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COMPENDIO DE ALGEBRA DH
ABENBEDER
Junta para ampliación de estudios e investigaciones científicas
CENTRO DE ESTUDIOS HISTÓRICOS
COMPENDIO DE ALGEBRA
DE ABENBÉDEH
Texto árabe, traducción
y estudio
por
JOSÉ a!^ SÁNCHEZ PÉREZ
.^^^>,
' V^
\^''
MADRID
1916
Imprenta Ibérica, E. Maestre. Pozas, 12. Madrid,— Teléfono 3.854
A DON FRANCISCO CODERA
Jyiaestro de arabistas, modelo de laboriosidad, por cuyas
excepcionales dotes es venerado de todos sus discípulos y muy
especia¡rr¡ente de su muy anjigo
El autor.
índice GENiaUL
Págs.
Dedicatoria v
Prólogo del traductor ix
La historia de las Matemáticas en España IX
Algunos datos acerca del manuscrito, su autor y su época. . XVl
I-a edición XXV
La traducción XXV
Resumen analítico del Algebra de Abenbéder XXVi
Erratas xlvui
Traducción i
[Introducción] 3
Cuestión primera: los cuadrados igual a las raíces 4
Cuestión segunda: los cuadrados igual a los números 5
Cuestión tercera: las raices igual a los números 6
Cuestión cuarta: los cuadrados más las raices igual a los nú-
meros 7
Cuestión quinta: los cuadrados más los números igual a las
raices 9
Cuestión sexta: las raices más los números igual a los cua-
drados I o
Capítulo de las raíces f. . 12
Capítulos de la multiplicación de las raices y de su división. 13
Capítulo de la multiplicación de las raíces 14
Capitulo de la división de las raíces 15
Capitulo de sumar raíces 16
Capitulo de restar raíces 17
Capítulo de la multiplicación de las incógnitas, los cuadra-
dos, los cubos [de ellas] y los números entre sí 18
VIII
Págs.
Articulo [Regla de los signos] i8
Capítulo de los problemas de este capítulo anterior 20
Capítulo de la suma de las incógnitas, cuadrados y cubos,
unos con otros 21
Capitulo de la resta de las incógnitas, cuadrados y cubos,
unos de otros 22
Capítulo de dividir las incógnitas, cuadrados y cubos, unos
por otros 23
Capítulo del conocimiento del chéber y almocábala 23
Capítulo acerca de la resolución de los seis problemas sobre
los cuales gira todo el chéber: problema primero 26
Problema segundo 27
Problema tercero 28
Problema cuarto 29
Problema quinto 30
Problema sexto 31
Capitulo de los problemas sobre el diez 32
Capítulo de los problemas de los cuadrados 46"
Problema análogo en la resta 54
Problema análogo en la división 65
Problema análogo en la resta 74
Problema análogo de los cuadrados ; 77
Problema análogo de comercio 78
Capítulo de las dotes 81
Capítulo de los problemas del trigo y la cebada 84
Capítulo de los ejércitos 94
Capítulo de los problemas del ütica 105
Problema de algo anormal 115
PRÓLOGO DEL TRADUCTOR
La historia de las Matemáticas en España.
Los estudios histórico-matemáticos han estado aban-
donados, casi en absoluto, en nuestra patria. Países
como Portugal, Italia, Suiza, Dinamarca, Bélgica,
Rusia, cuya cultura general y matemática no es muy
superior a la de España, tienen su correspondiente
historia de las Matemáticas, mientras que nosotros no
hemos sabido formar la nuestra.
A esta deficiencia contribuyó quizá la discusión
años ha entablada acerca de la existencia o no exis-
tencia de matemáticos en España. En aquella polémi-
ca, enfrente de los entusiasmos con que Laverde Ruiz
y Menéndez y Pelayo defendían los fueros de la cien-
cia patria en todas sus ramas (1), hubo escritores como
Echegaray, que en su célebre discurso al ingresar en
la Academia de Ciencias (1866), afirmó rotundamente
que "España es un pueblo que no puede tener historia
(i) La Ciencia Española. Madrid, 1887-1889 (tres tomos).
científica, porque no ha tenido ciencia„. Anos más
tarde, los estudios bibliográficos e investigaciones his-
tóricas de Vicuña (1) y Fernández Vallin (2) parecie-
ron iniciar una reacción favorable; pero muy pronto
calmos en el mismo abandono, hasta que reciente-
mente Rey Pastor, con sus concienzudos trabajos so-
bre los matemáticos españoles del siglo XVI y los al-
gebristas del siglo XVII (3), abrió en la historia de las
Matemáticas una nueva senda que quizá ponga térmi-
no a lá polémica antedicha.
En una historia general de las Matemáticas no de-
ben tenerse en consideración casi ninguno de los libros
de Matemáticas impresos en España, porque no se
encuentra en ellos do:trina nueva ni perfeccionada,
pero en la historia particular de las Matemáticas en el
suelo español, no cabe duda que merecen consignarse
estos trabajos de hombres estudiosos que dedicaron
su actividad a las ciencias del número, la cantidad y la
extensión.
Si es cierto que en España no nació ningún ri-
val de Newton, Leibnitz, Mac-Laurin, Copérnico,
Lagrange ni Abel, tampoco puede negarse que en
ella vieron la luz las obras de Alfonso el Sabio y de
(i) Bibl. Mathein. Enestrom, 1890. págs. 13-36.
(2) Discurso de ingreso en la Academia de Ciencias. Ma-
drid, 1893.
(3) Discurso inaugural del curso I9i3-i9i4en la Universidad
de Oviedo.
Re7>ista de Libros- Madrid, rgi3 y 1914.
XI
Pérez de Moya, de Hortega y de Cedillo, de Mar-
tínez Silíceo y Gaspar Lax. Si porque estos mate-
máticos no fueron genios comparables a aquéllos, hu-
biera de negarse la existencia de la Matemática espa-
ñola, caeríamos en igual absurdo que si negásemos la
Geografía de España, por la sola razón de que no te-
nemos cordilleras como el Atlas, ríos como el Misisi-
pí, cataratas como las del Niágara, volcanes como el
Vesubio o lagos como los de Suiza.
España no posee la historia de su ciencia matemáti-
ca, sencillamente, porque no ha tenido ni historiado-
res generales como Cantor y Enestróm, en Alemania;
Zeuthen, en Dinamarca; Suter, en Suiza; Marie, en
Francia; Bobynin y Vastchenko-Zakhartchenko, en
Rusia; Bierens de Haan, en Bélgica; Favaro y Gino
Loria, en Italia; Gomes Teixeira, en Portugal; Rouse
Ball, en Inglaterra; ni siquiera investigadores mono-
gráficos como Boncompagni, Sedillot, Martin, Woep-
cke, Marre, Tannery, Terquem, Steinschneider y Bre-
tón de Champ.
Las esperanzas halagüeñas que para el progreso de
estos estudios en nuestra patria nos inspira el juvenil
entusiasmo y la competencia con que el Sr, Rey Pas-
tor ha abordado la empresa de construir la historia de
la Matemática posterior al siglo XV, quisiéramos ha-
cerlas extensivas a los siglos anteriores, respecto de
los cuales no podemos estar conformes con la opinión,
un poco extraña, del insigne Rey Pastor, el cual
XII
dice (1): "Es cierto que España, en la Edad Media,
fué maestra del mundo, y que a ella acudían sabios
de .todas las naciones para estudiar las ciencias; es
cierto que las escuelas de Córdoba, Granada, Sevilla,
irradiaban esplendorosa luz; así lo reconocen todos
los historiadores; pero no tenemos derecho a enorgu-
llecemos con estas glorias, que no son nuestras.,,
Nosotros afirmamos, por el contrario, y se puede
demostrar sin esfuerzo, que en la historia de las Ma-
temáticas en Espeña ha de incluirse también aquella
época de esplendor, cuya gloria se reconoce, aunque
regateándosela a España para dársela al pueblo mu-
sulmán; no se quiere que la ciencia sea española, y se
la denomina árabe, como si en aquella civilización de
los siglos VIII al XV no corriera sangre española por
las venas de todos los matemáticos hispano-musulma-
nes que nos han legado tantas obras de su ingenio, in-
exploradas hasta la fecha. Todos ellos en España na-
cieron, y sus hijos, y sus nietos, y diez generaciones
sucesivas dominaron nuestro país y ejercieron en nues-
tra cultura general una influencia que todavía se deja
sentir (2). No por ser musulmanes dejaban, pues, de
ser españoles aquellos hombres de ciencia que culti-
varon las Matemáticas en nuestra península y que se
llaman Abdalá Benahmed de Zaragoza, M. Benabdalá
(i) Discurso inaugural. Oviedo, I9i3,págs. 15 y í 6.
(2) Cfr. Ribera: Orígenes de/ Justicia de Aragón. Conferencia i."
Zaragoza, 1897.
Sllí
el Becrí de Valencia, Alcalsadí de Baza, Ornar Benab-
derrahman Benalí de Córdoba, Omeya Benabisalt de
Denia, Benassamh de Granada, Azarquiel de Toledo,
Hossain Benahmed Benmás de Medinaceli, Chéber
Benaflah de Sevilla, Yahya Benismail de Baeza, Mas-
lama de Madrid, M. Benahmed Abenjarbú de Jaén,
Abulcásim M. Benalí de Almería, M. Benyusuf Bena-
mira de Orihuela, etc. Llevemos, por consiguiente, a
nuestra historia de las Matemáticas, todos los estudios
realizados por los musulmanes españoles desde el si-
glo VIII al XV, precedidos, a ser posible, de las inves-
tigaciones de la época hispano-romana y de los resul-
tados de la Escuela de Sevilla en el siglo Vil, aunque
confesemos nuestra decadencia en los siglos XVí al
XVIII, para señalar después el resurgimiento de las
Matemáticas en los siglos XIX y XX.
Porque es evidente, y en esto ya coincidimos con
Echegaray y con Rey Pastor, que terminada la do-
minación árabe en España, y a pesar de la protección
de Alfonso el Sabio a los hombres de ciencia, desapa-
rece la cultura matemática que poseía la España mu-
sulmana, quedando nuestro país durante la Edad Mo-
derna en un atraso científico innegable, mientras que
en Europa continúa la labor de progreso.
En cuanto a la Edad Contemporánea, es indiscuti-
ble que la cultura matemática española la han eleva-
do maestros insignes, como Echegaray, Torroja, Gar-
cía de Galdeano, Rey Pastor. Si estos matemáticos no
han ideado teorías nuevas en la Matemática, en cambio
han introducido. en España ramas enteras del Análisis,
que nos eran desconocidas, y conceptos geométricos
que ignorábamos, en conferencias, libros y revistas.
Los materiales para la formación de nuestra historia
de las Matemáticas, existen en abundancia y bastaría
un poco de buen deseo y otro poco de afición a las
investigaciones históricas a fin de poder reunir, en
plazo no lejano, un número extraordinario de mono-
grafías y de estudios que serían suficientes para que un
compilador de juicio sereno y desapasionado, formara
la historia de las Matemáticas en el suelo español.
Las traducciones y publicacioíies de Rico Sinobas,
las investigaciones de Saavedra, las observaciones y
trabajos del venerable maestro Codera y la labor de
bibliógrafos, como Lafuentc, Picatoste, Guillen Ro-
bles, etc., han aportado ya algunos datos al estudio
de la ciencia árabe española; pero son tan contados
los que como Saavedra han sido matemáticos a la vez
que orientalistas, que para adquirir noticias de las
obras que se deben a los árabes en general, y a los
musulmanes españoles en particular, hay que acudir a
los investigadores extranjeros, como Sedillot, Rosen,
Libri, Marre, Woepcke, Steinschneider, Martin, Zeu-
then, Nallino, Suter y Carra de Vaux.
Gracias a éstos hemos ido conociendo sucesivamen-
te: el Álgebra de M. Abenmusa Aljuarizmi (1), la Geo-
(i) F. Rossen: 7'/ie aloebra o/ A. //. Musa. Londres, 1831.
XV
metria de Alhacen (1), las tablas astronómicas de
Olug-Beg (2), la Aritmética de Beha eddiii el Aamu-
11 (3j, el Álgebra de Omar Aljayami (4), el Álgebra de
Alcarjí (5), la Aritmética del español Alcalsadí (6 , el
Taljis de Benalbanná (hijo de un granadino) (7), tra-
ducciones árabes de Euclides y Apolonio [8), la As-
tronomía de Albatenio (9), etc. Quedan sin embargo,
muchos manuscritos por traducir y muchos matemá-
ticos árabes por estudiar, cuya noticia se conserva en
obras bibliográficas, como la de Brockelmann (10), o
en los catálogos de las bibliotecas del British Museum,
de la Vaticana, de Leyden, París, Escorial, etc.
De los manuscritos árabes de esta última, hizo Ca-
siri (11 j un catálogo bastante extenso; algunos de ellos
han sido ya traducidos por la circunstancia de encon-
trarse copias de los mismos en otras bibliotecas euro-
(i) Traducida por L. A. Sedillot, Journal Asiatique. París,
1834. Pág- 435-
(2) Texto y traducción de L. A. Sedillot. París, 1839 {Pru!¿^ú-
menos, París, 1847; Notas, París, 1853).
(3) Edición Nesselmann, Berlín, 1 S43. Kdioión Marre, Xouv.
Aun. de Mat/i. Terquein, 1846.
(4) Traducción de Woepcke. París, 1851.
(5) Traducción de Woepcke. París, 1853.
(6) Traducción de Woepcke, Atti d¿ la K. Acad. di Nimvi
Lincei, 1859.
(7) Traducción de \\.a.s:Te, Journal d¿ Liouville, 1865, pág. 117.
(8) S^ oe-pc\iQ: Memoires des divers savants, touio XIV. París, 1856.
(9) Nallino: Al-battani sive Albatenii. Ofius astronomicuni. Ro
uia, 1899, 1903 y 1907.
(10) Geschichte der Araber Litteratur. "^e'nnsLX, 1898.
(11) Bibliotheca arábico-hispana escurialensií. Madrid, 1760,
xvl
peas, pero de la mayoría sólo se conocen el título y el
autor cuando más. De modo que la biblioteca del
EscQrial, con su centenar de manuscritos matemáticos,
lo mismo que la Nacional de Madrid e igual que al-
guna otra biblioteca particular, son todavía un terre-
no sin explorar, cuyo laboreo podría aportar a la histo-
ria general de las Matemáticas el fruto más halagador
para nuestra patria: el orgullo legítimo de reivindicar
para España la gloria de aquellos de sus hijos que en
los siglos niedios ejercieron sobre la ciencia europea
un influjo decisivo.
Para convertir en realidades estos anhelos, es preciso
que todos los convencidos aportemos, cada cual en su
terreno, los materiales necesarios, en forma de mono-
grafías, traducciones o estudios críticos. Entusiastas,
como el que más, de la historia de la Matemática, y
convencidos de la importancia de la hispano-musulma-
na, iniciamos nosotros con este modesto trabajo una
labor de investigación que procuraremos continuar en
la medida de nuestras fuerzas.
Algunos datos acerca del manuscrito, su autor
y su época.— El compendio de Álgebra de Abenbé-
der se contiene en el manuscrito 936 de la biblioteca
escurialense (fondo árabe), cuya descripción, por lo
que toca a sus caracteres extrínsecos, puede reducirse
a la breve nota siguiente: Es un manuscrito de cuaren-
ta y seis folios en caracteres árabes de tipo español,
probablemente granadino y con tinta negra el texto;
• ,N*'-J .veJ¿je)>ij
\. .* f^
■s '■ 1
J .M^^lCÍ^
jtr.f>'^
^■A. ;
.^''%r^ >^^/^^ ^^j>^'"i4
7>^-4
\"
0Í ^e ^Tdu,^ f^y^^ a^¿^^f;/c^^¿^^'^^^
Primera página del manuscrito
xVii
encarnada los títulos de los capítulos; cada página
cuenta 18 líneas. La fecha de la copia aparece en el
folio 46, V. y es: día 1 1 del mes de xagiiaL del ano 744
de la Héjira.
La nota de Casiri, referente a este manuscito, en su
Bibliotheca Arábico- Escurialensis , dice así:
"CMXXXL
Codex literis cuphicis exaratus, quo continentur.
1. Tractatus tripartitus, exaratus die 11 Schevali,
anno Egirae 744 Christi 1343 ubi de Logística, Apo-
logistica & Analogistica disseritur, hac inscriptione:
Algebrae et Comparationum Epitome: Hujus auctor
Abi Abdalla Mohamad ben Ornar, vulgo Ben Badr
Hispalensis, egregius quidem, sed incertae aetatis
scriptor...,,
El ya citado orientalista Suter, en su libro Los ma-
temáticos y astrónomos árabes y sus trabajos, cita a
Abuabdalá M. Benomar Abenbéder (1) y dice de éste
que es sevillano y autor del Compendio de Álgebra
que en el Escorial existe.
Esta afirmación de Casiri y de Suter acerca de la
patria de Abenbéder, a quien hacen sevillano, fué, sin
duda, el principal motivo que nos decidió a emprender
el estudio de su compendio de Álgebra. Sinceramente
debemos confesar, sin embargo, que no poseemos más
(i) Suter (Dr. Heinrich): Die Matheinatiker tmd Astronoiiien dei
Araber und ihre Werke. Leipzig, 1900, pág. 197.
XVIIl
datos que las noticias de Suter y Casiri, para suponer
que Abenbéder fuese español. Ni en las historias árabes
de las ciencias, ni en los diccionarios bio-bibliográfi-
cos de sabios españoles, africanos u orientales, que
hemos consultado, hemos tenido la suerte de encon-
trar dato alguno que permita identificar al autor de
nuestro manuscrito. Cuantas pesquisas hemos realiza-
do con igual fin, cerca de especialistas y bibliógrafos
extranjeros, han resultado estériles (1). Todo esto no
obstante, la letra del manuscrito, toda ella española,
así la del texto como la de las notas marginales que lo
glosan, revela que, al menos, en nuestra patria fue muy
utilizado como instrumento de aprendizaje matemáti-
co, y favorece, además, la sospecha de que español
debió ser también su autor, aunque carezcamos hoy de
datos que confirmen la aserción de Casiri y de Suter.
Respecto a la fecha del libro, tampoco podemos
fijar datos exactos. El explicii de la copia sólo nos
(i) En España existió un geómetra llamado Abenbéder, más co-
nocido por «el Euclides espafioj». En el primer momento creímos
que podrían ser una misma persona, pero esta sospecha hubo de ser
desechada porque el nombre de «el Euclides espaaob> es Abderrah
man Benismail Abenbéder (j^ ^J sjjxoiual ^J si«AjJ| ¡ajC).
Cabría, sin embargo, suponer que nuestro Abenbéder fuese de su
misma familia o que, sin serlo, hubiera tomado por sobrenombre el
de aquel célebre geómetra.
Véase, respecto de este autor:
Casiri, I, 404.
El Quiftí, 225.
M. Asín: Abenmasan a y su escmla, 91.
Sáid, 855 y 857.
dice que el original no es posterior al año 1343 de la
era cristiana, y el hecho de citar en el texto a Abucá-
mil, es prueba de que Abenbéder fué contemporáneo
o posterior a aquel matemático (1).
La materia contenida en el manuscrito, comparada
con la de otros de Álgebra, tampoco permite deter-
minar la fecha del original, porque el libro de Aben-
béder tiene un carácter elemental, como ya lo indica
el título mismo de la obra, calificada por su autor de
compendio.
Una consideración de relativa importancia surge,
sin embargo, al comparar el libro de Abenbéder con
el Álgebra de Alcarjí, autor persa del siglo XI, tradu-
cida y publicada por Woepcke (2). Con esta traduc-
ción demuestra Woepcke que los árabes conocían el
Álgebra indeterminada, que sus trabajos en análisis
determinado, los basaban en los de Diofanto, y que
añadieron al Álgebra de éste, procedimientos nuevos
y problemas de grados más elevados; asegura tam-
bién (3) que no se conocía ningún otro manuscrito
árabe donde apareciesen problemas de análisis inde-
terminado. Ahora bien; nuestro manuscrito contiene
problemas, aunque muy sencillos, de este género, y,
por lo tanto, el tratado de Abenbéder, al confirmar la
aserción de Woepcke, nos revela que su autor, puesto
(i) Véase, más adelante, la nota 2, pág. 57 de la traducción.
(2) Extrait du Fakhri. París, 1853.
(3) Ibíd., págs. 3 y 72.
que conocía el Algebra indeterminada, debió ser un
matemático de los siglos XII o XIII (i).
Añadamos que, a guisa de apéndice, el manuscrito,
objeto de nuestro estudio, contiene (folios 47, r., a
49, V.) una archuza, es decir, un poema didáctico en
metro rechez, sobre Álgebra, cuyo autor (que no se
(i) Que el libro debió servir de texto, y que de él se hicieron
copias diversas, lo prueba la siguiente nota que existe al tin del
manuscrito:
TEXTO ÁRABE
OI9AI c*í|jJ| ^ ÍJÜ»9 8S>«)
&> ^Ijü aij vs^ ! ? ) laooJj
«ó« joüJ) (sic) 1p1^m<u ^¿9
^duijs &MÍ:^ vi^):^
íJJl ,sJ^9 »JJ ^i>Jl9
1H*i ia«^« U^9«9 \ii^J^ s^
8i&^9
(*) Cfr. Fr. Manuel P. Caátel;aiio.~,
drid, 1896, pág. 302,
TRADUCCIÓN
lie terminado la lectura de
este libro después de que lo ha-
bía comprendido mediante otra
copia y de haber corregido en
ésta lo que para mí era evidente
equivocación debida a corrup-
ción de la copia de la cual se
sacó ésta. Y esto [sucede] en el
día cuatro de Xagual del año 764.
Dice esto y lo escribe con le-
tra de su propia mano mortal el
siervo [de Dios] que reconoce
sus culpas y espera el perdón
de su Señor Abdesamad Aben-
saad Benabdesamad (¡Dios, el
Altísimo, le otorgue su gracia!)
En el barrio de la Sagena (*) del
Alcázar, dentro de la ciudad de
F"ez Alabado sea Dios
Ruegue Dios por nues-
tro señor y dueño Mahoma, su
profeta y siervo.
AJtosíolado seráfico en Marruecos. Ma-
■ (^^(O
i^'^
.>f:
Or .-' ^ = .J^i.C-O'ljk-i
Última página del manuscrito.
XXI \
consigna) se ha inspirado en las lecciones de un Mo-
hámed Benalcásem (matemático para nosotros desco-
nocido) y en el compendio de Abenbéder. Esta cir-
cunstancia confirma la difusión que el compendio de-
bió tener, ya que se le utilizó como fuente de un poema
didáctico.
Pero hay otro indicio más del valor que a su doctri-
na se le concedía, ya que consta que perteneció nuestro
manuscrito a la biblioteca particular del Sultán de Ma-
rruecos. En efecto, en la portada del manuscrito, sobre
el título, a la parte superior izquierda del folio, se lee
en letra de tipo granadino:
SJ^3«J) SJ4jXol
(Para el siervo de Dios Ahmed Almansur, príncipe'
de los creyentes, descendiente de dos príncipes, cali-
fas y sultanes.)
De esta nota se infiere que este manuscrito fué ad-
quirido para la biblioteca particular del Sultán de Ma-
rruecos, Abulabás Ahmed Almansur, hijo de Mohá-
med, hijo de Alhasán, que ocupa el lugar quinto en
la dinastía hasaní y reinó desde 986 (1578) a 1012
(1603) (1).
(i) En la misma portada existen otras anotaciones de menor im-
portancia, que son las siguientes:
Bajo el título y en letra de otra mano:
(No hay más que un solo Dios. Máhoma fué su enviado. Moisés, su
XXII
Para terminar, y por lo que pueda servir como con-
tribución a la historia del origen y evolución de las
cifras, haremos constar que el manuscrito lleva tres
foliaciones distintas: la primera es de la misma época
del manuscrito y hecha por su copista; la segunda, de
fecha posterior, es muy interesante para el fin indica-
do, y la tercera, relativamente moderna (en ella se
emplean los símbolos actuales), no tiene ningún in-
terés. Esta tercera está equivocada porque al primer
folio del libro le asignaron el número 2, pero a esta
foliación nos referimos para que el lector pueda cote-
jar el manuscrito sin necesidad de hacer la reducción
al folio expresado en caracteres literales.
La primera foliación está hecha con las letras del
alfabeto árabe, asignando a éstas los valores numéricos
que tradicionalmente consignan las gramáticas; debe
observarse que la letra de las decenas se escribe a la
derecha de la letra que representa las unidades.
interlocutor. Jesús, espíritu de Dios. Mahoma, amigo de Dios.
Abraham, intimo de Dios.)
Debajo y de otra mano:
SU s-*.e^jJ| iaoc BiUoixi sDI ¡d^ S^le ^ ^ &JJ1 "^^4 ÍUo
«JU (^n1o)9 )M sil] «oÁ^J s^«&jJ| ::m£ "^ :a«A-o
(Regalo de parte de Dios, en mano de su propietario el siervo de
Dios —¡glorificado sea! -Abderrahman, hijo de Mohámed, hijo de
Abderrahman. ¡Dios le sea propicio y le proteja!)
Debajo, en letra española del siglo xviii:
Abi Abdalla Mohamad hen Hotnar Bazar. Algebra. - Sine .Kra,
sed tnaone antiquitatis .
Debajo, de otra mano:
Año de la E°ira "¡44, en el mes de Scke'ival.
XXIII
La segunda foliación emplea signos especiales pare-
cidos a los del manuscrito de Abenpascual (1), ya es-
tudiados por Codera en la edición de la Assila, pero
con algunas variantes. Para darlas a conocer, presen-
tamos a continuación el facsímil de las tres distintas
foliaciones. En él se observará que en la segunda folia-
ción del manuscrito el signo de las decenas se escribe
a la izquierda del signo de unidades, al contrario que
en la primera foliación; pero en ambas los signos de
decenas no son iguales a los de unidades, y, por lo
tanto, no existe valor relativo en los signos de la nu-
meración.
(l) Aben-pascualis Assila, edición Codera (Ribliotheca arábico-
hispana, tomo II, prefacio, pág. x).
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c?r 2t7
Facsímil de las foliaciones.
xxy
La edición. — Hemos procurado que fuese paleo-
gráfica, y las libertades que nos hemos tomado vienen
a ser las mismas que se acostumbran a observar en
esta clase de trabajos, es decir, que no se conservan
aquellas grafías que son exclusivamente occidentales.
Así, pues, hemos sustituido el ^ por el sj, el ^ por
el s¿, el ^ final por el I, hemos unificado la grafía de
la voz jS> y hemos puesto siempre el >■ en las palabras
f^^ÍA <Úm >|a4jj| /^ A'^\ gJ'^«i»o s~tÍVu>«
Entre corchetes hacemos la indicación de comienzo
de folio, conservando la foliación numérica, de las
tres que tiene el manuscrito, aunque ya hemos hecho
observar que no se corresponde con las otras folia-
ciones.
En la edición intercalamos entre paréntesis la indi-
cación del comienzo de los folios del manuscrito que
hemos utilizado.
La traducción. — Hemos tendido a sujetarnos en
lo posible a la letra del texto, pero modificando o
ampliando su sentido estricto, cuando la versión li-
teral resultase ininteligible. Sin embargo, cuando he-
mos creído necesario introducir algunas palabras, las
incluímos entre paréntesis [ ]; y si entendemos que
alguna palabra del texto árabe es superflua o no debía
existir, la conservamos en la versión, pero encerrada
en un paréntesis ( ).
De todos modos, la versión resulta oscura a me-
nudo; por eso, hemos puesto siempre al pie de las pá-
XXVI
ginas sobrias notas en las cuales reducimos a fórmulas
matemáticas con notación moderna, las teorías y cálcu-
los que el autor expone.
En la traducción señalamos entre paréntesis el co-
mienzo de las páginas de la adjunta edición del texto
árabe.
Resumen analítico del Álgebra de Abenbéder.
El libro de Álgebra de Abenbéder aparece dividido
en dos partes: la primera (folios 2, v. a 11, r.) com-
prende la parte teórica y la segunda (folios 11, r. al
final) es una colección de problemas que constituye la
parte práctica.
La parte teórica, como indica el autor en el folio
10, V., contiene 17 artículos así distribuidos:
I a VI. — Ecuaciones de primero y segundo grado.
VII a XII.— Operaciones con raíces.
XIII. — Multiplicación de potencias y regla de los
signos.
XIII bis. — Problemas del artículo anterior.
XIV y XIV bis. —Suma y resta de potencias.
XV.— División de potencias.
XVI. — Regla de los signos (es la segunda parte del
artículo XIII).
XVII. — Chéber y a Imocdbala .
Parte teórica: Entiende Abenbéder que el objeto
del Álgebra es la resolución de las ecuaciones, obte-
niendo el valor de una cantidad desconocida en fun-
ción de los datos, y teniendo en cuenta las relaciones
XXVII
que existen entre los datos y la incógnita o incógnitas.
Refiere los cálculos algebraicos únicamente a los
números, a las incógnitas, o raíces, y a los cuadrados
de dichas incógnitas. Según esto, no considera Aben-
béder más que las ecuaciones de primero y segundo
grado, pues aunque alguna vez la interpretación del
problema sea una ecuación de tercer grado, reduce
ésta a una de segundo por entrar la incógnita en todos
los términos; las ecuaciones bicuadradas las resuelve
tomando el cuadrado de la incógnita como incógnita.
Expone el Álgebra en forma discursiva y hablada,
sin el empleo de signos ni notaciones algebraicas, lo
mismo que los tratados conocidos de autores de los
siglos IX al XIV (1).
En la adición y sustracción de las cantidades alge-
braicas (folio 9, v.) hace observar que los términos
que se han de sumar o restar, han de ser semejantes
para que la operación pueda realizarse. Como ejem-
plos de sumas y restas que se pueden efectuar pone:
x^Ax=5x; 10x-^+10;c-^ = 20jc3; lOx— 6a:=4x
y como ejemplos de operaciones que hay que dejar
indicadas:
10a:^^+ 10 y'; 10 a: — 6 v.
Expone la regla de los signos de la multiplicación
(i) Woepcke descubrió la notación de los árabes de Occidente
en la Aritmética de Alcalsadí, compuesta hacia la mitad o segunda
mitad del siglo xv. De este tratado de Alcalsadí existe una copia,
incompleta al final, en la Biblioteca Nacional de Madrid. (Ms. nú-
mero CCCLXIV del Catálogo de Guillen Robles).
xxvin
(folio 8, r.), pero no sabe interpretar los números ne-
gativos y por lo tanto desconoce su existencia .
La primera potencia de una cantidad es la misma
cantidad; de modo que a la incógnita se la supone
siempre con un exponente igual a la unidad. El cua-
drado tiene por exponente, dos; el cubo, tres; la cuar-
ta potencia o cuadrado-cuadrado, cuatro, etc. Las po-
tencias de las cantidades no las enumera por sus res-
pectivos números ordinales sino que las denomina:
incógnita, raíz o base,
cuadrado,
cubo,
cuadrado cuadrado,
cuadrado-cubo,
cubo-cubo o cuadrado-cuadrado-cuadrado,
cuadrado-cuadrado-cubo,
cuadrado-cuadrado-cuadrado-cuadrado o cuadrado-
cubo-cubo,
Enuncia la regla de multiplicar potencias de la mis-
ma base, sumando los exponentes (folio 8, r.).
En forma de problemas da el desarrollo del cuadra-
do de un binomio y el producto de la suma de dos
cantidades por su diferencia, resultando:
(10 + x)2 = 100 + .^^ + 20 a:
(10 + x) (10 — a:) = 100 — x2
y propone el problema de multiplicar los dos polino-
mios
XXlX
(10 + a: + x^ + X-''), (10 --X r X' -f- 3 x-'-j
cuyo producto no obtiene, pero indica que se llega a
él fácilmente con sólo miardar el orden de los nú-
t3
meros.
Estudia la división de monomios, en cuya práctica
divide los coeficientes y resta los exponentes.
No menciona la potenciación de cantidades alge-
braicas, y sin embargo dedica un capítulo a las raíces
cuadradas de dichas cantidades y al cálculo de radi-
cales. En este cálculo, sólo considera raíces cuadradas.
La regla para multiplicar o dividir una raíz por un
número, consiste en elevar al cuadrado el número, y
extraer la raíz del producto o del cociente de la canti-
dad subradical por el cuadrado obtenido.
La adición y sustracción de raíces está contenida en
dos capítulos, y su estudio es análogo al de otros au-
tores árabes (1).
Suele decirse actualmente en los libros elementa-
les de Algebra que estas operaciones se realizan sólo
cuando los radicales son semejantes, y se dejan in-
dicadas en el caso contrario. Esto no obstante, se
explica fácilmente que los árabes estudien la suma
y la resta de las raíces, principalmente, porque como
obtienen las raíces de modo aproximado, sustituyen
las raíces por números que se aproximan a aquéllas
con una aproximación suficiente para las aplicacio-
(i) Véase, por ejemplo, Alcarji, edición Woepcke, folio i6 v.
XXX
nes prácticas de la época. Abenbéder efectúa la suma
y la resta de raíces en general, de un modo sencillo,
que consiste en desarrollar el cuadrado de la suma
o la resta y extraer después su raíz; así presenta entre
otros ejemplos los siguientes:
I "9 + V~4 = VWTTVly = K 25;
2 V^ + 2 V^ = y 80 + 20 + 2 K 80x20 = /TSÓ^
YYO — |/ 5"= V 25-2 Vm = / 5]
2/20-2 Vl> = VSO — V 20 = / 20.
Se ve en estos últimos ejemplos que escoge los nú-
meros de tal modo, que si los datos de la operación
son, V. gr., M, N, la cantidad ^M N es un cuadrado
perfecto; pero si en la práctica M N fuera un número
sordo, se sustituiría por su valor aproximado, efec-
tuando así la adición y sustracción de raíces cuadra-
das cualesquiera.
En la multiplicación de raíces cuadradas presenta
como ejemplos:
3/5 X 2/ÍO = V45xV40=Vl806;
/ 5 X 4 = /¥ X K l6 = VSÓ.
Estos ejemplos nos permiten inferir que Abenbéder
conoce la necesidad de reducir los radicales al mismo
índice para multiplicar después los radicandos.
Otro tanto puede decirse de la división, en la cual
divide los radicandos cuando dividendo y divisor son
XXXI
raices cuadradas; pero si uno de ellos es un número,
lo expresa previamente en forma de raíz cuadrada; así
por ejemplo:
y^i| = l/looyi| = \/
10 :\/ l^ = Vm:\/ l^-\/ 66|^;
2/20:y]/ 10 = V80:\J ^=^V'32.
Tanto en la multiplicación como en la división pue-
de observarse que, si ios radicales están multiplicados
por un factor numérico, el autor lo introduce debajo
del radical antes de realizar la operación.
Aunque ¡a voz Álgebra se deriva únicamente de
alchéber, es costumbre ver designados los libros ára-
bes de Álgebra con el título de Libro de chéber y al-
mocábala. Estos dos nombres árabes designan las dos
operaciones necesarias para la resolución de ecuacio-
nes. La operación de chéber (folio 10^ v.) equivale a la
transposición de términos, y la operación de almocá-
bala es la reducción de términos semejantes (folio
10, V.). Chéber, según el autor (folio 23, v.), es tam-
bién multiplicar o dividir una cantidad algebraica por
el número necesario para que su coeficiente sea la uni-
dad. Por esto emplea (folio 25, r.) el sinónimo com-
pletar. Hacer o aplicar la operación de almocábala es,
además (folios 29, v. y 41, r.), igualar una cantidad a
otra y verificar las operaciones necesarias para sacar el
valor de la incógnita. Por lo tanto, aplicar el chéber y
el almocábala, es resolver la ecuación.
XWIt
Chéber es a veces, por antonomasia, todo el arte
del Álgebra d).
En el estudio que hace Abenbéder de las ecuacio-
nes no aparecen éstas clasificadas por grados, puesto
que el orden en que las presenta es el siguiente:
Cuestión 1/ ax- -^ bx.
2/ ax^-^^c.
3/ bx^c.
4/ ax- r bx = c.
5/ ax- -\- c -= bx.
„ 6^ ax- = bx -^ c.
La ecuación que hemos llamado primera, acostum-
bra a resolverla dividiendo los dos términos de la ecua-
ción por X. Estudia, por consiguiente, la ecuación de
primer grado en las cuestiones 1/ y 3.^; para resolver
dicha ecuación da la regla de dividir el coeficiente del
término de menor grado por el término de grado ma-
yor. Así resuelve:
Folio 2,
V,
x^
= 10 a:; x= 10; a:- = 100.
,. 3,
r.
x-
T
= 10 a:; a: = 20; a:2 = 400.
« 3,
r.
X- -
1
= 9x; a: =6; x^ = 36.
„ 11,
V.
5x-
= 40a:; a:= 8.
„ 3,
V,
3a:
= 45; a:=15; a:- = 225.
(i) Véanse las páginas 23 (nota 3) y 24 (nota) de la traducción,
en las cuales ampliamos algunos detalles referentes a la interpreta-
ción dada por varios matemáticos, de las voces chéber y altnocábala.
XXKllt
Folio 3, V. ^x=\0; x = 20; a:^ = 400 (1).
Folio 12, r. 5 a:= 10; x=2.
La ecuación de segundo grado, que hoy expresamos
bajo la forma ax- -j- bx -{- c=0, no la tiene en cuenta,
porque sus raíces son negativas y ya hemos dicho que
el autor no sabe interpretar esta clase de números.
La ecuación de la forma ax- -{- bx =^ c €is la llama-
da cuestión 4.^
La ecuación de la forma ax- + í: = ¿a: es la llama-
da cuestión 5/ y Abendéber tiene presente los dos
valores o raíces de la ecuación.
La ecuación de la forma bx ^ c = ax- es la llama-
da cuestión 6.^
Las ecuaciones incompletas que estudia son:
ax- — bx=0; ax- = bx (cuestión 1 /)
ax- — c =0; ax- = c (cuestión 2/)
bx — c = 0; bx = c (cuestión 3/)
pero no indica las ecuaciones
ax- -^ bx=0; ax- + c = O ; ax- = 0; bx -}- c =
porque sus soluciones son cero o negativas.
La ecuación ax- = c la resuelve por la fórmula
X = V / — . En uno de los ejemplos que pone, resulta
la ecuación x- =■ 40, y dice Abendéber: "Como 40 es
™(i) Obsérvese que aunque se trata de ecuaciones de primer
grado, no prescinde nunca de señalar el valor del cuadrado de
la raíz.
G
ííxxiV
número sordo, la raíz es 6 -r -ñ aproximadamente,, (1).
o
La primera ecuación completa de segundo grado
estudiada por Abenbéder en su libro, es la ecuación
ax- -\- bx — c = O,
bajo la forma
ax- -\- bx = c.
Para resolver esta ecuación, comienza por preparar-
la para que quede de la forma
x-i-px = q,
si el coeficiente del término de segundo grado es
distinto de la unidad. Así vemos (folio 4, r.) que las
ecuaciones
2x'-\-20x=78 y 4- ■^' '^ 5 X = 19 4-
-' 2 2 ■
las convierte en la
a:2 + 10;c=39
la cual está resuelta en el folio citado 4, r.
Una vez puesta la ecuación en esta forma, la resuel-
ve aplicando la fórmula
M i^f
^-l
(i) La denominación de núuierjs sordos a los que no son cua-
drados perfectos, va cayendo ya en la actualidad en desuso, pero
se ha conservado hasta hace pocos años, como término técnico de
uso corriente; por esto resulta interesante ver una denominación
tan especial entre los árabes y ver cómo ha pasado a nosotros por
medio de uua traducción literal de la palabra asam = sordu.
Véase más adelante, pág. 5, nota 4.
XXXV
De esta manera obtiene:
(folio 4, T.)x= 3 de la ecuación x- ^ 10 a: = 39.
(folio 12, V.) a: = 6 de la ecuación x- -\- 9 x =90.
Estudia después !a ecuación de segundo grado de
la forma
ax- -\- c = bx
transformándola, para resolverla, en la
X- + (l=px
y aplica la fórmula
2±
\/(fr-^
para hallar los valores de la incógnita.
Por este medio encuentra para la ecuación
x-' + 21 = \Qx
los valores
x, = 7 y x., = 3.
Pero no sólo explica Abenbéder esta doble solu-
ción, sino que además en el caso presente (folio 4, v.)
hace una discusión bastante completa de la ecuación
de segundo grado.
Finalmente, expone (folio 5, r.) la ecuación de la
forma
ax- ^= bx -^ c
que reduce a la forma
x-=px^q
para aplicar después la fórmula
-f+V'(2-)+^-
Xxxvi
De este modo resuelve las ecuaciones siguientes:
(folio 5, r.) 3 a: 4- 4 = x-; a: == 4
(folio 13, v.)x* = 4a:2— 12; y '- = 4 y + 12; y =6.
En resumen, las únicas ecuaciones de segundo gra-
do contenidas en este libro son:
ax- -{- bx= c (cuestión 4.^); x- ^ px = q
ax- -fe ^ bx (cuestión 5/); x- -^ q =z px
ax- ^^ bx^ c (cuestión Q.^)\ x- ^ px -\- q
que corresponden a las
X- ~ px — q = O
X- — /7a: + ^ = O
X- — px — q = 0.
Si a éstas aplicamos la fórmula, conocida hoy, que
da el valor de las raíces, es decir:
P
x =
2) -^
2 -- V V 2
podremos observar que en la primera ecuación ('cues-
tión 4/i resulta un valor siempre positivo y otro valor
siempre negativo; Abcnbédcr, como hemos dicho, no
tiene en cuenta más que el signo positivo del radi-
cal. En la segunda ecuación (cuestión 5/j la fórmula
^^p ^.líp
r
2 — V ^2
puede dar dos raíces positivas; el autor tiene en cuenta
el doble signo; pero advirtiendo (folio 4, v.) que
si >q el problema es posible, obteniéndose una
solución si ^ es menor que \/ ( 9 ) — Q Y dos so-
XXXVfl
luciones si ~ es igual o mayor que W i ^-) — q\
si ^ =^ existe siempre la solución ;c= —;
y si ^ < ^ el problema es imposible (1).
En esta discusión presenta, pues, Abenbéder, las
soluciones positivas de la ecuación de segundo grado,
ignorando la existencia de las raíces imaginarias y
considerando imposible el problema cuando tiene so-
luciones negativas.
Por último, en la tercera ecuación (cuestión 6/), los
valores de x son uno positivo y otro negativo, por lo
cual sólo considera el signo más para encontrar la úni-'
ca solución positiva de la ecuación.
Con esto termina la parte teórica del libro objeto
del presente estudio.
Algunos tratados árabes de Álgebra (2), exponen en
la parte teórica algunas propiedades de las progresio-
nes y de algunas series particulares. Abenbéder, a pe-
sar de no incluir en esta parte el estudio de las pro-
gresiones, da al final una colección de problemas
cuya resolución supone un conocimiento bastante
completo de la teoría de progresiones aritméticas,
puesto que aplica las fórmulas que relacionan el pri-
(i) Véase más adelante, pág. lo, nota r.
(2) Véanse, por ejemplo, los de Ornar Aljayami y Alcarjí, tradu-
cidos por Woepcke,
XXXVIIl
mer término, el último, la razón, el número de térmi-
nos y la suma de éstos.
Tampoco en la parte teórica existe ningún capítulo
que haga sospechar que Abenbéder se proponga re-
solver el problema de los móviles ni problemas inde-
terminados. El problema de los móviles, lo plantea y
resuelve aplicándole exclusivamente a algunos casos
particulares sin la generalización con que se plantea
actualmente. Y los problemas indeterminados que pre-
senta son, desde luego, muy sencillos, porque dan lu-
gar a una ecuación con dos incógnitas o a dos ecua-
ciones con tres incógnitas.
Parte práctica: Como ya hemos dicho, la se-
gunda parte del compendio de Álgebra de Abenbéder
está formada por una colección de problemas que son
los que exponemos a continuación:
PROBLEMAS (1)
Folio 1 1 , r.: x- = 4 íc ( 10 — x)\ 5 X- = 40 a:
a:=8.
F.Ml,v. 16x2=100
(i) Puesto que nuestro objeto en este estudio preliminar es dar a
conocer al lector la materia contenida en el manuscrito, nos limitare-
mos aquí a exponer en general las ecuaciones a que dan lugar los
problemas y las soluciones dadas por el autor. En las notas al pie
de la traducción del manuscrito hemos insertado las observaciones
que sugiere la resolución de los problemas.
XXXIX
10— X
F.M2,r. — ^ = 4; 5x^10
X ^ 2.
F.° 12, V. .v^' = (10 — x) 9; x- ^- 9 a:= 90
x = 6.
F.°13, r. x(10 — x) = 21; x^' + 21 = 10 x
x, = 7 Xi = 3.
F.° 13, r. (x--' + 3) 4 = x' . x^; 4 x-' + 12 = (x^)'
x- = 6.
F." 13, V. X' + (10 — x)-^ = 82; x-' + 9 = 10 x
x=l.
F.M4, r. (10 — x)-^ — x-' = 80; 20x=20
x= 1.
F.° 14, V. X-' + (10 ~ x)-^ + (10 — 2 x) = 62;
;c2 -f 24 = 1 1 X ( condición x < ~^ )
x = 3.
F." 15, r. x2 + (10 — x)2 + (2x— 10) = 62;
x2 4-14 = 9x í condición x>-^j
x = 7.
F.° 15, V. ^!,^^^^r^^' = 26; x'^ + 16 x = 80
(10 — x) — X
x=4.
F.oi6,r. _^^(i0z:^^5 + l;
(10— x) — X 4
x2 + 52+4 = (20+ y)^
x=d.
XL
x = 7.
F.°16, V.
F.M7, V.
F.°18, r.
X
a:= 6.
10 — a: X 5 o , ion o^
77Í = -^ ; x- + 120 = 34 a:
X 10 — X 6
5x
10 — x
x = 4.
:2:= 10; 25x^:200
a: = 8.
F.«18,v. (^^-:2) + 5x
50;
A:2 + 100=(20 + y) a:
a:=8.
F.° 19, V. (x -T- 1) (x + 2) = 30; a:^ + 3 x = 28
x=4; x'- = 16.
F." 20, r. {X + 2) (a- — 1) = 18; x'- ~ x = 20
a:= 4; AC- = 16.
F.°20,v. (X — 2)(a:— 1) = 6; a:- = 3a:+4 ^
a:= 4; a:- = 16.
F.° 21 , r. ^ • ^' = a:-' -r 24; a:'-^ =y; y = 12 v^ 288
o 4
3/ = a:^ = 24.
F.° 21, V. (;^: -}- lj(^^'-|- l)=20; ^-^=3/; j/2+7v=228
_y = a:- = 12.
XLÍ
x-
F.° 21, V. x- . o = 4 a:-; x- =y; y- = \2y
y = Xi=\2.
F.°22, r. X-' {^ + 1^ = 5;c^'; x'^ =y\ y' = \2y
y = x^=\2.
F.°22,v. A-^^' = 2^:^ + 24; x''- =y; y' = Qy^72
y = x'=l2.
F.''22,v. p-(^' + 3)J = x-^; a:^=3/;
-V^' + 20 + l=(ll+l)3, .
3/ = x2 = 9.
F.° 23, r. (x-^ _ ^' _ :^^ _ 4)' = x^ + 12 ; x^ =3/;
^^ + 23 + ¿ = (24 + f)3.
j/ = a:^ = 24.
Este problema lo resuelve además por el procedi-
miento que sigue el autor árabe Abucámil, dando lu-
gar a la ecuación
12 , 108
y' = -c-y-h
5 -^ ' 5
_y = a:^' = 24.
1,11 ,,,1,111
XLII
^=5 + -^; ^^ = 28 + y•
F."25,r. x'.x = 3x'
x = 3; x' = 9.
F."25, V. íx-—^)3x = x'; 2 x^ ^^ x^; 2x=\
— 1 ■' — ±
X — ^•, X- — ^'
F.°26,r. ^'~^^ —=Ax\ a:^'=:16a'
x^ 16; a:-^ = 256.
F.-26. V. [x^'-^-^]-'=x- x-^=.y-y^={2-\-^)y
2 -,3,4 1
y = x^ = o-^-^-r^'^'
^•"2^'^- 2^ = T'-^ + 20x=.300
a: =10.
F.° 28, r. (x + ^ \ (x 4- 3) = 50; x^' + 3 a: = 40
a: = 5.
(Los cuatro problemas siguientes son indeterminados.) .
F.°29, r. jc2 + 5=y^
Para _y = A:-hl resulta a: = 2;
para y = x ^2 resulta x = -j-'
XLIII
Para _y = x — 1 resulta a: = 5 + -^ ;
pira j/ = x — 2 resulta x = 3-\--^'
F."30, r. X-' ^3x=y'.
Para y = x^l resulta a:=1;
para y = x ^ -^ resulta x — -^'
F."30, V. x-' — ^x=y-.
Para y = x — \ resulta x = %.
3.
F.°31,v. x2_^_ 3^. ^=^i+l_
F.° 32, r. 8 X - 11 = 20; x = 3 + y-
F.°32,v. 8x— 11 =0; x== 1 +^-
F.° 32, V. X — 34 = 80; X = 1 14.
F.°33,r. X + 3JC+ 12a= 16a:=-80; x = 5.
F."33,v. a: + (4x+1) + (12x + 6)-=17x + 7 = 58;
X = 3.
F.°33,v. a:-' + x4-3x = 32; a:= 4; x-^= 16.
F.°34,r. x^' + (x+l) + (3x + 7)=.40; a:^' + 4a:==32
X = 4; X-' = 16.
XLIV
F.°34,v. 20^3x=44; x=8.
F.° 35, r. 3 X -r ^ + — = 10 + 12 4- 4;
3 a:
4 / 4 \
+ 'o + ^ = (^+fr)
Xj^ = 6; Xo= 1 -J-
5 V ' 5
5
En este problema, x^ es la solución extraña intro-
ducida al multiplicar por la incógnita.
F.° 36, V. xy -■- 10 z — xz = (y — z) -\- 2 X — 10.
Para resolver esta ecuación indeterminada supone
el autor:
x=6, -2^=^ y resulta x=6,y=-^-^-^- — , z=-^-^ •
F.°37, r. (3 + Í)a:+(i+1)3/ = 50.
El autor da los siguientes valores:
. X... Ij 4^ 7¡ 10| 13|
y.... 3V 24^ 17^ loi 3J
El primer par de valores lo obtiene haciendo x= 1
y da por supuesto que lo general es que salga para y
un número entero; pero no indica cómo pueden ha-
llarse con seguridad las otras parejas de valores.
F.° 38, V. El primer término de una progresión arit-
mética es 2, la razón es 3 y la suma de los términos es
126. Se trata de hallar el número de términos.
x- + ^x= 84; x = 9.
o
F.°39, r. El primer término de una progresión arit-
.\LV
mética es 2, la razón es 3, se trata de hallar el valor
del término 10.° y la suma de los diez términos pri-
meros.
t^^^ = 29 5=155.
F.° 39, V. El último término de una progresión arit-
mética es 21, la razón es 2 y la suma de los términos
es 120. Se trata de hallar el valor del primer término
y el número de términos.
¿"j = 3 « = 10 (Véase en el texto la nota corres-
pondiente a este problema.)
F.° 40, r. El primer término de una progresión arit-
mética es 1, la razón es 1 y la suma de los términos es
diez veces el número de términos. Se trata de hallar el
número de términos.
x= 19.
F.° 40, r. El primer término de una progresión arit-
mética es 1, la razón es 1 y la suma de los n términos
2
ts ny^^ n. Se trata de hallar el número de términos
o
y su suma.
« = 3 5=6.
F.° 40, V. Un correo sale de un pueblo con la or-
den de caminar cada día 20 parasangas y viaja cinco
días; después se envía tras de él otro correo con la Or-
den de caminar cada día 30 parasangas. ¿En cuántos
días lo alcanzará?
x=lO.
F.° 41 , r. Un correo sale de una ciudad con la orden
xLví
de recorrer cada día una parasanga y aumentar una
más cada día; camina durante ochenta y cuatro días;
después se envía tras de él otro correo con la orden de
que recorra cada día una parasanga y aumente dos pa-
rasangas más por día. ¿En cuántos días lo alcanzará?
X = 204.
F.° 42, r. Dos correos salen de una misma pobla-
ción, en un mismo momento, con la orden, uno de
ellos, de que recorra cada día 20 parasangas y el se-
gundo que recorra cada día una parasanga y aumente
una parasanga por día. ¿En cuántos días lo alcanzará?
x = 39.
F.M2,v. x~\-9 = 2{x — 9y, x = 27.
F.M3,r. ;c4- 12 = 2;c— 12; x = 24.
F."43,v. y-^^ = x-{-^',y = x + ^'
Para x — 8 resulta v = 9;
para y — n resulta x=^n.
F.M4,v. y^z = 4x^
X -^ z —~ ly^
Este sistema indeterminado lo resuelve el autor su-
8 5
poniendo 2 = 3 y así resulta x = ^, _y = — •
F.°45,v. y^\ArZ = x \
x^\ 4-4 + z = 3 (3/ — 4)j
Este sistema lo resuelve el autor suponiendo z — 1
y resulta x= 12, _y = 10.
ícLvit
No daremos por terminado este prólogo sin antes
hacer constar que el estudio que hemos hecho del
Compendio de álgebra de Abenbéder es el fruto
de las investigaciones realizadas en el Centro de Estu-
dios Históricos bajo la dirección de los profesores don
Julián Ribera y D. Miguel Asín, sin cuyo auxilio, el tra-
bajo que hoy presentamos nos hubiera sido mucho
más enojoso y hubiera resultado más incompleto. Por
esta razón expresamos aquí el reconocimiento y la
gratitud a tan queridos maestros.
ERR\TAS DE LA TRADUCCIÓN
i'ág.
Línea.
Dice.
Debe decir.
17 2 de la nota (3) [/ 80 + 20 80
18 4 de la nota (i) de los factores
24
28
el signo
mismo; [te resul-
tará]
39
nota (2)
1 .\- — .V 2
10 — 2 X
40
9
más
42
3 delanota(2)
100 20 X
45
2 de lanota(i)
1 A- 2 200 X
47
1 de la nota (2)
{x+i)
59
2
2 de la nota
te te
78
.- i/
89
«5
Este el precio
112
'4
ocho incógnitas
/ 80 + 20 — 80
de los grados de los fac-
tores
[el signo]
mismo; será ciento; des-
pués multiplica el dos y
medio, que es una parte,
por sí mismo; [te resul-
tará]
lO.V
.V-
2 .V
— 10
y
100 -
— 20 .r
OX'
— 200 .1-
(X
-')
se te
= /"
Este es el precio
ocho (*) incógnitas
(*) [Nota al pie.] El manus-
crito, por error, dice oc/io, léa-
se ¿res.
THADUCCIÜN
Libro que contiene el compendio de alchéber y al-
mocábala compuesto por el maestro Abuabdalá Moha-
med Benomar Abenmohamed conocido por Abenbé-
der. ¡Dios esté satisfecho de él, Lo colme de satisfac-
ción y lo perdone!
En el nombre de Dios misericordioso y compasivo.
Ruegue Dios sobre nuestro Señor Mahoma y sobre su
familia .
Has de saber que el chéber gira alrededor de tres
cosas que son: cuadrados, números y raíces. La raíz es
aquello que al multiplicarlo por sí mismo [produce el
cuadrado], sea la unidad, o sea algo inferior a ella, es
decir, las fracciones, o sea algo superior a ella, es de-
cir, los números. El cuadrado es el resultado de multi-
plicar la raíz por sí misma El número es lo aislado, el
cual no se relaciona con la raíz ni [con] el cuadrado.
De estas tres clases de [cantidades], cuadrados, nú-
meros y raíces, cabe que cada una de ellas sea igual
a cada una de las otras dos y resultan tres cuestiones;
pero también cabe que cada dos de las tres sean igua-
les a la tercera, y entonces resultan tres cuestiones
también. Total, seis cuestiones (1).
(i) Las seis cuestiones a que se refiere este párrafo son las
ecuaciones siguientes:
ax* = bx ax- = c bx ^= c
ax^ -(- bx ■^= c ax^ + c = bx ax' = /;.\- -\- c
— 4
[Pág. 6] CUESTIÓN I'KIMERA: los CITADRADOS KU^AL A LAS
RAÍCES
Es como si se te dijera: an cuadrado es igual a diez
raices suyas. ¿Cuánto es la raíz y cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que dividas el diez de
las raíces por el número de los cuadrados, y lo que
resulte es la raíz del cuadrado; el cuadrado es el pro-
ducto de aquella raíz por sí misma. El resultado en
esta cuestión es: la raíz, diez; el cuadrado, ciento, que
es i;jual a diez raíces suyas, como se ha propuesto (1).
Si se dice: la mitad de un cuadrado es igual a diez
raices. ¿Cuánto es la raíz y cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que dividas el diez por la
mitad, te resultará veinte; este veinte es la raíz del
cuadrado, y el cuadrado es lo que resulta de multipli-
car aquella raíz por sí misma, que es cuatrocientos.
Medio cuadrado es igual a diez raíces del cuadra-
do entero, como se ha propuesto (2).
Y si se dice: un cuadrado y la mitad del cuadrado
es iguala nueve raíces suyas. ¿Cuánto es la raíz y
cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que dividas el número
(i) En cada problema resuello pondremos, desde ahora en ade-
lante, el planteo, la resolución y la prueba, sirviéndonos de los sím-
bolos actuales, pero siguiendo escrupulosamente la marcha del autor.
Con esto queremos conseguir dos objetos: i." Que el lector pueda
seguir la marcha del libro sin más que leer las notas. 2." Que se fije
la atención en la marcha de las operaciones que es a veces muy cu
riosa. Asi pues, .v* = lO v; .\ = lo, a* = lOO; lOO =; lO .v.
, , -V* I ., 400
(2) — = 10 .t; 10 : — = 20; X = 20; A- = 400; = 10. 2ü.
2 2 2
- 5 -
de las raíces por el número de los cuadrados; resultan
seis y eso es la raíz; y el cuadrado treinta y seis.
Cuando lo sumas con su mitad, tienes la suma cin-
cuenta y cuatro, que son nueve raíces del cuadrado,
como se propuso (1).
CUESTIÓN segunda: los cuadrados igual a los números
Como si se te dice: un cuadrado es igual a dieciséis
unidades. ¿Cuánto es la raíz y cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que dividas el dieciséis
por el número de los cuadrados y lo que resulta es el
cuadrado, que es dieciséis. La raíz es cuatro (2).
Y si se dice: la mitad [pág. 7] de un cuadrado es
igual a veinte unidades. ¿ Cuánto es la raíz y cuánto
el cuadrado?
Divide el veinte por el medio, te resultará cuaren-
ta, que es el cuadrado; la raíz es seis y un tercio apro-
ximadamente (3) porque el cuarenta es un número sor-
do (4).
36
(')
1
2
.v* = 9,v-; A-.v4=9.v; 9: —
2 2
■V-+ — = 54; 9X6:^-54.
2
(2)
x*=i6
.V —4.
(3)
— ^20
2
■v- =1 40 .V ^ 6 H •
3
(4) ^««ol ¡alaf (ádad asam) es , literalmente, número sordo,
como ya hemos dicho. Esta denominación ha sido de uso muy co-
rriente en España para los números que no tienen raíz exacta. Al-
gunos matemáticos árabes, como Benalbanná, designaban con el
nombre de partes sordas a los quebrados que no se pueden enunciar
- 6 -
CUESTIÓN tercera: las raíces igual a los números
Como si se te dice: ana raíz de un cuadrado es
igual a veinte unidades. ¿Cuánto es la raíz y cuánto
el cuadrado?
La operación para esto es que dividas el número
de las unidades por el número de las raíces y lo que
resulte es la raíz, que es veinte en este problema, y el
cuadrado es cuatrocientos (1).
Si se dice: tres raices es igual a cuarenta y cin-
co unidades. ¿Cuánto es la raíz y cuánto el cua-
drado?
Divide las unidades por el número de las raíces y
lo que resulte es la raíz única, que es quince; el cua-
drado es doscientos veinticinco (2).
Y si se dice: media raíz de un cuadrado, es igual
a diez unidades. ¿Cuánto es la raíz y cuánto el cua-
drado?
Divide el diez por el medio, resulta veinte, que es
la raíz; y el cuadrado cuatrocientos (3).
•U- J- J 1 r • I I I I I I I
O escribir por medio de las fracciones — ? — ? — i — > — i — i — i
2345678
I I
— 5 7 aisladas o combinadas.
9 10
( 1 ) A- =- 20 ; A- = 400 .
(2) 3 .v=-4S; A=^ = I5; .v2=, 52=225.
, , A- I
(3) — = I o; A- = 10 : — = 20; A-2 = 400.
2 2
— 7
CUESTIÓN cuarta; los cuadrados más las raíces igual a
LOS NÚMEROS
Como si se te dice: un cuadrado más diez raíces es
igual a treinta y nueve unidades. ¿Cuánto es la raíz
y cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que dividas por dos e
número de las raíces, [el resultado] lo multipliques [pá-
gina 8] por sí mismo y lo que resulte lo sumes con las
unidades; será sesenta y cuatro; toma la raíz de esto,
que es ocho, y resta de ella la mitad de las raíces; te
queda tres, que es la raíz del cuadrado, y el cuadrado
es nueve.
La comprobación de esto consiste en que sumes el
cuadrado, que es nueve, con diez raíces suyas, que
son treinta, y se obtiene el total, treinta y nueve, como
se propuso (1).
Si se dice: dos cuadrados más veinte raíces es
igual a setenta y ocho unidades. ¿Cuánto es la raíz y
cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que averigües siempre
cuál es la proporción (2) de un solo cuadrado con re-
lación al número de los cuadrados y tomes esa propor-
(!) .v2 + io.v = 39;,v = y (_^)-+39_^ = ,/¿^_5_3.
.v2 = 9; 9 4-10 . 3 :=39.
(2) El autor al áecir proporción, quiere indicar la relación entre
el coeficiente del término de segundo grado y la unidad. Es criterio
seguido por los matemáticos de la época transformar las ecuaciones
de segundo grado hasta darles la forma .v^+^.v — q =^ o o la
.V* — / X -\- <¡ =^ o.
ción respecto de las raíces y las unidades. Después
operas, como queda expuesto [en el problema ante-
rior]. La proporción [en el problema de ahora], un
cuadrado respecto de dos cuadrados, es la mitad;
toma, pues, de cada una de las cosas que tienes [uni-
dades y raíces] su mitad; y se convierten las veinte
raíces en diez raíces y las setenta y ocho unidades en
treinta y nueve. Es, pues, como si te hubieran di-
cho: un cuadrado más diez raíces es igual a treinta
y nueve, ¿cuánto es la raíz y cuánto el cuadrado?
Opera, por consiguiente, como ya se ha dicho an-
tes (1).
Y si se te dice: medio cuadrado más cinco raices
es igual a diecinueve unidades y media. ¿Cuánto es la
raíz y cuánto el cuadrado?
La operación para esto es que digas: ¿por cuánto
algebrizaremos (2j medio cuadrado, a fin de que sea
un cuadrado? Esto se hace multiplicándolo por dos.
Multiplica, pues, todo lo que tienes por dos; te resul-
tará un cuadrado más diez raíces igual treinta y nue-
ve, ¿cuánto es la raíz y cuánto el cuadrado? Por lo
tanto, opera según lo que precede (3).
(i) 2 x- -\- 20 .V -■=^ 78. Dividida por 2 esta ecuación se trans-
forma en la anterior.
(2) Para que la traducción resulte lo más fiel posible nos he-
mos permitido inventar el verbo algebrizar para expresar la acción
Ae. aplicar los conocimientos del Algebra, o realizar las' operaciones
que se designan con la voz chéber.
(3) h 5.v= 19 — • Multiplicada por 2 esta ecuación se
2 2
convierte en la ya resuelta .v^ -|- 10. v =^ 39.
9 —
crESTióx ot'I^'TA: los cuadrados más los números igual
A LAS RAÍCES
Como si se te dice; un cuadrado y veintiuna uni-
dad es igual a diez raíces. ¿Cuánto es la raíz y cuán-
to el cuadrado?
La operación para esto es que halles la mitad de las
raíces, la multipliques por si misma y restes [pág. 9]
de lo que te resulta, las unidades; te quedará cuatro;
toma su raíz, que es dos. Si quieres, añade este dos a
la mitad de las raices, te resultará siete, que es la raíz
del cuadrado por vía de adición, y el cuadrado será
cuarenta y nueve. Y si quieres, disminuye el dos de la
mitad del diez, quedará tres, que es la raíz del cua-
drado por vía de disminución, y el cuadrado será
nueve (1).
Lo mismo que se dijo en cuestiones anteriores, ope-
rarás en esta cuestión cuando sé trate de más de un
cuadrado o de menos de un cuadrado, reduciendo
siempre los cuadrados a un solo cuadrado, y modifi-
cando las unidades y las raíces en aquella [misma]
proporción.
Sábete, también, que si multiplicas la mitad del nú-
mero de las raíces por sí mismo y lo que resulta es
mayor que el número de las unidades, el problema es
posible, y si lo que resulta es igual al número de las
unidades, el problema también es posible, siendo la
raíz igual a la mitad del número de las raíces; pero
si lo que resulta de la multiplicación de la mitad de
(i) .V- +21 =; lo .r;. .\==_L£ 4-
\/(v)'--
.r' = 7
2 ■' ' ~ '
- 10 -
las raíces por sí misma fuese menor que el número
de las unidades, entonces el problema no es posible
jamás (1). Compréndelo (2).
[Pág. 10] CUESTIÓN sexta: las raíces más los números
IGUAL a los CUAURAüOS
Como si se te dice: tres raices más cuatro unida-
des es igual a un cuadrado. ¿Cuánto es el cuadrado y
cuánto la raiz?
La operación para esto es que dividas por dos el
número de las raíces, que es uno y medio, lo multi-
(i) Este es el párrafo que contiene la discusión de la ecuación
de segundo grado y al que hemos aludido ya en nuestro prólogo al
hacer el estudio del manuscrito.
El cuadro esquemático es este:
Ecuación que se discute: .v^ -\-q^px; .v=r — i A/ — '/
2 Y 4
I Del problema del párrafo anterior se deduce:
el autor tiene en
cuenta las dos
f^V^
— '^q caso posible/
4 1 soluciones
2 V 2
sólo tiene en cuéntala
*' ~ solución positiva.
p- p
2. = q caso posible; a- ::= — •
4 2
3.° <C q caso imposible.
4
(2) Al margen del folio 4 v.°, en el cual se encuentra este pa-
saje, se consigna la siguiente nota:
«La razón de esto ya la ha mencionado' Euclides, donde dice: El
mayor de los paralelogramos apoyados en una misma recta, deficien-
tes en superficies semejantes a la del paralelogramo construido so-
bre la mitad de la recta, y situados semejantemente, es el paralelo-
— 11 -
pliques por sí mismo y agregues lo que resulte al nú-
mero de las unidades; tendrás seis más un cuarto. To-
marás su raíz, que es dos y medio, y agregarás a ella
la mitad de las raíces, tendrás cuatro, que es la raíz
del cuadrado; el cuadrado es dieciséis (1).
La comprobación de esto consiste en que sumes las
tres raíces con las cuatro unidades, será dieciséis, que
es el cuadrado, como se propuso.
De la misma manera, cuando se trate de más o de
menos de un cuadrado, lo reducirás siempre a un solo
cuadrado y también reducirás las raíces y los números
que con él van, en aquella [misma] proporción, ope-
gramo construido sobre la mitad de la recta y semejante a los pa-
ralelogramos deficientes.»
Esta nota es el enunciado de la proposición XXVII del libro VI
de Euclides.
Véase cómo hace la traducción de esta proposición el P. Pedro
de Ulloa, autor de la obra
«Elementos mathemati-
cos». Madrid, 1706.
Proposición XXVII. De
todos los paralelogramos
(A C D y A X Z) aplica-
dos a una misma recta
(AB)y deficientes en
figuras paralelogramas
(B C D y B X Z) seme-
jantes y semejantemente
puestas, es el mayor (A
C D) el que se aplicare a --.^^ .«
(A C) la mitad. /^---_¡/:--''
(,) 3.v+4=.vvv-=i+\/(j)%;=i+VF
+ 4
4 + a/6-L=| + .1=,,
2 y 4 2 2
16.
12
rando en esta cuestión como anteriormente se dijo.
Compréndelo.
Igual harás en estas seis cuestiones cuando se trate
de algo más que un cuadrado o de algo menos que
él, es decir, reduciéndolo a un solo cuadrado, y lo
que con él ya, reduciéndolo también, en aquella pro-
porción.
Y ten presente que la cuestión cuarta es aquella en
que están aislados (1) los números; la quinta, las
raíces; la sexta, los cuadrados. Si conservas bien en la
memoria este aislamiento no tendrás dudas acerca de
la anterioridad o posterioridad que corresponda a
cualquiera de estas cuestiones (2j .
CAPITULO DE LAS RAICES
Has de saber que las cuestiones de las raíces se re-
ducen también a seis capítulos: 1.° Multiplicación de
las raíces [por números]. 2.° División de las raíces [por
números]. 3.° Multiplicación de unas raíces por otras.
4.° División de unas raíces por otras. 5.° Sumar unas
raíces con otras. 6.° Restar unas raíces de otras.
(i) En el segundo miembro de la ecuación.
(2) El autor ha expuesto hasta aqui el modo de resolver las
seis ecuaciones suponiéndolas preparadas. Los capítulos siguientes
son independientes de la teoría de ecuaciones y al final dedica un
capítulo a las operaciones de chéber y alniocáhala que son las que
preparan una ecuación.
Esta manera de exponer parece original de Abenbéder, pues los
demás autores árabes comienzan, como se hace actualmente, por
las nociones de operaciones algébricas con cantidades enteras, frac-
cionarias y radicales, para entrar de lleno en el estudio de las ecua
ciones.
13 —
[Pág. 11] CAPÍT[TLo[s] DE LA MULT[P1.1CA(TÓX I)K LAS KVÍCLS
V DE SU DIVISTÓX
En cuanto al capítulo primero, que es la multiplica-
ción de las raíces [por números], es como si se te dice:
tres veces la raíz de diez, ¿qué número es?
La operación para esto es que multipliques el nú-
mero de las raíces por sí mismo y lo que resulte, por
diez; te resultará noventa. Ahora bien, la raíz de no-
venta es tres veces la raíz de diez, que es lo que se
buscaba. Compréndelo (1).
El capítulo segundo, que es la división de las raíces
[por números], es como si se te dice: los dos tercios de
una raíz de diez, ¿qué número es?
La operación para esto es que multipliques los dos
tercios por sí mismos, resulta cuatro novenos, y los
multipliques por diez, como se hizo antes, resulta cua-
tro y cuatro novenos; la raíz de cuatro y cuatro nove-
nos es, pues, lo buscado, o sea, los dos tercios de la
raíz de diez que se habían enunciado. Comprén-
delo (2).
Conforme a lo dicho en los dos capítulos anteriores
has de operar en la multiplicación y división de las
raíces [por números], es decir, que has de multiplicar
el número [factor o divisor] por sí mismo y lo que re-
sulte por el número al que se refiere la raíz. Lo que
resulte es lo pedido. Compréndelo.
(i) 3 (/io= 1/32. 10= [/' c)o.
14
CAPITULO DE LA MULTTPI-ICACION DE LAS RAICES
Cuando se te diga: multiplica la raíz de diez por la
raíz de cinco, la operación para esto es que multipli-
ques el cinco por el diez y extraigas la raíz de lo que
resulte; lo que [ésta] sea, [es el resultado que se bus-
ca], que [en este caso es lo que] se obtiene de multi-
plicar raíz de cinco por raíz de diez; que es raíz de
cincuenta (1).
(Pág. 12) Del mismo modo si se te dice: mallipli-
ca tres raíces de cinco por dos raíces de diez, dirás:
tres raíces de cinco, ¿qué número es? Te resulta raíz
de cuarenta y cinco. A continuación dirás: dos raíces
de diez, ¿qué número es? Te resulta [raíz de] cuaren-
ta. Equivale, pues, esto a si se te dijera: multiplica la
raíz de cuarenta y cinco por la raíz de cuarenta; toma-
rías la raíz de lo que resultara y lo que fuese [ésta, se-
ría el resultado que se busca], que es el resultado de
multiplicar tres raíces de cinco por dos raíces de diez.
Compréndelo (2).
Asimismo si se te dice: multiplica la raíz de cinco
por cuatro, la operación para esto es que multipliques
el cuatro, que no tiene nombre de raíz, por sí mismo;
resulta dieciséis. Después operarás corno anteriormen-
te, que es como si se te dijera: multiplica la raíz de
cinco por la raíz de dieciséis; multiplicarás cinco por
dieciséis, resultará ochenta. La raíz de ochenta es lo
buscado (3).
(i) /T^X /T= /ioX5= /50. _ _
(2) 3 /5"X2/io= /9^5X 1 /4 X ■0 =^/45 X/40
(3) l/7X4= /SX /4-= 1/5X16= /8o.
15 —
CAPITULO DE LA DIVISIÓN DE LAS RAICES
Cuando se te diga: divide raíz de veinte por raíz de
cinco, la operación para esto es que dividas el veinte
por el cinco y tomes la raíz de lo que resulte, que es
dos; esto es lo que resulta de la división de la raíz de
veinte por la raíz de cinco (1).
Del mismo modo si se te dice: divide dos raices de
veinte por media raíz de diez, la operación para esto
es que digas: dos raíces de veinte, ¿qué número es? Te
resultará raíz de ochenta. Después dices: media raíz
de diez, ¿qué número es? Resulta ser raíz de dos y me-
dio. Luego es como si se te dijera: divide la raíz de
ochenta por la raíz de dos y medio. Operarás como se
ha dicho antes; te saldrá raíz de treinta y dos, que es
lo que se buscaba de dividir dos raíces de veinte por
media raíz de diez (2).
[Pág. 13] Si se te dice: divide diez por raíz de ano
y medio, la operación para ello es la misma que antes
se explicó para las multiplicaciones, o sea, que multi-
pliques siempre el número que no está en forma de
raíz, por sí mismo. Después divide por el número cuya
raíz se toma, te resultará sesenta y seis y dos tercios.
Finalmente, la raíz de esto es lo que querías conocer.
Porque cuando multiplicas el diez por si mismo te re-
sulta ciento y es como si se te dijera: divide la raíz de
(i) /20: j/ 5^ ^/2o:5= ^4 = 2.
(2) 2 /¿^:^ l/i^= /8^: y-^= ^83: Y 2Í- =
V
80: 2 — = {/ 12.
2 ^ ^
- Ifi -
ciento por la raíz de uno y medio; ya que decir diez
es como decir raíz de ciento; opera, pues, según se ha
dicho anteriormente (1).
Del mismo modo si se te dice: divide la raíz de
cuatro Dor raíz de nueve, dividirás el cuatro por el
nueve, te resultará cuatro novenos. La raíz de cuatro
novenos es lo buscado, que es dos tercios. Comprén-
delo (2).
CAPITULO DE SI MAK KAICKS
Si se te dice: sama la raíz de nueve con la raíz de
cuatro, la operación para esto es que multipliques el
cuatro por el nueve, tomes dos raíces de lo que resul-
te, que es doce; después suma el nueve y el cuatro
con las dos raíces; tendrás veinticinco. La raíz de vein-
ticinco es lo que se busca (3).
Si se te dice: suma dos raíces de veinte con dos raí-
ces de cinco, la operación para esto es que digas: dos
raíces de cinco, ¿qué número es? Encontrarás que es
raíz de veinte. Después dirás: dos raíces de veinte,
¿qué número es? Encontrarás que es la raíz de ochen-
ta. Es, pues, como si se te dijera: suma la raíz de
veinte con la raíz de ochenta. Opera, por tanto, se-
gún precede; te saldrá raíz de ciento ochenta, que es
( 1 ) ' ° ■ A / I -^ — l^ 1 oo : A / 1 — = J/' 2uo : 3 = A / 66 — •
(2) /4: 1/"^= (/7T9= y-
(3) /9+/4=k' 2 1/9/4 + 9 + 4=1/9-^-4 + '2= 1/25.
- 17 —
lo que resulta de sumar dos raíces de cinco con dos raí-
ces de veinte (1). Compréndelo.
[Pág. 14] CAPÍTULO DE RESTAR RAÍCES
Si se te dice: resta la raíz de cinco de la raíz de
veinte, la operación para esto es que multipliques el
cinco por el veinte y tomes dos raíces de lo que resul-
te, que es veinte. Después sumarás el cinco con el
veinte y restarás de esta [suma] el veinte; quedará
cinco. La raíz de cinco es lo buscado (2).
Cuando haya más de una raíz o menos de una raíz,
operarás en la resta, reduciendo aquello [los datos] a
una sola raíz y operando según se dijo anteriormente.
Así, si se te dice: resta dos raíces de cinco de dos raí-
ces de veinte, harás la operación según antecede (3).
Compréndelo.
(l) 2 1/20 + 2 1/5 = 1/' 80+1/20=1/ 804- 204-2/ 80X20
— / 80+20+80= j/Tso.
(2) j/^ 20- 1/5=1/5 + 20-2 1/5X20= 1/5 +20- 20=/ 5.
(3) 21/20 — 21/5=1/80 — 1/20=1/80 + 20 - 2 l/8o><2o
= l/ 80+20 80=1/20.
El hecho de no sacar el factor común 2, se debe, sin duda algu-
na, a que esta simplificación exige el uso de los símbolos, no em-
pleados aún por Abenbéder.
18 -
CAPÍTULO DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS INCÓGNITAS, LOS
CUADRADOS, LOS CUBOS [dE ELLAs] Y LOS NÚMEROS EN-
TRE SÍ.
Advierte que al multiplicar incógnitas por números
resultan incógnitas, al multiplicar cuadrados por núme-
ros resultan cuadrados y al multiplicar cubos por nú-
meros resultan cubos. De modo que si multiplicas el
número por cualquiera de estas especies [de cantida-
des] el producto será de aquella misma especie.
Has de saber también que el producto de las incóg-
nitas por las incógnitas son [sus] cuadrados; el de las
incógnitas por los cuadrados, son [sus] cubos; el de
los cuadrados por los cuadrados son cuadrado-cuadra-
dos; el de los cuadrados por los cubos son cuadrado-
cubos, y el de los cubos por los cubos, cubo-cu-
bos (1).
[Pág. 15] Artículo. — Ten presente que el producto
de más por más es más; el producto de menos por
menos es más; el producto de más por menos es me-
nos, y el producto de menos por más es menos (2).
Todo lo que precede acerca de la multiplicación se
hace inteligible mediante esta regla que voy a formu-
lar, es decir, que supongas para la incógnita un expo-
(i) Este párrafo explica el producto de potencias de igual base.
Después del párrafo siguiente, el autor expone la regla de la multi-
plicación, indicando que el grado del producto es igual a la suma
de los factores.
-1- . -f- = +
(2) Es la regla de los signos ■
-. + =-
19
nente, para el cuadrado dos exponentes y para el cubo
tres exponentes.
Cuando hayamos de multiplicar entre sí algunas de
las tres cantidades mencionadas en estos tres casos u
otras compuestas de ellas, conocerás el resultado de
cada una de ellas sumando el exponente del multipli-
cando al exponente del multiplicador y la suma de los
exponentes se aplica a los tres casos anteriormente ci-
tados: si [lo que resulta] es un exponente, corresponde
a las incógnitas; [si son] dos exponentes, corresponde
a los cuadrados, y tres exponentes corresponde a los
cubos. Por tanto, si multiplicas cubos por cubos ten-
drás que sumar los exponentes de los cubos con los
exponentes de los cubos; te resultará seis; este seis es
el exponente del cubo-cubo. Del mismo modo, si mul-
tiplicas cuadrados por cuadrados, sumarás los expo-
nentes de los cuadrados con los exponentes de los
cuadrados; te resultarán cuatro, que es el exponente
del cuadrado-cuadrado. Asimismo, si el resultado de
la suma es nueve, éste será el exponente del cubo-
cubo-cubo, y si el resultado fuera diez, éste habría de
ser el exponente del cuadrado-cuadrado-cuadrado-
cuadrado-cuadrado, cinco [veces] en este caso, porque
el exponente de cada cuadrado es dos; o también pue-
des decir que es el exponente del cubo-cubo-cubo
multiplicado por una incógnita.
Ejemplo de esto. Si se te dice: multiplica veinte cu.
bos por veinte cubos, te resultará cuatrocientos; des-
pués suma el exponente de un cubo, que es tres, con
el exponente del otro cubo, que es tres; te resultará
seis; dirás ahora: la categoría seis es el cubo-cubo, y
si quieres puedes decir cuadrado-cuadrado-cuadrado,
porque cada cuadrado [pág. 16] tiene dos exponentes,
- 20 -
según antes dijimos, mientras que cada cubo tiene tres
exponentes. Así es que dirás: el resultado es cuatro-
cientos cubo-cubos o cuatrocientos cuadrado-cuadra-
docuadrados (1).
De la misma manera, si se te dice: multiplica veinte
cubo -cubos por veinte cubo -cubos, multiplicarás veinte
por veinte y sumarás los exponentes que corresponden
a los cubos, que son doce exponentes, porque el ex-
ponente de cada cubo es tres y aquello [los doce ex-
ponentesj es la categoría del cubo reiterado cuatro ve-
ces, o bien, la categoría del cuadrado repetido seis
veces, así es que dirás que el resultado es cuatro-
cientos cubo-cubo-cubo-cubos, y si quieres dirás cua-
trocientos cuadrado-cuadrado-..., repetido seis ve-
ces (2).
Así operarás en todos los demás casos de estas
especies en que el exponente es mayor. Comprén-
delo.
CAPÍTULO DE LOS PROBLEMAS DE ESTE CAPITULO [aXTEKIOk]
Si se te dice: multiplica diez unidades más una in-
cógnita por diez unidades más una incógnita, la ope-
ración para esto consiste en que multipliques las diez
unidades por las diez unidades; te resultará cien uni-
dades. Multiplica después las diez unidades por la in-
cógnita y las otras diez unidades por la incógnita; te
resultarán veinte incógnitas. Después multiplica la in-
cógnita por la incógnita; te resultará un cuadrado.
( I ) 20 -X^^ X 20 .t3 = 400 .v3 -r 3 =rT 40O X^ .
(2) 20 .v6 X 20 .v6 = 400 a'^ .
21
Tendrás así cien unidades más un cuadrado más vein-
te incógnitas (1).
Cuando se te diga: maltipUca diez unidades más
lina incógnitCc por diez unidades menos una incógnita,
operarás según precede y te resultará cien unidades
más diez incógnitas aumentadas y diez incógnitas dis-
minuidas y un cuadrado disminuido; las diez incógni-
tas aumentadas se destruyen con las diez incógnitas
disminuidas y te quedan cien unidades menos un cua-
drado (2).
Si se te dice: multiplica diez unidades más una in-
cógnita más un cuadrado más un cubo por diez unida-
des más una incógnita más un cuadrado más tres cu-
bos, hazlo según lo hiciste guardando los órdenes
de los números (3j.
[Pág. 17] CAPÍTULO DE LA SUMA DE LAS INCÓGNITAS, CUA-
DRADOS Y CUBOS, UNOS CON OTROS
Ten presente que la suma de incógnitas con incóg-
nitas, cuadrados con cuadrados y cubos con cubos, no
puede realizarse en ninguno de estos tres géneros [de
cantidades] sin que la unidad de aquel género sea
igual a la unidad del otro género.
Si dices [por ejemplo]: suma una incógnita con
cuatro incógnitas; si la incógnita primera es igual a una
(i) (io + x) (lo 4- .r) ^ lo . lo -(- 10 . -v -j- 10 . .V + x . x =
I OO -|- x'^ -f- 20 „T .
(2) ( 10 + .v) (10 — x) ^ 10 . 10 4- 10 . -T — 10 . -v — .r . .V ^
100 + 10 .r — \o x — .r* = 100 — x'^.
(3) Se refiere al siguiente producto de polinomios:
(.V3 + .v2 + .V + 10) (3 .V3 + .v2 + .V -r 10).
— 22 —
de las cuatro incógnitas, dirás que el resultado es cin-
co incógnitas; pero si no fuesen iguales a ellas dirás
que el resultado es cuatro incógnitas más una in
cógnita.
Del mismo modo, si se te dice suma diez cubos con
diez cubos, si cada uno de los diez cubos es igual a
cada uno de los otros diez cubos, dirás al sumarlos
que el resultado es veinte cubos; pero si no fuese así,
dirás que el resultado es diez cubos más diez cubos.
Y lo mismo en los cuadrados: cuando un cuadrado
sea igual a [otro] cuadrado, lo sumarás; pero si no
fuese igual a él, responderás [poniéndolos] separados.
CAPITULO DI- LA RESTA DE LAS IN'CtXiXITAS, CUADRADOS
V CUBOS, UNOS DE OTROS
Has de saber que la resta es semejante a la suma:
no se resta un género [de cantidad] de otro, sin que
sea igual a él.
Si dices [por ejemplo]: resta seis incógnitas de diez
incógnitas; si una de las incógnitas es igual a la otra,
el resto será cuatro incógnitas; mas si no es igual a
ella, el resto son diez incógnitas menos seis incógnitas.
Asimismo operarás con los cubos, con los cuadra-
dos y con todo lo que de este género se te ofrezca (1).
(i) La falta de símbolos le obliga a hablar de incógnitas igua
les y desiguales, es decir, refiriéndose a cantidades semejantes y no
semejantes. Por esto, realiza la sustracción en el caso íox -6 x^
:^ 4 A" y la deja indicada en el caso lO .v — 6 y, que es el caso de
incógnitas no iguales.
— 23 —
[Pág. 18] CAPÍTULO DE DIVIDIR LAS INCÓGNITAS, CUADRA-
DOS Y CUBOS, UNOS POR OTROS
Si se te dice: divide diez cuadrados por diez incóg-
nitas, dividirás el número de los cuadrados por el nú-
mero de las incógnitas y te saldrá uno; si quieres co-
nocer el género del cual es este uno, resta el exponen-
te de las incógnitas del exponente de los cuadrados,
el resto será uno, que es el [correspondiente al] grado
incógnita, y de este mismo género es la unidad de
aquella incógnita.
La comprobación de esto consiste en que multipli-
ques la incógnita por diez incógnitas; te resultará diez
cuadrados (1).
Asimismo, si se te dice divide cien cubos por diez
incógnitas, dividirás ciento por diez, resulta diez, que
conservarás en la memoria; después resta el exponen-
te de las incógnitas del exponente de los cubos; te
quedará el exponente de los cuadrados, lo cual es el
género de la especie de lo que se busca; por tanto, el
resultado de este problema es diez cuadrados (2).
Asimismo operarás en todos los casos de esta espe-
cie que se te presenten.
CAPITULO DEL CONOCIMIENTO DEL CHÉBER Y ALMOCÁBALA
La operación de chéber (3) es el aumento de todo
lo que está disminuido a fin de que no aparezca con
( 1 ) \o X- : \o X ^ X .
(2) 100 x"^ : 10 .V = 10 x"^ .
(3) A lo dicho respecto a la palabra chéber en el estudio pre-
— 24 —
el signo menos. La [operación] de almocábala (1)
consiste en restar cada especie [de cantidades] de sus
semejantes hasta que no haya en los dos miembros
dos especies [de cantidades] del mismo género.
Ejemplo: si se te dice cien unidades menos diez in-
Hminar que hemos hecho del manuscrito, podemos añadir las si-
guientes t>bservaciones:
Para Alcarjí (siglo xi) la operación de cheber es la transposición
de términos.
Para Benalbanná (siglo Xili) chéber es restauración, como opues-
to a la reducción de términos semejantes, pero considera indepen-
dientemente las operaciones llamadas de reintegración y de rebaja
que consisten en multiplicar o dividir un número por otro.
Para Alcalsadí (siglo xv), chéber significa en el lenguaje técnico
la acción de hacer desaparecer la partícula de la negación y lo que
a ésta sigue, transportando la cantidad al otro miembro conservan-
do la igualdad.
Y Behaeddín el Aamuli (siglo xvi) define la voz cheber diciendo
que «si un miembro de una ecuación contiene una negación se le
restaura sumando su igual con el otro miembro».
Carra de Vaux ha hecho un estudio interesante de la voz chébei
como opuesta a almocábala y como opuesta a la voz alhatt. (Véase
Bibliothéque mathématique de Enestrom, 1897, P^g- '•)
(i) Ampliando lo dicho anteriormente acerca de la palabra al-
mocábala hacemos también las siguientes observaciones:
Los autores que acabamos de citar, es decir, Behaeddín, Benal-
banná, Alcarjí y Alcalsadí usan todos la voz almocábala para expre-
sar la reducción de términos semejantes; pero lo mismo que Aben-
béder (véase, por ej., folios 29 v., 41 r.) emplean también alguna
vez el verbo cabalizar como sinónimo de igualar dos cantidades
para establecer una ecuación; y a veces dan mayor extensión a la
voz almocábala, haciéndola significar resolución definitiva de la ecua-
ción (véase folio 41 v,).
Así, pues, no es de extrañar que Chasles y Nesselmann sospe-
chen que la voz almocábala haya tenido entre los árabes un sentido
más extenso que el opuesto a oppositio. (Véase Bibl. math., Enes-
trom, 1895, pág. 120).
25
cógnitas es igual a setenta, habrás de algebrizar el
ciento con las diez incógnitas que tienen menos y re-
sultará cien unidades; añade a las setenta unidades las
diez incógnitas con las cuales algebrizaste el ciento;
quedará el setenta enfrente del cien; réstalo, pues, de
ciento; te quedarán treinta unidades igual a diez in-
cógnitas. Luego la incógnita es tres (1).
Si restásemos diez [incógnitas], iguales a este [tres],
de [pág. 19] ciento, quedarán setenta, que es igual a
ciento menos diez semejantes a aquella incógnita, que
es tres, como dijimos (2).
De esta misma manera harás en todos los casos que
se te ofrezcan de esta naturaleza, sean en más o me-
nos. Compréndelo.
Este es el complemento de los prolegómenos del
chéber. los cuales se reducen a diecisiete artículos:
seis de ellos son las seis cuestiones conocidas; los seis
segundos son los capítulos de las raíces; el artículo
decimotercero es el ya mencionado de la multiplica-
ción de las incógnitas, los cuadrados y los cubos [de
las mismas]; el artículo decimocuarto es el de la suma
y resta de ellos; el decimoquinto es la división de
unos por otros; el decimosexto es el del conocimiento
de la multiplicación del menos por menos, menos por
más y más por más, y el decimoséptimo es el conoci-
miento del chéber y almocábala que acabamos de
mencionar.
(1) lOO — lO X := 70; 100 ^=70+10 X; JOO — 70 := 10 X-
30== 10 .v; x = 3.
(2) Habrá observado el lector que en cada problema se dedica
un párrafo a la comprobación del mismo, sustituyendo el valor de
la incógnita para convertir la ecuación en una identidad.
'20,
CAPITULO ACERCA DE LA RESOLUClOX DE LOS SEIS PROBLEMAS
SOBRE LOS CUALES GIRA TODO EL CHÉBERI PROBLEMA PRI-
MERO (1).
El número diez lo divido en dos partes; multiplico
ana de las dos por sí misma; después multiplico una
de las dos por la segunda. El producto de multiplicar
ana de las dos partes por sí misma ha de ser igual al
producto de multiplicar las dos partes entre sí repetido
cuatro veces.
La operación para esto es que supongas una de las
dos partes como incógnita; quedará la otra parte diez
menos la incógnita. Multiplica ahora la incógnita por
sí misma, te resultará un cuadrado. Multiplica después
la incógnita por diez menos la incógnita, como se pro-
puso; te resultará diez incógnitas menos un cuadrado;
multiplica esto por el cuatro, pues ya se ha dicho que
el producto por sí mismo es igual a una parte por la
segunda cuatro veces. Te resultará cuarenta incógnitas
menos cuatro cuadrados igual a un cuadrado, como
se propuso. Aplica el chéber y almocábala; tendrás
cinco cuadrados igual cuarenta incógnitas. Divide
ahora las cuarenta incógnitas por los cinco cuadrados;
saldrá ocho, que es la parte que se multiplicó por sí
misma [pág. 20]; la parte segunda es dos (2).
La comprobación de esto consiste en que multipli-
ques el ocho, que es la parte primera, por sí mismo; te
(i) Es decir, problema relativo a la cuestión primera: ax^ = bx.
(2) A- ; I o — -v
x^; X (10 — .r)= 10 X — x'^; (lo x — .r'^) . 4^40 .r — 4^2
.v2 = 40 .V — 4 X-; 5 x^ =: 40 x; -v ^:=: 40 : 5 = 8 .
— 27 -
resultará sesenta y cuatro. Después, multiplica este
ocho por la parte segunda, que es dos, y tienes dieci-
séis; dóblalo cuatro veces, como se propuso, tendrás
sesenta y cuatro> que es igual que multiplicar el ocho
por sí mismo. Luego resulta ser el producto de una de
las dos partes por sí misma igual al producto de una
de las dos partes por la otra, cuatro veces.
Te he reducido, pues, este problema a la cuestión
de los cuadrados igual a las raíces, puesto que la in-
cógnita es la misma raíz. Este es el primero de los seis
problemas.
PROBLEMA SEGUNDO (1).
El número diez lo divido en dos partes; miiltipUco
el diez por si mismo y una de las dos partes [también]
por sí misma. El producto del diez por si mismo ha
de ser como el producto de una de las dos partes por
si misma, dieciséis veces.
La operación para esto es que supongas una de las
partes como incógnita, queda la segunda diez menos la
incógnita. Después vuelve al diez, multiplícalo por sí
mismo, será ciento. Multiplica luego la incógnita por sí
misma, resulta un cuadrado; multiplícalo por dieciséis,
serán dieciséis cuadrados igual a cien unidades. Divide
el ciento por dieciséis, resulta seis y un cuarto. La raíz
de seis y un cuarto es la parte primera, aquella que se
multiplicó por sí misma, esto es, dos y medio (2).
(i) Relativo a la cuestión segunda: a.x~ = c.
(2) .v; 10 — .V.
I
1 6 .v2 = 1 00; .v2 = 1 00 : 16 = 6 — ; .r ^ \ / 6 —
4 V 4
2 —
2
— 28 —
La comprobación de esto es que multipliques el
diez por sí mismo; [te resultará] seis [y un cuarto;
multiplícalo por] dieci[séis], será ciento, como se pro-
puso.
Te he reducido, pues, este problema a la cuestión
segunda de las seis cuestiones anteriormente citadas,
o. sea los cuadrados igual a los números.
[Pág. 21] PROBLEMA TERCERO (1).
El número diez lo divido en dos partes. Divido una
de las dos por la otra y resulta cuatro.
La operación para esto es que supongas una de las
dos partes como incógnita; te quedará la otra diez me-
nos la incógnita. Divide diez menos la incógnita, por
la incógnita [e iguala lo que] resulta [a] cuatro, como
se ha propuesto. Ya sabemos que cuando multiplica-
mos el resultado de una división por el divisor, reapa-
rece aquello que se ha dividido. Lo que resulta de la
división en este problema es cuatro; el divisor es la
incógnita; por lo tanto, multiplica la incógnita por
cuatro y serán cuatro incógnitas igual a diez menos
la incógnita. Aplica el chéber y almocdbala: tendrás
cinco incógnitas igual diez. La incógnita es dos, que
es una de las dos partes [del diez propuesto], y la par-
te segunda es ocho (2).
La comprobación de esto es que dividas el ocho,
(i) Relativo a la cuestión tercera: bx ■■^= c.
(2) =4;4.v=:^iO — v; 5 ,v = lo; .v = 2; lO —
- 29 —
que es una de las partes, por dos, que es la otra parte;
te resultará cuatro, como se había propuesto.
Te he reducido, pues, este problema a la cuestión
tercera, que es: las raíces igual a los números.
PROBLEMA CUARTO (1).
El número diez lo divido en dos partes; multiplico
una de las dos por si misma y la otra por nueve, y los
productos han de ser iguales.
La operación para esto es que supongas la parte
primera como incógnita y la otra diez menos la incóg-
nita. Multiplica la primera por sí misma, será un cua-
drado; multiplica diez menos la incógnita por nueve,
te resultará noventa menos nueve incógnitas. Tienes
en definitiva un cuadrado [pág. 22] más nueve incóg-
nitas igual a noventa.
Te he reducido, pues, este problema a la cuestión
cuarta de las seis cuestiones, [cuya regla práctica es]
que dividas por dos las raíces, las multipliques por sí
mismas, las sumes luego con las unidades, tomes la
raíz de lo que resulta por suma, que es diez y medio,
y resta de ello la mitad de las raíces; te quedará seis,
que es una de las dos partes, y la otra es cuatro (2).
La comprobación de esto es que multipliques una
(i) Relativo a la cuestión cuarta: ax- -\- éx =^ c.
(2) .t2 = (i o — .V) 9; .v2 =^90 — 9 .V; .V2 H- 9 .V = 90;
>-=V(i)^-i=[\/^-i]=
4 — = 6: 10 - -V =: 4.
22
— 30 -
de las dos partes por sí misma y la segunda por nue-
ve. Si son ambos [productos] iguales, has hecho bien
la operación; así, pues, multiplica el seis, que es el
valor de la incógnita, por sí mismo, y el cuatro, que
es el resto de diez, por el nueve que se ha mencionado;
encontrarás dos números iguales, como se proponía.
PROBLEMA QUINTO (1).
El diez lo divido en dos partes; malíiplico una de
las dos por la otra y resulta veintiuno.
La operación para esto es que supongas una de las
dos partes como incógnita, queda la otra, diez menos
la incógnita. Multiplica una de las dos partes, que es
la incógnita, por la otra parte, que es diez menos la
incógnita; te resultará diez incógnitas menos un cua-
drado igual al veintiuno que se ha propuesto. Aplica
el chéber y alniocábala; tendrás un cuadrado más
veintiuna unidades igual a diez incógnitas.
Te he reducido, pues, [este problema] a la cuestión
quinta de las sois cuestiones primeras, la cual resulta
con el aumento y la disminución; operarás según lo
que antecede, es decir, que dividas por dos las raíces,
las multipliques por sí mismas, restes de ellas las unida-
des y tomes la raíz de lo que resulta, que es dos; súma-
las con la mitad de las raíces; será el resultado siete,
que es una de las dos partes, y la otra parte es tres (2).
(i) Relativo a la cuestión quinta: ax^ + c = bx.
(2) -v (10 - -v) = 21; 10 .r — x^ = 21; X' + 21 = 10 -v;
'■■ = \/(vy-
'O
21 H = 7; 10 — .V
2
— 31 —
La comprobación de esto consiste en que multipli-
ques una de las dos partes por la otra como [pág. 23]
se propuso, y será el producto veintiuno.
Si quieres disminuye las dos unidades, que son la
raíz, de la mitad del número de las raíces, el cual es
cinco; te quedará tres, que es una de las dos partes-
y la otra es siete. Compréndelo (1).
PROBLEMA SEXTO
(2)
A un cuadrado le añado tres unidades; después mul-
tiplico la suma por cuatro y el resultado es igual al
producto del cuadrado por sí mismo.
La operación para esto es que supongas el cuadra-
do, que se ha dicho, como incógnita y le sumes tres
unidades; a continuación multiplica la incógnita más
tres unidades por cuatro, como se ha propuesto; el re-
sultado será cuatro incógnitas más doce unidades igual
a un cuadrado, que es el producto de la incógnita
por sí misma; opera, pues, según lo que se dijo
anteriormente en la cuestión sexta, o sea que halles
la mitad de las raíces y la multipliques por sí misma,
añadas el resultado a las unidades y tomes la raíz de
la suma, que es cuatro; suma después a ésta la mi-
(i) Como en este caso las dos raíces son positivas, obtiene el
segundo valor x" tomando el radical cor signo menos y resulta
(2) Relativo a la cuestión sexta: ax^ = bx -
- 32 -
tad de las raíces, será seis, que es el cuadrado igno-
rado (,1).
La comprobación de esto es que añadas al seis, que
es el cuadrado, tres unidades; te resultará nueve. Así
es que el producto de seis por sí mismo, que es el
cuadrado, es igual al producto de seis, que es el cua-
drado, más tres unidades por cuatro.
Y de este modo se operará algebraicamente en to-
dos los casos en que sea necesario para las operacio-
nes de las distintas especies de cálculo, si Dios quiere.
Hemos añadido, además, algunas cuestiones relati-
vas a las decenas, cuadrados y otras, que pueden ayu-
dar al estudioso en la práctica del chébet y, en ge-
neral, en todo lo que ocurra. Y en primer lugar [estu-
diemos el]
[Pág. 24] CAPÍTULO UE LOS PROBLEMAS SOBRE EL DIEZ
El diez lo divido en dos partes; multiplico cada par-
te por si misma, samo los dos productos y vale ochen-
ta y dos.
La operación para esto es que supongas una de las
dos partes como incógnita, quedará para la otra diez
menos la incógnita; multiplica ahora la parte primera
por sí misma, resulta un cuadrado. Multiplica la se-
gunda por sí misma y será cien unidades más un cua-
drado menos veinte incógnitas. Súmalos [ambos pro-
(l) X- -^y; (j -U 3) 4 =J^/2; 4 1, + 12 =;'2;
-fl2-f-2 ^(/,6_|_2 — 4 + 2 = 6.
Vít)'
- 33 -
duelos] según se ha propuesto; te resultará ciento más
dos cuadrados menos veinte incógnitas igual a ochen-
ta y dos. Aplica el chéber y almocábala; tendrás dos
cuadrados más diez y ocho unidades igual a veinte
incógnitas. Reduce ahora todo lo que tienes a cua-
drado único y tendrás un cuadrado más nueve uni-
dades igual a diez incógnitas. Opera según lo que se
dijo en la cuestión quinta y te resultará que una de las
dos partes es uno y te quedará para la segunda nue-
ve (1).
La comprobación de esto es que multipliques cada
parte por sí misma y las sumes; esto será ochenta y
dos, como se propuso.
PROBLEMA AXALOGO
Si se te dice: el diez ¿o divido en dos partes, multi-
plico cada parte por si misma, resto la menor de la
mayor y queda ochenta.
La operación para esto es que supongas la parte pri-
mera como incógnita, queda la segunda diez menos la
incógnita. Multiplica después la incógnita por sí misma
en cuadrado (2) y el diez menos la incógnita por sí
mismo; te resultará ciento más un cuadrado mencs
veinte incógnitas. Después resta lo menor [pág. 25] de
lo mayor, como se ha propuesto; queda ciento menos
veinte incógnitas igual ochenta. Aplica el chéber y al-
(i) .a-2 + (lo — .v)2 = loo + 2 A- — 20 v = 82;
2 A-2 4- 18 ^ 20 A-; X- -(- 9 — 10 A-; A- = 1.
(2) La frase multiplica?- en cuadrado, debe entenderse: multi-
plicar una cantidad por si misma para que resulte su cuadrado.
- 34 -
mocábala; tendrás veinte unidades igual a veinte in-
cógnitas. Opera según lo que antecede; te resultará
una de las dos partes uno y la otra nueve (1).
La comprobación de esto es que multipliques cada
parte por si misma, restes la menor de la mayor y
quedará ochenta, como se propuso.
PROBLKMA ANÍLOGO
Si se te dice: el diez lo divido en dos partes, multi-
plico cada parte por sí misma, sumólas y añado al re-
sultado la diferencia que hay entre las dos partes an-
tes de la multiplicación de cada parte por si misma, y
resulta sesenta y dos.
La regla para esto es que supongas una de las dos
partes como incógnita, queda la segunda diez me-
nos la incógnita; después multiplica cada parte por
sí misma, te resultará cien unidades más dos cuadra-
dos menos veinte incógnitas; añade luego al resultado
el exceso que hay entre la incógnita y las diez unida-
des menos la incógnita; este exceso que hay entre las
dos [cantidades] será, si pones la parte menor como
incógnita, diez menos dos incógnitas, y si pones la
parte mayor como incógnita, el exceso entre las dos
será dos incógnitas menos diez, porque has de res-
tar diez menos la incógnita de la incógnita; esta [ope-
ración] consiste en que algebrices el diez con la in-
cógnita disminuida y algebrices por lo mismo la in-
cógnita segunda de la cual has de restar; seguidamen-
(l) (lO - a)2 - .V- =100 — 20 .V = 80; 20 =- 20 x;
.V= I; 10 — A- ;= 9.
- 35 -
te resta el diez de las dos incógnitas, resultará dos in-
cógnitas menos diez. Si hubieras puesto [la incógnita
como] lo menor, el exceso entre las dos es entonces
diez menos dos incógnitas; añade esto al ciento más
los dos cuadrados menos veinte [incógnitas], te resul-
tará ciento diez más dos cuadrados menos veintidós
incógnitas igual sesenta y dos. Aplica el chéber y
almocábala; tendrás dos cuadrados más cuarenta y
ocho unidades igual veintidós incógnitas. Toma ahora
de todo lo que tienes su mitad y tendrás un cuadrado
más veinticuatro unidades igual once incógnitas.
Te he reducido [este problema] a la [cuestión] [pá-
gina 26] quinta. Así, pues, halla la mitad de las raí-
ces, multiplícala por sí misma, según lo que se dijo
en la cuestión quinta; resta de lo que resulte las uni-
dades, toma la raíz de lo que queda y réstalo de la
mitad de las raíces; te quedará tres, que es una de las
dos partes. No saldrá este problema sino con la dismi-
nución, porque lo que te sale en él es la incógnita y
hemos supuesto a la incógnita la parte menor. Por esto
no saldrá sino por la disminución. La parte segunda
es lo que queda de diez, o sea, siete (1).
Si hubiésemos puesto la parte mayor como incóg-
nita no habría salido [el problema] sino con el aumen-
to, porque el exceso que hay entre las dos partes es
dos incógnitas menos diez, como hemos dicho, y aña-
diendo esto al ciento más dos cuadrados menos vein-
te incógnitas, te resultaría noventa unidades más dos
cuadrados menos dieciocho [incógnitas] y esto suma
sesenta y dos; así resultará un cuadrado más catorce
unidades igual a nueve incógnitas. Halla la mitad de
(i) véase la nota i de la página siguiente.
- ,V, -
las raíces, multiplícala por sí misma, resta de lo que re-
sulta las unidades, toma la raíz de lo que queda y añá-
delo a la mitad de las raíces; te resultará siete, que es
una de las partes y la otra parte será lo que queda de
diez [o sea tres]. Este problema no sale sino con el
aumento, por el motivo que se ha expuesto antes (2).
HKOBLKMA AXAlüüü
El diez lo divido en dos partes, multiplico cada par-
te por si misma, sumo lo que resulta de esto, lo divi-
do por el exceso que hay entre las dos partes y resul-
ta veintiséis.
Pon una de las dos partes como incógnita, queda la
otra diez menos la incógnita. Multiplica cada una de
ellas por sí misma, resulta la suma dos cuadrados más
cien unidades menos veinte incógnitas; conserva en la
memoria esto; después multiplica el veintiséis por el
exceso que hay entre las dos partes que es diez me-
nos dos incógnitas, te resultará de [pág. 27] esto dos-
(l) .V2 i (,0-.v)2 =
= I OO ^- 2 .\- — 20 -V;
(lOO -f- 2 .v2 — 20 -V) -+-
f (lO 2 X) =
^= I lO + 2 .r2 — 22 .V -^ 62
2 .v2 -f- 48 = 22 .V;
X- + 24 = I I X,
= V 1 "
6 —
4
(2)
.V2 4- (,0 - .V)2 =
=^100-4-2 -V^ — 20 X;
( 100 -|- 2 x~ — 20 .v) -H
+ (2 .V - 10) =
= 90 -;- 2 .1-2 - 1 8 X = 62;
2 X- + 28 = 18 ;i-;
A 2 + 14 = 9 x;
10 -- .V =-7. .V ^= 7; 10 — .V ^= 3.
Las ecuaciones x~ -|- 24 = < r .v, .v^ -|- 14 =:^ 9 .v tienen cada una
dos soluciones positivas, pero las condiciones del enunciado des-
cartan una de las dos, y Abenbéder no hace más que dar la solu-
ción que cumple con aquellas condiciones, sin advertir que hay otra
37
cientas sesenta unidades menos cincuenta y dos in-
cógnitas igual a dos cuadrados más ciento menos
veinte incógnitas, porque cuando has multiplicado lo
que resulta de una división por el divisor reaparece la
cantidad del dividendo. Aplica el chéber y almocába-
la\ tendrás un cuadrado más dieciseis incógnitas igual
ochenta.
Te he reducido, pues, [este problemaj a la cuestión
cuarta. Haz, por consiguiente, la operación que se dijo
en la cuestión cuarta; te resultará la parte de la incóg-
nita cuatro, que es una de las dos partes, y la segun-
da parte seis (1).
Cuando multiplicas el seis por sí mismo, el cuatro
por sí mismo, sumas esto y luego lo divides por dos,
que es el exceso entre las dos partes, resulta veinti-
séis, como se había propuesto.
proble:ma axAlogo
Si se te dice: el diez lo divido en dos partí s, multi-
plico una de las dos por la segunda, divido lo que re-
sulta por el exceso que hay entre las dos partes, antes
de la multiplicación, y resulta cinco y cuarto.
La regla es que supongas una de las dos partes como
incógnita, quedará la otra, diez menos la incógnita.
Multiplica una de las dos por la otra, te resultará diez
incógnitas menos un cuadrado; este diez incógnitas
menos un cuadrado lo has de dividir por el exceso
(i) 26 (iO 2 .v) ;=^ 260 52 .V = 2 x" H- 100—20 .V;
I 60 t= 2 .A-2 4- 32 .\-; .V- I I 6 .V — 80;
,v ^^ 4; 10 — .V =- 5-
^8
que hay entre las dos partes, que es diez menos dos
incógnitas, si pones la parte menor como incógnita; y
si pones la parte mayor como incógnita, entonces es
el exceso entre las dos, dos incógnitas menos diez.
Ya sabemos que cuando multiplicamos lo que resulta
de la división por el divisor vuelve a salir aquello que
se dividió; por tanto, multiplica lo que resulta de la
división, que es cinco y cuarto, por el divisor, que es
diez unidades menos dos incógnitas, supuesto que po-
nes la parte menor como incógnita; te resultará cin-
cuenta y dos unidades y media menos diez incógnitas
y media incógnita. Esto es [pág. 28] igual al produc-
to de una de las dos partes por la otra, que es diez in-
cógnitas menos un cuadrado. Tendrás, después de al-
gebrizar, un cuadrado más cincuenta y dos unidades
y media igual a veinte incógnitas y media incógnita.
Divide, pues, por dos las raices y opera según lo que
se dijo en la [cuestión] quinta; te resultará por dis-
minución tres, que es una de las dos partes, y la par-
te segunda siete ;1).
Si multiplicas una de las dos por la otra y divides
lo que resulta por el exceso que hay enlre los dos nú-
ros, que es cuatro, resulta cinco y cuarto, como se
propuso.
Pero si añades la raíz, que es siete y cuarto, a la
mitad de las raíces, que es diez y cuarto, habrá de sa-
lir por valor de la incógnita diecisiete y medio (2).
De aquí se infiere que no resulta [este problema] sino
por disminución, cuando se pone la parte menor como
(t) Véase la nota i de la página siguiente.
(2) .v^io— +1/ (lo— )"— 52 — =10— f 7 — --- 17
<^ r \ 4 / 2 4 4
39
incógnita. Si pones la parte mayor [como incógnita],
el exceso entre las dos será dos incógnitas menos diez;
multiplica esto por cinco y cuarto; te saldrá diez in-
cógnitas y media menos cincuenta y dos unidades
y media [y esto es] igual al producto de una de
las dos partes por la otra, o sea, diez incógnitas me-
nos un cuadrado. Tendrás, después de algebrizar, un
cuadrado más media incógnita igual a cincuenta y
dos unidades y media. Opera según lo que se dijo en
la [cuestión] cuarta; te resultará el valor de la incógni-
ta siete, que es una de las dos partes, y la parte se-
gunda tres (2). Esto es lo que querias conocer.
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: el diez lo divido en dos partes, divido
cada nna de las dos por ¡a otra, sumo lo que resulta
de las dos divisiones y vale dos y un sexto.
La regla para esto es que supongas una de las dos
( I ) .V ( I o a) = I o v
I o .r — .r-
5-1
I o — 2 .r 4
504-2 10 A- A- =
2 2
^52 10 — X
^2 2
X- +52 ^20 A
2 2
4
= 10
2 I
52-=
10 — A- = 7.
(2) A (10 — a) = 10 A- — A-2
10 V A* I
=5 + -
I o — 2 A- 4
10 X — A' ^
^ 10 A-
2
'^T
A--H A= 52 —
2 2
■-=/(ir
52
2 4
4 4
— 40 —
partes como incógnita, queda la otra diez menos la
incógnita. Multiplica cada una de las dos por sí mis-
ma y suma los dos cuadrados (1), te resultará [pági-
na 29j cien unidades más dos cuadrados menos vein-
te incógnitas; después multiplica una de las dos par-
tes por la otra y lo que resulta por lo que salió de
la división de las dos, que es dos y un sexto; te re-
sultará veintiuna incógnitas más dos tercios de incóg-
nita menos dos cuadrados más un sexto de cuadrado;
esto es igual a cien unidades más dos cuadrados me-
nos veinte incógnitas. Algebriza con cada [término]
disminuido y reduce términos semejantes (2i, se-
gún se dijo; tendrás cuatro cuadrados más un sexto
de cuadrado más cien unidades igual a cuarenta y
una incógnitas más dos tercios de incógnita; re-
duce ahora todo lo que tienes a un solo cuadrado, lo
cual harás tomando de cada especie de cantidades que
tengas su quinto y el quinto de su quinto, y obten-
drás un cuadrado y veinticuatro unidades igual a
diez raíces. Opera según se dijo en la cuestión quinta;
te resultará una de las dos partes seis, y la segunda
cuatro (3).
(i) ^»Jj«J|.
(2) Aquí se ve que aliuocábala debe interpretarse como reduc-
ción de términos semejantes.
X I o — .V I
A-' -)- ( I o — -V)- 1 00 -f- 2 .V- — 20 .\- I
(10 — .v) v (10 — X) .V 6
2 o ' 2
I 00 -f- 2 A- — 20 .V = 2 I X H V — 2 X- — ,V '
3 6
I 2
4 x- H .v2 -(- 1 00 = 4 I A- -J x; [25 A- -\- 600 =^250 A-];
6 3
A"- + 24 = 10 X; X = 6-, 10 — A" ^^ ^.
— 41 —
Si ahora divides éste por aquél y aquél por éste, re-
sulta [por suma] dos y un sexto, como se propuso.
Solamente hemos operado de esta manera, porque
cuando uno de dos números se divide por el otro y
éste por aquél y se suman los dos cocientes, si luego se
multiplica cada uno de ellos por sí mismo y se suman
los productos, esta suma será igual al producto del pri-
mero por el segundo multiplicado a la vez por la suma
de los cocientes, como dice Euclides en su libro (1).
PROBLEMA A X A LOGO
Si se te dice; el diez lo divido en dos partes, divido
cada una de las dos por la otra, resto lo menor de lo
mayor y queda cinco sextos.
La regla para esto es que supongas una de las dos
parles como incógnita, quedará la segunda diez me-
nos la incógnita; multiplica cada una de las dos [par-
tes] por sí misma y resta lo menor de lo mayor. Te
quedan cien unidades menos veinte incógnitas. Mul-
tiplica después la incógnita por diez menos la incóg-
nita; te resultará diez incógnitas menos un cuadrado;
multiplica esto por los cinco [pág. 30] sextos restan-
tes, antes mencionados; te resultará ocho incógnitas
más un tercio de incógnita menos cinco sextos de cua-
drado igual a cien unidades menos veinte incógnitas.
Algebriza las ocho incógnitas más un tercio de incóg-
nita con los cinco sextos de cuadrado, resultará ocho
incógnitas más un tercio de incógnita, y habrás de
(i) Es decir iiue a- -|- b~ --^ ab ( - t- — ) es una identidad.
\ b al
— 42 —
aumentar los cinco sextos de cuadrado a las cien uni-
dades. Después algebriza las cien unidades con las
veinte incógnitas, sumándolas a las ocho incógnitas
más un tercio de la incógnita; tendrás veintiocho in-
cógnitas más un tercio de la incógnita igual cinco sex-
tos de cuadrado más cien unidades. Completa tu cua-
drado [para que] sea cuadrado [único (1) ], lo cual [se
realiza] multiplicándolo por uno y un quinto; multi-
plica, por tanto, todos los términos que tienes por uno
y un quinto; tendrás un cuadrado más ciento veinte
unidades igual treinta y cuatro incógnitas. Divide por
dos las raíces, multiplícalas por sí mismas, resta de lo
que resulta las unidades, toma la raíz del resto, que es
trece; réstalo de la mitad de las raices; queda cuatro,
que es una de las dos partes, y la otra es seis (2).
Si dividimos cada una de las dos [partes] por la otra
y restamos lo menor de lo mayor, quedan cinco sextos.
La razón de operar así se funda en que cuando uno
de dos números se divide por el otro y éste por aquél,
y se restan el menor del mayor, si luego se multiplica
(i) Quiere decir «jue el coeficiente de .v^ sea la unidad.
, . I O — .\- A- 5
(2) :=— ; lOO+.V^ - 20.V — .V-=^IOO^ — 20.V
v 10 — .V 6
100 — 20 .V 5 5
— -; (10 V .v~) — u^ 100 - 20 r
I o -r — .v 6 6
50 5 ^ o • 5 o
- — V — v- =^100 20 .V; 8 .V -A \- — x- = lOO — 20 .v:
6 6 36 . '
Sx-\ ,V = — .v2 4- I 00 — 20 .V; 28 V H .V = — ,V2 -f- I 00
36 36
28 .V -I- í .V + — X H .\- -I .V = .v2 -f- 1 00 4- 20
5 3 "5 ^______
.v2 í- 1 20 = 34 .v; A=^ — — 1/ (— ) — I 20 =17 — j/ 769 = 4
10 - .V = 6.
- 4a —
cada uno de los dos por sí mismo y se resta el resul-
tado menor del mayor, lo que queda es igual al pro-
ducto de uno de los dos por el otro, y después por
aquel resto de la división de cada uno de los dos por
el otro, como dijo Euclides en su libro (1).
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: el diez lo divido en dos partes, multi-
plico una de las dos por cinco, divido lo que resulta por
la segunda, tomo la mitad de lo que sale y resulta diez.
[Pág. 31] La regla para esto es que supongas una
parte como incógnita, queda la otra, diez menos la
incógnita. Multiplica una de las dos por cinco; te
resultan cinco incógnitas; si divides estas cinco in-
cógnitas por diez menos la incógnita y tomas la mi-
tad de lo que resulta, se tiene diez, como se propuso.
El total de lo que sale [en el cociente] es veinte. Cuan-
do multiplicamos lo que resulta de una división por el
divisor, reaparece el dividendo; multiplica, pue:, vein-
te por diez menos la incógnita; te resultará doscientos
menos veinte incógnitas, igual a cinco incógnitas. Al-
gebriza las doscientas unidades con las veinte incóg-
nitas, añadiéndolas a las cinco incógnitas; te resultará
veinticinco [incógnitas] igual a doscientas unidades.
La incógnita es, pues, igual a ocho, que es una de las
dos partes; la otra es dos (2).
(i) Es decir, que a- — b- =z ab {- ) es una i
\ t> al
(2) : 2 = lo; — — — 20
10— v 10 — -v
5 X = 200 — 20 .vj 25 a: — 200; .V — 8; 10 — .V —
dentidad.
- 44 -
PROBLEMA AXAlOOO
Si se te dice: el diez lo divido en dos partes, miiUi-
plico lina de las dos por cinco, divido lo que resulta
por la otra, tomo la mitad de lo que sale, lo añado al
resultado de multiplicar una de las dos por cinco y el
total es cincuenta.
La regla para esto es que supongas una parte como
incógnita, queda la segunda, diez menos la incógnita;
multiplica una de las dos por cinco, te resultará cinco
incógnitas. Si dividimos estas cinco incógnitas por
diez menos la incógnita, tomamos la mitad de lo que
sale y aumentámoslo a las cinco incógnitas, vale cin-
cuenta, como se propuso. Mas si restamos las cin-
co incógnitas de cincuenta, queda cincuenta menos
cinco incógnitas, que es la mitad de lo que sale.
El total de lo que resulta es ciento menos diez in-
cógnitas. Multiplícalas por diez menos la incógnita,
el resultado será igual a cinco incógnitas. El producto
de ciento menos diez incógnitas por diez unidades me-
nos la incógnita, es mil unidades más diez cuadrados
menos doscientas incógnitas; esto es igual a cinco
[pág. 32] incógnitas. Algebriza los diez cuadrados más
las mil unidades con las doscientas incógnitas dismi-
nuidas, sumándolas con las cinco incógnitas. Después
reduce tu cuadrado a cuadrado único, lo cual consiste
en que tomes de cada término de los que tienes su
décimo; tendrás un cuadrado más cien unidades igual
veinte incógnitas y media incógnita. Toma la mitad de
las raíces, multiplícala por sí misma, resta de ello las
unidades, toma la raíz de lo que queda, que es dos y
un cuarto, réstalo de la mitad de las raíces, la cual es
- 4fí -
diez y cuarto, y queda ocho, que es una de las dos
[partes]; la segunda [parte] es dos (1).
Si multiplicamos el ocho por cinco, dividimos lo
que resulta por el dos, tomamos la mitad de lo que
sale, que es diez, y lo añadimos al resultado de multi-
plicar el ocho por cinco, sumará cincuenta, como se
propuso.
Si en el principio de este problema no doblases el
cincuenta menos cinco incógnitas y las multiplicaras,
sin doblar, por diez menos la incógnita, pondrías lo
que 'te resultase enfrente de la mitad de cinco incógni-
tas y así saldría una de las dos partes, ocho, y la se-
gunda dos (2).
Si quieres, ya sabes que el producto de una de las
dos [partes] por cinco es cinco incógnitas; luego si di-
vidimos estas cinco incógnitas por diez menos la in-
cógnita, tomamos la mitad de lo que sale y lo añadi-
mos a las cinco incógnitas, resultará cincuenta. Si res-
tamos las cinco incógnitas de cincuenta, quedarán
cincuenta menos cinco incógnitas; estas cincuenta me-
nos cinco incógnitas representan el diez, que es la
^'> (to^^O ^S-=5°-' T^■•' = 5°-5■^•
- = 100— lO.V; I OOO -f- > o .v2 200.V:=5.V; I O .\- -f 1000^=205 .V;
.v"- + ioo = 2o .VH .V; .\- = ho I ) — 1/ ho H j — loo
(2) La ligera variante a que alude es
IToTTV '^) =50-5 ■^■; ^- =^ 500 - 50 A- — 50 .V + 5 .V-;
5 -V = 1000 — 200 .V + 10 A-; 10 A- -i- [OOO = 2O5 A'.
- 40 -
mitad de lo que sale de la división en el problema an-
teriormente citado que precede a éste. Duplícalo
ahora, como duplicaste el diez en el problema ante-
rior, y multiplícalo por diez menos la incógnita, po-
niendo enfrente de lo que te resulte cinco incógni-
tas, como hiciste en el problema anterior, y te resul-
tará una de las dos partes ocho y la segunda dos (1).
Entérate.
[Pág. 33] CAPÍTULO I)K I.(tS PR(JBI,KMAS DE LOS CUADRAnOS
Cuando se te diga: si multiplico la raíz de un cua-
drado más una unidad por su raíz más dos unidades
y su resultado es treinta.
La regla para ello es que tomes la raíz del cuadrado,
la cual es la incógnita; añádele después la unidad que
se ha dicho; luego, agrégale también a su raíz las dos
unidades que se han mencionado y tendrás una incóg-
nita más una unidad [multiplicado] por una incógnita
más dos unidades igual treinta.
Resta de éste las dos unidades; te quedará veintio-
cho igual un cuadrado más tres incógnitas. Opera se-
gún lo que antecede, es decir, divide por dos las raí-
ces, multiplícalas por si mismas, añádelas a las vein-
tiocho unidades y toma la raíz de lo que resulta,
que es cinco y medio. Resta ahora de ello la mitad de
(i) Es una aclaración del primer planteo coiuparándülo con
el del problema anterior, pues los planteos de ambos problemas
son:
I . ° . . . - - : 2 ^-: I O; 2 . " . . . — ^-^^ — : 2 = 50 — 5 -v.
10 — X 10 — a-
- 47 -
las raíces, queda cuatro, que es la raíz del cuadrado, y
el cuadrado es dieciséis (1).
La comprobación de esto es que añadas a la raíz del
cuadrado, que es cuatro unidades, las dos unidades
que se propusieron en el enunciado; después añádele
la unidad que también se propuso al principio de la
cuestión; multiplica después una de ellas por la otra;
será el resultado treinta, como se propuso.
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: un cuadrado cuya raíz más dos uni-
dades las multiplico por su raíz menos una unidad y
resulta dieciocho.
La regla es, según lo que antecede, que añadas a la
raíz del cuadrado las dos unidades que se propusieron
en el problema; después toma por segunda vez tam-
bién, la raíz del cuadrado [pág. 34] y réstale la unidad,
que según el enunciado del problema debe restarse.
Tendrás [que de] el producto de la incógnita más dos
unidades por la incógnita menos una unidad, te resul-
tará un cuadrado más una incógnita menos dos unida-
des igual a dieciocho. Aplica el chéber y almocábala;
tendrás un cuadrado más una incógnita igual veinte.
Opera según lo que precede y te resulta cuatro, que es
la raíz del cuadrado, y el cuadrado dieciséis (2).
(■)
(.V+ i) (.V + 2) =
3°;
V- + 3 v .
= 28;
.v =
=/(ir—
2
-5 + 1
3
2
= 4; ^2 =
ri6
(2)
(.V M-2)(.V+ l)=r
i8; .
v-' + .v =
20;
-V
= /(!)' + -
I
2
= 4 + 7
I
2
= 4; :v2 =
i6.
- 48 -
[Para su comprobación] tomamos su raíz más dos
unidades, que son seis, lo multiplicamos por su raíz
menos una unidad, que son tres, y vale dieciocho.
Compréndelo.
PROBI.KMA AXll.OÜO
Si se te dice: multiplico la raíz de un cuadrado menos
dos unidades por su raíz menos una unidad y vale seis.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como cuadrado a fin de que tenga raíz, tomes su raíz
y restes de ella las dos unidades; te quedará una incóg-
nita menos dos unidades; después toma otra vez su
raíz y resta de ella la unidad; te quedará una incógni-
ta menos una unidad; multiplica ahora la incógnita
menos una unidad por la incógnita menos dos unida-
des; te resultará un cuadrado más dos unidades menos
tres incógnitas igual seis unidades. Algebriza las seis
unidades con aquello mismo con que algebrizas el
cuadrado más dos unidades, y tendrás tres incógnitas
más seis unidades igual un cuadrado más dos unida-
des. Resta las dos unidades de las seis unidades y te
quedará un cuadrado igual tres incógnitas más cuatro
unidades.
He reducido, pues, (este problema] a la cuestión
sexta. Opera según lo que antecede; te resultará cua-
tro, que es la raíz del cuadrado, y el cuadrado dieci-
séis (1).
( I ) (.V - 2) (.V - i) = 6; .y S = 3 .v + 4;
- 49 -
Cuando multiplicamos la raíz del cuadrado menos
una unidad, que es tres, por su raíz menos dos uni-
dades, que es dos, vale seis, como se propuso.
[Pág. 35] PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: de un cuadrado multiplico su tercio
por su cuarto y reaparece el cuadrado con aumento de
veinticuatro unidades.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como incógnita, multipliques su tercio por su cuarto,
te resultará medio sexto (1) de cuadrado igual al
cuadrado más veinticuatro unidades. El cuadrado lo
hemos puesto como incógnita, luego tienes medio sex-
to de cuadrado igual a la incógnita más veinticuatro
unidades. Multiplica ahora todo lo que tienes por
doce, pues así completarás todo lo que tienes, a fin
( I ) Al multiplicar — por — resulta 1 pero en el cálculo
3 4 12
de fracciones acostumbran los árabes a reducirlas a fracción de
fracción buscando siempre denominadores inferiores a lo. Asi pues,
en lugar de expresa el valor de esta fracción por — de — •
12 ^26
Asimismo en la nota i, pág. 54, encuentra el lector el valor de - —
64
bajo la forma '^ de —• Casos análogos pueden verse en las no-
o o
tas de las págs. 59 y 73.
Bobynin, Eisenlohr, Cantor, Favaro y otros matemáticos (toman-
do como base el estudio del papiro de Rhind), han hecho investiga-
ciones acerca del cálculo de las fracciones cuyo numerador es la
unidad, y acerca de la expresión de las fracciones mediante unida-
des fraccionarias de denominador menor que 10.
- 50 —
de que sea un cuadrado único (1). Multiplica lo
que va con él (2), por aquello por lo cual se multi-
plicó y tendrás un cuadrado igual doce raíces más
doscientas ochenta y ocho unidades. Opera según lo
que antecede en la cuestión sexta, te resultará la in-
cógnita [igual] veinticuatro. Habiendo puesto el cua-
drado como incógnita, el cuadrado será veinticua-
tro (3).
Si multiplicamos su tercio por su cuarto vale cua-
renta y ocho, que excede al cuadrado en veinticuatro,
como se propuso.
PROBLEMA ANAlOGO
Si se te dice: de un cuadrado multiplico su tercio
más una unidad, por su cuarto más una unidad y vale
veinte.
La regla para esto es que multipliques un tercio de
la incógnita más una unidad por un cuarto de la in-
cógnita más una unidad. Aplica el almocdbala a las
veinte unidades; con lo que te resulte te saldrá el cua-
drado, doce, que es el valor de la incógnita, la cual es
el cuadrado.
Ahora si multiplicamos su tercio más una unidad
(i) Literalmente entero] ya hemos dicho que quiere decir que
se haga igual a la unidad el coeficiente de .v^.
(2) O sea, el coeficiente.
(3) -v--;'; ^'^=y-\-2^; -•-i-y=j + 24;72-i2;'4-288;
3 4 26
y = 6+ [/ 36 + 288 = 6 + 1 8 = 24; a-2 = 24.
De no emplear la incógnita auxiliar resultaría una ecuación bi-
cuadrada .V* = 12 X- + 288.
- 51 -
por su cuarto más una unidad vale veinte, como se
propuso.
Según las reglas del chéber y almocábala sale [pá-
gina 36] medio sexto de cuadrado más tres sextos de
la incógnita más medio sexto de la incógnita más una
unidad igual veinte unidades. Resta ahora la unidad
de las veinte y algebriza medio sexto de cuadrado, a
fin de que tengas un solo cuadrado, lo cual se consi-
gue multiplicándolo por doce. Multiplicando todo lo
que tienes por doce, tendrás un cuadrado más siete
incógnitas igual doscientas unidades más veintiocho
unidades. Opera según lo que se dijo en la cuestión
cuarta; te resultará el valor de la incógnita, doce, que
es el cuadrado pedido (1). Comprende [lo dicho] y
acertarás, si Dios quiere, ensalzado sea.
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: un cuadrado lo multiplico por su ter-
cio y se convierte en cuatro semejantes al cuadrado.
La regla para esto es, según lo que antecede, que
supongas tu cuadrado como incógnita y lo multipli-
ques por su terciOj según se propuso; te resultará un
tercio de cuadrado igual a cuatro semejantes al cua-
i.. 2.^2 + 1^ + ^. i.^+,^30;
j)/2 -1- 6 jj/ + jj/ = 1 9 . 12 — 228; y--\-^ y = 228;
- 52 -
drado, que son cuatro incógnitas. Algebriza el ter-
cio del cuadrado, lo cual [se hace] multiplicándolo
por tres; multiplica, pues, todo lo que tienes por tres;
te resultará un cuadrado igual doce incógnitas, que
es el valor de la incógnita, la cual es el cuadra-
do (1).
Ahora si lo multiplicamos por su tercio resulta cua-
tro semejantes al cuadrado, como se propuso, es de-
cir, cuarenta y ocho.
PROBLEMA ANAlOGO
Si se te dice: un cuadrado lo multiplico por su ter-
cio más una unidad y se convierte en cinco semejantes
al cuadrado.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como incógnita; después, lo multiplicas por su tercio
más una unidad, te resultará un tercio de cuadrado
más una incógnita igual cinco incógnitas. Resta la in-
cógnita de las cinco incógnitas, te quedarán cuatro
incógnitas; y será un tercio de cuadrado [pág. 37]
igual cuatro incógnitas. Algebriza lo que tienes para
que resulte un cuadrado único y esto se hace multi-
plicándolo por tres; multiplica, pues, todo lo que tie-
nes por tres y te resultará en este problema un cua-
drado igual doce raíces.
Te he reducido, pues, [este problema] a la cuestión
primera; opera, por consiguiente, según lo que ante-
cede, y te resultará la raíz, doce; y el cuadrado, como
(i) x^=y; ;'.^ = 4r; — >'- = 4j;j2=i2;';;' = i2; .v2 = i2.
— sa-
lo hemos puesto como incógnita, resulta doce (1).
Si multiplicamos el tercio del cuadrado más una
unidad por el cuadrado, el producto será cinco seme-
jantes al cuadrado, o sea sesenta.
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: un cuadrado lo multiplico por su ter-
cio y se convierte en dos semejantes al cuadrado más
veinticuatro unidades.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como incógnita, según precede inmediatamente; des-
pués lo multiplicas por su tercio como se ha propues-
to y tendrás un tercio de cuadrado igual a dos incóg-
nitas más veinticuatro unidades. Algebriza el tercio
del cuadrado, a fin de que resulte cuadrado único, lo
cual se hace multiplicándolo por tres; multiplica, pues,
todo lo que tienes por tres; te resultará un cuadrado
igual a seis incógnitas más setenta y dos unidades.
He reducido, pues, [este problema] a la cuestión
sexta; opera según lo que antecede, y te resultará el
valor de la incógnita, que se supuso por el cuadrado,
doce (2).
Si ahora lo multiplicamos por su tercio se converti-
rá en dos semejantes al cuadrado más veinticuatro uni-
dades, como se propuso.
(i) x^^y; y (^^+ 1^ =syy y" + >' = 5 75 "J ;'" = 4/5
y"^ = 12 y; y = íZ; .v^ = i 2.
(2) .v2 = ;/;_ =2J-f24;72=67 + 72,;'=3 + /9 + 72=I2;
X~ =^ 12.
- 54
PROBLEMA ANÁLOGO EX LA RESTA
Si se te dice: a un cuadrado le resto su tercio y tres
unidades; después multiplico el resto por sí mismo y
[el resultado] es igual al cuadrado [propuesto] .
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como incógnita. Después resta [de élj su tercio más
tres unidades [pág. 38], te quedará dos tercios de la
incógnita menos tres unidades; multiplica ahora esto
por sí mismo, te resultará cuatro novenos de cuadra-
do más nueve unidades menos cuatro incógnitas igual
al cuadrado. Tienes, pues, cuatro novenos de cuadra-
do más nueve unidades igual cinco incógnitas. Alge-
briza todo lo que tienes para que tengas un cuadrado
único; esto [se hace] multiplicándolo por dos y cuar-
to. Te resultará un cuadrado más veinte unidades más
un cuarto igual once incógnitas más un cuarto de in-
cógnita. Toma la mitad de las raíces, que es cinco y
cinco octavos, multiplica esto por sí mismo; te resul-
tará treinta y uno más cinco octavos más un octavo de
octavo; resta de esto las unidades; te quedará once
más tres octavos [más un octavo de octavo. Toma su
raíz] y añádela a la mitad de las raíces; será nueve,
que es el cuadrado (1).
—;'- + 9 = 5/;;'- -r9- — = 5 • — •;';;>'- -r2o-i — =(ii-t- —
9 4 4 4 '^ 4 '
.=5+i+/(s+ir~(-+T)=
y\
y
55
Si restas su tercio más tres unidades, y multiplicas
el residuo por sí mismo, que es tres unidades, se con-
vierte en el cuadrado, como se propuso.
PROBLEMA ANÁLOGO EN LA RESTA
Si se te dice: de un cuadrado resto su tercio y su
cuarto y cuatro unidades, multiplico lo que queda
por sí mismo y es igual al cuadrado más doce uni-
dades.
La regla es que supongas tu cuadrado como incóg-
nita; después resta su tercio y su cuarto y cuatro uni-
dades; queda cinco partes de doce de la incógnita (1)
menos cuatro unidades; multiplica esto por sí mismo,
te resultará veinticinco ciento cuarenta y cuatro-avos
de cuadrado menos tres incógnitas y un tercio de in-
fCÓgnita más dieciséis unidades, esto es igual al cua-
drado primero más doce unidades, o sea una incóg-
nita más doce unidades; resta ahora las unidades de
las unidades; añade las incógnitas del menos (2) a
la incógnita del más; tendrás veinticinco ciento cua-
renta y cuatro-avos de cuadrado más cuatro unidades
-5 + | + /(3.+| + i a.|)-(.o + ^)^
= 5+1 +/ " +|+|<i4=5 + | + 3 + | = 9. .v' = 9.
(i) Este es el modo árabe de expresar los números fracciona-
rios: cinco partes de doce de la incógnita, quiere decir los cinco do-
ceavos de la incógnita. En adelante liaremos la traducción moderna
de esta expresión y sus análogas.
(2) Literalmente las que se restan, es decir, las que llevarían
el signo menos en la ecuación y por lo tanto deben restarse,
— 56 —
igual a cuatro incógnitas más un tercio de incógnita.
Algebriza lo que tienes hasta que resulte un cuadrado
único; esto se hace multiplicándolo por cinco más tres
[pág. 39] quintos más cuatro quintos de quinto, o
sea por cinco más diecinueve veinticinco avos. Mul-
tiplica todo lo que tienes por cinco más diecinueve
veinticinco-avos y tendrás un cuadrado más veintitrés
unidades más un veinticinco-avo de unidad igual vein-
ticuatro raíces más veinticuatro veinticinco avos de
raíz. Halla la mitad de las raíces, que es doce raíces
más doce veinticinco-avos de la raíz; multiplícala
por sí misma, te resultará ciento cincuenta y cinco
más cuatrocientos sesenta y nueve seiscientos veinticin-
co-avos. Resta de ellas las unidades; te quedan cien-
to treinta y dos más cuatrocientos cuarenta y cuatro
seiscientos veinticinco-avos, porque el quebrado que
va con las unidades es veinticinco-avos (1), y cuan-
do lo conviertes en seiscientos veinticinco-avos (2)>
lo encuentras igual a veinticinco seis cientos veinti-
cinco-avos. Toma su raíz, lo cual [harás] multipli-
cando las unidades [que van] con la fracción por seis-
cientas veinticinco (3); te resultará ochenta y dos mil
nuevecientos cuarenta y cuatro. Toma la raíz de lo
que resulta, que es doscientos ochenta y ocho; divide
esto por la raíz de seiscientos veinticinco; te resultará
once más trece veinticinco avos; súmalas a la mitad de
las raíces, que es doce más doce veinticinco-avos; te
(i) Literalmente: el quebrado qtie va con las unidades es de vein-
ticinco fefi la unidad] .
(2) \J\\.QXv\\'í\^nXQ\ en partes de seiscientas veinticinco [en la uni-
dad] .
(3) Es decir, reduciendo el número mixto a quebrado.
— 57 ~
resultará el cuadrado buscado, que es veinticuatro (1).
Si restas su tercio y su cuarto y cuatro unidades,
como se había propuesto, quedan seis, y multiplican-
do esto por sí mismo reaparece el cuadrado más doce
unidades.
Si quieres resuelve el problema en la forma que
opera Abucámil (2) en su libro de alchéber, es decir,
que supongas el cuadrado como cuadrado menos doce
-^- -v2 - 5 - .V + i6 = .r + I 2; — ^ .v^ + 4= 4 + - -v;
'44 3 144 ^ Z'
'44 3 I 4 '
Multiplicando ahora por := 5 -J- 1- — • — resulta:
25 5 5 5
o I 576 13 144 , , , ' , 24
-V- H = • . .v; .V- + 23 H = 24 X A .v;
25 3 25 ^ •'^ 25 ^ ^ 25 '
, 12 , í / 82944 1 2
= 12+ — ^ y --^^ = 1 2 +■ —
' 25 ^ ^ 625 ^ 25
,, + - = 24.
(2) El nombre de este autor oriental es
(Abucámil Xochá Benáslam).
Abenjaldún {Prolegoménes, tomo III, pág. 135) considera a Abu-
cámil como sucesor inmediato de Mohámed Abenmusa Aljuarizmi,
y según Sedillot (Materiaux pour servir jj, pág. 447, nota) era con-
temporáneo del citado Aljuarizmi.
Con el apodo de «El calculador» se encuentra citado por Bena-
biosaibia (tomo I, pág. 207).
Respecto a la obra científica legada por Abucámil, véanse:
Karpinski: The algebra of Abu Kamil Shoja b. Aslam. (Bibl.
math. Enestrom, 1912, págs. 40-55).
Suter: Die Abhandlung des Abu Kamil Shoga b. Aslam über das
Fünfeck und Zehneck. (Bibl. math. Enestrom, 1910, págs. 15-42).
Hachi Jalifa, n.° 9738: El Kamil fi el jebr we el mocábelet, liberper-
fectus de aequatione per reductionem, auctore Abu Shajá b. Aslem.
- 58 —
unidades y restes su tercio y su cuarto. El resto son
cinco doce-avos de un cuadrado menos (pág. 40) cin-
co unidades; después resta las cuatro unidades que se
mencionaron, quedan cinco doce-avos de un cuadra-
do menos nueve unidades; multiplica esto por sí mis-
mo; es igual a un cuadrado más doce unidades. Ha-
blamos supuesto nuestro cuadrado como cuadrado
menos doce; los cinco doce-avos de un cuadrado me-
nos nueve unidades, cuando los multiplicamos por sí
mismos, valen un cuadrado. Esto es la raíz del cua-
drado que es la incógnita. Tienes, pues, cinco doce-
avos de un cuadrado menos nueve igual a la incógni-
ta. Algebriza los cinco doce-avos con las nueve uni-
dades añadiéndolos a la incógnita; tendrás cinco doce-
avos de cuadrado igual a una incógnita más nueve
unidades; multiplica todo lo que tienes por dos más
dos quintos, te resultará la cuestión sexta [por la cual]
te saldrá la incógnita, seis, y el cuadrado, treinta y
seis. Habíamos supuesto nuestro cuadrado, cuadrado
menos doce, que es veinticuatro (1). La operación
que antes hemos mencionado [primeramente] es más
sencilla para el principiante, porque supone el cuadra-
do desconocido como incógnita, que es lo que se
hace en la mayor parte de los problemas; la operación
segunda, que menciona Abucámil, es más adecuada a
los números. Compréndelo.
.v2— 12 .v2 — 12 ?
(i) ,'2 = .r2 — 12; .v2 — 12 = -^ X- — 5;
lo r I
io8
2l60 ^ 12 48
100 10 ' 10
-V- = 36; y 7= 36 — 12 = 24.
- 59 -
PROBLEMA ANÁLOGO
Si te te dice: los dos tercios del quinto de un cua-
drado, son igual al séptimo de su raíz.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como cuadrado a fin de que tenga raíz. Después toma
dos tercios de su quinto, esto es, dos tercios de un
quinto de un cuadrado, y esto es igual a un séptimo
de su raíz, es decir, un séptimo de incógnita. Com-
pleta esto a fin de que sea un cuadrado [único], lo
cual se hace multiplicándolo por siete y medio; multi-
plica, pues, todo lo que tienes por siete y medio y en-
contrarás (pág. 41) un cuadrado igual una raíz más la
mitad de un séptimo de raíz.
Te he reducido [este problema] a la cuestión prime-
ra; por consiguiente, la raíz es uno más medio sépti-
mo y el cuadrado es uno más un séptimo más un
cuarto del séptimo de un séptimo (1).
Si tomamos dos tercios del quinto de este cuadrado
resulta igual al séptimo de su raíz. Compréndelo.
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: tres cuartos de un quinto de un cua-
drado es igual a cuatro quintos de su raiz.
La regla para esto es como en [el problema] ante-
/ \ 2 I I , II. II
\ ^ 2 7/ 7 4 7 7
— 60 -
rior; tendrás tres cuartos de un quinto de cuadrado
igual a cuatro quintos de la incógnita. El cuadrado es
igual a cinco incógnitas más un tercio de la incógnita,
y la raíz del cuadrado cinco más un tercio. El cua-
drado es veintiocho más cuatro novenos (1).
Si tomamos cuatro quintos de la raíz de este cua-
drado será igual a tres cuartos de su quinto, como se
propuso.
' PKOBLF,>rA AXAlOGO
Si se te dice: an cuadrado lo multiplico por su raíz
y resultan tres semejantes al cuadrado.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como cuadrado, con objeto de que tenga raíz; multi-
plícalo por su raíz, es decir, por la incógnita; se tiene
un cubo igual a tres cuadrados, puesto que si la in-
cógnita se multiplica por el cuadrado, el resultado es
[igual a] tres cuadrados [según el enunciado]. Dirás
[ahora]: ¿qué número se ha de multiplicar por un cua-
drado a fin de que resulte tres cuadrados? Encontrarás
que ese número es tres. Este es el valor de la incóg-
nita; el cuadrado es el producto de éste por sí mismo,
o sea, nueve. Esto es lo que deseabas conocer (2).
Compréndelo.
4 5 5 3 3 9
(2) .v3 — 3 .V2; .V X -V^ = 3 .v2; .V = 3.
-6i -
[Pág. 42] PROBLEMA ANÁLOGO EN LA RESTA
Si se te dice: de un cuadrado resto su tercio; des
pues multiplico lo que queda por tres raíces del cua-
drado primero y se convierte en el cuadrado primero .
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como cuadrado; resta su' tercio, te quedará dos tercios
de cuadrado; multiplica esto por tres raíces del cua-
drado primero, que son tres incógnitas, te resultará
dos cubos; estos dos son iguales al cuadrado primero,
que es un cuadrado. Divide los dos cubos por el cua-
drado; te resultará dos incógnitas igual a una unidad,
porque si las dos incógnitas se multiplican por un cua ■
drado serán un cuadrado, ya que él es igual a los dos
cubos, y dirás: ¿qué número se multiplicará por un
cuadrado para que el resultado sea un cuadrado? En-
contrarás que ese número es una unidad. Luego una
incógnita es un medio de unidad, y el cuadrado un
cuarto de unidad. El cuadrado buscado es, pues, un
cuarto de unidad (1).
Ahora, si restas su tercio, te quedará un sexto de
unidad; si lo multiplicas por tres raíces del cuadrado
primitivo, como tres raíces del cuadrado es una uni-
dad y media, te resultará un cuarto, porque un sexto
de unidad más medio sexto es un cuarto de unidad y
esto es igual al cuadrado primitivo.
Si quieres dirás: dos tercios de un cuadrado que se
multiplican por tres raíces del cuadrado son dos cu-
bos. Los dos cubos son iguales al cuadrado porque
(i) — .v2X3 .V =2 .v3 = .v-'; 2 .V = I ; x = — ; .v2 = -
^ ' 3 2' 4
- 62 -
se puso como condición que había de convertirse en
el cuadrado. Ahora bien, tres raíces de cuadrado
multiplicadas por dos tercios de cuadrado se convier-
ten en un cuadrado. Las tres raíces son una unidad
y media, porque cuando multiplicas una unidad y
media por dos tercios de cuadrado resulta un cuadra-
do. Las tres raíces son, pues, igual a una unidad y
media. La raíz es un medio, y el cuadrado un cuar-
to (1). Compréndelo.
PROBLEMA AXAlOGO EX LA RESTA
Si se te dice: de mi cuadrado se restan cuatro rai-
ces suyas; después tomas el tercio de lo que queda y es
igual a cuatro raices.
[Pág. 43] La regla para esto es que supongas tu cua-
drado como cuadrado y restes cuatro raíces suyas, te
quedará un cuadrado menos cuatro raíces. Toma el ter
ció de este resto que es (2) un tercio del cuadrado me-
nos una raíz y [menos] un tercio de raíz; esto es igual a
cuatro raíces del cuadrado. Algebriza el tercio del cua-
drado con la raíz y el tercio de la raíz y añádelo a las
2 •
(i) — .v2 X 3 •^" = 2 .v3 r= .X- por hipótesis;
3 .r = I -j porque í i -| \ x — .v^ = x-
I , I
"^ " 2 ' ■ "■ 4
(2) Literalmente : toma el tercio de este resto con un tercio
del cuadrado. La frase tomar ... con ... es, pues, compuesta de una
parte imperativa (la anterior a con) y otra explicativa (la que sigue
a con).
- 63 -
cuatro raíces; tendrás un tercio de cuadrado igual cinco
raices más un tercio de raíz. El cuadrado es igual a
dieciséis raíces, esto [o sea, dieciséis] es la raíz del cua-
drado y el cuadrado es doscientos cincuenta y seis (1).
Si ahora restas de esto cuatro veces su raíz quedará
ciento noventa y dos; si tomamos el tercio de esto,
encontramos que es sesenta y cuatro, lo cual es igual
a cuatro raíces.
Si quieres, ya sabes que lo que queda de un cua-
drado después de restar las cuatro raíces es un cua-
drado menos cuatro raíces y que el tercio de esto es
igual a cuatro raíces; por consiguiente, el residuo, sin
que se tome su tercio, es igual a doce raíces; por tan-
to, tienes que un cuadrado menos cuatro raíces es igual
a doce raíces. Algebriza ahora el cuadrado con las
cuatro raíces, añadiéndolas a las doce raíces; tendrás
un cuadrado igual a dieciséis raíces. La raíz es, pues,
dieciséis y el cuadrado doscientos cincuenta y seis (2).
La comprobación según lo que antecede.
PROBLEMA ANÁLOGO EX LA RESTA
Si se te dice: de un cuadrado resto su tercio y su
cuarto, multiplico lo que queda por sí mismo y [el re-
sultado] es igual al cuadrado.
, .V^— 4.Y X- I
(1) =— a_ — -v=:4.v
3 3 3
= 5 :v -J .v; X- ^ i6 ~v; .T i= i6; -v^ = 256 .
3 3
.v2 — 4 A-
(2) =4 v; .V- - 4 x^= í 2 .v; .1-2^= 1 6 -V; a'^ i 6; a'^ ^256.
(Es una variante en la preparación de la ecuación).
- 64 -
La operación para esto es que supongas tu cuadra-
do como cuadrado y restes su tercio y su cuarto, el
resto será dos sextos de cuadrado más medio sexto
de cuadrado. Se ha dicho que el resto cuando se mul-
tiplica por sí mismo es igual al cuadrado, luego el res-
to es aquí incógnita. La incógnita es igual, pues, a
dos sextos de cuadrado más medio sexto de cuadrado,
y el cuadrado es igual a dos incógnitas más dos quin-
tos de incógnita.
Te he reducido, pues, [este problema] a la cuestión
primera; el cuadrado pedido es cinco más tres quintos
más cuatro quintos de un quinto (1).
Si dijera el enunciado: multiplico el resto por si
mismo y resulta el cuadrado más una unidad o menos
una unidad [pág. 44] o el duplo del cuadrado o algo
semejante a esto, no resultará [el problema] con esta
operación y la necesidad te obligará a que supongas
tu cuadrado como incógnita y continúes el problema
como se ha expuesto en lo que antecede en los demás
problemas (2). Apréndelo.
[^-— =f']^
-m-
,v2 1=2 X-\ X: X^=2 H
5 5
S+J.+ 4.1.
5 5 5
(2) En este párrafo expone algunas variantes que puede haber
en el enunciado del problema anterior, que obligarían a tomar una
incógnita auxiliar para que no resulte la ecuación bicuadrada. Las
ecuaciones que traducen los nuevos enunciados son éstas:
12
=r. (^^)' -■-;' + ':
- 65 ^
[rAPÍTL'Lo] PROBLEMA AXÁLOC.O KX LA DIVISTÓX
Si se te dice: entre dos cuadrados hay [la diferen-
cia] de diez unidades, y [si] divides el menor por el
mayor, resulta tres cuartos.
La regla para esto es que supongas uno de los dos
cuadrados como incógnita, es decir, el menor; el ma-
yor será [igual a] una incógnita más diez unidades.
Si dividimos la incógnita por la incógnita más diez,
resultará tres cuartos, como se propuso. Cuando mul-
tiplicamos lo que resulta de una división por el divi-
sor reaparece el dividendo; por tanto, multiplica tres
cuartos por la incógnita más diez, te resultará tres
cuartos de la incógnita más siete unidades y media
igual a una incógnita. Aplica el chébery almocába-
la, es decir, resta tres cuartos de incógnita de una in-
cógnita, te quedará un cuarto de incógnita igual siete
y media. La incógnita es, pues, igual a treinta, que es
el cuadrado menor; el mayor ha de exceder al menor
en diez unidades, según lo que se propuso, luego el
mayor será cuarenta (i).
Si ahora dividimos treinta por cuarenta sale tres
cuartos, como se propuso.
El autor quiere hacer ver con estos ejemplos que no se puede
extraer la raíz cuadrada de los dos miembros más que en el caso
de que sean cuadrados perfectos.
_)' A • + lo 4 4 4 4 2
3 ' , »
X A-= — A- = 7 -I ; A- = 30; 7 -= A- + 10= 4O.
4 4 2
- 66 -
PROBLEMA AXALO(;()
Si se te dice: divido ciento por veinte más una in-
cógnita, y se obtiene, es decir, resulta de la división,
un tercio de la incógnita.
[Pág. 45]. La regla para esto es que multipliques el
veinte más la incógnita, por lo que resulta de la divi-
sión, que es un tercio de la incógnita. Te resultará un
tercio de cuadrado más seis incógnitas más dos ter-
cios de incógnita, lo cual es igual a cien unidades. Al-
gebriza tu cuadrado a fin de que tengas un cuadrado
único, lo cual se hace multiplicándolo por tres; multi-
plica, pues, cada término que tienes por tres; te re-
sultará un cuadrado más veinte incógnitas igual a
trescientas unidades.
Te he reducido, pues, [este problema] a la cuestión
cuarta. Opera según lo que antecede en la cuarta
[cuestión], o sea, que dividas por dos las raíces y
las multipliques por sí mismas; sumes lo que resul-
ta al número, [es decir, a las unidades]; extraigas la
raíz de lo que queda y restes la mitad de las raí-
ces. Así tendrás el valor de la incógnita, que es
diez (1).
Ahora, si dividimos las cien unidades por las vein-
te más diez, sale tres más un tercio, que es lo mismo
que un tercio del diez añadido [al veinte] que hemos
sustituido en lugar de la incógnita.
. . lOO X X- ,2
(i) = — : h6.v-| A- = ioO;
' ' 20 + .V 3 3 3
X- -f 2o X = 300; .T = y 100 4- 300 — 'O
10.
— 67 -
PROBLK.MA ANÁLOGO
Se dividen cincuenta unidades entre varios hombres
y toca a cada uno de ellos una incógnita. Después au-
mentas en tres [el número de] hombres y divides entre
[todos] ellos las cincuenta [unidades] y toca a cada
uno de los postreros tres y tres cuartos de unidad me-
nos de lo que les tocó a los primeros. [¿Cuál es el nú-
mero de hombres?]
La regla para esto es que multipliques los hombres
primeros por la diferencia que hay entre lo que tocó
a uno de los primeros y a uno de los postreros. Lo
que resulta divídelo por la diferencia que hay entre
los hombres primeros y los postreros. Lo que salga
multiplícalo por los hombres postreros y el producto
iguálalo con el número dividendo (1). Has deponer,
pues, los hombres primeros como incógnita; multipli-
ca esto [pág. 46] por la diferencia entre lo que toca a
uno de los hombres postreros y uno de los primeros,
que es tres más tres cuartos; te resultará tres incógnitas
más tres cuartos de incógnita. Divide ahora esto por
la diferencia entre los hombres primeros y los postre-
ros, que es tres, y te resultará una incógnita más un
cuarto de incógnita. Multiplícalo por los hombres pos-
treros, que son una incógnita más tres; te resultará un
cuadrado más un cuarto de cuadrado más tres incóg-
nitas más tres cuartos de incógnita. Esto es igual a
cincuenta. Toma ahora de todo lo que tienes sus cua-
(i) Al margen dice: es decir, 50. Es la única vez en que en el
manuscrito se encuentra un número escrito en símbolo.
-es-
tro quintos y tendrás un cuadrado (1) más tres in-
cógnitas igual cuarenta. Opera según precede en la
(i) Al margen del folio 28 r.°, aparece la siguiente glosa, de le-
tra distinta a la del copista:
«¡Sea Dios muy alabado! La explicación de esta operación es que
si se divide primeramente cincuenta unidades por la incógnita, re-
sulta un cociente que es [una porción] B más tres y tres cuartos;
después se divide por segunda vez asimismo las cincuenta unidades
por la incógnita más tres y resulta la porción B solamente. Es pre-
ciso que el producto de todo el cociente primero por la incógnita
sea cincuenta unidades y el producto de la porción B, tan sólo, por
la incógnita ha de ser cincuenta menos el producto de tres y tres
cuartos por la incógnita. Luego es necesario que este segundo va-
lor sea el producto de multiplicar la porción B por tres unidades.
Si lo dividimos por tres unidades resultará la porción B que es la
incógnita más un cuarto de incógnita, o sea el resultado de la divi-
sión segunda. Multiplicado por la incógnita más tres, el resultado
será igual a cincuenta unidades, te resultará, pues, la incógnita
igual a cinco. Apréndelo... Nota marginal.»
Esta nota aclaratoria del problema, resuelve éste de la siguiente
manera:
Sea X el número de hombres. Sea B la porción que a cada uno
corresponde en el segundo reparto, es decir, cuando el número de
hombres es x -|- 3-
Sabemos, por el enunciado, que en el primer reparto la porción
3
es3 -j- — mayor que en el segundo reparto; luego se podrá escribir
4
50 3
I." reparto. . . ^ y9 -(- 3 -f- — (a)
•^ 4
2.° reparto. .. ^'^ =B (b)
-^ -t- 3
De la ecuación C^^) resulta:
\ 4 /
Por ser B la porción que corresponde a los x -\- "i, hombres en el
segundo reparto, es preciso que
- 69 --
[cuestión] cuarta; saldrá que los hombres primeros son
cinco (1).
Cuando divides por éstos las cincuenta unidades, re-
sulta para cada uno de ellos diez, y cuando aumentas
a ellos, tres, y divides cincuenta por lo que resulta, te
sale para cada uno de los postreros seis y un cuarto.
(3 + —) -^ = 3^ osea (^i ^ L'^ x ^ B
Teniendo ahora en cuenta la ecuación ("ój, tendremos:
(i + — ) ^ (-^ + 3) = 50,
que es la ecuación que consigna el texto. (Véase la nota que sigue.)
(i) El razonamiento que sigue es éste:
Sea //j el número de hombres primeros y fí^ ^1 número de los
postreros; si cada uno de los //j recibe en el segundo reparto
3 -| menos que en el primer reparto, los ff^ recibirán //^ (3 -| j
menos. Como este valor se lo reparten entre los tres hombres que
se añaden para el segundo reparto, lo que corresponde a cada uno
M^+i)
de los tres, será • Según esto, cada hombre de los
//i
(5 + 7)
^2 recibe * ; luego entre todos, que son ^2 = ^1 + 3
IJ
(3 + i)
recibirán X (^1 + 3) lo cual ha de ser 50. La ecua-
ción que plantea el problema, llamando x al número fí^ es, pues,
(^ +7) (^ + 3) = 50.
De la cual resulta:
x^ + — + 3^ + -^=5o; -^ .v2 + -^ ^ =: 50;
4 4 44-'
x2 + 3 ^ = 40; x=y i. -f 40 — i-
— 70 -
Había salido para cada uno de los primeros diez; lue-
go ha resultado ser la diferencia entre lo que toca [pá-
gina 47] a uno de los primeros y uno de los postreros,
tres y tres cuartos.
Si quieres divide tres más tres cuartos por tres; lo
que resulte multiplícalo por la incógnita; lo que sea el
producto multiplícalo por los hombres postreros, y lo
que salga iguálalo a cincuenta (\).
La prueba de esto es evidente y clara, puesto que
el producto de lo que ha resultado al fin por los hom-
bres postreros es como el producto de lo que sale pri-
meramente por los hombres primeros, ya que cuando
multiplicas lo que resulta de una división por el divi-
sor se obtiene el dividendo primero.
Este problema, por lo tanto, tiene cuatro números:
el producto del primero (que es el resultado final) por
el cuarto (que son los hombres postreros), es como el
producto del segundo (que es lo que sale primeramen-
te) por el tercer número (que es los hombres prime-
ros). Por consiguiente, la relación del primero (que es
el resultado final) al segundo (que es el resultado pri-
mero) es como la relación de la incógnita (que es los
hombres primeros) respecto de la incógnita más tres
(que es los hombres postreros).
Cuando restamos (2), resulta que la relación en-
(i) Indica en este párrafo la ligera variante que sigue:
\- ^; (^ + 3) = (« + -^)-t-(A- + 3) = (^-f ^) (^--^3)=5o.
(2) Se refiere a la transformación de una proporción, cuando se
resta cada antecedente de su consecuente y se sustituye este resto
por el consecuente o el antecedente respectivo, es decir, el paso de
a: b '.'. c\ d a a\ b — a w c: d — c
- 71 -
tre el resultado final y tres más tres cuartos es como la
relación de la incógnita a tres, y cuando cambia-
mos (1) se tiene que la relación de tres más tres
cuartos a tres es como la relación del resultado final
respecto de la incógnita, [o sea] una unidad (2) mas
un cuarto de unidad, que es, por consiguiente, una
incógnita más un cuarto de incógnita. Si se multiplica
[esto] por los hombres postreros reaparece el cincuen-
ta. Compréndelo (3).
Asimismo es la demostración de la operación pri-
(i) Se refiere a la transformación de una proporción, cuando
se invierten los términos medios o los extremos o cuando se ponen
los medios como extremos.
(2) Hemos traducido snp como unidad, aunque literalmente
se refiere al ejemplo.
(3) El mismo problema lo resuelve ahora el autor por propor-
ciones, razonando así:
Los cuatro números que intervienen en el problema son:
1." La porción que corresponde a cada hombre en el segundo
reparto, que podemos llamar B — (3 H )•
2." La porción que corresponde a cada uno en el primer re-
parto, que será B.
3.° El número de hombres en el primer reparto, sea x.
4.° El número de hombres en el segundo, que será x -j- 3.
Como, por hipótesis, se verifica que
lo-x = B 50 : (.r + 3) = ^ _ (3 + ±)
resulta ser
[-(3 + f)]
^ . ^ = (a- + 3)
y por consiguiente
B-(z^^:B::x:x^Z-
Restando ahora cada antecedente de su consecuente, resulta:
- 72 —
mera, porque cuando se divide el tres más tres cuar-
tos por tres y se multiplica lo que resulta por la incóg-
nita, es como multiplicar el tres más tres cuartos por
la incógnita y dividir lo que resulta por tres. Esto es
evidente, porque cada uno de dos números dividido
por el otro y multiplicado lo que resulta por un terce-
ro, es como multiplicar el uno de los dos por el terce-
ro y dividir el producto por el segundo.
PROBLKMA AXAlOí^.O
Si se te dice: a un cuadrado que tenga raíz, si le
añades cinco unidades ha de tenet también raíz.
Has de saber que este problema es un siaía (1),
que se resuelve por varios procedimientos.
B — U + -) : B — B -^ Z + — ••• ^ ■■ ^ -^ Z - X
o sea j5 — (3 -r — ) •• 3 H : : J" : 3-
Esta proporción puede escribirse también de este modo:
3 + ^:3-^-(3 + ^)-
Como la primera razón es igual a i -|- — se tendrá que
4
^-(3+f)=.(.+^)=. + f
Por lo tanto, si ;r -J es lo que corresponde a cada hombre, en
4
el segundo reparto se verificará que
(^ + 7) (r + 3) = 50-
4 '
(i) Dejamos la palabra siala porque traducirla por enigma,
como hace Dozy (Suppl. aux Dict. ar.J no nos parece muy adecua-
do. Sería mucho mejor traducirla •pox problema indeterminado.
— 73 —
[Pág. 48] La regla para esto es que supongas tu cua-
drado como cuadrado, a fin de que tenga raíz. Añá-
dele cinco unidades; es preciso que esto tenga raíz
[según el enunciado]. Supon por raíz suya lo que
quieras después de aplicar el almocábala; es decir, que
añadas a la incógnita un número cuyo producto por
sí mismo sea menor que las cinco unidades añadidas
al cuadrado. Es, por ejemplo, como si hubieses pues-
to una incógnita más uno. Multiplica la incógnita más
uno por sí misma, te resultará un cuadrado más dos
incógnitas más una unidad igual a un cuadrado más
las cinco unidades antedichas en el enunciado del pro-
blema. Aplica el chéber y almocábala; te resultará la
raíz, dos y el cuadrado, cuatro. Si ahora le añades las
cinco unidades anteriormente citadas en el enunciado
del problema, tendrá también raíz.
Mas si supones como raíz del cuadrado más las cin-
co unidades añadidas una incógnita más dos y aplicas
el almocábala con lo que te resulte de multiplicar por
sí mismo y [con] el cuadrado más las cinco unidades
citadas, te resultará la raíz un cuarto de unidad y el
cuadrado medio octavo. El cuadrado tiene raíz y si le
añades cinco unidades también tiene raíz, porque el re-
sultado es cinco y medio octavo y su raíz es dos y un
cuarto (1).
Del mismo modo lo sacarás [el problema] con lo
que quieras [poner por raíz].
(i) X- -{- ^ ^_j/2 Suponiendo y ^ x -\- i resulta:
(o: + i)2 = j:2 -|- 2 Jf + I = x2 -f 5; 2 x + I ^ 5; x =2; x~ — 4.
Pero si se supone y = x -^ 2 se obtiene;
(a- + 2)2 = ^2 + 4ar+4=.r2+5; ^x=i; x = -; x'~=.--^'
4 2 o
74 —
PROBLEMA ANÁLOGO EN LA RESTA
Si se te dice: un cuadrado tiene raíz y sise resta de
él diez unidades, [tambiénj tiene el resto raíz.
Este problema es. también un siala.
La regla es que supongas tu cuadrado como cuadra-
do para que tenga raíz, resta de él diez unidades, según
se propuso; quedará un cuadrado menos diez unida-
des. Y ahora, por ejemplo, pones su raíz como una
incógnita menos una unidad; multiplícala por sí mis-
ma, te resultará un cuadrado más una unidad menos
dos incógnitas igual un cuadrado menos diez unida-
des. Aplica el chéber y almocdbala; resulta el valor
de la incógnita cinco y medio y el cuadrado treinta
más un cuarto, el cual tiene raíz.
Si restas de él las diez unidades quedará veinte más
un cuarto que también tiene raíz.
[Pág. 49] Si supones la raíz del cuadrado menos
diez unidades como una incógnita menos dos unida-
des y haces almocdbala con un cuadrado menos diez
unidades y con lo que te resulta de multiplicar aquello
por sí mismo, te saldrá por valor de la incógnita tres
y medio, y del cuadrado, doce y un cuarto (1).
Si restas de esto las diez unidades también tendrá
raíz exacta el resto.
(i) ,r2— io=j)/2
Suponiendo y =z x — i resulta.
(.V — i)2 = x2 -j-i — 2 0- = x2 — 10; 1 1^2 x; x= 5 -| ; x^^=-2)0-\
2 4
Pero si se supone y ^= x — 2 se obtiene:
(r — 2)2;=x.r2-f-4 — 4 x=^x~ — lo; i4 = 4Jtr; x = 3-| ; -r2 = i2 -| •
2 4
— 75 -
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: un cuadrado tiene raíz y si le añades
tres raices suyas, también tiene raíz.
Has de saber que este problema es también un siala
como los anteriores.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como cuadrado a fin de que tenga raíz. Añádele tres
raíces suyas, te resultará un cuadrado más tres incóg-
nitas. Esto es preciso que tenga níz. Pon, pues, por
raíz suya lo que quieras después de que hagas almo-
cáhaía con el número, lo cual consiste en que supon-
gas su raíz como incógnita y le añadas un número que
sea menor que la mitad del número de las raíces pre-
citadas en el enunciado del problema. Es, por ejem-
plo, como si pones una incógnita más una unidad;
multiplícalo por sí mismo; te resultará un cuadrado
más dos incógnitas más una-unidad igual a un cuadra-
do más tres raíces. Aplica el chéber y almocdbala; te
resultará el valor de la incógnita uno, que es el valor
del cuadrado y que tiene raíz. Si le añades tres raíces
suyas te resultará cuatro, que también tiene raíz.
Asimismo si supones la raíz del cuadrado más tres
raíces como una incógnita más media unidad, te resul-
tará un cuadrado distinto de aquel que te resultó cuan-
do lo pusimos como una incógnita más una unidad,
puesto que este problema es un siala como los ante-
riores (1).
Suponiendo y = x -\- i resulta:
76
PROBLEMA ANAlOGO EX LA RESTA
Si se te dice: un cuadrado tiene raíz y si restas de
él seis raices suyas, tendrá también lo que queda
raíz.
Este problema es también un siala como los que
preceden.
La regla para esto es que supongas tu cuadrado
como cuadrado a fin de que tenga raíz; resta [pági-
na 50] de él seis raíces suyas; quedará un cuadrado
menos seis incógnitas. Esto tiene también raíz; pon-
drás, pues, por raíz de esto lo que quieras después de
hacer almocábala con el número, es decir, que supon-
gas una incógnita menos un número [que sea] mayor
que la mitad de las raíces. Es, por ejemplo, como si
lo supones una incógnita menos cuatro en este proble-
ma. Aplica el almocábala con lo que resulte y con un
cuadrado menos seis raíces; te resultará el valor de la
incógnita ocho y el cuadrado sesenta y cuatro, que
tiene raíz (1).
Asimismo si supones la raíz del cuadrado menos
seis raíces, una cosa distinta de la incógnita menos
cuatro;te resultará un cuadrado distinto del que antece-
de, puesto que el problema es un siala. Compréndelo.
(x -\- if = X' -\- 2 X -\- I = ;c2 ^ 2 x; x—l; x^ ^^ I
Pero si se supone y = x -\ se obtiene:
2
(I \2 I lili
(i) x2 — (ix=y^
Suponiendo, por ej., y ^= x — 4 resulta:
{x 4)2 ^= ^2 _ g j, _j_ , 5 -_ J.2 _ J-. , 5 ^ 2 JC; X ^^Z; .v2 :=: 64.
77 -
PROBLEMA AXÁLOGO DE I.OS CUADRADOS
Si se te dice: a un cuadrado le añado su tercio y
una unidad, resto de lo que resulta su tercio y una
unidad y no queda nada.
La operación para esto es que supongas tu cuadra-
drado como incógnita; añádele su tercio y una unidad;
resultará una incógnita más un tercio de incógnita
más una unidad; resta su tercio; quedan ocho nove-
nos de la incógnita más dos tercios de unidad igual a
una unidad, porque se ha enunciado en el problema
que se ha de restar del resto una unidad, después de
restar el tercio del resultado y no ha de quedar nada.
Dirás, pues, [como] los dos tercios de la unidad son
iguales a dos terceras partes de unidad, queda un ter-
cio de unidad igual a ocho novenos de la incógnita; la
incógnita es igual [pues] a tres octavos (1).
La prueba de esto es que sumes a los tres octavos
su tercio y una unidad; resulta uno y medio; si restas
del resultado su tercio y una unidad no queda nada,
como se propuso.
PROBLEMA AXÁLOGO
Si se te dice: la raíz de un cuadrado menos la raíz
de su raíz es tres cuartos.
La operación para esto es que supongas tu cuadra-
( , ) x + - + I
A- _ a: X I 8 2 8 I
3 3 9 3 ~ 9 "^ 3 ~" '' 9 "^^ 3
78
do como cuadrado del cuadrado a fin de que su raíz
tenga raíz. Toma la raíz del cuadrado del cuadrado,
que es un cuadrado, y réstale su raíz, que es [pág. 51 1
una incógnita; quedará un cuadrado menos una in-
cógnita igual a tres cuartos. Algebriza el cuadrado con
la incógnita y añádela a los tres cuartos; tendrás un
cuadrado igual a una incógnita más tres cuartos de
unidad.
Te he reducido, pues, este [problema] a la cuestión
sexta. Por lo tanto, divide por dos las raíces, multi-
plícalas por sí mis.mas, suma lo que resulta con los
tres cuartos, toma la raíz del resultado y súmala con
la mitad del número de las raíces. Lo que resulta es
la incógnita, que es uno y medio. Esta es la raíz de
la raíz; la raíz es dos y cuarto; el cuadrado es cinco y
medio octavo (1).
La prueba de esto consiste en que tomes la raíz de
cinco y medio octavo, que es dos y cuarto, restes de
los dos y cuarto su raíz, que es uno y medio, queda-
rá tres cuartos, como se propuso.
PROBLEMA AXALOGO DE COMERCIO
Si se te dice: un hombre tiene un capital; comercia
con él y lo dobla; da de limosna ana anidad; después
comercia con el resto y lo dobla; vuelve a dar de li-
(i) Sea el cuadrado y = x*
4 4 r\2'42 2
4 2
- 79 -
mosna dos unidades; comercia después con el resto y
lo dobla; vuelve a dar de limosna tres unidades y le
quedan veinte. ¿Cuánto es el capital?
La regla para esto es que supongas tu capital como
incógnita y lo dobles, como se propuso; será dos in-
cógnitas. Se da de limosna una unidad; queda dos
incógnitas menos uno. Después comercia con el resto
y lo dobla; será cuatro incógnitas menos dos unida-
des. Se da de limosna dos unidades; queda cuatro in-
cógnitas menos cuatro unidades. Se comercia con esto
y se dobla; será, pues, ocho incógnitas menos ocho
unidades. Se da de limosna tres unidades; será ocho
incógnitas menos once unidades igual a los veinte
que se propusieron. Aplica el chéber y almocábala;
te resultará el capital tres y siete octavos; esto es lo
que deseabas conocer (1).
Si ahora doblas las tres unidades y siete octavos,
restas del resultado una unidad, después doblas lo que
queda, restas del resultado dos, doblas lo que queda
y restas del resultado tres, te quedarán veinte, como
se propuso.
[Pág. 52] PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: un hombre tiene un capital; comercia
con él y lo dobla; da de limosna ana unidad; comercia
con el resto y lo dobla; da. de limosna dos unidades;
después comercia con el resto y lo dobla; da de limos-
(i ) r; 2 .v; 2 x — I; 4 .r — 2; 4 a- — 4; 8 .c — 8; 8 r — i I = 20;
- 80 -
na tres unidades y no queda nada del capital. ¿Cuánto
es el capital?
La regla para esto es que supongas tu capital como
incógnita; después, dóblalo, según se propuso; tendrás
dos incógnitas; da de limosna una unidad, te quedará
dos incógnitas menos uno; comercia con el resto y se
dobla; serán cuatro incógnitas menos dos unidades;
da de limosna dos unidades; quedarán cuatro incógni-
tas menos cuatio unidades; comercia con ello y se do-
bla; serán ocho incógnitas menos ocho unidades; da
de limosna tres unidades; serán ocho incógnitas menos
once unidades igual nada (1). Aplica el chéber y al-
mocábala: te resultará el capital uno y tres octavos,
que es lo que deseabas conocer (2).
I'KOlil.KMA AXAlOOO
Si se te dice: un hombre tiene un capital; lo divide
por mitad con un hombre y le da además una unidad;
después parte igualmente el resto con un segundo hom-
bre y le añade dos unidades; después parte el resto con
un tercer hombre y le añade tres unidades. Le quedan
diez unidades. ¿Cuánto era el capital?
La regla para esto es que supongas tu capital como
incógnita; lo divide con un hombre, quedará media
incógnita; después le añade una unidad y le queda
(i) Literalmente no cosa, de modo que no emplea la palabra
safar = cero,
(2) x; 2 x; 2 X — I ; 4 jr — 2; 4 j: — 4; S x — 8; 8 .r — 11=0;
8^=11; -r = I -f A .
— 81 —
media incógnita menos una [pág. 53] unidad; después
parte el resto con el segundo hombre; le queda un
cuarto de incógnita menos media unidad; después le
añade dos unidades y queda en su mano un cuarto de
incógnita menos dos y media; después divide el resto
con un tercer hombre y le da, además, tres unidades;
le quedará un octavo de incógnita menos cuatro uni-
dades y un cuarto igual a diez. Aplica el chéber y al-
mocdbala; te sale el capital ciento catorce, que es lo
que deseabas conocer (1)..
CAPITULO DE LAS DOTES I
Si se te dice: ana mujer se ha casado con tres ma-
ridos; la ha dotado el primero con una cantidad des-
conocida, la ha dotado el segundo con tres cantidades
semejantes a la en que la dotó el primero y la ha do-
tado el tercero con cuatro cantidades semejantes a la
en que la dotó el segundo. El resultado total es ochen-
ta. ¿Cuánto es la dote [que le dio] cada uno de ellos?
La regla para esto es que supongas lo que la dio en
dote el primero como incógnita; será lo que la dio el
segundo tres incógnitas, será lo que la dio en dote el
tercero doce incógnitas. Son dieciséis incógnitas igual
ochenta. Divide el ochenta por las dieciséis incógni-
tas. Resulta lo que la dio en dote el primero cinco y
el segundo quince y el tercero sesenta (2).
Suma todo esto y será ochenta, como se propuso.
X — 34 ^ 8o; X ^ 114.
(2) X -}- ■^ X -{- 12 X = 16 X ^= 80; ;c ^ 5 .
— 82 -
SEGUNDO PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: una mujer se ha casado con tres mari-
dos; la dotó el primero con una cantidad desconocida,
la dotó el segundo con cuatro semejantes a lo en que
la dotó el primero más una unidad, la dotó el tercero
con tres semejantes a lo en que la dotó el segundo más
tres unidades. El total es cincuenta y ocho. ¿Cuánto es
la cantidad desconocida?
[Pág. 54] La regla para esto es que supongas lo
que la dio en dote el primero como incógnita; será lo
que la dio en dote el segundo cuatro incógnitas más
uno; será lo que la dio en dote el tercero doce incóg-
nitas más seis unidades. Si juntas todo lo que la dio
en dote cada uno de ellos alcanza a diecisiete incóg-
nitas más siete unidades igual a la suma de lo que la
dieron [en dote] que es cincuenta y ocho. Aplica el
chéber y almocábala; resultará lo que la dio en dote
el primero tres, el segundo trece y el tercero cuaren-
ta y dos (1).
TERCER PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: una mujer ha estado casada con tres
maridos; la dio en dote el primero una cantidad des-
conocida; la dio en dote el segundo la raíz de lo que
la dio el primero; la dio en dote el tercero tres canti-
dades semejantes a la en que la dotó el segundo. El
total es treinta y dos.
(i) x + (4;«;+i) + (i2x + 6) = i7jr+7=s8; IT x=S^y ^=Z-
- 83 -
La regla para esto es que supongas lo que la dio en
dote el primero como cuadrado; será lo que la dio en
dote el segundo la raíz del cuadrado, que es una in-
cógnita; será lo que la dio en dote el tercero tres can-
tidades semejantes a lo que la dio el segundo, o sea
tres incógnitas. Tendrás un cuadrado más cuatro in-
cógnitas igual treinta y dos. Divide por dos las incóg-
nitas, multiplícalas por sí mismas, tendrás cuatro; sú-
malo con treinta y dos, te resultará treinta y seis. To-
ma su raíz (1), que son seis; resta de ella la mitad de
hs raíces, que son dos, quedará cuatro, que es la raíz
del cuadrado; el cuadrado es dieciséis. Esto es lo que
la dio en dote el primero; la dio en dote el segundo la
raíz de dieciséis; y la dio en dote el tercero tres seme-
jantes a lo que la dio en dote el segundo, que es
doce (2).
Si sumas lo que la dio en dote el primero, el segun-
do y el tercero te resultará treinta y dos, como se pro-
puso.
[Pág. 55] CUARTO PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: una mujer se ha casado con tres ma-
ridos; la dio en dote el primero una cantidad descono-
cida, la dotó el segundo con la raíz de lo que la dotó
el primero más una unidad, y la dotó el tercero con
tres cantidades semejantes a lo en que la dotó el se-
gundo más cuatro unidades. El total es cuarenta.
(i) Literalmente dice: Toma su raíz por seis. Tanto en esta
frase como en otras muchas iguales a ésta, la preposición árabe bi
(por) debe traducirse como lo hemos hecho en el texto.
(2) x^-^-x-^-^ x^x^ -\- ^ x=^-^2; ^= j/4-[- 32 — 2=4; .t2=i6.
— 84 -
La regla para esto es que supongas lo que la dio en
dote el primero, como cuadrado; será lo que la dio en
dote el segundo una raíz del cuadrado más una uni-
dad, o sea una incógnita más uno; será lo que la dio
en dote el tercero tres semejantes a lo en que la dotó
el segundo más cuatro unidades, es decir, tres incóg-
nitas más siete unidades. Tendrás un cuadrado más
cuatro incógnitas más ocho unidades igual cuarenta.
Aplica el almocábala y opera según precede en la
cuestión cuarta de las seis cuestiones; te resultará lo
que la dio en dote el primero, dieciséis; la dotó el
segundo con raíz de lo que la dotó el primero más
una unidad, o sea cinco, y la dotó el tercero con tres
semejantes a lo en que la dio en dote el segundo más
cuatro unidades, por lo tanto, diecinueve unida-
des (1).
Si ahora sumas lo que la dio en dote cada uno de
ellos, te resultará cuarenta, como se propuso. Com-
préndelo.
CAPITULO DE LOS PROBLEMAS DEL TRIGO Y LA CEBADA
Diez cahíces de trigo y cebada se venden: cada ca-
hiz de trigo por cinco [unidades] y cada cahiz de ceba-
da por dos. El total es cuarenta y cuatro. ¿Cuántos
cahíces hay de trigo y cuántos de cebada?
La regla para esto es que supongas el número de
los cahíces de trigo como incógnita, queda la ceba-
da [pág. 56] diez menos la incógnita; después multi-
(i) x2 + (x+i) + (3^ + 7)=^2 + 4 ^ + 8=40; x2 + 4X = 32
que es la misma ecuación del problema anterior.
- 85 -
plica el trigo por el precio a que se vende cada cahiz;
te resultará por valor suyo cinco incógnitas. Multiplica
los cahíces de cebada por el precio a que se vendió
cada cahiz; te resultará por valor suyo veinte unidades
menos dos incógnitas. La suma de todo esto te resul-
tará veinte unidades más tres incógnitas igual a cua-
renta y cuatro. Resta ahora el veinte del cuarenta y
cuatro, te quedan veinticuatro iguala tres incógnitas.
La incógnita es ocho, que es el trigo; y la cebada, lo
que queda de diez, que es dos (1).
Si se vende el trigo a cinco unidades, resulta, por
valor suyo, cuarenta, y la cebada a dos unidades, re-
sulta, para su valor, cuatro. De modo que viene a
ser el resultado de la suma cuarenta y cuatro, como
se propuso.
SEGUNDO PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: se compran tres cahíces de trigo por
diez unidades; se compra no se sabe cuánta cebada
por doce unidades; se vende cada cahiz de trigo por
el valor de cada cahiz de cebada-, se vende cada cahiz
de cebada por el valor de cada cahíz de trigo, y hay
un excedente de cuatro unidades.
La regla es que supongas la cebada como incógni-
ta; después divide las doce unidades por la incógnita,
te resultará doce dividido por la incógnita, lo cual es
el precio de cada cahiz de cebada; divide el diez por
(i) X cahíces de trigo 5 .xi
10 — X cahices de cebada. . . 20 — 2 .r ( " "^
3 X = 24; j; =: 8; I O — .V = 2.
— 86 —
el tres, que es el número de cahíces de trigo, te resul-
tará tres y un tercio; esto es, el precio por el cual se
compró cada cahiz de trigo. Multiplica el número de
la cebada, que es la incógnita, por el precio por el
trual se ha vendido cada cahiz de trigo, que es tres y
un tercio; te resultará tres incógnitas más un tercio de
incógnita; esto es lo que resulta para valor de la ce-
bada. Multiplica después los cahíces de trigo por el
precio a que se vendió cada cahiz de cebada, que es
doce dividido por la incógnita, te resultará [pág. 57]
treinta y seis dividido por la incógnita. Suma todo
lísto, y lo que resulte será el valor del trigo más el
valor de la cebada obtenidos en la venta. Lo que te
lesulta es tres incógnitas más un tercio de incógnita
más treinta y seis unidades divididas por la incógnita;
esto es igual al valor del trigo, que es diez, mas el
valor de la cebada, que es doce, y además las cuatro
unidades que [hemos dicho] había de exceso. La suma
total es igual a veintiséis. Multiplica ahora por la in-
cógnita (1) todo lo que tienes, puesto que sí el re-
i.ultado de dividir treinta y seis por la incógnita, lo
multiplicas por la incógnita, será treinta y seis. Ten-
drás, por lo tanto, tres cuadrados más un tercio de
cuadrado más treinta y seis unidades sin dividir (2)
igual a veintiséis incógnitas. Toma de cada término
(i) Ignora el autor que al multiplicar por la incógnita introdu-
ce una solución extraña, puesto que como veremos en seguida, ad-
4
niite para valores de la incógnita 6 cahíces y i cahiz más — de
cahiz. Este segundo valor es la solución extraña del problema.
Es digno de observar, sin embargo, que la comprobación del pro-
blema la realiza sólo para el caso de ser .\- ^ 6.
(2) Quiere decir enteras.
- 87 —
que tienes tres décimas suyas; y cuando tomes tres
décimas partes de todo lo que tienes, te saldrá un
cuadrado más diez unidades más cuatro quintos de
unidad igual a siete incógnitas más cuatro quintos de
incógnita. Divide por dos las incógnitas, que resulta
ser tres y nueve décimas; multiplícalas por sí mismas,
te resultará quince más un quinto más un décimo de
un décimo. Resta de ellas las diez unidades y los cua-
tro quintos de unidad; te quedará cuatro unidades más
dos quintos más un décimo de un décimo. Toma su
raíz [que es] dos y un décimo. Si le añades a la mitad
de las raíces, te resulta seis, que es la [cantidad de]
cebada desconocida.
Si quieres, resta dos más un décimo de la mitad de
las raíces, te quedará uno más cuatro quintos que es
la cebada desconocida (1).
(i) Sea -v los cahíces de cebada.
12
será el precio de cada cahíz de cebada.
A-
lO I
= 3 H será el precio de cada cahíz de trigo.
.V 13 -j j ^ 3 .V -| será el valor de la cebada.
12 36
3 . — ::= será el valor del trigo.
.r 36
3 .V -| 1 — = 10 -|- 12 -j- 4 será la ecuación que resuelve el
3 ^
problema.
3 .v2 + -^ -f 36 = 26 .v; — .r2 + 36 = 26 x; .v2 + -^ = -^ x.
3 3 10 10
El autor da esta ecuación en la siguiente forma:
a-2 + 10 + -i = 7.1-+ —a-
5 5
y obtiene el valor x así:
88
La prueba de esto es como se ha dicho anterior-
mente, o sea que la cebada son seis cahices y se los
vende por doce unidades; se vende, pues, cada cahiz
por dos unidades. Se vende cada cahiz de trigo por
tres y un tercio. Cuando se vende la cebada, que son
seis cahices, a tres y un tercio, que es el precio del
trigo, resulta veinte unidades. Vendidos los tres cahi-
ces de trigo a razón de dos unidades, que es el precio
por el que se vendió cada cahiz de cebada, te resulta
seis unidades. El total son veintiséis unidades. Luego
resulta que el capital [obtenido] es veintidós y un ex-
ceso de cuatro unidades, como se propuso.
(Pág. 58) TERCER PROBLEMA ANAlüGO
Si se te dice: diez cahices de cebada y trigo los ven-
do cada uno de ellos por un precio. Samo después los
valores de ambos, y lo que resulta ha de ser igual a
la diferencia que hay entre los dos precios más el ex-
ceso de lo que hay entre las dos medidas.
Has de saber que este problema es un síala.
La regla para esto es que supongas para el trigo,
el [número de cahices], que quieras de los diez; que-
dará la cebada el resto de los diez. Es, pues, como
si supones que el trigo son seis cahices; quedará la
5
9 \ .. . . , 4
^ + 7 + ^*-I^-(^+ -> x,^6;.,= r+^
— 89 -
cebada cuatro cahíces. Vendes el trigo por [el nú-
mero] que quieras de incógnitas; como si vendes
[v. gr.] cada cahiz de trigo por una incógnita; te re-
sultará para su valor seis incógnitas. Vendes la cebada
por [el número] que quieras; como, [por ejemplo], si
vendes cada cahiz por media incógnita; te resultará
para su valor dos incógnitas. Suma ahora el valor [del
trigo y la cebada] y te resultarán ocho incógnitas. Han
de ser iguales a la diferencia que hay entre las dos
medidas, que es dos, más la diferencia que hay entre
los dos precios, que es media incógnita. Resta ahora
la media incógnita de las ocho, te quedará siete in-
cógnitas y media incógnita igual a dos. La incógnita
es, pues, igual a un quinto de unidad y un tercio de su
quinto (1). Este el precio por el que se vendió el trigo;
el valor de los seis cahíces será una unidad y tres
quintos de unidad. Cada cahiz de cebada se vendió
(i) Este problema es indeterminado, existiendo una relación
entre tres incógnitas; pero el autor da a una de ellas (el número de
cahíces de trigo) el valor 6, y a otra de ellas (el precio de la ceba-
da) le da un valor igual a — de la tercera incógnita. Es decir, que
siendo .r el número de cahices de trigo, y el precio del trigo y s el
precio de la cebada, se verificará, según el enunciado, la relación:
X y -\- 10 3 — A- 3 = (/ Z) -\- 7. X lO
Abeubeder supone x = 6, z = — y resuelve el problema de
2
este modo:
Los 6 cahices de trigo valen 6/
Los 4 cahices de cebada valen. . . z y
8;/ = (6 - 4) + (>' - y) = 2 + ^; 7 r + ^ = 25
L»s J 53 5
- 90 -
por la mitad de lo que se vendió cada cahiz de trigo,
que es dos tercios de un quinto de unidad. Multiplica
ahora cuatro por dos tercios de un quinto; te resultará
dos quintos y dos tercios de un quinto, lo cual es
igual al valor total de la cebada. Súmalo con el valor
del trigo, que es uno y tres quintos, y te resultará dos
y dos tercios de un quinto, que es igual al exceso que
hay entre las dos medidas, más la diferencia que hay
entre los dos precios; porque lo que hay entre las dos
medidas, más lo que hay entre los dos precios, es dos
y dos tercios de un quinto. Luego los dos números
son iguales, como se propuso (1).
[Pág. 59] ('('ARTO PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: se venden tres especies de cereales: tri-
go, cebada y mijo. El trigo se vende cada cahiz por
cuatro unidades, la cebada por dos unidades y el mijo
cada cahiz por media unidad. De las tres especies se
venden cien cahíces que valen cien unidades . ¿Cuántos
cahíces hay de trigo, cuántos cahíces de cebada y cuán-
tos cahíces de mijo?
La regla para esto es que pongas los cahíces de tri-
go como incógnita y los cahíces de cebada como uni-
dades (2); te quedan los cahíces de mijo ciento me-
(;) El autor dice de este problema que es un siala, es decir, in-
determinado, porque asignando a .v y s otros valores cualesquiera,
resulta Y>a.Ta y un valor que satisface al problema y que se deduce
directamente de la ecuación
X (z -\- 2) — II s — 10
y = •
X — I
(2) Literalmente dinares. Es indudable que el autor propone
con este problema la resolución de la ecuación de primer grado con
dos incógnitas; para evitar, por una parte, la confusión que origina-
91
nos una incógnita menos el número [que se haya pues-
to]. Después vendes cada cahiz de los de trigo por cua-
tro unidades, te resulta cuatro incógnitas; después ven-
des cada cahiz de cebada por dos unidades, resultará
por valor suyo dos unidades. El total de las tres espe-
cies es cien unidades. Resta el valor del trigo y de la
cebada del valor de las cien; te quedará ciento menos
cuatro incógnitas menos dos unidades; este es el valor
del mijo en la relación que hemos mencionado. Su
valor en una relación distinta de ésta lo obtendrás si
multiplicas el número de cahíces por la mitad de una
unidad, que es el precio por el que se vende cada ca-
hiz. Te resultará por valor suyo cincuenta menos me-
dia incógnita menos la mitad de las unidades [de ce-
bada]; esto ha de ser igual al precio anterior, que es
ciento menos cuatro incógnitas menos dos unidades.
Resta las cincuenta de las ciento y te quedará cincuen-
ta igual a tres incógnitas más media incógnita más una
unidad y media unidad.
Busca dos números enteros [tales] que al multipli-
car uno de ellos por tres y medio y el segundo por
uno y medio, resulte cincuenta; encontrarás que el
número multiplicado por tres y medio si quieres es
uno y si quieres cuatro y si quieres siete y si quieres
diez y si quieres trece [pág. 60].
ría el llamar xai (incógnita) tanto a los cahíces de trigo como a los
de cebada y para indicar, por otra parte, que a la segunda incógnita
se'puede asignar un valor numérico arbitrario, emplea las palabras
xai y diñar del mismo modo que hoy empleamos las letras .v e y.
Debemos advertir a este propósito que Woepcke, en el «Extrait
du Fakhri», págs. 1 1 y 139, indica que Xd^ primera incógnita suele de-
signarse ^^Jjí = cosa y a la secunda se la denomina SptnS =^ parte
o bien ottA ^^ medida.
- 92 -
La regla para esto, [es decir], para encontrar el nú-
mero, es que multipliques el tres y medio por un nú-
mero que dé un producto menor que cincuenta y di-
vidas el resto (1) por uno y medio; te ha de resul-
tar un número entero porque la mayor parte de los ca-
sos en que se emplea esta clase [de problemas] es
para pájaros, bestias de carga y la mayor parte de los
animales en los que no es factible la división de ellos,
como muías, caballos, asnos y otros semejantes a és-
tos; por eso hemos dicho: busca dos números enteros
[tales] que al multiplicar uno de ellos por tres y medio
y el segundo por uno y medio, te resulte un número
entero, como hemos dicho. Si supones, pues, que el
trigo es cuatro y lo multiplicas por tres y medio te re-
sultará catorce; réstalo de cincuenta, quedará treinta y
seis; multiplica las unidades por uno y medio, [resulta
que son] treinta y seis, las unidades aquí son veinti-
cuatro; esto es la cebada. Si sumas ahora el trigo y la
cebada vale veintiocho; réstalo de ciento; te quedará
setenta y dos; esto es el mijo (2).
, , I
(i) (^ue es 50-3 — •
(2) Para resolver este problema comienza el autor por suponer
X. . . el número de cahíces de trigo
4.V. . . será su valor en unidades de dinero.
Hace después
}' . . . el número de cahíces de cebada
2;)'. . . será su valor en unidades de dinero.
Asi resultará
100 — A- — y. . . el número de cahíces de mijo
100 - 4 .r — -Zj.,. será su valor en unidades de dinero,
porque los valores del trigo, de la
cebada y del mijo han de sumar lOO.
Pero por otra parte se supone que el precio del mijo es media
unidad por cahíz, luego
- 93 -
Si vendes cada cahiz de mijo por media unidad ob-
tienes treinta y seis; resulta para el valor de la cebada
cuarenta y ocho y para el valor del trigo dieciséis. De
este modo sale ciento [cahíces] en ciento [unidades].
Esta es la manera de operar en todo este capítulo.
Si no encontraras dos números enteros [tales] que
al multiplicar uno de ellos por tres y medio y el se-
gundo por uno y medio, lleguen a igualar el cincuen-
ta, puedes suponer el número del mijo como unida-
des y el trigo como incógnita y operar según antece-
de. Igualmente, sí tampoco así te resulta el problema,
entonces supondrás para el trigo el resto de cíen y
opera según lo que antecede. Y si tampoco sacas este
problema numérico (1), entonces sustituye alguno de
los números y haz con ellos estas operaciones, según
antecede.
50 — — . . . también será el valor del mijo en unida-
des de dinero.
Igualando ahora ambos valores del mijo, resulta
A- ;'
1 00 — 4 .V — 2 j = 50
50 = 3- + ^ +y + '- = (3 + 1) .v+ (. + ^),.
Los valores que obtiene el autor para :\',y, son:
.r= i) 4/ 7/ 10) 13)
j)/ = 3n 24( i7\ loj 3)
(i) Literalmente, el texto dice problema abierto de tiúmeros
(^jlac^l g ^9' i a o M J '^ 'i i o) que traduzco por problema numérico.
Llámanse así todas las cuestiones para cuya resolución no es pre-
ciso suponer lo desconocido como incógnita, sino directamente
como un número dado. Por esta razón están excluidos los proble-
mas de Geometría. (Cfr. Sprenger, Dictionary of thetechnical terms,
Calcuta, I, 45.)
— 94 —
La mayor parte de los problemas salen numéricos,
y resultan también con soluciones múltiples, según se
dijo anteriormente, y en la forma en que ha resultado
este problema.
Has de saber, sin embargo, que este problema y sus
análogos no son posibles sino cuando el precio de
una de las dos (1) es menor que la unidad. Tenlo
presente.
[Pág. 61] CAPÍTULO DE LOS EJÉRCITOS (2)
Si se te dice: un grupo de soldados realiza una expe-
dición y recoge de botín el primero de ellos [de los sol-
dados] dos unidades y van aumentando de tres en tres;
el total de lo que cogen de botín es ciento veintiséis.
La regla para esto es que supongas el número de
soldados como incógnita, restes de esto un uno y te
quedará una incógnita menos uno; multiplica esto por
el exceso gradual (3), te resultará tres incógnitas me-
(i) Se refiere a las especies consideradas para la ecuación final.
(2) La traducción de la nota marginal que en este folio apa-
rece en el manuscrito, es así:
«El fundamento de la operación en los problemas de los ejérci-
tos y de la progresión de los correos es [que se trata de] una cier-
ta especie de suma; consiste en que cuando los números progresan
sucesivamente según un número conocido, que no sea dos, has de
multiplicar la razón por el número de los términos menos uno. Lo
que resulta has de sumarlo con el primero de los términos y la
suma será el último de los términos. Suma a esto el primero de los
términos y multiplica la suma por la mitad del número, es decir, del
número de los términos. Esto será lo que se busca. Nota marginal.»
(3) Dice exceso gradual refiriéndose a la razón de la progresión.
Así, pues, emplearemos indistintamente ambas traducciones.
- 95 —
nos tres unidades; añade a esto lo que cogió de botín
el primero y te resultará tres incógnitas menos una
unidad, que es lo que adquiere de botín el último.
Suma lo que cogió el primero con lo que cogió el úl-
timo; te resultará tres incógnitas más uno. Multiplíca-
lo por la mitad del número de los soldados, te resul-
tará un cuadrado más medio cuadrado más media in-
cógnita, lo cual es igual a lo que recogen todos los'
soldados, o sea ciento veintiséis. Toma de cada térmi-
no que tienes sus dos tercios; tendrás un cuadrado
más un tercio de incógnita igual a ochenta y cuatro.
Divide por dos el número de las raíces, multiplica esto
por sí mismo, añade lo que resulta a las unidades,
toma la raíz de la suma, y resta de ella la mitad del
número de las raíces; te quedan nueve. Este [pág. 62]
nueve es el número de los soldados (1).
Si deseas comprobar esto, multiplicarás el número
de los soldados menos uno por el exceso gradual y
añade al resultado lo que coge de botín el primero,
que es dos; te resultará veintiséis, que es lo que coge
de- botín el último. Suma lo que coge de botín el pri-
mero a lo que coge de botín el último; multiplica [la
suma] por la mitad del número de los soldados; te re-
sultará ciento veintiséis, que es el total de lo que co-
gen de botín, según hemos dicho en el principio del
problema.
En este problema, como en los demás de los ejérci-
(0 ([(.V- i) 3 + 2] + 2) ^ = 126;
(3 -v + O - = — ■^•'- + - -= 1 26; .V* + _ .V = 84; .V = 9.
222 3
Véase lo dicho en el prólogo respecto al estudio de las progre-
siones.
- 96 -
tos y en los problemas de los correos, se emplea una
sola cuestión (1), la del exceso gradual de los men-
sajeros.
[Este último problema de los correos, es el siguien-
te: Supongamos] diez mensajeros: el recorrido del
primero es dos, el exceso gradual entre los diez ha de
ser tres. ¿Cuánto es el recorrido del último de ellos y
cuánto es el total de los recorridos de iodos ellos?
La operación para esto es que multipliques el nú-
mero de los mensajeros menos uno, por el exceso gra-
dual; añade al producto el recorrido del primero, te
resultará el recorrido del último. Después suma el re-
corrido del primero con el recorrido del último; mul-
tiplica lo que resulta por la mitad [del número] de los
mensajeros y obtendrás el total de los recorridos de
todos ellos. Compréndelo (2).
Asimismo si se te dice: una tropa hace una expedi-
ción y coge botín: el último de ellos [los soldados]
veintiuno y el exceso gradual es dos unidades; el total
de lo que cogieron de botín es ciento veinte. ¿Cuánto
es el botín del primero de ellos y cuál es el número
de soldados?
Supon el número de soldados como incógnita, resta
de él una unidad, queda una incógnita menos uno;
multiplícalo por el exceso gradual, será dos incógni-
tas menos dos; resta este resultado de lo que coge de
de botín el último de ellos, será veintitrés menos dos
incógnitas. Suma ahora lo que coge de botín el prime-
(i) Quiere decir que se resuelven por el mismo procedimiento.
(2) Recorrido del último... (lo — 1)3 + 2
10
2
Recorrido total ([(10 — i)3-|-2] + 2) =^ 'SS-
- 97 -
ro de ellos con lo que coge de botín el último de ellos;
resultará de esto cuarenta y cuatro menos dos incóg-
nitas; multiplícalo por la mitad del número de los sol-
dados, es decir, por la mitad de la incógnita; resulta-
rá veintidós incógnitas menos un cuadrado igual a los
ciento veinte, que es el total del botín de todos ellos.
Aplica el chéber y almocábala; tendrás un cuadrado
más ciento veinte unidades igual veintidós incógnitas.
Te he reducido, pues, [este problema] a la cuestión
quinta; opera según lo que precede y te resultará [pá-
gina 63] el valor de la incógnita, diez, que es el núme-
ro de soldados. Si quieres [saber] lo que corresponde
al primero de ellos, restarás una unidad de las diez,
multiplica lo que queda por el exceso gradual, resta el
producto de lo que cogió de botín el último de ellos y
te quedará lo que cogió de botín el primero de ellos (1).
PROBLEMA ANÁLOGO
Sise te dice: unos soldados hacen una incursión y
coge de botín el primero de ellos una unidad y se van
(i) El botín del primero es 21 — (r — i) . 2 = 23 — 2 x
El número de soldados resulta de
X
(23 — 2 .V -(- 2 1 ) — = 22 .r — .t2 = 1 20; x^ -|- 1 20 = 22 .r;
X ^ 11 + y 121 — 1 20; x^ ^= 10; :V2 = 1 2
El autor no tiene en cuenta más que el valor x = lo correspon-
diente a la progresión
-^ 21 . 19. 17. 15 . 13 . II .9.7. 5 .3
Es natural que no tenga en cuenta la otra solución .v = 12 que
correspondería a la progresión
4-21. 19. 17. 1513. II. 9. 7. 5. 3. I. — I
porque no supieron los árabes interpretar los números negativos.
7
- 98 —
excediendo en otra anidad. Cuando regresa la tropa,
dividen entre ellos, por igual, lo que cogieron de bo-
tín y les toca a cada uno de ellos diez unidades.
¿ Cuántos son los soldados?
La regla para esto es que supongas el número de
soldados como incógnita, restes de este número una
unidad, como has hecho siempre en el capítulo de la
progresión de los correos, te quedará una incógnita
menos uno. Multiplícalo por la razón, te resultará una
incógnita menos uno. Añade a esto lo que coge de
botín el primero, te resultará una incógnita, que es lo
que coge de bolín el último de ellos. Suma lo que
coge de botín el último de ellos con lo que coge de
botín el primero de ellos, te resultará una incógnita
más una unidad. Multiplícalo por la mitad del núme-
ro de los soldados, te resultará medio cuadrado más
media incógnita, que es el total de lo que cogieron
de botín. Si divides esto por el número de los solda-
dos sale diez, y si multiplicas el diez por el número
de soldados, es preciso que el producto sea igual a lo
que coge de botín el primero; tendrás, pues, diez in-
cógnitas igual a medio cuadrado más media incógni-
ta. Aplica el chébery almocábala; tendrás un cuadra-
do igual diecinueve incógnitas. La incógnita es igual
a diecinueve unidades que es el número de los solda-
dos. Compréndelo (1).
(i) El botín del último es., (.v — i) i -f i ^ .v
^ X .t2 X
El total del botín es. . . (.v + i ) — =
^ '2 2 2
(X X \
1 1 : .v:= 10 y por lo tanto,
(- — = 10 .r; .r2 =: 19 .v; .v =19.
2 2
-. 99
[Pág. 64] PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: una tropa hace ana expedición; el pri-
mero de los soldados coge de botín una unidad; se ex-
ceden en una unidad. Cuando regresan se distribuyen
por igual el botín y le toca a cada uno de ellos un nú-
mero igual a dos tercios de los soldados.
La regla para esto es análoga a la regla para el pro-
blema anterior a éste; es que supongas el número
de soldados como incógnita, te saldrá la suma de lo
que cogieron de botín, operando como anteriormente,
[igual a] medio cuadrado más media incógnita. Si lo
divides por el número de los soldados, que es la in-
cógnita, sale dos tercios del número de los soldados
que es la incógnita, como se propuso. Y si multiplicas
dos tercios de la incógnita por la incógnita y haces
almocdbala con lo que resultó antes, o sea medio cua-
drado más media incógnita, té saldrá para valor de la
incógnita tres, que es el número de soldados. Te re-
sultará lo que cogieron de botín, mediante la com-
probación antedicha, seis (1). Si ahora lo divides
(i) Siendo, como antes, .r el número de soldados, el total del
botín será
£ _ £
Se sabe por el enunciado que
Luego se obtendrá
'2. X' 2 f '^ ■V'2 5 ')C
— a-2 = '_ + I-; 2 x2 = AJ h ■^, 4 -v2 - 3 .t2 ^ 3 x;
322 22
:r* ^ 3 X; x = 3.
— 100 -
por el número de los soldados, sale dos, que es igual
a dos tercios del número de soldados, como se propu-
so. Tenlo presente.
C.\PITl'LO DE LOS CORREOS
Si se te dice: un correo sale de un pueblo con la or-
den de caminar cada día veinte parasangas y viaja
cinco días; después se envía tras de él otro correo con
la orden de caminar cada día treinta parasangas. ¿En
cuántos días lo alcanzará?
La regla para esto es que supongas los días que ca-
mina el segundo como incógnita; te resultan los días
que camina el primero una incógnita más cinco. Mul-
tiplica después el número de días del primero por el nú-
mero de parasangas que recorre en el día, y los días del
segundo [pág. 65] por el número de parasangas que ca-
mina en el día. Iguala uno de los dos números con el
segundo y tendrás cien unidades más veinte incógnitas
igual a treinta incógnitas. Resta las veinte de las treinta
y divide el ciento por lo que quede. Te resultará diez,
que es el valor de la incógnita, o sea el número de los
días del correo segundo. El primero recorre lo mismo
que el segundo más cinco, que son quince (1).
/ j \ A 5 días loo parasan gas B X
El primer correo sale de A; camina 20 parasangas cada día; al
cabo de cinco días (habrá recorrido 100 parasangas) se encuentra
en B; sale entonces otro correo de A que camina a razón de 30 pa-
rasangas diarias. Suponiendo que alcanza en X al primero después
de .V días, se verificará
100 -|- 20 .V = 30 x\, 100 ^ 10 .v; X = 10.
Por lo tanto el segundo camina durante diez días y el primero
quince días. El camino total ^^es 300 parasangas.
— 101 -
Si hubieras querido obtener los días que camina el
primero, ponlos como incógnita; tendrás los días del
segundo [igual a] una incógnita menos cinco. Multi-
plica después los días de cada uno de ellos por lo que
cada uno recorre. Iguala uno de los dos números con
el segundo; te sale el valor de la incógnita, quince,
que es lo que marcha el primero. Viaja el segundo lo
que viaja el primero menos cinco días, o sea diez (1).
PROBLEMA ANÁLOGO
Un correo sale de una ciudad con la orden de reco-
rrer cada día una parasanga y aumentar una más
[cada día] ; camina durante ochenta y cuatro días; des-
pués se envía tras de él otro correo con la orden de
que recorra cada día una parasanga y aumente dos
parasangas más [por día] . ¿En cuantos días lo alcan-
zará?
La regla para esto es que supongas los días que
marcha el segundo como incógnita; serán los días que
camina el primero una incógnita más ochenta y cuatro;
después, resta de los días del primero una unidad;
queda una incógnita más ochenta y tres; multiplícalos
por la razón, que es uno; añade [al producto] el doble
de lo que recorre en el primer día; multiplica [la
suma] por la mitad del número de días, que es media
(i) -El autor plantea ahora el problema suponiendo x el núme-
ro de días empleados por el primer correo, de esta manera:
.V días del primero .... 20 .r parasangas
X — 5 días del segundo. . . . (30 x — 150) parasangas
20 .T = 30 X — 150; 150 = lox; jc^ 15.
— 102 -
incógnita más cuarenta y dos; te resultará medio cua-
drado más ochenta y cuatro incógnitas más media in-
cógnita más tres mil quinientas setenta unidades. Este
es el número de parasangas que recorre.
Después resta de los días del segundo, que son la
incógnita, una unidad también; multiplica el resto por
la razón; añade al resultado [pág. 66] el duplo de lo
que recorre el correo segundo en el primer día; mul-
tiplica esto por la mitad del número de días del se-
gundo, que es media incógnita; te resultará un cua-
drado igual a medio cuadrado más ochenta y cuatro
incógnitas más media incógnita más tres mil quinien-
tas setenta, porque las parasangas del segundo son
iguales a las parasangas del primero después de la re-
unión de ambos.
Tendrás así, después de hacer almocábala, un cua-
drado igual ciento sesenta y nueve incógnitas más sie-
te mil ciento cuarenta unidades. Divide por dos las in-
cógnitas, multiplícalas por sí mismas, añádelas a las
unidades y te resultará catorce mil doscientas ochenta
más un cuarto; toma su raíz, que es ciento diecinueve
y medio; añádele la mitad del número de las raíces,
que es ochenta y cuatro y media; te resultará doscien-
tas cuatro, que es el número de días que camina el se-
gundo. Añádele ochenta y cuatro y serán los días del
primero o sea, doscientos ochenta y ocho (1).
Si ahora quieres saber el número de parasangas que
(')
El primer correo sale de A; durante ochenta y cuatro días reco-
rre la distancia AB; sale de A el segundo correo que alcanza al pri-
mero al cabo de x días; se tendrá por consiguiente:
Camino recorrido por el primero = i +2 + 3 + 4-|--- +(84 +.v) =
103
recorre cada uno de los dos, has de restar del número
de días de ambos una unidad, multiplicar el resto por
la razón, sumar al producto el doble de lo que reco-
rrió en el primer día y multiplicar la suma por la mi-
tad del número de aquellos días. Te resultará cuaren-
ta y un mil seiscientas dieciséis; este es el número de
parasangas que recorrió cada uno de ellos (1).
PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: dos correos salen de ana misma po-
blación, en un mismo momento, con la orden, uno de
los dos, de que recorra cada día veinte parasangas y
el segundo que recorra cada día una parasanga y au-
Camino recorrido por el segundo:=i +3 + 5 + 7+ ••• + (2-^' — ')^^
= [.V + 83 + 2] I - + 42 I = - + 84 X + - + 3570.
= Í{X - 1)2 + 2] — =.V2.
Igualando ahora ambos valores y efectuando operaciones, resulta:
v2 X
h 84 .T + — + 3570 = X2
2 2
X- + 1 68 X + .r + 7 1 40 = 2 x'^
x^ = 169 .r + 7140
= (..9 + |) + (84+ j) = 204.
El segundo correo camina, pues, 204 días y el primero 204 +
+ 84 = 288 días.
(i) Aplica el autor la fórmula [2 a^ -\- (n — i) ;-] — que da la
2
suma de los términos de una progresión aritmética y resulta el ca-
mino recorrido por ambos correos igual a 41616 parasangas.
104
mente una parasanga [oor día] . ¿En cuántos días lo al-
canzará?
[Pág. 67] La regla para esto es que supongas los
días en que alcanzará el segundo al primero, como in-
cógnita; esos son los días de cada uno de los dos.
Multiplícalos por el número de sus parasangas [es de-
cir, las del primero], que son veinte; te resultará vein-
te incógnitas. Después resta de la sola incógnita una
unidad, como siempre; multiplica el resto por la ra
zón [de la progresión] del segundo. Añade al produc-
to el doble de lo que camina en el día primero, te re-
sultará una incógnita más una unidad. Multiplica esto
por media incógnita; te resultará medio cuadrado más
media incógnita; esto es igual a veinte incógnitas. La
incógnita es igual a treinta y nueve, que son los días
en que alcanza el segundo al primero, y son también
los días de cada uno de ellos hasta el momento de su
encuentro (1).
Si ahora quieres saber el número de las parasangas,
multiplica treinta y nueve por veinte; te resultará seto-
cientos ochenta, que son las parasangas del primero.
Después resta de treinta y nueve una unidad, multipli-
ca el resto por la razón y añade a lo que resulta el
doble de lo que recorre en el día primero; te resultará
cuarenta; multiplícalo por la mitad del número de
días y resultan las parasangas. Compréndelo.
(i) Siendo .v el número de días que tarda el segundo en alcan-
zar al primero, se tendrá:
camino recorrido por el primero... 20 .v parasangas
camino recorrido por el segundo... i -|- 2 -)- 3 ... -(- •^" parasangas
Igualando ambos valores:
.r2 .T
— -j ^^20 .v; .V^ -)- .V = 40 ,v; X- =^ 39 ,v; .v = 39.
2 2
- 105 -
CAPÍTULO DE LOS PROBLEMAS DEL ILTICÁ (1)
Si se te dice: dos hombres se encuentran teniendo
cada uno de ellos un capital; dice uno de los dos a su
compañero: si me das de lo que tú tienes tres unida-
des^ las añado a lo que tengo y tendré lo mismo que te
queda. Dice el segundo: si tú me das de lo que tienes
seis unidades, las añado a lo que tengo y tendré dos
veces lo que te queda.
La regla para esto es que supongas lo que tiene el
primero como una incógnita menos tres [pág. 68] y lo
que tiene el segundo como una incógnita más tres uni-
dades. Cuando toma el primero tres [unidades] del se-
gundo, teniendo el primero en su mano una incógnita
menos tres, tendrá el primero en su mano una incóg-
nita y quedará en la mano del segundo una incógnita.
Dijo el segundo, que tiene una incógnita más tres, al
primero, que tiene una incógnita menos tres: si me
das de lo que tienes seis unidades tendré dos veces lo
que te quede; reúne, pues, el segundo una incógnita
más nueve y queda en la mano del primero una incóg-
nita menos nueve. La incógnita más nueve ha de ser
igual a dos veces la incógnita menos nueve, esto es,
dos incógnitas menos dieciocho. La incógnita más
nueve es igual, pues, a dos incógnitas menos diecio-
cho. Aplica el chébery almccábala; tendrás una incóg-
nita más veintisiete igual a dos incógnitas. La incóg-
(i) Conservamos este nombre (de íV^zVí? =: encontrarse), gene
rico de una serie de problemas, porque como puede observar el lec-
tor, se parte en todos ellos del supuesto de que dos hombres se en-
cuentran y se plantean uiutuamente un probleuia..
— 106 -
nita es igual a veintisiete. Tenía el primero una incóg-
nita menos tres, luego en la mano del primero hay
veinticuatro y en la mano del segundo una incógnita
más tres que vale Ireinta (1).
Si quieres, pon lo que tiene el primero como incóg-
nita. Le había dicho al segundo: si me das de lo que
tienes tres, tendré tanto como a ti te queda, luego re-
une una incógnita más tres. Lo que le queda al segun-
do después de darle tres, es una mcógnita más tres, es
decir, que tenía una incógnita más seis. Habíamos
puesto como incógnita lo que tenía el primero, pero
dijo el segundo, teniendo una incógnita más seis, al
primero, que tenía una incógnita: si me das seis unida-
des tendré dos veces lo que te queda, luego reúne el
segundo una incógnita más doce y le queda al prime-
ro una incógnita menos seis. La incógnita más doce
es igual a dos veces lo que queda, que es dos incóg-
nitas menos doce. La incógnita es igual a veinticuatro,
que es lo que tiene el primero. Habíamos supuesto lo
que tiene el segundo una incógnita más seis, luego lo
que tiene el segundo es treinta (2).
De este modo [operarás] en todo este capítulo del
ilticá: pondrás lo que tiene uno de los dos como in-
cógnita siempre, y sacarás lo que tiene el segundo par-
tiendo de una de las dos condiciones. Después sale el
valor de la incógnita de la condición segunda. Com-
préndelo.
(i) a- -(- 9 := 2 (^ — 9); a: + 9^2.r — i8; x -\-2'j ^2x; xz=2'j.
(2) .r -)- 12 = 2 ;c — I2J ;c = 24.
— 107
[Pág. 69] PROBLEMA ANÁLOíiO
Si se te dice: dos hombres se encuentran teniendo
cada uno de ellos un capital [con el cual] desean com-
prarse una tela, [pero] tiene cada uno de ellos menos
de [lo que vale] la tela; dice el primero de ellos al se-
gundo: si me das la tercera parte de lo que tienes, la
añadiré a lo que tengo y tendré el valor de la tela; y
dice el segundo al primero: antes bien, si me das el
cuarto de lo que tienes lo añadiré a lo que tengo y ten-
dré el valor de la tela. ¿Cuánto es el valor de la tela
y cuánto tiene cada uno de los dos?
La regla para esto es que supongas lo que tiene el
primero como [primera] incógnita y lo que tiene el
segundo como [segunda] incógnita (1) cualquiera.
Dijo el primero al segundo: si me das el tercio de lo
que tienes tendré el valor de la tela; luego el primero
tiene una incógnita más un tercio de la [segunda] in-
cógnita. Dijo el segundo al primero: si me das el cuar-
to de lo que tienes tendré el valor de la tela; luego el
segundo tiene la [segunda] incógnita más un cuarto de
[primera] incógnita igual a lo que tiene el primero, que
es una [primera] incógnita más un tercio de la [segun-
da] incógnita. Aplica el chéber y almocábala; tendrás
tres cuartos de [primera] incógnita igual a dos tercios
de la [segunda] incógnita. Algebriza ahora cualquiera
de los dos miembros [que te plazca], algebrizando el
segundo con lo mismo que algebrices el primero, a fin
de que se algebricen [ambos] (2). Algebriza, pues.
(i) Literalmente diñar. Véase la nota 2 de la pág. 90.
(2) Este párrafo equivale a la frase actual de (Quitar denomina-
dores .
— 108 —
los dos tercios de la [segunda] incógnita, lo cual se
hace añadiéndoles una cantidad igual a su mitad; aho-
ra añade a los tres cuartos una cantidad igual a su mi-
tad; tendrás la [segunda] incógnita igual a una incóg-
nita [primera] más un octavo de [esta] incógnita. Su-
pon ahora para la [primera] incógnita un número cual-
quiera que tenga octava parte, a fin de que resulte el
problema sin quebrado; así, por ejemplo, el número
ocho. Dijimos ya que la [primera] incógnita más un
octavo de la [dicha] incógnita es igual a la [segunda]
incógnita; si añadimos, pues, a la [primera] incógnita
su octavo tendremos el valor de la [segunda] incógni-
ta, que es nueve (1).
Si quieres supon para la [segunda] incógnita [otro
valor], el que te plazca, toma sus ocho novenos y asi
tendrás el valor de la [primera] incógnita (2).
Todo esto es evidente.
Dijo el primero al segundo: si me das el tercio de lo
que tienes [el segundo tiene nueve] tendré el precio de
la tela. Como el primero tiene ocho, será once [el va-
lor de la tela]. Dijo el segundo al primero [pág. 70]:
antes bien, si me das el cuarto de lo que tienes, ten-
dré el precio de la tela; él primero tiene ocho, le da
[al segundo] su cuarto, que es dos; si añades el dos a
lo que tiene el segundo, que es nueve, tendrás once. El
valor de la tela es, pues, igual para cada uno de los dos.
. . , X ,1/ X y ^ 2 X
(i) y-j--. = x-Jr--,X——=y——;—X:=-r,y=X+ —
4 3 4 3 4 3 °
Haciendo x = 8 resulta y ^ g.
X
(2) Si en la ecuación y=^ x -{- — se diera a y un valor cual-
8
quiera n, resultana .v = — «.
9
- 109 —
Si quieres resuelve este problema por el procedi-
miento segundo con que operaste en el problema pri-
mero, que consiste en que supongas lo que tiene uno
de los dos como incógnita y supongas el valor de la
incógnita el número que quieras. Resultará lo que tie-
ne el segundo una cantidad determinada [deducida]
de una de las dos condiciones. Después te resultará el
valor de la incógnita conocido por la segunda condi-
ción.
TERCER PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: dos hombres se encuentran teniendo
cada uno de ellos un capital y encuentran otro capital;
dice uno de ellos a su compañero: si tomo este capital
y lo añado a lo que tengo, tendré cuatro veces lo que
tú tienes; después dice el segando: si tomo este capital
encontrado y lo añado a lo que tengo, tendré siete ve-
ces lo que tú tienes. ¿Cuánto tiene cada uno de ellos y
cuánto es el capital encontrado?
La regla para esto es que supongas lo que tiene el
segundo como incógnita y supongas el capital [encon-
trado] como número. Si lo añades a lo que tiene el
segundo (1) resultan cuatro incógnitas. Supon aho-
ra el capital [encontrado] lo que quieras, con lo cual
ha de resultar la comprobación del problema, y supon
lo que tiene el primero cuatro veces lo que tiene el
segundo. El capital encontrado será tres. Es preciso
que lo que tiene el primero sea cuatro incógnitas me-
nos tres. Si ahora añadímoslas al capital encontrado
(i) Debe decir el primero.
- lio -
resultarán cuatro incógnitas, o sea cuatro veces lo que
tiene el segundo. Después añade el capital encontra-
do, que es tres, a lo que tiene el segundo, te resultará
una incógnita más tres; esto ha de ser igual a siete
veces lo que tiene el primero, que es veintiocho in-
cógnitas menos veintiuna unidades. Aplica el chéber
[pág. 71] y almocábala, te resultará el valor de la in-
cógnita ocho novenos, que es lo que tiene el segundo.
El primero tiene cuatro veces lo que tiene el segundo
menos tres, según se propuso en el enunciado del pro-
blema, lo cual es cinco novenos. Si añades ahora el
capital encontrado, que es tres, a lo que tiene el pri-
mero, r'^sultará tres más cinco novenos, lo cual es cua-
tro veces lo que tiene el segundo. Si sumas a lo que
tiene el segundo el capital encontrado, que es tres, re-
sulta tres más ocho novenos, lo cual es siete veces lo
que tiene el primero, según se propuso en el enuncia-
do del problema (1).
Si supones lo que tiene el primero como incógnita
y tomas su condición, es decir, la que él puso, al su-
poner para el capital encontrado lo que quieras, como,
por ejemplo, tres, tendrá el segundo un cuarto de in-
cógnita más tres cuartos. Este [resultado] del proble-
(i) Este problema cuyo planteo conduce al sistema indeter-
minado
y -\- z = ^ X
.v + 2 = T y
lo resuelve el autor suponiendo s :^ 3, designando por .r el capital
del segundo, por y el capital del primero y sustituyendo en la segun-
da ecuación el valor de y deducido de la primera ecuación. De este
modo:
8 <>
;r + 3 = 7 (4 a- — 3) = 28 A- — 2 1 ; 24 = 27 a-; a" = — ;>' = — •
- 111 —
ma es evidente que no sale de la condición del segun-
do. [Ahora] el valor de la incógnita es cinco novenos,
que es lo que tenía el primero, y lo que tenía el se-
gundo es ocho novenos. Compréndelo (1).
CUARTO PROBLEMA ANÁLOGO
Si se te dice: dos hombres se encuentran teniendo
cada ano de ellos un capital, encuentran otro capital
y dice uno de ellos a su compañero: dame de lo que
tienes una unidad más este capital encontrado y ten-
dré lo mismo que te queda; pero dice el otro: antes
bien, si tú me das de lo que tienes cuatro unidades más
este capital encontrado, tendré tres veces lo que te que-
de. ¿ Cuánto tiene cada uno de ellos y qué capital es el
encontrado?
La regla para esto es que supongas lo que tiene el
segundo como incógnita más una unidad y supongas
el capital encontrado como un número. Si añades a
él la unidad añadida a la incógnita y añades esto a lo
que tiene el primero, habrá de ser igual a lo que le
queda al segundo después de disminuirle la unidad, y
esto es una incógnita. Supon, pues, para el capital en-
contrado el número que quieras [pág. 72], por ejem-
plo, uno. Es preciso que si se suma este uno, que es
el capital, a la unidad, que se añadió a la incógnita y
(i) Suponiendo ahora .v el capital del primero, y el capital del
segundo y 3 ^ 3, como antes, resulta;
'^ + 2>='^y\ y = — + —\ — + — + 3 = 7-^;
4 4 4 4
5 8
15 = 27^; x= — ; y = —-
112
se suma esto a lo que tiene el primero, resulte de ello
una sola incógnita. Luego es necesario que lo que
tiene el primero sea una incógnita menos dos unida-
des. Ahora, si agregamos a lo que tiene el primero
una unidad de lo que tiene el segundo más el capital
encontrado, que es uno, resultará de ello una incóg-
nita equivalente a lo que le quede al segundo. Des-
pués, toma del primero cuatro unidades; le quedará
una incógnita menos seis unidades; añade las cuatro
unidades a lo que tiene el segundo, que es una incóg-
nita más uno más el capital encontrado, que es uno;
resulta una incógnita más seis unidades, lo cual es
igual a tres veces lo que queda en la mano del prime-
ro, o sea ocho incógnitas menos dieciocho unidades.
Aplica el chéber y almocábala; te resultará el valor de
la incógnita, doce (1). Hablamos supuesto que lo
que tiene el segundo es la incógnita más una unidad,
tendrá, por lo tanto, trece. Habíamos supuesto que el
primero tiene una incógnita menos dos unidades, ten-
drá, por lo tanto, diez unidades. El capital encontrado
es uno.
La comprobación de esto es que tomes de lo que
tiene el segundo una unidad, la añadas al capital en-
(i) El planteo de este problema conduce al sistema indeter-
minado:
y + \ + " = X
.V + I + 4 + s ^ 3 (^ - 4)
y lo resuelve el autor suponiendo 2=1, designando por x -\- i el
capital del segundo, por j el capital del primero y sustituyendo en
la segunda ecuación el valor áe y deducido de la primera ecuación.
U sea:
A7 + I + 4 -I- I = 3 (;c — 2 — 4); A- + 6 = 3 .r — 1 8;
X = 12; y =^ 10.
— 113 —
centrado, que es uno; sumes lo que resulte a lo que.
tiene el primero, que es diez; te resultará doce, que es
igual a. lo que le queda al segundo, como se propuso.
Después toma del primero cuatro unidades, le queda-
rán seis unidades; después añádelas al capital encon-
trado, que es uno; suma lo que resulte a lo que tiene
el segundo y será dieciocho, que es tres veces lo que
le queda al primero, como se propuso.
Si supones el capital encontrado como incógni-
ta (1) y operas por el procedimiento antedicho, te
resultará lo que tiene el primero once y lo que tiene
el segundo quince.- Has de operar para la comproba-
ción según precede.
Si supones lo que tiene el primero como incógnita
y el capital encontrado como una unidad y tomas la
condición del primero, te resultará lo que tiene el se-
gundo una incógnita más tres. Después [pág. 73] te
saldrá por la condición del segundo el valor de la in-
cógnita, diez (2).
Esta es la manera de operar en este problema, se-
gún dijimos, es decir, que supongas uno de los dos
como incógnita, te saldrá lo que tiene el segundo por
una de las dos condiciones y después te saldrá el va-
lor de la incógnita de este [segundo]. Compréndelo y
acertarás si Dios quiere.
(i) Debe decir dos en lugar de incógnita, pues de este modo
es como resulta
s = 2; j + 3 = x; X + T=T, (x — 7); 2 .\- = 28; .v = 14
-v -4- I = 15; r = 1 1.
(2) Suponiendo ahora, .v el capital del primero,;)' ei capital del
segundo y ; ^ i resulta:
■V -i- I + 1 ^ jj' — i; y = X -+- 3
•V -t- 3 + 4 + I = 3 {■''' — 4); v -h 8 = 3 -^^ - ' 2, .V — 10.
8
— 114
Terminó el libro del chéber y almocábala,
con la alabanza a Dios y su buena ayuda, a
once de Xagual del año setecientos cuarenta
y cuatro. Haga Dios con su gracia conocer lo
bueno de este libro (1).
(i) Aquí termina el libro, Las notas que siguen parecen de
distinta mano.
115 -
[Pág. 74] PROBLEMA DK ALGO ANORMAL (1)
Si se te dice: un ciento de ocas se comen en una
noche cien barchilas (2); mueren cada noche una de
aquéllas^ hasta que desaparece el número de ellas.
¿Cuánta comida sobrará y cual es el gasto [hecho] de
comida?
Ya sabes que la primera noche sobra una barchila,
la segunda noche dos barchilas, la noche tercera tres
y la noche centésima sobran cien barchilas; es como
si se te dijera: suma desde uno hasta ciento sin inte-
rrupción en los números. Añade, pues, el uno al cien
to, multiplica e! resultado por la mitad de cien y lo
que sea [el producto] será la comida economizada;
esto es, cinco mil cincuenta (3).
Si deseas conocer la comida consumida, ya sabes
que en la noche final no queda nada; en la noche no-
nagésima novena se consume una barchila, en la no-
(i) Tal es la traducción literal de la palabra SJjSi. (Cfr. Dozy,
Suppl. aux Dict. árabes, s. v.) No se nos alcanza el significado téc-
nico que exactamente corresponda a la palabra árabe, puesto que
este problema no puede llamarse anormal en el sentido de apartar-
se de las normas segridas en la resolución de los problemas an-
teriores .
(2) Barchila. —Medida de capacidad para áridos. Aunque aj
final del problema parece que la barchila es equivalente al cahíz, la
verdadera equivalencia entre estas medidas es: 36 barchilas = i
cahíz.
En la actualidad se emplea en algunas regiones de España (Va-
lencia, Cuenca), una medida de granos llamada barchilla.
(3) .S'= I + 2 4-3 + ... + 98-^99 + 100
¿■=(14- 100) = loi X 50 = 5050-
- 116 -
che nonagésima octava dos barchilas y en la primera
noche se consumen noventa y nueve barchilas; es por
tanto como si se te dijera: suma desde uno hasta no-
venta y nueve sin interrupción en los números. Opera,
pues, según precede; saldrán los cahíces consumidos
[igual a] cuatro mil nuevecientos cincuenta (1).
Apréndelo.
Si están las raíces con los cuadrados, resta la mitad.
Si están [las raíces] con los números, añádela [la
mitad].
Si están solas [las raíces], resta el número del pro-
ducto de la mitad por sí misma y añade la raíz del
resto y disminuyela; te saldrá la raíz del cuadrado (2).
FIN
(i) A= I + 2 + 3+ .. + 97 +98 + 99
I + 99
S — . 99 = 50 X 99 = 4950-
2
(2) Este párrafo condensa la resolución de ecuaciones de se-
gundo grado y en él está contenida la discusión de la ecuación de
segundo grado tal como podía estudiarse en la época del manuscri-
to, es decir, antes de que se adoptaran las soluciones negativas.
Resolver una ecuación en aquel tiempo era. según ya hemos dicho,
encontrar los valores positivos de la raiz. Así se observa que los
autores árabes no mencionan la ecuación .v^ +/.v + ^ = o, por
que tiene dos raíces negativas, pero se ve que señalar, las dos rai-
ces positivas de la ecuación .v* — px + ^ = o y que sólo tienen en
cuenta la raíz positiva en las ecuaciones de las formas
.V* -+- px — ¡/ = o y .V' — px — ^ = o.
El párrafo aludido puede traducirse libre pero fielmente interpre-
tado, del modo que sigue:
«Supuestos positivos todos los términos de una ecuación completa
- 117 --
de segundo grado y entendiendo por radical la raíz cuadrada del
cuadrado de la mitad del coeficiente del término de primer grado
más o menos, según corresponda, el término independiente, se po-
drán presentar en la práctica tres casos, a saber;
I." Si en el primer miembro se encuentran los términos de se-
gundo grado (cuadrados) y de primero (raices), se resuelve la ecua-
ción restando del radical la mitad del coeficiente del término de
primer grado.
2.° Si en el primer miembro se encuentran el término de primer
grado (raíces) y el independiente (números), se resuelve la ecuación
sumando al radical la mitad del coeficiente del término de primer
grado.
3.° Si en el primer miembro se encuentra únicamente el término
de primer grado, existen dos valores para la raíz, que se obtienen
sumando al radical o restando de él la mitad del coeficiente del tér-
mino de primer grado.»
Las fórmulas correspondientes a estos tres casos, son:
p.X ^-q^ .T* x = \¡L ^ '/ + —
V 4 2
TEXTO ÁRABE
correc:c:íones al texto árabe
Página. Linea. Dice. Debe decir.
fr última 5I9I 51 9I
f \ 15 v^ )(i«
- V1 -
i^ íjLlÍ><Jl9 jjjJI Ü9s«« vIj
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sJliMjj ÍaU Íi^^]s^] ¿L»J1 ^ vsJxi «J9 «Míe iJ sIkS )¿|
s»Lo JÍ9Í s^ |4>i3ia£ ^ sil ^j 81:^)9 »iJ sJá U^ siUs
já^:» i(IJ sjgj ^1 <Lolc iiia •>^\»^] vi« süü| s^^ s^l*^]
^¿9 BJi^ ÜjJUJj gLJI ^9 sioiJluij^ i^iUJI i^Jj ^9 sJUiijJ
s^ (»«^l ^ sLi )pl£á í(J1jí>j4 silo i»^ silo vS^9«JI iUJI
tíUll ^ i>Al9J| ^^l¿ i^lí^^l ^19^ s^ ^^ vsJI ^19
já9«J| s<l»^| 94>Á sjji U¿ tíWl sjoi ^ <*oi^l le ^jól9
lais sa9Ái«J| s«l«^1 <>^j| SJI9 sÍ9uuv»S9 sÁ^I giHQ^ ^^9
ípoiü ÍMÍ9«J1 sJJI SÍI9 ^^^ siuk v«J i(a39«J) ihl\ si) <LeJc
«0)9 s«míJ|jj!i^ siÜl snntiÜ9 ÜoíUjí SJ4J9 sJlúij^ sJiÁil vÓJJUiüg
dJ sj¡^i ¡íi]6a üJImijj sá,tX4iÜ9 ípujü t4>4Í sjiül sJ9^| Hhl]
v.XeXÜ blbf^l s^\$i ,5>lc s.i;»5U<Ü9 ípbuü 3JI b^l9 si« ^wo>l
SÍU9U1Ü9 sj^l ipuj) 8Í93Í«J1 SJÁS^I c^jáÑi s^^rkiÜ U ^slc
««JxU si9,ut^9
(*e <»ili silg sioill c^jái 0|9«511 (*« jS^i^l ^^tó lí*l
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s.«4>ljia JPMj^l *J-o¿MÍ *»-<>4)lji» [f" 46 r.°] Üxut 511 <^^-¿ »*«
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^5ÍC slo^ U4)jia 3-í1jJ1 («o Uo iá^li "ól 5JS ^ ^Uio^Ilg
sjgjll j*o ^^1 s^ <*«i^l U) 0^>ikJ9 iíikig 94)9 iag^gJl UW)
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^ ^j^ U ¿«*aá9 >3-iíJl ^ fCUjl tó51j9 jü^l sjjói sjjá
j^^j ^ic l«4>i:»^l ''««'ulA» sij^iivC 0£ ^^ v^ |S4)9 8^^!
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- f 1 -
<sÁo lii^lss ^j^iJl ^«Jl^jJI *oio liaJ^la "^-íl— al U ^iós jj
^ ÍMjóla -►^ (*4j9 ^S'U* iJ c>j¿-» ¿JiíLJ; iJSg sójjiSllj
i(j^9 «Jto («4j9 OU 6i c^jáo üá^s >^ 34>3 ^j^511 sJl^jJI
vJá ^lo S^Uü <<ojjii«¿. *<J:3JU 1¿4>¿ ^S"^ r^^jl SJ^9 >!>>-ú>1
¿5^% [f.° 28 v."] A OU i«« ^94»s 8-iVoi.l «*»jl i*o >^
(AjÍj ¿*4y) vS^ »^5aÍÜ U ,5^^ U««Sá *«JÍ»»jl Ois^j j^\am]
Vp4>j!:> sjxu>«':^J| s^4>íJ'C s'ioduiü 1¿|á Bmi«^ vi^^^l sj|_^jj|
vi«juiÜ9 8^^ s«4)^ sübj |S|á Í¿JM£ v«4>io ¡a^ls ^^ c>J^:^
(J»jj9 i(j4ii vjjj^3) SAO ia^ls ^"^ c^J^:* "*->í-««^ e*o>»^I lo jic
s^ U ««ios jio ^i 8j^C 'vktJg^j vi« ^^l9 *>J^ (^j^ '^1^9
(1) Al margen del f." 28 r.°, aparece la siguiente glosa de
mano distinta:
Ul )(Jl ^iá9 U>xJ| 1S4> ^íUj Ij4á sJJ :a«^|
sj ^ 94>9 c^jl^ f^j^ ^s^ s^ U4)jía «ÓJ**©^ %) ^«-«i¡
«Sjó «^9^ si] <s.^ ^jü Vi ^ ^j^ gj^ Íf^UJ9 ^s^ s^
^S^ ^á »jjó|¿ |j:^| ««MiüJj (>jl:^ 94)9 ^3-ui c^-íjS -'.S'^ 9^)9
^^jui 3^9 >U^1 a^s ^le ^<^ ^ ^»o'i;fc.» ^^wuÜ) s.jüjk 94)3
^U ^»< '^$^. 3-^ ^ lo ji^U v,«4)j^ ímUJ) *J:^*!» I:i»4>á
8J^ ^ 69U0 >3^ O^ ''^jóU Í(J^ 3^ )MjÓJ ^¿9 ^lá
jpuljj) ^ ^^Ski» U ^ ^-ioxU íí«>»ljJI » l ^ ' " ol| ^1 <»^jik
t*»i>) U '«J«^9 |4>-Á» ^ l4)JjÓJ9 jliá^5)| «^SOM ^1 áJíás
s.«4)j:3 ÍmUJ] Uo4ttS jáU 8j^£ 94>9 >s^i\ i«^ ^»« ^9^
lóíl »i^ ¿iLuío :í.° 28 r.T
>,5J¿ s«4>i« :^&)9J1 «Hlotá "Jl^j s^ ^«4)j^ ^9M>«:^ ^«joü
^iijl ÜA^^ sa^jj '^9^1 ^lol U« ^1 ^^^1 ^i« i>^l9 "J^
£J¿ "Sjóii^ t^^ "^9^1 ^l>jJI sjn^j sil ^¿9 (1) ^^9MAeJ|
(I) Al margen: 50 ^5^** •
- f f -
,5ÍC sJü^l sü«^MJi s.«4)1jb gj^Úic U4>i4:> ^^U 61 sLü tSl
^ So m a J| sio c^ji U lÁ»j-b ,5^09 4j-Í io6 (TIjj) s^^
^^yúi ^ r^Ujl ii-^^l-^ "^jóta s«94tt3«J1 bU sJf s«94MÍt«J)
sÁo¿9 ^«^lj!=» «*4**9 -*vS^ <xVíjl 8-Ji51-J áJ t» oi» .* »j-*>*9
sxe f^s^ c^Ujl i^^ C^J^ "^1 ^-'^a ""J^I^S >*^l^ ):H«> sj:»»j
sJl^JU ^^^IS )-áoÍ9 ÍPtMl sJi&KJ >^5gúj ^j ^ ^^JUl ^^uM
sjjj^l ^ :aíi» j4^yi9 siá^l [V 27 V.' ] sJWl 94)9 sjjiJÜ
¿jj¡» U5 ^xlijl 8^^ (Ají síaxjjI ^
s«4Ji3J1 2 sjIoU >,s^9 sJjjMtc ,5ÍC iijU <i«MiÜ 61 sj^ jSl
(1) La palabra BJ '^ ' H o está en letra Diás pequeña sobre la pa-
labra 'síU-
(2) Al m arelen: sio^^^^^jxj.
- \r -
s^Jj3 já> ^) vJU ^>^i^ ^liJI Íiá4> ^^ s^Uá jji^l ipujj ^1
jiá^JIa sJU vÍJ«ÍJ) j4^j¿ UWI jl^l »«4jl ^i»»:» 1^4)3 jS»^
0::»M sj)<, v^kJ^ ^x« ^9^^ jls^^l sxjj^l ^^Jjc BÍ3J9 já^ '>«J^9
jSkCb. g4>9 ji^ yac »i-> *«Ji»»» OUlJa jSa '^ÜÍj jlS»^) Bm o^
<i&j^ )SlÁ s^34ii«^9 Bj^3 ^U:>l« vJUJls [f." 20 V. ] sJUl)
voJji Uü&^l lülá ^9«-M9 <^Uj19 üjIo ^í Uíjlsá^l 8»íjl 14>J«
soiui ^Ig jjS^l Jí«aj511 vJio ,^9 ^^Liíig 8*»jl »Uia^9 ^^
sjU9la s^Ui\a jlSa,! jpwj) sJi>»» iJS sili «^ilg j)S»>l gajjl 511
jlS»:>I 8»jj| 511 ^U 6»<a IjSik jAc ^ij sJsi«i jjiJi ¿^9^
5J¿ Oio S3J9 jlS»ik51| ¿«Jjilli «JUJl jiJ^lá jSih yiixc ^1 Oi»»4
lj&^ yiiic Íam sJiíkXj S.JU ^>^ ^9^ j^^ j^ 3-i^511 ,^Ic
^Jc siJA^^Ig sJ34ii«^9 8ÍM>9 ^li^U 'JI0JI9 j-wLC Üími jS^U
sJio ^S ^s-SJ Vo <WjÓ9 «*Jj9 »ÍJj »>.JAj4 OU ^ 'xijá Isál
^IjJI s^l jáSg Olo ••j«^^ s^-aJg »JU ,5^í»j« ^|jJ1 íP^j9
sJ:d9u ^jjiiJlá >3J¿ lál ^IJlá OUJl i»U: hmáí ^a vjjó ^io
[f 27 r."] ObJU sJ|^J|_á sJU VnMiía^ v^áoig '^\o ^«liw*»
vJUJIá ^g^lj »J¿^«J1 ^1 ii;tj¿.l iaA¿ >^ ,s-'**oÍ9 ^ỿí^«
S«tlj S.4ll«^ S^ulU^I 83Uj|9 Suiilo^^l j^'iSlA^ ÜM^ 94> *»J9J^«J1
s^4)jia 5II9I '«-94)jía9 •JUI i»l« »JÍp ^ ^Wl <MjÓ9 0)á
- f r -
^j^l ^ ló^l 8i« ttX:^4>
Og^l OWl iajJuá vjgjll vJUlI
(AoJ^ ^I:>^1 ü^^ ^J^d "Jd^l 0|«J| jl¿.2>{ üj^^ji ^á Sis vjjóU
)jjÓ *^>i>¿iU*iJ| sj^ lo4)j^ s^^bsu ^\j¡M ^ r^j^ "«JUJj ,s>lc
s^oi ^^Isij ^j»MiJlá t«4>jia ^iá ^^i ^1« 8i« (X.oXa>aS 01« 3hS
B^^j ^ ^S <>-*jó t^is v«4>jb VMibdui áJ 3JÍM )(jJji <i^j^
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^& SJJÓI9 S«iaSi«J1 b1¿au«J| ^ SjMxJ! sjÍxóI loi l4>Í3tóU
U^ >luui| Üiuio^ 6i f»^^^ ^^U "^Mid (1 -"l^^l 8j^»JI ^
(1) Sic; pero el sentido exifíe leer >^s^ ^'-
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SjAc ^l-j-Jj ^.ÜM 1j4í> la^j^JI v«MiJiJ| sjx^ si) hmí]^
ÜMi^ 6i (-woi^» ÜM^ s^ Vo4)i»^l ^jóU ^s^ 511 [f" IS v.""]
^^^yÚi ^1 gjMtC ^^Jc ^1 . » M i l JUloSJI 8&4) <>«^uiü j&Ve >I;H^1
(>jÁ U c^.í o N» ^jjj* Uá «jAc sJ9^:> p>ji Vo ^¿-ai ^iiáÁlg
s«4)j:3 «^ixüUJI ji^U ^]j^] )Uu«^ sJiaxi 3>OÍ \xui sijjAc ^1
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(1) En este folio 4 v.", existe la siguiente nota marginal que
parece escrita por la misma mano del copista:
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^^^Mi sJá 'si« ¿^1:í3 v&oi "^^U ^i« ^U ÜJ'MÚg "o^iaSi U ^xlc
^ c ■' w iá 0|-^) «^«^9 j^á^l '«^ "^^^¿9 ipuuj UiaJü jjá^l
s^iaü le s^
y¡»C ipbuü 0:a«i jl^l ÍUtt«^9 'JVe «««Soi ^-J Ooü ^J9
OWI ^>«^9 j5á^l **«i VS0Í9 Ufij^
■vig^ 3^^ sJI^ s.áoi j4>i "«^^ ^9JÍJ ^1 ^^ ^ "««iexJI
^Áúil 3J 6~»-^ U *-J-i VjoU ^-JAJil ^ >MjÓJ ^¿9 51U
[f." 4 V.'^J sjj'ii^g jpbuü sJiíkAa jl^l 8j<<¿£9 ''JU ^J t»<i^i>
»»«i»ÍÜ U s^ 0-o«5á »-JWl ^^9 jiáiJI ^«i
]j3¿^ OliaJU bb£3 OJ9«1 ÍUi«UJ1 »í^«noJ)
s.«á j|á>1 Í(jM£ sJl^xi U4>j^ s^9jwm£9 ::&^l9 sJl« ^gs g^
OWl s^9 jS>|
^j^9 UiMÜ ^ U^yd^¡ jjiá^^l "nSoü ^I ^:s ^ ^«xJI
- V -
S^MIÜU OÍ— o_Jl Sv©5g jS»aJ| S^ Udji» *^j-«£ Oi»*> OU
[f." 3 V.' ] OUl) 94>9 '<>^9*4j1 ^ C^J^:> vioiJI .¿Je s^jM>«J)
Ibi^ O^iftJú j9S> iiiJUJI ÜkMo^]
sJUJ) ^>^9 j^Á>J| v.«^ U4)j^ viíjAc 0:&3u vJVe j^ ^9^1 9^^
i:»:a£ ^^ v.«4>)j^) ^i»£ v^^uüi si] S-JS ^ 0-«-X-J)
al^ i n o H 8:í»4> ^ ^3yiᣠ^^9 j^^l 94>á (^^ loi j9^1
s»ij*jjl9 B«iio^ Os>«i jliá^l jíj5!j sJM» '>-»l9 Í(íU f*»jl 01^)9
iaiar ^ ^.oíDljíaJl s.<juí¿U sJ|_^>J1 ^^9 jS^l s<á lo4)j5a
s>JVoJ|9 j4¡i£ iUo«^ iJS»9 ^ikl9Jl jS»:^! 94x9 f>jÁ Uá jliá>51)
^9jjíuC9 j(jut«^9 1 '^ii'iiU
94)9 ^9yuic (^j^ *>J-oiJ| s^ 8j'*¡»*Jl ^«-«üU "^JWl '^«¿9
ÍmUjujI SJUJI9 j^Á^I
]b::»£ Obxj j9S>9 «JIgol iUuljJl «1^ *«»o l l
^«^ UOj^ v.Á|u^9 ÜMMÜ vJ:&»ü jl^l Sj^9 Ole ^93 9^^
sJW) s^9 jS^l
UMJÓÍ9 jl^^l [f." 4 r.' ] b:^ ^.ioij vi) ^!á ^ O«90|
(1) En el Dis.
)j9S:> sJbJCi vJ)^) ^9^1 MÍ^ «iioiU
vJUJ) s«£3 j^) ^«á SjjS^kl iyíac ObJU sJU ^93 9AÍ
vJt9«^| ^i:^ ,s^ jliá^^l ÍÍiM»i] v«4«iü vj| 6ii* ^ vloJtJI
&Ja« ^ jÜ:^l iJS> ^jó OWIg ^W) jS»^ 94)3 ^^j^i Ui
^jjui \c6 8jj:£k>) Syutc vJhxj 94>9
OWI v^9 jS^l
sj« (» oi»l U OUJI9 OUJ) jü»:^ ^4) ^Ó9jjíi9tJ) 8iá4>i ^9yM£
sJia»ii vJl«Jj «>Joi9 ÜiU (Aijj Sl¿9 «MiÁi ^ ji^k^l ^¿ ^jó
4j^ Uá «Já ^Wl jliio.| JJj-ix
já^l ^«i Sjl^l a*Mi ObJu <1|« ''>ioÍ9 UU 0!ü "^19
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