Carl Friedrich Gauss Werke ..

|lii||lP!iliiii!ilii||lii|

,>•}■■

LIBRARY OF
WELLESLEY COLLEGE

PURCHASED FROM

Eorsford Fund

CARL FMEMICH GAUSS WERKE

SIEBENTER BAND.

CARL FRIEDRICH GAUSS

WERKE

SIEBENTER BAND

HERAUSGEGEBEN

VON

ERNST JULIUS SCHERING

MITGLIED DEK KÖNIGLICHEN GESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTIN(iEN.

GOTHA

FRIEDKICH ANDREAS PERTHES
1871.

-3
05

7

THEORIA

MOTÜS CORPORmi COELESTIUM

IN

SECTIONlBrS CONICIS SOLEM AMBIENTIUM

AUCTOEE

CAROLO FRIDERICO GAUSS.

HAMBtEGI SÜMTIBUS FeID. PeRTHES ET I. H. BeSSER

1809.

Venditur

Parishs ap. Treuttel & Würtz.
Stockholmiae ap. A. Wiborg.
Madriti ap. Sancha.

Amstelodami in libraria: Kunst -und Industrie - Comptoir, dicta.
G» TH. M. 1

LoNBiNi ap. E. H. Evans.
Peteopoli ap. Klostermann.
Florentiae ap. Molini, Landi & C'-

PKAEFATIO.

Detectis legibus motus planetarum Kepler! iiigenio non defiierunt sub-
sidia ad singailorum planetarum elementa ex observationibus eruenda. Tycho
Beahe, a quo astronomia practica ad fastigiuin antea iguotum evecta erat,
cmictos planetas per longani annoruBi serieni summa cura tautaque per-
severautia observaverat , ut Kepleeo talis thesauri digiiissimo heredi seligendi
tantummodo cura restaret, quae ad scopum quemvis propositum facere vide-
rentur. Nee mediocriter sublevabant hune laborem motus planetarum medü
summa iamdudum praecisione per observationes antiquissimas determinati.

"^Astronomi, qui post KEPLEKum conati sunt planetarum orbitas adiumento
observationuni recentiorum vel perfectiorum adhuc acciu-atius dimetiri, iisdem
vel adhuc maioribus subsidiis adiuti sunt. Neque enim araplius de elementis
plane iiicognitis eliciendis agebatur, sed nota leviter tantum corrigenda arctio-
ribusque limitibus circumscribenda erant.

'Principium gTavitationis universalis a summo Newton detectum campum
plane novum aperuit, legibusque iisdem, quibus quinque planetas regi Kepler
expertus fuerat, levi tantum mutatione facta omnia corpora coelestia necessario
obsequi debere edocuit, quorum quidem motus a vi Solls tantum moderentur.
Scilicet observationum testimonio fretus Kepler ciiiusvis planetae orbitam

1*

PRAEFATIO.

ellipsem esse proiumciaverat, in qua areae cii-ca Solem, focum alterum ellipsis
occupantem, uniformiter describantm-, et qmdem ita, ut tenipora revolutionum
in ellipsibns diversis sint in ratione sesquialtera semiaxium maiorum. Contra
Newton, principio gravitationis universalis posito, a priori demonstravit , Cor-
pora omnia a Solis vi attractiva gubernata in sectionibus conicis nioveri debere,
quarum quidem speciem unam, ellipses puta, planetae nobis exhibeant, dum
species reliquae, parabolae et hyperbolae, pro aeque possibilibus haberi debeant,
modo adsint corpora Solis vi velocitate debita occmTentia; Solem semper
focum alterum sectionis conicae teuere; areas, quas coiinis idem temporibus
diversis circa Solem desci-ibat, bis temporibus proportionales, areas denique a
corporibus diversis, temporibus aequalibus, circa Solem descriptas, esse in
ratione subduplicata semiparametrorum orbitarum: posti-ema barmn legum, in
motu elliptico cum ultima KeplekI lege identica, ad motum parabolicum
byperbolicumque patet, ad quos haecce applicari nequit, revolutionibus de-
ficientibus. lam filum repeitum, quo ducente labyrintbum motuum cometarum
antea inaccessum ingredi licvüt. Quod tarn feliciter successit, ut omnium
cometamm motibus, qui quidem accui-ate observati essent, explicandis sufficeret
unica bypotbesis, orbitas parabolas esse. Ita systema gravitationis universalis
novos analysi tiiumphos eosque splendidissimos paraverat; cometaeque usque
ad illum diem semper indomiti, vel si devicti videbantur mox seditiosi et
rebelles, frena sibi iniici passi, atque ex hostibus hospites redditi, iter suum
in tramitibus a calculo deHneatis prosequuti sunt, üsdem quibus planetae le-
gibus aeternis religiöse obtemperantes.

lam in determinandis cometarum orbitis parabolicis ex observationibus
difticultates suboriebantur longe maiores, quam in detenninandis orbitis elUp-
ticis planetarum, inde potissimum, quod cometae per brevius temporis inter-
vallum visi delectum observationum ad haec vel illa imprimis commodarum
non concedebant, sed iis uti geometram cogebant, quas fors obtulerat, ita ut

PKAEFATIO.

methodos speciales in calcnlis planetarum adhibitas vix uiuqiiani in usuni
vocare licuerit. Mag-nus ipse Newton, primus saeculi sui geometara, proble-
matis difficultatem liaud dissimulavit, attamen, ceu exspectari poterat, ex hoc
quoqne certaraine victor evasit. Multi post NEAVTONum geometrae eidem pi-o-
bleniati operam suam navaverunt, varia utique fortuna, ita tanien, ut nostris
teniporibus parmn desiderandum relictum sit.

Verum enim vero non est praetermittenduni, in hoc quoque problemate
peropportune difficultatem diminui per Cognitionen! unius elementl sectionis
conicae, quum per ipsam suppositionem orbitae parabolicae, axis maior infinite
magnus statuatur. Quippe omnes parabolae, siquidem situs negligatur, jjer
solam maiorem minoremve distantiam verticis a foco inter se difierunt, dum
sectiones conicae generaliter spectatae varietatem infinities maiorem admittant.
Haud equidein aderat ratio sufficiens, cur cometarum traiectoriae absoluta
praecisione parabolicae praesumerentur : quin potius infinite parum probabile
censeri debet, rerum naturam unquam tali suppositioni annuisse. Attamen
quum constaret, phaenomena corporis coelestis in ellipsi vel hyjjerbola ince-
dentis, cuius axis maior permagnus sit ratione parametri, prope perihelium
pei'parum discrepare a motu in parabola, cui eadem verticis a foco distantia,
differentiamque eo leviorem evadere, quo maior fuerit illa ratio axis ad para-
metrum; pori-o quum experientia docuisset, inter motum observatum motum-
que in orbita parabolica computatum vix umquam mainres diflferentias remanere,
quam quae ipsis observationum erroribus (hie plerumque satis notabilibus)
tuto tribui poteraut: asti'onomi apufl parabolam subsistendum esse rati sunt.
Recte sane, quum omnino deessent subsidia, e quibus, num uUae quantaeve
differentiae a parabola adsint, satis certo colligi potuisset. Excipere oportet
cometam celebrem HALLEvanuni, (jui ellipsem valde oblongam describens in
reditu ad perihelium pluries observatus tempus periodiciun nobis patefecit:
tunc autem axi niaiori inde cognito computus reliquorum elementorum vix

PRAEFATIO.

pro difiiciliori habendus est, quam determiuatio orbitae parabolicae. Sileutio
quidem praeterire non possumus, astronomos etiam in nonnullis aliis cometis
per tempus aliquanto lougius observatis determinationeni abeiTationis a para-
bola tentavisse : attamen omues methodi ad Imnc finem propositae vel adhibitae,
innituiitur suppositioni , discrepantiam a parabola Iiaud considerabilera esse,
quo pacto in illis tentamiuibus ipsa paa'abola antea iani coniputata Cognitionen!
approximatam singnlorum elementorum (praeter axem maioreni vel tempus
revolutionis inde pendens) iam subministravit, levibus tautum mutationibus
oori'igendam. Praeterea fatendum est, omuia ista tentamina vix unquam ali-
quid ceiii decidere valuisse, si forte cometam anni 17 70 excipias.

Quamprimum motum planetae uovi anno 1 7 S l detecti cum bypotbesi
parabolica conciliai'i non posse cognitum est, astronomi orbitam circularem
ilü adaptare inclioaverunt , quod negotium per calculum perfacilem ac sim-
pliceni absolvitur. Fausta quadani fortuna orbita huius planetae medioci'iter
tantum excentrica erat, quo pacto elementa per suppositionem illam eruta
aaltem appro^äniationem qualemcunque suppeditabant , cui dein determina-
tionem elementorum ellipticorum superstruere licuit. Accedebant plura alia
pei'opportuua. Quippe tardus planetae motus, perparvaque orbitae ad planum
eclipticae inclinatio non solum calculos longe simpliciores reddebant, nietho-
dosque speciales alias casibus haud accommodandas in usum vocare concede-
bant, sed metum quoque dissipabant, ne planeta radiis Solls immersus postea
quaeritaiitium curas eluderet (qui metus alias, praesertim si insuper lumeii
minus vividum fuisset, utique animos turbare potuisset), quo pacto accui-atior
orbitae detemiinatio tuto diffen-i poterat, donec ex observationibus frequeu-
tioribus magisque remotis eligere beeret, quae ad propositum maxime commo-
dae viderentur.

In Omnibus itaque casibus, ubi corporum coelestium orbitas ex obser-
vationibus deducere oportuit, commoda aderant quaedam haud spernenda.

PRAEFATIO. 7

methodorum specialium applicationeni suadentia vel saltem permittentia, quo-
runi commodorum potissimum id erat, quod per suppositiones hypotlieticas
cogiiitionem approximatam quomndam elementorum iamiam acquirere licuerat,
antequam calculus elementorum ellipticorum siisciperetur. Nihilominus satis
mirum videtur, problema generale

Determinare orhitam corporis coelestis, ahsque omni suppositione hypo-
thetica, ex ohservationihus ternpus haud magnum complectentihus neque adeo
delectum, pro applicatione methodorum specialium^ patientihus usque ad initium
huius saeculi penitus propemodmn neglectum esse, vel saltem a neinine serio
ac digne tractatum, qvium certe theoreticis propter difticultatem atque elegan-
tiam sese commendare potuisset, etianisi apud practicos de summa eins uti-
litate nondum constaret. Scilicet invaluei-at apud omnes opinio, impossibilem
esse talem determinationem completam ex observationibus breviori tempoins
intervallo inclusis, male sane fundata, qimm nunc quidem certissimo iam
evictum sit, orbitam corporis coelestis ex observationilius bonis paucos tan-
tummodo dies complectentibus absque ulla suppositione hypothetica satis ap-
pToximate iam determinari posse.

Incideram in quasdam ideas, quae ad Solutionen! problematis magni de
quo dixi facere videbantur, mense Septembri a. 18G1, tunc in labore plane
diverse occupatus. Haud raro in tali casu, ne nimis a grata investigatione
distraliamur , neglectas interire sinimus idearum associationes , quae attentius
examinatae uberrimos fructus fen-e potuissent. Forsan et illis ideolis eadem
fortuna instabat, nisi peropportune incidissent in tenq^us, quo nulluni sane
faustius ad illas conservandas atque foveudas eligi potuisset. Scilicet eodem
circiter tempore rumor de planeta novo lan. 1 istius anni in specula Panor-
mitana detecto per omniiun ora volitabat, moxque ipsae observationes inde
ab epocha illa usque ad 11. Febr. ab astronomo praestantissimo Piazzi insti-
tutae ad notitiam publicam pervenerunt. Nullibi sane in annalibus astrononiiae

PKÄEFATIO.

occasioiiem tarn graveni reperinuis, vixque gravior excogitari posset, ad digiii-
tatem istiiis problematis luculentissime ostendendam, quam tunc in taiito dis-
crimine urgenteqiie necessitate, ubi oimiis spes, atoiiiuni plaiietariam post
annum fere elapsum iii coelis inter innumeras stellulas reinveniendi , uiiice
peiidebat ab orbitae cognitione satis approximata, solis illis pauciilis observa-
tioiiibus superstruenda. Umquamne opportunius experiri potiiissein, ecquid
valeant ideolae meae ad iisuin practicum, quam si tunc istis ad determiiiatio-
nem orbitae Cereris uterer, qui planeta inter 41 illos dies geocentrice arcum
ti-ium tantummodo graduum descripserat , et post annum elapsum in coeli
plaga longissime illinc remota indagari debebat? Prima haecce metbodi ap-
plicatio facta est mense Oct. 1801, primaque nox serena, ubi planeta ad nor-
niam numerorum inde deductorum quaesitus est*), transfugam observationibus
reddiditi Tres alii planetae novi inde ab illo tempore detecti, occasiones
novas suppeditaverunt, methodi efficaciam ac generalitatem examinandi et
comprobandi.

Optabant plures astronomi, statim post reinventionem Cereris, ut nietho-
dos ad istos calculos adhibitas publici iuris facerem; verum obstabant plura,
quominus amicis bisce sollicitationibus tunc morem gererem: negotia alia,
desiderium rem aliquando copiosius pertractandi , imprimisque expectatio,
continuatam in hac disquisitione occupationem varias solutionis partes ad
malus generalitatis, simplicitatis et elegantiae fastigium evecturam esse. Quae
spes quum me haud fefellerit, non esse arbiti'or, cm- me huius morae poeni-
teat. Methodi enim ab initio adhibitae identidem tot tantasque mutationes
passae sunt, ut inter modum, quo olim orbita Cereris calculata est, institutio-
nemque in hoc opere traditam vix ullum similitudinis vestigium remanserit.

*) Dec. 7, 1801 a clar. De Zach.

PRAEFATIO.

Quaniquain vero a proposito meo alienum esset, de cunctis bis disqiiisitionibus
paullatini magis luagisque perfectis naiTationeni coiiipletain perscribere, tarnen
in pluribus occasionibus , praesertini quoties de problemate quodani graviori
agebatur, niethodos anteriores quoque band onniino snppriniendas esse censui.
Qnin potius praeter problematum principaliuni sohitiones plurima, qnae in
occupatione satis longa circa niotus corporum coelestium in sectionibixs conicis
vel propter elegantiani analyticani vel imprimis propter nsuin practicum
attentione digniora se niibi obtulerunt, iu boc opere exsequutus suni. Seniper
tarnen vel rebus vel metbodis niibi propriis niaiorem curam dicavi, nota leviter
tantuni, qnatenusque rerum nexus postulare videbatur, attnigens.

Totum itaque opus in duas partes dividitur. In Libro prinio evol-
vuntur relationes inter quantitates, a quibus niotus corporum coelestium circa
Solem secundum KeplerI leges pendet, et quidem in duabus primis Sectioni-
bus relationes eae, ubi unicus tan tum locus per se consideratur , in Sectione
tertia et quarta vero eae, ubi plures loci inter se conferuntur. Illae continent
expositionem methodorum tum vulgo usitatarum, tum potissimum aliarum illis
ni fallor ad usum practicum longe praeferendaruni , per quas ab elementis
cognitis ad pbaenomena descenditur; bae problemata multa gravissima tractant,
quae viam ad operationes inversas sternunt. Scilicet quum ipsa pbaenomena
ex artiiiciosa intricataque quadam complicatione elementorum componantur,
baue texturae rationem penitius perspexisse oportet, antequam filorum expli-
cationem operisque in elementa sua resolutionem cum spe successus suscipere
liceat. Comparantur itaque in Libro primo instrumenta atque subsidia, per
quae dein in Libro altero arduum boc negotium ipsum perficitur: maxima
laboris pars tunc iam in eo consistit, ut illa subsidia rite colligantur, ordine
apto disponantur et in scopum propositum dirigantur.

Problemata graviora ad maximam partem per exempla idonea illustrata
sunt, semper quoties quidem licuit ab observationibus non fictis desumta.

G. TH. M. 2

10 PRAEPATIO.

Ita non solum methodorum efticaciae maior fiducia conciliabitur , ususqttö
clarius ob oculos ponetur, sed id quoque cautum iri spero, ut nee minus
exercitati a studio harum rerum deterreantur, quae procul dubio partem foe-
cundissimam et pulcherrimam astronomiae theoricae constituunt.

Scripsi Gottingae d. 28 Martii 1809.

LIBEK PRBIUS

RELATIONES GENERALES INTER QUANTITATES
PER QÜAS CORPORUM COELESTIUM MOTÜS CIRCA SOLEM DEFINIÜNTUR.

SECTIO PRIMA

Belationes ad locum simplicem in orhita spectantes.

I.

Corporuni coelestium motus in hoc opere eatenus tantum considerabimus,
quatenus a Solis vi attractiva gubernantur. Excluduntur itaque ab instituto nostro
omnes plaiietae secundam, excluduntur perturbationes, quas primarii in se iuAd-
cem exei'cent, excluditur omnis motus rotatoiius. Corpora mota ipsa ut puncta
matheinatica spectamus, motusque omnes ad normam legum sequentium fieri sup-
ponimus, quae igitui* pro basi omnium disquisitionum in hoc opere sunt habendae.

I. Motus cuiusvis corporis coelestis perpetuo fit in eodem piano, in quo
simul centrum Solis est situm.

IL Traiectoria a corpore descripta est sectio conica focum in centro Solls
habens.

III. Motus in ista ti'aiectoria fit ita, ut areae spatioruni in diversis teniporum
intervalHs circa Solem descriptorum hisce intervallis ipsis sint proportionales.
Temporibus igitur et spatiis per numeros expressis, spatium quodvis per tempus
intra quod describitiu' divisum quotienteni invariabilem suppeditat.

IV. Pro corporibus diversis circa Solem se moventibus horum quotientium
quadrata sunt in ratione composita parametrorum orbitis respondentium , atque
aggregatorum massae Solis cum massis coi-poinim motorum.

Designando itaque per 1p parametrum orbitae, in qua corpus incedit, per
p. quantitatem materiae huius corpoins (posit amassa Solis :=: l), per ^g aream

2*

12 LIBER I. SECTIO I.

quam tempore t circa Solem describit, erit -y — 7p, ^\ amnerus pro omiiibiis cor-
poribus coelestibus constans. Qumn igitm* nihil intersit, quonam corpore ad
valorem liuius numeri deteriniuandum utamur, e motu terrae eum deproinemus,
cuius distantiam mediam a Sole pro uuitate distaiitiarum adoptabimus: unitas
temporum semper iiobis erit dies medius solaris. Deuotaudo porro per - ratiouem
circumferentiae circuli ad diametrum, area ellipsis integrae a terra tlescriptae
manifesto erit i^j//^, quae ig-itur poni debet = J^,si ])ro t accipitur auiius
sideralis, quo pacto constans nosti'a tit = u/lV^ )' Ad valorem numericum liuius
constantis, in sequentibus per /.■ denotandae, exploi'andum, statuemus, secuudum
novissimam determiuationem , annum sideralem sive f = 365,2563835, massam
terrae sive [x = ^-^^y^. = 0,0000 028 19 2, unde prodit

log 2r 0,7981798684

Conqd. log^ 7,4374021852

Compl. logl/(l+(i.) .... 9,9999993878
log />■ 8,2355814414

k = 0,01720209895

2.

Leges modo expositae ab iis, quae Keplerus noster detexit, aliter non
differunt, nisi quod in forma ad omnia sectionum conicarum genera patente ex-
hibitae sunt, actionisque corporis moti in Solem, a qua pendet factor j/( l -{-[ji-),
ratio est habita. Si lias leges tamquam phaenomena ex inimmeris atque indubiis
observationibus depromta consideramus, geometria docebit, qualis actio in corpora
circa Solem [mota ab hoc exerceri debeat, ut ista phaenomena perpetuo produ-
cantur. Hoc modo invenitur, Solls actionem in corpora ambientia perinde se
exercere, ac si vis atti'activa, cuius intensitas quadrato distantiae recijjroce pro-
portionalis esset, corpora versus centrum Solls propelleret. Qnodsi vero vice versa
a suppositione talis vis attractivae tamquam principio proticiscimur, phaenomena
illa ut consequentiae necessariae inde derivantur. Hie leges tantum enarravisse
sufficiat, quarum nexui cum principio gravitationis hoc loco eo minus ojjus erit
immorari, quum post sunimum Newton auctores plures hoc argumentum tracta-
vei'int, interque eos ill. Laplace in opere perf ectissimo , Mecanique Celeste, tali
modo, ut nihil amplius desiderandum reliquerit.

EELATIONES AD LOCUM SIMPLICKM IN OKBITA SPECTANTES. 1 3

3.

Disquisitioiies circa iiiotus corporiiin coelestium, quateiius fiunt in sectio-
iiibus conicis, tlieoriani completain liuius curvarum genexis ueutiquam postulant:
quill adeo uuica aeqiiatio geiiei'alis uobis sufliciet, cui oiunia superstruaiitur. Et
quideui iiiaxime e re esse videtur, eam ipsani eligere, ad quam tamquam aequa-
tioueiu characteristicam deferimur, dum cui'vani secuiidum attractionis legem
descriptam investigamus. Determinaudo scilicet quemvis corporis lucum in orbita
sua per distautias a', y a duabus rectis in piano orbitae ductis atque in centro
Solls i. e. in altero curvae fbco sub angulis rectis se secantibus, et denotando
insuper cor])oris distantiam a Sole (positive semper accipiendam) per /•, liabe-
bimus inter r, x, y aequationem linearem r-\-a,r-\-Zy = y, iii qua a, 6, y
quantitates constantes expriment, et quidem •{ quantitatem natura sua semper
positivam. Mutaiido rectarum, ad quas distantiae x, y referuntur, situm per se
arbitrarium, si modo sub angulis rectis se intersecare perseverent, manifesto forma
aequationis valorque ipsius y non mutabuntur, et et 8 autem alios aliosque valores
nanciscentur, patetque, situm illum ita determinariposse, ut § evadat==0, a autem
saltem non negativa. Hoc modo scribeiido pro a, y resp. e , p^ aequatio nostra
induit formam r -\- ex = 'jj. Recta, ad quam tunc distantiae y referuntur, Z^V^ea
apsidutn vocatnr, jy semiparameter^ e ea^cewiWcz'^os', sectio conica deniqueeß^j?s^s,
parabolae vel hyperbolae nomine distinguitur , prout e unitate minor, unitati
aequalis, vel unitate maior est.

Ceterum facile intelligitur, situm lineae apsidum per conditiones traditas
plene determinatum esse, unico casu excepto, ubi tum a tum 6 iam per se
ei'ant = (); in hoc casu semper tit /• =pi ad quascunque rectas distantiae a', y
referantur. Quoniam itaque habetur e =^ 0, curva (quae erit circulus) secundum
definitionem nosti'am ellipsium generi annumeranda est, id vero singulare habet,
quod apsidum positio prorsus arbitraria manet, siquidem istam notionem ad hunc
quoque casum extendere placet.

4.

Pro distantia x iam angulum v introducamus, qui inter lineam apsidum et
rectam a Sole ad corporis locum ductam (^radwiii vectorem) continetur, et quidem
hie angulus ab ea lineae apsidum parte ulii distantiae ./• sunt positivae iiicipiat,
versusque eam regionem, quorsum inotus corporis dirigitur, crescere supponatur.

14 LIBER I. SECTIO I.

Hoc modo fit X = rcos(\ adeoque fonnula nostra r = — r^ , unde pi'otiiuis

devivantur concltigiones sequentes:

I. Pro V ^= 0 valor radü vectoxis r fit wiinimum, puta = "tt- hocpuij-
ctum perilieliuin dicitur.

H, Valoribus oppositis ipsius v x'espondent valoi'es aequ^les ipsius /• ; quo-
circa liuea apsidum seotioiiem couicanji in duas partes aeqii^les dinn^it.

III. lu ellipsi r inde a t' = 0 continuo crescit , doiiec valorem maximum
— ^ assequatur in aphelio pro v = 180°; post apheliuni eodem modo rursus de-
crescit, quo ante increverat, donec pro i' = 360° periUelium denuo attigeiit..
Lineae apsidum pars perihelio liinc apLelio illinc termiuata axis mnior dicitur;
hinc semiaxis maior , qui etiam distantia media vocatur, fit = —^ ; distantia.
puncti in medio axe iacentis (cevtri ellipsis) a foco erit ^^^f^ = ea^ denot^id.o per
a semiaxem maiorem.

IV. Contra in parabola proprie non datur apheliuni, sed r ultra omne3
limites augetiu-, quo propius v ad -j- 180° vel — 180° accedit. Pro v = + 180°
valor ipsivis r fit infinitus , quod indicat, curvam a linea apsidum a pai*te perihelio
opposita nou secari. Quare proprie quidem loquendo de axi maiore vel centro
curvae sermo esse neqiiit, sed secundum analyseos usum consuetum per ampliatio-
nem fonnularum in ellipsi inventarum axi maiori valor infinitus ti'ibuitur, cen-^
trumqtie curvae in distantia infinita a foco collocatur.

V. In hyperhola denique v inter limites adhuc arctiores coercetur , scilicet
inter r = — (1S0°— ({;) et r = -)-(l 80°— (J;), denotando per <^ angulum, cuius
Cosinus = . Dum enim v ad hosce limites appropinquat , r in infinitum crescit ;
si vero pro v alter horum limitum ipse acciperetur , valor ipsius r infinitus pro-
diret, quod indicat, hyperbolam a recta ad lineam apsidum angulo 180° — (j; supra
vel infra inclinata omnino non secari. Pro valoribus hoc modo exclusis, puta a
180° — ^ usque ad 180°-|-cj;, form ula nostra ipsi r valorem negativum assignat;
recta scilicet sub tali angxilo conti-a lineam apsidum inclinata ipsa quidem hyper-
bolam non secat, si vero retro producitui" in alteram hyperbolae partem incidit,
quam a piima parte omnino separatam versusque eum focum quem Sol occupat
convexam esse constat. Sed in disquisitione nostra, quae ut iam moimimus suppo-
sitioni innitur, r sumi positive , ad hanc altei'am hyperbolae partem non respicie-»
mus, in qua corpus coeleste tale tantummodo incedere posset, in quod Sol vim
non attractivam sed secundum easdem leges repulsivam exerceret. — Proprie

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN ORBITA SPECT AKTES. 15

itaqtte loquendo etiani in hyperbola noii datuv aplielium; pro aphelii analogo id
pai'tis aVevsfte punctum quod in liiiea apsidum iacet, et quod respondet valoribus

V =z= 180°, ?■ ^ rz^? haberi poterit. Quodsi ad instar ellipsis valoreni ex-

pressionis -^ — etiamhic, ubi negativus evadit, semiaxeni niaiorem hypei'bolae
dicere lubet, dupliim hnius quantitatis puncti modo conmiemorati distantiam a
perilielio simulque situm ei qui in ellipsi locum habet oppositum indicat. Perinde
_ , i. e. distantia puncti inter haec duo puncta medii (centri liypei'bolae) a
foco, hie obtinet valorem negativum propter situm oppositum.

5.

Angulum r, qui pro parabola intra terminos — 180° et -j-iSO", pro hyper-
bola intra — (ISO' — ■ <b) et -|-(180° — ']f) coercetur, pro ellipsi vero circulum
integrum periodis perpetuo renovaiis percuiTit, corporis moti anomaliam veram
nuncupamus. Hactenus quidem omnes fere astronomi anomaliam veram in ellipsi
non a perilielio sed ab aphelio inchoare solebant, contra analogiam parabolae et
hyperbolae, übi aphelium non datur ftdeoque a perihelio incipere oportuit: nos
analogiam inter omnia seetionum conicarum genera restituere eo minus dubitavi-
mus, quod astronomi gallici recentissimi exeinplo suo iam praeiverunt.

Ceterum expressionis r = —r^ — -, formam saepius aliquantulum mutare
Gonvenit; imprimis notentur formae sequentes:

__ l> __ P P

I +e-^2*sm4«'* 1 — e+2ecosi»' (i -fe)cos^t''+ (i— e) sin^w'

In parabola itaque habemus r = ^ ^ .^^ ; in hyperbola expressio sequens
imprimis est commoda r = - — , , '^^'^ "^ -.

6.
Pfogredimur iam ad comparationenl motus cum tempore. Statuendo ut in
ärt. 1 spatitim tempore t circa Solem desCriptum = \g^ massam corporis moti = (x,
posita massa Solls = 1, habemus cj =iUt\Jp.\J{\ -\-^' Differentiale spatii autem
fi« ±== -^ r r d w , unde prodit ht\/p.\j{\-\-'^ = Jrrd ii , hoc integrali ita sumto , ut
pYö f = 0 evaUescat. Haec integratio pro diversis seetionum conicarum generibus
diverse modo tractari debet, quaraobrem singula iam seorsim considei'abimus, ini-
tittmqtie ab ELLIPSI faeiemus.

1 6 LIBER 1. SECTIO I.

Quum r ex v per fractioiiem deternuiietur, cuius denoniinator e duabus par-
tibus constat, ante omiiia hoc iiicommoduni per iutroductioiiem quautitatis iiovae
j)ro V auferemus. Ad hunc fiiieni statuemus tang- J- y . ^/^- = tang|£, quo
pacto forinula ultima art. praec. pro /• praebet

r

iicosjE' (cosjE^ I sin{E'-

(1 +e)cos4y' -'■^ \ I +e
iE iv i/i — e 1 1 päE

Hnc rrdv=^^^ = ^~^, (l — ecos^)d^,

atque integrando 'kt^p.^{\--\-\i) = ZZT^. i-^ — e sin jE) -}- Const.

Quodsi itaque tempus a transitu per perihelium iuchoamus , ubi w = 0 , E ^ 0
adeoque Const, = 0, habebimus, propter j~^ = a,

E — e sin E = — '^^-r ^-^

In hac aequatione angulus auxiliaris £', qui anomalia excentrica dicitm-, in
partibus radü exprimi debet. Manifeste autem hunc anguluni in gradibus etc.
retinere licet , si modo etiam e sin E atque . — ^- eodem modo exprimantur ;

in minutis secundis hae quantitates exprimentur, si per numerum 206264,806
multiplicantur. Multiplicatioue quantitatis posterioris supersedere possumus, si
statim quantitatem h in secundis expressam adhibemus adeoque, loco valoris supra
dati, statuimus k = 3548",18761, cuius logaritlnnus = 3,550006574 6. — Hoc
modo expressa quantitas , anomalia, media vocatur, quae igitur in ratione

temporis crescit , et quidem quotidie augmento , -^ , quod motus Tnedius diur-

nus dicitur. Anomaliam mediam per M denotabimus.

7.
In perihelio itaque anomalia vera, anomalia excentrica, et anomalia media
sunt = 0; crescente dem vera, etiam excenti'ica et media augentur, ita tamen,
ut excentrica minor maneat qixam vera , mediaque minor quam excentrica, usque
ad aphelium, ubi omnes tres simul fiunt = 180°; hinc vero usque ad perihelium
excentrica perpetuo est raaior quam vera, mediaque maior quam excentrica, donec
in perihelio omnes tres fiant = 360°, sive, quod eodem redit, omnes iterum = 0.
Generaliter vero patet, sianomaliaeverae v respondeat excentrica £ mediaque M^

EELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN OEBITA SPECTANTES. 17

vei-ae 35 0° — r respoiidere excentricam 360° — E atque niediam 360° — M.
Difierentia iiiter anomaliam veram et mediam v — M aequatio ceniri appellatur,
quae itaque a perihelio ad aphelium positiva, ab aphelio ad perihelium negativa
est, in perihelio ipso auteni et aphelio evanescit. Quum igitur v et M circulum
integi-um a 0 usque ad 360° eodem tempore percurrant, tempus revolutionis unius,
quod et tempus periodtcum dicitiir, in diebus expressmn invenitur, dividendo 360°
per niotinn diurnuni -i:-iL±_w ^ ^^jj^^g patet, pro corporibus diversis circa Solem re-
voluentibus quadrata teniporuni periodicoruni cubis distantiaruni mediarum pro-
portionalia esse, quatenus ipsorum massas, aut potius massarum inaequalitatem
negligere liceat.

8.
Eas iani inter anomalias atque radium vectorem relationes, quae impriniis
attentione dignae sunt, colligamus, quaruni deductio nemini in analysi trigonome-
ti-ica vel mediocriter versato difficultates obiicere poterit. Pluribus harum formu-
larum conchniitas maior conciliatur, introducto pro e angulo cuius sinus est = e.
Quo per 9 designato, habemus |/(l — ee) = coscf;, |/(l-|-e) = cos(45° — -.}-cf).j/2,
^/(l_e)z^cos(45°+icp)Y2, l/^' = tang(45°— icp), |/(l +e)+ ^/(l — e)
= 2 cos 4^ cp , j/( 1 -f- e) — \/(l — e) =r 2 sm i cp. Ecce iam relationes praecipuas inter
a, p, r, e, f, v, E, M.

I, p = (7COS',p*

IL r=-^^~

(1 +ecosu
III. rr=a(l — ecos^

iV. cos A = — j — ■ — , sive cos« = =,

i+ecosu' 1 — ecosE

V. ,miE= t/i(l-cos^ =sini^;y^^^ = sini«y^-il^

VI. cosi^ = i/+(l4-cos^= cosiv,\/-^^^=cosiv.\/''-^^^

"■ y a(i — e)
VII. tang iE = tang i v tang (45° — ^9)

VIII. sin E = ''"°^''=Qsy __ '• sin V
p a cos <p

G. TH. M. S

LIBER I. SECTIO I.

IX. rcoav = a(cosE — e) = 2acos{i^ E-\-irf-\- 4b'')Gos{{ E — \'^ — 45°)

X. sin \- (/' — •^ = sin +cp sin « . |/— = sin 4^fp sin^. y —

XL sin h^{o-\-E) = cos-J cpsin v .y^ = cos 4 '^ sin ^.|/"

XII. M= E — esiuE.

9.

Si perpendicnluni e puncto quocunque ellipsis in lineani apsidum demissum
vetro producitur , usquedmu circulo e centro ellipsis radio a descripto occurrat,
inclinatio eins radii, qui puncto intersectionis respondet, oonti'a lineani apsidum
(simili modo intellecta ut supra pro anonialia vera) anonialiae excentiicae aequalis
erit, ut nullo negotio ex aeqn. IX. ai-t. praec. deducitur. Poito patet, /'sinü esse
distantiam cuiusque pmicti ellipsis a linea apsidum ; quae quum per aequ. VIII.
liat = «coscpsin£J, maxinia erit pi"o E =^ 90°, i. e. in centi'o ellipsis. Haecce
distantia luaxima , quae tit = rtcos'^ = --^— = ^ap, serniaxis minor aTp-peWatur.
In foco ellipsis, i. e. pro v = 9 0°, distantia ista manifesto fit = j?, sive semipai'a-
metro aequalis.

10.

Aequationes art. S. omnia continent, quae ad computum anonialiae excen-
tricae et mediae e vera, vel excentricae et verae e media requiruntur. Pro dedu-
cenda excentrica e vera vulgo foniiula VII. adhibetur; plerumque tarnen praestat
ad hunc üneni aequ. X. uti, praesertim quoties excentricitas non niniis magna est,
in quo casu E perX.maiori praecisione computari potest, quam per VII. Praeterea
adhibita aequatione X., logavithmus sinus E, qui in XII. requiritur; ]m)tinus per
aequationem VIII. habetur, quem adhibita VII. e tabulis arcessere ojjorteret; si
igitur in illa methodo hie logarithmus etiam e tabulis desumitur, simul calculi recte
instituti confirmatio hinc obtinetur. Huiusmodi calculi examina et comprobationes
magni semper sunt aestimanda, quibus ig-itur consulere in omnibus methodis in
hoc opere ti-adendis , ubi quideni commode fieri potest, assiduae nobis ubique cui'ae
erit. — Ad maiorem illustrationem exemplum complete calculatum adiungimus.

Datasint /■ = 3 1 0° 55' 29"64 , cp = 14° 1 2' l"87, logr = 0,3307640 ; quae-
rnntur 2^ '^'■, E et M,

KELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES. 1 9

logsiiicp 9,3897262

logcosü 9,8162877

9,2060139 uude ecosü = 0,1606993

log(l-^ecosv) . . 0,0647197

log/- . 0,3307640

log^ 0,3954837

logcoscp- 9,9730448

loga 0,4224389

logsin« 9,8782740 n*)

\og\/^' 0,0323598.5

9,8459141.511

logsin^cf 9,0920395

logsiii-^(y — ^). . 8,9379536.511 liinci{v — E) = — 4°58'22"94;

w — ^=: — 9'56'45"88; E= 320°52'l5"52
Porro fit

logc 9,3897 262 Calculus pro log sin Ä per formulam Vni.

r

log206264,8 . . . 5,3144251 log - sin f .... 9,8135543ii

löge in sec: . . . 4,7041513 logcos'f 9,9865 224

logsiii^ 9,8000767 n logsin^ 9,8000767 n

4,50 4 2278x1 hinc esin^ in secundis = 3 1932" 14

= 8°5 2'l2"l4
atque üf = 329°44'27"66. — Per formulam VII. calculus pro E ita se haberet :

i-v = 155 27 44 82 logtang^v .... 9,6594579n

45°— icp= 37 53 59 065 logtang(45°—icp). 9,89124 27

logtangi^ .... 9,5507006n
unde .1^;= 160°26'7"76 atque E= 320°52'l5"52 ut supra.

11.

Problema inversum, celebre sub nomine prohlematis KEPLERi, scilicet ex ano-

malia media invenire veram atque radium vectorem, longe frequentioris usus est.

Astronomi aequationem centri per seriem infinitam secundum sinus angulorum ü/,

2 if , 3 M etc. progTedientem exhibere solent , quoruni sintium coefficientes singuli

*i Litera n Ingarithmo affixa indicat, numeriini cui respoiulet netrativnni esse.

3*

20 LIBEU I. SECTIO I.

et ipsi sunt series secunduni potestates exccnti'it'itati.s in iiitiuituiii excurrciites.
Huic formulae pro aequatione centri, quam plures auctores evolveniut, hie immorari
eo minus necessaiüum duximus, quod, nostro quidem iudicio, ad usum pi'acticum,
praesertim si excentricitas perparva non fuerit, loiige minus idonea est, quam
methodus indirecta, quam itaque in ea fomna, quae maxime commuda nobis videtur,
aliquanto fusius explicabinms.

Aequatio XII. , E = ÜZ-j- esin E^ quae ad ti'anscendentium genus referenda
est solutiouemque per operationes finitas directas uon admittit, teutando solveuda
est, incipiendo a valore quodam approxiniato ipsius E^ qui ])er methodos idoneas
toties repetitas corrigitur, usque dum illi aequatioui exacte satisfaciat, i. e. vel
omni quam tabulae sinuum jiermittunt praecisione, vel ea saltem, quae ad scojium
propositum sufficit. Quodsi hae correctiones haud temere sed per iiormam tutam
atque certam instituuntur , vix ullum discrimen esseutiale inter methodum talem
indirectam atque solutionem per series adest, nisi quod in illa valor primus in-
cognitae aliquatenus est arbitrarius, quod potius pro lucro liabendum, quum valor
ajjte electus correctiones insigniter accelerare permittat. Supponamus , £ esse va-
lorem approximatum ipsius E^ atque x coiTCCtionem illi adliuc adiiciendam (in
secundis expressam), ita ut valor E ^^s.-\-x aequationi nostrae exacte satisfaciat.
Computetur esins in secundis per logarithmos, quod dum perficitur, simul etabulis
notetur variatio ipsius log sin s pro \" variatione ipsius £, atque variatio löge sine
pro variatione unius unitatis in immero esins; sint liae variationes sine respectu
signorum resp. X, [j. ulii vix ojjus est monere, utrunique logaritlimum per aequae
multas figuras decimales expressum supponi. Quodsi iam s ad verum ijjsius E
valorem tam prope iam accedit, ut variationes logarithmi sinus ab s usque ad
e-j-;«, variationesque logai'ithmi numeri ab esine usque ad esin(£-|-a") pi'o uni-
formibus habere liceat , manifesto statui poterit esin(£-|-x) = esins + — , signo
superiori pro quadrante primo et quarto, inferiori pro aecundo et tertio valente.
Quare quum sit e-j-.?' =^ il/-|-e sin (£-[-.*•), lit :r = -=y ( J/-)- e sin £ — e), valor-
que verus ipsius E sive s-j-.r = J/-|-esin£+ _ (J/-j-esin£ — £), signis ea qua
diximus ratione determinatis. Ceterum facile perspicitur, esse sine respectu signi
[jl:X = 1 :ecos£, adeoque semper jj.];>X, unde concluditur, in quadrante jjrimo et
ultimo J/-|-esin£ iacere inter £ atque £-|-.'', in secundo ac tertio vero £-|-.'^' inter
£ atque M-\-es\\\t^ quae regula attentionem ad signa sublevare potest. Si valor.
suppositus £ nimis adliuc a vero aberraverat, quam ut suppositionem supra traditam

KELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IX OKBITA SPECTANTES. 2 1

pro satis exacta habere liceret, certe per haue luethodiun iuveuietur valor inulto
propior , quo eadem operatio iterum aclhuc , pluriesve si opus videtur , repetenda
erit. Nullo vero negotio patet, si differentia valoris primi e a vero tamquam quan-
titas ordinis primi spectetur, errorem valoi-is uovi ad ordinem secuudum referen-
dum fore, et per operationem iteratam ad ordinem quartum, octavum etc. deprimi.
Quo minor insuper fuerit excentricitas , eo velocius correctiones successivae con-
vergent.

12.

Valor apjjroxhuatus ipsius E, aquo caleulu.s iucipi pussit, plerumque satis
obvius erit, praeseitim ubi problema pro pluribus valoribus ipsius M solvendum
est, e quibus quidam iam absoluti sunt. Dificientibus omnibus aliis subsidiis id
saltem coustat, quod E interlimites M et M+_e iacere debet (excentricitate e in
secundis expressa, signoque superiori in quadrante primo et secundo, inferiori in
tertio et quarto accepto); quocirca pro valore initiali ipsius E vel M vel valor
secundum aestimationem qualemcunque auctus seu deminutus adoptari poterit.
Vix opus est monere , calculum primum , quoties a valore parum accurato inchoe-
tur, anxia praecisione haud indigere, tabulasque minores quales cel. Lalände
curavit, abunde sufficere. Praeterea, ut calculi commoditati consulatur, tales
semper valores pro s eligentur, quorum sinus e tabulis ipsis absque intei-polatione
excerpere licet ; puta in minutis seu secundorum denariis completis , prout tabulae
per singula minuta seu per singulos secundorum denarios progredientes adhibentur.
Ceterum moditicationes , quas haec praecepta patiuntur, si anguli secuudum di-
visionem novam decimalem exprimavitur , quisque sponte evolvere poterit.

13.

Exemplum. Sit excentricitas eadem quaein exemplo art. 1 0. J/=r 3 3 2'28'5 4"? 7.
Hie igitur est löge in secundis 4,7041513, adeoque e = 50600" =^ 14''3'20".
Quare quum hie E minor esse debeat quam ü/, statuemus ad calculum primum
s = 3 26°, unde per tabulas minores fit

logsms 9, 7475611, mutatio pro i' 19. uuile >. = 0,32

löge hl sec. .. 4,70415
4,45 171n

22 LIBEK 1. SECTIO I.

llillC esillt = — 28295 =; — 7 51 35 . Mutatiu loffaiitlimi pro unitatp tabulac, quae hie

T» I • nc^ , nf- er, '0 secunclis aequivalet, . . . 16; unde 11= 1,6

M'-j-esius 3 24 3/ 20

Diifert ab £ 1 22 40 == 4960". Hiiic ^X4960°= 1240"

= 20'40". Quave valor con-ectus ipsiiis ^fit = 324°37'20"— 20'40"=3 24°16'40'V

cum quo calculum .secaiiiduin tabulas maiores repetemus.

logsiue"!. . . 9, 766305811 X = 29,25

löge 4,7041513

4,470457111 jj. = 147

esiiie = — 29543",! 8 = — 8' 12" 23"l8

il/-f esine 324 16 31,59

Differt ab s ...8,41. Multiplicatahac difiel•elltiaper^;T-
= ^^^ , prodit 2""09, unde valor denuocosrectusipsius £'=324°16"3r59— 2"09'
=== 324''16"29"50, iiitra o""(tl exaetus.

14.

Pro derivatioiie anouialia« verae radiique vectoris ex anomalia exceiitrica
aequationes art. 8. plui-es metliodos suppeditaiit , e quibus praestaiitissimas explica-
bimus.

I. Secun dum methodum vulgarem v peraequatiouemVIL, atque tunc r per
aequationem IL determinautiu* ; hoc modo exempluni art. praec. ita se habet , reti-
iieudo pro 2^ valorem in art. 10, tfaditum:

^.E= 162° 8' 14" 75. löge 9,3897262

logtangi^ 9,508219811 logcost' 9,8496597

logtaiig(45° — 4-9) . . 9,8912427 9,2393859

logtangiv 9,616977111 ecosy =0,1735345

4?;= 157°30'4l"50 \ogp 0,3954837

« = 315 1 23,00 log(l-|-ecos«) . . 0,0694959

logr 0,3259878

II. Brevior est metbodus sequens, siquidem plures loci calculandi sunt, pro
quibus logarithmos constantes quantitiitum \/a ( 1 -j- e) , ^/a ( 1 — e) semel tantum
computare opoitet. Ex aequationibus V. et VI. habetur

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IX ORBITA Sl'EC lAXTES. 23

sin i r . \Ji- = sin -^E.\/ (i{[ -\-e)
cos ^- V . ^r = cos \E.^ a{i — e)
unde ^0 atque log^/r expedite determinantiu*. Generaliter uimirum, quoties habe-
tur Psin<^ = ^, PcosQ=B, invenitnr Q perfoi-mulam tang^ = ^ , atquetuuc
P per hanc P = ^^ , vel per P = ^^-^ : priorem adhibere praestat , quando
sin^ est maior quam cosQ] jjosteriorem , quando cos^ niaior est quam siu^.
Plenimque problemata, in quibus ad tales aequationes pervenitur (qualia in hoc
opere frequentissime occurrent), conditionem implicant, quod P esse debct quantitas
positiva ; tunc dubium, utrum Q inter 0 et 180° an inter 180° et 36o' accipere
oporteat, sponte hinc toUitur. Si vero talis conditio uou adest, haec determinatio
arbitiio nostro relinquitur.

In exemplo nostro habemus e = 0,245316 2,

logsin^iJ 9,4867632 logcos^^ .... 9,978,5434 n

log\/n{i-{-e) .... 0,2588593 \og\/a{l—e) . . 0,15(i|(i2i)

Hinc

\ogsmiv.[/r .... 9,7456225 \ mide logtangfü = 9,fi 16977 l n
k!gcosfw.|/r . . . . 0,l286454n j -|-y = 157'30'4 l "50

logcos^v 9,9656515n t;=z:315 1 23,00

log\/r 0,1629939

log/' 0,3259878

ni. His methodis tertiam adiieimus, ([uae aeque fereexpedita est ac secunda,
sed praecisione, si ultima desideretur, isti pleramque praeferenda. Sei licet primo
deterniiuatm" r per aequationem 111. , ac dein v per X. Ecce exemplum nosti'um
hoc modo tractatum:

löge 9,3897262 logsinÄ' 9,7li(3;>;M3 0 n

logcosJ^J 9,9094637 log\/{\. — ecos^ . . 9,9517744

9,2991899 9,8145622n

ecosE= 0,199 1544 logsin^'f 9,0920395

loga 0,4224380 logsin4-(y — ^ . . S,9066017n

log(l— eeos,£r) . . . 9,9035488 4-(«— iT) = — 4'37'33"2 4

log?- 0,3259877 (/•—£)= — 9 15 6,4S

y == 3 15 I 23,0 2

24 LIBER 1. SECTIO I.

Adcalculum coufiniiandumformulaVIII.velXI.percommoda est, praesertim,
si V et r per uiethoduui tertiam determinatae sunt. Ecce calculum:

\ogj,smE 9,8627878n \ogsmE.\/'^ . . . . 9,8l45622n

logcos'f 9,9865224 logcosi'^ 9,9966567

9,8493102n 9,8112189n

logsin?; 9,8493102u log smi{v-\-E), . 9,8112l89n

15.
Quum anomalia media il/, ut vidiinus, per v et cp complete determinata sit,
sicuti V per M et cp , si omiies ti'es quantitates simul ut variabiles spectentur , inter
ipsarum variationes diiferentiales aequationem conditioiialem locum habere debere,
cuius investigatio haud superflua erit. Dififerentiando piimo aequationem VII.
art. 8., prodit -^-^ = -. ~; differentiando perinde aequationem XIL, fit

' ^ sin ir sin 2' cos tp ' r i ^

dM = (l — ecosE)dE — sin^coscpdcp. Eliminando ex his aequationibus differen-

tialibus d^, obtinemus

j Tif sinE{i—ecoiE) -, /' • zt- i sin^(i — ecos£)\ ,
a M = ^^ dv — sniAcoscpH ^^ ^ dcp

sin« \ 1 ' cos» J '

sive substituendo pro sin^, 1 — ecosE valores suos ex aequatt.VIII., III.

dM= dv ^ ^^' , d<D

a a cos <p aa cos tp' •

sive denique, exprimendo utrumque coefficientem per « et cp tantum,

j Tir cos<p° j (2+ecos?))sin?Jcostp' j
dM = ;— ; — ^*^s dv — , , ^ — — dcp

Vice versa considerando d tamquam functionem quantitatum M, cp, aequatio hancce
formam obtinet:

^^,__ «'«cosy j j^j, (2 + ecosi.Osmt) ,
rr '^ cosip '

sive introducendo E pro v

^^ ^ ^^Td i/+ "" (2 — ecos^— ee)sin^dcp.

rr ' rr ^ ' >

16.

Radius vector r per r et cp vel per Jf et cp plene nondum determinatus est,
sed insuper a j? vel a pendet; constabit igitur eius diiferentiale tribus membris»
Per diflferentiationem aequationis IL art 8. nanciscimur

KELATIONES AD LOCITM SIMPLICEM IN ORBITA SPECT AMTES. 25

Ar 4i^ I esini; i cos y cos« i

T p ~i~ i+ecos« i+ecosy •

Statueiido liic ^ = °^ — 2taugcfdcp (quod sequitur e diiferentiatione aequ. L),
expriinendoque secundum art. praec. d v per d 21 et d cf , prodit post debitas re-
diictioues

^" = — -(- -tangcpsinvdJ!/ — "coscpcoswdcp, sive

(\r = -da-\- a tang cp siii vdJI — o cos cp cos v d 9

Ceterum hae formulae, sicut eae quas in ai-t. praec. ev(jlvimiis, suppositioni
innituntur, y, cp et 21 sivepotius dr, dcp, et d 21 in partibiis radii exprimi. Quodsi
ig-itur variationes ang-ulorum v, cf, 21 in secuudis exprimere placet: vel eas formu-
laruni partes quae dv, dcp aut d J/ implicant, per 206364,8 dividere oportet, vel
eas, quae continent dr, dp aixt da, per eundem numerum multiplicare. Formulae
igitur art. praec. , quae hoc respectu sunt homog-eneae, mutatione opus non habe-
biint.

17.
De indagatione aequationis centri maximae pauca adiecisse liaud poenitebit.
Prinio sponte obviuiu est, diflferentiam inter anomaliam excentricani et niediani
maxinium esse pro E = 90°, ubi fit = e (in gradibus etc. exprimenda) ; radius
vector in hoc puncto est :=; a , inide r = 9 0'-f-'p, adeoque aequatio centri tota
= cp-f-e, quae tarnen hie non est maxim um, quoniam differentia inter 0 et E ad-
huc ultra '^ crescerepotest. 77aecceditferentiafitmaximumpro d{ij — ■E) = 0 sive
pro dv=zdE, ubi excentricitas manifesto ut constans spectanda est. Qua sup-
positione quum generaliter fiat — ~ r= -^^ , patet, in eo puncto ubi ditierentia
inter /• et ^ maxinium est, esse debere sin6' = sin£'; uude erit, per aequatt.
VIII. HL, r = acos'.f, ecosE = l — cos cf , sive cos Ä" = -j- tang J cp. Perinde
invenitur cosr = — tang-^cp, quapropter erit*) /■ = 9 (i^ -{- arc sin tang -^ '^ ^
i> = 90' — arc sin tang -J cp; hinc poiTO fiinE=\/(\. — tang j '-p^) = "fj, ita ut
aequatio centi'i tota in hoc puncto fiat = 2 arc sin tang -l cp -j- 2 sin i 's . j/cos cp, parte

*) Ad ea maxima, quae inter aphelium et periheliuni iaceut, non opus est respicerp, quum inauifesto
ab iis, quae inter perilielimn et aphelium sita sunt; in si?nis tautum (üfferant.

G. TU. M. 4

26 LIBER I. SECTIO I.

secuucla in gradibus etc. expressa. — In eo denique puncto, iibi tota aequatio centri
ipsa maxinium est, üeri debet dv = dM, adeoque secundum art. 15, ?- = a^coscp;

hinefit co^v=-lz:m^ cosE= 'J^}^^^ = t-P-^-^ = J^E^ per quam

formulaui E ultima praecisione determinare licet. Inveuta E, erit per aequ.

X., XII., aequatio centn = 2 arc sin — ^-~^ 1- e sin E. Exj^ressioni aequatiouis

vcoscp

centri maximae per serieni secundum potestates excentricitatis progredientem,
quam plures auctores tradiderunt, liic non immoramur. Ut exemplum liabeatur,
conspectum trium maximorum, quae hie contemplati sumus, pro lunone ad-
iunginuis, ubi excentricitas secundum elementa novissima = 0,2554996 sup-
posita est.

Maximum

E

E~M

v~E

V — M

E—3I

90° 0' 0"

14°3S' 20"57

14°48'll"48

29°26'32"05

V —E

82 3 2 9

14 30 54,01

14 55 41,79

29 26 35,80

f —M

86 14 40

14 36 27,39

14 53 49,57

29 30 16,96

18.
In PARABOLA anomalia excentrica, anomalia media atque motus me-
dius lierent = 0 ; hie igitur istae notiones comparatioui motus cum tempore
inservii'e nequeuut. Attamen in parabola angulo auxiliari ad integranduni

rrav ouunno opus non habemus; ht enmi r/'dr =: , . = -^ ^,— „— =

>■ ' 4 cos -V V* ■ 2 cos { r'

^PF ( * -j-tang J r^) dtang-^?', adeoque fr /-d v = Yj)p(t'Ang\ v -\- i tang^J r^) -\- Const.
Si tempus a transitu per perihelium incipere supponitur, Constans ßt ^ '•; ha-
betur itaque

tang i ^ + J tangi v' = '1^^^^

per quam tuvmulaiii /ex r, atque v ex t derlvare licet, sinuilac ^> et \i sunt co-
gnitae. Pro j) inter elementa parabolica radius vector in perihelio qui est ip ex-
hiberi, massaque \i onmino negligisolet. Vix certe umquampossibileerit, massani
coi-poris talis cuius orbita tamquam parabola computatur, determinare, reveraque
omnes coraetae per optimas recentissimasque observationes densitatem atque mas-
sam tam exiguani habere videntur, ut haec insensibilis censeri tutoque negligi
possit.

EELATIOXES AD LOCUM SIMPLICEM IN OHBITA 8PECTANTES. 2 7

19.

Sohitio pvoblematis, ex auomalia vera deducere tempus, multcHjue adliuc
magis solutio problematis inversi, magnopere abbreviari potest per tabiilani auxi-
liaveiii, qualis in plixribus libris astronomicis reperitur. Longe veru connuodi.sshna
est tabula BAKKERiana, quae etiam operi egregio cel. Olbers {Abhandlung über die
leichteste und bequemste Methode, die Bahn eines Cometen zu berechnen , Weimai*
179 7) annexa est. Continet ea proonniibus anomaliis veris a 0 iisque ad 180° per
singiila 5 niinuta valorem exprcssionis 75tangi v-j- 25tang ^ ;;^ sub nomine wo<?ys
medii. Si itaqne tempus desideraturanomaliae verae v respondens, dividere opor-
tebit motum medium e tabula argumento v excerptum per — j- ■, quae quantitas
motus mcdius diiirvus dicitur; contra si e tempore anomalia vera computanda est,
illud in diebus expressum per —5— multiplicabitur, nt motus medius prodeat, quo
anomaliam respondentem e tabula sumere licebit. Ceterum manifesto vabjri ne-
gativo ipsius 0 motus medius tempusque idem sed negative sumtum respondet:
eadem igitur tabula anomaliis negativis et positivis perinde inservit. Si pro p
tlistantia in perilielio 4^p = q uti malumus, motus medius diurnus expriinitur per
''^^^'"'''' , ubi factor constans A-^/ 2 8 1 2 , 5 fit =0,912279061, ipsiusque logarith-
mus 9,9 60 1 27 7069. — Inventa anomalia v radius vector determinabitur per for-
nmlam iam supra ti'aditam r = — ^|-^.

'^ COR In'

20.

Per diflferentiationem aequatlonis tftngi^v-\-^ts,ug^v^ = 2//i7>~-', si omnes
quaiititates r, /, 2^ ceu variabiles tractantur, prodit

^ "—4 = 2 k 2~h\t~^tk p~-' d jJ, sive

2 cos 4 V

dy = ^'^^M<--^d^.

Si variationes anomaliae v in secundis expressae desiderantur, etiam ambae partes
ipsius dt; hoc modo expriniendae sunt, i. e. pro k valorem in art. 6. traditum
3548"l88 accipere oportet. Quodsi insuper pro ^> introducatuV },j)=:^q^ ionnula
ita se habebit

d i' = -— - d t 7— d q

28 LIBER I. SECTIO I.

ubi logaritlimi constaiites adhibeudi sunt \ogh\/2 = 3,7005215724, logSfc^/^

= 3,8766128315.

Porro differentiatio aequationis r = ^\ .^ suppeditat

cos»
2r

2 cos i V

^ =^^- ^ia.ng\v6.v^ sive exprimendo Ar per At et Ap

dr [1 3fc*tang,iv \ i _, A/j). langer i .

r \p irr^p j -* ' rr

Coefficiens ipsius Ap , substitueudo pro t valorem suuin per v ti'ansit in

coefficiens ipsius d^ autemfit =: ^^^. Hinc prodit d r = -i- cos ^' d^j -| — -y—At^
sive inti'odneendo q pro 2>?

j j I A,smv j .

d /• = cos vAq-\ — 7 — d t

Logarithmus constans hie adhibendus est logA'^-^ = 8,085 0664436.

21.

In HYPERBOLA '^ atque E quantitates iniaginariae fierent, quales si

aversamur, illaruni loco aliae qiiantitates auxiliares sunt introducendae. An-

guluni cuius Cosinus ^ - iani supra per '} designavimus, radiumque vectoi-em

= T-, n n — i—n inveniraus. Factores in denominatore huius fractionis,

2« COSt(«— li) COS^(i) + <l') '

cos4(r — 4') ^* cos J (r -]-«{') ; aequalesfiuntpro r = 0, secundus evanescit pro va-
lore inaximo positivo ipsius r, primus veropro valoremaximu negativo. Statuendo

io-itur ^^^-TT—Pll = >'i ent ti = 1 in perihelio : crescet in infinittim, dum r ad li-

o cos ^ (y + y) •■■

mitem suuni ISo' — 6 appropinquat ; contra decrescet in infinitum, dum r ad li-
mitem altenim — (180° — 6) regredisupponitur: quodfietita, utvaloribusoppositis
ipsius V valores reciproci ipsius », vel quud idem est valores tüles quorum loga-
rlthmi oppositi sunt, respondeant.

Hie quotiens ti percommode in hyj)erbola ut quantitas auxiliaris adhi-
betur; aequali fere concinnitate istius vice fungi potest angulus cuius tangens =
tang J r . |/^^-^ , quem ut analogiam cum ellipsi sequamm-, per ^F denotabimus.
Hoc modo facile sequentes relationes inter quantitates r, ?•, w, F colliguntur, ubi
a = — /' statuimus, ita ut h evadat quantitas positiva.

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN OKBITA SPECTANTES. 29

I. b = 2^ cotang- ([»^

jj p p cos 6

1 + e cos ü 2 cos ^(v — t);) cos ^ {v + ij*)

m. tang- iF= tangi v . |/^ =tang4 wtang i (j; = '~

IV. u ::=^4r9l! = : "^r°1^ = tang (45°+ ^^ F)

■xj 1 , /■ _i M 1 + coa '!> cos V e + cost-

cosi^ ^ \ ' uj 2cosKii — li) cos 5 (r + '|j) i+ecosv

Subtrahendo ab aequ. V. utinmque 1, prodit
VI. Ani-..^r = shHF.[/,^^l^ = >mi-F.\/'i±^

= -H"-.)/5-_V. = -H»-')l/'^J^'

Simili modo addendo uti'iinque 1 fit

Dividendo VI. per VII. ad III. revenii-emus ; inultiplicatio px-oducit
VIII. r sin V = ]) cotang <]^ tang F = h tang '\) tang F

= ii^cotang^^.j« — ^) =: ■ 6tang«}..(« — ^)

E combinatione aequatt. IL V. porro facile deducitur

IX. rcosy :=hie ^~\ z=z -ll>i-2 e — a — -]

\ cos Fl • \ ul

22.

Per differentiationem formulae IV. prodit (spectando «j; iit quantitatem con-
stantem) ^ = i (tang ,1 {v + '\>) — tang J (r — '].)) d r = '—^ d v ; hinc

rrdv = /" , d^^ sive substituendo pro ?• valoreni ex X.,
r 7- d « = 6 Z> tang ,], .( j e ( i + -L ) — i ) d «

Integrando deinde ita, iit integrale in perihelio evanescat, fit

30 LIBEK 1. SECTIO I.

Lo^-arithmus liic est hyperbolicus ; qiiodsi logarithmos e systemate Briggico vel
o-eneraliter e systemate cuius modulus = X adliibere placet, massaque |x (quam
pro corpore in hyperbola incedente liaud determinabileni esse supponere possumus)
negligitur, aequatio hancce formani induit:

XI. i l e logM = -T-

sive inti'oducendo F

Xetangi^ — logtang(45°+4-F) = —-

Si logarithmus BriggIcos adliiberi suppouimus, habemus log X = 9,6 3 7 7 8 4 3 1 1 3,
loo- X Ä- = 7,8733657527, sed praecisiouem aliquautubim maiorem attingere licet,
si logarithmi liyperbolici immediate applicantur. Tangentium logarithmi hyper-
bolici in pluribus tabularuin collectionibus i-eperimitur , e. g. in iis quas Schulze
curavit, maiorique adliuc extensioni in Beni. Ursini Magno Canone Triangulormn
logaritlmiico, Colon. 1624, ubi persingula lO" progrediuntur. — Cetermn formula
XL ostendit, valoribus reciprocis ipsius ?(, sive valoribus oppositis ipsius i^ et u
respondere valores oppositos ipsins ?, qnapropter partes hyperbolae aeqnales a
perihelioque utrinique aeqnidistantes temporibus aequalibus describentur.

23.

Si pro invenieiido tempore ex anomalia vera quantitate auxiliari » uti pla-
cnt'vit, liuins valor commodissinie per aequ. IV. determinatur ; formula dein IL
absque novo calculo statim dat j) P<?i' '", vel r per j^. Inventa u formula XL dabit
quantitatem -^, quae analoga est anomaliae mediae in ellipsi et per A^ denotabitur,
unde demanabit tempus post transitum per perihelium elapsnm. Quum pars prior
ipsius N puta '"-'[l''^ performulam VIII. fiat = ^-g^, calculus duplex huius
quantitatis ipsius praecisioni exaniinandaeinservire, aut si mavis, N absque u ita
exhiberi potest

VTT N — >.tang.j.sinr ■, cosj (p-<j/)

.VII. J-y 2C0SJ ((' + '}-} coBi(i--^) ^ t) cosi(» + 4')

RELÄTIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN OKBITA SPECTANTES.

31

ExempUm. Sit e = 1,2618821 sive t}^ = 37°35'o", y = IS'S l'O", log-
0,0333585. Tum calculus pro «, ih ^, N, t ita se habet:

logcos4(t' — '{<) . . . 9,994 170 6
log-COS-i(r -]-'!;) . . . 9,9450577

logr 0,0333585

log2e 0,4020488

log-^> 0,3746356

log-'cotang'}^ . . . . 0,227 4 24 4

log/> 0,6020600

log-- 9,4312985

logsint- 9,5093258

logX 9,6377843

Coiupl. logsiurj; . . . 0,2147309

8,793 1395
Pars pi-iina ipsius ^^=0,0621069
\ocru =0,0491129

N =0,0129940

loo-XÄ; 7,8733658

flog/; 0,9030900

liiuc log« .

IL

uu

. . 0,0491129
= 1,1197289
= 1,2537928

Calculus altei'
\og(HU—l) 9,4044793

Compl. logu 9,9508871

logX 9,6377843

log-^e 9,7999888

8,793 1395

logiV 8,1137429

Differentia 6,970275 8

logt 1,1434671

t= 13,91448

24.

Si calculuni per logaritlmio« liyperbolicos exsequi constitutum e.st, quaiititate
auxiliari F uti praestat, quae per aequ. III. determinabitur, atqueinde iV per XL;
semiparameter e radio vectoi-e, vel vicissim hie ex illo per formulam VIII. computa-
bitur; pars secuuda ipsius N duplici si lubet modo ei-ui potest, seil, per formulam
log-hyptaug (45'-|--J 7^), etperhane loghyp eos-i-(y — '\i) — loghypeos i-{ij-^'\t).
Ceterum patet, quantitatem N lue ubi X = 1 in ratione l : X maiorem evadere,
quam si logarithmi ßRiGoici adliibeantur. Ecce exemplum nostrum hoc modo
traetatum :

32

LIBKU 1, SECTIO I.

logtangj'^ 9,5318179

logtang^y 9,220 1009

logtSiUgiF 8,7519188

löge 0,1010188

logtaugi^ : . 9,0543366

\F = 3° I3'58"r2

9,155 35 54 C. log liyp cos J- (?; — «{;)== 0,0 134 2266
= 0,14300638 C.loghypcosi(y + '];) = 0,12650930

e taug F

loghyptang(45°+ii^ = 0,11308666 Diflerentia

N = 0,02991972

logk 8,2355814

flogt 0,9030900

= 0,11308664

logiV^ 8,4759575

Diifereutia 7,3324914

log« 1,1434661

t= 13,91445

25.

Ad Solutionen! problematis inversi, e tempore anomaliaui veram radiumque
vectorem detenninare, prinio ex N = Xk b~-t per aequatiouem XI. elicienda est
quantitas auxiliaris u vel F. Solutio htims aequationis ti'ausscendentis tentando
pei-ficieuda erit, et per artificia iis quae in art. 1 1. exposuimus analoga abbreviari
poterit. Haec aiiteni fusius explicare supersedenuis : neque eniin operae pretium
esse videtiu", praecepta pro motu liyperbolico in coelis vix umquam fortasse se
oblaturo aeque anxie expolire ac pro motu ellijjtico, praetereaque omnes casus qm
folgte occurrere possent per inetliodum aliam iut'ra ti'adendam absolvere licebit.
Postquam i^ vel u inventaerit, r inde per fonnulam III., ac dein ?• velperll. vel
per VIII. determinabitur; commodius adhuc per formulas VI. et VII. v et r simul
eruentur; e formulis reliquis uua alterave pro confirmatione calculi, si lubet, in
usum vocari poterit.

26.
Exemplmn. Manentibus e et h ut in exemplo praecedente, sit 7=65,41236:
quaeruntur v et r. Utendo logarithmis BKiGüicis habemus

log« 1,8156598

\og\kb~^ . . . . . 6,9702758

logiV^ 8,7859356, unde N =^ 0,061085 14.

RELATiONES AD LOCUM SIMPLICEM IN OKBITA 8PECT AMTES. 33

Hinc aequatioiii N=leta,ngF — logtang(45°-|- ^ i^) satisfievi iiivenitur per F
= 25° 24' 2 7"66, uiide fit per fornuilam III.

log- taug Ji*" .... 9,3530120
logtaiigJ ']< . . . . 9,5318179
logtang^y .... 9,821194 ladeoqueJi;=33°3r29"89atquey=67°2'59"78.

Hinc porro habetur

C.logcos-i-(t; + ({;) . 0,2137476 1

C.Iogcos.K^-'!'). 0,0145197 j Diff^^'^ntia 0,1992279

logi^ 9,9725868 logtang(45°+ x^). 0,1992280

log/- 0,2008541

27.

8i aeqiiatio IV. ita ditferentiatur, ut », r, '\i shnul ut variabiles tractentur,

])rndit

(Im sin4'd» + siiiüdij; rtang'!/ i |^ rsint' i ,

u 2 cos i{v — ii) cos -J- (w + <h) p '' p cos 'll I

Differentiando periude aequationem XL, inter vaviationes differeutiales
quaiititatniii », '\i, N emergit relatio

iN 1,1,1 ' \ 'Vi I ( '« " — I ) siu '|/ ] ,

A \- \ ' iml Hl ' JMCOSiL" '"

AN r 1 . rsin» i .

/. 6w ' ocosy '

Hliic eliniinando Au adiumeiitu aeqiiationls praecedentis obtiuemus

d^ '■'■ I I / 1 I '■ \ csin» ] ,

-T- = ,-vT r d y + 1 -\ — j r d 'h, sive

d^ ^ &jtaugj> ^ ^_ , b 6 I sin.tang^. ^ ,
Xr »• \ r ' jJ / cosiji '

^L&Äi'a.v-fi+^-ia^dd.

>.)•(• \ I »■ / sin 4» "

28.
Diflerentiando aequationem X., omnibus ;•, />, e, « pro variabilibus habitis,
G. TH. M. 5

34 LlBlii; 1. SECTIO I.

substitiieudi) drrzr^ — ^^a'^-'^i eliiuhiaiidoque d" udiunu-ntoaequatiomsintev dJV,
d», i\'!fi in nrt. praec. traditae, jn-odit

Coefticieiis ipsius AN per aeqn. Vlll. trausit in r^4^ ; coefficiens ipsius d'L aii-

tem, substitueiiduperaeqTi.lv., ??(sin6 — sinr) :=:siu('i — r) , - (sin '|i -(- sin e?)

• /i I V i i • /' sin '1/ cos r «cosr -^ j. i i i.

= sin{d< + r), nuitatur m ^., - = i^— ita ut liabeatur

d/' =: , dA + -— ^-rd^N + -^~rd4
b ' /. sm '|i ' sin 'ii "

Quatenusporru /V utfuuctioipsanuii b et t spectatur, tit djV= — df — ?. ydi,
quo valore Substitute, d/-, ac perinde in art. praec. dr, per d/, di, d'j/ expressae
liabebuntur. C'eteruni quod sujira niunuinius etiani liic repetenduni est, scilicet
si angulorum r et 6 variationes nou in partibus i'adii sed in secundis exjn-essae
concipiantur , vel onines tenninos qui d«', d6 continent per 206264,8 dividi, vel
omnes reliquos per liuiic nuiiHTiiiii niultiplicari debere.

29.
Qaum qixantitates auxiliares in ellipsi adhibitae cp, E, M, in liyperbola va-
lores iniaginarios obtineant, liaud abs re erit, lioruni nexuni cum quantitatibus
realibus, quibushic usi sunius, investigare : apponinius itaque relationes praecipuas,
ubi quantitatem iniagil lariuin \/ — -I ])er / denotanius.

1

Sil 1 CS = c = — 7
" cos o

tang(45 -i:p) = /;-; = //j^i = /tangt^

tang'^ = J cotang(45°^ i cf) — .J tang (45° — i 'f

t

sin <]>

cos'^ = /tang'ji

-^ = 9o'-|-/log(siii'^-j- /cos'f) = 90' — /logtang(45°4- .1 '|i)

tang i E = /taug \F = '^^~'^

-r^^ = J cotang l E-\- -f^ taug iE = — icotungF sive

sm t, = ttiUlirl' =:=

cotang 7:/' = i cotano- .; E — .1 tano- i E = A^ sive

, TT' • • 7 1 i(UU 1 )

tang h =z 1 sin /• =^ , —

t

EELATIONES AD LOCr>r SI.MPLICEM IM OinSITA SPECTAN TKS. 35

77, 1 iia-i- \

cosA = — ^ = — V

cos j< 2 n

iE = lüg- (cos £"-(- /sin /:,') = log sive

J5J = ilogu = /lui>-taiio-(45°-|- ii*')

M = t, — -e sin h = i loo- u = — —

Logantlmii in his f'onuulis sunt hypevbolici.

Qumu onnies quos e tahulis logavithniicis et trigoiionietricis deproniinm.s
iiumeri praecisioneni absolutani non adinittniit, sed ad certuni tantumniodo graduni
sint approximati, ex onniilms calculis illaruni adiuinento pertectis proxime tantum
Vera resultare possunt. In plerisque quideni casibus tabnlae vulgares ad septiniam
tigurani decinialem usque exactae, i. e. ultra diniidiain unitateni in tigura septinia
excessu seil detectu nuniquani alit-rrantes a vero, praecisioneni jilux quam sufficien-
tem suppeditaiit, ita ut eiTores inevitabiles nullius ]ilane sint monicnti: nihilonii-
ims utique lieri potest, ut eiTores tabularuni in casihus specialibus eti'ectuin snuni
exseraiit augnientatione tauta, ut nietliodiini alias optimani plane abdicare aliain-
que ei substituere coganiur. Huiusiuodi casus in iis quoque calculis, quos liacte-
nus explicavinius, occurrere potest; quaniobreni ab instituto iiostro liaud alienum
crit, disquisitiones quasdam circa graduni praecisionis, quam tabulae vulgares in
Ulis permittunt, bic instituere. Esti vero ad Imc argumentum calculatori practico
gravissimum exhauriendum liic non sit locus, investigationeni eo perducenius, ut
ad pi-opositum nostruni sufüciat, et a f^uolibet, cuius interest, ulterius expoliri et
ad quasvis alias operationes extendi possit.

3 1.

Quilibet logarithnius, siniis, tangens etc. (aut geueraliter quaelibet quantitas
irrationalis e tabulis excerpta) errori obnoxius est, qui ad diniidiam unitateni in
ligura ultima ascendere potest: designabimus liunc erroris liniitem per tu, qui ita-
que hl tabulis vulgaribus tit = (1,(1000(1005. Quodsi logaritluuus etc. e tabulis
iinmediate desumi non potuit, sed per iuterpolationem erui dcbuit, error duplici
caussa aliquantiilum adliuc niaim- esse potest. Primo eiiim pro parte proportionali,
quoties (figuraiii ultiniam tainquain unitateni spectando) non est integer, adcjptari
solet integer proxime niaior vel minor: Imc ratione errorem tantum non usque ad

LIBER I. SECTIO I.

flnpliini augerl posse facile perspicitur. Ad lianc vero errorls augmeiitatioiieiu
(jiiiiiiuo liic noii respicimus, quiini nihil obstet, quoininus unam alteramve tigurani
deciinalein parti illl proportidiiali affig-amus, nulloque iiegotio pateat, logarithniuni
iiiterpolatiiin, si ])ars proportionalis absolute exacta esset, errori iiiaiori obiioxium
11011 esse quam logaritlinios in tabiilis imiiiediate expressos, qiiatenus quideni JKti-iini
variationes taiuquain iinifoniies considerare liceat. EiToris augmentatio altera iiide
nascitur, «|nod suppositio ista omni rigore iion est vera: sed haue quoque tiegligt-
iiiu.s, quoniani eftectus differentiarum secundariiiii altiorumque in omniljus prope-
uioduiii casibus nvillius plane mouieiiti est (praesertini si pro quantitatibus trigono-
nietricis tabiilaeexcellentissimaequas Taylor ciiravit adhibentur), facilique itegotio
ipsius ratio lialieri possit, ubi forte pauUo maiov cvaderet. Statueiiius itaque pro
Omnibus casibus tabularum eiToreni niaximum inevitabilem = cu, siquidem argu-
inentuni (i. e. nuniei'us cuius logaritlimus, seu angulus euius sinus etc. quaeritur)
praecisione absoluta liabetur. Ri vei'o argumentum ijisum proxime tantiim iniiotuit,
erroriijui.' maximo, ciii obiHixium esse ])otest, respondere suppoiiitnr logaritlimi etc.
variatid co (quam per rationem diftei'entialiuin defiiiire licet), error maxiiuus loga-
ritlimi per tabiilas com])utati usque ad co -\- to ascendere potest.

V^ice versa, si adiumento tabularum argumentum logaritlimo dato respon-
dens coin])utatur, error maximus ei eins variationi aec^ualis est, quae respondet
vaiiationi (» in logaritlimo, si hie exacte datur, vel quae resjiondet variationi loga-
ritlimi (o-|-(o, si logaritlimus ipse usque ad lo' erroneus esse potest. Vix opus erit
nionere, w et w eodem sioim at'Hci debere.

Si plures quantitates intra certos tantuni limites exactae addiintar, aggre-
gati error maximus aequalis erit aggregato singulorum erroium niaximorum, iis-
dem sigiiis aifecti imin ; (juare etiam in suljtractione quantitatiim pr(jxime exacta-
runi difFerentiae error niaxinnis sunimae eiTorum singulorum niaximorum aequalis
erit. In niultijilicatione vel divisioue quantitatis non absolute exactae error maxi-
mus in eadem ratioiie augetur vel diminuitur tit quantitas Ipsa.

32.

Frogredimur iam ad apj)licationeiii horiim jiriucijiioi'um ad utilissimas ope-
rationum supra explicatarum.

1. Adhibendo ad computuin auomaliae verae ex aiiomalia exceutrica in motu
ellipticoform. Vll.art. 8,, si '^ et E exacte liaberisupponuiitur, in logtaag(45' — |^^)

REI.ATIONKS AD LOCl'M SIMPLICEM I\ OIMüTT SPECTANTKS. 37

et logtaiio-j£^ coniinitti potest error lo, iuU'o((ii(' in ditt'crentia = lagtaiig i r error
2(o: error maxinius itanne iii determinatione aiiffuli }, r erit i*"' i" -_-'"'siur^
desig-iiaiite X modiilum logarithnioruiu ad liniic caUuiliiiu adhibitoriiiu. Error ita-
que, cni auomalia vera r obnoxia est, in secundis expressus fit = '""?— 206265"
= (»"0712 sinr, si logaritlimi BRiomci ad septem tiguras deciiuales adliihentur,
ita nt semper intra 0"ü7 de valore ipsiu.-^ r certi esse possimus: si tabulae minores
ad qninque tantum ligui-as adliibentur, error usqne ad 7 12 ascendei'e liosset.

IL 8i f:^cos^ adiiiniento logarithiuoruni computatur, error conunitti potest

usque ad r ; eideni itaque errori obiioxia erit quantitas 1 — r cos E sive

In computaiido ergo logaritlnno huius quantitatis error usque ad ( I -j- &)o) asceu-
dere potest , designando per o quantitateni , 1_''^^^ positive sumtani : ad eunden»
limitem (l-}-o)to ascendit error in \ogr possilnlis, siquidem logrA exacte datus
suppoiiitur. Quoties excentricitas parva est, (piantitas o arctis senijier liniiti]>us
coercetur: quando vero c ])aruni dittert ali I, 1 — ecos £^ pei-parva manct, (|UMin-
diu E pai-va est; tunc igitnr o ad niagnitndincni band conteninendain increscere
potest, quocirca in boc casu formubi III. art. 8. minus idonea esset. Quantitas
0 ita etiam exprum potest ' ^ = '^_ '-— , quae formuUi adbuc cdaruis
ostendit, quando errorem (l-j-o)(t) contenniere liceat.

111. Adbibendo fornuüam X. art. 8. ad computuni anouialiae verae ex ex-
centi-ica, log|/" obnoxius erit errori (,l-f-io)to, adeoque log sin J cj, sin^ |/" buic
(|-f--io)«); hinc error maximus in determinatione anguli v — E vel v possibilis
eruitur = y (7 -)-ö)tang J^(r— £"), sive in seruudis expressus, si septem tigurae
decimales adbibentur, = ( 0 " I 6 6 -f 0"0 2 4 o) tang l {v — E). Quoties excentrici tas
niodica est, o et tang.l(r — E) quantitates pai'vae eruut, quapropter hacc nictlio-
dns praecisionem maiorem permittet, quam ea quam in 1. contempbiti sumiis:
baecce contra methodus tunc praeferenda erit, quando excentricitas valdc magna
est propeque ad unitatem accedit, ul)i o et tang.lir — -7?) vab)res vablc cnnside-
rabiles nancisci possunt. Per formulas nostras, ntra metbodus alter! pincfcrenda
sit, f'acile semper decidi poterit.

IV. In determinatione anomaliae mediae ex excentrica per forniiil;im XII.
art. 8. error quantitatis aninE, adiumento logaritbmorum computatae, ack'oque
etiam ipsius anomaliae il/, usque ad -""'5"' asceudere potest, qui errroris limes
si in secundis expressus desideratur per 206265" est multiplicandus. Hinc tacile
(u)ncbiditur, in problemate inverso, ubi E ex M tentando determinatur, E (junn-

38 LIBEK I. !>ECT10 1.

titate r . T-T>- 2f*6 26o ^ — ;- .206265 erroneam esse posse, etsiaequa-

tioni E — esiuE =^ M omni quam tabiilae pevmittmit praecisione satisfacfum
fVierit.

Anomalia vera itaque e media computata duabu.s vati(jnibus eiTonea esse
potest, siquidem mediam tamquam exacte datam coiisideranuis, primo proj)tei"
en'oreni in computo ipsiiis v ex E commissum, qui ut vidimus levis semper mo-
menti est, seciindo ideo quod valor anomaliae excentricae ipse iam erronevis esse
potnit. Effectus rationis posteiioris deünietin- per pvodiictum eiToris in E com-

iiiissi per T-g , q uod proouctum nt = r^ y— . . 2 0 6 2 6 o = — y-_ — . 2 0 6 2 6 o

__ /esmy+^-eesiirj-j _ q' ^, ■y j 2, si Septem ügm'ae adhibentur. Hie error, jjro valoribus

pai"vis ipsius e semper modious, permagnus evadere jiotest, quoties e ab nnitate
parum differt, uti tabella sequens ostendit, quae pro qiiibusdam valoribus ipsius
e valorem maximiim illiiTS expressionis exhil^et.

e error maximiis e j error masimus 1 e error niaximiis

(i,0(» (i"4 2 0,94 ' 0"73 1 0,98 , 2"28

0,91 0,48 0,95 (),S9 0,99 1 4,59

0,92 0,54 j 0,96 1,12 0,999 46,23

0,9 3 0,6 2 ' 0,9 7 1,5(1 |

V. In motu liyperliulico, si r pcrformulam IIT. art. 21. ex 7" et -^ exacte
notis detenninatur, eiTor usque ad ' '" " ' ■ 206 265" ascendere potest^ si vero per
formulam tang i^ i' =z- — ;c" angov ß^jj^p^^j^fi^m-^ ,^ gt ,j, exacte notis, eil'oris limes
triente maior erit, puta = -'P^. 206265= o'oOsiny livo Septem tiguris.

VI. Siperformulam XI. art. 2 2. quantitas '-,- = N adiümento logarithmo-
rum BßiaGicorum computatur, c et n vel e et F tamquam exacte notas sup-

ponendo, pars pnma obnoxia erit erron , si computata est ni torma

"Kehl — i)(m + i) 1 . •i{)iii-\-i)eu> • ^ ". . j. • ^ , \ '-^ 1

— ^ — ^-5 vel erron ~ — 1 si computata est m torma hkev , vel

errori Secutangi'^, si computata est in forma Xetangi^, siquidem en-orem in logX

vel log4-^ commissum contenniimus. In casu primo error etiam per 5e(ütangi^,

in secundo per — ^, exprimi potest, unde patet, in casu tertio errorem omnium

semper minimum esse, in primo autem vel secundo niaiiir erit, prout u aut >> 2

HKLATIONKS AU LOCTM SIMPLICEM IN OKBITA SPECTANTES. 39

vel <^2, .sive prout +/''^3(r5 2 vel <|[3G°5 2'. — Par.s secunda ipsius iV auteia
semper obiioxia erit erruri to.

VII. Vice ver.sa patet, .si u vt'l F ex N tentiiiKlo eriiatiir, k obiioxiam
f'ore eiTori ( 1 + ö f taiig7*')(o .--^, velliuic (l+ — p,Jtoy", prout menibruinpriinum
in valore i]).sius N vel in factores vel in partes resolutum adliibeatur; F auteivi
eiTori link' (I + 3 etangi*')«) , ,,. Signa superiora po.st peiühelium, inferiora ante

periheliuni valent. Quodsi hie pro ^-^ vel pro -^ snbstitiiitur v^^, emerget effec-

, 1 • • • 1 i. • i- • • • • -x •>. ?'?'taueil; (1+ detail s'J''')(ii
tus niuu.s erron-s ni deternunationein ipsius ?•, qui igitur erit -"r^ —

hhi&\\%'h{\ + aesecJP)«)

aut }^'- ' '^i q^iäntitas auxiliaris u adhibita est; contra, si adliibita

est F, ille effectus fit = "^"'''"s+ilil^-*?"!^ = . ij^ ±e^ ■^e^.v j, +e co.^^
Adiicere oportet factoreni 206 265", si error in secundis expriraeiidns est. Mani-
festo hie error tunc tantnm considerabilis evadere potest, quando 'L est angulus
j)avvus, sive e pauUo maior quam I; ecce valores niaximos huius tertiae expres-
sionis pro (luibusdam valoi-ibus ipsius e, si Septem tigurae decimales adhil)entur:

e

error maxiinus

1,3

0"34

1,2

0,5 4

1,1

1,31

J,05

3,0 3

l,Oi

34,41

1,001

1 064,65

Hnic errori ex erroneo valore ipsius F vel k orto adiicere oportet errorem in
V. determinatum , ut incertitudo totalis ipsius v habeatur.

Vlll. Si aequatio XI. art. 2 2. adiumento logarithmornm liyperbolicorum

solvitur, F pro quantitate auxiliari adhibita, ettectus erroris in hac opei"a-

tione possibilis in determinationem ipsius v per similia ratiocinia invenitm-

(I +c.cosi')*o»' , aesin» (i + ecos») Bj

taiig'!/^ — Xtang'!*-

ubi per w incertitudinem maximam in tabulis logarithmorum liyperbolicorum

designamus. Pars secunda huius expressionis identica est cum parte seciuida

exprcssionis in \'1I. traditae, primo vero in ratione ). to':co minor quam prima

40 UBKK I. SECTIO 1.

h\ illa expressione, i. e. in ratioTie 1:23, si tabulam UKSiNt ad octo ubiqiie
fio-uras exactam sive lo' = 0,0OO(M)(Hi05 .supponeve liceret,

33.
In iis ioitnr sectlonibns conicis, (juarmn excentridtas ab unitate parum
differt, i. e. in ellipsibus et hyperbolis, quae ad parabolam proxime accedunt,
niethodi supra expositae tmu pro determinatione anomaliae verae e tempore, tum
pro determinatione temporis ex anomaUa vera *), onmem quae desidei-ari posset
praecisionem non patinntur: quin adeo errores inevitabiles, crescentes dum orbita
niagis ad parabolae similitudinem vergit, tandem omnes limites egrederentur.
Tabulae maiores ad plures quam septem figuras constructae hanc incertitudinem
diminuerent quidem, sed non tollerent, nee impedirent, quominus onuies limites
suijei-aret, sinuüac orbita ad parabolam nimis prope accederet. Praeterea nie-
thodi supra traditae in liocce casu satis molestae iiunt, quoniam pars earum in-
directa tentamina saepius repetita requirit: cuius inconnnodi taedium vel gravius
est si tabulis maioribus operamur. Haud sane igitur superfluum erit, methodum
peculiarem excolere, per quam in hoc casu incertitudinem illam evitare, soloque
tabulam vulgarium adminiculo praecisionem sufficientem assequi liceat.

34.

]^Iethodu.s vulgaris, per quam istis inconmiodis remedium afterri solet, se-
ipuntibus principiis innititur. Respondeat hi ellipsi vel hyperbola, cuius excen-
tricitas e, semiparameter p adeoque distantia in perihelio == ^^^ = </, tempori
post perilielium f anomaliii vcvji ^'; respondeat poiTO eidem tempori in parabola,
cuius semiparameter = 2 q, sive distantia in perihelio = y, anomalia vera w,
niassa a vel utrimque neglecta vel utrimque aequali supposita. Tunc patet haberi

./ (I +ecosi>)'^ *•' (i + cos«')* vv y /

integTalibus a « = 0 et iv = 0 incipientibus , sive

/(i-l-e)'dii f 2dw
(1 +ecosjj)V2 J(i + cos«7)'

*) Quoniam tempu 8 implicat factoiem a^ vel bS error in .V vel N commissus eo magis augetur

P P

quo maior fuerit a — -— ,, , vel b =■ ^ .

BELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES. 41

Desigiiando ^* per ci, taiigiw per 6, integrale prius invenitur

= t/(l + a) .(6 + i-6' (1— 2 a) — J-e^(2ot — 3 ota) + f 6'(3 aa — 4 a') — etc.)

posterius = taugi-io-{- Iftung \ n^^. Ex hac aequatioue facile est determinare w
per a et y, atque v per a et »', adiuniento serieruiu infiiiitarum : pro a si
luagis placet introduci potest 1 — e = ^^ = 5. Qiium manifesto pro et = 0
vel 0 = 0 fiat V = 10, hae series sequeiiteni forniani habebuiit:

w = y-j-oy'-(-o5 v" -\- r? v" -j- etc.

V =^ iC-[-rj (0 -|- 0 0 u" -\- r/ w" -{- etC.

ubi v\ v'\ v" etc. eriiut t'unctiones ipsius t\ atque iü\ io\ i6" etc. functiones
ij)sius u\ Quoties o est quantitas perparva, hae series celeriter convergeut,
paucique teriuini sufficient ad determinanduni w ex y, vel v ex w. Ex lo
invenitur f, vel w ex t eo quem supra pro motu ])arabolico explicavimus modo.

35.

Expressiones analyticas triuni coefticientium primorum seriei secundae w',
?o", lü" Bessel noster evolvit, sinuilque pro valoribus numericis duorum pri-
morum ?c', lo" tabulam ad siugulos argumenti «5 gradus constructam addidit
(von Zach Mondfh'rhc Correspondenz, vul. XII. ]). M)7). Pro coefficiente primo
w tabiüa iam ante habebatur a »Simpso.n coiinjutata , ([uae operi dar. Olbers
supra laudato annexa est. In plerisque casibus liacce metliodo adiuniento tabulae
BESSJxianae anomaliam veram e tempore ])raecisione sut'ficiente determinare licet:
quod adhuc desiderandum relinquitur, ad haecce fere momenta reducitur:

I. In problemate inverso, temporis put^i ex anomalia vera deterniinatione
ad methodum quasi indirectam confug-ere atque to ex v tentando derivare opor-
tet. Cui incoinmodo ut ol)veniretur, series prior eodem modo tractata esse de-
beret ac secunda: et quuiu facile perspiciatur, — v esse eaudem functionem
ipsius v^ qualis lo est ipsius /?', ita ut tabula pro )ö signo tan tum mutato
pro v inservire possit, nihil iam requireretur nisi tabula pro r, quo utrumque
problema aequali praecisione solvere liceat.

IL Interdum utique occurrere possunt casus, ubi excentricitas ab unitate
parum quidem diftert, ita ut methodi generales supra expositae pi-aecisionem haud
sufficientem dare videantur, nimis tarnen etiannium, quam ut in niethodo pe-

G. TH. M. 6

42 LIBER I. SKCTIO I.

cixliari modo adnmbrata efl'ectuin potestatls tertiae ip.siu.s o altiorumque tiito con-
teimiere liceat. In motu imprimis liyperbolico eiusmodi casus sunt pos.sibiles,
ubi, sive illas methodis adoptes sive hanc, errorem plurium secundorum evitare
iion possis, siquidem tabidis vulg-aribus tautum ad septem tiguras coiistructis
utaris. Ktiamsi vevo liuiusmodi casus in praxi raro occurrant, aliquid certe deesse
videi'i posset, si in oiinrihvs^ casibus anomaliam veram intra Ol aut saltem ()'2
determinare nou beeret, nisi tabulae maiores consulei'entur, (pias tuineii ad libros
rariores refei-endas esse coiistat. Haud igitur prorsus superfiuam vlsimi iri spera-
mus expositioiiem methodi pecubaris, qua iaradudum usi sumus, quaeque eo etiam
nomine se commendabit, quod ad excentricitates ab Tinitate parum diversas haud
limitata est, sed hocce saltem respectu apj)licatio]iem generalem patitur.

36.

Antequani haue methodum exponere aggrediamur, observave conveuiet, in-
certitudinem methodorum generalium supra traditarum in orbitis ad parabolae
similitudinem vergentibus sponte desinere, simulac E vel F ad magnitudinem
considerabilem increverint, quod quidem in magnis demum a Sole distantiis liet.
Quod iit Ostendaums, errorem maximum in ellipsi possibilem, quem in art. 3 2. IV.

mvemmus -, .205265 ita exJubenms — ^,^ -.,, . 206265 , unde

sponte patet, errorem arctis semper limitibus circumscrijitum esse, simulac E va-
lorem considerabilem acquisiverit, sive simulac cos E ab unitate magis recesserit,
quantumvis magna sit excentricitas. Quod adhuc luculentius apparebit per tabu-
lam sequentem, in qua valorem numericum maximum istius formulae pro quibus-
dam valoribus determinatis computavimus (pro septem ligiiris decimalibus) :

E= 10° error maxinius =:= 3 04
20 . 0,76

0,34

30
40
50
60

0, 1 1»
0,12
0,08

Simili modo res se habet in hyperbola, ut statim apjjaret, si expressio in art. 3 2.
VII. eruta sub hanc Ibrmam ponitur "'e''sJ'(cosJ-+3.smi.)/(e.- 0 ^„g.^ß^^- y^^^^^^

l{e — cosF)-

RELATIOXES AD LOCTM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTAXTES.

43

maxhnos huius expressionis pro quibusdam valoribus determiiiatis ipsiu.s /*' tabula
sequens exhibet:

F

u

error maximus

10'

1,192

0,839

8"66

20

1,428

0,700

1,38

30

1,732

0,577

0,4 7

40

2,144

0,466

0,22

50

2,747

0,364

0,11

60

3,732

0,268

0,06

70

5,6 7 1

0,176

0,0 2

Quoties itaqiie E vel F ultra 4(»' vel 50° egreditur (qui tarnen casus in or-
bitis a parabola parum discrepantibus liaud facile occurret, quuni corpora coelestia
in talibus orbitis incedentia in tantis a Sole distantiis oculis nostris plerunique se
subducant), nulla aderit ratio, cur metlioduni generaleni deseramus. Ceteruui in
tali casu etiam series de quibus in art. 34. egimus nimis lente convergerent: neuti-
quain igitur pro defectu niethodi nunc ex})licaudae liaberi potest, quod iis inipri-
niis casibus adaptata est, ubi E vel F ultra valores modicos iioiuluiii excrevit.

37.

Resmnamus in motu elliptico aequationem inter anonialiani excentricain et

tenipus

E-e^E=''^'^

ubi E in partibus radii expressani supponinuis. Factoreni ^/(l-j-ji.) abliinc
omittemus; si uniquam casus occuiTeret, ubi eins rationeni habere in potestate
operaeque pretium esset, signum t non tenipus ipsum post periheliuni, sed hoc
tempus per ^{ 1 -\- \x) nniltiplicatuni expriniere deberet. Designamus porrcj per q
distantiaiii in perihelio, et pro E et sin £ introducimus quantitates E — sin^
et E — iä{E — im\E)=^\E-\-^\smE: i-ationem cur has potissimum eligainus
lector attentus ex sequentibus sponte deprehendet. Hoc modo aequatio nostra
forinam sequentem induit:

(l-e)(A£+-rV.sm^) + (A-f-TVe)(£-.sm£)=:/.^^(i^'f

44

LIBEK I. SECTIO I.

Quateiuis E ut qiiantitas parva ordinis prhiii spectatui-, erit -rV-^+roSin^

= E eV E^ -\- t^Vt E^ — Pt^- q^iaiititas ordiiiis prinii , contra E — siii^ :=:

\E^ — Tio--^"+ sVro^' — Ptc. quantitas ordinis tertii. Statuendo itaqne

= 4A,

I^A

= B

^^E + T^sinE

erit aA ^ E- — -.Cw E^ — ttttW^^' — etc. quantitas ordinis secuudi, atque
B = 1 -|- 2 sVö--^* — etp- ^1* unitate quantitate quarti ordinis diversa. Aequatio
nostra autem liinc fit

B{^{X-e)A^ + M^ + '^^)^') = 'l^t[^f [1]

Per tabulas vulgares trigonometricas tV-^ + TV^iii-fi' quidani praecisione suffi-
ciente calculari potest, non tarnen E — sin£, quoties E est angulus par^-us:
hacce igitur via quantitates A &i B satis exacte determinare non liceret. Huic
autem difficultati remediuni afferret tabula peculiaris, ex qua cum argumento E
aut ipsum B aut logaritbmum ipsius B excerpere possemus: subsidia ad con-
sti'uctionem talis tabulae necessaria cuique in analysi vel mediocriter versato facile
se Offerent. Adiumento aequationis

•iE + %mE

■1(1 B

sJA

etiam \J A^ atque hiiic / per tbriiiulani [l] oniiil quae desiderari potest praecisione
determinare liceret.

Ecce specimen talis tabulae, quod saltem leiitaui augmentationem ipsius
\ogB manifestabit : superfluum esset, haue tabulam maiori extensione elaborare,
inft-a enim tabulas formae multo commodioris descripturi sumus:

E

logi>'

E

logii

0°

0,0000000

35°

0,0000645

5

000

40

1099

10

004

45

1758

15

022

50

2675

20

069

55

3910

25

168

60

5526

30

349

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES. 45

38.

Haud iiiutile erit, ea quae iti art. praec. sunt tradita exemplo illustvare. Pi-o-
po.sitasitanomaliavera =100°, excentricitas =0,96764567, logij =9,765 65 00.
Ecce iaiii calciilum pro /s", /?, A et f:

logtaugiy . . 0,0761865
logVr^ • • • 9,1079927

logtaug^^ . . 9,1841792, unde i£=S'4 ri9"32, atque ^=:17'22'38"64,

Huic valori ipsius E respoiidet log\ß = 0,0000040; poiTO invenitur in partibus
radii A' = 0,3032928, .sini; = 0,2986643, unde äV^+TVsin^ = 0,15 141 5(»,
cuius logarithmus =z 9,1801689, adeoque log# = 9,1801649. Hinc dedu-
citur per formulam [l] art. praec.

log^/;^ • • • 2,4589614 W ^^^i±^ (-^f . . . 3,7601038

& fe/(i— e) ' o lök \i—el '

log^^ 9,1801649 log^^ 7,5404947

log43,56386 = 1,6391263 log 19,98014 =: 1,3005985

19,98014
63,54400 = /

Tractando ideni exempluni secundum methodum vulgarem, invenitur csinE in
secundis = 596 10"79 = 1 6°3 3'30"7 9, unde anomalia media =49'7"85 = 294 7 "85.
Hinc et ex logA;(i^)- = 1,6664302 derivatur f = 63,54410. Differentia,
quae hie tantum est , , i o o P^i'=i unius diei, conspirantibus erroribus facile tiüplo
vel quadruplo maior evadere potuisset.

Ceteruiu patet, solo adiumeiito talis tabulae pro log^ etiam problema in-
versuni omni praecisione solvi posse, determinando E per tentamina i'epetita,
ita ut valor ipsius / inde calculatus cum proposito congruat. Sed haec operatio
satis molesta foret: quamobreiu iam ostendemus, quomodo tabulam auxiliarem
multo ccjmmodius adornare, tentamina vaga omnino evitare, totumque calculum
ad algoritlimuin maxime concinnum atque expeditum reducere liceat, qui nihil
desiderandum relinquere videtur.

39.
Dimidiam fere partem laboris quem illa tentamina requirerent abscindi
posse statim obvium est, si tabula ita adornata habeatur, ex qua log B immediate

46 LIBER I. SECTIO I.

argmnento A desunieve liceat. Tres tunc superesseut operatioiies ; priiua iii-
directa, puta deteniiiuatio ipsius A, nt aeqiiatioiii [l] art. 37, satisfiat; secunda,
detevminatio ipsius E ex ^4 et />, quae tit divecte vel jjer aequatujiiem E =.
= 2i?(yl- + tV-4"): vel per haue sin /s = -iBijl}- — \A^')\ tertia, deterniiiiatio
ipsius V ex E per aequ. VIL art. S. Operationein priinani ad algorithnmm
expeditmn et a tentaniinibus vagis liberum reducenius; secundam et tertiani vero
in unicani eonti'alienius, tabulae nostrae quantitateni novani C insei'endo, quo
pacto ipsa E oninino opus non habebinius, sinivilque pro radio vectore fbrmulam
elegantem et conunodam uanciscemur. Quae singula ordine suo iam persequemur.
Primo aequationem [l] ita transformabimus, ut tabulam BAKKEuianani ad
eins .Solutionen! adhibere liceat. Statuemus ad hunc tinem ^4- =tangi»'.l/^-^^-^,
unde tit 75 tang 1 /r -|- 25tangi «'^ = K(r + Tl __ ^ desiguando constantem

7ofc/(-s + tj) ppj^. ri. Si itaque B esset cognita, lo illico e tabula BAEKERiana

2 9=

desumi posset, ubi est anomalia vera, cui respondet motus niedius ~- ; ex w de-

rivabitur ^ per fornnilani ^4 = Ci tang ^h'^, designando constantem " per 6.

Iam etsi B demum ex A jier tabulam nosti'am auxiliarem innotescat, tamen
propter perparvam ipsius ab unitate differentiam praevidere licet, u) et A levi
tantum errore affectas pro venire posse, si ab initio divisor B omnino negligatur.
Ueterminabimus itaque primo, levi tantum calamo, ?(' et ^4, statuendo 7^=1;
cum valore approximato ipsius A e tabula nostra auxiliari inveniemus ipsam i?,
cum qua eundem calculum exactius vepetemus; plerumque respondebit valori sie
con'ecto ipsius A prorsus idem valor ipsius i?, qui ex approximato inventus
erat, ita ut nova operationis repetitio superflua sit, talibus casibus exceptis, ubi
valor ipsius E iam valde considerabilis fuerit. Ceterum vix opus erit monere,
si forte iam ab initio valor ipsius B quomodocunque approximatus aliunde in-
notuerit (quod semper fiet, quoties e pluribus locis haud multum ab invicem di-
stantibus eomputandis, imus aut alter iam sunt absoluti) praestare, hoc statim in
prima approximatione uti: hoc modo calculator scitus saepissime ne una quidem
calculi repetitione opus habebit. Haue celevrimam approximationem inde assecuti
sumus, quod B ab 1 ditferentia ordinis quavti tantum distat, in coefficientem
perparvum niunericum insuper nnilti])licata, ([uod commodum praeparatum esse
iam perspicietur per introductionem quantitatum E — sin£', -,V-^ + TVsin£' loco
ipsarum £', sinü".

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN OKBITA SPECTANTES. 47

40.

Quuin ad operationeni tertiaiii, puta determiuatioiiein anomaliae verae, an-
gulu.s E ip.se 11011 requiratur, sed tantuiu t&ngi E sive potius logtaug J A', ope-
ratio illa cum secuiida comniode iiiiioi posset, si tabula nostra inimediate suppe-
ditaret log-avithniuia quantitatis "1/ r ■, quac ab 1 quautitate ordiuis secundi
ditfert. Maluimus tainen tabulaiu iHistvam modo allquantulum diverse adornare,
quo exteusioue miuuta nihilominus iiiterpolationem multo commodiorem assecuti
suiiius. Scribendo brevitatis gratia T pro taiigi^^, valor ipsiu.s A iuai't. 37.
traditus — \^ , !'"„ facile ti'ansmutatur in

•}E + sin E

. 7— f r- + a r^ — ' if r-'+ f f r^— etc.

— i-T%r+Ä?'--A^'+Ar^-rtc:

ubi lex pi-ogressioni.s obvia e.st. Hivic deducitur per coiiversionem serierum

"^ 1 4 11 s /d-_!_ >* A^-i- 18!>«_ 4*J ?_Sr.uL Ai\pf^

j — i — .-r - J^^ i 7 T -^ T^ 5 ■-' .-r ^i n^ s 3 c '8 7 s -^^ T^ r 3 i r^T 2 ir -^ n^ ^-tt--

Btatueudo igitur 7. = ! — t^-h^', ei'it ^' quantita.s ordiuis quarti, qua in ta-
bulam iiostram recepta, ab A protiuus trausive pos.sumus ad r per tbrmulam

, . 1/1 +p (/ A vtangi«'

designaiido per y coii.stautem \/\^\^,• Hoc modo .simul lucramur calculum

pei'commodum pro radio vectore. Fit eniin (art. S. VI.)

. gcosi-£- (i (1 — i:A + C)jf

'" cosi-r- fi + Dcos'-U'- (i+i^ + Ocos-i-ii'

41.
Nihil iam .superest, ni.si ut etiain problenia iuversum, puta deterininatiouem
temporis ex auomalia vera, ad algoritlimuin expeditiorem reducainus: ad huiic
fiiieiu tabulae uostrae columnani uovaiii pro T adiecimu.s. Computabituv itaque
primo T ex v per formulam T ^=^ ~^^t&\\^\'i^\ dein ex tabula nostra argu-
mento T desumetur A et logi>', sive (quod exactius, imo etiam comniodius
est) G et logl?, atque Line A per forniulaiu A-=^ i4:Ty ' t^^i^flö^ii ^x A et B
ei'uetur t per formulam [l] art. 3 7. Quodsi hie quoque tabulam BARKERiauam
in usum vocare placet, quod tamen in hoc problemate iuversf» calculum minus
sublevat, non opus est ad A respicere, sed statim habetur

tang -\ 11) = tang 1- v . y — , , ,

T)

48 ÜBER I. SECTIO I.

atque hiiic tempus ?, nmltiplicando motum niediuin anomaliae verae w in ta-
bula BARKEKiana respondentem per ~ .

4 2.
Tabulam, qualem hactenus descripsimus , extensione idonea consti'uxinius,
operique liuic adiecimus (Tab. L). Ad ellipsiii sola pars prior spectat; partem
alteram, quae motum hyperbolicuni complectitur, iufi-a explicabimus. Argnmeii-
tuni tabulae, quod est quantitas A, per singulas partes inillesiinas a (t usque
ad 0,300 prog-reditm* ; sequuntur log /> et T, quas quaiititates in partibus
] OOOOdOO""** , sive ad septem tiguras deciniales expressas subiutelligere oportet
cifrae enim primae, figuris signiiicativis praeeuntes, suppressae sunt; columna
denique quarta exhibet quantitateni T primo ad 5 dein ad 6 ttguras computa-
tam, quae praecisio abunde sufücit, quum haec columna ad eum tanturamodo
usum requiratur, ut ai'gumento T valores respondentes ipsius logB et C habe-
antur, quoties ad normam art. praec. t ex v determinare lubet. Quum pro-
blema inversum, quod longe frequentioris usus est, puta determinatio ipsius r et
r ex /, omnino absque quantitatis T subsidio absolvatur, quantitateni A pro
argumento tabulae nostrae eligere maluimus quam T, quae alioquiu argumen-
tum aeque fere idoneum fuisset, imo tabulae constructionem aliquantulum facili-
tavisset. Haud superfluum erit monere, omnes tabulae numeros ad decem figuras
al) origine calculatos fuisse, septemque adeo figuris, quas liic damus, ubique tuto
confidere Heere; mothodis autem analyticis ad hunc laboreni in usum vocatis hoc
loco immorari non possunnis, quarum explicatione copiosa nimium ab instituto
iiostro distraherenmr. Ceterum tabulae extensio ojunibus casibus, ubi methodum
hactenus expositam sequi prodest, abunde sufficit, quum ultra limitem A = 0,3,
cui respondet 7"= 0,30 237 4 sive ^=(i4°7', methodis artiticialibus commode
ut supra ostensum est abstinere liceat.

43.

Ad maiorem disquisitionum praecedentium illusti-ationem exemplum ealculi
completi pro anomalia vera et radio vectore ex tempore adiicimus, ad quem finem
numeros art. 38. resumemus. Statuimus itaque e = 0,96764567, log(/ =
9,7656500, <=63, 54400, unde primo deducimus constantes loga = 0, 3052357,
log6 = 8,2217364, logf = 0,0028755.

KELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES. 49

Hinc fit loga/ = 2,1 083 t 02, cui respoudet in tabula Bakkeri valor ap-
proximatus ipsius iv = 99' 6', unde derivatuv ^ = 0,0 229 23, et ex tabula
nostra log5 = 0,0000040. Hinc argumentum correctum quo tabulam BarkerI
intrare oportet fit = log^ = 2,1 0830 62, cui respoudet ?ü = 9 9° (V 1 3 "l 4 ; dein
calcnlus ulterior ita se habet:

logtangJw^ . . 0,1385934 log taug iw 0,0692967

log6 8,2217364 logf 0,0028755

log^ 8,3603298 |-C.log(l— -f-^ + C) . . 0,0040143

A =0,02292608 logtangj-v 0,0761865

liinc log^ perinde ut ante; i^v = 50° O' o"

C =0,0000242 V = 100 0 0

1 — ^^ + 0=0,9816833 logg- 9,7656500

l-|-^^-|- 6'=: 1,0046094 2 Comp, log cos ^y . . . 0,3838650

log(l — -t^+C). . , . 9,9919714
C.log(l + i^+C) . . 9,9980028
logr 0,1394892

Si in hoc calculo f'actor B oninino esset neglectus, anomalia vera en-orusculo
0"l tantuni (in excessu) prodiisset affecta.

44.
Motum liyperholicuni eo brevius absulvere licebit, quoniam methodo ei
quam hactenus pro motu elliptico exposuimus prorsus analoga tractandus est.
Aequationem inter tempus i atque quantitatem auxiliarem u forma sequente
exhibemus :

(e_,)(^,v(,/-i)+vviog«)+(TV+A<')(i(«-y-iog«)=/vi(y)

ubi logarithmi sunt hyperbolici , atque tslu — ^\ ~\~ 't^^'^E. " quantitas ordinis
pvimi, \{n. — M — \ogu quantitas ordinis tei'tii , simulac log« tamquam quan-
titas jiarva ordinis primi spectatur. Statuendo itaque

j'Ti('« — -^j + Älog« 2/^

6. TU. H.

50 LIBER 1. SECTIO I.

erit A qiiantitas ordiuis secuudi, B nvitem ab unitate differentia ordinis quaxti
discrepabit. Aequatio iiosti'a tuuc forniam sequentein iiidiiet:

5(2(e-l)^^ + A(l + 9^)^-) = ^'(~^)- [2]

2

quae aequationi [l] art. 37. proi'sus analoga est, Statueudo porro (,7x7) = T,
erit T ordiuis secuudi, et per methoduui serierum iufiuitarum iuveuietur

y 1 -p r,-^ "T TtT-^ — ?. 2 r. -^ T^ :i 3 6 » 7 5 -^ TT 1 ^ S^i 2^ -^ T^ '^T'^-

Quaniobrem poueudo ^ := 1 -(- ^ vi -)- 6', erit C quautitas ordiuis quarti, atque
A = — -j^ . Deuique pro radio vectore exaequ. VII. art. 21. facile sequitur

, g _ (i + -M+g)g

(1 — rjcos^i)-' (1— i^ + C)cosit)^

45.

Pars posterior tabulae primae operi huic auuexae ad motum byperbolicum
spectat, ut iaui suj^ra uiouuiuius, et pro arg-uuieuto A (utrique tabulae parti
comuuiui) logarithuuiui ipsius B atque quautitateui C ad septeui figuras deci-
males (cifris praecedeutibus omissis), quautitatem T vero ad quiuque deiu ad
sex liguras sistit. Extensa est liaec pars, periude ut prior, usque ad -4 = 0,300,
cui respondet r=U,2412(i7, » = 2,930 vel =0,341, F=^+h2°V^'-, ul-
terior exteusio superüua fuisset (ai't. 36.).

Ecce iaui ordiuem calculi tum pro determiuatioue temporis ex auomalia vera
tum pro determiuatioue auomaliae verae ex teuipore. In problemate priori liabe-
bitur T per forumlaui T = ~ taug J r* ; ex T tabula uostra dabit log5 et
(7, uude erit A = Z^tt ' ^"^^' t^'i^^^''^ V^^' foi*mulam [2] art. praec. iuveuietur
t, lu problemate posterioiü computabuutur primo logaritlmii coustautium

2 3>

56 — 5

1 +9e

1+ 9e

Tuuc determiuabitur A ex t prorsus eodeui modo ut iu motu elliptico, ita
scilicet ut motui medio -„ iu tabula BakkekI respoudeat auomalia vei'a w atque
fiat A =■ Staugiw^; eruetur scilicet priuio valor approximatus ipslus A ue-

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN OKBITA SPECTANTES. 5 1

glecto vel sl subsidia adsunt aestiniato factore i?; hinc tabula uostra suppeditabit
valorein approximatum ipsius B^ cum quo operatio repetetur; valor novus ipsius
B hoc modo prodieiis vix umquam correctiouem sensibilem passus, neque adeo
nova calculi iteratio necessaria erit. CoiTecto valore ipsius A e tabula desume-
tur C, quo facto habebitur

*„„o- > w — ftangiio /• — - C + i^+Og

Patet hinc, inter formulas pro motu elliptico et liyperbolico nullam omnino dif-
ferentiam reperiri, si modo 8, ^ et J" in motu liyperbolico tamquam quanti-
tates negativas ti'actemus.

46.

Motum liyperbolicum quoque aliquot exemplis illustravisse haud iuutile
erit, ad quem finem numeros artt. 23. 26. resumemus.

I. Data sunt e == 1,2618820, \o^q = 0,0201657, v = IS'Sl'o": quae-
ritur t. Habenms

2logtangJ ü 8,4402018 log T 7,5038375

logJ=^ 9,0636357 log(l + C') 0,0000002

TogT 7,5038375 C.log(l i,T) .... 0,0011099

T = ((,003 19034 log-i 7,5049476

logi^ = 0,0000001

C = 0,0000005

log^^ 2,3866444 log ^^^^ (,-f,f . . 2,8843582

log^^ . 8,7524738 log^* 6,2574214

log 1 3,77584 =: 1,1391182 logO, 138605= 9,1417796

0,13861
13,91445 = t

IL Manentibus e et q ut ante, datur f ^= 65,41236, quaeruntur v et r.
Invenimus lo2:arithmos constantium

'fe'

loga = 9,9758345
log6 = 9,0 251649
logY = 9,9807646

52 LIBEK I. SECTIO I. KELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN ORBITA SPECTANTES.

PoiTo prodit \ogat= 1,7914943, unde per tabulaiu BarkerI valor approxi-
matus ipsius «; = 70° 3 144 ", atque hinc ^ = 0,052983. Huic A in tabula
nostra respondet log 5 = 0 , 0 0 0 0 2 0 7 ; unde log ' = 1,7914736, valor cor-
rectus ipsius ic = 70° 31 36' 86. Calculi operationes reliquae ita se habeiit:

2logtang.Vn' 9,6989398 logtang^w 9,8494699

logg 9,0251649 logf 9,9807646

log^ 8,7241047 -J-C.log(l + -*-J. + C). 9,9909602

A = 0,05297911 logtangJ-v 9,8211947

logi? ut ante {-v = 3 3°3r30"0 2

C == 0,0001252 v= 67 3 0,04

l-j-fA-j-G = 1,0425085 logq 0,0201657

1— i^+C = 0,9895294 2C.logcos^i7 .... 0,1580378

log(l + A^+C) . . 0,0180 796
C.log(l — -t^ + C). 0,0045713

logr 0,2008544

Quae supra (art. 26.) iuveneramus r = 67°2'59'7S, logr ^ 0,2008541 , mi-
nus exacta sunt, proprieque evadere debuisset r ;=: 67°3' o"oO, quo valore
supposito vali)V ipsius t per tabulas maiores fuerat computatus.

SECTIO SECUNDA

ReJotiones ad Jocmn siviplicem in spatio spedantes.

47.

In Sectione prima de motu c.orponim coelestium in orbitis suis actum est,
nulla Situs, quem liae ovbitae in spatio oecupant, ratione habita. Ad liunc situm
detei-miuandum , quo relationem locorum corporis coelestis ad quaevis alia spatii
puncta assignare liceat, manifesto requiritur tum situs plani in quo orbita iacet
respectu cuiusdam plani cogniti (e. g. plani orbitae telluris, edipticae), tum situs
apsidum in illo plann. Quae quum commodissime ad ti-igonometriam sphaericani
referantur, superfieiem sphaericam radio arbitrario cii'ca Solem ut centrum descrip-
tam fingimus, in qua quodvis planum per Solem transiens circulura maximum,
quaevis autem recta e Sole ducta punctum depinget. Planis aut rectis per Solem
ipsum non transeuntibus plana rectasque parallelas per Solem ducimus, cii-culos-
ique maximos et puncta in sphaerae supei-fiicie bis respondentia etiam illa reprae-
sentai'e concipimus : potest quoque sphaera radio ut vocant infinito magno descripta
supponi, in qua plana rectaeque pai'allelae perinde repraesentantur.

Nisi itaque planum orbitae cum piano eclipticae coincidit, circuli maximi
llis planis respondentes (quos etiam simpliciter orbitam et eclipticam vocabimus)
duobus punctis se intersecant, quae nodi dieuntur; in nodorum altero corpus e
Sole visum e regione austi'ali per eclipticam in borealem transibit, in altero ex
hac in illam revertet; nodus prior asceiidenfi, posterior descendens appellatur.
Nodorum situs in ecliptica per eorum distantiam ab aequinoctio vernali media

54 LIBER I. SECTIO II.

(Jongitudineni) secmidum ordinem siguoruni immeratam assignanius. Sit, in Fig. 1,
^ nodus ascendens, A^B pars eclipticae, C^D pars orbitae; motus terrae et
corporis coelestis fiant in directionibus ab A versus BetaC versus i), patet-
que angulum spliaericum, quem ^D facitcum ,0,5, a 0 usquead 180° crescere
j)Osse, neque tarnen ultra, quin Q, nodus ascendens esse desinat: liunc angulum
incUnationem orbitae ad eclipticam diciinus. Situ plani orbitae per longitudinem
nodi atque inclinationem orbitae determinato, nihil aliud iam requiritur, nisi di-
stantia perihelii a nodo ascendente, quam secundum ipsam directioneni motus nu-
meramus, adeoque negativam sive inter 180° et 360° assumimus, quoties peri-
helium ab ecliptica ad austrum situm est. Notentur adhuc expressiones sequentes.
Longitudo cuiusvis puncti in circulo orbitae numeratur ab eo puncto, quod retroi'-
sum a nodo ascendente in orbita tantundem distat, quantum aequinoctium vernale
ab eodem puncto retrorsum in ecliptica: hinc longitudo perihelii erit summa lougi-
tudinis nodi et distantiae perihelii a nodo ; longitudo vera corporis in orbita autem
summa anomaliae verae et longitudinis perihelii. Denique longitudo media vo-
catur summa anomaliae mediae et longitudinis perihelii: haec posti'ema expressio
manifesto in orbitis ellipticis tantum locum habere potest.

48.
Ut igitur corporis coelestis locum in spatiu pro quuvis temporis momeuto
assignare liceat, sequentia in orbita elliptica nota esse oportebit.

I. Longitudo media pro quodam temporis momeuto arbitrario, quod epoclia
vocatur: eodem nomine interdum ipsa quoque longitudo designatur. Plerumque
pro epocha eligitur initium alicuius anni, scilicet meridies 1. lanuai'ii in anno
bissextili, sive meridies 31. Decembiis anno communi praecedentis.

II. i\Iotus medius inter certum temporis intervallum, e. g. in uno die solari
medio, sive in diebus 365, 365 1 aut 365 25.

in. Semiaxis maior, qui quidem omitti posset , quoties corporis massa aut
nota est aut negligi potest, quum per motum medium iam detur (art. 7.) : commo-
ditatis tarnen gratia uterque semper profem solet.

IV. Excentricitas.

V. Longitudo perihelii.

VI. Longitudo nodi ascendentis.

VII. Inclinatiü orbitae.

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 55

Haec Septem momenta vocautur elementa motus corpoi'is.

In parabola et hyperbola teiupus transitus per perihelium elementi priiui
vice fuugetur; pro IL tradeutur quae in his sectioniim conicaruni generibus niotui
inedio diurno analoga sunt (v. art. 1 9.; in motu hyperbolico quantitas \kh~^ art. 23.).
In hyperbola elementa reliqua perinde retineri poterunt, in parabola vero, ubi
axis maior infinitus atque excentiicitas = 1, loco elementi III. et IV. sola di-
stantia in perihelio proferetur.

49.
Secundum vulgarem loquendi morem inclinatio orbitae, quam nos a 0 us-
que ad 180° numeramus, ad 90° tan tum extenditur, atque si angulus orbitae
cum arcu ß B (Fig. 1 ) angulum rectum egreditur, angulus orbitae cum arcu ^ A
(qui est illius complementum ad 180° tamquam inclinatio orbitae spectatur; in
tali tunc casu addere oportebit, motum esse retrogradum (veluti si in figura nostra
E^F partem orbitae repraesentat) , ut a casu altero ubi motus directus dicitur
distinguatur. Longitudo in orbita tunc ita numerari solet, ut in ^ cum longi-
tudine huius puncti in ecliptica conveniat, in directione ^F autem decrescaf-
punctum initiale itaque a quo longitudines contra ordinem motus numerantur
in directione ^F tantundem a Q, distat, quantum aequinoctium vei'nale ab
eodem ^ in directione ^Ä. Quare in hoc casu longitudo perihelii erit longi-
tudo nodi deminuta distantia perihelii a nodo. Hoc modo alteruter loquendi usus
facile in alterum convertitur, nostrum autem ideo praetulimus, ut distinctione
inter motum directum et retrogradum supersedere, et pro utroque semper formulas
easdem adhibere possemus, quum usus vulgaris saepenumero praecepta duplicia
requirat.

50.
Ratio simplicissima , puncti cuiusvis in superficie sphaerae coelestis situi^i
respectu eclipticae detenninandi, fit per ipsius distantiam ab ecliptica (latitudinem),
atque distantiam puncti, ubi ecliptica a pei-pendiculo demisso secatur, ab aequi-
noctio (longiüidinem). Latitudo, ab utraque eclipticae parte usque ad 90° numerata,
in regione boreali ut positiva, in austi'ali ut negativa spectatur. ßespondeant
corporis coelestis loco heliocentrieo, i. e. proiectioni rectae a Sole ad cor2)Us ductae
in sphaeram coelestem, longitudo X, latitudo 6; sit porro ^f distantia loci hello-

56 ÜBER I. SECTIO II.

centrici a nodo ascendente (quae urgiinicidinn littitudinis dicitur), i inclinatio
orbitae, ^ loiigitiidu iiodi asceiideutis, habebuiiturque inter «', «, 6, X — ß, quae
quaiititates eruiit pai'tes trianguli sphaerici i-ectanguli, relationes sequentes, quas
sine uUa vestiäctione valere facile eviucitur:

I. taiig(X — i70 = cos^tang«

IL tang 6 = tang i sin (X — ß)

III. sin € = sin / sin a

IV. cos« = cos 6 cos (X — ^)

Quando / et n sunt quantitates datae, X — ^ inde per aequ. I. determinabitur,
ac dein 6 per IL vel per III., siquideni S non nimis ad +90° appi'opinquat ;
formula IV. si placet ad calculi confirniationem adhiberi potest. Ceterum for-
mulae I. et IV. docent, X — ^ et u seniper in eodem quadrante iacere, quoties
i est inter 0 et 90°; contra X — ^ et 360° — u ad eundem quadrantem per-
tinebunt, quoties i est inter 90° et 180°, sive, secuudum usum vulgarem, quo-
ties motus est retrogradus: hinc ainbiguitas, quam determinatio ipsius X — ^ per
tangentem secuudum formulam I. reliiiquit, sponte tollitur.

Formulae sequentes e praecedentiuni combinatione l'acile derivantur:

V. sin(« — X-f-^) = 2 sin i /^ sin « cos (X — ^)

VI. sin (« — X -(- ^) =^ tang i-i sin 8 cos (X — ß)

VII. sin (« — X -|- ^) = taug \ i tang 6 cos u

VIII. sin (" + X — ^) = 2 cos \ P sin u cos (X — ^

IX. sin (« -f- X — ^) = cotang \ i sin 6 cos (X — ^)

X. sin (« -j- X — ^ ) = cotang \ i tang 6 cos a

Angulus u — X-j-i7, quoties i est infra 90°, aut « -(- X — ^, quoties / est
ulti-a 90°, secundum usum vulgarem reduetio ad edijjticani dicitur, est scilicet
differentia inter longitudinem heliocentricam X atque longitudiuem in orbita
quae secundum illum usum est ^ + ^< (secundum nostrum ^ -|- ^/). Quoties
inclinatio vel parva est vel a 180° pai'um diversa, ista reduetio tarn quam quan-
titas secundi ordinis spectari potest, et in hoc quidemcasu praestabit, Cl primo
per formulam III. ac dein X per VII. aut X. computare, quo pacto pi-aecisio-
nem niaiorem quam per formulam I. assequi licebit.

Pemisso pei-pendiculo a loco corporis coelestis in spatio ad planum eclipti-

EELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPÄTIO SPECTANTES. 57

cae, distantia puiicti iiitersectionis a Sole distantia curtala appellatur. Quam per
r', radium vectorem autem per r desigiiando, habebimus

XL / = rcos6.

51.
Exempli caussa calculum in ai-tt. 13. 14. iiiclioatum, cuius numex'os planeta
lunonis suppeditaverat, ulterius continuabinius. Supra inveneramus anoiiialiam ve-
ram 315°l'23"02, logarithmum radii vectoris 0,3259877 : sit iam ?'= 13°6'44"l0,
distantia perihelü a nodo = 241°10'20"5 7, adeoque zi = 196°1 1'43"59 ; denique
sit ß = 17r7'48"73. Hinc habemus:

logtang?< 9,4630573 logsin(X — ^) . . , 9,434869 In

logcosz 9,9885266 logtangi 9,3672305

logtang(X — ^) . . . 9,4515839 logtang6 8,8020996n

X — ß = 195"'47'40"25 6 =— 3°37'40"02

X = 6 55 28,98 logcos6 9,9991289

logr 0,3259877 logcos(X — ß) . . . 9,9832852n

logcos6 9,9991289 9,9824141 n

logr' 0,3251166 logcosM 9,9824141 n

Calculus secundum formulas III. VII. ita se haberet:

logsinM 9,4454714 n logtang^L^■ 9,0604259

logsin^ 9,3557570 logtangg 8,8020995 n

logsin6 8,8012284n logcos?« 9,9824141 n

6 =— 3°37'40"02 logsin(M — X + ß) . 7,8449395

u — \-\-^= 0°24' 3"34
X — ß =195 47 40,25

52.

Spectando i et u tamquam quantitates variabiles, differentiatio aequa-
tionis III. art. 50. suggerit:

cotang 6 d 6 = cotang iAi -\- cotang u d u
sive

XII. d 6 = sin (X — ^) d i -\- sin ^ cos (X — ^) d u

G. TH. M. 8

58 LIBERI. SECTIO II.

Perinde per difterexitiatioiiem aequationis I. obtiuemus

XIII. d (). -^,) = - taug 8 cos (X — ft) d { + ^, d u

Denique e differentiatione aequationis XL prodit d /•' = cos od/' — r sin 6 d 6 sive

XIV. d r = cos 6 d ?■ — r sin C sin (X — ß) d i — r sin o sin i cos (X — <^ j d «

In hac ultima aequatione vel partes quae continent d^ et di< per 206265" sunt
dividendae, vel reliquae per hunc numerum multiplicandae, si mutationes ipsarum
i et u in ininutis secuudis expressae supponuntur.

53.
Situs puncti Cuiuscunque in spatio commodissinie per distantias a tribus
planis sub ang-ulis rectis se secantibus determinatur. Assmnendo pro planorum
uno planum eclipticae, designandoque per z distantiam corporis coelestis ab hoc
piano a parte boreali positive, ab australi negative sumendam, manifesto babe-
bimus z = r tang 6 = r sin 6 :^ r sin i sin u. Plana duo reliqua, quae per Solem
quoque ducta supponemus, in sphaera coelesti circulos maximos jiroiicient, qui
eclipticam sub angulis rectis secabunt, quorumque adeo poli in ipsa ecliptica ia-
cebunt et 90° ab iuvicem distabunt. Utriusque plani polum istum, a cuius parte
distantiae positivae censentur , polum positivum appellamus. Sint itaque N et
iV-|-9 0° longitudines polorum positiv orum, designenturque distantiae a planis
quibus respondent respective per aj, y. Tunc facile perspicietur haberi

X = r cos (X — N) = r cos 8 cos (X — ^,) cos {N — ß) + r cos 6 sin (X — ß) sin (N — ß)
y := r sin (X — N) = r cos 8 sin (X — ^) cos [N — Sl) — '* cos 6 cos (X — ^) sin {N — ß)

qui valores transeunt in

X = r cos {N — ß) cos u -\- r cos i sin (N — Q,) sin u
y :=:r cos i cos (N — ß) sin u — r sin (N — ß)cosu

Quodsi itaque polus positivus plani ipsai-um ./• in ijjso nodo ascendente collocatur,
ut sit N = ß^ habebimus coordinatarum .r, ?/, z expressiones simplicissimas

X = rcosu

y = r cos ?' sin u

z = rsin?'sin«(

BELATIONES AD LOCÜM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 59

Si vei'O haec suppositio locuni uou habet, taiiieii Ibrmulae supra datae tbrmam
aeqiie fere commodam nanciscuntur per iutroductionem quatuor quantitatum aiixi-
liarium o, 5, A, B ita determinataruiu ut liabeatur

cos(N — ^) = osiu^

cos^sin(iV — Q,) = ocos^l

— sin (N — ß) = h sin B

cos, i cos (N — ^) = hcosB

(vid. art. 14. IL). Manifesto tunc erit

X = r a sin (« -j- Ä)
>/ := r h sin (u -\- B)
z = rsin^'sinM

54.

Relationes motus ad eclipticani in praecc. explicatae manifesto perinde va-
lebunt, etiamsi pro ecliptica quodvis alind planum substituatur, si modo situs
plani orbitae ad hoc planum innotuerit; expressiones longitudo et latitudo autem
tunc supprimendae enmt. Offert itaque se problema; e siüi cognito plani orhitae
aliusque plani novi ad eclipticavi derivare sitmn plant orhitae ad hoc novum pla-
num. Sint ??^, <Q,ß, n^ partes circuloi-um maximorum, quos planum eclipticae,
planum orbitae planumque novum in sphaere coelesti proiiciunt (Fig. 2.). Ut in-
clinatio circuli secundi ad tertium locusque nodi ascendentis absque ambignitate
assignari possit, in cii'culo tertio alterutra directio eligi debebit tamquam ei ana-
loga, quae in ecliptica est secundum ordinem signorum; sit haec in fig. nostra
directio ab n versus ^'. Praeterea duorum hemisphaeriorum, quae circulus n ^
separat, alterum censere oportebit analogum hemisphaerio boreali, alteruin aus-
trali: haec vero hemisphaeria sponte iam sunt distincta, quatenus id semper
quasi boreale spectatur, qiiod in circulo secundum ordinem signorum progre-
dienti*) a dexti'a est. In figui'a igitur nostra sunt ,Q, /?, ^' nodi ascendentes
circuli secundi in primo, tertii in primo, secundi in tertio ; 180° — wßß', f^n^'
^'ß <ft inclinationes secundi ad prhimm, tertii ad jjrimum, secundi ad tertium.
Pendet itaque problema nostrum a soluti(jne trianguli sphaerici, ubi e latere uno

*) Piita in interiori spliaerae superflcie , quam figiira iiostia repraeseiitat.

60 LIBER I. SECTIO U.

angulisque adiacentibus reliqua sunt deducenda. Praecepta vulgarla, quae in
trigonometria sphaerica pro hoc casu ti-aduntur, tamquam abunde nota supprimi-
mus : commodius autem methodus alia in usum vocatur ex aeqnationibus quibus-
dam petita, quae in libris nostris trigonometricis frusti'a quaeruntur. Ecce lias
aequationes, quibus in sequentibus frequenter utemur: designant «, 6, c latera
trianguli sphaerici atque A, B, C angulos illis resp. oppositos:

sin|(6 — c) sin|(B — C)

I.

n.
III.

IV.

sinH& + c) cos^(:B — O

008^(6— c) smiJB + C)

cos + a cos^jl

cos^(& + c) cosi(.B + 0

cos 4 a sin^jl

Quaniquam demonsti'ationem harum propositionum brevitatis caussa hie praeterire
oporteat, quisque tarnen earum veritatem in triangulis, quorum nee latera nee
anguli 180° excedunt, haud difficile confirmare poterit. Quodsi quidem idea
trianguli sphaerici in maxima generalitate concipitur, ut nee latera nee anguli
ullis limitibus resti-ingantm- (quod plurima counnoda insignia praestat, attamen
quibusdam dilucidationibus praeliniinaribus indiget), casus existere possunt, ubi
in cunctis aeqnationibus praecedentibus signum mutare oportet; quoniam vero
signa priora manifesto restituuntur, siniulac unus angulorum vel unum laterura
360° augetui" vel diminuitur, signa, qualia ti-adidimus, semper tuto retin ere li-
cebit, sive e latere angulisque adiacentibus reliqua determinanda sint, sive ex
angulo lateribusque adiacentibus; semper enini vel quaesitoruni valores ipsi vel
360° a veris diversi hisque adeo aequivalentes per formulas nostras elicientiu*.
Dilucidationem copiosiorem huius argumenti ad aliani occasionem nobis reserva-
mus: quod vero praecepta, quae tum pro solutione problematis nosti'i tum in
aliis occasionibus formulis istis superstruemus , in omnibus casibus generaliter
valent, tantisper adiumento iiiductionis rigorosae, i. e. completae omnium casuum
enumerationis , haud difficile comprobari poterit.

55.

Designando ut supra longitudinem nodi ascendentis orbitae in ecliptica per
^, inelinationem per ?'; pon-o longitudinem nodi ascendentis plani novi in eclip-

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECT AKTES. 6 1

tica per w, inclinationem per s; distantiani nodi ascendentis orbitae in piano
novo a nodo ascendente plani novi in ecliptica (arcum n^ in Fig. 2.) per ^',
inclinationem orbitae ad planum novmn per ?"'; denique arcum ab ^ ad ^ se-
cundum directionem motus per A: erunt trianguli sphaerici nostri latera ^ — «,
ß', A, angulique oppositi ?", 180° — /, s. Hinc erit secundum foi-mulas art. praec.

sin 4- ^■' sin -^ (ß'4- A) = sin J- (ß — n) sin ^ {i -\- s)
sini?"cos4-(ft'+ A) = cosJ^(ß — /^)sin-|^(^■ — s)
cos i «" sin -i- (^' — A) = sin ^ (^ — «) cos \ (i + e)
cos -J-?' cos 4^ (^' — A) = cos-^(ft — n)cosi(i — e)

Duae primae aequationes suppeditabunt i(<Q,-)-A) atque sin4^^"; duae reliquae
i(^' — A) atque cos-J-?"; ex J (ß-j- A) et i(Sl' — ^) demanabunt ^' et A; ex
sin^J-*" aut cos^i' (quorum consensus calculo confirmando inservit) pi'odibit i\
Ambiguitas, uü-um ^(ß'-f-A) et J (ß' — A) inter 0 et 180° vel inter 180° et
360' accipere oporteat, ita tolletur, ut tum sin 4^?" tum coä^i' fiant positivi,
quoniam per rei naturam / infra 180° cadere debet.

56.
Praecepta pi*aecedentia exemplo illustravisse haud inutile erit. Sit ^ =
172° 28' 13 "7, i =z 34° 38' 1 "l ; porro sit planum novum aequatori parallelum,
adeoque n ^= 180°; angulum s, qui erit obliquitas eclipticae, statuimus =
23°27'55"8. Habemus itaque

a—n =— 7°3l'46"3 ii^—''^) =— 3°45'53"l5

t'-\-t = 58 5 56,9 iC^'+s) = 29 2 58,45

?■ — s = 11 10 5,3 tO' — e) = 5 35 2,65

logsin ,1(^ — 7?) .... 8,8173026n logcosi(ft— w) . . . 9,9990618

logsin 4-(z + £) 9,6862484 logsini(^ — e) .... 8,9881405

logcos4(^■+£) 9,9416108 logcosi(?'— e) .... 9,9979342

Hinc fit

logsin^^f sini(^'+A) . . 8,5035510n logcosi«'sin4-(ft' — A). 8,7589134 n

logsinifcosi(^'4-A) . 8,9872023 logcosii'cos-J-(^' — A) . 9,9969960

unde i(ß'-|-A) = 34r49' 19"01 unde i(^'— A) = 356"4l'3l"43

logsinf f 9,0094368 logcosf ^■' 9,9977202

62 LlBER I. SECTIO II.

Obtinemiis itaqiie J^f = 5'5r56"445, z' == 1 r43' 52"89, ^' = 338° 30'50"43,
A = — 14° 5 2' 12 "4 2. Ceterum punctum n in sphaera coelesti manifesto re-
spondet aequinoctio autumnali; quocirca distantia nodi ascendentis oi-bitae in
aequatore ab aequinoctio vernali (eius rectascensi'o) erit 15 8° 30' 5 0 43.

Ad illustrationem art. 5 3. hoc exempluni adhuc ulteinus continuabimus,
formulasque pro coordinatis respectu trium planorum per Solem transeuntium
evolvemus , quorimi unum aequatori pargillelum sit , duorumque reliquorum poli
positivi in ascensione recta 0° et 90° sint siti: distantiae ab bis planis sint
resp. 2, X, y. lam si insuper distantia loci heliocentrici in sphaera coelesti a
punctis ^, ^ resp. denotetur per ?/, ?/, fiet li = u — A = « -|-1"^°52 1 2"42,
et quae in art. 5 3. per /, N — ^, u exprimebantur, hie erunt ?", ISO' — ^', u.
Sic per formulas illic datas prodit

logasin^ 9,9687197 n log&sin^ 9,5638058

logacosJ. 9,5546380 n logöcos^ 9,95955 19 n

unde yl =248°55 22'97 unde ^B =158°5'54"97
loga 9,9987923 log& 9,9920848

Habemus itaque

X = arsin(z/+248°55'22"97) = arsin(zf + 263°47'35"39)
y = brsm{ri-\-lbS 5 54,97) = 6rsin(zt-l-172 58 7,39)
z = ersinn' = crsin(«-|- 14 52 12,42)

ubi log c = logsin/ = 9,308 1870.

Alia solutio problematis hie ti'actati invenitur in von Zach Monatliche Cor-
respondenz, Bd. IX. S. 385, Mai 1804 [Gauss' Werke, Bd. VI. S. 94].

57.
Corporis itaque coelestis distantia a quovis piano per Solem transeuute re-
duci poterit ad formam krsm(v-\-IC)^ designante v anomaliam veram, eritque
k sinus iuclinationis oi'bitae ad hoc planum, K distantia perihelii a nodo ascen-
dente orbitae in eodem piano. Quatenus situs plani orbitae, lineaque apsidum
in eo, nee non situs plani ad quod distantiae referuutur pro constantibus haberi

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTÄNTES. ß3

possuut, etiam Ix et K coiistantes eruiit. Frequentius tarnen illa inethodus in
tali casu in usum vocabitur, ubi tertia salteni suppositio non permittitur, etiamsi
perturbationes negligantur , quae primam atque secundam semper aliquatenus
afticiunt. lUud evenit, quoties distantiae refei'untur ad aequatorem, sive ad pla-
num aequatorem sub angulo recto in i-ectascensione data secans: quum enim sitns
aequatoris propter praecessionem aequinoctioi-um insnperque propter nutationein
(siquidem de vero non de medio situ sernio fuerit) mutabilis sit, in hoc casu etiam
Tx et K mutationibus , lentis utique, obnoxiae erunt. Computus barum muta-
tionum per formulas differentiales absque difficultate eruendas absolvi potest : bic
vero brevitatis caussa sufficiat, variationes differentiales ipsarum ?', ß', A a])po-
suisse, quatenus a variationibus ipsarum ^ — n atque e pendent.

d?" = sine sin ^'d(^—«) — cosß'ds

j _ ' sin i cos A , / ^ •■ 1 sin ft' -,

d X> = ^-Ti— d (X>, — n) + — -^, ds

°° sinj ^°° ■' I langt

, 4 sin £ cos ,0,' 1 / ^ \ I sin ft' j

dA = — ^^7^ d(ß — n)-\--T-^at

sni? ^°" ^ ' sini

Ceterum quoties id tantum agitur, ut plures corporis coelestis loci respectu talium
planorum mutabilium calculentur, qui temporis intervallum mediocre complec-
tuutur (e. g. unum annum), plerumque commodissimum erit, quantitates o, A^
J, 5, c, C pro duabus epocbis intra quas illi cadunt reipsa calculare, ipsarum-
que mutationes pro singulis temporibus propositis ex illis per simplicem inter-
polationem eniere.

58.

Formulae nosti-ae pro distautiis a planis datis involvunt v et r: quoties
has quantitates e tempore prius determinare oportet, partem operationum adhuc
contrabere, atque sie laborem notabiliter allevare licebit. Derivari enim possunt
illae distantiae per formulam persimplicem statim ex anomalia excentrica in el-
lipsi, vel e quantitate auxiliari F aut u in byperbola, ita ut computo ano-
maliae verae radiique vectoris plane non sit opus. JMutetur scilicet expressio
krsm.{v-[-K)

I. pro elHpst, retentis cbaracteribus art. 8., in

ak coscpcosÄTsin^-j- ak äuiK(coiE — e)

64 LIBER I. SECTIO 11.

Determiiiando itaque ?, i, X per aequatioiies

a k sin K = l sin L
ak cos ^ cos K =:^J cos L
— eak sin K ^ —el sin L = \

expressio nostra transit in lsin(E-\-L)-{-\, ubi /, L, X constantes erunt, qua-
tenus k, iT, e pro constantibus habere licet ; sin minus, de illarum mutationibus
computandis eadeni valebunt, quae in art. praec. monuimus.

Exempli caussa transformationem expressionis pro x in art. 56. inventi
apponimus, ubi lougitudinem perihelii = 121°17'34'4, cp = 14°13'3l"97,
loga = 0,4423790 statuimus. Fit igitur distantia perihelii a nodo ascendente
in ecliptica = 308°49'20"7 = m — v] hinc ^= 212°36'56"09. Habemus itaque

logaÄ; 0,4411713 log Z sin i .... 0,1727600 n

logsiniT 9,7315887n logJcosL .... 0,3531154 n

logftfccoscp 0,4276456 unde L = 213°25'5l"30

logcosÄ' 9,9254698n logZ = 0,4316627

logX = 9,5632352

X = +0,3657929

n. In hyperbolica formula krsm(v-\-K) secundum art. 21. transit in
X -f- jitangi^-j- V secansi^, si statuitur ebksmK= X, b k tang '^ cos K = [i,
— bk sin ÜT = V ; manifesto eandem expressionem etiam sub formam *^~^ — „
reducere licet. Si loco ipsius F quantitas auxiliaris u adhibita est, expressio
krsm{v-{-K) per art. 2 1 . transibit in a-j-6zt-(--, ubi a, 6, f determinantur
per formulas

a = X = ebksinK

6 = ^(v-j-pL) = — iebk sin {K—'\))
Y = i(^' — ja) = — ie6Ä;sin(Ä'-|-({;)

HL In parabola, ubi anomalia vera e tempore immediate derivatur, nihil
aliud supererit, nisi ut pro radio vectore valor suus substituatur. Denotando ita-
que distantiam in perihelio per 2, exqressio krsia(v-\-K) fit — - g ^'"""'^ ■'.

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES*

65

59.
Praecepta pro determiiiandis distantiis a planis per Solem ti'anseuntibus
manifesto etiam ad distantias terrae applicare licet : hie vero simplicissimi taiitum
casus oceurrere solent. Sit R distantia terrae a Sole, L longitudo heliocen-
trica terrae (quae 180° a longitudine geocentrica Solis differt), denique X, F, Z
distantiae teiTae a ti'ibus planis in Sole sub angulis rectis se secantibus. lam si

I. Planum ipsarum Z est ipsa ecliptica, longitudinesque polorum pla-
norum reliquorum, a quibus distantiae sunt JT, F, resp. N et N-{-%(i°: erit

.Y r= R cos {L —N), Y=R sin (L—N), Z = 0.

IL Si planum ipsarum Z aequatori parallelum est, atque rectascensio-
nes polorum planoi'um reliquorum, a quibus distantiae sunt A', Y, resp. 0 et 90°,
habebimus, obliquitate eclipticae per e designata

X = RcosL, Y = Rcosz sinL, Z = Rsmts,mL.

Tabularum solarium recentissimarum editores, clarr. de Zach et de Lambre, lati-
tudinis Solls rationem habere coeperunt, quae quantitas a perturbationibus re-
liquorum planetarum atque lunae producta vix unum minutum secuudum attin-
gere potest. Designando latitudinem heliocentricam terrae, quae latitudini Solls
semper aequalis sed signo opposito alFecta erit, per B, habebinuis:

in casu I.

X=RcosBcos(L—N)
Y= Rcos B sin (L—N)
Z = RsinB

in casu II.

X=z R cos B cos L

Y = i? cos 5 cos e sin Z/ — JS sin 5 sine

Z = R cos B sin £ sin L-\- R sin B cos e

Pro cos B hie semper tuto substitui poterit 1 , angulusque B in partibus radii
expressus pro sinÄ

Coordinatae ita inventae ad centrum ten-ae referuntur : si ?, •/], C sunt di-
stantiae puncti cuiuslibet in terrae superficie a tribus planis per centrum terrae
ductis iisque quae per Solem ducta erant parallelis, distantiae illius puncti a pla-
nis per Solem transeuntibus manifesto erunt X-}-8, Y-\-yi^ ^+C, valores coor-
dinatarum 6, yj, C autem pro utroque casu facile determinantur sequenti modo.
Sit p radius globi terrestris (sive sinus parallaxis horizontalis mediae Solls), X
longitudo puncti sphaerae coelestis, ubi recta a terrae centro ad punctum super-
ficiei ductum proiicitur, 6 eiusdem latitudo, a ascensio recta, ö declinatio, eritque

O. TH. M. 9

66

LIBEK I. SECTIO lt.

in casu I.

iu casu II.

S — p cos 6 cos (X — N)

c —
■»

p COS ö COS a

7j — p COS 6 sin (K — N)

r^ =

p cos ö sin a

C = psin6

c =

p sin ö

Punctum illud sphaerae coelestis manifesto respondet ipsi zenith loci in superficie
(siquidem terra tamquam sphaera spectatur), quocirca ipsius ascensio recta con-
veniet cum ascensione recta medii coeli sive cum tempore siderali in gradus con-
verso, declinatio autem cum elevatione poli; si operae pretium esset, figurae ter-
restris sphaeroidicae rationem habere, pro 5 elevationem poli corredam^ atque
pro p distantiam veram loci a centi-o terrae accipere oporteret, quae per regulas
notas eruuntm-. Ex a et o longitudo et latitudo X et 6 per regulas notas
infra quoque tradendas deducentur; ceterum patet, X convenire cum longitudine
nonagesimi^ atque 90° — 6 cum eiusdem altitudine.

60.
Designantibus .r, ?/, z distantias corporis coelestis a tribus planis in Sole
sub angulis rectis se secantibus; X, F, Z distantias terrae (sive centri sive puncti
in superficie) ab iisdem planis: patet, ic— Z, y — Y, z—Z fore distantias cor-
poris coelestis a tribus planis illis parallele per terram ductis, hasque distantias
ad distantiam corpoi-is a ten-a ipsiusque lomm geocentricwm *) , i. e. situm proiec-
tionis rectae a terra ad ipsum ductae in spbaera coelesti, relationem eandem ha-
bituras, quam a;, ?/, z habent ad distantiam a Sole locumque heliocentricum.
Sit A distantia corporis coelestis a terra; concipiatur in sphaera coelesti perpen-
diculum a loco geocentrico ad circulum maximum, qui respondet piano distan-
tiarum 2, demissum, sitque a distantia intersectionis a polo positivo circuli
maximi, qui respondet piano ipsarum ic, denique sit h longitudo ipsius perpen-
diculi sive distantia loci geocentrici a circulo maximo distantiis z respondente.
Tunc erit h latitudo aut declinatio geocentrica, prout planum distantiarum z
est ecliptica aut aequator ; contra a -{-N longitudo seu ascensio recta geocentrica,
si N designat in casu priori longitudinem in posteriori ascensionem rectam poli
plani distantiarum x. Quamobrem erit

*) In sensu latiori: proprie enim haec expressio ad eum casum refertur, ubi recta e terrae ceniro
ducitur.

EELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 6 7

X X = A COS h COS «

ij — Y =■ \ cos h sin a
z — Z = ^ sin h

Duae priores aeqiiationes dabunt a atque Acosfe; quantitas posterior (quam
positivam fieri oportet) cum aequatione tertia combinata dabit h atque A.

61.
Tradidimus in praecedentibus methodum facillimam, corporis coelestis lo-
cum geocentricum respectu eclipticae seu aequatoris, a parallaxi liberum sive ea
aflfectum, ac perinde a nutatione liberum seu ea affectum determiuandi. Quod
enim attinet ad uutationem, omnis differentia in eo versabitur, utrum aequatoris
Positionen! mediam adoptemus an veram, adeoque, in casu priori longitudines ab
aequinoctio medio, in posteriori a vero numeremus, sicuti in casu illo eclipticae
obliquitas media, in hoc vera adhibenda est. Ceterum sponte elucet, quo plures
abbreviationes in calculo coordinatarum inti'oducantur, eo plures operationes prae-
liminares esse instituendas : quamobrem praestantia methodi supra explicatae, co-
ordinatas immediate ex anomalia excentrica deducendi, tunc potissimum se mani-
festabit, ubi multos locos geocentricos determinare oportet: contra quoties unus
tan tum locus computandus esset, aut perpauci, neutiquam operae pretium foret,
laborem tot quantitates auxiliares calculandi suscipere. Quin potius in tali casu
methodum vulgarem haud deserere praestabit, secundum quam ex anomalia ex-
centrica deducitur vera atque radius vector; hinc locus heliocentricus respectu
eclipticae ; hinc longitudo et latitudo geocentrica, atque hinc tandem rectascensio
et declinatio. Ne quid igitur hie deesse videatiu', duas ultimas operationes adhuc
breviter explicabimus.

62.
Sit corporis coelestis longitudo heliocentrica X, latitudo 6 ; longitudo geo-
centrica ^, latitudo Z», distantia a Sole r, a terra A ; denique terrae longitudo
heliocentrica i, latitudo B, distantia a Sole B. Quum non statuamus B = 0,
fomiulae nostrae ad cum quoque casum applicari poterunt, ubi loci heliocentrici
et geocentricus non ad eclipticam sed ad quodvis aliud planum referuntm', modo
denominationes longitudinis et latitudinis supprimere oportebit: pi'aeterea paral-
laxeos ratio statim haberi potest, si modo locus heliocentricus terrae non ad centrum

9*

68 LIBER I. SECTIO H.

sed ad locum in superficie immediate refertui*. Statuamiis porro r cos 6 = r', A cos b
= A', B cosB = R . lam referendo locum coi-poris coelestis atque terrae in spatio
ad tria plana, quonim unum sit ecliptica, secundumque et tertium polos suos ha-
beant in longitudine N et jV-j-QO", protinus emergent aequationes sequentes:

r cos (X — iV) — R' cos (L —N) = A' cos {l —N)
r'sin (k —N) — R'sin (L —N) = A'sin (J—N)
rtang6 — RtangB = A'tangZ»

ubi angulus N omnino arbiti-arius est. Aequatio prima et secunda statim deter-
minabmit l — N atque A', uude et ex tertia demanabit h- ex b et A' habe-
bis A. lam ut labor calculi quam commodissimus evadat, angulum arbitrarium
N tribus modis sequentibus determinamus :

I. " Statuendo N=L, faciemus p,sin(X — L) = P, •5^cos(X — L) — l = Q
invenienturque l — L, ^, atque b per formulas

tang(?— Z)

—

P

Q

A'

—

P

—

Q

JJ'

sin

f

{l-

-L)

cos

{l-

-L)

tang6

r

tang6 —
A'

lang

B

w

Pf . R'

II. Statuendo N='k, faciemus -rsin(X — L) = P, 1 r cos(k — L) = Q,

eritque

tang(?— X) = J

- = ^ __ Q

r' sin (Z — X) cos (l — X)

ry

tang 6 ,- tang B

tangft = ~

m. Statuendo N = i- {'K-\- L), invenientui- l atque A per aequationes

tang(Z-i(X+L)) = g;|;tangi(X-i.)

. ' {r'+ Rjsinj (K—L) (r'— R) cos ^(k—L)

sin(i — i(X+Z)) cos(Z — i(X+i))

ac dein b per aequationem supra datam. Logarithmus fractionis ,_„, com-

RELATIONES AD LOCÜM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 69

mode calculatur, si statnitur ^ =: tangC, unde fit "t^™ = tang(45°-|-C). Hoc
modo methodus III. ad deterininationem ipsius l aliquanto brevior est, quam
I. et IL, ad operationes reliquas autem has illi praeferendas censemus.

63.
Exempli caussa calculum in art. 5 1 . usque ad locum heliocentricum pro-
ductum ulterius continuamus. Respoiideat illi loco longitudo helioceiitrica terrae
24°19'49"05 =1/, atque logÄ = 9,9980979; latitudiuem B statuimus = 0.
Habemus itaque X — L = — 17°24'20"07, legi?' = logR, adeoque secuiidum
methodum IL,

log^' 9,6729813 \og(l — Q) .... 9,6526258

logsin(X — L) 9,4758653 n 1 — Q = 0,4493925

logcos(X — L) 9,9796445 Q = 0,5506075

logP 9, 148846611

\ogQ 9,7408421

Hinc l — \ =— 14°2r6"75 uude / = 352°34' 22"23

log ^ 9,7546117 unde logA'. . . . 0,0797283

Iogtang6 8,8020996 n logcosJ , 9,9973144

logtangj 9,0474879 n logA 0,0824139

b = — 6°2l'55"07

Secundum methodum IIL ex logtangC = 9,6729813 habetur C = 25°13'6"3],
adeoque

logtang(45°+C) . . . . 0,4441091

logtangi(X— L) .... 9,1848938 n

logta.ng{l—i'k--iL). . 9,6290029 n

l—il—iL = — 2d° 3'16"79 j , , , , „

, '.^ unde / = 352 34 22 225

iX+lL = 15 37 39,015 \

64.

Circa problema art. 62. sequentes adhuc observationes adiicimus.

I. Statuendo in aequatione secunda illic tradita iV^ = X, N ^ L, N =1,
prodit ii''sin(X — L) = A'shi(/ — X); r'sin(X — L) = A'sin(Z — L); r'sm(l — X) =
i?'sin(? — L) ; aequatio prima aut secunda commode ad calculi contirmationem ap-

70 LIBER 1. SECTIO II.

plicatur, si methodus I. aut IL art. 62. adhibita est. Ita habetur in exemplo
nostro

logsin(X— Z) 9,4758653n ^— L = — 3r45' 26"82

log^' 9,7546117

9,7 2 125 36 n
\ogsm{l—L) 9,721253611

II. Sol duoque in piano eclipticae puncta, quae sunt proiectiones loci cor-
poris coelestis atque. loci teiTae, triangulum planum formant, cuius latera sunt
A', R, r\ angulique oppositi vel \ — L, l — X, 180° — l-\-L, vel L — X, X — l,
130° — Z/-(-?; ex hoc principio relationes in I. ti-aditae sponte sequuntur.

III. Sol, locus verus coi-poris coelestis in spatio, locusque verus terrae
aliud triangulum formabunt, cuius latera erunt A, E, r : angulis itaque his resp.
oppositisper S, T, IS0°-S-T denotatis, erit !i|^ == ^i^ = ^1^1^ . Pia-
num huius trianguli ui sphaera coelesti circulum maximum proiiciet, in quo locus
heliocentricus terrae, locus heliocenti-icus corporis coelestis eiusdemque locus geo-
centricus siti erunt, et quidem ita ut distautia secundi a primo, tertii a secundo,
tertii a primo, secundum eandem directionem numeratae, resp. sint /S, T, S-\-J.

IV. Vel ex nbtis variationibus differentialibus pai-tium trianguli plani, vel
aeque facile e fomiulis art. 62. sequentes aequationes differentiales derivantur:

, 7 r'cosfX — l) j -1 1 sin(X — l) j '

dl = ^, — MX-| ^^dr

dA' = — r'sin(X — r)dX-|-cos(X — l)dr'

17 r'cos 6 sin & sin (X — T) , ■. , r'cosb' j ^ , cos6* /. 0 /i yx. 7,\ j '

dh = ^ ^dX+^,^g,do+ ^r-(tango — cos(X— /)tang6)d?•
ubi partes quae continent d/, dA' per 206 265 sunt multiplicandae, vel reliquae
per 20 6 265 dividendae, si mutationes angulorum in minutis seeundis exprimuntur.

V. Problema inversum, scilicet determinatio loci heliocentrici e geocen-
trico problemati supra evoluto prorsus analogum est, quamobrem superfluum foret,
illi amplius inhaerere. Omnes enim fonnulae art. 6 2. etiam pro illo problemate
valent, si modo omnibus quautitatibus quae ad locum coi-poris coelestis heliocen-
tricum spectant cum analogis iis quae ad geocentricum referuntur permutatis, pro
L, B resp. substituitur X -f- 1 8 0 °, — B^ sive quod idem est pro loco heliocentrico
terrae geocentricus solis accipitur.

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES.

71

65.

Etiamsi in eo casu, ubi ex eleraentis datis paucissimi tantum loci geocen-
trici sunt detenninandi, omnia artificia supra tradita, per quae ab anomalia ex-
centrica statim ad longitudinem et latitudinem geocentricam , vel adeo ad rect-
ascensionem et declinationem, transire licet, in usum vocare vix operae pretium sit,
quoniani compendia inde demanantia a multitudine quantitatum auxiliarium antea
computandarum absorberentur : semper tanien contractio reductionis ad eclipticam
cum calculo longitudinis et latitudinis geocentricae lucrum haud spernendum prae-
stabit. Si enim pro piano coordinatarum z assuinitur ipsa ecliptica, poli autem
planorum coordinatarum cc, y collocantur in longitudine ^, 90°-|-^, coordina-
tae facillime absque ulla quantitatum auxiliarium necessitate determinantur. Ha-
betur scilicet

X

y

z

rcosi«

r cos i sin u

r sin ^ sin u

X = R'coä{L—^)

Y = R'sm(L—a)
Z =B'tSingB

x—X= ^'cos{l—^)

y—Y=^'sm{I—a)
z — Z = A'tano-b

Quoties 5 = 0, est jR = i?, Z=0. Secundum bas formulas exemplum nostrum
numeris sequentibus absolvitur: L — Q = 2 13° 120 "3 2

logr 0,3259877

logcosM 9,9824 14 In

log sin« 9,445 4714 n

logi?' 9,9980979

logcos(Z/ — Sl) • . 9,9226027 n
logsiu(iy — ^) . . 9,7384353 n

loga; 0,3084018n logX 9,9207006n

logrsinw 9,77 1459 In

logcosi 9,9885266

logsin^ 9,3557570

log^ 9,7599857n log F 9,7365332n

logz 9,127216 In Z

= 0

Hinc fit

log(a;— X) 0,0795906 n

\og{y — Y) 8,4807165 n

unde {l—Q>) = 18r26'33"49

logA' 0,0797283

logtangZ> 9,0474878 n

l
b

= 352°34 22 22
= — 6 21 55,06

72 LIBER I. SECTIO n.

66.
E longitudine et latitudine puncti cuiusvis in sphaera coelesti eius rect-
ascensio et declinatio derivantur per solutionem trianguli sphaerici , quod ab illo
puncto polisque arcticis eclipticae et aequatoris formatur. Sit £ obliquitas eclipti-
cae, l longitudo, h latitiido, a ascensio recta, ö declinatio, eruntque trianguli
latera e, 90° — b, 90° — o; pro angulis lateri secundo et tertio oppositis accipere
licebit 90°-|-a, 90° — / (siquidem trianguli sphaerici ideam maxima generalitate
concipimus); angulum tertium lateri e oppositum statuemus =90° — E. Ha-
bebimus itaque per formulas art. 5 4.

sin(45°— io)sini(^+a) = sin (45°+ J 0sin(45''— i(e + J))
sin(45°— i8)cosi(^+a) = cos (45°+iZ)cos(45°— i(e — &))
cos(45''— i8)sinj^(^ — d) = cos(45°+iZ)sin (45°— i(£ — ft))
cos(45°— io)cosi(^— a) = sin (45°+-|-?)cos(45°— i(£ + 6))

Aequationes duae primae dabunt ^^-f-a) atque sin (4 5° — ^S); duae ultimae
-^(E — a) atque cos(45° — 4-Ö); ex ^{E-{-a) et -^-(E — a) habebitur a simulque E',
ex sin(45'' — 48) fiut cos(45° — ^S), quoruin consensus calculo confirmando in-
serviet, determinabitur 45° — ^h atque Line S. Determinatio angulorum ^(E-\-a),
\{E — a) per tangentes suos ambiguitati non est obnoxia, quoniam tum sinus tum
Cosinus anguli 45° — 45 positivus evadere debet.

Mutationes differentiales quantitatum a, 0 e mutationibus ipsarum ?, h se-
eundum principia nota ita inveniuntur:

da = 5 — df rdo

cos 5 cos 6

dö = cos^cosid^-f"sin^d6

67.

Methodus alia, problema art. praec. solvendi, ex aequationibus

cos £ sin ? = sin £ taug h -)- cos l tang a
sin 3 = cos £ sin h -\- sin £ cos h sin l

cos 6 cos Z = cos a cos ö

petitur. Determinetur angulus auxiliaris 6 per aequationem

EELÄTIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 73

. £, tauet •,

taiigö = . , , entque

o cnsH

tang 0 = sin <x tang (s -(- 6)

quibus aequationibus ad ealcnli confinnationeni adiici potest

•v cosifcosZ • > cos (e + 9) cos 6 sin?
coso == sive eoso = — ^ f--.

coso cosHsma

Ambiguitas in determinatione ipsius a per aeqii. secundam eo tollitur, qiiod cosa

et cosl eadeni signa habere debent.

Haec methodus miniis expedita est, si praeter a et o etiam E desideratur:

fornuibi commodissima ad hunc ano-ulum determinandum tuuc erit cos^=i ""^''"^°
. , " eoso

__ suieuis ^ Sed per haue formnlam E accurate computari nequit, quoties +cos£'
parum ab unitate diifert; praeterea ambiguitas remanet, utriim hinter 0 et 180° an
inter 180° et 3 60° accipere oporteat- Inconnnodum priiis raro ullius momenti est,
praesertim , quuni ad computandas rationes difi'erentiales ultima praecisio in valore
ipsius -E non requiratur: ambiguitas vero illa adiumento aequationis cos Z* cos o siu^
= cos£ — sinisiuo facile tollitur, quae ostendit E inter 0 et 180°, vel inter 180°
et 36ü° accipi debere, prout coss maior fuerit vel minor quam sin 6 sin ö: mani-
feste hoc examen ne necessarium quidem est, quoties alteruter angulorum 5, 3
limitem 60°32' non egreditur: tunc enim sin^ semper fiet positivus. Ceterum
eadem aequatio in casu supra addigitato ad determinationem exactiorem ipsius E,
si operae pretium videtur, adhiberi poterit.

68.
Solutio problematis inversi , puta determinatio longitudinis et latitudinis ex
ascensione recta et declinatione, eidem triangulo sphaerico superstruitur : formulae
itaque supra traditae huic fini accommodabuntur per solam permutationem ipsius b
cum ö, ipsiusque l cum — a. Etiam has formulas, propter usum frequentem, hie
apposuisse haud pigebit:

Secundam methodum art. 66. habemus

sin(45°— J-&)sinJ-(^— /) = cos(45°-f ■i-a)sin(45°— J-(c + o))
sin(45°— i &)cosi(^— /) = sin(45°+ia)cos(45°— J-(e— 8))
cos(45° — ib)smi(E-fl) = sin(45°+ J-a)sin (45° — i(z — ö))
cos{Ab°—ib)GOäi(E-{-l) = cos(45°+ia)cos(45°— f (e + ö))

G. TH. M. 10

74 LIBER I. SECTIO II.

Contra ad mstar methodi alterius art. 6 7. determiiiabimus auguluni auxilia-
rem C per aequatioiiem

taug C = —■ — , eritque

o cosC

tang?:; = sin /taug (C — c)

Ad calculi confirmationem adiungi poterit

7 COS 5 COS a cos(C — e) cos 8 sin a

cos» = j — = ^ ir-^,

cosZ cos; SllU

Pro determinatioiie ipsius E inservieut perinde ut in art. pi'aec. aequatioiies

771 sine cosci sine cos i

COsA = r— = r—

cos ü cos 0

cos b COS 0 sin E = cos 2 — sin b sin o
Variationes dilFerentiales ipsaruni /, b hisce formulis exhibebuutur :

j 7 sin ^ cos 8 1 , cos -B j >

dl = 5 — daH rdo

coso ' coso

db = — cos^cosoda-|-sin£dö

69.
Exempli caussa ex ascension e recta 355°43'45"30 = a, declinatione — 8 ° 4 7 ' 2 5 "
= 0, obliqiiitate eclipticae 23°27'59"26 = s longitudinem et latitudinem com-
putabimus. Est igitui- 45°+ J a= 220°5 l'52"65, 45°— J-(£ +o) = 37°39'42"87,
45° — Us — o) = 28°52'l7"87; binc porro

logcos(45°+ia). . . . 9,8650820 n logsin(45°+ i a) .... 9,8326803 n

logsin(45°— f(£+ö)). . 9,7860418 logsin(45°— J-(£— o)). . 9,6838112

logcos(45°— |(£+o)). . 9,8985222 logcos(45°— i(£— o)) . . 9,9423572

logsin(45°— i5)sini(^— /) 9,65 11 238 n

logsiia(45°— J-5)cos-|-(^ — 0 9,7750375 n

linde i{E — l) = 216°56'5"39; logsin(45°— i J) =9,8723171

logcos(45°— iZ>)sini(^+0 9,5164915n

logcos(45°— i&)cosi-(£ + Z) 9,7636042 n

unde i-{E-{-l) = 209°30'49"94; logcos(45°— J fe) =9,8239669

RELATIONES AD LOCCM SIMPLICEM IN SPATIO SPECT AKTES. 75

Fit itaqiie E = 426°26'55"33, / = — 7°25' 15"45, sive quod eodem redit E
=.66°26'55"33, Z = 352°34'44"55; aiigulus 45°— 46 e logarithmo siiins habe-
tur 4 S ° 1 0 5 8 1 2 , e logaritlimo cosinus 48°105S'l7, e tangente, cuius log-arith-
mus illorum differentia est, 48°10'5S"l4; hiiic b^ — 6'2l'56"28.
Secundum metliodum alterani calculus ita se habet:

logtangG 9,1893062n C. log cos C 0,3626190

logsina 8,8719792n logcos(C — e) 9,8789703

logtangC 0,3173270 logtanga 8,8731869n

C =: 64°17'6"83 fogtang/ 9,1147762u

C — £ = 40 49 7,57 / = 352°34'44"50

logsiiiZ 9,111123211

logtaiig(C — s). . . . 9,9363 874

logtaiigö 9,047510611

h := — 6°2r56"26

Ad determinandum augulum E habemus calculum duplicem:

logsins 9,6001144 logsiiis 9,6001144

logcosa 9,9987924 logcos? 9,9963470

C.logcosö 0,0026859 C.logcoso 0,0051313

logcosa ....... 9,6015927 logcosa. ...... 9,6015927

imde E = 66°26'55"35

70.

Ne quid eorum, quae ad calculum locorum geocentricorum requiruntur,
hie desideretur , quaedam adhuc de parallaxi atque aherratione adiicienda sunt.
Methoduiu quidem supra iani descripsimus, secundam quam locus parallaxi affec-
tus, i. e. cuilibet in superficie teiTae puncto respondens, immediate maximaque
facilitate detemiiaari potest : sed quuin in metliodo vulgari in art. 62. et sequ. tra-
dita locus geocenti'icus ad ten-ae centrum referri soleat, in quo casu a parallaxi
über dicitur, methodum peculiarem pro determinanda parallaxi, quae est iuter
utrumque locum differentia, adiicere oportebit.

Sint corporis coelestis longitudo et latitudo geocenti-ica respectu centi-i ter-
rae X, 6 ; eaedem respectu puncti cuiusvis in superficie ten-ae ?, b ; distantia coi^

10*

76 LIBEE I. SECTIO II.

poris a terrae centi-o /•, a puncto superficiei A ; denique respondeat in sphaera
coelesti ipsi zenith huius piincti longitudo i, latitudo B, designeturque radius
teiTae per R. Sponte iam patet, omnes aequationes ai"t. 62. etiam liic locnm esse
habituras; sed notabiliter conti-ahi poterunt, qmim i? hie exprimat quantitatem
prae r et A tantum non evanescentein. Cetervini eaedem aequationes manifesto
etiamnum valebunt, si X, /, L pro longitudinibus ascensiones rectas, atque 6, ?*,
B pro latitudinibus declinationes expriniunt. In hoc casu / — X, h — 6 erunt pa-
rallaxes ascensionis rectae et declinationis , in iRo vero parallaxes longitudinis et
latitudinis. Quodsi iam 7? ut quantitas prinii ordinis tractatur, eiusdem ordinis
erunt / — X, h — 6, A — r, neglectisque oi-dinibus superioribus e formulis art. 62.
facile derivabitur :

T 1 •) iJcos£sin(X — L)

rcos6

h — fj = (tango cos (k — L) — tang B)

III. A — /• == — i? cos i? sin 6 (cotang 0 cos (^A — L)-\-t?a\gB)

tangS
cos (X — i) '

Accipiendo angulum auxiliareni 0 ita ut fiat tang-0 ^= — a_T\-i aequationes II.

III. formam sequentem nanciscuntur:

IL 5—6 =

i?cos£cos(X — l,)sin(g— 9) i; sin .B sin (g — 9)

rcosö rsinO

-r-rj » , iJcos-Bcos(>. — i) COS (6 ^ 9) J?sinBcos(6 — 9)

cos 9 siu9

Ceterum patet, ut in I. et IL / — X et h — ■ § in minutis secundis obtineantur, pro
R accipi debere parallaxem mediani solarem in minutis secundis expressam; in
III. vero pro R eadem parallaxis per 20 6265 divisa accipienda est. Tandem
nullo praecisionis detrimento in valoribus parallaxium pro r, X, 8, adhibere lice-
bit A, /, &, quoties in problemate inverso e loco parallaxi afl'ecto locum ab eadem
liberum determinare oportet.

Exemplum. Sit ascensio recta Solls pro centro teiTae 220°46'44"65 :=: X,
declinatio — 15''49 4 3"94 =6, distantia 0,99043 1 1 = ?•; porro tempus sidereum
in aliquo loco in terrae superficie gradibus expressa 78°20 38" = L, loci elevatio
poli Ab°27 b7= B, pai'allaxis media solaris 8 "6 = i?. Quaeritur locus Solis
ex hoc loco visus, distantiaque ab eodem.

EELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 7T

logi? 0,93450 logB 0,93450

logcosi? 9,84593 logsini? 9,85299

C.log-r 0,004 IS C.logr 0,0(14 18

C.logcos6 0,0 1079 C.logsiiiO 0,10317

logsm(X — L) 9,78508 logsin(§ — 6) 9,77152n

\og(J — l) 0,58648 log(h — 6) 0,66636 ii

J — \ = -f- 3"86 h—fj = — 4"64

J =1 220°46'48"5 1 h = — 15°49'4S"58

logtangj5 0,00706 log(/>— 6) 0,66636 n

logcosl^X — L) . . •■, . 9,89909n logcot(o — 0) 0,13522

logtangb 0,10797 u log?- 9,99582

0 = 127^57' O" logl" 4,68557

t—b = — 143'46'44" log(r — A) 5,48297n

r — A := — 0,0000304

A = 0,9904615

71.
AbeiTatio fixarum, nee iion pars ea abei'rationis planetai-um et cometarum
quae soli motui terrae debetur, oritur inde, quod cum terra integra tubus movetur,
dum radius luminis ipsius axem opticum percurrit. Corporis coelestis locus ob-
servatus (qui et apparens seu aberratione aflfectus dicitur) determinatur per situm
axis optici telescopii ita collocati, ut i-adius luminis ab illo egressus in via sua
utramque huius axis extremitatem attingat: hie autem situs diversus est a situ vero
radii luminis in spatio. Distinguamus duo temporis momenta f, t\ ubi radius lu-
minis extremitatem anteriorem (centrumvitriobiectivi), ubique posteriorem (foeum
vitri obieetivi) attingit; sint harum extremitatum loci in spatio pro momento priori
ö, h] pro posteriori a\ h'. Tunc patet, rectani ah' esse situm verum radii in
spatio, loco apparenti autem respondere rectam ab vel dV (quas pro parallelis
habere licet): nullo porronegotio perspicitur, locum apparentem a longitudinetubi
non pendere. Differentia inter situm rectarum ha , b a est abeiTatio qualis pro
stellis fixis locum habet : modum eam calculandi hie tamquam notum silentio transi-
mus. Pro stellis errantibus autem ista differentia nondum est aberratio completa:
planeta scilicet, dum radius ex ipso egressus ad terram descendit, locum suum ipse

78 LIBEB I. SECTIO II.

mutat, quapropter situs hums radii non respoiidet locn geocentrico vero tempore
observatiouis. Suppouanius, radiuni luniiiiis qui tempore t in tubum impingit
tempore T e planeta egressum esse ; desigueturque locus planetae in spatio tempore
T per P, tempore t autem per jj; denique sit A locus extremitatis antecedentis
axis tubi pro tempore T. Tunc patet

1° rectam AP exhibere locum verum planetae tempore T.

2° rectam ajJ autem locum verum tempore t.

3° rectam ba vel h'd locum apparentem tempore t vel t' (quorum

differentia ceu quantitas infinite parva spectari potest).
4° rectam 5« eundem locum apparentem ab abeiTatione fixarum pm"gatum.

lam puncta P, o, // in liuea recta iacent, eruntque partes Pa, ab' propor-
tionales temporum intervallis t — T, i — ■ f, siquidem motus luminis celeritate uni-
formi peragitur. Tempoi*is intervallum t — T propter immensam luminis veloci-
tatem semper est perparvum , intra quod motum terrae tanquam rectilineum ac
celeritate unifonui peractum supponere licet: sie etiam A, o, a in directum iace-
bunt, partesque Aa, aa quoque intervallis t — Z", i' — t proportionales erunt.
Hinc facile concluditur, rectas AP ^ b'a esse paralles, adeoque locum primum
cum tertio ideuticum.

Tempus t — T erit productum distantiae Pa in 49 3'', intra quod Imiien
percurrit distantiam mediam teiTae a Sole, quam pro unitate accepimus. In koc
calculo pro distantia Pa etiam PA vel pa accipere licebit, quum diöerentia
nullius momenti esse possit.

Ex bis principiis ti-es demanant metbodi, planetae vel cometae locum appa-
rentem pro quovis tempore t determinandi , e quibus modo baue modo illara
praeferre conveniet.

L Subtrabatur a tempore proposito tempus intra quod lumen a planeta ad
teiTam descendit: sie prodibit tempus reductum T, pro quo locus verus moi-e so-
lito computatus cum apparente pro t identicus erit. Ad computum reductionis
temporis t — T distantiam a terra novisse oportet ; plerumque ad bunc finem sub-
sidia commoda non deerunt e. g. per epbemeridem vel levi tantum calamo calcn-
latam, alioquin distantiam veram jn-o tempore t more solito sed neglecta praeci-
sione nimia per calculum praelimiuarem determinare sufficiet.

IL Computetur pro tempore proposito / locus verus atque distantia, ex hac

KELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 79'

reductio temporis t — T", atque hluc adiunieiito niotus diurni (in long'itudine et la-
titudiue vel in ascensione recta et decliiiatione) reductio loci veri ad teinpus T.

III. Compiitetiir locus helioceutricus terrae quidem pro tempore /: locus he-
lioceutricus plaiietae autem pro tempore T: dein ex liorum combinatione more so-
lito locus geocentricus planetae, qui aberratione fixarum (per metbodum notam
eruenda sive e taliulis depromenda) auctus locum appareutem quaesitum suppe-
dital)it.

Metbodus secuuda, quae vulgo in usum vocari solet, eo quidem prae reliquis
se commendat, quod ad distantiam determinandam numquam opvis est calculo du-
plici, attaraen eo laborat incommodo, quod adbiberi nequit, nisi plures loci vicini
vel calculentur vel ex observatiouibus iam innotuerint; alioquiii enim motum di-
urnum ])ro dato babere uon liceret.

Incommodum, quo metbodus prima et tertia premuntur, plane toUitur quo-
ties plures loci sibi vicini calculandi sunt. Quam primum enim pro quibusdam
distantiae iam innotuerunt, perconimode et praecisione sufficiente distantias pro-
xime sequentes per subsidia trita concludere licebit. Geterum si distantia est nota,
metbodus prima teitiae ideo plerumque praeferenda erit, quod aberratione fixarum
opus nou babet; sin vero ad calculum duplicem refugiendum est, tertia eo se com-
mendat, quod in calculo altero locus terrae saltem retinendus est.

Sponte iam se offerunt, quae ad problema inversum requiruntur, puta si e
loco apparente verus derivandus est. Scilicet secundum metbodum I. retinebis
locum ipsum immiitatum, sed tempus ?, cui locus propositus ut apparens respon-
det, convertes in reductum T, cui idem tamquam verus respondebit. Secundum
metbodum IL retinebis tempus t , sed loco proposito adiicies motum intra tempus
t — T, quasi istum ad tempus t-\-{t — T) reducere velles. Secundum metbodum
IIL locum propositum ab aberratione fixai'um liberatum tamquam locum verum
pro tempore T considerabis, sed terrae locus verus tempori t respondens retinen-
dus est ac si ad istud pertineret. Utilitas nietbodi tertiae in Libro secundo clariuä
elucebit.

Ceterum, ne quid desit, adlmc observamus, locum Solls ab aberratione per*
inde affici ac locum planetae: sed quoniam tum distantia a terra tum raotus di-
urnus propemodum sunt constantes, aberratio ipsa semper valorem tantum nou
constantem obtinet motui medio solis in 493" aequalem, adeoque =: 20 25, quae
quantitas a longitudine vera subtrabenda est ut aj^parens prodeat. Valor aberratio-

80 LIBEK I. SECTIO II.

nis exactus est in ratione composita distautiae et motus diurui, sive quod eodem
redit in ratione inversa distantiae, unde ille valor medius in apogeo ü"34 dimi-
niiendus in perigeo tantundem augeiidus esset. Ceterum tabulae nostrae solares
abeiTationem constautem — 20" 25 iani includunt; quapropter ad obtinendum
longitudinem veram tabulari 20"25 addere oportebit.

72.

Finem huic Sectioni imponent quaedani probleniata, quae in deterniinatione
orbitaruni planetarum et cometarum usuin frequentem praestant. Ac primo quidem
ad parallaxem reveniemus, a qua locum observatum liberare in art. 70. docuimus.
Talis reductio ad centrum teiTae, quiim planetae distantiam a terra proxime saltem
notam supponat, institui nequit, quoties planetae observati orbita oninino adluic
incognita est. Attamen in hoc quoque casu finem saltem eundem assequi licet,
cuius caussa reductio ad centrum terrae suscipitur, ideo scilicet, quod hoc centro
in piano eclipticae iacente vel iacere supposito plures formulae maiorem simplici-
tatem et concinnitatem nanciscuntur , quam si observatio ad punctum extra pla-
num eclipticae referretur. Hoc itaque respectu nihil interest, uti'um observatio
ad centrum terrae an ad quodvis aliud punctum in piano eclipticae reducatur. lam
patet, si ad hunc finem punctum intersectionis plani eclipticae cum recta a plaueta
ad locum verum observationis ducta eligatur, Observationen! ipsani nulla prorsus
reductione opus habere, quum planeta ex oinnibus punctis illius rectae perinde
videatur *) : quamobrem hoc punctum quasi locum fictum observationis pro vero
substituere licebit. Situm illius puncti sequenti modo determinamus.

Sit corporis coelestis longitudo X, latitudo o, distantia A, omnia respectu
loci veri observationis in terrae superficie, cuius zenith respondeat longitudo /, la-
titudo h ; porro sit tu semidiameter terrae, L longitudo heliocentrica centii teiTae,
B eiusdem latitudo, B eiusdem distantia a Sole ; denique L longitudo heliocen-
trica loci ficti, B ' ipsius distantia a Sole, A -|- o ipsius distantia a corpore coelesti.
Tunc nullo negotio eruentur aequationes sequentes, denotante 'N anguluni arbi-
trarium :

*) Si ultima praecisio desideraretur, intervallum temporis, intra quod lumeu a vero loco observationis
ad fictum seu ab hoc ad illum delabitur, tenipori propcisito vel addere vel inde subducere oporteret, siqui-
dem de locis aberratione affectis agitur: sed haec differcntia vix uUius momenti esse potest, nisi latitudo
jierparva fuerit.

EELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 8 1

B' COS (L'—N) + ö cos 6 cos (X —N) = RcosB cos (L —N) + tu cos J cos {l —N)
R ' sin (L'—N) + 0 cos 6 sin (X —N) = R cos B sin {L —N) -|- tc cos & sin (? — N)
0 sin 6 = R sin i? -j- tt sin h

Statuendo itaque

I. (i? sin B -\-TZ sin ?)) cotang 6 = [i, erit

II. i? 'cos {L' — N) = RcosB cos {L — N) + tu cos ft cos {l — N) — [jl cos (X — N)

III. R 'sin (L'—N) = RcosB sin (L—N) + tc cos ö 'sin (^— ^) — (i. sin (X— ^)

IV. 3 = -^

cos 6

Ex aequationibus II. III. determinaripoterunt R' et Z', ex IV. interval-
lum temporis tempori observationis addendum quod erit minutis secundis ^49 3 3.

Hae aequationes sunt exactae et generales, poteruntque tunc quoque adhi-
beri, ubi pro piano ecliptica aequatore substituto L, L', 1, X designant ascensiones
rectas, B, b^ 6 declinationes. Sed in casu de quo hie potissimuni agimus, scilicet
ubi locus fictus in ecliptica situs esse debet, exiguitas quantitatuni i?, -ir, L' — L
adhuc quandam forniularum praecedentium contractionem permittit. Poterit enim
pro TT assumi parallaxis media solaris, B pro sini?, 1 pro cosi? et cos{L' — L),
L — L pro sin [L' — L). Ita faciendo N = L, formulae praecedentes assumunt
formam sequentem:

I. \K = [RB -{-t: sin h) cotang 6

n. R' = R-\-Tzcosbcos{l — L) — [j.cos(X — L)

TTT 7-' T TT COS 6 sin (J — L) — |xsm(X — L)

R

Proprie quidem hie i?, tc, L — L in partibus radii exprimendi sunt; sed patet,
si illi anguli in minutis secundis exprimantur, aequationes I. III. sine mutatione
retineri posse, pro IL autem substitui debere

t: cos 6 cos (l — L) — p. cos (X — L)

R' = Ä +

206265"

Ceterum in formula III. pro denominatore R' absque errore sensibili semper ad-
hibere licebit i?» Reductio temporis autem, angulis in minutis secundis expres-
sis, fiet

493°.[JL

206265". cos 6
G. TH. M. 11

82 LIBER I. SECTIO II.

73.

Exemx)him. Sit X = 354°44'54", 6 = — 4°59'32", /=24'29', &==46''53',
i z= 12°28'5 4", i?=4-0"49, i? = 0,9988839, - = 8"60. Ecce iam calciüum:

log-i? 9,99951 log:: 0,93450

logB 9,69020 logsinö 9,86330

logBB 9,68971 logiTsinZ» 0,79780

Hinc \og(ßR-\-Tzsmb) . . . 0,83040

logcotang6 1,05873 11

logjj. 1,8891311

logTC 0,93450 logjj. . 1,889 13 n

logcosi 9,83473 logl" . . 4,68557

logl" 4,68557 logcos(X — i.) 9,97886

logcos(/ — L) . .... 9,99040 6,55356n

5,44520 numerus — 0,0003577

numerus +0,0000279

Hinc colligitur i?'=: i? + 0,0003856 =0,9992695. Porro erit

logTicosö 0,76923 log[x l,88913n

logsin(/ — L) 9,31794 logsin(X — L) 9,48371 n

CompLlogÄ' 0,00032 C.logi?' 0,00032

0,08749 1,37316

numerus -j- 1 "22 numerus -j-23"61

Unde colligitur L' =L — 22 39. Denique habetur

log[x 1,889 13 n

C.log206265 4,68557

log493 2,69285

C.logcos6 0,00165

9,26920 n
unde reductio temporis = — o"l86, adeoque nullius momenti.

74.
Problema aliud, e corporis eoelestis loco geocentrico atque situ plani orhitae
eius locum heliocentricum in orhita derivare, eatenus praecedeiiti affine est, quod
quoque ab intersectione rectae inter terram et corpus coeleste ductae cum piano

ßELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 83

positioue dato pendet. Solutio comniodissime petitur e foi'mulis art. 65., ubi cha-
racteruni significatio haec erat:

L loiig-itudo teiTae, R distaiitia a Sole, latitudiiieni B statuinius = 0
(quum casus, ubi non est =0, ad liunc facile reduci possit per art. 7 2), unde
Ji' = B; 1 coi-poris coelestis long-itudo geocentrica, h latitudo, A distantia a teiTa,
r distantia a Sole, a argumentum latitudinis, ^ longitudo nodi assendentis, ^'
inclinatio orbitae. Ita habenius aequationes

I. rcos?« — Bcos(L — ^) = A cos & cos (/ — Q,)
IL r cos ^ sin u — F sin (L — ß) =^ A cos h sin (I — ^)

I II. r sin t sin u = A sin b

Multiplicando aequationem I. per sin (L — ß) sin b , IL per — cos (L — ß) sin b,
111. per — siii(L — ■I)coiih, fit additis productis

cosusin(L — ß) sinb — sin« cos^ cos(Z/ — ^)sinÄ — sinw sin^' sm(L — r)cos& = 0

unde

IV. taimu = siu(£— :ft)5in&

o cos i cos (i — ß) sin b + sin * sin (i — l) cosb

Multiplicando auteni I. per sin(/ — ^), IL per — cos(? — ^), prodit productis
additis

TT i?sin(i — T)

\. r =i

sin tt cos i cos (? — Sl) — cos n sin (l — ß)

Ambiguitas in determinatione ipsius u per aequ. IV., sponte tollitui- per aequ. IIL,
quae ostendit, ii inter 0 et 180' vel inter 180° et 360° accipi debere, prout
latitudo b fuerit positiva vel negativa ; sin vero fuerit b = 0, aequ. V. docet,
statui debere « = 0 vel «=180°, prout sin(X — /) et sin(? — ß) diversasigna
habeant, vel eadem.

Computum numericum formularum IV. et V. variis modis per introductio-
nem angulorum auxiliaiium contrahere licet. E. g.

statuendo '^I^lpp^M =, tang^, fit tang« = 3in_^tang(X-fi)

Sin(Z, — 1) S> 1 & sm (A-\-i)

Statuendo ^IMi^i^ ^ tangi?, fit tang.* = c"s£sin6tang(X-^)
cos(i— 4i) & ' 6 sm(B + b}cosi

Perinde aequ. V. per iutroductionem auguli cuius taiigens = cos^'tangM, vel

11*

84 LIBEE I. SECTIO II.

__ tang { —hl) f-Q^jj^am concinniorem nanciscitui*. Sicuti formulam V. e combina-

cos»
tione aequationum L IL obtiuuimus, per combiiiationem aequatiouum IL III. ad

sequentem pervenimus :

J?sin(i— ft)

sin!t(cosi — sini sin{l — ^) cotangft)

et perinde per combinationem aequationum I. III. ad hanc

. __ B cos iL— SP

coRM — siiiM sint cos(Z — ß)cotang&

Utramque perinde ut V. per inti-oductionem angulorum auxiliarium simpliciorera
reddere licet. Solutiones e praecedentibus demanantes collectae exemploque illu-
sti-atae iuveniuntur in von Zach Monatliche Correspondenz , Bd. V. S. 540 [Gauss
Werke, Bd. VI. S. 87, 180 2 Juni], quapropter bic evolutione ulteriori supersede-
mus. — Si praeter u et /• etiam distantia A desideratur, per aequationem III.
determinari poterit.

75.
Alia solutio problematis praec. supersti'uitur observationi in ax-t. 64. III.
traditae, quod locus heliocentricus terrae, geocentricus corporis coelestis eiusdem-
que locus heliocentricus in uno eodemque circulo maximo sphaerae sunt siti. Sint
in Fig. 3. illi loci resp. T, G, H-, porro ß locus nodi ascendentis; ^T, ^H
partes eclipticae et orbitae, GP pei-pendiculum ad eclipticam ex G demissum,
Quod isritur erit ^=.h. Hinc et ex ai-cu PT=L — l determinabitur angulus T
atque arcus TG. Dein in triangulo spbaerico SlHT data sunt angulus ß =i,
angulus 7" latusque ^T=^L — ß, unde eruentur duo reliqua latera ^II = u
atque TU. Tandem erit HG = TG — TH atque ?■ = ^^]gQ ■, ^ = "iSrke~'

76.
In art. 5 2. variationes diflferentiales longitudinis et latitudinis beliocentricae
distantiaeque curtatae per variationes argumenti latitudinis u, inclinationis i radii-
que vectoris r exprimere docuimus, posteaque (art. 64. IV.) ex illis deduximus
vaiiationes longitudinis et latitudinis geocentricae, l et b: per combinationem ita-
que harum formularum d/ et db per du, di, d^, dr expressae habebuntur.
Sed operae pretium erit ostendere, quomodo in hoc quoque calculo reductione loci
heliocentrici ad eclipticam supersedere liceat, sicuti in art. 65. locum geocentricum

RELATIONES AD LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECT AKTES. 85

immediate e loco heliocenti-ico in orbita deduximus. Ut formulae eo simpliciores
evadant, latitudinem terrae negligemus, quum carte in formulis diflferentialibus
efFectum sensibilem habere nequeat. Praesto sunt itaque formulae sequentes, in
quibus brevitatis caussa w pro l — ^, nee non ut supra A' pro Acos& scribimus.

A' cos (o = ?• cos u — R cos {L — ^) = i

A' sin (o ^ r cos i sin u — R sin [L — ß) = -/;
A'tangö = ?■ sin^sin^< =C

e quarum ditFerentiatione prodit

cos (o . d A — A sin cu . d to ^ d ;

sinw.d A'-j- A'cosw.dw =^ dv;

tang&.dA'+^d& =dC
° ' cos6 '

Hinc per elimiuationem

1 — sinio.dS + cosm.dr)
d(D= ^,

1 7 — cosu>sin6.d5 — sinm sinft.dir) + cos6.d^

Si in bis formulis pro % -/], C valores sui rite substituuntur, du) et dS per
dr, d«, d?', dß expressae prodibunt ; dein, propter d?^d(u-(-dß, differentia-
lia partialia ipsarum /, h ita se habebunt:

I. A' f T- j = — sin ü) cos u -\- cos (u sin u cos «'

IL — K— i:^ sin (o sin ?( + cos w cos m cos i

in. — ( y^= — cos (1) sin u sin ^
IV. [^] = 1+ Jcos(i-ft-«>) =. 1 + 1 cos(i-Z)

V. A p j ^ — cos 10 cos u sin Zv — sin tu sin u cos i sin 6 -|- sin u sin ^' cos &

VI, ~ ( T^ =^ cos w sin M sin h — sin u) cos « cos i sin 5 -j- cos u sin z cos h

VII. "7 ()p ) ^^ sin (« sin zt sin z sin b -\- sin z< cos i cos 6

VIII. 2,(^-^1^ sin b sin (Z — ß — w) = sin 6 sin (Z — ?)

86 LIBER I. SECTIO II.

Fomiulae IV. et VIII. hie iam in forma ad calculum conimodissima appai'ent ; for-
mulae I. III. V. aiiteni per substitutiones obvias ad formani couciuniorem redi-
guntur, puta

III*. Iy^I = — cos (o taug 6
V*. (^j =^ — ^cos(X — I)smh = — ^cos(Z( — /),sinZ>cos&

Denique formiüae reliqviae quoque II. VI. VII. per inti'oductionein quoi'undam
angulorum anxiliarium in forniani simpliciorem abeunt: quod commodissime fit
sequenti modo. Determinentiir anguli aiixiliares M, N per formulas

tano- M = . , tano- N = sin to tang; i = tano- 31 cos w sin t

o cos» ' o o &

Tuiic simul fit

— — — 2 = 4~rz ^2— = COSü)"'

iam quiim ambiguitatem in determinatione ipsormii Äl, N per tangentes suas
remanentem ad lubitum decidere liceat, hoc ita fieri posse patet, ut habeatur
„ = -|- cos tu, ac proin -^—^ = -\- sin i. Quibus ita factis , formulae IT. VT.
^^I. ti'anseunt in sequentes:

TT* ( il\ r sin u> COS ( Jif — m)

■"■•^ " [äJtj — A'sinil/

VI*. (^) = £(cosü) sin^•cos(J/— M)cos(iV^— ?;) + sin(l/'— M)sin(JV— &))

VIT* l ^^\ r sin M cos Jens (iV — b)

\iil A cos N

Hae transformationes respectu formularum II. VII. neminem moi-abuntm-, respectu
formulae VI. autem aliqua explicatio haud superflua erit. Substituendo scilicet
in formula VI. primo M — (J/ — ii) pro u, prodit

- ( ^ j = cos {M — u) (cos (ü sin Jf sin h — sin co cos ^ cos 31 siub -f- sin t cos J/cos b)
— sin (31 — u) (cos tu cos 31 sm h -\- sin w cos i sin 31 smb — sin i sin J/cos V)

Iam fit

cos (o sin 31 = cos P cos w sin 31 --\- sin P cos (o sin 31
= sin u) cos? cos J/-)- sin«' ^ cos tu sin J/

RELATIONES AD LOCÜM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 87

unde pars prior illius expressionis transit in

sin i cos ( J/ — u) (sin i cos u) sin M sin J» -\- cos M cos h)

= sin?' cos (If — m)(cos(ü sin iV sin 5 -j- cosio cosiV^cosÄ)
= cos (o sin ^ cos (M — 1() cos (N — b)

Perinde fit

cos N = cos (ü^ cos ^-}" '^i''^ "^^ cos iV" = cos cu cos M -j- sin lo cos i sin ilf

unde expressionis pars posterior ti-ansit in

— sin(J/ — u) (cosi\^sinZ» — siniVcosJ) = sin(ilf — ?/)sin(i\^ — b)

Hinc expressio VI*, protinus demanat.

Angulus auxiliaris M etiam ad transformationem formulae I. adliiberi
potest, quo introducto assuniit formam

T** /J/\ sin tu sin (i^/ — «)

irl A'sinJ/

e cuius comparatione cum formula I *. concluditur — R sin (L — l) sin M =
r sin (u sin ( Jf — «); hinc etiam formulae II*. forma paullo adhuc simplicior tri-
bui potest, puta

II**. (3 = -Jsin(i:-/)cotang(if-«)

Ut fonnula VI*, adhuc magis conti'ahatur, angulum auxiliarem novum in-
.ti'oducere oportet, quod duplici modo fieri potest, scilicet statuendo

vel tano-P = -^^ — r^^, vel tano- Q = '"'" ^^ : quo facto emergit

o cos (o sm i ' ° ^ cos tu sin i ^ o

-ITT** /(1b\ rsinjM— u) cos (N—b~P) rsin(iV— 6) cos{M—u — Q)

\Auj AsinP Asin^

Ceterum quantitates auxiliares M, N, P, Q neu sunt mere fictitiae, facileque,
quidnam in sphaera coelesti singulis resjjondeat, assignare liceret: quin adeo hoc
modo aequationum praecedentium phu'es adhuc elegantius exhibexi possent per
arcus angulosve in sphaera, quibus tamen eo minus hie immoi'amur, quum in cal-
culo numerico ipso formulas supra traditas superfluas reddere iion valeant.

88

LIBER I. SECTIO II.

77.
lunctis üs, quae in art. praec. evoluta sunt, cum iis quae in artt. 15. 16.
20. 27. 28. pro singulis sectionum conicarum generibus tradidimus, omniapraesto
erunt, quae ad calculum variationum differeiitialium loco geocentrico a variationi-
bus singulorum elementorum inductarum requirmitur. Ad niaiorem illustoationem
horum praeceptorum exemplum supra in artU 13. 14. 51. 63. 65. tractatum re-
sumemus. Ac primo quidem ad normam art. praec. dl et db per dr, du, di,
d^ exprimemus, qui calculus ita se habet:

logtang u)
log cos z .

8,40113 logsinto .
9,98853 logtangt.

8,40099n logtang(iI/ — u) . 9,4 1932 n

9,35562n

9,36723

log cos u) sin ^

0,06370

logtangjf. . . 8,41260 logtangiV . . 7,76822n logtangP . ,

M = r28'52" N =179°39'50" P = 49°ll'l3

M — u =165 17 8 N — b =186 145 N — b — P= 136 50 32

logsin(L — l) . 9,72125

logi? 9,99810

C.logA' .... 9,92027

(*) 9,63962

C.logr 9,67401

H(£)

9,31363

IV.

log- 9,91837

logcos(Z/ — T) . 9,9 295 6
(**) 9,84793

n**. IIP.

(*) 9,63962 logcosw .... 9,99986n

l.cot(lf — u). 0,58068n logtang& . . . . 9,04749n

1«&0 • • • ^'22030 logg) 9,04735n

0,24357

V*. VI**.

n 9,84793 log^

log sin & cos 5. 9,04212n logsin(if — u) . 9,40484
C.logr. . . . 9,67401 \.cos{N—b—P) 9,86301 n

C. log sin P .

Mfr)

8,56406

0,12099

i«gU)

9,63241n

VII*

log r sin M cos ^ .

. . 9,75999n

log cos (N — b) .

. 9,99759n

C.logA ....

. 9,91759

C.logcosiV^ . . .

. 0,00001n

H©

. 9,67518n

VIII.

(*) 9,63962

logsinJcosft .

9,04212n

l°8(S^)

8,68174n

RELATIONES AU LOCUM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 89

Collectis hisce valoribiis prodit

(U = 4- 0,20589 dr-t- J, 66073 du — 0,11 152 di.-\- l,70458d^
,\h = +0,03665 dr — 0,42895 d^/ — 0,47335 di — 0,04805 d^

Vix iiecesse erit quod iaiii saepius monuimus hie repetere, scilicet, vel variatioiies
d/, (I/>, d'', d/, d^ in partibus i-adii exprinieudus esse, vel coSfficientes ipsiiis
dr ]>er 206265" imiltiplicandos, si illae in minutis secundis expressae conci-
piaiitur.

De.sigi laiido iaiii longitudiuem perihelii (quae in exemplo nosti'o est 5 2° 1 8' 9"3 0)
per II atque anomaliam veram per /', erit long-itudo in orbita =u-\- fi = v-\-U^
adeoque d // = d r -j- dll — d ^, quo valore in formulis praecedentibus substituto,
d/ et d/> per d/', dr, dFI, d^, di expressae habebuntur. Nihil itaque iam su-
jjerest, nisi ut dr et dv ad normam artt. 15. 16. per variationes differentiales
elenientonim ellipticomim exhibeantnr *).

Erat in exemplo nostro, art. 14., log-^^ = 9,90355 = log-JT^j

lüg'^' 0,19290 \oga 0,42244

logcostp 9,98652 logtangcp 9,40320

log(J^^) 0,17942 logsini-. 9,84931 n

2 — ecos^ = 1,80085 ^^g{iif] 9,67495 n

ee = 0,06018 \oga 0,42244

1,74067 logcosrp 9,98652

log 0,24072 logcosw 9,84966

log'^: 0,19290 log(J^) 0,25862n

logsin^ 9,76634 n "^

logU^) 0,19996 n

Hinc colligitur

do =^ -]- 1,5 1 154 d J/— 1,58475 dcf.

di- = —0,47310 dJ/— 1,81393 d'f+0, 80085 da '

*) Chaiacterem 31 iu calculo sequente haud amplius angulum uostruiii auxiliarem exprimere , seil
(ut iu Sect. I.) anomaliam mediani, quisque sponte videbit.

G. TH. M. 1 2

ftO LIBKK I. 5.ECT10 II.

quibus valoribus in fonnulis praecedentibns substitutis, prodit

d/ = + 2, 41287dif— 3,00531 d-f + 0, 16488 do+ 1,66073 dU — ü,l 1 I52d?'

-|-0,04385dft
db = — 0,66572dil/+0, 61331 dcf +0,02935 dr/ — 0,42S95dn — 0,47335d?

+ 0,38090dß

Si tempus cui locus camputatus respoiidet n diebus ab epocha distare sup-
ponituv, longitudoque media pro epocha per N, motus diurnus per 7 denotatur
erit M = N-^nl — 11, adeoque d J/:= d^"-[~ '^*^^"~~'*^^n. In exeniplo uostro
tempus loco computato respondeus est Octobris dies 17,41507 aimi iS04 siib
meridiaiio Parisiensi: quodsi itaque pro epocha assuniitur initium auni 1805, est
« = — 74,5849 3; lougitudo media pro epocha ista statuta fuerat =41°5 2'2l'61,
motusque diurnus = 8247988. Substituto iani in formulis modo inventis pro
d M valore suo, mntationes dilferentiales loci geocentrici per solas mutationes ele-
mentoruin expressae ita se liabent:

AI = 2,4 128 7 diV"— 179,96 d7 — »,75214 dO — 3,005 3 1 d -^ + 0,16488 d«

— 0,1 1 152d/-}- 0,04385 dft

dh = — 0,665 7 2 dN^ 4 9,65 d 7 -f- 0,23 67 7 dil -f 0,61331 dcf -)- 0,0 29 35 d«

— 0,47335 d/ + 0,38090 dß

Si corporis coelestis niassa vel negligitur vel saltem tamquam coguita spec-
tatur, 7 et a ab invicem dependentes erunt, adeoque vel d7 vel da e formulis
nostris eliminare licebit. Scilicet quuni per art. 6. liabeatur la- = k[/ (l -\-\i),
erit y = — f — , in qua fonnula, si d7 in jjartibus radü exprimenda est, etiam
7 perinde exprimere oportebit. Ita in exemplo uostro habetur

log7 2,9 1635

logl " 4,68557

logl 0,17609

C.log« 9,57756

log ^' 7,35557n, sive d7 — — 0,0022676do,

atque do := — 440,99d7,
quo valore in formulis nostris substituto, tandem emergit forma ultima:

KELATIONES AD LOCXJM SIMPLICEM IN SPATIO SPECTANTES. 91

dl = 2,4128 7 diV^ — 25 2,67 d7 — 0,75214 d 11 — 3,005 31 d cp — 0,1 I 152 d j

+ 0,04385 dß
i\/> = — 0,66572 d.V+ 36,7 1 d7+ 0,23677 du + 0,61331 d '^ — 0,47335 di

-{-0,38090 dß

In evolutione harum tbrmularuiu onines inutationes d/, dö, diV, d7, dll, dcp,
di, d^ in partibus radii expressas siipposuimus, nianifesto autem propter homo-
geueitatem omniuni partium eaedem fovmulae etiamnum valebunt, si omnes illae
mutationes in minutis secundis exprimiintur.

12^

SECTIO TEETIA

Relationes inter locos pjiires in orbtta.

78.
Comparatio duorum pluinuinve locorum corporis coelestis tum in orbita tum
in spatio tautam propositionuni elegautiuni copiam subministrat, ut volumen inte-
grum facile complerent. Nosti'uni vero propositum iion eo tendit, ut hoc argu-
mentum fertile exhauriamus, sed eo ])0tissimum, ut ampluni apparatum subsidio-
rum ad Solutionen! probleniatis magni de determiuatione orbitarum incognitarum
ex observationibus, inde adstruamits : quamobrem neglectis quae ab instituto nostro
nimis aliena essent, eo diligentius omiiia quae ullo modo illuc conducere possuut
evolvemus. Disquisitionibus ipsis qviasdam propositiones trigonometiicas praemit-
timus, ad quas, quum frequentioris usus sint, saepius recurrere oportet.

I. Denotantibus A^ B, C angulos^quoscunque, habetur

sin A sin [C— B) -\- sin B sin [A — C)^ sni C sin {B — Ä) = 0
cos A sin (C — B) + cos B sin (A — C) + cos C sin (B — A) = 0

II. Si duae quantitates p, P ex aequationibus talibus

psiw^A — P) = a
psm(B — P) = h

detenninandae sunt, hoc fiet generaliter adiumento fonnularum

p sin {B — A) sin {E—P) — h sin (//— Ä) — a sin {H—B)
psm{B — A) cos {E~P) = h cos{H— A) — a cos (B—B)

LIBERI. SECTIO III. liELATIONES INTER LOGOS PI.IJRES IN ORBITA. 93

in quibus // est angulus arbiti-arius. Hiiic deducuiitur (art. 14. II.) angulus
H — P atque pm\{B — A)\ et hiiic P et p. Pleriimque conditio adiecta
esse solet, iit p esse debeat quantitas positiva, unde ambiguitas in determiuatione
anguli H — P per tangenteni suani deciditnr; dettciente autein illa conditione
anibignitatein ad lubituni decidere licebit. Ut calculiis comniodissimus sit, aiigu-
luni arbitrariuni // vel = A vel = B vel = 1 {A -\- B) statuere cunveniet. In
casu priori aequationes ad deterniiiianduni P et p erunt

pm\{A — P) =r a
lu casu secundo aequationes prorsus analogae erunt, in casu tertio autem

psm{iA-{-iB — P} = .,

pCOsUA-^^rB P\ :=.,,„ ^^

■i cos liB—A)
b — a

Quodsi itaque angulus auxiliaris C intvoducitur, cuius tangens=^, invenietur
P per formulam

tang {i-A -\-\B~P) — tang ( 4 5 ° -f C) tang i (B — A)

ac dein p) per aliquani formulaiiuu praecedentiuni, ubi

Uh + a) = sin(45°+C)i/^. = ^m^^'+Q ^ 6sin(45M:C)

^\ ^ ' ^ I '/ V 81112!; SlIlJ/2 C09^/2

^ib — a) = cosf4 5°+Ol/ ."-, = ^^'+Q ^ ftcos(45°+0

' • ' I "V s,„2r sinC/2 COsC/2

m. Si p et /' detenniiiandae sunt ex aequationibus

pco^i^A — P) = a
p(ios{B — P) — h

omnia in IL exposita statim appUcari possent, si modo ilHc pro ^ et J5 ubi-
que scriberetur 90°-|-^, 90°-\-B: sed ut usus eo commodior sit, formulas evo-
lutas ap])onere non piget. Fomiulae generales erunt

psm{B — A)sm{H — P) = —bcos{H—A)-^a(ios(H—B}
p sin (B — A) cos (H —P)= b sin {B—Ä) — a sin {H — B)

S4 LIBEE I. SECTIO 111.

Traiiseuut itaque, pro H=A in

pcos{A — P) = <i
PiX) H = B, fonnani similem obtineiit; pro H = i-(A-\-ß) autem tiunt

(i — b

2sinl(-B— ^)

psmUA-\-iB — P] =
pco8(iA-^\B — P)— " + ''

2C0S-UB— ^)

ita ut iiiti'oducto angiilo auxiliari !1, cuius taugeiis =7, ttat

eotaiig (iA+!,B — P) = cotang- ( C — 45°) tang ^(B — A)

Cetenim si jj immediate ex a et h sine praevk) computo anguli P de-
terminare cupinins, habemus formulam

j^sin(i> — A) ^= \/{aa-\-bb — iah coä{B — A\)

tum in problemate pi-aesente tum in 11.

7^.

Ad completsim determinationem sectiouis conicae in piano suo tria requi-
runtur, situs perihelii, excentricitas et i5emiparameter. Quae si e qnantitatibus
datis ab ipsis pendentibus eruenda smit, tot data adsint oportet, ut tres aequationes
ab invicem independentes formare liceat. Quilibet radius vector niagnitudine et
positione datus unara aequatioiieni supjjeditat: quamobrem ad detenuiiiationem
orbitae tres radii vectores niagnitudine et positione dati requiruntur; si vero duo
tantum habentur, vel unum elenientuni ipsuin iam datuni esse debet, vel saltem
alia quaedam quantitas, cui aequationem tei-tiam superstruere licet. Hinc oritur
varietas problema.tuTn, quae iain deinceps pei*tractabinius.

Sint r, r duo radii vectores, qui cum reota in piano orbitae e Sole ad iu-
bitum ducta faciant secundum directionem motus aiigulos ^V, iV^'; sit poiTO Fl
angulus quem cum eadem recta facit radius vector in perihelio, ita ut radiis vecto-
ribus r, r respondeant anomaliae verae X — H, X — Fl; denique sit e excen-
tricitas, p semiparameter. Tunc habentur aequationes

RELATIONKS INTEF LOCOS PLl'RES IN ORBITA. 95

r

f = i+,cos(.v-ri)

e quibus, si iiisuper una quaiititatum y>, e, 11 data est, duas reliquas^determinare
licebit.

Supponamus primo, datum esse seniipavametruni p^ patetque determinatio-
nem qiiantitatum e et 11 aequationibus

ecos(iy— 11) = ,. — 1

1>

_ P
r

ecos(iV'— 11) =5 — 1

fieri posse ad normam lenimatis 111. in art. praec. Habemus itaque

tang(^— in = Gotmig(N — N)—~,^ ''^~'/l> ^,
o\ o\ I r{p—T)%\x\.{N — N)

tang(i^+J-^"-ll) = e-'^lLi^^^^l^M^jp^

r +r

80.
Si angulus O datus est, p et e determiuabuntur per aeqiiationes

ry'(cos(A"— n) — cos(.y'— tl))

P rcosCiV— n) — »-'eosCiV'— n)

r'~r

^ 1- cnsTiV— n) — r 'cos {N'— 0)

Denomiuatorem connnuuem in bis fonuulis reducere licet sub formam «cos(^ — FI),
ita ut a et yl a 11 sint independeutes. Designante scilicet H augulum arbi-
trariuni , fit

rcos(N — 11 — r cos(i\^ — 11)= \ \ ■> \ // \ j

^ ^ ' \ —(rmi(N~H)~r'sm{N—II})sm(H—n)

adeoque =acos(-4 — 11), si « et ^ determinantur per aequationes

rGos{N — H) — r'cos(JV' — H) = a gos{A — H)
rsm(N—H)—r's{n{N'—H) == a sin (A — H)

96 LIBEU I. SECTIO III.

Hoc modo fit

2 r r 'sin » (iV '— iY) siu ft JV + ^ iV '— 0)

" a cos {A — ri)

acos(-4 — n)

Hae formulae impviniis sunt conimodae, quoties p et e pro pliu'ibus va-
loribus ipsius 11 computaiidae sunt, nianentibus ;•, /• , iV, N' . — Quum ad cal-
culum quantitatum auxiliarium n , A anguluin H ad libitum assumere liceat,
e re erit statuere B = l-{N-j- N'), quo pacto formulae. abeuut iu has

(r ' — r ) cos -^ [N' — N) = — a cos (.4 — i N — -iN')
(?• ■+ I-) sin i (N'—N ) = —a sin (.4 — iN— i N')

Determinato itaque angulo A per aequatioiiem

Ung{A — iN—iN') = ^^ Ungi(N'—N)

statim habetur

cos{A—iN—^N')

cosi{N'—N)cos{Ä — n)

Calculum logarithmi quaiititatis '->^, per artiticium saepius iam explicatum con-
trahere licebit.

81.
Si excentricitas c data est, angulus 1 1 per aequationem

cos (J -11)= _-(4=i^=^)

invenietur, postquam angulus auxiliaris ^i per aequationem

tiing{A — iN—iy') = p±^;tangi(iV — J.V)

determinatus est. Ambiguitas in determinatione anguli ^1 — 11 per ipsus cosinum
remanens in natura problematis fundata est, ita ut probiemati duabus solutionibus
diversis satisfieri possit, e quibus quam adoptare quauive reiicere oporteat aliunde
deeidendum erit, ad quem finem valor saltem approximatus ipsius H iam cogni-
tus esse debet. — Postquam II inventus est, ji vel per forinulas

KELATIONES INTEU LOCOS PLURES IN ORBITA. 07

p = /•(! ^ecos(iV^— II)) = /-'(l +ecos(A^ — II))
vel per haue computabitur
P — - ^,_^

82.
Siippoiiaums deuiqiie, tres radios vectores r, r\ r" datos esse, qui cum
recta ad lubituiii e Sole in piano orbitae ducta faciant angulos N, N\ N". Habe-
buntur itaque, retentis signis reliquis, aequationes (I.):

f = 1 -|-,.cos(iV^— 11)
f,= i-^ecos{N'—n)
P = 1 4-ecos(iV"— 11)

e quibus /», II, >' pluribus niodis diversis elici possunt. Si quantitateni p ante re-
liquas computare placet, multiplicentur tres aequationes (I.) resp.per sin(iV" — N'),
— siTi(iV" — N), .sin(iV' — N}j fietque additis productis per lemma I. art. 78.

sin(iV"— iV') — sin {N"—N) + sin {N'—N)

-'- sin [N"- N') - -, siii (N"— N) + \ sin {N'—N)
r r r

Haec expressio propius cousiderari ineretur. Nunierator nianifesto tit

= 2 sin i {N"—N') cos i( N"—N') — 2 sin i {N"—N') cos (J- iV"-f- i N'— N)
= 4 sin i {N"—N') sin J (N"—N) sin i (N'—N)

Statuend(j porro

r'7-"sin(iV" — N') = «, rr"sin{N" — N) = ■«', /•i-'sin(A'' — N)= n",

patet i «, i «, J w' esse ai-eas trianguloruni inter radiuin vectoreni secunduni et

tertluin, inter prinium et tertium, inter primuni et seeundum. Hinc facile per-

spicietur, in tormula nova

4 %i\\\(N"— N')imi,{N"~ N)smi(N'—N) . rr'r"

1^ n-n'+n"^

denominatorem esse dupluni areae trianguli inter triuin radioruin vectorum extre-
initates i. e. inter tria corporis coelestis loca in spatio contenti. Quoties haec loca

G. TH. M. 1 3

98 LIBEK 1. SKCTIO III.

parum ab invicera remota sunt, area ista semper erit quantitas perparva et quideni
ordinis tertü, siquidem N' — N, N" — N' ut quantitates parvae ordinis primi
spectaiitur. Hiiic simul concluditur, si quantitatuin r, r', )•', N, N\ N' unä vel
plures eiToribus utut levibus affectae siiit, in determinatione ipsiiis p eiTorem
permagiium illinc iiasci posse ; quamobrem haecce ratio orbitae dimensiones eruendi
magiiam praecisionem numquam admittet, iiisi tvia loca belioceiitrica intervallis
considerabilibiis ab iiivicem distent.

Geterum simulac semiparameter p iiiveiitu.s est, e et II determinabuiitur
e comblnatioiie duarum qiiarumcmiqiie aequatioiium I. per methodum art. 79.

83.
Si solutionem eiusdem problematis a computo angvüi II inchoai'e malumus,
methodo sequente utemur. Subtrahiimis ab aequationem (I.) secunda teitiam , a
prima teiiiam, a jn'iina secundam, quo pacto tres uovas sequentes obtinemus (IT.):

1

2sini(iV"-

-N')

1

I

)• )

.7/

2siu^(JV"-

-N)

1

1

.,. ,.

"^

= lsin(i.V'+iiV"-nj

Duae quaecunque ex bis aequationibus secuuduui lerauia II. art. 7S. dabunt 11
et - , unde per quamlibet aequatiouum (I.) habebuutur etiam e et p. Quodsi
solutiouem tertiam iu art. 78, II. traditam adoptamus, combinatio aequationis
primae cum tei-tia algorithmum sequenteni producit. Determinetur angulus auxi-
liaris C per aequationem

)•

tangC = f. . ,.„, — ^ entque

" r s,m^{,N —N) ^

1 —
r

tang(iiV-|- iN'-{- i N"—[l) = tang(45'+ Q taug i (iV"— iV)

Permutando locum secundum cum primo vel tertio, duae aliae solutiones huic
prorsus analogae prodibunt. Quum hac methodo adhibita formulae pro - minus
expeditae evadant, e et ^ per methodum art. 80 e duabus aequatiouum (1.) eruere

RELATIONES INTEU LOC'OS PH^KKS 1\ OUBITA. 99

praestabit. Ceternm ambignitaw in determinatione ipsius 11 per taugeutem aiiguli
i N -\- -l N' -\- \: N" — n ita decidi debebit, ut e tiat quaiititas positiva: scilicet
manifestum est, pro e valores oppositos proditurus esse, si pro 11 valores 180" di-
versi accipiantur. Signum ipsius p autem ab Lac ambiguitate iioii peudet, valorque
ipsius j) negativUvS evadere uequit, uisi tiHa puncta data in parte hyj^erbolae a
Sole aversa iaeeant, ad quem casum legibus naturae contrariuni hie non respicimus.
Quae ex applicatione methodi primaein art. 78, II. post substitutioues ope-
rosiores orirentur, in casu praesente commodius sequenti modo obtineri possunt.
Multiplicetur aequationuni II. primaper cos4-(iV"" — N'), tertia per cos 4- (iV — N)
subtrahaturque productuni posterius a priori. Ttiuc lemmate I. art. 78. rite appli-
cato*) prodibit aequatio

- i-,) cotaug i (JV- N') - i ( ; - p) cotang i (N- N)

= - sin i (N"— N) cos ( i iV-f i iV"— n)

Quam combinando cum aequationuni IL secunda iiivenientur Fl et , et quidem
n per formulam

tang(J-iV+iiV"— n)

f 1 - ~t] cotang IAN"—N') - (y — 1 ) cotaiigi(jV'- N)

Etiam hinc duae aliae formulae prorsus analogae derivantur, permutando locum
secundum cum primo vel tertio.

84.
Quuni per duos radios vectores magnitudine et positione datos, atque ele-
mentum orbitae unum orbitam integram determinare liceat, per illa data etiam
tempus^ inti-a quod corpus coeleste ab uno radio vectore ad alterum movetur, deter-
minabile erit, siquidem corporis massam vel negligimus vel saltem tamquam co-
gnitam spectamus : nos suppositioni priori inhaerebimus, ad quam posterior facile
reducitur. Hinc vice versa patet, duos radios vectores magnitudine et positione
datos una cum tempore, intra quod corpus coeleste spatium intermedium describit,
orbitam integram determinare. Hoc vero problemu, ad gravissima in tlieoria motus
corporum coelestium referendum, haud ita facile solvitur, quum expressio teraporis

•) Statuendo scUicet iu formuk secunda A = ^(N"—N'), B = ^N+iiN"—n, C=i{N~N').

13*

100 LlKKl! 1. SECTIO III.

per elementa traiisscendeiis sit, iiisuperque satis complicata. Eo luagis digiiuin est,
quod omni cura tractetur: quamobrem lectoribus liaud iiigratum fore speramus,
quod praeter solutionem post tradendam, quae nihil amplius desiderandum reliii-
quere videtur, eam quuque oblivioni eripiei i dam esse censuimiis, qua olimantequam
ista se obtiilisset frequenter usi sumus. Problemata difficiliora semper iuvat plu-
ribus viis aggredi, nee bonam spernere etiamsi meliorem praeferas. Ab expositione
huius methodi anterioris initium facimus.

»

85.

Retinebimus characteres r, /■', iV, N\ p^ e, II in eadem signiticatione, in
qua supra accepti sunt; differentiam N — N denotabimus per A, teinpusque
intra quod corpus coeleste a loco priori ad posteriorem movetur per f. Jam patet,
si valor approximatus alicuius quantitatum p^ e, FI sit notus, etiam duas reliquas
inde determinari possc, ac dein per methodos in Sectione prima expliciitas tenipus
motui a loco primo ad secuiidum respondens. Quod si tempori proposito i aequale
evadit, valor suppositus ipsius ^>, e vel 1 1 est ipse vei'us, orbitaque ipsa iam in-
venta: sin miims, calculus cum valore alio a jH'imo paruin diverso repetitus doce-
bit, qiianta variatio in valore temporis variationi exiguae in valore ipsius ^>, e, Fl
resi:)ondeat, unde per simplict'iu iiiterpolationem valor correctus eruetur. Cum quo
si calculus denuo repetitur, tempus emergens vel ex asse cum proposito qiiadrabit
vel saltem perparum ab eo differet, ita ut certe novis coiTectionibus adhibitis con-
sensum tani exactum attiiigere liceat, quantum tabulae logarithniicae et trigono-
nietricae permittuut.

Problema itaque eo reductum est, ut pro eo casu, ubi orbita adliuc penitus
incognita est, valorem saltem approximatum alicuius quantitatum p^ e^ W deter-
ininare doceannis. Methodum iam trademus, per quam valor ipsius p tanta prae-
cisione eruitur, ut pro parvis quideni valoribus ipsius A nulla amplius Cv)rrectione
indigeat, adeoque tota orbita pei- primum calculum omni iam praecisione deter-
minetur, quam tabulae vulgares 2)ermittunt. Vix umquam autem aliter nisi pro
valoribus mediocribus ipsius A ad lianc methodum recurrere oportebit, quum de-
terminationem orbitae onmiiio adliuc incognitae, propter problematis complicatio-
nem nimis intricatam, vix aliter suscipere liceat, nisi per observationes non nimis
ab invicem distantes, aut potius tales, quibus motus heliocentricus non nimius
respondet.

HELATIOXES INTEK LOGOS PLrRES IN ORBIT A. 101

86.

Designando vadium vectoreni indefinitum seu variabilem anonialiae verae
V — II respondenteia per p , erit area sectoris a corpore coelesti iiiti-a tempu.s f
descripti = .1 ffi^dv, hoc iutegrali a v ^N usque ad v = iV" extenso, adeoque,
accipieiido /.■ in sig-nificatione art. 6., /^ / ^/^^ = fp p d v. laiu coiistat, per formulas
a CoTEsio evolutas, si cp.r exprimat functionem quamcunque ipsius x, valorem
contiuuo iiiagis approxiinatuiii integralls r^.cdx ab x = n usque ad :/; = m-]-A
exteiisi exhiberi per formulas

i- ä ('f y/ + 3 9 0> + i- A) + 3 '^ (.( + I- A) + '9 {» + A))

etc.: ad iustitutum uostrum apud duas formulas pi'imas subsistere sufiiciet.

Per foiniuilain itaque pi-imam In problemate nostro habemus fp p d v =
'^ ^{}'r -\- r'r') = ^ , si statuitur = tang(45°-(- (o). Quamobrem valor ap-
proximatus piimus ipsius j/j^ erit = ... „ , quem statuemus r=: 3 a.

Per fornuilam secundam habemus cxactius jppdv ^ ^ A(rr-f-?-'r'-j-4 Äi?),
designatite Ii radium vectorem anomaliiie intermediae J -^+ i ^" — ü i'espon-
deiitem. lam exprimendo jj per r, j^, r', A^, jV-f~ a^5 iV-(- A ad normam fof-
luulae in art. S2. traditae, invenimus

p = - — —-^—^ — — , atque hmc

cos i A 1 ( ' _i_ M 2 siu I A* cos (o 2 sin ^ A'

R -[r'r'l p /(rr 'cos 2 lu) p

Statuendo itaque

2 sin ir A- (/{r r ' cos 2 c») > j.

— 0 K HL

C08W '

p cos^A/(rV'cos2(u)

eos(u 1

unde valor approximatus secundus ipsius [/2-> elicitur

/ , 2 o cos iA- cos 2 tu- ,

•1-1) ■ (-i)

102 LIBEB I. SECTIO 111.

si statuitur 2 a ( ''"' ^ ^ " — ^j = e. Scribeudo itnque tc pr(j ^7/, deterniiiiHbitur

TT per aequationem (tt — a) ( 1 ^| = £, quae i"ite evoluta ad qiiiutum o-radiini

ascenderet. Statuanms tc = ^/-j-[x, ita ut sit */ valov approxiniatus ipsius ir,
^tque jx quantitas perexigua, cuiiis qixadrata altioresque potestates iiegligere li-
ceat: Qua Substitution e pi-odit

_ er-(TO-c^<ir)(fjg-o)- „Hponnp
^^ — (5q,_5)(,?»+:)o-/-4c<o)' «^aeGque

(g<y — o)f(/"+ 305 — 4«3)

lam in probleiraate nostro habeinus valorem approximatum ipsius 71, puta =rr 3 a,
quo in forraula praecedeute pro ^2 Substitute, prodit valor correctus

:i4 3a*e + S«('J'»a — Ö)(9aa + 7Ö)

(9aa — o)(27aa + 55)

Stiitueiido itaque — — = 6, ,- — ^- = 7, tbruiula iuduit formam haucce

I j. \. e\ 27 aa ' (l — 3 6)a ''

7v = - — i+s^g^ ' omnesque Operation es ad problematis solutionem necessariae in
his quiiique formulis contiiientur :

I. 7 = tang ( 4 5 ° -j- (o)

IL
III.

Arr'

3 A' t cos 2 (U

2 sin 4- A* (/(»■ r ' cos 2 (u) «,

27 -x a COS m

j-vT 2 cos^A'-'cos 2oj'-

(1 — 36)C"S(U-

^' i+5g ^yy

Si quid a praecisioiie haruin ibrniularuui remittere placet, expressiones ad-
liuc simpliciores evoluere licebit. Scilicet faciendo cosw et cos 2(0=1 et evol-
vendo valorem ipsius \Jp in serieni secundum potestates ipsius A pi-ogredientem,
prodit neglectis biqnadratis altioribusque potestatibus

KELATIONES INTEK LOCOS PLITRES IX OKBITA. 103

ubi A in partibus radii exprinuMidns est. Quare t'aciendo -r-f ^= ^P\ habetur

VI. yv=//fl— iAA +

3 p'

Simili modo explicando ^/y> iu serieni secuuduiu potestates ipsius sin A progre-

j. . . rr' sin A / "

dieiiteni eniergit posito — -p-f — = vj>

VII. ^/y. = (,+^ilL^)^//, sive

VIII. j> =j>"-\- !,sm^yrr'

Formulae VII. et VIII. conveniuut cuin iis, qiias ill. Euler tradidit iu Theoria mo-
tus planetarum et comeiarum^ fOTmula VI. autem cum ea, quae iu usum vocata est
iu RecJierches et caleuls sur 1a vraie orhife eUiptique de Ja comkte de 1769, p. SO.

87.
Exempla .sequeutia usum praeceptorum praecedentium illustrabunt, simul-

que inde gTadus praecisiouis aestimavi j^oterit.

I. Sit logr= 0,3307640, logr'= 0,3222239, A = 7°34'53"73 = 27293"73,

t = 21,9339 1 dies. Hie invenitur w = — 33' 47 "90, unde calculus ulterior ita

se habet:

logA 4,4360629 4^ log rr' COS 2 tu . . . 0,3264519

logrr' 0,6529879 2logsiniA ..... 7,0389972

C.log3Ä' 5,9728722 log^V 8,8696662

C.logf 8,6588840 C.logoia 0,5582180

C.Iogcos2u). ... 0,0000840 Clogcosw 0,0000210

löget 9,7208910 logg 6,7933543

6 = 0,0006213757

log 2 0,3010300

2logcos,J^A 9,9980976 1-1-^+216 = 3,0074471

2logcos2tü 9,9998320 log 0,4781980

C.log(l--36) . . . . 0,0008103 logoi 9,7208910

2C.log cos (1) 0,0000420 C.log(l -f 5 6) . . . . 9,9986528

logY 0,2998119 log|//J ........ 0,1977418

Y = 1,9943982 logjo . . . , 0,3954836

21 6 = 0,0130489

104 LIBEK I. SKCTIO 111.

Hic valor ipsius \ogp vix uiia unitate in figui-a septinia a vero ditfert: fonuula VI.
in hoc exemplo dat \ogp = 0,3954822; fovmula VII. producit 0,3954780;
denique fomiula \^II. dat 0,395 4 75 4.

II. Sit log/- = 0,4282792, log /' = 0,4062033 , A = 62° 5516"64,
t = 259,88477 dies. Hinc eruitur lo = — r27'20"l4, logci = 9,7482348,
8=0,045 35 21.6, 7=1,681127, log|/^> = 0,2198027 , logj? = 0,4396054,
qui valor 183 unitatibus in figura septinia iusto minor est. Valor enini versus in
hoc exemplo est 0,4396237; per foi-mulam VI. invenitur 0,4 3 68730; per for-
mulam VII. prodit 0,41598 24; denique per formulam VIII. eruitur 0,4051103:
duo postremi valores hic a vero tantum discrepaiit, ut ne appi'oximationis quidem
vice fungi possint.

88.

Methodi secundae expositio permultis relatiouibus novis atque elegantibus
enucleandis occasionem dabit: quae quuni in diversis sectionura conicarum ge-
neribus formas diversas induant, singula seorsim ti-actare oportebit: ab ELLIPSI
initium faciemus.

Respondeant duobus locis anomaliae verae t', v (e quibus v sit tempore
anterior), anomaliae excentricae E, E', radiique vectores r, ?•'; porro sit p semi-
parameter, e = sincp excentricitas, a semiaxis maior, t tempus intra quod motus
H loco primo ad secundum absolvitm* ; denique statuamus

v'—v z= 2/; v'-{- V = 2l\ E'—E = 2^, E-\- E = 2G, acos'f = J^ = b

Quibus ita factis e combinatione formularum V. VI. art. 8. facile deducuntur
aequationes sequentes :

[l.] hsing :^ sin/'. |/rr'
[2.] />sin (? = sin/^.j/y/-

ß cos ff = (cos i V cos J v' . ( 1 -}- <?) -{- sin 4 y sin i y' . ( 1 — e)) y/?- r ', sive
[3.] p cos ff = {cos/-\- e CO» F)[^ rr', et perinde
[4.] jJC0s6r = (COS i^+e cos/) j/rr'

E combinatione aequationum 3. 4. poiTo oritur

BBLATIONES INTER LOGOS PLtlEES IN ORBITA. 105

[5.] cos f. \/rr' = (cos^ — e cos O) a
[6.] cos F. \Jt r ' = (cos G — e cos^) a
E forraula III. ai-t. 8. nanciscimur

[7.] r' — r = 2ae sin^ sin G

r'-\- r = 1a — 2ae cosg cos G = 2a sin^*-|- 2 cos/cos^ y/rr'

unde

Statuanius

t^-] - 2cos/ =1 + 2^ eritque
[10.1 ^ ^ 2(Z + sini^«WjAV ^^^^^^^^^

/^ __ , /(2 (? + sin ^/) cos /Vrr')
' — sinflf

ubi Signum superius accipere oportet vel iuferius, prout sin_9' positivus est vel
negativus. — Formula XII. art. 8. nobis suppedita aequationem

^ = .£;' — esin.^;' — ^-f-^'sin^ = 2^ — 2esin^ cosö
= 2 g — sin 2^+2 cos/sin^ ^— ^

Quodsi iam in hac aequatione pro a substituitur ipsius valor ex 1 0 , ac brevi-
tatis gratia ponitui*

r -I 4 1 — ^^^

•- ■-' 2' cos /^(rr')'

prodit Omnibus rite reductis

[12.] ±m = C^+sini<7f + (^+sini/)^(^^=^^)

ubi ipsi m signum superius vel inferius praefigendum est, prout sin^ positivus
est vel negativus.

Quoties motus heliocentricus est inter 180° et 3 60°, sive generalius quoties
cosy est negativus, quantitas m per formulam 1 1 . determinata evaderet imagi-
G. TH. M. 14

106 LIBER I. SECTIO III.

naria, atque / negativa, ad quod evitauduin pro aequatioiiibus 9. 11. in hoc
casu hasce adoptabimus:

4^lM = ,_..

[9.*] ' \ \ ' =V — -1L

2 008/"

Ict

2^(— cos/")^(»-/)

Fl 1*1 ~ =1 M

unde pro 10. et 12. hasce obtinebimus

— 2 (-L — sin ^ (/'■') cos f/rr'

[10.*] a

smg-

g — sin lg

[12.*] ±M = —{L — sin \(ff-^ {L — sin i/)^ ( ^^^^

ubi Signum anibiguum eodeni modo determinandiim est ut ante.

89.

Duplex iani negotium nobis incumbit, primum, ut ex aequatione transcen-
dente 1 2., quoniain solutiouem directam non admittit, incognitam g quam com-
modissime eruamus; secundum, ut ex angulo ff invento elementa ipsa deduca-
mus. Quae antequam adeamus, transformationem quandam attingemus, cuius
adiumento calculus quantitatis auxiliaris l vel L expeditius absolvitur, insuper-
que plures formulae post evolveudae ad formam elegantiorem reducuntur.

Introducendo scilicet angulum auxiliarem w per formulam

^'^ = taug (45°+ co)
determinandum, fit

^l'+|/J = 2 + (tang(45°+ü)) — cotang(45°+tü))'= 2 + 4tang2«)»
unde habetur

1 sin^/"^ _, tang 2 ui^

cosf '^ cos/'

T sin^/'^ tang 2 tu*

cos f ('08 /'

RELATIONES INTER LOGOS PLITRES IN ORBITA. 107

90.

Considerabimiis primo casum eum, iibi e solutione aequationis 1 2, valor uoii
nimis magnus ipsius g emergit, ita ut g — s'"^ 9 jj^ seriem secundum potestates
ipsius sin4-<7 progredientem evolvere liceat. Numeratur hüius expressionis, quam
per X denotabimus, fit

= |- sin \g^ — 1 sin ^ _(/^ — i sin | g'' — etc.
Denominatur autem

= 8 sin i/— 1 2 sin i .(/^+ 3 sin i^^ -{- etc.

Uiide A'" obtinet formam

f + Asinl/+ ff sin4/+ etc.

Ut autem legem progressionis coefficientium eruamus, differentiamus aequationem
A'sin^* = 2 g — sin 2.</, unde prodit
3 Xcosg sing^-\- sing^ -j- =[2 — 2 cos 2^ = 4 sin^r*

statuendo porro sin-^g^ = x, fit ^ = J sin^r, unde concluditiu*

dX 8 — eXcosi/ 4 — 3X(1 — 2a,-) ,

ix sinjf^ 2a;(i — x) "

{2x — 2xx)~ = 4—{Z — 6x)X

Quodsi igitur statuimus

X= i-{l -\- ax-\-^xx-\'-(X^-{-ox*^-\- etc.
obtinemus aequationem

f (ax + (2 8 — a) ica- + (3 Y — 2 o) x^+ (4 o — 3 y) x*+ etc.)

= (S — 4 a)x -}- {S a— At)xx-\- {St> — A^)x^-\- (S -( — 48)x*+ etc.

quae identica esse debet. Hinc colligimus a = f , 6 = f a, -(■ = t ^j ^ = f f T ®*^«
ubi lex progressionis obvia est. Habemus itaque

V- 4 I 4-6 1 4.6.8 . 4.6.8.10 a , 4.6.8.10.12 4 , .

X = — z -\ XX -\ 3r -\ x^ 4- etc.

3 I 3.5 ' 3.5.7 ' 3.5.7.9 ' 3.5.7.9.11 '

14*

108 LIBER I. SECTIO III.

Hanc seriem transformare licet in fractionem continuam sequentem:

6

-X
6

2

7.9

9.11

7.10

S.6
-— — X

9.12

X

15.17

1 — etc.

Lex secundum quam coe'fficientes - , — ■— ; , r^ , rT7 ^*^' progrediuntur, obvia
est; scilicet teruiinus %'"' huius seriei fit pro n pari = ^^ , ^ ^n + s ' P^*^ ^ ™'
pari autem = ^ + ^-*'+^ . ulterior huius argumenti evolutio nimis aliena esset
abinstituto nostro, [ V. Disquiss. generales circa seriem infinitam etc. Gauss Werke,
Bd. III. S. 125.] Quodsi iam statuimus

2

5.8

X

7.9

1.4
X

9.11

1 — etc.

fit

X =

l-A(.-S)^ ^^q""

10

» __ sing'— f (2ff — sin2g)(l— Isinjg')
A(2</— ain2g)

Numerator huius expressionis est quantitas ordinis septimi, denominator
ordinis tertii, adeoque S ordinis quarti, siquidem g tamquam quantitas ordinis

RELATIONES INTER LOGOS PLURES IN ORBITA. 109

priini, sive x tamquam ordinis secuiidi spectatur. Hinc concluditur, formulam
hancce ad computum numericum exactmn ipsius % haud idoneam esse, quoties g
angulum non valde considerabilem exprimat: tunc auteni ad hunc finem commode
adhibentur formulae sequentes, quae ab invicem per ordinem commutatum nume-
ratorum in coefficientibus fractis differunt, et quarum prior e valore supposito ipsius
X — \ haud difficile derivatur *) :

[13.] £ = '^^^

i\x

. TT^

'Sx

TT

1 9 6

1 p 8 /y

1 — etc.

sive

5 JT^^

1 — ^-g-a;

Ma;

T4T"

tVtS^

TtT'

1 — etc.

In tabula tertia huic operi annexa pro cunctis valoribus ipsius a; a 0 usque ad
0,3, per singulas partes millesimas, valores respondentes ipsius % ad septem figu-
ras decimales computati reperiuntur. Haec tabula primo aspectu nionstrat exigui-
tatem ipsius $ pro valoribus modicis ipsius ^; ita e. g. pro E' — ^=10°, sive
g = b% ubi a; = 0,00195, fit E = 0,0000002. Superfluum fuisset, tabulam ad-
huc ulterius continuare, quum termino ultimo ic = 0,3 respondeat ^ = 66°25
sive E — ß=132°50'. Ceterum tabulae columna tertia, quae valores ipsius S
valoribus negativis ipsius x respondentes continet, infra loco suo explicabitur.

*) Deductio posterioris quasdam transformatioues minus obvias aliaquc occasione expIicanJas supiionit.

110 LIBEB l. SECTIO Ilf .

91.
Aequatio 12., in qua, eo de quo aginius casu, manifeste sigmim superius
adoptare oportet, per iutroductionem quautitatis ; obtinet formam

m

(J^^-Vt.

{l + x)^

■T%(a;-5)

Statueudo itaque s/Q -\- ,?) = '-''- , atque

[14.] T^fTt = ^' 1 Omnibus rite reductis prodit

[15.] " Ä = ^^^=^

Quodsi itaque h tamqnam quaiititatem cognitam spectare licet, // inde per aequa-
tionem cubicam determinabitur, ac dein erit

[16.] .r = 1

lam etiamsi Ji inqdicet quantitatem adhucincognitam ;, in approximatione prima
eam negligere atque pro h accipere licebit rzrp quoniam certe in eo de quo
agimus casu ; semper est quantitas valde parva. Hinc per aequationes 15.16.
elicientur y et .r; ex .v per tabnlam III. habebitur $, cuius adiumento per
formulam 14. eruetur valor correctus ipsius //, cum quo calculus idem repetitus
valoi'es correctos ipsarum //, x dabit: plerumque lii tam parum a praecedeutibus
different, ut c iterum e tabula III. desumta haud diversa sit a valore primo: alio-
quin calculum denuo repetere oporteret, doliec nullam amplius mutationem patiatur.
Simulac quantitas x inventa erit, habebitur // per formulam sin^-^'* :=: x.

Haec praecepta referuntiu- ad casum primum, ubi cos_/ positivus est; in
casu altero ubi negativus est statuimus ^(L — .r) = — atque

['4*-] T !.■.._'■ = ^^1 unde aequatio 12* rite reducta transit in hanc

[15*.] ^ H=^-^^

Per hanc itaque aequationem cubicam determinare licet V ex H, unde rursus
X derivabitur per aequationem

[16*.] x = L-'''''

YY

7 Q*^f>ir«o+m' \mlnT ^

In appi'oximatione prima pro H accipietur valor f^zn 5 ^^^^^^ valore ipsius z

RELATIONES mTEK LOGOS FLURES IN ORBITA. 111

inde per aequatioiies 15*. 16*. derivato desumetur ; ex tabula III.; hiuc per

formulam 14*. habebitur valor correctus ipsiiis i/, cum quo calculus eodein

modo repetetur. Tandem ex x augulus // eodem modo determiuabitur ut in
oasu primo.

9 2.
Quamquam aequationes 15. 15*. in quibusdam casibus tres radices reales
habere possint, tarnen ambiguum numquam erit, quamnam in problemate nostro
adoptare oporteat. Quum enim ]i manife.sto sit quantitas positiva, ex aequationum
theoria facile concluditur, aequationem 15. habere radiceni unicani positivam vel
cum duabus imaginariis A'el cum duabus negativis: iam quum y = /./j_ ,,, neces-
sario esse debeat quantitas jiositiva, nullani hie incertitudinem remanere patet.
Quod vero attinet ad aequationem 15*., primo observamus, L necessario esse
maiorem quam 1: quod facile probatur, si aequatio in art. 89. tradita siib formam

T 1^ COS 4/"^ 1^ taug 2«)-

' — cos/""'" — cos/

ponitur. Porro substituendo in aequatione 12*. pro ü/, i"\/{L — .rj, prodit
F-j-l = {L — x)X, adeoque

F+l>(l-.r)Z>i+3-i^.^ + ^.r..+ 3i^^-^;.^+etc.>f,

et proin Y^^i. Statuendo itaque Y= J-J-F', necessario Y' erit quantitas
positiva, aequatio 15*. autem hinc ti-ansit in hanc

r^+ 2 Y Y'-\-{i —H) Y'+ -,V —5-^=0,

quam plures radices positivas habere non posse ex aequationum theoria facile pro-
batur. Hinc colligitui', aequationem 15*. unicam radicem habitux'am esse maiorem
quam { *), quam neglectis reliquis i,u problemate upstro adoptare oportebit.

9 3.
Ut Solutionen! aequationis 15. pro casibus in praxi frequentissimis quantum
fieri potest commodissimam reddamus, ad calcem huius opeiis tabulam peculiarem
adiuugimus (tabulam IL), quae pro valoribus ipsius h a 0 usque ad 0,6 loga-

*) Siquidein pioblema leveia solubile esse supponimus.

112 LIBER I. SECTIO 111.

rithmos responclentes ipsius ?/?/ ad septeni figuras deciniales summa cura com-
putatos exhibet. Argumentum // a 0 usque ad 0,0 4 per singulas partes deciea
millesimas progreditur, quo pacto differentiae secundae ipsius logyy evanescen-
tes sunt redditae, ita ut in hac quidem tabulae parte interpolatio simplex sufiiciat.
Quoniam vero tabula, si ubivis eadem extensione gauderet, valde voluminosa eva-
sisset, ab h = 0,04 usque ad finem per singulas tantum millesimas partes pro-
gredi debuit ; quamobrem in hac parte posteriori ad diffei'entias secundas respicere
oportebit, siquidem errores aliquot unitatum in figura septima evitare cupimus.
Ceterum valores minores Ip^äius h in praxi longe sunt frequentissimi.

Solutio aequationis 15. quoties h limitem tabulae egreditur, nee non solutio
aequationis 15*. sine dit'ticultate per methodum indireetam vel per alias methodos
satis cognitas pertici poterit. Ceterum haud abs re erit monere, valorein pai-vum
ipsius g cum valore negativo ipsius cosf consistere non posse nisi in orbitis valde
excentricis, ut ex aequatione 20. infra in art. 95. ti-adenda sponte elucebit *).

9 4.
Tractatio aequationum 12. 12*. in art. 91. 92. 93. explicata, innixa est
suppositioni , angulum g non esse nimis magnum, certe infra limitem 66° 25',
ulti'a quem tabulam III. non extendimus. Quoties haec suppositio locum non
habet, aequationes illae tantis artificiis non indigent: poterunt enim forma non
inutata tutissime semper ac commodissime tentando solvi. Tuto scilicet, quoniam
valor expi'essionis '^ ;— r ^ > i^i qua '2 g in partibus radii cxprimendum esse
sponte patet, pro valoribus maioribus ipsius // omni praecisione computari potest
per tabulas trigonometricas , quod utique tieri nequit, quamdiu g est angoilus
parvus: commode, quoniam loci heliocenti-ici tanto intervallo ab invicem distantes
vix umquam ad determinationem orbitae penitus adhuc incognitae adhibebuntur,
ex orbitae autem cognitione qualicunque valor approximatus ipsius g nullo prope-
modum negotio per aequationem 1. vel 3. art. 88. demanat: denique e valore
approximato ipsius g valor correctus, aequationi 1 2. vel 1 2 *. omni quae desi-
deratur praecisione satisfaciens , semper paucis tentaminibus eruetur. Ceterum
quoties duo loci heliocentrici propositi plus una revolutione integi'a complectuntur,
memorem esse oportet, quod ab anomalia excentrica totidem revolutiones comple-

*) Ostendit isla aeqiiatio, si cos/ sit negativus, cf certe maiovem esse debere quam 90° — g.

EELÄTIONES INTER LOCOS FLURES IX ORBITA. 113

tae absolutae erunt, ita ut anguli E' — E^ v — v vel ambo iaceant inter 0 et 360°,
vel ambo inter multipla'similia totius peripheriae, adeoque f et g vel simul inter
0 et 180°, vel inter multipla similia semiperipheriae. Quodsi tandem orbita
omnino incognita esset, neque adeo constaret, utrum corpus coeleste, ti'anseundo
a radio vectore priino ad secundum, descripserit partem tantum revolutionis , an
insuper revolutionem integram unam seu plures, problema nostrum nonnumquam
plures solutiones diversas admitteret: attamen huic casui in praxi vix umquam
occursuro hie non immoramur.

95.

Transimus ad negotium secundum, puta determinationem elementorum ex

invento angulo </.^|Semiaxis maior |hic statim habetur per formulas 10. 10*.,

pro quibus etiam sequentes adhiberi possuut:

r._-i 2 TO »i COS //rr' kktt

L '-l ' yysvag^ iyyrr'cospiing'^

r._*-| — iMMcosf^rr' kktt

[17 .J a Frih^T AYYrr'coifHmg''

Semiaxis minor h^:=\Jap habetur per aequationem 1., qua cum praecedentibus
combinata prodit

[18.] p = (BIW).

lam sector ellipticus inter duos radios vectores atque arcum ellipticum contentus
fit = \kt\/p^ triangulum autem inter eosdem radios vectores atque chordam
= \rr' smlf: quamobrem ratio sectoris ad triangulum est ut y: 1 vel Y: 1.
Haec observatio maximi est momenti, simulque aequationes 12. 12*. pulchemme
illustrat: patet enim hinc, in aequatione 12. partes m, (Z-)-£c)-, X{l-]-xf^ in
aequatione 12*. autem partes Jf, {L — xf-^ X(L — x)^ respective proportio-
nales esse areae sectoris (inter radios vectores atque arcum ellipticum), areae tii-
anguli (inter radios vectores atque chordam) , areae segmenti (inter arcum atque
chordam), quoniam manifesto area prima aequalis est vel summae vel diflferentiae
duarum reliquarum, prout v' — v vel inter 0 et 180° iacet vel inter 180° et
360°. In casu eo, ubi v' — v maior est quam 360°, areae sectoris nee non
areae segmenti aream integi'ae ellipsis toties adieetam concipere oportet , quot re-
volutiones integi'as ille motus eontinet.

G. TH. M. 15

114 LIBERI. SECTIO Itl.

Quum h sit =acoscp, e combinatioue aequationuni 1. 10. 10*. porro
sequitur

r^ - -i sin^rtaug/"

[19.1 coscp = ,,, , • 7 ;.

L J ~ 2 ((+sin *(/'')

[19*.] cos C£ = -r - 1 L

unde substituendo pro /, L valores suos ex art. 89. prodit

[20.J COS'^ 1— cos/'cos(; + 2tang2uj-

Haec formula ad calculum exactum esceuti-icitatis iion est idonea, quoties haecce
modica est; sed facile ex ista deducitur formula aptior sequeus

L21.J tang.f — sin4(^-+f/)2+tang2<«=

cui etiam forma sequens tribui potest (multiplicando numeratorem et deuomina-
toram per cos 2 w^)

[9 9 1 tano- ' cd^ — sinj (/•-g)'+ cosj (/'-g)' siu 2 «>^-

Per utramque formulam (adbibitis si placet aiigulis auxiliaribus quorum tangeutes

tans2(u tane2(u • • i sm2(u siu2uj i. • •\

-r—rr? — r' . ,:. , — r Pi'o priori, vel ^ — rr? — -^^ . t-tf-, — r pro posteriori) augu-

lum cp omni semper praecisione deterniiuare licebit.

Pro determinatione anguli G adhiberi potest formula sequens, quae sponte

demauat e combinatione aequationum 5, 7 et sequentis non numei'atae: ^^

r^r. T , n {'■' — r)sm(i

[23.1 taug G ::= , , , , „ . , ,

L J & (r + r)cosg — 2 cos f^/ri-

e qua, introduceiido (o, facile derivatur

PI /^ siu (/siu 2 u)

I- '-1 6 cos2(»'sin+(/ — ^) sin ^ (/'+(/) + sin 2 01^ cosg

Ambiguitas hie remanens facile deciditur adiumento aequationis 7., quae doeet,
G inter 0 et 180° vel inter 180° et 3 60° accipi debere, prout numerator in bis
duabus formulis positivus fuerit vel negativus.

Combinando aequationem 3. cum bis, quae protinus demanant ex aequa-
tione II. art. 8.

1 1 26 • / . T-i

-, = — Sin / sin T

1.1 2 , 2e / jT.

— — ^ = cos / cos r

RELATIONES INTER LOCOS PLUBES IN ORBITA. 115

nullo neg-otio derivabitui' sequeus

[25.] UngF=- fT^y^ ,

'- -' f' 2cosgyrr — (r+r)cosf

e qua, iutroducto angulo tu, prodit

26.] tangi'^ =

sin /'sin 2io

cos 2 m' sin l (f — (/) sin i, (f+fi) — sin 2 tu'^ cos /"

Ambiguitas hie perinde tollitur ut ante. — Postquam anguli F et G inveiiti
eruiit, liabebitur v = F — /, z/ = F-\-f, unde positio perihelii nota erit; nee
non ^= G — //, E'= G-\-g. Denique motus medius inti'a tempus t eiit =
— = 'lg — 2ecos(Tsin^, quarum expressionum consensus calculo confirmando
inserviet; epocha autem anomaliae mediae, respondens temporis momento inter
duo proposita medio, erit G — esinöcos^, quae pro lubitu ad quodvis aliud
tempus transferri potent. Aliquanto adhuc commodius est, anomalias medias pi'o
duobus temporum momentis datis per formulas E — esmE^ E' — esin^' com-
putare, harumque diflferentia cum -y comparanda ad calculi confirmationem uti.

96.

Aequationes in art. pi'aec. traditq,e tanta quidem concinnitate gaudent, ut
nihil amplius desiderai'i posse videatur. Nihilominus eruere licet formulas quas-
dam alias, per quas elementa orbitae multo adhuc elegantius et commodius deter-
minantur: verum evolutio hanim formularum paullulo magis recondita est.

Resumimus ex art. 8. aequationes sequentes, quas commoditatis gratia nu-
meris novis distinguimus :

I. sin J-v |/^ = siiiii;|/(l + e)

II. cos 4- V \/~ = co?,\E\/{\—e)

III. sin \v' \J~ = sin ^ £ Y( 1 + e)

IV. cosi^'j/j' = cosi^Y(l— e)

Multiplicanms I. per s,m^{F^g), IL per cos-i (F + ^), unde productis additis
iianciscimur

cosi(/+(7)i/^=:siiH^smi(-F+^)V/(l+e) + cosii;cosi(i^+^)V/(l-e)

15*

116 LIBER 1. SECTIO III.

sive propter j/ 1 -(- e) = cos J- cp -)- sin ^ cp, ^/( 1 — e) = cos f 'f — sin -f (p,
cosi (/+ g) /^ = cos i cp cos (ii^— i ö + ^) — sin i cp cos i (F+ (?)

Prorsus simili modo multiplicando IIL per sin4-(i^ — g), IV, per cos4^(i^ — g)^
prodit productis additis

Gos^{f-{-g)\/^ = cos^-cpcos(4-i^ — \G — g) — sin-^^^ cosf (i^+ G)

Subti-aliendo ab hac aequatione praecedentem, oritur

cosi(/+^)(|/^'- l/^^) = 2cosi9 sin^ m^i{F—G)

sive introducendo angulum aiixiliarem w

[27.] cosi(/+^) tang2u) = s\n\F—G) cosi^ sin^ ^^,

Per transformationes prorsus similes, quarum evolutionem lectori perito relin-
quimus, invenitur

[28-] ^^^^^ = cos.Ki^-ö)cosfcpsin(;r|X^

[29.] cosi(/— ^) tang2(« = sin i (i?+ G) sin-^cp sin^j/^,
[30.] '^^i^ = cosH^+ G-) «ini'f sin.9 ^^,

Quum partes primae in bis quatuor aequationibus sint quantitates cognitae, ex
27. et 28. determinabmitiir \{F — G) et cos^cp sin*; l^"", = P, nee non ex 29.
et 30. perinde ^{F-\-G) et sin-J-cpsin^»^^, = Q\ ambiguitas in determinatione
angulorum -^{F — G), ^{F-\- G) ita decidenda est, nt P et Q cum sin^ idem
signum obtineant. Dein ex P et Q derivabuntui' 1 cp et sin^ l*/"" = B. Ex
R deduci potest a = X^^ , nee non p = ^'°4'1'-'' , "isi iHfi quantitate, quae
fieri debet = +t/(2 (? + sin^^^) cos/) = +\/( — 2(L — sin|/) cos/), unice ad
calculi confirmationem uti malimus, in quo casu a et p commodissime deter-
minantur per formulas

7 sin fi/rr' b ,

o = — r^ — , a = p =z b cos CD

Possunt etiam, pro lubito, plures aequationum art. 88. et 9 5. ad calculi confir-
mationem in usum vocari, quibus sequentes adhuc adiicimus:

RELATIONES INTEU LOGOS PLURES IN ORBITA. ^ 117

2 tan? 2 (u 1 /r r' • /-i •
— 1/ — =6 sm Cr Sin q

2 tanff 2 u) 1 /» m • tt" • r

= — y-, = esinr sm/

cos 2 u) ' r »• ''

^"^ = taugfcp sin ö sin/ = tang cp sin F sin o

cos 2(U oT -^ °' "^

Denique niotus medius atque epocha anomaliae mediae perinde invenientur ut in
art. praec.

97.

Ad illustrationem niethodi inde ab art. 88. expositae duo exempla art. 87.
resumemus : anguli auxiliaris lo significatiouem hactenus observatam, non esse
confundendam cum ea, in qua in artt. 8 6. 8 7. acceptum erat idem signum, vix
opus erit monuisse.

I. In exemplo primo habemus f = 3° 4 7' 26 "865, poiToque log- =
9,9914599, log taug (45"+ to) = 9,997864975 , u> r= — 8'27"006. Hinc per
ai-t. 89.

logsini/^ 7,0389972 logtang2(i>^ 5,3832428

logcos/ 9,9990488 logcos/ 9,9990488

7,0399484 5,3841940

= log0,0010963480 = log0,00002422i 1

adeoque /= 0,0011205691, | + ? = 0,8344539. Poito fit log Ä;< = 9,5766974

2logÄ,-< 9,1533948

C.flogr/ 9,0205181

C.log8cos/^ 9,0997636

logmm 7,2736765

log(i + 0 9,9214023

7,3522742

Est itaque valor approximatus ipsius h = 0,00225047, cui in tabula nostra II.
respondet log^?/ = 0,0021 633. Habetur itaque log ^*= 7,2715132, sive "^
= 0,001868587, unde per formulam 16. fit ;r = 0,0007480 179 : quamobrem
quura i per tabulam III. omnino insensibilis sit, valores inventi pro h, y, x
correctione non indigent. lam determinatio elementorum ita se habet:

118

LIBER I. SECTIO III,

\ogx 6,8739120

logsini^ 8,4369560

iff = 1°34'2"0286, -Hf+g) = 3°27'45"461l, {(/—ff)

Quare ad normam formularuni 27. 28. 29. 30. habetur

19 41 4039.

logtang2u> . .
logcosi(f-\-ff)
log cos i{f—g)

7,6916214n

9,9992065

9,9999929

C.logcos2(« 0,0000052

logsini(/-\-ff) 8,7810188

logsini(/— ^) 7,7579709

logPsmi{F—G)
\ogPco&i{F—G)

7,6908279 n
8,7810240

log Q sin HF+G)
logQcoBi(F+G)

7,6916143n
7,7579761

iiF-G)

HF^G)

—4 38 41 54
319 21 38,05

logP =logi?cosicp , 8,7824527
logQ =logÄsm|^cp . 7,8778355

F

V

f

V

G

E
E'

314 42 56,51
310 55 29,64
318 30 23,37
324 0 19,59
320 52 15,53
327 8 23,65

Hinc^cp =

7 6 0 935
cp — 14 12 1,870

logR 8,7857960

Ad calculum confirmandum
ilog2cosy 0,1500394

^log(/ + a;) = log- . . . 8,6357566

V

8,7857960

ilogrr' .
logsüi/ .
C.logsin^

0,3264939
8,8202909
1,2621765

log sin cp . .
log 20 62 65

9,3897262
5,3144251

logh . .
log cos Cp

0,4089613
9,9865224

logeinsecundis
log sin E . . . .
log sin ^ . . .

4,7041513

9,8000767n

9,7344714n

logp .
loga .
logÄ: .
I log a

0,3954837
0,4224389
3,5500066
0,6336584

4,5042280n

log«

2,9163482
1,3411160

Est itaque

==824"79J
tempus t =

4,2574642
motiis medius diurnus
9 . Motus medius intra
1809r'07=5°r3l"07

log e sin E

log e sin E'

esm.E=^ — 31932"l4=:— 8°52'r2"l4
esmE'= — 2 745 5,08
Hinc anomalia media
pro loco primo
pro secundo

4,4386227n

7 3735,08

:329 4427,67
334 4558,73

Differentia

= 5

1 31,06

RELATIONES INTER LOGOS PLUBES IN ORBITA. 119

II. In exemplo altevo fit / = 31°27' 38"3 2, lo =: — 2l'50"5 65, / =
0,08635659, logmTO = 9,3530651, ^^ sive valor approximatus ipsius h =
0,2451454; liuic in tabula IL respondet log-?/// = 0,1 7 22663, unde deducitur
^' = 0,15163477, a; = 0, 06527818, hinc e tabula IIL sumituv S = (i,0002531.
Quo valoreadhibitoprodeuntvalorescorrecti h = 0,2450779, logyy = 0,1 722303,
^ = 0,15164737, x = 0,06529078, 6 = 0,0002532. Quodsi cum hoc valore
ipsius c, unica tantum unitate in figura septinia a priori diverso, calculus denuo
repeteretur: ä, logj/?/, x mutationem sensibilein non acciperent, quamobrem va-
lor inventus ipsius x iam est verus, statimque inde ad determinationein elemen-
torum progTedi licet. Cui hie non immoramur, quum nihil ab exemplo praece-
dente differat.

IIL Haud abs re erit, etiam casum alterum ubi cos/ negativus est exem-
plo illusti-are. Sit v — r:=224°o'o", sive /=: 1 12° o' O", logr ^ 0,1394892,
log?-' = 0,3978794, t = 206,80919 dies. Hie invenitur w = -f 4° 14'43"78,
L = 1,8942298, logil/J/= 0,6724333, valor primus approximatus ipsius
log i7 = 0,64 67603, unde per solutiouem aequationis 15*. obtinetur ]r =
1,591432, acdein ic = 0,037037, cui respondet, in tabula IIL, E = 0,0000801.
Hinc oriuntur valores correcti \ogH = 0,6467931, Y= 1,5915107, x =
0,0372195, ? = 0,0000809. Calculo cum hoc valore ipsius ? denuo repetito
prodit a.- = 0,0372213, qui valor, quum ? inde haud mutata prodeat, nulla
amplius correctione indiget. Invenitur dein -^ff = ll''7'25"40, atque hinc per-
inde ut in exemplo I.

i{F—G) = 3°33'53"59 log P = logi? cos ,]- 9 . . 9,9700507

i{F-\-G) = 8 26 6,38 logf^» = logÄsin^cp. . 9,8580552

F '^= 1159 59,97 icp = 37°4l'34"27

V =—100 0 0,03 9= 75 23 8,54

v =z +123 59 59,97 logii* 0,0717096

(jT = 4 52 12, 79 Ad calculi coufirmatinnem eniitin-

F = — 17 22 38,01 log^j/—2cos/ !.: .f. 0,0717097

E' ^4- 27 7 3,59

In oi'bitis tam excentricis angulus cp paullulo exactius computatur per formulam
19*., quae in exemplo nostro dat '^ = 75° 23' 8 "5 7; excentricitas quoque e maiori

120 LIBER I. SECTIO III.

praecisioiie determinatur per formulam 1 — 2 sin (4 5° — {-(fY quam per sincp;
secundum illam fit e = 0,96764630.

Per formulam 1. porro invenitur log& = 0,65 7661 1 , uude logp =
0,0595967, \oga= 1,2557255, atque logarithmus distantiae in perihelio =
log-^ =z \oga{i—e) = log-Zjtang(45°— i^cp) = 9,7656496.

In orbitis tantopere ad parabolae similitudinem vergentibus loco epochae
anomaliae mediae assignari solet tempus transitus per perihelium ; intervalla inter
hoc tempus atque tempora duobus locis propositis respondentia determinari po-
terunt ex elementis cognitis per metliodum in art. 4 1 . traditam, quorum differentia
vel summa (prout perihelium vel extra duo loca proposita iacet vel intra) quum
consentii-e debeat cum tempore ^, calculo confirmando inserviet. — Ceterum
numeri huius tertii exempli supersti-ucti erant elementis in exemplo art. 38. et
43. suppositis, quin adeo istud ipsum exemplum locum nostrum primum suppe-
ditaverat : differentiae leviusculae elementorum hie erutorum unice a limitata prae-
cisione tabularum logarithmicarum et trigonometricarum orginem traxerunt.

98.

Solutio problematis nostii pro ellipsi in praecc. evoluta etiam ad parabolam
et hyperbolam transfen'i posset, considerando parabolam tamquam ellipsin, in qua
a et & essent quantitates infinitae, (p = 90°, tandem E^ E\ g, G =^ 0] et
perinde hyperbolam tamquam ellipsin in qua a esset negativa, atque b^ E, E'
g^ (x, cp imaginariae : malumus tarnen his suppositionibus abstinere, problemaque
pro utroque sectionum conicarum genere seorsim tractare. Analogia insignis inter
omnia tria genera sie sponte se manifestabit.

Retinendo in PARABOL A charaeteres p^ v, v\ F, f, r, r , t in eadem signi-
fieatione in qua supra accepti sunt, habemus e theoria motus parabolici:

[1.] |/|i.^cosi(i^-/)
[2.] i/^ = cosi(F+/)

f = tangi(^^+/)-tang-Ki'-/) + 4tang-'(i^+/)^-itangi(i^-//
= {tangi(i^+/)-tangi(i^-/)} . { i + tang-Ki^+/)tang|(i^-/)

+ i (tang i {F +/) - tang i {F -f)y }

2sm/'/r>-' ( 2cos/'/rr' |_ 4siii/"^rr' 1 i

P \ P ^ SPP J'

r-o -| 7, j 2 sin/' COS /".rr' . 4sin/'(rr')'

RELATIONES INTER LOGOS PLURES IN ORBITA. 121

PoiTo deducitur ex multiplicatione aequationum 1. 2.

W i77p = cosi^+cos/

nee non ex additione quadratorum

[5-] ^f^^=l + cosi^cos/
Hinc eliminato cosi^

fß -1 p __ 2rr'sin/^

l- '-' -^ r + r' — 2cos/'t/rr'

Quodsi itaque aequationes 9. 9*. art. 88. hie quoque adoptamus, priorem pro
cos/ positive, posteriorem pro iiegativo, habebimus

L'-J F — 2icos/-

[7*.! sinr/rr'

quibus valoiibus in aequatione 3. substitutis, prodibit, retinendo characteres m,
M in significatione per aequationes 11. 11*. ait. 88. stabilita,

[8.] m = l^-^ili

[8*.] M=—L^-\-iL''

Hae aequationes eonveniunt eum 12. 12*. art. 88., si illic statuatm* g = a.
Hine colligitur, si duo loei heliocentriei , quibus per parabolam satisfit, ita tra-
ctentur , ac si orbita esset elliptica, ex applicatione praeceptoruni art. 9 1 . statim
resultare debere 2; = 0 ; viee versa facile perspicitur , si per praeeepta ista pro-
deat 2; = 0, orbitani pro ellipsi parabolam evadere, quum per aequationes 1.
16. 17. 19. 20. fit b = 00, n = 00, cp = 90°. Determinatio elementorum fa-
cillime dein absolvitur. Pro j^ enim adhibeii poterit vel aequatio 7. art. prae-
sentis, vel aequ. 18. art. 95.*): pro F autem fit ex aequationibus 1. 2. huius
art. tangj^i^ = ^'^v,'^ cotang^y = sin2(ü eotang-^^/, si angulus auxiliaris in
eadem significatione aeeipitur, ut in art. 89.

*) Unde simul patet, 1/ et F in parabola easdem rationes exprimere ut in ellipsi, v. art. 9 5.
G. TH. M. 16

122 LIBER I. SECTIO III.

Hacce occasione adhuc observamus, si in aequ. 3. pro p substituatur va-
lor eius ex 6., prodire aequationem satis notam

ht = \-{r-{-r'-\-co^f.\/rr'){r-\-r' — Icosf .\/rr')^\Jl

99.
In HYPERßOLA quoque characteres p, w, v\ ,/, F, ?■, r\ t in .sisrni-
ficatione eadeni retinemus, pro semiaxi maiori a auteni, qui hie negativus est,
scribemus — a; excentricitatein e perindeutsupraart. 21.etc. statuemus = — p.

Quantitäten! auxiliarem illic per u expressam , statuemus pro loco primo = - »
pro secundo = Cc, unde facile concluditur, c semper esse maiorem quam 1.,
sed ceteris pai'ibus eo minus differre ab 1., quo minus duo loci propositi ab in-
vicem distent. Ex aequationibus in art. 21. evolutis buc ti-ansferimus forma
paullulum mutata sextam et septimam

(e— l)a

[2.] smi.=.,{[/^-[/^))/^^
[3.] cosi.' = i(^/C'c + i/i-Ji/(^«
[4.] sini. =^^Cc-\/^)]/^,^

Hinc statin! demanant sequentes:

[5.] sinF=i«(C-i)/^

[6.] .mf=ia(c-l)\/^

[7.] cosi^=(.(c+i)-(C'+'))^

[8.] cos/=.(.(6'+i)-(c+i))^

Porro fit per aequ. X. ai-t. 21.

j=i.(f+5)-'

KELATIONES INTER LOGOS FLURES IN ORBITA. 123

atque hinc

[9.] :i^=,«(o_i)(c-i)
[•»■] •^' = t<'(CH-,l)(c+i)-2

Haec aequatio 10. cum 8. conibiiiata pi-aebet

[11.] a = — ^ ''

. ' . ... Vv+\^v

Statuendo itaque perinde vit in ellipsi — '- — . = 1 -|- 2?, vel = 1 — 2L,
prout cosy est positivus vel negativus, fit

_,(l-i(/c-^i)')..yY„-

s |i +i (/c— iZ-f) cos/"./rr'

[12*.] a =

Coiuputus quantitatis / vel L hie perinde ut in ellipsi adiumento anguli au-
xiliaiis w instituetur. Denique fit ex aequatione XL art. 2 2. (accipiendo loga-
rithmos liyperbolicos)

f =:i.(C0-^-f+^)-log(7c + logf

= ie(C+i)(c-l)-2logc
sive eliminata C adiumento aequationis 8.

c cos/", i/rr'

'^^L^J L_+-(ec--M-2logc

In hac aequatione pro a substituimus valorem eius ex 12. 12*.; dein cliara-
cterem m vel M in eadem sieiiificatione, quam fommlae 11. 11*. art. 88.
assignant, inti'oducimus ; tandemque brevitatis gTatia scribimus

16

*

124 LIBEK I. SECTIO III.

t(/c-l/i-f=.,

CC 4 log C

Ce rr

■ ns— = ^

quo facto oriuntur aequationes

[13.] ra={^—zf-^{l — zfZ

[13*.] Jf =— (L + z)* + (Z + 2)^Z

quae unicam incognitam z implicant, quum mauifesto sit Z functio ipsius z
per formulam sequentem expressa

^^_ (i+2g)t/(g + g^)-lo!;(/(i + ^) + /^)

100.
In solvenda aequatione 13. vel 13*. eum casum primo seorsim considera-
bimus, ubi z obtinet valorem haud niag-num, ita ut Z per seriem secundum po-
testates ipsius z progredientem celeriterque convergentem exprimi possit. lam fit

adeoquenumerator ipsius ,2'= f-2*-|-f 2- ...; denominator autem fit =22^-)- 32^...,
unde Z ■=■ \ — f 2 . . . Ut legem progressionis detegamus , differentiamus aequa-
tionem

2(2 + 22)^i^ = (l + 22)l/(2 + 22)-l0g(v/(l+2) + j/2)

unde prodit omnibus rite reductis

2(2 + 22)^^+3^(1 + 22)1/(3 + 22)= 41/(2 + 22)

sive

(22+222)^=:4-(3 + 62)^

unde simili ratione ut in art. 90. deducitur

ry 4 4.6 I 4.6.8 4.6.8.10 3 , 4.6.8.10.12 4 ,

Z ■=■ 2 H 2 2 z A 2* — etc.

3 3.5 I 3.5.7 3.6.7.9 ' 3.5.7.9.11

Patet itaque, Z prorsus eodem modo a — 2 pendere, ut suprain ellipsi X ab x\
quam obrem si statuimus

EELATIONES INTER LOGOS FLURES IN ORBITÄ. 125

•7 «

l + AC^ + Ü
determinabitur etiam C perinde per — z ut supra \ per a;, ita ut habeatur

[14.] C = ^^

2

, TT"

•rTZ+ —

1+^

l + nii

1 -(- etc.

sive

C =

2

zz

1 + i-i-zH

4 0

1+^

1+ '*^

1 4- etc.

Hoc modo computati sunt valores ipsius C pro 2 = 0 usque ad z ^ 0,3 per
singulas partes millesimas, quos columna tertia tabula III. exhibet.

Introducendo quautitatem C statuendoque \J{1 — 2) = - vel y/(iy-j-3) = y >

nee non

[15-] |:^7^:c =^'' ^^^

[15 .] izr|-_7c — ■«
aequationes 13. 13*. hancce formam induunt

[16.] kzi^y =1,

[16*.] ^^i^=i7

adeoque omnino ideuticae fiunt cum iis ad quas in ellipsi perventum est (15. 15*.
art. 9 1 .). Hinc igitur, quatenus li vel H pro cognita haberi potest, y vel Y
deduci poterit, ac dein erit

l^Q LI^EE I. S^pTIO m.

[17.1 Z = I

r , „ * 1 MM T

[17*.] z = ^~L

Ex his colligitur, omiies operationes supra pro ellipsi praescriptas perinc^e etiam
pro hyperbola valere, donec e valore approximato ipsius li vel H eruta fuerit

quantitas y vel Y\ dein vero qiiantitas / vel L — yy i I^^^^ in ellipsi

positiva evadere debebat, in parabolaque = 0, fieri debet negativa in hyperbola:
hoc itaque criterio genus sectionis conicae deiinietur. Ex inventa z tabula nosti'a
dabit C, hinc orietur valor correctus ipsius li vel //, cum quo calculus repe-
tendus est, donec omnia ex asse conspirent.

Postquain valor verus ipsius z inventus est, c inde per formulam c :=:
\-\-^z-{-2^{z-\- zz) derivari posset, sed praestat, etiam ad usus sequentes, an-
gulum auxiliarem ?? introducere, per aequationem tang 2 « = 2 j/(z -]- zz) deter-
minandum; hinc fiet c = tang 2 ». -\-\/[l-\- tang 2 n^) = tang(45°-j- n)

102.
Quum in hyperbola perinde ut in ellipsi y necessario esse debeat positiva,
solutio aequationis 16. hie quoque ambiguitati obnoxia esse nequit*): sed re-
spectu aequationis I 6 *. hie paullo alite^" ratiocinanduni est quam in ellipsi. Ex
aeq«ationi|m thßoria fackle dßipoi^stratur , pro valore pqsitivo ipsius II**) haue
aequationem (siquideni ullam radicem realem positivam habeat) cum una radice
negativa duas positivas habere, quae vel ambae aequales erunt puta = e /& — ^
= 0,20 60 1, vel altei'a hoc limite maior altei'a minor. lam in problemate nosti'o
(suppositioni superstructo , z esse quantitatem haud magnam , saltem non ma-
iorem quam 0,3, ne tabulae tertiae usu destituamur) necessario semper radicem
maiorem accipiendam esse sequenti modo demonstramus. Si in aequatione 1 3 *.
pro i/ substituitur Y[/(L-{-z)^ prodit Y^ l ^= (L-\- z)Z^(l -\-z)Z, sive
Y"^ - — -^ z -\- ' ,zz ~— — z^ -j- etc., unde facile concluditur, pro valoribus

*) Vis opus eiit uioueie, tabulain nostram II. in hyperbola perinde ut in ellipsi ail solutionem
Jiuius aequationis adhiberi posse, quamdiu Ji ipsius liinites non egrediatiir.

**) Quantitas H manifeste fieii nequit negativa, nisi fuerit ^>J: tali autem valori ipsius C re-
sponderet val<jr ipsius s maior quam 2,684, adeoque limites huius raethodi longa egrediejis.

KELATIONES INTEK LOGOS PLUHES IN ORBITA.

127

tarn parvis ipsius z, quales hie suppoiiimus, seiiiper fieri debere 3^^0,20601.
Revera calculo facto invenimus, ut (l-\- z)Z huic limiti aequalis fiat, esfee debere
z z= 0,79858: multum vero abest, quin inethodum nostram ad tautos valores
ipsius z exteudere veliinus.

103.

Quoties z valorem niaioi-em obtinet, tabulae III. limites egredieutein,
aequationes 13. 13*. tuto semper ac commode in forma sua iioii mutata teii-
tando solventur, et quidem ob rationes iis similes quas in art. 94. pro ellipsi ex-
posuimus. In tali casu elenieiita orbitae obiter salteni cognita esse supponere
licet: tum vero valorapproximatus ipsius n statim habetur per formulam tang-2n^
Tr — > quae sponte demanat ex aequatioue 6. art. 99. Ex n autem habe-

" ' ' 1 pn*? 5 OT Sin H" t • • •

bitur z per formulam z = — = - , -ir- , et ex valore approximato ipsius

■*■ Z COS i W (- OS ^ li

z paucis tentaminibus derivabitur ille, qui aequationi 13. vel 13*. ex asse satis-
facit. Possunt quoque illae aequationes in hac forma exhiberi

cos 2 )J / ' \

sinn'' \f

cos 2 »

-^°5„ !^ — loghyptang(45°+n)

cos 2 n

tans 2 n"

2l = -{L+^f + 2iL+^f'

\ ' cosin! ' \ ' cos2w;

^i^ - log hyp tang (4 5°+ n)

cos 2n

taug 2 n"

atque sie, neglecta z, statim valor verus ipsius n erul.

104.

Superest, ut ex z, n vel c elementa ipsa determinemus. Statuendo
a\/{ee — l) = 6, habebitur ex aequatione 6. art. 99.

[18.]

siu /'(/)■)•'
tang 2 n

Combinando haue foi'mulam cum 12. 12*. art. 99., eruitur
[19.] l/(e.-l)==tang-l. = ^^°f tang2n

2(1-2)

[19*.]

tang; o = ^

tang/ taug 2 w

(L + z)

128 LIBERI. SECTIO III.

Tinde excentricitas commode atque exacte computatur; ex 6 et ^(ee — l) pro-
dibit per divisionem a, per multiplicationem p, ita ut sit

2(1 — «)cos/'.(/rr' immcosf.y^rr' kktt

tang2»i^ yyta.ug2n^ 4 j/yr/cos/'* tang2n'

— 2 (L+z) cos f. ^ri-' ~23IMcosf.^rr' kktt

tang2»t* FFtang2n* 4 FFr/cos/^tangln'

sinf.tsmgf.^rr' yj/sin/". tang/'./rr' Iyrr'sia2f\^

P 2{l — z) 2 mm l Yt j

— sin/'.tang/'. /r/ —YYsmf.i&n^f.^rr' /I'rr'sin2A*

2{L + z) ■ VMM l Tt j

Expressio tertia et sexta pro p, quae omnino identicae sunt cum formulis 18. 18*.
art. 95., ostendunt, ea quae illic de significatione quantitatum ?/, 1^ tradita sunt,
etiam pro hyperbola valei'e.

E conibinatione aequationum 6. 9. art. 99. deducitur

introducendo itaque i^ et <u, statuendoque C = tang(45°-(-^), fit

[20.] tang 2 i^ = ^44^^
>- J ö sin /^ cos 2 (u

Invento binc (7, habebuntur valores quantitatis in art, 21. per u expressae pro
utroque loco; dein fiet per aequationem III. art. 21.
, , C—c

tangiw' = (Cc + i)taugi.>
sive introducendo pro C, c angulos iV, n

[21.] tangi« = ,os(JV+«)tangi<l<

[22.1 tang.U-'= sin(iV+w)

L 'J ö - cos (2V' — n) tang-|i)<

Hinc detenninabuntur anonialiae verae i\ v, quaruin diflferentia cum 2/ com-
parata simul calculo coiifimiando inserviet.

Denique per formulam XL art. 22. facile deducitur, intervallum temporis
a perihelio usque ad tempus loco piimo respondens esse

__ ;« ^ ( 2 e cos {N+ n) sin (N— n) ^^^^^ tang(4 5°+i\0>

k \ cos2iV"cos2w ö ^" tang(4 6°+»)J

RELATIONES INTER LOGOS FLURES IN OKBITA. 129

et perinde intei-vallum temporis a perihelio usque ad tempus loco secundo re-

spondens

a * f2ecos(iV— n)sin(iV+w) i i , /■ . ,r ' , -\t\ j^ /.-o, xl

= T { cos2J^cos2n loghyptang(45 +^taug(45 -j-n)\

Si itaque tempus primiim statuitur = T — ^f, adeoque secundum = T-\--l-t, fit

unde tempus transitus pei- perihelium inuotescet; denique

[^'■] ' = T'{'SI,"-Ht-g(45- + »)}

quae aequatio, si placet, ad ultimam calculi confirmationem adhiberi potest.

105.
Ad illusti'ationem herum praeceptorum exemplum e duobus locis in artt.
23. 24. 25. 4 6. secundum eadem elemeuta hyperbolica calculatis conficiemus.
Sit itaque v — v =z 48''l2'o" sive /= 24''6'0", log?- = 0,0333585, logr' =
0,2008541, ;== 5 1,49788 dies. Hinc invenitur co=: 2° 45' 28"47, /= 0,05796039,
^^ sive valor approximatus ipsius h = 0,064437 1; hinc, per tabulam IL,
\og2jy = 0,0560848, ^' = 0,05047454, z = 0,00748585, cui in tabula III.
respondet C = 0,00000 32. Hinc fit valor correctus ipsius h = 0,06443691,
log?/?/ = 0,0560846, '"™ = 0,05047456, z = 0,00748583, qui valores, quum
C inde non mutetur, nulla amplius correctione opus habent. lam calculus ele-
mentorum ita se habet:

logz 7,8742399 logtang/ 9,6506199

log(l-|-z) 0,0032389 logitang2w 8,9387394

log/(z + zz) 8,9387394 C.log(Z — z) 1,2969275

log 2 0,3010300 \ogtaug<\i 9,8862868

logtang27i 9,2397694 (}^ = 37''34 59 77

2n =9°5l'll"816 (esse deberet =37 35 O)

n = 4 55 35,908

G. TH. M. 17

130

LIBER I. SECTIO IIl.

logsin/ 9,61101 18

log\/rr' 0,1171063

C.logtaDg2TO ...... 0,7602306

logg 0,4883487

logtaug(i> 9,8862868

loga 0,6020619

logp 0,3746355

(esse debereut 0,60 20 60 0

atque 0,3746356)

logsin(iV— tc) 8,7406274

G. log cos {N-\-n) .... 0,0112902

logcoti({> 0,4681829

logtang^i' 9,2201005

i-v = 9°25'29"97
V = 18 50 59,94
(esse deberet 18 51 O)

löge (»,1010184

loo-tano-2iV" 9,4621341

0.1ogcos2TO 0,0064539

9,5696064
numerus =0,37119863

loghyptang(45°+iV) = 0,28591251
Differentia =0,08528612

log 8,9308783

floga 0,9030928

C.log^; 1,7644186

logT 1,5983897

T = 39,66338

C. log J^ sin/ 0,6900182

logtang2(o 8,9848318

C.logcos2u) 0,0020156

logsint]; 9,7852685

logtang2iV^ 9,4621341

2^V = 16°9' 46"253

N =84 53,127

N—n =39 17,219
N-\-n =13 0 29,035

logsin(iV+«) 9,3523527

CAogcos{N—n) .... 0,0006587

logcot-^(j; 0,4681829

logtang^w' 9,8211943

^v = 33°3r 29"93
v = 67 2' 59,86
(esse deberet 67 3 O)

löge 0,1010184

logtang2n 9,2397694

C.logcos2JV 0,0175142

9,3583020
numerus =0,22819284

logliyptaug(45°+n) = 0,17282621

= 0,05536663

Differentia

log 8,7432480

floga 0,9030928

C.logA- 1,7644186

log2 0,3010300

log^ 1,7117894

t = 51,49788

Distat itaque transitus per perilielium a tempore loco primo respondente 1 3,9 1444
diebus, a tempore loco secundo respondente 65,41232 diebus. — Ceterum difle-
rentias exiguas elementorum hie erutorum ab iis, secundum quae loca proposita
calculata fuerant, tabularum praecisioni limitatae ti'ibuere oportet.

EELATIONES INTER LOGOS FLURES IN OKBITA. 131

106.

In tractatu de relationibus maxime insiguibus ad motum corporum coe-
lestium in sectionibus conicis spectantibus , silentio praeterire non possumus ex-
pressionem elegantem temporis per semiaxem maiorem, summam r-\-r' atque
chordani duo loca iungentem. Haec forinula pro parabola quidem priino ab ill.
EiLER iuventa esse videtur (Miscell. Beroliii., T. VII. p. 20), qui tarnen eain in
posterum neglexit, neque etiam ad ellipsin et li}perbolam extendit: errant itaque,
qui tbrmulani dar. Lajibekt ti'ibuunt, etianisi huic geometrae meritum, lianc ex-
pressionem oblivione sepultam proprio marte eruisse et ad reliquas sectiones coni-
cas ampliavisse, non possit denegari. Quamquam hoc argumentum a pluribus
geometris iam tractatum sit, tanieu lectores attenti expositionem sequentem haud
superfluam agnoscent. A motu elliptico iidtium tacinius.

Ante omnia observamus, angulum circa Solem descriptum 2/ (art. 88.,
unde reliqua quoque signa desumimus) infra 360° supponi posse; patet enim, si
iste angulus 360° gTadibus augeatur, tempus una revolutione sive ^-^li^° =:
a-X 365,25 diebus crescere. Iam si chordam per p denotamus, manifestum
est fieri

p p := (r cos v — r cos v)^ -j- (/•' sii i v — r sin rf

adeoque per aequationes VIII. IX, art. 8.

pp = aa{cosE' — cos^^-j- aa cos cp^ (sin ^' — äinEf

Introducanius angulum auxiliarem h talem, ut sit cos A = e cos 6^ ; simul, quo
omnis ambiguitas tollatur, supponemus, h accipi inter 0 et 180°, unde sin/i
erit quantitas positiva. Quoniam itaque etiam g inter eosdem limites iacet (si
enim 2fj ad 3 60° vel ultra ascenderet, motus circa Solem revolutionem inte-
gTam attingeret vel superaret), ex aequatione praecedente sponte sequitur p =
2fl sin 7 sinÄ, siquidem chorda tamquam quantitas positiva consideratur. Quum
poiTO habeatur r -j- r' = 2 a ( 1 — e cosg cos ö) = 2a(l — cos^ cos h) , patet , si
statuatur 7^ — ^ = ö, h-\-i/^=t^ fieri

>2

[ 1 .] r-{- r — p = 2 a ( l — cos 8) = 4 a sin {- o^
[2.] r + r'+p = 2a(l — cose) = 4asin-|-£-

17^

132 LIBER I. SECTIO III.

Denique habetur ht = a^{'2ff — 2e sin_r7 cosG') = (i-{'2g — 2 siii (/ cos/t),
sive

[3.] kt := a^(z — sin s — (o — sin o))

Determinari poterunt itaque, secundum aequationes 1. 2., anguli ö et e
ex r -\- r, p et a : quam obrem ex iisdem quantitatibus determinabitur, secundum
aequationem 3., tempus t. Si magis placet, haec formula ita exhiberi potest:

k t = o/ {arccos ^^ — ■ — ' — - — sin arc cos ^ — -

•2 a — (r + r') + p , • 2 et — (r + r') + p 1
— arc cos ^ — — —^-^ -\- sin arc cos — ^ ^-- \

2a ' 2a i

Sed in determinatione angulorum ö, s per cosinus suos ambiguitas remanet,
quam propius considerare oportet. Sponte quidem patet, o iacere debere inter
— 180° et -|- 180°, atque z inter 0 et 3 60°: sed sie quoque uterque angulus
determinationem duplicem, adeoque tempus resultans quadruplicem admittere
videtur. Attamen ex aequatione 5. art. 88. habemus cosf .\/rr' =^a [cos (/ — cos/t)
= 2a sin ^ 0 sin -J- £ : iam sin ^ s necessario fit quantitas positiva, unde concludi-
mus, cos/" et sin J o necessario eodem signo aflfectos esse, adeoque o inter 0 et
180°, vel inter — 180° et 0 accipiendum esse, prout cos/ positivus fuerit vel
negativus, i. e. prout motus heliöcentricus 2/" fuerit infra vel supra 180°. Cete-
rum sponte patet, pro 2/= 180° necessario esse debere o = 0. Hoc itaque
modo 0 plene determinatus est. At determinatio anguli s necessario ambigua
man et, ita ut semper pro tempore duo valores prodeant, quorum quis verus sit,
nisi aliunde constet, decidi nequit. Ceterum ratio buius phaenomeni facile per-
spicitur: constat enim, per duo puncta data describi posse duas ellipses diversas,
quae ambae focum suum habeant in eodem puncto dato, simulque eundem semi-
axem maiorem*); manifesto autem motus a loco primo ad secundum in bis ellip-
sibus temporibus inaequalibus absolvetur.

*) Descriptin e loco priuio eirculo radio 2 a — r alioque raJio 2 a — r' e loco sociindo, ellipseos
focum alterum in intersectione horum circulorum iacere patet. Quare quum generaliter loquendo duae
semper dentur intersectiones, duae ellipses diversae prodibuut.

EELATIONES INTER LOGOS PLUEES IN OKBITA. 133

107.
Denotando per •/ arcum quemcmique inter —180° et -|-180° situm, et
per s sinum arcus ^ •/ , constat esse

xy =,+ .-. i,=' + 4-.;^<,-^ + f.iil^s' + etc.
Porro fit

i sin y_ = s j/( 1 — äs) = s — I s^ — - ^ s* — ^^ s' — etc.
adeoque

Substituiiiius in hac serie pro s deinceps J- 1/'' ^~'' , et ^ ]/ a ' l'^^^^.^ö
inde proveniunt multiplicamus per a-; ita respective oriuntur series

1 (,. + r- p)* + -a^ . ; (r + ;• - p)^ + ^,- . -L (r + r - p)*
+ 18 4 3^ ■ ,73 ('• + '• — p)* + etc.

i ('• + '•'+ P) - + »V • i (r + r' + p)* + ttV^ . ^ (/• + ?•'+ p)^
+ ttIt-j- • i ('■ + ^•' + p)^ + etc.

quarum summas denotabimus per T, U. lam nuUo negotio patet, quum sit
2sin-^o = + 1/^^ — ^~"^? signo superiori vel inferiori valente prout 2/ infra vel
supra 180° est, fieri a'(ö — sino) =+r, signo perinde determinato. Eodem
modo si pro s accipitur valor minor infra 180° situs, fiet a^(£ — sins) = U;
accepto vero valore altero, qui est illius complementum ad 360°, manifesto fiet
a*(s — sine) = a^360° — U. Hinc itaque colliguntur duo valores pro tempore t

U+T , a' 36(1° U+T

-^, atque — ^ ^

108.
Si parabola tamquam ellipsis spectatur, cuius axis maior infinite magnus
est, expressio temporis in art. praec. inventa transit in -^ ] (r-\- r'-\- p)* IiZ(?'-j- r — p) } :
sed quum haecce formulae deductio fortasse quibusdam dubiis exposita videri
possit, aliam ab ellipsi haud pendeiitem exponenius.

134 LIBERI. SECTIO III.

Statuendo brevitas caussa

tang^w = 6, tang^y' = 6', fit

r = i^ ( 1 + 6 6), r = ip ( 1 + O'fJ')

1—9 9 ' 1— 9'9'

cos V = -^g g- , cos ü = ,;:j:^,

2 9 . - 2 9'

sm V = — TTrs , sm V

i+QO? '""^'^ 1+9' 9'

Hinc fit

r cos v — /• cos V = ^p (66 — 0 6 ) , r sin u' — r sin v =^ p (6' — 6)

adeoque

pp = ipj,(e-e)^(4+(e'+6)^)

lam facile perspicitur

ö _6 = /"^ . ,

cost^cosit)
esse quantitatem positivam: statuendo itaque

Porro fit

,._!_/ = l^(2+ee + ö'6') =i; (7)7] + Hö-ön

quaiuobrem habetur

'^^ = (>i-i(ö-ö)r

Ex aequatione priori sponte deducitur

quoniam yj et , 0 — 6 sunt qiiaiititates positivae; sed quum ^(0' — 6) minor sit
vel raaior quam tj, prout

RELATIONES INTER LOGOS PLÜRES IN ORBITA. 135

Vjv]— i(6' — 6f = 1+00' =: /"^^ ,
positiva est vel negativa, patet, ex aequatioue posteriori concludere oportere

±f-^' ^-^— HO-0)

ubi Signum superius vel inferius adoptanclum est, prout angulus circa solem de-
scriptus infra 180° vel supra 180° fuerit.

Ex aequatioue, quae in art. 9 8. secundain sequitur, porro habemus

^^ = (0-0)((l + ÖO'+K9-ö)^) = (Ö-e)(-^yi + TV(Ö-6)^)
unde sponte sequitur

signo superiori vel inferiori valente, prout 2./ infra vel supra 180° est.

109.
Si in hypei'bola signa a, C, c in eadem significatione accipimus, ut in
art. 99., habemus ex aequationibus VIIL, IX. art. 21.

r ' cos V — r cos v = — \{c — - ) ( C -

i)«

r sinw' — rsinw = \[c, — ^) (6'+ -^)cx|/(ee — l)
adeoque

Supponamus y esse quantitatem per aequationem Y + ~^e(C'-]-^) determi-
natam: cui quum manifesto dm valores sibi invicem reciproci satisfaciant, adop-
tamus eum qui est maior quam 1. Ita fit

p = ia(c--i)(Y-i)
Porro fit

136 LIBERI. SECTIO III.

adeoque

Statuendo itaque \/^-~-^^ =:m, \/^—^-^-^' = n, erit necessario \/c^ — l/— = 2to;

ad decidendam vero quaestionem , uti-um \/^ l/- fiat =:-}-2n an = — 2w,

in quirere oportet, utrum y maior an minor sit quam c: sed ex aequatione 8.
art. 99, facile sequitur, casum priorem locum habere, quoties 2ysitinfra 180°,
posteriorem quoties 2/ sit supra 180°. Denique ex eodem art. habemus

-=i(T+;)(^-l-)-2logc = l(c-f-y-ift-^)-logcf + log^-

=: 2m^( 1 + wm) + 2 7?|/( 1 -|- w») — 2 log (j/( 1 -|- mm) -\- m) + 2log (\/{ 1 -j- n n) -(- w)

signis inferioribus semper ad casum 2j"^ IS0° speetantibus. lam

log (|/( 1 -}- wi wi) -f- to)
facile evolvitur in seriem sequentem

m — 4- . 4 7?z^ + 4- • — m^ — 4- • -^-^ TO^ + etc.

•''' 1*2.4 2.4.6 '

Hoc sponte colligitur ex d\og{\/(l-\-mm)-\-m) = -^t^-^^—.. Prodit itaque

2m\/{l-j-7nm) — 2 log (^/( 1 -|- ??i ?«) + w) = iUm^ — i^ , ^ m^ -\- j- ' ^ m' — etc.)

et perinde formula alia prorsus similis, si 7« cum n permutatur. Hinc tan-
dem colligitur, si statuatur

— TSTTiT • i (^ + »■' — p)' + etc.

ü=i (r + /+ p)^ - Vt . ^ ('• + r'+ p)* + T^T.^ (r + /•'+ p)*
— TTTTT • ^3 (r + r'+ p)^ + etc.

EELATIONES INTER LOGOS PLUKES IN OKBITA. 137

fieri

quae expressiones cum iis, quae in art. 107 traditae sunt, omnino coincidunt,
si illic a in — a niutetur.

Ceterum hae series tum pro ellipsi tum pro hyperbola ad usum pi'acticum
tunc inprimis sunt commodae, ubi a vel a valorem pei'magnum obtinet, i. e.
ubi Sectio conica magnopere ad parabolae similitudinem vergit. In tali casu etiam
ad Solutionen! pi'oblematis supra tractati (art. 85 — 105.) adliiberi possent: sed
quoniam, nosti'o iudicio, ne tunc quidem brevitatem solutionis supra traditae
praebent, buic metbodo fusius exponendae non immoramur.

G. TU. M. 18

SECTIO QUAETA

Belatt'ones inter loeos plwes in spatio.

HO.

Relationes in hac Sectione considerandae ab orbitae indole independentes
solique suppositioni innixae erunt, oinnia orbitae puncta in eodem piano cum Sole
iacere. Placuit autem, hie quasdani simplicissinias tantiim attingere, aliasque
magis complicatas et speciales ad Librum alterum nobis reservare.

Situs plani orbitae per duos locos corporis coelestis in spatio plene deter-
minatus est, siquidem hi loci non iacent in eadem reeta cum Sole. Quare quum
duobus potissimum modis locus puncti in spatio assignare possit, duo hinc pro-
blemata solvenda se offerunt.

Supponemus primo, duos locos dari per longitudines et latitudines helio-
centricas resp. per ^, )^ ; 6,6 designandas: distantiae a Sole in calculum non
ingredientui'. Tuuc si longitudo nodi ascendentis per ß , inclinatio orbitae ad
eclipticam per i denotatur, erit

tang 6 = taug i sin (k — ^)
tang6' = tangz' sin (X' — ^)

Detemiinatio incognitarum ß, tangi hie ad problema in art. 78. 11. conside-
ratum refertur ; habemus itaque , ad normam solutionis primae

tang i sin (X — ß) = tang 6

tang^• cos(X-^) = ^£gil=l-|lcos(X^

LIBERI. SECTIO IV. KELATIONES INTER LOGOS PLURES IN SPATIO. 139

ad normam solutionis tertiae autem invenimus ß per aequationem

taug (J- X + -^ X — ß) — üiT^I^ZTg)

utique aliquauto commodius, si anguli 6, 6' immediate dantur, neque vero per
logarithmos tangentium : sed ad determinandum /, recurrendum erit ad aliquam
fonnularum

x„„™ • _ taugS _ tangg'
taug i — gi^()^__5^) — sin(x'_ft)

Ceterum ambiguitas in determinatione anguli X — ß, vel iX + i^X' — ^ per
tangentein suam ita erit decidenda, ut tangz positiva evadat vel negativa, prout
motus ad eclipticam proiectus directus est vel retrogradus : haue iucertitudinem
itaque tunc tantum tollere licet, ubi constat, a quanam parte corpus coeleste a
loco primo ad secundum pervenerit ; quod si igiioraretur, utique impossibile esset,
nodum ascendentem a descendente distinguere.

Postquam anguli ß, ^ luven ti sunt, eruentur argumenta latitudinum u\
u per formulas

ta^g^. = t-^BiiM^) tang^' = '--^^-^)

O cos» 1 ° COS!

quae in semicirculo primo vel secundo accipienda sunt, prout latitudines respon-
dentes boreales sunt vel austi'ales. His tbrmulis adliuc sequentes adiicimus, e
quibus, si placet, una vel altera ad calculum confirmandum in usum vocari potent:

cosi/ = cos 6 cos(X — ß), cosii = cos 6' cos (X' — ^)

sin 6 • ' sinS'

sm u = -r-^ , sm u =■ -^^

. / ' 1 \ sinfX — X' — 2 ,(>) cos 0 cos 6' • / ' \ BiaCX' — X) cos 8 cos?'

sm (u + u) = — ^ -^ , sm (m — ii) = — ^^ '—.

111.

Supponanms secundo, duos locos dari per distantias suas a tribus planis in
Sole sub angiilis rectis se secantibus; desigiiemus has distantias pro loco primo
per x^ ij^ ,2, pro secundo per x\ y\ .?', supponamusque planum tertium esse
ipsam eclipticam, plani primi et secimdi autem polos positives in longitudine N
et %{)"-{- N sitos esse. Ita erit per ait. 53., duobus radiis vectoribus per r, r
designatis,

18*

140 LIBER I. SECTIO IV.

X =^ r COS u COS {N — ^) -|- r sin u sin {N — ft) cos ^

y = r sin II cos (iV — ß ) cos ?' — r cos ?< sin (A'' — ^)
2 r=: r sin ^^ sin ^

x' =^ ?• cos u ' cos (iV — ft) -)- r ' sin « ' sin (^V — ß) cos i
y = r'sin«<'cos(iV — -ß) cos«' — ?-'cosM'sin(^ — ^)
z' = r' sinu' sini

Hinc seqnitnv

sy' — ys' ^= rr' sin (u — M)sin(JV — ^^) sinz
xs' — sx =^ rr'sin(M' — u) cos(N — fl) sin^
xy — yx = rr'sin(M' — u) cos^

E combinatione formulae primae cum secunda liabebitui* N — ft atque
r?''sin(M' — ?<)sin?', hinc et ex formiüa tertia prodibit ^ atque ?-r'sin(?/' — u).

Quatenus locus, cui coordinatae x\ y\ s respondent, tempore posterior
supponitur, u' niaior quam a fieri debet: quodsi itaque insuper constat, uti-um
angulus iiiter locum primum et secundum circa Solem descriptus duobus rectis
minor an maior sit, ?-r'sin(M — »)sin/ atque rr'sin(^f' — u) esse debent quan-
titates positivae in casu primo , negativae in secundo : tunc itaque N — ^Q si'ie
ambiguitate determinatur , simulqiie ex signo quantitatis xy — yx' deciditur,
utrum motus dü-ectus sit, an reti'ogTadus. Vice vei'sa, si de motus directione
constat, e signo quantitatis xy' — yx decidere licebit, utrum u' — u minor an
maior quam 180° accipiendus sit. Sin vero tum motus directio, tum indoles
anguli circa Solem descripti plane incogiütae sunt, manifestum est, inter nodum
ascendentem ac descendentem distinguere nou licere.

Cetei'um facile perspicitur, sicuti cosi est cosinus inclinationis plani orbi-
tae versus planum tertium, ita sin(i\^ — ^)sin^, cos(N^—Q,) Bmi esse resp.
cosinus inclinationum plani orbitae versus planum primum et secundum; nee non
exprimere rr'sin(a' — «) duplam aream ti-ianguli inter duos radios vectores in-
clusi, atque sy' — ys'; xz' — sx^ xy' — yx duplam aream proiectionum eius-
dem trianguli ad singula plana.

Denique patet, planum tertium pro ecliptica quodvis aliud planum esse
posse, si modo omnes magnitudines per relationes suas ad eclipticam definitae
perinde ad planum tertium, quidquid sit, referantur.

EELATIONES INTER LOGOS PLURES IN 8PATIO. 141

112.

Sint x\ y ", s" coordiiiatae alicuius loci tertii, atqiie u" eius argumen-
tum latitudinis, r" radius vector. Desiguabimus quantitates rV"sin(^/" — •«'),
r r " sin (ii " — ?/), r r ' sin {ii ' — «), quae sui it areae duplae triangulorum inter radium
vectorem secundum et tertium, primum et tertium, prinmm et secundum, resp.
per n, n', n". Habebnntur itaque pro .r", ,?/", s" expressiones iis similes, quas
in art praec. pro x^ ,y, .*■ et x', ^', s' tradidimus, unde adiumento lemmatis I.
art. 78. facile deducuntur aequationes sequentes:

0 :=:: nx — n 'x'-{- n "x "
ü = ny — n'y'^n"y"
0 ^^ nz — n's' -\-n"z"

Sint iam longitudines geocentricae corporis coelestis tribus illis locis respondentes
a, a', Gt"; latitudiues geocentricae 6, 6' 6"; distantiae a terra ad eclipticam pro-
iectae o, o, o"; jjorro respondentes longitudines heliocentricae terrae iv, 11 11' \
latitudines -ß, B\ B", quas non statuinnis =0, ut liceat, tum parallaxis ra-
tionem habere, tum, si placet, pro ecliptica quodvis aliud planum adoptare; deni-
que D , r/, D" distantiae terrae a Sole ad eclipticam proiectae. Quodsi tunc
X, y^ z per Z/, i?, D, a, 6, o exprimuntur, similiterque coordinatae ad locum se-
cundum et tertium spectantes, aequationes praecedentes sequentemformaminduunt:

[l.] 0 = »« (ö cos a -|- D cos i) — w'(o'cosa'+i)'cosi')-t-ra"(ö"cosa"-|-X>"cosiy")
[2.] 0 =: «(Ssina-f-Dsini) — n'(o'sina'-f- D'sinL') -)- n"(ö"sina"+ D'sinL")
[3.] 0 = «(ötangS -f-Dtangi?) — «'(o tang6'4-i)'tangi?'i -|-n"(o'tang8"+Z'"tangjS")

Si hie a , 61 , Z) , iv , B quantitatesque analogae pro duobus reliquis locis , tam-
quam cognitae spectantur, aequationesque per n, vel per w', vel per n" divi-
duntm-, quinque in cognitae remanent, e quibus itaque duas eliminare, sive per
duas quascunque tres reliquas determinare licet. Hoc modo illae tres aequationes
ad conclusiones plurimas gravissimas viam sternunt, e quibus quasdam imprirais
insignes hie evolvemus.

113.
Ne formularum prolixitate nimis obruamur, sequentibus abbreviationibus
uti placet. Primo designamus quantitatem

142 LIBERI. SECTIO IV.

taug 6 sin (ci" — a) -|- tang-6'sm(a — a ") -f- tang 6 " sin (a ' — a) per (0. 1.2):

si in expressione illa pro longitiidine et latitudine loco cuivis geocentrico respon-
dentibus substitutintur longitudo et latitudo cuilibet trium locorum heliocentrico-
rum terrae respondentes , in signo (0.1.2) numeruni illi respondentem cum nn-
mero romano eo commutamus, qui posteriori respondet. Ita e. g. character (0.1. 1)
expriniet quantitatem

tang 6 sin [L — a ') -\- tang 8 ' sin (a — L) -\- tang B ' sin (a ■ — a)

nee non character (O.O. 2) hanc •

tang 6 sin {a " — L) -\- tang B sin (a — a ") -\- tang 6 " sin {L — et)

Simili modo cliaracterem mutamus, si in expressione prima pro duahus long-itu-
dinibus et latitudinibus geocentricis duae quaecunque heliocentricae ten-ae sub-
stituuntm*. Si duae longitudines et latitudines in eandem expressionem ingi-edientes
tantummodo inter se permutantur, etiam in charactere numeros respondentes per-
mutare oportet: hinc autem valor ipse non mutatur, sed tantummodo e positivo
negativus, e negativo positivus evadit. Ita e. g. fit (0.1.2) = — (0.2.1) =■
(1.2.0) =: — (1.0.2) = (2.0.1) = — (2.1.0). Omnes itaque quantitates hoc
modo oriundae ad sequentes 19 reducuntur

(0.1.2)

(0.1. 0), (0.1.1), (0.1. 11), (ü.0.2), (0.1.2), (0.II.2), (0.1.2), (1.1.2), (II.1.2)
(O.O.l), (O.O.II), (O.I.II), (l.O.I), (l.O.n); (1.1.11), (2.0.1), (2.0.II), (2.LII)

quibus accedit vig^sima (O.I.II).

Ceterum faeile demonsti-atur , singulas has «xpressiones , per productum e
tiibus cosinibus latitudinum ipsas ingredientium multiplicatas, aequales fieri volu-
mini sextuplo pyramidis, cuius Vertex est in Sole, basis vero triangulum fonnatum
inter tria sphaerae coelestis puncta, quae locis expressionem illam ingredientibus
respondent, statuto sphaei'ae radio = 1. Quoties itaque hi tres loci in eodem
circulo maximo iacent, valor expressionis fieri debet = 0 ; quod quum in tribus
locis heliocenti'icis teiTae semper locum habeat, quoties ad pai-allaxes et latitudi-
nes terrae a perturbationibns ortas non respicimus, i. e. quoties terram in ipso
eclipticae piano constituimus, semper, hacce suppositione valente, erit (O.I.II) = 0,

RELATIONES INTEE LOGOS PLURES IN SPATIO. 143

quae quidem aequatio ideutica est, si pro piano tertio ecliptica ipsa accepta fuit.
Ceteruin quoties tum 5, tum B , tum B" = 0, omnes istae expressiones,
prima excepta, multo simpliciores fiunt; singulae scilicet a secunda usque ad de-
cimam binis partibus conflatae eruut, ab uudecima autem usque ad uudevigesimain
unico termino constabunti

1 14.
Multiplicando aequationem [l.] per sina'tangi?" — sin iv ' taug 6 ", aequa-
tionem [2.] per cosi'tangS" — cosa'tang^", aequationem [3.] per svi\[Li' — a"),
addendoque producta, prodit

[4.] 0 =n{(0.2.II)5 + (O.2.n)Z)}— «'{(1.2.II)8'+(L2.II)Z)'}

similique modo, vel commodius per solaiu locorum inter se permutatiouem

[5.] 0 =«{(0. 1.1)8 + (0. 1. 1)7) ) + «.'{ (2. 1.1)3"+ (IL i.I)Z>"|
[5.] 0 =K'{(l.0.O)§'+(L0.O)i)'[ — «"{(2.Ü.O)8"+(IL0.O)Z)"}

Quodsi itaque ratio quantitatum «, n' data est, adiumento aequationis 4. ex 8
determinai'B licebit 8', vel 8 ex 6'; similiterque de aequationibus 5. 6. E com-
binatione aequationum 4. 5. 6. oritur liaec

r -, (ü.2.II)S + (0-2.II)-P y (l.0.O)o+(I.0.O).D' (2.1.I)o"+(II.l.I)J" _

L '-1 (0. i.I)8 + (0.d.I)D '^ (i.2.II)8'+(I.2.II)J5' ^ (2.o.0)5"+ (11.0.0)2)" — ^'

per quam e duabus distantiis coi'poris coelestis a terra determinare licet tertiam,
Ostendi potest autem, hanc aequationem 7. fiein identicam, adeoque ad determi-
nationem unius distantiae e duabus reliquis ineptam, quoties fuerit

tang 8' tang 8"sin {Ü — L) sin {L — a) + tai ig_B 'tangi?"sin (a" — ■ a')'sin [L — a)
+ tang8"tang6 sin {L — L') sin {L — a ') + tangi?"tangi? sin {a — a") sin [L — d)
+ tang 6 tang 8'siji [Li — L) sin {U — a) + tangi? tangi?'sin (a ' — ot) sin(L" — et")
— tang 8'tangi?"sin (a " — L) sin {L — a) — tangi)*'tang 6"sin {U — d) sin (L — a)

— tang 6"tangi> sin (a — U) sin(jL' — a) — tangi?"tang6 sin [L — a") sin [LI — a')

— tang6 tang^'sin (a' — L) sin (!/" — a") — tangi? tang8'sin {Li — a) sin [Li' — a")

Ab hoc incommodo libera est formula sequens, ex aequationibus 1. 2. 3.
facile demanans:

\ =0

1 44 LIBER I. SECTIO IV. RELATIONES INTER LOGOS PLURES IN SPATIO.

[8.] (0. 1. 2)ÖÖ'8"4- (0. 1. 2)Z>ö'8"+ (O.I. 2)Z)'Ö8"+ (0. l.II) Z)"o8'

+(o.i.ii)i>z>"ö+(o. i.ii)DZ)"o'+(0.i.2)DZ)vr'+(o.Ln)i»z)'z)"=o.

Multiplicando aequationem 1. per sma'tang6 '— siua taiig-6', aequatio-
nem 2. per cosa"taiig§' — cos et taug 6 ", aequationem 3. per siu(a' — a), ad-
deudoque producta, prodit

[9.] 0 = w{(0. 1.2) Ö + (0.1.2) Z>)—n'(Ll.2)i>'+ w"(ILl.2)i)"
et perinde

[10.] 0 = «(O.0.2)i)— r/|(0.1.2)o+(0.L2)i)'|+TO"(O.n.2)i)"
[11.] 0 = «(0. 1.0)Z) — »'(0. l.I)i)'+«"{(0. 1.2)ö"+(0. l.II)I>"}

Adiumeiito harum aequationum e ratione inter quautitates «, n n cognita eruere
licebit distantias 8, o, ö . Sed liaecce conclusio 'generaliter tantum loquendo
valet^ exceptiouemque patitur, quoties fit (0. 1.2) = 0. Osteudi enim potest, in
hocce casu ex aequationibus 9. 10. 11. nihil aliud sequi, iiisi relationem neces-
sariani inter quautitates ??, n', n\ et quidem e singulis ti-ibus eandem. Restrictio-
nes analogae circa aequationes 4. 5. 6. lectori perito sponte se oflferent.

Ceterum omnes conclusiones hie evolutae nullius sunt usus, quoties planum
orbitae cum ecliptica coincidit. Si enim 6, 6', 8", 5, B B' omnes sunt ^ 0,
aequatio 3. identica est, ac proin omnes quoque sequentes.

LIBER SECUNDUS

INVESTIGATIO ORBITARUM CORPORUM COELESTIUM
EX OBSERVATIONIBUS GEOCENTRICIS

SECTIO PRIMA

Determinatio orhitae e trihus ubservationibus completis.

115.

Ad determiiiationem completam motus coi'poris coelestis in orbita sua re-
quiruntur elementa Septem^ quorum auteni numerus uno minor evadit, si corporis
massa vel cognita est vel negligitur; haec licentia vix evitari poterit in determi-
natione orbitae penitus adhuc incognitae, ubi omnes quantitates ordinis pertur-
bationum tantisper seponere oportet, donec massae a quibus pendent aliunde in-
notuerint. Quaniobrem in disquisitione praesente massa corporis neglecta elemen-
torum numerum ad sex reducimus, patetque adeo, ad determinationem orbitae
incognitae totidem quantitates ab elementis pendentes ab invicem vero iudepen-
dentes requifi. Quae quantitates nequeunt esse nisi loca corporis coelestis e terra
obsei'vata, quae singula quum bina data subministrent, puta longitudinem et la-
titudinem, vel ascensionem rectam et declinationem , simplicissimum utique erit,
iria loca geocentrica adoptare, quae generaliter loquendo sex elementis incognitis
determinandis sufficient. Hoc problema tamquam gravissimum huius operis spe-
ctandum erit, summaque ideo cura in hac Sectione perti'actabitur.

Verum enim vero in casu speciali, ubi planum orbitae cum ecliptica coin-
cidit, adeoque omnes latitudines tum heliocentricae tum geocentricae natura sua
evanescunt, tres latitudines geocentricas evanescentes haud amplius cousiderare
licet tamquam tria data ab invicem independentia : tunc igitur problema istud in-
determinatum maueret, tribusque locis geocentricis per orbitas infinite multas

G. TU. M. 19

146 LIBER n. SECTIO I.

satisfieri posset. In tali itaque casu necessario quatuor longitudines geocentricas
datas esse oportet, ut quatuor elenieiita incognita reliqua (excidentibus inclina-
tione orbitae et longitudine nodi) detemiinare liceat. Etiauisi vero per principium
indiscernibilium haud expectaudum sit, talem casum iu rerum natura umquam
se oblaturuni esse, tarnen facile praesuniitur, problema, quod in oi'bita cum piano
eclipticae omnino coincedente absolute indeterminatum fit, in orhitis peiyarum
ad ecliiMcam indmatis propter observationum praecisionem limitatam tantum
non indetenninatum manere debere, ubi vel levissimi observationum errores in-
cognitarum determinationem penitus turbare valent. Quamobrem ut huic quoque
casui consulamus, alia sex data eligere oportebit: ad quem finem in Sectione se-
eunda orbitam incognitam e quatuor observationibus determinare docebimus, qua-
rum duae quidem completae sint, duae reliquae autem incompletae, latitudinibus
vel declinationibus deficientibus.

Denique quum omnes observationes nostrae propter instrumentorum sen-
suumque imperfectionem non sint nisi approximationes ad veritatem, orbita, sex
tantum datis absolute necessariis superstructa , erroribus considerabilibus adhuc
obnoxia esse poterit. Quos ut quantum quidem licet extenuemus, summamque adeo
praecisionem possibilem attinganius, via alia non dabitur, nisi ut observationes
perfectissimas quam plurimas congeramus, elementaque ita perpoliamus, ut non
quidem bis vel illis praecisione absoluta satisfaciant, sed cum cunctis quam optime
conspirent. Quonam pacto talem consensum, si nullibi absolutum tarnen ubique
quam arctissimum, secundum principia calculi probabilitatis obtinere liceat, in
Sectione tertia ostendemus.

Hoc itaque modo determinatio orbitarum, quatenus corpora coelestia se-
cundum leges KepleeI in ipsis moventur, ad omnem quae desiderari potest per-
fectionem evecta erit. Ultimam quidem expolitionem tunc demum suscipere li-
cebit, ubi etiam perturbationes, quas planetae reliqui motui inducunt, ad calcu-
lum erunt revocatae: quarum rationem quomodo habere oporteat, quantum qui-
dem ad institutum nosti'um pertiuere videbitur, in Sectione quarta bre\äter iudi-
cabimus.

116.
Antequam determinatio alicuius orbitae ex observationibus geocentricis sus-
cipitur, bis quaedam reductiones applicandae ei-unt, propter nutationem, prae-

DETEEMINATIO OEBITÄE E TRIBUS OBSEEVÄTIONIBUS COMPLETIS. 147

cessioneni, parallaxiii et aberratiouem , siquidem summa praecisio requiritur : iii
crassiori enim calculo has minutias negligei-e licebit.

Planetarum et cometax'um observationes vulgo expressae proferuntur per
ascensiones rectas et declinatioues appaventes, i. e. ad situm aequatoris apparen-
tem relatas. Qui situs quum propter nutatioiiem et praecessionem variabilis adeo-
que pro diversis observationibus diversus sit, ante omnia loco plani variabilis pla-
num aliquod ftxum introducere conveniet, ad quem finem vel aequator situ suo
medio pro aliqua epoclia, vel ecliptica adoptari poterit : planum posterius plerum-
que adhiberi solet, sed prius quoque commodis peculiaribus haud spernendis se
commendat.

Quoties itaque planum aequatoi'is eligere placuit, ante omnia observatio-
nes nutatioue purgaudae, ac dein adhibita praecessione ad epocham quandam ai*-
bitrariam redueendae sunt: haec operatio prorsus convenit cum «a, per quam e
loco stellae fixae observato eiusdem positio media pro epocha data derivatur, adeo-
que explicatione hie non indiget. Sin vero planum eclipticae adoptare constitu-
tum est, duplex metbodus patebit: scilicet vel ex ascensionibus rectis et declina-
tionibus ob nutationem et praecessionem correctis deduci poterunt longitudines et
latitudines adiumento obliquitatis mediae, uude longitudines iam ad aequinoctium
medium x-elatae prodibunt; vel commodius ex ascensionibus rectis et declinatio-
nibus apparentibus adiumento obliquitatis apparentis coraputabuntur longitudines
et latitudines, ac dein illae a nutatioue et praecessione purgabuntur.

Loci terrae singulis observationibus respondentes per tabulas solares com-
putantur, manifesto autem ad idem planum refereudi erunt, ad quod observatio-
nes corporis coelestis relatae sunt. Quamobrem in computo lougitudinis Solls
neglig^etur nutatio; dein vero haec longitudo adhibita praecessione ad epocham
fixam reducetur , atque 180 gradibus augebitur ; latitudini Solls , siquidem eius
rationem habere operae pretium videtur, signum oppositum tribuetur: sie positio
terrae helioceutrica habebitur, quam, si aequator pro platio fundamentali electus
est, adiumento obliquitatis mediae in ascensionem rectam et declinatiou.em ti"ans-
formare licebit.

117.
Positio teiTae hoc modo e tabulis computata ad terrae centrum refereuda
est, locus observatus autem corporis coelestis ad punctum in teiTae superficie spe-

19*

148 LIBEli JI. SECTIO I.

etat: huic dissensui tribus modis reinediuni afferre licet. Potest scilicet vel ob-
servatio ad centrum terrae reduci, sive a parallaxi liberari; vel locus heliocentri-
cus terrae ad locuta ipsum observationis reduci, quod efficitur, si loco Solis e ta-
bulis coinputato parallaxis rite applicatur; vel denique utraque j^ositio ad pun-
ctum aliquod teiiium trausferri, quod commodissime in iiitersectioue radii visus
cum piano eclipticae assumitur: observatio ipsa tunc immntata manet, reductio-
nemque loci terrae ad hoc punctum in art. 72. docuinuis. Methodus prima ad-
hiberi uequit, uisi corporis coelestis distantia a ten-a proxime saltem nota fuerit:
tunc autem satis commoda est, praesertim quoties observatio in ipso meridiano in-
stituta est, ubi sola declinatio parallaxi afficitur. Ceterum praestabit, hanc re-
ductionem loco observato immediate applicare, antequam transformationes art.
praec. adeantur. Si vero distantia a terra penitus adbuc incognita est, ad metho-
dum secundam vel tertiam confugiendum est, et qiiidem illa in usum vocabitur,
quoties aequator pro piano fundamentali accipitur, tertia autem praeferetur, quo-
ties onmes positiones ad eclipticam referre placuit.

118.
Si corporis coelestis distantia a terra alicui observationi respondens proxime
iam nota est, hanc ab effectu aherrationis liberare licet pluribus modis, qui me-
thodis diversis in art. 71. traditis innituntui". Sit t tempus verum observationis;
0 intervallum temporis, intra quod lumen a corpore coelesti ad terram descendit,
quod prodit ducendo 493° in distantiam; l locus observatus, /' idem locus adiu-
mento motus geocenti'ici diurni ad tempus i-)-6 reductus; /" locus / ab ea aber-
rationis parte purgatus, quae planetis cum fixis communis est; L locus terrae
verus tempori t respondens (i. e. tabularis 20 "25 auctus); denique L locus ter-
rae verus tempoiü t — 6 respondens. His ita factis erit

I. / locus verus corporis coelestis ex L visus tempore t — 6
IL /' locus verus corporis coelestis ex L visus tempore t
III. l" locus verus corporis coelestis ex L visus tempore t — 6

Per methodum I. itaque locus observatus immutatus retinetur, pro tempore vero
autem fictum t — 0 substituitur, loco terrae pro eodem computato ; methodus II.
soli observationi mutatiouem applicat, quae autem jjraeter distantiam insuper mo-

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBIJS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 149

tum diurnum requirit; in nietliodo III. observatio correctionem patitur a distantia
11011 peiidentem, pro tempore vero fictuiii /■ — 0 substituitur, sed retento loco ter-
rae teuipori vero respondente. Ex bis methodis prima loiige commodissiiua est,
quoties distantia eatenus iam iiota est, nt reductio temporis 0 praecisione suffi-
ciente computari possit.

Quodsi autein haec distantia penitus adbuc incognita est, iiuUa barum me-
tbodorum immediate applicari potest: in prima scilicet babetur quideiu corporis
coelestis locus geocentricus, sed desideratur tempus et positio terrae a distantia in-
cognita pendentia: in secunda e contrario adsunt baec, deest ille; denique in ter-
tia babetur locus geocentricus corporis coelestis atque positio terrae, sed tempus
deest cum illis datis iungendum.

Quid faciendum est itaque in problemate nostro, si in tali casu solutio re-
spectu aberrationis quoque exacta postulatur? Simplicissimum utiquc est, orbi-
tam primo neglecta abeiTatione determiiiare, quae quuin eöectuin considerabilem
numquam producere possit, distaiitiae biiic ea certe praecisione demanabunt, ut
iam observationes per aliquam metbodorum modo expositarum ab aberratione
purgare, orbitaeque determinationem accuratius iterare liceat. Iam in bocce
negotio metbodus tertia ceteris longe praeferenda erit: in metbodo enim prima
oinnes operationes a positione terrae pendentes ab ovo rursus incboandae sunt: in
secunda (quae ne applicabilis quidem est, nisi tanta observationum copia adsit,
ut motus diurnus inde elici possit) omnes operationes a loco geocentrico corporis
coelestis pendentes denuo instituere oportet: conti'a in teitia (siquidem iam cal-
culus primiis superstructus fuerat locis geocentricis ab aberratione fixarum pur-
gatis) omnes operationes praeliminares a positione terrae et loco geocentrico cor-
poris coelestis pendentes, in computo novo invariatae retineri poterunt. Quin
adeo boc modo primo statim calculo aberrationem complecti licebit; si metbodus
ad determinationem orbitae adbibita ita comparata est, ut valores distantiarum
prodeant prius, quam tempora correcta in calculum introducere opus fuerit. Tunc
aberrationis quidem caussa calculus duplex baud necessarius erit, uti in tractatione
ampliori problematis nostri clarius appai-ebit.

119.
Haud difficile esset, e nexu inter problematis nostri data atque incognitas,
eius statum ad sex aequationes reducere, vel adeo ad pauciores, quum unam

150 LIBEK II. SECTIO I.

alteramve iiicoguitam satis commode eliminare liceret: sed quoniam nexus ille
complicatissinius est, hae aequationes maxime iutractabilis evaderent; incognita-
Tum separatio talis, ut tandem aequatio unicum tautuniiuodo coutiiiens prodeat,
generaliter loquendo*) pro impossibili haberi potest, multoque adeo minus pro-
blematis solutionem integi'ani per solas operationes directas absolvere licebit.

Sed ad duarum aequationum solutionem X = 0, F = 0, in quibus duae
tantum incognitae x, y intermixtae remanserunt, utique reducere licet problema
nostrum, et quidem variis modis. Haud equidem necesse est, ut x^ y sint duo
ex elemeutis ipsis: esse poterunt quantitates quaücunque modo cum elementis con-
iiexae , si modo illis inventis elementa inde commode deiivare licet. Praetei'ea
manifesto haud opus est, ut A', Y per functiones explicitas ipsarum x^ y ex-
hibeantur: sufficit, si cum illis per systema aequationum ita iunctae sunt, ut a
valoribus datis ipsarum ic, y ad valores respondentes ipsarum X, Y descendere
in potestate sit.

120.
Quoniam itaque problematis natura reductionem ulteriorem non permittit,
quam ad duas aequationes, duas iucognitas mixtim implicantes, rei summa primo
quidem in idonea harum incognitarum electione aequationumque adornatione ver-
sabitur, ut tum X et Y quam simplicissime ab ä, y pendeant, tum ex barum
valoribus inventis elementa ipsa quam commodissime demanent: dein vero cir-
cumspiciendum erit, quo pacto incognitarum valores aequationibus satisfacientes
per operationes non nimis operosas eruere liceat. Quod si coecis quasi tentamiiii-
bus tantum efüciendum esset, ing-ens sane ac vix toleraudus labor requireretur,
qualem fere nibilominus saepius susceperunt astronomi, qui cometarum orbitas
per methodum quam indirectam vocant determinaverunt : magnopere utique in
tali negotio labor sublevatur eo, quod in tentaminibus primis calculi crassiores
sufficiuut, donec ad valores approximatos iucognitamm pei-ventum fuerit. Quam-
piimuin vero determinatio approximata iam habetui", rem tutis semper expeditis-
que methodis ad finem perducere licebit, quas autequam ulteiius progrediaoiui*
hie explicavisse iuvabit.

*) Quoties observationes ab inYicem tarn paiiim remotae sunt, ut temjx«uDi üiteivalla tamquam
quantitates infinite parvas tractare liceat, liuiusmodi separatio utique succedit, totumque problema ad solu-
lionem aeqtuitiojiis algebraicae septiini octavive gradus reducrttir.

DETERMINATIO ORBIT AE E TKIBUS OBSEKVATIONIBUS COMPLETIS. 151

Aequationibus X=0, F=0, si pro x, y valores veri ipsi accipiuntur,
ex asse sponte satisfiet; contra si pro x, rj valores a veris diversi substituuntur,
A'^ et Y iude valores a 0 divei'sos iianciscentur. Quo propius vero illi ad veros
accedunt, eo minores quoque valores ipsarum X, 1^ emergere debebunt, quoties-
que illoruni differentiae a veris perexig-uae sunt, supponere licebit, variationes in
valoribus ipsarum A', Y proxime proportionales esse variationi ipsius x, si ^,
vel variationi ipsius y^ si x non mutetur. Quodsi itaque valores veri ipsarum
x, y resp. designantur per 8 , "') , valores ipsarum A', Y suppositioni x =: S -]- X,
^ = Y] -)- |Ji' respondentes per formam X=aX-)-6|ji, y=:=:YX-t-ö[x exbibebun-
tur, ita ut coefficientes a, 6, -[■, ö pro constantibus liaberi queant, dum X et [i
perexiguae manent. Hinc concluditur, si pro tribus systematibus valorum ipsa-
rum .f, ?/, a veris parum diversorum, valores respondentes ipsarum A, Y determi-
nati sint, valores veros ipsarum x^ y inde derivari posse, quatenus quidem suppo-
sitionem istam admittere licet. Statuamus

pro x = a, y z= h fiei'i X ^= A, Y =■ B
x = a, y = h' X= Ä, Y = B'

X = a\ y = h" X = Ä\ Y = B"

habebimusque

A ^a(a^e) + 6(6— Yj), B = ^(a — i) + ö(6— yj)

A' = a(a" — £) + g(&" — Yj), B" = -^ («" — ?) + 8 (&"—/))
Hinc fit, eliminatis a, [5, "c, 8

5- tt (A'B" — A"B') + a'(A"B—AB") + a "[AB' - A'B)

' a:b"—ä'b' + a:'b—ab" + ab'—äb

h (AB " — A"B ') + V (A"B — AB") + b"{AB' — A'B)

^ A'B" — A"B' + A"B — AB" + AB' — A'B

sive in forma ad calculum commodiori

P _, (a ' — g) (A"B — AB") + (a"^a){AB' — A'B)

'^ — ""T A''B"-A"B' + A"B-AB" + AB'-A'B

7 , (b' — b) {A"B — AB ") + (b" -b)(AB' — A'B)

^ "T A'B" - A"B' ^r A"B- AB" + AB' -A'B

Manifesto quoque in bis formulis quantitates a, b, A, B, cum et', b', Ä, B,
vel cum bis a", 6", Ä\ B" permutare licet.

152 LIBER II. SECTIO I.

Ceterum denomiuator communis omnium harum expressiouum, quem etiam
sub fomiam {A — A) {B " — B) — {A — A){B' — B) ponere licet, fit

^ (a 5 — g -f) { (a _ n) {h"— h) — {a "— a) (//— h) \ :

linde patet, «, o, a'\ h, h\ h" ita accipi debere, ut nou fiat jt?:^^ = 'b^^T],"'
alioquin enim haec methodus haud applicabilis esset, sed pro ? et q valores
fractos suggereret , quoriim numeratores et denomiiiatores simul evanescereut.
Simul hinc manifestum est, si forte fiat ao — Sy = 0, eundem defectum me-
thodi usum omnino desti'uere, quomodocunque a, a\ a", &, //, b' accipiau-
tur. In tali casu pro valoribus ipsiiis X formam talem supponere opporteret
aX-|-6[i-|-£XX-(-C^(J--|-0[Ji-[J., similemque pro valoribus ipsius Y, quo facto
analysis methodos praecedenti analogas suppeditaret, e valoribus ipsarum X, Y
pro quatuor systematibus valorum ipsarum x, y computatis harum valores ve-
ros eruendi. Hoc vero modo calculus permolestus evaderet, praetereaque ostendi
potest, in tali casu orbitae determinationem praecisionem uecessariam per ipsius
rei naturam non admittere: quod incommodum quum aliter evitari nequeat, nisi
novis observationibus magis idoneis adscitis, huic argumento hie non immoramur.

12 1,
Quoties itaque incognitarum valores approximati iam in potestate sunt,
veri inde per methodum modo explicatam onmi quae desideratur praecisione de-
rivari possunt. Primo scilicet computabuntur valores ipsarum X, Y istis valo-
ribus approximatis (o, b) respondentes : qui nisi sponte iam evanescunt, calculus
duobus aliis valoribus ab illis parum diversis («', b') repetetur, ac dein tertio
systeniate « ", /> , nisi fortuito ex secundo A'^ et Y evanuerunt. Tunc per for-
mulas art. praec. valores veri elicientur, quatenus suppositio, cui illae formulae
innituntur, a veritate haud sensibiliter discrepat. De qua re quo melius iudicium
ferri possit, calculus valorum ipsarum A", Y cum illis valoribus correctis repe-
tetui" qui si aequationibus A' = 0, F= 0 nondum satisfieri monstrat, certe
valores multo minores ipsarum A", Y inde prodibunt, quam per tres priores
hypotheses, adeoque elementa orbitae hinc resultantia longe exactiora erunt,
quam ea, quae primis hypothesibus respondent. Quibus si acquiescere nolumus,
consultissimum erit, omissa ea hypothesi quae maximas differentias produxerat,
duas reliquas cum quarta denuo lungere, atque sie ad nonnam art. praec. quintum

DETERMINATIO OKBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 153

System a valorum ipsarum x^ ij foniiare: eodemque modo, ubi operae pretium
videbitur, ad hypotbesin sextam etc. progredi licebit, donec aequationibus X= 0,
F = 0 tam exacte satisfactum luerit, quam tabulae logarithmicae et trigonome-
ti'icae permittunt. Rarissime tamen opus erit, ultra systema quartum progredi,
uisi bypotheses primae nimis adbuc a veritate aben-antes suppositae fueriut.

122.

Quum incoguitarum valores in hypotbesi secunda et tertia suppoiiendi quo-
dammodo arbitrarü sint, si modo ab bypotbesi prima non nimis differant, prae-
tereaque caveatiu-, ne ratio (a" — a) : {b" — b) ad aequalitatem buius {a — a) : {b' — b)
convergat, plerumque statui solet a = a, b" = b. Duplex hinc lucrum de-
rivatur: namque non solum formulae pro S, r^ paullo adbuc simpliciores eva-
dunt, sed pars quoque calculi primi eadem manebit in bypotbesi secunda, aliaque
pars in tertia.

Est tamen casus, ubi aliae rationes ab bac consuetudine discedere suadent:
fingamus enira, X babere formam X' — j, atque F banc Y' — i/, functionesque
X', Y' per problematis naturam ita comparatas esse, ut erroribus mediocribus
in valoribus ipsarum a;, // commissis perparum afficiautur, sive ut [j-^y['j:^]'
l'^Z'j, i^\ sint quantitates perexiguae, patetque, differentias iuter valores istarum
functionum systemati z = % y = r^ respondentes, eosque qui ex x ^= a^ i/ := b
prodeunt, ad ordinem quasi altiorem referri posse, quam differentias c — -a, y; — b
at valores illi sunt X' =1, F' = r^, bi vero .Y' = a + ^, Y' =b^B, unde
sequitur, a-\- A, b -{- B esse valores multo exactiores ipsarum x^ «/, quam a, b.
Quibus si bypotbesis secunda superstruitur, persaepe aeqviationibus X=0, F=0
tam exacte iam satisfit, ut ulterius progredi band opus sit; sin secus, eodem modo
ex bypotbesi secunda tertia fonnabitur faciendo a" = d -\- Ä = a -j-A-\- Ä,
f)" r= b'-{-B' = b-{-B-\-B., unde tandem, si nondum satis praecisa reperitur,
quarta ad normam art. 120. elicietur.

12 3.

In praec. supposuimus, valores approximatos incognitarum x, y alicunde

iam baberi. Quoties quidem totius orbitae dimensiones approximatae in pote-

state sunt (ex aliis forte observationibus per calculos anteriores deductae iamque

per novas corrigendae), conditioni iili absque difiicultate satisfieri poterit, quam-

G. TH. M. 20

154

LIBER II. SECTIO I.

cunque siguificationem incognitis tribuamus. Conti-a in detevminatioiie prima
orbitae penitus adhuc ignotae (quae est problema longe difficillimum) neutiquam
indißerens est, quasnam incognitas adhibeamus; arte potius talique modo eligen-
dae sunt, ut valores approximatos ex ipsius problematis natura haurire liceat.
Qu od exoptatissime succedit, quoties tres observationes ad orbitae investio-ationem
adhibitae motum [heliocentricum corporis coelestis non nimis magnum comple-
ctuntur. Huiusmodi itaque observationes ad determinationem primam semper ad-
liibendae sunt, quam dein per observationes magis ab invicem remotas ad lubitum
corrigere conveniet. Nullo enim negotio perspicitur, observationum errores in-
e\itabiles calculum eo magis turbare, quo propiores observationes adhibeantur.
Hinc colligitur, observationes ad determinationem primam haud temere eligendas,
sed cavendum esse, primo ne sint nimis sibi invicem vicinae, dein vero etiam ne
nimis ab invicem distent: in primo enim casu calculus elementorum observationi-
bus satisfacientium expeditissime quidem absolveretur , sed bis elementis ipsis
parum fidendum foret , quinimo erroribus tarn enormiter depravata evadere pos-
sent, ut ne approximationis quidem vice fungi valerent; in casu altero vero arti-
ficiis, quibus ad determinationem approximatam incognitarum utendum est de-
stitueremur, neque inde aliam derivaremus, nisi vel crassissimam ubi hypotheses
multo plures, vel onniino ineptam, ubi tentamina fastidiosissima haud evitare
liceret. Sed de hisce methodi limitibus scite iudicare melius per usum frequentem
quam per praecepta ediscitur: exempla infra tradenda ostendent, ex observationi-
bus lunonis 22 tantum diebus ab invicem dissitis niotumque heliocentricum
7° 35' complectentibns elementa multa iam praecisione gaudentia derivari, ac
vicissim, methodum nostram optimo etiamnum successu ad observationes Cereris
applicari, quae 260 diebus ab invicem distant, motumque lieliocentricum 62°55'
includunt, quatuorque hypothesibus seu potius approximationibus successivis ad-
hibitis elementa optime cum observationibus conspirantia producere.

124.

Progredimur iam ad enumerationem methodorum maxime idonearum prin-
cipiis praecedentibus innixarum, quarum quidem praecipua momenta in libro
primo exposita sunt, atque hie tantum instituto nostro accommodari debent.

Methodus simplicissima esse videtur, si pro x, y distantiae coi-poris coe-
lestis a terra in duabus observationibus accipiantur, aut potius vel logarithmi

DETEKMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. I5§

harum distantianim vel logaritlimi distantiarum ad eclipticam sive aequatorem
proiectarum. Hinc per art. 64, V. elicientm- loca heliocentrica et distantiae a
Sole ad eadem loca peiiinentia; hinc porro per art. 110. situs plani orbitae atque
longitudines heliocentricae in ea; Mnc atque ex radiis Vectoribiis temporibusque
respoiidentibus per problema in artt. 8 5 . . . 105. copiose pei-ti-actatum cuncta
reliqua elenienta, per qiiae illas observationes exacte repraesentari manifestum est
quitunque valores ipsis x^ y tributi fuerint. Quodsi iam per haec elementa
locus geocentricus pro tempore observationis tertiae computatur, huius consensus
cum observato vel dissensus decidet, utrum valores suppositi veri fuerint, an ab
iis discrepent ; unde quum comparatio duplex derivetur, differentia altera (in lon-
gitudine vel ascensione recta) accipi poterit pro X, alteraque (in latitudine vel
declinatione) pro Y. Nisi igitvir valores barum differentiarum X, Y sponte
prodetmt = 0, valores veros ipsarum :c, y per methodum in ai-t, 120 sqq.
descriptam eruere licebit. Ceterum per se arbitrai-ium est, a quibusnam trium
observationum proiiciscamur : plerumque tamen pi'aestat, primam et postremam
adoptare, ca&u special! de quo statim dicemus excepto.

Haecce metliodus plerisque post explicandis eo nomine praeferenda est,
quod applicationem maxime generalem patitur. Excipere oportet casum, ubi
duae observationes extremae motum heliocentricum 180 vel 360 vel 540 etc.
graduum complectuntur ; tunc enim positio plani orbitae e duobus locis heliocen-
tri<iis determinari nequit (art. 110.). Perinde methodum applicare haud conveniet,
quoties motus heliocentricus inter duas observationes extremas perparum differt
ab 180' vel 360° etc. quoniam in hoc casu determinatio positionis orbitae aceu-
rata obtineri nequit, sive j)0tius, quoniam variationes levissimae in valoribus sup-
positis incognitarum tantas variationes in poaitioue orbitae et proin etiam in va-
loribus ipsarum X^ Y producerent, ut hae illis non ampTins proportionales ceTi-
seri possent. Verumtamen remedium hicpraesto est; scilicet in tali casu non
proficiscemur a duabus observationibus extremis, sed a prima et media, vel a
media et ultima, adeoque pro X, Y^ accipiemus ditferentias inter compxitum et
observationem in loco tertio vel primo. Quodsi autera tum locus secundus a primo
tum tertius a secundo propemodum 180 graidibus distarent, incommodum illud hoc
modo tollere non liceret; sed praestat, huiusmodi obsei'vationes , e quibus per rei
naturam detenninatio accurata situs orbitae erui onmino nequit, ad calculum ele-
mentorum haud adhibere.

20*

156 LIBEE II. SECTIO I.

Praeterea haec methodus eo quoque se commendat, quod nuUo negotio
aestimari potest, quantas variationes elementa patiantur, si manentibus locis ex-
tremis medius paullulum mutetur: hoc itaque modo iudicium -ferri poterit quale-
cunque de gradu praecisionis elementis iuventis tribuendae.

125.
Levi mutatioue applicata e metliodo praecedente secundam eliciemus. A
distantüs in duabus observatiouibus profecti, periude ut in illa, cuncta elementa
determinabimus ; ex his vero non locum geoceiitricum pro observatione tertia
computabimus, sed tantummodo usque ad locum heliocentricum in orbita proo-re-
diemur; ex altera parte eundem locum heliocentricum per probleraa in art. 74. 75.
tractatum e loco geocentrico observato atque situ plani orbitae derivabimus; hae
duae determinationes inter se difFereixtes (nisi forte valores veri ipsarum x, y
suppositae fuerint), ipsas X, Y nobis suppeditabunt, accepta pro X differeiitia
inter duos valores longitudinis in orbita, atque pro Y differentia inter duos va-
lores radii vectoris, aut potius logarithmi eius. Haecce methodus iisdem moni-
tionibus obnoxia est, quas in art. praec. attigimus: adiungere oportet aliam, scilicet,
quod locus heliocentricus in orbita e geocentrico deduci nequit, quoties locus terrae
in alterutrum nodorum orbitae incidit; tunc itaque haue methodum apjjlicare non
licet. Sed in eo quoque casu, ubi locus terrae ab alterutro nodorum perparum
distat, hac methodo abstinere conveniet, quoniam suppositio, variationibus parvis
ipsarum x, y respondere variationes proportionales ipsarum A', F, nimis erronea
evaderet, per rationem ei quam in art. praec. attigimus similem. Sed hie quoque
remedium e permutatione loci luedii cum aliquo extremurum, cui locus terrae a
nodis raagis remotus respondeat, petere licebit, nisi forte in omnibus tribus obser-
vatiouibus teri'a in nodorum viciniis versata fuerit.

126,
Methodus praecedens ad tertiam illico sternit viam. Determinentur , per-
inde ut ante, e distantüs corporis coelestis a teira in observatiouibus exti-emis
longitu<lines respondentes in orbita cum radiis vectoribus. Adiumento positionis
plani orbitae, quam hie calculus suppeditaverit, eruatm- ex observatione media
longitudo in orbita atque radius vector. Tunc autem computentur ex his tribus
locis heliocentricis elementa reliqua per problema in art. 82. 83. tractatum, quae

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. Iü7

operatio ab obsei'vationum temporibus independeus erit. Hoc itaque modo iimo-
tesceut tres anomaliae mediae atque motus diurnus, unde ipsa temporum intervalla
inter Observationen! primam et secundam, atque inter secundam et tertiam com-
putare licebit. Horuni differentiae ab intervallis veris pro X et Y accipientur.
Haec methodus minus idonea esset, quoties motus heliocentricus arcum exi-
guum tantum complectitur. In tali enini casu ista orbitae deterniinatio (ut iam
in art. 8 2. monuimus) a quantitatibus tertii ordinis pendet, adeoque jjraecisionem
sufticientem non admittit. Variationes levissimae in valoribus ipsarum x, ij
producere possent variationes permagnas in elementis adeoque etiam in valoribus
ipsarum A", Y neque has illis proportionales supponere liceret. Quoties autem
tres loci motum heliocentricum considex'abileni subtendunt, methodi usus utique
succedet optime, siquidem exceptioidbus in art. praec. explicatis haud turbetur,
ad quas manifesto in liac quoque methodo respiciendum erit.

127.
Postquam tres loci beliocentrici eo quem in art. praec. descripsimus modo
eruti sunt, sequenti quoque modo procedi poterit. Determinentur elementa reli-
qua per problema in artt. 85 . . . 105. tractatum primo e loco primo et secundo
cum intervallo temporis respondente, dein vero eodem modo e loco secundo et
tertio temporisque intervallo respondente: ita pro singulis elementis duo valores
prodibunt, e quorum differentiis duas ad libitum pro X et Y accipere licebit.
Magnojjere hanc methodum commendat commodum haud spernendum, quod in
hypothesibus primis elementa reliqua, pi-aeter duo ea quae ad stabiliendum X
et Y eliguntur, omnino negligere licet, quae in ultimo demum calculo, valoribus
correctis ipsarum .c, y superstructo , determinabuntur sive e sola combinatione
prima, sive e sola secunda, sive quod plerumque praeferendum est e combinatione
loci primi cum tertio. Ceterum electio illorum duorum elementorum, quae gene-
raliter loquendo arbitraria est, magnam solutionum varietatem suppeditat; adop-
tari poterunt e. g. logarithmus semiparametri cum logarithmo semiaxis maioris,
vel prior cum exceutricitate, vel cum eadem posterior, vel cum aliquo horum ele-
mentorum longitudo perihelii; combinari quoque poterit aliquod horum quatuor
elementorum cum anomalia excentiica loco medio in utroque calculo respondente,
siquidem orbita elliptica evaserit, ubiformulae 27 ... 30. art. 96. calculura niaxime
expeditum afferent. In casibus specialibus autem haec electio quadam circum-

158 LIBER II. SECTIO I.

spectioue indiget; ita e. g. in orbitis ad parabolae siinilitudiuem vergeiitibus semi-
axis maior a ipsiusve logarithmus minus idonei forent, quippe quorum variatio- 1
nes immodicae variationibus ipsarum x, y baud proportionales censeri possent:
in tali casu magis e re esset eligere . Sed bis cautelis eo minus immoramur,
quum methodus quinta in art. seq. explicanda quatuor bactenus expositis in Om-
nibus fere casibus pabnam praeripiat.

128.
Desig-nemus tres radios vectores eodem modo erutos ut in art. 125. 126.
per r, r', r"; motum angularem beliocentricum in orbita a loco secundo ad ter-
tium per 2/", a primo ad tertium per 2/', a primo ad secundum per 2^"',
ita ut babeatur f" z=z f-\- f" \ sit porro r'r" sin 2/= w, rr"sin2/'=: n\
rr'sin2y=n ; denique producta quantitatis constantis Ä; (art. 2.) in temporis
intervalla ab observatione secunda ad tertiam, a prima ad tertiam, a prima ad
secundam resp. 6, 6', 6". Incipiatur computus duplex elementorum (perinde ut
in art. praec.) tum ex r, r\ f" et 6 ", tum ex r', r" fy 9: in utroque vero cal-
Qulo nou ad elementa ipsa progredieris, sed subsistes, quamprimum quantitas ea,
quae rationem sectoris elliptici ad triangulum expiimit, supraque (art. 91.) per
u vel — Y denotata est, eruta fuerit. Sit valor buius quantitatis in calculo
primo Tj ", in secundo rj. Habebimus itaque per formulam 18. art. 95. pro
semiparametro p valorem duplicem:

, "« "

!LJL o+..,,a ./.,T — J^

\/p = \r-, atque \/p ^ ^
Sed per art. 82. babemus insuper valorem tertium

4 r r ' »• " sin /■ sin /" siji f"
P == — ■■ —^ — r-, p

qui tres valores manifesto ideutici esse deberent, si pro x^ jj ab initip valores
veri accepti fuissent. Quamobrem esse deberet

r ■fi"n

n-^^n'-\^n" = ' — _-_ »„ .;./,

4Qe"rr'»-"sin/"sin/"sinr n'dfi"

T; r\"nn' 2 tjtj "rr'r" cos /"cos /''cos/'"

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 159

Nisi itaqiie his aequationibus iam in primo calculo sponte satisfit, statuere licebit

^ = log ^/vi
y = 7« — 71 -\-n

2 Tj -rj "r r'r" cos /'cos /' cos f"

Haec methodus applicationem aeque generalem patitur, ac secunda in art.
125. explicata, magnum vero lucrum est, quod in hacce quinta hypotlieses primae
evolutionem elementoriim ipsorum non requirunt, sed in media quasi via sub-
sistunt. Ceterum simulatque in hac operatione eo perventum est, ut praevideri
possit, hypothesin novam a veritate haud sensibiliter discrepaturam esse, in hac
elementa ipsa vel duntaxat ex r, r', /" 6",*vel ex r', r ", /, 6, vel quod praestat
ex /•, r ", y, Ö', determinare sufficiet.

129.

Quinque methodi hactenus expositae protinus ad totidem alias viam ster-
nunt, quae ab illis eo tantum differunt, quod pro x et y loco distantiarum a terra,
inclinatio orbitae atque longitudo nodi ascendentis accipiuntur. Hae igitur me-
thodi novae ita se habent:

I. Determinantur ex x et y duobusque locis geocentricis extremis se-
cundum art. 74. 75. longitudines heliocentricae in orbita radiiqne vectores, atque
hinc et ex temporibus respondentibus omnia reliqua elementa; ex his denique
locus geocentricus pro tempore observationis mediae, cuius differentiae a loco ob-
servato in longitudine et latitudine ipsas X et Y suppeditabunt.

Quatuor reliquae methodi in eo conveniunt, quod e positione plani orbitae
locisque geocentricis omnes tres longitudines heliocentricae in orbita radiique vec-
tores respondentes computantur. Dein autem

IT. elementa reliqua determinantur e duobus locis extremis tantum atque
temporibus respondentibus ; secundum haec elementa calculantur pro tempore ob-
servationis mediae longitudo in orbita atque radius vector, quarum quantitatum
diflferentiae a valoribus prius inventis, i. e. e loco geocentrico deductis, ipsas A",
Y exhibebunt.

III. Aut derivantur orbitae dimensiones reliquae ex omnibus tribus locis
heliocentricis (artt. 82. 83.), in quem calculum tempora non ingrediuntur : dein
temporum intervalla eruuntur, quae in orbita ita inventa inter observationem pri-

160 LIBER II. SECTIO I. :

mam et secimdam, atque inter hanc et tei-tiam elapsa esse deberent, et quoruni
diflferentiae a veris ipsas X, Y nobis suggerent.

IV. Calculantur elementa reliqiia duplici modo, puta tum e combinatione
loci primi cum secundo, tum e combinatione secundi cum tertio, adhibitis tem-
porum intervallis respondentibus. Comparatis hisce duobus elementorum syste-
matibus inter se, e diiferentiis duae quaecunque pro X, Y accipi poterunt.

V. Sive denique idem calculus duplex tantummodo usque ad valores quan-
titatis in art. 91. 'per y denotatae producitur, ac dein pro A", Y expressiones
in art. praec traditae adoptantur.

Ut quatuor ultimis haiiim metbodoi-um tuto uti liceat, loci ten-ae pro Om-
nibus tribus observationibus orbitae nodis non nimis vicini esse debent: contra
usus methodi primae tantummodo requirit, ut eadem conditio in duabus obser-
vationibus extremis locum habeat, sive potius (quoniam locum medium pro ali-
quo extremorum substituere licet), ut e tribus locis terrae non plures quam unus
in nodorum viciniis versentur.

130.
Decem methodi inde ab art. 124. explicatae innituntiir suppositioni , va-
lores approximatos distantiarum corporis coelestis a terra, aut positionis plani or-
bitae , iam in potestate esse. Quoties quidem id agitur , ut dimensiones orbitae,
quarum valores approximati iam alicunde innotuerunt, puta per calculum ante-
riorem observationibus aliis innixum, per observationes magis ab invicem remo-
tas conigantur, postulatum illud nullis manifesto difficultatibus obnoxium erit.
Sed hinc nondum liquet, quonam modo calculum primum aggredi liceat, ubi om-
nes orbitae dimensiones penitus adhuc incognitae sunt ; bic vero problematis no-
stri casus longe gi-avissimus atque difficillimus est, uti iam ex problemate analogo
in theoria cometarum praesumi potest, quod quamdiu geometras torserit, quotque
tentaminibus irritis originem dederit satis constat. Ut problema nostrum recte
solutum censeri possit, manifesto conditionibus sequentibus satisfieri oportet, si-
quidem solutio ad instar normae inde ab art. 119. explicatae exhibetur: Primo
quantitates a;, y tali modo sunt eligendae, ut valores ipsarum approximatos ex
ipsa problematis natura petere liceat , saltem , quamdiu coi-poris coelestis motus
heliocentricus intra observationes non nimis magnus est. Secundo autem requi-
ritur , ut variationibus exiguis quantitatum x , y variationes non nimis magnae

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBüS COMPLETIS. 161

in quiiutitatibus iude derivandis respoudeaiit, ne errores in illarum valoribus sup-
positis forte commissi impediaiit, quominus has quoque pro appi'oximatis habere
liceat. Denique tertio postulamus, ut opei'ationes, per quas a quaiititatibus .?■, y
successive usque ad X^ Y progrediendum est, uou uimis prolixae evadaiit.

Hae couditioiies criterium submiiiistrabunt, secundiim quod de cuiusvis me-
tliodi praestantia iudicium feni potent: adbuc evidentius quidem ea applicationi-
bus frequentibus se manifestabit. Methodus ea, quam exponere iam acciiigimur,
et quae quodanimodo tamquam pars gravissima huius operis consideranda est, illis
couditionibus ita satisfacit, ut nihil amplius desideraudum reliuquere videatur.
Quam autequam in forma ad praxin commodissima explicare aggrediamur, quas-
dam considerationes praeliminares praemittemus , aditumque quasi ad illam, qui
alias forsan obscurior minusque obvius videri possit, illustrabimus atque ape-
riemus.

131.
In art. 1 14. ostensum est, si ratio inter quantitates illic atque in art. 128.
per 11 1 n\ n" denotatas cognita fuerit, corporis coelestis distantias a teiTa per
formulas persimplices determiuari posse. Quodsi itaque pro .r, y assumerentur
quotientes ^, , -, pro his quaiititatibus in eo casu , ubi niotus heliocentricus
inter observationes haud ita magnus est , statim valores approximati , , , se
offeiTent (accipiendo charactei'es 0, 0', 6" in eadem significatione ut in art. 128.):
hiiic itaque solutio obvia problematis iiostri demanare videtur, si ex x et y di-
stantiae duae a terra eliciantiu' , ac dein ad instar alicuius ex quinque methodis
artt. 124 ... 128. procedatm-. Revera, acceptis quoque characteribus ■/], •/]" in
significatione aii;. 128., designatoque analogice per y/ quotiente orto ex divisione
sectoris inter duos radios vectores content! per aream tidanguli inter eosdem , erit
" = fP •^-- 1 "' =(,»•%' 7 patetque facile, si /?, n\ n" tamquam quantitates
parvae primi ordinis spectentur, esse generaliter loquendo r^ — l, r^ — 1, r/' — 1
quantitates secundi ordinis, adeoque valores ipsarum a;, y appi'oximatos Y' i ^f
a veris difPeiTe tantummodo quaiititatibus secundi ordinis. Nihilominus re pro-
pius considerata methodus liaecce omiiino iuepta invenitur, euius phaenomeui
rationem paucis explicabimus. Levi scilicet negotio perspicitur, quantitatem
(0. 1. 2), per quam distantiae in formulis 9. 10. 11. art. 114. multiplicatae sunt,
ad minimum tertii ordinis fieri, conti'a e. g. in aequ. 9. quantitates (O. 1. 2),

G. TH. M. 2 1

162 LIBEK 11. SECTIO I.

(1. 1. 2), (IL 1. 2) primi ordinis; hiiic autein facile sequitur, errorem secundi
ordiuis in valoribus quantitatum t , % commissum producere in valoribus di-
stantiarum errorem ordinis 0. Quainobrem, secuudum vulgarem loquendi usum,
distantiae tunc quoque en-ore finito affectae prodirent, quando temporum inter-
valla infinite parva sunt, adeoque neque has distantias neque reliquas quantitates
inde derivandas ne pro approximatis quidem liabere liceret, methodusque condi-
tioni secundae art. praec. adversaretui".

132.
Statuendo brevitatis gratia

(0. 1.2) = a, [O.I.2)D' = —b, (0.O.2)Z> = c, [0.11.2)0 = d,

ita ut aequatio 10. art. 114. fiat ao =: h -\- c. ^i -\- d.~,-^ coefficientes c et <i
quidem eruut primi ordinis, facile vero ostendi potest, diflferentiam c — d ad
secundum ordinem referendam esse. Hinc vero sequitur, valorem quantitatis
*^" '^'„- ex suppositione approximata n:ii =0:0 prodeuntem errore quarti
tantum ordinis aöectum esse, quin adeo quinti tantum, quoties observatio media
ab extremis aequalibus intervallis distat. Fit enim iste error

c^i + cH" CH^dn" 9Q"(ri — c)(rj"— Tj)

T+l'^ '^n^^^n"' (9 + 9 ") (r; "9 + r, 9 "]

ubi denominator secundi ordinis est, nuraeratorisque factor alter 60"(t? — c) quarti,
alter ■/; " — r^ secundi , vel in casu isto speciali tertii ordinis. Exhibita itaque
aequatione illa In liacce forma

V' 7 , cn-i-dn" n4-n"

ao =6 4- — '; jT- • T—

I n -\- n n

manifestum est, vitium methodi in art. praec. propositae aon inde orivi, quod
quantitates «, 'ii" hisce 0, 0" proportionales suppositae sunt, sed inde, quod
insuper n' ipsi 0' proportionalis statuta est. Hoc quippe modo loco factoris
— ,— , valor minus exactus ^t~ = 1 introducitur, a quo verus

_ 1 , ^^

^ I 2Ti-ft"ir'r" cos fwsf cos f"

quantitate ordinis secundi discrepat (art. 128.).

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSEKVATIONIBUS COMPLETIS. 163

133.

Quam cosiiius angulorum ./, _/ , f\ perinde ut quantitates r^^ r^ " ab uni-
tate differentia secundi ordiuis disci'epent, patet, si pro " , valor approximatus
1 -|- ; — , „ introducatur , errorem quaiii ordmis committi. Quodsi itaque loco
aequationis art. 114. haecce adhibetur

in valorem distantiae o' redmulabit error secundi ordinis, quando observationes
extremae a media aequidistant, vel primi ordinis in casibus reliquis. Sed haecce
nova aequationis illius forma ad determinationem ipsius o ' haud idonea est, quia
quantitates adhuc incognitas r, r' r" involvit.

lam generaliter loquendo quantitates -^ , ^ ab unitate difterentia primi

rr" • • T

ordinis distant, et perinde etiam productum -7^7., : ni casu speciali saepius comme-
morato facile perspicitur, hoc productum differentia secundi ordinis tantum ab
unitate discrepare. Quin adeo quoties orbita ellipsis parum excentrica est, ita
ut excentricitatem tarn quam quantitatem primi ordinis spectare liceat, differentia
'^, ad ordinem uno gradu adhuc altiorem referri poterit. Manifestum est itaque,
errorem illum eiusdem ordinis ut antea mauere, si in aequatione nostra pro —- /r»

Qu" . . „

substituatur — ,3, unde nanciscitur formani sequentem

Continet quidem haec aequatio etiamnum quantitatem incognitam r', quam ta-
rnen eliminari posse patet, quum tantummodo a ö' atque quantitatibus cognitis
pendeat. Quodsi dein aequatio rite ordinaretur, ad octarum gTadum ascenderet.

134.
Ex praecedentibus iam ratio percipietur , cur in methodo nostra pro x , y
resp. quantitates

^-' = P atque ■2{:^?--iy^ = Q

accepturi simus. Patet enimjjnmo, si P et Q tarn quam cogmitae spectentur,
0' inde per aequationem

; , C + dP I . Q \

21*

164

LIBER II. SECTIO I.

deternünari posse, ac dein ö et ö" per aequationes 4. 6. art. 114., quum ha-
beatur

-^ — -^~ f 1 -L _ö \ »:' _ ^ ( 1 I V \

«' 1+PI^ T^ 2»-"']' n' 14-pI^ l~ 2,.>5J

Seeundo manifestum est, in hypothesi prima pro quantitatibus P, Q, quarum
valores exacte veri sunt

«" T, r'r'dü"

rr"rj7)"cos/"cos/"cos/""
9"

statim obvios esse valores approximatos y, 6f)', ex qua hypothesi in determi-
nationem ipsius ö' et ])roin etiam ipsarum o, o", redundabunt errores primi or-
dinis, vel secundi in casu speciali pluries commemorato. Ceterum etiamsi bis
conclusionibus, generaliter loquendo, tutissime fidendum sit, tarnen in casu quo-
dam speciali vim suam perdere possunt, scilicet quoties quantitas (0. 1. 2), quae
in genere est ordinis tertii, fortuito fit = 0, vel tarn parva, ut ad altiorem ordi-
nem referri debeat. Hoc evenit, quoties motus geocentricus in sphaera coelesti
prope locum medium punctum inflexiouis sistit. Denique apparet, ut methodus
nostra in usum vocari possit, necessari(j requiri, ut motus heliocentricus inter tres
observationes m^n nimis raagnus sitr.sed haec restrictio, per problematis compli-
catissimi naturam, nullo modo evitari jjotest, iieque etiam pro incommodo habenda
est, quoniam semper in votis erit, determinationem jirimam orbitae incognitae
corporis coelestis novi quam primuni licet suscipere. Praeterea restrictio illa
sensu satis lato accipi potest, uti exempla infra tradenda ostendent.

135.
Disquisitiones praecedentes eum in finem allatae sunt, ut principia, quibus
methodus nostra innititur, verusque eius quasi nervus eo clarius perspiciantur :
tractatio ipsa autem methodum in forma prorsus diversa exhibebit, quam post
applicationes frequentissimas tamquam commodissimam inter plures alias a nobis
tentatas commendare possumus. Quum in determinanda orbita incognita e tribus
observationibus totum negotium semper ad aliquot hypotheses, aut potius ap-
proximationes successivas reducatur, pro lucro eximio habendum erit, si calculum
ita adornare successerit, ut iam ab initio operationes quam i^lurimas, quae non a
P et § sed unice a combinatione quantitatum cognitarum pendeant, ab Ipsis
hypothesibus separare liceat. Tunc mauifesto has operationes praeliminares, sin-

DETERMINATIO ORBIT AE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 165

gulis hypothesibus communes, semel tautum exsequi oportet, hypothesesque ipsae
ad operationes quam paucissimas reducuntur. Periiide maximi momeuti ei'it, si
iu singulis liypothesibus tisque ad ipsa elementa progredi haud opus fuerit, borum-
que computum usque ad hypothesin postremam reservare liceat. Utroque re-
spectu methodus nostra, quam exponere iam aggredimur, nihil desiderandum
relinquere videtur.

136.
Ante omnia tres locos heliocentricos terrae in spsaera coelesti A, A\ Ä
(Fig. 4.) cum tribus locis geocentincis respondentibus corporis coelestis 5, B\ B"
per circulos maximos iungere, atque tum positionem horum circulorum maxi-
morum respectu eclipticae (siquidem ecli2)ticam pro piano fundamentali adop-
tamus), tum situm punctorum i?, B., B" in ipsis computare oportet. Sint
et, (z', 0.' tres corporis coelestis longitudines geocentricae; §, 6, 6' latitudines,
/, /, / longitudines heliocentricae terrae, cuius latitudines statuimus = 0
(artt. 117. 7 2.). Sint porro y^ T» '(' ■> circulorum maxiraorum ab A^ Ä^ Ä'
resp. ad i?, B\ B' ductorum inclinationes ad eclipticam: quas inclinationes, ut
in ipsarum determinatione normam fixam sequaraur, perpetuo respectu eins eclip-
ticae partis mensurabimus, quae a punctis A, Ä^ A" secundum ordinem signo-
rum sita est, ita ut ipsarum magnitudo a 0 usque ad 360° numeretur, sive quod
eodem redit, in parte boreali a 0 usque ad 180°, in australi a 0 usque ad
— 180°. Arcus AB, AB', Ä'B\ quos semper intra 0 et 180° statuere li-
cebit, designamus per 3, o, ö". Ita pro determinatione ipsarum y, o habemus

o
formulas

[1-1 t-gY = ,-iSS

[2.] tangö =

sin (o — J)
tang (a — l)

COSY

quibus si placet ad calculi confirmationem adiici possunt sequentes:

> sin 6 >• f , i\

suio = -. — , coso = cos 0 cos a — i)

sin Y
Pro determinandis y', o', y ", 8 ", manifesto formulae prorsus analogae habeutur.
Quodsi simul fuerit 6 = 0, et — / = 0 vel =180°, i. e. si corpus coeleste si-
mul in oppositione vel coniunctione atque in ecliptica fuerit, y fieret indetermi-
nata: at supponemus, hunc casum in nulla trium obsei-vationum locum habere.

166 LIBER IT. SECTIO I.

Si loco eclipticae aequator tamquam planum fundamentale adoptatum est,
ad positionem trium circulorum maximorum resjiectu aequatoris determinandam
praeter inclinationes insuper requirentur rectascensiones intersectionum cum ae-
quatore: nee non praeter distantias punctorum i?, //', B ab his intersectionibus
etiam distantias punctorum A^ A\ Ä\ ab iisdem computare oportebit. Quae
quum 'a problemate in art. 110. tractato pendeant, formularum evolutioni hie
non immoramur.

137.

Negotium secundum erit determinatio situs relativi illorum trium circulo-
rum maximorum inter se, qui pendebit a situ intersectionum mutuarum et ab in-
clinationibus. Quae si absque ambiguitate ad notiones ciaras ac generales re-
ducere cupimus, ita ut non opus sit pro singulis casibus diversis ad figuras pe-
culiares recuiTere, quasdam dilucidationes praeliminares praemittere opoi-tebit.
Primo scilicet in quovis circulo maximo duae directiones oppositae aliquo modo
distinguendae sunt, quod fiet, dum alteram tamquam progressivam seu positivam,
alteram tamquam retrogTadam seu negativara consideramus. Quod quum per se
prorsus arbitrarium sit, ut nomiam certam stabiliamus, semper directiones ab
A^ A', A" versus B, B', B" ceu positivas considerabinuis ; ita e. g. si inter-
sectio circuli primi cum secundo per distantiam positivam a puncto A exhibetur,
haec capienda subintelligetur ab A versus B (ut D" in figura nostra); si vero
negativa esset, ipsani ab altera pai'te ipsius A sumere oporteret. Secundo vero
etiam duo haemisphaeria , in quae omnis circulus maxinius sphaeram integram
dirimit, denominationibus idoneis distinguenda sunt: et quidem hemisphaerium
superius vocabimus, quod in superticie inteiiori sphaerae circulum maximum di-
rectione progressiva permeanti ad dextram est, alterum inferius. Plaga itaque
superior analoga erit hemisphaerio boreali respectu eclipticae vel aequatoris, in-
ferior australi.

His rite intellectis, amhas duorum circulorum maximorum intersectiones
commode ab iuvicem distinguere licebit : in una scilicet circulus primus e secundi
regione inferiori in superiorem tendit, vel quod idem est secundus e primi regione
superiore in inferiorem; in altei'a intersectione opposita locum habent. Per se
quidem prorsus arbitrarium est, quasnam intersectiones in problemate nostro
cligere velimus: sed ut hie quoque iuxta norniam iuvariabilem procedamus, eas

DETERMINATIO OKBITAE E TRIBUS OBSEUVATIOXIBUS COMPLETIS. 167

semper adoptabiraus (Z), //, D" iu Fig. 4.), ubi resp. circulus tertius AB" in
secundi ÄB\ tertius iu primi AB^ secundus iu priuii plagam superiorem transit.
Situs harum iutersectiouum deteruiiuabitur per ipsaruui distautias a puuctis Ä et
Ä\ A et Ä\ A et .4', quas simpliciter per Al)^ AD, AD\ A'D\ AD", AD"
desiguabimus. Quibus ita factis circuloruni iucliuatioues mutuae erunt auguli,
qui resp. iu liis intersectionum puuctis D, D\ D" iuter circuloruni se secautium
partes eas contiueutur, quae iu directione progressiva iaceut: has iucliuationes,
semper iuter 0 et 180° accipieudas, per s, t\ s" deuotabimus. Determinatio
harum novem quautitatum incoguitarum e cogiiitis manifesto ab eodem proble-
mate peudet, quod in ai-t. 5 5. tractavimus: habemus itaque aequationes sequentes:

[3.] sin 1- £ sin l {A'D^A "D) = sin \ {V'—V) sin ^ (y"+ t')

[4.] siu4-ecos-J-(Jl'D + ^"i>) = cos ^ {?"— T) sin i (^ " — y')

[5.] cosis sin 4 {A'D — A"D) = sinJ (?" — /')cosi(Y"+7')

[6.] cosle Qm\{A'D — A"D} = cos-i(r — r)cosi(Y" — t')

Ex aequatiouibus 3. et 4. innotesceut -\ [A D -\- A" D) et sin|-£, e duabus reli-
quis \{AD — A"D) et cos|-£; hinc AD, AD et s. Ambiguitas determina-
tioni ai'cuum ^{^A D -\- A'D), \ [AD — A "D) per taugeutes adhaereus couditione
ea decidetur, quod sin^-s et cosi-e jjositivi evadere debent, cousensusque iuter
siu-|-£ et cos|^£ toti calculo coufirmaudo inserviet.

Determinatio quautitatum AD', AD', £ ', AD " , A D ", £ " prorsus simili
modo perficietur, neque opus erit octo aequationes ad hunc calculum adhibeudas
Luc transscribere, quippe quae ex aequ. 3 ... 6. spoute prodeunt, si

A'D\A'D £ j V—l y" f '
cum AD' \ AD' t ! r — l ^" -f
vel cum AD" AD" e" { T — l y' T

resp. commutantur.

Nova adhuc totius calculi confirmatio derivari potest e relatione nuitua
iuter latera angulosque trianguli sphaerici inter puncta D, D', D' formati,
unde demanant aequationes generalissime verae, quaincunque situm haec puncta
habeaut:

üa{AB'~AI)") sin(^'.D — ^'J") üü.{A!'D—A!'D')

sine sine' sine"

168 LIBER 11. SECTIO I.

Deuique si loco eclipticae aequator taniquam planum fundamentale electus
est, calculus mutationem non subit, nisi quod pro teiTae locis heliocentricis A,
Ä, A" substituere oportet ea aequatoi'is puncta, ubi a circulis AB, AB', AB"
secatur; accipiendae sunt itaque pro /, /', /" ascensiones rectae harum inter-
sectionum, nee non pro A D distantia puncti D ab intersectione secunda etc.

138.
Negotium tertium iam in eo consistit, ut duo loci geocentrici extremi cor-
poris coelestis, i. e. puncta i>, B", per circulum maximum iungantur, liuiusque
intersectio cum circulo maximo AB' determinetur. Sit B* haec intersectio,
atque o' — a eins distantia a puncto Ä, nee non a* eius longitudo, 6* latitudo.
Habemus itaque, propterea quod B, B*, B" in eodem circulo maximo iaeent,
aequationem satis notam

0 = tang 6 sin (a " — a *) — tang 6 * sin (a " — a) -|- tang 6 " sin (a * — a)
quae, substituendo tang ^ sin (a* — V) pro tang 6*, sequentem formam induit

cos {a * — / ') I tang § sin (a " — l ') — tang 6 " sin (et — 1')\
- sin (a * — \')\ tang 6 cos (a " — l ') -|- tang ^ sin (a " — a) — tang 6 ' cos (a — V) \

0 =

Quare quum sit tang(a* — l) = cosf 'tang(ö' — a) habebimus

/>/ s tang6sin(a" — V) — tang6"siii(a — X')

tang(0 aj — cosY'(tan<j6eiis(a"— r)-tang6"cos(a — r)) + sinY'sin(a"— a)

Hinc derivantur formulae sequentes, ad calculum numerieum magis accom-
modatae. Statuatur

[7.] tang6sin(a" — /') — tang 6 "sin (a — /') = S
[8.] tang 8 cos (a" — /') — tang 6 "cos (a — l) = Tsini
[9.] sin(a" — a) = Tcosi
(art. 14. IL), eritque

[10.] tang (5—0) = t^^^I^^'^

Ambiguitas in determinatione arcus o — a per tangentem inde oritur, quod cir-
euli maximi AB', BB in duohus punetis se intersecant: nos pro B* semper
adoptabimus intersectionem puncto B proximam, ita ut o semper cadat inter

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBÜS COMPLETIS. 169

limites — 90° et -|-90°, unde ambiguitas illa tollitiir. Plerumque tunc valor
arcus 0 (qui pendet a curvatura motus geocentrici) quantitas satis modica erit,
et quidem generaliter loquendo secundi oi-dinis, si temporum intervalla taraquam
quantitates primi ordinis spectantur.

Quaeiiam modificationes calculo applicandae sint, si pro ecliptica aequator
tamquam planum fundamentale electum est, ex annotatione art. praec. sponte
patebit.

Ceterum manifestum est, situm puncti B* indeterminatum manei'e, si
circuli BB\ AB onniino coinciderent : hunc casum, ubi quatuor puncta
Ä^ -ö, B., B in eodem circulo maxirao iacerent, a disquisitione nostra exclu-
dimus. Conveniet autem in eligendis obsei-vationibus eum quoque casum evitare,
ubi situs horum quatuor punctorum a circulo maximo parum distat: tunc enim
situs puncti B*, qui in operationibus sequentibus magni momenti est, perlevis-
simos observationum errores nimis afficeretur, nee praecisione necessaria deter-
minari posset. — Perinde punctum />* indeterminatum nianere patet, quoties
puncta i), B" in unum coincidunt*), in quo casu ipsius circuli B B" positio
indeterminata fieret. Quamobrem hunc quoque casum excludemus, quemadmo-
dum , per rationes praecedentibus similes , talibus quoque observationibus absti-
nendum erit, ubi locus geocentricus primus et ultimus in puncta sphaerae sibi
proxima cadunt.

139.
Sint in sphaera coelesti C, C, C" tria corporis coelestis loca heliocentrica,
quae resp. in circulis maximis AB^ ÄB\ AB", et quidem inter A et 5, Ä et B.,
Ä et B" sita erunt (ai-t. 64. III.): pi-aeterea puncta C, G\ G" in eodem circulo
maximo iacebunt, puta in eo, quem planum orbitae in sphaera coelesti proiicit.
Designabimus per r, r', r" tres corporis coelestis distantias a Sole; per p, p', p"
eiusdem distantias a terra; per i?, B\ R' terrae distantias a Sole. Porro statui-
mus arcus G'C", CG", GG' resp. = 2/, 2/', 2,/", atque r'r'sm2f = n,
r?- "sin lf T=n, rr'sin 'lf"= »". Habemus itaque f =f^f\ AG-\- GB = 8,
j:G'+ G'B'= 0, Ä'G"-\- G"B"= o", nee non

*) Sive etiam quoties sibi opposita suut, sed de hoc casu non loquimur, quum methodus nostra ad
observationes tantum intervallum complectentes non sit extendenda.
G. TH. M. 2 2

170 LIBER II. SECTIO I.

sino sin vi C sinCB

r p B

'»'

sino' sin^'C" sinC'S

smo

r" — p" — B"

HinG patet, simulac situs puuctorum C, C, C" innotuerit, quaiitltates
?•, /•', ?•", p, p', p" determinabiles fore. lam ostendemus, quomodo ille e quan-
titatibus

elici possit, a quibus metbodum nostram proticisci iani supra declaravimus.

140.
Primo observanius, si iV^ fuerit punctum quodcnnque circuli maximi
GG'C'i distantiaeque piinetorum C, C, C" a puncto N secundum directionem
eandem nunierentur, quae tendit a C ad C , ita ut generaliter fiat

NC— NC = 2/, NC— NC = '2f\ NC— NC = 2f"

haberi aequationem

0 = sin2/sini\^6'— sin2/'siniV6''+sin2/'sm^7J" (I.)

lam supponemus, N accipi in intersectione circulorum maximorum BB*B'\
CG'C, quasi in nodo asceudente prioris supra posteriorem. Designemus per
S, (£ , (E\ !^, 35, 2) resp. distantias punctorum C, C, G", D, D\ D" a cir-
culo maximo BB* B\ ab alterutra ipsius parte positive, ab altera opposita
negative acceptas. Hinc manifesto sin£, sin(£', sin(£' resp. proportionales
eruntipsis sin^C, siniV^C, sin NC\ uiide aequatio (I.) sequentem induit formam

0 = sin2ysin£ — sin 2/"sin(I'-)- si"'^./^^iii^
sive multiplicando per rr'r"

0 ^wrsin(£ — ?i'r' sin S -)-??" r" sin (£" (IL)

DETEKMINATIO OEBITAE E TKIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 171

PoiTO patet, esse sin^ ad sin^', ut sinum distantiae puncti C a 5 ad siiium
distantiae puncti D' a i?, uti'aque distantia secimdum eandem directionem men-
suvata. Habetur itaque

siM [A D — o)

pi'orsusque simili modo eruitur

— siuS =

— siii(£ :

iiü 'S)" sin OB

sin(^D"— S)

sinSsinC'B* smX"sia C'B'

süi(^'j[> — o'+s) sin(^'D"— ä'+a)

. n-' sinSsiuC-B" sin S) 'sin C"^"

^"' * sin {A"D - o") — sin {A"D '- ö")

Dividendo itaque aequatioiiem (II.) per r'siuS", prodit

n.

r sin CB sin (.4"D'— o") . r'iiaV'B* sin {A"D — i")

r"sinC"£"* sin(4i)'-o) ""r"sinC"£"' sin (^'D - 5'+ a)

Quodsi hie arcuui C h per z desigiiamus , pro ?•, ?•', 9'" valores suos ex art.
praec. substituimus, brevitatisque caussa poiiimus

L ^ ^ •-! JJ"sin o" sin {AB'- 5) — "

■Rsinösin(A"i> — o")

JJ"sino"sin(.-lX>'— 5)

r -| Ji'sino'sin(yl".D— ö") 7

L^ 'J E"sino"sin(.4'Z»-5'+G) — "

aequatio nosti'a ita se habebit

7 ' sinte — 0) 1 " /TTT \

0 = (111 — l)n.. — \ . - -^-n (III«)

Coeifficientem h etiani per forinulam sequenteni computare licet, quae ex aequa-
tiouibus modo allatis facile deducitur:

riQl ^V -R'sinö'sin(yli>"— 0) 7

L J iJsinb sm(^X> — o + a)

Calculi confirmandi caussa haud inutile erit, utraque fonnula 12 et 13 uti. Quo-
ties sin {^ÄI) " — 0 -(- a) maior est quam sin [AD — 0 -j- a), tormula posterior a ta-
bularum erroribus inevitabilibiis minus afticietur, quam prior, adeoque huic prae-
ferenda erit, si forte pai-vula discvepantia illinc explicanda in valoribus ipsius h se
prodiderit; conti'a formnlae priori magis fidendum erit, quoties sin {ÄD" — o'-(- a)

22*

172 LIBER U. SECTIO I.

minor est quam sin (ÄD — o -j- a) : si magis placet, medium idoneum inter ambos
valores adoptabitui'.

Calculo examinando sequentes quoque t'ormulae inservire possunt, quamim
tamen derivationem non ita difficilem brevitatis caussa suppriminius:

a sin (;"—;') bsin(r'— 7) sin(o'— s) _, siu(;'— Q

" — B B' • sino' ~r R\

7 JJ'siiio' L'cosocosS"

/?" sin o"* sin (AD — 6) Sias'

ubi U exprimit quotientem . ,,_ . = ^ (g/_ y (art. 138. aequ. 10.).

141.

P + a

Ex P =z - ^ atque aequatione III. art. praec. sequitiu* (n-j- w") _ =
i ^ ^^^- • hincVero et ex Q = 2 (^^' — i)r'' atque

r = — -. — ehcitur

s'ni
Sin z -+- -^7r^—,3 = n jr- — sm (z — 3) , sive

„,. . „-, = o TT^ cos a sm (z — a) — sm a cos (z — a)

Statuendo itaque brevitatis caussa

[14.]

2E"sino''sina

introducendoque angulum auxiliarem to talem ut fiat

sino

tangu) = -^q~p

prodit aequatio (IV.)

c Q sin CO sin z* = sin (z — co — a)

ex qua incognitam z eruere oportebit. Ut angulus cu commodius computetur,
formulam praeced entern pro tangw ita exhibere conveniet

, (P+a)tanga

tang 10:=

\C0S(3 j \eOS5 I

DETERMINATIO OKBITAE E TRIBCS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 173

Quamobrem statiiendo
b

a

r < r 1 (JOS 0 7

[15.] -j =d

[16.]

-1
cosa

tancfo

_b

cosa

liabebimus ad deteniiinandun] to fomiulam simplicissiniam

tangco = -pj^

Computum quantitatum «, i, c, d^ e per formulas 11 ... 16., a solis quanti-
tatibus datis peiidentem, tamquam negotium quartuni consideramus. Quantitates
ft, c, e ipsae non erunt necessariae, verum soli ipsarum logarithmi.

Ceterum datur casus specialis, ubi haec praecepta aliqua mutatione indi-
gent. Quoties scilicet circulus maximus BB cum Ä'B" coincidit, adeoque
puncta i?, B* resp. cum D\ Z>, quantitates o, h valores infinitos nanciscerentur.
Statueudo in hoc casu

J{sinosiu(A'X*"— 6'+s)

M' sin o' sin {A D" — o)

habebimus loco aequationis IIL hancce : 0 = ir /i r , unde faciendo

tan o- CO = T. I r^'"° ri eadem aequatio IV. elicitur.

'^ P+{! — TlCdSo) ' ^

Perinde in casu speciali, ubi a = 0 , fit c infinita atque cu = 0 , unde
factor csinu) in aequatione IV. indeterminatus esse videtur: nihilominus revera
determinatus est, ijisiusque valor

F+a

2iJ"sinÖ'^{6— l)(P+d)

uti levis attentio docebit. In hoc itaque casu fit

si„. = Ä'.inSylit_liaLx*

142.
Aequatio IV., quae evoluta ad ordinem octavum ascenderet, in forma sua
non mutata expeditissime tentando solvitur, Ceterum e theoria aequationum facile

174 LIBER II. SECTIO I.

ostendi potest (quod tarnen lusius evolvere brevitatis caussa hie supersedemus),
haue aequationem vel duas vel quatuor solutiones per valores reales admittere.
In casu priori valor alter ipsius sinz positivus erit, alterum negativum reiicere
oportebit, quia per problematis uaturani /•' negativus evadere nequit. In casu
posteriori inter valores ipsius sin 2 vel unus positivus erit, tresque reliqui nega-
tivi — ubi igitur haud ambiguuin erit, quemnam adoptare oporteat — vel tres
positivi cum uno negative; in hoc casu e valoribus positivis ii quoque si qui ad-
sunt reiici debent, ubi z maior evadit quam 0', quoniam per aliam problematis
conditioneni essentialem p' adeoqueetiam siii(ö' — z) quantitas positiva esse debet.

Quoties observationes mediocribus temporum intervallis ab invicem distant,
pleiamique casus postremus locum habebit, ut tres valores po.sitivi ipsius sin 3
aequationi satistaciant. Inter has solutiones praeter vei-am reperiri solet aliqua,
ubi z parum diftert a 0', modo excessu, modo defectu: hoc phaenomenon se-
quenti modo explicandum est. Problematis nosti-i tractatio analytica ei soli con-
ditioni superstructa est, quod tres corporis coelestis in spatio loci iacere debent
in rectis, quarum situs per locum absolutum terrae positioneinque observatam
deteiTninatur. lam per ipsius rei naturam loci illi iacere quidem debent in iis
rectarum partibus, unde lumen ad ten-am descendit: sed aequationes analyticae
hanc resti-ictionem non agnoscunt, omniaque locorum systemata, qui quidem cum
Kepler! legibus consentiunt, perinde complecti debent, sive a]> hac ten-ae parte
in illis rectis iaceant, sive ab illa, sive denique cum ipsa terra coincidant. lam
hie ultimus casus utique problemati nosti-o satisfaciet, quum teiTa ipsa ad nor-
mam illariun legum moveatur. Hinc patet, aequationes comprehendere debere
Solutionen!, in qua puncta, C, C, C" cum punctis A^ Ä, A" coincidant (qua-
tenus variationes miiiutissimas locis terrae ellipticis a perturbatioiiibus et paral-
laxi inductas negligimus): aequatio itaque IV semper admittere deberet solutio-
nem z := 0 , si pro P et Q valores veri locis terrae respondentes acciperentur.
Quatenus autem illis quantitatibus valores ti-ibuuntur ab his non multum discre-
pantes (quod semper supponere licet, quoties temporum intervalla modica sunt),
inter solutiones aequationis IV. necessario aliqua reperiri debet, quae proxime
ad valorem z = 0' accedit.

Plerumque quidem in eo casu, ubi aecjuatio IV. tres solutiones per valores
positivos ipsius sin 2 adinittit, tertia ex his (praeter veram eamque de qua modo
diximus) valorem ipsius ;; maiorem ((uam 0 sistet, adeoque analytice tantum

DETEEMINATIO OKBITAE E TRIBCS OBSEUX'ATIONIBrS COMPLETIS. 175

possibilLs, physice vero impossibilis erit: tuuc itaque quamnaiu adoptare oporteat
ambiguuui esse nequit. Attamen contingere utique potest, ut aequatio illa duas
solutiones idoiieas diversas adniittat, adeoque problemati nostro per duas orbitas
pvorsus diversas satisfacere liceat. Cetenun in tali casu orbita vera a falsa facile
dignoseetur, quampinmum observatioiies alias niagis i'emotas ad examen revocare
licuei'it.

143,
Siinulac angulus z erutus est, statim habetur r' per aequationeru

, - R'üwl'

sin z
fi

Porro ex aequationibus P ir= ^ atque III. elicimus

nV (P+n)J?'siüo'

n b sin (z — o)

laiu ut fonnulas, secunduni quas situs puuctoruni C, G" e situ puncti C
detenniuaudus est, tali modo ti'actemus, ut ipsarum veritas generalis pro iis
quoque casibus, quos Fig. 4. non monstrat, statim ekiceat, observamus, siuum
distantiae puticti C a circulo maximo CB (positive sumtae in regione supe-
rioi'i, negative in inferiori) aequalem fieri producto ex sins" in siuum distan-
tiae puncti C a D" secundum directionem progressivam mensuratae, adeoque
r=r — sine" sin C''/->= — sin s'sin (z-)- yl'/) "— ö); perinde fit sinus distantiae
puncti G" ab eodeni circulo maximo =^ — sins'sinC'i)'. Manitesto auteni iidem
sinus sunt ut sin CC ad sin CC", sive ut — , ad — „. sive ut nr" ad nr'.
Statuendo itaque G"D'= C", habemus

V" • »" )('}■' sine" . / 1 A' r^" ^'\
r sm C = — „ • ^ — >- fiu\{z-+- AU — o )

Prorsus simili modo statuendo G D'=z (^ eruitur

TTT ■ r 1»'''' sine • / I A'r^ N'\

Vi. rsiuQ = — • ~. — , sm (s-j- AD — o )

11 sine ^ ' '

VII. rmi{^-\-AD"—AD'):=r"P.'^, sm(C-^ Ä'D — Ä'D)

176 LIBER II. SECTIO 1.

Combinando aequationes V. et VI. cum sequentibus ex art. 139. transscriptis

VIII. r"sin {C—Ä'D'-\- o") = R"sm 5"

IX. rsin(C — ÄD'-\-o) = Rsino

quantitates C, C , r, r" ad normam art. 78. inde derivabuntur. Qui calculus
quo commodius absolvatur, formulas ipsas hac attulisse haud ingratum erit. Sta-
tuatur

[17.]
[18.]

sin (Aiy—h)

If'smo"
sm{A"D'—o"}

n r ^ sin £
n" sin £

[19.] -^^^"^=1

[20.] '^^^'^^ = r

Computus barum quantitatum, aut potius logaritbinorum earum, a P et ^ etiam-
num independens, tamquam negotium quintum et ultimum in operationibus quasi
praeliminaribus spectanduni est, commodeque statim cum computo ipsarum a, h
sive cum negotio quarto absolvitur, ubi fit a = -„. — Faciendo dein

n'r' sin£ • / , a' t^ >'\

— ' -. — -,. sin(z-\-A D — o) =p

7

-, . sin {z -\-ÄD" — o") = p"

x(Xj9 — 1) = q

x"(X>"— 1) = (/

eliciemus C et r ex rsinC = Pi rcosC = '/, atque C" et r" ex r"sinC" = ^",
?-"cosC"= q". Ambiguitas in determinandis C et C bic adesse nequit, quia /•
et r" necessario evadere debent quantitates positivae. Calculus perfectus per
aequationem VII. si lubet confirmari poterit.

Sunt tamen duo casus, ubi aliam methodum sequi oportet. Quoties scilicet
punctum D' cum B vel coincidit vel ipsi in spbaera oppositum est, sive quoties
AD' — 0 = 0 vel == 180°, aequationes VI. et IX, necessario identicae esse
debent, fieretque -/ = oo, X^> — 1 =0, adeoque q indeterminata. In boc casu
C " et r" quidem eo quo docuimus modo determinabuntur, dein vero C et r e

DETEBMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 177

combiiiatioue aequationis VII. cum VI. vel IX. elicere oportebit. Fovmulas
ipsas ex art. 7 8. desumendas liuc traiisscribere supersedeinus ; observamus tantuiu-
modo, quod in eo qiioque casu, ubi est ÄD' — ö noii quidem = 0 neque
= 180°, attamen arcus valde parvus, eandeni methodum sequi praestat, quoiiiani
tuiic methodus prior praecisionem uecessariam uon admitteret. Et quidem adop-
tabitur combinatio aequationis VII. cum VI. vel cum IX., prout m\{AD" — AD')
maior vel minor est quam sn\{AD" — o).

Perinde in casu, ubi punctum D\ vel ipsi oppositum, cum B" vel coiu-
cidit vel parum ab eodem distat, determinatio ipsarum C , ?" per methodum
praecedentem vel impossibilis vel parum tuta foret. Tunc itaque C et r quidem
per illam methodum determinabuntur, dein vero C ' et r" e combinatione aequa-
tionis VII. vel cum V. vel cum VIII., prout sin {ÄD — Ä'D') maior vel minor
est quam sm.{Ä'D — o"). Ceterum haud metuendum est, ne simul D' cum pun-
ctis B, B" vel cum punctis oppositis coincidat, vel parum ab ipsis distet : casum
enim eum, ubi B cum B" coincidit, vel perparum ab eo distat, iam supra
art. 13 8. a disquisitione nostra exclusimus.

144.
Arcubus C, C inventis, punctorum 6', C" positio data erit, poteritque
distantia CC"= if ex C, C et t determinari. Sint ?/, u" iuclinationes cir-
culorum maximorum AB^ AB" ad circulum maxinium CO" (quae in Fig. 4.
resp. erunt anguli C'CD' et 180° — CC'D')^ habebimusque aequationes sequen-
tes, aequationibus 3... 6. art. 137. prorsus analog-as:

sin/' sin ^ {li' -{- u) = sin -J s sin | (C+ C )
sin/" cos 4- (w + u) = cos -|- s.' sin 4r (C — C )
cos/' sin J- («'— u) = sin -^ s'cos .J (C-|- C )
cos/' cos 4^ (« " — u) = cos-J-£'cos^(C — C")

Duae priores dabunt -l-(u"-\-u) et sin/', duae posteriores 4-(m" — 1() et cos/';
ex sin/' et cos/' habebitur/. Angulos i-{u"-\-u) et i(u" — m), qui in ultima
demum hypothesi ad determinandum situm plani orbitae adhibebuntur, in hypo-
theslbus primis negligere licebit.
O. TH. M. 23

178 UBKi; II. SECTIO I.

Prorsus siniili modo / ex £, CD et C"D^ nee noii /" ex s", CTy\ CD'
derivari possent: sed tnulto cominodins ad liuuc Hiiein fonnulae seqneiites adhi-
bentur.

sin •2f= rsin 2 f. -,— ,
n r

sin 2 / = r sin 2 / . -r-,

ubi logaritlimi quantitatmu ".,5 !'., iani e calculis praecedentibus adsunt. To-
ttis denique calculus confirmationeni novam inde nauciscetur , quod fiei'i debet
2/-f-2./"'=: 2/": si qua forte differeutia prodeat, nullius carte momenti esse
poterit, siquidem omnes operationes quam accur'atissime peractae f'uerint. Inter-
dum tarnen, calculo ubique septem üguris decimalibus subducto, ad aliquot mi-
nuti secundi partes decimas assurgere poterit, quam si operae pretium videtur
facillimo negotio iuter 2/ et 2/ ' ita dispertiemur, ut logarithmi siuuum aequaliter
vel augeantur vel diminuantur, quo pacto aequationi P = :^.^^-^Yf ^^ ^ omni
quam tabnlue perniittunt ]iracfisione satisfactum erit. Quoties _/" et f parum
difFerunt, diflferentiam illani inter 2 /' et 2/" aequaliter distribuisse sufficiet.

145.
Postquam hoc modo corporis coelestis positiones in orbita determinatae
sunt, duplex elementorum calculus tum e combinatione loci secundi cum teitio,
tum e combinatione primi cum secundo, una cum temporum intervallis respon-
dentibus, inchoabitur. Antequam vero liaec operatio suscipiatur, ijjsa temporum
intervalla quadam correctione opus liabent, siquidem constitutum fuerit, secun-
dum methodum tertiam art. 118. aberrationis ratiouem habere. In hocce scilicet
casu pro temporibus veris ficta substituenda sunt, illis resp. 493p, 493p, 493p"
minutis secundia anteriova. Pro computaridis distantiis p, p, p habemus
t'onnulas

R%m{AD'—Q rsm(AD'—Q

' siii(C — AD'-\-i) sin?

K'iMio—z) r'im(i'—s)

sino

" __ B" sin {A"D'—V') r" sin {A"D'— C ')

P — Sil, (!:"-vi"x» '+?/') — " '' '

DETEinilNATIO OKBITAE E TRIBUS OBSEKVATIONIBUS COMPLETIS. 179

Ceterum si observatioiies ab iuitio statiiu per methoduin primani vel secuu-
flam ai't. 1 I S. ab aberratioiie purgatae fuissent, hicce calculus omittendus, iieque
adeo uecessariuia foret, valores distantiaruiii fi, p', p" eruere, idsi forte ad cou-
firmaudiim, au ii, quibus calculus aberrationuni superstructus erat, satis exacti
fueriiit. Deuique sponte patet, totum istum calculuui tunc quoque supprimeiidum
esse, quaudo aben'ationem omiiino negligere placueiüt.

146.
Calculus elenieutoruiii , hiuc ex ;■', r\ 2/ atque teuiporis iutervallu cor-
recto iuter observationem secuudam et tertiam, cuius productuui in quaiititatem
k (art. 1.) per 0 deuotamus, illiuc ex r, r\ 2/" atque temporis intervallo inter
Observationen! primam et secuudam, cuius productuui per Je esto =6', secuu-
duni niethoduTii in artt. 8 8. . . 105. expositam tantummodo usque ad quantitatem
illic per y denotatani producendus est, cuius valoreni in conibinatione priori per
•rj, in posteriori per vj ' denotabinius. Fiat deinde

i^r; _ pr rV^«r ^y

9-ri" ~ ^ ' »•»•"rir,"cos/-cos/-'cosr ^

patetque, si valoi-es quantitatuni P, Q^ quibus totus hucusque calculus super-
structus erat, ipsi veri fuerint, ev ädere debere P =:^ P^ Q' =^ Q. Vice vex'sa
facile perspicitur, si prodeat P=P^ Q' := Q^ dupliceni elementorum calculuui,
si utrimque ad fineni perducatur, nunieros prorsus aequales suppeditaturuni esse,
per quos itaque omnes tres observatioiies exacte repi'aesentabuiitur, adeoque pro-
blemati ex asse satisliet. Quoties auteni nou fit P = P, Q'= Q^ accipientur
P' — P, Q' — Q pro A'^ et F, siquideni P et Q pro x et ij acceptae fuerint :
adhuc inagis comniodum erit statuere logP = a;, \ogQ = y^ logP' — logP = A'^
log (>' — lüg 4/ = Y. Dein calculus cum aliis valoribus ipsarum .)■, y repe-
tendus erit.

147.
Proprie quideni etiani liic, sicuti in deceni methodis supra traditis, arbi-
trnviiini esset, quosnam valores iiovos pro x et ij in hypothesi secunda suppo-
nanius, si modo conditionibus generalibus supra explicatis uon adversentur: atta-
mcn quuni nianifesto pro lucro magno habenduni sit, si statim a valoribus magis
exaetis proficisci liceat, in metliodo liacce parum prudenter ageres, si valores

23*

180 LIBEi; II. SECTIO I.

secuiidos temere quasi adoptares, quuni ex ipsa rei natura t'acile perspiciatur, si
valores primi ipsarum P, Q levibus erroribus affecti fueriiit, ipsas P , Q
valores iiiulto exactiores exliibituras esse, siquidein motus lieliocentricus fuerit
modicus. Quamobrem semper ipsas P, Q' pro valoribus secundis ipsarum P^ Q
adoptabimus, sive logP', \ogQ' pro valoribus secundis ipsarum .t, y si logP,
log Q primos designare suppositi sint.

lam in liac liypotbesi secunda, ubi omnes operationes praeliminares per
formulas 1 ... 20. exhibitae invariatae retinendae sunt, calculus prorsus simili
modo repetetur. Primo scilicet detei-minabitur angulus to; dein z, r', -■)—„■>
C, r, C , r\ /" , ,/", / ". E differentia plus minusve considerabili inter valores no-
vos harum quantitatum atque primos facile aestimabitur , utrum operae pretium
sit, necne, coiTectionem quoque temporum propter aberrationem denuo compu-
tare: in casu posteriori temporvnn intervalla, adeoque etiam quantitates 6 et 6
eaedem manebunt ut ante. Dei lique ex /, r ', r " ; / ", 7- , r ' temporumque inter-
vallis eruentur r^, r^ atque hin c valores novi ipsarum P', Q\ qui plerumque
ab iis, quos liypothesis prima su])peditaverat, multo minus diiferent, quam lii
ipsi a valoribus pi'iinis ipsarum 7', Q. Valores secundi ipsarum A', Y itaque
multo minores erunt, quam primi, valoresque secundi ipsarum P\ Q tamquam
valores tertii ipsarum P, Q adoptabuntur, et cum bis calculus denuo repetetur.
Hoc igitur niodo sicuti ex liypothesi secunda numeri exactioi-es resultaverant,
quam ex prima, ita e tertia iterum exactiores resultabunt, quam e secunda, pos-
sentque valores tertii ipsarum P , Q tamquam quarti ipsarum P, Q adoptari,
atque sie calculus toties repeti, usque dum ad hypothesin perveniatur, in qua
X et Y pro evanescentibus habere liceret: sed quoties hypothesis tertia nondum
sufficiens videatur, valores ipsarum P, Q in hypothesi quarta adoptaudos se-
cundum methodum in artt. 120. 121. explicatam e tribus primis deducere prae-
stabit, quo pacto approximatio celerior obtinebitur, raroque opus erit, ad hypo-
thesin quintam progredi.

148.

Quoties elementa e tribus observationibus derivanda adhuc penitus iucog-

nita sunt (cui casui methodus nosti-a imprimis accommodata est), in hypothesi prima

ut lam monuimus pro P et Q valores approximati -^ et 66 accipientur, ubi

6 et 0 aliquantisper ex intervallis temporum non correctis derivandae sunt. Quo-

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBI'S OBSKRVATIONIBUS COMPLETIS. 181

nun ratiojie ad iiitervalla correcta per [j. : l et ji": 1 vesp. expressa, habebimus
in hypothesi prima

X = log \x — log ]j."+ log ri — log •/] "

Y := log [1 -f- log |x" — log 7j — log Yj"-|- Comp. log cos/-j- Gouip. log cos/'
-j- Comp, log cos/" -(- 2logr — log?- — logr '

Logarithmi quantitatum [j. , ij." respectu partium reliquarum nullius sunt mo-
menti; logr^ et logr/, qui ambo sunt positivi, in X aliquatenus se invicem
destiaiunt, praesertim quoties temporum intervalla f'ere aequalia sunt, unde X
valorem exiguum modo positivum modo negativum obtinet; contra in Y e par-
tibus negativis log/, et logr/' compensatio quidem aliqua partium positivarum
Comp, log cos/. Comp, log cos/', Comp, log cos/" oritur, sed minus perfecta,
plerumque enim hae illas notabiliter superant. De signo ipsius log^^^',, in genere
nihil determinare licet.

lam quoties motus heliocentricus inter observationes modicus est, raro opus
erit, usque ad liypotliesin quartam progredi: plerumque tertia, saepius iam se-
cunda praecisionem sufficientem praestabit, quin adeo interdum numeris ex ipsa
hypothesi prima resultantibus acquiescere licebit. luvabit semper, ad maiorem
minoremve praecisionis gradum, qua observationes gaudent, respicere: ingratum
enim foret opus, in calculo praecisionem afFectare centies milliesve maiorem ea
quam observationes permittunt. In his vero rebus iudicium per exercitationem
frequentem practicam melius quam per jjraecepta acuitur, peritique facile acqui-
rent facultatem quandam, ubi consistere conveniat recte diiudicandi.

14 9.
In ultima deiuum hypothesi elementa ipsa calculabuntur, vel ex /, r, ?•",
vel ex /', r, r, perducendo scilicet ad finem calculum alteruti'um, quem in
hypothesibus antecedentibus tantummodo usque ad •/] vel r^ " proscqui oportuerat :
si utrumque perficere placuerit, harmonia immerorum resultantium novam totius
laboris conürmationem suppeditabit. Attamen praestat, quam primuin /, / ', f"
erutae sunt, elementa e sola combinatione loci primi cum tertio derivare, puta
ex /', r, r" atque temporis intervallo, tandemque ad maiorem calculi certitudi-
nem locum medium in orbita secundum elementa inventa determinare.

182 LIBERI!. SECTIO I.

Hoc itaque modo sectionis conicae dimensioiies innotescent, puta excentrici-
tas, semiaxis maior sive semiparameter , positio perihelii respectu locorum helio-
centricorum C, C\ C'\ motus medius, atque aiiomalia media pro epocha arbitravia,
siquidem orbita elliptica est, vel tempus transitus per perihelium, si orbita üt hy-
perbolica vel parabolica. Superest itaque taiitmnmodo, ut positio locorum helio-
centricorum in orbita respectu iiodi ascendentis, positio huius nodi respectu puucti
aequinoctialis, atque iiicliuatio orbitae ad eclipticam (vel aequatorem) determi-
nentur. Haec omnia per solutiouem uuius trianguli sphaerici efficere licet. Sit
ß longitudo nodi ascendentis; i inclinatio oi'bitae ; ff et g" argumenta latitudinis
iu observatione prima et tertia; denique l — ß = /^ ^ — ^ = /' • Exprimente
iam in figura quarta ^ iiodum ascendentem, trianguli Q,AC latera erunt AD — C,
ff, h, angulique his resp. oppositi ^', 180' — fj *^* Habebimus itaque

sin -J- i sin { {ff -\- h) = sin ^ (A D ' — C) sin 4 {•{ -\- a)
sin^i cosi^((/-\-h) = cos^{AD' — C)sin4^(-c — u)
cos-f z sin ^{ff — h) = sin J- (^1 B ' — Q cos i (^ -\- u)
cos \ i cos -^{g — h) = cos -J- {A D ' — 1) cos J (7 — u)

Duae primae aequationes dabunt -\-{ff-\-^^) et sin i /, duae reliquae }(^ — li)
et cos 4 ^ ; ex ff innotescet situs perihelii respectu nodi ascendentis, ex h situs
nodi in ecliptica; denique innotescet i, sinu et cosinu se mutuo confirmantibus.
Ad eundem scopum pervenire possumus adiumento trianguli ^A"C'\ ubi tan-
tummodo in formulis praecedentibus characteres ff, h, A, C, '{■, « in ff \ h\ Ä,
C ", y", u" mutare oportet. Ut toti labori adhuc alia conlirniatio concilietur, haud
abs re erit, calculum utroque modo perficere: uiide si quae levisculae differentiae
iiiter valores ipsius /, <Q> atque longitudinis perihelii in oi'bita prodeunt, valo-
res medios adoptare conveniet. Raro tarnen hae ditterentiae ad 01 vel O' 2
ascendent, siquidem onines calculi septem tiguris decimalibus accurate elaborati
fueraiit.

Ceterum quoties loco eclipticae aequator tamquani planum fundamentale
adoptatum est, nulla hinc in calculo ditferentia orietur, uisi quod loco puncto-
rum A, A" intersectiones aequatoris cum circulis maximis AB, AB" acci-
piendae sunt.

DETERMINATIO ORBITAE E TKIBV.S OBSERVATIOXIBUS COMPLETIS.

183

150.

ProgTediiiiur iaiu ad illusti'ationem huius niethodi per aliquot exempla co-
piose explicanda, quae simul evidentissiine osteiident, quam late pateat, et quam
commode et expedite semper ad fiuem exoptatum perducat *).

Exemplum primum planeta uovus luno nobis su2:)peditabit, ad quem fiuem
obsei'vatioues sequeutes Greuovici factas et a cel. Maskelyne nobiscum commu-
uicatas elio-imus.

Temp. med. Grenov.

Asceus. lecta app.

Decl. austr. app.

1804 Oct. 5. 10'' 51" 6"

35 7° 10' 22" 35

6° 4 0' 8"

17 9 58 10

355 43 45,30

8 47 25

27 9 16 41

355 1 1 10,95

10 2 28

E tabulis Solaribus pro ii.sdem tenipoi'ibus invenitur

longit. Solls ab ae-
quiü. ajipar.

nntatio

distantia a terra

latitudoSolis obliqnitas appar.
eclipticae

0,9988839 , — 0 49 , 23 27 59 48

Oct. 5 I 192°28'53"72 , -f 15"43

17 I 204 20 21,54 \ -(- 15,5J j 0,9953908 j +0,79
27 ! 214 16 52,21 , +15,60 0,9928340 | —0,15

59,26
5 9,06

Calculum ita adstruemus, ac si orbita adliuc peuitus iucoguita esset: quani-
obrem loca luuouis a parallaxi libei'are uou licebit, sed haue ad loca terrae trans-
feiTe oportebit. Primo itaque ipsa loca observata ab aequatore ad eclipticam re-
ducimus, adliibita obliquitate appareute, unde prodit:

j Lougit. appar. Iiiuonis , Latit. ai)i);vr. liuioiiis

Oct. 5

17
27

354°44 54"27 \ — 4°59 31 59
352 34 44,51 —6 21 56,25

351 34 51,57

7 17 52,70

Cuui hoc calculo statimiuuglmus determiuationem longitudiiiis et latitudiiiis
ipsius zeuith loci obsevvatiouis iu tribus observationibus: rectascensio quidem cum

*) Male loquuntur, qui methoduni aliquani alia magis mmusve exactam proiumciant. Ea enim sola
methodiis ])i-oblema solvisse censeri potest, per quam quemvis praecisionis gradum attiiigeve saltem in po-
testate est. Quaraobrem raethodus alia alii eo tantiim nomine palmam praeripit, qnod eunclem praecisionis
giadiim per aliam celerius minoriqne labore, per aliam tardius graviorique opera asseqiii licet.

184 LIBER II. SECTIO I.

rectascensione lunonis convenit (quod observationes in ipso iiieridiano sunt factae),
declinatio autem aequalis est altitudiui poli = 51° 28' 39'. Ita obtinemus

, Long, ipsius zenith i latltudo

Oct. 5 24° 29 46° 53'
17 23 25 ' 47 24
27 23 1 47 36

lam ad normam praeceptorum in ait. 7 2. ti-aditorum determinabuntui- terrae loci
ficti in ipso piano eclipticae, in quibus corpus coeleste perinde apparuisset, atque
in locis veris obsei-vationum. Hoc modo prodit, statuendo parallaxin Solls me-
diam = 8"6

, Reductio lougit. lleJuctio distantiae Reductio teniixuis

Oct. 5 j —22' 39 +0,0003856 — 0M9

17 ' —27,21 -)- 0,0002329 —0,12

27 —35,82 +0,0002085 —0,12

Reductio teniporis ideo tantum adiecta est, nt appareat, eam omnino insensibi-
lem esse.

Deinde omnes longitudines tum planetae tum terrae reducendae sunt ad
aequinoctium vernale medium pro aliqua epocha, pro qua adoptabimus initium
anni 1805; subducta itaque nutatione adhuc adiicienda est praecessio, quae pro
tribus observatiouibus resp. est 1187, 10 "23, 8" 86, ita ut pro observatione
prima addere oporteat — 3"56, pro secunda — 5"28, pro tertia — 6 74.

Denique longitudines et latitudines lunonis ab aberratione fixarum purgan-
dae sunt; sie per regulas notas invenitur, a longitudinibus resp. subtrahi debere
1912, 17"ll, 14"S2, latitudinibus vero addi 0"53, l"l8, l"75, per quam
additionem valores obsoluti diminutionem patientur, quoniam latitudines australes
tamquam negativae spectantur.

151.
Omnibus hisce reductionibus rite applicatis, vera problematis data ita se
habent :

DETERMINATIO ORBITÄE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS.

185

Observationum tempora ad nieri

dianum Parisinum reducta . .
lunonis longitiidines a, a , a " . .

latitudines 8, 6, 8'

longitudines teiTae Z, T, T . .
logarithmi distantiarum i?, B\ R

Oct.5, 458644 17,421885 | 27,393077

354°44' 3l"60 352"'34' 22" 1 2 ' 35r34'30"01

— 4 59 31,06 I —6 21 55,07 —7 17 50,95

12 28 27,76 24 19 49,05 34 16 9,65

9,9996826 ' 9,9980979 l 9,9969678

Hiuc calculi art. 13 6. 137. numeros sequeiites producunt

196° 0' 8"36 19r58' 0"33 ' 190''4 l' 40" 17

18 23 59,20 32 19 24,93 43 1142,05

9,4991995 9,7281105 9,8353631

232 6 26,44 213 1 2 29,82 | 209 43 7,47

221 13 57,87

2 19 34,00 j 7 13 37,70

9,0996915

8,7995259

9,9991357

T» Tj T

8, 8', o"

logarithmi siuuuiu

ÄD, AD', AD".

Ä'D, Ä'D\ ÄD".

logarithmi sinuum

log sin 4" £

logcos-J-c

8,6083885

4 55 46,19
8,9341440

PoiTO secundum art. 138. habemus

logtaiig8 8, 941249411 logtaugo' 9,1074080n

logsin(ct"— T) . . . . 9,7332391n logsiu(a — T) .... 9,6935181n
logcos(a" — V) . . . . 9,9247904 logcos(a — V) .... 9,9393180

Hinc

8,5786513

log (tang 8 COS (a " — / ') — tang 8 "cos (a — ^ )) = logTsin t .

logsin(a"— a) = logTcos^ 8,7423191n

Hiiic t = 145°32'57"78 logT 8,8260683

t-\-Y =337 30 58,11 logsiu(<-j-Y) • • • • 9,5825441n

Denique

log (tang 8 sin (a" — T) — tang 8 " sin (a — T)) = log S .... 8,2033319 n

log Tsin (t -f y') ^^ . . . 8,4086124n

unde logtang(3'— a) 9,7947195

0 — 3 = 3r56' 1 r'81, adeoque a = 0° 23' 13" 12.

G. TH. M.

24

186

LIBER II. SECTIO I.

Secundum art. 140. fit

XD — ö" = 191° 15' 18" 85
AD —rj = 194 48 30,62

AD — o" = 198 39 33,17

^'X)_ö'_f- a = 200 10 14,63
AD"—o = 191 19 8,27

AD"—i'-\-'3 = 189 17 46,06

log sin

5)
11

O

11 11

9,2904352n logcos.

9,407542711

9,5050667n

9,5375909n

9,2928554n

9,2082723n

9,9915 66111
9,9853301n

Hinc sequitur

loga 9,5494437, a ==+ 0,3543592

logfe 9,8613533

Formula 13. produceret log& = 9,8613531 , sed valorem illum praefenmus,
quoniam sin {A'D — ^'+a) maior est quam sin (A'D" — 8-|-<')-
Porro fit per art. 141.

3logi?'sinö'. . . . 9,1786252

log 2 0,30 10300

logsiua 7,8295601

7,3092153 adeoque logc =: 2,6907847,

loo-& 9,8613533

logcosa 9,9999901

Hinc eruitur

d =
\ogre =

9,8613632, unde

— 1,3625052
8,392951811

=: 0,7267135.

Deiiique per formulas art. 14 3. eruitur

log-/. 0,091339411

log/" 0,541895711

logX 0,4864480 11

logX" 0,1592352 n

DETEKMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 187.

152.

Calculis praeliminaribus hoc modo absolutis, ad hypotliesiii primam ti-ans-
imus. Intei-valluni temporis (nou coiTectum) inter observationem secundam et
teitiam est dierum 9,971192, iiiter primam et secundam 11,963241. Logarithmi
borum iiumerorum smit 0,9987471 et 1,0778489, mide logO = 9,2343285,
logO ' = 9,3134303. Statuemus itaque ad hypothesin primam

X = logP = 0,0791018
y = \ogQ = 8,5477588

Hiuc fit

P= 1,1997804, P+rt = 1,5541396, P+ rZ =— 0,1627248

löge 8,39295 1811

log(P4-rt) . . 0,1914900
C.log(P+fZ). . 0,7885463 n

log taug CO . . . 9,3729881, unde w =: -)- 13°16'5 l"89, w + a = -(- 13°40'5 Ol.

logQ 8,5477588

logc 2,6907847

logsinw. . . . 9,3612147

log^csinw . . 0,5997582

Aequationi Qc siuio smz* = sin(2 — 13°40'5"0 l) paucis tentaminibus factis satis-
fieri inveuitur per valorem z = 14°35' 4"90, uude fit logsinz = 9,4010744,
logr' = 0,3251340. Aequatio illa praeter haue solutionem tres alias admittit,
puta

z = 32° 2' 28"
z = 137 27 59
z = 193 4 18

Tertiam reiicere oportet, quod sinz negativus evadit; secundam, quod z maior
fit quam o'; prima respondet approximationi ad orbitam terrae, de qua in art. 142.
loquuti sumus.

24*

188 LIBEli 11. SECTIO I.

Porro habemus secundum art. 143.

log^^' 9,8648551

\og(P-\-a) .... 0,1914900
C.logsiii(2 — o) . . 0,6103578

n r

log— . 0,6667029

logP 0,0791018

fi'r'

log^ 0,5876011

z + ^'I> — 0 =2+ 199°47' l"51 := 214°22' 6"4 1 ; logsin =: 9,7516736 n
z-\-ÄD"—c =:2-f- 188 54 32,94 = 203 29 37,84; logsiii = 9,6005923n

Hinc fit

logp = 9,927073511 logp" =0,0226459n

ac dein

\ogq = 0,2930977 11 logt;" = 0,2580086n

unde prodit

C = 203°17'3l"22 logr =0,3300178

C" = 210 10 58, SS logr" =0,3212819

Denique per art. 14 4. obtiiiemus

i-{u"-\-u) = 205°18'10"53
i{u" — u) = — 3 14 2,02
f = 3 48 14,66

logsiii2/'. . . . 9,1218791 logsm2y'. . . . 9,1218791

logr 0,3300 178 logr" 0,3212819

Clog*^ .... 9,3332971 C.log*^^'. . . . 9,4123989

logsin2y .... 8,7851940 logsiii2/" . . . 8,8555599

2/ = 3°29'46"03 2j" =4°6'43"28

Aggregatulli '2/-\- lf" hie a 2/' tantummodo 0"0 1 diflfert.

lam ut tempora propter aberrationem comgautur, distaiitias p, p', p"
per fonnulas art. 145. computare, ac dein per ipsas tempus 493^ vel 0*005706
multiplicare oportet. Ecee calculum

DETERMINATIO OUBITAE K TKIBUS OBSEBV ATIONIBUS COMPLETIS.

189

logr 0,33002 logr' 0,325 13 logr" 0,32128

logsin(.4D'-C) . 9,23606 logsm(o — z) . 9,48384 \ogsm{A"D'-Q. 9,61384

C.logsino. . . . 0,50080 C.logsinö'. . . 0,27 189 C.logsinö" . . . 0,16464

logp 0,06688 logp' 0,08086 logp" 0,09976

logcoiist 7,75633

logreductioiiis . 7,82321
reductio =: 0,00 665 6

7,75633

7,83719
0,006874

7,75633

7,85609

0,007179

Observationiiiii

Terapü3a cmrecta

lutei-valla

Logarithmi

L

IL

III.

Oct. 5,451988
17,415011

27,385898

1 r'y63023
9,970887

1,0778409
0,9987339

Fiunt itaque logarithmi quantitatuni 0 , 6 " correcti 9,2343153 et 9,3134223.
Incipiendo iam determiiiationem elemeiitorum ex ,/", /, r", 0 prodit log-/] =
0,0002285, perinde ex /", r^ r, 6" fit logr/' = 0,0003 191. Hunc calculum
in Libri priini Sect. III. copiose explicatvim hie appoiiere supersedemus.
Tandem habemus per art. I 4 6.

logÖ" 9,3134223

C.log6 0,7656847

logT] 0,0002285

C.logT]" 9,9990809

logP' 0,0790164

2 log?*' ....

0,6502680

C.logrr" . . .

9,3487003

logOÖ" ....

8,5477376

CAogqr," . . .

9,9994524

C. log cos/ . .

. 0,0002022

C. log cos/" . .

0,0009579

C. lüg cos/" . .

0,0002797

log^'

8,5475981

E prima itaque hypothe.si resultat A' = — 0,0000854, Y = — 0,000 1607.

153.

In hypothesi secunda ipsis P, Q eos ijjsos valores tribuemus, quos in
prima pro P\ Q' invenimus. Statuemus itaque

■X =z logP =: 0,0790 164
y = \ogQ = 8,5475981

190l I.IBEU II. SECTIO I.

Quum calculus hie proi'sus eodem modo tractaiidus sit, ut in hypothesi
prima, praecipua eius momenta hie apposiiisse suffieiet:

u) 13°15'38"i3 C" 210° 8'24"98

u) + a 13 38 51,25 logr 0,3307676

log^csiuw. . . 0,5989389 logr" 0,3222280

z 14 33 19,00 \ \{u"-Yu) . . 205 22 15,58

logr' 0,3259918 | («"— m) . . — 3 14 4,79

n'r'

log— 0,6675 193 2./ 7 34 53,32

log—- 0,5885029 2/ 3 29 0,18

C 203 16 38,16 ; 2/" 4 5 53, 12

Reduetiones temporum propter ahen'atioiiem deiiuo computare operae haud

pretium esset, vix eiiim l ab iis quas in hypothesi prima eruimus differmit.

Caleuli ulteriores praebent logr, = 0,0002270, logYi"= 0,0003 173, uiide

deducituv

logP'^ 0,0790 167, A'= +0,(1000003

log <?'= 8,5476 1 10, )'=:r + 0,0000129
Hinc patet, qiianto adhuc magis exaeta sit hjpothesis secunda quam prima.

154.

Ne qixidquaiii desiderandum relinquatur, adhuc terfiam hypothesin ex-
truemus, ubi rursus valores ipsarum P', Q' in hypothesi secunda erutos tam-
quam valores ipsarum P, Q adoptabimus. Statuendo itaque

x=z logP = 0,0 790167
ij = \ogQ =z 8,54761 10
praecipua caleuli momenta haee inveniuntur:

u) 13°15'38"39 I C" 210° 8'25"65

lo-f-a 13 38 51,5 1 logr 0,33(17640

logQciiiuM. . . 0,5989542 | logr" 0,3222239

z 14 33 19,50 I i{('"-\-u) . . 205 22 14,57

logr' 0,3259878 ' i{u"—u) . . — 3 14 4,78

log"^- 0,6675 154 2/ 7 34 53,73

log^r,' ..... 0,5884987 ; 2/' 3 29 0,39

C 203 16 38,4 1 1 2/" 4 5 53,34

DETERMIXATK) OliBlTAE E TUIBUS OBSEUVATIONIBUS COMPLETIS. 191

Omnes hi iiunieri ab üs qnos liyiiothesi.s secimda suppeditaverat tani pariim
differunt, ut certo conclndere liceat, liypothesiu tertiam iiulla ainplius correctione
4ridigei-e *). Progredi itaque licet ad ipsaui elenieiitoruin detei-ininatioiiein ex
2/", r, r", 0, quam huc transscribere süpersedeiims , quuTii iam supra art. 9 7.
exempli loco in extenso allata sit. Nihil itaque superest, nisi ut positionem plani
orbitae ad normam avt. 149.. computemus, epochamque ad initiuin aiini 1805
transferamus. Calculus ille siiperstruendus est immeris sequeutibus :

AD'—'', = 9°55'5l"41

^(Y-f-«) = 202 18 13,855
4(^-/0 = —0 18 5,495

unde derivamus

i{g-\-h) = 196°43'14"62
i{c/ — h) = —4 37 24,41
4rt = 6 33 12,05

Fit ig-itur /i = 20 r20' 39"03, adeoqne ü = ^ — ^ = 1 71° 7' 4 8"73 ; porro
g =z 192°5'50"21, et proiu, quum anomalia vera pro observatione prima in
art. 9 7. iuventa sit = 310°5 5'29 "64 , distantia pei'ihelii a nodo ascendente in
orbita = 24 TlO' 20"57, longitudoque perihelii =52°18'9"30; denique incli-
natio orbitae = 13° 6' 44"l0. — Si ad eundem calculum a loco tertio proficisci
malumus, habemus

A"D'—C = 24°I8'35"25

t(t"H-"") = '^*^ "^4 54,98

+ (f" — u") = — 5 43 14,81
Hinc elicitur

i (//"+//") = 2 1 r24'32"45
i((/"—Ji") =—11 43 48,48
i?: = B 33 22,05

atque hinc longitudo nodi ascendentis ^= 1" — //= 1 7 1° 7' 4 8" 72, longitudo peri-
helii =5 2° 18' 9 "30 , inclinatio orbitae = 1 3"6'44"" 1 0 , prorsus eaedem ut ante.

*) Si calfiilus perinde iit in liyimthesibiis antpcpilentilms ad finem perdnceretur, jirodiret X = o,
r= +0,0000003, qiii valor tamqiiani evaneseeiis considorandiis est, et vix supra incertitiuHiiera figurae
deciiuali nltimae semper inhaerentem exsuiffit.

192 LIBEK n. SECTIO I.

Intervallum temporis ab observatione ultima usque ad initium aiini 1805
et dierum 64,614 102; cui respondet motus heliocentricus medius 53293"66
= 14°48'l3"66; hinc fit epocha anomaliae mediae pro initio amii 1805 in
meridiano Parisino = 349° 34' 12" 38, atque epocha longitudinis mediae =
4r52' 21" 68.

155.

Quo clarius elucescat, quanta praecisione elementa inventa gaudeant, locum
medium ex ipsis computabimus. Pro Oct. 17,415011 anomalia media inveui-
tur = 332°28'54"77, hinc vera 315°l'23"02 atque logr' = 0,3259877 (vid.
exempla art. 13. ] 4.); illa aequalis esse deberet anomaliae verae in obsei-vatione
prima auctae angulo 2 /", vel anomaliae verae in observatione tertia diminutae
angulo 2/", i.e. :^ 315°l'22"98; logarithmus radii vectoris vero =0,3259878:
differentiae pro nihilo habendae sunt. Si calculus pro observatione media usque
ad locum geocenti'icum continuatur, numeri i'esultant ab observatione paucis tan-
tum minuti secundi partibus centesimis deviantes (art. 63.), quales differentiae ab
erroribus inevitabilibus e tabularum praecisione limitata oriundis quasi absorbentur,

Exemplum praecedens summa praecisione ideo tractavimus, ut appareat,
quam facile per methodum nostram solutio quam accuratissima obtineri possit.
In ipsa praxi raro opus erit, hunc typum aeque anxie imitari: plerumque sufficiet,
sex figuras decimales ubique adhibere, et in exemplo nostro secunda iam hypo-
thesis praecisionem haud minorem, primaque praecisionem abunde sufficientem
suppeditavisset. Haud ingratam fore lectoribus censemus comparationem ele-
mentorum ex hypothesi tei-tia erutorum cum iis, quae prodeunt, si hypothesis se-
cunda vel adeo prima perinde ad eundem scopum adhibitae fuissent. Haec tria
elementorum systemata in schemate sequente exhibemus:

ex hypothesi II. I ex hypothesi I.

'

ex liypothesi III.

Epocha longit. med. 1805

41°52'2l"68

Motus niedius diurnus

824"7989

Periheliuin

52 18 9,30

?

14 12 1,87

Logar. semiaxis maioris

0,4224389

Nodus ascendens

171 7 48,73

Inclinatio orbitae

13 6 44,10

4152 18 40 42 12 37 83

824"7983 : 823"5025

52 18 6,66 52 4 1 9,81

14 11 59,94 : 14 24 27,49

0,4224392 0,4228944

I

171 7 49,15 I 171 5 48,86

13 6 45,12 ; 15 2 37,50

DETEKMINATIO ORBIXAE E TRIBUS OBSEKVATIONIBÜS COMPLETIS. 193

Coniputando locum lielioceiitricum in oi'bita pro observatione media per
secuudum eleuientorum systema, iuveiiitur en'or logarithmi radii vectoris = 0,
eiTor loiigitudinis in orbita = 0 0 3; computa.iido vero istum locum per systema
ex liypothesi prima derivatum prodit en-or logarithmi radii vectoris = 0,0000 002,
eiTor longitiidiuis in orbita :=: l"3 ]. Continuando vero calculmn usque ad locum
geocentricum invenitur :

ex hypotliesi II. ex hypothesi I.

Longitudo geocentrica 352°34'22"26 352''34' 19 "97

Error 0,14 2,15

Latitudo geocenti'ica 6215 5, 06 6215 4, 47

Error 0,0 1 0,60

156.
Exemplum secundum a Pallade suiueuius, cuius observationes sequentes
Mediolani f'actus e Commercio literario clav. de Zach., Vol. XIV. pag. 90 excer-
pimus :

Tempus medium Mediol.

1805 Nov. 5. 14M4'" 4^
Dec. 6. 11 51 27

Asc. recta app. Declin. app.

78°20'37'8 27°16'56"7 Austr.
73 8 48,8 j 32 52 44,3

1806 Jan. 15. 8 50 36 i 67 1 4 I 1, 1 28 38 8,1

Loco eclipticae hie aequatorem tamquam planum fundamentale accipiemus,
calculoque ita defungemur, ac si orbita penitus adhuc incognita esset. Primo e
tabulis Solls pro tempoi'ibus propositis sequentia petimus:

Lougitudd Scilis ab Latitiulo

, Distantia a tena i _ ,.

aeqiuu. med. , | Sohs

Nov. 5 j 223°14' 7"61 0,9904311 + 0"59
Dec. 6 ! 254 28 42,59 0,9846753 ; +0,12
lau. 15 295 5 47,62 0,9838153 — 0,19

Longitudiiies Solls, adiectis praecessionibus -j-7"59, -]-3"36, — 2"l 1 ad
initiuni auui 1800 reducimus, ac dein, adliibita obliquitate media 23° 27 53"53

G. TH. M. 25

194

LIBER II. SECTIO I.

latitucUuumque ratione rite liabita, ascensiones rectas et declinationes inde dedu-
cimus. Ita invenimus

Nov. 5

Ascensio i'ecta Solis

Declinatio SoUs

220°46'44"65 ! 15°49'43"94 Austr.

Dec. 6 253 9 23, 26 22 33 39, 45
lau. 15 . 297 2 51,11 ; 21 8 12,98

Hae positioiies ad ceutrum terrae referuutur, adeoque parallaxi adiecta ad
locum observationis reducendae sunt, quum positioiies plaiietae a parallaxi pur-
gare non liceat. Rectascensiones ipsius zenitli in hoc calculo adhibendae cum
rectascensionibus planetae conveniunt (quoniani observationes in ipso meridiano
sunt institutae), declinatio vero ubique erit altitudo poli = 45°28'. Hinceruun-
tur numeri sequentes:

Asc. recta terrae

Declinatio terrae

Log. dist. a Sole

Nov.

5

40°46'48"5 1

15°49'48"59 Bor.

9,9958375

Dec.

6

73 9 23,26

22 33 42,83

9,9933099

lau.

15

117 2 4 6,09

2 1 8 17, 29

9,9929259

Loca observat-a Palladis a mitatione et aberi'atione fixaruni liberanda, ac
dein adiecta praecessione ad iiiitium aniii 18 0 6 reducenda sunt. Hisce titulis
sequentes correctiones positionibus ob^ervatis applicare oportebit:

Observatio I.
Asc. r. Deel.

Observatio II.
Asc. r. Decl.

Observatio III.
Asc. r. Decl.

Nutatio

Aberratio

Praecessio

— 12"86
— 18,13
+ 5,43

— 3"08

— 9,89
+ 0,62

— 13"68 — 3"42
— 21,51 — 1,63
+ 2,55 -|- 0,39

— 13"06 — 3'75

— 15,60 + 9,76

— 1,51 — 0,33

Summa

— 25,56 —12,35 —32,64 — 4,66 —30,17 + 5,6^
Hinc prodeunt positioiies sequentes Palladis, calculo substruendae :

T. m. Parisinmii

Asc. recta

Declinatio

Nov. 5,574074

78°20'i2"24

— 27°17' 9"05

36,475035

7 3 8 16, 16

— 32 52 48,96

76,349444

67 13 40,93

— 28 38 2,42

DETERMINÄTIO OKBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBrS COMPLETIS.

195

157.

Prinio nunc situm cii'culoriini maximoruni a locis helioceutricis terrae ad
locos geocentricos planetae ductorum determmabimus. lutersectioiiibus horum
circulorum cum aequatore, aut si mavis illorum nodis ascendentibus , cliai-acteres
2t, 2( , 21" adscriptos concipimus, distantiasque punctoruni B^ B\ B" ab bis
puuctis per A, A', A" desigiiamus. In maioi'i operationuni parte pro A^ A\ Ä'
iam 21, 21', 2t ", et pro ö, o', ö" iam A, A', A" substituere opoi-tebit; ubi vero
A^ A\ Ä\ ö, o', 0 ' retin ere oporteat, lector atteutus vel nobis non monentibus
facile intelliget.

Calculo facto iam inveninms

Ascens. recta pmictomm

2t, n\ 2t" 233°54'57"I0

T, T, t" 51 17 15,74

A, A, A" 215 58 49,27

2t 'A '^'^D^ 2t/)"
%"D, 21 "J/, 2t "D"

lop-aritbmi sinuum

56 26 34,19
23 54 52, 13
33 3 26,35
47 1 54,69
9,8643525

log sin 4 £
log cos \ z

253 S 57 Ol
90 1 3,19

212 52 48,96
55 26 31,79

30 18 3,25

31 59 21, 14
89 34 57,17

9,9999885
9,8478971
9,8510614

276°40"25"87

131 59 58,03

220 9 12,96

69 10 57,84

29 8 4 3,32

22 20 6,91

42 33 41,17

9,8301910

In calculo art. 138. pro V ascensio recta puncti 2t adbibebitur. Sic in-

venitur

logTsin? 8,4868236 n

XoffT Q,os,t 9,2848l62n

Eine « = 189°2"48"83, log T = 9,2902527; porro /-)- 7'= 279°3'52"02,

logS 9,0 1 10566n

log Tsin(f + Y") . . 9,2847950n

un

de A" — a = 208''l"55"64, atque a = 4°50"53'"32.

In formulis art. 140. pro o, i, et

ipsüs sin 0 , sin 0 , sin 0 retinere

oportet, et perinde in formulis art. 14 2. Ad hos calculos babemus

25*

196 LIBKR II. SECTIO 1.

2t"£> — A' =17l°50' S"l8 logsin .. 9,1523306 logcos .. 9,9955759 ii

% D' — ^ =174 19 13,98 8,9954722 9,9978629n

9l"Z)— A" =172 54 13,39 9,0917972

21' Z» — A'-|-a= 17 5 525 6, 49 8,85 61520

31 I> — A =173 9 54,05 9,0755844

St'X)"— A'-[-a= 174 IS 1 1,27 8,9967978

Hiiic elicimus

logx = 0,9211850, log/. = 0,081205711

logx"= 0,8112762, logX"= 0,0319691n

loga = 0,1099088, a = -j- 1,2879790
\ogb = 0,1810404

log*' = 0,0711314, uiule fit \ogI> = 0,1810402.

Inter hos duos valores tantum nou aequales medium log 6 = 0,1810403 adop-
tabinius. Deiiique prodit

luge = 1,0450295

d = +0,4489906

löge = 9,2102894

quo pacto calculi jiraelimiiiares absolut! sunt.

Temporis intervallum inter observationeni secundam et tertiam est dierum
39,874409, inter primam et secundam dierum 30,900961: hinc fit logö =
9,8362757, logfj" = 9,72555 33. Statuimus itaque ad hypothesin primam.

.r = logP = 9,8892776
y = \ogQ = 9,5618290

Praecipua dein calculi momenta haec prodemit:

co-[-a = 20°8'46"72
log(i>csinw = 0,0282028

DETEßMINATIO ORBITAL E TKIBL'S OBSEUVATIONIBUS COMPLETI8. 197

Hiiic tit valor verus ipsius 3 = 2 1° 1 I 24' iU), atque log- ;•':=: 0,35 093 7 9. Tres
reliqui valores ipsius z aequatioui IV. art. 14 1. satisfacientes in hoc casu fiunt

z = 63°4r 12'

z = 101 12 5S

z = 199 24 7

e quibus prirnus tamquam approxiinatiu ad orbitani terrestrem spectandus est,
cuius quidem aberratio , propter iiiniium temporis intervallum , longe hie niaior
est, quam in exemplo praecedente. — E calculo ulteriori sequentes numeri
resultaut :

C 195° 12' 2" 48

196 5" 50,78

log-?' 0,3647022

logr" 0,3355758

{-{u"-\-u) 266 47 50,47

i{u"—u) — 43 39 5,33

2/ 22 32 40,86

2/ 13 5 4 1,17

2/" 9 27 0,0

o

Difterentiam inter 2/" et lf-\-'2f\ quae hie est 0"36, inter 2/ et 2/' Ita
dispertiemur, ut statuamus 2/ r= 13°5'40"96, 2./"= 9° 26' 59 "90.

Corrigenda iam sunttempora pr(jpter aben-ationem, ubi in formulis art. 145.
statuendum est Ä D'—'i = ^^IZ»'— A + ö — C, Ä'D'—':"= 2t"Z)'— A"+ 5' — :".
Habennis itaque

log?- 0,36470 log/-' 0,35094 log?'" 0,33557

logsin(yl/)' — C). . 9,76462 l.&iu(o'— z) . 9,75038 logsin(XD'-C") • • 9,84220

C.logsino 0,07918 C.logsino. . 0,0843 1 C.logsino" 0,02932

logconst 7,75633 logconst. ..7,75633 logconst 7,75633

7,96483 7,94196 7,96342

Reductio temporis 0,0 0 9 222 0,0 0 8 7 4 9 0,00 9 1 9 2

198 LIBER n. SECTIO I.

Hinc prodeunt

Tempora coirecta 1 Intervalla Logarithmi

Nov. 5,564852

36,466286
76,340252

30,901434 1,4899785

39,873966 1,6006894

unde derivantur logarithmi correcti quantitatum fJ, 6 resp. 9,8362708 atque
9,7255599. Incipiendo dein calculuni elementorum ex r', ?•", 2_/, 6, prodit
logr, = 0,0031921, sictiti ex r, r', 2/"", 6' obtinemus logY/'= 0,0017300.
Hinc culligitiu- logP'= 9,89 075 12 , log ^'= 9,5 712864, adeoque

X= +0,0014736, F=: +0,0094574

Praecipua momenta hyjpoihesis secundae, in qua statuimus

X z= \ogP = 9,8907512
y = log<? = 9,5712864

haec sunt:

(u + a 20° 8' 0"87

log^csinw 0,0373071

z 2112 6,09

logr' 0,3507 110

C 195 16 59,90

C" 196 5 2 40,63

logr 0,3630642

logr" 0,3369708

i{u"-\-u) 267 6 10,75

^(/i"—u) —43 39 4,00

2/ 22 32 8,69

2/ 13 1 54,65

2/" 9 30 14,38

Ditferentia 0 34 inter 2_/ et 2_/+ 2/ , ita distiübuenda est, ut statuatur 2/"=
I3°l'54"45, 2/" r= 9° 30' 14 "24.

DETERMINATIO OKBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 199

Si opex-ae pretium videtur, correctiones temporuin hie deuuo computare,
inveuietur pro observHtioue prima Ü,ÜÜ9169, pi-o secmida 0,008742, pi'o tertia
0,009236, adeoque tempora correcta Nov. 5,564905, Nov. 36,466293, Nov.
76,340280. Hinc fit

logO 9,8362703

logO" 9,7255594

log-/] 0,0031790

logv]" 0,0017413

logP' 9,8907268

logQ' 9,5710593

Hoc itaque modo ex hypotliesi secunda resultat

X =z — 0,0000244, Y = —0,0002271

Deiiique in hypotliesi tertia ., in qixa statuimus

X = logF = 9,8907268
y = logQ = 9,5710593

praecipua calculi momenta ita se habeiit:

ü) + a 20° 8' r'62 logr" 0,3369536

logQcsinui 0,0370857 ^(■(("-{-ti) .... 267° 5' 53"09

z 21 12 4,60 j {-{>("— ii) .... —43 39 4,19

logr' 0,350719 1 2/' 22 32 7,67

C 195 16 54,08 2/ 13 1 57,42

C 196 52 44,45 2./"" 9 30 10,63

logr 0,3630960

Differeutia 0"3S liic ita distribiietiiv, ut statuatur 2 f = 13° 157 "20, 2f" =
9°30'10"47*).

Quum diiferentiae omuium horum uumerorum ab iis, quos hypothesis se-
cunda suppeditaverat , levissimae sint, tuto iam concludere licebit, hypothesin

*) Haecce differentia maiiiscula, in omiiibiisqiie hypothesibiis tantiun non aeqiialis, ad maximam
parteni inde orta est, quod s duabus fere partibiis centesimis miimti secundi iusto mtiioi-, lügarithmusque
ipsins b aliquot iinitatibus iusto maior erutus erat.

200 LIBER II. SECTIO I.

tertiam nulla amplius coiTectione opus habitui'ain , adeoque hypothesiii uovain
superfluam esse. Quocirca nunc ad calculum elementorum ex 2^*', fj', ?•, r"
progredi licebit: qui quum operationibus supra amplissime iain explicatis con-
tiiieatur, elementa ipsa inde resultantia in eorum gratiam, qui proprio marte eum
exsequi cupient, hie apposuisse sufficiet:

Asceiisio recta nodi ascendentis in aequatore 15 8° 40 38 "93

Inclinatio orbitae ad aequatoreni 1 1 42 49, 13

Distantia perihelii a iiodo illo ascendente 323 14 56,92

Anomalia media pro epocha 1806 335 41 3, 05

Motus medius (sidereus) diimius 770 "2662

cp 14 9 3,91

Logarithmus semiaxis maioris 0,44 22438

158.
Duo exempla pi'aecedentia occasionem noudum suppcditaveruiit, inethodum
art. 120. in usum vocandi: hypotheses enim successivac tarn rapide converge-
bant, iit iam in secunda subsistere licuisset, tertiaque a vcritate vix seusibiliter
aberi'aret. Revera hocce commodo semper fruemur, quartaque hypothesi super-
sedere poterimus, quoties motus heliocentricus modicus est, tresque radii vectores
non uimis inaequales sunt, praesertini si insuper temporum intervalla paiiim
iuter se discrepant. Quanto magis autem pi'oblematis conditiones Mnc recedunt,
tanto fortius valores prinii suppositi quantitatuiu P, Q u veris different, tanto-
que lentius valores sequentes ad veros couvei'gent. In tali itaque casu tres qui-
dem primae hypotheses ita absolvendae sunt, uti duo exempla praecedentia mon-
strant (ca sola ditferentia, quod in hypothesi tertia non elementa ipsa, sed, per-
inde ut in hypothesi prima et secunda, quantitates •*), r/, /-* , Q^ X, Y com-
putare oportet): dein vero haud amplius valores postremi ipsarum P, Q tam-
quam valores uovi quautitatum l\ Q in liypothesi quarta accipientur, sed hi
per methodum art. 120. e combinatione trium primarum hypothesium eruentiu'.
Raiissime tunc opus erit, ml hypothesin quintam secundum praecepta art. 121.
progredi. — Iam hos quoque calculos exemplo illustrabimus, ex quo simul elu-
cebit, quam late methodus nostra pateat.

DETERMINATIO ORBITAE E TRIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS.

201

159.

Ad exenipluni tertium observationes sequentes Cereris eliginius, quarum
prima Breniae a dar. Olbers, secunda Gottingae a dar. Härding, tertia Lilien-
tlialii a dar. Bessel instituta est.

Tempus medium loci observationis

Asc. recta

Declin. boreal.

1805 Sept. 5. 13'' 8™ 54'

95° 59' 25"

22° 21' 25"

180 6 lau. 17. 10 58 51

101 18 40,6

30 21 22,3

1806 Mail 23. 10 23 53

121 5 6 7

28 2 45

Quum methodi, per quas parallaxis et aberrationis rationem habere licet,
si distantiae a terra tamquam omnino incognitae spectantur, per duo exeinpla
praecedeatia abunde iam illustratae sint: superfluae laboris augmentationi in boc
tertio exemplo renundabimus, distaiitiasque approximatas e Commerdo litterario
dar. DE Zach (Vol. XI. p. 284) [Gauss Werke B, VI. S. 261] euni in finem excer-
penuis, ut observationes ab effectu parallaxis et aberrationis purgentur. Has
distantias una cum reductionibiis inde derivatis tabula sequens exhibet:

Distantia Cereris a terra ....
Tempus, intra quod lumen ad

ten-am descendit

Tempus observationis reductum
Tempus sidereum in gradibus .
Parallaxis ascensionis rectae . .
Parallaxis declinationis

2,899

1,638

2,964

23"" 49'

13°28'

24"'21

2'' 45" 5'

10

M5"23'

9'' 5 9" 3 2

355° 55'

97° 59'

21ü° 41

+ r'9o

+ 0'22

— 1"97

—2,08

— 1,90

-2,04

Problematis itaque data, postquam a parallaxi et aberratione liberata, tem-
poraque ad meridianuni Parisinum reducta sunt, ita se habent:

Asc. 1

ecta

Deoliuatiii

1805 Sept. 5.

12'' 19"'14'

95° 59'

23" 10

22° 21' 27"08

1806 lan. 17.

10 15 2

101 18

40,38

30 21 24,20

180 6 Maii 23.

9 33 18

121 56

8,97

28 2 47,04

(i. TH. M,

26

202

LIBEK II. SECTIO I.

Ex his asceusiouibus rectis et declinationibus deductae sunt loiigitudines et
latitudiues adhibita obliquitate eclipticae 23°27'55"90, 23''27'54"59, 23°27'53"27;
dein longitudines a iiutatione pui'gatae sunt, quae resp. fuit -|- 17 "31, -|- 17"88,
-|-lS"üO, posteaque ad initium anni 180 6 reductae, applicata praecessione
-|- 15"9S, — 2 "39, — 19" 68. Denique pro temporibus reductis e tabulis excerpta
sunt loca Solis, ubi in longitudinibus nutatio praetermissa, contra praecessio per-
inde ut longitudinibus Cereris adiecta est. Latitudo Solis omidno neglectti. Hoc
modo numeri sequentes in calculo adliibendi resultaverunt :

Tempus 1805. Sept.

a, a ', a"

^ ^ ' /> "

0, 0 , 0

z, r, r

logi?, logi?", logR"

5,51336

95° 3 2' 18""5 6

— 0 59 34,06

342 54 56,00

0,003 1514

139,42711

99^49' 5""87

+ 7 16 36,80

117 12 43,25

9,9929861

265,39813

118° 5' 28'"85

+ 7 38 49,39

241 58 50,71

0,0056974

lam calculi praeliminares in artt. 136 ... 140. explicati sequentia suppe-

ditant :

T^

Tj T

358 55 28 09

^7

0,

112 37 9,60

ÄD,

AD\ AD"

15 32 41,40

Ä'D,

Ä'D\ ÄD"

138 45 4,60

h

s", s"

29 18 8,21

a ^=^

S°5 2" 4" 05

loga r=

0,1840193n

log/)

0,0040987

logc =

2,0066735

d —

117,50873

löge —

0,8568244

logx =

0,1611012

logx ■—

9,97708l9n

logX =

9,9164090n

logX" =

9,7320127n

358° 55' 28"09 | 156° 52' ll"49 ! 170° 48' 44'"79

! 18 48 39,81 j 123 32 52,13

252 42 19,14 ' 136 2 22,38

6 26 41, 10 , 358 5 57,00

170 32 59,08 | 156 6 25,25

= — 1,5276340

DJKTEKMINATIO OKBITAE E TKIBUS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS.

203

Intervallum temporiKS inter observationem priniain et secundani est clierum
133,91375, inter secundam et tertiam 125,97102: hiuc fit log 0^0,3358520,
logfJ"= 0,3624066, log ^' = 0,0265546 , logOO" =3 0,6982586. lam prae-
cipua nioraenta hypothesiuni trluni primarum deinceps formatarum in conspectu
sequenti exliibemus:

I. IL IlL

logP = X

0,0265546

0,0256968

0,0256275

log Q = y

0,6982586

0,7390190

0,7481055

to-|- a

7°15'l3"523

7° 14' 47" 139

7°14'45"071

log §c sin CO

l,1546650n

l,1973925n

l,2066327n

z

7° 3'5 9"018

7' 2'32"870

7° 2' 16"900

logr'

0,41 14726

0,41293-71

0,4132107

r

'S

160°10'46"74

160° 20' 7" 82

160°22' 9"42

C"

262 6 1,03

262 12 18,26

• 262 14 19,49

logr

0,4323934

0,4 29 1773

0,428484 1

logr"

0,4094712

0,4071975

0,4064697

i («"+«)

262°55'23"22

262°57' 6"83

262°57'3l"l7

\{a" — u)

273 28 50,95

273 29 15,06

273 29 19,56

xf

62 34 28,40

6 2 4 9 5 6,50

62 53 57,06

2/

31 S 30,03

31 15 59,09

31 18 13,83

2/"

31 25 5 8,43

31 33 57,32

31 35 43,32

log-/]

0,0 20 249 6

0,0203158

0,0203494

logTj"

0,0211074

0,0212429

0,0212751

logP'

0,0256968

0,0256275

0,0256289

log^'

0,7390190

0,7481055

0,7502337

X

— 0,0008578

— 0,0000693

4-0,000 00 14

Y

+ 0,0407604

-1-0,0090865

-1-0,0021282

lam (lesiguando tres valores ipsius X per ^4, J.', Ä ; tres valores ipsius Y
per i?, B\ ß" \ quotlentes e divisione quantitatum AB" — A' B\ AB — AB\
AB' — AB per earmidem aggregatum ortos resp. per /{;, //, li\ ita ut habeatm-
/c-|- /s'-j- A;' =3 1, denique valores ipsormn logP' et \ogQ in hypothesi tertia per
M et X (qiii forent valores novi ipsarum x., //, si hypotliesiu quartam perinde e
tertia derivare couveniret, ut tertia e secunda derivata fuerat) : e formulis art. 120.

26*

204 LIBER JI. SECTIO I.

facile colligitur , valorem correctuin ipsius x üeri = M — k{Ä-\-A) — k'A,
valoremque con-ectum ipsius y = N — k{B'-\-B") — ÜB". Calculo facto prior
eruitur ^0,0 256331, posterior =0,7509 143. Hisce valoribus correctis iam
hypothesin quartam superstruimus , cuius praecipua momenta haec sunt;

(ü + a 7°14'45"247 i logr" 0,4062033

log^csinio. . 1,2094284x1 1 i{u"-j-u) . . 262°57'38"78

z 7° 2'12"736 I i-{u"~i() . . 273 29 20,73

logr' 0,4132817 j 2/ 62 55 16,64

C 160°22'45"38 2/ 31 19 1,49

C" 262 15 3,90

log?' 0,4282792

2/" 3 1 36 15,20

Inter 2/' et 2/-)- 2/'" ditterentia 0"05 emergit, quani ita distribuemus,
ut statuamus 2/= 31° 19' l"47, 2/" = 3r36' 15"l7. Quodsi iam e duobus
locis exti'emis elemeuta ipsa determinantur, sequentes numeri resultant:

Anonialia vera pro loco prinio 289° 7 39 75

Anomalia vera pro loco tertio 352 2 5 6,39

Anomalia media pro loco primo 2 9741 35,65

Anomalia media pro loco tertia 353 15 22,49

Motus medius diurnus sidereus 7 69 "6755

Anomalia media pro initio anni 1806 32 2°35'52 51

Angulus 'f 4 37 57,78

Logarithmus semiaxis maioris 0,4424 661

Computando ex hisce elementis locum heliocentricum pro tempore obsei*-
vationis mediae, invenitur anomalia media 3 26° 19' 25' 72, logarithmus radii
vectoris 0,4132825, anomalia vera 320°43'54"87 : haecce distare deberet ab
anomalia vera pro loco primo diiferentia 2/", sive ab anomalia vera pro loco
tertio differentia 2/, adeoque fieri debereit = 320°4 3'5 4"92, sicuti logarithmus
radii vectoris =0,413 2817: differentia 0"0 5 in anomalia vera, octoque unita-
tum in isto logaritluno nullius niomenti censenda est.

Si hypothesis quarta eodem modo ad finem perduceretur, ut tres praece-
dentes, prodii-et A^ = 0, 1^= — 0,00 00 168, unde valores correcti ipsaram
.r, y hi colligei'entur

DETERMINATIO ORBIT AE E TRIBÜS OBSERVATIONIBUS COMPLETIS. 205

X = logP = 0,0256331 (idem ut in hypothesi quarta)
}j = \ogQ = 0,7508917

Quibus valoribus si hypothesis quiuta superstrueretur , solutio ultimam quam ta-
bulae permittunt praecisionem uancisceretur : sed elementa hinc resultantia vis
sensibiliter ab iis discreparent, quae hypothesis quarta suggessit.

Ut elementa completa habeantur, nihil iam superest, nisi ut situs plani or-
bitae computetur. Ad normam praeceptorum art. 14 9. hie prodit

e loco piimo e luco teitio

g 354° 9'44"22 g" . . 57° 5' o"91

h 261 56 6,94 It" . . 161 0 1,61

i 10 37 33,02 10 37 33,00

ß 80 58 49,06 80 58 49,10

Distantia perihelii a nodo ascendente . 65 2 4,47 65 2 4,52

Longitudo perihelii 146 0 53,53 146 0 53,62

Sumto itaque medio statuetur / ^ 1 0° 3 7'33"0 1, ß = 80° 58' 49" 08, longitudo
perihelii ^ 14 6° 05 3" 5 7. Denique longitudo media pro initio anni 1806 erit
= 108°36'46"08.

160.
In expositione methodi, cui disquisitiones praecedentes dicatae fuerunt, in
quosdam casus speciales incidimus, ubi applicationem non patitur, saltem non in
forma ea, in qua a nobis exhibita est. Hunc defectum locum habere vidimus:
primo^ quoties aliquis ti'ium locorum geocentricorum vel cum loco respondente
heliocentrico terrae, vel cum puncto opposito coincidit (casus posterior
manifesto tunc tantum occurrere potest, ubi corpus coeleste inter Solem
et terrani transiit);
secMwt/o, quoties locus geocentricus primus corporis coelestis cum tertio coincidit;
tertio, quoties omnes tres loci geocentxici una cum loco heliocentrico teiTae secuudo
in eodem circulo maximo siti sunt.
In casu primo situs alicuius circulorum maximorum AB, AB, Ä'B"
indetemiinatus manebit, in secuudo atque tertio situs puncti B *. In hisce itaque
casibus methodi supra expositae, per quas, si quantitates P, Q tarn quam cognitae
spectantur, e locis geocentricis heliocentricos determinare docuimus, vim suam

206 LIBER II. SECTIO I.

perduut: attameii discrimeii essentiale hie notaudum est, scilicet in casu primo
hie defeetus soli methodo atti-ibuendus ex'it, in easu secundo et tertio autem ipsius
problematis naturae; in easu primo itaque ista determinatio utique effici poterit,
si modo methodus apte varietur, in secmido et tertio autem absolute impossibilis
erit, locique heliocentrici indeterminati manebunt. Haud pigebit, hasce relatioiies
paucis evolvere: omnia vero, quae ad hoc argumentum pertinent exliaurive eo
minus e re esset, quod in omnibus his casibus specialibus orbitae determinatio
exaeta impossibilis est, ubi a levissimis observationum erroribus enormiter affi-
ceretur. Ideni defeetus etiamnum valebit, quoties observationes haud quidem
exaete, attamen proxime ad aliquem horum casuum referuntur: quamobrem in
eligendis observationibus huc respiciendum, probeque eavendum est, ne adhibeatur
ullus locus, ubi corpus coeleste simul in viciniis nodi atque oppositionis vel con-
iunetionis versatur, neque observationes tales, ubi corpus coeleste in ultima ad
eundem loeum geocentrieum proxime rediit, quem in prima occupaverat, neque
demum tales , ubi cireulus maximus a loco helioceutrieo teiTae medio ad locuui
geocentrieum medium corporis coelestis ductus angulum acutissimum cum dire-
ctione motus geoeentrici format, atque locum primum et tertium quasi stringit.

161.

Casus primi tres subdivisiones laeiemus.

I. Si punctum B cum A vel cum puncto opposito coincidit, erit 0 = 0

vel = 180°; ^5 ^t ' atque puncta /), D indeterminata erunt; contra y, y , s

atque puncta Z), B* determinata; punctum C neeessario coincidet cum A.

Per ratioeinia, iis, quae in art. 140. tradita sunt, analoga, taeile elieietur aequatio

haecee :

. sin(g— 3) B sino' siu(.^".P— 5") ■.

" '"' siu « ■ iPsin ?/'" ■ sin {Ä'D - 0 '+ a) "'

Omnia itaque, quae in artt. 141. 14 2. exposita sunt, etiam huc transferre lieebit,
si modo statuatur a = 0, atque h per ipsam aequationem 12. art. 140. deter-
minetur, quantitatesque z, r', — , ^—ir periiide ut supra computabuntur. lam
simulac z adeoque situs puncti C innotuit, assignai-e lieebit situm cireuli
maximi C(J\ huius intersectionem cum circulo maximo AB" i. e. punctum C ,
et proin arcus GC\ CC'\ C'C" sive 2/', 2/', 2 /": hine denique habebitur

n'r' sin2f ," n'r' sin2/"

sin 2/" )/" sin 2/'

DETERMINA'I'IO OUIilTAK E TKIBUS OBSEKVATIONIBUS COMPLETIS. 207

IL Ad casum eum, ubi punctum B cum A" vel cum puncto opposito
coincidit, omnia quae modo tradidimus transfeiTe licet, si modo omnia, quae ad
locum primum spectaut, cum iis, quae ad tertium referuntur, permutantur.

III. Paullo aliter vero casum eum tractare oportet, ubi B vel cum Ä
vel cum puncto opposito coincidit. Hie punctum C cum Ä coincidet; -y', s, s"
punctaque D, 75", B* indeterminata erunt: contra assignari poterit intersectio
circuli maximi BB cum ecliptica *), cuius longitudo ponatur ^T-\-iz. Per
ratiocinia, iis, quae in art. J 40. evoluta sunt, similia, eruetur aequatio

, i? sino sin (^"D' — o") |^ ' / sin 71 1^ -■

jB sino siii (jD — 0) ' B %m(r — V — t.) '

Designemus coefficientem ipsius w, qui convenit cum a art. 140., -per eundem
characterem a, coefficientemque ipsius n' r' per 6: ipsuni a hie etiam per
formulam

B%in{l'+iz — l)

" ~ R"s]a{l"-l'--K)

determinare licet. Habemus itaque 0 = an-\-%nr'-\-v'\ qua aequatione cmn
his combinata

^ = -, Q = -2 {-jp l)r ^ emergit -^^r * + r ' + i ^ = 0

unde distantiam r elicere poterimus, siquidem non t'uerit 6 = 0, in quo casu
nibil aliud illinc sequeretur, nisi P = — a. Ceterum etiamsi non fuerit 6 = 0
(ubi ad casum tertium in art. sequ. considerandum delaberemur) , tamen semper
6 quantitas perexigua ei-it, adeoque P parum a — a ditferre debebit: hinc vero
manifestum est, determinationem coefficientis ° Wx~^ valde lubricam fieri, neque
adeo r ulla praecisione determinabilem esse.

Porro liabebimus '^ = i-^, '"-,t = r^: clein simili modo

ut in art. 14 3. facile evolventur aequationes

M sine ^

" • -" n'r' siiiY • ,7' 7\

r sine, = ^. ^, sm / — (

n sme ^ '

rsin(C — ^i>') = ;-"P'-^"JL'sin(:' — XZ)')

*) Generalius, cum circulo niaximo AA": sed brevitatis canssa eum tantummodo casum hie coiisi-
deramus, ubi ecliptica tamquam planum fundamentale aceipitur.

208 LIBER II. SECTIO I.

e quarum combinatione cum aequatt. VIII. et IX. art. 14 3., quantitates r, C, ?" , C
determinare licebit. Calculi operationes reliquae cum supra descriptis convenient.

162.
In casu secundo^ ubi B" cum B coincidit, etiam D' cum iisdem vel
cum puncto opposito coincidet. Erunt itaque AD' — o et Ä'D' — o ' vel = ü
vel = 180°; unde ex aequationibus art. 143. derivamus

n'r' I siue' iisino

n — • sin e ' sin (z -\-A'D — 5' )

n'r' isine' J?"sino"

li"' — suT?' ■ sin(^+^'D"— o'l

B sin 0 sin s ' sin (z -\- AD — o ) = PB "sin o" sin s sin (z -j- ÄD — o )

Hinc manifestum est, z, independenter a Q, per solam P determinabilem
esse (nisi forte fuerit ÄD = AD vel = ÄD+ 180°, ubi ad casum tertium
delaberemur) : inventa autem z, innotescet etiam r\ et proin adiumento valorum
quantitatum — , — „- etiam ~ et -, ; hinc denique etiam

Manifesto igitur, P et Q tarn quam data ab invicem inilependentia considerari
nequeunt, sed vel uiiicum taiitummodo datum exhibebunt, vel data incongTua.
Situs punctorum C, C" in hoc casu arbitrarius inanebit, si modo in eodem circulo
maximo cum C capiantur.

In casu tertio, ubi Ä, B, B, B" in eodem circulo maximo iacent, D et D"
resp. cum punctis B', B, vel cum jjunctis oppositis coincident: hinc e combina-
tione aequationum VII. \T[II. IX. art. 14 3. coUigitur

p jRsinosiue" Rsiii(l'—l)

E""sino"siu7 ~R"sm {l"—l')

In hoc itaque casu valor ipsius P, per ipsa problematis data iam habetur, adeo-
que positio punctorum 6', C, C" indeterminata inanebit.

163.
Methodus, quam inde ab art. 136. exposuimus, praecipue quidem deter-
minationi primae orbitae penitus adhuc incognitae accommodata est: attamen suc-
cessu aeque febci tunc quoque in usum vocatur, ubi de correctione ox'bitae proxime

DETEKMINATIO OKBITAK E THIBUS OBäEKVATlONlBUS COMPLETIS. 209

iam cogiiitae per tres observationes quautunivis ab iiivicem distautes agitur. In
tali aiiteiu casu quaedam immutare couveiiiet. Scilicet quoties observationes nio-
tum heliocentriciuii permagnum complectuntur, Land amplius licebit, ^ atque
ÖO" tamquam valores approximatos quantitatum P, Q considerare: quin potius
ex elementis proxime cognitis valores multo niagis exacti elici poterunt. Calcula-
buntur itaque levi calamo per ista elementa pro tribus observationum teniporibus
loca heliocentrica in orbita, unde designando anomalias veras per v, v\ v", radios
vectores per r, r\ r", semiparametrum per p, prodibunt valores approximati
sequentes :

p r sin {v '— v) ß 4 r'*siii^(»'— t>)sin|(ü"— t;' )

r "sin (v "— v ') ' *^ 2> t'os i {v "— r)

His itaque hypothesis prima superstruetur , pauUulumque ad libitum immutatis
secunda et tertia : haud enim e re esset, P' et Q' hie pro novis valoribus adoptare
(uti supra fecimus), quum lios valores magis exactos evadere baud amplius sup-
ponere liceat. Hac ratione omnes tres hypotheses commodissime simul absolvi
poterunt: quarta dein secundum praecepta art. 12(). formabitur. Ceterum band
abnuemus, si quis unam alteramve decem methodorum in artt. 124 ... 1 29. expo-
sitarum in tali casu si non magis tamen aeque fere expeditam existlmet, ideoque
in usum vocare malit.

G. TH. M.

27

SECTIO SECUNDA

Determinatio orhitae e qimtuor ohservationibus, quarum duae tantum completae sunt

164.
lam in ipso limine Libri secuiuli (art. 115.) declaravimus, usum problema-
tis in Sect. praec. pertractati ad eas orbitas limitari, quarum inclinatio nee eva-
nescit, nee nimis exigua est, determinationemque orbitarum parum inclinatarum
necessario quatuor observationibus superstrui debere. Quatuor autem observa-
tiones eompletae, quum octo aequationibus aequivaleant, incognitarumque nume-
rus ad sex tantum aseendat, problema plus quam determinatum redderent: qua-
pi-opter a duabus observationibus latitudines (sive deeünationes) seponere opor-
tebit, ut datis reliquis exacte satisfieri possit. Sie oritur problema, cui haec See-
tio dicata erit : solutio autem , quam liic trademus , non solum ad orbitas parum
inelinatas patebit, sed etiam ad orbitas inelinationis quantumvis magnae pari suc-
cessu applieari potent. Etiam hie, perinde ut in problemate Sect. praee., casum
euni, ubi orbitae dimensiones approximatae iam in potestate sunt, segregare opor-
tet a determinatione prima orbitae penitus adhue incognitae: ab illo initium fa-
ciemus.

165.
Methodus simplicissima, orbitam proxime iam cognitam quatuor observa-
tionibus adaptandi, haec esse videtur. Sint .r, y distantiae approximatae cor-
poris coelestis a terra in duabus observationibus completis: harum adiumento

LIBER II. SECTIO II. DETERMINATIO ORBITAE E QUATUOR OBSEKVATIONIBUS. 211

coniputentur loci i'espondentes heliocentrici, atque Mue ipsa elemeuta: ex his
dein elementis lougitudines vel ascensioiies rectae geoceutricae pro duabus reli-
quis observationibus. Quae si forte cum observatis conveuiunt, elemeuta iiulla
amplius correctione egebmit: sin minus, diffei'entiae X, Y notabuntur, idem-
que calculus iterum bis repetetur, valoribus ipsarum x, y paullulum mutatis.
Ita prodibunt tria systemata valorum quantitatum x^ y atque ditferentiarvim
y, A", unde per praecepta art. 120. valores correcti quantitatum x^ y eruentur,
quibus valores X= 0, Y=.<s respondebunt. Calculo itaque simili huic quarto
systemati superstructo elementa emergent, per quae omnes quatuor observationes
rite repraesentabuntur.

Ceterum, siquidem eligendi potestas datur, eas observationes completas
retinere praestabit, e quibus situm orbitae maxima praecisione determinare licet,
proin duas observationes extremas, quoties motum heliocentricum 90 graduum
minorem ve complectuntur. Sin vero praecisione aequali non gaudent, earum
latitudines vel declinationes sepones, quas minus exactas esse suspicaberis.

166.

Ad determinatiouem primam orbitae penitus adhuc incognitae e quatuor
observationibus necessario eiusmodi positiones adhibendae erunt, quae motum
heli(3centricum non nimis magnum complectuntur: alioquin enim careremus sub-
sidiis ad approximationem primam commode formaudam. Methodus tamen ea
quam statlm trademus extensione tarn lata gaudet, ut absque haesitatione obser-
vationes motum heliocentricum 30 vel 4 0 graduum complectentes in usum
vocare liceat, si modo distantiae a Sole non nimis inaequales fuerint: quoties eli-
gendi copia datur, temporum intervalla inter primam et secundam, secundam et
teii;iara, tertiam et quartam ab aequalitate parum recedentia accipere iuvabit.
Sed hoc quoque respectu anxietate nimia haud opus erit, uti exemplum subnexum
monstrabit, ubi temporum intervalla sunt 48, 55 et 59 dierum, motusque
heliocentricus ultra 5 0°.

PoiTO solutio nostra requirit, ut completae sint observatio secunda et tertia,
adeoque latitudines vel declinationes in obsei'vationibus extremis negligantur.
Supra quidem monuimus, praecisionis maioris gratia plerumque praestare, si ele-
menta duabus observationibus extremis completis, atque intermediarum longitu-
flinibus vel ascensionibus rectis aecommodentur : attamen in prima orbitae deter-

27*

212 LIBER ir. SECTIO 11.

minatione huic lucro renuiitiavisse haud poenitebit, quuiu approximatio expedi-
tissinia longe maioris momenti sit, iacturamque illam, quae praecipue taiitum in
loiigitudiuem nodi atque inclinationem orbitae cadit, elementaque reliqua vix
sensibiliter afficiat, postea facile explere liceat.

Brevitatis caussa methodi expositionem ita adornabimus , ut omnes locos
ad eclipticam referamus, adeoque. qiiatuor loiigitudines cum duabus latitudinibus
datas esse supjaonemus : attamen qiioniam in forniulis nostris ad terrae latitudinem
quoque respicietur, sponte ad eum casum transferri poterunt, ubi aequator tam-
quam planum fundamentale accipitur, si modo ascensiones rectae ac declinationes
in locum longitudinum et latitudinum substituuntur.

Ceterum respectu nutationis, praecessionis et parallaxis, nee non aberra-
tionis, omnia quae in Sectione praec. exposuimus etiam hie valent: nisi itaque
distantiae approximatae a terra aliunde iam innotuerunt, ut respectu aberrationis
methodum 1. art. 118. in usuni vocare liceat, loca obsei'vata initio tantum ab
aberratione Hxarum purgabuntur ,. temporaque corrigentur, quamprimum inter
calculi decursum distantiaruui deterniiiiatio approximata in potestatem venit, uti
infra clarius elucebit.

167.
Solutionis expositioni signorum praecipuorum indicem pi'aemittimus. Erunt
nobis

quatuor obsei'vationum tempora
coi'poris coelestis longitudines geocentricae
eiusdem latitudines
distantiae a Sole
distantiae a teiTa
teri'ae longitudines heliocentricae
5, B\ B\ B" terrae latitudines heliocentricae
B ^ B', B", B" ten'ae distantiae a Sole.

(7? Ol), (wl2), («23), (w02), (wl3) ai'eae duplicatae triangulorum, quae resp.
inter Solem atque corporis coelestis locum primum et secundum, secun-
dum et tertium , tertium et quartum , primum et tertium , secundum et
quartum continentur.

t,

f ,

^

t

a,

«',

a".

a

§,

§',

8",

8

r,

»•'5

r\

r

P>

p'>

p"»

9

l.

r,

^",

V

DETEKMIKATIO OliBITAE E QUATUOR OBSERVATIONIBUS. 213

(TOT) ' (t) 1 2) ' (^ W) quotieutes e divisione arearum ^ (n 0 1 ) , | (« 1 2), i (w 2 3)
per areas sectorum respondentium oriundi.

(«Ul)' (,n23)

n' |(«01) + (W12) 1 ,3 ^'. /(W12) + (W23) ,\^"3

'»^ — l («02) ~^l' ' 't^ — l („13) M*^

t', y', u', r" corporis coelestis longitudiues in orbita a puncto arbitrario
numeratae.

Denique jiro observatione secunda et tertia locos heliocentricos terrae in
spbaera coelesti per Ä, Ä' denotabinius, locos geocentricos corporis coelestis
per i>', Bi eiusdemque locos lieliocentricos per C, C".

His ita intellectis negotium primum perinde ut in problemate Sect. praec.
(art. 13 6.) consistet in determinatione situs circuloram maximorum ÄC B\
A'C'B., quorum iuclinatioues ad eclipticaui per -(■ ? T designamus: cum lioc
calculo simul iungetur detei'minatio arcuum AB =■ 0 , Ä'B" ^ 0 . Hinc maui-
festo erit

r'= j/(p'p'+2p'JS'cosry-|-7j''i?')
r"= t/(p"p"+ 2p"ii'"coso"+i?"i?")

sive statuendo p -]- 7? cos &'=.<■ , p"-j-i?"coso"=: a-", i?'sinQ = a, i?"sino"=a',

r' = \/{;x'x'-\~ a a)
?•' = ^ {x" x" -\- a" a" )

16S.
Combinaudo aequati(jnes 1. et 2. art. 1 1 2., prodeunt in signis disquisitionis
praeseutis aequationes sequentes:

0 = (» 12)i? cosi? sin(/ — a) — (w0 2) (p'cos6'sin(a' — -a) -\- R' cos B' sin{l' — a))

-\- (??0l)(p"cos6"sin(a" — a) -\- R" co^B"sm(l" — a))

ü ^= (n 23) (p'cos6'sin(a"' — a) -\- R' coäB' sm{a"' — l'))

— (wl3) (p"cos6'sin(a" — a") -(-i?"cos£"sin(a" — Z")) -(-(«1 2)i?"cosi^ sin(a"' — ? ")

214 LIBER II. SECTIO n.

Hae aequationes, statuendo

B'cosB'sinll' — a) 7-,' >. 7,

e' ■ r~i — ; i^ cos 0=0

cos 6 sm(o — o)

i?"cosS"sm(a"'— r') ri" >" 7 "

cos6"sm(a"'-a") " ^ ^^SO = h

i? 'cos £' sin (a '"—«') „-

„„ ./ ■ >-w TT il COS 0 = z

cos 5 sin(a — a )

B"cosS"sin(r'— a) D"

„„ .» ■„/ " N -fi- COS 0 = X

cos 6 sm (a — a)

BcosSsm(Z — a)
cos 8 " sin (a" — a)

Ji'"cos.B"'sin(a'"-r")
cos 6 ' siu (a '"^ OL ' )

= \

cos6'sin(a' — a)

cos6"sin(a"— a) f^

cos6"siD(a"'— g") .,

cos6'sin(a"'— a') — ^

omnibusque rite reductis, traiiseuiit in sequentes

1+ ^ :

(x'x'+a'a')-'

sive, statuendo in super

_x"— XP'z=c', [x'(l+P') = <:Z'

— x'— rp"=c", jx"(i+P") = (Z"

in hasce

I. x"= c'-j-

d'ix'+b')

i+- ^'

U. x' = c"-] ^^

(x'x'+a'a'y'
d"(x"+b")

Q"
^^ (a;"a;"+a"o")ä

DETEEMINATIO OKBITAE E QUATUOR OBSEEVATIONIBUS. 215

Adiumento hainim duarujn aequationum x et x" ex a', Z»', c', d\ Q\ a", h'\
c\ d", Q\ determinari poterunt. Quodsi quidem x vel x inde eliminanda
esset, ad aequationem ordinis pennagni delabereinur: attamen per uiethodos in-
directas incoguitarum z', x valores ex illis aequatiouibus forma iion mutata satis
expedite elicientur. Plerumque valores incognitarum approximati iain prodeunt,
si prinio Q' atque Q" negliguntur; scilicet

c"+(7"(6"+c') + rf'<r'&'

X

X

1-d'd"
c'+d'{b'+c") + d'd"b'

\-d'd"

Qaampx-imum autem valor approxiniatus alterutrius incognitae habetur, valores
aequationibus exacte satisfacieiites facillime elicientur. Sit scilicet ;' valor ap-
proximatus ipsius x', quo in aequatione I. substituto prodeat a;"= ?"; perinde
substituto x =1" in aequatione IL prodeat inde x = X'; repetantur eaedem
operationes, substituendo pro x in I. valorem alium I + v', unde prodeat
x = ?"-(-v", quo valore in II. substituto prodeat inde x = X'-\-N'. Tum
valor correctus ipsius x erit

— ' "T iV'-v'
valorque correctus ipsius

X =t, -\- '

N'—'>'

Si operae pretiuin videtur, cum valore correcto ipsius x alioque levius mutato
eaedem operationes repetentur, donec valores ipsarvim x', x aequationibus L, II.
exacte satisfacientes prodierint. Ceterum analystae vel raediocriter tantum exer-
citato subsidia calculum contrahendi haud deerunt.

In bis operationibus quantitates iri'ationales [x x' -\- a' a'y , {x" x" -\- a" a"Y
commode calculantur per inti'oductioiiem arcuum 3, z , quorum tangentes resp.
sunt -, , -7», unde fit

X

\/(x X -\- a a ) = r = -. — , = ,

' ^ ' '' sin« cosj

\/[x X -[-a a ) s= r = -. — „ = — y,

siaz

216 LIBER II. SECTIO II.

Hi arcus auxiliares, quos iiiter 0 et 180° accipere oportet, ut r', r" positiv!
evadant, manifesto cum arcubus C'B', C"B" identici erunt, unde patet, hacce
ratione non modo r' et r", sed etiam situin puuctorum C, C" innotescere.

Haecce determinatio quantitatum x^ x requirit, ut a.,a\b^b,c^c,
d\ d'\ Q\ Q" cognitae sint, quarum quantitatum quatuor primae quidem per
problematis data habentur, quatuor sequentes autem a P', P" pendent. lam
quantitates P', P", <?', Q"i exacte quidem noudum determinari possunt ; attamen
quum habeatur

iiL p=^-s^i;

t — t W 12)

TV P"— ^"-Zl^. (ül^)
^^- ^ '{'"—t" (r, 12)

V. Q = ^kk{t—t){t t ). — „• (^^oi)(7)i2)eosi(»'— y) cos i («"-») cos i{»"-i;')

, r'V" 1

\1. Q = ll'k{t — t){t t ) . ppr, * (.,^ 1 2) (Tj 2 3) cos i (« "- 2> ') cos 4 [V '"— V ') cos i {v '"^"j

statim adsuut approximati

-^ — TITT-' ^ ~ t"'-t"

Q'= ikk(t'—t)(t"—t'), q'= ikk{j:—i:)t"—f]

quibus calculus primus superstruetur.

169.

Absoluto calculo art. praec. ante omnia arcum C'C" determinare opor-
tebit. Quod fiet commodissime, si antea perinde ut in art. 137. intersectio D
circuloram maximorum AC'B\ Ä'C'B", mutuaque inclinatio £ eruta fuerit:
invenietm- dein ex t, CD = z-^ BD , atque CD = z"-\- B"D^ performulas
easdem quas in art. 14 4, tradidimus, non modo CC=v — w, sed etiam
anguli («', it"), sub quibus circuli maximi A B\ A" B" circulum maximum
CC secant.

Postquam arcus v" — v' inventus est, v' — v et r eruentur e combina-
tione aequationum

DETEBMINATIO ORBITAE E QUATUOR OBSERVATIONIBUS. 217

. , ■ s r"sin(ü" — v)

r sin [v — 0) = p7

i+P' r'sin («"—«')

r

sin {v ' — V -{- V " — V ')

et perinde r'" atque v'" — v" e combinatioue harum

,„ . , ,„ ... {r'sin{v"—v'}
r sm {v — V ) == ^„

r"'sin(v" — v"-\-v — v ) = — p„-'

+ P" r"sin{v"—v')

Omnes numeri hoc modo inventi exacti foreiit, si ab initio a valoribus veris ipsa-
rum P, P", Q-i Q proficisci licuisset: tümque situm plani orbitae perinde ut
in art. 149. vel ex AC\ u' et y ? vel ex Ä'C'\ u" et '[" determinare con-
veniret, ipsasque orbitae dimensiones vel ex r , r , < , f , et v' — w, vel, quod
exactius est, ex r, r", <, <"', et v" — v. Sed in calculo primo haec omnia prae-
teribimus, atque in id potissimum incumbemus, ut valores magis approxiniatos pro
quantitatibus P, P , Q., Q" obtiueanius. Hunc finem assequemui*, si per nie-
thodum inde ab art. 88. expositam

ex r, r\ v' — y, t' — t eliciamus ("/jOl)

r', r", v" — v\ t" — t' (■^12)

r", r'", v'" — -v'\ t"' — t" (^^23)

Has quantitates, nee non valores ipsarum r, r', /, r ", cosi(w' — v) etc. in for-
mulis in . . .VI. substituemus, unde valores ipsarum P', Q\ P", ^"resultabunt
multo magis exacti quam ii, quibus hypothesis prima superstructa erat. Cum
illis itaque hypothesis secunda formabitur, quae si prorsus eodem modo ut prima
ad fineni perducitur, valores ipsarum P', Q\ P", Q" multo adhuc exactiores
suppeditabit, atque sie ad hypothesin tertiam deducet. Hae operationes tarn diu
iterabuntur, donec valores ipsarum P', Q\ P', Q" nuUa amplius correctione
opus habere videantur, quod recte iudicare exercitatio frequens mox ducebit.
Quoties motus heliocentricus parvus est, plerumque pi'ima hypothesis illos valores
iam satis exacte subministrat : si vero ille arcum maiorem complectitur, si insuper
temporum intervalla ab aequalitate notabiliter recedunt, hypothesibus pluries
G. TH. M. 28

218 LIBKR II. SECTIO 11,

repetitis opus erit; in tali vero casu hypotheses primae magnam calculi praecisi-
oiiem haud postulant. In ultima denique hypothesi elementa ipsa ita ut modo
indicavimus determinabuutur.

170.
In hypothesi prima quidem temporibus non correctis t, t\ t'\ t"' uti opor-
tebit, quum distantias a terra computare nondum liceat: simulac vero valores
approximati quantitatum x\ x' innotueruiit, illas distantias quoque proxime
determinare poterimus. Attamen quum formulae pro p et p" hie paullo com-
plicatiores evadant, computum correctionis temporum eousque differre conveniet,
ubi distantiarum valores satis praecisi evaserunt, ne calculo repetito opus sit.
Quamobrem e re erit, hanc operationeni üs valoribus quantitatum x^ x super-
struere, ad quas hypothesis penultima produxit, ita ut ultima demum hypothesis
a valoribus correctis temporum atque quantitatum P, P", Q\ Q" proficiscatur.
Ecce formulas, ad hune finem in usum vocandas:

VII. ^ ^=: x' — P'cosS

VIII. . p"=:r"— Ä'cosÖ"

IX. p cos 6 = — R cos B cos (a — 1)

-) 7-^-^7- (p COS 6 cos(a — a)-\-R cosB gos{1 — o))

— p, (p " cos 6 " cos (a" — a)-\- B" cos B " cos il" — a))
X. psiuß = — ÄsinjB-j — ^jrr(p'sin6 -\- R sxnB )

— p Cp' sin &"-\- E" sin B ")
XI. p"'cos6'"=: — P ' cos5'"cos(a"' — l'")

P

— p> (p'cos6'cos(a" — a') -\- R' cosB' cos{a" — l'))

XII. p"'sin6"'= — P"'sinP"'+ '+^"

1 4- P"

-|- ~ — TTrK (p" COS 6 "cos (a'" — a")-j-P"cos^"cos(a"' — l"))

, - f.r, - (p" sin 6 "-f- P "sin B " )
— p, (p' sin 6 -|- P sin B )

DETERMINATIO ORBITAE E QÜATBOK OBSERVATIONIBUS.

219

Formulae IX . . . XII. luillo negotio ex aequationibiis 1, 2, 3 art. 112, derivan-
tur, si modo characteres illic adhibiti in eos quibus hie utimur rite convertuntur.
Manifesto formulae multo simpliciores evadunt, si B, B\ B" evanescunt. E
combinatione fomiularum IX. et X. non modo p sed etiam 6 , et perinde ex
XI. et XII. praeter p etiam € ' demanat: valores harum latitudinum cum
observatis (calculum non ingredientibus) , siquidem datae sunt, comparati osten-
dent, quonam praecisionis gradu latitudines extremae per elementa sex reliquis
datis adaptata repraesentari possint.

171.

Exemplum ad illustrationem huius disquisitionis a Vesta desumere conve-

niet, quae inter omnes planetas recentissime detectos inclinatione ad eclipticam

minima gaudet*). Eligimus observationes sequentes Bremae, Parisiis, Lilien-

thalii et Mediolani ab astronomis claiT. Olbers, Boüvard, Bessel et Oriani institutas :

Temims med.

loci obseryatiouis

Ascensio

recta

Dediuatio

180 7 Martii

30. 12'' 33" 17^

183° 52'

40" 8

ir

54' 27" Bor.

Mail

17. 8 16 5

178 36

42,3

11

39 46, 8 . .

Tulii

11. 10 30 19

189 49

7,7

3

9 10, 1 Bor,

Sept.

8. 7 22 16

212 50

3,4

8

38 17, 0 Austr.

Pro iisdem temporibus e tabulis motuum Solis invenimus

Lougit. Solis ab
aequin. app.

Nutatio

Distantia a terra

Latitudo Solis

ObliqHitas eelipt.
apparens

Martii 30

9° 21' 59" 5

+ 16"8

0,9996448

+ 0"23

23°27'50"82

Maii 17

55 56 20, 0

+ 16,2

1,0119789

— 0,63

49,83

lulii 1 1

108 34 53, 3

+ 17,3

1,0165795

— 0,46

49,19

Sept. 8

165 8 57, 1

+ 16,7

1,0067421

+ 0,29

49,26

*) Nihilominns haec inclinatio etiamnum satis consideraWlis est, ut orbitaiS determinatiouem satis
tuto atqiie exacte tribus observationibus siiperstruere liceat: revera elementa prima, quae hoc modo ex
observationibus l« tantum diebus ad iuvicem distantibus deducta erant (vid. vo» Zach Moiiatl. Corresp.,
Vol. XV. p. 595. 1807 luni) [Gauss Werke B. VI. S. 285], proxime iam accedunt ad ea, quae hie ex. obaer-
vatiouibus quatuor, 162 diebus ad invicem dissitis, derivabuntur.

28*

220 LIBER II. SECTIO U.

lam loca observata planetae , adhibita eclipticae obliquitate apparente , in
longitudines et latitudines conversa, a nutatione et aberratione fixarum purgata,
tandemque demta praecessione ad initium aimi 180 7 reducta sunt, dein e locis
Solis ad normam praeceptorum art. 7 2. derivata sunt loca terrae ficta (ut paral-
laxis ratio habeatur), longitudinesque demta nutatione et praecessione ad eandem
epocham translatae ; tandein tempora ab initio anni numerata et ad meridianura
Parisinum reducta. Hoc modo orti sunt numeri sequentes:

f, t\ t", f 89,505162 137,344502 192,419502} 251,288102
a, a', a", a" 178°43'38"87 174° l' 30"08 187°45'42"23 j 213°34'l5"63

g, g', g", g' 12 27 6,16 10 8 7,80 6 47 25,51 1 4 20 21,63
/, r,.Z", r 189 2133,71 235 56 0,63 I 288 35 20, 32 | 345 9 18,69

\oggB,R\B',B" 9,9997990 0,005 1376 0,0071739 0,0030625

Hinc deducimus

Y= 168°32'4l"34, ö' = 62°23'4"88, loga' = 9,9526104

y'= 173 5 15,68, o"^= 100 45 1,40, loga"= 9,9994839

b'= — 11,009449, ■/■ = — 1,083306, logX = 0,0728800, logiJi'= 9,7139702n
b"= — 2,082036, x"=+6,322006, logX "= 0,0798512n, log(x"= 9,8387061
AD:= 37°17' 5l'50, AD = 89°24'll"84, £ = 9°5'5"48
B'D = —'2b 5 13,38, B"D ^^ — 1120 49,56

Bis calculis praeliminaribus absolutis, hypothesin prirnnm aggredimur. E tem-
porum intervallis elicimus

\ogk{t—t) = 9,9153666
\ogk{t" — t') = 9,9765359
\ogk(t'" — 1")= 0,0054651

atque hinc valores primos approximatos

logP'= 0,06117 log(l+P') = 0,33269 log^' = 9,59087
log P"= 9,97107 log(l-|-P") = 0,28681 log$"= 9,68097

DETERMINATIO ORBIT AE E QUATUOR OBSERVATIONIBUS.

221

hinc porro

log(i'= 0,04666u

c = —7,68361

c"=: + 2,20771 log (i"= 0,12552

Hisce valoribus, paucis tentaniinibus factis, solutio sequeiis aequationum I. II.
elicitur :

2;'== 2,04856 2'=23°38'17" logr'r= 0,3495 1

3;"= 1,95745 3"= 27 2 0 logr"= 0,34 194

X 2,3 atque e eruimus L C =1' — v = vi 7 d : lunc v — v, r, v — v , r
per aequationes sequentes determiuandae erunt :

\ogrsm{v' — v) =9,74942 logrsm(r' — v -\-Vl°l' ^0") =0,07500
logr"sin(w"' — v") = 9,84729 logr"'sin(v"' — w"-(- 1 7°7'5') = 0,10733

unde eruimus

v' — V =14°14'32" logr = 0,35865

v'"— w"= 18 48 33 logr"= 0,33887

Denique invenitur log(«Ol) = 0,00426, log(?i 12) = 0,00599, log(n23) ==
0,00 711, atque hinc valores correcti ipsarum P\ F\ Q\ Q".

logP'= 0,05944 log^'= 9,60374

logP"= 9,97219 log^"= 9,69581

quibus hypothesis secunda superstruenda erit. Huius praecipua momenta ita se
habent:

c'= — 7,67820
c"= -j- 2,21061
z = 2,03308
/= 1,94290

logc?'^ 0,045736 n
logc?"= 0,126054
2'= 23''47'54"
z"= 27 12 25

logr'= 0,346747
logr"=: 0,339373

C'C"= v"—v'= 17°8'0"

v' — v= 14°2l'36" logr = 0,3546«7

v'" — v"= 18 50 43 logr"= 0,334564

log(nOl)= 0,004359 log(nl2)= 0,006102 log(w23) = 0,007280

222

LIBER II. SECTIO II.

Hinc prodeunt valores denuo correcti ipsarum P , P", Q', Q :
logP'r^i 0,059426 \ogQ'= 9,604749

logP"= 9,972249 log^"= 9,697564

quibus si ad tertiam hypothesin progredimur, numeri sequentes resultant:

c'= — 7,67815 logc?'= 0,045729n

c= -)-2, 21076 log(i"= 0,126082

X = 2,03255

s = 23°48'14"
z"=^ 27 12 49

X = 1,94235
C'C"= v"—v'=z 17° 8' 4"
v' — v= 14°2l'49' logr = 0,354522
v'" — v"= 18 51 7 logr"'= 0,334290
log(TOOl) = 0,004363 log(TOl2) = 0,006106

\ogr'= 0,346653
log?'':= 0,339276

log(n23) = 0,007290

Quodsi iam ad normani praeceptorum art. praec. distantiae a terra supputantur,
prodit :

p' = 1,5635
logpcosC = 0,09876
logpsin6= 9,44252

8 := 12°26'40"

log p " cos 6

log p" siii 6

g

logp = 0,10909

= 2,1319
= 0,42842
= 9,30905
= 4''20'39"

logp"= 0,4 2967

Hinc inveniuntur

I
II
III
IV

Conectiones
temporum

0,007335
0,008921
0,012165
0,015346

Tempora correcta

89,497827
135,335581
192,407337
251,272756

DETERMINATIÜ ORBITAE E QUATUOR OBSERVATIONIBU8. 323

unde prodeuiit valoi*e« quantitatuni P\ P", Q\ Q" denuo correcti

logP== 0,0594 15 log(/= 9,604782

\ogP"= 9,972253 \ogQ"= 9,697687

Tandem si hisce valoribus novis Jiijpothesis quartn formatur, immeri sequentes
prodeunt :

c— —7,678116

logd —

0,045 723 u

c" — +2,210773

\ogd"=

0,126084

X— 2,032473

z =

23°48'l6"7

logr' — 0,346638

.r"= 1,94 2281

z

27 12 5 1,7

log?-'= 0,339263

v"~

-v'— 17° 8' 5"l

i{u

"+«■)-

176 7 50 5

-k{u

— u) = 4°33'23"6

v-

—v= 14 21 51,9

logr _

0,354503

V -

-v"= 18 51 9,5

logr'"==

0,334263

Hi numeri ab iis, quos hypothesis tertia suppeditaverat, tarn parum differunt, ut
iam tuto ad ipsorum elementorum determiuati( »nein progredi liceat. Primo situm
plani orbitae eruimus. Per praecepta art. 149. invenitur ex y ? « atque AG' ^
8' — 2, inclinatio orbitae =:7°8'l4"8, longitudo nodi ascendentis 103°16'37"2,
argumentum latitudinis in observatione secunda 94°36'4"9, adeoque longitudo
in orbita 197°52'42"l; perinde ex y» " atque ÄG"^::=<i" — z elicitur incU-
natio orbitae ==7°8'l4"8, longitudo nodi ascendentis 103° 16' 37 "5, ai'gumen-
tum latitudinis in observatione tertia lll°44 97, adeoque longitudo in orbita
2 15° 04 7 "2. Hinc erit longitudo in orbita pro observatione prima 1 8 3° 3 O' 50 "2,
pro quarta 233°5l'56"7. Quodsi iam ex i'" — t^ r^ r" atque v" — <; = 50°2r6'5
orbitae dimensiones determinantur , prodit

Anomalia vera pro loco primo 293° 3 3 43' 7

Anomalia vera pro loco quarto 3435450,2

Hinc longitudo perihelii 24957 6,5

Anomalia media pro loco primo 302333 2, 6

Anomalia med^^ pro loco quarto 346 32 25,2

Motus medius diurnus sidereus 978 7216

224 LIBER II. SECTIO II. DETERMINÄTIO ORBITAE E QUATUOR OBSERVATIONIBUS.

Anomalia media pro initio aimi 180 7 278° 13' 39 "l

Longitudo media pro eadem epocha 168 1045,6

Angulus cp 5 258, 1

Logarithmus semiaxis maioris 0,37 2898

Si secundum haecce elementa pro temporibus i, f , t\ t correctis loca
planetae geocentrica computantur, quatuor longitudines cum a, a, a', a", duae-
que latitudines iutermediae cum 6 , 6 ad unam miiiuti secundi partem decimam
conspirant; latitudines extremae vero prodeunt 12''26 43 7 atque 4°20'40 1,
illa 22 4 errans defectu, haec 185 excessu. Attamen si manentibus elemen-
tis reliquis tantummodo inclinatio orbitae 6" augeatuv, loiigitudoque nodi 440"
diminuatur, errores inter omnes latitudines distributi ad pauca minuta secunda
deprimeutur, longitudinesque levissimis tan tum erroribus afficientur, qui et ipsi
propemodum ad nihilum reducentur, si insuper epocha longitudinis 2" diminuatur.

SECTIO TEKTIA

Deierminatio orhitae observationibus quotcunque quam jproxime satisfacientis.

172.

Si observationes astronomicae ceterique iiumeri, quibus oi-bitarum computus
innititur, absoluta praecisione gaudereiit, elemeuta quoque, sive ti-ibus observatio-
nibus sive quatuor supersti'ucta fuerint, absolute exacta statim prodirent (quateiius
quidem motus secunduni leg-es Kepler! exacte fieri supponitur), adeoque accitis
aliis aliisque observationibus coufirmari tautum posseut, haud corrigi. Verum
enim vero quum omnes mensurationes atque observationes nostrae nibil sint nisi
approximationes ad veritatem, idemque de oninibus calculis illis innitentibus va-
lere debeat, scopum summuni omnium computoruna circa phaenomena concreta
institutorum in eo ponere oportebit, ut ad veritatem quam proxime fieri potest
accedamus. Hoc autem aliter fieri nequit, nisi per idoneam combinationem ob-
s&YYa,t\o\\\x\i\ plurium^ quam quot ad determinationem quantitatum incognitarum
absolute requiruntur. Hoc negotium tunc demum suscipere licebit, quando orbi-
tae cognitio approximata iam innotviit, quae dein ita rectificanda est, ut Omnibus
observationibus quam exactissime satisfaciat. Etiamsi haec expressio aliquid vagi
implicare videatur, tamen infra principia tradentur, secundum quae problema So-
lution! legitimae ac methodicae subiicietur.

Praecisionem summam ambire tunc tantummodo operae pretium esse potest,
quando orbitae determinandae postrema quasi manus apponenda est. Contra
quamdiu spes afiulg-et, mox novas observationes novis correctionibus occasionem
G. TH. M. 29

226 LIBER II. SECTIO III.

daturas esse, prout res fert plus miuusve ab extreina praecisione remittere conve-
niet, si tali modo operationum prolixitatem notabiliter sublevare licet. Nos utri-
que casui consulere studebinius.

173.

]\Iaximi imprimis momenti est, ut singulae corporis coelestis positiones geo-
centricae, quibus orbitam superstruere proposituni est, uon ex observatioiiibus
solitariis petitae sint, sed si tieri potest e pluribus ita combinatis, ut errores forte
commissi quaiitum licet sese mutuo destruxeriut. Observatioiies scilicet tales,
quae paucorum dierum intervallo ab invicem distaut — vel adeo prout res fert
intervallo 15 aut 20 dierum — in calculo non adhibeudae eruut tamquam tot-
idem positiones diversae, sed potius positio unica inde derivabitur, quae inter
cunctas quasi media est, adeoque praecLsionem longe maiorem admittit, quam
observatioiies singulae seorsim consideratae. Quod negotium sequentibus princi-
piis iniiititur.

Corporis coelestis loca geoceiitrica ex elementis approximatis calculata a
locis veris parum discrepare, differeutiaeque iuter haec et illa mutationes lentissi-
mas tan tum subire debent, ita ut iiitra paucorum dierum decui'sum propemodum
pro constantibus liaberi queant, vel saltem variationes tamquam temporibus pro-
portionales spectandae sint. Si itaque observatioiies ab omni errore immunes
essent, differentiae inter locos observatos temporibus f, / , t\ t" etc. i'espondentes,
eosque qui ex elementis computati sunt, i. e. differentiae tum longitudinum tum
latitudinum, sive tum asceiisioiium rectarum tum declinationum, observatarum a
computatis, forent quaiititates vel sensibiliter aequales, vel saltem uniformiter
lentissimeque iucrescentes aut decrescentes. Respondeant e. g. illis temporibus
ascensiones rectae observatae a , a', a , d etc. , computatae autem sint a -|- ö,
a'-j-ö'j 0+^5 a'-j-o etc. ; tunc differentiae ö, o, o", o etc. a veris elemento-
rum deviationibus eatenus tan tum discrepabunt , quateiius observationes ipsae
sunt erroneae: si itaque illas deviationes pro omnibus istis observationibus tam-
quam constantes spectare licet, exhibebunt quaiititates ö, o, o , ö etc. totidem
determinationes diversas eiusdem magnitudinis , pro cuius valore correcto itaque
assumere conveniet medium aritliiiieticum inter illas determinationes, quatenus
quidem nulla adest ratio, cur unam alteramve praeferamus. Sin vero observatio-
nibus singulis idem praecisiunis gradus iiaud attribuendus videtur, supponamus

DETERMINATIO ORBITÄK EX OBSEKVAT lONIBUS QUOTCUNQUE. 227

praecisionis graduin in siiigulis resp. proportionalem aestimandiuii esse numeris
c, e', e", e" etc., i. e. errores his luimeris recipi-oce proportionales in observationi-
bus aeque facile committi potuisse; tum secundum principia infra ti'adenda valor
medius maxinie probabilis band amplius erit medium aritbmeticum simplex, sed
= . , , I — „-,r^m-m\ — \ • btatueudo mm nunc valorem medium = a, pro

ee -\-ee -Y e e -\- e e + etc. " r

ascensionibus rectis veris assumere licebit resp. a-|-^ — -^, a -|- o — A, a-j-o" — A,
et -j-o " — A, tunique ax'bitrarium erit, quanam in calculo utamur. Quodsi vero
vel observationes temporis intervallo nimis magno ab invicem distant, aut si or-
bitae elementa satis approximata nondum iunotueraiit, ita ut non licuerit, hoinim
deviationes tamquam constantes pro observationibus cuiictis spectai'e, facile per-
spicietur, aliam hinc difterentiam non oriri, nisi quod deviatio media sie inventa
non tam omnibus observationibus communis suppouenda erit, quam potius ad
tempus medium quoddam referenda, quod perinde e siiigulis temporum momentis
derivare oportet, ut A ex siiigulis deviationibus, adeoque generaliter ad tempus

eet+e'e't'+e"e"t"+e"'e"'t'"+eic. r,- v • • . i

— i7qr^'7-i- e'v'+ e"'e"'+ eto ' ' ' itaque summam praecisionem appetere placet, pro

eodem tempore locum geocenta*icum ex elementis computare , ac dein ab errore
medio A liberare oportebit, ut positio quam accuratissima emergat: plerumque
tarnen abunde suf'ficiet, si error medius ad Observationen! tempori medio proxi-
mam reteratur. Quae hie de ascensionibus rectis diximus, perinde de declinatio-
nibus, aut si mavis de longitudinibus et latitudinibus valent: attamen semper
praestabit, immediate ascensiones rectas et declinationes ex elementis computatas
cum observatis comparare; sie enim non modo calculum magis expeditum lucra-
mur, praesertim si methodis in ai*tt. 5 3... 60. expositis utimur, sed eo insuper
titulo illa ratio se commendat, quod observationes incompletas quoque in usum
vocare licet, praetereaque si omnia ad longitudines et latitudines referrentur me-
tuendum esset, ne observatio quoad ascensionem recte, quoad decliiiationem male
instituta (vel vice vei'sa) ab utraque parte depravetur, atque sie prorsus inutilis
evadat. — Ceterura gradus praecisionis medio ita invento attribuendus secundum
principia mox explicanda erit = \/ {e e ^ e e -\- e e -\- e" e" -{- tta.) ^ ita ut quatuor
vel novera observationes aeque exactae requirantur, si medium praecisione dupla
vel ti'ipla gaudere debet, et sie poiTo.

174.
Si corporis coelestis orbita secundum methodos in Sectiouibus praecc traditas

29*

228 LIBER I[. SECTIO III.

e tribus quatuorve positionibus geoceiitricis talibu.s determiiiata est, quae ipsae
singulae ad norinam art. pi'aec. e comjjluribus observationibus petitae fuerant,
orbita ista iuter omiies hasce observationes medium quasi teuebit, iieque in dif-
ferentiis iuter locos observatos et calculatos uUuiu ordiuis vestig-iuiu remanebit?
quod per elementorum correctionem tollere vel sensibiliter exteuuare liceret. lam
quoties tota observationum copia iutervallum temporis uou uiuiis maguum coui-
plectitur, hoc modo couseusum exoptatissimum elemeutorum cum omnibus obscr-
vatiouibus assequi licebit, si modo tres quatuorve positiones quasi normales scite
eligantur. In determinaudis orbitis cometarum plauetarumve novorum, quorum
observationes annum unum uondum egrediuntur, ista ratioiie plerumque tantum
proficiemus, quantum ipsa rei natura permittit. Quoties itaque orbita determi-
nanda angulo considerabili versus eclipticam inclinata est, in geuere tribus obser-
vationibus superstruetur , quas quam remotissiinas ab invicem eligemus: si vero
hoc pacto in aliquem casuum supra exclusorum (artt. 160... 1 Ö2.) fortuito incide-
remus, aut quoties orbitae inclinatio nimis parva videtur, determinationem ex
positionibus quatuor jjraeferemus , quas itidem quam remotissiinas ab invicem
accipiemus.

Quando autem iam adest observationum series longior plures annos com-
plectens, plures iude positiones normales derivari poterunt : quamobrem praecisioni
maximae male consuleremus, si ad orbitae determinationem tres tantum quatuorve
positiones excerperemus, omnesque reliquas omnino negligeremus. Quin potius in
tali casu, si summam praecisionem assequi propositum est, operam dabimus, ut
positiones exquisitas quam plurimas congeramus, atque in usum vocemus. Tunc
itaque aderunt data plura, quam ad incognitarum determinationem requiruntur:
sed onmia ista data erroribus utut exiguis obnoxia erunt, ita ut generaliter im-
possibile sit, omnibus ex asse satisfacere. Iam quum nulla adsit ratio, cur ex
hisce datis sex haec vel illa tamquam absolute exacta consideremus , sed potius,
secundum probabilitatis priucipia, in cunctis promiscue eiTores maiores vel mino-
res aeque possibiles supponere oporteat; porro quum generaliter loquendo errores
leviores saepius committantur quam graviores; manifestum est, orbitam talem,
quae dum sex datis ad amussim satisfacit a reliquis plus miimsve deviat, princi-
piis calculi probabilitatis minus consentaneam censendam esse, quam aliam, quae
dum ab illis quoque sex datis aliquantulum discrepat, consensum tanto meliorem
cum reliquis praestat. Investigatio orbitae, sensu stricto maximam probabilitatem

DETEKMINATIO OEBITAE EX OBSERVATIONIBUS QUOTCUNQUE. 229

prae se ferentis a cognitioue legis peudebit, secuiidum quam eiTorum cresceiitiuni
probabilitas decrescit: illa vero a tot consideratioiiibus vagis vel dubiis — phy-
siologicis qiioque — peudet, quae calculo subiici nequeuut, ut huiusmodi legem
vix ac ne vix quidem in ullo astronomiae practicae casu rite assigiiare liceat.
Nihilominus indagatio iiexus intei' haue legem orbitamque maxime probabilem,
quam summa iam genei'alitate suscipiemus, neutiquam pro speculatione sterili
habenda erit.

175.

Ad huiic fiuem a ])roblemate nostro special! ad disquisitionem generalissi-
mam in omni calculi ad philosophiam naturalem applicatione foecundissimam as-
cendemus. Sint T, V\ V" etc. functiones incognitarum p^ f/, r, .s etc., [jl mul-
titudo illarum functionum, > multitudo incognitarum, supponamusque , per ob-
servationes immediatas valores functionum ita inventos esse 1^ = M, I" = Jf,
V" = M" etc. Generaliter itaque loquendo evolutio valorum incognitarum con-
stituet problema indeterminatum , determinatum , vel plus quam determinatum,
prout fuerit jJ.<C''5 F"- = "'j "^sl pi- ^ '' *)• Hie de ultimo tantum casu sermo
erit, in quo manifesto exacta cunctarum observatioiivim repraesentatio tunc tan-
tum possibilis foret, ubi illae omnes ab erroribus absolute immunes essent. Quod
quum in rerum natura locum non habeat, omne systema valorum incognitarum
j?, q, r, s etc. pro possibili habendum erit, ex quo valores functionum 31 — F,
M' — V\ M" — F ', etc. oriuntur, limitibus errorum , qui in istis observationibus
committi potuerunt, non maiores: quod tarnen neutiquam ita intelligendum est,
ac si singula haec systemata possibilia aequali probabilitatis gradvi gauderent,

Supponemus primo, eum rerum statura fuisse in omnibus observationibus,
ut nulla ratio adsit, cur aliam alia miims exactam esse suspicemur, sive ut errores
aeque magnos in singulis pro aeque probabilibus haliere oporteat. Probabilitas
itaque cuilibet errori A tribuenda exprimetur per fuuctionem ipsius A , quam
per cp A denotabimus. Iam etiamsi haue functionem praecise assignare non liceat,

*) Si in casu teitiu fimctioni'S V, V\ V". etc. ita comparatae esspiu, , ut jj.+ i— v px ipsius ve
pluies tauiquam functiones reliquacuin spectare liceret, problema respectu liarum fuuctioiuiui etiamnum i)lus
quam deteriiiiiiataiu foret, respectu quantitatum p, q, r, s etc. autem imleteimlnatum: liarum scilicet valo-
res ne tunc quidem determinare liceret, quaudo valores functionum (', T". V" etc. absolute exacti dati
essent: sed hunc casum a disqu!sitione nostra excludenius.

230 LIBER II. SECTIO UI.

saltera afiirmare possumus, eins valorem fieri debere maximum pro A =:= 0, ple-
rumque aequalem esse pro valoribus aequalibus oppositis ipsius A, denique eva-
nescere, si pro A accipiatur error maximus vel maior valor. Proprie itaque cp A
ad fuiictionum discontinuarum geiius referre oportet, et si quam functionem ana-
lyticam istius loco substituere ad usus practicos uobis permittimus, baec ita com-
parata esse debebit, ut utrimque a A = 0 asymptotice quasi ad 0 convergat, ita
ut ultra istum limitem tamquam vere evanescens coiisidei-ari possit. Porro pro-
babilitas, en-orem iacere inter limites A et A -f- d A differeutia infinite parva d A
ab invicem distantes, exprimenda erit per -f A.dA; proin generaliter probabilitas,
errorera iacere inter D et i)', exhibebitur per integrale J'^A.dA, a A = -D
usque ad A = D' extensuni. Hoc integrale a valore maximo negativo ipsius A
usque ad valorem maximum positivum , sive generalius a A = — oo usque ad
A = + 03 sumtum, necessario fieri debet = 1 .

Supponendo igitur, systema aliquod determinatum valorum quantitatum
Pi q, r, s etc. locum habere, probabilitas, pro V ex observatione proditurum
esse valorem J/, exprimetur per 'f (if — V), substitutis in V pro p, q, r, s etc.
valoribus suis ; perinde 9 (ilf ' — V") , cp {M" — V") etc. expriment probabilitates,
ex observationibus resultaturos esse functionum V, V" etc. valores Jf' , M" etc.
Quamobrem quandoquidem omnes observationes tamquam eventus ab invicem
independentes spectare licet, productum

'^{M— r).'f (i/ — r).9(iir— F")etc. = q

exprimet exspectationem seu probabilitatem , omnes istos valores simul ex obser-
vationibus pi-odituros esse.

176.
lam perinde, ut positis valoribus incognitarum determinatis quibuscunque,
cuivis systemati valorum functionum F, F', V" etc. ante observationem factam
probabilitas determinata competit, ita vice versa, postquam ex obsei^vationibus
valores detenuinati functionum prodierunt, ad singula systemata valorum incog-
nitarum, e quibus illi demanare j)otuerunt, probabilitas determinata redmidabit:
manifesto enim systemata ea pro magis probabilibus babenda erunt, in quibus
eventus eius qui prodit exspectatio maior afiuerat. Huiusce probabilitatis aesti-
matio sequenti theoremati innititur:

DETERMINATIO ORBITAE EX OBSERVATIONIBUS QÜOTCINQUE. 231

Si posita lijjpotliesi aliqua H probahiUtas aliciiius eventus determinati E
est = li, posita autem hypothesi olia H illam excludente et per se aeque proha-
hili eiusdem eventus prohabilitas est = li' : tum dico , quando eventus E revera
apparuerit^ prohahiUtatem, quod H fuerit vera hypotliesis, fore ad prohabilitaiem^
quod H fuerit hypotliesis cera^ ut h ad \\.

Ad quod deniousti-audum suppouamus, per distinctionem omniuiii circuni-
stautiarum, a quibus peiidet, nuui H aut H aut alia hypotliesis locum habeat,
utrum eventus E an alius eniergere debeat, forniari systema quoddani casuuni
diversoi'um, qui singuli per se (i. e. quamdiu incertnm est, utrum ev entus E an
a,lius proditurus sit) tamquam aeque probabiles cousiderandi sint, bosque casus
ita distribui :

ut inter ipsos
reperiantuT

iibi locum habere
debet hypotbesis

cuui modificationibus talibus
ut pmdire debeat eventus

m

R

E

n

H

ab

E diversus

m

R-

E

n

H'

ab

E diversus

m'

ab

H Qt H'

diversa

E

n"

ab

H et H'

diversa

ab

E diversus

Tunc erit li = — ; — , li = ,-. — >• porro ante eventuni coa'nituni probabilitas

hypotbesis H erat = , — , — ^^^ — "-; — «, post eventum cognitum autem,
ubi casus n, n\ n e possibilium oumei'o abeunt, eiusdem hypotbesis probabilitas
erit = — t-'t 7,\ perinde hypotbesis //' probabilitas ante et post eventum

m + m + ;» ' '^ •',_J_ , ^ , *■

resp. exprimetur per „,^„,t; J^^^^,,^,,. et ^~^^n^: quoniam itaque hy-
pothesibus H et H ante eventum cognitum eadem pi-obabilitas supponitur, erit
m-j-w = m'-^ri, unde theorematis veritas sponte colligitur.

lam quatenus supponinms, praeter observationes V= 31, I "= M , ["' = 3/
etc. nuUa alia data ad incognitarum determinationem adesse, adeoque omnia sy-
stemata valorum haruni incognitarum ante illas observationes aeque probabilia
fuisse, manifesto probabilitas cuiusvis systematis determinati post illas observatio-
nes ipsi Q proportioualis erit. Hoc ita intelligendum est, probabilitatem, quod
valores incognitarum resp. iaceant inter limites infinite vicinos p et p -\- d^,
q et q-\-dq, r et j'-f-dr, s et .s + ds etc., exprimi per kildpd(idrds etc.,

232 LiBER n. SECTIO in.

ubi X erit quantitas constaiis a Pi q, r^ s etc. independens. Et quidem ma-
nifesto erit ^ valor integralis ordiiüs v" J^ Qdpdqdrds . . ., siiigulis varia-
bilibus 2h 2j ''? *' ^^^- ^ valore — oo usque ad valorem -|- cx> extensis.

177.
Hinc iam sponte sequitur, systema maxime probabile valoriiiii quantitatum
j), q,r^ s etc. id fore, in quo Q valorem maximum obtineat, adeoque ex v ae-
quationibus ^ = 0, '^ = 0, ^ = 0, ~=0 etc. eruendum esse. Hae
aequationes, statueiido M — V = v, M' — V" = r', M" — V" = v" etc., atque
— j-'f— = cp A, formam sequentem nanciscimtur :

di> ■ 1 du' ' ' 1 du" ' " I . ,A

d-^^ '•+d]7'-f ^ +d7'-P^ + etc. = 0

dt! • 1 dl)' ' ' I dl-" ■ " I . n

di'^ '•+d7'-P " + d^T^ +etc. = 0

dl' ■ 1 dy' ' ' 1 d«" ' " 1 . /.

d7 'f ^' + d7'-P " + 07 ^ ^ + ^*«- = ^

d« ' , df' ' ' I d?)" ' " I i ,1 i

d-* ? ^ + ^ ^ " + ^ ^ ^ + ®*^- = ^ ' ®*^'

Hinc itaque per eliminationem problematis solutio pleiie determinata deri-
vari poterit, quamprimum functionis '^' indoles innotuit. Quae quoniam a priori
definiri nequit, rem ab altera parte aggredientes inquiremus, cuinam functioni,
tacite quasi pro basi acceptae , proprie innixum sit principiuni trivium , cuius
praestantia generaliter agnoscitur. Axiomatis scilicet loco haberi solet hypothesis,
si quae quantitas per plures observationes iinmediatas, sub aequalibus circumstan-
tiis aequalique cura institutas, determinata fuerit, medium arithmeticum inter
omnes valores obsex'vatos exhibere valorem maxime probabilem, si non absoluto
rigore, tarnen proxime saltem, ita ut semper tutissimum sit illi inhaerere. Statu-
endo itaque F= T"= F'etc. =^, generaliter esse debebit ^{M — p)-\-'^[M' — p)
-\- '^^{M" — p) -\- etc. = 0 , si pro p substituitur valor - {M-\- i/'-(- J/"-|- etc.),
quemcunque integrum positivum exprimat |x. Supponendo itaque M'=M"=Qtc.
= M — |i.^, erit generaliter, i. e. pro quovis valore integro positivo ipsius {a,
cp'(jj. — i)N = (l — [Ji)cp' ( — N) , unde facile colligitur , generaliter esse debere
V- quantitatem constantem, quam per k designabimus. Hinc fit logcpA =

ÜETEKMINATIO OKBITAE EX OBSEKVATIONIBUS CJUOTCUNQUE. 233

4 Ä^ A A -|- Coiist. , sive desiguaudo basiu logarithmorum hyperbolicoriim per e,
supponeudoque Const. = logz,

PoiTO facile perspicitur, k necessario Jiegativam esse debere, quo Q revera fieri
possit niaxiinum , quamobrem statuemus i k = — hh ; et quiuii per theorema
elegans primo ab ill. Laplace inveiitum, integrale /'-"'*'' dA, a A = — ^ co
usque ad A = -]- oo, fiat = ," (denotando per - semicircumfereiitiaiu cir-
culi cuius radius l), fuuctio nostra fiet

178.

Functio modo eruta omni quidem rigore erroriim probabilitates exprimere
certo non potest: qumii enim errores possibiles semper limitibus certis coerceantur,
erroi'um maiorum probabilitas semper evadere deberet = 0, dum formula nostra
semper valorem finitum exhibet. Attamen hie defectus, quo omuis functio ana-
lytica natura sua laborare debet, ad omnes usus practicos nullius momenti est,
quum valor functionis nostrae tam rapide decrescat., quamprimum hi\ valorem
considerabilem acquisivit, ut tuto ipsi 0 aequivalens censeri possit. Praeterea
ipsos errorum limites absoluto rigore assignare, rei natura numquam permittet.

Ceterum constans h tamquam mensura praecisionis observationum conside-
rai"i poterit. Si enim probabilitas erroris A in aliquo observationum systemate
per ,— e~*' , in alio vero systemate observationum magis minusve exacta-
rum per -j-^~^^ exprimi concipitur, exspectatio, in observatione aliqua e

systemate priori errorem inter limites — o et -\-^ contineri, exprimetur per inte-
grale r/e~*' dA a A^ — o usque ad A = -|- o sumtum, et perinde ex-
spectatio, errorem alicuius observationis e systemate posteriori limites — o et -)- o
non egredi, exprimetur per integrale /^6~*' dA a A = — o' usque ad
A = -|- ^ extensum: ambo autem integralia manifesto aequalia tiunt, quoties
habetur ]i o ^=^ //o . Quodsi igitur e. g. U =2li^ aeque facile in systemate priori
error duplex connnitti poterit, ac simplex in posteriori, in quo casu observationi-
bus posterioribus secundum vulgarem loquendi morem praecisio duplex tribuitur.
G. TH. M. 30

234 LIBEE II. SECTIO III.

179.

lam ea quae ex hac lege sequuutur evolvemus. Sponte patet, ut pro-
ductum Q ^ /,!- T, - i 1- e - '^ '''*'" + *''*'' + ^ "^ "+•■ •) fiat maximum , agg-regatum
vv -\- v v -\- v" v' -\- etc. niinimum lieri debere. Systema itaque maxime prohahile
vaJorum incognitarum p, q, r, s etc. id erit, in quo quadrata differentiarum inter
functionum V, V , V " etc. volares ohservatos et computatos summam minima in-
efßciunt, siquidem in omuibus observatioiiibus idem praecisioiiis gradus praesu-
mendus est.

Hocce principium, quod in omuibus applicatioiiibus niatbesis ad philoso-
phiain naturalem usum frequentissimum offert, ubique axiomatis loco eodem iure
valere debet, quo medium arithmeticum inter plures valores observatos eiusdem
quantitatis tamquam valor maxime probabilis adoptatur.

Ad observationes praecisionis inaequalis principium nuUo iam negotio ex-
tendi potest. Scilicet si mensura praecisionis observationum, per quas inventura
est F= M, F=: M\ F"= M etc. resp. per /;, /«', li' etc. exprimitur, i.e.
si supponitur, errorcs bis quantitatibus reciproce proportionales in istis obsei*-
vationibus aeque facile committi potuisse , manifesto hoc idem erit, ac si per ob-
servationes praecisionis aequalis (cuius mensura ==1) valores functionum h F,
KV, h"V" etc. immediate inventi essent = fiM, h'M\ liM" etc.: quamobrem
systema maxime probabile valorum pro quantitatibus p, q, r , s etc. id erit,
ubi aggregatum hh r r -\- }th'vv'-\- h"h"v"r"-\- etc. i. e. tibi summa quadratorum dif'
ferentiarum inter valores revera ohservatos et computatos per numeros qui prae-
cisionis gradum metiunt.ur irndtiplicatarum- fit minimum. Hoc pacto ne necessa-
rium quidem est, ut functiones F, F', V" etc. ad quantitates bomogeneas
referantur, sed heterogeneas quoque (e. g. minuta secunda arcuum et temporis)
repraesentare poterunt, si modo ratiouem errorum, qui in singulis aeque facile
committi potuerunt, aestimare licet.

180.
Principium in ai"t. praec. expositum eo quoque nomine se commendat,
quod determinatio incognitarum numerica ad algoritbmum expeditissimum re-
ducitur, quoties functiones F, F', V etc. lineares sunt. Supponamus
esse

DETERMINATIO OKBITAE EX OBSERVATIONIBUS QUOTCUNQUE. 235

M — V =■ V = — m -f- ap -\-bq-\- er -\- ds-]- etc.
M' — V = v = — m'-\- ap -j- b'l -j- er -{-d's-{- etc.
M" — V"=z v" = — v/i"-)- a"j> -\- h"q-\- c"r-\- d"s -{- etc.

etc., statuamusque

a V -\- a.v'-\- ci"o-\- etc. = P

h V -\- &V-]- h'v"-\- etc. = Q
cv-{- c'v'-\- e"v"-\- etc. = R
dv -\- d' V -\- d" c -{- Q.tQ^. = S

etc. Tunc v aequationes art. 17 7., e quibus incognitarum valores determinare
oportet, mauifesto hae erunt:

P =z 0, ö = 0, F =z (», S = 0, etc.

siquidem observationes aeque bouas suppoiiimus , ad quem casum reliquos re-
ducere in art. praec. docuinms. Adsunt itaque totidem aequatioues lineares, quot
iiicognitae determinandae sunt, uude harum valores per eliminationem vulgarem
elicieutur.

Videamus nunc, utrum haec eliminatio semper possibilis sit, an umquam
solutio indeterminata vel adeo impossibilis evadere possit. Ex eliminationis theo-
ria constat, casum secundum vel tertium tunc locum habiturum esse, quando ex
aequationibus P=0, (> = 0, B=0, S' = 0 etc., omissa una, aequatio
conflari potest vel identica cum omissa vel eidem repugnans , sive quod eodem
redit, quando assignare licet functionem linearem aP-\-?jQ-\--(R-\-oS-\-etc.,
quae fit identice vel = 0 vel saltem ab omnibus incognitis j), (/, r, s etc.
libera. Supponamus itaque fieri a P -f- 6 (? + 7 i? + o <S + etc. = x. Sponte ha-
betur aequatio identica

(v -\- m) f + («'+ ^0 «'+ (""+ ™") y"+ etc. =pP^qQ^rR-[-sS-\- etc.

Quodsi itaque per substitutiones p) =. ax, <[ = ^x, r ::= 70;, s ^= ox etc. fun-
ctiones y, w', w" etc. resp. in — w-j-Xü-, — m-{-Xx, — W-j- X"ic etc. transire sup-
ponimus, manifesto aderit aequatio identica

(X X -f- X'X'-|- X"X"-|- etc.) ccx — (X m -{- XW-j- X'W etc.) x = /.x

30*

236 LIBEK II. SECTIO III.

i. e. erit }J. + )A'-[- ÄT-j- etc. = 0 , x-|- )./;/-|- ).'»/-}- X'V»"4- etc. ^0: hiiic
vero necessario esse debebit X = o, k = (> , V z=: (i etc. atque z =^ <». Hiiic
patet, fünctiones oiiines T^, T" , T'" etc. ita comparatas esse, ut valores ipsarum
11011 inutentur, si quantitates pt 'li '>'■> * etc. capiant iiicrementa vel decrementa
quaecuiique iiumeris a, o, •(, o etc. proportioiialia : huiusniodi autem casus, in
quibus maiiifesto determinatio incognitaruiii ne tiinc qnidein possibilis esset, si
ipsi veri valores functioiniin F, T" , T ' etc. daveutur, Inic uon pei'tinere iaiu
supra monuimus.

Ceterum ad casum liic coiisideratum oniues reliquos, ubi fuuctioiies I'^,
V \ V" etc. non sunt lineares, facile reducere possuinus. Scilicet designantibus
r, ■/, p, a etc. valores approximatos incognitaruui p^ q, r, s etc. (quos facile
eliciemus, si ex \j. aequationibus T = J/, r'= J/', 1" = i/" etc. priino v
taiitmu in usuin vocanius), introducemus incognitaruiii loco alias ^j', q., r', s'
etc., statuendo ^-' = 1^+^) '/^7. + '7: '" = f* + *' 5 s=^g-{-s' etc.: maiii-
festo liarum novarnm iiicognitarum valores tarn parvi erunt, ut quadrata pro-
ductaque negligere liceat, quo pacto aequationes sponte evadent lineares. Quodsi
dein calculo ab.soluto contra exspectationem valores incognitaruiii p', r/', r', s etc.
tanti emergerent, ut parum tutuin videatur, quadrata productaque neglexisse,
eiusdem Operation is repetitio (acceptis loco ipsarum iz, / , p, a etc. valoribus
correctis ipsarum /i, q, r, s etc.) remedium promtum afferet.

181.

Quoties itaque unica tantuni incognita j» adest, ad ouius determinationem
valores functionum ap-|-?y, a'p-{-n, a"j)-\-n etc. resp. inventi sunt = J/,
M\ M" etc. et quidem per observationes aeque exactas, valor inaxime probabilis
ipsius p erit

am -\- am' -{-("in" + eic. a

aa + aV+a"a"+ etc.

scribendo »/?, 7»', vi" etc. pro M — ■>?, M' — ??', M" — n etc.

lam ut gradus praecisionis in hoc valore praesumendae aestimetur, suppd-
nemus, probabilitatemerroris A in observationibus exprimi per -r^_e~ ' ' . Hinc
probabilitas, valorem verum ipsius p esse =^A-\-p\ proportionalis erit functioni

. — hh (fflp — m)- + (a'p — )»') ' + iii'p — m"f + ptc.)

DETERMINATin OliBITAK KX OBSEUVATIOXIIMS QUOTCCXQUE. 237

si pro 2> substituitur A-\- p'. Exponeiis hiiius tiuictionis rediici potest ad fur-
mani — hli{aa-\- aa'-\- d'a" -\- ütc.){2'P — 2/>yl-|-7)), iibi B a p indepeiidens
est: pvoiii fuiictio ipsa proportionalis erit liuic

— /( /( ('( (I + «'«'+ a"(i"-\- rtc.) p'p'

e

Patet itaque , valori A eundeni praecisionis gTadum tribuendum esse, ac si in-
ventus esset per Observationen! immediatani, cuius praecisio ad praecisiouem ob-
servationum primitivarum esset ut // \/[ii a ~\- dd -\- d' a" -\- etc.) ad // , sive ut
\l{n c( -|- dd-{- d'd'-{- etc.) ad 1.

182.
Disquisitioni de gi-adu praecisionis incognitaruni valoribns tribueudo, quo-
ties plures adsunt, pi-aemittere oportebit considerationeni accuratiorem funetionis

^^v-\-vv'-\- c" c" -\- Qtc.^ quam per W denotabimns.

I. Statuanius 4"5 — = y/= a -]- a^> -j- o r/ -|- -,' '" -|- ö .v -|- etc., atque

Tir /// TTT' , , £ ■ ' Di * -i dir' AW 11) (1/

II — -j^ = W , patetque neri 2' = ^ i et? qnum sit —^- = -j-^ ^-.-^= u,

functioneni W a p liberam fore. Coefliciens a = a n -\~ d n' -[- d' d' -\- etii.
nianifesto semper erit quantitas positiva.

II. Perinde statueimis i •\^ = 'i "^ X'-|- ^ '/ + T '" + ^ ■''■ + *^**^-' ^^ttpe
ir-f = ir",_ eritque , = i^-^-^-X = Q-l-P. «tque 'J^ = 0,
unde patet, functioneni W" tum a j) tum a q liberam fore. Haec locuni non
haberent, si iieri posset 6=0. Sed patet, W oriri ex i- v -\- v n -{- c" i" -\- Qta.^
eliminata quantitate p ex v , ?■', v" etc. adiumento aequationis i> ^= 0 ; hinc
€ erit summa coefficientium ipsius <2<i in /•/■, wV, ?; V etc. post illam elimi-
nationem, hi vero singuli coefficientes ipsi sunt quadrata, neque omnes simul
evanescere possunt, nisi in casu supra excluso, ubi incognitae indeterniinatae
inanent. Patet itaque, 6' esse debere quantitatem positivam,

III. Statuendo denuo ' • -^j,. ^=r'=X'-{--{'r-]-'j"fi-\-^tc., atque W — '-',
^IF", erit >•' = B — ''2^ — J''li atque IT" libera tum a 2^^ tum a */, tum
a r. Ceterum coefficientem -(■ necessario positivum fieri, simili modo probatur,
ut in 11. Facile scilicet perspicitur, •(" esse summam coefficientium ipsius rr
in VW, -ov, r" v" etc., postquaiu quantitates 2' ^^ 'I adiumento aequationum
ji>=: 0 , f/'= (t ex V, v\ v" etc. eliminatae sunt.

238 ÜBER 11. SECTIO III.

IV. Eodem modo statuendo ^ '—^ ^ s = X"'+ ö"'s + etc., W =
W"'—P,, erit s = S—^p—lq~Kr, W"" a p, q, r, s libera, atque o'"
quantitas positiva.

V. Hoc modo, si praeter p, q, r , s adhuc aliae incogiütae adsunt, ulte-
rius progredi licebit , ita ut tandem habeatur

W = ^ p'p'^ l, qq-\- ^ ■'•''• '+ p s's'+ etc. + Const.

ubi omnes coefficientes a, 6', 7", 0"' etc. erunt quantitates positivae.

VI. lam probabilitas alicuius systematis valorum determinatorum pro quan-
titatibus p , q, r, s etc. proportionalis est funetioni e~ ' , quamobrem, ma-
nente valore quantitatis q^ iudeterminato, probabilitas systematis valorum deter-
minatorum pro reliquis , proportionalis erit integrali Je~ ' ' dp a p = — CO
usque ad ;> = -|- 00 extenso, quod per theorema ill. I^aplace fit

haecce itaque probabilitas proportionalis erit funetioni e~ ' . Perinde si in-
super q tamquam indeterminata tractatm-, probabilitas systematis valorum deter-
minatorum pro r, s etc. proportionalis erit integrali /e~'" d^ a q= — CO
usque ad q = -j- co extenso , quod fit

_ /;-l g'-i j:^e~ '''' (7' *■''■'+ ^' ''"'+ ''"'•)
sive propoi-tionalis funetioni e~''^'^^"'- Prorsus simili modo, si etiam r tamquam
indeterminata consideratur, probabilitas valorum determinatorum pro reliquis s etc.
proportionalis erit funetioni e et sie porro. bupponamus, mcognitarum

numerum ad quatuor ascendere, eadem enim conclusio valebit, si maior vel minor

. X'"

est. Valor maxime probabilis ipsius .s hie erit = — ^, , probabilitasque, hunc

7 7""'"

a vero differentia a distare, proportionalis erit funetioni e~''* "' , unde conclu-
dimus, mensuram praecisionis relativae isti determinationi tribuendae exprimi per
i/o ', si mensura praecisionis observationibus primitivis tribuendae statuatur = 1 .

183.
Per methodum art. praec. mensura praecisionis pro ea sola incognita com-
mode exprimitur, cui in eliminationis negotio ultimus locus assignatus est, quod
incommodum ut evitemus, coefficientem 8" alio modo exprimere conveniet. Ex
aequationibus

DETERMINATIO OKBITAE EX QUOTCUNQÜE OBSERVATIONIBUS. 239

P = p'

Q = q-\- \-p

CT ' 1 0 ' , 0 ' I 0 '

sequitur, ipsas p^ q^ r\ s per P, Q, B, S ita exprimi posse

p = P
q=Q + %P

s ^S-^^"R-\-^"Q-^^iVP

ita ut 3(, 2t , 33 , 2t , S , £ siut quantitates determinatae. Erit itaque (in-
cognitarum iiumerum ad quatuor restringendo)

S =^ ym h Y'" ^ ~r ^^^ Y* H~ V^ il -f- rm o

Hinc conclusionem sequentem deducimus. Valores maxiine probabiles incogui-
tai'um p, q, r, s etc. per eliniinationera ex aequatiouibus P r=r o , ^ :^ 0,
i? = 0, /S = ü etc. deduceudi, manifesto, si aliquautisper P, §, P, <§ etc.
tamquam indeterminatae spectentur, secuudum eandeiii elimiiiationis Operationen!
in forma lineari per P, Q, P, S etc. exprinientur, ita ut habeatur

p = P+^P-f P$ + 6'P + PS + etc.

q = L -\- AP -j- B'Q -\- C'B -\-D'S -^ etc.

r = P"+XP+P"9 + C"P+i)",S + etc.

.<! = P"'+yl"P+P"'^+C"'P+P'\S+etc.

etc.
His ita factis, valores maxime probaliles ipsaruni j)^ q, /• , s etc. manifesto erunt
resp. L , L\ L ', P" etc. , niensuraque praecisionis his determinationibus tribu-
endae resp. exprimetur per |/~ , l/^, , l/^, , l/_p w etc. , posita praecisione ob-
servationum primitivarum = 1. Quae enim de determinatione incognitae 5
ante demonstravimus (pro qua ö' i-espondet ipsi ^,j , per solam incognitarum
permutationeni ad omnes reliquas transferre licebit.

240 LIBEK U. SECTIO III.

184.
Ut disquisitiones praecedentes pei' exemplum illustrentur, supponamus, per
observationes , in qiiibus praecisio aequalis praesumeuda sit, inventum esse

P — 'i+2'' = 3
'dp H" ^ '_/ — b r = b

per quartani vero, cui praecisio diniidia taiitum tribuenda est, prodiisse

— 2^i-|- 6(/+ fir = 28

Loco aequatioiiis ultimae itaque haue substituemus

— i>+3(7 + 3r = 14

hancque ex observatioue prioribus praecisioue aequali pi'oveiiisse supponemus.
Hinc fit

r = i-jJ-j- 6q — 88

Q= ijp-^ ib<i-\-r — 70

J,' =1 </+54/- — 107

atque binc per eliminationem

19899jt> = 49154 + 809P— 324Q-\- 6 Ä
19899(/ = 70659 — 324P+ 1458^— 27i?
19899r = 38721 + 6P — 27^+369^

Iiicognitarum itaque valores maxime probabiles eruiit

p = 2,470
q = 3,55 1
r = 1,9 16

atque praecisio relativa bis determinationibus tribuenda, posita praecisioue obser-
vationum primitivarum = 1,

DETERMINATIO OKBITAE EX OBSEKVATIONIBUS QUOTCUNtJUE. 241

1 /19899 „ „ ,

185.
Argumentum hactenus peiia-actatum pluribus disquisitionibus analyticis
elegantibus occasiouem dare posset, quibus tarnen hie non immoramur, ne nimis
ab instituto nostro distrahamur. Eadem i-atione expositionem aitificiorum , per
quae calculus numericus ad algorithmum magis expeditum reduci potest, ad aliam
occasionem nobis reservare debemus. Unicam observationem hie adiieere liceat.
Quoties multitudo functionum seu aequatiouum pi-opositaruni eonsiderabilis est,
caleulus ideo potissimum paullo molestior evadit, quod coeffieieutes per quos
aequationes primitivae multiplicaudae sunt ut P, Q^ 7?, S etc. obtineantur,
plerumque fraetiones deeimales parum cummodas involvunt. Si in hoc easu operae
pretium nou videtur, iias multiplicationes adiumento tabularum logarithmicarum
quam aecuratissime perfieere, in plerisque casibus sufficiet, hoi'um multiplicatoruni
loeo alios ad calculum commodiores adhibere, qui ab illis parum ditterant. Haeece
licentia e.rr(jres sensibiles producere nequit, eo tantummodo casu excepto, ubi
meusura praecisionis in determinatione incoguitarum multo minor evadit, quam
praecisio observationum primitivarum fuerat.

186.

Ceterum principium, quod quadrata differentiarum inter quantitates obser-
vatas et computatas sunimam quam minimam producere debeant, etiam indepen-
denter a calculo probabilitatis sequenti modo considerari poterit.

Quoties multitudo incoguitarum nmltitudini quantitatum observatarum inde-
pendentium aequalis est, illas ita determinare licet, ut his exacte satisfiat. Quo-
ties autem nmltitudo illa hac minor est, consensus absolute exactus obtineri ne-
quit, quatenus observationes praecisione absoluta non gaudent. In hoc itaque
casu operam dare oportet, ut consensus quam optimus stabiliatur, sive ut difte-
rentiae quantum fieri potest extenuentur. Haec vero notio natura sua aliquid
Vagi involvit. Etiamsi enim systema valoiiim pro incognitis, quod omnes diffe-

U. TH. M. 31

242 LIBKR II. SECTIO III.

rcutias resp. minores i'eddit quam aliud, procul dubio liuic praetereiidum sit,
iiihilomiuus optin iutev duo systemata, quorum alterum in aliis observationibus
consensum meliorem otfert, alterum in aliis, arbitrio nostro quodammodo relin-
quitur, manifestoque innumera pi'iucipia diversa proponi possunt, j^er quac con-
ditio prior impletur. Designando differentias inter observationes et calculum per
A, A', A" etc., conditioui priori non modo satisfiet, si A A -(- A'A'-f-A"A"-j- etc.
fit minimum (quod est prineipium nostrum), sed etiam si A* -|- A* -|- A "* -(- etc.,
vel A** -(- A'"^ -|- A"" -j- <?tc. , vel generaliter smnma potestatuni exponentis cuius-
cunque paris in minimum abit. Sed ex omnibus bis principiis nostrum simpli-
cissimum est, dum in reliquis ad calculos complicatissimos deferremur. Oeterum
prineipium nostrum, quo iatn inde ab anno 1 795 usi sunius, nuper etiam a dar.
LfiGENDRE in Q-pere NouveUes m&liodes liour Ja determinaHondesorhites des comhtes,
Paris 1806 prolatum est, ubi plures aliae proprietates huius principii expositae
sunt, quas hie brevitatis caussa supprimimus.

Si potestatein exponentis paris infinite magni adoptaremus, ad systenia id
reduceremur, in quo differentiae maximae fiunt quam minimae.

111. Laplace ad solutionem aequationum linearium, quarum multitudo
maior est quam multitudo quantitatum incog-nitarum, principio alio utitui', quod
olim iam a dar. Boscovich propositum erat, scilicet ut differentiae ipsae sed om-
nes jiositive sumtae summam minimam conficiant. Facile ostendi potest, systema
valorum incog-nitarum, quod ex hoc solo principio erutum sit, necessai'io*) tot
aequationibus e propositarum numero exacte satisfacere debere, quot sint incog-
nitae, ita ut reliquae aequationes eatenus tantum in considerationem veniant, qua-
tenus ad optioncm decidendam conferunt'. si itaque e. g. aequatio V = M est
ex earum numero, quibus non satisfit, systema valorum secundum illud prinei-
pium inventorum nihil mutaretur, etiamsi loco ipsius M valor quicunque alius
N observatus esset, si modo designando per n valorem compntatum, differentiae
31— n, et N — n eodem signo afiectae sint. Ceterum ill. LAPLAce prineipium
istud per adiectionem conditionis novae quodammodo temperat: jjostulat scilicet,
ut sunnna differentiarum ipsa, signis non mutatis, fiat = 0. Hinc efticitur, ut
multitudo aequationum exacte repraesentatarum unitate minor fiat quam multitudo

*} Casibus specialibiis exceptis, ubi sfiliitki quodammodo iiideterminata manet.

DETERMIXATIO ORBITAE EX oKSEUVATIONlBrS QUOTCUNCJUE. 243

quautitatuiii iucüguitaruni, verumtanieii quod ante observavium.s etianmuui locuiu
habebit, siquideiii duae salteni incognitae affuevint.

187.
Reveitiiiiur ab bis disquisitiouibus generalibus ad propositum nostrum pro-
prium, euius caus.sa lllae susceptae fuerant. Antequani determhiatioiieni quam
exai-tissimam orbitae ex observatiouibus pkivibus, quam quot uecessario requi-
ruutur, ag-gredi liceat, determiuatio approximata iam adesse debet, quae ab ouuii-
bus observatiüiiibus datis liaud uuiltuui discrepet. Correctiones bis elemeutis
approxiuiatis adhu<; applicandae, ut cousensus quam accuratissinuis efiiciatui',
taiuquam jirobleutatis quaesita considerabuutm-. Quas quum tam exiguas eva--
suras esse suppoui po.ssit, ut quadrata producta<|ue negligere Uceat, vamtione$,
qua« corporis coelestis loca geoceiitrica computata bide nauciscuntur, per tbrmu^
las dittereutiales in Sect. secunda Libri primi traditas computari poteruut. Loca
igitur secuudum elementa con-ecta quae quaerimu.s computata, exhibebuntur per
fuuctioue.s lineares correctionum elementorum, illorumque comparatio cum locis
observati.s secundum principia supra expo.sita addeterminationem vabn'ummaxime
probaliilinni perducet. Hae operationes tanta simplicitate gaudeut, ut ulteriuri
ilhistrationt' opus uon liabeant, sponteque patet, observationes quotcunque et
([uantumvi.s a)) iuvicem i-emotas in usum vocari posse. — Eadem methodo etiani
a<l <iOlTe,ctione^n orbitarum paraholioarum cometarum uti licet, si foite obsei-va,-
tionum series longior ade.st, cousensusque quam optinuis postulatur.

188.

Methodus praecedens iis pjtissimum casibus adaptata est, ubi praecisio
sununa d<isidera4;ur : .saepis«ime autem occuiTUut casus, ubi sine haesitsitione paul-
lulum ab illa vemitti potest, si hoc modo calculi prolixitatem considerabiliter con-^
traberti licet, praesertbn quando observationes magnuni temporis intei-vallum i>on-
dum includunt: adeoque de orbitae determiuatioue ut sie dicam definitiva non^
dum cogitatin-. In talibus casibus metliodus sequens lucro uutabiU in usum vo-
cavi pijterit.

Eligantur e tota Observation um copia duo loca completa L et IJ, com-
putenturque pro temporibus respondentibus ex elemeutis apprcjxiTuatis corporis
coelestis disfcmtiae a terra. Formentur dein respectu barum distantiarum tres

31 *

244 LIBER 1[. SECTIO UI.

liypotheses, retentis in prima valoribus coinputatis, Jiiutataque iiihypothesi secniida
distantia prima, secundaqne in hypothesi tertia; utraque mutatio pro ratione in-
cei-titudinis, quae in illis distantiis remanere praesmiiitur , ad lubituni accipi po-
tevit. Secmidmii Las tres liypotheses, quas in schemate sequente exhibemns,

Hyp. I. I Hyp. II. Hyp. III.

Distantia*) loco primo respondens Z) D -\-o \ D

Distantia loco secundo respondens I> D \ D -\-l

coniputentur e duobus locis Z, L per methodos in Libro primo explicatas tria
elementorum systemata, ac dein ex Ms singulis loca geocentrica corporis coelestis
temporibus omnium reliquarum observationiim respondentia. Sint haec (singulis
longitudinibus et latitudinibns, vel ascensionibus rectis et declinationibns seorsim
denotatis)

in systemate primo . . . . M^ M', M" etc.

in systemate secmado . . . M -{- a^ M'-^a\ il/"-l-a"etc.

in systemate tertio . . . . i/+8, i/'-}-8', Jf"-|-6"etc.

Sint porro resp. loca observata . . . iV, N\ N' etc.

lam quatenus nmtationibus parvis distantiarum D, D' respondent muta-
tiones proportionales singulorum elementorum, nee non locorum geocentricorum
ex bis computatorum ; supponere licebit, loca geocentrica e quarto elementorum
systemate computata, quod distantiis a terra D-\-xo^ D'-\-yrj' supersti'uctum
sit, resp. fore M-{-ax-\-ty^ i/'-{- a'.r + 6'^, J/"-|-aV-t-o"//, etc. Hinc dein,
secundum disquisitiones praecedentes, quantitates z, >j ita determinabuntur, nt
illae quantitates cum N, N\ N" etc. resp. quam optime consentiant (ratione
praecisionis relativae observationum habita). Systema elementorum coiTCCtum
ipsuni vel perinde ex L, L' et distantiis D-^-x'j, D'-\-yfj\ vel secundiun re-
gulas notas e tribus elementorum systematibus primis per simplicem interpolatio-
nem derivari poterit.

*) Adhiic commodins eiit. loco distantiarum ipsaruni logarithmis distantiarum curtatarum uti.

DETEKMINATIO ORBITAE EX OBSEKVATIONIBIS yUOTCrNQUE. 245

189.

Methodus haecce a praecedeiite 171 eo tantniii dittert, quod diiobus locis
geocentricis exacte, ac dein reliquis quam exactissinie satisfit, dum secundum
methodum alteram observatio nulla reliquis praefertur, sed erroi-es quautum fieri
potest inter omnes distiibuuntur. Methodus art. praec. itaque priori eateims taii-
tuni postponeuda erit, quateiius locis 1/, L aliquam errorum partem recipien-
tibus eiTores in locis reliquis notabiliter diminuere licet: attamen plerumque per
idoneam electionem observationum Z, L facile caveri jjotest, iie haec differentia
magni momenti evadere possit. Operam scilicet dare oportebit, ut pro L, L'
tales observationes adopteutur, quae nou solum exquisita praecisioiie gaudeaut,
sed ita quoque compax'atae sint, ut elementa ex ipsis distantiisque derivata a varia-
tionibus pai"vis ipsarum positiouuni geocentiicarum nou iiimis afticiantui'. Parum
prudeuter itaque ageres, si observationes parvo temporis intervallo ab invicem
distantes eligeres, talesve, quibus loci lieliocentrici proxime oppositi vel coinci-
dentes responderent.

SECTIO QUARTA

De determinatione orbttarum, hahita ratione periurhationum.

190.

Perturbationes , quas planetaruin niotus per actioueni plaiietarum reliquo-
ruiu patiuntur, tarn exiguae leutaeque sunt, iit pust loiigius demum temporis iu-
tei-valliim seusibiles tiaiit : iutra tempus Ijrevius — vel adeo, prout circumstautiae
sunt, 2)er vevolutioneni integraui luiam pluresve — - uiotus tarn parum differet a
motu in ellipsl perfecta secunduni leges Kepleiü exacte descripta, ut observatio-
n(.\s deviationem iiidicare iion valeaut. Quamdiu res ita se habet, operae haud
pi'etium esset, calculuni praeniaturuni perturbationuni suscipere, sed potius suffi-
ciet, sectioneni conicani quasi osculatriceni observationibus adaptare: dein vero,
postquani planeta per tempus longius accurate observatus est, effectus peiturba-
tionum tandem ita se manitestabit , ut non amplius possibile sit, omnes «jbserva-
tiones per motum pure ellipticum exacte conciliare; tunc itaque harmonia com-
pleta et stabilis pai'ari non potexit, nisi perturbationes cum motu elliptico rite
iungantur.

Quuni determinatio elementorum ellipticorum , cum quibus pertui'bationes
iungendae sunt, ut observationes exacte repraesententur , illarum cognitionem
supponat, vicissim vero theoria perturbationuni accurate stabiliri nequeat, nisi
elementa iam proxime cogiüta sint: natura rei non permittit, arduum hoc negotium
primo statin! conatu perfectissime absolvere, sed potius perturbationes et elementa
per correctiones alternis demum vicibus pluries repetitas ad summum praecisionis

LIBER II. SECTK) IV. DE HETERMINATIONE ORBlTAliUM, HABITA KATIONE etc. 247

fastig'ium evehi potenint. Priina itaque perturbatioiiuin tlieoria .supcrstnietui-
elenientis pure ellipticis, quae observationibus proxinie adaptata füerant: dein
orbita nova investigabitur, quae cum liis perturbatioiiibus iuncta observationibus
quam proxime satisfaciat. Quae si a priori consideral)iliter discrepat, iterata
perturbationuni evolutio ipsi superstruenda erit, quae correctiones alterriis vicibus
toties repetentur, donec Observation es, elementa et perturbationes quam arctissime
conseiitiant.

191.
Quum evolutio theoriae perturbationuni ex elenientis datis ab in.stituto
nostro aliena sit, hie tantunimodo ostendendum erit, quomodo orbita approximatu
ita coi'rigi possit, ut cum pertui'bationibus datis iuncta observationibus satisfaciat
quam proxime. Simplicissime hoc negotium absolvitur per methodum iis quas in
artt. 124. 165. 188. exposuimus analogam. Pro tempoi'ibus onmiuni observatio-
num quibus ad hune finem uti propositum est, et quae prout res fert esse poterunt
vel tres, vel quatuor vel plures, computaljuntur ex aequationibus perturbationuni
harum valores numerici, tum pro longitudinilius in orbita, tum pro radiis vectori-
bus, tum pro latitudinibus heliocentricis : ad hunc calculum argumenta desumeutur
ex elementis ellipticis approximatis , quibus perturbationum theoria superstructa
erat. Dein ex omuibus observationibus eligentur duae, pro quibus distantiae a
terra ex iisdem elementis approximatis computabuntur : hae hypothesin primani
constituent; hypothesis secunda et tertia formabuiituv, distantiis illis pauUulum
mutatis. In singulis dein hypothesibus e duobus locis geocentricis determinabun-
tur positiones heliocentricae distantiaeque a Sole; ex illis, postquam latitudines ;i
perturbatioiiibus purgatae fuerint, deducentur longitudo nodi ascendentis, iiicli-
natio orbitae, longitudinesque in orbita. In hoc calculo methodus art. I 10. aliqua
modihcatione opus habet, siquidem ad variationem secularem longitudinis nodi et
inclinationis respicere operae pretium videtur. Bcilicet desigiiantibus o, ?' latitu-
dines heliocentricas a perturbationilms periodicis purgatas; X, )-' longitudines
heliocentricas ; ß, ft + A longitudines nodi ascendentis; ?', v'-l-r:; inclinationes
orbitae; aequationes in hac forma exhibere couveniet:

tango = tang / sin [k — Q,)

taug* , fy ■ , ■■/".' \ ,-> \

^ T.£^, tang h = tang / sin [k — lA — ft

tang (8 - 8) '^ SV

248 LIBER II. SECTIO IV.

Hic valor ipsius f^^fT5^ omni praecisione uecessaria obtinetixr, substituendo
pro i valorem approximatum : dein i et ß per methodos vulgai-es erui poterunt.
A duabus porro longitudiuibus in orbita, nee non a duobus radiis vectoi'ibus
aggTegata perturbatio num subtraheutur , ut valores pure elliptici prodeant. Hic
vero etiam eflfectus, quem variationes seculares positionis perihelü et excenti-ici-
tatis in longitudinem in orbita radiumque vectorem exseiTint, et qui per formulas
differeiitiales Sect. I. Libri primi deterniinandus est, statim cum pertm-bationibus
periodicis iungendus est, siquidem observationes satis ab invicem distant, ut
illius rationem habere operae pretiimi videatur. Ex his longitudinibus in orbita
radiisque vectoribus coiTecti.s, una cum temporibus respondentibus , elementa re-
liqua determinabuntur: tandemque ex his elementis positiones geocentricae pro
Omnibus reliquis observationibus calculabuntur. Quibus cum observatis compa-
ratis, eodem modo quem in art. 188. explicavimus systema id distantiarum elicie-
tur, ex quo elementa omnibus reliquis observationibus quam optime satisfacientia
demanabunt.

19 2.
Methodus in art. praec. exposita praecipue determinationi primae orbitae
perturbationes implicantis accommodata est: quamprimuni vero tum elementa
media elliptica tum aequatüjnes peiturbationum proxime iam sunt cognitae, deter-
minatio exactissima adiumento observationum quam plurimarum commodissime
per methodum art. IS 7., absolvetur, quae hic explicatione peculiari opus non
habebit. Quodsi hic observatiomim praestantissimarum copia satis magna est,
magnumque temporis intervallum compk-ctitur, haec methodus in pluribus casibus
simul determinationi exactiori massarum planetarum perturbantium , saltem ma-
iorum, inservire poterit. Scilicet, ,si massa cuiusdam planetae perturbantis in
calculo perturbationuni supposita nondum satis certa videtur, introducetur, prae-
ter sex incognitas a coiTectionibus elementorum pendentes, adhucalia [a, statuendo
rationem massae correctae ad massani supposita m ut l-f-ji, ad 1; supponere tunc
licebit, perturbationes ipsas in eadem ratione nmtari, unde manifesto in singulis
positionibus calculatis terminus novus linearis ipsam [x c(nitinens producetur,
cuius evoiutio nuUi difficultati obnoxia erit. Comparatio positionum calculatarum
cum observatis secundum principia siipra exposita, simul cum correctionibus
elementorum etiam correctionem ,a suppeditabit. Quinadeo hoc modo massae

DE DETERIIENATIONE OBBITAKUM, HABITA RATIONE PERTURBATIONUM. 249

plurium planetarum exactius determiiiari poterunt, qui quidem perturbationes
satis coiisiderabiles exercent. Nullum dubium est, quin motiis planetarum novo-
rum , praesei-tim Palladis et lunoiiis , qui tantas a love perturbationes patiuutiu',
post aliquot decenuia hoc modo determiiiationem exactissimam massae lovis alla-
turi sint: quiuadeo ibrsan ipsam massam unius alteriusve horum planetarum
novorum ex perturbationibus , quas in reliquos excercet, aliquaudo cognoscere
licebit.

G. TH. M. 32

TABULAE.

32^

252

TABULA I. (v. .VRTT. 4 2. 4 6.)

Ellipsis

H y p e r b 0

la

A

1

\ogB

c

T

log-B

0

T

o,ooo

0

0

0,00000

0

0

0,00000

i O.OOI

0

0

100

0

0

100

( 0,002

0

2

200

0

2

200 1

0,003

1

4

301

I

4

299

0,004

I

7

401

I

7

399

0,005

2

11

502

2

II

498

0,006

3

16

603

3

16

597

0,007

4

22

704

4

22

696

1 0,008

5

=»9

805

5

29

795

0 009

6

37

0,00907

6

37

894

0,010

J

46

0,01008

7

46

0,00992

0,011

9

56

110

9

55

0,01090

0,012

11

66

212

II

66

189

0,013

'3

78

314

•3

77

287

0,014

15

90

416

•5

89

384

0,015

17

103

5.8

•7

102

482

0,016

19

Ii8

621

■9

116

580

0,017

22

■33

723

21

131

677

o,oi8

^4

149

826

24

147

774

0,019

27

166

0,01929

^7

164

872

0,0:0

30

184

0,02032

30

182

0,01968

0,021

33

203

.36

33

200

0,02065

0,022

36

223

239

36

220

162

0,023

40

244

343

39

240

258

0,024

43

265

447

43

261

355

0,025

47

288

55«

46

283

451

0,026

5'

3"

655

5°

306

547

0,027

55

336

760

54

330

643

0,028

59

362

864

58

355

739

0,029

63

388

0 02969

62

381

834

0,030

67

4.6

0,03074

67

407

0,02930

0,031

72

444

179

7«

435

0,03025

0,032

77

473

284

76

463

120

0,033

82

503

389

80

49=

=15

0,034

87

535

495

.85

523

310

0,035

92

567

601

9'

554

404

0,036

97

600

707

96

585

499

0,037

103

634

8.3

EOl

61S

593

0,038

108

669

0,03919

107

652

688

0,039

"4

704

0,04025

H2

686

782

0,040

120

741

132

118

722

876

TABULA I.

253

A

Ellipsis

Hypevbola

logS

c

T

\oeB

C

T

0,040

120

741

1
0,041319

118

1
722 0,038757 ;

0,041

126

779

2387

124

758

0,039695

0,042

133

818

3457

130

795

0,040632

0,043

139

858

4528

136

833

1567

0,044

146

898

5601

143

87z

2500

0,045

152

940

6676

149

912

343» 1

0,046

'59

982

7753

156

953

4363

0.047

166

1026

8831

163

994

5292

0.048

173

1070

0,049911

170

1037

6220

0,049

181

1116

0,050993

177

1080

7147

0,050

188

1162

2077

184

1124

8072

1

0,051

196

1210

3163

191

1169

8995

0,052

204

1258

4250

199

1215

0,049917

0,053

212

1307

5339

207

1262

0,050838

0,054

220

1358

6430

215

1310

1757

0.055

228

1409

7523

223

1358

2675

1 0,056

236

1461

8618

231

1407

359»

0,057

»45

1514

0,059714

1 »39

1458

4507

0.058

2-54

1568

0,060812

1 »47

1509

5420

0,059

263

1623

1912

256

1561

6332

0,060

272

1679

3014

265

1614

7243

0,06 1

281

1736

4118

273

1667

8152

0,062

290

1794

5223

282

1722

9060

j 0,063

300

1853

6331

291

1777

0,059967

I 0,064

309

1913

7440

301

1833

0,060872

0,065

319

1974

8551

310

1891

1776

] 0,066

329

2036

0,069664

320

1949

2678

0,067

339

2099

0,070779

329

2007

3579

0,068

350

2163

1896

339

2067

4479

0,069

360

2228

3014

349

2128

5377

1 0.070 ■

371

2294

4'35

359

2189

6274

0,071

38'

2360

5257

370

2251

7170

0072

392

2428

6381

380

2314

8064

0,073

403

2497

7507

390

2378

8957

0,074

415

2567

8635.

401

2443

0,069848

0,075

426

2638

0,079765

412

2509

0,070738

0,076

437

2709

0,080897

423

2575

1627

0,077

449

2782

2030

434

2643

2514

0,078

461

2856

3166

445

2711

3400

0,079

473

2930

4303

457

2780

4285

0,080

485

3006

5443

468

2850

5168

254

TABULA I.

Ellipsis

Hyperbola

A

logB

G

T

logB

c

T

o,o«o

485

3006

0,085443

468

2850

1
0,075168

0,08 1

49S

3083

6584

480

2921

6050

0,082

510

3160

7727 !

492

2992

6930

0,083

523

3239

0,088872

504

3065

7810

0,084

535

33'9

0.090019

516

3138

8688

0,085

548

3399

1168

528

3212

0,079564

0,086

561

3481

23.9

540

1
3287 ! 0,080439 '

0,087

575

3564

3472

553

3363 1313 !

0,088

588

3647

4627

566

3440

2186

0.089

602

3732

5784

578

35»7

3057

0,090

6.5

3818

6943 1

59«

3595

3927

0,091

629

3904

8104

604

3674

4796

0,091

643

3992

0,099266

618

3754

5663

0,093

658

4081

0,100431

63.

3835

6529

0,094

672

4170

1598

645

39>7 7394

0,095

687

4261

2766

658

3999 8257

0,096

701

4353

3937

672

4083 9119

0,097

716

4446

5110

686

4167 1 0,089980 ;

0,098

731

4539

6284

7C0

4252 1 0,090840

0,099

746

4634

7461

7«4

4338 ! «698

0,100

762

473°

8640

728

4424 I 2555

0,101

777

4826

0,109820

743

4512 3410 :

o,ioi

793

4924

0,111003

758

4600 1 4265

0,103

809

5023

2188

772

4689 1 5118 1

0,104

825

5"3

3375

787

4779 3969

0.105

84.

5224

4563

802

4870 1 6820

o,ic6

857

5315

5754

817

4962 7669

0,107

873

5428

6947

833

5054 8517

0,108

890

5531

8142

848

5148 ; 0,099364

o,iC9

907

5637

0,119339

864

5242

0,100209

0,110

924

5743

0.120538

880

5337

1053

0,111

941

5850

■739

895

5431

1896

0.112

958

5958

29+2

911

5529

273g

0,113

975

6067

4148

928

5626

3578

0,114

993

6.77

5355

944

5714

4417

0,115

101 1

6288

6564

960

5823

5^55

0,116

1029

6400

7776

977

5923

609z

0,117

1047

6513

0,128989

994

6024

6927

0,118

1065

6627

0,130205

lOIO

6125

7761

0,119

1083

6742

1423

1027

6228

8594

0,120

1102

6858

2643

1C45

6331

9416

TABULA I.

255

Ellipsis

Hyperb ola

A

1

logB

c

T

log,B

c

T

\

0,120

1102

685X

0,132643

1045

6331 0,109426 j

0,121

1121

6976

3865

1062

6435

0,110256

0,122

"39

7094

5089

1079

6539

1085

0,123

1158

7213

6315

1097

6645

1913

0,124

1178

7334

7543

1114

6751

2740

0,125

1197

7455

0,138774

J132

6858 3566 1

0,126

1217

7577

0,140007

1150

6966

4390

0,127

1236

7701

1241

1168

7075

5213

0,128

1256

7825

2478

1186

7185

6035

0,129

1176

795«

3717

1205

7295

6855

0,130

1296

8077

4959

1223

7406

7675

0,131

1317

8205

6202

1242

7518

8493

0,132

1337

8334

7448

1261

7631

0,119310

0,133

1358

8463

8695

128c

7745

0,120126

0,134

1378

8594

0,149945

1299

7859

0940

o.'35

1399

8726

0.15119-'

1318

7974

1754

0,136

1421

8859

2452

'337

8090

2566

0,137

1442

8993

3708

1357

8207

3377

0,138

1463

9128

4967

1376

8325

4186

0,139

1485

9264

6228

1396

8443

4995

0,140

1507

9401

749 1

1416

8562

5802

0,141

1529

9539

0,158756

1436

8682

6609

0,142

1551

9678

0,160024

1456

8803

7414

0,143

1573

9819

1294

1476

8925

8217

o,l.(4

1596

9960

2566

'497

9047 i 9020 II

0,145

1618

10102

3840

i5'7

9170

0,129822

0,146

1641

10246

5116

1538

9294

0,130622

0,147

1664

10390

6395

■559

9419

1421

0,148

1687

10536

7676

1580

9545

2219

0,149

1710

10683

0,168959

1601

9671

3016

0,150

1734

10830

0,170245

1622

9798

3812

0,151

1757

10979

1533

1643

9926

4606

0,152

1781

11129

2823

1665

10055 1 5399 II

o.'53

1805

11280

4115

1686

10185

6191 1

0,154

1829

11432

5410

1708

10315

6982

<5.«55

1854

11585

6707

1730

10446

7772

0,156

1878

11739

8006

1752

10578

8561

tJ-'S?

1903

11894

0,179308

'774

10711

o,'39349

0,158

1927

12051

0,180612

'797

10844 1 0,140135 1

0,159

1952

12208

1918

1819

10978 0920 II

0,160

'977

12366

3226

1842

11113

1704

256

TABULA I.

Ellipsis

Hyperbola

Ä

logB

c

r

loftS

C

T

o,i6o

1977

■

i 12366

, 0,183226

1842

1
III 13 0,141704

o,i6i

20*3

12526

4537

1864

11249 =487

0,162

2028

12686

5850

1887

11386 3269

0,163

2054

12848

7166

1910

11523 4050

0,164

2080

13011

8484

•933

ii66i 4829

0,165

2106

1 ''-''

0,189804

1956

II 800 5608

!

0,166

2132

'3340

0,191127

1980

11940 1 6385

0,167

215S

13506

2452

2003

12081 7161

0,168

2184

13673

3779

2027

12222 7937

0,169

2211

13841

5109

2051

12364

8710

1 0,170

2238

14010

6441

=075

12507

0,149483

0,171

2265

14181

7775

2099

.2651

0,150255

1 0,172

2292

'435=

0,199112

2123

'=795

1026

0,173

2319

; 145=5

0,200451

=147

12940

1795

0,174

=347

14699

,793

2172

13086

2564

0.175

=374

.48-3

3M7

2196

13=33

333'

0,176

2402

15049

4484

2221

13380

4097

0,177

2430

15226

5833

2246

13529

4862

0,178

2458

15404

7184

2271

13678

5626

0,179

2486

■5583

8538

2296

13827 6389 !

0,18c

=515

15-64

0,209894

2321

139-8 ; 7151

o.iSi

=543

»5945

0,211253

=346

!
14129 7911

0,182

2572

16128

2614

=37=

14281 8671

0,183

2601

16311

3977

2398

14434 ' 0,159429

0,184

2630

16496

5343

=4=3

14588 , 0,160187

0,185

2660

16682

6712

=449

14742

0943

0,186

2689

16868

8083

=475

14898

169g

0,187

2719

17057

0,219456

2502

15054

=453

0,188

=749

i »7=46

0,220832

2528

15210

3206

0,189

=779

; '7436

2211

=554

15368

3958

0,190

2809

17627

359=

2581

15526

4709

0,191

2839

17820

4975

2608

15685

5458

0,192

2870

18013

6361

2634

15845

6207

0,193

2900

18208

7750

2661

16005

6955

0,194

2931

18404

0,229141

268g

16167

7702

0,195

2962

18601

0,230535

2716

16329

8447

0,196

=993

18799

1931

=743

16491

9192

" 0,197

3025

.8998

33=9

=77«

16655

0,169935

0,198

3056

19198

4731

2798

16819

0,170678

0,199

3088

1 19400

6135

2826

16984

1419

0,200

3120

19602

754'

2854

17150

2159

TABULA I.

257

Ellipsis

Hyperbola

A

logB

C

T

log-B

C T

1

\ 0,200

3120

19602

0.137541

2854

17150

0,172159

' 0,201

3152

19806

0,238950

2882

17317

2899

0,202

3184

2001 1

0,240361

2910

17484

3637

0,203

3216

20217

1776

2938

17652

4374

0,204

3249

20424

3192

2967

17821

5110

0,205

3282

20632

4612

1995

17991

5845

0,206

3315

20842

6034

3024

18161

6579

0,207

3348

21052

7458

3053

18332

7312

0.208

3381

21264

0,248885

3082

18504

8044

0,209

3414

11477

0,250315

3111

18677

8775

0,210

3448

21690

1748

3140

18850

0,179505

0,2II

3482

21905

3183

3169

19024

0,180234

0,212

3516

22122

4620

3199

19199

0962

0,213

355°

11339

6061

3228

19375

1688

0,214

3584

22557

7504

3258

•9551

2414

0,215

3618

22777

0,258950

3288

19728

3139

0,216

3653

22998

0,260398

3318

19906

3863

0,217

3688

23220

1849

3348

20084

4585

0,218

37^3

23443

3303

3378

20264

5307

0,219

3758

23667

4759

3409

20444

6028

0,220

3793

23892

6218

3439

20625

6747

j 0,221

3829

241 19

7680

3470

2o8c6

7466

0,222

3865

24347

0,269145

3500

20988

8184

0,223

3900

24576

0,270612

3531

21172

8900

0,224

3936

24806

2082

3562

11355

0,189616

0,225

3973

25037

3555

3594

21540

0,190331

0,226

4009

25269

5031

3625

21725

1044

0,227

4046

25502

6509

3656

21911

1757

1 0,228

4082

15737

799°

3688

22098

2468

0,229

4119

15973

0,279474

3719

22285

3>79

0,230

4156

26210

0,280960

375'

22473

3889

• 0,231

4194

26448

2450

3783

22662

4597

0,232

4231

26687

3941

3815

22852

5305

0,233

4269

26928

5437

3847

23042

6oi2

0,234

4306

27169

6935

3880

23234

6717

o.»3S

4344

27412

8435

3912

23425

7422

0,236

4382

27656

0,289939 1

3945

23618

8126

0,237

4421

27901

0,291445

3977

2381 1

8829

0,238

4459

28148

1954

4010

24005

0,199530

0,239

4498

28395

4466

4043

24200

0,200231

0,240

4537

28644

5980

4076

24396

0931

G. TU. M.

33

258

TABULA I,

Ellipsis

Hy perbola

; ^

logJB

C

T

logS

c

T

(

Oj240

4537

28644

0,295980

4076

24396

0,200931

0,24.

4576

28894

7498

4II0

24592

1630

0,242

4615

29145

0,299018

4143

24789

2328

0,243

4654

29397

0,300542

4176

24987

3025

0,244

4694

29651

2068

4210

25.85

3721

1 0.245

4734

29905

359'

4244

25384

4416

0,246

4774

30161

5129

4277

25584

5110

0,247

4814

30418

6664

43"

2578s

5803

0,248

4854

30676

8202

4346

25986

6495

0,249

4894

30935

0,309743

4380

26.88

7186

0,250

4935

31196

0,311286

4414

26391

7876

0,251

4976

31458

2833

4449

26594

8565

0,25:

501-

31721

4382

4483

26799

9254

0,253

5058

3.985

5935

4518

27004

0,209941

o,i54

5099

32250

7490

4553

27209

0,210627

0,255

5>4i

3251-

0,319048

4588

27416

1313

0,256

5182

32784

0,320610

4623

27623

1997

o,»5"

5224

33053

2174

4658

27830

2681

0,258

5266

33323

3741

4694

28039

3364

0,259

5309

33595

5312

4729

28248

4045

0,26c

5351

3386-

6885

4765

28458

4726

0.261

5394

34141

0,328461

4801

28669

5406

0,262

5436

34416

0,330041

4838

28880

6085

0,263

5479

34692

1623

4873

29091

6763

0,264

5522

34970

3208

4909

29305

7440

0,265

5566

35248

4797

4945

29519

8116

0,266

5609

35528

6388

4981

29733

879.

0,267

5653

35809

7983

5018

29948

0,219465

0,268

569-

36091

0,339580

5055

30164

0,220138

0,269

5741

36375

0,341181

5091

30380

0811

0,270

5785

36659

2785

5128

30597

1482

0,271

5829

36945

4392

5165

30815

2153

0,272

5874

37232

6002

5202

3.033

2822

0273

5919

37521

7615

5240

31253

349'

0,274

5964

37810

0,349231

5277

31473

4159

0,275

6009

38101

0,350850

5315

31693

4826

1 0,276

6054

38393

2473

5352

31915

5492

0,277

6100

38686

4098

5390

32137

6157

1 0,278

6145

38981

5727

5428

32359

6821

0,279

6191

39277

7359

5466

32583

7484

j 0,280

1
1

6237

39573

8994

5504

32807

8147

i

TABULA I.

259

Ellipsis

Hyperbola

Ä

logB

c

T

log 5

c

r

0,280

6237

39573

0,358994

5504

32807

0,228147

0,281

6283

39872

0,360632

5542

33032 8808 1

0,282

6330

40171

2274

5581

33257

0,229469

0,283

6376

40472

3918

5619

33484

0,230128

0,284

6423

40774

5566

5658

3371'

0787

0,285

6470

41077

721-

5697

33938

•445

0,286

6517

41381

0,368871

5736

34167

2102

0,287

6564

41687

0,370529

5775

34396

2758

0.288

6612

41994

2189

5814

34626

3413

0,289

6660

42302

3853

5853

34856

4068

0,290

6708

4261 1

5521

5893

35087

4721

0,291

6756

42922

7191

5932

353'9

5374

0,292

6804

43^33

0,378865

5972

35552

6025

0,293

6852

43547

0,380542

6012

35785

6676

0,294

6901

43961

2222

6052

3601g

7326

0.295

6950

44»77

3906

6092

36253

7975

0,296

6999

44493

5593

6132

36489

8623

0,297

7048

44812

7283

6172

36725

9271

0,298

7097

45'3'

0,388977

6213

36961

0,239917

0,299

7H7

45452

0,390673

6253

37199

0,240563

0.300

7196

45774

2374

6294

37437

1207

33'

260

TABULA II. (v. ART. 93.)

iogytj

02

°3
04

°S

06
07
08
09
10

II
12
13
14
•5

16

J7
18

19

zo

21

22
23

*4
»5

26

»7
28

»9

30

3'
3»
33
34
35

36

37
38
39

0,0040

0,0000000
0965
1930
2894
3858
4821

5784
6747
7710
8672
0,0009634

0,001059s
1556

2517

3478
4438

5398

6357

7316

8275

0,0019234

0,0020192
1150
2107
3064
4021

4977
5933
6889

7845
8800

0,0029755

0,0030709

1663

2617

3570

45»3
5476
6428

7380
0,0038332

log yy

0,0040
41

4»
43
44
45

46

47
48

49

5°

51

5»
53
54
55

56

57
58

59

60

61
62
63
64
65

66
67
68
69

70

71
72

73
74
75

76
77
78

79

0,0080

0,0038332

0,0039284

0,0040235

1186

2136

3086

4036
4985

5934
6883

7832

0,0049728

0,0050675

1622

2569

3515
4462

5407
6353
7298

8243

0,0059187

0,0060131

1075

2019

2962
3905
4847
579°
6732

7673

8614

0,0069555

0,0070496

1436

2376
3316
4^55
5'94

0,0076133

log««

0,0080
81
82
83
84
85

86

87
88

89

90

91
92

93

94
95

96

97

98

0,0099

0,0100

02

03
04

05

06

07
08

°9

13
14
'5

16

17
18

19

0,0120

0,0076133

7071

8009

8947

0,0079884

0,0080821

1758
2694
3630
4566
550:

6437

737i

8306

0,0089240

0,0090174

1108
2041
2974
3906
4838

5770
6702
7633
8564
0,0099495

0,0100425
1356
2285

3"5

4144

5073
6001
6929

7857
8785

0,0109712

0,0110639

1565

2491

0,0113417

TABULA II.

261

1

h

log 2/ 2/

h

losr y y

h

log 3/1/

i

\ 0,0I20

0,0113417

0.0160

0,01 50202

, 0,0200

0,01 86501

!

4343

61

1115

Ol

7403

11

5268

62

2028

' 02

8304

*3

6193

63

2941

03

0,0189205

24

7118

64

3854

04

0,0190105

25

80+3

65

4766

05

1005

26

8967

66

5678

06

1905

»7

0,0119890

67

6589

1 °7

2805

28

0,0120814

68

7500

j 08

3704

29

1737

69

8411

°9

4603

30

2660

70

0,0159322

IG

5502

31

3582

7'

0,0160232

11

6401

3^

4505

7»

1142

12

7299

33

5427

73

2052

13

8197

34

634«

74

2961

14

9094

35

7269

75

1

3870

1 15

1

0,0199992

36

8190

76

4779

16

0,0200889

37

0,0129111

77

5688

i '7

1785

38

0,0130032

78

6596

I '8

2682

39

0952

i 79

75°4

1 '9

3578

40

1871

80

j

8412

20

4474

41

2791

81

0,0169319

21

5369

42

3710

82

0,0170226

22

6264

43

4629

83

1133

H

7159

44

5547

i 84

203g

M

8054

45

6465

1 85

=945

»5

8948

46

7383

86

3851

26

0,0209842

47

8301

i 87

4757

27

0,0210736

48

0,0139218

88

5662

28

1630

49

0,0140135

89

6567

29

2523

\ 5°

1052

! 90

7471

30

3416

1 51

1968

1 91

8376

31

4309

52

2884

; 92

0,0179280

1 3=

5201

53

3800

93

0,0180183

33

6093

1 5*

4716

j 94

1087

34

6985

1 55

5631

95

•99°

35

7876

56

6546

i 96

2893

36

8768

57

7460

97

3796

37

0,0219659

i 58

8374

98

4698

38

0,0220549

59

0,0149288

0,0199

5600

39

1440

' 0,0160

0,0150202

0,0200

i

0,0186501

0,0240

0,0222330

262

TABULA n.

h

loa 1/1/ 1

h

log 1/1/

h

\oayy

0,0240

0,0224330

0,0280

0,0257700

0,0320

0,0292626

41

3220

81

8579

21

3494

42

4109

82

0.0259457

22

4361

43

4998

83

0.G260335

13

5228

44

5887

84

1213

24

6095

45

6776

85

2090

25

6961

46

7664

86

2967

26

7827

47

8552

87

3844

27

8693

48

0,0229440

88

4721

28

0,0299559

49

0,0230328

89

5597

29

0,0300424

5°

1215

90

6473

30

1290

5'

2102

9'

7349

3'

2154

52

2988

92

8224

32

3019

53

3875

93

9099

33

3883

54

4761

94

0,0269974

34

4747

55

5647

95

0,0270849

35

5611

56

6532

96

1723

36

6475

57

74' 7

97

2597

37

7538

5«

8302

98

347'

38

S201

59

0,0239187

0,0299

4345

39

9064

60

0,0240071

00300

52.8

40

0,0309926

61

0956

01

6091

41

0,0310788

62

■839

02

6964

42

1650

63

2723

03

7836

43

2512

64

3606

04

8708

44

3373

65

4489

05

0,0279580

45

4234

66

5371

06

0,0280452

46

5°95

«7

6254

07

1323

47

5956

68

7136

08

2194

48

68i6

69

8018

°9

3065

49

7676

70

8900

10

3936

50

8536

71

0,0249781

11

4806

5'

0,0319396

7»

0,0250662

12

5676

52

0,0320255

73

'543

'3

6546

53

1114

74

2423

14

7415

54

'973

75

33°3

15

1

8284

55

2831

76

4183

i6

0,0289153

56

3689

■77

5063

'7

0,0290022

57

4547

^

5942

18

0890

58

54°5

79

6821

'9

1758

59

6262

Oi02?0

oös'57700

0,0320

0,0292626

0,0360

0,0327120

TABULA II.

263

' "'

u

log 2/2/

h

log yy

i ''
i

iogyy

0,0360

0,0327120

0,040

0,0361192

1

0,080

0,0681057

61

7976

0,041

69646

0,081

88612

62

8833

0,042

78075

0,082

0,0696146

63

0,0329689

0043

86478

0,083

0,0703661

64

0,0330546

0,044

0,0394856

0,084

11157

ÖS

1401

0,045

0,0403209

0085

18633

66

2257

0,046

"537

0,086

26090

67

3II2

0,047

19841

0,087

33527

68

3967

0,048

28121

0,088

40945

69

4822

0049

36376

0,089

48345

70

5677

0,050

44607

0,090

55725

1 7'

6531

0,051

52814

0,091

63087

7i

7385

0,052

60997

0,092

70430

73

8239

0,053

69157

0,093

77754

74

9092

1 0,054

77294

0,094

85060

75

0,0339946

0,055

85407

0,095

92348

76

0,0340799

j

i 0,056

0,0493496

0,096

0,0799617

77

1651

0.057

0,0501563

0,097

0,0806868

78

2504

0,058

09607

0,098

14101

79

3356

0,059

17628

0,099

21316

80

4208

0,060

25626

0,100

28513

81

5059

0,061

33602

0,101

35693

82

5911

0,062

41556

0,102

42854

83

6762

0,063

49488

1 0,103

49999

84

7613

0,064

57397

0,104

57125

85

8464

0,065

65285

0,105

64235

86

0,0349314

0,066

73150

0,106

71327

87

0,0350164

0,067

80994

0,107

78401

i 88

IOI4

0,068

88817

0,108

85459

1 89

1864

0,069

0,0596618

0,109

92500

! 90

2713

0,070

0,0604398

t 0,110

0,0899523

91

3562

0,071

12157

Olli

0,090653c

9»

44H

0.072

19895

' 0,112

13520

93

5^59

0,073

27612

0,113

20494

94

6108

0,074

35308

0,114

27451

95

6956

0,075

42984

0,115

3439'

96

7804

0,076

50639

0,116

41315

97

8651

0,077

58274

i 0,117

48223

1 98

0,0359499

0,078

65888

0,118

55"4

! 0.0399

0,0360346

0,079

73483

0,119

61990

1 0,0400

1
1

0,0361192

0,080

0,0681057

0,120

0,0968849

264

TABULA n.

h

logyy

h

log 1/2/

h

logyy

0,120

0,0968849

0,160

0,1230927

0,200

0,1471869

0,121

75692

0,161

37192

0,201

77653

0,122

82520

0,162

43444

0 202

83427

0,123

89331

0,163

49682

0,203

89189

0,124

0,0996127

0,164

55908

0,204

0,1494940

0,125

0,1002907

0.165

62121

0,205

0,1500681

0,126

09672

0,166

68321

0,206

06411

0,127

16421

0,167

74508

0,207

121 30

0,128

23154

0,168

80683

0,208

17838

0,129

29873

0,169

86845

0,209

»3535

0,130

36576

0,170

92994

0.210

29222

0,131

43264

0,171

0,1299131

0,211

34899

0,132

49936

0,172

0,1305255

0,212

40565

°.i33

56594

0,173

11367

0,213

46220

0,134

63237

0,174

17466

0,214

51865

o-«35

69865

0,175

23553

0,215

57499

0,136

76478

0,176

29628

0,216

63123

0.137

83076

0,177

35690

0,217

68737

0,138

89660

0,178

41740

0,218

74340

0,139

0,1096229

0,179

47778

0,219

79933

0,140

0,1102783

0,180

53804

!

0,220

85516

0,141

09323

0,181

59818

0,221

91089

0,142

15849

0,182

65821

0,222

0,1596652

0,143

22360

0,183

71811

0,223

0,1602204

0,144

28857

0,184

77789

0,224

07747

0,14s

35340

0,185

83755 1

0,225

13279

0,146

41809

0,186

89710

0,226

18802

0,147

48264

0,187

0,1395653

0,227

24315

0,148

54704

0,188

0,1401585

0,228

29817

0,149

61131

0,189

07504

0,229

35310

0,150

67544

0,190

13412

0,230

40793

0,151

73943

0,191

19309

0,231

46267

0,152

80329

0,192

25194

0,232

51730

0.153

86701

0,193

31068

0.233

57184

0,154

93059 i

0.194

3693»

0,234

62628

°.i55

0,1199404

0,195

42782

0,235

68063

0,156

0,1205735 1

0,196

48622

0,236

734«8

O.IS7

12053

0,197

54450

0,237

78903

0,158

18357

0,198

60268

0,238

84309

0,159

24649

0,199

66074

0,239

89705

0,160

0,1230927

0,200

0,1471869

0,240

0,1695092

TABULA II.

265

h

1

1

log 2/ 2/

h

log 2/2/

h

log yy

0,240

0,1695092

0,280

0,1903220

1

0,320

0,2098315

0,241

0,1700470

0,281

08249

0,321

0,2103040

0,242

05838

0,282

13269

0,322

07759

' 0,243

H197

0,283

18281

0,323

12470

0,244

16547

0,284

23286

0,324

•7174

0,245

21887

0,285

28282

0,325

21871

0,246

27218

0,286

33271

0,326

26562

0,247

32540

0,287

38251

0,327

31245

0,248

37853

0,288

43224

0,328

35921

0,249

43156

0,289

48188

0,329

40591

0,250

48451

0,290

53145

0,330

45253

0,251

53736

0,291

58C94

0,331

49909

0,252

59013

0,292

63035

0,332

54558

0,253

64280

0,293

67968

0,333

59200

0,254

69538

0,294

72894

0,334

63835

0.255

74788

0,295

7781 1

0,335

68464

0,256

80029

0,296

82721

0,336

73085

0,257

85261

0,297

87624

0,337

77700

0,258

90484

0,298

92518

0,338

82308

0,259

0,1795698

0,299

0,1997406

0,339

. 86910

0,260

0,1800903

0,300

0,2002285

0,340

91505

0,261

06100

0,301

07157

0,341

0,2196093

0,262

11288

0,302

12021

0,342

0,2200675

0,263

16467

0,303

16878

0,343

05250

0,264

21638

0,304

21727

0,344

09818

0,265

26800

0,305

26569

0,345

14380

1

0,266

31953

0,306

31403

0,346

.8935

0,267

37098

0,307

36230

0,347

23483

0,268

42235

0,308

41050

0,348

28025

0,269

47363

0,309

45862

0,349

32561

0,270

52483

0,310

50667

0,350

37090

0,271

57594

0,311

55464 ■

0,351

41613

0,272

62696

0,312

60254

0.352

46130

0,273

67791

0,313

65037

0,353

50640

0,274

72877

0,314

69813

0,354

55143

0,275

77955

0,3 »5

74581

0,355

59640

0,276

83024

0,316

79342

0,356

64131

0,277

88085

0,317

84096

0,357

68615

0,278

93138

0,318

88843

0,358

73093

0,279

0,1898183

0,319

93582

0,359

77565

0,280

0,1903220

0,320

0,2098315

0,360

0,2282031

G. TH. M.

34

266

TABULA n.

h

log yy

h

log yy

h

log 2/1/

0,360

0,2282031

0,400

0.2455716

0,440

0,2620486

0,361

86490

0,401

59940

0,441

24499 1

0,362

90943

0,402

64158

0,442

28507 i

0,363

95390

0,403

6837.

0,443

325"

0,364

0,2299831

0,404

72578

0,444

36509

0,365

0,2304265

0,405

76779

0,445

40503

0,366

08694

0,406

80975

0,446

44492

0,367

13116

0,407

85166

0,447

48475

0,368

17532

0,408

8935.

0,448

52454

0,369

21942

0,409

93531

0,449

56428

0,370

26346

0,410

0,2497705

0,450

60397

0,371

30743

0,411

0,2501874

0,451

64362

0,372

35«35

0,412

06038

0,452

68321

0,373

39521

0,413

10196

0,453

72276

0.374-

43900

0,414

»4349

0,454

76226

0.375

48274

0,415

18496

0.455

80171

0,376

52642

0,416

22638

0,456

841 II

0,377

57003

0,417

26775

0,457

88046

0,378

61359

0,418

30906

0,458

91977

0.379

65709

0,419

35032

0,459

95903

0,380

70053

0,420

39153

0,460

0,2699824

0,381

7439'

0,421

43269

0,461

0.2703741

0,382

78723

0,422

47379

0,462

07652

0,383

83050

0,423

51485

0,463

"559

0,384

87370

0,424

55584

0,464

15462

0,385

91685

0,425

59679

0,465

19360

0,386

O.J395993

0,426

63768

0,466

23253

0,387

0,2400296

0,427

67853

0,467

27141

0,388

04594

0,428

71932

0,468

31025

0,389

08885

0,429

76006

0,469

34904

0,390

13171

0,430

80075

0,470

38778

0,391

17451

0,431

84139

0,471

42648

0.39»

Z1725

0.432

88198

0,472

46513

0.393

15994

0.433

92252

0,473

50374

°.394

30257

0.434

0.2596300

0,474

54230

0,395

345M

0.43S

0,2600344

0,475

58082

0,396

38766

0,436

0^382

0,476

61929

0.397

43012

0.437

08415

0,477

65771

0,398

47252

0,438

12444

0,478

69609

0,399

51487

0.439

16467

0,479

73443

0,400

0,2455716

0,440

0,2620486

0,480

0.2777272 1

TABULA n.

267

h

log 2/2/

h

log 2/ 2/

h

log yy

0,480

0,2777272

0.520

0,2926864

0.560

0,3069938

0,481

8ic^6

0.521

30518

0,561

73437

0,482

84916

0,522

34168

0.562

76931

0,483

88732

0,5:3

37813

0.563

80422

0,484

9-543

0,524

41455

0,564

83910

0,485

0,2796349

0.525

45092

0.565

87394

0,486

0,2800151

0,526

48726

0.566

90874

0,487

03949

0,527

52355

0.567

94350

0,488

07743

0.528

55981

0.568

0,3097823

0,489

11532

0,529

59602

0.569

0,3101292

0,490

15316

0.530

63220

0,570

04758

0,491

19096

0,531

66833

0,571

08220

0,492

22872

0,532

70443

0.572

11678

0.493

26644

0.533

74049

0,573

»5>33

0,494

30411

0,534

77650

0.574

18584

0.495

34173

0.535

81248

0-575

22031

0,496

37932

0,536

84842

0,576

25475

0,497

41686

0,537

88432

0,577

28915

0,498

45436

0,538

92018

0,578

32352

0,499

49181

0,539

95600

0.579

35785

0,500

52923

0,540

0,2999178

0,580

39215

0,501

56660

0,541

0,3002752

0581

42641

0,502

60392

0,542

06323

0.582

46064

0,503

64121

0,543

09890

0,583

49483

0,504

67845

0,544

13452

0.584

52898

0,505

71565 1

0,545

17011

0.585

56310

0,506

75281

0.546

20566

0.586

59"'9

0,507

78992

0,547

24117

0.587

63124

0,508

82700 i

0,548

27664

0.588

66525

0,509

86403 j

0,549

31208

0,589

69923

0,510

90102

0,550

3474«

0.590

73318

0,511

93797

0,551

38284

0,591

76709

0,512

0,2897487

0,552

41816

0.592

80096

0.513

0,2901174

0,553

45344

0.593

8348.

0,514

04856

0,554

48869

0,594

86861

0.515

08535

0,555

52390

0.595

90239

0,516

12209

0,556

55907

0,596

93612

0,517

15879

0,557

59420

0,597

0,3196983

0,518

»9545

0,558

62930

0.598

0,3200350

0,519

23207

0,559

66436

0.599

03714

0,520

0,2926864

0,560

0,3069938

0,600

0,3207074

34'

268

TABULA III. (v. AETT. 90. 100.)

X vel z

0,000

o,ooi
o.ooz
0,003
0,004
0,005

0,006
0,007
0,008
0,009
0,010

0,011
0,012
0,013
0,014
0,015

0,016
0,017
0,018
0,019

0,020

o,o;i
0,022
0,023
0,024
0,025

0,026
0,027
0,028
0,029
0,030

0,031
0,032
0,033
0,034
0,035

0,036
0,037
0,038
0,039
0,040

0,0000000

0,0000000

001

001

002

002

005

005

009

009

014

014

021

020

028

028

037

036

047

046

057

057

070

069

083

082

097

096

"3

III

130

127

148

145

167

,64

187

.83

209

204

231

226

^55

249

280

273

306

298

334

325

362

35^

392

381

423

410

455

441

489

473

523

506

559

539

596

575

634

611

674

648

714

686

756

726

799

766

844

807

889

850

0,0000936

0,0000894

X vel z

0,040
0,041
0,042
0,043
0,044
0,045

0,046
0,047
0,048
0,049
0,050

0,051
0,052

0.053
0,054
0,055

0,056

0,057
0,058
0,059
0,060

0,061
0,062
0,063
0,064
0,065

0,066
0,067
0,068
0,069

0,070

0,071
0,072
0,073
0,074
0,075

0,076
0,077
0,078
0,079
0,080

0,0000936
0984

1033
1084

"35
1188

1242
1298

1354
141 2

1471

1532

1593
1656

1720
1785

1852
1920
1989
2060
2131

2204
2278

2354
2431
2509

2588
2669

2751

2834
2918

3004
3091
3180
3269
3360

3453
3546
3641

3738
0,0003835

0,0000894
0938
0984
103 1
1079
1128

1178
1229
1281

1334
1389

1444
1500
1558
1616

1675

1736
1798
1860
1924

2054
2121
ZI 89

2257
2327

2398

2470

2543
2617
2691

2767
2844
2922
3001
3081

3162
3244
3327
34"
0,0003496

TABULA III.

269

X vel z

1

1

X vel z

5

c

0,080

0,0003835

i
0,0003496

0,120

0,0008845

0,0007698 (

0,081

3934

3582

0,121

8999

7822

0,082

4034

3669

0,122

9154

7948

0,083

4136

3757

0,123

93"

8074

0,084

4239

3846

0,124

9469

8202

0,085

4343

3936

0,125

9628

8330

0,086

4448

4027

0,126

9789

8459

0,087

4555

4119

0,127

0,0009951

8590

0,088

4663

4212

0,128

0,0010115

872.

0,089

4773

4306

0,129

0280

8853

^0,090

4884

4401

0,130

0447

8986

L
0,091

4996

4496

0,131

0615

9120

0,092

5109

4593

0,132

0784

9^55

0,093

5224

4691

o->33

0955

9390

0,094

5341

4790

0-134

1128

95^7

0.095

5458

4890

0,135

1301

9665 1

0,096

5577

4991

0,136

1477

9803

0,097

5697

5092

0,137

1654

0,0009943

0,098

5819

5195

0,138

1832

0,0010083

0,099

5942

5^99

O.I39

2012

0224

0,100

6066

5403

0,140

2193

0366

0,101

6192

55°9

0,141

2376

0509

0,102

6319

5616

0,142

2560

0653

0,103

6448

57^3

0,143

2745

0798

0,104

6578

5832

0,144

2933

0944

0,105

6709

5941

0,145

3121

1091

0,106

6842

6052

0,146

3311

1238

0,107

6976

6163

0,147

3503

1387

0,108

7111

6275

0,148

3696

1536

0,10g

7248

6389

0,149

3891

1686

0,110

7386

6503

0,150

4087

1838

0,111

7526

6618

0,151

4285

1990

0,112

7667

6734

0,152

4484

2143

0,113

7809

6851

0,153

4684

2296

0,114

7953

6969

0,154

4886

2451

0,115

8098

7088

0,155

5090

2607

0,116

8245

7208

0,156

5^95

2763

0,117

8393

73^9

0,157

5502

2921 i

0,118

8542

7451

0,158

5710

3079

0,119

8693

7574

0,159

5920

3238

0,120

0,0008845

0,0007698

0,160

0,0016131

0,0013398

270

TABULA III.

X vel z

£

C

X vel z

5

c

o,ifio

0,0016131

0,0013398

0,200

0,0025877

0,0020507

o,i6i

6344

3559

0,201

6154

0702

0,162

6559

3721

0,202

6433

0897

0,163

6775

3883

0,203

6713

1094

0,164

6992

4047

0,204

6995

1292

0,165

7211

4211

0,205

7278

1490

0,166

7431

4377

0,206

7564

1689

0,167

7Ä54

4543

0,207

7851

1889

0,168

7878

4710

0,208

8139

2090

0,169

8103

4878

0,209

8429

2291

0,170

8330

5°47

0,210

8722

»494 1

0,171

8558

5216

0,211

9015

2697

0,172

8788

5387

0,212

9311

2901

O.I73

9020

5558

0,213

9608

3106

0,174

9^53

5730

0,214

0,0029907

3311 '

0.175

9487

5903

0,215

0,0030207

3518 i

0,176

9724

6077

0,216

0509

3725 1

0,177

0,0019961

6252

0,217

0814

3932 1

0,178

0,0020201

6428

0,218

II 19

414=

0,179

0442

6604

0,219

1427

435=

0,180

0685

6782

0,220

1736

4562

0,181

0929

6960

0,221

2047

4774

0,182

"75

7139

0,222

^359

4986 :

0,183

1422

73 >9

0,223

2674

5199 i

0,184

1671

7500

0,224

2990

5412 ;

0,185

1922

7681

0,225

3308

5627

0,186

2174

7864

0,226

3627

5842

0,187

2428

8047

0.227

3949

6058

0,188

2683

8231

0.228

4272

6275

0,189

2941

8416

0,229

4597

6493

0,190

3199

8602

0.230

4924

671 1

0,191

3460

8789

0,231

5251

6931

0,192

37"

8976

0.232

5582

7151

0,193

3985

9165

0,233

59" 4

7371

0,194

4251

9354

0,234

6248

7593

0,195

4518

9544

0.235

6584

7816

0,196

4786

9735

0,236

6921

8039

0,197

5056

0,0019926

0.237

7260

8263

0.198

5328

0,0020119

0,238

7601

8487

0,199

5602

0312

0,239

7944

8713

0,200

0,0025877

0,0020507

0,240

0,0038289

0,0028939

TABULA III.

271

.r vel z

'

c

X Tel z

e

^ !

0,240

0,0038289

0,0028939

0,270

0,0049485

0,0036087

0,241

8635

9166

0,271

0,0049888

6337

C.24:

8983

9394

0,272

0,0050292

658-

0,243

9333

9623

0,273

0699

6839

j 0.144

0,0039685

0,0029852

0,274

1107

7091

0.245

0,0040039

0,0030083

0.275

i5'7

7344

0,246

0394

0314

0,276

1930

7598

o-H?

0752

054s

0,277

23+4

7852

0,248

IUI

0778

0,278

2760

8107

i 0.249

1472

lOII

0.279

3178

8363

0,250

183s

1245

0,280

3598

8620

! 0.151

2199

1480

0,281

4020

8877

0,252

2566

1716

0,282

4444

9135

0,253

»934

1952

0,283

4870

9394

0,254

3305

2189

0,284

5298

9654

0,255

3677

2427

0,285

5728

0,0039914

0,256

4051

2666

0,286

6160

0,0040175

1 0,257

4427

2905

0,187

6594

0437

j 0,258

4804

3146

0,288

7030

0700

1 0,259

5184

3387

0,289

7468

0963

0,260

5566

362g

0,290

7908

1227

0,261

5949

3871

0,291

8350

1491

0,262

6334

4114

0,292

8795

1757

0,263

6721

4358

0,293

9241

2023

1 0,264

7111

4603

0,294

0,0059689

2290

0,265

7502

4848

0,295

0,0060139

2557

0,266

7894

5094

o,2gb

0591

2826

1 0,267

8289

5341

0,297

1045

3095

0,268

8686

5589

0,298

1502

3364

\ 0,269

9085

5838

0,299

i960

3635

0,270

0,0049485

0,0036087

1

0,300

0,0062421

0,0043906

TAFEL

ZÜE BERECHNUNG DER WAHREN ANOMALIE IN EINER PARABOLISCHEN BAHN

VON

E. J. SCHERING.

G. TH. M. 35

274

TAFEL ZUE BERECHNUNG DER WAHREN ANOMALIE

tgi«l- + Jtgi

w^ = )», log»

= l0gil/-|-(JL, log

tgljc = logtgiW+ Xi,. + N'y- + X"'y.^

lo + logM

lo + logtg^TF

N

lo + logJV

10+lügJV"

10 + log A^'"

8,58858901

8,58837159

I i ööö

9,99956549

7,361238 u

7.5452 a

8.66627319

8,66596242

l-lhl

9.99937914

7.51556511

7,6986 n

8,73964843

8.73921305

^ TuTT

9.99913054

7,661071 n

7,8420 n

8,78837604

8,78783147

9,99891290

7.757437 n

7,9381 n

8,85130031

8,85057346

I äiiö

9,99854993

7,881467 n

8,0603 1

8,89125539

8,89038243

I iuilff

9.99825934

7,959921 n

8,1373 n

8,94025794

8,93916537

I 5Tiö

9.99782308

8,055739 u

8,2309 11

8,98039716

8,97908+43

6

9,99738638

8,13382711

8,3068 n

I l 0 ü ft

9,04396688

9.04221215

I illOO

9.99651 167

8,256574 n

8,4251 n

9,09352648

9,09132751

I lOö

9.99563519

8,35128711

8,5153 n

9.14336824

9,14061080

I-^

9,99453710

8,445443 11

8.6039 »

9,17335886

9,17020034

I-Jff

9-99375105

8,501461 n

8,6558 n

9,20816384

9.20446770

I-Ä

9.99270076

8,565770 n

8,714711

9,24962910

9.24517476

I-Ä

9,99122608

8,641244 n

8,7825 n

9.27661939

9,2-159214

' TÜ+4Ö0

9.99011677

8,689605 n

8,8250 n

9.30091914

9,29531526

1 !_

9.98900462

8,732561 n

8,8621 n

9.32304352

9.31685929

I 4'u 4ÖÖ

9.9878S96I

8,771143 n

8,8947 11

9.34337293

9,33660457

I I6Ö

9.98677173

8,806112 n

8,9237 n

9,36817634

9.36062320

I-Ä

9.98527674

8,848095 n

8,9576 n

9,40143645

9.39269324

' TB -iöO

9,98302456

8,903290 n

9,0005 n

9,43099990

9.42105087

I TS 1 Jo

9,98076064

8,950610 n

9.0353 n

9,44018200

9,42982747

I- ^^+2öö

9.98000337

8,965080 n

9,0456 n

9.46604164

9.45445977

I-Ä

9.97772361

9,005051 n

9,0727 n

9,48974967

9.47692394

' — -^u — tJb

9.97543 181

9,040616 n

9.0952 n

9,51168702

9,49760056

' ido

9.97312785

9,072536 n

9,1137 n

9,53214310

9,51677870

I idii 20Ö

9,97081161

9,101388 n

9,1289 n

9.55'34305

9.53468313

I i uo

9.96848295

9.127620 n

9,1411 n

9.56946545

9.55149208

I t 6 u i 6 ö

9.96614173

9.151587 11

9,1508 11

9,58665444

9.56734929

I iou

9,96378783

9.17357611

9.1582 n

9,60302803

9,5823:7237

I 1 § ü i u (p

9.96142109

9.193S21 u

9,1635 n

9,61868412

9.59665883

• liii)

9,95904139

9.212516 11

9,1669 11

9.63370482

9,61029037

■Ä) + i ö ii

9.95664858

9.229822 11

9.1685 11

9,64815975

9,62333617

A

9.95424251

9,245877 11

9,1684 u

9.66210845

9.63585532

-ft aöö

9.95182304

9,260798 n

9,1668 n

9.67854372

9,65051500

i-i

9,94884748

9,277639 n

9.1627 n

9,68868582

9,65951055

' — i' + TTO

9.94694327

9,287625 n

9.1591 11

9,70139815

9.67072933

Tu + lOu

9.94448267

9,299693 n

9,1531 n

IN EINER PAEABOLISCHEN BAHN.

275

tg^/t'+Jtgi

w^ = m , log m

= log3/+|x, logt

g-V!f = logtgi

FF+x\> + xVV

■- + .VV

10 + log 3/

10 + logtgiTF

JV

lo + logiV

lo + logJV"

10 + iogiv'"

9,70139815

9,67072933

A+T^

9,94448267

9,299695 n

9,1531 11

9.71377363

9,68158895

1-i

9,94200805

9,310957 n

9,1457 n

9,72584174

9.6921 1937

I — i iTO

9-939519^5

9,321474 n

9,1371 n

9,73763258

9.70234717

I TT lOÖ

9.937016II

9,331296 n

9,1270 11

9,75565285

9,71786428

I- +

9,93305321

9,345436 n

9.1085 n

9,77780504

9,73674179

i-i-rU

9.92795665

9,361354 u

9.0800 u

9,78706331

9'744565°8

i-I-tV

9,92575397

9,367520 n

9,0661 u

9,80719686

9.76143937

i-i

9,92081875

9.379945 n

9,0310 n

9,82776763

9.77847927

I 5 löö

9>9i55757o

9.39"33 n

8.9875 n

9,84120417

9,78949734

i-i— bV

9,91204483

9.397840 n

8.9543 u

9,85444839

9,80026941

I-i + T^

9.90848502

. 9,403760 n

8.9171 n

9,87400355

9,81601161

A

9,90308999

9,411434 11

8,8528 u

9.89324651

9,83130999

I ? lOö

9.89762709

9,417753 11

8.7755 n

9,91223937

9,84621957

, X-i-3^

9,89209460

9,422808 n

8,6801 u

9.93103832

9,86078890

i-a-^rh

9,88649073

9,426676 n

8.5575 n

9.94969488

9,87506126

T 1 |.. 1

* T T^ 1 i) U

9,88081359

9.429421 n

8,3879 n

9,96825692

9,88907568

I-i

9,87506126

9,431097 u

8,1121 11

9.988S2502

9.90438750

I-^-Ä

9.86857914

9,43176211

6,7148 n

9.99910455

9,91195437

I— i-5\r

9,86530143

9,431617 n

7^7427

10,01453818

9.92320804

^-i-V.

9,86033801

9,430894 n

8,1572

10,03000990

9.93436054

i-i-^V

9,85531721

9,429498 11

«■3593

10,04243031

9,94322040

Tu I 1 uu

9,85125835

9,427920 n

8,4687

10,06116026

9.95642491

tV

9,84509804

9,424798 n

8,5886

10,08004489

9.96954959

Tff TüU

9,83884909

9,420780 ü

8,6771

10,09274046

9.97826715

i-i + A

9,83463261

9,417610 n

8.7246

10,10553481

9.98696725

•-^+T^

9,83037478

9,414048 u

8,7652

10,12493874

io,oooocooo

1-4

9,82390874

9,407973 11

8,8159

10,14463598

10,01303275

1—7 TOT

9,81734497

9,401018 n

8,8572

10,15795259

10,02173285

tV + isV

9,81291336

9,395891 n

8,8803

IO.I72403I1

10,03107395

i + i

9,80811447

9,389958 n

8,9019

10.19199492

10,04357509

I-i-3\r

9,80163235

9,381332 11

8.9260

10,20947419

10,05457223

i + i

9,79588002

9,373105 u

8.9434

10,22012643

10,06120320

Ä+5'0

9,79239169

9.367860 n

S.9523

IO.I39395++

10,07306402

i + i

9,78612018

9'35795o n

8.9655

10,26413689

10,08804563

T%

9,77815125

9,344487 11

8.9778 j

10,28709848

10,10170719

TTJ — T5T

9,77085201

9,331312 n

8.9851 1

10,31079568

10,11556941

A-aV

9,76342799

9,317095 n

8.9892

35

276

TAFEL ZUR BERECHNUNG DER WAHREN ANOMALIE

tgiJC + itgi

w^ = m. logj»

= 10gJf+|Jl, logt

giw =: logtg^Tr-hiV(j.-t-iV'V

* + ivr'V

lo + logM

lo + logtg^TF

N

lo + logiV

lo-j-logJV"

lo-f-logiV'"

10,31079568

10,11556941

Ä-t'ö

9.76342799

9,317095 u

8.9S92

10,33531218

10,12966568

-ro— TTiJ

9,75587486

9,301787 u

8,9903

10,36074162

10,14403251

i+^U

9,74818803

9.^85335 u

8.9884

10,38718953

10,15871021

i + Ä

9,74036269

9.267674 n

8.9837

10,40083224

10,16617946

T + i u ö

9.73639650

9,258367 n

8,9803 i

10,41477576

10,17374370

^+ löö

9.73239376

9,248729 u

8,9762

10,43386587

10,18398839

i + ^

9.72699873

9.235342 n

8,9697

10,45859496

10,19707351

i + 1^

9,72015930

9,217706 n

8,9598

10,48438041

10,21050266

i + A

9,7132x044

9,199006 n

8,9479

10,50584503

10,22152073

i + rU

9,70757018

9,183228 n

8,9370

10,52247376

10,22995961

^ "1" ä 0 ö

9,70329138

9,17089011

8,9280

10,53959062

10,23856063

i

9,69897000

9,158096 u

8,9183

10,55722890

10,24733545

i-jU

9,69460520

9.144824 n

8,9077

io.575425°o

10,25629679

7 löö

9,69019608

9.131050 u

8.8964

1 10,59149582

10,26413689

i-^ty

9.68638088

9.118823 u

8.8861

10,61365452

10,27483596

i-oV

9,68124124

9.101883 n

8,8714

10,63378049

10,28444581

^-A

9.67669361

9,086428 n

8,8577

10,65465063

10,29430663

+ -T^

9,67209786

9,070343 n

8,8430

10,66900678

10,30103000

i-i^

9,66900678

9,059251 n

8,8327

10,67632482

10,30443897

2 TiTTJ

9,66745295

9,053590 n

8,8274

10,69886994

10,31486571

1 löö

9,66275783

9,036121 n

8,8108

10,72236097

10,32561245

i TS+äiö

9,65801140

9,017887 11

8.7933

10.74688242

10,33670795

A-^V

9.65321251

8.998829 11

8,7746

10.77545373

10,34948500

-^ + i

9.64-81748

8,976609 11

8,7526

10,79941245

10,36007965

-ny+ 106

9.64345268

8.957976 u

8,7338

10,81808085

10,36826251

I + tV + t^

9.64015004

8,943463 11

8,7191

10,83739467'

10,37666383

i + ^

9.63682210

8,928457 n

8,7038

10,86767664

10,38970963

i + ^-^

9,63178187

8,904955 11

8,6796

10,89968987

10,40334117

111 1

J T^ TB 1 u ü

9,62668247

8,880157 11

8.6539

10.92209389

10,41278795

T5+ 100

9,62324929

8.862836 n

8,6358

10,94542777

10,42254902

A + A

9,61978876

8.844831 11

8,6169

10.96270717

10,42972810

9,61729996

8,83152211

8,6029

1

10,97602309

10,43523276

TTS + A

9.61542395

8,821281 u

8,5921

10,99520873

10,44312272

TS + rh

9.612-8386

8,806549 n

8,5765

11,01103961

10,44959747

■ni+ lööö

9,61066016

8.794416 n

8,5636

11,03564644

10,45959988

TTJ + -yö-iT

9,60745502

8,775596 11

8,5437

IN EINER PARABOLISCHEN BAHN.

277

tgi«- + l-tgi

w' =: m, log Hi

3= log3/-t-,a, logt

gUv — logtg;.

W+N<x + N"iJ

r + iV'V

IO + 1.12i)/

lo + lo-tglir

N

10 + logiV

10 4- log iV"

lO+logiV"

11,03564644

10.4595998^

t\s+ -lOO

9.60745502

8,775596 n

8,5437

11.04979168

10,46531687

'' U 1
TB r 3 0 (1

9,60566412

8,764801 n

8,5322

11,07918125

10,47712125

TU

9,60205999

8,742427 n

8,5083

11,11016459

10,48946249

TT) Till)

9,59842571

8,718922 n

8,4832

11,14291768

10,502399+4

i + T%7i

9,59476075

8,694169 n

8,4568

11,17764677

10,51600108

A TST5

9.59I0646I

8,668029 n

8,4288

11,21459567

10,53034892

i+Vö+dRJ

9-58733673

8,640339 n

8,3992

11.25405556

10,54554023

i + ^V

9.58357659

8,610904 u

8,3677

11.29637802

10,56169246

i 2

9.57978360

8,579489 n

8,3340

11.34199296

10,57894913

i + lV + Tir;

9-57595719

8,545807 11

8,2980

11,39143382

10,59748830

i+Th

9.57209677

8,509500 u

8,2593

1^44537359

10,61753456

3 + JTS + sin

9.56820172

8,470120 n

8,2173

11,50467823

10,63937680

i+A

9.56427143

8.427089 n

8,1715

11,57048816

10,66339543

i + Tfrf

9.56030524

8,379646 n

8,1212

11.64434813

10,69010562

TIS lliü

9.55630250

8,325758 n

8,0643

11.68494068

10,70468474

^ + tV

9,55428721

8,297844 n

8,0348

11,75138072

10.72840786

i + TV-TiTT

9,55124663

8.250734 n

7.9853

11,82588860

10,75482524

i + ^

9,54818461

8,198202 u

7,9303

11.88107697

10,77427846

5 + UC + EiTu

9,54613120

8,15974811

7,8899

11.94166034

10,79553230

i + ö'ö

9,54406804

8,117137 n

7.8358

11.97912606

10.80862729

i+T'ö + T^

9.54288468

8,091036 n

7.8186

12,03991000

10.82979966

I+tV

9-5:-' 10357

8,048814 n

7,7749

12,12525478

10,85938920

1 + «Vi

9.53886685

7,989772 n

7,7139

12,20069644

10,88542601

i+1^

9.53711918

7,937793 11

7,6613

12.26829720

10.90867249

i + Ti,

9-5357"597

7,891364 u

7.6126

12,33599708

10,93188166

i + -njöiT

9-53444919

7,845004 n

7.5651

12.4117S531

10,95778785

3 ~r ToVii

9,53317870

7,793241 n

7,51«

12.49782844

10,98711325

:i ~r TOTTI)

9,53190449

7,734634 11

7,45-4

12-59719959

11,02091557

ä+TTTire

9.53062652

7,667067 11

7-3S36

12.71511815

11,06083463

i + ^TT

9-5:934479

7,587261 11

7,3026

I2'8595i557

11,10961757

Tf-T lOöö

9.52805926

7,489721 11

7,2039

12,97765665

11,14942654

^+jiw

9.52-20012

7,410118 n

7,"34

13.16426107

11,21216853

i+^

9.52612380

7,284648 11

6.9969

13.30914243

11,26078695

h + jU

9.52547673

7,187418 n

6,8990

13.52801251

11.33411528

l+riT,

9.52473603

7,040922 u

6.7418

13,-5971682

11.41162841

\+TT!r,T,

9.52417968

6,885743 n

6,5960

EINKICHTUNGl DER TAFEL.

Die Tafel gibt zum logarithmus der mittleren Anomalie den logarithmus
tangans der halben wahren Anomalie nach der in der Ueberschrift stehenden
Formel für Werthe von lO-f-logm innerhalb der Grenzen 8,5 und 13,8 auf
weniger als drei Einheiten der achten Decimale genau , wenn für log M der-
jenige Werth in der Tafel genommen wird, der dem Werthe logm zunächst liegt.

Für Werthe von 10 -\-\ogm, die weniger als 8,5 betragen, ist zu setzen

logtg^io = logm — ?u^.num[log = 9,160663 — 10]
— ra*.num[log = 9,0815 — 10]

für Werthe, die über 13,8 hinausgehen, entweder

logtgiw = llogSwi — (3m)~5.num[log = 9,637784 — 10]

— (3TO)~'.num[log = 9,3368 — 10]

oder

logsin2ü = -|-logf«i — (|?M)~*.num[log = 8,4337 — lO]

logS = 0,47712125 logf = 9,57403127—10

Die Grössen logtang^^^t' und logsin?« bestimmen sich, wenn in allen
Formeln die Glieder höherer Ordnung als der zv\eiten unbeachtet gelassen, und
die Glieder zweiter Ordnung mit Hülfe vierstelliger Logarithmentafeln berechnet
werden, in so weit genau , dass die Fehler vor ni weniger als 0"l beträgt.

BEMERKUNGEN.

Der vorliegende Abdruck der Tlieoria motus corporum coelestium bildet
in Vereinigung mit den sechs Bänden GAUss'iscber Werke, welche ich im Auftrage
der königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen herausgebe, eine
Gesammtausgabe von Gauss Werken. Sie enthält mit Ausschluss einiger
Tabellenwerke und der Karten für den Erdmagnetismus alle von Gauss ver-
öffentlichten Arbeiten, ferner aus dem handschriftlichen Nachlasse, der sich im
Besitze der königlichen Gesellschaft der AVissenschaften zu Göttingen befindet,
alle Aufzeichnungen, die mir ein wissenschaftliches Interesse zu haben schienen.
Die Benutzung dieses Nachlasses, auch für die Ausgabe der Theoria motus, hat
mir die königliche Gesellschaft freigestellt.

Das von Gauss im Jahre 1809 in 4" veröffentlichte Werk ist hier unver-
ändei't abgedrackt. Die Ankündigung, die er selbst von dem Werke in den
Göttingischen Gelehrten Anzeigen 180 9 Juni 17 gegeben, habe ich ich in Gauss
Werken , Band VI. Seite 8 3 aufgenommen. Die frühem Druckfehler, die grössten
Theils schon öffentlich angemerkt waren, zu denen auch noch einige andere von
Gauss in seinem Exemplare angezeichnete hinzukonnnen, habe ich berücksichtigt,
über die wenigen den Inhalt betreuenden Abänderungen im Folgenden ausführ-
lich berichtet. Meine Einschaltungen sind von Gauss Worten überall durch be-
sondere [Klammern] abgetrennt. Zur Erleichterung der Benutzung dieser Aus-
gabe bei Citaten , die sich auf Seitenzahlen der älteren beziehen , habe ich bei
dem Inhaltsverzeichniss dieses Bandes die (pag.) der Anfänge der Sectionen in
der früheren Ausgabe mit angegeben.

280 BEMERKUNGEN.

Zu Art. 1.
In einem Briefe vom 23. Febr. 1810 (abgedruckt in der von FreiheiTu
VON Zach herausgegebenen Monatlichen Correspondenz zur Beförderung der Erd-
und Himnielskunde, Gotha 1810, März. Band XXI. Seite 280) schreibt Gauss:
Für die Notirung der Druckfehler [Monatl. Corr. Bd. XXI. S. 281] in meiner
Theoria, bin ich Herrn Oeiani sehr verbunden. Er hat ganz recht, dass ick
[Art. 114. Zeile 16] hinzu zufügen vergessen habe, dass B, E, B" ^0, voraus-
gesetzt loerden müssen, loenn die Bedingungs-GleicJmng, bei loelcher die Gleichung
[7] unbrauchbar ist, die dort angegebene Gestalt [nemlich :

tang 8 ' tang 8 "sin {L — a) sin (i" — Li)
-j- tang 6 "tang 6 sin (Z' — a')sin(i — L') = 0
-\- tang 6 tang 6 ' sin (L" — a") sin [L — L)

wie sie in der Ausgabe von 1809 steht] haben soll. Es ist übrigens klar, dass,
wenn auch nicht B, B, B = 0 sind, doch die Gleichung [7] unbrauchbar sein
kann, wenn nemlich der 1 2 gliedrige Ausdruck, welchen Oriani entwickelt hat, zu-
fällig = 0 oder sehr klein icird.

Dass Euler schon das Theorem gefunden hat, woraus der schöne von mir
La Place beigelegte Lehrsatz sehr leicht abgeleitet werden kann , fiel mir selbst
schon früher ein, als aber die Stelle Art. 177. schon abgedruckt war; ich loollte es
aber nicht unter die Errata setzen, toeil La Place wenigstens das obige Theorem
doch erst in der dort gebrauchten Form aufgestellt hat.

Die meisten der von Oriani angezeigten Druckfehler hatte ich mir auch
schon notirt. Hier sind noch drei andere von ihm übersehene !

Art. 1, Zeile 17: statt inversa lies composita — —

Zu Art. 8.
Handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:

I-. I sin ü sin i?
1 = cos«cosii-|-

COS<f

sin« sin jB
' 1 — cos«' cos i/

cos£ — cos«
1 1 — cosrcos-fc

BEMERKUNREN.

281

Zu Art. 17.
Neben die Formeln dieses Art. hat Gauss in sein Handexemplai' ge-
schrieben :

• jp I /cosy + ^/cosy + cosy^

k\nj2j — y (i+/cüs*)(i+cüs»)

aequatio centri = 2 aresin l/( ^-v"^^ •

V^(l — ee)

I 4" ß sin E

— 1 + l/C0Stp + COS(p + cos»' I • T7I

arc cos — V ^— ' — V-esu\Jli

1 + cos tp '

arc sin tang \ ^^ tang E -\- e sin E

Zu Art. 40.
Gauss hat in seinem Handexemplar Folgendes aufgezeichnet:

log^=— 2^7« =—^A — r'^sA' — \HÄ\ .
= —2Tm' = —^T-{- h\T'— i^ r . .

A

logm

log«

0,000

9,23984

9,63778

0,010

9,24134

9,63909

0,020

9,24284

9,64041

0,030

9,24435

9,64172

0,000
0,010

log m '

9,23984
9,23787
0,020 1 9,23591

tang^y = M-^tang^ w

log 3/ := Am

qsec\v^

log N ::= A71

Zu Art. 39. 4 3. 4 6.
In Bezug auf die Benutzung der BARKER'schen Tafel bemerkt Gauss in
den Asti-onomischen Nachrichten Nr. 474, 1843 (Gauss Werke Bd. VI. S. 191),
dass sie bei grossen Anomalien wegen des beschwerlichen Interpolirens sehr unbe-
quem wird, und gibt ein Verfahren an, wie die Rechnung mit seinen Logarithmen-

G. TH. M. 36

282 BEMERKUXUEN.

tafeln auf fünf Decimalstelleii und dann mit Matthiessen's Tafeln bis zu sieben
Decimalstellen zu führen ist.

Zur Vermeidung der weitläufigen Rechnungen, die mit dem einen oder
dem andern Verfahren noch verbunden sind, habe ich oben Seite 274 eine Tafel
angefüg-t, mit deren Hülfe logtg^-w aus log?», bestimmt wird. Auf Seite 278
habe ich den Grad der Genauigkeit angegeben, der bei der verschiedenen Art
der Benutzung dieser Tafel erreicht \^ird.

Zu Art. 5 4.
Handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:
Si duo triangida, communia habent duo latera h, <?, erit

I.

siu i(a'—a) siDbsiüi(C"+C) smesin^(£'+.B)

sin^(J.'— ^) cos i (£'—£) cosi(C'— C)

■ry sin^(fl['+a) sin&cos^(C+C) sine cos |(.B'+^)

^^' Sin\(A'—A) " ün^{B'^E)~' sini(C'— C)

in.

sm^(o' — a) sin6sin^{C" — C) sincsin^(£' — B)

sm^(A'+^) Q.os\{B'+B) ^cosi(C'+Cr^

TVT sin^(a'+a) sinfecos^(C' — C) sine cos -I^C-B' — .5)

siui(Z'+^)" ^m\{B'+B) sin i(C'+C)

[Vergl. Gauss Werke Bd. IV, S. 401 und 405.]

Zu Art. 67.
Handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:

sin a cos o = — sin t sin h -\- cos £ cos h sin /

cos a cos 0 = cos ft cos?

sin 0 = -|- cos £ sin h -\- sin s cos h sin /

Zu Art. 8S.
Handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:
Vorschriften um den Logar.-Sinus eines kleinen Bogens zu finden:

logsin7/'= log sin '^ = log-^ — x j J cf -^ + TiTr'-f*+ yVtt'/+ tt^-öt'^^+ etc. }

BEMERKUNGEN. 283

Man bilde die Grössen \ ' \' ' ,' ' '■ nach folgendem Gesetze:

/[x, [X, [1 , ;i . . \

X = 2log•?^+ 8,2307828 — 20 K = logjA

X' = X -j- ! [JL X' = logjji'

X ' = X'-f VVöT (|J. — ^) l' = log p."

X'" = X"+ J-f f ([j."— jx') X'" = log [i.'"

SO ist logsincp = 4,6855749 — 10

H-log?i

— I^

Beispiel: cp = 37''6' = 133560'

4,6855749 8,2307828

log«.. . 5,1256764 2logTC. . 10,2513528

9,8112513 X := 8,4821356 [x = 0,0303483 . 85

[x°° .... 0,0307842 -{-60696.8 4271.25

logsincp ... 9,7804671 X' = 8,4882052.8 [x' = 0,0307755 . 1

+ 1200.0 85.0

X'= 8,4883252.8 [x" = 0,0307840 . 1

+ 24.3 1.9

X"'=: 8,4883277.1 |x'"= 0,030784 1 . 9

Um aus sin^cp den Logarithmen von

(p — sin (p

ZU finden, bediene man sich folgender Näherungsformel :

Hiedurch findet man den gesuchten Logarithmen zu gross : folgende Tafel gibt die
anzubringende Correctiofi in der 7. Decimale an:

36*

284

BEMERKUNGEN.

Grenz

log sin \ (p

e von

Ahmziehende
Correction

• ■ • •

9,069

0
26°54'

0
1

9,147

32 18

2

9,184

35 9

3

9,208

37 10

4

9,226

38 45

5

9,240

40 3

6

9,252

41 10

7

9,262

42 10

s

9,271

43 3

9

9,279

43 51

1 0

9,2S6

44 35

1 1

9,293

45, 15

Zu Art. 90 und 100.
Gauss an Bode. Göttingen 1811, Sept. 10.

[Abgedruckt im Astronomischen Jahrbuche für das Jahr 1814, S. 256;
herausgegeben von Bode, Berlin 1811.]

— — — Noch f'iige ich Dnem Wunsche zufolge einen Meinen Zusatz zu
meiner Theoria motus corporum coelestium hei.

Zur Auflösung der wichtigen Aufgabe, aus zweien Radiis vectoribus und dem
eingeschlossenen Winkel die ellipti selten oder hyperholischen Elemente zu bestimmen,
habe ich mich mit grossem Vortheil einer H'dlfsgrösse E bei der Ellij)se, C bei der
Hyperbel bedient, für welche ich jenem Werke eine Tafel angehängt habe. Be-
rechnet ist diese Tafel nach einem dort angefügten continuirten Bruche, dessen
vollständige Ableitung aber dort Glicht gegeben ist, und zu dessen theoretischer
Entioickelung , die mit andern Untersuchungen zusammenhängt, ich bisher noch
nicht Gelegenheit gefunden habe. Es wird daher manchem lieb sein, hier einen
andern Weg angezeigt zu finden, auf welchem man jene Hülfsgrosse ebenso bequem
hätte berechnen können.

Wir haben (Art. 9 0.)

BEMERKUNGEN. 285

Der Zähler dieses Bruches venoandelt sich leicht, wenn man für X die dort
gegebene Reihejsubstituirt , in

o „ /. I «2.8 , 3.S.10 I 4.8.10.12 . , 5.8.10.12.14 a , \

'"* l '9 ' 9.11 I 9.11.13 I 9. 11. 13. IS •^^^^^^•]

Setzt man also die Reihe

.,28 , 3.8.10 , , >

1 + — ic + g ,T ^^ + ®*^- = ^'
so wird

xX—iX-^ V = tUäxx

1 — |.r

i — -^-sAxx

nach welcher Formel man % immer bequem und sicher berechnen hann. Für C
braucht man nur — z statt x zu setzen.

Ich bemerke nur noch, dass man A noch, bequemer nach folgender Formel
berechnen hann:

Allein die Ableitung dieser Reihe aus der vorigen beruht auf Gründen, die hier
nicht ausgeführt werden können. [Sie findet sich in Art. 4 0. der aus dem hand-
schriftlichen Nachlass in Gauss Werken Bd. III. S. 209 aufgenommenen Abhand-
lung: Determinatio seriei nostrae per aequationem differentialem secundi ordinis.]

Zu Art. 91.
Gauss hat in sein Handexemplar die Formeln

y=l^P>-\^P,h-^V-^Pe'

yy= X^^h-nhh+'^nh'

±= y-^h+Wh-^I^P

286 BEMERKUNGEN.

Propefit y = ^^

eingeschrieben ; in Bezug auf die letzte will ich hier hinzufügen, dass den gesuchten
Wexthen von y für kleine Werthe von li noch näher diejenigen liegen, welche
durch die Formel

bestimmt werden.

Zu Art. 92.
Handschriliche Aufzeichming von Gauss: Die Gleichung 15* hat:

1) Eine reelle negative Wurzel, wenn H zwischen den Grenzen 0 und

'^^ liegt, nehst zioei imaginären.

2) Drei reelle Wurzeln, wormtter Eine positive, wenn H zwischen
il1^-^ und 0.

6

3) Eine reelle positive Wurzel und zwei imaginäre, wenn H zioischen
'- - und — oo.

6

4) Drei reelle Wurzeln, unier denen Eine negativ, icenn H ztoischen
±^±^ und +00.

6 '

Offenbar kann also nur von Fall 4 hier die Rede sein, wo sich zwei positive
Wurzeln finden. Allein die Eine derselben ist hier immer kleiner als "~ 'J - , die
andere grösser : letztere kann also allein gültig sein.

Bei dem im Text angezeichneten Verfahren ist klar, dass die letzte Gleichung
nur dann zwei positive Wurzeln haben konnte, ivenn zugleich 1 — H negativ
und -s-V — l-ff positiv loäre, loelches offenbar unmöglich ist, da /y- — ^H =

Zu Art. 108.
In sein Handexemplar der Tlieoria motus hat Gauss die folgenden
Formeln eingeschrieben:

■^ est cosecans anguli inter chardam et axem
-|-(0'-|-6) ejusdem cotangcns
ejusdem cosinus =- cosa

,„ (,. I ,.'\pp— ('•'—'•) ^fl 1 pp 1 p* I \

BKMEEKUNGEN. 287

Tempus medium inter duo loca jior'dxdica exhihctur per formalarn

, 1 f , '•'—'• X ^_| 3(rV— r»0 \

~r fc|/lS I ( 1 / r'+ r + p _ i/r'+r — rA 1" . /y'-j-r + p _ i /»•'+r — |i_ f

Vk \ 7(?-;-r + p) — /(r'+r— p) ) + 2^ * 7(^-'+ r + p) — /(/+ r - p)
Distafiiia in perihelio = 4 ' -''~'^^ ,', ,„ — ^

Au anderen Stellen des handschriftlichen Nachlasses von Gauss finden
sich ferner die in diesem Abdrucke mit der Bezeichnungsweise des Art. 108.
wiedergegebenen Formeln :

Zur Berechnuriff der Chorde p aus Zeit t — t und Summe der beiden
Radien = r-[-r'

(r + r'+p)^-(r + r-p)?- = ßk{t-t)

p

Es sei — ^ — 7 — — = snii

, ■ „ -l/(-<?H?^r-) . ,

[so wirdj — ^ — = sm9

i-l/li- _

- ^1 I I ' '

4

= COS 2 '\i

-y- . ~—, = sin 'b . i/cos 2 i

6 k{t'—t) ■ „ ,

-77 • -^ i = sm 3 i

)• — r

[Setzt man:] ._^ ., = sincp, —

[so wird:] 2Ä:(/-0=PV/(>''+0-^t,sI^

sniT

Ausschnitt 2 + cMstp

Dreieck 3 cos 9

4 [t-^ t) = ^^ 2 (?• + r'f sin - cos i » (3 — 2 sin t' cos 4 -/)
p = (r -|- )•') sin t^. cos 4 -f ^' = (r -(- r') sin 7^ . cos 2 6

288 BEMERKUNGEN.

cosx.tangcp = taiigy
^ tang t . cos cp = tang {F — t)

sin/. sini.tang^cf, =: sin (21 — F)
sin/. sin X .CO tang 4- cp = sini^

F — / und F-\-f die wahren Anomalien.

Zu Art. 114.
Statt der von Gauss in dem ersten Drucke gegebenen Bedingungsgleichung
für die Identität der Gleichung [7] habe ich dort die allgemeine gesetzt. Vergl.
oben die Bemerkungen zu Art. 1 .

Zu Art. 14 1.
Handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:
z saltem diios valores reales habet, quomam valores ipsius

Q sin z* — sin (z -|~ -^ )

pro 2 = 0 atque fro z = 180° Signa opposita habent, z non habet plures va-
lores reales quam 4 , quomam

sin [z + -A)

sin i*

inter 2 = 0 aique z = 180° semel tantum fit maximum semel minimum, ac
perinde inter 2= 180° et 360°. Scilicet hoc evenit quoties

2 tang 2 = — 3cotang^ + ^(9cotang^^ — 16) = 8tang(z + ^)

Zu Art. 168.
Handschriftliche Aufzeichimng von Gauss, die Gleichungen I. und H.
beti-eflfend :

Quodsi quidem x et x inde eliminanda esset, ad aequationem ordinis
64'' delaberemur.

Zu Art. 176.
Handschriftliche Aufzeichnung von Gauss:
Hätten die Hypothesen H, H' an sich (d. i. vor dem Eintreten von E oder

BEMERKUNGEN. 289

vor erlavgter Kenntniss von diesem Eintreten) ungleiche Wahrscheinlichkeiten
fi, [a' gehabt, so wird man ihnen, nach der Erscheinung von E, Wahrscheinlich-
keiten beilegen müssen, die den Froducten (ih, (x'li' projjortional sind.

Zu Art. 177.

In Bezug des Theorems, welches hier dem La Place zugeschrieben wu'd,
ist eine Aeussermig von Gauss schon oben in der Bemerkung zu Art. 1 . mitgetheilt.

Das dort erwähnte Verzeichniss der Druckfehler in Dr. Gauss' Theoria
motus corporum coelestium etc. Haniburgi 1809 vom Senator Bar. Oriani [Monatl.
CoiT. Bd. XXI. S. 283] enthält folgende Stelle: Elegans theorema, quod tribuitur
Illustr. La Place , revera a Leonardo Eulero prhnum inventum est. Et enim
in Comment. Acad. Petropol. Tom. XVI, Eulerus ostendit, integrale

-/

ix

/(•»^i)

sumtum ab x = \ ad x = 0 esse = jZ-rt existente tc semicumferentia circuli,

tt

radio = 1 descripti, lamvero ponendo x = e habetur

— (Ix ~ — tt 1 ,

= 1e at

Idoque integrale Je~ &t a t=0 ad ^ = oo erit = J |/tc et propterea idem
integrale a t=z — oo ad t = -\- qo fiet = j/ir.

Neben diese Stelle hat Gauss in sein Handexemplar der Monatl. Corr. die
Bemerkung eingeschrieben:

Dies Theorem findet sich a. a. 0. nicht, toohl aber p. 101. [Evolutio for-
mulae integralis

Jx da;(loga:)"

integratione a valore x = 0 ad x = l extensa auctore L. Eulero, Theorema 2,
CoroU. 4. §. 16.] folgendes:

1
Jdx.\/\og^ =i\/^

0
G. TH. M. 3 7

290 BEMERKUNOEN

Schreibt man hier x = e , so icird

00

j-ltt e^^^Xt = \\J-

— tt
■itt e

0

Es ist aber '2tte~*\it = — d(t e ~**)-\-e~**dt und te~**=0, sowohl

für f ==: 0 ah für t = oo also

I

°°-t*

In seinen Vorlesungen „ Methodus quadratorum minimorum ejusque usus in
Astronomia, Geodaesia Sublimiori et Scientia naturali" pflegte Gauss diesen Satz
in der Weise abzuleiten, dass er die Gleichung

+ 00 2 +00 +00

( / e-''dt) = //e-"'"-^^dr.d?/= / e"^^? pdp /dcp = tt

mit Hülfe geometrischer Betrachtungen aufstellte, und dabei x, y als recht-
winkelige Coordinaten, p, cf als Polar -Coordinaten der Punkte in einer Ebene
voraussetzte.

Göttingen, Sternwarte. 1871. Juni.

Schering.

INHALT
GAUSS WERKE BAND VH.

Tbeoria motus corporum coelestium in sectionibus

couicis solem ambientium (pag. I) Seite i

Praefatio (pag. III) Seite 3

LiBER Primus. Relation es generalesinter quantitates, perquas
corpoi'um coelestium motus circa Solem definiuntui-

Sectio I. Belationes ad lomm simplicem in orhita spedantes . (pag. 1) Seite 11

Sectio II. Relationes ad locuni simplicem in spatio spedantes . . (pag. 45) Seite 53

Sectio III. Belationes inter locos pilures in orbita (pag- S2) Seite 92

Sectio IV. Belationes inter loco splures in spatio . . . . '. . (pag. 125) Seite 138

LiBER Secundus. Investigatio orbitarum corjjorum coe-
lestium ex observatiouibus geocentricis.

Sectio I. Beterminatio orhitae e trihus ohservationihus compUtis . (pag. 131) Seite 145
Sectio II. Beterminatio orhitae e quatuor ohservationihus, quaruni

duae tantum eompletae sunt (pag. 192) Seite 210

Sectio III. Beterminatio orhitae ohservationihus quofcunque quam

proxime satisfacientis (pag. 205) Seite 225

Sectio IV. Be detenninatione orhitarum, hahifa rnfione perfiir-

hationum (pag. 225) Seite 246

Tabula i. (-ui ap.tt. 42. 45.) (pag. l*) Seite 252

Tabula ii. (ad art. 93.) (pag. 9*) Seite 260

Tabula III. (ad artt. 90. ino.) (pag. 17*) Seite 268

Tafel für mittlere und wahre Anomalie in parabolisclien

Bahnen (zu ahtt. 39. 43. 40) Seite 273

Bemerkungen Seite 279

GOTHA,

PERTHES' BUCHDBDCKEBEI.

"^^

Date Due

Library Bureau Cat. No. 1137

w

ELLS »HVDERY

ALTHAM, MASS.

JUNE 1949

qll«.IS3;]

scm

3 5002 00113 3623

Gauss, Carl Friedrich

Carl Friedrich Gauss Werke ...

¥. 7

TITLE

Werke

DATE DUE

-i5S^5^;7i5TNAME

V.r.

16905