg
36 16 66, 169
106 46 4, 198
181 17 41, 266
3. Asendorf
26 49 22, 246
98 13 64, 829
169 2 46, 796
216 16 68, 976
4. TwiBtringen
47 24 66, 642
200 32 28, 288
278 13 66, 217
330 2 34, 130
6. Knickberg
37 16 32, 647
87 27 23, 007
160 2 33, 742
206 49 26, 941
[1. AuBgl.]
40;'668
6, 236.6
47, 160.6
67,067
2,987
40,669
24, 092
66, 023
46,682
67,068
66, 367.6
27, 961
66,023
33, 986.6
33, 219.6
23, 987
33, 936.6
24,094
8
9
10
4
6
7
8
6
6
9
6
7
11
10
6
8
[Ebener
Beobachtungsw.]
6. Mordkuhlen-
berg
16*10' 32;'l 13
88 47 69,913
160 48 68, 348
227 24 67, 094
267 27 24, 968
332 14 86, 728
7. Nonnenstein
73 3 40, 746
162 14 33, 970
217 16 33, 892
8. Dörenberg
166 6 19,362
196 10 38, 466
263 3 40, 334
9. Quekenberg
169 44 64, 268
210 48 6, 066
268 48 2, 206
886 6 20, 293
[1. AuBgl.]
32/784
61, 069.6
69, 114.6
66, 868.6
23,988
34, 849.6
40,640
84, 848.6
88, 219.6
19, 827
82,784
40,640
66, 012.6
6,922
1, 069.6
19,828
9
11
12
6
13
12
10
9
11
18
14
16
16
10
14
12
11
[Ebener
BeobachtungBw.]
10. Krapendorf
30» 48' 7;'788
98 88 4, 402
172 89 16, 470
340 48 69, 881
11. Windberg
174 6 1,682
214 9 23, 908
278 83 4, 966
839 44 66, 767
12. WeBterstede
• 34 9 26, 276
86 4 31, 600
130 8 66, 476
178 63 40, 498
228 18 2,676
862 39 19, 183
13. Leer
186 16 22, 080
266 4 80, 726
364 6 2,364
[1. Auflgl.]
6;'921
4,679
17, 826.6
69, 114.6
2, 017.6
24,689
4,679
66, 012.6
24,690
81,118
66, 697.6
41, 124
4,866
17, 826.6
21, 978.6
81, 118
2, 018.6
42=
[Ebener
[i.Au.gI,]
(Ebmer
[i.AuigL]
[Ebener
14. Anrieh
17. Luigwudeii
20. BriUit
6'16'2i:'927
2i;'978J>
16
27*44' o;'860
i;'340
21
19*41' 48;'938
249 89 8, 646
8,716
16
83 69 60, 352
60, 187.6
19
49 19 47, 06S
SlO e 55, 720
66, 697.6
18
283 31 20, 848
20, 682.6
18
1
124 0 88, 641
304 13 47, 169
16. Jerer
18. Bremerlehe
69 89 e, 787
8.716
16
59 21 2, 451
2,885.5
21. Bremen
268 59 60. 022
60. 186.5
17
103 81 20, 418
20, 638.6
4
20 82 27, 614
322 58 6, 388
6,920.6
20
304 0 38, 544
38, B41.B
19
166 11 62,061
3&e 63 41, 761
41, 12B
19
347 18 42, 192
42,094.6
20
1
199 41 60, 446
238 26 4, 528
16. Vwel
19. GMlft«
2
286 46 1, 776
43 18 6,038
4,857
16
112 10 6,220
3,742
8
889 2 46, 629
142 68 7,468
6,920.6
16
167 18 41,997
43, 094.6
207 44 1,630
1,240
20
229 19 45, 572
46,817
289 21 2, 220
2, 836JS
21
346 11 48,789
60,424.6
292 10 0, 264
2,742
4^'691
46,318
38,643.6
47,l*8i
27,961
60, 426 J
49,693
6,336.6
3,987
46,683
\
DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG.
33»
Die 21 Dreiecke und das Siebeneck haben folgende Fehler der Winkel-
sumnien.
Dreieck
21.
1.
2,
4
1 <t •
+ 0^388
Dreieck
12. 13. 14,
n: — i;i22
»
21.
2.
3.
, b
; +5,973
»
12. 14. 15,
0 :— 0,866
»
21.
3.
4,
c
;— 0,020
»
12. 15. 16,
p : — 1,045
»
3.
5.
4.
, d
: +3,696
»
15. 17. 16,
q :+ 0,025
»
4.
5.
6,
1 e :
: + 0,121
»
16. 17. 18,
r :— 1,421
»
5.
7.
6,
> f
: + l,142
»
16. 18. 19,
s :— 4,920
»
6.
7.
8,
9
:— 3,512
»
18.20. 19,
t : — 1,299
»
6.
8.
9,
h
:— 0,020
»
19.20. 21,
u :— 0,274
9
6.
9.
10,
■
t :
; +2,493
»
20. 1.21,
V :— 2,941
»
9.
11.
10,
k .
— 0,798
Siebeneck
»
10.
11.
12,
l :
; — 0,786
4.6.10.
12.16.19.21,
w: + 17^963.
»
11.
13.
12,
m:
+ 0,073
Die Bedingungsgleichungen sind hienach folgende:
21.1 + 1.2 + 2.21 = +0,388
u. s. w.
4.6 + 6.10 + 10.12 + 12.16 + 16.19 + 19.21+21.4 = +17,963.
Hier bedeutet 21.1 die an [die Richtungsbeobachtung] 21.1 anzubrin-
gende Correction minus die an 1.21 anzubringende, u. s. w.
Indem die Correlaten der Bedingungsgleichungen mit den correspondirenden
grossen Buchstaben A^ B^ C, u. s. w. bezeichnet werden, hat man für jene die
22 Gleichungen:
V-\-ZA-B
= +0,388
— Ö + 3H-
-/
= —0,020
-4 + 35-C
= +5,973
-H+3I-
-K-
-^^' = +2,493
5 + 3C-D-
-PF = —0,020
I -j-ZK
-L
= —0,798
C + 3D— JB
— +3,696
K+ZL
-M-
-W = —0,786
D+ZE—F-
-PF = +0,121
i+3M
-N
= + 0,073
E-\-3F—G
= +1,142
M+3iV
-0
= —1,122
F+ZG-H
= —3,512
-iV+30-
-P
= — 0,866
334
NACHLASS.
0 + 3P
P + 3Q
Q + 322
J2-f3S
s +3r
Q-W
R
8
T-W
U
— 1,045
+ 0,025
— 1,421
— 4,920
— 1,299
— T-^iü—V—W= —0,274
— Ü+ZV—A =—2,941
—C—E—I—L—P—8—ü-\-7 W= +17,963,
woraus sich folgende Werthe ergeben:
W= +4,756
A = + 1,394
B = +3,816
C = +4,082
D = +3,694
£ = +3,305
F= + 1,345
G= —0,412
H= +0,930
/ = +3,223
K= +1,489
L = +2,043
M= +0,671
JV= —0,103
O = +0,142
P = +1,394
Q == +0,329
R = —0,431
8 = —0,200
r= —0,005
U= +1,485
V = —0,021.
Die Correctionsdifferenzen hängen damit folgendermaassen zusammen:
Für eine Aussenseite i .2 = A; für eine Innenseite 21.4= W— C ; für
eine Zwischenseite 21.1 =A — V. [Bezeichnet (1.2) die Verbesserung der
Richtung von 1 nach 2 u. s. w., so ist +(1 . 2) = — (2 . l) = 4- x 1 . 2 = -^A,
(21.4) = — (4.21) = J-TF- iC, u. 8. w.]
Übrigens sind diese Werthe bereits zum Grunde gelegt, xim das vor-
stehende Tableau [S. 331/332, 1. Columne], so gut mit 3 Decimalen angeht,
auf absolute Orientirung zu bringen.
Rein angewandt, geben jene Correlaten ein einmal compensirtes neues Ta-
bleau, [das in der ersten Zusammenstellung in der Spalte : » 1 . Ausgleichimg«
enthalten ist. Vermittelst desselben ergibt sich folgende Dreiecksübersicht:]
[ Dreieck
Eck-
punkt
Winkel
logg ]
a
h
e
♦21
1
2
*21
2
3
21
*3
4
58»19'57;'751.5
52 8 24,667.5
74 31 87, 582
52 16 48, 695
70 29 5, 920
67 14 10, 386
41 29 41, 269
60 48 61, 659
77 41 27, 072
4,523 5878
4,5167105
4,603 3177
4,490 1366
4,566 2678
4,5167105
4,397 5879
4,5174043
4,666 2678
[ Dreieck
Eck-
punkt
Winkel
logß ]
d
e
f
3
5
♦4
4
*5
6
6
7
*6
72*24' 30','931
55 46 50, 157.5
51 48 38, 912.6
77 22 22, 432
62 35 9, 949.5
40 2 27, 619.5
50 10 60, 767.6
66 1 58,371
64 47 10, 861.6
4,459 3405
4,397 6879
4,375 5480
4,640 2697
4,599 1709
4,459 3405
4,5682778
4,640 2697
4,639 3947
DREIECKSKRANZ UH OLDENBURG.
335
[ Dreieck
Eck-
punkt
Winkel
logB ]
l
ffi
♦6
7
8
♦6
8
9
6
♦9
10
9
11
*10
10
♦11
12
11
18
*12
♦12
13
14
♦12
14
15
43» 55' 67;'934.5
79 10 54, 308.5
56 53 7, 756
72 37 28, 275.5
41 5 12,957
66 17 18,768.5
72 0 58, 055
57 59 54, 137.5
49 59 7, 806.5
51 3 11,909.5
61 11 50,333.5
67 44 57, 758
74 6 13, 147.5
64 23 40, 090
41 30 6,763.5
40 3 22,571.5
88 1 30,905.5
51 55 6,523
44 4 24,484.5
79 48 9, 134.5
56 7 26,381
48 44 45, 527.5
60 29 46, 881.5
70 45 27, 591
4,486 4942
4,6374634
4,568 2778
4,655 4820
4,493 4658
4,637 4634
4,587 5500
4,537 7168
4,493 4658
4,535 7345
4,587 5500
4,6112986
4,697 5200
4,669 5596
4,585 7345
4,506 3533
4,697 5200
4,593 8266
4,429 4936
4,580 2315
4,506 3533
4,481 2969
4,544 8795
4,580 2315
[ Dreieck
Eck-
punkt
Winkel
logß ]
8
12
♦15
16
15
17
♦16
♦16
17
18
16
♦18
19
18
20
♦19
19
♦20
21
20
1
♦21
44*24' 23;'232
35 55 34, 204.5
99 40 2, 563.5
58 58 16, 734
56 15 48, 947.5
64 45 54, 319.5
31 37 1,095.5
104 12 40, 607.5
44 10 18,298
52 49 0, 406.5
72 2 20,241
55 8 39, 352.5
43 18 3,553
74 40 52, 225.5
62 1 4, 222.5
115 52 4, 107.5
29 37 56, 627
34 29 59, 266.5
75 28 2, 542.5
70 47 41, 915
33 44 15, 543.5
4,3960301
4,8195384
4,544 8795
4,4090498
4,396 0301
4,432 5558
4,285 4630
4,552 4361
4,4090498
4,5396066
4,616 6102
4,552 4361
4,391 5346
4,539 6066
4,501 3244
4,592 5563
4,332 5166
4,391 5346
4,603 3021
4,592 5563
4,362 0234
[Indem man von den Funkten 1 oder 2 ausgeht (Band IV, S. 458), kann
man jetzt mit Hülfe der Formeln
^. — ^^ = 8^., COS T^.^ y^ —y^ = s^.^ sin t^,, ,
in denen t^.^ das Azimuth der Seite s^.^ bezeichnet, die ebenen Coordinaten der
Funkte des Blranzsystems berechnen. Man erhält:]
rDreieoks-
[ punkt
X
(Meter)
y ]
(Meter)
21
1
2
3
— 173074,708
— 196973,309
— 163594,034
— 138675,054
+ 76350,926
4- 44130,578
-f 44884,912
-i- 63178,019
Dn-iecks-
« 1
punkt
X
(Meter;
4
— 142251,677
+ 87900,386
5
- 117302,389
+ 73520,724
6
— 115364,146
+ 117156,400
7
— 82615,970
+ 99921,647
8
— 73684,811
+ 129246,257
9
— 114711,937
+ 148300,127
10
— 147940,705
+ 128490,294
11
— 153046,113
+ 162443,404
12
— 194283,391
+ 134463,972
13
— 192087,067
+ 166477,506
14
-218810,103
+ 163540,108
15
-229342,324
+ 135140,342
16
-209472,265
+ 120150,094
17
-232173,634
+ 108214,679
18
— 227661,782
+ 89453,677
19
— 193865,475
+ 81844,596
20
— 209919,630
+ 63160,451
21
— 173075,289
+ 76350,558
1
— 196973,026
+ 44131,372
Unterschiede |
21
— 0,581
— 0,368
1
+ 0,283
+ 0,794
H«Iiuf der zweiten AuBgleichung werden folgende Bezeichnungen ge-
Itrttuiilit.
m', flt", m* die drei Winkel des Dreiecks m\ nemlich m", m' resp. den
(llmrgftngsseiten gegenüberstehend, m* zwischenliegend, in obigem Tableau mit
HltTii bezeichnet.
Durch die Zahlen sind Kürze halber die complexen Plätze bezeichnet
[ftUo int z.B. 21 = ir„ + ij/„, wo i = \/— l].
Man hat
|\ _12-Z_-I = cotanga'.Sa' — cotanga".8a"-(-cotangA'.86' — cotangf.W
4- cotang c' . 8c' — cotang c" . Bc" + . ■ •
-f- cotang v' . 8p'— cotang v" . 60"
DREIECKSKBANZ UM OLDENBURG. 337
2) — 8 1 = (I — 2 1 ) { cotang v\ W— cotang v". 81;"+ cotang a'. 8a'— cotang a". 8a''
+ cotaiig6'.86'— cotang6''.86''-|-i(8»'+8a'+86'){
+ (1 — 3) { cotang c'. 8c' — cotang c". 8c" — i . 8c' |
+ (1—4) {cotang<i'.8(i'— cotangrf''.8rf''+i.8<f}
+ (1 — 5) {cotange'.8«' — cotang «".8 «"—1.86' I
+ (1 — 6) {cotang/".8/" — cotangr.8r+cotangy'.8^'— cotangy".8^''
+ cotang h'M — cotang h\ U" + i [hf* + 8/ + 84») (
+ (1 — 9) j cotang %'. W — cotang t ". 8 1" — i . 8t' }
+ (1 — 10){cotangÄ:'.8Ä'-cotangÄ''.8*"+i.8r{
+
+ (1 — 20) { cotang«'. 8m'— cotangu". 8tt''— i . 8i*'} .
Hier ist
8»' = (20.21)— (20.1)
81;"= (1.20)— (1.21)
8»' = (21.1) —(21.20)
8a' = (1.21)— (1.2)
80"= (2.1) - (2.21)
8a' = (21.2) —(21.1)
U. 8. W.
[wo wie vorher (1.2), (1.21), u. s. w. die Richtungsverbesserungen bedeuten].
Es wird hienach die Bedingungsgleichung aus den Seitenverhältnissen fol-
gende [da 821 = —0,581— i. 0,368, 8I =+0,283 + 1.0,794 und Slogs,.,, =
— 0,000 0156, also]
+0,0000156 «„„«fi- , _ ,„„-
0,43429... -206265 = +7,4091 = |*
— 206265.821 = + 119839 + 1.75905 = v'
— 206265.8 t=— 58373— i. 163774 =v''.
[ist:]
43
338
NACHLASS.
[ Corr.
Co«ffieient 1
[ Corr.
Coefficient ]
(1.2)
-(l-21)a'
(12.10)
+ (1
1-11)1"
(1.21)
+ (l-2l;(e"+o')
(12.11)
-d
1-11)1"- (1-12)1
(1.20)
-(1-21)«"
(12.15)
-d
i-15)l)'+(l-12)i
(2.3)
-(1-21)6'
(12.16)
+;i
1-16)11'
(2.21)
+ (l-21)(a"+6')
(18 . 14)
-d
l-12)n'
(2.1)
-(l-21)a"
(18 . 12)
+(:
l-12):ifi"+n')
(8.6)
-(l-4)d'
(18.11)
-(]
l - 12)111"
(8.4)
+ (l-4)d'+(l-8)i
(14.15)
\
1-12)0'
(8 . 21)
+ (l-21)6"-(l-8)i
(14 . 12)
+ (1
l - 12: (n" + o')
(8.2)
-(1 — 216"
(14.13)
-(]
l-12)n"
(4". 21)
+ (l-8)c"
(16.17)
-d
L-16)2'
(4.3)
_(l_8)c"-(l-4)i
(16 . 16]
+d
L-16)«'+(l-16)i
(4.6)
-(l-6)«'+(l-4)i
(16 . 12)
+ d
1-12,0"- (1-15)1
(4.6)
+ (l-6)e'
(16.14)
L-12;o"
(5.7)
-(1-6)/-'
(16 . 12)
+d
l - 15)p"
(6.6)
+ (l-6;/'+(l-6)i
(16.15)
-d
l-15:p"-(l-16)i
(6.4)
+ (l-4)(l"-(l-5)i
(16.18!
-d
l-18)«'+(l-16)i
(6.8)
-(i-4;d"
(16 . 19)
+d
L-18)«'
(6.4)
+ (l-5)e"
(17 . 18)
-d
[-16)r'
(6.5)
-(l-5)e"- (1-6)1
(17 . 16)
+d
L-16:V'+r')
(6.9)
-(l-9)»'+(l-6)i
(17.15)
-d
l - 16; q"
(6 . 10)
+ (1-9)»'
(18 . 20;
-d
L-19)t'
(7.8)
- (1 - 6)^'
(18 . 19)
+d
L-19:«'+(l-18)i
(7.6)
+ (1-6) (/•"+,•)
(18.16)
+d
L-16;r"-(l-18)i
(7.6)
-(i-6;r
(18.17)
-d
L - 16: r"
(8.9)
-(1-6)Ä'
(19 . 16)
+d
L-18)«"
(8.6)
+ (l-6)(fli"+»')
(19 . 18)
-d
l-18)«"-(l-19)i
(8.7)
- (1 - 6)^"
(19.20)
-d
[-20)tt'-f(l-19)i
(9.11)
-(l-lO)t'
(19.21)
+d
l-20)tt'
(9.10)
+ (l-10!il!'+(l-9)i
(20.1)
1-21)«'
(9.6)
+ (l-6)Ä"-(l-9)i
(20.21)
+ {1
[-21)»'+(l-20)i
(9.8)
-(1-6)V'
i20 . 19)
+ J
l-19)t"-(l-20)i
(10 . 6)
+ (l-9)i"
(20 . 18)
-d
-19;t"
(10 . 9)
-(l-9)»"-(l-10)i
(21 . 19)
+ (3
.-20)tt"
(10.11)
-(l-ll)J'+(l-10)i
(21 . 20)
-(1
[-20)tt"-(l-21)i
(10.12)
+ (1-11)J'
(21 . 3)
-(1
L-3)c'+ (1-21)1
(11.13)
- (1 - 12)»'
(21 . 4)
+ (1
[-8)c'
(11 . 12)
+ (l-12)w'+(l-ll)i
(11 . 10)
+ (l-10)*"-(l-ll)i
(11.9)
-(1-10)*"
DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG. 339
Dieses abgekürzte Tableau bezieht sich zunächst auf die Bedingungsglei-
chung für v". Es ist nemlich v" äqual dem A^regat von 77 Theilen, wovon
der erste
= — (1 — 21)cotanga'.(1.2),
der zweite
= +(1 — 2l)(cotangi;"+cotanga')(l .21)
u. s. w.
Die Bedingungsgleichung für v' findet sich, wenn man überall anstatt 1
21 schreibt, wodurch also die Glieder 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 und 70 wegfallen.
Endlich findet sich die Bedingungsgleichimg für (i, wenn man überall
den ersten Factor (resp. 1 — 21, 1 — 3, 1 — 4, u. s. w.), imgleichen die ima-
ginären Theile herauswirft.
Auf der folgenden Seite folgen nun die 3 Bedingungsgleichungen (für |a
und die beiden Theile von v') in Zahlen nebst den Logarithmen der Coeffi-
cienten.
43*
340 BEMERKUNGEN.
L
BEMERKUNGEN.
Die Tontehende unvolleDdete Ausgleichung ist die einzige Eintragung in ein Handbuch, du den TüUl
fftbrt: iBechnungen in Bedehung auf die trigonometriicben MeMungen*. Sie iit dwluich bemerkeniwerth,
dwa hier lum enten Male die Polygongleichungen füi ein Knniajritem au^eitellt werden. Die t PolygQD-
gleicbungen beitebeii aui der Winketgleichung für dai innere Polygon dee Kraniu und aui den beiden
BediDgungiglracliungen daitlr, daaa die Coordinaten einet Punkte! wieder diMelben Weithe erhalten, «ean
nutn Ungs «nel von Seiten del Kranuyitema gebildeten Linieniuge« lu ihm curflckkehit. Dieie büden
Bedingungen weiden dureh die Oleicbung l), 8. 33T, dargeitellt, die man wie folgt ablriten kum.
Beehuet man Tom Punkte i aus die rechtwinkligen Coordinaten ISng« de« Liniensugea i. lt. s. 4.
h. t. t. le. tl. 11- IS' le. IS- IV' 10 f^ die Punkt« 11 und 1, lo erhSlt man (toi der Auigldehung' im
■llgem«inen nicht wieder die Aulgangiwerthe fllr 11 und I, londem man gelangt tu Werthen, die d«n
Punkten II* und l* entapiechen mOgen. Wird die Lage de« Punkte« k durch (> ^ x^ + ij/theuätshaet, lo iit
^.-^ =(*,,-»,) + (»,-«,,) + l«*-«.) + -'- + («i.-«..! + (^i*-«») + ('i—^i')-
ITm <V|* b i^ fibenufOhien, wird der Lininuug einer differentiellen Änderung idner Briten und Winkel
unterworfen, wobei der Punkt i ata feit angenommen wird :
8/,. = 8:^-«,) + 8f«.-«„) + -- + 81v-^i»).
I«t ii^ die Lftnge und ti.^ daa Aumuth der Seite X.f., ao in aber
!!j^-*j) = (i^-ei.H«l<^Bi.p+i-8Ti^,
■Im wird
1) *«,• = 2(:^-ei)«l<^ai.p + i2(^-fi)*t2^,
wo die Summen sich auf die Punkte dei Linienzugea beliehen. Der LogarithmuB iit hier, wie auch w«te>
hin, der hyperbolische.
Beirichnet man fttr den Augenblick den Winket, den die &uf dnander folgenden Seiten \. |i und fi.v
bilden, durch to^, so iit aber
V'i- = ■^i^ + K^iiBO"
und daher
«v. = «n^ + '«'^;
mithin wird (Qr den Linieniug, indem man Termittelit dieier Gleichung lueceiiive alle it durch Sfi.n au^
driickt;
li* — ti kann gegen die andern DifTerenien f|* — ii all eine kleine Grßiae enter Ordnung angeieheo
DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG. 341
werden, also darf man daa ante Glied gegen die übrigen Temachlfiasigen , und statt g^* und g^» darf man
in den Coeffieienten g^ und jb^i schreiben. Da femer nach der Figur auf S. 332
Wn = a*+b*, IT, = 360*>-c», ir^ = d», ^ w^ = 360»-e», fr. = P + S^ + h*, u. s.w.,
ip^ = 860" — tt*, W^i = V*
ist, so ergibt sich:
») 2U^-iri)8Ta.^ = (Si-Si,)(8a» + 86» + 8»»)-(iri-;p,)8c« + (^i-«4l8^-(«i-«5)^^
Auch die erste Summe in der Gleichung (i) l&sst sich umformen.
Aus
s,|.g sind' sina'
Sj.,! sind" sina''
s,.4 sine'
s,j., sine"
u. s. w.
folgt:
'logSji.g = ^loR^i.« +cotanga'.8a'— cotanga".8a" + cotang6'.86' — cotang6".86"
8 log Sg.4 = Ä log Sjj.g + cotang c' . 8e' — cotang e" . Äc"
)logs,o.,i* = 81ogBi9.,o + cotang tt'.Stt'— cotang u".5tt"
l log s,i».i» = 8 log B^o.,^* + cotang t) ' . 8 1? ' — cotang » " . 8 1> ".
Daher wird:
2 (ji^—«i) 81og S2^=== (iTi*—*,) 81ogBi.,i+ (£:i»—if,i) (cotanga^ 8a'— cotanga'^ 8a''+ cotang 6^ 86'~ cotang 6'^ ?6'0
+ {gi*—gg) (cotang c'. 8e'— cotange". 8e") H h (i^i»— *io) (cotang a'. 8 u'— cotang w". 8tt")
+ («,♦— K^, •) (cotang «'. 8 f? '— cotang f> ". 8 «") ,
oder, wenn man wie vorher ftlr g^* und n^^* wieder jPi und g^i schreibt,
8) 2(jff^— if2)81ogSji.^ = (xrj—5,j)(cotanga'.8a'—cotanga".8a"+cotang6'.86'— cotang 6".86"
+ cotang f? '. 8 f> '— cotang r ". 8 f> ") + (£^1 — £f,) (cotang e '. 8 e '— cotang e ". 8 e ")
+ («i —^4) (cotang d'.8d'— cotangd".8d") + • • • + (x^ — jp,o) (cotongti'.8fi'— cotang u". 8 li").
Büthin folgt aus der Gleichung (1), wenn die Winkelverbesserungen in Secunden gegeben sind:
106265. 8si* = {gi—gfi) |cotangf>'.8»'— cotang v". 8 !?"+ cotang a'. 8a'— cotang a". 8a"
+ cotang6'.86'-cotang6".86" + i(8f?»+8a»+86»)}
. ) +(^i— «f) {cotange'.8e' — cotange".8e" — i.8ö*|
+ («1-^4) {cotangd'.8d'-cotangd".8d"+i.8<r}
+ («, — £^J |cotangfi'.8fi'— cotangtt".8fi"— i.8tt*j.
Sollen nun die Punkte 1 und 1* zusammen fallen, so muss
j8i» + 8<8f|* — jPj == 0, 8xri» = jB^ — üj» = — 8«!
gesetzt werden, wenn das vorgesetzte 8 eine positiv anzubringende Verbesserung bedeutet.
342 BEMEBKl'NGEK. DREIECK8KKAHZ L'H OLDE!rBl.~RG.
Di« 6«hcTifl«chuiig r auf S. 13« itt die Bedingung dafür, daM der Weitli der Sehe *,,^ i
habcD wird, wenn durch da* Kraniarctem hindurch gerechnrt wird. Ea ift
iiof*i*.n* ^ —^'"K'i-M = —^ =^ cotanga'.to' — c«Ullga".ta"-f "■
+ Mitaiig
'. 8«",
werden lolleii, ift die Unie Seite dieter Gleichung mit ^w"^— *>■ multipticiren.
FOr den bri^iachen Lugarithinua und wnui die Verbeaaemngm Sa', 8a", «te. in Seennden e
Slod.
In den Farmehi i, und I , S. Jl« und IlT, nebt im Original
und 8i an Stelle Ton und — Bl.
1 — 11 I — II
Im Jahre l^iil hat Gauhs nach dem • Generalbericht Ober die mitteleuiopiiache OradmeMong ftlr dat
]afari^«t>. S, 11/11. dem oldenburgtcbeo Venneiiungsdirector T. SCHBENCK die II ■phiroidiachoi, auf
lfto*-|-ExceM abgeatimmten Dreiecke de« Knuuea um Oldenburg mitgetheilt In <ni«m Sehreäbat tob
1. AuguA Uli tagt Gacsh dazu nach dem angegebenen Generalbericht, S. ll/li; :
>Waa DUD aber die relatiie Genauiglielt der Dreiecke betrifft, m nnd Ew. Hoehw. im IrTthun, wenn
Sie die Dreiecke 1 — » ;in der Figur auf S. ilt lind diel die Dreiecke q, p, 0, m, m, l, i] den Obigen •— Ii
und 1 [in der Figur t bii a, c bit r] entgegenstellen. Der Gegeniata toU Tielmehr ao «ein: i— i« [m der
Figurp bii b] riet ungenauer, &b IT — 11 [a, v, %, t, »] und i [r] und i ;(]- Di« lelxtem i Dreiecke habe
ich Klbat gemewen mit il'iAllif;en Theodolithen, grÖHter Sorgfalt, Heliotroplicht ohne Ausnahme ^e Ziel-
punkte bildend, und unter möf;lichiter Sorge für Fettigkeit der Standpunkte, wovon I lu ebener Erde. Da-
gegen find die ll andern Dreiecke m andenn Zwecke, mit ichwicherm Instrument ;8-tölligem Theodolith\
viel getingerm Zeitaufwand, ohne Anwendung von Ueliotroplieht und mitunter auf sehr ungflnstigen Stand-
punkten gemessen , wie i. B. die ThQnne von Twistringen und Aiendorf und vielldcht auch dnige der
andern ThOrme. Indem ich daher die t enten Dreiecke für so scharf gemecsen halte, wie das der Znstand
der Kunst nur verstattet, würde ich die Genauigkeit der 14 flbrigen nur i so groat, oder ihr Gewicht nur
i so gross ansetzen.'
Wenn man die WinkeUumme des Siebenecks t. fl. 10. 11. lt. IS. li aus den von Oauu an
■ü, SOHBENCK mitgetheQten Winkeln bildet, to betrigt (Generalberiebt, B. t<] der Sehlusaf<»hler I4;'«ai.
KiteoKx.
ZUR
HANNOVEKSCHEN TRIAJSTGÜLATION.
1
%
■i
-4
BRIEFWECHSEL
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 5. Julius 1816.
Vor allen Dingen meinen herzlichen Glückwunsch zu der herrlichen
grossen Unternehmung, welche Sie mir in Ihrem letzten Briefe ankündigen.
Diese Gradmessung in den k. dänischen Staaten wird uns, an sich schon,
über die Gestalt der Erde schöne Aufschlüsse geben. Ich zweifle indessen gar
nicht, dass es in Zukunft möglich zu machen sein wird, Ihre Messungen durch
das Königreich Hannover südlich fortzusetzen. In diesem Augenblicke kann
ich zwar einen solchen Wunsch in Hannover noch nicht in Anregung bringen,
da erst die Astronomie selbst noch so grosser Unterstützung bedarf: allein^ich
bin überzeugt, dass demnächst unsere Regierung, die auch die Wissenschaften
gern unterstützt, dem glorreichen Beispiele Ihres trefdichen Königs folgen
werde. Wir würden dann schon einen respectabeln Meridianbogen von 6|-
Grad haben, und leicht würden sich dann auch noch diese Operationen mit
den bayerischen Dreiecken in Verbindung setzen lassen. Letztere sind gewiss
mit grösster Sorgfalt gemessen, und es ist zu beklagen, dass sie der PubUcität
entzogen werden.
Über die Art, die gemessenen Dreiecke im Calcül zu behandeln, habe ich
mir eine eigene Methode entworfen, die aber für einen Brief viel zu weit-
läuftig sein würde. In Zukunft, falls ich bis dahin, wo Sie Ihre Dreiecke
gemessen haben, sie nicht schon öflFentUch bekannt gemacht haben soUte,
werde ich mit Ihnen darüber umständlich conferiren : ja ich erbiete mich, die
Berechnung der Hauptdreiecke selbst auf mich zu nehmen.
IX. 44
846 BBIEFWSCBSEL WT SCHUMACHER.
Bei dem zweiten Theile Ihrer Unteinehmung, der Messung des Längen-
grades, habe ich nur einen kleinen Zweifel. Ich meinte nemlich, dass die
lÄndei der t^Lnischen Monarchie eher flach zu nennen sind, wenigstens keine
hohe Berge haben. Ist diese Voraussetzung gegründet, und sind Sie dann
dadurch genOthigt, zur Bestimmung des astronomischen Längenunterschiedes
einen Zwischenpunkt oder gar mehrere zunehmen, so wird jener Bestimmung,
auch wenn sie noch bo geschickte Gehülfen und Hül&mittel haben, doch
immer eine kleine IJngewissheit ankleben.
Einen grossen Vortheil haben Sie in dem Umstände, dass Dänemark
schon einmal trigonometrisch vermessen ist; ich meine natürlich nicht in den
gemessenen Winkeln selbst, die weit dftvon entfernt sind, sich zu einer Grad-
messung zu qualificiren, sondern weil jene Operationen Ihnen das Auswählen der
Stationspunkte ungemein erleichtem werden. Dies Au&uchen würde mir hei
einer ähnlichen Arbeit gerade das Unangenehmste sein, weil dabei so viele
Zeit umsonst verloren wird. Ich habe mir viele Mühe gegeben (in ähnlichen
Rücksichten auf künftige Operationen), die von Epailly im Hannoverschen ge-
messenen Winkel zu erbalten, aber ohne Erfolg.
Mir war eine interessante Au^ahe einge&Uen, nemlich:
»allgemeill eine gegebene Fläche so auf einer andern (gegebenen) zu
projiciren (abzubilden), dass das Bild dem Original in den kleinsten
Theilen ähnlich werde.«
Ein specieller Fall ist, wenn die erste Fläche eine Kugel, die zweite
eine Ebene ist. Hier sind die stereograpbiscbe und die merkatorsche Fro-
jection particoläre Auflösungen. Man will aber die allgemeine Auflösung,
worunter alle particulären begrifi'en sind, für jede Art von Flächen.
Es soll hierüber in dem Journal philomathique bereits von Monge und
FoiNSüT gearbeitet sein (wie Burckhardt an Linoenau geschrieben hat), allein
da ich nicht genau weiss, wo, so habe ich noch nicht nachsuchen können,
und weiss daher nicht, ob jener Herren Auflösungen ganz meiner Idee ent-
sprechen und die Sache erschöpfen. Im entgegengesetzten Fall schiene mir
dies einmal eine schickliche Preisfrage für eine Societät zu sein
ZUB HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 347
Gauss an Schumacher. Göttingen, 10. September 1818.
Ich eile Ihnen anzuzeigen, dass ich von unserm Minister Arnswaldt den
Auftrag erhalten, die zur Verbindung einer hannoverschen Triangulirung mit
der Ihrigen nöthigen Messungen in Lüneburg vorzunehmen und dazu das
Nöthige mit Ihnen zu verabreden. Er macht zugleich mir Hofihung, dass
demnächst auch die Fortsetzung selbst wohl zu Stande kommen werde, und
es freut mich, dass diese nun durch die in Lüneburg vorzunehmenden Ope-
rationen gesichert werden kann
Gauss an Schumacher. Göttingen, 20. Mai 1820.
In dieser üngewissheit [*)] adressire ich diesen Brief nach Copen-
hagen und wünsche sehnlich, dass er Sie treffen und bald treffen möge: er
soll Ihnen nemlich die Nachricht anzeigen, dass in Folge eines Schreibens
vom Grrafen von Münster aus London, als Antwort meines vor einem Jahre
von Ihnen gefalligst besorgten Briefes [**)],
»der König die Fortsetzung der Gradmessung durch das Königreich
Hannover genehmigt hat«.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 4. März 1821.
Es war früher meine Absicht, von Hamburg anzufangen und so
von Norden nach Süden zu messen, allein da ich leider so sehr durch die
Schreibfaulheit und Unzuverlässigkeit aller Künstler, mit denen ich zu thun
habe, hingehalten werde, und bis jetzt noch gar nichts von den nöthigen
Hülfsmitteln in Händen habe, so würden die daraus erwachsenden Verlegen-
heiten noch viel grösser sein, wenn ich jenen Plan befolgte. Dieser und noch
verschiedene andere wichtige Gründe nöthigen und bewegen mich zu
dem umgekehrten Plan^ von Süden nach Norden zu messen
[*) über ScHUMACHEiM Aufenthalt.]
[**) Abgedruckt in Band IV, S. 483/483.]
44*
348 BRIEFWECHSEL MIT 8CHUMACHEB.
Gauss an Schumacheb. Wulfsode, 18. September 1822.
So viel eine vorläufige Inspection des Terrains urtheilen lasst,
würde es nicht unmöglich sein, die ganze Linie von Breithom bis Eschede
[Schamhorst] (11220 Meter lang) unmittelbar zu messen. Welch eine heir-
liehe Basis wäre dies!
Gauss an Schumacher. [Göttingen, Januar 1825.]
Wenn ich alle grossem und kleinem Durchhaue aus den Jahren
1821 — 1824 zusammen zähle, von solchen, wo vielleicht ein Dutzend Bäume
gefallt sind, bis zu den grössten, so mögen etwa 16 oder 17 Durchhaue vor-
gekommen sein. Der Allergrösste, nach der Ausdehnimg, war im Becklinger
Holz unweit der Strasse von Bergen nach Soltau
Gauss an Schumacher. Dangast, 1 Stunde von Varel, 20. Jimius 1825.
Ich selbst pflege [beim Heliotrop] durch die drei Fussspitzen
einen Kreis zu beschreiben, dessen Centrum als Zielpunkt betrachtet wird.
Bei meinen beiden neuesten Heliotropen ist noch das Centrum selbst durch eine
Spitze bezeichnet, welches viel Bequemlichkeit verschafit
Gauss an Schumacher. Göttingen, 14. Januar 1829.
Da wir noch wenig darüber wissen, ob die Figur der Erde von der Figur
des mittlem EUipsoids in langem oder in kurzem Undulationen abweicht, so
bin ich jedenfalls der Meinung, dass man am besten thut, immer das mittlere
Ellipsoid zum Grunde zu legen.
Wenn ich jedoch es nicht gerade unbedingt verwerfen will, einmal ein
osculirendes Ellipsoid zum Grunde zu legen, so kann ich dies doch nur da
für zulässig halten, wo man Mittel hat, ein osculirendes Ellipsoid zu be-
stimmen, d. i. ein solches, in dem die Krümmung sowohl im Sinne des Meri-
dians, als in dem darauf senkrechten Sinn der wirklichen Gestalt so nahe wie
möglich kommt. Dies ist aber bloss aus der Verbindung von Messungen
in beiderlei Sinn zu erhalten (Breiten- imd Längen -Gradmessung)
ZUB HAI^NOYERSCHEN TRIAI7GULATI0N. 349
Wenn ein Meridian nicht wirklich elliptisch ist, so kann man allerdings
eine Ellipse berechnen, die sich an zwei Stücke eines Bogens anschliesst, und
man mag dies meinethalben eine osculirende Ellipse nennen; allein durch
Umdrehung dieser Ellipse um ihre kleine Axe''*') entsteht keine Fläche, die
man osculirendes Ellipsoid nennen darf, oder mit andern Worten, zwischen
dem wirklichen Werth des Längengrads und demjenigen Längengrad, den man
auf dem durch Umdrehung jener osculirenden Ellipse [entstandenen Ellipsoid]
berechnet, ist gar kein Zusammenhang. Durch Verwechselung beider setzt
man sich den grössten Fehlem aus
[2.]
Gauss an Bessel. Göttingen, 26. December 1821.
Der vorige Sommer ist grösstentheils mit Vorbereitungen zum
Trianguliren imd dem Trianguliren selbst zugebracht Die Winkel in
Sternwarte, Meridianzeichen, Hohehagen, Hils, Brocken sind gemessen; nur
am letzten Punkte ist der Winkel zwischen Inselsberg und andern Punkten
missglückt, weil das unerhört schlechte Wetter während der Zeit, wo dort der
Heliotrop war, fast alles Beobachten untersagte. Nur einmal auf eine halbe
Stunde konnte die Richtung kümmerlich gemessen werden, was aber mit an-
dern frühem ebenso kümmerlichen Messungen, wo einmal auf das Haus, das
andere Mal auf Enckes Sextanten- Viceheliotrop 3 Minuten vor Sonnenunter-
gang pointirt wurde, nicht gut harmonirt.
Der Umstand, dass ich nur Einen Heliotrop zu meiner Disposition hatte,
hielt ungemein auf. Bei meinem Aufenthalt auf dem Hils musste der Helio-
trop successive von Lichtenberg zum Meridianzeichen, dem Brelingerberg und
Deister übergehen; ebenso wie ich auf dem Brocken war, reiste jener von
Lichtenberg zum Hils, Hohehagen, Liselsberg. Die wenigsten der Winkel
haben also unmittelbar gemessen werden können ; ich hatte auf diesen beiden
*) Von der man nur sagen kann, dasB sie der Erdaxe parallel ist, ohne mit ihr zusammen zu fallen,
ja von der sie in der Regel weit abstehen wird.
350 BRIEFWECHSEL MIT BESSEL.
Stationen mehrere andere an sich sichtbare Punkte ausgewählt und maass
allezeit, was sich eben messen liess. Ich sehe aus dem 4. Bande der Base du
Systeme m^trique, dass die Franzosen in Spanien es ebenso gemacht haben;
sie haben aber die Messungen nicht richtig combinirt. Wenn ich im näch-
sten Jahre meine Triangulirung fortsetze, wird es besser gehen, indem ich
zwei Heliotrope mehr haben werde. Meinen zum Viceheliotrop eingerichteten
Sextanten habe ich immer bei mir gefuhrt und zu telegraphischen Zeichen
gebraucht. Es geht damit ganz vortrefflich, nur dass, weil jener Viceheliotrop
auf Winkelabstände unter etwa 138® begrenzt ist, ich nicht immer zu jeder
Tageszeit ihn brauchen konnte; künftiges Jahr wurde ich zu diesem Zweck
in der Regel einen der Heliotrope bei mir behalten.
Die grösste Entfernung, wo das Heliotroplicht mit blossen Augen ge-
sehen, ist die vom Brocken zum Hohehagen, indem am letztem Orte meine
auf dem Brocken gegebenen telegraphischen Zeichen so gesehen wurden; die
Entfernung ist 9f geographische Meilen ; es gehören dazu aber wohl günstige
Umstände. Bei Entfernungen bis 6 Meilen habe ich (trotz des Verlustes an
Licht beim Gebrauch der Loi^ette), wenn die Umstände nur leidlich günstig
waren, das Heliotroplicht mit blossem Auge bequem gesehen, ebenso in den
Vormittagsstunden das Heliotroplicht vom Hils zum Brocken {7^- Meilen). Die
Spiegelfläche ist 24- Quadratzoll, bei den beiden neuen Heliotropen habe ich
6-i- Quadratzoll genommen; massigen kann man das Licht leicht, bei grossen
Entfernungen kann es aber doch Fälle geben, wo das stärkere Licht ange-
nehm ist; so drang einen Tag das Licht vom Brelingerbei^ zum Hils nur
kur^e Zeit durch, obgleich (oder vielmehr richtiger weil) ein völlig wolken-
loser Himmel war. An solchen Tagen ist in der Regel die Durchsichtigkeit
der Atmosphäre am geringsten; ich erinnere mich eines solchen Tages, wo
das Heliotroplicht vom Deister zwar recht gut zu sehen war, aber nicht be-
nutzt werden konnte, weil keiner der übrigen Gegenstände, selbst nicht ein-
mal das nur wenig über eine Meile entfernte Einbeck gesehen werden konnte.
Einen sehr wesentlichen Vorzug hat das Heliotroplicht vor jedem andern
Signale, worüber ich oft artige Erfahrungen gemacht habe; nemlich das He-
liotroplicht sieht man desto besser, je stärker man vergrössert, irdische Signale
hingegen (bei grossen Entfernungen) desto schlechter, denn bei letztem ist
es vorzüglich die Blässe, die das Sehen hindert; von Hannover habe ich
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 351
z. B. auf dem Brocken, obgleich ich den Platz nach Höhe und Azimuth ge-
nau wusste, niemals eine Spur sehen können. An dem Tage, wo ich das
kümmerliche Heliotroplicht vom Inselsberg erhielt (bloss Schuld des Wetters,
denn bei einigermaassen günstiger Luft musste das Heliotroplicht von 2^
Quadratzoll Fläche noch überreichlich hell sein), sah ich dies zwar im Fem-
rohr des Theodolithen noch ziemlich gut, konnte damit aber keine Spur vom
Umriss des Berges erkennen; dagegen sah mein Gehülfe diesen Umriss ganz
leidlich in einem an sich sehr elenden Femrohr von schwacher Vergrösserung,
konnte damit aber das Heliotroplicht nur selten sehen. Die Sache erklärt
sich leicht; auch bei der stärksten Ver^össerung bleibt das Heliotroplicht
ein Punkt und dessen Licht ist immer dasselbe, aber der Grund ist desto
düsterer, je stärker man vergrössert etc.
Grosse Signale habe ich nur zwei gebaut, auf dem Hohehagen und
Hils, und vermuthlich wäre auch dies unterblieben, wenn mein Heliotrop
sechs Wochen früher vollendet gewesen wäre. Das Hils -Signal projicirt sich
vom Brocken aus gegen nahen dunkeln Hintergrund; während des ganzen
Monats, den ich auf dem Brocken zubrachte, habe ich jenes nur zweimal
überhaupt sehen und nur auf etwa zwei Minuten so sehen können, dass ein
Winkel sich hätte messen lassen; das Hohehagen -Signal projicirt sich gegen
die entferntem Casselschen Berge, war öfters zu sehen und auch ein paar
Mal zu beobachten, obwohl ich, hätte ich nicht den Heliotrop dahin geschickt,
auch meine Winkelmessung nicht voll bekommen hätte. Ausser der schweren
Sichtbarkeit, Kosten und Zeitaufwand haben die Signalthürme noch eine sehr
unglückliche Seite, den Reiz, welchen sie dem rohen Muthwillen zur Zerstörung
darbieten. Leider ist mein Hohehagen-Signal seit kurzem fast ganz verwüstet,
und ich werde glücklich sein, wenn ich nur den Punkt mit hinreichender
Schärfe wiederfinden kann.
Gauss an Bessel. Göttingen, 15. November 1822.
Die ausserordentlichen Schwierigkeiten, ein Dreiecksnetz in der
Lüneburger Heide zu fuhren, kannte ich schon aus Epaillts Bericht, der es ge-
radezu für unmöglich Erklärt und seine Dreiecke, um den südlichen Theil von
352 BRIEFWECHSEL MIT BE88EL.
Hannover mit Hamburg zu verbinden^ über Bremen, die Weser herunter und
80 die Elbe wieder herauf gefuhrt hat. Und doch hatte er grosse Vortheile
vor mir voraus; er beobachtete durchaiis oben in seinen Signalthürmen, wo
er sich viel leichter weitere Aussicht verschaffen konnte als ich, der überall
zu ebener Erde gemessen hat; er brauchte beim Aushauen der Waldungen
viel weniger auf Schonung Rücksicht zu nehmen; überall freier Transport,
freie Arbeiter, etc., während ich alles ohne Ausnahme mit baarem Gelde be-
zahlen muss und oft die Kosten so sehr sehr weit über meine Vermuthung
hinausgehen sehe; er hatte eine ganze Brigade von Ingenieurs zu Gehülfen,
etc. Diese Erwägungen liessen mich meine erste Recognoscirungsreise nicht
ohne Ängstlichkeit vornehmen (gegen Ende Aprils). Anfangs ging es selbst
besser als ich erwartet hatte; ich fand, dass Garssen und Falkenbei^ sich
unmittelbar mit Deister und Lichtenberg verbinden liessen; aber bei den
Untersuchungen, wie von jenen beiden Punkten die Dreiecke weiter nördlich
bis Lüneburg geführt werden könnten, fand ich das Terrain so widerspenstig,
dass ich mehrere Male die Möglichkeit eines glücklichen Erfolgs bezweifelte
imd befürchtete, das ganze Unternehmen aufgeben zu müssen. Das Land
überall flach, keine dominirende Punkte, überall Holz, theils in grossen
Waldungen, wie der Hassel, der Lüsing, das Becklinger Holz, etc., theils in
unzählbaren kleinem Kämpen, die sich schachbrettartig vor einander schieben.
Die Versuche meines Gehülfen, auf der Westseite etwas brauchbares aufzu-
finden, waren ganz ohne Erfolg; mir selbst gelang es endlich nach den be-
schwerlichsten Versuchen, gleichsam im Herzen der Heide zwei Dreiecke
9. 10. 12 [Falkenberg -Hauselberg -Wulfsode] und 10. 12. 13 J[Hauselberg-
Wulfsode-Wilsede] zu etabliren; allein ich überzeugte mich zugleich, dass ich
bei dieser Gattung von Arbeiten bald unterliegen würde, und setzte daher
die weitere Aufsuchung einer Möglichkeit, diese Dreiecke mit den südlichem
zu verknüpfen und weiter nördlich fortzufuhren, auf die spätere Zeit hinaus,
wo ich stärkeres Gehülfenpersonal (ich hatte nur einen Officier zur ersten
Reise mitgenommen) und alle meine Instrumente bei mir haben würde. Ich
fing daher Mitte Junius die wirklichen Messungen in Lichtenberg an, und
meine Hofihung ist später auch so ziemlich erfüllt. Da es ganz unmöglich
befunden wurde, Garssen vermittelst Durchhaus mit Hauselberg zu verknüpfen,
so wurde nach langem Suchen noch ein nördlicherer Punkt 14 [Schamhorst]
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 353
gefunden, der mehr Hofinung darbot. Allein später zeigte sich dies absolut
unmöglich, da der Wald zwischen 10 [Hauselberg] und 14 [Scharnhorst] auf
zu hohem oder vielmehr nicht genug niedrigem Terrain lag, und ich musste
mich glücklich schätzen, noch einen andern Punkt, Breithom, zu finden, wo-
mit es endlich gelang. Inzwischen war auch die Linie 9.13 [Falkenberg-
Wilsede] vermittelst eines sehr bedeutenden Durchhaus geöffiiet und so hätte nun
1 0 [Hauselberg], wenn man 1 1 [Breithom] finiher gekannt hätte, ganz wegbleiben
können. Allein ich behielt jenen Pimkt mit bei, und halte es für einen über-
aus schätzbaren Vortheil, dass in meinem Systeme drei Vierecke vorkommen,
in denen alle sechs Richtungen wirklich hin und zurück gemessen sind.
Nachdem alle Winkel vorher in jedem Dreieck zur gehörigen Summe gehörig
ausgeglichen waren, bedurfte es nur noch sehr kleiner Modificationen, meistens
unter 0'j[l, um diese drei Vierecke in volle Harmonie zu bringen. Es wäre
zu wünschen, dass man bei jeder Messung solche Prüfungen hätte. Es gibt
Messungen, wobei die Summen der drei Winkel überall zum Bewundem
stimmen, und wo eine solche Prüfung zeigt, dass manche Winkel um 2" bis
3" gewiss unrichtig sind. In der That ist die Prüfung vermittelst der Summe
der Winkel ä la port6e von jedermann ; die durch Diagonalen ist es weniger,
so leicht sie auch für einen Mathematiker ist, und man kann sich der Ver-
muthung nicht erwehren, dass die erstere Prüfung zuweilen dazu gedient
haben mag, wenn auch nicht die Beobachtungen zu verfalschen, doch etwas
zu wählen (man bemerkt eine Tendenz dazu selbst bei Delambre). Nördlich
von Wulfeode ist zum Glück noch der Timpenberg gefunden, der unmittelbar
mit Hamburg verbunden werden kann; der versuchte Durchhau von Timpen-
berg nach Lüneburg ist missglückt, weil das Land dazwischen zu wenig depri-
mirt war. Die Richtungen von 10 nach 11 und von 11 nach 14 haben
grosse Durchhaue erfordert. Immer machte ich es mir zum Gesetz, mit der
Rechnung allen Messungen, wie ich sie erhalten hatte, gleichen Schritt zu
halten (bis auf die allerletzte Zeile), und nur dadurch ist es möglich ge-
worden, alle Durchhaue mit der äussersten Präcision so durchzufuhren, dass
auch nicht Ein Stamm ohne Noth gefillt ist, oder die Unmöglichkeit der
Durchhaue so früh wie möglich bestimmt zu erkennen. So wusste ich z. B.
die Depression, unter der 14 [Schamhorst] in 10 [Hauselberg] oder 20 [Lüne-
burg in 19 [Timpenberg] erscheinen musste, genau voraus; für den ersten
IX. 45
354 BRIEFWECHSEL MIT BESSEL.
Fall war schon das Terrain vor dem Holz zu hoch, im zweiten, nachdem ein
schmaler Spalt 2000 Schritt weit fortgeführt war. Ich habe von Wilsede aus
noch einen Punkt [Nindorf] 3000 Meter nördlich von Timpenberg festgelegt,
der unmittelbar mit 20 [Lüneburg], 21 [Lauenburg], 23 [Hamburg] communi-
cirt und wahrscheinlich mit 1 9 [Timpenberg] verknüpft werden kann, aber die
ganze Strecke dahin muss durchgehauen werden. Auf Timpenberg habe ich
die Winkel zwischen 12 [Wulfsode], 13 [Wilsede], 23 [Hamburg] erst vorläu%
gemessen, alle südlichem Punkte sind absolvirt sowie Wilsede. Bei Scham-
horst bin ich zuletzt gewesen; dieser Punkt liesse sich vermittelst leichter
Durchhaue mit Lichtenberg und Deister unmittelbar verbinden, wodurch
Garssen entbehrlich würde; allein es wäre unmöglich gewesen, die Brauch-
barkeit jenes Punkts zu Anfang auszumitteln. Dieser Punkt wie mehrere
andere sind ganz unscheinbare Plätze, von denen man gar nicht vermuthen
sollte, dass sie so vielen Werth haben. Bei vielen Richtungen, z. B. von
Lichtenberg nach Garssen und von Lichtenberg nach Falkenberg, geht die
Linie so knapp über die Zwischenhindemisse, dass [der Zielpunkt] bei gewöhn-
licher Refraction nur wenige Secunden sich darüber erhebt und nur zu-
weilen 30" bis 40" erreichte; von Falkenberg nach Wulfsode und vice versa
kam das Licht bei schwächerer Refraction gar nicht herüber und hob sich
immer erst in den spätem Nachmittagsstunden herauf. Vom Lichtenberg
selbst sah ich auf dem Falkenberg selten etwas und vice versa, das Heliotrop-
licht schwebte fast immer im freien Himmel (Distanz 85542 Meter:; der
grossen Distanz ungeachtet stimmen die Messimgen ebenso gut oder vielmehr
fast besser als auf ganz kleinen Distanzen von 10000 Meter Entfernung, wo
das Heliotroplicht noch immer fast zu stark ist, wenngleich der Spiegel bis
auf eine Öffnung von wenigen Quadratmillimetem bedeckt war. Um an Zeit
zu gewinnen, habe ich öfters auch selbst in Distanzen von 3 bis 4 bis 5 Meilen
auf meine steinernen Postamente, 34- Fuss hoch, selbst pointirt. Dadurch sind
die Messungen hin und wieder etwas weniger genau geworden, als wenn ich
bloss Heliotroplicht gebraucht hätte, allein dann wäre ich in diesem Jahre
lange nicht so weit gekommen. Der grösste Fehler der Summe der drei
Winkel war in diesem Jahre l"76, auch überhaupt*) der grösste nächst dem
*) In 19 Dreiecken.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 355
im Dreieck 4. 5. 6 [Hohehagen-Hils-Brocken], wo er 3'^7 beträgt und haupt-
sächlich dem schwierigen Pointiren auf den Brockenhaus-Thurm zuzuschreiben
ist, welcher bei Sonnenschein nie gut geschnitten werden kann wegen der
Phase. Gern mässe ich die Winkel dieses Dreiecks, wenn es die Zeit er-
laubte, noch einmal nach. In diesem Jahre hatte ich oft drei Heliotrope
zugleich in Activität, deren einen mein Sohn besorgte ; es ist in der That ein
prachtvoller Anblick. Die Nachricht, welche ein gewisser Schubach über die
Heliotrope im [Astronomischen] Jahrbuch 1825 gegeben hat, beruht auf einem
Irrthum und hat gar nichts mit meinen Heliotropen gemein ; diese sind künst-
liche Instrumente, deren Einrichtung mir erst sehr viele Mühe gekostet hat,
die nun aber auch, wie ich glaube, nichts zu wünschen übrig lassen. Ich habe
von beiden Einrichtungen, die unter sich ganz verschieden sind, Exemplare für
den General Müffling hier anfertigen lassen, auch Gerling hat zwei erhalten ;
vielleicht kann ich bald in Schumachers Astronomischen Nachrichten Abbil-
dungen davon geben. Zum Telegraphiren und um bei grossen Entfernungen den
gegenüberstehenden Heliotropen erst die Richtung zu zeigen, brauchte ich oft
einen grossen Spiegel von einem Fuss Quadrat, welcher wieder auf andere Art
gelenkt wurde. Der Anblick davon ist nach der Beschreibung meiner Gehülfen
höchst prachtvoll gewesen; auf vier Meilen weit hat es dem blossen Auge
zuweilen wehe gethan, lange hinzusehen. — Doch jetzt genug hievon.
Ihre Art, geodätische Beobachtungen zu behandeln, habe ich mit Ver-
gnügen in Schumachers Astronomischen Nachrichten gesehen. Sie wissen,
dass dieser Gegenstand mich schon vor vielen Jahren beschäftigt hat. Da
Ihren Arbeiten nicht leicht etwas beigefugt werden kann, so würde, hätten
unsere Wege sich begegnet, jene Bekanntmachung meine eigene Arbeit über-
flüssig gemacht haben. Allein die Art, wie ich diesen Gegenstand behandelt
habe, ist von der Ihrigen durch und durch verschieden, und so werde ich also
in Zukunft bei Bekanntmachung meiner Messungen auch meine theoretischen
Arbeiten ausführlich entwickeln. Ich hoffe darin manches unerwartete geben
zu können. Aber diese Untersuchungen hängen mit einem reichen, fast un-
erschöpflich reichen Felde zusammen, und ich fühle oft mit inniger Wehmuth,
bei dieser wie bei so vielen andern Gelegenheiten, wie meine äussern Verhält-
nisse mich an weitaussehenden theoretischen Arbeiten hindern. Wenn solche
ganz gedeihen sollen, muss man sich ihnen ganz hingeben können und nicht
45*
356 BRIEFWECHSEL MIT SESSEL.
durch so heterogene Arbeiten wie CoUegia lesen, alles kleinliche Detail beim
Observiren und Rechnen der Beobachtungen, etc. etc. stündlich gehindert
werden
Die Fatigen im heissen Sommer sind oft äusserst angreifend für mich
gewesen, zuweilen so, dass ich glaubte, ich würde ihnen erli^en. Auch das
ist eine grosse Beschwerde bei den Arbeiten in der öden Lünebui^er Heide,
dass man öfters nur ein schlechtes Unterkommen und doch selbst ein solches
nur meilenweit vom Arbeitspunkte haben kann. Bei kühlem Wetter, welches
meiner Constitution besser zusagt, befand ich mich im allgemeinen immer
leidlich wohl, und jetzt kann ich über mein Befinden nicht klagen
Sie können aus obigem Bericht selbst sehen, was zur Vollendung meiner
Triangulirung noch fehlt, aber einen eigentlichen Plan für nächsten Sommer
kann ich jetzt noch nicht machen, es wird dabei auch vieles auf Schumachebs
Cooperation ankommen. Es wäre möglich, dass ich, wenn ich mich bloss
auf das Indispensable beschränke, schon im April und Mai die Dreiecke be-
endige und dann hieher zurückkomme; vielleicht im Julius hier und im
August an einem nördlichem Punkte (Celle, Harburg, Hamburg?) mit dem
Zenithsector messe. Es könnte aber auch sein, wenn ich die Kosten nicht
zu scheuen brauche, dass ich noch den ganzen Sommer auf die Triangulirung
wende, um alles zur möglich grössten Vollkommenheit zu bringen.
Vor einigen Tagen habe ich aus München ein Universalinstrument er-
halten, das ich vor zwei Jahren vorzüglich behuf der Azimuthe bestellt hatte.
Inzwischen scheint nach meiner vorläufigen Reduction das von meinem Pas-
sageninstrument entlehnte und bis Hamburg übertragene Azimuth von dem, was
mir Schumacher mitgetheilt hat (er hat auch vorläufig den Winkel zwischen
Lüneburg und Wilsede, von wo ich ihm Heliotroplicht zusenden liess, ge-
messen), noch nicht l"b zu differiren und also eine Azimuthmessung von
meiner Seite an andern Punkten wohl ziemlich überflüssig zu sein. Ob ich
mich veranlasst sehen werde, mit dem Universalinstrument auch Polhöhen an
mehrem Punkten zu messen, wird sich zeigen, wenn ich das Instrument erst
eine Zeit lang gebraucht habe. Es ist gut gearbeitet, scheint mir aber für
den Gebrauch nicht recht bequem zu sein, besonders für ein kurzsichtiges
Auge, welches zum Ablesen bei den Stellkreisen nicht gut zu kann. Auf alle
Fälle muss es sehr ermüdend sein, viel damit zu beobachten. Meine Hori-
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 357
zontalwinkel habe ich alle mit einem 12-zölligeii Theodolithen gemessen, der
ein sehr vortreffliches Instrument ist. Mit dem Zenithsector habe ich im
vorigen Winter nur wenige Messungen gleichsam zur Probe gemacht; optische
Kraft und Bequemlichkeit des Gebrauchs stehen dem REiCHENSACHschen Meri-
diankreis sehr nach.
Meine Gradmessung als solche kann eigentlich für sich allein kein sehr
wichtiges Resultat liefern; ich weiss aber nicht, wann die Vollendung der
ScHUMACHERschen zu hoffen ist. So viel ich weiss, hat er seine Dreiecke erst
etwa ein Drittel der ganzen Länge geführt, auch die Zenithsector-Messungen
in Skagen sind bloss von seinem Gehülfen Caroc gemacht. Die genaue
Lange seiner Basis (circa 6000 Meter) kenne ich noch nicht; erst in diesem
Herbst wollte er sie mit Hamburg verbinden, in seinem letzten Briefe er-
wähnt er aber gar nichts davon. Ich könnte nun zwar selbst eine Basis
messen und die Linie von Breithom bis Schamhorst scheint in ihrer ganzen
Länge (11220 Meter) keine unübersteigliche Hindemisse darzubieten. Allein
auch abgesehen von den grossen Kosten gestehe ich, mich vor einer so höchst
langweiligen Arbeit zu scheuen. Meinen trigonometrischen Messungen habe
ich immer eine interessante Seite abgewinnen können, da ihre tägliche Re-
duction immer einige Unterhaltung gab^). Ich schnitt überdies auch alle sicht-
baren Objecte bei Gelegenheit, um mich für die Landesgeographie nützlich zu
beweisen, und ich muss sagen, dass ich dieses Geschäft mit seinen täglichen
Ausgleichungen so lieb gewann, dass das Bemerken, Ausmitteln und Berechnen
eines neuen Kirchthurms wohl ebenso viel Vergnügen machte, wie das Beob-
achten eines neuen Gestirns. (Vor Gott ist's am Ende auch wohl einerlei,
ob wir die Lage eines Kirchthurms auf einen Fuss oder die eines Sterns auf
eine Secunde bestimmt haben.) Allein bei einer Basismessung, sobald sie ein-
mal im Gange ist, sehe ich fiir den Verstand auch gar nichts, was ihn reizen
oder unterhalten könnte, und man muss sich bei einer vielleicht zwei Monate
dauernden angestrengten täglichen Arbeit lediglich mit dem Gedanken auf-
*) Meine Beobachtungsmanier war, immer zu medsen, was sich eben gut messen Hess, ohne Rücksicht^
ob es ein unmittelbarer Dreieckswinkel war. An manchen Stationen nahm ich einige HOlfspunkte, um auch
dann nicht müssig zu sein, wenn nur Ein HeUotrop leuchtete. Die Franzosen haben, wie ich sehe, etwai
Ähnliches in Spanien gethan, aber die Messungen ganz unrichtig ausgeglichen.
358 BRIEFWECHSEL MIT BE8SEL.
recht halten, dass es eben doch einmal geschehen m u s s , um zuletzt eine Zahl
zu haben.
Die grosse Genauigkeit im Messen horizontaler Winkel durch Heliotrop-
licht auf die ungeheuersten Distanzen, und die Genauigkeit, womit man durch
Universalinstrumente absolute Azimuthe messen kann, lassen mich glauben,
dass man gegenwärtig eine Längengradmessung in schicklichem Terrain mit
viel Vortheil ausfuhren könnte, indem man den Längenunterschied nicht auf
Zeitbestimmung, sondern auf die Convergenz der Meridiane gründete. Von den
Pyrenäen sieht man den Mont Ventoux, von diesem die Alpen, von diesen
bis Steiermark, von da bis Ungarn, etc. Freilich wächst hiebei die Genauigkeit
nicht wie beim Meridianbogen, wie die ganze Länge des Bogens (den eigentlich
geodätischen Theil kann man dabei als fehlerfrei betrachten); also wenn man
sich Stücke von ungefähr gleicher Grösse denkt, wächst beim Breitengrade
die Genauigkeit wie die Anzahl der Stücke, beim Längengrade ebenfalls, wenn
der Längenunterschied der Endpunkte astronomisch, z. B. durch Stembe-
deckungen, beobachtet wird; hingegen bei der Convergenz der Meridiane nur
wie die Quadratwurzel der Zahl der Stücke (ungefähr) ; allein ich glaube doch,
dass bei sehr grossen Stücken dies Verfahren mehr Genauigkeit gibt, als
man z. B. erhalten kann, wenn man den Längenunterschied durch Pulver-
signale vermittelst Zeitbestimmung sucht. Am vortheilhaftesten wäre dies
Verfahren in nördUchen Gegenden, wenn es dort sehr grosse Femsichten gibt.
Sollten diese nicht in Norwegen und Schweden oder in einigen Gegenden von
Kussland zu finden sein?
Ich bin jetzt noch beim Ausgleichen, was ich leider einmal ganz
umsonst gemacht habe, da durch ein Versehen von einer Station ein fehlerhaftes
Tableau aufgenommen war. Bei meiner Behandlung reagirt gewissermaassen
jeder z. B. in Wilsede gemessene Winkel auf alle übrigen bis Göttingen hin.
Ich werde Ihnen künftig einige Hesultate anzeigen. Nach vorläufiger Rechnung,
Göttingen zu 51®3l'48','7 angenommen, fallt Hamburg in 53*^33' 1^76, und
0^2' 2^9 7 östlich von Göttingen, das Absolute vorläufig auf Zachs Basis gestützt.
ZUR HANNOVERSCHEN TRUNGULATION. 359
Gauss an Bessel. Göttingen, 5. November 1823.
Ich habe einen Theil des Jahrs damit zugebracht, den noch übrigen
Theil meiner trigonometrischen Messungen im Norden: von Timpenberg, Nin-
dorf, Lüneburg bis Hamburg zu absolviren ; dann auch vorläufig die weiter west-
lich liegende Gegend, nach Bremen zu, zu recognosciren, da unser Gouverne-
ment eine weitere Fortsetzung der Messungen nach Westen zu, bis zur hollän-
dischen Grenze und zum Anschluss an die KRAYENHOFTSchen Dreiecke, wünscht ;
endlich zuletzt habe ich noch einmal den Brocken und Hohehagen besucht,
da theils die Winkel des Dreiecks Hohehagen-Hils-Brocken im Jahr 1821
unter sehr ungünstigen Umständen gemessen, theils jetzt noch die damals miss-
glückte Verbindung des Brockens mit dem Inselsberg zu effectuiren war, so-
wie auch jetzt noch der hessische Dreieckspunkt Meisner angeknüpft werden
sollte. Ich habe diese Zwecke meistens zu meiner Zufriedenheit erreicht;
nur den Hils hätte ich gern auch noch einmal besucht, um den Winkel dort
genauer zu messen; die vorgerückte Jahreszeit hat mich aber daran gehindert.
Diesen Umstand abgerechnet, kann ich jetzt die TrianguHrung zur Gxadmessung,
so weit sie zu meinem Ressort gehört, als geendigt ansehen. Astronomische
Beobachtungen sind noch keine weiter gemacht, als die zur Orientirung meiner
ersten Dreiecksseite gehören. Ob ich den oben erwähnten Plan der Fort-
setzung der Messungen nach Westen noch ausführe, ist übrigens noch sehr
ungewiss. Es ist manches dafür, manches, fast noch mehr, dagegen, auch
abgesehen davon, dass vielleicht noch die Möglichkeit einer Änderung meiner
äussern Lage eintreten könnte [*)].
Ich habe das System meiner Hauptdreiecke in diesen Tagen
sorgfältig ausgeglichen, so dass nicht nur die Summe der Winkel jedes einzelnen
Dreiecks, sondern auch die Verhältnisse der Seiten in den gekreuzten Vierecken
und Fünfecken genau harmoniren, und zwar ohne alle Willkür, ohne Auswählen,
ohne Ausschliessen, alles nach der Strenge der Probabüitätsrechnung. Es sind
zusammen 26 Dreiecke, worin alle Winkel von mir selbst beobachtet sind.
[*) Es handelte sich um die Berufung nach Berlin.]
BBIEFWECHBEL HIT BE88BL.
l
Die grösate Summe der Fehler ist 2*2 in einem Dreiecke, wo bei einer Seite
das Fointiren sehr schwierig war; die nächst grösste ist l"8. Keine der 76 vor-
kommenden Richtungen ist bei der Ausgleichung um eine ganze Secnnde ge-
ändert; die grösste Änderung beträgt 0^813 bei der oben erwähnten Seite von
Nindorf nach Hamburg. Was ich nach meiner neuen FrobabilitStstheorie den
mittlem Fehler nenne, bei den Richtungen, ist 0?48.
Gauss an Bebsel. Göttingen, 20. November 1824.
Ich habe in diesem Jahre 12 Stationen besucht und bin mit
den Dreiecken bis an die Weser (der entfernteste Punkt auf der Garlster
Heide zwischen Osterholz und Vegesack) gekommen. Die dritten Winkel-
punkte liess ich anfangs immer zurück, und als ich nach der Mitte Augusts
Bremen verliess, hatte ich noch 6 Plätze zu besuchen. Mit allen ging es
noch erträglich, aber bei dem letzten, dem Wilseder Bei^e, quälte mich das
schlechte Wetter so, dass ich trotz einem dreiwöchentlichen Aufenthalt nicht
ganz zu meiner Zufriedenheit fertig wurde ; ich musste zuletzt einen Schluss-
termin setzen und kam Ende Octobers nach Göttingen zurück.
Ich behalte mir vor, Ihnen künftig ausführlicher über den Erfolg der
Messungen, die grossen Schwierigkeiten, mit denen ich zu kämpfen gehabt
(eine davon, das ewige Moorbrennen, wird Ihnen selbst noch im Gedachtniss
sein), und manche interessante Phänomene, die sich dabei ergehen haben, zu
schreiben
Gauss an Bessel. Göttingen, 12. März 1S26.
Den grössten Theil des vorigen Sommers habe ich im Bremischen
lind Oldenbuigschen mit meinen Messungen zugebracht
Was meine Messungen betrifft, so habe ich deren trigonometrischen Theil,
wenigstens dem Buchstaben nach, vollendet; meine Seite Varel-Jever schliesst
sich an die KiiATENHOFFschen Dreiecke. Ob sie aber wirklich geendigt sind, weiss
ich selbst noch nicht. Meine Winkelmessungen in Jever geben ganz enorme
[Joterschiede von den KRAVENHOFFschen, die bis auf 1 5" gehen. Ihre Quelle
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 361
kann ich nicht mit Gewissheit angeben. Meine eigenen Winkel verbürge ich
bis auf eine Secunde. Die Differenzen würden sich erklären lassen, wenn ich
annehmen dürfte, dass Krayenhoffs Centrum der Station von dem meinigen
(ich habe eine Etage tiefer beobachtet) ein Meter entfernt liegt. Die Auf-
schlüsse, die ich von Kra yenhoff erhalten habe, sind unbefriedigend in Rück-
sicht auf das Centriren; im allgemeinen aber geht daraus hervor, dass seine
Winkelmessungen in dortiger Gegend lange nicht die* Schärfe haben wie die
meinigen. Er hat in Ostfriesland ein schlechteres Instrument gebraucht; aus
vielen Winkebeihen hat er immer nur diejenigen beibehalten, die am besten
zu passen schienen (ohne anzugeben, wie viel die andern abwichen) und selbst
unter den beibehaltenen in Jever finden sich Differenzen von 4? Unter diesen
Umständen scheint es mir nicht rathsam, meine Messungen in Ostfriesland
weiter auszudehnen. Seine südlichem Messungen sind besser, und eine Ver-
bindung meiner Dreiecke über das Osnabrücksche nach Bentheim würde ohne
Zweifel zuverlässigere Resultate geben können. Allein der wankende Zustand mei-
ner Gesundheit hat mich bisher muthlos gemacht, auf solche Operationen, die
noch eine ein- oder anderthalbjährige Campagne erfordern würden, anzutragen,
und in diesem Sommer wird schwerlich etwas erhebliches darin geschehen
können
Gauss an Bessel. Göttingen, 20. November 1826.
Die Verarbeitung der Materialien zu dem beabsichtigten Werke über
meine Messungen kostet mich viele Zeit. Meine Hauptdreiecke, 33 Punkte be-
fassend, sind zwar längst fertig berechnet, aber die Berechnung der vielen ge-
schnittenen Nebenpunkte, die für die Geographie eines bedeutenden Theils
von Norddeutschland wichtig sind, macht viel Arbeit, da jene bisher entweder
noch gar nicht oder nur provisorisch berechnet waren. Mein Verzeichniss ent-
hält jetzt etwa 250 Punkte, alle aus dem nördlichem Theil meiner Messungen.
Da meine Dreiecke durch die kurhessischen mit den bayerischen und württem-
bergschen zusammenhängen, und letztere mir auch von Bohnenberger gefällig
mitgetheilt sind (ebenso wie die darmstädtschen von Eckhardt), so ist es mir
sehr unangenehm, dass alle meine Bemühungen, die bayerischen zu erhalten,
IX. 46
362 BKIEFWECH8EL MIT BE8SEL.
bisher vergeblich gewesen sind. Schumacher erzählte mir, dass Soldner ihm
gesagt hätte, der Grund, warum die Commission in München meine Bitte um
die Mittheilung nicht erfüllt habe, sei, weil man annehme, dass ich über diese
Dreiecke Rechnungen anstellen wolle! Ebenso ist mir's mit den ostreichschen
gegangen. Auch General von Muffling sollte doch seine Dreiecke östlich von
Seeberg, die Berlin anschUessen und sich bis über Schlesien erstrecken, be-
kannt machen.
Noch viel mehr Verlegenheit macht mir der weit ausgedehntere theoretische
Theil, der so vielfach in andere Theile der Mathematik eingreift. Ich sehe
hier kein anderes Mittel, als mehrere grosse Hauptparthien von dem Werke
abzutrennen, damit sie selbstständig und in gehöriger Ausführlichkeit entwickelt
werden können. Gewissermaassen habe ich damit schon in meiner Schrift
über die Abbildung der Flächen unter Erhaltung der Ähnlichkeit der kleinsten
Theile den Anfang gemacht; eine zweite Abhandlung, die ich vor ein paar
Monaten der königlichen Societät übergeben habe, und die hoffentlich bald
gedruckt werden wird, enthält die Grundsätze und Methoden zur Ausgleichung
der Messungen (beiläufig ist daraus indirect auch ersichtlich, wie weit die
KRATENHOFFSchen Messungen von derjenigen Genauigkeit entfernt sind, die man
ihnen mit Unrecht beigelegt hat). Vielleicht werde ich zunächst erst noch
eine dritte Abhandlung ausarbeiten, die mancherlei neue Lehrsätze über krumme
Flächen, kürzeste Linien, Darstellung krummer Flächen in der Ebene, u. s. w.
entwickeln wird. Hätten alle diese Gegenstände in mein projectirtes Werk
aufgenommen werden sollen, so hätte ich entweder manches ungründlich ab-
fertigen oder dem Werk ein sehr buntscheckiges Ansehen geben müssen
Gauss an Bessel. Göttingen, 1. April 1827.
Ich denke in diesem Frühjahr die Amplitudo des Bogens zwischen
Göttingen und Altena mit dem Zenithsector zu messen und bin selbst begierig
auf das Resultat. Eine Reihe Beobachtungen, die an den Meridiankreisen Anfangs
1824 gemacht war, gab 2^1' 5 8"; die Polhöhen, wie ich die meinige nach den
besten Beobachtungen annehme und wie Schumacher die seinige angibt, geben
eher 1 oder H Secunden weniger; die geodätischen Messungen hingegen
unter Voraussetzung der gleichförmigen Gestalt der Erde und Walbecks Dimen-
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 363
sionen geben 4 oder 5 Secunden mehr, und fast genau ebenso viel, wie dies
letztere Resultat, geben ganz gleichzeitige Zenithdistanzen von Zenithalstemen,
die ich hier und Nehus in Altena am Meridiankreise beobachtet haben, indem
der Nullpunkt mit Collimatoren bestimmt war. Nehus ist jetzt hier, mir bei
den Sectorbeobachtungen zu helfen ; er hat einen KEPsoLDschen pensilen Colli-
mator mitgebracht, bis jetzt aber halte ich die Methode des Nadirpunkts durch
Quecksilberreflexion far bedeutend genauer; doch, denke ich, wird jene Methode
sich noch verbessern lassen
Gauss an Bessel. Göttingen, 9. April 1830.
Noch viel mehr Zeit haben mir seit Mai 1829 die trigonome-
trischen Messungen geraubt, wenn ich gleich keinen unmittelbaren Antheil an den
Geschäften im Felde diesmal genommen habe. Noch diese Stunde bin ich nicht
ganz (obwohl Gott Lob beinahe) mit Verarbeitung der vorigjährigen Messungen
fertig, wobei ich jeder Hülfe entbehre. Doch habe ich dabei viel Freude über
die zu meiner grössten Zufriedenheit ausgefallene Art gehabt, wie mein Sohn
seinen Antheil an diesen Geschäften ausgeführt hat. Er hat ganz allein ein
grosses Dreiecksnetz von der Weser bis zur holländischen Grenze (über das Osna-
brücksche, auch mit mehrmaliger Berührung preussischen Gebiets, wobei ihm
von Seiten der dortigen Behörden sehr liberal Vorschub geleistet ist) geführt,
wodurch ausser den Hauptpunkten noch gegen 250 andere festgelegt sind. Die
— von einem andern Officier — im Fürstenthum Hildesheim gemachten trigono-
metrischen Messungen sind gleichfalls so gut wie vollendet, so dass alle Mess-
tischblätter (53, wovon etwa ein Viertel bereits aufgenommen ist) mit festen
Punkten versehen werden können
46
364 BRIEFWECHSEL MIT BOHNENBERGER.
[3].
Gauss an Bohnenberoer. Göttingen, 16. November 1823.
Mit Vergnügen habe ich aus Ihrem Briefe einiges von Ihren Messungen
erfahren, und mochte nichts lieber, als dass diese Antwort Veranlassung geben
mochte, etwas ausführlicheres darüber mitgetheilt zu erhalten.
Was zuerst die Heliotrope betrifft, so habe ich zwei ganz verschiedene
Arten anfertigen lassen, die auf ganz verschiedenen Principien beruhen; die
zweite Einrichtung finde ich aber am vortheilhaftesten Durch die
Möglichkeit, wo es sonst das Terrain erlaubt, die grössten Dreiecke anzuwenden,
überall gleich anfangen zu können, ohne erst die so viel Zeit und Geld kostenden
Signale errichten zu müssen, wird die kleine Ausgabe [far die Heliotrope] vielfach
erspart, obwohl dies der geringste Vortheil ist ; die Messungen werden dadurch
einer Schärfe ßlhig, auf die man bei Signalen und Kirchthürmen selten rechnen
darf. Meine schlechtesten Dreiecke (relativ gesprochen) sind die, worin Thürme
die Zielpunkte waren. So viel von den Heliotropen.
Was die Messungen selbst betrifft, so wünsche ich nichts sehnlicher, als
bald die Verbindung mit Ihnen zu haben. Ich habe jetzt meine Dreiecke mit den
kurhessischen zusammengehängt, wovon beiliegende Zeichnung Ihnen einen
Begriff gibt [*)]. Zwar ist von den hessischen Dreiecken nur erst ein Theil
wirklich gemessen, aber schon genug, um alle Punkte bis zum Feldberg mit
den meinigen wenigstens vorläufig zu verknüpfen. Meine nördlicher liegenden
Dreiecke keimen Sie aus Schumachers Astronomischen Nachrichten, I. Nr. 24,
die in diesem Jahr noch dazu gekommenen nördlichen Punkte werden Sie
wenigstens fiir den Augenblick nicht interessiren.
Ich vermuthe nun, dass hiedurch und die darmstädtschen und die bay-
erischen Dreiecke meine Messungen mit den Ihrigen verbunden sind, besitze
aber von den letztem noch gar keine, von den erstem nur einige fragmenta-
rische Angaben. Sollten Sie in voUständigerm Besitze sein, so verpflichten
Sie mich ausserordentlich durch Mittheilung, ebenso wie von Ihren eigenen
Dreiecken. Nur wünschte ich die Winkel zwar auf die Centra reducirt, aber
ohne Fehlerausgleichung zu erhalten **). Ich möchte gern alles nach gleichf5r-
[*) Eine Zeichnung liegt der im Gauss-Archiv befindlichen Copie des Originals nicht bei.]
**) Übrigens allenfalls ohne alle weitern Rechnungsresultate.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 365
miger Methode berechnen. Die Verknüpfung mit Tübingen, Mannheim und Mün-
chen interessirt mich um so dringender, da, im Vertrauen gesagt, die ersten
Messungen Schumachers in Altena, wo er eine schone kleine Sternwarte mit einem
dem meinigen, SoLDNERschen und BESSELSchen ganz gleichen REiCHENBACHschen
Meridiankreise errichtet hat, eine Polhöhe gegeben haben, die 5" von der von
Gottingen durch die Dreiecke übertragenen differirt. Bei der Rechnung
habe ich die Dimensionen der Erde, die Walbeck aus dem Ensemble aller
guten Gradmessungen abgeleitet hat, gebraucht: Abpl. gögTs* Übrigens aber
sind meine Rechnungsmethoden so gänzlich von den sonst angewandten ver-
schieden, dass ich in einem Briefe Ihnen keinen Begriff davon geben kann.
Ich habe die Absicht, wenn meine Messungen erst vollendet sind, diese Me-
thoden zu einem grossem Werke zu verarbeiten und durch Anwendung auf die
hannoverschen und die damit zusammenhäBgenden Messungen zu erklären. Unser
Gouvernement ist geneigt, die hannoverschen Messungen weiter westlich auszu-
dehnen, wodurch sie mit den KRAYENHOFFSchen und dadurch mit den französischen
und englischen in Zusammenhang kommen. Krayenhoffs Messungen sind be-
kanntlich gedruckt ; dies sollte mit allen guten Triangulirungen geschehen ; die
grossen Dreiecke gehören gewissermaassen der ganzen cultivirten Mit- und Nach-
welt an, um so mehr, je mehr sie nach und nach unter sich in Zusammen-
hang kommen. Die MuFFLiNGschen Dreiecke hängen zwar mit der französischen
Gradmessung auch schon durch Tranchots Dreiecke zusammen ; allein diese sind
nicht gedruckt, also für das Publicum so gut wie gar nicht vorhanden, und Ge-
neral VON MuFFLiNG sclbst bcsitzt sie nur in ungenügender Form (vermuthlich die
fatalen Chorden winkel zu 180® schon abgeglichen). Leider finde ich, dass die
Menschen so wenig zur Communication geneigt sind; ich habe mir auf offi-
ciellem diplomatischen und auf nicht officiellem Privatwege viele Mühe gegeben,
aus Paris die von Epailly 1804 und 1 805 im Hannoverschen gemachten Messungen
zu erhalten, aber nichts als Ausflüchte, eine blosse Namenangabe der Stationen
und eine Zeichnung der Dreiecke erhalten, 2 oder 3 Zahlangaben nicht gerech-
net, die, wie aus meinen Messungen folgt, entschieden grob unrichtig sind. Lassen
Sie uns eine Ausnahme davon machen. Ich wiederhole nochmals meine Bitte um
eine Mittheilung Ihrer Messungen, und um freundschaftliche Mittheilung dessen,
was Sie von fremden mit den unsrigen zusammenhängenden haben, insofern
ich es direct nicht erhalten kann, und erbiete mich gern ad reciproca.
366 BRIEFWECHSEL MIT BOHNENBERGER.
Wie schön wäre es, wenn einmal alle über Europa, von Schottland bis zum
Banat und von Copenhagen bis Genua und Formentera, sich erstreckenden
Messungen in Ein zusammenhängendes System gebracht werden konnten. Ich
möchte gern nach Kräften dazu vorbereiten, allein wenn man über die Mitte
seines Lebens hinaus ist, muss man bei einem so ausgedehnten Gegenstand je
eher je lieber anfangen.
Gerlings Messungen sind mit einem 12-zölligen ERTELschen Theodolithen
gemacht, ganz dem meinigen und ScHUMACHERschen gleich"^). Bei meinen Mes-
sungen habe ich gefunden, dass das, was ich in meiner Abhandlung in den
neuesten Göttinger Commentationes »Theoria combinationis observationum etc.«
den mittlem Fehler nenne, aus mehrem Stationen, gute und weniger gute
Messungen durch einander gerechnet, etwa = -^ ist, n = Anzahl der Repetitionen.
Bei sehr fester Aufstellung, sehr gunstiger (d. i. nicht zitternder) Luft und
ausschliesslich heliotropischen Zielpunkten ist er aber beträchtlich kleiner.
Meine sämmtlichen Messungen geben bisher 76 Hauptrichtungen (38 hin und
38 zurück) und aus der Ausgleichung der Fehler fand sich, dass der mittlere
Fehler einer Hauptrichtung = 0','47 war. Es bilden sich daraus zusammen
26 Dreiecke, worin alle Winkel von mir gemessen sind; darunter mehrere,
die gekreuzte Vierecke und Fünfecke geben, und die Ausgleichung ist ohne
Willkür, ohne Auswählen und ohne Ausschliessen gemacht, nach strengen
Gründen der Wahrscheinlichkeits-Rechnung, so dass zuletzt alles genau zu
einander passt. Solche gekreuzte Vierecke würden bei manchen Messungen
ein trefflicher Probirstein sein, wo man findet, dass die Summen der Winkel
zwar überall vortrefflich passen, so dass selten ein Dreieck viel über l" fehlt,
wo aber jene Prüfung (die nicht in dem Grade ä la port^e von jedermann ist,
wie das Berechnen eines sphärischen Excesses), wenn sie angewandt werden
kann, zuweilen ganz entschieden zeigt, dass Fehler von 2", 3" oder darüber in
einzelnen Winkeln vorhanden sind. Der grösste Fehler in der Summe der
noch nicht ausgeglichenen Winkel bei meinen 26 Dreiecken war 2^2, wo eine
Richtung auf den sehr schwer zu schneidenden und bei Sonnenschein nicht
ganz phasenfreien Michaelisthurm in Hamburg ging; der nächst grösste 1^8
in einem Dreiecke, wo auch eine Richtung auf einen äusserst schwer zu sehen-
*) Derselbe hat auch 3 Heliotrope, von Herrn Rümpf, nach der zweiten Einrichtung.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 367
den nicht heliotropischen Zielpunkt ging. Ich hatte gewünscht, die letztere
betreffende Station noch einmal zu besuchen und die Richtung durch HeUo-
troplicht zu nehmen, konnte aber in diesem Jahre nicht mehr dazu kommen.
Das grosse Dreieck Hohehagen- Brocken -Inselsberg ist unter den 26 nicht
begriffen, der Winkel auf dem Inselsberg ist von Gerling gemessen, und meinen
Messungen auf dem Brocken war das Wetter sehr ungünstig, so dass ich den
Inselsberg nur 15-mal habe schneiden können (1823); verbunden mit den 15
Schnitten von 1821, die weniger als l" von jenen differiren, geben sie aber
doch einen vortrefflichen Schluss dieses grossen Dreiecks. — In einem Lande
wie Württemberg und Kurhessen, wo es so viele hohe Punkte gibt, ist das
Messen ein Vergnügen, imd die grossten Dreiecke leicht aufzufinden. Ebenso
im südlichen Theile des Hannoverschen. Aber im nördlichen, der Lüneburger
Heide, habe ich unsägliche Schwierigkeiten gehabt, und eine im vorigen Sommer
nach Westen, gegen Bremen zu, unternommene Recognoscirung hat noch keine
Resultate für die Möglichkeit nur leidlich guter Dreiecke gegeben. Durch
hohe Gerüste liessen sich die Schwierigkeiten zwar wohl überwinden, aber ich
fürchte mich vor den grossen Kosten an Geld und Zeit und noch mehr vor
der Einbusse solider Aufstellung. Weiter südlich durch das Osnabrücksche
nach Bentheim liesse sich vermuthUch leichter durchkommen, die Messungen
würden dann aber dem grossten Theile nach über fremdes Gebiet gehen
müssen.
[4].
Gauss an Olbers. Göttingen, 13. Januar 1821.
Sollte es in Zukunft bei der wirklichen Messung mit allen äussern
Umständen besser gehen, als es bisher den Anschein hat, so glaube ich, dass
ich wohl Freude an der Arbeit haben könnte, und dann würde ich mich auch
recht gern einer Erweiterung der Triangulation nach Westen, falls sie mir
aufgetragen würde, unterziehen. Die AnschUessung an die KRAYENHOFFSchen
Dreiecke ist allerdings wünschenswerth, allein wo sind denn diese zu finden?
Ich weiss nicht, ob sie irgendwo gedruckt sind, und der schlechte Erfolg mit den
EPAiLLYschen Dreiecken macht mich ganz muthlos. Auch Laplace, an den ich
ö6o BRIEFWECHSEL HIT OLBERS.
vor etwa 9 Wochen geschrieben habe, hat mir gar nicht geantwortet. Meiner
Meinung nach sollten alle gut gemessenen Dreiecke 1. Ordnung als etwas be-
trachtet werden, worauf das ganze Publicum Anspruch hat, und nach und nach
sollte ganz Europa mit solchen Dreiecken überzogen werden. Ich habe mir
schon seit Jahren eine eigene Methode entworfen, wie solche Messungen am
zweckmässigsten behandelt werden können ; denn alles, was ich darüber gelesen
habe, finde ich herzlich werthlos. So haben sich z. B. viele Mathematiker grosse
Mühe mit der Aufgabe gegeben, aus Abständen vom Meridian und Perpendikel
die Länge und Breite zu berechnen, mit Rücksicht auf die elliptische Gestalt
der Erde, während, so viel ich weiss, niemand vorher gefragt hat:
1. wie denn jene Abstände, so verstanden, wie man sie gewöhnlich ver-
steht, aus der Messung mit ebenso grosser Schärfe gefunden werden können;
denn es scheint, dass die meisten diese Rechnung wie in der Ebene führen,
oder doch ganz unrichtige oder unbrauchbare Vorschriften dafür geben ;
2. ob es denn überhaupt nur zweckmässig sei, die so verstandenen
Abstände zu gebrauchen, da es entschieden ist, dass, wenn man sie hin-
länglich scharf aus den Dreiecken ableiten will, dies nur durch höchst beschwer-
liche Rechnungen geschehen kann, so wie man aus ihnen nur mit vieler Mühe
wieder zu den Längen und Breiten herabsteigt. Das Ganze würde nur ein "die
Pferde hinter den "Wagen spannen" sein. »Soll etwas brauchbares zwischen die
Dreiecke und die Längen und Breiten gesetzt werden, so muss es etwas ganz
anderes wie jene, so wie gewöhnlich verstanden, Coordinaten sein." Wie dies
bei meiner Theorie geschieht, kann ich hier freilich nicht umständhch aus-
führen ; nur so viel bemerke ich, daas das, was ich zwischen die Dreiecke und
die Längen und Breiten setze, diejenigen Coordinaten sind, 1) mit denen
am zweckmässigsten jeder Punkt in einer Ebene dargestellt werden
kann. Diese Coordinaten folgen höchst bequem und leicht aus den ge-
messenen Dreiecken, und ohne eine sehr genaue Kenntniss der Abplattung der
Erde vorauszusetzen, und 2) aus ihnen folgt wieder ebenso leicht die Länge
und Breite, natürlich indem man die Abplattung kennen muss. Icli habe die
Absicht, diese Theorie, wo nicht früher, doch mit meinen künftigen Messungen
bekannt zu machen und bitte vorerst, diese angedeuteten Ideen noch für sich
zu behalten. Sehr gern würde ich sie nicht bloss auf die hannoverschen Drei-
ecke, sondern auf alle andern damit in Verbindung kommenden anwenden
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 369
imd so eine Description g^om^trique eines grossen Theils von Europa
geben, wenn ich durch Mittheilung gehörig unterstützt würde. Aber!!
Herr v. MOffling hat mir doch seine 1 5 Dreiecke vom Rhein bis Seeberg
mitgetheilt. Vorläufig, aber freilich nur sehr roh, habe ich bereits Göttingen
angeschlossen. Nemlich 1812 habe ich auf dem Hanstein, dessen Lage gegen
Göttingen näherungsweise aus meinen Winkelmessungen in hiesiger Gegend
folgt, die Winkel zwischen Göttingen, Brocken und derBoineburg (2. Muffling-
scher Punkt) gemessen, freilich auf mehrere Minuten ungewiss; doch glaube
ich, dass die Eintragung Göttingens, die hieraus folgt, wohl auf 100 Meter
beinahe zuverlässig ist. Es folgt daraus: Längenunterschied zwischen der Göt-
tinger und Seeberger Sternwarte in Zeit 3°8;7, was sehr nahe mit den astro-
nomischen Bestimmungen zutrifft. Paris wäre hienach, wenn es 33° 3 5' west-
lich von Seeberg liegt, 30° 2653 westlich von Göttingen. Die neue Sternwarte
liegt 1J9 östlich von der alten, die ich früher immer 30° 2 3^-' von Paris setzte.
Gauss an Olbers. Göttingen, 18. April 1822.
Bei allen meinen Rechnungen liegen folgende Dimensionen der
Erde zum Grunde
a = 3271821 [Toisen]
6 = 3261011 »
Eigentlich hatte ich ganz Walbecks Resultat annehmen wollen: ^^ . Durch
einen Schreibfehler hatte ich aber jene schon vor längerer Zeit der Berechnung
von mancherlei Hülfstafeln untergelegt, und hielt es um so weniger der Mühe
werth, diese deshalb umzuarbeiten, da der unterschied weit unter der durch
alle Gradmessungen zu erreichenden Genauigkeit liegt.
Gauss an Olbers. Zeven, 4. Julius 1824.
Für weiteres Fortschreiten sind die Aussichten äusserst schlecht.
Nach meiner frühem Hoffaung Bremen zu umgehen, wird nicht thunlich sein, da
[*) Siehe die Briefe an Olbers yom 6. Julius 1824, S. 320 Anmerkung, und vom i. M&n 1827, S. 378.]
IX. 47
870 BRIEFWECHSEL MIT OLBERS.
der Weierberg mit Brüttendorf nicht zu yerbinden ist. Aber auch gar nichts
anderes rechtliches lässt sich mit Brüttendorf im Nordwesten oder Norden
verbinden. Müllers Recognoscirang von Bremervörde bis Osterholz hat durch-
aus gar kein Resultat gegeben. Der einzige Punkt wäre beiWentel, der aber
an Bremen wohl nur einen Winkel von etwa 1 2®, an Brüttendorf einen von 46*,
an Wentel von 122® p[raeterpro1pter geben würde, und wo ich auch noch
gar nicht weiss, ob das Opfer, was ich durch ein so schlechtes Dreieck brächte
KT
BrüJbbtndßrf
(und welches etwas gebessert würde, wenn sich Wentel zugleich mit Bottel
verbinden Hesse), durch eine einigermaassen rechtliche Aussicht nach Nord-
westen von Wentel aus compensirt würde. Am Ende werde ich also doch viel-
leicht den Steinberg noch mit zuziehen müssen, um mich südostlich um Bremen
herum zu drehen, oder Bremen nur wie eine vorgeschobene Zunge betrachten
und die Verbindung mit Kjrayenhoff nördlich über Stade, oder südlich über
Osnabrück suchen müssen. Das erstere allein zu thun, ist wegen der unerhört
schlechten Beschaffenheit der nordöstlichen KRAYENHOFFSchen Dreiecke (worüber
ich Ihnen früher einmal geschrieben) auch wohl bedenklich. Sehr wünschte
ich Ihre Ansicht darüber zu haben
Gauss an Olbers. Zeven, 8. Julius 1824.
Ihre beiden letzten gütigen Briefe habe ich richtig erhalten
Der erstere hat mich rücksichtlich aller meiner Messungen sehr nieder-
geschlagen. Da Sie das Dreieck Bremen -Brüttendorf- Wentel wegen des
zu spitzen Winkels an Bremen, verwerfen, so brechen Sie dadurch zugleich
den Stab über die, wie es scheint, einzig mögliche Art, auf der andern Seite
um Bremen herum zu kommen; denn in dem Dreieck Bremen-Bottel-Stein-
berg wird der Winkel in Bremen noch viel spitzer sein. Sie setzen zwar mit Ihrer
gewohnten Güte hinzu, dass doch bei jenem Dreieck die Genauigkeit des-
ZUR HANNOVEESCHEN TRIANGULATION. 371
wegen nicht bedeutend leiden würde, weil ich in meine Messungen eine so
grosse Schärfe lege. Allein dieser Grund, dessen Wahrheit ich jetzt auf sich
beruhen lassen will, kann mich durchaus im geringsten nicht beruhigen.
Nach meinem Grundsatze soll man immer, so genau man nur kann, beobachten ;
der Grad der Genauigkeit in den Beobachtungen, gleichviel wie gross oder
wie klein er sein mag, bedingt immer wieder den Grad der Genauigkeit, die
man von den Resultaten fordern darf, und die Genauigkeit der Beobachtungen
kann nach meiner Meinung ein an sich schlechtes Dreieck durchaus nicht
gut machen; wenigstens wäre sonst überflüssig gewesen, die übrigen guten
Dreiecke mit derselben Schärfe zu messen. Höchstens kann dadurch dann
das ganze System wieder in Parallele mit andern an sich viel schlechtem Mes-
sungen zurückkommen.
Ich habe es bisher für ein blosses Vorurtheil gehalten, wenn man Dreiecke
mit sehr kleinen Winkeln der Genauigkeit für nachtheilig hielt, insofern
die den spitzen Winkeln gegenüberliegenden Seiten keine Übergangsseiten
abgeben ; ich habe solche klein winkelige Dreiecke bloss desswegen für minder
gut gehalten, weil man damit auf einmal nicht viel weiter kommt, also mehr
Zeit und Kosten gebraucht, als wenn man auf einmal viel fortschreiten kann ;
und auch dieser Grund fallt ganz weg, wenn die Aufsuchung und Instand-
setzung eines grossen Dreiecks vielleicht doppelt so viel Zeit kostet, als die
Messung zweier Dreiecke zusammen, die eben dahin fahren, und wovon das
eine einen sehr spitzen Winkel hat. Demungeachtet habe ich nicht ganz
nach diesem Princip gehandelt, sondern ein Dreieck mit einem kleinen Winkel
nie eher adoptirt, als bis ich fast alle Möglichkeiten erschöpft hatte, es zu
vermeiden (nur diejenige Möglichkeit nicht, die zu schlechten Messungen
selbst geführt hätte, d. i. Zachs hohe Thürme); nicht weil ich geglaubt hätte,
dadurch an Genauigkeit etwas zu gewinnen, sondern aus dem wohl verzeih-
lichen Wunsche, dem System so viel möglich, ausser dem innem Gehalt, auch
Schönheit und Rundung zu geben.
Da ich nun aber Sie durch das, was ich in einem frühem Briefe
darüber schrieb, nicht überzeugt habe, sondern da Sie den Nachtheil, der für
die Genauigkeit aus dem spitzen Winkel sonst entstehen würde, durch die
Schärfe der Messungen gut gemacht verlangen, was nach meiner Ansicht
unmöglich ist, so werde ich selbst in meiner bisherigen Ansicht ganz irre
47#
372 BRIEFWECH8EL HIT OLBEB8.
und zweifelhaft, ob sie nicht ganz unrichtig gewesen, und darf wenigstens
auf keinen Fall hoffen, andere von der Richtigkeit derselben zu überzeugen. Was
namentlich das Dreieck Bremen-Bruttendorf-Wentel betrifft, so hätte ich mich
selbst sehr ungern dazu entschlossen, weil es nicht schon ist, und auf ein-
mal nicht viel weiter bringt; rucksichtlich der Genauigkeit aber (ganz
abgesehen davon, wie genau die Winkelmessun^en an sich sind), würde ich
dasselbe, seine Winkel zu 12^,46^,122^ angenommen, vollkommen einem
andern gleichgestellt haben, dessen Winkel 76^46^,58® gewesen wären.
Gauss an Olbers. Gottingen, 19. Februar 1825.
Ich schicke Ihnen mein vollständiges Höhenverzeichniss [^)]. Bei Hamburg
ist eine kleine Veränderung von ±2,7 Fuss vorgenommen, da Schumacher mir
den Höhenunterschied zwischen dem Knopf und den Fenstern des Cabinets,
den ich früher zu 47,9 Fuss nach Benzenbergs Kupfer[stich] angenommen
hatte, nach Sonnins Kupfer[stich] zu 53,3 angibt; ich habe also einstweilen den
Knopf (meinen Zielpunkt) um 2,7 hoher, die Fenster 2,7 [Fuss] tiefer gesetzt
als vorher. Dadurch wird dann auch Schumachers Barometer 2,7 [Fuss] tiefer
als vorher, also gegen Gottingen — 357,8 [Fuss] und gegen Ihr Barometer +70,4
[Fuss] = 11,73 Toisen. Der Unterschied mit Ihrer Barometerbestimmung ist
also jetzt ganz unbedeutend. Doch wird dies noch etwas modificirt werden, da
ich auch auf einigen Stationen den Fussboden der Laterne zum Zielpimkt
gebraucht habe, dessen Tiefe unter dem Knopfe mir Schumacher nicht mitge-
theilt hat, und überhaupt sollte wohl die relative Höhe der drei Punkte
ordentlich trigonometrisch gemessen werden (aus einem nahen Standpunkte).
[*) In Gauii' Naohlau iit das Original dieieg VeneiohnuBei vorhanden; demielben ist daf folgende
Kugefdgt:]
«Die Höhen bei den Hauptpunkten beziehen Bioh» mit AuBnahme von Göttingen, Lüneburg und Ham-
burg, wo daa Nähere besonders bemerkt ist, allemal auf diejenige FlSche, auf welcher der Repetitionskreis
gestanden hat. Bei den meisten Plätzen ist dies ein aufgemauertes steinernes Postament von 3^ Fuss Höhe
über der Erde, zuweilen ein paar Zoll mehr, zuweilen weniger. Nur beim Meridianzeichen beträgt diese
Höhe etwas mehr, nemlich 6 Fuss«.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
373
Relative Höhen.
Pariser Fuss
1
Göttingen, Steinwarte, Fussboden
0
2
Nördl. Meridianzeichen (Oberfl. des Postaments)
+ 201,0
3
Uohehagen (Postamentsoberfläche)
+ 1072,6
4
Hils (P.)
+ 841,2
5
Brockenhaus (Marmortisch auf dem Thurm)
+ 3061,7
6
Lichtenberg (P.)
+ 274,1
7
Deister, Calenberg (P.)
+ 468,2
8
Garssen (P.)
— 242,5
9
Falkenberg (P.)
— 15,5
10
Scharnhorst (P.)
— 190,6
11
Breithom (P.)
— 109,0
12
Hauselbei^ (P.)
— 109,2
13
Wnlfsode (P.)
— 158,5
14
Timpenberg (P.)
— 120,1
15
Nindorf (P.)
— 120,0
16
Lüneburg, Michaelis, Fussboden der Laterne
— "243,2
17
— — Knopf
— 178,6
18
— — Spitze
— 168,3
19
— Johannis, Knopf
— 109,5
20
— — Spitze
— 101,4
21
— Nicolai, Knopf
— 199,3
22
— — Spitze
— 188,4
23
— Lamberti, Knopf
— 215,7
24
— — Spitze
— 207,7
25
— Höchste Stelle des Kalkbei^es
— 291,6
26
— Platz nahe vor dem N.W. Thor
— 393,1
27
Lüne, Klosterthurm, ELnopf
— 331,2
28
— — Spitze
— 325,0
29
Hamburg, Michaelisthurm, Knopf
— 31,2
374
BRIEFWECHSEL MIT OLBEB8.
30
Hamburg, Michaelisthurm, Fenster des ob. Gab.
Pariser Foss
— 84,5
31
Wilsede (P.)
+ 45,8
32
33
34
35
Elmhorst (P.)
Litberg (P.)
Bullerberg (P.)
Bottel (P.)
— 202,9
— 278,1
— 315,7
— 318,5
36
37
Steinberg (P.)
Bruttendorf (P.)
— 257,9
— 326,3
38
Zeven, Kirchthurm, Fussboden der Laterne
— 347,0
39
— — Knopf
— 323,8
40
41
— — Spitze
— Garten beim Posthause, nahe der Aue
— 316,8
— 430,5
42
— Platz auf dem Felde beim südlichen Eingang des
Dorfs
— 419,4
43
Bremen, Ansgarius, Fussboden der Laterne
— 227,7
44
— — Knopf
— 172,1
45
46
— — Spitze
— Liebenfirauen, Knopf
— 156,6
— 215,4
47
— Dom, Knopf
— 244,2
48
49
— — Spitze
— Martini, Knopf
— 232,4
— 281,7
50
51
— Gymnasium, Knopf
— Strassenpiiaster am Domhof unweit des alten Mu-
seums
— 315,9
— 453,8
52
53
— Windmühlenberg am Herdner Thor
— Garten beim Hause des Hm. Dr. Olbers
— 443,3
— 452,7
54
— Fussboden in Hm. Dr. Olbebs Observ.
— 430,7
55
— Barometer-Gefass, daselbst
— 428,2
56
Brillit (P.)
— 342,2
57
Garlster Haide (P.)
— 328,7
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 375
Gauss an Olbers. Göttingen, 25. Februar 1825.
Jetzt noch ein paar Worte über das geodätische Nivellement.
Ich bin zwar selbst mit mir über diesen Gegenstand ganz auf demReinen,
allein ich weiss nicht, ob ich mich in der Kürze so darüber werde erklären
können, dass ich Sie sofort zur Übereinstimmung bringen werde.
Ich habe immer geglaubt, dass der Ausdruck »Localattraction« sehr
übel gewählt ist und leicht verkehrte Ansichten veranlassen kann. Man
sollte sagen, dass die Richtungen der Schwere nicht mit dem Gange, der bei
einem gleichförmigen Sphäroid stattfinden würde. Schritt halten. Die Rich-
tung der Schwere ist das Totalproduct der Anziehung aller Bestandtheile des
Erdkörpers (und der Centrifugalkraft) , und bei dessen unregelmässiger Zu-
sammensetzung in Rücksicht der Dichtigkeit, sowie bei den Unebenheiten auf
der Oberfläche wird jene nicht dieselbe sein können, wie bei einem regel-
mässigen Sphäroid. Allein wie auch die Zusammensetzung sei, immer
wird durch jeden Punkt eine Fläche, die ganz um die Erde herum geht, ge-
legt werden können, auf welcher die Richtung der Schwere genau senkrecht
ist, und die Oberfläche einer zusammenhängenden ruhigen Flüssigkeit würde
dieselbe vorstellen. Diese Fläche ist es, die eine Horizontalfläche heisst (couche
de niveau); den Punkten dieser Fläche legt man gleiche Höhe bei, ohne
sich im mindesten darum zu bekümmern, ob oder wie viel sie von einem
elliptischen Sphäroid abweichen, und die Höhen über dieser Fläche gibt sowohl
das Barometer als die trigonometrische Messung an, so dass beide immer mit
einander übereinstimmen müssen. Dabei wird bloss vorausgesetzt*), dass auf
jeder Dreieckslinie die Richtung der Schwere sich nach dem Gesetz der Stetig-
keit ändert (obgleich vielleicht schneller oder langsamer als bei dem ellip-
tischen Sphäroid), imd diese Voraussetzung kann nur dann eine kleine Unrich-
tigkeit hervorbringen, wenn an der einen Dreiecksstation eine wahre Local-
attraction stattfindet, die bloss örtlich imd auf einen kleinen Raum beschränkt
*) und natürlich auch, dass alle Zenithdistanzen reciprok gemessen werden, was bei meiner Messung
ohne Ausnahme gilt. Bei einseitigen Messungen ist Ihre Bemerkung vollkommen gegründet, da
man dabei die Amplitude sph&roidisch berechnen muss.
376 BRIEFWECHSEL MIT 0LBEB8.
(ausserhalb desselben unmerklich) ist. Allein ich halte mich überzeugt, dass,
den Brocken höchstens ausgenommen, eine solche Localattraction im ganzen
Umfange meiner und der ScHUMACHEBschen Dreiecke nicht statthat
Gauss an Olbebs. Göttingen, 9. October 1825.
Ich habe dieser Tage angefangen, in Beziehung auf mein künf-
tiges Werk über Höhere Geodäsie, einen (sehr) kleinen Theil dessen, was die
krummen Flachen betrifft, in Gedanken etwas zu ordnen. Allein ich über-
zeuge mich, dass ich bei der Eigenthümlichkeit meiner ganzen Behandlung des
Zusammenhanges wegen gezwungen bin, sehr weit auszuholen, so dass
ich sogar meine Ansicht über die Krümmungshalbmesser bei planen Curven
vorausschicken muss. Ich bin darüber fast zweifelhaft geworden, ob es nicht
gerathener sein wird, einen Theil dieser Lehren, der ganz rein geometrisch in
analytischer Form) ist und Neues mit Bekanntem gemischt in neuer Form ent-
hält, erst besonders auszuarbeiten, ihn vielleicht von dem Werke abzutrennen
und als eine oder zwei Abhandlungen in unsere Commentationen einzurücken.
Indessen kann ich noch vorerst die Form der Bekanntmachung auf sich be-
ruhen lassen, imd werde einstweilen in dem zu Papier bringen fortfahren.
Gauss an Olbers. Göttingen, 2. April 1826.
Rücksichtlich meiner Messungen kann ich für mich allein
wenig beschliessen. Mein Auftrag ist im Grunde rücksichtlich des trigono-
metrischen Theils vollendet, und ich dachte, insofern Schumacher mich ge-
hörig unterstützen will, im Spätsommer die Zenithsector-Beobachtungen vor-
zunehmen. Der wankende Zustand meiner Gesundheit schreckt mich ab, auf
erweiterte trigonometrische Messungen anzutragen; inzwischen habe ich vor
kurzem, unter uns gesagt, in einem Schreiben an Münster erklärt, dass ich
bereit bin, meine Kräfte auch noch künftig darauf zu wenden, falls solche ge-
fordert werden sollten.
Meine theoretischen Arbeiten lassen bei ihrem so sehr grossen Umfange
leider noch viele Lücken; am leichtesten wäre mir geholfen, wenn ich mir
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 377
erlaubte, mit der Bekanntmachung meiner Messungen zwar alle meine Rech-
nungseinrichtungen zu verbinden, aber deren Ableitung aus ihren hohem
Gründen für ein ganz getrenntes Werk für glücklichere zukünftige Zeiten auf-
sparte. Dann wäre nirgends ein Anstoss. Vors erste werde ich die scharfe
Ausgleichung meiner 32 Punkte, die 51 Dreiecke und 146 Richtungen liefern,
vornehmen. Die Höhenausgleichung (ein sehr viel leichteres Geschäft) habe
ich in diesen Tagen vollendet
Gauss an Olbers. Göttingen, 14. Januar 1827.
Ich glaube Ihnen schon früher gemeldet zu haben, dass ich es
ganz unthunlich gefimden habe, dasjenige Werk, welches ich über meine
Messungen in Zukimft zu geben denke, auch in theoretischer Rücksicht ganz
selbstständig zu machen, wenn ich nicht wenigstens einen grossen Theil des
Theoretischen vorher anderswo besonders behandle. Es wird schon voluminös,
die Gründe meiner Operationen zu entwickeln, aber, wenn ich mich so aus-
drücken darf, die Gründe der Gründe können nicht in das Werk selbst
kommen, ohne es ganz buntscheckig und doch unbefriedigend zu machen.
Ich habe mich daher entschlossen, verschiedene theoretische Materien erst ab-
gesondert in einzelnen Abhandlungen zu entwickeln, wodurch es auch allein
möglich wird, diese bedeutenden neuen Capitel der Mathematik mit einem
gewissen Grade von Vollständigkeit auszufuhren. Gewissermaassen ist meine
Preisschrift über die Transformation der Flächen die erste dieser Abhandlungen ;
die zweite habe ich vor einigen Monaten der k. Societät übergeben als Supple-
mentum theoriae combinationis observationum etc. Sie enthält die Principien,
die als Grundlage der Ausgleichung der Beobachtungen angewandt werden
müssen, und selbst einige Beispiele von KIrayenhopts und meinen Messungen.
Gauss an Olbers. Göttingen, 1. März 1827.
Meine Abhandlung, oder vielleicht richtiger, meine erste Ab-
handlung über die krummen Flächen habe ich vollendet; ich werde sie aber
der Societät noch nicht übergeben, da doch auf die Ostermesse kein Band
IX. 48
378 BRIEFWECHSEL MIT 0LBER8.
herauskommt. Die beiden von mir 1825 und 1826 übergebenen Abhand-
lungen über die biquadratischen Reste und Suppl. theor. combin. observ. sind
noch nicht zu drucken angefangen. Jene Abhandlung enthält zur unmittel-
baren Benutzung in meinem künftigen Werk über die Messung eigentlich
nur ein paar Sätze, nemlich 1) was zur Berechnung des Excesses der Summe
der 3 Winkel über 180® in einem Dreiecke auf einer nicht sphärischen
Fläche, wo die Seiten kürzeste Linien sind, erforderlich ist, 2) wie in diesem
Fall der Excess auf die drei Winkel ungleich vertheilt werden muss, damit
die Sinus den Seiten gegenüber proportional werden. In praktischer Rück-
sicht ist dies zwar ganz unwichtig, weil in der That bei den grossten Drei-
ecken, die sich auf der Erde messen lassen, diese Ungleichheit in der Ver-
theilung unmerklich wird; aber die Würde der Wissenschaft erfordert doch,
dass man die Natur dieser Ungleichheit klar begreife. Und so kann man
allerdings hier, wie öfters, ausrufen : Tantae molis erat ! um dahin zu gelangen. —
Wichtiger aber als die Auflosung dieser 2 Aufgaben ist es, dass die Abhand-
lung mehrere allgemeine Principien begründet, aus denen künftig, in einer
speciellem Untersuchung, die Auflösung von einer Menge wichtiger Au%aben
abgeleitet werden kann.
Ich komme noch einmal auf den im Anfange dieses Briefes erwähnten
Gegenstand zurück. Ich habe bei allen meinen Hülfstafeln und Rechnungen
Walbecks Abplattung gQgTS ^^^"^ Grrunde gelegt; aber ich glaube, dass die
sämmtlichen bisherigen Gradmessungen, wenn man ihre Data vollständig
aufaähme, zeigen würden, dass die SABiNESche Abplattung ^ir ^^^^ beinahe
ebenso gut damit würde vereinigen lassen, und es scheint mir, dass alle bis-
her vorhandenen Gxadmessungen noch viel zu kleine Ausdehnung haben, um
die Abplattung in engere Grenzen einzuschliessen. Was gewiss ist, ist, dass
die Erde ein unregelmässiger Körper ist; die Polhöhen der Örter (ganz ab-
strahirt von Beobachtungsfehlem) schwanken immer mehrere Secunden (viel-
leicht hie und da ziemlich viele Secunden) um die Werthe, die man unter
Voraussetzung irgend eines regelmässigen Ellipsoids berechnet, und ebenso
schwanken die wirklichen Fendellängen um die berechneten (das mittlere
Schwanken der Pendellängen vielleicht -fy englische Linie). Aber eben des-
halb können Gradmessungen von kleiner Ausdehnung wenig zur Kenntniss der
mittlem Gestalt der Erde beitragen, namentlich halte ich den lappländischen
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 379
Bogen fax viel zu klein. Um so wichtiger, däucht mir, ist es, dass nach
und nach alle scharfen Triangulinmgen in Europa in Einen Zusammenhang
gebracht werden. Ich habe jetzt Hoffnung, die bayerischen Dreiecke mitge-
theilt zu erhalten. Wenn erst alle europäischen Sternwarten von Abo bis
Palermo und von Nicolajef bia Dublin durch Dreiecke zusammenhängen, so
dass ihre relativen Lagen gegen einander mit aller Genauigkeit, die die fein-
sten geodätischen Messungen verschaffen können, bestimmt sind, so wird man,
d. i. so werden unsere Nachkommen, alles mit viel mehr Sicherheit beur-
theilen können
Gauss an Olbers. Göttingen, 14. Junius 1830.
Die Zeit, die mir in diesem Sommer zu eigener Arbeit übrig bleibt,
denke ich der Fortsetzimg meiner Abhandlung über die biquadratischen Reste
zu widmen, damit diese Arbeit, deren erste Anfange sich schon von 1805 her
datiren, ihrer Vollendung näher komme. Sie wird wenigstens noch zwei aus-
gedehnte Abhandlungen erfordern; vorerst werde ich es aber bei einer be-
wenden lassen, imd die erste mir dann wieder zu.Theil werdende Müsse erst
wieder einem andern Gegenstande widmen, wahrscheinlich den theoretischen
Methoden der hohem Geodäsie. Es ist seit geraumer Zeit mein Schicksal
gewesen, immer solche Arbeiten aufzunehmen, bei denen sich in der Dar-
stellung nicht schnell fortschreiten lässt
Gauss an Olbers. Göttingen, 2. September 1837.
Gerling, der seine trigonometrischen Messungen in Hessen jetzt be-
endigt hat, hat jetzt noch eine Operation veranstaltet, die zur Bestimmimg
des Längenunterschiedes zwischen Göttingen und Mannheim dienen soll. Es
werden Signale auf zwei Bergen, Meisner und Feldberg, gegeben; erstere
sind in meiner, letztere in der Mannheimer Sternwarte sichtbar; beide aber
zugleich auf einem Zwischenberge bei Marburg, wo Gerling mit einem Ejbssel-
schen Chronometer beobachtet. Die Signale sind Pulverzeichen bei Nacht und
48*
380 BRIEFWECHSEL MIT OERUNG.
helioVropische bei Tage. Das Wetter ist nicht günstig ; hier sind zwar bisher
schon ziemlich viele Zeichen von beiderlei Art beobachtet, aber Gerling hatte
nach seinem letzten Briefe noch fast nichts vom Feldberge her gesehen
[5.]
Gauss an Gerling. Göttingen, 5. October 1821.
Meinen herzlichen Glückwunsch zu dem von Ihnen übernommenen Ge-
schäft. Es freut mich, dass es in Ihre Hände kommt, da Sie es sich zur
Pflicht machen werden, das ganze Triangelnetz mit aller möglichen Sorgfalt
auszuführen. Ich halte dies für etwas überaus wünschenswerthes , und be-
klage es immer, wenn man schon bei den Triangeln der ersten Ordnung
geizig überlegt, durchaus nichts mehr an Genauigkeit anwenden zu wollen,
als für den allerletzten Zweck unumgänglich nöthig ist. Die genaueste
Kenntniss der relativen Lagen der interessantesten Punkte eines Landes kann
in vielfacher Beziehung nützlich sein, auch ganz abgesehen davon, dass eine
Detailvermessung darauf am besten zu stützen ist. Es wäre gewiss äusserst
wichtig, wenn der grösste Theil von Europa vollständig mit Einem Netz
überzogen wäre, und nach und nach werden wir dahin kommen; jeder Staat
sollte es sich zur Ehre rechnen, seinen Antheil daran so gut zu liefern, dass
er würdig sei, neben den besten zu stehen.
Ich sollte glauben, dass Sie gut thun würden, den Meisner auch mit
zu einem Dreieckspunkt zu wählen; Sie werden denselben unmittelbar mit
wenigstens 5 meiner Dreieckspunkte in Verbindung setzen können, und wahr-
scheinlich mit ebenso viel MüFFLiNGSchen dazu. Ich werde gern dabei hülf-
reiche Hand bieten, und insofern es sich nur irgend einrichten lässt, die dies-
seitigen Beobachtungen dahin machen. Die Heliotrope erleichtem solche Ar-
beiten ausserordentlich, und es bedarf auf dem Meisner weiter keiner Anlage,
als dass ein steinernes Postament von circa 1|- Fuss Quadrat und 3 Fuss
Höhe über der Erde gesetzt werde, um Heliotrop und Theodolithen darauf zu
stellen, und dass vielleicht einige Bäume gefällt werden, falls ohne das die
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 381
freie Aussicht nicht vollständig erreicht werden kann Von Hannover
aus ist mir gar keine Communication Ihre Triangulirung betreffend zugegangen ;
ich habe daher den Köterberg, der sonst vortrefiäich zum genauen Anschluss
des Hercules gedient hätte, ausgeschlossen. Inzwischen habe ich die Richtung
der Linie Hohehagen- Hercules zu den andern dortigen sorgfaltig gemessen.
Gauss an Gerling. Göttingen, 21. Februar 1822.
Wenn der Anschluss an die Göttinger Sternwarte und der an
den Inselsberg nicht auf Einem Platze auf dem Meisner geschehen kann, so
dürfen Sie nun beide Plätze anwenden. Es ist dabei gar nicht viel Ver-
mehrung der Arbeit; denn nach den Principien der Wahrscheinlichkeitsrech-
nung brauchen Sie die Winkel zwischen den Objecten, die an beiden Punkten
sichtbar sind, insofern Sie sie an beiden messen, an jedem nur halb so oft
zu repetiren, als Sie gethan haben würden, wenn Sie nur Einen Standpunkt
gebraucht hätten. Die gegenseitige Lage beider Punkte gegen einander mit
der grössten Schärfe und doch ohne überflüssige Mühe zu erhalten, wird Ihnen
nicht schwer fallen
Gauss an Gerling. Göttingen, 7. November 1822.
Bei sehr flacher Incidenz, wo auch zuletzt die Möglichkeit der
Lenkung aufhört, habe ich immer mit dem herrlichsten Erfolg doppelte
Reflexion anwenden lassen, indem nicht die Sonne selbst, sondern ein auf der
Erde an schicklicher Stelle angestellter Handspiegel den Heliotrop speiste.
Ich empfehle Ihnen diesen Kunstgriff zur Nachahmung
In einem bergigen Lande ist es eine Lust zu messen, desto grösser, je
grösser die Entfernungen sind, die beim Gebrauch der Heliotropen gar keine
Grenzen haben. Mein grosser Spiegel, 1 Quadratfuss, war sogar durch den
dichten Moorbrandsqualm, der mehrere Quadratmeilen bedeckte, von Lichten-
berg nach Falkenberg, fast 1 2 Meilen, durchgedrungen, welcher Qualm freilich
für die winzigen Heliotropspiegel zu dicht gewesen war
382 BRIEFWECHSEL MIT GERL^G.
Gauss an Gerleng. Göttingen, 27. Julias 1823.
Ich habe mir Ton Repsold noch ein neues Ocular fiir meinen
Theodolithen verfertigen lassen, mit Spinnenfaden von fast unglaublicher Fein-
heit, 29" TOn einander abstehend. (Die in dem ERTELschen Ocular, auch schon
recht fein, aber viel dicker als jene, sind 36" von einander.) Bei Beobach-
tung entfernter blasser irdischer Gegenstände ist jene Einrichtung äusserst
vortheilhaft; leider bekam ich sie nur erst post festum. Der in Nindori^
Timpenberg und Lüneburg fast immer bei dem heerrauchigen Zustand der
Luft sehr blass aussehende Hamburger Thurm hat mich sehr geplagt, ebenso
wie der Lüneburger in Hamburg, und im allgemeinen sind die Messungen in
jenen Gegenden nicht ganz so scharf wie die frühem, wozu übrigens auch
das ewige Schwanken der Thürme mit beigetragen hat. Der Michaelis-Thurm
in Hamburg ist, so lange ich dagewesen bin, nie ruhig gewesen ; die horizon-
talen pendelartigen Schwankungen gehen oft über ^ Minute. Dieser Thurm
ist von allen meinen Dreieckspunkten als Standpunkt und (den Brocken ab-
gerechnet) auch als Zielpunkt der allerschlechteste gewesen. Repsold verfer-
tigt auch neue Libellen von ausserordentlicher Vollkommenheit, die er anstatt
mit Weingeist mit Naphtha füllt. Sie kommen sehr viel schneller als die
andern zur Ruhe.
Gauss an Gerling. Göttingen, 11. August 1823.
Ihr Ausdruck, wenn ich vom Brocken aus auf Heliotroplicht
pointiren wolle und nicht das Häuschen vorzöge etc., scheint auf einiges Miss-
verständniss der Motive, um derenwillen ich zum zweiten Male auf den Brocken
gehen könnte, hinzudeuten. Die scharfe Bestimmung der Richtung zum L[isels-
berg ist in der That ein Hauptzweck, und von Pointiren auf das Haus kann
bei dieser Entfernung und der geringen Höhe und Lrregularität desselben
gar keine Rede sein. Heliotroplicht vom Liselsberg zum Brocken ist also
natürlich die Conditio sine qua non meines Hingehens.
t
Dieser Eine Grund allein würde mich jedoch noch nicht wegen des aber-
maligen Besuchs rechtfertigen. Meine Winkelmessungen 1821 nach meinen
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 383
eigenen Hauptpunkten waren bei dem ambulirenden Heliotrop und ungünstigen
Wetter zu dürftig und des Ganzen nicht völlig würdig ausgefallen; daher ich
diese durch gleichzeitige Besetzung mit Heliotropen wiederholen, wie nachher
auch noch einmal zum Hohehagen und Hils zurückzukehren wünschte.
So wie ich nun mit grösstem Vergnügen vom Brocken und Hohehagen
zum Inselsberg Licht für Licht zu schicken erbötig bin, so bin ich doch nicht
im Stande, Ihnen einen meiner Heliotropen hiebei abzulassen ; denn wenn ich
Hohehagen, Hils und vielleicht Lichtenberg durch einen ambulirenden besetzen
müsste, so käme ich nicht weiter als 1821.
Es scheinen mir nun mehrere Wege, wie hier durchzukommen ist,
denkbar :
1) Kommen wir gleichzeitig resp. zum Inselsberg und Brocken und
schicken uns gegenseitig Licht, so wie mein Gehülfe Ordre haben soll, Ihnen
von Zeit zu Zeit Licht vom Hohehagen, und der Ihrige mir vom Meisner zu
schicken, so kann ich unter Begünstigung des Wetters, wie es Anfang Sep-
tember häufig ist, in wenigen Tagen, vielleicht in dreien, auf dem Brocken
fertig werden, den Gehülfen mit dem Heliotrop dort lassen (der fortwährend
Ihnen zum Inselsberg Licht schickt, so wie der auf dem Hohehagen), zum
Hohehagen eilen, Ihnen Zeichen meiner Ankimft geben und wieder in ein
paar Tagen (unter Gunst des Wetters) dort das zum Inselsberg gehörige ab-
solviren, worauf Sie dann über Ihren Inselsberg-Heliotrop nach Gefallen dis-
poniren können. Vom Hohehagen erhalten Sie dann beständig Licht, so
lange ich da bin, und wenn Sie es noch bedürfen, ab und an, so bald ich auf
dem Hils bin.
In Beziehung auf diesen Plan wird also alles darauf ankommen, ob Sie
die Verbindung mit dem Brocken und den hannoverschen Dreiecken für wichtig
genug halten, die Besetzung des Knills und der Milseburg mit Heliotropen so
lange aufzuschieben, bis jener effectuirt ist.
2) Obgleich der oben angezeigte Weg mir der liebste wäre, insofern da-
durch die Verbindung der Messungen am vollkommensten effectuirt wird, so
könnten Sie doch den Inselsberg -Heliotrop allenfalls schon früher ab-
geben, nemlich so bald ich den Brocken verlasse, was durch Signale kund-
gemacht werden kann. In Beziehung auf die Richtung Hohehagen-Inselsberg
müsste ich mich dann mit dem begnügen, was ich 1821 durch Enckes Hello-
384 BRIEFWECHSEL MIT GERLING.
trop erhalten habe. Es versteht sich, dass Sie die Lage des neuen Steins und
Heliotropplatzes gegen das Haus auf das schärfste bestimmen müssten. Ich
wiederhole jedoch, dass es besser sein würde, wenn ich den Winkel vom
Inselsberg zum Brocken auf dem Hohehagen unmittelbar erhalten könnte.
3) Am allerbesten wäre es wohl, wenn Sie sogleich sich noch einen
dritten Heliotrop anschafften. Der kleine Aufwand wurde gewiss reichlich
durch den Genauigkeits- und Zeitgewinn überwogen, den Sie künftig davon
haben würden. Dies ginge jetzt um so leichter an, da Rumpf eben einen
neuen Heliotrop fertig stehen hat. Er hat nemlich einen für Schumacher ver-
fertigt (und bereits abgesandt) und bei der Gelegenheit, weil, wie er sagt, es
sich leichter arbeiten lässt, sogleich zwei auf einmal gearbeitet. Der zweite
ist also in diesem Augenblick noch disponibel, obwohl nicht zu zweifeln ist,
dass er auch sonst leicht Gelegenheit finden wird, ihn abzusetzen. (Bei mir
sind bereits mehrere Anfragen aus dem Auslande eingegangen.) Ich habe
Hm. Rumpf ersucht, diesen Heliotrop theils ganz versendungsfertig zu machen,
theils ihn nicht eher an sonst jemand wegzugeben, bis Ihre Erklärung darauf
erfolgt sein würde. Wenn Sie darauf reflectiren, so ist vielleicht das sicherste
und kürzeste, ihn nach dem Meisner schicken oder abholen zu lassen.
4) Ich könnte auch etwas früher nach dem Brocken, als Sie nach dem
Inselsberge, abgehen; Sie müssten auf der Milseburg also suchen, die Rich-
tung zum Inselsberg vor allen andern zu erhalten, damit von dem zu verab-
redenden Tage an, wo ich auf dem Brocken eintreffe, Ihr Gehülfe vom Insels-
berg mir fortwährend Licht zum Brocken schickt. So würden Sie Ihren Helio-
trop auf dem Inselsberg eine kürzere Zeit nach Ihrer eigenen Ankunft zu
behalten nöthig haben.
Sollte aber alles dieses mit Ihren Plänen nicht vereinbar sein, so würde
ich von der ganzen Expedition, für dies Jahr wenigstens, abstrahiren müssen
(in welchem Fall ich aber um möglichst baldige Benachrichtigung bitte, damit
ich und meine Gehülfen ims danach einrichten können); auch weiss ich
nicht, ob ich im künftigen Jahre im Stande sein würde, mich in demselben
Maasse einrichten zu können wie diesmal. Diesmal nemlich erbiete ich mich,
die Zeit des Anfangs ganz Ihnen zu überlassen. Zeigen Sie mir nur den
Tag genau an, von welchem an Sie mir zuverlässig Licht vom Inselsberg zum
Brocken geben werden. An dem Tage bin ich bestimmt da, und im Fall 1,
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 385
2^ 3 schicke ich Ihnen auch sogleich Heliotroplicht; im Fall 4, sobald Ihr
Licht das einfache Attentionszeichen gibt, nach gewöhnlichen Uhrschlägen von
o;4, nemlich
0 .o;4 o;8 i;2 ije 250
I 1 I 1 I 1 etc.
Doch bemerke ich dabei, dass die Bedeckungen immer recht vollständig
sein und eher etwas länger dauern müssen als die Öfihungen ; ich meine so :
0 o;4 0J8 i;2 1J6 250
L, I U I !h etc.
Andere Zeichen gebe ich mit Zahlen, also zum Beispiel die Zahl 3, nach
folgendem Schema:
Ich Attentionszeichen von unbestimmter Anzahl, bis
Sie dieselben erwiedem und zwar so lange, bis
Ich aufhöre, worauf Sie auch aufhören und Acht geben. Inzwischen
mag etwa |- Minute gewartet werden. Dann gebe ich das Zeichen selbst und
zwar so :
0 i;6 2J0 3;6 4;0 5J6 6J0 7;6
I 1 I 1 I 1 I 1
.... offen bedeckt offen offen offen offen ....
Nr. 1 Nr. 2 Nr. 3
Die Zahl also = n gesetzt, wechseln
n -|- 1 mal bedeckt, 4 Schläge lang,
mit n mal offen, 1 Schlag lang (quasi n Blitze);
vorher und nachher, wie bestimmt, infinite quasi offen.
Nachher wiederholen Sie dasselbe Manöver umgekehrt; nur, insofern
nicht lange Unterbrechung stattgefunden hat, ohne meine Erwiederung Ihres
Attentionszeichens abzuwarten, sondern nachdem Sie dasselbe etwa 10 bis
20 -mal gemacht haben, pausiren Sie (offen) |- Minute lang imd geben das
Zeichen.
Doppelte Zeichen, z. B. 3.3, werden durch doppeltes Attentionszeichen an-
gekündigt (0'8 offen und 0^8 zu), und nachdem die erste Zahl gegeben ist,
etwa 5 bis 10' lang offen gelassen und dann die zweite Zahl gegeben, also
IX. 49
386 BRIEFWECHSEL MIT GERLING.
6;o 7;6 i2;o isje ujo i5,'6 lejo nje i8?o i9;6
. ... ... . I 1 I 1 I 1 I r I 1
wie vorher Nr. 3 1" 2* 3* offen
Den Tag des Anfangs überlasse ich, wie schon gesagt, Ihnen. Nur muss
ich so früh davon benachrichtigt werden, dass ich nach Empfang Ihres Briefes
noch wenigstens 4 bis 5 Ti^e habe, um meine Gehülfen in Hannover zu be-
ordern (denn jetzt ruhen die Geschäfte ganz), damit diese auch zur rechten
Zeit am Platze sind.
Noch Einen Umstand muss ich erwähnen. Die Gehülfen auf dem Hohe-
hagen und Meisner und eventualiter, sobald ich auf dem Hohehagen bin, der
auf dem Brocken, haben nach 2 Richtungen Licht zu schicken, also alter-
native.
Sie werden das nun pro aequo vertheilen, einmal einem 1 Stunde oder 2,
dann dem andern. Allein es wird gut sein, dass solche jedesmal, wo sie die
Absicht haben zu wechseln, dies etwa 5 Minuten vorher durch ein > Mi-
nute dauerndes Attentionszeichen ankündigen, damit [d]er [Beobachter] durch das
plötzliche Abbrechen nicht in einer Beobachtungsreihe im Stiche gelassen zu
werden risquire, sondern sie erst gehörig schliessen könne. Während ich auf dem
Hohehagen bin, könnte Ihr Gehülfe mir auch wohl vom Meisner aus zuweilen
Licht geben. Inzwischen werde ich vennuthlich auch den Stein selbst poin-
tiren können, sobald ich einmal weiss, wo er steht, wenn er, warum ich bitte,
schwarz gefärbt ist (mit Theer). Doch muss dann der Gehülfe nicht un-
mittelbar am Stein stehen. Geben Sie ihm also auf, dann, besonders immer
wenn die Sonne nicht scheint, und, wenn sie scheint, jedesmal, nachdem der
Heliotrop eben eingestellt ist, sich auf ein Dutzend Schritte von der Richtung
zum Hohehagen seitwärts zu halten. Vielleicht geben Sie ihm auch aaf,
schon früher einmal Licht nach Göttingen zu schicken. Es soll vom 18. d. M.
an täglich zwischen 2 und 2^ Uhr aufgepasst und Empfang von Licht durch
Erwiederung angezeigt werden. Ich fürchte aber, dass Ihr Gehülfe Mühe
haben wird, die Richtung heraus zu finden. Wüsste ich die Stelle, so wurde
ich das Licht durch eigenes herlocken. Bis jetzt kann ich aber auf dem
Gipfel mit dem Teleskop nichts Steinähnliches sehen. Die höchste Stelle des
Meisner ist hier als ein (im verticalen Sinn) schmaler Saum, und als kahle
Blosse über Holz her sichtbar.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 387
In dem Fall Nr. 4 würden Sie Ihre Ankunft auf dem Inselsberg dem
Gehülfen auf dem Hohehagen durch einmalige Lichtsendung kund thun. Er
liegt 98^28' links von der Seeberger Sternwarte.
Ich gebe Ihnen anheim, ob Sie auch, wenn ich auf dem Hils bin, mir
noch einmal Licht vom Meisner dahin schicken lassen wollen. Es würde
immer zur vollständigen Verbindung beitragen. Herausfordern wollte ich das
selber schon, da ich bis dahin den Platz scharf genug kennen werde.
Wenn es möglich ist, soll das Heliotroplicht, von dem Platz, wo ich
eben selbst messe, im genauen Alignement mit dem Dreieckspunkt sein; geht
dies z. B. auf dem Brocken nicht an, so wird natürlich die Abweichung genau
gemessen.
Am Hercules habe ich vom Hohehagen aus den Kopf pointirt; vom
Brocken aus ist der Hercules nur 4-mal geschnitten und auf die ganze Station
oder richtiger auf die ganze pyramidalische Spitze des Oktogons pointirt. —
Vom Hohehagen aus ist zwar der Knill unsichtbar; ich vermuthe aber, dass
Amöneburg sichtbar ist, vielleicht auch Hohelohr
Gauss an Gerling. Göttingen, 1. September 1823.
Ich habe Ihnen nur den Modus meines Telegraphirens angezeigt ;
bestimmte bleibende Werthe haben die Zahlzeichen nicht, ebenso wenig wie
a und j?, y, z in der Algebra ; die Bedeutungen werden immer für solche Um-
stände, als sich eben im voraus erwarten lassen, vorher verabredet. Ich be-
sorge indess, dass das Telegraphiren wenigstens mit dem Meisner -Heliotrop
sehr bedenklich sein würde, denn es scheint mir, dass er sehr unvollkommen
berichtigt sein muss. Besonders in der Stunde von 2 — 3^ (wo doch die übrigen
Gegenstände gewöhnlich zu stark wallen, um etwas brauchbares messen zu
können)*), habe ich allezeit die Erfahrung gemacht, dass das Licht, wenn es
im besten Leuchten ist, plötzlich abgebrochen wird, dann eine Zeit lang ganz
unsichtbar bleibt, und dann allmählig äusserst klein anfangt und zuletzt erst
den vollen Glanz erhält, aber leider nur kurze Zeit behält (manchmal nur
\ Minute); unter solchen Umständen ist aber an zuverlässiges Telegraphiren
nicht zu denken.
*) NemUch zwiBchen 6 und 7^ habe ich es seltener beachtet, weil ich keine Zeit für Messung ver-
lieren wollte.
49*
388 BRIEFWECHSEL MIT OERLING.
Ich habe 1822 einen ähnlichen Fall mit dem damals auf dem Deister be-
findlichen ältesten Heliotrop gehabt, dessen Rectification vermuthlich durch
unsanften Transport gelitten hatte. Ich half damals durch ein Palliativmittel.
Es wurden nemlich öfters Versuche gemacht, indem ich zuerst dem Lieute-
nant Hartmann durch ein bestimmtes Zeichen andeutete, dass die Versuche
gemacht werden sollten. Dann liess er das Sonnenbild zu oft wiederholten
Malen in verschiedenen Höhen durch das Fadenkreuz gehen,
& xy ^5
und ich zeigte ihm den Augenblick, wo ich sein volles Licht zuerst sah, durch
Eröffnung meines Heliotrops, und den Schluss des vollen Lichts durch Be-
deckung an. Es versteht sich, dass dabei mein Heliotrop immer beinahe cen-
tral die Sonne auf dem Fadenkreuz hatte, um ganz gewiss zu sein^ dass mein
Licht völlig hinkomme. Meinerseits waren also 3 Personen nöthig : Einer, der
immer den Heliotrop fast central unterhielt, ein Zweiter, der mit dem Fem-
rohr (die Distanz war 8f Meilen) den jenseitigen Heliotrop beobachtete und
ein Dritter, der auf des Zweiten Zurufen den Spiegel des Heliotrops öffiiete
oder bedeckte (bloss durch Vortreten mit seinem Körper). Ich wollte dies
recht gern auch mit Ihnen thun. Das 3 -fache Attentionszeichen (1*2 zu,
i;2 offen, 1J2 zu, etc. etc.) könnte die Intention des Versuchs andeuten (den
man immer nur macht, wenn wenig Gefahr von Wolkenbedeckung stattfindet),
und zwar gibt der das Zeichen zuerst, der den HeUotrop des andern prüfen
will. Da Gelehrten gut predigen ist, so brauche ich wohl nichts über die
Benutzung der Versuche beizufügen. Bei ähnlicher Winkelstellung ist dies
Mittel fast so gut wie wirkliche Berichtigung, da derjenige, der den geprüften
Heliotrop hat, weiss, wie er das Sonnenbild durchgehen lassen muss, und ob
er umstellen muss, ehe die Sonne ausgetreten ist, oder nachdem sie schon
ein Stück ausgetreten, etc. Bei dem neuen Heliotrop wird hoffientlich die
Berichtigung gut sein.
Was Sie mir von dem Unterschiede Ihres Zeichengebens mit dem
meinigen schreiben, ist mir nicht ganz deutlich. Etwas durchaus wesentliches
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 389
scheint mir zu sein, dass das Attentionszeichen nothwendig erst erwiedert
sein muss, ehe das wirkliche Zeichen gegeben wird, ob aber jenes und dieses
Zeichen mit einem besondem Femrohr oder in Ermangelung eines solchen
mit dem Heliotropfemrohr beobachtet wird, ist wohl eines und dasselbe.
Der Modus meiner Zeichen ist von mir öfters verändert, derjenige, den
ich Ihnen geschrieben, scheint mir der zweckmässigste. Allein ich habe leider
versäumt, mir selbst eine Abschrift zu machen, und erinnere schon jetzt bloss
aus dem Gedächtniss mich nicht mehr ganz genau. Lassen Sie mir also doch
gütigst diese Stelle meines Briefes copiren
Gauss an Gerling. Göttingen, 5. September 1823.
Unbedingt wünsche ich, dass Sie den Heliotrop [auf dem Insels-
berg] genau in das Alignement mit dem Theodolithenplatz stellen und das Zelt
so viel wie möglich symmetrisch aufschlagen. Könnten Sie der dem Brocken
zugekehrten Seite eine dunkle Farbe geben, so wäre es so viel besser. Ich
hoffe, dass der dortige Heliotrop das Zelt weit überschreien soll; allein ich
habe 1822 doch den Fall gehabt, dass das weisse Zelt in Schamhorst meine
Beobachtungen in Garssen einen ganzen Tag unbrauchbar machte, obwohl
dabei zu bemerken, dass erstens das Zelt mir seine Südseite, von der Sonne
beleuchtet, zukehrte, zweitens das Heliotroplicht sehr geschwächt war, welches
beides hier wegfallt. Inzwischen möchte ich doch aus Vorsicht den Heliotrop
nicht excentrisch aufgestellt wissen, da sonst das Zelt wohl ein wenig bei-
tragen könnte, den Winkel zu verfölschen. Ich vermuthe, wenn z. B. das
Zelt ^ so viel Glanz hat wie der Heliotrop, imd dieser so weit absteht, dass
die Distanz 4" gross sein solle, der Winkel um O'^l verfälscht werden wird.
Gauss an Gerling. Göttingen, 3. October 1823.
Erlauben Sie mir noch einige Bemerkungen
1) Beim Vergleichen zweier Punkte fange ich jedesmal von demjenigen
an, von dem ich am meisten befurchte, dass er versagen könnte.
390 BRIEFWECHSEL MIT OERLING.
2) Ist der zweite Punkt Heliotroplicht und nicht die allergrösste Hoffiiung,
dass er nicht versagen wird, so lese ich öfters ab als gewöhnlich. Wo diese
Furcht nur äusserst gering war, habe ich wohl zuweilen mehr als 1 0, d. i. 15,
ja wohl 20 Messungen gemacht, ehe ich wieder ablas. Inzwischen setzt man
dabei immer viel aufs Spiel. Ist viel Besorgniss des Versagens des zweiten
Punktes, so lese ich wohl nach der dritten, ja nach der zweiten oder gar bei
jeder Beobachtung ab. Dasselbe auch, wenn der erste Punkt etwas lange
ausbleibt.
3) Bin ich in einer Beobachtungsreihe begriffen, wo der erste Punkt
geschnitten ist, so lasse ich gern, ehe ich die Alhidade löse, durch ein Hand-
femrohr nachsehen, ob der zweite Punkt sichtbar ist; versagt er aber, nach-
dem schon gelöst ist und kommt nicht wieder, so ist deswegen doch die Mes-
sung nicht verloren; ich schneide dann im Nothfall einen dritten Punkt ein
tmd bekomme so gemischte* Winkel. Bei meinem diesmaligen Brockenbesuch
ist indessen dieser Fall nur Einmal eingetreten, indem ich 2 -mal (Ilefeld-Hohe-
hagen) -f 2-mal i^Ilefeld-Hils) nahm. Solche gemischte Winkel werden im Sy-
stem ebenso gut imd ganz pro rata benutzt wie reine. Im Jahr 1821 habe
ich viele gemischte Winkel, später seltener. Ich habe daher auch an den
meisten Stationen, ausser den Hauptrichtungen, Hülfsrichtungen ; besonders im
Jahre 1821, wo ich nur Einen Heliotrop hatte. Ich wähle zu Hülfsrichtungen
gern spitze Thürme, nicht gar zu entfernt und wo möglich nicht gar zu arg
ausser der Horizontalebene. Letztere Bedingung war freilich auf dem Brocken
nicht zu erreichen. Huyseburg liegt 1^37', Hüttenrode 1^54' und eine Stange
auf dem Wurmberg, die ich 1821 aufpflanzen und 1823 erneuern liess (ob-
wohl an einem etwas andern Platz), 2® 1 3' tmter dem Horizont.
Gauss an Gerling. Göttingen, 19. Julius 1827.
Obgleich ich bei meinen astronomischen Operationen nicht in
dem Maasse, wie ich gewünscht hatte, vom Wetter begünstigt bin, so glaube
ich doch die Amplitudo des Bogens zwischen den Sternwarten von Göttingen
und Altona bis auf einen sehr kleinen Bruch einer Secunde festgestellt zu
haben; ich habe eine sehr grosse Menge von Sternen genommen und zu-
sammen gegen 900 Beobachtimgen gemacht. Es bleibt der Unterschied von
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 391
5" gegen die Rechnung aus den Dreiecken nach Walbecks Erddimensionen,
und es wäre daher sehr interessant gewesen, noch einen Zwischenpunkt zu
haben. Mit dem Sector war es unter den obwaltenden Umständen unmöglich ;
vielleicht aber beobachten wir künftig noch mit einem im ersten Vertical auf-
zustellenden Passageninstrument gemeinschaftlich in Celle, sowie Schumacher
vorher in Altena und ich nachher in Göttingen Noch vor meiner
Reise habe ich auch die sämmtlichen bayerischen Dreiecke mitgetheilt er-
halten, welche durch die Ihrigen mit den meinigen verknüpft sind
Gauss an Gerling. Göttingen, 12. September 1838.
Was den Längenunterschied mit Paris betrifft, so habe ich selbst
die Resultate aui^. Stembedeckungen etc., die Triesnecker, Wurm u. a. ge-
zogen haben, niemals zusammengestellt: Sie selbst sind also. ebenso gut wie
ich selbst im Stande, dieses Resultat zu ermitteln. Dagegen habe ich aus
den Längenunterschieden zwischen Jever und Göttingen, imgleichen Bentheim
und Göttingen, wie Sie aus meinen, resp. meines Sohnes, trigonometrischen
Messungen folgten, einerseits, und Jever und Bentheim mit Paris andererseits
wie sie Krayenhoff ansetzt, denjenigen Längenunterschied zwischen Göttingen
und Paris abgeleitet, welchen Sie in Hardings Ephemeriden angesetzt finden.
Eine neue Rechnung habe ich deshalb nicht gemacht; bei einer completen
Ausgleichung aller Dreiecke, die als Ejranz das Oldenburgsche umgeben, leidet
Jever eine, doch nur sehr geringe Abänderung ; auch könnte Jever ganz weg-
gelassen und dagegen Emden und Onstwedde gebraucht werden, bis wohin
Hartmanns Messungen sich erstreckt haben. Indessen würde jedenfalls die
Abänderung des Endresultats nur ganz unbedeutend sein, und ich habe es
bisher um so weniger der Mühe werth gehalten, deshalb eine neue Rechnung
zu machen, weil Krayenhoffs Messungen doch, wie Sie aus meinem Supplem.
theor. comb, abnehmen können, weit schlechter sind als ihr Ruf.
Eine dritte Bestimmung könnten Sie aus Altona entnehmen, dessen Diffe-
renz gegen Göttingen trigonometrisch bestimmt ist (siehe Breitenunterschied
[Art. 19]), sowie die Differenz von Greenwich chronometrisch. Aber von mir
selbst ist das Betreffende nicht zusammengestellt, was ich daher Ihnen über-
lassen muss
392 BRIEFWECHSEL MIT OERLINO.
Gauss an Gerling. Göttingen, 14. November 1838.
Dass ich auf Ihren vorletzten Brief noch nicht weiter geantwortet
habe, müssen Sie damit gütigst entschuldigen, dass ich eigentlich zu dem in
meinem letzten Briefe [vom 12. September] mitgetheilten kaum noch etwas
hinzu zu setzen wusste.
Thatsächliches kann ich wirklich nichts beifügen, als die Hinweisung auf
Lindenau-Bohnenbergers Zeitschrift, Band IV, S. 119, wo Sie die relative
Lage der alten und neuen hiesigen Sternwarte bereits angesetzt finden. Allen-
falls mit folgenden beiden Anmerkungen.
1) Der Längenunterschied ist in Zeit angesetzt.
2) Die Position der neuen Sternwarte a. a. O. bezieht sich auf das Cen-
trum der Rotunde, dessen Lage gegen die Mitte der Axe des Reichenbach-
schen Meridiankreises ich Ihnen, wenn ich nicht irre, bereits früher mitge-
theilt habe. Wollen Sie aber die relative Lage des letztem Punktes gegen
das Centrum der alten Sternwarte selbst scharf berechnen, so schreibe ich
dazu aus meinem Verzeichnisse der Coordinaten folgendes ab:
Centrum der Kuppel —3,104 —7,324
Mitte der Axe des REiCHENSACHschen Meridiankreises 0 0
Mitte der alten Sternwarte —193,54 -{-bAl^Q.
Die Einheit ist das Meter; bei der ersten Zahl bedeutet + südlich, bei
der zweiten + westlich.
Verlangen Sie nun meine Meinung über die Reductionszahl, die Sie
bei dem Ansetzen Ihrer Längen gegen Paris anzuwenden haben, so kann ich
nur sagen, dass ich dies für etwas sehr gleichgültiges ansehe, wenn Sie mir
zugleich mittheilen, welche Zahl Sie zum Grunde gelegt haben. In der That,
Sie mögen wählen was Sie wollen, so bleibt die Latitüde in dieser Beziehung
oder die Grösse des Spielraums
A. höchst unbedeutend für jeden praktischen Zweck, z. B. Karten-
zeichnungen.
B. zwanzig- oder funfzigmal grösser als alle relativen Differenzen
zwischen allen Ihren Ansätzen.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 393
Indem nun die letztem eigentlich das Wesen Ihrer Arbeit ausmachen,
so scheint mir dadurch mein oben ausgesprochenes Urtheil hinlänglich gerecht-
fertigt.
In Ihrem vorletzten Briefe sprechen Sie von den Differenzen des Längen-
unterschiedes zwischen Paris und Göttingen auf verschiedenen Wegen, die bis
auf I- Secunden in Zeit gehen, als sehr beträchtlichen. Ich würde sie nicht
so nennen.
In der That scheinen Sie mir dabei ganz ausser Acht gelassen zu haben,
was ich in meiner Schrift über den Breitenunterschied zwischen Göttingen
und Altena S. 7 3 [*)] entwickelt habe. Wenn man zwischen zwei Punkten, die
nicht gar zu weit aus einander liegen, auf geodätischem Wege vermittelst
zweier verschiedener Touren Längenunterschiede fände, die um 11 Bogen-
secunden verschieden wären, so wäre dies ein ganz ungeheurer Fehler, der
bewiese, dass ganz enorm schlechte Beobachtungen untergelaufen wären, oder
schlecht gerechnet.
Aber Paris und Göttingen liegen doch sehr weit aus einander. Delambres
und Kratenhoffs Messungen sind, glaube ich, an Genauigkeit mit den uns-
rigen gar nicht zu vergleichen, auch nach ganz verschiedenen Methoden und
Elementen berechnet. Ich würde mich daher nicht wundern, wenn der so
gefundene Längenunterschied um eine Anzahl Bogensecunden von einem an-
dern auch geodätisch gefundenen, aber z. B. über Strassburg, Mannheim, etc.
geleiteten, abwiche.
Allein davon ist ja hier gar nicht die Rede, sondern von dem Unter-
schiede der astronomisch bestimmten Längen, die ja, genau besehen, etwas
ganz anderes bedeuten, als die geodätischen. Jene beziehen sich auf das
Fortschreiten der Lage der Verticallinien und der durch sie und parallel mit
der Erdaxe gelegten Plana, die andern auf die Distanzen auf der Oberfläche
der Erde, die gar kein EUipsoid ist, sondern wozu ein Ellipsoid nur wie
eine Art Annäherung betrachtet werden kann.
Nach so imzähUgen vorliegenden Ungleichmässigkeiten des Geodätischen
und Astronomischen in Beziehung auf die Breite muss man auf Differenzen
bei der Länge von derselben Ordnung überall gefasst sein. Eine Differenz
[*) S. 49/60 dieses Bandes.]
IX. 50
394 BRIEFWECHSEL HIT QESUNQ. ZUR HANNOTERSCHEN TRUNGDLATION.
Ton 11" selbst zwischen zwei örtem, die einander viel näher lägen als Göt-
tingen und Paris', ist im Grunde gar nichts. Es hätte schlechterdings nichts
besonderes, wenn selbst eine doppelt so grosse sich zwischen GÖttingen and
Marburg fände.
Übersehen Sie also nicht, dass die von Ihnen gefundenen Unterschiede
sogar sehr gut selbst dann Tollkommen genau richtig sein konnten, wenn
alle Beobachtungen vollkommen und absolut fehlerfrei wären (was sie nicht
sind). Es ist gar kein Grund zu erwarten, dass
I) der durch geodätische Messungen, unter Voraussetzung bestimmter
Ellipsoidsdimenaionen, berechnete Unterschied zwischen Göttingen und Fans,
2] der durch astronomische Beobachtungen gefundene,
3) der gemischt gefundene, nemlich geodätisch zwischen Göttingen und
Altona und astronomisch zwischen Altona-Greenwich-Paris,
unter sich übereinstimmen sollten, da wirklich diese drei Zahlen ganz ver-
schiedene Dinge bedeuten.
Wenn ich bei einer künftigen Bekanntmachung der Resultate meiner
Messungen einen Theil davon in der Form von Breiten- und von Längendiffe-
renzen geben sollte, so werde ich letztere ganz gewiss nicht in Beziehung auf
Paris ansetzen, welches mich gar nichts angeht. Finden Sie aber aus was
immer für Gründen es für gerathen, die Ihrigen in einer solchen Form mit-
zutheilen, so wiederhole ich, dass ich ea für ganz gleichgültig halte, jvelche
Reductionszahl Sie brauchen, wenn nur der Leser nicht in Ungewissheit bleibt,
dass die dabei befindlichen BnichtheUe der Secunden an sich gar keinen An-
spruch auf eine scharfe Bedeutung machen können, sondern nur als Mittel
dienen, jede beliebige Difierenz zwischen je zweien Ihrer Zahlen mit deijenigen
Schärfe wieder zu erhalten, dass nichts von der Schärfe Ihrer Messungen an
sich verloren geht. Ohne Ihnen vorzugreifen, würde ich unter der eben aus-
gesprochenen Voraussetzung diejenige Zahl zum Grunde legen, die taliter
qualiter aus der vorhandenen geodätischen Verbindung zwischen Göttingen
und Paris hervorgegangen ist, da eigentlich die etwas ganz anderes bedea-
tendc^n astronomischen Längen hier ganz ausser Frage sind
BEMERKUNGEN. BRIEFWECHSEL ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 395
BEMERKUNGEN.
Der Abdruck der yorstehenden Briefe ist nach den Originalen erfolgt.
Dem Brief an Bbssel vom 36.Deoember 1831, S. 349/351, war eine Dreieoksskine zugefügt, welche die
5 Dreiecke von der Seite Hohehagen-Inselsberg bis zur Seite EKls-Lichtenberg (vergl. die Figur auf S. 399)
enthält, und femer die Schnitte vom Hils aus nach dem Deister und dem Brelingerberge angibt. Der Bre-
lingerberg, nördlich von Hannover, und der Wohlenberg, nordwestlich von Braunschweig, waren 1831
bei der Recognoscirung als Dreieckspunkte in Aussicht genommen. Der erstere wurde jedoch beim Beginn
der Arbeiten im folgenden Jahre^ als untauglich erkannt, der zweite als Überflüssig fortgelassen. Wahr-
scheinlich hat auch zu dem Brief an Bessel vom 16. November 1833, S. 361/368, eine Karte gehört.
Zu den Briefen an Olbebs vom 4. und 8. Juli 1834, S. 369/373, ist noch zu bemerken, dass der in
ihnen erwähnte Punkt Wentel nicht in das System aufgenommen ist.
Es war, wie es in dem GAUSSschen Arbeitsbericht für 1834 an das hannoversche Ministerium heisst,
»schneller als man bei den grossen Schwierigkeiten hatte hoffen können, ein sehr gutes Dreieckssystem bis
Bremen gebildet.« »Allein desto trüber wurden nun die Aussichten für die weitere Fortsetzung der Drei-
ecke. Nach dem Fehlschlagen aller Versuche, einen neuen Dreieckspunkt an Brüttendorf zu knüpfen, blieb
noch ein Behelf übrig, nemlich den Steinberg mit in das Dreieckssystem aufzunehmen.« Aber auch an die
Seite Bremen-Steinberg liess sich kein neues Dreieck schliessen. »Ohne einen eben jetzt eingetretenen glück-
lichen Umstand würde es um die Fortsetzung der Messungen sehr misslich gestanden haben, da alle Mög-
lichkeiten jetzt erschöpft schienen.« Der erwähnte glückliche Umstand war die von Gauss auf dem Ans-
gariusthurm in Bremen gemachte Entdeckung, dass die Spitze des Thurmes von Zeven dort noch eben zu
sehen war. Die Sichtbarkeit Bremens in Zeven war früher wegen Moorrauch nicht bemerkt worden; Zeven
liess sich auch ausser mit Bremen mit den vorhergehenden Punkten Steinberg, Wilsede und Litberg ver-
binden. Von Bremen -Zeven konnte dann die Dreieckskette fortgesetzt werden. (Vergl. dazu den später
folgenden Auszug aus dem GAUSSschen Arbeitsbericht filr 1836, sowie den gleichfalls noch folgenden Brief
an Olbebs aus dem Juli 1836.)
Die im Briefe an Gerlino vom li. August 1833, S. 386/386, erwähnten durch den Heliotrop über-
mittelten Zahlenzeichen haben (nach einigen kunen Notizen in Beobachtungs- und Rechnungsheften zur
Qradmessung) vorher verabredete, zum Theil von Station zu Station wechselnde Bedeutung gehabt (vergl.
auch den Anfang des Briefes an Geblino vom I.September 1833, S. 387); z. B. bedeutete nach einer Auf-
zeichnung 1 : es geht so gut, 3 : Licht soll geschwächt werden , 3 : für heute Soll aufgehört werden, i . l :
Abgang zum nächsten Punkt.
Auf die Gradmessungsarbeiten in den Jahren 1831/1836 beziehen sich auch die Briefe an Schu-
macher vom 6. und 30. Mai, li. Juli, 39. September und 34. October 1831; vom lo. Mai, lO. Juni, 6. und
30. August, 6., 18., 34. nnd 39. September, 8. October und lo. November 1833 ; vom 8. und 18. Juni, 33. Juli,
Anfang August, 31. August, 18. September und 33. October 1833; vom 34. Juni, i.Juli, 27. September,
17. October, 38. November 1834 und vom Januar 1836 ; vom 39. April, 14., 30. und 36. Juni, ll. und 16. Juli
und 14. August 1836. (Vergl. den Briefwechsel Gauss-Schumacheb, Erster Band, S. 339/346, S. 366/39J,
S. 311/336, S. 334/336, S. 307/413, S. 436/430. Zweiter Band, S. 1/3, S. 14/31.)
Die mehrfach erwähnte Triangulation des Kurfdrstenthums Hannover durch französische Ingenieur-
geographen unter Leitung des Oberstlieutenants Epailly hat 1804 und 1806 während der französischen
Occupation stattgefunden; sie sollte die Unterlagen für die kartographische Aufnahme geben. Das Tableau
der EPAiLLTschen Dreiecke, nebst einem Berichte Efaillts über seine Arbeiten, erhielt Gauss im Anfang
des Jahres 1831 durch Laflacbs Vermittelung vom französischen Kriegsministerium.
Krüobr.
50*
896 ZUK HANlfOTEUCHEN TElAKGULATIOlf.
VERÖFFENTLICHUNGEN
ZUB HANNOVERSCHEN TRUNGDI,ATION.
[H.]
ActronomMehe N>ehrichteD, Band I, Nr. 1, Febmar isii, 8. lOS — la*.
|Ei ist bekannt, dass die hannoversche Regierung die von Sr. Majestät
dem Könige von Dänemark, diesem erhabenen Beförderer der "Wissenschaften,
begonnene Gradmessung, die sich in der Breite Tom nördlichsten Punkte Jüt-
lands bis zur südlichsten Grenze von Lauenburg erstreckt, fortsetzt, und die
Auaführung dieser Arbeit dem Herrn Hofrath Gauss in Göttingen übertragen
hat. Unsere gemeinschaftlichen Dreiecke sind Hambu^-Hohenhom-Lime-
buTg und Hohenhom-Lauenburg-Lüneburg. In diesen Dreiecken ist der
Winkel in Hamburg von mir allein, die Winkel in Lüneburg von Herrn Hof-
rath Gauss und mir gemeinschaftlich beobachtet (der Unterschied unserer
Messungen war unter 0"3) ; die Winkel in Hobenbom und Lauenburg sind zu
derselben Zeit (1818) von Herrn Capitain v, Caeoc gemessen. Im vorigen
Jahre hat der Herr HoJrath seine Dreiecke an der südlichen Grenze be-
gonnen, und der Auszug seines Briefes, den ich hier mittheile, enthält eine
kurze Nachricht darüber.
S[chumach£r]. }
Auszug aus einem Briefe des Herrn Hofrath und Ritter Gauss.
Den Zustand meiner Triangulation habe ich das Vei^ügen auf bei-
liegenden Kärtchen Ihnen mitzutheilen. Die starken Linien sind die, wo die
Richtungen auf schon gemachten Messungen gegründet sind, die punktirten
projectirte. Ich habe leider Grund zu furchten, dass der Brelingerbei^ weder
vom Wohlenberg noch vom Lichtenberg sichtbar ist (an allen 3 Orten hin
ich selbst nicht gewesen). Überhaupt wird die Gewinnung grosser Dreiecke
in der Lüneburger Heide grosse Schwierigkeiten haben.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 397
Brelingerberg, Deister, Lichtenberg und Inselsbei^ sind durch Heliotrop-
licht sichtbar gemacht, auf der Brockenstation auch Hohehagen und Hils, da
die dort gebauten Signale nur selten (letzteres nur wenige Minuten), ich will
nicht sagen zu beobachten, sondern nur zu sehen gewesen sind. Mit dem
Heliotrop fallt alle Schwierigkeit weg.
Ich lasse jetzt noch zwei andere machen (nach der neuen Einrichtung),
woTon der eine bald vollendet sein wird. Dass man meine telegraphischen
mit dem Sextanten -Heliotrop auf dem Brocken gegebenen Zeichen auf dem
Hohehagen (Distanz 70000 Meter = 9^ geogr. Meilen) mit blossen Augen
gesehen, habe ich, wie ich glaube, Ihnen bereits in meinem letzten Briefe
gemeldet. Den bisherigen Heliotrop kann mein ältester Sohn Joseph schon
recht gut einrichten und lenken; mit dem neuen wird es eher noch etwas
leichter gehen.
Die Sichtung vom Hils auf Hannover ist zwar auch aufs schärfste ge-
messen; jedoch wird Hannover vermuthlich kein Hauptdreieckspunkt werden,
da man von da nach N.O. nur eine sehr begrenzte Aussicht hat, und nament-
lich den Wohlenberg dort nicht sehen kann. Auch müssten auf dem dortigen
Thurme erst grosse Abänderungen gemacht werden, wenn ein Theodolith dort
aufgestellt werden soUte. Der Deister wird nach allen Richtungen noch eine
ausgedehnte Aussicht beherrschen, und vielleicht wird selbst der Falkenberg
da noch gesehen werden können.
AfltronomiBche Nachrichten, Bandl, Nr. 24, December 1822, S. 441 — 444.
Auszug aus einem Schreiben des Herrn Hofrath Gauss an den Herausgeber.
Göttingen 1822, Nov. 10.
Da Sie im 7**° Stück der Astronomischen Nachrichten eine Anzeige über
den Stand meiner Triangulirung am Schluss des Jahrs 1821 gegeben haben,
so verfehle ich nicht, Ihnen einen kurzen Bericht über den gegenwärtigen
Stand der Operationen zu schicken.
Im vorigen Jahre waren die fünf Stationen: Göttingen, Meridianzeichen,
Hohehagen, Hils, Brocken absolvirt, imd vier Punkte für die weitere Fort-
398 ZUR HANNOYEBSCHEN TRIANGULATION.
Setzung der Operationen ausgezeichnet, nemlich Lichtenberg, Deister, Wohlen-
berg und Brelingerberg. Ich fing die Arbeiten des laufenden Jahrs mit einer
Recognoscirungsreise in der Lüneburger Heide an, welche ich um so mehr
für nothwendig hielt, da ich die grossen Schwierigkeiten, in diesem flachen
Lande, welches ohne alle erhebliche Anhöhen und überall schachbrettartig
mit Waldung bedeckt ist, ein Dreiecksnetz zu bilden, bereits aus den Berichten
des Obersten Efailly kannte, welcher in den Jahren 1804 und 1805 diese
Schwierigkeiten unübersteiglich gefunden, und daher die Verbindung zwischen
Hamburg und dem südlichen Theile von Hannover vermittelst einer Reihe von
Dreiecken längs der Weser bis zu ihrer Mündimg und hernach wieder die
Elbe herauf eflfectuirt hatte.
Ich fand den Brelingerberg, welcher 1821 vom Hils aus geschnitten war,
unbrauchbar, da er sich mit Lichtenberg und dem Wohlenberg nicht ver-
binden liess, aber auch ebenso wie den Wohlenberg überflüssig, da sowohl
der Platz bei Garssen, als der Falkenberg sich unmittelbar mit dem Lichten-
berg verbinden Hessen. Ich schweige von den grossen Schwierigkeiten, mit
welchen ich zu kämpfen gehabt habe, um die Dreiecke von Garssen und
Falkenberg weiter fortzuführen. Diese Schwierigkeiten sind jetzt überwunden,
und das Netz bietet durch seinen Gliederbau vielfache zu meiner grossten
Zufriedenheit ausgefallene Contr ollen dar. Ich bemerke nur, dass alle meine
Dreieckspunkte zu ebener Erde liegen; ein etwa Sf — 4 Fuss hoch au%e-
mauertes steinernes Postament dient zur Aufstellung des Heliotrops und des
Theodolithen. Mehrere Linien, namentlich die von Falkenberg nach Wilsede,
von Hauselberg nach Breithom, von Breithom nach Schamhorst, und von
Schamhorst [nach Garssen] erforderten beträchtliche Durchhaue durch Wal-
dungen, imd die genaue Yorausbestimmung der Richtung dieser Durchhaue
künstliche Vorbereitungen.
Ich habe im Laufe des Sommers die Stationen Lichtenberg, Deister,
Garssen, Falkenberg, Hauselberg, Breithom, Wulfsode, Wilsede und Scham-
horst vollständig abgemacht, auch auf Timpenberg die betreffenden Winkel
vorläufig gemessen. Dadurch ist also Hamburg schon vorläufig angeschlossen,
auch Lüneburg, da Sie den Winkel zwischen Wilsede und Lüneburg auf dem
Michaelisthurm in Hamburg vorläufig gemessen haben. Hier einige vorläufige
Resultate, wobei sich das Absolute vorläufig auf die vom ZACHSche Basis bei
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 399
Gotha gründet, an die ich mich vermittelst der Seite vom Inselsberg zum
Brocken angeschlossen habe.
Länge von
Breite Göttingen
Hamburg, Michaelisthurm 53® 33' 1^8 ^® 2' 3';o östl.
Lüneburg, Michaelisthurm 5315 5,5 02729, 5 »
Celle, südl. Schlossthurm 52 37 31,4 0 8 4,9 »
Gottinger Sternwarte, Platz
des REiCHENBACHschen
Meridiankreises 513148, 7 0
Die Orientirung meines Dreieckssystems ist von meinem Meridianzeichen
entlehnt ; auf Hamburg übertragen weicht sie von den Azimuthen, welche Sie
mir mitgetheilt haben, nur 1^4 ab. Um das Absolute der Linien schärfer zu
bestimmen, erwarte ich nur die Mittheilung der Länge Ihrer Basis und die
Dreiecke, welche sie mit Diren Hauptpunkten verbindet. Meine eine Drei-
ecksseite, Breithom- Schamhorst, würde sich, wie es scheint, ohne unüber-
steigliche Schwierigkeiten unmittelbar messen lassen.
Um eine recht zweckmässige Verbindung meiner Dreiecke mit den Ihrigen
zu erhalten, hatte ich gewünscht und gehofft, Timpenberg mit Lüneburg un-
mittelbar verbinden zu können. Ein Durchhau wurde versucht, allein, nach-
dem er eine bedeutende Strecke hindurch fortgeführt war, fand sich schon
das zwischenliegende Terrain nicht deprimirt genug, und musste daher diese
unmittelbare Verbindung aufgegeben werden. Es ist jedoch von Wilsede aus
noch ein Punkt niedergelegt, der sich unmittelbar mit Hamburg, Lüneburg
und Lauenburg und höchst wahrscheinlich vermittelst eines Durchhaues mit
Timpenberg verbinden lassen wird. Das Weitere muss den Arbeiten des künf-
tigen Jahrs vorbehalten bleiben. Von den grossen Schwierigkeiten, in einem
solchen waldigen, flachen Terrain zu operiren, hat Niemand einen Begriff,
der nicht unter ähnlichen Umständen gearbeitet hat.
Die beifolgende Karte, welche in dem Maassstabe von TinrhrTrT gezeichnet
ist, wird Ihnen von dem Geschafften eine anschaulichere Vorstellung geben.
Erst nachdem die übrigen Arbeiten vollendet waren, fand sich, dass der Punkt
Schamhorst, vermittelst zweier nicht sehr schwieriger Durchhaue, unmittelbar
400
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
mit Lichtenberg und Deister sich verbinden lassen würde. Wäre es möglich
gewesen, diesen Platz früher auszumitteln, und seine Brauchbarkeit und Lage
festzusetzen, so hätte Garssen ganz wegfallen können. Vielleicht werde ich
im künftigen Jahre die Messung der Winkel des Dreiecks Scharnhorst-Deister-
Lichtenberg noch nachholen.
Ich habe in diesem Jahre ausser dem im Jahre 1821 gebrauchten Helio-
trop noch zwei andere von der neuen Einrichtung in Thätigkeit gehabt, und
daneben noch einen andern Heliotrop -Apparat, welchen ich immer bei mir
führte, um meinen Gehülfen telegraphische Ordres zu geben. Für Sie ist die
Bemerkung überflüssig, dass die von Hm. Schubach im Astron. Jahrbuch für
1825 gegebene Nachricht über die Einrichtung der Heliotrope ganz auf einem
Lrthum beruht und mit meinen Heliotropen gar nichts gemein hat. Herr
Rumpf hat bereits sieben Heliotrope verfertigt, wovon zwei für die preussische
und zwei für die hessische Triangulirung bestimmt sind. Von beiden Ein-
richtungen stehen Ihnen auf Verlangen Zeichnungen zu Dienste.
BEMERKUNGEN.
Die dem ersten Artikel in Band I, Nr. 7, der Astronomischen Nachrichten, beigegebene Dreieckskarte
enthält in starken Linien im SQden die Dreiecke von der Seite Hohehagen- Inselsberg bis zur Seite Hut-
Lichtenberg (vergl. die Figur auf S. 299), die Schnitte vom Hüs zum Deister und Brelingerberg und im
Norden die beiden Dreiecke Lüneburg-Hamburg-Hohenhom und Lüneburg-Hohenhom-Lauenburg. Durch
punktirte Linien sind gebildet das Dreieck Lichtenberg-D eister-Wohlenberg, sowie die Richtungen zwischen
den Funkten Deister, Brelingerberg, Falkenberg und Wilsede und die Richtungen Wüsede - Lüneburg und
Wilsede-Hamburg. Wohl aus Versehen fehlt auf dieser Karte die Linie Hils-NdrdL Meridianzeichen.
Die dem zweiten Artikel zugefügte Dreieckskarte gibt die Dreiecke der eigentlichen hannoversehen
Gradmessung, also die in der Fig\ir auf S. 299 dargestellten Dreiecke vom Inselsberg bis Hamburg bis sa
den Seiten Falkenberg-Wilsede und Wilsede-Hamburg. Es fehlt aber auf ihr noch der Punkt Nindorf und
seine Verbindungen; dagegen sind auf ihr die Anschlussdreiecke zwischen den Punkten Lüneburg, Wilsede.
Hamburg und Hohenhom und die beiden dänischen Punkte Syk und Lauenburg enthalten.
Ausser diesen beiden Mittheilungen über die hannoversche Triangulirung sind von Gauss in Bezie-
hung auf dieselbe noch 2 (sp&ter folgende) Aufs&tze aus dem Jahre 1821 über den »Heliotrop« und ein (gleich-
falls noch folgender) Artikel aus dem Jahre 1823: »Beobachtete und berechnete Triangulirung im Hannover-
schen, Braunschweigschen und Lüneburgsohen« veröffentlicht worden.
KRÜOE&.
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 401
m.
INACHLASS
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
[1.]
[Plan und Anfang zum Werke über die trigonometrischen Messungen
in Hannover.]!
Plan des Werkes.
Acht Abschnitte.
1) Über die bei den Messungen angewandten Einrichtungen
lind Methoden im allgemeinen ungefähr 40 Seiten
2) Messung der Hauptdreieckswinkel 60
3) IQeine Reductionen der Winkelmessungen 12
4) Ausgleichung der Messungen 24
5) Erste Berechnungsart der Dreiecke, in der Darstellung
auf dem Sphäroid 36
6) Zweite Berechnungsart, in der Darstellung in der^Ebene 60
7) Nebenpunkte 24
8) Hohenmessungen 20
Zusammen etwa 276 Seiten
oder 34f Bogen.
Im ersten Abschnitt ist zu handeln von folgenden Gegenständen : Nächster
Zweck der Messungen; Eigenthümlichkeit des Terrains; Zielpunkte; Stand-
punkte; Instrumente; Beobachtungsmanier; Basis; provisorische Berechnung
der Punkte.
51
Die trigonometrischen Messungen im KönigTeich Hannover.
h.
Einleitung.
Die erste Veranlassung zu den von mir ia dem Königreiclie Hannorer
in den Jahren 1821 — 1825 ausgeführten trigonometrischen Messungen war
durch die von dem Herrn Etatsrath Schumacheb in den dänischen Staaten
unternommene Gradmessung g^eben. "Wenn diese in der Nordspitze von
Jütland ihren natürlichen Endpunkt finden musste, so war sie im Süden einer
Erweiterung iahig, die nur erst am mittelländischen Meere ihre Begrenzung
findet. Zunächst musste eine solche Erweiterung in einer Strecke von mehr
als zwei Breitengraden durch das Königreich Hannover gehen, an dessen süd-
licher Grenze die Göttingische Sternwarte die Gelegenheit zu den feinsten
und bequemsten astronomischen Bestimmungen darbot. Die wissenschaftliche
Wichtigkeit einer solchen Unternehmung und die feste Grrundlage, welche
dadurch die Geographie des Königreichs und künftige umfassendere trigono-
metrische Messungen erhalten mussten, konnten unserm erleuchteten Gouver-
nement nicht entgehen, und ich erhielt daher im Jahre 1820 den Auftrag,
diese Fortsetzung der dänischen Gradmessung durch das Königreich Hannover
auszuführen.
Der trigonometrische Theil dieser Arbeit wurde im Sommer 1821 am
südlichen Ende angefangen und im Sommer 1823 mit den Messungen auf dem
Michaelisthurm in Hamburg beendig^.
Inzwischen war in dem benachbarten Kurfürstenthum Hessen eine trigono-
metrische Landesvermessung unter der Leitung des Herrn Professor Ggrung
angefangen, bei welcher die Hauptdreiecke mit ausgezeichnet guten Hülfsmitteln
und mit aller erreichbaren Genauigkeit gemessen werden sollten. Eine Ver-
bindung derselben mit den hannoverschen Dreiecken war daher um so wich-
tiger, weil dadurch diese mit den bayerischen Dreiecken in Zusammenhang
kommen mussten, und die in verschiedenen Theilen von Europa ausgeführten
DreiecksmesBungen durch ihre Verknüpfung zu Einem Ganzen in höherer
\
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 403
wissenscliaftKcher Beziehung einen vielfach erhöhten Werth erhalten. Jene
Verbindung der hannoverschen und kurhessischen Messungen wurde noch
im Spätjahr 1823 ausgeführt; letztere sind aber seitdem unvollendet geblieben,
obv^ohl so viel als zu einer nothdürftigen Verbindung der hannoverschen mit
den bayerischen Dreiecken erforderlich war, nemlich die Messung von wenigstens
zwei "Winkeln in allen zu der Verbindung nöthigen Dreiecken, im Jahre
1823 vollendet ist.
So wie nun hiedurch eine wenigstens vorläufige Verknüpfung der nord-
deutschen und süddeutschen Messungen erreicht war, musste es doppelt wichtig
erscheinen, auch eine Verknüpfung mit den grossen imter sich zusammenhän-
genden Messimgssystemen im Westen zu bewirken, und mein ursprünglicher
Auftrag erhielt deshalb eine Erweiterung, dass ich auch noch einen Übergang
von meinen Gradmessungsdreiecken zu den KRAYENHOFFSchen Messungen aus-
führen sollte. Ich führte deshalb in den Jahren 1824 und 1825 zu diesem
Zwecke ein neues Dreieckssystem von Hamburg bis Jever, wodurch also der
Zusammenhang mit den niederländischen, französischen und englischen Drei-
ecken bewirkt ist, so dass also schon jetzt alle grossen durch den cultivirtesten
Theil von ganz Europa sich erstreckenden Messungen in der That vor-
handen sind.
Da inzwischen die dänische Gradmessung noch unvollendet geblieben
war, so hielt ich für nothwendig, den astronomischen Theil meines Geschäfts
so einzurichten, dass die hannoversche Gradmessung auch als ein abgeschlos-
senes Ganzes für sich bestehen konnte.
Die Göttingische Sternwarte, welche selbst ein Hauptdreieckspunkt im
System ist, und von der aus alle Dreiecksseiten ihre Orientirung erhielten,
bildete von selbst den südlichen Endpunkt; allein ein in seiner Art einziger
Umstand kam hinzu, der auch die Wahl des nordlichen Endpunkts nicht
zweifelhaft lassen konnte: die inzwischen in Altena errichtete Sternwarte des
Herrn Professor Schumacher liegt nemlich fast genau im Meridian der Göttin-
gischen. Die von mir im Jahr 1827 an beiden Plätzen mit dem Ramsden-
schen Zenithsector gemachten Beobachtungen an 43 Sternen und die daraus
für den Breitenunterschied erhaltenen und sonstigen Resultate habe ich bereits
in einem 1828 erschienenen Werke bekannt gemacht.
Dem trigonometrischen Theil meiner Arbeit ist gegenwärtiges Werk ge-
51*
404 17ACHLASS.
widmet. Ich habe dabei aus einem doppelten Grunde für nothig gehalten,
der Darstellung alle erforderliche Ausführlichkeit zu geben.
Bei einer isolirten Breitengradmessung von massiger Ausdehnimg, die
nichts weiter als solche ist und sein soll, kann man den trigonome-
trischen Theil gewissermaassen als untergeordnet betrachten, insofern die Ge-
nauigkeit, deren die astronomischen Beobachtungen fähig sind, doch lange
nicht der bei dem trigonometrischen Theil erreichbaren Genauigkeit entspricht,
und es also nicht so unerlässlich nothwendig ist, in Beziehung auf letztere das
Höchste zu erreichen.
Bei der trigonometrischen Vermessung eines Landes ist es dagegen in
mehrem Rücksichten allerdings rathsam, die Genauigkeit in der Bestimmung
der gegenseitigen Lage der Hauptpunkte so weit zu treiben, wie es der Zu-
stand der Kunst und die Umstände nur zulassen, zumal da es dann in un-
zähligen FäUen möglich wird, hinreichend genau abgeleitete Bestimmungen
secundärer Punkte mit äusserst geringer Arbeit tmd durch Methoden zu gewinnen,
die ohne jene Voraussetzung ins Wilde fuhren würden. Wenn eine solche
trigonometrische Vermessung isolirt steht, hat fireiUch ausfuhrlichere Bekannt-
machung ihrer Bestandtheile wenigstens kein allgemeines Interesse. Allein
je mehr die in verschiedenen Theilen von Europa ausgeführten faigonome-
trischen Messungen mit einander in Verbindung kommen und nach und nach
sich einem grossen Ganzen nähern werden, desto mehr erhalten die einzelnen
Bestandtheile den Charakter eines kostbaren Gemeinguts von einem für alle
Zeiten bleibenden Werthe, und desto wichtiger wird es, alle wesentlichen Mo-
mente derselben in solcher Vollständigkeit aufzubewahren, dass ihre Zuver-
lässigkeit im Ganzen wie im Einzelnen stets geprüft werden könne.
Ein zweiter Beweggrund zur Ausführlichkeit lag in der Eigenthüm-
lichkeit der, sowohl bei den Messungen selbst, als bei ihrer Verarbeitung zu
Resultaten, von mir angewandten Methoden, welche von den sonst üblichen
zum Theil gänzlich verschieden sind, imd deren Darstellung ein Hauptzweck
dieses Werks sein soUte. Ohne Zweifel ist die Verbindung einer Darstellung
dieser Methode im allgemeinen, mit einer fortlaufenden Anwendung auf ein
ausgedehntes Messungssystem, das geeignetste Mittel, die Natur derselben in
ihr wahres Licht zu setzen, und denjenigen, welche sich derselben in Zukunft
zu ähnlichen Messungen bedienen wollen, diese Anwendung zu erleichtem.
ZUR HANNOTERSCHEN TRIANGULATION. 405
Erster Abschnitt.
Anordnung der Messungen im allgemeinen.
1.
Der Landstrich von Göttingen bis Hamburg ist in seinem südlichen und
nordlichen Theile von sehr ungleicher BeschaflPenheit. Jener ist gebirgig, und
die Berge sind auf ihren Gipfeln meistens mehr oder weniger bewaldet, und
die meisten Ortschaften liegen so, dass ihre Thürme eine weite Aussicht ent-
weder gar nicht oder höchstens nach Einer Seite darbieten. Der nördliche
Theil hingegen ist flach, vielfach mit Waldung durchschnitten, welche die
Benutzung einzelner Anhöhen von geringer Höhe sehr erschwert, und oft
ganz unthunlich macht ; und an Ortschaften mit Thürmen, die sich zu Dreiecks-
punkten eigneten, fehlt es auf dem grössten Theile dieser Strecke gänzlich.
2.
Unter diesen Umständen liess sich voraussehen, dass auf natürliche Drei-
eckspunkte fast gar nicht zu rechnen, sondern an den meisten Dreieckspunkten
entweder eigene Signalthürme zu erbauen, oder auf andere künstliche Mittel
zu ihrer Sichtbarmachung Bedacht zu nehmen sein würde.
Ein Hauptumstand in dieser Beziehung ist die Grösse, welche man den
einzelnen Dreiecken zu geben beabsichtigt. Es ist klar, dass bei einer sehr
ins Grosse gehenden, z. B. einen ganzen Welttheil umfassenden Messung, es,
allgemein zu reden, für die Genauigkeit des Ganzen am vortheilhaftesten sein
würde, die Dreiecke so gross wie nur möglich zu machen, und dasselbe gilt
dann auch für eine Messung von kleinerm Umfang, insofern man sie als einen
Bestandtheil eines solchen grossem Systems betrachtet. Allein diese Be-
hauptung bleibt nur insofern wahr, als man voraussetzt, die Winkel in den
grössten Dreiecken seien mit derselben, wenigstens mit einer nicht erheblich
geringem Schärfe zu messen, wie die in kleinen Dreiecken, und diese Be-
dingung findet freilich bei der Anwendung von Kirchthürmen oder künstlichen
Signalthürmen keinesweges statt, und die Augenblicke, wo dergleichen Gegen-
stände in sehr grossen Entfernungen die grösste Schärfe und Sicherheit in den
Messungen verstatten, sind äusserst selten.
[Auszüge ans Berichten über die Triangalirang an das hannorersche
Cabinet« - Ministerium.]
[Aas einem Bericht vom 7. Januar 1S22 ȟber die Arbeiten im Jahre l$2lf.]
Von den Tielfacbea Operationen, welche za einer Gradmessimg gehören,
ist die Bildung des Dreiecksnetzes und die Messung der Winkel diejenige,
welche bei weitem die mekte Zeit und Arbeit erfordert. Bei der hannover-
schen Gradmessung muss dies Dreiecksnetz im Norden bei Hamburg sich an
die dänischen Messungen anschUessen: im Süden ist zwar die GSttinger Stern-
warte der eigentliche natürliche Endpunkt der Gradmessung an sich ; allein
damit diese auch der weitem Ausdehnung nach Süden fähig werde, ist es zu-
gleich sehr wesentlich, sie an diejenigen fremden Messungen anzuschliessen,
welche das Königreich Hannover auf der Südseite berühren. In diesem Falle
befinden sich die von der königL preusaischen Regierung veranstalteten und
mit grosser Sorgfalt angeführten Messungen, so wie gegenwärtig auch in Kur-
hessen eine grosse mit aller erreichbaren Genauigkeit auszuführende Triangu-
lirung beabsichtigt wird.
Die erwähnten preussiscben Messungen, so weit sie bisher gediehen waren,
wurden mir im vorigen Winter mitgetheilt; ausserdem hatte ich Gelegenheit,
einen Theil der von dem französischen Obersten Epaillt im Jahr 1804 u. f.
im Hannoverschen, und namentlich im südlichen Theil, gemachten Messungen
zu erhalten. Der Besitz dieser tmd einiger anderer Hül&mittel, welche bei
der ersten Auswahl der Dieieckspunkte einige Erleichterungen geben konnten,
sowie die Erwägung, das» manchen kleinen von dem Anfang solcher Opera^
tionen unzertrennlichen Schwierigkeiten und Verlegenheiten immer schneller
und leichter in der Nähe von Göttingen würde abgeholfen werden können,
bestimmten mich, die Triangulirung auf der Südseite anzufangen.
Schon im Jahre 1820 hatte ich angemessene Einleitungen getroffen, um
mir die erforderlichen Instrumente zu verschaffen- hier erwähne ich nur der-
I
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 407
jenigen, welche sich unmittelbar auf den geodätischen Theil der Gradmessung
beziehen. Zu den eigentlichen Winkelmessungen hatte ich bei Eeichenbach
(dessen Werkstatt sein ehemaliger Werkmeister Ertel gegenwärtig ganz über-
nommen hat) einen zwölfzölligen Theodolithen bestellt, dessen Vollendung und
Ablieferung auf das Frühjahr 1821 zugesagt war. Einen kleinem Theodolithen
von dem englischen Künstler Troughton hatte ich durch die gefallige Be-
sorgung des Professors Schumacher bereits in Händen.
Eine besondere Vorsorge erforderten die Hülfsmittel, die Dreieckspunkte
in sehr grossen Entfernungen sichtbar zu machen. Da es meine Absicht und
von grosster Wichtigkeit war, die Dreiecke so gross wie möglich zu wählen,
so blieb bei der Beschaffenheit des Landstriches, durch welches sie zu fuhren
sind, keine Hoffnung, dass viele Kirchthürme als Dreieckspunkte würden be-
nutzt werden können. Besonders gebaute Signalthürme sind bisher das in
solchen Fällen am meisten angewandte Mittel gewesen: indessen kommen in
der Ausübung nicht selten Fälle vor, wo auch dieses Mittel unzureichend
wird, indem solche Signalthürme (ebenso wie die Kirchthürme) in grossen
Entfernungen, da, wo sie nicht gegen den Himmel, und besonders da, wo sie
sich gegen nahen dunkelfarbigen Hintergrund projiciren, immer sehr schwer
zu sehen, und noch viel schwerer zu beobachten sind*). Andere Beobachter
haben aus diesen und andern Gründen häufig (einige ausschliesslich) die
Winkelbeobachtungen bei Nacht angestellt, indem sie die entfernten Dreiecks-
punkte durch grosse AROANDSche Lampen mit sehr genau parabolischen Rever-
beres sichtbar machen Hessen. Freilich haben diese nächtlichen Beobachtungen
wieder andere grosse Schwierigkeiten und Inconvenienzen , und besonders bei
sehr grossen Dreiecken muss gewöhnlich eine gelungene Beobachtung erst mit
vielen vergeblichen Versuchen gleichsam erkauft werden Wenn ich
daher gleich nicht geneigt war, mich dieser Beobachtungsart ausschliesslich
zu bedienen, zumal da meine physischen Kräffce den Beschwerden eines be-
ständigen nächtlichen Aufenthalts auf meistens hohen und schwer zugänglichen
Bergen schwerlich gewachsen gewesen sein würden, so musste ich mich doch.
*) Meine eigene Erfahrung im yoiigen Sommer hat dies vielfach beitätigt. So habe ich z. B. während
meinet ganzen mehr als yierwöchentlichen Aufenthalts auf dem Brocken den auf dem Hils erbauten 7^
Meilen entfernten Signalthurm nur ein- oder zweimal auf wenige Minuten, die Kirchthürme des 13 Meilen
entfernten Hannover |iuch nicht ein einziges Mal sehen können, ungeachtet die Richtung genau bekannt war.
408 NACHLASS.
da kein anderes Mittel bisher bekannt war, im voraus gefasst halten, das-
selbe wenigstens in manchen einzelnen Fällen zu gebrauchen, und ich hatte
daher vorläufig drei solcher Lampen bei Repsold in Hambui^ und bei Körner
in Jena bestellt. Diese Lampen erhielt ich im Mai 1821, und ihre Wirkung
bei den in schicklichen Entfernungen damit verschiedentlich angestellten Ver-
suchen hat auch meiner Erwartung entsprochen.
Indem mir alle die erwähnten grossen Schwierigkeiten bei Bildung grosser
Dreiecke nach fremden Erfahrungen, noch ehe ich eigene gemacht hatte, vor-
schwebten, war ich auf ein ganz neues Mittel bedacht, ihnen abzuhelfen.
Theoretische Untersuchungen hatten mich überzeugt, dass reflectirtes Sonnen-
licht von nur ganz kleinen Planspiegeln hinreichende Kraft habe, um in den
grossten Entfernungen sichtbar zu sein, und sich viel leichter und besser be-
obachten zu lassen, als alle Thürme und Signale, ja selbst besser, als mehrere
zusammengestellte AROANDSche Lampen bei Nacht. Um diese Idee brauchbar
zu machen, bedurfte es eines besondem Apparats oder Instruments, wodurdi
man das reflectirte Sonnenlicht mit grosster Genauigkeit und Sicherheit un-
unterbrochen nach jedem beliebigen noch so weit entfernten Funkte lenken
kann. Obgleich ich die Einrichtung zu diesem Zweck im wesentlichen schon
vollständig entworfen hatte, war es doch nicht leicht, dasselbe ausgeführt zu
erhalten, zumal wenn dies durch einen auswärtigen Künstler hätte geschehen
sollen, wo der Vortheil fortwährender mündlicher Berathung bei einzelnen
technischen Schwierigkeiten weggefallen wäre, und die Vollendung daher zum
wenigsten sehr in die Länge gezogen sein würde. Diese Verlegenheit näherte
sich jedoch ihrer Erledigung, als unser geschickter Inspector Rumpf, welcher
während eines grossen Theils des Winters von hier abwesend gewesen war,
gegen Ostern nach Göttingen zurückkehrte, und bald nachher die Arbeit eines
solchen Instruments übernahm
Bei der hannoverschen Grradmessung ist es ein besonders wesentlicher und
wichtiger Umstand, dass die ersten von der hiesigen Sternwarte auslaufenden
Dreiecksseiten durch die festen Meridianinstrumente der Sternwarte selbst
auf das genaueste orientirt werden können. Die Aussicht der Sternwarte in
der Richtung des Meridians war zwar ursprünglich weder auf der Nordseite
noch auf der Südseite offen, imd wenn diesem Mangel nicht abzuhelfen ge-
wesen wäre, so wäre nicht allein jener höchst wichtige Vortheil gar nicht
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 409
vorhanden gewesen, sondern es wäre dies auch auf immer ein wesentlicher
Hadicalfehler hei der Wahl des Platzes der Sternwarte gehliehen. Glück-
licherweise war aber die eine Hälfte dieser Schwierigkeit bereits überwunden;
die vorher durch die Gärten vor Göttingen versperrt gewesene Aussicht nach
Norden hatte ich schon im Herbst 1820 geöffnet, und auf einem Berge un-
weit Weende ein provisorisches Meridianzeichen errichten lassen. Viel grösser
waren hingegen die Schwierigkeiten auf der Südseite des Meridians, wo eine
dichte hohe drei Stunden entfernte Waldung die Aussicht begrenzte. Dies
Hindemiss musste wo möglich überwunden werden
Während dieser Zeit hatte der Inspector Rumpf schon fleissig an dem
oben erwähnten Instrument gearbeitet, welches ich fortan mit dem ihm bei-
gellten Namen Heliotrop bezeichnen werde. Allein noch vor dessen Voll-
endung war ich auf die Idee gekommen, einen blossen Spiegelsextanten zu
einer Art Viceheliotrop einzurichten, freilich viel unvollkommener, als jenes
Instrument selbst, aber doch bei geschickter Behandlung gleichfalls brauchbar.
Die damit schon auf Entfernungen von beinahe 2 Meilen angestellten Ver-
suche bestätigten die enorme Kraft des reflectirten Sonnenlichts fast über
meine Erwartung
[Aus einem Bericht vom 31. Januar 1823 ȟber die Arbeiten der Grad-
messung im Jahre 1822«.]
Im Jahre 1821 war die Triangulirung , als der ausgedehnteste Theü des
ganzen Geschäfts, eingeleitet, und die Messungen an fünf Dreieckspunkten
vollfuhrt, nemlich in der Göttinger Sternwarte, beim Meridianzeichen, auf dem
Hohehagen, Hil« und Brocken. Behuf der weitem Fortsetzung waren femer
vier weiter nördlich liegende Punkte ausersehen, nemlich Lichtenberg, der
Deister, der Wohlenberg im Amte Gifhom, und ein Berg bei BreUngen
in der Amtsvoigtei Bissendorf. Ich selbst hatte jedoch diese Funkte noch
nicht besucht, und es blieb bei einigen derselben noch problematisch, ob sie
sich zu Dreieckspunkten qualificiren würden: dies musste erst entschieden
werden, ehe der Plan zu den ersten Arbeiten des Jahrs 1822 gemacht werden
konnte.
nr. 52
410 NACHLASS.
Allein dies war nur der kleinste Theil der nothwendigen Präliminar-
Untersuchungen. Die Operationen näherten sich nun der Lüneburger Heide,
einem ganz flachen Lande, wo der Mangel dominirender Funkte und die fast
unzählbaren grossem und kleinem Holzungen, welche es schachbrettartig be-
decken, die Bildung von einigermaassen beträchtlichen Dreiecken ausserordent-
lich erschweren. Ich kannte diese Schwierigkeiten bereits aus den Berichten
des französischen Obersten Efaillt, der im Jahr 1804 und 1805 die franzö-
sischen Messungen im Kurfiirstenthum Hannover geleitet hatte: dieser Inge-
nieur hatte die Schwierigkeiten des Terrains fiir so gross angesehen, dass er
die Bildung eines Dreieckssystems von der Aller bis zur Elbe für unmöglich
erklärt, und daher die Verbindung auf einem ungeheuer grossen Umwege,
nemUch durch Dreiecke längs der Weser bis zu ihrer Mündung und dann
wieder die Elbe herauf bis Hamburg, efifectuirt hatte, ein Verfahren, das
höchstens als Nothbehelf bei einer Landesvermessung, aber durchaus nicht
bei einer Gradmessung zulässig sein könnte.
Diese Umstände machten vor dem Anfange der eigentlichen Messungs-
operationen eine Recognoscirungsreise nothwendig. Diese Reise, bei welcher
ich von meinen drei Gehülfen nur den Hauptmann Muller mit zuzog, be-
schäftigte mich vom 28. April bis 1. Junius, und ich führe, das Detail der
mühsamen Untersuchungen hier übergehend, nur die Hauptresultate der-
selben an.
Der Brelingerberg wurde zur Verbindung unbrauchbar befrinden; dies
wurde aber mehr als ersetzt durch die glückliche Entdeckung, dass zwei neue
noch nördlicher liegende Punkte, ein hoher Acker bei Garssen und der Falken-
berg, jener fast eine Meile nordöstlich von Celle, dieser eine Meile nordwest-
lich von Bergen entfernt, sich beide unmittelbar mit Lichtenberg und mit dem
Deister verbinden liessen : dadurch wurde der Wohlenberg überflüssig, und die
ersten Messungsarbeiten waren nun bestimmt und sicher festgesetzt. In Rück-
sicht auf das weitere Fortschreiten nach Norden fand ich allerdings die
Schwierigkeiten so gross, wie ich erwartet hatte ; jedoch war es mir auch ge-
lungen, gleichsam im Herzen der Heide die Ausführbarkeit zweier guter Drei-
ecke zwischen den vier Funkten Falkenberg, Hauselberg (in der Amtsvoigtei
Hermannsburg), Wulfsode (im Amt Ebstorf) und Wilsede (an der äussersten
südwestlichen Grenze des Amts Winsen an der Luhe) festzustellen. Es zeigte
ZUR HANNO YERSCHSN TRIANGULATION. 41 1
sich femer die Möglichkeit, den Falkenberg mit Wilsede vermittelst eines
Dnrchhaus dnrch das Becklinger Holz zu verbinden, und die Hoffnung, dass
die beiden Funkte Hauselberg und Garssen vermittelst eines oder einiger
Zwischenpunkte und einiger Durchhaue durch die Waldungen, welche sie
scheiden, würden verknüpft werden können. Allein rücksichtlich solcher
Durchhaue, ohne welche in diesen Gegenden schlechterdings nicht durchzu-
kommen ist, glaubte ich mir zwei Gesetze auflegen zu müssen; erstlich, so
viel ii^end möglich, allen edlem Holzarten (als Eichenwäldern) auszuweichen,
und zweitens die Richtung der Durchhaue vorher mit ausser ster Fräci-
sion zu bestimmen, so dass sie so schmal wie möglich ausfallen sollten, und
auch nicht Ein Stamm ohne Noth gefallt zu werden brauchte. Um aber
dies zu erreichen, mussten schon sehr scharfe Messungen, die zum Theil
künstlich arrangirt und combinirt werden mussten, vorangehen, und diese
Hessen sich mit Genauigkeit und mit dem möglich geringsten Zeitaufwand erst
dann ausfuhren, wenn die Hauptmessungen erst selbst bis in diese Gegend
vorgerückt waren, und ich darf hier im voraus bemerken, dass ich diese
Zwecke späterhin auch zu meiner vollkommensten Zufriedenheit erreicht habe.
Die Zwischenzeit von der Rückkehr von der Recognoscirungsreise bis
zum eigentlichen Anfang der Messungsoperationen verwandte ich dazu, die
Instmmente ganz in gebrauchfertigen Stand zu setzen, alles nöthige vorzu-
bereiten, und dem Hauptmann Müller und dem Lieutenant Hartmann die-
jenigen Instructionen zu geben, die zu einem vollkommenen Ineinandergreifen
der Operationen erforderlich waren. Am 1 6. Junius trat ich die Reise nach
Lichtenberg, dem ersten in diesem Jahre vorzunehmenden Dreieckspunkte an,
wohin mein Sohn mit einem Theile der Instrumente schon vorausgereist war.
Die wirklichen Messungsarbeiten haben in diesem Jahre vier Monate ge-
dauert, nemlich bis Mitte Octobers, und während dieser Zeit sind neun
Hauptdreieckspunkte absolvirt: im Jahr 1821 konnten in einer nicht viel
kurzem Zeit nur fünf vorgenommen werden; dies so viel raschere Fort-
schreiten ist hauptsächlich der Vermehrung der Zahl der Gehülfen und der
Heliotrope zuzuschreiben; allein noch wichtiger ist der daraus erhaltene Ge-
winn in der Vergrösserung der Genauigkeit der Messungen selbst
Der Zweck der Triangulirung, als Theil der Gradmessung, ist, die Göttinger
Sternwarte durch ein zusammenhängendes System von Dreiecken mit den däni-
52*
412 NACHLAB8.
sehen Dreiecken zu veibinden, und dazu war es am Tortheilhaftesten, die Drei-
ecke 80 gro88 wie möglich einzurichten, und die Dreieckspunkte im allgemeinen
auf den höchsten Stellen, die die weiteste Aussicht gewähren, zu wählen.
Diese Funkte haben an und fiir sich grösstentheils kein unmittelbares Interesse
iur die Geographie des Königreiches. Ich habe aber überall, neben dem
Hauptzwecke, meine Operationen für diese nach Möglichkeit nützlich zu
machen gesucht. Die Lage aller örter, die von mehr als einem Hauptdrei-
eckspunkte sichtbar waren, habe ich sorgfaltig bestimmt, manche mit einer
Genauigkeit, die der in der Lage der Hauptdreieckspunkte gleich kommt. Ich
nenne davon die Städte Hannover, Braunschweig, Celle, Lüneburg, Neustadt
am Rübenbei^e, Burgdorf. Die Anzahl der Dörfer, deren Lage ich bestimmt
habe, ist sehr gross. Die Bahn ist gebrochen, diese Emdte über einen
grossem Theil des Königreichs, oder über das ganze, auszudehnen
[Aus dem Bericht vom 16. Februar 1825 ȟber die im Jahre 1824
ausgeführten trigonometrischen Arbeiten.«]
Resultate: Der Bericht und die beigefugte Karte zeigen, dass
die Arbeiten des Jahres 1824 mehrfache Übei^nge von den Dreiecken der
frühem Jahre bis Bremen darbieten; der einfachste [die Dreiecke Wilsede-
Falkenberg-Elmhorst, Wilsede-Elmhorst-Litbei^, Wilsede-Litbei^ -Hamburg,
Wilsede-Litberg-Zeven, Wilsede-Zeven-Steinberg und Zeven-Steinberg-Bremen
umfassend '^)] ist mit starken vollen Linien gezeichnet, und zwei neue Drei-
ecke [Zeven-Bremen-Brillit und Brillit-Bremen-Garlste] sind noch an die Seite
Bremen-Zeven angeknüpft. Wäre es möglich gewesen, jenes einfachste System
gleich anfangs ausfindig zu machen, so hätten allerdings die andern mit
schwachen vollen Linien gezeichneten Dreiecke [bei denen die Funkte Buller-
berg, Bottel und Brüttendorf Eckpunkte sind] ganz wegfallen können. Allein
die Berichterstattung zeigt, nach wie vielen Schwierigkeiten der Plan zu jenem
erst ausgemittelt werden konnte, und die präcise schnelle Ausfuhrung der
verschiedenen dazu erforderlichen Durchhaue wäre gleichfalls ohne vorgangige
[*) Sieh« die Dreieokitkuie auf 8. 109].
ZUR HANNOTERSCHEN TRIANGULATION. 413
schon sehr genaue Kenntniss der Lage der Plätze ganz unthunlich gewesen.
Bei dem heutigen mathematischen Zustande der hohem Geodäsie dürfen übri-
gens auch die letztem Dreiecke, die schwach gezeichneten, keinesweges als
überflüssig betrachtet werden : vielmehr muss ihre nach ganz bestimmten Prin-
cipien anzustellende Berücksichtigung mit dazu beitragen, die Schärfe der End-
resultate zu vergrössem
Endlich ist es auch noch von grosser Wichtigkeit, dass durch die drei
Dreiecke zwischen den fünf Punkten Falkenberg, Elmhorst, Wilsede, Litberg,
Hamburg ein neuer Übergang von den südlichen Dreiecken im Königreich
Hannover bis Hamburg erreicht worden ist, welcher vor den frühem um
vieles complicirtem [über Hauselberg, Wulfsode, Timpenberg, Nindorf und
Lüneburg] vorzuziehen ist, und daher nach den vorhin angedeuteten Grund-
sätzen die Genauigkeit der Resultate verdoppeln wird
[Aus dem Bericht vom 21. November 1827, »betreffend die weitere Ausdehnung
der Gradmessungsarbeiten.«]
Es wurden 1821 — 1823 bei Messung der Dreieckskette bis Hamburg
verausgabt 11 000 Thaler, und 1824, 1825 für die von da westlich bis Ostfries-
land geführte Dreieckskette etwa 7000 Thaler. Von diesen Kosten ist aber
abzurechnen, was wegen Anschaffung von Instrumenten und wegen Abholens
des englischen Zenithsectors von Altona nach Göttingen verausgabt ist, und
zwischen 2500 und 3000 Thalem betragen haben mag, so dass die eigentlichen
Triangulirungskosten etwa 15000 Thaler betragen haben mögen. Nun scheint
nach der Übersichtskarte der Inbegriff der noch nicht berührten Landestheile
wohl nicht viel grösser zu sein, als die mit Dreiecken bereits überzogene
Fläche, imd bei «dler üngewissheit, in der ich wegen der Schwierigkeiten des
Terrains bin, ist es doch kaum wahrscheinlich, dass sie grösser sein können,
als diejenigen, womit ich besonders 1822 und 1824 zu kämpfen gehabt habe.
Wenn ich nun ausserdem bemerke, dass die Operationen, deren Hauptzweck
die Vervollkommnung der Landes - Geographie ist, auch bei einer würdigen
Ausfohrung doch nicht den Grad von äusserster Schärfe der Messungen er-
fordern, welcher bei einer eigentlichen Gradmessung verlangt wird, so scheint
414 NACHLASS.
die HoflTnung nicht ungegründet, dass die Erweiterung der Triangulirung über
die noch nicht berührten Theile des Königreichs sich mit einer geringem
Summe und vielleicht mit 12000 Thalem bestreiten lassen werde*).
Um nun aber eine solche Triangulirung fiir die Vervollkommnung der
Geographie möglichst nützlich zu machen, wird man sich nicht darauf ein-
schränken müssen, bloss Netze von Hauptdreiecken der ersten Ordnung über
die betreffenden Landestheile auszuführen, sondern damit die Bestimmung der
Lage einer möglichst grossen Anzahl secundärer Funkte verbinden, nament-
lich solcher, die scharfe Bestimmungen zulassen, und in der Kegel Jahrhun-
derte dauern, also besonders der Eirchthürme. Ich habe mir diese Rücksicht
schon bei den frühern Messimgen zur Pflicht gemacht, obwohl sie dem Haupt-
zweck untergeordnet bleiben musste, und die Anzahl der bei jenen Messungen
bestimmten Punkte beträgt schon über 500
Diese Angabe der Lage einer grossen Anzahl fester Punkte in Zahlen
(wie viel nemlich nördlich oder südlich, westlich oder östlich, von einem be-
liebigen Anfangspunkte, z. B. der Göttinger Sternwarte), bis auf wenige
Fuss genau, muss als die Hauptausbeute der Operationen in topographischer
Rücksicht betrachtet werden. Sie behält auf Jahrhunderte einen bleibenden
Werth, insofern die Mehrzahl der Punkte bleibt, wenn auch im Laufe der
Zeit einige untergehen, und die dadurch etwa entstehenden Veränderungen
sind leicht zu ergänzen. Sie bildet eine sichere Grundlage für alle Detail-
aufnahmen : alle die Unsicherheiten, welche Aufnahmen ohne solche feste An-
haltspunkte erschweren, entsteUen und ihre Vereinigung zu einem fehlerfreien
Ganzen unmöglich machen, fallen dabei ganz weg; nachlässige Arbeiter er-
halten dadurch eine strenge unausweichliche Controlle; jede Messtischplatte
wird unabhängig von der andern bearbeitet, kein Fehler pflanzt sich also auf
andere Blätter fort; endlich vereinigen sich alle einzelnen Blätter von selbst
zu einem genau orientirten und überall zusammenpassenden Ganzen. Es ist
einleuchtend, dass die grossen Kosten, welche Detailaufhahmen von bedeutendem
Umfange allezeit machen, durch einen solchen sichern Gang in einem hohen
Grrade vermindert werden müssen ; aber dieser sichere Gang ist es nicht allein,
*) Die im laufenden Jahr 1837 erforderlichen Kosten kommen hiebei nicht in Betracht, da ihr Gegen-
stand zu dem rein astronomischen Theile der Gradmessung gehört.
ZUB HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 415
was die Arbeit beschleunigt; sehr wichtig ist in dieser Beziehung auch der
Umstand, dass der Gebrauch der Messkette dadurch fast ganz überflüssig und
nur ausnahmsweise nöthig wird, da die Triangulirung die Gnmdlinien schon
von selbst gibt, und mit einer Schärfe, welche die gewöhnliche Kette gar
nicht einmal geben könnte.
Allein auch, wo schon Detailaufiniahmen vorhanden sind, wie bei den
meisten Ämtern des frühem Bestandes des Königreiches, bieten die festen
Funkte das Mittel dar, die aus der Zusammensetzung entstandenen Fehler zu
berichtigen, und dadurch selbst Karten, die sich auf unvollkommene Auf-
nahme-Methoden gründen, wenn sie sonst im kleinen Detail gut sind, zu Dar-
stellungen umzuarbeiten, die auch hohem Anforderungen Genüge leisten können.
Was demnach die Maassregeln betrifft, um die Triangulirungen zur Ver-
vollkommnung der Geographie möglichst nützlich zu machen, so sind dabei
die bereits ausgeführten Messungen von den eventuell über andere Landes-
theile künftig zu erstreckenden zu unterscheiden.
Bei letztem wird die Gewinnung genauer Bestimmung einer möglichst
grossen Anzahl fester Punkte gleich als Hauptzweck berücksichtigt werden
müssen.
Bei den bereits ausgeführten Messungen hingegen ist allerdings diese
Rücksicht nur als untergeordnet betrachtet gewesen ; allein da ich, wie schon
erwähnt, dieselbe doch stets im Auge gehabt habe, so viel, ohne das Haupt-
geschäft zu hemmen, geschehen konnte, so müssen hinsichtlich des Erfolges
hier abermals die nördlichen Gegenden von den südlichen unterschieden werden.
In der nördlichen (grossem) Hälfte, d. i. etwa von der Stadt Hildesheim
an bis zum Meere, also in dem flachen Theile des Landes, ist die Ausbeute in
der erwähnten Beziehung so ergiebig gewesen, dass wenig oder nichts zu
wünschen übrig bleibt
In dem südlichsten Theil des Königreichs hingegen ist die Anzahl der
scharf bestimmten Kirchthürme viel kleiner, da theils wegen der Grösse der
Dreiecke, theils wegen der gebirgigen Beschaffenheit des Landes nur wenige
Thürme von mehr als Einem Hauptdreieckspunkte aus zugleich sichtbar waren.
Für die Vervollkommnung der Geographie des Königreichs, und namentlich
um einer Detailaufhahme der südlichen Theile des Hildesheimschen und des
Eichsfeldes ähnliche sichere Ghrundlagen zu verschaffien, würde es daher aller-
416 NACHLASS.
dings wichtig sein, die südlichen grossen Dreiecke noch in mehrere kleinere
zu zerlegen, und durch Messungen an neuen eingeschalteten Standpunkten
sichere und zureichende Grundlagen für jene Aufnahmen zu gewinnen. Auf
die Kosten dieser Operationen habe ich bei der obigen Schätzung keine
Rücksicht nehmen können: ihre Veranschlagung würde fast noch misslicher,
aber auf jeden Fall köimen sie doch, vei^leichungsweise gegen die Kosten
neuer grosser Triangulirungen in den noch nicht berührten Landestheilen, nur
klein sein.
Dass es übrigens in Zukunft wünschenswerth sein wird, die Resultate der
Lage aller scharf bestimmten Funkte, wenn sie erst ein geschlossenes Ganzes
bilden, öffentlich bekannt zu machen, brauche ich nicht zu bemerken. Von
dem eigentlich rein wissenschaftlichen Theile der bisherigen Messungen ver-
steht sich dies ohnehin von selbst
[Aus dem Bericht vom 26. Junius 1828, »die Fortsetzung der Gradmessungs-
arbeiten betreflPend.«]
Da die Detaüaufhahme der noch nicht vermessenen Landestheile
auf die trigonometrischen Operationen gegründet werden soll, imd beide Ge-
schäfte rücksichtlich der zu verwendenden Geldmittel von einander abhängig
sein werden, so war zuvörderst eine ungefähre Überschlagung der Gesammt-
kosten erforderlich. Nach einer mir vom Herrn Geh. Cabinetsrath Hoppen-
STEDT mitgetheilten Notiz würde der Flächeninhalt der im Detail au&u-
nehmenden Landestheile etwa 144 Quadratmeilen betragen; die Kosten der
Detailaufnahme durch Generalstabsof&ciere werden auf 200 — 250 Thaler fur
jede Quadratmeile geschätzt, wozu noch etwa 21 Thaler wegen der Copirungs-
kosten der Karte in 4 Exemplaren hinzu zu rechnen sein würden. Würden also
zusammen 250 Thaler auf die Quadratmeile gerechnet, so würden diese Kosten
etwa 36000 Thaler, folglich mit Inbegriff der Triangulirungskosten in den
von der Gradmessung noch nicht berührten Landestheilen gegen 50000 Thaler
betragen. Es möchten dazu noch ein oder ein paar tausend Thaler zu rechnen
sein wegen der Operationen, die erforderlich sein werden, um innerhalb der
grossen südlichen Dreiecke der Gradmessung eine hinlänglich grosse Anzahl
ZUB HANNOVEESCHEN TRIANGULATION. 41 7
fester Punkte für die Detailaufnahme festzulegen, worüber ich mich bereits
früher in der im November vorigen Jahres eingereichten Eingabe ausführlicher
erklärt habe. Es würde daher, wenn zu diesen Geschäften jährlich wirklich
5000 Thaler verwendet werden können (was ausser den Geldmitteln auch
von der steten Disponibilität des Personals abhängen wird), zur völligen Vol-
lendung ungefähr ein Zeitraum von 10 Jahren erforderlich sein.
Nach einem von mir selbst früher gemachten, obwohl vielleicht minder
zuverlässigen Überschlage wäre der Flächeninhalt der im Detail aufzunehmen-
den Landestheile 173 Quadratmeilen; danach würde der Überschlag für den
Kostenaufwand etwa 7000 Thaler grösser und die Zeitdauer 1 bis 2 Jahr
länger ausfallen, und so würde auch, wenn die bestimmten 5000 Thaler
nicht als alljährlich wirklich oder im Durchschnitt zu verwenden, sondern nur
als jedesmaliges Maximum zu betrachten sind, eine verhältnissmässige Ver-
längerung der Dauer des ganzen Geschäfts die Folge sein.
Was die Eintheilung der trigonometrischen Arbeiten auf die einzelnen
Jahre betriflPt, so möchte es, um diese als Grundlage der Detailaufnahme
schneller vollenden zu können, rathsam sein, anfangs den grossem Theil der
Geldmittel auf dieselbe und den kleinem auf die Detailaufnahme, vielleicht
in dem Verhältniss von |- zu ^, zu verwenden: letztere würde dann in den
spätem Jahren, wo überall eine sichere Grundlage vorhanden ist, wo die Ar-
beiter nach und nach immer mehr eingeübt sind, imd wo die Geldmittel
allein darauf verwendet werden können, eines um so raschem Fortschreitens
gewiss sein. In Beziehung auf die Anordnung der Reihenfolge der trigono-
metrischen Arbeiten ist, wie die Sachen gegenwärtig stehen, weiter kein
Grund vorhanden, eine der andern vorzuziehen, als dass nur darauf gesehen
werden muss, dass die gleichzeitige Detailaufiiahme stets mit hinreichendem
Stoff an zuverlässig bestimmten Funkten versehen sei, damit dieselbe niemals
in Gefahr komme, aus Mangel an solchem in Stocken zu gerathen. Eine
speciellere Bestimmung möchte wohl für denAugenblick, theils unthun-
lich, theils unnöthig, theils nicht einmal rathsam sein, weil ein gewisser Grad
von Freiheit, das den jedesmaligen Umständen nach zweckmässigste zu bear-
beiten, dem schnellem imd bessern Fortschreiten nur förderlich sein kann.
IX. 53
418 NACHLASS.
Historischer Bericht
über die von dem Hofrath Gauss theils ausgeführten, theils geleiteten
Messungen im Königreich Hannover.
Die verschiedenen Messungsarbeiten, von welchen ich hier einen kurzen
historischen Bericht abzustatten habe, sind zwar unter einander enge verknüpft,
haben aber ungleiche Zwecke und ungleichen Charakter. Es wird am über-
sichtlichsten sein, sie nach der Zeitfolge der Aufträge zu ordnen, denen ge-
mäss ich sie auf mich genommen habe.
I. Die hannoversche Gradmessung.
Durch Rescript vom 30. Junius 1820 wurde ich beauftragt, eine Grad-
messung durch das Königreich Hannover auszuführen, als eine Erweiterung
oder Fortsetzung einer nicht lange vorher angefangenen ähnlichen Arbeit in
den dänischen Staaten. Man versteht unter jener Benennung diejenigen, theils
astronomischen, theils trigonometrischen Operationen, wodurch die Grösse
eines Meridiangrades in einem bekannten Längenmaasse (Fuss, Toise, etc.) be-
stimmt wird. Man wählt zu dem Ende zwei hinlänglich von einander ent-
fernte Punkte in einerlei Meridian, bestimmt die Länge des zwischen ihnen ent-
haltenen Bogens in Füssen, etc. durch ein zwischen ihnen geführtes Dreiecks-
netz, imd die Anzahl von Graden, Minuten und Secunden, welche demselben
Bogen entsprechen, durch astronomische an den Endpunkten angestellte Be-
obachtungen, woraus man dann auf die Länge Eines Grades zurückschliesst.
Es erhellt hieraus, dass eine Gradmessung, als solche, nur die rein
wissenschaftliche Tendenz hat, einen Beitrag zur mathematischen Kenntniss
der Verhältnisse des Erdsphäroids zu geben, die nach den Anforderungen des
Jahrhunderts eine viel grössere Schärfe und eine viel grössere Zahl von Grad-
messungen nothwendig macht, als womit man früher sich begnügen musste.
Es erhellt femer hieraus, dass eine Grradmessung aus zweien sehr heterogenen
Theüen besteht, einem trigonometrischen und einem astronomischen. Ohne
hier in ein weiteres Detail einzugehen, will ich nur bemerken, dass ich den
(2 5 Hauptdreiecke von Göttingen bis Hamburg umfassenden) trigonometrischen
Theil in den Jahren 1821, 1822, 1823, und den astronomischen im Jahr 1827
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 419
ganz yoUendet habe, und dass der letztere sowie die Endresultate in einem
1828 von mir herausgegebenen Werke »Bestimmung des Breitenimterschiedes
zwischen den Sternwarten von GOttingen und Altena durch Beobachtungen
am B<AMSDENschen Zenithsector« bekannt gemacht sind. Die Sternwarten von
Göttingen imd Altona, die durch ein einziges Spiel des Zufalls genau in
einerlei Meridian liegen, sind nemlich die Endpunkte des gemessenen Meri-
dianbogens, dessen ganze Krümmung etwas über zwei Grad beträgt.
n. Trigonometrische Verbindung der Gradmessungsdreiecke mit den Drei-
ecken der königlich niederländischen Vermessungen.
Der nächste wissenschaftliche Zweck dieser mir durch Rescript vom
8. März 1824 aufgetragenen Erweitenmg der trigonometrischen Arbeiten war,
die hannoversche Gradmessung mit der französischen und englischen in Ver-
bindung zu bringen. Diese letztem sind bekanntlich unter sich verbunden,
und an die französischen Dreiecke schliessen sich die mit vieler Sorgfalt ge-
messenen Dreiecke in den Niederlanden an, welche in der Zeit, wo Ostfries-
land mit Holland vereinigt war, bis an die östliche Grenze dieses Fürsten-
thums, weiter südlich hingegen bis nach Bentheim fortgeführt waren. Ich
hatte also die Wahl unter zwei Wegen, auf denen sich der vorgesetzte Zweck
erreichen Hess, entweder nemlich von den nördlichsten Dreiecken der Grad-
messung über Bremen nach Jever, oder von den mittlem durch Westphalen
nach Bentheim. Der erstere Weg wurde ausser andern Gründen auch des-
wegen vorgezogen, weil dadurch zugleich eine Verbindung mit der Nordsee,
und damit die Bestimmung der absoluten Höhen sämmtlicher Dreieckspunkte
über dem Meeresspiegel, erreicht werden konnte. Diese Dreiecksmessung wurde
in den Jahren 1824 und 1825 von mir ausgeführt, und damit die Zahl sämmt-
licher Hauptdreiecke auf 38[*)] gebracht.
Über diese trigonometrischen Messungen von 1821 — 1825 habe ich noch
einige Bemerkungen beizufügen, da sie sich von ähnlichen Arbeiten, wie fiiiher
in andern Ländern ausgeführt sind, in mehrem Beziehungen unterscheiden.
[*) Die Anzahl der unabhängigen Dreiecke der Oradmeasung zwischen Oöttingen und Hamburg be-
trägt 21, die Anzahl sämmtlicher unabhängigen Dreiecke der Oradmessung und ihrer Fortsetzung nach Jever
(ohne das Dreieck Hohehagen-Brooken-Inselsberg) 42; vergl. S. 297.]
53*
420 NACHLASS.
1) Durch die Anwendung der von mir zuerst eingeführten Heliotrope
wurden besondere Signalthürme entbehrlich, Dreiecke von einer früher im-
praktikabeln Grösse möglich, und eine ohne jenes Hülfsmittel nicht zu er-
langende Schärfe der Messungen erreichbar.
2) Bei der Ausfuhrung der Messungen habe ich mich nicht auf das zu
dem unmittelbaren Zwecke erforderliche 'was, wie schon bemerkt ist, zunächst
nur wissenschaftliche Tendenz hatte) eingeschränkt, sondern jene zugleich für
die Landesgeographie so fruchtbar zu machen gesucht, wie nur, ohne dem
nächsten Zwecke Abbruch zu thun, geschehen konnte. Es sind daher auch
die meisten im Bereich der Dreieckspunkte liegenden Thiirme sehr scharf
festgelegt, nicht bloss von den in den Dreieckszug fallenden Städten, wie
Göttingen, Hildesheim, Wolfenbüttel, Braunschweig, Hannover, Celle, Lüne-
burg, Harburg, Hamburg, Buxtehude, Stade, Verden, Bremen, Oldenburg,
Varel, Jever, sondern auch von vielen hundert kleinem Ortschaften, wie die
meinen Berichten über die Arbeiten von jedem Jahre beigefugten Übersichts-
karten zeigen. Dadurch sind also feste Anhaltspunkte und Grundlagen für
aUe später in den betreffenden Landstrichen vorzunehmenden Detaüaufiiahmen
gewonnen, und diese Bestimmungen erhalten dadurch einen bleibenden Werth.
3) Endlich sind diese Resultate durch eine mir eigenthümliche Behand-
lungsweise in eine solche Form gebracht, die für die eben ausgesprochene
weitere Benutzung wesentliche Vortheile darbietet.
in. Trigonometrische Vermessung der Landestheile,
welche von den Messungen 1821^1825 nicht berührt waren.
Die in den Jahren 1821 — 1825 ausgeführten Arbeiten enthielten (wenn
gleich nicht zunächst für diesen Zweck bestimmt) eine wirkliche trigono-
metrische Vermessung eines sehr beträchtlichen Theils des Königreichs Han-
nover: die allgemein anerkannten Vortheile, welche eine genaue trigono-
metrische Landesvermessung gewährt, Hessen es als wünschenswerth erscheinen,
dass hiebei nicht stehen geblieben würde. Durch Rescript vom 28. April 1828[*)]
wurde mir der Auftrag ertheilt, die weitere Erstreckung der trigonometrischen
Vermessung über alle durch die frühem Arbeiten noch nicht berührten Landes-
theile zu leiten.
[*) Das im GauBB-Archiv befindliche Rescript ist rom 14. April datiit.]
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 421
Zu gleicher Zeit wurde eine Detaüaufeiahme angeordnet, die alle Landes-
theile umfassen sollte, welche in der in den achtziger Jahren des vorigen
Jahrhunderts ausgeführten Messtischaufiiahme des vormaligen Kurfiirsten-
thums Hannover noch nicht begriffen gewesen waren. Mit der speciellen Lei-
tung dieser Detailaufiiahme wurde der Oberst Prott beauftragt; diese Arbeit
steht aber mit der trigonometrischen Vermessung insofern in unmittelbarer
Verbindung, als die Resultate der letztem zur Grundlage und zu festen An-
haltspunkten für die Messtischarbeiten dienen. Welche Leichtigkeit und
Sicherheit die Messtischarbeiten auf diese Weise gewinnen, hatte sich schon
ein Jahr zuvor bei einigen vorläufigen Detailaufiiahmen im Hildesheimschen
bewährt, obgleich damals die Ausfiihrimg durch Officiere geschah, denen
früher diese Methode fremd gewesen war. *
Was ich nun hier über die unter meine Leitung gestellte trigonometrische
Messung zu sagen habe, betrifft theils das dabei thätig gewesene Personal,
theils den Umfang der bisher vollendeten, theils endlich die nun noch rück-
ständigen Messungen.
A. Das Personal.
Zu einer trigonometrischen Messung sind zweierlei ganz verschiedenartige
Arbeiten erforderlich, die Ausfährung der Messungen an den betreffenden
Plätzen im Felde, und ihre Verarbeitung zu Resultaten durch Combination
und Calcül im Zimmer. Den zweiten Theil des Geschäfts habe ich bisher
ganz auf mich selbst genommen, den erstem hingegen denjenigen Artillerie-
Officieren übertragen, die in den Jahren 1821 — 1825 als Gehülfen mir zur
Seite gestanden und dabei Gelegenheit gehabt hatten, nicht allein mit der
Behandlung der Instrumente, sondern auch mit dem Geist und den Eigen-
thümlichkeiten der von mir angewandten Verfahrungsart vertraut zu werden.
Diese Officiere waren : der Hauptmann Muller, der damalige Premier-Lieute-
nant Habtmann, und mein ältester Sohn, gegenwärtig Premier -Lieutenant im
Artillerie -Regiment. Der Lieutenant Hartmann, welcher 1831 den Militär-
dienst gegen eine Anstellung bei der hohem Gewerbe-Schule in Hannover mit
Hauptmanns-Charakter verliess, ist im Jahre 1834 mit Tode abgegangen.
422 NACHLASS.
B. Bisher abgemachte Hauptdreiecksmessungen.
Hätten die genannten drei Officiere ununterbrochen jedes Jahr während
der ganzen tauglichen Jahreszeit sich diesem Geschäfte ausschliesslich widmen
können, so würde es längst vollendet sein. Allein mancherlei Hindemisse,
die theils durch die Dienstverhältnisse der Officiere, theils durch andere äussere
Umstände herbeigeführt wurden, sind die Ursache gewesen, dass dieselben in
einigen Jahren nur während kürzerer Zeit, in andern gar nicht daran arbeiten
konnten; es kam noch dazu, ausser dem schon erwähnten Tode des Haupt-
manns Hartmann, dass auch die fortschreitende Detailaufnahme, besonders in
solchen Gegenden, wo die Kirchthiirme mehr zerstreut liegen, immer noch
besondere Vorbereitungsmessungen erfordert, wozu auch nur einer oder der
andere jener Officiere verwendet werden konnte, dessen Zeit dann also dem
Hauptgeschäfte entzogen wurde. Folgendes ist eine summarische Übersicht
des in den einzelnen Jahren bisher geleisteten.
1828 wurde die Arbeit im Spätsommer angefangen, wo Hauptmann Muller
und Lieutenant Gauss die trigonometrische Messung des Eichsfeldes
grösstentheils absolvirten, während der Lieutenant Hartmann im Amt
Hunnesrück und einem Theil des Hildesheimschen Vorbereitungsmes-
sungen für die Detailaufhahme machte.
1829. Lieutenant Gauss machte zuerst einige Ergänzungsmessungen im Eichs-
felde. Den grössten Theil des Jahres widmete er aber der Triangulirung
in Westphalen, wo er von der Weser bis Bentheim ein Dreieckssystem
ausführte. Der Hauptmann Möller hatte an derselben Arbeit nur eine
kurze Zeit Theil nehmen können, da er bald nach dem Anfange in
Folge anderer Aufträge von dem Messungsgeschäfte abberufen wurde.
Die Arbeiten des Lieutenants Hartmann in diesem Jahre bestanden in
Vorbereitungsmessungen fiir die Detailaufiiahrae , zuerst im Hildesheim-
sehen, hernach in den Ämtern Uchte, Freudenberg und Auburg.
1830. Trigonometrische Vermessung des östlichen Theils des Lünebui^schen
durch Hauptmann Muller und Lieutenant Gauss; weitere Fortfuhrung
der im vorigen Jahre durch Westphalen gemessenen Dreieckskette bis
Ostfriesland durch Lieutenant Hartmann.
1831 konnte nur kurze Zeit den Arbeiten gewidmet werden ; Lieutenant Gauss
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 423
vollendete die Messungen im Limeburgschen, Lieutenant Hartmann die
in Ostfriesland. Hauptmann Müller nahm gar nicht Theil.
1832 fielen die Messungen ganz aus.
1833. Triangulirung des Landstrichs längs der Weser von der Gegend von
Nienburg bis Holzminden durch Hauptmann Müller und Lieutenant
Gauss; Triangulirung des Harzes durch Hauptmann Hartmann.
1834 konnte allein der Lieutenant Gauss eine auch nur sehr kurze Zeit den
Geschäften widmen, theils für Vorbereitungsmessungen fiir die Detail-
aufiiahme im Osnabrückschen , theils zur Ergänzung der vorigjährigen
Messungen an der Weser.
1835. Auch in diesem Jahre konnte nur Lieutenant Gauss auf kurze Zeit zu
weitem Vorbereitungsmessungen im Osnabriickschen abkommen, dies-
mal unter Beihülfe des Dr. Goldschmidt, Observators an der Göttinger
Sternwarte.
In den beiden folgenden Jahren konnte allein der Hauptmann Müller
sich den Messungen widmen, und zwar
1836 zur Triangulirung des Landstrichs an der Oberweser zwischen Uslar,
Göttingen und Münden;
1837 zu weitem Vorbereitungen der Detailaufiiahme im Osnabrückschen.
Ausserdem machte der Hauptmann Muller in diesem Jahr eine vor-
läufige Recognoscirung der Aller - Gegend , behuf künftiger trigono-
metrischer Vermessung derselben.
C. Noch fehlende Hauptdreiecksmessungen.
Die bisher aufgezählten trigonometrischen Messungen hängen alle unter
sich zusammen : um das ganze Königreich zu umfassen, und ein in der Haupt-
sache vollständiges Ganzes zu bilden, fehlt nur noch die trigonometrische Ver-
messung von zwei grossem Landestheilen, nemlich erstlich der Gegend rechts
und links der Aller, und zweitens dem nördlichen Theile des Bremischen; in
dem erstem Landestheile ist, wie schon erwähnt, eine vorläufige Recognoscirung
bereits ausgeführt.
Obgleich bei Arbeiten dieser Art unmöglich ist, den erforderlichen Zeit-
und Kostenaufwand mit einiger Genauigkeit vorher zu bestimmen, da das
schnellere oder langsamere Fortschreiten von so mancherlei, theils vorher nicht
424 NACHLASS.
genau bekannten, theils zufalligen Umständen abhängt (z. B. besondere Terrain-
Schwierigkeiten, oder Witterungszustand) , so ist doch mit einiger Wahrschein-
lichkeit anzunehmen, dass, wenn der Hauptmann MCller sich diesen Mes-
sungen allein zu widmen hat, er sie in zwei Sommern ganz oder doch grössten-
theils würde vollenden können.
Die eigentlichen letzten Resultate der trigonometrischen Messungen selbst
sind die Zahlen, welche die Lage der bestimmten Objecte (grSsstentheils
Kirchthürme) auf das schärfste festlegen, und daher einen bleibenden Werth
behalten. Nach ganz vollendeter Arbeit werden dieselben geordnet, und
grösserer Sicherheit wegen in mehrem Abschriften deponirt werden können,
etwa eine davon in der Sternwarte. Ob solche auch durch den Druck zu
publiciren sein werden, wird dann demnächst von höherer Entscheidung ab-
hängen. Ich kann aber nicht unbemerkt lassen, dass die PAPENSche Karte
des Königreichs, welche den vollkommensten Arbeiten dieser Art in jeder Be-
ziehung gleich kommt, und wovon 22 Blätter (also der dritte Theil des Ganzen
bereits erschienen sind, die Grundlage ihrer Genauigkeit in jenen Resultaten
hat, indem dem Lieutenant Gauss, welcher die Graduirung und die scharfe
Eintragung aller Fimdamentalpositionen bei jener Karte übernommen hat, alle
bisherigen Resultate zu diesem Zweck zu Gebote stehen.
Schliesslich will ich noch etwas über die Vorbereitungsmessungen zu
der Detailaufnahme beifugen. Die Vollendung dieser Vorbereitungsmessungen
lässt sich deswegen gar nicht im voraus bestimmen, weil sie der Natur der
Sache nach nothwendig beinahe ebenso lange noch dauern müssen, wie die
Detailaufhahme selbst. Denn jene bestehen eben darin, dass in Gegenden,
wo die durch die Hauptdreiecksmessungen bestimmten Kirchthürme zu weit
aus einander liegen und nicht zahlreich genug sind, um für jedes Messtisch-
blatt eine hinlängliche Anzahl fester Anhaltspunkte zu liefern, besondere
Signalpföhle gesetzt, und ihre Plätze noch durch kleinere Dreiecke bestimmt
werden müssen. Solchen Signalpfählen kann aber kein so sicherer Schutz
gegeben werden, dass auf ihr Bestehen für viele Jahre mit Gewissheit ge-
rechnet werden könnte. Da nun aber, wenn auch nicht gerade durch das
Abhandenkommen eines oder des andern einzelnen Signalpfahls, aber doch
ZUR HANNOYERSCHEN TRIANGULATION. 425
durch (Jas Verschwinden mehrerer, vor ihrer Benutzung zu der Messtischauf-
nahme, die ganze auf ihre Bestimmung verwandte Arbeit eine verlorne sein
würde, so dürfen dergleichen Vorbereitungsoperationen immer nur höchstens
ein oder ein paar Jahre früher unternommen werden, ehe die betreffende Ge-
gend bei der Detailaufhahme an die Reihe kommt.
Übrigens ist die Detailaufnahme selbst im Hildesheimschen , dem Eichs-
felde, dem Amt Hunnesruck, den Ämtern Freudenberg, Uchte und Auburg
vollendet, und im Fürstenthum Osnabrück bereits ziemlich weit vorgeschritten :
allein einen genauem und vollständigen Bericht darüber wird nur der Oberst
Prott geben können, zu dessen Ressort diese Arbeit gehört.
Göttingen, 8. Februar 1838.
[Aus dem Bericht vom 5. Julius 1840 ȟber die trigonometrischen Ver-
messxmgen« im Jahre 1839.]
Bei Beurtheilung der Dreieckssysteme darf nicht übersehen
werden, dass ursprünglich nicht eine allgemeine Landesvermessung beab-
sichtigt war, sondern zuerst nur eine Gradmessimg von Göttingen bis Hol-
stein, und sodann zunächst eine Erweiterung des Dreieckssystems zu einem
Anschlüsse an die KRAYENHOFFschen Dreiecke bis Ostfriesland. Diesen Zwecken
gemäss waren die von mir selbst 1821 — 1825 gemessenen Dreiecke vom Insels-
berg bis Jever ausgewählt Die übrigen, welche später hinzu gekommen
sind, erscheinen als Abzweigungen jener Hauptdreiecke. Eine Folge dieser
Entstehungsart ist, dass die Gesammtheit nicht überall in dem Maasse wie ein
abgerundetes Ganzes aus Einem Guss in die Augen fällt, als der Fall gewesen
sein würde, wenn eine solche Rücksicht schon von Anfang an hätte genommen
werden müssen ; allein der eigentliche Zweck, nemlich die scharfe Festlegung
der vornehmsten sich dazu qualificirenden Punkte im ganzen Lande, ist darum
nicht weniger gut erreicht
[Aus einem Bericht, December 1844, »über die im Jahre 1844 ausgeführten
trigonometrischen Messungen.«]
Ich erlaube mir, noch einige Worte in Beziehung auf die sämmt-
lichen Messimgen aus den vergangenen Jahren beizufügen.
IX. 54
426 NACHLASS.
Die Resultate [d. i. die Coordinaten] sind jedes Jahr nach Ver-
arbeitung der Messungen in Verzeichnisse gebracht, und solcher partiellen
Verzeichnisse sind sechzehn vorhanden, welche zusammen etwas über 3000
Bestimmungen enthalten, so jedoch, dass die Anzahl der Punkte selbst etwa
um den siebenten Theil kleiner sein mag, indem viele Punkte, die in einem
spätem Jahr nach dem Hinzukommen neuer Data schärfer oder zuverlässiger
bestimmt werden konnten, in mehr als einem Verzeichnisse auftreten. Kirch-
thürme werden im ganzen Königreiche nicht viele ohne Bestimmung ge-
blieben sein.
Dass diese Verzeichnisse von allen seit 16 oder 17 Jahren vorgenom-
menen Detailaufhahmen sowie von den PAPENschen Karten die Grundlage ge-
wesen sind, braucht hier nicht weiter ausgeführt zu werden : von grosser Wich-
tigkeit ist aber, dass diese Zahlen, die ihren Werth behalten, so lange die Gegen-
stände existiren, nicht verloren gehen können. Die erwähnten Verzeichnisse
werden in der Sternwarte aufbewahrt ; Abschriften davon hat auch der Lieute-
nant Gauss, der alle Stammpunkte in die PAPENSchen Karten eingetragen hat,
in Händen. Zu grösserer Sicherheit imd bequemerm Gebrauch habe ich jetzt
angefangen, die partiellen Verzeichnisse in Eins zu verschmelzen, welches
demnach etwa 2600 Punkte enthalten wird.
Späterhin könnte es vielleicht für gerathen erachtet werden, dieses Ver-
zeichniss oder einen Auszug daraus durch den Druck zu veröffentlichen : für den
Augenblick würde ich dies aber aus mehrem Gründen noch fiir vorzeitig halten.
Erstlich, weil eine wissenschaftlich genügende Entwickelung von Be-
deutung und allseitiger Benutzung dieser Zahlen nur nach und nach in Ver-
bindung mit der Entwickelung der mir eigenthümlichen mathematischen Theo-
rien gegeben werden kann, welche ich in einer Reihe einzelner Abhandlungen
(etwa drei oder vier) zu liefern beabsichtige. Die erste davon ist bereits als
Theil des demnächst erscheinenden Bandes der Denkschriften hiesiger Societat
der Wissenschaften abgedruckt [*)J und auch einzeln in den Buchhandel ge-
bracht ; die andern werde ich nach und nach baldthunlichst nachfolgen lassen.
Zweitens, weil die Zahlen des Verzeichnisses, obwohl hinreichend, ja
überflüssig genau für jede praktische Benutzung, doch behuf der den strengsten
[*) Untersuchungen Über Gegenstände der h&hem OeodAsie. Ente Abhandlung. Der ILönigL Societit
überreicht am 28. October 1843. Band IV, 8. 259/800.]
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
427
theoretischen Forderungen entsprechenden Verschmelzung der verschiedenen
Messungen in Ein System noch einige (wenn auch an sich sehr geringe) Aus-
feilung und Nachhülfe zulassen.
Drittens, weil ich die Lage der vorzüglichsten Punkte, namentlich der
Kirchthürme in Städten, gern neben der Coordinatenform noch zugleich in
einer andern Form, nemHch nach der geographischen Breite und Länge, bei-
fugen möchte, welche immer einen beträchtlichen Zeitaufwand erfordernde
Umformung erst nach und nach wird ausgeführt werden können
[3.]
Hanptdreieckspunkte der hannoverschen Messungen.
Dreieckspunkt
Länge y. Gott. Merid.
Inselsberg, hess. Dr.-P.
Hohehagen
Sternwarte in Göttingen
Meridianzeichen
Brocken
Hils
Lichtenberg
Deister
Garssen
Schamhorst
Breithom
Falkenberg
Hauselberg
Elmhorst
Steinberg
Bottel
"Wulfsode
Bremen, An^ar.-Thurm
50" 51'
51 28
51 31
51 34
51 48
51 53
52 7
52 14
52 39
52 43
52 49
52 50
52 51
52 59
52 59
53 2
53 4
53 4
8;;6i9
31,234
48,028
30,309
1,849
53,000
22,020
5,778
40,397
43,000
45,985
52,481
36,513
42,886
54,987
22,919
15,113
48,867
— 0"*3l' 24';311
-1-0 10 45,143
0
— 0 0 0,007
— 0 40 23,071
+ 0 6 41,152
— 0 20 33,348
-1-0 20 35,702
— 0 12 19,154
— 0 19 1,620
— 0 19 11,230
-1-0 4 34,858
— 0 14 28,226
-1-0 18 24,543
-1-0 40 7,347
-1-0 39 22,916
— 0 17 48,837
— 1 8 22,781
54
#
428
NACHLASS. ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
Dreieckspunkt
Breite
Länge v. Gott. Merid.
Timpenberg
53«
' 7'
22^103
-0«
19'
35';387
Nindorf
53
8
56,063
— 0
20
32,170
Bullerberg
53
9
47,220
+ 0
31
45,928
Wilsede
53
10
9,647
+ 0
0
11,329
Lüneburg, Mich.-Thurm
53
15
4,641
— 0
27
29,462
Brüttendorf
53
15
57,245
+ 0
40
42,934
Garlste
53
15
58,486
+ 1
13
37,091
Zeven
53
17
55,135
+ 0
39
43,446
Litberg
53
23
20,206
+ 0
19
45,061
Varel
53
23
56,979
+ 1
48
24,812
BriUit
53
24
47,035
+ 0
57
0,384
Hamburg;, Mich.-Thujrm
53
33
0,900
— 0
2
8,755
Bremerlehe
53
34
7,239
+ 1
21
2,134
Jever
53
34
26,427
+ 2
2
26,615
Langwarden
53
36
20,450
+ 1
38
7,093
Die Angabe für die Göttinger Sternwarte bezieht sich auf den Theodo-
lithenplatz, der im Meridian des Centrums der Axe des REiCHENBACHschen
Meridiankreises, aber 5,507 m nördlicher liegt.
Die Breite der Axe des Meridiankreises ist in Folge der in meiner
»Bestimmung des Breitenunterschiedes u. s. w.« angeführten Beobachtungen
= 51®3l'47^85 angenommen. Im Frühjahr 1828 habe ich neue noch zahl-
reichere Beobachtungen angestellt, deren Definitivberechnung erst nach ge-
nauester Bestimmung der Theilungsfehler deqenigen bestimmten Theilstriche,
auf welche die Beobachtungen sich bezogen haben, geschehen kann, obwohl
sich schon voraussehen lässt, dass dieselbe höchstens ein paar Zehntheile einer
Secimde von obigem Resultat abweichen wird.
Bei Berechnung obiger Breiten und Längen sind noch Walbecks Dimen-
sionen der Erde zum Grunde gelegt.
BEMERKUNGEN. ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 429
BEMERKUNGEN.
Der Plan zu dem von Gauss beabsichtigten Werk über die trigonometriBchen Messungen in Han-
nover befindet sich auf einem kleinen Bl&ttchen ; die Einleitung und der unyoUendete erste Abschnitt dieses
Werkes ist 2 Blättern entnommen, die in Buchform zusammen gelegt waren. Es ist nicht ersichtlich, wann
Gauss mit ihrer Ausarbeitung begonnen hat; nach der Bemerkimg über die kurhessischen Messungen, S. 403
oben, mufls sie jedoch vor 183 5 erfolgt sein (da in diesem Jahre die Arbeiten ftlr die kurhessische Trian-
gulation, die seit dem Frühjahr 1824 eingestellt waren, wieder aufgenommen wurden. Gerlino, Beiträge
zur Geographie Kurhessens etc. S. V und VIII]. Von den Berichten an das hannoversche Cabinetsmini-
sterium sind die beiden ersten aus den Jahren 1820 und 1821 über die nothwendigen Instrumente und über
Vorarbeiten für die Gradmessung bereits (im Auszuge) in Band IV, S. 486/486 und S. 487/489 abgedruckt.
Im Ganzen sind im Gauss -Archiv gegen 40 meistens sehr umfangreiche und ausführliche Berichte über
den Fortgang der Triangulirungsarbeiten , zum Theil mit Übersichtskarten, vorhanden. Aus einigen von
ihnen sind unter [2] Auszüge mitgetheilt, die sich auf den allgemeinen Theil der Triangulation beziehen.
Auch die Originalacten des amtlichen Schriftwechsels zur Gradmessung und zur Landesvermessung befinden
sieh im Gauss- Archiv ; mit Einschluss der Arbeitsberichte rühren etwa 90 Schriftstücke von Gauss' Hand her.
Im Jahre 1816 hatte Schumacher vom König Friedrich VI. von Dänemark den Auftrag erhalten,
eine Ghradmessung, im Meridian von Skagen bis Lauenburg und im Parallel von Copenhagen bis zur West-
küste Jütlands, auszuführen. Der zu messende Meridianbogen erstreckte sich über 4|^. Diesen Bogen durch
Hannover fortzusetzen, wodurch seine Länge 6|* umfassen würde, brachte Schumacher sofort bei Gauss in
Anregung. Gauss, der sich zwar in hohem Maasse für die »herrliche grosse Untemehmungn interessirte,
glaubte aber bei der hannoverschen Regierung noch keine entsprechenden Wünsche äussern zu dürfen (vergl.
S. 345) , wohl weil der Bau seiner Sternwarte erst kurz vorher vollendet war und ihre Ausstattung noch
Ausgaben erforderlich machte. Da war es Schumacher, der sich im Juli 1817 persönlich an den Minister
VON Arnswaldt in Hannover wandte und den Erfolg hatte, dass Gauss zunächst zu einem »Memoire«
über die Fortsetzung der dänischen Breitengradmessung durch Hannover aufgefordert wurde. Als Schu-
macher 1818 seine südlichsten Dreiecke maass, ersuchte er Gauss, in Lüneburg, dessen Michaelisthium
von den dänischen Dreieckspunkten Hamburg (Michaelisthurm) , Hohenhom und Lauenburg aus sichtbar
war, Anschlussmessungen vorzunehmen. Gauss trug jedoch Bedenken, die Erlaubniss dazu von seiner
Begierung einzuholen, weil über die Gradmessung in Hannover noch nichts beschlossen war. In einem
Briefe an Schumacher vom 1 2. August 18 1 8 sagt er:
»Schon im vorigen Herbst, gleich nachdem ich Ihre Notizen erhalten, habe ich ein Memoire über
Ihre Gradmessung abgefasst und die mannigfaltigen Vortheile, die eine künftige Fortsetzung derselben durch
das Hannoversche haben würde, nach Möglichkeit ins Licht gestellt, so dass ich nun gar nichts weiter
hinzu zu setEen wüsste. Ich habe dieses Memoire eingesandt, aber bis dato ist darauf noch nichts weiter
erfolgt. Unter allen schweren Künsten ist die Kunst des SoUicitirens diejenige, wozu ich — freilich zu
meinem grossen Nachtheil — am wenigsten Talent habe, noch passe. Und daher kann ich unter den ob-
waltenden Umständen nicht wohl schriftlich auf den Gegenstand quaestionis zurückkommen.«
Wiederum wandte sich Schumacher an den Minister ton Arnswaldt, und Gauss bekam den Auf-
trag, die zur Verbindung der hannoverschen und dänischen Triangulation nöthigen Messungen in Lüneburg
vorzunehmen (vergl. S. 347 oben). Diese sind von Gauss, gemeinsam mit Schumacher, in der ersten
Hälfte des Octobers 1818 ausgeführt worden. Hiebei erhielt er auch durch ein von der , Sonne beleuch-
tetes Fenster des MichaeHsthuims in Hamburg, das ihm beim Beobachten lästig fiel, die erste Anregung
zu der im Herbst 1830 gemachten Erfindung des Heliotrops.
480 BEMERKUNGEN.
Noch immer aber erfolgte keine £nticheidung über die Ausfühnmg einer hannovenchen Triangulation.
In einem Briefe an Schumacheb vom 25. November 1818 aagt Gauss:
»Den Bericht über meine Reife [nach Lüneburg] habe ich bereiti Tor Ungerer Zeit nach Hannover
abgeschickt, darin auch die Nothwendigkeit einer zeitigen Bestellung eines grossem Theodolithen vorge-
stellt, bisher aber noch keine Antwort erhalten. Mehr urgiren kann ich und mag ich nicht, denn über-
haupt kann ich nur dann ein Geschäft, was mir Freude macht, erwarten, wenn man gern darauf entrirt
Im entgegengesetxten Falle, und wenn allerlei beengende Rücksichten stattfinden müssten, würde ich keine
Freude daran haben. Ich werde also den Erfolg ruhig abwarten.«
Schumacher benutzte nun den Aufenthalt in England im April 1819, von wo er den bei der engli-
schen Triangulation benutzten RAMSDENschen Zenithsector, der ihm zu seinen astronomischen Messungen ge-
liehen war, abholen wollte, um in London maassgebende Persönlichkeiten, wie Sir Joseph Banks , fti die
hannoversche Gradmessung zu gewinnen. Er veranlasste weiter den d&nischen Gesandten, bei dem Grafen
MÜNSTER, dem Minister für die hannoverschen Angelegenheiten in London, in dieser Sache Schritte zu thun.
Auf Schumachers Anregung richtete darauf Gauss zwei Berichte an den Grafen Münster und an v. Arns-
WALDT. Beide sind abgedruckt in Band IV, der erstere S. 482/483, der letztere S. 484/485. Der Vemiittelung
Schumachers, der von neuem im Juni 1 8 1 9 bei v. Arnswaldt in Hannover vorstellig wurde, war es femer
zu danken, dass Gaurs Ende Juni und Anfangs Juli 16 19 an den Beobachtungen mit dem Zenithsector in
Lauenburg theünehmen konnte. Im folgenden Jahr wünschte Gauss der Grundlinienmessung in Holstein bei-
zuwohnen; am 18. Januar 1830 schrieb er an Schumacher: »Grosse Freude würde es mir machen, wenn
es möglich zu machen w&re, dass ich in diesem Jahre nochmals einige Wochen in Ihrer Gesellsehalt und
bei Ihren Arbeiten zubringen könnte. Allein theils würde es dabei auf die Zeit ankommen, wann Sie sich
wieder in jenen Gegenden befinden werden, theils gestehe ich , dass ich das Gefilhl einer Besorgniss habe,
mich Iftstig zu machen, wenn ich zum dritten Male in Hannover auf eine Reise antrage, die nur in einiger
Verbindung mit einer möglichen, aber vielleicht noch weit entfernten Operation in unserm Königreiche
zu stehen scheinen muss.« .... In demselben Briefe heisst es weiter in Bezug darauf, dass Gauss von
Schumacher um eine Besprechung der d&nischen Gradmessung gebeten war:
»Theilen Sie mir gef&lligst die (wenn auch nur erst provisorischen) Resultate der Sector-Beobaeh-
tungen mit, die Sie im Januar und Februar dieses Jahres in Copenhagen machen, und zwar hauptsfichlieh
von solchen, zu denen ich hier noch correspondirende machen kann, entweder mit dem RElCHENBAGHschen
Kreise, oder wenn sich die Ankunft der neuen Hemmungsarme noch bis' in den Februar hinein , wider Er-
warten, verzögern sollte, vorerst mit dem REFSOLDschen. Ich werde dann diese Resultate in unsem Ge-
lehrten Anzeigen bekannt machen und dabei Gelegenheit nehmen, eine Nachricht von Ihrer Gradmessung
überhaupt, in dem Sinn wie es sich gebührt, zu geben, wozu ich aber aus dem obigen Grunde Sie ersuchen
muss, mir eine concentrirte Andeutung der Hauptmomente zu schicken, um so mehr, da es auch sein könnte,
dass Sie dieses oder jenes Umstandes fdr jetzt noch nicht erw&hnt wünschten. Auf ein paar Wochen früher
oder später wird es ja wohl nicht dabei ankommen. Bass das ganze auf eine möglichst ungesuchte
Art hervortrete, ist auch m i r deshalb wichtig, weil ich um alles nicht den Schein haben möchte, als woÜte
ich dadurch verblümter Weise unserm Gouvernement die Sache wieder in Erinnerung bringen. Denn so sehr
ich bereitwillig bin, die Fortsetzung der Dreiecke bis Göttingen etc. auszuftihren , wenn dazu die nöthigen
Mittel auf eine angemessene Art gegeben werden, so ist dies doch durchaus nicht mein eigenes, sondern
nur das wissenschaftliche Interesse. Persönlich sehe ich es vielmehr als ein Opfer an, was ich jedoch unter
obiger Voraussetzung recht gern bringe.«
Auf Schumachers Betreiben erhielt das dänische Ministerium der auswärtigen Angelegenheiten von
seinem Könige den Auftrag, von der hannoverschen Regierung Gauss' Gegenwart bei der Braaker Basis-
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 431
messung zu erbitten. Über die Theilnahme an derselben (siehe auch Band IV, S. 480/487), die einschliesslich
der Heise vom ] 2. September bis 25. October 1820 w&hrte, ist ein Bericht vom i. Norember 1820 an das
Gabinetiministeriuin yorhanden, in dem es heisst:
»Während meines Aufenthalts in Holstein habe ich gemeinschaftlich mit dem Professor Schümacheb
die verabredeten Beobachtungen, Messungen und Versuche angestellt, dann femer einem Theile der Basis-
messung beigewohnt, endlich auch alle auf die diesseitige Fortsetzung der Oradmessung Bezug habenden
Verabredungen und Vorkehrungen getroffen Der von Refsold in Hamburg angefertigte Apparat zu
dieser Basismessung übertrifft an Genauigkeit, Solidit&t und Zweckmässigkeit alle andern bei ähnlichen
Gelegenheiten gebrauchten.«
Am 9. Mai 1820 erging endlich die Cabinetsordre GeobosIV., Königs von Grossbritannien etc. und
Hannorer an das Ministerium, die Gauss mit »der Fortsetzung der dänischen (oradmessung« durch Han-
nover betraute [vergl. S. 347); die Mittheilung des Ministeriums darüber an Gauss erfolgte unterm 30. Juni
1820 (vergl. S. 418). Die Messungen fOr die Gradmessung wurden von Gauss während der Jahre 1821, 1822
und 1823 ausgeftlhrt.
Der dänisch - hannoversche Meridianbogen war nach Süden zu einer grossen Ausdehnung fähig; er
konnte bis sur Insel Elba fortgeftlhrt werden und sich über etwa 16* erstrecken (vergl. S. 402). Durch die
Punkte Brocken und Inselsberg hing die hannoversche Ghradmessung mit den Dreiecken des preussischen
Generalstabes zusammen, an die Seite Hohehagen - Inselsberg grenzten die kurhessischen Dreiecke, deren
Messung 1822 Geblino übertragen worden war. Südlich davon in Hessen-Darmstadt, Württemberg, Bayern
und Österreich waren die geodätischen Operationen theils im Gange, theils in Aussicht genommen. Ge-
trennt von diesem Dreieckssystem war der grosse englisch -französische Bogen im Meridian von Paris vor-
handen, der weiter an der Ostküste Spaniens bis zur Insel Foimentera ging (vergl. S. 419). Im Norden
schlössen sich an den französischen Bogen die 1801 — I8ii vom Generallieutenant von Kbatenhoff in
Belgien, den Niederlanden, Ostfriesland und Oldenburg gemessenen Dreiecke (Pr6cis historique des Opera-
tions g6od6siques et astronomiques , faites en Hollande etc. La Haye 1815). Das KBAYENHOFFsche Drei-
ecksnetz hing nun zwar in seinem südöstlichen Theile zwischen Nederweert und Nimwegen mit dem Tban-
CHOTschen und dieses in der Seite Nürburg -Fleckert mit der MÜFFLiNGSchen Dreieckskette »von Berlin
nach dem Rhein« zusammen, doch war Über die letztem beiden nichts veröffentlicht (vergl. S. 366) und ist
auch später nichts veröffentlicht worden ; zudem sollten die TBANCHOTschen Dreiecke nur als Unterlage für
eine Karte dienen. Die so hergestellte Querverbindung der beiden grossen Dreieckssysteme konnte daher
nicht als genügend angesehen werden. In einem Promemoria an den Bremer Senat, das von diesem an die
hannoversche Regierung weiter gegeben wiu'de, schlug nun Olbebs gegen Ende des Jahrs 1823, wohl im
Einverständniss mit Gauss, vor, den dänisch-hannoverschen Bogen, von den Seiten Hamburg-Wilsede und
Wilsede-Falkenberg aus über Bremen und Oldenburg mit der KBAYENHOFFSchen Seite Varel-Jever und da-
durch mit der englisch-französischen Gradmessung zu verbinden. In längerer Ausführung vom 7. Januar 1824,
die ebenso wie das Promemoria von Olbebs im Gauss-Archiv vorhanden ist, erklärte Gauss seine Zustimmung
m der Fortsetzung der Gradmessung nach Jever, deren Ausführung dann durch ein Rescript des Grafen
MüNSTEB vom 15. Februar 1824 angeordnet und am S.März desselben Jahres durch das Cabinetsmini-
iterium ihm übertragen wurde (vergl. S. 419). Man hätte den Anschluss auch südlicher an die KBAYENHOFF-
sche Seite Bentheim-Kirchhesepe ausfahren können ; aber obgleich der nördlichere Weg, zwar kürzer als der
südlichere, grössere Terrainschwierigkeiten als dieser bot, zog Gauss dennoch den nördlichem vor, weil sich
auf demselben die Dreiecke mit der Nordsee in Verbindung bringen Hessen , und dadurch die relativen
Höhen seiner Dreieckspunkte in absolute über der Meeresfläche verwandelt werden konnten (vergl.
B. 419). Als weitere Begründung einer Fortsetzung der Gradmessung nach Varel-Jever gibt Gauss in dem
432 BEMERKUNGEN.
erw&hnten Bericht vom 7. Januar 1824 noch folgendes an: »Iniofern eine solche Verbindung, querüber von
Ost nach West geführt, grösstentheils über hannoversches Gebiet geht, ist der Vortheil, welchen die Geo-
graphie des Königpreichs dadimsh erhalten würde, ebenso klar. Es ist jetzt allgemein anerkannt, dass eine
genaue Landesvermessung ohne eine gehörige Triangulirung unmöglich ist. Blosse Detailmessungen lassen
sich niemals mit Sicherheit zu einem unverzerrten Ganzen verbinden« Allein auch abgesehen von der ohne
Vergleich grossem Genauigkeit, gewinnt eine Detailaufhahme, wenn sie auf eine vorgftngige gute Triangu-
lirung gestützt wird, in ihrem ganzen Plan und Gang eine solche Leichtigkeit, EinÜEtchheit, Sicherheit und
Controllirbarkeit in jedem einzelnen Theile, dass die Hftlfbe der Zeit und Kosten erspart wird. Die Grad-
messungsdreiecke umspannen bereits einen sehr bedeutenden Theil des Königreichs, querüber geführte Ver-
bindungs-Dreiecke würden den umspannten Raum beinahe verdoppeln.«
Die Beobachtungen fOr die Fortsetzung der Gradmessung nach Jever fanden 1824 und 182S statt.
Durch die Seite Varel-Jever war der Anschluss an die KnATENHOFFschen Dreiecke hergestellt Der
nördliche Theil derselben erwies sich jedoch, wie eine directe Prüfung durch Nachmessung von Winkeh in
Jever zeigte und wie auch eine von Gauss vorgenommene Ausgleichung, Suppl. theor. comb. Art. 2S, be-
stätigte (vergl. die Briefe an Bessel vom 12. M&rz und 20. November 1826, S. S60/S62, an Olbebs vom
4. Juli 1824, S. 370, und vom 14. Mai 1826, 8. 821/S22, und an Gebling vom 12. September und 14. No-
vember 1838, S. 391 imd S. 393), als sehr ungenau. Damit war aber auch dieser Verbindung der beiden
grossen Meridianbogen nur ein geringer Werth beizumessen. Auf der Rückreise von den Messungen, Ende
Juli )h2k, berieth sich deshalb Gauss (nach seinem Berichte vom u.Mftiz 1827 über die trigonometrischen
Arbeiten im Jahre iti25) in Bremen mit Olbers, wie dem abzuhelfen sei. Olbebs schlug vor, da die
südlichen KRAYENHOFFSchen Dreiecke eine grössere Genauigkeit als die nördlichem besassen (vergl. S. 36 1),
»eine neue Reihe von Dreiecken anzufangen, die von Bremen aus südwestlich laufend durch das Osna-
brücksche sich zögen und bei Bentheim eine neue Verbindung mit den KBATENHOFFsohen Dreiecken be-
wirken würden ; er fügte die Versicherung hinzu, dass der bremische Senat aus Interesse ftlr wissenschaft-
liche Unternehmungen , die Beihülfe des Gehülfen Klüver [der bereits im vorhergehenden Jahre Gauss zur
Unterstützung bei den Messungen von der Stadt Bremen beigegeben war] w&hrend der noch übrigen Zeit
des Jahres dazu gern bewilligen würde«. Gauss trug jedoch Bedenken auf diesen Vorschlag einzugehen,
der »eine Überschreitung seines Auftrages gewesen wäre«, und da ausserdem »das Terrün von Bremen bif
Bentheim ihm ganz unbekannt war«. Diese Verbindung von der Seite Bremen - Steinberg bis zur Seite
Kirchhesepe-Bentheim ist dann sp&ter, im Jahre 1829, von seinem Sohne, dem Lieutenant Joseph G.4U8S
ausgeftLhrt worden ; vergl. den Brief an Bessel vom 9. April 1830, S. 303, sowie auch S. 422), allerdingi
mit geringerer Genauigkeit (vergl. S. 342. Das noch bestehende Project (nach dem Arbeitsbericht filr 1834',
in Gemeinschaft mit Schumacher über Wangeroog, Ne\iwerk und einen dänischen Dreieckspunkt an der
Schleswig - holsteinsohen Küste die Insel Helgoland, deren Lfingenunterschied mit Greenwich, Altona und
Bremen 1824 chronometrisch bestimmt worden war (vergl. Band VI, S. 455/459), an die Triangulation an-
zuBchliessen , ist nicht mehr zur Ausführung gekommen, ebenso wenig wie eine geplante neue Verbindung
der dänischen und hannoverschen Gradmessung über die Seite Litberg-Hamburg.
Im Frühjahr 1827 wurde von Gauss der Breitenunterschied zwischen Göttingen und Altona mit dem
auch ihm von der englischen Regierung geliehenen RAMSDENschen Zenithsector beobachtet, wobei ihn der
dänische Ingenieur - Lieutenant Y. Nehus unterstützte. Gelegentlich der Zurückbringung des Zemthsectors
nach England durch den Hauptmann MÜLLER, richtete dieser am 3. October 1827 ein Promemoria an den
Grafen Münster, in dem er die Erweiterung der Triangulation über das ganze Königreich Hannover vor-
schlug und zugleich mittheilte, dass Gauss bereit sei, falls es sein Gesundheitszustand gestattete, die Leitung
der Arbeiten zu übernehmen; hierzu hatte Gauss sich auch schon früher in einem Schreiben an Münster
(nach dem Briefe an Olbers vom 2. April 1826, S. 376} erboten. Am S.November wurde Gauss darauf vom
ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION. 433
Ministerium aufgefordert, dahin gehende Vorschläge zu machen. Auf Grund seines S. 418/416 im Auszuge
gegebenen Berichts wurde durch Cabinetsordre des Königs Geobo IV. vom 25, März 1828 an das Mini-
sterium befohlen, »die Triangulirung fortzusetzen und zu vervollständigen, um solche zu Vervollkommnung
der Landesgeographie und zu Verfertigung genauer Karten zu benutzen«; der Auftrag, die Landesvermes-
sung zu leiten, wurde Gauss vom Ministerium durch Rescript vom 14. April 1828 übermittelt.
Die Entstehung des S. 418/425 mitgetheilten historischen Berichts ist wohl auf die Trennung Eng-
lands und Hannovers im Jahre 1887 zurück zu führen.
Nach den Beobachtungsbüchem vertheilen sich die von Gauss selbst ausgeführten Messungen auf die
einzelnen Stationen der Zeit nach wie folgt.
1821 ist beobachtet worden: auf der Göttinger Sternwarte vom 24. Juni bis 13. Juli, auf dem nörd-
lichen Meridianzeichen vom 13. bis 17. Juli, auf Hohehagen vom 19. bis 29. Juli, auf dem Hils vom 7. bis
27. August und auf dem Brocken vom 2. bis 23. September.
1822 wurde gemessen: in Lichtenberg vom 18. Juni bis 4. Juli, auf dem Deister vom 6. bis 16. Juli,
in Oarssen vom 18. Juli bis 3. August, in Falkenberg vom 6. August bis 6. September, in Hauselberg vom
7. bis 12. September, in Breithom vom is. bis 16. September, in ViTulfsode vom 18. bis 21. und am 23.
und 24. September, in Timpenberg am 22. September, in ViTilsede vom 26. September bis 7. October und in
Schamhorst (Eschede) vom lO. bis 13. October.
1823 fanden die Beobachtungen statt: in Timpenberg vom 30. Mai bis 2. Juni, in Nindorf vom 3. bis
10. Juni, in Lüneburg vom ii. bis 24. Juni und in Hamburg vom 27. Juni bis 11. Juli. Einige Messungen
wurden am 13. Juli in Blankenese (wohl weil Gauss nach einem Brief an Schumachbb vom 20. Juli 182S
daran dachte, sein »Triangelsystem ganz von der unbequemen und unsichem Station Michaelis in Hamburg
zu isoliren«), am 14. Juli in Altona und am 19. Juli auf dem Agydiusthurm in Hannover angestellt. Femer
wurde noch vom 22. August bis 3. September auf der Göttinger Sternwarte, vom 13. bis 27. September auf
dem Brocken und vom 6. bis 16. October auf dem Hohehagen beobachtet.
Die Messungen des Jahres 1824 fanden statt: in Falkenberg vom 21. bis 23. Mai, in Elmhorst vom
24. Mai bis 5. Juni, in Bullerberg vom 7. bis 18. Juni, in Bottel [E verser Feld) vom 19. bis 24. Juni, in
Brüttendorf vom 28. Juni bis 10. Juli, in Bremen vom 13. Juli bis 20. August, in Garlste (Langeberg) vom
23. bis 2 5. August, in Brillit vom 27. bis 29. August, in Zeven vom 30. August bis 15. September, in Stein-
berg vom 17. bis 24. September, in Bottel am 25. September, in Litberg vom 26. September bis 3. October
und in Wilsede vom 5. bis 24. October.
1825 hat Gauss beobachtet: in Brüttendorf am 26. April, in Zeven vom 28. April bis lo. Mu, in
Bremen vom 12. bis 22. Mai, in Garlste vom 28. Mai bis 5. Juni, in Bremerlehe vom 7. bis 13. Juni, in
Varel vom 15. bis 26. Juni, in Langwarden vom 27. Juni bis 12. Juli, in Jever vom 14. bis 19. Juli, in
Brillit vom 25. Juli bis 2. August und in ^even am 4. und 5. August.
Die vorstehende Übersicht gibt nicht die Dauer des Aufenthalts auf den Stationen, sondern nur die
der Beobachtungen an.
Auf dem Inselsberge erfolgten die Messungen 1821 durch Encke, 1823 durch Geblino,
An den Feldarbeiten filr die hannoversche Landesvermessung, die von 1828 bis 1844 währten, hat
Gauss persönlich nicht theilgenommen ; nur einmal, am 7 • September 1828, ist von ihm auf der Station
Hohehagen beobachtet worden. Die Messungen sind von den Gehülfen bei der Gradmessung : dem Haupt-
mann (sp&term Major) Müller, dem Lieutenant (späterm Hauptmann) Habtbcann und dem Lieutenant
(späterm Baurath) Joseph Gauss ausgeführt worden; doch waren diese nicht dauernd zu diesem Geschfift,
sondern nur während einiger Sommermonate, so weit sie in ihrer militärischen Thätigkeit entbehrlich
waren, abcommandirt. Hartmann starb bereits 1884, Müller 1843. Die Bearbeitung der Beobachtungen
55
434 BEMERKUNGEN. ZUR HANNOVERSCHEN TRIANGULATION.
iraif wie auch bereits auf S. 241 mitgetheilt ist, von Gauss allein übernommen worden, nur 3 Monate
des Winters 18S0/1831 unterstützte ihn dabei sein Sohn Joseph. Die rechneriBohe Bearbeitung ist erst im
Jahre 1848 abgeschlossen worden. Am 15. M&rz 1848 sandte Gauss an das Ministerium des Innern
95 Hefte, die Stationsbeobachtungen, zum Theil in Abschrift, enthaltend, 6 Hefte mit StationsabriMen und
1 Heft, welches das allgemeine Coordinatenverzeichniss enthielt. Biese Hefte befinden sich jetzt im Gauss-
Archiv. Das Begleitschreiben dazii ist im Auszuge in Band IV, 8. 481 abgedruckt.
Dieser Sendung war auf einem einzelnen Blatte das unter [3] mitgetheilte Veneichniss der geogn-
phischen Positionen der Hauptdreieckspunkte beigegeben. Wie aus einem Beobaohtungs- und Rechnungi-
hefte zur Gradmessung ersichtlich ist, hat die Übertragung der Breite und L&nge von Punkt zu Punkt nach
den Formeln auf S. 80/6I stattgefunden.
Die Zahl der durch die Gradmessung und die Landesvermessung und zum Theil durch Zuziehung
Ton Messungen in den Nachbarstaaten festgelegten Punkte beträgt 2578, deren ebene rechtwinklige Coor-
dinaten im allgemeinen Coordinatenverzeichniss mitgetheilt sind. Dazu kommen aus den partiellen Coordi-
natenverzeichnissen noch die Doppelbestimmungen von 41 1 dieser Punkte. Siehe Band IV, S. 415/449. Von
Gauss selbst sind über 600 Punkte bestimmt worden (vergl. 8. 414).
Es sei auch noch erwähnt, dass I8O8 Gauss aus eigenem Antrieb an eine Aufnahme des Herzog-
thums Braunschweig gedacht und zu diesem Zwecke Winkelmessungen ausgeftlhrt hatte. An Olbebs schrieb
er am 8. April 1803:
.... »Ich habe den Plan , einst das ganze Land mit einem Dreiecksnetz zu beziehen , wozu meme
jetzigen Messungen nur eine Vorübung sind.« ....
In demselben Jahre betheiligte er sich auch an Beobachtungen von Pulversignalen zu Längenbe-
stimmungen und an Breitenbestimmungen ftlr die von v. Zach geleitete trigonometrische und astronomische
Auftiahme von Thüringen (Monatliche Correspondenz , X. Band, S. 3 02). Für die Vermessung von West-
phalen , die kurz vorher unter dem preussischen Generalmajor von Lecoq stattgefunden hatte , hat er Be-
rechnungen astronomischer Bestimmungen geliefert. In dem Aufsatze Lecoqs: Über die trigonometrische
Aufnahme in Westphalen (Monatliche Correspondenz, Vm. Band, S. 130) heisst es: »Im astronomiichen
Theile ist mir der Dr. Gauss von grossem Nutzen gewesen , seine Ausrechnungen und Briefe haben zu
meinem Unterricht viel beigetragen.«
Für die nebenstehende Übersichtskarte der hannoverschen Hauptdreiecke diente eine Karte des
PAFENschen topographischen Atlasses des Königreichs Hannover und Herzogthums Braunsohweig als Vor-
lage. Auf der Rückseite dieser Karte, die von Gauss der letzten Sendung vom 15. März 1848 zugefügt
war, ist von ihm bemerkt worden: »Bei der Illumination ist durch ein Versehen die Dreieoksseite vom
Hohehagen zum Köterberg als dem Hauptsystem VI angehörig bezeichnet, welche Verbindung aber nur in
der preussischen Catastervermessung effectuirt ist. Es hätte anstatt dessen die Seite Köterberg ~^s alf
südliche Begrenzung des Systems VI illuminirt sein sollen. Mit Ausnahme dieses geringfügigen Umstandei
finde ich in dieser zweckmässig angeordneten Übersichtskarte eine treue Darstellung der Hauptdreiecke und
ihrer Verbindungen mit den Messungen in den Nachbarstaaten.« Das Original der Dreieckskarte ist vom
Lieutenant J. Gauss entworfen. Der angegebene Fehler ist in der nebenstehenden Übersichtskarte berich-
tigt worden. Es wurde femer die fehlende Seite Brüttendorf-Litberg in dieselbe eingetragen und die Seite
Steinberg-Bottel, die in der Vorlage als einseitig beobachtet gezeichnet war, ganz ausgezogen. Im Origuul
war ausserdem irrthümlich, wie aus einem GAUSSschen Bericht nebst Karte von 1843 ersichtlich ist, dtf
KuATENHOFFsche Viereck Emden - Pilsum - Hage - Aurich als zum ostfiriesischen Netze gehörig gezdehnet
worden; auch fehlten in letzterm die Seiten Hage-Baltrum und Langeoog-Esens. Kbüoeb.
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HÖHENMESSUNGEN.
55*
[Der Brefractionscoefßcient aus den Höhenmessimgen bei der hannoverschen
Gradmessung.]
ABtronomisohes Jahrbuch für das Jahr 1820. Berlin 1823. S. 89 — 92.
Beobachtete und berechnete Triangulirung im Hannoverschen, Braunschweig-
schen und Lüneburgschen, vom Hm. Hofrath Ritter Gauss in Göttingen
unterm 22. Januar 1823 eingesandt.
Obgleich meine Triangulirung noch nicht vollendet ist, so kann ich doch
dieselbe vermittelst des Anschlusses an die von ZACHSche Basis schon vorläufig
berechnen, und folgende geographische Bestimmungen werden schon alle Ge-
nauigkeit haben, die gewünscht werden kann.
Sternwarte Seeberg
Göttingen, Neue Sternwarte
— Platz der alten Sternwarte
Brockenhausthurm
Hildesheim, Thurm 1
— — 2
— — 3
Braunschweig, Martinsthurm
— Petrusthurm
— Catharinenthurm
— Andreasthurm
Breite
50^56' 6;'7
51 31 48,7
51 31 55,0
51 48 2,7
52 9 11,9
52 9 16,7
52 9 19,4
52 15 51,5
52 16 4,4
52 16 9,3
52 16 10,8
[Östl.] Länge
von Göttingen
+ 0^47' 19';2 •
0
— 0 0 28,1
+ 0 40 22,9
+ 0 0 27,1
+ 0 0 3,5
+ 0 0 29,4
+ 0 34 24,6
+ 0 34 22,6
+ 0 34 57,9
-f 0 34 37,8
438
HOHENME88UNOEN.
Hannover, Agydiusthuxm
— Neustädterthurm
— Marktthurm
— Kreuzthurm
NeustÄdt am Rübenberge
Celle, südlicher Schlossthurm
— nördlicher Schlossthurm
— Thurm der Stadtkirche
Lüneburg, Johannisthurm
— Michaelisthurm
Hamburg, Michaelisthurm
Breite
52^22' 16;'4
52 22 22,6
52 22 24,8
52 22 30,7
52 30 21,8
52 37 31,4
52 37 32,9
52 37 34,2
53 14 59,2
53 15 5,5
53 33 1,8
[östl.] Länge
von Göttingen
— 0^12' 13^8
— 0 12 52,8
— 0 12 28,4
— 0 12 37,8
— 0 28 53,7
+ 0 8 4,9
+ 0 8 4,0
+ 0 8 16,6
+ 0 28 11,7
+ 0 27 29,5
+ 0 2 3,0
Die Namen der drei Hildesheimschen Thürme kann ich in diesem Augen-
blick noch nicht angeben ; der erste ist ein sogenannter Dachreiter, der zweite
eine Laterne, der dritte nadelformig. Alle diese Bestimmungen gehen von
dem Platze des REiCHENBACHSchen Meridiankreises in der Göttinger Sternwarte
aus, und zur Rechnung sind die von Walbeck gefundenen Dimensionen de«
Erdsphäroids zum Grunde gelegt. Bei der Breite des Brockenhauses weicht
VON Zachs astronomische Bestimmung um lO'' ab (sein Beobachtungsplatz war
noch etwas südlich vom Thurme) ; ob dies bloss in der Unvollkommenheit des
von ihm gebrauchten LENomschen Kreises seinen Grund habe, wie dieser ge-
schickte Beobachter glaubt, lasse ich dahin gestellt sein; ich möchte aber
doch fast glauben, dass die grosse Menge von Harzgebii^en , welche noch
südlich vom Brocken liegt, während im Norden sogleich das flache Land an-
fängt, einigen Antheil daran hat, imd es wäre gewiss interessant, wenn in Zu-
kimft neue astronomische Beobachtungen mit einem vollkommnem Instrument
auf dem Brocken oder nördlich am Fuss desselben angestellt würden.
Da ich an jedem meiner Dreieckspunkte die Zenithdistanzen aller andern
damit verbundenen mit einem 1 2 -zölligen Multiplicationskreise gemessen habe,
so ergeben sich daraus ihre relativen Höhen mit grosser Genauigkeit; ich
wünsche jedoch, ehe ich diese bekannt mache, erst durch eine zuverlässigere
HÖHENMESSUNGEN.
439
Verbindung mit der Meeresfläche als bisher stattgefunden hat, die absoluten
Hohen über dieser zu erhalten. Dagegen theile ich Urnen hier alle meine
bisher erhaltenen Resultate über die terrestrische Re&action mit in folgendem
Tableau, wobei ich nur bemerke, dass ich unter ddl Refraction die Ver-
schiedenheit der Richtungen des Lichtstrahls an seinen beiden Endpunkten
verstehe. Was einige Astronomen Refraction nennen, ist eigentlich nur die
halbe Re&action.
Endpunkte
Krümmung
des terrestri-
schen Bogens
Beobachtete
Refraction
Verhältniss
Lichtenberg-Falkenberg
2767;2
-|-345"3
+ 0,1248
Deister-Falkenberg
2282,7
330,5
0,
1448
Hobehagen-Brocken
2235,3
325,6
0,
,1457
Lichtenberg-Garssen
1961,7
252,0
0,
,1285
Deister-Garssen
1950,4
240,5
0,
,1233
TTils-Brocken
1779,1
292,6
0.
4
,1645
Lichtenberg-Deister
1597,2
252,6
0,
,1581
Hohehagen-Hils
1529,3
243,5
0,
,1592
Breithom-Wilsede
1409,5
153,6
0,
,1090
•
Brocken-Lichtenberg
1372,5
185,2
0,
,1350
Hils-Deister
1316,8
175,3
0.
,1331
Hils-Lichtenberg
1291,1
187,1
0.
,1450
Hauselberg- Wilsede
1232,5
137,2
0,
,1113
Meridianzeichen-Hils
1188,9
187,0
0
,1573
Falkenberg- Wilsede
1168,0
150,7
0
,1290
Falkenberg- Wulfsode
1139,9
132,1
0
,1159
Falkenberg-Schamhorst
958,3
122,4
0
,1277
Garssen-Falkenberg
910,0
78,3
0
,0861
FaUcenberg-Breithom
884,0
109,2
0
,1235
Hauselberg-Wulfsode
770,1
56,1
0
,0728
Wulfsode-Wilsede
738,9
+ 84,6
+ 0
,1146
440
BRIEFWECHSEL.
Endpunkte
Krümmung
des terrestri-
schen Bogens
Beobachtete
B.e£raction
Verhältniss
Falkenberg-IIauselborg
691^7
+ 87^4
-1-0,1264
Meridianzeichen-Hoh ehagcn
538,6
111,9
0,2078
Stemwarte-Hohehagen
447,0
54,3
0,1215
Schamhorst-Breithom
363,0
11,2
0,0309
Garssen-Schamhorst
343,9
+ 20,6
-1-0,0599
Breithom-Hauselberg
203,6
— 23,2
— 0,1141
Sternwarte-Meridianzeichen
162,3
+ 36,8
-1-0,2265
Das Mittel aus allen Bestimmungen, mit Rücksicht auf die Länge der
Linien, wäre 0,1306. Man sieht, dass die Anomalien bei kleinen Entfernungen
viel grösser sind, als bei grossen.
An sonnigen Sommertagen ist nach meinen Erfahrungen in den Vor-
mittags- und frühem Nachmittagsstunden in flachen Gegenden die Re&action
des Lichts, so lange es nahe über der Erdfläche wegstreicht, ge wohnlich
negativ, und die Luft ist dann immer so stark undulirend, dass sich keine sehr
scharfe Messungen machen lassen. Das Heliotroplicht ist dann öfters eine
cometenartige Scheibe, zuweilen wohl von einer Minute im Durchmesser, die
sich in den Nachmittagsstunden, so wie die Luft nach und nach günstiger
wird, immer mehr concentrirt und zuletzt in ein feines Fixstemlicht von
grosser Intensität übergeht.
[2.]
[Der Refractionscoefflcient aus den Höhenmessungen von 1824 abgeleitet]
Gauss an Schumacher. Göttingen, 28. November 1824.
Erst heute bin ich im Stande, Ihnen das Resultat, welches meine dies-
jährigen Messungen für die terrestrische Refraction geben, mitzutheilen. Um
die Amplituden genau zu haben, musste ich erst die Längen und Breiten
meiner Dreieckspunkte bestimmen, und dazu mussten erst sämmtliche Drei-
ecke nach vorgängiger Ausgleichung der Winkel berechnet werden.
HÖHENMESSUNGEN. 441
Das ganze System meiner diesjährigen Messungen umfasst 29 Linien;
zwei davon gehören aber, was die Messung der gegenseitigen Zenithdistanzen
betrifft, schon zu den Arbeiten von 1822 und 1823 (nemlich Falkenberg- Wilsede
und Wilsede-Hamburg). Bei zwei Linien ist die Zenithdistanz bloss einseitig
gemessen (nemlich gar nicht von Bremen nach Bottel und von Brüttendorf
nach Zeven); bei zwei andern ist sie auch insofern nur einseitig gemessen,
als bei der Messung von der andern Seite, aus Mangel an Zeit, bloss der
Theodolith angewandt ist (nemlich von Bottel nach Steinberg und von Wilsede
nachJBullerberg* ). Endlich bei der Linie Litberg-Hamburg** ist in Hamburg
der Knopf der Zielpunkt gewesen, dessen Höhe über den Fenstern des Cabi-
nets ich noch nicht genau kenne. Es bleiben also noch 22 Linien übrig, wo
die reciproken Zenithdistanzen vollständig gemessen sind, d. i. mit dem 1 2-zöl-
ligen Kreise und unter wenigstens 20-iiialiger Repetition, und wo ohne Aus-
nahme Heliotroplicht der Zielpunkt gewesen ist. Die Summe der 22 Krüm-
mungen (Amplituden) ist 6®15'49"844 (die grösste darunter von Wilsede nach
Steinberg 26'4^'883); die Summe der 22 Refractionen hingegen 55'32"329.
Also das Mittelverhältniss wie 1 zu
0,14778.
Das Mittel aus den einzelnen 22 Quotienten ist 0,14499; ich ziehe aber
jenes Resultat vor, weil bei kleinen Bogen der Quotient viel mehr schwankt
als bei grossem. Ich habe schon anderswo bemerkt, dass ich unter Re&action
die Verschiedenheit der Richtungen an den beiden Endpimkten verstehe; die
meisten Schriftsteller nennen sonst Refraction die Hälfte jener Verschiedenheit,
nemlich die Winkel der Tangenten am Wege des Lichtstrahls an den beiden
Endpunkten mit der Chorde. So verstanden geben also meine diesjährigen
Messungen 0,07389. Meine sämmtlichen zu diesem Zweck brauchbaren Mes-
sungen von 1821 — 1823 hatten für 34 Linien die Summe der Krümmungen
10''8'14;249, die Summe der Refractionen = 1®17'43;'670, also das Verhält-
niss wie 1 zu 0,12779 gegeben. Die grosste Linie darunter ist Lichtenberg-
Falkenberg, deren Krümmung 46'7'j[250 beträgt. Man würde sich sehr irren,
wenn man glaubte, dass der grossere Quotient von 1824 den flächern Ge-
genden eigen wäre. Li der That geben die Messungen von 1823, die ebenso
flachen Gegenden angehören, sogar noch ein kleineres Resultat, als alle von
ix. 56
442 BRIEFWECHSEL.
1821 — 1823. Ich bin vielmehr über die Quelle des Unterschiedes gar nicht
zweifelhaft. In den Jahren von 1821 — 1823 habe ich die Zenithdistanzen fast
alle Vormittags oder Mittags oder bald nach Mittag gemessen, da ich diese Mes-
sungen als etwas untergeordnetes betrachtete und in der Regel nur die Stunden
dazu verwandte, wo das Sehen für die Theodolithen - Messungen nicht gut
genug war. Das sind aber an sonnigen Tagen ohne Ausnahme die ge-
nannten Stunden in flachen Gegenden, und dann ist ebenso beständig an
sonnigen Tagen die Refraction allemal kleiner, als in den etwas spätem Nach-
mittagsstunden, wo die Bilder ruhiger und schärfer werden. Im Jahr 1824
gingen aber fast die meisten meiner lÄnien so knapp über zwischenliegende
Hindemisse weg, dass Vormittags bei sehr vielen gar kein Licht herüber
konnte, und ich daher mit wenigen Ausnahmen die Vormittags-Messungen bei
Hauptrichtungen ganz aufgab. Die Zenithdistanzen sind daher 1824 sämmt-
lich Nachmittags bei schon besserer Luft gemessen, doch nie kurz vor Sonnen-
untergang, wo nach allen meinen Erfahrungen die Refraction noch bedeutend
grosser wird. Meistens sind sie Nachmittags von 3 — 4 Uhr gemessen"^;, und
ich habe so viel als thunlich bei jeder Linie die Messung der gegenseitigen
Zenithdistanzen ungefähr unter gleicher Luftbeschafltenheit zu machen gesucht.
Wenn Sie alle meine 22-f-34 = 56 Resultate einzeln zu haben wünschen,
so stehen sie Ihnen gern zu Dienste. Bei den ausgeschlossenen oben mit * **
bezeichneten Linien sind übrigens
die Krümmungen die Refractionen Quotient
[Wilsede-BuUerberg] * 18' 56';002 2' 42;'975 0,14346
[Litberg-Hamburg] ** 16 14,047 2 49,295 0,17380
Summa 35' 10;'049 5' 32;'270 0,15747,
indem ich für ** die Höhe des Knopfs in Hamburg über den Fenstern
= 15,558 m annehme; durch eine genauere Bestimmung dieser relativen Höhen
und der Ihres Barometers in Altona gegen obige beiden Punkte werden Sie
mich verbinden
*) So laDge die Tage noch länger waren; späterhin BuccesBive etwas früher, im October wallte m
der Kegel die Luft schon um l^^ oder 2 Uhr nicht viel mehr.
HÖHENMESSUNGEN. 443
[3].
[Der Refractionscoefficient aus den Höhenmessungen bei der Gradmessung
und ihrer Fortsetzung bis Jever.]
Gauss an Schumacher. Göttingen, 27. December 1846.
Bessel erwähnt [in einem unterlassenen Aufsatze] meines Resultats für
die irdische Strahlenbrechung und meint, die Ursache, warum ich den Coefii-
cienten kleiner finde, als andere Astronomen, sei, weil ich nur an sonnigen
Tagen beobachtet habe, die andern aber ohne Unterschied an sonnigen^ und
bedeckten. Diese Äusserung ist in vielfacher Beziehung nicht richtig. Erst-
lich ist das Factische nicht unbedingt gültig. Vermuthlich ist jener Aufsatz
früher geschrieben, als das Buch über die preussische Gradmessung; in letz-
terer, S. 197, hat Bessel auch andere Resultate angeführt, zwischen denen
meines, wie er es angibt, liegt. Dann hat Bessel bloss das Resultat aus
meinen Messungen von 1821 und 1822 gekannt, wie es im Jahrbuch für 1826
gedruckt ist. Die spätem Jahre geben fortschreitend grössere Coefficienten,
nemlich
1823 . . . 0,14125
1824. . . 0,14778
1825 . . . 0,15826.
Das Mittelresultat aus allen 5 Jahren und zwar aus einer Anzahl von
Dreiecksseiten, deren Summe 290 geogr. Meilen beträgt, ist 0,13974, also
grösser, als das Resultat aus Bessels eigenen Beobachtungen. Jenes Fort-
schreiten kann ich aber recht gut erklären. Es ist ungenau, zu sagen, dass
an sonnigen Tagen die Refraction kleiner sei als an bedeckten. Die [Ursache]
ist vielmehr die : an sonnigen Tagen hängt die Refraction in hohem Grade von
der Tageszeit ab, ohne allen Vergleich mehr, als an bedeckten. Mittags und
in den dem Mittage nächstgelegenen Vormittags- und Nachmittagsstunden ist die
Refraction am kleinsten, in den spätem Nachmittagsstunden nimmt sie fort-
während mit einer ausserordentlichen Regelmässigkeit zu und gegen Sonnen- '
Untergang ist sie gewiss nicht kleiner, sondern eher grösser, als an bedeckten
Tagen. Die Zeit der kleinsten Refraction ist zugleich die, wo die Luft feinen
56*
444
BRIEFW'ECHSEL. HÖHENMESSUNGEN.
Beobachtungen am ungunstigsten ist. Da ich die Hohenmessungen nur wie
ein secundäres Geschäft betrachtete, so verwandte ich darauf in den ersten
Jahren vorzugsweise die den feinern Horizontalwinkelmessungen ungünstigsten
Stunden, namentlich auch Vormittags und Mittags. In den folgenden Jahren
wurde die Zuziehung der Vormittagsstunden immer mehr beschränkt und horte
zuletzt fast ganz auf, so dass häuüg die Zenithdistanzen auch in ziemhch
späten Nachmittagsstunden gemessen wurden. Den von Bessel angeführten
Grund, woraus er die grössern von den französischen Astronomen gefundenen
Resultate erklären will, nemlich weil die BoRDAschen Kreise die Zenithdi-
stanzen zu klein gäben, halte ich fiir sehr unerheblich. Es könnte daraus nur
eine sehr geringe Wirkung erfolgen; auch sind meine eigenen Messungen
ebenfalls mit einem BoRDAschen Kreise gemacht.
• BEMERKUNGEN.
Zu dem ersten Theil des Aufsatzes aus Bodes astronoznischem Jahrbuch sei bemerkt, dass die end-
gültigen Werthe der geographischen Positionen bereits auf S. 427/428 gegeben sind. Der Abdruck des
letzten der beiden vorstehenden Briefe an Schumacher ist nach dem Original erfolgt, frübr den ersten iit
eine nach dem Original angefertigte Copie benutzt worden. Die in ihm enthaltenen Zahlenwerthe konnteii
durch die Angaben eines ÜAUSSschen Handbuches controllirt werden. Nach diesem sind die in der Tabelle,
S. 439, angegebenen Werthe bei der Linie Lichtenberg -Deister der Reihe nach durch die folgenden zu er-
setzen: 1596,0, 222,3, 0,1419. Die Höhenbeobachtungen während der 6 Jahre der Gradmessung haben (nach
verschiedenen Stellen des GAUSsschen Handbuches) zur Ableitung des Kefractionscoefßcienten folgende Be-
Bultate ergeben:
Jahr der Beobachtungen
Anzahl
der Linien
Summe der
Krümmungen
Summe der
Refractionen
Refractions-
coefficient
1821 u. 1822 (bis Wulfsode- Wilsede)
1823 (bis Wilsede-Nindorfj
(bis Hamburg]
1824 (bis Brillit-Garlste)
1825 (bis Varel- Jever)
28
4
6
22
8
S3203;'272
1778, 089
6106, 219
22540, 844
7763, 012
4309;'986
178, 672
862, 415
3332, 329
1228, 541
0,12981
0,12643
0,14126
0,1477S
0,15826
Summe
67
71390, 486
9911, 843
0,13882
Gauss scheint die Ergebnisse der ersten 4 Linien von 1823 bei der Bildung des Mittelresultsti,
S. 443, ausgeschlossen zu haben; in diesem Falle wird der Refractionscoefißoient : 0,139S0.
Krüger.
NACHLASS. HÖHENMESSUNGEN. 445
NACHLASS.
Terrestrische Refraction.
[1.]
Es wird angenommen, dass der Weg des Lichtstrahls in Einer Ebene
bleibt, und dass die Richtungen der Schwere an den verschiedenen Punkten
jenes Weges in Einem Punkte C zusammentreffen; imgleichen, dass die Ver-
änderungen der Richtung des Weges den Veränderungen des Winkels an C
proportional sind.
Es seien P und P' zwei [auf einander folgende] Punkte der Lichtcurve;
90^+ ti der Winkel zwischen PP' und PC\ PC = r\ A der Anfangspunkt
jener Linie, B der Endpunkt; 6 der Winkel zwischen CP imd CA\ nd9 die
Richtungsveränderung ; endlich seien a und 6 die Werthe von r in -4 und JB,
und a und ß die Werthe von u in diesen Punkten, d. i. a die Höhe, in welcher
B Wi A erscheint, ß die Vertiefung, in welcher ^ in JB erscheint.
Man hat
w = a-f-(l — ^)9
dr = rdö.tangM = rdö. tang(a+(l — w)9)
[oder]
logr = — Yzra ^^S ^^^ (^ + (^ "~ ^) ®) + const.
^^^«^- =cos(a + (l-n)e).
j.l-n
FolgUch [da für r = «, 0 = 0 ist]
1!:;^ = cos (« + (!-«) 6).
446 NACHLASS.
Ist also in B
80 ist
[und]
8 = t [und r = h],
a*^* COS OL
3i=5— = cos ß,
[also wird]
^;j^;| = tang4-(ß-a)tang,.fß + a) = ^JS^.
Man setze
b — a = A,
also
b = E + Ar + iA
a = i2 + A; — iA;
[dann ist:]
oder hinlänglich genau
,1 — n
tangi(ß-a)tangi(ß + a) =
(l-n)Ä
2;^ + «:;
Die Länge des auf die Meeresfläche projicirten Bogens AB = A ge-
setzt, wird
Femer ist
I. ß-a = (l-w)f;
folglich
(1 -n)h = 2(J2 + Ä)tangi(ß-o)tangi(ß-|-o)
wofür man auch
n. A = ^.A.tangi(ß + a)
schreiben kann.
Aus I findet man, wenn a und ß beide bekannt sind, n; aus 11 k
HÖHENMESStTNGEN. 447
[2.]
Depression des Horizonts 8
Halbmesser der Erde 12
Höhe des Auges h
Amplitude des Erdbogens v
Ganze Refraction ev.
[Setzt man]
R-\-h = T
[so ist:]
Also [wird, da 8 = (1 — e)v ist:]
[oder]
2sini8'=1-(^y
R \l-e
h f. X hh (l~e)(2-e)
= By'-^)-BB 2
Nimmt man die Bahn des Lichts wie einen Kreisbogen an, so ist
B + h \ sin [V - 8) _ cos \{v- 5)1
flint? — ßinS co8|^(t? + 8)J
B
2-e .
^^^2327'^
[3.]
-4, B .... Höhen zweier Punkte , wo die gegenseitigen Depressionen
«3 l beobachtet werden.
J2 . . . . BLTÖimmungshalbmesser [der Erdkugel] ; r . . . . Entfernung ;
ji . . . . RefractionscoeflScient.
[Es sei V der zu der Entfernung r und 7 der zum Lichtstrahl gehörige
Centriwinkel : dann ist
448 NACHLASS.
V — f = a + ft?
oder, -^ = \Lv gesetzt,
t;(l — |Jt) = a-\-b.
Da
Rv = r
ist, so hat man mithin:]
(l_|jt)r = 12(a + 6;.
[Femer ist angenähert
A'-B = (2jR + ^ + -B)tang^(a — 6).tangi^i;,
oder]
[a — b]r = 2{A — B).
Ist also 6 = 0 und S = 0, [so wird]
(1 — {i)r = Ra
ar = 2A\
A aaB
-^ — 2{1-H.)'
(l— {jL)rr = 2 AR.
[Für |i =] 0,12 [ist] r = 3804 s^ A [Meter]
0,13 3826^-4
0,14 3848v^^
0,15 3870 V'^
0,16 3893 \/A
[4.]
[Formel zur Höhenberechnung.]
Zur schärfsten Berechnung der Höhen muss die Formel angewandt werden:
h* — h = i{a — a) y^ (sec a sec a') . jr-|-4-(Ä + Ä')c}.
Hier bedeuten a und a' die Höhenwinkel; h und h' die Höhen über der
Meeresfläche; r die Entfernung, auf die Meeresfläche reducirt; c die Krümmung.
HOHENHESSimOEK.
449
[5-]
[Ausgleichung der Höhen der Hauptdreieckspunkte.]
[Die Höhenmessungen sind in den Jahren 1821 bis 1825 gelegentlich der
Winkelmessungen fiir die Gradmessung mit einem BoRDAschen Kreise ausge-
führt worden. Aus ihnen ergeben sich die Höhenunterschiede der Endpunkte
von 71 Dreiecksseiten (auf den Seiten Bremen-Bottel und Hamburg-Lüneburg
sowie auf und nach dem Dreieckspunkt Inselsberg haben keine Höhenmes-
sungen statt gefunden), aus denen durch Ausgleichung die Höhenunterschiede
von 32 Dreieckspunkten abzuleiten sind.
Zu diesem Zweck werden für die Höhen der Dreieckspunkte zunächst die
folgenden Näherungswerthe angenommen.]
Nr.
Station
Annahme
fOi die Höhe
Nr.
Station
Annahme
für die Höhe
(Meter)
(Meter)
1
2
Langwarden
Jever
24,726
33,419
17
18
Lüneburg
Nindorf
76,832
116,707
3
4
Varel
Brernerlehe
38,776
25,756
19
20
Timpenberg
Wulfsode
117,140
104,510
5
6
Garlste
Brillit
50,590
44,584
21
22
Hauselberg
Breithom
120,443
120,499
7
8
Bremen
Zeven
82,882
44,820
23
24
Falkenberg
Scharuhorst
150,805
93,957
9
10
Steinberg
Brüttendorf
72,336
49,631
25
26
Garssen
Deister
77,079
307,912
11
12
Litberg
Wilsede
65,536
170,876
27
28
Lichtenberg
Brocken
244,879
1150,368
13
Bottel
52,441
29
Hils
429,082
14
15
Bnllerberg
Hamburg
53,310
129,370
30
31
Hobehagen
Meridianzeichen
504,260
221,112
16
Elmborst
89,990
32
Göttingen
155,836
IX.
57
450
NACHLASS.
[Den angenommenen Werthen für die Höhen sind nun Verbesserungen zu-
zufügen, die durch (i) bezeichnet werden, wo t die Nummer des Dreieckspunktes
ist. Diese Verbesserungen lassen sich mit Hülfe der Verbesserungen der
Höhen längs eines von Langwarden nach Göttingen gehenden Linienzuges
durch neue Verbesserungen a, 6, c . . . darstellen , z. B. ist die Verbesserung
des Dreieckspunktes 20 = (20) = (1^2) -ff= (8) + ?+r= (6)-f^ + /-f f
Dreiecks-
punkt
Verb. d.
Annahme
f. d. Höhe
Dreieck8-
punkt
Verb. d.
Annahme
f. d. Uöhe
Dreiecka-
punkt
Verb. d.
Annahme
f. d. Höhe
Dreiecka-
punkt
Verb. d.
Annahme
f. d. Höhe
1
2
3
4
5
6
7
8
(1)
(1)+«
(1) + C
(4) + rf
(6)+/"
9
10
11
12
13
14
15
16
l8)+Ä
(8) + »-
(8) + /
(l2) + m
(12) + n
(l2) + o
(12)+/»
17
18
19
20
21
22
23
24
(12) + «?
(l2)4-r
(12) + *
(12) + *
(12) + «
(12) + »
(l2) + ir
(23) + a?
25
26
27
28
29
30
31
32
(23) +y
(23)+*
(23) + a
(27) + ß
(27) +7
(29) + 8
(29) + e
(31) + C
[Aus den Höhenmessungen selbst sind die nachstehenden Werthe für die
Unterschiede der Höhen der Endpunkte deiJDreiecksseiten hergeleitet worden.]
Dreiecka-
Beobacht.
Dreiecka-
Beobacht.
Oreiecka-
Beobacht.
Dreiecka-
Beobacht
aeite
Höhen-Unterach .
aeite
Höhen-Unterach.
. aeite
Höhen-Unterach.
aeite
Höhen-Unteiaeh.
(Meter)
(Meter)
(Meter)
(Meter)
1.2
+ 7,165
7.8
— 40,175
10.14
+ 2,764
12.21
— 49,371
1 .3
+ 15,460
7.9
— 9,680
11.12
+ 105,997
12.22
— 50,216
1 .4
+ .1,147
7.10
— 32,720
11.15
+ 64,170
12.23
— 20,216
2.3
+ 3,829
8.9
+ 28,309
11.16
+ 23,830
13.14
+ 0,767
3.4
13,764
8. 10
+ 3,012
12.13
— 117,063
14.16
+ 35,994
3.5
+ 12,441
8.11
+ 19,950
12. 14
— 117,233
15.18
— 13,614
4.5
+ 26,921
8.12
+ 126,432
12.15
— 41,959
15.19
— 11,395
4.6
+ 16,112
9.12
+ 102,028
12.16
— 80,116
16.23
+ 60,280
5.6
— 4,760
9.13
— 21,725
12.17
— 93,862
17.18
+ 40,056
5.7
+ 33,760
10.11
+ 17,039
12.18
— 54,149
18.19
— 0,320
6.7
+ 36,112
10.12
+ 119,407
12.19
— 54,110
19.20
— 12,925
6.8
+ 0,953
10.13
+ 3,163
12.20
— 66,611
20.21
+ 16,157
HÖHENME88UNOEN.
451
Dreiecks-
Beobacht.
Dreiecks-
Beobacht.
Dreieck 8-
Beobacht.
Dreiecks-
Beobacht.
Beite
Hfiben-Unteneh.
«eite
Höhen-Untencb.
seite
H6hen-Unter*ch.
seite
H&hen-Untersch.
(Meter)
(Meter)
(Meter)
(Meter)
20.23
+ 45,529
23.25
— 73,042
26.27
— 64,712
29.30
+ 76,108
21.22
— 0,489
23.26
+ 156,588
26.29
+ 120,811
29.31
— 206,580
21.23
+ 32,189
23.27
+ 94,387
27.28
+ 904,843
30.31
— 283,596
22.23
+28,984
24.25
— 17,355
27.29
+ 185,210
30.32
— 349,366
22.24
25,602
25.26
+ 229,312
28.. 29
719,612
31 .32
— 64,334
23.24
— 58,265
25.27
+ 169,527
28*. 30
— 648,427
[Mit Hülfe dieser 3 Tabellen ergeben sich jetzt die Fehlergleichungen.
Man erhält z. B. aus der Höhenbeobachtung über der Seite 1.2, wenn i?j.a
den Beobachtungsfehler bedeutet,
+ 7,1654-v,.2 = 4-33,4194-(2) — 24,726 — (1)
«^1.9 = + 1.528 4- a,
und über der Seite 11.15:
+ 64,170+Vh.i6 = +63,834 + (12) + o-(8)-*
Vijjg = —0,336 — * + /-}-(>.
Die Fehlergleichungen lauten:]
»1.« =
+ l,528 + a
»7.8
—
+ 2,113-/-+^
»1.» =
— 1,410 + 6
»7.»
;
- 0,866 -/•+^ + Ä
»M =
— 0,117 + c
»7.10
-0,531 -Z'+^ + i
Vas =
+ 1,528 — a + 6
»8.9
=
— 0,793 + Ä
»8.4 =
+ 0,744 — 6+c
»8.10
+ 1,799 + 1
»M —
— 0,627 — 6 + c + rf
»au
—^
+ 0,766+*
»4.6 —
— 2,087 + d
»au
— 0,376 + /
»4.6 =
+ 2,716 + e
»9.«
—
— 3,488 — Ä + /
»6.6 —
— 1,246 — rf + «
»9.18
:
+ 1,830 — A + ?+m
»6.7 =
— 1,468 — rf+g+Z"
»10.11
— 1,134 — i +Ar
»6.7 —
+ 2,186+/-
»io.ia
—
+ 1,838 — 1 +/
»6.8—]
-0,717+^
»10.18
^
— 0,353 — » +/+m
57*
452
KACHLA.S8.
[«io.u= +0,915-i +/+n
r„,j= _o,657— A; + /
»11.16= —0,336— Ar +/-I-0
«iu.= +0,624- Ar +/+j>
»12.18= — t,372 + m
v^m = — 0,333 +n
«'i«..6= +0,453+0
»1...«= - 0,770 +p
»12.17= -0,182 + ^
»12.18= - 0,020 +r
»i«.i»= +0,374+«
»12.20= +0,245 + *
»uji = —1,062 + «
%.2j = — 0,161 +v
»12.2»= +0,1 45 + IT
»i».u= + 0,102 -m + n
»M.i«= +0,686-« +j>
»15.18= +0,951-0 +r
»16.19= —0,835 — 0 +«
»16.28= +0,535—/) +w
»17.18= —0,181-^ +r
»18.1»= +0,753 — r +«
»12.20 = +0,295-* +f
»20.21 =]- 0,224 - r +«
[»20.28= +0,766-* + ir
»21.22= +0,545 — M+t»
»21.28= —1,827— M + IO
»22.28= +1,322 — tJ+W
»2».24 = —0,940 — « + » + «
»28.24 = + 1,417 +J?
»28.26= -0,684+5^
»28.28= +0,519+«
»28.27= —0,31 3 +a
»24.26= +0,477— af+j^
»26.26= +1,521— _y+»
»26.27= —1,727—^ + 0
»26.27= +1,679 — «+a
»26.22= +0,359— « + 0 + Y
»27.28= + 0,646 + ß
»87.2»= - 1,007 +T
«^„= _l,674-ß + Y
t;^„= +2,319-ß + Y + 8
»22.80= -0,930 + 8
»22.81= - 1,390 + e
»80.81= +0,448-8 + «
»80.82= +Ö,942-8 + e + C
»81.8»=]- 0,942 + C.
[Damit findet man, wenn die Gewichte der Fehlelgleichungen sämmtlich
gleich 1 angenommen weiden, die nachfolgenden Noimalgleichungen, wobei
die Constanten in Einheiten der dritten Decimalstelle zu verstehen sind.]
HÖHENMESSUNGEN. 45 3
[0 —
* •
-f 2a
- 6
^
*
# # # # #
* #
#
#
0 —
+ 1-
— a
+ 4J-
-2<
:- d
# # # # #
# #
#
*
0 =
*
*
— 26+3(
:+ rf
# # # # #
# #
#
#
0 =
*
* ■
- 6+ £
r + 4rf-
-2e— /* # # #
# *
#
#
0 =
+ 2
#
#
*
— 2rf+3g4- /• # # #
# #
#
#
0 =
+ 2
#
#
#
— rf+ e-^bf—3ff— h— i
# *
#
«
0 =
— 1
#
#
#
#
* 3/*+ 4^+ A+ «
# #
#
#
0 —
1
#
#
#
#
# /*+ ^ + 4A #
# — 2/
— m
#
0 =
+ 2
#
#
#
#
* /*+ 5^ # +6t
^ 3/
-— m
— «
0 =
+ 1
# -
- i+5Ar
-3/
# # — 0 — /) #
# #
*
#
#
#
0 —
3-
-2Ä-
3i
3Ar + 9/+
2m+ »+ ö-[- P *
# # •
#
*
#
#
0 =
+ 3
- Ä-
•
— t
#
+ 2/+
im — n * # #
# #
#
#
#
#
0 =
2
# -
9
— t
#
+ /-
w4-4n #— /) #
# *
*
#
#
#
0 =
+ 1
*
#
*+ ^
# # +4o # # —
r— s
#
#
#
#
0 —
+ 5
#
#
;t+ l
# — n *-(-4p #
* #
*
#
#-
-u?
0 =
— 1
#
#
#
#
# # # # -|-2j —
r #
#
#
#
#
0 =
— 3
*
*
%
#
# # — 0 # — 5^-}-
4r— Ä
#
#
«
#
0 =
— 3
#
#
=H.
#
# # — 0 # # —
r+4Ä —
t
#
#
#
0 —
2
#
#
#
#
# # # # #
# — 5+
4t—
u
# -
-117
0 —
— 4
#
#
#
#
# # # # #
# # —
r+4u-
-v-
-W
0 =
+ 2
#
#
#
#
# — tt + 4» — 2w— ^
# #
*
0 =
+ 1-
-P
#
#
# -
-f — tt — 2v-|-6w4- ^
# #
*■'
0 =
-*
*
*
#
#
# # — t;+ w + 3a? —
■ y #
#
0 =
— 1
#
#
#
#
# # # *" — iTH-
4v — a? —
a
0= +2—^ + 45? — 2a # — Tf # # #
0= —2—y—2z-\-Aa * + T * * *
0= +1 # # # +3ß — 2i— 8 # #
0= — 3 #— 5?+ a— 2ß + 4Y+ 8 # *
0= -1 # * # - ß+ T + 48-2e- C
0= # # # # # #— 28 + 3e+ C
0=] #### # #—8+ e + 2C.
454
NACHLASS. HÖHENHESSUNGEN.
Es können noch die Correctionen angebracht werden:
f = —0,001
i = —0,001
k = —0,001
/ = —0,001
m = —0,001
p = —0,001
q = +0,001
r = +0,001
s = +0,001
t = +0,001
u = +0,001
[Y = +0,001].
[Demnach hat man den angenommenen Werthen für die Höhen der Drei-
eckspunkte (Tabelle 1} noch als Verbesserungen zuzufügen, wenn zugleich
(1) = 0 gesetzt wird:
(1) =
(2) =
(3) =
(4) =
(5) =
(6) =
(7) =
(8)-=
0
0
0
0
0
0
0,001
0
(9) =
10) =
11) =
12) =
13) =
14) =
15) =
16) =
0
0,001
0,001
0,001
0,002
0,001
0,001
0,002
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
0
0
0
0
0
0,001
0,001
0,001
(25) = —0,001
(26) = —0,001
(27) = —0,001
(28) = —0,001
(29) = 0
(30) = 0
(31) = 0
(32) = 0 .]
BEMERKUNGEN.
Die Notiz [i] befindet lieh auf einem einzelnen Blatte. In der Fonnel 11} denelben lowie in der un-
mittelbar vorhergehenden Formel fOr h müde ein Schrerbfehler verbeiaert, an Stelle ron A fteht im Origi-
nal beidemal t.
Die Notizen [>] und [4] sind S Handbüchern, die Notiz [i] einem Bechnungaheft cur hannoTenehen
Gradmesfung entnommen.
Die Formeln des Art. [I] ergeben eich unmittelbar aui den Entwiekelungen im Art. [1]. Aui der
Fonnel, S. ««< oben,
■^j .C08« = I— 7-rJ .00»« = coi(a+(i— »)t)
folgt filr a = 0 :
Schreibt man nun B für a, v tOx t und e ftbr den RefractionBcoeffioienten n, §o folgt hienuii ^
V — tV = 8 ist:
i^r - -^
BEMERKUNGEN. HÖHENMESSUNGEN. 455
Statt der im Art. [3] angegebenen Formel ftlr — ^— hatte daa Original :
JR
T> I 1. COB — - • 0
B + h __ 2 — ac
ü "" e *
cos 0
2 — 2e
Die Formel {fSa h'—h des Art. [4], die Gauss bei der Berechnung der Höhenuntemchiede seiner süd-
lichen ELauptdreieckspunkte benutzt hat, setzt die Erde innerhalb der in Betracht kommenden Länge des
Lichtstrahls ebenfalls als Kugel Toraus. Es sei M der Mittelpunkt und B der Radius derselben, femer
PM= B + h und P'M= B + h'; e sei die Zenithdistanz des Lichtstrahls von P' in P und z' die
Zenithdistanz von P in P'; die zugehörigen Refractionswinkel seien hß und he'.
Setzt man
e + hz = 90*+a und e' + hz' = 90*+a',
so ist im Dreieck PMP' :
V-Ä = (2B + Ä + Ä')tangi(a'~a)tang^(a'+a),
oder, da for kleine Winkel angen&hert tang x = x^ sec sc^ ist,
Ä'-fc = (Ä + t(Ä + V))c.i(a'-a)(sec4(a'-a)8eoi(o'+a))*,
wobei der Winkel PMP' = c = a'+ a ist.
Wegen Bc = r, und weil ausserdem flr kleine Winkel
(8ec|;a'— a)8ec|^(a'+a))' = i + \[a'a'+aa) = sec a sec a'
ist, folgt hieraus :
h'-h = l(a'-a)(8ecaseca')^(f + i(Ä + Ä')c).
Gauss hat bei den Berechnungen der Höhenunterschiede die Refractionswinkel hz und Iz' einander
gleich gesetzt. In den meisten FäUen ist zu dieser Berechnung die Formel
Ä' — Ä = 8teLng\{z'—z)
benutzt worden, in der 8 die Dreiecksseite bezeichnet.
Die Tabellen in der Notiz [6] über die Höhenausgleichimg der Dreieckspunkte sind nach Aufteioh-
nungen auf einer Seite des Handbuchs mit dem Titel: »Aufsätze, Notizen und Rechnungen, zur Mathe-
matik gehörig« zusammengestellt; die Bezeichnungen der Columnen wurden ihnen zugefügt. Die Vollen-
dung dieser Ausgleichung ist von Gauss angezeigt in dem Briefe an Olbers vom 3. April 1826 (S. 377).
Dass die benutzten Näherungswerthe (in der ersten Tabelle} nahezu mit den Ausgleichungswerthen überein-
stimmen, rührt daher, dass wahrscheinlich schon eine Ausgleichung vorher gegangen ist. Auch bei den Aus-
gleichungen der Stationsbeobachtungen findet man häufig, dass Gauss nach vollendeter Ausgleichung noch-
mals die Fehler- und Normalgleichungen aufgestellt hat (rergl. die Stationsausgleichungen für Brillit und
Wilsede, S. 265/270). Li den Fehlergleichungen, S. 461/462, sind mehrere Schreibfehler berichtigt worden«
Bringt man in diesen Fehlergleichungen die Werthe der Correclionen an, so ergibt sich der mittlere
Fehler eines ausgeglichenen Höhenunterschiedes
100,3710
-V
= ± 1,684 m.
71 — 31
Es sei noch erwähnt, dass die Höhen winkel in der Regel aus 20 Repetitionen erhalten sind.
Die im Briefe an Glbess vom lo. Februar 1825, S. 373/974, mifgetheilten Höhenangaben sind vor-
läufige Werthe. Kbügbb.
'
456
HÖHENMESSUNGEN.
[Tafeln für barometrisches Höhenmessen.]
AfltronomiicheB Jahrbuch für das Jahr 1818. Berlin 1816. S. 169 — 173.
Das Höhenmessen mit dem Barometer ist zwar kein astronomischer* Gegen-
stand, indessen wird unter den Lesern des Jahrbuchs keiner sein, für den
nicht auch jenes Interesse hätte, und so glaube ich wird diesen die Mit-
theilung einer kleinen Tafel dafiir nicht unlieb sein, die ich vor einiger Zeit
zu meinem eigenen Gebrauch berechnet habe. Mir ist dieselbe bequemer
als alle weitläuftigen Hiilfstafeln ; sie gibt in völliger Strenge den LAPLACESchen
Ausdruck wieder. Man hat auch bei andern Gelegenheiten, z. B. der Ab-
erration, Nutation, correspondirenden Sonnenhöhen, die neu eingerichteten
Tafeln, die in Verbindung mit Logarithmentafeln das gesuchte möglichst be-
quem geben, mit Beifall aufgenommen; ich hoffe, dass dies auch bei den
gegenwärtigen der FaU sein wird, wovon man sich leicht eine Abschrift auf
das weisse Blatt derjenigen Logarithmentafel setzen kann, an die man ge-
wöhnt ist.
Tafel L
t^f
A
*+*'
A
* + *'
A
t + t'
A
-10"
4,25337
5"
4,25892
0»
4,26439
+ 5"
4,26980
— 9
4,25448
— 4
4,26002
+ 1
4,26548
+ 6
4,27087
— 8
4,25560
— 3
4,26111
+ 2
4,26658
+ 7
4,27195
— 7
4,25671
— 2
4,26220
+ 3
4,26765
+ 8
4,27301
— 6
4,25781
— 1
4,26330
+ 4
4,26872
+ 9
4,27408
- 5
4,25892
0
4,26439
4-5
4,26980
+ 10
4,27514
HÖHENMESSUKGEN.
457
t+r
A
t-^H
A
t + t'
A
*+t'
A
+ 10»
4,27514
+ 20"
4,28564
+ 30"
4,29588
+ 40"
4,30589
11
4,27620
21
4,28667
31
4,29689
41
4,30688
12
4,27726
22
4,28770
32
4,29790
42
4,30787
13
4,27832
23
4,28874
33
4,29891
43
4,30885
14
4,27937
24
4,28976
34
4,29991
44
4,30984
15
4,28042
25
4,29079
35
4,30092
45
4,31082
16
4,28147
26
4,29181
36
4,30192
46
4,31179
17
4,28251
27
4,29283
37
4,30291
47
4,31277
18
4,28356
28
4,29385
38
4,30391
48
4,31374
19
4,28460
29
4,29487
39
4,30490
49
4,31471
20
4,28564
30
4,29588
40
4,30589
50
4,31568
Tafel n.
Cozrectioii von A. Axgament: die Polhöhe.
Polh.
0"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
+
124
123
123
123
122
122
121
120
119
118
116
115
113
111
109
107
Polh.
90"
15
89
16
88
17
87
18
86
19
85
20
84
21
83
22
82
23
81
24
80
25
79
26
78
27
77
28
76
29
75
30
0
- I Polh
+
Polh.
+
107
75"
30"
62
105
74
31
58
102
73
32
54
100
72
33
50
97
71
34
46
95
70
35
42
92
69
36
38
89
68
37
34
86
67
38
30
83
66
39
26
79
65
40
21
76
64
41
17
73
63
42
13
69
62
43
9
65
61
44
4
62
60
45
0
—
Polh.
—
60"
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
— Polh.
IX.
58
458
HÖHENICESSUNGEN.
Tafel m.
1,9
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
+
+
1
2,8
4
3,4
1
2,9
5
3,5
2
3,0
7
3,6
2
3,1
9
3,7
3
3,2
11
3,8
3
3,3
14
3,9
4
3,4
17
+
17
22
27
34
43
54
Gebrauch der Tafeln.
t, t' Temperatur der Luft; T, T' Temperatur des Quecksilbers (nach
Röaumur); 6, b' Barometerstand (in beliebigem Maass).
Man vermindere log 6 und log 6' resp. um lOT, iOT' (als Einheiten der
5**** Decimale betrachtet), und ziehe die so corrigirten Logarithmen von ein-
ander ab ; der Unterschied sei = u. Man addire log u und A, nachdem man,
wenn man es for nothig hält, letzteres nach der zweiten Tafel (die, ebenso
wie die dritte, Einheiten in der 6^^ Decimale gibt) corrigirt hat ; die Summe
sei = v\ diese Grösse erhält noch eine kleine Correction aus Tafel DI, von
der V selbst das Argument ist. Das so corrigirte v ist der Logarithm des
Hohenimterschiedes in Metern. Verlangt man denselben in Toisen, so wird
zum Logarithmen noch 9,71018 addirt.
Beispiel, t = 15?3,
T = 14,9,
t'= 3,2,
r= 7,8,
logb = 2,86663
Corr. —149
log 6'= 2,73014
» — 78
0,13649
» — 71
u — 0,13578
logt( = 9,13284
A = 4,28408
Corr. = 0
V— 3,41692
Corr. + 18
b = 735,581mm, Folhöhe
b'— 537,203
= 45".
HELIOTROP.
58'
Göttingiache gelehrte Anzeigen. 126. Stück, o. August 1831. S. 1240 — 1254.
[Über den Heliotrop.]
Den Kennern der hohem Geodäsie sind die Schwierigkeiten bekannt, sich
zur Bildung grosser Dreiecke recht zweckmässige Zielpunkte zu verschaffen.
Hohe Kirchthürme finden sich in manchen Gegenden nicht in dazu schick-
Uchen Lagen, und auch die vorhandenen bieten oft nicht die gewünschte Ge-
legenheit zur Aufstellung der Instrumente und zum Centriren der gemessenen
Winkel dar; auch ist ihr Bau öfters nicht in dem Maasse regelmässig, wie
es zur Erreichung der äussersten Schärfe wünschenswerth ist. Besonders ge-
baute Signalthürme haben, auch abgesehen von dem Aufwand an Geld und
Zeit, welchen ihre Erbauung kostet, mit den Kirchthürmen das gemein, dass
sie in solchen Fällen, wo sie sich auf nahen dunkeln Hintergrund projiciren,
in beträchtlichen Entfernungen schwer zu sehen und zu pointiren sind, und
wenn man ihnen eine helle Farbe gibt, nach der verschiedenen Beleuchtung
von der Sonne eine veränderliche höchst nachtheilige Phase zeigen. Ja selbst
die vollkommensten Signalthürme, geschwärzte, die sich gegen den Himmel
projiciren, sind in sehr grossen Entfernungen, wenn man zugleich eine von
der Sonne beleuchtete und eine im Schatten befindliche Seitenfläche sieht,
nicht gänzlich von einer beschwerlichen Phase frei. Die Messungen bei Nacht
mit Hülfe AROANOscher Lampen sind zwar diesen Fehlem nicht unterworfen,
haben aber dagegen, besonders auf schwer zugänglichen Bergen, andere Li-
convenienzen, die zu sehr von selbst einleuchten, als dass es nöthig wäre, sie
hier zu berühren.
Diese Betrachtungen haben den Hrn. Hofrath Gauss veranlasst, für die
462 HELIOTROP.
auf allerhöchsten Befehl im Königreich Hannover auszuführende Gradmessung,
auf ein neues Hülfsmittel zu denken, welches, wenn auch nur neben den ge-
nannten, mit Vortheil fär die Triangulirung im Grossen anzuwenden wäre.
Der Erfolg davon hat seine Erwartungen noch weit übertroffen.
Eine auf photometrische Gründe gestützte Untersuchung hatte ihm schon
früher die Überzeugung gegeben, dass das von einem nur sehr kleinen Plan-
spiegel reflectirte Sonnenlicht auch in den aUergrössten Entfernungen, welche
nur bei Triangulirungen vorkommen können, noch hinlängliche Kraft haben
müsse, um den schönsten Zielpunkt abzugeben. Um diese Idee zu benutzen,
kam es darauf an, ein Instrument anzugeben, mit dessen Hülfe das Sonnen-
licht überall genau in jede nöthige Richtung gelenkt werden kann. Es war
zugleich die Bedingung zu erfüllen, dass ein solches Instrument überall leicht
aufgestellt und gehandhabt werden kann, und dass der Mittelpunkt des reflec-
tirenden Spiegels während der Bewegungen, die gemacht werden müssen, um
der fortrückenden Sonne gleichsam zu folgen, stets in absoluter Ruhe bleibt.
Ein solches Instrument, welches diese Lenkung des Sonnenlichts in jede
beliebige Richtung aufs vollkommenste und auf die angezeigte Art auszu-
fahren dient, scheint am schicklichsten den Namen eines Heliotrops zu
fähren, zum wenigsten ebenso schicklich wie zwei bekannte Froducte des
Pflanzen- und Minerab*eichs.
Das weitere Nachdenken über diesen Gegenstand hat den Hm. Ho&ath
Gauss auf zwei ganz verschiedene Einrichtungen eines Heliotrops gefuhrt ; nach
der einen ist ein solches Instrument von unserm geschickten Hm. Inspector
Rümpf bereits vortrefflich ausgeführt, und an einem zweiten nach der andern
Einrichtung wird von demselben Künstler jetzt gearbeitet. Eine vollständige
Beschreibung, die für unsere Blätter sich nicht eignen würde, wird an einem
andern Ort gegeben werden. — Um, noch ehe der erwähnte Heliotrop voll-
endet war, wirkliche Versuche über die Kraft des reflectirten Sonnenlichts
anstellen zu können, kam Hr. Hofrath Gauss noch auf eine dritte Idee, ver-
mittelst welcher jeder Spiegelsextant zu einem ziemlich vollkommenen Helio-
trop eingerichtet werden kann, ja allenfalls ohne allen Zusatz, wenn er nur
auf ein gutes Stativ gesetzt werden kann, als Heliotrop zu gebrauchen ist.
Hr. Hofrath Gauss liess nemlich durch Hm. Inspector Rumpf an dem grossen
Spiegel eines Sextanten einen dritten Planspiegel so befestigen, dass dessen
HELIOTROP. 463
Ebene auf der Ebene des Sextanten senkrecht ist, und mit der Ebene des
grossen Spiegels einen Winkel macht, der dem Complement des Winkels der
Gesichtslinie (die nöthigenfalls erst durch eingezogene feine Kreuzfaden zu
bilden ist) gegen die Ebene des kleinen Spiegels zum rechten Winkel gleich
ist- Sobald ein solcher Sextant in eine solche Lage gebracht ist, als wollte
man die Distanz eines Objects vom Mittelpunkt (ja, insofern alles gut gear-
beitet und berichtigt ist, nur von irgend einem Punkt) der Sonnenscheibe
messen, gleichviel, welches von beiden direct gesehen wird, reflectirt jener
dritte Spiegel das Sonnenlicht nach dem Objecte zu. Steht ein solcher Sex-
tant auf einem guten Stativ, so ist es einer etwas geübten Hand nicht schwer,
das reflectirte Sonnenlicht ununterbrochen nach dem gewünschten Punkte
hin zu senden. Ist der dritte Spiegel nicht vorhanden, so kann der grosse
Spiegel selbst seine Stelle vertreten, wenn man bei völlig unverrückter Ebene
die Alhidade um den vorhin erwähnten Winkel schnell vorwärts schiebt (oder
nominell auf dem Gradbogen um den doppelten Winkel). Bei dieser letzten
Art ist offenbar nur eine unterbrochene Reflexion zu bewirken; doch kann
eine geübte Hand, bei Anwendung der nöthigen Sorgfalt und einiger kleiner
Kunstgriffe, die hier anzuführen zu weitläuftig sein würde, die Reflexion des
Sonnenlichtes nach dem vorgeschriebenen Punkte wohl jedesmal zwei Minuten
und darüber anhaltend machen. Beide letztere Arten haben übrigens offenbar
die kleine ünvoUkommenheit, dass, insofern das Stativ fest steht, der Mittel-
punkt des reflectirenden Spiegels nicht in absoluter Ruhe bleibt. In den
meisten Fällen wird jedoch dies fast von gar keiner Erheblichkeit sein, so wie
man, wenn man es far nöthig hält, auch leicht fortwährend etwas nachhelfen
oder davon Rechnung tragen könnte. Auch ist die Anwendbarkeit davon
natürlich auf die Winkelentfemung der Sonne vom Object beschränkt, welche
die Grösse des Gradbogens des Sextanten vorschreibt.
Ehe wir den Erfolg der Versuche, die mit dem Heliotrop angestellt sind,
hier anführen, bemerken wir, dass aUe zur Reflexion angewandten Spiegel eine
Breite von 2 Zoll und eine Höhe von H Zoll haben. Die Erfahrung hat
bestätigt, was Hr. Hofirath Gauss schon aus photometrischen Gründen voraus-
berechnet hatte, dass bei nur einigermaassen günstigen Umständen grössere
Dimensionen ganz unnöthig sein würden, wenigstens für den geodätischen Ge-
brauch. Bei der zweiten oben erwähnten Einrichtung kann man, übrigens
464 HELIOTROP.
auch nach Gefallen und ohne die Dimensionen des Instruments sonst zu ver-
grössem, einen grossem Spiegel anbringen lassen.
In der Distanz von der hiesigen Sternwarte zum Hohehagen, einem Haupt-
dreieckspunkte der Grradmessung, (beinahe 2 geographische Meilen) war das
Licht vom Heliotrop selbst sowohl, als das von dem zum Heliotrop einge-
richteten Sextanten mit blossen Augen, wenn die Sonne hell schien, überaus
schön zu sehen; im Femrohr des Theodolithen war es im Grunde zu stark,
und dagegen gab bloss das reflectirte Licht von einer hellen Wolke den
schönsten Zielpunkt, der sich denken lässt. Offenbar kann übrigens das reflec-
tirte Sonnenlicht selbst, wo man es wünscht, leicht durch Bedeckung eines
Theils des Spiegels nach Gefallen gemässigt werden.
In der Entfernung des Hils (eines andern Hauptdreieckspunktes) zum
Meridianzeichen der Sternwarte, sehr nahe 5 geographische Meilen, war das
Licht beider Instrumente gleichfalls noch mit blossen Augen wie ein schönes
Sternchen vortreffliich zu sehen, und bot im Femrohr des Theodolithen den
herrlichsten Zielpunkt dar. Zuweilen bei nebliger Luft, wo von dem Bergrücken
des Hils im Femrohr des Theodolithen ebenso wenig, wie von dem dort er-
bauten Signalthurm nur eine Spur zu erkennen war, schien das Licht des
Heliotrops wie ein prachtvoller Stern im blauen Himmel zu schweben.
Die wichtigsten Versuche sind nur erst in den letzten Tagen angestellt.
Hr. Professor Encke, Vorsteher der Seeberger Sternwarte, war auf die Einladung
des Hm. Hofrath Gauss hieher gekommen, um den Gebrauch des Spiegel-
sextanten, ohne dritten Spiegel, als Heliotrop, und die dabei anzuwendenden
HELIOTROP. 465
kleinen Kunstgriffe kennen zu lernen, und begab sich sodann auf den Insels-
berg, während Hr. Hofrath Gauss die Messungen auf dem Hohehagen anfing.
Jener sandte das Sonnenlicht mit dem als Heliotrop gebrauchten Sextanten
absatzweise nach dem Hohehagen (Entfernung 85000 Meter oder llf geogr.
Meilen), von wo das Sonnenlicht mit dem eigentlichen Heliotrop nach dem
Inselsberge gelenkt wurde. Die Versuche und Beobachtungen sind vom 19.
bis 29. Julius unter abwechselnd ungunstigen und günstigen Umständen fort-
gesetzt und haben den allererwünschtesten Erfolg gehabt. Beide Beobachter
haben durch das heliotropische Licht die allerschönsten Zielpunkte erhalten,
die sich nur irgend denken lassen; häufig erschien es wie ein schönes Stern-
chen, während man in demselben Femrohr den Umriss des Berges kaum oder
gar nicht wahrnehmen konnte; der eine Beobachter befand sich zuweilen in
Nebel und Regen, während das Heliotroplicht von drüben kräftig durchdrang.
Ja einige Male glaubten mehrere Anwesende auf dem Hohehagen von vorzüg-
lich scharfer Gesichtskraft das Lichtpünktchen auf dem Inselsberge mit blossen
Augen zu erkennen. Wir können noch hinzusetzen, dass die Winkelmessungen
selbst, die sich auf das Heliotroplicht bezogen, beiderseitig eine Übereinstim-
mung gewährt haben, wie sie in einer so grossen Entfernung von keinem
andern Signal, es sei deim bei ganz besonders günstigen Umständen, hätte er-
wartet werden dürfen.
Diese Erfahrungen setzen bereits ausser Zweifel, dass bei Anwendung des
Heliotroplichts es £ur die Grösse zu bildender Dreiecke keine Ghrenzen weiter
geben wird, als die die Krümmung der Erde setzt.
So wie das Bedürfiiiss der hohem Geodäsie dieses Instrument veranlasst
hat, so beschränken wir uns hier auf Erzählung obiger Erfahrungen, ohne die
sich von selbst darbietende Aussicht zu dem künftigen vielleicht noch wich-
tigem Gebrauch eines den Kaum so kräftig durchdringenden Mittels zu tele-
graphischen Signalisirungen in Krieg und Frieden jetzt weiter zu verfolgen.
IX.
59
- .^ Jahr iBl». Berlin iBll. 8. los und i«i.
- -ciing eines Heliotrops,
. Jauss in Göttingen unterm 26. December 1821
eingesandt.
«tiren meines so langen Stillschweigens entschuldigt
' '1 ^a^, dasB ich den grössten Theil des Jahres von hier
^ - .1. und selbst noch im Spätherbst eine Reise nach Altena
. ics RAMSDENBchen Zenithsectors gemacht habe, von wo ich
;.v'.tor mirückgekommen bin.
■ V L'ridngulation, wo ich bisher an fünf Dreieckspunkten die
v^?»'i habe, habe ich die Dreiecke so gross wie möglich zu machen
,'vc Jas neue von mir zu diesem Behuf angewandte Hülfsmittel,
■ ■.■,v>i>^ und die ersten damit gemachten ins Grosse gehenden Ver-
., ^-.-Ic« Sit' die Nachricht in Nr. 126 der hiesigen gelehrten Anzeigen
^,1 'i.t'vu. Seit der Zeit habe ich davon beständig Gebrauch gemacht,
- i,!\u> «J» Zielpunkt beim Winkelmessen, sondern auch mit nicht we-
,t ^^^.ukUohom Erfolg zu telegraphischen Signalisirungen. Die gewaltige
^^ ,v .^ do8 reflectirten Sonnenlichts von einem Spiegel von 2 Zoll Breite
»i ;.; i i Z^'l* Höhe, welches in Entfernungen von 5, 6, 71^, ja einmal von 91
•vx-Miirti'KiscIit'n Meilen mit blossen Augen gesehen wurde, pflegt diejenigen,
'< • 4t«~ vuni ersten Male erfahren, und nicht durch theoretische Berechniing
ti\«uf vorbereitet sind, gewöhnlich in Erstaunen zu setzen. Bei einem noi
'iMtuvvuiitnsflcn günstigen Zustande der Lufl gibt es jetzt für die Grösse dei
nt\-i«'rkiiii<<itcn keine Grenzen mehr, als die die Krümmung der Erde setzt,
4«»»ftl wt'nn man, wie ich es bei zwei neu angefertigten Heliotropen von gani
v^'i'^ohtt'doncr Construction gethan habe, den Spiegeln noch etwas grössere
\limrititloncn gibt.
BRIEFWECHSEL- HELIOTROP. 467
BRIEFWECHSEL.
Gauss an Olbers. Göttingen, 1. Julius 1821.
Es lag mir inzwischen daran, vorerst nur über die Strahlkraft
der Spiegel selbst einige Erfahrungen zu erhalten. Ich habe erst mancherlei
versucht. Ich befestigte einen Spiegel am Deckel des Femrohrs eines Theo-
dolithen und suchte durch im voraus mühsam berechnete Azimuthe und Höhen
dem Spiegel die richtige Lage zu geben, um das Licht nach einer bestimmten
Richtung zu werfen. Dies misslang aber gänzlich. Der Deckel, etwas hart
gehend, konnte nicht mit Sicherheit immer wieder in dieselbe Lage gebracht
werden, sondern es blieben darin Differenzen von 20', die dies Verfahren ganz
unbrauchbar machten, wenn nicht der Spiegel auf eine solidere Art am Fem-
rohr befestigt wurde, so dass dieses offen blieb. Inzwischen brachte mich der
Verdruss über die verlorne Mühe auf eine andere Idee, die vollkommen ge-
lungen ist. Der blosse Spiegelsextant auf einem guten Stativ leistet schon
das Verlangte, obwohl nicht so vollkommen wie ein eigentlicher Sonnen-
Spiegel. Ist der Winkel, den die Gesichtslinie (die, wenn sie nicht schon
vorhanden, erst durch einen Faden oder ein Fadenkreuz dargestellt werden
muss) mit dem kleinen Spiegel macht, = 90^— a, und ist Sonnenbild und Ob-
ject, wohin das Licht zu werfen, auf gewöhnliche Art zur Berührung gebracht,
als wollte man den Winkel messen — gleichviel ob ersteres oder letzteres
direct gesehen — , so braucht man nur bei unverrückter Ebene die Alhidade
um a (oder nominell 2 a) vorzurücken und hat seinen Zweck erreicht. Man
kann bei einiger Übung die Stellung leicht so machen, dass jene Coincidenz
59*
468 BRIEFWECHSEL.
erst nach ein paar Minuten eintreffen würde, und wenn man sich dann beeüt,
abzulesen und die Alhidade vorzurücken, so gelingt es wohl, dass der Beob-
achter an dem Ort, wohin das Licht geworfen wird, über 2 Minuten den
vollen Glanz geniesst. Offenbar ist die Mühe ohne Vergleich geringer, wenn
sogleich am grossen Spiegel, senkrecht auf der Ebene des Sextanten, unter
der Neigung a ein dritter Spiegel befestigt ist. Der Sextant wird dadurch
ein vollkommener Sonnenspiegel, und steht nur deswegen sehr nach, weil
theils das kleine Femrohr mit seinem halben Licht nicht auf sehr grosse Di-
stanzen trägt, und theils, weil dieser dritte Spiegel bei den Bewegungen des
Sextanten auf seinem Stativ nicht in Ruhe bleibt. Ich denke jedoch behuf
der Contresignale an meinem Sextanten einen solchen dritten Spiegel an-
bringen zu lassen.
Bei den kleinen bisher angestellten Versuchen ist es nun so gegangen:
Zuerst, bloss auf der Terrasse der Sternwarte, Distanz 60 Meter, war das
Licht so, dass man auch nicht einen Augenblick ohne Schmerz hinsehen durfte.
Zweitens etwas abwärts, Distanz 1 50 Meter, war das nur ein paar Secunden fort-
gesetzte Hinsehen dem Auge peinlich. Nur diese beiden Versuche habe ich
selbst gemacht, da ich bisher niemand habe, der die Stellung machen könnte,
und also dies selbst thun musste. (Es würde besser sein, einen andern dazu
abzurichten, wenn nicht das Stativ sehr unvollkommen balancirt wäre, so dass
es, wenn die Versuche nicht völlig misslingen sollen, mit äusserst leichter
Hand behandelt werden muss ; wenn ein dritter Spiegel erst da ist, fallt offen-
bar diese Schwierigkeit weg.) Bei den folgenden Versuchen haben theils der
jetzt hier angesetzte Professor Ulrich, theils Hr. Lieutenant Hartmann beob-
achtet.
Beim dritten Versuch war die Distanz 300 Meter. Hr. Professor Ulrich
beschrieb das Licht als herrlich und beim anhaltenden Hinsehen dem Auge
beschwerlich.
Vorgestern ein vierter Versuch, auf die Distanz 2000 Meter. Hr. Pro-
fessor Ulrich qualüicirte das Licht wieder als herrlich und verglich es mit einem
3-fachen Glänze der Venus, wie sie, wenn sie am schönsten ist, bei Nacht
erscheint. Sein Begleiter habe nicht genug sein Erstaunen zu erkennen geben
können, wie ein solcher Glanz hervorgebracht sei.
Gestern fünfter Versuch, am Platz des künftig zu errichtenden süd-
HELIOTROP. 469
liehen Meridianzeichens, wo ich eine beträchtliche Waldung habe durchhauen
lassen müssen, Distanz 11890 Meter. Hr. Lieutenant Hartmann betitelt das
Licht wieder als herrlich und meint, dass es an Intensität wohl noch der
Venus in der Abenddämmerung gleich gekommen, aber für das Auge, wie er
sich ausdrückte, beleidigender gewesen sei. Es versteht sich, dass alle
diese Beoachtungen mit blossen Augen gemacht sind. Ein Arbeiter, den er
bei sich hatte, habe beim ersten Aufblitzen erschrocken Feuer geschrien. Ln
Theodolithenfemrohr schien der Faden an der Stelle dieses scharfen Licht-
punkts völlig zerschnitten.
Der Spiegel an meinem Sextanten hat genau 2 Pariser Zoll Breite und
1^ Zoll Höhe; der Spiegel des von Rumpf verfertigten Heliotrops hat nahe
dieselben Dimensionen.
Ich habe geglaubt, dass es Ihnen nicht unangenehm sein würde, diese Re-
sultate zu erfahren. So lange, bis ich mit dem wirklichen Sonnenspiegel erst
noch etwas mehr ins Grosse gehende Versuche angestellt habe, möchte ich
nicht gern, dass auswärts etwas davon transpirirte.
Ich habe nun die beste Hoffnung, dass diese Vorrichtung auch in den
grössten Distanzen meines Dreieckssystems aushelfen soll. Ich glaube, wenn
man die Sonnenspiegel nach der zweiten in meinem letzten Briefe ange-
deuteten Einrichtung ausfahrt, und den Spiegel hinlänglich gross macht, so
gibt es in Zukunft für die Grösse der Triangelseiten keine Grrenzen mehr,
als die die Kugelgestalt der Erde setzt.
Vielleicht können diese Ideen auch in andern Beziehungen noch wichtige
Anwendungen finden, z. B. als Signale fär astronomische Längenbestimmimgen,
da man dies Licht immer ganz augenblicklich bedecken und wieder erscheinen
lassen kann. Vielleicht selbst zu andern telegraphischen Signalisirungen,
wenigstens zu Zeiten, wo die Sonne etwas anhaltend scheint, wenn den sehr
genau zu messenden Intervallen des Erscheinens und Verschwindens verab-
redete Bedeutungen beigelegt werden.
Mein Hohehagen- Signal ist gestern fertig geworden. Ich denke diese
Woche noch (wenn Rumpf Wort hält) theils die schwierige Berichtigung des
Sonnenspiegels, theils die Messung des Winkels Hohehagen-Meridianzeichen
hier zu absolviren und dann nach dem Hohehagen abzugehen
470 BRIEFWECHSEL.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 11. Julius 1821.
Vielleicht könnte eine Nachricht über mein neues Instrument,
dem ich den Namen Heliotrop beilegen möchte, die EröflBaung [*)] machen:
ich hoffe, dass diese Manier zu beobachten für die höhere Geodäsie von der
grössten Wichtigkeit werden kann. Auf kurze Distanzen (bis 2 Meilen) können
Sie sich keinen schönem Zielpunkt denken, als reflectirtes Licht von einer
hellen Wolke; reflectirtes Sonnenlicht, hoffe ich, soll in den allergrössten
Entfernungen das schönste Ziel darbieten
Gauss an Schumacher. Göttingen, 8. November 1821.
Den Artikel über den Heliotrop in den Göttingischen gelehrten
Anzeigen hat Zach in seinem Journal [**)] übersetzt ; es sind aber in der Über-
setzung mehrere Unrichtigkeiten. Von den beiden neuen Heliotropen ist der
eine jetzt fertig; er thut eine prachtvolle Wirkung, nur macht es uns grosse
Schwierigkeit, gute Spiegel zu bekommen ; die bisherigen sind äusserst schlecht,
was zwar der Wirkung an sich wenig oder gar keinen Eintrag thut, aber die
Berichtigung sehr erschwert. Gestern machte ich einen Versuch mit Mond-
licht; in einer freilich nur kleinen Entfernung von etwa 250 Meter machte es
einen überaus schönen Effect, das Licht dem der Venus (bei Nacht, wenn
sie hoch steht) zwar ähnlich, aber vielfach brillanter. Das Telegraphiren
habe ich ziemlich ausgebildet, ich kann allenfalls einige Tausend verschiedene
Zeichen geben
Gauss an Schumacher. Steinkrug am Deister, 10. Julius 1822.
Ich habe dieses Jahr 3 wirkliche Heliotrope und noch einen
andern Heliotropapparat in Thätigkeit; zwei von jenen spielen immer in der
Feme. Es ist eine Pracht (a luxury), in schönen Abendstunden Winkel zwischen
zwei Heliotroplichtem zu messen, und die Harmonie der Kesultate ist dann
oft ganz zum Bewundem
[*) Schirm ACH£B hatte um einen Beitrag für die AstronomiBchen Nachrichten gebeten.]
[**) Correspondance afltronomique, g^ographique, etc. du Baron DB Zach. V.Band. 1821, S. 374/S8S.J
HELIOTROP. 471
Gauss an Schumacher. Göttingen, 15. Januar 1S27.
Hieneben erhalten Sie den Aufsatz über die Berichtigung der Heliotrope
zurück [*)]. Nur bei dem 3^° Mittel zur 7*®^ Berichtigung ist, falls ich mich
recht erinnere, meine Meinung eigentlich anders gewesen, als hier gesagt
wird; ich meinte nemlich einen Sextanten so zu stellen, dass die Spiegel
genau parallel sind, nemlich Index auf dem wahren Nullpunkt, und worauf
es hier eigentlich ankommt, die Spiegel in Rücksicht auf ihre Verticalität zur
Ebene des Sextanten gehörig berichtigt. Wenn man dann den Sextanten so
hält, dass man das aus dem I. Spiegelbestandtheile reflectirte Bild eines hellen
gut begrenzten Gegenstandes (besser als die Sonne würden die Fixsterne erster
Grrösse oder hinlänglich entferntes Heliotroplicht sein) direct, das aus dem
n. Spiegelbestandtheile aber durch die Reflexion von den beiden Spiegeln des
Sextanten, also im Grunde durch dreimalige Reflexion, sieht, so soll nur Ein
Bild gesehen werden. Indessen gestehe ich, dass ich dies Mittel selbst nicht
angewandt habe ; auch ist die Brauchbarkeit von den Dimensionen des Helio-
trops und Sextanten abhängig, nemlich die Entfernung der Mitten von I imd
n soll etwas kleiner sein, als die Entfemui^ der Mitte des grossen Sextanten-
spiegels von der Axe des Femrohrs. Sie mögen also immerhin es so, wie es
j[\L ^i \^GrSe3UrSpi
geschrieben ist, stehen lassen, zumal da jeder Leser sich die nöth^en Cautelen
leicht hinzu denken kann, z. B. dass man am besten thut, das Spiegelsystem
so zu stellen, dass die Sonne ungefähr in derjenigen Ebene ist, auf welcher
die Spiegelaxe senkrecht ist; dass man, wenn zwischen den Messungen auf
beiden Spiegelbestandtheilen einige Zeit verfliesst (mehr als einige Secunden,
was jedoch von einem geschickten Beobachter wohl vermieden werden kann),
darauf Rücksicht nehmen müsse
[*) Siehe die folgende Abhandlung.]
472 HELIOTROP.
Astronomische Nachrichten, Bd. V, Nr. 116, Februar 1837, S. 329 — 934.
Die Berichtigung des Heliotrops.
Zur völligen Berichtigung des Heliotrops sind in allem acht Operationen
erforderlich :
1 . 2 . Die optische Axe des Femrohrs wird durch die Correctionsschrauben
E und F (Fig. 1) mit der Drehungsaxe desselben paraUel gemacht.
3. Die Spiegelaxe AB stellt man durch die Schrauben CC (Fig. 1) an
dem einen Arme der Gabel, welche jene Axe trägt, auf die Drehungs-
axe des Femrohrs senkrecht.
4. 5. 6. Die Ebenen der drei Spiegel (des kleinem und der beiden Be-
standtheile des grossem) werden durch die Schrauben G, H^ I (Fig. 2)
der Spiegelaxe parallel gestellt.
7. Durch die Schraube K (Fig. 2) wird der Bestandtheil H des grossem
Spiegels in eine mit dem Bestandtheil I parallele Ebene gebracht.
8. Der kleine Spiegel muss durch die Schraube am Schwänze desselben
so gestellt werden, dass die Ebene des Spiegels auf den Ebenen der
beiden Bestandtheile des grossen senkrecht steht.
Die Berichtigungen 1 und 2 übergehe ich als allgemein bekannt.
Um die Berichtigung 3 auf eine ganz selbstständige Art auszufuhren,
stelle ich den Heliotrop auf ein festes Postament, richte die Spiegelaxe AB
(Fig. 3) vertical mit dem Stiele AD nach unten, und drehe diesen Stiel, bis
er nach der Ocularseite *) hin mit der Femrohraxe parallel ist. Alles bloss
nach dem Augenmaass. An dem Stiel AD hänge ich eine nicht zu empfind-
*) Dies kann auch, mutatis mutandis, umgekehrt gehalten werden.
HELIOTROP. 473
liehe Libelle, und bringe durch Änderung der Länge der Drähte, woran sie
angehangen ist, die Blase nahe und nachher durch die Fussschrauben genau
zum Einstehen. Hierauf drehe ich den Stiel um 180® um die Spiegelaxe,
liebe das Fernrohr vorsichtig aus, und lege es in der entgegengesetzten Lage
wieder ein (Fig. 4). Die Berichtigung ist unnöthig, wenn die Blase dann
wieder einsteht; sonst wird die eine Hälfte des Ausschlags an den Fuss-
schrauben, und die andere an den Schrauben CC (Fig. 1) corrigirt. Eine
^Restitution in die vorige Lage zeigt, ob die Vertheilung richtig gemacht ist.
Die bei diesem Verfahren nöthigen Cautelen übergehe ich, da jeder sie auch
ohne Anleitung finden wird, und ich das Verfahren späterhin entweder gar
nicht oder nur zur ersten groben Berichtigung angewandt habe''^).
Ein Verfahren, welches ich für die Berichtigungen 4, 5 und 6 angewandt
habe, beruht auf dem Princip, dass eine Ebene ab (Fig. 5) durch eine halbe
Umdrehung um eine ihr parallele Axe -4-B in eine mit ihrer ersten Lage ah
parallele, aber entgegengesetzte Lage cd gebracht wird. Sind die Axe und
die Ebene aber nicht parallel, wie in Fig. 6, so werden die beiden Lagen ah
und cd auch nicht parallel sein. Um dies an einem Spiegel zu prüfen,
stelle ich zwei mit Kreuzfäden versehene Fernrohre M^ N (Fig. 7) so auf, dass
deutliche Objecte O, P auf ihren optischen Axen erscheinen, und dass letztere
sich nahe schneiden, oder nahe in einer Ebene liegen. Den zu prüfenden
Spiegel stelle ich, nachdem ich die Gabel vom Femrohre abgenommen und
auf einem Kästchen oder Brett befestigt habe, auf einen Tisch nahe in den
Schnitt der optischen Axen, so dass die Drehungsaxe AB ungefähr in ihrer
Ebene liegt und den Winkel derselben bisecirt. Ich stelle dann den Spiegel
L perpendiculär auf jene Ebene und bewirke durch kleine Drehungen und
sanfte Anschläge sowohl an den Spiegel selbst als an das Kästchen, dass das
Bild von O, aus dem Spiegel reflectirt, auf der optischen Axe von M er-
scheine. Darauf drehe ich den Spiegel um 180^ um seine Axe und sehe
nach, ob in dieser Lage (Fig. 8) das Bild von P auf der optischen Axe von
N erscheint. Kann dies nicht durch blosse Drehung des Spiegels um die
Axe AB erreicht werden, so muss die Hälfte an dem Kästchen und die
*) Übrigens beruht die Brauchbarkeit dieser Methode darauf, dass die cylindrischen Ansätze, mit
welchen das Femrohr in den Lagern ruht, genau gleiche Dicke haben, auf welchen Umstand bei den yon
Hm. Rümpf yerfertigten Instmmenten sorgfältig Rücksicht genommen ist.
IX. 60
474 HELIOTROP.
andere Hälfte an der Lage des Spiegels gegen seine Axe corrigirt werden.
Die Objecte O, P brauchen, insofern der Spiegel hart an seiner Axe sitzt,
nicht weit entfernt zu sein; ich habe sie in eine Entfernung von etwa 70 — 80
Fuss gestellt.
Zur Erreichung der Berichtigung 7 lassen sich mancherlei Mittel an-
wenden. Das einfachste, und welches auch hinreichende Genauigkeit gewährt,
ist, eine gerade Linie, mit der die Spiegelaxe ungefähr parallel ist, in den
beiden Hälften des grossen Spiegels zu betrachten, worin sie als eine gerade
Linie erscheinen muss, was das blosse Auge schon mit grosser Genauigkeit
beurtheilt. Ich habe dazu die Fa9ade der Sternwarte gebraucht. — Ein
zweites Mittel ist: ein feines Object (Heliotroplicht) mit einem Femrohr
von grossem Objectiv (Cometensucher) in beiden Spiegeln zugleich zu sehen,
und an dem Bestandtheile U zu corrigiren, bis man nur ein Bild hat. Offen-
bar wird hiedurch auch die Correction 6 erhalten, wenn 5 schon gemacht
ist. — Ein drittes Mittel ist: von den beiden Bestandtheilen des grossen
Spiegels als künstliche Horizonte die Sonnenhöhen mit einem Sextanten zu
nehmen, die, wenn die Berichtigung gemacht ist, sich gleich sein müssen. —
Ein viertes Mittel wird sich sogleich darbieten.
Um die 8** Berichtigung zu machen, habe ich folgendes Verfahren am
besten gefunden. Ich stelle den Heliotrop und ein Hülfsfemrohr mit Kreuz-
faden so auf, dass die optische Axe des letztem mit der des Heliotropfem-
rohrs parallel ist, und etwa um die Hälfte der Entfernung der Mitten der
beiden Bestandtheile des grossen Spiegels in derselben Verticalebene höher
liegt (Fig. 9). Dies bewirke ich dadurch, dass ich den Heliotrop auf ein
gut zu sehendes entferntes Object richte, das Femrohr herausnehme, und
nachdem das Hülfsfemrohr in der angegebenen Höhe auf dasselbe Object ge-
richtet ist, in umgekehrter Lage wieder einlege. Die Spiegelaxe wird darauf
senkrecht gestellt, mit dem Bestandtheile I nach oben, und durch Drehung
des Spiegelsystems und nöthigenfalls auch des Fernrohrs bewirkt, dass ein
Object durch Reflexion aus dem kleinen Spiegel auf der optischen Axe des
Heliotropfemrohrs erscheine. Erscheint dasselbe Object durch Reflexion
aus dem Bestandtheile I des grossen Spiegels auf der optischen Axe des Hülfs-
femrohrs, so macht die Ebene des kleinen Spiegels mit dem des Bestandtheils I
einen rechten Winkel ; sonst wird das Fehlende an der Schwanzschraube corri-
HELIOTROP. 475
girt. Die Berichtigung 7 kann hierauf auch auf dieselbe Weise geprüft
werden, indem man das Heliotropfernrohr 180® um seine Axe dreht, dass
der Bestandtheil 11 oben kommt, wobei aber offenbar Objecte auf der andern
Seite genommen werden müssen.
Die bisher angeführten Methoden sind alle von einander unabhängige
bloss mit der Einschränkung, dass 7 nach 6 gemacht werden muss, weil eine
Berührung der Schraube I die Berichtigung 7 afficiren würde. Zur Berich-
tigung 3 aber, insofern 4 schon gemacht ist, oder zu beiden zugleich, habe
ich ein Verfahren angewandt, was auf dem Princip beruht, dass eine Fläche,
die um eine auf ihr senkrechte Axe gedreht wird, immer in derselben Ebene
bleibt. Wird daher der kleine Spiegel senkrecht auf die Axe des Heliotrop-
femrohrs gestellt (welches auf doppelte Weise geschehen kann, indem nem-
lich die reflectirende Fläche dem Fernrohr zu- oder davon abgewandt wird),
so muss das Bild eines jeden Objects in diesem Spiegel ruhen, während das
Femrohr um seine Axe gedreht wird. Ich stelle demnach den kleinen Spiegel,
zuerst nach dem Augenmaasse, senkrecht auf die Fernrohraxe, die reflectirende
Fläche abwärts vom Objective (Fig. 10), und bewirke dies genauer, indem
ich zuerst mit blossen Augen beurtheile, ob das Bild eines seitwärts liegenden
Gegenstandes durch Drehung des Femrohrs um seine Axe unbeweglich bleibt.
Hierauf stelle ich, indem die Spiegelaxe vertical steht, ein Hülfsfemrohx mit
Kreuzfaden so auf, dass das aus dem kleinen Spiegel reflectirte Bild irgend
eines seitwärts liegenden Gegenstandes auf der optischen Axe desselben er-
scheint, und zwar so, dass diese Axe nahe auf die Mitte des kleinen Spiegels
gerichtet ist. Ich drehe jetzt das Heliotropfemrohr halb um seine Axe herum
und sehe zu, ob das reflectirte Bild auf der optischen Axe des Hülfsfemrohrs
geblieben ist. Die Hälfte der Abweichung links oder rechts wird sonst durch
Drehung des Spiegelsystems, die Hälfte der Abweichung nach oben oder unten
aber an den Schrauben CC (Fig. 1) corrigirt, und das Hülfsfemrohr *) wieder
so gerichtet, dass das reflectirte Bild genau auf der optischen Axe erscheint.
Eine abermalige halbe Umdrehung des Heliotropfemrohrs um seine Axe wird
dann zeigen, ob die Vertheilung richtig gemacht ist. Die Ebene des kleinen
Spiegels ah (Fig. 11) steht also jetzt genau senkrecht auf der Fernrohraxe;
*) Oder der Heliotrop, welches aber ohne Gehülfen nicht bequem geschehen kann.
60*
476
HELIOTROP.
mithin ist, wenn die Berichtigung 4 schon gemacht ist, auch 3 Tollkommen.
Iit aber die Ebene des kleinen Spiegels nicht mit der Axe AB (Fig. 11)
parallel, so wird er durch Drehung des Spiegelsystems nicht in eine auf der
Femrohraxe senkrechte aber entgegengesetzte Lage gebracht werden können,
sondern bei der grössten Abweichung um die doppelte Neigung gegen die
Spiegelaxe davon abstehen (Fig. 12). Man wiederhole also in dieser Lage das
vorige Experiment, wobei aber das Object in einer Richtung liegen muss, die
mit der Femrohraxe einen stumpfen Winkel bildet (Fig. 13). Ist der Spiegel
nun so gestellt, dass das reÜectirte Bild, welches zuerst bei der senkrechten
liOge der Spiegelaxe auf der optischen Axe erschien, nach einer halben Um-
drehung um die Femrohraxe weder rechts noch links erscheint, so sind in
dem Falle, dass es auch weder höher noch tiefet liegt, die Berichrigungen 3
und 4 beide vollkommen ; sonst wird von dem Unterschiede ^ an der Schraube
CC (Fig. 1) und ^ an der Schraube G corrigirt. Das Hülfsfemrohr wird
dann wieder auf das reflectirte Bild gestellt, und nach einer halben Um-
drehung des Heliotropfemrohrs um seine Axe zur Prüfung nachgesehen, ob
das Bild auf der optischen Axe gebUeben ist. Wenn noch etwas nachzu-
helfen ist, so ist es gut, die Prüfung in der ersten Lage des Spiegels za
wiederholen. Die Objecte brauchen hiezu nicht entfernt zu sein, wenn nur
das Fadensystem des Hülfsfemrobrs dieser Entfernung gemäss gestellt ist
HELIOTROP.
477
Fig. 3,
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Fig. 5.
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Fig. 72.
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478 NACHLASS.
NACHLASS.
[1.]
Einfluss unvoUkommner Berichtigung am ersten Heliotrop.
Grösserer Einfachheit wegen nehmen wir an, dass die Richtung der Axe
horizontal und zum Azimuth 0 gerichtet ist, der leuchtende Punkt aber gleich-
falls im Horizont im Azimuth A liegt. Die Fehler sind nun doppelter Art:
I. Rücksichtlich des Azimuths.
1. Wenn das Fadennetz um a zu weit rechts steht,
wird das liicht nicht in das Azimuth 0, sondern
in das Azimuth -a reflectirt. Also die Wirkung = -a
2. Ist der Spiegel von der senkrechten Lage gegen
die Führungsstange um ß vorwärts gedreht, so
entsteht daraus die Wirkung = -f- 2 ß
3. Ist die Axe der Hülse zu weit von der Femrohr-
axe entfernt, im Verhältniss (1 -f-T)- ^» ^^ ist die
Wirkung = +206265. -y-tgiil
n. Rücksichtlich der Höhe.
4. Ist der Spiegel nach oben zu gerichtet um 8
(die Schraube zu stark angezogen) : 4~ 2 S cos ^ Ä
5. Die Spiegelaxe unten zu weit vorwärts gelehnt
um e: +2ecosfil*
6. Die Spiegelaxe unten zu weit rechts um C: +Csinil
HELIOTROP. 479
>»
7. Die Femrohraxe unten zu weit vorwärts um ij,
so dass doch die optische Axe der Hauptaxe
parallel werden kann: +2ir]8in-J-il*
8. Das Fadennetz zu hoch um 0: •4~0
Noch ist für das Azimuth nachzuholen
Wirkung der Parallaxe ic: — icsinil.
Für den zweiten Heliotrop.
Für das Azimuth kommt bloss die Neigung der beiden Spiegel gegen
einander in Frage. Ist der kleine Spiegel zu weit vorwärts gedreht um a, so
wird das Bild nach —2a hin reflectirt.
[20
Zur Berichtigung des Heliotrops.
1. Ein wesentliches Bedürfniss für die Berichtigung des Heliotrops sind
ein paar Stative, wovon wenigstens das eine in der Hohe stellbar ist, und
denen man mit Leichtigkeit und Genauigkeit jede erforderliche Höhenungleich-
heit verschaffen kann
2. Die einfachste Bestimmung des geometrischen Orts des Spiegelbildes
eines ruhenden Gegenstandes, während der an einer Axe festsitzende Spiegel
sich um diese dreht, ist folgende:
Es sei A der Schnitt der Spiegelfläche mit der Drehungsaxe, B ein
Punkt in der Normalen gegen die Spiegelfläche, und zwar auf der Rückseite
des Spiegels, AB willkürlich. Es ist also B fest gegen den Spiegel, be-
schreibt aber bei dessen Drehung im Baume einen Kreis, und zwar in dem-
selben Sinn wie irgend ein anderer zum Spiegel fester Punkt, z. B. die Mitte
einer der vier Seiten seiner rectangulären Begrenzung. Zugleich ist der Mittel-
punkt jenes Kreises C in der Drehungsaxe, und AC = AB cos% wenn 90^—6
die Neigung des Spiegels gegen die Drehungsaxe bedeutet. Nun wird das
Spiegelbild P von einem im Baume festen Punkt D gefunden, wenn man
durch D eine Parallele mit AB zieht, und nöthigenfalls sie so weit verlängert,
bis AP ^= AD. Das bisher willkürliche AB kann man so gross annehmen,
dass AC = AE wird, wenn DE auf die Drehimgsaxe AE normal gezogen ist.
480
NACHLASS.
Zieht man dann De mit^C und Cc mit ED parallel, so ist De = 2^1 C,
Ac = AD, also c auf der Oberfläche einer mit Radius AD um A beschrie-
benen Kugel. Legt man durch c eine gegen De normale Ebene, und be-
schreibt darin mit Halbmesser cb^=2CB um c einen Kreis hh\ so liegt
PP' in der Oberfläche des geraden Kegels, dessen Spitze D, Axe De, Seiten
Dh, Db\ Öfihungswinkel bDb' = BAB' = 20. Auf der Kugelfläche selbst ist
der Weg von P zwar keine sphärische Ellipse *), aber doch sehr wenig davon
verschieden. Der Durchmesser, in dessen Fortsetzung D liegt, ist genau =40;
der dagegen senkrechte sehr nahe 2 6 • j- = 4 6 • -^ • Dieses Bild dreht sich
um seinen Mittelpunkt in demselben Sinn, wie b um den seinigen c für
einen Betrachter innerhalb des Raumes DcC, oder wie ein Funkt m oder n
far einen Betrachter vor dem Spiegel, und diese Gleichheit des Sinnes der
Drehung gilt, man mag das Bild mit blossem Auge oder durch ein umkeh-
rendes Femrohr sehen.
3. Es ist nun leicht, diese Sätze zu benutzen, um den kleinen Spiegel
gegen die Drehungsaxe normal zu bringen, möge dies nun für die vom Fem-
rohr abgekehrte oder für die ihm zugekehrte Lage verlangt werden.
Eine ganz rohe Annäherung, z. B. auf 5 — 10 Grad, bewirkt man ohne
weiteres nach dem Augenmaass. Man stelle dann das Femrohr so, dass die
*) Unter Bph&riBcher Ellipse verfltehe ich diejenige Curve auf der Kugelfläche, von welcher jede cen-
trale Projection eine Ellipse ist; die hier in Rede stehende hingegen ist eine solche, von welcher eine
stereographische Projection eine Ellipse ist.
HELIOTROP. 481
Spiegelaxe nach dem Augenmaass vertical steht und betrachte mit blossem
Auge das Bild eines schicklichen Gegenstandes. Wenn nun bei einer Dre-
hung des Femrohrs das Bild nicht ruhig bleibt, so muss man diejenige verti-
cale Seitenwand des Spiegels von sich a b drehen, welche mit dem Bilde gleich-
namige Bewegung zeigt, d. i. die steigende Seite, wenn das Bild steigt, die
sinkende, wenn es sinkt. Dies wiederholt man jedesmal, von der nahe verti-
calen Lage der Spiegelwand anfangend, bis das blosse Auge keine Bewegung
des Bildes mehr erkennt.
Man wiederholt nun dieses Geschäft, indem man dem Spiegel gegenüber
ein Femrohr aufstellt. Ist der Fehler noch so gross, dass das Bild bei der
Drehxmg das Gesichtsfeld verlassen würde, so muss zugleich das Fernrohr ge-
dreht und nöthigenfalls mit seinem Stativ verschoben werden. Um im voraus
zu beurtheilen, wie viel etwa und in welchem Sinn das Hülfsfemrohr gedreht
und verschoben werden muss, ist vor allem nöthig, den Sinn der beiden mög-
lichen Drehungen ein für allemal zweckmässig zu unterscheiden.
Ich nenne eine positive Drehung die, in der die Gewinde einer auf ge-
wöhnliche Art geschnittenen Schraube sich von dem in der Axe der Schraube
gedachten Betrachter entfernen. Durch eine solche Drehung schraubt man
also eine Schraube in die Mutter, oder zieht die Mutter an. Bei einer Dre-
hung um eine verticale Axe, den Betrachter oberhalb des gedrehten ange-
nommen, geht also die positive Bewegung in dem Sinne der täglichen Sonnen-
bewegung für die nördliche Hemisphäre ; bei Drehung um eine horizontale Axe
geht die Bewegung in der Ordnung Links, Oben, Rechts, Unten: L.O.R.U,
O.R.Ü.L, R.U.L.O, Ü.L.O.R; negative wäre L.Ü.R.O, U.R.O.L, R.O.L.Ü,
O.L.U.R.
Die allgemeine Regel ist nun folgende.
Es sei e die Neigung der nach dem Gegenstande gehenden Geraden gegen
die Spiegelebene, p eine kleine Drehung des Femrohrs um seine Axe (wobei
der positive Sinn nach der Stellung des Betrachters vor dem Spiegel, also an
der Ocularseite des Heliotropfemrohrs, dann wenn der Spiegel dem Femrohr
zugekehrt bleiben soll, und vice versa im umgekehrten Fall, zu beurtheilen
ist), und steigt das Bild bei dieser Drehung um h für das blosse Auge, oder
sinkt so viel beim Sehen durch das Hülfsfemrohr, so muss behuf der Berichti-
gung gedreht werden um die Grösse
IX. 61
482 NACHLASS. HELIOTROP.
gineginp
1) der Spiegel um die Spiegelaxe , , , , . ,
^ * o i oben her betrachtet.
2) das Hmfefemrohr ebenso viel um diese
Die letztere Bewegung geschieht durch Drehung der Alhidade des Fem-
rohrs um die Verticalaxe des TheodoUthen (wenn das Hülfsfemrohr an einem
solchen sitzt) und ausserdem durch Verschiebung um
X8,
4 sin e Bin p
wenn 8 die Entfernung der Spiegelaxe von der Theodolithenaxe bedeutet.
h ist übrigens leicht zu schätzen, wenn der Halbmesser des Gesichtsfeldes
bekannt ist; bei dem kleinen Theodolithen ist der Durchmesser =58'. In
der Ausübung wird aber eine Rechnung nie nöthig, sondern zureichend sein,
nur den Sinn der erforderlichen Drehungen voraus zu bestimmen.
4. Von den übrigen bei Berichtigung des Heliotrops vorkommenden
Operationen braucht hier nur noch eine erwähnt zu werden, nemlich die, wo-
durch HeUotropfemrohr und Hülfsfemrohr in entgegengesetzt parallele Lage
gebracht werden, mit einem Abstände der Parallelen, welcher der halben Di-
stanz der Mittelpunkte der grossen Spiegel gleich sein soll. Früher geschah
dies so, dass man zuerst das Heliotropfemrohr auf einen Gegenstand richtete
und verkehrt wieder in die Pfannen legte, vor der Wiedereinlegung aber das
Hülfsfemrohr in angemessener Höhe auf dasselbe Object richtete.
Jetzt ändere ich das Verfahren dahin ab, dass ich zuerst das Hülfsfem-
rohr auf einen Gegenstand richte, dann das Heliotropfemrohr genau gegen-
über, was durch die Coincidenz der Fadenkreuze mit den gegenseitigen Bil-
dern erkannt wird, endlich das Hülfsfemrohr, welches auf einem beweglichen
Stative stehen muss, um die aufgegebene Distanz der Parallelen erhöhe und
nöthigenfalls , durch Visiren über dem Heliotropfemrohr weg, von neuem
scharf auf denselben Gegenstand richte. Ist der Gegenstand nahe, so muss
er zwei Zielpunkte darbieten, deren Höhe über einander der angegebenen
Distanz gleich ist; mit dem Hülfsfemrohr zielt man nach dem untern oder
nach dem obem Punkte, je nachdem jenes in seiner tiefem oder in seiner
hohem Stellung ist.
BEMERKUNGEN. HELIOTROP. 483
BEMERKUNGEN.
Die Notiz [i], S. 47 8, zur Berichlaguiig des Heliotrops ist einem Handbuche, die Notiz [2], S. 479,
die vom 2. Mai 1843 datirt ist, mehrem losen Blättern entnommen« Über den Heliotrop sind ausser
den vorstehenden Abdrücken aus den Göttinger gelehrten Anzeigen, dem Astronomischen Jahrbuch, den
Astronomischen Nachrichten und den mitgetheilten Briefen an Olbers und Schumacheb auch die bereits
froher abgedruckten Briefe an Bessel vom 26. Becember 1821 und vom 16. November 1822, an Gerlino
vom 7. November 1822, vom 11. August, i. und 5. September 1823, sowie die beiden Veröffentlichungen zur
hannoverschen Triangulation in den Astronomischen Nachrichten und der Bericht an das hannoversche
Cabinetsministerium für 1821 (8. 349/351, .366, 381, 382/389, 397, 400 und 407/409) nachzusehen.
Anfangs October 1818 hatte Gauss in Lüneburg gemeinschaftlich mit Schumacher Anschlussbeob-
achtungen an dessen südliche Breieckspunkte ausgeführt (vergl. S. 396j. Bie von ihm gemachten Beobach-
tungen sind in ein Tagebuch der Sternwarte eingetragen. Bei den Messungsergebnissen für den Winkel
Hamburg-Hohenhom hat er bemerkt:
»Hamburg schlecht zu sehen ; das westliche von der Sonne beleuchtete Fenster genirte das Pointiren.«
Später hat Gauss hinzugesetzt:
»N.B. Biese Erfahrung ist die erste Veranlassung zu der im Herbst 1820 gemachten Erfindung des
Heliotrops gewesen, o
Von den beiden Constructionen des Heliotrops gab Gauss nach einem Briefe an Schumacher vom
30. März 1823 (vergl. auch den Anfang des Briefes an Bohnenbbrger, S. 364) der zweiten den Vorzug, »da
ihr Gebrauch bequemer, die Berichtigung etwas einfacher und die grössere Spiegelfläche (die leicht nöthigen-
falls durch Bedeckung gemässigt wird) in manchen Fällen angenehm ist; auch ist der zweite Heliotrop
etwas wohlfeiler«. (Ber letztere kostete 126, der Heliotrop nach der ersten Einrichtung 146 Thaler Conv.
Münze.) Ber Heliotrop der zweiten Construction ist auf der Tafel S. 477 abgebildet. Eine Beschreibung
des Heliotrops der ersten und altem Construction wurde von Poggendorff in seinen Annalen der Physik
und Chemie, Band XVII 1829, S. 83, und von Helmert in dem Bericht über die wissenschaftlichen Appa-
rate auf der Londoner internationalen Ausstellung 1876, S. 169/170, gegeben. Eine um ihren horizontalen
Burchmesser AB drehbare Kreisscheibe trägt in ihrem Mittelpunkte C eine
verticale Axe, um die das Femrohr HD drehbar ist. Bies Femrohr nimmt ^ y^ V^^^
in einer Hülse E zwischen C und dem Ocularende H, in der Entfernung '*.^ /^s. \
*• wA. ^^1«.^ I
CE= CA, den Stiel AG eines Spiegels F auf, der gegen den Stiel senkrecht ^ Jv^^^^nT — j*
ist und sich um eine in A zur Scheibe normale Axe dreht, wenn sich das \ ^^^^*^
Fernrohr um die Axe in C dreht. Ba der Winkel GAE =^ \DCA ist, so
61*
484 BEMERKUNGEN. HELIOTBOP.
wird mithin, wenn da« Penirohr HD auf die Sonne gerichtet iat, der Spiegel JP dag Licht in der Richtung
CA refleotiren. Um den Gegenitand, dem Licht mgeaandt werden toll, in diese Richtung zu bringen, wird
dag Liatrument, desaen HorizontaUxe AB von einer sich auf einem Dreifufs erhebenden S&ule getragen
wird, go aufgeatellt, dagg dag Objeot im Pemrohr HD ergeheint, wenn dieges der Axe BA parallel ist.
Damit der Spiegel dieae Beobachtung nicht hinderte, war er an einem Ringe befegtigt.
Im Jahre 1821 hatte Gauss nur einen Heliotrop (vergl. S. S49 und S9o}, 18S2 und 1823 je s (TeigL
S. S55 und 470), 1824 und 1826 (nach den Arbeitaberichten) je 4 Heliotrope im Gebrauch. Zu ihrer Bedie-
nung gtanden ihm neben den drei gtftndigen Gehülfen bei der Gradmeggung (Müller, Habtmank und
J. Gauss) 1824 noch zwei andere (Studioaug Klütsr, der yon der Stadt Bremen geatellt war, und Studionu
Bauhann), 1826 nur ein GehOlfe (Klüyeb) cur Verfügung.
K&ÜOEB.
MESSUNGSFEHLER.
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.
[Über die bei der Landestriangulirung erforderlichen Instrumente.]
Bei einer ausgedehnten trigonometrischen Vermessung sind aller-
dings Winkelmessungswerkzeuge von verschiedenem Kange zu den einzelnen
Arbeiten anzuwenden. Der Bang bestimmt sich nach der grossem oder ge-
ringem Schärfe, die mit jedem Instrumente zu erreichen ist, und wird nicht
sowohl durch eine grössere oder geringere Vollkommenheit in der Ausarbei-
tung, als durch die Dimensionen des Werkzeuges bestimmt. Es liessen sich
darin viele Abstufungen machen; ich beschranke mich aber auf eine Bangi-
rung in 3 Klassen.
Die in München verfertigten Theodolithen von 1 2 Zoll Durchmesser können
zu den feinsten Winkelmessungen auf der Erde gebraucht werden. Zum zweiten
Rang zähle ich die Bepetitionstheodolithen von 8 Zoll Durchmesser aus der
Reichenbach -ERTELschen Werkstatt; diese dienen für secundäre Messungen.
Zu noch mehr untergeordneten Messungen sowie für die Becognoscirungs-
arbeiten sind noch kleinere Theodolithen dritten Banges zureichend, wobei
allenfalls das Bepetiren wegfallen kann.
Ein Theodolith vom ersten Bange könnte allerdings für alle, auch
untergeordnete Arbeiten gebraucht werden. Der Grund, warum man das im
allgemeinen nicht thut, ist, theils die grossem Instrumente zu schonen, theils
weil jene ihrer Natur nach schwerer transportabel sind, imd bei ihrer Auf-
stellung viel mehr Zurüstungen erfordern.
Bei den eigentlichen Ghradmessungsarbeiten, die zunächst nur einen wissen-
schaftlichen Zweck hatten, habe ich nur einen Theodolithen ersten und ein
488 NACHLASS.
paar dritten Banges für die Recognoscirungen gebraucht. Die Messungen mit
jenem habe ich alle auf mich allein genommen.
Bei dem neuen unmittelbarer die Landesgeographie angehenden Geschafit,
wobei eine Menge secundärer und tertiärer Messungen gemacht werden müssen,
werden daher auch mehrere TheodoUthen vom zweiten und dritten Bange be-
ständig zu gebrauchen sein. Einen TheodoUthen vom zweiten Bange (welchen
die Sternwarte seit 1813 besitzt) hat der Hr. Hauptmann Muller im vorigen
Sommer benutzt, eigentlich damit seine ersten Übungen gemacht. Einen
andern (aber nicht ganz befriedigenden) besitzt Hr. Lieutenant Habtmann
selbst, der damit im vorigen Jahre seine Messungen gemacht hat. Einen
englischen TheodoUthen dritten Banges, auch nicht besonders gut und öftem
Derangements unterworfen, benutzte mein Sohn, der sonst, wenn noch einer
zweiten Banges vorhanden gewesen wäre, solchen auch mit Yortheil hätte be-
nutzen können.
Ein zweckmässigerer TheodoUth dritten Banges war von mir schon im
Frühjahr 1828 in München bestellt; er ist im Herbst angelangt, kostet nur
eine sehr geringfügige Summe, und wird doch bei untergeordneten Arbeiten
und zum Becognosciren viel brauchbarer sein, als der vorhin erwähnte englische.
Einen ähnlichen hat zu gleicher Zeit der Hr. Hauptmann Müller durch meine
Vermittelung acquirirt. Für die Becognoscirungsarbeiten ist daher, insofern
das Personal nicht vergrössert wird, hinlänglich gesorgt.
Für die Messungen des zweiten Banges sind aber bisher viel zu wenig
Hülfsmittel vorhanden. Ich habe daher schon im Herbst noch einen 8 -zol-
ligen TheodoUthen besteUt, dessen AbUeferung für den April d. J. wenigstens
versprochen ist.
Was nun aber die Messungen ersten Banges betrifft, die ich bisher allein
auf mich genommen habe, so hoffe ich, dass es späterhin mögUch sein wird,
auch die andern Officiere nach und nach zu solchen feinem Arbeiten einzu-
üben, wo dann höchst wünschenswerth und für die Arbeiten fÖrderUch sein
wird, wenn wenigstens zwei taugliche Instrumente dazu verwandt werden
können. Ich würde daher schon im vorigen Herbst ausser der BesteUung des
8-zölligen TheodoUthen zugleich noch auf einen 12-zölUgen BesteUung ge-
geben haben, wenn ich nicht schon damals die Aussicht gehabt hätte, einen
solchen 12 -zölligen TheodoUthen auf andere Weise herbeiziehen zu können,
MESSUNGSFEHLER. 489
ohne den Fonds für das Vermessungsgeschäft in Anspruch zu nehmen. Ich
wusste nemlich, dass gewünscht werde, für die Generalstabs -Akademie ein
solches Instrument anzuschaffen. Nach verschiedenen deshalb mit Hm.
Ertel in München gepflogenen Anfragen habe ich dann auch in der That
auf Ersuchen des Hm. Oberstlieutenant Prott einen solchen 12 -zölligen
Theodolithen in München bestellt, der hoffentlich im Laufe des Sommers
fertig werden wird, und demnächst in den Händen des Hm. Hauptmann
Müller, wenn derselbe die erforderliche Einübimg erhalten haben wird, nütz-
liche Dienste leisten wird.
Die Münchener Preise für Instrumente dieser Art sind übrigens äusserst
massig. Der 12-zöllige Theodolith, welchen ich seit 1822 zu allen Winkel-
messungen bei der Gradmessung gebraucht habe, kostete nur 800 Gulden
(leicht Gold); der 8 -zöllige oben erwähnte (freilich in den 16 Jahren etwas
abgenutzte, aber noch immer sehr brauchbare) damals 400 Gulden. Die beiden
von ähnlichen Dimensionen, gegenwärtig für die Generalstabs -Akademie und
die trigonometrische Vermessung respective bestellten, werden, da ich dabei
in mehrem Beziehimgen eine einfachere Einrichtimg (\mbeschadet der Haupt-
sache) angeordnet habe, respective noch bedeutend geringere Preise haben.
Bei einer sehr ins Grosse gehenden Unternehmung ist es allerdings zum
raschem Fortschreiten, zum angemessenen Ineinandergreifen, und daher selbst
in Rücksicht der Gesammtkosten , sehr zweckmässig, eine sehr ansehnliche
Zahl von Theodolithen verwenden zu können. Nach einer Privatnachricht
werden im nächsten Sommer in Frankreich 160 Theodolithen in Thätigkeit
sein. Allein bei unserm kleinen Lande und bei dem beschränkten Personal,
welches zu den trigonometrischen Messungen verwandt werden kann und schon
einen gewissen Grad von Einübung hat, glaube ich, dass wir wenigstens vorerst
mit den vorhandenen und respective in Arbeit befindlichen Instrumenten uns
begnügen können. Es kommt dazu, dass man, wie ich die Ehre gehabt habe,
Ihnen mündlich zu sagen, auch im Herzogthum Braunschweig eine trigono-
metrische Messung beabsichtigt, für welche ich auch bereits einen 1 2-zölligen
Theodolithen bestellt habe, und dass es sich wahrscheinlich so wird einrichten
lassen, dass diese Messungen zum gegenseitigen Vortheil in einander ein-
greifend und sich wechselsweise die Hand bietend arrangirt werden können.
62
490 BRIEFWECHSEL.
[Über Messungsfehler.]
Gauss an Olbers. Gnarrenburg, Julius 1825.
Ich sehe nicht ohne Missmuth auf meine 5-jährigen Messungen
zurück; ich sehe mich, gegen das Ende derselben, ungefähr in einer solchen
Lage und in solchen Gefahlen, wie sie wohl viele, vielleicht die meisten
Menschen in Beziehung auf das Erdenleben, wenn sie sich dessen Schluss
nähern, haben mögen, mit dem Gefühl, dass, wenn mit den eingesammelten
und erst spät zur Reife und Klarheit gekommenen Erfahrungen, mit frischer
Kraft und mit der erlernten Würdigung so mancher Dinge von vom her
hätte angefangen werden können, viel mehr Zufriedenheit stattgefunden haben
könnte. Was die Messungen betrifft, so halte ich mich jetzt überzeugt:
1) dass der so wie der meinige gebaute TheodoUth alle Winkel zu klein
gibt und zwar im Durchschnitt um eine freilich nur sehr kleine, aber bei der
sonstigen Trefflichkeit des Instruments, wenn man nur unter günstigen
Umständen beobachtet, doch sehr scharf anzugebende Grösse — von der
Grösse der Winkel fast unabhängig; es scheint fast, dass das erste Drehen
sie hauptsächlich hervorbringt, wo der Zapfen doch immer in gewissem Grade
gleichsam festgesogen war — , die freilich mit dem Abnutzen des Instruments
grösser werden mag. Meine Jeverschen Messungen, die recht ex professo an-
gelegt waren, diese Grösse mit zu bestimmen, geben sie 0^4, imd ich glaube
nicht, dass sie um O^'l unrichtig ist. Leider bieten meine frühem Messungen
keine so nachdrückliche Bestimmungsmittel dar, da ich, obgleich von Anfang
an schon das Dasein dieser Fehlerquelle vermuthend, doch glaubte, sie sei zu
klein, um nicht als = 0 betrachtet werden zu müssen. Hätte ich anstatt
einer Gradmessung eine Landesvermessimg imd damit häufiger Gelegenheit zu
einem Gyrus horizontis gehabt, so wäre ich ohne Zweifel früher von dieser
Ansicht zurück gekommen. Ich werde künftigen Winter die Grösse für jedes
Jahr, so gut es angeht, zu bestimmen suchen. Ich halte mich jetzt überzeugt,
dass erstens bei steter Berücksichtigung dieser Grösse, zweitens beim Enthalten
von allen Messen, wenn die Umstände nicht günstig sind, und drittens bei
Beachtung der beiden andern noch zu erwähnenden Umstände, die Messungen
auf Heliotroplicht eine fast unglaubliche Feinheit erhalten können, von der ich
MESSUNGSFEHLER. 491
nun leider viel mehr entfernt bleibe. Eine Discussion der in Gottingen 1823
gemachten Messungen gibt mir die obige Grösse = 0^140, aber nur mit einem
Gewicht von 47 Repetitionen, wobei aber doch der wahrscheinliche Fehler nur
fast genau ±0^140 wird, so dass 1 gegen 1 gewettet werden kann, jene Grösse
liege nicht ausserhalb der Grrenzen 0 und +0»28. Die Messungen auf dem
Timpenberg 1823 gaben die Grösse -f 0^070 mit dem Gewicht 28. Darf man
sie vereinigen, so wäre der Werth für 1823
-j-0^'ll4 mit dem Gewicht 75.
Ich werde nach und nach sämmtliche Stationen berechnen, und dann
den EinfliDss mit in Bechnung bringen.
2) Man sollte nie anders als unter günstigen Umständen beobachten, wo
die Luft nicht wallt, kein Wind das Instrument erschüttert, die Aufstellung
ganz solide ist. Freilich wird man dann oft in mancher Woche gar nicht
beobachten und selten an einem Tage mehr als 1 — 2 Stunden, hohe Berg-
stationen vielleicht ausgenommen; dafür aber sind 50 solche Messungen mehr
werth, als 500 unter ungünstigen Umständen. Unsere Instrumente sind eigent-
lich, falls ihre Trefflichkeit ganz benutzt wird, zu gut für den habituellen
Zustand der Atmosphäre; die Fehler durch die Wallungen in letzterer sind
zehnfach grösser, als die unvermeidlichen vom Instrument herrührenden. Das-
selbe gilt wohl auch von den astronomischen Beobachtungen.
3) Wenn es irgend möglich ist, sollen die Heliotroplichter ganz frei er-
scheinen, wo das aber nicht sein kann, soll niezwischen denFäden, son-
dern immer auf einem pointirt werden; durch die Befangenheit der Bisection
kann sonst ein in constantem Sinne wirkender und vielleicht auf If bis 2"*
steigender Fehler entstehen. Dass ein solcher Fehler entstehen kann, habe
ich zwar immer vermuthet, aber ohne die Erfahrungen in Langwarden hätte
ich nie geglaubt, dass er so gross sei. Ich habe früher öfters auf dem Faden
pointirt, aber freilich fast nur, wo das Licht frei erschien, und dann nie einen
entschiedenen Unterschied gefunden; ich habe diese Beobachtungsart — wie
ich jetzt bedaure — daher fahren lassen, weil sie mir viel beschwerlicher
ist, und ich, im allgemeinen auch gewiss mit Recht, glaubte, ich könne
auf den Fäden nicht so genau pointiren als dazwischen.
4) Bei allem dem aber halte ich mich überzeugt, dass Lateralrefractionen
62*
492 BRIEFWECHSEL.
existiren, in constantem Sinn bei der zum Beobachten tauglichen Tageszeit,
wenn das Licht nahe bei Bäumen etc. vorbei streicht. Die oben bei 1 ) bis 3)
angegebenen Umstände wirken doch in mehrem Dreiecken nicht so stark, um
die grossen Anomalien der Winkelsumme zu erklären, und sie würden von der
Fehlersumme in dem Dreieck, z. B. Garlste-Lehe- Varel, wo sie 45^9 beträgt,
schwerlich mehr als H bis 2" abdingen können, und das übrige ist dann
noch viel zu gross, um auf die unregelmässigen Messungsfehler geschoben
werden zu können. Zu meinem grossen Missvergnügen hat auch gewiss auf
der Seite Brillit-Lehe eine solche Seitenrefraction statt und zwar in dem
Sinn, dass auch hier die Winkel zu klein werden; der sehr kostspielige
Durchhau ging anfangs zu weit links, er wurde noch etwas erweitert, dass
Lehe hier sichtbar wurde, aber so hart an der rechten Wand, dass gewiss
eine Lateralrefraction stattfindet; ich werde versuchen, einige vortretende
dicklaubige Zweige auffinden und wegnehmen zu lassen; es ist aber unge-
wiss, ob sie aufgefunden werden, und selbst dann bleibt es noch sehr knapp
an der rechten Wand. Leider ist auf alle Fälle höchst wahrscheinlich der
Winkel in Lehe davon schon stark afficirt, und ungern möchte ich noch ein-
mal dahin zurück; es sei dann, dass es möglich wäre, Bremervörde, welches
in Lehe sichtbar sein soll, in Brillit und in Zeven sichtbar zu machen ; leider
scheint aber ausser Obstbäumen auch ein Bauernhaus in der Richtung Brillit-
Bremervörde zu stehen, obwohl ich dies noch nicht gewiss weiss, da ich noch
keine Mittel habe, das Azimuth mit einiger Sicherheit anzugeben. Sonst bin
ich gewiss, dass diese neue Verbindung sehr viel neues Licht verbreiten
würde. Der Winkel in BriUit zwischen Zeven und Bremen scheint sich um
2" bessern, d. i. vergrössem, zu wollen, wodurch die Fehlersumme von 4-J^^ auf
^ßremerle/ie
Bremervörde*
iZeverv
GarLstß'
24-" kommt; aber ganz kann dieser Überrest gewiss auch nicht auf die Mes-
MESSUNGSFEHLER. 493
snngsfehler kommen, namentlich ist in Bremen der obige Fehler 1) durch das
Vor- und Hückwärtsmessen fast ganz eliminirt, und die Pointirungsart kann
auch wenig Einfluss haben, da bei der bedeutenden Entfernung und der ge-
wöhnlichen ünsichtbarkeit der Thürme die Lichter so gut wie frei erschienen.
Gauss an Schumacher. Göttingen, 14. August 1825.
Bedeutende Anomalien in meinen Messungen haben mich diesen
Sommer sehr gequält: ich bin zwar jetzt überzeugt, dass in den flachen Ge-
genden beim harten Wegstreichen über oder neben Holz starke Lateralrefrac-
tionen stattfinden können, die in den zum Messen tauglichen Stunden immer
in Einem Sinn wirken; allein eben so gewiss ist's, dass sie sich mit andern
Fehlerquellen gemischt haben, denen ich jetzt ziemlich auf die Spur ge-
kommen bin. Besonders folgenden beiden. 1) Das Pointiren bei Heliotrop-
licht zwischen den Fäden, zumal auf schwaches, taugt nicht, wenn es nicht
frei ist, sondern z. B. in der Laterne eines Thurms, die selbst ziemlich gut
sichtbar ist, excentrisch sich befindet: es können daher constante Fehler von
mehr als 2" entstehen; ich habe, seitdem ich mich davon überzeugt habe, in
solchen Fällen immer auf einem Faden pointirt, und dadurch zum Theil be-
deutende Verminderung der Anomalien erhalten. 2) Der Theodolith, so ge-
baut wie die unsrigen, gibt entschieden alle Winkel zu klein, und der
Durchschnittswerth des Fehlers (der von der Grösse des Winkels wenig ab-
hängig zu sein scheint) lässt sich mit vieler Schärfe bestimmen, mag aber,
wie das Instrument sich immer mehr abnutzt, immer zunehmen. In Brillit
fand ich Oi'723, wobei der wahrscheinliche Fehler unter O^^l sein wird. In
Jever hatte ich nur etwa 0^'5. Ich bin noch nicht gewiss, ob die Haupt-
quelle des Fehlers in der Hemmung des Limbuskreises (besonders der Kugel)
oder in der Hülse, die das untere Femrohr trägt, oder der Schraube, die sie
gegen den Fuss des Instruments hält, liegt; letztere ist an meinem Instru-
ment ziemlich ausgenutzt, und ich lasse jetzt, um Versuche zu machen, die
Hemmung des Limbuskreises unmittelbar an den Fuss des Instruments an-
bringen, wobei ich das untere Femrohr ganz wegnehmen werde; ich halte
solches nicht blos für unnütz, wo man eine solide Aufstellung hat, sondern
für nachtheilig, insofern seine Hülse, als Zwischeninstanz zur Befestigung des
494 BRIEFWECHSEL.
Limbuskreises an den Fuss, die Gefahr von Beweglichkeit des Limbuskreises,
während er fest vorausgesetzt wird, vervielfältigt. Ich hätte sehr gewünscht,
über diese Gegenstände einmal recht ausfuhrlich mit Ihnen zu sprechen und
meine Erfahrungen und Ansichten gegen die Ihrigen auszutauschen.
Gauss an Bessel. Göttingen, 29. October 1843.
Es handelt sich um eine Erfahrung, die mich oft gequält hat,
nemlich die, dass die Theodolithen nach Reichenbachs Construction die Ten-
denz haben, alle Winkel zu klein zu geben. Vielleicht haben Sie ähnliche
Erfahrungen gemacht, die ich gern gegen die meinigen austauschen möchte.
Bei meinen Winkelmessungen zur Gradmessung 1821 bis 1823 und bei
der nachherigen Erweiterung meiner Dreiecke 1824 und 1825 habe ich zwei
verschiedene 12 -zöllige Theodolithen gebraucht (Vemiers 4" gebend, Ver-
grösserung etwa 35 -ma^, den einen, welchen Schumacher mir borgte, von
Reichenbach selbst, bloss im Jahre 1821, den andern von Ertel , welcher
jenem ganz gleich und derEigenthum der Sternwarte ist, 1822 bis 1825. An
dem ersten habe ich die Erscheinung gar nicht bemerkt, an dem andern in
den ersten drei Jahren und Anfangs 1825 auch nicht; erst in der letzten
Hälfte der Messungen bemerkte ich sie, zwar nur in geringer Grösse, aber
doch so entschieden, dass nicht daran gezweifelt war. Eine Erklärung, wenig-
stens der Hauptquelle, liegt nun allerdings nahe genug. Zur Abkürzung nenne
ich -4, B die beiden Objecte und setze voraus, dass B rechts von A liegt, imd
dass immer die erste Pointirung -4, die zweite B gilt. Nachdem man abge-
lesen und auf A eingestellt hat, löst und bewegt man die Alhidade, um B
zu erreichen. Allein die Voraussetzung, dass während dieser Bewegung der
Kreis selbst absolut fest steht, ist allerdings precär; existirt die geringste
für sich nicht erkennbare ünfestigkeit, so wird die Drehung der Alhidade den
Kreis ein klein wenig in demselben Sinn (von links nach rechts) mitdrehen:
der Ablesungsunterschied wird also den Winkel zu klein geben. Bei einer
auch noch so grossen Anzahl von Repetitionen wird das Endresultat immer
zu klein bleiben.
Ich habe, als ich dies erkannt hatte, (in Jever) das Auskunftsmittel er-
griffen, zu einer Anzahl von auf gewöhnliche Art gemachten Repetitionen
MESStJI^GSFEHLER. 495
immer ebenso viele hinzu zu setzen, wo ich die Alhidade von rechts nach
links durch das Supplement zu 360® bewegte. Hier wurden nun immer alle
Winkel grösser als vorher, imd der Unterschied, durchschnittlich gegen 2 Se-
cunden betragend, schien gar nicht oder wenigstens nicht merklich von der
Grösse der Winkel abzuhängen. Das Mittel beider Resultate konnte also für
den wahren Werth des Winkels gelten, und in der That waren alle auf diese
Art, sowohl auf dieser Station wie auf den übrigen, gewonnenen Resultate
vollkommen befriedigend. Es schien also, dass dieser Theodolith in seinem
damaligen Zustande alle auf gewöhnliche Art gemessenen Winkel gegen eine
Secunde zu klein gab.
Die Bewegung des ganzen Kreises vom ersten Ablesen bis zum ersten
2. 3.
Pointiren, nachher vom 4. etc. zum 5. etc. Pointiren, wurde immer von der
6. 7.
rechten nach der linken gemacht (durch den Winkel < 180^); allerdings ist
es wenigstens denkbar, dass auch hier ein Einfluss in constantem Sinn statt-
finden kann. Liegt nemlich die Unfestigkeit zum Theil in den Stellschrauben,
Muttern, Kugeln, so kann auch, während der ganze Kreis sich dreht, in
Folge der Reibung des Alhidadenzapfens auf den ihn unten unterstützenden
Federn eine kleine Verstellimg der Ablesung stattfinden, welche dann ge-
rade die umgekehrte Wirkung hat, also zur Vergrösserung der Winkel
beitragen würde. Ich habe aber vorausgesetzt, dass dieser Einfluss immerk-
lich sei. Es würde einen sehr grossen Zeitaufwand kosten, a posteriori dar-
über Aufschluss zu erhalten. Ich brauche nicht zu erinnern, dass ich stets
dafür gesorgt habe, dass die Stellschrauben nicht zu leicht gingen.
An irgend einer Unfestigkeit muss es ohne Zweifel liegen, aber es ist
schwer auszumitteln, wo hauptsächlich. Ich habe nachher an diesem Theodo-
lithen eine Abänderung machen lassen, um diejenige Unfestigkeit, die denk-
barer Weise bei derjenigen Drehungsbewegung stattfinden könnte, vermittelst
welcher man das Versicherungsfemrohr bewegt, weg zu schaffen. Ich habe nem- '
lieh das bei fester Aufstellung ganz unnütze Versicherungsfemrohr ganz weg-
geworfen und den Arm, an welchem die Kreishemmung ist, durch starke Knie-
stücke unmittelbar mit dem Fuss verbinden lassen. Allein nach dieser Ver-
änderung sind zu wenige Messungen mit diesem Instrument gemacht, um über
den Effect sicher urtheilen zu können.
496 BRIEFWECHSEL.
Bei den spätem Messungen von 1828 bis 1843 sind von meinen Offi-
eieren drei andere Theodolithen gebraucht.
1) von Hartmann ein 8-zölliger REicHENBACHscher Theodolith, schon seit
1813 im Besitz der Sternwarte;
2) von Möller ein 1 2 -zölliger ERXELscher Theodolith, dem hannoverschen
Generalstab gehörend (von mir besorgt), dem obigen ganz ähnlich, aber ohne
Höhenkreis und Versicherungsfemrohr;
3) von meinem Sohn ein 8-zölliger ERXELscher Theodolith, auch ohne
Höhenkreis und Versichenmgsfemrobr, aber das Femrohr ganz von derselben
Stärke wie bei Nr. 2. Der Vemier gibt hier 10".
An Nr. 1 hat sich das Phänomen nicht bemerklich gemacht; das Instra-
ment ist übrigens nur ein paar Jahre gebraucht; die Winkelresultate fielen
immer recht sehr gut aus. Das Femrohr ist von schwächerer optischer E^raft,
aber Hartmann hatte immer ein anderes stärkeres Femrohr eingelegt, welches
ihm selbst gehörte. Ich erwähne diesen Umstand bloss, um zu erklären,
warum dieser Theodolith nachher nicht mehr gebraucht ist.
Über Nr. 2 schreibe ich jetzt bloss aus dem Gedächtniss und kann in
diesem Augenblick nicht genau sagen, wann das Phänomen angefangen hat,
sich zu zeigen. Irre ich nicht, so ist in den ersten Jahren keine besondere
Spur davon erschienen, aber in den spätem war es unverkennbar und wenig-
stens doppelt so gross, wie an dem von mir gebrauchten Instrument. Jenes
ist oft zerlegt, gereinigt, auch, wenn ich mich recht erinnere, mit neuen Stell-
schrauben von Hohnbaum in Hannover versehen, ohne den Fehler zu heben.
Ich habe dem seligen Müller immer das oben erwähnte Mittel dringend
empfohlen ; ich glaube aber nicht, dass er es immer consequent angewandt hat
Mit Nr. 3 hat mein Sohn in den Jahren 1829, 1830, 1831, 1833 sehr
ausgedehnte Messungen ausgeführt; die Winkel (beiläufig gesagt, an jeder
Station werden in der Regel alle Combinationen zwischen allen Hauptrich-
tungen gemessen, wie Sie auch aus Gerlings Arbeiten sehen können) stimmten
immer zu meiner vollen Zufriedenheit, wenigstens ebenso gut oder fast noch
besser, als die MuLLERschen mit Nr. 2, imd der Fehler zeigte sich wenigstens
nicht in erheblichem Grade.
Von 1834 an ist dieser Theodolith etwa 5 oder 6 Jahr im magnetischen
Observatorium, nachher zu Zeiten von Goldschmidt bei Winkelmessungen ge-
M£SSUNGSF£HLER. 49 7
braucht, die aber von zu untergeordneter Natur waren, als dass dabei obiger
Fehler hätte in Frage kommen können.
Diesen selben Theodoüthen Nr. 3 hat nun aber mein Sohn im vorigen
Sommer wieder bei Hauptwinkeln gebraucht: allerdings waren an den Stand-
punkten, wo die meisten Winkel gemessen wurden (Thürmen in Hamburg und
Stade), die Umstände in vielfacher Beziehung äusserst ungünstig, aber dennoch
ging das jetzige Vorhandensein jenes Minusfehlers, und zwar wohl 3 bis 4"
betragend, auf das entschiedenste hervor. Der Theodolith war vor der Ab-
sendung hier gereinigt und nachgesehen, und durchaus keine ünfestigkeit be-
merkt. Doch fand mein Sohn das Ende der Stellschraube des Kjreises ziemlich
ausgeschliflfen, und die Beobachtungen der ersten Tage, wo dieser Umstand nicht
beachtet war, wurden deshalb verworfen; später wurde der Gebrauch dieses
Schraubenstücks sorgfaltig vermieden, und es liess sich keine Ünfestigkeit
daran erkennen. Ich werde den Theodoüthen mm wieder hieher kommen
lassen und versuchen, ob ich durch Abänderungen dem' Fehler oder wenig-
stens seiner Wirksamkeit nicht abhelfen kann. Ich werde neue Klemmbacken
machen lassen; unschlüssig bin ich noch, ob ich ganz neue Schrauben mit
Zubehör machen lasse, aus Besorgniss, vom Regen in die Traufe zu kommen.
Da Sie selbst einen kleinen Theodolithen von Meyerstein erhalten haben, so
bitte ich Sie, gerade diesen Theil der Arbeit einer recht sorgfaltigen Prü-
fung zu imterwerfen und mir den Befund vertraulich mitzutheilen. Dann
habe ich noch eine Idee zu einem Mittel, welches zwar den Fehler (eine ver-
steckte Ünfestigkeit) nicht wegschaffen, aber doch, wie ich hoffe, ihn unschäd-
lich machen kann.
Bekanntlich sind Alhidadenzapfen und die Büchse dieses Zapfens, die
selbst wieder Limbuskreiszapfen ist, von imten, jedes für sich, axif Federn ge-
stützt. Diese Federn will ich so abändern lassen, dass man mit Leichtigkeit und
augenblicklich ihre Spannung nach Gefallen verstärken oder schwächen kann.
Mit diesen Spannungsändenmgen soll dann während der Messimgen immer
planmässig abgewechselt werden, so dass, wenn die Alhidade gedreht wird, die
Federn, worauf ihr Zapfen sich stützt, stark, die Federn, die die Büchse
stützen, fast gar nicht gespannt sind, und umgekehrt, wenn der ganze Kjreis
gedreht wird. Meyerstein glaubt eine solche Änderung recht zweckmässig
einrichten zu können, und ich verspreche mir davon viel Erfolg. Nur schade,
IX. 63
498 BRIEFWECHSEL.
dass in meiner Stemwaxte keine recht schickliche Aufstellung zu erhalten ist
zu dergleichen Probemessungen, auch wenig geeignete Objecte sichtbar sind,
endlich die Winterjahreszeit für meinen sehr empfindlichen Körper ungünstig
ißt. Ich will aber wenigstens versuchen, was in meinen Kräften steht.
Sollten Sie nun vielleicht selbst ähnliche Erfahrungen, und in deren Ver-
anlassung allerlei daraiif bezügliche Versuche gemacht haben, so werden Sie
mich durch Mittheilung sehr verpflichten. Es ist in der That eine Lebens-
frage bei Theodolithen von dieser Construction. Bei BoRDASchen Kreisen
kann der Fehler vermöge des Constructionsprincips gar nicht eintreten; es
ist gar kein Grrund da, dass Bewegung der Alhidade die Lage des untern
Femrohrs gegen den Limb us kreis verrücke, und ebenso wenig verrückt
die Bewegung des ganzen Kreises die Lage der Alhidade gegen den Limbus-
kreis. Man kann Theodolithen nach demselben Princip bauen, aber dann
sind es ganz andere Instrumente wie die REiCHENBACHschen ; wenn ich nicht
irre, hat Schumacher einen solchen von Gambey (wo dann das imtere F€m-
rohr eine ganz andere Rolle spielt); ich kenne aber das Detail der Einrich-
tung nicht
Es ist auffallend, wie Sachen zu Papiere gebracht einen andern Eindruck
machen, als wenn man sie nur im Kopfe überdenkt. Indem ich obige Zeilen
noch einmal flüchtig übersehe, kommt es mir vor, dass einem bloss imbe-
fangenen Leser, der selbst gar keine eigene Erfahrungen gemacht hatte, ein
Umstand importanter erscheinen muss, als ich ihn selbst bisher gehalten habe,
der Umstand, dass alle Theodolithen zu Anfang diese Erscheinung gar nicht
oder nicht merklich gezeigt haben. Irgend eine Ausnutzung muss also
nothwendig im Spiel sein, imd ich werde also doch wohl jedenfalls neue
Schrauben, Muttern und Kugeln machen lassen, obgleich, wie gesagt, irgend
eine Vacillation an diesen Theilen im Einzelnen nicht erkannt werden kann.
Ich werde aber versuchen, ob vielleicht ein viel stärkeres Femrohr doch
im Einzelnen schon etwas von einer solchen Vacillation erkennen lassen wird.
Gauss an Bessel. Göttingen, 15. August 1844.
Der Gegenstand, worüber ich mit Ihnen zuletzt correspondirte,
nemlich die Tendenz der Repetitions-Theodolithen, die Winkel zu klein zu
MESSÜNGSFEHLER. 499
geben, hat mich in vorigem Winter noch sehr geplagt. Die Ursache kann
keine andere sein, als dass der Kreis nicht absolut fest bleibt während der-
jenigen Manipulationen der Alhidade, bei welchen vorausgesetzt wird, dass
jener fest bleibe. Die Abänderungen aber, die ich habe anbringen lassen,
haben sich sehr wirksam bewiesen, nicht nur während der äusserst zahlreichen
Probemessungen, die ich selbst im Januar bis März machte, sondern auch bei
dem wirklichen Gebrauch, den mein Sohn noch fortwährend von diesem In-
strument macht. Die Resultate des vorigen Jahres waren zum Theil so
schlecht, dass sie ganz verworfen werden mussten, während sie dies Jahr
sämmtlich so gut sind, wie man von einem Instrument von dieser Dimension
nur erwarten kann. Die Hauptveränderung besteht übrigens darin, dass
Alhidadenzapfen und dessen Büchse (die ihrerseits den Limbuskreiszapfen
bildet jedes für sich durch eine Tragfeder dergestalt unterstützt wird, dass
man jede dieser Tragfedem imabhängig von der andern nach Gefallen und
augenblicklich anspannen oder abspannen (ganz oder theilweise) kann. Bei
dem Gebrauch findet dann ein planmässiger beständiger Wechsel zwischen
den Zuständen dieser Federn statt, so dass, alles gezählt, für jede Repetition
19 Operationen erfordert werden (das Ablesen mitgezählt); indessen macht
man sich die Reihefolge dieser Operationen so mechanisch, dass man fast
ebenso schnell operiren kann, wie bei der gewöhnlichen Einrichtung.
BEMERKUNGEN.
Die Notiz über die bei der hannoTerschen Oradmeffung und Landeiyermeffung benutsten sowie
für die letztere noch erforderlichen Instrumente ist einem im Oauss-Archiv befindlichen Bericht von Oausb
Tom 21. M&n 1829 an den Geheimen Cabinetsrath Hoppenstedt entnoiunen.
Zu den vorstehenden Briefen an Olbers, Schumacheb und Besbel, die nach den Originalen abge-
druckt sind, ist die Stationsausgleichung fdr BriUit, 8. 265/267, sowie auch eine Bemerkung von Professor
GoLDscHMmT, S. 289, ZU vergleichen«
KbCoeb.
63
500 BRIEFWECHSEL.
BRIEFWECHSEL UND NACHLASS.
[Berechnimg des mittlem Ablestmgsfehlers einschliesslich des Theilungsfehlers
am Theodolithen.]
[10
Gauss an Gerling. Göttingen, 17. April 1844.
Über eine andere Prüfimgsrechnung an Theodolithenbeobach-
tongen (welche zum Zweck hat, den mittlem Fehler der Ablesungen incL
der Theilungsfehler zu bestimmen) muss ich mir vorbehalten, Ihnen ein ander-
mal zu schreiben. Ich habe diese Rechnungen schon vor 19 Jahren ausge-
führt, und sie haben mir viel Vergnügen gemacht. Ich habe nemlich £ur
jede vorgekommene vollständige Ablesung a — 6-}-c — rf = Z berechnet , wo
(mit Weglassung der Grade) a, 6, c, d die 4 Ablesungen bedeuten. Dies l
sollte (trotz der Excentricität, ja trotz einer etwa veränderlichen Excentricitat)
constant sein; es ist nur variabel in Folge der Ablesungs- und der Theilungs-
fehler. Setzt man den mittlem Werth aus sehr vielen, ti, Ablesungen = X
(der bei einem gegebenen Theodolithen aus vielen Beobachtungen sich sehr
scharf finden lässt und imveränderlich sein sollte) und ^i = ^^j so ist
-^k der mittlere Fehler, den man bei der Ablesung Eines Index, und -^k der
mittlere Fehler, den man bei dem Mittel aus allen 4 Indicibus riskirt. Ich
finde nun den letztem oder -^k aus vollständigen Ablesungen:
MESSUNGSFEHLER.
501
["im Jahre
Anzahl der Ables.
mitÜ. Fehler]
1821
410
1^25
1822
717
1,57
1823
449
1,61
1824
843
1,60
1825
609
1,55
1822—1825
2618
1,58
Aus der so sehr nahen Übereinstimmung der Jahre 1822 — 1825 lässt sich
schon schliessen, dass der abweichende Werth von 1821 nicht zufällig ist; in
der That waren die Striche an Schumachers Theodolithen noch etwas schöner,
als an meinem eigenen. Jener rührte noch aus der Zeit her, wo Reichenbach
selbst die Werkstatt hatte; der meinige war bei Reichenbach bestellt, aber
doch unter seiner Aufsicht von Ertel gearbeitet. Auch an meinem 8-zölligen
(von 1829) ist die Theilung merklich weniger schön, als an dem 8 -zölligen
von Reichbnbach, den ich 1813 acquirirte; jener hat aber ein viel besseres
Femrohr.
Ich sehe, dass ich Ihnen mm doch das Wesentlichste über diesen Gegen-
stand geschrieben habe, und bemerke also nur noch der Vollständigkeit wegen
eine wesentliche Abkürzung jener Rechnung. Es ist nemlich 22 = »X, also
also
l{l^\f = S//-2nXX+nXX = 2//-nXX [= 2//-^
n— 1 n— 1 [ n— 1 n(n — 1)J
% [2.]
Zur Ausmittelung der Fehler, die aus der Theilung und dem Ablesen
entspringen, wurden alle vollständigen Ablesimgen am Theodolithen, 449 an
der Zahl [aus dem Jahre 1823], auf folgende Art discutirt.
502 NACHLASS.
Summe der Ablesungen am ersten und dritten Index weniger Summe der
Ablesungen am zweiten und vierten = L
2Z = + 133
111= 18521,
also der mittlere Werth von / = [1?? =] -f 0^30 = X;
mittlerer Werth von (/ — X)* = [^(l8521 — ^) =1 41,254.
Also der mittlere Fehler bei Einem Vemier inclusive des Theilungs-
fehlers :
^*=]±3;'2ii.
An ScHUMACHEBS TheodoUthen gaben 410 Ablesungen vom Jahre 1821
2/ = — 1896
2//= 18982.
Mittlerer Werth von / = — 4^62 = X.
Mittlerer Werth von (/—X)* = 24,97.
Mittlerer Ablesungsfehler Eines Yemiers inclusive des Theilungsfehlers
= ± 2^499.
Der Theodolitii gab 1822 aus 717 Ablesungen
2/ = -1-212
lU = 28433.
Mittlerer Werth von / = + o;;30 = X.
Mittlerer Werth von (/— X)* = 39,623.
Mittlerer Ablesungsfehler bei Einem Vemier inclusive des Theilungs-
fehlers = ±3^147.
Dies Resultat harmonirt so nahe mit dem von 1823, dass wir beide zu-
sammenfassen können. Wir haben also aus 1166 Ablesungen:
MESSITNGSFEHLKR. 503
2/ = -1-345
211= 46954
X =+ 0^296.
Mittlerer Werth von (/—X)* = 40,216.
Mittlerer Fehler bei Einem Vemier = ± 3^1 708.
Das Vorkommen der einzelnen Werthe von /, ohne Rücksicht 'auf "das
Zeichen, war:
[ ^
Anzahl
l
Anzahl
/
Anzahl]
0"
45
6"
133
11'
38
1
106
7
104
12
24
2
108
8
82
13
15
3
123
9
84
14
9
4
113
10
52
15
4
5
126
Im Jahr 1824 gab der Theodolith aus 843 Ablesungen
2/ = -1-104
111= 34506
X =-i-o';i2.
Mittlerer Werth von (/—X)* = 40,966.
Mittlerer Fehler bei Einem Vemier inclusive des Theilungsfehlers = ± 3"200.
Also aus allen 3 Jahren [1822 — 1824] 2009 Ablesungen
2/ = +449
111= 81460
X =+0"2235.
Mittlerer Werth von (i— X)' = 40,518.
Mittlerer Fehler Eines Vemiers = ±3*1827. Das Vorkommen der^ein-
zelnen Werthe von l, ohne Rücksicht auf das Zeichen, war:
S04
KACHLASS.
[ l
Anzahl
l
Anzahl
l
Anzahl]
0"
80
7"
191
14"
13
1
182
8
155
15
6
2
185
9
138
16
1
3
195
10
101
17
1
4
205
11
63
18
—
5
217
12
38
19
1
6
214
13
23
Am [BoRDASchen] Kreise sind [1823] 46 vollständige Ablesungen gemacht.
Es fand sich
2/ = — 174
2W= 1534
X =— 3;78.
Mittlerer Werth von (/—X)* = 19,46.
Mittlerer Ablesungsfehler Eines Vemiers inclusive des Theüungsfehlera
= ± 2?206.
Der Kreis gab 1821 mit 92 Ablesungen
2/
=
— 650
2;/
=
11578
X
^^
- 7;'07.
Mittlerer Werth von (/ — X)' == 7 6 , 7 6 7 .
Mittlerer Ablesungsfehler Eines Vemiers inclusive des Theilungsfehlers
±4;381.
Am Kreise sind 1822 gemacht 137 Ablesungen; diese gaben
2/
=
— 543
22/
6155
X
— 3?96.
Mittlerer Werth von (/—X)' = 29,432.
MESSUNGSFEHLER. 505
Mittlerer Ablesimgsfehler bei Einem Vemier inclusive des Theilnngsfehlers
= ±2'713.
Erlaubt man sich^ die Messungen von 1822 und 1823 zu verbinden, so
wird [bei 183 Ablesungen]
2/ =—717
111= 7689
X = — 3;92.
Mittlerer Werth von {l—'kf = [26,812.
Mittlerer Ablesungsfehler bei Einem Vemier inclusive des Theilnngsfehlers
= ± 2;'589.]
BEMERKUNGEN.
Der Yorstehende Brief an Geblino, Art. [i], ist naeh dem Original abgedruckt worden; Art. [2] wurde
einem Beobachtungsheft ftkr die hannovenohe Gradmessung entnommen.
Kbüoer.
IX. 64
REDTJCnON SCHJEFER WINKEL
AUF DEN HORIZONT.
REPETITIONSBEOBACHTUNGEN.
64*
NACHLASS.
[Bednction schiefer Winkel anf den Horizont]
Reduction auf den Horizont.
[A schiefer Winkel
J. + 0? . . . . horizontaler Winkel
Ä, Ä' Höhen.
Man setze]
^(Ä + Ä') = a, i(Ä-Ä') = 8;
[dann ist]
tang 4^(^ + 0?) = y
Bin (1^ + 8) sin (f^- 8)
COB (I- J. + 0) COB (^ J. — 0)
Bin [8 — fc) Bin {8 — h')
008 « COB [A — 8)
[2.]
Reduction schiefer Winkel auf den Horizont.
A schiefer Winkel
cc Correction
h^ h\ . . . Höhen
Genäherter Werth von x = M—N.
510
NACHLASS.
sec^^o?
t»ng\{A + x]
= a
-p
V.
Berichtigter Werth: * = ^— !^.
Beispiel.
Zwischen Clausbetg und Geismar gemessener schiefer Winkel
A = 105*27' o;78, ^A = 52'43'30;39;
Ä = 2' 19' 39;75 = 8379;75
'= 1 4 3,17 == 3843,17.
Ä + Ä' 4,087175 h — h' 3,656728
[(Ä + Ä")* ...8,174350
**°8*-^l 4 202072
4. 206266] •• • *i^»^»'^
M. 2,376422
a . .
+ 477
— 127
— 64
[[h — hf 7,313456
iTlöea«] • • • 3,964958
N 1,278414
l:ß —477
l:v — 17
a — 64
2,376708
238^07
ar = +219Tll.
1,277856
18^96
[1:4.206265]... 4,083515
tangi^il 0,118557
tang4^(-44-4f). . . 0,119034
[V^sec^^x 0,000000
8in(^+af) 9,983887
8in(il + ^-*) 9,983951]
M= 237^91
jy — 18,99
M—N = 218,92
Horizontaler Winkel = 105»30'39';89.
KEDUCTION SCHIEFER WINKEL AUF DEN HORIZONT. 511
[3].
Reduction eines schiefen Winkels auf den Horizont.
[Es seien]
a und ß Höhen, in Secunden ausgedrückt
A [gemessene] Distanz
A' = A-\-r .... Horizontaldistanz.
[Dann ist]
o „:« i ^ «Pi(tt + P)'tangf^-amt(a~P)*cotangi^ fdnA
z Bin T T ^= - — a * "5 — n — ; — : — r •
' cos a coB p sin (J. -|- ^r)
[Da angenähert
ist, so hat man zur Berechnung von r das folgende Schema:]
C log cos a =
C log cos ß =
logconst = [log^j-2^ = 4,083 5149-10]
[logc =]
logtang^^^ = logcotang^^^ =
2log(a + ß)= 2log(a-ß) =
f logcos4^(a+ß) = flogcosf(a — ß) =
loga = logft =
a= 6 =
a — 6 = log (a — ft) =
[logc =]
Corr. = [logjsecir*.^S^!^
logr =
r :=
512 BEMERKUNGEN.
BEMERKUNGEN.
Die Notis [l] findet sich in einem Tagebuch der Stemwaite, 11 181B — 1817, die Notiz [2] auf
der letEten Seite einer Logarithmentafel und die Notiz [3] auf der letzten Seite dea OAUSSSchen Exemplan
von »O. F. RösLERi Handbuch der praktischen Aftronomie für Anfllnger tmd Liebhaber , Erater Thefl.
Tabingen 1788.«
Bei [2] lautet im Original der Ausdruck für a:
A- Bin {Ä + 05)
sin [A + ^x) *
während ea heisaen muaa, wie vom angegeben ist. In dem Zahlenbeispiel sind einige kleine Rechenfehler
verbessert worden.
Die der Notiz [2] zu Grunde liegende Formel lässt sieh wie folgt ableiten. Ist A der schiefe Winkel,
A-i-x der dazu gehörige Horizontalwinkel, und sind femer h und A' die Höhenwinkel, also oo*— % und
90* ^h' die Zenithdistanzen, so hat man:
1) oobA = nnhnnh''^'COBheonh'coB{A'^'X)
= umhBinh'\cou^{A + x)* + nn^{A + x)*\+eoBheouh*\to»i{A + x)*''mi{A + x)*\
= isoB\{A + x)*coB{h-h')-m^[A + x)*eoB{h + h^;
subtrahirt man davon
cos(^ + a;) =3 ooB^{A + x]* — nxi^{A + x)*,
so erhält man die Gleichung
sin i« sin (-4 + 1«) = -cosi(^ + a:)«sini(Ä-Ä')« + sini(-ä + a;)«sini(Ä + Ä')«
oder
'' "^^^'^rin^V^^ ^ ;tangi(il + a;)Bini{Ä+Ä')*-*cotangiU + a:)sini(Ä-Ä')».
In erster Näherung ist also, wenn x, h und H' in Secunden ausgedrückt werden und p = vrriTT
gesetzt wird:
x = ip{Ä4.Ä')»tang|-A-ip(Ä-Ä')*cotangiil
3) = M-N,
Da für kleine Winkel angenähert
sinu = p.tt''costi*
REDUCTION SCHIEFER WINKEL AUF DEN HORIZONT. 613
iat, Bo folgt auB der Gleichung (J) der genauere N&heningswerth
oder mit den Bezeichnungen von S. 5io oben:
Die Fonnel der Notiz [8] ist fOr die Anwendung noch etwa« bequemer, da sie weniger indirectes
Rechnen erfordert. Man kann sie in folgender Weise ableiten. Nach der Gleichung (l) ist
co8(J. + rc) =
cos J. — sin /i sin ^
/
cos ^ cos A' *
mithin wird
coßU4.aj)-coSil = r^ — -_- j(cosi-ä*- sinM«)(i -coBÄoosÄ')-(coBl-ä« + siniil*)BinÄBin*'|
oder
-Bin(^ + i«)siniiB = -1__ jcoBVA»8ini(Ä-Är-smi^*sini(Ä + Är{
^ ' ■ cos /i cos A ( »
oder
sm^ 2 cos A cos /l ( '
Setzt man wieder Binii= p.ii"cosii*, so erhält man hieraus:
oder, wenn man noch
/ x\^ nnÄ
und wie vorher
•etat:
8)
cos % cos ^' ( fl VI
K&ÜOBB.
IX.
65
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL.
[RepetitionsbeobachtuDgen.]
[1.]
Wahrscheinlicher Fehler des Ablesens 1
Wahrscheinlicher Fehler des Pointirens k
[A^ B^ C^ . . . seien die gleichmässig vertheilten Ablesungen.]
Wahrscheinlichstes Resultat
aus Beobachtungen
3
4
5
6
{kk+$](D-'Ä) + {C-'B)
Skk+ 10
{kk + 2)[E-A) + iD-B)
4X;A:+10
{k^ + 6kk + b F''A)+ kk + S] E-R+ D-C]
6ifc*4-28ifcfc + 35
{k^ + 4kk+S)[G-Ä] + [kk + 2)[F-B) + 'E'- C)
(}k^ + 2Skk + 2S
Die Coefficienten bilden eine wiederkehrende Reihe, Scale kk-\-2j — 1.
Ist bloss zu Anfang, nach der ersten, (n — 1 )^®° und n^®° Beobachtung ab-
gelesen [und sind diese Ablesungen A^ B^ K, Z], so ist das wahrscheinlichste
Resultat
_ (;n~2)Ä;Jfc + n) Z- A) + [n^ 2) (F- B\
n (n — 2, ^•Ä; + nn + ^n — 2y
2
Wahrscheinlicher Fehler
_ . / n-2:Ä;*4-(2n-2Ä;fc + 2
V ;nn-2n;Ä;*+(2nn -4n + 4:;kÄ;
NACHLASS UND BRIEFWECHSEL. REPETITIONSBEOB ACHTUNGEN. 515
Der wahrscheinliche Fehler, wenn bloss zu Anfang und zu Ende ab-
gelesen ist:
nkk + 2 ^
^
nnkk
nach Syanbergs Methode
60-f6(n:n + 2) + 2)Ä;fc
6n[n+l]{n + 2;kk
[2-]
Gauss an Bessel. Göttingen, 27. Januar 1819.
Ich gehe jetzt damit um, noch einige Zusätze zu meiner Theorie
der kleinsten Quadrate zu machen. Ein Funkt ist die Behandlung der Be-
obachtungen mit Kepetitionswerkzeugen. Laplace hat darüber kürzlich eine
Abhandlung gegeben und unter andern Syanbergs Verfahren getadelt. Man
könnte aber was Laplace von Svanberg sagt »c'est un nouvel exemple des illu-
sions auxquelles on est expos^ dans ces recherches dölicates« gewissermaassen
auf jenen grossen Geometer selbst anwenden. Das Verfahren, den ganzen durch-
laufenen Bogen bloss mit n zu dividiren (welches Laplace in Schutz nimmt)
ist nur dann der Wahrscheinlichkeits- Theorie gemäss, wenn die Ablesungs-
(und Theilungs)fehler gegen die Fointirungsfehler verschwinden, besonders
wenn die Anzahl der Beobachtungen nicht sehr gross ist. Jene Fehler hat
Laplace ganz ignorirt. Es ist sehr merkwürdig, dass wenn umgekehrt die Foin-
tirungsfehler gegen die Ablesungs- und Theilungsfehler verschwinden, das der
Wahrscheinlichkeits-Theorie gemässe Verfahren ganz mit dem SvANBERGschen
identisch ist, und letztere Fehler (die bei französischen Instrumenten auch
wohl bedeutend die Fointirungsfehler überwiegen) scheint Svanberg auch nur
im Sinn gehabt zu haben. Betrachtet man beide Fehler als coexistirend, so
scheint das Froblem sehr schwierig, allein wenn man es auf die rechte Art
angreift, so ist es äusserst einfach und elementarisch, wie Sie ohne Zweifel auch
gleich finden werden. Indessen möchte doch diese Art wie Columbus' Ei sich
wohl nicht gerade jedem gleich darbieten, wie ich überhaupt bemerke, dass
manche Astronomen, z. B. Lindenau imd Ltttrow, die Anwendung der Methode
65*
516 BRIEFWECHSEL. REPETITIONSBEOBACHTUNGEN.
der kleinsten Quadrate nicht immer im wahren Geiste derselben machen. Aus
dieser Ursache scheint es mir nicht ganz unverdienstlich , mehrere Momente
dieser Theorie noch besonders zu entwickeln. Bei 1 2 Beobachtungen ist, wenn
die Theilungsfehler 3-mal so gross sind als die Fointirun^ehler, das Gewicht
des Resultats
nach Laplaces Methode = 4,80
nach Sv ANBERGS Methode =7,00
nach der strengen Methode = 7,08,
das Gewicht aus Einer Beobachtung, ohne Ablesungsfehler, = 1 gesetzt.
Schon durch Zuziehung der ersten und elften Ablesung würde das Ge-
wicht nach der richtigen Methode auf 6,26 erhöht
BEMERKUNGEN.
Die Notiz über Repetitionfbeobaohtungeii ist auf das letzte Blatt des OAüSSBchen Exemplars tod
Laplace: »Deuxiime suppUment & la thterie analytique des probabüit^, Fßyrier 1818« eingetragen. Auf
diese Abhandlung bezieht sich auch der unter [2] im Auszug mitgetheilte Brief an Bessel, dessen Abdruck
nach dem Original erfolgt ist. Eine Theorie der Repetitionsbeobachtungen, sowohl fOr gleichmfissig als auch
für ungleichm&ssig vertheilte Ablesungen ist 1884 von Bessel yerOffentlicht worden (Astronomische Nach-
richten, XI. Band, Nr. 256, S. 269 u. f.).
Das Gewicht eines Ablesefehlers sei i und das Gewicht eines einzelnen Visurfehlers sei p. Wenn
die Ablesungen gleichmässig nach je r Repetitionen stattfinden, so ist mithin das Gewicht des Fehlers, der
gleich der Summe der Fehler der Visuren zwischen 2 auf einander folgenden Ablesungen ist , gleich -— •
Gauss setzt f- = in:*
2f KK
Es bezeichne x den gesuchten TVinkelwerth , so dass also rx aus je 2 auf einander folgenden Ab-
lesimgen erhalten wird. Die Ablesungen selbst seien {^, /,, ..., J^. Femer sollen ^, |i,, (a,, ... eine
Reihe von Zahlengrössen sein, die aus der Recursionsformel
unter der Bedingung (a« = o und fi| = i hergeleitet werden. Es ist also
1*1 = 1
\H=9 =kk+l
jAi=^^-i = k* + Akk + z
fi4 = g*—tg = Jfc*+6Jfc* + ioJfcJfc+ 4
u. s. w.
Zur directen Berechnung der fi dient die Formel :
k\/Jck+A).iif = tt'-u-'; tt = Hkk'i'2 + k^ ,kk+i)).
BEM£RKCNG£N. REPETITIONSBKOBACHTUNGKX* 517
Igt nim die Awtil der Ablcmingen » = im, «o iriid ,nftch A>'DIUE und ZacIIAIUAC» Dt'n diauX«»
Ondmufing IL Band, 1872, S. 196 u.f.^ allgemein
oder auch
rx =
Das reeiproke Qewielit von x ist:
t t ~*
Setzt man also
(nJbib + n— i)fji. — Wfx^i = hkM,
•o wird
Und ist die Anzahl der Ablesungen n = 2m+ ii so i<^t
* il=0
oder
rx = ^=^
j^|(nÄiÄ; + ln-2)Hi^i-i:n + i)|x^j
Hierbei ist das reeiproke Gewicht von x
1 _ JL f*.»+a - t^m
i' pr »jx^t - 5 l*«+i - (n + 2) |A^
rrU n (nÄ;ÄJ + 2n- 2)|x^ - 2(n+ l)|x^i/
Wird mithin
(ntifc + 2»— 2)1*^1 — 2 (n+ i)fji. = kkN
gesetzt, so ist
Schreibt man A, B, C, ,,. anstatt 2«, 2t, ^> ...| so ergeben sich damit für n w 4 bezw. « und
für fi= S bezw. 5 die auf S. 614 aufgeführten Resultate, die also für den r-fachen Winkel gelten* Die (i
und also auch die Coefficienten im Zähler des Ausdrucks für den r-fachen Winkel bei geradem n sind die
Coeffidenten der Entwickelung des Bruchs Tim — : — i '^ ^^^^ ^^^ V fortschreitende Ileihc. Ist
1 — (ÄÄ-f- ^,y -T yy
dagegen n ungerade, so sind die Coefficienten im Zfthler des Bruchs, der den r-fachen Winkel gibt, gleich
den Coefficienten der Reihe aus der Entwickelung des Bruchs ^
^- kk+2y + yy
518 BEMERKUNGEN.
Für die reciproken Gewichte erhftlt man aus den obigen Fonneln
11/, ^9+A **/i , , fcifc + 2 \
""' p-7?y^ *igg-{-»g-t) - rry^*kk{ik^+i»kk+»i,}'
Gauss gibt dagegen in der vontehenden Notiz an: »WahneheinUoher Fehler des Resultats, den des
Ablesens ^ i gesetit:
^((tÄ+i)<^->-c<-") = ty/^i+l^).
Auch ist, wenn die Coeffioienten mit d*^, c'"'", etc. bezeichnet werden,
Für den Fall, dass am Anfang, nach der i^**^, (n— i)*^*^ und n^° Beobachtung abgelesen ist, möge
eine Ableitung des Winkelwerthes und seines reciproken Gewichts hier folgen.
Es seien
t?o» *^i» ^ii-i» *n die Fehler der Ablesungen A, B, Y, Z\
\ y ^m-t* ^n d^® Sunmie der Fehler der Visuren zwischen den Ablesungen A und B, B und Y, Y und Z\
X der gesuchte Winkelwerth.
Das Gewicht eines Fehlers der Ablesung sei wie vorher i, das Gewicht eines einzelnen Visurfehlers seip.
Die Gewichte von fi|, S,^i, 8„ sind demnach ^, — — — i ^, da sieh S| und h^ je aus 2 Einstellungen,
2 2 ^n — 1; 2 ^ « 1
9„.i aber aus n — 2 Einstellungen zusammensetzen. Man setze jetzt T = ri.*
Zwischen den Fehlem bestehen die Gleichungen
\ = — J. + jB — « — r^ + r,
1) In^x = -Ä+ r-(n-2)aj-©i+©,^i
Es muss
werden.
Setzt man fdr den Augenblick
so lauten die Normalgleichungen, wenn man gleichzeitig mit lik multiplicirt :
Xj+ X, + Xf, = nx +!?, * ♦ — ««
L^ =z ^ X '\- [hlc + \)f>^— Vi ♦ ♦
1^X, + X, = . ♦ - ^f?, +^ÄÄ+i+^^)
'»-1 — *>«
-i, = -a; ♦ ♦ - ««-1 +(tt+i)«„.
REPETITIONSBEOB ACHTUNGEN. 519
Addirt man die letzten 4 Gleichungen, so folgt
nach der zweiten und fünften Gleichung ist mithin:
Die erste Normalgleichung gibt
^i + ^»-i + ^n = 0-
Subtrahirt man die fdnfte Gleichung von der zweiten und die vierte von der dritten, bo hat man
L^ +X, = tx + {i + Jch){v.-v^- (»i-t?«-,)
woraus sich ergibt:
(»;*(n-2) + 2)(X,+JD,)+ Jl^ = 2(tÄ(n-J) + n)a? + (Ä*(n-2) + 2ifcÄJ{n-i) + 2):t?.-t7„).
Eliminirt man nun vermittelst dieser Gleichung t7« — 17„ aus der ersten der Gleichungen 3), so folgt,
wenn man zugleich für die L ihre Werthe einsetzt:
^ ^ ((n~2)Ä;A; + n)(Z-ii) + (n-2)(Y-^)
n(n — 2)fcÄ;+ 2nn— 4n4-4
Um das reciproke Gewicht von x zu erhalten, hat man an Stelle der Constanten der Gleichungen 3)
(weil die urspranglichen Normalgleichungen mit kh multiplicirt sind) der Reihe nach kk, o, o, o, o zu setzen.
Der damit erhaltene Werth von x gibt das reciproke Gewicht an. Man erhält
\ (n- 2)fc* + 2(n— i)Ä;fe+2
P ~" n(n — 2)Ä;Ä; + 2nn— 4n + 4'
Setzt man dagegen, wie es Gauss in der letzten Formel auf S. 614 und in den beiden folgenden
Formeln auf S. 516 gethan hat, das Gewicht der zu einer Beobachtung gehörigen Visurfehler = i, das Ge-
wicht eines Ablesefehlers sahk, so ist im Nenner des vorstehenden Ausdrucks noch kk als Factor hinzu
SU fügen.
Für n ^ 12 und kk^ss ^ wird alsdann z. B. das Gewicht des Winkelwerths :
i 1 12.10.^+2.144 — 4.12 + 4 j
"^ 10.^+2. 11. i + 2 = *'^*-
Wäre aber nach jeder Beobachtung abgelesen, so hätte man nach S. 616/617 für kk = \ zunächst
r*i = 1| hl = 2,111, Vt = 3,457, |X^ = 5,187, ^ = 7,493, pe = 10,631;
und weiter mit n =s 1 2 :
(nfcÄ + n— 2;fji^ — nfi,^i = 30,574 = kkM,
Damit ergibt sich, da in diesem Falle der Ausdruck fOr das reciproke Gewicht noch durch kk im
dividiren, und da ausserdem r = 1 ist :
* =1+ ^^-
P n ' nkkM
oder
520 BEMERKUNGEN. REPETITIONSBEO BACHTUNGEN.
„ i^kkM 12.30,674
klcM-^-lil^ 61,836
Vergl. dazu den Schlusi des Briefes an Bessel, S. 516.
Ist nur im Anfang und nach der n^®° Beobachtung abgelesen, so findet man, entweder direct wie
Torher oder indem man in der allgemeinen Formel auf S. 517 n^i im+i =s i setzt , ftlr das reciproke
Gewicht von x = :
n
P "" nn
Dabei ist das Gewicht eines Ablesungsfehlers = 1 und das Gewicht des Qesammtfehlers des Pointirens
= —jTi: gesetzt.
Das SvAKBEBOsche Verfahren (Exposition des Operations faites en Lapponie, pour la d^termination
d'un arc du m6ridien, en I80l, 1802 et 1803, Stockholm 1805, p. 29/38] besteht darin, dass zur Ableitung
des Winkelwerths x aus (n+ i) Ablesungen {g, l^, . . ., l^ alle möglichen Differenzen || — 1,| ss (t — h]x, i>h*
gebildet werden, aus deren Summe man erh<
n(n+i)(n + 2) Ä ,« . ,,
1.2.8 ,• s 0
Wie Gauss in dem vorstehenden Briefe an Bessel bemerkt, findet man dasselbe Resultat, wenn man
die Pointirungsfehler, h, gleich Null setzt. In der That ergibt sich dieser Werth von x auch mit Hülfe
der Fehlergleichungen:
'• + «'• = «*. ^+Vi =«• + «» h + v% ^ u + tx, ..., Z^ + v^ = « + n«,
worin u die Entfernung des Anfangspunktes der Theilung von der ersten Ablesestelle bedeutet.
K&Ooer.
BEMERKUNGEN ZUM NEUNTEN BANDE.
Der vorliegende neunte Band von Gauss' Werken ist von Herrn L. Krüger in Potsdam bearbeitet
worden, welcher von Herrn A. Börsch bei der Sichtung des Materials unterstützt wurde ; er enthält eines-
theils den Abdruck derjenigen von Gauss publicirten geodätischen Schriften , welche in Band IV nicht
Fiats gefunden haben, andemtheils eine Bearbeitung des geodätischen Nachlasses.
Die von Gauss Unterlassenen geodätischen Notizen beziehen sich fast ausschliesslich auf die han-
noversche OradmesBwng und auf Fragen , die durch sie und auch durch ihre Vorgängerin , die dänische
Gradmessung, veranlasst sind. Herr L. Krüoer hat sich der mühsamen Arbeit unterzogen , den Inhalt der
im Nachlass vorhandenen zusammenhangslosen Blätter, auf denen Gauss die PrqjecUonsmethode der han-
noverschen Chrcuhnessung entwickelt hat, ebenso wie die auf die IHanguUrung selbst bezüglichen Au&eich-
nungen zu einem geordneten Ganzen zusammen zu setzen. Der Fortgang der Arbeiten zur Chradtnessung
und eu der sich anschliessenden Landesvermessung ist durch eine Zusammenstellung aller wichtigen sie
betreffenden Veröffentlichungen, ofQciellen Berichte und Briefstellen ausführlich dargestellt. Im Einzelnen
sind die den verschiedenen Notizen zugefügten Bemerkungen des Bearbeiters nachzusehen; eine Übersicht
der wesentlichsten Theile dieses Bandes enthält auch der vom Unterzeichneten im April 1902 erstattete
»Bericht über den Stand der Herauegabe von Gauss' Werken« (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissen-
schaften zu Göttingen. Geschäftliche Mittheilungen 1902, Heft l).
Die allgemeine Redaction lag, wie bei Band VUI, in den Händen von Herrn M. Brendel. Der Ab-
druck der Nachlassstellen schliesst sich so eng wie möglich an die Originale an ; bezüglich der Orthographie
wurde, wie in den frühem Bänden, diejenige Schreibweise gewählt, die Gauss am häufigsten gebraucht zu
haben schien, und diese durch den ganzen Band beibehalten. Ebenso wie früher sind Einschaltimgen des
Bearbeiters in den Text der Originale durch eckige Elammem [] kenntlich gemacht oder in den Bemer-
kungen besonders erwähnt, sowie Abdrücke von Notizen und Briefstellen, die nicht von Gauss herrühren,
in geschweifte Klammem () gesetzt.
Die Briefstellen wurden nach den Ori^alen abgedruckt, soweit diese vorhanden sind. Der Nach-
weis der aus dem Nachlass zum Abdruck gelangten Notizen findet sich, wie andere redactionelle Mit-
theilungen, in den Bemerkungen zu den einzelnen Abtheilungen.
F. Klein.
IX.
66
INHALT.
GAUSS WERKE BAND IX.
GEODÄSIE. FORTSETZUNG VON BAND IV.
BESTIMMUNG DES BREITENUNTERSCHIEDES ZWISCHEN DEN STERNWARTEN
VON GÖTTINGEN UND ALTONA DURCH BEOBACHTUNGEN
AM RAMSDENSCHEN ZENTTHSECTOR.
Einleitung Seite b
Die beobachteten Sterne — 8
Die Beobachtungen — lo
Refultate
Einfachste Combination der Beobachtungen sur Bestimmung des Breitenunterschiedes,
Art. 1 — 2»
Genauigkeit der Beobachtungen, Art. S — 30
Collimationsfehler, Art. 3 — 31
Absolut Yortheilhafteste Combination der Beobachtungen, Art. 4 — 7 — 3S
Berücksichtigung der unregeknftssigen Theilungsfehler, Art. 8 — 11 — 86
Lage der Beobachtungsplfttze, Art. 12 — 40
Bestimmung der absoluten Folhöhe der Göttinger Sternwarte aus Beobachtungen des
Nordsterns am REiCHENBACHschen Meridiankreise, Art. 13 — 17 — 40
Endresultat der hannoverschen Gradmessung, Art. 18 — 20 — 47
Vergleichung der Declinationen der beobachteten Zenithalsteme mit Bradleys und
PlAZZis Bestimmungen, Art. 21 — so
Breitenbestimmung der Sternwarte Seeberg — 62
Zusatz zu Art. 20, S. 48 — so
Angeige.
Bestimmung des Breitenunterschiedes zwischen den Sternwarten von Göttingen und Altona
durch Beobachtungen am RAMSDENschen Zenithsector — so
Bemerkungen — 63
INHALT. 523
ERDELLIPSOID UND GEODÄTISCHE LINIE.
NoMms.
Das ErdellipBoid Seite 67
Gleichung der Verticalebene des Rotationsellipsoids .* — 70
Gleichung des Rotationsellipsoids in Beziehung auf eine berührende Ebene — 70
Bemerkungen — 71
Begründung meiner Theorie der geod&tischen Linie — 72
Kürzeste Linie auf dem SphSroid , — 74
Geodätische Linie — 78
Geodätische Übertragung von Breite, Länge und Azimuth — 80
Geodätische Übertragung auf der Kugel — 88
Berechnung der linearen Länge der geodätischen Linie und ihrer Azimuthe aus den geo-
graphischen Coordinaten — 89
Vollkommen genaue Formeln für ein Dreieck auf dem elliptischen Sphäroid — 92
Übertragung der geographischen Lage vermittelst der Sehne und des Azimuths des Vertical-
Schnittes — 93
Der Unterschied zwischen dem geodätischen und dem beobachteten Azimuth — 94
Reduction des astronomischen Azimuthes auf das geodätische — 95
Bemerkungen — 96
Briefwechsel,
Änderung der PolhOhe mit der Höhe: Gauss an J. J. Baeter 1853 Juni 22 — 99
Bemerkungen — 102
NoMcLSS.
Reduction der sphärischen Dreieckswinkel A, B, C auf die Chorden winkel 9[, S3, (£ ... — lOS
Bedingung dafür, dass 3 Punkte auf der Oberfläche einer Kugel auf einem grössten Kreise
liegen — lOS
Bemerkungen — 104
CONFORME DOPPELPROJECTION DES SPHÄROIDS AUF DIE KUGEL UND DIE EBENE.
NcuiMcuts.
Das elliptische Sphäroid auf die Kugel übertragen — 107
Bemerkungen — 115
Stereographische Projection der Kugel auf die Ebene — 117
Bemerkungen — I2l
Übertragung der Kugel auf die Ebene durch Mercators Projection ........ — 123
Bemerkungen — 132
Stereographische Darstellung des Sphäroids in der Ebene — 183
Bemerkungen — 134
66'
624
INHALT.
CONFOBME ÜBERTRAGUNG DES SPHÄROmS AUF DEN KEGELMANTEL.
NcuiMcuts.
Zur zw'eiten Darstellungsart des SphAroids, auf einen ParaUelkreis bezogen Seite ist
Bemerkungen — 140
CONFORME ABBILDUNG DES SPHÄROIDS TS DER EBENE
(PROJECTIONSMETHODE DER HANNOVERSCHEN LANDESVERMESSUNG).
NoMasa.
Berechnung der geographischen Breite und L&nge aus den ebenen rechtwinkligen Coordinaten
Berechnung der Meridianconvergenz aus den ebenen rechtwinkligen Coordinaten ....
Formeln zur numerischen Berechnung der L&nge, Breite und Meridianconvergenz ....
Berechnung des VergrOsserungsverhältnisses n
Beziehungen zwischen x, y und (, X
Berechnung der ebenen rechtwinkligen Coordinaten aus der geographischen Breite und Länge
Berechnung der Meridianconvergenz aus den geographischen Coordinaten
Die Reduction des Azimuths auf dem Sphäroid auf das Azimuth in piano
Der Unterschied zwischen der Projection der geodätischen Linie und der ihre Endpunkte
verbindenden Geraden bei der oonformen Darstellung einer krummen Fläche in der
Ebene
Zur Transformation der Coordinaten
Reihen zwischen 7, ^ und o»
Zur Berechnung von log cos 7 ^
_, . 1 , . •. 1 (i — ÄÄsin®') , acoso
Berechnung von log(i — eesmo'), log ; ^-— und -7- -. — =r
Numerische Werthe der Coeffidenten in den Reihen zwischen 7, <|; und a>
Berechnung der ebenen rechtwinkligen Coordinaten aus den geographischen Coordinaten mit
Hülfe der Reihen zwischen 7, <|; und a>
Berechnung der Länge und Breite aus den ebenen Coordinaten
Die Darstellung der Oberfläche des Sphäroids in der Ebene
Bemerkungen
Bnefujtchad.
Über die Formeln fOr die hannoversche Landesvermessung:
Gauss an Schumacheb i830 April 18
Gauss an Schumacheb 1830 April 30
Gauss an Schumacheb issi Mai i?
Gauss an Schumacheb i831 Juni 26
Gauss an Schumacheb 1838 Dec. 9
Bemerkungen
143
146
148
152
155
156
158
15»
162
168
171
180
181
182
185
191
193
195
205
212
213
215
217
218
TRIGONOMETRISCHE PUNKTBESTIMMUNG.
NacMass.
Endresultat fOr den Ort eines Punktes in einer Ebene, der von drei bekannten aus ange-
schnitten ist — 221
I
INHALT.
525
BeBtammung der Lage eines Punktes P^ aus der Lage dreier anderer: P, P', P", wo jener
beobachtet Seite 22S
Ausgleichung dreier Schnitte — 324
Zur Ausgleichung dreier Schnitte — 226
Bestimmung eines Nebenpunktes (Schessel) aus den Beobachtungen auf Hauptdreieckspunkten
(Litberg, Wilsede, Bottel, BuUerberg und Brüttendorf) — 228
Abliandlung,
Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf eine Aufgabe der praktischen Geometrie . — 231
Nachlass,
Bestimmung der Lage des Punktes X durch Beobachtung der Winkel a und ß zwischen
3 gegebenen Punkten A, B, C — 238
Orientirung des Messtisches — 239
Aufgabe der praktischen Geometrie — 239
Bemerkungen — 240
AUSGLEICHUNG EINFACHER FIGUREN.
Nachkus.
Ausgleichung eines Vierecks — 245
Gleichung zwischen den Seiten und Diagonalen eines Vierecks — 248
Brirfwechsel,
Über die Wahl der Bedingungsgleichung aus den Seitenverhältnissen:
Gauss an Gerlino 1824 Febr. ii — 24»
Gauss an Gerling 1840 Jan. 19 — 250
NacMass,
Zur Ausgleichung der Winkel im Viereck — 254
Viereck zwischen 4 Punkten l. 2. 3. 4 — 267
Ausgleichung eines Polygons — 257
Gewicht von HOhenbestimmungen — 258
Bemerkungen — 269
STATIONSAUSGLEICHUNGEN.
Naehkus,
Stationsausgleichung fOr Zeven aus sfimmtlichen Messimgen von 1824 und 1825 (ohne die
vom 4. und 5. August) , — 263
Stationsausgleichung für Brillit — 265
Wilsede aus sämmtlichen Messungen von 1822 und 1824 — 267
Ausgleichung der auf dem Windberge gemessenen Winkel — 271
Beobachtungen auf Breithom 1822 — 274
Brieftoechsel.
Über Stationsausgleichungen: Gauss an Gerling 1823 Deo. 26 — 278
Gauss an Schumacher i827 Dec. 22 — 28i
Gauss an Schumacher 1828 Jan. 7 .— 285
Bemerkungen — 287
526 INHALT.
ZUR NETZAUSGLEICHUNG.
NoMass.
Anzahl der Bedingungsgleichungen in einem Dreieckssyttem Seite 297
Die 33 Hauptdreieckspunkte und ihre Verbindungen — 297
Zusammenstellung der beobachteten Dreiecke und ihrer Widersprüche — soo
Normalgleichungen, die den Winkelgleichungen entsprechen — S02
Bedingungsgleichungen der zweiten Art — 304
Normalgleichungen, die den Seitengleichungen entsprechen — 311
Die Verbesserungen — 312
AusgleichungBwerthe -. S14
Die Azimuthe der Seiten des sph&roidischen und des ebenen Dreieckssystems — 317
Brief tDechael.
Gauss an Olbebs 1823 Not. 2 — 319
Gauss an Olbers 1824 Juli « — S20
Gauss an Olbers 1826 Mai u — 320
Gauss an Gerlino 1837 Mai 2 — 323
Gauss an Gerlino 1838 Juni 6 — 323
Gauss an Gerlino i838 Nov. 14 — 326
Bemerkungen — 327
DREIECKSKRANZ UM OLDENBURG.
NaMasa.
Zur Ausgleichung des Dreieckskranzes, der das Oldenburgsche umgibt — 331
Bemerkungen — 340
ZUR HANNOVERSCHEN TRL\NGULATION.
Brieftoeehsel,
Gauss an ScHUifACHBR : I8I6 Julis, isisSeptio, i82oMai2o, i82iMfirz4, i622 8ept.is,
1826 Januar, 1825 Juni 20, 1829 Jan. 14 — 345
Gauss an Bessel: 1821 Dec. 26, 1822 Nov. 15, 1823 Nov. 5, 1824 Nov. 20, 1826 Mftiz 12,
1826 Nov. 20, 1827 April 1, 1830 April 9 — 349
Gauss an Bobnenberoer : t823 Nov. 16 — 364
Gauss an Olbers-. 182i Jan. 13, 1822 April I8, 1824 Juli 4, 1824 Juli 8, 1825 Febr. 19,
1825 Febr. 25, 1825 Oct. 9, 1826 April 2, 1827 Jan. 14, 1827 Mäiz 1, 1830 Juni 14,
1837 Sept. 2 — 367
Gauss an Gerlino: 1821 Oct. 5, 1822 Febr. 21, 1822 Nov. 7, 1823 Juli 27, 1823 Aug. 11,
1823 Sept. 1, 1813 Sept. 5, 1823 Oct. 3, 1827 JuU 19, 1838 Sept. 12, 1838 Nov. 14 . . — 380
Bemerkungen — 395
Ver^entlichungen.
Auszug aus einem Briefe des Herrn Hofrath und Ritter Gauss — 396
Auszug .aiui einem Schreiben des Herrn Hofirath Gauss — 397
Bemerkungen — 400
NoMasa.
Plan und Anfang zum Werke über die trigonometrischen Messungen in Hannover.
Plan des -Werkes — 401
INHALT. 527
Einleitung Seite 402
Erster Abschnitt. Anordnung der Messungen im allgemeinen —.405
Auszüge aus Berichten über die Triangulirung an das hannoversche Cabinets-Ministerium.
Aus einem Bericht vom 7. Januar 1822 über die Arbeiten im Jahre 1821 — 406
Aus einem Bericht vom 31. Januar 1823 über die Arbeiten der Gradmessung im Jahre
1822 — 40»
Aus dem Bericht vom 16. Februar 1826 über die im Jahre 1824 ausgeftlhrten trigono-
metrischen Arbeiten — 412
Aus dem Bericht vom 21. November 1827, betreffend die weitere Ausdehnung der Orad-
messungsarbeiten — 4i3
Aus dem Bericht vom 26. Juni 1826, die Fortsetzung der Gradmessungsarbeiten betreffend — 416
Historischer Bericht über die von dem Hofirath Gauss theils ausgeführten, theils ge-
leiteten Messungen im Königreich Hannover — 418
Aus dem Bericht vom 5. Juli 1840 über die trigonometrischen Vermessungen im Jahre
1839 — 425
Aus einem Bericht, December 1844, über die im Jahre 1844 ausgeführten trigono-
metrischen Messungen — 426
Geographische Coordinaten der Hauptdreieckspunkte der hannoverschen Messungen ... — 427
Bemerkungen — 429
HÖHENMESSUNGEN.
Veröffentlichung und Briefweched.
Der Kefiractionscoefficient aus den Höhenmessungen bei der hannoverschen Gradmessung.
Beobachtete und berechnete Triangulirung im Hannoverschen, Braunschweigschen und
Lüneburgschen — 487
Der Hefractionscoefficient aus den Höhenmessungen von 1824 abgeleitet: Gauss an
Schumacher i824 Nov. 28 — 440
Der Befiraotionscoefficient aus den Höhenmessungen bei der Gradmessung und ihrer
Fortsetzung bis Jever: Gauss an Schumacher 1846 Dec. 27 — 443
Bemerkungen — 444
NoMase.
Terrestrische Refraction — 446
Formel zur Höhenberechnung • — 448
Ausgleichung der Höhen der Hauptdreieckspunkte — 449
Bemerkungen — *64
Veröffentlichung,
Tafel für barometrisches Höhenmessen — 466
HELIOTROP.
Veröffentlichungen.
Über den Heliotrop — 461
Erfindung eines Heliotrops • • . . — 466
528 INHALT.
Über den Heliotrop: Gauss an Olbeks 1821 Juli i Seite 467
Gauss an Schümachek isii Juli ii — 470
Gauss an Schumacheb isii Nov. 8 — 470
Gauss an Schumacher 1822 Juli lo — *47o
Gauss an Schumacher isi? Jan. 15 — 47i
VeröffentHchung.
Die Berichtigung des Heliotrops — 473
Nachhus,
EinfluM unvollkommener Berichtigung am ersten Heliotrop — 478
für den «weiten Heliotrop — 479
Zur Berichtigung des Heliotrops — 479
Bemerkungen — 488
MESSUNGSFEHLER.
Naehlws und Briefwechsd.
Über die bei der Landestriangulirung erforderlichen Liitrumente — 487
Über Messungsfehler: Gauss an Olbers 1826 JuL' . — 49 o
Gauss an Schumacher 1825 August 14 — 498
Gauss an Bessel 1843 Oct. 29 — 494
Gauss an Bessel 1844 August 1 5 — 498
Bemerkungen — 499
Bri€fwechsd.
Berechnung des mittlem Ablesungsfehlers einschliesslich des TheUungsfehlers am Theodo-
lithen: Gauss an Gerlino 1844 April 17 — 500
Nachkua.
Berechnung des mittlem Ablesungsfehlers am Theodolithen und Bord Aschen Kreise 1821 — 1824 — 601
Bemerkungen — ftOft
KEDUCTION SCHIEFER WINKEL AUF DEN HORIZONT. REPETITIONSBEOBACHTUNGEN.
Naehkiss.
Reduction schiefer Winkel auf den Horizont — 609
Bemerkungen — 612
NaeMasa und Briefwechsel.
Repetitionsbeobachtungen — 614
Über die Fehler bei Repetitionsbeobachtungen: Gauss an Bessel 1819 Jan. 27 .... — 6I6
Bemerkungen — 6I6
Bemerkungen zum neunten Bande — 62i
OAtUagea, Drack d«r Dieteriehtchen UBiT.-Baehdnekeffi (W. fr. KMiteer).
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