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J
^ '
3^ -
COMPENDIO
MATHEMATICO
TOMO III.:
V I
.A.
• » »
* ' . » /
COMPENDIO
MATHEMATICO,
EN QUE SE CONTIENEN TODAS
las materias mas principales de las Ciencias^
que tratan de la Cantidad.
QUE COMPUSO !:
EL T)ocro% r^HpMAS
VICENTE TOSCA , PRESBÍTERO DE LA
Congregación deí Oratorio de San Felipe Neri
de Valencia.
TERCERA IMPRESaON.
CORREGIDA , Y ENMENDADA DE MUCHOS
yerros de Imprefsion , y Laminas , como iq
verá el curiofo.
TOMO III.
{trigonometría.
SECCIONES CÓNICAS.
MAQUINARIA.
Coíí Privilegio.
E» Valencia : En la Imprenta de Joíeph García, Año 1757.
Se balUríí en Valencia en la Libreria de Manuel Caveto Cortes^
CaUe de Campaneros i y en Madrid en la de Don AngH
Corra<h , CaUe de las Carretas.
f '
i
APROBACIOtJ DEL SlñOR DOCTOR MIGVEL SÁSCUEZ^
PresHterotte la Congregación del Oramio de Sm Felipe Nerip
y Examinada SinoM de efie Arz^iffodó de Vaknúa.
•
DE comiísion del Señor Don Franciíco Fernandez Ma«
quilón , Dodor en ambos Derechos ; y por el IIuC-
trirsímO) y Revcrendifsinio Señor Don Fray Antonio Folch
de Cardona,por la gracia de Dios,y de la bantaSede Apof-
tolica, Arzobifpo de Valencia,del Confejo de fu Mageitad,
&c. Oficial, y Vicario General, he vifto el tercero Fotno
del Curio, 6 Compendio Maihematico, que ha compueíto
el R. P. Dodor Thomás Vicente Tofca , Presbítero de
nueftra Congregación del Oratorio , y no he hallado en el
(enténcia , ni palabra alguna que deídiga de la pureza de
nueftra Santa Fe , y buenas coftumbres ; y fiendo las mate-
rias que contiene de tanta utilidad para el bien publico juz-
go íe puede, y conviene dar al Autor la licencia que (blicí«
ta, ( íalvo iemper, &c.) En la Real Ca(a de la Congregación
del Oratorio de Valencia á iz. de Julio de 171o.
Dtffi. Miguel Sánchez^
Imprimatur. Imprimatur.
DqEI. Maquilan^ P. Thomas Melgarejo^
VicGen* y Gamboa.
Dsr-
índice
DE LOS TRATADOS , LIBROS^
y Capítulos , que en cite Tomo ter-
cero fe contienen.
TRATADO VU.
DE LA trigonometría.
LIBRO 1. De los Senos , Tangentes, y Secantes ; y del
Canon Trigonométrico , fag. 3.
DeHniciones, p/í^. 5.
Cap. I. De los fundamentos , y compoíícion del Canon de
los Senos, píi^. 6.
Cap.i.Deios fundamentos, y compoficion del Canon de
las Tangentes, y. Secantes , fag* 11.
LIBRO 11. De los Logarithmós, p/íg. 12. %
Definición única , fag. 13.
Cap. I. De la naturaleza, y propiedades de los Logarith-
vnos^ pag, 14.
Gap.a. De la fabric* délos Logarithmos, /w¿. 25.
Cap. 5. Del ufo del Canon Trigonométrico , y Tabla Lo*
garithmica, p4¿. 32.
Cap.4. Aplicación de los Logarithmos á diferentes opera-
ciones, í»4:^. 43.
Tablas Trigonométricas , y Logarithmicas, p4¿. 48.
LIBRO Ilí. De laTrigofnomecriarecl:ilinea,p4¿. 49.
D|efiniciones, pag. 49.
Cap. I. Theoremas fundamentales para la refolucion de los
triángulos rectilíneos redangulos, pag. 49.
Cap.2. Déla refolucion de los triángulos redilineos reáan-
gulos, p4¿, 51.
Cap.3. Theoremas fundamentales para la- refolucion délos
triángulos reólilineos obliquangulos, p4¿. 56.
Cap*
Cap.4* De 1^ reíblucion de los triángulos redilineos obE*
quangulos, pag. 59. .
LIBRO IV. Ifagogtóo para la reíbíucioh de los triángulos
esféricos , ó curvilineos , pa¿. 68.
Definiciones, pag. 68. . . •
Cap. I. De las propiedades de los circulps. máximos , y án-
gulos esféricos, pdg* 70.
Cap. 2. De las propied^es de los triángulos esféricos en
común, p4¿. 7j.. .....
Cap. 3. De las propiedades de los triángulos esféricos rec-r
tangulos, pag. 87. .
Cap.4. De las propiedades de los triar>guk>$ esféricos obIi«
quangulos, pag* 911 . .... . .
LIBRO V. De la réfolúcion de los .triángulos esfericof
redangulos, pag.oi.
Cap. I. Theoremas íucxlamentál^^arar^la reíblucion de los
triángulos esféricos reaángulos ^^pag. 98.
Cap. I. De la refolucion de los triángulos e;5fericos redangu-
los^pag.ioi. '
LIBRO VI. De la reíblucion de los triángulos esféricos
^ obliquangulos, f4tg. i 1 3 •
Capa\JCbeoremasfa»daaien tales paira la refolucion de los
triángulos esféricos obliquangulos x^uaado fe dan cono-
cidos!, ang. y i. lado,Ó2.1adóSyy i. ang. pag. 114.
Cap;í;Thcorentísrfiiiidftmfntaí«S'4Mkra Ja jeíolucion de ip$
triángulos esféricos obliqúat^ulos^ai'que fe dan conoci-
dos íus 3. lados, o fus 3. ángulos, pápi 1 8. . ;
XDap&jl- En quefescé&idven ios triángulos .esféricos obli-^
quangulos, f4;g. 1264
fÍJtiKéldlixáon de;lbs triapgiilos e9Íerico$ obliquanguk^si
en que íe dan tres panes alternas^ pag. 127.
S. 2. Refolucion de los triángulos esíctricos obliauangulos^
. eniquefé;dandQ$paíteaalterDas,y.unaintefmed.p4j.i30«
§.3. Reíblucion de los triángulos esféricos obliquangulos,
; .£0 que fe dan 2'.paí'tes álteroas^y i«Qpuafi|i, fog. 137..
Apéndice, p4g. 144»
TRA-
— j
TRATADO VIII.
DE ZAS TRES SECCIONES CÓNICAS^
Elipfs y VarabolA , i Hiftrbola,
D
Efinicioncs comunes, fag. i(So»
LIBRO I. DelaElipfe, fag. 162.
Definiciones, £4^. 162.
LIBRO II. De la Parábola, ;4¿. 198.
Definiciones, fag. 198.
LIBRO III. De la Hipérbola, fag. 2 50»
Definiciones, fag. 230.
TRATADO IX.
HE LA MAQUINARIA
LIBRO I. De los principios de la Maquinaría , y raaon
phifico-mathematica del aumemo de la potencia pof
las maquinas, fag* 267.
Definiciones, fág. zóy. * »
LIBRO 11. De laprime^a maquina fundamental, llamada
Barraco Palanc a, f4g. 277. .
Dcfiniciones,p4g. 178*,
LIBRO IIL De la fegunda maquina fundamental,llamada
Torno, Argüe, ó Exe en la rueda", fAg, .299.
LIBRO ÍV« De la tercera maquina fundamental, llamada
Carrillo , ó Garrucha , fág* 5 1 !• /
Definiciones, p4^. 31-1.
LIBRO V. De la quarta maquina fundamental , llamada
Cuña, p4|. 321.
LIBRO Yl. De la quinta maquina fiíndarnental , llamada
Rofca, y de algunas maquinas compueílas^ fag, 327. /
/
TRA-
lEE DE IMATÁS DEL TERCER TOÍÍO.
«
PAg. ^T^Iin. i8. mimos 9 lee mifmos. Pag. 189. lin. 16.
lifta, lee hafta* Pag. 28^. lin. 12. es^ lee el. Pag. 341.
Un. ij. CXj, leeFG.
Certifico y como el tercer tomo del Compendio Ma*
thematico , que compuíb el Dr. Don Thomás Vicente
Toíca , de la Congregación del Oratorio de Sm Felipa
Ncrí de Valencia ^ eíB conforme con el antiguo impreí^
Ib y que firve de original ^ íi (e tienen preíentes ellas erra»
tas. Madrid^ y Agofto 29. de 1757. :
é
«
Dr. Don Manuel GonzMezt O/tov,
C$mñ» ¿tniTéU fof S. MAgeJtái.
^
Sfi<
SERJEDELOS TRATADOS.
TOMO L
1. Geometría Elementar.
z. Aríthmetica Inferior.
3* Geometria Pradica. .
TOMO II.
4. Aríthmetica Superior*
5. Algebra.
6. Muíica.
TOMO Illé
7. Trigonometría.
8. Secciones Cónicas.
5^« Maquinaria.
TOMO m
10. Eaíltíca.
1 1 • Hidroitat¡ca«
12. Hídrotechnia.
13. Hídrometria.
TOMO V.
•
24. Arquitedura Civiji.
15. Montea , y Cantería*
16 • Arquitedura Militar.
17. Pirótechaia^o Artillerü
TOMO VI.
18. Óptica.
19. Perfpedíva.
20. Catoptrica.
21. Dioptrica.
22. Meteoros.
TOMO FU.
23. Aílronomia.
TOMO nu.
Aílronomia Prádica»
24. Ge^raphia.
2;. Náutica.
TOMO ÍX.
16. Gnomonica.
27. Ordenación del tiempo.
28. Aftrologia.
é •
«.« >'
INt
•(O*
TRATADO Vp
DÉLA
trigonometría.
1 Rigonometría, f^n la etimdogid de fíi
nombre , es 16 mifíno , que ídedida de
Triángulos; y cbnfidcrada íWun toda cf-
ta extenfíon , comprehenae todos los
Theoreinas, y Problemas, que demueí^
tran , yenfdían el modo de medir los
lados , y áreas de los triángulos; pero
en el tratado prcfcnic , folo entende-
mos por TrigMemetriá m» ciotcia que tnftñú ti $tude de refol'
yer los triaupdas.
La refrüíion dt iot triangules , conlifte en una artificióla
inquilictob' de ¡oslados, y ángulos ignorados, deducida
de los que ft ftponcn conocidos; y porque la ijigonmutrtá
enfeña eftareTokicion^ fe llama Citmia Analjtic* , ó fo/óJ»-
rtiw.
Dos eTpectes hay de triángulos , unos^/iM«f, yuñ'^
neos ; otros esftr'noí , y turvüinegs. Los triángulos píifnM , y
reñiiiHtQs, fon los que le forman con lineas redas (obre una
, fupcrñcie plana. Los esftricu , y turviünets , Too los que en
TmollU A la
2 Trat.VII. Db 1.a Trigonometría.
la fuperfície de la esfera fe forman con tres arcos de circu-
lo; máximos* .
Conque la Trigonometría es en dos maneras , flana^ ó
teRUinea , y esférica , q íuryilinea. La primera enieña la re-
fducion de los triángulos planos ; y la fegunda, la de los
esféricos.
La utilidad, y necefsidad de la Trigonometría , es bien
notoria, pues apenas íe hallará parte aiguna en la Matbe- .
matica ,^ae no neceísite de ella, afsipara acuitar fus ope--
raciones , como para aumentar fus Problemas. Hállale ya
en nueftrbs tiempos en gran manera fácil fu exercicio: con*>
fiíte ^e i como he dicho, en ícíblver los triángulos, inli-
fiéndó^po/ regla de tres el coiiociiñiento de los ángulos i y
lados ignorados, de la noticia de los que íe fuponen dados^.
y conocidos , para Ic^ quat íe requiere neceflariamente fa*
ber la proporción que en qualquieira circulo tienen las
cuerdas entre si , y con el radio : porque como dixe en lá
Gemetrl Itement. en el corol. de hfropoj. i. áellibr. 8. los
afcbs , y cuerdas de diferentes circuios tienen entre si' la
mifma razón que los radios : conque fabida en qualquiera
circulo la r^zon que tienen las cuerdas con-d^ radio , íe-in-
íerirá en todos los demás por regla de tres la magnitud de
ílis cuerdas del conocimiento de otras, y por coníiguiente
íe conocerán los arcos, y ángulos que les correfponden ; y
porque los lados de quaiquier triangulo , ion cuerdas del
circulo j que fe le puede cijrcunfcrivir por la fropof j. del
lib.^ de Éuclides, fe fabrá por dicha regla ile tres quali
quiera lado , y ángulo , íabida la proporción que tienen las
cuerdas entre si, y con el radio.
Ella proporción fe halla en las Tablas llamadas Canoif
trigonométrico , inftituidas para efte fin, de las quales fe va^
lieron los Mathematicos , aunque CQn la fatiga de la mul-
tiplicación , y partición de números muy crecidos , haí^
tael año 1 614. en que Donjuán Nepero, Cavaller o Et
coces, Varón de Merchifton, halló el artificio noble de unos
números , llamados Logarithmos , que íubllituidos en el ca-
non.trigonométrico , en lugar de los antiguos , han facili-
tado en tapto grado las operaciones , que fe reíiielven en
jnedos de nna ñora mas triángulos , que por el canon an^
Libro I. |
tiguo íe rdblvian en muchas , con lo que han coníeguido
las ciencias Mathematicas , la dicha que exprelia el
Obiípo Caramuel, en la forma (iguiente.
Metitur Terram » Mare , Vemos , Afira Matbefisy
Antiqtu mmmji tnnfwc ; mfita » fntvi.
Efte es en breve el exercicio, y progreílb de la Trigonme^
tria , que con la brevedad , y claridad poísible explico en
efte tratado.
LIBRO I.
DE LOS SENOS, TANGENTES,
y Secantes» y del Canon Trigono-
métrico.
DEFINICIokES.
I nit /F^üáádtqHAlqmr ángulo rtíülnm^ es^ÍMCoéé
\\/m ckculú defífito del fimf cu qui cmcunen Ids
JL y JL ^^^^^ j 7 ^omfreheudido entre ellas. Suponeft
qualquiera circulo dividido en 560. gra^
dos;» cada grado en 6p* minutos , cada minuto en 6o. ie«
gundos , cada fegundo en 6o. tercios, y afsi infinitamentee
y por exemplo, íi el arco CB ifig.i. ) es de 42. gradps, Y
24* minutos, diremos, que el ángulo CAB , esde42..graa»
Y' 14. minut. y aísf do Im demás.
' : z Complemento de sw Mgub agudoy ú.deun ano menor qno
el quadrante , es lo qste U falta para igualarfe non el quadrante^
^'ion el femiúrciUo. Complemento 4e un awjulo obtujo y i de un
arco major que el quadrante^ es lo que le falta para igualar fr con
¿I (ermcnculo. Y aísi el complemento dd ángulo agudo
CAB , ü del arco £B , hafia el^adrai^t^ es el arco CF^ o
A> an-
4 TRAT.yiI. Di LA Trigonometría.
ansulo CAF > y haflla d femicircalo es el arco CD'^ ó an^
gmo C AD ; y el complemeato del ángulo obtufo DAC, ó
arco DC, es el ángulo CAB, 6 el arco CB.
3 < Cuerdoy a fubtenfa. de un atcoj es U ftSU que.jiM4 Us ex^
tremidades del arcó: comoCG^es cuerda.del arco CBG^por-
^e junta ius extremidades ; y como cambien junte las del
ftrco CDG^ es también cuerda d& dicbo.arco. . : ^ .
4 Sino teño , hfeno f tintero de un arco , o angulü, es laper--
fendUular ^ que cae de la extremidad del arco ^ fme eí diámetro^
auefaffa for la otra eí^tremidad : como el leoQ redo., ppri-
n)crp del ángulo CAB , ü del arcó CB, es la perpendicular
C£ , que cae de la extremidad C del arco fobre el diámetro
DB, que paila por el otro extremo B.
De que í^ infiere, que el (eno rec<6 , ó prín^ero de un ar-
co , es la Aitad de la cuerda del arco dup4o , porque (3* 3.
Eucl.) CE es la mitad de CG, cuerda del arco CBG, duplo
4é CB, . También ie'iñfierei^qiie áísi"'cótno.CG és junta-
mente cuerda del íuco CÓG , y deí arco CDÍG, afsi tam-
bién CE es juntaiÁente l^no recto, 6[pfimeród©l ^r^o CB,
mitad de CÍJG , y del arco CFD, tpitad de CDG : conque
el leño redo de un arco', ó ángulo V es juntamente íeno rec-
to, ó primero del complemento de dicho arco , ó ángulo al
femicirculo. >" • 1
Adviertafe , que Jiempre que fe halle abfolutanume efie wmt^
Vite fino, fr ha áic entender el Jino reno, d frimer0* ^
5 Seno figuüdo ,* $ jeno del camfUmenia de un arcó , i ar^gulo
os eLfeno reéta , o frwterodei lomflenunto de dicho arco, o ángulo:
como-Ci', que es leño» redo , ó primero del arco FC ,* es
íeno fegundo, ü delcorapiement»-, reípedo del arco C^
y' Ce Uáma feno dH conrf Inatento de CB , por i^ feno primero
delisrcoFG, que es complemento de ¿C, hafta el quadran-
xc. tLfcoo fegnüifo de un ángulo obtulo.^: ó. arco mayor
que el quadrante , es el miímo íeoaoédo , ó primera del
arco en- que excede al quad rante ; y a£si el arco DFC , cuyo
leño primero es CE , tendrá por ieno íegundp la XC , que
e$ iono redo del arco FC , en que DFC excede al quadran-
te DF..^
6 Seno todo, o'total^xs el feno reüoAel ipiadrante , o arco de,
^o.gitad. elqualef-tíifmfnio radio. Yaísi^l radio FA es feno
to-
Libro I. . f
totat, por (cr leño dd quadrame FB. £1 íeno total , es d
inayor de todos los íeoos redos, porque los arcos niayores^
que el quadraote, tienen fu íeno redo menor, que el radio^
como confta de lo dicfafi> arriba.
7 Seno verjby o fágfiOy es la forcion del diámetro^ w/ifrAen-
Jkda tíOíe el feitoreSode tmatío^j el tm/méfeo. Y aBi £B e^
el (eno vería del arco CB : afsimilíxia £D , es el ieno vertb
del arco CFD. De que fe colige, que él feno verfo de un ar-
co menor qtieel Quadrante , ü de un ángulo a^udo, es !•
queíbbra del raaio, (i de éfte íe quita elieno Inundo: co*
mofi. del radio ABfequitalC, ó A£ fu igual, elreíiduoi
EB es el íeno verfo del arco CB ; pero el Icno verío del án-
gulo obtuíb DAC , üdel arco CD. , es igual á la f^ma del
radio DA, con AE, feno íegundo de dicho arco*
L .8. Tangente y gener'alnfente es qádípiieta ¡mé , qu€ to^A d
arado en un pnnio , j esferftndiíuUr á la exnamdad del radio^
(i6. j.ítfc/iá,)
9 Tangente effeáal de un arco , es la re^a'qne toca alareis,
lo en la extremidad de aquel arco , jfe termina en el concurfo de
otra reSa , tirada deUentrofor la otra extr^miad del náfmo asr^
co: como la reda BH, es tangente del arco CB, y eita íe lla-
ma Mijcnr^ finura , á diferehcia de Ja t^nlgráte íc^nda*.
Tangente fegunda de un arco menor que el quadrante , es la
tangente primera del complemento del dicho arco al qw^
drantr; y afsi la reda FL es la tangente inunda del arco
CB, porque es tangente primera del arco FC, coaiplemeD->
to del arco BC, halk el quadraote BF.
10 Secante de un arco, es la reda, quefiUiendé del centro del
firculo y fofa fot la extremidad de dkbo axco^ bafta encontrar con
la tángeme* Secante frimera de un arco, estaque fe termina en
fü tangente frimera. Tfecante fegunda , la que! fe temñna en U
tangente fegunda del mifmo arco \ y aíst An, es la íecjante
primera d(3 arco BC , porque íe termina en BH , tangente
primera de dicho arco ; y AL es iecante íégunda , por ter-
xmoarie en FL, .tangeoté. figunda del miímo arco.
Adviértale , que los ángulos pb(u(i>$ ,. y arcos mayores
queelquadrante, no tienen otras tangentes, nifecantes,
que las de fus complementos al íemicirculo; y aísi, la
tangente primera del arco DFC , es HB ; y fu tangente
le-
é Trat.VII. De ia Trxcíokometria;
iegunda es FL : y alsimifmo , la fecante primera de didu^
arco| es AH; y la lécante inunda, es AL.
CAPITULO L
P£ LOS FUlílDAMENTOS y T COMPOSICIOV DEL CASOJÜ
áe lis Sen$s.
EL Canon Trigonométrico íe compone de los (eno^
tangentes , y fecantes de todos los arcos del qua-*
di ante , defde el arco de un minuto , halla el de 90- gra-^
dos. ExpreíTaníe en las partes del radio , que proporcional^
m«ite tocan á cada uno ; porque como el radio, ó feno to*
tal íea el principal, (e fupone dividido en looooooo. ó
mas parte»; y (e buíbaquant as de eftas partes tocan á cada
feno^ tangente, y íecante, con las quales (e ordenan las ta*
blas. Ella cantidad de los íenos , fe halla con las propon
ficiones liguient6s.
PROP* I. Problema.
CMocida U cuerda di un 4rc9j bdlar U cuerda del arc9 refia$t-
te y bafiael fmkkcuh^ (fig^i»)
SEa conocida la cuerda AB ; eílo es , (epaíe quantas par-»
tes tiene del diámetro CA; y (e buíca quantas de las di^
chas partes le caben i la cuerda BC. operación. Quadreíe
CA) multiplicando fíi numero por sí miímo. Qgadrefe afsi-
mifmo AB: reíleíe el quadrado de AB,del quadrado de GA,
y el reíiduo ferá el quadrado de BC; y fu raiz quadrada fe-
rá la cuerda BC.
Demonftracion. El ángulo B en el íemicirculo es redo:
( 3i.5.Eucl. ) luego (47. 1.^)^1 quadrado de AC , es iguala
los quadrados de AB, BC : luego, reliando el quadrado de
AB , del quadrado de AC, el reíiduo ferá el quadrado de
BC, cuy a raiz es el lado BC.
PROA
L I B R 6 L 7
PROP. IL ProbJcma.
Dddotlfenoprimetpdeunarco^ baUar el feno fegumh j n del
CiffiiplementQ del mi fino arco, (fig*^») ^
DAdo CB y (eno primero del arco Ab, ie buíca FB, fe-
no íegundo delmiímo arco, ü del complemeato BE*
Opéraüon. Refteíe el quadradb de CB, del quádrado del
radio DB , y el refiduo íerá el quádrado de DC , u de FB
(u igual; y fu raizquadrada (era d ieno VB. Demueítraíe
como la antiecedente, por (er redo eLangulo C.
PROP.m. Problema*
Dado el fino de m arco j ballarel fenodelarco dufUyjdd
fubdufío. (fig. 4* )
COnodda la reda CF , íeno redo dd arco CG,íe buíca
DE , (eno redo del arco DC, duplo de CG.
Operación. Buíqueíe por^ la antecedente el (eno (cgundo
del arco CG, que es Bt; y hagaíe una regla de trcRcomo el
radio BC, al (eno (egundo BF, aísi toda u cuerda CD, que
es el (eno CF duplicado, á la reda DE , que es el (eno del
arco DGC, que íe de(ea.
Demonfir. Los triángulos BFC , EDC , (bn proporciona-
les , por tener los ángulos E , F, redos , y el an^o C co-
mún : luego íerá BC con BF, como CD con DE.
. Conocido DE, (eno del arco DGC , (e conocer) el (eno
CF del arco CG, mitad de DGC ; porque conocido el (eno
DE , le (abe (2) el (eno (egundo BE; y rdftando éfte del ra-
dio BC, (e conoce la EC ; y (lendo (47.10 los quadrados
de DE, y EC iguales al quádrado de DC,(i (e (iunan dichos
quadractos, y de la fuma (e (acá la raiz quadráda i (e &bri
k cuerda DC, cuy a mitad (era el(enoFC.
COROLARIO.
EL feno de la flotad de marco ^ es medio froporcmal entre
elfinutadiOj j elfemyetfo détodael arco; eftoesj CTjfeno
del arco CGy mtadde CGD, es medio froforctonal entre la mitad
del
TraT. VH¿ De-1 A TntGONOMCTRIA;
delraiüoBC, y ECjfeao veifo de tod$tlátco^CGD. Lá raz^n es^
forqueJiendafroporcmaUs lostridn^ulosBTC^ DEC y ferk el ra-
dio BCÍ concomo CF A £C '.jfienda BCkCDy como U mitad
deBC} lumfAd de CD , fita la mitad del mboBC á U mta4
deCD^efio esy 4 CF, como CF aCB.
PROP. IV. Problema.
Dados los finos de d)s arcos , hallar el fino del agregado de
dichos arcos, (fig^^*)
SUponcnío conocidos BG , íeno del arco AB ; y CI , íe-
no del ajeo BC : y íe buíca el feno CD , que lo es del
arco CA , compueíto de los. dos AB , y BC* 1 irele la IH,
paralela á BG ; y la El , paralela á FA. operación. Hallefé
(x.) la FI, íeno legundodel arco CB, y hagaft una reglada
tres : como el radio FB alieno legundo Fl , afei el feno BG
al quarto término , y íaldrá la recta JH. Hecho etto, buC-
quele (2.) FG, feno legundo del arco BAjy ft formará otra
regla de tres : como el radio FB al feno f^undo FG , afti
CI , íeno primero de CB , a la linea CE : fumele C£ con
IH , ó ED fu igual , y ferá la fuma toda la red^ CD , feno
del arco AC.
Demonjlf, Los triángulos FÓD, FHI , FGB , fon equián-
gulos , por íer reSangülos , y tener el ángulo F comun«
Tambi^ IwtriangulDs FOD, COI, fon equiángulos, por
íet rectángulos en D , y en I , y tener los ángulos en O ver-
ticales iguales; ( 15. i. ) afsimifmp fon. equianguios£IC,
01C:.( 8,6.£ucl. ) luego Jos triángulos, EIC, FHI , FGB,
. ion equiángulos: luego ¿4. ($..Eud.) ferá FB radio, áFI
íeno íegundo de CB , como BG , feno primero de BA , 4
IH , ó ED fu igual : y aísimifmo como FB radio , a FG,
:ftpo legundo de BA : aísi CI , feno primero de CB, á CE,
que añadid^ áJED) hace todo el.feno CD, que fe bulcava.
' PROP. V. Problema.
Dados los finos de düs arcos y hallar el fino de la diferencia de los
mi finos arcos, (fig. 5. )
s
Ean conocidos BG , íeno del arco AB ; y CD, íeao del
arco AC j y fe bufca el feno CI del arco CB ^ que es la
di- '
_ iíej^encia de los arcos AC, AÍJ. Operacm* Hallefe (z) FG,
fenoíeguiído del arco AB ; y FD , (eno ícgundo del arcó
AC j y hag^e efta regla de tres : como FG , Icno fegundo
del arco AB, áBG, feno primero del mifmo arco, aísi FD^
feno íegundó del arco AC, á DO : refteíe DO de DC, feno
del arco AC, y elreíiduoíerá la linea OC. Hagafe aora
otra regla de tres : como el radio FB , á FG , feno fegundo
del arco AB, afti OC, a CI, feno primero del arco CB ,{que
fe buícava. Confia de lo dicho en la prop. anteced*
PROP. VL Theorema.
Losfenos de los arcos muy f equinos , tunen entre sifenfibUmente
la mifma razjon que los arces.
Supongamos dos arcos , el uno de un mii\uto , y el otro
de un tercio de minuto» Digo , que por fer tan peque^
ños , tienen fenfíblemente fus fenos la miíma razón que di^
<^hos arcos ; ello es , que aísi como el arco de un minuto es
triplo del arco ,que vale un tercio de minuto , aísi el feno de
aquel ferá , aunque no en todo rigor , pero feníiblemente,
triplo del feno de éite. La razón es , porque al principia
del quádrante la circunferencia del circulo es perptndicu*-,
laral diámetro í y Gendo tapiibien los fenos perpendicula-
res al diámetro, y tan poco diílantes del arco por fu peque**
ñez , coinciden fenliblemente con la particula de arco , de
quien fon fenos : luego fenfiblemeote tendrán la mifma ra-*:
zon qiie los arcos.
PROP, m Theorema. *
• »
La cuerda de 6p« grados es igual d radiQ.
LAra^^on es clara , porque todo el circulo confta de
560. grados, cu va fexta parte fon 60. grados, y por
copliguiente , la cuerda de 6o* grados, es el lado del exágo-
no ; efte es igual al i'adio: ( cor ciar, delaprop.i^. lib. ^.deU
Geom. PraS. ) luego la cuerda de 60. grados es igual al ra-
dio.
Mjlasprofaficipnes fon baftan tes para fabricar la tabla de los,
fenos,
TD Trat.VII. De t a Trigonometría^
fenosy c&mo veretnos en la fropof^Jígmente: a mas dit eÚas háj mop
quejirvenfara difmmuir ti trabayi ; ftro €0m$ Us tablas tfiénjM^
fabricadas y bajlan las fúbrtiUchas para que fe entienda el fimda^
nkntp en que confiften , que es umamente lo que fe pretende.
PROP. VIII. Problema.
Fabricar par las reglas febredichas la Tabla de ks fen$f.
I Q'Upongaft el íeno total , ó el radio dividido en un
i3 cierto numfero de partes, que fta crecido, como en
looooooo. efte (7.) es igual á la cuerda de 60. grados:
Riego íu mitad es el íéno de 50. grados.
2 . Sabido el leño de 30. grad. (efabrá (5.) elfenodela
mitad de dicho arco, que es de 15. grad. y íabido ¿lie, íe
íacará el de 7. grad. 30. min. que es el de (u mitad : luego
el de 3. grad. 45. min. y alsi coníecutivanfente fe irán ha-
llando los fenos de los arcos fubduplos , haíta llegar al feno
del arco de 5 2 .íeg. 44.ter. 3 .quart. 45 .quint.
• 5 • Hecho efto , fe bufcará ¿1 feno de un minuto en efta
forma; porque el ultimo íeno que fe ha hallado de 2 5.feg.
44.ter. &c. es muy pequeño , como también el feno de un
minuto, tendrán entre si (6.) la miíma razón que fus arcos.
Reduzgafe pues el arco de 52.reg. 44.ter. 3.quar. 45.quint.
i quintos, qué es la ultima efpecie, y ferán 113 9^062 5. quin-
tos. Reduzgafe también á quintos un minuto , y ferán
12960000. quintos; y fe hará una regla de tres-: como
1 1 590625. a 1296000(5. afti el feno que fe halló délos 52.
feg. 44.ter. 3.quar. 45.quin. al feno de un minuto, y fe ten-
drá elle feno.
4 Hallado el feno de un minuto , y los arriba dichos,
fe hallarán todos los intermedios que faltan hafta jo. gra-
dos, porque hallado el feno de un minuto , fe hallará (3.)
él de aos minutos ; y afiimifino , hallado el feno de 2. min.
fe hallará el de 4. minutos : luego el de 8. min. i6.min.8tc.
y de los arcos duplos , como fe liguen hafta el feno de 17.
grad. 4.min.
5 Los demás intermedios, fe hallarán por la propof 4.
conefte orden: Dado el feno de i.min. y el feno de 2.min.
fe
L I B R e L . 11
íe hallará el íeno de 3. min. Dado el íeno de 4. min. y el fe-
no de I. min. fe hallará el leño <^^^» Y ^^i ele los demás,
l^oAa que leliayan hallado todos, nalta llegar al de jo^gra*
dos.
\ 6; Hecho dio, íe hallará el íeno de 45. grados., ü del
medio quadrante en elta forma : Duplique(e el quadrado
detradioDA,(£^.i.^) y elle duplo íerá el quadrado deDF,
(47.1;) que es la cuerda de 90. grados: íaqueíe la raiz qjua*
dradadel mtfixio duplo, y fe fabrá la DF , cuva miiad icrk
la DK, íeno de Jos 45. ^ados ; y proíiguienao con el mií^
mo artificio, que atites fedixo mim.4. y 5. íe (acaran los
íenos de todos los arcos que hay entre 30. y 45. grados.
7 Últimamente , los leños de los demás arcos naíla 9o.
grados , fe hallarán por la frofof. i. poc £er los íenos íe-
gundos , ü de los complementos al^ quadrante, de los que íe
lianJiallado.
CAPITULO IL
xa LOS FUSDAMESTOS, T COMPOSICIÓN DEL CÁÍÍOn
de las Tangentes , y Secantes^
PROP.K. Theorema*
* * ' • .
Cmo el fenfifegundo AE (fig.i. ) del arco BCy al feno primero EC
del nújino arco , afsi el racÚo AB, 4 la Tangente Btf.
DEmonflf ación. En el triangulo ABH , es el íbno EC pa-
ralelo ala tangente BH : luego (x.é^ucl.) íeráAE
áEG, comoABáBH.
De aqmfe colige , que para bollar todas las tangentes , fejor--
mora una regla de tres : como elfenofegundo de un arco , al fenf
primero del nüfino arco ^ afsi el radif i la tangente del mfinoé
PROP.
tt TlCAT. Vil. De -lA TllIGONOMETRIA«;
PRQP. X. Theorema.
ll radio es media, proporúandl entre el fenofsgmtdú de um srcm^
2 la Secante primera del rmfme arco ; j entre el feno primero ^jl
^ ' Seca^ne fegunda yj entre la tangente primera , jf fegmuU
del mijmo arco. ( fe- ^O
DEmonfh. Por ícr E<J paralela a BH , ferá (2. 6. ) como
el íeno íegundo IC, o fu igual A£, al radio AB ; aisi
el radio AC, á la fecante AtL De la mifma fuerte el íeno*
primero EC, ó AI, íu igual; es al radio AF', como el radio-.
AC , a la (ecante AL. Aéimifino es la tangente primera
BH, al radio BA, como el radio AF-, á ia tangente íegunda
FL : luego el radio es medio proporcional entre los termi-
nos arriba dichos.
. Cümfe, de aqui^ quejkbido el fewi prmero^j fegundo de m§
arco y fefabran las fecantes primera^ y fegunda del mifmo i/fCo<, .
formando ma regla de tres': como el feno figundo del radio y af si
el radio a la fecante^riméra de dicho arco; y íambienyComo el feno
primero de un arco al radio , afsi el radio a la fecante fegunda. T
con eftoy 'j lo dicho en la prop. pajfada , fe formaran las tablas dt' ^
las tangentes , j ficantes. .
LIBRO II.
DE LOS LOGARITHMOS.
LA reíblucion de los triángulos , que es el único fin de
la Trigonometria ,iíeexccuta por la regla de tres,
tomando del Canon Trigonométrico los íenos , ó
tangentes de los términos conocidos, y multiplican-
do el íegundo por d tercero,y partiendo el produdo por el
f)rimero. Eftas operaciones no pueden dexar dé fer muy cañ-
adas, por exercitarfe en números tan crecidos : con todo
eíTo ufaron de ellas los Mathematicos^hafta qu^ hallados los
Lo-
Logarithmos por D.Juan Nepero,y perfícionados por Enri-
que Brixio,y Ádriaéo ülac, íe ii«rodnx*on en el canon t¡ i-
gonometrico, en lugar de los números (bbredicbos , con lo
cuefóíaci&taflbrí to gran manei*a 1^ operaciónes:'porquelbla
la íiusia de^Ios Logaruhmos, hace lo que en los otros núme-
ros hacia la multiplicación; y la refta,lo que la partición: lo
qual , noíblo eVita la prolixidad^ ii aue aiTegura mías H
dcierto. La' naturaleza , propiedades, fabrica, y ufo de lú$
ILogarithmos , &ii la materia de elle Ubre*
DEFlNICIOívr ÚNICA. -
Logarithmos fon unos números artificiales , que froceden w
' frogrtfs\in ^ahmeticd , fubfiituidos , y correffondíemts i
9tfos , que poceden en frogrefsion Geométrica. \
Exflicacion. Sea la ierie A , compuelta de números geo*
métricamente proporcionales, que procedan en qualquiera-
proporción: á fu lado haya otra ferie de otros tantos núme-
ros arithmeticámpente proporcionales ; eífo es, que ft; éxc^
dan eo igual exceíTo ^qualquiera que fea/jomo en la ¿ríe ^
tjtie fe exceden en la unidad; ó ep la ferie C,que(e exceden
«n 2« ó en la D en t • &c. Los números de qualquiera de la$
^rogrefsioncs B , C , 0 , &c. ion logaritnmos de los que
componen la ferie geométrica A , cada uno de fucocreA
ponaiente : como el 6. de la ferie B, es logar ithmo del 32.
y afsiraifmo el 1 2.de la ferie C*, y él 16. de la D, fon tam-
bién logarithmos del ja.y aísi de los demás.
. ' De aquí fe'col^é poderfe efcoger para logaritbmofi
qualquiera progrefsion arithmetica ; como también para
Dumeros geométricos fe puede elegir qualquiera ferie geou
métrica , peía no con igual conveniencia , como fé veril
deípues. .w .
- A« B* C« JD*
\
* /*
' i
I
I
a *
X
» «
2
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1
3
4
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A V \« • 1
<4 .'
•7
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19
. • • i' ••
CA-
14 TuAT. VIL De la Trigonomethi a;
CAPITULO L .
r *
DE LA UATVEALBZA , T FKOFIEDADES DE LOS
Logmthmos.
LA naturaleza , y propiedades de los logarithmos ^ ü
funda en las propieoades de las progresiones arith*
mélica , y geométrica , como íe Verá en \as propoíiciones
figuicntes. '
PROP. I. Theorema.
En qudlquiera progrefsion AritbfnericOj UfunM del frimerayy uí-
timo termino^ es igual a U fuma de otros qualifquiita dos term*
, nos igualmente difiantes de los extremos ; j es Jupia del
termino medio.
EXplicaíe en la íiguiente progrefsion arithmetica*
4* 6. 8. lo. 12. 14. 16. i8. 104
La fuma de 4.y zo.que ion los extremo$,es Z4.Digo,que
también la fuma de 6. y i8. la de 8. y 16 Ja de lo. y 14*
y el duplo de 12. termino-medio , ha de fer 24. como que^
da demonftrado en la Aritbm. IníerJí^. $.*frof» z.j 5*
COROLARIOS.
1 ^V\E lo dicho fe colige , que las fumas de qnaUfquiera dos
' \jy términos , igualmente difiantes de los extremos , fon
iguales entre si; y al duplo del termino que efia en medio; porque
pendo todas iguales a la fuma de los extremos y lo han de fer tam-
bién entre sí.
2 En quatro cantidades arithmeticamente proporcionales^
aunque nofean continuábala fuma de lapimera^j quarta^es igual
a la fuma de la fegunda ^ y tercera ; conque fi de la fuma de la
fegunda ,y tercera fe quita la primer ay el refiduofera la cantidad
quarta. Exemplo. Sean las quatio cantidades arithmeticamen^
te proporcionales 4. 6. :; 18. 20. la fuma di 6.j 18. es 24. como
también U fuma de 4. jr 10. j ft de 24. fe quita 4I 4. quedan
20. que es el quarto mmim^ Cgnfia de^ hdicbOf
'- 1' En
LlB:RO n. If
3 £if tns cantidades arithmetUamente froparcmales , U
fuma de la primerajjf teñerais igual al dupUde lafegundaí con-
que fi del duplo de la fegwída fe quita la pimerajftjtara U terco^
ray piorno tamien fe coUge^de lo dkho^
PROP. n. Theorcma.
V
te ^
El» cütíiefvma progrefs'wn Geométrica^ el poduño del primero ^ y
fdtmo tetmiñOy es igual alproduíto de qualefquiera otros dos t^h-
' núnos igualmhue difiantes de los extremos j j alproduSo del
termino medio por si tmfmo.
EXplicafe en la figuíente prc^rdsion geométrica,
j. 6^ 12, 24. 48. 96. 192. . li^. 7689
£1 produdo de j.por 768.0116 fon los extremos^es 2304.
Digo, que también el produao de 6*por 384. y el de i2t
por 192* &c. íerá 2304. y el mifíno ialdrá multiplicando
48.aue c$ el termino que eftá en medio,por si miímo.Qger
iia oemonftrado en la Arithm. Iníer. lib» ^.prof. 2 i.j 2 2«
COROLARIOS.
I "TX^ lo dicho fe injiere , que los produ¿íos de los términos
I J igualmente dijiautes de los extremos , fon iguales entre *
si j como también al produSo del termino medio por si mifmo , por
fer tod^jguat^s al produSo de -los extremos*
2 \Mn quatro cantidades geométricamente proporcionales , A
poduüo de la primer a j j quarta^ es igual al produíío de la fegun^^
da , j tercera ; j por conjiguiente , Jí el produíío de la fegunda , y
tercera fe parte pot.la fümira , el quociente fera la cantidad
quarta. Confia de lo dicho , y fe demonfiro en la Arithm. Infer.
lib.^.prop^i.y^ :. ^
J, En tres camuiad^s geométricamente profojícionales ^ el pro^
o de la primera y y tefcera^^es igual alprodufíoM la fegunda
por si mifma : conque fi efie produjo fe parte por la ptimer^y fal-
ira; en el quociente la cantidad tercera* Confia también de^ lo ílir
choyjf fe demonfiri en la Árifhm. Infer. lií. ^frop. 3»/ 41 !
PROP,
% 6 Trat. VII. 1)e L A Trigonometría;
m. 4
PROP. nL Theorcma.
En quatro números geamemcamente frofarcionaUs ^ U fuma im
ks UgAfithms correffomUenus á los medios y es igual áU
fuma de los Logarithnios' íorrefpondientes
a los extremos.
LOs quatro números A. B. C. D. A. B. :: C. IX
fean geométricamente proporcio- 4. 6. :: 8. 1 z.
naleSjfta, ó no fea íu proporción con" i, }• 4. y.
tinua : y fean £• F. G. H. los loga- E. r. Cj. H,
ríthmbs cofréípondientes á los íbbre-
dichos T.umeros. Digo , que la fuma de F. y G. que íbh
iogaritbmos de los medios , es igual á la fuma de £• y H»
que lo fon de los extremos.
Demoñfir. Los logarithmos fon unos números arith*
meticamente proporcionales fubftituidos j y corfeípon-
dientes á los geométricos; peró-en^os* números arithmeti-
camente proporcionales, la íuipa de los medios es igual á la
délos extremos :•( Ofíí/^r. i\'frop. i.) luego lo mifmo
ferá en los fobredichos.logjritnmos.
COROLARIO. ^- •
» • ' . . . ■
DE lo dicha fe Jigüe , que fi de la fuma de los logarhhfnos me*
dios Vyj G, fe qutta el frimero E , el refiduo fera el loga-
rithmo H, del quarto ternúno.
PROP.IV.Theorema.
4 I « 1 < I
E» tres números geométricamente proporcionales ^ el duplo del Uh
garitbmo cofnfpondiente al medh , es igual a la fuma .
'de los iogarithmos correfponéentes i •
los extremos.
DBnonflr. Los logarithmos ion números arithmetica*
mente- proporciónales , (ubftituidos por kS geome*
tricamente proporcionales: pero (corolar. 5. prop. 1* ) en
los números arithmeticamente proporcionales y el duplo
del
LiBno n.
^ del medio es igual á la íiima de los extremos: luego tam*
* bien en los logarithmos fobredichos.
COROLARIO.
EN tres números geométricamente froformndes , fi del iufh
del logar itbmo del medio fe quita el logaritbmo del frime-
roy el rejiduo fera el logaritbmo del quarto.
PROP. V. Theorema.
Si multiflicandofe dos números , froduxeren otro numero , la fu*
tna de los logarithmos de los números multiplicados y fera igual
a la fuma del logaritbmo del froduüoy y del íoga^
ritbmo de la unidad»
EXplicaáon. Los dos números A , y B , multiplicahdoie
entre sí , producen al numero C.
' pigo, que la fuma de los logarithmos de D. A. B. C
A, y B, es igual á la fuma del logarithmo i» 4. 6, 24.
de C , y del logarithmo de la unidad.
Añadafe antes la unidad D.
Demonfir. Como fe dixo en la Arith. Infer. üb. i. Cáf» 6.
el producto C incluye tantas veces al numero B , quantas
el numero A incluye la unidad D: luego ion proporciona-
les D á A , como B a C : luego los logarithmos de A , jr
B (limados, fon iguales á la íumade los logarithmos de los
extremos, eíto es, al logarithmo de la unidad D, y al de C
juntos.
COROLARIO. ^
DE lo dicbofe infiere , quefi en una ferie de logarithmos , el
logarithmo de la unidad fuere z^ro , la fuma de los loga-
rithmos coñeffondientes a los números multiplicados , fera igual
al logarithmo del froduüo i jfor configmente^ lafumafolaeqiú"
valdrá a la multiplicación de los números geométricos» la raz^n
es , porque , como hemos demonftrado , la juma de los logarithmos
de los números multiplicados es igual al logarithmo delprodudo^
y al de la unidad: luego fiendo efie logarithmo z^ro jferadie^afin^
ma igual al logarithmo del produílo. Lo que no fucedera fiendo nu-
mero el logaritbmo de U umdad^porciue fnamenefier rejiarledela
fuma de los logarithmos de los multiflicados ^ para tener el loga-
Tomo lü. B íM-
E
lí Trat.VII. Di la Tricokombtkia.
fíthmodelfroduílo. Por I a mi fina tazm UrefiáfoU de efios U^
gatifhniosy eqmváldra aUpartkm.
PROP. VL Thcorema.
Si un numero fe multifUu por si mifino , el duflo de fu logaritb^
mofera igual a la fitma del logarithmo del froduüoy ^ quA-
dradojj del logar ithmo de la unidad.
Xflicacion. £1 numero S , multiplicándole por si miímo,
j, ^ produce á fu quadrado M. Digo , que
ei logarithmo dcS, duplicado , íerá igual á la N. S. M*
fuma del logarithmo de M, y del logan th- i. 4. 16»
mo de la unidad. Añádale antes la unidad N.
Lemonjir. Según lo dicho en la Aiith. Injtr. lib. i. caf. 6»
clprodu(SoM incluye al número S tantas veces*, quantas
el numero S incluye la unidad : luego íóu proporcionales
NáSjComoSáM: luego (4.) el duplo del logaiithmo de
Sy es igual á la liima de los logarithmos de N» y M.
COROLARIO.
DE lo dicho fi infiere , quefi en una ferie de logarithmos , el
logarithmo de la unidad fuere el z.ero , ti logarithmo de
la raiz, duplicado^ fera el logarithmo del quadradoyjf la mitad de
ejie logarithmo , Jera el logarithmo de la raiz , for la razj)n dicha
en el coroL de la fropof pajfada : lo que no podra fer^fiertdo nu-
mero el logarithmo de ta unidad ; porque para tener el logarithmo
del quadrado , fe havra de re ¡lar el logarithmo de la unidad , del
duplo del logar ithma de la raiz,: como para hallar el logarithmo de
la raiz. , fe havra de añadir al logarithmo del quadrado , el loga-
rithmo de la unidad; pa mitad de eflafuma fera el logarithmo de
la rmz,*
PROP. VII. Theorema.
Ü Logarithmo de la rd^c trtpiuado^ es igual al Logarithmo del cu-
boyj ai duplo Logarithmo de la urádad.
EXpücáuion. Sea la rai2 S , y (u cubo N. S. M. Qs.
íca Qj Digo , cjueel logarithmo i, 4. 16^. 64.
deS, triplicado^ es igual al loearithmo
del cubo Q^ y ai logarithmo & la unidad duplicado. Sea
M
r
Á
L I B RO IL . ' If
M' el quadrado de S ; y añádale antes la unidad N.
Demonfir. La raiz S, multiplicando al quadrado M, pro^
duce al cubo Q^: luego {^*)lz fuma de los loearíthmos
de S,y M, es igual ala fuma délos logarithmos de N,y Q;^
Y íicndo (6.) el logarithmo de M , con el logarithmo de
N, igual á dos veces el logarithmo de S, feran el logarith-
mo deS 9 juntamente con el de M , y el de la unidad N^
iguales a tres logarithmos de S : luego tres logarithmos
de S, ion iguales á los logarithmos de S , y M , y á un lo- .
garithmo de la unidad N ; pero los logarithmos de S , y
M , fon iguales á los logaritnmos de N , y Q^: luego tres
logarithmos de S .fon iguales á los logarithmos de N , y
Q^, mas un logarithmo de N : luego el triplo del loga-
rithmo dé la raiz S, es^igual al logarithmo del cubo Q^
y á dos logarithmos de la unidad N»
COROLARIOS.
I Qí en una ferie, de logarithmos , el de la unidad fuere x^ero^
i3 ^^ logarithmo del cubo es jujiamente el triplo del loga-
rithmo de la raisL ; y el tercio de el logarithmo del cubo , fera el
logarithmo de la raiz» : lo que no podra fer , jí el logarithmo di^
la umdad fuere numero^ como confia de lo dicho*
1 El quadruflo del logarithmo de la raiz>y )untamente con el
triplo del logarithmo déla unidad^ fera el logarithnuf del quor-
drado-quadrado^ h quarta pote fiad; y afsi configutent^v^ente de las
demás potefiades infinitamente : jiíi el logarithmo .de, la jumda4
fuere sjero, íolo el quadruflo logarithmo de la raiz, fer^ el del quoí-
' drado-quadrado ; y el quintuplo del logarithmo de la raiz^fe^a el
de la quima fotefiad; y afsi de las demos. .
PROP. Vm. Theorcma.
Bxplkaufe las efpecies de Logarithmos. .
LOs logarithmos pueden íer direSos , o retrogradosm
DireSos ) fon los que íiguen el milmo tenor » y ordefl
délos tenninos:geometricos.á» quien correfponden ; efto
es , que crecen , y íe aumentan quaodo crecen los términos
de la progre^otí gcoonetrica^ fif rnr^AJt/ i fon Jos quena
Ba guar-
lo Trat.VIL De la Trigonometría.
guardan el orden de los términos geometricos,íi quequan-
do éftoí íe aumentan , los logarithmos fe difminuyen ; y al
contrario; conque ii á una progreftion geométrica, cu-
yos términos fe van aumentando, le correlponde otra pro-
greísion arithmetica, que también íe va aumentando , los
términos de efta progreísion ferán logarithmos diremos;
{)ero íi efta progrefsion arithipetica fuere decrecen te , de
üerte , que íus términos fe vayan difminuyendo , quando
los déla geométrica fe Van aumentando, fus términos ie-
rán logarithmos retrógrados.
PROP. IX. Thcorenuu
Detertmndfe qual de efias dos efpecies de Ugaritbmos ftd
U mejor.
Digo fer indubitable , que los logarithmos diredos
ion mejores, y mas apreciables que los retrógrados:
jorque es cierto , que la ferie délos términos geométricos
puede aumentarfe infinitamente; y haviendo de ir acompa-
ñando la ferie de los logarithmos a la de los geométricos,
íiendo éttos retrógrados , havrán de irfe difminuyendo , y
decreciendo infimfamente : deque fe figue llegará á diP-
minuirfe de fuerte, que fus términos ferán menos que nada»
6 menos que el zero , y fe havrán de cxprcíTar con efte le-
nal — , qiie íignifica menos^y como dixc en el tratado de 1&
Algebra, dónde les dimos ^el nombre de números f alfós y 6
negutms.
De aqui fe íigue , oue aunque eftos logarithmos tengan
las mifmas propiedades que fe han demonftrado en las
propoíiiciones paíladas ; pero ion mas diíicultofas, y expues-
tas a error las operaciones que con ellos fe exercitan: por-
que no dexé dé caufar dificultad , fingularmente á los poco
cxercitados en la logiftica de la Algebra, el fumar, y reftar
los términos oue llevan los fignos -4* , y — , donde es fácil
equivocar la luma con la refta : por lo que juzgan comun-
mente los Autores , no fer conveniente ufar de eltos loga-
rithmos retrógrados , ni aplicarles al canon trigonométri-
co. Llegó Preconocer efte inconveniente Don Juap N«-
pe-
Libro n. U
pero deípues de haver trabajado fiís TaUas eco logarith.
mos retrogrades , el qual por hallaríe ya en edad fanA^^^
ño íe pudo aplicar i trabajarles de nuevo : lo que execut^
ron deípues Enrique Bríxio, y Adriano DJac^ con jí3o^u-
cíon común de los Mathematicos»
PROP; X. Theorema.
Dt tas frogrefsmes Geomitrkds , U mejtr féord el hutni9 fn^
ftmt yCsU qiuemfUz^fn U unidad ,jr coMtmiidfus tenmms
' en frefircmí decnflá^j de láu pro^efwMs Mtánmtiuu , U
que emfiez^ for el z^úy y fiif tenmim fe exuden
zjtres. \
■
HAviendo determinado en la propoflcion paíEida qu¿
progresiones íean mejores para efte intento, en
quanto a la ei pecie , conviene determinar aora las mas pro-
porcionadas en quanto al individuo. Digo pues lo prime-
ro , que de inhnitas progresiones geometrícas , que ie
pueden el^r para el caíb prelente , la mejor es la que tie-
ne por primer termino la unidad ; y de las arithmcticas^
la que empieza por el serow La razón es , porque como
conita del corolar. de la prefof, 5^ en Iblas eítas procrefiio-
nes equivale la íuma (ola á la multiplicacioQ , yureíU
íbla á la partición ,' por ia razón alli aicha : luego coa eP-
tos logarithmos íeran mas &ciles , y bccvcs las opcra-
.ciones.
Digo k) (egnndo , que de las infinitad pmgrcíHones geo-
métricas , que empiezan de la unidad^ es m^or la que pro-
cede en proporción decupla de fíis términos , como i. lo»
loo. &c. y de las infinitas arithmeticas , que proceden del
zero j la mejor de todas para el intento es aquella , cuyos
terminosievan excediendo en la unidad > y algunos zoos:
la razón es la mayor (enciUéz, jr. claridad iiue coníieo lle-
van eftas progreísiones. Añadeníe i la Aritnmetica bs ze*
ros , para que proporcionalmente fe puedan hallar los k>»
farithmos correípondientes á I0& términos imctmediosde
i progrefsion geométrica*
Ex-
te Trat.VILD*
. f Explíceme en las dos
^geométrica íiguientes*
LA TrICONOMETRIA.
progreísiones arithmetica ^* y
- V«'
y£n¡¡[tff. Giometr.
I
10
JOO.
lOOO
«». lOOOO
lOOOOQ
lOOOOOO
XOOOOOOO.
lOOOOOOOO
lOOOOOOOOO
lOOOOOOOOOO
• •
Temmos.
z
?'
4
7
8
9
lO
XI
trogreff.Aritbm»
O.OOOOOOOOK
1 .00000000
2.00000000
J.OOOOOOOO
4,oooooocx>.
5X>ooooooo
0.00000000
7.00000000
o.oooooooó
9.00000000
lO.OOOOOOOO
Dirpuefta la progrefiioa geométrica en decupla pro-
porción , como le vé ^ fe pone á fu lado la progresión
arithmetica natural , defde el primer termino , que es el
sero , en los números que van fe parados de las otras cifras
<on un punto ^ y fe añaden a cada uno ocho zeros, cpaque
el exceílb de cada termino á fu inmediato es cien millones.
Fórmale efta progrelsion con tanto excelFo entre lijs tér-
minos; porque como o.ooo.&c»fea logarithmo de i. pri-
mer termino de la progrelsion geométrica ; y i.. ooo> &c.
fea logarithmo- del icgundo termmo, que es lo. y entre i.
y io«' falten ocho términos, a quienes también ie les hade
feñalar proporcionalmente fu logarithmo en las tablas,
es menelter que la diferencia del logarithmo o. ooo. &c* y
el logarithmo t. ooo. &c. fea muy. grande , para que fin
error fenfible fe puedan hallar los ocho logarithmós in«r
termedios , como fe verá defpues en la fabrica de efios nú-
meros. . »
La fbbredicha cifra , que eflá diltinguida de las demás
con un puntapié ihmx caraíterijlica j por fer el carader , d
feñal que denota quantas cifras tiene el numero geomé-
trico correfpondiente á dicho logarithmo ; porque f len»-
pre tiene dicho númerQ una cifia mas de lo que expreífa
la
j
LijBRo IL 23
t^ carañeríftica de íu logarithmo. La razón c$,^orque to-
dos los logarithmos que hay entre el priinero,y legundo de
la tabla precedente ^ tienen la caraderiítica zero; y los tér-
minos ^biblucos fus correfpondientes, Ion los números que
hay entre i. y 10. que coniran de una (ola cifra. Alsimiímo
los logarithmos que hay entre el fegundo, y tercero,tienen
la caracteriltica i. y los términos abiolutos á que corref-
€n U (;ara£tmp$ca de fu logar ttbmo , y mas una*
CAPITULO n.
DE LA FABRICA DE LO & LOGARITHMOSf
COn las rdglas que íe contienen en las proporciones
íiguientcs , fe fabrica ú tabla logarithmica de los
números abíblutQ$;y como para efto fe haya hecho eleccioii
de las dos progreisiones , una geométrica, que empezando
de la unidad, procede en proporción decupla;y otra añth-
metica, que empezando del zero , fe exceden iüs términos
en la unidad con igual numero de zeros, explicaré las reglas
contrahidas á efta efpecie de logarithmos , que fon los ad-
mitidos ; y de ellas í^ podrá colegir facilmente,como (e de*
va proceder en los de otras cfpecies.
PROP. XI. Problema^
Daía a logaritbmo del primar termino y jf el del fegumh de má
pogrefsm Geomenkd , bailar los Logarithmos de ios demás
tertíúms de dUha frogrtfsm*
EN qualquiera efpecie de logarithmos , dado el del pri-
mero, y el del íegundo termino, fe hallarán losdc^
uú» en eiUformat Keítefe el meqor del mayor^y íe tendr^
ííi
24 Trat.VII. De la Trigonometría.
fu diferencia, fupuelto que lean directos : añadafe éfta al íe-
gundo logarithmo , y íe tendri el tercero : añadaíe la miP
ma diferencia al tercero, y lé tendrá el quar-to ; y afei infini-
tamente. La razón es, por proceder todos con diíerencias^o
exceílbs iguales.
De aqui fe colige , que en nueílros logarithmcs.por (er
el primero todo zeros, no es meneiler reíhrle del fegundc^
y aísi , el mifmo logarithmo (egundo , es el exceflb en que
todos fe van excediendo : dupiíquefe pues el logarithmo
del I o. que es el termino (egundo, y fe tendrá el logarith-
mo del termino (iguiente , que es loo. fumeníe el del io*y
el del loo. y (e tendrá el de looo. fumenfe el de io« y el de
looo. y íe tendrá el de loooo. y afsi infinitamente»
PKOP. lOL Problema.
£if quMquiera ferie de números geometrkamente properciamUes^
iodos los lA^arithmos del primero^ j ulthno terimos , háÜé^ ^
los Logaritbmos de los intermedios^
EN qu^lquiera efpecie de logarithmos , conocido el
primero , y el ultimo , y el numero de fus términos,
le labran los logarithmos intermedios de eftc modo : Refte-
íe el menor del mayor , efto es , fupuello que fon diredos,
refteíe el primero del ultimo : partafe el refiduo por el nu-
mero de los términos, menos uno ; y el quociente fcrá la
diferencia de qualquiera á fu inmediato , que añadida al
primero ,' dará el logarithmo íegundo; y añadida á elle,
dará el tercero , &c. Queda demonltrado en la propof i.
lib. 5. déla Arithm. Infer. De aqui fe figue, que en nuef.
tros logarithmos , por fer el primero todo zeros , no es
menefter reftarle del ultimo , fi que bailará partir el ulti-
mo termino por el numero de los términos menos uno , y
el quociente ierá el logarithmo (ee\|ifdo , qu^ juntamente
es el excedo en que todos proceden : luego duplicándo-
le fe tendrá el tercero ; y fumando (egundo , y tercero,
le tendrá el quarto , &c. como por exemplo en las progref-
liones dé la propof 10. dado el logarithmo de i. yelde
10-
L I B R o n. 25
loooooooooo. qae es lo. oooooooo. íe piden los inter-
medios : el numero délos términos es ii. y quitando i. es
xo. parto pues el logarithmo io« oooooooo. por lo. y el
quociente i. oooooooo. íerá el lo^ríthmo del termino
iegundo, que duplicado da el tercero ; y el fegundo, y ter-
cero fuoiaaos , aán el quano ; y alsi de los demás.
PROP. Xm. Problema.
Vddús los Logarithmos de dos y o mas números , bdlUr el Logaridh
mo del froduSo de (bcbos números ; j afsinúfmo , bdlUr el
Logarithmo del quociente de la farticion
del uno for el otro*
SUmeníe los logaiithmos de los números dados , y la (u-
' ma ferá el logarithmo del produdo de dichos núme-
ros. Confta del iorolar. de la fropof 5. Exemflo. Sumen-
íe los logarithmos de los números lo. y 100. que eitán en
la tabla de la ^<ipa/¡ lo. y la luma lera el logarithmo de
1000. que es el produdo de 10. por loo. Aísimiímo,reile-
íe el logaririimo de 10. del logarithmo de iooo.y elrefi-
dúo íerá el logarithmo de loo. por la razón íobredicha.
PROP. XIV. Problema.
Hallar los Logarithmos de las fotefiades , f raices nmmricsf^
Multiplicando un numero por » mifmo , nace íii
quadrado : multiplicando el quadrado por el nu-
mero milmo Tale el cubo : multiplicando el cubo por el
mifmo numero , íak el quadrado-quadrado ; y a(si inBni-
tamente : lu^o , porque la fuma de ellos logarithmos
equivale á la muiciphcacion , (i íe fuma dos veces el loga-
ríthnK> de un numero , íaldrá el logarithmo de fu qua-
drado ; y í¡ le íuma tres veces , faldrl el logarithmo de íu
cubo ; y íi quatro veces , faldrá el de íii quadrado-qua-
drado ; y afsi de los demás : luego al contrarío , íi el lo-
garithmo del quadrado íe parte por 2. ó fe le rcíb la mi-
tad^ ühiti el logarithmo de la rtiz quadradade aquel
nu-
26 TRAT.yiI. De la TRIGONOMETRlAr
numero ; y ii el logarithmo del cubo (e parte por.j. efto
ie toma iü tercio , le fabrá el logarithmo de la raiz cubica»
y aíisi en las demás poteftades , y raices.
PROP. XV. Problema.
Dados los Logarithmos de dos números , hallar el Logaritbmo del
medio, proporcional entre dichos números.
Büfcaíe, porexeiiiplo, el logarithmo del medio propor-
cional entre el tercero, y quinto termino de la tahid
aniccedente , propof lo. Operación. Sumenfe los logarith-
mes del tercero, y «quinto términos, y la mitad de la fuma
fera el loganthmó del numero , que es medio proporcio-
nal .entie ios lobredichos.
Demonjir. £1 medio proporcional entre dos numeres
íe halla , multiplicando dichos números , y Tacándola raiz
quadrada del produdo , como.dixe en la Arithm. Super.
ii¿. 3 «prop. I. luego ^ porque en ellos logarithmos la iiima
equivale á lá multiplicación , la fuma üe los logarithmos
délos números dados, ierá el logarithmo de lu produdo^
y.(i4)iumitadrerá.el logarithmo de la raiz quadradadc
dicho produdo ; y por coníiguiente, del medio proporcio-
nal que le pretende. De que fe Mige , que el medio arithmetica
entre los logarithmos de dos números , es logarithmo del medié
geométrica que hay enfre dichos números.
PROP. XVI. Probkma.
Dados los Logarithmos de todos los términos de una frogrefsio»
geométrica , haüat los Logar tthmos de losnumeros comprehendh
dos entre cada termino de dicha progrefsion ^ y
fu inmediato.
Mucho devemos á Enrique Brixio , y á Adriano ülac,
por havernos dexado trabajadas las tablas iQgarith-
micas., puesfin la fatiga de fu fabrica ,. nos facüitacoo
las operaciones. . trigonométricas : luponiendo pues qu^
nadie ha de gattar inútilmente el tiempo en. trabajarlas
de nuevo, explicaré con brevedad en la fropof íiguiov-
tc
L I B R o IL 27
te la mcthodo que obfervaron en fu conftruccion , para
lo qual íblo nos falta faber el modo de hallar los loga-
rithmos de los nunoieros que hay entre uno , y otro ter-
miqo de la progreftion geométrica , de los quales íe necef-
•iita para innumerables operaciones; ide fuerte, qua (in ellos
feria cafi inútil la tabla logarithmica , como luego veré-
nips : y porque con la mifma methodo , con que (e halla
.uno de eftos lógahthmos, (e pueden hallar los demás, baf-
tará explicarla en uno de ellos , y fea por exemplo el del
nun^ero 9.
Ofer ación. Lo primero , porque el 9. (e halla entre los
dQ§, primeros términos de la progreísion geométrica , que
.fon !• y 10. y el artificio para hallar fu logarithmo , con-
íifte' en inquirir fuccefsivamente diferentes medios geomé-
tricos , y otros tantos arithmeticos ; para que ks opera-
ciones íaigan bien exadas, y no fea lenfible lo que fe pier-
de en la extracción de raices regularmente irracionales.
Se añadurán a los dichos términos i. y 10. tantos zeros á ío
menos , quanto^ lleva el logaridimo del numero 10. en la
tabla precedente , los quales fervirán íblamente para la
extracción de los medios proporcionales , y fe borrarán
defpues de acabada la operación : en la formula (iguiente
(blo fe añaden íiete , por íer éílos los bailantes para la
explicación.
X, Entré la unidad
A,y el io¡B,aumenta-
4oscon fus zeros, ha-
Jleíe el medio geomé-
trico proporcional C:
y porque aqui fe buP'
ca el num.9« con tan-
tas cifras como tiene
la unidad ; eíto es y 9.
poopooo, ó otro el
próximo menor.,, que
por efte camino íe le
jpuede hallar,íiendo el
jjtum. Qmenor que el
-' que
A
C
B
D
C
B*
E
D
F
E
Proporchnal*
!• 0000000
^•6i22777
10.0000000
10. 0000000
y. 6234132
lo.ooooobo
7. 4989421
Logarubm^
o. 00000000
o, y 0000000
I. 00000000
^•^ »-^ ••'H ^^ •>-«
I.OOOÜOOOO
0.75000000
o. 50000000-
1. 00000000
0.875000010.
y. 6234152 I 0.75000000
^■■i^ P"^^ •■■^í ^^"^ ^^^4 ^w*! 9^^^ ^^■^ •■■^^ •^^
10» 0000000
¡8. 6596432
7.4989421
I.OOOOOOQO*
o. 9375oofloi
0.87500000 J
28
B
G
F
Cí
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I
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1
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H
K
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O
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M
3
?-
R
P
s
^ que ft bufca , c$ cierto.
Proporción.
lo. ooooooo
Q. 30^7204
¿•£59<%3f;
8.9768713
8. 6596432
V-7o?p<H
9.1398170
8. 9768713
9. 1398170
9- 0579777
0.9768713
9-0579777
9-OI75Í33
8.9768713
9-OI7373T
8. 9970796
8.9768713
9. 0072008
8. 9970796
9. 0072008
9.0021388
8. 9970796
9.0021388
8. 9996088
8. 9970796
9.0021388
9.0008737
8. 9996088
9. 0008737
9.0002412
^.9996088
9.0002412
8.9999250
8. 9996088
Logarübnu
1 . 00000000
0.96875000
0.93750000
0.96875000
0.95312500
0.93750000
o. 96875000
0.96093750
0.96093750
0.95703125
0^^9^^312500
0-95705^^
0*95507812
0.95312500
0.955*07812
que entre t\ numero C,
y el numero B , eítarjl
el que ft defea. BuC-
2uefe pues entre B, y
, el medio proporcio-
nal D ; y porque tam-
bién es menor que 9.
ooooooo. entre el míA
mo B, y D, fe hallará el
medio proporcional E,
que aunque fe va acer-
cando al nu.9.ooooooo.
pero aun és mucho
menor que él. Bu(que<-
fe pues otro medio en-
treB^ yE, y ferá F,
que aun es menor que
9. ooooooo. por lo
0.95410156 qual fe haliaii otro
O.OC2Tl.cnn mia^.*^ -w..^ : i ..
0.95312500
0. 95 5078 rl^
0.95458984
0.95^10156
0T9Y478984
^•95454570
O.9541OI56
o-9743'477o
0.95422363
medio proporcional en-
tre B , y F , que ferá
G; el qual es ya ma-
yor que el 9. ooooooo.
por lo qual entre G , y
el oroximo menor P,
fe hallará otro medio
proporcional H, que es
menor que 9. ooooooo.
y afsi entre H, y G, que
^^9i4J.ojt 5^ es el próximo mayor,
0-9H54570
0.95428467
0.95428467
0.95425415
0.95422363
07974T5415
0.95423889
0^9^422^;
fe bufeará otro rnedíd
preporcional I , que eS
mayor que 9. ooooooo;
peio no con tanto e».
ceflb como lo era ¿I
numero G , por lo qud
entre 1, y H, próximo
menor , fe hallará el
me-
Libro II.
R
T
S
V
S
X
s
Y
X
z
Y
&
z^
V
AA
&
AA
BB
&
Sb*
ce
BB
DD
ce
medio proporcional
K ; y ac ella fuerte
íe ira continuando la
operación ^ buícando
iiempre un medio
l^eonietricaméte pro-
porcional entre el me-
dio próximo mayor,
y el próximo menor
de los que fe van ha-
llando , hafta encon-
trar con el numero
9« oooooooo. ó ocro
tan próximo, que ca-
li no fe diferencie de
él. Viene pues a falir
deipues de haver ha-
Uaao 2 5 .medios geo-
métricos el numero
9. 0000000. como fe
ve en la ibrmula de
las operaciones.
3 Hecho efto,bol-
viendo al principio
de la tbrmula,entrc el
logarithmo de A , y
el logarithmo de d,
fe hallará (i 5.) el me-
dio arithmetico C,
3ue es el logarithmo
el medio geométri-
co C:luego le irá con-
tinuando la opera-
ción , bufcando Iiem-
pre los medios Arith-
meticos , ó Logaridimicos , correfpondientes á los me-
dios Geométricos , figuiendo el miímo orden -con que
cftos fe fueron hallando ; y en la ultima operación fe
^allaii el logarithmo correlpondieote al numero 9.
ooooooo.
Proformn.
,9.0002^11
9.0000831
8.9999250
9.0000831
9. 0000041
8.9999250
9. 0000041
8. 9999650
9.0000041
8. 9999845
8.9999650
9. 0000041
8. 9999943
9.0000041
8. 999999^
.^•^9999-ti
9.0000041
9.0000016
¿.¿9999S>^
9,0000016
9. 0000004
¿•¿999992
9. 0000004
8. 9999998
¿•999929±
9. 0000004
9.0000000
8. 9999998
Logarithm. t
0^974^5417
0.95424652
0.95425889
0.95424652
0.95424271
0.95425889
0^954-4^71
0.95424080
0.95425889
0.95424271
0.95424217
o. 95424080
0.95424271
0.95424225
0T97424771
0.95424247
0.95424271
0.95424259
o. 95424247
0^97424759
0.95424253
^9¿4i.4^i7
0797424^53
0.95424250
^9i4^iÍ4J
07974^4257
0.95424251
0.95424256
/
y
30 Trat. VII. De la Triconomitma.
ooooboo.que es o. 9542.425 1 «y quitándole al dicho nuitie*
ro los zeros que le le añadieron, quedará el numero 9» y íii
logarithmo o, 95424x5 !•
De la mifma íüerte que fe ha hallado el loganthmo
del numero 9. (e pueden hallar los logarithmos de todos
los números intermedios que hay entre los que componen
la proerefsion geométrica , arriba puefta ; pero folo íerá
mcneííer eíla operación prolixa para hallar los logarith-
mos de los números primos , que fon aquellos á quien no
mide otro numero , li fola la unidad ; porque para los nú-
meros compueftos,que nacen de la multiplicación de otros,
íe hallaran los logarithmos por la prc^p. 13. conio luego
veremos.
PROP. XVn. Problema,
lormar la Tabla Logarithmua.
DE lo dicho en las propoíiciones antecedentes fe co-
lige el modo de formar la tabla logarithmica de
todos los números , empezando de la unidad ázia el infini-
to , que es el liguiente,
1 Determinada la progrefsion geométrica , que (egun
la frof. 10. es la que empieza de la unidad , y íus termi-
nos proceden en proporción decupla , fe determina junta-
mente la progrefsion arithmetica , que empezando del
zero, íigue el ordeti natural de los números que fe exceden,
en la unidad ; pero añadida á^xuula uno igual cantidad da
zeros , como fe dixo en k prop, citada : y los números de
eíla progrefsion fon logaritnmos de los términos de la pro-
tjreísion geométrica , como fe ve en la tabla que puíe en-
a frop. i o. fobredicha.
2 Pero porque neceftitan^os también de todos los nu-
meros contenidos entre uno, y otro termino de la porgret
fion geométrica , es forzofo hallarles fus logarithmos : y lo
primero con la ^fiifma regla de la propof paíTada , conque
le halló, el logarithmo del numero 9. fe hallaran los loga-
rithmos de los números primos , como fon 2. j. 5, 7. 11.
r5.i7.i9.25.&c. fi bien haviendofe hallado el logarithmo
del numero 9/con folo tomarfu mkad ^ ft tendrá (i40 el'
Libro IL^ 31
del numero ;• que es fu raíz quadrada. Haviendo pues ha-
llado el logarithmo del 2. duplicándole , triplicándole,
quadruplicandole , &c, fe tendrán los logariihmos de fus
poceftades 4.8. 16. 32. 64. &c. Alsimilmo duplicando, tri-
plicando,&c. el logarithmo del 5. le (endaán los de íus po-
teftades 9.27.8 1, &c. Y de la mifma luerte con el logarith-
mo del numero 5. fe tendrán los de J. 2 5. 125. &c.
3 Hallados los logarithmos de los números frimos , fe
iabrán fácilmente los de los camfuejhs ; porque como éftos
procedan de la multiplicación de otros números » íi fe fu-
man .los logarithmos de los números producentes , fe ha-
llará el logarithmo del numero producto. (13.) Y^afsi^
porque el 6. procede de la mültiplicacioo de 2. por j. fu-
mando los logarithmos del 2. y del 5. fe tendrá el logarith-
mo de 6. Aisimifmo la luma de los logarithmos de 2. y de
4. ferá el del numero 8. y alsi de los demás.
Con efto quedará formada la tabla logarithmica , con
los logarithmos de todos los números defde la unidad ázia
el inhnito. La que pongo á lo ultimo de efte libro dcipues
de la tabla trigonométrica , folo llega haita loooo. pero
mas adelante le dará regla para hallar los logarithmos de
qualefquiera números mayores qué loooo. que es el ul«
timo de dicha tabla.
PROP- XVm. Problema.
Aflicacion de los logarithmos al Canon Trigonométrico.
LOs logarithmos fe han aplicado al canon trigonomé-
trico , fubftituyendo en lugar de los números geo-
métrico^ que le componen , los logarithmos fus corrcC*
pendientes : lo que ha facilitado en gran manera las opera-
ciones trigonométricas. Pero fe ha de advertir, que los nú-
meros geométricos que hay en el canon^ entienclen aumen-
tados con algunas cifras,que le añadieron para mayor exac-
ción , fegun lo que dixe en la prof.16. los quáles áefpues fe
quitaron ; y por efta caufa íe hallará , que los logarithmos
íubftituidos en fu lugar , ion mayores cíe lo que devian íér,
fi fe atienden los numlefos geométricos , fegun en el canoa
fe expreffan.
Ixem-
33 Trat. Vil. De la TaiGONOM* tria.
Exemplo. £1 primer numero geométrico en el canon de
los íenos es 2909. que es el leño de un min uto ; y fu loga-
rithmoalli miímoes 6.4637x61. íiendo afsi, que en la
tabla logarithmica á 2909. le Correfpondc el logarith-
mo 5. 46574 j7. La razón de eíto es , porque en el canon
de los leños el numero geométrico 2909. fe ha de enten-
der tiene mas tres cifras, iegun la regla general que íe dio á
lo ultimo de la fro^f. 10. Y fegun otra que daremos mas
adelante, al logaritnmo del ícno de un minuto 6*4^6^ji6i»
le cprrefponde el numero geométrico 29o8882.que quita-
das )as tres ultimas cifras , es 2908. pero por fer tan cre-
cidas las que ie han quitado , fe pone en el canon 2909.
Aunque en el canon trigonométrico he omitido los
números abfolutos , por (er bailantes para las operaciones
fus logarithraos , he querido advertir lo fobredicho , para
que quien quiiiere cotejarles con los logaríthmos de la
tabla logarithmica , no tropiece con la dmcultad que ke-^
mos dicho.
CAPITULO m.«
DEL VSO DEL CilNON TRíGONOMETKICO , T TABLA
Logarithmca.
DOs tablas fe hallan al fin de efte libro : la prime-
ra, es el urnn trigommetmo : la inunda es, la tabla
hgarithmica , que contiene todos los. números , deíUe la
unidad, hafta loooo. con los logarithmos que les correC-
pondeo : la iiiteligencia, y uíb de entrambas , explican las
propQÍiciones íiguientes.
PROP. XK. Theorema.
Ixflicafe la iiffoftcum del Canon
Tng$namctrico.
L
A tabla i. o canon trigonométrico contiene todos
los grados , ó minutos naitael quadrante : (u difpofi-
cion
LíBRO II. 5J
cion es la f iguiente. En cada plana íe hallan dos ordénes^ y
en cada uno tres colunas , ae las quales , la primera á la
izouierda del que lee , contiene los minutos del grado que
efta arriba en la frente de aquel orden ; la íegunda coluna
lleva los fenos logarithmicos^correTpondientes a dicho gfa«
do, y minutos; y la tercera, íüs tangentes logarithmicas ; y
lo mifmo en el iegundo orden : folo que en efte , la prime-
ra coluna lleva los minutos con orden opuefto , porque fen
la del orden primero deícienden,y en la del fegundoíiiben,
|)ara que de efta fiíerte el grado,y minutos del iegundo or-
den , íea complemento al quadrante de los del primero , y
al contrario ; y íe hallen en la mifma plana los fenos prime-
aos , y fegundos de un mifmo arco , y afsimifmo las tan-
gentes. \
Ponenfe en el canon trigonométrico iblámcnte lo$
arcos hafta el quadrante ^j porque los arcos mayores quee!
quadrante, tienen los miímos íenos , y tangentes que íiis
complementos al femicirculo , como en otra parte queda
dicho , los quales fon neceíFaríamente menores que el qua^
•drante. Ponenfe íblamente los fenos, y tangentes logarith^
micas , efto es , los logarithmos correfpondientes á los le-
ños , y tangentes , omitiendo lus propios números geo-
métricos , porque creo , que nadie querrá valerfe de eDos»
pudiendo executar con mas prontitud , y defcanfo las mÜ^
mas operaciones con ios logarithmos , que con los íbbre- '
dichos números geométricos. Se han omitido también los
logarithmos de las fecantes , aísi por haceríe íin ellas con
igual facilidad los calculo^ de los triángulos, como por po-
deríe hallar fácilmente fus logarithmos, como defpues ve-
rtemos. Qgan ñcil fea el manejo de eftas tablas ^ fe ve en
las proporciones íiguientes.
PROP. XX. Problema,
'Dados hs arcos , h ángulos hafia los mmtos , halUr fus fenos, jf
tangentes hgartthmcas en el Canon Trigo-
nométrico.
BUfqu^ arriba en la frente dé la tabla el numero dd
los grados ; y hallado efte , bufquenfe en Ja primer
TomollL . C co-
34 Trat.Vü. Dé la Trigonometría.
coluna á la izquierda de aquel orden , los minutos qae
acompañan á dichos grados , y al lado de elios , íiguiendo
la linea tranfverí al y fe hallará fu feno primero , y tangente
primera; y en el orden iiguiente, fuiénoíegundo, y tan?
gente íegunda : pero es meneíler advertir , que por 1er pe*
quena la plana , le han dividido los 6o. minutos de cada
grado en dos mitades ; y coníiguientemente la una mitad
con fus fenos , y tangentes eita en la una plana ; y la otra
mitad en la (igutente : conque fi el numero de los miniuos
que fe bufca, no fe hallare en aquella plana , íe paíTará á la
inmediata antecedente, ó fubfig^iente, que lleva en fu fren*
te el mifmo numero de grados ; y en fb primera coluna
{e hallarán los minutos , como fe ve eo los exemplos &^
guicntes.
Exemflo u $ea dado el arco^ ó ángulo de ij. grados , y
t/\. min. Pidelé fu feno i. y tangente i. y fu feno z. y taiw
gente z. Oferacion. Bufquefe en la frente de la tabla el zj^
que es el numero de los grados; y en la primer coluna de
aquel orden bufquenfe los 24. min. y fe hallará enfrente de
éftos fer el feno primero ^.661^/^64^ y la tangente primera
9, 7 1 462} 7. y íiguiendo lamilma Imea tranlveríál, íe halla^
rá en el fegundo orden de la mifma plana, fer el feno 2» de
dichos grados, y minutos 9.9483227.y la tangente ffegunda .
10.2855763.
ixewpto 2. Sea dado el arco , ó ángulo de 27. grados , j6^
minutos. Pídete fu feno i. y tangente i. y fu feno 2. y tan-
gente 2. Operación. Hallefe el 27. en la frente déla tabla;
Íen fu mifmo orden , en la primer coluna, á la Í2quierdaj
allenfe los x6. minutos , y a fu lado (e hallará el feno pri-
mero 9.6658586. y la tangente primera 9.7x83251. y fi-
guiendo la miíma linea tranfverfal en el otro orden de k
mifma plana, fe halla fu feno fegundo 9^9475 3 3 5. y fu tan-
gente íegunda lo.;^ 8 16749.
Exemflo i* Sea dado el arco , ó ángulo de 152. grados,
y .36. minutos. Pidenfe fus fenos i. y 2. y tangentes i.y 2»
Operación. Por fer dicho arco mayor que el quadrante,
reflefe de 180. grados, y el reílduo ferá 27. grados, y 24. .
xninutos ; hagafe lo íxüíwo que en los exemplos paíTados ^jí^
fe
X
Libro II» 9j[
íe hallarán (us íenos , y tangentes , que ion las mifixus ddt
cxemplo I. y afsi en los demás. i
PROP. XXI* ProbleoM.
« •
Sallar los Senos^ j Tangentes Logarithmcas d^ hs anos que conf-
ían de gradosy mnutosy j Jegundos.
EN las tablas eftán los (cnos , y tangentes de los minu^
tos de cada grado , pero no eftán los de los íegundos;
y aunque pocas Veces fe neceísita de tanta preciíion. , pero
ti fe ofreciere fe obrará como en los exemplos íiguientes*
' Bxemflo. Pídele el leño i. de un arco de 27. grad* 24*
min; 35«fegundos. Opnvtcioif.Hallerepor laantecedentcel
(eno I. logaritbmico de 27. grad. 1^ min. que íeii
9.6629464. Tomeíe aora de las tablas el feno inmediato
¿guíente, que es 9. 663 1900. Reftefe el menor del mayor^
y íerá la diferencia 2456. Digaíe aora por regla de tress
íi 60. Íegundos, que fon los que componen im minuto, daa
' 2436. quedarán 35. fegündos? y fe hallaran dar 142 1»
Añádale éfte quociente al primer logarithmo 9. 6629464.
por fer menor que el fegundo j y la fuma 9. 6630885* íerá
el feno logarithmico del arco dado 27. grad. 24. mim 35.
leg. De la mifma fuene fe obrará en las tangentes logarútl*:
micas.
PROP. XXn. Problema.
^ Dado el SenOy b la Tangente de un arco^ i anguloj balUtet
anguloy h arco» . .
DAdo el feno logarithmico , ó tangente logarithmico
de un arco , ie hallará el arco en la forma que fe vt
en los exemplos íiguientes.
Exemplo.' Sea dado el logarithmo 9. 6028^82. que. lo
es de un íeno i. Pideíe la cantidad del arco , ó ángulo de
quien es feno i. Bufqueíe en las tablas del canon el íb*
bredicho logarithmo en la coluna de los íenos ; y poi-
que no íe halla exa¿tamente , tomefe fu próximo menor,
que es 9. 6027278. y á fu lado á la izquierda fe hallao
Ij. min. y arriba 1.3. grad« Digo pues^ que el logarithnw
^6 Trat.VII. De la Trigonometría.
'dado esdd feno i. de i^n arco , ó ángulo de 25. grád. 3 7W
min. pero porque un iiiifmQ ieno de un arco menor c|ue el
quadrante, es también íeno de íu complemento al (einicir-
culo , puede también fer el fobr^dicho logarithmo del leño
I. del arco de i56.grad. 23. min. Conque lábiendo que el
)árco que fe buíca es menor que el quadrante y fe dirá fer
íeno primero de 2,5. gr. 57» min. yfabiendoque es ma-
yor que el quadrante , fe dirá fer íeno i. del arco de 1 56^
gr. 23.nün.
ExempUi. Sea dado el miímo logarithmo como íeno
^2. de un arco. Bufquefe , como antes , en la coluna de los
fenos ; y haviendo hallado fu próximo menor 9.6027278,
fe proleguirá , figuiendo la linea tranfverlal al otro orden
Úc la milma plana , y en íu primera coluna fe encontrarán
2 3 . min. y en la ti-ente de eíle mifmo orden 66. grados*
Digo pues , que el logarithmo dado es del ieno 2. de 66»
erad. 23. min. y tambiejpde ii3.grad. 37. min. conque ía-
hiendo ii el arco es menor y ó mayor que el quadrante , fe
elegirán, 6 los grados primeros, ó los fegdndos. De la mif-
ma fuerte íe obrará en las tangentes.
Myicrufe , que quando fe toma el Ugarithmo froximamente
menor , también el ano que le corre ff onde es próximo^ pero no el
verdadero , porque 01 el feno i.y tangente i* el arco menor qu€
eLquadrdiUe yfale algo menor de lo ]njio ; y el major^ que el qua-
drante algo mayor: j al contrario en el ferio i.j tangente i* porque
en el arco menor que el quadránpe y fale fnajor de lojufto; j enel
major que el quadrante y menor: y aunque fuele dejf reciarfe la
díferenciaypor no poder llegar a minuto ; pero quanaofe quiera la
total precijiony fe obrara como en la propojicion figuiente.
PROP. XXin. Problema. .,
^Dado el Logarithmo del Seno , d Tangente de un Arco y determnar
el arco bajía los fegundos*
SEa dado el mifmo logarithmo 9.6028482. como íeno u
de un ángulo ; y obrando como en la propoí^ paflada,
iiallo que fu próximo menor en las tablas es 9. 6027278.
á quien correíponde el aogulo agudo 23. grad* 37. min. /
L I B R o IL ^7
clobtuíb 15e.gr. 23.min. Para mayor exacción íe halla-
rán los fegundos de dicho arco en eíta forma : Tomo el
logarithmo próximo mayor , que es 9. 6030166. y reC-^
tando el menor del mayor , hallo fer la diferencia 2888.
Refto también el menor 9. 6027178. del logarithmo da-
do 9. 6028482. y es la diferencia 1204. Y formo efta re-
gla de tres : Si ladiferencia2888.es de 6o. fegund. luego
fa diferencia 1204. dará 25. fegundos ; éítos fe añadirln
al ángulo agudo , y faldrá de 25. gr. 37. min. 25. ftg. Y
reltados del obtuío , quedará de 156.gr. 22. min. 55.íeg.
Delamifma íiierte fe obrará en la tangente primera; pe-
ro en el feno 2. y tangente 2. defpues oe hecha la regla de
tres , fe obrará al contrario , redando los fegundos ñaua-
dos , del ángulo agudo , y añadiéndoles al obtuío , lo que
requiere cuidado para no errar la operación.
\En el canon trigonometrU» no fe han fuefto las fecantes la-
garithmicas , par no necefsitar de ellas la methodo que hemos dc^
jeguir y j tanéten por poder fe bailar fácilmente por la regla que
daremos mas adelante*
En las propoftciones figuientes fe explica el ufo de la tabla t(h
¡arithmicoy que efiadejpues del canon trigonométrico.
PROP. XXIV. Problema.
Dado un. numero de los que ejfkn en la Tabla , haUar el Logartíb-
mo\j al contrarios
I QEa dado el numero 61 8¿ Pidcfe fií Ic^ríthmoJ
i3 Operación. Buíquefe dicho numero en la tabla , y á
fu lado fe hallará fü logarithmo 2. 7909885.
2 Sea dado el logarithmo 2.790^885. Pidefecl nu-
mero de quien es logarithmo* Buíquelc dicho logarithma
entre los logarithmos de la tabla , y á fu lado á la izquier-
da fe encontrará el numero 618;
3 Quando el k^aríthmo dada vno fe hallare preciía-
mente en la tabla y fe tomaricl.qnc lehallare mas proxí-
moalquelc bufca,^y el-numcrp-quele correí^onde a la iz-
quierda fe puede .tqmarjpor eltverdadtíco , por dU:erenciaj?fe
oe éftc eñ menos que la unidad.
Exenh
3f Trat.VII. De la Trigonometría;
Bxemplú. Sea dado el loganthmo ^ • 6z 5.298 1 . el qual no
íc halla preciTamente en la tabla; pero fe ve alli , que el lo*
garithmo del numero 42 19.es menor,y el del numero 42 io.
es mayor : porque el logarithmo dado eftá mas próximo al
mayor,que al menor, fe tomará el numero 4220. por el ver-
dadero ; fí no íe quiere atender al mas proxuno, baftará to-
mar fiempre el próximo ipenor: y fi íe quifiere mayor prc-
eüion^ íe procederá del modo que íe explica en lapr^p .27.
PROP. XXV. Problema.
lUlUr el Logarithmo de qualqiúer quebrado*
DOs caíbs íe pueden ofrecer : el primero , quando el
quebrado es impropio por fer el numerador mayor
que el denominador ; elíegundo, quando es propio por
£er el numerador menor que d denommador.
Cafou Sea dado el quebrado impropio ^. Pideíe íu
logarithmo. Operación* Reíleíe el logarithmo del denomi-
nador, del logarithmo del numerador , y el reíiduo feráei
logarithmo que íepide. El logarithmo del. denominador
17.es 1. 2304489, el del numerador 29. es 1.4625980.
rcílando el primero del fegundo , es el rclíduo o. 2 5 19491*
logarithmo del quebrado propueílo.
Cajoi. Quando el quebrado es propio , fe reílará el
logarithmo ' del numerador , .del logarithmo del denomi-
nador ; y el reíiduo con efte feñal — , ferá el logarithmo
del quebrado , . que neceífariamente ha de fer defedivo , ó
negativo. Exemplo. Sea el quebrado X Refiado el loga-
rithmo de ijAcl de 29.como antes,es el reíiduo 0.2.5 1949 u
y poniéndole antes eilignOr—^feri,— 0^2319491. loga-
rithmo ddríobredichb quebrado. • ,
Dernonftr» Primeramente , que eft^ logarithmo haya de
fer numero íalíb , ó4efcdivo ^ es conílame , porque gual-
. . quie^
L I B it o n. 3ÍÍ
quiera quebrado propio , es menor que la unidad ! luego
¿ logarithmo del quebrado ha de fer joienor que el loga^
rithino de la unidad : luego fiendo la unidad zero, (xo*)
ierá el logarithmo del quebrado menos que el zero: luego
es numero deíedivo , ó negativo. Lo íegundo-, que la di-^'
íerencia de los los;arithmos del numerador, y denomina-
dor , fea el logaruhmo de qualquier quebrado , íea pro-
pio , ó impropio , fe prueba ; porque qualquier quebrado
es lo miíino que el quociente que proviene de la partición
del numerador por el denommaaor , como conita de la
Arithmetica ; y como en eftos logarithmos la refta equi*
valga á la partición, de fuerte, que el refiduo de la refta dé
los logarithmos , es logarithmo del quociente de la parti-
ción hecha en los números correfpondientes , fe ligue ha
de fer logarithmo de qualquiera quebrado el refiduo que
proviene reftando entre si los logarithmos del numera-
dor, y denominador.
' PROPi XXVI. Problema*
Hallar el Ugarithmo de un tntetQ , j quebrada.
Modo I. Redu2ga(e el entero al quebrado que le acom^
p^a , haciendo de todo un quebrado impropio , j
ufando de la regla del cafo i. de la propoíl antecedente , le
fabrá fu logarithmo. Bxemplo. Pideíe el logarithmo de
34* y dos quintos: reducido todo á quintos^es el quebrado
172. quintos ; el logarithmo de el numerador 172. es
2.2355284. el dd denominador 5. es o. 6989700. el refi-
duo 1.5365584. es el logarithmo del entero, y quebrado
propueftos. ,
Fiírque fmederi muchas reces > que hecha la muttipUcacim
dd emetú far el denominador del quebrado , faldri uu froduSto
mayor que el ultimo de la tabUj fer a conveniente ufar del figiáen^
te modo , aunque no es tan e^aSo como el antecedente.
Modo 2. Tomeíe el logarithmo del numero entero
54. en elexemplo antecedente, qu© es i. 5514789. y lue-
go el del figuiente numeró 5 5. que es i. 5440680.. refteft
d menor dSi mayor , y fera Gi diíereacia iz^i^u"^ yfot^
inaa-
4o Trat.VIL De t a Trigonometría»
mando regla de tres, {e dirá : Si el deoomihador 5» óit al
denominador z. qué darán 1x5891. y ferá el quarto ger-
mino 50356. que añadido al logarichmodel numero ente-
ro, la fuma i* 556^145. ieráel logarithmode 34. y dos
quintos.
PROP. XXVn. Problema.
Dado un Ldgarithmo , bollar el entero , y quebrada» .
S£a dado el logarithmo £• 521197. el qual no (e halla
precifamente en la tabla. Pideíé el entero , y quebra-
do de quien es logarithmo. Opericion. Tomefe fu próximo
menor, que esz. 521138. yáfu ladoíe hallará el numero
entero quefe buíca 352. Buíqueíe también fu próximo ma-
yor, que es 2. 522444. La diíerencia entre el mayor,y me-
nor, es 1 306, la diferencia entre el menor, y medio , es 59*
y porque al quebrado que ft bufca fe le puede dar qual-
quiera denominador, efcojafe arbitrariamente, y íea 100. y
digaíe.por regla de tres : Si la diferencia entre el mayor , y
menor /i 506. dá 59. diferencia entre el menor,y meaio,qué
dará el denominador 100. y el quarto termino 4. ferá el nu-
i^ierador -del quebrado, cuyo denominador ferá el ioo.que
íe efcogió ; conque el logarithmo dado lo es de 532. y 4.
centefsimas con poca diferencia.
PROP. XXVffl. Problema.
Hado m Logarithmo negatm , hallar el quebrado de
quien lo es. ,
COnftadcf la ftofofiúon 25. que el logarithmo de un
quebrado propio , es negativo , ó defeáivo. Dado
pues ?lte. logarithmo, fe hallará el quebrado á quien cor-
reíiíonde, en la forma íiguiente : Sumefe el logarithmo de^^
fcaivo <:on el logarithmo de otro quálquier numero de
la tabla, ad virtiendo, que por fer negativo íe fumareC-
•tandole del otro , como íe aixo en la Algebra : bufquefe.
en la tabla entre los logarithmos la fuma fobredicha^!
■-..
Libro H. ' ^í.
Y totnandoel numero que le correTponde \ la íinieftra, íe
pondrá como numerador del quebrado , que tendrá por.
denominador al numero , cuyo logarithmo fe efeogip ; y
cíle quebrado ferá el correfpondience al logarithmo defec^.
tivo»
í^xemplo^ Sea dado el logarithmo defedivo -^— o,
2319491. y (e pide el quebrado de quien es logarithmo*
Súmele con el Ipgarithmo de looo^ que es ^^.ooooooo*
reftandole de éfte por la razón fobredicha , y ferá el reíi-
^uo 2,768o509. al qual en la tabla correíponde proxi-:
mámente el numero 587. Digo pues, que 587. milelsimas,
es el quebrado correípondicnte al logarithmo defedivo
foteedicho,
PROP. XXIX. Problema.
Dado un numero mayor que el ultimo de U tabla y haUat
fu Logarithmo,
i QI el numero dado es cdmpuefto, bufquenfe los dos
O números , que multiplicados entre sí , le producen.
Hallenfe los logarithmos de eftos números en la tabla , y
Cumados , ferá la fuma el logarithmo, del numero dado.
Bxemplo. Pidefe el logarithmo del numero 78936. m^-
yor que el ultimo de la tabla ; y porque el numero fobre-
dicho nace de la multiplicación de 25^. por 312. buíquen^
fe en la tabla los logañthmos de ellos dos últimos nu<-
iperps } y la fuma de ellos ferá 4^ 8972751., logarithmo.
del numero propuefto. Confia del corolario de la fropofi^^
iion j.
Pero porque íi fe diefle un numero primo no fe po-
^ dria hallar fu logarithmo con la fe»bredicha regla , aña*
do la (iguiente , que es general para todos. Sea dado el
likifino numero 78956. Separenfe con un punto las-qua-^
ti'o prin^eras cifras de la izquierda ; y las otras ponganfe
fpbre una raya, como numerador de un quebrado, cuyo,
denoíainador ferá la unidad, con tantos zeros como hay le-
tras en el numerador ; conque en el exemplo propuefto.
ffrá7593 ^ * Bufqüefe aora ( 26 )eí. logarithmo de elle
10 en-*
S(2 Tr AT. Vn. Db la Trxgomometri á;
tntero,y quebrado^y ierá 5. 8971751. Añadaníele á la ca«
Taderiftica tantas unidades cocno hay zeros en'el denomi-
mdor del (bbredicho Quebrado, que en efte cafo es uno ; y
íerá el logorithmo 4.89717o. el del numero dado^ como
antes. La razón fe puede colegir de lo dicho en las propo-
rciones palladas*
PROP.XXX. Problema.
BíKfo m UgáftthnM majw que el ultime de la tábU y bollar el
numero de qmen es Logaritbme. ^
SEa dado el logarithmo 4. 897275 1. que no fe haHa etí
la tabla : pideíe fu numero. Oferacm. Hagafe cuen-
ta que la caraaeriltica no es mas que 3. y que el logarith-
malea ;. 897175 1« buícole en la tabla , y hallo que íii
próximo menor es 3. 8971411. que es logarithmo de
7895. elcrivo efte numero a parte , y tomo el logarithmo
próximo mayor 3. 8971971. La diferencia del mayor, y
menor es 5 50. la diferencia entre el menor , y medio es
30. añadole á efte tantos zeros , como es la diferencia de
ascaraderifticas4.y 3. y ferá 3500* parto 3300. por 550.
y fale elquociente 6. y por lo dicho en la fropof 17. ferá
3.8971751. logarithmo de 7893 •-, i y tomándole como
10
entero , ferá 78936. numero del logarithmo dado 4.
8971751.
PROP. XXXL Problema.
Hallar el complementa Legarithmico^
EL complemento logarithmico , es la diferencia que hay
de qüalquier logarithmo al radio* Ufamos del comple*
mentó logarithmico frequentemente en las reíbiuciones
de los triángulos por lo mucho que facilita las operaciones.
Hallafecon gran facilidad fin.ekrrivir el logarithmo , ni
el radio , tomando la diferencia que hay de cada letra del
logarithmo hafta 9. empezando por la caraderiftica; fol9
en
i
£ I B R. o IL 4$
en la ultima de mano derecha (e toma la diferencia hafta lo*
como íe vé en elexemplo figuiente;
Sea dado el loganthmo <$• 571* &c. pideíe fu com«
plemento al radio. Sin efcri*
vir el radio , dieaf^: De 6. á Logarit, 6. 57 1 145 8«
9« van }• de 5. a 9« van 4.de CompLLog. 3. 428854t«
!• á*9. vánS, &c. y en la ul-
tima letra, de 8, á io« van z« y ícri el complemento lo*
garitbmico 3. 4288, &c«
Si el logarithmo , como íucede en las tangentes de
los 45* grados airiba , fuere mayor que el radio, íe tomará
el xromplemento al duplo radio lo. ooooooo. de la mifma
fuerte , no haciendo cafo de la primera unidad, (|ue eftá i
la izquierda en la caraderUtica, como (i no eftuviefle.
Sea la tangente logarithmica I0.359. &c, fucomple*
mentó al duplo radio íe
tomará, diciendo : De zero Logarit, 10. 5 59973 u
á9.ván9. de'3.á9« van 6, Compl.Log. 9.6400269*
Scc. y enla ultima, de i. á .
io.ván9.y es el complemento logarithmico al duplo ra^
dio 9. 6400269.
CAPITULO IV.
itPLICilCION DE LOS LOGARüimoS A DirERBüTES
oferMmcs.
PRORXXXn. Problema*
J>áá$s tres nrnmos , hálUr el quarto fr$forcmaí*
Operación. Sumeníe los logarithmos del íegundo , y
tercero términos ; y de la fuma rettefe el logarith-
mo del primero ; y el reíuluo ferá el logarithmo del quar*
to proporcional.
Exemfb. Sii2«dan36. quedara 25. Buíqueníe en bi
tabla logarithmica.los logarithmos .de. los. tres numerot
da-
5|4 Trat. Vn. De la Trigonometría;
dados. Sumeníc los logarithmos . ^^
del iegundo , y tercero : y de la ^, Logártthm»
fuma 2. 95. &c. reftefe el loga> ^i 12. i. 0791 8j 2^
rithmo del primero; y el reficmo dan j6. i.556302,5*
!>. 87 JO. &c. ferá el logarithmo qué 2 j. i. 3979400.
del quarto proporcional que fe 2^954242.5.
bufca,que hallaao en la tabla, fe . i . 079 1812.
verá l'er 75. Confta del corola- ^ •- oir^^V *^
rio de k^prflp. 3. 7J. 1.8750613..
^f U regU de tres fuere inverfa , fe fumátAn los logaritbmos
del f rimero , y fegundo termnos ;j de la fuma fe reftari el loga^
ñthmodel tercero ^j el refiduofera el del quarto que fe bufca»
PROR XXXffl. Problema.
Ixecutar lo fobredkho mas fácilmente j tomando el contplementa
logarithmico*
SEan dados los números 12. 36. 25. y fe buíca el quar-
to proporcional. En lugar
del logarithmo del primer ter- 12. C.L. 8.9208188»
mino , tomefe fu complemento 36. 1.5563025.
al radio , (3 1.) y la fuma de los 25* i-39J94^o^
tres , menos el radio , ferá el 75. 1.8750613.
logarithmo del quarto , que es
*^5^ El radio fe quita de la fuma , omitiendo la primem
unidad á la izquierda. Si el complemento logarithmico fe,
huviefle tomado al duplo radio , fe quitaria el 2.que viene
á la izquierda.
Demonjlr. Como vimos en la próp. anteced. el quarto
proporcional fe halla, reliando de la fuma de los logarith-
mos del fegundo , y tercero términos, el logarithmo del
primero, tile logarithmo primero , junto con fu comple-
mento haíla el radio , hace juílamente el radio : luego íi
de la funia del fegundo , y tercero , fe dexa de reliar cUo-i
garithmo primero , y á mas de efto, fe le añade el comple-
iiiento halla el radio , la fuma de los tres logarithmos ex-,
cede al logarithmo que fe' bufca en todo im radio ente-
lo : luego li deeft^uiaia fe reíla el radio ^ quedará ello--
Libro IL 4^
igaritbmo que íe defea. Y como d radio fe componga lo-
lamente de la unidad , y zeros, bailará quitar la unidad en
-la forma dicha, para que quede quitado el radio : y por la
.miíma razón ^ quando le tomó el complemento al duplo
radio , fe quitan z. á la izquierda. Efte nwdo de alnar hace
faiüifs'mAs las oferacionesyj ufaremos de él en adelatae^ notando
€07% las letras C, L, el complemento logarithmico.
PROP. XXXIV. Problema.
Dados dos números y hallar el tercero froprcional.
OVeracton. Dupliqueíe el logarithmo del numero íc-
gundo : y del duplo reltefe el logarithmo del nu-
mero primero ; y el renduo ferá el logarithmo del tercer
uuffiero que fe bufca. O ma$ fácilmente : tomeíe el com-»
.plemento logarithmico del numero primero , y el duplo
del logarithmo del íegundo : fumeníe entrambas parti«-
das, y la fuma^ meno§ el radio , íerá el logarithmo dd
tercero.
Exemplo, Sean dados los números iz.yiS. Pideíed
rtercero proporcional. To-
jmtfe el coinp. logar, del 12» C,L. 8.9208 188¿
primero ; dupliqueíe el lo- i8. Log.dupU 2.5 105450W
garithmo de 18. y (era 2. 27. 1.43 1 3 (í 3^»
510. &:c. lümenfe entram-
bas partidas , y lera la fuma 11.45 15638. y quitado el ra-
dio ,. lera j.. 431., &c. logarithmo de 27. tercero propor-<
cional que fe deíea. Conita del coroL de la frop. 4.
PROP. XXXV. Problema.
1
a • •
I;ntre dos. números dados , hallar quakfquiera medks. fro-
OPorcionalesm
Peracim. Bufqueníe en la tabla los logaríthmos de
los números dados : reíteíe el un logarithmo de el
otro : y íi fe pide un ipedio proporcional , dividaíe dich)i
• düferencia en oos partes iguales ; y í¡ íe piden dos, dividaíe
4^ mifúsia. diferencia ^^t^esparties; y íitxe^^eaquatro; y
áfti
4¿ Trat. vil De la Trigonometría.
aisi de lo$ demás, dividiéndole íiempre en una parte ma$
que los medios que ie piden. Añadida efta parte de diüh-
renda al logarithipo menor , darsL el logarithmo del pri-
mer medio que fe pide : añadida dos veces^ dará el del ío-
gundo ; y aísi de los demás.
- Exemflo. Sean dados los números 4.y ;i.entre los <]ua^
^les fe bufcandos medios proporcionales. £1 loearithmo
""de 4, es o. 6020600. el de 52. es i. 5051 joo. fu diferencia
Sartida por 5. es o. 3010500. que añadida ai logarithmo
el 4. hace o.9o;o90o.que lo es del S.medio primero que
fe bulca : y añadido otra vez el mifmo tercio o. ;o. &c. al
logarithmo o. 9030. &c. da el logarithmo i. 2041200.
que lo es de i6. (egundo medio que íe pretende.
- Demonfir. Los logarithmos de números gcometricainen<
te proporcionales ie exceden con excciTcs iguales , corno
conita de fu mifmo artificio: luego (Icndo tres los términos
proporcionales que hay defpues del 4.hatta el 32.inclufiva-
mente, la diferencia del logarithmo del 3 2. al del 4.inc]ui^
rá tres veces la diferencia, o exceflb en que cada logarítb-
mo excede a fu inmediato : luego fi la diferencia del loga-
rithmo del 32. al de 4.fe divide en tres partes, qualquiera
de ellas ferá el exceíTo de cada logarithmo á fu inmediato:
y por coniíguiente, añadiéndole continuamente á los loga-
rtthmos , le (abrán éítos , y los números fus correípondieih
tes.
PROP. XXXVI. Problema.
p
Hallar qualquiera raiz* numérica de un numero dado.
Irtaíe el logarithmo del numero dado por el cxpo-
^ nente de la raiz que fe pide , y el quociente ferá el
logarithmo de- la raiz. Exemplo. Pidefe la raiz quadrada
del numero 324. Bufqueíe íu logarithmo en la tabla , y
es 2. 5 105450. y porque el exponente de la raíz qtiadra-
daes 2. pártale dicho logarithmo por 2. y el quocient-c
I* 2552725. ftrá el logarithmo de la raiz. Buíquefe pues
€n la tabla, y á fu lado fe hallará el numero i8« raiz cua-
drada de 324. Afsimifmo , íea dado el numero 5832.
Pidefe fu raiz cubica : fu logarithmo es 3. 765817 j. y
porque el exponente dfi la r^ cHbiC4 es 3. partafe dicb()
lo-
L I B R o II. 47
logatithmó por 5. y el quociente i. 25 y 271 $• ícrá el loga-
ritnmo de la raiz cubica que fe buícajbufqueíe en la tabla»
y á íu lado íe hallará 18. raiz cubica de {832.Gonfta de la
prop* 14*
PROP. XXXVII/Problema.
Hallar las Secantes Logarithmicasm
EN la poj^f. xo. del lib. i. fe demonftró , que el radia
es medio proporcional entre el íeno fegundo de ua
arco , y fu fecante primera ; y entre el íeno primero , y U
íecante fegupda : luego ( 54. ) fi del logarithmo duplicada
del radio fe relia el logarithmo del feno íegundo , el refi-
duo ferá el logarithmo de la fecante primera : y íi del miC-
mo duplo fe refta el logarithmo del íeno primero , el refir
duo ferá la fecante fegunda. Exemplo. Pi-
defe la fecante primera de el arco de 3 ][• 2o.ooooooo«
grad. 8. min. El logarithmo de fu feno 2* 9.9126551.
es 9I26.&C. refiado del duplo radio 20.00 10.087^44^
&c. el refiduo 10.08. &c. es el logarithmo ' /3'^>*
de la fecante primera del arco propuefto. Aísimífmo , fi
de 2o.oo,&c.íe retta el feno primero del müino arco, que
iCS 9. 7600311. el reiiduo lo. 2399689. ferá la fecante fe-
gunda.
. Efta operación fe abrevia aun mas. ufando del complq^
mentó logarithmico. Tomefe pues el complemento loga-
rithmico del feno fegundo íobcedicho , y añadafele la
unidad á la caraderiftica » y fe tendrá el logarithmo i<v
0873449. que lo es de la tangente prioaera. Aísimifino^to-
mando el complementó logarithmico del feno i. arriba
.propuefto 9* 76o,&^, y añadida U unidad á la caraderiftir
ca, ferá 10. 239^1689» el logarithmo de la fecante fegunda*
PROP. XXXVm, Problema.
«
JíaUar los logaritbmos de los fems vetfos , h fagitáSé
EN ei corolario de la fropot, 5. lib. i. fe demonftra,
que el feno de la mitad dfe un arco es medio propor-
cional entre el femiradio, y el feno verft> de todo el arco:
luego íi fe quiere hallar el iéno verft»' de un arco , fe havrá
de hacer una regla de tres , diciendo : como U mitad del^
radio
^S Trat. VII. De la Trigonometria.
radio al ieno de la mitad del arco dado ; aísi elte miím
íeno al (eno veríb del mifítio arco : lueeo obrando co
logarithmos , ( 34 ) fí (e duplica el logarithmo del feno d
la mitad del arco dado,y de efte duplo íe reña el logaritb
mo del femiradio , el reíiduo ferá el logarithmo del íenc
veríb del arco dado.
Bxemplo. Pideíe el logarithmo del íeno veríb del arce
de 50. grados. Halleíe el logarithmo
del íeno de 2 5. grados , que íbn la mitad 9.62 5948 3 •
de 50. Dupliqueíe , eícriviendole dos 9.6259483.
veces , y íumí«ídole : reíkfedecfta fu- {^.TkTSoóóI
ma el logarithmo de la mitad del radio, 9.6989700I
qué por la razón que luego diré es •**•-- ""^rv^
9. 6989700. y el reíiduo 9. 5529266. 9*5 5 *P-^^»
•íerá el logaritnmo del feno verlo del arco de 50» grados.
La ralon , porque el logarithmo del femiradio es 9.
,6989.&c. es, porque fu logarithmo es el que en las tablas
Idgarithmicas correíponde al namero 5000. (blb que k
. caraderiílica ha de fer 9. por haverfe fupueílo quando fe
fabricaron los logarithmos , fer el radio en números ab-
íbltttos loooooooooo. y el femiradio 50000001)00^ con
que confiando éfte de lo. letras , la caraéleriítioa de fu lo-
gárftlimo^ ha de fer 9. feguo lo dichón lo ultmwde k fra^ !
fof. 10.
Eíta operación íe hará mas brevemente ufando de el
complemento logarithmico del íemiradio , el qual com*
-plemento es igual al íe-
tio primero del numero Logar, de 2. c.5Oi0299,
a.Elcrivafe pues en pri- Logar.de 25 9.6259483.
.mer lugar el logarith- Logar, de 25. 9.625948}..
mo del numero 2.como Logar, del fen. verf. ^.7579265:
le ve : efcrivaíe deípucs^
dos veces el logarithmo del feno de 25. grad. fumenfe las
tres partidas ; y la fuma , quitada la unidad primera de
Ja caraderiftica, ferá 9. 552. &c. logarithmo del feno ver-
ib de 50. grados.
CA-
CANON
TRIGONOMÉTRICO
CON LOS SENOS , Y
Tangentes Logarithniicas,
fuponienclo fer el Radió
lOOOOOOO.
tomim 0
2
s
I
2
2
4
5
j. 7.2418771 , ,y4^i8778[
7.3p88x3{| 7.36^824^
7.^668 ij% 7. JÍ68 1 6a
7.4176601 7.4179690
12
13
16
18
19
20
ZI
22
H
24
26
iZ
28
29
oGrad.
Seno.
6^4.637261
6.7647561
6.9408473
7.0657860
7.1620960
¡
?
Ib
7.577<5684,
•4^Hf
'.6? 08
^ »7J5
9966
7-^417? 5
7.7189
7.7424775
7-7647557
7.7859427
7.8061458
7-8i 54507
7.8459538
■ ■ «
7.8616625
7.8786955
7.8950854
7.9108795
7.9261 190
Tangente.
6«46;7z6i
6.7647 j 61
6.9408475
7.065786J
7.1626964
9
60
w.^
7.4457*73
17.5051205
7-54»JI<^*
I, ■ li 1
^^
7-.57767I5
7U$^f6/í
7.6598201
50 1 7.9408419 t7>9j)p8584| I
7.69417^6
7:742484:1
7.7647610
7.7859508
7.8061547
7.8254604
7.8459444
7.8616758
7.8787077
7.8950988
7.9108958
7.92615441
7
6
f
89. Grad.
Seno.
1 0.0000000
9-9999999
9-9999999
9.9999998
9-9999997
9-9999995
^l^999999ti
3 9'9999?9i
1 Í2-99S19«?^.
9.9999985
9-999>9^
9.999^978
9-9999974
5¿
45
44
4$
11
41
40
i9
58
^I
36
J5
54
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5*
51
9.9999969
9-99999^4
9.^999959
9»99999J?
9.9999947
9-99i)9940
9.9999954
9.9999927
9.9999919
9.999991 1
9.9999905
9.9999894
9.9999885
9.9999876
9.9999866
9.9999856
9.9999845
50 1 9.999985 5
•;
3.536*73
5.»5f*43
5.059x;z
2.954x137
2.85730361
2.758iZ.?2
2.69x1752
2.633183*1
2.5 0203 04J
2.^56x727
2.4948797I
2.4570^,09
2.4225235J
2.5901434
2.56017991
2.5521-508
2.3059214
2.28Ó9974
2.2575159
2.2552590
2.2140492
2.1938455
2.1745396
2.1560556
2.1583262
2.1212923
2.1049012
2.0891062!
2.0738656
2.059I.4I6J
3£
5»:
11
34
'I
59
O'Grad*
Seno.
^♦P*4i9
Tangente
7^4108584
7*$f 56819 -7-955282^
7.9^88698 7.9688886
57*93a^2^34 7*982i554
7*S>9 5- ^ 9^^\ 7*995 ^^ 9^
8.0077867 ; 8-oo78o9Z
8u>aooi07| 8»ozoo445
8.o;r9i95 8*0319446
8.0435009 8.043 1274
8.0547814 8*0548094
? SenoJ 1 Taíigeftt^.
40
41
45
44.
45
47
48
49
51
8.o6577<í}
8.0764997
8.0869646
8.0971852
8.IO7L669
& 1169261
■II I i^wp—
8..1 264710
8.1358104
8.144953a
8.1539075
8.1626808
8.1712804
[52 8*1797129
53 8.1879848
54 8.1961020
55 8.2040703
56 8.21 18949
57 8.2195511
m^m^ • I >»*— ^L— — »
58 8.2271335
59 ;8.2545568
\6o 1 8.24185 53
8.0658057
8.0765306
8.0869970
8.0972172
8.1072025
8. 1 169634
8.1265099
8.1355510
8.1449956
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4.0Ó00000
rr
'49.
«ii^s«ii^ ^í^un ^w^m^
LIBRO III.
DE LA trigonometría
Reótilinea.
DEFINICIONES.
I T? N los triángulos redangulos, tanto redilineos , co*
Pj mo esféricos , el lado opuelto al ángulo re<^ , (e
llama hifottnuf^i los otros fe quedan con el nombre gene*
ral de lidos^
z En qualquiera triangulo , el ungulo que hace frente
h un lado, fe llama ángulo opuefto a aquel lado , y efte íe lla«
ma lado ofuefio al ángulo*
I Ángulo adyacente , 0 iontermno a un lado , es el que íe
Ibrmaíobre aquel lado; y afsimirmo , lado adyacente y )
contérmino a un ángulo » es el que juntamente con otro lado
forma ^uel ángulo» Las efpecies de los triángulos f e&ili-^
neos, y ms definiciones , quedan explicadas en el ii^.i. d¿
la Geometría Elementar.
CAPITULO I.
TMÉOSEMilí TV^DAHJEIíTALES VAt4
la. refolmion de los triángulos rtüilineos
reítangulos*
PROP. L Theoremt.
E» qualqmera triangulo reÜUineo, los lados fin proporcimiaUs con
losfenos de los ángulos ofueftos, (fig.6. )
S£a qualquier triangulo redihneo ABC. Digo , que aísi
íe na el lado AB con el lado BC y como el íeno del
tomo líl. Q^ an-
50 Trat.VII. 15* tA Triconometria,
ángulo ACB,con el feno del ángulo BAC. Circunícrivafe
^ dicho triangulo un circulo ; y dividiendo por medio los
lados AB, BC, en D,y E , tirenfe del centro las líneas FD,
F£,las quales (J.3.EUCL) ferán perpendiculares á ios lados
ABj BC, y dividirán por medio los ángulos AFB, BFC: ti-
rcnie también las lineas FB, FA, FC; y ferá (2o.3,Eucl.) d
ángulo AFD, hecho en el centro,igual al ángulo ACB, he-
cho en la periferia; y el ángulo BFJb, igual al ángulo BAC»
' DenKmftr* A(si fe ha el lado AB, al lado BC, como AD,
mitad de AB,á BE,mitad de BC; (i 5.5.EUCI.) y fiendo AD
(define 4« libé i.) feno del ángulo AFD, ü de ACB fu igual;
<20. j.EuclOy BE, feno del ángulo BFE, ü de BAC fu
igual , ferá el lado AB, con el lado BC , como el feno del
ángulo ACB, con el feno del ángulo BAC.
Lo mifmo le convence , aunque el triangulo (ea obtu-
fangulo; y para que fe vea con mas claridad, lea en la fig*j.
el triangulo obtufangulo BAC* Circuntcrivafele el circulo:
dividafe el lado BC por medio en D; y tirefe del centro la
GD , que (j. ;« Eucl.) ferá per{>endicular á BC; y la BO,
ferá feno del ángulo BGD.
ÍHmonñr. El ángulo BGC, formado en el centro, es du-
plo , afsi del ángulo F , como del ángulo BGD : luego el
ángulo F , y el BGD fon iguales ; y liendo BD feno del án-
gulo BGD , también lo ferá del ángulo F : luego , fegun lo
dicho en la de fin» ^ del lib.i. la miiina BD (era también (e-
no del ángulo, que es complemento del ángulo F , al femi*
circulo; liendo pues (22. 5. Eucl.) el ángulo obtuíb A,com-
plemento del ángulo F , al fcmicirculo , ferá BD feno del
ángulo A : luego la miíma razón tendrá el lado BC, al la-
do BA,quc BD, ícno del ángulo A , á BN, feno del finculo
C,como confta de la demonftracioa antecedente. eJ?í m^^
rema es general para todos los triángulos reStlmeos y j el fundá^
mentó de tas oferacion.s trigonométricas*
PROP.
i
llBRO fli. ^%
PROP. n, Theorema.
t
En los triángulos reñangulos Umiftna raz>on tiene U bipotenufd
con qualqmra lado , que fl radio alfeno del ángulo
opuefto a dicho lado. {jig*S. )
SEa el triangulo ABC rcétangulo en C. Digo, que la hí-
potenufatíA, tiene con el ladoAC, la mifma razón
ue el radio BD á la DE» íeno del ángulo B opuefto al la*
oAC.
Demtmfir. Por ícr los ángulos C , y E redos , ferán las
AC, DE paralelas: luego (i. 6.) los triángulos BAC,BDE
ion (eme jan tes, y fus lados fon proporcionales, como lahK
potenufa BA, al lado AC; afsi el radio BD, Á DE feno áA
iingulo B. Lo mifmo fe demonítrará con el lado BC , ha-
ciendo con él otra conftruceion femejantc.
PROP. ni. Theorema.
En los triángulos rectángulos , afsi Je ha el lado íontemuno i m
ángulo con el lado opuefto ^ dicho anguloy como el radio
con la tangente de dicho ángulo, (fig.i. )
SEa el triangulo ABC. Digo,que el lado 6C,quc es con-
término al ángulo B, aísi fe na con el lado C A, opuct-
to al mifmo ángulo , como el radio BG á la GF, tangente
del mifmo ángulo B.
Detnonflr. Los triángulos BAC, BFG, (i.óJEucl.) ion fe-
inejantes : luego fus lados fon proporcionales, como BCí
CA, afsi BG á GF.
Por la mifma raz,on fon proporcionales el lado BC i la hipóte^
ñufa ^, como el radio BG a lafecante BF.
CAPITULO n.
M LA HESOIVCION DE LOS TEIAÑGVLOS RECtl-
lineos reñangtdos.
I T7N qualquiera triangulo fe hallan feis coías,
Fi es i faber , tres lados , y tres ángulos ; y de
eftas íeis le han de preíuponer conocidas tres , paú que (e
Q^2 pue-
fí Trat.VII. Di la Tricovometria;
pueda reíblver el triangulo. En los triángulos reóHlíneos,
aunque fe fupongan conocidos los tres ángulos, no (e pue-
de paíTar al conocimiento de los lados , íino es que uno de
¿Itos fe íuponga conocido , porque íiendo los ángulos los
nirmos, pueden fer mayores, ó menores los lados : conque
para llegar á la relólucion , ferá menefter tener conocidos,
o dos lados, y un ai^ulo; ó dos ángulos » y un lado ; ó los
tres lados.
2 En el triangulo redangulo , como d ángulo redo
fiempre fea conocido , folo le necefsita del conocimiento
4c un otro ángulo, y de un lado, ú de dos lados.
3 Para mayor claridad las cofas dadas , ó que íe íiipa-
nen conocidas en un triangulo, (e notarán con una raya pe-
queña; y las que fe bufcan, con un zero.
4 Sea regla general , íiempre que la hipotenufa entra en
la proporción , fe refuelve el triangulo en virtud del theo-
rema 2. y fiempre que entran en <£cha proporción dos la-
dos, (e reíuelve por el theorema 3.
5 En las reglas de tres, para reíblver los triangulo^ pon^
dremos en lugar del logarithmo del primer termino íu
complemento logarithmico , (31. lib. z.) y le feñalaremos
con las iniciales C, L : conque quando el primer terminó
fuere el radio,no hay para que eicrivirlejporfer elcomple-
inento del radio al miimo radio todo zerós ; (i bien en los
exemplos que fe pondrán en adelante , le efcriviremos para
inayor exprefsion de la pradica.
6 En confequencia de eíto , como la reíbluciori de los
triángulos coniífta en hallar un quarto proporcional á I0&
tres términos dados, ó conocidos, obíervaremos en las re*
ibluciones la regla dada en Ufropof }3. lib.i. íegun la
3 jal , la fuma de los tres loganthmos menos el radio , da
quarto logarithmo que íe bufca. Quitafe el radio,
quitando , ó omitiendo la unidad primera que íe haviade
dcrivir á la izquierda de la caraderiítica : y í¡ el termino
primero fuere tangente mayor que la de 45. grados , por*
que en ella íe toma el complemento al duplo radio , ía
hayrá de quitar ¿ñe de la fuma , omitiendo el 2. que fe ha-
via de eícrivir á la izquierda de la cara¿teriltica» Téngale
cfto muy en la memoria*
Las
Li BRo m. 5}
Laspropoficiones (iguientes contienen la pra^ca de re*
(blver lostrían^los, enlasquales guardaremos eite or--
den, que las pruneras fervirán para hallar iosangiüos; y
las otras, para hallar los lados.
i ...
PROP, IV. Problema*
In el trianguU nSángulo , dados los Udos , bálUr Us
ángulos. (Jig.9. )
EN el triangulo ABC, it iuponen conocidos las ladbsr
AB, y CB, de fuerte, que AB es de 1230. pies ; y CB
de 720. pies. Pidefe eLangulo A.
Ftoforcionj prop..;. Lúgárithmos. .
Como ilB 1 2 3 o. fiesp C.L. 6.91 oo949«
J CBjio.fies'y 2,.857j52y.
áfsi^tádioj ló.ooooooo.
i Id tangente del áng*A. jo.^r. io.ifim. '^17674274.
Hallado elangulo A , queda conocido el angula C, que es
fu complemento á ^o. grados.
PROP. V. Problema.
In el triangido reSangulp^ dada la bipotenufa , j un ladoy haUof
los ángulos* (/¿•9» )
EN el mifmo triangulo ABC , dada la bipotenufa AC,
1425. pies, y el lado AB 1230. pies , íe pide el angur
loC.
Froforc'ionj profofz. Logar'tthnos,
Como la htfot. aQ 142^. pes^ CL. 6.846185 1.
ál raáioi xp.ooooooo.
afsi AB ii^o,fiesy ^.0899051.
d feno del angiAo C ^^gr. ^.nm. 9^3 óojoz»
Hallado el ángulo C, fe (abe el ángulo A , (u complemento
á 90. gr.
PROP. VI. Problema.
En eltriangido reSangulo , dados los ángulos , jr un lado^ halla»
el otro lado, (fig^io.)
SEael ángulo A 30.gr. zoonin. y el lado AB 1230. pie$#
Pidefe el lado ¿q:
Tro-
J4 Trat.VII. De la Tmgokometria.
Tfofüfcum. logaritbm$s.
C4nM€lr4dMj C.L. 0.0000000.
'k U tang. del mg^A.mttr. 50.^. 20.1». 9.7674274.
dfsi el lado AB i z jo. pes^ . 5.089905 u
éU lado BC 720. fies. ^^'^57n^.
: . PROP. VIL Problema.
Ja el triángulo re^angulo y dados los ángulos , j U hifotenu/d,
•., hallar los lados. (ñg»io.)
EN el triangulo ABC e^el ángulo A 50. gr. zo.min. y la
hipptenula AC 142 j. pies. Pidefc el lado BC.
Froporáon. Logarithms.
Como eL radio^ 0.0000000.
3 la hmtenuCa AC 1425. fierj 5*i538i49.
afsi el fem del ang. jo. zo.min. 9*7^i 5 170.
M lado opuefioBC 720. pi€s. "í. "8571719.
De la mifina manera fe hallará el otro lado AB, valiendoíc
de fu ángulo opueíto C. \
KlOP.Vni. Problema.
In el triang/do reS4ngulOf dada la hipotenufa y j un ladoy baüar
el otro lado, (jig.io.)
EN el mifrao triangulo ABC, fea dada la hipotcnuía
AC 142 j. pies; el lado AB 12 jo. pies. Pideíe el otro
lado CB.
Modo I. Hallenfe (5.) los ángulos A , y Cj. y hallados
cftos , bufquefe el lado CB , que fe hallara por la propof. 6.
dporla7. .
Modo 2. Sumeíe la hipotenufa 1425. y el lado dado
1 2 JO. y ferá la fuma 2^55. Hallefe el logarithmo de efta
fuma, quees J.4240ÍÍ45. Reftefeel lado dado 12 jo. de
la hipotenufa 1425. y es la . diferencia 195. cuyo loga-
rithii^o es 2.2900J46. Sumenfe ellos dos Ic^aritnmos, y
la niitad de la íuma , que es ^.8570^5. ferá el logarithT
mo
Libro IIL jy
mo del lado BC 720. que fe deíea. £1 fundamento de eltei
operación y íe verá mas adelante.
Bipotenufá AC 1425*
lado. AB 1230.
fuma 2^55* L. ^.^z^p6^^.
diferencia X()5.L* 2.290o;4tf.
fuma 5.7i4o^pi,
femfuma 2 .8 5 704^5. BC 720,
PROP. ÍX. Problema.
«
'En el triangulo reSangdo , dados los ángulos , j un lado y haüm
la bífotenufa^ (fig^ii*)
EN el triangulo ABC , íe (upone dado el lado BC 720*
pies, y el ángulo A 30. gr. 20» min. Pideíela bypote-
nuiá AC.
Fropmion. Logarithmos.
Como el Jino del ang. A^o.gr» zo^min^ CX. 0.29^^830.
al lado BC fu opuejio jzo.piesi 2.8575 32 j,
afii el radio 10.0000000.
a la hipotemfa 1425. ^.Tj^oifií
PROP. X. Problcmíu
En el triángulo reñanguh y dados los lados 9 bailar la
bipotenufa. Cfig* lu)
Büíaueníe primeramente los ángulos ; (4.) y t
éítos , bufquefe h bipotenuia , por la propo f.
hallados
antece-
dente.
CA-
¡4 f HAT .VIL Pe t a Trígonometriaw
CAPITULO nL
TBEOMMAS FUSDAHESTJtíL^S FAM lA VESOLVCIOS
(k ks triángulas ndMntos Miquangiihs.
PROP/XI. Thcorcma*
Sn qudquiera trimgnlo reStüinea^ U fuma de dús Udos j iUdi- |
ferenc'Mdelosmftnos y thneUmfina razan quelátangmt de i
U fmúfumá délos ángulos opueftasy aU tangente 4tlá
fumUiferemid de los mjmSf (fig. i z* )
EXplkécm. Digo y que en el triangulo ABC , la fuma
de los lados AB, AC , tiene la mifma ratpn con la
diferencia de los miíinos , que la tangente de la femifuma
de los ángulos B » y C > opueftos i <£chos lados, tiene con
la tangente de la femidiíerencia de los miflnos ángulos*
Continuefe la linea B A , bafta D , de fuerte , que AD
íea igual k AC : corteíe D& igual á AB : con efto (era to-
da la DB, fuma de los lados B A, AC; y RA ferá la diferen-
cia de los mifmos lados. Tireíe la linea DC; y porque AD,
AC (bn iguales, la perpendicular AE , dividirá por medio^
tanto la oaíáDC , como al ángulo DAC. ( corolar. ^. deU
j. /ií.i.Eucl. ) Y porque el ángulo DAC es externo, reípec-
to del triangulo ABC , íer^ (}2.i« £ucL) igual á la fuma de
los ángulos B, y C : conque el ángulo É AC,(erá la femiíu*
ma de Jos núfmos ángulos. Tirenfe las redas RL , AH , p^*
ralelas á BC,y ferá (lya-Eucl.) el ángulo DAH igual al an*
fulo B ; y HAC, igual al alterno A^t -Y fiendo B A igual
RD, ferá (i.6.É\xcl) CH igual á LD ; y por coníiguiente
EH,EL, quedarán iguales, como también los ángulos EAL^
EAH, y los LAP, HAC: y el ángulo LAH, feri la diferen-
cia de los ángulos DAH , HAC 9 u de B , y C fus iguales:
luego EAH, ferá la feniidiferencia de los mifmos an^Ios
B ^y C ; y haciendo un circulo con el radio AE , íera EC
tangente de la íemifuma EAC ; y EH tangente de la íemi-
diferencia EAHL Demueítro pues , que bD , fuma de los
lados^BA y AC, tiene con RA , diferencia de io$ miimos^
\
' r
L I B H O IH. 57
la razón miímaque £C , tangente de la (emiíama de los
ángulos B, y C, con EH» tangente de la íemidiferencia de
los mifmos.
• Demmfir. Por (er LR, AH, BC paralelas , íerán propor*-
ciortaJes ( 2.6.Eucl. ) como DB á llA , aísi DC á LH ; y
fiendo toda DC á toda LH,conio EQoíitad de DC á £H,
mitad de LH, íerá DByfuma de los lados, á R A , diferencia
de los mifmos , como £C , tangente de la femifuma de los
ángulos B, y C, á £H , tangente de la femidiferencia de los
jptíinos.
COROLARIO,
EN ejle Thewremá fe finuU U refolucm de qudlqmerA tndn^
guio , dados dás de fus ladgs , y el ángulo comfrehendiio en^
tre eUos ; forque fumando los lados AB^ AC^fe fabe fu fuma, j ref
tando AB di ACyfe fabe fu diferencia. También re/tamo el ángulo
A de 1 8o. grad, el refiduo es la fuma de los ángulos B^j C^jfu mi^
tad es lajemifumay 4an lo qualfe áfpondra lafroforcion demonf-
erada : conw la fuma de los lados , a la diferencia de los mfmos;
dfii la tangente de lafermfuma , al terwúno quarto y que fera l4
tangente ie la fenúd^erenáa de dichos ángulos : efta femidiferenM
ya conocida^ fi fe añade a la fenúfuma de los ángulos , fe fabri el
émgulo mayor; j refianiola de la rmfma femífuma^ fe fibra el me^
ñor.
PRÓP.XU. Theorema.
In qualqfuer triangulo , el lado mayor fe ha con la fuma de loe
ptros lados , como la diferencia de efios a la diferencia de los Jeg--
mentos hechos en el lado mayor con la perf endientar
tirada del vértice 4 dicho lado.
Explicación. Sea el triangulo ABC , cuyo lado mayor ,d
bafa fea AC : cay^ de la cuípide fi la perpendicular
hE y y con kdiíhtnciaBC defcrivaíe un circulo del centro
B , y continuefe el lado AB hafta G. Hecho ello , porque
BQ, y BC ion iguales, íerá ABG (urna de los lados AB,BC;
y porque la perpendicular BE divide la cuerda DC en £ en
dos partes iguales, ( j.jtEucL^ íerá DAla diferencia de los
feg.
58 TiiAT.Vir.T>i I A Tkicónomitria.
lamentos CE , EA ; y porque BC, y BH fon* iguales , (er4
HA la diferencia de los lados CB^A. Digo pues, que aüi
fe ha AC lado mayor, á GA fuma de los otros lados^como
HA diferencia de los mifmos lados , a DA diferencia de los
fegmentos déla baía.
Demonjhacíon. £1 redangulo hecho de AG, AH, es igual
al reáiangulo hecho de AC, AD : ( 3 ^.5 .Eucí. ) luego íi di-
chas lineas fe difponen de eíta fuerte : AC, AG, AH , AD,
ferá verdadero decir , que el rectángulo de las extremas
AC, AD , es igual al re<3anguIo de las niedias AG , AH,
por la razón íbbredicha : hiego ( i6.6,£ucl.) feíin propor-
cionales.
Como AC, baía , 6 lado mayor,
a AG, fuma de los otros lados;
afsi HA, diferencia de los mifmos lados,
á DA^ diferencia de los fegmentos de la baía* -
COROLARIO.
EN efte Theorema Je funda U refolucion di quéUqmera triangu^
loy quándofe dan fus tres lodos fin canocerfe ningún anguloi
f arque tirando la perpendicular fi£, queda dividido en dos trian-
gulosreílangulos'jjcomofe den conocidos los tres lados del triofH
guio ARCjjefabe el lado mayor AC; y fumando los otros AByJf
JíC, fefabefu fuma AG ; y re fiando BC de BA,^ fe fabe AHfu di-
ferencia ; y for regla de tres , con los términos AC^ AG^ AHyfc
fabe el quarto froporcional AOy que refiandole de AC^fe fabe JOC;
y for configmente^ fu mitad £C : luego en el triangulo reüanguU
BEC fe fabe el lado £C , jr Id hifotenufa BC : luego C$.)fe halla-
ra el ángulo EBC , diciendo : como la hifoftnufa BC , al radio y
afsi el lado EC olfetM del anguh EBC : fabido epyfe fabe el an-
guloC , fu complemento a 90. grad. De la mi fma fuerte ferefol-
y era el triangulo AEB, y fe hallara el ángulo A y y quedara refueU
to el triangulo A^*
Eftos íbeoremas fon abfolutamente baftmtes para demonflrar
la refolucion de qualefquiera^triangulos reStillneos obliquangulos;i
afsi por la brevedad omitú otros , que a mas defer canfados , frío
ftrven para dcmonjirar otfas praSicas de refolver^ que para mayor
abundancia fe fotman en fu lugar.
CA'*
LlBRjD IIL 5^
CAPITULO IV.
SíE LA MESOIVCION DE LOS TRJJNGVUU
reimos ebliquAngulos.
PROP. Xffl. Problema.
In el triangulo obliquanguloy dados dos lados ^ymo de los ang9h
losofuejtosj hallar los otros ángulos ^ fabiendofe fi el que fe
bufia es agudo y o obtufo. ( ^g. 14. )
N el triangulo ABC , conocidos los lados BA , AQ
^^^^ aquel de 400. pies , y éfte de joo. y el ángulo B
opueílo al lado AC ae 54. grad. 50. min, íe buícan los an^
gulos C , y A ; y primeramente el ángulo C opuefto al la-
40 AB, íuponiendoíea dicho ángulo agudo.
E
Proporciony prop. i • Logarithmosn .
Como el lado AC opuefto i By 400* C,L* 7*3979400.
al fino del ángulo B; 54.gr.30.min. 9.9106860^
afii el lado AUy 300. 2.4771^12.
al feno del ang. C. 37.gr.38.min. ^^^^Zj'i^iz.
Hallado el ángulo C , fe (abe el ángulo A ; porque f u*-
mando el ángulo C hallado , con el ángulo B dado, lo que
vá de eftaíiima hafta los 180. grados es el ángulo A , que
en efte exemplo es 87. gr« 52* min.
Dixe al principio fir menejler , fi conoxxa fi el ángulo C , que
fe bufia es agudo , o obtufi^y porque Rendo un mifmofeno común
fara el ángulo affídp yj paraelobtuío y que es fu complemento al
fhmúrciiloy'aueüria pempre en duda el Analiftá , qual de los dios
fea ¿I verdadero.
PROP.
fSf^ TraT. VII. De l,A TRICOMOMBTR.IA.
PROP. XIV. Problema.
í» */ tñMiitlt eMiqtungido dados Us ladts , y A angOé cíMs
frehendido entre ellas , hMat Us /emks
ángulos, (fe. ij. )
EN el triangulo ABC fe fupoiie conocido el ángulo A,
, ^« JO- g"d- 4- «n«n. el lado CA 590. pies ; y AB joo.
y le buícan los ángulos B, y C. operdcion. HaUéfe eí comr
plemento del ángulo conocido A á 180. erad, y feri 140.
grad. 56. min. y tanto ferá la fuma de los otros ángulos B,
y C ; y la femiíuma fera 74. gr. j8. rain. Sumenfe los lados
conocidos CA, AB, y ferá h fuma 890. pies : reftefe el 1*.
do menor AB del maydr AC,y ferá la diferencia 290. pies:
y diípongafe ( n. ) la fíguiente proporción.
Como la fuma de los lados «90. C.L. 7.0506100.
i la Merencade los mtfmos , 2,0. 2.462*080.
«fstU tang.de la fefnt fuma ^^
i ¿ilJTtr^ -^ v' . 74-gr.j8.in. 10.5709379.
ala taHg.delajemukfer.de
/a/ iwiyjwí 4»g. B, y c, fo.gr. jo.m. 10.0839459.
Es pues la femidiferencia de los ángulos B, y C. <o.er.
30. min. que añadida á la femifuma d? los miíbos 74. gr.
tada de la müma femifuma, da el ángulo C de 24. gr. 28.
min. y queda hecha la refolucion. v. uc -4. gr. 20.
PROP. XV. Problema.
S» el triangulo obliipmgéo , dados hr tres lados , baü» qual^
m»* ángulo, (^fig. 16.)
SEa el triangulo ABC, cuyos tres lados fe fuponcii co-
lus a" gú£' ''^^' P'" ' ^ ^'^' y ^ ^S^^Pidenfc
5 .„"!í'"^r'* .S"P°"g''í'e , que el lado mayor CA, es la bafa,
á quien fe tira la perpendicular BE; conque qu¿lará dicho
1 -.„:_-_
man-
Libro Itl, ét
triangulo dividido en dos triángulos redangulos. Sumen-
fe los dos lados BQ y BA, y íerá la fuma 1497. ^bíe e|
4ado BC del lado BA, y (era la diferencia 2 5 3,y íe difpon*
drá la proporción íiguiente, fundada en la prop. iz.
Como ACy 1277 CL. 6.S6iSó^u
k la fuma de AB^ j BC^ 1497 5.i7y22i8.
dfsi la difcfeníia de AB ^ y BC^ 233 2.3673559.
d ADy diferencia de los feffnem — «
AEy £C, 273 24363868,
Hecho efto , (i la diferencia AD 273* íe reila de AC
1277. quedará DC 1004. cuya mitad 502. es CE, ó EDj y
Añadida á AD , (era el íegmento £A 775.
Conque en el triangulo rcótangulo AB£ , tenemos ya
conocida la hipotenufa AB 8^5. y el lado A£ 775. lue-
go por la pfopof» 5. (e hallará el ángulo AB£ ^3« gr. 38.
min. y el ángulo A 26. gr. 22. min. Aísimifmo en el trian-
gulo redangulo BEC, tenemos conocida la hipotenufa BC
652. y el lado CE 502. luego por la dicha propof. 5. fe ha-
llará el ángulo CBE 52.gr. 35. min. y el ángulo C 37. gr.
25. min. Sumenfe ultiman^eiue los ángulos ABE, y CBE,
y la fuma 1 16. gr. 13. min. ferá el valor del ángulo ABC,
y queda todo conocido.
Modo 2. Sumenfe los tres lados , y de la íemifuma rcC^
tenfe los lados contérminos al ángulo que fe bufea , cada
uno de por sí, y guardenfe las diferencias halladas, y fe fi>r«
mará e(ta proporción.
Como el produSo de los lados contérminos del ángulo quefo
bufca^
alproduSo de las diferencias bMladasi
afsi ti quadrado del radioj
al quadrado delfeno de la mtad del ángulo que fe bufia.
Para hallar el logarithmo del primer termino , o pro¿
¿M&o de los lados contérminos , le han de fumar los loga-
rithmos de dichos lados , y la (urna ferá el logarithmo de
^ prodtt^ s ( cmeH^ $• \A. 2.) y porque en lugar de efte
lo-
6% TrAT. VII. Dfi LA Tltl&ONOMBTRIA.
logarithmo dei produdo , ufamos de fíi complemento lb«
garithmico ( aue es lo mifmo que la fuma de los comple-
mentos logarithmicos de cada lado ) baftará , para mayor
brevedad , efcrivir los dos dichos complementos en lugar
del termino primero. Defpues de ello ie efcrivirán los lo-
garíthmos de las diferencias halladas , porque ambos jun-
tos fon el logarithmo del termino (egundo ; efto es , del
produdo de las diferencias. Defpues fe havia de eícrivir el
logarithmo duplicado del radio , que ( 14. 2.) es ei loga^
riinmo de fu quadrado; pero por haveríe pueíto en el pri-
mer termino los dos complementos logaritnmicos^ya no es
nieneller,por ha verfe añadido en cada uno de ellos una vez
el logaritnmo del radio. Sumenfe todos los dichos loga-
rithmos fin quitar el radio de la fuma,por haveríe omitido
ya en el tercer termino;y la mitad de la fuma ferá el loga-
rithmo de la mitad del ángulo que íebufca.Toda efta ope-
ración (e ve en la íiguiente refolucion del triangulo ABC
Lado AC 1-77*
Lddo AB 865.
LadoBC ¿32.
Sunta de los Udos. ^774*
Simifuma de los lados. . ^ 3 ^7*
Diferencia de la femtfumay j AB. 522.
Diferencia de la femtfuma , jf BC. 75 J.
Logarithtmsm
Lado AB. 86$. CL. 7.o625>839.
Lado BC. 652. C.L. 7.1992829.
IHfer.de AB. 522, 2.717670J.
Difer. de BC. 75 J. 2.8779469.
Suma. 19.8578842!
Semifuma. 9.9289421.
Efta femifuma es el logarithmo del feno de j8. grad.
6. min. y medio , mitad del ángulo ABC : y fu duplo 116^
grad. 15. min* es el ángulo ABC que fe bufca.
Efte fegundo hkxIo de reíblver es de Adriano ülac, cu-
ya pradica es un facil^quanto difícukofa fu demonftracioñ;
y
Libro Itl. 6^
y el P. Dechales en el lib. i. de U rrigummtu \ lo ultimo
4e la pof. 2 o. dice : Demmftrati&nem áutem bujus praxis fátis
cUfátn adhiu non invenL £fto no chitante , intentaré de»
monftrarle , añadiendo antes el lema figuiente*
LEMA.
En quálqiúera triangulo fin proporcionales : el reñanguh becb^
de los lados , que comprehenden un ángulo , al reSangulo hcch$
de la femifuma de la bafa , j diferencia de los lados ;jaela fimi-
difeirencia que hay entre la bafa y y la diferencia de los lados: afsi
el quadrado del radio , al quadrado del feno de la mi-
. tad del ángulo comprehendido de dichos
lados, (fig. 17. )
Explicación* Sea el triangulo b AC ; y de(He a, como cen-
tro., con la diftancia ab , hagafe un arco , que cortara
al lado ac en m, y ferá am igual á ah ; y por configuiente,
íerá me la diferencia de los lados ah , ac ; y tomando en,
igual á cm, (era bn la diferencia que hay entre la hala hc,y
nc, diferencia de los lados : córtele la bn por medio en d,y
ferá nd la femidiferencia que hay entre la bafa,y la diferen-
cia de los lados;y añadiendo efta (emidiferencia dn á la par*
te menor nc, reliihará la de femifuma de toda la hafa hc,y
de nc diferencia de los lados; y porque ah, am,íbn iguales,
,tirada la perpendicular ap, quedará dividido el ángulo a, y
la reóla bm en dos partes iguales : y haviendofe deícrito el
arco bm , con la diílancia ab, ferá ab el radio , y hp feno
del ángulo bap , mitad del ángulo a. Digo pues , que el
refiangulo hecho de ha, ac, al re&angulo hecho de bd, de,
ib há como el quadrado del radio ab , al quadrado de bp,
10 del ángulo bap.Para mayor brcvedad,y claridad ufaré
^as abreviaciones, poniendo R. por redangulo, Q^ por
quaoifi^o , y de los íignos -«-y —
Derfíbe^firacion. El Q;^bc-^Q^ba -h- Q^ác -í- !• R. cao.
(i2.z.£ucL) Y íiendo am^^ba, fe fubfticuirá en la igua-
lación (bbredicha ( que es la primera en el mapa figuiente )
el quadrado de am , en lugar del quadrado de ba ; y faldrí
ia igualación del numer.x. Yüendo (7.2.£ucL) el Q^am ^
($4 Trat. VII. De xa Trigonometría.
Q^ ac «^ 1. R. caní ^ Q^mc ; fubftituyendo los z. R. cam
M* Q^mc, en la igualación del num, i. en lugar del Q^am
^ (^ac , refultani la igualación del num. 3. á mas de mo^
1. R. cam -f z. R. cao «^ i. R. ca, om : porque un re&ang.
de ca, am^ otro de ca» ao juntos , componen un reclangu^
lo , cuya altura es ca ; y fu bafa es la linea compueíla de
am» ao, que es om : luego los dos hacen un re&angulo de
ca , oni : luego z. R. cam ^ i. R. cao «^ 2; R. ca , óm»
Subftituyen(K) fueren la igualación del num. 5. ios 2. R«
ca, om, en lugar de los 2. R. cam ^ 2. R. cao, reíiiltará la
igualación dd num. 4. que es C^bc «^ 2. R. ca , om ^ Q^
me.
Num. I. (^bc-^QJxi -4- Q¿ac -^ 2« R. cao,
am<^ba. •
Num. 2.Q^*^Q^am ^ C^ac -^ z.R.cao,
Q^am -H. Q¿aC'^2.R.cam -+ (^mc.
N«». 5. Q¿K-^2.R.cam -1- Q¿nc -+ 2. R. cao,
2.R.cam ^ 2.R.cao-n. 2.R.ca, om.
Vum. 4. Q;^bc *0- 2. R. ca, om -^ C^mc.
Es pues confiante , que el C^bc es igual i i. R. ca, om,
H- Q¿mc : luego el Q^ be — Q^^mc , es igual a 2. R. ca, om:
y íieiido ( 8.2.Hucl.) el Q^de toda la be, igual á 4.R. de cd,
db ( ü de cd,nd, que es lo mifmo) ^ al C^nc, que también
es lo mifmo que me , ferá el Q^ de toda be — Q^^nc. -^ 4.
R. cd, db : luego 2.R. ca, om, ion iguales á los 4. R. cd,db:
luego medio rcdangulo de ca, om es igual á un redanguio
de cd, db.
Eño probado , paflb á demonftrar , que el redangulo
de los lacios ab, ac, al redangulo cdb, hecho de cd, femifu-
ma de la bafa, y diferencia de los lados , y bd (emidiferen-
cia de la bafa, y diferencia de los lados , tiene Ja razón que
el quadrado del radio ab,a| quadrado de bp, feno de la mi*
tad del ángulo a.
El quadrado de ab, y el redangulo de ab, om^ por te- \
titr una mifma altura ab, fe han(i.6.£ucl.) como fus baías
ab , om. Afsímifmo el redangulo de ab , ac , al redanguid
de aC) on^ por tener la miíma altura ac, fe há como la ba^
ía
Libro IIL 6f^
la ab,á la bafa om: luego lami^iBa razón tiene el quadradp
de ab, al redangulo ab, om, que tiene el rediangulo ab, ac,
al redangulo ac,om,(upuefto q entrambas razones ion igua-
les a la de ab a om: luego el quadrado ab , á la mitad del
redangulo ab, om/e ha como el redangulo ab, ac,á la mi^
tad del redangulo ac,om, la otial mitad,como arriba dixe^
es. el redangulo hecho de cd, ab.
Siendo pues los triángulos bom, apm equiángulos, por
tener los ángulos o, y p redos, y el ángulo m comun,íeráii
proporcionales (8.60 am, á mp, o íii igual bp, como bm k
mo: luego am a bp, le ha cook) la mitad de bm; efto es, co-
mo bp , a la mitad.de mo : luego (17.6. fiuclid.) el redan--
§ulo de am, ó ba , y de la mitad de om , es igual al qua-»
rado de bp. Y íiendo el mifmo redangulo el que fe hace
de ab , y de la mitad de om , que el que íe hace de om, y
k mitad de ab ; (era el redangulo de la mitad de ab , y
de toda la om , igual al quadrado de bp : y haviendo pro^
bad^, que el quadrado de ab tietíe la mifma razón con la
ijnitad del redangulo de ab , om , que hay del redangulo
de ab, ac , á la mitad del redangulo de ac, om ; taml>ien
havrá la mifma razón del quadrado de ab , al cuadrado do
bp, que hay del redangulo ab, ac , á la mitad del cedan:*
guío de ac, om ; la qual mitad diximos fer igual al redaiv
£ulo cdb: luego ion proporcionales.
Como el reSangéilú éA^AC^ieUs Ud$s qu$ cvmfrebendm d
ángulo 4, •
' di reSanguh cdb de la fiimdy j femú^erencia fobredichas^
■ afsi el quadrado del radie aby
al quadrado de bp^fenodel ángulo bap^ mitad del ángulo bac»
DEMDNSTRACION,
Del mdo 1. de refolver un triangfdoy dados foUmunufiu
traslados.
DE la mifina pradica de efte tnoio 2. arriba, pueftojí
confta , que para (u evidencia , folo^s meneiter de*
monftrar la proporción que alli íe pu(b,como fundamenta
,4e toda la operación, qi;e es la íiguieme*
TomolU. & €«-
46 Trat.VILD» LA Trigonometría.
■ctH»€lpr0dHa»y b na^ugulo de los lados mtermms d án-
■ élÜíao {\naMgdo de Us diferencias que hay entre (odx
\m de dichos lados, y lafemifma de los tres;
MÚi el auadrado del rádtOy /. , >.
¿ipuiado del feno de la mitad del ángulo que fe bufca.
Demucftrafe puesefta proporción en kfoiS. donde
fe vedSo trwngulo ABC , que fe refolvió,en el qual,
deferid dSrculo cSej -d»o BC q^ es ^ Ij^J-ng
^l^';yCK)ferál»fe¿ufama, Éfto fupuefto por-
de tos '«'O*' y^ 1 tres lados íc compone de lastres
*!"* ^1 /5??S hdí fi deettafemifuma fe qSita el UdoBC.
HÍSÍ^S&W la mitad de CA, y la -ud
á^£tiatsi?AS rsLSit»»f ¿^
•! i jl AH ^AO fe fieue, que reliando de bfemifuma
X'íííes^tS dhdo fié, él refiduoes la feqiibafa, y fe-
de los tres bdw ei«»o , ^ femiluma
'tt^y^^^^^^'^'^V 1-góla diterenda
ufuÁ. Lr ella reela, « la femUuma de la bafa , y de
ÍJlifeSaSe to laS De lamifma fuerte probaré, que
i iS^ffetíocia <i». es la femidiferencu que hay entre
laSfa lc,7A?/diferenc¡a délos lados : luego el reétan-
lulo hecho ^elasdiferencias 755.J 5"- fegun dicha re-
f U es d reaaneulo hecho delaíemifuma de la bafa, y di-
ISn^ia deVAos . y de la femidiferencu» que hay entre
la bafa v la diferencia de los lados. • w
Sieníopues por el lema antecedente proporcionales,
como elrXguío de los lados , al redangulo de la femx-
fum V femiíifbrencia Ibbredichas ; aísi el quadrado del
rS' I Sdrado del feno de la mitad del ángulo , aue fe
Sa -feíán también proporcionales , el reétangulo de los
tódos ¿omermmos, al aUo que fe bufca aj «ct-gik,^
iT^ A' c^^^^r\fx^ Áe rada Udo , v la íemiíuma de los tres . co-
Li3Ro III. , 0y
del an guio que íe bufca , que es el único fundamemo del
ibbredlcho mod» i. de rdTolver.
PROP. XYI. Problema.
Sif elírmffUo Mquanguloy dados los émgulosyj un ladoy ballaf
^ otro qualquiera lado. ( J^. 19. )
EN él triángulo ABC, fe fupoñen conocidos los angtiloi
B5o.grad. i5.min.y C 35* gr. lo.min. y el lado
CA 448. {>ies. Pideíé d lado AB,
Proporción^ frop. 1 • Logarithmsm
Corno el fenodet angfdoVy 5o.gr«ij[«min#: C.L» o« 1 141 éze^
di lado oPueflo CA\ ' 448. ^ 2.6 j i z78o«
Afsi el fino delangukCy 3 ypfktó^xsiiáJ ^•7^2^1775*
4/ /4áa iíí«f/?a ilB. 537. .. . . T.p^SÍSyt
Déla miíma fuerte fe hallará el lado 6C, formando la
E'ropórcioo ^ti efta forma : Chorno el íeno del ángulo B ^ ^
do opuefto CA i afsi el feno del ángulo A , aliado opues-
to BC.
V PROP- XVn* Problema.
■
Hááos dos lados y j el ángulo intermedio , baüar el mut
lado, (jíg.ij.)
EN el triangulo obliquaogulo ABC y el ángulo A es de
61. gr. 16* min. el lado AC 400. pies ; y el lado AB
joo. Pidele el lado BC.
. Operación* Hallefe primeramente el ángulo B^ (14O XP^'f
la antec^ente íe hallajrá el lado BC.
PROP. XVIII. Problema.
3n el triangulo obliquanguloy dadof dos ladosy j uno de los ángulos
ofuefiosy hallar el otro lado, ifig^i^)
N el triangulo ABC, dados los lados BA, AQ y el an^
guio B, le pide el lado BC,
Ra . Ofe^
é% TrAT.VII. De tATMCONOMETltlA. '
Óftrs$m. Hálkfeprímetoelangulo A, (i3.)yfebalbri
el lado BCpor lafr^^. i6. diciendo: Conaoel (eno delata
Ello B , al lado opuefto AC; afsi el (eno del ángulo A> al
do opuefto BC
LIBRO IV.
ISAGÓGICO PARA LA RESOLU-
cioa de los triángulos esféricos^ o
curvilíneos.
I
•v
Esta parte de Trigonoinetria , llamada tifírick > d
' cUrfiUnea ^ es de grande utilidad en la Mathema*-
tica , íingularmoite para los tratados de Esfera^
Geograpnia, Ndüti¿a, Homlogiógraphia , y AC-
tronomiar (u empleo es únicamente la anaiiii , 6 reíblu-
cion de los' triángulos curvilincós csfiyricos, íbrmatkíi ea
la luperficie de una esfera con tres arcos de circulo máxi-
mo : de que fe íigue , que ni el triangulo formado en una
fiíperfície plana con tres arcos de circulo ^ ni el deícrito en
una fiíperncie eáerica con tres arcosde circuios menores^
fon objeto^ de efta Trigonometria. Para fu inteligencia es
meueííer la noticia de algunos theoremas elementares de la
esfera, que demonftraré en efte libro , para que no tenga
necefiidad el ledor de recurrir á los esiericos de Theodo-
j(io , y Menelao.
DEFINICIONES.
1 /"Circulo máximo en la esfera es aquel y cuyo f laño fajja pút
V^ rf c^^tfo de la esfera. Y por coníiguient© , d cen-
tro de efte circulo es el ttufino centro de ¿esfera i y eX
dia-
EriRo IV. , T 0
diámetro del circulo máximo es también diámetro de laí
esfera : y como el diámetro (ea la mayor linea re£ía.queíe
puede acomodar dentro de la esfera , el circulo oue tiene
eífe miímo diametro,es el mayor de los que puede naveren
la esfera, aunque puede tener infinitos iguales; y por eíTo (e
llama circulo máximo ; á diftincion de otros circuios, que
liendo fu diametrcJ menor que el dé la esfera , neceflaria-
mente han de íer menores ; y tanto menores , quanto mas
íe apartan fus planos^ del centro de la esfera. . '
2 Polos di un emulo máximo^ fon aquellos pimtos pueftos en U
fuperficie de la esfera, que diflan 'igualmente de los puntos de la fe--
riferia de dicho circulo ; y por confíguiente, todos los arcos
de circulo máximo comprehendidos entre qualquiera de
los polos , y la circunferencia del circuló íbbredicho ion
iguales, y de 90. gn. como en la fig. 20. El circulo AECF A
es máximo , por pallar fií plano por el centro G de la esfe*
ra; y los puntos B, y D ion fiís polo^porque los arcos BA,
BE, BC, BF, como también D A , DE , DC • DF fon qua-
drantes de circuios máximos , que confian de ^o. grao, y
por coníiguiente fon iguales. De que fe figue , que quaí-
quiera circulo máximo divide la esfera en dos partes igua*
les, llamadas emi^ferM/.
3 An^lo esfericoyes el que fe forma en la fuperfiáie de la esfera
ton dos arcos Íe circulo máximo. Efle ángulo es igual al efe la
inclinación de los .planos de los circuios fobredichos ; y fu
medida es el arco de otro circulo máximo intercepto en-
tre ellos,que tiene fu polo en el concurfb, ó punto angular.
Cómbenla fe. 20. BAEésun ángulo esférico formado
de los arcos BA , EA , que lo fon de los circuios máximos
ABCD, AECF , cuyos planos tienen por feccion común la
linea , ó diámetro AC. Del mifmo* centro G falgan dos
perpendiculares a la mifma AC, cada una en el plano de fu
circulo, eftoes, GB en el plano del circulo ABCD, y GE,
. en el plano del circulo AECF , y íerá el ángulo esférico
BAE, igual al ángulo re(3ilineoEGE, y de tantos gradoj
auantos tiene el arco BE , cuyo polo es el punto A > ó C
el concurfo de dichos circuios.
4 Losfenos, tangentes, yíecantes de loj ángulos eí^
fe-
yo Trat.VII.15i t a Taiconomitria;
feríeos 9 (bn las iDÍTmas que en los redilineos;{blo cpielór
íenos cAán incluidos dentro de la esfera; y aísi , qualquiera
radío, como £G, es el íeno total , üdel quadrante A£: j
la red:a HI, perpendicular al radío G£, es el íeno redo dd
arco JLE 9 y aísi de los demás.
CAPITULO 1.
DE LAS TROPIEDADES DE LOS CÍRCULOS MÁXIMOS,
y ánffá$s esféricos*
*
PROP.I. Theorema.
Des árenlos máximos fe cortan en dos partes iguales, (fig. 20. )
LQs dos circuios máximos ABCD, AECF, fe cortan en
los puntos A , y C Digo, que ABC, CD A , como
también A£C, CFA, ion femicirculos.
Demonftri Por eiUr el centro G en d plano de los dos cír-
culos fobredichos, ( defin.i. ) neceílariamente efta en la co*
mun feccion AC de fus planos: luego G es centro común de
entrambos circuios : luego la reda AGC , que pafla por el
centro, ferá diámetro; y ABC, ABC, &c* (emidrculos.
PROP. 11. Theorema.
los árculos máximos que fe cortan , hacen los dos ángulos vecinos^
h reSos , h iguales a dos reSos.
(pg. 20. )
LOs drcufos ABCD , AECF, íé cortan én A , y forman
. los ángulos vecinos BAE, £AD. Digo ¿ que eftos dos
aiigulos, ó Ion redes, ó juntos , ion tanto como dos redos.
Demonjlr. Los fobredichos ángulos (bn muúes ( dejin. }. )
á los ángulos redilineos BGE,£GD;pero eftos,(i ^ .i.EucL)
ó (bn redos, ó tanto como dos redos : luego también los
ángulos BAE, £AD.
llBRO IV. 7Í
COROLARIO.
DE aqui fe Jigüe , que tedos los ángulos que forman hs átci^
los mdx'mos enmoie losfuntosen que fe cortan , fontana
to como quatro reSos.
PROP. m. Thcorema.
los ángulos esféricos , verttcabnente ofüeftos y fon iguales, t
Lifig.io.)
Os ángulos B AE , FAD , fon verticalmente opucítos.'
Digo, que ion iguales. Demonfir. El ángulo BAE , es
igual al ángulo reóülineo BGE; y el ángulo FAD, al angu^
lo FGD ; pero éftos ( 15. !• Eucí. ) fon iguales: luego tam-
bién aquellos.
PROP. IV. Theorema.
Los ángulos opuejlosj que dijlan entre si todo kn fmkirculoy
fon iguales. ( pg. 20. )
LOs ángulos BAE, BCE, diftan entre si todo el íemícír-
culo ABC. Digo, que fon iguales , porque entrambos
lo fon al mifmo ángulo redüineo BGE , y por configuien-
te lo han de fer entre á.
PROP. V. Thcoremt.
M ángulo que forman dos circuios máximos , es igual ilaái^an^
ciade fus polos ^-jf al contrario* (jig.zi.)
Ean los circuios máximos LSM , LQM , cuyos polos
^ fon los puntos P, y O , y el ángulo esférico que forman
es SLQ, cuya medida es el arco SCJ Digo, que efte arco es
igual al arco OP, que es la diíbncia de fus polos.
Demonftr. El quadrante OQ^ comprehendido entre O,
polo del circulo LQM , y fu circunferencia,es igual al qua-
drante PS, comprehendido entre P, polo del circulo LSM,
y fu circunferencia : luego , quitando el arco OS , que es
común á entrambos, quedará el arco SQ^ iguala PO, diC»
tancia de los polos.
PROP.
s
♦
jjfy yRAT.VII,0EI.ATlllGp>IOMETll¿JIÍ|- .
«
PROP. VI. Theorema.
H (iródú nuiámoyque pajj4 por los polos de otro circulo máximo^
tiene en e^efus polos , j hace con él angtúos re^s ; y
a/ contrario. ( jíg. 2 1 • )
SEa el circulo LQMV , cuyo polo es O , por el qual paC-
ía el circulo VOQ^, aunque en la figura fe repreÍ9nta
.con linea reda, Digo,que el polo delcirculo yOQ,necef-
fariamente eftá en el circulo LQ^d V ; y Que los ángulos qae
fe íbrmanen las interíecciones V, y Q^ fon redos. Divida-
fe el femicirculo VLQ^, por medio en L, y defcrivafe por L
el circulo máximo LOM.
Demonftr. Elarco OL, comprehehdido entre el polo O,
y la circunferenciadel circulo VLQNl,es quadrante; ( áefi».
2. ) y fiendo por conítruccion LU, LQ^, quadrantes iguales,
fera JL polo del circulo UOQ^, el qual punto L , eftá en la
circunferencia ÜLQ, También fiendo L polo del circiüo
VOQ^y 0,polo del VLQ^^feráLOladiítanciade fus po-
los; y fiendo éfta igual al ángulo LVO, (5.) que forman
dichos circuios , la qual diftancia es quadrante , ferá el án-
gulo LVO, redo: lo mifmodiréde LQO,QN40, MVO.
Al contrario, fi los ángulos en V , y Q^^ ion redos , la
diftancia LO de fus polos lera de 90. gr. luego el circulo
VOQ^, paflará por el punto O , que es polo del circulo
VLQj y elle paflari por el punto L, polo de VOQ.
COROLARIOS.
%
I Tr\H lo dicho fe infiere^ que foto aquel arco de circulo maxi-
1 J mo puede fer perpendicular a un otro circulo que paffa por
los polos de ejhy porque fiendo perpendicular el uno al otro , han dé
tener en si mutuamente fus polos : luego el que no paffa por los po-
los y no puede fer perpendicula^r,
2 Si por un punto difiinto del polo de un circulo , fe defcriven
diferentes circuios máximos^ folo aquel fera perpendicular a dicho
circuloy quepajfaraforfu polo.
3 El perpendiculo que defciende a un arcOy de un punto que
no es polo de dicho arcoy o es majoty i menor que quadrante , como
L I B R o IV; 7 J.
fi ye en Ufig. xi* ionde el perpendUulo PVj que baxa del funta
P, MitU9 &l fob O , es menor que el quadrante OV^ ] el fet-;
femiaukfQ^ estnajitrque el quadrante OQ^
CAPITULO 11.
DE LAS TROPIBDADES DE LOS TEIAÑGVLOS
esféricos en común. / '
TRiangulo esférico , como ya dixe , es el que en la fu»
perhcie de la esfera forman tres arcos de circulo má-
ximo : fus eipecies tienen la mifma denominación que los
triángulos planos redilineos ; etto es , el que tiene un anjgu-
lo recto, fe llama reSangulo ; el que un ángulo obtuío^ obtw-
fangulo y y el que tiene los tres ángulos agudos,fe llama acu^
tangulo. Afsimifind , íi tiene tres lados iguales , íe llam4
equilátero ; íi dos iguales , iíoceUs ; íi los tres fon deíiguales,
efcáUno ; y el que no fíendo redangulo tuviere á lo menos
un lado que íea quaxlrante , íe llama quádrántd.
PROP.Vn. Thcorema*
Qualquierd lado de un triangulo esférico , es menor que el
femicirculo.(fig. zz.)
S£a el triangulo esférico ABC. Digo , que qualquier h^
do fuyo es menor que el femicirculo.
Demonítr. Continúenle AB , AC , hafta que concurran en
D, y feran (i.) íos arcos ABD, ACD femicirculos : lue-
go tanto AB,como AC, fon menores que el femicirculo.Lo
ífüímo íe demonftrará de BC.
PROP. Vin. Theorema.
Qualefquiera dos lados de un triangulo esférico fon madores
que el otro. ( pg. zz. )
Emueílraíe como hprop. lo. del/¿¿.'i. de la Geom.
Elem. porque la diitancia mas breve que hay en la
fu-
D
74 Trat.VII. De i a TwGONoViETinA.
iuperfíde de la esfera del punto A , al punto C , es el arco
AC de circulo máximo : luego otra qualquiera ABC , es
mayor : luego eílos dos lados juntos fon mayores que AC.
PROP. IX. Theorema.
Jn qudqmetá triángulo esférico ^ los tres lados jumos fin fnen9*
res que un circulo entero. ( fig. ii.)
Digo, que en el triangulo ABC 9 los tres lados juntos
ion menores que un circulo entero : continuenfe los
lados AB, AC , hafta que concurran en D.
Demonftr. Por la antecedente en el triangulo BDC , los
dos lados BD , CD juntos , (bn mayores que BC : lu^
ABD, ACD, ion mayores que AB,AC,BC;y ííendo ABD^
ACD íemicirculosjíerán los dos íemicirculos mayores que
los tres lados (bbredichps : luego eftos ion menores que un
circulo entero. ^
PROP. X. Theorema.
Si dos triángulos esféricos tienen entre si los tres lados uno.por ung
iguales jo tienen dos lados iguales , j el ángulo compthendido en
los dichos lados también igual , los triángulos feran
totalmente iguales.
T^Emueftraíe como las frof opciones 4. j 8. del hh. 1.
L/ déla Geim. Elem. y afsi, no es menefter repetir la de-
monftracion.
PROP. XI. Theorema.
tos triángulos esféricos y cujos tres ángulos del uno fueren de fot
si iguales a los tres del otro , tendrán tainbien los lados
mutuamente iguales, (fig. 25. )
•
EN éftas , y otras propoCciones íemejantes , íe (uponelí
formados los triángulos en una mifma , ó igual esfera.
Supongamos pues, que los triángulos ABC, D£F , tienen
entre si los ángulos iguales ; eílo es , B igual á £ ; A iguala
D ; y C á F. Digo, que también los h£x del uno ion igua-
les í los del otro.
De-
Libro IV. yf
' íkmonfir. Por (cr el ángulo D igual al ángulo A , fobre-*
pueftoá élie,(e ajuftará con él; y por conliguiente el la-
do DE caerá fobre AB ; y el lado DF , fobre AC : efto fu-
pueftojó entrambos lados DE, DF, fe ajuftan (obre los AB,
ÁC, de fuerte, que el punto E cay ga fobre B, y el punto F,
fobre C ;y en efte cafo también la bafa EF fe ajuftaria fo-
bre BC , y quedava probada la igualdad^de los tres lados
del uno, a los tres del otro que le pretende , ó alguno de
los dichos lados fe ajufta en la forma dicha , ó ninguno de
ellos.
I Supongamos , que el lado DE es mas corto queAB;
y aísi, que el punto E cayga fobre H,ajullandofeDF fobre
AC, tirefe el arco HC. Los triángulos HAC, EDF, por te-
ner los lados AH,AC iguales á los lados DE , DF ; y el an-
guio comprehendido A, igual áD , (lo.) fon del toao iguar
;s : lue^o el ángulo ACH , es igual al ángulo F : luego
también ler^ igual al ángulo ACB , que fe fíipone igual á F,
la parte al todo que es impoisible: luego el punto £ ño pue-
de venir fobre H , ni fobre otro punto entre A , y B.
2 SUpongafe , que el lado D¿ fea mayor que AB, y que
el punto £ cayga fobre I , cayendo el punto F fobre Q:
tirefe el arco IC; fegun efta fupoficion, los triángulos I AC,
EDF, tienen los lados AI , AC , iguales á los DE , DF ; y-
el ángulo A , igual á D : luego fon totalmente iguales , y
el ángulo ACI ftrá igual al ángulo F; y fiendo por iupoficion
ACb igual á F, ferá ACI igual al ángulo ACB , el todo á la
Earte que es impofsible : mego también lo es , que el lado
>E fea mayor que AB.
3 Supongamos , que los dos^ lados DE , DF fean mas
cortos que AB , y AC ; y afsi , qu e hecha la fuperpoCcion,
venga el punto É en H , y F en L : tirefe el lado HL : en
cftecafocftrianguloHAL feria también totalmente igual
al triangulo EDF , por tener los lados AH , AL , iguales á
los DE, DF; y el ángulo A,¡gual i D: luego el ángulo AHL
es igual á E, y ALH, á F; y por configuiente AHL es igual
á B, y ALH á ACB, lo que es impofsible , porque para eC-
fo era menefter ílieífen los lados HL, BC paralelos , lo que
no puede fer por fer arcos de circuios máximos , que ne-
cef-
/
7? Trat. Vn, Dé la Thíocnometria;
celTaríainenté ( i.) fe cortan : luego los lados DE , DF no
pueden fer mas cortos que ios A6 , AC* Lo mifino (e de«
inonftraria, íi (e díxeiTe , que eran mas largos : luego ni en-
trambos , ni ninguno de ellos pueden fer mayores , ni me^
llores : luego los tres del un triangulo fe ajulUn a los tre»
del otro : luego fon iguales.
PROP. Xn. Theorema*
I
Si dos triángulos esféricos tienen dos ángulos del uno iguáUs ^
dos del otro ; j el lado adyacente a effos ángulos también
igual , los triángulos [era tot alíñente
iguales, {pg. 11*)
LOs triángulos ABC , DEF tienen los ángulos B , y ]l^
C, y F Iguales, como también los lados BC, EF adya-
centes á dichos ángulos. Digo, que ion totalmente iguales.
Demonfir. Si EF fe pone fobre BC fe ajuftarán por íer
iguales ; y por fer iguales los ángulos F, y C , el lado FD,
caerá fobre CA; y por la miíma razón ED caerá íbbre BA:
luego el punto D caerá íbbre A , y todo el un triangulo íe
djuitará (obre el otro : luego ion totalmente iguales,
PROP. XIII. Theorcma.
lEn el triangulo esférico l fóceles jios ángulos fobre la bafa fon tgua--
les 9 como también los que alargados los ladosyfe forman debax^
de ella, y Ji los ángulos fobre la bafa fon iguales ^
el triangulé es ifoceles*
ESta propoGcion fe demuéílra como la 5. y 6, del lib.
I. de la Geomet. Bjement. y afsi no es meneíler repetir
la demonftra;ción ; intierefe de aqui , que el triangulo equi-
látero es equiángulo.
PROP. XIV. Theorema..
*
£» el triangulo esférico al mayor ángulo , fe le opone mayor ladoi
y al mayor lado y m^mr ángulo, (fg. 23.)
EN el triangulo esférico HIL , el ángulo HLI es mayor
que el ángulo I. Digo, que el lado IH, opuetto a di-
cho
' Libro JV» 77
cho mayor ángulo , es mayor que el lado LH ^ opuefto al
ángulo menor L Hagafe el ángulo ILK igual al ángulo I.
Demottftr. Por fer los ángulos ILK^ y 1, iguales, lera el
itriangulo LKI Hóceles, (ij-)y los lados ÍK, KL iguales;
L añadiendo á entrambos el miímo KH , íerán los lado$
K , KH , iguales á IH ; pero LK, KH , ion mayores que
HL : luego m es mayor que HL. También , fupuefto que
IH fea mayor que HL , dig©, aue el ángulo ILH es mayof
<]ue aporque m puede (er i^ual, ni menor; porque fi fuelle
igual , los lados IH , HL íeríarhCij.) iguales,contra lo fu-
{>uefto : ii fueife dicho ángulo- Ilii, menor que I , íería el
ado IH menor que HL , íegun lo demonítrado, lo que es
también contra lo (iipuelto : luego ILH es mayor que el
ángulo I.
PROP. XV. Theoreroa*
Si dos triángulos eméticos tuvieren les doslades ¿el une iguales 2
dos del otro , pero el ángulo comprehemUda de eftos la£s fuert
mayor en el uno que en el otroj el que tuviere mayor ángulo , teth
áfa fuaym hafa ; y al conttairio , el que tuviere mayor bafa^
tendrá mayor el ángulo fobredicbo.
ESta propoficion fe demueftra como las 24. Jf 2 y. del
lib. I • de la Geometr. Elementar; y afsi no repito la de-*
inonftracion.
PROP. XVL Theorema*
I.n el triangulo esférico BAC (fig^i^^^fi los dos lados AB , BC
juntos fon iguales al fennárculo; prolongada la bafa AC hafla D^
el angub externo BCD , fera igual al ai^ulo A interno , y >
opuefio ; y los dos BCA ^y A^feran tanto como dos
re&os ; y al contrario*
D'Emonp. El arco ABD (i.) es íemicirculo: luego
iiendo por fupoficion AB , BC iguales al íemicircu-
lo , (eran iguales al arco ABD ; y quitando di arco A^
<|ue es común, quedarán BC , y BD ^ales : lu^ (8.) los
^mgulos BCD, y D (bn iguales ; pero el aneulo i> es igu4
al ángulo A : (4.) luego el ángulo atOAO vCD^ es igual al
an-
/
j$ Trat. vil De la Trigonometría.
ángulo A ; y fiendo ( 2. ) BCA , y BCD , iguales i dof
reaos , también BCA , y A íerán iguales á dos redos.
Y al contrario , íi el ángulo BCX> fuere igual al ángu-
lo A ; y por configuiente los ángulos BCA , y A fueren
tanto como dos reaos, (eran los ángulos BCD, y D igua-
les ; y por configuiente (i j.) los lados BD, BC íerán igua-
les $ y ios AB , BC juntos , íerán tanto cosió un iemicir-
culo.
X Digo téimbienyque fi hs Udús ABjBCy fueren másqium fem^
circulo y el angub externo BCD , fera menos que el ángulo a ; y
los ángulos [obre U báfa BCA , y A^ majoires que dos reüos \j éU
contrario. -•
Demonfir. Por fer AB , BC mas que íemicírculo , feriin
mayores que ABD ; y quitando el común AB y quedará
BC , mayor que BD : (14.) luego el ángulo D , opuefto al
mayor lado , (era mayor que él ángulo BCD ; y (iendo el
ángulo A, igual á D,feráel ángulo BCD menor que el án-
gulo A ; y liendo BCA , y BCD iguales á dos reótos, (eran
BCA , y A mayores que dos re¿tos.
^ Y al contrario , fi BCD es paenor que el ángulo A > ó
los' ángulos BCA , y A fueren mas que dos redos , íerá el
ángulo BCD menor que D; y por coníiguiente el lado BC
toiay or aue BD; y como ABD íea femicirculo, los dos AB^
BC y feran mas que femicirculo*
Vltimamente , fi hs Iddos ABy BCyfin menos que un fmkixr
culo y el ángulo exterm BCD feri mam que el Ángulo A; y los
ángulos BCA , y Ayfobre U bafay ferm menos que un femicirculo:
ydlcontrdrio*
Demonfir. Siendo AB , BC menos que (emicircuio , íe-
rán menos que el arco ABD : luego BC ferá menor que
BD ; y el ángulo BCD lérá mayor que D , y por coníi-
guiente mayor que, A : y como bCD , con BCA, haga dos
redos , el ángulo A, con BCA y ferán menos que dos rec*
tos.
Y al contrario , Cendo el externo BCD mayor que el
interno A , y por coníiguiente A , y BCA menos que dos
redos , ferá el ángulo BCD mayor que el ángulo D : lue-
go el arco BD , mayor que BC : luego AB , BC, ferán me-
tü^e$ cm el feaúcirculo ABDt
PROP.
\
Libro IV. j^
PROP. XVII. Theorcma,
Dos triángulos esféricos pueden tener dos ángulos iguales elunoát
otro y cada uno a fu correfpondiente ; y un lado ofuejlo a (U^
cbos ángulos iguales , también igual ,j fer los trian-'
guhs defiguales. (^fig.i^)
SEa el triangulo OPQ^ cuyos dos lados OP , CX5 , íean
iguales al lemicirculo ; y por coníiguiente , íea el án-
gulo externo OQFL , ( i6. ) igual al ángulo P interno ,:/
opueíto, Tirefe el lado OR.
Denwnftr. Los triángulos QRP , ORQ^ fon dcfiguales^
por fer éfte parte de aquel; pero eftos triángulos tienen los
ángulos P, y OQBl iguales ; y el ángulo R común ; y tam-?
bien el lado OR, opuetto á los dichos ángulos iguales P, y
C)QR : luego los triángulos esféricos pueden tener mutua-
mente dos ángulos iguales, y un lado opueíto á los ángulos
correípondientes igual y y ler deíiguales.
COROLARIO.
DE aqui fe colige y que en los triángulos esféricos \ dados dos
ángulos yj un lado ofueftoj puede haver ambigüedad en U
tefolucion: porque fi en el cafo fobreJkho fe ftguiere la proporción^
que defpues aremos ; es afaberi Como Ajeno del ángulo OURy í
Vy al feno del ángulo R ; afsi el feno del lado OEy al fino quartOy
fer a eñe fenoy ajsí del lado OQ^ como de OPy complemento fuyo al
femctrculoy por fer el feno de qualauier arcoy feno también de fu
^implemento al femicirculo y como fe dixo en la deJin./^M. i. Epa
amisuedad fe quitara fabiendo antes de que efpecie fea el lado
opuefto al ángulo Ryfi ha de fer mam , h menor que el qua-^
ir ante > comQ confia de la propoficion Jíguiente.
PROP.
8o XR-at. yn. De tA Trigonometría; ^
KLOP. XVin. Theorema.
Si dos triángulos esféricos tuvieren dos ángulos del uno iguales 2
dos del otro , y un lado opuejlo auno de dichos ángulos igual al
lado correffondiente en el otro y y el otro lado ofuefio al otro ángu-
lo de los iguales afuere en entrambos de una rmfma efpecic^
fero ño Cuadrante j los triángulos feran del todo
iguales. (Jig. 2J.)
LOs triangules ABC , DEF, tienen los ángulos B , y E
iguales, como también C, y F ; y el lado AC, igual á
DF ; y los AB , DE , fon de una mifma efpecie , pero no
quadrantes. Digo , que los triángulos ion del todo iguales;
y fi no lo fon , fta ÉC mayor que EF : corteíc pues GC,
igual á EF, y tirefe AG.
Demmfir. Los triángulos AGC , DEF, tienen los lados
CA , CG , iguales a DF,FE; y los ángulos C, y F, también
Iguales: luego (lo.)fon totalmente iguales: luego.el an^
jgulo AGC, es igual á E3 y fiendo E, y B iguales, í&á AGC
Igual á B : luego (i6.) AB,y AG, ó DE lii iguaJ,fon tanto
como un femicirculo;y como fe fuponga no íer quadrantes^
fi AB es mayor que quadrante,DE ferá menor,y fi AB fue-
re meríor,D£ ferá mayor, contra lo fupuefto,por fuponer-
fe fer de una mifma eípecie : luego BC es igual á EF, y tcw»
do el un triangulo al otro.
PROP. XIX. Theorema.
Si dos triángulos esféricos tienen entre si un ángulo ipdjj los dos
lados y que comprehenden un otro ángulo^ fueren tanwien iguales i
los dos que le comprehenden en el otro triangulo^ feran totalmente
iguales ; con tal , que el tercer ángulo fea en entrañaos de
una mifma efpecie ; pero no reno.
EN los triángulos ABC, DEF, los ángulos B, y E, fe fu-
ponen iguales; y los lados BC, EF ; CA, FD , también
iguales ; y los ángulo A , y D , de una mifma eípecie , pero
no x^&Q^ Digo , que todo lo demás es iguaU Y fi fe aixe*
Limo IV. Si
re que A6, es mayor que DE, cortefe BG, igual i DE,y ti-
refc el arco CG.
Demmjk. Los triángulos GBC, D0^, tienen los dos la*
dosGB^BC, iguales á los dos DE» £F,v el ángulo B, igual
á E : luego (lo.) (bn del todo iguales: luego los lados CG,
DF, fon iguales ; pero DF , y AC, ft fuponian iguales : lúe-
JO CG , y CA ferán iguales :• luego <i 5.) los ángulos A, y
^GA fon iguales ; y fiendo CGA , y CGB iguales á doí
redos , feráel ángulo CGB , ó D fu igual , y el ángulo A
iguales á dos redos ; y como fe íiiponga no fer redos , fi A
esf mas que r<edo,D lo fcrá menos; y al contrario: luego né*
ferian de úoa mifma efpecie^ contra lo fupuefto.
, - COROLARIO.
DE aqui fe coü^^ que dados frecifámente dos Udos^y el dfh
guio ofuejloá uno de dichos lados en el triangulo esferko^
no fe puede llegar a fu refolmion , for baver ambigüedad y fi que
fer a tmñeflefjaber de que éffecié fea el tercer aríguk. \
PROP. XX. Theorema*
£0 los triángulos esféricos ifoceles^ fi los lados fon quadrantesj Ih
ángulos fme la íafa fon reños\fifon mayores que quadra^h-
tes^ obtufos\j fi minores^ agudos^y al 'contra-
rio. (fe.170
SEa el triangulo ifoceles IHL« Digo lo primero , que fi
los lados HI , HL , fon quadrantes , los ángulos I, L,
ion rectos; porque íiendo quadrantes^fon entrambos juntos
iguales á un femicirculo : luego (i6«) los ángulos I^ L , fon
tanto como dos reétos ; y íiendo iguales , es forzofo feaix
ángulos re¿tos : al contrario , íi los ángulos I, L fon redos,
los lados HI, HL (6.) paíTan por el polo de la baía IL , que,
is arco de circulo máximo : luego HI , HL ^ fon quadran**
xcs»
Digo lo fegundo, que (i los lados HI, HL, fon mayorei
que el quadrante^ los ángulos I, L, fon obtufos » porque^
tn eftá lupo^ciofi ferki(i6«) los ángulos I,L, mayores ¿le
dos redos ; y como feán iguales , es forzofo fean obtufo^
Tomo ÍIU S al
$2 Trat.VIL De la Tmcomometria.
al. contrario, ficndo obtufós, fon entrambos juntos mayo*
res que dos reótos : luego el externo HLM , férá menor que
I: lu^o (i 6.) los lados HI^ HL, juntos fon mas que un fe-
mírculo; y como fean iguales, lera cada uno mayor que
un quadrante.
Digo lo tercero, que fí los lados HI, HL, Ion menores
fiue el Quadrantc y los ángulos I, L, ferán agudos , porque
4ichos lados juntos ferán menos que un iemicircuJo : lúe-
5o (i 6.) el ángulo externo HLM , ferá mayor quel ; y los
os I» hf juntoS|(erán menos que dos redos; y por fer igua-
les entrambos, ^rán agudos; y al contrario , íi dichos án-
gulos ion agudos , los dos juntos (eran menos que dos rec-
tos : luego (i 6.) los lados HI, HL , juntos, ion menos que
un (emicirculo ; y (iendo- iguales , (era qualquiera de eUos
nciior que el quadrante*
PROP. XXL Tbcorcma.
Eü f iu/f uliM trian ffiU isfmcoy fus ms ángulos fin nusqui d§s
teSlüSyj menos quefiis. Cfig*i9* )
Digo lo primero , que en qualquiera triangulo esférico
ABC , fus tres ángulos juntos , ion mas que dos án-
gulos redos. Prolongado el lado BC , queda íbrmado.el
ángulo extemo ACD , el qüal es mayor , ó mer^or , ó igual
al ángulo interno , yopueítoB , fegun lo demonftrado en
la frapoíl 1 6. y en citas tres íupoiiciones demonftraré la
propuefta.
I Sea el ángulo ACD , igual al ángulo B. Denumfi. Por
(er dicho ansulo igual al ángulo B, ion (i6.) los ángulos B,
y ACB , iguales á ¿os redos : luego los tres J, B, C , ion mas
que dos reimos.
X Sea el ángulo ACDy menor que B : luego íi i entram*
bos fe añade el ángulo ACB y ferán ACB y yBy mayores que
ACBy y ACD ; y iiendp éílos iguales á dos redos, iéráo ACBy
y By mayores que dos redos: iuego los tres ACB » B, y il, íe*
i;di^con mas razón mayores que dos reótos.
I Sea ÁCD p mayor queel ángulo fi. Digo» que en e(-
ta
L I B R o I V. ^ í 5
ta (upoficion también ion los tres ángulos internos mas
que dos redos. Hagaíe el ángulo ECD igual al ángulo B,
y continude BA hafta que concurra con CE.£fto rupueíto,
por (er el ángulo externo ECD , igual al interno B ^ los la-
• dos £B, £C) (i 6.) íerán iguales a un íemicirculo : luego
£C, £A feran menos que un femicirculo: luego(i6.)elan«
guio extemo FA£ , y por coniiguiente fu vertical opueflo
líAC , ferá mayor que AC£ ; y añadiendo ^ entranibos el
ángulo ACB, lerán el ángulo BAQ y el ACB mayores que
ACEy y ACB; y añadiendo a los BAC,y ACB el ángulo B;
y a los ACE, y ACB el ángulo £CD,que por conftruccion
fon iguales, ferán los tres BAC, ACB, y B, mayores que los
tres ACB , ACE , y ECD ; y liendo ettos tres tanto como
dos reótos, ferán los otros tres mayores que dos redosi
Digo lo fegundo , que en qualquier triangulo esférico
ABC, (Jí¿-i90 fus tres ángulos fon menos que feis re¿fos:
proiohguenle los tres lados , como íe ve en la figura.
Denumfir. Los dos ángulos DAC,CAB, fon tanto como dos
redos;(2.)yaftimiíhio los otros dos BCA,BCF,como tam-
bién £BA,ABC: luego los tres ángulos intemos,con los tres
externos, hacen íeis redos: luego los tres internos folos Coa
menos que feis redos.
COROLARIO;
DE lo dicho fe colige y que en qualquier triangulo esférico et
ángulo externo es menor que los dos internos yj opuejlos^for^
que el externo con el internoyque ejía afk ladiojhace folamente dos
renos', j los dos internos , j opuejlos, con el interno fobredicbojbaceH
^as aue dos reüos : luego el externo es menor que los dos internos
' of uefios*
PROP. XXn. Theorema.
Vn triangulo esférico fuede confiar de tres ángulos renos \ de doi
renos y j un obtufo; de dos obtufosy j un reüoi
j de tres obtufos» (fig. 50. ) "f
EN el triangulo EAD, los tres ángulos E,^A, D, fón'rcc*'
tos ;' y en elle cafo los tres laoos fon quadrántes. * En
Si el
84 Trat.VU. De la Tmconometivia.
el triangulo EAS, los ángulos £, y S fon redos, y el ángu-
lo EASobtuío, por fer mayor que el redo EAD; y en eftc
cafo los lados A£ , AS fon quadrantes , y ES mayor oue
quadrante. En el triangulo MAN, los ángulos M, y N ton
obtufos , y el MAN redo. En el triangulo MAO, los tres
fon obtuíossy en eftos dos últimos cafos puede haver varie-
dad en los lados. Conita bailantemente de lo dichoi^
PROP. XXm. Theorema*
X» quéUquiera triangulo esférico ^fi fe continúan los lados^ fe for-
ma otro triangub , ci^a bafa , j ángulo ofuefio ^ la bafafon los
mifmos delfrimero^ pero las demás f artes del fegunáo fon
complemento de las del primero al fenún
circulo, (fig^ii.)
EN el triangulo ABC continuenfe los lados AB, AC haf-
ta que concurran en D. Digo, que íe forma un otro
triangulo BDC , cuya bafa BC es la mifma del primero; y
el ángulo D. opuetto á la dicha bafa , es igual al ángulo A,
opueito á la miíma , como confta de la prop. 4. Digo tam>
bien,que el ángulo CBD es complemento del ángulo CB A
al femicirculo , por fer entrambos iguales a dos reáos ; (2.)
y por la mifma razón es el ángulo oCD complemento del
ángulo BCA al femicirculo : alsimiímo el lado BD es com-
plemento de AB al femicirculo ABD, (i.) como también
CD es complemento de AC.
PROP. XXIV. Theorema.
Dado qualquiera triangulo^ en los polos de fus arcos fe forma otr^
fegundojque fus dos lados fon iguales a los dos ángulos (¡dptimero^
íüa uno alfujojj el tercer lado es complemento del tercer ángulo
al fenúcirculo'y j lo mifmo es de los ángulos del fegundo con
los lados del primero. ( j^* 5 1* ) . .
LOs puntos Y, O, fon polos del lado AB; y Z,M, del la-
do AC ; y el punto R es polo del lado BC, quedando
lu correípondiente á la otra parte .de la esfera : y tirados
Josajrcos YRO , ZRM , quedan formados de los polos ía-
brer
L 1 B R o IV. Sy
bredichos quatro triángulos , que fon YRZ, RZO,YRM,
MKO , y otros .tantos á lá otra parte de la esfera. Digo
pues, que en el triangulo YilZ , los lados YR , RZ, ion
Iguales á los ángulos AiiC, ACB , y el lado YZ es comple-
mento aliemicirculo del ángulo BAC.
Demnjiu Los quadrantesYQ^, RPion iguales: luego
quitando RQ, que es común, quedará YR igual á QP , va-
lor , y medida del ángulo ABC. Aisimiimolosquadrantes
ZS , RN fon iguales : luego quitado RS común , quedari
ZR igual á SH , medida del ángulo ACB. También los
quadrantes YX, ZI fon iguales: luego añadiendo á entram^
DOS XZ común , férá Y2 , igual a XI , medida del ángulo
externo X AI , complemento del ángulo BAC al femicircu^
lo : luego es confiante la propuefta en el triangulo YRZ.
Lo mifmo fe verifica en el triangulo ZRO , porque
ZR es igual , como oueda probado , á SN , medida del an-
fulo ACB ; y quitando Oí de ¡os quadrantes ZI,OH, que-
a OZ igual á IH , medida del ángulo BAC ; y RO es
complemento al femicirculo de RY , ü de QP íu igual, me-
dida del ángulo ABC. Conlla pues lo iobredicho en efte
triangulo.
También íe demonttrará lo mifmo en el triangulo
YRM , eíto es , que Y R es igual á QP , medida del ángulo
ABC ; y YM igual á HI , medida del ángulo BAC; y RM,
complemento al femicirculo de RZ , ú de NS fu igual , que
es medida del ángulo ACB : luego generalmente iiempre ie
halla un fegundo triangulo, que fus dos lados ion iguales i
qualeíquiera dos ángulos del primero ; y el tercer lado del
fegundo es complemento al lemicirculo del tercer ángulo
dd primero. Lo que (ucede en el triangulo MRO , fe veri
en la prop. iiguiente.
COROLARIO.
DE aquife colige , que dado para refatfer quatquierd triara
guio esférico , nos podremos rdlerpara la refolucion de un
otro triangulo equipolente ^ íuponiendo fer qualefqutera dosldefus
lados iguales a dos ángulos del primero i j que el otro fea el com^
pUmento del tercer ángulo al fenúctrculo»
PRO?.
^6 Tkat.VIL De t a Trigonometría;
PROP.XXV. Theorema.
Vádú tpiolquierá triangulo en los polos de fus arcos , fefarma otro
fegunao y que fus tres lados fon complementos al femicirculo de los
tres ángulos del primero ; ji los tres ángulos delfegundo de
los tres lados delpimero. (fig. 51.)
Digo y que en el triangulo ABC , fi fe toman los polos
K. de BC, y M de AC, y O de AB, fe forma el trian-
gulo MRO y que tiene las calidades propueftas.
Demonjh. El lado MR es complemento de RZ , que es
igual á NS , medida del ángulo ACB ; y RO es comple-
mento de RY, que es igual a QP, medida del ángulo ABC,
y MO es complemento de OZ , que como conita de la an-
tecedente es igual á HI , medida del ángulo BAC : luego
los tres lados de MRO , fon complementos al íemicircuio
de los tres ángulos A, B, C.
También por ftr CS , AT quadrantes , quitado eJ co-
mún AS , queda ST igual a AG ; y fiendo IS medida del
ángulo M , y complemento al femicirculo de ST , ü de lu
igual AC , fcrá el ángulo M , complemento del lado AC
al femicirculo. Por la mifma razón , fiendo QH medida del
ángulo O , y complemento de QX, ó AB fu igual, es el án-
gulo O complemento del lado AB al femicirculo. Últi-
mamente , fi de los quadrantes ED , NC fe quita el común
ND,quedan EN,y DC iguales ; y afsimifmo , fi de los cua-
dran tes FD, PB fe quita jjP, quedan FP, y DB iguales : lue-
fo EN , y FP juntos fon iguales al lado BC. Siendo pues
IP complemento de los EN , FP al femicirculo , íera NP
complemento del lado BC ; y fiendo dicho NP medida del
ángulo R , íerá efte ángulo complemento al femicirculo
del fobredicho lado BC : luego los tres ángulos del trian-
gulo RMO fon complementos de los tres lados de ABC al
Íemicircuio.
COROLARIO.
D
E i$qui fe infiere y que dado para refolver m triangulo esfe^
rico y nos podremos valer de un otro triangulo equipokntey
L I B R o IV. Í7
mudando fiUmenfc hslados dudado en anffdo ^l fm anguks m
lados*
CAPITULO ffl.
Di LAS rXOFlEDADES DE LOS TRlÁTUaV IOS
esféricos reüangidosm
PROP. XXVL Theorema.
En el triangulo reSangtdo , fi fe alarga uno de fus lados hafiaét
pío del otro ladoy fe forma otto triangulo que tiene un lado común
con el primer o ; j las demás partes y o iguales con las delfri^
meroj h que fon complemento fujo al fenncirculo^
h al quadrante. ifig*l2*)
SEa el triangulo LMN , redangulo en M ; continuele di
lado ML, hafta O, polo del otro lado MN , y tirefc el
lacio ON, Digo, que el trianjg;ulo OLN,que fe ha formado,
tiene todos fus lados, y angubs, ó iguales con los del trian-
gulo LMN, ó que fon complementos de dichos lados,y án-
gulos al femicirculo , 6 al quadrante.
Demonftr. i . La bafa LN, es común i entrambos triángu-
los, r. El lado 0]>¡y es quadrante, y por configuiente igual
al ángulo M , que es reao. 3. El ángulo O, es igual al la-
do MN, por feréfte medida del aneulo formado en O, que
es polo de MN. a. El ángulo OLN , es complemento del
ángulo MLN, al femicirculo. (2.) j. El lado LO ,es confi-
plemento del lado ML, al quadrante. 6. El ángulo ONivI, ,
es reélo: (6.) luego el ángulo ONL, es complemento a 90.
frados del ángulo LNM : luego las fci$ partes del triangulo
.ON , correlponden á las del otro triangulo , en la forma
dicha.
COROLARIO.
DE a^m fe colige , haver las wifmas correffúndemids en el
triangulo quairantal^ i quefiendo obliquangulo ^ tiene un
lado igual al quadrante^ como OLN, que en el triangulo reítanga-
b; Porque fi el lado OLy que no es fiadrante^Je alarga bajía quo
^fi^7 yfi ^ira la bafa MS^fe hallara todo lofobredicho.
^^ ^ PROP^
S9 TitAT.VII. Db 1 a TarcoKOMETKiA^
PROP. XXVn. Thcorema.
In $1 tfmgtthreBanguhy Us lados que cmfrehenden el angula
xe99fm di la tnifma eífeóe que los angdo$
9pueftos. ifig. II.)
SEan los tres triángulos OMN , LMN , MÜN , rcdangu-
los en M. Digo , que en el triangulo OMN , el lado
pM , opuefto al ángulo ONM, que le fupone reítOjCs qu^-
drante , y en el triangulo LMN, el lado LM, es menor que
quadrante,por oponerle al, ángulo LNM , menor que reao;
y en el triangulo PMN, el lado PM es mayor que quadran-
te, por oponerfe al ángulo PNM, mayor que redo.
Demonftr. En el triangulo OMN, por fer el ángulo ONM
redo , el lado ON tendrá fu polo en MN ; y MN en ON;
(6.) y también por fer el ángulo M redojel lado OM tendri
fu polo en MN;y MN en OM: luego el polo del arco MN,
efta en los arcos ON, y OM ; luego es el punto O común á
entrambos : luego ( defin. i. ) los arcos ON,y OM fon qua-
drantes ; y íiendo el ángulo O re(9:o,fu medida,que es el ar^
co MN, también ftrá quadrante. De aquí fe figue , que en
el triangulo LMN , el arco LM opueíto al ángulo agudo
LNM , es menos que el quadrante OM ; y en el triangulo
PMN,el lado PM opuelto al ángulo obtulo PNM, es mayor
que el quadrante OM,
COROLARIO.
D ^ aqui fe colige \ que en el triangulo esférico reSanffdo , co^
nocidos los ángulos , fejabe de qué effeciefean los lodosa y
al contrario j conocidos eftosyfefabela efpecie de aquellos: conque
ieffa toda la ambigüedad^ que fodia ocurrir en quanto a los lados.
Lapropoficion figuiente^ ftrve fata quitar la ambigüedad^ tn
quanto a Ubifotenuf4f
PROP.
Libro IV. Zj^
PROP. XXVm. Theorema.
ti tiiángüo isferko reñángido » ttene Ids frofiedddes
fiffúentes.
I 0*1 los dos lados que comfrebmUn el ángulo reüo^ fon quá^
^ dr antes ^oalo menos uno de ellos j la hipotenuja es quéh-
drante. En el triangulo MON ^(Jí¿,ji,) re^ngulo en O,
(jpao los lados O^i, ON, quadrantes. Digo , que la hipóte-
oufa MN , es quadrante ; porque íiendo dichos lados quar
drantes , el punto O de fu concurfo » es polo de la hipóte*
DUÍa MN ; y efta es medida del ángulo Ó ; ( defin.y) luego
íiendo éíle reéto , (era la hipotenuia quadrante. Sea tam*
bien el triangulo LON, reílangulo en 0,cuyo lado QN,es
quadrante. í^igo , que la hipotenuia LN j es quadrante;
porque como le ha demoníirado,MN,es también quadran-
te : luego el punto N , es polo del arco OLM : luego {def.
2,) NL es quadrante.
2 Si en el tiiangulo hay dos ángulos renos , la hipofenufa es
quadrante. Porque haviendo dos ángulos re^s,hay en cada
uno de ellos un lado de los que los tbrman,opuelio á ángu-
lo redo : luego (27.) íerá quadrante ; y como la hipotenu-
ia fea uno de los fobrcdichos lados^ fe ligue ha de 1er qua-
drante»
3 Si los dos lados que forman el ángulo redo jfon de una mif-
ma effeckyj no fueren quadrantesj la bipotenufa /era menor que
el quadrante. Sea en la fig, iz. el triangulo HAL , redan-
guio en A,y los lados AH,AL,fean entrambos menores que
ios quadrantes A6, AC. Digo , que lahipotenufa HL /es
menor que quadrante ; porque neceífariamente es menor
Que BC , que ( num.i. ) es quadrante. Por la mifma razón,
íj los lados que ¿)rman el ángulo redo A , fon entrambos
mayores que quadrante, como lo fon AI, AO , en el trian-
gulo lAG, la hipotenuft IG, p menor que quadrante, por
1er menor que BC\
4 Si los ángulos formados fobre la bipotenufa fon de una mif-
ma efpecie^pero nore£losJa bipotenufa fera menor que quadrante.
I?igo , que en d triangulo AHL, (jig. 25.) P^^ <^i' l^^ ^o-
guips H^L, entrambos agudos, la hipotenuia HL, es menor
que
JO TraT. Vn. Db lA TRICOKOMET.T.
U70 Ton menore» que quadranie : iueeo f^ V\ ! ^
Poienulá es menor que auadranf ^ r ^r^ ^' 3- ) 1» hi-
fiendo ambos obtuS! ^omLT ¿^J^^I^- '^ *""««"
porque en efta fiíooficion Tli*^ *r*° ** í™ngulo lAG.
quadnnte. *^ * ^ "*^ 5* ) « menor quo
to en X, tiene fobre Ja hÍMr«,7.A r W ° ^^ reótangu-
dc dife/eoteeK • eKT ^J ' '*** '"'8^*» L, y V.
Digo tambien,que por SrelhdSxL^¿'^ " quadrante.
do. y cJ ángulo T, opuefto i L* J* «kl.r .<^ > « ago-
XXDC
Sendo T,y M, m "Er™'^|;;'»5= "" re*, : luígo
d tmneulp LTX, «&2jVS X 'fteT- ^ '"^"
Libro IV* 9í
En ¿fte pues fe ha demonftrado > que el ángulo M es ma-
vorqueel complemento de MTXá 90. erados : pero
la diferencia de MTX á los 90. grados , y la diferencia de
LTX á los 90, grados, es la miíma : luego porque L, y M
ion iguales , (4.) ferá el ángulo L mayor que la diferenciía-
de LTX á los 90. grados.
Siempre queje quiera examinAr^fi un triangulo efik ¡nen da--
do, h bien re/ueltOy tenganfe frejenfes las frofojiciones xu
22. 27. 28. j 29,
CAPITULO IV.
DI LAS FJiOflEDADES DE LOS TRIASGVLOS
esféricos obliquAngulos*
PAra re(blver los triángulos esféricos obliquangulos , fe *
ufa muchas veces del ferfendictdo , el qual no es otra
cofa , que un arco de circulo máximo, que en un triángulo def-
cknde de uno de fus ángulos ferfendicularmente fohre el laáo
ofuefio.
PROP. XXX. Theorenaa.
£» qualquiera triangulo obliquangulo ,fi los ángulos fobre la bafa
fon de una mifma efpecie , la ferfendkular del ángulo vertical a
la' bafa cae dentro del triangulo yjes de la mifma effecie que los
dichos ángulos ; fero Ji eftos aíugulos fobre la bafa fon de diferente
effecie , la perpendicular fobredicha cae fuera del triangulo^
y es de la núfma efpecie que el ángulo ex--
terne. ( jig. lu )
Explicación, i. En el triangulo YRZ , cuyos ángulos
Y, Z, fon de una mifína efpecie , entrambos agudos^
digo, que la perpendicular RV cae dentro del triangulo, y
es menor aue el quadrante.
Demonfir. En el triangulo YVR redar^lo en V , la
perpendicular RV es uno de los lados que forman el ángulo
redo : luego (27.) ferá de la mifma eípecie que el an-
gu.
^ Trat. Vil. De la Trigonometría.
Í^ulo opuello Y ; efto es , ferá menor que el quadrante:
uego en el triangulo RVZ reéiangulo en V , ficndo la
perpendicular KlT menor que quadrante , (e opondrá al
ángulo Z agudo , (,z^^) y no al externo obtufo RZF*
lu^o dicha perpendicular cae dentro del triangulo.
2 En el triangulo MRO , cuyos ángulos M , y O iba
obtuíbs, ypor coníiguiente de la mifma efpecie, la perpen-
dicular RCj, por oponerfe al ángulo obtuib M,es (27«)~ma*
¡for que quaaraiite : luego en el triangulo RGO, el angu-
o O , opuello á dicha perpendicular , ncccíTaríamente ha
de fer obtuíb : luego cae dentro dd /triangulo entre los
ángulos M , y O.
3 En el triangulo RMY y cuyos ángulos fobre la baía
fon de diferente efpecie; ello es, IvMY agudo, y RYM ob-
tuíb ; la perpendicular RU fe opone al ángulo RMY agu-
do : luego ( 17. ) es menor que el quadrante : hiego cóino
por fer menor que quadrante no fe pueda oponer al ángu-
lo obtuib RYM 9 que es el interno , fe opondrá al án-
gulo RYU agudo , que es el externo ; luego cae fue^
ra del triangulo.
PROP. XXXL Theorema,
Üdiun funi9 que ncfea foh de U bafa^ háxán a elU dos áreos
iguales , eftús áreos diftarán igualmente del perpendkulo^
j harán con el , ángulos iguales ; y al contra- ^
w, (jíg.34.)
DEI punto R, que no es polo de la bafa YUZ, htxm k
ella los dos arcos RY , RZ iguales. Digo , que los
arcos VY, VZ, que fon las diftancias del perpendiculo, foa
iguales , como también los ángulos VRY , VRZ.
Demonfiu l-os triángulos RUY , RVZ tienen los lados
RY, R.Z Iguales, y el lado RV común , y los ángulos en V
rédos iguales , y los Y , Z de una mifma efpecic agudos:
luego (1^0 íbn totalmente iguales ; luego los arcos VY,
ÜZ íbn Iguales ; como también los ángulos VRY , VRZl
Y al contrarip , fi las dííUncias V Y^ VZ íbn iguales, tam-
bica
Libro . IV.. 93
bien le ierán los arcos KY , RZ : porque en efte caíb los
triángulos Y VR, ZVR, tienen los lados ÜY, VZ iguales, y
VR común; y los ángulos en U redos iguales: luego ( lo. )
ibn del todo iguales ; y por coníiguiente , los lados RY, RZ
fon iguales , y también los ángulos VRY ^ URZ« Lo mif-
fe convence en el triangulo HRT.
COROLARIO.
DE aqui fe colige y que en el triangulo esférico oUiqudnguh
que fuere i fóceles^ i que tuviere los ángulos fobre fu ba/k
iludes^ fus lados dijlarln igualmente del ferfenmculo^y ba^
ron con el ángulos iguales.
PROP. XXXIL Theorcma.
Si de un funto que no fea folo de la hafa , haxan ¿ ella dos 4fC9s
dejigudes , el mayor arco difta mas del perfemUcub ,7 hace con H
majof ángulo que el menor ^fi los ángulos fobre la baja fueren agUr
dios } perofi fueren obtujos, el menor arco diftara delperfen-
dkulo mas que el mayor , y hará con el mayor
ángulo. Cjig. 54.) ^
DEl punto R y que no es polo de la bafa Y VS, baxan i
ella ios arcos RY, RS ; y éfte es mayor que aquél : y
los ángulos Y , y S fobre la bafa fon agudos. Digo^ que VS
es mayor que V Y ; y el ángulo VRS , es mayor que VRY.
Denmjir. Si VS no es mayor que VY , fera igual , ó me*
Jior. I. No es igual, porque, como confta de la propoíicioa
paílada , ferian RS, RY iguales, contra lo fupuefto. 2. No
es VS menor que VY ; poraue fierido Y VS un miúno ar-
co de circulo , y los ángulos en V redos , íi fe dobla el
triangulo por la RV , el arco VS caerá fobre VPM : con-
<)ue el punto S caerá fobre algún punto de la periferia VM;
Íno pudiendo caer en Y , como queda dicho, caerá, ó ib-
re Ty 6 mas abaxo. No puede caer fobre Y , porque ü
ellbes poísible, cayga (obre O, y (era RO igual á RS. En
d triangulo pues YOR, el ángulo O es obtufo; porque íien-
do RV menor que quadrante, ( coroUré i^prop. 6. ) el an^
guio UOR {%'].) es agudo , como también Y : luego YOR
es
jp4 Trat. VII. De ia Trigonometría,
es obtufo : luego ( 14. ) el lado YR opueftb al mayor án-
gulo , íerá mayor que el lado OR opuefto al menor ; eíh>
es , lera mayor que RS , contra lo fupuefto : luego RS no
puede caer mas arriba que RY : luego caerí debaxo co-
mo en RP: luego lerá VP igual i VS , y el ángulo VRP
igual á VRS ; fiendo pues VP mayor que VY , íerá VS ma-
yor que V Y ; y íienao el ángulo VRP mayor que URY,
también lo íerá el ángulo VRS;
Digo también y que íi del punto R , que no es polo de
la baía MGT , defcienden los arcos RT mayor, y RM me-
nor, formando los ángulos M , y T obtuíbs , el arco MG es
mayor que GT , y el ángulo MRG es mayor que GRT.
Inherefe de lo dicho , porque (i de los íemicirculos iguales
SVM, VMG, quitamos el arco común VM , quedarán VS,
MG iguales : y afiimifmo , íi de los femicirculos YVT,
VSG, quitamos el común VT , quedarán Y V, GT igualen
luego íiendo VS mayor que Y V , ferá MG mayor que QT*
Amas de efto , el ángulo MRG es ( j. ) igual á fu vertical
opuelto VRS , y GRT á YRV 2 luego fiendo VRS mayor
que YRV , ferá MRG mayor que GRT.
COROLARIO.
DE aépú fe colige , que en el manptlú úbUquanguUy cuyoí ath
gulas [obre U bafa fon deñguales , y entrmnbos Agudosy
echado elperpendkula , el mayor jegmento de U bafa , y for cmfi-
guíente el mayor anguh vertical es contermino al mayor lado del
triangulo: y al contrario, Ji los angulas fobre la bafa fueren obtufor^
porque el pinto de quien defcienden los lados ,jr elferfendiculOy n^
esfolo déla bafa; forque jilo fueffe^fef ion entrambos lados qud^
drantes^
PROP. XXXin. Theorema*
IM el triangulo obliquangulo , que tiene dos ángulos agudos j el UUb
gfueflo al menor ángulo es menor qued quadrantr,y en el que tiene
dos ángulos obtufos , el lado opueflo al mayor anguU es ma-
. yor que el quadrante. (fig. 34* )
SEa el triangulo obliquangulo YRS, cuyos ángulos Y» S>
fon agudois, y el ángulo S» menor que Y* Digo, que d
LiBxo IV« ^
lado YR, opuefto al ángulo menqr S » es menor que el qua-
drante*
Dumnfifé Porque el ángulo Y , es mayor que el ángulo
%ykú (14*) el lado RS, opuefto áV, mayor que R.Y,opue&
to á S : luego por la antecedente ^ el perpendículo KV,
formará el ángulo vertical VKY , menor que el ángulo
VKS; y (iendo el ángulo YKS, (2*) menor que dos rcaos,
íeri el ángulo YKV , menor que un redo : y porque en el
triangulo I VR , redangulo en V , fon los ángulos VYR,
VR Y agudos; y por coníiguiente de la mifma elpecie es
( 28. ) la hipotenufa YR , menor que quadrante : luego
el lado YR, opuefto al ángulo menor S^ es menor que qua«
<irante«
Con efto queda también nrobado , que en'el triangulo
MRT ) cuyos ángulos M, y T, Ion obtulos , el \iáo mayor
,KT, opuefto al ángulo mayor M, es mayor que quadrante,
tor (er complemento al l'emicirculo del arco YR; y fiendo
lie menor que quadrante, ferá RT, mayor que quadrante*
PROP* XXXIV. Theorcma.
Ift
£;i ti PíiánguU esférico 4cut ángulo y cada lado deforsíes meme
huí el quadrante. Cfig* ^i*)
SEa el triangulo ABC , cuyos tres ángulos (ean agudoi»
Digo, que cada lado es menor que el quadrante.
Demmftr* Porque los ángulos B, y C , (obre la bafa {bn
agudos , el perpendículo AD, (jo*) cae dentro del trian*
guio : luego en el triangulo redangulo DAC , por fer los
ángulos CAD, DCA , de la mifma efpecie agudos , ferá
( 20.) la hipotenuía AC^ menor que el quadrante : luego el
lado AC, es. menor que el quadrante : lo miCnp íe demonio
trará del lado AB. Y tirando el perpendículo del ángulo C
al kdo AB , fe convencerá de la mifina fuerte, que -el lado
CB 9 es menor que el quadrante : lu^o qualquiera lado es
menor que el quadrante»
PROP.
<$RS T&AT. Vil. De LÁ TlíIGOkOMETRlA.
PROP. XXXV. Theorema.
l$$ trumgHUs Miqumpiús que tienen fus tres lados nujeñtté qué
Hquáifánte^lelunodeeUesquádfámeyjlús denus mayores
que elquááréuue , tienen fus ángulos oku-
fif* (fii 5J- ) "
PAra mayor claridad , demonítrare el Teorema en dife-
rentes caíbs que pueden ocurrir*
Cafo u Si el triangulo es equilátero, y fus tres lados m^*
yoresque el quadrante. Digo, que (ustres ángulos Ion oi>^
tufos ; porque íiendo equilátero , por qualquier parte que
fe coníidere, feríl iíbceles: luego ( zo. ) íüs ángulos feran de
la miíina efpeGÍe que fiís lados ; y fíendo éftos mayores que
el quadrante , feran los ángulos obtuíbs*
Cafo 1. Sea el triangulo GHi , ifoceles, (fig*i^*)yftá
tres lados mayores que el quadrante* Digo, que ilts tres an«
glilos ion obtufos. Que los ángulos G , I ,. Ibbre la baía lo
lean, confia de la propof lo. Para demonilrar que también
lo es el ángulo H , cortenfe GL, GN, iguales al quadrante,
y tirefe el arco LNM , hafta que concurra con el lado IH,
idargado en M»
Demonftr. Por fer GL, GN quadrantes , fcrá G polo del
arco NL ; y en el iíbceles NGL , los ángulos N, y L C 2.0. )
feran reatos ; y el arco NL, que es medida del ángulo obt\;h
fo G , íéri mayor que quadrante ; y íliponiendoie tambres
HP, mayor que quadrante , feran los arcos NM , HN, me-
nores que quadrante ; y por confíguiente , ambos juntos fe-
ran menores que el femtcirculo : luego ( i6* ) el ángulo rec-
to N, es mayor que fu interno opuelto NHM : luego el re*
íiduo NHI, es obtulb*
Cafo 5. Sea el triangulo efcaleno OPQ^, v el lado
í>Q^fea mayor que IK) : cortefe pues PR , igual á PO; y
por configuicnte, (iendo, como fe íQpone, PO , ms^or que
quadrante , tanÚDÓen lo ferá PR : luego por el cafo z» el
ángulo POR ferá obtuío , y mucho* mas lo ferá POQj;^ De
OP, OQ, mayores que quadrante, cortenfe OS, OT, igua-
les al quaürante; y tirando el arco STV , hafta encontrar
al ^co Qf , alargado en V , feran (20.)l1os ángulos T, y S,
rec-
4^ Libro IV. 97
redos; y TS , mMida del ángulo obtufo POQ^, ícrá ma-
yor que quadrante,como también lo e$ por fupoíicion PQj
luego los arcos P V, TV, fon menores que quadrame; y por
configuiente, los dos juntos Ion menos que un íemicirculo:
luego (16.) el ángulo externo T, que és redo, íerá mayor
que fu interno , y opuefto TP V : luego fu complemento
TPQ^, al femicirculo es obtuíb.
Cafo 4* Sea el triangulo ifoceles XV Y , cuyos dos lados
XU, XY, fon iguales entre si, y mayores queelquadrante;
y el VY , (ea quadrante. Digo , que todos fus ángulos ion
obtufos. Que lo lean los ángulos V,Y, fobre la bala, confia
de h tropo fio. Para probar , que también lo es el ángulo
VXY, cortefe VZ, igual al quadrante, y tirefe el arco YZ,
&c. hafta aue concurra con YX alargado , y íerá V polo
del circulo Vz , & ^ y los ángulos en Z , (eran redos ; y el
arco ZY , medida del ángulo obtufo V , íerá mayor que
quadrante*; y por confíguiente, los arcos X, &, Z, & , me-
nores que quadrante, y entrambos juntos menos que un íe-
micirculo : luego (i 6.) el ángulo externo Z , que es reéto^
ferl mayor que el interno opuefto ZX , & : Juego éfte (er4
agudp,y por coníiguiente elreíiduo ZXY, (era cl^tufo.
Cajo 5* En el triangulo ABC,fon entrambos lados AB^
AC, mayores que el quadrante, pero defiguales,porque AC
es mayor que AB ; y BC fea quadrante. Uigo, que los tres
ángulos de efte triangulo fon obtufos. Coneíe BD igual al
quadrante; y defde B, como polo, deícrivaíe el arco CDE»
hafta que concurra con C A , alargado en E. Cortea tam-
bién AF igual á AB, y tirefe el arco BF , v (20.) el ángulo
ABF (era obtufo : luego mucho mas lo (era ABC. También
el ángulo D es redo,y CD, medida del obtufo: ABC,es ma-
yor que quadrante, como también AC : luego los arcos re^
iiduos AE;DE,fon menores que quadr^te,y juntos fon me-
nos que un íemicirculo : luego (i6.) el ángulo extemo D,
que es redo, es mayor que el interno opuelto DAE : luego
¿fte es agudo : luego (u complemento a dos redos BAC , es
obtufo. También fe probará íer obtufo el ángulo ACB,por-
que (iendo B polo de DC, ferá el ángulo BCD redo: luego
BCF (era obtufo: lu^o los tres fon obti^s»
TmoUU T 14.
I
1
98 Trat.VIL De la Triconoj^tria.
E
LIBRO V.
DE LA RESOLUCIÓN DE LOS,
Triángulos esféricos ledan-?
gulos.
Ñ los triángulos esféricos reSangulos , el kd(>
opuefto al ángulo redo , íe llama hipotenufa. Dq
los lados que cooQprehenden el ángulo redo , el
uno fe llama ptftndkuhy y el otro bafi. ¿1 mifmq
que ^ bal9> es también en otra fupoíicion perpendículo,
porque Í;endo éltos dos lados , que forman el ángulo redo,
perpendiculares el uno al otro , (i confideramos qualquiera
delo^dps cpmo baía, el otro ferá perpendículo : coníidera-
mosle como baía , qu^ndo le comparamos con el ángulo
contérmino que fqrma con la hípotenufa; y como perpendi*
culo, quandio le reérimos a íu ángulo opuelto.
CAPITULO I.
IHEOnEMAS FVNDilMENr^IES FARA LA MSOLVCIOS
de los triángulos esféricos reHangulos.
TQda U reíblucíon de los triángulos esféricos redangu*
ios , ie funda en la analogía, y proporción de (us par-
tes, la qual fe demueí^ra ep íolos dos T heoremas , que ion
los figuíentes.
PROP^
Libro y.. ipp
PROP, I. Theorema^
En los triángulos reñangulos , quf tienen un mtfmo ánguU dgud^
fobre la Ufa ; los fenos de las bipotenu/ks fon froforcionaUs
i los fenos de los perpendUubs^ .
(fig.l6.)
SEa ABDC A una o£bva ^ parte de :ki esferal , cuyo
tro es C : los arcos AB , AD ; DB ion quadrantes, que
hacen unos con otros aDgulbs jredósi conque A es el po*
lo de DB ; B es polo de AD ; y D es polo de AB. Salga del
punto D otro quadratiteDE, y quedará íbnnaifo d tdto;
guio esférico DEp. ^Báxe también deíde^ A otro qufdran-
te AFG , que cortando X DFE en F , y á DGB en G , for-
mará otro triangulo esférico DFG ; y pprque los ángulos
BBD , FGD fon redos , los. dichos triansufosíeirán rcj&M*^
gülps, y tienen el ángulo EDBcomuik La linea pue9 CI^
perpendicular á la común ieccion , y radio CB , y que deC*
cie^ide del punto E, es el ieno del arco EB^ y esjuntaipen**
t^ perpendicular al plano CBD. A^6iiiiifmib la linea FL
perpendicular á la común ieccion , o radio GG, es'ienodd
arco FG : y en el plano DEC, el raAó-EG^esfeno todo , d
Geno del quadrante ED ; y la linea FH , perpendicufer á ln
Cómun feccion CD, es feoo del arco FíX
Eílo íupuello, digo, que los fenos délas hipotenuíafi
I>E ^ DF , fon proporcionales con los fenos de los arcos EB,
¥G , que fon los perpendiculos ; efto es, afsi fe ha CE, feno
de la hipoteñuía DE , con HF , íeno de la hipotenufa DF,
como EL, íeno del perpendículo EB^ con FI, (eno del per--
{>endiculo FG.
Demonftr. Por fcr las lineas EL, FI perpendiculares al
mifmo plaoo CBD ,, han de 1er forzoíamente paralelas;.^
(6. II. Éucl.) yafiimiímo las lineas £C, FH, por eftár en'
el mifmo plano CED, yferambas perpendiculares á la
miíma linea CD, fon entré sí paralelas : (29. i.EucI.) lue^,
fo (ib. ii.EucL) los ángulos CEL, FIFI, que conftan de
neai paralelas, foii iguales; y íiendo redos los ángulos '
EJLC| FIH9 y por coofiguiente iguales:, feráa tatDbienlcs^i
loo Trat^VII. De I A Trigonometría,
ángulos ECL, FHI iguales ; y los dichos triángulos redUir
neos ferán eauíangulos : iu^o (4. 6« EucL) ferán íiis lados
proporcionales.
^ EL, fim del perpendicmy i arco . EB;
dfsi HFjjeno de U bipfaenufh ^^^^ ^^i
¿ ¥lj Jenú del perpeníüculo^ d átco IG.
y akemando, iovirtieodo^ &f •
VlLoP. n. Theorema.
tH ¡»t mfims triáHgidv rtSéUi^ihs , Ut fents dt Us báfufim
fr9fmmdes tm Us ttmgttutts de Us ferfenéiados. '
EXp&cMíkH. Sea la linea MB perpendicular al radio CB^
y tirada la fócame CM , (era MB tangente del per-
pendículo £B. Áfsimirmo (ea KG perpencucular al radio
CG, y tirada laiccante CK, íeráKG tangente del perpen*
diciüo FG. Tarobien por ftr BC perpendicular á CD , es
íeno déla baía DB; y tirada GN taoibien perpendicular á
CD, es feno de labafaGD. Digo pues, que fon proporcio-
nales CB, (eno de la bafaDB, á BM, tangente del perpendi--
culo £B ; como NG, íeoo de la bafa DG , á GK, ungent^
del perpendiculo FG,
Demonfir. Por eftár EL , MB en un miímo plano^y fer
perpendiculares á CB , ferán entre sí paralelas. (29.i.£uc.)
Y afsimifmo , por fer FI , KG perpendiculares \ CG , iba
también entre sí paralelas : luego (6. 1 1.) Affi, KG íbo pa*
ralelas. También por fer BC, y GN perpendiculares á CI>,
ion entre sí paralelas : y íiendo los ángulos NGK , CBM
redos iguales, y paralelos , ferán los pianos NGK, CBM
£araielQs;y cortando el plano DEC los planos íbbredicbo%
is comunes iecciones CM , NK (eran paraklas , y los an*
gulos MCB , KNG paral elos, é iguales , como también los
ángulos M, y K: (r6.ii.Eucl.) luego los triang^o$ CBM,
NGK fon equiángulos ; y (4.6» £ucl») fus lados ^omojogos
.:%¿n propoxciooales.
► V
L I B R o V« f Olí
C9m$ CB fefiú de U bafd BD,
4 BM tángeme del ferfetulécuh IB;
afsi SG feno de U bafa GD^
4 GK tangente del feffendkuh K.
Y alternando, invirtiendo , &c.
CAPITULO n.
DE LA HESOLVCION DE LOS TRlASGVLOS ESFÉRICOS
reBangulús»
DE los dos Theoremas que fe han demonftradp en el
capitulo paíTado , fe infiere la refolucion de los
triángulos esféricos redangulos ; pero antes de entrar en
ella, lera conveniente hacer reflexión (obre las obfervacio-
nes fíguientes.
OBSERVACIONES,
•
I Oí uno de los lados que comprehenden el ángulo rec-
i3 to, es quadrante , el ángulo opuefto á dicho lado
es recto ; (i es menor que quadrante,es agudo ; y (i mayor^
obtuíb ; y al contrarío. Prop. ij. ¡ib. a.
2 Si ios lados que forman el ángulo redo , ó á lo meno$
uno de ellos , es quadrante , labipotenufa también (era
quadrante : íi entrambos íbn mayores, ó entrambos me-
ñores que el quadrante , la hipotenuía íerá menor que el
quadrante ; pero íi uno de dichos lados es mayor, y el otro
menor que el quadrante , la hipotenuía ierá mayor que el
quadrante ; y al contrarío. Pntf. i%. Ub. 4.
3 Si uno de los ángulos adyacentes á la hipotenuía fue-
re redo, la hipotenuía (era quadrante; íi ambos. fueren
agudos , ó obtuíbs , la hipotenufa ferá menor que el qua-
drante; y íi uno fuere agudo , y el otro obtufo , íerá la hi-
potenuía mayor que el quadrante ; y al contrario, infiere fi
de las dnteíedentts oh ferv acmés.
4 Los tres ángulos de qualquiera triangulo esíerico íbn
mayores que dos redo^y menores quefeis. Profoficion zu
Ub. 4»
5 Siem*
DIO!» TrAT. VILOe i A'TMGbNOMETRIA;
5 Siempre qqe en la t)roporcioo entrare k hipotenuía,
o como conocida y ó cooio buícada y (e fimda la réfolucion
enelTheoremai. por íer la proporción de feno á íeno;
pero quando la hibotentiía no entrare en la. proporción , fi
otro lado , íe fundará ía analiíi en el Theorpma z. poríer
entonces la proporción <le feno á tangente, ü de tangente
á feno.
6 Conviene advertir, que en cada reíblucion fe íbrmaa
¿os triángulos con un langulo común , como en la fig. ^6»
Los dos triangules fon D£B , DFG , que tienen el ángulo
común P ; en los quales ie ve claramente, que el uno , que
cs'DEB , fienipre tienfe la hipotenuía , y bafa quadrantes,
como lo (bn DE, DB , y á efte llamamos triangulo frincipat;
y al otro triangulo propérciónaL ♦
■ 7 En todas las reíoluciones difpondrémos los términos
de la proporción , de la mifma fuerte que en los triángulos
reóHlineos , cfto es , en lugar del logarithmo primero , to-
maremos fu complemento logarithmico ; y Ja.íuma de ios
tres, nienos el radio, (era el logarithmo del quarto termino
que fe bufca. Quando el primer termino fuere tangente
ínayor que el radio, efto es , fuere tangente de arco mayor
3Lie 45. grados, fe tomara íu complemento al duplo radio,
qual duplo fe quitará de la fuma para tener el logarith*
¿no del quarto termino , que fe bufca. Qyitafe el radio,
omitiendo , ó quitando una unidad á la izquierda de la fu-
ma ; y reftafe d duplo radio, quitando 2. de alli mi(mo,co*
mo en otra parte queda dicho.
PROP.III. Problema.
Dado Un stngido oblicuo, y el lado eontormino a dicho ángulo , ha-
Mar el otro ángulo. ( fig. i%. )
EN el triangulo DFG reiSangulo en G , dado el ángulo
F 72. gr. 25. mtn.,y el lado contérmino FG 57.gn
21. mil), fe bufca el ángulo D«*
Fro-
ExfiRo y. ÍOJ
Tropmion. Trifp. i. Logmtbms.
Como ti radié C.L* q.ooooooo.
alfeno del ángulo Fji.gr.i^. min. 9*979^ 19^*
afsi ilfenojiguñdo del lado FG ij.gt. zuin* • 9.9003367.
alfenofegundo del ángulo D ifo. gr» 44.1». 9*079 5 565:.
Demonftr. Supongaíe en la fig. 37. el miímo triangulo
DFG defcrito en la fuperficie de la esfera VDBT ; y deC-
de D, tomo polo, defcrivafe el arco REB ; y deíde F, el ar-
có ROP; y coritinueíe el arco GF, y ferá GQT» De que fe
ligue, que QP es medida del ángulo QFP ; conque tambica
lo íerá de íü vertical opuefto DFG ; y porqué 6 A es qua*
drante , por fer A polo de DGB, ferá F A complemento del
lado GF, como también por la mifína razpn íerá A£ coov
plementodel arco EB, medida del ángulo D; conque AE
es complemento del ángulo D. Eito íupuelto , en los trian*
gulos FQP, FAE , Ion proporcionales, (i.)
Cotno el feno del quadrante FQ^ que es el radio^ *'
al feno de Q?^ , que lo es del ángulo F;
4gf}¿ el Ceno i^ieVAy que lo es fegundo de FG,
al fino de AEy que loesz. de £B, ü del ángulo D«
PROP.IV. Problema.
Dado un ladoy y el arfguh opuefto a dicho lado , hallar el otro
ángulo, (fig. 39.)
PAra efta refolucion es menefter conocer antes , fi el ángulo que
fe bufia ha de fer agudo , b obtufoy b qual fe conocerá por la
obfirvacion 1.75. conociendo fi la hipotenufiy h el otro lado es ma-
Jory)^ menor que el quadrante. Forquefiendoefte lado mayor que
él ^drante , el ángulo que fi bufia fera obtufo ; yfiendo menor^
fer a agudo. ( 27.4.) También fi> el lado dado es mayor^o menor que
el quadrante y y la fñpotenufa fuere menor que el quadranteyel otro
lado firXdelamifinaefpeáe que el lado da^o peto Ala hipotenu^
fa fuere mayor que elquadranteyelfobredicboladofera de efpecie
opuefta al lado dado ^ como fe áxo en las obfervaciones anteceden-
res»
En
<I04 TRAT.yn. Dfi I A Trigonometría*
£n el triangulo DFG , redangulo en G , dado el lado
FG» X3.gn i7.inin. v el ángulo opuefto D, jx.gr. K^minSc
]t>uíca el ángulo F, el qual le fupone ha de íer agudo.
Proporcm. Vf9f. i. Logarismos.
£úmo ti fino 2. de ¥G 2;.g«i7.ni« C L. o.o^6S^x9.
4I radio; 9o-g* lo.ooooooo.
nfsi ti lino %. del ang. D 5z.g.54»m. 9^9240827.
4//nio i. del ang. F 66.g. 4.01. 9'9<^974f*
Demenfir. ( jíf. 57. ) En los triángulos FQP , FAE , fon
proporcionales ( i. ) ^1 ^^^^ i« ^^ F^, que es íepo z. de GE,
al fenodel quadrante FQ^, que es el radio; como elfeno i;
de AE , que es (egundo de £B , ü del ángulo D» al (eno lé
de QP , ü del ángulo AF£, ü de DFG fu igual.
PROP. V. Problema.
Dada la bipotenufa ,7 un lado , hallar el ángulo opue/h
aejfe lado. (fig. 40* )
EN el triangulo DFG , redangulo en G , dada la hipo-
tenuía DF, jo.gr. 2o.min. v el ladoGF, 50.gr. 25. m.
le buíca el ángulo D, opueíto al lado FG.
Proporción. Prop. 1. Logaritbmos.
Como el fino de la hipot. DF 5 o.g. 20. m. C. L. o • 1 1 j 63 84.
al radio; 9o*g* lo.ooooooo.
afii el fino del lado FG 3o.g.25.m. 9*7045947»
al f eno del ángulo D 4i.g. 8.m. 9.0100531.
Demonflr. ( fig. 37. ) La medida del ángulo DesEB;y
(i.) fon proporcionales el feno de la hipotenuía DF , al
feno de la hipocenufa DE , que es el radio , por fer DE
quadrante ; como el feno del perpendículo FG , al íeno del
perpendículo £B , que es feno del ángulo D > por íer £B fu
medida.
PROP,
.
Libro V. lo j
PROP. VI. Problema.
I>ddos los lad^s , hallar qualquiera angah Mtquo.
(Í«-4i-)
EN el triangulo DFG , rcdangulo en G , dado el lado
DG, 59. gr.22. min, y el lado FG, 53. gr. 44. min. fe
bulca el ángulo D, opuefto al lado FG.
Proporción. Prof. 2. Logaritbmos.
Como eljino del lado conter.DG 59.g.22.ixu C.L. 0.065276$»
al radio', 90. 1 0.0000000.
dfsi la tangJel lado opuefto GF 33.g.44.m. 9.824619 1.
a la tangente del ángulo D 37.g.49.m. 9.8898956«
Demonftr, En los triángulos DFG , DEB, (jj^g* 36. ) (bn
proporcionales (2.) el íeno del lado contermino DG , al
(eno del arco DB, que es el radio ; como la tangente GIC
del lado FG, á la tangente BM del arco BE, que fíendo ¿í*
te medida del ángulo D/erá BM tangente del mifmo angu«
}o D. De la mifma fuerte fe hallará el ángulo F.
PROP. VII. Problema.
Dada la bipotenufa fj un lado , hallar el ángulo intermedio.
(fig. 42. )
EN el triangulo DFG, redangulo en G, dada la hipóte^
nuía DF,'^5o.gr.2o.min.y el lado FG, 30. gr. 25. min.
fe bufca el ángulo F intermedio.
Proporción. Prop. 2. Logarithmos.
Como la tang. de la hipot. D¥ 5o.g.20.m. CL. 9.9 18676SK'
^ la tangente del lado FG; 30.g.25.m. 9.7687029.
afsi el radio 90. 10.0000000.
al Jeno z. del ángulo P 6o.g.$2.m. 9.6873798. *
Aqui fe ve , que la fuma de los tres , menos el duplo
radio 9 es el loganthmo que fe bufca.
De-
lóS Trat, vil De t a Trigonometría;
Detnmftr. En la Jíg.37. es DFG el triangulo profeuefto,
y hecha la deícripcion que fe dixo en h frop. 3. es QP,me-
dida del ángulo QFP;y por coníigpientejde fu igualDFG;
conque QJl,es el complenaento del ángulo DFG^y jorque
GA, FQ , ion quadrantes iguales, quitado el arco FA co-
mún, quedarán GF, AQjguales; y aísimifmo, por fer tam-
bién quadrantes DE , FP , fi íe quita FE común , ion DE,
EP iguales* En los triángulos pues RPE , RQA , fon (z.)
' proporcionales las tangentes de los perpendículos , con los
íenos de las bafas, la tangente del perpendiculo EP,ú DF
íii igualjá la tangente del perpendiculo AQ^ ó GF fu igual:
afsi el fcno de ia bafa RP, que es el radio, al íeno de la ba-
fa RQ^, que es feno fegundo de QP, ü del ángulo DFG,
cuya medida es QP. /
PROP. Vm. Problema,
Dddd U Bifotenufa , j un ángulo otílquo , hdUr el otro an-
Egulo. ()í¿*43- )
N el triangulo DFG, reftangulo en G , dada la hipote-
nufa DF 63. gr. 45. min. y el ángulo F 61. gr. 35,
min. íe bufca él ángulo D.
Trofwáony Trop.u Logarithmos.
Como el radio. ^o. CX. p.opooooo.
al fino 2. de U hipvt. DF 63.g.45,m. 9.6457oy8,
4fsi U ung. del ángulo F 6 1 .g. 3 5 .m • 10.2 ¿6745 4.
i U tmg.i. del ang. D 50.g.44.m. ^.^iz^^z.
Demonftr. (fig. 37. ) En los triángulos FQP, FAE , fon
proporcionales , (2.) como el feno de la baía FP, que por
ftr quadrantes es el radio , al feno de FE , que es ftno 2. de
h hipotenufa DF : áfsi la tangente del arco QP , ü del án-
gulo F, cuya medida es QP, á la tangente dd arco AE,quc
es tangente 2. del ángulo D , por fer AE complemento de
E6 , medida del ángulo D.
PROP,
. L I B Jto: y. . . í 07
PHOP* IX. Problema- /
I>ada:U bipotenüfa\ y un ángdo ^bliqm , hallar tí laái úfuefto
a eñe ángulo* (fig. ^. )
EN el triangulo DFG , dada la hipotenufa DF 52, gr.
5 ; .min. y el ángulo D 40» gr. 5 8. min. fe buíca el lado
opucllo FG.
Frof arción. Prop^ i; ■ Logarithmos.
Como el radio . P^Hi^* ^ CX» o.ooooooo.
éd feno del ángulo D 40.gr.58.m« ^*%i66^zu
afst el feno de la htpun. DF 52 .gr. 5.3 Jiu ^ 9-8997 5 72.
al feno del lado ofuefio VG . 5i.gr.22.m. 9.7164095.
- Demonftr* (fig» 37. ) En los triángulos DEB, DFG fon
proporcionales (i.) el leño de la hipotenufa DE, que es el
j::adio , al (enodel perpendículo £B, que lo es del ángulo
D , por íer ED fa medida : aísi el feno. de la hipotenu-
fa DE , al feno del lado FG.
PRO?. X. Problema.
Dada la hipotenufa , y un lado ^ hallar el otro lado. (fig. 40. )
N el triangulo DFG dada la hipot^uía DF yo. gr. 20.
min. y el lado FG 30.gr.25.mintfe bufca el lado DG.
E
'fróporcion.Prop. I.* Gr^ m. . Logarithmos.
Como el feno z^deíG 30. ^5• C.L. 0.0643082.
¡al radio 5>o. 10.0000000.
afsielfenoiidelahipot.DI^o. 20. 9.8050385.
al feno z* del lado DG 42. 15.. 5^.8693467.
Demonjlr. C jí¿.57.) En los triángulos AGB,/y AFE, ion
proporcionales (i.) el feno de la hipotenufa AF,que es feno
2.de FG,al feno de la hipotenufa AG^que es el radio: afsi el
íeno del perpendiculo FE ,..cauelo cs.fegundo de la hipot.
DF,al feno del perpendículo GB,que es íeno 2. del lado DG.
PRO?.
loS TaAT.VII«DBLATRtGONOMETMA;
PROP. XL Problema.
Tdios Us áMffiUsy balUr (¡luiqmer* Ud$. (Jii{«45.)
DAdos los ángulos D, 45. gr. 30. m. y F, ((ogr. i8.m»
en el triangulo IXGy fe bufca el íado VC.
Pfoparcm. Vrof. i* * Or. m. Logarithms.
Como el feno udel ang^T conterm» 60. 18» OL. o.o6i 1644*
alieno i. del ang.DofuefiTf 4$* 30. 9.845661o.
a/si el radio 90. io.ooooooo.
di feno 1. del lado ¥G 36. 12. 9«9o68z62.
Demmftr. ( Jfj. 37. ) En los triángulos FQP , FAE , fon
proporcionales (i.) ^I l^no i. de QP, ü del ángulo F , al fo-
no I .de A£, que lo es fogundo de LB, ü del ángulo D: aíst
el fono del quadrante FQ^ úue es el radio , al lenp i. d«
F A , que lo es í^ndo del lado FG.
PROP. Xn. Problema.
J>ddo un Iddúfj in ángulo contermmojballar el otro lado,ifigu^6.)
EN el triangulo DFG, es dado el lado DG 67,gr. 5 i.m»
y el ángulo contérmino D 28. gr« 22. m« 7 íe bi¿ca el
lado FG opuefto al ángulo dado i).
Froporcion. Frop. z* Gr. nu logarnbmos*
Como el radio . 5^)* C.L. o*ooooooo*
djem del lado DG 67. 5 1. 9.9667048.
ajsi la tang* del ángulo D 28. 22. 9.73 23 $od.
alatan.delladoofuefio¥G 26. 34. . 9.6990554*
Demonfir. (fig. 37.) En los triángulos DEB^DFGÍon
proporcionales (2.) como el fono de DB , que es él radio,
al feno del lado DG : afii la tangente de ÉB , ü del ángulo
D9 á la tangente del lado FG.
PROP;
L 1 B R a V. 109
PROP. Xffl. Problema.
jydd^mUdo yj^ §m sngulo ofuifto ybalUr ilatro lado.
Tyjrd efid Tcfolncm , es nunefier faber ffiel lado que fe bufis
1 esmajw , 0 menw que el quadrame-y le que fe mferujfí^y fa-
hendo ft U bifotenufe es mayor j i ntener que el quAdránte^ ípel
vtro ángulo obliquo es agudo , i obtufo , fegun las obfery aciones ar^
riba fue fias. En el triangulo DFO , dado el lado FG, 2 5. gr.
17. m. y el ángulo opuefto D3 S^*^^* 54.ai.reburcaeilado
Proforaon* ?rop. z. Qr. fif» logarUbmoSm
Como la tangente del ángulo D yi* 54* CX« 0.1891434*
Oí la tafig. del lado opuejto ¥G 2j. 17. 9*^1179^0:
áfsi el radio 90. lo.ooooooo.
alfeno delladoDG - 41. 41 9.S229382.
Demonfir. (fig. 36. > En los triangules DEB ^ DFG Con
Sroporcionales (^01^ tangente de CB , ^ del ángulo D , i
i tangente del lado F.G; como el feno del quadrante DB^ d
el radio , al feno del lado DG«
PROP. XIV. Problema.
Dada la bifotenufa ,7 un ángulo obüquo , bailar un lado conter-»
tmno í efie ángulo, (fig: 43. )
*
EN el tríai^ulo DFOíe da la hipotenuía DF 6z. gr, au
m. ^ el ángulo F 6u gr. 3 ;. m. y íe buTca el lado tQ
contérmino al ángulo dado»
Proforcion. Trof. i. Gr. m. Logariibmos.
Como el radio 90 C.L. 0.0000000.
djino 2. del ar^o F 61 . 55; 9*^77497í •
afsiíatangentedelabipuDE 6%. 4;. io.30702;o.
iia tang. dellado BS. 43. 59» ^«984522;^ .
m *
De-
t •• j
1 10 Trat. vil De ia Trigonometría.
Demonftr. Por fcr (fig. 37, ) DE , EF quadrantes , fegua
la defcñpcion hecfaía en íLprop. 3* (i les quitamos el arco
FE común , quedarán DF , EP iguales : alsimiíhio , fi a los
Suadrances G A , FQ^les quitamos el arco FA comun^ quc-
arán QF , AQ^iguales. Efto fupuefto , en los triángulos
RPE , RQA fon (a.) proporcionales, el fcno de la baía RP,
3ue es el radio , al ieno del arco RQ^> que lo es (egundo
el arco QP , ü del ángulo F 9^ fu medida ; aísi la tangente
del arco EP , ü de la hipotenufa DF , fu igual , á la tangen*
te AQ^i üdefu igual FG.
PROP. XV. Pioblcqia^
t
Dados bs ángulos , hallar la hifotemfa. (ji¿*450
. . . '
EN el triangulo DFG fe (uponen conocidos los ángulos
F 6o. gr. iS. m. y D 45^ gr« 30. m» y febufca la hi^
potenuía DF.
Vroforcm. Vrof. z. Or. m; Logdrithmos^
Comolatang. i.delanguloT 60. i8» C.L. 9.7561718;
lia tang.z.dil ángulo D 45* 30. 9.9924197»
afsi el nídto ^, lo^ooooooo*
alfsno i.dela htpu DF 5 j . 54. 9.748 5915.
Demonjlr. En los triángulos FQP, FAE ( Jíg. 57. ) fon
proporcionales (z.) como la tangente i • del arco QP , ik
del ángulo F , á la tangente i • del arco AE , que es feeunda
del arco EB , ü del ángulo D : dísi el feno del quadrante
FP ¡f que es el radio ,. al íeno primero de FE , que lo es fe»
gundo de la hipotenufa DF. ^
PROP. XVJ. Problema.
Dados dos lados ^ bollarla hiptmufa. (fig. 41*)
E* N eltriaogulo DFG dado el lado DG 59. gr, 32. m. y
el lado FG 33* g<^ 44* min. fe buíca la hipotenuui
?': Jt>F*
Pro-
Troporcm. Vrop !•
Com elfAdio
alfeuQ 2« dílla4o FG
afsi clfeno\* del lado DG
aljhio i.deld hifot. Df
Libro y¿
Gfm ffí»
55- 44-
59. 2.2.
64. 56.
III
Logarithmos.
C* L. o.ooooooo»
^•j 1 99 5 08.
. 9.707 I 80 I,
9.6271105^
Demonftr. (fig. 17.) En los triángulos AGB, AFE, fon
proporcionales ( i« ) el feno de la hipotenufa AG , que es
el radio, al íenó x . de AF , que es feno z, de FG : como el
feno I. de GB, que lo es fegundo de DG, al feno u de FE^
que lo es fegundo en la hipotenufa DF.
PROP. XVII. Problema,
Dado un lada y y el ángulo ofüefto a. ejfe lado , bollar U
hifotenufa. (m*í9*}
P?ra efta refoluclen es menefier p^er^fi la bipotenufay i el otro
lado es mayor , d menor que el quadrante ; ifi el otro ángulo
obliquo es agudo , o obtufo , lo que fe [abra pr las obíery aciones
puejias alfrincifio de e fie Cafitulft. En el triangulo DFG, da^
do el lado FG, 23. gr. 17» m. y el ángulo opuefto D, 52.gr.
^4* m. (e bufca la hipotenufa DF, que fuponemos., ha dd
er menor que el quadrante*
í.
Froporc'ton. Frop. i.
Como el feno del ángulo D
al feno del lado fG
afsi el radio
al feno de la hifot • DF
Gr. Wt
32.* 54,
23. 17,
90.
46. 42.
Logarithmos*
C. L. 0.2650607,
9.J969029*
lO.OOOOOOO.
9.86i96j6«
Demnfitf^ (fig, 37*) En los triángulos DEB ,DFG, íbn
proporcioililes (u) como el feno ae EB , ú del ángulo D^^
a)[,fqno de FG : afti el feno del quadrante DE , que es el ra-
4io, aj. leño de la hipotenufa DF.
PROP. XVIH Problema.
D4do u^ lado y y el ángulo adyacente a dicha lado, hallar ¡a hipo-i
tenufa^.(fig.A6.)
EN el triangulo DFG, fe da el lado DG, 67.gr. Ji.m. y
eLaiísÜQ adya(^¿tc D, 28.gj:t 22* na* y fe pide la hi-
potgqijifa DF. Pro-
II 2 Trat. VII. De laTrioonometria,
Tfopwcion. Pfop* !• Gu m. Logmthmr.
CmoelráAo 90. C, L. o.ooooooo*
' aI feno 1* iUl ángulo D z8. ii. 9.944445 j«
éfsiUtámg.i.dilUdoDG 6j. 51 ^•6o^jj^z^
4 U táng. z.dela bifüt. DT 70. 1 8. 9* 5 $4^ ^99*
Defwmftr. (fig. 57. ) En los triángulos AGB ^ AFE, foa .
proporcionales ( 2. ) como el feno del quadrante AB, que .
es el radio , al (eno i. de AE , que lo es fegundo de £B, ü
del ángulo D ; afsi la tangente i. de BG , que lo es íegun*
da de DG , á la tangente i. de £F , que lo es fegunOa de
la bápotenufa FD.
PROP. XIX. Problema*
Modo de tefdver hs tridnguhs quadrantides*
TtíanguUs quadf amales , como en otra parte dixe , ion
aquellos que tienen un lado quadrante de 90. grados,
y no fon redangulos. El modo de reíblvev eños triángulos^
es , mudar los lados en ángulos, y los ángulos en lados, con
que queda formado otro triangulo , que es redangulo , el
qual rcíuelto, queda refuelto el primero ; y como dicho fe-
fundo triangulo fea redáneuló , fe rcfolverá por aquel pro-
lema de los fobredichos, ]i quien perteneciere.
La razón de efto es, porque como demonftré en hfrof.
15. del lib/ antecedente , en los polos de qualquiera trian-
gulo esférico , le forma otro , cuyos ángulos lón comple-
mento de los lados del primero al íemicircülo ; y los laobs,
de los ángulos : luego teniendo el triangtilo quadrantal un
lado de 90» grados, el triangulo formado en ius polos ten-
dió un anguK) redo ; y por coníiguiente ferá redangulo : y
como los complementos al femicirculo tengan los miímos
ienos , y tangentes que los arcos de quien Ion complenaen-
tos , baltará convertir los lados en ángulos , y los aiieulos
en lados : y aunque efto es bien claro , para mayor acui-
dad propongo el exemplo íiguiente»
Sea dado el triangulo AEli,(/|j{« 47. ) on qMiea fe (upo-
XiBRo V. rij
ncn conocidos el lado EB, 55.gr. 54.mín. diladoBA,5}.gr.
48.m. y el lado , a bafa £Á fea quadrante 90. gr. Pidefe el
ángulo A, opuetto al lado mayor £B. Operación. Convierto
los lados en ángulos, y fupongo que dados los tres ángulos
bufeo el lado mayor ; y procediendo por la profof 11. diC-
pongo la proporción en la forma (iguiente,uíanao del nom-
bre de ladüíy donde alli decíamos anguUs ; y del nombre de
ángulos y donde alli decíamos lados*
Vrofonwn. Gr» m. Logafitbmos*
Com^elfeno i. de^tA ladoconU 53. 48. CL.o.09;i478*
al feno z. de 3E iado opuefh'j 55. 54. 9.748683 5*
afsi el radioy 90* o* xo.ooooooo«
al feno z. del ángulo A^ , 46. o. 9.84183 1](«
LIBRO VI.
é
DE LA RESOLUCIÓN DE
los triángulos esféricos obll:-
qu ángulos.
LA mayor parte de los triangulas esféricos obliquan*
gulos fe refuelve , reduciendo el triangulo dado i
dos triángulos redangulos , lo que íe hace tirara
do de fu vértice el perpendículo á la bafa , el qual no.
es otra cofa que un arco de circulo máximo , que defcien-
de del vértice perpendicularmente (obre la bafa del trianjgu-^
lo. Demonftraré en los dos primeros capítulos de efte libro
los Theoremas principales en que (e funda la reíblucion de
dichos triángulos , que íe exphcará defpues en el tercero^
romolU. y CAr!
f 14 Jrat. yil. Di la Tricqnqmbtui Aé^
\
CAPITULO L
JHEOMMAS FUVJ3AMESTALES FARA LA nESOLVClOA
Í€ ks triángulos esféricos oblicuángulos y qudndo fe ion
conociios dgs ángulos jj unMoi ^ dos lados^
yunangulo»^
PROP* I. Theorema.
Sr> qualqniera triangulo esférico y los fenos de los Udos fon po^
forfionales con los fenos de los ángulos ofuef-
tos.(fig.ii.)
SEa el trian^^lo ABC. Digo ^ que el íeno de el lado
AB , al íeno de el ángulo opiuefto C , tiene la oiif-
ipa jazpn que el feno de ei lado AC y al feno del ángulo
opucíto B : cayga defde A , el perpendículo AD , y conti-
niienfe los lados 6AQ^, BCP , CAS , CBN , hafta el qua-
drante.
Demonftr. Los triángulos redangulos CSN , CAD , tie-
nen etjangulo C común , como también los triángulos rec-
tángulos oQP^ BAD , tienen el ángulo B común : luego
(iMb.$.Trigon,)los leños de las hipotenufás, feran pro-
{>orcionalcs con los fenQS de los perpendículos , como (e
igue.
En los triángulos CSS , CAD.
Como él fenó total , ü del quadrant^ CS, ó BQ^ÍU igual,
al feno de SN , ú del ángulo C , á quien mide;
4Ísi el feno del lado CA,
al íeno del perpendículo AD* »
En los triángulos BQPJBAD.
Como el feno total, ú del quadrante BQ, ó CS fu igual,
al feno de QP , ú del ángulo B , á quien mide;
afsi el feno del lado BA,.
al feno del perpendículo AD.
Y como ( 16. ó.Eucl.) en los proporcionales el redan-
gulo de los medios fea igual al de los extremos ; y el rec-
tángulo de los extremos fea el mifmo en las dos propor^
ci9-
Libro VI. \ ' Ijj
dones fobredichas , por ícr los extremos los mifmos, ícrán
los dos rei5bngulos de los medios, iguales entre sí : luego
el reáiangulo de los fenos de SN , CA , es igual al reóhn-
culo de los fenos QP , BA -.luego ( 14. 6. EucL ) fuslad^
fon reciprocamente proporcionales, como el feno dp SN,
al feno de QP,; aási el feno de BA, al feno de.CA ; y alter-
nando , como el íeno de SN , que lo es del ángulo C , al
¿no de BA, lado opUefto ; afsi el feno de Qf , que lo esd^
ángulo B, al feno de AC, lado opueito.
' V PROP. IL Theor^ma*
En qualifuitra triángído esférico ^fidemode fas ^nguUs cae d
ferpendiculp a U bafa , hár^ c$n los l^dos dos angadús, verth
cales , tuyos fenos primeros fetm pflfonionaUs aonlos
fenos fegundos dé los ángulos fidne . . . ^
U bafa. (fig. 31.)
EN el triangulo ABC , fea el perpendículo AD, que for-
ma Ids ángulos verticales BAD , D AO , cuyas medi-
das fon los áreos HG, .GI ; y loí arcos Q^ , SN fon las me-
didas de los ángulos ABC, ACB (obre la bafa; yS\i$ cora-
plementiOS'fon lós^arcos PO , NM. XajDubien li de los qi|a-
drantes iguales HO, GF , fe quita el arco común GO,que-
dará OF igual a HG, medida del ángulo vertical BAD , y
afsimifmo , fi de los quadrantes IM , GE fe quita el arco
ccjpHin GM , quedará ME igual á IG medida del otro aa^
guio vertical DAC, Efto rupueílo,
Demonftr. Los triángulos ENM , EPO , tienen los ángu-
los E,y F iguales, »(4./¿fr.4.Tn¿o»0 y los ángulos N, y P rec-
t©sr: luego ( i. J. Trigon.) ferán proporcionales lojS fenos do
las hipotenufas con los fenos de. los perpendículos.
Como el feno de EM , ó GI fu igual , ü del angnlo CAD,;
al feno de MN, que es fegundo de NS,ü del ángulo ACft^
a&i el feno de FO , ó GH fu isual , u del ángulo BAD,
. alfeno de OP,que lo es fegundo de PQ,ü defangulo ABC,
Vi PRQPi
• _ _
§í6 Trat.VII.DelaTrigonometwa¿
* • *
PROP. in. Theorema.
In qudlquiera triátiguh fm fropmimales los fetws fegundús ii
l$s ángulos ymkaUs , qutfwmáelferftndicuU y cm
las tangentes figundas 4ie los lados.
E' <fei-)
N el fntfino triangulo ABC , es FI , complemento de
IG, medida del ángulo vertical CAD; y IC, es com-
plemento de CA : afiimii mo es EH , complemento de HÓ,
medida del ángulo Vertical BAD; y HB^ es complemento
del 1 ado BA. Ello fupueilo,
' Dftnonjiu Los triángulos FIG , EHB , tienen los angulas
E,y F, iguales ; y los ángulos H, I, redos : luego («•5.Tfif.)
fon los fenos de fus bafas proporcionales con las tangentes
de los perpendículos.
Como el (eno i • de FI, que lo es fegundo de IG , ü del án-
gulo CAD,
a iá tangente i. de IC , que lo es inunda de CA;
afá el feno i. de £H, que lo es íegundo de HG , ú del an«
guio BAD,
á la tangente i. de HB^ ^ue lo es fegunda de BAr
PROP. IV. Theorema.
los fenos fegimdos de los lados fon proporcionales con tosfemsfi
gundos de los fegmentos^ que hace el ferfendkuU
en la baja^(jig.li.)
\
EN el mifmo triangulo ABC , |los legmentos que el
perpendículo AD hace «i ía bafa, fon BD, y CD, los
■qualcs (iempre fe han de contar dekte cada ángulo íbbre
la bafa hafta el perpendículo , aunque élte cayga fuera del
ti'iangulo» También el arco £B , es complemento del (eg-
mento BD ; y el arco HB , del lado BA;; y aísimiímo FC,
es complemento del légmento CD ; y el arco IC, del lado
Demonfir. Los. triángulos £BH , FQ , tienen los angu^
los
LiBHo VI. ^ MTi
los 1 9 H, reS;os, y los ángulos F > y E iguales : (4^.Tng«i.)
luego (\i. 5. Trim. ) los.íenos délas hipotenusas ion pro-*
ytfecionales con los fenos de los perpendículos.
or.J
Como el (eno i« de EJB^que lo es inundo del (egmento BD^
al íeno i. de Btí, que lo es íegundo del lado BA;
HÍsi el (eno i.de FQque lo es fegundo del feemento CD»
al íeno x. de CI,^ que lo es fegundo del lado CA.
PROP. V. Theorema*
N el mifmo triangulo ABC , íi de los quadrantes íg]Lta-
_j les BP, Dp, íe quita el (egmento común DP , qued^t
, P, igual al (cgmyenco BD; y tí de los cuadrantes CN, D£,
(e quita el (egmento común DN, queda el arco EN , igual
al (egmento DC. A mas de elfao ^ el arco PO , es comple-
mento del arco OP > medida del ángulo B ; y MN, es con»-
píemento de NS> medida del ángulo Q lo qual fupuefto,
Dewoujlr^ En los triang;ulos EnM y FPO , los ángulos N,
y P, (bn redos; y E, F, iguales : luego (i.%^Trigon^ los fe-
nos de las bafas fon proporcionales con la$ tangentes de
los perpendículos ; y leri
Como el (eno i. de FP, ü del (egmento BI>, fu igual,
,á la tangente i» de PO ^ que lo es fegqnda de QP , u del
anguio B;
4&i el feno i • de EN » ü del fegmenta DC» fu igual,
á la tangente i. de NM^que lo esfegunda del arco AB^ii
del ángulo C»
«
PROP* VI. Theorema*
íast/mgemes de U$ ángulos vmkalts fin pofmionaks ^on Ím
tangmHs de hs fegmentas de U bafa. (fig.^u}
EN el miímo triangulo ABC Digo ,
nales U tangente del aog^oBAD
tangente del
íég-
í i8 Trat.VILDje LA Trigonometría.
icgmentb bD ; como la tangente ^el ángulo CAD > Á kt
tangente del fegmento DC.
De$nonflr. Los tríangulos HAG , BAD íbn re&angubf
en G , y D, y tienen el ángulo BAD común ; y arsimiTmo
IOS triangulo^ GAI , DAC ion reékangulos eo G^y D, y ti¿
nen el ángulo GAI común: luego (1,5* Trigan.) la tangente
d&GH á la tangente de DB tiene la razón mífma que ek
ieno de AG, al leño de AD: la tangente de Gl á la tangen-
te de DC tiene también la miíma razón que el íeno de AG
al feno de AD ; luego la miíma razón tiene la tang.^Qte de
HG a la tangente de BD,que la tangente de GI a la tangen*
tfe de DC : luego
Como la tangente de HG , ü del ángulo BAD,
á la tangente de BD , fegmento de la bala;
iísi la tangente de GI ^ ú del ángulo DAC,
á la tangente de DC fegmento de la baíá.
CAPITULO n.
THEOMMAS FUIfíDAldESTAlES PAUA LA MSOLVCIOJX
4e los triángulos fsfericos obliquangulos , tn que^fe dan
ionocidos fus tres lados , h fus tres
' ' ángulos.
PROP. Vn. Theorcma*
In qualefquiera dos arcos ^ afsifeha el feno total y al feno de U
- ^feniijuma de dichos arcos ; ik>mo, el feno de la femidíferencia
de los mifmos arcos a la femidiferencid de fus
fenos verfos. (/íg.40.)
Explicación. Sean los dos arcos AB , BC 5 y todo el
arco ABC ftra fu fuma : tirefe la cuerda AC , y dd
centro L fálga el radio LN perpendicular á AC ; y que-
darán afsi la cuerda AC , como el arco ANC divididos en
dos partes iguales e» F , y N ;>( 3.5. EucL ) conque AN íc-
rá laíemííuftíia de los arcos uIS y BC ; y AV^ el feno de dicha
fe-
EiiRo VI. »t^
iemtíuma : tómele el arco BG, igual iBA^y Cetl CG , la di^^
íerencia de los arcos AB, BC ; ó BG, BC ; y tirando la cuerda
jíGj quedará éfta dividida en dos partes iguales en D, ^or el
radio L^ que le es perpendicular por fer los arcos AE^ BG^
iguales , conque ferá DB , íeno verfo del arco AB ; y tirada
CE perpendicular al radio IB , (era EB , feno veríb del arcd
fiC; y £D, ó €Aí fu páratela, é igual , íerá la diferencia de los"
fenos veríbs DB , ÉB : dividafe por medio en H la reda CGi
3ue es cuerda déla diferencia CG;y lera Cíí,{enode lafemi^
iíerencia^ó mitad del arco CG, y juntefe la linea FH. Digcr
{>ues, que afsi feha I^ , radio á ^F, feno de la femifuma de
os arcos ABy BC, como CH, feno de la femidiferencia de los
mifmos, i CI, que es femidiferencia de fus fenos verfos.
Demonftr^ En los triángulos CFH , C AG , afsi íe ha CF i
CA,comoCH árOG;porquc afti como CF es mitad de CA<
^fsi CH es mitad de CG: luego ( 2.6.Eucl. ) FH,AG fon pa^
ralelas: luego (27. i.JEucl.) los ángulos M,I, Ion redos igua-
les,como tambiiep ion iguales los ángulos CHI , CGM : lue-
go los triángulos CIH, CMG, fon eóuiangulos: luego ( 4.6.
Eucl.) afti como CH, es mitad de CG, es CI mitad de GM;
es pues O , femidiferencia de los fenos verfos. Ello fu-
}>uefto , los triángulos AFL, CM, fon equianjgulos, porque
os ángulos F, I, ion redos ; y el ángulo ALN, es de tantos
grados como el arco AN, por formarfe en el centro L ; y el-
angulo AGC, por form^fe en la circunferencia, es de tan-
tos grados como la mitad del arco AC, que es también AN:
^ ao.5.EucL ) luego el ángulo ALF,es igual al ángulo AGC;
y fíeñdo ¿fte, como dixe , igual al ángulo IHC , es también
el ángulo ALF, igual al IHC : luego los triángulos AFL,
CIH , fon equiángulos : luego ( 4.6.EucL ) fon fus lados
proporcionaíeSé
Como AL radio,
á ÁF, feno de la femiíuma de los arcos AB^ BQ
íjiísi CH, íeno de la femidiferencia CT de dichos arcos,
á CI , femidiferencia de ios fenos verfos DB , EB de los
niiimos*
CO-
tíO Trat.VII. De la Trigonometría.
^ • • ■
COROLARIOS.
t T7N qualqéerd triangulo infirito en el cinido , fon Us
Ij mitades de fus lados medios poforcimales entre el tár-
So y y la mitad del perpendículo : como en el triangulo ACG ; afsi
fe ha el radio AL a AF^ o FC , mitad del lado ACi como CH , mitad
del lado CGy aClj mitad del perpenéculo CM. confia de lo de--
monftrado.
2 Afsi fe ha el quadrado del radio , al r^üanguU hecho del
feno reno de la femifuma de dos arcos , y del feno reSo de la fnm-
d^erencia de los mifmos ; como el diámetro a la diferencia de los
finos verfos de los mifmos arcos. .
Demonjir. Siendo , como queda demonfirado, , el radio al fent^
ie la femifuma de dos arcos , pomo el feno de la femidiferencia de
los mifmos arcos , a la femidiferencia de fus fenos verfos : feríír
( i6.6.EucU ) elre^angulo hecho delradio , y de la femidiferencia^
ie los fenos verfos ^ que fon los extremos , igual al redangulo hecha-
de la fenúfuma^ y femidiferencia de los arcos y que fon los medios^
y porque el quadrado del radio , al re£tdngulo , cuya altura es el
radioyifu bafa la femidiferencia de los fenos verfos y fe ha como el
radio a dicha femidiferencia ^ o como todo el diámetro a- toda la,
dicha diferencia^ fera el quadrado del radio al reSangulo hecho de
los fenos de la fuma , y femidiferencia de los arcos y como el diante^
tro a la. diferencia de los fenos verfos de los mifmos arcos.
PROP. Vni. Theórenaa.
In qualquiera triangulo esférico fon proporcionales. '
tíreHangulo hecho de los fenos de los lados y
. al quadrado del radio;
€omo la diferencia de los finos verfos de la bafa , j diferencia de
los ladoSy
al feno ver jo del ángulo vertical, (fig. 49. )
Explicación y y preparación. La mayor dificultad de eftos
Thcoremas cónfifte en la diípoficion de las figuras,
que no pueden baftantemente expreflar íiis términos por
caer unas lineas en la fuperficic de la esfera ^ y otras den-
uo«
. ti^Ro VL til '
%fó. Para mayor claridad» las que fe Jian de confiderar den-
tro, van notadas .con puntos; y las <)ue en la fuperñcie , coq
liaeaS' íeguidas.
Sea pues el triangulo esférico ACB , cuya bafa fupongo^
ftr CB, y fu ángulo vertical A, Defde B , como Polo , con
la ^iftancia BC , detcrivaljb el circulo DCY , y ferán afsi
BD, como BY, iguales á BC ; y défde A , coino Polo , con
la diftancia AC , de(criyafe el circulo menor ECM , parar*
lelpal máximo ÑGO ,.y fcrá AM igual al lado AC >y ppr
conlíguiente ferá BM, diferencia de los lados AC, AB; y la
MK perpendicular al radio XB , íera el fenp redo de di-
cha diferencia , y fu (eno verlo ferá RB. Tijr efe el diáme-
tro DY , del circulo DCY ; y porque el plano de ette cir-
íjuIq es psírpendicular al plano AN Y , ferá fu exe BX per-
pendicular al plano de DCY ; y por conlíguiente ( íUfin. 5 .
iíéa I. Eucl. ) ferá CL perpencíicular al radio XB , y feno
redo de la bala CB ; y LB , feno verft> de la mifma bafa:
conque LR , ferá la diferencia de los íenos verfos LB , RB;
y tirada BV , perpendicular al radio AX , ferá feno redo
del ladb AB ;y MI, también perpendicular á AX , ferá fe-
pb redo del lado AM > ü de AC fu igual ; y continuando
el arcó AC , hafta perficionar todo el quadi anee AG , fe
eonfiderará la CP , perpendicular al diámetro NO , y lera
feno redo del arco GO ; efto es , del ángulo vertical CABy
i quien mide ; y por configuiente ferá PO , feno verft> del
mifmo arco GO , y de dicho ángulo vertical CAB : y por-
que el plano, aísi del circulo paralelo EC-M, como deí
ptro circulo DCÍ , ion perpendicularcís al plano del cir-
culo máximo ANY, ferá fu común feccion cz (19. 11.
EucL ) pernendicular á dicho plano ; y por configuiente al
diámetro EM; conque ZM, en elle diámetro es feno ver-
fo del mifmo ángulo CAB , como ló. es el feno vcrfo PO,
en el diámetro NO , quedando ftmejant emente cortadas
NO, EiM en P , y Z, por el paralelifmo de los planos NGO,
ECM.
Demonftr. Por fer VB, IT paralelas, los triángulos VXB,
IXT, fon femejantes; ( 2,6,Eucl. ) y tanabien lo fon por la
mifxoa razón ZMK, ZTL* Aisimifmo , los triángulos XlT,
,\ . ZLT,
^
»
123 Trat.VII. De la Trigonometría;
ZLT , porque tienen el ángulo T común ; y los anáülo^
L, I, Fedos y Con equiángulos : luego ( ^f .6.£uc. ) ion ftme--
jantes: luego ( 2i.6.Euc. ) los quatro triángulos VXB^XT,
ZTL^MK,fon femcjantes : luego íus ladoS fon proporción
nales. Comparando pues los triángulos ZMK, y VXB , ferá
como MK a MZ; alsi BV á BX ; y porque las cuerdas, y le-
ños de un mi (¡do ángulo en circuios diferentes tienen una
mifma razón con el radio , ferá el íeno verfo MZ, al íeno
veríb OP, como el radio MI, al radio OX, fon pues pro^
porcionales.
MK á MZ, como BV á BX.
MZ á OP, como MI á OX.
Y porque ( ^i.ó.^iic.) los redangulos hechos de lados
proporcionales , fon también entre si proporcionales , (erak*
El reéhngulo hecho de MK, MZ,
alredangulo hecho deMZ, OP;
como el redangulo hecho, de B V, Ml^
al nedangulo hecho de BX, OX.
Y como los reftangulos hechos de MK, MZ, y de MZ,
OP, tengan una mifma altura MZ ; tendrán entre si la miC-
ma razón que fus bafas MK, OP: luego el redangulo h^ho
deMK, MZ, al hecho de MZ, OP, ferá como MKáOP^y
haviendo la mifma proporción entre el redangulo hecho de
MK, MZ, y el hecho de MZ , OP, que hay enere el redan-
guk) hecho de BV, MI, y el hecho de BXj OX, ferá el rec-
tángulo de BV, MI, al redangulo de BX , OX , como MK,
á OP ; pero el redangulo de BX , OX ^ es quadrtdo hecho
de los radios iguales : luego ferá
Como el redangulo hecho de BV, MI y íenos de los lados
AB,yAM,óAC,
al quadrado del radio OX; ,
afsi MK, diferencia délos fenos verfos de la bafa CB, y de
BM, diferencia de los lados,
á OP, íeno verfo del ángulo vertical CAB»
PROP.
! )
LiBKo VI. xaj
I*-
PROP» IX. Theorema.
Inqual quiera triangulo esférico Jpnproforcionalesi
Qom H resiguió hecho ielosfenos de los lados y que comprehen^;
^ den el anguloy
al quadrado ael ráibo;
afsi el reHangulo hecho delfem de lafemifuma de la hafa , j dife-
rencia de los lados y y delfeno de lafemidiferencia que hay
entre la bafa^yU diferencia de los lados y
al quebrado delfeno de la mitad delangulo vertical. (^fig*$o. )
Explicación y y preparación. Sea el triangulo ABC ; y to-
mando como antes BD , BY Iguales á la bafa BC , y
cortando AM igual al lado AC , ferá BM diterencia de los
lados AC, AB ; yfiendo'BD igual a la bafa BC, ferá el ar-
co DBM íuma de la bafa , y de la diferencia de los lados ; y
dividiendo al arco DBM por medio en £, ferá DE la íemi-
f^ma de la bafa, y de la diferencia de los lados ; y el íeno
redo de dicha femifüma ferá DQ : y íiendo BY igual á la
bafa BC , íerá MY diferencia de la bafá , y de la diferencia
BM de los lados ; y MZ íerá feno redo de la femidite-
rencia. .
ConiEderefe aora el plano del ícmicirculo NGO , per-
pendicular al plano del femicirculo NEO ,.5y el arco GO
ferá la medida del ángulo vertical CAB , y lá perpendicu-
líir GP ferá fu fenoredo, y PO fu feno ver fo, y la reda GÓ
es cuerda del arco GO ; y por configuiente , fu mitad SO
lera el feno redo de la mitad de dicho arco GO , y de U
mitad del ángulo vertical CAB ; y tirada SF perpendicular
al radio XO , ferá FO mitad de PO , afsi como SO es mitad
deGO. ( 2.6.Euc. ).Efto fupueíto,digOj que elnñangulo he*
(bo de BF, MTyfenos de los lados ABy AMy al quadrado del radioy
es como el rectángulo hecho de M^ MZ úfenos y el uno de lafemi- '
fuma de la hafayy diferencia de los lados; y el otroy feno de lafemi-
diferencia que hay entre la bafa , y la diferencia de los lados , al
quadrado de sOy feno del femiangulo vertical CAB.
Demonjir* La mifma razón hay de MK á OP , que de
MH á OF , que fon fus mitades ; y fiendo el redangulo he*
cho
Í¿4 TrAT. vil Di la TRICaONOMETRlA.
cho de MH, OX, al hecho de OF , OX , por tener una mit
ma altura OX, como la baía MH, a la baía OF, ( i6.Eud,)
tenduán ettos redangulos la razón que hay de MK á OP :'y
teniendo (por la antee. ) el reftangulo hecho de B V, MT- y
el hecho de BX , OX , la mifma razón de MK á OP , feráa
los quatro reftangulos proporcionales , como fe figiic.
Como el reSangulo de BF, Mr,
al reílahgulo , b quairado de BX, OXi.
dfsi el reñangulo de MH, OJC,
d reSangulo hecho de OF , ox.
A mas de efto , porque MQ^, MZ , fenos , aquel de la fe-
miíuma , y éfte de la femidiferencia de los lados , fon ( 7. >
medios proporcionales entre el radio OX, y MH, femidife-
rencia de los íenos verfos de los mifmos arcos , íerá ( 16.6.
Eucl.)el reétaneulo hecho de MQ» MZ, igual al redaneu*
lo hecho de MH, OX. También en el triangulo XSO, por
fer el ángulo XSO redo, (j.j.Eucl. ) aunque la figura no ic
reprcfeníe recio, es OS,media proporcional entreOF, OX;
( 8. 6. Eucl. ) y por configuicnte j el quadrado de OS , es
Igual al redangulo hecho de OF , OX : luego fi en la pro-
porción antecedente , en lugar de los reétangulos de MHL
pX , y de OF , OX , fe fubltituyen el reftángulo de MT^
MZ, y el quadrado de OS, ferán también proporcionales.
Corno el reaangulo de BV, MTy hecho de los fenos de los
lados AB, AM, M quadrado del radio BX ; afsi el redanoido he-
cho de Mr, MZ ; de los quales, MT , es feno de la femifuma
de la bafa , y diferencia de los lados ; y MZ , es íeno de U
femidiferencia aue hay entre la bafa, y la diferencia de los
lados; al quadrado de OS, feno de la mitad del ángulo yqrti-
cal Vi^Ao» ...
^ *KQf.
PROP, X. Theorema.
. Iñ qitdqiáera tnjwg^ esférico fon proporcionales: ,
Cámo el reüangttío hecho Je los fenos de los lados , que wnfter
benden el ángulo vertical^ . . ;
. al iModrado dehm4iOi
mfsi el reSangulo hecho de hsfems da I4S diferenüasyque hay en-
tre, los dkhos lados ^ y la femifumade los tresy
éd quadrado delfeno del ¡emiangulo vertical, {pg^^u)
» • . . < . ,
Explicación^ y preparación. Sea el triangulo ABC, y'íeáa
BA, BC fus lados , y AC fu bafa. Üigo , que íi fe lü-
S0aq fus tres ladp^, y 4e 'Ift imitad de eíialuma ie reílaq d^
por sí Jos lá^os BA, BC , para facar fus diferencias de dicha
femij^fna , íerá el re^at^gulo hecho de hs fenos de los lados BA^
BC , al quadrado del ra¿Í0y como el reílangulo hecho de los fenos de
las diferencias halladas entye^ los.ladof B>, ^^J lafemifuma de
los tres lados , al quadrado delfeno delfemiangulo vertical ABD^
Hag^ile Jos arcos ,Bp,J^E, iguales al ladoJE^Cj-y ferá Aí>
la diferencia de los dic|^^ la^ps : tomefe AF, igual á la ba-
ía AC,y añadafe FH, igual ál arco AD; y cortefe FI, igual
^ ladi^ BQ'j y, ukimaiiieme, dividafe darco FD,por mor
tlioen ó. —
Demonfir.. El arco AH , fe compone 4el arco AF , igual
^ l^k^bafa AC, y del arcQ FH, igual a AD ^ diferencia de los
lados : copqu^ dicho arco AH, es la fuma de la bafa ,i y de
la diferencia de lp3,ladoj;:y por co^iiíiguiente AG, mitad de
J^^^ítA la femifuipa de ía baía , y diferencia de los lados^
^'ambien el arco BAfI , íe compone dd arco BA y que ^^
un lado dd tri¿tf)gulo , del arco AF , que es igual á la bdíai
Apj y dd arco FI , igual al lado BC : luego dichq arcó
3AFI , Gs Ja fuma, d&los tres lados : luego fií j^itad BG , 9
GI 3 es la iemifuma ^e los tr^s ladps del triángulo : ^uego
AG, ( que diximósi^fer Ja femifiíipa de Ja. baía^^y diferendi
de los lados) es tamSien l^a diíerericia dd lado AB, de la ic-
mifuma BG de los tres. Afsimifmo GD , que es íemidiíe-
rencia de la bafa AF , y diferencia AD de los lados , es
jjuntamente la diferencia de el ladQ BC 9 o BP , de la
fkxxúr
# * •
Trat. VII.'De la Trigonometría;
lemifuma^BG de los tres lados. Efto íupuefto,
Siendo por la piopoficion anteced. el rcaangulo. hecho
de los leños de \h$ lados BA, BC^quecomprehenden d án-
gulo B, al.quadrado del radio , como el redangulo hecho
de los (enos , el uno de la íean^uma de la bafa , y diferencia
de los lados ; y el otro de la iemidiíerencia de labaia,y di-
ferencia de los lados , al quadrado del feno de la mitad del
ángulo vertical ABC, ferán también proporcionales ios íi-
guientes*
Como el reSdngulq hecho de los fenos de los lados BA^ BC, que m-
* €lujfen el anguh B,
al quadrado del radío;
afshl nüangulo hecho de los fenos de las J&ferenáasyque hay enm
los lados BAy 6C, y la femifuma de los tres lados.
al quadrado del feno de la mitad del ángulo vertical B.
CA^PITÜLO "ni.
BN QVíE S£ BESVELVEN LOS TRlAtJGULOS ESFÉRICOS
iAltquanguUns.
P Ara. proceder con mayor -claridad , advierto ^ que las
partes que íe coníideran en qualquier triangUky (btt
icis ; es á faber , tres ángulos , y tres lados : entré cada dos
lados hay un anguk), y entre cada dos ángulos hay un lado:
por lo qual aquellas partes del triangulo , que entre si con-
tienen otra, fe llanaarán Alternas \ y las contenidas^Iiifmfif*
lüas: y aísi dos lados ion partes alternas , porque tienen in-
termedio un ángulo ; y afsimifino dos ángulos ion tambica
partes alternas, porque tienen intermedio ün lado. Eíto fu-
pücllo , todos los problemas obliquangulos fe reducen \
tres efpccics : en la primera fe dan conocidas tres partes
alternas: en la fegundados alternas, y una intermedia: ^n
la tercera dos alternas , y iin^ opueíta*
i,
f \ t
f '
j »
1-. .':
%'h
XiiBRo yi. aa^
1ítfelu(Í0tt Je los trumgáos esféricos obüquanffdos teu^iuftdá»
tres fártes alternas.
PRÓP. XI. Problema»
«
Dáoslos tres Jados dt M triangHk tsftrm » h^Unt qualqím
ángulo.
ESte problema , ^ quien muchos Autores llagan , admi-
rabie y le puede relblver de diferentes maneras: conten-
tQQie con poner, acpi la methodo de Adriano Uiac, que es
Ja mas fácil , reoütiendo al Ledór curiólo al Padre Disck^j
es , que en el ftblój dé la Trigmometrid %t¡roff 8^ p^opon^
y demueítra ocho modos diferentes de relolverle. '
Sea pues dado el triangulo ABC , en el qual fe dan ílis
tres lados : el lado AB es 5 5. gr« 30. min. el lado AC es 54.
gr.ip. min. y el lado BC es 40,gr.ip.fnin* y íe bufca el an«
guio A. .
Ofcracion* Súmenle losTtres lados : d^ la mitad de eíta
fuma reftefe de por sí cada lado de los que comprehenden
el ángulo que fe bufca, -y guárdenle* las diferencias, ó reti-
dnos. . Tomenfe los complementos logarithmicos de los
ienos de los fobredíchos lado& que cpmprehenden el apeu-
lo ; tomenfe también los logarithmos de los leños de jla^
dos diferencias. halladas: fumenfe todos , y la mitad d(^ Ja
fuma ferá el logaríthrno del fcno de la mitad del angu^
que le buíca , como fe ve executadq en la difpoficion íi^
fíente. Advierto , que de la luma de los logarithmos oo
le quita el radio^como.en otras ocaíipnes^ por la ra;ton que
luego diremos.
»
Lado BC , 40. lo.m^
L^o AB. ; 55. 3o.m. C.L.0.084006J. ]
LadoAC 54* ij.m* C.L^o.o^ojoSj. ,
Suoda de los |,. lad. 149. 59dii«
» r • - • . S
SeíQí^
iit Trat.VU. De X.A Trigonometría;
Semifuma. 74. 50.111.—
>
Dífer.deAB 15. 29.111.— 9.523 51^8,
Viftr.deJC . 2a 4o.ñQ.-^ 9.547856Í,
2
Snma de Us logárithmos. 19. 2454882.
Smifuma: feno de 24. 48:111.' ij.f. 9.6227441. '
• - ■ ángulo A. 49. 56.111. 26.r.
- El alngulo de 24. gr. 4$>. m. y 15. ftgundos, es la mitskd
del ángulo A, queíc biifca : conque fii duplo 49. gr. j6.m.
y 26, iegundos, es el ángulo A. •
« I » .<
í?
«. 4
: Señionftr. Por la frapof 10. íbn proporcionales : co-
itio el redangulo hecho de los fenos de los lados AB,' AC,
Site comprehenden el ángulo A, al quadrado del radio, aí^
reéferígulo hecho de los íenos de las diferencias de dichos
ikdos a la fenrifuma de los tres, al auadrado del feno deJ íc-
teiangulo vertical : el rcétangulo de los ftnos de los lados
AB , AC , íe hace fumando Ibs logapithmos de dichos
lados; y el redangulo de las fobredichas diíereilcias, íe for-
ma fumando fus logarithmos , como confta del CoroL de la
pr0p.5.del/i^. 2.y elquadrado del radio , fe halla duplican-
do fu logarlthmo (CoreL de la fm:6. líb. 2. } Será pues la
difpQÍicion de los pi-oporcionales (obredicHos la figuiente.
Como el reftang. «AB 55. ^0%fti. ' ' 9*91 599 18;
délos fenos de t AC 54. I9«m«^ 9»9oj>69i5.
Al quadtdel radio 2.0000000.
Afsi
^
t
I
\
\
%
- f
V
--4->M
TíPiíw íír.
Of#-
I—
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H
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\
•*» I
. I
I
r
Libro VI* laj
Afsi el refiíangul» DiflAB 19.19jn.JL p.ji j ji£g.
delosfenosdc c} *
Dif.AC 10.40.1n* JL 9.J478y66.
2
Al quadr. del íeno del (e^
xniang. A i4«49.in.'^^ 19.1454881.
Luego fi fe fuman los Logarithmos tercero , quarto^ y
quinto ; y de la fuma lereíla la fuma de los Logarithmos
primero, y legando, el reliduo lera el Logarithmo del qua-
drado del feno de la mitad del ángulo A : (3iJi¿.i.) luego
íi' en lugar de los Logarithmos primero , y fegundo, fe to-
man fus complementos Logarithmico$,la fuma del' I. 2. j.
4» j, menos el duplo radio ( por haveríe tomado dos com*
f>Iementos al radio ) dará el Logarithmo del fexto termino:
uego no hay para que efcrivir el tercero termino^que es el
diiplo radio ; y por coníiguiente , bailará fumar los com-
|>l¿mentps Ldgarithmicos de los lados con los Logarith*
xnos de las diferencias ; y la íiima (era el Logarithmo de el
quadrado del feno de la mitad del ángulo A, que fe bufcaí
luego la mitad de la fuma , ferá el Logarithmo de la raíz;
efto es^del feno de la mitad de dicho ángulo , que es toda
nueftf a pradica.
PROP. Xn. Problema.
En €l triángulo esferic» ^ dados los tres ardides , baUat
qnalquier ladoé
^T7 N el miímo triangulo ABC , fuponganíe conocidos fus
J[l tres ángulos , y le buíca el lado BC*
Tomo ñu X Of#-
230 Trat. vil Pe la Trigonometría.
óferacm. TomeTc el complemento al íemicirculo de
qualquiera de los ángulos contérminos al lado BC y que Ct
bufca; como por exemplo, tomeíe el complemeopo del án-
gulo C ; y haciendo cuenta que el ángulo Á , es lado; y el
ángulo B, otro lado; y el complemento íbbredicho del an>
guio C , otro lado : hagafe la mifma operación de la propé
paflada y y quedará hecna la refolucion.
Demonhácion. Por \aLjrof. 14. Itb. 4. en los polos de los
arcos del triangulo ABC , fe forma otro triangulo , cuyos
dos lados fon iguales á los ángulos A, y B ; y el tercer lado
es igual al complemento del ángulo C, al femicirculo;y los
dos ángulos de efte (egundo , Ion iguales á Ips lados AC^
BC; y d tercer ángulo es complemento de AJB , al íemicir-
culo: luego refolviendo por la antecedente elte fegundo
triangulo , íe fabrá el valor del lado BC*
Hifilumn de hs trianguhs esféricos obliquangules , en que fe dan
dos fortes alternas con una intermedia.
CAfi todos los problemas que íe liguen , uían en fus re-
íbluciones del perpendiculo , con el qual queda divi-
dido el triangulo obíiquangulo en dos triángulos redangu-
los ; y ceníjguientemente necesitan de dos operaciones^ de
las quales y u primera , íirve para hallar el íegmento de la
bafa^ ú del ángulo vertical que cona el perpendiculo ; y la
íegunda , concluye la operación , hallanao el lado , o angu-
I9 que íe bufca ; y para proceder con acierto , íerí conve-
niente en algunos caíbs atender á las reglas (iguientes , to-
cantes al conocimi^to de los ángulos , y diipoíicion det
perpendiculo , conque fe quitará la perplejidad que puede
ofrecerfe algunas veces. *
REGLAS
°. «■
^ Tara detemánar el comimento de los ángulos, (fig. 5 j,.)
z 0*1 los lados AB ,' AC , fueren quadrantes , el ángulo
i3 vertical A , íerá de la mífma afección , que la baia
BQ
^ LlBR o VI. IJI
BC ; efto es , fi BC es guadrante, ferá ¿1 ángulo A redo ; ti
BC es mayor que quaclrante ^feíi obtufo; y fí menor,agu-
do. La razón es , porque en eíté caíb la baía EC es mecüda
del ángulo A.
2 Si los lados AB , AC no fiendp quadrantes,, fueren de
una miíma afección ; ello es , ó los dos mayores , ó los dos
maiores que uh quadrante, y la bafa no fuere menor que el
quadrante, el ángulo vertical A íerá obcuíb.
Dí'Wí?/?^r.Supongamós,que AB,AC (fig. 53.) ion mayores
que el quadrante,y la bafa BC no fea menor que quadrante:
luego ( 3 5,4, ) los tres ángulos Ion obtufos: luego A es obr
tufo. Supongamos aora , que los lados AB , A(5Íbn meno-
res que quadrante : luego continuandofe halla que concur-
ran en D , íeran BD, (ÍD mayores que quadrante; y como
BC no íea menor qué quadrante , íerán los tres ángulos del
triangulo BDC obtufos : luego D es obtuíb ; y Por iconfi-
guience A, gue es igual á D , también ícrái obtuío.
3 Si los lados de uñ triangulo fueren de diferente afec-
ción ; efto es , el uno mayor , y el otro menor que el qua-
drante, y la bafa no fuere mayor que quadrante , el ángulo
vertical íera agudo.
'Úemonflfl Supongamos , que el triangulo EFCí íea. rec-
tángulo eq.F , y que fus lados FO , FE íean el uno rnayor.
Íei Otro menor que guadrante : luego ( 28. 4. Cafo 5-;^^
afa , ó hipoicnuu EG íerá mayor que quadrante j V ^^
chp mas íi el ángulo F fuere obtuío ; luego para que no lea
mayor que quadrante íehavrá de -acortar, como por exem-
plo hafta H, de que neceíFariamente reíulta el HFG,rtienor
que redo. - la ba-
.4 Si Ios-lados fueren de uha^ifma eí^ecie., Y jL^ ^¿^
^ menor que el quadrante, el ángulo vertical P4. ^^nfc
fto : lo qual fe averiguará dcfte modo. Multipl¿^
fa
recio
entre si los Teños fegunJcs de los lados , y el pí*^^^ .^j^aal
tafe por el íeno total, ó radio ; ^ íi lo que falieré ^^^í^^¿'¿tol
alfeno fegunijode la bafa, ferja el, ángulo vertical ^ ^^
]La razón es, porque en el triangulo réólangulo ^ *^ el íc-
cl feno total , ó radio al feno fegundo de AB ; ^^"^^onft*
np fegundo de BC, al feno fegundo de AC , coino ^ ^^^
X *
132 jTr AT. VII. Dt L A TrIG^I^OMET«.I A*
de lo demóníftrado en hprop.io. y otras: luego lí por la re-
gla de tres fobredichafaleefte-feno íegundo , ferá el ángulo
vcnical redo , y el triangulo íerá ré&ngulo ; pero de otra
fuerte podrá íer agudo, ó obtuíb.
Con efias tni/mas reglas fe jodri conocer en Cáfo de dudd , d$
ueeffu'tefta qualquiera de los demks ángulos , fufoniendo fer
afa del triangulo , el lado o fue fio al ángulo que fe exdmina»
i
REGLAS
Tara el perpcndicuío»
X "TJ N tjualquiera triangulo , como por cxemplo BAC>
jji (fig-de la prop. figuiente) el perpendículo AD fiem-
pre ha de caer de la extremidad de un lado conocido AB,
lobre el otro BC : de tal fuerte , que ambos lados AB, BC,
incluyan el ángulo B conocido , para que afsi haya en el
triangulo ADb , á mas del ángulo reóto D , dos cofas co-
nocidas 5 es a faber , el lado AÜ , y el ángulo B.
Notffey que en algunos problemas fe halara foderfe echar d
ferpendUulo con las condhtones fobredicbas ^de dos maneras; y de
qualquiera que ufe el Analifta obrara bien ; menos en dosy en que
no tendrá effe arbitrio ; j en ¿fias advertirerhos en fu lugar , de
que lado fe baja de tirar el ferfendiculp.
z Si los ángulos B , y C fueren de una mifma eípecic,
el perpendicuio cae dentro del triangulo ; pero íi fueren
de diferente ¿fpecie , cae fuera : queda démonftrado en
la frof. 30. lib* 4. de fuerte., que íi el ángulo C fuere agu-
do, y B obtuíb, el perpendicuio caerá fuera mas allá de B;
y íi B fuere el agudo , y C el obtufo , caerá fiíera mas allá
del ángulo C, La efpecie de los ángulos íe averigua por las
reglas antecedentes.
Para proceder con claridad en los problemas íiguien-
tes , notaré fiempre el triangulo con las tres letras A,b, C,
en elta forma , que la A íiempre íe pondrá en el ángulo de
quien fe ha de echar el perpendicuio : la B en el ángulo
dado adyacente al lado conocido ; y la C al tercer ángulo;
y últimamente en el punto en que el perpendicuio corta la
oaía con ángulos retíos , fe pondrá fiempre la letra D.
También para mayor claridad en cada problema fe deli-
aea-
Libro VI. .IJ5
,oear2l el triangulo en tres formas , íegun las tres maneras
en que puede caer el oerpendiculo , ó dentro > ó fuera i la
una parte , ó fuera á la otra.
• ♦
PROP. XIIÍ. Problema.
I» el triángulo esférico obUquanguloy dados dos ángulos ^j el Udo
mtermedio^ bAllar el otro ángulo.
EN el triangulo obliquangulo ABC, fe fuponen conoci-
dos los aiígulos BAC ioi.gr.8.min,y B 4q.gr.i z.m.y el
lado intermedio AB 36.gr.o.min.y íe bufca el ángulo ACB.
é^^D B
. ofer ación* i. Eñ el triangulo BAD , dada la hipotenuía
AB, y el ángulo B, íe bulca el angujo BAD ^r ¡^l propofS.
ÜÍ.5.
Como el fino todo 90» o.m* CX. o»ooooooo«
al fino zJel lado AB: 56. o.m. 9*9079$76»
dfsi latangMlang.B 40. i2«m. 9.9260904..
k la tang.zMl ang.BAD 55* jS.m.. 9.834848o*
ESte ángulo hallado BAD , íe reíta del ángulo dülo
BAC en el ínangulo i. para faber el ángulo DAC,
por caer el perpendículo dentro del triangulo : pero en el
triangulo 2* el ángulo BAD fe íiima con BAC , para faber
el ángulo DAC , por caer el perpendículo fuera a la parte
del ángulo B : y en el triangulo 5. el ángulo dado BAC íe
reíla .cfcl hallado BAD , para tener el apealo C AD , por
caer el perpendículo fuera á la parte de C;, como fe ve cla-
ro en la figura. Sea pues
Regla general. i« Ojiando el perpendículo cae dentro
del
1 34 Tr AT.VII. Dé la Trigonometría^
ddtriangalo, el ángulo hallado (e relb (iempre del ángulo
Vertical conocido , come en el triangulo i.
2 Qyando el perpendiculo cae fuera del triangulo , fi
el otro ángulo dado'b., (iiete obtuíb, conio en el triangulo
2.(e fumará el ángulo hallado BAD con -el ángulo verti-
cal dado BAC ; pero íi dicho ángulo dado B fuere agudo,
(e reftárá el ángulo vertical dado BAC, del ángulo hallado
BAD) como en el triangulo 3. Y obrando de elta íuene,
(e (abrá en qualquier caló délos referidos, el. ángulo DAC,
de quioi fe necefsita para la fegunda operación , que con*
*cluye la rdfolucion del triangulo ; y eflro oiifmo íe obfer-
vara en los (egmentos de la bafa.
Siendo pues en el triangulo i. el ángulo hallado BAD
55/gr/ jS^m. y el ángulo vertical dado BAC 102.gr. 8..m,
reliando aauel de élb, queda el ángulo DAC 46.gr, jo.m.
con lo qual íe paílará á la fegunda operación.
OptrcMon 2* Ea el triangulo BAC (2.) fon proporciona-
les»
Cmo'dfem i. del áng.BAD
dlfeno I. del ang. CADy
dfsielJefiúi.delang.By
átfeno zJel ang.ACD.
Advieita(e,queel ángulo ACB , y el ángulo ACD en el
triangulo í.y 2. es unmilmo ángulo; pero en el tercero es
diferente : y afsi, haviendote bailado el ángulo ACD , fe ha
de tomar fu complemento á 180. grad. para tener el ACB
qi^efebufca*
•
PROP. XIV. Problema.
tn el tfiángfdo esférico obliaudnguh , dddos dos lados , y el anffúé
intermedio y íalUr qualqmera anguh.
ENeftccaíbel perpendículo ncccflariamentc deve.caer
del lado opueftoal ángulo que íebufca , tirándole
iie aquel ángulo , que ni fe bufca , ni fe fupone conocido.
Sfea pues el triangulo i. ABC, en el qual fe fuponcncono-
ci*
55-
j8.
CX^o.oS55i34.
46.
JO-
9.860(622.
40.
12.
' 9-88i9774-
47-
JI-
9.826Ü5JO.
Libro VI. ijj
cidos los lados B^jtf.gr. o. m. y gC,4^.gr> I2.in.y el aogu-
lo B,i|o.gr. 1 2.ai. y fe pide el ángulo C
Operacm i. En el triangulo redangulo ABD , dada la hi*
poteiiufa AB , y el ángulo B, hallefe ( i^lib. 5* ) ^' fegitícnto
Bb.
Como el radio 90. ©•m, C.L. 0:0000000.
al fetio 2. del ang.B^ 40/ 12.n1. 9.8829774.
dfsi la tang. de AB 36. o.m. • 9.^612610.
\la tang. de BD. 29. 'i.m. 9.7442384.
• Hallado el (egnento BD, qtieda conocido en ^alquiera
de los tres triángulos el arco , ó fcgmento CD : en el i. reC-
tando BD de BC : en el 2. fumando BD^ con BC : y en el 3.
Feftándo BC de BD. Reltando pues en el triangulo iv BD,
29. 2.m. de BC, 44. 12.n1. esCD, 15. 10. in. con lo que f<;
paífa á la (eguiíaa operación.
Operación 2. En el triangulo BilC j (5.) (bn proporciona*
les.
Como el feno de BD 29. 2.m. €.^0.3139733.
• ai feno de DO, ij. lo.m. 9.4176857.
afsi la tang. 2. de ABC 40. 1 2.m. 10.073 109^.
ala tang. 2. de ACD. 57. 28-m. 9.8047666.
Adviertafe, que el ángulo ACD^ y el i!CB , en los» trián-
gulos i. y 2. es uno mifmo; pero en el tercero es menefter
tomar el complemento á i8o.gr. del ACD hallado , para te-
ner el A€By que fe bufca.
PROP.
1^6 TRAT.Vn.DBtATRIGONOMETRIAí
PROP. XV. .Problema.
Dados dos tddús , j el anguh IntermediojháUdr el otro lado.
EN el triangulo i. JíB(\ts el lado ABy }<í. gr.o.m.y BC,
44.gn iz,pi, y el ángulo », 40.gr, x z, m. y fe pide ú
lado^C*
^D B
Ofer4(m i . En el trianguío reaaqgulo ABD, para hallar
ellcgmcntoBD, fon proporcionales como en la propofi^
cion antecedente. ^ ^
Como ri radio ^. o.m. CL.o, oooooóo.
.al feno 2. del ang. B} 40. i z.tn. 9.8819774.
a/st^ latang.de Áñ ' }6. o.m. . 9,8612610.
á la tang. de BD. 29. x.na. 9.7442 384.
HaUado eí fegmento BD , queda fabklo CD , como en
J» pfop. pallada, que fersi jí.gf. lo.ta.
Oferaim a.En el triangulo BACy (4.) fon proporcionales.
Ctm el fino z. d( BD 19. z.m. CUcoíSiíoq.
alfinoLdeCDi ly. lo.m. 9.98460? i.
áfstMjem x.tU AR 36. ccn. 9.9079576.
4//ÍW Z, d« AC, %6, 4y.nj. 9.9J08818.
PROP. XVI. Problema.
£» ti trtmguU tsferUi obUqum^ulo , dados dos angidos^ y «t la-
do haermedioy hallM qualqmera de los üdos
ofuejios. .
ADyierto , que en efte cafo , el perpendículo neceílá-
neraente ha dé caer de aquel ángulo dado, que es
ad-
Libro VL Í37
adyacente al lado que fe bufca. Sea. pues el triangulo
ABC^ en quien fean dados el ángulo A , ioz.gr. 8,m. y el an-
gub B^o.gr. i2.m. y el ladointenncdioiíB, 56.gr. ó.m. y
icbufca el ladpJC. ^ ^ ^
Oferacion i. En el triangulo reSangulo ABD,halle(e có",
nio en la frof. i }. el ángulo BAD. '
Como el radio * 90. o.m. C.L*o.ooooooo*
dfenoipdi AB; 36. o.m. 9-9079 57^**
afsi la tang. del ang. 5 40. 1 2.nu 9.9z68904«
ilatang.i.delang.BAD. 55. 38.01* ^.í^4^S/^9o^
Hallado «1 ángulo BAD , fcfabecomo en la pr^pa/. ij..
el ángulo CAD y que en el triangulo i. íe baila fer 46.gr.
30. m. ^
Operación i. En el triangulo BAC, Con (3.) proporciona-'
les;
Como el feno z. del ang. BAD 55. jS.m. CX.O.Z48 3 462.
éUfeno z. del ang. CAO; 46. 30.01.
afsi (a taiíg* i*deAB • 36. o.m.
a la tang. z* de AC^ 30. 47»in.
JiefoluQum de los triángulos esféricos obliquangulos ^ en que fe dan
dos f artes alternas , j una ofuefia.
^•8578122.
10.1587590.
10.2248974^
PROP.
L. ' .
138 Trat.VII. De t a Trigonometría.
rsjj. /^^P- ^VII. Problema.
Dááüs ios lados, jf un £Hgulo ofuefto , haÜAt ^l andido
E_ _ , . , intermedio. é
Nel triangulo Am, dados los lados .IB , 56. gr. o. m. y
^A ?o*K« 47.m. V el ane^ulo «•_ >in or. »í «>^c ^:j^ /i
a]
culo del miímo ángulo que
D *'D B
«
*nSRAn>8^^*i"r^'° «ángulo BAD, haJicfe d
«Dgulo BAD (8.) en la íiguiente analogía.
^/¿'^j ^' o-™- C.L.0.Ó000000.
4/>, 2. áí ^, 36. o.ni. 9.9070*76.
*/« 4f4»¿.árf4»^.B 4o. 12.n1. 9.9Z68004
0;«'4íia« 2.En el triangulo ABQfon proporcionalcs.(3.)
.Ml/tn,z,delM«g.CAD. 46. |o.m. ^.SjySóS
Sumeníe en el triangulo!, los ángulos BAD CÁD ha
Uados,iK>r caer el pcrpS,diculo dentfo TyhCutn¡iS>' aí'
8.m. feráel ángulo BAC one fi. n;^- V 1 • ?
1 Vi norrapr^l^líí: J-^^ r P*'*^* ^" 'O" triángulos.
2. y j. por caer el perpendículo fuera , la diferencia A¿ Ai.
ehos ángulos haliadosV Icrá el BAC, que féíSa
LiBno VI. ii9
PROP. XVra. Problema.
lEn cManguh esférico oblíquangulo dados dos ángulos ^j un lado
opueftOj hallar el otro ángulo
N el triangulo ABC fe lüponep conocidos el ángulo
, ^ B 40. gr. 12. m. y el anguioC 47. gr* ji, m. y el la-
do AB 36.gr. o.m. y íepide el ángulo A. .
E
B D ^D B c O
Adviertafelo i. queje ha defaber fi el ángulo que fe bufia
es agudo, o obtufo; o qual fea la efpecie del lado AC opuejlo al án-
gulo dado B. Lo z. que ene fie cafo cae el perpendículo del náf-
tno ángulo que fe bafea»
Operación i. En el triangulo redangülo BAD, hállele
(8.) el ángulo BAD, como fe figue,
Cotnp el radio 5>o. o.m. C.LtQ.ooooooo.
al fenol, de AB\ 36. o.ni¿ • 9'907957^»
afsi la tang. delang.B 40. iz.m. 9*9268904.
a la tangni. del ang.BAD. 55. 38.m. ^ 9.8348480.
Operación 2. En el triangulo ABC ( 2. ) ion proporciona-
Como ei feno 1. del angf B 40. I2.m. C.L.0.1 170226.
al fenó 1. del kng. C; 47. 5-1. m. * 9.8267703.
afsi el feno i. del ang. BAD jy. 38.m, 9.9166866.
al/emi.delang.CAb. 46. 29.01. 5í.áío*479y.
Si el perpendiailo cae dentro del triangulo, futnerife los
ángulos BAD, CAD, y la fuma íeráel ángulo BAC , que
fe buíca ; pero ii el perpetidiculo cae fuera -, íe refta rá^ el
an-
140 Trat. vil De la Trigonometría.
apmlo menor del mayor, y Ja diferencia hallada ferá el an-
gulo^ue fe pide; y aisi en el triangulo i. por caer el per^
pendiculo dentro , fe fuman los dos ángulos hallados . y es
el ángulo BAC loi. gr. 7. m.
PROP. XIX. Problema.
Dados dos lados , j ún ángulo opuefto, bdlUr el otro ángulo
opuefto.
fnenefter Taber fi el ángulo que fe bu fea es agudo^
TTj 6 ^' ^"'^ P"^ triai^uio ABC , en quien fe dan
el lado BC 44. gr. 12. m. jr AC a9.gr. lo.m. y el ángulo B
Jf^* g''-'^' «^ Pidcfe el ángulo A , que fuponemos haya de
tafo
%¡o.
Operación. Por la propof. i.en qualquiér triangulo fon
proporcionales losfenos dejos lados con los fenps de los
ángulos opueftos ; luego en el triangulo dado fon propor-
ComoelfenodeAC 29. lo.m. CL. a5i2iní.
alfenodelang.Bi 40. i2.m. 9J008678;
afstelfenodeBC 44. i2.m. 9.84^5556.
Mfenodelang.A. . 112. jy.m. 9.96J3609.
PROP.. XX. Problema. '
M» el triangulo esferko oUiquanguíoj dados dos angulosjj un lado
E mefto, hallar el otro lado opuefto.
T^ep cafres mewfler faber fi el lado que. fr bufia es m-
é.Tir>^^\ ^^Jf^!l^f ^l quadrante. Sea pues el triangulo
ABC , en el qual dados los ángulos B, 40. gra2. m. y A,
Libro VI. 141
iii.cr. 5 y.m.ycl lado AC 29. gr.io.m.ft pide eflado BC>
que ¿uponemos haya de íer menor que el quadrance^
Operación. En el dicho triangulo (bn (i.) propordont-
Jes. •
Cómo elfeno del ang. B 40. lí.m* CL* 0.1901 $22.
al feno de AC 29. ip.m. 9.687842 j*
afsi el feno del an¿. A 2 1 2. J 5 .nu 9*9^5 353^*
di feno de BC 44. I2ém. 9«3435279*
PROP: XXL Problema.
En el tr'ungfilo esférico obliquanguloy dados dos ángulos^) un toda
opuefto y hallar él lado inteftnedio entre los
ángulos dados.
I^'Ñefte cafo cae el perpendiculo fobre el lado que fe bufcaijei
i menejkr féerfi ejie lado es mayor , h menor que el qua^
4rante yo fiel lado opmjU al otro ángulo dado es major^ menor
qué éíquadtante.
Sea pues el triangulo ABC , en quien ion conocidos
los ángulos B,40.gr. í 2. m#y Q47. gr.5 i*m. y el lado AB,
56. gr. o. m. Pidele el lado BC , que fuponemos ha de (er
menor que el quadrante.
lé^% TrAT* Vil. De £a Tai€ONOMETRIA.
Operaciím i. £n el tríaneulo redangulo ABD halleíe co«
mo en la 1 5« d íegmento ÉD y con la iiguiente análoga»
Orno ti radio
al feno i. del ang. B;
dfsi la tang. de AB
4 la üng. de BD.
^o« o.m. C.L. 0.0000000*
40. i2.m. 9.8829774*
56. o.nu 9*8612610.
29. * 2.ni. 9.7442^84.
Hallado el íegmento BD, buíoueíVel H^mentoCD.
Operacm i. £n el triangulo AB¿ fon proporcionales.
Como la tang* 2. del ang* B 40. I2.ni. C.L. 9.92685K>4*
4latang*zJelang*Q 47. ;;i.m. 9-956713;.
afsi el feno de BD 29. 2.m. 9.686o267.
al/emdeCD^ 21. 47.^1. 9.5696404,
Hallados los íegmentos BD 9 CD , la fuma de ellos 50.
gr*49.m.es el lado BC,que fe dcfea en él triangulo r. En el
2.y 3. fe hallará el mifino lado reliando el Tegmento menor
del mayor^por caer en éftos el perpendículo fuera del trian-
gulq..
PROP. XXII. Problema.
E«» el triangulo esférico pbUquanguloj dados los lados^j un angula
ofuejio a uno de ejfos Imos^ bailar el tercer lado»
EN ejle cafo el perpendículo caefobre el lado que fe bu fea. Sea
el triangulo ABC., en quien (e dan lo$ lados AB 36.
gr. o.m. AC 29.jgf.io.m. y el ángulo B 40.gr. i2.m.y fe pi-
de el lado BC. • •
Opi-
LiB k o VL 145
Operacm i. En el triangulo redangulo ABD^lbn ^14.
lib. 5» ) proporcionales los íiguientes* con que (e halla el
(egmento BD.
CQfWf el indio 90. o*m* C«L* o.ooooooo.
al fino 1. del ang.Bi 40. I2.m. 9.8829774.
4fsí U tang» de AB 36. o.in. 9.86i^6io.
a la tang* de BD* i^ 2.m* 9.7442}84»
. ' '*
Operación 2. Buícjuefe el Tegmento CD , en el triangulo
ABC 9 en el qual ion proporcionales (4O loi (iguientes. '
Como el fino 2. de AB
al fim z.de AQ
afii eí fim 2. deBD
al fino z.deCD.
j6. o.m. ex. 0.0920424.
29* io.m« 9.941 1 idéi
29. 2«m. 9*94^ ^79 1 1
19. 'i9.m. 9.9748381;
Sumeníe los dos íegtnentos BD, CD, hallados , y la Tut
ma ferá en el triangulo i.48.gr. 2i.m. Pero en los triangu-»
los 2. y 3* (e reliará el menor del mayor para íaber el ladq
BC , por caer el perpendículo fuera en entrambos triángu-
los., í
I • t
\
APEN-
144 Trat. VII. Di ia Trigonometría.
APÉNDICE.
f PARA QUE EL ANALISTA'
pueda con mayor facilidad refolverquai-
quiera triangulo; afst re¿lil¡neo,cofno cur-
vilineo^he refumido aqui fus refoluciones,
con los cerminos proporcionales dirpuef-
tos por fu orden , para que fíjviendofe de
ellas como de pauta, coniiga con poco tra^
bajo íu deíignio. Obfcryaré en cada eípecic
el mifmo orden que guardé en los Proble-
mas} poniendo en primer luígar las reíblu-
ciones que fírven para hallar los angulosa
y en fegundo, lasque íirven para hallar
los lados.
XESOLVCIOÑ DE LOS mAfíJGVlOS RECTILÍNEOS
uSanguUs.
D
Ados los lados , hallaf qualquier ao^iK). '
C9im qualqmera iado^
al otro láéki
afsi el radio j
k la tangente del anguU efiufié al fegundo ladú*
Dar-
Apéndice* Iff
% Dada la hipoteDuTa, y un lado» hallar los ángulos.
emú Id bifQumjky
éfsi el iádo dadfij
ál fino del snguh cfuefiú lí d$dí0 liuk^
} Dados los ángulos, y un lado, hallar el otro laddí»
Como el radioj
éU lado dado;
afsi Id tdngime del nnmi» égído aijacentt i íiéo htík^
di otro íddo que fibttfid.
^ Dados los ángulos , y la hipotenufa , hallar qualqukc.
lado.
Como el fddio^
d Id bfpotenufd;
dfsi el fino del dHgulo ofuefto di Iddo que fe bufido
di Iddo quefr bufcd.
j Dada la hipotenufa, y un lado, hallar el otro lado*
Hdllenfr primerdmente (num.2.) los dnguhs ^j bdlUdos ifioog
fe bdUara fot el num. $ • ¿ 4« el Iddo que fe fretende.
6 Dados los ángulos, y un lado, hallar la hipotenu&
Comoel feno del dngulo ofuefio di Iddo ddJo^
di Iddo dddo\
dfsi et fddiúj
d id hipotenufd.
^ Dados los lados, hallar la hipotenuía*
Hdllenfe frimerdmente (num.i.) losdngulos^jf luego fe Mtéi
rdr (nuro.6.) Id hifotenufd.
«. tL
tte/tíucm de los trúmgidot reüi^os i^quM¿uloí,
*
I T^N el triangulo obliquangulo , dados^dos kdof , y
pTiUn ángulo opuefto , hallar qualquiera de los otros
ángulos, fabiendo fi es dgudo , i obtufo.
Como el Iddo ofuefio di dngulo dddo^
di feno del mifmo dugulos ^
Tumui. Y 4fd
Trat.VILDe la Tugónometiiia;
di fino del angmo opuefio a efielado*
2 En el triangulo obliquangulo, dados dos lados ^ y d
ángulo intetmedio, hallar los demás ángulos.
Como Iffumd i€ tos Udos iádos^
^ ' i U aifmnáá di los mifinon
^ éfsi U tangde Ufimifuma de los éfngiúos que fi bu/can^
i la tang. de la fimdiferencU de los mimos.
^.'Aña4aíe efta feímdiferencia a la feoiifuma de los ángulos
que íe bulcán 9 y íe tendrá el ángulo mayor. Kettefe dicha
j^l^kUl^encia de la mifma fem^fuma , y fe fabra el ángulo
inenór.
5 En el triangulo obliquangulo , dados los tres lados^
hallar qualquier ángulo.
Modo im ; Tomefe el lado mayor como bafa , y tirándole
una perpendicular del ángulo vertical , quedara dividido ej
triangulo dado en dos triángulos redangulos , y íe difpon*
<^aia proporción íiguiente.
Comolabáfoy
^. Jila fuma délos otros lados;
áfsi Ufifirencia dolos mfmos ladoSj
a la diferencia de tos figmentqs de la bafa»
Refteíe de la baía efta diferencia hallada , y tomeíe la
mitad del refiduo. Si la miínia diferencia hallada fe añade
a efte mifmo reíiduo , fe fabrá el fegmento mayor ; y íi íe
rc^,ieíabcá el íegmcnto menor. Hechp.efto en los dos
triángulos re¿Í:angulos , dada la hip<;>tenufa , y un lado , (e
hallarán los ángulos por el num. 2. del <§• i. Y el ángulo
vertical del triangulo dado , íe fabrá fumando los ángulos
verticales parciales que fe huviej-en hallado.
Modo z» Sumeníe los tres lados , y tomeíe la mitad de
la fuma. <J[leílenfe de efta femifuma los lados contérminos
al ángulo que fe buíca , cada uno de por sí , y fe fabrán fus
diferencias. Tomenfe los complementos Logarithmicos
dfl dichos lados contérminos , y eícrivaníe uno deb^xo del
otro. Tómenle los Logarithmos de las dos diferencias ha-
lladas. Sumeníe eftas quatro partidas, íin quitar el radio; y
tom^ la mitad de lá íuma y y ella íerá el . Logarithmo dd
f«-
íenb dé la mitad del ángulo, que fe buíca. DupUqüde dle
aagulo hadado , y fe íábrá todo el ángulo.
4 En el triangulo qbliquangulo, dados dos ángulos, y un
lado, hallar qualauiera de los otros lados.
Canw el jeno oeL ángulo apuejlo al ládú cmioúiQj
al lado conocido'y * '
afsi il feno del angído ofuefto al lado que fe bufca^
ál lado qút fe bufia.
5 En el triangulo obliquangulo, dados dos lados, 7 el: án-
gulo intermedio, hallar el tercer lado.
Ballenfe (num.2.) los demás ángulos^ j deffues por el num./^.
fe hallara el tercer lado.
6 En el triangulo obliquáñgulo , dados dos lados, y uno
, de los anguk)ropüeftos, hallar el otro lado. :
Halle fe frhneratnente for el num. i. el ángulo ofuefto alUdé
^ín fe bi^cai^y por elnum-^^fe bMarael lado que fe defea*.
{ ...
s. ni.
üefoluáon de ¡os trianguloi reÜUinieos uüanguios. .
1 TT N el triangulo esférico redangulo , dado un ai
£j lo obliquo , y el lado contérmino á dicho «nj
liallar el otro angub. •
Como él radio j
al feno del ángulo obliquo dado;
afsi el feno z. del lado dadoj
al feno z. del ángulo que fe bufeo.
:^ En el triangulb esférico oblicuángulo , dado un lado.y
el aneulo obliquo opuefto á dicho lado , hallar el otro
' ángulo. y
StPafe primerOyfiel ángulo que fe bufia es agudo y I obtufoi 9
fi la hipotenufá^i el otro lado es mayor , i menor que el quadrantei
porque fiendoefte lado maj/or que el quadrante\ él ángulo que fe
bufia jer^ obtufo ; j fiendo^fnenor , feri agudo, también fi el ladjo
dado es major , ^ menor que el quadrante yj la bifotetmfa fuero
memr que el quadrante , d otro ladofera de U fmfina. efpeáe qu$
f s %% el
1.
I4S TrAT. Vn. Di t A T&IG0NOMETltIA,
c/ l4Í$Áááú 'y fer9fi U bippwmfd fuere májot que d quáirám^
el lado fibreécbo jeri di effetu ofuifia d lado d^doUa froforcm
€s lafifuienu.
Como el fino %• del lado dado^
al radio;
afsi el fino i. del ángulo dado^
. al Jino del auj^ulo que fi kufia^
} En el triangulo esterico reoangulo , dada la bipotenu*
ía ^ y un lado., hallar el ángulo opuello á efte lado»
Como eljenode la Ufotenufií^
al radm
afii el fino del lado dado^
: al fino del ángulo que fe kufia.
4 En el triangulo esférico obliquangulo { dados los lados,
hallar qualquiera^angulo obliquo*
C0m0 eljeno del lado contemñno al ángulo que fe bufia^
al radio;
afii la tangente del lado ofuefto al ángulo quefi bufia^
¿ la tangente del ángulo q¡u fi de fia.
5 En el triangulo esférico re(3:angulo , dada la hipotena-
ia 9 .y un Udo^ hallar el ángulo iatermfidÍQk
Cfimo la tangente de la htfqtenufik^
. aU tangente del ladoaado;
éfiialradioy .
al fino 2. del ángulo que fi bu fju
fi En el triangulo esférico reétangulo , dada la hipotena-
fa, y un ángulo obliquo» hallar el otro ángulo.
Comoeltadio^
al fino z.delabifotenufa;
afii Id tangente del ángulo obtiquo dadf^
i U tangente i» del ángulo jquefibvfia. .
.7 En el triangulo esférico redangulo , dada la Mpotenu-^
fa , y un ángulo obliquo , hallar el kdp opuefto á efte
ángulo.
Como el raik^
al fino del jmgulo4bliquo daJe;
afii el fino de la hifotenufiíj .
al fino del lado que fi bufia. ^.
En
f En el trianmioesterico re(Saneulo , dada lar faipoteau-
(a ^ y un bdo y hallar el otro lado*
Cimo ek ftn^i. áilUdú iado^
di fádioi
dfñ el feno x. de Uhifottmfa^
éU feno iJUlUd» ^eje bufia.
^i En el tmngulo esférico reéUngulo , dados kx aog^ilo^
hallar qu^quier lado.
Cmf»el/enoi. del anguU cantermtm^
al fem ^• delméanguU obüqmi
éfsi el raiüú^
al feno i. del laáo V^fi hnfia^
go En el triangub esférico reaangulo , dado un lado ^ y
un ángulo contérmino á dicha lado , hallar el otro
lado.
Como el radiOy
al feno del lado^ daio^
áfsi la tangente del ángulo obHipio dado f
a la tangente del ladaofuefto que fe bufido
%i En el triangulo esférico redangiilo, dada un ladó>/
el ángulo obliquo fu opueíio , Ivillarel otro lado»
Sefafe frimerojfiel lado que. fe bufia es mayor y ^ ntewn que
glquaikanee^ifilabifotenufaej^mayory ^ menor que ek^fiJh
droHte i porque pefida- menor y ffíiaeL lado que fe bu/ca de la mif-
ma effecie que el lado ijftendo mayor j fera de la effeck opuejta^
^fepafefiel otro ángulo obliquo es agudo \, i> obtufo^y porque el
lado que fe bufia ferl^de-ía nujma efpecie que el dicho angula..
Cjemo la tangente del angtio obliquo dado^
a la tangente del lado dadoy
áfsi el radiOy
al fonedel iodo (^ fi bufia^.
^t En el triangulo esférico redangulo y dada la hipot6-
nuía^ y un ángulo obtk|uo„ hallar di lado conteroiiuQ
á efte ángulo.
Come el radio^
alieno z. del ángulo ehliquedadei
éfsi la tangente, de la bipotenufa^
Alatangjme delude que ¡ehifioé
iXp^ Tr.AT.VIL De tA Tltlfi^NOMETltlÁ;
13. En el triangulo esférico re&angulo, dados ios dng^
los , hallar la bipotenuía.
CrnmU tangente 1. de. umátÜsánguUf dadas^
4 la tangente i. del otro angula &d$^
afsi el radio^ .
al feno z..dela bipeeenufa»
^4 £n el triangulo esférico redangulo y dados dosIado%
hallar la hipotenufa.
Como el.tadwy
alfepo ip deuñúde los lados dados;
afsi eljeno %. del otro lado, -,
al feno udela hifotemfd.
f 5 En el triangulo esférico redangulo , dado un tado^
i d ángulo obliquo opuefto á elte lado » hallar la hipo-
tenuía.
Frimeramente fe ba defaberfi la bifotenufa^ o el otro ladoy es
majof y i menor que el quadrante jhfiel otro ángulo oUíquo es
agudo y b obtufo ^Jegun lo advertido en el num. 1 1.
Orno el feno del ángulo dado^
alfeno del lado dadoi
afsi el radio,
al feno ^de la bifotenufa»
16 En el triangulo esférico redangulq , dado un lado , y
. el ángulo obliquo adyacente á dicho lado , hallar la
hipocenuía.
Como el radio,
al feno 2. del ángulo dado; ..;
afsi I {í tangente z. del lado dado,
a la tangentje i. de la ktfotenufa.
Vj Refolver qualquiera triangulo quadrantal. ..
Triangulo quadrantal, es aquel que no Rendo reSangulo, tiene
un lado quadrante, ú de 90.gr. Refuelveje mudando frimero ¡9s
iéUigulos en lados, j los. lados en angtáos , conque fe viene a formar
un otro triangulo eauipolente alprimero,que tiene un ángulo reüoi
pendo pues efte /¿gando triangulo reSangulo , fe refilvera con
aquella analogía dejas fobredicbas , que, fcgun los términos dar-
dos, y el queje bufca^ k fertenecierei ,
§.IV-
» /
í. IV.
Itef$lucm ¿e Us triángdús esféricos oUipdngiibs.
m
I T^N el triangulo esférico obliquangul(^ dádd^ dos an«
P^ gulos^y el lado mtermedio, haUar el tercer ángulo*
I 0001» et YoMoy
d ftm 2^ del ladi^ ABt
áfsi U tangente de ABC,
i la tangente t. de BAD«
Hallado BAD , fe haUará CAD.
' 2 Cerno elfenode BAD,
alfinodt CAD; .,
áfsi elfeno z. de ABQ
aljino 2. de ACD»
Adviertaíe, que el angula ACD, y el ángulo ACB en
á triangula i^y 2^ ion uno miíino ; pero en el 3. es dife-
rente ; y aísi en éfte , el ángulo hallado ACD y (e reliará d«
siüo* gr« para (aber el ACB» c{ue es el que íe deíea.
2 En el triangulo esíedco obliq^ngfilo , dados, dos
lados, y un ángulo opuefto , hallar el ángulo interme-^
dio.
., ' jl\
o-
Jtj^g Jrat.VII, J>£ la Tricónometma^
D B
CB
I Como el
. d femi. de Kñ^
0ffi la tangente de * ABC,
XU tang. 2. di BAD»
X C0fii0 Li tang. X. de AB,
¿ la tang. 2. lír AC;
afsi elfetio 2. li^ BAD,
d feM0 z. de CAD.
Sumeníe en el triangulo i. los ángulos hallados BAD,
CAD,por caer el perpendículo dentro dd triangulo , y ic
labra el ángulo BAD, auefe pretende» En los triángulos 2.
y ;• por caer el perpendículo fuera , la diferencia de los an«
gulos hallados , fe/á el anjgulo B AC que (e bufca.
3 • £n el triangulo esférico oÚiquangulo , dados dos
angulosy y un lado opuefió , hallar el tercer «igulo*
Jdviertafejqueesmenejlerfaker fi eí ángulo que fe huftaee
4y¡udoj I obtufo ; i qud fea la efpecie del Ia£ ofuefio d otro an^
guio dai/e. Advtertafe también ^Me en eJU tafo el ferpemUcuU
eac. del mfme angíioque fe bufia*
/
^D B
X C8-
A P E N D I C E4
j. Como el radioj
alfeno i.de AB;
éfsi la tangente de ABC,
Tl la tang. z. de BAD.
iiy$
2. Cerno el feno z* de ABC,
alfeno i.de BCA;
afsi el fino ude BAD,
al fino I. ^e CAD.
Adviertaíe, que en el triangulo i.por caer el perpendí-
culo dentro, fe fuman los dos ángulos BAD, D AC,para te-
ner el ángulo BAC , que íe bufca ; pero en los dem^ por
caer el perpendículo fuera,(e refta el ángulo mayor del me-
nor ; y el reítduo es el ángulo BAC.
4 En el trían^lo es^ríco obliquangulo, dados dos la-
dos , y el ángulo intermedio, hallar qualquíera ángulo.
En ejle cafo^ el perpendicuh necejfariameme ha de caer del la-
do ofuejto al ángulo auefi bufia , tirándole de aquel ángulo , que
ni je bufia ^ ni fi [ufone conocido.
úComoelradiOj
al fenol. del ang. ABC;
afii la tang. de AB,
a la tang.de BD.
HaUado el í^meoto BD , queda conocido CD»
z.Comoelfitto de^ BD,
al fino de CD;
afii la tang. i. de ABC,
i la táng. 1. de ACD. .
Adviertaíe , que en los triángulos x. y 2* el angu
-ACl^)
154 Trat. VILIDe i, a TniboNOMETRiÁ;
Ato, y el ACB, fon uno miíoio; pero en ek tercero es me-
tiefter reftar el ACD de i8o« gr« para tener el ACB que (e
buíca,
5 En el triangulo esférico obliquangulo y dados dos la-
dos , y un ángulo opuelto a uno de dichos lados , hallar d
otro ángulo opuefto al otro lado.
Sepafe primero fi es agudo , b ohtufo.
Como el feno del la& opuefio al angfUú iad9y
al feno del angula dadoi
afsi el feno del otro lado^
al feno del ángulo que fe bafea*
6 En el triangulo esférico , dados los tres lados, hallar
qualquier ángulo.
En el triangulo ABC íe dan fus tres lados, AB, 55:. gr^
^o.m. AC, 54«gr« i^-in. y BC, 4Q«grao.m* Pidefe el ar^u-*
lo A.
»r-
Operación. Sumenfe los tres Jados : tomeíe la mitad de
la fuma : rcfteñfe de efta femifuma los lados AB,AC, que
comprehenden el ángulo A , que íe büíca , cada uno efe por
si , y guardenfe las diferencias halladas, Tomeníe los com-
plementos logarithmicos de los íenos de los dichos lados
AB , AC : tómenle también los Logarithmos de los leños
de las diferencias halladas : fumenfe todos fin quitar el ra*
dio de la fuma ; y la mitad de efta fuma lera el logartthmo
de la mitad del ángulo A , que fe buica, cómo fe ve en !#
dilpoíicion íiguiente.
Lado BC 40; lo.m.
LadO' AB 5*5^ ;o.m¿ C.L. o«o840o¿;. '^•
Lado AC 54, i^tm. CL. 0.090308 5.
SU9M
^Suma de los tres Ui. 149. ;9.n).
Semfma^ . 74. 59.01. — >
2
Pi/m ák ilB 19. 29.111. — L' 9. 5 2 3 3 i(S8.
' 2
• - I •
Difir.deAQ 20, 40^01. — L, 9.J478566.
Suma de los iQgarithmos. ^ 19.2454882.
Semifuma: feno 24. 48*11)* l^.H 9.6227441. .
ángulo A* 49* 36.01. 26.C
jr En el triangulo esférico y dados los ttres ángulos , ha-
blar qualquier laoo.
En el mifmo triangulo ABC íe fuponen conocidos los
ues. ángulos , y fe bufca el lado BC.
. operación.. Tooiefe el complemeiiito al íeoiicirculo de
jqualquiera de los ángulos contérminos al lado BC que (e
buíca: como por excmplo, tomeíe el complemento del án-
gulo C; y haciendo cuenta que el ángulo A es lado, y el án-
gulo B otro lado,y el complemento fobredicho del ángulo
C otro lado , hagaíe la operación antecedente , y quedará '
hecha la reíblucion.
8 En el triangulo esférico obliquangulo , dados dos
ángulos , y un lado opuefto , hallar el otro lado opucfto.
Sepafe primero y fiel lado, que fe bufia es menor , o mayor que
el quadrante.
Como W feno del ángulo opuefto al lado dadoy
al feno de dicho lado;
afsi el feno del otro ángulo dadoy
al fino del lado que fe buíca.
9 En el triangulo esférico obliquangulo, dados dos hr
dos y y el ángulo intermedio y hallar el otro lado.
I-A ^'i- 3.U
D cob
Jtyí Trat. VII. Dh t a Trigonometriaj
I. Cnm el fáái9y . --
al feno 2. ¿el át^. ABQ
éfsi la tangente de AB,
a la tangente de BD,.
Hallado BD, queda conocido DC.
!• Cmno el feno 2. ii BD,
al feno 2, de DC;
dfsiel feno i.de AB^
alfeuox.de AC. *
10 ^ En el triangulo esférico obliquangulo , dados dos
ángulos , y un lado opuello , hallar d lado intermedio
entre dichos ángulos dados.
£» efle cafo cae el perpendículo fobre el lado que fe bufia ; y es
menefter faber fi efle laio es mayor , o menor que el quadrante ; í
fi el lado opuefio d otro ángulo dado^ es p$ajor , ^ menor que d
quadrante.
I. Como el radio^
al feno i. delanguh ABC;
éfsi la tangente de AB,
a la tangentje de BD.
12* Como la tang. 2. de ABC,
a latang^z.de ACB;
afsUlJenode BD,
al feno do CD*
Si el perpendículo cae dentro del triangulo , como íli-
cede en el %• fumando los dosíegmentos tílX , £>C^ í&Iílbe
d lado BC, que fe buTca; pero cayendo fuera^x:omo en los
txian-
p Ei^ D ice; . t^^
triángulos 2. y ^, fe reliará el íeginento menor del mayor,
para íaber el lado CD.
II. En el tritogulo esíeríco obliquan^ulo , dados dos la--
dos , y un ángulo opuelto á uno de ellos ^ hallar^l ter^
cerlado.
In efte ufo ti ferpenücuU CMfike ti ladgquefe bufia»
I* CamoelradiQ
ál fino 2. Í9
afii (a tangente de
a la tangente de
ABC;
AB,
BD.
2. Como el fino z. it AB,
al fino 1. de AC;
afii el fino i.de BD,
dfinoz.de CD.
£n el triangulo i. la fmna de los dos (egmentos BD^CD,
da el lado BC, que fe bufca , por caer el perpendículo den^
tro; pero en los triángulos 2.y 3. la diferencia de dichos ar«
eos íerá el lado BC, por caer el perpendículo fuera.
12. £n el triangulo esférico obiiquanjgulo , dados dos an«
culos , y el lado intermedio , halkr qualquiera de los
lados opueltos.
I.y8 Trat.VILDe laTrigoñometriaj
I. Como elTddio,
d.ftno i.de Aft
afñ U tangentt de ABC,
Al*tái^ z.de BAD,
Hallado el ángulo BAD , queda conocido DAC
1. Cvm el fg»o 1, de . BAD,
a¡ fem z. de CAD; '
afsi la tutgttitt 1. dt AB,
I U tagtttte 1. de AC.
,TRA-
m
TRATADO VIIÍ.
DE LAS TRES
SECCIONES
CÓNICAS,
E L I P S E , P A R A B o L A,
i Hipérbola.
•
ECCIONES cónica^ Ion , las que re-
fultán de varios cortes hechos en una
pirámide cónica; yfegun la variedad
de éftos, fon aquellas diferentes. Tra-
taré áqui de las linas principales , lla«»
madas , tíifft , Parábola , é HiferbolOf
cuyas maravilloías propiedades fue^
ron digno empleo de los Antiguos
Geómetras , fingularmente de Apolonio Pergeo , que
dexo imprella fu memoria inmortal en los libros , que
trabajó de efte aífumpto. Reduciré efte Tratado á la
explicacioo de las principales propiedades de dichas
íecciones, por lo mucho que conducen á la Catoptri^
ca, Dioptnca,y Perfpediva; al Arte Tormentaria, o
Artillería ; á la Gnomonica , y aun para la Aftrono-
mia ; pues no hay duda fe explican mejor los movi^
Inient^s de los Planetas ^.vaUendoíe de hipotheíes elipti*
cas:
1^ Trat. VIII. Db t as tres Sección. Con.
cas: procuraré la brevedad , omitiendo lo que fuere ineno$
neceüario para el intento. Ojiien deíeáre mayor exteníion,
podrá ver alP. Gregorio de 5. Vincentio en fu obra maravi-
ttofa de Quadrama cmuU ; y al Padre Milliet en fu Curio
Mathematico.
DEFINICIONES COMUNES.
t Tyiramde comed y es la que tiene par bafaun circule. Re-
\^ fulta del movimiento de una linea reóta, que deícle
un punto , pueílo como en el ayre fobre el circulo , corre
con la otra extremidad fu periieria. Como íi la linea AB»
( fij, I. ) defde el punto fixo A, corre toda la periferia
BnC, engendra el folido ABEC , que es la pirámide có-
nica.
2 Superficie cmcá ^ estaque defirive U fobredicbd teSa AB^
ceifienm la periferia del circulo.
3 Vértice de la ptr anude coma y es el punto fixo A,
4 £xe de la pirannde cónica , es la reSa ADy tirada del vértice
Ay al centro D y del circulo que le firve de bafa.
5 Bafa de la ptr anude conicay es el circulo BEC y cuja periferia
corre la linea que produce dicha pirannde. ^
6 Pirámide cónica reSta , es aquella , cuyo exe es perpendkulaf ¡k
la bafa y como en M.
7 Pirámide cónica efcaUna , es aquella y cujo exe no es perpeih-
ékular a la bafa y como en N.
8 Pirámides cónicas opuefias , fon las que pendo femejantes^
tienen un rrnfmo vértice , y un mifmo exe , como en la figur. 2.
Las dos pirámides FIG (bn opueltas , porque tienen un mif-
mo vértice 1 ) y la mifma recta CC , es exe de entrambas.
Refuhan del movimiento de la re¿ta H^, que eftando inmo-
ble el punto I , la una extremidad F , corre la periferia del
circulo inferior > y la otra anda la periferia del fuperior:
conque neccífariamente refultan las dos pirámides opueftas^
y fcmejantes. ""
9 Secciones cónicas y fon las que fe hacen en una pirámide comeé
con un planoy a quien llamaremos Fiano fecanttj y poroue éite
puede cortar la pirámide de diferentes maneras, refultan va-
rias etpecies. de fecciones cónicas. ?
lO
Libro I ^ I¿I
1 o Qaanclo el pUno fecante paíTa cortando la pirámide
cónica deTde el venice por fií exe, la feccion es triangulo^
como ABC, (fig*i* ) y elle íe llama trUngulo par el exe*
ri Difpoficim fubcentraria de des triángulos fe baila quand^i
fiendo femejantesytienen un mifmo ángulo vertkali pero/u^ bafas^
€n aquella (Ufpoficion , nife ajujiauy ni fin paralelas. Como íbn
en la jíg. 5 . ABC, y ADE, que tienen el mifmo ángulo ver-
tic^ A ; y íiendq equiángulos , fus baías BC^ DE , nojoír
paralelas. » ^ . - . - ^
I z Secciones cónicas fubcontrarias , fin aquellas , con que la
pirámide cónica fi corta con un plano perpendicular al triangulo
por el exe y ie tal fuerte y que refulta aúa el vértice déla pirámide
un triangulo con éfpoficion fubcontraria al triangulo por el
exe*
1 3 Q¡iando el plano fecante es paralelo á la baía de la
pirámide cónica, lá feccion es fiempre,«rc«fo. También lo
es en un otro caíb, fín (er paralela á la baía, y es quand'o en
la pirámide cónica efcalena,la lección es fubcontraria, como
r¿ probará en fu lugar.
14 Qioando el vlano fecante no es paralelo á la baía , j
corta entrambos laaosdela pirámide , ü del triangulo por
el exe íin formar feccion fiíbcontraria, la feccion fe llamar^
eMpfe*
1 5 Quando el plano fecante es paralelo al uno de los
dos lados del triangulo por el exe , ó á un lado de la
pirámide cónica, que es lo mifmo, la feccion íe llama
parábola.
16 Quando el plano fecante corta las dos pirámides co^
nicas opuelhs , lasaos lecciones cónicas opúeftas, que íe
forman, fe llaman hipérbolas , las qual^ íiempre fon iguales^
yfemejentes. ,
Tx)do eílo lo he dicho para que íe entre en efte trata-*
do formando. a]gun concepto deeftas lecciones, porque
deípues fe demonftrará en lus Theoremas particulares.
17 Bafa de una feccion cónica , es la reSa que repre finia I4
(ómun feccion delplano fecante con la bafa de la piranúde^y cier^
ra por laxo la feccion comea. * . _ ^
18 Linea cónica , es la Curva quécffcuje qualquier a feccion
iónica ; o es la común feccion del! plano íecante, y de la íu-
Temo llL Z per-
iSi Trat.VIII. De las tus Sección. Con.
Í>eríicie de la pirámide cónica , quando no es cortada por
ü exe. Llamafe linea eliptica , quando repreíenta la cír^
cunferencia de una elipíe ; ütiea parabólica , quando repre-
íenta la circunferencia de la parábola ; y linea hiferbolicOy
quando repreíenta la perÜería de la hipérbola.
LIBRO I.
DE LA ELIPSE.
DEFINICIONES.
I ' '■ 1 Üffe y es una figura curviünea prolongada , que fnh
■ j cede de la feccion obliqua , que no es fukontrariaj
B j hecha en una pir anude comea ton un plano , que
corta fus dos laaos^como BADC. (jig.40 Tiene dos
exes, uno mayor, y otro menor.
2 Exe mayor de la elipfe , es U linea reña^ que paffando a lo
largo de la una parte de la elipfe ^ la otra , míde^j reprefemafu
longitud j como BD en la elipfe i • fig.^*
3 Exe menor de la elipfe , es la linea reña , que paffando por
lo ancho de ella de la una parte a la otra^ mide fu amplitud , como
AC en la elipfe i. Eltos dos exes (¿ parten el uno al otro per-
pendicularmente en dos partes iguales: y de la propia (uer^
te divide cada uno de ellos á todas las lineas que íe tiraren
dentro de la elipíe paralelas al otro exe ; y aísielexeBD,
parte igualmente, y es perpendicular al exe menor AC, y á
todas lus paralelas MI, LG, &c. Y el exe AC, parte igual,y
perpendicularmente al exe mayor BD , y á todas fus para*
lelas GP, NO, &c.
4 Centro de la eUp fe ^ es el punto E i en que fe eortan los dos
exes.
5 Diámetro de la etipfe^ es yialquier ímea reSoyque paffando
for el centro de la elipfe^ fe termina^ entrambas faites en fu cir--
cun-
Libro L 15}
íunferenád , emú Sjf^, Slj &c. Donde íe ve , que la elipié
tiene infinitos diámetros , y que dos de ellos (bn íblamente
exes , el uno de los quales es el mayor de todos los diame*
tros ; y el otro > el menor de todos ^ como íe demonftrari
deípues. También todos los diámetros (e cortan mutua*
mente en dos partes iguales ; pero iolos aquellos ion entre
sí. perpendiculares, que juntamente ion exes , como queda
dicho*
6 Limas ordenadamente piteadas al diámetro^ fon aquellax^
que pendo entre si far alelas , fon divididas por el diámetro en dos
f artes iguales^ como Míj LGy &c. aísi en la elipfe i* como en
la 2, (^¿«4* ) A eftas lineas llamaremos ordenadas^ 6 aplica^
das\y i fus mitades , femwf denadas ^ o femaplicadas\ ó tam*
bien ordenadas, ó aplicadas*, ^
7 Diámetros conjugados de una eüpfe ^ fon aquellosy que mur-
tuamente éviden fus paralelas en dos partes iguales ^ cada uno i
las del otro. Como BD, AC (bn diámetros conjugados, aísí
en la elipfe i • como en la i. porque BD divide por medio
á las MI, LG, paralelas al otro diámetro AC ; y éfte, á las
NO, GP, paralelas áBD.
8 Exes conjugados fon los díamenos conjugados^ que fe parten
perpendicularmente i ii, y'k fus paralelas ^ comoBD^ AC en la
elipfe !• - '
9 Tangente de la elipfe^ es la reSa^ que teca la perdería de la
elipfe en un folo punto fin cortarla*
I o locos, polos, h ombligos de la elipfe , fin despuntes pueftos
en el exemajor,en igual dijiancia de fus extremidades, de los qua-
les, fi fe tiran dos líneas a qualquier punto de la periferia de la
elipfe , fon entr aneas junus iguales a dicho exe mayor i i también
fin dos puntos en el exe mayor en igual diftancia de fus extremidor-
desj que de tal fuerte k ékviden, que el reSangulo de fusfegmen-
tos^ es igual al quadrado del femiexe menor* Ellas propiedades
con otras, fe demonltrarán en íu lugar.
II Lado reüo, iparametro deundiametro delaelipfe , es
ana tercera proporcional a dicho diámetro^ a fu diámetro conjun
gado. Como íi I los diámetros BD , ACle les halla una rec-
ta tercera proporcional , éfta íerá el parámetro del diame*
tío BD j y iirve de medida y ó nivel para las potencias , d
Z 2 qua-
3
1(54 Trat.VIIL De t as tres Sección. Con.
uadrádofi de las aplicadas á dicho diámetro y como íe ver
defpues.
I z Itgmd fe Ibmd abfolutamente el reSsnffdú hecho delfo-
fémetro^j del dímeno.
PROP. I. Theorema.
En qualqmerá firamide cmUy la fecc'wn fordeU 2 U hafa
es circulo*
DEmonfir. Las pirámides polígonas infcritas en la conU
ca^ degeneran en eíia , como demonllré en el lema
Era la frof. io« del ¡ibS. de la Geom. Elem. Y aísimifoo
; polígonos inicritos en el circulo, degeneran eo el circu-
lo, como demonftré alli mifmo en el lema 2. para la frcf.i.
Siendo pues en las pirámides polígonas la (eccion paralela á
la ba(a un polieono íemejante á la bafa; (lema i. para la jrr^
fof. 7. lib.o. Geom. Elem.) tamUen en la cónica la feccion
paralela á fu bafa circular, íerá circulo : y efto es lo aúfmOj
aunque la pirámide íbbredicha fea efcalena.
LEMA*
En qualquierá figura curvilínea , fi las perpendiculares tiradas de
fu periferia a dguna ma linea , que corre todo el curvilmeo , la
dividen de talfuertCy que los quadrados de dichas perperuUcu--
lares fon iguales a los reSangulos de los fegmentosy
el curvilíneo fera circulo^
SUponelé', que el quadrado de
redaGH, es igual al redangulo GÓH.* Digo, que la
ITponefc', que el quadrado de MO, perpendicular á la
figura curvilínea GMH es circíulo. Dividafe la GH por
medio en I,,y tirefeJa IM. ' • •
Denwnjlr. Por eftár GH dividida igualmente en I , y
deiigualmente en O, es <5. 2. Eucl.) el reciíangulo GOH,
mas el quadrado de lO , igual al quadrado de IH ; pero el
redansulo mifmo GOHk* fupone igual al quadrado de
MO : luego el quadrado de MO , mas el quadrado dé lO,
es igual al quadrado de IH : y iicndo (47. i. Eucl.) el qua-
drado de IM, igual í los quadrados de lO, MO , (eran los
qua-
LiBn o L i i6%
cjuadrados de IH , de IM , y de IG iguales : luego las tres
I 4ineas, IH, IM, IG ion iguaids ;.y por coníiguiente ^ el cur-
vilíneo GMH es circulo.
PROP. n. ThccMrema. ,
*
Mn la firanúdi comea efcakna^ la fucm fubcontraria es circulo^
í .......
SEa ABLC la pirámide cónica, eícalena ; yíeaABC el
triángulo plano , que pallando por elexe es perpendi*
cuiar á la baiade la pirámide. Corceíe la piramiae con el
plano EFG redó al plano del triángulo ABC , yferá £G la
feccion común de eftos dos planos ; y el triangulo AEG
qiie forma cfte corte, fea femejartte , y fubcontrario al
triangulo ABC' Digo , que la íecdon cónica EFG es cir*
culo. í
, Prepardcm. Tircfe en el plano EFG la reda IF perpen-
dicular á EG,que por confi^uicnte ( ¿e/. 3. ]íi. Euc. ) ferá
perpendicular al plano . ABtí : tirefe por IF el plano HFK
paralelo á la bafa, y la feccion común HK de dicho plano,
y del triangulo ABC,(etá paralela á la bafaBC ; y (i.) fe
rá HFK circulo.
Demof^r. La reda FI ,. feccion común de los plaoos.
EFG , HFK , es perpendicular al plano ABC : luego es
perpendicular á Hk ; y (leodoHFK circulo , ferá IF media
proporcional entte HI, IK : ( coral, de la 13.^ del 6. Eucl. )
luego, elquadradode FI cs( iji 6. Euc. ) igual al redan-
guio HIK ; pero el redangulo EIG es también igual al
ie.daogulQHIK> por íer;,iemejanteslos triángulos EIH,
KIG , como lo convéncela igoaldad de los ángulos verti-
cales I ; y de los ángulos EHI , EGK iguales. entrambos al
ángulo B , efto es ^ G por (bppfiíiqtí , y H por las paralelas
HK, BC : lu^o ( 4.6.Eacl. ) fus lados homólogos fon pro-
porcionales , eilp p5 , El a HI,; CQtíiip IK i IG ; Juego ( 16.
6. Eucl. ) el re(Sbogulo EIG de^ extremas es igual al rec-
íargulo HIK-áe^iasrmedias : laígo. el quadrado IF , que
és igual al redaQguló HIK , eS; igual al. redangulo £iG:
luego ( i¿na aniej(i« ) la íkura £FQe& circulo.
PROP,
l66 Trat.VIIL Db ias tus Sbccion* Con.
PROP. in. Theoi«tna.
Si el diámetro de la feccm comed akánsu entrambos ladot del
triangulo que fajfa forelexe^ yMáafecaon , m es paralela.
a la bafa , ni fubcontraria ; no fera circulo yfi
elipfe^ {fg. 7. )
EL diámetro DF de la feccion pEF corta entrambos la-
dos del triangulo ABC , que pafla por el exe ; y ni es
Í ai alela á la bafa iiC,m fubcontraria. Digo , que la feccion
)£F no es circulo,
Demonfir. Si DEF fuere circulo , DF tendría poftura
fubcontraria 9 contra lo íupuefto: luego dicha feccion no
puede fer circulo. Para demonítrar el antecedente fe ha
defuponer , que fi el plano DEF fe continuara , cortaría á
la bafa BC, ó íu plano continuado én NGH,la qual feccion
feriaperpendicularáBC, por fer el plano DEF perpendi-
cular al plano ABC, Hagafe pues El paralela á NG : tire-
fe LIM paralela á BC , y fera U perpendicular á UM;y
el plano que paliare porlE, y LIM , lera paralelo á la bafa
Bí- > y (!•) ferá circulo : luego lE es ( c4^roU ij. 6. Eucl. )
media proporcional entre LI , IM : y como DEF fe fupon-
ga fer circulo , también la lE (era media proporcional entre
DI, IF : luego los reflangulos DIF , LIM- fcriín iguales en-
tre si , por íerientrambosUguales al quadrado <le lE : luego
( i6.6,Euc. ) ferá LU DI , como IF á IM ; y iíiendo los án-
gulos verticales I iguales , ferán los triángulos LID , FIM
equiángulos ; y la ^cion fubcontraria, contra lo fupucfto:
luego cfta feccion no es circuios y por ooníiguicnte {def.i. )
ferá elipfc , cuyas propiedades mas infignes fe demueftran
ealaspropoficiones £guientcs«
' • - • • ^ • ' • «
PRÓP* IV,' Theoretaa,
la reSa Di (fig.j. ) ^na pormeéo «9$ I i la retía EK.
D
•■ « «
IHwnfir. LareébLMft fuponepwalela-iia'BCf y
«Isinrilmo KE fe hizo en la pró|>. áflteced» paralela á
tu^o el angttio-iJÉiss igual (JO, u;fiacl,) alar-
ga-
V ' Libro I. l6j
guio BGN ; pero d ángulo BGN,fc fupbnc redo por la ra-
zón dicha en la propof. paflada : luego LIE, también es
re¿lo ; y (iendo (i.) 1^ íeccion LEMxirculo, y fu diámetro
LM,es forzolb< j.j.Euc. ) que eíte diámetro corte á la per^
Í>endicular £IK, por medio ea I;y íiiaido.el punto ly como
e ha, fupUefto^ comun^ á las tres r¿3tas LM, EKj DF, la DF,
cortará á la JBK, por medio en I.
s T
'S
COROLARIOS.
IguefiMa^iy que U reSté Df^ ufiáik fw meiw 2 tüist
las fmdiUs'k EK , qiufftíforín 4ím9deU eüffe ; y
ál contrario* i..St'm^irt , qm U r^Ba D¥f0s ti ixe maj^r de ík
$üffe ; j que U J$K , / todas fu for^iMasfin las erdmadasmun
dflicadas a^did^exo DFp t ' • ,
PROP* V. TbeoFeoMv
»»
Si eu U ek^ft^Km^fe tkA,o$réquakpm^ Ikteá RT f^áhU i
ENy fcra el reSan^ulo DMFj al reSiangulo DHI, wm^l
quadradá dé HM, al qtíadltaáo de Sff»
IyRepMrmim. Ticde por el puotá H la; re^ SUQjpérale-
la á OP I y pa0e por Jas re<3:8$SQ i TR un plano ^ que
( Í5.1 i.£ucL')^i^^idelo árOEP, yiJabaTa CGA ; yfíi
íeccion SRí^¿ifi;ra «i^ccujo; (u) \- \ <' . -
Demonftr. Por íer las redas OP , SCL paralelas , «n los
triángulos DMP^DIrfQu,U>razop d&DMá DH^ cs( ^.6•
EucU) la mifmaqoe de PM á^Q^S y en los triángulos
OMF , SHF., la rasos de MF i ÚF-, es la miíma que de
MOáHS. Siendcíi^ues ( 2;. (^..BucL)- lardón de] re^n-^
guh> DMF» al reéÉoiagiiilo DHF , compuefta de la rascón de
UMá DH , y de MFÍHF , íétk la raion del reiftangulo
DMF, al re£^ngulo DHF , compuefta de la razón de Pivl i
QH jY de MOi HS ;, poro la razón del re^angulp PMO,
al rcaangulb QHS , fe compone también de las razones de
PM áQH, ydeMOáHS: luego el re^iangulo DMF , al
reótángulo DHF , és como el redangulo PMO, alredan-
gulo QtlS , efto es , ( por fer PEO,QÍlS,circulo$ ) como d
* rcc-
l6% Trat. Vni. De laI tres Sección. Con.
redangulo EMN , al redangulo RHT fus iguales ( 3 ^. 3*
EucL ) eftos reótanguios £MN, BtHT, fon quadrados, por
cllár divididas las redas EN , RT oor medio en M , y H:
(4.) Ittego el reáaneuk>DMF) al recbm^lo DHF ^ es coma
d quadrado de EM, al quadnado de KH.
• EjUes Utfofudáá Mtnád^jpiméttUiie U iüfft , que
Us quádfádos ae las aflUádds di exey timen mtfí* si U mifina m*
x4n que hs redanfulos de les fegmentos del exe ; lo qual cenvicne
también a los demos éímeá'os , amb- lé^^démuiftra el P. Decbales^
liba. Sec. Con.frof. 31. pero bafia baverlo demonjlrado en Us
MfJkuiait altxe.fMa UJitífi^ en addatue^ hemos de tratar. Tamt"
que e^syerdadque efta frofíedad en> faru corntiene también al
estculo y pero nodo UMjma. fuerte que, ala elipfe. ; porque en el
mctáú^^umquaioi reSkmgáou^HQQ^ WHG < jijg. 5. ) de los fermen-
tos del iüametroytienen entre s$ la mífnuu raxjers\<fat. tosquadrados
de las aplicadas MO^ LN, pero por íer ellas medías proporcionales
entre dichos fegmentor y. ¡frn los remniiA0s.dk efios iguales a los
quadrados de aquellas ; lo que nofucede en la elipfejCxceptando el
cafo éMi^tos diametrorxonjugadosfean iffOles , ' como en fu lu-
gar ytesmos* • ■ . \ . i , . •
COROLARIOS.
I T^E ^uife infierOy que la elipfe tiene dos eiesjmo mayor ^j
''M^y- otro menor i 'porque fi fue fferftjptítiesy iositeüanffdois
hechos de losjegrnemos del esít y ferian 4guales\ alos^quairaíos de
las ordenadas ^afiiicomo^ torferim iotu&angáás'ie los fegmentos
de entréneos exes ;y poir configmente y .no A Añügáfia La elipfe
delckculo^ . : .: i ; .
, .2 lasapücad¿ alexerj.aue (bfiofí'^uabntñte del centro de
iaekl^yfon iguaUt ; porque fi diftaniguakneme del centroyferin
también iguales las d^ancias DM , FJÍ ; ^emo tamlfien yémadien"
do Ijentr ambas el coman ilH, feranDH 4 ¥MigUéUes i luego ks
feñangulos DMFy DHFfnrin iguales ; y fienda los* qModrados de
MEy HRj igualas a los fobredichos reSangulosyféran etítresi i^tá-
ks; luego fus lados 3í£ , HJR , feran igkaks. De 1^ téfmbieeí fe
colige y que fi las aplicadas fon iguales , diftan ffftabnente del
centrom
PROP.
Libro L %i^^
PROP^ VI. Thowema.
# - • •
£í r»e memr CD , ( ji¿*9« ) divide tambim par medio a todásfus
aplicadas.
DEmonfir. Cortenfe EX:i, £H iguales; ^.tireníe las per-
pendiculares HI , GF; éftas (cotoImt. i. antee. ) íbn
iguales, y paralelas : luego la FI, que las* junta ,íerá para-
lela, é igual á GH: ( ;3* i* EucL ) luego la perpendicular
£D y <)ue parte por medio la GH , dividirá también por
medio la FI en K ; y aisi las demás aplicadas al diámetro
CD.
PROP. VIL Thcorcma.
Las afücaiasea elántúadel exe yh éutnutr'p majof de la etiffe^
a las aplicadas en la eltpfe afuexe^o dímetta^ mayor ^ tienen en-
tre si la razjm mifina del exe , 0 diámetro mayor ai menor \j afsin
mifmolas aplicadas al exe y hdiamnro menor en la eüpfey tienen
íoe^ las aflicaias al circulo de fu exe menor y la raum
mifma del diámetro ma^or al menor*
(ñg. Í0.5
E explicación* Sea la elipíe AGH ; y el circulo de fu exe
, nuyor AH,rerá A vH;y el de lu diámetro menor GI,
lera D(jE ; y las (emiordenadas en el circulo mayor , (eráa
FP, es, OT ; y las femiordenadas en la elipfe FL,CI, ON.
Diffo lo primero^ queFPl f L, es como Cd, íemiexe, ó íe*
midiametro mayor de la; eltple , á CI^ íemiexe , ó femidia-
snetro menor ; y aísi: en todas las dejmás»
. . Demonfir. £i reébngulo AFH) , al redaneulo ACH y es
(5 •) como el qüadrado de FL, al quadr^ido de CI ;pero el
. rectángulo AFH, e¿(cotoh de la i ; .6.£ud.) igual al qüadra-
do de FP ; y el redangulo ACH , es igual al qüadrado de
6S1 luego el qttadr^o.deFP,.áL qüadrado de CS/rs CD|np
d^.qiu¡diadadeFL,al quadra^lo de CI9 y ailteroando^el qu^
drado de FP, al qüadrado de FL , es conm^.quadrado de
es , al qüadrado de CI ; y como ( zo.6.£ucl. ) los quadra-
dos tengan entre sí la razón duplicada de fus lados , la ra-
zón duplicada de la de FP , a FL , ferá la mifma que la
duplicada de CS,á CI: luego la mifmaxazon hay de FP,á Í^L,
.'i:;;': que
t
170 Trat. VUL De las tris Ssccio n. Con.
que de CS femieze , 6 íemidiametro mayor , á CI femie*
xtfi íemidiametro menony aísi en lasdeaus femiordenadas.
Con (emejante demonftracion fe convence la fegunda
parte de la propuefta : efto es , que tiradsR las femiordenl-'
das ZXY, y las demás, es ZY á ZXy como CA , femidiame--
uo mayor, á CD , femidiametro menot.
PROP. VnL Thcorcma.
1/ circuh del exe vmíjw. tiene C9n U eliffe U mfma ráx4§ que
itaíe el diámetro mayor conel menor ; j ejfd mfmá rax^n
tiene U eliffe con el circulo dei exe
ni$mfr. {^g. io«) ^
DEmueftrafe £icUmente por la methodo^ue llaman de
mdivifibles j ó fegun el Padre Apdres Taauet, de etbe^
rogemos. Coníidereofe tiradas todas las ordenadas poísibles^
paralelas á la VS , y quedará formada con ellas toda la área
de la elipfe,y del circulo mayor ; y como toda$ elUs orde-
nadas íean cortadas por la elipfe en la razón miíina de CS i
CI, fe (igue , que todas las del circulo mayor juntas , á to-
das las de la elipfe , efto es , la área del circulo mayor, á \z
de la elipfe , tendiüá la razón de CS , femidiametro mayor^
a CI, femidiametro menor. Afiímifmo, íi fe confiideran to-
das las poísibles dentro de la elipfe paralelas á AH , fe in^
fiere tienen todas las de la elipfe á las del circulo menor la
razón de AC , femidiametro mayor, ¿ DC, femidiametro
menor : luego el circulo mayor á la eltpfe, y éfta al circulo
menor,tienen la razón del íemidiacoetro mayor al femidia*
metro menor.
COROLARIO.
EL cifcído dtl exe m49or , (4 üiffi ,7 el ckeulo delexememr
fon €ontimi9s frifmioúdUs ^ fot tentr U ráxau rmfmá dd
txe májor ulmnn.
»-■.••» / í
PR.OP.
s
Libro L 171
PROP. IX* Thcorcma.
ti crnnk wjú rsdh es medio froforoond entre el femiexe ma-
yor y j el femiexe mcmr de U etiffe , es igud
4 la eliffe^ ( Jí¿, jo, )
^£a la B media proporcional entre el femiexe mayor
^ CH , y el menor Q. Digo , que el circulo hecho de
b y como radio , ferá igual á la eíip^,
Demenfir^ El circuto mayor ASHV , al circulo hecho
del radio X tiene ( 2« iz.Eucl) razón duplicada del radio
GS al radio B ; y fiendo la razón de CS á CI, duplicada de
k de es á B, por fer proporciónales CS , B , CI, el circulo
mayor ASHV, al circub h^cho de B , ferá como CS á CI;
pero el mifmo circulo mayor á la elipfe e$ también (8.) co-^
mo CS áCI: luego el circulo hecho del radio B^y la elipíe
ion iguales*
COROLARIOS.
I T^S ^^i fi (^^if ^l wodQ de hacer un árctdo igud a una
\ J eüpfey fifes foU con hallar una media fropercional en^
ere fus femiexe s marjer \ y menor , el emulo que Je hiciere con
dicha media como radio , fer a igual a la elipfe.
z ti reSangub circunfcrtto k la eliffe , y el quadrado cir-:
ounfcrito al ctrculo hecho de la media proporcional Byfon iguale s\
porque el lado de efte quadrado jh el diámetro del árcuU ¡obredi^
cho es medio proporcional entre los Lados de aquel rectángulo ^ i
éxesdc la elipfe , i quien fon iguales. . r.
^ Las elipfes fon entre si como los reSangdos de fus exes.Las
que tteneti los exes reciprocos fon iguales. Las femé] ames , eflo esy
las 4iuf tienpn losexesproporeionalesytienenla razien duplicada de
fus exes homólogos, las que tienen un exe igual , tienen la raz4m
que lei otros exes : 7 las que confian de exes defiguales y tienen la
f4x*an compuefta íe fus exes^
PROP* X* Problema,
HxpHcanfe dos modos de defcrsvir la eHpfe^ dados fus dos exes.
N cfta propoficion explico dos modos de delinear la
düpíe ) fundados en lu propiedad primaria ^ que fe
de-
E
I
«
$J2 Trat. VUL De las tres Seccion.Cok.
demonftró en la frof. 5. Mas adelante fe darán otros , fun-
dados en otra propiedad fuya*
Mudo I* Cm- II- ) Dados el exe mayor AB , y el iemi*
exe menor CG , fe pide (e defcriva la elipíe.
Operación. Del centro C defcrivaíe ei (emicirculo AKB:
dividafe AC en qualefquiera partes iguales , ó defí^uales,
como L, D: tírenle LM^DE paralelas a CK: divídanle ¿(las
en N , y F , íemejantemente que lo eftá la CK en G ; eíto
es, fea D¥ á D£ , como CG á CK ; y aísimifmo LN i
LMyComo CG á CK. Digo, que los puntos A,N,F,G,eftán
en la periferia de la elipie ; yj>or conüguiente , íi por ellos
fe tira una linea curva AInE^ , &c* quedará deícrita k
elipfe. Qiianto mas fueren eftos puntos hallados , ferá mas
perfeda la defcripcion.
Dfmonflr. El quadrado de DE es igual al redangub
ADB , (i7.6.Euc*)y el quadrado de CK es igual al reCtan--
guio ACB ; y liendo por la conftruccion' DF á DE , como
CG á CK , lera ( zz. 6* Eucl. ) el quadrado de DF al qua-
drado de DE , como el quadrado de CG al quadi^ado de
CK ; y alternando, el quadrado de DF al de CG, es como
el quadrado de DE al de CK : luego d quadrado de DF,
al quadrado de CG , ferá como el redangulo ADB , ai
re¿tangulo ACB: luego (5.) el punto F efta. en la Deriferit
de la ^pfe« Lo mifmo íe probará del punto N, y de todos
los demás : luego ANFG, &c. es elipíe.
Modo 2. (fi^. iz.) Sea dado el exe mayor AB , y el
menor CD : pidefe fe deícriva la elipfe.
Operación. 1 omefe con el compás la diferencia del fe»
miexe mayor al menor ; y pueílo:^! tin pie en qualquíera
punto G del exe mayor,feñalefe con el ocro en el exe menor
el punto p: tirefe la FGH igual al femíexe mayor. DigOj^
que el punto H eftá en la periferia de la elipfe* Hagafe lo
mifmo (obre diferentes puntos de la AB , y fe tendrán mu-
chos puntos de la pemeria de la ielipfe í y guiando por
ellos una linea , quedará hecha íu defcripcion.
. Para la demon^acion defcrivafe el.lemicircOlo ALB;
y por el punto H tirefe la IHK perpendicular á AB;y jut^
tefe la £L
' De«
Li9Ro I. .' : 173
Demmfir* Las lineas FH, £1 fon iguales, por ferio en-
trambas al íemiex.e mayor £ A, las quales juntan las paralé-
lelas HI, FB: luego ellas Ion paralelas: luego ( z. 6. bucU }
en el triangulo EIK, a(si fe ha £1 , igual al lemiexe mayor,
con GH , igual al (emiexe menor , como KI , (emiaplicada
al'circulo, con KH, remia{>licada á la elipíe : luego ( 7. ) el
punto H eílá en la periferia de la elipfe ; y afsi en los de*
más.
Para mayor facilidad de la pradic^ íe íuele cortar una
regla de madera , como MN , igual al femiexe mayor de U
elipfe : y alli milmo fe nota el íemiexe menor OM; y ajuC-
tando el cabo N (obre la C£^ y el punto O fobre la AE, de
fuerte , que corriendo N por la CE , jamás (e aparte O de
la A£, la extremidad M irá deícriviendo la elipíe : a efte
modo fe han difcurrido algunos otros inílrumentos para fu
defcripcion*
PROP. XI. Problema.
Hallar el parámetro del esce de la elipfe. ( /í¿* i J • )
Pídele. el parámetro, ó lado re¿i;o del exe AB de la
elipfe.
Operación* Hagaíe como AB , al exe conjugado CD;
afsi CD á AE. Digo , que AE ferá el parámetro del exe
AB ; efto es , que AE (era la medida de los quadrados de
las aplicadas al exe AB.
Antes de demonftrar efta regla quiero advertir, que
los antiguos Geómetras hallaron en las fecciones cónicas
ella linea llamada Parámetro , para tener en ella una ipiedi-
da fíxa, y determinada, por donde pudiefTen nivelar, y
medir con mayor facilidad las potencias, ó quadrados
de las lineas aplicadas á los diámetros de dichas lecciones,
coía que era muy conducente para averiguar fus propie-
dades. El modo con que por el parámetro (e miden los
quadrados de las aplicadas, coníifte, en que el quadradpde
qualquiera aplicaaa , como por exemplo el de FG, es
igual al redangulo hecho de la fagita FA , y de la Unea
FI y que es el rectángulo FH s y aísi en las denía^ aplicadas:
y
174 Trat. yin. De tA$ TRES Sección. Con.
y porque dios reéíangulos en la elipíe fiempre fon meno-
res que el re&angulo hecho de la fagita , y parámetro, por
tener iicmpre por lado una linea , como rl , menor que el
parámetro, como íe colige de la operación (bbredicha; por
ella cauía efta íeccion cónica (e llama elipfe , que es lo mi&
mo que dificienti : á diferencia de la pdrab$la , en que los
quadrados de las aplicadas ion iguales a Jos reá:angulos (b-
bredichos del parámetro , y fagita ; y de la hipérbola , en
que los mifinos quadrados fon mayores * que dichos rec-
tángulos.
. £ílo iupuefto ) para probar que la reda hallada AE es
el parámetro del exe AB, hágale AE paralela al exe CD.
Tirefe la BE , y también las femiaplicaaas que (e quilieren,
como FG , que extendida, cortará la BE en I ; y perñcione-
fe el paralelogramo AS : y últimamente tireíe la IH parale-
la á AB. Demueftro pues , que el quadrado de FG qs igual
al redangulo hecho ae AF, FI , que es FH.
Dem§njir. Por fer FG , MD íemiaplicadas al exe AB , es
( 5. ) el quadrado de FG al quadrado de MP, coiiioeJ rec-
tángulo AFB al redangulo AMB , ó quadrado de AAí:
luego ( 2 j. 6. EucJ. ) tienen la razón compuefta de íus la-
dos, efto es, de AF á AM , y de FB á AM; pero el reólaa-
gulo AFI,cfto es, FH, tjene también la mifma razón com-
puefta déla de AF á ANÍ ;y de la de FI á ML, que ( 2. 6.
Eucl. ) es la mifma que ía de FB á AM , d MB : luego el
redanguloFH, al redangulo AML, tiene la mifma razón
que el quadrado de FG, al quadrado de MD; y alternando,
el redangulo FH , al quadrado de FG, tiene la mifma ra-
zón , que el redanguio AML , al quadrado de MD ; pero
el quadrado de MD es igual al redangulo AML , como
luego probaré: lu^o elreélangulo FH es igual al quadra-
do de FG.
Qge el quadrado de MD (ea igual ^ redangulo AML,
es claro ; porgue AB , CD , AE fon jpor conllruccion pro-
porcionales : luego el re&angulo de las extremas AB , AE,
(17. 6. EucL) es igual al quadrado de la media CD : luego
fus quartas partes (on igualen. El quadrado de MD es la
quarta parte dd quadrado de CD doblada de MD; y el
rec-
Libro I. • 17J
reiSbngulo AML, o LMB, es la quarta parte del redangu-
k) AS , por íer ML mitad de AÉ : (z. 6* EucL ) luego el
quadrado de MD y y el redangulo AML , Con iguales, que
es lo que faltava .proba^r.
. Dé la mifina fuerte que ie ha hallado el parámetro de el
exe mayor, ic hallará el del menor, haciendo como CD i
AB : aísi AB al parámetro que íe bufca , el qual fer^l mayor
que AB.
% COROLARIOS.
I T? Lparametro AE del exemayar , elexe menor CD , elexe
XZi fnajfor AB jj el fAtatnetto del exe menor ^ fpnquatro
continuos froforcionédesy forque for confirmüon es ABaCDf co-
mo CD a AE , parámetro deLexe mayor : luego invirttendojfeti
AEy parámetro del exe mayor y a CD, como CD a AByyfiendo tam-
bién for conjlruccion , como CDaABy afsi AB al parámetro del
exe menor y ¡eran quatro continuos proporcionalesy como AEa CDy
dísí CDa AB;y afsi aBoI parámetro del exe menor : luego los
dos exes de la elipje fon medios proporcionales entre los dos para-
metros ;y por configmente , fi dados los parametrosy fe defcriviejfo
la elipfe^ ¡i hallarían las dos medias proporcionales*
2 Bl quadrado de qualqtúera aplicada , como deEGy al rec-
tángulo AYB , tiene la mifma raz^on que el paratñetro AEy al dia-r
metro ABy porque fon proporcionales AByCDy AEi luego ( co-
rol. 20. 6* Eucl. ) AB^AEyOs como el quadrado de ABy al qua-
drado de CD'y y por conjiguiente , como el quadrado de AM , al quor
drado de CM : luego myirtiendo , fer^í como áe}í AB\ afsi el qua^
drado de CM , al quadrado de AM, i reSangulo AMB ; pero ( 5. )
el quadrado de CM , al reSlangulo AMB , es como el quadrado de
IG y al reílangulo ÁEB : luego el quadrado defG^ al reüangu-
lo AFBy^escomo AEa AB.
PROP. Xn. Theorema.
£/ quadradodel exemenores igualal reSangnlo del exe msyory
y el parámetro.
LA ra2on confia de lo dicho , porque (i i.) el exe menor
es medio proporcional entre ei exe mayor, y elpa»-
rametro : luego fu quadrado (17. 6. Eud.) es igual al rec-
tan-
IjS Trat. VIH. De las tres Sección. Com.
tangulo del exe mayor , y el parámetro. A. efte rectángula
llaman ahfolutamente Figura.
COROLARIOS.
I T7L ^fuináM dil finüexe HD^ (fig. 13. > es igu4 %U
XZi quarta fMe de la figura^ i reüaagulo AS, becoo del exfi
majoTj y elforametre : forque el quadrado de MD ^es la quarta^
forte del quadrado del exe memr CD ^ el qud fe ha frobadofer
igual al reüanguh AS. - ^
2 Tarubieu perfer el exe majw medio poforúmal entre el exe
menor yjfu parametroy es fu quadrado igual al reSangulo del exe
menor yj- fu fétrametroyj el quadrado del fenuexemajor^ igual í
la quarta forte de dicho reSaugulo.
PROP. Xin. Problema^
Otra modo de defcrivir U dkha eüffe. ( jig* 14* )
S£a dado el paralelogramo ABCD , cu/a diagonal AC,
hade íer el exe mayor de la elipíe que (eba de deícrjt-.
vir. Operación. Tírenle las paralelas que fe quilieren £0,
KM, NS. Hagafe FH, media proporcional entre EF, FGt
y afsiroilmo LO, media proporcional entre KL, LM; y tam-
bién hagafe PS, media proporcional entre NP, y PR: y aísi
en quantas paralelas fe quiliere. Digo, que los puntos H,
O, S, ellán en la periferia de la elipíe ; y llevando por ellos
una linea , quedará hecha fu defcnpcion*
Demonjlr. La razón del redangulo £PG > al reñanguto
KLM , k compone de la razón de £F a KL , ú de AJF á AL,
ue es la fniitnr,(2.6* Eucl.) y de la razón de FG .a LM, u
e CF a CL , que es la miíma ; pero la razón del reólan-
gulo AFC , al re<^angulo ALQ. le. compone de las miíhaas
razones de AF a AL, y de FC a LC: luego afsi fe ha el rec-
tángulo EFG , ó el quadrado de FH fu igual , al rectángulo
KLM, ó el quadrado .de LO fu igual, como el rectángulo
AFC, al rcSangulo ALC 2 luego ( j. ) los puntos H, y O,
eftán en la cirouníerenda de la elipíe» y lo miíhio fe coa-
vencerá délos demás. ;. ...
3;
v^ .
PROP.
Libro I. tjf
PjROP. XIV. Problema,
Ihub d (enm it la üifftj, üxar los txes. (fig^is»}
OVetaáon. Del centro da4o A,hagaíe un arco de círculo,
que corte la clipfe en dps puntos B , y C. Tirefe la
reda BC , y pattafe por medio en D ; tirefe por A, y D, U
reda MN , "y ferá el exe mayor ; y tirando la pcrpendieular
KE, por el centro A, ferá el exe menor.
Demonjtu La recta NM, pafla por el centro del circulo^
y parte por medio i la cuerda BG: luego (j. j.Euc.) es per^
pendicular á la BC : luego (coroU i. de la 4.) NM es el ex«
ipay or^ y por configuiente, K£ es el menor»
PROP. XV. Theorema.
* 1
Todas las teñas que paffa» par el cmro de U elipfe , jf fe tnmhi
nafren fu peúferia^fe dividen par medio en el mifim
centro. (Jíg.ió,)
SEa el exe de la elipíe IS, y lu centro C* Digo^ que qual«
quiera linea^ como LP, que paíle por el centro C, quer
da dividida en ,C en dos partes iguales.
Fregar ámn. Tirefe dfefde L, la LN perpendiculaí: al exe:
cortefé CM, igual á CN , y por M , hágale la perpendicular
AlF, y ^irefe la Í^F,
Demonftu Las aplicadas MF , LN (coroU z. pop. 5.) ion
iguales ; las CN , y CM fon iguales por conilruccion ; y los
ángulos M,y N,redos iguales : iueso (4.i.£uc.)eftos trian-
gules fon del todo iguales ; luego Jos ángulos LCN , MCF,
Ion iguales ; y íiendo verticales, las lineas LC , CF , (15. i«
BucL) compondrán una linei^ reda , y ferán iguales: lu^o
la LF, fe divide ppr medio en el centro C.
COROLARIOS.
% ^T^Oáw los diámetros pajfan por el centro de la elipfe ; jf pof
X configmntey fe dividen alli en dos partes iguales.
2 Las aplicadas a qualquiera diámetro en igual diftancia del
4€ntrofon iguaUsí ionfia de la demonflracion mifma del Theorema^
TOWIH. A4 PROP*
fjB Jrat.VIIL De las tres Sección. Con.
PROP. XVÍ. ProblenMu
Dádéuá ^mittü en U eüfft , hattár W iiamtfo €$níiig4doy Us
áflkaiASy j el centro. ( pg.^. )
OVeraám i. AI diámetro dado AB , h«gaíc la paralcb
FI : dividaníe entrambas líneas por medio en £ , y
K r tírele Ja reda CEKD> y ^lU ferá el diámetro conjuga-
do ; porque íi por £ paiTare otro diámetro conjugado, di^
vidif la la FI por itiedio en otro punto diftinto deK^io que
es itn^oísible: luego CD es el diámetro conjugado. ( ie-
2 Tireníe qualefijuiera parálelas i la CD , . como foa
GF) HI, y eftas (enin las aplicadas al diámetro AB.
} Para hallar el-ceñtro d« k elip(e,*(] fuere dado fu
diámetro, baftará dividirle por medio con un puoto,y éfte
teráel centro, como confta del cwol. i. de la prop. pafiad^
Eero fitro fuere dado el diametro,tirenfc dentro <ie ella dos
neas paralelas como le ijuiera , como MN , FI, dividaníe
por medio en O , y K , y tirefe la linea COKD :. divídale
CD por medio en É, y elte punto ferá el centro. La razón
es , poraue el centro eftá en <iicha linea CD : likgo es el
punto É, que la divide por medio. Que el centro eltó en la
CD , es claro , porque no éftande e» ella , dtaria en algún
otro punto fuera de ella, como en P: luego íi por el punto
P, Ce tirare un diámetro conjugado á AB,dividiria por me-
tíio las paralelas MN, FI, en O, y K ; y tirando dicho dia*
metro, pafliria por OPK; conque efta reda, y la OEK,ccr*
rarian ef pació , lo que es impoísible z luego el centro nO
puede tmt fuera de la CD: luego es el punto £.
COROLARIOS. -
I Q7 el diámetro divide fot medio una linea y que nojfaffa pof
^ ^l ^^^^0 , divide afsinúfmo for medio todas fus farMeUs^
y feran fus aplicadas.
2 Qualquiera linea que parte igualmente dos par délas den-
tro de la elipfe, es diámetro^ j paffa por el centro.
3 Hallad» el centro^i fe tirarh facUmente un Aametro de U
Libro L ly^
elipfe , de un punto dado en fu periferia , con filo tirar una linea^
que faliendo del punto dado pajfe por el untro.
4 la apiicaday que paj¡a por el centróles el diathetro conjuga^
do'y porque cowo G¥y Hl Juan paralela^ , como también GS^ ¥I , es
Gi paraUíogramo: luego UafUcada CD , que es paralela alas GF^
Hí, partiendo por meato la Guiparte también por meiUo la Fl, fio
mifmo a qualqmta otra paralela :. luego es diámetro jíonjugado.
(ief.y.)
PROP^ XVIL Thcowma.
Bn la elipfe el txe mayor es el diámetro maxnho , y el exe menor u
el mimno, J los diámetros que fe apartan igualmente de los
exesfon iguales y j aquel es mayor y que mas difta
del exe menor. ( Jíg. 17. )
1 ^Ea IS d exe mayor de la elipfe. Digo , eme qual-
i3 quiera otro diámetro es menor que IS. Del cen-
tro C , con el radio CI , hagafe un circulo ; éíle tocará á la
elipfe en el punto I , y caerá todo fuera , como confia de la
miífiía naturaleza de la elipfe : luego quatquiera otro dia«
metro no llegará á la peri^ria del circulo : luego lera me^*
lior quelS.
2 Sea MN el éxe meñon Digo y que qualquiera otro
diámetro ferá mayor que MN. Con el intervalo CN ha*
gafe un circulo, y tocará interiormente á la elipfe en N,y
todo caerá dentro ; luego qualquiera otio diámetro exce*
derá ü exe menor MN.
3 Digo, que los íemidiametros CH » CG, que diftan
igualmente del exe IS y (bn iguales. Tirefe la HG , que por
diftár igualmente los puntos H, y G del exe IS, quedará
dividida por medio en O , y ferá aplicada al exe : (corol. u
.16.) luego los triángulos CGO,GH0 tienen los lados
ÓG y OH iguales , y OC común ; y los ángulos en O rea-
tos, por feria GH aplicada al exe: luego (4. i. Eudid.) lo$
íemidiametros GG, CH ion iguales. ^
4 La CH , Que difta del femiexe CN mas aue la CK^
es mayor que CK;porque íi íe deícrive con la diuancia CH
un circulo ^ cortará á la elipfe en H, y el femidiametro CK
Aai . de •
l8o Trat.VIII. De tAS tres Sección. Con.
de la clipíe no llegará al circulo : luego^el íemidiametra
CH es mayor que CK«
PROP. XVm. Problema^
J)ai$s los exes de U elipfe , hallar los dos diamtíroi ínóugMdof
iguales. C)í¿.i80
SEañ dados los exes IS , PQ^de la elipfe: pideníe ios dos
diámetros conjugados iguales»
Operación, Tírenle IP, IQ^, que leran igualen, (4«i.£u*
clid. ) por ier en los triángulos lOJ^ , lOQ^los ángulos eit
O iiectos ; y los lados lO, OQ^; lO, OP iguales. Partanfc
las IP, lCÍ.por medio en RT : por eítos punios , y el cen-
tro O, tireníe las VO^LO,^ éítasferán los diámetros con-
jugados iguales.
Demonfir. Los triángulos ROP i TOQ^, tienen igua^
les los lados OP, CXi^, y TQ^, RP, y los ángulos P, y Q^
lueeo (4. I. Euclid.) ÓT, OR fon iguales; y alsimifmo lo
Ion los ángulos ROP , TOQ, que quitados de los augur-
ios O reétos , quedan ÍOT , lOR iguales : luego (17.) los
ftmidi^fn^tros ORV , OTL fon iguales. También por íer
el ángulo POI redo , el circulo deícrito deíde R por I^
paliara por O : luego RI , RO ion iguales ; y los ángulos
ROÍ, RIO » C 5- !• Euclid. ) umbien fon iguales. Siendo
pues, como fe ha dicho, el ángulo lOT igual á ROI,(erán
guales los alternos RIO, lOT: luego (aíJ. i. EucK) lasPl,
L Ion paralelas ; y afsimifmo íe probará lo fon las VO^
IQ^: luego los femidiametros VO, OL , dividen por me-
' dio mutuamente fus paralelas : luego fon conjugados y y
por la razón íbbredicna iguales.
COROLARIO.
EN los diámetros conjugados iguales ^ el reHangtáo hecho de Us
fegmenm del diámetro es tgual al cuadrado de fu afUcada^
comoelreHangulo VKS es igual al quadrado de m; f0rqu0 (5.)
el quadrado de i^Z, al quadrado de OL , es como el reüangiloVRN^
al reHangulo FON ; y alternando , el quadrado de K/, al reüangu^
toVRS , es como el quadrado de OLyal reñauítdo KON ; pero efit
qu4drado de OL es igual (i?*^* BUclid.) al reüa^uío VOSi /iirg#
V el
W quadrddo ie HI es igudl al reSangulQ KKN; j áfsi en Usdmh
aplicadas. ' *:
PROR XIX. Problema.
Jbef&cafe cm modo de defirivir la eliffe. (fig. 19* ) ^
DEfcrivaft un circulo,y tirenfe en él los diámetros AQ
DP , que íe corten perpendicülarmfente : tomcnfo
en el diámetro AC los puntos que fe quifieren E , H , &c*
dillantes entre sí en igual , üdeügual diftancia» y tireníe
por ellos las^^reétasEF, HI, &c. paralelas al femidiameiro
BD. Hágale la £G igual á EF con la inclinación arbitra-
ria : hagafela HIC paralela á la EG , é igual á HI ; y afsi-»
mifmo la BL paralela á HK , é igual á Bl> ^ y aísi étf todas
las reliantes : y tirando la curva AGKLC por los puntos
G,*Kj&c. quedará defcrita la una mitad aela elipíe* La
. otra mitad (ejpodrá hacer del mifmo modo , ú haciendo la
EO igual á EG , la HN igual á HK j y aísi en las demás , y
quedará concluida la elipfe. ^ ,
Demonjtr. £1 quadrado de EF ( 17. 6. EucL ) es igual ú
re¿íangulo AEC ; y fiendo EG igual a EF, íerá el quadrado
de EG igual al reótangujíí AEC. Afsimifmo probaré fer el
3uadrado deHK igual al rei^t^ngulo de AHC; y afsi en to-
as las demás : luego el quadrado de EG j al quadrado de
HK, escomo el rectángulo AEC , al réétangúlo AHCf
luego ( 5. ) los puntos G , y K eftáó en la periferia de la
elipíe.
Aquife hace otra vez. evidente, que quanda en U eliffe los dia-^
metras t^iHfUgoMs fon iguaUsy como lo fon aqai AC^IM , los qua^
arados de las aplicadas jon iguales a los reñangulos hechos de los
fegmentos del diámetro , como hemos vifto»
PROP. XX. Theorema*
Qualqukra exámetro (Hv'tde la elipfe en dos partes iguales ; lot
^Hametm conjugados la parten en quatro partes iguales ;.jr
tú$ Jeüores verticales opuejlos fon iguales.
. (fig. 20.)
Digo lo primero , que el diámetro IS divide la elipíe
en dos partes iguales ; porque por todos los puntos
ima-
|8i Trat. VIH. De las tres Sección. Con»
imaginables de IS le pueden tirar aplicadas ;í y como el
diámetro las divida todas en panes tóales , umhiea divl*
dirá afsimifmo U elipfe.
Digo lo fegundo , que tirados cjualeTquiera diametror
15 , PQ , los fectores POS, lOQjerticalmcnte opucítos fon
iguales ; porque, como hemos probado y IPS es mitad de la
wpíe, y arsimilmo PIQ: luego ion iguales : luego quitan-
do la común POI, quedarán POS, lOQ^ iguales.
Digo lo tercero , que liendo las IS, PQ^diametros cop*
jugados , queda la elipie dividida en quatro partes igua^
les ; porque todas las aplicadas á lO (bn paralelas á PC^ y
divioidas por medio : luego los ícdores lOP , lOQ^ ion
iguales; y iiéndo fus verticales opueftos también iguales con
los ibbredichos , también lo (eran entre sí : luego queda b
elipfe dividida en quatro partes iguales.
PROP. XXL Theorema.
la re94 quefaliendo del centro de la el'spfe parte por medio ufui
fubtenfáy divide también por medio al fegmento , j alfeüor^
j las ¡ubtenjas tiradas del vértice cortan, fegmentos
iguales, (jig. 20. )
1
EL diámetro IS parte por medio en E á lá fubtenfa C£>.
Digo lo primero, que elícgmento CID queda tam-
bién dividido por medio ; porque ii fe. imaginan todas las
paralelas pofsibles a la CD , todas quedarán divididas por
medio con el diámetro IS , como lo eitá la CD : ( coroL i.
16. ) luego todo el fegmeñtu CID queda dividido por
medio.
Digo lo íegundo, que el ftdor OCID.queda dividido
Ejr medio; porque fi en el triangulo COD fe tiran parale*
s á la CD , como lo es la HL , quedan divididas por me-
dio por el diámetro IS : luego todo el íedor fobredicho,
que (e compone del (egmento CID , y del triangulo COD,
queda dividido por medio.
Digo lo tercero, que fi del vértice I íc tiran las fubten-
ñisIC, ID, los íegmentos IC, ID Con iguales; porque fi de
los medios Tegmentos iguales I£C, I£D>(e quitan lostrian-
Libro L %S^
gulos CEI , DEI iguales , quedarán los (bbredichos íbg-
mentos igualen.
COROLARIO^ ^
Sí dado elfeSor lOD , fr pidiere otro feítor igual formadú cow
una reSta tirada del centro O ala periferia , je ttrara del
punto Djta DCy aplicada al diámetro IS ; j tirando la OC^queda-
r a formado elfeHor lOC, igual a lOD , como confia de lú detnmf*
trado*
PROP. XXlIi Theorcma.
Las tejías ABy DCj que juntan las paralelas ADj BC ^ cortan tos
fegmentos ilOB-, D?C iguales, (fig. 21.)
DEmúnfir. Dividanfe las paralelas AD , BC , por medio
en E , y F ; y por eltos puntos tircíe la. reda EFH,.
que ( caroLi.prop.i6.) ferá diámetro; y por la anteced. los
íegmentos BFH, CFH, íerán iguales , y aísimifmo los íeg-
mentos AEH, DEH ; y quitando de éftos los primeros,que-
darán los íegmentos AOBFE , DPCFE iguales. También
por íer AE,ED iguales, como también íus paralelas BF,
CF,y la altura Fü común, ícrán los trapecios reftilineos*
BE , CE iguales : luego quitándoles de los íegmentos igua-
les AOBFE , DPCFE, quedarán los fegmentos AOB, DPC
iguales*
COROLARIO.
DAdo el fegmento AOB ^j el punto D , en U perdería de U
clip fe fjífejpide que del punto D , fe tire unareáa DC^qué
corte el fegmento DPC , igual al lado AOB , fe tirara la relia ADi
y del punto B, la paralela BC \j tirando la DC , quedara formado
el fegmento DPC^ quefegun lo dimonpado, fera igual al fegmen-
to dado AOB.
PROP. XXm. Theorema^
Las paralelas tiradas dentro de la elipfe de las extremidades del
diámetro fon iguales y j la reña que las junta es
diámetro, (ñg. zs. )
DE los puntos M , y N , del diametr
ralelaSvMQ, NP. Digo , que Ion iguales. , y que la
^E los puntos M , y N , del diámetro MN, fakn las pa-
__ ' rdelas^MQ, NP. Digo -
PQ^que las junta es diámetro*
Tre^
184 Trat. VIII. De t a$ tres Sección. Con;
Prepdr ación. Pártanle dichas paralelas po,r medio enH,y
F , y tirefe la F£ » que ( coroU i» puf, 16. ) (era diámetro , /
paífárá por e| centro O.
Dtmonjlu Los triángulos MOE , FON^ tienen los angu- .
los FON , MOE iguales ; ( 15.1. Eucl. ) y losN^ y M, tam-
bién iguales , por ícr alternos en las paralelas ; ( 27a, Eucl.)
y los lados MO, ON fon iguales : luego dichos triángulos
( 26. 1 «Eucl. ) fon del todo iguales: luego M£,FN (bn igua-
les : luego íiendo mitades de MQ , NP , ierán ellas lin€2S
iguales. También tirando las redas PO, Qp , los triangu*
los EOQ^ POF, tendrán los ángulos P, y Qjguales,por íer
alternos en las paralelas. Afsimifmo los ángulos OEQ,
OFP, fon iguales , por 1er complementos al femicirculo de
los OEM , OFN, que antes íe probaron íer iguales; y lien-
do también iguales los lados EQ, FP , como antes dixe, fe-
rán eftos triángulos totalmente iguales : kiego los ángulos
EOQ^ POF, fon iguales ; y fiendo verticales , feran ( 1 5. !•-
Eucl.) las PO, OQ, una linea re¿ia,y como pafle por el cen-
tro, íérá diámetro.
PROP.XXIV. Problema.
De un punto dado en la periferia de la elipfe , tirar la afücada ai
diámetro dado» ( ^¿« 23 . )
m
SEa dado etdi«netro AB", y en la periferia de la elipfe
el punto C. Pidefe, que de eíte punto fe tire la aplica-
da á dicho diámetro.
Operación. Tirefe la reSa CAD, y cortcfe AD., igual i
CA : tirefe la DE, paralela á AB , que llegue a cortar á la
elipfe en E : tirefe la CE , y ferá la aplicada que íe pide.
Detnonftr. En el triangulo CDE , por íer AF paralela á
DE,es( 2.6.Eucl. )CF á FE, comoGAá AD; peroéftas
fon iguales : lutgo también aquellas > y por confíguiente , la
CE es aplicada*
PROP^
PROP. XXV. Theorcma*
tás Imiát jtH, BE (figé 24» ) que féden de las extrimdades de U
^flicádá AB j y concurren en el punto E del dumetr0 , cortan U
eüffe en los puntos F^y G , tales , que le re^a FG, quiUs-
juma y es paralela a la aplicada AB.
m
ES derto, que del punto F, fe puede tirar una paralela á
AB, jque corte al lado £B. Pruebo pues , que dicho
punto es GjComun á £B , y á la periferia de la ekpíe; por*
que fupueíio fean IG^AB paralelas , (era (z.é.EucL) como
D£ sL lE, aísi AP á F/,y DB á ¡G: luego alternando, ferá co-
mo ADiDBj aísi ¥1 a IG; pero AD, es igual á DB: (defin.6.)
hiego Fi, es igual á IG : luego el apunto G eftá en la periferia
de la elipíe : ( coroL i. pop. 4* ) luego la reóta que junta loi
^pUQtos ly Gy es paralela.
PROP. XXVL Theorema*
jQualquier linea que fale de la extretmdad del diámetro y paraleU
a las apocadas y es tangente. ( jíg* 2 5 .)
LA reda ACy es paralela a las aplicadas , y (ale de la ex*
tremidad del diámetro AB. Digo , que es tangente;
porque i¡ no lo fuera, caería dentro de la elipfe,como AD.
Siendo pues AD , como fe fupoue , paralela a JEF , quedará
dividida en dos partes iguales por el diámetro: ( coroiar. 1.
frof.j^.') luego no faldrá fu extremidad A^ ¿ontra Jo fupuef-
to.
COROLARIOS. .
X T As dos tangentes ACy BG , tiradas por las extremidades
JL/ del diámetro , fon paralelas.
2 iisfe pidiere que de un punto dado Ayfe tire una tangen-
te y fe bufcara el centro^ y del punto Ay fe tirara por el centro el
diámetro AByy und aplicada a ejie diámetro^ a quien fe bar a la
far alela aC , jfera la tangente que fe pide.
3 El dianfetro que paffa por el punto del 'contaño , divide
far medio todas las paralelas a la tángeme.
PROP.
tSá Trat. VIII. D| LAS TRES Seccion. Con.
PJtÓP. XXVn. Thcorcma.
tí Id reSa AB^ifíg* i6. ) quetocá. i Ufliffe enB^tonmrecm
el diámetro en Ajj del contaüo B faU la dplkdda BHjj U BO X
U extremidad O del diámetro ; la reSa DBl , paralela a BO,
quedara dividida en i y en los dos fepnentos DE, . .
El iguales, {fig. z6. )
Preparación^ Dividaíe la BO , por medio en M, y tireíe el
diámetro MS y prolongándole haita que concurra con
k aplicada BH en G : tomcfe la MT , igual á MS, y tiren-
fe las redas BT , TO; OG , HK, y FN: alargucfe la DI,
hofta C , y tireíe el diámetro BSL»
Demonfir. Las reítas BO , HK ( ^5. ) fon paralelas , y
también lo es la DC , por conílruccion : folo es menefter
probar el paralelifino de la FN, con las fobredichas, y de la
kT,con la SO; para lo qual, confí dereníe los quatro tri^n-
ulos que tienea íus.quípides.eivM, y fui bafes fon BS,SO,
)T, TBjde los quales los opueftos fon totalmente iguales;
poique en los BMS , TMO , \ienen los lados TM? y MS,
Iguales» por conftruccion , como también BM ^ MO, y los
ángulos en iVl, ( i5.i.EucI.) fon iguales : luego'los triángu-
los íbbredichos (bn totalmente iguales : luego el ángulo
MBS, esjgual al ángulo MOT; y tiendo alternos, ferán las
BSN, y To paralelas. De la mifma fuerte probaré fer to-
talmente iguales los triángulos BMT y OMS , y que las
BT, SO fon paralelas. Elto fupuelto.
Por (er jparalelas las lineas fobredichas, (era (i*6*ÉdcU)
ON á NG , como TS 4 SG ; afsimifmo JJF á FG , como
las mifmas TS a SG : luego BF á FG , es ct)mo ON á NG:
luego ( 2.6.EucU) BO , FN fon paralelas; y como HK, fea
paralela á las fobredichas, fcrá BF á FH , como ON a NK;
pero BÍ , FH fon iguales : luego ON, y NK, fon también
Iguales : luQgp OK , es aplicada al diámetro BSL : ( coroL 1 •
16. ) lutgo ( 26. ) es paralela á la tangente AB^ También
, por fer tP, BO, HK paralelas,. fon ¡^ ,, ZP iguales; y qui-
tadas las ZI, ZC iguales, ( por íer entre si., como las MB^
MO y que lo fon por conftjraccion) qued^ las fagitas CP ^
lE
s
,^ Libro t. í9f
BE iguales. También las EP , BO (23;) íbn ¡guales ; y afsi-
miTmo las DC , V BO: (54. i> Eucl.) luego EP , y DC fon
iguales ; y quitada la común EC, quedarán DE, CP igua-
ks;; y havicndoíe probado íer El igual á CP,feran DE^ El
igiiales,que es lo que k bavia de probar. Efta propoftcion,
y la figuíente fe verifican también en el circulo , como fe
puede ver haciendo en él femejantes conftrucciones ^ y de-
moñftraciones.
PROP. XXVffl. Theorema.
Si un4 linea ma la eüpfe yj del contado fale una apUcada, feri
el mayor fermento del diámetro , al menor fegmento , como
la Jécante al fegmento exterior ; j al contra-
rio. ( fig.l7* )
SEa MS tangente, y del concaao S falga la aplicada SO.
Digo, que RO á ON , es como RM a NM. Juntefe la
SK , y tirefe por N la PQj>aralela á SR ; y por la prop.an-
tec. lerán PN, NQ^iguales.
Demonjlr. Los triángulos SOR, NOQJbn equiángulos,
por tener iguales los ángulos O; y los R, y N alternos en
las paralelas NQ^ SR : luego (4.6.EUCI.) RO a ON, es co-
mo RS á QN , ó a PN fu igual ; pero en los triángulos
MSR , MPN , por fer paralelas PN, SR, es RS á NP, como
RM ^ NM : luego RO a ON , es cómo RM á NM.
De aqui fe colige baftantemertte la converfií^que fi K(X
i.ON es como RM a NM , la MS es tangente ; porque íi
no lo fuere, feria otra la tangente , como porexemplo la
SZ : luego leria RO á ON, como RZ á NZ : luego no feria
RO a ON ^ como RM a NM, contra lo fupuefto. .
COROLARIO. ,
Siendo y como fe ha demonjlr ado , RO 4t.0N, como "RM a NM,
fer a ( 1 6. 6. Eucl. ) el re&angtilo de los extremos RO , Nií,
igual al de los medios ON y BM.
PROP*
y88 Trat.VIII. De las tres Sección. Con¿
T>ROP. XXDC: Thcorema.
Sí U tangente MS (fig. 27. ) de una eUffe^ o circuU concurre cm
el aiametre prolongado en M^ eireáangulo MCO9 feuk
igual al quadrado del femidiame-
tro CN, .
Dlmonp. ( 28.) RM á NM, es como RO á ON: luego
componiendo, ferá RM -+ NM á NM, como RO -*-
ON á OIní ; efto es , como RN á ON : luego h mitad de
cada antecedente , tendrá la mifma razón con fu conCe-
quente*; efto es , ferá CM á NM , como CN á NO ; y al-
ternando, íerá toda CM á toda CN , como el fegmentb.
Suitado NM , al otro Tegmento quitado ON: luego el refi-
uo CN al refíduo CO, es como toda CM á ^oda CN: lue-
go el redangulo de los extremos, efto es , el quadrado d«
CN y es igual al reftangulo de los medios CM, CÓ«
COROLARIO.
SJguefey que CO, dtftancia entre la aplicada^ j el centro, la CNy.
femuiíametroyj la MC fon continuas PromcioMdlesyfot fer
. el quadrado de la media igual al reílangulo de las extremas. Es
de Apolonio Pergeo. - ,
■•
PROP. XXX. Theorcma.
• «
^i la tangente MS (fig. 27. ) de una elipfe , I circulé cpicurre con
el diámetro en M;jf del contaño f ale la aplicada SO j fer a el
. • reñangulo MOC al quadrado de la apttcada SO , íquiq ^
el diámetro NS , al parjmetro.
Dlmonfir. El reftangulo MCO , es ( 3,2.Eucl.) iguala al
reélangulo MOC , mas al quadrado de OC : tam-
bién eí quadrado de NC (que por la antecedente es . igual
al re<9ánguIo MCO ) es afsimifmo (5.2.EUCI.) igual ai resc-
tangulo RON , mas al quadrado de OC : quítele efte qua-r
drado de OC de entrañabas partes de la igualación, y que*,
darán los redangulos MOC, RON iguales: pero el reáaij-
guio RON al quadrado de SO , es coaio el diámetro RN,
al
f-
L I b;i o í. 189
.^1 parámetro: ( coroL 2. prof. 11) luego el Peftangulo MOC
al quadrado de SO , es como el diámetro KN al parámetro*
PROP. XXXI. Theorcma» x
£0 el mifinú cafo (fig»ij. ) el reS Ángulo RMtij hecho de Ufecan*
te ij fu exterior fegmento , es igual al reáangulo CAÍO,
hecho de la fotcion de lafecante haftdel centro^
i jdela porción de la mifma Jecante
hafia la Áflicad^.
DEmonftr. Por el coról. de la prof» 29. es CM i, CbJ,
como CN á CO : y, fi fe quita CN de CM, y CO
de CN , ferá como toda la CM a toda la CN ; aísi lo qui-
tado CN,á lo quitado CO: luego fera también toda la
CM á toda Ja CN , como el refiduo MN , al refiduo ON; y
componiendo CM -+ CN, efto es, RM, ferá i CM, comp
NM -+ ON , efto es , OM á OÑ : y otra vez dividiendo,
' ( quitando la CN , ó la RC ^u igqal y de la RM ) ferá la RM
á la RM — RC , efto es, á la CM , como la OM á la OM-*
. ON , cito es , á MN : fon pues los quairo proporcionales
RM, CM:: MO, MN: luego ( i6# 6. Eucl.) el rcdangulo
de las c;xtremás RM, MN , efto es , el redangulo RMN, es
igual al reótangulo CMO de las niedias.
PROP. XXXn. Theorema*
Si unaBnea HBF Cjíg.28. ) toca la elipfey i al circulo^ j conqme
jon el diámetro euF^y del contaílo fale la aplicada BQ^j/fe tiran
di las extremdades del diámetro las DHy Al y par alelas a la apli-
cada , hjla que concurran con la tangente , el reüangulo hecho de
las DHyAl y es igual a la quarta parte del reSungula
hecho del diámetro DA y j el parámetro 4K« .
». /
DUmonfir. ( 51. )"E1 reólangulo GFE es igual ^1 reSan-
gulo DFA : luego el quadrado GF tjene la mifma
razón con el uno que con el otro : y como el quadrado de
.GF , y el reótangulo GFE, por tener la altura GF comuo,
^tengani la razón á% GF Ji F£ y que fpn la$ bafas ^ tíimbien
i
190 TrAT. VIIL t)E LAt TRES SeCCION. Con,
el quadrado de GF al redangulo DFA , iérá como GF i
FE ; pero el quadrado de GP al redanguio DFA , tiene la
razón compuefta de GF á DF> ü de BG á HD , que es la
milma , y de GF á FA , ú de BG á lA : y como el quadra-
do de BCj al re¿tangulo de lA, HD, tenga también la lazoD
conipuefta de BG a HD , y de BG á lA , ferá e\ cHiadfado
de GF al reétangulo DFA , como el quadrado de BG al
rc6angulo de'IA , HD ; y íiendo el quadrado de GF al rec-
tángulo DFA , como GF á FE , ícrá como GF á FD ; aísi
el quadrado de bG al redangulo de HD, IA;yconio
ti rectángulo £GF lea al 1 e¿taiiguIo GEF , ó al quadrado
de AE íu igual, ( 29. ) por tener la miima altara GE, co-
mo GF á 1 £ , lérá el redangulo EGF al quadrado de AE,
como el quadrado de BG ai redangulo hecho de AI, H£^
permutando, como d reétangulo EGF al quadrado de
G , afti el quadradode AE , al rcdangulo de AI, HD : y
como DA h. AK , afsi fea el quadrado DA al rectángulo
DAK ; y afsi el quadrado de AE , quarta parte del de UA,
á la quarta parte del reétangulo DAK : luego como el qua-
drado de AE, á la quarta parte del redanguIoDAK; aisid
miimo quadrado de AE ^ al redangulo de HD , lA : liiegb
'efte redangulo es la quarta parte del re&angulo D AK*
COROLARIOS,
I T^ O demonfirado procede también en quaUfymra fáfáie-
I j lograntús , y r bembas equiangulosy que tienen la tmpná
tazan que los reüangulosyj quadrados.
1 ^i tbtoremaiy y Us ameudentes fr han de entender afsimf
m delfegundú (Uametraj for fer fus demonftraciones umyevfaks*
PROP. XXXIU. Theorcma.
♦
Si [obre el áhmutro de la elipfe fe defcrm m drí»b , ife tká
una aplicada común al circulo , y elipfe , las tangentes del circula^
y elipfe , que falen de los extremos de la aplicada^
concurren en un mifm punto del dio-
metro* (fig. 29.) -
SEa RQel diámetro de la elipíé , Ibbre quien fe delcri-
ve el circulo KTQ«. Del punto T^ íaiga la apUcada
Libro L 191
TL, qiie es común á la elipíe ,y al circulo : tireníe las tan-
gentes TP, LP, Digo , que concurren en el mifmo punto
P deldiameiio.
Deméttjh. ( corolar. de la pr^P. 29. ) CS , CR , CP , tanto
.relped:o del circulo ^ como de la ehpk, fon continuas pro*-
pQicionaks : luego en entrambos correíponde por tercera
:proporcional la mifma linea CP : luego entraiqbas tangen-
tes concurren en P.
• * « *
PROP. XXXIV. Problema.
• * * ■ ■ • *•
De un funtQ 4^ tkar una tangente i la eliffe. ( fig. ;o. )
I T^Idefe, qvie del punto T, dado en la periferia de lá
1^ eliple, le tire una tangente.
Oferaáon. Tireíe qualquiera diámetro RQj partaft por
medio en Ct tirefe la ordenada TS , y haganfe C¿> CR, CP^
continuas proporcionales , y la linea TP , ftrá la tangente*
(coroh de la profaf 29. )De otro modo: tireíe erdiametro
TC, (cerol. 3 . de la 1 3 .) y qualquiera aplicada LX , (24.) ha-
gafe la TP, paralela á Lx , y ferá tangente ( 26. )
- 2 Pideje, que del punto P, dado fuera de la elipfe , fe
tire una tangente. Operación. Tirefe el diámetro PQ^ (c<>f<?í.
3. de la 13. ) y haganfe PC, RC, SC, proporcionales; porjS,
tirefe la ordenada ST, ( 16.^ ) y la re<áa TP, ferá la tangen-
te. Confta de las proporciones citadas.^
PROP; XX^V. Theoxema. ^
&i fobre el exe majw de la eliffe fe defirive un dreuh yjpefU
extremidad del exe menor fe tira una tangente hafia la periferia
del circulo , y de a fie punto fe faca una aplicada , ¡era el reñan-\
guio de los fegment4ís del exe^^igual ala quartn parte
de la figura, (pg.^i.)
EStc thcorenaa , y los figuientes pertenecen 1 los focos
de la elipfe , y, demonftracioa de fus propiedades.
Sea PQ^, el exe mayor de la elipfe ; y RS , íii íemiexe me*-
iK)r : tirefe por S la tangente SV , halla b periferia del cir-
culó hecho fobro fu^xe PQ^; y por V y tkefe la aplicada
VF.
192 Trat. VIIL De t as tres Sección. Con.
VF. Digo, que d reólaiigulo PF^Q^, es igual á la quarta
parte de la 6gura , que como dixe en la defiu^ iz. es el rec«
tangulo hecho del parámetro, y del diámetro.
Demonftr. £1 rectángulo PFQ^, es igual al quadrado de
FV, ( corol. de la i ;• 6. £ucl. ) ü del lemiexe KS^ fu igual;
pero elle quadrado es igual á la quana parte de h figura: (c« -
rol. 1. de la prap.iz.) luego también loes el redanguio PFQ¿
PROP- XXXVI. Theorema. '
la reSa FiS ( j!g. ; i. ) itrada del fobredubo fUnto ¥aU txtrt^
mdad del exe menor , es igtMl al femexe majar RF.
DEmonftr. ( por la antee.) El reélanffulo PRQ^, es igual
al quadrado de RS ; y aiíadiendol entrambos el qua-
orado de FK , íerá elredangulo PFQ^, mas eíquadrado de
FR, igual al quadrado de RS, mas el quadrado de FR: eftos
idos últimos quadrados roa(47. i.Eucl.) iguales al quadra-
Jo deFS: luego el redangulo PFQ^, mas el quadrado de
FR, fon iguales al quadrado de FS ; pero el redanguio PFQ,
mas él quadrado de FK , es (5 .2. £ucl.) igual al quadrado
<le PR: luego eíquadrado de PR , es igual al quadrado de
.FS : luego F2í , y PR Ion iguales.
PROP- XXXVn. Problema.
Hallar los focos y Apolos dfU^a elipfedada. ( j^* 3 1« )
FOcos, ó polos de la elipfe , fon dos puntos pueílos en
el exe mayor en igual diftancia de íus extremos , que
entre otras tienen ellas dos propiedades. La i. Que el reüamr
guio de los fegmentos del exe hecho por qualífuiera de ellos , es
igual al ^adrado del femexe menor j li la quarta parte de
la figura. La 2. Que U linea ^ que ya de qualquiera de ellos i
la extremidad del exe menor y es igual al femiexemajov. £fto
fupuefto , (e hallarán fiícilmente por qualquiera de I0& rs^o^
dos íiguientes.
Modo k • Sobre el exe mayor de b elipíe PQ^, hagafe uq
femicirculo : de la extremidad del exeioeoor S , tirefe una
taa-
Libro L I^j.
tangente SV, ouc cortará la periferia del circulo en V : del
punto V , tireie la VF perpendicular al exe , y el punto F^
ferá el fbcus de la elipíe; y el otro íerá K, en igual dilían-
cia delcentroR. ,
Múdú'ié Tomde con el compás el iemiexe mayor RP,
y puefto el UH pie en S , íeñalenfe con el otro los puntos F»
y &, y éftosferán los focos. La razón es , porque con quaU^
quiera de eítas reglas fe halla el puntó F, tal, que el reclan-
guio PFQ^, es igual i la quart aparte dé la figura^ como
conlta de las fropoftcmes lí*Ji6. - ,
PROP-XXXVni. Theorema* ^
Si de los focos de U dtp fe fe tiran lineas al punto del contaSoy fwt^
man iguales ángulos íon la tángeme* (fig* 3 z. )
SEan los fbcps £ , F : la tangente fea GDC ; y el contac-^
to D : tirenfe ÉD , DF. Digo , que los ángulos EI)G,^
FjJC ion iguales.
ñreparacioné Tirenielas tangentes HI, KC, y júntenle
EC; Fl, LD, El, FC
Demonfir. i(^i») El redangulo hecho de KC » HI, es*
igual á la quarta parce de la tigura : luego ( jy.) es igual al
redangulo HEK: luego ( 14.6.EUC.) dichos rectángulos
tendrán los lados reciprocos , como KC á K£ , aisi £H i
HI ; y como los ángulos en K , y H íean re¿tos , íerán (6.6.
Euc. ) los triángulos E^ll, EKC íemejantes, y los ángulos
KEC, HIE iguales ; pero los ángulos HEI, HÍE fon igua-
les á un redo : luego H£I,t FEC ion también guales a un ^
reétp : luego el ángulo reíiduo lEC es redo» Aísimifmó de--
monftrare íerCFí ángulo reóto.
• Aora he de demonftrar, que la reéla LD ^ es perpendicu-'
lar á 1C« S&bv€ LI, LC , como diámetros , defcrivanfe unos
círculos^ queíe cortarán en dos puntos ; íean eílos L, y D:
Ír fuponieiKio nohaverfe tirado aun la tangente IC , tirenfe
as redas ÍD^ DC. Por fer los ángulos LDC , LDI rcdos^
por razón de eltár en el íemicirculo, las redas ID , DC íbr-]
man una.line4: ( i^uEacL ) luego coinciden con la tan-'
T#i»JJÍ. Bb gén^
\
194 Trat.VIII. D€ las tre$ Sección. Con»
gente GC : luego LD, que es perpendicular i dichas lineas,
es perpendicular á la tangente.
Efto fupueño y los ángulos ELI 9 FLC , verticalniente
opueftos, ion iguales ; d ángulo EDI, es igual al ángulo
ELI , por iníiftir en un míTmo arco ; y el ángulo FDO , es
kual al ángulo FLC, por la miíma razón: luego los ángulos
ÉÍDIy FlXf ion iguales, que es lo que íe pretende probar*
COROLARIOS.
j T Os ángulos lEC ; IFC fin reüos. z. Los ytfigfilos LDE^
I j LDFfin iguaUs. j. los triángulos FKC , IHF fin
eqmangulory porqueUitres ángulos IFC,HFI,KFC, hacen .fUs rec-
tos : luego quitando el reSiflVC común , quedan HFl ^ KFC iguales
^ un reíto. Tdmínen por frr el ángulo K reSlo , fon KFCj FCK igua^
¡esa unreüoiluego el ángulo HFl ^ es igual al ángulo FCK : luego
lostriangulosFHlyFKCyttene^los ángulos Kyj H reStos ^j ¡os
angjdos HFl , FCK iguales : luego fin eqmangfüos.
PROP. XXXIX. T>eorcma.
Si un cuerpo luminofifi pone en uno de los fieos de la el^fi^ hau
* la reflexión al otrofocus. (fig»ll*)
PAra demonftrar ella maravülofa propiedad de la elip-
fe , fueron menetter los dos TheoreraaH anteceden-
tes. Sea un cfpejo eliptico B ', B , B , &c y en A , uno de
fus focos , pongaíe tina luz. Digo , que qualquiera rayo
AB refledirá de qualquier punto de la fuperficie elíptica
al otro íbcus C. La razón es , porque como conña de la
experiencia, y fe demueftra en la Catoptrica, los anguJos de
incidencia , y reflexión Ion iguales : ellos aoguJos en los
cuerpos curvos fe miden halla la tangente tirada por el
punto en que incide el rayo , y dond© fe forma dieno an*
guio. Siendo pues los ángulos ABD , CBE(38.) iguales , el i
rayo de luz que fale del fbcus A , é incide en qualquier
punto B , vendrá por reflexión al focus C ; y al contrario.
Aísimifmo , li en una pieza fe forma una bóveda eliptica,
el que puello cerca de uno de fíis focos hablare, aunque
con voz muy baxa , ferá oído del que eftuvkre cerca del
otro
^ L I B R o L ipj
otro (bcO) de fuerte, que podrán entrambos habkríeím ier
oídos de los que huviere entre medio y por concurrir allí
inumerables reflexiones de la voz.
PROP. XL. Theorema*
Si Id rtHá ilB (jig:* 34. ) tQCA 4 la elhfe en A, y de hs focos Eyjf G
fe tiran tas teñas EAyGAal punto del (ontaílo , y del centro fde
la eüpfe fale la FC paralela a EA y linea menor Je las dos
júbredicbas , y fe juntan DC, LC, el ángulo DCL
ferareílú. (fig* 34.)
PTtepdracion. Alargúele la AC halb K , y fean AC y CK
iguales, Tuntcfe GK , y tireníe las tangentes DB , LI¿
y las redas GI , BG.
Detnonftr. Por ícr iguales EF, FG, como también AC,
CK , y E A , FC paralelas , fcri también GK paralela á las
miímas : luego el ángulo EÁB , y por configuiente GAC
(39.) fu igual , ferá igual al ángulo K : luego en el triangu-
lo AGK , loslados AG , GK fon ¡cuales ; v los triángulos
ACG , CGK , por tener dichos lados iguales , y el GC co-
mún , y los AC , GK también iguales , tendrán los ángulos
en C iguales, y- redos.
Sobre la GI , como diameti-o , Hcícrivaíe un circulo^
que pairará neccflariamente por los puntos L , y C , por ftr
los ángulos GLI, GCI redos. Afsimifmo , fi íobre la BG¿
como diámetro , le deícrive un circulo , por íer los ángulos
BCG , BDG reótos , paífará por D, y C; y los ángulos
DCB , DGB , que iníiíten fobre el mifmo arco DB , ferán
iguales : como también los ángulos GCL , GIL , que infiíl
ten en el mifmo arco GL; y fiendo ( corol. 5. frop. 38.)
ios ángulos DGB , LIG iguales , ferán los ángulos GCL,
DCB Iguales : luego fi al ángulo redo BCG íe le quita el
ángulo pCB , y en fu lugar fe fubftituye el igual GCL, el
ángulo que refulta DCL íerá redo.
Bb 2 PROP,
%$6 Trat. VIIL De las tres Sección. Con,
^ PROP. XLL. Thcorema.
Sit'nddaU tangente DE (fig*l^*) fi tira la IB del focus d
funtQ B del contaño , j del centro H fak la Hl paralela
i FB bafta la tangente , fera la Hl igual al
' femiexemajcir HC. (jíg. J5. )
ESta propoficion confia de la antecedente ; porque tí-
rando de los extremos del exe AC al punco I , las
redas AI, CI , el ángulo AIC Tcrá redo : luego elfemi-
circulo hecho del centro Hdela.eUpfe con d inter\'alo
HC , paflará por I : ( 31* 3» Eucl. ) luego la Hl es igual al
iexniexe HC.
PROP. Xm. Theorema.
Si de los focos de la eüpfe jalen dos lineas que concurren tn
qualqmra funto de la periferia de la eüpfe , er^a$»bas
juntas feran iguales al exe major.
(JK- 3^- )
ESta es otra propiedad iníigne de la elípíe. De los fi)Cos
A , y B (alen las dos lineas AC, BC, que concurren eñ
el miímo punto C de la periferia elíptica. Digo, que en>
trámbas juntas ion iguales al exe mayor DE.
Preparación. Del centro F tírele U FG , paralela á AC ; y.
por el punto C la tangente ICG.
Denwnfir. Por fer f G , AC paralelas , fon los ángulos
FGC , ACl iguales ; pero ACI , y BCG fon (58.) iguales:
luego los ángulos HGC , HCG Ion iguales : luego ( 6. !•
Euch ) HGr, HC fon iguales. Efto fupucfto, en el triangulo
ACB, por íer la FH paralela á AC , afsi como AF es la mi-
tad de AB es ( i.é.Éucl. ) CH, ó HG , fu igual , mitad de
CB; y por la mifraa razón es FH mitad de AC, Siendo
Íues HG mitad de CB , y HF mitad de AC , ferá toda la
G mitad de las lineas A¿ , CB juntas; pero FG (41.) es
igual al íemiexe mayor : luego la niitad de las AC , CB es
igual
•<vl --:
r \
h
t
, Li IR o L 197
^al al fcmicxe mayor : luego todas las AC, GB juntas Ion
iguales á iodo el cxc mayor X)E. /
En efiafr&piedad fe fundan los tres nwdos ftgíáintes de diferir
fir Id eÜpjim
\ PIIOP.XLIIL Problema.
Bxfücanfe otros tres modos di deferir ir U eüffe.
MÓdi i.(fig. }7.) Sea AH el exe mayor de la elipíe,
y el inenor IG , que perpendicülarmente fe cortan
en O. Del puntol , con diftancia igual al femiexe O A, fe-
ñalenfe los puntos C , y E en el exe AH,y éiftos ferán los
focos de la elipfe. ( 42. ) Tomefe un hilo igual á AH , y
uno de fus cabos fixefe en C , y el otro en^. £ ; conque el
medió dehhilo vendrá á ajuílarle al puntol, y formará el
trianguló CIÉ : pongafe en I un lapis , y vayaíe llevando
juntamente con el hilo tirante hafta A , y hatta H , y que-
dará formada la mitad de la elipíe ; y de la mifma manera
fe formará la otra mitad, Confta de la ftop. 42, porque
tíenipre lerán los dos íegmentos del hilo juntos , iguales á
AH; pero porque eltemodo, aunque es bueno para fobre
el terreno , no lo es para lobre el papel , añado los dos
iiguientes , fundados en la mifma propiedad de la eUpfe.
Moda 2. (ñg. j8. ) Sea AB el exe mayor de la elipfe que
fe quiere delcrivir : determinenfe ( 57. ) los focos C,D: ha-
gafe en feguida del exe la BE igual á DB, V ferá CE igual al
exe AB; y del punto C, con ef intervalo (JE, hagafe un cir-
culo, y tirenfe qualeíquiera radios CF , y juntenfe las DF,
. que dividiéndolas por medio en G , fe levantarán las per-
pendiculares Gl ; y los puntos I formarán la periferia ae la
dipfe.
D«w»^r. En los triángulos lGF,lfeD, los lados GF,
GD fe han hecho iguales ; y GI es común ; y los ángulos en
G redos iguales: luego ( 4a.Eucl. ) los lados IF , ID fon
iguales f y añadiendo el común CI, ferá CID igual á CIF, 6
áí CE , igual al exe AB : luego ( 42.) los puntos I, I, &c, ef-
tan en la periferia de la elipfe.
Modo 5. Hecha , como antes , la CE igual al exe AB,
d^fUe C) como centro, hagafe con qualquier intervalo el
ar-
1^8 Trat. Vin. De t as tres Sección. Con.
arcó K : tome{e con el compás lo que hay defdé K halla E;
Ícon efta diUancia , hecho centró eo D , hágale el corte
S y el punto L eftará en la periferia de la ehpfe , y a(si-
mifmo quantos fe hallaren en la forma dicha. La razón es
lamífmáque en los modos antecedentes.
LIBRO II.
DÉLA PARASOL ^;
DEFINICIONES.
Arabola , es m4 figura curviünea , que froceie de iinéí
feccian cónica paralela al lado del trianguló que faffa
{m el exe , como en lajíj. i. ABC es el triangu-
o que pafla por el exe de la pirámide cónica , y
la feccion DFGOL , que es paralela al lado BC de dicho
triangulo, es la parábola.
2 Tangente de una parábola^ es la linea reda que toca la pe-
rtfma de la parábola en un filo punto fin cortarla , como BK,y
-KH. (fig.i. )
5 üneas ordenadamente aplicadas en la paraboUjfin las pd-
ulelas a la tangente , como FE , RS , y también PQ^ NO, '
occ. (fig. z. ) Llamaníe efpeciaJmente 4p/¿í4¿<í a aquel dia*
metro que las divide igualmente.
4 Diámetro , es aquella linea reíla que parte iguaUnentr to-
das las paralelas fus aplicadas , como BD, HI. ( fig. z. )
- 5 ^.^^ j^ la parábola , es aquel diámetro que es perpendicular
a loif aplicadas ^ como BD; pero HI, aunque^ diametro,no
es exe.
^ . ,^f "«* * WfarabaUyes U extremidad del exe^com B. Vér-
tice deldtmttro^s U extremidad dü diametrt^como H. (Jíf.i.)
LiB R.o* ir.'
7 SagtA , il faitáfe llama tlfegmnto TB^ ^ LH del diamt^
tro^ canienido entre el vértice ^ jla afUcada^
8 Lado reSte , ) parámetro de un diámetro de la faraboUj es
lüM tereera froferúonal a lafofftd^y ildjimaflüaaa: como ü
k la fagica IB, y i la femioMenada TS> & halla una tercera
proporcional , clb íerá el parámetro del diámetro BD ; y
lirve ^ra medir , y determinar laspoteadas^ o quadrado(
délas aplicadas, como (e verá deipuesl
^ Poloyfocnsy h ombligo de la fardbolay es im funto de fu exe^
que (tifia del verme la quarta forte del farametro y como V«
Porque en un efpejo parabólico, pueito de cara al Sol , (c
unen , y concurren todos los rayos en ellbbredicho punto^
de- fuerte , que alli producen fifego. v
I o Linea perpendicular a la paxúoUy es la r enanque cortan*
dffala parábola en un pumo , es perpendicular ¡^ la tángtnte que
f4ffa por dicho punto. ^ ^
II Parábolas que fe tocan , fon aqueUas a quienes una mifma
lineareSa toca en;elpunto en qujt fe encuernan. Éfta definicioa
conviene jtoda fuerte de figuras curviUneas..-
. iz Fárabolarigualesjfon4as que tienen iguales los parametroi
iefus óees^ _
1 } Parábolas páfdUlasj fon dosparahlas iguales pueftat una
dentro de la otra con un núfmeíexe. Jbftas dos parábolas , fi fe
prolongan baAa el infinito , íe van continuamente acercan*
do mas, y mas la una a la t>tra, íin que jamás íe puedan iun^
tac ; y por ella cauía fe llaman > propiamente , parábolas
afimptotas ; porque et nombre deparMelas , íblo les convie«j
ae por ):aufa de-qae todas ks lineas r^das tiradas entre eC-
tas dos puobúkfy ptirftlebs oí ese común ^ fon entre ú sgua*
les* 1
• ■
V.
• PROP.
1200 TuATt VIII. De t as tiíes Sección. Cok.:
' PROP. I. Thcorema. /
• • » *■
^Ea-ABCXS unapifamide cónica reda, y el triaogulo
i3 j3ue paila por lu exe (era ABC Tirada la D£ , parale^
b á fie, paile laieccion parabólica DFGE por dicha Jinea,
y i(!a perpendicular al plano del triangulo ABC ; y como Ja
bafa AGC, también fea perpendicular al dicho triangulo^
U^conum(eccion<3E,(erá perpendicular al plano del miíl
mo triangulo; ( lo. i i.EucL } y por configuíente, la G£ (b^
rá perpeiKlicular a AC. Hágale la feccion IFK, paralela á U
bailacirf ular ACG, que (i i.) ferá cicculo, y la FN, (era pa-
ralela á GE, ( i6.i I .Eucí.) y perpendicular á IK, como lo
cTla GE á la AC; y.íerán las uE , FN aplicadas al exe DE.
Digo, que el quadrado de NF , al quadrado de EG , es co-
mo NdTeIX
V Vemmfir* Por íer EN perpendicular.^ {K^ ^metro del
circulo IFK ; y la GE perpendicular á AC , diámetro ád
circulo AGC, es ( i;;^.Euc. ) el quadFa4ode,FN, igual al
redangulo INK ; y .el cmadrado de GE, igual al rcdangulo
AEC : luego el quadrado de FN, al quadracb de GE,es co-
mo el reétansulo INK , al redangulo AEC ; y porque íienr.
do paralelas NE , KC , como cambien NK., EC , fon cíkas
líneasNK,EC iguales, ftrá el redangulo INK , alreíSan-
guio AEC, ( I.6.EUC. ): como IN á AE, efto es,< z.6.Euc. )
congo DN á £>E i luem el quadrado dk^^^al quadrada de
£G, es como DN a DE.
r COROLARIOS.
I 1h ^'^ '' '^ ír/W4n4, y effencial fropieddd de Ufátah^d^
iJi la qual conviene téimbten a la^ feccion farabolka de Is
pirámide eJcdUna ^y fe convence con la mifma demonfiracion , co-
mo fe puede ver en el P.Gregorio a San¿lo Vincentio en el efcolio I
la frop.i. delüb.j. porque en lapiramide cónica efcalena , la fec^
cion paralela 1 la bafa también es circulo piorno confia de la prop. i •
/üa. Ten cajo^quo el trianffdopor el exe fea el mayor dt los qu^
por
Libro II. 201
prdiche exefefuedenfmnar en efta pinmde^ las 4prtc4Íaí fm
tánéitn perpendiculares al exe^ com demueftra Greger. a S.Vmc*
en los Prolegómenos a las Sec. Coniu conque fe convence de ellas
fin diferencia alguna la propiedad mifma con I4 demonftracion
fobredicba ; jen los demás cafes , aunque las aplicadas coreen al
exe^formanao ángulos úbliquosj como fean fiempre dichas aplica^
das unas feccionesxomunes del plano parabólico con el circfdar fji^
r alelo a la bafa , milita también en ellas la wifma cqnftrucctm > Jí
denmflracion puefia arriba. De quefefigue^ que en todocajfo^fi
ios quadrados de las aplicadas fon como lasfafffas , los pmfeaí G^
ly &c. ejian en la periferia de la parala.
X Sigue fe tanéien de lo dicho^ que los quadrados de las apli^
cadas j que dividen en parus iguales al exe , ^ diamenf, y^ compo^
nenunaprogrefsm aritbmetica y porque en ejtecafo las fagitas^
eajfa proporción llevan los quadram délas aplicadas ^ proceden en^
pogrefstonarithmetica.
3 £/ diámetro D£ déla parábola^ parte por medio la aplicada
fLj porque fiendo IPlLKcirculoyfu diámetro JK y parte a la fuerr.
da FL fu perpemücular, por me4i9y(yi,EuCé)ji afsimifmo a las
detnas aplicadas paralelas a FL. . . .
^. 4 Sigue fe también , que fi en la.par abóla un diámetro corta 1
Mnalin^arehapor nledio^ cortáis a también por medio todas, las
paralelas a la fobredicba lin^a ; pQrque U mifma de^í^jfracüm
que enelnum.x.fe hahecbo de la JL^ fe harade.otra qudquier
linea paralela ala QOp ' .\ /J :.J'l
PROP. n. Theofícn?*. ' .
En la parábola^ los quadrados de las aplicadas i qualquier dio*
' rnetro tienenlamifma raz^on que UifágitaséXfig* z.) ' ^
Onfiruccion , y demonftracion. Tirada una reda HI , u
jj- m qualquier ángulo ^onejla fe, tiritn las íeílas LO,
MQ, &c. V fe hace (:oa>o la re&a HL , á h reáia HM 9%^
A quadraao de JUQ^al.quadrado de MQ,^n la forma cujie fe
dice eii el Efcolio figuiente » los puntos O ^ Q^» &c. eítaran
^ la periferia d€ la parábola. ( ooM, i^^i-^ced.) ¡Cqiiú-
riuenfe piicslas^Ql^fe^ft^H^y Qiy^t|afta,jp,de íuertc,que
LN lea igual a LO, y MP á MQ^^ Digo , que los puntos N,
y
» ./^
loa Trat.VIII. De las tres Sección. Con.
y P , también eftán en la periferia de la parábola ; pof que
por conftruc. el quadrado de LO, al quadrado de MQ y es
Como HL á HM ; pero el quadrado de LN , es igual al de
LO ; y el de MP , al de Md^y por fer dichas lineas iguales:
luego el quadrado de LN , al de MP , es como HL á HM:
luego los puntos N , y P , también eltán en la parábola ; y
fiendo HI diámetro , por dividir por medio las paralelas
fbbredichas , y fer dittinto del exe , por cortarlas con an^-.
los obliquos, tendrán en qualquier diámetro los quadraaots
de las aplicada^ la miíma razón entré si, que las (agitas.
ESCOLIO.
PATA bd€ir iés quddfádúS' téUf , qnt tlum d otra tengA U
rAZjondeuñáUncAiAdd'ÍQtYAy cmMfwexemfloy Urazjm
áeUHli U HM y fe haÜATA unA medid froparciond X entre Uf
une AS ádáds HL^y HM \j dAdAy i efiogidA U ¿O, fe bAllarA uha
ifuArtA préparcienAl MQj Ias tres HL, Xyj/ LO , y ferm Us qud-
tro proforcianAles ItlL , X, LOy MQ^ y los quAdrAdos hechos de LO^
MQ^ tendrin U mfniA tazm que Us HL , HM. Demonftr. Los
quAúTAdos de HLy y Xytienen U nUfmA rAz^n ( zz.6.Euc. ) que los
quAdrddos de LÓ y MQj fero Aquellos tienen U rAz^m. de HL 'i
HM : ( coroL de Ia frof. 20. 6. Euc. ) luego los qUAdrAdos de LO,
MSl^ tienen UrAzm de HL^íHM.
PROP. IH. Problema.
Dtdá un* ¡mt4 que cntt U fárdela en dos ffuntet , bálUr ti
SEadadala linea ÁC : pideíe el diámetro de U parábola*
OferAcion. Tireíe la £F paralela á la dada AC : dividan^
le entrambas por medio en D, y G : tireíe por ellos puntos
la reda BE)G, y ferá el diametraque fe pide.
Jügtnonftr^Si ÉG no es diametro,tealo LO,que ( coroL^.u)
cortará W EF por medio en M; y fuponiendoff eftár dividid-
da por medio en G, ferá GE igual á ME, el todo á fu oart^
que es impoísible : luego BG es eldúunecro^ y no LO.
. PROP.
p
^ L I B R o IL 40 J
PROP. IV. Problema.
Pint un funtú dad» en la ftrifena de la farabola , tirar una ari-
cada al diámetro dado* ( j^* 4« )
Ideíe^ que por el punto A , dado en la periferia de la
parábola , (e tire una aplicada al diámetro dado BD.
Ofer ación. Tirefe de A por B, la reélá ABF , y hagafe la
BF igual á AB. Defde F , tírele la PC paralela á BD , (}ue
cortará la parábola en C : tireíe AC , y efta ferá la aplica*
da. La razón es , porque íiehdo BE , rC paralelas , es ( z«
6. EucL ) AE á £C, como AB á BF ; y (iendo éíias iguales^
también lo han de fer aquellas*
COROLARIO.
DE aqui fe infiere el modo de tirar la aplicada por un puntf
dado en el diámetro , tirando primero qualquiera aplicada
del modo fibredicbo ^j tirando defpues una paralela porel punto
dado en el diámetro.
s
•PROP. V. Problema.
Jpliíar una linea dada al diámetro de una parabüa. (fig. 5. )
Pldefe , que al diámetro GI de la parábola íe aplique la
reéta dada F. ,
• Operación^ Tomeíe en el perímetro qualquiera punto
L ; y por la antecedente tirefe la aplicada LH : hagafe dcC-.
pues como el quadrado de LH, al quadrado de F ; eíh> es^
como LH , a la tercera {M-oporcional de LH , y F : aísí GH,
á GI , y fe tendrá el punto I. Tireíe por I la IM parálela í
LH , y efta ferá igu¿ á F.
Bemanfir. El quadrado de HL al quadrado de IM , es
(^i. ) como GH áGI ; y fiende^or conftruccion el quadra- ,
do de HL^al quadrado de F ^ también como GH á GI, íe-»
rán IM , y F iguales*
PROP.
I
|04 Trat. VIII. De lsa tres Sección. Con»
PROP. VI. Píobleroa.
^Ur ti fMésmttr» > i Udo teño de qudqmr diámettt de Id
faraboU ifig.6.)
SEa GI el diámetro dado de la parábola : pidefe fu para*'
metro. Oferácim* Tireíe qualquiera ordenada HJL»
(4.^ y halleíe una tercera proporcional á las GH , HL , que
fibra GN ; y élta (era el parámetro que fe pide , fegun híU^
fn. 8. otros modos íe verán en los corolarios de las frap^p
8. y 9.
t PROP. Vn. Theorema.
*
19/ quAiráios de Us aplicadas frn iguales al reSanguU beáfp dd
fatametro y y las [agitas, (fig. 6. )
ESto es propio de la parábola , como en otra parte dix^
y (e aemueífara en la forma fíguiente.
Denwnflr. Tirpíe.otra aplicada IM, paralela á HL , y 00
íerá como GH á Gí ; aísi el quadrado de HL, al quadrado
de IM : y íiendo también como GH á GI, afti el redangulo
NGH, al rcdanguio NGI, ( !• 6. EucL ) Amando la GN,
por altura común : luego elquadrado de HL, al quadrado
d<IM, es como el redangulo NGH, al reáangulo NGI ; y
permutando, el quadrado de HL , al rebanéalo NGH , es
como el quadrado de IM , alredangulo NGI ; pero el rec-
tángulo NGH es igual al quadrado de HL , por lef HL, por
conftruccion, media proporcional entre MG, GN: Iuoto
también el quadrado de IM ; es igual al re(^angulo NGI|
hecho del parámetro NG , y La (agita GI.
COROLARIOS.
I T A^ aplicadas mas próximas al vértice de la parábola fm
JL/ menores , porque fus faltas fm menores ; Uiegí el rec-
tángulo del parámetro , y la fagita es menor en las mas próximas
d'Vertice j que en las mas renufta^s : luego el quadrado de aquellas
es menor que el de ejlasi ¡Mego Us aplicadas 4nas frpíámas al ver^
tice fon mewnris.
% Si
■sni
Libro IL 205
. z Si UfagtU is igual al parámetro , tmbien lofer^ la orde^
n^la ; como fi la [agita Gl , es igual al parámetro GN i también Un
¡era la ordenada IM.. La raz^on es , parque el quadrado de ¡M , es
igual al reílangulo ^Gliyfapomendofer^Gy Gl iguales jíer i quor
drddo : luego el quadrada de GN ,/er^ igual al quadrado de^ IM;
conque lastres üneas NG, Gl^ iM^jeran iguales.
3 Qualqmera linea paralela al diámetro , como LK , corta Í
la periferia de la par abóla en un punto ; porque las ordenadas (obre
ta LHyfon menores yj las de debaxo fon mayores que Lñ : luego la
LK corta i la pareóla en un pumo.
PROPi Vm. Thcorema.
Si de la extremidad del diámetro fe itra una pataleta NM C^¿.
7* ) ^ las aplicadas jj ehmgulo NMP fe parte por medio con la
linea MO ; j defdf o fe tira la aplicada OF^fera la fagita
MP y igual al parámetro»
DBmonftr. Por fer NM , OP paralelas , fera el angnlo
NMO igual áMOP; ( 19. i.Eucl. ) pero el ángulo
OMP es igual por conítruccion al ángulo MNO : luego
( 6. 1. Euci. ) PM , PO, fon iguales ; y ( 7, ) PM igual al pa-
rámetro y como también OP.
COROLARIO.
.E aquife colige oiro modo d^ hallar el parámetro. Tire fe de
' la extremidad del diámetro una paralela NM a las apÜ^
cadas y) partafe por medio el anguU NAí P, con la^Oi y del pun*
too y tirefe la aplicada ÓP y y la MP feri igual al parámetro.
D
PROP. IX. Theorema.
Si de la extremidaad delexeMNy (fig. %.) fenra la MQy ydd
punto O y en que corta laparabola y fe tira la aplicada OP y y
laON perpendicular a MO y feriPN igual
al parámetro.
DEmonp. Por fer MON triangulo reóbangulo en O,
35/fer OP perpendicular á MN , es OP media pro-
porcional entre MP, PN: (i3.6JBuclO fo*^ pues proporcio-
na-
toé Trat. VIII. De las tres Sección. Con.
naies MP, OP> PN : luego ( dijin. 8. ) PN es igual aJ pan
metro.
COROLARIO.
COligffi de éupá otro mod$ de bdUar el fánmetTo. Dé-^idjeJ
elexe IdS en dos fortes iguales ;j haciendo centro ^j^ e
fumo de la divifion , bagafe un jenúcirculo , t¡ue cortara l^m p^^
róbela en un f unto O \j tirando la petfendicular OP , /ira jP2\r ^i
farametro , que fiemfre feií el nujmo , aunque ft tme la Jk£^^^
mayor y h menor^ ^
PROP. X. Theoi^ema.
Si fot la extremidad del diámetro fe tira una linea fot alela ^
Us afücadas , feik tangente ij al contrario , la que dentro de la
jar abóla es paralela a la tangente , es aplicada al dia-^
" ^ metro que defiiende del punto del con-
taOo. ifig. 9. )
EN la parábola NMP, lea el diámetro MO , y íii aplica-
da NP j y fea KM paralela á NP. Digo , que es tan-
gente ; y (i no lo es , rupongamos corte á la parábola en
algún punto , como Q^: dividafe la MQ^por medio en S,
y tireíe la SO.
Demonfir. Por fuponeríc MQ^ paralela á NP , y cftár
ambas partidas por medio con la reda OS , fera OS dTia-
metro , cuya aplicada ftrá la NP ; pero efta mifma NP íe
fupone íer aplicada al diámetro MO : luego (era aplicada
a dos diámetros , io que es impofsible; porque fí eiTo fueíle^
las paralelas álaNP, ierian divididas por los dos diáme-
tros OS, OM, por medio en dos diferentes puntos: luego la
MR no puede cortar la parábola : luego es tangente.
Digo también , que fiendo la MR tangente , qualquicr
paralda fuya , como la NP , ferá aplicada al diámetro MOj
que defciende del punto del cornado M ; porque fi na lo
es , fupongamos lo fea NL : luego NL ferá paralela á RM;
y como la NP , fe fuponga también 1er paralela á la RM,
ferán NP , y NL paralelas , lo que no es pofsible por quan-
tó ccMicurren en N ; luego la NL no es aplicada al diáme-
tro MO jfino ls| NP.
CO-
LiBao H. 207
COROLARIO.
QVdqmré reSd qne eftando dentro de la pdraboU^ fuere pdr
raleU^ l^U tangente pialas ordenadas , queda diridi^
^ da par medio con el diámetro^ ""que baxa del punto del con*
Ut^Q jj córtala periferia en ios puntos.
^ PROP. XI. Theorcma.
leí linea , que f oliendo de la periferia di la parábola , ,corta en el
diámetro prolongado unjegmento igual a la f agita,
es tangente, i fig* lo.)
DEl punto T, de la periferia de la parábola, fale la rec-
ta TR , y la aplicada TH ; y las RS, SH fon iguales.
Digo , que la 1 R toca á la parábola en el punto T ; de
íuerte , que qualquier otro punto P , ó G, cae fuera de k
parábola : de P, y G , falgan las PQ^, GI panilelas a TH. ^
Demonftr. Por íer las lineas TH, PCt,, HR , QBL , ( 2. 6.
EucL ) proporcionales, lo íbn también ( 22. 6. BucL ) íiis
quadraoos ; luego el quadrado de TH , al quadrado de
PQ^, es como el quadrado de HR , al quadrado de QJL;
como el quadrado de HS , quarta paite del quadrado de
HR , ^ la quarta parte del 4uadrado de QFl, que es el qua^
drado hecho de la mitad de Ql<. ; pero el redangulo Q^R,
( 5. 2! EucL) es menor que la quarta parte del quadrado
de QR , ó que el quadrado de la mitaa de QFL ; luego ma-
yor razón tiene el quadrado de HS , al rectángulo Q§R,
2ue el quadrado de TH , al quadrado de PQ^; pero el quao
rado de HS , al redangulo QgR , tiene la razón de HS I
Q§ , por tener la mifma altura SR: luego mayor razón tic-
n« HS a Q§ , que el quadrado áe TH , al quadrado PQ;
pero como HS á QS , afsi ( i. ) el qua4rado de TH , al
cjuadrado déla aplicada VCL : lueco el quadrado de TH,
tiene mayor razón al quadrado de V Q^ que d quadrado
de PQ^ : luego VQ^, es menor que PQ^: luego el punto
P, de la linea RT , cae fuera de la pariaibola. Lo miímo de-
ihonltrare del punto G, y de otrokojualquiera diftintp de
T • luego la linea RP es tangente.
CO-
aót Trat. VIII. £>£ LAS TitEf Sección. Con«
"L
COROLARIOS.
A tangente t0ca a la farabúU en un/Uo ptmti^ P^tte té»
f 4os las demás caen fuera. v
2 Si fefSyfetira la tangente MSjferkéfia la tlmaide ha
ordenada THjforfer (i. 6. Euc.) come RS ^ Rlf , afsi MS a THi^
j pendo RS mtadde RHyferi MS nútaddeTHy j for canftgiéien-
te el quadrado de M5, es la quarta far4e del quadrado de TH ^ y
'^j (7O f^^ el quadrado de MSy la quarta parte deiáfáete^^,
guio. También la tangente RT yefii dividida for medio en M»
PROP. Xn. Theorema.
< ■ ■ • ...■"■
La tangente de la parábola corta en el diámetro una linea iguat-
i la f agita. ( pg. 10. )
Digo, que la tangente RT, corta la SR, igual á SH; por-
que li dichas lineas no ion iguales, feairfo SR, SQ^, y
tirefe la aplicada VQ^: y fegün eílo , fi fe ttrafle la VK,'
feria tangente; (II.) y por conílguiente tocaría la parábola
en Iblo el punto V: ( cW.i.preced. ) luego í¡ fe proliguieC-
íe^ correría por fuera de la parábola ; y por coníiguicrnte,
cortaria á la tangente RT, ydos lincas reéias Iccortarian
en dos puntos, y encerrarían efpacio , lo que es jmpbísi-
ble : efto mifmo fe íigúe , (1 (e conceden fer iguales KS» SIi
luego SR , y SH fon iguales.
COROLARIO.
DE/ núfmo punto R , no pueden faür dos tangente t a: una náf^
ma parte déla parábola y porque fe feguim ü^pikredidmé
inconveniente. * ..'.,;
PROP. Xm. Thcorcma*
■ • > . • 1
• • • . • . . I
Si dé qudqtúer ptínio de la parábola fe tira una pandek x la tan^
gentey j otra k la ordenada que fale del punto del eontaü», fí ,. ;
formara un triangulo igual al reélangula háboideU ;^ )
apliega ^ j fagita. (fig. n*) .
LA RP toca la parábola en P , de dondefaléüaj^eida:
PV ; y del punto Z, falen ZI^ ZQ^ , ^4ilete 4 k tcv*
gdi'
Libro n. 1051
gentc,y I la aplicada. Dígo,que el triangulo ZIQ^, es igual
a 1 rcétangulo QJ , hecho de la fagita QS , y de ST > u de
la aplicada VP fu igual.
' Detmnftr. Por.fer (12.) RS , SV -iguales , es RV doblada
de SV: luego (41.1.EUC.) el triangulo RPV, es igiial al jec-
tangulo V r. También (i.) el quadradodePV,al quadra-
do de ZQ^, es como VS á QS, eftoes,{i.6.Euc.) como el
rediangulo YT, al redangulo QJ; pero como el quadrado
de PV , al quadrado de ZQ^, alsi es el triangulo RPV ^ ai
triangulo femejante ÍZQj luego el reótangulo VT. airee-
«ángulo Oy , es corao el triangulo RPV',al triangulo IZC^
y alterríando, el redangülo V T , al triangulo RPV, es co?
tsxo el rectángulo QT , al triangulo IZQ^; y íiendo'cl pri*
mero igual al fegundo , ferá el tercero igual al quai^to» ^ '
PROP.XIV. Theorema.
i(
Vn U faraMay quMquier Unta fdYdeld aldiameir^j tí^mm^
y parte por medio las paralelas a la tangente , que toca ¿ U
parábola en la extremidad de dicho diáme-
tro. {fig*iz.)
SEa la litiea CM' paralela aí diámetro BD de la parábola»
Digo, que CM es. diámetro; ello es, que corta por me-
dio to<&s las lincas paralelas á la tangente C A ; como por
cxemplo á la paralela ¡LF.
' Demmfir., El triangulo EFG , es igual al cedangulo GH*^
(15.) También el quadrado de LD,al quadrado de FG,(itJ|
és como DÉ a GB; eílo es, Como el redangulo DH al rec-¿
tangulo GH ; pero como el quadrado de Li> , al quadrado
de rG, afsi e5 el triangulo LED, al triangulo EFG,{i2.í;
A\j ^>jiiy y iiciiuu ci icguiiuu igu4i di quüi iu, icrd ci primero
igual al tercero : couque el triangulo LED , es igual al
reíSangulo DH ; y quitándole á aquel el triangulo EFG , y
k éfte el reítanguto GH, que fon iguales , quedarán el tra-
pecio GFLD , y el A-edangulo DK iguales ; y quitando el
trapecio coomn GFNMD , rtítarán los tjciapgulos LNAl
• imoJM. Ce KNF
1
}i(> Trat.VIII. D$ la« tres Sección. Coíí.
)¿NF iguakS) y fiendo femejantes , fcrán los lados del uaf
íguál^ i Vos del otro : luego LN, es igual á NF; y por coai
liguiente CM es diámetro , porque de la miTma (uerte fi
fróAvedceria lo íbbredicho de otra qualquier paralela á U
tangente CA« «^
PROP. XV. Theorema.
.£« ¿I fáiraMá todos Us iiammos fin páraUUs d excm
EN la mifina conftruccion » digo , que qualúuiera dia^
me^rp y como por exemplo CM , es paralelo al, cxc
Üi); pQi^ue íi iK> lo fuera , íe podría tirar del punto C un;^
paralcbt ^ exe 3D; éfta por la antecedente ferí^^ diámetro,
por íer paralela al exe, que es diámetro: luego cortaría por
medio la aplica<]a LF en otro punto diftinto de N , en que
la parte el diámetro CM , lo que es impoísible : luego taon-
|Mcn lo^ el diámetro que no (ea paralelo al exe.
PROP. XVI. Thcpreoví-
la opliudA al exe es menor que la aplicada a cm qualqmr JU-
metro , fi entrambas fe aflijan ei^ ipui iifianáa del
vmce. (fig. 1 30
SE4 $Q ej ^e de la parábola : digo y que € en el exe íe
corta una fagita , y en otro qualquier diámetro (e cor-
{)i Ptra igual , y por eftos puntos íe tiran ks aplicadas , la
aplicada al exe ferá menor.
Preparacm* Supongamos que un diámetro ha de pafiar
por el punto R ; tireie la RP aplicada al exe ; hagafe SQ^,
^uadrupla de SP ; y tirefe la VQ^paralela á RP : dividafc
efta por medio en T , y juntando la RT , tirefi/ la VS.
Demonfir. La SQ^es por conítruccion quadrupla de SP:
I^ego (i.) el quadrado de VQ^ es quadroplo del quadrado
(le RP ; pero el miímo quadrado de VQ es también qua*
druplo del quadrado de TQ: luego los quadrados de TQ^,
y RP ion iguales : luego las reélas TQ^, RP ion iguales ; y
(:omo fean paralelas , ferán ( ;;«i.Euc« ) las RT, PQj)ara«
jelas : luego ( 14. ) la RT es diámetro ; y en el triangulp
Á
LiBR o n. air
VTZ j él lado VZ , opuefto al ángulo redo T , es mayor
(^9. 1 .Eud.) que la VT ; elto es , que la TQ^, ó RP,
Pruebo acra , que las (agitas RZ , SP (bn iguales ; por-s
que íiendo SC^A: ^^^^ ^^ 2. por fcr (4.6.Euc1í) SQÍ ¿T,
como VQJl VT. También íicndo SQ^^. es por conftruc^
cien la PQ^, ó RT j. luego quitando de la SQ^4. la PQj.
y de la RT 3. quitando la ZT 2. quedarán tanto laSP^co^-
mo la KZ i • luego ion iguales ; y como los quadrados de
las aplicadas al mifmo diámetro fean en todo cafo como
las (agitas , (iempre los quadrados de las aplicadas al exe en
igualdad de fagitas , ferán menores que fas aplicadas á los
^más diámetros. ; ^
PROP. XVIL The(>rema.
Bl parámetro del exe es menor que el de los otros diámetros^
ÜIgo,que el parámetro del iexe SQj es menor que el de
otro qualquiera diámetro RT. Stipongaiile iguales
l^s íagitas SP , RZ , y tiradas las aplicadas K.P , VZ.
Bemonflr. El cuadrado dé RP(7.)6$ igual al redan*
culo hecho de la fagita PS , y el parámetro del exe SQj aC- .
fimiTino el quadrado de VZ , es igual al reftangulo hecho
de ZK', y el parámetro del diámetro RT ; pero el quadra-
db de VZ , es mayor que el quadrado de RP : (16.) luego
el redangulo de KZ , y el parámetro del diámetro , es. ma^ "
Íror que el reóbngulo de SP , y el parámetro del exe ;y
lendo SP , RZ iguales , ferá ( i. 6. EucL ) el parámetro m
RT mayor que el parámetro del exe.
. ■ *
, PROP. XVin. Theorenia.
Si dos lineas cortaprU parábola , ioda una en dos pmtos , d^al
fuerte^ que los de la una feuion e fien fuera de los de laotra^
foncurriran en un fumo fuera de la fara^
As redas ÁB~» GD cortan la parábola ¿ada una en doi
f puntos , lo^ de la una fuera de I0& de la otra. Digo^ ^
Cea _ que
L
^ aia Trat.VIIL De lk% tres Sección. Con.
que concurren en un punto, fuera de la parábola. Tírcníe
I)or B , y D los diámetros EJF, GH, que (14.) íeran parále-
os i y junteíe la reda BD.
Dcnwnjir. Los ángulos EBD , GDB fon ( i'Jr. i; Euclid.)
iguales ^ dos redos : luego los ángulos I6D , ItDB iba
menores que dos re&os : luego las lineas AB y CD concur-
; ren en, un punto.
PROP. XiX. Problema.
I
J!íM4f el exe de una faraboU. ( jS[g« 1 5« )
HAllefe(}.) qualquiera diámetro AB. Ticefc la d>
perpendicular á AB ; partafe ella por medio en F , y
¡ turando la F£ paralela á AB ^ ferá eíta el exc que fe bufca.
I Cooftadelapf«f.i5..
' " ■ PROP. XX. Problema.
JH w fmt0'daÍQ dentro y h fuera de la parábola , tirar m dia^
metro. (jíg-iíO
S£a dado el punto A en la periferia de la parábola , de el
. qiial fe b^ de tirar un diámetro.
Operación» TxreCb ( j.) qualauier diámetro EF , y por
el punto .A hagafe la paralela AB, y efte (14.^ íerá diáme-
tro ; de la miíma fuerte fe tiraria del punto G dado faert
de U parábola. ■
' PROP. XXI. Problema. \
T9r un punto dado dentro^ ^ fuera de la parabda y tírar una tan-
gente, (^fig. 16.)
X Q £a dado e; punto A en la periferia de la parábola,
; i3 por^^ qual fe ha de tirar una tangente. Jlíárfií 1. Ti-
rcfe (20.) por A el diámetro AC , y hagafe ('4. ) qualquier
aplicada BCD á dicho diámetro : tirele de A la A£ para-
lela á BD, y efta ferá (lo.^ la tangente que fe pide. Modo.z*
Tirefc qualquier diámetro EF , y del punto A hagafe la
aplicada AF a dicho diámetro : córtele D£ igual á IjF , y
la reda A£ ferá tangente. ( 1 1»)
¿.Set
— ^
Libro II; >i$
^ X Sea dado el punto E fuera de la parábola , y por él ié
hade tirar jina tangente, operación. Tíreíe porE C-o^)
q^ualquiera diámetro £F ; cortcft FD igual á DE , y por F
tirefe la aplicada FA,(corol. f n»^. 4.) y la £A íerá la cangeiv
te j^ CQOíp coplta también de la frof. 1 1 •
PROP. XXn. Problema, - ,
Tirar una tangente , que forme con el e%e m arruto deter-
minaáo. (fig. 17. )
Pldeíe, que (e tire una tangente á la parábola , que formé
CQn el exe AB un ángulo igual al ángulo F.
Operación. De qualquier punto E tírele la EG perpendi-
cular á FG. Partafe la FG por medio en H , y tireie EH:
hagafe el ángulo DAC igual al ángulo FHE : tirefe la CB
perpendicular á DB , y haganíe AD , AB iguales. Tireie la
linea DC , y efta lera la. tangente; y el ángulo D, lera igual
al ai>gulo F.
lOemonftf. Los triángulos HEG , ACB fon equiángulos
por conftruccion : luego ( 4.6.EUC. ) ferá EG a GH , como
CB á BA ; y por conííguiente, EG á GF, dupla de GH, es
como CB á BD, dupla de BA : luego (6.6. Euc.) lós trian-
gulo^ EFG , CDB Ion equiángulos , y los ángulos D > Y P
Iguales: y como las DA, AB lean iguales, fera (rí.) la DC
tangente. ^ '
Si en lugar defexe íe propuíiera otro diátoetro^ íe tira-
tía qualquiera aplicada IK , y formando el ángulo G igual
al ángulo K , íe obraria como antes.
PROP. XXffl. Theorema.
Las tangentes tiradas por las extremidades de qualéiuier aplicada
. . concurreu en un núfím pumo del itamétro*. *
Dlgo^ que las tangentes AD, BD, tirada^ pc>r las cxtte-
midades de la aplicada AB , concurren en el mifmo
puntó p del diámetro I»^. . . - .
Demohpr. Por íer AD tangisnte, corta en él díaíftettó
• la
fiiá^ Trat. VIII. De las tres Sección. Coi^*
Ja £D igual á£F ;( i2. ) y arsimifmo la tangente BX>^ Jae^
go coacurren en el miTmo punto P,
PROP. XXIV. Theorema.
Si U Uneáque fale del punto ^^ 9^^ dos tangentes concurren , d^
yide far medio a U reSa , que junta los puntos del
confoStOy feta tüafnetrq. (fig^ 1 8. )
LA^ dos tangentes AD, BD, concurren en el miímo ^
to D , y la DF divide por. medio a la AB,que 3unta los
contados. Digo,que eíla linea es diámetro; porque fi no lo
^, fu'pongamos lo fea GF ; conque la A6 íerá fu aplicada^
por eftár dividida por medio en F; y íiendo la AG tangen-
te, como fe fupone,ferán GH,HF iguales : (i 2.) luego ( 1 1.)
fí fe tiraíTe la GB/ería tangente y y ( coroL pop. ii. ) la DB
J10 lo íeria,contra lo (upuefto : luego la DF es diámetro.
1 PROI^. XXV. Theprema.
1/ diámetro que fale del concurfo de dos tangentes , divide poi
medio la reSa , que junta los pantos del
contado. (fig'iS.)
DEl punto D en que concurren dos tangentes , ftlc el
diámetro DF. Digo , que parte por medio ea F á la
refta AB , que paíTa por los conta¿ios : íí el punto F do Ja
divide por medio , fupongamos lo baga el punto K ; y tire-
íelaDK. ^
Vetnonfir. Si DK parte por medio la AB , íerá (14.) diá-
metro : luego (15.) es paralela al diámetro DF, lo que e^
innpoísible, por concurrir entrambas lineas en el punto D:
luego el punto K no divide por medio la ÁB ; y aifsi de ló$
demás diíhntos de F : luego la DF la divide por medio.
PROP.XXvi. Theorema.
Si el parámetro fe toma en el exe prolongado , qualquier cuerda
tirada por el vértice i es media proporcional entre la fa-
gita , y la compueft/í de la (agita , y para-
metro. (/[?• 19. )
SEa la AB igual al parámetro; y del vértice del cxc
Taiga qualquiera cuerda BC ^ y tire/e la ordenada
CD.
■^
XlBR O n. tlj
C5I>* t^ig^j que la CB , es media proporcional entre AD/
Y DB 9 elto es , que el quadrado de B(Jy es igual al redaño
guloADB.
Defmmftr. £1 quadrado de BC, ( /lj.i.E\xc. ) es ;isual á lo%
quadrados de Do, DC: en lugar del quadrado de DC, fubf-
tituyaíc el redanj^ulóDBA, que (7O es fu igual , y ferá el
quadrado de BC, igual al quadrado de DB, y al reaangulo
13BA; pefo éftos dos juntos hacep el reaangulo ADB: ( 5.2.
£ucl. ) luego el quaarado de BC , es igual al reftangulo
ADB. Efte Theorema puede fervir para la defcripcion di
la parábola»
PROR XXVII. Theorema.
Si de las extremidades de qualquier linea que carta al diametro^^
fe tiran las aplicadas , quedara el diámetro dividido en tres conti*
mas proporcionales ; y, las aplicadas feran continuas
proporcionales, (fig.zo. ) >
• ■•
LA re¿la NM, corta al diámetro en qualquier punto C; »
y por los puntos N , y M , fe tiran las aplicadas NO,;
ML. Digo lo primero, que las lineas FO, FC, FL., fon con-
tinuas proporcionales*
Demonftr. La FL á FO, tiene la mifma razón que el qua-
drado de LM, al, quadrado de NO : (i .) luego' tienen entre
sí razón duplicada de LM a NO , ü de CL a CO, que ( 4.6.
Euc. ) es la miíma ; pero efto mifmo fe íigue fuponiendo
fean FL, FC, FO proporcionales : luego lo fon en realidad.
Que fe figí lo fbbredicho,íe prueba ; porque fiendolo , fi de
toda la FL fe quita FC, y de toda FC fe quita FO, ferá toda
FL , al fcgmento quitado FC , como toda FC, al íegmento
quicado FO : luego el reliduo CL, al reliduo CO, ferá tam-
bién como toda FLá todaFC ; y como FL á FO , tenga en >
cfta fupoíicion riazon duplicada de FL a FC, tendrá tambitn .
FL íFO, razón duplicada de CL á CO : luego íoñ propor-
cionales FO,FC,FL. Efto puede fervir para hallar el punto Ai,
en que la NC, corta la parábola.
2 Digo , que HL , GC, NO, íbn continuas proporcio-
nales > porque las cantidades que tienen razón fubdupJica-^..
da
filtf Trat. VIII. 01 tA«TMs Sección. Ca>«
lia dt continuas pxoporciooales ^^ fon concinoÉs {iropordb^
oaks; pero jbs lineas fobredücfaaés tienen (i«) razan- íubdo-*
-pilcada de las (imitas y que como (e ha draionftrado fbtt
proporcionales : lu^o ion continuas proporciófiaks.
PkOP.XXVni. Problema.
BáUar^el focus de má firáfUu (fig. u.)
Modo u Halle(e el parámetro propio del exe de /a
parábola : (6.) tomcíe fu quarta parte , y pafieíe
del vértice de la parábola fobre el exe ; y éíle punto ieráel
íbcus , fegun la detinicion 9. La razón porque eíle punco
fe llama focus , es por venir á parar en él todos los rayos
reflexos en un efpejo parabólico pueilo al Sol , como íe de-
monítrará en la propoH' íiguiente.
Modo 2. fin balUr el farametro. Sea en la fig. xi. ON el
exe déla parábola , y OM tangente : tireíe del punto M la
aplicada MH ; y ia MN perpendicular á OM , que cortari
. el exe en N : dividaft ON por medio en F, y efte punto fo-
tí el-fbcus que fe pide*
Demonfir. l^r fer el ángulo OMN rcSk> , es MH media
proporcional entre OH,HN: ( i j^ó.Euc. ) luego fu quadra-
do es igual al re<aangulo OHN ; pero el mifrao quadrado
de MH, es también igual al redangulo hecho de LH , y el
parámetro : (7.) luego el reñangulo OHN , es igual al rec-
tángulo deLH, y el parámetro : lu^o tienen los lados re-
ciprocos, ( i4.6.Euc. ) como OH 4 LH , afsi el parámetro
á HN ; pero OH (i 2.) es dupla de LH : luego el parámetro
es duplo de HN» También por eftár la ON partida por me-
dio en F , y la OH partida pormedio en L, (12.) la inifma
razón tendrá la ON á la OF,que la cjuitada OH,á la quita-
da OL : luego el refíduo HN, al rtíiauo LF,tendrá la razón
inifma que ON á OF : luego HN , es dupla de LF. Siendo
paesHN la mitad dd parámetro, íerála LF la qüarta par-
te : luego F es el focus.
Modo 3. Hagaíe el ángulo OMF , igual al ángulo MOF.
P^o, que el punto F fera qI focus* Tireíe la MN perpcqdi-
Cttbr a MO.
l>ifmifir. Itaf kr los angubs OMP, y O mudes, fon
( 6.i.E(iG.:> las EMi FO iguales : luego fi dcííie Fcon la diC
tanciaFMy fehace un femicirculo, paíTará por O ; y fiehda
el anguk) OMN reáx)<»mfiará también dictio circulo por N^
( ; i.3.£uc. ) luego la ON queda dividida por medio en F:
luego F es clfocus , por la razón arriba dicha.
COROLARIOS.
j ^Idel focus fe tira una linea al punto M del c&ntaSo y ferlk
,3 f ^ ángulo ¥MOy igual al ángulo O \j las FM , FO iguales.
2, StdvlpKUsF fe dejcrive un circulo con qualquier interva^
hj que corte el exe frMongadoy jla paraMay como enOyjhíyU
ttEta OM y fera tangente-
3 Si las lineas FMy ¥Ofon iguales y el punto ferlí el focus*
A Si del focus Ffe tira la Fi perpendicular a la tangentey que^
dará éfta dmdiiapor medio en 1, por fer el triangulo OFIá ifoct^
les. ( coroL z.5.i.Euc. )
PROP. XXIX. Theorema.
Todos los rajos de luz, paralelos al exe de la paraíoU y que muden
en pi cóncava fuperjicie , juntan fus reflexiones en el
' focus. Ifig. 22. )
Sta es la mas celebre , é infígne propiedad de la para-
bola, de que hablaremos otra vez en la Catoptrica.
ó un cuerpo opaco concavo , y parabólico , muy
y bruñido , para que como efpejo pueda recibir , y
reflcéteflaluz. Digo, que todos los rayos que incidieren
<x\ fu íuperficie cóncava y y fueren paralelos al exe , como
ion íeníiblemente ios del Sol , arrojarán fu reflexión en el
focus. Para la demonftracion fupongo dos Theoremas ca-
toptricos. El primero , qué la luz hace ficmpre el ángulo de
la reflexión igual al ángulo de la incidencia ; efto es , que la
linea por donde camina la luz , quando refleéie, forma con
el cuerpo refledente ángulo igual al que forma alli la linear
por donde incidió. Elfegundo, que eflios ángulos en las
íuperficies curvas, fe han dé cqnfiderar refpeáo de las tan-
gentes.
Sea
trS^ Trat. VIII. Dt tiB TRES Seccxom^Cok.
Sea pues OH el eze de la parábola : (ea ON qual<:|Ufei
tangente , que toca á la parábola en M : íea un rayo inoi-
¿ente LM paralelo al exe OH. Digo, que efte rayo hará. ía
leflexion dfacus F.
: Dtfimfif. Por íer LM, HO paralelas , la NO forma c
ellas iguales ángulos : luego el ángulo NML, es igual al a
guio O; pero d ángulo OMF,es también ( coroL de la antrc-
ced. ) igual al angmo O : luego los ángulos NML , y QMF
ion iguales : luego viene la reflexión al focus F. Lo mShwcp
demonftraré de todos los demás rayos de luz paralelos al
exe : luego todos concurren, y le unen en el f0cus F; y eftoLe^
la caufa ie encenderfe fuego en F , de que tomó el nombres
defücus ; y coqio efte fea un Tolo punto , el calor que alli
producen los royos del Sol es inteníiísimo , por lo qual el
efpejo parabólico ib juzga el mas poderoíb de los eípe/os
umpmt , como fe verá en fu lugar.
PRÓP. XXX. Theorcma.
5i tn W t%t frolongadú ON ( j!¿. z 3 • )ye toma la LM igual ¿ LF,
diflanaa del focus al ytrtice^ j fe tira la perpenücular MG , to-
áas las fat alelas al exe terminadas en U perpendicular frineiifhA^
y laparabiday como la Glyfan iguales a la dijiamia entre
el focus yj el pumo en que cortan la pa-
rábola.
Digo, qué la IG, es igual á la IF, diltahcia entré el foctts^
y el punto L
. Demonftr. LasLN, LO fon iguales ; (12.) y añadiéndoles
las iguales LF, LM, ferán MN, ó GI, y FO iguales ; y fien-
do (cdraí.1. 28. ) las FO,FI iguales, íeránICx, IF iguales:
afsimifmo probaré fer iguales PN , PF. Efte Theorcma
puede aprovechar para la defcripcion de la parábola.
PROP. XXXI. Theorema.
Bl diámetro a quien fe ba aplicado una ordenada , es mayor que
otro qualquierA diámetro terminado en la mifma
ordenada* (fig.- 24. )
SEa NO un diámetro , y fu aplicada SOT: fea otro
diámetro RQ^9 terminado en la mifma aplicada. Digo,
que
^ • \ -
Libro H. tl^^
fá á dicha paralela : luego es menor que NO*
COROLARIOS.
l T? I trianguk SNT , es el mayor de quantos fe puedan infirió
; Xli ^i^ ^* la parábola s porque fi de los Puntos R , j JS^je ti"
tan l4s Rly NP , perpendiculares a ST^ rejultaran los triangul&s.
fime jantes QRU 01íi?\j fiendo RQjnenor que NO , también R/,
4ltura de SRTy [era menor que NP, altura de SKT : luego el triara
guio SNTj es niajor que SRI y por tener major aUuray é igual ba-*
fa. ( 1.6. Eucl.)
z El triangulo 5NT ei mayor qutJa mitad de la pareóla;
forque es la mitad del paralelogramo SL , mayor que la parábola.
PROP. XXXn. Theorema.
Malquiera triangulo máximo infcrko en la parábola , es quéh
druplo del agregado de los dos triángulos máximos
infiritos en los fegmentos. ( p¿. 2.5. )
SEa el triangulo máximo ABC infcrico en h parábo-
la : infcrivanfe en los (egmentos refiduos Ips trian^
gulos máximos AEB , BE)C , lo qual fe nace , particnda
por medio los lados AB, BC , en F, y G ; y tirando por ef-
tos puntos los diámetros EF, DG , que cortarán la parábo-
la en E , )r D , como fe ipíiere de la prop. paffada. Digo,
que el triangulo ABC, es quadruplo de los triángulos
AEB , BDC juntos : tirefe por B, la BI paralela á AH , bafla
que concurra con el diámetro FE , alargado en I : tirefe
también por E, la tangente EK , y la aplicada EL.
Demonfir. La tangente EK, es (iQ.)-paralela a la ordena-
da AB ; arsimifmo los diámetros EF,KH, ion paralelos:
(15.,) luego FK es paralelogramo , y las lineas EF y KB,
fon iguales; V íiendo (12.) Kb, BL, ó El iguales, ferán El,
EF iguales: luego el triangulo IBF, tiene doblada bafa, que
^1 triangulo EBF : luego aquél es duplo de elle ; pero jel
tiiinguio AEB y tiene fu bafa AB , dupla de FB , bafa del
trian-
iio Trat. Vni. De las tkes Secciom. Conc.
triangulo EBF : luego como entrambos tengan una miíiii¿
altura , íerá también A£B, duplo de £BF^. luego los t;ria&
gulos IBF 9 A£By ion iguales ; el triangulo IBF es i^u^ ^
triangulo FBM : ( ZA^utMcL > luego A£B es.iguaJl 4 JRBMj
pero el triangulo AbH, es cuadruplo del tri^ogulo FBA^
Eor íer femejantes , y tener di lado AB, duplo de FB: C^9^
ucl.) luego el triangulo A6H, es quadruplo del triangulo
A£B ; aísimifmo íe prueba íer HBC quadruplo de ESíCz
luego todo ABC, es quadruplo de AEÉ, BD¿ junto?.
Üe efte mifmo modo (e demonílrará , que el triangulo |
AEB, es quadruplo de los dos triángulos máximos heoios
en los Tegmentos A£> £B ; y afsi inhnitamente. ~'
LEMA.
Si haj una ferie infinita de cantidades decrefcentes en raz^n qué^
drufla y el agregado de todas al frimer termino es cmm
4- ^5* (jí¿- 2.6.)
SEa la cantidad MS, quadrupla de OS; y laO$i cjuadru^
pía de C^ , y éfta quadrupla de RS; y afsí infinita.^
mente* Digo > que el agregado de todas ellas cantidades
infinitas tiene con la MS la razón de 4. á 3. .
Denmfir. Por fer MS, cuadrupla de OS , es la OS una
quaru parte de MS , y la MO es j, luego la MS á MO^ es
como 4* á 3. Aísimiímo, y por la mifma razón , es OS a
OCL, como 4.a 3* y Q§ á QR, como 4. a 3. y afsi infini-
tamente; luego las MS , OS , c!^ ,RS, &c. juntas , áMO,
OQ , Q& 9 juntas hafta el infinito ; efto es , tpdps los an-
tecMentes» á todos los infinitos coníequentes, i|ue cooiipó-
iien la MS , fon como 4. á 3#
PROP. XXXin. Theorcma.
lapatabúU es fefquitmia del triangdomaximomft^^
DBmmftr. El triangulo máximo infcrito en la parábo-
la es (32*) quadruplo de los triángulos máximos
infcriptibles en los íegmentos , y eítos triángulos fon tam-
bién
bien quadra{>]^ de los infcriptibles én los otros íegmen-
xos ; y aísi tntínkamcnte , halta venir á degenerar en la psr-
rabola : luego ( Lima preced. ) la parábola y que es el agrega-
do de todos^ los xlichos triángulos infinitos decrefcentes «o
razón qüadrupla , es feíquitercia del triangulo máximo inf^
crito , que es el primer termino.
L
p
COROLARIO.
1
As parábolas terminadas tienen entre si. la mfmá tax4n qui
los ttianfftlos max'mos infcritos. ' •
PROP. XXXIV. Problema.
Qüodrar una parábola terminada* ( jíg. 27. )
Idde, que (e haga un qiíadrado igual á la parábola
AFBGC terminada en la reda AC.
Operación. Prolongueíe la AC , haciendo CD un tercio
de AC , y juntefe la bD. £{):e triangulo ABD,(erá igual á
la parábola : redu2ga(e efie triangulo a quadrado por la
rop. 6. ¡ib. 6. de la Geom. PraS. y efte quadrado ferá igual
la parábola.
Demonjlr. La parábola AFGC^ al tríangttk) ABC , tiene
la razón de 4. á }• pero el triangulo ABD, al milino triaiv
guio ABC, tiene tambiefn la razón de la baía AD 4. á la hst*
lá AC 3. por tener entrambos una mifma alturas luego h
miíma razón tiene el triangi^o ABD , al inícrito ABQ que
la parábola: luego el triangulo ABD , y la . parábola ion
iguales ryj>or conífguiente , el quadrado iguisU al tri^ngav
lo ABD , íerá igual á la parábola. ^
D
COROLARIO.
E aquifi uAige , que el tri4ngulo CBD^ eí igtd Tíhf dúsfeg-^
mentos parabólicos l^pjG.
Í^OP.
Utl TrAT. yin. D£ 1 AS TRES SeCCION. CoNw
PROP. XXXV. Thcorcma,
tnUpáfdcUy ti tfwigulo mixtilineo PESM, (fig. 26. > es áUfl
del fegminéo faraboluo convexo P£NP.
Tlrde b ordenada PO. Demonflr. (330 La iemipam-
bola PENO^ al triangulo PNO, es como 4. á 5» lúe-
go efte triangulo ai fegmen i o PENP , es como 3» á i. pero
lel triangulo PNO , es igual al triangulo PMN , por tener
iguales bafasON, NM^(i2.) y una milma cuípideP:
luego el triangulo PiVíN , es también al fermento PENP,
como 5. á 1. <^ongue PMN es 3*- y el fegmento íbbredí-
cho es I. luego quitando efte fegmento del dicho trian-
gulo , qikdaiá el triangulo mixtuiñép PENM z^y el íeg^
mentó ferá i. luego aquél es duplo de efte,
PROP. XXXVL Problema-
Dado el diámetro jj/ parámetro de U parábola , y el angtd^ de lar
apunadas con el diámetro , defcrivir la paréolai
( ^¿. 28. )
SEa dada la reda AC , para diámetro de la parábola ; y
(ea A£ igual al parámetro; y fea BAC el ángulo que
han de hacer las aplicadas con el diámetro. Pidele íe oeí^ 1
criva la parábola. |
Operación* Dividaíe la AB , en qualefquiera partes igua-^
les, o defiguales en los puntos 3) B, &c. Hallefe la BD, ter«
cera proporcional a las £A y AB : hagafe lo mífiiio en toda»
las diftancias AB ; y las terceras proporcionales halladas
ponganfe paralelas á la AC , y los puncos D, D,,&c* forma- j
rán la periferia de la parábola. 1
Demonfir. De los- puntos D , tirenfe las DC, paralelas i
BA. Por la conftiuccion , las reatas EA, AB, BD, íbn con-
tinuas proporcionales : luego íiendo AC, igual a BD, ferán
£A , AB , AC, continuas proporcionales $ y ,el reáiangula
BAC, del parámetro , y la fagita , ferá igual al quadrado
de la aplicada CD : luego ( 7. ) los puntos D , D, forman
la parábola.
• i PROP*
— - ^
Libro !!• \ aa|
PROP. XXXVn. Problema. • ;
Defcrivir de o(rojnodo I4 farabqta. ( fi^« 29. )
I» ^g^'^^Peramn* Hágale el paraklogránio AbCD, ajuftado
\^^ al angub que han de formar las aplicadas con el
xliamctro BC. Dividafe éfte en qualeíquiera partes igaate%
I j5 deíiguales en E, £, &c. y tírenle las EJF, paralelas á la BA,
- 'Tírele también la diagonal ED, que cortará las paralelas en
< Jos puntos G, G, &c. Hallefe una media proporcipnal HE,
( entre las F£ , G£ , y los puntos B, H, H^ &c« formarán )^
i parábola*
Detnonfir. Porque las lineas F]^,(bn todas iguales, u(i
xeótanguio FEG , al otrp ángulo FEG y ferá como uiu GE^
^ la otra GE , ó ( 2t6.Euc. ) como una B£„ á otra BE; perp
los quadrados de las HE, (bn iguales ( i7^.£uc« ) á los reQr
^ángulos FEG : luego un quadrado de H£ , á otro quadra*
do de HE , es como una BE, á otra BE: luego (cof$l.i* fr^f.
%• ) los puntos B) H, H, &c. forman la parábola*
KIOP. XXXVin. Problema.
Bxplicafe otro modo de defcrivir lafarabola. (^fig. 30. ) .
«
g^^VerAíton. Hagaíeel triangulo réólangulo ACB,cüyó
\J lado AB, íea el parámetro dada, ó elegido ; y la BC,
(^aarbitraria. Divídaíe la CB en partes iguales , ó defiguaj
Les en los puntos D ; y tirenfe las redas AD : de cada pun^
to D, haganfe á eíquadralas lineas DE, que cortarán laBJ^
diámetro de la parábola , en los puntos £• Tirenfe por £^
paralelas a BP , y por D, paralelas a BE, que fe cortarán eq
los puntx)s F. Digo , que eftos forman la periferia de la par
Húbola,
Demonfir* Por fer los ángulos ADE , ;-edos , la perpen-
dicular l3B,es media proporcional entre AB, BE; {coroL i.
/ro^yi 8* 6.£uc. ).y por configuiente, los quadrados de l9S
1)B, ü dé fus iguales FE, fon iguales á los redangulos ABE;
pero eílos redangulos , por tener el lado AB común , iba
j^omo la$ lineas B£ ; luego los quadrados de las F£, fon co-
mo '
'1^24 Trat. Vin. Db las tris Sficcio^f. Coíir;
mo las fagitas BE, BE, &c, luego ( anrol. i.de U prof^/l i
los puntos B, ¥y F, &c« forman la parábola»
PROP, XXXIX. Problema.
Defcrivtfe de otra manera la parábola, (fg* 3 r. ^
SEadada, ó efcogida la AB para parámetro , que cont
nuada halla M , fegun fe qúillere, lera BM el diamctn
I>eícrivaníe diferentes lémicirctüos ,^que le toquen en ^, ;
cortan la BM en partes iguales, ó deliguales en É, K, L, Scé
Por el punto B , tirefe la BC, perpendicular á la AM, qu<
tocará al circulo menor en B ; y a los demás les cortará en
los puntos D, E, C, &c. De los puntos K, L , &c. tirenfi
las KQ^, LR , &c. tangentes á los femicirculos , y paralej
las , é iguales á las BD , BE , BC ; y los puntos Q^ , R , sJ
&c. formarán la parábola.
Si fe dieíTe determinado el ángulo que han de formar
las aplicadas con el diámetro BM , fe tiraría la KQjde fuer-
te , que formaiTe el ángulo dado ; y la LK , y las demás fe
harían paralelas á la KC^; pero íiempre iguales á las BD,
BE,&c.
Demonflr. La BD es perpendicular al diámetro AK , y
por coníiguiente es ( corol. i. fropof 8. 6. Euc. ) media pro-
porcional entre AB,BK; y alsimilmo la BE, es inedia entre
AB, BL : luego el quadradp de BD i es igual al reftangu/b
ulBK; y el quadrado de BE, al redangulo ABL: luego la miC
ma razón tiene el quadrado de BD, ai de BE , que el rei^an-
gulo ABKy al ABL ; pero éftos, por tener el lado AB comim,
tienen la razón de BK a BL : luego el quadrado de BD , al
Suadrado de BE , efto es , el quadrado de Kg^, al quadí-a-
o de IR , tiene la razón de BK a BL : luego {coroL i. j,) Joi
puntos B^ Q , R¡ &c. forman la parábola.
PKOP. XL. Problema.
Vefcrivir U parábola al rededor de un triangulo dado. {fig. 3Z. }
Pldeíe (e defcriva una parábola al rededor del triangulo
RNP , de fuerte , que Tu pen&ria paí& por los puiuof
N,R,Pt Ote-.
Libro IIj " ity
OfiréUkH. Dividaíe por medio la bafa RP eiv Q , y tire(e
KQc Saquefe de qualquier punto fi; la F£ paralela, é igual
á Isi QP: halleTe entre £F, y £1 la media proporcional EO,
y el punto O , ierá uno de los pertenecientes ¿ la periferia
de lá parábola ; de la mifma fuerte fe hallarán los demás..
Demonjh. Por íer continuas proporcionales El , EO, £F,
{fcrá el quadrado de £F, ó PQ^fu i^al^ al quadrado de EO,-
como QP á El; ó (2. 6. Euc.) coiño NQ á NE : luego (i.y
la £0 , es aplicada; y ti punto O, eltá en la periferia de l4>
^parabola.
PROP, XLI. Theorema.
Siendo el triangula ABC ( j!¿* 3 ;• ) infcrito en la farahla , t fií
bafa ACy dividida far niedw en D^ can él áiametra BDyfiji Hrá *
fu fárdela EG ,7 la IGK far'alela i la bafa , ferlm fta-
f^cianaUs la bafa DCala oflkada IGy co-
ma EféíFG.
DEnumftr. Como dixe en la propoH anteced. k DC; eC-
to es, IK , IG , IH ion proporcionales : luego (i de
IK , fe quita'la IG, y de éíla fe quita la IH , ferá toda IK í
toda IG, como lá quitada IG, a la quitada IH: luego el re-
fidao GK, 6 £C, al rdiduo HG , es como toda IK á toda
IG ; cfto es , como DC á IG ; pero por ftr lojs triángulos
EFC, GFH femejantes, es EC á HG, como EF á FG: luego •
DCáIG,escomoEFáFG.
• , ^ \-
PROP. Xm. Problema.
Defirivir de tn^s dos mxntras U faraküA d rtdtdtr it m
trtMgiUQ. {fig. i^.-)
m
Modo I. Pideíe que al rededor del triangulo ABC , ie
deícriva una parábola*
Operación. Dividafe BC por medio en D, y ttiefe el diá-
metro AD : dividaíe la baía BC en qualeíquiera partes ea
los puntos E , por donde fe tirarán las redas EF , parale- ^
las al diámetro AD : hagaie aora como DCá DE^ afii £F
TomoUU Dd i
%2ó Trat.VIIL J}t LAS Tais Sección. Com<
i¥G ^Y los puntos G íerán de la periferia de la
Confta de la propoC anteccd.
Jámk 2* Divioaíe el diámetro AD eá quakíquiera pi
tos K, por qiiiencs fe tirarán las recias KF paralelas á la '
ía^ que corearán el lado del triangulo en los puntos F :
j^os íe tirarán las re<^ FG, paralelas al diámetro AX>.
rffák también las lineas BK , oue cortarán á las FG en
puntos G ; y por eftos puntos u, (e guiará la linea curvsL^j
quedará defcríta la parábola. Conlb de la propoC miíhx^L
Srque en los triángulos BDK, KFG, ( 2.6.£uc. ) es'BO^ic
Cfix igual á KF: como DK, 6 EF, fu igu^l á FG«
PROP. XLm. Problema.
. Cantimur una fáráMd^ nftttmU m femenu. (j^«34*)
1 Tíldele que le continué la linea parabolice ACl opera-
Jl cien* Tirado el diámetro AD^y la aplicada DC pro-
longada ázia N, tireíe la NG paralela al diámetro, y por d
punto L , en due corta al lado prolongado del iñangujo,
tirefe la aplicada ML,*al diámetro alar£:Klo : de B por M,
tírele la BMG^ que cortará la NG en G, por efte punto íe
continuará la linea parabólica.
2 Suponefe que á la parábola ABC , (/ig*5 5 O le falta et
(egmento D£ , que (e le ha de refiituir. Operación. Tirde
qualquier diámetro BF ; tÍFcn(e las lineas AD , A£ , que
cortarán al diámetro en K, y en I: tircníe también las DG,
EH paralelas al diámetro £ÍF : dividafe KI en qualeíquiera
partes iguales en los puntos O; y la GH, en otras tantas eo
ios puntos S : por donde (e tirarán paralelas al diámetro,
' que cortarán las redas AO en los puntos T; y por cltos fe
guiará la linea, y quedará reftituido el Tegmento que falta-
va. Confta^ como la operación antecedente , de la profj^u
PROP. XUV. Problema.
Daéés mt^puntos^que no efien en üwareSayj tirada por ellos una
linea fara diatnetro^ defirivir la parábola (fig. ; 6.)
S£an dados los puntos I, N, O, y la linea NM para dia*
metro : pidefe íe forme por ellos la parábola.
Ofi'
» • ^ Libro II. 227
f Operdüm. Tircfc la lO , y partafe por medio en R. Ti-
reíc RP paralela i MN; y hagafe como el quadrado de IR,
í al ciua4ra<kr de NQ^, alsi la ÜP á PQ^; y la parábola que
^ paí^re por N , y P , paflará también por los puntos I , O.
t (^caroLi. de la fr0f*i.) De efta mifma lüerte, dadas Jas redas
íf 10, NM, que fe rortan en M,-íc ddcrivirá la parábola , cu-
i y o diámetro fea NM.
PROP. XLV. Theorema.
íi Bn el triangulo reñangulo ABC (fig. i'7*)fiU hifotenufa ACfe
-parte far media tnü ^j par efte punto fe le tira la perpetídicular
^ £>£ hafta encontrar con la CE ¡paralela a BA , digo , que el
punto E pertenecerá a ia periferia de la parábola^
b cujfo vértice es F^fu focus A^j U
I • tangente GE.
K "WTX^numftrí Tirenfe las lE , FDH paralelas á BC. Por fer
K _l J Fü. paralela á BC , aísi como AC es dupla de AD,
f ferá (2.6. Euc.) la AB dupla de AF, y la BC dupla de FD;
y íiendo la FH. igual á BC , ferá Fti dupla de ED : luego
FD,DH fon iguales. Sipndo pues los triángulos GDF,DHE
cquiangutos , y FD , DH iguales , feranFG ,y HE , ó FI
, iguales; y (4,i.Eucl^los triángulos ADG , ADE tendrán
las bafas AE , AG iguales : luego ( corol. 3. 28. ) fiendo F el
vértice de la parábola , ettará el punto E en fu periferia ,,y
j la GE ferá tangente , y A ferá el focus.
I
PROP. XLVI. Problema.
Dado el vértice , y el focus , defcrivir la parábola» Oí^.58.)
SEá F el focus , y I el vértice de la parábola que íe ha de
deícrivir.-
, Operación. Haganfe FI , IL iguales : tirenfe las LO , IM
perpendiculares á LF : tirenfe como fe Quiera las redas
I FMO, que cortarán á la IM en los puntos M,y á la LO en
los puntos O: por M tirenfe las MP perpendiculares á FO,
haíta que conen en P las OP paralelas a LF , y los puntos
P íerán por quien^ ha de parífar la periferia de la parábola*
Dda De
S28 Trat.VIII. Di^ t as trbs Sección. Co i^«
De la mifma iuerte (e hallarán otro$ puncos.
Di^nfir. Por fer FI y IL iguales , ¿rün ( z.6. Euc. ^ FAf,
MQ iguales: luego (45. ) los puntos P eftán en la perifeiia
de la parabolí^
PROP. XLVn. Problema.
Defcnvk una fárahU igud 4; Wá iaid. (fig^l^O
S£a la parábola dada ABC ; pide(e otra igual. Operuion*
Tomefe la AD arbitraria , para que el punto u fea el
vértice de la parábola que fe ha de deicrivir : tireíe la BE
igual j y paralela a AD, y el punto £ penenecerá á la peri-
feria de la parábola igual á lá dada : aisimiímo y tirando la
BL igual , y paralelad AD , fe tendrá el punto L , &c.
Detnonjtr. Tireníe las aplicadas BF,£K. Por fer las AD,
BE iguales, y paralelas, y afsimiimo B£ , FK , íerán AO,
FK Iguales ; y quitándola comían FD , quedarán AF^ DK
iguales : luego lá niilma razón tiene BF a la íagita FA^ que
£K á la íagita KD : luego las parábolas fon iguales.
PROP. XLVin. Theorema.
Ids fsrabolds fabudichas , áimque fe continúen injinitameniey
fiempre dffiaran menos entre si , fin foder concurrir jamis;
y fon afimptotas. (fe.40.)
F\E€faracion. Por el vértice N de la parábola interior , ti-
, refe la MI , aue ferá tangente de dicha parábola inte-
rior , V aplicada de la exterior. Del punto M tirefe la MQ¿
paralela al diámetro VT , que por la oper^^cion de la prop. ]
anteced. ferá igual á VN, y por Q^, tirefe la aplicada OH.
Aisimiímo, tirefe laOR paralela al diámetro, que fera
también igual a VN , y por R, tirefe la aplicada SL, y que-
dará el diámetro dividido en partes iguales en los puntos
Demonftr.Tmcho lo primero,que los redangulos 0(^1,
SRL ion Iguales al quadrado de MN ; la VP , es dupla de
VN por conitruccion , y ( 1. ) el quadrado de OP al qua-
drado de MN , es como VP á VN ; pero (5.2. £üclid. ) el
qua-
^■ta
I •
^-
. (
( t
^¿22S,
%^C
\
I I
i .M
LlBKO II. t29
Suadrado de OP , es igual al redangulo OQH , y al qua--
rado de QP : luego d redangulo OQH , juntamente con
d quadrado de QP, ó MN fu rgual, 'esduplo del quadrado
de MIS : lue^o el reátangulo OQH , es igual al quadrado
de MN. Aisimifino , el quadrado de ST es íeíquialtero del
quadrado de OP, por fercomo la &gita TV 3. á la (agita
PV 2. y es también igual al redangulo SKL , juntamente
con el quadrado de KT, ó OP : luego quitando el quadra-
do de KT , queda el redangulo SRL, mitad del quadrado
de OP : luego es igual al ouadrado de MN; y aísi en los de-
más : lueco todos los re¿langulos que fe hicieren , como
OQH , SkL y &c. fon iguales al quadrado de MN , y por
conliguiente entre sí : luego (14. 6. Eucl.) tienen los lados
reciprocos; efto es, OQ á SR,como RL á QH; pero R.L,es
mayor que QH: lue^o OQ,es mayor que SR; y afsi intini-
tamente : luego aunque eftas paraoolas (e continúen inüni-
tamente,(]empre (e irán acercando la una i la otra, y jamás
vendrán á concurrir. Se irán ííempre acercando , porque
quanto mas íe continuen,(erán menores los dichos fegmen*
tos de las aplicadas comprehendidos entre ellas; pero jamás
podran concurrir , por íer liempre menor alli la ainpUtud
de la parábola imenor , que la de la exterior*
COROLARIO.
«
DE dqui fe coligiy que los f$Ü4ngtths OQH^ HXO fin igUéh
ksijpr confiffácnre , también Us lineas OQ^^ XHfin
iguales.
Lí-
\
230 Trat.VIII. De las tre's Sección» Con,
4II4»H»I3^ ^W^í¥ ^l^^l^
LIBRO III.
DE LA HIPÉRBOLA.
DEFINICIONES.
I T TTlperbold y es una figura curvüinea , que procede di
1 I una fecclm cónica , cuyo üano carta el un lado dd
1^ I triangulo que faifa por et exe , y encuentra con el
otro prolongado Juera de la pirámide cónica, Co*
irio en la j^. i. el triangulo hecho por el exe , es ABC ; y
la feccion EDF es hiperbola,porque el plano que la forma»
cona al lado AB en D , y también al lado CÚ continuado
,en G : lo qual concuerda con lo que dixe al principio de
file tratado' .en la def. 16. que cuando él plano focante corta
las dos pirámides cónicas opuettas , las dos fecciones cóni-
cas opueftas que Cp forman fon hiperMask Las fecciones hi-
perbólicas de entrambas pirámides opueílas íe expreífan en
la fig. 1. fuera de la pirámide.
2 Tangentt de 1 4 hipérbola , es la reSa que toca fu periferia
en un filo punto fin cortarla , como EL , y AH. (fig* 2 .)
3 Diámetro de la hiperbola-^es la Dnea reSta que parte Por me-
dio todas las paralelas 'a la tangente , terminadas dentro de la hi-
pérbola , las quales (e llaman aplicadas ^ aquel diámetro » ó
ordenadas : y afsi, la BEH , {fig. 2.) es diámetro de la hipér-
bola FED , porque parte por medio todas las paralelas á la
tangente LE , tiradas dentro de la hipérbola, y eftas fe Ha-*
man ordenadas » ó aplicadas á dichc^ diámetro ; y el mifmo
nombre fe da á fus mitades , como HN ; ó también /¿iwwr-
denadas , ó femiaplicadas.
4 Exe de la hipérbola , es el diámetro quess perpendicular 2
fus aplicadasicomo en la fig.^. BJEH, que no folo divide por
me-
L I B R o IIL ^7
rníedio i íus aplicadas, (j que es perpendicular i ellas ;pei^ '
* GFK^ aunque es Jiameiroj por partir por medio fus apiica>»
das, pero no es ace , por no (er perpendicubr á ellas.
5 Vértice de U biferioUy es elfimt^E ^ e» que el exe mtá
fii periferia.
6 HiperMds ofueftasjfinUs que frrma un mimo fls^oféam-
t€j certMtdQ I AS dos pirámides ofueftas ; y entrambas tienen por
coníiguiente up exe común , y afsimifmo los demás diame*-
.tros : como en la jig. z. ABC j DEF, ion hipérbolas optidU
tas , porque tienen un mifmo exe común IH ; y todos \a&
dcon^ diámetros, como OK, ion tsnbien comunes ,. tito
es, a(si en la una, como en la otra , dividen por medio IU5
x>rdenadas ; y á íagitas iguales , corfeípondeti aplicadas
iguales. , V
7 Exe mdetemúnadodiUMfarMboUi es toda la reüa Ití.
Llamafe h$determinado , porque puede continuara tnfínMtf-
mcntci pero exe determinado y es íblaoiente el Tegmento BE
comprehendido.entre las dos hipérbolas opueftas,el quaí tsé-
de la düiancia que hay entre ellas ; y en la jig. u esla reéi^
DG , y fus tcrinino^ fon los vértices de entrambas hi^
iperbolas. ■". .
8 Centrjo de lahiparMa , eselfuntoG^ (fig•^•y que fart$
por medio d exe determinado BE z conquó el x:entro de la hi«
perbolaeitá fuerade ella , y es comufi á lasdos hipérbolas
opueftas*
9 Úiametroindetermnddoy es OK , porque (e puede con**
tinuar infinitamente ; y diámetro determinado^ es el í^mento
AFdel indetermimdo , que (e termínala las periíerias de
lü^ hipérbolas opoeilas. Aaui fe vé, que los diámetros^
aísi determinados, como indeterminados , fon infinitos ; pe^
tí^ el exe e^ íblounode ellos¿
10 lAamem fegmk de la bipei^^i^t una Unea reSa medid
pomáonaL entre el dumetro deternmado , jfuparanmro , iifih
SaaPor medio en el centro de la hipérbola : conque elle diáme-
tro (egundo, es común i las dos hipérbolas opudlas.
1 1 Hipérbolas conjiigadas^pn aquellas cujos diámetros mutua»
lame fe cortan é Sean ^ en hñg. u dos opolictones de híper--
. bola$,launaABC,DdiF,yJaoti;aGtíl,íü^ .
me-
aj* Trat. VllL De lAs TRES Seccion.Coa.
metros B£,HL,fe cortan cu el centro S. Digo , que lasdoi
opuettas fon conjugadas con las otras dos t^ueltas ^ y^x
diámetros B£> HL' , fe llanu n también conjugadas > porque
continuados, el HE. corta por medio todas las aplicadas pa-
rálelas al diámetro HL , y eitc i las aplicadas paralelas i
3^y por eüa razón d diámetro BE, fe Itanu rí^,rerpedo
délas hipérbolas ABC, DEF; y (TM/rn-y^, rcfpeéiodeiu
X^HI, KIA^ y al ctHitrarto, HL es itüo^ refpeéh) de éSt^ J
Jrtnfmf» , reipedo de aquellas :-y por la milma razón BE, 1
«srf¿bB,.reípeaodeHL ; y eiie lo es, refpeáo de BE.
iz Añ»fM*ítfwmíuimi£M inÁfUmodeUiñfabtUi^
//UtHÍe.^íentn,jqiiMtgm4ífiáfartMiideeí,miv/e áorut
^léfir^tñáde U bifabqlMi' fert jémai auuurriraii t»» f^
stmqiu torrea mjiíMámemt , como en la jig. 3 . SN y SQ > SPi
SO.', filas pueden íbhnar ángulo re^ en cl centro, J
también albulo agudo, ó obtub.
015 PdrMmttretiUáertSadeUbiperMd^esmMsíiiitdt'
r' nfetmdentyiqmnfe tampMTMi Ids fotemias delds ^i*"
al diámetn. domo ifi¿. ^.)íe» &D el diámetro aeter-
jninadodeKliÍperbola.AtíC,y iu aplicada FA , fean/w»-
rQfcionalesBF, FA, FE : tirefe la BH, paralela á FA, 1»^^
difcrccion : tirefe ja DE , cjuc cortará la BH en G ; y f«?
BG.cl f4r4mttrp.t ó Lidprtíbi , como íe demonftrara eofa
lugar. Advicrtaic lo primero, que alsi en la hipérbola, W-
mo en la parábola, y elipfe, no es forzólo que el lado reao
íe aplique perpendiculatmente a! diaojeuo., ti que puede
iucerfe paralelo ¿ las aplicadas. Advierto lo fegundo, if*
cada diámetro de labiperbok tiene fu parámetro diíercí^
ye , por fer diferentes fus. potencias, y las de fus aplicadaV
-quienes mide. \
14 Hipérbolas ¡piales j fon aquellas tn qñthft ks ttiáilgdtf
4f*^'iii'*»lMtAngtmcsanlaié^mftotéífonipultíyi/«n^
Mdsquea /agitas males corre/fondeH afiuaáas igiults.
.IJ Htpnbotasfcnujaates y fon aquellas en quienes les trtíf'
gules quffomaa las taugatts con Us áfimputas^ que baten «ü""
ios iguales , fon femepuites.
1 6 latus de la hiferbola^i un panto futfio en el exe dtntn *
^ila^yáifia^t ik fu ítntrtLy tatito, qumAtiaquiUafartt^f*
apif-
V Libro Illt 13}
afimptütd^ que fe camfrebeffde entre elcenm^i elpmeo en que es
tortada for la taféente que fale del vértice de la hipérbola. Como
en la )!;• 3* (i la diiUncia SK íe paila de S haita T , el punto
T íerá elfocus. La propiedad eflencial de los fbcus de las
dos hipertx>la$ opueftas, es, que (i de un punto tomado ar-
bitrariamente en qualquiera de eftas hipérbolas , íe tiraa
dos lineas , una á cada fecus y la diferencia de la mayor á la
menor es (iempre igual al exe determinado, que es común i
entrambas hipérbolas , Q á la diftancia de íus vértices» *
PROP. L Theorema.
%nlabiperMay hs quadradosde las af litadas tienen eme si í$
fáx4n núfina que los rtSan^ulos hechos de las fagitas^j la Imea
comfuefta de la [apta , j diámetro* ( jíg. ][• )
LA pirámide cónica VKS , íe fupone cortada por (u exe
con el plano RVS, y juntamente con otro plano que
corta la ,ba(a de la pirámide por la lihea NQ , perpendicu-
Jgrá/RS , y á la fuperficie de la mifma pirámide , íbgün la
linea curva MPQ , de tal fuerte , que el diámetro NM , de
elta lección , prolongado coacurra con el lado RV , tam-
bién alargado en L. Afsimiímo , por qualquiera punto O;
paíTe la HOI, paralela á RS,y por dicha linea el plano HÍ?I
Earalelo á labafa , que con el plano QpM , hará la comuo
perfección OP. Eira fcccion nMQ, es hipérbola, (ie/.i.)
ylMy es fu diámetro determinado; y las OP,NQ^, fon las
aplicadas al diametix)* Digo pues, que el cuadrado deOP,
al quadrado de NQ^ escomo cji re(3:angulo LOM , alrecr
tai^ulo LNM.
., Dewonfir. Por fer el plano HPI, paralelo al plano RQg^
es circulo, y las interíccciones OP,NQ^, Ion paralelas; ( i^*
I r. Euc* ) y fiendo NQ;perpendicular á RS , también OP
ferá perpendicular a HI , que es paralela á RS : luego ( $5.
3. Euc. ) el re^ngulo HOI , es igual al quadrado de OP, y
el reébngulo RNS , es igual ^\ quadrado de NQ ; luego el
quadrado de OP , al quadrado dcNQ^,. tipne la mifma raí^
^n que el re<^aQgulo HOI ^ al re^pgülo RNS > pero el
rec-
•134 Trat.VUI. De las tres Sección. Con»
reótaneulo HOI , al redangulo RNS , nene la razón
GdtadcHOáRN,üdeLOáLN;ydcOIáNS, üd«
O á MN : luego el quadrado de OP, al quadrado de WQ^
tiene la razón compuella de LO áf LN, y de MO á MN ; pe-
ro él redangulo LOM , al reótangulo LNM , tiene tancibien
la razón compueita de LO á LN, y de MO á MN: luego el
<}uadrado de OP, al quadrado de NC^, tiene la razón miT*
ma que el redangulo LOM, al redangulo LNM.
COROLARIO.
Slfetnájft unareSa pwlos puntos í^j Pr^lárgAdáyOnrtárU át
dusmem ; fwque cmo el reétangulo LOM Jta menor qué A
uáémgdo LNMj también el quadrado de oé ^fera menor que eLde
Nj2j luego O? es menor que SQj yfiendo eJUs lineas' paraleUs,
esfor^Jo , que las reñas liOy Q?^^ alargadas^ vengan a concurrir.
PROÍ>. n. Problema.
Dado el diámetro determmadolU la hipérbola^ j una oflkéuU^
hallar fi parámetro. ( fig. 4. )
Dlxe en la define i j. que el parámetro de la hipérbola
es una linea por quien (e. miden ks potencias, d
4]uadrados de las aplicadas. Y A^lonió m-geo dice, que
elle parámetro , ó medida en la hipérbola , á diferencia del
parámetro de las otras (ecciones , es de tal calidad , que el
-cuadrado de qualquier aplicada excede al redangulo he-
cno del parámetro, y (agita , en un redangulo (emejante al
formado del mifmo parámetro , y del diámetro determi*
nado. Eito fíipueílo , (ea dado el diámetro determinado
DB, y la aplicada FA , y (e pide el parámetro desdicho dia«
metro.
Operación* Halleíe una tercjcra proporcional i la íagíta
BF, y á la aplicada FA , y ferá la FE: junt^fe la DE, y ti-
refe del vértice B la BG paralela á la aplicada , y efta reda
BG-, ferá el parámetro que firve para el diámetro dado, y
^s aplicadas. Per&cioneníelos redangulos FI, FM.
Demonjlr. Por fcr tr^ proporcioaale$£F , FA , F£ , ei
Libro Ilfí 2}$
C i7.6.EucL) dquadradodeFA igual al redanguió de
BF , FE,eftoes , al redanguloFH: lu^o dicho quadrado
excede al redangulo FG , hecho de la iágita FB , y de la
rcéla BG , en el redangujo KH, (emejante ( z^» 6. EucL ) al
reétangulo BM , hecho del diámetro determinado ÜD , y
de la reda BG : luego la reda BG es el parámetro , fegün
la inteligencia de Apolonio.
\ COROLARIOS*
•
I "px E dqui fe colige la raz4m,pnqMi efta feccion fe Uama H-
I J ferboUy a diferencia délas otrasyj es^ fwque en Ufa--
rMbolaj eliptadrado de las apUcadas^es igual al reSangulo h^bo ée
lasfdgitasyj el parámetro. En Id eUpfe^ los quadfados de las apü^
Cdias fon menores que dichos reStangulos de lasfagitasj j parame-
trm pero en la hiperbola^dichos quadradosde las aplicadas fon hm-
y ores que los reSangulos referidos.
2 En la hipérbola , el quadrado de qualquier aplicada , como
FAytiene con el reSangulo DFB la mifma raz^^n^ que el paranfetr^
BG con el diámetro determinado BD ; porque el reStangulo EF£
igualy como hemos vifio , al quadrado de^TA , tiene con el reüangf^
lo DFB la raz^nde FBaEDy ppr tener unamfma altura EBi
( 1.6. Eucl. ) peráí como f E i f D , afsi es ( ^.6.EucL ) BGa BDi
luego el quadrado de FA tiene con el re^Sangulo DFB 1^ rdzM de
BGaBD.
I Si la reSa D^E^que faüendo de la extremidad del diámetro^
paffa por la extremidad del parámetro^ fe continua ; j afsimifmo
las aplkadasy como LS^feprofiguen hajta cortar ía dicha re&a m
O y jera el quadrado de ta aplieada LN , igual al re&a^iguloAe la
f agita BLjj de la reüa W\y afsi en las demás. La rax^n es , por^
%ue el reáangulú I)FB aI reHangulo DLB^ tiene la mifma raz^on
que el quadrado de FA al quadrado de LN; pero.elre¿tangu¡a.BFE
^al reSanguloBW/t§ne también la mifma razón que el reílangu-
k DFB d reStangulo DLB ; porque la razan del reAangulo DFB
al DlBy fe compone de las raz4mes de BFa BL ^ Jf de DFa DL ; y
la razan del reSangUlo BFE al reSangulo BLO , fe compone tám-
biendeladeBFaBl',ydela deFE aLOy quel¿\.6» EucL)esla
ifñfma que la DFa DL: luego el quadrado de FA al quadrado
ieLÑ, tiene Ja mifma razan que el reSar^gulo BFE oU reü ángulo
BW\
z'
2^6 Trat. VIII. De ia$ tres Sección. Coi/.
ULO \j alternando , r/ quairádo ieFAyd reñanguh BFE, nmm
U náfmá rdzjsn que el quadrado de. LN, d reSangulo BLO ; ferm
d quadfddo de FA^ es igiidl al te&ingulo B¥Ey nnnofe h4 ienmnf-
trádo: luego el quairádo de LN^ es sguM di reftángulo BLOn r
éfn de Us denus aftinddds.
PR.OP. in. Theorema.
Si una üned ocurre d U hipérbola , de fuerte^ que for entrdmkéi
fdrtes id€ fiaerd de elU , dlargsda concurre con el did-^
metro, (fig* 6.}
LA rcdoí CDE, ocurre á la hipérbola en el punto D » de
fuerce, que alargada, cae fuera de la feccion por una,
y ocra parte: digo, que concurrirá con el diámetro. Seaa-
leíe en la periferia de la hipérbola qualqüier punto F » y ti-
rfefe la reaa FD. . •
Demonftr. ( coroLpof. i.) La FD prolongada concurre
con el diámetro en un punto A : luego corriendo la CDE,
entre el punto A , y la feccion , neceúariamente cortará W
diámetro.
PROP. IV. Theorema.
r
ySiiUtdngenu £I, (fig* 7*)fe hdce una fardleU ML, dentro dt
Id biferlold ofuefid^ alargadd dicha fardeU^ cortdra Id ¿i*
ferbold for dmbds pdrtes.
Dtmonfir. La re<^a £1(30 concurre con el diámetro:
luego (li paralela ML , también concurre con el diá-
metro , como por exémplo en L» Tomefe pues AH, igual i
BL : tirefe por H, la HO, paralela á £1 , y tirefe qualquierai
re^ EN ; y porque lE concurre con EN , también Al pa-
ralela HO, concurrirá con la mifma EN, dentro, ó fuera de
la hipérbola ; y por configuiente, en qualquier cafo corta-
rá la periferia. Supongamos pues la corta en O : tireíe de
O, la aplicada OQ^, y tomando la LR,, igual á HQ^, tirefe
la aplicada RP , que cortará á la MLP, en p. Digo , quee(^
te punto P, eílá en la periferia de la hipérbola : la razón es,
porque los triángulos OHQ^, RLP^fon toulmeateiguaiesi
poi:.
i
i
r
Libro IIL 937
por tener los lados HQ^, RL, iguales? y todos los ángulos
también iguales, por el paralelifmo de los lados RP, QC^ y
LP , OH: (z6.i.Éucl.) luego las OCt.i RP, fon iguales ; y
cftándo el punto O^ en la periferia de fu hipérbola, lo eñará
también el punto P , en la perii^ria de la hipérbola MBPi^
COROLARIO.
g^^VéUqmetá fot alela a la tangtntej como OC , mta la hifer^
V^ hola en dos pmtos ,j al dtamtttQ ennn pmtOm
PROP. V. Theorema.
In Us hipérbolas opueftas , las afücadas , que difian igualmente
del vértice , fon iguales. ( fig. 8. )
AUn(]ue efto fe colige baftantemente de la naturaleza
mifma de eftas hipérbolas ; pues íiendo fecciones he-
chas en pirámides cónicas iguales , y íemejantes , lo han de
íer también las hipérbolas ,y por coniiguiente , fus aplica*
das en igual diftancia del veaice han de fer iguales ; pero lo
quiero clemonítrar<para mayor evidencia.
Seajn pues las dos hipérbolas Q^ueftas SON , Q^T. To-
menfe las diftancias del vértice , o fagitas OM, PR, iguales.
Digo, que las aplicadas RQ^ , MN, fon iguales.
Demenftr. Por fer PR, OM, iguales , y la ÓP común , fe-
rá el redangulo ORP, igual al redangulo PMO; pero ( i. )
el quadrado de RQ^, al quadrado de MH, tiene la razón
milina que el reétangulo ORP , al redangulo PMO : luego
fiendo ellos redangulos iguales, también lo fcrán di<lhos
quadrados: luego fus lados rQ., y MN, fon iguales.
COROLARIO.
DlE aqui fe colige j auelas hipérbolas opuefias , terminadas on
iffial áftancia de fus vértices^ fon igjnales.
PROP. VI. Theorema.
la Imea reSa , que paffando por el centro de las hipérbolas mef-
tasy ocurre alauna^ encuentra también con la otra. (,fig*o.)
Digo , qué la re¿ta CQ^, que paliando por el centro C,
de Isk hipérbolas opueftas , encuentra con la una
eo
238 Trat. yiH. De las tres Sección. Coi^.
qi d punto Q, prolongada, encuentra también con la otra.
Tirefe del punto Q^, la aplicada Q^ ; y tomando la ON^
igual íl PR, tirefe la aplicada MN , y junteíe la CN.
* DctMník. Los trianeuk)S QilC , NMC, tienen los lados^
CR, CM, Iguales, por haverfe añadido á los íemidiaoietros
iguales CP, CO, las PR, OM , iguales; y las RC^,- MN,
ion (5.) iguales; y los ángulos R, y M, fon también iguales,
por fer las QHL, MN, paralelas: luego (4.1. Eucl.) fon de/ to-
do iguales : luego el ahgulo QCR, es igual al angula MCN;
' y (iendo verticales opueitos, lera ( i j. i. ) Qf N una linea
re¿b : luego la Qf aIargada,coincide con la CN ; y por
coníiguiente encuentra con la hipérbola en el punto h^
que es el que en la periferia termina* la aplicada MN.
COROLARIOS.
I C* I for el punto C , que divide al diámetro determnad» fm
iJ medio , fe tird una reSa, que encuentra *con l^ hipérbolas
ppuiyas en Q^^ j N, las ordenadas tiradas "por dichos puntos, cá-
moQRy NAÍ,)(?« iguale s^j cortan las [agitas OM,PR iguales.
z Todas las reítas , que pajfando por el punto C, ocurren a las-
hipérbolas opneftas , quedan divididas en C, en dos partes iguales^
como fe infiere de lo dtcho : j por ejla caufa fe llama el punto C,
centro de las htpcrbolas\ j todas las reílas que pajfan por C, j cor-
tan lashiperbolasyfon fus diámetros^ j fus mitMeSjfemidiametros.
PROP. VIL Theorema.
Qualquier linea , que pajfando por el vértice de la hipérbola , es
paralela a las aplicadas a un mifmo diámetro, es tan-
gente. (fig.9.)
LA reda LI , tirada por el vértice I de la hipérbola , es
paralela á la ordenada NQ;, P%o, que la LI cae to<-
da fuera de la hipérbola ; porque íi cayeíle dentro , como
IM , dividiéndola por mecho en R , feria aplicada al diá-
metro HRO ; y éfte, dividiendo por medio fa ML, también
dividirá por medio fu paralela NQjen O , (def. 5 .) lo que e$
impofsible , por fuponcrfe ya dividida por medio en P;
luego dicha linea cae fíiera ae la lección : luego es tangen*
V te%
-i^bi^
Libro IIL 239.
te* tx> imímo íe convence de otra qualquier paralela á las
aplicadas á otro diámetro , (lue paíle por el punto en que
€UcbN> diámetro coru á la hipérbola.
PROP. Vin. Theoífcma.
Si el diámetro determnade BAy de U biferhoU^ (fig. 10.) fe dm-
á0e». Ej de tal fuerte j que BE 'i BA^fta cerno BOa Ufagita AD^
U £C tirada del punto Ey a la extremidad de la aflí-
cada ÍK y fer a tangente.
Plteparacm. Si no ei tangente , conará la hipérbola , y
vendrá por exemplo al punto F : tireíe pues por F , la
aplicada GFri ; y por los puntos A, y B, las AL, BK, para-
lelas a EC , y juntenfe BCX, DCK, y GCM,
Demonfir. Por fupoíicion BD á AU , efto es , BK á AN,
(4.6.£uc.) es como BE á E A ; ello es , coma BC a CX , ó
como BK a XN^ por la femejanza de los trianguiois BCKy
XCN : luego BK á AN, es como la mifma BK a XN : lue-
go AN , XN ion iguales: luego ( 5. 1. Euc. ) el quadrado
ANX , es maVor que el reéiíangulo AOX : luego mayor ra-
zón tiene la NX á XO5 que la AO á AN. Efta confequencia
es clara , porque fi fe hiciefle el redangulo AOS , igual al
redangulo , ó quadrado ANX 9 iería NX á SO, como AO
a AN , como fe vé en las lineas pueltas a parte : luego lien-
do OS mayor que XO, -mayor razón tendrá NX á XO,
que á OS : luego mayor razón tiene también NX i XO,
que AÓ á AN; pero como NX á XO, afsi es BK á BM, por
la (imilitud de los. triángulos XCN , BCK : luego mayor
razón tiene BK á BM, que AO á AN : luego el re&aneu-
lo hecho de los extremos BK, AN , es mayor que el délos
medios BM, OA; y por coníiguiente, el primero tiene con
el quadrado de CE , mayor razón que el fegundo : pero
como el redangulo de BK , AN , al quadrado de CE ; afsi
es el redangulo BDA, al quadrado DE : (2.é.Euc.) y tam-
bien,como el redan&ulode BM, AO, al quadrado de CE;
afsi el redangulo BGA , al quadrado de GE : luego mayor
razop tiene el redangulo BDA , al quadrado de DE , que
el redanguljp BGA, ai quadrado de G£;y permutando, ma-
yor
*^ Trat. VnL Dfi LAS Tac« Sección. C0H4
yor el primer reébuigulo al f^^undo , que el quadrado prU
mero al legundo; y como (i •) lea como el reébngulo BD A,
al redangulo BGA; alsi el cuadrado CD, al quadrado GH:
j como el quadrado DE, al quadrado GE; aisi el quadrado
CD, al quadrado FG: ( por í uponerfe, que h EC prolonga*
da viene á F ) luego mayor razón tiene el quadrado CD,al
auadrado GH , que es el mifmo quadrado CD, al quadra-
o FG, lo que .es abfurdo , y contra lo democtftrado en Ja •
frtfof 8, /i¿. 5* EucL lu^o ía £C alargada no puede venir
al punto F, ni á otro dentro de la (eccion : luego ha de caer
fuera de ella ; y por configuiente ferá tangente.
PROP. K. Theorema.
Si UHáreSé í0Cá lí UhUfethoU y j del fumo del c$¡it4Üa fe úrét
. iÓM dflkddd^ las f artes del diámem detetjmnadp tengan U
mjmé razsn que U reüd censué fia de (Uabo diétme^
tre , j [Agita tiene con la fagita.
«
SEa OV ú diámetro de la hipérbola ; y la tangente PT;
y PQJa aplicada. Digo, que OQ^a VQ^, tiene lánúC-
ma razón que OT á TV. v
Demonjlr» Si no-cs afsi, hagafe como OT á TV; afsi OS ♦.
á V^ , y tirefe la anlicada SR : conaue (8.) la TR ferá tan- '
gente; y alargada azia baxp, cortara á la TP ; y por coníi- *
guiente, dos reatas cerrarán efpacio, lo que es impoíiible*
COROLARIOS. "^
• >
DE aqni fe colige , que qualquiera tangente de la hiferMa
poUmg^cma el diámetro entré el centro ^.jelvertke ^ )
a menor dijianci^ del vértice j qne el femidiametro (porque las far^
tes del diámetro OT a TF, tienen la rnifma raz^n que OQj VQ^
y anuo la OOjiempre haya defer nujor que fu parfe VQj. tam-^
bien la OT ^mpre fera majorque IV i Utego TV es mnor qtét eB
fenúdiametro*
1 Si de un punto del diámetro , que no dijle del vértice de U
hipérbola menos que elfemidiametro ^fatira una reSta a labiper-
- ' bo- •
- , I] I R B p . m, n^
HU ^Ubade cortáir ptcifamtnte. Conftd de A dkh^ , :
PROP. X. Thebrema.
Si del ccmaBo U (fig. ix.) fe Wá una aflicada OQ^^ él iiámetr^
MQj, [era ^l quddrado del fnmdtameuo Qji^ ijpuA '
al reüanffUo QGS.
DFinwi^n (8.) MNf a NR , es como MQJl RQ^; Ju?go
componiendo, ferá como MN, y NR juntas' ; dÜo es^
como MR, i NR: afsi MQ, y RQjuntas, á RQ^ Juego la»
mitades dé los antecedentes , Con proporcionales con los
niifmos corifeqüentes; eíto es,GR,tnitaa de MRá ÑR,(e];^
como GQ ^ mitad dé las lineas MQ^, y RQ,á RQ: luego
conviniendo la razón, ferá GQJl GR, como GQ^RQ^i
GR— NR ; etto es , GCi.á GR , como GR á GN : luego
< 17* 6, Eucl, ) el quadrado de GR , es igual al reébngiao
QpN. De áqui fe colige bañantemente la converTa*'
PROP, XI. TheorettMu
Kn la mfma fufoficim (fig. ii.)el rtñanguh MNJC , es igua$
al uEtangídú QSG.
DEmonftr^ ( lo. ) QG á GR , es como GR á NG: luego
compOniendo,(erá como Q¿/1 á GM: afsi MK á GN;
y alternando , como QM á MN , afsi GM a CN ; y divi-
diendo,como QjNÍ á NM , afsi RN á NG : luego el redaiK
;ulo de los medios MNR,es igual al de los extremos Q^G^
i6,6.£uclid.)
PROP. Xn. Theoremt.
r
Sat la mfma fkfejUm (fig. iz.)es el reSangulo GQ^ , al qua*
irado de QO , como el diámetro MR al fál-
tame tro.
Dlmor^fir. Confta de lo dicho en la demonftracion de
la proppf. anteced. que GQá RQ, es como GR, d
MG fu igual á NR : luego alternando, es GQJl MG,como
Q£L á NR ; y iromponiendo^es como MQJl Qp ; alsi NQ
Totm XU, £e á Q£l:
Í4* TMT.yni, De lASTRK Sección. Coif. -
k QR: luego (i6.6.Euc.) los reñangulos MQR, GQ^ Cafi
iguales; pero el re¿Ungulo MQ^,es (arti. z.z.) al quadr^
do de OP , como el diámetro MR. al parámetro : luego e]
n^aiwuJp GQ^, al quad»do de QQ y es como el diamc:-
Ird MR. al 'parámetro.
PROP. Xffl. Thcórema.
IpúÜT.tí£mttr9,cttUr9~,yexedemdh¡ferM4.(^.i¡,y
X '"trik Ada la hipérbola KP ,j)idcle uno de fus dia*
j "I y. iros. Óperaiian.' Tiveníe dentro de ella de qui
fjiiiera manera dos paralelas HF , IL : divídanle por meé)
pi ^, C: tirefe la CE larga í difcrecíon, y ferá d diámetro
^determinado propio de las aplicadas híP,lL,y, uno de In
dfe (a hipérbola., . . ', '
' ' Dtmónjír. 5i la CE nb es diámetro , rcfpe(9o de las fff,
IL, lo Tera alguna otra linea NP : luego coftai-á por medio
la IL en O , (d(/^.)/'^"(Jo *lsi » q"e ie ha fupuefto corta-
da por medio en^C : luego no la ^1P , ni otra alguna puede
¿fer,.$Wiametro , rclpeíto de las aplicadas HE , XL , fi íbla^
inerite la" CE.
; Pidefe el centro 'de la mifina hiperiwla. OferMim, Ti-
rado el diámetro CE , con las paralelas HF , IL , tirenfc
otras dos paralelas Np,Q§,y dividaiife por medio en 0,R.
Tirufe e! diámetro KÓ , que cortará al otro CE , alargado
en M, y tile punto M, ferá el centro de la h¡perbDla;(?OT'«r.
*2.'6.3 y Ls "MKy MG\ íbn íemidiameiros determinados , y
fu duplo lerán diámetros determinados, (dtfin.^.)
3 Pidefe el eA de la hipérbola. Oftractea. Del centro
T, dado, ó hallado por la opcíacioh antecedente, deüriva-
íp un arco de circuIo,que coitará ja hipérbola en-dps pun-
tos Z, S. Tireíe la reda ZS , que fe dividirá por medio en
V ; tirefe Ja "tV , y fera el exe, por fcr perpendicular i ú
aplicada ZS. - ■ . ,„ .
l>K.OP.
L X 1 R o IH. 141
PROP. XIV. Problema.
Vi un fwrtú dddo y tirar una tangente a la biferb^
« Q^Ea dado el punto O en la periferia de la hipérbola, de
^ quien íe ha de tirar la tangente. Oferación. Tirefc h
reóta OP de qualquiera fuerte, y halleft ( 13. ) el centro G,
y tirefc el femidiametro GQjy tomando GM igual a GR,
íerá MR el diámetro determinado. Dividafe MK en N , en
dos partes , que tengan la mifina razón que MQJl K(Xj y
la NO ferá la tangente que fe pide. Coníta de la pwp. 8.
2. Pidefe , que del punto N, dado en el diámetro entre
el centro G , y el vértice R. , fe tiré una tangente á la hi*
perbola. Oferación. Halleíe una tercera proporcional i las
NG, y GR, qué ferá la NQ^tirefe por QJa aplicada PC "
y la NO fera la tangente. La razón es , porque fegun
pradica , ferá el quadrado del femidiametro GR , igual al
reélangulo NGQ^: luego (10.) la NO, es tangente. El mo*
do de tirar la aplicada PC^, es el mifmo que el de Ja para*
bola > y el que fe fígue en la propof. íiguiente»
^i
PROP. XV. Problema.
tyadpel diatHetto , y un funte , tirar for tfle punta ana áfÜcaáá
diiametíQ yj una tangente jw el veftife*
I QEa AB el diámetro de una hipérbola : pideíe íe tirt
)3 una aplicada al diámetro fobredi^ho ,' por el punto
f* dado cñ la periferia.
operaá&ni Tíreíe la PTQ^por el vertite T,V fean igua-
les PT,TQttirdt la QFl paralela al diámetro AB.que cor-
tara la periferia en R: tirefe la PR , y ferá la aplicada que fe
pide ; porque PB á BR , es como PT á TQ ; y íiendo añas
Iguales, también lo íerán aquellas : luego la PR queda divi-
dida por medio en B : luego es apUcada. (defin, 3*)
244 Trat^VIII. Db las trss Siccxon. Cont.
1 Fideie fe tifc una apücada par ua -puotoS dado
el diámetro.
Ofetáim. Tireíe por qualquier punto P de la periferia
la ordenada PK , por k regla dada : hogafir por el puoto
S la MSN paralela á PR , y lera la aplicada que íe pide»
j Pidefe,que por el vértice T le tire una tangente. Ti-
xéíe la LT paralela i MN , y quedará hecho. Conlla de Im
PROP. XVI, Theorema.
£» U hiftrhélá , / 4il fmU9 M wuáü^ fe maimá^aflkáiA j/
fw lás extremuíádis del éiámetn determnád$ fe üran dos fon-
lilas 4 U ordendiU^ lleguen bafid la tangente , el reSkan^
ffdo heibe de dichas foralelas^ es igual i la quatta
faftedelafigtira.{fig.i^.)
áPolonio entiende por pgura el re^ngulo hecho ddf
diámetro determinadío , y parámetro. Sea pues PR
gente « y la aphcada PQ: por las extremidades det
diámetro NL, tirenie las LI, NO paralelas á PQ, hafta que
concurran con la tangente PR alargada: y (ea LM el pará-
metro. Digo y que el refiangulo hecho de LI » bK> » es ia
iquarta pafte del redangulo hecho de NL ^ LM.
Demmñu Por fer RP tangente, ( ii. ) los rcdangulos
QRE» NRL Ion iguales : hiego como fe ha el quadrado de
qR con el redangulo QI<JB; efto.es, como Q^ á R£: afii
fe ha también el mifmo quadrado de QR con el redangulo
NRL ; pero efia razón del quadrado de Q|L al rediangulo
NRL', fe oompone de la razón de Q^ i NR , ü de PQJI
NO; y de la razón de QFl á RL, üde PQá IL, que ion las
3ue componen la razón del quadrado de PQal re(3aQ^ulo
¿ IL , NO : luego la mifma razón tieaen C^i R£ , o el
re^anguk) EQR , al remangólo QjER. ^ ó al oiiadrado^de
LE (u igual ,^( lo. ) que el quadrado de PQ^al lyrtáacigulo
NO, IL: y permutando, como el redao^tilQEQJl al qua*
drado de PQ^ , efto es , <i 5.) como el .di^^tfo NL al pa«
rametrd LM : afsi el quadrado de LE y al re^Saíngulp NO,
IL; pero como NL al parámetro LM, aGiel quadrado de
NL al redangulo NLM: (i.^.£ucL) luego el quadrado de
LE al reétangulo LI , NO , es como ei quadrado de NL al
reSiftnguló NLM : y alternando , como el quadrado de LE
al
Libro IIL i i0
al quádrddo ée NL, aísi el xeóbngulo LI, NO al tedangu-
lo NLM : y fiendo , como es el primero , la quaru parte
del (egando , (eiá también el tercero la qoarta parte del
quarto : es pues el redaoguio de LI , NO , la quarta [or^
te del redangulo NLM , ü de la figura.
PROP. XVII. Theowma*
In la hfperboUy fi far elfunto del contuño fe tkd una aflkúiá^j
far el centro fe hace nns Paralela a dicha educada , que fe terrm^
\ ne enta tatúente , fera el reSangulo hecho de la afli¿ada^j
de la f áratela fobreduha , wíal a la quaru forte
de U figura, {üg. 15.)
LA reda RP toca á la hipérbola en P : tireíe la aplicr-
da PQ^, y por el centro E hagaíe la EF paralela á di-
cha aplicada. Digo , que el redangulo hecho de EFJ^Q» es
igual á la quarta parte de la figura , ü del re¿Ui]^lo
isLM.
Dentonp. (tu) Los reSangulos NRL , Q{UE ion igua-^
les : luego (liLé.EucL) tienen fus lados reciprocos; eílo es,
NR á C^, ó NOáPQ^ como RE á RL, ó como EF á lU
(4.^. Eucl.) luego NO á PQ^» es como EF ált, ; luego el
re^nguk) de PQ , EF , es igual al reétangjbüo NO» IL; pe-
ro éfte (i6.)e^ igual á la quana parte de la fígvra : luego
también lo es el redangulo de PQ^» EF«
PROP. XVIIL Theorcma.
tn la biftrbolOy (fig. 16.) cuyo diámetro es AB y y el centro C , jr
kn quien oí , (l.) conn.el teüat^ulo ADBiol, reüa^guk .ATR, a(k
el quadrado DU al quadrado ¥Gx fife hace como el reSan^ula
ADB al rmjmo reüangulo ADB 9 mas el quadrado (^ , afst el
efuadraU DE al quadeado DH i y afshmfmo yfife hace como el
foSanguh AFB^ al mifmo reííangulo AEB y mas el i^nadrado d¡e
CBy afst, el quadrado de ¥G al quadrado de B^ la linea CHlqua
{ale dd centra ^ YfaffaHr dkbos puntos y es reBka ylafimft^
tas \y qiíamo mas fe alarga y mas fe acerca a la bifa-
bola jfin^iamis pueda incurrir
con ella.
Dtmonff. Bor eitír la AB partida {K>r niedíp en C » y
haveríele añadido la BD , es ( 6. z. Eucí. ) el re¿lan«
gu-
%J^6 TrAT. Vni. De 2. AS TRES &CCIOV. CoN*.:
guio AD6 , mas d qoadrado CB , igual al iquadrado GD.
Por la mifina razón el rectángulo AFB , mas^ d cuadrado
CB y es igual al quadrado CF ; pero el cedangulo AüBf
por conftruccion , es al redangulo ADB , mas el quadrado
de CB , como el quadrado de DE , al quadrado de DH;
luego el redangulo ADB , al quadrado de CD, es camo d
quadrado de D£,al quadrado de DH : y de la mifína ítier-
te ir infiere y que el rectángulo AFB , al quadrado de CP|
cs^como el quadrado FG, al quadrado de FI ; pero (i.) al-
ternando los términos , el reótangulo ADB, es al quadrado
DE y como el redangulo AFB^al quadrado FG : luego ¿/
auadrado CD al quadrado DH , es como el quadrado CF
quadrado Fl r luego también ierá (21. 6. EucK ) la *linei
CD á DH, como CF á FI : luego CHí, es linea reéia; C4'^
£uclid.)y porque el quadrado de Fl^íiempre excede al qua-
drado de FG , los puntos G , I , jamás podrán concurrin
aunque el punto I , y los demás que inñnitamente íe pue-
den continuar , íiempreíe irán acercando mas á la hipér-
bola , por haver de fer liempre mayor la razón del quadra^
do de GF al quadrado de ED , que la del quadrado de IF
al quadrado de HD,por íer la primera la mifma del redan-
guio AFB al rectángulo ADB , y la fegunda la de los núG-
mos redangulos , juntos con d quadrado de CB añadido i
cada uno.
PROP. XIX. Theorcma.
Eif Umifins conftrucm» ( ji^-i6. ) W reüangdo HEL^es igUéU d
reílAngulo IGN.
PAra la demonftracion íe ha de advertir, áue (6.2,EucL)
(i ^l quadrado de CD (e cuita el rea^ngulo ADB,
queda el quadrado de Cl^y fi del quadrado de GF fe quita
el redariígulo AFB , queda tatnbien el miftnp quadrado de
CB, cotpo confta claramente de la demonífarí antee. Tam-
bién por eftár la LH dividida por medío en D, y deí^ual-
mente en E , íi del quadrado de DH (e quita el quadrado
4e DE, queda el reétanguto HEL; (ji^4Eud):y'4iKtiiMfifiBr,
• (i
Libro I|L, ,- , yyr
ü del quadrado de Pl fe quita él qúadr^do de FG , qiíeda
el reOiangulp IGR Efto íupuefto,
Demoryír. C 1 8» ) Como el quadnfdb de CD^al quadrad^
de CF , afii es el quadrádo cfif DH , al quadrado de FIyr
también ( i .) como d iedangulo AÚd^ al redangulo AF¿«
aísi es el quadrado de DE, ai iquadrádó de FG: lu^ í¡ del
QUadrado de CD , fe quita q\ reótangulo ADB, y del qua-
drado de CF íe quita el redangulo AFB , y del quadradd
de DH el quadrado de DE, y del quadrado de Fí el qua-»
drado de FG, los refiduo^ (eran también en la mifma razoa
^roporcion^^Ies : luego Terá como el (]^uadrado deCB , al
miímo quadrado de C^B; aísi d redangulo HEL, agredan-
guio IGN; pero CB con CB, tiene íazon de igualdad: luc»
go 4icbos rédañgulos íoíi iguales.
, COROLARIO.
DE aquí fe colige Ptr4 vez,^ que iGj es menor que HEiforque
Rendo, los rectángulos HELy ÍGS iguales , tendrán ( 14. tf^
tu£. ) los lados recíprocos , ^ fera HE a IG, coma GN 4 CÍ ; pero
¿N» es majwquf EL: luego H£ y es mayor quelG.
PROP. XX. Theorema*
Si par el vértice dt ía hipérbola paffa una tangente , cuya quadra^
_ isfo y¿4 igual Xla quarta parte de lafigUfayUs lineas tiradas
« ■ aeí centro por fus extremidades feran afimpto- *
SEa MN diámetro de la hipérbola-, cuyo centro es C:
por. di vértice V pafle la tangente PV, cujfo quadr^adp^
6 el de V<X? ^^^ ^S^^ ^ 1^ quarta parte de la tigüxa;dlo e^
fea la quarta parte del redangulo hecho del cEdmctro de-
tefrainado ¡s/iy , y del parámetro VL. Pígo, quie las lineas*
GP, CQjíbn afirhptotas , que acercabdoíe fiempre á la hi-
f)erbola, jarnos ]>oarán concurrir con día : fi fe dixcre que
pueden concurrir, fta en qualquier panto G; tircíc'la apü-»
cada' ^N, flüe íetá parálete áWv (70' '
II4S Trat.VIII. De las tres Sección. Con*
Denmfir. MV a VL , es como cí quadrado ac MTV ,'ai
rectángulo MVL; (i«6.£úc.) y fiéndo d quadrado de CVA
la quarta parte del quadrado jde MV , y el quadrado de PV \
por (iipoíicioD^ la c^uarca parte del rea ángulo MVL ^ ierá
MV i Vl, como el quadrado de CV, al quadrado de P V;
p como el quadrado de CN^al quadrado de NG,(4^.Euc*)
por'iuponene concurriría CP en G ; pero MV á VL , es
(carol.i.z.) como'el'rcS^ijgulo MNV, al quadrado de JNG:
luego la niifina razori'tiéncn él fediángulo MNV, y el qvia-
dradó de CN,con el quadrado de Gn: luego el redangu/o
MKVjjr el quadrado* dcXN feran Ízales, cootra la^of^
bb. %• hixcU luego la CP. , no puede jamás cóncurrii* con k
hipérbola : k mas de eÚo ,f licmpre fe va acercando nías i
cUa , porque las paralelas ZX , ON terminadas en la CO,
crecen (2.6. Eud.) (égunrla raxon deCV á VP ; y las apli-
cadas XT , NG crecen , (i.) fcgun la razón del re<3angu]«
MXV, al reftangulo MNV^que es mayor. r^tW que la.fo-
bredtóha, por componerfe de las razones de MX i*XV,y de
MN a NV , que ion mayores que la de CV á VP lluego la,
EiperVoía íe va continuamente acercando. *m.35.á iá CO^
fin poder jarnos concurrir con ella: luego la CPO^csífimp^
totas.
> s > «.
PRO5. XXL Thcoreim..
SUjüqmrdjangenté de.lá hiferbola coru entrambas áfimftoids^
j queda dividida fór mdig en el punto del contaSo^j el quon
drado de fu mitady es igual a la quarta parte de
.--, .,..., . UJkura. (fig^il»)
ir A lítiea VL . toca ,á la hipérbola en V , y del centro C
J i íalen las áfímptpíás CX) , CK. Digo lo primero , que
dicna tangente corta entrambas afímptotas. La razón es,
porque ( coroL de la fropf 4. ) las paralelas á la tangente
tiradas' dentro de la hipérbola la cortan por' entrambas
pártes/jr^ambien al diámetro ; y por coníiguiente , oónti*
kiuadas, cbrtan láí dos aiimptotas : luego lá tangente tam^
bien í^s corta. * '
Di-
Libro III. - 20
Digo k) íegando^ que el punco V del oootado corta la
tangente en dos partes iguales VP, VQ^, y que fus quadra-
dos (bn iguales i h qaacta parte de la tieura aporque ñ el
qUadrado de VP, y lo tftifmo digo de VQ^ np fueUé igual
á la quarta parte de la figura , ie podría alargar y b acortar
de fuerte , que fu quadrado fuefle ig;ual i la quarta parte
de la figura; y por lü extremidad (e tiraria una linea diftin-
ta de la CO ^ que (lo.) feria cambien afímptotas ^ lo que
es inatpofsible , como conlla de lo demonftrado acerca de
eftas lineas : luego el quadrado de VP , y alsimifmo el de
VQ^t es igual k la quarta parte de la ñgura; y dichas lineas
fon emie sí iguales. Lo mifmo que fe ha dicho de la tan-
líente PQ^i 1^ ha de entender de otra qualquiera tangente.
COROLARIOS.
DE áqui fe colige y que mnguna tangente de U hipérbola fue--
de pa¿ar por el centroy por cortar necesariamente las afimf-'
totas en dos difiintos puntos , como fe ha demonfirado.
* z Coliga fe también el modo de tirar una tangente a la hiperhih
I A defdt un Punto P> dado en la afimptota. Dividafk ?C por me£a
en L : tire/e la LVy paralela ¿ /4 CK , la qual cortari la hipérbola
en V: tire fe la Pr,V feri tangente ; porque en el triamulo FCj^
(2*6. McL) es py jí VQ^ como PL a LQ pero efias fon iguale si
íuego también lo fon PVy VQ^: luego PQjs tángeme*
PROP. XXn. Problema*
Hadas dos lineas que formen un ángulo y y dado un punto den$r$
ddmifuno angula y defirívir una hipérbola por el dicho pmto^
,€ejas afimptotas fean la,s lineas fobreéchas.
SEan dadas Jas dos lineas AB , AC , que (orman el an»
guio BAC, y íea dado el punto D , por el qual fe ha
de delctivir. la hipérbola j cuyas ^mptocas han dé íer
AB , AC* *
•\ ^ ope^
X%<y Trat.VIII. Dfi i.A$ Titps SíccroN, Com .
Oferáím. Tinefe la reda DA , v hag^fe DA^ Ap ínia-
les ; y el punto A, fer^ d (entro de la hipérbola , y D& fu
impero determinado» Tircíc la DF, paralela á AK, y
diámetro determinado» Tíreíe la DF, paralela á AB, y
gaofe AF» FC iguales ; y tireíe la CD6 , y (i*6«£u90 (ei^o
lasBD^DC iguales ; hállele una tercera proporcional á ísks^
lineas AD , BC , y feaG , que (ervirá deparaoietro. Dado
pues el diámetro £D , y el parámetro tí , fe defcrivirá fií—
cilmente la hipérbola en elb forma. Hagafe DH, igual ^1
SarametroG ; tircíc la EH larga á difcrécion ; v tircnfe las
tC, que fe quifiere , paralelas á DH ; y entre cacfa DI, y ca-
da Ik, hállele una media proporcional IL : y por los puiH
tos Lj le deCcrivirá la hipérbola DLL, &c. y las AC , A&»
feran fus aíimptotos* '
Demonfir. Por fer las IL medias proporcionales líntrc las»
DI, IK, iérán fus qoadrados igualas á los redangulos DIK:
luego {coroU 3 . frofof. i. ) los puntos L , L, forman la hipér-
bola. También ppr feria BC media. proporcional.cntr^ el
diámetro EJD^y.el parámetro DH, íeríí el cuadrado de BQ
igual al reótaogulo dé ED, DH; y por coníiguiente, el qua-
orado de DC, ferá la quarta parte del redangulo de£D,*
PH, u de la figura; luego (20.) las A6, AC fon aíioiptQCas.
PROP, XXin. Theprenia.
Si del ceñir O Je tir4 un4 reÜA por el fumo del ,€ontañ^y itytmá
todas Ui fáraUlaí % la tángeme en dos fortes iguales^ *
y fera diámetro* (fig. i8, )
( • - • . »
T Arcóla BC toca la hipérbola en él punto D. Digo,
I y que la re¿la tirada del ceoirp A , por dicho punto P,
dmde por medio en I , todas las HL, paralelas á BC} y jpor.
coófiguicnte, que la reóta ADI es diámetro. Z^'
Demonftr. Tiradas las afimptptas ÁM , ÁÓ , queda
formado eftriangulo AMO ; y tirada la AI , forma con las
paralelas todos 1q5 triángulos AMI y proporcionales cqn ^l
triangulo ABD : { i. é¡ JEiic. ) y áísíniíGiip todos \qí AIOí
proporcional^ .WO.mABC : Iqegp ferá AI icón lM,cpmó
AD con DB ; y AI con lÓ , co*o"AÍ> ¿on Í)C; pero pgjr
ferla&DB , ÚC ( ii. ) iguales , la miíma razón tieiie^ AD
con
Libro III. • lyr;
con DB )^ue con DC : luego la mifma razón tiene tam-
bién AI con iKl ,. que con lO : luego las IM , lO ion igua*
les. Por lá mifma razón (bn iguales en el triangulo ENK,'
las IN, IK : luego las medias proporcionales entre DI, IK,
lerái> iguales á las medias proporcionales entre DI , IN,
I que (X2,.) (bn las IL , IH : luego ellas lineas ion iguales ; y
í por coñliguiente , ADi es diámetro.
1 PROP. XXIV. Theoremat
\ Si ttdiámtfo PFT ( jí¿. 19. ) mtá fw medio U R^, U tangmu
^ QVy tirada per ti nrtice Vy fita paralela i 1^.
í •■"^Fwtf/i/ír. Si no es paralela , tirefe la SZ, paralela i Oy:
f M 3 luego (ij. ) quedará dividida por medio en O ; y-
I como la SK fe fuponga dividida por medio en T, (era como
SO á OZ , a(si ST á TR : luego (2.6.Euc.) la reda RZ fe-
rá. paralela á OT , (iendo a(si , que ( coroL prt^. i. ) alarga*
da concurre con la TOP , fuera de la feccion : luego la
VQjio es paralela á SZ ^ (i a la RS.
COROLARIO.
SI la QVes tangente , v la US fu paralela ejia divididaM me^
dio en T y la relia VT [era diámetro', porque fi no lojuejfey h
feria otra linea , cama Tn , 7 ¿/?4 ( de/. 3 . ) dividifia por medio la
HSy en otro punto N : luego eparia dividida por medio en N y y en
T 9 lo que es impofsibk*
PROP. XXV. Theorema.
QuMqiáer linea que corta a la hipérbola en dos puntos , corta en-
trambas afimptotas i y los fegmentos de dicha iineay compre-
hendidos entre la hipérbola , y las afimptotasy
, fon iguales, (fig. 20.)
LA reda AC corta la hipérbola en los puntos A , y C
Digo, qtie prolonjgaoa , corta también entrambas
aíimptotas DE , y de DF , y que los íegmentos A E, CF foa
iguales. Dividafe AG por medio en o j.y tirefe del centro
D
15^ Trat. Vin. De las tres Sección. Con;
D , la linea DG , que cortará la hipérbola en el panto- 2B
por d qual hagaie la HBK, paralela a AC. 1
Denmfir. (corol. antee.) La BG es diámetro y y la HKI cs\
tangente, (70'^ ^^al corta ( 21. ) entrambas aíiniptorasr-
luego también las cortará {u paralela AC; y íiendo ( 21. 3
las SH, BK jípales, también lo (eráo las GE, G'F; y quitan-
do las G A, (jC, iguales, quedarán A£, CF iguales.
PROP. XXVL Theorema.
Sita tángernt de una de Us biferbolas ofuefids , fe U^
una paralela par el centro , efiafera el diámetro con-
jugado del quepaffa por el contado.
LA linea AG toca á la hipérbola inferior en A : hagár
fe por el centro O, íu paralela OR« Digo, que OR es
el diámetro conjugado de OA , que paiTa por el contaátoi
tirefe qualquiera linea HF , paralela á AO, oue encuentre
icon entrambas hipérbolas en H , F ; y de euos puntos ti--
renfe las aplicadas FN, HD.
Vemonjtr. Las aplicadas FN , HD, fon paralelas, por eft3Lr
aplicadas á un milmo diámetro; y como ND, FH, fe fupoa-
gan íer paralelas , ferán NF, DH iguales ; y ( i. ) los rea:an-
gulos AnE , EDA, ferán iguales ; y por coníiguiente ferán
AD, EN iguales, como también ON , OD, y fus paralelas
KF, RH: luego HF eftá dividida por medio en R. Lo mifmo
demonftraré de qualquier otra paralela: luego OR es día*
metro conjugado del dianietro AE, (egun la de fin. 11.
PROP. XXVn. Theorema.
Las afimptotds de las hipérbolas opueftarfon camones. ( J?¿. 22.)
SEa EB uno de los diámetros de las hipérbolas opueílas»
cuyo centro C. Digo, que las aíimptotas fon comunes
á entrambas.
Preparación. Tírenle por los puntos E, jr B, dos tangen-
tes FBG, DEA, que ferán paralelas á las aplicadas: (def. 5. )
cortenfe las reáas EA, ED; BG, BF iguales : y fean tales,
que
Libro IIL 2$^
(u quadrado fea igual á la quarta parte de la figura,
propia del diámetro £B ; y junteníe las redas CD ^ CA,
CF, CG.
Denumftr» Las lineas BG , DE , ion paralelas : luego los
ángulos alternos DEC, GBC, fon iguales; y como Bu, DH
lean por conftruccion iguales, como también BC, CE, (e*
rán (4.i.EucL) los triángulos DCE, BCG, totalmente igua^
les : luego fus ángulos en C, fon iguales; y fiendo vertica*
les opueltos , las imeas DC, CG, ion una linea reda; y por-
que las lineas DE , AE, FB, BG, pueden la quarta parte de
ia figura, ferán (zo.) las DG^FA afimptotas comunes
¿L entrambas hipérbolas.
PROP. XXVIII. Theorema.
Si por los puntos en que las paralelas TF, Hl (fif. 2;. ) cortan 3
U hipérbola pueftd dentro de fus afimptotas , Je tiran las ON,
131, paralelas aGl;y las Pi^ BS , pataletas kGH afo-
ran proporcionales RS a PÓj coma
LM a ON.
•
D^monfir. (^50 Las TO , PV fon ijeuales , como tam-
bién HL ,111 ; y los triángulos RSI , PQy fon femé-
jantes y por tener fus lados paralelos , como también lo fon
HML, TNO, aísi entre sí, como á los primeros : luego tie-
nen los lados proporcionales , como RS i PGLi afsi LM |
ON.
PROP. XXK. Theoremíu
,gi la lima LK (fig^ 24. ) corta la hipérbola , j de las ínter feo^
clones fe tiran RS^LMy paralelas a, las afimptotas GH^
GJtf feran los reSangulos LMGy RSG^
iguales^
D^monfír. ( 2 j. ) Las HL, RI fon iguales ; y los trian«t-
losRSI, HML , fon femejantes : luego ferln RS,
HM i SI , ML iguales. También por f^r íemejantes los
triángulos ISR, iGH, ferá RS á HG, como ISf, o ML i
CI; y dividiendo , fer^ como RS áMGsafsi MLáGS:
lue~
254 ^^^'^* ym* ^^ ^^' i'R^s Sección. Ooi>^»
luego el redangulo, ó paralelogramo equiángulo heeiio^
los extremos bS, GS , es igual al de los medios jMG^ ASL
PROP. XXX. Theorema.
Si'k una di las dfimftotas fe tiran Júsfaraklas^ lasjepmt»
que hacen en la otra afimftetajon froparcianales
cen las f áratelas. ( J^* 25. )
Tlreníe arbitrariamente las redas AB , CD^ paralé^ /
la afimptota £F. Digo , que ion proporcionaksvD
á AB , como BE á DE. Por los puntos C, y A , tireki
linea CA , que cortará las afimptotas en I , y en F r tirafe
también por A , y C, las lineas GH, AG, paralelas á ia om
aíiraptota ED, y ferán (29.) los reótangulos AGEB, CDffi
iguales : luego Ti 4. 6. EucL ) tendrán fus lados reciproco^
¿to es^CDá AB, como BE á ED.
^< I
PROP. XXXI. Theooma.
Iñ U mfmA fufofiám , fift tíra la £C tferoH Bil , DC , BI
tmMs pnfordtnalei. (pg.i^. )
Dtmn^. ( 30.) EsBA áCD, como DE I BE; pcn»
como DE á BE , afsi es DC á BI: luego BA á CD,
tacóme DCáBI.
PROP. XXXn. Thcorema.
Si Via afímpota AG ( fig. 26. ) fe tiran dos paralelas 9C, D!^ ;jf
t^ el pinto Cy fe tira la AC¥ , bafia encontrar con la DE^
akrgada en F yferan las DE^ BC, DE conih
nuas fropor dónales,
TF\Enionftr^ ( 50. ) Son proporcionales DE á BC, comb
' JL/ AB^áAD ;perb coma ABá AD, afsíes BC á Dfi
(2. 6. EucL) luegocomoDEáBC^afstesBCáPF.
PROP,
- '
• Libro lU; - tf<
- PROP. XXXÍII. Thcorema.
^ai'und áfimftótA fe diviit en "partes ptofofáonales , j pr etUí
fe tiran far alelas a la otra afimptota , hafta cortar U ' *
hipérbola > efl^íi paralelas feran proporcio-
nales, (fig. 26:)
EN ir afimptota AD , fean proporciónales AH i A%
como AB á AD; y por los puntos H^B, D, tircnftliaP.
ta la hipicrbola las reatas HI,BC,DE. Digo, qtic las redas
r>£, BC, HI, fon proporcionales. : -
Dentonjtr. ( 50. ) AH-á AB, ts como BC a HI ; y como
AB á AD , afsi es DE á BC; pero JH, jlB, AD^ fe fuponen pro-
porcionales : luego tanábicn lo fon PE, BC, HI. -
COROLARIOS.
' 1 T As DE, HOy fon iguales , porque ("3 2,) DÉ, BC, DVyfh
< I -j proporcionales ; pero las^ HOy BCy DF ifbHpop'orcionaletj
(2. 6. £«(.) por ferio por fupoficion las AH. AS, AD : luego DÉ,
HOy fon iguales. Afsimifmo DEy BC , HI , firi proporcionales; per o
'(52.) también lo fon DÉ, BC, DF: /íie^tf Hí,jr DFy fon iguales. '
- 2 Por fuponerfe AHy AB, AD, proporcionales ,jfér HO , BC,
I>F, paralelas y fon ( 2.6; Bíic. ) lasAOy ACy ATy támlámfrúpw-
iimaUs.
PROP. XXXIV; Theorema*
t 'Si ft tiran algunas paralelas S una de las kjtmptotas , quejeán
mttre si proporcionales , jr terminadas entre la otra afimptota \j U
mperbolayji del centro fe tira una reña a la ultima d$
" etlas y fe confintidr^ una mi fina píápor^
(ion. (jig.270
'■•■•• .. *
LAs redas BA, D'C, FE, HG, fon proporcionales , y pa-
ralelas á la alimptota MN ; y fe ha tirado la MG d^l
centro áia ultima HG. Digo , (juieteA, De,íE,Hp, F|-,
DK, BI, fon continuas proporcionales. —
Demonftr. Por fef B A, D(J, EF,HG, cbntiriuas proporcio-
nales , tasnbieti la^ MB ', MD , MF , MH , teírdíán-la mífma
pro-
2$6 Trat. Vm. De las tres Sección. Cont»
proporción , aunque con orden inverfo ; efto es , Car^ caí
moTE áHG, afsiHMá FM; ( 30.) pero como HM á Bi
aisi es HG á FL, ( 2.6.Eucl. ) y como FM á DM ; afsi FLi
JX^ &c. luc£0 le continua la miíma proporción ea l^s.
neas fobredicnas«
PROP. XXXV. Theorema.
Sifttprán álgimds fárdelas 1l una di las afiímftHas y f/Í0^
fnífi si pQfmumaUs ^y terminadas entre la otra afimft^^Í0
htftrbela ; y dü centro fe tira una reüa a ¡a frimerá
de ellas j fe continuara una mi jiña pro-
prcion. (fig. 28.)
SEan las lineas HG^ F£ , DC , Bi! , proporcionales ^ y pan-
lelas á la otra afimptota AÍN : tirefe del centro M , la
MA prolongada; y continúenle las paralelas halla eiia lineau
Digo , que ie continúa la tnifma proporción en las liness
enteras ; eíto es , que f9n proporcionales HG^tEy DC ^ BA9
Demonftr. C}^* ) ^^^^ esDCiBA^ como MB a MD ; pero
coo)0 MB á MD , aísi es BA á DL : luego como £>C á B^
«fsi es Bit á DL ; y alsi de l«s demás : luego fe continua U
miíma proporción en la forma dicha.
D
COROLARIO.
E aqiá fififfH y quefife hacen pof mimóles MS^MD^MF^
&(. las paralelas HGy FE, DCy&c. feran frofarMnaleu
PROP. XXXVI. Theorema.
Si i entrambas afimptotas fe tiran dos paralelas fn^áanaks^
Ttfultarm dos quadrilateros iguales, (pg. 29. )
LAs AG y Bl fon paralelas -a la afimptota ED ; y las
£C, FB ion paralelas a la aíimptota DG y y ion pro-
Ercionales AG á BI , como £C á FB • Digo , que tiradas
CB, AB> el quadrilatero ACBX>es igual al quadrílate*
Libro III. . . 15,^
ro EC6F : continueníe las IB^ FB, y períicioaenfe los pan-
lelogramos HF, MI;
Demmfir. AG á BI , es como EC á FB ; y íiendo ( xo. y
como AG á BI, afsi DI á DG ; y ccímo £C á FB , ;aist DF
I DE, ferá DI á DG, como DF á DE : luego el redaog^lo
DB| ai reóUnguIo DM, es como el mifn^o redangulo DB».
al redangulo DH ; lufigo los re&angulos DM , DH , iba.
iguales. También por íer AG á IB, ó GM, como EC 4 EB^;
ó EH; ferá también G A á GM, como EC á EH; y conipo-
niendo, ferá GM-i AM; como CH i CH ; pcao como GM'
á AM, afii es ^\ reétangulo MI , al reftangulo AMB : y co- .
mo EH á CH, afsi es ci re¿*aogulo EB, al rea;aogulo CHB?
luego el redaogulo AMB, es igual al re¿langulo CHB: lúe*
go ios triángulos AMB, CHB, que fon la mitad de dichos
f)araIelogramos, fon iguales ; luego quitados de los parale-
ogramos iguales MI,^1F, los quadrilateros reiiduos AGBI^
ECBF, fon iguales, * ' .j. ',
PROR XXXVn- Thcorcmi,
Tir4Í4 lá CO^iifyiZfi ). paralela a la dfimftoía ID.^ feia H
feílUin€0 AGJBy igual akuStiUiuo CBIO»
' « ' . ' » . ' , . * • j
DEmanftr. Por fuponerfe AG a BI,>^como EC á I:B ^ et.
(30.) DI á DG , como DF , ó BI fu igual á,DE , d.
OC fu igual : (bn pues proporcionales DI á E>G,como BI i
OCjpero como DI á DG,aísi es (50.) AG ^ BI: luego AG
á BI ^ es como BI á CO: luego componiendc^AG,ii)asMG£
^ BI ,es ixmo BI , mas CCf a CO ; luego dividiendo,feri^
BI> menos AG ; efto es , MA , ó CH, Iti igual á BI, como*
CO menos BI ; eíto es , como HB , ó fu igual MB á CO;
con que fon prQporcioníiles CH á BI, como BM á CO: lue-
go el «-e¿tangulo HO, hecho.de los extremos, es igual al
i;edanguk> MI, l;iechp de los medios; V ^ui^ayndo d< dicho»:,
redangulos iguales los triángulos isuaíes CBH, AMB9 que*
darán los quadrilateros AGlB ^ COIB iguales.,
^ A * • ^ • «
n
^8^ Trat.VIII-De las tkbs Sección. Con«
• ■ •
COROLARIO. ''
Lomftm qi^ fi ha demánpada de los quádrílaterms JKÉ
CBíOj f^ fir froforcionaUs Us Imás AG^tl ^CX^^fim
mmfiráríí ái otros quáUfqmera quadriUteros , formadas iMf¿
nUeUf i una afimftoUy mmtras ftán fr^portmales ^ efi$ cs,ff
^dos firsn iffulis*
PROP. XXXVni. Thwrcma.
Bl fik^cf de todos los triángulos que fe piden mfcrivir em)j^
ferboUj es el que tiene ten ella un mifine vertke ,J es
majior que la mitad de la tí^erbola.
(fig.iO.)
SEa la hipérbola MUN terminada con la reda JMN ; k
vértice es V ; y el diámetro es VO. Digo , que d i
thanjgulo MVN , es el mayor de todos los que k pueden I
inícrivir en dicha hipérbola. Por V tircíe la PVR , para-
lela á MN , y íerá tangente de la hipérbola eo U: luego «1
triangulo que tiene el vértice en.v , ftrá mayor que otro
qualquiera inícrito ~ en la hipérbola ibbre la mifma bafí
MN : porque ningi!tK> de éftos llegará á la tangente > y pqr
coníiguiente tendrán todos menor altuf a.
Ihgo también , que dicho triangulo MVN , es mayor
que la mitad de la hipérbola , porque ( 41. i; EucL ) es b
mitad del paralelogramo MR ; y como étte fea claramente
mayor aue la hipérbola > ferá dicho triangulo mayor qwb
mitad de la hipérbola,
Plfop. XXXK. Problema. ,
A en la bíperMafe inferné el trianguh máximo ,ylos trw^
; Us nsaxifues mfmtos y en losJeimenmrefíhi»s fm
,: igudes^{^.iuy , ..
EL triangulo ABC y fea el máximo que íe puede inícri-
vir en la hipérbola , cuyo centro fea D ; y la DB£
parta por medio la AC : dividaoíe por medio los lados
Libio IIL - ^ lj9
Sja ^ BC en F , y G ; tircnfc los diámetros DMG , DHF.
^o, c|ue Jos triángulos AUB,BMC,que (38.) fon lus ma-
kos que íe pueden inícrívir en aquellos íegmentos refi-
¿luos 9 fon iguales. j '
Breparacíon. Tireíepor H la aplicada HM^ queque*
ciarSk dividida por medio en L : tireíe también la FG , que
íerá paralela i AC , y quedará dividida por nmiio en Nt
cambien tirando la HI de la una interíeccioo á la otra» íeri
también paralela á FG , y quedará dividida por medio co
L , como la HM : luego HI ^ y HM fon una mifma linea»
Detnonftr. Por fer FG ^ HM paralelas, es ( 2.6jEucl. ) GM
3l MD, como FH á HD : también por fer NF, NG iguales»
ion los triángulos DNF , DNG iguales , como también
FBTSÍ , NBG : luego los reftantes FBD, GBD fon iguales; j
como el triangulo FBH al triangulo HBD, (ea como HF i
HD; efto es, como GM a MD , fegun lo díicho arriba; (eri
GBM á MBD, como FBH, áHBD; y Componiendo, FBD
á FBH, como GBD á GBM; y íiendo el pnmen), y tercero
iguales , también 1^ ferán el íegundo , y quarto ; efto es,
FBH , y GBM : luego fus duplos AHB , BMC fon tambiea
iguales* .
PROP. XI- Theorenw.
Lds ün€ás quB juntan dos par dietas en la bipei^U , cWi» d$$
fermentos , cups trimgubs máximos fin
igmes. (fig. ^lé)
LAs lineas AB , CD , juntan en la hi{>erbo}a las do^ pa«
ralelas-AD, BC; Digo-, que los triángulos máximos
de ios fegmentos AB , Cl5 ion iguales.
iPrefaraom. Divídale AD por medio en K ; y del cen^
tro E tireíe el diámetro £K , que cortará por medio la pa^
^' raída BC ; partanfe por medio las AB, CD en F, y G; y t¿*
rcfe la FG: tirfenfe los diámetros EHF , EIG ; y la ordena-
da HM , que como fe demonftró en la prop. anteced. ven-^
éú a! puntó I ; y ferá HI -paralela á AD; y por configuien*
te á FG; y (i.á.Euc*) fetó Gla lE, como m á H£: tiren^
felasBN,OÍ,BE,CE-
Ffi De--
aáó Trat.VIII. De las tres Sección. Co>r.
Demmfir. Por ier BC , AD paralelas y y eftár Isls
DC divididaspor medio en F , y G , kvin tG , AX>
lelas ; y la FG eftará también dividida por medio > <
fus paralelas BC, AD: luego los triai^ulos FBN, NTCG &m^
imaies, como también BNL, CNL, y BEL» CEI^ouitada
mos triángulos de los iguaks F£N , GEN , reftai^an igoi-
les los triángulos FEB , GEC ; y por fer HI paralela a FG,
ferá comoGlá lE, afsi FH á HE; y tiradas las. BH, dü
demonftrará cbmo antes, que los triángulos HHB, ÚC/bs
íraales ; y por contíguíente los reíiduos FHB ^ GlC'.^tfgi^
lus duplos AHB , ulC ion iguales.
PROP. XLI. Theorcma.
fSi di ks extremos de las afUcéuUsJe tiran reSas al vértice , k
fegnentoi convexos que refultan , fin iguales ijfiforlos rmfnm
extremos , y vértice fe tiran paralelas 4i una aftmftotd , ks
fermentos cóncavos que refultan , fin tam*
* bien iguales. (^^.55.)
Ea HM el diámetro, y fu aplicada NI , de cuyos extr^-
^ mos al vcrti¿e V corran las NV, IV. Digo lo primero,
que los fegmentos convexos NOV , IPV fon iguales.
Demonjir. Divididas NV , IV por medio en R,S,y ti-
rados Im dúimetros HR, HS, y tiradas las reatas NO , OV,
IP , PV , refultan (59.) entrambos triángulos iguales. Afti-
mifino , li fe formallen otros td^gulos ibbre NO , PI , fe-
rian también iguales ; y afsi infinitamente en los íegmeo-
to& reíiduos ; y tantos ie formarán en la una parte cptao en
la otra» «Lkv^idofe pues. (5^.) cada uno. oe ellos triaiv
Sulos m%s de la mitaa del fegmento en que^ fe jnfcríve,ve&f
rán á degenerar en Ips «íegmentos parabólicos , de uí ma-
nera , que lo qu(& fobrare {era ícenos que qualqviierá canti-
dad afssgnabjle ^ como demonttré al princimo del /i^* 8. de
la Geemet. Element. que es el 12» de EucL luego tíendo ca-
da triangulo de un fegmento igual al otro fu correfpondieii*
te. en el otro fegmento , lerán dichos fegmentos iguales,
^Pori fina antes de la pfofofi. lib. 12. Eudid.)
Por lo^ puntos N, V, I tirenfe tres paralelas já la afimp-
to-
s
■-1
Libro IIL z6t
tota, que íbnNQ^ VT, IL. Digoloiegundo,quelosíeg-
mentos cóncavos IPVTL y NO VTQJon .'iguales.
Dentonflu Como fe dcmonftró en la fropof 37. las tres
Jineas IL , VT , NQ^fon proporcionales : lue^o ( j^l. ) los
reótilineos ILTÜ, NVTQjTon iguales : luego íi de eftosfe
quitan los legmen tos convexos Sobredichos que íe han pro-
bado iguales , reftarán los íegmentos cóncavos ILTY«
NVTC^iguales.
PROP. XLU. Theorema.
Si una afimprna fe divide en fortes popwcumales y y par los pun-
tos dtvidentes fe tiran paralelas a la otra afimptota , efias
feran proporcionales^ y los efpacios comprehindí'-
dos entre ellas , feran iguales.
Dlvidafe la afimptota AC en partes proporciónale^
elto es , fta AG á AH , como AH a AI : y cómo
AH a AI, afsi AI á AO , &c. y tirenfe las GD, HE,&c.
paralelas i la otra afimptota AL. Digo , que las GD , HE,
&c. Ion geométricamente proporcionales ;í y los Tegmen-
tos cóncavos CM , ON , &c. ion iguales.
Dernónjh. Por fór AG , AH , Al , continuas proporcio-
nales, fon C5 jO^^s ^P 5 ^^ 5 IN > &^* proporcionales; y
(41.) los fegmentos cóncavos CM , ON , &c. fon igualen.
£fi:a es la propiedad admirable de la hipérbola , que
demonftrd el infigne Geómetra el P. Gregorio de San Vi-
cente , de la Compañia de Jefiís , en que le ve que las pa-
ralelas CF, OM,&c.dan los números que crecen en pro-
Íjreísion Geométrica ; y los eípacios cóncavos -que forman
on iguales ; y por configuiente dan los logaf itbmos cor-
refpondientes i cada linea ; efto es , el efpacio CM es lo-
garithmo de CF : el efpacio CN , es logaritbmo d/e OM:
CE , de IN , ^c. por proceder eltos efpacios en progrcC-
fion Arithmetica.
PROP.
a5a TiíAT. yiIL De las tkes Seccio^. Con«^-
PROP.XLIIL Problema.
HédUr lás áfimfftás de um UfnMa. ( ji^. 35. )
Ofetáámh HaUefe ( i;0 qualquiera diámetro ABdeb
hipérbola; y fu centro C^ : hállale también (ji.)fup^
rametro BD : hallefe una media proporcional cnircdai^
metro AB, y el parámetro BD; y ferá 6£, que íedinücra
por medio en F :*y haciendo BG igual á BF , fe tiran&dt/
centro C las CG > CF , y éftas ferán las aíimptotas.
THmmfif. El quadrado de BF y es la quarta parte ii&
quadrado de BE , por eftar BE partida por medio en F:^
como BE (ea medta proporcional entre el diámetro AÚ^
£el parámetro BD , íera fu quadrado igual al rectangolo
echo de AB, BD , que íe llama ñgwrO' : lu^o el quadrado
de BF es igual á la quarta parte de la pgurA : luego (^o.) U
CF) como también Jb CG , íbn ^mptotas.
PROP. XllV. Problema.
VdUt los focñs de la hiferbola. ( fig. 36.)
OVifdcm. Hallefe ( 10. ) el exe de la hipérbola , y fea
AV : hallefe también el ( 2. ) parámetro VP en la
tangente VP perpendicular al exe. Hagafe VE media
proporcional entre AU , VP , que fe partirá por medio en
r ; y haciendo centro en C , que lo es de la parábola , con
la dilhncia CF ddcrivafeel femicirculo LFH :y los puntos
L, H íerán lósíbcos de entrambas hipérbolas opuéftas.
D0m$pífir. El quadrado de VF , como demonttré en la
prop. paílada , es igual á la quaru parte de h figura ; y por
comkuiente la CFO es aíimptota ; pero la CL es igual a la
CF : Juego el punto L dilta del centro C quanto es la CF,
porción de la afimptota comprehendida entre dicho cen-
tro, y la tangente VE : luego (defin. 16. >el pumo L es el
íbcus; y afsimifmo loes enJa hipérbola opueíla el H , por
la mifma razón.
PROP.
LiBHo III. 't6^
mOP, XLV. Problema..
I>Add. U fmm de üamttro^ que ba de uer d^m de U .
hiperboU > y una aplicada, defmyk U
l^rhda* {pg. 37.)
S£a AB d diámetro dado para dentrd^de la hiperbola^y
Ja aplicada BD ; y la razón del diámetro detecminado
con el paramet;ro • dada^ 6 elegida, íea Ixi^ue hav de K á S.
Operación» Hallefe una tercera proporcional a las xeéiías
AB, BD, y íea BC : conque el quadrado de BD, íerá igual
al re<9;angulo ABC: hágale aora como S á R; alsi BC a b£:
y tireíc la EC : lirefe por el vértice A la AL ; y por quaU
quiera punto la FH , entrambas paralelas á la ÉC : íea FK
media proporcional entre AF, FH ; y el punto K, pertene-
cerá á la periferia de la hipefbola,(22,) cuyo vértice es A,
el íemidiametro iJejteraiinado es AE \ y el^jarametro AL.
De la miímaXuerte fe hallarán quantos punto^ íe quiíieren;
y guiando por ellos una linea curva, quedara deícrita la
hipérbola.
PROiP. XLVL Problema*
> ' . .
Defirivir una hiperbtU al rededor de ün niattíid$ dadt,
' t
SEa dado^ el triangulo NÜO , á quien íe ba de cír-
cunícrivir una hipérbola, operación. Dividaíe la
bala NO por medio en T. Tireíe TV larga á difcrecion;
y tirefc MO : tireíc qualquiera PQS , paralela á TO ; y
naeaíe PR media proporcional entre PQ , PS : conque
fcrá el cpaadcado de PR , igual al rectángulo QfS. Digo,
que los puntos N, V , R , O , eílán en la periferia de la hi-
pérbola.
Demnftr. ( i.<5.Eucl.) La razón de TO i PS, es la mií^
manque de TM á PM ; y la razón de TO á PQ^ es la miíl
ma que de TV á PV ; y la razón del quadrado de TO , al
refiangulo QPS , íe compone de la razón de TO á PS , y
de
L.
•26^ Trat, VIII. Di lAs TRBs Sección. Cok.
de la razón de TO i PQj luego le compone de la razo» c
TM i PM , jf de la razón de TV il PV ; pero cftas mita
dos razones Ion las que componen U razón del roftangí
MTV , al rcítangulo MPV : lu^o los quadrados de ICi ^
PR , tienen la mifina razón que los redangulos AfTV^
MPV : luego (i.) tioxlo MV el diámetro determinare^ fi-
rin TO, PR las aplicadas : luego los puntos N, V, R, Q
cftáh en la hipérbola.
Orr<u fraSitAs háüáik ti twruf» en el P. OregmiífSr-
tm'u t ji en el F.Mlmi f€rtbAjÍ4»l4íqiufebMUi<p
TRA^
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26$
LAXADO IX.
DÉLA
íAQINARIA,
Ara mover , y levantar los cuerpos gra-
ves con igual , ó mayor potencia que fu
peíb ,^no fe necefsita de algún arte : íin
ella derriba el viento qualquier fabrica,
quando la vehemencia de fus foplos íii-
pera la refillencia de los muros ; pero la
fuerza menor, jamás podrá vencer pelos
ávos fin el íocorro del arte. Armafe étta en favor
^con las valientes maquinas que fabrica ; y logra
ícliz ííi defempeno , que privando á las fuerzas de
i* ituraleza de el titulo gloriofo de infuperables , Ue«
>or timbre la refolucion de el Problema t Data quan-
Hfft exigua fotentia y quantumlibet paye mover e pndus»
1 infpiro al ingenioíb Archimedes la ofladia para afir-
r al Rey Heron , moverla el gran pefo de toda la tier-
fi pudieífe firmar Riera de ella fus ¡plantas : Da ubi con-
^y terramque movébo. Y afsi como la villa mas canfada
iguala con la mas perípicaz , afsiftidade proporciona-
>s anteojos ; y la que apenas podia ver con diítincion los
^getos cercanos , llega a defcubrir con claridad los Celef.
-Sj aplicada á los largomiras, afsi la mas débil pptcncia , fi
w aplica á las maquinas , alcanza robuílez fuperior á la re-
litencia de crecidifsimos pefos.
£1 arte pues que diípone el maravillofo artificio de
' cftas
^
%66 Trat. IX. De la Maquinaria.
ellas maquinas , fe llama comunmente Hechanicá , que cs
lo mifíno y feguQ fu deñvacion del Griego , que Invmm
ingenhfa ; y éíta es la caufa porqué fus maquinas fe llamaa
Ingenios , y fus Arquitedos, ingenieros , ó ¡ngemarios* Yo te j
doy el nombre de Maquinaria , para que le tenga diferente j
del que en nueftro vulgar idioma tienen las Artes, que no
fon liberales ; y aísi digo , que la Maquinaría , es un Arti
fue enfeñd lafakUa de* taüs Maquinas , que fueda fon dUs
qualqmerajuerx»a levantar , j mover qualauiera pefi.
Son éítas ínumerables , pues además ae haver dimanado
de elle Arte prodigioío toaos los inftrumentos de que ufan
vulgarmente los Artiíices ; además de ajulhrfe a fus reglas
el orden de los hueíIbs,mu(culos,y nervios de nueftro cuer-
po, que nos firven para tan varios movimientos, como no-
tó Galeno lib. I. de Placit. Hifocr. & Plat. fon caíi íin nu-
mero las maquinas , que para efedos raros , y eftupendos
inventaron los antiguos, y perficionaron los modernos con
admiración del orbe ; como las celebres eftátuas de Mem-
non y la esfera de Archimedes , la paloma artiticiofa de
Architas , el pancracio de Simón Stevino , y otras muchas;
pero todas éftas ft originan de las cinco principales, y fun*
damentales, de que trata Ariftoteles en el libro de las queí-
tiones mechanicas ; (fi acafo es fuyo) y fon la VeSis , BarrOf
o ?alanca\ Axis in ferimchio , el Argüe , i £xr en la rueda , 9
Torno; Trocblea , i Garrucha ; Cuneus , o CuBa ; j Cochlea , q^
es la P^ojca. Llamanfe ftmdamentales , porque la virtud , . JT
fuerza ae las demás , toda coníiíte en la coiiipoíicion artin^
cioía de las Maquinas fobredichas.
U-:
t
«
»*7,
i
LIBRO I.
DE LOS PRINCIPIOS DÉLA
Maquinaria , y razón Phyfico-Mathema--
tica del aumento de la potencia por
las Maquinas.
DEFINICIONES.
t
Verpd grave , o pe fado , es el que fe mueve , i tiene.
pTúpenJion aúa el centro de la tierra,
2. Gravedadyi pefoy es la virtud que tiene un cuerpq
fefado^ para mover fe hita el cenfro de la tierra.
3 MnmentQ de un cuerpo grave , es la propenfion que tiene
faro, maverfr azia baxo , originada nofolo de fu gravedad , 0 pe--
largo de la romana ; lo que
proviene no folo del pefo intrinleco , í¡ de fu colocación,
y difpoíicion de la maquina : y ello es lo que llamamos
Igual , mayor , ó menor momento,
. 4 Centro de ía gravedad de un cuerpo ffave , es un punto
dentro , o fuera de dicho cuerpo , taly quefi de el fe fufpende^ o fe
concibe fufpenfo el cuerpo grave , confervara fiempre una mifma
fituacion^y equilibrio de fus partes. De todo lo dicho fe tra-
tará por extenfo en la Eftatica.
. 5 Fefos iguales fon los que pueftos en las bManz^as de brazM
iguales y pe fon igualmente^ fin baxar mas el uno. que el otro : co«
mo xy« libras de plata , y lo. libras de plomo.
6. Pe-
a68 Trat. IX. De la Machinaría.
6 Vtfos equilibresy o pueftos en iquilibrw , fon los quefuffefh
fas en el bafiü de una roman4 » en igual , o dejigual dtfianáa dd
exe y fe fien igualmente ^ fin baxar mas el uno que el otra , ora fean
dichos pefos iguales j o defiguálcs. Afsi vemos, qué el plomo,
que pela una arroba « hace equilibrio , y equipondera al
peló de muchas arroban , fí íe fufpepde á mayor diltancia
del exe. • *
7 Uovimkntof males fitn los que en igual tiempo canünán
effacios iguales. Defiguales , los que en igual tiempo cétminan ef-
jacios defiguaUs.
8 Vn movimiento es mas veloz, que otro , fi en igi{ál tiempo
camina major efpacio ; j menos veloz, , o mas tardo y fi en igual
tiempo camina menor efpacio^
9 Potencia motriz,^ es el cuerpo que puede mover á otro,
y es en dos maneras , ó animada , como un viviente , ó m-
animada^ como piedra , ó plomo..
10 Linea de dirección de un cuerpo , h de una potenáa , es^
aquella linea reda, por la qual dirige fu movimiento: efta,
en los cuerpos graves , es la que va del centro de la grave-
dad de dicho cuerpo al centro de la tierra ; pero en las po-
tencias animadas, las lineas de dirección pueden 1er diferen-*
tes.
PROP. I. Theorema.
c
'Bxflkaft en quie ionfifta el punto de la dificultad , de dumen*
tétrfe las fiierz*as de una potencia por las
Maquinas*
Onfta por la experiencia , que la potencia , cuyas fuer-
,^^^ zas eran prectfamente baííantes para vencer la re-
íiítencia ae loo. libras de pelo , (i fe aplica á qualquiera .
de las maquinas , que hemos de explicar en efte tratado,
lle^a á poder levanur peíp de mil , dos mil libras , &c. y
dsi iodefínidamente. Es pues el aflumpto de efte priin^i^
libro , hallar la razón phyíica , y el real , y verdadero prin-
cipio de tan admirable eíe3x> de la naturaleza , que fabí-
do, fervirá de fundamento para todo lo que fe ha de tratar.
Y fupucftoi que caíi todos ios Autores reducen las maqiii'
\
I
Libro I. 169
ñas I una , como raíz de las deoiás , que es el pe(b que co-
munmente llamamos RatMna: baltará por aora explicar
en ella el punto de la dificultad preíente. Digo pues , que
CQmp caaa dia fe experimenta , fi dos peíbs iguales A, y B,
por exemplo, cada uno de quatro libras, (fig.i.){t ponen
en los puntos G , y D, en igual diftancia del exe C ; ello es,
que las lineas CG, CD, fean iguales , eftarán en equilibrio,
im vencer el uno al otro ; pero íi el peíb B , fe aparta algo
mas del puiíto Q de fuerte , que la Cu (ea mayor que CG,
vencerá al. peíb A, y le levantará. Y efto es de tal mane*
ra , que (i Ío que le ialta á un pefo menor para igualar con
el mayor , fe fuple , dándole mayor diftancia del exe en la
mifma proporción , (eran iguales las fuerzas del menor con
_ ^ w^ ^^^ — ^^ -^^ — — , I — I — _, — - —
como el pefo A , y eftarán entrambos en equilibrio ; y íi fe
apartarife mas del exe C , preponderaria al pefo A.
Donde fe vé claramente y^ut quanao las diftancias
ion reciprocas con los peíbs , hay igualdad de fuerzas , y
equilibrio , y el peíb menor puede tanto., como el mayor;
como porque íiendo el pefo A, doblado de F , y la diftaU'
cia EC, es doblada de GC ^ puede tanto elpeíb menor F,
como el mavor A : y íi la diftancia CE , fueíFe mas que
doblada de la GC , preponderaría el peíb meíior F , al ma-
yor A. Coníifte pues la dificultad preíente en feñalar la
caufa phyfica , y real , porqué el menor peíb F , puefto
en mayor diftancia del exe , puede tanto , o mas que el
pefo mayor A.
«. Varios ion los diícurfos que han hecho los Autores
para explicar efta dificultad , verdaderamente una de las
mayores de la Philoíbphia , y en que fe necefsita en gran
manera del íbcorro de la Mathematica , para diícurrir con
acierto* No me detendré en impugnar íus lentencias:
contentaréme conexpUcar mi fentir , que con pocas pala-
bras iníinüa el Autor de la Philofophíia Vetus, & Súva^ en el
tmo 1. lib. 2. ttat. de la Metáfhjf. diff. 5. qudft. 4. y el P.
Niilliet en el lib. i. de U Muam^a ,, ff0p% 17. fu explica-
don fe contiene en las propoficion^s figuientes.
PROP.
270 Trat. IX. Dfi I A Maquinaria»
PROP. n. Theorcma.
L9S mmmientús fin como los efpacwsy que <m eUús fi wrtm
€n un mfmú tiiwfp.
LA razón es clara , porque moviendoíe un cuerpo fiem-
pre con el miímo movimiento , (i en un minuto cont
lo. varas de eípacio , en otro minuto correrá otras lo. va-
ras con el mifmo movimiento: luego íi el movimiento que
tiene en el fegundo minuto y eftuviefle también en el prime-
ro, en un minuto con movimiento doblado correría 20. va-
ras : luego con doblado movimiento en un milmo tiempo
le corre doblado efpacio; y íi fuere trefdoble el tnovimieo-
to , también lo íiiera el eípacio: luego los movimientos fon
como los eípacios que fe corren en un miímo tiempo. Tam-
bién los efedos guardan la mifma proporción que fus cau-
las : luego doblado movimiento llevará por doblado efpa*
cío á un cuerpo en el mifmo tiempo.
PROP. m. Thcoremat
Vn €uerf0 mueve i otro medunte fu movimiento*
COnfta de la experiencia 3, y es la razón , porque paiv
que un cuerpo mueva á otro , y le faque del lug^t
donde le halla , ha meneíter impelerle , encontrando con ¿i
mediata , ó inmediatamente , como lo vemos en una bola,
que para mover una otra, que eílá quieta , es mencfter cor-
ra haílá encontrar con ella , lo qual es movimiento : lueg9
Un cuerpo mueve á otro con fu movimiento.
PROP. IV. Theorema.
Vn $uerfo né-futie comumar a otro mas movimiento del
que en si tiene.
LA razón es , porque un cuerpo mueve á otro con ft
propio mavuoiento 9 (egun és fo movimiento ^ aísi ^
L I B n o L 271
el unpetiK{ue lleva ; y í^un efte ímpetu , aísi es el impulíb
que imprime en el cuerpo movido ; y íegun es elle impulíb
que cauía el movimiento ^ aísi es el movimiento: luego ie^
gun es el moi^iento del cuerpo que mueve, aísi, y no
nías , ferá el del movido : luego éfte no puede íer mayor
que el del cuerpo movente*
PROP. V. Theoreouu
TMhto nummUnu hay en un tutrf9 que fe muve fmr tffaáo Jk
io« f almos y como en dos cuerfos iguales de for si con el
f rimero y queenelrmfinotiempofemueyen
cada uno por ejfacio de cima
famosm
Supongamos , que hay tres cuerpos iguales, cada uno
oe una libra de peíb ; y que en efpacio de un minuto
tegundo fe mueva uno de ellos , que nombraremos A , pof
efpacio' de io« palmos ; y los otros dos en eíTe mifíno tiem->
po íelmuevan cada uno por dpacio de cinco palmos. Digo,
<iue el primero tiene tanto movimiento , como los dos
juntos.
Demonjir, ( t.)Los movimientos ion como los efpacios
andados en el mtfmo tiempo. £1 eíbacio andado por el
cuerpo A , es igual al que andan los clos juntos en el mif-
mo tiempo , porque el cuerpo A, camina diez palmos en el
mifmo tiempo en que los otros dos caminan cada uno cin*
co, que juntos, hacen io« palftios: luego el movimiento de
A, es igual al de los otros dos. También el movimiento del
cuerpo A , es doblado del movimiento que lleva cada uno
de los otros dos : luego es igual al que tienen entrambos
juntos.
COROLAR^IO.
UN' cuerpo de una libra de ufo ^ que en un tmuuto fegundé
fi mueve por efpacio (prva de exemplo ) de 10. varas^
tiene igual movimiento con un cuerpo de pe fo de dos libras , que en
el mifmo tiempo Je mueve por cinco varas: confia de lo dicbo^
forque fi dicho cuerpo de dos libras de pefo eftuviera dividido en
dos partes cada una de unaHk^^y entrambas ¡i movieran iun
mif-
17^ Trat. IX. Db la Maquinaria.
tmfmo tiempo par effoáo décimo váras^ el que es de mu Uta áá
feji j movieniofe per eípaáo 4e lo. varju y tendrid igual nmh
memo al de los dos foíredicbos: luego lo nufmo es , quaido los Í9$
íuerpos fiAredUbos unidús^ e§mponen um del pefo de d§s Ubras.
ADVERTENCIA.
Confia de lo dichoy que hdvkndoypor exemplóy dos cuerpos^ uno
de una libra de pefo yj otro de dos y j que al mifmo tiempo
en que el menor corre lo. varas y el major camina cinco y que
trombos tienen tgual movinúemo y y en ejie featido y igual véb^
eidad ; porque cada libra del mas pe fado tiene yelociiad fubiufU
de la velocidad del que pefa menos ; y entrambas juraos baran una
velocidad igual a la del mifmo pefo menor y como también el effOr
ció total;yfegun todas las dimenpones que anda , o por donde f 4'
fa el cuerpo de doblado pefo , es real y i virtualmente igual al qií^
en dicha fupojicion corre el cuerpo de menor pefo; pero el común ef
tiloy es juz^gar de la velocidad por la longitud de la linea , que corre
el centro del cuerpo que fe mueve y fin atender a otra cofa : conque
fi un cuerpo de una libra de pefo camina una linea de lo. v^^
en 4 mifmo , i igual tiempOy en que otro cuerpo, que pe Ja dos liiras
camina otra de cinco y fe dice fer la velocidad de aquel dobUU
de la de éjle : el qual éftilo guardare fiempre que fuere menefier
hablar de la velocidad y por no defriarmedol.que por ufo tanfft^^
quente han recibido todos los Autores.
PROP. VI. Theoremaw .
Si dos cuerpos de gravedad defigual fe mueven conifual cantiM
de movimietéto y el menos pe fado caminara con
é , mayor velocidad»
SEan dos cuerpos y uno de dos libras de peíb , y otro de
una ; y fupongaíc que tanto Ímpetu, y por conliguien-
té , tanto moviroiento tenga eluno y coaio el otro. Dig^
que el cuerpo, que pefa unj* libra, caminará con mayor ve^
locidad que el que pefa dos libra3. La razón es , porque A
cuerpo quepefa .dos libras , cgmina la mifma linea que ca*
minaría caaa mitad (uyá , con la mitad del movimiento:
luego íí el cuerpo que peía una íbk libra , tiene el movir
mien-
Libro I. i7 j.
xAiento mi(bo que aauellas dos, caminará una linea dobla*
da ; pero la velocidad (en el común modo de hablar) es íe* ^
gun la linea que corre el cuerpo movido : lu^o el cuer-
po que peía una libra correrá con doblada velocidad que*
el que peía dos con igual moviniiento.
De aqui fe colige la raron , porqué una nave grande, y
cargada que camitía lentamence,íi encuentra con un peque-
ño, y ligero navichuelo,le hace correr cop gran velocidad;
y es porque con el impulfo qu& le impriirie , le comunica,
í^al inoYimiento í:on el íuy o; y éfte, que repartido en mo-
ver tantas partes como componen el volumen del navio
grande , folo le a^ekntava quatro varas (por exemplo) en
tiempo de un íegundo , hallandoíe todo en el navichuelo
pequeño, y Ugero , le mueve en eíle mifmo tiemp(^acien«
dolé correr una linea de efpacio , fin comparación mayor^
por la razón fóbredicha.
PROP. Vn. Theorema.
B» U Jtomdna , fiemfre que elfeff metm tiene tanto ntovitrntut^
como el mayor , fuede levantarle hajla ,
el equilibrio.
■
ES la razón , pereque un cuerpo mueve á otro mediante,
fu propio movimiento: (3,) luego las fuerzas para mo-
verle fon á medida de fu movimiento : fupuefto pues que
dos pefos , el uno mayor, y el otro menor , fe coloquen ea
la romana, de tal fuerte, que en virtud de aquella diíbofi-
don tenga el uno tanto movimiento en la una parte def inC-
trumento , como el otro en la otra , lucharán entre sí con
iguales fuerzas : luego ninguno vencerá: luego havrá equili-
bno.
PROP. VIII. Theorema.
'^
tn la IRom^na , fieinfre que las velocidades fon reciprocas con lof
fefosy hay equilibrio. (Jig. 1.)
COnfiderefe la romana G£, lenvantada en IH , y (ea el
pefo I doblada del pefo H ; y el arco HB , que ha
V lomoUji. Gg de
TrAT. K. De IA MAQJJINAltlA;
dé correr el oeTo H,para reílituiríe á la íituacion horízonu!
Ge, lea doblado el arco IG, que ha de correr d pefi) lepa-
ra dicho efedo: de fuerte^aue a(sí como el pcCo I,es dobla-
do dd pefo Hy aísi el arco H£,es doblado cfel arco lG,que
es proporción reciproca. Digo , que en efta diípoíicion hay
equilibrio.
• Dimanfir. Por fer la velocidad de H doblada de la velo-
cidad de I, y fer el pefo I doblado de H, tanto movimien-
tB tiene el pefo I , como el ftefo H : (cofoL^. ) luego (7.) d
pefo H| levanta al pefo I, nafta el equilibrio g£
■ > • •
PROP. K. Thcorema.
4
Sifmfre ipu tn U l^mana Us diftamuts id exe fm reiip9CM
4. om hsfefofy hay equiUbrw. (fe.i.)
SEa como el pefo A con el pefo F , afii la diftancia EC
del pefo F , á«la diftancia GG del pefo A. Digo , que
havrá equilibrio.
^ Diménfif. Por fer CE doblada de CG , íerá d arco HE
doblado del^arco IG : luego la velocidad HE , es doblada
de la velocidad IG , por fer las* velocidades como las lineas
que fe caminan , como dixe en la advertencia á la fr^f 5«
luego la vdocidad del pefo F á la del pefo A , es coino el
péiO'A^alipeío F, que es fer reciprocas: luego (8.) hay equi-
librio. '
PROP. X. Theorema.
füunio la^veloúddd dtl pefi memr % U del mayar ^ tiene nuj^
fdz^n y que el fefo mayor al memr , vence el
metm al mayor ^ y le levantara.
SEa el pefo A doblado dd pefo B ; pero jpueftos en la
romana , y levantándola á la fituacion DÉ , ferá el ar-
co EB, que camina el pefo B , triplo del arco AD , que ca-
mina el pefo A:Gonque ferá mayor la razón de la velocidad
de B, á la velocidad de A, que la del pefo A á B. Digo,quc
d pefo JB , levantará al pefo A , y tendrá mayor momento»
De-
J
. ITiBito L fjf
jyemonflr. ( 8. ) Qyando la velocidad del peíb B^ la del
pefo Á , es como el peíb A , al peíb B, hay equilibrio, por
tener tanto movimiento el uno como el otro: luego íienda
itiayorla velocidad del befo B , refpedo de la delpefo A^
que k) es el pefo A ^ refpedo del peio B » tendrá mas mo-
vimiento el pefo B , que el peíb A : luego el peíb B tendri
mayor potencia , y fuerza contra el pelo A; ae fuerte, que
ftrá mayor que la fuerza que tiene dicho peíb A para rem-«
tir al pefo B : luego vencerá el pdb B.
, » ■
PROP, XI, Theoremaé
' Quando las JbJUnciés tUl exe tienen entre si majw razm
que los fefos , vence el pefi mener al
mayor, (tig.z.)
SEa la dilUncia BC tripla de la diftancta AC ; y el peío
A íea folamente doblado del peíb B. Digo , que el pe«^
ib B vencerá al peíb A.
' Demonftf. Siendo la diftancia CB tripla dt CA , ferá el
arco EB triplo del arco DA : luego la velocidad del peíb
B, es tripla de la velocidad del pefo A ; y íiendo éfte fola-
mente duplo del pefo B , tendrá mayor razón la velocidad
del pefo mefior B , con la del peíb mayor A , que tiene el
pefo A con B: luego ( lo. ) vencerá el peíb B al pefo A.
PROP. Xn. Theorema.
il frincifio fundamental del aumento do la potencia motriz* for
las maquinas confifte , en que en v'trtud de ellas tiene la p«-
tencia igual , h tnajor movimiento que el que fe
hade mover.
COnfta de lo dicho , porque un cuerpo mueve á otro-
mediante íu propio movimiento : luego íiempre
que en virtud de alguna maquina podrá tener igual , 6
mayor movimiento , al que en el mifmo tiempo ha de te-
ner el cuerpo pefado, quando le levante, le podrá movcr,y
levantar halla el equilibrio , ó mas adelante : luego quan^
do una potcnciíi , que por sí íbla no puede teñeran el mili.
Gg 1 JBQ-
27^ Trat. IX, De la MAOyiNARIA;
sno tiempo igual movimiento al que ha dt tener el peíb^
cafo que fe mueva , no le puede mover por si fola ; y (i fe
aplica á las maquinas, ya puede adquirir dicho movimien-
to , y podrá con ellas mover el peíb, aunque íea exceísivo:
efto pues fucede en todas las- maquinas; porque, como,
veremos en elle tratado , en todas ellas íe aumenta el mo-
vimiento de la potencia , haíla fer mucho mayor que el del
peíb : de tal fuerte, que es mas excefsiva la velocidad de la
potencia ,'refpedo de la del pefo, que lo es el peío, reíbec-,
to de la potencia ; y afsi no es de eitrañar mueva una aebtl
potencia un grande, y enorme pefo.
Aunque todo efto confta de las proporciones antece-
dentes , y queda en ellas baftantemente demonftradp,
quiero añadir á lo dicho mayor luz con la explicación fi-
niente.
« Sea pues (pg. 3,) el pelo A de dos arrobas ; y tomando
la diftancia CD igual á CB , coloquefe en D el pefo £ de
una arroba. No hay duda que cada arroba de las dos que
tiene el peíb A, ( 5. ) corre un arco igual á BH al miímo
tiempo que una arroba £ corre un arco BI igual i BH:lue-
go el pefo A corre dos arcos iguales a BH al mifmo tiem-
po que £ corre uno : luego el pefo A tiene doblado movi-
miento que el pefo £ puefto en D^y afsi prevalecerá A con*,
tra £ , y éíle no le podrá mover.
Si el mifmo péfo£ fe pafta á F, de fuerte, que la diftan-
cia CF (ea doblada de CB ; mientras las dof arrobas dd pe-
fo A corren dos arcos HB, el peíb de una arroba puefto en
F^ <:orrerá el arco FK doblado de HB: luego tiene alli igual
movimiento ; y afsi ninguno prevalecerá contra el otro , y
havrá equilibrio.
Paílele el mifmo peío E á L , de manera , que CL íea
tripla de CB ; y mientras las dos arrobas del pefo A corren
dos arcos HB, correrá el pefo de una arroba , puefto en L»
el arco LM , triplo de HB : luego tiene mayor movimien-
to.: luego vencerá , y levantará al pefo A puefto en B, .
Lo mifmo que he dicho comparando dos arrobas
con uqa/, diié comparando dos libras con una ; dos on-
zas con una ; dos adarmes con uno ; dos granos con uno;.
Libro h if'f
:y aísí infínitamentes luego (iempre que en virtud de la ma^
-quina tiene el peíb, 6 potencia menor, mayor nk>vinúento
que el pcíb mayor, prevalecerá contra él. Todo etto íe veí-
rá con claridad en las maquinas que fe explicarán en los U^
hros íiguientes*
LIBRO II.
t
DE LA PRIMERA MAQUINA
fundamental ^ llamada Barra^
b Palanca.
A hndy ó palanca , que los Latinos llaman VéSisj Io$:
Griegos Moclos , y los Marineros hümuelláj es en^
tre las demás maquinas fundamentales la prime-
ra , ya por ftr la mas fácil de entender , ya por
reducirfe á ella , fino todas , muchas de las demás : es en^
tre todas la mas fimple ; pero de tanto poder j^ que íe pue-
de con ella levantar un pefo igual al de la tierra; por k> que
atribuyo la. antigüedad fus maravilloí^s fuerzas al Trideiv-
te de Neptuno , creyendo que á fu impulíb fe comovia
la tierra y como casto Virgilio , i. Georgic.
MaffiaTellus ffrcujfA Ttütenti.
Pero antes de entrar en la ejfpecukcion de éíla , y las
demás maquinas , ouiero dar al Lector las advertencias íi-
guientes.. i* Q^ la ]>ropia n^dida de las fuerzas de una
potencia , es el peíb que precifamente puede levantar con
Igual velocidad á la del peíb: Como íi un hombre puede le-
vantar á lo mas loo. libras de peíb^moviendofe fu mano con
igual velocidad que el peíb , diremos fer íiis fuerzas iguales
á las de loo. Ubras de peíb. z* Que en todas las maquinas
íe preícinde de la gravedad , y renitoicia propia de la m^
te-
'^
2j9 Tr AT. IX. Dfi lA Maquinaria;
teria que las compone , fin atender mas que á la refiftenck
del pefo que r^fte , y á las fuerzas de la potencia que k
vence.
DEFINICIONES.
X TyArru , h PédamOj es una pértiga de hierroy i tnadera qm
J3 firyefara Icvanrar cofas di nmcho fefQ. Se han dedif
tinguir en ella tres coías principales , que fon la. fotenáa
que mueve ; el Pefo , I cuerpo grave movido ; y el afoyo íbbre
que eftriva, llamado en Latm Fulcrum , y en Griego H)rp0-
"moíhüonjy es aquel punto en que eftr'tva la íalanca^j que fine
di centro al movimiento con que fe levanta el fefo^ Como en la
fg*^ GP es b barra, 6 palanca ; P es la potencia ; G el
peíb ; y F el apoyo , 6 hipomochlio , que fírve de centro
para el movimiento de la potencia por ei arco PI ; y del
pcíc>por GH.
Tres géneros hay de palanca , por lo que íe llaman ie
frimero , fegundo , y tercer genero.
2 La VeSis , o Palanca del primer genero , es aquella en q»
il Hipomochlio fe halla entre el fefo^y la potencia. Como (pg*
4« ) la veñis , ó palanca GP es del primer genero*, j>or te-
ner el hipomochlio F entre el peíb G , y la potencia P.
3 La Veñis , ^ Palanca del fegundo generoy es aquella en qui
el pefo efia entre el hipomochlio y j la potencia. Como (fig* 5* )
la palanca FP es del iegundo genbro , por tener el peíb G
entre el hipomochlio F , y la potencia P.
4 La Veñis y I Palanca del tercer genero , es aqueüa en q^
la potencia efla entre el hipomochlio y y el pefo. Como (^J-^0
la palanca FG es del tercer genero , por aplicarle la poteo-
cia P entre el hipomochlio F ^ y el pefo G.
PROP.
EiBRo n.
PROP. I. Thcoitma.
*79
Si Id f&tencUyy el fefo tienen en I4 Valonea fé^cm recifroca cm
Ids üflancias del HipamocbU$y fujlentarí la fotencu dfefo^
fero no le fodri ley^anear fibrcH equili-
brio. (Jíj. 4. )
EL peío G» tenga con la potencia P la razón miíina, que
la diftancia PF á la diftaiKÍa GF» I^go, que la poten-
cia fufioitará el peíb en el equilibrio ; pero no le podrá Ic-
vantar» íi que entrambos quedarán eo íituacion horizontal,
íin levantarle mas la potencia que el peíb , ni al contrarío»
La razón es la mifn^ que dixe en la proP.o. Ub.. x«.de los per
(os en la romana ; porque Tiendo las aiííancias reciprocas
con la potencia, y el peRsíerán los arcos, ó velocidades Pi^
GH, reciprocas con la mifma potencia^ y pefo : luego,, ni el
peíb vencerá á la potencia,m éíca al pefo.Lo que he explica-
do en la palanca del primer genero^ íe ha de eatender tam-
bién de las demás»
♦
* PROP. II. Theorema.
Si la patencia al peja tiene mayor raajm , qne la diftanüaM ptfi
i la diftancia ae la potencia ^ contadas del bipomochlio ^ la
potencia vencerá , y lenmtara el pefi» Cfig*4*)
SEa el peíb G de una arroba, y la potencia P íea bailan^
te para levantar, íin maquina alguna ^ una arroba ; y la
diftancia GF fea la mitad de la FP ; conque la razoa de la
potencia al peíb , es de igualdad; y la razón de la diftancia
del peíb a la de la potencia ^es de menor deíigualdad, Di^
go pues, que |>or íer mayor la razón de la potencia ai peí^
Sie la diítancia de éíte á la de aquella, vencerá, y levánta-
la potencia al peíb.
Demonñr. Supongaíe en P otra. potencia O , cwe tengt
con el peK> G, la mifma razón que la diftancia GF á la F&
Efta potaujcia ( i.) tendrá equilibrio con el peía: la potete
cia P , por tener mayor razón con el peíb^que la diftancia
GF á la FP,es ( ip.5.EucL) mayor que la potencia O : lue^
]^So TrAT. IX. De LA MAQy INARIA.
Ses mayor que la que eilá en equilibrio con el pefo G:
^o es forzofo le venza ^ y levante*
%
PROP. m. Theorcma.
L
A id dijlán€id de U potencis yáí la diflancia del pefo , cantadas
del hifemochlMy tkne májev roz/m que el pefo 4 la potencia^
yernera ifta , j ley aneara al pefo. ( fig*4»^
A diftancia FP , tenga con la diftancia FG , mayor ra-
I 2on, que el pefo G á la potencia P ; efto es, por exem-
plo, íea FP tripla de FG,y el pefo G fea duplo de la poten-
cia P. Digo, que la potencia vencerá , y levantará al peíb.
Demonjtr. Aísi como el peíb G es duplo de la potencia P|
hagafe la diftancia FL, dupla de la diitancia FG , y (era FL
menor que FP : (io.5.Eucl.)y la potencia P , (i íe aplica en
L, tendrá equilibrio con el pefo G, por fer las diliancias re-
ciprocas; y por coRÍiguiente, ferá fu velocidad á la del pe-
íb, como elle á la potencia : 1¡ íe aplica- en P , tiene mayor
velocidad que en L : ftiego la potencia mií/na , aplicada ai
P , tiene mayor velocidad, reípedo de la del pefo, que fon
las fuerzas del pefo, reí pedo de las de la potencia puefta en
P : luego, fegun el principio fundamental, (12.1. ) la poten-?
cia en P vencerá , y levantará al pefo G.
PROP. IV. Theorema.
fif ti pefo ^ la potencia tiene majof razm , que la diftancia de U
p otencia a la del pefo , la potencia no podra levantar , ni
aun fujientar el pefo. (^¿.4.)
TEnga el peíb G niayor razón con la potencia P, que la
diftancia FP tiene con la diftancia FG : como por
cxemplo,íéa el pelo G, triplo de la potencia P ; y la diftan-
cia FP, dupla de FG. Digo, que la potencia no podrá mo-
ver , ni aun fuftentar el pefo én equilibrio.
Demonfir. Supongamos una otra potencia O en P, tal,C|Uf
el peíb á la potencia O , tenga la mifma razón , que la aih'
tancia FP , á la diftancia FG : conque el pefo G tendrá
^ me-
Libro ü; iSl!
merior razofl con la potencia O , que con la potencia P ; y
fcrá (IO.J. Eucl.) O mayor que P. Etto fupuefto , por fer
el peíb G á la potencia O , como FP i FG , fcrá la poten-
cia O (i.) precifamentc baftante para fuftentar el pefo G
en el equilibrio : luego la potencia P,que es menor, no ferá
bailante para fuftentar dicho pefo en el equilibrio,y mucho
menos para levantarle.
PROP. V. Theorema,
Si la üfiamiáMl pefo tiene majar uzm cm U diftancia de U
fotenüáj que ü potencia con el pefo , 110 podra la potencia
Uyantar y ni fufientar dicho pefo.
( fis* 4- )
LA razón de la diítancia FCj , a la diffancia FP , fea ma-
yor que la que tiene la potencia P al peíb G : como
Í>or exemplo , íea la dütancia GF , la mitad de la.FP; pero.
a potencia P fea íblo un tercio del pefo G. Digo , que la
potencia , ni podrá levantar , ni aun (uftentar el pefo en
el equilibrio. .
Demmifir. Pongafe en P otra potencia 0,que tenga con
el pefo la mifma tazón que GF á FP,y la potencia O tendrá
mayor razón con el petó G,que la potencia P con el mifmo
peío ; conque la potencia O ferá mayor que P ; pero por
tener Ja potencia O con el peíb G,la razón mifma de GF á
FP, fuftenta. al pefo G preciíamente en el equilibrio: luego
la potencia P , íiendo menor que O , no podrá moverle , ni
aun íuíientarle en el equilibrio.
Todo lo dicho fe demueftra de la propia fuerte en las palancas
delfegundoyj tercer genero.
PROP. VL Thíorema.
A tantas potencias iguales equivale una fila en la Palancaf quan-
tas veces cabe la diftancia entre el pefo^j el hipómochlio^ en
la diftancia entre el bipomochlüf , y la potencia* .
(fig*7')
Supongamos , que la potenga L es preciíamente pode-
rofa para fuíi^ntar (m maquina alguna 100. libras de
pe-
iSt Trat. IX. De LA Maquinaria;
pelo: y póngale en el un cabo de la pahnca la potencial^
y al otro cabo un peíb M, de fuerte , que la diftáncia íM^
quepa quatro veces en la diftáncia HL. Digo , que la po-
tencia L equivale á quatro potencias iguales á ella ; y aBi»
2ue podrá iuftentar en efta difpoiicion 4<x>. libras de pefo.
a razón confta de la Propof. i. porque G la potencia L , es
igual á loo. libras , y el pelo M, es de 400» lioras,^ afsi comp
la diftáncia HM cabe quatro veces en HL , afsi la poten-
cia L cabe , en quanto á la virtud j quatro veces en ei pefo
M : luego la potencia , y el pefo fon recíprocos con las dif-
tancias: luego hay equilibrio entre la potencia , y el peTcx
PROP. Vn, Theorema.
En una mfmA difiánÚA de U potencia d bipomochlM , qnáiai
mas fe acerca el pefo al hipomocblio , tanto mas fe aumerh
tan las fuérzaos de la potencia.
LA razón confta de la propcHcion paíTada; porque quao-
to mas fe acerca el peíb al hiporaochlio , tanto maj
veces cabe fu diftáncia del hipomochlio , en la diítancia in-
variada del hipomochlio á la potencia : efta (6.) equivale
á tantas potencias iguales á sí, quantas veces cabe la diftanr
cia del pefo en la diftáncia de la miíma potencia : luego
tanto mas crecen las fuerzas de la potencia , quanto , fon-
íervando la mifma diftáncia , íe acerca mas el peíb al bipo*
mochlio.
PROP. Vm. Theorema.
Quanto mas fe difmlnuje ta velocidad del pefo ^j fe aumenta U
de la potencia ^ tanto mas crecen las fuer z»as de la po-
tencia, ifig. 4. )
COnfta de lo dich,o , y del principio fundamental de 4
aumento de la potencia en las maquinas : porque
quanto mas fe acerca el peíb al hipomochlio, tíuiro fl^^
crecen las fuerzas de la potencia , coníervandoíe efta en »
mííma diftáncia* En efte mifmo caíb , quanto mas íe acer-
ca el peíb albipomoch|iO) tanto menores la velocidad coo
que
Libro II. »8)
cjue íc fliue\fe (porque íi el pefo G fe pafla i Q^ tanto me«
nor es la velocidad, ó arco QR, que la velocidad G,quaii«
to FQés menor que FG ): luego quanto es menor la velo-«
cidad del peíb, relpedo de la velocidad de la potencia, tan*^
to mas crecen las fuerzas de éfta. Aísimifmo íe prueba^
que confervando el pefo fu miíma velocidad , quantp mas
íe aumenta la de la potencia, tanto mas crecen lus fuerzas;
y íi por una parte, en virtud de qualquier maquina,{e dis-
minuye la velocidad del peíb,y fe aumenta por otra parte
la de la potencia , crecerán mucho mas fus fuerzas*
PROP. IX. Theorema.
Aflkáfi Id éoSrina féredicha i Ias Faldncas de fiffmdc, y rrr-'
cer genera.
X Q£a ( pg* 5.) FP la palanca del inundo genero , en
,3 quien fe coloque el peíb en G, y la potencia en P;
y el hipomocblio fea F : y íi la diftancia PF á la diltancia
FG, fuere como el pefo G,á la potencia P,havrá equilibrio,
y podrá la potencia preciíamente fuílentar el peíb ; pero íi
dicha razón de las diílancias fuere menor que la del peío á
la potencia , ó la diftancia del pefo á la de la potencia tu«
V iere mayor razón que la potencia al peíb' , no le podr)
mantener en el equilibrio. Coníta de las propof. i. 4. y 5.
de efte libro. También íi la diftancia FP , á la FG , tiene
mayor razón que el peíb G, á la potencia P, vencerá , y le-
vantará la potencia al peíb. Confta de la prop. ;.
a Sea (fig. 6. ) FG la palanca del tercer genero , cuyo
hipomochlio es F , la potencia P, y el pefo G. Si la diftan-
cia PF á la diftancia GF , es como el pefo G , á la potencia
P , podrá fuftentar éfta al pefo en equilibrio; y íi el peíb G
á la potencia P , tiene mayor razón que la diílancia PF ,á
la diftancia GF , no le podrá mover : confta de la propof
I. y 4. Pero illa diftancia PF,á la diftancia GF, tiene ma-
yor razón que el pefo G á la potencia P,la potencia levan-*
tara al peíb , por la prop. ;•
Aqui fe ha de advertir , que la palanca del tercer gene-
ro no añade fuerzas á la potencia para vencer el peío;
por-
dS4 Trat. IX. Db la MAQumARiA.^
porque íiendo en ella ^neceflariamente mayor la vdoci-
dad del pe(b, que la de la potencia,por diftar mas que ella
del hipomochlio,inayor fuerza (era menefter para levantar,
y mover el peíb en efta palanca , que fin ella ; porque fn
ella tendría la potencia igual velocidad con el peíb , y con
ella la tiene menor. Pero aunque efto es aísi , no íe ha de
tener por inútil ; porque como notó el P. Zucchio , apro-
vecha en gran manera para muchos ddfos , en que íiendo
esforzada la potencia motriz , nece(sitanx>s de que ei p^
lo le mueva con gran velocidad.
PROP. X. Theorema.
Aplkdfe U mfmd áéSriná á cms mftmmmtps ordmámu
NO folo firve la palanca para levantar los ctierpos p^
lados, li también para cortarles, y dividirles entre si^
y fuperar fácilmente qualquiera refiftencia.
1 Para arrancar , o leparar una piedra de otra , como
( J!í«8. ) M, N, uían comunmente los Artifices de la palan-
ca OQL De tal fuerte, que 1¡ íe ha de remover, y apartar la
piedra M , quedando firme la piedra N, fervirá éfta de ü-
pomochlio en el punto P ; el refiftente íerá M en la extre-
midad 0;y la potencia eíbrá colocada en el cabo Q^Y^^'
rá Op palanca del primer genero ; y quantas veces PO cu-
piere en PQ^, tanto mas fuerzas tendrá la potencia , iguales
a la fuerza natural que tiene fin la maquina. Y li la piedra
que fe ha de remover íuefle N , ferviria la piedra M de hi-
fomochlio en el punto O ; el refiftente feria N en el pw^^
; y la potencia en Q^, cuyas fuerzas fe aumentan tantas
veces, quantas^PO cabe en OQ; y ferá palanca del fcgi?"^^
genero : de que le colige, que fiendo igual la refiftencia de
una, y otra piedra, primero cederá, y fe removerá lá N^q^^
la M ; porque mas veces cabe OP en OQ^ que en PQ¿ V
por configuiente, mas puede la potencia Q^contra la pi^'
dra N , que contra M
2 Para arrancar un clavo R,ulamos del martillo,y ^'
mamds conaouna palanca delfegundo goiero, cuyo tdn-
tente es R, el hipomochlio S, y u potencia eftá en T.
3. La
L1b.ro II; i8ji
' 3 La fuerza de las tenazas también coníifie en compon
neríe de dos palancas del primer genero y que tienen el hi«
pomochlio común á entrambas,y es ( jí|.9.) el clavo V ; el
cuerpo refiílente , que fe ha de afsir , o arrancar , clU en
R y y la potencia en XZ ; y quanto meixor fiíere la diftan^
cia VR , y mayor la VZ , mayores ferán las fuerzas de la
potencia : y lo mifmo es en las tixeras por la miúna razon^
y en ouos muchos inftrumentos íemejantes»
COROLARIO.
DE lú dicho fe colige , que en la palanca delfegutido genero^ U
petencia que fuede frecifamente fufientar el fefo ^Jiemfre
es menor que es fefo , for efiar jiemfre en mayor dijUncia del hi^
fomochlio que es el fifo : en la palanca del tercer genpro fiemfre es
mayor , for la rascón contraria ; fero en la del frmer genero fue--
de fer la fotencia mayor y menor y ^ igual con el fefo.
PROP. XI. Theorema*
De h Acbo fe colige quan grandes fean las fuerzas de los muf
culos de nuejiro cuerfo. (j!g« lo. )
EL principal ínllrumento y que firve para executar los
movimientos de nueftro cuerpo, y para levantar, y
luitentar las cofas pefadas , ion los muículos, que com^
pueüos de porciones carnofas^y tendino(as,eltán aísidos,me*
diantes los tendones, á los huellos y á quienes , ya contra*
yendofe, ya relaxando fe, mueven, levantan , doblan, ©.en-
derezan , formando efte movimiento cerca de las articula*
ciones,ó junturas. Áqui fe ve claramente fer el hueflb una
palanca , ó vedis á quien rige , y mueve la potencia aplica^
da , que es el muículo , levantando , y fuílentando con
fu contracción grandes peíbs.
Efta maquina es ciertamente palanca del tercer gene-
ro , como fe ve sn.hfig. lo. en quien EA es el ombro ; el
codo, y mano, AB; y el mufculo que íirve para levantar , y
fuftentar el codo , fea DC : elle fe une con el hueflb del
ombro en D ; y con el hueflb AF del codo , no en F , por
muchas razones que no fpn para efte lug^r, y fon bien cla«
ras.
s85 Trat. IX* Ds LA Maojiinaria;
ras^fi en C ; y porque el movimi^to del codo AF fe hace
en la aniculacion íoore el punto O, oue es el centro de di-
cho movimiento , es cieno fér el codo , ^ manó AB una
palanca y cuyo hipomochlio es O ; el pelo ella en B ; y la
potencia matriz en C: luego (def. 4. ) es palanca dd tercer
f:nero , en quien la potencia iiempre es mayor que el ^o^
coro!, antee. ) y ellandó la potencia tan cerca del hipo-
mochlio 9 es forzólo lean muy poderoías , y robuftas fvs
fuerzas,
Y para que le vea quantas lean, lupongo , que en dicha
poftura reda, y horizontal del brazo, lultente la extieim-
dad B un pefo R , que fea el mayor que precifamente pue-
da fuftentar la potencia : el qual , íegun confta por iaexp^
riencia , puede 1er á lo mas , en un mozo, robulto , de 26.
libras , í que fe ha de añadir el pelo de mano , y brazo, que
aunque es cafi de 4* libras; pero por no eftár todo en B,
hace efedo , ó gravamen de z. libras : es pues el pefo Qnc
fuftenta en ella poftura la potencia DC 28. libras. La dif"
tancia verdadera que hay de la potencia C al hipomochlio
O, es la ÓI perpendicular á la dirección CEX, como fe veri
en fu lugar ; y la diftancia del pefo es BO , de íiierte , que
cabera Oí en OB mas de 20. veces : luego la robuftcz , y
fuerza de la potencia del muCculo , es á lo menos veinte ve-
ces tanto como 28* libras, (6.) Que Ion 560. libras. Dig^
pues , oue lin la maquina equivale la íiierza de elle mufculo
a 560. libras de pelo. Efta luerza la tiene el muículo en vir-
tud de otra maquina , como en lu lugar veremos»
PROP. Xn. Problema*
Mffvet qúdlquier fefo con qualquiera fotencia con la Télénc^ éd
frimero , jfegUndo genero. ( Jíj. 1 1 . )
EL pelo dado fea B de arbitraria magnitud : lea A I^
potencia dada , tan débil como fe quiera. Digo , q**^
efta potencia podrá mover el pefo B , aplicada á la palanca
del primero, ó fegundo genero , en la forma figuiente. Co-
mo el pelo B no lea infinito , es cierto tendrá alguna pr^
porción con las fuerzas de la potencia A* Divídale pues II
Libro IL ity
palanca CD en E^ de tal fuerte, que CE á ED tenga la mil-
ma proporción que el pefo B á la potencia A : pongafe el
hipomochlio en E, el peíb en D, y la potencia en C ; y por
ier las dittancias reciprocas con el peío , y potencia , havri
entre ¿ftos equilibrio ; (i.) y í¡ el pefo le acerca un poco
mas al hipomochlio , podrá la potencia levantar el pelo en
cfta palanca del primer genero.
De la mifaia íiiene obraremos en la palanca del (egundo
genero FH , ii fe divide la.palanca en G de tal inerte , que
toda entera, á la porción GH, tenga la mifma razón que el
peíb B á la potencia A 'y porque colocaihdo el bipomo*
chlio en el extremo H, la potencia en F , y el peíb en G, fe-
rá la diltancia FH de la potencia, á la diítanaa GH del pe«
fo al hipomochlio, como el peíb B.a la potencia A : luego
cftarán en equilibrio, y por poco mas que fe acerque el pe*
ib aL extremo H , vencerá la potencia. .
Eíla es la celebre propuefta de Archiniede$,en que ófre-
cia levantar la tierra , íi fe le dieile fuera de ella un lujgaf
firme en que poner el hipomochlio; lo qual escaíi.tan iok
pofsible en la pradica , como cierto en la efpecukcion.
PROP. Xm. Problema.
que n$
mas
jAffoner de tal fuerte lafotencia^ j el fefi en la Palancdj
fueda la fotencia , fw caliente quefeOy mever el m
ligero fefi.(fi¡. 12.)
SEa un peíb A ouan pequeño (e quiera , y (ea la potencia
B tan esíbrzaaa como (e quiera. Digo , que íe pueden
colocar en ía palanca, con tal difpofícion, que no pueda It
^tencia mover al pefo. Dividafe la palanca KM en L, de
fiíerte , que LM á KL , fea como la potencia 6 al peíb A^
Póngale el pefo en M, y la potencia en K,.y (!•) havrá ecpi-^
librio : luego íi el hipomocnlio fe acerca un poco mas a la
potencia que eftá en K , vencerá el pefo A puefto en M , y
no le podrá levantar la potencia.
CO^
/; -j
COROLARIO.
I 'Ñ fine fe de lo dkbú , que generalmente fiempre que fer difpefi-
cien de und maquina fe aumentan las fuerz^as de la fotemié
iontra el f e foy fucede^ que fi permutan el pe foj y potencia fus It^Or-
resy fe dtfmmujien las fuérceos de la potencia ^j fe aumenta la re-
premia delpefo , enía rmfma proporcitm en que antes las de U
potencia excman a la refijtencia del pefo.
PROP. XIV. Theorema*
txfücanfe varios modos con que el pefo fe puedeaplkara laVá-
lanca yj en que fe varia fu refífienáa.
I T7 L cuerpo peíado] (e puede aplicar de tal (uerte \ la
XJ# palanca » que éfta le atravieUe por medio de mane-
ra , que el centro de la gravedad del cuerpo efté en la mif-
ma palanca ; como íe ve en la j!{* 1 3. en que la palanca BA
palia por el centro D , que lo es de la gravedad de diche
cuerpo.
z Puedeíe el cuerpo peíado poner pendiente de la ex-
tremidad de la palanca , como en F£, (^fig. 14. ) de cuyo
cabo £ pende el peíb H.
3 Se puede colocar el peíb en la extremidad de la pa-
lanca , de fuerte , que el centro de la gravedad efté fobre
ella, como én DE, ( fig» 15.) fobre cuya extremidad £ íe
(iipone colocaído elfpdíb.
ÍSe puede colocar de fuerte ,que el centro de la gra-,
ad ette debaxo de la palanca, como en TX. (fig* 16.) .
Eftosfon los modos mas principales de coloourlé el péíb
en la palanca, de cuya varia difpoíicion íe íiguen diferentes
grados de reíiftencia ^ que fe explican en las propoíiciones
iiguientes.
PROP.
Libro IL jt^
PROP. XV. Theorema.
'QHsmdú H cmtfú de U gravedad del ftfi ifii en la mfmá F/Uáih
^d^ la mfma fuerz^a baña para fuJtentarU^ i en lafituaáen
hmkeiualy}^ fibre illa^ h debaxe de ella.
(fe**!?-)
SEa ia palanca horizontal AB , cuyo hipomochlio (ea Q
la potencia *efté en B , y d peTo en A ; dé fuerte y que
el centro de la gravedad del pefo efté en la mifma palanca:
muevaíe fobre el hiponaochlio C , ó á la (¡tuición FG , en
que el centro de la gravedad efiá en L; 6 a la íituacion HN,
en que elceiuro deia graved^ eftá en M. Digo^que la mit
ma potencia B,t^mO) que efté en G, como en N/uftentará
con la miíma facilidad el peíb; y la reíiftencia de ¿fte fíem^
pre íeri la oiífina en ^pilquiera poftura. La razón e&, por^
que en todo cgíb conierva el centro de la gravedad del p^-
ip unii fni(naa dütancia dethipomochlio C, conao también
la potencia : luego en quaíquiera íituacion es una miiln^
la proporción entre l0$ diítancias: luego la fuerza de la po-
tencia (ienrtpre ícr^ lai miíma , como también la reíiftencia
del pefo. Lo mifmo fe ha de decir en las palancas, del ie«
gunao , y p^cer genero.
PROP. XVL Theorema.
fiando el fe fe efti fenMtnte de la fdama , también bafialé
mifma fiíerx^a para fufitntarie en (¡ualqmera fituor
eien. (Jig^i^)
EN la palanca FE , cuyo hipomochlto es G , eftc pen^
diente el pefo H de la extremidad £• Digo , que íi fe
mueve h palanca , y fe conftituye en la íituacion QP , ó
otra qualquiera , la mifma potencia baftará para fuftentar
tí: pefo en todo cajíb. Porque las diftancias del p^ > y pOr
tencia al hipomochUo , fe toman de las perpendiculares^
PM, NQ^, tiradas del punto P de la fufpenfion del pd<%i y
del punto Q^, de la aplicación de la potencia; y como ppf
fer proporcionales los triángulos GPM^GNQ, la miíma ^a^
TemeiU. Hh zan
/
/^
9^ Tr AT. ££• Dx LA Maqstinari A.
zon tenga NG á GM^que Qp á GP; ello es, que FG á G£
íiis iguales , la mifina nroporcioD tondriti entre sí, en qual<
quiera (ituacion , las diftancias del peíb , >^ de la potencia:
lucso en qualquiéra lituacicÁ ferin las joiíc^-merzas hs
de fax potencia, gomo umbien la rdifienci^ dkl peíb; y por
coníiguiente ,, las miímas fuJÉizas baibrao para íuítentarle
en qualquiera diípoficion (|e la$ referidas.
PROP* XVn. Theorema.
iBirtxMmdl j qudnto mas fe levama y tátUf nmerjuen^ bafis •
fdr4 fuftetttéOíUy quamá más fe áepm^átm msjef ,
fuerza es men€fier*ipg*i^.)
SEa la palanca DE en fituacion I^rizontal , cuyo hipo-
mocblio fea C; y en fu extreoüdad £ > poogaíe .el peío
G , cuyo centro 1 de la gravedad , eíbe fobrcJa palanca ; y
apliquefe la potencia en D, y {nuevaie la palanca hafia pp<
nerfe en MK. Digo lo priniero , qué en eíU fituacion es
meneíter menor fiíerza para fuiientav el peío, que quando
eftava en DE* ^
DemoHp. En DE, la linea de la.dkecciaoijeilo.es. Ja li-
nea que del centro de la gravedad del cuerpo va al centró
de la tierra, es IG^ pero en MK,.ya'i^ J^'JG la linea de la
dirección , (i IS ; y por conliguiente , la diftancia del pefo
il hipbmochlio -en la fituacion horizontal DE,^ iGQ. pei^
en la MK, es CS menor que CG: luego (7.) íieodo en todo
caío una mifma la diñancia que hay de la potencia al hipo-
mochlio , menor fuerza es meneíler para fuftentar el peíb
en la difpoíjcion MK , que en la D£«
Muévale la palanca DE , y póngale en la íituacion RO.
Digo j que en eftecaíb es menefter mayor fuerza para fuf*
tentar el peíb , que en .DE : porque en DC,e^ la linea de la
dirección IG; pero en KO, es IS ; y por coníiguiente , e^
cfte cafb la diltancia del peíb al hjpomochlip, es CS mayor
Sue CG; hiego (7) mayor fuerza íe requiere en RO,que ei;
^£ para fiátentar el pefo,haviendo la jnilma diítancia eot
tre la potencia, y hipomóchUo.
PROP.
I
I
Libro H, ^^|
PR.OP* XVm. Thcorcma.
.gufmkitiiñtt^ de la gravedad dilpefi efia debdxedi U Palmh
€4 ImMfUd j quant^ mas fe levanta el fefo , tanto majn
fuerza ei menefier para fuftentarte ; y tanto me-
mr , qüanto mas fe depme.
(fe* i«.)
SEa la palanca horizontal TX : (ea el hipomochlio A : la
potencia efté en T : y el peíb íea V, cuyo centro O. d¿
la gravedad eíte debaxo de la palanca. Digo, que en la
poitura SK fe requiere mayor fuerza para fulcentar el peíb;
porque en TX la linea de ía dirección es O V ; y en SK , e^
OK : luego en TX , la diftancia del pefo al hipomochlio
es AV ; y en SK, es AK mayor que. Av : luego en ella diíl
poíicion es meqefter mayor fuerza que enia primera» Dir
go también , que en RJC,es meneñer nienor fuerza ^ por íer
h dilianci^ AK menor que AV.
PROP. XIX. Theorema.
24 fjptradellAfamochlio conduce mucho f ara facilitar ^ I Jiüficttlr
tar el movmñento del fefo. (fig. 17.
LA razón es , porque puede íer tal la figura del hipo-
mochlio , que al movérfe fobre él la palanca , íe va-
rtón los puntos en que eítriva ; y por coníiguiente , no í^
COníerven tas mifmas diftancias del pefo , y potencia al hi>
pomochlio : como por exemplo , íi la palanca íe colocaíle
U)bre una esfera, 6 cilindro , y en la poflura horizontal tp-
aSSz el punto A en el oblicuo , eílrivaria en el punto Bf
donde íe ve claramente variarfe la proporción de las dift^-r
tías ; y por coníiguiente^ la facilidad de la potencia.
Hh2 PROP.
PROP, XX. Thcorema.
^j id fatenáa mueve ) la Valonea far linea (Aüqua , ferañ mém-
resfusJmxM ^ que moviéndola for linea fetfendi-
cular. C)í¿a8.)
T^Igo y que (¡ la potencia A impele la palanca por la li-
1^ nea aB obliqua , podrá menos conxra el peíb , que
jicon la mifma fuerza la impeliere por la perpendicular
AC. La razón es , porque impeliendo por la hnea AB, par^
<e del impulíb (e confume en retraer la mifma palanca del
hipomocfalio : como también moviendo por AD , íe em*
Elea parte en moverla contra el hipomocnlio ; pero impe-
endola por la perpendicular AC , todo el iiúpulfo íe em-
£lea en levantar ei peíb : luego mas fácilmente le moverá
\ potencia, encaminando fu movimiento por la linea AC,
que por otra alguna. Otra razón hay mas eficaz, y eviden»-
te j y es la que le colige del Theorema íiguiente%_
PROP, XXI. Theorema.
Qimdo la poeencia mueve la Fatanjca por linea éíiqúa , fu Tir*
dadera diflancia es la perpendicular , que [ale del hipomo^
... chüo 1l la linea de fu movimiento.
Supongamos , que una potencia mueva la palanca AB
por la linea obliqua BC , á quien es perpendicular la
FD, que fale del hipomocblio. Digo , que la dÜÍancia ver-
dadera de la potencia al hipomocblio es la perpendicular
FD i y íegun éíla , íe han de nivelar las fuerzas de la po-
tencia.
Demonfir» Aunque lo mifmo es , que; la potencia eft¿
aplicada en B , ó que mueva tirando de una cuerda BQ
mientras conlcrve liempre la mifma linea del movimien-
to, ó por mejor decir , la mifma obliquidad con la palan-
ca, ó ángulo B; pero para mayor claridad , fupongo efté la
potencia aplicada en el punto D de la cuerda , y que tiran-»
do
\
LlBR O II. 2^1
doíe pafle la potencia á £ , y el cabo de la palanca baxe á
G ; tireíe pues la re&a EG , y junteíe F£« ^ !
En los triángulos FBD , FGE , los lados FB , FG fon *
iguales , como también BD y GE por fupoñcion ; y Tupo-
niendoíc los ángulos B , G iguales , ferán (4* i* EucL) los
ángulos BFD , GFE iguales ; y quitando el común GFD,
quedarán los ángulos BFG , DFE iguales ; y por confia
guíente, los arcos BG, HI,que fon fus medidas, (eran igua-
les. El arco DE , por donde fe movió la potencia , tiene
con HI, ó BG, ó AK, por donde íe movió el pefo , la mií^
jcna razón que FD á AÍP : luego la verdadera diftancia , fo-
gun la quaí crece , ó (e diíminuye el movimiento de la po-
tencia 9 es la linea FD, que íale del hipomochüo , y es per*
pendicular i la linea del movimiento de la potencia.
COROLARIOS.
t T i! linea perpendicular a la palanca , es la mas apta Par 4
JL/ mover el pefo y y por ella tendrá la potencia mames jm-
xuis qa^ por otra qualquiera , mientras ¡atgan todas di un mifino
punto de la palanca* Explicóme en la palanca AB ( /ig. 20. ) cuj0
hipomochüo es C* Digo^ que mas fácilmente moverá la potencia al
pefo por la perpendicular BD y que por otra qualquiera. Suponga-
mas fe mueva por laBE , que forma el ángulo agudo CBE : luegjo
caerá dentro del circulo. Tire fe pues la perpendicular CF, que^ co^
mo dixej es la verdadera difiancia de la potencia , quando mueve
por BE. Ejla difiancia CE^es necesariamente menor que la CB^qui
es la diftancia de la mifma potencia quando mueve por BD : luegt^
menores fon fus fuer z.as quando mueve por BE^que quando por BD^
Supongamos también que mueva por BG y formando el ángulo ob-
tufo CBG : conque el ángulo CBHferX agudo , j la BH caer'i dm-
tro del circulo , j la perpendicular Cl ¡era la verdadera diftancia
de U potencia^ que fiendo nmm que CB tendrá U potencia meno-
res fuerz^as y^uando dirige por ella fu movimiento.
z Si la potencia es un pefo , que mueve folamente la palanca^
for fu. natural gravedadyfu verdadera diftancia en diferentes pofi-
turasfera elfegmento de la palanca hortz^ntal^ contenido entre el
bipomoeblioy y la perpendicular. Sea la palanca ABj ifig'Zi. )j el
pefo quepye del^ctmia conju^aveáad efteenB: couftdereje la
Í4-
9^ Urat. IX. De ia Maquinaria.
fálducd en U fttuacion horUomd EF,^ trrefe la perpendic$dár BC»
Ligo 9 que la verdadera difianáa de daba potencia en B^es DC. La
taxjon eíy parque el cuerpo grave ffáa fu movimiento por ¡a perpe^
dkular al boritjfnte^j a qualquter paralela fuya^qual es EFjypar,
la nnfma raz^n^ Ji el pejo movente efiuviore enH^ feria fu ver^
iadera üfiancia la DG.
PROP. XXn. Thcorcma.
Ixplicafe la razM de algunas experiencias cmiofasm
1 T^E lo dicho (e colige la razón , porqué levantamos
J 3 con facilidad una pica, tomándola por fu mitad;
pero con gran dificultad íi la tomamos por un cabo ; de
íuerte , que folos aquellos la pueden levantar en efta forma,
que alcanzan grandes fuerzas* Es pues la razón , porque
tomándola por el medio , la tomamos , y levantamos por
el miímo centro de fu gravedad ; y aísi oaftan fblas aque-
llas fuerzas, oue (bn iguales á íu peíb ; pero tomándola por
un cabo , y levantándola , la dividimos en dos partes muy
dcfiguales , la menor dentro del puño , y la mayor fuera; y
fe forma una palanca de primero, ó tercer genero ; de fuer-
te, que ílempre eftá la potencia mas cerca del hipomo-
chlio , que el peíb de la pica.
Para mayor claridad veaíe la^¿. 22. en que la pica
PL , fi fe toma por el medio M fe divide en partes iguales,y
íe levanta por el centro de fu gravedad ; y afsi ha meneíler
pocas fuerzas ; pero tomándola con el puño por la extremi-
dad PO, fe divide en dos partes muy deííguales, OL ma-
yor , y ÓP menor ; y la mano hace ofició de hipomochlio,
y de potencia movente , ó fuftentante de la parte mayor
OL; de fuerte, que fi el punto delpuño,correfpondientei
P, fe tiene como fixo, y firme ; y el otro punto que corref.
ponde á O fe mueve ázia arriba , íerá palanca del tercer
genero , cuyo hipomochlio es P , y la potencia elftá en O;
Íes forzólo que por eftár tan cerca del hipomochlio P
aya de experimentar gran refiftencia en el pefo de la picaf
y íi la parte del puño correfpondiente i O fe tiene firme,
y la correípondienta á P moviéndote áziar baxo hace ba-
Libro 11/ ftp^
-íér cA ptuito P , íerá palanca del primer genero , en que la.
potencia P , por eftár tan cerca del hipomochlio O , ha de
tener gran dificultad en levantar el peíb de la pica. £1 modo
de determinar qué fuerzas fean menefter para levantarla en
ella difpoíicion , fe vera en la Eftatica* . .
Aqtii fe ha de advertir , que la mayor dificultad fe ííeRte.
quando la pica eftá en lituacion horizontal , como eo PL;
porque quanto mas íe elevare , como en PQ^, fiempre (e ha-
llará menos , por (er la diftancia OR , ó PR , tomada hafts
la perpendicular , la que determina la mayor, ó menor difi-
cultad; (2 1.) y fiendo efta diftancia menor que la PL,ó Oí-,
y tanto menor, quanto mas (e levanta , (e figue íer también
menor la dificultad que fiente la potencia.
X Coligeíe también de lo dicho la cauía porqué apli-
cando la rodilla al medio de ün palo, y las manos a fus ex-
tremidades, con tanto mayor facilidad le rompemos, quan-
to más diftan del medio las manos ; yeSj porque (e fbrpiaa
dos palancas del primer genero , para quienes firve de hi-
pomochlio la rodilla* Sea (fig. z^.yél báculo GMH, cuyas
extremidades G , H, fe toman con las manos, y fe aplica á
la rodilla IL ; es cierto , que forcejando para romperle fe
dobla algún tanto, de fuerte, que el punto M del medio,(e
aparta del medio de la rodilla ; conque fe forman dos pa-
lancas del primer genero HLM , GIM , que tienen el hipo-
mochlio en L, I; el reíiftente que fe ha de vencer eftá en Ñk
y las potencias , que fon las manos , eítán la una en H , y la
otra en G : luego quanto mayores fueren las diftancias HL,
GI de los hipomochlios , crecerán mas las fuerzas de las
potencias , y vencerán la refiftencia de M con mayor facili-
dad , y romperán el palo por el punto M.
3 Con la mifma dodrina cíe la palanca fe conoce la
caufa, y ceíla la admiración que fuele ocafionar la figuien^
te experiencia. Sobre dos banquillos, ó efcaños de igual
altitud, ponganfe dos vaíbs H^ I, ( jí¿. 2-4. ) 6 vacíos, ó cali
llenos de agua para mayor feguridad : pongaíe fbbre
ellos un palo LO, que efté feco ; de fuerte, que con la fuer-
za de un golpe fe pueda romper, y (us extremidades paf^.
fea algún poco ázia el medio ae los vafbs ; y con otro palo
com-'
tp6 TrAT. IX. Db t a MAOyiNARlA.
competente ddde ungolpe en medio con buena üenia ^ y
fe romperá el palo LO por medio en P , íin daño alguno de
los vaíbs que le fuftentan t y fin derramarle gota de agua*
La razón es , potxiue la potencia que mediante el golpe fe
aplica en P , divide el báculo en dos partes PL, PO , cuyos
cabos , que concurren en P, (e mueven ázia baxo al tiempo
de la tracción , y los otros dos ázia arriba , conque ion dos
Íalancas del pnmer genero ^ cuyos hipomochlios ion ios
ibiosM , N ae los vaíbs , la potencia eftá en P, que coo íu
movimiento hace ir ázia baxo las porciones mayores MP»
NP , y levanta ázia arriba las mehores ML , NO ; y como
las diitancias PM , PN fean con tanto excedo mayores que
las ML^ NO, que fon las que (e levantan » es forzólo que
en los puntos y ó eftrivos M, N , (e haga poca , ó ninguna
fuerza al tiempo de romperle el palo ]X>r el punto P, y ba
xar las extremidades concurrentes en P , y fubir las otrau
ML, NO, por lo que no reciben los vaíbs daño alguno*
PROP. XXIII. Thcorema*
Qudmb i§s ptenciás dplicadds 4( hs tubos de U Pdlémca fij
tienen un fefo que de elU efta pettdienteyi que tienen fu centro d
gravedad en U núfma Palanca , la potencia mas cercana al pej
fuftefua major porción que la mas remeta , en proporción
reciproca de las difiancias. ( jí;« ^ 5 • )
LAs dos potencias M,N,eftavan aplicadas a los cabe
de la palanca, de quien depende el peíb P, Digo , qi
la potencia M íuítenta mayor parte del peíb, que la potci
cia N^ en proporción reciproca de las diltancias ; de luert
qucíi, por exemplo , la diftancia NO es doblada de la di.
tancia MO , la potencia M fullenta doblada parte de peí
que la potencia N : como íi el peíb P fuere de 6o. libra
la potencia M fuftenta las 4o.libras, y la potencia N las 2t
y para que entre las dos íiillenten el pefo en la polhira le
bredicha , íerá raenefter que en N, haya una potencia fufr
cíente para fuíleacar zo» ubras; y en M, otra Daihnte pai .
40. libras.
Pe*
Libro n.
Vtfimfir. La potencia M íirve de hipomochlio , relpec-
to d€ la potencia N : luego para aue haya equilibrio , y pue-
da la potencia N (iiftentar el peio P , havrá de tener la po*
tencid N, con el pefo P , la mifoia razón » que la diitancia
MO del hipomochlio , y peíb , tiene con la diftancia NM
del hipomochlio y y potencia, (i.) La diftancia MO (e (u*
pono (er la tercera parte de NM : lu^o la potencia N , es
{i tercera parte del pefo P ; y fiendo efte 6o. libras , (era la
|K>tencia N baitante para fuftentar 20. libras. Aí^ímirmo
la potencia N j íirve de hipomochlio á la potencia M : lue-
go y para que éfta pueda íuftentar el pefo P, havrá dt tener
con dicho peíb la razón que la diftancia ON tiene con la,
diilancia MN, aquella es dos tercios de éfta : luego la po«
tencia M equivale , y íe equilibra con dos tercios del psíb
P ; y íicndo éfte 6o. libras ^ la potencia M havrá de equiva^
1er a 4o, libras»
COROLARIOS.
I Q^ ^i P^fi ^fi^ ^ widio de la palanid , tanto fu ftentd la una
i3 potencia^ como la otra^
% Las dos fotencias juntas han de fer imales , d foder tanto^
como una potencia , que fin maquina fea fufáente para foftener oí
fefo.
3 Deh dicho fe colige y que en la palanca dd primer genero^
el bipomcblio fufienta tanto al pefoj como a la potencia^j entram^
bos legraban ; pero en la palanca delfegundú genero , el hipomo-^
cbUo fufienta parte del pefo , y la otra parte la potencia^ tocándole
adiada uno fu gravamen fegun fuere la proporción reciproca de las
difianciasy con el pefo yj potencia»
4 De lo dicho je infiere también el modo de feñalar el punto en
la palanca^ para fufpender alli un pefoy de fuerte y que fi los dos que
le han de fufientar tienen fuerx^as defigualesy fean gravados cada
uno fegun fus fuerz,as precifamente : como por exemplo^ fi fmo pue-
de Jotamente fufientar pefo de zo. libras y y otro puede fufientat
40. fumen fe entrambos números , j feran 6o. Dividafe aora la
palama en dos partesyque tengan entras la rasj^n que 40. tiene
con zo.yfea el punto O: ( Jíg.25. )fufpendafe en O un pefo de 60.
üb. y poniendo la fuerz^a menqr ^Nyyla mayor enMy fer a éfta
gravada en 40. mas y y aquella en xo. porque fer a como NO le
hLOi
%g8 Trat. IX. Dfi LA Maquinaria.
MO ; dfsi Idfuerzjíf y gravamen de M^ i la fuerx^y y earga
5 Qff l^ faláncáfea más UrgOyl mas ceftajnaia eerukce fa^'
ta majin , I menor facilidad dejufieutar el fefi , rmentras que la
freforríon de las diflanáas cenlaspútenáasfea unamifma : €0--
mofila falanca majw MSj j la menor QR eJÜn divididas en Oy
y S frofarcianalmente , efio es^que MOaoS aféateme QS ¿ SR^
y el mifinoyi igual fcfo P fe fu ff ende en entramas par dichos fsm^
tosjelmifmo gravamen fentirin las potencias en la una que eníéO
otra ; porque tanta parte del pefofuflenta la potencia M , como Q^
y la potencia N , como R; y por el coroU i. las potencias M^y IÑ jun-
tas , fon iguales al pefo Penla palanca mayor y como tatidnen en
la menor.
PROP. XXIV. Theorema.
Quando dos potencias fuñentan un pefo , cuyo centro de gra:9edaí
epa fobre la palanca , jr eña tiene fttuamn oUiqua al hártente JU
potencia que efta en el cabo mas baxo fieme mayor pefo ; y al
contrario fi el centro de la gravedad efta áebaxo de
la palanca. ( /ig. 26. )
LAs potencias A , y B llevan en (ituacion inclinada un
pelo , cuyo centro C eltá (obre la palanca , y en medio
de ella. Dieo , que la potencia B fuftenta mayor parte del
peíb , que ía potencia A. La razón es , porque el pefo íiem-
>re agrava las potencias por la linea perpendicular , que es
a que determma las verdaderas cUftancias del pefo , hipo-
mochlio , y potencias : luego el peíb C , que en la diípofi-
cion horizontal de la palanca catearía fobre el punto D, en
la oblíqua carga (obre E , mas cerca de la potencia B , y mas
lexos de A : luego (23.) la potencia A fíente alivio , y la B
mayor gravamen , y peíb,
Pero fi el peíb tiene íu centro de gravedad debaxo lá
f)alanca, como en I, íucederá al revés; porque agrava por la
inea perpendicular IK , y es lo midno que fi eítuviera pen-
diente del punto K : luego fe acerca mas á la potencia F mas
elevada , y íe aparta (jíe la G mas baxa : luego aquella fenti*
ra mayor gravamen ^ y éfta , alivio.
E
«99
LIBRO IIL
DE L.A SEGUNDA MAQUINA
Fundamental , llamada Torno , Ar-
güe y o Exe en la rueda.
DEfpues de la palanca., fe íigue la inunda nuu
quina fundamental , llamada cpmunmente tor-
no y b argüe , cuyo nombre Greco-Latino es
Axis in ptritrochio f que es Jo mifmo que un exe,
ó cilindro en la rueda. Tiene tal dependencia de la palan>
ca , que caíi no íé diftingue de ella , como luego veremos;
por lo qual no íerá difKultofa fu noticia á quien tuvierq
bien comprehendido lo que expliqué en el libro aiKece-
dente.
PROP. I. Theorema.
1
"Exftictft U forma f y ^fpoficm del torno , fus difarenciasy
; ufo.
PAppo Alexandrino en el fin del Ub. 8. de las Colecck-
nes Mathewdtkas j y otros Autores ^ defcriven el tor-
no en la forma figuiente. Veafelaji^i 27. en la qual AB es
el exe^ 4bl4y ó íabrio , que es ur>cilií)5fo, ó CÓlij^na rcdoiÉida,
llamada también tímpano : E , y F fon los clavos cilindri-
cos , y muy firmes , que ruédíán áentro los encaxes de los
maderos , ó pies FG, EH , dé tal fuerte , qfue el exe venga k
tener fituacion horizontal : CD es una rueda bien unida
con el exe. , á quien ll^mah los Gn^gos ^'moflm , ,yde
quien
300 Trat. IX. De la Maquinaria.
3uicn íalen los rayos SQ, CN,&c. La cuerda de quien pen-
e d pefo ^ fe ata fírmemetite al exe ^ y queda formado el
tomo.
Su u(b es coitio (e fígue. La mano , ó potencia motriz
fe aplica á los rayos de la rueda , y haciéndole dar bueltas
juntamente con el tímpano , ó exc » va rollandofe en él la
cuerda que lleva coní j^ el pe(b L , y ]e fube ázia arriba.
£1 tomo puede íer en dos maneras* £1 uno tiene el
tímpano borirontal, ó paralelo al horizonte,como es el que
«cabamos de explicar. £1 fegundo tiene el timpano per-
pendicular, como fe ve en la fig. i8. £1 primero íirve or-
dinariamente para levantar los pefos ; y el fegundo , para
traerles horizontalmente, o hacerles fubirpor la cuefta de
un monte. No me detengo mas en la explicación de la fa-
brica del inundo , por no diferen'ciarfe de la del primero
mas que en la (ituacion.
£uas dos efpecies de tomo íe pueden , y fuelen (abri^
car tin raeda , atraveíando (blamente por el tímpano dos
palos, ó perticas fuertes ; conque tienen el mifmo u(b que
los ((^redichos , pues aplicándole la potencia á las extre-
midades de las perticas, V dando bueltas , fe embuelve la
cuerda en el timpano^y ie fube,ó trae el pe(b con facilidad
iuma. Si la fituacion del timpano es horizontal , ó paralela
al horizonte, como en la fig. 29. (e llama fuccuUj y cabrioy 6
triubá;pcro íi dicho timpano es perpendicular al norizonte^
como en hfig.zo* fe llama en Latín ergata^ y vulgarmente
dtgue. Todas eítas maquinas convienen en una mifína dif-
poíicion eíFencial , y aísi (bn unas mifmas fus propieda-
des , que explico eo las propoliciones figuientes.
PROP. n. Theorema.
H t9rtt§ ts T4lmc4 ferpitu4 del frimer genero, (fig. 3 1 « )
SEa ABC la craísicie, 6 baía del timpano,cuyo diámetro
fea BC , y íu centro £ : la rueda concéntrica al tim-
Sano fea FGH , en cuya periferia eft^n los rayos HI, PO,
ce. y áü punto B del tio^ano cfté pendiente el pefo K, x
Libro lÍL ^ci
la potencia (upongafe aplicada en I : concibafe la linea
lEÉ paralela al horizonte ; conque la potencia aplicada en I
hará con íu impulíb baxar el rayo IH , y juntamente hará
rodar el torno , hafta oue la linea lEB tenga la (ituacion
OEN, y el punto B de la cuerda fe íubirá a r4, á quien fe-
güira el peío : donde (e ve claramente , que el punto E es
inmoble , y por configuiente hipomochlio , la potenza eP>
tá en 1 9 y el peíb en B : luego lEB es palanca del primer
genero , que tiene el hipomochlio entre la potencia , y el
pe(b : luego el torno viene á íer palanca del primer gene-
ro. Que lea palanca perpetua es conílante , porque como
el torno íea circular, en haviendo baxado la palanca lEB á
OEN , íe pone en el lugar de aquella la TEQ^, y baxando
éfta de la mifma fuerte, fe fubftituye otra en fu lugar, y aC-
fi infinitamente : conque moviendo fuccefsivamence la po-
tencia los rayos del torno , continua el movimiento (uyo,y
el dd peíb quanto quiere; luego el torno viene á íer palana
csL perpetua.
PROP. IIL Theorema,
ta fotencia viviente , que frecifamente bafta fara fujlentáf tm
fefo en el mno^ tiene con el pefp la razan mfma que el fe-
midióme tro del tímpano , con el femdiametro de
U ruedn , j rajo ; j al contraa^io.
Dlgp , que fi una potencia viviente , como por exém-
pío, la mano , aplicada en I^ tiene equilibrio con d
peíb pendiente de B ; eítoes^ tiene preciíamente las* fo^-
zas que bailan para fuílentarle , tendrá con el peíb la ra-
aon miíma ,que tiene la diftancia , o femidiamptro EB del
timpano , á la diftancia £1 ^ compudk del íemidiametro
EH de la rueda , y del rayo HL La razón es , porque (2^^
la IB es palanca del primer genero , cuyo hipomochüo e5
E> la potencia cftá en I, y el pcfo en B : lu^o (lib.z.fropiu^
quando el pdo , y |>otencia guardan equilibrio , tienen en-
tre si razón reciproca con las diftancias , y ííriín I á B, co-
mo B£ á £1 : y í¡ guardan efia proporción , tendían equi-
librio* ; . . .
co-
302 Tkat, IX. Db la Maquinaria.
I COROLARIO.
7 ifie €df$ fiemfrefera Upotemid memn
^ifimfre £B yrr¿ merm que EL
PROP. IV. Thcorema.
E
ExflUafe U p9fwcm que tiene en el mm U fotenáá inámmá*
da con el pe/0, (fig* ^i»)
LA potencia inanimada fea el plomo D , y primeramen-
te (ufpendare en I , y tenga equilibrio con el pelo íúC-
peníb en B. Digo, que en eita poftura horizontal, la mifma
razón tendrá la potencia D al pefo K , que tiene £B con
£1 , por la miíina razón de la prop. anteced.
Suipendafe d mifmo pefo en T , y comp el plomo
4)bre íegun fu peíb , y gravedad natural , moverá el corno
exerciendo fus fuerzas por la linea TD , que va ázia el cenr
tro de la tierra. Tirefe del punto Encentro del torno,la EH
perpendicular á TP. Digo, que la potencia TD al pelo K,
aplicado, ó pendiente de B , tiene la mifma razón que £B,
diitancia de dicho peíb al hiporoochclio , á la perpendicu-
lar £H« La razón es , porque £H es la verdadera diílancia
entre el hipomochlio , y potencia , por moverle en. efte ca-
fo la potencia por linea obliqua á la palanca TQ^^ T£Q¿
(2i./f¿.2. deeftetrat.) luego por eífas diftancias fe han
de medir las fuerzas de la potencia. Efta razón no vale en
la potencia animada , porque como éfta mueva al pelo pro-
cediendo por linea circular , íiempre impele por la tangen*
te , ! que es perpendicular al radio I£ : conque íiemprc
guarda una mihna diftancia del hipomochlio , y íiempre
es una mííma la dirección de íu movimiento ; y el arco que
cofre lia potencia , guarda - fiempre una mifma proporción
<an el míe camina el pefo ; y afsi , de la mifma fuerte íe
miden íus fuerzas en I£6 , que en TEQ^^ como antes dixe.
COROLARIO.
Slgiüfi diUáiáa, q^ 4gundo U fue^fia ef inanimada y clh
m ffnr exemfh el piorno D^ nofiemfre es menor que-elfefr^
k
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I
Libro I/L 302
jnien ff eqiálürd en el tomo : perqué U ferpenákulnr que fafe
\ centro E ál ferpendUulo TD ^ puede fer menor que eljenüiia-
tro £B del úmpám aporque el perpendículo TD puede caer/obre
mifino femidiameno entre Q^j E'yji en efte cafo^ esforMfifea
$ji$r U potemia , que elpefo á quien fofiiene.
PROP. V. Problema.
>édú el fenúdiámitfo EB del impanoj (fig. ^u) y U áijlanáá
lEy i HEy bollar las fuérzaos del plomo pendiente ae i,» de T,
bafiames para fufientar el pefo pendiente
de B.
C\Tera£Íon. Hagaíe una regla de tres en 1^ forma fi-
J guíente ; y para claridad ^ fupongo y que lE conlla
3e ¿. partes iguales ^EBiy que HE contiene 5. de dicha^
partes : íea el pefo K de 6oo. libras : haga(e , como El 6. á
BE I- aísi 6oo, á loo. Digo pues , que la potencia que
aplicada en I,es fuficiente para fuftentar el peíb B, es equi<
y alenté á loo. libras, Afsimífmo , como HE 5.^ BE i. afsi
¿OQ. i IZO. conque la potencia , ó plomo puedo en T , (1
{¿equilibra con B 6qo. es de 120. libras. Conlta de las pro-
ffficiones 3. y .4.
PROP. VI. Theorcma.
^anio la potencia tiene mayor raz4>n con el pefoy que elfemidid-
metro del tímpano al fenúdiametro de la rueda junto con el radiOy
eíey^tra la potemia al pefo* También fila diftancia de la potencia^
y el centro tiene mayor razj>n con el femmametro del timpa- -
no,que el pefo a la potencia^levantara efia al pe-
fo y y al contrario* ( Jíg. 5 1 .)
Digo lo primero y que íi la potencia aplicada en I tiene
mayor razoix con el pelo pendiente áe B , que tiene
EB con EI^ la potencia y no íbio fe equilibrara con el pefo,
Y le fuítentará , fi que prevaleceríL , y le levantará. Digo 16
icgundoy que fi la lE tiene m^yor razón con EB, que tieníe
.^1 pefo en B con la poteiicia aplicada en I •prevalecerá la
potencia , y levantará el pefo fobre el equ$brio. Digo lo
■ ' ' ' • ter- ■
304 Tkat.IX. Db la Maquinaria.
tercero 9 Que íi la potencia prevalece contra el pe(b levati^
tandole íbbre el equilibrio , tendrá con el peíb mayor ra^
2on, que EB con Él; ó que £1 con £B tendrá mayor ra^
zon 9 que el peíb con la potencia.
Detmnfif. (2.) La lEb , es palanca del primer genero.
En la palanca fe requieren dichas proporciones , para que
la potencia pueda levantar al peíb, como demonftré eu las
pof. 4. y 5. dd /i&. 2. luego también en el torno.
COROLARIOS.
I Ty Ara qui U fotenciá que frecifaminu fuñentavá al feféjU
X p^fdd mover , y levanur yh fe hade nacer majar , 9 üm
i€ apartar fe del centro mas de lo que efiava : comofi una fotenáa
dfücada en H ^fujientava el feío K, fara que le pueda mover , jf
hacer fulnr , es frecifi y o que mba potencia crez,ca , i que fe ajv*
que al punto I.
2 Quanto major fuere la diftancia de la potencia al centro^
refpeHoael femiibametro del tímpano y tanto menor potencia ferl
bacante para fujientar j y levantar elpefo. T quanto una rmfma
potencia mas ¡e aparthe del centro del tvnpano , con tanta major
facilidadyj fuAvidad fuftentar\j mover a al pe jo. También quan-
to mas delgado fuere el tímpano > tanto menor potencia bajiark
fara fujieutar el pefo , permaneciendo las mifmas circunjiaih
€ias.
3 Si rodando el tomo , de tal manera fe rolla la cuerda^ que
unas bueltas caen fobre otras , crece la dificultad de mover el pefr^
porque crece el femidiametro del tímpano , que ademh de la tna^
nitud que tenia , induje logruejfo de la cuerda tantas veces;quan-
tas fueren fus bueltas\jfiendoftempre una mifma la diftancia di
la potencia , esfuerx^a tenga menor raz4>n cm la difiancia del fefo^
r j le levantara con major dificultad.
'4 QUando la potencia mueve Un pefo en el tomo , la núfma rÁ-
z4>n queüaj de la dinamia entre la potencia^j centro del timpan^
' al femidiametro del tímpano y effa müfinahaj de la veloádad con
que fe mueve la potencia y a la velocidad con que fe mueve el pefiz
porque mientras la potencia baxaporelarco ib, el punto B de la
cuerda que llevx ai je fo, fe fube por tí arco BÑ ; j tanto preáfé-
mente jube el pefaH aziá b : luegé la imfma raz4n4ieneelafi§
10
Libro III. ^05;
10» ^M ilénco tíBj^itu can el efpácio que fube tlftfi ; el árc§
10 éd t^B ^ tiene UrazM de lE i BE : luego el mevimieme de U
foténcU , al del pefo , es cerno Ifi 4 BE.
^ Ld velocidad de la Potencia Tí la del pefo , y la linea que
aquella corre j i laque epe camn4 » tiene motor froforcion que
el fe jo a la rmfma potencia en el cafo fobredicho.
ó Quanto mas tardo es el mowmento del pefoj refpeño del de
id fotenaia y tanto mas facilifume fube el pefo : conque dfsi eti el
tarnoy como en las demás maquinasy tanto mas fácil es el levantar^
y nmver el pefo f quanfo mas tiempo fe gafla en fu movimiemo*
PROP. VII. Theorema.
lExpücafe la maquina llamada comunmente Gru4* (fig^lt^y
ES bien conocida la maquina i quien llaman los Grie-
gos Geranon , y vulgarmente Grúa : ufan de ella co^
snunmente los artífices para iubir las piedras grandes , y
pefadas á las fabricas : conlta de una rueda graixle FG , y
un tímpano CI ^ á quien íe ata una cuerda , que paflando
por la garrucha H , fe ata firmemente al pefo que (e ha de
iUbir. >u ufo es bien notorio : entran en la ruraa uno , 6
¿os hombres, y como fi caminaffen, van pifando la circun^
ferencia interior , conque da buekas la rueda, y íe embuel*
ve la cuerda en el tímpano, levahtando,y fubiendo el pe(b«
Las fuerzas de la potencia aplicada en A ^ para íubir el
peíb , fe han de coníiderar en la forma iiguiente : porque
el hombre pueíto en A mueve la rueda,en virtud de íu pro*
pía gravedad , tirefe la linea AD perpendicular al horizoii-<
te 9 que es la que dirige el ímpetu de la gravedad: del cen«
tro ¿ de la rueda, tirefe la Cu perpendicular d la (bbredi*^
cha linea , y efla íerá la verdadera diflancia entre el ceiítio
y la potencia ; ( ii.i.Maquin. ) y fegun ella, le han de ni-
velar las fuerzas de la potencia: de fuerte, que íiendo como
CD al íemidiametro del timpanp ; aísi el pefo L , á la po-
tencia A , podrá éfta fuílentar el pe(b precifansente ; pero
iiendo la razón de CD , al Íemidiametro del timpano, ma«
yor que la del pefo á la potencia , vencerá éíla , y le fubiri
quanto quiíiere» ConlU de las propoficionfs /\.y 6. de efte U^
2o5 Trat. IXr Dfi LA MAoyiNARi a;
bro. Ella maquina es peligrofa, porque (i (e rompe la coet-
<k , lleva gran riefgo la vida del que mueve la rueda , por
la gran velocidad con que (e rebuelve.
s
PROP. Vm. Theorema.
Tbcflkdnfe dgmas mdqmnás ycujfas juetjus tienen defendem
del tmw.
m
\
1 T? L Mgm ft aplica regularmente con feliz efeéte p*»
Jji íubir piedras grandes jV otros materiales á las fa-
bricas en la forma que expreflía la j!¿. ^3. Puede moverle
un cavallo , 6 muchos hombres aplicados á los rayos , o
palahcas A, B, C, D; y quanto eftas fueren mas largas , Te
podrá fubir mayor peki,y con menos fatiga. La cuerda <|ue
fube el peíb) le guia por la garrucha E, que ha de dtír bieá
firme en tierra ; y dando la buelta por otra garrucha f^ le^
Váhta el pefo al lugar que fe defea^
2 De (emejante maquina ufan los Marineros , paraar*
ranear ,.y fubir las ancoras; para entrar coías de mucho p^
lo en los navios; para facar á tierra algunos barcos grandes;
y para otros muchos efedos.
5 Al tomo fe vienen á reducir los molinos , tanto de
agua , como de viento , cuya diípoíicion no explico por/eiT
tan vulgar , y fabida.
PROP. IX. Theorema.
tx^cafe el mdmülofo ametito de U faíemía con des^iiMi
Palancas. (/í¿*34.)
USan comunmente los artífices de algunas maquinas^
que por componeríe de muchas de una mifoiaeP
pecíe , alcanzan mayores fuerzas. Las primeras que fe do5
ofrecen fon las que fe componen de dos , ó mas tornos ; /
íupuefto que ( como dixe en la propof 2. ) el torno íe redu-
t:e a la palanca , la maquina compuelta de dos , ó mas tor*
-nos fe reducirá áfla compolicion de dos , ó mas palancas;
y a(si y aunque la compoucíon de muchas palancas fea rC'
Libro IIL'i 307
gularmcntc de poco útil ^ G no Ion* perpetuas Como el tor-
no ; pero es neceflário tener entendido el maraviUolb au«
mentó de fuerzas que con ellas adquiere la potencia , para
llegar ai conocimiento de lo mucho que puede , aplicada a
las maquinas compueíbs de muchos tornos.
Sea pues (figura 34.) la palanca IM , cuyo hipomochüo
es L ; y íea ML á LI , como lo. a i. conque la potencia
aplicaaa en M , podrá diez veces tanto como por sí íbla^d
equivale á 10 potencias iguales a ella.mifma : apliqudíei
fu extremidad otra palanca NP , cuyo hipomochlio lea O^
y fea PO i ON , también como ip; á i. conque también
la. potencia aplicada en F , valdrá por io« potencias iguales
á ella mifma y refpedo del pefo , o reíiftente que eftuviero
en N: luego la potencia'apUcadaenP vale por lo. paramo-
ver ázia baxo el punto M de la paknca MI : luego puede
ella (ola tanto para levantar el pelo 1,'como (i lo. potencias
iguales eltuvieran en el cabo M» Cada una de eftas vale por
10. como dixe, por fer ML á LI como lo. i i. luego la po^
tencia aplicada en P vale tanto como loo. para mover , y
levantar el peíb L
La razón es evidente ; porque el punto P tiene diez ve-
ces tanta velocidad, como el punto Ñ, ó M: efte punto M
tkine también lo. veces tanta velocidad , como el puiito¿
ó peíb I : luego el punto , ó potencia P tiene roo. veces
tanta velocidad como el pefo I : luego fegun el principio
general de la maquinaria , fropof 8. Ub» i* la potencia en P
vale por lOo. para . levantar el pefoL De eña fuerte íe
irían aumentando las fuerzas de la potencia fin termino^
añadiendo mas , y mas palancas^
PROP. X. Tl^eorema.
- . • -
Mxflkafc la fuerza de algunas maquinas cmfuefiás ie t0ffáSn
{figura i^.)
\
I ^Ean los tomos perpendiculares , 6 argües M , N ; y
' ij fea la palanca , ó rayo HI decupla del íemidiame-?
tro del timpano N : luego la fuerza aplicada en I valdrá
po^ I o. para tjraejr el brazp , ó rayo fQ del timpaqo M: y
lii fu-
1
I
I
I
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I
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1
308 Tr AT. IX» Dfi t A MAQyiNARIA;
liipuefto (ea tambicD FG decupla del (emtdiametro de (u
tímpano, podri la potencia aplicada en I tamo como loo.
para mover el pefo P. Confta de lo dicho en la propoCan*
cecedente.
1 Por quanto en la diípoficion (bbredicha , (blo puede
dar el tomo M una media bueíu , es dicha maquina cafi
del todo inútil; por lo qual (e difponen los tomos en la íbf-
ma (¡guíente, en. que el movimiento (e fiueda contínuac
quanto íe quiera, mediante una cuerda , que por efta cau->
ia llaman per^mM : rebuelvefe éfta en el umpano N , y en
la meda del timpano M , cruzándole entre los dos , como
(e ve en la fig. 30. con lo qual la potencia aplicada en I , es
poderofifsima para traer el peíb P,como queda dicho. Apro-
vecha efta maquina para inumerables . uíos mecánicos , co-
mo todos faben ; ó con la difpocion (bbredicha, en que los
timpanos (bn verticales,y las ruedas horizontale$;ó en otra
en que los timpanos (on horÍ2ontales,y las medas verticales,
proporcionándoles al efeáo que por fu medio íe pretende
confeguir.
PROP. XI. Thcorema.
Ixfücáfe la ejbifenda fiiOTM^ de las maqmnas cenffueftas de rue^
das ten asentes, i^g^n^)
LAs maquinas que (e componen de diferentes medas íe
reducen claramente al torno , como á maquina fun-
damental ; y reducicndore el tomo á palanca perpetua, (t.)
ferá fácil también demonítrar , fe reducen dichas ruedas \
palancas perpetuas , como veremos en la propof. íiguiente.
Las fuerzas que adquiere lá potencia aplicada á eítas ma-
Juinas es admirable ; y para que fe vea con claridad , íea
lDF lüi exé muy firnie , que tenga bien.unida h medeci-
ta F con dientes , ó cilindro, ó timpano eftriado: los dien-
tes de F ajuften con los vacies de los dientes de la rueda G,
cuyo exe tenga también otro timpano eltriado M , cuyos
dientes , 6 eílrias encaxen en los de la rueda H ; cónico tam-
bién los de N , con los de la rueda I , de cuyo exe efté pea-
diente el pefo. P.
Su-
L I i R o IIL 309
Supongamos » que la potencia aplicada en A (ea por si
baftante para mover loo. libras de peíb ; y que AD (ea
decupla del femidiamecro del timpano F ; y que la rueda
G tenga tantos dientes , que para que ella dé una buelta,
haya de dar lo. el timpano F : aísimi(mo la rueda H tenga
tantos j que para dar una buelta haya de dar io.el timpano
M : y de la propia fuerte la rueda í » reípedo del timpano
H* Digo y que la potencia , como loo. aplicada en A 9 po^
drá levantar loooooo, libras de peíb«
Denumjh. La potencia A corre diez veces mayor eípa*
cío que la rotula. , 6 timpano F ; el timpano F , diez veces
mayor que la rotula , ó timpano M; y éflie , diez veces m^- '
yor que N ; y éfte también anda diez veces mayor eípacio
que el cilindro LO ; las fuerzas de la potencia crecen en la
mifma proporción , en que fu velocidad excede á la velo-
cidad ael peíb , como confta del p'tncmo funddmentdlde U
Maqiúnaria: luego la potencia A, refpeao del pefo P, equi-
vale á diez mil potencias iguales á sí mifma ; y fupomen-
dolé fer la potencia A igual á loo. libras de peío , que fon
las que preciíamente puede mover por si (ola , equivale
en las fuerzas i diez mil potencias , bailantes cada una para
mover loo. libras: luego la potencia aplicada en A , podrá
levantar , y mover en virtua de efta maquina ioooooo»lib»
de pelo.
COROLARIOS.
I /^Vando la fuerza natural de la potemia es muy ere c ida,
\J fe de fea pan velocidad en el fefo que fe mueve , true-
^^mcan fus lugares ía ptemia^y fefr. fot que fue fia la po-
teruia en la periferia del timpano l^y el pefo en A^fe movería efte
con tal velocidad , que (fegun lo arriba fupuefio ) doria en A mU
bueltas , mientras la rueda l da una buelta ; y como la velaúdad
de la rueda I fe fuponga diez, veces mayor que la del tknfano lO,
daria el pefo A diez» mU bueltas mientras doria una la potencia
en L*
z Délo dicho ¡e colige^ 9^ fifi difpufiejfen 50. ruedas en U
forma fobredicha , de fuerte , que fus movimientos procediejfen en
poporáon decupla , pdria una fola hormiga , con efia maquma^
nmff no fola el globo de U tierra^ si también un gbob^ lUm de are--
y
glO Trat. UL De la Maqp in aria.
mdy igui en U CAfáádsidffnuammo ; forqut , como demiujhá
id PaJre CUm en U Esfetn^ i h ultime del cap. i^el numetQ qm
eenflade ^o.z^osyyl4Mm(Udjesmaji9r que elnumerodeUt
granes ie arena que pueden caber, dentro el ambite del firmamoh
te yjUs 50. ruedas , cuya vebcidad precediejfe en-preperden ie-
eufía , dar'tan a la potencia tal veloádad , que cenia déla arené
que üenaria el amlnto del firtnamento , feria como dicho numere ée
la unidad 9^50. z,eres con un grano de arena , i con una horrmgei
luego i fia podrid mover todo el pefo fobredubom
PROP. XIL Thcorema»
lasfobredkhas maqmias cempuefias de ruedas y fe reducen ¿ P^*
* laucas perpetuas. ( fig. 38. )
LA razón es, porque íi bien íe confidcra , los dientes qüc
coronan las ruedas de las íobr'edichas maquinas , ton
Olías tantas palancas , que fe van fuccediendo unas á otras,
de tal (üerte, que en pallando una, fe fubttituyc otra noien-
tras dura el movimiento circular de las ruedas. En eíta fu-
1>oíicion fe demueftra también claramente el aumento de
as fuerzas que adquiere la potencia con muchas palancas.
Sean pues tres palancas MN,OP , Q^,difpueltas como ft
cxpreffa en la hgura; y fea MSa SN , como i. a 10. y afsi-
mifmo OT a TP , y QV a VR. Digo, que la potencia apli-
cada en R, refpedo del pefo M , vde por mil.
Demonftr. El punto R fe mueve diez veces mas que
Q^ ó P ; y P íc mueve diez veces m ts que O, q N : luego R
fe mueve 100. veces mas que N ; efte punto N fe mueve
diez veces mas que el peío M : luego la potencia en R f^
mueve mil veces masque cl-pcfá M : luego (8. 2. de elle
trat. ) la potencia R vale por mil para levantar el peíb M#
Eilo no íería afsi , fi en lugar de las tres palancas íe uíaífc
de la ÁB , igual en longitud á ellas ; porque la diftancia LB
es folamente treinta veces mayor que AL : conque la po^
tenciaen B folo vale por jp. para levantar el peío A, q^c
es notabiliísima diferencia.
Delodicbohafta aqui fe colige baftantemente el fundamente
iuo que confifte Us fuerzas de las maquinas compuefiasde ruedas^
que
'-\
lixBRO IV. 3XX
míe érdmárUméiUi Jirven en bs nrnüms de agiu^y viente jj etres
wnumerMesy de que ufáláBiirMÚkáy jfe exfUcaran en fu fre^
LIBRO IV.
DE LA TERCERA MAQUINA
fundamental , llamada Carrillo^
o Garrucha.
■
LA tercera maquina fundamental y que el Latino lla-
ma del Gríqgo Trochtea , y nueftro vulgar Garru^
cha y Carrillo , ó ?qUa , es^quina tan conocida
como ufada por los Artífices para mover , y le-
vantar piedras y y otras coías de gran peíb : fus fuerzas Con
excelentes , y ucilita mucho el trabaja y íingularmepte.
quando á ella fe añade el argüe y ó torno y fegun el ellilo
vulgar , y corriente.
DEFINICIONES.
I /^ Anmhét y d Pelea y es ma maquina que confia de una^ ^
Vj muchas rodafosj o ruedas fequeñas^ que Je mueven cir-
eularmente fobre fits exes yjfor quienes pajfa ia cuerday que trae y
i levanta al fe fe.
2 La garruchay es de diferentes maneras y fegun el numer»
de las rodajas de que ¡i comfone. Si confia de. una fola y fe llama
fimpUj o monopaftos y comoenlafig^^^.j^i^ Si dos ^ fe llanta
(üfpaftos. ( )íg.4} . ) si tres y trifpajlos. ( jíg-40. jf 44» } r generalr.
menteyfi confian de muchos carriUosy b rodajas y fe llaman polif-
fafios j b poleas compueftas.
3 Qí^fqukra de eftas efpecies de garruchas pueden fer^ i
me-
3i2 Trat. IX* De la Maqjjinaria;
mavMes , ) inmtbles. MvvibUsfin aquellas , cujas ruedas no fiU
tienen el nwmñento al rededor de fu exe , fi que también fu exe^
y tpdala maauma tiene movimiento^ como en la fig. 41. Otras Jim
énmoUes^ y Jon aquellas^ cuyos exes ejlin fixos en un mi fino lugar,
yno tienen mas movimiento^ que elaeUsrueddsfolfrefuexe^oo^
moenlafg* i^.
/
PROP. I. Theorema,
la Gormaba fencUUji Jáonofpajlos^ fies inmoble ^ ni añade , m
qmafiurzAs^l la potencia. (j!¿-390
SEa la garrucha íimple AB inmoble , efto es , pendiente
de un clavo fíxo por el garfio Ht Digo, que no aumea-
ta, ni difininuye las fuerzas de la potencia , que aplicada en
£ , y tirando ázia baxo, hace fubir el peíb D.
Demonftr.Qüarídocn una maquina los movimientos Hel
pelo, y de la potencia Con iguales, no (e aumentan, ni díT-
minujren las fuerzas de la potencia; pero en la garrucha íim-
ple, é inmoble fon iguales los movimientos del pefo , y po-
tencia : luego no fe aumentan , ni difminuyen las fuerzas de
dicha potencia. Oye (ean iguales dichos movimientos , es
claro ; porque li la potencia baxa deE , tirando la cuerda
hafta G , el peíb D, obedeciendo á fu impulíb, fube ai pun-
to I ; y como en todo cafo íea una miíma la longitud déla
cuerda , íerá DAE igual h lAG ; y quitando el íegmento
común I AE , (era DI igual á EG : Juego el movimiento del
pefo , y potencia fon iguales ; y por configuiente, en virtud
de eíla maquina, ni íe aumentan , ni difminuyen las fuerzas
i la potencia.
Aprovecha pues eña maquina fojamente para facilitar
el movimiento , tanto del pefo , como de la potencia, qui-
tando aquella dificultad , que ciertamente caufaria el ro-
zarte la cuerda alpaflar por fobre el exeC, ó por otro
qüalquiera cuerpo fixo , e inmóvil , fino eftuviera la rueda
3ue acompaña con fu movimiento circular el de la cuer-
a. Logra también el hombre que íiibe un pefo con éfta
maquina un grande alivio , que no configuiera fin ella,
^ pues
Libro IV. 31J
pues es derto^quefin la garrucha para levantar el peíb,havia
neceíiaríaroente de agoviaríe , é inclinaríe , experimentan-
do , y fintiendo toda la gravedad del peíb los mufculos, y
iiervios^ lo que no fucede aplicando los brazos a la cuerda,
que tirando coníigue con mayor fuavidad el miímo efedo#
COROLARIOS.
X X il ganucbs fimpU j eslo mifm qui una f alone a perpe-
1 j tua del primer genero de brázjos iguales. La rax*on es^
{arque aunque baxando la potencia i j fubiendo el ftfo , figa tam-
ien ) J ruede el carrillo ; pero fiempre las diftanctas CA , CB fon
iguales : conque efiando fiempre el pefo pendiente de Ayj la poten^
cta de B, 7 el hipomochüo en C, entre la potencia^ y pefo^fera con-
tinuamente la garrucha una palanca del primer genero^ en que
fiempre las dífiancias del pefo , j potencia fon iguales.
z Coligefe de lo dichoj que fer rñtjory ^ memr el carrillo^ no
da majoreí fuerz,as a la potencia , porque fiempre es igual la dif
tanda de la potencia a la del pefo j diltando entrambos delexeyi
centro C^U dijlancia precifa de los jemidiametros Ca^CB^ que
fiempre fon iguales^ fea el circulo mayor,h menony por configuien-
tey tanto en el carrillo mayor como en el menor y es igual el movi-
miento en el pefo^y en la potencial luego no da mayores fuerzM el
carrillo.
PROP. II. Theorema.
Con la garrucha fimple inmola puede un hombre levantar un
pefo mayor que el fuyo.
DUdafe fi un hombre , que por lo regular fuele pefar
150. libras , podrá levantar con la garrucha fimple
inmóvil un peíb mayor , como de 200. libras. A efta duda
refpondo con diftincion : ó el hombre íc aplica á la ma-
quina, fuípendiendo folamente fu cuerpo déla cuerda coa
las manos , ó hace fuerza eftrivando con los pies en tierra,
. ó en una pared , ó otra coía firme. Si aplica fus fuerzas del
primer modo , folo podrá levantar un peíb igual al fuyo:
porque fiendo la garrucha lo mifmo que una palanca del
primer genero > de iguales brazos, el peíb natural del hom-
bre-
y
JT4 Trat. IX. Db t a Maquinaria.
bre (blo íe podrá equilibrar coo otro igual á ¿ ; pefofipan
tirar la cuerda^ y fiíbir el peíb , eftríva con los pies en ojiro
cuerpo firme ^ además del impulíb del propio peíb , añadfi
otro^ originado de la refiftencia que hacen los mutculos , y
nervios , con que podia levantar mayor peíb que el igual fü
de fu propio cuerpo.
PROP. m. Theorema.
Míubás géínuchas inmoUes j aunque fean inumetábles ^ U9 0^
mentáUy ni difmmujen Us fuerzas dt la fottnáa.
SEan las garruchas E , F , G inmobles, eílo es , que fus
exes , y centros no tengan movimiento alguno. Digo,
que ni aumentan, ni difminuyen las fuerzas de la potencia.
Supongamos, que la potencia eítá en A , y el peíb en C ; y
que la potencia tirando la cuerda baxa á B , y el peío futa
a D.
Demanftr. Ojiando los movimientos del pefo , y poten*,
cia fon iguales , ni fe aumentan , ni (e diíininuyen las fuer-
zas de la potencia : ello es lo que fucede en elle cafo , por-
que como la cuerda AEFGC , (ea la mifma por fupoíicion,.
oue BEFGD , quitando el íegmento común AEFGD , que-
aarin DC , AB iguales; pero AB es el movimiento de U
potencia , y DC es el movimiento del pefo : luego el movi-
miento del pefo , y potencia fon iguales ; y por confíguicn-
te, niie aumentan, ni difminuyen Tas fuerzas de la potencia*
PROP. IV. Theorema.
lá garrucha movible, que lleva con figo elpefi^ duplica las Ju^^
zuís de la potencia. ( jíg. 41. )
SEa la garrucha A , cuya caxa fea movible , de cuyo gar-
fio elté pendiente el pefoB; y eílando el cabo de la
cuerda fixo en C, la potencia efté aplicada en D, que tiran-
do la cuerda haga fubir la garrucha , y pefo pendiente , por
exemplo , haftaE. Digo, que la potencia D tiene duplica^
das fus fiíerzas.
Libro IV. »I5.
penunJh.Vnn que la garrucha fuba al punto E, es me-
nclter que la potMcia fe mueva por tanto efpacio , guanta
«la longitud de las cuerdas CF,GD; efto es, ha de correr
toda la cuerda, menos el fomento , que quedará refto «i
llegando la garrucha á E , el qual es igual al Tegmento FG:
Juego corre la potencia tanto, quanto fon CF, DG; pero
eítos dos fegmentos juntos fon tanto como dos veces el
cfpacio AE,á quien es igual el movimiento del prfo: luego
el movimiento , ó velocidad de la potencia es doblado de
la velocidad del pefo ; y por configuiente , (la. i. de eíte
trat.) podrá doblado la potencia contra el pefo : de fuerte
que las fuerzas precifamente fuficieñtes para levantar loo*
libras de pefo , podrán con eíla maquina levantar pefo de
■zoo. libras. r "
Si en el cabo C de la cuerda fe añadieflé otra potencia,
que tuvieíTe igual movimiento que la D , folo experimen-
taría el gravamen de la mitad del pefo; como fi dos llevaf-
len en una palanca un pefo con igual diltancia de entram-
IX)S.
PROP. V. Theoama.
Si U fotencufe aplica a la garrucha fimple tmvible, fe difimnu-
jen fus fuerzas pr mtad,refpe£lo del pefo pendiente de una
extremidad de la cuerda, (fig. 41. )
SI la potencia fe aplica en B, y eLpefo fe pone en el cabo
. D de a cuerda, las fuerzas de la potencia fe difminui-
ran pc^ mitad ; efto es . que fi podia%r si fda 1 Ztar
«?;«?!' 'P^'"''' '" ^' ^°'"^ d'^hí, folo podrá íevan-
SfJ^;.ki1i"^°"-"' PO''q"eenefta aplicación tiene el
tfí lí ^"1? «"«vinuemo que la potencia; por lo que dixc
TñtyFTn T""'^* '^""'J' ^''^^'^'> í* potencia quando
fumasen ..:ÍT P'"?' ^ P*'^*"^'* ^' «Pitadle fus
tuerzas , o puede la mitad menos de lo que oodria fin la
■ PROP.
^ ^^
31^ XitAT. IX. De la Maquinaria^
PROP. VI. Theorema.
Su U gétmuba Uénmádá DiffdftBs , fi U cuerda fáffa fmrjlxáBh
filU movible fin eftar atada a fu caxa ^fino a otro fmto oh
mobil , la p0t encía filo adquiere Miadas fuer"
z^as. (jfg.42.)
EL aumento de las fuerzas de la potencia es diferente»
íegUB es diferente el ojodo de embolver , y acomodar
U cuerda en las garruchas compuettas, 6 foüfafios ; y fea di
primero el íieuiente.
£1 un cabo de la cuerda efté firme en el punto L, ó eo
B, ó otro qualquiera , y dando la buelta por el carrillo M
movible, y por el carrilk) I inmoble, apliquefe la potencia
al cabo tí, y el peíb al carrillo movible M. Digo , que las
fuerzas de la potencia aplicada en H, en virtud de elra ma-
quina íe duplican para levantar , y fubir el pefo pendiente
en M.
Demonftr. Tanto fe mueve el punto H , como el punto
N. (i.) Elte punto N tiene doblada velocidad que el peíb
pendiente en M : (4O luego el punto H le mueve doblado
que el pefo pendiente eñ M : luego la potencia aplicada ea
H tiene doblada velocidad que el peíb : luego fe duplican
fus fuerzas, (egun la prop. 11. lib^u
Lo mifmo fucedera , (1 la extremidad H íe fupone fixa,
y firme, y la potencia fe aplica en L, y tira ázia arriba; eC-
to es, que la potencia podrá doblado , pero ícrá inútil el
carrillo I. La razón es , porque en ette cafo la porción de
cuerda HIN es inmoble: luego es lo mifmo que fi la cuer-
da eítuviere atada en el punto N , y la potencia tirara la
cuerda deíHe L , y no huviere mas de una garrucha M íiín-
pie, y movible, que lleva configo el pefo : luego (4.) íe du-
plican en eíla conítitucion las fuerzas de la potencia.
COROLARIO.
COnfta de lo dicho j quefi la potencia eftuviere en Mjj tlf^fi
en H, e fiando jfco el cabo L, las fuer z.as de la potencia Ñ
difminuirian en la mitad ^ por fer el moyimento del pefo dobUde
del de la potencia»
PROP.
LiBno IV.' 31^
PROP. Vn. Thcorema* ^
Si €n IdfoUá Difpdfi9fjfe aia el cabo de la cuerda en la garmha
nwvMe que lleva el fefo ^j fe embuelve en fu cantUo^
fe triplicaran las fuerx,as de la poten-
EN la polea, compuefta de dos carrillos B^ I, atefe el un
cabo de la cuerda en la garrucha movible t , que Uo-
va el peíb ; y embuclvaíe la cuerda en los dos carrillos BJ,
y la potencia apliqueíe al cabo C T^^^ > 4^^ tirando ázia
arriba , tendrá tres veces mas fuerza para levantar el peío^
.en vinud de eila maquina, de la que tiene íin ella.
líenmfit. Supongamos , que la potencia C. fe mueva
baila tanto que (uba la garrucha I á encontrar con la B.
No hay duda, que en háviendo llegado á juntarle la garru-
.<ha I con la B, havrá paílado toda la cuerda por las gam|-
' Chas,y fe havrá ialido fuera de ellas,menos las dos porción^
: FBC 9 GIH , que neceílariamente han de quedar , por íer
las que abrazan los dos carrillos : luego el movimientp dp
• la potencia es igual , ó (e mide por toda la cuerda , menos
jlas dos porciones (bbredichas : luego es igual á las tres par;-
.tes lE , FG, HC ; ellas tres partes juntas (bn triplas ele la
porción I£ , que es el movimiento del peíb : luego el mo-
vimiento de la potencia es triplo del movimiento del peíb:
^ luego fe triplican las fuerzas ae la potencia,
PROP* Vm. TTieorwa.
In la polea llamada Trifpaftosy que confia de dos carrillos inmo-
bles , y. uno nm'Ale , fe triplican las fmrz^ de la po^
tencia. (fig.^) . ;
LA polea Triípaftos , que íe ve en la jf¿. 44. coníla de
tres, carrillos : los dos íuperiores L, I, fon inmobles ; y
. el otro M, que lleva configo pendiente el pefo , es movible:
, el un cabo de la cuerda eícá atado en M, y pallando dicha
cuerda por el carrillo I, baxa; y paífando por el carrillo iV^
' bueive a fubir , y paíTa por el carrillo L» Oigo^ que la pcv
. ' * ' ten-
'^ 1 8 Trat, IX. Db L A Maqp inaria;
tencía , <]ue deícle el abo P tira el peíb , tiene en virtud de
la maquina triplicadas fíis fuerzas.
Denmiflr. ti punto , ó cabo P no íe mueve mas que el
punto O : de fuerte, que el carrillo L folo íe pone para mar-
yor conveniencia de la potencia,que deide P tira ázia baxo,
y deíde O ázia arriba; luego en quanto á lo demás , lo mif-
mo es que (i eftuviera en 0;en eue cafo (por la antee.) íblo
triplica Ja potencia fusfuerzasüu^o también quando ie apli-
ca oiP.
PROP. K. Theorema.
I» Id fóUá TriJhdñúSyfi l4s dosgatruchas que yanfuntdSyjf Ik*
van el fe/ojm movibles , Je qHddrufUcén las fuérzaos
de la ptencia. (fig-^^ O
SEa la polea tríípaftos , cuyas dos garruchas inferiores
MN , que llevan el peíb , fean movibles.' Digo , que
la potencia tiene quadruplicadas fuerzas , en vinud de eíh
difpoíicion.
Demenftr. Supongamos, que la potencia V (e mueve
tirando la cuerda haíta que las garruchas MN lleguen i
juntarfe con la íuperior L : en cite cafo folamente queda*
ran embueltos en los carrillos los pedazos de cuerda RST,
<3NH, PIQ,; todo lo reftante lo havrá traido la potencia,/
ferá medida de íu movimiento , que (on los fegmentos KO,
. LP , TQ , HV; eftos quatro fegmentos fon quadruplos de
íblo el fegmento'LP , que mide el movimiento del peío:
luego en efta difpoíicion de polea , el movimiento de la
-(potencia es quadruplo del movimiento del peib : luegolas
tuerzas de la potencia fe cuadruplican ; efto es , valen tan-
to , como quatro iguales a si , para levantar el pelo.
Y porque la potencia , que tiraria defde V ázia arribst
íe fátigaria mucho , íe añade fobre la garrucha KT , otjra
por cuyo carrillp paífá el cabo de la cuerda V , y queda
pendiente á la otra parte , con que puede la potencia apli-
cada tirar con menos trabajo ázia baxo , para mover , y fu^
bir el peíb : conque refulta la polea Tetrafpaftos , ú de qua-
tro taricillos ^ ea quien la poteqcia adquiere quadruplí;^
c
Libro IV. ^ jif
fáen^ , firvicndo la garrucha fuDcrior añadida para ma*«
yor Ciudad , y fuavidad tan íblainente.
PROP. X* Thcorema.
Tantas veces fe tnulripltcan las fuerzas ielafotencia en la felea^
éuja garrucha inferior es movible , quantos fon los tirantes de las
cuerdas , fi la potencia fe mueve fegun la garrucha
movible.
Onib de las proporciones antecedentes; porque en lai
^.^j difpoíicioo ae la fig. 41. hay dos tirantes de cuerda^y
fe duplican las fuerzas; (5.) y lo mifmo es en la dilboíicion
de la Jí¿. 42» (6.) porque el tirante IH , jamás ha ae entrar
^:en eíta cuenta , por anadiríe íblo para mayor conveniencia*
En la difpoíidon de la ^¿.4^ .hay tre^ tirantes^ fe triplican
las fuerzas; (7.) y lo miííno es en la Jig. 44.porque el tiran-
te HPyfolo fe añade para mayor íacilidad* (o.) En la garru-
cha (fig. 45.) fe quadruplican las fiierzas,y tiene quatro ti-
rantes^9.) y íi acaíb íe añade otro carrillo fuperíor, y otfp
'tirante, es, como dixe , por conveniencia : luego tantas ve-
ces multiplican las fuerzas , quantas los tirantes de las
cuerdas , menos el qué dixe (e añade para mayor alivio ite
la potencia.
: ^ PROP. XL Problema.
•Diffoner las poleas de tal manera , que al pago que fe aumenta el
numero de los carrillos y fe aumenten en poforcion dupla las .
'j. . fuerzas de la potencia, (fig.j^ó* y
« . , j
COníla de lo dicho en l^s propoficiones antecedentes,
que en las poleas difpueftas con el eftilo ordinario
crecen las fuerzas de la potencia en proporción arithmeti-
ca. Bufcaíe aora el modo de difponerlas, de fuerte, que í¡
hay un (blo carrillo, fe dupliquen las fuerzas; fi do$,íe qua-
drupliqucn ; íi tres, íean ocho veces mayores , &c. Confe-
guiráfe eílo en la forma figuiente.
Süfpendaíe el pefo que fe ha de levantar ^ de la garru-
cha flioffible B< y el un cabo de la cuerda eítc bien bxo en
G,
«so Trat. XX. De la Maqjinarta;
G,y el otro elle atado i la garrucha movible C,cuya cuer-
da cité fixa en F por un caoo,y el otro vaya atado i la gar-
njcha movible D ; y afsimirmo la cuerda EDH tenga el un
cabti fixo en E, y la poiencJa apliqueíe en H. Digo, que U
potencia aplicada en H , íiendo en si igual al pelo , lendri
ocho veces mas fuerzas que tenia por sí fola.
Demoiijít. La potencia,que aplicada en H tira la cuerda
ázia arriba , le mueve con doblada velocidad que la polea
D : (4.) la polea D , lleva doblada velocidad que C ; y éÜ.i
lleva también doblada velocidad, que la polea B con el pe-
fo : luego la potencia H, lleva ocho veces mayor velocidad
que el pelo : luego alcanza ocho veces mas fuerzas para
mover el pelo B , que las que por si fola tiene : luego uM
EDtencia,o pelo fuboétuplo de B,puefto en H,tendra eqiii-
bno con B. De luene , que íi el pefo B es de 8. arrobaSi
bañará el pdb de una arroba en H para el equilibrio.
PROP. Xn. Theorema.
'Quál^láeTA ffttncia faede mover qualquier pefo con U fcltt^
¿ garruíhA.
LA razón es, porque aísi como el pelo le puede aumen-
tar , y la potencia dilhiinuir hafta el infinito; afti tam-
bién añadiendo mas , y mas carrillos á la polea , le puede
difminuir el movimiento del pelo , y aumentar eJ de la po-
tencia hafta el infinito ; y como ai paíTo que fe difminuys
el movimiento del pefb , y fe aumenta el de la poteneWi
crezcan en éfta las fuerzas, es cierto podrán fietrpre corría
tjnto , que fuperen la refiftencia de quali^uier peío*
m
LIBRO V.
DE LA QUARTA MAQUINA
üindamcncai , llamada
Cuña.
AUnque la cuña , por la fenciUéz de fu cotnpoG-
cion , y poco artificio pareció á algunos pooeríe
con menos piopiedad en el numero de las nia-
quina$;pero comunqiente los Autores con Pappo
Aiexaqdrino la cuentan entre las maquinas fundamentales,
por las grandes fuerzas que tiene para abrir , dividir , y
romper los cuerpos firmes , lo que otras maquinas no po*
drian fácilmente confeguir: fu naturale2a,y propiedades fe
comprehenden en las pg^as propoíiciones que (e figueii*
PROP. I. Theorema.
Exflicdfi la forma y y ufo de U cma* (fig* 47.)
LA (brma , ó figura de la cuña es de un prifma triango*
lar , y dos de fus fuperficies opueitas vienen a termi«
nar en una linea re¿i:a , común á entrambas , como íe ve en
V : haceie de materia firme, como de madera , ó hierro: íu
u(b es bien frequente : firve para hender , dividir , y partir
los cuerpos fuertes, como lenos,picdras,&c. porque abrien*
do primero en dichos cuerpos uo corte , ó pequeña hende-
dura , fe ajufta op ella la cufpide de la cuña, que a fuerza de
golpes fe introduce, y abre las piedr4^ o leños con gran &«
cuidad , y poco trabajo.
Tomo IlU Kk PROP.
3i4 iTrAT. IX. De LA MAtiyiNARIA.'
«
La Ciña no fe reduce a falanca del frimer gtnero. 0^«470
>Uelen <x)inumnente controvertir los Autores , ,í¡ la cu-
) ña fe reduce, ó no á la palancas y dado caíb (me íe re-
LZga á ella , (i íé reduce á la del pntner genero, o á la del
(egundo; y aunque la controveriia es de poco útil , la pro-
|x>ndré brevemente por no apartarme del eílUo común.
Añílateles en la queftion 17. Méchame* dice reducirle
la cuña á dos palancas d¿l primer genero opueftas entre
sí. : lo que explica (ouidubalclo en lu Mechanica como fe (i-
gue. Sea la cu5a ABC , cuyo vértice B ; y lea AB igual á
Se ; y el cuerpo que con ella (e quiere dividir , y romper
fea DlFG , donde yá íe íupone haver entrado la porción
HBK. £ílo fupuefto , quando fe hiere con golpes la cuña
en AC y viene a íer AB palanca del primer genero , cuyo
eftrívo, ó hipomochlio es H; y el pefo , ó rehílente eftá en
B : aísimiímo CB es palanca del primer genero , cuyo hi-
pomochlio es K*, y el reíiítente elláen-B. Pandóle mas
golpes á la cuña ft introduce mas á dentro del cuerpo fcm-
dible £G: fupongamos pues haya entrado la porción MBL,
pues como MB, LB fean mayores que HB, KJB, íerá Ibrzo-
ib íe haga mayor ciísion^ y abertura : luego D íe moverá
ázia O ; y (3 azia N ; y quanto mas (e introduxere 1« cuña,
tanto mayor ferá la rotura , y diyiíion , y tanto mas íe mo-
verá D ázia O , y G ázia N : luego la parte KG es impelida
en vinud de la palanca AB , cuyo hipomochlio es ti ; y el
x^íleote ella en B ; y el punto B de la palanca AB impele
la parte KG ; y aísimiíino la palanca CB j cuyo hipomo^
chiio es K , moverá la parte HD : luego , fegun Ariílote-
les , la cuña íe reduce á dos palancas del primer genero que
concurren en B^donde eílá el reíiftente,la potencia en AC^
y los hiponwchílios en H , y K.
Elle. íentir de Arilloteles , ha íklo tan mal admitido,
que apenas íe hallará Autor que le. apruebe* Lo primero,
porque íi las AB , CB fueren palancas del primer genero^
quantó mayores ferian las diitancias de la potencia , ¿ hi-
Libro V. 32f
pomochlio 9 mayores (eriaD las fuerzas d^ h potencia ; la
que ^ íal(b.en eí prefente caíb ; Dorque acortando la cuña,
6 acortándola pbr LM , el miuno efe&o hará la potencia
aplicada en LM y diftancia .menor » que en CA , diftancia
mayor : luego la cuña no ie puede reducir á las dos palaa-
cas lobrediaias del primer genero. Lo fegundo , porque
es falíb que la extremidad , o cuípide B de la cuña , toque
fiempre al cuerpo que fe rompe ; antes regularmente no Ue-
Sa á tocarle : luego el retíftente no eitá en B , donde havia
e eftár fi £ie(Ien AB » CB palancas -dd primer genero , de
que fe colige fer ageno de toda verdad efte dilcuríb.
PROP. m. TTieorema.
£4 íHHMf n# y# niáu 4 fédan€4 del fegimi$ geim90
(fe- 470
GUidubaldo (iente^que en caíb de reducirte b cuña á pa-
lanca , fe explicarán mejor íus íuoi^as, y virtud , re-
duciéndola á dos palancas del íegundo genero , cuyo hipo-
mochlio común fea la cuípide B ; la potencia eílé en A , jr
C; y d reíiílente, que íe ha de remover, en los puntos K , r
H;conque vienen á concurrir como dos palancas AB,y Cft
del fegundo genero, de tal fuerte, que introduciendo la po-
tencia ajplicada en A , y C la cuña en el íblidd GE , en vir^
tud de la palanca AB, mueve la porción HD ázia O, y coii
la palanca CB mueve la porción KG ázia N , íirviendoíe
mutuamente la una á la otra de eftrivo en el punto B.
Eite fentir de Guidubakio , aunque parece m<3Jor que el
de Ariítoteles., pero padece las miímas inílancias : porque
Í3 AHB es palanca del fegundo genero^uya potenciales A,
el eílrivQ B , y el reíí (lente eltáVn H, tanto mayores ¿uer*
zas tendría la potencia en virtud de eíta palanca , quanto
en la mifma diíbncia HB íería mayor la dilhncia AB ; lo
que es falíb ; pues como ateítigua la experiencia, aunque íe
^corte la cuña cortándola por LM , las miímas fuerzas
tiene la potencia aplicada en M, diílancia menor de B,que
en A , diílancia mayor : luego las fuerzas de la cuña no íe
explica^ bien reduciéndola á dos palancas del íegundo ge--
Kka ae-
ji;! vTrat. IX. De t A MAtiyiNAKiA.'
PRCtt>. lI.,Theowi&.
la ciña nofi reduce 4( palanca del frimet genera. O!¿«470
Uelen' <x)inumnent:e controvertir los Autores ^fila cu-
) ña ie reduce, ó no á la pdlanca; y dado caíb que fe re-
zga á ella , fi fe reduce á la del primer genero, ó á la dtl
i íegundo^ y aunque la controvertía es de poco útil , la pro-
I; jpondré brevemente por no apañarme del eftilo común.
I Añílateles en la queftion 17» Méchame* dice reduciríe
j ^ la cuña á dos palancas dtl primer genero opueftas entre
sí. : lo que explica (ouidubalao en (u Mechanica como ie fi-
e. Sea la cuaa ABC , cuyo vértice B ; y fea AB igual k
^ ; y el cuerpo que con ella fe quiere dividir , y romper
fea DbFG , donde yá íe fupone haver entrado la porción
I HBK. £fio fupuefto , quando fe hiere con golpes la cuña
en AC , viene a fer AB palanca del primer genero , cuyo
cftrivo, ó hipomochlio es H; y el pefo , ó rcfiltente eftá en
B : afsimirmo CB es palanca del primer genero , cuyo hi-
pomochlio es K, y el reíiíiente ella en B. Paiidolemas
s á la cuña fe introduce mas á dentro del cuerpo fcm-
£G: fupongamos pues haya entrado la porción MBL,
pues como MB, LB fean mayores que HB, KB, ferá forzo-
10 íe haga mayor cilsion ^ y abertura : luego D fe moverá
ázia O ; y Q ázia N ; y quanto mas íe introduxere 1« cuña,
tanto mayor ferá la rotura , y diyifion , y tanto mas fe mo-
verá D ázia O , y G ázia N : luego la parte KG es inapclida
en virtud de la palanca Ab , cuyo hipomochlio es ti; y el
xeíiílente eitá en B ; y el punto B de la palanca AB impele
la parte KG ; y aísimifmo la palanca CB , cuyo hipooio-
chlio es K , moverá la parte HD : luego , fegun Ariílote-
les , la cuña íe reduce a dos palancas del primer genero que
concurren en B,donde eftá el reíiflente,la potencia en AC,
y los hipomocmios en H , y K.
Eíle íentir de Ariltoteles , ha íido tan mal admitido,
que apenas íe hallará Autor que le* apruebe. Lo primero,
porque fi las AB , CB fueren palancas del primer genero,
qu$uitó mayores ferian las diltancias de la potencia , é hi-
.*' -.*^ po*
Limo y. j2t
pomochlio 9 mayores (eríao las fuerzas d^ h poteúcia ; la
que es íalíaen el prefente caíb; porque acortando la cuña,
ó acortándola por LM , el miuno efeéto hará la potencia
aplicada en LM ^ diftanda .menor » que en CA , diftancia
mayor : luego la cuña no ie puede reducir a las dos palan-
cas Ibbredidbias del primer genero. Lo fegundo , porque
esfalfo que la extremidad, o cufpide Bde la cuña, toque
fiempre ¿ cuerpo que fe rompe ; antes regularmente no Uc-
Sa á tocarle : luego el retínente no eltá en B , donde havia.
e eftár íi fueflen AB , CB palancas -dd primer genero , de
que íe colige fer ageno de toda verdad efte dücuríb.
PROP. IIL TTieorema.
14 ítña n9 f$ redMce a fédancd M fegimü genm*
(fig' 470
GUidubaldo fiente^que en caíb de reducirte bcuña i pa-
lanca, fe explicaran mejor fus fueteas, y virtud , re-
duciéndola á dos palancas del íegundo genero , cuyo hipo*
mochlio común íea la cuípide B ; la potencia efté en A , jr
Q y 0l refiftente, que le ha de remover, en los puntos K , y
H;conque vienen á concurrir como dos palancas AB,y Cd
del fegundo genero, de tal fuerte, que introduciendo la po-
tencia ajplicada en A , y C la cuña en el (olido G£ , en vir^
tud de la palanca AB, mueve la porción HD ázia O, y coii
la palanca CB mueve la porción KG ázia N , firviendofe
mutuamente la una á la otra de eftrivo en el punto B.
Ette fentir de Guidubaklo , aunque parece mejor que el
de Ariftoteles , pero padece las miímas inftancias : porque
íi AHB es palanca del fegundo genero^uya potenciales A,
el eftrivo B , y el refiftente eltáen H, tanto mayores ¿ucr*
2as tendría la potencia en virtud de efta palanca , quanto
en la mifma diftancia HB (ería mayor la diftancia AB ; lo
que es íalíb ; pues como ateftigua la experiencia, aunque íe
^acorte la cuña cortándola por LM , las miímas fuerzas
/^tiene la potencia aplicada en M, diftancia menor de B,que
en A , diftancia mayor : luego las fuerzas de la cuña no íe
explica^ bien reduciéndola á dos palancas del íegundo gc-^
3 it [Trat. IX. De t a MAoyiNARiA.'
PROP. ^. JhtaceAu -
lá ÍIÍÍ4 mfc realice i faUmcá del ftmngnm. Oi¡:*47*)
Uelen comunmente contioveitir los Autores ^ ,fí la cu-
ña (e reduce^ o no á la palanca; y dado cafo que fe re-
zga I ella , íi k reduce á la del pnmer genero, ó ala del
egundo; y aunque la controvertía es de poco útil , la pro-
pondré brevemente por no apañarme del eftUo común.
Aríftpteles en la queftion 17» Mechamos dice reducirfe
la cuña á dos palancas del primer genero opueftas entre
ú. : lo que explica (ouidubalclo en (u Mechanica como fe &
e. Sea la cuna ABC , cuyo vértice B ; y fea AB igual \
^ ; y el cuerpo que con ella fe quiere dividir , y roniper
fea DlFG , donde yá fe fupone haver entrado la porción
HBK. Efto fupuefto , quando fe hiere con golpes la cuna
en AC , viene á fer AB palanca del primer genero , cuyo
eftrivo, ó hipomochlio es H; y el pefo , ó renitente tBÁ a>
B : afsimifmo CB es palanca del primer genero , cuyo bi-
pomocblioesK*, y el reliftente elláen^B. Pandóle loas
(s á la cuña fe introduce mas á dentro del cuerpo fcxs^
£G: fupongamos pues haya entrado la porción MBL»
pues como MB, LB fean mayores que HB, KB^ ferá foi2^
10 fe haga mayor ciísion ^ y abenura : luego D fe moverá
ázia O ; y G ázia N; y quanto mas fe intfoduxere Ja cuña,
tanto mayor ferá la rotura , y diyifion , y tanto mas fe mo-
verá D ázia O y y G ázia N : luego la parte KG es inopéb^^
en virtud de la palanca Afi , cuyo hipomochlio es H ; y ^
xefiftente ettá en B ; y el punto B de la palanca AB m^
la parte KG ; y aísimifmo la palanca CB , cuyo hipoiiio^
chlio es K , moverá la parte HD : luego , fegun Ariftotc^
les , la cuña fe reduce á dos palancas del primer genero qu^
concurren en B,donde eftá el re(iftente,la potencia en AQ
y los hipomochlios en H , y K.
Efte. fentir de Arittoteles , ha íido tan mal admitido^
que apenas fe hallará Autor que le. apruebe* Lo prim^i^
porque íi 1^ AB , CB fueren palancas del primer genero»
quantp mayores ferian las diliancias de la potencia ^ ¿ ^
.•' - '^ po*
Libro V. 32:
pomocUio 9 mavoies feríaD las fuerzas d^ h potencia ; 1^
que ¿ íalíaen el prefente caíb ; jporque acortando la cuña,
ó acortándola por LM , el miuno efe&o hará la potencia
aplicada en LM y diibuicia .menor » que en CA , diftancia
mayor : luego la cuña no ie puede reducir á las dos palan-
cas íbbrediaias del primer genero. Lo fegundo , porque
es íalfo que la extremidad , o cufpide B de la cuña y toque
fiem(Mre al cuerpo que fe rompe ; antes regularmente no He-
Sa á tocarle : luego el refíftente no dtá en B , donde havia
e eftár fi íueflen AB » CB palancas *del primer genero , de
que fe colige fer ageno de toda verdad efte dilcuríb.
PROP. m. TTieorenuu
tá ínftf n# y# uiáit 4 ^danu del fegmuk generim
(fig' 470
GUidubaldo fiente^que en caíb de reducirte b cuña á pt-
lanca , fe explicarán mejor íus fiíet^, y vírc^ , re-
duciéndola á dos palancas del íegundo genero , cuyo hipo-
mochlio común íea la cuípide b ; la potencia efté en A , jr
C; y d refiftente, que fe ha de renK)ver, en los puntos K , y
H;conque vienen á concurrir como dos palancas AB,y CB
del fegundo genero, de tal fuerte, que introduciendo la po-
tencia aplicada en A , y C la cuña en el íblidd GE , en vir*
tud de la palanca AB, mueve la porción HD ázia O, y coii
la palanca CB mueve la porción KG ázia N , (irviendofe
mutuamente la una á la otra de eftrivo en el punto B.
Eite fentir de Guidubakio , aunque parece mojor que el
de Ariftoteles., pero padece las miímas inftancias : porque
(3 AHB es palanca del fegundo genero^ya potenciales A,
el eftrivo B , y el refiftente eltá en H, tanto mayiores ¿ucr*
zas tendría la potencia en virtud de efta palanca , quanto
en la mifma diftancia HB (ería mayor la dilhncia AB ; lo
que es íalíb ; pues como ateftigua la experiencia, aunque (e
^corte la cuña cortándola por LM , las miímas fuerzas
tiene la potencia aplicada en M, diftancia menor de B, que
en A , diftancia mayor : luego las fuerzas de la cuña no (e
explica^ bien reduciéndola á dos palancas del íegundo gc-i
J%^ TrAT. IX. De lA MACÍy INAIIIA.
iiero. Otras razones traeo d Padre Zucdiió y Millieti y Ef-
coto f pero la Ibbredkfaa es la roas concluyente»
PROP. IV. Theorema.
f^fmxM di U cuXd no ft ixflicán hAprntcmnat ttinumdAá
)í floM indinoih. (fig*^*)
rltentó el mífino Autor Guidubaldo explicar las fuerzas
de la cuña reduciéndola á plano inclinado : porque fi
parA levantar el cuerpo £G , nos valiefienios de la cuña
CBD 9 dicho cuerpo vendría como i moverle íobre el pla-
xx> inclinado CD ; pues lo mifmo viene á íer para.el pre-
fente cafo , que dicho cuerpo (e mueva , y (uba íobre el
plano^que eftc le miwva,y fe introduzga debaxode dicho
cuerpo : entrando pues la cuña CBD debaxo el cuerpo
BG , de tal fuerte le va levantando , que la cuña fe mueve
xnucho mas que el cuerpo fobredicho ; y pof coníiguiente,
mimenta las fuerzas de la potencia que introduce la cuña,
al Daflb que es mayor lii movimiento : y efto mifmo fu-
cene , quando mediante la cuña partimos, ó rompemos ufl
cuerpo ; como (fig. 47. ) la cuña CBA fe compone de dos
planos inclinados AB , y CB y de los quales éíte íirve para
mover la porción KG ízh N ; y .aquel , para mover la por*
don HD azia O , y hacer coii eítos movimientos encon»
nados la diviíion que fe pretende. Mi fentir es, qu^^'
imaginar dichos planos inclinados en la cuña^ no íirve para
la explicación del aumento de fuerzas que caula efta ina'
Siina ; y viene á parar íolo en imaginación , como taii^i^
reducir la cuña á palancas del primero , ó ftgundo gen^
tó ; y cfto mifmo íienten el Padre MilUet , y Cfeoto coa
Otros Autores. '
PROP-
Libe o V. fij;
PROP. V. ThcofciBíu
Exflicdfi Id yerdadifd tázm del aumenta de tdsfiterzM fMá
. tnmfer f j diviür los cuerfos ca» la cu-
LA verdadera razón porqu¿ la potencia, mediante Ift
cuña , tiene mayores fuerzas para dividir , y romper
loslólidos coníifte en que la potencia (e mueve mocha , jp
el cuerpo reíiltente fe mueve poco ; ello es , que la poten*
da aplicada á la cuña tiene mayor movimiento , que las
partes Iblidas que fe dividen. Como en la cuña CBA fe ve^
que abriendo ál iblido GE ha corrido el punto B » y tam^
bien la potencia el efpacio PB , mientras que las porcio*
Des ^ que fe han íeparado , han corrido , la una el efpacio
PH , y la otra el efpacio PK , que fupueftp (ea el ángulo
B menor que 6ó. gra4os , es forzoíb lea PB mayor que el
efpacio KH : luego en virtud de la difpoíicion de la cuña^
el movimiento de la potencia es mayor que el del peíb , 6
refiltente; y por conliguiente^ crecerán las fuerzas de la po-
tencia y fi^un la razou de PB á KH«
PROP. VI. Theorema^
IM cuñas mas agudas , aumentan mas las fuerza de U
fotencia*
Digo , que de dos cuñas , una mas aguda míe otra , la
mas aguda aumenta mas las fuerzas ae la poten-
cia. La razan es ^ porque quanto el movimiento de la po-
tencia es mayor que el del pcfo , ó cuerpo refiflente^, tanto
fon mayores las tuerzas de la potencia para mover aquel
pefo : en la cuña mas aguda , es mayor el movimiento de
la potencia , refpeéto del movimiento del cuerpo que íc
rompe, que en la cuña menos aguda ; porque de dos trián-
gulos de una mifma bafa , el que tiene el ángulo vertical
{ñas agudo, tiene nuyores lados, ( zi. i. Eucl. ) y por con-
¿guíente mayor altura , fiendo entrambos Xfbceles : luego
. ^ : mi-
^5 Tr AT« Di • Dfi t A MAOjjm ARI Aw
midiendoíe en la cuña el oiovimiento del íblido refíftente
por ja bafa de dkfao triaogulo ;.y el movimiento de la po-
tencia por la altura : ierá mayor el movimiento de la po-
tencia, reípeétó del movimiento del pefó j en la cuña mas
aguda , que en la menos aguda : luqo aquella, da mayores
fuerzas a la potencia.
COROLARIOS-
l T AtnÍMy C9rfú áug^esm4jwqM€d€6cugrdiaSym$
JL^ dlfmimtffn qui attmemáH lás fuetxM de U fatmi^^
qm em iftss es tndjcr U bafe del trumffde que forman fot perfil
£H fu ferfendicÉík j fef (mfigmeme^ es metimr el nmmienteée
fesenádj que el del fe fe.
z C4/¡ tedtts hs mftnmenfos de que ufen Us ariifitesPM
tertéory romper ^ águgerar^ y tsl Adrar los euerpos foUdesJe rem»
M U ivüé ^ miQ de fu rmfmá friura fe eobjf^
LIBRO VL
PE LA QUINTA MAQUINA
fundamental , llamada Roíca *, y de
alganas Maquinas copí'^
pueftas.
ESta quinta maquina fundamental , cpie Csffin el
Griego fe llama Cocbíea, y en nueftro vulgar lU;/^
(4 , es fin duda la mas poderoía , por eliincreíbie
aumento de fuerzas y que fk>r ella adquiere la po-»
tencia. Keducenla comunmente los Autores á la cuña ; y
como reduzgan éfta á ia palanca , (egun expliqué en el libro
antecedente , ^ Tacan por coníequencia reducirfe también la
roíca á la miíina palanca, como íe puede ver en Guidubal*
do. Otros conciben íec la roíca. un plano inclinado j por
donde fube el peíb con mucho menor movimiento, que el
de la potencia que le mueve, como de la cuña (imió Guídu*
baldo ; pero como dixe en la frofojf. 4. del libro paíTado,
íirven poco femejantes confideraciones para explicar laa
fuerzas de l|s maquinas , por lo que no me detendré mas
en ellas.
PROP*
gaS Tkat. IX. De la Maquinarias
. PROP. I. Theorenia.
A ^ «i
ixftUáfe laftmd , y ufi de Ult^fiá. ( fig. 49. >
LÁufu^ a un ciUniro ^ que íonfid de HHd , ifmubáu effh
YOf , firmadas en fu contefM , CQino fmveuk iajif. 49*
Su ufo es tan común , que caíi no neceísita de explicación*
Sormaíeotro cilindro cóncavo, que fe llama matriz , 6 r^f-
u bembfd , cuyas efpif as (bn concavas , y tan iguales ^ 1^
del cilindro convexo , que fe ajuftan á büas perteátamencei
entrando las del convexo en las de) concavo : fu diípoíicioa
Íuede (er diferente , fegun el efe&o para que ha de íervir.
luchas veces el cilindro concavo eft^L Bxo fin moverfei
moviéndole iblainente el convexo , que dando repetidas
bueltas al rededor de íii exe, fube, ó baxa , iegun es el mo-
vinriento, á la deredia, ó á la izquierda* Otras veces el ci-
lindro convexo eftá firme 9 é inmóvil , y fe mueve el conca-
yo.Para hacer rodar el cilindro convexo AB,y tal vez tam-
bién para n^ver el concavo y (e añaden una ^ o muchas pi-
lancas BC , á quienes fe aplica la potencia para el moví-
mienta Tienen las rofcas ungular ufo en todo genero de
compresión , como en las prenias de la Imprenta , y otras
inumerables : ion imponderables fus fuerzas para Iqv^
tar , o traer grandes petos y y para otros efed;o$ bieo ordi-
narios
' PROP. 11. Tbeorcma*
■ r »
txfUufe la emfn del áumenic de fuerzas qtteadqmere U feeek
. iiafniímtáie de U Bpfcd. CÍ!¿*^* 5-
. , . ' 1
SEa la roíca AB , con la barra , 6 palanca BC : fupooga-
fe aplicada la poten<;ia en C , y que dando una buelta
deícrivacoq fu movimiento el circulo CKL ; es conftanre,
que mientras la potencia fe mueve por dicho circulo, Ab^
la rofca con el pefo O , el cfpacio que hay de una efoira ^
otra , efto es , el cfpacio MN ; y íupuefto,por exempio,q|?^
el efpacio MN quepa cien veces en la periferia CKL ) di-
go . que tendrá la potencia C cien veces mas fuerza pai^
Libro VL 319
mover d peíb, que tenia por sí fola fin la maquina , ello es,
que íi el pelo es de cien arrobas , le podrá mover la pocen*
oa C con la maquina , aunque íin ella pudiefle levantar ío^
emente una arroba.
lUfmnfiT. Entonces hay equilibrio , ó igualdad entre la
patencia, y el peíb, quando el movimiento déla potencia
tiene la miuna proporción con el movimiento del peíb^que
tiene el pefo con la potencia. Ello fucede en la roic^
porque el movimiento de la potencia C,es cien veces mayor
que el del pefo,y el peíbes cien veces mayor que la poten^
cía : luego, en virtua de la rofca, havrá en efte cafo equili^
brío , b igualdad de las fuerzas de la potencia con el peíb}
y fi la Dotencia Hiere algo mayor que una arroba , vencerá
la remtencia del pdTo.
PROP. nr. Thcorema.
áflkéuim de U ^ofia 4 varios ñfis.
I
ES muy ordinario el ufo de las roícas ^ara apretar , ^
facar el zumo , tanto de las yervas , como acoi*
tumbran los Boticarios , como de fas uba$ en los laga^
res. Para femejantes efeáios (e pueden difponer de varios
modos.
'Modo i'Cfig* 50* ) La rofca AB entra por el agugero B^
que la abraza dentro de fus efpiras concavas : pafla también
por el agugero C , liío , y (in eípiras. En efta difpolicion^
auando'el cilindro A llega á juntarle con labiga F ^n C,
ando bueltas á la roícá , vienen á juntarfe los maderos ¥j
yD, apretando fuertemente entre sí al cuerpo intermedio;
y íe aumentan las fuerzas déla potencia £ en la proporción
q^.tiene el circulo delcrito con el movimiento de E, al
intervalo qae hay de una á otra efpira.Y efte mifmo cfedo
fe cpníiguc , tanto que el madero BD fea inmoble, y el CF
fe mueva á juntarfe con él, como que CF lea inmoble , y el
etro movible.
Modo s. Qiie viene á ícr mixto de roíira, y palanca,y es
en efta forma. ( ji¿. J i. ) Sea la rofca AB , que entre en e?
madero AC por A , y dicho madero efté nrme, é inmovl
en
I
I
330 Trat. IX« De la Ma^pinaria.
en C ; d cuerpo que fe ha de cuippríinír, y apretar » cob»
queíe en D : conque dando bueltas la rofira , oaxará la u«
bla, o madero CA,por la patte A , y ferí palanca del fegoo*
do genero , cuyo ellrivo eftí en C ^ la potencia en A , y d
jpeíiitente enD.
Determinaníe las fuerzas de efta maquina en efta íbrma:
Supongamos, oue el madero CApefe 200. libras; eftoesi
que tí libre , y lencillamente íe carga^ (obre las ubás pueftas
en D y haga el efedo que harían 20a libras depeío. Sa*
pongamos también, que la diftancia de una dbtra de la rd**
ca á otra íea de un dedo , y que la palanca BE tenga fiete
pies de loi^itud; conque la penferia que corre la potencia
aplicada en Eiera.22.pies, Ó2<L^ dedos» Supongaíe afii-
inifmo, que la fuerza del hombre que fe aplica en E, fea por
si (ola igual á cien libras» Digo , que un nombre iolo con
efte genero de prenía , tendrá tanta fuerza para comprimir,
}r apretar las ubas, quanta tendrían 52800. libras depe(b,fi
ibrementeíecai^^üen íbbre ellas. Y es la razón , porque
n^ientras el hombre camina 22. píes , 6 264. dedos , la viga
A baxa un (blo dedo; y el refiftente D,que eíU en medio efe
la palanca , folo íe muevt efpacio de medio dedo : luego el
movimiento de la potencia al del reíiftente, es como 204.^
un medio; efto es, como 528. á i. y liendo la potencia
i^ual á 100. (eran las fuerzas de la potencia que mueve efta
prenfa equivalentes á 52800. 6 como dicho numero i ^
unidad: y añadiendo las 200. libras que peía el madero CAy
^s la fuerza total de efta maquina ,' tanta como el peíb de
.53000. libras,
Mod$ 3. ( Jí¿. 52. ) Es mas ordinario , v íe compone de
dos roícas A, y B : íirve para él mifmo eíeao, que la prenfa
antecedente , porque la una íirve de hipomochiio , reípc^*'
de la otra,y el cuerpo que fe comprime íe coloca en medio.
De otras maneras fuelen difponerfe las roíc«s* , íegun el
tfcdx) para que fe ordenan, que omito por no tener mas di'
ficultad qu6las«xplicada$.
PROR
•'
r
* 1
•> • »•
Libro VI. I31
PROP. IV. Thcorentt*
dgmásútfáf msqmas , tnqmímuuntU
rofca. (Jíg.5J-)
LA roica tiene frequeotemeñte grande ufo en dijeren^
tes maquinas ; pero entre todas , es ungular la qw
llaman camfuefia , por componeríe de una rofca, y una rue-
da , entrando las eípiras de aquella en los vacíos oue dexan
los dientes de éfta , de que refulta un maravillólo aumen-
to á. las fuerzas de la potencia.^ Su artificio es el fígaienr
te. - ,. ,
Supóngale y que la rueda K coofta de 50, dientes ,. en
cuyo tímpano A fe einbuelva la cuerda que fuitoata al
peto. LarofcaPCcompongaíe de taLiuerte con lajtue»*
da , que cada una de fus efpiras pueda entrar en los yat:ÍQ9
aue hay entre los dientes de la rueda* La empuñaduradSP
íirve de palanca para rodar la rofca ; y tenga con el CpxíU
diameero del tímpano A , la razón que ^* con i* y Í9s pot
tCDcia de la mano aplicada en P, fupongale igual 4 .IQO. li^
bras. Digo , que dicha potencia , con ella maquina > podrá
fuílentar pefo de 20000, libras > y que un hombre (blQ pov
diá tanto como duciehtos»'
Demonfir. Por quanto en cada buelta de la rofca íelo
(e impele un diente ác la rueda >, coisflaodo ¿fia d^ 5U
dientes, ferán.meneíter 50, bueltasde la rofca ^ p3fa.qttr
la rueda haga una perfedia buelta : luego la empuñadura
BP hará 50. bueltas mientras la rued;i bace una ; y fien-
do , fegun lo fupueílo , cada buelta de la empuñadura BP,
con cada una del tiAapapo A y como,4« con i. feU el .'mo-
vimiento de la potencia aplicada tít ^ >, al i^pvimiento
dol oefo pendiente del tímpano , como quatro veces
$0. a i. eítoes, como zoo, í i. Imffy uütíd^^ócit r^-
a^n reciproca ) ( 8* i« Maquin^) lapotoncia como :|. igfpli-
eada enP, tendrá equilibrio con un pfía como zoo,, lúe*
eo la potencia cc>mo loo. libras^ .jfbáA jfu&entar aoooo.
. . Si
33^ TrAT. IX. Dfi t A MAOyiNARIA.
Si en lugar del tímpano A , (e puíiere alli otra rofca,
con una otra rueda también de 50. dientes^ un hombre (b-
lo podría tanto como loooo, y afsi fe pueden ir multipli-
cando las fuerzas; pero eftas maquinas , aunque tan pinie-
roías , Ion en la pradica inútiles , por no bañar , ni lo tirme
de fus cxes, ni lo fuerte de las cuerdas para fuílentar tanto
peíb , como podrían fuftentar las fuerzas de la potáa>»
mediante la maquina iobredicha.
COROLARIOS.
B T^E 1^ ibcbú fe cdigi ^ de quangran útil fia U rofia fé-
1 3 fá dijmnuir el movimiento del pe/ó : porque una rof-
€S con mufoU effká difminuye el $novimenta del fefo tanto»
(omo una maquma compuefia de muchas ruedas : lo que fe
fuede afücar i tos reloxes , y evitar la multiplicidad de las
ruedas.
Ir Quanto mayor fiure el numero de las efpiras ^y mayor fu
oUiqmdad , y mayor juntamente la palanca que Jirve de emfu-
naétra para mover la rofia , tanto merior Jira el movimiento
del pelo y y mayor el de la potencia ; y por configuiente , tanto coa
mas facilutad fi mover% el pefo^y tanto mas podero/a /¿rala rof-
iOé Confia de ¡o dicho. , .
3 A efla mifma maquina fe reducen los taladros y o barrenas^
fornofer otro que una rofca , que fenece en punta ^ dotide rema-
tan fus tfpras y lo que faálita tanto fu entrada en el madero^
4omo atejtigus U experiencia.
PROP* V, Theorema.
títftkafif U CMfirmcion ^ ufo^y fuerzM de otra maquina f^^
' rofifsimapara levantar grandes pe fos,(fig.^^)
T TSaii en algunas partes los Artífices de una maquina tan
\^ poderoía para levantar qualquier peÍQ , qu^ puede
cpn ellft un bohri>re íbio levantar un carro muy cargado» y
unacaía.enterademadqrayy: otros pefos íemejances i éíto»
fu &brica I y ufo es como íe figue.
\
Libro VL }3)
Haganíe tres ruedas de acero muy (olido , y fuerte»
uoa mayor B , y dos menores A , y Q iguales, y de igual
numero de dientes. Supongamos tenga cada una quatro
dientes ; pero la rueda B, para guardar buena proporción^
tenga diez y (eis : éfta, y la rotula C han de tener un mií^
flao exe común á entrambas. Hágaíe aísimifino de firme
acero , é inflexible un prifma con fus dientes á modo de
fierra D£. Y todo fe na de encerrar en una caxa de ma*
dera fuerte , y bien giurnecida de hierro , la qual quede
abierta por arriba. Los dietites de la rotula G han de
prender los del prifma ; y aísimifmo los de la rotula A han
de prender los ae la rueda B. £1 exe de la dicha rotuk A»
(ale íiiera de la caxa que encierra la maquina ; á quien fe
2 unta la empuñadura corva AGFH , para aue aplican*
D una , ó dos manos en FH , (e mueva circularmente el
exe , y con él la rotula A , con quien eltá unido : éfta
mueve k la rueda B, y C n^ encontrando los dientes de la
rueda C, los del priuna DE les impelen , con que mué*
ven dicho prifma ázia arriba y hada que el ultimo diente
E fe junta con la rotula Q Ajuftando pues el cabo curw
vo D á la cofa que fe ha de levantar , y el cabo opuefto
de la caxa eilanao bien firme en tierra,!] fe rueda el hierro
HF fube el prifma , y faliendo de la caxa impele ázia arr
riba con gran fuerza el pefo ; y rodando al contrario el
hierro HF , baxa el prifma , y fe oculta en la caxa, como
antes eílaya..
Para averiguar las fuerzas , y virtud de ella maquina^
fupongamos , que la empuñadura FG esquadrupla del fe^
midiametro de la rotula A : y porque ella no tiene mas
que quatro dientes, y la rueda B tiene diez y feis, (e íigMC,
que para dar una buelta la rueda B , y fu anexa C , ha de
rodar quatro veces la rotula A 5 y porque el íemidiame-
cro de la rueda B es también quadruplo. del íemidiametrQ
de la rotula C , (e moverá aquella con velocidad quatro
veces mavor que éfta, y por configuiente , aue el priima^y
el pefo: luego la potencia fe mueve con velocidad diez y
(eis veces mayor que ^ pefo : luego la potencia, algo ma-
yor que loo. libras , podrá levantar con efla maquina
l6oo. libl'a;^ £n lugar 4$ U rotula A| fe puede poner una
rofca,
r
334 Trat. IX. De la Maquinaria.
rolca , llamada infinita , (emcjinte á la que lleva la iiiac|m-
lu que explico en la propoljcion liguiente.
PROP. VI. Theorema.
Ixfliídfe U maquuiA Kircheriana, compuejta de muchas, ctn qw
futde un mito levantar con un foto dedo iz;. lilnas
EN el Mofeo Kircheriano del Col^ío Romano hay un*
maquina compuefh de palanca , tomo , rolca , y
garrucha , en la tbrma liguience. La empuñadura AB s
palanca del primer genero , como en ocra parte dixe. El
cilindro BC es torno , en quien las elpiras DE forman un*
rofca llamada perfetua , 6 infinita; ponqué mientras rueda el
cilindro BC , las efpiras de la rolca licmpre admiten nue-
vos dientes de la rueda , y expelen otros. La rueda EF
tiene bien unideá sí el exe,ó cilindro paralelo al horizonte,
cuya extremidad es G : en erte exe le cmbuelve la cuerda
que lleva al pelb ; y para mayor aumento de tuerzas, no ft
ata dicha cuerda inmediatamente al pcfo , li que fe efíx-
buelve en la garrucha HM , que lleva el peíb ; y por con-
currir en ella quatro ruedas, o carrillos , le llama tttJ*)'
Las fuerzas de efla maquina fon tantas , que aplicando
un niño el dedo a la extremidad A del hierro , levanta un
pefo de 1 1 j . libras , que es igual a un talento ; y tiene eft*
excelencia , que aunque fe aparte la mano del hierro AjO?
por eflb baxa el peíb , li que en virtud de la maquinale
queda íüípcnlb en el ayre ; y para que baxe , es menelrc'
rodar al contrarío el hierro A. La caula de tantas fuer^**
confiíle , en que el movimiento de la potencia al del peí°|
liene razón compuerta de las razones de la garrucha al
pcfo : del femidiametro de la rueda EF , al femidiamct"!
del exeG: y de la periferia del circulo , que deícrive «
punto A con fu movimiento , á la dilliDcia que hay cn^rc
dos elpiras inmediatas de ia lofca.
PROP.
Libro VL jjy
PROP. Vn. Pix)blcinj.
bk d si mifniú.
SI dentro de una caxa le diípone una rofca con fti twtXx^
como la que fe ve en la pgitra j J* X ^ a^* íirmriiit hf f
una cuerda en el techo por un cabo, y el otro (k rclii ittft i h
el cilindro G , de fuerte , que rodando ¿ítc , íc viiy* rn \ I
embolviendo la cuerda , podrá un hombre » icntaiU) loliitf
ella maquina , fubir á quakniier altura; porque r/KUiu<o o|
miíirio elhierio, óexe AB,ie iA embolviendo la cucnia \w
el cilindro G; y como el o^ro cabo elt¿ linnr ^ ¿ ihiiu>ltlí
arriba 9 deíuene^ que no puede ceder , cskjisolo, K\\\fi U
xnaquina, y el que va en ella , vaya iubicndo á/.m (tvriUai Y
tiene eíle inftrumento una gran conveniencia 9 y c^ f (|U«
puede el que fube parar el movimiento á fu arbitiicifió lo 1 oh
dexar de mover el hierro AB, íin peligro do cicii ^iitrn |vi
ra baxar »íerá meaeüer mueva dicho hierro al cotili ai iii lU
quando íubia*
También puede uno fubírfea si mífmo á mMÍM»»'»' •«•'
tura con una garrucha íimple, como cf OC^ ( /W^ ]^'i{ *'•
efta forma. Pongafeen la cuerda un paU» ttit'>íViíiivlo IKi
y para mayor facilidad , y fegurídad , atcíc á la ot fii p»*i lí
de la cuerda un p^fo H , que íea algo mcnjir qtic í'l P» H
del hombre que quiere fubir. Hecho ello , tirck 1.» /h» »'Ii
del cabo F , hafta que el palo IK baxc, y el |*Hí> 1 1 1 hm .1
lo alto. Síentefe el que ha de íübir en cí prtlc> íoliii'»lh Ims
y tome Con las manos la cuerda HG .y tiicU AtU rtlM^»', y
r«bira con gran facilidad^ y en queriendo lu^^r , »••»;';•;
apoco afloíandolacucrda'^HG, y 1« nxfCMiaÜ tüdw liH
peligro alguno*
M(ül'*
33^ XiLAT. IX. De la Maquikariaí
I PROP. Vm. Problema.
DifftHtr MM mtV4 maquimt , con U qual fe UvMtn _
con tu foflo ;6. ÍAtíí de fefo,
CÍ5- J7-)
EN éfta , y tas Gguientes propoíiciones fe propone mu
nueva maquina muy limpie , con la qual íe explicaría
ddpues facilmcnie las accione^ de los mulculos de nud"-
iro cuerpo , y fu robulb pocencia. Difpongalc una vexi-
ga de buey , ü de puerco MI* , alando , y uniendo tirmifsi-
mamcnte á lu orificio M un cañoncillo de madera OM,
f^un fe reprednta en la figura. En la puerta inferior M
del cañón coloqutfe una ventanilla de vaqueta, ó otra ma-
teria competente , con tal difpolicion , que abriendo ázii
abaxo , cícitc ázia arriba ; para que introduciendo á foplos
elayrepor el canoncillo en lavcxiga, no pueda bolvera
falir. Pongafe dicho cañón ajultado , y firme en el made-
ro AB ; y prenda el garfio P un pelo R , que defcanle eu
el fuelo , é iniroduzgafe el ayre a foplos por el orificio O,
halla que le dilate la vexiga ; y hecho cito , con loto un
íbplo que fe le añada , extendiéndole por los lados , fe
acortara la vexiga ázia arriba , y levantará el pelo R|
que como fe experimentó en el Colegio curiólo Magdc-
burgele, era de ;6. libi-as. La razón de ella íe daiii dcT-
pues.
PROP. K. Problema.
Difponer ^tha máquina de fuerte , que btgs nujor tft^
PAra que el pelo fe levante á mayor dilfancia , fí
añadirán quaiio , ó mas vexigas , uniendo firme-
mente cada una con fu inmediata , mediante im cañón-
culo , íeinejante al que fe dixo en la proporción antece-
dente , pieviniendoie á cada uno cea la ventanilla át
L I B it o VI. 337^
maqueta , de el mifmo modo que arriba dixe : introdu*
ciendo pues el ayre por el orificio O , (e eníancharán,
y acortarán todas las quatro vexigas al ultimo íbplo ; de
aue fe feguirá , que levantarán el peíb á diftancia qua*
rupia de la que le levantava una íola, como también
(e ha experimentado. Y la razón es clara , porque íi la
vexiga I. levanta á las demás , y al peíb , por exemplo^
un dedo ; comp la z. tenga igual potencia , en recibien-^
do el ayre , levantará por si al peíb un otro dedo ; y
lo miTmo la 5. y 4* luego entre todas le levantarán qua^.
tro dedos.
PROP. X. Theorema*
Ixfücafi ti fundamento del aumento de las fibtedkha$ .
fotenúas. (Jíg.59.)
SUpongafe el peíb G , pendiente del clavo F con doS
cuef das ; y que las potencias H , h , diftraygán , y íe-
paren las cuerdas , dirigiendo fu movimiento por las li«
neas OH , oh. Digo , que levantarán el peíb G con mu-
cha mayor facilidad , que íi le levantaílen tirándole por
la perpendicular IF. La razón es clara , porque es ma-
yor el movimiento de las potencias , que el del peíb , por-
que moviendoíe ellas por la H , h , íe levanta mucho me*
nos el peío , pues corre una linea menor que la Hh. (^é
proporción tenga el momento de eílas potencias con el
del peíb G , lo podrá ver el curiofo en Alfonfo Borelp
en la parte i. de Motu Animalium , fropof. 94. donde prue-
ba , que las potencias H, h, tienen con los reíiílentes G, y
F , quando equilibran con ellos íus fuerzas , la razón
de la re<3a FI , á la reda Hh. Omito efta demonftra-
cion , por necefsitar de muchos Theoremas , y íer baí^
cante para nueftro intento el faber , por la razón arriba
dicha , que íiendo en etta dilpoíicion mayor el momen^
to de las potencias , que el del pefo , por pequeñas que
ellas fean podrán levantar qualquier pelo ^ pues en qual-
TomoUl* Ll quier
/
338 Trat. IX. De la Maquinaria;
quier cafo podrin diílracr, y doblar las cuerdas FHI,
Fhl por algún elpacio , i que necefíariamente fe ha de
feguir algiin movimiento del pefo , fi no lo eftorbáreli
mayor tcniion de las cuerdas , de que aora le preP-
cinde.
Supueílo lo fobredicho, veafe hfig. 60. en que fe fií-
ponc , que el pelo G pende de quatro cuerdas : éltas
diftraidas en la forma lobredicha por quatro potencias,
es cierto harán doblado cteCto que las dos de ellas ío-
lamenic ; y por configuiente , quanto fueren mas las cuer-
das que mantienen cl pelo G , y mas las potencias , ferá
mayor la facilidad cou que ¿fías levantarán el peío G:
liendo pues la vexiga en la Jigara jy. un agregado de ¡nu-
merables fibras , ó hilos atados arriba al canon , y
abaxo con el peíb , quando eltín diítraídas por el ayre
que dentro fe introduce , fe podrá con ellas levantar el
peío de las 36. libras con fuma fecilidad; y aunque la
potencia de un Ibplo fea muy débil , y en dos , ó tres
libras , no harán cícíto alguno (enlible ; pero íiendo tan-
tas , un folo foplo que las dilate igualmente á todas,
podrá hacer efecto ftntible , y levantar el peíb en I4
forma referida.
PROP. XI. Theorema.
ixplkítfe U fatencia que tienen lot mufiulost
ES confiante , que los mufculos de nueílro cuerpo , y
de quilquier animal , fon los principales inftrumen-
tos , y maquinas para mover los miembros : es tam-
bién cierto , que cxecutan cfte movimiento con la dila-
tación , y contracción ; porque acortándole , y conrra-
ycndofe unos , mueven , por excmplo , h mano , ó bra-
zo , á quienes eftán unidos; y dilatandofe , y alargándole
éftos , y juntamente acortandofe los antagonittas , fe ha-
ce el movimiento contrario. Es también torzofo , que los
mufculos , en virtud de fu difpolicion , lean maquinas
muy
;
L I B R. o VL 55
jomy vigorólas » y de gran potencia ; porque eíland
aplicadas ^ los hueilbs como á vedes , ó palancas del
tercer genero , como dixe en la propofl ii. del itb. i.
y eítando (ii aplicación muy cerca ael hipomochlio ^ 6
centro del movimiento , es forzoíb íea tanta fu fuerza,
que pueda en dilpoíicion tan contraria , no íblo mover
la mano , ó brazo , íi levantar , y fuftentar juntamente
un gran peíb , como ateltigua la experiencia. Efta po-
tencia pues tan vigorofa parece poderle explicar , fegun
lo arriba dicho, en la forma (iguiente.
Supongo j Que íi á un mifmo peíb íe' le aplicaílen
en la forma dicha en la pofof. 9. dos feries ae vexi*
gas , como la de la pg. 58* aunque no por eílb íe levantaría
el peíb á mayor diftancia ; pero porque la una puede
tanto como la otra , la potencia ae las dos juntas fe-
ria doblada; y íi íe aplicaíTen tres , feria tripla; y aísí
(e iriat aumentando la potencia al mifmo paíTo que fe
' multiplicarían aquellas feries : y por coníiguiente , íí
una Cola íerie , animada con el foplo , puede mover , y
j. . elevar á cierta altitud un pefo de 40. libras , ocho feries
L iguales podrán levantar i la mifma altura un peíb de
}20. libras; y ü todas eílas íeries eftuvieíTen aplicadas
cerca del centro de la palanca del tercer genero , como
poco movimiento cerca del centro fea mucho en la ex*
tremidad donde fuele colocaríe el pefo , no hay duda
levantaria la extremidad de la palanca por grande efp^*
cío. Eílo fupueíloy
Qiial<juiera mufculo íe compone de inumerables
fibras , aísi carnofas , como tendinofas , llenas de poros , y
» . receptáculos comunicantes , donde con increible celen-
^ dad , y muv fenaejante a la de la luz , fe introduce aquel
^ fluido fútil, ó fean efpiritus animales, que deciendendel
f celebro ; y en confequencia de efto viene i íer el roufcu-
^ lo un agregado de mumerables feries como las arriba
^ dichas, que todas vienen á uniríe por fu extrcrnidad al
1^ hueíFo ; perp muy cerca de la articulación que íirve de
^ centro para el movimiento. Introduciéndole pues coa
^ aquella fuma celeridad , y prontitud aquel fluido fútil, ^
f
340 Trat. IX; De la Maquinaria.
dpiritus animales , (e Uenao todas las (bbredicfais cavida-»
des , y íe dilatan lateralmente íus fibras ; de que Ce Cgue la
intumecencia lateral dd mufculo , y fu contracción , y
decurtacion , (egun la longitud. Contrayendoíe pues con
tanta prontitud , lleva coniigo el hueílo , y ie da mo-
vimiento circular ; y aunque por eiUr unida efta po-
tencia muícular cerca de la articulación , v centro , fta
allí pequeño , y corto el efpacio por donde le mue-
ve ; pero en íu extremidad es muy notable , y cre-
cido.
Puede obgetaríe contra efto, que en Ufig- 57* la in-
tumecencia de la vexiga aUi propuefta y ha de íer
muy notable para que haga el eftdo , y movimien-
to de decurtacion , y levante el peíb R , como allí
(e dixo ; poroue para que feniiblemente le mueva y es
(brzoíb que íenfiblemente fe acorte. ; y no puede acor-
tarfe feniiblemente fin que fea mas notable íu dila-
tación lateral , y mayor que la decurtacion, como^fe
dixo en la propoficion lo. luego lo mifmo havia de
fuceder en el mufeulo , lo que es contra la expe-
riencia ; . pues vemos fer poca fu intumecencia al
tiempo en que mueve , ó dobla el brazo y ó pierna,
&c.
A efto reípondo lo primero , que la intumecencia
del mufeulo es alguna , como lo ateitigua la ocular ex-
periencia. Lo fegundo digo , que no es meneítcr fea
níUcha para exercer fus funciones , y movimientos.
Lo primero , porque el cabo del mufculo eftá aplicado, y
afsiao cerca del centro del movimiento del bueflb ; Y
por configuiente, por poco que alli mueva, es grande
el movimiento en la extremidad del huello, tag diftante
del centro, y déla aplicación de la potencia. Lo fegun-
do , porque fiendo ei mufculo , como he dicho , com-
puetto cíe inumerables feri« de fibras , que divididas
en pequeñas concavidades , ion femejantes á la íerifi
de la figura 58. no ha menefter hacer todo el mufeulo
dilatación muy fenfible para que fea bien notable fií
decurtacion ^ y el movimiento que ocafiona en los miem-
bros:
L I B 11 o VI; . 'I4t
bros ! porque la mifina decurtacion , y contracción
que haría todo el mufculo , fi folo conftaíTe de una
concavidad total , como la vexiga de la figura 57.
con gran dilatación , hace dilatándole muy poco , con(«
tando j como confía , de diferentes concavidades , d
poros comunicantes ; y para que eflo fe vea con evi«
dencia»
Sea en la figura 61, AD una fibra muícular , la qual
f>ara acortarle ñafia quedar en AC j y levanta/ el pe-
b defde D hafta C , naya de dilataríe todo lo que es la
BB. Supongamos aora « que efta fibra confte de 4. re*
ceptaculos , como vexigas iguales. Digo bailará , que ca-
da una de ellas fe dilate fblamente quanto es la OG , para
que el cabo del muiculo y Juntamente con el pefb pen«
diente , fuba de D haíia C^ La razón es , porque los lados
AB, BC fon iguales a los ocho lados AH , HF , FG , &c.
de las 4. veficulas menores ; porque FG es igual á HK,
El á KM , NL á BM : luego todas las quatro AH , FG,
El , NL, fon iguales á toda la AB : y de la mifma fuerte íe
demonflrará fer las HF , GE, &c. iguales á la BC : luego
todos los ocho lados de las concavidades pequeñas ion
iguales i los AB , BC : luego la decurtacion de la fibra de
AD hafta AC , es la mifma , fiendo única la concavidad,
que fieiklo quatro ; pero tiendo quatro , es la dilatación
lateral de toda la fibra en la decurtacion , folamente
lo que es la FG ; efto es , la quarta parte de £B : luego
con mucha menor dilatación lateral fe hace la decur*
tacion , haviendo en cada (crie muchas cavidades, que con
(bk una. Y fi en lugar de las 4. cavidades fe pufíeífen en
la ferie 4000. fe elevaria el pefb á la mifma altura DC,
y la dilatación , é intumecencia feria 4000. veces me-
nor , que la ABC. Confiando pues cada ferie mufcular
de inumerables concavidades , fe hará la decurta-
cion, y movimiento.de el mufculo fin notable intume-
cencia.
No dudo concurren en los mufculos otras circunftan-
cias que conducen mucho para fiís acciones , como fe
puede ver en Alfonfo Borelo , Thomás Bartholino , y
otros
34^ Trat. IX. De ia Maquinaria.-
otros Autores ; pero bafta lo fobredicho para nueílro
intento.
De que fe íoüge íUrxmtnte lo mutho que conáuct ejie Tta-
ttdo de U Maquinaria , ¿ Mecánica , para la explicación , i
irueligencta de las cofas de la natutaUz.a , tujas optjOíioBes
regularmente fe txtman per moytnuerao local.
F I N.
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