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Full text of "Compendio mathematico: En que se contienen todas las materias mas principales de las ciencias ..."

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J 



^ ' 



3^ - 






COMPENDIO 

MATHEMATICO 

TOMO III.: 



V I 









.A. 



• » » 






* ' . » / 



COMPENDIO 

MATHEMATICO, 

EN QUE SE CONTIENEN TODAS 

las materias mas principales de las Ciencias^ 

que tratan de la Cantidad. 

QUE COMPUSO !: 

EL T)ocro% r^HpMAS 

VICENTE TOSCA , PRESBÍTERO DE LA 

Congregación deí Oratorio de San Felipe Neri 

de Valencia. 

TERCERA IMPRESaON. 

CORREGIDA , Y ENMENDADA DE MUCHOS 

yerros de Imprefsion , y Laminas , como iq 

verá el curiofo. 

TOMO III. 

{trigonometría. 
SECCIONES CÓNICAS. 
MAQUINARIA. 



Coíí Privilegio. 

E» Valencia : En la Imprenta de Joíeph García, Año 1757. 

Se balUríí en Valencia en la Libreria de Manuel Caveto Cortes^ 

CaUe de Campaneros i y en Madrid en la de Don AngH 

Corra<h , CaUe de las Carretas. 



f ' 






i 



APROBACIOtJ DEL SlñOR DOCTOR MIGVEL SÁSCUEZ^ 
PresHterotte la Congregación del Oramio de Sm Felipe Nerip 
y Examinada SinoM de efie Arz^iffodó de Vaknúa. 

• 

DE comiísion del Señor Don Franciíco Fernandez Ma« 
quilón , Dodor en ambos Derechos ; y por el IIuC- 
trirsímO) y Revcrendifsinio Señor Don Fray Antonio Folch 
de Cardona,por la gracia de Dios,y de la bantaSede Apof- 
tolica, Arzobifpo de Valencia,del Confejo de fu Mageitad, 
&c. Oficial, y Vicario General, he vifto el tercero Fotno 
del Curio, 6 Compendio Maihematico, que ha compueíto 
el R. P. Dodor Thomás Vicente Tofca , Presbítero de 
nueftra Congregación del Oratorio , y no he hallado en el 
(enténcia , ni palabra alguna que deídiga de la pureza de 
nueftra Santa Fe , y buenas coftumbres ; y fiendo las mate- 
rias que contiene de tanta utilidad para el bien publico juz- 
go íe puede, y conviene dar al Autor la licencia que (blicí« 
ta, ( íalvo iemper, &c.) En la Real Ca(a de la Congregación 
del Oratorio de Valencia á iz. de Julio de 171o. 

Dtffi. Miguel Sánchez^ 



Imprimatur. Imprimatur. 

DqEI. Maquilan^ P. Thomas Melgarejo^ 

VicGen* y Gamboa. 



Dsr- 






índice 

DE LOS TRATADOS , LIBROS^ 
y Capítulos , que en cite Tomo ter- 
cero fe contienen. 

TRATADO VU. 

DE LA trigonometría. 

LIBRO 1. De los Senos , Tangentes, y Secantes ; y del 
Canon Trigonométrico , fag. 3. 
DeHniciones, p/í^. 5. 
Cap. I. De los fundamentos , y compoíícion del Canon de 

los Senos, píi^. 6. 
Cap.i.Deios fundamentos, y compoficion del Canon de 

las Tangentes, y. Secantes , fag* 11. 
LIBRO 11. De los Logarithmós, p/íg. 12. % 

Definición única , fag. 13. 
Cap. I. De la naturaleza, y propiedades de los Logarith- 

vnos^ pag, 14. 
Gap.a. De la fabric* délos Logarithmos, /w¿. 25. 
Cap. 5. Del ufo del Canon Trigonométrico , y Tabla Lo* 

garithmica, p4¿. 32. 
Cap.4. Aplicación de los Logarithmos á diferentes opera- 
ciones, í»4:^. 43. 
Tablas Trigonométricas , y Logarithmicas, p4¿. 48. 
LIBRO Ilí. De laTrigofnomecriarecl:ilinea,p4¿. 49. 
D|efiniciones, pag. 49. 
Cap. I. Theoremas fundamentales para la refolucion de los 

triángulos rectilíneos redangulos, pag. 49. 
Cap.2. Déla refolucion de los triángulos redilineos reáan- 

gulos, p4¿, 51. 
Cap.3. Theoremas fundamentales para la- refolucion délos 

triángulos reólilineos obliquangulos, p4¿. 56. 

Cap* 



Cap.4* De 1^ reíblucion de los triángulos redilineos obE* 

quangulos, pag. 59. . 
LIBRO IV. Ifagogtóo para la reíbíucioh de los triángulos 

esféricos , ó curvilineos , pa¿. 68. 
Definiciones, pag. 68. . . • 

Cap. I. De las propiedades de los circulps. máximos , y án- 
gulos esféricos, pdg* 70. 
Cap. 2. De las propied^es de los triángulos esféricos en 

común, p4¿. 7j.. ..... 

Cap. 3. De las propiedades de los triángulos esféricos rec-r 

tangulos, pag. 87. . 
Cap.4. De las propiedades de los triar>guk>$ esféricos obIi« 

quangulos, pag* 911 . .... . . 

LIBRO V. De la réfolúcion de los .triángulos esfericof 

redangulos, pag.oi. 
Cap. I. Theoremas íucxlamentál^^arar^la reíblucion de los 

triángulos esféricos reaángulos ^^pag. 98. 
Cap. I. De la refolucion de los triángulos e;5fericos redangu- 

los^pag.ioi. ' 

LIBRO VI. De la reíblucion de los triángulos esféricos 

^ obliquangulos, f4tg. i 1 3 • 

Capa\JCbeoremasfa»daaien tales paira la refolucion de los 
triángulos esféricos obliquangulos x^uaado fe dan cono- 
cidos!, ang. y i. lado,Ó2.1adóSyy i. ang. pag. 114. 
Cap;í;Thcorentísrfiiiidftmfntaí«S'4Mkra Ja jeíolucion de ip$ 
triángulos esféricos obliqúat^ulos^ai'que fe dan conoci- 
dos íus 3. lados, o fus 3. ángulos, pápi 1 8. . ; 
XDap&jl- En quefescé&idven ios triángulos .esféricos obli-^ 

quangulos, f4;g. 1264 
fÍJtiKéldlixáon de;lbs triapgiilos e9Íerico$ obliquanguk^si 

en que íe dan tres panes alternas^ pag. 127. 
S. 2. Refolucion de los triángulos esíctricos obliauangulos^ 
. eniquefé;dandQ$paíteaalterDas,y.unaintefmed.p4j.i30« 
§.3. Reíblucion de los triángulos esféricos obliquangulos, 
; .£0 que fe dan 2'.paí'tes álteroas^y i«Qpuafi|i, fog. 137.. 
Apéndice, p4g. 144» 



TRA- 



— j 



TRATADO VIII. 

DE ZAS TRES SECCIONES CÓNICAS^ 

Elipfs y VarabolA , i Hiftrbola, 



D 



Efinicioncs comunes, fag. i(So» 
LIBRO I. DelaElipfe, fag. 162. 
Definiciones, £4^. 162. 
LIBRO II. De la Parábola, ;4¿. 198. 
Definiciones, fag. 198. 
LIBRO III. De la Hipérbola, fag. 2 50» 
Definiciones, fag. 230. 

TRATADO IX. 
HE LA MAQUINARIA 

LIBRO I. De los principios de la Maquinaría , y raaon 
phifico-mathematica del aumemo de la potencia pof 

las maquinas, fag* 267. 
Definiciones, fág. zóy. * » 

LIBRO 11. De laprime^a maquina fundamental, llamada 

Barraco Palanc a, f4g. 277. . 

Dcfiniciones,p4g. 178*, 
LIBRO IIL De la fegunda maquina fundamental,llamada 

Torno, Argüe, ó Exe en la rueda", fAg, .299. 
LIBRO ÍV« De la tercera maquina fundamental, llamada 

Carrillo , ó Garrucha , fág* 5 1 !• / 
Definiciones, p4^. 31-1. 
LIBRO V. De la quarta maquina fundamental , llamada 

Cuña, p4|. 321. 
LIBRO Yl. De la quinta maquina fiíndarnental , llamada 

Rofca, y de algunas maquinas compueílas^ fag, 327. / 



/ 



TRA- 



lEE DE IMATÁS DEL TERCER TOÍÍO. 

« 

PAg. ^T^Iin. i8. mimos 9 lee mifmos. Pag. 189. lin. 16. 
lifta, lee hafta* Pag. 28^. lin. 12. es^ lee el. Pag. 341. 
Un. ij. CXj, leeFG. 

Certifico y como el tercer tomo del Compendio Ma* 
thematico , que compuíb el Dr. Don Thomás Vicente 
Toíca , de la Congregación del Oratorio de Sm Felipa 
Ncrí de Valencia ^ eíB conforme con el antiguo impreí^ 
Ib y que firve de original ^ íi (e tienen preíentes ellas erra» 
tas. Madrid^ y Agofto 29. de 1757. : 

é 
« 

Dr. Don Manuel GonzMezt O/tov, 
C$mñ» ¿tniTéU fof S. MAgeJtái. 



^ 



Sfi< 



SERJEDELOS TRATADOS. 



TOMO L 

1. Geometría Elementar. 
z. Aríthmetica Inferior. 
3* Geometria Pradica. . 

TOMO II. 

4. Aríthmetica Superior* 

5. Algebra. 

6. Muíica. 

TOMO Illé 

7. Trigonometría. 

8. Secciones Cónicas. 
5^« Maquinaria. 

TOMO m 

10. Eaíltíca. 
1 1 • Hidroitat¡ca« 

12. Hídrotechnia. 

13. Hídrometria. 

TOMO V. 

• 

24. Arquitedura Civiji. 



15. Montea , y Cantería* 
16 • Arquitedura Militar. 
17. Pirótechaia^o Artillerü 



TOMO VI. 



18. Óptica. 

19. Perfpedíva. 

20. Catoptrica. 

21. Dioptrica. 

22. Meteoros. 



TOMO FU. 

23. Aílronomia. 

TOMO nu. 

Aílronomia Prádica» 

24. Ge^raphia. 
2;. Náutica. 

TOMO ÍX. 

16. Gnomonica. 

27. Ordenación del tiempo. 

28. Aftrologia. 



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•(O* 




TRATADO Vp 

DÉLA 

trigonometría. 




1 Rigonometría, f^n la etimdogid de fíi 
nombre , es 16 mifíno , que ídedida de 
Triángulos; y cbnfidcrada íWun toda cf- 
ta extenfíon , comprehenae todos los 
Theoreinas, y Problemas, que demueí^ 
tran , yenfdían el modo de medir los 
lados , y áreas de los triángulos; pero 
en el tratado prcfcnic , folo entende- 
mos por TrigMemetriá m» ciotcia que tnftñú ti $tude de refol' 
yer los triaupdas. 

La refrüíion dt iot triangules , conlifte en una artificióla 
inquilictob' de ¡oslados, y ángulos ignorados, deducida 
de los que ft ftponcn conocidos; y porque la ijigonmutrtá 
enfeña eftareTokicion^ fe llama Citmia Analjtic* , ó fo/óJ»- 
rtiw. 

Dos eTpectes hay de triángulos , unos^/iM«f, yuñ'^ 

neos ; otros esftr'noí , y turvüinegs. Los triángulos píifnM , y 

reñiiiHtQs, fon los que le forman con lineas redas (obre una 

, fupcrñcie plana. Los esftricu , y turviünets , Too los que en 

TmollU A la 



2 Trat.VII. Db 1.a Trigonometría. 

la fuperfície de la esfera fe forman con tres arcos de circu- 
lo; máximos* . 

Conque la Trigonometría es en dos maneras , flana^ ó 
teRUinea , y esférica , q íuryilinea. La primera enieña la re- 
fducion de los triángulos planos ; y la fegunda, la de los 
esféricos. 

La utilidad, y necefsidad de la Trigonometría , es bien 
notoria, pues apenas íe hallará parte aiguna en la Matbe- . 
matica ,^ae no neceísite de ella, afsipara acuitar fus ope-- 
raciones , como para aumentar fus Problemas. Hállale ya 
en nueftrbs tiempos en gran manera fácil fu exercicio: con*> 
fiíte ^e i como he dicho, en ícíblver los triángulos, inli- 
fiéndó^po/ regla de tres el coiiociiñiento de los ángulos i y 
lados ignorados, de la noticia de los que íe fuponen dados^. 
y conocidos , para Ic^ quat íe requiere neceflariamente fa* 
ber la proporción que en qualquieira circulo tienen las 
cuerdas entre si , y con el radio : porque como dixe en lá 
Gemetrl Itement. en el corol. de hfropoj. i. áellibr. 8. los 
afcbs , y cuerdas de diferentes circuios tienen entre si' la 
mifma razón que los radios : conque fabida en qualquiera 
circulo la r^zon que tienen las cuerdas con-d^ radio , íe-in- 
íerirá en todos los demás por regla de tres la magnitud de 
ílis cuerdas del conocimiento de otras, y por coníiguiente 
íe conocerán los arcos, y ángulos que les correfponden ; y 
porque los lados de quaiquier triangulo , ion cuerdas del 
circulo j que fe le puede cijrcunfcrivir por la fropof j. del 
lib.^ de Éuclides, fe fabrá por dicha regla ile tres quali 
quiera lado , y ángulo , íabida la proporción que tienen las 
cuerdas entre si, y con el radio. 

Ella proporción fe halla en las Tablas llamadas Canoif 
trigonométrico , inftituidas para efte fin, de las quales fe va^ 
lieron los Mathematicos , aunque CQn la fatiga de la mul- 
tiplicación , y partición de números muy crecidos , haí^ 
tael año 1 614. en que Donjuán Nepero, Cavaller o Et 
coces, Varón de Merchifton, halló el artificio noble de unos 
números , llamados Logarithmos , que íubllituidos en el ca- 
non. trigonométrico , en lugar de los antiguos , han facili- 
tado en tapto grado las operaciones , que fe reíiielven en 
jnedos de nna ñora mas triángulos , que por el canon an^ 



Libro I. | 

tiguo íe rdblvian en muchas , con lo que han coníeguido 
las ciencias Mathematicas , la dicha que exprelia el 
Obiípo Caramuel, en la forma (iguiente. 

Metitur Terram » Mare , Vemos , Afira Matbefisy 
Antiqtu mmmji tnnfwc ; mfita » fntvi. 
Efte es en breve el exercicio, y progreílb de la Trigonme^ 
tria , que con la brevedad , y claridad poísible explico en 
efte tratado. 

LIBRO I. 

DE LOS SENOS, TANGENTES, 
y Secantes» y del Canon Trigono- 
métrico. 

DEFINICIokES. 

I nit /F^üáádtqHAlqmr ángulo rtíülnm^ es^ÍMCoéé 

\\/m ckculú defífito del fimf cu qui cmcunen Ids 

JL y JL ^^^^^ j 7 ^omfreheudido entre ellas. Suponeft 

qualquiera circulo dividido en 560. gra^ 
dos;» cada grado en 6p* minutos , cada minuto en 6o. ie« 
gundos , cada fegundo en 6o. tercios, y afsi infinitamentee 
y por exemplo, íi el arco CB ifig.i. ) es de 42. gradps, Y 
24* minutos, diremos, que el ángulo CAB , esde42..graa» 
Y' 14. minut. y aísf do Im demás. 

' : z Complemento de sw Mgub agudoy ú.deun ano menor qno 
el quadrante , es lo qste U falta para igualarfe non el quadrante^ 
^'ion el femiúrciUo. Complemento 4e un awjulo obtujo y i de un 
arco major que el quadrante^ es lo que le falta para igualar fr con 
¿I (ermcnculo. Y aísi el complemento dd ángulo agudo 
CAB , ü del arco £B , hafia el^adrai^t^ es el arco CF^ o 

A> an- 



4 TRAT.yiI. Di LA Trigonometría. 

ansulo CAF > y haflla d femicircalo es el arco CD'^ ó an^ 
gmo C AD ; y el complemeato del ángulo obtufo DAC, ó 
arco DC, es el ángulo CAB, 6 el arco CB. 

3 < Cuerdoy a fubtenfa. de un atcoj es U ftSU que.jiM4 Us ex^ 
tremidades del arcó: comoCG^es cuerda.del arco CBG^por- 
^e junta ius extremidades ; y como cambien junte las del 
ftrco CDG^ es también cuerda d& dicbo.arco. . : ^ . 

4 Sino teño , hfeno f tintero de un arco , o angulü, es laper-- 
fendUular ^ que cae de la extremidad del arco ^ fme eí diámetro^ 
auefaffa for la otra eí^tremidad : como el leoQ redo., ppri- 
n)crp del ángulo CAB , ü del arcó CB, es la perpendicular 
C£ , que cae de la extremidad C del arco fobre el diámetro 
DB, que paila por el otro extremo B. 

De que í^ infiere, que el (eno rec<6 , ó prín^ero de un ar- 
co , es la Aitad de la cuerda del arco dup4o , porque (3* 3. 
Eucl.) CE es la mitad de CG, cuerda del arco CBG, duplo 
4é CB, . También ie'iñfierei^qiie áísi"'cótno.CG és junta- 
mente cuerda del íuco CÓG , y deí arco CDÍG, afsi tam- 
bién CE es juntaiÁente l^no recto, 6[pfimeród©l ^r^o CB, 
mitad de CÍJG , y del arco CFD, tpitad de CDG : conque 
el leño redo de un arco', ó ángulo V es juntamente íeno rec- 
to, ó primero del complemento de dicho arco , ó ángulo al 
femicirculo. >" • 1 

Adviertafe , que Jiempre que fe halle abfolutanume efie wmt^ 
Vite fino, fr ha áic entender el Jino reno, d frimer0* ^ 

5 Seno figuüdo ,* $ jeno del camfUmenia de un arcó , i ar^gulo 
os eLfeno reéta , o frwterodei lomflenunto de dicho arco, o ángulo: 
como-Ci', que es leño» redo , ó primero del arco FC ,* es 
íeno fegundo, ü delcorapiement»-, reípedo del arco C^ 

y' Ce Uáma feno dH conrf Inatento de CB , por i^ feno primero 
delisrcoFG, que es complemento de ¿C, hafta el quadran- 
xc. tLfcoo fegnüifo de un ángulo obtulo.^: ó. arco mayor 
que el quadrante , es el miímo íeoaoédo , ó primera del 
arco en- que excede al quad rante ; y a£si el arco DFC , cuyo 
leño primero es CE , tendrá por ieno íegundp la XC , que 
e$ iono redo del arco FC , en que DFC excede al quadran- 
te DF..^ 

6 Seno todo, o'total^xs el feno reüoAel ipiadrante , o arco de, 
^o.gitad. elqualef-tíifmfnio radio. Yaísi^l radio FA es feno 

to- 



Libro I. . f 

totat, por (cr leño dd quadrame FB. £1 íeno total , es d 
inayor de todos los íeoos redos, porque los arcos niayores^ 
que el quadraote, tienen fu íeno redo menor, que el radio^ 
como confta de lo dicfafi> arriba. 

7 Seno verjby o fágfiOy es la forcion del diámetro^ w/ifrAen- 
Jkda tíOíe el feitoreSode tmatío^j el tm/méfeo. Y aBi £B e^ 
el (eno vería del arco CB : afsimilíxia £D , es el ieno vertb 
del arco CFD. De que fe colige, que él feno verfo de un ar- 
co menor qtieel Quadrante , ü de un ángulo a^udo, es !• 
queíbbra del raaio, (i de éfte íe quita elieno Inundo: co* 
mofi. del radio ABfequitalC, ó A£ fu igual, elreíiduoi 
EB es el íeno verfo del arco CB ; pero el Icno verío del án- 
gulo obtuíb DAC , üdel arco CD. , es igual á la f^ma del 
radio DA, con AE, feno íegundo de dicho arco* 
L .8. Tangente y gener'alnfente es qádípiieta ¡mé , qu€ to^A d 
arado en un pnnio , j esferftndiíuUr á la exnamdad del radio^ 
(i6. j.ítfc/iá,) 

9 Tangente effeáal de un arco , es la re^a'qne toca alareis, 
lo en la extremidad de aquel arco , jfe termina en el concurfo de 
otra reSa , tirada deUentrofor la otra extr^miad del náfmo asr^ 
co: como la reda BH, es tangente del arco CB, y eita íe lla- 
ma Mijcnr^ finura , á diferehcia de Ja t^nlgráte íc^nda*. 
Tangente fegunda de un arco menor que el quadrante , es la 
tangente primera del complemento del dicho arco al qw^ 
drantr; y afsi la reda FL es la tangente inunda del arco 
CB, porque es tangente primera del arco FC, coaiplemeD-> 
to del arco BC, halk el quadraote BF. 

10 Secante de un arco, es la reda, quefiUiendé del centro del 
firculo y fofa fot la extremidad de dkbo axco^ bafta encontrar con 
la tángeme* Secante frimera de un arco, estaque fe termina en 
fü tangente frimera. Tfecante fegunda , la que! fe temñna en U 
tangente fegunda del mifmo arco \ y aíst An, es la íecjante 
primera d(3 arco BC , porque íe termina en BH , tangente 
primera de dicho arco ; y AL es iecante íégunda , por ter- 
xmoarie en FL, .tangeoté. figunda del miímo arco. 

Adviértale , que los ángulos pb(u(i>$ ,. y arcos mayores 
queelquadrante, no tienen otras tangentes, nifecantes, 
que las de fus complementos al íemicirculo; y aísi, la 
tangente primera del arco DFC , es HB ; y fu tangente 

le- 



é Trat.VII. De ia Trxcíokometria; 

iegunda es FL : y alsimifmo , la fecante primera de didu^ 
arco| es AH; y la lécante inunda, es AL. 

CAPITULO L 

P£ LOS FUlílDAMENTOS y T COMPOSICIOV DEL CASOJÜ 

áe lis Sen$s. 

EL Canon Trigonométrico íe compone de los (eno^ 
tangentes , y fecantes de todos los arcos del qua-* 
di ante , defde el arco de un minuto , halla el de 90- gra-^ 
dos. ExpreíTaníe en las partes del radio , que proporcional^ 
m«ite tocan á cada uno ; porque como el radio, ó feno to* 
tal íea el principal, (e fupone dividido en looooooo. ó 
mas parte»; y (e buíbaquant as de eftas partes tocan á cada 
feno^ tangente, y íecante, con las quales (e ordenan las ta* 
blas. Ella cantidad de los íenos , fe halla con las propon 
ficiones liguient6s. 

PROP* I. Problema. 

CMocida U cuerda di un 4rc9j bdlar U cuerda del arc9 refia$t- 

te y bafiael fmkkcuh^ (fig^i») 

SEa conocida la cuerda AB ; eílo es , (epaíe quantas par-» 
tes tiene del diámetro CA; y (e buíca quantas de las di^ 
chas partes le caben i la cuerda BC. operación. Quadreíe 
CA) multiplicando fíi numero por sí miímo. Qgadrefe afsi- 
mifmo AB: reíleíe el quadrado de AB,del quadrado de GA, 
y el reíiduo ferá el quadrado de BC; y fu raiz quadrada fe- 
rá la cuerda BC. 

Demonftracion. El ángulo B en el íemicirculo es redo: 
( 3i.5.Eucl. ) luego (47. 1.^)^1 quadrado de AC , es iguala 
los quadrados de AB, BC : luego, reliando el quadrado de 
AB , del quadrado de AC, el reíiduo ferá el quadrado de 
BC, cuy a raiz es el lado BC. 



PROA 



L I B R 6 L 7 

PROP. IL ProbJcma. 

Dddotlfenoprimetpdeunarco^ baUar el feno fegumh j n del 
CiffiiplementQ del mi fino arco, (fig*^») ^ 

DAdo CB y (eno primero del arco Ab, ie buíca FB, fe- 
no íegundo delmiímo arco, ü del complemeato BE* 
Opéraüon. Refteíe el quadradb de CB, del quádrado del 
radio DB , y el refiduo íerá el quádrado de DC , u de FB 
(u igual; y fu raizquadrada (era d ieno VB. Demueítraíe 
como la antiecedente, por (er redo eLangulo C. 

PROP.m. Problema* 

Dado el fino de m arco j ballarel fenodelarco dufUyjdd 

fubdufío. (fig. 4* ) 

COnodda la reda CF , íeno redo dd arco CG,íe buíca 
DE , (eno redo del arco DC, duplo de CG. 

Operación. Buíqueíe por^ la antecedente el (eno (cgundo 
del arco CG, que es Bt; y hagaíe una regla de trcRcomo el 
radio BC, al (eno (egundo BF, aísi toda u cuerda CD, que 
es el (eno CF duplicado, á la reda DE , que es el (eno del 
arco DGC, que íe de(ea. 

Demonfir. Los triángulos BFC , EDC , (bn proporciona- 
les , por tener los ángulos E , F, redos , y el an^o C co- 
mún : luego íerá BC con BF, como CD con DE. 
. Conocido DE, (eno del arco DGC , (e conocer) el (eno 
CF del arco CG, mitad de DGC ; porque conocido el (eno 
DE , le (abe (2) el (eno (egundo BE; y rdftando éfte del ra- 
dio BC, (e conoce la EC ; y (lendo (47.10 los quadrados 
de DE, y EC iguales al quádrado de DC,(i (e (iunan dichos 
quadractos, y de la fuma (e (acá la raiz quadráda i (e &bri 
k cuerda DC, cuy a mitad (era el(enoFC. 

COROLARIO. 

EL feno de la flotad de marco ^ es medio froporcmal entre 
elfinutadiOj j elfemyetfo détodael arco; eftoesj CTjfeno 
del arco CGy mtadde CGD, es medio froforctonal entre la mitad 

del 



TraT. VH¿ De-1 A TntGONOMCTRIA; 

delraiüoBC, y ECjfeao veifo de tod$tlátco^CGD. Lá raz^n es^ 
forqueJiendafroporcmaUs lostridn^ulosBTC^ DEC y ferk el ra- 
dio BCÍ concomo CF A £C '.jfienda BCkCDy como U mitad 
deBC} lumfAd de CD , fita la mitad del mboBC á U mta4 
deCD^efio esy 4 CF, como CF aCB. 



PROP. IV. Problema. 
Dados los finos de d)s arcos , hallar el fino del agregado de 

dichos arcos, (fig^^*) 

SUponcnío conocidos BG , íeno del arco AB ; y CI , íe- 
no del ajeo BC : y íe buíca el feno CD , que lo es del 
arco CA , compueíto de los. dos AB , y BC* 1 irele la IH, 
paralela á BG ; y la El , paralela á FA. operación. Hallefé 
(x.) la FI, íeno legundodel arco CB, y hagaft una reglada 
tres : como el radio FB alieno legundo Fl , afei el feno BG 
al quarto término , y íaldrá la recta JH. Hecho etto, buC- 
quele (2.) FG, feno legundo del arco BAjy ft formará otra 
regla de tres : como el radio FB al feno f^undo FG , afti 
CI , íeno primero de CB , a la linea CE : fumele C£ con 
IH , ó ED fu igual , y ferá la fuma toda la red^ CD , feno 
del arco AC. 

Demonjlf, Los triángulos FÓD, FHI , FGB , fon equián- 
gulos , por íer reSangülos , y tener el ángulo F comun« 
Tambi^ IwtriangulDs FOD, COI, fon equiángulos, por 
íet rectángulos en D , y en I , y tener los ángulos en O ver- 
ticales iguales; ( 15. i. ) afsimifmp fon. equianguios£IC, 
01C:.( 8,6.£ucl. ) luego Jos triángulos, EIC, FHI , FGB, 
. ion equiángulos: luego ¿4. ($..Eud.) ferá FB radio, áFI 
íeno íegundo de CB , como BG , feno primero de BA , 4 
IH , ó ED fu igual : y aísimifmo como FB radio , a FG, 
:ftpo legundo de BA : aísi CI , feno primero de CB, á CE, 
que añadid^ áJED) hace todo el.feno CD, que fe bulcava. 

' PROP. V. Problema. 
Dados los finos de düs arcos y hallar el fino de la diferencia de los 

mi finos arcos, (fig. 5. ) 



s 



Ean conocidos BG , íeno del arco AB ; y CD, íeao del 
arco AC j y fe bufca el feno CI del arco CB ^ que es la 

di- ' 



_ iíej^encia de los arcos AC, AÍJ. Operacm* Hallefe (z) FG, 
fenoíeguiído del arco AB ; y FD , (eno ícgundo del arcó 
AC j y hag^e efta regla de tres : como FG , Icno fegundo 
del arco AB, áBG, feno primero del mifmo arco, aísi FD^ 
feno íegundó del arco AC, á DO : refteíe DO de DC, feno 
del arco AC, y elreíiduoíerá la linea OC. Hagafe aora 
otra regla de tres : como el radio FB , á FG , feno fegundo 
del arco AB, afti OC, a CI, feno primero del arco CB ,{que 
fe buícava. Confia de lo dicho en la prop. anteced* 

PROP. VL Theorema. 

Losfenos de los arcos muy f equinos , tunen entre sifenfibUmente 

la mifma razjon que los arces. 

Supongamos dos arcos , el uno de un mii\uto , y el otro 
de un tercio de minuto» Digo , que por fer tan peque^ 
ños , tienen fenfíblemente fus fenos la miíma razón que di^ 
<^hos arcos ; ello es , que aísi como el arco de un minuto es 
triplo del arco ,que vale un tercio de minuto , aísi el feno de 
aquel ferá , aunque no en todo rigor , pero feníiblemente, 
triplo del feno de éite. La razón es , porque al principia 
del quádrante la circunferencia del circulo es perptndicu*-, 
laral diámetro í y Gendo tapiibien los fenos perpendicula- 
res al diámetro, y tan poco diílantes del arco por fu peque** 
ñez , coinciden fenliblemente con la particula de arco , de 
quien fon fenos : luego fenfiblemeote tendrán la mifma ra-*: 
zon qiie los arcos. 

PROP, m Theorema. * 

• » 
La cuerda de 6p« grados es igual d radiQ. 

LAra^^on es clara , porque todo el circulo confta de 
560. grados, cu va fexta parte fon 60. grados, y por 
copliguiente , la cuerda de 6o* grados, es el lado del exágo- 
no ; efte es igual al i'adio: ( cor ciar, delaprop.i^. lib. ^.deU 
Geom. PraS. ) luego la cuerda de 60. grados es igual al ra- 
dio. 

Mjlasprofaficipnes fon baftan tes para fabricar la tabla de los, 

fenos, 



TD Trat.VII. De t a Trigonometría^ 
fenosy c&mo veretnos en la fropof^Jígmente: a mas dit eÚas háj mop 
quejirvenfara difmmuir ti trabayi ; ftro €0m$ Us tablas tfiénjM^ 
fabricadas y bajlan las fúbrtiUchas para que fe entienda el fimda^ 
nkntp en que confiften , que es umamente lo que fe pretende. 

PROP. VIII. Problema. 

Fabricar par las reglas febredichas la Tabla de ks fen$f. 

I Q'Upongaft el íeno total , ó el radio dividido en un 
i3 cierto numfero de partes, que fta crecido, como en 
looooooo. efte (7.) es igual á la cuerda de 60. grados: 
Riego íu mitad es el íéno de 50. grados. 

2 . Sabido el leño de 30. grad. (efabrá (5.) elfenodela 
mitad de dicho arco, que es de 15. grad. y íabido ¿lie, íe 
íacará el de 7. grad. 30. min. que es el de (u mitad : luego 
el de 3. grad. 45. min. y alsi coníecutivanfente fe irán ha- 
llando los fenos de los arcos fubduplos , haíta llegar al feno 
del arco de 5 2 .íeg. 44.ter. 3 .quart. 45 .quint. 
• 5 • Hecho efto , fe bufcará ¿1 feno de un minuto en efta 
forma; porque el ultimo íeno que fe ha hallado de 2 5.feg. 
44.ter. &c. es muy pequeño , como también el feno de un 
minuto, tendrán entre si (6.) la miíma razón que fus arcos. 
Reduzgafe pues el arco de 52.reg. 44.ter. 3.quar. 45.quint. 
i quintos, qué es la ultima efpecie, y ferán 113 9^062 5. quin- 
tos. Reduzgafe también á quintos un minuto , y ferán 
12960000. quintos; y fe hará una regla de tres-: como 
1 1 590625. a 1296000(5. afti el feno que fe halló délos 52. 
feg. 44.ter. 3.quar. 45.quin. al feno de un minuto, y fe ten- 
drá elle feno. 

4 Hallado el feno de un minuto , y los arriba dichos, 
fe hallarán todos los intermedios que faltan hafta jo. gra- 
dos, porque hallado el feno de un minuto , fe hallará (3.) 
él de aos minutos ; y afiimifino , hallado el feno de 2. min. 
fe hallará el de 4. minutos : luego el de 8. min. i6.min.8tc. 
y de los arcos duplos , como fe liguen hafta el feno de 17. 
grad. 4.min. 

5 Los demás intermedios, fe hallarán por la propof 4. 
conefte orden: Dado el feno de i.min. y el feno de 2.min. 

fe 



L I B R e L . 11 

íe hallará el íeno de 3. min. Dado el íeno de 4. min. y el fe- 
no de I. min. fe hallará el leño <^^^» Y ^^i ele los demás, 
l^oAa que leliayan hallado todos, nalta llegar al de jo^gra* 
dos. 

\ 6; Hecho dio, íe hallará el íeno de 45. grados., ü del 
medio quadrante en elta forma : Duplique(e el quadrado 
detradioDA,(£^.i.^) y elle duplo íerá el quadrado deDF, 
(47.1;) que es la cuerda de 90. grados: íaqueíe la raiz qjua* 
dradadel mtfixio duplo, y fe fabrá la DF , cuva miiad icrk 
la DK, íeno de Jos 45. ^ados ; y proíiguienao con el mií^ 
mo artificio, que atites fedixo mim.4. y 5. íe (acaran los 
íenos de todos los arcos que hay entre 30. y 45. grados. 

7 Últimamente , los leños de los demás arcos naíla 9o. 
grados , fe hallarán por la frofof. i. poc £er los íenos íe- 
gundos , ü de los complementos al^ quadrante, de los que íe 
lianJiallado. 

CAPITULO IL 

xa LOS FUSDAMESTOS, T COMPOSICIÓN DEL CÁÍÍOn 

de las Tangentes , y Secantes^ 

PROP.K. Theorema* 

* * ' • . 

Cmo el fenfifegundo AE (fig.i. ) del arco BCy al feno primero EC 
del nújino arco , afsi el racÚo AB, 4 la Tangente Btf. 

DEmonflf ación. En el triangulo ABH , es el íbno EC pa- 
ralelo ala tangente BH : luego (x.é^ucl.) íeráAE 
áEG, comoABáBH. 

De aqmfe colige , que para bollar todas las tangentes , fejor-- 
mora una regla de tres : como elfenofegundo de un arco , al fenf 
primero del nüfino arco ^ afsi el radif i la tangente del mfinoé 



PROP. 



tt TlCAT. Vil. De -lA TllIGONOMETRIA«; 

PRQP. X. Theorema. 
ll radio es media, proporúandl entre el fenofsgmtdú de um srcm^ 
2 la Secante primera del rmfme arco ; j entre el feno primero ^jl 
^ ' Seca^ne fegunda yj entre la tangente primera , jf fegmuU 

del mijmo arco. ( fe- ^O 

DEmonfh. Por ícr E<J paralela a BH , ferá (2. 6. ) como 
el íeno íegundo IC, o fu igual A£, al radio AB ; aisi 
el radio AC, á la fecante AtL De la mifma fuerte el íeno* 
primero EC, ó AI, íu igual; es al radio AF', como el radio-. 
AC , a la (ecante AL. Aéimifino es la tangente primera 
BH, al radio BA, como el radio AF-, á ia tangente íegunda 
FL : luego el radio es medio proporcional entre los termi- 
nos arriba dichos. 

. Cümfe, de aqui^ quejkbido el fewi prmero^j fegundo de m§ 
arco y fefabran las fecantes primera^ y fegunda del mifmo i/fCo<, . 
formando ma regla de tres': como el feno figundo del radio y af si 
el radio a la fecante^riméra de dicho arco; y íambienyComo el feno 
primero de un arco al radio , afsi el radio a la fecante fegunda. T 
con eftoy 'j lo dicho en la prop. pajfada , fe formaran las tablas dt' ^ 
las tangentes , j ficantes. . 




LIBRO II. 

DE LOS LOGARITHMOS. 

LA reíblucion de los triángulos , que es el único fin de 
la Trigonometria ,iíeexccuta por la regla de tres, 
tomando del Canon Trigonométrico los íenos , ó 
tangentes de los términos conocidos, y multiplican- 
do el íegundo por d tercero,y partiendo el produdo por el 
f)rimero. Eftas operaciones no pueden dexar dé fer muy cañ- 
adas, por exercitarfe en números tan crecidos : con todo 
eíTo ufaron de ellas los Mathematicos^hafta qu^ hallados los 

Lo- 



Logarithmos por D.Juan Nepero,y perfícionados por Enri- 
que Brixio,y Ádriaéo ülac, íe ii«rodnx*on en el canon t¡ i- 
gonometrico, en lugar de los números (bbredicbos , con lo 
cuefóíaci&taflbrí to gran manei*a 1^ operaciónes:'porquelbla 
la íiusia de^Ios Logaruhmos, hace lo que en los otros núme- 
ros hacia la multiplicación; y la refta,lo que la partición: lo 
qual , noíblo eVita la prolixidad^ ii aue aiTegura mías H 
dcierto. La' naturaleza , propiedades, fabrica, y ufo de lú$ 
ILogarithmos , &ii la materia de elle Ubre* 

DEFlNICIOívr ÚNICA. - 

Logarithmos fon unos números artificiales , que froceden w 
' frogrtfs\in ^ahmeticd , fubfiituidos , y correffondíemts i 
9tfos , que poceden en frogrefsion Geométrica. \ 

Exflicacion. Sea la ierie A , compuelta de números geo* 
métricamente proporcionales, que procedan en qualquiera- 
proporción: á fu lado haya otra ferie de otros tantos núme- 
ros arithmeticámpente proporcionales ; eífo es, que ft; éxc^ 
dan eo igual exceíTo ^qualquiera que fea/jomo en la ¿ríe ^ 
tjtie fe exceden en la unidad; ó ep la ferie C,que(e exceden 
«n 2« ó en la D en t • &c. Los números de qualquiera de la$ 
^rogrefsioncs B , C , , &c. ion logaritnmos de los que 
componen la ferie geométrica A , cada uno de fucocreA 
ponaiente : como el 6. de la ferie B, es logar ithmo del 32. 
y afsiraifmo el 1 2.de la ferie C*, y él 16. de la D, fon tam- 
bién logarithmos del ja.y aísi de los demás. 
. ' De aquí fe'col^é poderfe efcoger para logaritbmofi 
qualquiera progrefsion arithmetica ; como también para 
Dumeros geométricos fe puede elegir qualquiera ferie geou 
métrica , peía no con igual conveniencia , como fé veril 
deípues. .w . 

- A« B* C« JD* 



\ 



* /* 



' i 



I 


I 


a * 


X 


» « 


2 

i 


1 

3 

4 


i 

8 


4 

7 
10 


4% • •• • 


x6 


J 


lO' 


15 


. 


?* 


6 


13 


i6 


A V \« • 1 


<4 .' 


•7 


J4 


19 


. • • i' •• 

CA- 



14 TuAT. VIL De la Trigonomethi a; 

CAPITULO L . 

r * 

DE LA UATVEALBZA , T FKOFIEDADES DE LOS 

Logmthmos. 

LA naturaleza , y propiedades de los logarithmos ^ ü 
funda en las propieoades de las progresiones arith* 
mélica , y geométrica , como íe Verá en \as propoíiciones 
figuicntes. ' 

PROP. I. Theorema. 

En qudlquiera progrefsion AritbfnericOj UfunM del frimerayy uí- 

timo termino^ es igual a U fuma de otros qualifquiita dos term* 

, nos igualmente difiantes de los extremos ; j es Jupia del 

termino medio. 

EXplicaíe en la íiguiente progrefsion arithmetica* 
4* 6. 8. lo. 12. 14. 16. i8. 104 
La fuma de 4.y zo.que ion los extremo$,es Z4.Digo,que 
también la fuma de 6. y i8. la de 8. y 16 Ja de lo. y 14* 
y el duplo de 12. termino-medio , ha de fer 24. como que^ 
da demonftrado en la Aritbm. IníerJí^. $.*frof» z.j 5* 

COROLARIOS. 

1 ^V\E lo dicho fe colige , que las fumas de qnaUfquiera dos 
' \jy términos , igualmente difiantes de los extremos , fon 
iguales entre si; y al duplo del termino que efia en medio; porque 
pendo todas iguales a la fuma de los extremos y lo han de fer tam- 
bién entre sí. 

2 En quatro cantidades arithmeticamente proporcionales^ 
aunque nofean continuábala fuma de lapimera^j quarta^es igual 
a la fuma de la fegunda ^ y tercera ; conque fi de la fuma de la 
fegunda ,y tercera fe quita la primer ay el refiduofera la cantidad 
quarta. Exemplo. Sean las quatio cantidades arithmeticamen^ 
te proporcionales 4. 6. :; 18. 20. la fuma di 6.j 18. es 24. como 
también U fuma de 4. jr 10. j ft de 24. fe quita 4I 4. quedan 
20. que es el quarto mmim^ Cgnfia de^ hdicbOf 

'- 1' En 



LlB:RO n. If 

3 £if tns cantidades arithmetUamente froparcmales , U 
fuma de la primerajjf teñerais igual al dupUde lafegundaí con- 
que fi del duplo de la fegwída fe quita la pimerajftjtara U terco^ 
ray piorno tamien fe coUge^de lo dkho^ 

PROP. n. Theorcma. 

V 

te ^ 

El» cütíiefvma progrefs'wn Geométrica^ el poduño del primero ^ y 
fdtmo tetmiñOy es igual alproduíto de qualefquiera otros dos t^h- 
' núnos igualmhue difiantes de los extremos j j alproduSo del 

termino medio por si tmfmo. 

EXplicafe en la figuíente prc^rdsion geométrica, 
j. 6^ 12, 24. 48. 96. 192. . li^. 7689 
£1 produdo de j.por 768.0116 fon los extremos^es 2304. 
Digo, que también el produao de 6*por 384. y el de i2t 
por 192* &c. íerá 2304. y el mifíno ialdrá multiplicando 
48.aue c$ el termino que eftá en medio,por si miímo.Qger 
iia oemonftrado en la Arithm. Iníer. lib» ^.prof. 2 i.j 2 2« 

COROLARIOS. 

I "TX^ lo dicho fe injiere , que los produ¿íos de los términos 

I J igualmente dijiautes de los extremos , fon iguales entre * 
si j como también al produSo del termino medio por si mifmo , por 
fer tod^jguat^s al produSo de -los extremos* 

2 \Mn quatro cantidades geométricamente proporcionales , A 
poduüo de la primer a j j quarta^ es igual al produíío de la fegun^^ 
da , j tercera ; j por conjiguiente , Jí el produíío de la fegunda , y 
tercera fe parte pot.la fümira , el quociente fera la cantidad 
quarta. Confia de lo dicho , y fe demonfiro en la Arithm. Infer. 
lib.^.prop^i.y^ :. ^ 

J, En tres camuiad^s geométricamente profojícionales ^ el pro^ 
o de la primera y y tefcera^^es igual alprodufíoM la fegunda 
por si mifma : conque fi efie produjo fe parte por la ptimer^y fal- 
ira; en el quociente la cantidad tercera* Confia también de^ lo ílir 
choyjf fe demonfiri en la Árifhm. Infer. lií. ^frop. 3»/ 41 ! 



PROP, 



% 6 Trat. VII. 1)e L A Trigonometría; 

m. 4 

PROP. nL Theorcma. 



En quatro números geamemcamente frofarcionaUs ^ U fuma im 
ks UgAfithms correffomUenus á los medios y es igual áU 
fuma de los Logarithnios' íorrefpondientes 

a los extremos. 

LOs quatro números A. B. C. D. A. B. :: C. IX 
fean geométricamente proporcio- 4. 6. :: 8. 1 z. 
naleSjfta, ó no fea íu proporción con" i, }• 4. y. 
tinua : y fean £• F. G. H. los loga- E. r. Cj. H, 
ríthmbs cofréípondientes á los íbbre- 
dichos T.umeros. Digo , que la fuma de F. y G. que íbh 
iogaritbmos de los medios , es igual á la fuma de £• y H» 
que lo fon de los extremos. 

Demoñfir. Los logarithmos fon unos números arith* 
meticamente proporcionales fubftituidos j y corfeípon- 
dientes á los geométricos; peró-en^os* números arithmeti- 
camente proporcionales, la íuipa de los medios es igual á la 
délos extremos :•( Ofíí/^r. i\'frop. i.) luego lo mifmo 
ferá en los fobredichos.logjritnmos. 

COROLARIO. ^- • 

» • ' . . . ■ 

DE lo dicha fe Jigüe , que fi de la fuma de los logarhhfnos me* 
dios Vyj G, fe qutta el frimero E , el refiduo fera el loga- 
rithmo H, del quarto ternúno. 

PROP.IV.Theorema. 



4 I « 1 < I 



E» tres números geométricamente proporcionales ^ el duplo del Uh 
garitbmo cofnfpondiente al medh , es igual a la fuma . 
'de los iogarithmos correfponéentes i • 
los extremos. 

DBnonflr. Los logarithmos ion números arithmetica* 
mente- proporciónales , (ubftituidos por kS geome* 
tricamente proporcionales: pero (corolar. 5. prop. 1* ) en 
los números arithmeticamente proporcionales y el duplo 

del 



LiBno n. 

^ del medio es igual á la íiima de los extremos: luego tam* 
* bien en los logarithmos fobredichos. 

COROLARIO. 

EN tres números geométricamente froformndes , fi del iufh 
del logar itbmo del medio fe quita el logaritbmo del frime- 
roy el rejiduo fera el logaritbmo del quarto. 

PROP. V. Theorema. 

Si multiflicandofe dos números , froduxeren otro numero , la fu* 
tna de los logarithmos de los números multiplicados y fera igual 
a la fuma del logaritbmo del froduüoy y del íoga^ 

ritbmo de la unidad» 

EXplicaáon. Los dos números A , y B , multiplicahdoie 
entre sí , producen al numero C. 
' pigo, que la fuma de los logarithmos de D. A. B. C 
A, y B, es igual á la fuma del logarithmo i» 4. 6, 24. 
de C , y del logarithmo de la unidad. 
Añadafe antes la unidad D. 

Demonfir. Como fe dixo en la Arith. Infer. üb. i. Cáf» 6. 
el producto C incluye tantas veces al numero B , quantas 
el numero A incluye la unidad D: luego ion proporciona- 
les D á A , como B a C : luego los logarithmos de A , jr 
B (limados, fon iguales á la íumade los logarithmos de los 
extremos, eíto es, al logarithmo de la unidad D, y al de C 
juntos. 

COROLARIO. ^ 

DE lo dicbofe infiere , quefi en una ferie de logarithmos , el 
logarithmo de la unidad fuere z^ro , la fuma de los loga- 
rithmos coñeffondientes a los números multiplicados , fera igual 
al logarithmo del froduüo i jfor configmente^ lafumafolaeqiú" 
valdrá a la multiplicación de los números geométricos» la raz^n 
es , porque , como hemos demonftrado , la juma de los logarithmos 
de los números multiplicados es igual al logarithmo delprodudo^ 
y al de la unidad: luego fiendo efie logarithmo z^ro jferadie^afin^ 
ma igual al logarithmo del produílo. Lo que no fucedera fiendo nu- 
mero el logaritbmo de U umdad^porciue fnamenefier rejiarledela 
fuma de los logarithmos de los multiflicados ^ para tener el loga- 
Tomo lü. B íM- 



E 



lí Trat.VII. Di la Tricokombtkia. 

fíthmodelfroduílo. Por I a mi fina tazm UrefiáfoU de efios U^ 
gatifhniosy eqmváldra aUpartkm. 

PROP. VL Thcorema. 

Si un numero fe multifUu por si mifino , el duflo de fu logaritb^ 
mofera igual a la fitma del logarithmo del froduüoy ^ quA- 

dradojj del logar ithmo de la unidad. 
Xflicacion. £1 numero S , multiplicándole por si miímo, 
j, ^ produce á fu quadrado M. Digo , que 
ei logarithmo dcS, duplicado , íerá igual á la N. S. M* 
fuma del logarithmo de M, y del logan th- i. 4. 16» 
mo de la unidad. Añádale antes la unidad N. 

Lemonjir. Según lo dicho en la Aiith. Injtr. lib. i. caf. 6» 
clprodu(SoM incluye al número S tantas veces*, quantas 
el numero S incluye la unidad : luego íóu proporcionales 
NáSjComoSáM: luego (4.) el duplo del logaiithmo de 
Sy es igual á la liima de los logarithmos de N» y M. 

COROLARIO. 

DE lo dicho fi infiere , quefi en una ferie de logarithmos , el 
logarithmo de la unidad fuere el z.ero , ti logarithmo de 
la raiz, duplicado^ fera el logarithmo del quadradoyjf la mitad de 
ejie logarithmo , Jera el logarithmo de la raiz , for la razj)n dicha 
en el coroL de la fropof pajfada : lo que no podra fer^fiertdo nu- 
mero el logarithmo de ta unidad ; porque para tener el logarithmo 
del quadrado , fe havra de re ¡lar el logarithmo de la unidad , del 
duplo del logar ithma de la raiz,: como para hallar el logarithmo de 
la raiz. , fe havra de añadir al logarithmo del quadrado , el loga- 
rithmo de la unidad; pa mitad de eflafuma fera el logarithmo de 
la rmz,* 

PROP. VII. Theorema. 

Ü Logarithmo de la rd^c trtpiuado^ es igual al Logarithmo del cu- 

boyj ai duplo Logarithmo de la urádad. 

EXpücáuion. Sea la rai2 S , y (u cubo N. S. M. Qs. 
íca Qj Digo , cjueel logarithmo i, 4. 16^. 64. 
deS, triplicado^ es igual al loearithmo 
del cubo Q^ y ai logarithmo & la unidad duplicado. Sea 

M 



r 

Á 



L I B RO IL . ' If 

M' el quadrado de S ; y añádale antes la unidad N. 
Demonfir. La raiz S, multiplicando al quadrado M, pro^ 
duce al cubo Q^: luego {^*)lz fuma de los loearíthmos 
de S,y M, es igual ala fuma délos logarithmos de N,y Q;^ 
Y íicndo (6.) el logarithmo de M , con el logarithmo de 
N, igual á dos veces el logarithmo de S, feran el logarith- 
mo deS 9 juntamente con el de M , y el de la unidad N^ 
iguales a tres logarithmos de S : luego tres logarithmos 
de S, ion iguales á los logarithmos de S , y M , y á un lo- . 
garithmo de la unidad N ; pero los logarithmos de S , y 
M , fon iguales á los logaritnmos de N , y Q^: luego tres 
logarithmos de S .fon iguales á los logarithmos de N , y 
Q^, mas un logarithmo de N : luego el triplo del loga- 
rithmo dé la raiz S, es^igual al logarithmo del cubo Q^ 
y á dos logarithmos de la unidad N» 

COROLARIOS. 

I Qí en una ferie, de logarithmos , el de la unidad fuere x^ero^ 
i3 ^^ logarithmo del cubo es jujiamente el triplo del loga- 
rithmo de la raisL ; y el tercio de el logarithmo del cubo , fera el 
logarithmo de la raiz» : lo que no podra fer , jí el logarithmo di^ 
la umdad fuere numero^ como confia de lo dicho* 

1 El quadruflo del logarithmo de la raiz>y )untamente con el 
triplo del logarithmo déla unidad^ fera el logarithnuf del quor- 
drado-quadrado^ h quarta pote fiad; y afsi configutent^v^ente de las 
demás potefiades infinitamente : jiíi el logarithmo .de, la jumda4 
fuere sjero, íolo el quadruflo logarithmo de la raiz, fer^ el del quoí- 
' drado-quadrado ; y el quintuplo del logarithmo de la raiz^fe^a el 
de la quima fotefiad; y afsi de las demos. . 

PROP. Vm. Theorcma. 

Bxplkaufe las efpecies de Logarithmos. . 

LOs logarithmos pueden íer direSos , o retrogradosm 
DireSos ) fon los que íiguen el milmo tenor » y ordefl 
délos tenninos:geometricos.á» quien correfponden ; efto 
es , que crecen , y íe aumentan quaodo crecen los términos 
de la progre^otí gcoonetrica^ fif rnr^AJt/ i fon Jos quena 

Ba guar- 



lo Trat.VIL De la Trigonometría. 

guardan el orden de los términos geometricos,íi quequan- 
do éftoí íe aumentan , los logarithmos fe difminuyen ; y al 
contrario; conque ii á una progreftion geométrica, cu- 
yos términos fe van aumentando, le correlponde otra pro- 
greísion arithmetica, que también íe va aumentando , los 
términos de efta progreísion ferán logarithmos diremos; 

{)ero íi efta progrefsion arithipetica fuere decrecen te , de 
üerte , que íus términos fe vayan difminuyendo , quando 
los déla geométrica fe Van aumentando, fus términos ie- 
rán logarithmos retrógrados. 

PROP. IX. Thcorenuu 

Detertmndfe qual de efias dos efpecies de Ugaritbmos ftd 

U mejor. 

Digo fer indubitable , que los logarithmos diredos 
ion mejores, y mas apreciables que los retrógrados: 
jorque es cierto , que la ferie délos términos geométricos 
puede aumentarfe infinitamente; y haviendo de ir acompa- 
ñando la ferie de los logarithmos a la de los geométricos, 
íiendo éttos retrógrados , havrán de irfe difminuyendo , y 
decreciendo infimfamente : deque fe figue llegará á diP- 
minuirfe de fuerte, que fus términos ferán menos que nada» 
6 menos que el zero , y fe havrán de cxprcíTar con efte le- 
nal — , qiie íignifica menos^y como dixc en el tratado de 1& 
Algebra, dónde les dimos ^el nombre de números f alfós y 6 
negutms. 

De aqui fe íigue , oue aunque eftos logarithmos tengan 
las mifmas propiedades que fe han demonftrado en las 
propoíiiciones paíladas ; pero ion mas diíicultofas, y expues- 
tas a error las operaciones que con ellos fe exercitan: por- 
que no dexé dé caufar dificultad , fingularmente á los poco 
cxercitados en la logiftica de la Algebra, el fumar, y reftar 
los términos oue llevan los fignos -4* , y — , donde es fácil 
equivocar la luma con la refta : por lo que juzgan comun- 
mente los Autores , no fer conveniente ufar de eltos loga- 
rithmos retrógrados , ni aplicarles al canon trigonométri- 
co. Llegó Preconocer efte inconveniente Don Juap N«- 

pe- 



Libro n. U 

pero deípues de haver trabajado fiís TaUas eco logarith. 
mos retrogrades , el qual por hallaríe ya en edad fanA^^^ 
ño íe pudo aplicar i trabajarles de nuevo : lo que execut^ 
ron deípues Enrique Bríxio, y Adriano DJac^ con jí3o^u- 
cíon común de los Mathematicos» 

PROP; X. Theorema. 

Dt tas frogrefsmes Geomitrkds , U mejtr féord el hutni9 fn^ 
ftmt yCsU qiuemfUz^fn U unidad ,jr coMtmiidfus tenmms 
' en frefircmí decnflá^j de láu pro^efwMs Mtánmtiuu , U 
que emfiez^ for el z^úy y fiif tenmim fe exuden 



zjtres. \ 



■ 

HAviendo determinado en la propoflcion paíEida qu¿ 
progresiones íean mejores para efte intento, en 
quanto a la ei pecie , conviene determinar aora las mas pro- 
porcionadas en quanto al individuo. Digo pues lo prime- 
ro , que de inhnitas progresiones geometrícas , que ie 
pueden el^r para el caíb prelente , la mejor es la que tie- 
ne por primer termino la unidad ; y de las arithmcticas^ 
la que empieza por el serow La razón es , porque como 
conita del corolar. de la prefof, 5^ en Iblas eítas procrefiio- 
nes equivale la íuma (ola á la multiplicacioQ , yureíU 
íbla á la partición ,' por ia razón alli aicha : luego coa eP- 
tos logarithmos íeran mas &ciles , y bccvcs las opcra- 
.ciones. 

Digo k) (egnndo , que de las infinitad pmgrcíHones geo- 
métricas , que empiezan de la unidad^ es m^or la que pro- 
cede en proporción decupla de fíis términos , como i. lo» 
loo. &c. y de las infinitas arithmeticas , que proceden del 
zero j la mejor de todas para el intento es aquella , cuyos 
terminosievan excediendo en la unidad > y algunos zoos: 
la razón es la mayor (enciUéz, jr. claridad iiue coníieo lle- 
van eftas progreísiones. Añadeníe i la Aritnmetica bs ze* 
ros , para que proporcionalmente fe puedan hallar los k>» 

farithmos correípondientes á I0& términos imctmediosde 
i progrefsion geométrica* 

Ex- 



te Trat.VILD* 
. f Explíceme en las dos 
^geométrica íiguientes* 



LA TrICONOMETRIA. 

progreísiones arithmetica ^* y 






- V«' 



y£n¡¡[tff. Giometr. 

I 

10 

JOO. 

lOOO 

«». lOOOO 

lOOOOQ 

lOOOOOO 

XOOOOOOO. 

lOOOOOOOO 

lOOOOOOOOO 

lOOOOOOOOOO 



• • 



Temmos. 

z 

?' 

4 

7 
8 

9 

lO 
XI 



trogreff.Aritbm» 

O.OOOOOOOOK 
1 .00000000 
2.00000000 
J.OOOOOOOO 

4,oooooocx>. 
5X>ooooooo 

0.00000000 

7.00000000 
o.oooooooó 
9.00000000 

lO.OOOOOOOO 



Dirpuefta la progrefiioa geométrica en decupla pro- 
porción , como le vé ^ fe pone á fu lado la progresión 
arithmetica natural , defde el primer termino , que es el 
sero , en los números que van fe parados de las otras cifras 
<on un punto ^ y fe añaden a cada uno ocho zeros, cpaque 
el exceílb de cada termino á fu inmediato es cien millones. 
Fórmale efta progrelsion con tanto excelFo entre lijs tér- 
minos; porque como o.ooo.&c»fea logarithmo de i. pri- 
mer termino de la progrelsion geométrica ; y i.. ooo> &c. 
fea logarithmo- del icgundo termmo, que es lo. y entre i. 
y io«' falten ocho términos, a quienes también ie les hade 
feñalar proporcionalmente fu logarithmo en las tablas, 
es menelter que la diferencia del logarithmo o. ooo. &c* y 
el logarithmo t. ooo. &c. fea muy. grande , para que fin 
error fenfible fe puedan hallar los ocho logarithmós in«r 
termedios , como fe verá defpues en la fabrica de efios nú- 
meros. . » 

La fbbredicha cifra , que eflá diltinguida de las demás 
con un puntapié ihmx caraíterijlica j por fer el carader , d 
feñal que denota quantas cifras tiene el numero geomé- 
trico correfpondiente á dicho logarithmo ; porque f len»- 
pre tiene dicho númerQ una cifia mas de lo que expreífa 

la 



j 



LijBRo IL 23 

t^ carañeríftica de íu logarithmo. La razón c$,^orque to- 
dos los logarithmos que hay entre el priinero,y legundo de 
la tabla precedente ^ tienen la caraderiítica zero; y los tér- 
minos ^biblucos fus correfpondientes, Ion los números que 
hay entre i. y 10. que coniran de una (ola cifra. Alsimiímo 
los logarithmos que hay entre el fegundo, y tercero,tienen 
la caracteriltica i. y los términos abiolutos á que corref- 



€n U (;ara£tmp$ca de fu logar ttbmo , y mas una* 



CAPITULO n. 



DE LA FABRICA DE LO & LOGARITHMOSf 

COn las rdglas que íe contienen en las proporciones 
íiguientcs , fe fabrica ú tabla logarithmica de los 
números abíblutQ$;y como para efto fe haya hecho eleccioii 
de las dos progreisiones , una geométrica, que empezando 
de la unidad, procede en proporción decupla;y otra añth- 
metica, que empezando del zero , fe exceden iüs términos 
en la unidad con igual numero de zeros, explicaré las reglas 
contrahidas á efta efpecie de logarithmos , que fon los ad- 
mitidos ; y de ellas í^ podrá colegir facilmente,como (e de* 
va proceder en los de otras cfpecies. 

PROP. XI. Problema^ 

Daía a logaritbmo del primar termino y jf el del fegumh de má 
pogrefsm Geomenkd , bailar los Logarithmos de ios demás 

tertíúms de dUha frogrtfsm* 

EN qualquiera efpecie de logarithmos , dado el del pri- 
mero, y el del íegundo termino, fe hallarán losdc^ 
uú» en eiUformat Keítefe el meqor del mayor^y íe tendr^ 

ííi 



24 Trat.VII. De la Trigonometría. 

fu diferencia, fupuelto que lean directos : añadafe éfta al íe- 
gundo logarithmo , y íe tendri el tercero : añadaíe la miP 
ma diferencia al tercero, y lé tendrá el quar-to ; y afei infini- 
tamente. La razón es, por proceder todos con diíerencias^o 
exceílbs iguales. 

De aqui fe colige , que en nueílros logarithmcs.por (er 
el primero todo zeros, no es meneiler reíhrle del fegundc^ 
y aísi , el mifmo logarithmo (egundo , es el exceflb en que 
todos fe van excediendo : dupiíquefe pues el logarithmo 
del I o. que es el termino (egundo, y fe tendrá el logarith- 
mo del termino (iguiente , que es loo. fumeníe el del io*y 
el del loo. y (e tendrá el de looo. fumenfe el de io« y el de 
looo. y íe tendrá el de loooo. y afsi infinitamente» 

PKOP. lOL Problema. 

£if quMquiera ferie de números geometrkamente properciamUes^ 
iodos los lA^arithmos del primero^ j ulthno terimos , háÜé^ ^ 
los Logaritbmos de los intermedios^ 

EN qu^lquiera efpecie de logarithmos , conocido el 
primero , y el ultimo , y el numero de fus términos, 
le labran los logarithmos intermedios de eftc modo : Refte- 
íe el menor del mayor , efto es , fupuello que fon diredos, 
refteíe el primero del ultimo : partafe el refiduo por el nu- 
mero de los términos, menos uno ; y el quociente fcrá la 
diferencia de qualquiera á fu inmediato , que añadida al 
primero ,' dará el logarithmo íegundo; y añadida á elle, 
dará el tercero , &c. Queda demonltrado en la propof i. 
lib. 5. déla Arithm. Infer. De aqui fe figue, que en nuef. 
tros logarithmos , por fer el primero todo zeros , no es 
menefter reftarle del ultimo , fi que bailará partir el ulti- 
mo termino por el numero de los términos menos uno , y 
el quociente ierá el logarithmo (ee\|ifdo , qu^ juntamente 
es el excedo en que todos proceden : luego duplicándo- 
le fe tendrá el tercero ; y fumando (egundo , y tercero, 
le tendrá el quarto , &c. como por exemplo en las progref- 
liones dé la propof 10. dado el logarithmo de i. yelde 

10- 



L I B R o n. 25 

loooooooooo. qae es lo. oooooooo. íe piden los inter- 
medios : el numero délos términos es ii. y quitando i. es 
xo. parto pues el logarithmo io« oooooooo. por lo. y el 
quociente i. oooooooo. íerá el lo^ríthmo del termino 
iegundo, que duplicado da el tercero ; y el fegundo, y ter- 
cero fuoiaaos , aán el quano ; y alsi de los demás. 

PROP. Xm. Problema. 

Vddús los Logarithmos de dos y o mas números , bdlUr el Logaridh 
mo del froduSo de (bcbos números ; j afsinúfmo , bdlUr el 
Logarithmo del quociente de la farticion 
del uno for el otro* 

SUmeníe los logaiithmos de los números dados , y la (u- 
' ma ferá el logarithmo del produdo de dichos núme- 
ros. Confta del iorolar. de la fropof 5. Exemflo. Sumen- 
íe los logarithmos de los números lo. y 100. que eitán en 
la tabla de la ^<ipa/¡ lo. y la luma lera el logarithmo de 
1000. que es el produdo de 10. por loo. Aísimiímo,reile- 
íe el logaririimo de 10. del logarithmo de iooo.y elrefi- 
dúo íerá el logarithmo de loo. por la razón íobredicha. 

PROP. XIV. Problema. 

Hallar los Logarithmos de las fotefiades , f raices nmmricsf^ 

Multiplicando un numero por » mifmo , nace íii 
quadrado : multiplicando el quadrado por el nu- 
mero milmo Tale el cubo : multiplicando el cubo por el 
mifmo numero , íak el quadrado-quadrado ; y a(si inBni- 
tamente : lu^o , porque la fuma de ellos logarithmos 
equivale á la muiciphcacion , (i íe fuma dos veces el loga- 
ríthnK> de un numero , íaldrá el logarithmo de fu qua- 
drado ; y í¡ le íuma tres veces , faldrl el logarithmo de íu 
cubo ; y íi quatro veces , faldrá el de íii quadrado-qua- 
drado ; y afsi de los demás : luego al contrarío , íi el lo- 
garithmo del quadrado íe parte por 2. ó fe le rcíb la mi- 
tad^ ühiti el logarithmo de la rtiz quadradade aquel 

nu- 



26 TRAT.yiI. De la TRIGONOMETRlAr 

numero ; y ii el logarithmo del cubo (e parte por.j. efto 
ie toma iü tercio , le fabrá el logarithmo de la raiz cubica» 
y aíisi en las demás poteftades , y raices. 

PROP. XV. Problema. 

Dados los Logarithmos de dos números , hallar el Logaritbmo del 
medio, proporcional entre dichos números. 

Büfcaíe, porexeiiiplo, el logarithmo del medio propor- 
cional entre el tercero, y quinto termino de la tahid 
aniccedente , propof lo. Operación. Sumenfe los logarith- 
mes del tercero, y «quinto términos, y la mitad de la fuma 
fera el loganthmó del numero , que es medio proporcio- 
nal .entie ios lobredichos. 

Demonjir. £1 medio proporcional entre dos numeres 
íe halla , multiplicando dichos números , y Tacándola raiz 
quadrada del produdo , como.dixe en la Arithm. Super. 
ii¿. 3 «prop. I. luego ^ porque en ellos logarithmos la iiima 
equivale á lá multiplicación , la fuma üe los logarithmos 
délos números dados, ierá el logarithmo de lu produdo^ 
y.(i4)iumitadrerá.el logarithmo de la raiz quadradadc 
dicho produdo ; y por coníiguiente, del medio proporcio- 
nal que le pretende. De que fe Mige , que el medio arithmetica 
entre los logarithmos de dos números , es logarithmo del medié 
geométrica que hay enfre dichos números. 

PROP. XVI. Probkma. 

Dados los Logarithmos de todos los términos de una frogrefsio» 

geométrica , haüat los Logar tthmos de losnumeros comprehendh 

dos entre cada termino de dicha progrefsion ^ y 

fu inmediato. 

Mucho devemos á Enrique Brixio , y á Adriano ülac, 
por havernos dexado trabajadas las tablas iQgarith- 
micas., puesfin la fatiga de fu fabrica ,. nos facüitacoo 
las operaciones. . trigonométricas : luponiendo pues qu^ 
nadie ha de gattar inútilmente el tiempo en. trabajarlas 
de nuevo, explicaré con brevedad en la fropof íiguiov- 

tc 



L I B R o IL 27 

te la mcthodo que obfervaron en fu conftruccion , para 
lo qual íblo nos falta faber el modo de hallar los loga- 
rithmos de los nunoieros que hay entre uno , y otro ter- 
miqo de la progreftion geométrica , de los quales íe necef- 
•iita para innumerables operaciones; ide fuerte, qua (in ellos 
feria cafi inútil la tabla logarithmica , como luego veré- 
nips : y porque con la mifma methodo , con que (e halla 
.uno de eftos lógahthmos, (e pueden hallar los demás, baf- 
tará explicarla en uno de ellos , y fea por exemplo el del 
nun^ero 9. 

Ofer ación. Lo primero , porque el 9. (e halla entre los 
dQ§, primeros términos de la progreísion geométrica , que 
.fon !• y 10. y el artificio para hallar fu logarithmo , con- 
íifte' en inquirir fuccefsivamente diferentes medios geomé- 
tricos , y otros tantos arithmeticos ; para que ks opera- 
ciones íaigan bien exadas, y no fea lenfible lo que fe pier- 
de en la extracción de raices regularmente irracionales. 
Se añadurán a los dichos términos i. y 10. tantos zeros á ío 
menos , quanto^ lleva el logaridimo del numero 10. en la 
tabla precedente , los quales fervirán íblamente para la 
extracción de los medios proporcionales , y fe borrarán 
defpues de acabada la operación : en la formula (iguiente 
(blo fe añaden íiete , por íer éílos los bailantes para la 
explicación. 

X, Entré la unidad 
A,y el io¡B,aumenta- 
4oscon fus zeros, ha- 
Jleíe el medio geomé- 
trico proporcional C: 
y porque aqui fe buP' 
ca el num.9« con tan- 
tas cifras como tiene 
la unidad ; eíto es y 9. 
poopooo, ó otro el 
próximo menor.,, que 
por efte camino íe le 
jpuede hallar,íiendo el 
jjtum. Qmenor que el 

-' que 



A 
C 
B 

D 
C 

B* 
E 
D 

F 
E 



Proporchnal* 

!• 0000000 

^•6i22777 

10.0000000 

10. 0000000 
y. 6234132 

lo.ooooobo 
7. 4989421 



Logarubm^ 

o. 00000000 
o, y 0000000 
I. 00000000 

^•^ »-^ ••'H ^^ •>-« 

I.OOOÜOOOO 

0.75000000 
o. 50000000- 

1. 00000000 

0.875000010. 



y. 6234152 I 0.75000000 

^■■i^ P"^^ •■■^í ^^"^ ^^^4 ^w*! 9^^^ ^^■^ •■■^^ •^^ 



10» 0000000 
¡8. 6596432 
7.4989421 



I.OOOOOOQO* 

o. 9375oofloi 
0.87500000 J 



28 



B 
G 
F 

Cí 

H 
F 

I 
H 

1 
K 
H 

K 
L 
H 

M 
H 

t 

N 
M 

F? 
o 

M 

O 
P 
M 

3 

?- 

R 
P 

s 



^ que ft bufca , c$ cierto. 



Proporción. 

lo. ooooooo 
Q. 30^7204 

¿•£59<%3f; 

8.9768713 
8. 6596432 

V-7o?p<H 
9.1398170 

8. 9768713 

9. 1398170 

9- 0579777 
0.9768713 

9-0579777 

9-OI75Í33 
8.9768713 

9-OI7373T 
8. 9970796 

8.9768713 

9. 0072008 

8. 9970796 

9. 0072008 
9.0021388 
8. 9970796 

9.0021388 
8. 9996088 
8. 9970796 

9.0021388 
9.0008737 

8. 9996088 
9. 0008737 
9.0002412 
^.9996088 

9.0002412 
8.9999250 
8. 9996088 



Logarübnu 

1 . 00000000 
0.96875000 
0.93750000 

0.96875000 
0.95312500 
0.93750000 

o. 96875000 
0.96093750 

0.96093750 
0.95703125 
0^^9^^312500 

0-95705^^ 
0*95507812 

0.95312500 
0.955*07812 



que entre t\ numero C, 
y el numero B , eítarjl 
el que ft defea. BuC- 

2uefe pues entre B, y 
, el medio proporcio- 
nal D ; y porque tam- 
bién es menor que 9. 
ooooooo. entre el míA 
mo B, y D, fe hallará el 
medio proporcional E, 
que aunque fe va acer- 
cando al nu.9.ooooooo. 
pero aun és mucho 
menor que él. Bu(que<- 
fe pues otro medio en- 
treB^ yE, y ferá F, 
que aun es menor que 
9. ooooooo. por lo 



0.95410156 qual fe haliaii otro 

O.OC2Tl.cnn mia^.*^ -w..^ : i .. 



0.95312500 

0. 95 5078 rl^ 

0.95458984 
0.95^10156 

0T9Y478984 

^•95454570 
O.9541OI56 

o-9743'477o 
0.95422363 



medio proporcional en- 
tre B , y F , que ferá 
G; el qual es ya ma- 
yor que el 9. ooooooo. 
por lo qual entre G , y 
el oroximo menor P, 
fe hallará otro medio 
proporcional H, que es 
menor que 9. ooooooo. 
y afsi entre H, y G, que 



^^9i4J.ojt 5^ es el próximo mayor, 



0-9H54570 
0.95428467 

0.95428467 
0.95425415 
0.95422363 

07974T5415 
0.95423889 
0^9^422^; 



fe bufeará otro rnedíd 
preporcional I , que eS 
mayor que 9. ooooooo; 
peio no con tanto e». 
ceflb como lo era ¿I 
numero G , por lo qud 
entre 1, y H, próximo 
menor , fe hallará el 

me- 



Libro II. 



R 
T 
S 

V 
S 

X 

s 

Y 
X 

z 

Y 

& 

z^ 

V 

AA 
& 

AA 
BB 

& 

Sb* 
ce 

BB 
DD 

ce 



medio proporcional 
K ; y ac ella fuerte 
íe ira continuando la 
operación ^ buícando 
iiempre un medio 
l^eonietricaméte pro- 
porcional entre el me- 
dio próximo mayor, 
y el próximo menor 
de los que fe van ha- 
llando , hafta encon- 
trar con el numero 
9« oooooooo. ó ocro 
tan próximo, que ca- 
li no fe diferencie de 
él. Viene pues a falir 
deipues de haver ha- 
Uaao 2 5 .medios geo- 
métricos el numero 
9. 0000000. como fe 
ve en la ibrmula de 
las operaciones. 

3 Hecho efto,bol- 
viendo al principio 
de la tbrmula,entrc el 
logarithmo de A , y 
el logarithmo de d, 
fe hallará (i 5.) el me- 
dio arithmetico C, 
3ue es el logarithmo 
el medio geométri- 
co C:luego le irá con- 
tinuando la opera- 
ción , bufcando Iiem- 
pre los medios Arith- 
meticos , ó Logaridimicos , correfpondientes á los me- 
dios Geométricos , figuiendo el miímo orden -con que 
cftos fe fueron hallando ; y en la ultima operación fe 
^allaii el logarithmo correlpondieote al numero 9. 

ooooooo. 



Proformn. 

,9.0002^11 
9.0000831 
8.9999250 

9.0000831 
9. 0000041 
8.9999250 

9. 0000041 
8. 9999650 

9.0000041 

8. 9999845 
8.9999650 

9. 0000041 

8. 9999943 

9.0000041 
8. 999999^ 

.^•^9999-ti 
9.0000041 
9.0000016 

¿.¿9999S>^ 
9,0000016 
9. 0000004 

¿•¿999992 
9. 0000004 
8. 9999998 

¿•999929± 
9. 0000004 
9.0000000 

8. 9999998 



Logarithm. t 

0^974^5417 
0.95424652 

0.95425889 

0.95424652 
0.95424271 
0.95425889 

0^954-4^71 
0.95424080 

0.95425889 

0.95424271 
0.95424217 
o. 95424080 

0.95424271 
0.95424225 

0T97424771 
0.95424247 

0.95424271 
0.95424259 

o. 95424247 

0^97424759 
0.95424253 

^9¿4i.4^i7 
0797424^53 
0.95424250 

^9i4^iÍ4J 

07974^4257 
0.95424251 
0.95424256 



/ 



y 



30 Trat. VII. De la Triconomitma. 
ooooboo.que es o. 9542.425 1 «y quitándole al dicho nuitie* 
ro los zeros que le le añadieron, quedará el numero 9» y íii 
logarithmo o, 95424x5 !• 

De la mifma íüerte que fe ha hallado el loganthmo 
del numero 9. (e pueden hallar los logarithmos de todos 
los números intermedios que hay entre los que componen 
la proerefsion geométrica , arriba puefta ; pero folo íerá 
mcneííer eíla operación prolixa para hallar los logarith- 
mos de los números primos , que fon aquellos á quien no 
mide otro numero , li fola la unidad ; porque para los nú- 
meros compueftos,que nacen de la multiplicación de otros, 
íe hallaran los logarithmos por la prc^p. 13. conio luego 
veremos. 

PROP. XVn. Problema, 

lormar la Tabla Logarithmua. 

DE lo dicho en las propoíiciones antecedentes fe co- 
lige el modo de formar la tabla logarithmica de 
todos los números , empezando de la unidad ázia el infini- 
to , que es el liguiente, 

1 Determinada la progrefsion geométrica , que (egun 
la frof. 10. es la que empieza de la unidad , y íus termi- 
nos proceden en proporción decupla , fe determina junta- 
mente la progrefsion arithmetica , que empezando del 
zero, íigue el ordeti natural de los números que fe exceden, 
en la unidad ; pero añadida á^xuula uno igual cantidad da 
zeros , como fe dixo en k prop, citada : y los números de 
eíla progrefsion fon logaritnmos de los términos de la pro- 

tjreísion geométrica , como fe ve en la tabla que puíe en- 
a frop. i o. fobredicha. 

2 Pero porque neceftitan^os también de todos los nu- 
meros contenidos entre uno, y otro termino de la porgret 
fion geométrica , es forzofo hallarles fus logarithmos : y lo 
primero con la ^fiifma regla de la propof paíTada , conque 
le halló, el logarithmo del numero 9. fe hallaran los loga- 
rithmos de los números primos , como fon 2. j. 5, 7. 11. 
r5.i7.i9.25.&c. fi bien haviendofe hallado el logarithmo 
del numero 9/con folo tomarfu mkad ^ ft tendrá (i40 el' 



Libro IL^ 31 

del numero ;• que es fu raíz quadrada. Haviendo pues ha- 
llado el logarithmo del 2. duplicándole , triplicándole, 
quadruplicandole , &c, fe tendrán los logariihmos de fus 
poceftades 4.8. 16. 32. 64. &c. Alsimilmo duplicando, tri- 
plicando,&c. el logarithmo del 5. le (endaán los de íus po- 
teftades 9.27.8 1, &c. Y de la mifma luerte con el logarith- 
mo del numero 5. fe tendrán los de J. 2 5. 125. &c. 

3 Hallados los logarithmos de los números frimos , fe 
iabrán fácilmente los de los camfuejhs ; porque como éftos 
procedan de la multiplicación de otros números » íi fe fu- 
man .los logarithmos de los números producentes , fe ha- 
llará el logarithmo del numero producto. (13.) Y^afsi^ 
porque el 6. procede de la mültiplicacioo de 2. por j. fu- 
mando los logarithmos del 2. y del 5. fe tendrá el logarith- 
mo de 6. Aisimifmo la luma de los logarithmos de 2. y de 
4. ferá el del numero 8. y alsi de los demás. 

Con efto quedará formada la tabla logarithmica , con 
los logarithmos de todos los números defde la unidad ázia 
el inhnito. La que pongo á lo ultimo de efte libro dcipues 
de la tabla trigonométrica , folo llega haita loooo. pero 
mas adelante le dará regla para hallar los logarithmos de 
qualefquiera números mayores qué loooo. que es el ul« 
timo de dicha tabla. 

PROP- XVm. Problema. 

Aflicacion de los logarithmos al Canon Trigonométrico. 

LOs logarithmos fe han aplicado al canon trigonomé- 
trico , fubftituyendo en lugar de los números geo- 
métrico^ que le componen , los logarithmos fus corrcC* 
pendientes : lo que ha facilitado en gran manera las opera- 
ciones trigonométricas. Pero fe ha de advertir, que los nú- 
meros geométricos que hay en el canon^ entienclen aumen- 
tados con algunas cifras,que le añadieron para mayor exac- 
ción , fegun lo que dixe en la prof.16. los quáles áefpues fe 
quitaron ; y por efta caufa íe hallará , que los logarithmos 
íubftituidos en fu lugar , ion mayores cíe lo que devian íér, 
fi fe atienden los numlefos geométricos , fegun en el canoa 
fe expreffan. 

Ixem- 



33 Trat. Vil. De la TaiGONOM* tria. 

Exemplo. £1 primer numero geométrico en el canon de 
los íenos es 2909. que es el leño de un min uto ; y fu loga- 
rithmoalli miímoes 6.4637x61. íiendo afsi, que en la 
tabla logarithmica á 2909. le Correfpondc el logarith- 
mo 5. 46574 j7. La razón de eíto es , porque en el canon 
de los leños el numero geométrico 2909. fe ha de enten- 
der tiene mas tres cifras, iegun la regla general que íe dio á 
lo ultimo de la fro^f. 10. Y fegun otra que daremos mas 
adelante, al logaritnmo del ícno de un minuto 6*4^6^ji6i» 
le cprrefponde el numero geométrico 29o8882.que quita- 
das )as tres ultimas cifras , es 2908. pero por fer tan cre- 
cidas las que ie han quitado , fe pone en el canon 2909. 

Aunque en el canon trigonométrico he omitido los 
números abfolutos , por (er bailantes para las operaciones 
fus logarithraos , he querido advertir lo fobredicho , para 
que quien quiiiere cotejarles con los logaríthmos de la 
tabla logarithmica , no tropiece con la dmcultad que ke-^ 
mos dicho. 

CAPITULO m.« 



DEL VSO DEL CilNON TRíGONOMETKICO , T TABLA 

Logarithmca. 

DOs tablas fe hallan al fin de efte libro : la prime- 
ra, es el urnn trigommetmo : la inunda es, la tabla 
hgarithmica , que contiene todos los. números , deíUe la 
unidad, hafta loooo. con los logarithmos que les correC- 
pondeo : la iiiteligencia, y uíb de entrambas , explican las 
propQÍiciones íiguientes. 

PROP. XK. Theorema. 

Ixflicafe la iiffoftcum del Canon 
Tng$namctrico. 



L 



A tabla i. o canon trigonométrico contiene todos 
los grados , ó minutos naitael quadrante : (u difpofi- 

cion 



LíBRO II. 5J 

cion es la f iguiente. En cada plana íe hallan dos ordénes^ y 
en cada uno tres colunas , ae las quales , la primera á la 
izouierda del que lee , contiene los minutos del grado que 
efta arriba en la frente de aquel orden ; la íegunda coluna 
lleva los fenos logarithmicos^correTpondientes a dicho gfa« 
do, y minutos; y la tercera, íüs tangentes logarithmicas ; y 
lo mifmo en el iegundo orden : folo que en efte , la prime- 
ra coluna lleva los minutos con orden opuefto , porque fen 
la del orden primero deícienden,y en la del fegundoíiiben, 
|)ara que de efta fiíerte el grado,y minutos del iegundo or- 
den , íea complemento al quadrante de los del primero , y 
al contrario ; y íe hallen en la mifma plana los fenos prime- 
aos , y fegundos de un mifmo arco , y afsimifmo las tan- 
gentes. \ 

Ponenfe en el canon trigonométrico iblámcnte lo$ 
arcos hafta el quadrante ^j porque los arcos mayores quee! 
quadrante, tienen los miímos íenos , y tangentes que íiis 
complementos al femicirculo , como en otra parte queda 
dicho , los quales fon neceíFaríamente menores que el qua^ 
•drante. Ponenfe íblamente los fenos, y tangentes logarith^ 
micas , efto es , los logarithmos correfpondientes á los le- 
ños , y tangentes , omitiendo lus propios números geo- 
métricos , porque creo , que nadie querrá valerfe de eDos» 
pudiendo executar con mas prontitud , y defcanfo las mÜ^ 
mas operaciones con ios logarithmos , que con los íbbre- ' 
dichos números geométricos. Se han omitido también los 
logarithmos de las fecantes , aísi por haceríe íin ellas con 
igual facilidad los calculo^ de los triángulos, como por po- 
deríe hallar fácilmente fus logarithmos, como defpues ve- 
rtemos. Qgan ñcil fea el manejo de eftas tablas ^ fe ve en 
las proporciones íiguientes. 

PROP. XX. Problema, 

'Dados hs arcos , h ángulos hafia los mmtos , halUr fus fenos, jf 
tangentes hgartthmcas en el Canon Trigo- 
nométrico. 
BUfqu^ arriba en la frente dé la tabla el numero dd 
los grados ; y hallado efte , bufquenfe en Ja primer 
TomollL . C co- 



34 Trat.Vü. Dé la Trigonometría. 
coluna á la izquierda de aquel orden , los minutos qae 
acompañan á dichos grados , y al lado de elios , íiguiendo 
la linea tranfverí al y fe hallará fu feno primero , y tangente 
primera; y en el orden iiguiente, fuiénoíegundo, y tan? 
gente íegunda : pero es meneíler advertir , que por 1er pe* 
quena la plana , le han dividido los 6o. minutos de cada 
grado en dos mitades ; y coníiguientemente la una mitad 
con fus fenos , y tangentes eita en la una plana ; y la otra 
mitad en la (igutente : conque fi el numero de los miniuos 
que fe bufca, no fe hallare en aquella plana , íe paíTará á la 
inmediata antecedente, ó fubfig^iente, que lleva en fu fren* 
te el mifmo numero de grados ; y en fb primera coluna 
{e hallarán los minutos , como fe ve eo los exemplos &^ 
guicntes. 

Exemflo u $ea dado el arco^ ó ángulo de ij. grados , y 
t/\. min. Pidelé fu feno i. y tangente i. y fu feno z. y taiw 
gente z. Oferacion. Bufquefe en la frente de la tabla el zj^ 
que es el numero de los grados; y en la primer coluna de 
aquel orden bufquenfe los 24. min. y fe hallará enfrente de 
éftos fer el feno primero ^.661^/^64^ y la tangente primera 
9, 7 1 462} 7. y íiguiendo lamilma Imea tranlveríál, íe halla^ 
rá en el fegundo orden de la mifma plana, fer el feno 2» de 
dichos grados, y minutos 9.9483227.y la tangente ffegunda . 
10.2855763. 

ixewpto 2. Sea dado el arco , ó ángulo de 27. grados , j6^ 
minutos. Pídete fu feno i. y tangente i. y fu feno 2. y tan- 
gente 2. Operación. Hallefe el 27. en la frente déla tabla; 
Íen fu mifmo orden , en la primer coluna, á la Í2quierdaj 
allenfe los x6. minutos , y a fu lado (e hallará el feno pri- 
mero 9.6658586. y la tangente primera 9.7x83251. y fi- 
guiendo la miíma linea tranfverfal en el otro orden de k 
mifma plana, fe halla fu feno fegundo 9^9475 3 3 5. y fu tan- 
gente íegunda lo.;^ 8 16749. 

Exemflo i* Sea dado el arco , ó ángulo de 152. grados, 
y .36. minutos. Pidenfe fus fenos i. y 2. y tangentes i.y 2» 
Operación. Por fer dicho arco mayor que el quadrante, 
reflefe de 180. grados, y el reílduo ferá 27. grados, y 24. . 
xninutos ; hagafe lo íxüíwo que en los exemplos paíTados ^jí^ 

fe 



X 



Libro II» 9j[ 

íe hallarán (us íenos , y tangentes , que ion las mifixus ddt 
cxemplo I. y afsi en los demás. i 

PROP. XXI* ProbleoM. 

« • 

Sallar los Senos^ j Tangentes Logarithmcas d^ hs anos que conf- 
ían de gradosy mnutosy j Jegundos. 

EN las tablas eftán los (cnos , y tangentes de los minu^ 
tos de cada grado , pero no eftán los de los íegundos; 
y aunque pocas Veces fe neceísita de tanta preciíion. , pero 
ti fe ofreciere fe obrará como en los exemplos íiguientes* 
' Bxemflo. Pídele el leño i. de un arco de 27. grad* 24* 
min; 35«fegundos. Opnvtcioif.Hallerepor laantecedentcel 
(eno I. logaritbmico de 27. grad. 1^ min. que íeii 
9.6629464. Tomeíe aora de las tablas el feno inmediato 
¿guíente, que es 9. 663 1900. Reftefe el menor del mayor^ 
y íerá la diferencia 2456. Digaíe aora por regla de tress 
íi 60. Íegundos, que fon los que componen im minuto, daa 
' 2436. quedarán 35. fegündos? y fe hallaran dar 142 1» 
Añádale éfte quociente al primer logarithmo 9. 6629464. 
por fer menor que el fegundo j y la fuma 9. 6630885* íerá 
el feno logarithmico del arco dado 27. grad. 24. mim 35. 
leg. De la mifma fuene fe obrará en las tangentes logarútl*: 
micas. 

PROP. XXn. Problema. 

^ Dado el SenOy b la Tangente de un arco^ i anguloj balUtet 

anguloy h arco» . . 

DAdo el feno logarithmico , ó tangente logarithmico 
de un arco , ie hallará el arco en la forma que fe vt 
en los exemplos íiguientes. 

Exemplo.' Sea dado el logarithmo 9. 6028^82. que. lo 
es de un íeno i. Pideíe la cantidad del arco , ó ángulo de 
quien es feno i. Bufqueíe en las tablas del canon el íb* 
bredicho logarithmo en la coluna de los íenos ; y poi- 
que no íe halla exa¿tamente , tomefe fu próximo menor, 
que es 9. 6027278. y á fu lado á la izquierda fe hallao 
Ij. min. y arriba 1.3. grad« Digo pues^ que el logarithnw 



^6 Trat.VII. De la Trigonometría. 
'dado esdd feno i. de i^n arco , ó ángulo de 25. grád. 3 7W 
min. pero porque un iiiifmQ ieno de un arco menor c|ue el 
quadrante, es también íeno de íu complemento al (einicir- 
culo , puede también fer el fobr^dicho logarithmo del leño 
I. del arco de i56.grad. 23. min. Conque lábiendo que el 
)árco que fe buíca es menor que el quadrante y fe dirá fer 
íeno primero de 2,5. gr. 57» min. yfabiendoque es ma- 
yor que el quadrante , fe dirá fer íeno i. del arco de 1 56^ 
gr. 23.nün. 

ExempUi. Sea dado el miímo logarithmo como íeno 
^2. de un arco. Bufquefe , como antes , en la coluna de los 
fenos ; y haviendo hallado fu próximo menor 9.6027278, 
fe proleguirá , figuiendo la linea tranfverlal al otro orden 
Úc la milma plana , y en íu primera coluna fe encontrarán 
2 3 . min. y en la ti-ente de eíle mifmo orden 66. grados* 
Digo pues , que el logarithmo dado es del ieno 2. de 66» 
erad. 23. min. y tambiejpde ii3.grad. 37. min. conque ía- 
hiendo ii el arco es menor y ó mayor que el quadrante , fe 
elegirán, 6 los grados primeros, ó los fegdndos. De la mif- 
ma fuerte íe obrará en las tangentes. 

Myicrufe , que quando fe toma el Ugarithmo froximamente 
menor , también el ano que le corre ff onde es próximo^ pero no el 
verdadero , porque 01 el feno i.y tangente i* el arco menor qu€ 
eLquadrdiUe yfale algo menor de lo ]njio ; y el major^ que el qua- 
drante algo mayor: j al contrario en el ferio i.j tangente i* porque 
en el arco menor que el quadránpe y fale fnajor de lojufto; j enel 
major que el quadrante y menor: y aunque fuele dejf reciarfe la 
díferenciaypor no poder llegar a minuto ; pero quanaofe quiera la 
total precijiony fe obrara como en la propojicion figuiente. 

PROP. XXin. Problema. ., 

^Dado el Logarithmo del Seno , d Tangente de un Arco y determnar 

el arco bajía los fegundos* 

SEa dado el mifmo logarithmo 9.6028482. como íeno u 
de un ángulo ; y obrando como en la propoí^ paflada, 
iiallo que fu próximo menor en las tablas es 9. 6027278. 
á quien correíponde el aogulo agudo 23. grad* 37. min. / 



L I B R o IL ^7 

clobtuíb 15e.gr. 23.min. Para mayor exacción íe halla- 
rán los fegundos de dicho arco en eíta forma : Tomo el 
logarithmo próximo mayor , que es 9. 6030166. y reC-^ 
tando el menor del mayor , hallo fer la diferencia 2888. 
Refto también el menor 9. 6027178. del logarithmo da- 
do 9. 6028482. y es la diferencia 1204. Y formo efta re- 
gla de tres : Si ladiferencia2888.es de 6o. fegund. luego 
fa diferencia 1204. dará 25. fegundos ; éítos fe añadirln 
al ángulo agudo , y faldrá de 25. gr. 37. min. 25. ftg. Y 
reltados del obtuío , quedará de 156.gr. 22. min. 55.íeg. 
Delamifma íiierte fe obrará en la tangente primera; pe- 
ro en el feno 2. y tangente 2. defpues oe hecha la regla de 
tres , fe obrará al contrario , redando los fegundos ñaua- 
dos , del ángulo agudo , y añadiéndoles al obtuío , lo que 
requiere cuidado para no errar la operación. 

\En el canon trigonometrU» no fe han fuefto las fecantes la- 
garithmicas , par no necefsitar de ellas la methodo que hemos dc^ 
jeguir y j tanéten por poder fe bailar fácilmente por la regla que 
daremos mas adelante* 

En las propoftciones figuientes fe explica el ufo de la tabla t(h 
¡arithmicoy que efiadejpues del canon trigonométrico. 

PROP. XXIV. Problema. 

Dado un. numero de los que ejfkn en la Tabla , haUar el Logartíb- 

mo\j al contrarios 

I QEa dado el numero 61 8¿ Pidcfe fií Ic^ríthmoJ 
i3 Operación. Buíquefe dicho numero en la tabla , y á 
fu lado fe hallará fü logarithmo 2. 7909885. 

2 Sea dado el logarithmo 2.790^885. Pidefecl nu- 
mero de quien es logarithmo* Buíquelc dicho logarithma 
entre los logarithmos de la tabla , y á fu lado á la izquier- 
da fe encontrará el numero 618; 

3 Quando el k^aríthmo dada vno fe hallare preciía- 
mente en la tabla y fe tomaricl.qnc lehallare mas proxí- 
moalquelc bufca,^y el-numcrp-quele correí^onde a la iz- 
quierda fe puede .tqmarjpor eltverdadtíco , por dU:erenciaj?fe 
oe éftc eñ menos que la unidad. 

Exenh 



3f Trat.VII. De la Trigonometría; 

Bxemplú. Sea dado el loganthmo ^ • 6z 5.298 1 . el qual no 
íc halla preciTamente en la tabla; pero fe ve alli , que el lo* 
garithmo del numero 42 19.es menor,y el del numero 42 io. 
es mayor : porque el logarithmo dado eftá mas próximo al 
mayor,que al menor, fe tomará el numero 4220. por el ver- 
dadero ; fí no íe quiere atender al mas proxuno, baftará to- 
mar fiempre el próximo ipenor: y fi íe quifiere mayor prc- 
eüion^ íe procederá del modo que íe explica en lapr^p .27. 

PROP. XXV. Problema. 

lUlUr el Logarithmo de qualqiúer quebrado* 

DOs caíbs íe pueden ofrecer : el primero , quando el 
quebrado es impropio por fer el numerador mayor 
que el denominador ; elíegundo, quando es propio por 
£er el numerador menor que d denommador. 

Cafou Sea dado el quebrado impropio ^. Pideíe íu 

logarithmo. Operación* Reíleíe el logarithmo del denomi- 
nador, del logarithmo del numerador , y el reíiduo feráei 
logarithmo que íepide. El logarithmo del. denominador 
17.es 1. 2304489, el del numerador 29. es 1.4625980. 
rcílando el primero del fegundo , es el rclíduo o. 2 5 19491* 
logarithmo del quebrado propueílo. 

Cajoi. Quando el quebrado es propio , fe reílará el 
logarithmo ' del numerador , .del logarithmo del denomi- 
nador ; y el reíiduo con efte feñal — , ferá el logarithmo 
del quebrado , . que neceífariamente ha de fer defedivo , ó 

negativo. Exemplo. Sea el quebrado X Refiado el loga- 
rithmo de ijAcl de 29.como antes,es el reíiduo 0.2.5 1949 u 
y poniéndole antes eilignOr—^feri,— 0^2319491. loga- 
rithmo ddríobredichb quebrado. • , 

Dernonftr» Primeramente , que eft^ logarithmo haya de 
fer numero íalíb , ó4efcdivo ^ es conílame , porque gual- 

. . quie^ 



L I B it o n. 3ÍÍ 

quiera quebrado propio , es menor que la unidad ! luego 
¿ logarithmo del quebrado ha de fer joienor que el loga^ 
rithino de la unidad : luego fiendo la unidad zero, (xo*) 
ierá el logarithmo del quebrado menos que el zero: luego 
es numero deíedivo , ó negativo. Lo íegundo-, que la di-^' 
íerencia de los los;arithmos del numerador, y denomina- 
dor , fea el logaruhmo de qualquier quebrado , íea pro- 
pio , ó impropio , fe prueba ; porque qualquier quebrado 
es lo miíino que el quociente que proviene de la partición 
del numerador por el denommaaor , como conita de la 
Arithmetica ; y como en eftos logarithmos la refta equi* 
valga á la partición, de fuerte, que el refiduo de la refta dé 
los logarithmos , es logarithmo del quociente de la parti- 
ción hecha en los números correfpondientes , fe ligue ha 
de fer logarithmo de qualquiera quebrado el refiduo que 
proviene reftando entre si los logarithmos del numera- 
dor, y denominador. 

' PROPi XXVI. Problema* 

Hallar el Ugarithmo de un tntetQ , j quebrada. 

Modo I. Redu2ga(e el entero al quebrado que le acom^ 
p^a , haciendo de todo un quebrado impropio , j 
ufando de la regla del cafo i. de la propoíl antecedente , le 
fabrá fu logarithmo. Bxemplo. Pideíe el logarithmo de 
34* y dos quintos: reducido todo á quintos^es el quebrado 
172. quintos ; el logarithmo de el numerador 172. es 
2.2355284. el dd denominador 5. es o. 6989700. el refi- 
duo 1.5365584. es el logarithmo del entero, y quebrado 
propueftos. , 

Fiírque fmederi muchas reces > que hecha la muttipUcacim 
dd emetú far el denominador del quebrado , faldri uu froduSto 
mayor que el ultimo de la tabUj fer a conveniente ufar del figiáen^ 
te modo , aunque no es tan e^aSo como el antecedente. 

Modo 2. Tomeíe el logarithmo del numero entero 
54. en elexemplo antecedente, qu© es i. 5514789. y lue- 
go el del figuiente numeró 5 5. que es i. 5440680.. refteft 
d menor dSi mayor , y fera Gi diíereacia iz^i^u"^ yfot^ 

inaa- 



4o Trat.VIL De t a Trigonometría» 
mando regla de tres, {e dirá : Si el deoomihador 5» óit al 
denominador z. qué darán 1x5891. y ferá el quarto ger- 
mino 50356. que añadido al logarichmodel numero ente- 
ro, la fuma i* 556^145. ieráel logarithmode 34. y dos 
quintos. 

PROP. XXVn. Problema. 

Dado un Ldgarithmo , bollar el entero , y quebrada» . 

S£a dado el logarithmo £• 521197. el qual no (e halla 
precifamente en la tabla. Pideíé el entero , y quebra- 
do de quien es logarithmo. Opericion. Tomefe fu próximo 
menor, que esz. 521138. yáfu ladoíe hallará el numero 
entero quefe buíca 352. Buíqueíe también fu próximo ma- 
yor, que es 2. 522444. La diíerencia entre el mayor,y me- 
nor, es 1 306, la diferencia entre el menor, y medio , es 59* 
y porque al quebrado que ft bufca fe le puede dar qual- 
quiera denominador, efcojafe arbitrariamente, y íea 100. y 
digaíe.por regla de tres : Si la diferencia entre el mayor , y 
menor /i 506. dá 59. diferencia entre el menor,y meaio,qué 
dará el denominador 100. y el quarto termino 4. ferá el nu- 
i^ierador -del quebrado, cuyo denominador ferá el ioo.que 
íe efcogió ; conque el logarithmo dado lo es de 532. y 4. 
centefsimas con poca diferencia. 

PROP. XXVffl. Problema. 

Hado m Logarithmo negatm , hallar el quebrado de 

quien lo es. , 

COnftadcf la ftofofiúon 25. que el logarithmo de un 
quebrado propio , es negativo , ó defeáivo. Dado 
pues ?lte. logarithmo, fe hallará el quebrado á quien cor- 
reíiíonde, en la forma íiguiente : Sumefe el logarithmo de^^ 
fcaivo <:on el logarithmo de otro quálquier numero de 
la tabla, ad virtiendo, que por fer negativo íe fumareC- 
•tandole del otro , como íe aixo en la Algebra : bufquefe. 
en la tabla entre los logarithmos la fuma fobredicha^! 



■-.. 



Libro H. ' ^í. 

Y totnandoel numero que le correTponde \ la íinieftra, íe 
pondrá como numerador del quebrado , que tendrá por. 
denominador al numero , cuyo logarithmo fe efeogip ; y 
cíle quebrado ferá el correfpondience al logarithmo defec^. 
tivo» 

í^xemplo^ Sea dado el logarithmo defedivo -^— o, 
2319491. y (e pide el quebrado de quien es logarithmo* 
Súmele con el Ipgarithmo de looo^ que es ^^.ooooooo* 
reftandole de éfte por la razón fobredicha , y ferá el reíi- 
^uo 2,768o509. al qual en la tabla correíponde proxi-: 
mámente el numero 587. Digo pues, que 587. milelsimas, 
es el quebrado correípondicnte al logarithmo defedivo 
foteedicho, 

PROP. XXIX. Problema. 

Dado un numero mayor que el ultimo de U tabla y haUat 

fu Logarithmo, 

i QI el numero dado es cdmpuefto, bufquenfe los dos 
O números , que multiplicados entre sí , le producen. 
Hallenfe los logarithmos de eftos números en la tabla , y 
Cumados , ferá la fuma el logarithmo, del numero dado. 

Bxemplo. Pidefe el logarithmo del numero 78936. m^- 
yor que el ultimo de la tabla ; y porque el numero fobre- 
dicho nace de la multiplicación de 25^. por 312. buíquen^ 
fe en la tabla los logañthmos de ellos dos últimos nu<- 
iperps } y la fuma de ellos ferá 4^ 8972751., logarithmo. 
del numero propuefto. Confia del corolario de la fropofi^^ 
iion j. 

Pero porque íi fe diefle un numero primo no fe po- 
^ dria hallar fu logarithmo con la fe»bredicha regla , aña* 
do la (iguiente , que es general para todos. Sea dado el 
likifino numero 78956. Separenfe con un punto las-qua-^ 
ti'o prin^eras cifras de la izquierda ; y las otras ponganfe 
fpbre una raya, como numerador de un quebrado, cuyo, 
denoíainador ferá la unidad, con tantos zeros como hay le- 
tras en el numerador ; conque en el exemplo propuefto. 

ffrá7593 ^ * Bufqüefe aora ( 26 )eí. logarithmo de elle 
10 en-* 



S(2 Tr AT. Vn. Db la Trxgomometri á; 
tntero,y quebrado^y ierá 5. 8971751. Añadaníele á la ca« 
Taderiftica tantas unidades cocno hay zeros en'el denomi- 
mdor del (bbredicho Quebrado, que en efte cafo es uno ; y 
íerá el logorithmo 4.89717o. el del numero dado^ como 
antes. La razón fe puede colegir de lo dicho en las propo- 
rciones palladas* 

PROP.XXX. Problema. 

BíKfo m UgáftthnM majw que el ultime de la tábU y bollar el 

numero de qmen es Logaritbme. ^ 

SEa dado el logarithmo 4. 897275 1. que no fe haHa etí 
la tabla : pideíe fu numero. Oferacm. Hagafe cuen- 
ta que la caraaeriltica no es mas que 3. y que el logarith- 
malea ;. 897175 1« buícole en la tabla , y hallo que íii 
próximo menor es 3. 8971411. que es logarithmo de 
7895. elcrivo efte numero a parte , y tomo el logarithmo 
próximo mayor 3. 8971971. La diferencia del mayor, y 
menor es 5 50. la diferencia entre el menor , y medio es 
30. añadole á efte tantos zeros , como es la diferencia de 
ascaraderifticas4.y 3. y ferá 3500* parto 3300. por 550. 
y fale elquociente 6. y por lo dicho en la fropof 17. ferá 

3.8971751. logarithmo de 7893 •-, i y tomándole como 

10 

entero , ferá 78936. numero del logarithmo dado 4. 
8971751. 

PROP. XXXL Problema. 

Hallar el complementa Legarithmico^ 

EL complemento logarithmico , es la diferencia que hay 
de qüalquier logarithmo al radio* Ufamos del comple* 
mentó logarithmico frequentemente en las reíbiuciones 
de los triángulos por lo mucho que facilita las operaciones. 
Hallafecon gran facilidad fin.ekrrivir el logarithmo , ni 
el radio , tomando la diferencia que hay de cada letra del 
logarithmo hafta 9. empezando por la caraderiftica; fol9 

en 



i 



£ I B R. o IL 4$ 

en la ultima de mano derecha (e toma la diferencia hafta lo* 
como íe vé en elexemplo figuiente; 

Sea dado el loganthmo <$• 571* &c. pideíe fu com« 
plemento al radio. Sin efcri* 

vir el radio , dieaf^: De 6. á Logarit, 6. 57 1 145 8« 

9« van }• de 5. a 9« van 4.de CompLLog. 3. 428854t« 
!• á*9. vánS, &c. y en la ul- 
tima letra, de 8, á io« van z« y ícri el complemento lo* 
garitbmico 3. 4288, &c« 

Si el logarithmo , como íucede en las tangentes de 
los 45* grados airiba , fuere mayor que el radio, íe tomará 
el xromplemento al duplo radio lo. ooooooo. de la mifma 
fuerte , no haciendo cafo de la primera unidad, (|ue eftá i 
la izquierda en la caraderUtica, como (i no eftuviefle. 

Sea la tangente logarithmica I0.359. &c, fucomple* 
mentó al duplo radio íe 

tomará, diciendo : De zero Logarit, 10. 5 59973 u 

á9.ván9. de'3.á9« van 6, Compl.Log. 9.6400269* 
Scc. y enla ultima, de i. á . 

io.ván9.y es el complemento logarithmico al duplo ra^ 
dio 9. 6400269. 

CAPITULO IV. 



itPLICilCION DE LOS LOGARüimoS A DirERBüTES 

oferMmcs. 

PRORXXXn. Problema* 
J>áá$s tres nrnmos , hálUr el quarto fr$forcmaí* 

Operación. Sumeníe los logarithmos del íegundo , y 
tercero términos ; y de la fuma rettefe el logarith- 
mo del primero ; y el reíuluo ferá el logarithmo del quar* 
to proporcional. 

Exemfb. Sii2«dan36. quedara 25. Buíqueníe en bi 
tabla logarithmica.los logarithmos .de. los. tres numerot 

da- 



5|4 Trat. Vn. De la Trigonometría; 
dados. Sumeníc los logarithmos . ^^ 

del iegundo , y tercero : y de la ^, Logártthm» 

fuma 2. 95. &c. reftefe el loga> ^i 12. i. 0791 8j 2^ 

rithmo del primero; y el reficmo dan j6. i.556302,5* 

!>. 87 JO. &c. ferá el logarithmo qué 2 j. i. 3979400. 
del quarto proporcional que fe 2^954242.5. 

bufca,que hallaao en la tabla, fe . i . 079 1812. 

verá l'er 75. Confta del corola- ^ •- oir^^V *^ 

rio de k^prflp. 3. 7J. 1.8750613.. 

^f U regU de tres fuere inverfa , fe fumátAn los logaritbmos 
del f rimero , y fegundo termnos ;j de la fuma fe reftari el loga^ 
ñthmodel tercero ^j el refiduofera el del quarto que fe bufca» 

PROR XXXffl. Problema. 

Ixecutar lo fobredkho mas fácilmente j tomando el contplementa 

logarithmico* 

SEan dados los números 12. 36. 25. y fe buíca el quar- 
to proporcional. En lugar 
del logarithmo del primer ter- 12. C.L. 8.9208188» 
mino , tomefe fu complemento 36. 1.5563025. 

al radio , (3 1.) y la fuma de los 25* i-39J94^o^ 

tres , menos el radio , ferá el 75. 1.8750613. 

logarithmo del quarto , que es 

*^5^ El radio fe quita de la fuma , omitiendo la primem 
unidad á la izquierda. Si el complemento logarithmico fe, 
huviefle tomado al duplo radio , fe quitaria el 2.que viene 
á la izquierda. 

Demonjlr. Como vimos en la próp. anteced. el quarto 
proporcional fe halla, reliando de la fuma de los logarith- 
mos del fegundo , y tercero términos, el logarithmo del 
primero, tile logarithmo primero , junto con fu comple- 
mento haíla el radio , hace juílamente el radio : luego íi 
de la funia del fegundo , y tercero , fe dexa de reliar cUo-i 
garithmo primero , y á mas de efto, fe le añade el comple- 
iiiento halla el radio , la fuma de los tres logarithmos ex-, 
cede al logarithmo que fe' bufca en todo im radio ente- 
lo : luego li deeft^uiaia fe reíla el radio ^ quedará ello-- 



Libro IL 4^ 

igaritbmo que íe defea. Y como d radio fe componga lo- 
lamente de la unidad , y zeros, bailará quitar la unidad en 
-la forma dicha, para que quede quitado el radio : y por la 
.miíma razón ^ quando le tomó el complemento al duplo 
radio , fe quitan z. á la izquierda. Efte nwdo de alnar hace 
faiüifs'mAs las oferacionesyj ufaremos de él en adelatae^ notando 
€07% las letras C, L, el complemento logarithmico. 

PROP. XXXIV. Problema. 

Dados dos números y hallar el tercero froprcional. 

OVeracton. Dupliqueíe el logarithmo del numero íc- 
gundo : y del duplo reltefe el logarithmo del nu- 
mero primero ; y el renduo ferá el logarithmo del tercer 
uuffiero que fe bufca. O ma$ fácilmente : tomeíe el com-» 
.plemento logarithmico del numero primero , y el duplo 
del logarithmo del íegundo : fumeníe entrambas parti«- 
das, y la fuma^ meno§ el radio , íerá el logarithmo dd 
tercero. 

Exemplo, Sean dados los números iz.yiS. Pideíed 
rtercero proporcional. To- 

jmtfe el coinp. logar, del 12» C,L. 8.9208 188¿ 
primero ; dupliqueíe el lo- i8. Log.dupU 2.5 105450W 
garithmo de 18. y (era 2. 27. 1.43 1 3 (í 3^» 

510. &:c. lümenfe entram- 
bas partidas , y lera la fuma 11.45 15638. y quitado el ra- 
dio ,. lera j.. 431., &c. logarithmo de 27. tercero propor-< 
cional que fe deíea. Conita del coroL de la frop. 4. 

PROP. XXXV. Problema. 

1 

a • • 

I;ntre dos. números dados , hallar quakfquiera medks. fro- 

OPorcionalesm 
Peracim. Bufqueníe en la tabla los logaríthmos de 
los números dados : reíteíe el un logarithmo de el 
otro : y íi fe pide un ipedio proporcional , dividaíe dich)i 
• düferencia en oos partes iguales ; y í¡ íe piden dos, dividaíe 
4^ mifúsia. diferencia ^^t^esparties; y íitxe^^eaquatro; y 

áfti 



4¿ Trat. vil De la Trigonometría. 
aisi de lo$ demás, dividiéndole íiempre en una parte ma$ 
que los medios que ie piden. Añadida efta parte de diüh- 
renda al logarithipo menor , darsL el logarithmo del pri- 
mer medio que fe pide : añadida dos veces^ dará el del ío- 
gundo ; y aísi de los demás. 
- Exemflo. Sean dados los números 4.y ;i.entre los <]ua^ 
^les fe bufcandos medios proporcionales. £1 loearithmo 
""de 4, es o. 6020600. el de 52. es i. 5051 joo. fu diferencia 

Sartida por 5. es o. 3010500. que añadida ai logarithmo 
el 4. hace o.9o;o90o.que lo es del S.medio primero que 
fe bulca : y añadido otra vez el mifmo tercio o. ;o. &c. al 
logarithmo o. 9030. &c. da el logarithmo i. 2041200. 
que lo es de i6. (egundo medio que íe pretende. 
- Demonfir. Los logarithmos de números gcometricainen< 
te proporcionales ie exceden con excciTcs iguales , corno 
conita de fu mifmo artificio: luego (Icndo tres los términos 
proporcionales que hay defpues del 4.hatta el 32.inclufiva- 
mente, la diferencia del logarithmo del 3 2. al del 4.inc]ui^ 
rá tres veces la diferencia, o exceflb en que cada logarítb- 
mo excede a fu inmediato : luego fi la diferencia del loga- 
rithmo del 32. al de 4.fe divide en tres partes, qualquiera 
de ellas ferá el exceíTo de cada logarithmo á fu inmediato: 
y por coniíguiente, añadiéndole continuamente á los loga- 
rtthmos , le (abrán éítos , y los números fus correípondieih 
tes. 

PROP. XXXVI. Problema. 



p 



Hallar qualquiera raiz* numérica de un numero dado. 

Irtaíe el logarithmo del numero dado por el cxpo- 
^ nente de la raiz que fe pide , y el quociente ferá el 
logarithmo de- la raiz. Exemplo. Pidefe la raiz quadrada 
del numero 324. Bufqueíe íu logarithmo en la tabla , y 
es 2. 5 105450. y porque el exponente de la raíz qtiadra- 
daes 2. pártale dicho logarithmo por 2. y el quocient-c 
I* 2552725. ftrá el logarithmo de la raiz. Buíquefe pues 
€n la tabla, y á fu lado fe hallará el numero i8« raiz cua- 
drada de 324. Afsimifmo , íea dado el numero 5832. 
Pidefe fu raiz cubica : fu logarithmo es 3. 765817 j. y 
porque el exponente dfi la r^ cHbiC4 es 3. partafe dicb() 

lo- 



L I B R o II. 47 

logatithmó por 5. y el quociente i. 25 y 271 $• ícrá el loga- 
ritnmo de la raiz cubica que fe buícajbufqueíe en la tabla» 
y á íu lado íe hallará 18. raiz cubica de {832.Gonfta de la 

prop* 14* 

PROP. XXXVII/Problema. 
Hallar las Secantes Logarithmicasm 

EN la poj^f. xo. del lib. i. fe demonftró , que el radia 
es medio proporcional entre el íeno fegundo de ua 
arco , y fu fecante primera ; y entre el íeno primero , y U 
íecante fegupda : luego ( 54. ) fi del logarithmo duplicada 
del radio fe relia el logarithmo del feno íegundo , el refi- 
duo ferá el logarithmo de la fecante primera : y íi del miC- 
mo duplo fe refta el logarithmo del íeno primero , el refir 
duo ferá la fecante fegunda. Exemplo. Pi- 
defe la fecante primera de el arco de 3 ][• 2o.ooooooo« 
grad. 8. min. El logarithmo de fu feno 2* 9.9126551. 
es 9I26.&C. refiado del duplo radio 20.00 10.087^44^ 
&c. el refiduo 10.08. &c. es el logarithmo ' /3'^>* 
de la fecante primera del arco propuefto. Aísimífmo , fi 
de 2o.oo,&c.íe retta el feno primero del müino arco, que 
iCS 9. 7600311. el reiiduo lo. 2399689. ferá la fecante fe- 
gunda. 

. Efta operación fe abrevia aun mas. ufando del complq^ 
mentó logarithmico. Tomefe pues el complemento loga- 
rithmico del feno fegundo íobcedicho , y añadafele la 
unidad á la caraderiftica » y fe tendrá el logarithmo i<v 
0873449. que lo es de la tangente prioaera. Aísimifino^to- 
mando el complementó logarithmico del feno i. arriba 
.propuefto 9* 76o,&^, y añadida U unidad á la caraderiftir 
ca, ferá 10. 239^1689» el logarithmo de la fecante fegunda* 

PROP. XXXVm, Problema. 

« 

JíaUar los logaritbmos de los fems vetfos , h fagitáSé 

EN ei corolario de la fropot, 5. lib. i. fe demonftra, 
que el feno de la mitad dfe un arco es medio propor- 
cional entre el femiradio, y el feno verft> de todo el arco: 
luego íi fe quiere hallar el iéno verft»' de un arco , fe havrá 
de hacer una regla de tres , diciendo : como U mitad del^ 

radio 



^S Trat. VII. De la Trigonometria. 
radio al ieno de la mitad del arco dado ; aísi elte miím 
íeno al (eno veríb del mifítio arco : lueeo obrando co 
logarithmos , ( 34 ) fí (e duplica el logarithmo del feno d 
la mitad del arco dado,y de efte duplo íe reña el logaritb 
mo del femiradio , el reíiduo ferá el logarithmo del íenc 
veríb del arco dado. 

Bxemplo. Pideíe el logarithmo del íeno veríb del arce 
de 50. grados. Halleíe el logarithmo 
del íeno de 2 5. grados , que íbn la mitad 9.62 5948 3 • 
de 50. Dupliqueíe , eícriviendole dos 9.6259483. 
veces , y íumí«ídole : reíkfedecfta fu- {^.TkTSoóóI 
ma el logarithmo de la mitad del radio, 9.6989700I 
qué por la razón que luego diré es •**•-- ""^rv^ 
9. 6989700. y el reíiduo 9. 5529266. 9*5 5 *P-^^» 
•íerá el logaritnmo del feno verlo del arco de 50» grados. 

La ralon , porque el logarithmo del femiradio es 9. 
,6989.&c. es, porque fu logarithmo es el que en las tablas 
Idgarithmicas correíponde al namero 5000. (blb que k 
. caraderiílica ha de fer 9. por haverfe fupueílo quando fe 
fabricaron los logarithmos , fer el radio en números ab- 
íbltttos loooooooooo. y el femiradio 50000001)00^ con 
que confiando éfte de lo. letras , la caraéleriítioa de fu lo- 
gárftlimo^ ha de fer 9. feguo lo dichón lo ultmwde k fra^ ! 
fof. 10. 

Eíta operación íe hará mas brevemente ufando de el 
complemento logarithmico del íemiradio , el qual com* 
-plemento es igual al íe- 

tio primero del numero Logar, de 2. c.5Oi0299, 

a.Elcrivafe pues en pri- Logar.de 25 9.6259483. 

.mer lugar el logarith- Logar, de 25. 9.625948}.. 

mo del numero 2.como Logar, del fen. verf. ^.7579265: 
le ve : efcrivaíe deípucs^ 

dos veces el logarithmo del feno de 25. grad. fumenfe las 
tres partidas ; y la fuma , quitada la unidad primera de 
Ja caraderiftica, ferá 9. 552. &c. logarithmo del feno ver- 
ib de 50. grados. 



CA- 



CANON 

TRIGONOMÉTRICO 

CON LOS SENOS , Y 

Tangentes Logarithniicas, 
fuponienclo fer el Radió 

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8.745 2067 

8.7474791 



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8.7519892 
8.7542269 



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8.7586681 

8.7608719 



8.7650647 
8.7652465 
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8.7781156 

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Seno. 



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4.Grad. 



Seno. 

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8.8471817 
8.8489707 

8.8507512 
8.8525245 
8.8542905 

8.8560493 
8.8578010 

8^8595457 

8.86128;} 
8.8650159 

8.8647576 

8.8664545 
8.8681646 
8.8698680 

8.8715646 
8.8752546 
8.8749581 

8.8766150 
8.8782854 
8.8799495 

8.8816069 

8.;885258i 
8.884905 1 

8.8865418 
8.8881745 
8.8898007 

8*8914209 
8.8950551 
8.8946455 



Tangente. 
8.8446457 



8.8464554 

8.8482597 
8.8500566 

8.8518461 
8;8556285 
8-8554054 

8.8571715 
8.8589521 

8.8606859 

8.8624527 
8.8641725 
8.8659055 

8.8676517 
8.8695 5 1 1 
8.8710658 



8.8727699 
8.8744694 
8.8761625 



8.8778487 
8.8795286 
8.8812022 

8.8828694 
8.8845^05 
8.8861880 



8.8878354 
8.8894757 
8.8911119 



8.8927420 
8.8945660 
8.8959842 



85.Giud» 



60 



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2 

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45 
42 



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40 

59 
58 

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54 
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51 
50 



- Seno. 

9.9989408 

9.9989519 
9.9989250 
9.9989 141 

9-9988962 
9.9980871 

9.9988780 
9.9988689 
9.9988598 

9^988506 
9.9988414 
9.9988521 

9.9988228 

9-9988155 
9.9908041 

9.9987947 

9-998785? 
9.9987758 

9.9987665 
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9.9987471 

9-9987575 
9.9987278 

9.99871 81 

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9.9986986 

9.9986888 

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9.9986790 
9.9986691 
9.9986591 



Tangente. 



II 



155544^ 
15 17405 
H99434 



148 1 5 59 

1465 717 
1445966 



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1410679] 
1595141 



1575^5 
155827J 

1540945 



1525685 
1506489 
1289362 



1272301 
1255306 

1258577 



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Seno. .Tangente. 

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85. Grad. 



Seno. 



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11.0668660 



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11.0624550 



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Seno. Tangente; 

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8.9550996 8.9548564 

8.9544991 8.9562672. 
8.9558940 8.9576733 
8.9571843 8.9590754 

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8.9614280 8.9631545 

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8.9641697 8.9660180 
8^9655357 8.9675944 

8.9668954 8.9687658 
8.9682487 8.9701550 
8.9695999 8.9714959 

8.9709468 8.97^8547 
8.9722895 8.9742092 
8.9756280 8.9755597 

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8.9749624 8.9769060 

8.9762926 8.9782485 

8.9776188 8.9795865 



8.9789408 8.9809206 
8.9802589 18.9822507 
8.98 1 5729 1 8.98 3 5769 



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34 
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84. Grad. 



Seno. 



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9.9985109 

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9.9982685 
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9.9981660 
9.9982546 
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9.9982318 
9.9982204 
9.9982089 

9.9981974 
9.9981859 
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.0539812 
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.0285041 



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.0257900, 
.0244405 



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.0217517 
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.0177495 
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5..Grad. 



Seno. 

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9.0008160 

9.0020687 
9.0055179 
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9.0058053 
9.0070436 
9.0082754 

9.0095096 
9.0107374 
9.01 19616 

9.0145996 

9.0I56I3J. 



Tangente. 
8.985^769 

8.9848991' 
8.9862175 

8.9875517 

8.9888421 
8.9901487 
8.99 145 14 

8.9927505 
8.9940454 

8-99555^7 



8.9966243 
8.9979081 

8.9991883 

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9.0004647 

9.0017575 
9.0050066 



60 



9.0168259 
9.0180309 
9.0192546 



9.0042721 
9.0055540 
9.0067924 

9.0080471 
9.0092984 
9.0105461 

9.01 17905 
9.0150510 
9*^0142 



9.01 5 502 1 
9.0167525 
9.0179594 



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9.0204055 
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84. Grad. 



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Seno. 



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Tangente. 

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83. Grid. i 


Seno. 


Tangente. 


Seno. 


Tangente. 


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9.9976145 


10.978375,8 


9.0104548 
9.0116J18 
9.0218154 


9.0128338 
9.0140441 
9.0151510 


9.997601 1 
9-9975877 
9-997574! 
9.9975609 

9-9975475 
9.9975340 


10.9771661 
10.975s.fj5, 
■o.974745>o 


9.0240157 
9.0152017 
9.0165865 


9.0264548 
9.0216551 
9^)188514 


10.975 J45 i 
10.97H+4Í 
10.97 1 1476 


9.0175669 
9.0287442 
9.0199181 


9.0300464 
9.0311573 
9.0314149 


9.9975105 
9-9975069 
9-99749» 


10.9^556 

10.9687617 
10.967575, 


9.0310890 
9.0511567 
9.0354211 


9.0556095 
9.0547906 
9.0559688 


9-9974797 
9-9974660 
9-9974523 


10.96635107 
10.9652094 
10.9640512 


9.0345815 
9.0357405 
9.056*958 


9.0571459 
9.0383159 
9.0394848 


9.9974586 
9.9974248 
9.99741 10 


10.9^18561 
10.9616841 
10.96051J2 


9.0380477 
9.0391966 
9.0405414 


9.0406506 
9.0418154 
9.0419731 


9-997!97> 
9-9S>7i8!5 
9.J973695 


10.9593494 
10.9581866 
10.95-70169 


9.041^851 
9.0426249 
9.0437617 


9.0441299 
9.0452856 
9.0464545 


9-997J554 
9-997Í4I4 
9-9í<73»7i 


10.9558701 
10.9547164 
10.9555657 


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3° 


9- 0448954 
9.Ú460261 
9.0471558 


9.04758H 
5.0487170 
9.0498689 


9-597J152 
9.9972991 
9.9971850 

9.9971708 
9.9972566 
9.9971423 


10.9514179 
10.9511730 
10.9501511 


9.0482786 
9.0494005 
9.0505194 


9.0510078 
9.0521439 
9.0531771 


10.9489912 
10.9478561 
10.9467119 


9.0516,54 
9-0517485 
19.0538588 


9.0544074 

9-05SÜ49 
9.0566595 


9.9971180 
9.9971157 
9.9971995 


10.9455926 
10.9444651 
10.9453405 




6.'Grad. 
Seno. I Tangente. 



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50 :9w05}8j88 9.0566595 



57 9.0615509 9.0644533 

58 9.0626386 9.0655556 
39 9.0637135 1 9 '°^°5 5 3 



4019.0648057 9.0677522 
I, 9.0658852 9-0688465 
42 9.06696^9 9.0699581 



^ I 9^549661 9.05778^5 

5± 9.0560706 9.0589002 

34 9*0582711 9.061 1 297 

55 9-0595672 9.062240 j 

56 9.0604604 9^65 J482 



4, 9.0680360 9'«>7io27o 
Ti 9.0691074 9-07"i?J 
45 9.0701761 1 9^519*9 



46 9.07 1 142 1 9-o742'779 
J7 9.0723055 9-0755563 

48 



91.0735663 



49 9.0744244 9-0775053 

.9.0754799 9-0785760 

1 [9.0765 3 19 9-079644^ 



2 9.077583? 9-08070961 
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X0.5957767 

10.39541 18 

10.395047 

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9.6397637 

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9.6415235 
9.6415828 
9.6418420 



Tangente. 

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9.978821 1 
9.9791460 
9.9794708 

9.6797953 
9.6801 198 

9.6804440 



9.6807682 
9.6810921 
9.6814160 



9.6817396 
9.6820632 
9.6823865 

9.6817098 
9.6830328 
9.6853557 



9.6836785 
9.684001 1 
9^6843236 

9.6846459 
9.6849681 
9.6852601 



9.6856120 
9.6859338 
9.6862555 



9.6865768 
9.6868981 
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64. Grad. 



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9.9552469 
9.9551864 
9.9551259 

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9.9550047 

9.9549441 

9.9548834 
9.9548227 
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10.5185840 

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10.3179568 

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9.6441654 

9.6444226 
9.6446769 
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9.645 193 1 
9.6454496 
9.6457058 

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9.6462 178 

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9.6469844 
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25 9.6482582 
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27 9.6487665 

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9.6913809 
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9.6^26565 
9.6929750 



9.6952934 
9.6936117 
9.6939298 



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9.6948833 



9.6952009 
9.6955183 
9.6958355 

9.6961527 
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9.6967865 

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10.05 26827 
10.0524280 

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10.05191901 

10.0516645 

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10.0599770 
10.0597155 
10.0594695! 




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10.0387085, 




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42. Grad. 



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Tangente. 



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Seno. 



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9.8675151 
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9.8671673 
9.8670512 
0.8669551 



9.8668189 
9. 8667026 
9.8665865 



9.0662569 



9.8661205 
9.8660056 
9.8658868 



9.8657700 
9.8656551 
9.8655562 



9.8654192 
9.8655021 
9.8651849 



9.8650677 
9.8649504 
9.8648551 



9.86471 56 
9.8645981 
9.8644806 



9.8645629 
9.8642452 
9.8641275 



Tangente. 



10.0579475 



0.0576959 
0.0574^05 
0.0571867 



0.0569531 
0.0366796 
0.0364260 



0.0561725 
0.0559189 
0.0556654 



0.05 54I 19 
0.0351584 
0.0349049 



0.0546514 
0.0545980 
0.0541445 



0.05589x1 
0.0556J77 
0.0555843 



0.0331508 
0.0328775 
0.0526241 



0.0525707 
0.0521175 
0.0518640 



0.0516107 

0.051557$ 
0.0511040 



0.0508507 
0.0505974 
0.0505441 



43 • Grad. 



I 
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Seno. 



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9.8341894 



9.8545146 

9.8344J9 

9.834J94 



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9.0348046 

9.8349994 



9.8351688 
9.8554055 



9.8555378 
9.8356711 
9.8358066 



9.8559408 
9.8560750 
9.8561091 



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Tangente. 



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[0.0106129 

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[0.0098547 

10.0096019 
10.0093492 
[0.009096$ 

[O.O088438 
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9.8477091 
9.8478365 
9.8479637 

9.8480909 
9.8482180 
9.8483450 

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57 



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9.8528693 

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9.8524959 

9.8522466 
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9.8517471 

9.8516220 
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9.8502417 

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9.8499897 

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9.8494850 



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0.0065695 
0.0065168 
[0.0060641* 

10.0058114 

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0.0055060 

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0.0048007 
0.0045480 

0.00429^) 
.0.0040427 
[O.OO579OO 

0.0055575 
10^0052840 

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0.0027795 
0.002 5 266 
:0.002274o 

0.0020215 
:0.001768o 
:0.001516o 

:o.ooi2655 
0.0010107 
:0.000758o 

0.0005055 
0.0002527 
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TABLA 

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DÉLOS 

LOGA R I THM OS 

corrcípondicntcs á Jos nur 
incros^dcfdc i. hafta 

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3 
4 
5 



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0.477121a 
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0.6989700 



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7 0.0450980 

8 {0^9030900 
9 1 0.9542425 

10 



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xi 1 1.0791812 

1511.IIJ9435 

141 1.I46I280 



15 



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N. 






16 

17 
18 

zx 1 1.3112193 
14 



1.1041200 
X. 23 04489 

1.2552725 
1.2787536 

I. 3010300 




I.36I7278 

1.3802112 

I.59794ÓOI 



29 I. 

30 I. 



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1.45 1 5638 

1.4471580 

1^623980 

47712 I 2 



31 
i* 
35 
54 



1.4913617 
1. 5051500 
1.5185119 
1.5314789 



54 
3» 



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40 

41 
42 

45 



44 
46 

48 



49 

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7525958 

.7481880 

7558748 
.7634280 



.7708520 
.7781512 
.7853298 
.7923917 

•7995405 



.8061800 
.8129153 
,8195439 
.8260748 



N, 



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.8388491 
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•8512583 



•§57J3M 
•8633229 

.8692317 

.8750613 

.8808136 



.8864907 
•89 z 0946 
.8976271 
.9030900 
.9084850 



•9138128 
.915^)701 
.9242793 
.9294189 
.9344984 



.9395192 
. 9444827 
•9493900 
.9542425 
.9590414 



.9627878 
•9684829 
.9731278 
.9777236 
.9822712 



i*^ 



.9867717 
•9912261 
.9956352 



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2.1789769 


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2.0755470 
2.0591812 


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2.26951191 


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2.0827854 
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2.1905517 


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2.0899051 


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2.1951146 


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2.2764618 


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2.0954217 


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2.1958996 


190 


2.278753Í 


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126 


1.0969100 


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1.1986571 


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2,2áio554 


2.1005705 
2.1038037 


1.2015971 


1.1855012 


127 


160 


1.2041200 


19J 


1.2855575 


128 


1.1072100 


161 


2.2068259 


194 


2.2878017 


129 


2.1105897 


162 


1.2095150 


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2.1139453 


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2.2174859 
2.2201081 


197 


1.2944662 


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2.1258516 


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1.2988551 


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1.1227165 


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2,3222193 



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1 215 2.3283796 
1 214 2.3504158 

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2.3465530 
1.5485049 
2.3J02480 



2.5541084 
2.5560259 
2.3579348 
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1.5617278 



1.3636120 
!,5«S488o 

'•3*73519 
2.56921J9 



Logaríth. 

2.3691159 
2.5710679 
2.5719120 

'■3747483 
2.5765769 



'■3783979 
1.5S05112 
2.5820170 
2.3838154 
2.3856065 



2.3S73898 
2.3891661 
2.5909531 
2.3926969 
'•3944J'7 



2.3961595 
2.3979400 
2.3996757 
2.40140UJ 
' 40ÍÍ105 



2.4.148357 
2.4065402 
2.4081400 
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2.4116197 



2.4131998 

M'49733 
2.4166405 
2.4183015 
M'995S7 



2.4216059 
2.4231459 
2.42^8 1£ 



Logaríth. 
1.4165115 
2.428 1 34S 

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1-5313658 
2-4529695 



2.4345689 
2.4361626 
•■4377506 
'•43953'7 
2-4409°9' 



2-1424798 
2..5440448 
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2^471580 
2-MS7063 



2.4502491 
2.4517S64 

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2.4548449 
^..4563660 



2.4578819 
2.4593925 

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24658930 



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2.4711917 



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2.4742165 
1.4756712 
2.4771212 



N. 

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319 
320 

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3M 
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326 

528 
329 
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331 
33* 
333 
334 



Logarith. 

478j6<55 
4000069 
4814426 
4828736 
4842998 



4857214 
4871584 
48855:07 
4899585 
4913617 



* 



4927604 
4941546 

49Í5445 
4969296 

4985 105 



4996871 
5010595 
5024271 
5037907 
5051500 



5065050 
5078559 
5092025 
5105450 
5118834 



5132176 

5i4'r477 
5158758 

5171959 
5185139 



5 198280 
5211381 
5224442 

5*374<Jj ; 



N. 



54 
3J 
56 

58 



39 
40 

41 

42 

43 



44 
46 

48 



49 
50 

5* 
53 



54 

II 

57 
58 

59 
60 

61 

61 

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66 



Logarith. 

5*374^5 
525044ÍS 

5»<53593 
5276299 

5289167 



53PI997 
5514789 

53*7544 
5340261 

5352941 



53*55584 
5378i9f 

5390761 

5405*95 
5415792 



5428254 
5440680 

5455071 
5465427 

5477747 



5490053 
5502285 
5514500 
5526682 
5538850 



,5550944 
.5565025 

.5575072 

.5587086 

.5599066 



.5611014 
.5622029 
.5654811 
.5646661 



N. 



67 
68 

69 

70 

71 



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73 

74 

75 
76 



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82 

83 
84 

85 
86 



87 
88 

89 
90 

91 



9* 

95 

94 

95 
96 



97 
98 

991 
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LogarithJ 

1.5^4666) 
4.5658478 
». 5 67026^ 
». 5^82017 
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»-5705429 
t.5717088 

t>575i87{ 

•57<534i4 

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1.5786591 
*-57978j<5 
». 5809250 

t«y8zo<5^4 
».5«<i9^ 
1.5843JI2 
^.5854607 
1.5865875 

».5877Tio 

».58a85i7 
1.5899496 

t. 59 T 0646 

t. 59217^8 

«.59528^1 

».59459M 
t.59<49Í2 

»-59^^97i 
1-597(5952 

2.5987905 

». 5 998851 
x.6oo9729l 



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Loganth~ 

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L.6o74i¡o 



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1.617000; 
1.6180481 



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1.6111140 
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4^3 í.6i6;404] 456 



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Logarith. 
i.6¡74897 
1.6;8489; 
1.6394865 
1.6404814 
1.6414741 



1.6414645 
1.64J4517 

1.6444306 

2.64 J42M 
1.646407} 

1.6473830 

z. 648 3 600 
1.6493349 
1.6Í0307J 
1.6512780 



2.6521463 
2.6551125 
2.6541765 
..6551384 
■656098: 



Logarith." 

.6693169 

.6702458 
1.671 1718 
Z.6730979 
2.0750209 

,673942o 
2.6748611 

2.6757785 
2.6766936 
2.6776069 



2.65705;8 
2.65801 14 
2.6589648 
2.6599162 
2.6608655 

2.6618127 
2.6627578 
1.6637009 
2.6646420 
1.6655810 

2.6665180 
2.6674529 
2. ¿68 3 85 9 
2.6695169 



2.6785184 
1.6794279 
2.68ojjyj 
1.681 24 I z 
1.681145 1 

.6839471 
-.6848454 

1.68 5741 T 

.6866;J65 

1.6875190 
1.6884198 
1.6893089 
1.6901961 
1.6910S15 

2.6919651 
z. 6928469 
2.6937269 
2.6946051 
1.6954817 

2.6963564 
2.6973193 
1^981005 
1.6989700 



N. 
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10} 

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105 

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17 
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29 
30 



V 

33 
34 



Logaríth. 

2.6998577 
2.7007037 
2.7015680 
2.702430J 
2.7032914 

2.7041 50 5 
2.7050080 
2.7058637 
2.7067178 
2.7075702 

2.7084209 
2.7092700 
2.7101174 
2,7109631 
2.71 18072 

2.7126497 
1.7134905 
2.7143 298 
2.71 5 1674 
2.7160033 

2.7168377 
2.7176705 
2.7185017 

^•7193313 
2.7201593 

2.7209857 
1.7218106 
2.7226359 

^•7*345 57 
2.7242759 



2.7250945 
2.7259116 
2.7267272 
2.7275413 



N. 



I 

I 

I 
I 



34 



59 
40 

41 

4* 
45 



44 

45 
46 

42 
48 



49 

5» 
55 



54 
55 



Logaríth. 



59 
60 

61 

62 

63 



64 

65 
66 

67 



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7555989 
7565965 

7571926 

7379875 
7587806 



7595715 
7405927 

7411516 

7419591 

7417251 



7455098 

7441950 
7450748 

7458552 

7466341 



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7481880 
7489629 

7497565 
7505084 



2.7512791 
2.7520484 
7528164 

i»753585i 



N. 



67 
68 

69 

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71 



71 

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75 
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2.7551125 

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2.7581546 

2.7 5 891 ip 

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2.760422J 

2*761 1758 
2.7619278 
2.7626786 
2.7634280 
2.7641761 

2.764.9230 
2.7656685 
2.7664128 
2.7671 5 J9 
2.7678976 

2.7686581 

-•7^95 77 J 
2.7701 155 

2.7708520 
^*77J5»75 

2.7723217 

^•7750H7 

2.7757864 í 

2.7745170 
2.77J2463 



^•7759745 
2.7767012 

2.7774268 

2.7781 j II 



N. 


Logarith. 


N. 


Lí^arith. 


N. 


Logarith. 


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667 
668 
669 
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67. 


2.824,258 
2.8247765 
2.8254261 
2.8260748 
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«07 
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..7855208 

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..78675.4 
..7874605 
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645 

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672 
«75 
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676 


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2.8299467 


611 

«IJ 

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620 

625 

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2.810904; 
2.8115750 


«77 
673 

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1.8505887 
1.85.2297 
1.85.8698 
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2.855147. 


..7895807 
1.790:852 
..7909885 
..7916906 

..7925917 


2.8.22447 
2.8.29.54 
2.8.Ü8Í0' 
2.8.42476 
2.8149.U 


682 
685 
684 
687 
636 


2.8557844 
2.8544207 
1.8550561 
1.8556906 
2.8565241 


1.7950916 
..7957904 
1.7944880 
1.795.846 
1.79Í8800 


654 


2.8155777 
2.8162415 
2.8169058 
2.8175654 
2.8182259 


687 
63é 
689 

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2.8382192 
2.8388491 
2.83^780 


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627 
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«29 
6,0 


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1.7972675 

1.79795915 
1.7986506 
1.7995405 


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665 
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2.8.95459 
2.8202015 
2.820S580 
2.S215155 


696 


2. 8401 061 
1.8407332 
2.8413^95 
2.8419848 
1.8426092 


«52 

«¡4 


1.8000294 
..8007.71 
..8014057 
t.8020895 


2.822168. 
2.82282.6 
2.825474! 
2.824.258 


«97 
698 
699 

700 


2.8452528 
2.8458554 

2.8450980 



I 



N. I 

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707 
708 
709 

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716 
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71 1 
7x1 

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7M 
7*5 

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727 
728 
729 
750 

731 
75* 
753 
754 



Logaritfa. 

84^7 I 80 
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846955} 
8475727 
8481891 



8488047 
8494194 
8500JJ5 
8500461 
8512515 



8518696 
8524800 
8550895 
8556982 
8545061 



8549150 
8555191 
8561244 
85672^9 

85753*5 



8579555 
858557= 
8591 5é5 

8597586 

8605581 



8609566 
8615544 
862 I 5 14 
8627275 
8655229 



8659174 
8645 III 
8651040 
865^1 



N. 

754 

756 

757 
75« 



759 

740 

741 

74* 
745 



744 

745 
746 

747 
J48 

749 
750 

751 
75* 
755 



754 

755 
756 

757 
758 



759 
760 

761 

762 

765 



764 
765 
766 
767 



Logáríth. 

86565,61 
8662875 
8668778 
8674675 
8680564 



8686444 
8692517 
8698182 
8704059 
8709888 



8715729 
8721565 
8727588 
8755206 
8755)016 



8744818 
8750615 
8756599 

8762178 
8767950 



8771715 
«779469 

8785218 

8790959 

8796692 



8802418 
8808156 
8815847 
8819550 
8825245 



8850954 

885661. 

884228! 

8847954 



N. 

% 

769 
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771 



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£.8876173 
£.8881795 
£.8887410 
«.88^3017 
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«.890979ÍI 

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£.8920946 
£•8926510 

1.895x067 
1.8937618 
1.894.3161 
t .8948696 
1.8954225 

1.8959747 

1.8965262 
1.8970770 
1.8976271 
1.8981765 

¿.8987252 

^•899275 2 

1.0998205 
£.9003671 
I.9009I3I 



1.9014583 

£•9020029 
£•9025468 



I^G^arith. 



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804 
805 



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2.5^41744 

z.9Q47iyy 
2.9051560 
2.9057959 



S06 2.9062350 

807 2,9o68735 

808 12.9074114 

809 1 2.9079485 
810I2..9084850 

8 1 1 I 2,.90902o8 

812 ' 2.9095560 



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815 

816 
817 
818 
819 
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821 

8X2 

823 
824 

825 



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8}i 
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834 



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2.9106244 
2,91 1 1 576 



2.9116901 

2.9122220 

2.9132839 
2.9138138 

2.914343 1 
2.9148718 
2.9153998 
2.9159272 
2.9164539 



2.9169800 
2,9175055 
2.9180303 
2.91855^5 
2.9190781 



2.9196010 
2.9201233 
2.9206450 
2.9211660 



N¿ I Ix^arith. 



854 

856' 

857, 
858 f 



839 
840 

841 

843 

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844 
845 
846 

848 



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850 

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865 



864 
865 
866 
867 



2.9211660 
2.921686^ 
'2.9222063 
2.92272 54 
2.92^2440 

2.^257620 
2.9242793 
2.9247960 
2.9253I2I 
2.9258276 



2.9263424 

2.9i6»567 
2.9272704 
2.9278834 
2.9283958 

2.9289077 
2.9294189 
2.9299296 
2.9304396 
2.9309490 



^•9514579 
2.95 19661 

1.9324738 

2.9329808 

^-9334873 

^•93 5993 i 
2.9344984 

2.9350031 

^•9355073 

2.9360108 



2.9365137 
2.9370161 

^•9375179 
2*9380191 



881 



Logaríth. 



2.9380191 

2.9385197 
2.9390198 
2.9395192 
2.94001 8 1 



2.9405165 

^.9410142 
2.941 5 1 14 

2.9420080 
2.9425041 



2.9429966 

o- ^-9454945 

f79 2.94398á9 

880 2.9444827 

' 2.9449759 



882 2.9454686 
2.9459607 
2.9464523 
2.9469453 

^•9474337 



883 
884 
885 
886 



'2 

!8 



88 

88 

889 

890 

891 



2.9479236 
2.9484130 
2.9489013 
2.94935KX) 

2.9498777 



892 1 2.9503648 
893Í*-9ío85i4 
894' 2.9513375 

09Í 2.9518230 
896 2.9523080 



897 2.9527924 

898 2.9532765 

899 2.9537597 

900 2.9542425 



. . I» 11 



N. 
901 

90£ 

905 
904 
90J 




909 
910 

Jñ 
9IZ 

914 

211 

916 
917 
918 
919 
920 

9ZI 
922 

924 
9M 

926 
927 
928 
929 
950 

955 
954 



Logaritb. 

2.9547248 
2.9552065 

2.9556877 
2.9561684 

2.9566486 



2.9571282 
2.957607^ 
2.9580858 
2.9585639 
2.9590414 

2.959518^ 

2^-9599948 

2.9604708 

2.9609462 
2.9614211 



2.9618955 
2.9625693 
2.9620427 
2.9655155 

2.9657878 

« 

2.9642596 
2.9647309 
2.9652017 
2.9656720 
1.9661417 



2.9666110 

2.9670792 
2.9675480 
2.9680157 
2.9684829 

2.9686497 
2.9694159 

2.9<^88i6 
2.9703469 



N. I Logarith. 



954 
9JÍ 

9}8 



939 
940 

941 

942 

94J 



944 

94Í 

946 

947 
'943 



949 
950 

951 

9ía 

9n 

9H 
9J5 
956 

957 

959 
960 

961 

962 

963 

964 

966 

967 



2.9703469 
2.9700116 
2.9712758 
2.9717396 
2.972202S 

I — ■— iai— 
2.9726656 
2.9751278 
2.9755896 
2.9740509 
2.9745117 

2.974y7¿u 

2.9754518 

2.975 89 1 1 
2.9765500 
2.976508^ 



2.9772662 

2.9777256 

2.9781805 
2.9786569 
2.9790929 



2.979)484 

2.9800054 
2.9804579 
2.9809119 

2.9815655 



2.9818186 

2.9822712 

2.9827254 

2.985175 1 

2.9856265 



2.9840770 

2.9845275 

2.9849771 
2.9854265 



N. 



I Logaritluí 



9^712.985^x155 

9^812.985*754 
969.2.^98652,38 

970 2.9867717 

2.9872192 



■ 



97» 



972 

97$ 
974 

975 
976 



977 
978 

979 
980 

981 



982 

98$ 

9»4 
985 

986 



987 
988 
989 
990 
991 



992 
99$ 



2.98766 
2.988 i I 
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$.0075209 

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$ .0086002 

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$•0094509 
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$.0102999 
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$.0115704 
$.0119931 

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$•0128372 

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$.01^6797 
$•0141003 
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Logaríth. 



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.0240750 
•0244857 



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.0253059 
.0257154 
.0261245 
.0265333 



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N. I Logarith. 

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069 $.0289777 

070 5 •0295838 
^071 5.0297895 

072 $.0301948 

075 5-0305997 

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075 5.0514085 

076 5.0318123 

077 5.0522157 
07^ 5.0526188 

079 5.0550214 

080 5.OJ54257 
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085 5*0546284 

084 5*0550295 

085 S-055429; 

086 5.03 5829] 

.087 5.0362295 

088 5.0566289 

089 5.0570279 

090 5.0374265 

091 5,0378247 

092 5.0382226 
t093 ? -0^8620 1 

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095 5.0394141 

096 5.0398105 

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098 $.0406025 

099 5-0409977 

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.0468852 
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.0480301 
.0492180 



.0496056 
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.0505797 
.0507665 
.0511525 



.0515584 
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.0525091 
.0526959 
.0550784 



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¡•0751818 

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1.0780941 

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N. 1 Logarith. 



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3.0856475 
3.0860037 
3.0863598 

3.0867156 
5.0870712 
3.0874264 
3.0877814 
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3.1099159 
3.1102529 
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366 

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274208 

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280760 



283993 
287225 
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338581. 

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.1398791 

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.141 1 361 
.141445)8 
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.1427022 
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.1442628 

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.1440854 



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3.1475671 
3.1476765 

5.1479855 
5.1481941 
5.1486016 
5.1489110 
3.1491191 


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5.1699865 


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148, 


1411 
141Z 
14IJ 

,i4'4 
^1415 

1416 

'*'2 
1418 

1419 

1410 
1421 
•422 

^ 
1426 
1417 
1428 
1419 
1450 

145 1 
1432 

;'4!! 
1454 


5.1491270 
3.1498347 
5.1501421 
5.1504494 
5.1507564 


>444 
■44S 
1446 

■447 
'44» 


¡.1695805 

¡.169968a 
5.1701617 
J. 1705550 


5.1510651 
5.1515698 
3.1516761 
3.1519824 
5.1522885 


■149 
1450 
1451 
■451 
■4!! 


3.161068^ 
5.1613680 
3.1616674 
5.1619666 
5.1622656 


i^h; 
■ 484 
1485 
i^S6 

H!b 

1488 
148, 
1490 
149. 

1492 

'49! 
■494 
'495 
1496 

'49^ 
■499 
1500 


5.I70S48Í 
5.17H411 

¡■■7'4¡!9' 
¡.17172641 
¡.1720188' 

¡■1715 lio - 
5.1716029 
5.1728947 
5.175 1S65 
5.175477S 


3.152194, 
3.1528996 
3.1551049 
5.153J100 
3.1538149 


'414 
'4!5 
1456 

■457 
1458 


3.1615644 
5.1628630 
5.1651614 
5.1654595 
i-'657!75 


3.1541195 
5.15442JO 

5.1550522 
J-"5555«° 
5.1556396 
5-I5594Í» 
3.I561462 
3.1565491 


■4!? 
1460 
,46, 
1461 
1465 

,464 
■4*5 
Í466 

(4*7 


5,1640555 
5.1645528 
3.1646502 
3.1649474 
3^652445 

3.165541,1 
3.1658476 
5.1661540^ 
5.1664501 


¡.1757I88 
¡.1740598. 
¡.1745506^ 
¡.1746412 
3.1749516 • 


3.1752118 
5.1755118' 
5.1758016 ■ 
3.1760913 i 



N. 1 

JOI 

502 

J04 

J07 
508 
J09 
510 

JIZ 

515 
yi6 

519 
7IT 

5Z2 

jz6 

518 
5*9 

y?» 

J35 
Í34 



Logarith. 

765807 
766699 
769590 

771478 

775 3^ J 



7781 JO 

781152 
784013 
786892 
789769 



79264J 

795518 
798389 

801259 

804126 



806992 
809856 

812718 

818436 



^21291 
824146 
826999 
829850 
83265»^ 



835545 
838390 

841233 

844075 
846914 



849752 
852588 
855421 
858253 



N. 



54 



Logarith. 



39 

40 

41 

4* 
45 



44 
46 

48 



49 
50 
51 

5i 
53 



54 
55 
5<S 

57 
58 



59 
60 

61 

62 

563 



«551 
é6 

67 



858*55 
861084 

863912 

866739 

869563 



872586 
87P07 
878026 
880844 
883659 



886475 
889285 
892095 
894903 
897709 



900514 
903317 
906118 
908917 
911714 



914510 
917304 
920096 
922886 
925674 



928461 
931246 
934029 
936810 
939590 



N. 



942367 

945143 
947917 

9506901 



67 
68 
69 

70 

71 



7» 

73 

74 

75 
76 



77 
78 

80 
81 



82 

8^ 

8 
86 



87 

8é 

89 

90 

9» 

9* 

95 

94 

95 
96 



9^ 

99 
600 



Logarith* 

9;o65K> 
953460 
^<Sz29 
958996 
961762 



964525 
967287 
5^70047 I' 
972806 
975562 



97^317 
981070 

98382? 

986571 

9893 19 



992065 
994809 

9975 5i 
2000293 

2003031 



200 j 769 
2008505 
2011239 
2015971 
2016702 



2019^31 
20I2158 
2024803 
2027607 
2030329 



2035049 
2055768 
2058485 
2041200 



N. ■ 


Lc^añch. 


N. 


Logarith. 


N. 


Logarith. 


I6OI 


3.2041913 


1634 


3.2132521 


1667 

,6«á 


5..119556 


1602 


3.2046615 


1635 


3.2155178 


3.^^.196o 


I6OJ 


j.2045,jjs 


1656 


5.1157855 


1669 


3.. ..4565 


1604 


3.2052044 


,657 
1658 


5.2140487 


1670 


5.1. .7165 


I6OJ 


J.2054750 


5.2143139 


I67I 

1672 


5.Í1Í9794 


I £06 


3.2657455 


1639 


3.1145789 


3.. 132363 


1607 
1608 


j. 20601 5 9 


1640 


5.2.48438 


1675 


5-"i495< 


5.2062860 


1641 


3.2151086 


i?75 


¡••■i7J!! 


1609 


5.2065560 
5.1068259 


,642 


3.1153732 


3.1140148 


1610 


1645 


3.H56376 


1676 

1677 


5.1.41740 


I6II 


5.2070955 


1644 


5.2159018 


5. ■145531 


i6ii 


5.2073650 


164S 


3.2161659 


1678 


3.1147920 


1615' 


5.2076344 


,64« 


5.2164298 


1679 


3.. .50507 


1614 


5,2079035 
3.2081715 


1649 


3.2166936 


1680 


5.1.55095 


1615 


5.2169572 


i6$i 
1681 


5.1.55677 


1616 


5.2084414 


3.2172206 


5..i58i6o 


161 j 


5.2087100 


1650 


3.2174839 


'i*' 


5... 60841 


1618 


5.108978, 


1651 


5.2177471 
5.218OIOO 


■ 684 


3.116541.1 


1619 


3.2051468 


1652 


1685 


5.1.65999 


i6ao 


J.í09;i!0 


i6!i 


3.2182718 


1686 


3..168576 


i6ii 


;.i0978jo 


■ 6!4 


3.1185555 
5.2187980 


1688 


3,1.71151 


i6ii 


5.1100J08 


.«!! 


5. .175724 
3.1176196 


itíij 


3.210J185 


.656 


5.119060J 


1689 


1624 


3.2105860 
5.2106534 


1657 


5.1195225 


■ 69S 


J..178867 


1625 


1658 


5.2195845 


I69I 


5...81436 
3.1.84004 


16^ 


3.2111205 


1659 


3.1198464 


i6<jz 


1617 


5.2115876 


1660 


5.1201081 


íf"?i 


5...86570 


I<28 


5.2116544 


1661 


5.2205696 


■Í94 


3. ..89134 


1629 


5.21192,1 


1662 


5.1206510 


1Ó05 


5.. .91697 


163 1 


5.2121876 


,663 


5.2208921 


16,7 


5.. .94158 
5..196818 


5.2124540 


1? 


5.1111553 


I(Sj2 


5.2127101 


1665 


3.1114141 


1698 


¡•"W!77 


i6jj 


5.2129862 


1666 


3.2216750 


1699 


3..501954 


16J4J5.2132J21 


1667 


5.VI9356 


1700 


5.150448^ 



N. 

[901 
[902 
[905 
904 

906 
[907 
[9Ü8 
909 
910 

912 

915 
914 

211 

.^16 
[917 
[918 
[919 

920 

1921 

1922 

[923 

924 

211 
926 

9-7 
928 

929 

[930 

951 
932 

933 

934 



^— — — ^— ■■ II» I- 

Logañth. 

3.27898211 
5.279210Í 
3.2794388 
3.2796<S69 
3.2798950 



i 
5 
5 
5 
3 



5 
3 
3 
3 
3 



3 
5 
3 
3 



2801229 
2803507 
280J7ÍJJ 
2800059 
2810334 



2812607 
2814^75, 
28i7i5( 
2819419 
282168^ 



2825955 
282622 i 
2828486 
283075c 
2833012 



2835274 
2857534 
2859795 
284205 1 
2844307 



2846565 
2848817 
2851070 
2853322 

^855573 



2857825 
2860071 
2862318 
2864565 



N. 

934 

936 

957 
958 



939 
940 

941 

942 

943 



944 

945 
946 

947 
94é 



949 
950 

951 
952 

95.3 



954 

955 
956 

957 
958 



959 
960 

5)61 

962 

963 



964 
965 

967 



Logarith. 

2864565 
2866810 
2869054 
2871296 
2875558 



287*778 
2878017 
2880255 
2882492 
2884728 



2886963 
2889196 
2891428 
28936^9 
2895889 



28981 iS 
2900346 
2902575 
290479b 

2907022 



2909246 
291 1468 
2915688 
2915908 
2918127 



2920544 
2922561 
2924776 
2926990 
2929205 



2951415 
2955626 

Í935835, 
2958044I 

|i 



N. 

968 
969 

970 
971 



972 

975 

974 

975 
976 



977 
978 

979 
980 

,81 



982 

983 
984 

985 

986 



98a 
989 
990 
991 



992 

993 
994 

995 
996 



997 
998 

999 
tooo 



Logaritlu 

3.2938044 
3.29^0251 

5.2942.457 

3. 29446(^2 
3.29408^ 

5.29490^ 
3.295 1 271 
3.2955471 
3.2955^1 
5.2957869 

5.2$>6oo<57 
3.2962263 

3.2964458 

3.2966652 
5.2968845 

5.2971036 

5.2973227 
5.2975417 
5.2977605 
3.29797 92 

5.2981979 
5.2984164 
3.2986340 
5.2988531 
5.2990715 

5.2992893 
3.2995075 
5.2997251 
3.2999429 
3.3001005 

3.3005781 

3-300595Í 
3.5008110 

5.5010500 






■*■*■ 




Logárith. 



012471 
014641 
011809 
018977 
02II44 



2016 
2017 
loio 
2019 

Í020 
20ZI 

\ 2022 

2023 
2024 

2025 

2026 

2027 
2028 
20Z9 
iojo 



3 

3- 
5' 
3' 



3« 
3' 
3' 
3 
5 



2031 
20 j 2 
2033 
2034 



3 
3" 
3- 
3' 
3 



3 
3 
3 
3 



023309 

025474 
027057 
029799 
031961 



bj4i2i 
036280 
038438 
04059J 
042751 



044905 
047059 

04.9212 

051363 

o55'5M 



055663 
057812 
059959 
062105 
06425 



066394 
0^8537 
0^0679 
Ó72820 
074960 



077099 
079137 
o$i374 
083509 



N. I Logárith.! 

2^ 3-5«>85J09' 

1055 3-3o85<544 

1036 5«3<>87778 

10J7 3*308991^ 

2058 3*309'2042 

5*5094172 
3.5096302 
3.3098430 
3.3100J57 
3.5102684 



2059 
2040 
2041 
2042 
2045 



2044 
2045 
2046 
2047 
2048 



2049 
2050 
2051 
2052 
2055 



2054 

?o5í 
2056 

5 2057 

o 20<8 



2059 

1060 

2061 

2062 

i 206 5 

I2064 
I2065 
1 2 066 
12067 

I -. 



-r— 



3.5104809 
5.5106935 
5.510905^ 
5.5111178, 
5.5113299 



5.5115420 

3-3"7539 
5.5119657 

5.5121774 

5.512588 



5.5'i2tíoo4 
5.5 1281 18 
5.5150251 

3-3 13*543 
3'3^34454 

3-3?5^í«3 
5,5158672 

3-5?407»o 
5.5142887 

5.51449^2 



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2071 

2072 

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2074 

2075 

2076 

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1078 

20^9 

2080 

2081 

2082 
2083 
2084 
2085 
2086 

2087 
2088 
2089 
2090 
2091 

2O92 
2093 
2O94 
2095 
2O96 



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2097 

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, 



3.3611610 
3.5613500 
3.3615390 
3^617278 



1 

.11 1» 



N. ] Logaritb. 



ajoz 
zjoj 
ZJ04 

2JOJ 

- 

2jo6 
1J07 
ijoa 
1509 
2^10 

2511 

2;i2 
2515 
2514 

2Jl6 

2517 

2Jl8 
2JI5> 

2520 

2521 
2522 

2J25. 
2524 
2525 

2J26 

2JZ7 

2528 

2529 
2530 

2531 

2J52 

-553 
MJ4 



5681157 

5982873 
5984608 
59^345 
5988077 



598981 i 

5995^751 
5995007 

5996757 



J998467 
4000196 
400I9Í.5 
40056 j 3 
4005580 



4007106 
4008852 
4010557 
4012282 
401 400 5 



4015726 

11017451 
4019.175 
4020895 
4022614 



N. 



2 

2 
2 
2 



4024553 
402^052 

4027771. 
4029488 
40^51205: 



4052911 
4054657 
4056552 
4058066 



2 

1 



54 



19 

40 

42 
45 



44 

46 

47 
4» 



49 
53 



Logarith. 

j. 403 8066 
54059780 
5.4041492 
5.4045205 
54044916 



5.4046627 
5.4048557 
5.4050047 

3-4051755 
5.4055464 



54 

56 

57 
58 



55» 
60 

61 

62 

65 



54055 171 
5.4056878 
5.4058584 
5.4060289 
5.4061994 

5.4065(^8 
5.4065402 
3'.4o67io5 
5 .4068807 
5.4070508 

5.4072209 
5.4075909 
5.4075608 
5.4077507 
54 079005 

3 «40^0703 
5.4082400 

3.4084096 

3.408-5791 

5.4087486 



64! 

<55! 
661 

67 



5.4089180 
5.4090874 
5-4092567 
3.4O9&2J9 



r 



N. I Lc^arith. 
6i 



timt 



;3«40S>4»y5> 
$405)5950 

69 5.4097<S4i 

70 3 4095^5 5 1 
Í71 34101021 

[72 3.4102710 

73 3-4«o43« 
¡74 5.4106085' 

Í75 3-4'07772 
76 5.4109459 

5.4111144 
5.4112.829 

79 5-4114515 
;8o 3.4116197 

f8i 5.41 17880 

[82 5«4i 19562 
[85 3.4i:2iX44 
[84 5.4122925 
85 3.4124605 
:86 5.412.6285 

;87 5.4127964 

88 5.4125)645 

89 5-413 13Í0 

í9o 5-41 5 -998 

m 3-4154674 

[92 5.4Í36550 
Í93 3-4158025 

•94 3 -4*59700 

i95 5 -414*374 
96 ¡ 5.4145047 

5.4144719 
54146591 
íy99 54x4804^^ 
U6oa $4149735 I 



N. 


Logariih. 


N. 


Loganlh. 


N. 


Logaríth. 


2,601 


5.4151404 


=654 


5.4106158 


1667 


I -i» 601 10 


x6o2. 


3-4iSi»7i 


--(.« 


5.4207806 


í668 


,';i:l,T6 


2605 


5-4M474= 
5.415^410 


2650 


54209454 


2669 


1604 


:6í7 


5.4211101 


,67o 




1605 


j.4i;8o77 


¡tjs 


54211748 


2671 


i.4!667j9 


i£o6 


5.4155744 


líSiS 


5.4214594 


2672 


54167565 


2607 
2608 

2.ÍO, 


5-fi6i4ic 


264U 


5.4219528 


2675 


5.4169990 


5.416J076 
5.4164741 


I2..4, 
1642 


2674 
2675 


54171614 
54175158 


2610 


5.41Í6405 


:644" 


5.4220972 


2676 


5.4.7486. 


i6ii 


5.4168069 


54122614 


2677 




2611 


5.41697J! 


i=M) 


5.4124257 


2678 


M.78;o6 


261, 


5.4"7'5Si1 


= 64» 


5.4225898 


2679 


,'í???:? 


2614 


5,4175056 


264. 


5-4"7!39 


16S0 


2615 
2<Si6 


5'4'747"7 




5.4229180 


2681 


54.81968 

54184588 


5-4'7«577 


:649 


5.4150820 


2682 


2617 


5.417805- 


,6iu 


i-4!5MS9 


268, 


5.4.86207 


a<íi8 


5.4179696 
5.4181555 


2611 


54254097 


2684 


54,87815 


2619 


2652 


5-4»! !75! 


268, 


J.4.89445 


2620 


5.418501J 


26! i 


5-4M7Í7' 


2686 


5.4.91060 


¿611 


5.4184670 
54186517 
5.4187,85 


2654 


54259009 


2687 


5.4.92677 


262, 


2656 


54240645 
5.42421^1 


2688 
2689 


54.9429! 
54.95908 


2624 


5.4189658 


26)7 
2658 

265, 


5.4245916 


2690 


5.4.9752J 


262 j 

2626 


5.4191295 


5.4145550 


^ 


5.4.99157 
5.4500751 


5.4192947 


54148816 


2617 


J. 4194601 
5.4196254 


2660 


2695 


5.450256J 
54505976 
5.4505588 


2628 




5.4150449 
54152080 




2620 


54197906 


2661 




*«,o 


i.4'99S57 




5.4155712 


1696 


54507199 
54508809 


I65, 


54201208 


2664 


54255542 


16511 j^ioiSsp 


266, 


5.4256972 


5.4510419 


ílMjl:|í^?i 


2666 


5.4158601 


a6*,9 


J.45I2019 
5.4515658 


>667 


54160250 


2700 



■N. Logarith. 1 N, 



1701 
1701 
»7QÍ 

1705 
1706 
2707 
2708 
Í709 
2710 

2711 
2712 
271 j 
2714 

'7' 5 
2716 
2717 
2718 
2719 
2720 

2721 
2722 

?7í¡ 
2724 
272J 
2726 
2727 
2728 
2725 

27JO 



54J 15246 
5.4516855 
(.4; 18460 
^»4} 20067 
¡.4J21673 



5^525278 
5.4524882 
5.4526487 
5.4528090 
5.4529695 



5.4552897 

í-4i 54497 
5.4556098 
5.4557698 



^7i4 

-7!7, 
2758 

=7i9 
!74'> 
2741 
274; 
274) 

'744 
!74( 



5.4559298 



j.43 42494 
3.4544091 
5.4545689 



5.4347285 
5Mf5 48881 
545J0476 
5.4552071 
5.4555665 



Í-4ÍS5JS8 
5.4556851 
3.4558444 
5.4360055 
3.4361626 



3.43Í5217 
3.4364807 
5.4366396 
3.4567985 



'-7í4 

mi 



'7S9 
2760 
2761 

762 
765 



Logarith. 



3.4367985 

3-4i'957i 
3.4371161 
5.4572748 
Í-4574ÍÍ4 



.4575920 
.4377506 
4379090 
458067.- 

.4;8"i' 



4585S4, 
.4585425 

.458S587 
.4390165 



MÍ9I747 

5-4Í9ÍP7 

4594906 

4396484 

.4398062 



4399659 

.4401216 

■440279= 
4404568 
,440594] 



.4407517 
.440409 
,4410664 

•+4'"Í7 
.4413809 



5441538. 

3.4416951 
.4418522 
.4420092 



K. 



Lbgarirh. 



*'5Z 
2768 

2769 

2770 

'77' 



5.4420091 
5.4421661 
5.442321, 
Í-44H7!I 
i-44«'i<l 



2772 
775 
774 

'77! 
776 



'777 
'778 
'779 
2781 
278 
782 
,783 
784 
2785 
2786 

¡^ 
278Í 
7S9 
790 
791 



!-44'79)' 
3.44294J9 
5.4451061 
5.4452630 
!-44!4'»i 
3-44Ü7B 

3.4458(11 
5.444044! 

3-444'°" 

i-444i(í' 
5,4445131 
5.4446691 

J'444«'í' 
5.4449811 



79' 
'795 

794 
'79! 
2796 

'797 
798 
2799 



i-44í'i7« 
5.445191! 

3 ■44144»! 
54456041 

3-44!7JS 
-3-MS9'I4 
3-4*°72l. 
344<22iS| 

3-44«!« 
i-44^l5g 

■¡.446m¡ 

3-447°*» 



N. 

2,801 
aSoí 
2805 
2804 
2805 


Logarith. 


N. 


Logarith. 


N. 


Logarítb. 


5-4475M' 
5.4474681 

5.4477780 
5.4479529 


2854 
2855 
2856 
287 
2858 
2859 
2840 
2841 
2842 
2845 


5.4525998 
5-45M551 
5.4527062 
5.4528595 
5-455°'H 

!-4S5««54 
5-455!'*! 
i-45547«' 
5.4556241 

5-4537769 
5.4559296 
5.4540825 
5-454=549 
5-454i875 
5. 454540c 


2S67 
2868 
2869 
2875 
287, 


5-4574=77 
5-457579' 
5-4í775''S 
5-4578819 
5.4580552 


2806 
2807 
2808 
2809 
2810 

Í8TT 

;8l2 
2815 


5-4480877 
5-4482424 
5.4485971 
5.4485517 
3.4487065 


2S72 
2875 
2874 
2875 
2876 


5-458.844 
5-458555^ 
5-4584867 

5-4587^8, 


5.4488608 

5-4490I55 
5-4491^)7 
5.4495241 
5.4494784 


2844 

t% 

'^ 

2849 
2850 
2851- 
2852 
2855 


2881 


jj\0 4.vo-31 


2816 
2817 
2818 
2S19 
2820 

2822 
2825 
2824 
2825 

2826 
2827 
2828 
2829 
2850 


5,4496526 

5-44978™ 
5.4499410 
5.4500951 
5.450249, 


5-4546924 
5.4548449 
5-454997= 
5-4551495 
5.4555018 


2882 
«885 
2884 
288? 
28S6 


5.4596940 
5-4598446 

5-4599953 
5-4602458 
5.4602965 


5-4504051 
5-4505570 
5.4507109 
5-4508647 
5-4510184 

5.451172. 
5.4515258 
5-45 «4794 
5.4517864 


2854 
2S55 
2856 
2857 
2858 

I859 
2860 
2861 
2862 
2865 


5-455'¡54'' 
5-4556061 
5-4557582 
5.4559102 
545^= 
5.4562142 
5.4565660 
5.4565179 
5.4566696 
5.4568215 


2887 
;888 
2B89 
2890 
28,1 
2852 

2897 

28y8 
««99 
2900 


54604468 
5.4605972 
5-4^47! 
5.4610481 


5.461198! 
5.461J484 

5.4616486 
5.461798S 


285. 
=852 
2855 
2854 


5-4519599 
5.4520952 
5.4522466 
5.4525998 


2864 
2865 
2866 
2867 


5-4569750 
5.4571246 
5.4572762 
5-4574=77 


54619485 
54620984 
54622482- 
5.4625980 


.ijiw 


«I. 




bl 


V 





N. 

1901 
•905 
.^04 


Logamtr. 


N. 


Logarith. 


N. 


LogsrittL 


J.4615477 
1.4626974 
1.4628470 
1.4629966 
l. 4651461 


'954 
■955 
■ 936 

.95a 


3.4674601 
5.4676081 
5.4677560 
5,4679059 
3.4680518 


,967 
.968 

.969 
.970 
'97' 


5-47Í5Í7Í 
5-47=4<i> 
5.4729101 
5.4727544 
34729017 

5.475048» 

5-475'i>4) 
5.4753410 

5.475487» 
5.47565J) 


,906 

,909 
«910 


!.4<5'.<>s6 
,.4654450 
1.4655944 
1-1557457 
).4638930 


'959 
'94° 
.941 
.942 
■945 
,944 

•94! 
.946 

'^ 

■949 
■950 
.951 
.952 
■953 


5-I.6S1996 
5-t«85473 

3.4686427 
3.4687903 


'97' 
■97) 
'974 
■97S 
.976 


,>9II 
19I2 
.913 
.914 
■ü'! 
C916 

«9'9 

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Í.46404Í2 
1.4641914 
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1.4644895 
1.4646386 


3.4699578 
5.4690855 

5.4692527 
3.4693801 
5.469527S 


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1981 

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5-475924; 
5.4740705 
5.4741163 
3.4745Í10 


1.4647875 
1.4649364 
1.4650855 

¡.465254! 
1.4653828 


3-4696748 
5.4698220 

3.4701163 
3.4702654 


5.474507Í 
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5-47479*» 

5.475085» 


1.4655516 
1,4656802 

^4658288 

1.4659774 
¡.4661259 


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1956 

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.958 


5.4704105 
5-4705575 
5.4707044 
5.4708515 
5.4709982 


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3.4756711 
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5.4766867 
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1916 
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1951 

1932 
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1.466:743 
1.4664227 

1.^6657II 
1.4667194 
1.4668676 


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.962 
.965 


3.471145o 
3.4712917 
5.4714584 
5.47IS85I 

3.4717517 


1.4670158 
1.4671640 
1.4673121 
1.4674601 


■964 

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■9.7 


5-47I8782 
5.4720247 
5.472171 1 
5-47«5'7! 



N. I Logarith. I 



3001 
3002 
5003 
5004 

1^ 
3006 
3007 
3008 
3009 
3010 



5 ♦4771660 
3.4774107 

5*477 Jí 55 
3.4776999 

3.4778445 



-^\ 



3.4779890 
3.4781554 

5 .478x778 
314784222 
3.478J665 



501115.4787108 



5012 
5015 
3014 
501 j 



3 .47885:50 
5.4789991 
3.4791452 
3.4792873 



5054 

5051 
5056 

5 

5 



057 

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5040 

5041 

5042 

1 5045 



3016 
3017 
3018 
5019 
5020 

5021 
5012 
3023 
3024 
3025 

5026 
3027 
3028 
3029 
3030 

3051 
3032 

5055 
15054, 
1 i 



5-47945I5 

5*47S>J7y5 
3.4797192 

3.4798651 

3.4800069 



1 5044 

5045 
3046 

5048 



Lf^arith. 

3.4820156 
3.4821587 
3.4823618 
3.4824448 
34825878 

34827507 
5.4828756 
54850164 
5.4851592 
5.4855019 

5^854446 
54855875 
5.4857299 
54858725 
3.4840150 



5.4801507 
34802945 
3.4804581 
3.4805818 
34807254 

3.4808689 
34810124 
5.4811559 
3.4812995 
3.4814426 



54815859 
54819292 
54818714 
34820156 



3049 
5050 

5051 
5052 

l£íi 

5054 

305Í 
5056 

5057 
5058 



5059 
5060 

5061 

5062 

3065 



5665 
5066 
(5067 



5-4841574 
54842998 

54844422 

54845845 

5.4847268 



5.4848690 
3.48501 12 

5-48?i555 
5.4852954 

5-4854575 



5-4855795 
3.4857214 

5.4858635 

54860052 

5.4861470 



54862888 
54865505 
34865721 
34867158 



nr 



06 



007 
068 
069 
070 
071 



072 
075 
074 
075 
076 



077 
078 

9 
0^1 



07» 

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085 
084 
085 
086 

087 
088 
089 
090 
091 



092 

Í095 
094 

095 

096 



09?! 



Logarith. 

34867158 
34868554 

3.4869969 

5-4871584 
3.4872798 

54874211 
54875626 

5-4877039 

5-4878451 
34879863 

3.4881275 

34882686 
5.^84097 

5-4885507 
5.4886917 

3.4888526 

5-4889755 
3.4891144 

3.489255» 
34893959 

54895366 
3.4896773 

34898179 
3.4899585 
5.490099a 

5.490239f 

5-490579^ 
3.4905203 

54906607 

3.49o8oo5)' 

3 -490941» 
34910814 

54912216 
5.4913617 



I 



N. 



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3 
3 
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3 
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5 
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28 

29 
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3'3 



Logaríth. 

3.491 5018 
3.491^18 
3.4917818 
3.4919217 
3.4920616 



3.4922014 
3.4923413 
3.4924810 
5.4926207 
3.4927604 



3.4929000 
3.4950396 

5.4951791 
5.4955186 
5.4954580 



3-4935974 
5-49373<58 
5.4958761 
5.4940136 

5.4941 J46 



5.4942958 
5.4944529 
5.494J720 
3.4947.1 10 
3.4948500 

5.4949890 
3.4951279 
5.4952667 
5.4954056 

5 -4955443 

3.4956851 
5.4958218 
3.4956604 
5.4960990 



•N.. 



34 
35 
36 

H 
38 



39 

40 

41 

42 

43 



44 

45 
46 

48 



49 
50 
51 
5* 

53 



54 
55 
56 

5» 



59 
60 

61 
62 

63 



65 
66 

67 



Logaríth. 

4960990 
4962575 
4963761 
4965145 
49665 29 



4967915 
.4969296 
4970679 
4972062 

4973444 



4974825 
4976206 

4977587 
4978967 

4980347 



4981727 
4985106 
49844^4 
4985862 

4987^40 

4988617 
4989994 
4991570 
4992746 
49941 2 1 



4995496 
4996871 
4998;i45 
4999619 
5000992 



5002565 
5005757 
5005109 
5006481 



< N. Logaríth. 

67 3.5006481 

68 5.5007852 

69 5.5009122 

70 5-50ÍOJ93 
ji 5.50x1962 

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74 5.5016069 

75 3-5017437 
76, 5.5018805 

JJ 5.5020171 

79 3.5022905 

80 5.5024271 

81 3'í^^5^37 

82 3.5027002 

8^ 5.5028566 

84 5.5029731 

85 3.5031094 

86 5.5032458 

87 5.5055821 

88 3.5055Í85 

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91 5.5059268 

92 5.5040629 

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95 3-50447091 

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41491 



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270 

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279 
280 
281 



282 
28? 
284 
285 
286 



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288 
289 
290 
291 



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298 
299 
300 



Logaríth. 



41491 
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48153 
49460 
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52113 

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54764 
56089 

574«4 
58758 
60062 



61386 
62709 
64031 

^5354 
66676 



67997 
6931a 
70639 

71959 

73-79 



74598 

75917 
77236 

785^4 

76872 



81189 

82506 

83825 

285159 



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55M 

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^328 
53-9 

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155* 
'555 
3354 



Logaritlú 

18Í45J 
187771 
189086 
190^^00 
19171J 



193028 
194542 
i9y6j-5 
196968 
198280 



199592 
200903 i 
202214 
205525 
20483 5 



206145 
207455 
208764 
210073 
211381 



212689 
213996 
ÍI5303 
Z1661U 
217916 



219222 
220528 
221833 
225138 
224442 



225746 
227050 
228553 
229656 



N. 

535 
356 

53S 



559 
550 

531 
55a 

555 



534 

355 
55<5 

558 



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551 

55^ 
553 



354 
556 

358 



559 
360 

361 

562 

563 



564 

5<55 
366 

567 



Logaríth. 

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.f 230958 
.f 232260 
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.y 254863 



.f 236164 
.^237465 
.125876.5 
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.^2415^4 



.f 242 665 
.f 245961 
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1^5247854 



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f2 50448 
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5.255040 

í* 545 5 5 



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1256925 

5258219 

5259514 

5260807 



5262100 
5265593 
5264685 
5265977 
5 267269 



5268560 
5269851 
5271141 

í*7M3i 



N. 

T67 
568 

369 

570 

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"57^ 
575 
574 

575 
^76 



5 



81 



282 

3§5 

588 
589 
390 

1— 
592 

595 
594 

?95 
396 

T97 
J98; 

599 
400 



LogaritK. 

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7280163 
7 2814 j I 
f282738 
7284024 

7285311 
7286596 
7287882 
7289167 

7291736 
f 293020 
.3294303 
7295587 
.^296869 

.5298152 
,529945^ 
,5300716 
,5501997 

y 505^78 

.5 $045 58 
5305859 
,5507118 
,5508598 
5509677 

,5510955 
5512254 

Í3Í35" 
.5514789 



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3401 
5401 
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N. 


Logarith. 


N. 


Logarith. 


5.55iéo(SiS 

!-;!"7i45 
3.531^19 
3.5319895 
3.5321171 


Hi4 


3.5558003 

5-SÍS92IS7 
5.5360532 

S-Si6>79S 
J-!!<i9!9 


5469 
3470 
5471 


3-S3995S8 
3.5400791 
3.5402045 
3.5405195 
3.5404546 

3-5405797 
5.5407048 
3-5408298 
3-5409548 
3-5410798 


J406 

5410 

54" 
54J- 
Í4IJ 
J4"4 
541! 


3.5522446 

Í-5Í1Í7»' 
3.5324996 
3.S321Í270 
i-.Si'7!44 


Hi9 
144" 
1441 

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H-H 
H4' 
144'' 
M+- 
M4S 

i44y 

H!i 
■4!- 
:4ÍÍ 


3.5564522 
3.556558^ 
5.5366847 
3.5568109 
i-Si69J7' 


3472 
5473 
5474 
547i 
3476 


J.5528817 
5.S33009C 
!-!«■!«) 
i-Si326;5 
¡•««907 


J.5570651 
5.557189: 
Í-H75ISJ 
J-ÍJ744"i 
5-S37!67» 


3477 
3478 
3479 
54S0 
5481 


3.5411047 
5.5413196 
i-54145+4 
3-541579' 
5-54i7'>4<' 


3416 

J417 
S4íá 

3419 

3420 

S4" 
i4Ȓ 
!4M 
34M 
i3il 


¡•5Ji!"7S 
3-5JÍÍ4)' 
i-r3J775i 
3.5358991 
J.5540161 


3-557693' 
3.5378191 

3-!3794!' 
5.538070Í. 
5.538196Í 


,482 
1483 
,484 


5.5418188 
3S4195J! 
5.5420781 
5.5421018 
5-!4»3»74 


S-B4M5I 
5.5342801 
3.534406S 


;4^s 

W'4 

i 466 
H'7 


3-S385225 
j. 5384481 

Í-S385737 
5.5586994 
5.5588250 


1489 
1490 
1491 

149» 
1493 
1494 
¡49! 
1496 


5.5414519 
3-5425765 
5.5427010 
3.5418254 
5-5429498 


3426 
J427 
54'8 
3419 
34i° 

54ii 
545» 
S4i3 
34J4 


3,-B4787'i 
5.5549141 
5.535040» 
í-;í!i67! 
S-riS294' 


5.5389506 
5.5590761 
3.5592016 
5-!!93»7" 
5-S394ÍÍ! 


5.5450741 
3.5431986 
3-!435"9 
3-5454472 
5-543!7'4 


i-í!!4"'7 
i-!3ÍS47i 
!-B!<7S8 
3.5558003 


3-Í39S779 
5-S397032 
3.5398286 
3-Í399558 


'497 3-í»3|95« 
I4<»; 5.5458198 
1499 5-I439459 
5500 5.5440680 



N. 

3501 
5502 

3503 
3504 
3505 

5506 

3507 
5508 

5509 
3510 

3511 
3512 

3515 
5514 
3515 

3516 

5517 
3518 

35»9 
5520 

5521 

5522 

55.25 
5524 
3525 

5526 

5527 
5528 

3529 
5550 

5531 
3552 

3555 
1 5554 


Lc^rith. 


N. 
5554 

5556 
5557 
555.8 

5559 
5540 
5541 
5542 

5545 

5544 
5545 
5546 

5547 
5548 

5549 
5550 

5551 
5552 

5555 

5554 
5555.. 
5556 

5557 
5558 

3559 
5560 

5561, 
5562 

5565 

5564 

5565 
5566 

5567 


Logarith. 

5.5482665 
5.5485894 
5.5485 1Í5 
5.5486351 
5-5487578 


.N. 

5569 
5570 

5571 

5572 
5573 
5574 
5575 
5576 

5577 
5578 

5579 
5 5 80 

5581 

5582 

5585 

5584 

5585 
5586 

558a 

5589 
5590 

5591 

5592 
5595 
5594 
5595 
5596 

5597 
5598 

5599 
3600 


Logarith, 


3.5441921 
3.5445161 
3,5444401 
3.5445641 
5.5446880 


3.5525051 

3-5524248 
5.5525465 

5.5526682 
3-5527898 


5.5448119 

5.5449558 
.3.5450596 
5.5451854 

5-5453071 


5.5488806 
3.5490055 
5.5491259 
5.5492486 
5-5495712 


3-5529114 
5-5550330 

3-5531545. 
5.5552760 

3-5553975. 


5.5454508 

5-5455545 
5.5456781 

5.5458018 
5-5459255 


5-5494957 
5.5496162 

5-5497587 
5-5498612 

5.5499856 


5-5555189 
5.5536405 

5-5557f»7 
5.5558850 

5.5540045 


5^5460489 
5.5461724 
5.5462958 
3.5464193 
5-5465427 


5.5501060 
5.5502285 

5-5505507 
5.5504750 

5-5505952 


5.5541256 
5.5542468 
5.5545680 
3.5544892 
3.5546103 


5.5466660 
3.5467894 
5.5469126 
5.5470559 

5-5471591 


5.5507174 
5.5508596 
5.5509618 
5.5510839 
5.5512059 


3^5547514 
5.5548524 

3-5549735 
5-5550944 
3-5552154 


5.5472825 

3-5474055 
5.5475286 

3.5476517 

5-5477747 


5.5515280 
5.5514500 
5.5515720 
5-5516959 
5.5518158 


3-5555363 
3-5554572 
5-5555781 
3-5556989 
3-5558197 


5.5478977 
5.5480207 
5.5481456 
3.5482665 

\ 


5-5519377 
5.5520595 

5-5521815 
3-5523051 


5-5559404 
5.5560612 

5.5561818 
3-5565025 



N. 


Logaritb. 


N. 


Logarith. 


1 *'■ 


Logarith. 


j6oI 

5Í0J 
Jfe4 
3605 


!-!i«í437 


,6J4 

,656 
1657 
.658 

¡«59 
5640 

.«4" 
1642 

1645 


3.5605849 
5.5605044 
5.5«o6259 
5.5607455 
5.5608627 


3669 
5670 
367, 


3.5645109 
5.56442,5 

5.1647844 


¡«06 

jáoc, 
j6io 
j6ii 

J611 
561J 
J614 
5615 


5-SS7o=!7 
i-!S7i4«i 
j.;í7!6<5 
j. 5575869 
i-! 575072 


5.5609820 
5.5«iioi4 
5.5612207 
5.5613599 
5.5614592 


5672 

3«75 
5«74 
51575 
5676 


5.5649027 
5.5650109 
5.5651592 

5-S65»573 
Í-SÍ537IS 


5-557«í75 

5-5577477 
;.55786So 
5.5575881 
5.55*1085 


,644 

J«4S 
¡646 


5.5615784 
3.56.6975 
5.56l8i«7 
3.5619558 
3-5«!054S 


i $77 
5678 

¡tu 
3681 

i «82 
1683 
1684 
i 685 
¡686 


J.5654956 
5.-5650117 
3.5657298 
5-5658478 
5.5659658 


¡616 
JÍ17 

j(Si8 
¡■Sis 
j6io 

J621 
}6l2 

jí:5 


5.5, 82284 
5.5.585485 
5.5584686 
3.5585886 
j. 5587086 

3.5588285 
3.5589484 
5.5590685 
5.5591882 
5.5595080 


i «49 
165» 
(«51 
1652 
l65i 


5.5621739 

5.5«22929 

5.5«i4ii8 
3.5625308 
5.5626497 


5.5660858 
5.5662017 
5.5665196 
5-S«437! 
5-SÍSS553 


i«54 
1655 
,656 
1657 
1658 


5.S«27«8s 
5.5628874 
5.5650062 
5.5651250 
5.5652437 


,«87 
,688 
11689 
1690 
1691 
i «92 

l«94 

z 


5.5666751 
5.5667909 
5.56Í9087 
5. 5670264 
5.5671440 


;626 

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J6!¡, 
¡«JO 

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3-S5M--78 
5-5!9i47« 
5-SS9'«^73 
3.5557S70 
J.5599066 


1Í59 

'S° 
(««I 

,665 

|,««4 
I1665 
ll««« 
,«67 


3.5«33624 
5.5654811 

3-S«55997 
3.5657183 
5.5658369 


5.567 2617 

S-5«737?5 
5.5674969 
5.567«i44 
5.5677320 


5.5600262 
5.5601458 
5.5602654 
5.5605849 


5-5'S395!! 
5.S«4074o 
5.5641925 
5-5«45io9 


1699 3,5680845 
3700 J.56820I7 



N. 



3701 
370Z 
5705 

3704 
5705 

• . _ 

.5706 

5707 

:37o8 

;5709 
•3710 

37" 

•57" 

'3713 

3714 

37Í6 
5717 

57i¿ 
5715» 

37" 
3722 

37*3 
37M 

¡211 
3726 

37»7 
3728 

37*9 
3730 

5751 

375* 
3755 
3754 



Logariüi, 



¿83191 
¿84364 

685J57 

686710 
687882 



6890^4 
690226 
691597 
692568 

695759 



694910 
696080 

697249 

698419 

699588 



7007J7 

701926 

703094 

704262 

7054*9 



706597 

707764 

708930 
710097 
711265 



N. 



712428 

7»3J94 

7H7J91I 
7159241 

717088 1 



718252 
719416 
720580 

7*1743 



734 
75 J 
75<5 

737 

758 



759 
740 

741 
74* 
745 



744 

745 
746 

747 
748 



749 
750 

751 

7J* 

5755 



754 

755 
756 

757 
758 



759 
760 

761 

762 

763 



764 
765 
766 

767 



Logarith. 



57*1745 
5722906 

5724069 

5725251 

5726395 



57*7555 
5728716 

5729877 

5751038 

5752198 



5755558 
5754518 

5755678 
5756857 

5757996 



5739154 
5740515 

5741471 
J742628 

5743786 



5744945 
5746099 

5747256 

5748412 

5749)68 



57507*3 
575 «78 

57530?5 
5754188 

575554* 



5756496 

5757050 
5758805 

575S>956 



I 

I 



767 
768 

769 
770 

771 

77* 
775 
774 
775 

776 

777 
¡778 

779 
780 

781 

782 

785. 
784 

789 
790 

221 

79* 

793 
794 
795 

797 
798 

5799 
5800 



Logarith. 

759956 
761109 

762261 

763455 
764565 

7657Í7 
766868 

768019 

769169 

770320 

¡771470 
772620 

7757^ 
774918 

[776067 

¡777* 1 5 

778565. 

7795" 
780659 

781806 

781953 
784100 

1785246 

786592 

787558 

[788683 
789828 

790975 
792118 

793262 

■ ■■ - ip.li — — ^ 

794406, 

795550 
796693 

797836 



■P*^ 



N. \Logarith. 



•5798979 
•58001 2.1 
•5801263 
•5802405 
.5805547 



.5804688 
•5805829 
•5806969 
•58081 10 
.5809250 



N. 



• 5810389 
•5811529 
.5812668 
.5813807 

•5814945 



.5816084 
.5817222 
.5818459 
.5819497 
.5820634 



.5821770 
.5822907 
.5824043 
.5825179 
.5826314 



,582745o 

.5828585 

.5829719 

.583085 

.585198 



I 



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854 

835 
836 

^n 
858 



Logaríth. 



859 
840 

841 

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843 

844 

845 
846 




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850 

851 
851 

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til 



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N. 

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5-í879553 
3.^880475 

3.^881596 

3.f88i7i7 

3.(883838 

3.Í884958 
3.^886078 
3. f 887198 
3.,8883i7 
3.^889436 

3.Í890555 
5.1891674 
3.1892792 
5.(893910 
3.(895028 

3.{ 896145 
3.(896262 
3.(898379 
3.(899490 
3.(5)00612 

3.5901728 
3.(902844 
3.(903959 
3.(905075 
3.(906189 



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923988 
925098 
926208 
927318 



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940609 
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943925 



945030 
946135 

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948544 



N. 



3934 
3955 
5956 
5957 
3958 



5959 
5940 

3941 
3942 

3945 



5944 

5945 
3946 

5947 
5948 



3949 
3950 
5951 
395* 
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5955 
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5957 
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5959 
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3961 

5962 

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3964 

3960 
3967 



Logacith. 

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3.5949447 

5-5950551 
3.5951654 

5-595*757 



5 
3 
5 
5 
5 



5 
3- 
5 

5' 
5 



5 
5 
5 
5 
5 



5 
3 
3 
5 
5 



5 
5 
3 
5 



953860 
954962 
956064 
957166 
958268 



959569 
960470 
961571 
962671 
963771 



964871 
965971 
967070 
968169 
969268 



970367 
971465 
972565 
975660 
974758 



975855 
976952 

978048 

979145 
980541 



981556 
982432 

9855*7 
904622 



N. 

967 
968 
969. 
970 

971 



972 

975 

974 

975 
976 



977 
978 

979 
980 

981 



982 
983 



989 
990 
991 



99* 

993 

994 

995 
996 



997 
998 

999 
4000 



Logañth. 

3.5984622 
3.5985717 
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3.5987905 
5.5988999 

5.5990092 
3.5991186 
3.5992279 

5-599537I 
5.5994464 

3-599555<S 
5.5996648 

5-599775? 
5-599^851 

3-5 9999** 

5.6001013 
5.6002103 
5.6005193 
3.6004283 
5.6005373 

5.6006462 
5.6007551 
5.6008640 
3.6009729 
3.6010817 

3,601 1905 

3.60I299J 
3,601408o 

3.6015168 

3.6oi6z5j 

5,6017341 
3.6018418 
3.6019^04 
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Logarith. 


N. 


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N. 


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4168 


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5.6165805 


4169 


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5.6168954 


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4111 


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5.6175149 


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5.61456,8 


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5.6180481 


4182 


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5.6145805 


4150 


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411S 


5.6146865 
5.614791a 


4111 


5.6181527 


4184 


5.6215917 


41 15 


4152 


5.6182575 


4185 


5.6216955 


4110 
4121 


5.6148972 


4>5J 


5.6185619 


4186 


5.621799S 


5.6150026 


4154 


5.6184665 


4.87 


5.6219050 


4112 


5.6151080 


41IÍ 


5.6185710 


4188 


5.6220067 


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5.615215; 
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4156 


5.6186755 
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4189 


5.6221104 


4114 


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5.622Z140 


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5.6154240 


5.6188845 


4191 


5.6225177 
5.6224215. 


5.6155292 


4119 


5.6189889 


4192 


4127 


5.6156545 


4160 


5.6190955 


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5.6225249. 
5.6226284 


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5.6195021 


4191 


5.6227520. 


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5.6194064 


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5.6228555 
5.6229590 


5.61605 5 X 


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5.6195107 


4197 


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5.6161605 


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5.6162654 


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5.6165705 


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4168 ,.6502244 
4269 ,.¿505262 
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4271 11.6505296 


4206 

4109 

4110 

4iii 
4--12 
4215 
4214 
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1.6242821 


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4274 


,.6506512 
,.6507519 
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,.6511408 
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3.6186954 


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,.6516467 
,.6517481 
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,.6310522 


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1.62572;<, 

1.6258167 


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4188 
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,.6522548 
,.6525560 
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,.6525585 


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1.6197155 


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4196 


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1.6350643 


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Logarith. 


N. 


Logarith. 


N. 


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1.6,70895 
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4i7' 




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6405808 


,.6540740 
i.6541749 

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1.6545765 

1.654477! 
1.6545780 
1.6546788 

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1.6(49808 


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1.6175896 
1.6174897 
1.6175898 
1.6,76898 
,.6,77898 


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1458! 
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6407795 
6408788 
640,781 
6410775 


1.6,788,8 
,.6,79898 
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3.677.505 
5.67714.S 

3-«77i5Jí 
3.S774244 


i-*77íií7 


5.6805.68 
5.6806074 
5.6806980 

5'.68o7886 
3.689^792 

3.6809697 
3.6810601 
5.68.1507 
3.68114.1 


5.6749529 
3.6750447 
5.675.565 
3.6752183 


4764- 
47«! 
4766 
4767 


3.6779718 
3.67S0629 
5-6781540 
5.6781451 


479? 



N. 

4801 

4801 
4805 
4804 
4805 
4806 

ti 
í|09 
48.0 

4811 
4811 
481, 
4814 
48,5 


Logaiith. 


N. 


Logarith. 


N. 


Logarith. 


J.68I5JI7 
5.6814111 
j.6Si;ii6 
5.6816050 
5.6816954 


4854 

485, 
.^40 
484. 
4841 
4845 


5.6845066 
5.6845965 
5.6844865 
5.684,76. 
5.6846659 


486? 
486, 
4870 
4871 


5.68716.5 
5.6875506 
5.6874598 
5.6875190 
.6876181 

5.6877075 
5.6877964 
i-687«»5S 
5.68-^46 

¡■''»""''!7 


5.68.7858 
5.6818741 
5.68.9645 
5.6810548 
!.68ii4!. 


5.6847556 
5.6848454 
J.684955. 
5.6850148 
5.68; 1.45 


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5.6815965 


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4847 

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5.685104. 
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5.6855854 
5.6854750 
5.6855616 

5.6856511 
5.68574.7 
5.6858J.1 
5.68J910Í 
5.6860105 


5.6881J18 
5.6881518 
5.6885508 
5.6884198 
5.6885088 


4816 

48,9 
4910 
4811 
4811 

4814 
4815 
4826 

48Í¡ 
4819 
48JO 

1^ 
48i! 

4854 


5.681686J 
5.6817766 
5.6818668 
5.6816569 
5.6850470 


4849 
4850 

4851 
4851 

1485? 


5.6889555 

5.6890415 
5.68915.1 

i.óSgllOO 

5.68,5089 

5,6895977 


5.6851571 
5.6851171 
5.6855165 
5.6854075 
5.6854975 


4854 
4855 
4856 

4858 


5.6860998 
5.686189: 
5.6861787 
5.6865681 
5.6864575 


5.6856775 
5.685947. 


14859 
14860 
586. 

14861 
I4865 


J.6865469 
5.6866565 
3.6867156 
¡.6868149 
¡•«865045 

5.6869656 
5.6870818 
5.687171. 
5.68716.5 


4891 
4S95 
4S94 
4895 
4896 

P 
4899 

4900 


5.6894864 
5.6895751 
5.6896640 
5.6897517 
5.689^4.4 


5.6840570 

5.684.169 

5.6841.68 
5.6845066 


¡4864 
486? 

4867 


5.6899501 

;. 6900 1 88 

5.6901074 

5JÍ90i9<i 



N. 

*>»■ 
4902 
4905 
4904 
490S 


Logarith. 1) N. ] 


Ix^arith. 


N. 


Logarith. 

3.6960941" 
3.696,8,6 
5.6962690 
5.6965564 
3. 69644; 8 

3.69653,1 
3.6966,85 
3.696705S 
5.6967951 
5.69688,^ 


! 
i 

5 

i 


6902847 
6905753 
69046,9 
6905504 
6906590 


49i4 
4955 
4956 
49!7 
495S 


3.693,991 
5.6952672 
3.6933752 
3.695463, 
5.69555,, 


4967 
496a 
4969 
4970 
4971 


4906 
4,07 
4908 
4909 
49'° 
49,, 
49,2 
49'í 
4914 
49'! 
49,6 
49'7 
49,8 
49,9 
49'° 
491, 
492! 

49'! 
4924 

49»S 

4926 

!9í7 
4928 
4929 
493° 

4951 
49!» 
49! 3 
49!4 


! 
! 
i 
! 
i 


690727S 
6908,6, 
6909046 
6909950 
69,08,5 


4959 
4940 

494" 
494» 
494! 


5.6956590 

3.6939127 
3.6939906 


497» 
497! 
4974 
497! 
4976 


! 

i 
! 
i 
i 


6914552 
69,5255 


4944 
494! 
4946 

4947 
4948 


5.6940785 
5.694,665 
5.6942541 
5.6943419 
5.6944297 


4981 


5.6969676 
3.6970549 
5.697 1411 
¡.6971195 
3.6975165 

5.6974057 
5.6974909 
5.6975780 
5.6976652 
!-%77Síi 


i 
! 
i 
5 

i 


69,6119 
69,7002 
69,7885 
69,8768 
691965, 


4949 
4950 
4951 

495 = 
49!! 


5.6945,74 
•694»°!= 

5.6949560 
5.6950457 
5.695,3,5 
5.6952189 
¡.6953065 


4982 
4985 

4984 
4985 
4986 

49S7 

4,85 
4989 

499° 
4991 


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i 
i 


6920554 
6,=,4,¿ 

6925,^0 
6724. 62 


4954 
49! i 
4956 
4957 
4958 


3.6978394 
3.6979164 
3.6930135 
3.6981005 
3.69Ü1876 

3.69S2746 
5.6985616 
5.6984485 
3.6985355 
3.6986224 


i 
! 
i 
! 
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6^;r8í^ 
6926707 
6927,88 
6928469 


4959 
4960 i 

496,1 
4962; 
496!! 


5.6953941 
3.6954817 
5.6955692 
5.6956568 
!-«95744! 
3.6958¡i8| 

5.6JÍ0942 


4992 
499! 
4994 
499! 
4996 

4997 
4998 

4999 
5000 


! 
i 

i 
i 


6929550 
695025, 
6951,1, 
695,991 


4964 
4965 
4966 
45,67 


3.6987093 

3.6J89700 



N, 



Logañth. 

J003 5.«s>9*}«5 
5004 5-^99$ 17 J 
$cx)5 3.6994041 

5006 3.69945^8 

5007 3.699577<5 
J008 3.6996645 

5009 3'69975i^ 
I 501015^6998577 

I \ 5.69991 4,1 
5.70001 I I 
5.7000977 
3.7001845 
5.7001709 



N. 



501 

5011 

J015 

50Í4 

J015 



50161 3-7005575 
3.7004441 

5.700^507 

5.7006172 

5.7007057 

5.70075^2 
3.7008767 
3*7009632 
3.7010496 

3.7011361 

5,7011125 
5.7015089 
5.7013955 
5.7OI48I6 
5.7015680 



JOI7 
5018 
JOI9 

yo2o | 

5021 
5022 
5025 
5024 
5025 

5026 

5028 

5029 
5030 



5031 ^.7016 J43 
5051 ■3*7017406 
^033^.701*269 
$054 1 5, 70)1^ 1 3 2, 



054 

036 

037 
038 



039 
040 
041 
042 
043 



044 

045 
046 

047 

Oj^ 

049 
050 

05Í 

oJ4 
ojf 
oj6 

OÍ7 
ojS 



059 
060 
061 

062 
063 



064 
065 
066 
o<í7 



Logarith. || N. Logarith. 



.7019131 

.7019095: 

.7020857! 

.7021719 

.7022582 



.7015444 
.7024505 
.7025167 
.7026028 
.7026890 



•7017751 
.7028612 

.7029475 

.7030555 

.705x195 



.7052054 
,7052914 

•7053774 
,7054655 

•7035495 



.7056551 
7057211 
,7038071 
.7058929 
.7059788 



■ J I * *! 



.7040647 
.7041505 
.7042565 
,7045221 
.7044079 



■7044937 

•70457941 
,70466521 

.7047509 



067 

068 

•069 

070 

071 



071 
075 
074 

075 
076 



I 



07 

000 
081 



5.7047509 
5.7048566 
5.7049215 
3.7050080 
3.7050956 

3.7051791 
3.705164:9 
5.7055505 
5.70543&) 
5.7055216 

5.7056071 
3.7056917 
3.7057782 
5.7058657 
3.7059491 



082 

085 

084 

085I 

086 



I 



08 

08 

089 

090 

091 



091 
093 
094 
095 
096 



098 
099 

lOO 



ILJ. 



3.7060348 
3.7061202 
3.706105^5 
3.7062910 
3.7063764 

5.7064617 
5.7065471 
5.7066514 
5.7067178 
5.7068051 

5.7068884 
5.7069717 
5.7070589 
5.7071441 
5.7072294 

5.7075146. 
5.7075098 
5.7074850 

3-7075701 



N. 

5101 
5102 
5105 
5104 
5105 

5106 

5108 
5109 
5110 

5111 

5^12 

!"! 
5114 
fII5 


Logaritb. 


l,N. 


togaóth. 


N. 


Logaritb. 


5.7076555 

5.7077405 
5.7078256 
5.7079107 
5.7079957 


>'i4 
5"J5 
5156 

5157 
5158 


i 
i 
i 
i 
i 


7104559 
7105404 
7106250 
7107096 
7107941 


5169 
5170 
517" 


J-7>3¡58f 
5-7I33»'! 
5.7154065 

3-7'549oS 
5-7i5;74í 


5.7080808 
5.7081659 
5.7082509 
5.7085559 
5.7084209 


I'i9 
S140 

5141 
514! 

!'4i 

!M4 
51-1! 
S.4Í 
5"47 
S14S 


S 
3 

i 
5 
3 


7108786 
7109651 
71 10476 
7111521 
711216J 


5172 
!'75 
5174 
!i7! 
5176 


5.7156585 

S-7ii74>S 
5.7.58264 
3.7'59t04 
5-7'59943 


5.7085059 
5.7085908 
5.7086758 
J.7087607 
5.708S456 


J 
5 
i 
3 
3 


7115010 
7115854 
7114698 
7"iS4í 
7116585 


5178 

mi 

Si8j 


5.7.4078Í 
5.7141610 
5.7142459 
5.7145298 
5.7144156 


5116 
5117 
5118 
5119 
5120 


5.708950) 
5.7090154 
5.7091005 
5.7091851 
5.7092700 


!'49 
SI 50 

ris' 

5IS3 


J 

J 
3 
3 
3 


7117229 
7118072 
711.S915 
7"97!S) 
71.0601 


5182 
Si?i 
S184 


5.7144974 

3-7>4sf" 
5.7146650 
5.7.47488 
5.7.4852.5 

5.7149162 
5.7150000 
5.7150857 
5.7151674 
5.7152510 

Í-7IÍ3347 
5.7154185 
5.7155019 
5.7155856 
5.7156691 

3-7IS7SÍ7 
3-7'í8s'ii 
5.7159198 
5.7169055 


5121 

5122 
5114 

!I25 


5.7095S48 
5.7O94596 
5.70952,4 
5.7096091 
5.7096959 


5156 

!'57 


3 
3 
3 

3 
3 


71Í1444 
7122287 
7125129 
7125971 
7124815 


S189 
5190 
5191 


5126 
-5127 
5128 
5129 
5150 


5.7097786 
5.7098655 
5.70994S0 
5.7100527 
5.7101174 


5160 
5161 
,162 
5165 


3 
3 
3 
3 
3 


7125655 
7126497 

7129021 


5192 
ÍI93 

!'9! 
S1.9Í 




5.7102020 
5.7102866 
3-710Í7IJ 
3-7J04SJ9 


5164 
5165 
5166 
5167 


i 
i 
3 
3 


7129802 

7150705 

7"3i544 
7152585 


S197 
5198 

5199 
5200 



Logarith. 



.7160865) 
.7161703 
3^7162 J5« 
.7163573 
.7164207 



.7165041 
.7165876 
.7166710 
4.7167544 
7168377 



za6 



.7i69tii 

.7170044 
.7170877 
.7171710 



.7173576 

.7174x08 

.7175041 

•717J875 
.7176705 



•7177557 
.7178369 

.7179200 

.7180031 

.7180865 



.7181694 
.7182515 
.7183356 
.7184186 
.7185017 



.7185847 
.7186677 
.7187507 
.718^537 



N. 



»34 
236 

238 



239 
240 
241 

242 



244 
246 

i£ 

249 
150 

2jl 

25* 

íli 

ií4 

i57 
ij8 



Logarith. 



259 
260 
161 
262 
265 



264 
265 
266 



7188557 
71 89 167 
7189966 
71^0026' 
7191655 



7192484 

7I9JJÍJ 
7194142 

7194970 
7195799. 



7196627 

7í$)74í5 
7198285 

7199111 

7199958 



7100766 
7201595 
7202420 
7205147 
7204074 



7204901 
7205727 
71065*4 
7207580 
7208206 



7209052 
7209857 
7210685 
7211508 
7212554 



7215159 
7115984 
7214809 



vS7íít7»»563J 



I 



N. 

267 
268 
169 

170 

271 

272 

»7J 
274 

^75 
276 

177 
278 
279 

280 
281 

282 

284 

285 
286 

287 
288 

289 
290 
191 

292 

295 
294 

296 

■^ 
298 
299 

JOO 



Log&rith. 

;.7iij65ji 
;.72i64j8 

,7210106 
,•7218950 

.7219754 
7220J78 
,7Z2i4oi 
,7222225 
•72 i 5040 

,722587» 
.7224694 
¡.7225517 
.7226559 
.7227162 

.7227984 
.722^806 
.7229618 
.7250450 
,7151271 

.7231095 
.7232914 

•7*3J7J<? 
•7*54557 

•7*55578 

¡.725619Í 

.7257019 

•7*57839 
.7258660 

¡.7159480 

,724030o 
¡-.7241110 

•7*4*955» 
.7141759 



TomolU. 



N 



N. 

5501 

5502. 

5303 

5304 
5521 

J506 
5307 
y 508 

53" 
55" 
5313 
5514 
5JI5 

5516 

5517 

5318 

5519 
5510 

5521 

55" 
5515 
55M 

iiil 

55*^ 
55^7 
55>8 
55*9 
15550 



I 



5551 
535* 
5555 
5554 



Logarith. 

•7M557? 

•7*44597 
.7245116 

.724605 j 

.7240854 



.7247672 
.7248491 

•7*49509 
.7250127 

•7*50945 



.72 j 1765 
.7252581 

•7»55598 
.7254215 

•7*55055 



•7*55850; 
.7256667 

•7*57485 
.7258500 

.7259116 



•7*59955 
.7260749 

.7261565 

.7262580 

.7265196 



.7264012 
.7264827 
.7265642 
.7266457 
.7267272 



.7268087 
.72685^01 
.7269716 

•7*70550 



N. 



54 
5<^ 

38 



59 
40 

4» 
42 

45 



44 



49 
50 

51 

5* 

55 



54 
55 
5^ 

58 



59 
60 

61 

62 

63 



67 



Logarith. 



7Í70550 
7271544 
7272158 
7272972 

7*75786 



7*74599 
7275415 

7276226 

7277059 

7*7785* 



7278664 
7279477 
7280290 
728 I 102 
7281914 



7282726, 
7*85538' 

7*84349: 
7285 161, 

7285972 



7286784 
7287595 
7188406 
7289216 
7290027 



7290858 
7291648 

7*9*458; 
7295268 

7294078 



7294888 
7295697 
7296507 
7297516 



N. 

;68 

69 

70 

71 



7* 
75 
74 
75 
76 



:;í 



81 



82 
85 

86 



87 
88 

89 

;90' 

¡91 



19* 
193 
94 
195 
96 



97 
98 

99 
400 



I 



L<^arith. 

.7297516 
.7298125 

7*98934 
7*99745 
750055* 

¡01560 
;02i68 
02977 

05785 
04595 

105400 
¡06208 
107015 
;0782j ► 
¡08650 

109437 
[0244 

105 1 

1857 

2665 

5470 

5082 
5888 
6695 

7499 

8504 
9109 

9914 

20719 

21524 
22529 

*3«35 
;*3958 



7: 
7: 
•7; 
7: 
•7. 

7; 
7: 
•7 
•7: 

\L 
•7; 
7; 
7: 
7: 
7: 

7: 
•7: 
7: 
•7: 

7: 

7: 
7: 

7: 

7: 
7: 

•7: 
7: 
7: 
7: 



N. 



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f40l 
f40? 
f404l 
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f407 

/4Í>8 
Í409 
£+io 

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H15 
H14 

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r4zB 

H19 
r4io 

f4li 

Ha4 

Í416 

1427 

: f 4*8 

Í4i9 

í^i 
«434 

H$5 
Í4Í4 



Logaríth. 

.732474x1 

•7?*5y4<5! 
.75263501 

75*71 5 5| 
73*7957 



.7328760 
.7329J64 
.7530367 
.7331170 

•75J>97? 



•7 J 5*775 

•755JT7» 
.7334380 

.73 3 í 182 
•7555985 



.7337f88 
.7538390 
.7539191 

•7559995 



•7540794 
•754^595 
•754*596 

•7545^97 
•75459^7 



•7544798 

•7545598 
.7346598 

.7-347198 
•^547998 



.7348798 

•7549598 

•7550397 
.7351196 



N. 

54r4 
5455 
5456 
5457 
5458 

5459 
5440 

5441 
544» 
H45 

5444 
5445 
544<5 
5>H7 
5448 

5449 
5450 

5451 
5452 

1±VL 

5454 
5455 
545<5 
5457 
5458 

5459 
5460 

5461 

54<5a 
5465 



5464 

54<55 
5466 

54<S7 



.Log^rith. 

■ H I 

•735 1196 

•7351995 

•735*794 

•7355595 

5459* 



-7 
•7 
•7 
•7 



•7 
7 
•7 
•7 



•7 
•7 
7 
7 



7 
7 
7 
7 



7 
7 
7 
7 



7 
7 
•7 
•7 



5519» 

55989 
J6787 

58585 



J9I8I 

59979 
60776 

61J74 

62371 



63168 
6f96j 

64762 

65J58 
66355 



671 5 1 
67948 
68744 
69540 

70555 



7H31 
71926 

7*7** 
75517 
745" 



75107 
7J901 

77^^ 



N. 

469 

470 

471 



47» 
475 
474 

475 
476 



478 

479 
480 

481 



482 
483 
484 
485 
486 



487 
488 

489 
490 

491 



49* 

495 

494 

495 
496 



92 
á8 



4 
f49 

499 
500 



Logaríth. 



•7377491 
.7378285 

•7579079 

•7579875 
.738Ü667 



.7381461 
.738225^ 
.7583048 
.7383841 
.7384634 



•75854*7 
.7586120 
.7387013 
.7587806 
.7388598 



.7589590 
.7590182 

•7590974 
l,.759l7<ío 
759*558 



•7595550 
.7594141 

.7.394952 

•7.595723 
.7.3 965 14 



♦7.597505 
.7398096 

.7.398886 

•7599^77 
.7400467 



«7401257 
.7402047 

,7403837 
.7403627 



I 



R 


Logarith. 


-«;- 


Logsrith. 


N. 


Logamh. 


íjoi 


l.74»44"' 


5554 


1.7450592 


5569 


1-7456212 


rjoi 


1.740J106 


5555 


1.7451176 


1-7456992 


(S»! 


l:;?^',!^ 


!!i6 


1.715,1961 


1-745777Í 


(504 


5557 
5558 


¡•745 =74! 


5570 


1-745855» 


(S05 
r506 


W407!7J 


1-7455550 


5571 


1-74!9Í5» 


!.74o8j6i 


5559 


1-7454314 
1.7455098 


557» 


1-7460111 


(joS 


1-74091! ■ 


5540 


5575 


1-7-^890 


5.7409939 


5541 


1-7455881 


5574 


l-7-)6i67o 


(!0S> 


1.74'o7í8 


!!4» 


1-7456665 


5575 


1-7462449 


ÍJIO 


Í.7411J16 


!!4! 


1-7457449 


557S 


1-74*5228 


ÍTñ 


j.74i2;o4 


5544 


1-7458251 


557» 


1-746400S 


151! 


1.741N91 


5545 


1.7459015 


1-7.^64785 


'!■! 


1.7415880 


5546 


1-7459799 


5579 
5580 


1.7465564 


í!i4 


1.74I4Í68 


?1^ 


1.7440581 


1.7466542 


'!■! 


¡•74i!4!! 


1.7441565 


5581 


Í.7467IÍO 


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!.74iiSs45 


"49 


!-7-H='47 


5582 


1.74^57898 


"'Z 


!.74i7«io 


55JO 


t.74r-«o 


"|i 


1.7468676 


1.7417817 


5551 


1.74457'! 


5584 


1.7469454 


rjij 


j. 7418604 


555» 


1-7444495 


"lí 


1-7470252 


fJíO 


1-74I9Í9I 


S5SJ 


■i-744;277 


5586 


1-7471009 
1-7471787 


Til! 


■^.7410177 


5554 


1-744^059 


"iz 


Üíí 


1.7410964 


5555 


¡■m'-f-i' 


558S 


,.7471564 


'í'i 


1.7421750 


5556 


¡. 74476!! 


5!8j, 


J.7475541 


(JM 


I.7422JJ7 


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5S58 


1. 7448-10-1 


5590 


1.7474118 


• Uí 


!-'4»!i=i 


l-7-)49iü5 


5591 


1.7474895 


1526 


i. 7424109 


5559 


1.7449967 


559» 


1-747567» 


IfsS 


1.7424895 
1.7425680 


5í6o 


1-745074^ 


5595 


,-7476448 


5561 


Í-7451519 


5594 


1.7477»»5 


1529 


t.7426466 


5562 


l-745!5:o 


5595 


1-7478001 


ni" 


1.742725! 


SS65 


1.7455091 


5596 


1.7478777 


<!}' 


1.7428057 


5564 


1.7455871 


5598 


1-7479555 
1-7480529 


<1}' 


1.7428822 


5565 


1-7454652 


I!Si 


V.7429607 


5566 


1-745145» 


5599 


1.7481105 


J5M 


WH!0!í>» 


5567 


1.7456212 


5600 


1.7481880 



n:- 


Lógarith. il N. 


Logarith. 


N. 


Logaritli. 


5601 


J.74826s6l¡í6j4 


3.7(08168 


5667 


5-7(5355* 


5601 


5.7483431! jSjí 


¡.7108939 


5668 


5.7(54298 


5605 


5.748411 6:^636 3.7^09710 


5669 


5.7155065 


, S'»4 


5.7484981 5637' 3.7(10480 


5670 


5-7(55851 


5605 


5.748575615658 5.7511251 


5<7' 


5.7156596 


5«o« 


5.7486531 


5639l5-7l'-''íl 


5672 


5.7(3756» 


J607 


5.7487306 


5640 


5.7(12791 


S'75 


5.7,58.28 


;<íoli 


5:7488. .So 


5641 


3.7Ii3S<Si 


IIS74 


3.715S895 


J609 


5.7488854 


5642 


S-7ÍI455I 


1*7! 


3-7159659 


ytíio 


5.748962, 


lili 


5.7(15100 


5676 


5.7(40424 


5-749^4J3 


5644 


3.7(15870 


S<Í77 


3.7(41189 


56it 


5-749 "77 


5Ó4! 


3.7(16659 


5678 


3-7í4'954 


56.J 


5.7491950 


5646 


l:lllir?> 


lUl 


3.7(42719 


56.4 


5.749272^ 


5647 


3-7l454'3 
3.7(44248 


5615 


!-74!1549? 


564S 


5.7(18947 


5681 


jíilS 


5.7494271 


5^49 


S.7(i97>< 


5682 


3.7(45012 


J617 


5.7495044 


5650 


5.7110484 


5685 


J-7I45777 


jiSis 


5.7495817 


5651 


i-7[2i2>5 


5684 


5.7(46541 


5619 


5.7496591 


5652 


5.7(22022 


'ífj 


3-71473°! 
5.7(48069 


5621 


S-7497Í'; 
5.7498136 


ÍÍ13 
í«54 


5.7122790 


5686 


i-7i25n8 


5687 


5.7(48852 


,622 


5.74989.18 


Í«5S 


5.7(24526 


5688 


3-7(49596 


;62j 


5.7499681 


5656 


5.7(25094 


5689 


3-71SO359 


5624 


5.7500451 


5657 


3.7(25862 


5690 


5-7151125 


562, 


5.7501215 


ÍÍL* 


5.7(26629 


5691 


3-7151886 


5616 


5.7501997 


5659 


5-7!=7597 
5.7(28164 


5692 


5.7(52646 


J627 


5.7502769 


5660 


;'Í95 


3-7(534" 


!-7!OiS4" 


566, 


5.7(28952 


5694 


3-7< 54175 


J<Í2S, 


5.750431! 


5662 


5.7(29699 


5«9S 


3-7154937 


5ÍJ0 
JÍJI 


5.7505084 


5663 


3.7(30466 


5696 


3-7(55700 


í-7!<>!85! 


5664 


i-7(i"S-- 


!697| 3-71564''' 
5698 5-7I57"4 


5651 5.7506616 5665 


5-7(3 1999 


5655 j.7;o7;jS 5C66 


i.7¡J27« 


SÍ99 5-7157987 


¡654 5.7}08i68|li667 


i-7í55i5f 


5700 5-7558749, 



70I 

70} I 

704 

705 

706 
707 
708 
709 
710 

7" 

712 

713 

714 

211 

717 
718 

719 
720 

721 
722 
72} 

714 
725 

726 

7*9 

73° 

751 

7}2 

733 
754 



N. I Logarith. 



7í595ií> 

7^60472 

7f6i054 
7;ÍI795 

7f6i5í6 



, 



7f655i8 
7^64079 
7^64840 
7$6j6oo 
7;66}<íi 



7)67122 
7 f 67882 
7^68641 
7^69402 
7^70162 



7^70922 
7^71682 
7^72441 
7f7}2oi 
7^73960 



7Í74719 

7^75479 
7^76237 

7f76996 
7Í7775Í 



7;785i3 
7f79272 

7f8oojo 

7^80788 

7^81546 



7582304 
758J062 
7585819 

7584577 



«■■Mi 



R 

7J4 
7JJ 
75<5 
737 
738 



739 
740 

741 
74» 
743 



744 

74Í 
746 

749 
750 

75» 

7J2 

755 



7H 

75? 
756 

757 
758 

759 

760 

761 
762 

Zfi 
764 

76J 

76<í 
7*57 



Logarith. 

7584577 

7585534 
7586o<>i 

7586848 
7587<5o5 



7J88562 

75891 19 

7589875 
7J906C2 

7591-88 



7592144 
7592900 
7595656 
7594412 
7595168 



75959*3 
7596678 

7597454 
7598189 

7598944 



7599699 
7600451 
7601208 
7601962 
7602717 



7605471 
7604225 
7604979 
76057? } 
7606480 



7607240 

7607995 
7608746 
7609500 



N. 

.7<í7 
768 

769 

770 

771 






mm 



Í77* 

775 

774 

775 
776 

777 
778 

779 
780 

781 

782 

784 

785 
786 



787 
788 
789 
790 
791 



792 

795 
794 

795 
796 



797 
798 

799 
800 



Logarith. 

5.7609500 
5.7610255 
5.7611005 
5.761 1758 
5.761 25 I I 

5.7615265 
5.7614016 
5.7614768 
5.7615520 
5.7616272 

5.7617024 
5.7617775 
5.7618527^ 
5.7619278 
5.7620050 

5.7620781 
5.7621552 
5.7622285 
5.7625054 
5.762578^ 

5.7624555 
5.7625285 
5.7626055 
5.7626786 
5.7627556, 

5.7628286 
5.7629055 
3.7629785 
5.76505 j4 

5.7651284 

5.7632OIJ 
5.7652782 

3-7^55551 
5.7654280 



1 



R 

5801 
5802 
5803 
5S04 
5805 


Logarítb. 1 


N. 


Logarhh; 


N. 


Logañth, 


5.7655029 

!-7«iS777 
5.7656516 

i-7«57274 
5.7638012 


!8i4 
5856 
5857 

;8?8 


3.7659664 
3.7660409I 
5.7661155I 
3.7661897 
5.7661641 


;^7''o 
587' 


5.7684,61 
5.7684901 

5Í768638I 
3.7687111 


78S6 
5807 
580S 
5809 
5810 


5.7658770 
3.7639518 
5.7640166 
3,7641014 
5.7641761 


5855 
5840 
,841 
5841 
584! 
5844 
584; 

5846 

18^^ 


5.7665585 
5.7664118 
.766487: 
3.7665616 
5.766655S 


587» 

!87i 
¡874 
587! 
5876 

!»77 
5878 

lili 
5881 


3.7687860 
3.7688600 
3.7C89339 
5.7690079 
1.7690818 


,81. 

5815 
5814 
5815 


5.7641509 
3,7645156 
3.7644003 
3.7644750 
¡•764S4S17 


5.7667101 
5.766784S 

5.7669551 
5.7670074 


5.7691557 
5.7691196 
3.7695055 
5.7695775 
5.7694512 


5816 

J8l7 

5818 
5819 
5820 


3.7646244 
3.7646991 

i-7«477i7 
5,764848; 
3.7649250 


5849 
5850 
5851 
5852 
5853 


3.7670816 

i.7'7'!59 
5.7671501 
3.7673043 
i-7«7578) 


5882 
5885 
5884 
5885 
5886 

■f83^ 

5888 
5889 
5890 
5891 


3.76952,0 
3.7695988 
5.7696717 
5.76,7465 
5.7698205 


5821 
5811 

5815 
5814 
5825 

58I6 
5817 
5828 
5819 
5S30 

5851 
5852 
583 J 
¡534 


5.7649976 
5.7650721 
5.7651468 
5.7652214 
3.7652959 


5854 


5-7IS74P7 
3.7675269 
3.7676011 

5.7676751 
¡•7^77494 


5.7698940 
3.7699678 
5.7700416 
5.7701155 
5.7701890 
5.7702627 

i-77<>íiiS4 
5.7704101 
¡.7704S58 

<-7705í7( 


J-7«H70i 
5.7654450 
5.765^195 

J.7Í5S94I 
¡.7656686 

3.7657450 
3.7658175 
5.7658910 
5.7659664 


!S!9 
5860 
586, 

5861 
5865 

7864 
5865 
5866 
5867 


5.7678255 
3.7678976 

3.7681199 


5891 

5895 
5894 

5896 

5897 
5898 
5899 
5900 


3.7681940 
5.7681680 
3.7683421 
5.7684161 


3.7706311 
5.7707048 

5-7707784 
3.7708510 



-N. 


Logarílh. 


N. 

!9i4 
!9i! 
5955 
59i7 
59!» 


Logarith. 


N. 


Logarich. - 

¡•7757560 
5.7758288 
5.7759°"'S 
¡•775974J 
5.7760471 


5901 
55,01 

5904 
5921 
59OÍ 

59»7 
5,08 
S509 
Mío 


5.7709156 
5.7709992 
5.7710718 
5.7711465 
5.7711199 


i-77ii475 
¡■7754=07 
Í-77J4959 
J-77i5«7'' 
5.7756402 


59«7 
5,63 
59«9 
597» 
597Í 


¡•77'i9i4 
5.7715670 
5.7714405 
5.7715140 
i-77'S»75 


5959 
5940 

594" 
594= 
594! 

5944 
5945 
5946 

5947 
5948 


!-77!7>ii 
5.7757864 
5.7758596 
5.7759526 

5.7740057 


597= 
!97¡ 
5974 
5975 
5976 


¡.7761198 
5.7761915 
¡.7762652 

¡'77«¡!79 
5.7764106 


J91Í 
»" 
!9M 
5914 
59"! 
5916 
?9'7 
S91S 
5919 
T910 
59II 
5912 
!9«-3 
59»4 
!9»5 
55i6 
591-r 
59j8 
5919 
!9!° 

59!i 
59;» 
?9J! 
f9!4 


J.7716610 

J-77'7544 
5.7718079 
5.7718815 
i-77'9!47 


5.7740788 
5.7741519 
i-774==49 
5-774=979 


5977 
5978 
5979 
5980 
5,8, 

598= 
5985 
59S4 
!')85 
5986 

5987 
5988 
5989 
5990 
5991 

599= 
599Í 
5994 
5995 
5996 

5-;97 
5998 
i 999 
6000 


¡•77«48¡¡ 
5.2765559 
5.7766286 
5.7767011 
5.7767758 
5.776846Í 
5.7769190 
5.7769916 
5.7770642 
¡•777'¡iS7 

¡•777=093 
5.7772818 

¡•'773545 
5.7774=^8 
¡■777499¡ 

¡•7775718 
5.777«44¡ 
5.7777167 

tVSTs 


5.7720282 
5.7721016 

5.7721750 
5.77214S5 
Í-77ÍÍ217 


5949 
5950 
S951 
595 = 
S9Si 


J-774444'' 
¡•774517° 
¡•7745899 
5.7746619 

¡•7747¡59 


5-77=i9!i 
5.7724684 

J-77»!4i7 
5.7726150 
5.7726884 


5954 
5955 
S95Í 
5957 
5958 


5.7748088 
5.7748818 

¡•7749547 
5.7750276 
5.7751005 


5.7727616 
5.7728549 
5.7719082 
5.7729814 
5.7750547 


5959 
Í960 
5961 
5962 
5965 


¡•7751754 
¡'77S=4«¡ 
¡■775¡'9> 
¡■77S5920 
5.7754648 


5-77!"79 
5.775IÜII 

5-77!»74i 
!-77JÍ475 


5964 

5966 
5967 


¡•7755¡7iS 
5.7756104 
5.7756852 
¡■77575«» 


5.7780789 
5.7781511 



"N. 

«óoT 

6002 
6003 
6004 
6005 

6007 
6008 
6009 
ÍOIO 

6011 
6012 
601} 

6014 

6015 


Logarith. 


N; 


Logarith. 

5.7806055 
5.7806775 
5.7807492 
5.7808212 
5.7808951 


N. 


Logarith. 1 


5.77822,6 
J.77S2960 
J.778J68J 
J.7784407 
J.7785IJ0 

!-77S58sj 
5.7786576 
5.7787299 
5.778S022 
¡•7788745 


6oj4 
6055 
6056 
6057 
6058 
6Í¡5 
6040 
6041 
6042 
6045 
6044 
604S 
6046 


6067 
6068 
6069 
6070 
6071 
6072 
6075 
6074 
6075 
6076 

6077 
6078 
6079 
6080 
6081 

SsT 
6085 
6084 
6085 
6086 




7829740 
7S3»40 
78J,'7' 
785,8^7 
7852Ó02 


5.7S09650 
5.7810569 
.781,088 
5.78.1S07 
5.7812526 




7855518 
7854055 

785617a 

7856892 
7857607 

785652. 
7859056 
7859750 


J.7789467 
5.7790190 
5.7790912 
5.7791654 
5-7792iS'S 


5.7815245 
5.7815965 
5.781468, 
5.7815400 
I.7816T18 


6016 

Í017 
6018 

6019 

60:0 

6oiT 
tíoií 
60Z; 

6025 

6ol6 
60J7 
6üj8 
6029 
6050 

áojl 
60} 2 
6055 
6054 


5.7795078 
j. 7795 800 
3-77S4S" 
5-7795M! 
Í-779WSS 


Tofo 
6051 
6052 
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Logarith. 


N. 


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5.8276277 
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5.8299467 
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5.8501594 




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8520616 
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8521895 
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N. 
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6!05 
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Logarith. 


N. Logarith. 


N. 


Logarith. 


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687, 


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5.8,68505 
J-8>«8SÍ! 
5.8,69567 
5.8,70,99 


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6807 
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6814 
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5.8318919 
5.851955S 
5.8330,95 
3.8350855 
5.855,47, 

5.8551109 

3.8551746 

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5.855401, 
3.8334659 


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68,4 
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6856 
ÉS57 
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J.81499Í6 
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3.8,51,96 
¡■8,5,85, 
5.8,51465 

5.8155100 

3-8i5i7i5 
5.8,54569 
5.8,55005 
5.8,55658 

5.8,56171 
3.8,56906 
5.8,57540 
3.8,58174 
5.8,58807 


6871 
6Í75 
61 74 
6875 
6876 
6*77 
6878 
6879 
6880 
618, 


5.8,70851 
5.8,71465 
3.8171095 
5.8,71717 
i-8!7i!!J 


5.8,75990 
5.8,74611 
¡8,75153 
5.8,75884 
5.8,765,6 


6816 
6817 
6S18 
6819 
6810 

6811 
6811 
6813 
6814 
6815 


¡•83 5 ¡296 

J-f!iW;> 
3.8556570 
3.8557107 
3.8557844 

5.8558480 
5.8559,17 

3.834QJ90 
5.834,017 


6!8l 
6885 
6884 
6885 
6886 


3.8,77147 
3.8,77778 
3.8,78409 
5.8,79059 
5.8,79670 


3.8,59441 
3.8,60075 
1.8,60708 
3.8,6,34, 
3.8,6,975 


6887 
6188 
6S89 
6890 
689, 


5.8,80501 
5.8,80951 
3.8,8,562 
5.8,81,92 
5.8,81812 


6816 
68 17 
6818 
6819 
6830 

6831 
6831 
6833 
6854 


5.854,665 
3.8541199 

!-854i9;5 
J-854ÍS7" 
3.8344107 


61,9 
6S60 
CS6, 
ÍS61 
6!65 


5.8,61608 
5.8,6314, 
5.8,65874 
5.8,64507 
5.8,65,40 


6891 
6895 
6894 
S895 
6Í96 


3.»,85973 


3.8344845 

3-|i4J479 
3.83461,4 
3.8546750 


6864 
16865 
16866 
16867 


5.8,6577! 
5.8,66405 
3.8,67038 
3.8,67670 


6897' 3.8,86601 
6898 5.8,87152 
6899; 5.8,87861 
6900 3.8,88491 



■ N/ 
6901 
6902 
690; 
¿104 
^°! 

69S 
Í909 
6910 


LDgarith. 


N. 


Logarith. 

J.8409838 
3.8410465 
5.8411091 
3.841.7.7 
5.8412545 


6967 
6968 
6969 
6970 
6971 


Logarith. 


J.8J89.20 
.8589750 
.8390J79 
.8391008 
.8j9i6j7 


k954 
6S>Í5 
6956 

6958 


5.8450458, 
5. 843 108 1 
5.8451705 
5.843 23 28 
5.8452951 


.8392266 
.8392895 

■;i93!?i 
.8394152 
.8394780 


6959 
6940 

6,4, 
6942 
6945 


5.84.2969 

3-|4"5i9! 
5.84.4220 
5.84.4846 
5.8415472 


6,71 

'974 
'975 
Ó976 

6977 
6978 
6979 
6980 
6981 


3-843Í574 
5.8434197 
5.8454S19 

5.8456065 


6911 
691Z 
69 1 j 
6914 
691; 


.8395409 
.8396037 
.8396666 
.8397294 

.8397922 


6944 
6945 
6946 


5.8416097 
3.84.6722 
5.84.7548 

5.8418598 


5.8456687 
5.8457510 

3-8439I76 


Í91Í 

6918 
691J 
6920 

6922 

(§24 
6925 

6926 
6927 
6928 

toí9 

6S>JI 
«952 
%3 


.8398550 
.8599.78 
.8599806 
.840045, 

.8401061 


6949 
6950 
695, 
6952 
'95i 


5.84.9225 
3.8419848 
3.8420473 
5.8421098 
5.842.722 


6981 
693 J 
rÍ9S4 
6,8; 
6986 

6987 
6988 
6989 
6990 
6991^ 

6992 

0994 
Í995 
6996 


5.8439798 
3.8440420 
3.844104. 
3.844.664 
3.8442286 


5.8401688 

.8402316 
5.8402943 
5.8405571 
5.8404198 


6954 

69i5 
6956 


3.8422547 
5.8422971 
5.8425596 
3.8424220 
5.8424844 


5.8442907 
5.8445529 
5.8444.50 
5.8444772 
3 -8445 59! 


5.840482.5 
.8405452 
.8406079 
.0406706 
.8407532 


6959 
6960 
6961 
6962 
6965 


5.84=5468 
5.8426092 
3.84267.6 
3.8427540 
5.8427964 


5.S446014 
5.8446655 
5.8447256 

j:8S¡492 


.8409212 

5.8409858 


6965 
6966 

6967 


3.8428588 
5.842,2.. 

3-84=98!! 
5.8450458 


S997 
6998 
6699 
7000 


5.8449119 
5.8449759 
5.I450560 
5.8450580 



N. 

7001 
7002 
7003 
7004 
7005 
7006 
7007 
7008 
7009 
7010 

^óTi 
701 1 
7015 
7014 
7015 


Logarith. 


N. 


Loganth.|1 N. 


Logamh. 


5.8451601 
5.8452121 
5.8451841 
5.845346, 
5.8454081 


7'>H 
70» 
7.136 

7037 
7058 
7059 
7040 
704, 
704! 
7»-li 


3.8471014 
3.847164, 
5.8473158 
5.8473876 
5.8474495 

3.84751.1 
3-847Í7Í- 
3-847«J4! 
3.847696o 
3-8477S77 


7067 
7068 
7069 
7070 
707, 
7071 

7''73 
7074 
7075 
7076 


5.8491551 
5.8492965 
5.8495580 


5.8454701 
5.8455311 

5.8457180 


3.8495413 
5.8496037 
5.849665, 
5.8497164, 

3.8497S7S 


3.8457800 
5.84584,0 
5.8459058 
5.8459658 
5.8460277 


7044 

7»45 
7046 
7»47 
7048 


5.8480659 

3.848I17S 
5.848,891 
5.848150- 
5.8483,15 

5.8485759 


7077 
7078 

7081 

|7o8l 
7085 
7084 
7085 
7086 

To^ 
7088 
7089 
7090 
7091 
7(191 
7093 
7094 
709! 
7096 

71^97 
7098 
7099 
7,00 


3.8494492 
5.8499106 
5.8499719 
5.8500355 
5.8500946 


7016 
70.7 
7018 
7019 
7020 
7021 
7022 
7025 
7014 
7025 

7026 
7027 

7029 
7050 


5.8460896 
5.846,5,5 
5.8461:34 
5.8461752 
5.8465571 


7049 
7050 
7051 

7051 

7053 


5.8501559 
5.8501,72 
5.8501786 
3.8503399 
5. 85040,1 


3.84659,0 
5.846460S 
5.8465117 


7»S4 
7056 

7»!7 
7058 


5.8484555 

3.8484971 

3.S486101 
5.84868,7 

5.8488661 
5.8489177 
5.8489891 

5.8490107 
j.849,,11 
3.849,756 
3.849155, 


5.8504614 
5.S505137 
5.8505S50 
5.8506461 

5.8507075 


5.846708, 
5.8467700 
3.8468518 
5.8468955 
5.8469555 


70!9 
7060 
706, 
7061 
7063 


3.85076S7 
5.8508300 
5.85089,1 . 
5.8509524 
5.85,0,56 


7051 
7052 
70SÍ 
7'>!4 


5.847,406 
3.8472014 


7064 
7065 
7066 
7067 


3.85,07^8 

5.85, ,j6o 
5.85,1971 
3.85125*5 



7101 
7101 
7105 
7104 
7105 


Lpgarith. 


N. 


Logarith.^ 


•R 


Logaricb. 

3-8i!!374 
5.8555980 
5.8554586 
5.8555,92 
3-8555797 
5.8556405 
3.8557008 
3-^*5576,4 
3.85582,9 
5.8558824 


5.851J195 
5.85.5807 
5.85144,8 
5.8515050 
5.85.5641 


7ii4 

7i!-í 
7n8 


J-|S»ii> 
5.8553940 
3.8554548 

5-8si5'!7 
5.8555765 


7,67 
7168 
7,09 
7,70 
7171 


7106 
7107 
7108 
7109 
7.10 


5.8516252 
5.8516865 

5.8518696 


7i!3 
7140 
714' 
714= 

Tía 

71+4 
7145 
7146 

7'47 
7142 

7"49 
7,50 

7M1 
7152 
7'53 


3.85565^4 
5.85569S2 

J.85J8SÍ6 


7171 
7173 
7174 
7>7S 
7176 


71H 
71 12 

7"S 
7114 

7"! 


5.8519507 
5.8519917 
5.8520528 
5.8521159 
5.8511749 


3.8559414 
5.8540011 
5.8540630 
3.854,138 
3.854,845 


7177 
7'7ü 
7179 
71S0 
7,8i 


5-8559419 
5.8560055 
3.8560640 
3.856,144 
5.8561849 


7116 
7117 
7118 
7119 
7110 
7121 
7122 
7.1J 
7114 
7115 

7126 

7129 
7" JO 

7151 
7151 

7135 
TU 


5.8511559 
5.8511970 
J.85I5580 
5.8524190 
5.8514800 


S-8S4MS5 
3.8545060 
5.8545668 


7181 
7,Sj 
7,í4 
7185 
71S6 

7^ 
7,SS 
7189 
719" 
7,91 

7^ 
719; 
7194 
7195 
7196 

7197 
7198 
7199 
7100 


5.8561454 
5.1565059 
5.8563665 
3.856429S 
5.1564872 

5-1 565476 
5.156608, 
5.1566685 
5.I567189 
5.1567395 

5.8568497 
5.8569,01 
5.8569704 
5.I570508 
5.85709,2 


5.85254,0 
5.8516020 
5.8516619 
5.8517159 
3.8517849 


7154 
7155 
7,56 
7"57 
7.58 


3.8545489 
3.8546096 

3.8546705 

5.85475 ID 
5.85479,7 

5.8548514 
5.S549I5O 

5-8549737 
5.8550345 
5.8550949 


¡■8528458 
3.8529068 
5.8519677 
3.8550186 
3.8530895 


7159 
7,60 
7,61 
7162 
7165 


5.S55,5í>4 
5.8551,13 
3.8531712 
5-8s3Siii 


7,64 
716; 
7,66 
7167 


5.8551556 
3.8551,62 
5.8552768 
5-8553374 


3.l57ii,á 
5.1571712 
3-«5733íi 



Logarith; 



7220 
7212 

7225 
7224 

722J 

72 2< 
7227 
7228 
7229 

7230 

7*51 
725* 
7255 

,7>34¡ 



N. 



8J739"^8 ,7234 
'725J 
7236 

|7i37 



857455» 

8 575.1 H 



■8J75737,. .. 
.8576340 7138 

857<5943 7»39 
8577545 7^4° 

8578148 mAX 
8578750 

'579353 



Logarhb. 1 

3.8593785 
3.8594585 
¡3.8594986 
5.8595586 
3.8596186 



*579955 
8580557 

8581159 

8581761 

8582363 



8582965 
8583567 
9584169 
8584770 

8585372 



7MI 
7242 

7243 



7244 

7245 

7246 

7248 



8585973 
8586575 
8587176 

858á37é 



8588980 
8589581 
8590181 
8590782 
8591583 



859r984 
8592584 
8593185 

«59378,5 



7249 
7250 

7251 
7252 

Ziü 

7254 

7255 
7256 

7257 
7258 



7259 
7260 

7261 

7262 

7263 



7264 
7265 
7266 
7267 



3 



.8 596786 



3.8597386 
5.8597985 
3.8598585 
3-8599^85 

3-" 599784 
5.8600584 

5.8600983 

5.8601585 

5.8602182 

5.8602781 
3.8605580 
3.8605979 
3.8604578 

3-8605 177 

— ^— — II ■■ ■■ — «-■ 

3.8605776 

3.8606374 

3.8606975 

3-8607571 

5.8608170 

5.860876S 
3.8609366 
5.8609964 
5.8610562 
5.861II60 



3.86II758. 
5.8612556 
5.8612954 
5.8615552 



7267 

7268 
7269 

7270 
7271 

7272 

7273 
7274 
17275 
17276 

7277 
7278 

7279 
7280 

728^ 

7282 
7283 
7284 

7285 
7286 

7287 
7288 
7289 
7290 
7291 

7292 

7293 
7294 

7295 
7296 

7297 
7298 

7299 
7300 



Logarith. 

.8615552 
,8614149 
,8614747 
,8615544 
,8615941 

,8616559 
,8617156 

,86i7733 

,861835o 
.8618927 

.8019524 
8620120 
,8620717 
.8621514 
,862191o 

.8622507 
.8625105 
,8625699 
.8624296 
.8624892 

.8625488 
.8626084 
.8626679 
.8627275 
,8627871 

.8628467 

,8629062 

8629658 

8650255 

8650848 

,8651-445 

8652059 

,8652654 

,8655229 



N. 


Logaríth,|| N. 


Logirith. 


N. 1 Logarith. | 


7;oi 
7501 
7!oi 
7io4 
7(1, 


J.86JJ82J 
5.8654418 
5.86;;or; 
5.865,608 
1.8656202 


7Si4 
7iiJ 
7iS« 

mi 

7Ji9 
7J40 
7J4I 
7i42 

7i4i 

7i44 
7J4! 
7J4* 
7J47 
7f48 


5.8655409 
5.0654001 
5.86,4,9, 
5.86,, 17, 
5.865,777 


7i«9 

7570 

ZiZi 
7572 

7i75 
7574 
757, 
7576 


5.8672907 

5.867467, 
5.867,164 


7jo6 
7507 
7Jo8 
7i09 
7!io 


5.865679, 
5.S657591 

5.8659174 


5.86,6,69 
j.86,6961 
5.86,7,51 
5.86,8144 

5.86,9527 

;.86,99iá 
5.8660,09 

5.8661 IDO 
5.866169I 


i.867,8,5 
5.8676441 
5.8677051 

5.8677610 
5.8678209 


75" 

7iiS 
7i-4 
7in 


5.865976» 
5.8640562 
5.86409,6 
5.864i„o 
5.8641145 


7578 
7579 
7580 
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N. 


Logarith. 


N. 


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,.8785495 
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N. 


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N. 


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,.8915552 


77í6 

77Í7 
77=8 
7719 
7750 


,.8879547 
,.8880109 
,.8880671 
,.8881155 
,.8881795 


7759 
7760 
7761 
7761 
77«i 


1.8898057 
,.8898617 
,.8899177 
,.8899756 
Í.8900196 


7791 
779i 
7794 
779! 
779« 


,.89,6489 
.8917047 
.8917604 
,.8918161 
,.8918718 


77ii 
77ií 
7755 
77M 


,.8881557 
,.8881918 
,.888,480 
¡.8884041 


77% 
77' S 
776Í. 
77«7 


,.8900855 
,.8901415 
,.8901974 
1.8901555 


7'S 


.8919175 
.8919851 
.8910589 
.8910946 



N. 

7Í01 


Logarith. 


N. 


Logarith. 


N. 
7867 


Logarith. 


!.89iiioj 


78J4 


3.89i93;6 


5.89,8092 


7802 


3.89220,9 


7«J5 


5.8940590 


7868 


5.8958644 


7805 


3.8912616 


7I56 


3.8940944 
3.894.498 


7869 


5.89,9.95 


7804 


3.8923173 


'^ 


7870 


5.8959747 


TÍOS 
7806 


3.8915729 


3.894105; 


7«7" 
7871 


3.8960199 


3,89í42»s 


7859 


3.8941607 


3.8960851 


¡h 


3.8924841 


7I40 


3.8945,6. 


7»7i 


3.8961405 


5.S915398 


7S41 


3-°!'4!7.í 


7874 


3.8,6.9,4 


7805 


3.8,2J9¡4 


7S41 


5.8944168 


787S 


3.8,61,06 


7810 

7817 


3.89165.0 


7!4i 
7S44 


3.8944811 
3.8945376 


7876 


3.89650,7 
3.8,65608 


3.8917066 


7>ií 


3.89176.2 


7«45 


3.8945919 


3.8964160 


lí"' 


3.8918178 


7846 


3.8946485 


7'7S> 


3.S964711 


7 14 


5.8913754 


7*47 
7848 


3.8947036 


^38o 


3.8,6,162 


lili 


3.89:9190 


5.8947590 
3.8548,45 


7881 
7881 


3.896,813 
3.8,66564 


7816 


3.892981, 


7!,)9 


7817 
7818 


3.8950401 


7850 


3.8,48696 


7I83 


J.896691J 


3.89309,7 


7851 


3.8949150 


7884 


3.8967466 


7819 


3.8951511 


7851 


3.8949805 


788, 


3.8,680.7, 
3.8968568 


78 JO 
7811 


3.8932067 


7»Si 


3.8950556 


7B86 


5.8952623 
3.8955,7^ 


7«!4 


3.8950909 


fi 


3.89691 18 


7821 


7«I5 


3.895.461 


3.8969669 


78.5 


3.8954288 


7856 


3.8,51015 


78S9 


3.8,701.9 


7824 


7*57 
7«S8 


3.S951567 


7890 


3.8,70770 


7825 
78IÍ 


3.8954845 
J.895,598 


3.8,53.10 


7891 


3.S97.510 


3.89,5675 


7891 


3.8,7.871 


7827 

782é 


tZí%l 


760 


5.8954115 


789! 


3.8,72421 


7I6. 


3.8954778 


7894 


5.8,71971 


7829 


3.8957063 


7862 


5.8955550 


78VJ 


5.8,75,!r 


7'}° 
78 J I 


3.89576.8 


7865 


3.895588; 


7896 


3.897407Í 


318938172 


7864 


3.8,56455 


7"97 


3.8974Í1I 


7852 


3.8,38727 


786, 


5.8,56,87 789815.8975.71 


7«ii 


3.8,3928. 


7866 


5-89575 59 l7899!-897!7U 


7»34 


3.8939856 


7867 


3.89,8o,i| 790013.8976721 



-"K 


Lcgarith. 


N. . 


Logarith. 

j.8994922 
5.8995469 
5.8996017 
J.8996564 
5.8997111 


N. 


Logarith, 


7901 

790Z 
7905 
7904 
7905 


¡.897681. 
,-89T7!7» 

.8978469 
5.8979019 


79i4 
79JS 
79ií 

79Í7 
79i8 


ti 
7969 

7970 
7971 


5.9011948 
5,9015495 
¡.90.4058 
5.90.4585 
5.9015118 


7901S 
7907 
79oé 
7905 
7910 


.89795S8 
.8980117 
.8980667 
.8981216 
.8981765 


79!9 
7940 

794' 
794» 
7943 


5.8997658 
5.8998205 
j.89,8752 
5.8999199 
¡.8999846 


797» 
797i 
7974 
797! 
7976 

7977 
7978 
7979 
7980 
7981 

7981 
7985 
7984 
798Í 
7986 

7987 
7988 
7989 
7990 
7991 


5.9015671 
¡19016118 
¡.9016761 
5.9017507 
5.9017851 

5.9018596 
5.9018940 
¡.90.9485 
¡.9010019 
S-90ÍOÍ7Í 
5.902 1117 
¡.9011661 
¡,9011205 
¡.9011749 
5.902¡i9¡ 


79" 
791 í 

7¡>'5 
7JH 
79"! 


.89815.4 
.898186! 
.89S541Í 
.8985,60 
.8984509 


7944 
7945 
7946 
7947 
7948 


5.9000592 
5.9000959 
5,9001486 
¡.9001052 
5.9002579 


7916 
79"7 
79ié 
7919 
7920 

79" 
79" 
79»5 
79M 
79ÍS 
792a 

79Í8 
79>9 
7950 

795" 
79i> 
795 i 
79Í4 


.8985058 
.8985606 
¡.89S6155 
.898670; 
.8987252 


7949 
79SO 
79! ■ 
79P 
79! i 


¡.9005125 
¡.9005671 
¡.9004218 
5.9004761 

5.9005 5 !C 

5.9OO585Í 
¡.9006501 
5.9006948 
¡.9007494 
5.9008059 


¡.898780c 
.8988548 
.8988897 
i•8sS9^45 
¡.8989^,95 

.899.089 
.8991656 
.8992.84 
.8991752 


79S4 
79! I 
,79!'S 

;79!7 

79!8 

79!9 

7960 
I796I 
7961 

79*! 

79fi4 
79*! 

79*r 


5.9025857 
5.902458. 
5.9024924 
5.9015468 
¡.90160.1 


5.9008585 
5.9009.5. 
¡.9009676 
¡.90.0222 
¡^90.0767 


799» 
799J 
7994 
799! 
7996 

8000 


¡.9026555 
¡.9017098 
¡.9017641 
¡.9018185 
¡.9D18718 

5,9019271 
5,90298.4 
5.9OÍOJS7 
;,90¡0900 


5.8995279 
5.8995827 
5.8994575 
J.899492-, 


¡.901.51, 
5.9OII858 
^9011405 
¡.901294» 



8001 
8ooi 
800J 
8004 
8005 

8006 
8007 
8008 
.8009 
8010 

801 1 



Logarith. I 

5.9051445 
5.9051985 
5.9051520 
5.9055071 

5.9054156 
5.9054698 
5.90552^1 



N. 



8054 
8055 
■8056 



Logarith. 1 1 N. 
5.9049ix5te 



5.904985 
5.905059 



18057 l'9^509AC 



8058 



5.905 I40C 



8059] 5.9051020 
8040 5.9052560 



8069 
8070 
8071 



8041 



5-9^5 57851^4^ 



5.9056525 ' 

,J- 9036867. 

8oi2 5.9057409; 

8015 U.9057951' 

8014 5.905^495 

8oi| 5,9059055 

8oi6 5.9059577 
8017 5.9040119 
8010 3-9040661 
B019 3.9041202 
8020 5.9041744 



I ■! 
8021 

8022 

8025 

8024 
8025 



8045 

8044 

8045 
8046 

8047 

8048 



8049 
8050 
8051 
8052 
8055 



5.905 5 lOI 

5.9055641 

; -9054^ 8 ' 

5.9054721 
5.9055260 

5.905 5 8oo| 
.0 
o 



^■11 "^ 



I 



8026 
8027 
8028 
8029 
8050 

8051 
8052 

8034 



5.9042285 
5.9042827 
5.9045568 
5.9045909 
5.9044450 

5.9044992 

3'9045533 
5.9046074 

5.9046615 
5.904715 5 

5.9047696 
5.9048257 
5.9048778 
5.9049518 



5.9056U. 
5.905688( 

5«90J74»9 

5-9057959 
5.9058490I 

5.905905? 

5.905957 7 

8054 1 5.90601 lí 

8055 1.3.9060655 

5.9061 195 

5.9o'6i754 

5,9062275 



8072 
,8075 
8074 
8075 
18076 

I"' 

»o77 

8078 

8079 

8080 

8081 



805Í 

o°57 
8058 

§059 
8060 

8061 

8062 

8065 



8064 
8065 
8066 
8067 



5.906281: 
5.9065550 

5.9065889 
5.9064420 
5 .906496 7 

5.9065595 
5,9066044 
5. 9066 5 8 2j 
5,90671 ?i¡ 



8082 
8085 
8084 
8085 
8086 

8087 
8088 
8089 
8090 
8091 

8092 
8095 
8094 
8095 
8096 



8098 
8099 
8100 



l| 



■ 

ILogarith. 

5.9067121 

5.9067659 

5.9068197 

5.9068755 

5.9069275 

5.906981 i 

5.9070250 
5.9070887 
5.9071425 
5.9071965 

5.9072501 

5.9075058 
5.9075576 
5.9074114 
5.9074651 

«.■■■MMkil^MMIKMaM 

5.9075188 

5.9075726 
5.9076265 
5.9076800 

5.9077874 

$•90784" 
5.9078948 

5.9079485 
5.9080022 

5-9080559 

5.9081095 
5.5081652 
5.9082169 
^^.0082705 

'3-So83M¿ 
5.9085778 

5.9084514 

5.9084850 



\ 



N. 

8¡^ 
Sioi 
8103 
8104 
Siof 

8io6 
8107 
8108 
8iin 
8iro 

81 II 
8;i2 
811J 
8,4 
811J 

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8117 

s.iá 
8119 

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sur 

8112 
8I.J 

8ij4 
8125 

§TÍ6 
8127 
8118 
8129 
8i¡o 

81J1 
8152 

¡•h 
8ij4 


Losir.tli. ,| N. 


Logaritli. 


N. 


Logarich. 


Í.9..ÓSJ00 

5.5,0364,8 
5.908695,4 
3.9087550 

5.90S30S6 
5.90H8601 
5.9085,157 
3.908967; 
3.9090108 


8ij6 
3159 

i 144 
8145 
3146 

di47 
3148 

8150 
81 I 

3i;2 
8155 


3.9105,142 
!-S"0!S7S 
3.9104110 
3.9104643 
5.9105177 


8167 

'■i6é 

!16, 
8170 
8,71 


5.9120625 
5.9121117 
5.9121689 
5.9122220 
5.91227J2 


5.9105710 
5.9106244 
3.9106777 
5.9107511 
5.9107844 


«172 
«■73 
■"74 
I175 

8 176 


5.9125815 
5.9124546: 

5.9124S78 : 
5.9125409 


5.9090744 
5.9091279 
3.909181; 
5.90925(0 
5.9092885 

3.9095420 

5.9094490 
5.9095025 
3.9095560 


5.9108578 
5 .9108911 
5.9109444 
5.9109977 
5 .9110510 


■177 
1 178 
8179 
IiSo 
tiSi 

r,si 
S1S5 
81S4 
81S5 

8 186 

T78^ 
8I8S 
II89 

|«I90 
11191 


5.9125940 
5.9I2647I 

5.9127002 

Í-S>"»7!!J 
5.9128064 


5.9111045 
3.9111576 
3.9112109 
5.9112642 
5.9115174 

5.9115707 
5.9114240 
5.91 14772 
5.911S505 
5.9115857 


5.9128595 
5.9129125 
5.9129656 
5.9150187 
J.9150717 


3.909Ó095 
5.9096650 
5.9097164 
5.9097699 

5.90981 !4 


8155 
81,6 

,'H 
3158 


5.9151298 
5.9151778 
5.9152509 
5.9132859 
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S160 

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N. 


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.9200189 

.9200711 

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.9201755 
.9202277 
.9202799 
.9203321 
.9203842 



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.9204886 
.9205407 
.9205929 
.9206450 



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•9213222 



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•9214263. 

•9214784 

.9215304 

•9215824 



.92 163145 
.9216865 
.9217385 
.9217905 
•9218425 



•9218945 
•9219465 
•9219984 
•9220504 
•9221024 



.922154? 
•9222063 
•9222582 
•9223102 
•9223621 



•9224140 
•9224659 

•9225179 
•9225698 



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.9255995 
.9254515 
,9255051 

• 9*35549 

•9236066 
.9236584 
•9237102 
•9237620 
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•9258655 
•9239172 
•9239690 
•9240207 
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•9241759 
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N. 


Logarith. 


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3.9329808 
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3.9515087 

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3.9516104 


5.9330822 
3.9551328 
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J-9iJ»848 


3.9299806 
3.9500316 
3.9500826 
3.9301556 
3.5)501146 


5.9516612 
5.9517121 
5.9517629 
3.9518137 
3.9318645 


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5.9536897 

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5.9357909 


3.9304906 
5.9505415 
3.9305925 
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3.9306944 


5.9521692 
5.9522200 
5.9522708 
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5.9358415 
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3.9342964 


3.9309999 
3.9310508 
3.9511017 
5.9511526 


8564 
8565 
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I8567 
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N.J 


Logarith. 


N. 

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86!7 
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Logarith. 


N. 1 Loganth. 


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1.9585,95 


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8709 

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8711 
87.5 
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,.9599685 
,.9400182 


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,.9412629 
,.9415126 
,.9415625 
,.9414120 


S767 
S768 
S769 

^770 
S771 


,.9428510 
,.9429005 
,.9429501 
,9429996 
,.9450491 


8759 
8740 

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8742 

8745 

8744 
8745 
8746 

8747 
8748 

%\\ 

8755 


,.9414617 
,.9415114 
1.9415611 
,.9416108 
,.9416605 


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877S 


,.9430986 
,.9451481 
,.945197* 
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,.9452966 


,.9400680 
,.9401179 
,.9401677 
,.9402176 
,.9402674 


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1.9417598 
1.9418095 
,.9418591 
,.9419088 


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,.9455461 

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,.9454450 
,.9454945 
,..435440 


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8719 
8710 

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8714 
8725 


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8785 
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,.9456921 
1.9457418 
,.9457912 

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,.9458900 
,.9456395 
,.9459889 
,.9440585 


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,.940<Í59 

1.9407157 
,.9407*54 


8754 


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,.9422561 
,.9425058 

,.«425551 
,. 9424049 


8787 
8788 
8789 
8790 
8791 


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,.9408152 
,.9408*50 
,.940(147 
,.940*645 
,.9410142 


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8762 
8763 

376; 
8765 
8766 
8767 


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,.,415041 
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,.9426051 
,.9416518 


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879J 
8794 


,.9440877 
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,.9441865 
,.9442358 
,.9442852 


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8752 

87iJ 
87J4 


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,.9411157 
,.94ii«55 
,.9412152 


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,.9427518 
,.9428015 
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i-»4448»7 






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8811 
8813 
8814 
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8817 
8818 
8819 
8820 



Logaritht 




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.944J814 
.9446107 
.9446800 
.9447294 



•9447787 
.9448280 

.9448775 

.9449266 

•9449759 



^9450252 

•945«>745 
.94JI2J8 

.9451730 
.9452223 



.9452716 
.9453208 
.9453701 
.9454195 
.9454686 



.9455178 
.9455670 
.9456165 
.9456655 

•945:7147 



.9457659 
.9458151 
.9458625 
.9459115 
.9459607 



.9460099 
.9460591 
.9461002 
.9461574 



N. 

8834 
88}5 
8856 

8858 



8859 
8840 
8841 
8842 
8845 



8844 
8845 
8846 

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¿848 



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8854 
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8856 
8857 
8858 



8859 
8860 
8861 
8862 
8865 



8864 
8865 
8866 
8867 



• «. ■■■II 1 

Logarith. 

9461574 
9462065 
9462557 
9(^65048 
9463 540 



946405 1 
9464515 
9465014 
9465505 
9465996 



9466487 
9466978 
9467469 
9467960 
9468451 



9468942 

9469453 
9469925 

9470414 

9470905 



947» 395 
9471886 

9472576 

9472866 

947J357 



9473847 

9474337 
9474827 

9475317 
9475807 



9476297 
9476787 

9477*77 
94777<S7 



N. 

8867 
8868 
8869 
8870 
8871 



8872 

8873 
8874 

8875 

8876 



8Ü77 
8878 

88 
88 

8881 



8882 
8885 
8884 
8885 

8886 



8887 
8 «88 
8889 
8890 
8891 



8892 
8895 
8894 
8895 
8896 



8897 

8898 

8899 
8900 



Logarith. 

.9477767 
.9478257 
.9478746 
.9479:56 
.9479726 



.94802 I 5 
.9480705 
.9481194 
.9481684 
.9482175 



.9482662 
.9485151 
.9485640 
.9484150 
.9484619 



.9485108 

•9485597 
.9486085 

.9486574 

.9487065 



.9487551 
.9488040 

.9488529 

.9489018 

.9489506 



.94899g4 
.9490485 
.9490971 
.9491459 
.9491948 



.9492436 
.9492924 
.9495412 

•9493900 



•«Mhrfia 



saes&SRBMMBawmM 



8901 
S902 
8905 
8904 
8905 


Ló^rith. 

5.9494588 
5.9494876 
5.9495564 
5.9495851 
5.9496559 


N. 
8954 
89JS 
8956 
8957 
8958 


Logarith. 

5.9510459 
i.9510946 
5.9511451 
5.9511918 
5.9512404 


N. 1 Logarith. ] 


8969 
8970 
8971 


5.9526472 
5.9526956 
5.9527440 
5.9527924 
5.9528409 


8906 

8909 
8910 


5.9496827 
5-94975 ij 
5.9497802 
5.9498290 
5.9498777 


8,j, 

8942 
8945 


J.95.2S89 
i-9i-ii75 
5.9515861 

i-95'4i47 
5.9514852 


8972 

8975 
8974 


5.9528895 
5.9529577 
5.9529861 

Í-9S50Í14S 
5.9550828 


89.1 
89.2 
8915 
8914 

8916 

8918 
8919 

89££ 

8921 
8922 
8925 
8924 
8925 

8926 
Z^ 

8951 
8952 

!'» 
8954 


5.9499264 
i-9499752 
5.9500259 
5.9500726 
5.950121; 


8944 
8945 
8,46 
8947 
8948 


5:9515,18 
J.951580J 
5.9516289 
5.9516774 
5.9517260 


8 
8981 

8984 

3985 
8986 


J-955'5" 
5.9551796 
5.9552280 
5-9552765 
5:9555247 

5-955575° 
5.9554114 

S-9554697 
5.9555181 
5.9555664 


5.9501701 
5.9502,88 
5.9502675 
5.9505162 
5.9505649 


8949 
8950 
8951 
S952 
S955 


!-9!'774! 
5.9518130 
5.9518716 
5.9519101 
5.9519686 


5.9504155 
5.9504622 
5.9505109 
5.9505596 
5.9506081 


8,54 

8956 
°957 
8958 


5.9520171 
J.9520656 
3.9521141 
5.9521626 
5.9512111 


lf¿ 
8991 

8992 
8995 
8994 
8995 
8996 


5.9556147 
5.9556651 
3-9557"i4 
5-9557597 
5.9558080 

5-9558563 
5.9559046 
5-9559529 
5.9540012 
5.9540494 

5.9)40977 
5.9541460 

5-954'94i 
5.9542425 


5.9506569 
5.9507055 
5.9507542 
5.9508018 
5.9508515 


8959 
8960 
8961 
8962 
8965 


!-9!>2S9! 
5.9525080 

!-9!2JSfi! 
5.9514049 

!-9í 24)54 


5.9509001 
5.9509487 
S-9S0997Í 
3-9Sl<H» 


8,64 
8965 
8966 

8967 


5.9525018 
5-9525505 
Í.9515987 
5.9526472 


8,97 
8998 
8699 
9000 



,N. 
jooi 

y002 
5005 

y0O4 
■J1OO5 


Logarith. 


.N. 


Logarith. 


N. 


Logírrfl. 


5.9542908 
5.9545590 
¡•9i4i»7= 
i-5>í44!Si 
i-9m!ii7 


9054 
905! 
9056 
9057 
9058 


5.9558801 
5.9559282 
5.9559762 
5.9560245 
5.9560725 


9067 
9Ó68 
9069 
9070 
9071 
9072 
9075 
9074 
907! 
9076 

9077 
9078 
9079 
9080 
9081 

^1 
9085 
9084 
9085 
9086 

908a 
9089 
9090 
9091 

9092 
9095 
9094 
9095 
9096 

9097 

9098 
9099 

9100 


5.9574656 
¡•957!"'! 
3-9Í7ÍÍ94 
5.9576075 

5-9i7«!!' 


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5.9628900 


5.9598045 
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5.9599948 


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3.9614211 
3.9614685 
3.9615160 
3.9615655 


5.9629573 
5.9629846 
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5.9630792 
3.9651264 


5.9600424 
5.9600901 
5.9601277 
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5.9602529 


3.9616109 
3.9616582 
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3.9617552 
3.9618006 


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5.9682961 



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3.9718780 
5.9719249 
5.97197x3 
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5.972x491 

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5.9725^117 

5.9725880 

5.9724145 

5.97x4805 

5.97x5268 
5.97x573 1 
5.9726193 
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3.97x7118 

5.9727581 
5.9728043 
5.9728506 
5.9728968 
5.9729450 

3.972989^ 

3-975^354 
3.9750816 

3.9751279 



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.9754511 

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•9755455 
.9755896 



.9756558 
.9736819 
.9757281 

•975774* 
.9758203 



9758664 
.9739116 

•9759587 
.9740048 

,9740509 



4iM 



.9740970 
.9741431 
.9741892 

•974*555 
-9742814 



•9745*74 

•9745755 
.9744196 

.9744656 

•9745 "Ti 



•9745577 
.9746038 

•974^98 
•^74^59 



N. 

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9463 



9464 
9465 
9466 
9467 



Logarith. 

.9746959 

•9747419 

•9747879 
.9748340 

.9748800 



.9749260 
.9749720 
.9750180 
.9750640 
.9751100, 



.9751560 
.9752020 

•975*479 
•975*959 
•9755599 



.9753858 
.9754518 

•9754778 

•9755*57 
.9755697 



.9756156 
.9756615 

•9757075 
•9757554 
•9757995 



.9758452 

^97589" 
.9759*70 

•9759»»9 
.9760288 



.9760747 
.9761206 
.9761665 
.97621 24 



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9498 

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9500 



Logartth. 

.9761124 
.9762582 
.9765041 

.9765500 
.976595S 

.9764^17 
•976487Í 

•97<55554 
.976579.2 

.976625-1 

.9766709 
,9767^67 
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.976808J 
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•977449* 
.9774950 

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.9775864 
.9776521 
.9776776 

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N. 

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Logarith. 

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9779064 
9779521 



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9780155 
9780892 
9781.348 
9781805 



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9782718 
9783175 

9784088 



•9784544 
9785001 

9785457 
9785913 

9786369 



.9786826 
9787282 

9787738 
9788194 

978865c 



9789106 
9789562 
9790017 

9790473 
9790929 



9791585 
9791840 
9792296 

.979*751 



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19535 
9556 
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9558 



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9562 

9565 



9564 

95<í5 
9566 

95*^7 



Logarith. 



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.9795662 
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•9794575 



.9795028' 
.9795484! 

•9795939 
.9796594 

•9796849' 

.9797304' 

•97977 59 
.9798214 

.^798660 
.9799124 



•9799579 
.9800034 

.9800488 

.5)80094 

.980159; 



.9801852 
.9802507 
.98.02761 
.9805216 
.9805670 



.5)804225 

•9804579 
.9805033 

.9805487 

.9805941 



.9806396 
.9806850 
.9807504 
.9807758 



N. 

9567 
9568 
9569 
9570 

957» 

957* 

9575 

95741 

9575 
9576 

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9582 

9585 
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I 

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1.98 1 0027 
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1.9815015 
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¡•9815921 
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¡•9817280 

;.98i77j5 
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N. 


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Logarith. 


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¡.9825878 
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1.5817154 

,.5817686 
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1.5828589 
,.58 15041 
1.5825455 


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1.5846175 
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1.9867717 



N. 

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>709 

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.9888264 
.9888716 
.9889155: 



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.9885590 
•9886055 
.9886481 
.9886927 



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•,890046 
•9^90492 
.98909^ 
.,89^^82 



N. 



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.,892273 
♦,892718 
.,893163 
.,893608 



.,894053 
.9894498 
.,8949^3 
.3^895388 
.,895833 

.9896278 
.9896722 
.'9897167 

.9897^1 2 



^782 
9783 
9784 
9785 
9786 

9787 
9788 
9789 
9790 
9791 

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1.9900279 

; .9900721 

¡•99OI168 

•,901612 

19902056 
¡•,902500 
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►^05164 

.9905600 
.,906052 

.9906496 
•99069^ 
[. 99073 85 
.9907827 
.9908270 

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•,908714 
.,909158 
.,909^601 
.,900044 
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.9911818 
.,912261 



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j»8i4 
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I ,825 

9824 



Logarith. 

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J.9ÍIJ147 
J.99IJJ90 
3. 931140 j 3 
3.9514476 



3.9Í 14919 
3.9,15162 
3.991J80Í 
3.9 j 16247 
3.9916690 

3-9J17IS5 

3-9517575 
3.9918018 

3. 99 1 8461 

3. 98 18905 

3.9919345 
5.9919788 

3.9920230 

3.9920673 

3.992111 j 



9834 

9836 
985a 



3.9921557 

3.9»"999 
3'95»i44i 
3 .9922884 



982 5^ 5.9923326 



íi8í6 
9827 
9828 
9829 

,831 



3.9923768 
5.9924210 
5.9924651 
5.9925095 

3.95*5535 

3,95>2J977 



9839 
9840 

9841 

9842 

984? 



s9l^ j-9y2iSii9 
^853 5.9526860 
^854 3.9527502 






9849 
9850 
9851 
9852 

9855 



9844 
9845 
9046 

9?47 
9848 



9854 

9855 
9856 

9858 



9859 

9860 
9861 
9862 

98f5 

19^64 
I9865 
9866 
9867 



Logaritb. 



.9927502 

•9927744 
.9928185 

.9928627 

.99Í9068 



.9951716 
.9952157 

3^-995 15 98 

9933039 
9955480 



.9929510 
.992995 1 

•9950392 
.9950834 

.9931275 



.9955921 
.9954162 
.9954805 

•9935244 
•9935585 



.9936126 

•993^5^ 
.9957007 

•9937448 
.9957888 



.9958529 
.9938769 
.9939210 
.9939650 
.95)40090 



.9940551 

•994^71 

•99414" 
.9941851 



N. 

9867 
9868 
9869 
9870 
9871 

9872 

9873 
9874 

9875 
9876 

987 
9871 

98: 
9881 

9882 

9885 
9884 

9886 

¡887 
9888 
9889 
9890 
9891 

9892 
9895 

9894 
9895 

9896 

9^97 

9898. 

9899 
9900 



Lc^arith. 



^ 



,9941^51 
.9942291 

.994275 1 

.9945172 

,9943612 

.9944051 
.9944491 
.994495 I 

■994537» 
9945 8 u 

.9946251 
.9946690 
,994715o 

•99475<J9 
.9948009 

9948448 
.9948888 

■9949327 
.9949767 

,9950206 

.9950645 
.9951085 
.9951524 
.9951963 
.995240» 

.9952841 
.9955280 

•99537»9 
.9954158 

•9954597 

.9955056 

•995 5474 
•9955915 
•995^5 í» 



■■^— — — i— »■ lil i » 

N. I Logarith. 

9956791 

9957*^9 
9957068 

9958106 
9958^45 



990» 
9902 

9905 

9904 

9905 

9906 
9900 

9909 

99IO 



II 

12 



99 

,99 

I99I3 
99I4 
99I5 



16 
17 
18 



99 
9917 

99 

99I9 

9920 

9921 

99** 
99* í 

99*4 

992<5 
9927 

992,8 

99*9 

99? I 
9952 

993? 
9954 



995898^ 
9959422 
9959860 
9960298 
9960756 



9961175 
9961615 
9962051 
9962489 

9962927 



9965^65 
9965805 
9964241 
9964679 
9965117 



99<55554 
9965992 

9966450 

9966867 

9967505 



9967745 
9968180 
9968618 
9969055 
9969492 



N. 

9954 

9955 
9956 

9957 
9958 



9959 
9940 

9941 

994* 
9915 



9944 

994f 
9946 

9947 
9948 



9969950 
9970 ^¿7 
9970804 
9971 241 



9949 
I9950 
19951 
I9952 
19953 

|9954 
|9955 
|995<5 
9957 
9958 



'9959 
I9960 

'0961 

I9962 

19965 

l99<54 
;99<55 
9966 
I9967 



L(^arith. 

9971241 
9971679 
9972 II 6 

997M53 
9972990 



9973427 
9975864 

9974501 

9974757 
9975154 



9975611 
9976048 
9976484 
9976921 

99773 5» 



9977794 
9978251 

9978667 

9979104 

9979540 



9979976 
9980415 
9980849 
9081285 
9981721 



9982157 

9982595 
9985029 
9985465 
9985901 



9984557 
9984773 

9985209 
9985644 



• t~# .«• 



9967 
9968 
9969 
9970 
9971 



9972 

9975 
9974 
9975 
9976 

9977 

9978 

9979 
9980 

9981 



9982 

9983 
9984 

19986 



9987 
9988 

9989 
9990 



i222i 

I999* 
I9995 
1 9994 
19995 
1999^ 

,9997 
¡9998 



9999 

lOOOO 



Logañth. 

5.9985644 
5 .9986080 
3.9986516 
5.9986951 
5.9987 587 

5.9987825 

5.9988258 
5. 9988694 
5.9989129 
5.9989564 

3.9990000 
5.9990455 
5.9990870 
5.9991505 
3.9991740 

5.9992176 
5.999261 1 
5.9995046 
5.9995581 
5.9995916 

5-9994550 
5.9994785 

3.9995220 

5.9995655 

5.9996089 

5.9996524 
3.9996959 

3-999739? 
5.9997828 

3.999826Í 

5.9998697 
3.9999151 
3.9999566 
4.0Ó00000 



rr 



'49. 

«ii^s«ii^ ^í^un ^w^m^ 

LIBRO III. 

DE LA trigonometría 

Reótilinea. 



DEFINICIONES. 

I T? N los triángulos redangulos, tanto redilineos , co* 
Pj mo esféricos , el lado opuelto al ángulo re<^ , (e 

llama hifottnuf^i los otros fe quedan con el nombre gene* 

ral de lidos^ 

z En qualquiera triangulo , el ungulo que hace frente 

h un lado, fe llama ángulo opuefto a aquel lado , y efte íe lla« 

ma lado ofuefio al ángulo* 

I Ángulo adyacente , iontermno a un lado , es el que íe 

Ibrmaíobre aquel lado; y afsimirmo , lado adyacente y ) 

contérmino a un ángulo » es el que juntamente con otro lado 

forma ^uel ángulo» Las efpecies de los triángulos f e&ili-^ 

neos, y ms definiciones , quedan explicadas en el ii^.i. d¿ 

la Geometría Elementar. 

CAPITULO I. 

TMÉOSEMilí TV^DAHJEIíTALES VAt4 
la. refolmion de los triángulos rtüilineos 

reítangulos* 

PROP. L Theoremt. 

E» qualqmera triangulo reÜUineo, los lados fin proporcimiaUs con 
losfenos de los ángulos ofueftos, (fig.6. ) 

S£a qualquier triangulo redihneo ABC. Digo , que aísi 
íe na el lado AB con el lado BC y como el íeno del 
tomo líl. Q^ an- 



50 Trat.VII. 15* tA Triconometria, 
ángulo ACB,con el feno del ángulo BAC. Circunícrivafe 
^ dicho triangulo un circulo ; y dividiendo por medio los 
lados AB, BC, en D,y E , tirenfe del centro las líneas FD, 
F£,las quales (J.3.EUCL) ferán perpendiculares á ios lados 
ABj BC, y dividirán por medio los ángulos AFB, BFC: ti- 
rcnie también las lineas FB, FA, FC; y ferá (2o.3,Eucl.) d 
ángulo AFD, hecho en el centro,igual al ángulo ACB, he- 
cho en la periferia; y el ángulo BFJb, igual al ángulo BAC» 
' DenKmftr* A(si fe ha el lado AB, al lado BC, como AD, 
mitad de AB,á BE,mitad de BC; (i 5.5.EUCI.) y fiendo AD 
(define 4« libé i.) feno del ángulo AFD, ü de ACB fu igual; 
<20. j.EuclOy BE, feno del ángulo BFE, ü de BAC fu 
igual , ferá el lado AB, con el lado BC , como el feno del 
ángulo ACB, con el feno del ángulo BAC. 

Lo mifmo le convence , aunque el triangulo (ea obtu- 
fangulo; y para que fe vea con mas claridad, lea en la fig*j. 
el triangulo obtufangulo BAC* Circuntcrivafele el circulo: 
dividafe el lado BC por medio en D; y tirefe del centro la 
GD , que (j. ;« Eucl.) ferá per{>endicular á BC; y la BO, 
ferá feno del ángulo BGD. 

ÍHmonñr. El ángulo BGC, formado en el centro, es du- 
plo , afsi del ángulo F , como del ángulo BGD : luego el 
ángulo F , y el BGD fon iguales ; y liendo BD feno del án- 
gulo BGD , también lo ferá del ángulo F : luego , fegun lo 
dicho en la de fin» ^ del lib.i. la miiina BD (era también (e- 
no del ángulo, que es complemento del ángulo F , al femi* 
circulo; liendo pues (22. 5. Eucl.) el ángulo obtuíb A,com- 
plemento del ángulo F , al fcmicirculo , ferá BD feno del 
ángulo A : luego la miíma razón tendrá el lado BC, al la- 
do BA,quc BD, ícno del ángulo A , á BN, feno del finculo 
C,como confta de la demonftracioa antecedente. eJ?í m^^ 
rema es general para todos los triángulos reStlmeos y j el fundá^ 
mentó de tas oferacion.s trigonométricas* 



PROP. 



i 



llBRO fli. ^% 

PROP. n, Theorema. 

t 

En los triángulos reñangulos Umiftna raz>on tiene U bipotenufd 

con qualqmra lado , que fl radio alfeno del ángulo 

opuefto a dicho lado. {jig*S. ) 

SEa el triangulo ABC rcétangulo en C. Digo, que la hí- 
potenufatíA, tiene con el ladoAC, la mifma razón 
ue el radio BD á la DE» íeno del ángulo B opuefto al la* 
oAC. 

Demtmfir. Por ícr los ángulos C , y E redos , ferán las 
AC, DE paralelas: luego (i. 6.) los triángulos BAC,BDE 
ion (eme jan tes, y fus lados fon proporcionales, como lahK 
potenufa BA, al lado AC; afsi el radio BD, Á DE feno áA 
iingulo B. Lo mifmo fe demonítrará con el lado BC , ha- 
ciendo con él otra conftruceion femejantc. 

PROP. ni. Theorema. 

En los triángulos rectángulos , afsi Je ha el lado íontemuno i m 

ángulo con el lado opuefto ^ dicho anguloy como el radio 

con la tangente de dicho ángulo, (fig.i. ) 

SEa el triangulo ABC. Digo,que el lado 6C,quc es con- 
término al ángulo B, aísi fe na con el lado C A, opuct- 
to al mifmo ángulo , como el radio BG á la GF, tangente 
del mifmo ángulo B. 

Detnonflr. Los triángulos BAC, BFG, (i.óJEucl.) ion fe- 
inejantes : luego fus lados fon proporcionales, como BCí 
CA, afsi BG á GF. 

Por la mifma raz,on fon proporcionales el lado BC i la hipóte^ 
ñufa ^, como el radio BG a lafecante BF. 

CAPITULO n. 

M LA HESOIVCION DE LOS TEIAÑGVLOS RECtl- 

lineos reñangtdos. 

I T7N qualquiera triangulo fe hallan feis coías, 

Fi es i faber , tres lados , y tres ángulos ; y de 

eftas íeis le han de preíuponer conocidas tres , paú que (e 

Q^2 pue- 



fí Trat.VII. Di la Tricovometria; 
pueda reíblver el triangulo. En los triángulos reóHlíneos, 
aunque fe fupongan conocidos los tres ángulos, no (e pue- 
de paíTar al conocimiento de los lados , íino es que uno de 
¿Itos fe íuponga conocido , porque íiendo los ángulos los 
nirmos, pueden fer mayores, ó menores los lados : conque 
para llegar á la relólucion , ferá menefter tener conocidos, 
o dos lados, y un ai^ulo; ó dos ángulos » y un lado ; ó los 
tres lados. 

2 En el triangulo redangulo , como d ángulo redo 
fiempre fea conocido , folo le necefsita del conocimiento 
4c un otro ángulo, y de un lado, ú de dos lados. 

3 Para mayor claridad las cofas dadas , ó que íe íiipa- 
nen conocidas en un triangulo, (e notarán con una raya pe- 
queña; y las que fe bufcan, con un zero. 

4 Sea regla general , íiempre que la hipotenufa entra en 
la proporción , fe refuelve el triangulo en virtud del theo- 
rema 2. y fiempre que entran en <£cha proporción dos la- 
dos, (e reíuelve por el theorema 3. 

5 En las reglas de tres, para reíblver los triangulo^ pon^ 
dremos en lugar del logarithmo del primer termino íu 
complemento logarithmico , (31. lib. z.) y le feñalaremos 
con las iniciales C, L : conque quando el primer terminó 
fuere el radio,no hay para que eicrivirlejporfer elcomple- 
inento del radio al miimo radio todo zerós ; (i bien en los 
exemplos que fe pondrán en adelante , le efcriviremos para 
inayor exprefsion de la pradica. 

6 En confequencia de eíto , como la reíbluciori de los 
triángulos coniífta en hallar un quarto proporcional á I0& 
tres términos dados, ó conocidos, obíervaremos en las re* 
ibluciones la regla dada en Ufropof }3. lib.i. íegun la 

3 jal , la fuma de los tres loganthmos menos el radio , da 
quarto logarithmo que íe bufca. Quitafe el radio, 
quitando , ó omitiendo la unidad primera que íe haviade 
dcrivir á la izquierda de la caraderiítica : y í¡ el termino 
primero fuere tangente mayor que la de 45. grados , por* 
que en ella íe toma el complemento al duplo radio , ía 
hayrá de quitar ¿ñe de la fuma , omitiendo el 2. que fe ha- 
via de eícrivir á la izquierda de la cara¿teriltica» Téngale 
cfto muy en la memoria* 

Las 



Li BRo m. 5} 

Laspropoficiones (iguientes contienen la pra^ca de re* 
(blver lostrían^los, enlasquales guardaremos eite or-- 
den, que las pruneras fervirán para hallar iosangiüos; y 

las otras, para hallar los lados. 

i ... 

PROP, IV. Problema* 
In el trianguU nSángulo , dados los Udos , bálUr Us 

ángulos. (Jig.9. ) 

EN el triangulo ABC, it iuponen conocidos las ladbsr 
AB, y CB, de fuerte, que AB es de 1230. pies ; y CB 
de 720. pies. Pidefe eLangulo A. 

Ftoforcionj prop..;. Lúgárithmos. . 

Como ilB 1 2 3 o. fiesp C.L. 6.91 oo949« 

J CBjio.fies'y 2,.857j52y. 

áfsi^tádioj ló.ooooooo. 

i Id tangente del áng*A. jo.^r. io.ifim. '^17674274. 

Hallado elangulo A , queda conocido el angula C, que es 
fu complemento á ^o. grados. 

PROP. V. Problema. 
In el triangido reSangulp^ dada la bipotenufa , j un ladoy haUof 

los ángulos* (/¿•9» ) 

EN el mifmo triangulo ABC , dada la bipotenufa AC, 
1425. pies, y el lado AB 1230. pies , íe pide el angur 
loC. 

Froforc'ionj profofz. Logar'tthnos, 

Como la htfot. aQ 142^. pes^ CL. 6.846185 1. 

ál raáioi xp.ooooooo. 

afsi AB ii^o,fiesy ^.0899051. 

d feno del angiAo C ^^gr. ^.nm. 9^3 óojoz» 

Hallado el ángulo C, fe (abe el ángulo A , (u complemento 
á 90. gr. 

PROP. VI. Problema. 
En eltriangido reSangulo , dados los ángulos , jr un lado^ halla» 

el otro lado, (fig^io.) 

SEael ángulo A 30.gr. zoonin. y el lado AB 1230. pie$# 
Pidefe el lado ¿q: 

Tro- 



J4 Trat.VII. De la Tmgokometria. 

Tfofüfcum. logaritbm$s. 

C4nM€lr4dMj C.L. 0.0000000. 

'k U tang. del mg^A.mttr. 50.^. 20.1». 9.7674274. 
dfsi el lado AB i z jo. pes^ . 5.089905 u 

éU lado BC 720. fies. ^^'^57n^. 

: . PROP. VIL Problema. 

Ja el triángulo re^angulo y dados los ángulos , j U hifotenu/d, 

•., hallar los lados. (ñg»io.) 

EN el triangulo ABC e^el ángulo A 50. gr. zo.min. y la 
hipptenula AC 142 j. pies. Pidefc el lado BC. 

Froporáon. Logarithms. 

Como eL radio^ 0.0000000. 

3 la hmtenuCa AC 1425. fierj 5*i538i49. 

afsi el fem del ang. jo. zo.min. 9*7^i 5 170. 

M lado opuefioBC 720. pi€s. "í. "8571719. 

De la mifina manera fe hallará el otro lado AB, valiendoíc 
de fu ángulo opueíto C. \ 

KlOP.Vni. Problema. 

In el triang/do reS4ngulOf dada la hipotenufa y j un ladoy baüar 

el otro lado, (jig.io.) 

EN el mifrao triangulo ABC, fea dada la hipotcnuía 
AC 142 j. pies; el lado AB 12 jo. pies. Pideíe el otro 
lado CB. 

Modo I. Hallenfe (5.) los ángulos A , y Cj. y hallados 
cftos , bufquefe el lado CB , que fe hallara por la propof. 6. 
dporla7. . 

Modo 2. Sumeíe la hipotenufa 1425. y el lado dado 
1 2 JO. y ferá la fuma 2^55. Hallefe el logarithmo de efta 
fuma, quees J.4240ÍÍ45. Reftefeel lado dado 12 jo. de 
la hipotenufa 1425. y es la . diferencia 195. cuyo loga- 
rithii^o es 2.2900J46. Sumenfe ellos dos Ic^aritnmos, y 
la niitad de la íuma , que es ^.8570^5. ferá el logarithT 

mo 



Libro IIL jy 

mo del lado BC 720. que fe deíea. £1 fundamento de eltei 
operación y íe verá mas adelante. 

Bipotenufá AC 1425* 
lado. AB 1230. 



fuma 2^55* L. ^.^z^p6^^. 

diferencia X()5.L* 2.290o;4tf. 

fuma 5.7i4o^pi, 

femfuma 2 .8 5 704^5. BC 720, 

PROP. ÍX. Problema. 

« 

'En el triangulo reSangdo , dados los ángulos , j un lado y haüm 

la bífotenufa^ (fig^ii*) 

EN el triangulo ABC , íe (upone dado el lado BC 720* 
pies, y el ángulo A 30. gr. 20» min. Pideíela bypote- 
nuiá AC. 

Fropmion. Logarithmos. 

Como el Jino del ang. A^o.gr» zo^min^ CX. 0.29^^830. 
al lado BC fu opuejio jzo.piesi 2.8575 32 j, 

afii el radio 10.0000000. 

a la hipotemfa 1425. ^.Tj^oifií 

PROP. X. Problcmíu 

En el triángulo reñanguh y dados los lados 9 bailar la 

bipotenufa. Cfig* lu) 



Büíaueníe primeramente los ángulos ; (4.) y t 
éítos , bufquefe h bipotenuia , por la propo f. 



hallados 
antece- 
dente. 



CA- 



¡4 f HAT .VIL Pe t a Trígonometriaw 

CAPITULO nL 

TBEOMMAS FUSDAHESTJtíL^S FAM lA VESOLVCIOS 
(k ks triángulas ndMntos Miquangiihs. 

PROP/XI. Thcorcma* 

Sn qudquiera trimgnlo reStüinea^ U fuma de dús Udos j iUdi- | 
ferenc'Mdelosmftnos y thneUmfina razan quelátangmt de i 
U fmúfumá délos ángulos opueftasy aU tangente 4tlá 
fumUiferemid de los mjmSf (fig. i z* ) 

EXplkécm. Digo y que en el triangulo ABC , la fuma 
de los lados AB, AC , tiene la mifma ratpn con la 
diferencia de los miíinos , que la tangente de la femifuma 
de los ángulos B » y C > opueftos i <£chos lados, tiene con 
la tangente de la femidiíerencia de los miflnos ángulos* 

Continuefe la linea B A , bafta D , de fuerte , que AD 
íea igual k AC : corteíe D& igual á AB : con efto (era to- 
da la DB, fuma de los lados B A, AC; y RA ferá la diferen- 
cia de los mifmos lados. Tireíe la linea DC; y porque AD, 
AC (bn iguales, la perpendicular AE , dividirá por medio^ 
tanto la oaíáDC , como al ángulo DAC. ( corolar. ^. deU 
j. /ií.i.Eucl. ) Y porque el ángulo DAC es externo, reípec- 
to del triangulo ABC , íer^ (}2.i« £ucL) igual á la fuma de 
los ángulos B, y C : conque el ángulo É AC,(erá la femiíu* 
ma de Jos núfmos ángulos. Tirenfe las redas RL , AH , p^* 
ralelas á BC,y ferá (lya-Eucl.) el ángulo DAH igual al an* 

fulo B ; y HAC, igual al alterno A^t -Y fiendo B A igual 
RD, ferá (i.6.É\xcl) CH igual á LD ; y por coníiguiente 
EH,EL, quedarán iguales, como también los ángulos EAL^ 
EAH, y los LAP, HAC: y el ángulo LAH, feri la diferen- 
cia de los ángulos DAH , HAC 9 u de B , y C fus iguales: 
luego EAH, ferá la feniidiferencia de los mifmos an^Ios 
B ^y C ; y haciendo un circulo con el radio AE , íera EC 
tangente de la íemifuma EAC ; y EH tangente de la íemi- 
diferencia EAHL Demueítro pues , que bD , fuma de los 

lados^BA y AC, tiene con RA , diferencia de io$ miimos^ 



\ 



' r 

L I B H O IH. 57 

la razón miímaque £C , tangente de la (emiíama de los 
ángulos B, y C, con EH» tangente de la íemidiferencia de 
los mifmos. 

• Demmfir. Por (er LR, AH, BC paralelas , íerán propor*- 
ciortaJes ( 2.6.Eucl. ) como DB á llA , aísi DC á LH ; y 
fiendo toda DC á toda LH,conio EQoíitad de DC á £H, 
mitad de LH, íerá DByfuma de los lados, á R A , diferencia 
de los mifmos , como £C , tangente de la femifuma de los 
ángulos B, y C, á £H , tangente de la femidiferencia de los 
jptíinos. 

COROLARIO, 

EN ejle Thewremá fe finuU U refolucm de qudlqmerA tndn^ 
guio , dados dás de fus ladgs , y el ángulo comfrehendiio en^ 
tre eUos ; forque fumando los lados AB^ AC^fe fabe fu fuma, j ref 
tando AB di ACyfe fabe fu diferencia. También re/tamo el ángulo 
A de 1 8o. grad, el refiduo es la fuma de los ángulos B^j C^jfu mi^ 
tad es lajemifumay 4an lo qualfe áfpondra lafroforcion demonf- 
erada : conw la fuma de los lados , a la diferencia de los mfmos; 
dfii la tangente de lafermfuma , al terwúno quarto y que fera l4 
tangente ie la fenúd^erenáa de dichos ángulos : efta femidiferenM 
ya conocida^ fi fe añade a la fenúfuma de los ángulos , fe fabri el 
émgulo mayor; j refianiola de la rmfma femífuma^ fe fibra el me^ 
ñor. 

PRÓP.XU. Theorema. 

In qualqfuer triangulo , el lado mayor fe ha con la fuma de loe 

ptros lados , como la diferencia de efios a la diferencia de los Jeg-- 

mentos hechos en el lado mayor con la perf endientar 

tirada del vértice 4 dicho lado. 

Explicación. Sea el triangulo ABC , cuyo lado mayor ,d 
bafa fea AC : cay^ de la cuípide fi la perpendicular 
hE y y con kdiíhtnciaBC defcrivaíe un circulo del centro 
B , y continuefe el lado AB hafta G. Hecho ello , porque 
BQ, y BC ion iguales, íerá ABG (urna de los lados AB,BC; 
y porque la perpendicular BE divide la cuerda DC en £ en 
dos partes iguales, ( j.jtEucL^ íerá DAla diferencia de los 

feg. 



58 TiiAT.Vir.T>i I A Tkicónomitria. 
lamentos CE , EA ; y porque BC, y BH fon* iguales , (er4 
HA la diferencia de los lados CB^A. Digo pues, que aüi 
fe ha AC lado mayor, á GA fuma de los otros lados^como 
HA diferencia de los mifmos lados , a DA diferencia de los 
fegmentos déla baía. 

Demonjhacíon. £1 redangulo hecho de AG, AH, es igual 
al reáiangulo hecho de AC, AD : ( 3 ^.5 .Eucí. ) luego íi di- 
chas lineas fe difponen de eíta fuerte : AC, AG, AH , AD, 
ferá verdadero decir , que el rectángulo de las extremas 
AC, AD , es igual al re<3anguIo de las niedias AG , AH, 
por la razón íbbredicha : hiego ( i6.6,£ucl.) feíin propor- 
cionales. 

Como AC, baía , 6 lado mayor, 

a AG, fuma de los otros lados; 
afsi HA, diferencia de los mifmos lados, 

á DA^ diferencia de los fegmentos de la baía* - 

COROLARIO. 

EN efte Theorema Je funda U refolucion di quéUqmera triangu^ 
loy quándofe dan fus tres lodos fin canocerfe ningún anguloi 
f arque tirando la perpendicular fi£, queda dividido en dos trian- 
gulosreílangulos'jjcomofe den conocidos los tres lados del triofH 
guio ARCjjefabe el lado mayor AC; y fumando los otros AByJf 
JíC, fefabefu fuma AG ; y re fiando BC de BA,^ fe fabe AHfu di- 
ferencia ; y for regla de tres , con los términos AC^ AG^ AHyfc 
fabe el quarto froporcional AOy que refiandole de AC^fe fabe JOC; 
y for configmente^ fu mitad £C : luego en el triangulo reüanguU 
BEC fe fabe el lado £C , jr Id hifotenufa BC : luego C$.)fe halla- 
ra el ángulo EBC , diciendo : como la hifoftnufa BC , al radio y 
afsi el lado EC olfetM del anguh EBC : fabido epyfe fabe el an- 
guloC , fu complemento a 90. grad. De la mi fma fuerte ferefol- 
y era el triangulo AEB, y fe hallara el ángulo A y y quedara refueU 
to el triangulo A^* 

Eftos íbeoremas fon abfolutamente baftmtes para demonflrar 
la refolucion de qualefquiera^triangulos reStillneos obliquangulos;i 
afsi por la brevedad omitú otros , que a mas defer canfados , frío 
ftrven para dcmonjirar otfas praSicas de refolver^ que para mayor 
abundancia fe fotman en fu lugar. 

CA'* 



LlBRjD IIL 5^ 

CAPITULO IV. 

SíE LA MESOIVCION DE LOS TRJJNGVUU 

reimos ebliquAngulos. 

PROP. Xffl. Problema. 

In el triangulo obliquanguloy dados dos lados ^ymo de los ang9h 

losofuejtosj hallar los otros ángulos ^ fabiendofe fi el que fe 

bufia es agudo y o obtufo. ( ^g. 14. ) 

N el triangulo ABC , conocidos los lados BA , AQ 
^^^^ aquel de 400. pies , y éfte de joo. y el ángulo B 
opueílo al lado AC ae 54. grad. 50. min, íe buícan los an^ 
gulos C , y A ; y primeramente el ángulo C opuefto al la- 
40 AB, íuponiendoíea dicho ángulo agudo. 



E 



Proporciony prop. i • Logarithmosn . 

Como el lado AC opuefto i By 400* C,L* 7*3979400. 

al fino del ángulo B; 54.gr.30.min. 9.9106860^ 

afii el lado AUy 300. 2.4771^12. 

al feno del ang. C. 37.gr.38.min. ^^^^Zj'i^iz. 

Hallado el ángulo C , fe (abe el ángulo A ; porque f u*- 
mando el ángulo C hallado , con el ángulo B dado, lo que 
vá de eftaíiima hafta los 180. grados es el ángulo A , que 
en efte exemplo es 87. gr« 52* min. 

Dixe al principio fir menejler , fi conoxxa fi el ángulo C , que 
fe bufia es agudo , o obtufi^y porque Rendo un mifmofeno común 
fara el ángulo affídp yj paraelobtuío y que es fu complemento al 
fhmúrciiloy'aueüria pempre en duda el Analiftá , qual de los dios 
fea ¿I verdadero. 



PROP. 



fSf^ TraT. VII. De l,A TRICOMOMBTR.IA. 

PROP. XIV. Problema. 

í» */ tñMiitlt eMiqtungido dados Us ladts , y A angOé cíMs 

frehendido entre ellas , hMat Us /emks 

ángulos, (fe. ij. ) 

EN el triangulo ABC fe fupoiie conocido el ángulo A, 
, ^« JO- g"d- 4- «n«n. el lado CA 590. pies ; y AB joo. 
y le buícan los ángulos B, y C. operdcion. HaUéfe eí comr 
plemento del ángulo conocido A á 180. erad, y feri 140. 
grad. 56. min. y tanto ferá la fuma de los otros ángulos B, 
y C ; y la femiíuma fera 74. gr. j8. rain. Sumenfe los lados 
conocidos CA, AB, y ferá h fuma 890. pies : reftefe el 1*. 
do menor AB del maydr AC,y ferá la diferencia 290. pies: 
y diípongafe ( n. ) la fíguiente proporción. 

Como la fuma de los lados «90. C.L. 7.0506100. 

i la Merencade los mtfmos , 2,0. 2.462*080. 

«fstU tang.de la fefnt fuma ^^ 

i ¿ilJTtr^ -^ v' . 74-gr.j8.in. 10.5709379. 

ala taHg.delajemukfer.de 

/a/ iwiyjwí 4»g. B, y c, fo.gr. jo.m. 10.0839459. 

Es pues la femidiferencia de los ángulos B, y C. <o.er. 
30. min. que añadida á la femifuma d? los miíbos 74. gr. 

tada de la müma femifuma, da el ángulo C de 24. gr. 28. 
min. y queda hecha la refolucion. v. uc -4. gr. 20. 

PROP. XV. Problema. 

S» el triangulo obliipmgéo , dados hr tres lados , baü» qual^ 

m»* ángulo, (^fig. 16.) 

SEa el triangulo ABC, cuyos tres lados fe fuponcii co- 
lus a" gú£' ''^^' P'" ' ^ ^'^' y ^ ^S^^Pidenfc 

5 .„"!í'"^r'* .S"P°"g''í'e , que el lado mayor CA, es la bafa, 
á quien fe tira la perpendicular BE; conque qu¿lará dicho 

1 -.„:_-_ 



man- 



Libro Itl, ét 

triangulo dividido en dos triángulos redangulos. Sumen- 
fe los dos lados BQ y BA, y íerá la fuma 1497. ^bíe e| 
4ado BC del lado BA, y (era la diferencia 2 5 3,y íe difpon* 
drá la proporción íiguiente, fundada en la prop. iz. 

Como ACy 1277 CL. 6.S6iSó^u 

k la fuma de AB^ j BC^ 1497 5.i7y22i8. 

dfsi la difcfeníia de AB ^ y BC^ 233 2.3673559. 

d ADy diferencia de los feffnem — « 

AEy £C, 273 24363868, 

Hecho efto , (i la diferencia AD 273* íe reila de AC 
1277. quedará DC 1004. cuya mitad 502. es CE, ó EDj y 
Añadida á AD , (era el íegmento £A 775. 

Conque en el triangulo rcótangulo AB£ , tenemos ya 
conocida la hipotenufa AB 8^5. y el lado A£ 775. lue- 
go por la pfopof» 5. (e hallará el ángulo AB£ ^3« gr. 38. 
min. y el ángulo A 26. gr. 22. min. Aísimifmo en el trian- 
gulo redangulo BEC, tenemos conocida la hipotenufa BC 
652. y el lado CE 502. luego por la dicha propof. 5. fe ha- 
llará el ángulo CBE 52.gr. 35. min. y el ángulo C 37. gr. 
25. min. Sumenfe ultiman^eiue los ángulos ABE, y CBE, 
y la fuma 1 16. gr. 13. min. ferá el valor del ángulo ABC, 
y queda todo conocido. 

Modo 2. Sumenfe los tres lados , y de la íemifuma rcC^ 
tenfe los lados contérminos al ángulo que fe bufea , cada 
uno de por sí, y guardenfe las diferencias halladas, y fe fi>r« 
mará e(ta proporción. 

Como el produSo de los lados contérminos del ángulo quefo 
bufca^ 

alproduSo de las diferencias bMladasi 

afsi ti quadrado del radioj 

al quadrado delfeno de la mtad del ángulo que fe bufia. 

Para hallar el logarithmo del primer termino , o pro¿ 
¿M&o de los lados contérminos , le han de fumar los loga- 
rithmos de dichos lados , y la (urna ferá el logarithmo de 
^ prodtt^ s ( cmeH^ $• \A. 2.) y porque en lugar de efte 

lo- 



6% TrAT. VII. Dfi LA Tltl&ONOMBTRIA. 

logarithmo dei produdo , ufamos de fíi complemento lb« 
garithmico ( aue es lo mifmo que la fuma de los comple- 
mentos logarithmicos de cada lado ) baftará , para mayor 
brevedad , efcrivir los dos dichos complementos en lugar 
del termino primero. Defpues de ello ie efcrivirán los lo- 
garíthmos de las diferencias halladas , porque ambos jun- 
tos fon el logarithmo del termino (egundo ; efto es , del 
produdo de las diferencias. Defpues fe havia de eícrivir el 
logarithmo duplicado del radio , que ( 14. 2.) es ei loga^ 
riinmo de fu quadrado; pero por haveríe pueíto en el pri- 
mer termino los dos complementos logaritnmicos^ya no es 
nieneller,por ha verfe añadido en cada uno de ellos una vez 
el logaritnmo del radio. Sumenfe todos los dichos loga- 
rithmos fin quitar el radio de la fuma,por haveríe omitido 
ya en el tercer termino;y la mitad de la fuma ferá el loga- 
rithmo de la mitad del ángulo que íebufca.Toda efta ope- 
ración (e ve en la íiguiente refolucion del triangulo ABC 

Lado AC 1-77* 

Lddo AB 865. 

LadoBC ¿32. 

Sunta de los Udos. ^774* 

Simifuma de los lados. . ^ 3 ^7* 

Diferencia de la femtfumay j AB. 522. 

Diferencia de la femtfuma , jf BC. 75 J. 

Logarithtmsm 

Lado AB. 86$. CL. 7.o625>839. 

Lado BC. 652. C.L. 7.1992829. 

IHfer.de AB. 522, 2.717670J. 

Difer. de BC. 75 J. 2.8779469. 

Suma. 19.8578842! 

Semifuma. 9.9289421. 

Efta femifuma es el logarithmo del feno de j8. grad. 
6. min. y medio , mitad del ángulo ABC : y fu duplo 116^ 
grad. 15. min* es el ángulo ABC que fe bufca. 

Efte fegundo hkxIo de reíblver es de Adriano ülac, cu- 
ya pradica es un facil^quanto difícukofa fu demonftracioñ; 

y 



Libro Itl. 6^ 

y el P. Dechales en el lib. i. de U rrigummtu \ lo ultimo 
4e la pof. 2 o. dice : Demmftrati&nem áutem bujus praxis fátis 
cUfátn adhiu non invenL £fto no chitante , intentaré de» 
monftrarle , añadiendo antes el lema figuiente* 

LEMA. 

En quálqiúera triangulo fin proporcionales : el reñanguh becb^ 

de los lados , que comprehenden un ángulo , al reSangulo hcch$ 

de la femifuma de la bafa , j diferencia de los lados ;jaela fimi- 

difeirencia que hay entre la bafa y y la diferencia de los lados: afsi 

el quadrado del radio , al quadrado del feno de la mi- 

. tad del ángulo comprehendido de dichos 

lados, (fig. 17. ) 

Explicación* Sea el triangulo b AC ; y de(He a, como cen- 
tro., con la diftancia ab , hagafe un arco , que cortara 
al lado ac en m, y ferá am igual á ah ; y por configuiente, 
íerá me la diferencia de los lados ah , ac ; y tomando en, 
igual á cm, (era bn la diferencia que hay entre la hala hc,y 
nc, diferencia de los lados : córtele la bn por medio en d,y 
ferá nd la femidiferencia que hay entre la bafa,y la diferen- 
cia de los lados;y añadiendo efta (emidiferencia dn á la par* 
te menor nc, reliihará la de femifuma de toda la hafa hc,y 
de nc diferencia de los lados; y porque ah, am,íbn iguales, 
,tirada la perpendicular ap, quedará dividido el ángulo a, y 
la reóla bm en dos partes iguales : y haviendofe deícrito el 
arco bm , con la diílancia ab, ferá ab el radio , y hp feno 
del ángulo bap , mitad del ángulo a. Digo pues , que el 
refiangulo hecho de ha, ac, al re&angulo hecho de bd, de, 
ib há como el quadrado del radio ab , al quadrado de bp, 
10 del ángulo bap.Para mayor brcvedad,y claridad ufaré 
^as abreviaciones, poniendo R. por redangulo, Q^ por 
quaoifi^o , y de los íignos -«-y — 

Derfíbe^firacion. El Q;^bc-^Q^ba -h- Q^ác -í- !• R. cao. 
(i2.z.£ucL) Y íiendo am^^ba, fe fubfticuirá en la igua- 
lación (bbredicha ( que es la primera en el mapa figuiente ) 
el quadrado de am , en lugar del quadrado de ba ; y faldrí 
ia igualación del numer.x. Yüendo (7.2.£ucL) el Q^am ^ 



($4 Trat. VII. De xa Trigonometría. 
Q^ ac «^ 1. R. caní ^ Q^mc ; fubftituyendo los z. R. cam 
M* Q^mc, en la igualación del num, i. en lugar del Q^am 
^ (^ac , refultani la igualación del num. 3. á mas de mo^ 
1. R. cam -f z. R. cao «^ i. R. ca, om : porque un re&ang. 
de ca, am^ otro de ca» ao juntos , componen un reclangu^ 
lo , cuya altura es ca ; y fu bafa es la linea compueíla de 
am» ao, que es om : luego los dos hacen un re&angulo de 
ca , oni : luego z. R. cam ^ i. R. cao «^ 2; R. ca , óm» 
Subftituyen(K) fueren la igualación del num. 5. ios 2. R« 
ca, om, en lugar de los 2. R. cam ^ 2. R. cao, reíiiltará la 
igualación dd num. 4. que es C^bc «^ 2. R. ca , om ^ Q^ 
me. 

Num. I. (^bc-^QJxi -4- Q¿ac -^ 2« R. cao, 
am<^ba. • 

Num. 2.Q^*^Q^am ^ C^ac -^ z.R.cao, 
Q^am -H. Q¿aC'^2.R.cam -+ (^mc. 

N«». 5. Q¿K-^2.R.cam -1- Q¿nc -+ 2. R. cao, 
2.R.cam ^ 2.R.cao-n. 2.R.ca, om. 

Vum. 4. Q;^bc *0- 2. R. ca, om -^ C^mc. 



Es pues confiante , que el C^bc es igual i i. R. ca, om, 
H- Q¿mc : luego el Q^ be — Q^^mc , es igual a 2. R. ca, om: 
y íieiido ( 8.2.Hucl.) el Q^de toda la be, igual á 4.R. de cd, 
db ( ü de cd,nd, que es lo mifmo) ^ al C^nc, que también 
es lo mifmo que me , ferá el Q^ de toda be — Q^^nc. -^ 4. 
R. cd, db : luego 2.R. ca, om, ion iguales á los 4. R. cd,db: 
luego medio rcdangulo de ca, om es igual á un redanguio 
de cd, db. 

Eño probado , paflb á demonftrar , que el redangulo 
de los lacios ab, ac, al redangulo cdb, hecho de cd, femifu- 
ma de la bafa, y diferencia de los lados , y bd (emidiferen- 
cia de la bafa, y diferencia de los lados , tiene Ja razón que 
el quadrado del radio ab,a| quadrado de bp, feno de la mi* 
tad del ángulo a. 

El quadrado de ab, y el redangulo de ab, om^ por te- \ 
titr una mifma altura ab, fe han(i.6.£ucl.) como fus baías 
ab , om. Afsímifmo el redangulo de ab , ac , al redanguid 
de aC) on^ por tener la miíma altura ac, fe há como la ba^ 

ía 



Libro IIL 6f^ 

la ab,á la bafa om: luego lami^iBa razón tiene el quadradp 
de ab, al redangulo ab, om, que tiene el rediangulo ab, ac, 
al redangulo ac,om,(upuefto q entrambas razones ion igua- 
les a la de ab a om: luego el quadrado ab , á la mitad del 
redangulo ab, om/e ha como el redangulo ab, ac,á la mi^ 
tad del redangulo ac,om, la otial mitad,como arriba dixe^ 
es. el redangulo hecho de cd, ab. 

Siendo pues los triángulos bom, apm equiángulos, por 
tener los ángulos o, y p redos, y el ángulo m comun,íeráii 
proporcionales (8.60 am, á mp, o íii igual bp, como bm k 
mo: luego am a bp, le ha cook) la mitad de bm; efto es, co- 
mo bp , a la mitad.de mo : luego (17.6. fiuclid.) el redan-- 
§ulo de am, ó ba , y de la mitad de om , es igual al qua-» 
rado de bp. Y íiendo el mifmo redangulo el que fe hace 
de ab , y de la mitad de om , que el que íe hace de om, y 
k mitad de ab ; (era el redangulo de la mitad de ab , y 
de toda la om , igual al quadrado de bp : y haviendo pro^ 
bad^, que el quadrado de ab tietíe la mifma razón con la 
ijnitad del redangulo de ab , om , que hay del redangulo 
de ab, ac , á la mitad del redangulo de ac, om ; taml>ien 
havrá la mifma razón del quadrado de ab , al cuadrado do 
bp, que hay del redangulo ab, ac , á la mitad del cedan:* 
guío de ac, om ; la qual mitad diximos fer igual al redaiv 
£ulo cdb: luego ion proporcionales. 

Como el reSangéilú éA^AC^ieUs Ud$s qu$ cvmfrebendm d 
ángulo 4, • 
' di reSanguh cdb de la fiimdy j femú^erencia fobredichas^ 
■ afsi el quadrado del radie aby 
al quadrado de bp^fenodel ángulo bap^ mitad del ángulo bac» 

DEMDNSTRACION, 

Del mdo 1. de refolver un triangfdoy dados foUmunufiu 

traslados. 

DE la mifina pradica de efte tnoio 2. arriba, pueftojí 
confta , que para (u evidencia , folo^s meneiter de* 
monftrar la proporción que alli íe pu(b,como fundamenta 
,4e toda la operación, qi;e es la íiguieme* 

TomolU. & €«- 



46 Trat.VILD» LA Trigonometría. 

■ctH»€lpr0dHa»y b na^ugulo de los lados mtermms d án- 

■ élÜíao {\naMgdo de Us diferencias que hay entre (odx 
\m de dichos lados, y lafemifma de los tres; 
MÚi el auadrado del rádtOy /. , >. 

¿ipuiado del feno de la mitad del ángulo que fe bufca. 

Demucftrafe puesefta proporción en kfoiS. donde 
fe vedSo trwngulo ABC , que fe refolvió,en el qual, 
deferid dSrculo cSej -d»o BC q^ es ^ Ij^J-ng 

^l^';yCK)ferál»fe¿ufama, Éfto fupuefto por- 
de tos '«'O*' y^ 1 tres lados íc compone de lastres 
*!"* ^1 /5??S hdí fi deettafemifuma fe qSita el UdoBC. 
HÍSÍ^S&W la mitad de CA, y la -ud 

á^£tiatsi?AS rsLSit»»f ¿^ 

•! i jl AH ^AO fe fieue, que reliando de bfemifuma 

X'íííes^tS dhdo fié, él refiduoes la feqiibafa, y fe- 
de los tres bdw ei«»o , ^ femiluma 

'tt^y^^^^^^'^'^V 1-góla diterenda 
ufuÁ. Lr ella reela, « la femUuma de la bafa , y de 
ÍJlifeSaSe to laS De lamifma fuerte probaré, que 
i iS^ffetíocia <i». es la femidiferencu que hay entre 
laSfa lc,7A?/diferenc¡a délos lados : luego el reétan- 
lulo hecho ^elasdiferencias 755.J 5"- fegun dicha re- 
f U es d reaaneulo hecho delaíemifuma de la bafa, y di- 
ISn^ia deVAos . y de la femidiferencu» que hay entre 
la bafa v la diferencia de los lados. • w 

Sieníopues por el lema antecedente proporcionales, 
como elrXguío de los lados , al redangulo de la femx- 
fum V femiíifbrencia Ibbredichas ; aísi el quadrado del 
rS' I Sdrado del feno de la mitad del ángulo , aue fe 
Sa -feíán también proporcionales , el reétangulo de los 
tódos ¿omermmos, al aUo que fe bufca aj «ct-gik,^ 
iT^ A' c^^^^r\fx^ Áe rada Udo , v la íemiíuma de los tres . co- 



Li3Ro III. , 0y 

del an guio que íe bufca , que es el único fundamemo del 
ibbredlcho mod» i. de rdTolver. 

PROP. XYI. Problema. 

Sif elírmffUo Mquanguloy dados los émgulosyj un ladoy ballaf 
^ otro qualquiera lado. ( J^. 19. ) 

EN él triángulo ABC, fe fupoñen conocidos los angtiloi 
B5o.grad. i5.min.y C 35* gr. lo.min. y el lado 
CA 448. {>ies. Pideíé d lado AB, 

Proporción^ frop. 1 • Logarithmsm 

Corno el fenodet angfdoVy 5o.gr«ij[«min#: C.L» o« 1 141 éze^ 
di lado oPueflo CA\ ' 448. ^ 2.6 j i z78o« 

Afsi el fino delangukCy 3 ypfktó^xsiiáJ ^•7^2^1775* 

4/ /4áa iíí«f/?a ilB. 537. .. . . T.p^SÍSyt 

Déla miíma fuerte fe hallará el lado 6C, formando la 

E'ropórcioo ^ti efta forma : Chorno el íeno del ángulo B ^ ^ 
do opuefto CA i afsi el feno del ángulo A , aliado opues- 
to BC. 

V PROP- XVn* Problema. 

■ 

Hááos dos lados y j el ángulo intermedio , baüar el mut 

lado, (jíg.ij.) 

EN el triangulo obliquaogulo ABC y el ángulo A es de 
61. gr. 16* min. el lado AC 400. pies ; y el lado AB 
joo. Pidele el lado BC. 

. Operación* Hallefe primeramente el ángulo B^ (14O XP^'f 
la antec^ente íe hallajrá el lado BC. 

PROP. XVIII. Problema. 

3n el triangulo obliquanguloy dadof dos ladosy j uno de los ángulos 

ofuefiosy hallar el otro lado, ifig^i^) 






N el triangulo ABC, dados los lados BA, AQ y el an^ 
guio B, le pide el lado BC, 

Ra . Ofe^ 



é% TrAT.VII. De tATMCONOMETltlA. ' 

Óftrs$m. Hálkfeprímetoelangulo A, (i3.)yfebalbri 
el lado BCpor lafr^^. i6. diciendo: Conaoel (eno delata 

Ello B , al lado opuefto AC; afsi el (eno del ángulo A> al 
do opuefto BC 

LIBRO IV. 

ISAGÓGICO PARA LA RESOLU- 
cioa de los triángulos esféricos^ o 

curvilíneos. 

I 

•v 

Esta parte de Trigonoinetria , llamada tifírick > d 
' cUrfiUnea ^ es de grande utilidad en la Mathema*- 
tica , íingularmoite para los tratados de Esfera^ 
Geograpnia, Ndüti¿a, Homlogiógraphia , y AC- 
tronomiar (u empleo es únicamente la anaiiii , 6 reíblu- 
cion de los' triángulos curvilincós csfiyricos, íbrmatkíi ea 
la luperficie de una esfera con tres arcos de circulo máxi- 
mo : de que fe íigue , que ni el triangulo formado en una 
fiíperfície plana con tres arcos de circulo ^ ni el deícrito en 
una fiíperncie eáerica con tres arcosde circuios menores^ 
fon objeto^ de efta Trigonometria. Para fu inteligencia es 
meueííer la noticia de algunos theoremas elementares de la 
esfera, que demonftraré en efte libro , para que no tenga 
necefiidad el ledor de recurrir á los esiericos de Theodo- 
j(io , y Menelao. 

DEFINICIONES. 

1 /"Circulo máximo en la esfera es aquel y cuyo f laño fajja pút 
V^ rf c^^tfo de la esfera. Y por coníiguient© , d cen- 
tro de efte circulo es el ttufino centro de ¿esfera i y eX 

dia- 



EriRo IV. , T 

diámetro del circulo máximo es también diámetro de laí 
esfera : y como el diámetro (ea la mayor linea re£ía.queíe 
puede acomodar dentro de la esfera , el circulo oue tiene 
eífe miímo diametro,es el mayor de los que puede naveren 
la esfera, aunque puede tener infinitos iguales; y por eíTo (e 
llama circulo máximo ; á diftincion de otros circuios, que 
liendo fu diametrcJ menor que el dé la esfera , neceflaria- 
mente han de íer menores ; y tanto menores , quanto mas 
íe apartan fus planos^ del centro de la esfera. . ' 

2 Polos di un emulo máximo^ fon aquellos pimtos pueftos en U 
fuperficie de la esfera, que diflan 'igualmente de los puntos de la fe-- 
riferia de dicho circulo ; y por confíguiente, todos los arcos 
de circulo máximo comprehendidos entre qualquiera de 
los polos , y la circunferencia del circuló íbbredicho ion 
iguales, y de 90. gn. como en la fig. 20. El circulo AECF A 
es máximo , por pallar fií plano por el centro G de la esfe* 
ra; y los puntos B, y D ion fiís polo^porque los arcos BA, 
BE, BC, BF, como también D A , DE , DC • DF fon qua- 
drantes de circuios máximos , que confian de ^o. grao, y 
por coníiguiente fon iguales. De que fe figue , que quaí- 
quiera circulo máximo divide la esfera en dos partes igua* 
les, llamadas emi^ferM/. 

3 An^lo esfericoyes el que fe forma en la fuperfiáie de la esfera 
ton dos arcos Íe circulo máximo. Efle ángulo es igual al efe la 
inclinación de los .planos de los circuios fobredichos ; y fu 
medida es el arco de otro circulo máximo intercepto en- 
tre ellos,que tiene fu polo en el concurfb, ó punto angular. 
Cómbenla fe. 20. BAEésun ángulo esférico formado 
de los arcos BA , EA , que lo fon de los circuios máximos 
ABCD, AECF , cuyos planos tienen por feccion común la 
linea , ó diámetro AC. Del mifmo* centro G falgan dos 
perpendiculares a la mifma AC, cada una en el plano de fu 
circulo, eftoes, GB en el plano del circulo ABCD, y GE, 

. en el plano del circulo AECF , y íerá el ángulo esférico 
BAE, igual al ángulo re(3ilineoEGE, y de tantos gradoj 

auantos tiene el arco BE , cuyo polo es el punto A > ó C 
el concurfo de dichos circuios. 

4 Losfenos, tangentes, yíecantes de loj ángulos eí^ 

fe- 



yo Trat.VII.15i t a Taiconomitria; 

feríeos 9 (bn las iDÍTmas que en los redilineos;{blo cpielór 
íenos cAán incluidos dentro de la esfera; y aísi , qualquiera 
radío, como £G, es el íeno total , üdel quadrante A£: j 
la red:a HI, perpendicular al radío G£, es el íeno redo dd 
arco JLE 9 y aísi de los demás. 

CAPITULO 1. 

DE LAS TROPIEDADES DE LOS CÍRCULOS MÁXIMOS, 

y ánffá$s esféricos* 

* 

PROP.I. Theorema. 
Des árenlos máximos fe cortan en dos partes iguales, (fig. 20. ) 

LQs dos circuios máximos ABCD, AECF, fe cortan en 
los puntos A , y C Digo, que ABC, CD A , como 
también A£C, CFA, ion femicirculos. 

Demonftri Por eiUr el centro G en d plano de los dos cír- 
culos fobredichos, ( defin.i. ) neceílariamente efta en la co* 
mun feccion AC de fus planos: luego G es centro común de 
entrambos circuios : luego la reda AGC , que pafla por el 
centro, ferá diámetro; y ABC, ABC, &c* (emidrculos. 

PROP. 11. Theorema. 

los árculos máximos que fe cortan , hacen los dos ángulos vecinos^ 

h reSos , h iguales a dos reSos. 
(pg. 20. ) 

LOs drcufos ABCD , AECF, íé cortan én A , y forman 
. los ángulos vecinos BAE, £AD. Digo ¿ que eftos dos 
aiigulos, ó Ion redes, ó juntos , ion tanto como dos redos. 
Demonjlr. Los fobredichos ángulos (bn muúes ( dejin. }. ) 
á los ángulos redilineos BGE,£GD;pero eftos,(i ^ .i.EucL) 
ó (bn redos, ó tanto como dos redos : luego también los 
ángulos BAE, £AD. 



llBRO IV. 7Í 

COROLARIO. 

DE aqui fe Jigüe , que tedos los ángulos que forman hs átci^ 
los mdx'mos enmoie losfuntosen que fe cortan , fontana 
to como quatro reSos. 

PROP. m. Thcorema. 
los ángulos esféricos , verttcabnente ofüeftos y fon iguales, t 

Lifig.io.) 
Os ángulos B AE , FAD , fon verticalmente opucítos.' 
Digo, que ion iguales. Demonfir. El ángulo BAE , es 
igual al ángulo reóülineo BGE; y el ángulo FAD, al angu^ 
lo FGD ; pero éftos ( 15. !• Eucí. ) fon iguales: luego tam- 
bién aquellos. 

PROP. IV. Theorema. 

Los ángulos opuejlosj que dijlan entre si todo kn fmkirculoy 

fon iguales. ( pg. 20. ) 

LOs ángulos BAE, BCE, diftan entre si todo el íemícír- 
culo ABC. Digo, que fon iguales , porque entrambos 
lo fon al mifmo ángulo redüineo BGE , y por configuien- 
te lo han de fer entre á. 

PROP. V. Thcoremt. 

M ángulo que forman dos circuios máximos , es igual ilaái^an^ 
ciade fus polos ^-jf al contrario* (jig.zi.) 

Ean los circuios máximos LSM , LQM , cuyos polos 
^ fon los puntos P, y O , y el ángulo esférico que forman 
es SLQ, cuya medida es el arco SCJ Digo, que efte arco es 
igual al arco OP, que es la diíbncia de fus polos. 

Demonftr. El quadrante OQ^ comprehendido entre O, 
polo del circulo LQM , y fu circunferencia,es igual al qua- 
drante PS, comprehendido entre P, polo del circulo LSM, 
y fu circunferencia : luego , quitando el arco OS , que es 
común á entrambos, quedará el arco SQ^ iguala PO, diC» 
tancia de los polos. 

PROP. 



s 



♦ 



jjfy yRAT.VII,0EI.ATlllGp>IOMETll¿JIÍ|- . 

« 

PROP. VI. Theorema. 

H (iródú nuiámoyque pajj4 por los polos de otro circulo máximo^ 
tiene en e^efus polos , j hace con él angtúos re^s ; y 

a/ contrario. ( jíg. 2 1 • ) 

SEa el circulo LQMV , cuyo polo es O , por el qual paC- 
ía el circulo VOQ^, aunque en la figura fe repreÍ9nta 
.con linea reda, Digo,que el polo delcirculo yOQ,necef- 
fariamente eftá en el circulo LQ^d V ; y Que los ángulos qae 
fe íbrmanen las interíecciones V, y Q^ fon redos. Divida- 
fe el femicirculo VLQ^, por medio en L, y defcrivafe por L 
el circulo máximo LOM. 

Demonftr. Elarco OL, comprehehdido entre el polo O, 
y la circunferenciadel circulo VLQNl,es quadrante; ( áefi». 
2. ) y fiendo por conítruccion LU, LQ^, quadrantes iguales, 
fera JL polo del circulo UOQ^, el qual punto L , eftá en la 
circunferencia ÜLQ, También fiendo L polo del circiüo 
VOQ^y 0,polo del VLQ^^feráLOladiítanciade fus po- 
los; y fiendo éfta igual al ángulo LVO, (5.) que forman 
dichos circuios , la qual diftancia es quadrante , ferá el án- 
gulo LVO, redo: lo mifmodiréde LQO,QN40, MVO. 

Al contrario, fi los ángulos en V , y Q^^ ion redos , la 
diftancia LO de fus polos lera de 90. gr. luego el circulo 
VOQ^, paflará por el punto O , que es polo del circulo 
VLQj y elle paflari por el punto L, polo de VOQ. 

COROLARIOS. 

% 

I Tr\H lo dicho fe infiere^ que foto aquel arco de circulo maxi- 

1 J mo puede fer perpendicular a un otro circulo que paffa por 
los polos de ejhy porque fiendo perpendicular el uno al otro , han dé 
tener en si mutuamente fus polos : luego el que no paffa por los po- 
los y no puede fer perpendicula^r, 

2 Si por un punto difiinto del polo de un circulo , fe defcriven 
diferentes circuios máximos^ folo aquel fera perpendicular a dicho 
circuloy quepajfaraforfu polo. 

3 El perpendiculo que defciende a un arcOy de un punto que 
no es polo de dicho arcoy o es majoty i menor que quadrante , como 






L I B R o IV; 7 J. 

fi ye en Ufig. xi* ionde el perpendUulo PVj que baxa del funta 
P, MitU9 &l fob O , es menor que el quadrante OV^ ] el fet-; 
femiaukfQ^ estnajitrque el quadrante OQ^ 

CAPITULO 11. 

DE LAS TROPIBDADES DE LOS TEIAÑGVLOS 

esféricos en común. / ' 

TRiangulo esférico , como ya dixe , es el que en la fu» 
perhcie de la esfera forman tres arcos de circulo má- 
ximo : fus eipecies tienen la mifma denominación que los 
triángulos planos redilineos ; etto es , el que tiene un anjgu- 
lo recto, fe llama reSangulo ; el que un ángulo obtuío^ obtw- 
fangulo y y el que tiene los tres ángulos agudos,fe llama acu^ 
tangulo. Afsimifind , íi tiene tres lados iguales , íe llam4 
equilátero ; íi dos iguales , iíoceUs ; íi los tres fon deíiguales, 
efcáUno ; y el que no fíendo redangulo tuviere á lo menos 
un lado que íea quaxlrante , íe llama quádrántd. 

PROP.Vn. Thcorema* 

Qualquierd lado de un triangulo esférico , es menor que el 

femicirculo.(fig. zz.) 

S£a el triangulo esférico ABC. Digo , que qualquier h^ 
do fuyo es menor que el femicirculo. 
Demonítr. Continúenle AB , AC , hafta que concurran en 
D, y feran (i.) íos arcos ABD, ACD femicirculos : lue- 
go tanto AB,como AC, fon menores que el femicirculo.Lo 
ífüímo íe demonftrará de BC. 

PROP. Vin. Theorema. 

Qualefquiera dos lados de un triangulo esférico fon madores 

que el otro. ( pg. zz. ) 

Emueílraíe como hprop. lo. del/¿¿.'i. de la Geom. 
Elem. porque la diitancia mas breve que hay en la 

fu- 



D 



74 Trat.VII. De i a TwGONoViETinA. 
iuperfíde de la esfera del punto A , al punto C , es el arco 
AC de circulo máximo : luego otra qualquiera ABC , es 
mayor : luego eílos dos lados juntos fon mayores que AC. 

PROP. IX. Theorema. 

Jn qudqmetá triángulo esférico ^ los tres lados jumos fin fnen9* 

res que un circulo entero. ( fig. ii.) 

Digo, que en el triangulo ABC 9 los tres lados juntos 
ion menores que un circulo entero : continuenfe los 
lados AB, AC , hafta que concurran en D. 

Demonftr. Por la antecedente en el triangulo BDC , los 
dos lados BD , CD juntos , (bn mayores que BC : lu^ 
ABD, ACD, ion mayores que AB,AC,BC;y ííendo ABD^ 
ACD íemicirculosjíerán los dos íemicirculos mayores que 
los tres lados (bbredichps : luego eftos ion menores que un 
circulo entero. ^ 

PROP. X. Theorema. 

Si dos triángulos esféricos tienen entre si los tres lados uno.por ung 

iguales jo tienen dos lados iguales , j el ángulo compthendido en 

los dichos lados también igual , los triángulos feran 

totalmente iguales. 
T^Emueftraíe como las frof opciones 4. j 8. del hh. 1. 
L/ déla Geim. Elem. y afsi, no es menefter repetir la de- 
monftracion. 

PROP. XI. Theorema. 

tos triángulos esféricos y cujos tres ángulos del uno fueren de fot 

si iguales a los tres del otro , tendrán tainbien los lados 

mutuamente iguales, (fig. 25. ) 

• 

EN éftas , y otras propoCciones íemejantes , íe (uponelí 
formados los triángulos en una mifma , ó igual esfera. 
Supongamos pues, que los triángulos ABC, D£F , tienen 
entre si los ángulos iguales ; eílo es , B igual á £ ; A iguala 
D ; y C á F. Digo, que también los h£x del uno ion igua- 
les í los del otro. 

De- 



Libro IV. yf 

' íkmonfir. Por (cr el ángulo D igual al ángulo A , fobre-* 
pueftoá élie,(e ajuftará con él; y por conliguiente el la- 
do DE caerá fobre AB ; y el lado DF , fobre AC : efto fu- 
pueftojó entrambos lados DE, DF, fe ajuftan (obre los AB, 
ÁC, de fuerte, que el punto E cay ga fobre B, y el punto F, 
fobre C ;y en efte cafo también la bafa EF fe ajuftaria fo- 
bre BC , y quedava probada la igualdad^de los tres lados 
del uno, a los tres del otro que le pretende , ó alguno de 
los dichos lados fe ajufta en la forma dicha , ó ninguno de 
ellos. 

I Supongamos , que el lado DE es mas corto queAB; 
y aísi, que el punto E cayga fobre H,ajullandofeDF fobre 
AC, tirefe el arco HC. Los triángulos HAC, EDF, por te- 
ner los lados AH,AC iguales á los lados DE , DF ; y el an- 
guio comprehendido A, igual áD , (lo.) fon del toao iguar 
;s : lue^o el ángulo ACH , es igual al ángulo F : luego 
también ler^ igual al ángulo ACB , que fe fíipone igual á F, 
la parte al todo que es impoisible: luego el punto £ ño pue- 
de venir fobre H , ni fobre otro punto entre A , y B. 

2 SUpongafe , que el lado D¿ fea mayor que AB, y que 
el punto £ cayga fobre I , cayendo el punto F fobre Q: 
tirefe el arco IC; fegun efta fupoficion, los triángulos I AC, 
EDF, tienen los lados AI , AC , iguales á los DE , DF ; y- 
el ángulo A , igual á D : luego fon totalmente iguales , y 
el ángulo ACI ftrá igual al ángulo F; y fiendo por iupoficion 
ACb igual á F, ferá ACI igual al ángulo ACB , el todo á la 

Earte que es impofsible : mego también lo es , que el lado 
>E fea mayor que AB. 
3 Supongamos , que los dos^ lados DE , DF fean mas 
cortos que AB , y AC ; y afsi , qu e hecha la fuperpoCcion, 
venga el punto É en H , y F en L : tirefe el lado HL : en 
cftecafocftrianguloHAL feria también totalmente igual 
al triangulo EDF , por tener los lados AH , AL , iguales á 
los DE, DF; y el ángulo A,¡gual i D: luego el ángulo AHL 
es igual á E, y ALH, á F; y por configuiente AHL es igual 
á B, y ALH á ACB, lo que es impofsible , porque para eC- 
fo era menefter ílieífen los lados HL, BC paralelos , lo que 
no puede fer por fer arcos de circuios máximos , que ne- 

cef- 



/ 

7? Trat. Vn, Dé la Thíocnometria; 

celTaríainenté ( i.) fe cortan : luego los lados DE , DF no 
pueden fer mas cortos que ios A6 , AC* Lo mifino (e de« 
inonftraria, íi (e díxeiTe , que eran mas largos : luego ni en- 
trambos , ni ninguno de ellos pueden fer mayores , ni me^ 
llores : luego los tres del un triangulo fe ajulUn a los tre» 
del otro : luego fon iguales. 

PROP. Xn. Theorema* 

I 

Si dos triángulos esféricos tienen dos ángulos del uno iguáUs ^ 

dos del otro ; j el lado adyacente a effos ángulos también 

igual , los triángulos [era tot alíñente 

iguales, {pg. 11*) 

LOs triángulos ABC , DEF tienen los ángulos B , y ]l^ 
C, y F Iguales, como también los lados BC, EF adya- 
centes á dichos ángulos. Digo, que ion totalmente iguales. 
Demonfir. Si EF fe pone fobre BC fe ajuftarán por íer 
iguales ; y por fer iguales los ángulos F, y C , el lado FD, 
caerá fobre CA; y por la miíma razón ED caerá íbbre BA: 
luego el punto D caerá íbbre A , y todo el un triangulo íe 
djuitará (obre el otro : luego ion totalmente iguales, 

PROP. XIII. Theorcma. 

lEn el triangulo esférico l fóceles jios ángulos fobre la bafa fon tgua-- 

les 9 como también los que alargados los ladosyfe forman debax^ 

de ella, y Ji los ángulos fobre la bafa fon iguales ^ 

el triangulé es ifoceles* 

ESta propoGcion fe demuéílra como la 5. y 6, del lib. 
I. de la Geomet. Bjement. y afsi no es meneíler repetir 
la demonftra;ción ; intierefe de aqui , que el triangulo equi- 
látero es equiángulo. 

PROP. XIV. Theorema.. 

* 

£» el triangulo esférico al mayor ángulo , fe le opone mayor ladoi 
y al mayor lado y m^mr ángulo, (fg. 23.) 

EN el triangulo esférico HIL , el ángulo HLI es mayor 
que el ángulo I. Digo, que el lado IH, opuetto a di- 
cho 



' Libro JV» 77 

cho mayor ángulo , es mayor que el lado LH ^ opuefto al 

ángulo menor L Hagafe el ángulo ILK igual al ángulo I. 

Demottftr. Por fer los ángulos ILK^ y 1, iguales, lera el 

itriangulo LKI Hóceles, (ij-)y los lados ÍK, KL iguales; 

L añadiendo á entrambos el miímo KH , íerán los lado$ 
K , KH , iguales á IH ; pero LK, KH , ion mayores que 
HL : luego m es mayor que HL. También , fupuefto que 
IH fea mayor que HL , dig©, aue el ángulo ILH es mayof 
<]ue aporque m puede (er i^ual, ni menor; porque fi fuelle 
igual , los lados IH , HL íeríarhCij.) iguales,contra lo fu- 

{>uefto : ii fueife dicho ángulo- Ilii, menor que I , íería el 
ado IH menor que HL , íegun lo demonítrado, lo que es 
también contra lo (iipuelto : luego ILH es mayor que el 
ángulo I. 

PROP. XV. Theoreroa* 

Si dos triángulos eméticos tuvieren les doslades ¿el une iguales 2 

dos del otro , pero el ángulo comprehemUda de eftos la£s fuert 

mayor en el uno que en el otroj el que tuviere mayor ángulo , teth 

áfa fuaym hafa ; y al conttairio , el que tuviere mayor bafa^ 

tendrá mayor el ángulo fobredicbo. 

ESta propoficion fe demueftra como las 24. Jf 2 y. del 
lib. I • de la Geometr. Elementar; y afsi no repito la de-* 
inonftracion. 

PROP. XVL Theorema* 

I.n el triangulo esférico BAC (fig^i^^^fi los dos lados AB , BC 

juntos fon iguales al fennárculo; prolongada la bafa AC hafla D^ 

el angub externo BCD , fera igual al ai^ulo A interno , y > 

opuefio ; y los dos BCA ^y A^feran tanto como dos 

re&os ; y al contrario* 

D'Emonp. El arco ABD (i.) es íemicirculo: luego 
iiendo por fupoficion AB , BC iguales al íemicircu- 
lo , (eran iguales al arco ABD ; y quitando di arco A^ 
<|ue es común, quedarán BC , y BD ^ales : lu^ (8.) los 
^mgulos BCD, y D (bn iguales ; pero el aneulo i> es igu4 
al ángulo A : (4.) luego el ángulo atOAO vCD^ es igual al 

an- 



/ 



j$ Trat. vil De la Trigonometría. 
ángulo A ; y fiendo ( 2. ) BCA , y BCD , iguales i dof 
reaos , también BCA , y A íerán iguales á dos redos. 

Y al contrario , íi el ángulo BCX> fuere igual al ángu- 
lo A ; y por configuiente los ángulos BCA , y A fueren 
tanto como dos reaos, (eran los ángulos BCD, y D igua- 
les ; y por configuiente (i j.) los lados BD, BC íerán igua- 
les $ y ios AB , BC juntos , íerán tanto cosió un iemicir- 
culo. 

X Digo téimbienyque fi hs Udús ABjBCy fueren másqium fem^ 
circulo y el angub externo BCD , fera menos que el ángulo a ; y 
los ángulos [obre U báfa BCA , y A^ majoires que dos reüos \j éU 
contrario. -• 

Demonfir. Por fer AB , BC mas que íemicírculo , feriin 
mayores que ABD ; y quitando el común AB y quedará 
BC , mayor que BD : (14.) luego el ángulo D , opuefto al 
mayor lado , (era mayor que él ángulo BCD ; y (iendo el 
ángulo A, igual á D,feráel ángulo BCD menor que el án- 
gulo A ; y liendo BCA , y BCD iguales á dos reótos, (eran 
BCA , y A mayores que dos re¿tos. 

^ Y al contrario , fi BCD es paenor que el ángulo A > ó 
los' ángulos BCA , y A fueren mas que dos redos , íerá el 
ángulo BCD menor que D; y por coníiguiente el lado BC 
toiay or aue BD; y como ABD íea femicirculo, los dos AB^ 
BC y feran mas que femicirculo* 

Vltimamente , fi hs Iddos ABy BCyfin menos que un fmkixr 
culo y el ángulo exterm BCD feri mam que el Ángulo A; y los 
ángulos BCA , y Ayfobre U bafay ferm menos que un femicirculo: 
ydlcontrdrio* 

Demonfir. Siendo AB , BC menos que (emicircuio , íe- 
rán menos que el arco ABD : luego BC ferá menor que 
BD ; y el ángulo BCD lérá mayor que D , y por coníi- 
guiente mayor que, A : y como bCD , con BCA, haga dos 
redos , el ángulo A, con BCA y ferán menos que dos rec* 
tos. 

Y al contrario , Cendo el externo BCD mayor que el 
interno A , y por coníiguiente A , y BCA menos que dos 
redos , ferá el ángulo BCD mayor que el ángulo D : lue- 
go el arco BD , mayor que BC : luego AB , BC, ferán me- 

tü^e$ cm el feaúcirculo ABDt 

PROP. 



\ 



Libro IV. j^ 

PROP. XVII. Theorcma, 

Dos triángulos esféricos pueden tener dos ángulos iguales elunoát 

otro y cada uno a fu correfpondiente ; y un lado ofuejlo a (U^ 

cbos ángulos iguales , también igual ,j fer los trian-' 

guhs defiguales. (^fig.i^) 

SEa el triangulo OPQ^ cuyos dos lados OP , CX5 , íean 
iguales al lemicirculo ; y por coníiguiente , íea el án- 
gulo externo OQFL , ( i6. ) igual al ángulo P interno ,:/ 
opueíto, Tirefe el lado OR. 

Denwnftr. Los triángulos QRP , ORQ^ fon dcfiguales^ 
por fer éfte parte de aquel; pero eftos triángulos tienen los 
ángulos P, y OQBl iguales ; y el ángulo R común ; y tam-? 
bien el lado OR, opuetto á los dichos ángulos iguales P, y 
C)QR : luego los triángulos esféricos pueden tener mutua- 
mente dos ángulos iguales, y un lado opueíto á los ángulos 
correípondientes igual y y ler deíiguales. 

COROLARIO. 

DE aqui fe colige y que en los triángulos esféricos \ dados dos 
ángulos yj un lado ofueftoj puede haver ambigüedad en U 
tefolucion: porque fi en el cafo fobreJkho fe ftguiere la proporción^ 
que defpues aremos ; es afaberi Como Ajeno del ángulo OURy í 
Vy al feno del ángulo R ; afsi el feno del lado OEy al fino quartOy 
fer a eñe fenoy ajsí del lado OQ^ como de OPy complemento fuyo al 
femctrculoy por fer el feno de qualauier arcoy feno también de fu 
^implemento al femicirculo y como fe dixo en la deJin./^M. i. Epa 
amisuedad fe quitara fabiendo antes de que efpecie fea el lado 
opuefto al ángulo Ryfi ha de fer mam , h menor que el qua-^ 
ir ante > comQ confia de la propoficion Jíguiente. 



PROP. 



8o XR-at. yn. De tA Trigonometría; ^ 

KLOP. XVin. Theorema. 

Si dos triángulos esféricos tuvieren dos ángulos del uno iguales 2 
dos del otro , y un lado opuejlo auno de dichos ángulos igual al 
lado correffondiente en el otro y y el otro lado ofuefio al otro ángu- 
lo de los iguales afuere en entrambos de una rmfma efpecic^ 
fero ño Cuadrante j los triángulos feran del todo 

iguales. (Jig. 2J.) 

LOs triangules ABC , DEF, tienen los ángulos B , y E 
iguales, como también C, y F ; y el lado AC, igual á 
DF ; y los AB , DE , fon de una mifma efpecie , pero no 
quadrantes. Digo , que los triángulos ion del todo iguales; 
y fi no lo fon , fta ÉC mayor que EF : corteíc pues GC, 
igual á EF, y tirefe AG. 

Demmfir. Los triángulos AGC , DEF, tienen los lados 
CA , CG , iguales a DF,FE; y los ángulos C, y F, también 
Iguales: luego (lo.)fon totalmente iguales: luego.el an^ 
jgulo AGC, es igual á E3 y fiendo E, y B iguales, í&á AGC 
Igual á B : luego (i6.) AB,y AG, ó DE lii iguaJ,fon tanto 
como un femicirculo;y como fe fuponga no íer quadrantes^ 
fi AB es mayor que quadrante,DE ferá menor,y fi AB fue- 
re meríor,D£ ferá mayor, contra lo fupuefto,por fuponer- 
fe fer de una mifma eípecie : luego BC es igual á EF, y tcw» 
do el un triangulo al otro. 

PROP. XIX. Theorema. 

Si dos triángulos esféricos tienen entre si un ángulo ipdjj los dos 

lados y que comprehenden un otro ángulo^ fueren tanwien iguales i 

los dos que le comprehenden en el otro triangulo^ feran totalmente 

iguales ; con tal , que el tercer ángulo fea en entrañaos de 

una mifma efpecie ; pero no reno. 

EN los triángulos ABC, DEF, los ángulos B, y E, fe fu- 
ponen iguales; y los lados BC, EF ; CA, FD , también 
iguales ; y los ángulo A , y D , de una mifma eípecie , pero 
no x^&Q^ Digo , que todo lo demás es iguaU Y fi fe aixe* 



Limo IV. Si 

re que A6, es mayor que DE, cortefe BG, igual i DE,y ti- 
refc el arco CG. 

Demmjk. Los triángulos GBC, D0^, tienen los dos la* 
dosGB^BC, iguales á los dos DE» £F,v el ángulo B, igual 
á E : luego (lo.) (bn del todo iguales: luego los lados CG, 
DF, fon iguales ; pero DF , y AC, ft fuponian iguales : lúe- 
JO CG , y CA ferán iguales :• luego <i 5.) los ángulos A, y 
^GA fon iguales ; y fiendo CGA , y CGB iguales á doí 
redos , feráel ángulo CGB , ó D fu igual , y el ángulo A 
iguales á dos redos ; y como fe íiiponga no fer redos , fi A 
esf mas que r<edo,D lo fcrá menos; y al contrario: luego né* 
ferian de úoa mifma efpecie^ contra lo fupuefto. 

, - COROLARIO. 






DE aqui fe coü^^ que dados frecifámente dos Udos^y el dfh 
guio ofuejloá uno de dichos lados en el triangulo esferko^ 
no fe puede llegar a fu refolmion , for baver ambigüedad y fi que 
fer a tmñeflefjaber de que éffecié fea el tercer aríguk. \ 

PROP. XX. Theorema* 

£0 los triángulos esféricos ifoceles^ fi los lados fon quadrantesj Ih 

ángulos fme la íafa fon reños\fifon mayores que quadra^h- 

tes^ obtufos\j fi minores^ agudos^y al 'contra- 

rio. (fe.170 

SEa el triangulo ifoceles IHL« Digo lo primero , que fi 
los lados HI , HL , fon quadrantes , los ángulos I, L, 
ion rectos; porque íiendo quadrantes^fon entrambos juntos 
iguales á un femicirculo : luego (i6«) los ángulos I^ L , fon 
tanto como dos reétos ; y íiendo iguales , es forzofo feaix 
ángulos re¿tos : al contrario , íi los ángulos I, L fon redos, 
los lados HI, HL (6.) paíTan por el polo de la baía IL , que, 
is arco de circulo máximo : luego HI , HL ^ fon quadran** 
xcs» 

Digo lo fegundo, que (i los lados HI, HL, fon mayorei 

que el quadrante^ los ángulos I, L, fon obtufos » porque^ 

tn eftá lupo^ciofi ferki(i6«) los ángulos I,L, mayores ¿le 

dos redos ; y como feán iguales , es forzofo fean obtufo^ 

Tomo ÍIU S al 



$2 Trat.VIL De la Tmcomometria. 

al. contrario, ficndo obtufós, fon entrambos juntos mayo* 
res que dos reótos : luego el externo HLM , férá menor que 
I: lu^o (i 6.) los lados HI^ HL, juntos fon mas que un fe- 
mírculo; y como fean iguales, lera cada uno mayor que 
un quadrante. 

Digo lo tercero, que fí los lados HI, HL, Ion menores 
fiue el Quadrantc y los ángulos I, L, ferán agudos , porque 
4ichos lados juntos ferán menos que un iemicircuJo : lúe- 

5o (i 6.) el ángulo externo HLM , ferá mayor quel ; y los 
os I» hf juntoS|(erán menos que dos redos; y por fer igua- 
les entrambos, ^rán agudos; y al contrario , íi dichos án- 
gulos ion agudos , los dos juntos (eran menos que dos rec- 
tos : luego (i 6.) los lados HI, HL , juntos, ion menos que 
un (emicirculo ; y (iendo- iguales , (era qualquiera de eUos 
nciior que el quadrante* 

PROP. XXL Tbcorcma. 

Eü f iu/f uliM trian ffiU isfmcoy fus ms ángulos fin nusqui d§s 

teSlüSyj menos quefiis. Cfig*i9* ) 

Digo lo primero , que en qualquiera triangulo esférico 
ABC , fus tres ángulos juntos , ion mas que dos án- 
gulos redos. Prolongado el lado BC , queda íbrmado.el 
ángulo extemo ACD , el qüal es mayor , ó mer^or , ó igual 
al ángulo interno , yopueítoB , fegun lo demonftrado en 
la frapoíl 1 6. y en citas tres íupoiiciones demonftraré la 
propuefta. 

I Sea el ángulo ACD , igual al ángulo B. Denumfi. Por 
(er dicho ansulo igual al ángulo B, ion (i6.) los ángulos B, 
y ACB , iguales á ¿os redos : luego los tres J, B, C , ion mas 
que dos reimos. 

X Sea el ángulo ACDy menor que B : luego íi i entram* 
bos fe añade el ángulo ACB y ferán ACB y yBy mayores que 
ACBy y ACD ; y iiendp éílos iguales á dos redos, iéráo ACBy 
y By mayores que dos redos: iuego los tres ACB » B, y il, íe* 
i;di^con mas razón mayores que dos reótos. 

I Sea ÁCD p mayor queel ángulo fi. Digo» que en e(- 

ta 



L I B R o I V. ^ í 5 

ta (upoficion también ion los tres ángulos internos mas 
que dos redos. Hagaíe el ángulo ECD igual al ángulo B, 
y continude BA hafta que concurra con CE.£fto rupueíto, 
por (er el ángulo externo ECD , igual al interno B ^ los la- 
• dos £B, £C) (i 6.) íerán iguales a un íemicirculo : luego 
£C, £A feran menos que un femicirculo: luego(i6.)elan« 
guio extemo FA£ , y por coniiguiente fu vertical opueflo 
líAC , ferá mayor que AC£ ; y añadiendo ^ entranibos el 
ángulo ACB, lerán el ángulo BAQ y el ACB mayores que 
ACEy y ACB; y añadiendo a los BAC,y ACB el ángulo B; 
y a los ACE, y ACB el ángulo £CD,que por conftruccion 
fon iguales, ferán los tres BAC, ACB, y B, mayores que los 
tres ACB , ACE , y ECD ; y liendo ettos tres tanto como 
dos reótos, ferán los otros tres mayores que dos redosi 

Digo lo fegundo , que en qualquier triangulo esférico 
ABC, (Jí¿-i90 fus tres ángulos fon menos que feis re¿fos: 
proiohguenle los tres lados , como íe ve en la figura. 
Denumfir. Los dos ángulos DAC,CAB, fon tanto como dos 
redos;(2.)yaftimiíhio los otros dos BCA,BCF,como tam- 
bién £BA,ABC: luego los tres ángulos intemos,con los tres 
externos, hacen íeis redos: luego los tres internos folos Coa 
menos que feis redos. 

COROLARIO; 

DE lo dicho fe colige y que en qualquier triangulo esférico et 
ángulo externo es menor que los dos internos yj opuejlos^for^ 
que el externo con el internoyque ejía afk ladiojhace folamente dos 
renos', j los dos internos , j opuejlos, con el interno fobredicbojbaceH 
^as aue dos reüos : luego el externo es menor que los dos internos 
' of uefios* 

PROP. XXn. Theorema. 

Vn triangulo esférico fuede confiar de tres ángulos renos \ de doi 
renos y j un obtufo; de dos obtufosy j un reüoi 

j de tres obtufos» (fig. 50. ) "f 

EN el triangulo EAD, los tres ángulos E,^A, D, fón'rcc*' 
tos ;' y en elle cafo los tres laoos fon quadrántes. * En 

Si el 



84 Trat.VU. De la Tmconometivia. 
el triangulo EAS, los ángulos £, y S fon redos, y el ángu- 
lo EASobtuío, por fer mayor que el redo EAD; y en eftc 
cafo los lados A£ , AS fon quadrantes , y ES mayor oue 
quadrante. En el triangulo MAN, los ángulos M, y N ton 
obtufos , y el MAN redo. En el triangulo MAO, los tres 
fon obtuíossy en eftos dos últimos cafos puede haver varie- 
dad en los lados. Conita bailantemente de lo dichoi^ 

PROP. XXm. Theorema* 

X» quéUquiera triangulo esférico ^fi fe continúan los lados^ fe for- 
ma otro triangub , ci^a bafa , j ángulo ofuefio ^ la bafafon los 
mifmos delfrimero^ pero las demás f artes del fegunáo fon 
complemento de las del primero al fenún 
circulo, (fig^ii.) 

EN el triangulo ABC continuenfe los lados AB, AC haf- 
ta que concurran en D. Digo, que íe forma un otro 
triangulo BDC , cuya bafa BC es la mifma del primero; y 
el ángulo D. opuetto á la dicha bafa , es igual al ángulo A, 
opueito á la miíma , como confta de la prop. 4. Digo tam> 
bien,que el ángulo CBD es complemento del ángulo CB A 
al femicirculo , por fer entrambos iguales a dos reáos ; (2.) 
y por la mifma razón es el ángulo oCD complemento del 
ángulo BCA al femicirculo : alsimiímo el lado BD es com- 
plemento de AB al femicirculo ABD, (i.) como también 
CD es complemento de AC. 

PROP. XXIV. Theorema. 

Dado qualquiera triangulo^ en los polos de fus arcos fe forma otr^ 

fegundojque fus dos lados fon iguales a los dos ángulos (¡dptimero^ 

íüa uno alfujojj el tercer lado es complemento del tercer ángulo 

al fenúcirculo'y j lo mifmo es de los ángulos del fegundo con 

los lados del primero. ( j^* 5 1* ) . . 

LOs puntos Y, O, fon polos del lado AB; y Z,M, del la- 
do AC ; y el punto R es polo del lado BC, quedando 
lu correípondiente á la otra parte .de la esfera : y tirados 
Josajrcos YRO , ZRM , quedan formados de los polos ía- 

brer 



L 1 B R o IV. Sy 

bredichos quatro triángulos , que fon YRZ, RZO,YRM, 
MKO , y otros .tantos á lá otra parte de la esfera. Digo 
pues, que en el triangulo YilZ , los lados YR , RZ, ion 
Iguales á los ángulos AiiC, ACB , y el lado YZ es comple- 
mento aliemicirculo del ángulo BAC. 

Demnjiu Los quadrantesYQ^, RPion iguales: luego 
quitando RQ, que es común, quedará YR igual á QP , va- 
lor , y medida del ángulo ABC. Aisimiimolosquadrantes 
ZS , RN fon iguales : luego quitado RS común , quedari 
ZR igual á SH , medida del ángulo ACB. También los 
quadrantes YX, ZI fon iguales: luego añadiendo á entram^ 
DOS XZ común , férá Y2 , igual a XI , medida del ángulo 
externo X AI , complemento del ángulo BAC al femicircu^ 
lo : luego es confiante la propuefta en el triangulo YRZ. 

Lo mifmo fe verifica en el triangulo ZRO , porque 
ZR es igual , como oueda probado , á SN , medida del an- 

fulo ACB ; y quitando Oí de ¡os quadrantes ZI,OH, que- 
a OZ igual á IH , medida del ángulo BAC ; y RO es 
complemento al femicirculo de RY , ü de QP íu igual, me- 
dida del ángulo ABC. Conlla pues lo iobredicho en efte 
triangulo. 

También íe demonttrará lo mifmo en el triangulo 
YRM , eíto es , que Y R es igual á QP , medida del ángulo 
ABC ; y YM igual á HI , medida del ángulo BAC; y RM, 
complemento al femicirculo de RZ , ú de NS fu igual , que 
es medida del ángulo ACB : luego generalmente iiempre ie 
halla un fegundo triangulo, que fus dos lados ion iguales i 
qualeíquiera dos ángulos del primero ; y el tercer lado del 
fegundo es complemento al lemicirculo del tercer ángulo 
dd primero. Lo que (ucede en el triangulo MRO , fe veri 
en la prop. iiguiente. 

COROLARIO. 

DE aquife colige , que dado para refatfer quatquierd triara 
guio esférico , nos podremos rdlerpara la refolucion de un 
otro triangulo equipolente ^ íuponiendo fer qualefqutera dosldefus 
lados iguales a dos ángulos del primero i j que el otro fea el com^ 
pUmento del tercer ángulo al fenúctrculo» 

PRO?. 






^6 Tkat.VIL De t a Trigonometría; 

PROP.XXV. Theorema. 

Vádú tpiolquierá triangulo en los polos de fus arcos , fefarma otro 

fegunao y que fus tres lados fon complementos al femicirculo de los 

tres ángulos del primero ; ji los tres ángulos delfegundo de 

los tres lados delpimero. (fig. 51.) 

Digo y que en el triangulo ABC , fi fe toman los polos 
K. de BC, y M de AC, y O de AB, fe forma el trian- 
gulo MRO y que tiene las calidades propueftas. 

Demonjh. El lado MR es complemento de RZ , que es 
igual á NS , medida del ángulo ACB ; y RO es comple- 
mento de RY, que es igual a QP, medida del ángulo ABC, 
y MO es complemento de OZ , que como conita de la an- 
tecedente es igual á HI , medida del ángulo BAC : luego 
los tres lados de MRO , fon complementos al íemicircuio 
de los tres ángulos A, B, C. 

También por ftr CS , AT quadrantes , quitado eJ co- 
mún AS , queda ST igual a AG ; y fiendo IS medida del 
ángulo M , y complemento al femicirculo de ST , ü de lu 
igual AC , fcrá el ángulo M , complemento del lado AC 
al femicirculo. Por la mifma razón , fiendo QH medida del 
ángulo O , y complemento de QX, ó AB fu igual, es el án- 
gulo O complemento del lado AB al femicirculo. Últi- 
mamente , fi de los quadrantes ED , NC fe quita el común 
ND,quedan EN,y DC iguales ; y afsimifmo , fi de los cua- 
dran tes FD, PB fe quita jjP, quedan FP, y DB iguales : lue- 
fo EN , y FP juntos fon iguales al lado BC. Siendo pues 
IP complemento de los EN , FP al femicirculo , íera NP 
complemento del lado BC ; y fiendo dicho NP medida del 
ángulo R , íerá efte ángulo complemento al femicirculo 
del fobredicho lado BC : luego los tres ángulos del trian- 
gulo RMO fon complementos de los tres lados de ABC al 
Íemicircuio. 

COROLARIO. 



D 



E i$qui fe infiere y que dado para refolver m triangulo esfe^ 
rico y nos podremos valer de un otro triangulo equipokntey 



L I B R o IV. Í7 

mudando fiUmenfc hslados dudado en anffdo ^l fm anguks m 
lados* 

CAPITULO ffl. 

Di LAS rXOFlEDADES DE LOS TRlÁTUaV IOS 

esféricos reüangidosm 

PROP. XXVL Theorema. 

En el triangulo reSangtdo , fi fe alarga uno de fus lados hafiaét 

pío del otro ladoy fe forma otto triangulo que tiene un lado común 

con el primer o ; j las demás partes y o iguales con las delfri^ 

meroj h que fon complemento fujo al fenncirculo^ 

h al quadrante. ifig*l2*) 

SEa el triangulo LMN , redangulo en M ; continuele di 
lado ML, hafta O, polo del otro lado MN , y tirefc el 
lacio ON, Digo, que el trianjg;ulo OLN,que fe ha formado, 
tiene todos fus lados, y angubs, ó iguales con los del trian- 
gulo LMN, ó que fon complementos de dichos lados,y án- 
gulos al femicirculo , 6 al quadrante. 

Demonftr. i . La bafa LN, es común i entrambos triángu- 
los, r. El lado 0]>¡y es quadrante, y por configuiente igual 
al ángulo M , que es reao. 3. El ángulo O, es igual al la- 
do MN, por feréfte medida del aneulo formado en O, que 
es polo de MN. a. El ángulo OLN , es complemento del 
ángulo MLN, al femicirculo. (2.) j. El lado LO ,es confi- 
plemento del lado ML, al quadrante. 6. El ángulo ONivI, , 
es reélo: (6.) luego el ángulo ONL, es complemento a 90. 

frados del ángulo LNM : luego las fci$ partes del triangulo 
.ON , correlponden á las del otro triangulo , en la forma 
dicha. 

COROLARIO. 

DE a^m fe colige , haver las wifmas correffúndemids en el 
triangulo quairantal^ i quefiendo obliquangulo ^ tiene un 
lado igual al quadrante^ como OLN, que en el triangulo reítanga- 
b; Porque fi el lado OLy que no es fiadrante^Je alarga bajía quo 
^fi^7 yfi ^ira la bafa MS^fe hallara todo lofobredicho. 

^^ ^ PROP^ 



S9 TitAT.VII. Db 1 a TarcoKOMETKiA^ 

PROP. XXVn. Thcorema. 

In $1 tfmgtthreBanguhy Us lados que cmfrehenden el angula 

xe99fm di la tnifma eífeóe que los angdo$ 

9pueftos. ifig. II.) 

SEan los tres triángulos OMN , LMN , MÜN , rcdangu- 
los en M. Digo , que en el triangulo OMN , el lado 
pM , opuefto al ángulo ONM, que le fupone reítOjCs qu^- 
drante , y en el triangulo LMN, el lado LM, es menor que 
quadrante,por oponerle al, ángulo LNM , menor que reao; 
y en el triangulo PMN, el lado PM es mayor que quadran- 
te, por oponerfe al ángulo PNM, mayor que redo. 

Demonftr. En el triangulo OMN, por fer el ángulo ONM 
redo , el lado ON tendrá fu polo en MN ; y MN en ON; 
(6.) y también por fer el ángulo M redojel lado OM tendri 
fu polo en MN;y MN en OM: luego el polo del arco MN, 
efta en los arcos ON, y OM ; luego es el punto O común á 
entrambos : luego ( defin. i. ) los arcos ON,y OM fon qua- 
drantes ; y íiendo el ángulo O re(9:o,fu medida,que es el ar^ 
co MN, también ftrá quadrante. De aquí fe figue , que en 
el triangulo LMN , el arco LM opueíto al ángulo agudo 
LNM , es menos que el quadrante OM ; y en el triangulo 
PMN,el lado PM opuelto al ángulo obtulo PNM, es mayor 
que el quadrante OM, 

COROLARIO. 

D ^ aqui fe colige \ que en el triangulo esférico reSanffdo , co^ 
nocidos los ángulos , fejabe de qué effeciefean los lodosa y 
al contrario j conocidos eftosyfefabela efpecie de aquellos: conque 
ieffa toda la ambigüedad^ que fodia ocurrir en quanto a los lados. 
Lapropoficion figuiente^ ftrve fata quitar la ambigüedad^ tn 
quanto a Ubifotenuf4f 



PROP. 



Libro IV. Zj^ 

PROP. XXVm. Theorema. 

ti tiiángüo isferko reñángido » ttene Ids frofiedddes 

fiffúentes. 
I 0*1 los dos lados que comfrebmUn el ángulo reüo^ fon quá^ 

^ dr antes ^oalo menos uno de ellos j la hipotenuja es quéh- 
drante. En el triangulo MON ^(Jí¿,ji,) re^ngulo en O, 
(jpao los lados O^i, ON, quadrantes. Digo , que la hipóte- 
oufa MN , es quadrante ; porque íiendo dichos lados quar 
drantes , el punto O de fu concurfo » es polo de la hipóte* 
DUÍa MN ; y efta es medida del ángulo Ó ; ( defin.y) luego 
íiendo éíle reéto , (era la hipotenuia quadrante. Sea tam* 
bien el triangulo LON, reílangulo en 0,cuyo lado QN,es 
quadrante. í^igo , que la hipotenuia LN j es quadrante; 
porque como le ha demoníirado,MN,es también quadran- 
te : luego el punto N , es polo del arco OLM : luego {def. 
2,) NL es quadrante. 

2 Si en el tiiangulo hay dos ángulos renos , la hipofenufa es 
quadrante. Porque haviendo dos ángulos re^s,hay en cada 
uno de ellos un lado de los que los tbrman,opuelio á ángu- 
lo redo : luego (27.) íerá quadrante ; y como la hipotenu- 
ia fea uno de los fobrcdichos lados^ fe ligue ha de 1er qua- 
drante» 

3 Si los dos lados que forman el ángulo redo jfon de una mif- 
ma effeckyj no fueren quadrantesj la bipotenufa /era menor que 
el quadrante. Sea en la fig, iz. el triangulo HAL , redan- 
guio en A,y los lados AH,AL,fean entrambos menores que 
ios quadrantes A6, AC. Digo , que lahipotenufa HL /es 
menor que quadrante ; porque neceífariamente es menor 
Que BC , que ( num.i. ) es quadrante. Por la mifma razón, 
íj los lados que ¿)rman el ángulo redo A , fon entrambos 
mayores que quadrante, como lo fon AI, AO , en el trian- 
gulo lAG, la hipotenuft IG, p menor que quadrante, por 
1er menor que BC\ 

4 Si los ángulos formados fobre la bipotenufa fon de una mif- 
ma efpecie^pero nore£losJa bipotenufa fera menor que quadrante. 
I?igo , que en d triangulo AHL, (jig. 25.) P^^ <^i' l^^ ^o- 
guips H^L, entrambos agudos, la hipotenuia HL, es menor 

que 



JO TraT. Vn. Db lA TRICOKOMET.T. 

U70 Ton menore» que quadranie : iueeo f^ V\ ! ^ 
Poienulá es menor que auadranf ^ r ^r^ ^' 3- ) 1» hi- 
fiendo ambos obtuS! ^omLT ¿^J^^I^- '^ *""««" 
porque en efta fiíooficion Tli*^ *r*° ** í™ngulo lAG. 

quadnnte. *^ * ^ "*^ 5* ) « menor quo 

to en X, tiene fobre Ja hÍMr«,7.A r W ° ^^ reótangu- 
dc dife/eoteeK • eKT ^J ' '*** '"'8^*» L, y V. 

Digo tambien,que por SrelhdSxL^¿'^ " quadrante. 

do. y cJ ángulo T, opuefto i L* J* «kl.r .<^ > « ago- 



XXDC 



Sendo T,y M, m "Er™'^|;;'»5= "" re*, : luígo 
d tmneulp LTX, «&2jVS X 'fteT- ^ '"^" 



Libro IV* 9í 

En ¿fte pues fe ha demonftrado > que el ángulo M es ma- 
vorqueel complemento de MTXá 90. erados : pero 
la diferencia de MTX á los 90. grados , y la diferencia de 
LTX á los 90, grados, es la miíma : luego porque L, y M 
ion iguales , (4.) ferá el ángulo L mayor que la diferenciía- 
de LTX á los 90. grados. 

Siempre queje quiera examinAr^fi un triangulo efik ¡nen da-- 
do, h bien re/ueltOy tenganfe frejenfes las frofojiciones xu 
22. 27. 28. j 29, 

CAPITULO IV. 

DI LAS FJiOflEDADES DE LOS TRIASGVLOS 

esféricos obliquAngulos* 

PAra re(blver los triángulos esféricos obliquangulos , fe * 
ufa muchas veces del ferfendictdo , el qual no es otra 
cofa , que un arco de circulo máximo, que en un triángulo def- 
cknde de uno de fus ángulos ferfendicularmente fohre el laáo 
ofuefio. 

PROP. XXX. Theorenaa. 

£» qualquiera triangulo obliquangulo ,fi los ángulos fobre la bafa 

fon de una mifma efpecie , la ferfendkular del ángulo vertical a 

la' bafa cae dentro del triangulo yjes de la mifma effecie que los 

dichos ángulos ; fero Ji eftos aíugulos fobre la bafa fon de diferente 

effecie , la perpendicular fobredicha cae fuera del triangulo^ 

y es de la núfma efpecie que el ángulo ex-- 

terne. ( jig. lu ) 

Explicación, i. En el triangulo YRZ , cuyos ángulos 
Y, Z, fon de una mifína efpecie , entrambos agudos^ 
digo, que la perpendicular RV cae dentro del triangulo, y 
es menor aue el quadrante. 

Demonfir. En el triangulo YVR redar^lo en V , la 
perpendicular RV es uno de los lados que forman el ángulo 
redo : luego (27.) ferá de la mifma eípecie que el an- 

gu. 



^ Trat. Vil. De la Trigonometría. 

Í^ulo opuello Y ; efto es , ferá menor que el quadrante: 
uego en el triangulo RVZ reéiangulo en V , ficndo la 
perpendicular KlT menor que quadrante , (e opondrá al 
ángulo Z agudo , (,z^^) y no al externo obtufo RZF* 
lu^o dicha perpendicular cae dentro del triangulo. 

2 En el triangulo MRO , cuyos ángulos M , y O iba 
obtuíbs, ypor coníiguiente de la mifma efpecie, la perpen- 
dicular RCj, por oponerfe al ángulo obtuib M,es (27«)~ma* 

¡for que quaaraiite : luego en el triangulo RGO, el angu- 
o O , opuello á dicha perpendicular , ncccíTaríamente ha 
de fer obtuíb : luego cae dentro dd /triangulo entre los 
ángulos M , y O. 

3 En el triangulo RMY y cuyos ángulos fobre la baía 
fon de diferente efpecie; ello es, IvMY agudo, y RYM ob- 
tuíb ; la perpendicular RU fe opone al ángulo RMY agu- 
do : luego ( 17. ) es menor que el quadrante : hiego cóino 
por fer menor que quadrante no fe pueda oponer al ángu- 
lo obtuib RYM 9 que es el interno , fe opondrá al án- 
gulo RYU agudo , que es el externo ; luego cae fue^ 
ra del triangulo. 

PROP. XXXL Theorema, 

Üdiun funi9 que ncfea foh de U bafa^ háxán a elU dos áreos 
iguales , eftús áreos diftarán igualmente del perpendkulo^ 
j harán con el , ángulos iguales ; y al contra- ^ 

w, (jíg.34.) 

DEI punto R, que no es polo de la bafa YUZ, htxm k 
ella los dos arcos RY , RZ iguales. Digo , que los 
arcos VY, VZ, que fon las diftancias del perpendiculo, foa 
iguales , como también los ángulos VRY , VRZ. 

Demonfiu l-os triángulos RUY , RVZ tienen los lados 
RY, R.Z Iguales, y el lado RV común , y los ángulos en V 
rédos iguales , y los Y , Z de una mifma efpecic agudos: 
luego (1^0 íbn totalmente iguales ; luego los arcos VY, 
ÜZ íbn Iguales ; como también los ángulos VRY , VRZl 
Y al contrarip , fi las dííUncias V Y^ VZ íbn iguales, tam- 

bica 



Libro . IV.. 93 

bien le ierán los arcos KY , RZ : porque en efte caíb los 
triángulos Y VR, ZVR, tienen los lados ÜY, VZ iguales, y 
VR común; y los ángulos en U redos iguales: luego ( lo. ) 
ibn del todo iguales ; y por coníiguiente , los lados RY, RZ 
fon iguales , y también los ángulos VRY ^ URZ« Lo mif- 
fe convence en el triangulo HRT. 

COROLARIO. 

DE aqui fe colige y que en el triangulo esférico oUiqudnguh 
que fuere i fóceles^ i que tuviere los ángulos fobre fu ba/k 
iludes^ fus lados dijlarln igualmente del ferfenmculo^y ba^ 
ron con el ángulos iguales. 

PROP. XXXIL Theorcma. 

Si de un funto que no fea folo de la hafa , haxan ¿ ella dos 4fC9s 

dejigudes , el mayor arco difta mas del perfemUcub ,7 hace con H 

majof ángulo que el menor ^fi los ángulos fobre la baja fueren agUr 

dios } perofi fueren obtujos, el menor arco diftara delperfen- 

dkulo mas que el mayor , y hará con el mayor 

ángulo. Cjig. 54.) ^ 

DEl punto R y que no es polo de la bafa Y VS, baxan i 
ella ios arcos RY, RS ; y éfte es mayor que aquél : y 
los ángulos Y , y S fobre la bafa fon agudos. Digo^ que VS 
es mayor que V Y ; y el ángulo VRS , es mayor que VRY. 
Denmjir. Si VS no es mayor que VY , fera igual , ó me* 
Jior. I. No es igual, porque, como confta de la propoíicioa 
paílada , ferian RS, RY iguales, contra lo fupuefto. 2. No 
es VS menor que VY ; poraue fierido Y VS un miúno ar- 
co de circulo , y los ángulos en V redos , íi fe dobla el 
triangulo por la RV , el arco VS caerá fobre VPM : con- 
<)ue el punto S caerá fobre algún punto de la periferia VM; 

Íno pudiendo caer en Y , como queda dicho, caerá, ó ib- 
re Ty 6 mas abaxo. No puede caer fobre Y , porque ü 
ellbes poísible, cayga (obre O, y (era RO igual á RS. En 
d triangulo pues YOR, el ángulo O es obtufo; porque íien- 
do RV menor que quadrante, ( coroUré i^prop. 6. ) el an^ 
guio UOR {%'].) es agudo , como también Y : luego YOR 

es 



jp4 Trat. VII. De ia Trigonometría, 
es obtufo : luego ( 14. ) el lado YR opueftb al mayor án- 
gulo , íerá mayor que el lado OR opuefto al menor ; eíh> 
es , lera mayor que RS , contra lo fupuefto : luego RS no 
puede caer mas arriba que RY : luego caerí debaxo co- 
mo en RP: luego lerá VP igual i VS , y el ángulo VRP 
igual á VRS ; fiendo pues VP mayor que VY , íerá VS ma- 
yor que V Y ; y íienao el ángulo VRP mayor que URY, 
también lo íerá el ángulo VRS; 

Digo también y que íi del punto R , que no es polo de 
la baía MGT , defcienden los arcos RT mayor, y RM me- 
nor, formando los ángulos M , y T obtuíbs , el arco MG es 
mayor que GT , y el ángulo MRG es mayor que GRT. 
Inherefe de lo dicho , porque (i de los íemicirculos iguales 
SVM, VMG, quitamos el arco común VM , quedarán VS, 
MG iguales : y afiimifmo , íi de los femicirculos YVT, 
VSG, quitamos el común VT , quedarán Y V, GT igualen 
luego íiendo VS mayor que Y V , ferá MG mayor que QT* 
Amas de efto , el ángulo MRG es ( j. ) igual á fu vertical 
opuelto VRS , y GRT á YRV 2 luego fiendo VRS mayor 
que YRV , ferá MRG mayor que GRT. 

COROLARIO. 

DE aépú fe colige , que en el manptlú úbUquanguUy cuyoí ath 
gulas [obre U bafa fon deñguales , y entrmnbos Agudosy 
echado elperpendkula , el mayor jegmento de U bafa , y for cmfi- 
guíente el mayor anguh vertical es contermino al mayor lado del 
triangulo: y al contrario, Ji los angulas fobre la bafa fueren obtufor^ 
porque el pinto de quien defcienden los lados ,jr elferfendiculOy n^ 
esfolo déla bafa; forque jilo fueffe^fef ion entrambos lados qud^ 
drantes^ 

PROP. XXXin. Theorema* 

IM el triangulo obliquangulo , que tiene dos ángulos agudos j el UUb 
gfueflo al menor ángulo es menor qued quadrantr,y en el que tiene 
dos ángulos obtufos , el lado opueflo al mayor anguU es ma- 
. yor que el quadrante. (fig. 34* ) 

SEa el triangulo obliquangulo YRS, cuyos ángulos Y» S> 
fon agudois, y el ángulo S» menor que Y* Digo, que d 



LiBxo IV« ^ 

lado YR, opuefto al ángulo menqr S » es menor que el qua- 
drante* 

Dumnfifé Porque el ángulo Y , es mayor que el ángulo 
%ykú (14*) el lado RS, opuefto áV, mayor que R.Y,opue& 
to á S : luego por la antecedente ^ el perpendículo KV, 
formará el ángulo vertical VKY , menor que el ángulo 
VKS; y (iendo el ángulo YKS, (2*) menor que dos rcaos, 
íeri el ángulo YKV , menor que un redo : y porque en el 
triangulo I VR , redangulo en V , fon los ángulos VYR, 
VR Y agudos; y por coníiguiente de la mifma elpecie es 
( 28. ) la hipotenufa YR , menor que quadrante : luego 
el lado YR, opuefto al ángulo menor S^ es menor que qua« 
<irante« 

Con efto queda también nrobado , que en'el triangulo 
MRT ) cuyos ángulos M, y T, Ion obtulos , el \iáo mayor 
,KT, opuefto al ángulo mayor M, es mayor que quadrante, 
tor (er complemento al l'emicirculo del arco YR; y fiendo 
lie menor que quadrante, ferá RT, mayor que quadrante* 

PROP* XXXIV. Theorcma. 



Ift 



£;i ti PíiánguU esférico 4cut ángulo y cada lado deforsíes meme 

huí el quadrante. Cfig* ^i*) 

SEa el triangulo ABC , cuyos tres ángulos (ean agudoi» 
Digo, que cada lado es menor que el quadrante. 
Demmftr* Porque los ángulos B, y C , (obre la bafa {bn 
agudos , el perpendículo AD, (jo*) cae dentro del trian* 
guio : luego en el triangulo redangulo DAC , por fer los 
ángulos CAD, DCA , de la mifma efpecie agudos , ferá 
( 20.) la hipotenuía AC^ menor que el quadrante : luego el 
lado AC, es. menor que el quadrante : lo miCnp íe demonio 
trará del lado AB. Y tirando el perpendículo del ángulo C 
al kdo AB , fe convencerá de la mifina fuerte, que -el lado 
CB 9 es menor que el quadrante : lu^o qualquiera lado es 
menor que el quadrante» 



PROP. 



<$RS T&AT. Vil. De LÁ TlíIGOkOMETRlA. 

PROP. XXXV. Theorema. 

l$$ trumgHUs Miqumpiús que tienen fus tres lados nujeñtté qué 

Hquáifánte^lelunodeeUesquádfámeyjlús denus mayores 

que elquááréuue , tienen fus ángulos oku- 

fif* (fii 5J- ) " 

PAra mayor claridad , demonítrare el Teorema en dife- 
rentes caíbs que pueden ocurrir* 

Cafo u Si el triangulo es equilátero, y fus tres lados m^* 
yoresque el quadrante. Digo, que (ustres ángulos Ion oi>^ 
tufos ; porque íiendo equilátero , por qualquier parte que 
fe coníidere, feríl iíbceles: luego ( zo. ) íüs ángulos feran de 
la miíina efpeGÍe que fiís lados ; y fíendo éftos mayores que 
el quadrante , feran los ángulos obtuíbs* 

Cafo 1. Sea el triangulo GHi , ifoceles, (fig*i^*)yftá 
tres lados mayores que el quadrante* Digo, que ilts tres an« 
glilos ion obtufos. Que los ángulos G , I ,. Ibbre la baía lo 
lean, confia de la propof lo. Para demonilrar que también 
lo es el ángulo H , cortenfe GL, GN, iguales al quadrante, 
y tirefe el arco LNM , hafta que concurra con el lado IH, 
idargado en M» 

Demonftr. Por fer GL, GN quadrantes , fcrá G polo del 
arco NL ; y en el iíbceles NGL , los ángulos N, y L C 2.0. ) 
feran reatos ; y el arco NL, que es medida del ángulo obt\;h 
fo G , íéri mayor que quadrante ; y íliponiendoie tambres 
HP, mayor que quadrante , feran los arcos NM , HN, me- 
nores que quadrante ; y por confíguiente , ambos juntos fe- 
ran menores que el femtcirculo : luego ( i6* ) el ángulo rec- 
to N, es mayor que fu interno opuelto NHM : luego el re* 
íiduo NHI, es obtulb* 

Cafo 5. Sea el triangulo efcaleno OPQ^, v el lado 
í>Q^fea mayor que IK) : cortefe pues PR , igual á PO; y 
por configuicnte, (iendo, como fe íQpone, PO , ms^or que 
quadrante , tanÚDÓen lo ferá PR : luego por el cafo z» el 
ángulo POR ferá obtuío , y mucho* mas lo ferá POQj;^ De 
OP, OQ, mayores que quadrante, cortenfe OS, OT, igua- 
les al quaürante; y tirando el arco STV , hafta encontrar 
al ^co Qf , alargado en V , feran (20.)l1os ángulos T, y S, 

rec- 



4^ Libro IV. 97 

redos; y TS , mMida del ángulo obtufo POQ^, ícrá ma- 
yor que quadrante,como también lo e$ por fupoíicion PQj 
luego los arcos P V, TV, fon menores que quadrame; y por 
configuiente, los dos juntos Ion menos que un íemicirculo: 
luego (16.) el ángulo externo T, que és redo, íerá mayor 
que fu interno , y opuefto TP V : luego fu complemento 
TPQ^, al femicirculo es obtuíb. 

Cafo 4* Sea el triangulo ifoceles XV Y , cuyos dos lados 
XU, XY, fon iguales entre si, y mayores queelquadrante; 
y el VY , (ea quadrante. Digo , que todos fus ángulos ion 
obtufos. Que lo lean los ángulos V,Y, fobre la bala, confia 
de h tropo fio. Para probar , que también lo es el ángulo 
VXY, cortefe VZ, igual al quadrante, y tirefe el arco YZ, 
&c. hafta aue concurra con YX alargado , y íerá V polo 
del circulo Vz , & ^ y los ángulos en Z , (eran redos ; y el 
arco ZY , medida del ángulo obtufo V , íerá mayor que 
quadrante*; y por confíguiente, los arcos X, &, Z, & , me- 
nores que quadrante, y entrambos juntos menos que un íe- 
micirculo : luego (i 6.) el ángulo externo Z , que es reéto^ 
ferl mayor que el interno opuefto ZX , & : Juego éfte (er4 
agudp,y por coníiguiente elreíiduo ZXY, (era cl^tufo. 

Cajo 5* En el triangulo ABC,fon entrambos lados AB^ 
AC, mayores que el quadrante, pero defiguales,porque AC 
es mayor que AB ; y BC fea quadrante. Uigo, que los tres 
ángulos de efte triangulo fon obtufos. Coneíe BD igual al 
quadrante; y defde B, como polo, deícrivaíe el arco CDE» 
hafta que concurra con C A , alargado en E. Cortea tam- 
bién AF igual á AB, y tirefe el arco BF , v (20.) el ángulo 
ABF (era obtufo : luego mucho mas lo (era ABC. También 
el ángulo D es redo,y CD, medida del obtufo: ABC,es ma- 
yor que quadrante, como también AC : luego los arcos re^ 
iiduos AE;DE,fon menores que quadr^te,y juntos fon me- 
nos que un íemicirculo : luego (i6.) el ángulo extemo D, 
que es redo, es mayor que el interno opuelto DAE : luego 
¿fte es agudo : luego (u complemento a dos redos BAC , es 
obtufo. También fe probará íer obtufo el ángulo ACB,por- 
que (iendo B polo de DC, ferá el ángulo BCD redo: luego 
BCF (era obtufo: lu^o los tres fon obti^s» 

TmoUU T 14. 



I 

1 



98 Trat.VIL De la Triconoj^tria. 




E 



LIBRO V. 

DE LA RESOLUCIÓN DE LOS, 

Triángulos esféricos ledan-? 

gulos. 

Ñ los triángulos esféricos reSangulos , el kd(> 
opuefto al ángulo redo , íe llama hipotenufa. Dq 
los lados que cooQprehenden el ángulo redo , el 
uno fe llama ptftndkuhy y el otro bafi. ¿1 mifmq 
que ^ bal9> es también en otra fupoíicion perpendículo, 
porque Í;endo éltos dos lados , que forman el ángulo redo, 
perpendiculares el uno al otro , (i confideramos qualquiera 
delo^dps cpmo baía, el otro ferá perpendículo : coníidera- 
mosle como baía , qu^ndo le comparamos con el ángulo 
contérmino que fqrma con la hípotenufa; y como perpendi* 
culo, quandio le reérimos a íu ángulo opuelto. 

CAPITULO I. 

IHEOnEMAS FVNDilMENr^IES FARA LA MSOLVCIOS 
de los triángulos esféricos reHangulos. 

TQda U reíblucíon de los triángulos esféricos redangu* 
ios , ie funda en la analogía, y proporción de (us par- 
tes, la qual fe demueí^ra ep íolos dos T heoremas , que ion 
los figuíentes. 



PROP^ 



Libro y.. ipp 

PROP, I. Theorema^ 

En los triángulos reñangulos , quf tienen un mtfmo ánguU dgud^ 
fobre la Ufa ; los fenos de las bipotenu/ks fon froforcionaUs 
i los fenos de los perpendUubs^ . 
(fig.l6.) 



SEa ABDC A una o£bva ^ parte de :ki esferal , cuyo 
tro es C : los arcos AB , AD ; DB ion quadrantes, que 
hacen unos con otros aDgulbs jredósi conque A es el po* 
lo de DB ; B es polo de AD ; y D es polo de AB. Salga del 
punto D otro quadratiteDE, y quedará íbnnaifo d tdto; 
guio esférico DEp. ^Báxe también deíde^ A otro qufdran- 
te AFG , que cortando X DFE en F , y á DGB en G , for- 
mará otro triangulo esférico DFG ; y pprque los ángulos 
BBD , FGD fon redos , los. dichos triansufosíeirán rcj&M*^ 
gülps, y tienen el ángulo EDBcomuik La linea pue9 CI^ 
perpendicular á la común ieccion , y radio CB , y que deC* 
cie^ide del punto E, es el ieno del arco EB^ y esjuntaipen** 
t^ perpendicular al plano CBD. A^6iiiiifmib la linea FL 
perpendicular á la común ieccion , o radio GG, es'ienodd 
arco FG : y en el plano DEC, el raAó-EG^esfeno todo , d 
Geno del quadrante ED ; y la linea FH , perpendicufer á ln 
Cómun feccion CD, es feoo del arco FíX 

Eílo íupuello, digo, que los fenos délas hipotenuíafi 
I>E ^ DF , fon proporcionales con los fenos de los arcos EB, 
¥G , que fon los perpendiculos ; efto es, afsi fe ha CE, feno 
de la hipoteñuía DE , con HF , íeno de la hipotenufa DF, 
como EL, íeno del perpendículo EB^ con FI, (eno del per-- 
{>endiculo FG. 

Demonftr. Por fcr las lineas EL, FI perpendiculares al 
mifmo plaoo CBD ,, han de 1er forzoíamente paralelas;.^ 
(6. II. Éucl.) yafiimiímo las lineas £C, FH, por eftár en' 
el mifmo plano CED, yferambas perpendiculares á la 
miíma linea CD, fon entré sí paralelas : (29. i.EucI.) lue^, 

fo (ib. ii.EucL) los ángulos CEL, FIFI, que conftan de 
neai paralelas, foii iguales; y íiendo redos los ángulos ' 
EJLC| FIH9 y por coofiguiente iguales:, feráa tatDbienlcs^i 



loo Trat^VII. De I A Trigonometría, 
ángulos ECL, FHI iguales ; y los dichos triángulos redUir 
neos ferán eauíangulos : iu^o (4. 6« EucL) ferán íiis lados 
proporcionales. 

^ EL, fim del perpendicmy i arco . EB; 
dfsi HFjjeno de U bipfaenufh ^^^^ ^^i 
¿ ¥lj Jenú del perpeníüculo^ d átco IG. 
y akemando, iovirtieodo^ &f • 

VlLoP. n. Theorema. 

tH ¡»t mfims triáHgidv rtSéUi^ihs , Ut fents dt Us báfufim 
fr9fmmdes tm Us ttmgttutts de Us ferfenéiados. ' 

EXp&cMíkH. Sea la linea MB perpendicular al radio CB^ 
y tirada la fócame CM , (era MB tangente del per- 
pendículo £B. Áfsimirmo (ea KG perpencucular al radio 
CG, y tirada laiccante CK, íeráKG tangente del perpen* 
diciüo FG. Tarobien por ftr BC perpendicular á CD , es 
íeno déla baía DB; y tirada GN taoibien perpendicular á 
CD, es feno de labafaGD. Digo pues, que fon proporcio- 
nales CB, (eno de la bafaDB, á BM, tangente del perpendi-- 
culo £B ; como NG, íeoo de la bafa DG , á GK, ungent^ 
del perpendiculo FG, 

Demonfir. Por eftár EL , MB en un miímo plano^y fer 
perpendiculares á CB , ferán entre sí paralelas. (29.i.£uc.) 
Y afsimifmo , por fer FI , KG perpendiculares \ CG , iba 
también entre sí paralelas : luego (6. 1 1.) Affi, KG íbo pa* 
ralelas. También por fer BC, y GN perpendiculares á CI>, 
ion entre sí paralelas : y íiendo los ángulos NGK , CBM 
redos iguales, y paralelos , ferán los pianos NGK, CBM 

£araielQs;y cortando el plano DEC los planos íbbredicbo% 
is comunes iecciones CM , NK (eran paraklas , y los an* 
gulos MCB , KNG paral elos, é iguales , como también los 
ángulos M, y K: (r6.ii.Eucl.) luego los triang^o$ CBM, 
NGK fon equiángulos ; y (4.6» £ucl») fus lados ^omojogos 
.:%¿n propoxciooales. 



► V 



L I B R o V« f Olí 

C9m$ CB fefiú de U bafd BD, 
4 BM tángeme del ferfetulécuh IB; 

afsi SG feno de U bafa GD^ 
4 GK tangente del feffendkuh K. 
Y alternando, invirtiendo , &c. 

CAPITULO n. 

DE LA HESOLVCION DE LOS TRlASGVLOS ESFÉRICOS 

reBangulús» 

DE los dos Theoremas que fe han demonftradp en el 
capitulo paíTado , fe infiere la refolucion de los 
triángulos esféricos redangulos ; pero antes de entrar en 
ella, lera conveniente hacer reflexión (obre las obfervacio- 
nes fíguientes. 

OBSERVACIONES, 

• 

I Oí uno de los lados que comprehenden el ángulo rec- 
i3 to, es quadrante , el ángulo opuefto á dicho lado 
es recto ; (i es menor que quadrante,es agudo ; y (i mayor^ 
obtuíb ; y al contrarío. Prop. ij. ¡ib. a. 

2 Si ios lados que forman el ángulo redo , ó á lo meno$ 
uno de ellos , es quadrante , labipotenufa también (era 
quadrante : íi entrambos íbn mayores, ó entrambos me- 
ñores que el quadrante , la hipotenuía íerá menor que el 
quadrante ; pero íi uno de dichos lados es mayor, y el otro 
menor que el quadrante , la hipotenuía ierá mayor que el 
quadrante ; y al contrarío. Pntf. i%. Ub. 4. 

3 Si uno de los ángulos adyacentes á la hipotenuía fue- 
re redo, la hipotenuía (era quadrante; íi ambos. fueren 
agudos , ó obtuíbs , la hipotenufa ferá menor que el qua- 
drante; y íi uno fuere agudo , y el otro obtufo , íerá la hi- 
potenuía mayor que el quadrante ; y al contrario, infiere fi 
de las dnteíedentts oh ferv acmés. 

4 Los tres ángulos de qualquiera triangulo esíerico íbn 
mayores que dos redo^y menores quefeis. Profoficion zu 
Ub. 4» 

5 Siem* 



DIO!» TrAT. VILOe i A'TMGbNOMETRIA; 

5 Siempre qqe en la t)roporcioo entrare k hipotenuía, 
o como conocida y ó cooio buícada y (e fimda la réfolucion 
enelTheoremai. por íer la proporción de feno á íeno; 
pero quando la hibotentiía no entrare en la. proporción , fi 
otro lado , íe fundará ía analiíi en el Theorpma z. poríer 
entonces la proporción <le feno á tangente, ü de tangente 
á feno. 

6 Conviene advertir, que en cada reíblucion fe íbrmaa 
¿os triángulos con un langulo común , como en la fig. ^6» 
Los dos triangules fon D£B , DFG , que tienen el ángulo 
común P ; en los quales ie ve claramente, que el uno , que 
cs'DEB , fienipre tienfe la hipotenuía , y bafa quadrantes, 
como lo (bn DE, DB , y á efte llamamos triangulo frincipat; 
y al otro triangulo propérciónaL ♦ 

■ 7 En todas las reíoluciones difpondrémos los términos 
de la proporción , de la mifma fuerte que en los triángulos 
reóHlineos , cfto es , en lugar del logarithmo primero , to- 
maremos fu complemento logarithmico ; y Ja.íuma de ios 
tres, nienos el radio, (era el logarithmo del quarto termino 
que fe bufca. Quando el primer termino fuere tangente 
ínayor que el radio, efto es , fuere tangente de arco mayor 

3Lie 45. grados, fe tomara íu complemento al duplo radio, 
qual duplo fe quitará de la fuma para tener el logarith* 
¿no del quarto termino , que fe bufca. Qyitafe el radio, 
omitiendo , ó quitando una unidad á la izquierda de la fu- 
ma ; y reftafe d duplo radio, quitando 2. de alli mi(mo,co* 
mo en otra parte queda dicho. 

PROP.III. Problema. 

Dado Un stngido oblicuo, y el lado eontormino a dicho ángulo , ha- 

Mar el otro ángulo. ( fig. i%. ) 

EN el triangulo DFG reiSangulo en G , dado el ángulo 
F 72. gr. 25. mtn.,y el lado contérmino FG 57.gn 
21. mil), fe bufca el ángulo D«* 



Fro- 



ExfiRo y. ÍOJ 

Tropmion. Trifp. i. Logmtbms. 

Como ti radié C.L* q.ooooooo. 

alfeno del ángulo Fji.gr.i^. min. 9*979^ 19^* 

afsi ilfenojiguñdo del lado FG ij.gt. zuin* • 9.9003367. 

alfenofegundo del ángulo D ifo. gr» 44.1». 9*079 5 565:. 

Demonftr. Supongaíe en la fig. 37. el miímo triangulo 
DFG defcrito en la fuperficie de la esfera VDBT ; y deC- 
de D, tomo polo, defcrivafe el arco REB ; y deíde F, el ar- 
có ROP; y coritinueíe el arco GF, y ferá GQT» De que fe 
ligue, que QP es medida del ángulo QFP ; conque tambica 
lo íerá de íü vertical opuefto DFG ; y porqué 6 A es qua* 
drante , por fer A polo de DGB, ferá F A complemento del 
lado GF, como también por la mifína razpn íerá A£ coov 
plementodel arco EB, medida del ángulo D; conque AE 
es complemento del ángulo D. Eito íupuelto , en los trian* 
gulos FQP, FAE , Ion proporcionales, (i.) 

Cotno el feno del quadrante FQ^ que es el radio^ *' 

al feno de Q?^ , que lo es del ángulo F; 
4gf}¿ el Ceno i^ieVAy que lo es fegundo de FG, 

al fino de AEy que loesz. de £B, ü del ángulo D« 

PROP.IV. Problema. 

Dado un ladoy y el arfguh opuefto a dicho lado , hallar el otro 

ángulo, (fig. 39.) 

PAra efta refolucion es menefter conocer antes , fi el ángulo que 
fe bufia ha de fer agudo , b obtufoy b qual fe conocerá por la 
obfirvacion 1.75. conociendo fi la hipotenufiy h el otro lado es ma- 
Jory)^ menor que el quadrante. Forquefiendoefte lado mayor que 
él ^drante , el ángulo que fi bufia fera obtufo ; yfiendo menor^ 
fer a agudo. ( 27.4.) También fi> el lado dado es mayor^o menor que 
el quadrante y y la fñpotenufa fuere menor que el quadranteyel otro 
lado firXdelamifinaefpeáe que el lado da^o peto Ala hipotenu^ 
fa fuere mayor que elquadranteyelfobredicboladofera de efpecie 
opuefta al lado dado ^ como fe áxo en las obfervaciones anteceden- 
res» 

En 



<I04 TRAT.yn. Dfi I A Trigonometría* 

£n el triangulo DFG , redangulo en G , dado el lado 
FG» X3.gn i7.inin. v el ángulo opuefto D, jx.gr. K^minSc 
]t>uíca el ángulo F, el qual le fupone ha de íer agudo. 

Proporcm. Vf9f. i. Logarismos. 

£úmo ti fino 2. de ¥G 2;.g«i7.ni« C L. o.o^6S^x9. 

4I radio; 9o-g* lo.ooooooo. 

nfsi ti lino %. del ang. D 5z.g.54»m. 9^9240827. 

4//nio i. del ang. F 66.g. 4.01. 9'9<^974f* 

Demenfir. ( jíf. 57. ) En los triángulos FQP , FAE , fon 
proporcionales ( i. ) ^1 ^^^^ i« ^^ F^, que es íepo z. de GE, 
al fenodel quadrante FQ^, que es el radio; como elfeno i; 
de AE , que es (egundo de £B , ü del ángulo D» al (eno lé 
de QP , ü del ángulo AF£, ü de DFG fu igual. 

PROP. V. Problema. 

Dada la bipotenufa ,7 un lado , hallar el ángulo opue/h 

aejfe lado. (fig. 40* ) 

EN el triangulo DFG , redangulo en G , dada la hipo- 
tenuía DF, jo.gr. 2o.min. v el ladoGF, 50.gr. 25. m. 
le buíca el ángulo D, opueíto al lado FG. 

Proporción. Prop. 1. Logaritbmos. 

Como el fino de la hipot. DF 5 o.g. 20. m. C. L. o • 1 1 j 63 84. 

al radio; 9o*g* lo.ooooooo. 

afii el fino del lado FG 3o.g.25.m. 9*7045947» 

al f eno del ángulo D 4i.g. 8.m. 9.0100531. 

Demonflr. ( fig. 37. ) La medida del ángulo DesEB;y 
(i.) fon proporcionales el feno de la hipotenuía DF , al 
feno de la hipocenufa DE , que es el radio , por fer DE 
quadrante ; como el feno del perpendículo FG , al íeno del 
perpendículo £B , que es feno del ángulo D > por íer £B fu 
medida. 



PROP, 



. 



Libro V. lo j 

PROP. VI. Problema. 

I>ddos los lad^s , hallar qualquiera angah Mtquo. 

(Í«-4i-) 

EN el triangulo DFG , rcdangulo en G , dado el lado 
DG, 59. gr.22. min, y el lado FG, 53. gr. 44. min. fe 
bulca el ángulo D, opuefto al lado FG. 

Proporción. Prof. 2. Logaritbmos. 

Como eljino del lado conter.DG 59.g.22.ixu C.L. 0.065276$» 

al radio', 90. 1 0.0000000. 

dfsi la tangJel lado opuefto GF 33.g.44.m. 9.824619 1. 

a la tangente del ángulo D 37.g.49.m. 9.8898956« 

Demonftr, En los triángulos DFG , DEB, (jj^g* 36. ) (bn 
proporcionales (2.) el íeno del lado contermino DG , al 
(eno del arco DB, que es el radio ; como la tangente GIC 
del lado FG, á la tangente BM del arco BE, que fíendo ¿í* 
te medida del ángulo D/erá BM tangente del mifmo angu« 
}o D. De la mifma fuerte fe hallará el ángulo F. 

PROP. VII. Problema. 

Dada la bipotenufa fj un lado , hallar el ángulo intermedio. 

(fig. 42. ) 

EN el triangulo DFG, redangulo en G, dada la hipóte^ 
nuía DF,'^5o.gr.2o.min.y el lado FG, 30. gr. 25. min. 
fe bufca el ángulo F intermedio. 

Proporción. Prop. 2. Logarithmos. 

Como la tang. de la hipot. D¥ 5o.g.20.m. CL. 9.9 18676SK' 

^ la tangente del lado FG; 30.g.25.m. 9.7687029. 

afsi el radio 90. 10.0000000. 

al Jeno z. del ángulo P 6o.g.$2.m. 9.6873798. * 

Aqui fe ve , que la fuma de los tres , menos el duplo 
radio 9 es el loganthmo que fe bufca. 

De- 



lóS Trat, vil De t a Trigonometría; 

Detnmftr. En la Jíg.37. es DFG el triangulo profeuefto, 
y hecha la deícripcion que fe dixo en h frop. 3. es QP,me- 
dida del ángulo QFP;y por coníigpientejde fu igualDFG; 
conque QJl,es el complenaento del ángulo DFG^y jorque 
GA, FQ , ion quadrantes iguales, quitado el arco FA co- 
mún, quedarán GF, AQjguales; y aísimifmo, por fer tam- 
bién quadrantes DE , FP , fi íe quita FE común , ion DE, 
EP iguales* En los triángulos pues RPE , RQA , fon (z.) 
' proporcionales las tangentes de los perpendículos , con los 
íenos de las bafas, la tangente del perpendiculo EP,ú DF 
íii igualjá la tangente del perpendiculo AQ^ ó GF fu igual: 
afsi el fcno de ia bafa RP, que es el radio, al íeno de la ba- 
fa RQ^, que es feno fegundo de QP, ü del ángulo DFG, 
cuya medida es QP. / 

PROP. Vm. Problema, 

Dddd U Bifotenufa , j un ángulo otílquo , hdUr el otro an- 

Egulo. ()í¿*43- ) 
N el triangulo DFG, reftangulo en G , dada la hipote- 
nufa DF 63. gr. 45. min. y el ángulo F 61. gr. 35, 
min. íe bufca él ángulo D. 

Trofwáony Trop.u Logarithmos. 

Como el radio. ^o. CX. p.opooooo. 

al fino 2. de U hipvt. DF 63.g.45,m. 9.6457oy8, 

4fsi U ung. del ángulo F 6 1 .g. 3 5 .m • 10.2 ¿6745 4. 

i U tmg.i. del ang. D 50.g.44.m. ^.^iz^^z. 

Demonftr. (fig. 37. ) En los triángulos FQP, FAE , fon 
proporcionales , (2.) como el feno de la baía FP, que por 
ftr quadrantes es el radio , al feno de FE , que es ftno 2. de 
h hipotenufa DF : áfsi la tangente del arco QP , ü del án- 
gulo F, cuya medida es QP, á la tangente dd arco AE,quc 
es tangente 2. del ángulo D , por fer AE complemento de 
E6 , medida del ángulo D. 



PROP, 



. L I B Jto: y. . . í 07 

PHOP* IX. Problema- / 

I>ada:U bipotenüfa\ y un ángdo ^bliqm , hallar tí laái úfuefto 

a eñe ángulo* (fig. ^. ) 

EN el triangulo DFG , dada la hipotenufa DF 52, gr. 
5 ; .min. y el ángulo D 40» gr. 5 8. min. fe buíca el lado 
opucllo FG. 

Frof arción. Prop^ i; ■ Logarithmos. 

Como el radio . P^Hi^* ^ CX» o.ooooooo. 

éd feno del ángulo D 40.gr.58.m« ^*%i66^zu 

afst el feno de la htpun. DF 52 .gr. 5.3 Jiu ^ 9-8997 5 72. 

al feno del lado ofuefio VG . 5i.gr.22.m. 9.7164095. 

- Demonftr* (fig» 37. ) En los triángulos DEB, DFG fon 
proporcionales (i.) el leño de la hipotenufa DE, que es el 
j::adio , al (enodel perpendículo £B, que lo es del ángulo 
D , por íer ED fa medida : aísi el feno. de la hipotenu- 
fa DE , al feno del lado FG. 

PRO?. X. Problema. 

Dada la hipotenufa , y un lado ^ hallar el otro lado. (fig. 40. ) 

N el triangulo DFG dada la hipot^uía DF yo. gr. 20. 
min. y el lado FG 30.gr.25.mintfe bufca el lado DG. 



E 



'fróporcion.Prop. I.* Gr^ m. . Logarithmos. 

Como el feno z^deíG 30. ^5• C.L. 0.0643082. 

¡al radio 5>o. 10.0000000. 

afsielfenoiidelahipot.DI^o. 20. 9.8050385. 

al feno z* del lado DG 42. 15.. 5^.8693467. 

Demonjlr. C jí¿.57.) En los triángulos AGB,/y AFE, ion 
proporcionales (i.) el feno de la hipotenufa AF,que es feno 
2.de FG,al feno de la hipotenufa AG^que es el radio: afsi el 
íeno del perpendiculo FE ,..cauelo cs.fegundo de la hipot. 
DF,al feno del perpendículo GB,que es íeno 2. del lado DG. 

PRO?. 



loS TaAT.VII«DBLATRtGONOMETMA; 

PROP. XL Problema. 
Tdios Us áMffiUsy balUr (¡luiqmer* Ud$. (Jii{«45.) 

DAdos los ángulos D, 45. gr. 30. m. y F, ((ogr. i8.m» 
en el triangulo IXGy fe bufca el íado VC. 

Pfoparcm. Vrof. i* * Or. m. Logarithms. 

Como el feno udel ang^T conterm» 60. 18» OL. o.o6i 1644* 

alieno i. del ang.DofuefiTf 4$* 30. 9.845661o. 

a/si el radio 90. io.ooooooo. 

di feno 1. del lado ¥G 36. 12. 9«9o68z62. 

Demmftr. ( Jfj. 37. ) En los triángulos FQP , FAE , fon 
proporcionales (i.) ^I l^no i. de QP, ü del ángulo F , al fo- 
no I .de A£, que lo es fogundo de LB, ü del ángulo D: aíst 
el fono del quadrante FQ^ úue es el radio , al lenp i. d« 
F A , que lo es í^ndo del lado FG. 

PROP. Xn. Problema. 

J>ddo un Iddúfj in ángulo contermmojballar el otro lado,ifigu^6.) 

EN el triangulo DFG, es dado el lado DG 67,gr. 5 i.m» 
y el ángulo contérmino D 28. gr« 22. m« 7 íe bi¿ca el 
lado FG opuefto al ángulo dado i). 

Froporcion. Frop. z* Gr. nu logarnbmos* 

Como el radio . 5^)* C.L. o*ooooooo* 

djem del lado DG 67. 5 1. 9.9667048. 

ajsi la tang* del ángulo D 28. 22. 9.73 23 $od. 

alatan.delladoofuefio¥G 26. 34. . 9.6990554* 

Demonfir. (fig. 37.) En los triángulos DEB^DFGÍon 
proporcionales (2.) como el fono de DB , que es él radio, 
al feno del lado DG : afii la tangente de ÉB , ü del ángulo 
D9 á la tangente del lado FG. 

PROP; 



L 1 B R a V. 109 

PROP. Xffl. Problema. 
jydd^mUdo yj^ §m sngulo ofuifto ybalUr ilatro lado. 

Tyjrd efid Tcfolncm , es nunefier faber ffiel lado que fe bufis 
1 esmajw , menw que el quadrame-y le que fe mferujfí^y fa- 
hendo ft U bifotenufe es mayor j i ntener que el quAdránte^ ípel 
vtro ángulo obliquo es agudo , i obtufo , fegun las obfery aciones ar^ 
riba fue fias. En el triangulo DFO , dado el lado FG, 2 5. gr. 
17. m. y el ángulo opuefto D3 S^*^^* 54.ai.reburcaeilado 



Proforaon* ?rop. z. Qr. fif» logarUbmoSm 

Como la tangente del ángulo D yi* 54* CX« 0.1891434* 

Oí la tafig. del lado opuejto ¥G 2j. 17. 9*^1179^0: 

áfsi el radio 90. lo.ooooooo. 

alfeno delladoDG - 41. 41 9.S229382. 

Demonfir. (fig. 36. > En los triangules DEB ^ DFG Con 

Sroporcionales (^01^ tangente de CB , ^ del ángulo D , i 
i tangente del lado F.G; como el feno del quadrante DB^ d 
el radio , al feno del lado DG« 

PROP. XIV. Problema. 

Dada la bifotenufa ,7 un ángulo obüquo , bailar un lado conter-» 

tmno í efie ángulo, (fig: 43. ) 

* 

EN el tríai^ulo DFOíe da la hipotenuía DF 6z. gr, au 
m. ^ el ángulo F 6u gr. 3 ;. m. y íe buTca el lado tQ 
contérmino al ángulo dado» 

Proforcion. Trof. i. Gr. m. Logariibmos. 

Como el radio 90 C.L. 0.0000000. 

djino 2. del ar^o F 61 . 55; 9*^77497í • 

afsiíatangentedelabipuDE 6%. 4;. io.30702;o. 

iia tang. dellado BS. 43. 59» ^«984522;^ . 



m * 



De- 



t •• j 



1 10 Trat. vil De ia Trigonometría. 

Demonftr. Por fcr (fig. 37, ) DE , EF quadrantes , fegua 
la defcñpcion hecfaía en íLprop. 3* (i les quitamos el arco 
FE común , quedarán DF , EP iguales : alsimiíhio , fi a los 

Suadrances G A , FQ^les quitamos el arco FA comun^ quc- 
arán QF , AQ^iguales. Efto fupuefto , en los triángulos 
RPE , RQA fon (a.) proporcionales, el fcno de la baía RP, 

3ue es el radio , al ieno del arco RQ^> que lo es (egundo 
el arco QP , ü del ángulo F 9^ fu medida ; aísi la tangente 
del arco EP , ü de la hipotenufa DF , fu igual , á la tangen* 
te AQ^i üdefu igual FG. 

PROP. XV. Pioblcqia^ 

t 

Dados bs ángulos , hallar la hifotemfa. (ji¿*450 

. . . ' 

EN el triangulo DFG fe (uponen conocidos los ángulos 
F 6o. gr. iS. m. y D 45^ gr« 30. m» y febufca la hi^ 
potenuía DF. 

Vroforcm. Vrof. z. Or. m; Logdrithmos^ 

Comolatang. i.delanguloT 60. i8» C.L. 9.7561718; 

lia tang.z.dil ángulo D 45* 30. 9.9924197» 

afsi el nídto ^, lo^ooooooo* 

alfsno i.dela htpu DF 5 j . 54. 9.748 5915. 

Demonjlr. En los triángulos FQP, FAE ( Jíg. 57. ) fon 
proporcionales (z.) como la tangente i • del arco QP , ik 
del ángulo F , á la tangente i • del arco AE , que es feeunda 
del arco EB , ü del ángulo D : dísi el feno del quadrante 
FP ¡f que es el radio ,. al íeno primero de FE , que lo es fe» 
gundo de la hipotenufa DF. ^ 

PROP. XVJ. Problema. 

Dados dos lados ^ bollarla hiptmufa. (fig. 41*) 

E* N eltriaogulo DFG dado el lado DG 59. gr, 32. m. y 
el lado FG 33* g<^ 44* min. fe buíca la hipotenuui 
?': Jt>F* 

Pro- 






Troporcm. Vrop !• 
Com elfAdio 

alfeuQ 2« dílla4o FG 
afsi clfeno\* del lado DG 

aljhio i.deld hifot. Df 



Libro y¿ 

Gfm ffí» 

55- 44- 

59. 2.2. 

64. 56. 



III 

Logarithmos. 

C* L. o.ooooooo» 

^•j 1 99 5 08. 

. 9.707 I 80 I, 

9.6271105^ 



Demonftr. (fig. 17.) En los triángulos AGB, AFE, fon 
proporcionales ( i« ) el feno de la hipotenufa AG , que es 
el radio, al íenó x . de AF , que es feno z, de FG : como el 
feno I. de GB, que lo es fegundo de DG, al feno u de FE^ 
que lo es fegundo en la hipotenufa DF. 

PROP. XVII. Problema, 
Dado un lada y y el ángulo ofüefto a. ejfe lado , bollar U 

hifotenufa. (m*í9*} 

P?ra efta refoluclen es menefier p^er^fi la bipotenufay i el otro 
lado es mayor , d menor que el quadrante ; ifi el otro ángulo 
obliquo es agudo , o obtufo , lo que fe [abra pr las obíery aciones 
puejias alfrincifio de e fie Cafitulft. En el triangulo DFG, da^ 
do el lado FG, 23. gr. 17» m. y el ángulo opuefto D, 52.gr. 
^4* m. (e bufca la hipotenufa DF, que fuponemos., ha dd 
er menor que el quadrante* 



í. 



Froporc'ton. Frop. i. 
Como el feno del ángulo D 

al feno del lado fG 
afsi el radio 

al feno de la hifot • DF 



Gr. Wt 

32.* 54, 
23. 17, 
90. 
46. 42. 



Logarithmos* 
C. L. 0.2650607, 
9.J969029* 

lO.OOOOOOO. 

9.86i96j6« 



Demnfitf^ (fig, 37*) En los triángulos DEB ,DFG, íbn 
proporcioililes (u) como el feno ae EB , ú del ángulo D^^ 
a)[,fqno de FG : afti el feno del quadrante DE , que es el ra- 
4io, aj. leño de la hipotenufa DF. 

PROP. XVIH Problema. 
D4do u^ lado y y el ángulo adyacente a dicha lado, hallar ¡a hipo-i 

tenufa^.(fig.A6.) 

EN el triangulo DFG, fe da el lado DG, 67.gr. Ji.m. y 
eLaiísÜQ adya(^¿tc D, 28.gj:t 22* na* y fe pide la hi- 
potgqijifa DF. Pro- 



II 2 Trat. VII. De laTrioonometria, 

Tfopwcion. Pfop* !• Gu m. Logmthmr. 

CmoelráAo 90. C, L. o.ooooooo* 

' aI feno 1* iUl ángulo D z8. ii. 9.944445 j« 

éfsiUtámg.i.dilUdoDG 6j. 51 ^•6o^jj^z^ 

4 U táng. z.dela bifüt. DT 70. 1 8. 9* 5 $4^ ^99* 

Defwmftr. (fig. 57. ) En los triángulos AGB ^ AFE, foa . 
proporcionales ( 2. ) como el feno del quadrante AB, que . 
es el radio , al (eno i. de AE , que lo es fegundo de £B, ü 
del ángulo D ; afsi la tangente i. de BG , que lo es íegun* 
da de DG , á la tangente i. de £F , que lo es fegunOa de 
la bápotenufa FD. 

PROP. XIX. Problema* 

Modo de tefdver hs tridnguhs quadrantides* 

TtíanguUs quadf amales , como en otra parte dixe , ion 
aquellos que tienen un lado quadrante de 90. grados, 
y no fon redangulos. El modo de reíblvev eños triángulos^ 
es , mudar los lados en ángulos, y los ángulos en lados, con 
que queda formado otro triangulo , que es redangulo , el 
qual rcíuelto, queda refuelto el primero ; y como dicho fe- 

fundo triangulo fea redáneuló , fe rcfolverá por aquel pro- 
lema de los fobredichos, ]i quien perteneciere. 

La razón de efto es, porque como demonftré en hfrof. 
15. del lib/ antecedente , en los polos de qualquiera trian- 
gulo esférico , le forma otro , cuyos ángulos lón comple- 
mento de los lados del primero al íemicircülo ; y los laobs, 
de los ángulos : luego teniendo el triangtilo quadrantal un 
lado de 90» grados, el triangulo formado en ius polos ten- 
dió un anguK) redo ; y por coníiguiente ferá redangulo : y 
como los complementos al femicirculo tengan los miímos 
ienos , y tangentes que los arcos de quien Ion complenaen- 
tos , baltará convertir los lados en ángulos , y los aiieulos 
en lados : y aunque efto es bien claro , para mayor acui- 
dad propongo el exemplo íiguiente» 
Sea dado el triangulo AEli,(/|j{« 47. ) on qMiea fe (upo- 



XiBRo V. rij 

ncn conocidos el lado EB, 55.gr. 54.mín. diladoBA,5}.gr. 
48.m. y el lado , a bafa £Á fea quadrante 90. gr. Pidefe el 
ángulo A, opuetto al lado mayor £B. Operación. Convierto 
los lados en ángulos, y fupongo que dados los tres ángulos 
bufeo el lado mayor ; y procediendo por la profof 11. diC- 
pongo la proporción en la forma (iguiente,uíanao del nom- 
bre de ladüíy donde alli decíamos anguUs ; y del nombre de 
ángulos y donde alli decíamos lados* 

Vrofonwn. Gr» m. Logafitbmos* 

Com^elfeno i. de^tA ladoconU 53. 48. CL.o.09;i478* 

al feno z. de 3E iado opuefh'j 55. 54. 9.748683 5* 

afsi el radioy 90* o* xo.ooooooo« 

al feno z. del ángulo A^ , 46. o. 9.84183 1](« 




LIBRO VI. 

é 

DE LA RESOLUCIÓN DE 

los triángulos esféricos obll:- 

qu ángulos. 

LA mayor parte de los triangulas esféricos obliquan* 
gulos fe refuelve , reduciendo el triangulo dado i 
dos triángulos redangulos , lo que íe hace tirara 
do de fu vértice el perpendículo á la bafa , el qual no. 
es otra cofa que un arco de circulo máximo , que defcien- 
de del vértice perpendicularmente (obre la bafa del trianjgu-^ 
lo. Demonftraré en los dos primeros capítulos de efte libro 
los Theoremas principales en que (e funda la reíblucion de 
dichos triángulos , que íe exphcará defpues en el tercero^ 



romolU. y CAr! 



f 14 Jrat. yil. Di la Tricqnqmbtui Aé^ 



\ 



CAPITULO L 

JHEOMMAS FUVJ3AMESTALES FARA LA nESOLVClOA 

Í€ ks triángulos esféricos oblicuángulos y qudndo fe ion 

conociios dgs ángulos jj unMoi ^ dos lados^ 

yunangulo»^ 

PROP* I. Theorema. 

Sr> qualqniera triangulo esférico y los fenos de los Udos fon po^ 
forfionales con los fenos de los ángulos ofuef- 

tos.(fig.ii.) 

SEa el trian^^lo ABC. Digo ^ que el íeno de el lado 
AB , al íeno de el ángulo opiuefto C , tiene la oiif- 
ipa jazpn que el feno de ei lado AC y al feno del ángulo 
opucíto B : cayga defde A , el perpendículo AD , y conti- 
niienfe los lados 6AQ^, BCP , CAS , CBN , hafta el qua- 
drante. 

Demonftr. Los triángulos redangulos CSN , CAD , tie- 
nen etjangulo C común , como también los triángulos rec- 
tángulos oQP^ BAD , tienen el ángulo B común : luego 
(iMb.$.Trigon,)los leños de las hipotenufás, feran pro- 

{>orcionalcs con los fenQS de los perpendículos , como (e 
igue. 

En los triángulos CSS , CAD. 
Como él fenó total , ü del quadrant^ CS, ó BQ^ÍU igual, 

al feno de SN , ú del ángulo C , á quien mide; 
4Ísi el feno del lado CA, 

al íeno del perpendículo AD* » 

En los triángulos BQPJBAD. 
Como el feno total, ú del quadrante BQ, ó CS fu igual, 

al feno de QP , ú del ángulo B , á quien mide; 
afsi el feno del lado BA,. 
al feno del perpendículo AD. 
Y como ( 16. ó.Eucl.) en los proporcionales el redan- 
gulo de los medios fea igual al de los extremos ; y el rec- 
tángulo de los extremos fea el mifmo en las dos propor^ 

ci9- 



Libro VI. \ ' Ijj 

dones fobredichas , por ícr los extremos los mifmos, ícrán 
los dos rei5bngulos de los medios, iguales entre sí : luego 
el reáiangulo de los fenos de SN , CA , es igual al reóhn- 
culo de los fenos QP , BA -.luego ( 14. 6. EucL ) fuslad^ 
fon reciprocamente proporcionales, como el feno dp SN, 
al feno de QP,; aási el feno de BA, al feno de.CA ; y alter- 
nando , como el íeno de SN , que lo es del ángulo C , al 
¿no de BA, lado opUefto ; afsi el feno de Qf , que lo esd^ 
ángulo B, al feno de AC, lado opueito. 

' V PROP. IL Theor^ma* 

En qualifuitra triángído esférico ^fidemode fas ^nguUs cae d 

ferpendiculp a U bafa , hár^ c$n los l^dos dos angadús, verth 

cales , tuyos fenos primeros fetm pflfonionaUs aonlos 

fenos fegundos dé los ángulos fidne . . . ^ 
U bafa. (fig. 31.) 

EN el triangulo ABC , fea el perpendículo AD, que for- 
ma Ids ángulos verticales BAD , D AO , cuyas medi- 
das fon los áreos HG, .GI ; y loí arcos Q^ , SN fon las me- 
didas de los ángulos ABC, ACB (obre la bafa; yS\i$ cora- 
plementiOS'fon lós^arcos PO , NM. XajDubien li de los qi|a- 
drantes iguales HO, GF , fe quita el arco común GO,que- 
dará OF igual a HG, medida del ángulo vertical BAD , y 
afsimifmo , fi de los quadrantes IM , GE fe quita el arco 
ccjpHin GM , quedará ME igual á IG medida del otro aa^ 
guio vertical DAC, Efto rupueílo, 

Demonftr. Los triángulos ENM , EPO , tienen los ángu- 
los E,y F iguales, »(4./¿fr.4.Tn¿o»0 y los ángulos N, y P rec- 
t©sr: luego ( i. J. Trigon.) ferán proporcionales lojS fenos do 
las hipotenufas con los fenos de. los perpendículos. 
Como el feno de EM , ó GI fu igual , ü del angnlo CAD,; 
al feno de MN, que es fegundo de NS,ü del ángulo ACft^ 
a&i el feno de FO , ó GH fu isual , u del ángulo BAD, 
. alfeno de OP,que lo es fegundo de PQ,ü defangulo ABC, 



Vi PRQPi 



• _ _ 

§í6 Trat.VII.DelaTrigonometwa¿ 

* • * 

PROP. in. Theorema. 

In qudlquiera triátiguh fm fropmimales los fetws fegundús ii 

l$s ángulos ymkaUs , qutfwmáelferftndicuU y cm 

las tangentes figundas 4ie los lados. 

E' <fei-) 
N el fntfino triangulo ABC , es FI , complemento de 
IG, medida del ángulo vertical CAD; y IC, es com- 
plemento de CA : afiimii mo es EH , complemento de HÓ, 
medida del ángulo Vertical BAD; y HB^ es complemento 
del 1 ado BA. Ello fupueilo, 

' Dftnonjiu Los triángulos FIG , EHB , tienen los angulas 
E,y F, iguales ; y los ángulos H, I, redos : luego («•5.Tfif.) 
fon los fenos de fus bafas proporcionales con las tangentes 
de los perpendículos. 

Como el (eno i • de FI, que lo es fegundo de IG , ü del án- 
gulo CAD, 
a iá tangente i. de IC , que lo es inunda de CA; 
afá el feno i. de £H, que lo es íegundo de HG , ú del an« 
guio BAD, 
á la tangente i. de HB^ ^ue lo es fegunda de BAr 

PROP. IV. Theorema. 

los fenos fegimdos de los lados fon proporcionales con tosfemsfi 
gundos de los fegmentos^ que hace el ferfendkuU 

en la baja^(jig.li.) 

\ 

EN el mifmo triangulo ABC , |los legmentos que el 
perpendículo AD hace «i ía bafa, fon BD, y CD, los 
■qualcs (iempre fe han de contar dekte cada ángulo íbbre 
la bafa hafta el perpendículo , aunque élte cayga fuera del 
ti'iangulo» También el arco £B , es complemento del (eg- 
mento BD ; y el arco HB , del lado BA;; y aísimiímo FC, 
es complemento del légmento CD ; y el arco IC, del lado 

Demonfir. Los. triángulos £BH , FQ , tienen los angu^ 

los 



LiBHo VI. ^ MTi 

los 1 9 H, reS;os, y los ángulos F > y E iguales : (4^.Tng«i.) 
luego (\i. 5. Trim. ) los.íenos délas hipotenusas ion pro-* 
ytfecionales con los fenos de los perpendículos. 

or.J 

Como el (eno i« de EJB^que lo es inundo del (egmento BD^ 
al íeno i. de Btí, que lo es íegundo del lado BA; 

HÍsi el (eno i.de FQque lo es fegundo del feemento CD» 
al íeno x. de CI,^ que lo es fegundo del lado CA. 

PROP. V. Theorema* 





N el mifmo triangulo ABC , íi de los quadrantes íg]Lta- 

_j les BP, Dp, íe quita el (egmento común DP , qued^t 
, P, igual al (cgmyenco BD; y tí de los cuadrantes CN, D£, 
(e quita el (egmento común DN, queda el arco EN , igual 
al (egmento DC. A mas de elfao ^ el arco PO , es comple- 
mento del arco OP > medida del ángulo B ; y MN, es con»- 
píemento de NS> medida del ángulo Q lo qual fupuefto, 

Dewoujlr^ En los triang;ulos EnM y FPO , los ángulos N, 
y P, (bn redos; y E, F, iguales : luego (i.%^Trigon^ los fe- 
nos de las bafas fon proporcionales con la$ tangentes de 
los perpendículos ; y leri 
Como el (eno i. de FP, ü del (egmento BI>, fu igual, 

,á la tangente i» de PO ^ que lo es fegqnda de QP , u del 
anguio B; 
4&i el feno i • de EN » ü del fegmenta DC» fu igual, 

á la tangente i. de NM^que lo esfegunda del arco AB^ii 
del ángulo C» 

« 

PROP* VI. Theorema* 

íast/mgemes de U$ ángulos vmkalts fin pofmionaks ^on Ím 
tangmHs de hs fegmentas de U bafa. (fig.^u} 



EN el miímo triangulo ABC Digo , 
nales U tangente del aog^oBAD 



tangente del 
íég- 



í i8 Trat.VILDje LA Trigonometría. 
icgmentb bD ; como la tangente ^el ángulo CAD > Á kt 
tangente del fegmento DC. 

De$nonflr. Los tríangulos HAG , BAD íbn re&angubf 
en G , y D, y tienen el ángulo BAD común ; y arsimiTmo 
IOS triangulo^ GAI , DAC ion reékangulos eo G^y D, y ti¿ 
nen el ángulo GAI común: luego (1,5* Trigan.) la tangente 
d&GH á la tangente de DB tiene la razón mífma que ek 
ieno de AG, al leño de AD: la tangente de Gl á la tangen- 
te de DC tiene también la miíma razón que el íeno de AG 
al feno de AD ; luego la miíma razón tiene la tang.^Qte de 
HG a la tangente de BD,que la tangente de GI a la tangen* 
tfe de DC : luego 

Como la tangente de HG , ü del ángulo BAD, 
á la tangente de BD , fegmento de la bala; 

iísi la tangente de GI ^ ú del ángulo DAC, 
á la tangente de DC fegmento de la baíá. 

CAPITULO n. 

THEOMMAS FUIfíDAldESTAlES PAUA LA MSOLVCIOJX 
4e los triángulos fsfericos obliquangulos , tn que^fe dan 
ionocidos fus tres lados , h fus tres 
' ' ángulos. 



PROP. Vn. Theorcma* 

In qualefquiera dos arcos ^ afsifeha el feno total y al feno de U 
- ^feniijuma de dichos arcos ; ik>mo, el feno de la femidíferencia 
de los mifmos arcos a la femidiferencid de fus 
fenos verfos. (/íg.40.) 

Explicación. Sean los dos arcos AB , BC 5 y todo el 
arco ABC ftra fu fuma : tirefe la cuerda AC , y dd 
centro L fálga el radio LN perpendicular á AC ; y que- 
darán afsi la cuerda AC , como el arco ANC divididos en 
dos partes iguales e» F , y N ;>( 3.5. EucL ) conque AN íc- 
rá laíemííuftíia de los arcos uIS y BC ; y AV^ el feno de dicha 

fe- 



EiiRo VI. »t^ 

iemtíuma : tómele el arco BG, igual iBA^y Cetl CG , la di^^ 
íerencia de los arcos AB, BC ; ó BG, BC ; y tirando la cuerda 
jíGj quedará éfta dividida en dos partes iguales en D, ^or el 
radio L^ que le es perpendicular por fer los arcos AE^ BG^ 
iguales , conque ferá DB , íeno verfo del arco AB ; y tirada 
CE perpendicular al radio IB , (era EB , feno veríb del arcd 
fiC; y £D, ó €Aí fu páratela, é igual , íerá la diferencia de los" 
fenos veríbs DB , ÉB : dividafe por medio en H la reda CGi 

3ue es cuerda déla diferencia CG;y lera Cíí,{enode lafemi^ 
iíerencia^ó mitad del arco CG, y juntefe la linea FH. Digcr 
{>ues, que afsi feha I^ , radio á ^F, feno de la femifuma de 
os arcos ABy BC, como CH, feno de la femidiferencia de los 
mifmos, i CI, que es femidiferencia de fus fenos verfos. 

Demonftr^ En los triángulos CFH , C AG , afsi íe ha CF i 
CA,comoCH árOG;porquc afti como CF es mitad de CA< 
^fsi CH es mitad de CG: luego ( 2.6.Eucl. ) FH,AG fon pa^ 
ralelas: luego (27. i.JEucl.) los ángulos M,I, Ion redos igua- 
les,como tambiiep ion iguales los ángulos CHI , CGM : lue- 
go los triángulos CIH, CMG, fon eóuiangulos: luego ( 4.6. 
Eucl.) afti como CH, es mitad de CG, es CI mitad de GM; 
es pues O , femidiferencia de los fenos verfos. Ello fu- 

}>uefto , los triángulos AFL, CM, fon equianjgulos, porque 
os ángulos F, I, ion redos ; y el ángulo ALN, es de tantos 
grados como el arco AN, por formarfe en el centro L ; y el- 
angulo AGC, por form^fe en la circunferencia, es de tan- 
tos grados como la mitad del arco AC, que es también AN: 
^ ao.5.EucL ) luego el ángulo ALF,es igual al ángulo AGC; 
y fíeñdo ¿fte, como dixe , igual al ángulo IHC , es también 
el ángulo ALF, igual al IHC : luego los triángulos AFL, 
CIH , fon equiángulos : luego ( 4.6.EucL ) fon fus lados 
proporcionaíeSé 

Como AL radio, 

á ÁF, feno de la femiíuma de los arcos AB^ BQ 
íjiísi CH, íeno de la femidiferencia CT de dichos arcos, 

á CI , femidiferencia de ios fenos verfos DB , EB de los 
niiimos* 



CO- 



tíO Trat.VII. De la Trigonometría. 

^ • • ■ 

COROLARIOS. 

t T7N qualqéerd triangulo infirito en el cinido , fon Us 
Ij mitades de fus lados medios poforcimales entre el tár- 
So y y la mitad del perpendículo : como en el triangulo ACG ; afsi 
fe ha el radio AL a AF^ o FC , mitad del lado ACi como CH , mitad 
del lado CGy aClj mitad del perpenéculo CM. confia de lo de-- 
monftrado. 

2 Afsi fe ha el quadrado del radio , al r^üanguU hecho del 
feno reno de la femifuma de dos arcos , y del feno reSo de la fnm- 
d^erencia de los mifmos ; como el diámetro a la diferencia de los 
finos verfos de los mifmos arcos. . 

Demonjir. Siendo , como queda demonfirado, , el radio al fent^ 
ie la femifuma de dos arcos , pomo el feno de la femidiferencia de 
los mifmos arcos , a la femidiferencia de fus fenos verfos : feríír 
( i6.6.EucU ) elre^angulo hecho delradio , y de la femidiferencia^ 
ie los fenos verfos ^ que fon los extremos , igual al redangulo hecha- 
de la fenúfuma^ y femidiferencia de los arcos y que fon los medios^ 
y porque el quadrado del radio , al re£tdngulo , cuya altura es el 
radioyifu bafa la femidiferencia de los fenos verfos y fe ha como el 
radio a dicha femidiferencia ^ o como todo el diámetro a- toda la, 
dicha diferencia^ fera el quadrado del radio al reSangulo hecho de 
los fenos de la fuma , y femidiferencia de los arcos y como el diante^ 
tro a la. diferencia de los fenos verfos de los mifmos arcos. 

PROP. Vni. Theórenaa. 

In qualquiera triangulo esférico fon proporcionales. ' 
tíreHangulo hecho de los fenos de los lados y 
. al quadrado del radio; 

€omo la diferencia de los finos verfos de la bafa , j diferencia de 
los ladoSy 
al feno ver jo del ángulo vertical, (fig. 49. ) 

Explicación y y preparación. La mayor dificultad de eftos 
Thcoremas cónfifte en la diípoficion de las figuras, 
que no pueden baftantemente expreflar íiis términos por 
caer unas lineas en la fuperficic de la esfera ^ y otras den- 

uo« 



. ti^Ro VL til ' 

%fó. Para mayor claridad» las que fe Jian de confiderar den- 
tro, van notadas .con puntos; y las <)ue en la fuperñcie , coq 
liaeaS' íeguidas. 

Sea pues el triangulo esférico ACB , cuya bafa fupongo^ 
ftr CB, y fu ángulo vertical A, Defde B , como Polo , con 
la ^iftancia BC , detcrivaljb el circulo DCY , y ferán afsi 
BD, como BY, iguales á BC ; y défde A , coino Polo , con 
la diftancia AC , de(criyafe el circulo menor ECM , parar* 
lelpal máximo ÑGO ,.y fcrá AM igual al lado AC >y ppr 
conlíguiente ferá BM, diferencia de los lados AC, AB; y la 
MK perpendicular al radio XB , íera el fenp redo de di- 
cha diferencia , y fu (eno verlo ferá RB. Tijr efe el diáme- 
tro DY , del circulo DCY ; y porque el plano de ette cir- 
íjuIq es psírpendicular al plano AN Y , ferá fu exe BX per- 
pendicular al plano de DCY ; y por conlíguiente ( íUfin. 5 . 
iíéa I. Eucl. ) ferá CL perpencíicular al radio XB , y feno 
redo de la bala CB ; y LB , feno verft> de la mifma bafa: 
conque LR , ferá la diferencia de los íenos verfos LB , RB; 
y tirada BV , perpendicular al radio AX , ferá feno redo 
del ladb AB ;y MI, también perpendicular á AX , ferá fe- 
pb redo del lado AM > ü de AC fu igual ; y continuando 
el arcó AC , hafta perficionar todo el quadi anee AG , fe 
eonfiderará la CP , perpendicular al diámetro NO , y lera 
feno redo del arco GO ; efto es , del ángulo vertical CABy 
i quien mide ; y por configuiente ferá PO , feno verft> del 
mifmo arco GO , y de dicho ángulo vertical CAB : y por- 
que el plano, aísi del circulo paralelo EC-M, como deí 
ptro circulo DCÍ , ion perpendicularcís al plano del cir- 
culo máximo ANY, ferá fu común feccion cz (19. 11. 
EucL ) pernendicular á dicho plano ; y por configuiente al 
diámetro EM; conque ZM, en elle diámetro es feno ver- 
fo del mifmo ángulo CAB , como ló. es el feno vcrfo PO, 
en el diámetro NO , quedando ftmejant emente cortadas 
NO, EiM en P , y Z, por el paralelifmo de los planos NGO, 
ECM. 

Demonftr. Por fer VB, IT paralelas, los triángulos VXB, 
IXT, fon femejantes; ( 2,6,Eucl. ) y tanabien lo fon por la 
mifxoa razón ZMK, ZTL* Aisimifmo , los triángulos XlT, 

,\ . ZLT, 



^ 



» 



123 Trat.VII. De la Trigonometría; 
ZLT , porque tienen el ángulo T común ; y los anáülo^ 
L, I, Fedos y Con equiángulos : luego ( ^f .6.£uc. ) ion ftme-- 
jantes: luego ( 2i.6.Euc. ) los quatro triángulos VXB^XT, 
ZTL^MK,fon femcjantes : luego íus ladoS fon proporción 
nales. Comparando pues los triángulos ZMK, y VXB , ferá 
como MK a MZ; alsi BV á BX ; y porque las cuerdas, y le- 
ños de un mi (¡do ángulo en circuios diferentes tienen una 
mifma razón con el radio , ferá el íeno verfo MZ, al íeno 
veríb OP, como el radio MI, al radio OX, fon pues pro^ 
porcionales. 

MK á MZ, como BV á BX. 

MZ á OP, como MI á OX. 
Y porque ( ^i.ó.^iic.) los redangulos hechos de lados 
proporcionales , fon también entre si proporcionales , (erak* 

El reéhngulo hecho de MK, MZ, 

alredangulo hecho deMZ, OP; 
como el redangulo hecho, de B V, Ml^ 

al nedangulo hecho de BX, OX. 

Y como los reftangulos hechos de MK, MZ, y de MZ, 
OP, tengan una mifma altura MZ ; tendrán entre si la miC- 
ma razón que fus bafas MK, OP: luego el redangulo h^ho 
deMK, MZ, al hecho de MZ, OP, ferá como MKáOP^y 
haviendo la mifma proporción entre el redangulo hecho de 
MK, MZ, y el hecho de MZ , OP, que hay enere el redan- 
guk) hecho de BV, MI, y el hecho de BXj OX, ferá el rec- 
tángulo de BV, MI, al redangulo de BX , OX , como MK, 
á OP ; pero el redangulo de BX , OX ^ es quadrtdo hecho 
de los radios iguales : luego ferá 

Como el redangulo hecho de BV, MI y íenos de los lados 
AB,yAM,óAC, 
al quadrado del radio OX; , 
afsi MK, diferencia délos fenos verfos de la bafa CB, y de 
BM, diferencia de los lados, 
á OP, íeno verfo del ángulo vertical CAB» 

PROP. 



! ) 



LiBKo VI. xaj 

I*- 

PROP» IX. Theorema. 
Inqual quiera triangulo esférico Jpnproforcionalesi 
Qom H resiguió hecho ielosfenos de los lados y que comprehen^; 
^ den el anguloy 
al quadrado ael ráibo; 
afsi el reHangulo hecho delfem de lafemifuma de la hafa , j dife- 
rencia de los lados y y delfeno de lafemidiferencia que hay 
entre la bafa^yU diferencia de los lados y 
al quebrado delfeno de la mitad delangulo vertical. (^fig*$o. ) 

Explicación y y preparación. Sea el triangulo ABC ; y to- 
mando como antes BD , BY Iguales á la bafa BC , y 
cortando AM igual al lado AC , ferá BM diterencia de los 
lados AC, AB ; yfiendo'BD igual a la bafa BC, ferá el ar- 
co DBM íuma de la bafa , y de la diferencia de los lados ; y 
dividiendo al arco DBM por medio en £, ferá DE la íemi- 
f^ma de la bafa, y de la diferencia de los lados ; y el íeno 
redo de dicha femifüma ferá DQ : y íiendo BY igual á la 
bafa BC , íerá MY diferencia de la bafá , y de la diferencia 
BM de los lados ; y MZ íerá feno redo de la femidite- 
rencia. . 

ConiEderefe aora el plano del ícmicirculo NGO , per- 
pendicular al plano del femicirculo NEO ,.5y el arco GO 
ferá la medida del ángulo vertical CAB , y lá perpendicu- 
líir GP ferá fu fenoredo, y PO fu feno ver fo, y la reda GÓ 
es cuerda del arco GO ; y por configuiente , fu mitad SO 
lera el feno redo de la mitad de dicho arco GO , y de U 
mitad del ángulo vertical CAB ; y tirada SF perpendicular 
al radio XO , ferá FO mitad de PO , afsi como SO es mitad 
deGO. ( 2.6.Euc. ).Efto fupueíto,digOj que elnñangulo he* 
(bo de BF, MTyfenos de los lados ABy AMy al quadrado del radioy 
es como el rectángulo hecho de M^ MZ úfenos y el uno de lafemi- ' 
fuma de la hafayy diferencia de los lados; y el otroy feno de lafemi- 
diferencia que hay entre la bafa , y la diferencia de los lados , al 
quadrado de sOy feno del femiangulo vertical CAB. 

Demonjir* La mifma razón hay de MK á OP , que de 
MH á OF , que fon fus mitades ; y fiendo el redangulo he* 

cho 



Í¿4 TrAT. vil Di la TRICaONOMETRlA. 

cho de MH, OX, al hecho de OF , OX , por tener una mit 
ma altura OX, como la baía MH, a la baía OF, ( i6.Eud,) 
tenduán ettos redangulos la razón que hay de MK á OP :'y 
teniendo (por la antee. ) el reftangulo hecho de B V, MT- y 
el hecho de BX , OX , la mifma razón de MK á OP , feráa 
los quatro reftangulos proporcionales , como fe figiic. 

Como el reSangulo de BF, Mr, 
al reílahgulo , b quairado de BX, OXi. 

dfsi el reñangulo de MH, OJC, 
d reSangulo hecho de OF , ox. 

A mas de efto , porque MQ^, MZ , fenos , aquel de la fe- 
miíuma , y éfte de la femidiferencia de los lados , fon ( 7. > 
medios proporcionales entre el radio OX, y MH, femidife- 
rencia de los íenos verfos de los mifmos arcos , íerá ( 16.6. 
Eucl.)el reétaneulo hecho de MQ» MZ, igual al redaneu* 
lo hecho de MH, OX. También en el triangulo XSO, por 
fer el ángulo XSO redo, (j.j.Eucl. ) aunque la figura no ic 
reprcfeníe recio, es OS,media proporcional entreOF, OX; 
( 8. 6. Eucl. ) y por configuicnte j el quadrado de OS , es 
Igual al redangulo hecho de OF , OX : luego fi en la pro- 
porción antecedente , en lugar de los reétangulos de MHL 
pX , y de OF , OX , fe fubltituyen el reftángulo de MT^ 
MZ, y el quadrado de OS, ferán también proporcionales. 

Corno el reaangulo de BV, MTy hecho de los fenos de los 
lados AB, AM, M quadrado del radio BX ; afsi el redanoido he- 
cho de Mr, MZ ; de los quales, MT , es feno de la femifuma 
de la bafa , y diferencia de los lados ; y MZ , es íeno de U 
femidiferencia aue hay entre la bafa, y la diferencia de los 
lados; al quadrado de OS, feno de la mitad del ángulo yqrti- 
cal Vi^Ao» ... 






^ *KQf. 



PROP, X. Theorema. 
. Iñ qitdqiáera tnjwg^ esférico fon proporcionales: , 

Cámo el reüangttío hecho Je los fenos de los lados , que wnfter 
benden el ángulo vertical^ . . ; 

. al iModrado dehm4iOi 

mfsi el reSangulo hecho de hsfems da I4S diferenüasyque hay en- 
tre, los dkhos lados ^ y la femifumade los tresy 

éd quadrado delfeno del ¡emiangulo vertical, {pg^^u) 

» • . . < . , 

Explicación^ y preparación. Sea el triangulo ABC, y'íeáa 
BA, BC fus lados , y AC fu bafa. Üigo , que íi fe lü- 
S0aq fus tres ladp^, y 4e 'Ift imitad de eíialuma ie reílaq d^ 
por sí Jos lá^os BA, BC , para facar fus diferencias de dicha 
femij^fna , íerá el re^at^gulo hecho de hs fenos de los lados BA^ 
BC , al quadrado del ra¿Í0y como el reílangulo hecho de los fenos de 
las diferencias halladas entye^ los.ladof B>, ^^J lafemifuma de 
los tres lados , al quadrado delfeno delfemiangulo vertical ABD^ 
Hag^ile Jos arcos ,Bp,J^E, iguales al ladoJE^Cj-y ferá Aí> 
la diferencia de los dic|^^ la^ps : tomefe AF, igual á la ba- 
ía AC,y añadafe FH, igual ál arco AD; y cortefe FI, igual 
^ ladi^ BQ'j y, ukimaiiieme, dividafe darco FD,por mor 

tlioen ó. — 

Demonfir.. El arco AH , fe compone 4el arco AF , igual 
^ l^k^bafa AC, y del arcQ FH, igual a AD ^ diferencia de los 
lados : copqu^ dicho arco AH, es la fuma de la bafa ,i y de 
la diferencia de lp3,ladoj;:y por co^iiíiguiente AG, mitad de 
J^^^ítA la femifuipa de ía baía , y diferencia de los lados^ 
^'ambien el arco BAfI , íe compone dd arco BA y que ^^ 
un lado dd tri¿tf)gulo , del arco AF , que es igual á la bdíai 
Apj y dd arco FI , igual al lado BC : luego dichq arcó 
3AFI , Gs Ja fuma, d&los tres lados : luego fií j^itad BG , 9 
GI 3 es la iemifuma ^e los tr^s ladps del triángulo : ^uego 
AG, ( que diximósi^fer Ja femifiíipa de Ja. baía^^y diferendi 
de los lados) es tamSien l^a diíerericia dd lado AB, de la ic- 
mifuma BG de los tres. Afsimifmo GD , que es íemidiíe- 
rencia de la bafa AF , y diferencia AD de los lados , es 
jjuntamente la diferencia de el ladQ BC 9 o BP , de la 

fkxxúr 



# * • 



Trat. VII.'De la Trigonometría; 
lemifuma^BG de los tres lados. Efto íupuefto, 

Siendo por la piopoficion anteced. el rcaangulo. hecho 
de los leños de \h$ lados BA, BC^quecomprehenden d án- 
gulo B, al.quadrado del radio , como el redangulo hecho 
de los (enos , el uno de la íean^uma de la bafa , y diferencia 
de los lados ; y el otro de la iemidiíerencia de labaia,y di- 
ferencia de los lados , al quadrado del feno de la mitad del 
ángulo vertical ABC, ferán también proporcionales ios íi- 
guientes* 

Como el reSdngulq hecho de los fenos de los lados BA^ BC, que m- 
* €lujfen el anguh B, 

al quadrado del radío; 
afshl nüangulo hecho de los fenos de las J&ferenáasyque hay enm 
los lados BAy 6C, y la femifuma de los tres lados. 

al quadrado del feno de la mitad del ángulo vertical B. 

CA^PITÜLO "ni. 

BN QVíE S£ BESVELVEN LOS TRlAtJGULOS ESFÉRICOS 

iAltquanguUns. 

P Ara. proceder con mayor -claridad , advierto ^ que las 
partes que íe coníideran en qualquier triangUky (btt 
icis ; es á faber , tres ángulos , y tres lados : entré cada dos 
lados hay un anguk), y entre cada dos ángulos hay un lado: 
por lo qual aquellas partes del triangulo , que entre si con- 
tienen otra, fe llanaarán Alternas \ y las contenidas^Iiifmfif* 
lüas: y aísi dos lados ion partes alternas , porque tienen in- 
termedio un ángulo ; y afsimifino dos ángulos ion tambica 
partes alternas, porque tienen intermedio ün lado. Eíto fu- 
pücllo , todos los problemas obliquangulos fe reducen \ 
tres efpccics : en la primera fe dan conocidas tres partes 
alternas: en la fegundados alternas, y una intermedia: ^n 
la tercera dos alternas , y iin^ opueíta* 



i, 



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1-. .': 



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XiiBRo yi. aa^ 

1ítfelu(Í0tt Je los trumgáos esféricos obüquanffdos teu^iuftdá» 

tres fártes alternas. 

PRÓP. XI. Problema» 

« 

Dáoslos tres Jados dt M triangHk tsftrm » h^Unt qualqím 

ángulo. 

ESte problema , ^ quien muchos Autores llagan , admi- 
rabie y le puede relblver de diferentes maneras: conten- 
tQQie con poner, acpi la methodo de Adriano Uiac, que es 

Ja mas fácil , reoütiendo al Ledór curiólo al Padre Disck^j 
es , que en el ftblój dé la Trigmometrid %t¡roff 8^ p^opon^ 
y demueítra ocho modos diferentes de relolverle. ' 

Sea pues dado el triangulo ABC , en el qual fe dan ílis 
tres lados : el lado AB es 5 5. gr« 30. min. el lado AC es 54. 
gr.ip. min. y el lado BC es 40,gr.ip.fnin* y íe bufca el an« 
guio A. . 

Ofcracion* Súmenle losTtres lados : d^ la mitad de eíta 
fuma reftefe de por sí cada lado de los que comprehenden 
el ángulo que fe bufca, -y guárdenle* las diferencias, ó reti- 
dnos. . Tomenfe los complementos logarithmicos de los 
ienos de los fobredíchos lado& que cpmprehenden el apeu- 
lo ; tomenfe también los logarithmos de los leños de jla^ 
dos diferencias. halladas: fumenfe todos , y la mitad d(^ Ja 
fuma ferá el logaríthrno del fcno de la mitad del angu^ 
que le buíca , como fe ve executadq en la difpoficion íi^ 
fíente. Advierto , que de la luma de los logarithmos oo 
le quita el radio^como.en otras ocaíipnes^ por la ra;ton que 
luego diremos. 

» 

Lado BC , 40. lo.m^ 

L^o AB. ; 55. 3o.m. C.L.0.084006J. ] 

LadoAC 54* ij.m* C.L^o.o^ojoSj. , 

Suoda de los |,. lad. 149. 59dii« 



» r • - • . S 



SeíQí^ 



iit Trat.VU. De X.A Trigonometría; 

Semifuma. 74. 50.111.— 

> 

Dífer.deAB 15. 29.111.— 9.523 51^8, 

Viftr.deJC . 2a 4o.ñQ.-^ 9.547856Í, 

2 

Snma de Us logárithmos. 19. 2454882. 

Smifuma: feno de 24. 48:111.' ij.f. 9.6227441. ' 
• - ■ ángulo A. 49. 56.111. 26.r. 

- El alngulo de 24. gr. 4$>. m. y 15. ftgundos, es la mitskd 
del ángulo A, queíc biifca : conque fii duplo 49. gr. j6.m. 
y 26, iegundos, es el ángulo A. • 



« I » .< 



í? 




«. 4 



: Señionftr. Por la frapof 10. íbn proporcionales : co- 
itio el redangulo hecho de los fenos de los lados AB,' AC, 

Site comprehenden el ángulo A, al quadrado del radio, aí^ 
reéferígulo hecho de los íenos de las diferencias de dichos 
ikdos a la fenrifuma de los tres, al auadrado del feno deJ íc- 
teiangulo vertical : el rcétangulo de los ftnos de los lados 
AB , AC , íe hace fumando Ibs logapithmos de dichos 
lados; y el redangulo de las fobredichas diíereilcias, íe for- 
ma fumando fus logarithmos , como confta del CoroL de la 
pr0p.5.del/i^. 2.y elquadrado del radio , fe halla duplican- 
do fu logarlthmo (CoreL de la fm:6. líb. 2. } Será pues la 
difpQÍicion de los pi-oporcionales (obredicHos la figuiente. 
Como el reftang. «AB 55. ^0%fti. ' ' 9*91 599 18; 
délos fenos de t AC 54. I9«m«^ 9»9oj>69i5. 

Al quadtdel radio 2.0000000. 

Afsi 



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TíPiíw íír. 




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Libro VI* laj 

Afsi el refiíangul» DiflAB 19.19jn.JL p.ji j ji£g. 
delosfenosdc c} * 

Dif.AC 10.40.1n* JL 9.J478y66. 

2 
Al quadr. del íeno del (e^ 
xniang. A i4«49.in.'^^ 19.1454881. 

Luego fi fe fuman los Logarithmos tercero , quarto^ y 
quinto ; y de la fuma lereíla la fuma de los Logarithmos 
primero, y legando, el reliduo lera el Logarithmo del qua- 
drado del feno de la mitad del ángulo A : (3iJi¿.i.) luego 
íi' en lugar de los Logarithmos primero , y fegundo, fe to- 
man fus complementos Logarithmico$,la fuma del' I. 2. j. 
4» j, menos el duplo radio ( por haveríe tomado dos com* 

f>Iementos al radio ) dará el Logarithmo del fexto termino: 
uego no hay para que efcrivir el tercero termino^que es el 
diiplo radio ; y por coníiguiente , bailará fumar los com- 
|>l¿mentps Ldgarithmicos de los lados con los Logarith* 
xnos de las diferencias ; y la íiima (era el Logarithmo de el 
quadrado del feno de la mitad del ángulo A, que fe bufcaí 
luego la mitad de la fuma , ferá el Logarithmo de la raíz; 
efto es^del feno de la mitad de dicho ángulo , que es toda 
nueftf a pradica. 

PROP. Xn. Problema. 
En €l triángulo esferic» ^ dados los tres ardides , baUat 

qnalquier ladoé 
^T7 N el miímo triangulo ABC , fuponganíe conocidos fus 
J[l tres ángulos , y le buíca el lado BC* 




Tomo ñu X Of#- 



230 Trat. vil Pe la Trigonometría. 

óferacm. TomeTc el complemento al íemicirculo de 
qualquiera de los ángulos contérminos al lado BC y que Ct 
bufca; como por exemplo, tomeíe el complemeopo del án- 
gulo C ; y haciendo cuenta que el ángulo Á , es lado; y el 
ángulo B, otro lado; y el complemento íbbredicho del an> 
guio C , otro lado : hagafe la mifma operación de la propé 
paflada y y quedará hecna la refolucion. 

Demonhácion. Por \aLjrof. 14. Itb. 4. en los polos de los 
arcos del triangulo ABC , fe forma otro triangulo , cuyos 
dos lados fon iguales á los ángulos A, y B ; y el tercer lado 
es igual al complemento del ángulo C, al femicirculo;y los 
dos ángulos de efte (egundo , Ion iguales á Ips lados AC^ 
BC; y d tercer ángulo es complemento de AJB , al íemicir- 
culo: luego refolviendo por la antecedente elte fegundo 
triangulo , íe fabrá el valor del lado BC* 

Hifilumn de hs trianguhs esféricos obliquangules , en que fe dan 
dos fortes alternas con una intermedia. 

CAfi todos los problemas que íe liguen , uían en fus re- 
íbluciones del perpendiculo , con el qual queda divi- 
dido el triangulo obíiquangulo en dos triángulos redangu- 
los ; y ceníjguientemente necesitan de dos operaciones^ de 
las quales y u primera , íirve para hallar el íegmento de la 
bafa^ ú del ángulo vertical que cona el perpendiculo ; y la 
íegunda , concluye la operación , hallanao el lado , o angu- 
I9 que íe bufca ; y para proceder con acierto , íerí conve- 
niente en algunos caíbs atender á las reglas (iguientes , to- 
cantes al conocimi^to de los ángulos , y diipoíicion det 
perpendiculo , conque fe quitará la perplejidad que puede 
ofrecerfe algunas veces. * 

REGLAS 

°. «■ 

^ Tara detemánar el comimento de los ángulos, (fig. 5 j,.) 

z 0*1 los lados AB ,' AC , fueren quadrantes , el ángulo 
i3 vertical A , íerá de la mífma afección , que la baia 

BQ 



^ LlBR o VI. IJI 

BC ; efto es , fi BC es guadrante, ferá ¿1 ángulo A redo ; ti 
BC es mayor que quaclrante ^feíi obtufo; y fí menor,agu- 
do. La razón es , porque en eíté caíb la baía EC es mecüda 
del ángulo A. 

2 Si los lados AB , AC no fiendp quadrantes,, fueren de 
una miíma afección ; ello es , ó los dos mayores , ó los dos 
maiores que uh quadrante, y la bafa no fuere menor que el 
quadrante, el ángulo vertical A íerá obcuíb. 

Dí'Wí?/?^r.Supongamós,que AB,AC (fig. 53.) ion mayores 
que el quadrante,y la bafa BC no fea menor que quadrante: 
luego ( 3 5,4, ) los tres ángulos Ion obtufos: luego A es obr 
tufo. Supongamos aora , que los lados AB , A(5Íbn meno- 
res que quadrante : luego continuandofe halla que concur- 
ran en D , íeran BD, (ÍD mayores que quadrante; y como 
BC no íea menor qué quadrante , íerán los tres ángulos del 
triangulo BDC obtufos : luego D es obtuíb ; y Por iconfi- 
guience A, gue es igual á D , también ícrái obtuío. 

3 Si los lados de uñ triangulo fueren de diferente afec- 
ción ; efto es , el uno mayor , y el otro menor que el qua- 
drante, y la bafa no fuere mayor que quadrante , el ángulo 
vertical íera agudo. 

'Úemonflfl Supongamos , que el triangulo EFCí íea. rec- 
tángulo eq.F , y que fus lados FO , FE íean el uno rnayor. 



Íei Otro menor que guadrante : luego ( 28. 4. Cafo 5-;^^ 
afa , ó hipoicnuu EG íerá mayor que quadrante j V ^^ 
chp mas íi el ángulo F fuere obtuío ; luego para que no lea 
mayor que quadrante íehavrá de -acortar, como por exem- 
plo hafta H, de que neceíFariamente reíulta el HFG,rtienor 

que redo. - la ba- 

.4 Si Ios-lados fueren de uha^ifma eí^ecie., Y jL^ ^¿^ 

^ menor que el quadrante, el ángulo vertical P4. ^^nfc 
fto : lo qual fe averiguará dcfte modo. Multipl¿^ 



fa 
recio 



entre si los Teños fegunJcs de los lados , y el pí*^^^ .^j^aal 
tafe por el íeno total, ó radio ; ^ íi lo que falieré ^^^í^^¿'¿tol 
alfeno fegunijode la bafa, ferja el, ángulo vertical ^ ^^ 
]La razón es, porque en el triangulo réólangulo ^ *^ el íc- 
cl feno total , ó radio al feno fegundo de AB ; ^^"^^onft* 
np fegundo de BC, al feno fegundo de AC , coino ^ ^^^ 

X * 



132 jTr AT. VII. Dt L A TrIG^I^OMET«.I A* 

de lo demóníftrado en hprop.io. y otras: luego lí por la re- 
gla de tres fobredichafaleefte-feno íegundo , ferá el ángulo 
vcnical redo , y el triangulo íerá ré&ngulo ; pero de otra 
fuerte podrá íer agudo, ó obtuíb. 

Con efias tni/mas reglas fe jodri conocer en Cáfo de dudd , d$ 
ueeffu'tefta qualquiera de los demks ángulos , fufoniendo fer 
afa del triangulo , el lado o fue fio al ángulo que fe exdmina» 



i 



REGLAS 

Tara el perpcndicuío» 
X "TJ N tjualquiera triangulo , como por cxemplo BAC> 

jji (fig-de la prop. figuiente) el perpendículo AD fiem- 
pre ha de caer de la extremidad de un lado conocido AB, 
lobre el otro BC : de tal fuerte , que ambos lados AB, BC, 
incluyan el ángulo B conocido , para que afsi haya en el 
triangulo ADb , á mas del ángulo reóto D , dos cofas co- 
nocidas 5 es a faber , el lado AÜ , y el ángulo B. 

Notffey que en algunos problemas fe halara foderfe echar d 
ferpendUulo con las condhtones fobredicbas ^de dos maneras; y de 
qualquiera que ufe el Analifta obrara bien ; menos en dosy en que 
no tendrá effe arbitrio ; j en ¿fias advertirerhos en fu lugar , de 
que lado fe baja de tirar el ferfendiculp. 

z Si los ángulos B , y C fueren de una mifma eípecic, 
el perpendicuio cae dentro del triangulo ; pero íi fueren 
de diferente ¿fpecie , cae fuera : queda démonftrado en 
la frof. 30. lib* 4. de fuerte., que íi el ángulo C fuere agu- 
do , y B obtuíb, el perpendicuio caerá fuera mas allá de B; 
y íi B fuere el agudo , y C el obtufo , caerá fiíera mas allá 
del ángulo C, La efpecie de los ángulos íe averigua por las 
reglas antecedentes. 

Para proceder con claridad en los problemas íiguien- 
tes , notaré fiempre el triangulo con las tres letras A,b, C, 
en elta forma , que la A íiempre íe pondrá en el ángulo de 
quien fe ha de echar el perpendicuio : la B en el ángulo 
dado adyacente al lado conocido ; y la C al tercer ángulo; 
y últimamente en el punto en que el perpendicuio corta la 
oaía con ángulos retíos , fe pondrá fiempre la letra D. 
También para mayor claridad en cada problema fe deli- 



aea- 



Libro VI. .IJ5 

,oear2l el triangulo en tres formas , íegun las tres maneras 
en que puede caer el oerpendiculo , ó dentro > ó fuera i la 

una parte , ó fuera á la otra. 

• ♦ 

PROP. XIIÍ. Problema. 

I» el triángulo esférico obUquanguloy dados dos ángulos ^j el Udo 

mtermedio^ bAllar el otro ángulo. 

EN el triangulo obliquangulo ABC, fe fuponen conoci- 
dos los aiígulos BAC ioi.gr.8.min,y B 4q.gr.i z.m.y el 
lado intermedio AB 36.gr.o.min.y íe bufca el ángulo ACB. 





é^^D B 



. ofer ación* i. Eñ el triangulo BAD , dada la hipotenuía 

AB, y el ángulo B, íe bulca el angujo BAD ^r ¡^l propofS. 

ÜÍ.5. 

Como el fino todo 90» o.m* CX. o»ooooooo« 

al fino zJel lado AB: 56. o.m. 9*9079$76» 

dfsi latangMlang.B 40. i2«m. 9.9260904.. 

k la tang.zMl ang.BAD 55* jS.m.. 9.834848o* 

ESte ángulo hallado BAD , íe reíta del ángulo dülo 
BAC en el ínangulo i. para faber el ángulo DAC, 
por caer el perpendículo dentro del triangulo : pero en el 
triangulo 2* el ángulo BAD fe íiima con BAC , para faber 
el ángulo DAC , por caer el perpendículo fuera a la parte 
del ángulo B : y en el triangulo 5. el ángulo dado BAC íe 
reíla .cfcl hallado BAD , para tener el apealo C AD , por 
caer el perpendículo fuera á la parte de C;, como fe ve cla- 
ro en la figura. Sea pues 
Regla general. i« Ojiando el perpendículo cae dentro 

del 






1 34 Tr AT.VII. Dé la Trigonometría^ 

ddtriangalo, el ángulo hallado (e relb (iempre del ángulo 
Vertical conocido , come en el triangulo i. 

2 Qyando el perpendiculo cae fuera del triangulo , fi 
el otro ángulo dado'b., (iiete obtuíb, conio en el triangulo 
2.(e fumará el ángulo hallado BAD con -el ángulo verti- 
cal dado BAC ; pero íi dicho ángulo dado B fuere agudo, 
(e reftárá el ángulo vertical dado BAC, del ángulo hallado 
BAD) como en el triangulo 3. Y obrando de elta íuene, 
(e (abrá en qualquier caló délos referidos, el. ángulo DAC, 
de quioi fe necefsita para la fegunda operación , que con* 
*cluye la rdfolucion del triangulo ; y eflro oiifmo íe obfer- 
vara en los (egmentos de la bafa. 

Siendo pues en el triangulo i. el ángulo hallado BAD 
55/gr/ jS^m. y el ángulo vertical dado BAC 102.gr. 8..m, 
reliando aauel de élb, queda el ángulo DAC 46.gr, jo.m. 
con lo qual íe paílará á la fegunda operación. 

OptrcMon 2* Ea el triangulo BAC (2.) fon proporciona- 
les» 

Cmo'dfem i. del áng.BAD 

dlfeno I. del ang. CADy 
dfsielJefiúi.delang.By 

átfeno zJel ang.ACD. 

Advieita(e,queel ángulo ACB , y el ángulo ACD en el 
triangulo í.y 2. es unmilmo ángulo; pero en el tercero es 
diferente : y afsi, haviendote bailado el ángulo ACD , fe ha 
de tomar fu complemento á 180. grad. para tener el ACB 
qi^efebufca* 

• 

PROP. XIV. Problema. 

tn el tfiángfdo esférico obliaudnguh , dddos dos lados , y el anffúé 
intermedio y íalUr qualqmera anguh. 

ENeftccaíbel perpendículo ncccflariamentc deve.caer 
del lado opueftoal ángulo que íebufca , tirándole 
iie aquel ángulo , que ni fe bufca , ni fe fupone conocido. 
Sfea pues el triangulo i. ABC, en el qual fe fuponcncono- 

ci* 



55- 


j8. 


CX^o.oS55i34. 


46. 


JO- 


9.860(622. 


40. 


12. 


' 9-88i9774- 


47- 


JI- 


9.826Ü5JO. 



Libro VI. ijj 

cidos los lados B^jtf.gr. o. m. y gC,4^.gr> I2.in.y el aogu- 
lo B,i|o.gr. 1 2.ai. y fe pide el ángulo C 




Operacm i. En el triangulo redangulo ABD , dada la hi* 
poteiiufa AB , y el ángulo B, hallefe ( i^lib. 5* ) ^' fegitícnto 
Bb. 
Como el radio 90. ©•m, C.L. 0:0000000. 

al fetio 2. del ang.B^ 40/ 12.n1. 9.8829774. 

dfsi la tang. de AB 36. o.m. • 9.^612610. 

\la tang. de BD. 29. 'i.m. 9.7442384. 

• Hallado el (egnento BD, qtieda conocido en ^alquiera 
de los tres triángulos el arco , ó fcgmento CD : en el i. reC- 
tando BD de BC : en el 2. fumando BD^ con BC : y en el 3. 
Feftándo BC de BD. Reltando pues en el triangulo iv BD, 
29. 2.m. de BC, 44. 12.n1. esCD, 15. 10. in. con lo que f<; 
paífa á la (eguiíaa operación. 

Operación 2. En el triangulo BilC j (5.) (bn proporciona* 
les. 
Como el feno de BD 29. 2.m. €.^0.3139733. 

• ai feno de DO, ij. lo.m. 9.4176857. 
afsi la tang. 2. de ABC 40. 1 2.m. 10.073 109^. 

ala tang. 2. de ACD. 57. 28-m. 9.8047666. 

Adviertafe, que el ángulo ACD^ y el i!CB , en los» trián- 
gulos i. y 2. es uno mifmo; pero en el tercero es menefter 
tomar el complemento á i8o.gr. del ACD hallado , para te- 
ner el A€By que fe bufca. 



PROP. 



1^6 TRAT.Vn.DBtATRIGONOMETRIAí 

PROP. XV. .Problema. 

Dados dos tddús , j el anguh IntermediojháUdr el otro lado. 

EN el triangulo i. JíB(\ts el lado ABy }<í. gr.o.m.y BC, 
44.gn iz,pi, y el ángulo », 40.gr, x z, m. y fe pide ú 
lado^C* 





^D B 



Ofer4(m i . En el trianguío reaaqgulo ABD, para hallar 
ellcgmcntoBD, fon proporcionales como en la propofi^ 
cion antecedente. ^ ^ 

Como ri radio ^. o.m. CL.o, oooooóo. 

.al feno 2. del ang. B} 40. i z.tn. 9.8819774. 

a/st^ latang.de Áñ ' }6. o.m. . 9,8612610. 

á la tang. de BD. 29. x.na. 9.7442 384. 

HaUado eí fegmento BD , queda fabklo CD , como en 
J» pfop. pallada, que fersi jí.gf. lo.ta. 

Oferaim a.En el triangulo BACy (4.) fon proporcionales. 
Ctm el fino z. d( BD 19. z.m. CUcoíSiíoq. 

alfinoLdeCDi ly. lo.m. 9.98460? i. 

áfstMjem x.tU AR 36. ccn. 9.9079576. 

4//ÍW Z, d« AC, %6, 4y.nj. 9.9J08818. 

PROP. XVI. Problema. 
£» ti trtmguU tsferUi obUqum^ulo , dados dos angidos^ y «t la- 
do haermedioy hallM qualqmera de los üdos 

ofuejios. . 

ADyierto , que en efte cafo , el perpendículo neceílá- 
neraente ha dé caer de aquel ángulo dado, que es 

ad- 



Libro VL Í37 

adyacente al lado que fe bufca. Sea. pues el triangulo 
ABC^ en quien fean dados el ángulo A , ioz.gr. 8,m. y el an- 
gub B^o.gr. i2.m. y el ladointenncdioiíB, 56.gr. ó.m. y 
icbufca el ladpJC. ^ ^ ^ 




Oferacion i. En el triangulo reSangulo ABD,halle(e có", 
nio en la frof. i }. el ángulo BAD. ' 

Como el radio * 90. o.m. C.L*o.ooooooo* 

dfenoipdi AB; 36. o.m. 9-9079 57^** 

afsi la tang. del ang. 5 40. 1 2.nu 9.9z68904« 

ilatang.i.delang.BAD. 55. 38.01* ^.í^4^S/^9o^ 

Hallado «1 ángulo BAD , fcfabecomo en la pr^pa/. ij.. 
el ángulo CAD y que en el triangulo i. íe baila fer 46.gr. 
30. m. ^ 

Operación i. En el triangulo BAC, Con (3.) proporciona-' 
les; 
Como el feno z. del ang. BAD 55. jS.m. CX.O.Z48 3 462. 

éUfeno z. del ang. CAO; 46. 30.01. 
afsi (a taiíg* i*deAB • 36. o.m. 

a la tang. z* de AC^ 30. 47»in. 

JiefoluQum de los triángulos esféricos obliquangulos ^ en que fe dan 
dos f artes alternas , j una ofuefia. 



^•8578122. 
10.1587590. 
10.2248974^ 



PROP. 



L. ' . 



138 Trat.VII. De t a Trigonometría. 

rsjj. /^^P- ^VII. Problema. 

Dááüs ios lados, jf un £Hgulo ofuefto , haÜAt ^l andido 

E_ _ , . , intermedio. é 

Nel triangulo Am, dados los lados .IB , 56. gr. o. m. y 
^A ?o*K« 47.m. V el ane^ulo «•_ >in or. »í «>^c ^:j^ /i 
a] 

culo del miímo ángulo que 





D *'D B 

« 

*nSRAn>8^^*i"r^'° «ángulo BAD, haJicfe d 
«Dgulo BAD (8.) en la íiguiente analogía. 

^/¿'^j ^' o-™- C.L.0.Ó000000. 

4/>, 2. áí ^, 36. o.ni. 9.9070*76. 

*/« 4f4»¿.árf4»^.B 4o. 12.n1. 9.9Z68004 

0;«'4íia« 2.En el triangulo ABQfon proporcionalcs.(3.) 

.Ml/tn,z,delM«g.CAD. 46. |o.m. ^.SjySóS 

Sumeníe en el triangulo!, los ángulos BAD CÁD ha 
Uados,iK>r caer el pcrpS,diculo dentfo TyhCutn¡iS>' aí' 
8.m. feráel ángulo BAC one fi. n;^- V 1 • ? 

1 Vi norrapr^l^líí: J-^^ r P*'*^* ^" 'O" triángulos. 

2. y j. por caer el perpendículo fuera , la diferencia A¿ Ai. 
ehos ángulos haliadosV Icrá el BAC, que féíSa 



LiBno VI. ii9 

PROP. XVra. Problema. 
lEn cManguh esférico oblíquangulo dados dos ángulos ^j un lado 

opueftOj hallar el otro ángulo 
N el triangulo ABC fe lüponep conocidos el ángulo 
, ^ B 40. gr. 12. m. y el anguioC 47. gr* ji, m. y el la- 
do AB 36.gr. o.m. y íepide el ángulo A. . 



E 



B D ^D B c O 

Adviertafelo i. queje ha defaber fi el ángulo que fe bufia 
es agudo, o obtufo; o qual fea la efpecie del lado AC opuejlo al án- 
gulo dado B. Lo z. que ene fie cafo cae el perpendículo del náf- 
tno ángulo que fe bafea» 

Operación i. En el triangulo redangülo BAD, hállele 
(8.) el ángulo BAD, como fe figue, 

Cotnp el radio 5>o. o.m. C.LtQ.ooooooo. 

al fenol, de AB\ 36. o.ni¿ • 9'907957^» 

afsi la tang. delang.B 40. iz.m. 9*9268904. 

a la tangni. del ang.BAD. 55. 38.m. ^ 9.8348480. 

Operación 2. En el triangulo ABC ( 2. ) ion proporciona- 
Como ei feno 1. del angf B 40. I2.m. C.L.0.1 170226. 

al fenó 1. del kng. C; 47. 5-1. m. * 9.8267703. 

afsi el feno i. del ang. BAD jy. 38.m, 9.9166866. 

al/emi.delang.CAb. 46. 29.01. 5í.áío*479y. 

Si el perpendiailo cae dentro del triangulo, futnerife los 
ángulos BAD, CAD, y la fuma íeráel ángulo BAC , que 
fe buíca ; pero ii el perpetidiculo cae fuera -, íe refta rá^ el 



an- 



140 Trat. vil De la Trigonometría. 
apmlo menor del mayor, y Ja diferencia hallada ferá el an- 
gulo^ue fe pide; y aisi en el triangulo i. por caer el per^ 
pendiculo dentro , fe fuman los dos ángulos hallados . y es 
el ángulo BAC loi. gr. 7. m. 

PROP. XIX. Problema. 

Dados dos lados , j ún ángulo opuefto, bdlUr el otro ángulo 

opuefto. 
fnenefter Taber fi el ángulo que fe bu fea es agudo^ 

TTj 6 ^' ^"'^ P"^ triai^uio ABC , en quien fe dan 
el lado BC 44. gr. 12. m. jr AC a9.gr. lo.m. y el ángulo B 
Jf^* g''-'^' «^ Pidcfe el ángulo A , que fuponemos haya de 



tafo 
%¡o. 




Operación. Por la propof. i.en qualquiér triangulo fon 
proporcionales losfenos dejos lados con los fenps de los 
ángulos opueftos ; luego en el triangulo dado fon propor- 

ComoelfenodeAC 29. lo.m. CL. a5i2iní. 

alfenodelang.Bi 40. i2.m. 9J008678; 

afstelfenodeBC 44. i2.m. 9.84^5556. 

Mfenodelang.A. . 112. jy.m. 9.96J3609. 

PROP.. XX. Problema. ' 

M» el triangulo esferko oUiquanguíoj dados dos angulosjj un lado 

E mefto, hallar el otro lado opuefto. 

T^ep cafres mewfler faber fi el lado que. fr bufia es m- 
é.Tir>^^\ ^^Jf^!l^f ^l quadrante. Sea pues el triangulo 
ABC , en el qual dados los ángulos B, 40. gra2. m. y A, 



Libro VI. 141 

iii.cr. 5 y.m.ycl lado AC 29. gr.io.m.ft pide eflado BC> 
que ¿uponemos haya de íer menor que el quadrance^ 




Operación. En el dicho triangulo (bn (i.) propordont- 
Jes. • 

Cómo elfeno del ang. B 40. lí.m* CL* 0.1901 $22. 

al feno de AC 29. ip.m. 9.687842 j* 

afsi el feno del an¿. A 2 1 2. J 5 .nu 9*9^5 353^* 

di feno de BC 44. I2ém. 9«3435279* 

PROP: XXL Problema. 

En el tr'ungfilo esférico obliquanguloy dados dos ángulos^) un toda 

opuefto y hallar él lado inteftnedio entre los 

ángulos dados. 

I^'Ñefte cafo cae el perpendiculo fobre el lado que fe bufcaijei 
i menejkr féerfi ejie lado es mayor , h menor que el qua^ 
4rante yo fiel lado opmjU al otro ángulo dado es major^ menor 
qué éíquadtante. 

Sea pues el triangulo ABC , en quien ion conocidos 
los ángulos B,40.gr. í 2. m#y Q47. gr.5 i*m. y el lado AB, 
56. gr. o. m. Pidele el lado BC , que fuponemos ha de (er 
menor que el quadrante. 




lé^% TrAT* Vil. De £a Tai€ONOMETRIA. 

Operaciím i. £n el tríaneulo redangulo ABD halleíe co« 
mo en la 1 5« d íegmento ÉD y con la iiguiente análoga» 



Orno ti radio 

al feno i. del ang. B; 
dfsi la tang. de AB 

4 la üng. de BD. 



^o« o.m. C.L. 0.0000000* 

40. i2.m. 9.8829774* 

56. o.nu 9*8612610. 

29. * 2.ni. 9.7442^84. 



Hallado el íegmento BD, buíoueíVel H^mentoCD. 
Operacm i. £n el triangulo AB¿ fon proporcionales. 

Como la tang* 2. del ang* B 40. I2.ni. C.L. 9.92685K>4* 

4latang*zJelang*Q 47. ;;i.m. 9-956713;. 

afsi el feno de BD 29. 2.m. 9.686o267. 

al/emdeCD^ 21. 47.^1. 9.5696404, 

Hallados los íegmentos BD 9 CD , la fuma de ellos 50. 
gr*49.m.es el lado BC,que fe dcfea en él triangulo r. En el 
2.y 3. fe hallará el mifino lado reliando el Tegmento menor 
del mayor^por caer en éftos el perpendículo fuera del trian- 

gulq.. 

PROP. XXII. Problema. 

E«» el triangulo esférico pbUquanguloj dados los lados^j un angula 
ofuejio a uno de ejfos Imos^ bailar el tercer lado» 

EN ejle cafo el perpendículo caefobre el lado que fe bu fea. Sea 
el triangulo ABC., en quien (e dan lo$ lados AB 36. 
gr. o.m. AC 29.jgf.io.m. y el ángulo B 40.gr. i2.m.y fe pi- 
de el lado BC. • • 




Opi- 



LiB k o VL 145 

Operacm i. En el triangulo redangulo ABD^lbn ^14. 
lib. 5» ) proporcionales los íiguientes* con que (e halla el 
(egmento BD. 
CQfWf el indio 90. o*m* C«L* o.ooooooo. 

al fino 1. del ang.Bi 40. I2.m. 9.8829774. 

4fsí U tang» de AB 36. o.in. 9.86i^6io. 

a la tang* de BD* i^ 2.m* 9.7442}84» 

. ' '* 

Operación 2. Buícjuefe el Tegmento CD , en el triangulo 
ABC 9 en el qual ion proporcionales (4O loi (iguientes. ' 



Como el fino 2. de AB 
al fim z.de AQ 

afii eí fim 2. deBD 
al fino z.deCD. 



j6. o.m. ex. 0.0920424. 

29* io.m« 9.941 1 idéi 

29. 2«m. 9*94^ ^79 1 1 

19. 'i9.m. 9.9748381; 



Sumeníe los dos íegtnentos BD, CD, hallados , y la Tut 
ma ferá en el triangulo i.48.gr. 2i.m. Pero en los triangu-» 
los 2. y 3* (e reliará el menor del mayor para íaber el ladq 
BC , por caer el perpendículo fuera en entrambos triángu- 
los., í 



I • t 



\ 



APEN- 



144 Trat. VII. Di ia Trigonometría. 

APÉNDICE. 

f PARA QUE EL ANALISTA' 
pueda con mayor facilidad refolverquai- 
quiera triangulo; afst re¿lil¡neo,cofno cur- 
vilineo^he refumido aqui fus refoluciones, 
con los cerminos proporcionales dirpuef- 
tos por fu orden , para que fíjviendofe de 
ellas como de pauta, coniiga con poco tra^ 
bajo íu deíignio. Obfcryaré en cada eípecic 
el mifmo orden que guardé en los Proble- 
mas} poniendo en primer luígar las reíblu- 
ciones que fírven para hallar los angulosa 
y en fegundo, lasque íirven para hallar 
los lados. 

XESOLVCIOÑ DE LOS mAfíJGVlOS RECTILÍNEOS 

uSanguUs. 



D 



Ados los lados , hallaf qualquier ao^iK). ' 
C9im qualqmera iado^ 

al otro láéki 
afsi el radio j 
k la tangente del anguU efiufié al fegundo ladú* 

Dar- 



Apéndice* Iff 

% Dada la hipoteDuTa, y un lado» hallar los ángulos. 
emú Id bifQumjky 

éfsi el iádo dadfij 

ál fino del snguh cfuefiú lí d$dí0 liuk^ 
} Dados los ángulos, y un lado, hallar el otro laddí» 
Como el radioj 

éU lado dado; 
afsi Id tdngime del nnmi» égído aijacentt i íiéo htík^ 
di otro íddo que fibttfid. 
^ Dados los ángulos , y la hipotenufa , hallar qualqukc. 
lado. 

Como el fddio^ 

d Id bfpotenufd; 
dfsi el fino del dHgulo ofuefto di Iddo que fe bufido 
di Iddo quefr bufcd. 
j Dada la hipotenufa, y un lado, hallar el otro lado* 

Hdllenfr primerdmente (num.2.) los dnguhs ^j bdlUdos ifioog 
fe bdUara fot el num. $ • ¿ 4« el Iddo que fe fretende. 
6 Dados los ángulos, y un lado, hallar la hipotenu& 
Comoel feno del dngulo ofuefio di Iddo ddJo^ 

di Iddo dddo\ 
dfsi et fddiúj 

d id hipotenufd. 
^ Dados los lados, hallar la hipotenuía* 

Hdllenfe frimerdmente (num.i.) losdngulos^jf luego fe Mtéi 
rdr (nuro.6.) Id hifotenufd. 

«. tL 

tte/tíucm de los trúmgidot reüi^os i^quM¿uloí, 

* 

I T^N el triangulo obliquangulo , dados^dos kdof , y 
pTi Un ángulo opuefto , hallar qualquiera de los otros 
ángulos, fabiendo fi es dgudo , i obtufo. 

Como el Iddo ofuefio di dngulo dddo^ 
di feno del mifmo dugulos ^ 
Tumui. Y 4fd 




Trat.VILDe la Tugónometiiia; 

di fino del angmo opuefio a efielado* 
2 En el triangulo obliquangulo, dados dos lados ^ y d 
ángulo intetmedio, hallar los demás ángulos. 
Como Iffumd i€ tos Udos iádos^ 
^ ' i U aifmnáá di los mifinon 
^ éfsi U tangde Ufimifuma de los éfngiúos que fi bu/can^ 
i la tang. de la fimdiferencU de los mimos. 
^.'Aña4aíe efta feímdiferencia a la feoiifuma de los ángulos 
que íe bulcán 9 y íe tendrá el ángulo mayor. Kettefe dicha 
j^l^kUl^encia de la mifma fem^fuma , y fe fabra el ángulo 
inenór. 

5 En el triangulo obliquangulo , dados los tres lados^ 
hallar qualquier ángulo. 

Modo im ; Tomefe el lado mayor como bafa , y tirándole 
una perpendicular del ángulo vertical , quedara dividido ej 
triangulo dado en dos triángulos redangulos , y íe difpon* 
<^aia proporción íiguiente. 
Comolabáfoy 
^. Jila fuma délos otros lados; 
áfsi Ufifirencia dolos mfmos ladoSj 
a la diferencia de tos figmentqs de la bafa» 
Refteíe de la baía efta diferencia hallada , y tomeíe la 
mitad del refiduo. Si la miínia diferencia hallada fe añade 
a efte mifmo reíiduo , fe fabrá el fegmento mayor ; y íi íe 
rc^,ieíabcá el íegmcnto menor. Hechp.efto en los dos 
triángulos re¿Í:angulos , dada la hip<;>tenufa , y un lado , (e 
hallarán los ángulos por el num. 2. del <§• i. Y el ángulo 
vertical del triangulo dado , íe fabrá fumando los ángulos 
verticales parciales que fe huviej-en hallado. 

Modo z» Sumeníe los tres lados , y tomeíe la mitad de 
la fuma. <J[leílenfe de efta femifuma los lados contérminos 
al ángulo que fe buíca , cada uno de por sí , y fe fabrán fus 
diferencias. Tomenfe los complementos Logarithmicos 
dfl dichos lados contérminos , y eícrivaníe uno deb^xo del 
otro. Tómenle los Logarithmos de las dos diferencias ha- 
lladas. Sumeníe eftas quatro partidas, íin quitar el radio; y 
tom^ la mitad de lá íuma y y ella íerá el . Logarithmo dd 

f«- 



íenb dé la mitad del ángulo, que fe buíca. DupUqüde dle 
aagulo hadado , y fe íábrá todo el ángulo. 

4 En el triangulo qbliquangulo, dados dos ángulos, y un 
lado, hallar qualauiera de los otros lados. 

Canw el jeno oeL ángulo apuejlo al ládú cmioúiQj 

al lado conocido'y * ' 
afsi il feno del angído ofuefto al lado que fe bufca^ 

ál lado qút fe bufia. 

5 En el triangulo obliquangulo, dados dos lados, 7 el: án- 
gulo intermedio, hallar el tercer lado. 

Ballenfe (num.2.) los demás ángulos^ j deffues por el num./^. 
fe hallara el tercer lado. 

6 En el triangulo obliquáñgulo , dados dos lados, y uno 
, de los anguk)ropüeftos, hallar el otro lado. : 

Halle fe frhneratnente for el num. i. el ángulo ofuefto alUdé 
^ín fe bi^cai^y por elnum-^^fe bMarael lado que fe defea*. 

{ ... 

s. ni. 

üefoluáon de ¡os trianguloi reÜUinieos uüanguios. . 

1 TT N el triangulo esférico redangulo , dado un ai 
£j lo obliquo , y el lado contérmino á dicho «nj 
liallar el otro angub. • 

Como él radio j 

al feno del ángulo obliquo dado; 
afsi el feno z. del lado dadoj 

al feno z. del ángulo que fe bufeo. 
:^ En el triangulb esférico oblicuángulo , dado un lado.y 
el aneulo obliquo opuefto á dicho lado , hallar el otro 
' ángulo. y 

StPafe primerOyfiel ángulo que fe bufia es agudo y I obtufoi 9 
fi la hipotenufá^i el otro lado es mayor , i menor que el quadrantei 
porque fiendoefte lado maj/or que el quadrante\ él ángulo que fe 
bufia jer^ obtufo ; j fiendo^fnenor , feri agudo, también fi el ladjo 
dado es major , ^ menor que el quadrante yj la bifotetmfa fuero 
memr que el quadrante , d otro ladofera de U fmfina. efpeáe qu$ 
f s %% el 




1. 



I4S TrAT. Vn. Di t A T&IG0NOMETltIA, 

c/ l4Í$Áááú 'y fer9fi U bippwmfd fuere májot que d quáirám^ 
el lado fibreécbo jeri di effetu ofuifia d lado d^doUa froforcm 
€s lafifuienu. 

Como el fino %• del lado dado^ 
al radio; 

afsi el fino i. del ángulo dado^ 

. al Jino del auj^ulo que fi kufia^ 
} En el triangulo esterico reoangulo , dada la bipotenu* 
ía ^ y un lado., hallar el ángulo opuello á efte lado» 

Como eljenode la Ufotenufií^ 

al radm 
afii el fino del lado dado^ 
: al fino del ángulo que fe kufia. 

4 En el triangulo esférico obliquangulo { dados los lados, 
hallar qualquiera^angulo obliquo* 

C0m0 eljeno del lado contemñno al ángulo que fe bufia^ 

al radio; 
afii la tangente del lado ofuefto al ángulo quefi bufia^ 

¿ la tangente del ángulo q¡u fi de fia. 

5 En el triangulo esférico re(3:angulo , dada la hipotena- 
ia 9 .y un Udo^ hallar el ángulo iatermfidÍQk 

Cfimo la tangente de la htfqtenufik^ 
. aU tangente del ladoaado; 
éfiialradioy . 

al fino 2. del ángulo que fi bu fju 
fi En el triangulo esférico reétangulo , dada la hipotena- 
fa, y un ángulo obliquo» hallar el otro ángulo. 
Comoeltadio^ 

al fino z.delabifotenufa; 
afii Id tangente del ángulo obtiquo dadf^ 
i U tangente i» del ángulo jquefibvfia. . 
.7 En el triangulo esférico redangulo , dada la Mpotenu-^ 
fa , y un ángulo obliquo , hallar el kdp opuefto á efte 
ángulo. 

Como el raik^ 

al fino del jmgulo4bliquo daJe; 
afii el fino de la hifotenufiíj . 

al fino del lado que fi bufia. ^. 

En 



f En el trianmioesterico re(Saneulo , dada lar faipoteau- 
(a ^ y un bdo y hallar el otro lado* 
Cimo ek ftn^i. áilUdú iado^ 

di fádioi 
dfñ el feno x. de Uhifottmfa^ 
éU feno iJUlUd» ^eje bufia. 
^i En el tmngulo esférico reéUngulo , dados kx aog^ilo^ 
hallar qu^quier lado. 

Cmf»el/enoi. del anguU cantermtm^ 

al fem ^• delméanguU obüqmi 
éfsi el raiüú^ 

al feno i. del laáo V^fi hnfia^ 
go En el triangub esférico reaangulo , dado un lado ^ y 
un ángulo contérmino á dicha lado , hallar el otro 
lado. 
Como el radiOy 

al feno del lado^ daio^ 
áfsi la tangente del ángulo obHipio dado f 
a la tangente del ladaofuefto que fe bufido 
%i En el triangulo esférico redangiilo, dada un ladó>/ 
el ángulo obliquo fu opueíio , Ivillarel otro lado» 
Sefafe frimerojfiel lado que. fe bufia es mayor y ^ ntewn que 
glquaikanee^ifilabifotenufaej^mayory ^ menor que ek^fiJh 
droHte i porque pefida- menor y ffíiaeL lado que fe bu/ca de la mif- 
ma effecie que el lado ijftendo mayor j fera de la effeck opuejta^ 
^fepafefiel otro ángulo obliquo es agudo \, i> obtufo^y porque el 
lado que fe bufia ferl^de-ía nujma efpecie que el dicho angula.. 
Cjemo la tangente del angtio obliquo dado^ 

a la tangente del lado dadoy 
áfsi el radiOy 
al fonedel iodo (^ fi bufia^. 
^t En el triangulo esférico redangulo y dada la hipot6- 
nuía^ y un ángulo obtk|uo„ hallar di lado conteroiiuQ 
á efte ángulo. 
Come el radio^ 

alieno z. del ángulo ehliquedadei 
éfsi la tangente, de la bipotenufa^ 
Alatangjme delude que ¡ehifioé 



iXp^ Tr.AT.VIL De tA Tltlfi^NOMETltlÁ; 

13. En el triangulo esférico re&angulo, dados ios dng^ 
los , hallar la bipotenuía. 

CrnmU tangente 1. de. umátÜsánguUf dadas^ 

4 la tangente i. del otro angula &d$^ 
afsi el radio^ . 

al feno z..dela bipeeenufa» 
^4 £n el triangulo esférico redangulo y dados dosIado% 
hallar la hipotenufa. 
Como el.tadwy 

alfepo ip deuñúde los lados dados; 
afsi eljeno %. del otro lado, -, 

al feno udela hifotemfd. 
f 5 En el triangulo esférico redangulo , dado un tado^ 
i d ángulo obliquo opuefto á elte lado » hallar la hipo- 
tenuía. 
Frimeramente fe ba defaberfi la bifotenufa^ o el otro ladoy es 
majof y i menor que el quadrante jhfiel otro ángulo oUíquo es 
agudo y b obtufo ^Jegun lo advertido en el num. 1 1. 
Orno el feno del ángulo dado^ 

alfeno del lado dadoi 
afsi el radio, 
al feno ^de la bifotenufa» 
16 En el triangulo esférico redangulq , dado un lado , y 
. el ángulo obliquo adyacente á dicho lado , hallar la 
hipocenuía. 
Como el radio, 

al feno 2. del ángulo dado; ..; 

afsi I {í tangente z. del lado dado, 
a la tangentje i. de la ktfotenufa. 
Vj Refolver qualquiera triangulo quadrantal. .. 

Triangulo quadrantal, es aquel que no Rendo reSangulo, tiene 
un lado quadrante, ú de 90.gr. Refuelveje mudando frimero ¡9s 
iéUigulos en lados, j los. lados en angtáos , conque fe viene a formar 
un otro triangulo eauipolente alprimero,que tiene un ángulo reüoi 
pendo pues efte /¿gando triangulo reSangulo , fe refilvera con 
aquella analogía dejas fobredicbas , que, fcgun los términos dar- 
dos, y el queje bufca^ k fertenecierei , 



§.IV- 



» / 



í. IV. 

Itef$lucm ¿e Us triángdús esféricos oUipdngiibs. 



m 



I T^N el triangulo esférico obliquangul(^ dádd^ dos an« 
P^ gulos^y el lado mtermedio, haUar el tercer ángulo* 




I 0001» et YoMoy 

d ftm 2^ del ladi^ ABt 
áfsi U tangente de ABC, 
i la tangente t. de BAD« 
Hallado BAD , fe haUará CAD. 

' 2 Cerno elfenode BAD, 

alfinodt CAD; ., 

áfsi elfeno z. de ABQ 

aljino 2. de ACD» 

Adviertaíe, que el angula ACD, y el ángulo ACB en 
á triangula i^y 2^ ion uno miíino ; pero en el 3. es dife- 
rente ; y aísi en éfte , el ángulo hallado ACD y (e reliará d« 
siüo* gr« para (aber el ACB» c{ue es el que íe deíea. 

2 En el triangulo esíedco obliq^ngfilo , dados, dos 
lados, y un ángulo opuefto , hallar el ángulo interme-^ 
dio. 



., ' jl\ 



o- 



Jtj^g Jrat.VII, J>£ la Tricónometma^ 





D B 



CB 

I Como el 

. d femi. de Kñ^ 

0ffi la tangente de * ABC, 

XU tang. 2. di BAD» 

X C0fii0 Li tang. X. de AB, 

¿ la tang. 2. lír AC; 

afsi elfetio 2. li^ BAD, 

d feM0 z. de CAD. 

Sumeníe en el triangulo i. los ángulos hallados BAD, 
CAD,por caer el perpendículo dentro dd triangulo , y ic 
labra el ángulo BAD, auefe pretende» En los triángulos 2. 
y ;• por caer el perpendículo fuera , la diferencia de los an« 
gulos hallados , fe/á el anjgulo B AC que (e bufca. 

3 • £n el triangulo esférico oÚiquangulo , dados dos 
angulosy y un lado opuefió , hallar el tercer «igulo* 

Jdviertafejqueesmenejlerfaker fi eí ángulo que fe huftaee 
4y¡udoj I obtufo ; i qud fea la efpecie del Ia£ ofuefio d otro an^ 
guio dai/e. Advtertafe también ^Me en eJU tafo el ferpemUcuU 
eac. del mfme angíioque fe bufia* 





/ 



^D B 



X C8- 



A P E N D I C E4 

j. Como el radioj 

alfeno i.de AB; 

éfsi la tangente de ABC, 

Tl la tang. z. de BAD. 



iiy$ 



2. Cerno el feno z* de ABC, 
alfeno i.de BCA; 
afsi el fino ude BAD, 
al fino I. ^e CAD. 
Adviertaíe, que en el triangulo i.por caer el perpendí- 
culo dentro, fe fuman los dos ángulos BAD, D AC,para te- 
ner el ángulo BAC , que íe bufca ; pero en los dem^ por 
caer el perpendículo fuera,(e refta el ángulo mayor del me- 
nor ; y el reítduo es el ángulo BAC. 

4 En el trían^lo es^ríco obliquangulo, dados dos la- 
dos , y el ángulo intermedio, hallar qualquíera ángulo. 

En ejle cafo^ el perpendicuh necejfariameme ha de caer del la- 
do ofuejto al ángulo auefi bufia , tirándole de aquel ángulo , que 
ni je bufia ^ ni fi [ufone conocido. 




úComoelradiOj 

al fenol. del ang. ABC; 
afii la tang. de AB, 

a la tang.de BD. 

HaUado el í^meoto BD , queda conocido CD» 
z.Comoelfitto de^ BD, 
al fino de CD; 

afii la tang. i. de ABC, 
i la táng. 1. de ACD. . 
Adviertaíe , que en los triángulos x. y 2* el angu 

-ACl^) 



154 Trat. VILIDe i, a TniboNOMETRiÁ; 
Ato, y el ACB, fon uno miíoio; pero en ek tercero es me- 
tiefter reftar el ACD de i8o« gr« para tener el ACB que (e 
buíca, 

5 En el triangulo esférico obliquangulo y dados dos la- 
dos , y un ángulo opuelto a uno de dichos lados , hallar d 
otro ángulo opuefto al otro lado. 

Sepafe primero fi es agudo , b ohtufo. 
Como el feno del la& opuefio al angfUú iad9y 

al feno del angula dadoi 
afsi el feno del otro lado^ 

al feno del ángulo que fe bafea* 

6 En el triangulo esférico , dados los tres lados, hallar 
qualquier ángulo. 

En el triangulo ABC íe dan fus tres lados, AB, 55:. gr^ 
^o.m. AC, 54«gr« i^-in. y BC, 4Q«grao.m* Pidefe el ar^u-* 
lo A. 



»r- 




Operación. Sumenfe los tres Jados : tomeíe la mitad de 
la fuma : rcfteñfe de efta femifuma los lados AB,AC, que 
comprehenden el ángulo A , que íe büíca , cada uno efe por 
si , y guardenfe las diferencias halladas, Tomeníe los com- 
plementos logarithmicos de los íenos de los dichos lados 
AB , AC : tómenle también los Logarithmos de los leños 
de las diferencias halladas : fumenfe todos fin quitar el ra* 
dio de la fuma ; y la mitad de efta fuma lera el logartthmo 
de la mitad del ángulo A , que fe buica, cómo fe ve en !# 
dilpoíicion íiguiente. 

Lado BC 40; lo.m. 

LadO' AB 5*5^ ;o.m¿ C.L. o«o840o¿;. '^• 

Lado AC 54, i^tm. CL. 0.090308 5. 

SU9M 



^Suma de los tres Ui. 149. ;9.n). 

Semfma^ . 74. 59.01. — > 

2 

Pi/m ák ilB 19. 29.111. — L' 9. 5 2 3 3 i(S8. 

' 2 

• - I • 

Difir.deAQ 20, 40^01. — L, 9.J478566. 

Suma de los iQgarithmos. ^ 19.2454882. 

Semifuma: feno 24. 48*11)* l^.H 9.6227441. . 

ángulo A* 49* 36.01. 26.C 

jr En el triangulo esférico y dados los ttres ángulos , ha- 
blar qualquier laoo. 

En el mifmo triangulo ABC íe fuponen conocidos los 
ues. ángulos , y fe bufca el lado BC. 

. operación.. Tooiefe el complemeiiito al íeoiicirculo de 
jqualquiera de los ángulos contérminos al lado BC que (e 
buíca: como por excmplo, tomeíe el complemento del án- 
gulo C; y haciendo cuenta que el ángulo A es lado, y el án- 
gulo B otro lado,y el complemento fobredicho del ángulo 
C otro lado , hagaíe la operación antecedente , y quedará ' 
hecha la reíblucion. 

8 En el triangulo esférico obliquangulo , dados dos 
ángulos , y un lado opuefto , hallar el otro lado opucfto. 

Sepafe primero y fiel lado, que fe bufia es menor , o mayor que 
el quadrante. 

Como W feno del ángulo opuefto al lado dadoy 

al feno de dicho lado; 
afsi el feno del otro ángulo dadoy 
al fino del lado que fe buíca. 

9 En el triangulo esférico obliquangulo, dados dos hr 
dos y y el ángulo intermedio y hallar el otro lado. 

I-A ^'i- 3.U 




D cob 




Jtyí Trat. VII. Dh t a Trigonometriaj 

I. Cnm el fáái9y . -- 

al feno 2. ¿el át^. ABQ 

éfsi la tangente de AB, 

a la tangente de BD,. 

Hallado BD, queda conocido DC. 

!• Cmno el feno 2. ii BD, 

al feno 2, de DC; 

dfsiel feno i.de AB^ 

alfeuox.de AC. * 

10 ^ En el triangulo esférico obliquangulo , dados dos 
ángulos , y un lado opuello , hallar d lado intermedio 
entre dichos ángulos dados. 

£» efle cafo cae el perpendículo fobre el lado que fe bufia ; y es 
menefter faber fi efle laio es mayor , o menor que el quadrante ; í 
fi el lado opuefio d otro ángulo dado^ es p$ajor , ^ menor que d 
quadrante. 




I. Como el radio^ 

al feno i. delanguh ABC; 

éfsi la tangente de AB, 

a la tangentje de BD. 

12* Como la tang. 2. de ABC, 

a latang^z.de ACB; 

afsUlJenode BD, 

al feno do CD* 

Si el perpendículo cae dentro del triangulo , como íli- 
cede en el %• fumando los dosíegmentos tílX , £>C^ í&Iílbe 
d lado BC, que fe buTca; pero cayendo fuera^x:omo en los 

txian- 



p Ei^ D ice; . t^^ 

triángulos 2. y ^, fe reliará el íeginento menor del mayor, 
para íaber el lado CD. 

II. En el tritogulo esíeríco obliquan^ulo , dados dos la-- 
dos , y un ángulo opuelto á uno de ellos ^ hallar^l ter^ 
cerlado. 
In efte ufo ti ferpenücuU CMfike ti ladgquefe bufia» 




I* CamoelradiQ 
ál fino 2. Í9 
afii (a tangente de 
a la tangente de 



ABC; 
AB, 
BD. 



2. Como el fino z. it AB, 

al fino 1. de AC; 

afii el fino i.de BD, 

dfinoz.de CD. 

£n el triangulo i. la fmna de los dos (egmentos BD^CD, 
da el lado BC, que fe bufca , por caer el perpendículo den^ 
tro; pero en los triángulos 2.y 3. la diferencia de dichos ar« 
eos íerá el lado BC, por caer el perpendículo fuera. 
12. £n el triangulo esférico obiiquanjgulo , dados dos an« 
culos , y el lado intermedio , halkr qualquiera de los 
lados opueltos. 




I.y8 Trat.VILDe laTrigoñometriaj 

I. Como elTddio, 

d.ftno i.de Aft 

afñ U tangentt de ABC, 

Al*tái^ z.de BAD, 

Hallado el ángulo BAD , queda conocido DAC 

1. Cvm el fg»o 1, de . BAD, 

a¡ fem z. de CAD; ' 

afsi la tutgttitt 1. dt AB, 

I U tagtttte 1. de AC. 




,TRA- 



m 







TRATADO VIIÍ. 

DE LAS TRES 

SECCIONES 

CÓNICAS, 

E L I P S E , P A R A B o L A, 

i Hipérbola. 

• 

ECCIONES cónica^ Ion , las que re- 
fultán de varios cortes hechos en una 
pirámide cónica; yfegun la variedad 
de éftos, fon aquellas diferentes. Tra- 
taré áqui de las linas principales , lla«» 
madas , tíifft , Parábola , é HiferbolOf 
cuyas maravilloías propiedades fue^ 
ron digno empleo de los Antiguos 
Geómetras , fingularmente de Apolonio Pergeo , que 
dexo imprella fu memoria inmortal en los libros , que 
trabajó de efte aífumpto. Reduciré efte Tratado á la 
explicacioo de las principales propiedades de dichas 
íecciones, por lo mucho que conducen á la Catoptri^ 
ca, Dioptnca,y Perfpediva; al Arte Tormentaria, o 
Artillería ; á la Gnomonica , y aun para la Aftrono- 
mia ; pues no hay duda fe explican mejor los movi^ 
Inient^s de los Planetas ^.vaUendoíe de hipotheíes elipti* 




cas: 



1^ Trat. VIII. Db t as tres Sección. Con. 
cas: procuraré la brevedad , omitiendo lo que fuere ineno$ 
neceüario para el intento. Ojiien deíeáre mayor exteníion, 
podrá ver alP. Gregorio de 5. Vincentio en fu obra maravi- 
ttofa de Quadrama cmuU ; y al Padre Milliet en fu Curio 
Mathematico. 

DEFINICIONES COMUNES. 

t Tyiramde comed y es la que tiene par bafaun circule. Re- 
\^ fulta del movimiento de una linea reóta, que deícle 
un punto , pueílo como en el ayre fobre el circulo , corre 
con la otra extremidad fu periieria. Como íi la linea AB» 
( fij, I. ) defde el punto fixo A, corre toda la periferia 
BnC, engendra el folido ABEC , que es la pirámide có- 
nica. 

2 Superficie cmcá ^ estaque defirive U fobredicbd teSa AB^ 
ceifienm la periferia del circulo. 

3 Vértice de la ptr anude coma y es el punto fixo A, 

4 £xe de la pirannde cónica , es la reSa ADy tirada del vértice 
Ay al centro D y del circulo que le firve de bafa. 

5 Bafa de la ptr anude conicay es el circulo BEC y cuja periferia 
corre la linea que produce dicha pirannde. ^ 

6 Pirámide cónica reSta , es aquella , cuyo exe es perpendkulaf ¡k 
la bafa y como en M. 

7 Pirámide cónica efcaUna , es aquella y cujo exe no es perpeih- 
ékular a la bafa y como en N. 

8 Pirámides cónicas opuefias , fon las que pendo femejantes^ 
tienen un rrnfmo vértice , y un mifmo exe , como en la figur. 2. 
Las dos pirámides FIG (bn opueltas , porque tienen un mif- 
mo vértice 1 ) y la mifma recta CC , es exe de entrambas. 
Refuhan del movimiento de la re¿ta H^, que eftando inmo- 
ble el punto I , la una extremidad F , corre la periferia del 
circulo inferior > y la otra anda la periferia del fuperior: 
conque neccífariamente refultan las dos pirámides opueftas^ 
y fcmejantes. "" 

9 Secciones cónicas y fon las que fe hacen en una pirámide comeé 
con un planoy a quien llamaremos Fiano fecanttj y poroue éite 
puede cortar la pirámide de diferentes maneras, refultan va- 
rias etpecies. de fecciones cónicas. ? 

lO 



Libro I ^ I¿I 

1 o Qaanclo el pUno fecante paíTa cortando la pirámide 
cónica deTde el venice por fií exe, la feccion es triangulo^ 
como ABC, (fig*i* ) y elle íe llama trUngulo par el exe* 

ri Difpoficim fubcentraria de des triángulos fe baila quand^i 
fiendo femejantesytienen un mifmo ángulo vertkali pero/u^ bafas^ 
€n aquella (Ufpoficion , nife ajujiauy ni fin paralelas. Como íbn 
en la jíg. 5 . ABC, y ADE, que tienen el mifmo ángulo ver- 
tic^ A ; y íiendq equiángulos , fus baías BC^ DE , nojoír 
paralelas. » ^ . - . - ^ 

I z Secciones cónicas fubcontrarias , fin aquellas , con que la 
pirámide cónica fi corta con un plano perpendicular al triangulo 
por el exe y ie tal fuerte y que refulta aúa el vértice déla pirámide 
un triangulo con éfpoficion fubcontraria al triangulo por el 
exe* 

1 3 Q¡iando el plano fecante es paralelo á la baía de la 
pirámide cónica, lá feccion es fiempre,«rc«fo. También lo 
es en un otro caíb, fín (er paralela á la baía, y es quand'o en 
la pirámide cónica efcalena,la lección es fubcontraria, como 
r¿ probará en fu lugar. 

14 Qioando el vlano fecante no es paralelo á la baía , j 
corta entrambos laaosdela pirámide , ü del triangulo por 
el exe íin formar feccion fiíbcontraria, la feccion fe llamar^ 
eMpfe* 

1 5 Quando el plano fecante es paralelo al uno de los 
dos lados del triangulo por el exe , ó á un lado de la 
pirámide cónica, que es lo mifmo, la feccion íe llama 
parábola. 

16 Quando el plano fecante corta las dos pirámides co^ 
nicas opuelhs , lasaos lecciones cónicas opúeftas, que íe 
forman, fe llaman hipérbolas , las qual^ íiempre fon iguales^ 
yfemejentes. , 

Tx)do eílo lo he dicho para que íe entre en efte trata-* 
do formando. a]gun concepto deeftas lecciones, porque 
deípues fe demonftrará en lus Theoremas particulares. 

17 Bafa de una feccion cónica , es la reSa que repre finia I4 
(ómun feccion delplano fecante con la bafa de la piranúde^y cier^ 
ra por laxo la feccion comea. * . _ ^ 

18 Linea cónica , es la Curva quécffcuje qualquier a feccion 
iónica ; o es la común feccion del! plano íecante, y de la íu- 

Temo llL Z per- 



iSi Trat.VIII. De las tus Sección. Con. 

Í>eríicie de la pirámide cónica , quando no es cortada por 
ü exe. Llamafe linea eliptica , quando repreíenta la cír^ 
cunferencia de una elipíe ; ütiea parabólica , quando repre- 
íenta la circunferencia de la parábola ; y linea hiferbolicOy 
quando repreíenta la perÜería de la hipérbola. 

LIBRO I. 

DE LA ELIPSE. 

DEFINICIONES. 

I ' '■ 1 Üffe y es una figura curviünea prolongada , que fnh 

■ j cede de la feccion obliqua , que no es fukontrariaj 

B j hecha en una pir anude comea ton un plano , que 

corta fus dos laaos^como BADC. (jig.40 Tiene dos 

exes, uno mayor, y otro menor. 

2 Exe mayor de la elipfe , es U linea reña^ que paffando a lo 
largo de la una parte de la elipfe ^ la otra , míde^j reprefemafu 
longitud j como BD en la elipfe i • fig.^* 

3 Exe menor de la elipfe , es la linea reña , que paffando por 
lo ancho de ella de la una parte a la otra^ mide fu amplitud , como 
AC en la elipfe i. Eltos dos exes (¿ parten el uno al otro per- 
pendicularmente en dos partes iguales: y de la propia (uer^ 
te divide cada uno de ellos á todas las lineas que íe tiraren 
dentro de la elipíe paralelas al otro exe ; y aísielexeBD, 
parte igualmente, y es perpendicular al exe menor AC, y á 
todas lus paralelas MI, LG, &c. Y el exe AC, parte igual,y 
perpendicularmente al exe mayor BD , y á todas fus para* 
lelas GP, NO, &c. 

4 Centro de la eUp fe ^ es el punto E i en que fe eortan los dos 
exes. 

5 Diámetro de la etipfe^ es yialquier ímea reSoyque paffando 
for el centro de la elipfe^ fe termina^ entrambas faites en fu cir-- 

cun- 



Libro L 15} 

íunferenád , emú Sjf^, Slj &c. Donde íe ve , que la elipié 
tiene infinitos diámetros , y que dos de ellos (bn íblamente 
exes , el uno de los quales es el mayor de todos los diame* 
tros ; y el otro > el menor de todos ^ como íe demonftrari 
deípues. También todos los diámetros (e cortan mutua* 
mente en dos partes iguales ; pero iolos aquellos ion entre 
sí. perpendiculares, que juntamente ion exes , como queda 
dicho* 

6 Limas ordenadamente piteadas al diámetro^ fon aquellax^ 
que pendo entre si far alelas , fon divididas por el diámetro en dos 
f artes iguales^ como Míj LGy &c. aísi en la elipfe i* como en 
la 2, (^¿«4* ) A eftas lineas llamaremos ordenadas^ 6 aplica^ 
das\y i fus mitades , femwf denadas ^ o femaplicadas\ ó tam* 
bien ordenadas, ó aplicadas*, ^ 

7 Diámetros conjugados de una eüpfe ^ fon aquellosy que mur- 
tuamente éviden fus paralelas en dos partes iguales ^ cada uno i 
las del otro. Como BD, AC (bn diámetros conjugados, aísí 
en la elipfe i • como en la i. porque BD divide por medio 
á las MI, LG, paralelas al otro diámetro AC ; y éfte, á las 
NO, GP, paralelas áBD. 

8 Exes conjugados fon los díamenos conjugados^ que fe parten 
perpendicularmente i ii, y'k fus paralelas ^ comoBD^ AC en la 
elipfe !• - ' 

9 Tangente de la elipfe^ es la reSa^ que teca la perdería de la 
elipfe en un folo punto fin cortarla* 

I o locos, polos, h ombligos de la elipfe , fin despuntes pueftos 
en el exemajor,en igual dijiancia de fus extremidades, de los qua- 
les, fi fe tiran dos líneas a qualquier punto de la periferia de la 
elipfe , fon entr aneas junus iguales a dicho exe mayor i i también 
fin dos puntos en el exe mayor en igual diftancia de fus extremidor- 
desj que de tal fuerte k ékviden, que el reSangulo de fusfegmen- 
tos^ es igual al quadrado del femiexe menor* Ellas propiedades 
con otras, fe demonltrarán en íu lugar. 

II Lado reüo, iparametro deundiametro delaelipfe , es 
ana tercera proporcional a dicho diámetro^ a fu diámetro conjun 
gado. Como íi I los diámetros BD , ACle les halla una rec- 
ta tercera proporcional , éfta íerá el parámetro del diame* 
tío BD j y iirve de medida y ó nivel para las potencias , d 

Z 2 qua- 



3 



1(54 Trat.VIIL De t as tres Sección. Con. 
uadrádofi de las aplicadas á dicho diámetro y como íe ver 

defpues. 

I z Itgmd fe Ibmd abfolutamente el reSsnffdú hecho delfo- 
fémetro^j del dímeno. 

PROP. I. Theorema. 



En qualqmerá firamide cmUy la fecc'wn fordeU 2 U hafa 

es circulo* 

DEmonfir. Las pirámides polígonas infcritas en la conU 
ca^ degeneran en eíia , como demonllré en el lema 
Era la frof. io« del ¡ibS. de la Geom. Elem. Y aísimifoo 
; polígonos inicritos en el circulo, degeneran eo el circu- 
lo, como demonftré alli mifmo en el lema 2. para la frcf.i. 
Siendo pues en las pirámides polígonas la (eccion paralela á 
la ba(a un polieono íemejante á la bafa; (lema i. para la jrr^ 
fof. 7. lib.o. Geom. Elem.) tamUen en la cónica la feccion 
paralela á fu bafa circular, íerá circulo : y efto es lo aúfmOj 
aunque la pirámide íbbredicha fea efcalena. 

LEMA* 

En qualquierá figura curvilínea , fi las perpendiculares tiradas de 

fu periferia a dguna ma linea , que corre todo el curvilmeo , la 

dividen de talfuertCy que los quadrados de dichas perperuUcu-- 

lares fon iguales a los reSangulos de los fegmentosy 

el curvilíneo fera circulo^ 



SUponelé', que el quadrado de 
redaGH, es igual al redangulo GÓH.* Digo, que la 



ITponefc', que el quadrado de MO, perpendicular á la 



figura curvilínea GMH es circíulo. Dividafe la GH por 
medio en I,,y tirefeJa IM. ' • • 

Denwnjlr. Por eftár GH dividida igualmente en I , y 
deiigualmente en O, es <5. 2. Eucl.) el reciíangulo GOH, 
mas el quadrado de lO , igual al quadrado de IH ; pero el 
redansulo mifmo GOHk* fupone igual al quadrado de 
MO : luego el quadrado de MO , mas el quadrado dé lO, 
es igual al quadrado de IH : y iicndo (47. i. Eucl.) el qua- 
drado de IM, igual í los quadrados de lO, MO , (eran los 

qua- 



LiBn o L i i6% 

cjuadrados de IH , de IM , y de IG iguales : luego las tres 
I 4ineas, IH, IM, IG ion iguaids ;.y por coníiguiente ^ el cur- 
vilíneo GMH es circulo. 

PROP. n. ThccMrema. , 

* 

Mn la firanúdi comea efcakna^ la fucm fubcontraria es circulo^ 

í ....... 

SEa ABLC la pirámide cónica, eícalena ; yíeaABC el 
triángulo plano , que pallando por elexe es perpendi* 
cuiar á la baiade la pirámide. Corceíe la piramiae con el 
plano EFG redó al plano del triángulo ABC , yferá £G la 
feccion común de eftos dos planos ; y el triangulo AEG 
qiie forma cfte corte, fea femejartte , y fubcontrario al 
triangulo ABC' Digo , que la íecdon cónica EFG es cir* 
culo. í 

, Prepardcm. Tircfe en el plano EFG la reda IF perpen- 
dicular á EG,que por confi^uicnte ( ¿e/. 3. ]íi. Euc. ) ferá 
perpendicular al plano . ABtí : tirefe por IF el plano HFK 
paralelo á la bafa, y la feccion común HK de dicho plano, 
y del triangulo ABC,(etá paralela á la bafaBC ; y (i.) fe 
rá HFK circulo. 

Demof^r. La reda FI ,. feccion común de los plaoos. 
EFG , HFK , es perpendicular al plano ABC : luego es 
perpendicular á Hk ; y (leodoHFK circulo , ferá IF media 
proporcional entte HI, IK : ( coral, de la 13.^ del 6. Eucl. ) 
luego, elquadradode FI cs( iji 6. Euc. ) igual al redan- 
guio HIK ; pero el redangulo EIG es también igual al 
ie.daogulQHIK> por íer;,iemejanteslos triángulos EIH, 
KIG , como lo convéncela igoaldad de los ángulos verti- 
cales I ; y de los ángulos EHI , EGK iguales. entrambos al 
ángulo B , efto es ^ G por (bppfiíiqtí , y H por las paralelas 
HK, BC : lu^o ( 4.6.Eacl. ) fus lados homólogos fon pro- 
porcionales , eilp p5 , El a HI,; CQtíiip IK i IG ; Juego ( 16. 
6. Eucl. ) el re(Sbogulo EIG de^ extremas es igual al rec- 
íargulo HIK-áe^iasrmedias : laígo. el quadrado IF , que 
és igual al redaQguló HIK , eS; igual al. redangulo £iG: 
luego ( i¿na aniej(i« ) la íkura £FQe& circulo. 

PROP, 



l66 Trat.VIIL Db ias tus Sbccion* Con. 

PROP. in. Theoi«tna. 

Si el diámetro de la feccm comed akánsu entrambos ladot del 

triangulo que fajfa forelexe^ yMáafecaon , m es paralela. 

a la bafa , ni fubcontraria ; no fera circulo yfi 

elipfe^ {fg. 7. ) 

EL diámetro DF de la feccion pEF corta entrambos la- 
dos del triangulo ABC , que pafla por el exe ; y ni es 
Í ai alela á la bafa iiC,m fubcontraria. Digo , que la feccion 
)£F no es circulo, 

Demonfir. Si DEF fuere circulo , DF tendría poftura 
fubcontraria 9 contra lo íupuefto: luego dicha feccion no 
puede fer circulo. Para demonítrar el antecedente fe ha 
defuponer , que fi el plano DEF fe continuara , cortaría á 
la bafa BC, ó íu plano continuado én NGH,la qual feccion 
feriaperpendicularáBC, por fer el plano DEF perpendi- 
cular al plano ABC, Hagafe pues El paralela á NG : tire- 
fe LIM paralela á BC , y fera U perpendicular á UM;y 
el plano que paliare porlE, y LIM , lera paralelo á la bafa 
Bí- > y (!•) ferá circulo : luego lE es ( c4^roU ij. 6. Eucl. ) 
media proporcional entre LI , IM : y como DEF fe fupon- 
ga fer circulo , también la lE (era media proporcional entre 
DI, IF : luego los reflangulos DIF , LIM- fcriín iguales en- 
tre si , por íerientrambosUguales al quadrado <le lE : luego 
( i6.6,Euc. ) ferá LU DI , como IF á IM ; y iíiendo los án- 
gulos verticales I iguales , ferán los triángulos LID , FIM 
equiángulos ; y la ^cion fubcontraria, contra lo fupucfto: 
luego cfta feccion no es circuios y por ooníiguicnte {def.i. ) 
ferá elipfc , cuyas propiedades mas infignes fe demueftran 
ealaspropoficiones £guientcs« 

' • - • • ^ • ' • « 

PRÓP* IV,' Theoretaa, 
la reSa Di (fig.j. ) ^na pormeéo «9$ I i la retía EK. 



D 



•■ « « 



IHwnfir. LareébLMft fuponepwalela-iia'BCf y 
«Isinrilmo KE fe hizo en la pró|>. áflteced» paralela á 
tu^o el angttio-iJÉiss igual (JO, u;fiacl,) alar- 
ga- 



V ' Libro I. l6j 

guio BGN ; pero d ángulo BGN,fc fupbnc redo por la ra- 
zón dicha en la propof. paflada : luego LIE, también es 
re¿lo ; y (iendo (i.) 1^ íeccion LEMxirculo, y fu diámetro 
LM,es forzolb< j.j.Euc. ) que eíte diámetro corte á la per^ 

Í>endicular £IK, por medio ea I;y íiiaido.el punto ly como 
e ha, fupUefto^ comun^ á las tres r¿3tas LM, EKj DF, la DF, 
cortará á la JBK, por medio en I. 



s T 



'S 



COROLARIOS. 

IguefiMa^iy que U reSté Df^ ufiáik fw meiw 2 tüist 
las fmdiUs'k EK , qiufftíforín 4ím9deU eüffe ; y 
ál contrario* i..St'm^irt , qm U r^Ba D¥f0s ti ixe maj^r de ík 
$üffe ; j que U J$K , / todas fu for^iMasfin las erdmadasmun 
dflicadas a^did^exo DFp t ' • , 

PROP* V. TbeoFeoMv 



»» 



Si eu U ek^ft^Km^fe tkA,o$réquakpm^ Ikteá RT f^áhU i 

ENy fcra el reSan^ulo DMFj al reSiangulo DHI, wm^l 

quadradá dé HM, al qtíadltaáo de Sff» 

IyRepMrmim. Ticde por el puotá H la; re^ SUQjpérale- 
la á OP I y pa0e por Jas re<3:8$SQ i TR un plano ^ que 
( Í5.1 i.£ucL')^i^^idelo árOEP, yiJabaTa CGA ; yfíi 
íeccion SRí^¿ifi;ra «i^ccujo; (u) \- \ <' . - 

Demonftr. Por íer las redas OP , SCL paralelas , «n los 
triángulos DMP^DIrfQu,U>razop d&DMá DH^ cs( ^.6• 
EucU) la mifmaqoe de PM á^Q^S y en los triángulos 
OMF , SHF., la rasos de MF i ÚF-, es la miíma que de 
MOáHS. Siendcíi^ues ( 2;. (^..BucL)- lardón de] re^n-^ 
guh> DMF» al reéÉoiagiiilo DHF , compuefta de la rascón de 
UMá DH , y de MFÍHF , íétk la raion del reiftangulo 
DMF, al re£^ngulo DHF , compuefta de la razón de Pivl i 
QH jY de MOi HS ;, poro la razón del re^angulp PMO, 
al rcaangulb QHS , fe compone también de las razones de 
PM áQH, ydeMOáHS: luego el re^iangulo DMF , al 
reótángulo DHF , és como el redangulo PMO, alredan- 
gulo QtlS , efto es , ( por fer PEO,QÍlS,circulo$ ) como d 
* rcc- 



l6% Trat. Vni. De laI tres Sección. Con. 
redangulo EMN , al redangulo RHT fus iguales ( 3 ^. 3* 
EucL ) eftos reótanguios £MN, BtHT, fon quadrados, por 
cllár divididas las redas EN , RT oor medio en M , y H: 
(4.) Ittego el reáaneuk>DMF) al recbm^lo DHF ^ es coma 
d quadrado de EM, al quadnado de KH. 

• EjUes Utfofudáá Mtnád^jpiméttUiie U iüfft , que 
Us quádfádos ae las aflUádds di exey timen mtfí* si U mifina m* 
x4n que hs redanfulos de les fegmentos del exe ; lo qual cenvicne 
también a los demos éímeá'os , amb- lé^^démuiftra el P. Decbales^ 
liba. Sec. Con.frof. 31. pero bafia baverlo demonjlrado en Us 
MfJkuiait altxe.fMa UJitífi^ en addatue^ hemos de tratar. Tamt" 
que e^syerdadque efta frofíedad en> faru corntiene también al 
estculo y pero nodo UMjma. fuerte que, ala elipfe. ; porque en el 
mctáú^^umquaioi reSkmgáou^HQQ^ WHG < jijg. 5. ) de los fermen- 
tos del iüametroytienen entre s$ la mífnuu raxjers\<fat. tosquadrados 
de las aplicadas MO^ LN, pero por íer ellas medías proporcionales 
entre dichos fegmentor y. ¡frn los remniiA0s.dk efios iguales a los 
quadrados de aquellas ; lo que nofucede en la elipfejCxceptando el 
cafo éMi^tos diametrorxonjugadosfean iffOles , ' como en fu lu- 
gar ytesmos* • ■ . \ . i , . • 

COROLARIOS. 

I T^E ^uife infierOy que la elipfe tiene dos eiesjmo mayor ^j 
''M^y- otro menor i 'porque fi fue fferftjptítiesy iositeüanffdois 
hechos de losjegrnemos del esít y ferian 4guales\ alos^quairaíos de 
las ordenadas ^afiiicomo^ torferim iotu&angáás'ie los fegmentos 
de entréneos exes ;y poir configmente y .no A Añügáfia La elipfe 
delckculo^ . : .: i ; . 

, .2 lasapücad¿ alexerj.aue (bfiofí'^uabntñte del centro de 
iaekl^yfon iguaUt ; porque fi diftaniguakneme del centroyferin 
también iguales las d^ancias DM , FJÍ ; ^emo tamlfien yémadien" 
do Ijentr ambas el coman ilH, feranDH 4 ¥MigUéUes i luego ks 
feñangulos DMFy DHFfnrin iguales ; y fienda los* qModrados de 
MEy HRj igualas a los fobredichos reSangulosyféran etítresi i^tá- 
ks; luego fus lados 3í£ , HJR , feran igkaks. De 1^ téfmbieeí fe 
colige y que fi las aplicadas fon iguales , diftan ffftabnente del 
centrom 



PROP. 



Libro L %i^^ 

PROP^ VI. Thowema. 

# - • • 

£í r»e memr CD , ( ji¿*9« ) divide tambim par medio a todásfus 

aplicadas. 

DEmonfir. Cortenfe EX:i, £H iguales; ^.tireníe las per- 
pendiculares HI , GF; éftas (cotoImt. i. antee. ) íbn 
iguales, y paralelas : luego la FI, que las* junta ,íerá para- 
lela, é igual á GH: ( ;3* i* EucL ) luego la perpendicular 
£D y <)ue parte por medio la GH , dividirá también por 
medio la FI en K ; y aisi las demás aplicadas al diámetro 

CD. 

PROP. VIL Thcorcma. 

Las afücaiasea elántúadel exe yh éutnutr'p majof de la etiffe^ 
a las aplicadas en la eltpfe afuexe^o dímetta^ mayor ^ tienen en- 
tre si la razjm mifina del exe , diámetro mayor ai menor \j afsin 
mifmolas aplicadas al exe y hdiamnro menor en la eüpfey tienen 
íoe^ las aflicaias al circulo de fu exe menor y la raum 
mifma del diámetro ma^or al menor* 
(ñg. Í0.5 

E explicación* Sea la elipíe AGH ; y el circulo de fu exe 
, nuyor AH,rerá A vH;y el de lu diámetro menor GI, 
lera D(jE ; y las (emiordenadas en el circulo mayor , (eráa 
FP, es, OT ; y las femiordenadas en la elipfe FL,CI, ON. 
Diffo lo primero^ queFPl f L, es como Cd, íemiexe, ó íe* 
midiametro mayor de la; eltple , á CI^ íemiexe , ó femidia- 
snetro menor ; y aísi: en todas las dejmás» 
. . Demonfir. £i reébngulo AFH) , al redaneulo ACH y es 
(5 •) como el qüadrado de FL, al quadr^ido de CI ;pero el 
. rectángulo AFH, e¿(cotoh de la i ; .6.£ud.) igual al qüadra- 
do de FP ; y el redangulo ACH , es igual al qüadrado de 
6S1 luego el qttadr^o.deFP,.áL qüadrado de CS/rs CD|np 
d^.qiu¡diadadeFL,al quadra^lo de CI9 y ailteroando^el qu^ 
drado de FP, al qüadrado de FL , es conm^.quadrado de 
es , al qüadrado de CI ; y como ( zo.6.£ucl. ) los quadra- 
dos tengan entre sí la razón duplicada de fus lados , la ra- 
zón duplicada de la de FP , a FL , ferá la mifma que la 
duplicada de CS,á CI: luego la mifmaxazon hay de FP,á Í^L, 

.'i:;;': que 



t 

170 Trat. VUL De las tris Ssccio n. Con. 
que de CS femieze , 6 íemidiametro mayor , á CI femie* 
xtfi íemidiametro menony aísi en lasdeaus femiordenadas. 
Con (emejante demonftracion fe convence la fegunda 
parte de la propuefta : efto es , que tiradsR las femiordenl-' 
das ZXY, y las demás, es ZY á ZXy como CA , femidiame-- 
uo mayor, á CD , femidiametro menot. 

PROP. VnL Thcorcma. 

1/ circuh del exe vmíjw. tiene C9n U eliffe U mfma ráx4§ que 
itaíe el diámetro mayor conel menor ; j ejfd mfmá rax^n 
tiene U eliffe con el circulo dei exe 
ni$mfr. {^g. io«) ^ 

DEmueftrafe £icUmente por la methodo^ue llaman de 
mdivifibles j ó fegun el Padre Apdres Taauet, de etbe^ 
rogemos. Coníidereofe tiradas todas las ordenadas poísibles^ 
paralelas á la VS , y quedará formada con ellas toda la área 
de la elipfe,y del circulo mayor ; y como toda$ elUs orde- 
nadas íean cortadas por la elipfe en la razón miíina de CS i 
CI, fe (igue , que todas las del circulo mayor juntas , á to- 
das las de la elipfe , efto es , la área del circulo mayor, á \z 
de la elipfe , tendiüá la razón de CS , femidiametro mayor^ 
a CI, femidiametro menor. Afiímifmo, íi fe confiideran to- 
das las poísibles dentro de la elipfe paralelas á AH , fe in^ 
fiere tienen todas las de la elipfe á las del circulo menor la 
razón de AC , femidiametro mayor, ¿ DC, femidiametro 
menor : luego el circulo mayor á la eltpfe, y éfta al circulo 
menor,tienen la razón del íemidiacoetro mayor al femidia* 
metro menor. 

COROLARIO. 

EL cifcído dtl exe m49or , (4 üiffi ,7 el ckeulo delexememr 
fon €ontimi9s frifmioúdUs ^ fot tentr U ráxau rmfmá dd 
txe májor ulmnn. 



»-■.••» / í 






PR.OP. 



s 



Libro L 171 

PROP. IX* Thcorcma. 
ti crnnk wjú rsdh es medio froforoond entre el femiexe ma- 
yor y j el femiexe mcmr de U etiffe , es igud 
4 la eliffe^ ( Jí¿, jo, ) 
^£a la B media proporcional entre el femiexe mayor 
^ CH , y el menor Q. Digo , que el circulo hecho de 
b y como radio , ferá igual á la eíip^, 

Demenfir^ El circuto mayor ASHV , al circulo hecho 
del radio X tiene ( 2« iz.Eucl) razón duplicada del radio 
GS al radio B ; y fiendo la razón de CS á CI, duplicada de 
k de es á B, por fer proporciónales CS , B , CI, el circulo 
mayor ASHV, al circub h^cho de B , ferá como CS á CI; 
pero el mifmo circulo mayor á la elipfe e$ también (8.) co-^ 
mo CS áCI: luego el circulo hecho del radio B^y la elipíe 
ion iguales* 

COROLARIOS. 
I T^S ^^i fi (^^if ^l wodQ de hacer un árctdo igud a una 
\ J eüpfey fifes foU con hallar una media fropercional en^ 
ere fus femiexe s marjer \ y menor , el emulo que Je hiciere con 
dicha media como radio , fer a igual a la elipfe. 

z ti reSangub circunfcrtto k la eliffe , y el quadrado cir-: 
ounfcrito al ctrculo hecho de la media proporcional Byfon iguale s\ 
porque el lado de efte quadrado jh el diámetro del árcuU ¡obredi^ 
cho es medio proporcional entre los Lados de aquel rectángulo ^ i 
éxesdc la elipfe , i quien fon iguales. . r. 

^ Las elipfes fon entre si como los reSangdos de fus exes.Las 
que tteneti los exes reciprocos fon iguales. Las femé] ames , eflo esy 
las 4iuf tienpn losexesproporeionalesytienenla razien duplicada de 
fus exes homólogos, las que tienen un exe igual , tienen la raz4m 
que lei otros exes : 7 las que confian de exes defiguales y tienen la 
f4x*an compuefta íe fus exes^ 

PROP* X* Problema, 

HxpHcanfe dos modos de defcrsvir la eHpfe^ dados fus dos exes. 

N cfta propoficion explico dos modos de delinear la 
düpíe ) fundados en lu propiedad primaria ^ que fe 

de- 



E 



I 



« 



$J2 Trat. VUL De las tres Seccion.Cok. 
demonftró en la frof. 5. Mas adelante fe darán otros , fun- 
dados en otra propiedad fuya* 

Mudo I* Cm- II- ) Dados el exe mayor AB , y el iemi* 
exe menor CG , fe pide (e defcriva la elipíe. 

Operación. Del centro C defcrivaíe ei (emicirculo AKB: 
dividafe AC en qualefquiera partes iguales , ó defí^uales, 
como L, D: tírenle LM^DE paralelas a CK: divídanle ¿(las 
en N , y F , íemejantemente que lo eftá la CK en G ; eíto 
es, fea D¥ á D£ , como CG á CK ; y aísimifmo LN i 
LMyComo CG á CK. Digo, que los puntos A,N,F,G,eftán 
en la periferia de la elipie ; yj>or conüguiente , íi por ellos 
fe tira una linea curva AInE^ , &c* quedará deícrita k 
elipfe. Qiianto mas fueren eftos puntos hallados , ferá mas 
perfeda la defcripcion. 

Dfmonflr. El quadrado de DE es igual al redangub 
ADB , (i7.6.Euc*)y el quadrado de CK es igual al reCtan-- 
guio ACB ; y liendo por la conftruccion' DF á DE , como 
CG á CK , lera ( zz. 6* Eucl. ) el quadrado de DF al qua- 
drado de DE , como el quadrado de CG al quadi^ado de 
CK ; y alternando, el quadrado de DF al de CG, es como 
el quadrado de DE al de CK : luego d quadrado de DF, 
al quadrado de CG , ferá como el redangulo ADB , ai 
re¿tangulo ACB: luego (5.) el punto F efta. en la Deriferit 
de la ^pfe« Lo mifmo íe probará del punto N, y de todos 
los demás : luego ANFG, &c. es elipíe. 

Modo 2. (fi^. iz.) Sea dado el exe mayor AB , y el 
menor CD : pidefe fe deícriva la elipfe. 

Operación. 1 omefe con el compás la diferencia del fe» 
miexe mayor al menor ; y pueílo:^! tin pie en qualquíera 
punto G del exe mayor,feñalefe con el ocro en el exe menor 
el punto p: tirefe la FGH igual al femíexe mayor. DigOj^ 
que el punto H eftá en la periferia de la elipfe* Hagafe lo 
mifmo (obre diferentes puntos de la AB , y fe tendrán mu- 
chos puntos de la pemeria de la ielipfe í y guiando por 
ellos una linea , quedará hecha íu defcripcion. 

. Para la demon^acion defcrivafe el.lemicircOlo ALB; 
y por el punto H tirefe la IHK perpendicular á AB;y jut^ 
tefe la £L 

' De« 



Li9Ro I. .' : 173 

Demmfir* Las lineas FH, £1 fon iguales, por ferio en- 
trambas al íemiex.e mayor £ A, las quales juntan las paralé- 
lelas HI, FB: luego ellas Ion paralelas: luego ( z. 6. bucU } 
en el triangulo EIK, a(si fe ha £1 , igual al lemiexe mayor, 
con GH , igual al (emiexe menor , como KI , (emiaplicada 
al'circulo, con KH, remia{>licada á la elipíe : luego ( 7. ) el 
punto H eílá en la periferia de la elipfe ; y afsi en los de* 
más. 

Para mayor facilidad de la pradic^ íe íuele cortar una 
regla de madera , como MN , igual al femiexe mayor de U 
elipfe : y alli milmo fe nota el íemiexe menor OM; y ajuC- 
tando el cabo N (obre la C£^ y el punto O fobre la AE, de 
fuerte , que corriendo N por la CE , jamás (e aparte O de 
la A£, la extremidad M irá deícriviendo la elipíe : a efte 
modo fe han difcurrido algunos otros inílrumentos para fu 
defcripcion* 

PROP. XI. Problema. 

Hallar el parámetro del esce de la elipfe. ( /í¿* i J • ) 

Pídele. el parámetro, ó lado re¿i;o del exe AB de la 
elipfe. 

Operación* Hagaíe como AB , al exe conjugado CD; 
afsi CD á AE. Digo , que AE ferá el parámetro del exe 
AB ; efto es , que AE (era la medida de los quadrados de 
las aplicadas al exe AB. 

Antes de demonftrar efta regla quiero advertir, que 
los antiguos Geómetras hallaron en las fecciones cónicas 
ella linea llamada Parámetro , para tener en ella una ipiedi- 
da fíxa, y determinada, por donde pudiefTen nivelar, y 
medir con mayor facilidad las potencias, ó quadrados 
de las lineas aplicadas á los diámetros de dichas lecciones, 
coía que era muy conducente para averiguar fus propie- 
dades. El modo con que por el parámetro (e miden los 
quadrados de las aplicadas, coníifte, en que el quadradpde 
qualquiera aplicaaa , como por exemplo el de FG, es 
igual al redangulo hecho de la fagita FA , y de la Unea 
FI y que es el rectángulo FH s y aísi en las denía^ aplicadas: 

y 



174 Trat. yin. De tA$ TRES Sección. Con. 
y porque dios reéíangulos en la elipíe fiempre fon meno- 
res que el re&angulo hecho de la fagita , y parámetro, por 
tener iicmpre por lado una linea , como rl , menor que el 
parámetro, como íe colige de la operación (bbredicha; por 
ella cauía efta íeccion cónica (e llama elipfe , que es lo mi& 
mo que dificienti : á diferencia de la pdrab$la , en que los 
quadrados de las aplicadas ion iguales a Jos reá:angulos (b- 
bredichos del parámetro , y fagita ; y de la hipérbola , en 
que los mifinos quadrados fon mayores * que dichos rec- 
tángulos. 

. £ílo iupuefto ) para probar que la reda hallada AE es 
el parámetro del exe AB, hágale AE paralela al exe CD. 
Tirefe la BE , y también las femiaplicaaas que (e quilieren, 
como FG , que extendida, cortará la BE en I ; y perñcione- 
fe el paralelogramo AS : y últimamente tireíe la IH parale- 
la á AB. Demueftro pues , que el quadrado de FG qs igual 
al redangulo hecho ae AF, FI , que es FH. 

Dem§njir. Por fer FG , MD íemiaplicadas al exe AB , es 
( 5. ) el quadrado de FG al quadrado de MP, coiiioeJ rec- 
tángulo AFB al redangulo AMB , ó quadrado de AAí: 
luego ( 2 j. 6. EucJ. ) tienen la razón compuefta de íus la- 
dos, efto es, de AF á AM , y de FB á AM; pero el reólaa- 
gulo AFI,cfto es, FH, tjene también la mifma razón com- 
puefta déla de AF á ANÍ ;y de la de FI á ML, que ( 2. 6. 
Eucl. ) es la mifma que ía de FB á AM , d MB : luego el 
redanguloFH, al redangulo AML, tiene la mifma razón 
que el quadrado de FG, al quadrado de MD; y alternando, 
el redangulo FH , al quadrado de FG, tiene la mifma ra- 
zón , que el redanguio AML , al quadrado de MD ; pero 
el quadrado de MD es igual al redangulo AML , como 
luego probaré: lu^o elreélangulo FH es igual al quadra- 
do de FG. 

Qge el quadrado de MD (ea igual ^ redangulo AML, 
es claro ; porgue AB , CD , AE fon jpor conllruccion pro- 
porcionales : luego el re&angulo de las extremas AB , AE, 
(17. 6. EucL) es igual al quadrado de la media CD : luego 
fus quartas partes (on igualen. El quadrado de MD es la 
quarta parte dd quadrado de CD doblada de MD; y el 

rec- 



Libro I. • 17J 

reiSbngulo AML, o LMB, es la quarta parte del redangu- 
k) AS , por íer ML mitad de AÉ : (z. 6* EucL ) luego el 
quadrado de MD y y el redangulo AML , Con iguales, que 
es lo que faltava .proba^r. 

. Dé la mifina fuerte que ie ha hallado el parámetro de el 
exe mayor, ic hallará el del menor, haciendo como CD i 
AB : aísi AB al parámetro que íe bufca , el qual fer^l mayor 
que AB. 

% COROLARIOS. 
I T? Lparametro AE del exemayar , elexe menor CD , elexe 
XZi fnajfor AB jj el fAtatnetto del exe menor ^ fpnquatro 
continuos froforcionédesy forque for confirmüon es ABaCDf co- 
mo CD a AE , parámetro deLexe mayor : luego invirttendojfeti 
AEy parámetro del exe mayor y a CD, como CD a AByyfiendo tam- 
bién for conjlruccion , como CDaABy afsi AB al parámetro del 
exe menor y ¡eran quatro continuos proporcionalesy como AEa CDy 
dísí CDa AB;y afsi aBoI parámetro del exe menor : luego los 
dos exes de la elipje fon medios proporcionales entre los dos para- 
metros ;y por configmente , fi dados los parametrosy fe defcriviejfo 
la elipfe^ ¡i hallarían las dos medias proporcionales* 

2 Bl quadrado de qualqtúera aplicada , como deEGy al rec- 
tángulo AYB , tiene la mifma raz^on que el paratñetro AEy al dia-r 
metro ABy porque fon proporcionales AByCDy AEi luego ( co- 
rol. 20. 6* Eucl. ) AB^AEyOs como el quadrado de ABy al qua- 
drado de CD'y y por conjiguiente , como el quadrado de AM , al quor 
drado de CM : luego myirtiendo , fer^í como áe}í AB\ afsi el qua^ 
drado de CM , al quadrado de AM, i reSangulo AMB ; pero ( 5. ) 
el quadrado de CM , al reSlangulo AMB , es como el quadrado de 
IG y al reílangulo ÁEB : luego el quadrado defG^ al reüangu- 
lo AFBy^escomo AEa AB. 

PROP. Xn. Theorema. 

£/ quadradodel exemenores igualal reSangnlo del exe msyory 

y el parámetro. 

LA ra2on confia de lo dicho , porque (i i.) el exe menor 
es medio proporcional entre ei exe mayor, y elpa»- 
rametro : luego fu quadrado (17. 6. Eud.) es igual al rec- 

tan- 



IjS Trat. VIH. De las tres Sección. Com. 
tangulo del exe mayor , y el parámetro. A. efte rectángula 
llaman ahfolutamente Figura. 

COROLARIOS. 

I T7L ^fuináM dil finüexe HD^ (fig. 13. > es igu4 %U 

XZi quarta fMe de la figura^ i reüaagulo AS, becoo del exfi 

majoTj y elforametre : forque el quadrado de MD ^es la quarta^ 

forte del quadrado del exe memr CD ^ el qud fe ha frobadofer 

igual al reüanguh AS. - ^ 

2 Tarubieu perfer el exe majw medio poforúmal entre el exe 
menor yjfu parametroy es fu quadrado igual al reSangulo del exe 
menor yj- fu fétrametroyj el quadrado del fenuexemajor^ igual í 
la quarta forte de dicho reSaugulo. 

PROP. Xin. Problema^ 

Otra modo de defcrivir U dkha eüffe. ( jig* 14* ) 

S£a dado el paralelogramo ABCD , cu/a diagonal AC, 
hade íer el exe mayor de la elipíe que (eba de deícrjt-. 
vir. Operación. Tírenle las paralelas que fe quilieren £0, 
KM, NS. Hagafe FH, media proporcional entre EF, FGt 
y afsiroilmo LO, media proporcional entre KL, LM; y tam- 
bién hagafe PS, media proporcional entre NP, y PR: y aísi 
en quantas paralelas fe quiliere. Digo, que los puntos H, 
O, S, ellán en la periferia de la elipíe ; y llevando por ellos 
una linea , quedará hecha fu defcnpcion* 

Demonjlr. La razón del redangulo £PG > al reñanguto 
KLM , k compone de la razón de £F a KL , ú de AJF á AL, 
ue es la fniitnr,(2.6* Eucl.) y de la razón de FG .a LM, u 
e CF a CL , que es la miíma ; pero la razón del reólan- 
gulo AFC , al re<^angulo ALQ. le. compone de las miíhaas 
razones de AF a AL, y de FC a LC: luego afsi fe ha el rec- 
tángulo EFG , ó el quadrado de FH fu igual , al rectángulo 
KLM, ó el quadrado .de LO fu igual, como el rectángulo 
AFC, al rcSangulo ALC 2 luego ( j. ) los puntos H, y O, 
eftán en la cirouníerenda de la elipíe» y lo miíhio fe coa- 
vencerá délos demás. ;. ... 



3; 



v^ . 



PROP. 



Libro I. tjf 

PjROP. XIV. Problema, 
Ihub d (enm it la üifftj, üxar los txes. (fig^is»} 

OVetaáon. Del centro da4o A,hagaíe un arco de círculo, 
que corte la clipfe en dps puntos B , y C. Tirefe la 
reda BC , y pattafe por medio en D ; tirefe por A, y D, U 
reda MN , "y ferá el exe mayor ; y tirando la pcrpendieular 
KE, por el centro A, ferá el exe menor. 

Demonjtu La recta NM, pafla por el centro del circulo^ 
y parte por medio i la cuerda BG: luego (j. j.Euc.) es per^ 
pendicular á la BC : luego (coroU i. de la 4.) NM es el ex« 
ipay or^ y por configuiente, K£ es el menor» 

PROP. XV. Theorema. 

* 1 

Todas las teñas que paffa» par el cmro de U elipfe , jf fe tnmhi 
nafren fu peúferia^fe dividen par medio en el mifim 

centro. (Jíg.ió,) 

SEa el exe de la elipíe IS, y lu centro C* Digo^ que qual« 
quiera linea^ como LP, que paíle por el centro C, quer 
da dividida en ,C en dos partes iguales. 

Fregar ámn. Tirefe dfefde L, la LN perpendiculaí: al exe: 
cortefé CM, igual á CN , y por M , hágale la perpendicular 
AlF, y ^irefe la Í^F, 

Demonftu Las aplicadas MF , LN (coroU z. pop. 5.) ion 
iguales ; las CN , y CM fon iguales por conilruccion ; y los 
ángulos M,y N,redos iguales : iueso (4.i.£uc.)eftos trian- 
gules fon del todo iguales ; luego Jos ángulos LCN , MCF, 
Ion iguales ; y íiendo verticales, las lineas LC , CF , (15. i« 
BucL) compondrán una linei^ reda , y ferán iguales: lu^o 
la LF, fe divide ppr medio en el centro C. 

COROLARIOS. 

% ^T^Oáw los diámetros pajfan por el centro de la elipfe ; jf pof 
X configmntey fe dividen alli en dos partes iguales. 

2 Las aplicadas a qualquiera diámetro en igual diftancia del 
4€ntrofon iguaUsí ionfia de la demonflracion mifma del Theorema^ 

TOWIH. A4 PROP* 



fjB Jrat.VIIL De las tres Sección. Con. 

PROP. XVÍ. ProblenMu 

Dádéuá ^mittü en U eüfft , hattár W iiamtfo €$níiig4doy Us 

áflkaiASy j el centro. ( pg.^. ) 

OVeraám i. AI diámetro dado AB , h«gaíc la paralcb 
FI : dividaníe entrambas líneas por medio en £ , y 
K r tírele Ja reda CEKD> y ^lU ferá el diámetro conjuga- 
do ; porque íi por £ paiTare otro diámetro conjugado, di^ 
vidif la la FI por itiedio en otro punto diftinto deK^io que 
es itn^oísible: luego CD es el diámetro conjugado. ( ie- 

2 Tireníe qualefijuiera parálelas i la CD , . como foa 
GF) HI, y eftas (enin las aplicadas al diámetro AB. 

} Para hallar el-ceñtro d« k elip(e,*(] fuere dado fu 
diámetro, baftará dividirle por medio con un puoto,y éfte 
teráel centro, como confta del cwol. i. de la prop. pafiad^ 

Eero fitro fuere dado el diametro,tirenfc dentro <ie ella dos 
neas paralelas como le ijuiera , como MN , FI, dividaníe 
por medio en O , y K , y tirefe la linea COKD :. divídale 
CD por medio en É, y elte punto ferá el centro. La razón 
es , poraue el centro eftá en <iicha linea CD : likgo es el 
punto É, que la divide por medio. Que el centro eltó en la 
CD , es claro , porque no éftande e» ella , dtaria en algún 
otro punto fuera de ella, como en P: luego íi por el punto 
P, Ce tirare un diámetro conjugado á AB,dividiria por me- 
tíio las paralelas MN, FI, en O, y K ; y tirando dicho dia* 
metro, pafliria por OPK; conque efta reda, y la OEK,ccr* 
rarian ef pació , lo que es impoísible z luego el centro nO 
puede tmt fuera de la CD: luego es el punto £. 

COROLARIOS. - 

I Q7 el diámetro divide fot medio una linea y que nojfaffa pof 
^ ^l ^^^^0 , divide afsinúfmo for medio todas fus farMeUs^ 
y feran fus aplicadas. 

2 Qualquiera linea que parte igualmente dos par délas den- 
tro de la elipfe, es diámetro^ j paffa por el centro. 

3 Hallad» el centro^i fe tirarh facUmente un Aametro de U 



Libro L ly^ 

elipfe , de un punto dado en fu periferia , con filo tirar una linea^ 
que faliendo del punto dado pajfe por el untro. 

4 la apiicaday que paj¡a por el centróles el diathetro conjuga^ 
do'y porque cowo G¥y Hl Juan paralela^ , como también GS^ ¥I , es 
Gi paraUíogramo: luego UafUcada CD , que es paralela alas GF^ 
Hí, partiendo por meato la Guiparte también por meiUo la Fl, fio 
mifmo a qualqmta otra paralela :. luego es diámetro jíonjugado. 
(ief.y.) 

PROP^ XVIL Thcowma. 

Bn la elipfe el txe mayor es el diámetro maxnho , y el exe menor u 

el mimno, J los diámetros que fe apartan igualmente de los 

exesfon iguales y j aquel es mayor y que mas difta 

del exe menor. ( Jíg. 17. ) 

1 ^Ea IS d exe mayor de la elipfe. Digo , eme qual- 
i3 quiera otro diámetro es menor que IS. Del cen- 
tro C , con el radio CI , hagafe un circulo ; éíle tocará á la 
elipfe en el punto I , y caerá todo fuera , como confia de la 
miífiía naturaleza de la elipfe : luego quatquiera otro dia« 
metro no llegará á la peri^ria del circulo : luego lera me^* 
lior quelS. 

2 Sea MN el éxe meñon Digo y que qualquiera otro 
diámetro ferá mayor que MN. Con el intervalo CN ha* 
gafe un circulo, y tocará interiormente á la elipfe en N,y 
todo caerá dentro ; luego qualquiera otio diámetro exce* 
derá ü exe menor MN. 

3 Digo, que los íemidiametros CH » CG, que diftan 
igualmente del exe IS y (bn iguales. Tirefe la HG , que por 
diftár igualmente los puntos H, y G del exe IS, quedará 
dividida por medio en O , y ferá aplicada al exe : (corol. u 
.16.) luego los triángulos CGO,GH0 tienen los lados 
ÓG y OH iguales , y OC común ; y los ángulos en O rea- 
tos, por feria GH aplicada al exe: luego (4. i. Eudid.) lo$ 
íemidiametros GG, CH ion iguales. ^ 

4 La CH , Que difta del femiexe CN mas aue la CK^ 
es mayor que CK;porque íi íe deícrive con la diuancia CH 
un circulo ^ cortará á la elipfe en H, y el femidiametro CK 

Aai . de • 



l8o Trat.VIII. De tAS tres Sección. Con. 

de la clipíe no llegará al circulo : luego^el íemidiametra 
CH es mayor que CK« 

PROP. XVm. Problema^ 

J)ai$s los exes de U elipfe , hallar los dos diamtíroi ínóugMdof 

iguales. C)í¿.i80 

SEañ dados los exes IS , PQ^de la elipfe: pideníe ios dos 
diámetros conjugados iguales» 

Operación, Tírenle IP, IQ^, que leran igualen, (4«i.£u* 
clid. ) por ier en los triángulos lOJ^ , lOQ^los ángulos eit 
O iiectos ; y los lados lO, OQ^; lO, OP iguales. Partanfc 
las IP, lCÍ.por medio en RT : por eítos punios , y el cen- 
tro O, tireníe las VO^LO,^ éítasferán los diámetros con- 
jugados iguales. 

Demonfir. Los triángulos ROP i TOQ^, tienen igua^ 
les los lados OP, CXi^, y TQ^, RP, y los ángulos P, y Q^ 
lueeo (4. I. Euclid.) ÓT, OR fon iguales; y alsimifmo lo 
Ion los ángulos ROP , TOQ, que quitados de los augur- 
ios O reétos , quedan ÍOT , lOR iguales : luego (17.) los 
ftmidi^fn^tros ORV , OTL fon iguales. También por íer 
el ángulo POI redo , el circulo deícrito deíde R por I^ 
paliara por O : luego RI , RO ion iguales ; y los ángulos 
ROÍ, RIO » C 5- !• Euclid. ) umbien fon iguales. Siendo 
pues, como fe ha dicho, el ángulo lOT igual á ROI,(erán 

guales los alternos RIO, lOT: luego (aíJ. i. EucK) lasPl, 
L Ion paralelas ; y afsimifmo íe probará lo fon las VO^ 
IQ^: luego los femidiametros VO, OL , dividen por me- 
' dio mutuamente fus paralelas : luego fon conjugados y y 
por la razón íbbredicna iguales. 

COROLARIO. 

EN los diámetros conjugados iguales ^ el reHangtáo hecho de Us 
fegmenm del diámetro es tgual al cuadrado de fu afUcada^ 
comoelreHangulo VKS es igual al quadrado de m; f0rqu0 (5.) 
el quadrado de i^Z, al quadrado de OL , es como el reüangiloVRN^ 
al reHangulo FON ; y alternando , el quadrado de K/, al reüangu^ 
toVRS , es como el quadrado de OLyal reñauítdo KON ; pero efit 
qu4drado de OL es igual (i?*^* BUclid.) al reüa^uío VOSi /iirg# 

V el 



W quadrddo ie HI es igudl al reSangulQ KKN; j áfsi en Usdmh 
aplicadas. ' *: 

PROR XIX. Problema. 

Jbef&cafe cm modo de defirivir la eliffe. (fig. 19* ) ^ 

DEfcrivaft un circulo,y tirenfe en él los diámetros AQ 
DP , que íe corten perpendicülarmfente : tomcnfo 
en el diámetro AC los puntos que fe quifieren E , H , &c* 
dillantes entre sí en igual , üdeügual diftancia» y tireníe 
por ellos las^^reétasEF, HI, &c. paralelas al femidiameiro 
BD. Hágale la £G igual á EF con la inclinación arbitra- 
ria : hagafela HIC paralela á la EG , é igual á HI ; y afsi-» 
mifmo la BL paralela á HK , é igual á Bl> ^ y aísi étf todas 
las reliantes : y tirando la curva AGKLC por los puntos 
G,*Kj&c. quedará defcrita la una mitad aela elipíe* La 
. otra mitad (ejpodrá hacer del mifmo modo , ú haciendo la 
EO igual á EG , la HN igual á HK j y aísi en las demás , y 
quedará concluida la elipfe. ^ , 

Demonjtr. £1 quadrado de EF ( 17. 6. EucL ) es igual ú 
re¿íangulo AEC ; y fiendo EG igual a EF, íerá el quadrado 
de EG igual al reótangujíí AEC. Afsimifmo probaré fer el 

3uadrado deHK igual al rei^t^ngulo de AHC; y afsi en to- 
as las demás : luego el quadrado de EG j al quadrado de 
HK, escomo el rectángulo AEC , al réétangúlo AHCf 
luego ( 5. ) los puntos G , y K eftáó en la periferia de la 
elipíe. 

Aquife hace otra vez. evidente, que quanda en U eliffe los dia-^ 
metras t^iHfUgoMs fon iguaUsy como lo fon aqai AC^IM , los qua^ 
arados de las aplicadas jon iguales a los reñangulos hechos de los 
fegmentos del diámetro , como hemos vifto» 

PROP. XX. Theorema* 

Qualqukra exámetro (Hv'tde la elipfe en dos partes iguales ; lot 
^Hametm conjugados la parten en quatro partes iguales ;.jr 
tú$ Jeüores verticales opuejlos fon iguales. 
. (fig. 20.) 

Digo lo primero , que el diámetro IS divide la elipíe 
en dos partes iguales ; porque por todos los puntos 

ima- 



|8i Trat. VIH. De las tres Sección. Con» 
imaginables de IS le pueden tirar aplicadas ;í y como el 
diámetro las divida todas en panes tóales , umhiea divl* 
dirá afsimifmo U elipfe. 

Digo lo fegundo , que tirados cjualeTquiera diametror 

15 , PQ , los fectores POS, lOQjerticalmcnte opucítos fon 
iguales ; porque, como hemos probado y IPS es mitad de la 
wpíe, y arsimilmo PIQ: luego ion iguales : luego quitan- 
do la común POI, quedarán POS, lOQ^ iguales. 

Digo lo tercero , que liendo las IS, PQ^diametros cop* 
jugados , queda la elipie dividida en quatro partes igua^ 
les ; porque todas las aplicadas á lO (bn paralelas á PC^ y 
divioidas por medio : luego los ícdores lOP , lOQ^ ion 
iguales; y iiéndo fus verticales opueftos también iguales con 
los ibbredichos , también lo (eran entre sí : luego queda b 
elipfe dividida en quatro partes iguales. 

PROP. XXL Theorema. 

la re94 quefaliendo del centro de la el'spfe parte por medio ufui 
fubtenfáy divide también por medio al fegmento , j alfeüor^ 
j las ¡ubtenjas tiradas del vértice cortan, fegmentos 

iguales, (jig. 20. ) 

1 

EL diámetro IS parte por medio en E á lá fubtenfa C£>. 
Digo lo primero, que elícgmento CID queda tam- 
bién dividido por medio ; porque ii fe. imaginan todas las 
paralelas pofsibles a la CD , todas quedarán divididas por 
medio con el diámetro IS , como lo eitá la CD : ( coroL i. 

16. ) luego todo el fegmeñtu CID queda dividido por 
medio. 

Digo lo íegundo, que el ftdor OCID.queda dividido 

Ejr medio; porque fi en el triangulo COD fe tiran parale* 
s á la CD , como lo es la HL , quedan divididas por me- 
dio por el diámetro IS : luego todo el íedor fobredicho, 
que (e compone del (egmento CID , y del triangulo COD, 
queda dividido por medio. 

Digo lo tercero, que fi del vértice I íc tiran las fubten- 
ñisIC, ID, los íegmentos IC, ID Con iguales; porque fi de 
los medios Tegmentos iguales I£C, I£D>(e quitan lostrian- 



Libro L %S^ 

gulos CEI , DEI iguales , quedarán los (bbredichos íbg- 
mentos igualen. 

COROLARIO^ ^ 

Sí dado elfeSor lOD , fr pidiere otro feítor igual formadú cow 
una reSta tirada del centro O ala periferia , je ttrara del 
punto Djta DCy aplicada al diámetro IS ; j tirando la OC^queda- 
r a formado elfeHor lOC, igual a lOD , como confia de lú detnmf* 
trado* 

PROP. XXlIi Theorcma. 

Las tejías ABy DCj que juntan las paralelas ADj BC ^ cortan tos 
fegmentos ilOB-, D?C iguales, (fig. 21.) 

DEmúnfir. Dividanfe las paralelas AD , BC , por medio 
en E , y F ; y por eltos puntos tircíe la. reda EFH,. 
que ( caroLi.prop.i6.) ferá diámetro; y por la anteced. los 
íegmentos BFH, CFH, íerán iguales , y aísimifmo los íeg- 
mentos AEH, DEH ; y quitando de éftos los primeros,que- 
darán los íegmentos AOBFE , DPCFE iguales. También 
por íer AE,ED iguales, como también íus paralelas BF, 
CF,y la altura Fü común, ícrán los trapecios reftilineos* 
BE , CE iguales : luego quitándoles de los íegmentos igua- 
les AOBFE , DPCFE, quedarán los fegmentos AOB, DPC 
iguales* 

COROLARIO. 

DAdo el fegmento AOB ^j el punto D , en U perdería de U 
clip fe fjífejpide que del punto D , fe tire unareáa DC^qué 
corte el fegmento DPC , igual al lado AOB , fe tirara la relia ADi 
y del punto B, la paralela BC \j tirando la DC , quedara formado 
el fegmento DPC^ quefegun lo dimonpado, fera igual al fegmen- 
to dado AOB. 

PROP. XXm. Theorema^ 

Las paralelas tiradas dentro de la elipfe de las extremidades del 
diámetro fon iguales y j la reña que las junta es 



diámetro, (ñg. zs. ) 

DE los puntos M , y N , del diametr 
ralelaSvMQ, NP. Digo , que Ion iguales. , y que la 



^E los puntos M , y N , del diámetro MN, fakn las pa- 
__ ' rdelas^MQ, NP. Digo - 

PQ^que las junta es diámetro* 



Tre^ 



184 Trat. VIII. De t a$ tres Sección. Con; 

Prepdr ación. Pártanle dichas paralelas po,r medio enH,y 
F , y tirefe la F£ » que ( coroU i» puf, 16. ) (era diámetro , / 
paífárá por e| centro O. 

Dtmonjlu Los triángulos MOE , FON^ tienen los angu- . 
los FON , MOE iguales ; ( 15.1. Eucl. ) y losN^ y M, tam- 
bién iguales , por ícr alternos en las paralelas ; ( 27a, Eucl.) 
y los lados MO, ON fon iguales : luego dichos triángulos 
( 26. 1 «Eucl. ) fon del todo iguales: luego M£,FN (bn igua- 
les : luego íiendo mitades de MQ , NP , ierán ellas lin€2S 
iguales. También tirando las redas PO, Qp , los triangu* 
los EOQ^ POF, tendrán los ángulos P, y Qjguales,por íer 
alternos en las paralelas. Afsimifmo los ángulos OEQ, 
OFP, fon iguales , por 1er complementos al femicirculo de 
los OEM , OFN, que antes íe probaron íer iguales; y lien- 
do también iguales los lados EQ, FP , como antes dixe, fe- 
rán eftos triángulos totalmente iguales : kiego los ángulos 
EOQ^ POF, fon iguales ; y fiendo verticales , feran ( 1 5. !•- 
Eucl.) las PO, OQ, una linea re¿ia,y como pafle por el cen- 
tro, íérá diámetro. 

PROP.XXIV. Problema. 

De un punto dado en la periferia de la elipfe , tirar la afücada ai 

diámetro dado» ( ^¿« 23 . ) 

m 

SEa dado etdi«netro AB", y en la periferia de la elipfe 
el punto C. Pidefe, que de eíte punto fe tire la aplica- 
da á dicho diámetro. 

Operación. Tirefe la reSa CAD, y cortcfe AD., igual i 
CA : tirefe la DE, paralela á AB , que llegue a cortar á la 
elipfe en E : tirefe la CE , y ferá la aplicada que íe pide. 

Detnonftr. En el triangulo CDE , por íer AF paralela á 
DE,es( 2.6.Eucl. )CF á FE, comoGAá AD; peroéftas 
fon iguales : lutgo también aquellas > y por confíguiente , la 
CE es aplicada* 



PROP^ 



PROP. XXV. Theorcma* 

tás Imiát jtH, BE (figé 24» ) que féden de las extrimdades de U 
^flicádá AB j y concurren en el punto E del dumetr0 , cortan U 
eüffe en los puntos F^y G , tales , que le re^a FG, quiUs- 
juma y es paralela a la aplicada AB. 

m 

ES derto, que del punto F, fe puede tirar una paralela á 
AB, jque corte al lado £B. Pruebo pues , que dicho 
punto es GjComun á £B , y á la periferia de la ekpíe; por* 
que fupueíio fean IG^AB paralelas , (era (z.é.EucL) como 
D£ sL lE, aísi AP á F/,y DB á ¡G: luego alternando, ferá co- 
mo ADiDBj aísi ¥1 a IG; pero AD, es igual á DB: (defin.6.) 
hiego Fi, es igual á IG : luego el apunto G eftá en la periferia 
de la elipíe : ( coroL i. pop. 4* ) luego la reóta que junta loi 
^pUQtos ly Gy es paralela. 

PROP. XXVL Theorema* 

jQualquier linea que fale de la extretmdad del diámetro y paraleU 
a las apocadas y es tangente. ( jíg* 2 5 .) 

LA reda ACy es paralela a las aplicadas , y (ale de la ex* 
tremidad del diámetro AB. Digo , que es tangente; 
porque i¡ no lo fuera, caería dentro de la elipfe,como AD. 
Siendo pues AD , como fe fupoue , paralela a JEF , quedará 
dividida en dos partes iguales por el diámetro: ( coroiar. 1. 
frof.j^.') luego no faldrá fu extremidad A^ ¿ontra Jo fupuef- 
to. 

COROLARIOS. . 
X T As dos tangentes ACy BG , tiradas por las extremidades 
JL/ del diámetro , fon paralelas. 

2 iisfe pidiere que de un punto dado Ayfe tire una tangen- 
te y fe bufcara el centro^ y del punto Ay fe tirara por el centro el 
diámetro AByy und aplicada a ejie diámetro^ a quien fe bar a la 
far alela aC , jfera la tangente que fe pide. 

3 El dianfetro que paffa por el punto del 'contaño , divide 
far medio todas las paralelas a la tángeme. 

PROP. 



tSá Trat. VIII. D| LAS TRES Seccion. Con. 

PJtÓP. XXVn. Thcorcma. 

tí Id reSa AB^ifíg* i6. ) quetocá. i Ufliffe enB^tonmrecm 

el diámetro en Ajj del contaüo B faU la dplkdda BHjj U BO X 

U extremidad O del diámetro ; la reSa DBl , paralela a BO, 

quedara dividida en i y en los dos fepnentos DE, . . 

El iguales, {fig. z6. ) 

Preparación^ Dividaíe la BO , por medio en M, y tireíe el 
diámetro MS y prolongándole haita que concurra con 
k aplicada BH en G : tomcfe la MT , igual á MS, y tiren- 
fe las redas BT , TO; OG , HK, y FN: alargucfe la DI, 
hofta C , y tireíe el diámetro BSL» 

Demonfir. Las reítas BO , HK ( ^5. ) fon paralelas , y 
también lo es la DC , por conílruccion : folo es menefter 
probar el paralelifino de la FN, con las fobredichas, y de la 
kT,con la SO; para lo qual, confí dereníe los quatro tri^n- 
ulos que tienea íus.quípides.eivM, y fui bafes fon BS,SO, 
)T, TBjde los quales los opueftos fon totalmente iguales; 
poique en los BMS , TMO , \ienen los lados TM? y MS, 
Iguales» por conftruccion , como también BM ^ MO, y los 
ángulos en iVl, ( i5.i.EucI.) fon iguales : luego'los triángu- 
los íbbredichos (bn totalmente iguales : luego el ángulo 
MBS, esjgual al ángulo MOT; y tiendo alternos, ferán las 
BSN, y To paralelas. De la mifma fuerte probaré fer to- 
talmente iguales los triángulos BMT y OMS , y que las 
BT, SO fon paralelas. Elto fupuelto. 

Por (er jparalelas las lineas fobredichas, (era (i*6*ÉdcU) 
ON á NG , como TS 4 SG ; afsimifmo JJF á FG , como 
las mifmas TS a SG : luego BF á FG , es ct)mo ON á NG: 
luego ( 2.6.EucU) BO , FN fon paralelas; y como HK, fea 
paralela á las fobredichas, fcrá BF á FH , como ON a NK; 
pero BÍ , FH fon iguales : luego ON, y NK, fon también 
Iguales : luQgp OK , es aplicada al diámetro BSL : ( coroL 1 • 
16. ) lutgo ( 26. ) es paralela á la tangente AB^ También 
, por fer tP, BO, HK paralelas,. fon ¡^ ,, ZP iguales; y qui- 
tadas las ZI, ZC iguales, ( por íer entre si., como las MB^ 
MO y que lo fon por conftjraccion) qued^ las fagitas CP ^ 

lE 



s 



,^ Libro t. í9f 

BE iguales. También las EP , BO (23;) íbn ¡guales ; y afsi- 
miTmo las DC , V BO: (54. i> Eucl.) luego EP , y DC fon 
iguales ; y quitada la común EC, quedarán DE, CP igua- 
ks;; y havicndoíe probado íer El igual á CP,feran DE^ El 
igiiales,que es lo que k bavia de probar. Efta propoftcion, 
y la figuíente fe verifican también en el circulo , como fe 
puede ver haciendo en él femejantes conftrucciones ^ y de- 
moñftraciones. 



PROP. XXVffl. Theorema. 

Si un4 linea ma la eüpfe yj del contado fale una apUcada, feri 
el mayor fermento del diámetro , al menor fegmento , como 
la Jécante al fegmento exterior ; j al contra- 
rio. ( fig.l7* ) 

SEa MS tangente, y del concaao S falga la aplicada SO. 
Digo, que RO á ON , es como RM a NM. Juntefe la 
SK , y tirefe por N la PQj>aralela á SR ; y por la prop.an- 
tec. lerán PN, NQ^iguales. 

Demonjlr. Los triángulos SOR, NOQJbn equiángulos, 
por tener iguales los ángulos O; y los R, y N alternos en 
las paralelas NQ^ SR : luego (4.6.EUCI.) RO a ON, es co- 
mo RS á QN , ó a PN fu igual ; pero en los triángulos 
MSR , MPN , por fer paralelas PN, SR, es RS á NP, como 
RM ^ NM : luego RO a ON , es cómo RM á NM. 

De aqui fe colige baftantemertte la converfií^que fi K(X 
i.ON es como RM a NM , la MS es tangente ; porque íi 
no lo fuere, feria otra la tangente , como porexemplo la 
SZ : luego leria RO á ON, como RZ á NZ : luego no feria 
RO a ON ^ como RM a NM, contra lo fupuefto. . 

COROLARIO. , 

Siendo y como fe ha demonjlr ado , RO 4t.0N, como "RM a NM, 
fer a ( 1 6. 6. Eucl. ) el re&angtilo de los extremos RO , Nií, 
igual al de los medios ON y BM. 



PROP* 



y88 Trat.VIII. De las tres Sección. Con¿ 

T>ROP. XXDC: Thcorema. 

Sí U tangente MS (fig. 27. ) de una eUffe^ o circuU concurre cm 
el aiametre prolongado en M^ eireáangulo MCO9 feuk 
igual al quadrado del femidiame- 
tro CN, . 

Dlmonp. ( 28.) RM á NM, es como RO á ON: luego 
componiendo, ferá RM -+ NM á NM, como RO -*- 
ON á OIní ; efto es , como RN á ON : luego h mitad de 
cada antecedente , tendrá la mifma razón con fu conCe- 
quente*; efto es , ferá CM á NM , como CN á NO ; y al- 
ternando, íerá toda CM á toda CN , como el fegmentb. 
Suitado NM , al otro Tegmento quitado ON: luego el refi- 
uo CN al refíduo CO, es como toda CM á ^oda CN: lue- 
go el redangulo de los extremos, efto es , el quadrado d« 
CN y es igual al reftangulo de los medios CM, CÓ« 

COROLARIO. 

SJguefey que CO, dtftancia entre la aplicada^ j el centro, la CNy. 
femuiíametroyj la MC fon continuas PromcioMdlesyfot fer 
. el quadrado de la media igual al reílangulo de las extremas. Es 

de Apolonio Pergeo. - , 

■• 

PROP. XXX. Theorcma. 

• « 

^i la tangente MS (fig. 27. ) de una elipfe , I circulé cpicurre con 

el diámetro en M;jf del contaño f ale la aplicada SO j fer a el 
. • reñangulo MOC al quadrado de la apttcada SO , íquiq ^ 

el diámetro NS , al parjmetro. 

Dlmonfir. El reftangulo MCO , es ( 3,2.Eucl.) iguala al 
reélangulo MOC , mas al quadrado de OC : tam- 
bién eí quadrado de NC (que por la antecedente es . igual 
al re<9ánguIo MCO ) es afsimifmo (5.2.EUCI.) igual ai resc- 
tangulo RON , mas al quadrado de OC : quítele efte qua-r 
drado de OC de entrañabas partes de la igualación, y que*, 
darán los redangulos MOC, RON iguales: pero el reáaij- 
guio RON al quadrado de SO , es coaio el diámetro RN, 

al 



f- 



L I b;i o í. 189 

.^1 parámetro: ( coroL 2. prof. 11) luego el Peftangulo MOC 
al quadrado de SO , es como el diámetro KN al parámetro* 

PROP. XXXI. Theorcma» x 

£0 el mifinú cafo (fig»ij. ) el reS Ángulo RMtij hecho de Ufecan* 
te ij fu exterior fegmento , es igual al reáangulo CAÍO, 
hecho de la fotcion de lafecante haftdel centro^ 
i jdela porción de la mifma Jecante 

hafia la Áflicad^. 

DEmonftr. Por el coról. de la prof» 29. es CM i, CbJ, 
como CN á CO : y, fi fe quita CN de CM, y CO 
de CN , ferá como toda la CM a toda la CN ; aísi lo qui- 
tado CN,á lo quitado CO: luego fera también toda la 
CM á toda Ja CN , como el refiduo MN , al refiduo ON; y 
componiendo CM -+ CN, efto es, RM, ferá i CM, comp 
NM -+ ON , efto es , OM á OÑ : y otra vez dividiendo, 
' ( quitando la CN , ó la RC ^u igqal y de la RM ) ferá la RM 
á la RM — RC , efto es, á la CM , como la OM á la OM-* 
. ON , cito es , á MN : fon pues los quairo proporcionales 
RM, CM:: MO, MN: luego ( i6# 6. Eucl.) el rcdangulo 
de las c;xtremás RM, MN , efto es , el redangulo RMN, es 
igual al reótangulo CMO de las niedias. 

PROP. XXXn. Theorema* 

Si unaBnea HBF Cjíg.28. ) toca la elipfey i al circulo^ j conqme 
jon el diámetro euF^y del contaílo fale la aplicada BQ^j/fe tiran 
di las extremdades del diámetro las DHy Al y par alelas a la apli- 
cada , hjla que concurran con la tangente , el reüangulo hecho de 
las DHyAl y es igual a la quarta parte del reSungula 
hecho del diámetro DA y j el parámetro 4K« . 



». / 



DUmonfir. ( 51. )"E1 reólangulo GFE es igual ^1 reSan- 
gulo DFA : luego el quadrado GF tjene la mifma 
razón con el uno que con el otro : y como el quadrado de 
.GF , y el reótangulo GFE, por tener la altura GF comuo, 
^tengani la razón á% GF Ji F£ y que fpn la$ bafas ^ tíimbien 



i 



190 TrAT. VIIL t)E LAt TRES SeCCION. Con, 

el quadrado de GF al redangulo DFA , iérá como GF i 
FE ; pero el quadrado de GP al redanguio DFA , tiene la 
razón compuefta de GF á DF> ü de BG á HD , que es la 
milma , y de GF á FA , ú de BG á lA : y como el quadra- 
do de BCj al re¿tangulo de lA, HD, tenga también la lazoD 
conipuefta de BG a HD , y de BG á lA , ferá e\ cHiadfado 
de GF al reétangulo DFA , como el quadrado de BG al 
rc6angulo de'IA , HD ; y íiendo el quadrado de GF al rec- 
tángulo DFA , como GF á FE , ícrá como GF á FD ; aísi 
el quadrado de bG al redangulo de HD, IA;yconio 
ti rectángulo £GF lea al 1 e¿taiiguIo GEF , ó al quadrado 
de AE íu igual, ( 29. ) por tener la miima altara GE, co- 
mo GF á 1 £ , lérá el redangulo EGF al quadrado de AE, 
como el quadrado de BG ai redangulo hecho de AI, H£^ 
permutando, como d reétangulo EGF al quadrado de 
G , afti el quadradode AE , al rcdangulo de AI, HD : y 
como DA h. AK , afsi fea el quadrado DA al rectángulo 
DAK ; y afsi el quadrado de AE , quarta parte del de UA, 
á la quarta parte del reétangulo DAK : luego como el qua- 
drado de AE, á la quarta parte del redanguIoDAK; aisid 
miimo quadrado de AE ^ al redangulo de HD , lA : liiegb 
'efte redangulo es la quarta parte del re&angulo D AK* 

COROLARIOS, 
I T^ O demonfirado procede también en quaUfymra fáfáie- 
I j lograntús , y r bembas equiangulosy que tienen la tmpná 
tazan que los reüangulosyj quadrados. 

1 ^i tbtoremaiy y Us ameudentes fr han de entender afsimf 
m delfegundú (Uametraj for fer fus demonftraciones umyevfaks* 

PROP. XXXIU. Theorcma. 

♦ 

Si [obre el áhmutro de la elipfe fe defcrm m drí»b , ife tká 
una aplicada común al circulo , y elipfe , las tangentes del circula^ 
y elipfe , que falen de los extremos de la aplicada^ 
concurren en un mifm punto del dio- 
metro* (fig. 29.) - 
SEa RQel diámetro de la elipíé , Ibbre quien fe delcri- 
ve el circulo KTQ«. Del punto T^ íaiga la apUcada 



Libro L 191 

TL, qiie es común á la elipíe ,y al circulo : tireníe las tan- 
gentes TP, LP, Digo , que concurren en el mifmo punto 
P deldiameiio. 

Deméttjh. ( corolar. de la pr^P. 29. ) CS , CR , CP , tanto 
.relped:o del circulo ^ como de la ehpk, fon continuas pro*- 
pQicionaks : luego en entrambos correíponde por tercera 
:proporcional la mifma linea CP : luego entraiqbas tangen- 
tes concurren en P. 

• * « * 

PROP. XXXIV. Problema. 

• * * ■ ■ • *• 

De un funtQ 4^ tkar una tangente i la eliffe. ( fig. ;o. ) 

I T^Idefe, qvie del punto T, dado en la periferia de lá 
1^ eliple, le tire una tangente. 
Oferaáon. Tireíe qualquiera diámetro RQj partaft por 
medio en Ct tirefe la ordenada TS , y haganfe C¿> CR, CP^ 
continuas proporcionales , y la linea TP , ftrá la tangente* 
(coroh de la profaf 29. )De otro modo: tireíe erdiametro 
TC, (cerol. 3 . de la 1 3 .) y qualquiera aplicada LX , (24.) ha- 
gafe la TP, paralela á Lx , y ferá tangente ( 26. ) 

- 2 Pideje, que del punto P, dado fuera de la elipfe , fe 
tire una tangente. Operación. Tirefe el diámetro PQ^ (c<>f<?í. 
3. de la 13. ) y haganfe PC, RC, SC, proporcionales; porjS, 
tirefe la ordenada ST, ( 16.^ ) y la re<áa TP, ferá la tangen- 
te. Confta de las proporciones citadas.^ 

PROP; XX^V. Theoxema. ^ 

&i fobre el exe majw de la eliffe fe defirive un dreuh yjpefU 

extremidad del exe menor fe tira una tangente hafia la periferia 

del circulo , y de a fie punto fe faca una aplicada , ¡era el reñan-\ 

guio de los fegment4ís del exe^^igual ala quartn parte 

de la figura, (pg.^i.) 

EStc thcorenaa , y los figuientes pertenecen 1 los focos 
de la elipfe , y, demonftracioa de fus propiedades. 
Sea PQ^, el exe mayor de la elipfe ; y RS , íii íemiexe me*- 
iK)r : tirefe por S la tangente SV , halla b periferia del cir- 
culó hecho fobro fu^xe PQ^; y por V y tkefe la aplicada 

VF. 



192 Trat. VIIL De t as tres Sección. Con. 
VF. Digo, que d reólaiigulo PF^Q^, es igual á la quarta 
parte de la 6gura , que como dixe en la defiu^ iz. es el rec« 
tangulo hecho del parámetro, y del diámetro. 

Demonftr. £1 rectángulo PFQ^, es igual al quadrado de 
FV, ( corol. de la i ;• 6. £ucl. ) ü del lemiexe KS^ fu igual; 
pero elle quadrado es igual á la quana parte de h figura: (c« - 
rol. 1. de la prap.iz.) luego también loes el redanguio PFQ¿ 

PROP- XXXVI. Theorema. ' 

la reSa FiS ( j!g. ; i. ) itrada del fobredubo fUnto ¥aU txtrt^ 
mdad del exe menor , es igtMl al femexe majar RF. 

DEmonftr. ( por la antee.) El reélanffulo PRQ^, es igual 
al quadrado de RS ; y aiíadiendol entrambos el qua- 
orado de FK , íerá elredangulo PFQ^, mas eíquadrado de 
FR, igual al quadrado de RS, mas el quadrado de FR: eftos 
idos últimos quadrados roa(47. i.Eucl.) iguales al quadra- 
Jo deFS: luego el redangulo PFQ^, mas el quadrado de 
FR, fon iguales al quadrado de FS ; pero el redanguio PFQ, 
mas él quadrado de FK , es (5 .2. £ucl.) igual al quadrado 
<le PR: luego eíquadrado de PR , es igual al quadrado de 
.FS : luego F2í , y PR Ion iguales. 

PROP- XXXVn. Problema. 

Hallar los focos y Apolos dfU^a elipfedada. ( j^* 3 1« ) 

FOcos, ó polos de la elipfe , fon dos puntos pueílos en 
el exe mayor en igual diftancia de íus extremos , que 
entre otras tienen ellas dos propiedades. La i. Que el reüamr 
guio de los fegmentos del exe hecho por qualífuiera de ellos , es 
igual al ^adrado del femexe menor j li la quarta parte de 
la figura. La 2. Que U linea ^ que ya de qualquiera de ellos i 
la extremidad del exe menor y es igual al femiexemajov. £fto 
fupuefto , (e hallarán fiícilmente por qualquiera de I0& rs^o^ 
dos íiguientes. 

Modo k • Sobre el exe mayor de b elipíe PQ^, hagafe uq 
femicirculo : de la extremidad del exeioeoor S , tirefe una 

taa- 



Libro L I^j. 

tangente SV, ouc cortará la periferia del circulo en V : del 
punto V , tireie la VF perpendicular al exe , y el punto F^ 
ferá el fbcus de la elipíe; y el otro íerá K, en igual dilían- 
cia delcentroR. , 

Múdú'ié Tomde con el compás el iemiexe mayor RP, 
y puefto el UH pie en S , íeñalenfe con el otro los puntos F» 
y &, y éftosferán los focos. La razón es , porque con quaU^ 
quiera de eítas reglas fe halla el puntó F, tal, que el reclan- 
guio PFQ^, es igual i la quart aparte dé la figura^ como 
conlta de las fropoftcmes lí*Ji6. - , 

PROP-XXXVni. Theorema* ^ 

Si de los focos de U dtp fe fe tiran lineas al punto del contaSoy fwt^ 
man iguales ángulos íon la tángeme* (fig* 3 z. ) 

SEan los fbcps £ , F : la tangente fea GDC ; y el contac-^ 
to D : tirenfe ÉD , DF. Digo , que los ángulos EI)G,^ 
FjJC ion iguales. 

ñreparacioné Tirenielas tangentes HI, KC, y júntenle 
EC; Fl, LD, El, FC 

Demonfir. i(^i») El redangulo hecho de KC » HI, es* 
igual á la quarta parce de la tigura : luego ( jy.) es igual al 
redangulo HEK: luego ( 14.6.EUC.) dichos rectángulos 
tendrán los lados reciprocos , como KC á K£ , aisi £H i 
HI ; y como los ángulos en K , y H íean re¿tos , íerán (6.6. 
Euc. ) los triángulos E^ll, EKC íemejantes, y los ángulos 
KEC, HIE iguales ; pero los ángulos HEI, HÍE fon igua- 
les á un redo : luego H£I,t FEC ion también guales a un ^ 
reétp : luego el ángulo reíiduo lEC es redo» Aísimifmó de-- 
monftrare íerCFí ángulo reóto. 

• Aora he de demonftrar, que la reéla LD ^ es perpendicu-' 
lar á 1C« S&bv€ LI, LC , como diámetros , defcrivanfe unos 
círculos^ queíe cortarán en dos puntos ; íean eílos L, y D: 

Ír fuponieiKio nohaverfe tirado aun la tangente IC , tirenfe 
as redas ÍD^ DC. Por fer los ángulos LDC , LDI rcdos^ 
por razón de eltár en el íemicirculo, las redas ID , DC íbr-] 
man una.line4: ( i^uEacL ) luego coinciden con la tan-' 
T#i»JJÍ. Bb gén^ 



\ 



194 Trat.VIII. D€ las tre$ Sección. Con» 
gente GC : luego LD, que es perpendicular i dichas lineas, 
es perpendicular á la tangente. 

Efto fupueño y los ángulos ELI 9 FLC , verticalniente 
opueftos, ion iguales ; d ángulo EDI, es igual al ángulo 
ELI , por iníiftir en un míTmo arco ; y el ángulo FDO , es 
kual al ángulo FLC, por la miíma razón: luego los ángulos 
ÉÍDIy FlXf ion iguales, que es lo que íe pretende probar* 

COROLARIOS. 

j T Os ángulos lEC ; IFC fin reüos. z. Los ytfigfilos LDE^ 
I j LDFfin iguaUs. j. los triángulos FKC , IHF fin 
eqmangulory porqueUitres ángulos IFC,HFI,KFC, hacen .fUs rec- 
tos : luego quitando el reSiflVC común , quedan HFl ^ KFC iguales 
^ un reíto. Tdmínen por frr el ángulo K reSlo , fon KFCj FCK igua^ 
¡esa unreüoiluego el ángulo HFl ^ es igual al ángulo FCK : luego 
lostriangulosFHlyFKCyttene^los ángulos Kyj H reStos ^j ¡os 
angjdos HFl , FCK iguales : luego fin eqmangfüos. 

PROP. XXXIX. T>eorcma. 

Si un cuerpo luminofifi pone en uno de los fieos de la el^fi^ hau 
* la reflexión al otrofocus. (fig»ll*) 

PAra demonftrar ella maravülofa propiedad de la elip- 
fe , fueron menetter los dos TheoreraaH anteceden- 
tes. Sea un cfpejo eliptico B ', B , B , &c y en A , uno de 
fus focos , pongaíe tina luz. Digo , que qualquiera rayo 
AB refledirá de qualquier punto de la fuperficie elíptica 
al otro íbcus C. La razón es , porque como conña de la 
experiencia, y fe demueftra en la Catoptrica, los anguJos de 
incidencia , y reflexión Ion iguales : ellos aoguJos en los 
cuerpos curvos fe miden halla la tangente tirada por el 
punto en que incide el rayo , y dond© fe forma dieno an* 
guio. Siendo pues los ángulos ABD , CBE(38.) iguales , el i 
rayo de luz que fale del fbcus A , é incide en qualquier 
punto B , vendrá por reflexión al focus C ; y al contrario. 
Aísimifmo , li en una pieza fe forma una bóveda eliptica, 
el que puello cerca de uno de fíis focos hablare, aunque 
con voz muy baxa , ferá oído del que eftuvkre cerca del 

otro 



^ L I B R o L ipj 

otro (bcO) de fuerte, que podrán entrambos habkríeím ier 
oídos de los que huviere entre medio y por concurrir allí 
inumerables reflexiones de la voz. 

PROP. XL. Theorema* 

Si Id rtHá ilB (jig:* 34. ) tQCA 4 la elhfe en A, y de hs focos Eyjf G 

fe tiran tas teñas EAyGAal punto del (ontaílo , y del centro fde 

la eüpfe fale la FC paralela a EA y linea menor Je las dos 

júbredicbas , y fe juntan DC, LC, el ángulo DCL 

ferareílú. (fig* 34.) 

PTtepdracion. Alargúele la AC halb K , y fean AC y CK 
iguales, Tuntcfe GK , y tireníe las tangentes DB , LI¿ 
y las redas GI , BG. 

Detnonftr. Por ícr iguales EF, FG, como también AC, 
CK , y E A , FC paralelas , fcri también GK paralela á las 
miímas : luego el ángulo EÁB , y por configuiente GAC 
(39.) fu igual , ferá igual al ángulo K : luego en el triangu- 
lo AGK , loslados AG , GK fon ¡cuales ; v los triángulos 
ACG , CGK , por tener dichos lados iguales , y el GC co- 
mún , y los AC , GK también iguales , tendrán los ángulos 
en C iguales, y- redos. 

Sobre la GI , como diameti-o , Hcícrivaíe un circulo^ 
que pairará neccflariamente por los puntos L , y C , por ftr 
los ángulos GLI, GCI redos. Afsimifmo , fi íobre la BG¿ 
como diámetro , le deícrive un circulo , por íer los ángulos 
BCG , BDG reótos , paífará por D, y C; y los ángulos 
DCB , DGB , que iníiíten fobre el mifmo arco DB , ferán 
iguales : como también los ángulos GCL , GIL , que infiíl 
ten en el mifmo arco GL; y fiendo ( corol. 5. frop. 38.) 
ios ángulos DGB , LIG iguales , ferán los ángulos GCL, 
DCB Iguales : luego fi al ángulo redo BCG íe le quita el 
ángulo pCB , y en fu lugar fe fubftituye el igual GCL, el 
ángulo que refulta DCL íerá redo. 



Bb 2 PROP, 



%$6 Trat. VIIL De las tres Sección. Con, 

^ PROP. XLL. Thcorema. 

Sit'nddaU tangente DE (fig*l^*) fi tira la IB del focus d 
funtQ B del contaño , j del centro H fak la Hl paralela 
i FB bafta la tangente , fera la Hl igual al 
' femiexemajcir HC. (jíg. J5. ) 

ESta propoficion confia de la antecedente ; porque tí- 
rando de los extremos del exe AC al punco I , las 
redas AI, CI , el ángulo AIC Tcrá redo : luego elfemi- 
circulo hecho del centro Hdela.eUpfe con d inter\'alo 
HC , paflará por I : ( 31* 3» Eucl. ) luego la Hl es igual al 
iexniexe HC. 

PROP. Xm. Theorema. 

Si de los focos de la eüpfe jalen dos lineas que concurren tn 

qualqmra funto de la periferia de la eüpfe , er^a$»bas 

juntas feran iguales al exe major. 

(JK- 3^- ) 

ESta es otra propiedad iníigne de la elípíe. De los fi)Cos 
A , y B (alen las dos lineas AC, BC, que concurren eñ 
el miímo punto C de la periferia elíptica. Digo, que en> 
trámbas juntas ion iguales al exe mayor DE. 

Preparación. Del centro F tírele U FG , paralela á AC ; y. 
por el punto C la tangente ICG. 

Denwnfir. Por fer f G , AC paralelas , fon los ángulos 
FGC , ACl iguales ; pero ACI , y BCG fon (58.) iguales: 
luego los ángulos HGC , HCG Ion iguales : luego ( 6. !• 
Euch ) HGr, HC fon iguales. Efto fupucfto, en el triangulo 
ACB, por íer la FH paralela á AC , afsi como AF es la mi- 
tad de AB es ( i.é.Éucl. ) CH, ó HG , fu igual , mitad de 
CB; y por la mifraa razón es FH mitad de AC, Siendo 

Íues HG mitad de CB , y HF mitad de AC , ferá toda la 
G mitad de las lineas A¿ , CB juntas; pero FG (41.) es 
igual al íemiexe mayor : luego la niitad de las AC , CB es 

igual 



•<vl --: 



r \ 



h 






t 



, Li IR o L 197 

^al al fcmicxe mayor : luego todas las AC, GB juntas Ion 
iguales á iodo el cxc mayor X)E. / 

En efiafr&piedad fe fundan los tres nwdos ftgíáintes de diferir 
fir Id eÜpjim 

\ PIIOP.XLIIL Problema. 

Bxfücanfe otros tres modos di deferir ir U eüffe. 

MÓdi i.(fig. }7.) Sea AH el exe mayor de la elipíe, 
y el inenor IG , que perpendicülarmente fe cortan 
en O. Del puntol , con diftancia igual al femiexe O A, fe- 
ñalenfe los puntos C , y E en el exe AH,y éiftos ferán los 
focos de la elipfe. ( 42. ) Tomefe un hilo igual á AH , y 
uno de fus cabos fixefe en C , y el otro en^. £ ; conque el 
medió dehhilo vendrá á ajuílarle al puntol, y formará el 
trianguló CIÉ : pongafe en I un lapis , y vayaíe llevando 
juntamente con el hilo tirante hafta A , y hatta H , y que- 
dará formada la mitad de la elipíe ; y de la mifma manera 
fe formará la otra mitad, Confta de la ftop. 42, porque 
tíenipre lerán los dos íegmentos del hilo juntos , iguales á 
AH; pero porque eltemodo, aunque es bueno para fobre 
el terreno , no lo es para lobre el papel , añado los dos 
iiguientes , fundados en la mifma propiedad de la eUpfe. 
Moda 2. (ñg. j8. ) Sea AB el exe mayor de la elipfe que 
fe quiere delcrivir : determinenfe ( 57. ) los focos C,D: ha- 
gafe en feguida del exe la BE igual á DB, V ferá CE igual al 
exe AB; y del punto C, con ef intervalo (JE, hagafe un cir- 
culo, y tirenfe qualeíquiera radios CF , y juntenfe las DF, 
. que dividiéndolas por medio en G , fe levantarán las per- 
pendiculares Gl ; y los puntos I formarán la periferia ae la 
dipfe. 

D«w»^r. En los triángulos lGF,lfeD, los lados GF, 
GD fe han hecho iguales ; y GI es común ; y los ángulos en 
G redos iguales: luego ( 4a.Eucl. ) los lados IF , ID fon 
iguales f y añadiendo el común CI, ferá CID igual á CIF, 6 
áí CE , igual al exe AB : luego ( 42.) los puntos I, I, &c, ef- 
tan en la periferia de la elipfe. 

Modo 5. Hecha , como antes , la CE igual al exe AB, 
d^fUe C) como centro, hagafe con qualquier intervalo el 

ar- 



1^8 Trat. Vin. De t as tres Sección. Con. 
arcó K : tome{e con el compás lo que hay defdé K halla E; 

Ícon efta diUancia , hecho centró eo D , hágale el corte 
S y el punto L eftará en la periferia de la ehpfe , y a(si- 
mifmo quantos fe hallaren en la forma dicha. La razón es 
lamífmáque en los modos antecedentes. 

LIBRO II. 

DÉLA PARASOL ^; 

DEFINICIONES. 

Arabola , es m4 figura curviünea , que froceie de iinéí 
feccian cónica paralela al lado del trianguló que faffa 

{m el exe , como en lajíj. i. ABC es el triangu- 
o que pafla por el exe de la pirámide cónica , y 
la feccion DFGOL , que es paralela al lado BC de dicho 
triangulo, es la parábola. 

2 Tangente de una parábola^ es la linea reda que toca la pe- 
rtfma de la parábola en un filo punto fin cortarla , como BK,y 
-KH. (fig.i. ) 

5 üneas ordenadamente aplicadas en la paraboUjfin las pd- 
ulelas a la tangente , como FE , RS , y también PQ^ NO, ' 
occ. (fig. z. ) Llamaníe efpeciaJmente 4p/¿í4¿<í a aquel dia* 
metro que las divide igualmente. 

4 Diámetro , es aquella linea reíla que parte iguaUnentr to- 
das las paralelas fus aplicadas , como BD, HI. ( fig. z. ) 
- 5 ^.^^ j^ la parábola , es aquel diámetro que es perpendicular 
a loif aplicadas ^ como BD; pero HI, aunque^ diametro,no 
es exe. 

^ . ,^f "«* * WfarabaUyes U extremidad del exe^com B. Vér- 
tice deldtmttro^s U extremidad dü diametrt^como H. (Jíf.i.) 




LiB R.o* ir.' 

7 SagtA , il faitáfe llama tlfegmnto TB^ ^ LH del diamt^ 
tro^ canienido entre el vértice ^ jla afUcada^ 

8 Lado reSte , ) parámetro de un diámetro de la faraboUj es 
lüM tereera froferúonal a lafofftd^y ildjimaflüaaa: como ü 
k la fagica IB, y i la femioMenada TS> & halla una tercera 
proporcional , clb íerá el parámetro del diámetro BD ; y 
lirve ^ra medir , y determinar laspoteadas^ o quadrado( 
délas aplicadas, como (e verá deipuesl 

^ Poloyfocnsy h ombligo de la fardbolay es im funto de fu exe^ 
que (tifia del verme la quarta forte del farametro y como V« 
Porque en un efpejo parabólico, pueito de cara al Sol , (c 
unen , y concurren todos los rayos en ellbbredicho punto^ 
de- fuerte , que alli producen fifego. v 

I o Linea perpendicular a la paxúoUy es la r enanque cortan* 
dffala parábola en un pumo , es perpendicular ¡^ la tángtnte que 
f4ffa por dicho punto. ^ ^ 

II Parábolas que fe tocan , fon aqueUas a quienes una mifma 
lineareSa toca en;elpunto en qujt fe encuernan. Éfta definicioa 
conviene jtoda fuerte de figuras curviUneas..- 

. iz Fárabolarigualesjfon4as que tienen iguales los parametroi 
iefus óees^ _ 

1 } Parábolas páfdUlasj fon dosparahlas iguales pueftat una 
dentro de la otra con un núfmeíexe. Jbftas dos parábolas , fi fe 
prolongan baAa el infinito , íe van continuamente acercan* 
do mas, y mas la una a la t>tra, íin que jamás íe puedan iun^ 
tac ; y por ella cauía fe llaman > propiamente , parábolas 
afimptotas ; porque et nombre deparMelas , íblo les convie«j 
ae por ):aufa de-qae todas ks lineas r^das tiradas entre eC- 
tas dos puobúkfy ptirftlebs oí ese común ^ fon entre ú sgua* 
les* 1 



• ■ 



V. 






• PROP. 



1200 TuATt VIII. De t as tiíes Sección. Cok.: 

' PROP. I. Thcorema. / 

• • » *■ 

^Ea-ABCXS unapifamide cónica reda, y el triaogulo 
i3 j3ue paila por lu exe (era ABC Tirada la D£ , parale^ 
b á fie, paile laieccion parabólica DFGE por dicha Jinea, 
y i(!a perpendicular al plano del triangulo ABC ; y como Ja 
bafa AGC, también fea perpendicular al dicho triangulo^ 
U^conum(eccion<3E,(erá perpendicular al plano del miíl 
mo triangulo; ( lo. i i.EucL } y por configuíente, la G£ (b^ 
rá perpeiKlicular a AC. Hágale la feccion IFK, paralela á U 
bailacirf ular ACG, que (i i.) ferá cicculo, y la FN, (era pa- 
ralela á GE, ( i6.i I .Eucí.) y perpendicular á IK, como lo 
cTla GE á la AC; y.íerán las uE , FN aplicadas al exe DE. 
Digo, que el quadrado de NF , al quadrado de EG , es co- 
mo NdTeIX 

V Vemmfir* Por íer EN perpendicular.^ {K^ ^metro del 
circulo IFK ; y la GE perpendicular á AC , diámetro ád 
circulo AGC, es ( i;;^.Euc. ) el quadFa4ode,FN, igual al 
redangulo INK ; y .el cmadrado de GE, igual al rcdangulo 
AEC : luego el quadrado de FN, al quadracb de GE,es co- 
mo el reétansulo INK , al redangulo AEC ; y porque íienr. 
do paralelas NE , KC , como cambien NK., EC , fon cíkas 
líneasNK,EC iguales, ftrá el redangulo INK , alreíSan- 
guio AEC, ( I.6.EUC. ): como IN á AE, efto es,< z.6.Euc. ) 
congo DN á £>E i luem el quadrado dk^^^al quadrada de 
£G, es como DN a DE. 

r COROLARIOS. 

I 1h ^'^ '' '^ ír/W4n4, y effencial fropieddd de Ufátah^d^ 
iJi la qual conviene téimbten a la^ feccion farabolka de Is 
pirámide eJcdUna ^y fe convence con la mifma demonfiracion , co- 
mo fe puede ver en el P.Gregorio a San¿lo Vincentio en el efcolio I 
la frop.i. delüb.j. porque en lapiramide cónica efcalena , la fec^ 
cion paralela 1 la bafa también es circulo piorno confia de la prop. i • 
/üa. Ten cajo^quo el trianffdopor el exe fea el mayor dt los qu^ 

por 



Libro II. 201 

prdiche exefefuedenfmnar en efta pinmde^ las 4prtc4Íaí fm 
tánéitn perpendiculares al exe^ com demueftra Greger. a S.Vmc* 
en los Prolegómenos a las Sec. Coniu conque fe convence de ellas 
fin diferencia alguna la propiedad mifma con I4 demonftracion 
fobredicba ; jen los demás cafes , aunque las aplicadas coreen al 
exe^formanao ángulos úbliquosj como fean fiempre dichas aplica^ 
das unas feccionesxomunes del plano parabólico con el circfdar fji^ 
r alelo a la bafa , milita también en ellas la wifma cqnftrucctm > Jí 
denmflracion puefia arriba. De quefefigue^ que en todocajfo^fi 
ios quadrados de las aplicadas fon como lasfafffas , los pmfeaí G^ 
ly &c. ejian en la periferia de la parala. 

X Sigue fe tanéien de lo dicho^ que los quadrados de las apli^ 
cadas j que dividen en parus iguales al exe , ^ diamenf, y^ compo^ 
nenunaprogrefsm aritbmetica y porque en ejtecafo las fagitas^ 
eajfa proporción llevan los quadram délas aplicadas ^ proceden en^ 
pogrefstonarithmetica. 

3 £/ diámetro D£ déla parábola^ parte por medio la aplicada 
fLj porque fiendo IPlLKcirculoyfu diámetro JK y parte a la fuerr. 
da FL fu perpemücular, por me4i9y(yi,EuCé)ji afsimifmo a las 
detnas aplicadas paralelas a FL. . . . 
^. 4 Sigue fe también , que fi en la.par abóla un diámetro corta 1 
Mnalin^arehapor nledio^ cortáis a también por medio todas, las 
paralelas a la fobredicba lin^a ; pQrque U mifma de^í^jfracüm 
que enelnum.x.fe hahecbo de la JL^ fe harade.otra qudquier 
linea paralela ala QOp ' .\ /J :.J'l 

PROP. n. Theofícn?*. ' . 

En la parábola^ los quadrados de las aplicadas i qualquier dio* 
' rnetro tienenlamifma raz^on que UifágitaséXfig* z.) ' ^ 
Onfiruccion , y demonftracion. Tirada una reda HI , u 
jj- m qualquier ángulo ^onejla fe, tiritn las íeílas LO, 
MQ, &c. V fe hace (:oa>o la re&a HL , á h reáia HM 9%^ 
A quadraao de JUQ^al.quadrado de MQ,^n la forma cujie fe 
dice eii el Efcolio figuiente » los puntos O ^ Q^» &c. eítaran 
^ la periferia d€ la parábola. ( ooM, i^^i-^ced.) ¡Cqiiú- 
riuenfe piicslas^Ql^fe^ft^H^y Qiy^t|afta,jp,de íuertc,que 
LN lea igual a LO, y MP á MQ^^ Digo , que los puntos N, 

y 




» ./^ 



loa Trat.VIII. De las tres Sección. Con. 
y P , también eftán en la periferia de la parábola ; pof que 
por conftruc. el quadrado de LO, al quadrado de MQ y es 
Como HL á HM ; pero el quadrado de LN , es igual al de 
LO ; y el de MP , al de Md^y por fer dichas lineas iguales: 
luego el quadrado de LN , al de MP , es como HL á HM: 
luego los puntos N , y P , también eltán en la parábola ; y 
fiendo HI diámetro , por dividir por medio las paralelas 
fbbredichas , y fer dittinto del exe , por cortarlas con an^-. 
los obliquos, tendrán en qualquier diámetro los quadraaots 
de las aplicada^ la miíma razón entré si, que las (agitas. 

ESCOLIO. 

PATA bd€ir iés quddfádúS' téUf , qnt tlum d otra tengA U 
rAZjondeuñáUncAiAdd'ÍQtYAy cmMfwexemfloy Urazjm 
áeUHli U HM y fe haÜATA unA medid froparciond X entre Uf 
une AS ádáds HL^y HM \j dAdAy i efiogidA U ¿O, fe bAllarA uha 
ifuArtA préparcienAl MQj Ias tres HL, Xyj/ LO , y ferm Us qud- 
tro proforcianAles ItlL , X, LOy MQ^ y los quAdrAdos hechos de LO^ 
MQ^ tendrin U mfniA tazm que Us HL , HM. Demonftr. Los 
quAúTAdos de HLy y Xytienen U nUfmA rAz^n ( zz.6.Euc. ) que los 
quAdrddos de LÓ y MQj fero Aquellos tienen U rAz^m. de HL 'i 
HM : ( coroL de Ia frof. 20. 6. Euc. ) luego los qUAdrAdos de LO, 
MSl^ tienen UrAzm de HL^íHM. 

PROP. IH. Problema. 

Dtdá un* ¡mt4 que cntt U fárdela en dos ffuntet , bálUr ti 

SEadadala linea ÁC : pideíe el diámetro de U parábola* 
OferAcion. Tireíe la £F paralela á la dada AC : dividan^ 
le entrambas por medio en D, y G : tireíe por ellos puntos 
la reda BE)G, y ferá el diametraque fe pide. 

Jügtnonftr^Si ÉG no es diametro,tealo LO,que ( coroL^.u) 
cortará W EF por medio en M; y fuponiendoff eftár dividid- 
da por medio en G, ferá GE igual á ME, el todo á fu oart^ 
que es impoísible : luego BG es eldúunecro^ y no LO. 

. PROP. 



p 



^ L I B R o IL 40 J 

PROP. IV. Problema. 

Pint un funtú dad» en la ftrifena de la farabola , tirar una ari- 
cada al diámetro dado* ( j^* 4« ) 

Ideíe^ que por el punto A , dado en la periferia de la 
parábola , (e tire una aplicada al diámetro dado BD. 
Ofer ación. Tirefe de A por B, la reélá ABF , y hagafe la 
BF igual á AB. Defde F , tírele la PC paralela á BD , (}ue 
cortará la parábola en C : tireíe AC , y efta ferá la aplica* 
da. La razón es , porque íiehdo BE , rC paralelas , es ( z« 
6. EucL ) AE á £C, como AB á BF ; y (iendo éíias iguales^ 
también lo han de fer aquellas* 

COROLARIO. 

DE aqui fe infiere el modo de tirar la aplicada por un puntf 
dado en el diámetro , tirando primero qualquiera aplicada 
del modo fibredicbo ^j tirando defpues una paralela porel punto 
dado en el diámetro. 

s 

•PROP. V. Problema. 
Jpliíar una linea dada al diámetro de una parabüa. (fig. 5. ) 

Pldefe , que al diámetro GI de la parábola íe aplique la 
reéta dada F. , 

• Operación^ Tomeíe en el perímetro qualquiera punto 
L ; y por la antecedente tirefe la aplicada LH : hagafe dcC-. 
pues como el quadrado de LH, al quadrado de F ; eíh> es^ 
como LH , a la tercera {M-oporcional de LH , y F : aísí GH, 
á GI , y fe tendrá el punto I. Tireíe por I la IM parálela í 
LH , y efta ferá igu¿ á F. 

Bemanfir. El quadrado de HL al quadrado de IM , es 
(^i. ) como GH áGI ; y fiende^or conftruccion el quadra- , 
do de HL^al quadrado de F ^ también como GH á GI, íe-» 
rán IM , y F iguales* 

PROP. 



I 



|04 Trat. VIII. De lsa tres Sección. Con» 

PROP. VI. Píobleroa. 

^Ur ti fMésmttr» > i Udo teño de qudqmr diámettt de Id 

faraboU ifig.6.) 

SEa GI el diámetro dado de la parábola : pidefe fu para*' 
metro. Oferácim* Tireíe qualquiera ordenada HJL» 
(4.^ y halleíe una tercera proporcional á las GH , HL , que 
fibra GN ; y élta (era el parámetro que fe pide , fegun híU^ 
fn. 8. otros modos íe verán en los corolarios de las frap^p 
8. y 9. 
t PROP. Vn. Theorema. 

* 

19/ quAiráios de Us aplicadas frn iguales al reSanguU beáfp dd 
fatametro y y las [agitas, (fig. 6. ) 

ESto es propio de la parábola , como en otra parte dix^ 
y (e aemueífara en la forma fíguiente. 
Denwnflr. Tirpíe.otra aplicada IM, paralela á HL , y 00 
íerá como GH á Gí ; aísi el quadrado de HL, al quadrado 
de IM : y íiendo también como GH á GI, afti el redangulo 
NGH, al rcdanguio NGI, ( !• 6. EucL ) Amando la GN, 
por altura común : luego elquadrado de HL, al quadrado 
d<IM, es como el redangulo NGH, al reáangulo NGI ; y 
permutando, el quadrado de HL , al rebanéalo NGH , es 
como el quadrado de IM , alredangulo NGI ; pero el rec- 
tángulo NGH es igual al quadrado de HL , por lef HL, por 
conftruccion, media proporcional entre MG, GN: Iuoto 
también el quadrado de IM ; es igual al re(^angulo NGI| 
hecho del parámetro NG , y La (agita GI. 

COROLARIOS. 
I T A^ aplicadas mas próximas al vértice de la parábola fm 
JL/ menores , porque fus faltas fm menores ; Uiegí el rec- 
tángulo del parámetro , y la fagita es menor en las mas próximas 
d'Vertice j que en las mas renufta^s : luego el quadrado de aquellas 
es menor que el de ejlasi ¡Mego Us aplicadas 4nas frpíámas al ver^ 
tice fon mewnris. 

% Si 



■sni 



Libro IL 205 

. z Si UfagtU is igual al parámetro , tmbien lofer^ la orde^ 
n^la ; como fi la [agita Gl , es igual al parámetro GN i también Un 
¡era la ordenada IM.. La raz^on es , parque el quadrado de ¡M , es 
igual al reílangulo ^Gliyfapomendofer^Gy Gl iguales jíer i quor 
drddo : luego el quadrada de GN ,/er^ igual al quadrado de^ IM; 
conque lastres üneas NG, Gl^ iM^jeran iguales. 

3 Qualqmera linea paralela al diámetro , como LK , corta Í 
la periferia de la par abóla en un punto ; porque las ordenadas (obre 
ta LHyfon menores yj las de debaxo fon mayores que Lñ : luego la 
LK corta i la pareóla en un pumo. 

PROPi Vm. Thcorema. 

Si de la extremidad del diámetro fe itra una pataleta NM C^¿. 

7* ) ^ las aplicadas jj ehmgulo NMP fe parte por medio con la 

linea MO ; j defdf o fe tira la aplicada OF^fera la fagita 

MP y igual al parámetro» 

DBmonftr. Por fer NM , OP paralelas , fera el angnlo 
NMO igual áMOP; ( 19. i.Eucl. ) pero el ángulo 
OMP es igual por conítruccion al ángulo MNO : luego 
( 6. 1. Euci. ) PM , PO, fon iguales ; y ( 7, ) PM igual al pa- 
rámetro y como también OP. 



COROLARIO. 

.E aquife colige oiro modo d^ hallar el parámetro. Tire fe de 

' la extremidad del diámetro una paralela NM a las apÜ^ 

cadas y) partafe por medio el anguU NAí P, con la^Oi y del pun* 
too y tirefe la aplicada ÓP y y la MP feri igual al parámetro. 



D 



PROP. IX. Theorema. 



Si de la extremidaad delexeMNy (fig. %.) fenra la MQy ydd 

punto O y en que corta laparabola y fe tira la aplicada OP y y 

laON perpendicular a MO y feriPN igual 

al parámetro. 

DEmonp. Por fer MON triangulo reóbangulo en O, 
35/fer OP perpendicular á MN , es OP media pro- 
porcional entre MP, PN: (i3.6JBuclO fo*^ pues proporcio- 
na- 



toé Trat. VIII. De las tres Sección. Con. 
naies MP, OP> PN : luego ( dijin. 8. ) PN es igual aJ pan 
metro. 

COROLARIO. 

COligffi de éupá otro mod$ de bdUar el fánmetTo. Dé-^idjeJ 
elexe IdS en dos fortes iguales ;j haciendo centro ^j^ e 
fumo de la divifion , bagafe un jenúcirculo , t¡ue cortara l^m p^^ 
róbela en un f unto O \j tirando la petfendicular OP , /ira jP2\r ^i 
farametro , que fiemfre feií el nujmo , aunque ft tme la Jk£^^^ 
mayor y h menor^ ^ 

PROP. X. Theoi^ema. 

Si fot la extremidad del diámetro fe tira una linea fot alela ^ 
Us afücadas , feik tangente ij al contrario , la que dentro de la 
jar abóla es paralela a la tangente , es aplicada al dia-^ 
" ^ metro que defiiende del punto del con- 

taOo. ifig. 9. ) 

EN la parábola NMP, lea el diámetro MO , y íii aplica- 
da NP j y fea KM paralela á NP. Digo , que es tan- 
gente ; y (i no lo es , rupongamos corte á la parábola en 
algún punto , como Q^: dividafe la MQ^por medio en S, 
y tireíe la SO. 

Demonfir. Por fuponeríc MQ^ paralela á NP , y cftár 
ambas partidas por medio con la reda OS , fera OS dTia- 
metro , cuya aplicada ftrá la NP ; pero efta mifma NP íe 
fupone íer aplicada al diámetro MO : luego (era aplicada 
a dos diámetros , io que es impofsible; porque fí eiTo fueíle^ 
las paralelas álaNP, ierian divididas por los dos diáme- 
tros OS, OM, por medio en dos diferentes puntos: luego la 
MR no puede cortar la parábola : luego es tangente. 

Digo también , que fiendo la MR tangente , qualquicr 
paralda fuya , como la NP , ferá aplicada al diámetro MOj 
que defciende del punto del cornado M ; porque fi na lo 
es , fupongamos lo fea NL : luego NL ferá paralela á RM; 
y como la NP , fe fuponga también 1er paralela á la RM, 
ferán NP , y NL paralelas , lo que no es pofsible por quan- 
tó ccMicurren en N ; luego la NL no es aplicada al diáme- 
tro MO jfino ls| NP. 

CO- 



LiBao H. 207 

COROLARIO. 

QVdqmré reSd qne eftando dentro de la pdraboU^ fuere pdr 
raleU^ l^U tangente pialas ordenadas , queda diridi^ 
^ da par medio con el diámetro^ ""que baxa del punto del con* 
Ut^Q jj córtala periferia en ios puntos. 

^ PROP. XI. Theorcma. 

leí linea , que f oliendo de la periferia di la parábola , ,corta en el 
diámetro prolongado unjegmento igual a la f agita, 
es tangente, i fig* lo.) 

DEl punto T, de la periferia de la parábola, fale la rec- 
ta TR , y la aplicada TH ; y las RS, SH fon iguales. 
Digo , que la 1 R toca á la parábola en el punto T ; de 
íuerte , que qualquier otro punto P , ó G, cae fuera de k 
parábola : de P, y G , falgan las PQ^, GI panilelas a TH. ^ 

Demonftr. Por íer las lineas TH, PCt,, HR , QBL , ( 2. 6. 
EucL ) proporcionales, lo íbn también ( 22. 6. BucL ) íiis 
quadraoos ; luego el quadrado de TH , al quadrado de 
PQ^, es como el quadrado de HR , al quadrado de QJL; 
como el quadrado de HS , quarta paite del quadrado de 
HR , ^ la quarta parte del 4uadrado de QFl, que es el qua^ 
drado hecho de la mitad de Ql<. ; pero el redangulo Q^R, 
( 5. 2! EucL) es menor que la quarta parte del quadrado 
de QR , ó que el quadrado de la mitaa de QFL ; luego ma- 
yor razón tiene el quadrado de HS , al rectángulo Q§R, 
2ue el quadrado de TH , al quadrado de PQ^; pero el quao 
rado de HS , al redangulo QgR , tiene la razón de HS I 
Q§ , por tener la mifma altura SR: luego mayor razón tic- 
n« HS a Q§ , que el quadrado áe TH , al quadrado PQ; 
pero como HS á QS , afsi ( i. ) el qua4rado de TH , al 
cjuadrado déla aplicada VCL : lueco el quadrado de TH, 
tiene mayor razón al quadrado de V Q^ que d quadrado 
de PQ^ : luego VQ^, es menor que PQ^: luego el punto 
P, de la linea RT , cae fuera de la pariaibola. Lo miímo de- 
ihonltrare del punto G, y de otrokojualquiera diftintp de 
T • luego la linea RP es tangente. 

CO- 



aót Trat. VIII. £>£ LAS TitEf Sección. Con« 



"L 



COROLARIOS. 
A tangente t0ca a la farabúU en un/Uo ptmti^ P^tte té» 

f 4os las demás caen fuera. v 

2 Si fefSyfetira la tangente MSjferkéfia la tlmaide ha 
ordenada THjforfer (i. 6. Euc.) come RS ^ Rlf , afsi MS a THi^ 
j pendo RS mtadde RHyferi MS nútaddeTHy j for canftgiéien- 
te el quadrado de M5, es la quarta far4e del quadrado de TH ^ y 



'^j (7O f^^ el quadrado de MSy la quarta parte deiáfáete^^, 
guio. También la tangente RT yefii dividida for medio en M» 

PROP. Xn. Theorema. 

< ■ ■ • ...■"■ 

La tangente de la parábola corta en el diámetro una linea iguat- 

i la f agita. ( pg. 10. ) 

Digo, que la tangente RT, corta la SR, igual á SH; por- 
que li dichas lineas no ion iguales, feairfo SR, SQ^, y 
tirefe la aplicada VQ^: y fegün eílo , fi fe ttrafle la VK,' 
feria tangente; (II.) y por conílguiente tocaría la parábola 
en Iblo el punto V: ( cW.i.preced. ) luego í¡ fe proliguieC- 
íe^ correría por fuera de la parábola ; y por coníiguicrnte, 
cortaria á la tangente RT, ydos lincas reéias Iccortarian 
en dos puntos, y encerrarían efpacio , lo que es jmpbísi- 
ble : efto mifmo fe íigúe , (1 (e conceden fer iguales KS» SIi 
luego SR , y SH fon iguales. 

COROLARIO. 

DE/ núfmo punto R , no pueden faür dos tangente t a: una náf^ 
ma parte déla parábola y porque fe feguim ü^pikredidmé 
inconveniente. * ..'.,; 

PROP. Xm. Thcorcma* 

■ • > . • 1 

• • • . • . . I 

Si dé qudqtúer ptínio de la parábola fe tira una pandek x la tan^ 
gentey j otra k la ordenada que fale del punto del eontaü», fí ,. ; 
formara un triangulo igual al reélangula háboideU ;^ ) 
apliega ^ j fagita. (fig. n*) . 

LA RP toca la parábola en P , de dondefaléüaj^eida: 
PV ; y del punto Z, falen ZI^ ZQ^ , ^4ilete 4 k tcv* 

gdi' 



Libro n. 1051 

gentc,y I la aplicada. Dígo,que el triangulo ZIQ^, es igual 
a 1 rcétangulo QJ , hecho de la fagita QS , y de ST > u de 
la aplicada VP fu igual. 

' Detmnftr. Por.fer (12.) RS , SV -iguales , es RV doblada 
de SV: luego (41.1.EUC.) el triangulo RPV, es igiial al jec- 
tangulo V r. También (i.) el quadradodePV,al quadra- 
do de ZQ^, es como VS á QS, eftoes,{i.6.Euc.) como el 
rediangulo YT, al redangulo QJ; pero como el quadrado 
de PV , al quadrado de ZQ^, alsi es el triangulo RPV ^ ai 
triangulo femejante ÍZQj luego el reótangulo VT. airee- 
«ángulo Oy , es corao el triangulo RPV',al triangulo IZC^ 
y alterríando, el redangülo V T , al triangulo RPV, es co? 
tsxo el rectángulo QT , al triangulo IZQ^; y íiendo'cl pri* 
mero igual al fegundo , ferá el tercero igual al quai^to» ^ ' 



PROP.XIV. Theorema. 



i( 



Vn U faraMay quMquier Unta fdYdeld aldiameir^j tí^mm^ 
y parte por medio las paralelas a la tangente , que toca ¿ U 
parábola en la extremidad de dicho diáme- 
tro. {fig*iz.) 

SEa la litiea CM' paralela aí diámetro BD de la parábola» 
Digo, que CM es. diámetro; ello es, que corta por me- 
dio to<&s las lincas paralelas á la tangente C A ; como por 
cxemplo á la paralela ¡LF. 

' Demmfir., El triangulo EFG , es igual al cedangulo GH*^ 
(15.) También el quadrado de LD,al quadrado de FG,(itJ| 
és como DÉ a GB; eílo es, Como el redangulo DH al rec-¿ 
tangulo GH ; pero como el quadrado de Li> , al quadrado 
de rG, afsi e5 el triangulo LED, al triangulo EFG,{i2.í; 



A\j ^>jiiy y iiciiuu ci icguiiuu igu4i di quüi iu, icrd ci primero 

igual al tercero : couque el triangulo LED , es igual al 
reíSangulo DH ; y quitándole á aquel el triangulo EFG , y 
k éfte el reítanguto GH, que fon iguales , quedarán el tra- 
pecio GFLD , y el A-edangulo DK iguales ; y quitando el 
trapecio coomn GFNMD , rtítarán los tjciapgulos LNAl 
• imoJM. Ce KNF 



1 

}i(> Trat.VIII. D$ la« tres Sección. Coíí. 
)¿NF iguakS) y fiendo femejantes , fcrán los lados del uaf 
íguál^ i Vos del otro : luego LN, es igual á NF; y por coai 
liguiente CM es diámetro , porque de la miTma (uerte fi 
fróAvedceria lo íbbredicho de otra qualquier paralela á U 
tangente CA« «^ 

PROP. XV. Theorema. 

.£« ¿I fáiraMá todos Us iiammos fin páraUUs d excm 

EN la mifina conftruccion » digo , que qualúuiera dia^ 
me^rp y como por exemplo CM , es paralelo al, cxc 
Üi); pQi^ue íi iK> lo fuera , íe podría tirar del punto C un;^ 
paralcbt ^ exe 3D; éfta por la antecedente ferí^^ diámetro, 
por íer paralela al exe, que es diámetro: luego cortaría por 
medio la aplica<]a LF en otro punto diftinto de N , en que 
la parte el diámetro CM , lo que es impoísible : luego taon- 
|Mcn lo^ el diámetro que no (ea paralelo al exe. 

PROP. XVI. Thcpreoví- 

la opliudA al exe es menor que la aplicada a cm qualqmr JU- 
metro , fi entrambas fe aflijan ei^ ipui iifianáa del 

vmce. (fig. 1 30 

SE4 $Q ej ^e de la parábola : digo y que € en el exe íe 
corta una fagita , y en otro qualquier diámetro (e cor- 
{)i Ptra igual , y por eftos puntos íe tiran ks aplicadas , la 
aplicada al exe ferá menor. 

Preparacm* Supongamos que un diámetro ha de pafiar 
por el punto R ; tireie la RP aplicada al exe ; hagafe SQ^, 
^uadrupla de SP ; y tirefe la VQ^paralela á RP : dividafc 
efta por medio en T , y juntando la RT , tirefi/ la VS. 

Demonfir. La SQ^es por conítruccion quadrupla de SP: 
I^ego (i.) el quadrado de VQ^ es quadroplo del quadrado 
(le RP ; pero el miímo quadrado de VQ es también qua* 
druplo del quadrado de TQ: luego los quadrados de TQ^, 
y RP ion iguales : luego las reélas TQ^, RP ion iguales ; y 
(:omo fean paralelas , ferán ( ;;«i.Euc« ) las RT, PQj)ara« 
jelas : luego ( 14. ) la RT es diámetro ; y en el triangulp 



Á 



LiBR o n. air 

VTZ j él lado VZ , opuefto al ángulo redo T , es mayor 
(^9. 1 .Eud.) que la VT ; elto es , que la TQ^, ó RP, 

Pruebo acra , que las (agitas RZ , SP (bn iguales ; por-s 
que íiendo SC^A: ^^^^ ^^ 2. por fcr (4.6.Euc1í) SQÍ ¿T, 
como VQJl VT. También íicndo SQ^^. es por conftruc^ 
cien la PQ^, ó RT j. luego quitando de la SQ^4. la PQj. 
y de la RT 3. quitando la ZT 2. quedarán tanto laSP^co^- 
mo la KZ i • luego ion iguales ; y como los quadrados de 
las aplicadas al mifmo diámetro fean en todo cafo como 
las (agitas , (iempre los quadrados de las aplicadas al exe en 
igualdad de fagitas , ferán menores que fas aplicadas á los 
^más diámetros. ; ^ 

PROP. XVIL The(>rema. 

Bl parámetro del exe es menor que el de los otros diámetros^ 

ÜIgo,que el parámetro del iexe SQj es menor que el de 
otro qualquiera diámetro RT. Stipongaiile iguales 
l^s íagitas SP , RZ , y tiradas las aplicadas K.P , VZ. 

Bemonflr. El cuadrado dé RP(7.)6$ igual al redan* 
culo hecho de la fagita PS , y el parámetro del exe SQj aC- . 
fimiTino el quadrado de VZ , es igual al reftangulo hecho 
de ZK', y el parámetro del diámetro RT ; pero el quadra- 
db de VZ , es mayor que el quadrado de RP : (16.) luego 
el redangulo de KZ , y el parámetro del diámetro , es. ma^ " 

Íror que el reóbngulo de SP , y el parámetro del exe ;y 
lendo SP , RZ iguales , ferá ( i. 6. EucL ) el parámetro m 
RT mayor que el parámetro del exe. 

. ■ * 
, PROP. XVin. Theorenia. 

Si dos lineas cortaprU parábola , ioda una en dos pmtos , d^al 

fuerte^ que los de la una feuion e fien fuera de los de laotra^ 

foncurriran en un fumo fuera de la fara^ 

As redas ÁB~» GD cortan la parábola ¿ada una en doi 
f puntos , lo^ de la una fuera de I0& de la otra. Digo^ ^ 

Cea _ que 



L 



^ aia Trat.VIIL De lk% tres Sección. Con. 

que concurren en un punto, fuera de la parábola. Tírcníe 

I)or B , y D los diámetros EJF, GH, que (14.) íeran parále- 
os i y junteíe la reda BD. 

Dcnwnjir. Los ángulos EBD , GDB fon ( i'Jr. i; Euclid.) 
iguales ^ dos redos : luego los ángulos I6D , ItDB iba 
menores que dos re&os : luego las lineas AB y CD concur- 
; ren en, un punto. 

PROP. XiX. Problema. 

I 

J!íM4f el exe de una faraboU. ( jS[g« 1 5« ) 

HAllefe(}.) qualquiera diámetro AB. Ticefc la d> 
perpendicular á AB ; partafe ella por medio en F , y 
¡ turando la F£ paralela á AB ^ ferá eíta el exc que fe bufca. 

I Cooftadelapf«f.i5.. 

' " ■ PROP. XX. Problema. 

JH w fmt0'daÍQ dentro y h fuera de la parábola , tirar m dia^ 

metro. (jíg-iíO 

S£a dado el punto A en la periferia de la parábola , de el 
. qiial fe b^ de tirar un diámetro. 
Operación» TxreCb ( j.) qualauier diámetro EF , y por 
el punto .A hagafe la paralela AB, y efte (14.^ íerá diáme- 
tro ; de la miíma fuerte fe tiraria del punto G dado faert 
de U parábola. ■ 

' PROP. XXI. Problema. \ 

T9r un punto dado dentro^ ^ fuera de la parabda y tírar una tan- 

gente, (^fig. 16.) 
X Q £a dado e; punto A en la periferia de la parábola, 
; i3 por^^ qual fe ha de tirar una tangente. Jlíárfií 1. Ti- 
rcfe (20.) por A el diámetro AC , y hagafe ('4. ) qualquier 
aplicada BCD á dicho diámetro : tirele de A la A£ para- 
lela á BD, y efta ferá (lo.^ la tangente que fe pide. Modo.z* 
Tirefc qualquier diámetro EF , y del punto A hagafe la 
aplicada AF a dicho diámetro : córtele D£ igual á IjF , y 
la reda A£ ferá tangente. ( 1 1») 

¿.Set 



— ^ 



Libro II; >i$ 

^ X Sea dado el punto E fuera de la parábola , y por él ié 
hade tirar jina tangente, operación. Tíreíe porE C-o^) 
q^ualquiera diámetro £F ; cortcft FD igual á DE , y por F 
tirefe la aplicada FA,(corol. f n»^. 4.) y la £A íerá la cangeiv 
te j^ CQOíp coplta también de la frof. 1 1 • 

PROP. XXn. Problema, - , 

Tirar una tangente , que forme con el e%e m arruto deter- 

minaáo. (fig. 17. ) 

Pldeíe, que (e tire una tangente á la parábola , que formé 
CQn el exe AB un ángulo igual al ángulo F. 

Operación. De qualquier punto E tírele la EG perpendi- 
cular á FG. Partafe la FG por medio en H , y tireie EH: 
hagafe el ángulo DAC igual al ángulo FHE : tirefe la CB 
perpendicular á DB , y haganíe AD , AB iguales. Tireie la 
linea DC , y efta lera la. tangente; y el ángulo D, lera igual 
al ai>gulo F. 

lOemonftf. Los triángulos HEG , ACB fon equiángulos 
por conftruccion : luego ( 4.6.EUC. ) ferá EG a GH , como 
CB á BA ; y por conííguiente, EG á GF, dupla de GH, es 
como CB á BD, dupla de BA : luego (6.6. Euc.) lós trian- 
gulo^ EFG , CDB Ion equiángulos , y los ángulos D > Y P 
Iguales: y como las DA, AB lean iguales, fera (rí.) la DC 
tangente. ^ ' 

Si en lugar defexe íe propuíiera otro diátoetro^ íe tira- 
tía qualquiera aplicada IK , y formando el ángulo G igual 
al ángulo K , íe obraria como antes. 

PROP. XXffl. Theorema. 

Las tangentes tiradas por las extremidades de qualéiuier aplicada 
. . concurreu en un núfím pumo del itamétro*. * 

Dlgo^ que las tangentes AD, BD, tirada^ pc>r las cxtte- 
midades de la aplicada AB , concurren en el mifmo 
puntó p del diámetro I»^. . . - . 

Demohpr. Por íer AD tangisnte, corta en él díaíftettó 

• la 



fiiá^ Trat. VIII. De las tres Sección. Coi^* 

Ja £D igual á£F ;( i2. ) y arsimifmo la tangente BX>^ Jae^ 

go coacurren en el miTmo punto P, 

PROP. XXIV. Theorema. 
Si U Uneáque fale del punto ^^ 9^^ dos tangentes concurren , d^ 
yide far medio a U reSa , que junta los puntos del 
confoStOy feta tüafnetrq. (fig^ 1 8. ) 



LA^ dos tangentes AD, BD, concurren en el miímo ^ 
to D , y la DF divide por. medio a la AB,que 3unta los 
contados. Digo,que eíla linea es diámetro; porque fi no lo 
^, fu'pongamos lo fea GF ; conque la A6 íerá fu aplicada^ 
por eftár dividida por medio en F; y íiendo la AG tangen- 
te, como fe fupone,ferán GH,HF iguales : (i 2.) luego ( 1 1.) 
fí fe tiraíTe la GB/ería tangente y y ( coroL pop. ii. ) la DB 
J10 lo íeria,contra lo (upuefto : luego la DF es diámetro. 

1 PROI^. XXV. Theprema. 
1/ diámetro que fale del concurfo de dos tangentes , divide poi 
medio la reSa , que junta los pantos del 
contado. (fig'iS.) 

DEl punto D en que concurren dos tangentes , ftlc el 
diámetro DF. Digo , que parte por medio ea F á la 
refta AB , que paíTa por los conta¿ios : íí el punto F do Ja 
divide por medio , fupongamos lo baga el punto K ; y tire- 
íelaDK. ^ 

Vetnonfir. Si DK parte por medio la AB , íerá (14.) diá- 
metro : luego (15.) es paralela al diámetro DF, lo que e^ 
innpoísible, por concurrir entrambas lineas en el punto D: 
luego el punto K no divide por medio la ÁB ; y aifsi de ló$ 
demás diíhntos de F : luego la DF la divide por medio. 

PROP.XXvi. Theorema. 
Si el parámetro fe toma en el exe prolongado , qualquier cuerda 
tirada por el vértice i es media proporcional entre la fa- 
gita , y la compueft/í de la (agita , y para- 
metro. (/[?• 19. ) 
SEa la AB igual al parámetro; y del vértice del cxc 
Taiga qualquiera cuerda BC ^ y tire/e la ordenada 

CD. 



■^ 



XlBR O n. tlj 

C5I>* t^ig^j que la CB , es media proporcional entre AD/ 
Y DB 9 elto es , que el quadrado de B(Jy es igual al redaño 
guloADB. 

Defmmftr. £1 quadrado de BC, ( /lj.i.E\xc. ) es ;isual á lo% 
quadrados de Do, DC: en lugar del quadrado de DC, fubf- 
tituyaíc el redanj^ulóDBA, que (7O es fu igual , y ferá el 
quadrado de BC, igual al quadrado de DB, y al reaangulo 
13BA; pefo éftos dos juntos hacep el reaangulo ADB: ( 5.2. 
£ucl. ) luego el quaarado de BC , es igual al reftangulo 
ADB. Efte Theorema puede fervir para la defcripcion di 
la parábola» 

PROR XXVII. Theorema. 

Si de las extremidades de qualquier linea que carta al diametro^^ 
fe tiran las aplicadas , quedara el diámetro dividido en tres conti* 
mas proporcionales ; y, las aplicadas feran continuas 

proporcionales, (fig.zo. ) > 

• ■• 

LA re¿la NM, corta al diámetro en qualquier punto C; » 
y por los puntos N , y M , fe tiran las aplicadas NO,; 
ML. Digo lo primero, que las lineas FO, FC, FL., fon con- 
tinuas proporcionales* 

Demonftr. La FL á FO, tiene la mifma razón que el qua- 
drado de LM, al, quadrado de NO : (i .) luego' tienen entre 
sí razón duplicada de LM a NO , ü de CL a CO, que ( 4.6. 
Euc. ) es la miíma ; pero efto mifmo fe íigue fuponiendo 
fean FL, FC, FO proporcionales : luego lo fon en realidad. 
Que fe figí lo fbbredicho,íe prueba ; porque fiendolo , fi de 
toda la FL fe quita FC, y de toda FC fe quita FO, ferá toda 
FL , al fcgmento quitado FC , como toda FC, al íegmento 
quicado FO : luego el reliduo CL, al reliduo CO, ferá tam- 
bién como toda FLá todaFC ; y como FL á FO , tenga en > 
cfta fupoíicion riazon duplicada de FL a FC, tendrá tambitn . 
FL íFO, razón duplicada de CL á CO : luego íoñ propor- 
cionales FO,FC,FL. Efto puede fervir para hallar el punto Ai, 
en que la NC, corta la parábola. 

2 Digo , que HL , GC, NO, íbn continuas proporcio- 
nales > porque las cantidades que tienen razón fubdupJica-^.. 

da 



filtf Trat. VIII. 01 tA«TMs Sección. Ca>« 
lia dt continuas pxoporciooales ^^ fon concinoÉs {iropordb^ 
oaks; pero jbs lineas fobredücfaaés tienen (i«) razan- íubdo-* 
-pilcada de las (imitas y que como (e ha draionftrado fbtt 
proporcionales : lu^o ion continuas proporciófiaks. 

PkOP.XXVni. Problema. 

BáUar^el focus de má firáfUu (fig. u.) 

Modo u Halle(e el parámetro propio del exe de /a 
parábola : (6.) tomcíe fu quarta parte , y pafieíe 
del vértice de la parábola fobre el exe ; y éíle punto ieráel 
íbcus , fegun la detinicion 9. La razón porque eíle punco 
fe llama focus , es por venir á parar en él todos los rayos 
reflexos en un efpejo parabólico pueilo al Sol , como íe de- 
monítrará en la propoH' íiguiente. 

Modo 2. fin balUr el farametro. Sea en la fig. xi. ON el 
exe déla parábola , y OM tangente : tireíe del punto M la 
aplicada MH ; y ia MN perpendicular á OM , que cortari 
. el exe en N : dividaft ON por medio en F, y efte punto fo- 
tí el-fbcus que fe pide* 

Demonfir. l^r fer el ángulo OMN rcSk> , es MH media 
proporcional entre OH,HN: ( i j^ó.Euc. ) luego fu quadra- 
do es igual al re<aangulo OHN ; pero el mifrao quadrado 
de MH, es también igual al redangulo hecho de LH , y el 
parámetro : (7.) luego el reñangulo OHN , es igual al rec- 
tángulo deLH, y el parámetro : lu^o tienen los lados re- 
ciprocos, ( i4.6.Euc. ) como OH 4 LH , afsi el parámetro 
á HN ; pero OH (i 2.) es dupla de LH : luego el parámetro 
es duplo de HN» También por eftár la ON partida por me- 
dio en F , y la OH partida pormedio en L, (12.) la inifma 
razón tendrá la ON á la OF,que la cjuitada OH,á la quita- 
da OL : luego el refíduo HN, al rtíiauo LF,tendrá la razón 
inifma que ON á OF : luego HN , es dupla de LF. Siendo 
paesHN la mitad dd parámetro, íerála LF la qüarta par- 
te : luego F es el focus. 

Modo 3. Hagaíe el ángulo OMF , igual al ángulo MOF. 
P^o, que el punto F fera qI focus* Tireíe la MN perpcqdi- 
Cttbr a MO. 



l>ifmifir. Itaf kr los angubs OMP, y O mudes, fon 
( 6.i.E(iG.:> las EMi FO iguales : luego fi dcííie Fcon la diC 
tanciaFMy fehace un femicirculo, paíTará por O ; y fiehda 
el anguk) OMN reáx)<»mfiará también dictio circulo por N^ 
( ; i.3.£uc. ) luego la ON queda dividida por medio en F: 
luego F es clfocus , por la razón arriba dicha. 

COROLARIOS. 

j ^Idel focus fe tira una linea al punto M del c&ntaSo y ferlk 

,3 f ^ ángulo ¥MOy igual al ángulo O \j las FM , FO iguales. 

2, StdvlpKUsF fe dejcrive un circulo con qualquier interva^ 

hj que corte el exe frMongadoy jla paraMay como enOyjhíyU 

ttEta OM y fera tangente- 

3 Si las lineas FMy ¥Ofon iguales y el punto ferlí el focus* 
A Si del focus Ffe tira la Fi perpendicular a la tangentey que^ 
dará éfta dmdiiapor medio en 1, por fer el triangulo OFIá ifoct^ 
les. ( coroL z.5.i.Euc. ) 

PROP. XXIX. Theorema. 

Todos los rajos de luz, paralelos al exe de la paraíoU y que muden 
en pi cóncava fuperjicie , juntan fus reflexiones en el 

' focus. Ifig. 22. ) 




Sta es la mas celebre , é infígne propiedad de la para- 
bola, de que hablaremos otra vez en la Catoptrica. 
ó un cuerpo opaco concavo , y parabólico , muy 
y bruñido , para que como efpejo pueda recibir , y 
reflcéteflaluz. Digo, que todos los rayos que incidieren 
<x\ fu íuperficie cóncava y y fueren paralelos al exe , como 
ion íeníiblemente ios del Sol , arrojarán fu reflexión en el 
focus. Para la demonftracion fupongo dos Theoremas ca- 
toptricos. El primero , qué la luz hace ficmpre el ángulo de 
la reflexión igual al ángulo de la incidencia ; efto es , que la 
linea por donde camina la luz , quando refleéie, forma con 
el cuerpo refledente ángulo igual al que forma alli la linear 
por donde incidió. Elfegundo, que eflios ángulos en las 
íuperficies curvas, fe han dé cqnfiderar refpeáo de las tan- 
gentes. 

Sea 



trS^ Trat. VIII. Dt tiB TRES Seccxom^Cok. 

Sea pues OH el eze de la parábola : (ea ON qual<:|Ufei 
tangente , que toca á la parábola en M : íea un rayo inoi- 
¿ente LM paralelo al exe OH. Digo, que efte rayo hará. ía 
leflexion dfacus F. 

: Dtfimfif. Por íer LM, HO paralelas , la NO forma c 
ellas iguales ángulos : luego el ángulo NML, es igual al a 
guio O; pero d ángulo OMF,es también ( coroL de la antrc- 
ced. ) igual al angmo O : luego los ángulos NML , y QMF 
ion iguales : luego viene la reflexión al focus F. Lo mShwcp 
demonftraré de todos los demás rayos de luz paralelos al 
exe : luego todos concurren, y le unen en el f0cus F; y eftoLe^ 
la caufa ie encenderfe fuego en F , de que tomó el nombres 
defücus ; y coqio efte fea un Tolo punto , el calor que alli 
producen los royos del Sol es inteníiísimo , por lo qual el 
efpejo parabólico ib juzga el mas poderoíb de los eípe/os 
umpmt , como fe verá en fu lugar. 

PRÓP. XXX. Theorcma. 
5i tn W t%t frolongadú ON ( j!¿. z 3 • )ye toma la LM igual ¿ LF, 
diflanaa del focus al ytrtice^ j fe tira la perpenücular MG , to- 
áas las fat alelas al exe terminadas en U perpendicular frineiifhA^ 
y laparabiday como la Glyfan iguales a la dijiamia entre 
el focus yj el pumo en que cortan la pa- 
rábola. 
Digo, qué la IG, es igual á la IF, diltahcia entré el foctts^ 
y el punto L 
. Demonftr. LasLN, LO fon iguales ; (12.) y añadiéndoles 
las iguales LF, LM, ferán MN, ó GI, y FO iguales ; y fien- 
do (cdraí.1. 28. ) las FO,FI iguales, íeránICx, IF iguales: 
afsimifmo probaré fer iguales PN , PF. Efte Theorcma 
puede aprovechar para la defcripcion de la parábola. 

PROP. XXXI. Theorema. 

Bl diámetro a quien fe ba aplicado una ordenada , es mayor que 

otro qualquierA diámetro terminado en la mifma 

ordenada* (fig.- 24. ) 

SEa NO un diámetro , y fu aplicada SOT: fea otro 
diámetro RQ^9 terminado en la mifma aplicada. Digo, 

que 

^ • \ - 



Libro H. tl^^ 




fá á dicha paralela : luego es menor que NO* 

COROLARIOS. 
l T? I trianguk SNT , es el mayor de quantos fe puedan infirió 
; Xli ^i^ ^* la parábola s porque fi de los Puntos R , j JS^je ti" 
tan l4s Rly NP , perpendiculares a ST^ rejultaran los triangul&s. 
fime jantes QRU 01íi?\j fiendo RQjnenor que NO , también R/, 
4ltura de SRTy [era menor que NP, altura de SKT : luego el triara 
guio SNTj es niajor que SRI y por tener major aUuray é igual ba-* 
fa. ( 1.6. Eucl.) 

z El triangulo 5NT ei mayor qutJa mitad de la pareóla; 
forque es la mitad del paralelogramo SL , mayor que la parábola. 

PROP. XXXn. Theorema. 

Malquiera triangulo máximo infcrko en la parábola , es quéh 

druplo del agregado de los dos triángulos máximos 

infiritos en los fegmentos. ( p¿. 2.5. ) 

SEa el triangulo máximo ABC infcrico en h parábo- 
la : infcrivanfe en los (egmentos refiduos Ips trian^ 
gulos máximos AEB , BE)C , lo qual fe nace , particnda 
por medio los lados AB, BC , en F, y G ; y tirando por ef- 
tos puntos los diámetros EF, DG , que cortarán la parábo- 
la en E , )r D , como fe ipíiere de la prop. paffada. Digo, 
que el triangulo ABC, es quadruplo de los triángulos 
AEB , BDC juntos : tirefe por B, la BI paralela á AH , bafla 
que concurra con el diámetro FE , alargado en I : tirefe 
también por E, la tangente EK , y la aplicada EL. 

Demonfir. La tangente EK, es (iQ.)-paralela a la ordena- 
da AB ; arsimifmo los diámetros EF,KH, ion paralelos: 
(15.,) luego FK es paralelogramo , y las lineas EF y KB, 
fon iguales; V íiendo (12.) Kb, BL, ó El iguales, ferán El, 
EF iguales: luego el triangulo IBF, tiene doblada bafa, que 
^1 triangulo EBF : luego aquél es duplo de elle ; pero jel 
tiiinguio AEB y tiene fu bafa AB , dupla de FB , bafa del 

trian- 



iio Trat. Vni. De las tkes Secciom. Conc. 
triangulo EBF : luego como entrambos tengan una miíiii¿ 
altura , íerá también A£B, duplo de £BF^. luego los t;ria& 
gulos IBF 9 A£By ion iguales ; el triangulo IBF es i^u^ ^ 
triangulo FBM : ( ZA^utMcL > luego A£B es.iguaJl 4 JRBMj 
pero el triangulo AbH, es cuadruplo del tri^ogulo FBA^ 

Eor íer femejantes , y tener di lado AB, duplo de FB: C^9^ 
ucl.) luego el triangulo A6H, es quadruplo del triangulo 
A£B ; aísimifmo íe prueba íer HBC quadruplo de ESíCz 
luego todo ABC, es quadruplo de AEÉ, BD¿ junto?. 

Üe efte mifmo modo (e demonílrará , que el triangulo | 
AEB, es quadruplo de los dos triángulos máximos heoios 
en los Tegmentos A£> £B ; y afsi inhnitamente. ~' 

LEMA. 

Si haj una ferie infinita de cantidades decrefcentes en raz^n qué^ 
drufla y el agregado de todas al frimer termino es cmm 

4- ^5* (jí¿- 2.6.) 

SEa la cantidad MS, quadrupla de OS; y laO$i cjuadru^ 
pía de C^ , y éfta quadrupla de RS; y afsí infinita.^ 
mente* Digo > que el agregado de todas ellas cantidades 
infinitas tiene con la MS la razón de 4. á 3. . 

Denmfir. Por fer MS, cuadrupla de OS , es la OS una 
quaru parte de MS , y la MO es j, luego la MS á MO^ es 
como 4* á 3. Aísimiímo, y por la mifma razón , es OS a 
OCL, como 4.a 3* y Q§ á QR, como 4. a 3. y afsi infini- 
tamente; luego las MS , OS , c!^ ,RS, &c. juntas , áMO, 
OQ , Q& 9 juntas hafta el infinito ; efto es , tpdps los an- 
tecMentes» á todos los infinitos coníequentes, i|ue cooiipó- 
iien la MS , fon como 4. á 3# 

PROP. XXXin. Theorcma. 

lapatabúU es fefquitmia del triangdomaximomft^^ 

DBmmftr. El triangulo máximo infcrito en la parábo- 
la es (32*) quadruplo de los triángulos máximos 
infcriptibles en los íegmentos , y eítos triángulos fon tam- 
bién 



bien quadra{>]^ de los infcriptibles én los otros íegmen- 
xos ; y aísi tntínkamcnte , halta venir á degenerar en la psr- 
rabola : luego ( Lima preced. ) la parábola y que es el agrega- 
do de todos^ los xlichos triángulos infinitos decrefcentes «o 
razón qüadrupla , es feíquitercia del triangulo máximo inf^ 
crito , que es el primer termino. 



L 



p 



COROLARIO. 

1 

As parábolas terminadas tienen entre si. la mfmá tax4n qui 
los ttianfftlos max'mos infcritos. ' • 

PROP. XXXIV. Problema. 

Qüodrar una parábola terminada* ( jíg. 27. ) 

Idde, que (e haga un qiíadrado igual á la parábola 
AFBGC terminada en la reda AC. 

Operación. Prolongueíe la AC , haciendo CD un tercio 
de AC , y juntefe la bD. £{):e triangulo ABD,(erá igual á 
la parábola : redu2ga(e efie triangulo a quadrado por la 

rop. 6. ¡ib. 6. de la Geom. PraS. y efte quadrado ferá igual 
la parábola. 
Demonjlr. La parábola AFGC^ al tríangttk) ABC , tiene 
la razón de 4. á }• pero el triangulo ABD, al milino triaiv 
guio ABC, tiene tambiefn la razón de la baía AD 4. á la hst* 
lá AC 3. por tener entrambos una mifma alturas luego h 
miíma razón tiene el triangi^o ABD , al inícrito ABQ que 
la parábola: luego el triangulo ABD , y la . parábola ion 
iguales ryj>or conífguiente , el quadrado iguisU al tri^ngav 
lo ABD , íerá igual á la parábola. ^ 



D 



COROLARIO. 

E aquifi uAige , que el tri4ngulo CBD^ eí igtd Tíhf dúsfeg-^ 
mentos parabólicos l^pjG. 



Í^OP. 



Utl TrAT. yin. D£ 1 AS TRES SeCCION. CoNw 

PROP. XXXV. Thcorcma, 

tnUpáfdcUy ti tfwigulo mixtilineo PESM, (fig. 26. > es áUfl 
del fegminéo faraboluo convexo P£NP. 

Tlrde b ordenada PO. Demonflr. (330 La iemipam- 
bola PENO^ al triangulo PNO, es como 4. á 5» lúe- 
go efte triangulo ai fegmen i o PENP , es como 3» á i. pero 
lel triangulo PNO , es igual al triangulo PMN , por tener 
iguales bafasON, NM^(i2.) y una milma cuípideP: 
luego el triangulo PiVíN , es también al fermento PENP, 
como 5. á 1. <^ongue PMN es 3*- y el fegmento íbbredí- 
cho es I. luego quitando efte fegmento del dicho trian- 
gulo , qikdaiá el triangulo mixtuiñép PENM z^y el íeg^ 
mentó ferá i. luego aquél es duplo de efte, 

PROP. XXXVL Problema- 

Dado el diámetro jj/ parámetro de U parábola , y el angtd^ de lar 
apunadas con el diámetro , defcrivir la paréolai 

( ^¿. 28. ) 

SEa dada la reda AC , para diámetro de la parábola ; y 
(ea A£ igual al parámetro; y fea BAC el ángulo que 
han de hacer las aplicadas con el diámetro. Pidele íe oeí^ 1 
criva la parábola. | 

Operación* Dividaíe la AB , en qualefquiera partes igua-^ 
les, o defiguales en los puntos 3) B, &c. Hallefe la BD, ter« 
cera proporcional a las £A y AB : hagafe lo mífiiio en toda» 
las diftancias AB ; y las terceras proporcionales halladas 
ponganfe paralelas á la AC , y los puncos D, D,,&c* forma- j 
rán la periferia de la parábola. 1 

Demonfir. De los- puntos D , tirenfe las DC, paralelas i 
BA. Por la conftiuccion , las reatas EA, AB, BD, íbn con- 
tinuas proporcionales : luego íiendo AC, igual a BD, ferán 
£A , AB , AC, continuas proporcionales $ y ,el reáiangula 
BAC, del parámetro , y la fagita , ferá igual al quadrado 
de la aplicada CD : luego ( 7. ) los puntos D , D, forman 
la parábola. 

• i PROP* 



— - ^ 



Libro !!• \ aa| 

PROP. XXXVn. Problema. • ; 

Defcrivir de o(rojnodo I4 farabqta. ( fi^« 29. ) 
I» ^g^'^^Peramn* Hágale el paraklogránio AbCD, ajuftado 
\^^ al angub que han de formar las aplicadas con el 
xliamctro BC. Dividafe éfte en qualeíquiera partes igaate% 
I j5 deíiguales en E, £, &c. y tírenle las EJF, paralelas á la BA, 
- 'Tírele también la diagonal ED, que cortará las paralelas en 
< Jos puntos G, G, &c. Hallefe una media proporcipnal HE, 
( entre las F£ , G£ , y los puntos B, H, H^ &c« formarán )^ 
i parábola* 

Detnonfir. Porque las lineas F]^,(bn todas iguales, u(i 
xeótanguio FEG , al otrp ángulo FEG y ferá como uiu GE^ 
^ la otra GE , ó ( 2t6.Euc. ) como una B£„ á otra BE; perp 
los quadrados de las HE, (bn iguales ( i7^.£uc« ) á los reQr 
^ángulos FEG : luego un quadrado de H£ , á otro quadra* 
do de HE , es como una BE, á otra BE: luego (cof$l.i* fr^f. 
%• ) los puntos B) H, H, &c. forman la parábola* 

KIOP. XXXVin. Problema. 

Bxplicafe otro modo de defcrivir lafarabola. (^fig. 30. ) . 

« 

g^^VerAíton. Hagaíeel triangulo réólangulo ACB,cüyó 
\J lado AB, íea el parámetro dada, ó elegido ; y la BC, 
(^aarbitraria. Divídaíe la CB en partes iguales , ó defiguaj 
Les en los puntos D ; y tirenfe las redas AD : de cada pun^ 
to D, haganfe á eíquadralas lineas DE, que cortarán laBJ^ 
diámetro de la parábola , en los puntos £• Tirenfe por £^ 
paralelas a BP , y por D, paralelas a BE, que fe cortarán eq 
los puntx)s F. Digo , que eftos forman la periferia de la par 
Húbola, 

Demonfir* Por fer los ángulos ADE , ;-edos , la perpen- 
dicular l3B,es media proporcional entre AB, BE; {coroL i. 
/ro^yi 8* 6.£uc. ).y por configuiente, los quadrados de l9S 
1)B, ü dé fus iguales FE, fon iguales á los redangulos ABE; 
pero eílos redangulos , por tener el lado AB común , iba 
j^omo la$ lineas B£ ; luego los quadrados de las F£, fon co- 
mo ' 



'1^24 Trat. Vin. Db las tris Sficcio^f. Coíir; 
mo las fagitas BE, BE, &c, luego ( anrol. i.de U prof^/l i 
los puntos B, ¥y F, &c« forman la parábola» 

PROP, XXXIX. Problema. 

Defcrivtfe de otra manera la parábola, (fg* 3 r. ^ 

SEadada, ó efcogida la AB para parámetro , que cont 
nuada halla M , fegun fe qúillere, lera BM el diamctn 
I>eícrivaníe diferentes lémicirctüos ,^que le toquen en ^, ; 
cortan la BM en partes iguales, ó deliguales en É, K, L, Scé 
Por el punto B , tirefe la BC, perpendicular á la AM, qu< 
tocará al circulo menor en B ; y a los demás les cortará en 
los puntos D, E, C, &c. De los puntos K, L , &c. tirenfi 
las KQ^, LR , &c. tangentes á los femicirculos , y paralej 
las , é iguales á las BD , BE , BC ; y los puntos Q^ , R , sJ 
&c. formarán la parábola. 

Si fe dieíTe determinado el ángulo que han de formar 
las aplicadas con el diámetro BM , fe tiraría la KQjde fuer- 
te , que formaiTe el ángulo dado ; y la LK , y las demás fe 
harían paralelas á la KC^; pero íiempre iguales á las BD, 
BE,&c. 

Demonflr. La BD es perpendicular al diámetro AK , y 
por coníiguiente es ( corol. i. fropof 8. 6. Euc. ) media pro- 
porcional entre AB,BK; y alsimilmo la BE, es inedia entre 
AB, BL : luego el quadradp de BD i es igual al reftangu/b 
ulBK; y el quadrado de BE, al redangulo ABL: luego la miC 
ma razón tiene el quadrado de BD, ai de BE , que el rei^an- 
gulo ABKy al ABL ; pero éftos, por tener el lado AB comim, 
tienen la razón de BK a BL : luego el quadrado de BD , al 

Suadrado de BE , efto es , el quadrado de Kg^, al quadí-a- 
o de IR , tiene la razón de BK a BL : luego {coroL i. j,) Joi 
puntos B^ Q , R¡ &c. forman la parábola. 

PKOP. XL. Problema. 

Vefcrivir U parábola al rededor de un triangulo dado. {fig. 3Z. } 

Pldeíe (e defcriva una parábola al rededor del triangulo 
RNP , de fuerte , que Tu pen&ria paí& por los puiuof 
N,R,Pt Ote-. 



Libro IIj " ity 

OfiréUkH. Dividaíe por medio la bafa RP eiv Q , y tire(e 
KQc Saquefe de qualquier punto fi; la F£ paralela, é igual 
á Isi QP: halleTe entre £F, y £1 la media proporcional EO, 
y el punto O , ierá uno de los pertenecientes ¿ la periferia 
de lá parábola ; de la mifma fuerte fe hallarán los demás.. 

Demonjh. Por íer continuas proporcionales El , EO, £F, 
{fcrá el quadrado de £F, ó PQ^fu i^al^ al quadrado de EO,- 
como QP á El; ó (2. 6. Euc.) coiño NQ á NE : luego (i.y 
la £0 , es aplicada; y ti punto O, eltá en la periferia de l4> 
^parabola. 

PROP, XLI. Theorema. 

Siendo el triangula ABC ( j!¿* 3 ;• ) infcrito en la farahla , t fií 
bafa ACy dividida far niedw en D^ can él áiametra BDyfiji Hrá * 
fu fárdela EG ,7 la IGK far'alela i la bafa , ferlm fta- 
f^cianaUs la bafa DCala oflkada IGy co- 
ma EféíFG. 

DEnumftr. Como dixe en la propoH anteced. k DC; eC- 
to es, IK , IG , IH ion proporcionales : luego (i de 
IK , fe quita'la IG, y de éíla fe quita la IH , ferá toda IK í 
toda IG, como lá quitada IG, a la quitada IH: luego el re- 
fidao GK, 6 £C, al rdiduo HG , es como toda IK á toda 
IG ; cfto es , como DC á IG ; pero por ftr lojs triángulos 
EFC, GFH femejantes, es EC á HG, como EF á FG: luego • 

DCáIG,escomoEFáFG. 

• , ^ \- 

PROP. Xm. Problema. 

Defirivir de tn^s dos mxntras U faraküA d rtdtdtr it m 

trtMgiUQ. {fig. i^.-) 

m 

Modo I. Pideíe que al rededor del triangulo ABC , ie 
deícriva una parábola* 
Operación. Dividafe BC por medio en D, y ttiefe el diá- 
metro AD : dividaíe la baía BC en qualeíquiera partes ea 
los puntos E , por donde fe tirarán las redas EF , parale- ^ 
las al diámetro AD : hagaie aora como DCá DE^ afii £F 
TomoUU Dd i 




%2ó Trat.VIIL J}t LAS Tais Sección. Com< 
i¥G ^Y los puntos G íerán de la periferia de la 
Confta de la propoC anteccd. 

Jámk 2* Divioaíe el diámetro AD eá quakíquiera pi 
tos K, por qiiiencs fe tirarán las recias KF paralelas á la ' 
ía^ que corearán el lado del triangulo en los puntos F : 
j^os íe tirarán las re<^ FG, paralelas al diámetro AX>. 

rffák también las lineas BK , oue cortarán á las FG en 

puntos G ; y por eftos puntos u, (e guiará la linea curvsL^j 
quedará defcríta la parábola. Conlb de la propoC miíhx^L 

Srque en los triángulos BDK, KFG, ( 2.6.£uc. ) es'BO^ic 
Cfix igual á KF: como DK, 6 EF, fu igu^l á FG« 

PROP. XLm. Problema. 

. Cantimur una fáráMd^ nftttmU m femenu. (j^«34*) 
1 Tíldele que le continué la linea parabolice ACl opera- 

Jl cien* Tirado el diámetro AD^y la aplicada DC pro- 
longada ázia N, tireíe la NG paralela al diámetro, y por d 
punto L , en due corta al lado prolongado del iñangujo, 
tirefe la aplicada ML,*al diámetro alar£:Klo : de B por M, 
tírele la BMG^ que cortará la NG en G, por efte punto íe 
continuará la linea parabólica. 

2 Suponefe que á la parábola ABC , (/ig*5 5 O le falta et 
(egmento D£ , que (e le ha de refiituir. Operación. Tirde 
qualquier diámetro BF ; tÍFcn(e las lineas AD , A£ , que 
cortarán al diámetro en K, y en I: tircníe también las DG, 
EH paralelas al diámetro £ÍF : dividafe KI en qualeíquiera 
partes iguales en los puntos O; y la GH, en otras tantas eo 
ios puntos S : por donde (e tirarán paralelas al diámetro, 
' que cortarán las redas AO en los puntos T; y por cltos fe 
guiará la linea, y quedará reftituido el Tegmento que falta- 
va. Confta^ como la operación antecedente , de la profj^u 

PROP. XUV. Problema. 

Daéés mt^puntos^que no efien en üwareSayj tirada por ellos una 
linea fara diatnetro^ defirivir la parábola (fig. ; 6.) 

S£an dados los puntos I, N, O, y la linea NM para dia* 
metro : pidefe íe forme por ellos la parábola. 

Ofi' 




» • ^ Libro II. 227 

f Operdüm. Tircfc la lO , y partafe por medio en R. Ti- 
reíc RP paralela i MN; y hagafe como el quadrado de IR, 
í al ciua4ra<kr de NQ^, alsi la ÜP á PQ^; y la parábola que 
^ paí^re por N , y P , paflará también por los puntos I , O. 
t (^caroLi. de la fr0f*i.) De efta mifma lüerte, dadas Jas redas 
íf 10, NM, que fe rortan en M,-íc ddcrivirá la parábola , cu- 
i y o diámetro fea NM. 

PROP. XLV. Theorema. 

íi Bn el triangulo reñangulo ABC (fig. i'7*)fiU hifotenufa ACfe 
-parte far media tnü ^j par efte punto fe le tira la perpetídicular 
^ £>£ hafta encontrar con la CE ¡paralela a BA , digo , que el 
punto E pertenecerá a ia periferia de la parábola^ 

b cujfo vértice es F^fu focus A^j U 

I • tangente GE. 

K "WTX^numftrí Tirenfe las lE , FDH paralelas á BC. Por fer 

K _l J Fü. paralela á BC , aísi como AC es dupla de AD, 

f ferá (2.6. Euc.) la AB dupla de AF, y la BC dupla de FD; 
y íiendo la FH. igual á BC , ferá Fti dupla de ED : luego 
FD,DH fon iguales. Sipndo pues los triángulos GDF,DHE 
cquiangutos , y FD , DH iguales , feranFG ,y HE , ó FI 

, iguales; y (4,i.Eucl^los triángulos ADG , ADE tendrán 
las bafas AE , AG iguales : luego ( corol. 3. 28. ) fiendo F el 
vértice de la parábola , ettará el punto E en fu periferia ,,y 

j la GE ferá tangente , y A ferá el focus. 

I 

PROP. XLVI. Problema. 
Dado el vértice , y el focus , defcrivir la parábola» Oí^.58.) 

SEá F el focus , y I el vértice de la parábola que íe ha de 
deícrivir.- 
, Operación. Haganfe FI , IL iguales : tirenfe las LO , IM 
perpendiculares á LF : tirenfe como fe Quiera las redas 
I FMO, que cortarán á la IM en los puntos M,y á la LO en 
los puntos O: por M tirenfe las MP perpendiculares á FO, 
haíta que conen en P las OP paralelas a LF , y los puntos 
P íerán por quien^ ha de parífar la periferia de la parábola* 

Dda De 



S28 Trat.VIII. Di^ t as trbs Sección. Co i^« 
De la mifma iuerte (e hallarán otro$ puncos. 

Di^nfir. Por fer FI y IL iguales , ¿rün ( z.6. Euc. ^ FAf, 
MQ iguales: luego (45. ) los puntos P eftán en la perifeiia 
de la parabolí^ 

PROP. XLVn. Problema. 

Defcnvk una fárahU igud 4; Wá iaid. (fig^l^O 

S£a la parábola dada ABC ; pide(e otra igual. Operuion* 
Tomefe la AD arbitraria , para que el punto u fea el 
vértice de la parábola que fe ha de deicrivir : tireíe la BE 
igual j y paralela a AD, y el punto £ penenecerá á la peri- 
feria de la parábola igual á lá dada : aisimiímo y tirando la 
BL igual , y paralelad AD , fe tendrá el punto L , &c. 

Detnonjtr. Tireníe las aplicadas BF,£K. Por fer las AD, 
BE iguales, y paralelas, y afsimiimo B£ , FK , íerán AO, 
FK Iguales ; y quitándola comían FD , quedarán AF^ DK 
iguales : luego lá niilma razón tiene BF a la íagita FA^ que 
£K á la íagita KD : luego las parábolas fon iguales. 

PROP. XLVin. Theorema. 

Ids fsrabolds fabudichas , áimque fe continúen injinitameniey 
fiempre dffiaran menos entre si , fin foder concurrir jamis; 

y fon afimptotas. (fe.40.) 

F\E€faracion. Por el vértice N de la parábola interior , ti- 
, refe la MI , aue ferá tangente de dicha parábola inte- 
rior , V aplicada de la exterior. Del punto M tirefe la MQ¿ 
paralela al diámetro VT , que por la oper^^cion de la prop. ] 
anteced. ferá igual á VN, y por Q^, tirefe la aplicada OH. 
Aisimiímo, tirefe laOR paralela al diámetro, que fera 
también igual a VN , y por R, tirefe la aplicada SL, y que- 
dará el diámetro dividido en partes iguales en los puntos 

Demonftr.Tmcho lo primero,que los redangulos 0(^1, 
SRL ion Iguales al quadrado de MN ; la VP , es dupla de 
VN por conitruccion , y ( 1. ) el quadrado de OP al qua- 
drado de MN , es como VP á VN ; pero (5.2. £üclid. ) el 

qua- 



^■ta 



I • 



^- 



. ( 



( t 



^¿22S, 




%^C 





\ 



I I 



i .M 



LlBKO II. t29 

Suadrado de OP , es igual al redangulo OQH , y al qua-- 
rado de QP : luego d redangulo OQH , juntamente con 
d quadrado de QP, ó MN fu rgual, 'esduplo del quadrado 
de MIS : lue^o el reátangulo OQH , es igual al quadrado 
de MN. Aisimifino , el quadrado de ST es íeíquialtero del 
quadrado de OP, por fercomo la &gita TV 3. á la (agita 
PV 2. y es también igual al redangulo SKL , juntamente 
con el quadrado de KT, ó OP : luego quitando el quadra- 
do de KT , queda el redangulo SRL, mitad del quadrado 
de OP : luego es igual al ouadrado de MN; y aísi en los de- 
más : lueco todos los re¿langulos que fe hicieren , como 
OQH , SkL y &c. fon iguales al quadrado de MN , y por 
conliguiente entre sí : luego (14. 6. Eucl.) tienen los lados 
reciprocos; efto es, OQ á SR,como RL á QH; pero R.L,es 
mayor que QH: lue^o OQ,es mayor que SR; y afsi intini- 
tamente : luego aunque eftas paraoolas (e continúen inüni- 
tamente,(]empre (e irán acercando la una i la otra, y jamás 
vendrán á concurrir. Se irán ííempre acercando , porque 
quanto mas íe continuen,(erán menores los dichos fegmen* 
tos de las aplicadas comprehendidos entre ellas; pero jamás 
podran concurrir , por íer liempre menor alli la ainpUtud 
de la parábola imenor , que la de la exterior* 

COROLARIO. 

« 

DE dqui fe coligiy que los f$Ü4ngtths OQH^ HXO fin igUéh 
ksijpr confiffácnre , también Us lineas OQ^^ XHfin 
iguales. 



Lí- 



\ 



230 Trat.VIII. De las tre's Sección» Con, 

4II4»H»I3^ ^W^í¥ ^l^^l^ 

LIBRO III. 

DE LA HIPÉRBOLA. 



DEFINICIONES. 

I T TTlperbold y es una figura curvüinea , que procede di 
1 I una fecclm cónica , cuyo üano carta el un lado dd 
1^ I triangulo que faifa por et exe , y encuentra con el 
otro prolongado Juera de la pirámide cónica, Co* 
irio en la j^. i. el triangulo hecho por el exe , es ABC ; y 
la feccion EDF es hiperbola,porque el plano que la forma» 
cona al lado AB en D , y también al lado CÚ continuado 
,en G : lo qual concuerda con lo que dixe al principio de 
file tratado' .en la def. 16. que cuando él plano focante corta 
las dos pirámides cónicas opuettas , las dos fecciones cóni- 
cas opueftas que Cp forman fon hiperMask Las fecciones hi- 
perbólicas de entrambas pirámides opueílas íe expreífan en 
la fig. 1. fuera de la pirámide. 

2 Tangentt de 1 4 hipérbola , es la reSa que toca fu periferia 
en un filo punto fin cortarla , como EL , y AH. (fig* 2 .) 

3 Diámetro de la hiperbola-^es la Dnea reSta que parte Por me- 
dio todas las paralelas 'a la tangente , terminadas dentro de la hi- 
pérbola , las quales (e llaman aplicadas ^ aquel diámetro » ó 
ordenadas : y afsi, la BEH , {fig. 2.) es diámetro de la hipér- 
bola FED , porque parte por medio todas las paralelas á la 
tangente LE , tiradas dentro de la hipérbola, y eftas fe Ha-* 
man ordenadas » ó aplicadas á dichc^ diámetro ; y el mifmo 
nombre fe da á fus mitades , como HN ; ó también /¿iwwr- 
denadas , ó femiaplicadas. 

4 Exe de la hipérbola , es el diámetro quess perpendicular 2 
fus aplicadasicomo en la fig.^. BJEH, que no folo divide por 

me- 



L I B R o IIL ^7 

rníedio i íus aplicadas, (j que es perpendicular i ellas ;pei^ ' 
* GFK^ aunque es Jiameiroj por partir por medio fus apiica>» 
das, pero no es ace , por no (er perpendicubr á ellas. 

5 Vértice de U biferioUy es elfimt^E ^ e» que el exe mtá 
fii periferia. 

6 HiperMds ofueftasjfinUs que frrma un mimo fls^oféam- 
t€j certMtdQ I AS dos pirámides ofueftas ; y entrambas tienen por 
coníiguiente up exe común , y afsimifmo los demás diame*- 
.tros : como en la jig. z. ABC j DEF, ion hipérbolas optidU 
tas , porque tienen un mifmo exe común IH ; y todos \a& 
dcon^ diámetros, como OK, ion tsnbien comunes ,. tito 
es, a(si en la una, como en la otra , dividen por medio IU5 
x>rdenadas ; y á íagitas iguales , corfeípondeti aplicadas 
iguales. , V 

7 Exe mdetemúnadodiUMfarMboUi es toda la reüa Ití. 
Llamafe h$determinado , porque puede continuara tnfínMtf- 
mcntci pero exe determinado y es íblaoiente el Tegmento BE 
comprehendido.entre las dos hipérbolas opueftas,el quaí tsé- 
de la düiancia que hay entre ellas ; y en la jig. u esla reéi^ 
DG , y fus tcrinino^ fon los vértices de entrambas hi^ 
iperbolas. ■". . 

8 Centrjo de lahiparMa , eselfuntoG^ (fig•^•y que fart$ 
por medio d exe determinado BE z conquó el x:entro de la hi« 
perbolaeitá fuerade ella , y es comufi á lasdos hipérbolas 
opueftas* 

9 Úiametroindetermnddoy es OK , porque (e puede con** 
tinuar infinitamente ; y diámetro determinado^ es el í^mento 
AFdel indetermimdo , que (e termínala las periíerias de 
lü^ hipérbolas opoeilas. Aaui fe vé, que los diámetros^ 
aísi determinados, como indeterminados , fon infinitos ; pe^ 
tí^ el exe e^ íblounode ellos¿ 

10 lAamem fegmk de la bipei^^i^t una Unea reSa medid 
pomáonaL entre el dumetro deternmado , jfuparanmro , iifih 
SaaPor medio en el centro de la hipérbola : conque elle diáme- 
tro (egundo, es común i las dos hipérbolas opudlas. 

1 1 Hipérbolas conjiigadas^pn aquellas cujos diámetros mutua» 
lame fe cortan é Sean ^ en hñg. u dos opolictones de híper-- 

. bola$,launaABC,DdiF,yJaoti;aGtíl,íü^ . 

me- 



aj* Trat. VllL De lAs TRES Seccion.Coa. 
metros B£,HL,fe cortan cu el centro S. Digo , que lasdoi 
opuettas fon conjugadas con las otras dos t^ueltas ^ y^x 
diámetros B£> HL' , fe llanu n también conjugadas > porque 
continuados, el HE. corta por medio todas las aplicadas pa- 
rálelas al diámetro HL , y eitc i las aplicadas paralelas i 
3^y por eüa razón d diámetro BE, fe Itanu rí^,rerpedo 
délas hipérbolas ABC, DEF; y (TM/rn-y^, rcfpeéiodeiu 
X^HI, KIA^ y al ctHitrarto, HL es itüo^ refpeéh) de éSt^ J 
Jrtnfmf» , reipedo de aquellas :-y por la milma razón BE, 1 
«srf¿bB,.reípeaodeHL ; y eiie lo es, refpeáo de BE. 

iz Añ»fM*ítfwmíuimi£M inÁfUmodeUiñfabtUi^ 
//UtHÍe.^íentn,jqiiMtgm4ífiáfartMiideeí,miv/e áorut 
^léfir^tñáde U bifabqlMi' fert jémai auuurriraii t»» f^ 
stmqiu torrea mjiíMámemt , como en la jig. 3 . SN y SQ > SPi 
SO.', filas pueden íbhnar ángulo re^ en cl centro, J 
también albulo agudo, ó obtub. 

015 PdrMmttretiUáertSadeUbiperMd^esmMsíiiitdt' 

r' nfetmdentyiqmnfe tampMTMi Ids fotemias delds ^i*" 
al diámetn. domo ifi¿. ^.)íe» &D el diámetro aeter- 
jninadodeKliÍperbola.AtíC,y iu aplicada FA , fean/w»- 

rQfcionalesBF, FA, FE : tirefe la BH, paralela á FA, 1»^^ 
difcrccion : tirefe ja DE , cjuc cortará la BH en G ; y f«? 
BG.cl f4r4mttrp.t ó Lidprtíbi , como íe demonftrara eofa 
lugar. Advicrtaic lo primero, que alsi en la hipérbola, W- 
mo en la parábola, y elipfe, no es forzólo que el lado reao 
íe aplique perpendiculatmente a! diaojeuo., ti que puede 
iucerfe paralelo ¿ las aplicadas. Advierto lo fegundo, if* 
cada diámetro de labiperbok tiene fu parámetro diíercí^ 
ye , por fer diferentes fus. potencias, y las de fus aplicadaV 
-quienes mide. \ 

14 Hipérbolas ¡piales j fon aquellas tn qñthft ks ttiáilgdtf 
4f*^'iii'*»lMtAngtmcsanlaié^mftotéífonipultíyi/«n^ 
Mdsquea /agitas males corre/fondeH afiuaáas igiults. 

.IJ Htpnbotasfcnujaates y fon aquellas en quienes les trtíf' 
gules quffomaa las taugatts con Us áfimputas^ que baten «ü"" 
ios iguales , fon femepuites. 

1 6 latus de la hiferbola^i un panto futfio en el exe dtntn * 
^ila^yáifia^t ik fu ítntrtLy tatito, qumAtiaquiUafartt^f* 

apif- 



V Libro Illt 13} 

afimptütd^ que fe camfrebeffde entre elcenm^i elpmeo en que es 
tortada for la taféente que fale del vértice de la hipérbola. Como 
en la )!;• 3* (i la diiUncia SK íe paila de S haita T , el punto 
T íerá elfocus. La propiedad eflencial de los fbcus de las 
dos hipertx>la$ opueftas, es, que (i de un punto tomado ar- 
bitrariamente en qualquiera de eftas hipérbolas , íe tiraa 
dos lineas , una á cada fecus y la diferencia de la mayor á la 
menor es (iempre igual al exe determinado, que es común i 
entrambas hipérbolas , Q á la diftancia de íus vértices» * 

PROP. L Theorema. 

%nlabiperMay hs quadradosde las af litadas tienen eme si í$ 

fáx4n núfina que los rtSan^ulos hechos de las fagitas^j la Imea 

comfuefta de la [apta , j diámetro* ( jíg. ][• ) 

LA pirámide cónica VKS , íe fupone cortada por (u exe 
con el plano RVS, y juntamente con otro plano que 
corta la ,ba(a de la pirámide por la lihea NQ , perpendicu- 
Jgrá/RS , y á la fuperficie de la mifma pirámide , íbgün la 
linea curva MPQ , de tal fuerte , que el diámetro NM , de 
elta lección , prolongado coacurra con el lado RV , tam- 
bién alargado en L. Afsimiímo , por qualquiera punto O; 
paíTe la HOI, paralela á RS,y por dicha linea el plano HÍ?I 

Earalelo á labafa , que con el plano QpM , hará la comuo 
perfección OP. Eira fcccion nMQ, es hipérbola, (ie/.i.) 
ylMy es fu diámetro determinado; y las OP,NQ^, fon las 
aplicadas al diametix)* Digo pues, que el cuadrado deOP, 
al quadrado de NQ^ escomo cji re(3:angulo LOM , alrecr 
tai^ulo LNM. 

., Dewonfir. Por fer el plano HPI, paralelo al plano RQg^ 
es circulo, y las interíccciones OP,NQ^, Ion paralelas; ( i^* 
I r. Euc* ) y fiendo NQ;perpendicular á RS , también OP 
ferá perpendicular a HI , que es paralela á RS : luego ( $5. 
3. Euc. ) el re^ngulo HOI , es igual al quadrado de OP, y 
el reébngulo RNS , es igual ^\ quadrado de NQ ; luego el 
quadrado de OP , al quadrado dcNQ^,. tipne la mifma raí^ 
^n que el re<^aQgulo HOI ^ al re^pgülo RNS > pero el 

rec- 



•134 Trat.VUI. De las tres Sección. Con» 
reótaneulo HOI , al redangulo RNS , nene la razón 

GdtadcHOáRN,üdeLOáLN;ydcOIáNS, üd« 
O á MN : luego el quadrado de OP, al quadrado de WQ^ 
tiene la razón compuella de LO áf LN, y de MO á MN ; pe- 
ro él redangulo LOM , al reótangulo LNM , tiene tancibien 
la razón compueita de LO á LN, y de MO á MN: luego el 
<}uadrado de OP, al quadrado de NC^, tiene la razón miT* 
ma que el redangulo LOM, al redangulo LNM. 

COROLARIO. 

Slfetnájft unareSa pwlos puntos í^j Pr^lárgAdáyOnrtárU át 
dusmem ; fwque cmo el reétangulo LOM Jta menor qué A 
uáémgdo LNMj también el quadrado de oé ^fera menor que eLde 
Nj2j luego O? es menor que SQj yfiendo eJUs lineas' paraleUs, 
esfor^Jo , que las reñas liOy Q?^^ alargadas^ vengan a concurrir. 

PROÍ>. n. Problema. 

Dado el diámetro determmadolU la hipérbola^ j una oflkéuU^ 

hallar fi parámetro. ( fig. 4. ) 

Dlxe en la define i j. que el parámetro de la hipérbola 
es una linea por quien (e. miden ks potencias, d 
4]uadrados de las aplicadas. Y A^lonió m-geo dice, que 
elle parámetro , ó medida en la hipérbola , á diferencia del 
parámetro de las otras (ecciones , es de tal calidad , que el 
-cuadrado de qualquier aplicada excede al redangulo he- 
cno del parámetro, y (agita , en un redangulo (emejante al 
formado del mifmo parámetro , y del diámetro determi* 
nado. Eito fíipueílo , (ea dado el diámetro determinado 
DB, y la aplicada FA , y (e pide el parámetro desdicho dia« 
metro. 

Operación* Halleíe una tercjcra proporcional i la íagíta 
BF, y á la aplicada FA , y ferá la FE: junt^fe la DE, y ti- 
refe del vértice B la BG paralela á la aplicada , y efta reda 
BG-, ferá el parámetro que firve para el diámetro dado, y 
^s aplicadas. Per&cioneníelos redangulos FI, FM. 

Demonjlr. Por fcr tr^ proporcioaale$£F , FA , F£ , ei 



Libro Ilfí 2}$ 

C i7.6.EucL) dquadradodeFA igual al redanguió de 
BF , FE,eftoes , al redanguloFH: lu^o dicho quadrado 
excede al redangulo FG , hecho de la iágita FB , y de la 
rcéla BG , en el redangujo KH, (emejante ( z^» 6. EucL ) al 
reétangulo BM , hecho del diámetro determinado ÜD , y 
de la reda BG : luego la reda BG es el parámetro , fegün 
la inteligencia de Apolonio. 

\ COROLARIOS* 

• 
I "px E dqui fe colige la raz4m,pnqMi efta feccion fe Uama H- 
I J ferboUy a diferencia délas otrasyj es^ fwque en Ufa-- 
rMbolaj eliptadrado de las apUcadas^es igual al reSangulo h^bo ée 
lasfdgitasyj el parámetro. En Id eUpfe^ los quadfados de las apü^ 
Cdias fon menores que dichos reStangulos de lasfagitasj j parame- 
trm pero en la hiperbola^dichos quadradosde las aplicadas fon hm- 
y ores que los reSangulos referidos. 

2 En la hipérbola , el quadrado de qualquier aplicada , como 
FAytiene con el reSangulo DFB la mifma raz^^n^ que el paranfetr^ 
BG con el diámetro determinado BD ; porque el reStangulo EF£ 
igualy como hemos vifio , al quadrado de^TA , tiene con el reüangf^ 
lo DFB la raz^nde FBaEDy ppr tener unamfma altura EBi 
( 1.6. Eucl. ) peráí como f E i f D , afsi es ( ^.6.EucL ) BGa BDi 
luego el quadrado de FA tiene con el re^Sangulo DFB 1^ rdzM de 
BGaBD. 

I Si la reSa D^E^que faüendo de la extremidad del diámetro^ 
paffa por la extremidad del parámetro^ fe continua ; j afsimifmo 
las aplkadasy como LS^feprofiguen hajta cortar ía dicha re&a m 
O y jera el quadrado de ta aplieada LN , igual al re&a^iguloAe la 
f agita BLjj de la reüa W\y afsi en las demás. La rax^n es , por^ 
%ue el reáangulú I)FB aI reHangulo DLB^ tiene la mifma raz^on 
que el quadrado de FA al quadrado de LN; pero.elre¿tangu¡a.BFE 
^al reSanguloBW/t§ne también la mifma razón que el reílangu- 
k DFB d reStangulo DLB ; porque la razan del reAangulo DFB 
al DlBy fe compone de las raz4mes de BFa BL ^ Jf de DFa DL ; y 
la razan del reSangUlo BFE al reSangulo BLO , fe compone tám- 
biendeladeBFaBl',ydela deFE aLOy quel¿\.6» EucL)esla 
ifñfma que la DFa DL: luego el quadrado de FA al quadrado 
ieLÑ, tiene Ja mifma razan que el reSar^gulo BFE oU reü ángulo 

BW\ 



z' 



2^6 Trat. VIII. De ia$ tres Sección. Coi/. 
ULO \j alternando , r/ quairádo ieFAyd reñanguh BFE, nmm 
U náfmá rdzjsn que el quadrado de. LN, d reSangulo BLO ; ferm 
d quadfddo de FA^ es igiidl al te&ingulo B¥Ey nnnofe h4 ienmnf- 
trádo: luego el quairádo de LN^ es sguM di reftángulo BLOn r 
éfn de Us denus aftinddds. 

PR.OP. in. Theorema. 

Si una üned ocurre d U hipérbola , de fuerte^ que for entrdmkéi 
fdrtes id€ fiaerd de elU , dlargsda concurre con el did-^ 

metro, (fig* 6.} 

LA rcdoí CDE, ocurre á la hipérbola en el punto D » de 
fuerce, que alargada, cae fuera de la feccion por una, 
y ocra parte: digo, que concurrirá con el diámetro. Seaa- 
leíe en la periferia de la hipérbola qualqüier punto F » y ti- 
rfefe la reaa FD. . • 

Demonftr. ( coroLpof. i.) La FD prolongada concurre 
con el diámetro en un punto A : luego corriendo la CDE, 
entre el punto A , y la feccion , neceúariamente cortará W 
diámetro. 

PROP. IV. Theorema. 

r 

ySiiUtdngenu £I, (fig* 7*)fe hdce una fardleU ML, dentro dt 
Id biferlold ofuefid^ alargadd dicha fardeU^ cortdra Id ¿i* 

ferbold for dmbds pdrtes. 



Dtmonfir. La re<^a £1(30 concurre con el diámetro: 
luego (li paralela ML , también concurre con el diá- 
metro , como por exémplo en L» Tomefe pues AH, igual i 
BL : tirefe por H, la HO, paralela á £1 , y tirefe qualquierai 
re^ EN ; y porque lE concurre con EN , también Al pa- 
ralela HO, concurrirá con la mifma EN, dentro, ó fuera de 
la hipérbola ; y por configuiente, en qualquier cafo corta- 
rá la periferia. Supongamos pues la corta en O : tireíe de 
O, la aplicada OQ^, y tomando la LR,, igual á HQ^, tirefe 
la aplicada RP , que cortará á la MLP, en p. Digo , quee(^ 
te punto P, eílá en la periferia de la hipérbola : la razón es, 
porque los triángulos OHQ^, RLP^fon toulmeateiguaiesi 

poi:. 



i 



i 

r 



Libro IIL 937 

por tener los lados HQ^, RL, iguales? y todos los ángulos 
también iguales, por el paralelifmo de los lados RP, QC^ y 
LP , OH: (z6.i.Éucl.) luego las OCt.i RP, fon iguales ; y 
cftándo el punto O^ en la periferia de fu hipérbola, lo eñará 
también el punto P , en la perii^ria de la hipérbola MBPi^ 

COROLARIO. 

g^^VéUqmetá fot alela a la tangtntej como OC , mta la hifer^ 
V^ hola en dos pmtos ,j al dtamtttQ ennn pmtOm 

PROP. V. Theorema. 

In Us hipérbolas opueftas , las afücadas , que difian igualmente 

del vértice , fon iguales. ( fig. 8. ) 

AUn(]ue efto fe colige baftantemente de la naturaleza 
mifma de eftas hipérbolas ; pues íiendo fecciones he- 
chas en pirámides cónicas iguales , y íemejantes , lo han de 
íer también las hipérbolas ,y por coniiguiente , fus aplica* 
das en igual diftancia del veaice han de fer iguales ; pero lo 
quiero clemonítrar<para mayor evidencia. 

Seajn pues las dos hipérbolas Q^ueftas SON , Q^T. To- 
menfe las diftancias del vértice , o fagitas OM, PR, iguales. 
Digo, que las aplicadas RQ^ , MN, fon iguales. 

Demenftr. Por fer PR, OM, iguales , y la ÓP común , fe- 
rá el redangulo ORP, igual al redangulo PMO; pero ( i. ) 
el quadrado de RQ^, al quadrado de MH, tiene la razón 
milina que el reétangulo ORP , al redangulo PMO : luego 
fiendo ellos redangulos iguales, también lo fcrán di<lhos 
quadrados: luego fus lados rQ., y MN, fon iguales. 

COROLARIO. 

DlE aqui fe colige j auelas hipérbolas opuefias , terminadas on 
iffial áftancia de fus vértices^ fon igjnales. 

PROP. VI. Theorema. 

la Imea reSa , que paffando por el centro de las hipérbolas mef- 

tasy ocurre alauna^ encuentra también con la otra. (,fig*o.) 

Digo , qué la re¿ta CQ^, que paliando por el centro C, 
de Isk hipérbolas opueftas , encuentra con la una 

eo 



238 Trat. yiH. De las tres Sección. Coi^. 
qi d punto Q, prolongada, encuentra también con la otra. 
Tirefe del punto Q^, la aplicada Q^ ; y tomando la ON^ 
igual íl PR, tirefe la aplicada MN , y junteíe la CN. 
* DctMník. Los trianeuk)S QilC , NMC, tienen los lados^ 
CR, CM, Iguales, por haverfe añadido á los íemidiaoietros 
iguales CP, CO, las PR, OM , iguales; y las RC^,- MN, 
ion (5.) iguales; y los ángulos R, y M, fon también iguales, 
por fer las QHL, MN, paralelas: luego (4.1. Eucl.) fon de/ to- 
do iguales : luego el ahgulo QCR, es igual al angula MCN; 
' y (iendo verticales opueitos, lera ( i j. i. ) Qf N una linea 
re¿b : luego la Qf aIargada,coincide con la CN ; y por 
coníiguiente encuentra con la hipérbola en el punto h^ 
que es el que en la periferia termina* la aplicada MN. 

COROLARIOS. 

I C* I for el punto C , que divide al diámetro determnad» fm 
iJ medio , fe tird una reSa, que encuentra *con l^ hipérbolas 
ppuiyas en Q^^ j N, las ordenadas tiradas "por dichos puntos, cá- 
moQRy NAÍ,)(?« iguale s^j cortan las [agitas OM,PR iguales. 

z Todas las reítas , que pajfando por el punto C, ocurren a las- 
hipérbolas opneftas , quedan divididas en C, en dos partes iguales^ 
como fe infiere de lo dtcho : j por ejla caufa fe llama el punto C, 
centro de las htpcrbolas\ j todas las reílas que pajfan por C, j cor- 
tan lashiperbolasyfon fus diámetros^ j fus mitMeSjfemidiametros. 

PROP. VIL Theorema. 

Qualquier linea , que pajfando por el vértice de la hipérbola , es 
paralela a las aplicadas a un mifmo diámetro, es tan- 
gente. (fig.9.) 

LA reda LI , tirada por el vértice I de la hipérbola , es 
paralela á la ordenada NQ;, P%o, que la LI cae to<- 
da fuera de la hipérbola ; porque íi cayeíle dentro , como 
IM , dividiéndola por mecho en R , feria aplicada al diá- 
metro HRO ; y éfte, dividiendo por medio fa ML, también 
dividirá por medio fu paralela NQjen O , (def. 5 .) lo que e$ 
impofsible , por fuponcrfe ya dividida por medio en P; 
luego dicha linea cae fíiera ae la lección : luego es tangen* 

V te% 



-i^bi^ 



Libro IIL 239. 

te* tx> imímo íe convence de otra qualquier paralela á las 
aplicadas á otro diámetro , (lue paíle por el punto en que 
€UcbN> diámetro coru á la hipérbola. 

PROP. Vin. Theoífcma. 

Si el diámetro determnade BAy de U biferhoU^ (fig. 10.) fe dm- 

á0e». Ej de tal fuerte j que BE 'i BA^fta cerno BOa Ufagita AD^ 

U £C tirada del punto Ey a la extremidad de la aflí- 

cada ÍK y fer a tangente. 

Plteparacm. Si no ei tangente , conará la hipérbola , y 
vendrá por exemplo al punto F : tireíe pues por F , la 
aplicada GFri ; y por los puntos A, y B, las AL, BK, para- 
lelas a EC , y juntenfe BCX, DCK, y GCM, 

Demonfir. Por fupoíicion BD á AU , efto es , BK á AN, 
(4.6.£uc.) es como BE á E A ; ello es , coma BC a CX , ó 
como BK a XN^ por la femejanza de los trianguiois BCKy 
XCN : luego BK á AN, es como la mifma BK a XN : lue- 
go AN , XN ion iguales: luego ( 5. 1. Euc. ) el quadrado 
ANX , es maVor que el reéiíangulo AOX : luego mayor ra- 
zón tiene la NX á XO5 que la AO á AN. Efta confequencia 
es clara , porque fi fe hiciefle el redangulo AOS , igual al 
redangulo , ó quadrado ANX 9 iería NX á SO, como AO 
a AN , como fe vé en las lineas pueltas a parte : luego lien- 
do OS mayor que XO, -mayor razón tendrá NX á XO, 
que á OS : luego mayor razón tiene también NX i XO, 
que AÓ á AN; pero como NX á XO, afsi es BK á BM, por 
la (imilitud de los. triángulos XCN , BCK : luego mayor 
razón tiene BK á BM, que AO á AN : luego el re&aneu- 
lo hecho de los extremos BK, AN , es mayor que el délos 
medios BM, OA; y por coníiguiente, el primero tiene con 
el quadrado de CE , mayor razón que el fegundo : pero 
como el redangulo de BK , AN , al quadrado de CE ; afsi 
es el redangulo BDA, al quadrado DE : (2.é.Euc.) y tam- 
bien,como el redan&ulode BM, AO, al quadrado de CE; 
afsi el redangulo BGA , al quadrado de GE : luego mayor 
razop tiene el redangulo BDA , al quadrado de DE , que 
el redanguljp BGA, ai quadrado de G£;y permutando, ma- 

yor 



*^ Trat. VnL Dfi LAS Tac« Sección. C0H4 

yor el primer reébuigulo al f^^undo , que el quadrado prU 
mero al legundo; y como (i •) lea como el reébngulo BD A, 
al redangulo BGA; alsi el cuadrado CD, al quadrado GH: 
j como el quadrado DE, al quadrado GE; aisi el quadrado 
CD, al quadrado FG: ( por í uponerfe, que h EC prolonga* 
da viene á F ) luego mayor razón tiene el quadrado CD,al 

auadrado GH , que es el mifmo quadrado CD, al quadra- 
o FG, lo que .es abfurdo , y contra lo democtftrado en Ja • 
frtfof 8, /i¿. 5* EucL lu^o ía £C alargada no puede venir 
al punto F, ni á otro dentro de la (eccion : luego ha de caer 
fuera de ella ; y por configuiente ferá tangente. 

PROP. K. Theorema. 

Si UHáreSé í0Cá lí UhUfethoU y j del fumo del c$¡it4Üa fe úrét 

. iÓM dflkddd^ las f artes del diámem detetjmnadp tengan U 

mjmé razsn que U reüd censué fia de (Uabo diétme^ 

tre , j [Agita tiene con la fagita. 

« 

SEa OV ú diámetro de la hipérbola ; y la tangente PT; 
y PQJa aplicada. Digo, que OQ^a VQ^, tiene lánúC- 
ma razón que OT á TV. v 

Demonjlr» Si no-cs afsi, hagafe como OT á TV; afsi OS ♦. 
á V^ , y tirefe la anlicada SR : conaue (8.) la TR ferá tan- ' 
gente; y alargada azia baxp, cortara á la TP ; y por coníi- * 
guiente, dos reatas cerrarán efpacio, lo que es impoíiible* 

COROLARIOS. "^ 

• > 

DE aqni fe colige , que qualquiera tangente de la hiferMa 
poUmg^cma el diámetro entré el centro ^.jelvertke ^ ) 
a menor dijianci^ del vértice j qne el femidiametro (porque las far^ 
tes del diámetro OT a TF, tienen la rnifma raz^n que OQj VQ^ 
y anuo la OOjiempre haya defer nujor que fu parfe VQj. tam-^ 
bien la OT ^mpre fera majorque IV i Utego TV es mnor qtét eB 
fenúdiametro* 

1 Si de un punto del diámetro , que no dijle del vértice de U 
hipérbola menos que elfemidiametro ^fatira una reSta a labiper- 

- ' bo- • 






- , I] I R B p . m, n^ 

HU ^Ubade cortáir ptcifamtnte. Conftd de A dkh^ , : 

PROP. X. Thebrema. 

Si del ccmaBo U (fig. ix.) fe Wá una aflicada OQ^^ él iiámetr^ 
MQj, [era ^l quddrado del fnmdtameuo Qji^ ijpuA ' 

al reüanffUo QGS. 

DFinwi^n (8.) MNf a NR , es como MQJl RQ^; Ju?go 
componiendo, ferá como MN, y NR juntas' ; dÜo es^ 
como MR, i NR: afsi MQ, y RQjuntas, á RQ^ Juego la» 
mitades dé los antecedentes , Con proporcionales con los 
niifmos corifeqüentes; eíto es,GR,tnitaa de MRá ÑR,(e];^ 
como GQ ^ mitad dé las lineas MQ^, y RQ,á RQ: luego 
conviniendo la razón, ferá GQJl GR, como GQ^RQ^i 
GR— NR ; etto es , GCi.á GR , como GR á GN : luego 
< 17* 6, Eucl, ) el quadrado de GR , es igual al reébngiao 
QpN. De áqui fe colige bañantemente la converTa*' 

PROP, XI. TheorettMu 

Kn la mfma fufoficim (fig. ii.)el rtñanguh MNJC , es igua$ 

al uEtangídú QSG. 

DEmonftr^ ( lo. ) QG á GR , es como GR á NG: luego 
compOniendo,(erá como Q¿/1 á GM: afsi MK á GN; 
y alternando , como QM á MN , afsi GM a CN ; y divi- 
diendo,como QjNÍ á NM , afsi RN á NG : luego el redaiK 
;ulo de los medios MNR,es igual al de los extremos Q^G^ 
i6,6.£uclid.) 

PROP. Xn. Theoremt. 

r 

Sat la mfma fkfejUm (fig. iz.)es el reSangulo GQ^ , al qua* 
irado de QO , como el diámetro MR al fál- 
tame tro. 
Dlmor^fir. Confta de lo dicho en la demonftracion de 
la proppf. anteced. que GQá RQ, es como GR, d 
MG fu igual á NR : luego alternando, es GQJl MG,como 
Q£L á NR ; y iromponiendo^es como MQJl Qp ; alsi NQ 
Totm XU, £e á Q£l: 



Í4* TMT.yni, De lASTRK Sección. Coif. - 
k QR: luego (i6.6.Euc.) los reñangulos MQR, GQ^ Cafi 
iguales; pero el re¿Ungulo MQ^,es (arti. z.z.) al quadr^ 
do de OP , como el diámetro MR. al parámetro : luego e] 
n^aiwuJp GQ^, al quad»do de QQ y es como el diamc:- 
Ird MR. al 'parámetro. 

PROP. Xffl. Thcórema. 

IpúÜT.tí£mttr9,cttUr9~,yexedemdh¡ferM4.(^.i¡,y 

X '"trik Ada la hipérbola KP ,j)idcle uno de fus dia* 
j "I y. iros. Óperaiian.' Tiveníe dentro de ella de qui 
fjiiiera manera dos paralelas HF , IL : divídanle por meé) 
pi ^, C: tirefe la CE larga í difcrecíon, y ferá d diámetro 
^determinado propio de las aplicadas híP,lL,y, uno de In 
dfe (a hipérbola., . . ', ' 

' ' Dtmónjír. 5i la CE nb es diámetro , rcfpe(9o de las fff, 
IL, lo Tera alguna otra linea NP : luego coftai-á por medio 
la IL en O , (d(/^.)/'^"(Jo *lsi » q"e ie ha fupuefto corta- 
da por medio en^C : luego no la ^1P , ni otra alguna puede 
¿fer,.$Wiametro , rclpeíto de las aplicadas HE , XL , fi íbla^ 
inerite la" CE. 

; Pidefe el centro 'de la mifina hiperiwla. OferMim, Ti- 
rado el diámetro CE , con las paralelas HF , IL , tirenfc 
otras dos paralelas Np,Q§,y dividaiife por medio en 0,R. 
Tirufe e! diámetro KÓ , que cortará al otro CE , alargado 
en M, y tile punto M, ferá el centro de la h¡perbDla;(?OT'«r. 
*2.'6.3 y Ls "MKy MG\ íbn íemidiameiros determinados , y 
fu duplo lerán diámetros determinados, (dtfin.^.) 

3 Pidefe el eA de la hipérbola. Oftractea. Del centro 
T, dado, ó hallado por la opcíacioh antecedente, deüriva- 
íp un arco de circuIo,que coitará ja hipérbola en-dps pun- 
tos Z, S. Tireíe la reda ZS , que fe dividirá por medio en 
V ; tirefe Ja "tV , y fera el exe, por fcr perpendicular i ú 
aplicada ZS. - ■ . ,„ . 



l>K.OP. 



L X 1 R o IH. 141 

PROP. XIV. Problema. 
Vi un fwrtú dddo y tirar una tangente a la biferb^ 

« Q^Ea dado el punto O en la periferia de la hipérbola, de 
^ quien íe ha de tirar la tangente. Oferación. Tirefc h 
reóta OP de qualquiera fuerte, y halleft ( 13. ) el centro G, 
y tirefc el femidiametro GQjy tomando GM igual a GR, 
íerá MR el diámetro determinado. Dividafe MK en N , en 
dos partes , que tengan la mifina razón que MQJl K(Xj y 
la NO ferá la tangente que fe pide. Coníta de la pwp. 8. 

2. Pidefe , que del punto N, dado en el diámetro entre 
el centro G , y el vértice R. , fe tiré una tangente á la hi* 
perbola. Oferación. Halleíe una tercera proporcional i las 
NG, y GR, qué ferá la NQ^tirefe por QJa aplicada PC " 
y la NO fera la tangente. La razón es , porque fegun 
pradica , ferá el quadrado del femidiametro GR , igual al 
reélangulo NGQ^: luego (10.) la NO, es tangente. El mo* 
do de tirar la aplicada PC^, es el mifmo que el de Ja para* 
bola > y el que fe fígue en la propof. íiguiente» 




^i 



PROP. XV. Problema. 



tyadpel diatHetto , y un funte , tirar for tfle punta ana áfÜcaáá 
diiametíQ yj una tangente jw el veftife* 

I QEa AB el diámetro de una hipérbola : pideíe íe tirt 
)3 una aplicada al diámetro fobredi^ho ,' por el punto 
f* dado cñ la periferia. 

operaá&ni Tíreíe la PTQ^por el vertite T,V fean igua- 
les PT,TQttirdt la QFl paralela al diámetro AB.que cor- 
tara la periferia en R: tirefe la PR , y ferá la aplicada que fe 
pide ; porque PB á BR , es como PT á TQ ; y íiendo añas 
Iguales, también lo íerán aquellas : luego la PR queda divi- 
dida por medio en B : luego es apUcada. (defin, 3*) 



244 Trat^VIII. Db las trss Siccxon. Cont. 

1 Fideie fe tifc una apücada par ua -puotoS dado 
el diámetro. 

Ofetáim. Tireíe por qualquier punto P de la periferia 
la ordenada PK , por k regla dada : hogafir por el puoto 
S la MSN paralela á PR , y lera la aplicada que íe pide» 

j Pidefe,que por el vértice T le tire una tangente. Ti- 
xéíe la LT paralela i MN , y quedará hecho. Conlla de Im 

PROP. XVI, Theorema. 

£» U hiftrhélá , / 4il fmU9 M wuáü^ fe maimá^aflkáiA j/ 

fw lás extremuíádis del éiámetn determnád$ fe üran dos fon- 

lilas 4 U ordendiU^ lleguen bafid la tangente , el reSkan^ 

ffdo heibe de dichas foralelas^ es igual i la quatta 

faftedelafigtira.{fig.i^.) 

áPolonio entiende por pgura el re^ngulo hecho ddf 
diámetro determinadío , y parámetro. Sea pues PR 
gente « y la aphcada PQ: por las extremidades det 
diámetro NL, tirenie las LI, NO paralelas á PQ, hafta que 
concurran con la tangente PR alargada: y (ea LM el pará- 
metro. Digo y que el refiangulo hecho de LI » bK> » es ia 
iquarta pafte del redangulo hecho de NL ^ LM. 

Demmñu Por fer RP tangente, ( ii. ) los rcdangulos 
QRE» NRL Ion iguales : hiego como fe ha el quadrado de 
qR con el redangulo QI<JB; efto.es, como Q^ á R£: afii 
fe ha también el mifmo quadrado de QR con el redangulo 
NRL ; pero efia razón del quadrado de Q|L al rediangulo 
NRL', fe oompone de la razón de Q^ i NR , ü de PQJI 
NO; y de la razón de QFl á RL, üde PQá IL, que ion las 

3ue componen la razón del quadrado de PQal re(3aQ^ulo 
¿ IL , NO : luego la mifma razón tieaen C^i R£ , o el 
re^anguk) EQR , al remangólo QjER. ^ ó al oiiadrado^de 
LE (u igual ,^( lo. ) que el quadrado de PQ^al lyrtáacigulo 
NO, IL: y permutando, como el redao^tilQEQJl al qua* 
drado de PQ^ , efto es , <i 5.) como el .di^^tfo NL al pa« 
rametrd LM : afsi el quadrado de LE y al re^Saíngulp NO, 
IL; pero como NL al parámetro LM, aGiel quadrado de 
NL al redangulo NLM: (i.^.£ucL) luego el quadrado de 
LE al reétangulo LI , NO , es como ei quadrado de NL al 
reSiftnguló NLM : y alternando , como el quadrado de LE 

al 



Libro IIL i i0 

al quádrddo ée NL, aísi el xeóbngulo LI, NO al tedangu- 
lo NLM : y fiendo , como es el primero , la quaru parte 
del (egando , (eiá también el tercero la qoarta parte del 
quarto : es pues el redaoguio de LI , NO , la quarta [or^ 
te del redangulo NLM , ü de la figura. 

PROP. XVII. Theowma* 

In la hfperboUy fi far elfunto del contuño fe tkd una aflkúiá^j 

far el centro fe hace nns Paralela a dicha educada , que fe terrm^ 

\ ne enta tatúente , fera el reSangulo hecho de la afli¿ada^j 

de la f áratela fobreduha , wíal a la quaru forte 

de U figura, {üg. 15.) 

LA reda RP toca á la hipérbola en P : tireíe la aplicr- 
da PQ^, y por el centro E hagaíe la EF paralela á di- 
cha aplicada. Digo , que el redangulo hecho de EFJ^Q» es 
igual á la quarta parte de la figura , ü del re¿Ui]^lo 
isLM. 

Dentonp. (tu) Los reSangulos NRL , Q{UE ion igua-^ 
les : luego (liLé.EucL) tienen fus lados reciprocos; eílo es, 
NR á C^, ó NOáPQ^ como RE á RL, ó como EF á lU 
(4.^. Eucl.) luego NO á PQ^» es como EF ált, ; luego el 
re^nguk) de PQ , EF , es igual al reétangjbüo NO» IL; pe- 
ro éfte (i6.)e^ igual á la quana parte de la fígvra : luego 
también lo es el redangulo de PQ^» EF« 

PROP. XVIIL Theorcma. 

tn la biftrbolOy (fig. 16.) cuyo diámetro es AB y y el centro C , jr 

kn quien oí , (l.) conn.el teüat^ulo ADBiol, reüa^guk .ATR, a(k 

el quadrado DU al quadrado ¥Gx fife hace como el reSan^ula 

ADB al rmjmo reüangulo ADB 9 mas el quadrado (^ , afst el 

efuadraU DE al quadeado DH i y afshmfmo yfife hace como el 

foSanguh AFB^ al mifmo reííangulo AEB y mas el i^nadrado d¡e 

CBy afst, el quadrado de ¥G al quadrado de B^ la linea CHlqua 

{ale dd centra ^ YfaffaHr dkbos puntos y es reBka ylafimft^ 

tas \y qiíamo mas fe alarga y mas fe acerca a la bifa- 

bola jfin^iamis pueda incurrir 

con ella. 

Dtmonff. Bor eitír la AB partida {K>r niedíp en C » y 
haveríele añadido la BD , es ( 6. z. Eucí. ) el re¿lan« 

gu- 



%J^6 TrAT. Vni. De 2. AS TRES &CCIOV. CoN*.: 

guio AD6 , mas d qoadrado CB , igual al iquadrado GD. 
Por la mifina razón el rectángulo AFB , mas^ d cuadrado 
CB y es igual al quadrado CF ; pero el cedangulo AüBf 
por conftruccion , es al redangulo ADB , mas el quadrado 
de CB , como el quadrado de DE , al quadrado de DH; 
luego el redangulo ADB , al quadrado de CD, es camo d 
quadrado de D£,al quadrado de DH : y de la mifína ítier- 
te ir infiere y que el rectángulo AFB , al quadrado de CP| 
cs^como el quadrado FG, al quadrado de FI ; pero (i.) al- 
ternando los términos , el reótangulo ADB, es al quadrado 
DE y como el redangulo AFB^al quadrado FG : luego ¿/ 

auadrado CD al quadrado DH , es como el quadrado CF 
quadrado Fl r luego también ierá (21. 6. EucK ) la *linei 
CD á DH, como CF á FI : luego CHí, es linea reéia; C4'^ 
£uclid.)y porque el quadrado de Fl^íiempre excede al qua- 
drado de FG , los puntos G , I , jamás podrán concurrin 
aunque el punto I , y los demás que inñnitamente íe pue- 
den continuar , íiempreíe irán acercando mas á la hipér- 
bola , por haver de fer liempre mayor la razón del quadra^ 
do de GF al quadrado de ED , que la del quadrado de IF 
al quadrado de HD,por íer la primera la mifma del redan- 
guio AFB al rectángulo ADB , y la fegunda la de los núG- 
mos redangulos , juntos con d quadrado de CB añadido i 
cada uno. 

PROP. XIX. Theorcma. 

Eif Umifins conftrucm» ( ji^-i6. ) W reüangdo HEL^es igUéU d 

reílAngulo IGN. 

PAra la demonftracion íe ha de advertir, áue (6.2,EucL) 
(i ^l quadrado de CD (e cuita el rea^ngulo ADB, 
queda el quadrado de Cl^y fi del quadrado de GF fe quita 
el redariígulo AFB , queda tatnbien el miftnp quadrado de 
CB, cotpo confta claramente de la demonífarí antee. Tam- 
bién por eftár la LH dividida por medío en D, y deí^ual- 
mente en E , íi del quadrado de DH (e quita el quadrado 
4e DE, queda el reétanguto HEL; (ji^4Eud):y'4iKtiiMfifiBr, 

• (i 



Libro I|L, ,- , yyr 

ü del quadrado de Pl fe quita él qúadr^do de FG , qiíeda 
el reOiangulp IGR Efto íupuefto, 

Demoryír. C 1 8» ) Como el quadnfdb de CD^al quadrad^ 
de CF , afii es el quadrádo cfif DH , al quadrado de FIyr 
también ( i .) como d iedangulo AÚd^ al redangulo AF¿« 
aísi es el quadrado de DE, ai iquadrádó de FG: lu^ í¡ del 
QUadrado de CD , fe quita q\ reótangulo ADB, y del qua- 
drado de CF íe quita el redangulo AFB , y del quadradd 
de DH el quadrado de DE, y del quadrado de Fí el qua-» 
drado de FG, los refiduo^ (eran también en la mifma razoa 
^roporcion^^Ies : luego Terá como el (]^uadrado deCB , al 
miímo quadrado de C^B; aísi d redangulo HEL, agredan- 
guio IGN; pero CB con CB, tiene íazon de igualdad: luc» 
go 4icbos rédañgulos íoíi iguales. 

, COROLARIO. 

DE aquí fe colige Ptr4 vez,^ que iGj es menor que HEiforque 
Rendo, los rectángulos HELy ÍGS iguales , tendrán ( 14. tf^ 
tu£. ) los lados recíprocos , ^ fera HE a IG, coma GN 4 CÍ ; pero 
¿N» es majwquf EL: luego H£ y es mayor quelG. 

PROP. XX. Theorema* 

Si par el vértice dt ía hipérbola paffa una tangente , cuya quadra^ 
_ isfo y¿4 igual Xla quarta parte de lafigUfayUs lineas tiradas 
« ■ aeí centro por fus extremidades feran afimpto- * 

SEa MN diámetro de la hipérbola-, cuyo centro es C: 
por. di vértice V pafle la tangente PV, cujfo quadr^adp^ 
6 el de V<X? ^^^ ^S^^ ^ 1^ quarta parte de la tigüxa;dlo e^ 
fea la quarta parte del redangulo hecho del cEdmctro de- 
tefrainado ¡s/iy , y del parámetro VL. Pígo, quie las lineas* 
GP, CQjíbn afirhptotas , que acercabdoíe fiempre á la hi- 
f)erbola, jarnos ]>oarán concurrir con día : fi fe dixcre que 
pueden concurrir, fta en qualquier panto G; tircíc'la apü-» 

cada' ^N, flüe íetá parálete áWv (70' ' 



II4S Trat.VIII. De las tres Sección. Con* 

Denmfir. MV a VL , es como cí quadrado ac MTV ,'ai 
rectángulo MVL; (i«6.£úc.) y fiéndo d quadrado de CVA 
la quarta parte del quadrado jde MV , y el quadrado de PV \ 
por (iipoíicioD^ la c^uarca parte del rea ángulo MVL ^ ierá 
MV i Vl, como el quadrado de CV, al quadrado de P V; 
p como el quadrado de CN^al quadrado de NG,(4^.Euc*) 
por'iuponene concurriría CP en G ; pero MV á VL , es 
(carol.i.z.) como'el'rcS^ijgulo MNV, al quadrado de JNG: 
luego la niifina razori'tiéncn él fediángulo MNV, y el qvia- 
dradó de CN,con el quadrado de Gn: luego el redangu/o 
MKVjjr el quadrado* dcXN feran Ízales, cootra la^of^ 
bb. %• hixcU luego la CP. , no puede jamás cóncurrii* con k 
hipérbola : k mas de eÚo ,f licmpre fe va acercando nías i 
cUa , porque las paralelas ZX , ON terminadas en la CO, 
crecen (2.6. Eud.) (égunrla raxon deCV á VP ; y las apli- 
cadas XT , NG crecen , (i.) fcgun la razón del re<3angu]« 
MXV, al reftangulo MNV^que es mayor. r^tW que la.fo- 
bredtóha, por componerfe de las razones de MX i*XV,y de 
MN a NV , que ion mayores que la de CV á VP lluego la, 
EiperVoía íe va continuamente acercando. *m.35.á iá CO^ 
fin poder jarnos concurrir con ella: luego la CPO^csífimp^ 
totas. 



> s > «. 



PRO5. XXL Thcoreim.. 

SUjüqmrdjangenté de.lá hiferbola coru entrambas áfimftoids^ 
j queda dividida fór mdig en el punto del contaSo^j el quon 

drado de fu mitady es igual a la quarta parte de 
.--, .,..., . UJkura. (fig^il») 

ir A lítiea VL . toca ,á la hipérbola en V , y del centro C 
J i íalen las áfímptpíás CX) , CK. Digo lo primero , que 
dicna tangente corta entrambas afímptotas. La razón es, 
porque ( coroL de la fropf 4. ) las paralelas á la tangente 
tiradas' dentro de la hipérbola la cortan por' entrambas 
pártes/jr^ambien al diámetro ; y por coníiguiente , oónti* 
kiuadas, cbrtan láí dos aiimptotas : luego lá tangente tam^ 
bien í^s corta. * ' 

Di- 



Libro III. - 20 

Digo k) íegando^ que el punco V del oootado corta la 
tangente en dos partes iguales VP, VQ^, y que fus quadra- 
dos (bn iguales i h qaacta parte de la tieura aporque ñ el 
qUadrado de VP, y lo tftifmo digo de VQ^ np fueUé igual 
á la quarta parte de la figura , ie podría alargar y b acortar 
de fuerte , que fu quadrado fuefle ig;ual i la quarta parte 
de la figura; y por lü extremidad (e tiraria una linea diftin- 
ta de la CO ^ que (lo.) feria cambien afímptotas ^ lo que 
es inatpofsible , como conlla de lo demonftrado acerca de 
eftas lineas : luego el quadrado de VP , y alsimifmo el de 
VQ^t es igual k la quarta parte de la ñgura; y dichas lineas 
fon emie sí iguales. Lo mifmo que fe ha dicho de la tan- 
líente PQ^i 1^ ha de entender de otra qualquiera tangente. 

COROLARIOS. 

DE áqui fe colige y que mnguna tangente de U hipérbola fue-- 
de pa¿ar por el centroy por cortar necesariamente las afimf-' 
totas en dos difiintos puntos , como fe ha demonfirado. 
* z Coliga fe también el modo de tirar una tangente a la hiperhih 
I A defdt un Punto P> dado en la afimptota. Dividafk ?C por me£a 
en L : tire/e la LVy paralela ¿ /4 CK , la qual cortari la hipérbola 
en V: tire fe la Pr,V feri tangente ; porque en el triamulo FCj^ 
(2*6. McL) es py jí VQ^ como PL a LQ pero efias fon iguale si 
íuego también lo fon PVy VQ^: luego PQjs tángeme* 



PROP. XXn. Problema* 

Hadas dos lineas que formen un ángulo y y dado un punto den$r$ 

ddmifuno angula y defirívir una hipérbola por el dicho pmto^ 

,€ejas afimptotas fean la,s lineas fobreéchas. 

SEan dadas Jas dos lineas AB , AC , que (orman el an» 
guio BAC, y íea dado el punto D , por el qual fe ha 
de delctivir. la hipérbola j cuyas ^mptocas han dé íer 
AB , AC* * 
•\ ^ ope^ 



X%<y Trat.VIII. Dfi i.A$ Titps SíccroN, Com . 

Oferáím. Tinefe la reda DA , v hag^fe DA^ Ap ínia- 
les ; y el punto A, fer^ d (entro de la hipérbola , y D& fu 

impero determinado» Tircíc la DF, paralela á AK, y 



diámetro determinado» Tíreíe la DF, paralela á AB, y 
gaofe AF» FC iguales ; y tireíe la CD6 , y (i*6«£u90 (ei^o 
lasBD^DC iguales ; hállele una tercera proporcional á ísks^ 
lineas AD , BC , y feaG , que (ervirá deparaoietro. Dado 
pues el diámetro £D , y el parámetro tí , fe defcrivirá fií— 
cilmente la hipérbola en elb forma. Hagafe DH, igual ^1 

SarametroG ; tircíc la EH larga á difcrécion ; v tircnfe las 
tC, que fe quifiere , paralelas á DH ; y entre cacfa DI, y ca- 
da Ik, hállele una media proporcional IL : y por los puiH 
tos Lj le deCcrivirá la hipérbola DLL, &c. y las AC , A&» 
feran fus aíimptotos* ' 

Demonfir. Por fer las IL medias proporcionales líntrc las» 
DI, IK, iérán fus qoadrados igualas á los redangulos DIK: 
luego {coroU 3 . frofof. i. ) los puntos L , L, forman la hipér- 
bola. También ppr feria BC media. proporcional.cntr^ el 
diámetro EJD^y.el parámetro DH, íeríí el cuadrado de BQ 
igual al reótaogulo dé ED, DH; y por coníiguiente, el qua- 
orado de DC, ferá la quarta parte del redangulo de£D,* 
PH, u de la figura; luego (20.) las A6, AC fon aíioiptQCas. 

PROP, XXin. Theprenia. 

Si del ceñir O Je tir4 un4 reÜA por el fumo del ,€ontañ^y itytmá 

todas Ui fáraUlaí % la tángeme en dos fortes iguales^ * 

y fera diámetro* (fig. i8, ) 

( • - • . » 

T Arcóla BC toca la hipérbola en él punto D. Digo, 

I y que la re¿la tirada del ceoirp A , por dicho punto P, 

dmde por medio en I , todas las HL, paralelas á BC} y jpor. 

coófiguicnte, que la reóta ADI es diámetro. Z^' 

Demonftr. Tiradas las afimptptas ÁM , ÁÓ , queda 
formado eftriangulo AMO ; y tirada la AI , forma con las 
paralelas todos 1q5 triángulos AMI y proporcionales cqn ^l 
triangulo ABD : { i. é¡ JEiic. ) y áísíniíGiip todos \qí AIOí 
proporcional^ .WO.mABC : Iqegp ferá AI icón lM,cpmó 
AD con DB ; y AI con lÓ , co*o"AÍ> ¿on Í)C; pero pgjr 
ferla&DB , ÚC ( ii. ) iguales , la miíma razón tieiie^ AD 

con 



Libro III. • lyr; 

con DB )^ue con DC : luego la mifma razón tiene tam- 
bién AI con iKl ,. que con lO : luego las IM , lO ion igua* 
les. Por lá mifma razón (bn iguales en el triangulo ENK,' 
las IN, IK : luego las medias proporcionales entre DI, IK, 
lerái> iguales á las medias proporcionales entre DI , IN, 

I que (X2,.) (bn las IL , IH : luego ellas lineas ion iguales ; y 

í por coñliguiente , ADi es diámetro. 

1 PROP. XXIV. Theoremat 

\ Si ttdiámtfo PFT ( jí¿. 19. ) mtá fw medio U R^, U tangmu 
^ QVy tirada per ti nrtice Vy fita paralela i 1^. 

í •■"^Fwtf/i/ír. Si no es paralela , tirefe la SZ, paralela i Oy: 
f M 3 luego (ij. ) quedará dividida por medio en O ; y- 
I como la SK fe fuponga dividida por medio en T, (era como 
SO á OZ , a(si ST á TR : luego (2.6.Euc.) la reda RZ fe- 
rá. paralela á OT , (iendo a(si , que ( coroL prt^. i. ) alarga* 
da concurre con la TOP , fuera de la feccion : luego la 
VQjio es paralela á SZ ^ (i a la RS. 

COROLARIO. 

SI la QVes tangente , v la US fu paralela ejia divididaM me^ 
dio en T y la relia VT [era diámetro', porque fi no lojuejfey h 
feria otra linea , cama Tn , 7 ¿/?4 ( de/. 3 . ) dividifia por medio la 
HSy en otro punto N : luego eparia dividida por medio en N y y en 
T 9 lo que es impofsibk* 

PROP. XXV. Theorema. 

QuMqiáer linea que corta a la hipérbola en dos puntos , corta en- 
trambas afimptotas i y los fegmentos de dicha iineay compre- 
hendidos entre la hipérbola , y las afimptotasy 
, fon iguales, (fig. 20.) 

LA reda AC corta la hipérbola en los puntos A , y C 
Digo, qtie prolonjgaoa , corta también entrambas 
aíimptotas DE , y de DF , y que los íegmentos A E, CF foa 
iguales. Dividafe AG por medio en o j.y tirefe del centro 

D 



15^ Trat. Vin. De las tres Sección. Con; 
D , la linea DG , que cortará la hipérbola en el panto- 2B 
por d qual hagaie la HBK, paralela a AC. 1 

Denmfir. (corol. antee.) La BG es diámetro y y la HKI cs\ 
tangente, (70'^ ^^al corta ( 21. ) entrambas aíiniptorasr- 
luego también las cortará {u paralela AC; y íiendo ( 21. 3 
las SH, BK jípales, también lo (eráo las GE, G'F; y quitan- 
do las G A, (jC, iguales, quedarán A£, CF iguales. 

PROP. XXVL Theorema. 

Sita tángernt de una de Us biferbolas ofuefids , fe U^ 
una paralela par el centro , efiafera el diámetro con- 
jugado del quepaffa por el contado. 

LA linea AG toca á la hipérbola inferior en A : hagár 
fe por el centro O, íu paralela OR« Digo, que OR es 
el diámetro conjugado de OA , que paiTa por el contaátoi 
tirefe qualquiera linea HF , paralela á AO, oue encuentre 
icon entrambas hipérbolas en H , F ; y de euos puntos ti-- 
renfe las aplicadas FN, HD. 

Vemonjtr. Las aplicadas FN , HD, fon paralelas, por eft3Lr 
aplicadas á un milmo diámetro; y como ND, FH, fe fupoa- 
gan íer paralelas , ferán NF, DH iguales ; y ( i. ) los rea:an- 
gulos AnE , EDA, ferán iguales ; y por coníiguiente ferán 
AD, EN iguales, como también ON , OD, y fus paralelas 
KF, RH: luego HF eftá dividida por medio en R. Lo mifmo 
demonftraré de qualquier otra paralela: luego OR es día* 
metro conjugado del dianietro AE, (egun la de fin. 11. 

PROP. XXVn. Theorema. 

Las afimptotds de las hipérbolas opueftarfon camones. ( J?¿. 22.) 

SEa EB uno de los diámetros de las hipérbolas opueílas» 
cuyo centro C. Digo, que las aíimptotas fon comunes 
á entrambas. 

Preparación. Tírenle por los puntos E, jr B, dos tangen- 
tes FBG, DEA, que ferán paralelas á las aplicadas: (def. 5. ) 
cortenfe las reáas EA, ED; BG, BF iguales : y fean tales, 

que 



Libro IIL 2$^ 

(u quadrado fea igual á la quarta parte de la figura, 
propia del diámetro £B ; y junteníe las redas CD ^ CA, 
CF, CG. 

Denumftr» Las lineas BG , DE , ion paralelas : luego los 
ángulos alternos DEC, GBC, fon iguales; y como Bu, DH 
lean por conftruccion iguales, como también BC, CE, (e* 
rán (4.i.EucL) los triángulos DCE, BCG, totalmente igua^ 
les : luego fus ángulos en C, fon iguales; y fiendo vertica* 
les opueltos , las imeas DC, CG, ion una linea reda; y por- 
que las lineas DE , AE, FB, BG, pueden la quarta parte de 
ia figura, ferán (zo.) las DG^FA afimptotas comunes 
¿L entrambas hipérbolas. 

PROP. XXVIII. Theorema. 

Si por los puntos en que las paralelas TF, Hl (fif. 2;. ) cortan 3 
U hipérbola pueftd dentro de fus afimptotas , Je tiran las ON, 
131, paralelas aGl;y las Pi^ BS , pataletas kGH afo- 
ran proporcionales RS a PÓj coma 
LM a ON. 

• 

D^monfir. (^50 Las TO , PV fon ijeuales , como tam- 
bién HL ,111 ; y los triángulos RSI , PQy fon femé- 
jantes y por tener fus lados paralelos , como también lo fon 
HML, TNO, aísi entre sí, como á los primeros : luego tie- 
nen los lados proporcionales , como RS i PGLi afsi LM | 
ON. 

PROP. XXK. Theoremíu 

,gi la lima LK (fig^ 24. ) corta la hipérbola , j de las ínter feo^ 

clones fe tiran RS^LMy paralelas a, las afimptotas GH^ 

GJtf feran los reSangulos LMGy RSG^ 

iguales^ 

D^monfír. ( 2 j. ) Las HL, RI fon iguales ; y los trian«t- 
losRSI, HML , fon femejantes : luego ferln RS, 
HM i SI , ML iguales. También por f^r íemejantes los 
triángulos ISR, iGH, ferá RS á HG, como ISf, o ML i 
CI; y dividiendo , fer^ como RS áMGsafsi MLáGS: 

lue~ 



254 ^^^'^* ym* ^^ ^^' i'R^s Sección. Ooi>^» 

luego el redangulo, ó paralelogramo equiángulo heeiio^ 
los extremos bS, GS , es igual al de los medios jMG^ ASL 

PROP. XXX. Theorema. 

Si'k una di las dfimftotas fe tiran Júsfaraklas^ lasjepmt» 
que hacen en la otra afimftetajon froparcianales 
cen las f áratelas. ( J^* 25. ) 

Tlreníe arbitrariamente las redas AB , CD^ paralé^ / 
la afimptota £F. Digo , que ion proporcionaksvD 
á AB , como BE á DE. Por los puntos C, y A , tireki 
linea CA , que cortará las afimptotas en I , y en F r tirafe 
también por A , y C, las lineas GH, AG, paralelas á ia om 
aíiraptota ED, y ferán (29.) los reótangulos AGEB, CDffi 
iguales : luego Ti 4. 6. EucL ) tendrán fus lados reciproco^ 
¿to es^CDá AB, como BE á ED. 



^< I 



PROP. XXXI. Theooma. 



Iñ U mfmA fufofiám , fift tíra la £C tferoH Bil , DC , BI 

tmMs pnfordtnalei. (pg.i^. ) 

Dtmn^. ( 30.) EsBA áCD, como DE I BE; pcn» 
como DE á BE , afsi es DC á BI: luego BA á CD, 
tacóme DCáBI. 

PROP. XXXn. Thcorema. 

Si Via afímpota AG ( fig. 26. ) fe tiran dos paralelas 9C, D!^ ;jf 

t^ el pinto Cy fe tira la AC¥ , bafia encontrar con la DE^ 

akrgada en F yferan las DE^ BC, DE conih 

nuas fropor dónales, 

TF\Enionftr^ ( 50. ) Son proporcionales DE á BC, comb 
' JL/ AB^áAD ;perb coma ABá AD, afsíes BC á Dfi 
(2. 6. EucL) luegocomoDEáBC^afstesBCáPF. 



PROP, 



- ' 

• Libro lU; - tf< 

- PROP. XXXÍII. Thcorema. 

^ai'und áfimftótA fe diviit en "partes ptofofáonales , j pr etUí 
fe tiran far alelas a la otra afimptota , hafta cortar U ' * 
hipérbola > efl^íi paralelas feran proporcio- 
nales, (fig. 26:) 

EN ir afimptota AD , fean proporciónales AH i A% 
como AB á AD; y por los puntos H^B, D, tircnftliaP. 
ta la hipicrbola las reatas HI,BC,DE. Digo, qtic las redas 
r>£, BC, HI, fon proporcionales. : - 

Dentonjtr. ( 50. ) AH-á AB, ts como BC a HI ; y como 
AB á AD , afsi es DE á BC; pero JH, jlB, AD^ fe fuponen pro- 
porcionales : luego tanábicn lo fon PE, BC, HI. - 

COROLARIOS. 
' 1 T As DE, HOy fon iguales , porque ("3 2,) DÉ, BC, DVyfh 
< I -j proporcionales ; pero las^ HOy BCy DF ifbHpop'orcionaletj 
(2. 6. £«(.) por ferio por fupoficion las AH. AS, AD : luego DÉ, 
HOy fon iguales. Afsimifmo DEy BC , HI , firi proporcionales; per o 
'(52.) también lo fon DÉ, BC, DF: /íie^tf Hí,jr DFy fon iguales. ' 
- 2 Por fuponerfe AHy AB, AD, proporcionales ,jfér HO , BC, 
I>F, paralelas y fon ( 2.6; Bíic. ) lasAOy ACy ATy támlámfrúpw- 
iimaUs. 

PROP. XXXIV; Theorema* 

t 'Si ft tiran algunas paralelas S una de las kjtmptotas , quejeán 
mttre si proporcionales , jr terminadas entre la otra afimptota \j U 
mperbolayji del centro fe tira una reña a la ultima d$ 
" etlas y fe confintidr^ una mi fina píápor^ 

(ion. (jig.270 

'■•■•• .. * 

LAs redas BA, D'C, FE, HG, fon proporcionales , y pa- 
ralelas á la alimptota MN ; y fe ha tirado la MG d^l 
centro áia ultima HG. Digo , (juieteA, De,íE,Hp, F|-, 
DK, BI, fon continuas proporcionales. — 

Demonftr. Por fef B A, D(J, EF,HG, cbntiriuas proporcio- 
nales , tasnbieti la^ MB ', MD , MF , MH , teírdíán-la mífma 

pro- 



2$6 Trat. Vm. De las tres Sección. Cont» 
proporción , aunque con orden inverfo ; efto es , Car^ caí 
moTE áHG, afsiHMá FM; ( 30.) pero como HM á Bi 
aisi es HG á FL, ( 2.6.Eucl. ) y como FM á DM ; afsi FLi 
JX^ &c. luc£0 le continua la miíma proporción ea l^s. 
neas fobredicnas« 

PROP. XXXV. Theorema. 

Sifttprán álgimds fárdelas 1l una di las afiímftHas y f/Í0^ 

fnífi si pQfmumaUs ^y terminadas entre la otra afimft^^Í0 

htftrbela ; y dü centro fe tira una reüa a ¡a frimerá 

de ellas j fe continuara una mi jiña pro- 

prcion. (fig. 28.) 

SEan las lineas HG^ F£ , DC , Bi! , proporcionales ^ y pan- 
lelas á la otra afimptota AÍN : tirefe del centro M , la 
MA prolongada; y continúenle las paralelas halla eiia lineau 
Digo , que ie continúa la tnifma proporción en las liness 
enteras ; eíto es , que f9n proporcionales HG^tEy DC ^ BA9 

Demonftr. C}^* ) ^^^^ esDCiBA^ como MB a MD ; pero 
coo)0 MB á MD , aísi es BA á DL : luego como £>C á B^ 
«fsi es Bit á DL ; y alsi de l«s demás : luego fe continua U 
miíma proporción en la forma dicha. 



D 



COROLARIO. 

E aqiá fififfH y quefife hacen pof mimóles MS^MD^MF^ 
&(. las paralelas HGy FE, DCy&c. feran frofarMnaleu 

PROP. XXXVI. Theorema. 



Si i entrambas afimptotas fe tiran dos paralelas fn^áanaks^ 
Ttfultarm dos quadrilateros iguales, (pg. 29. ) 

LAs AG y Bl fon paralelas -a la afimptota ED ; y las 
£C, FB ion paralelas a la aíimptota DG y y ion pro- 
Ercionales AG á BI , como £C á FB • Digo , que tiradas 
CB, AB> el quadrilatero ACBX>es igual al quadrílate* 



Libro III. . . 15,^ 

ro EC6F : continueníe las IB^ FB, y períicioaenfe los pan- 
lelogramos HF, MI; 

Demmfir. AG á BI , es como EC á FB ; y íiendo ( xo. y 
como AG á BI, afsi DI á DG ; y ccímo £C á FB , ;aist DF 
I DE, ferá DI á DG, como DF á DE : luego el redaog^lo 
DB| ai reóUnguIo DM, es como el mifn^o redangulo DB». 
al redangulo DH ; lufigo los re&angulos DM , DH , iba. 
iguales. También por íer AG á IB, ó GM, como EC 4 EB^; 
ó EH; ferá también G A á GM, como EC á EH; y conipo- 
niendo, ferá GM-i AM; como CH i CH ; pcao como GM' 
á AM, afii es ^\ reétangulo MI , al reftangulo AMB : y co- . 
mo EH á CH, afsi es ci re¿*aogulo EB, al rea;aogulo CHB? 
luego el redaogulo AMB, es igual al re¿langulo CHB: lúe* 
go ios triángulos AMB, CHB, que fon la mitad de dichos 

f)araIelogramos, fon iguales ; luego quitados de los parale- 
ogramos iguales MI,^1F, los quadrilateros reiiduos AGBI^ 
ECBF, fon iguales, * ' .j. ', 

PROR XXXVn- Thcorcmi, 

Tir4Í4 lá CO^iifyiZfi ). paralela a la dfimftoía ID.^ feia H 
feílUin€0 AGJBy igual akuStiUiuo CBIO» 
' « ' . ' » . ' , . * • j 

DEmanftr. Por fuponerfe AG a BI,>^como EC á I:B ^ et. 
(30.) DI á DG , como DF , ó BI fu igual á,DE , d. 
OC fu igual : (bn pues proporcionales DI á E>G,como BI i 
OCjpero como DI á DG,aísi es (50.) AG ^ BI: luego AG 
á BI ^ es como BI á CO: luego componiendc^AG,ii)asMG£ 
^ BI ,es ixmo BI , mas CCf a CO ; luego dividiendo,feri^ 
BI> menos AG ; efto es , MA , ó CH, Iti igual á BI, como* 
CO menos BI ; eíto es , como HB , ó fu igual MB á CO; 
con que fon prQporcioníiles CH á BI, como BM á CO: lue- 
go el «-e¿tangulo HO, hecho.de los extremos, es igual al 
i;edanguk> MI, l;iechp de los medios; V ^ui^ayndo d< dicho»:, 
redangulos iguales los triángulos isuaíes CBH, AMB9 que* 
darán los quadrilateros AGlB ^ COIB iguales., 



^ A * • ^ • « 






n 



^8^ Trat.VIII-De las tkbs Sección. Con« 

• ■ • 

COROLARIO. '' 

Lomftm qi^ fi ha demánpada de los quádrílaterms JKÉ 
CBíOj f^ fir froforcionaUs Us Imás AG^tl ^CX^^fim 
mmfiráríí ái otros quáUfqmera quadriUteros , formadas iMf¿ 
nUeUf i una afimftoUy mmtras ftán fr^portmales ^ efi$ cs,ff 
^dos firsn iffulis* 

PROP. XXXVni. Thwrcma. 

Bl fik^cf de todos los triángulos que fe piden mfcrivir em)j^ 
ferboUj es el que tiene ten ella un mifine vertke ,J es 
majior que la mitad de la tí^erbola. 
(fig.iO.) 

SEa la hipérbola MUN terminada con la reda JMN ; k 
vértice es V ; y el diámetro es VO. Digo , que d i 
thanjgulo MVN , es el mayor de todos los que k pueden I 
inícrivir en dicha hipérbola. Por V tircíe la PVR , para- 
lela á MN , y íerá tangente de la hipérbola eo U: luego «1 
triangulo que tiene el vértice en.v , ftrá mayor que otro 
qualquiera inícrito ~ en la hipérbola ibbre la mifma bafí 
MN : porque ningi!tK> de éftos llegará á la tangente > y pqr 
coníiguiente tendrán todos menor altuf a. 

Ihgo también , que dicho triangulo MVN , es mayor 
que la mitad de la hipérbola , porque ( 41. i; EucL ) es b 
mitad del paralelogramo MR ; y como étte fea claramente 
mayor aue la hipérbola > ferá dicho triangulo mayor qwb 
mitad de la hipérbola, 

Plfop. XXXK. Problema. , 

A en la bíperMafe inferné el trianguh máximo ,ylos trw^ 
; Us nsaxifues mfmtos y en losJeimenmrefíhi»s fm 

,: igudes^{^.iuy , .. 

EL triangulo ABC y fea el máximo que íe puede inícri- 
vir en la hipérbola , cuyo centro fea D ; y la DB£ 
parta por medio la AC : dividaoíe por medio los lados 



Libio IIL - ^ lj9 

Sja ^ BC en F , y G ; tircnfc los diámetros DMG , DHF. 
^o, c|ue Jos triángulos AUB,BMC,que (38.) fon lus ma- 
kos que íe pueden inícrívir en aquellos íegmentos refi- 
¿luos 9 fon iguales. j ' 

Breparacíon. Tireíepor H la aplicada HM^ queque* 
ciarSk dividida por medio en L : tireíe también la FG , que 
íerá paralela i AC , y quedará dividida por nmiio en Nt 
cambien tirando la HI de la una interíeccioo á la otra» íeri 
también paralela á FG , y quedará dividida por medio co 
L , como la HM : luego HI ^ y HM fon una mifma linea» 

Detnonftr. Por fer FG ^ HM paralelas, es ( 2.6jEucl. ) GM 

3l MD, como FH á HD : también por fer NF, NG iguales» 

ion los triángulos DNF , DNG iguales , como también 

FBTSÍ , NBG : luego los reftantes FBD, GBD fon iguales; j 

como el triangulo FBH al triangulo HBD, (ea como HF i 

HD; efto es, como GM a MD , fegun lo díicho arriba; (eri 

GBM á MBD, como FBH, áHBD; y Componiendo, FBD 

á FBH, como GBD á GBM; y íiendo el pnmen), y tercero 

iguales , también 1^ ferán el íegundo , y quarto ; efto es, 

FBH , y GBM : luego fus duplos AHB , BMC fon tambiea 

iguales* . 

PROP. XI- Theorenw. 

Lds ün€ás quB juntan dos par dietas en la bipei^U , cWi» d$$ 

fermentos , cups trimgubs máximos fin 

igmes. (fig. ^lé) 

LAs lineas AB , CD , juntan en la hi{>erbo}a las do^ pa« 
ralelas-AD, BC; Digo-, que los triángulos máximos 
de ios fegmentos AB , Cl5 ion iguales. 

iPrefaraom. Divídale AD por medio en K ; y del cen^ 
tro E tireíe el diámetro £K , que cortará por medio la pa^ 
^' raída BC ; partanfe por medio las AB, CD en F, y G; y t¿* 
rcfe la FG: tirfenfe los diámetros EHF , EIG ; y la ordena- 
da HM , que como fe demonftró en la prop. anteced. ven-^ 
éú a! puntó I ; y ferá HI -paralela á AD; y por configuien* 
te á FG; y (i.á.Euc*) fetó Gla lE, como m á H£: tiren^ 
felasBN,OÍ,BE,CE- 

Ffi De-- 



aáó Trat.VIII. De las tres Sección. Co>r. 
Demmfir. Por ier BC , AD paralelas y y eftár Isls 
DC divididaspor medio en F , y G , kvin tG , AX> 
lelas ; y la FG eftará también dividida por medio > < 
fus paralelas BC, AD: luego los triai^ulos FBN, NTCG &m^ 
imaies, como también BNL, CNL, y BEL» CEI^ouitada 
mos triángulos de los iguaks F£N , GEN , reftai^an igoi- 
les los triángulos FEB , GEC ; y por fer HI paralela a FG, 
ferá comoGlá lE, afsi FH á HE; y tiradas las. BH, dü 
demonftrará cbmo antes, que los triángulos HHB, ÚC/bs 
íraales ; y por contíguíente los reíiduos FHB ^ GlC'.^tfgi^ 
lus duplos AHB , ulC ion iguales. 

PROP. XLI. Theorcma. 

fSi di ks extremos de las afUcéuUsJe tiran reSas al vértice , k 

fegnentoi convexos que refultan , fin iguales ijfiforlos rmfnm 

extremos , y vértice fe tiran paralelas 4i una aftmftotd , ks 

fermentos cóncavos que refultan , fin tam* 

* bien iguales. (^^.55.) 

Ea HM el diámetro, y fu aplicada NI , de cuyos extr^- 
^ mos al vcrti¿e V corran las NV, IV. Digo lo primero, 
que los fegmentos convexos NOV , IPV fon iguales. 

Demonjir. Divididas NV , IV por medio en R,S,y ti- 
rados Im dúimetros HR, HS, y tiradas las reatas NO , OV, 
IP , PV , refultan (59.) entrambos triángulos iguales. Afti- 
mifino , li fe formallen otros td^gulos ibbre NO , PI , fe- 
rian también iguales ; y afsi infinitamente en los íegmeo- 
to& reíiduos ; y tantos ie formarán en la una parte cptao en 
la otra» «Lkv^idofe pues. (5^.) cada uno. oe ellos triaiv 

Sulos m%s de la mitaa del fegmento en que^ fe jnfcríve,ve&f 
rán á degenerar en Ips «íegmentos parabólicos , de uí ma- 
nera , que lo qu(& fobrare {era ícenos que qualqviierá canti- 
dad afssgnabjle ^ como demonttré al princimo del /i^* 8. de 
la Geemet. Element. que es el 12» de EucL luego tíendo ca- 
da triangulo de un fegmento igual al otro fu correfpondieii* 
te. en el otro fegmento , lerán dichos fegmentos iguales, 
^Pori fina antes de la pfofofi. lib. 12. Eudid.) 

Por lo^ puntos N, V, I tirenfe tres paralelas já la afimp- 

to- 



s 



■-1 



Libro IIL z6t 

tota, que íbnNQ^ VT, IL. Digoloiegundo,quelosíeg- 
mentos cóncavos IPVTL y NO VTQJon .'iguales. 

Dentonflu Como fe dcmonftró en la fropof 37. las tres 
Jineas IL , VT , NQ^fon proporcionales : lue^o ( j^l. ) los 
reótilineos ILTÜ, NVTQjTon iguales : luego íi de eftosfe 
quitan los legmen tos convexos Sobredichos que íe han pro- 
bado iguales , reftarán los íegmentos cóncavos ILTY« 
NVTC^iguales. 

PROP. XLU. Theorema. 

Si una afimprna fe divide en fortes popwcumales y y par los pun- 

tos dtvidentes fe tiran paralelas a la otra afimptota , efias 

feran proporcionales^ y los efpacios comprehindí'- 

dos entre ellas , feran iguales. 

Dlvidafe la afimptota AC en partes proporciónale^ 
elto es , fta AG á AH , como AH a AI : y cómo 
AH a AI, afsi AI á AO , &c. y tirenfe las GD, HE,&c. 
paralelas i la otra afimptota AL. Digo , que las GD , HE, 
&c. Ion geométricamente proporcionales ;í y los Tegmen- 
tos cóncavos CM , ON , &c. ion iguales. 

Dernónjh. Por fór AG , AH , Al , continuas proporcio- 
nales, fon C5 jO^^s ^P 5 ^^ 5 IN > &^* proporcionales; y 
(41.) los fegmentos cóncavos CM , ON , &c. fon igualen. 
£fi:a es la propiedad admirable de la hipérbola , que 
demonftrd el infigne Geómetra el P. Gregorio de San Vi- 
cente , de la Compañia de Jefiís , en que le ve que las pa- 
ralelas CF, OM,&c.dan los números que crecen en pro- 
Íjreísion Geométrica ; y los eípacios cóncavos -que forman 
on iguales ; y por configuiente dan los logaf itbmos cor- 
refpondientes i cada linea ; efto es , el efpacio CM es lo- 
garithmo de CF : el efpacio CN , es logaritbmo d/e OM: 
CE , de IN , ^c. por proceder eltos efpacios en progrcC- 
fion Arithmetica. 



PROP. 



a5a TiíAT. yiIL De las tkes Seccio^. Con«^- 

PROP.XLIIL Problema. 
HédUr lás áfimfftás de um UfnMa. ( ji^. 35. ) 

Ofetáámh HaUefe ( i;0 qualquiera diámetro ABdeb 
hipérbola; y fu centro C^ : hállale también (ji.)fup^ 
rametro BD : hallefe una media proporcional cnircdai^ 
metro AB, y el parámetro BD; y ferá 6£, que íedinücra 
por medio en F :*y haciendo BG igual á BF , fe tiran&dt/ 
centro C las CG > CF , y éftas ferán las aíimptotas. 

THmmfif. El quadrado de BF y es la quarta parte ii& 
quadrado de BE , por eftar BE partida por medio en F:^ 
como BE (ea medta proporcional entre el diámetro AÚ^ 

£el parámetro BD , íera fu quadrado igual al rectangolo 
echo de AB, BD , que íe llama ñgwrO' : lu^o el quadrado 
de BF es igual á la quarta parte de la pgurA : luego (^o.) U 
CF) como también Jb CG , íbn ^mptotas. 

PROP. XllV. Problema. 

VdUt los focñs de la hiferbola. ( fig. 36.) 

OVifdcm. Hallefe ( 10. ) el exe de la hipérbola , y fea 
AV : hallefe también el ( 2. ) parámetro VP en la 
tangente VP perpendicular al exe. Hagafe VE media 
proporcional entre AU , VP , que fe partirá por medio en 
r ; y haciendo centro en C , que lo es de la parábola , con 
la dilhncia CF ddcrivafeel femicirculo LFH :y los puntos 
L, H íerán lósíbcos de entrambas hipérbolas opuéftas. 

D0m$pífir. El quadrado de VF , como demonttré en la 
prop. paílada , es igual á la quaru parte de h figura ; y por 
comkuiente la CFO es aíimptota ; pero la CL es igual a la 
CF : Juego el punto L dilta del centro C quanto es la CF, 
porción de la afimptota comprehendida entre dicho cen- 
tro , y la tangente VE : luego (defin. 16. >el pumo L es el 
íbcus; y afsimifmo loes enJa hipérbola opueíla el H , por 
la mifma razón. 

PROP. 



LiBHo III. 't6^ 

mOP, XLV. Problema.. 

I>Add. U fmm de üamttro^ que ba de uer d^m de U . 

hiperboU > y una aplicada, defmyk U 
l^rhda* {pg. 37.) 

S£a AB d diámetro dado para dentrd^de la hiperbola^y 
Ja aplicada BD ; y la razón del diámetro detecminado 
con el paramet;ro • dada^ 6 elegida, íea Ixi^ue hav de K á S. 
Operación» Hallefe una tercera proporcional a las xeéiías 
AB, BD, y íea BC : conque el quadrado de BD, íerá igual 
al re<9;angulo ABC: hágale aora como S á R; alsi BC a b£: 
y tireíc la EC : lirefe por el vértice A la AL ; y por quaU 
quiera punto la FH , entrambas paralelas á la ÉC : íea FK 
media proporcional entre AF, FH ; y el punto K, pertene- 
cerá á la periferia de la hipefbola,(22,) cuyo vértice es A, 
el íemidiametro iJejteraiinado es AE \ y el^jarametro AL. 
De la miímaXuerte fe hallarán quantos punto^ íe quiíieren; 
y guiando por ellos una linea curva, quedara deícrita la 
hipérbola. 

PROiP. XLVL Problema* 

> ' . . 

Defirivir una hiperbtU al rededor de ün niattíid$ dadt, 

' t 

SEa dado^ el triangulo NÜO , á quien íe ba de cír- 
cunícrivir una hipérbola, operación. Dividaíe la 
bala NO por medio en T. Tireíe TV larga á difcrecion; 
y tirefc MO : tireíc qualquiera PQS , paralela á TO ; y 
naeaíe PR media proporcional entre PQ , PS : conque 
fcrá el cpaadcado de PR , igual al rectángulo QfS. Digo, 
que los puntos N, V , R , O , eílán en la periferia de la hi- 
pérbola. 

Demnftr. ( i.<5.Eucl.) La razón de TO i PS, es la mií^ 
manque de TM á PM ; y la razón de TO á PQ^ es la miíl 
ma que de TV á PV ; y la razón del quadrado de TO , al 
refiangulo QPS , íe compone de la razón de TO á PS , y 

de 



L. 



•26^ Trat, VIII. Di lAs TRBs Sección. Cok. 

de la razón de TO i PQj luego le compone de la razo» c 
TM i PM , jf de la razón de TV il PV ; pero cftas mita 
dos razones Ion las que componen U razón del roftangí 
MTV , al rcítangulo MPV : lu^o los quadrados de ICi ^ 
PR , tienen la mifina razón que los redangulos AfTV^ 
MPV : luego (i.) tioxlo MV el diámetro determinare^ fi- 
rin TO, PR las aplicadas : luego los puntos N, V, R, Q 
cftáh en la hipérbola. 

Orr<u fraSitAs háüáik ti twruf» en el P. OregmiífSr- 
tm'u t ji en el F.Mlmi f€rtbAjÍ4»l4íqiufebMUi<p 




TRA^ 



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26$ 









LAXADO IX. 

DÉLA 

íAQINARIA, 

Ara mover , y levantar los cuerpos gra- 
ves con igual , ó mayor potencia que fu 
peíb ,^no fe necefsita de algún arte : íin 
ella derriba el viento qualquier fabrica, 
quando la vehemencia de fus foplos íii- 
pera la refillencia de los muros ; pero la 
fuerza menor, jamás podrá vencer pelos 
ávos fin el íocorro del arte. Armafe étta en favor 
^con las valientes maquinas que fabrica ; y logra 
ícliz ííi defempeno , que privando á las fuerzas de 
i* ituraleza de el titulo gloriofo de infuperables , Ue« 
>or timbre la refolucion de el Problema t Data quan- 
Hfft exigua fotentia y quantumlibet paye mover e pndus» 
1 infpiro al ingenioíb Archimedes la ofladia para afir- 
r al Rey Heron , moverla el gran pefo de toda la tier- 
fi pudieífe firmar Riera de ella fus ¡plantas : Da ubi con- 
^y terramque movébo. Y afsi como la villa mas canfada 
iguala con la mas perípicaz , afsiftidade proporciona- 
>s anteojos ; y la que apenas podia ver con diítincion los 
^getos cercanos , llega a defcubrir con claridad los Celef. 
-Sj aplicada á los largomiras, afsi la mas débil pptcncia , fi 
w aplica á las maquinas , alcanza robuílez fuperior á la re- 
litencia de crecidifsimos pefos. 
£1 arte pues que diípone el maravillofo artificio de 
' cftas 



^ 



%66 Trat. IX. De la Maquinaria. 
ellas maquinas , fe llama comunmente Hechanicá , que cs 
lo mifíno y feguQ fu deñvacion del Griego , que Invmm 
ingenhfa ; y éíta es la caufa porqué fus maquinas fe llamaa 
Ingenios , y fus Arquitedos, ingenieros , ó ¡ngemarios* Yo te j 
doy el nombre de Maquinaria , para que le tenga diferente j 
del que en nueftro vulgar idioma tienen las Artes, que no 
fon liberales ; y aísi digo , que la Maquinaría , es un Arti 
fue enfeñd lafakUa de* taüs Maquinas , que fueda fon dUs 
qualqmerajuerx»a levantar , j mover qualauiera pefi. 

Son éítas ínumerables , pues además ae haver dimanado 
de elle Arte prodigioío toaos los inftrumentos de que ufan 
vulgarmente los Artiíices ; además de ajulhrfe a fus reglas 
el orden de los hueíIbs,mu(culos,y nervios de nueftro cuer- 
po, que nos firven para tan varios movimientos, como no- 
tó Galeno lib. I. de Placit. Hifocr. & Plat. fon caíi íin nu- 
mero las maquinas , que para efedos raros , y eftupendos 
inventaron los antiguos, y perficionaron los modernos con 
admiración del orbe ; como las celebres eftátuas de Mem- 
non y la esfera de Archimedes , la paloma artiticiofa de 
Architas , el pancracio de Simón Stevino , y otras muchas; 
pero todas éftas ft originan de las cinco principales, y fun* 
damentales, de que trata Ariftoteles en el libro de las queí- 
tiones mechanicas ; (fi acafo es fuyo) y fon la VeSis , BarrOf 
o ?alanca\ Axis in ferimchio , el Argüe , i £xr en la rueda , 9 
Torno; Trocblea , i Garrucha ; Cuneus , o CuBa ; j Cochlea , q^ 
es la P^ojca. Llamanfe ftmdamentales , porque la virtud , . JT 
fuerza ae las demás , toda coníiíte en la coiiipoíicion artin^ 
cioía de las Maquinas fobredichas. 






U-: 



t 

« 



»*7, 

i 

LIBRO I. 

DE LOS PRINCIPIOS DÉLA 

Maquinaria , y razón Phyfico-Mathema-- 
tica del aumento de la potencia por 

las Maquinas. 



DEFINICIONES. 

t 

Verpd grave , o pe fado , es el que fe mueve , i tiene. 
pTúpenJion aúa el centro de la tierra, 

2. Gravedadyi pefoy es la virtud que tiene un cuerpq 
fefado^ para mover fe hita el cenfro de la tierra. 
3 MnmentQ de un cuerpo grave , es la propenfion que tiene 
faro, maverfr azia baxo , originada nofolo de fu gravedad , pe-- 





largo de la romana ; lo que 
proviene no folo del pefo intrinleco , í¡ de fu colocación, 
y difpoíicion de la maquina : y ello es lo que llamamos 
Igual , mayor , ó menor momento, 

. 4 Centro de ía gravedad de un cuerpo ffave , es un punto 
dentro , o fuera de dicho cuerpo , taly quefi de el fe fufpende^ o fe 
concibe fufpenfo el cuerpo grave , confervara fiempre una mifma 
fituacion^y equilibrio de fus partes. De todo lo dicho fe tra- 
tará por extenfo en la Eftatica. 

. 5 Fefos iguales fon los que pueftos en las bManz^as de brazM 
iguales y pe fon igualmente^ fin baxar mas el uno. que el otro : co« 
mo xy« libras de plata , y lo. libras de plomo. 

6. Pe- 



a68 Trat. IX. De la Machinaría. 

6 Vtfos equilibresy o pueftos en iquilibrw , fon los quefuffefh 
fas en el bafiü de una roman4 » en igual , o dejigual dtfianáa dd 
exe y fe fien igualmente ^ fin baxar mas el uno que el otra , ora fean 
dichos pefos iguales j o defiguálcs. Afsi vemos, qué el plomo, 
que pela una arroba « hace equilibrio , y equipondera al 
peló de muchas arroban , fí íe fufpepde á mayor diltancia 
del exe. • * 

7 Uovimkntof males fitn los que en igual tiempo canünán 
effacios iguales. Defiguales , los que en igual tiempo cétminan ef- 
jacios defiguaUs. 

8 Vn movimiento es mas veloz, que otro , fi en igi{ál tiempo 
camina major efpacio ; j menos veloz, , o mas tardo y fi en igual 
tiempo camina menor efpacio^ 

9 Potencia motriz,^ es el cuerpo que puede mover á otro, 
y es en dos maneras , ó animada , como un viviente , ó m- 
animada^ como piedra , ó plomo.. 

10 Linea de dirección de un cuerpo , h de una potenáa , es^ 
aquella linea reda, por la qual dirige fu movimiento: efta, 
en los cuerpos graves , es la que va del centro de la grave- 
dad de dicho cuerpo al centro de la tierra ; pero en las po- 
tencias animadas, las lineas de dirección pueden 1er diferen-* 
tes. 

PROP. I. Theorema. 



c 



'Bxflkaft en quie ionfifta el punto de la dificultad , de dumen* 
tétrfe las fiierz*as de una potencia por las 

Maquinas* 

Onfta por la experiencia , que la potencia , cuyas fuer- 
,^ ^^ zas eran prectfamente baííantes para vencer la re- 
íiítencia ae loo. libras de pelo , (i fe aplica á qualquiera . 
de las maquinas , que hemos de explicar en efte tratado, 
lle^a á poder levanur peíp de mil , dos mil libras , &c. y 
dsi iodefínidamente. Es pues el aflumpto de efte priin^i^ 
libro , hallar la razón phyíica , y el real , y verdadero prin- 
cipio de tan admirable eíe3x> de la naturaleza , que fabí- 
do, fervirá de fundamento para todo lo que fe ha de tratar. 
Y fupucftoi que caíi todos ios Autores reducen las maqiii' 



\ 
I 



Libro I. 169 

ñas I una , como raíz de las deoiás , que es el pe(b que co- 
munmente llamamos RatMna: baltará por aora explicar 
en ella el punto de la dificultad preíente. Digo pues , que 
CQmp caaa dia fe experimenta , fi dos peíbs iguales A, y B, 
por exemplo, cada uno de quatro libras, (fig.i.){t ponen 
en los puntos G , y D, en igual diftancia del exe C ; ello es, 
que las lineas CG, CD, fean iguales , eftarán en equilibrio, 
im vencer el uno al otro ; pero íi el peíb B , fe aparta algo 
mas del puiíto Q de fuerte , que la Cu (ea mayor que CG, 
vencerá al. peíb A, y le levantará. Y efto es de tal mane* 
ra , que (i Ío que le ialta á un pefo menor para igualar con 
el mayor , fe fuple , dándole mayor diftancia del exe en la 
mifma proporción , (eran iguales las fuerzas del menor con 



_ ^ w^ ^^^ — ^^ -^^ — — , I — I — _, — - — 

como el pefo A , y eftarán entrambos en equilibrio ; y íi fe 
apartarife mas del exe C , preponderaria al pefo A. 

Donde fe vé claramente y^ut quanao las diftancias 
ion reciprocas con los peíbs , hay igualdad de fuerzas , y 
equilibrio , y el peíb menor puede tanto., como el mayor; 
como porque íiendo el pefo A, doblado de F , y la diftaU' 
cia EC, es doblada de GC ^ puede tanto elpeíb menor F, 
como el mavor A : y íi la diftancia CE , fueíFe mas que 
doblada de la GC , preponderaría el peíb meíior F , al ma- 
yor A. Coníifte pues la dificultad preíente en feñalar la 
caufa phyfica , y real , porqué el menor peíb F , puefto 
en mayor diftancia del exe , puede tanto , o mas que el 
pefo mayor A. 

«. Varios ion los diícurfos que han hecho los Autores 
para explicar efta dificultad , verdaderamente una de las 
mayores de la Philoíbphia , y en que fe necefsita en gran 
manera del íbcorro de la Mathematica , para diícurrir con 
acierto* No me detendré en impugnar íus lentencias: 
contentaréme conexpUcar mi fentir , que con pocas pala- 
bras iníinüa el Autor de la Philofophíia Vetus, & Súva^ en el 
tmo 1. lib. 2. ttat. de la Metáfhjf. diff. 5. qudft. 4. y el P. 
Niilliet en el lib. i. de U Muam^a ,, ff0p% 17. fu explica- 
don fe contiene en las propoficion^s figuientes. 

PROP. 



270 Trat. IX. Dfi I A Maquinaria» 

PROP. n. Theorcma. 

L9S mmmientús fin como los efpacwsy que <m eUús fi wrtm 

€n un mfmú tiiwfp. 

LA razón es clara , porque moviendoíe un cuerpo fiem- 
pre con el miímo movimiento , (i en un minuto cont 
lo. varas de eípacio , en otro minuto correrá otras lo. va- 
ras con el mifmo movimiento: luego íi el movimiento que 
tiene en el fegundo minuto y eftuviefle también en el prime- 
ro, en un minuto con movimiento doblado correría 20. va- 
ras : luego con doblado movimiento en un milmo tiempo 
le corre doblado efpacio; y íi fuere trefdoble el tnovimieo- 
to , también lo íiiera el eípacio: luego los movimientos fon 
como los eípacios que fe corren en un miímo tiempo. Tam- 
bién los efedos guardan la mifma proporción que fus cau- 
las : luego doblado movimiento llevará por doblado efpa* 
cío á un cuerpo en el mifmo tiempo. 

PROP. m. Thcoremat 

Vn €uerf0 mueve i otro medunte fu movimiento* 

COnfta de la experiencia 3, y es la razón , porque paiv 
que un cuerpo mueva á otro , y le faque del lug^t 
donde le halla , ha meneíter impelerle , encontrando con ¿i 
mediata , ó inmediatamente , como lo vemos en una bola, 
que para mover una otra, que eílá quieta , es mencfter cor- 
ra haílá encontrar con ella , lo qual es movimiento : lueg9 
Un cuerpo mueve á otro con fu movimiento. 

PROP. IV. Theorema. 

Vn $uerfo né-futie comumar a otro mas movimiento del 

que en si tiene. 

LA razón es , porque un cuerpo mueve á otro con ft 
propio mavuoiento 9 (egun és fo movimiento ^ aísi ^ 



L I B n o L 271 

el unpetiK{ue lleva ; y í^un efte ímpetu , aísi es el impulíb 
que imprime en el cuerpo movido ; y íegun es elle impulíb 
que cauía el movimiento ^ aísi es el movimiento: luego ie^ 
gun es el moi^iento del cuerpo que mueve, aísi, y no 
nías , ferá el del movido : luego éfte no puede íer mayor 
que el del cuerpo movente* 

PROP. V. Theoreouu 

TMhto nummUnu hay en un tutrf9 que fe muve fmr tffaáo Jk 

io« f almos y como en dos cuerfos iguales de for si con el 

f rimero y queenelrmfinotiempofemueyen 

cada uno por ejfacio de cima 

famosm 

Supongamos , que hay tres cuerpos iguales, cada uno 
oe una libra de peíb ; y que en efpacio de un minuto 
tegundo fe mueva uno de ellos , que nombraremos A , pof 
efpacio' de io« palmos ; y los otros dos en eíTe mifíno tiem-> 
po íelmuevan cada uno por dpacio de cinco palmos. Digo, 
<iue el primero tiene tanto movimiento , como los dos 
juntos. 

Demonjir, ( t.)Los movimientos ion como los efpacios 
andados en el mtfmo tiempo. £1 eíbacio andado por el 
cuerpo A , es igual al que andan los clos juntos en el mif- 
mo tiempo , porque el cuerpo A, camina diez palmos en el 
mifmo tiempo en que los otros dos caminan cada uno cin* 
co, que juntos, hacen io« palftios: luego el movimiento de 
A, es igual al de los otros dos. También el movimiento del 
cuerpo A , es doblado del movimiento que lleva cada uno 
de los otros dos : luego es igual al que tienen entrambos 
juntos. 

COROLAR^IO. 

UN' cuerpo de una libra de ufo ^ que en un tmuuto fegundé 
fi mueve por efpacio (prva de exemplo ) de 10. varas^ 
tiene igual movimiento con un cuerpo de pe fo de dos libras , que en 
el mifmo tiempo Je mueve por cinco varas: confia de lo dicbo^ 
forque fi dicho cuerpo de dos libras de pefo eftuviera dividido en 
dos partes cada una de unaHk^^y entrambas ¡i movieran iun 

mif- 



17^ Trat. IX. Db la Maquinaria. 
tmfmo tiempo par effoáo décimo váras^ el que es de mu Uta áá 
feji j movieniofe per eípaáo 4e lo. varju y tendrid igual nmh 
memo al de los dos foíredicbos: luego lo nufmo es , quaido los Í9$ 
íuerpos fiAredUbos unidús^ e§mponen um del pefo de d§s Ubras. 

ADVERTENCIA. 

Confia de lo dichoy que hdvkndoypor exemplóy dos cuerpos^ uno 
de una libra de pefo yj otro de dos y j que al mifmo tiempo 
en que el menor corre lo. varas y el major camina cinco y que 
trombos tienen tgual movinúemo y y en ejie featido y igual véb^ 
eidad ; porque cada libra del mas pe fado tiene yelociiad fubiufU 
de la velocidad del que pefa menos ; y entrambas juraos baran una 
velocidad igual a la del mifmo pefo menor y como también el effOr 
ció total;yfegun todas las dimenpones que anda , o por donde f 4' 
fa el cuerpo de doblado pefo , es real y i virtualmente igual al qií^ 
en dicha fupojicion corre el cuerpo de menor pefo; pero el común ef 
tiloy es juz^gar de la velocidad por la longitud de la linea , que corre 
el centro del cuerpo que fe mueve y fin atender a otra cofa : conque 
fi un cuerpo de una libra de pefo camina una linea de lo. v^^ 
en 4 mifmo , i igual tiempOy en que otro cuerpo, que pe Ja dos liiras 
camina otra de cinco y fe dice fer la velocidad de aquel dobUU 
de la de éjle : el qual éftilo guardare fiempre que fuere menefier 
hablar de la velocidad y por no defriarmedol.que por ufo tanfft^^ 
quente han recibido todos los Autores. 

PROP. VI. Theoremaw . 

Si dos cuerpos de gravedad defigual fe mueven conifual cantiM 

de movimietéto y el menos pe fado caminara con 
é , mayor velocidad» 

SEan dos cuerpos y uno de dos libras de peíb , y otro de 
una ; y fupongaíc que tanto Ímpetu, y por conliguien- 
té , tanto moviroiento tenga eluno y coaio el otro. Dig^ 
que el cuerpo, que pefa unj* libra, caminará con mayor ve^ 
locidad que el que pefa dos libra3. La razón es , porque A 
cuerpo quepefa .dos libras , cgmina la mifma linea que ca* 
minaría caaa mitad (uyá , con la mitad del movimiento: 
luego íí el cuerpo que peía una íbk libra , tiene el movir 

mien- 



Libro I. i7 j. 

xAiento mi(bo que aauellas dos, caminará una linea dobla* 
da ; pero la velocidad (en el común modo de hablar) es íe* ^ 
gun la linea que corre el cuerpo movido : lu^o el cuer- 
po que peía una libra correrá con doblada velocidad que* 
el que peía dos con igual moviniiento. 

De aqui fe colige la raron , porqué una nave grande, y 
cargada que camitía lentamence,íi encuentra con un peque- 
ño, y ligero navichuelo,le hace correr cop gran velocidad; 
y es porque con el impulfo qu& le impriirie , le comunica, 
í^al inoYimiento í:on el íuy o; y éfte, que repartido en mo- 
ver tantas partes como componen el volumen del navio 
grande , folo le a^ekntava quatro varas (por exemplo) en 
tiempo de un íegundo , hallandoíe todo en el navichuelo 
pequeño, y Ugero , le mueve en eíle mifmo tiemp(^acien« 
dolé correr una linea de efpacio , fin comparación mayor^ 
por la razón fóbredicha. 

PROP. Vn. Theorema. 

B» U Jtomdna , fiemfre que elfeff metm tiene tanto ntovitrntut^ 
como el mayor , fuede levantarle hajla , 

el equilibrio. 

■ 

ES la razón , pereque un cuerpo mueve á otro mediante, 
fu propio movimiento: (3,) luego las fuerzas para mo- 
verle fon á medida de fu movimiento : fupuefto pues que 
dos pefos , el uno mayor, y el otro menor , fe coloquen ea 
la romana, de tal fuerte, que en virtud de aquella diíbofi- 
don tenga el uno tanto movimiento en la una parte def inC- 
trumento , como el otro en la otra , lucharán entre sí con 
iguales fuerzas : luego ninguno vencerá: luego havrá equili- 
bno. 

PROP. VIII. Theorema. 

'^ 
tn la IRom^na , fieinfre que las velocidades fon reciprocas con lof 

fefosy hay equilibrio. (Jig. 1.) 

COnfiderefe la romana G£, lenvantada en IH , y (ea el 
pefo I doblada del pefo H ; y el arco HB , que ha 
V lomoUji. Gg de 



TrAT. K. De IA MAQJJINAltlA; 

dé correr el oeTo H,para reílituiríe á la íituacion horízonu! 
Ge, lea doblado el arco IG, que ha de correr d pefi) lepa- 
ra dicho efedo: de fuerte^aue a(sí como el pcCo I,es dobla- 
do dd pefo Hy aísi el arco H£,es doblado cfel arco lG,que 
es proporción reciproca. Digo , que en efta diípoíicion hay 
equilibrio. 

• Dimanfir. Por fer la velocidad de H doblada de la velo- 
cidad de I, y fer el pefo I doblado de H, tanto movimien- 
tB tiene el pefo I , como el ftefo H : (cofoL^. ) luego (7.) d 
pefo H| levanta al pefo I, nafta el equilibrio g£ 

■ > • • 

PROP. K. Thcorema. 

4 

Sifmfre ipu tn U l^mana Us diftamuts id exe fm reiip9CM 
4. om hsfefofy hay equiUbrw. (fe.i.) 

SEa como el pefo A con el pefo F , afii la diftancia EC 
del pefo F , á«la diftancia GG del pefo A. Digo , que 
havrá equilibrio. 

^ Diménfif. Por fer CE doblada de CG , íerá d arco HE 
doblado del^arco IG : luego la velocidad HE , es doblada 
de la velocidad IG , por fer las* velocidades como las lineas 
que fe caminan , como dixe en la advertencia á la fr^f 5« 
luego la vdocidad del pefo F á la del pefo A , es coino el 
péiO'A^alipeío F, que es fer reciprocas: luego (8.) hay equi- 
librio. ' 

PROP. X. Theorema. 

füunio la^veloúddd dtl pefi memr % U del mayar ^ tiene nuj^ 

fdz^n y que el fefo mayor al memr , vence el 

metm al mayor ^ y le levantara. 

SEa el pefo A doblado dd pefo B ; pero jpueftos en la 
romana , y levantándola á la fituacion DÉ , ferá el ar- 
co EB, que camina el pefo B , triplo del arco AD , que ca- 
mina el pefo A:Gonque ferá mayor la razón de la velocidad 
de B, á la velocidad de A, que la del pefo A á B. Digo,quc 
d pefo JB , levantará al pefo A , y tendrá mayor momento» 

De- 



J 



. ITiBito L fjf 

jyemonflr. ( 8. ) Qyando la velocidad del peíb B^ la del 
pefo Á , es como el peíb A , al peíb B, hay equilibrio, por 
tener tanto movimiento el uno como el otro: luego íienda 
itiayorla velocidad del befo B , refpedo de la delpefo A^ 
que k) es el pefo A ^ refpedo del peio B » tendrá mas mo- 
vimiento el pefo B , que el peíb A : luego el peíb B tendri 
mayor potencia , y fuerza contra el pelo A; ae fuerte, que 
ftrá mayor que la fuerza que tiene dicho peíb A para rem-« 
tir al pefo B : luego vencerá el pdb B. 

, » ■ 

PROP, XI, Theoremaé 

' Quando las JbJUnciés tUl exe tienen entre si majw razm 
que los fefos , vence el pefi mener al 
mayor, (tig.z.) 

SEa la dilUncia BC tripla de la diftancta AC ; y el peío 
A íea folamente doblado del peíb B. Digo , que el pe«^ 
ib B vencerá al peíb A. 
' Demonftf. Siendo la diftancia CB tripla dt CA , ferá el 
arco EB triplo del arco DA : luego la velocidad del peíb 
B, es tripla de la velocidad del pefo A ; y íiendo éfte fola- 
mente duplo del pefo B , tendrá mayor razón la velocidad 
del pefo mefior B , con la del peíb mayor A , que tiene el 
pefo A con B: luego ( lo. ) vencerá el peíb B al pefo A. 

PROP. Xn. Theorema. 

il frincifio fundamental del aumento do la potencia motriz* for 

las maquinas confifte , en que en v'trtud de ellas tiene la p«- 

tencia igual , h tnajor movimiento que el que fe 

hade mover. 

COnfta de lo dicho , porque un cuerpo mueve á otro- 
mediante íu propio movimiento : luego íiempre 
que en virtud de alguna maquina podrá tener igual , 6 
mayor movimiento , al que en el mifmo tiempo ha de te- 
ner el cuerpo pefado, quando le levante, le podrá movcr,y 
levantar halla el equilibrio , ó mas adelante : luego quan^ 
do una potcnciíi , que por sí íbla no puede teñeran el mili. 

Gg 1 JBQ- 



27^ Trat. IX, De la MAOyiNARIA; 

sno tiempo igual movimiento al que ha dt tener el peíb^ 
cafo que fe mueva , no le puede mover por si fola ; y (i fe 
aplica á las maquinas, ya puede adquirir dicho movimien- 
to , y podrá con ellas mover el peíb, aunque íea exceísivo: 
efto pues fucede en todas las- maquinas; porque, como, 
veremos en elle tratado , en todas ellas íe aumenta el mo- 
vimiento de la potencia , haíla fer mucho mayor que el del 
peíb : de tal fuerte, que es mas excefsiva la velocidad de la 
potencia ,'refpedo de la del pefo, que lo es el peío, reíbec-, 
to de la potencia ; y afsi no es de eitrañar mueva una aebtl 
potencia un grande, y enorme pefo. 

Aunque todo efto confta de las proporciones antece- 
dentes , y queda en ellas baftantemente demonftradp, 
quiero añadir á lo dicho mayor luz con la explicación fi- 
niente. 

« Sea pues (pg. 3,) el pelo A de dos arrobas ; y tomando 
la diftancia CD igual á CB , coloquefe en D el pefo £ de 
una arroba. No hay duda que cada arroba de las dos que 
tiene el peíb A, ( 5. ) corre un arco igual á BH al miímo 
tiempo que una arroba £ corre un arco BI igual i BH:lue- 
go el pefo A corre dos arcos iguales a BH al mifmo tiem- 
po que £ corre uno : luego el pefo A tiene doblado movi- 
miento que el pefo £ puefto en D^y afsi prevalecerá A con*, 
tra £ , y éíle no le podrá mover. 

Si el mifmo péfo£ fe pafta á F, de fuerte, que la diftan- 
cia CF (ea doblada de CB ; mientras las dof arrobas dd pe- 
fo A corren dos arcos HB, el peíb de una arroba puefto en 
F^ <:orrerá el arco FK doblado de HB: luego tiene alli igual 
movimiento ; y afsi ninguno prevalecerá contra el otro , y 
havrá equilibrio. 

Paílele el mifmo peío E á L , de manera , que CL íea 
tripla de CB ; y mientras las dos arrobas del pefo A corren 
dos arcos HB, correrá el pefo de una arroba , puefto en L» 
el arco LM , triplo de HB : luego tiene mayor movimien- 
to.: luego vencerá , y levantará al pefo A puefto en B, . 

Lo mifmo que he dicho comparando dos arrobas 
con uqa/, diié comparando dos libras con una ; dos on- 
zas con una ; dos adarmes con uno ; dos granos con uno;. 



Libro h if'f 

:y aísí infínitamentes luego (iempre que en virtud de la ma^ 

-quina tiene el peíb, 6 potencia menor, mayor nk>vinúento 

que el pcíb mayor, prevalecerá contra él. Todo etto íe veí- 

rá con claridad en las maquinas que fe explicarán en los U^ 

hros íiguientes* 

LIBRO II. 

t 

DE LA PRIMERA MAQUINA 
fundamental ^ llamada Barra^ 

b Palanca. 



A hndy ó palanca , que los Latinos llaman VéSisj Io$: 
Griegos Moclos , y los Marineros hümuelláj es en^ 
tre las demás maquinas fundamentales la prime- 
ra , ya por ftr la mas fácil de entender , ya por 
reducirfe á ella , fino todas , muchas de las demás : es en^ 
tre todas la mas fimple ; pero de tanto poder j^ que íe pue- 
de con ella levantar un pefo igual al de la tierra; por k> que 
atribuyo la. antigüedad fus maravilloí^s fuerzas al Trideiv- 
te de Neptuno , creyendo que á fu impulíb fe comovia 
la tierra y como casto Virgilio , i. Georgic. 

MaffiaTellus ffrcujfA Ttütenti. 
Pero antes de entrar en la ejfpecukcion de éíla , y las 
demás maquinas , ouiero dar al Lector las advertencias íi- 
guientes.. i* Q^ la ]>ropia n^dida de las fuerzas de una 
potencia , es el peíb que precifamente puede levantar con 
Igual velocidad á la del peíb: Como íi un hombre puede le- 
vantar á lo mas loo. libras de peíb^moviendofe fu mano con 
igual velocidad que el peíb , diremos fer íiis fuerzas iguales 
á las de loo. Ubras de peíb. z* Que en todas las maquinas 
íe preícinde de la gravedad , y renitoicia propia de la m^ 

te- 




'^ 



2j9 Tr AT. IX. Dfi lA Maquinaria; 

teria que las compone , fin atender mas que á la refiftenck 

del pefo que r^fte , y á las fuerzas de la potencia que k 

vence. 

DEFINICIONES. 

X TyArru , h PédamOj es una pértiga de hierroy i tnadera qm 
J3 firyefara Icvanrar cofas di nmcho fefQ. Se han dedif 
tinguir en ella tres coías principales , que fon la. fotenáa 
que mueve ; el Pefo , I cuerpo grave movido ; y el afoyo íbbre 
que eftriva, llamado en Latm Fulcrum , y en Griego H)rp0- 
"moíhüonjy es aquel punto en que eftr'tva la íalanca^j que fine 
di centro al movimiento con que fe levanta el fefo^ Como en la 
fg*^ GP es b barra, 6 palanca ; P es la potencia ; G el 
peíb ; y F el apoyo , 6 hipomochlio , que fírve de centro 
para el movimiento de la potencia por ei arco PI ; y del 
pcíc>por GH. 

Tres géneros hay de palanca , por lo que íe llaman ie 
frimero , fegundo , y tercer genero. 

2 La VeSis , o Palanca del primer genero , es aquella en q» 
il Hipomochlio fe halla entre el fefo^y la potencia. Como (pg* 
4« ) la veñis , ó palanca GP es del primer genero*, j>or te- 
ner el hipomochlio F entre el peíb G , y la potencia P. 

3 La Veñis , ^ Palanca del fegundo generoy es aquella en qui 
el pefo efia entre el hipomochlio y j la potencia. Como (fig* 5* ) 
la palanca FP es del iegundo genbro , por tener el peíb G 
entre el hipomochlio F , y la potencia P. 

4 La Veñis y I Palanca del tercer genero , es aqueüa en q^ 
la potencia efla entre el hipomochlio y y el pefo. Como (^J-^0 
la palanca FG es del tercer genero , por aplicarle la poteo- 
cia P entre el hipomochlio F ^ y el pefo G. 



PROP. 



EiBRo n. 

PROP. I. Thcoitma. 



*79 



Si Id f&tencUyy el fefo tienen en I4 Valonea fé^cm recifroca cm 
Ids üflancias del HipamocbU$y fujlentarí la fotencu dfefo^ 
fero no le fodri ley^anear fibrcH equili- 
brio. (Jíj. 4. ) 
EL peío G» tenga con la potencia P la razón miíina, que 
la diftancia PF á la diftaiKÍa GF» I^go, que la poten- 
cia fufioitará el peíb en el equilibrio ; pero no le podrá Ic- 
vantar» íi que entrambos quedarán eo íituacion horizontal, 
íin levantarle mas la potencia que el peíb , ni al contrarío» 
La razón es la mifn^ que dixe en la proP.o. Ub.. x«.de los per 
(os en la romana ; porque Tiendo las aiííancias reciprocas 
con la potencia, y el peRsíerán los arcos, ó velocidades Pi^ 
GH, reciprocas con la mifma potencia^ y pefo : luego,, ni el 
peíb vencerá á la potencia,m éíca al pefo.Lo que he explica- 
do en la palanca del primer genero^ íe ha de eatender tam- 
bién de las demás» 

♦ 
* PROP. II. Theorema. 

Si la patencia al peja tiene mayor raajm , qne la diftanüaM ptfi 

i la diftancia ae la potencia ^ contadas del bipomochlio ^ la 

potencia vencerá , y lenmtara el pefi» Cfig*4*) 

SEa el peíb G de una arroba, y la potencia P íea bailan^ 
te para levantar, íin maquina alguna ^ una arroba ; y la 
diftancia GF fea la mitad de la FP ; conque la razoa de la 
potencia al peíb , es de igualdad; y la razón de la diftancia 
del peíb a la de la potencia ^es de menor deíigualdad, Di^ 
go pues, que |>or íer mayor la razón de la potencia ai peí^ 

Sie la diítancia de éíte á la de aquella, vencerá, y levánta- 
la potencia al peíb. 

Demonñr. Supongaíe en P otra. potencia O , cwe tengt 
con el peK> G, la mifma razón que la diftancia GF á la F& 
Efta potaujcia ( i.) tendrá equilibrio con el peía: la potete 
cia P , por tener mayor razón con el peíb^que la diftancia 
GF á la FP,es ( ip.5.EucL) mayor que la potencia O : lue^ 



]^So TrAT. IX. De LA MAQy INARIA. 

Ses mayor que la que eilá en equilibrio con el pefo G: 
^o es forzofo le venza ^ y levante* 



% 



PROP. m. Theorcma. 



L 



A id dijlán€id de U potencis yáí la diflancia del pefo , cantadas 

del hifemochlMy tkne májev roz/m que el pefo 4 la potencia^ 

yernera ifta , j ley aneara al pefo. ( fig*4»^ 

A diftancia FP , tenga con la diftancia FG , mayor ra- 

I 2on, que el pefo G á la potencia P ; efto es, por exem- 

plo, íea FP tripla de FG,y el pefo G fea duplo de la poten- 
cia P. Digo, que la potencia vencerá , y levantará al peíb. 
Demonjtr. Aísi como el peíb G es duplo de la potencia P| 
hagafe la diftancia FL, dupla de la diitancia FG , y (era FL 
menor que FP : (io.5.Eucl.)y la potencia P , (i íe aplica en 
L, tendrá equilibrio con el pefo G, por fer las diliancias re- 
ciprocas; y por coRÍiguiente, ferá fu velocidad á la del pe- 
íb, como elle á la potencia : 1¡ íe aplica- en P , tiene mayor 
velocidad que en L : ftiego la potencia mií/na , aplicada ai 
P , tiene mayor velocidad, reípedo de la del pefo, que fon 
las fuerzas del pefo, reí pedo de las de la potencia puefta en 
P : luego, fegun el principio fundamental, (12.1. ) la poten-? 
cia en P vencerá , y levantará al pefo G. 

PROP. IV. Theorema. 

fif ti pefo ^ la potencia tiene majof razm , que la diftancia de U 

p otencia a la del pefo , la potencia no podra levantar , ni 

aun fujientar el pefo. (^¿.4.) 

TEnga el peíb G niayor razón con la potencia P, que la 
diftancia FP tiene con la diftancia FG : como por 
cxemplo,íéa el pelo G, triplo de la potencia P ; y la diftan- 
cia FP, dupla de FG. Digo, que la potencia no podrá mo- 
ver , ni aun fuftentar el pefo én equilibrio. 

Demonfir. Supongamos una otra potencia O en P, tal,C|Uf 
el peíb á la potencia O , tenga la mifma razón , que la aih' 
tancia FP , á la diftancia FG : conque el pefo G tendrá 
^ me- 



Libro ü; iSl! 

merior razofl con la potencia O , que con la potencia P ; y 
fcrá (IO.J. Eucl.) O mayor que P. Etto fupuefto , por fer 
el peíb G á la potencia O , como FP i FG , fcrá la poten- 
cia O (i.) precifamentc baftante para fuftentar el pefo G 
en el equilibrio : luego la potencia P,que es menor, no ferá 
bailante para fuftentar dicho pefo en el equilibrio,y mucho 
menos para levantarle. 

PROP. V. Theorema, 

Si la üfiamiáMl pefo tiene majar uzm cm U diftancia de U 

fotenüáj que ü potencia con el pefo , 110 podra la potencia 

Uyantar y ni fufientar dicho pefo. 

( fis* 4- ) 

LA razón de la diítancia FCj , a la diffancia FP , fea ma- 
yor que la que tiene la potencia P al peíb G : como 
Í>or exemplo , íea la dütancia GF , la mitad de la.FP; pero. 
a potencia P fea íblo un tercio del pefo G. Digo , que la 
potencia , ni podrá levantar , ni aun (uftentar el pefo en 
el equilibrio. . 

Demmifir. Pongafe en P otra potencia 0,que tenga con 
el pefo la mifma tazón que GF á FP,y la potencia O tendrá 
mayor razón con el petó G,que la potencia P con el mifmo 
peío ; conque la potencia O ferá mayor que P ; pero por 
tener Ja potencia O con el peíb G,la razón mifma de GF á 
FP, fuftenta. al pefo G preciíamente en el equilibrio: luego 
la potencia P , íiendo menor que O , no podrá moverle , ni 
aun íuíientarle en el equilibrio. 

Todo lo dicho fe demueftra de la propia fuerte en las palancas 
delfegundoyj tercer genero. 

PROP. VL Thíorema. 

A tantas potencias iguales equivale una fila en la Palancaf quan- 
tas veces cabe la diftancia entre el pefo^j el hipómochlio^ en 
la diftancia entre el bipomochlüf , y la potencia* . 

(fig*7') 

Supongamos , que la potenga L es preciíamente pode- 
rofa para fuíi^ntar (m maquina alguna 100. libras de 

pe- 



iSt Trat. IX. De LA Maquinaria; 

pelo: y póngale en el un cabo de la pahnca la potencial^ 
y al otro cabo un peíb M, de fuerte , que la diftáncia íM^ 
quepa quatro veces en la diftáncia HL. Digo , que la po- 
tencia L equivale á quatro potencias iguales á ella ; y aBi» 
2ue podrá iuftentar en efta difpoiicion 4<x>. libras de pefo. 
a razón confta de la Propof. i. porque G la potencia L , es 
igual á loo. libras , y el pelo M, es de 400» lioras,^ afsi comp 
la diftáncia HM cabe quatro veces en HL , afsi la poten- 
cia L cabe , en quanto á la virtud j quatro veces en ei pefo 
M : luego la potencia , y el pefo fon recíprocos con las dif- 
tancias: luego hay equilibrio entre la potencia , y el peTcx 

PROP. Vn, Theorema. 

En una mfmA difiánÚA de U potencia d bipomochlM , qnáiai 

mas fe acerca el pefo al hipomocblio , tanto mas fe aumerh 

tan las fuérzaos de la potencia. 

LA razón confta de la propcHcion paíTada; porque quao- 
to mas fe acerca el peíb al hiporaochlio , tanto maj 
veces cabe fu diftáncia del hipomochlio , en la diítancia in- 
variada del hipomochlio á la potencia : efta (6.) equivale 
á tantas potencias iguales á sí, quantas veces cabe la diftanr 
cia del pefo en la diftáncia de la miíma potencia : luego 
tanto mas crecen las fuerzas de la potencia , quanto , fon- 
íervando la mifma diftáncia , íe acerca mas el peíb al bipo* 
mochlio. 

PROP. Vm. Theorema. 

Quanto mas fe difmlnuje ta velocidad del pefo ^j fe aumenta U 
de la potencia ^ tanto mas crecen las fuer z»as de la po- 
tencia, ifig. 4. ) 

COnfta de lo dich,o , y del principio fundamental de 4 
aumento de la potencia en las maquinas : porque 
quanto mas fe acerca el peíb al hipomochlio, tíuiro fl^^ 
crecen las fuerzas de la potencia , coníervandoíe efta en » 
mííma diftáncia* En efte mifmo caíb , quanto mas íe acer- 
ca el peíb albipomoch|iO) tanto menores la velocidad coo 

que 



Libro II. »8) 

cjue íc fliue\fe (porque íi el pefo G fe pafla i Q^ tanto me« 
nor es la velocidad, ó arco QR, que la velocidad G,quaii« 
to FQés menor que FG ): luego quanto es menor la velo-« 
cidad del peíb, relpedo de la velocidad de la potencia, tan*^ 
to mas crecen las fuerzas de éfta. Aísimifmo íe prueba^ 
que confervando el pefo fu miíma velocidad , quantp mas 
íe aumenta la de la potencia, tanto mas crecen lus fuerzas; 
y íi por una parte, en virtud de qualquier maquina,{e dis- 
minuye la velocidad del peíb,y fe aumenta por otra parte 
la de la potencia , crecerán mucho mas fus fuerzas* 

PROP. IX. Theorema. 

Aflkáfi Id éoSrina féredicha i Ias Faldncas de fiffmdc, y rrr-' 

cer genera. 

X Q£a ( pg* 5.) FP la palanca del inundo genero , en 
,3 quien fe coloque el peíb en G, y la potencia en P; 
y el hipomocblio fea F : y íi la diftancia PF á la diltancia 
FG, fuere como el pefo G,á la potencia P,havrá equilibrio, 
y podrá la potencia preciíamente fuílentar el peíb ; pero íi 
dicha razón de las diílancias fuere menor que la del peío á 
la potencia , ó la diftancia del pefo á la de la potencia tu« 
V iere mayor razón que la potencia al peíb' , no le podr) 
mantener en el equilibrio. Coníta de las propof. i. 4. y 5. 
de efte libro. También íi la diftancia FP , á la FG , tiene 
mayor razón que el peíb G, á la potencia P, vencerá , y le- 
vantará la potencia al peíb. Confta de la prop. ;. 

a Sea (fig. 6. ) FG la palanca del tercer genero , cuyo 
hipomochlio es F , la potencia P, y el pefo G. Si la diftan- 
cia PF á la diftancia GF , es como el pefo G , á la potencia 
P , podrá fuftentar éfta al pefo en equilibrio; y íi el peíb G 
á la potencia P , tiene mayor razón que la diílancia PF ,á 
la diftancia GF , no le podrá mover : confta de la propof 
I. y 4. Pero illa diftancia PF,á la diftancia GF, tiene ma- 
yor razón que el pefo G á la potencia P,la potencia levan-* 
tara al peíb , por la prop. ;• 

Aqui fe ha de advertir , que la palanca del tercer gene- 
ro no añade fuerzas á la potencia para vencer el peío; 

por- 



dS4 Trat. IX. Db la MAQumARiA.^ 

porque íiendo en ella ^neceflariamente mayor la vdoci- 
dad del pe(b, que la de la potencia,por diftar mas que ella 
del hipomochlio,inayor fuerza (era menefter para levantar, 
y mover el peíb en efta palanca , que fin ella ; porque fn 
ella tendría la potencia igual velocidad con el peíb , y con 
ella la tiene menor. Pero aunque efto es aísi , no íe ha de 
tener por inútil ; porque como notó el P. Zucchio , apro- 
vecha en gran manera para muchos ddfos , en que íiendo 
esforzada la potencia motriz , nece(sitanx>s de que ei p^ 
lo le mueva con gran velocidad. 

PROP. X. Theorema. 

Aplkdfe U mfmd áéSriná á cms mftmmmtps ordmámu 

NO folo firve la palanca para levantar los ctierpos p^ 
lados, li también para cortarles, y dividirles entre si^ 
y fuperar fácilmente qualquiera refiftencia. 

1 Para arrancar , o leparar una piedra de otra , como 
( J!í«8. ) M, N, uían comunmente los Artifices de la palan- 
ca OQL De tal fuerte, que 1¡ íe ha de remover, y apartar la 
piedra M , quedando firme la piedra N, fervirá éfta de ü- 
pomochlio en el punto P ; el refiftente íerá M en la extre- 
midad 0;y la potencia eíbrá colocada en el cabo Q^Y^^' 
rá Op palanca del primer genero ; y quantas veces PO cu- 
piere en PQ^, tanto mas fuerzas tendrá la potencia , iguales 
a la fuerza natural que tiene fin la maquina. Y li la piedra 
que fe ha de remover íuefle N , ferviria la piedra M de hi- 

fomochlio en el punto O ; el refiftente feria N en el pw^^ 
; y la potencia en Q^, cuyas fuerzas fe aumentan tantas 
veces, quantas^PO cabe en OQ; y ferá palanca del fcgi?"^^ 
genero : de que le colige, que fiendo igual la refiftencia de 
una, y otra piedra, primero cederá, y fe removerá lá N^q^^ 
la M ; porque mas veces cabe OP en OQ^ que en PQ¿ V 
por configuiente, mas puede la potencia Q^contra la pi^' 
dra N , que contra M 

2 Para arrancar un clavo R,ulamos del martillo,y ^' 

mamds conaouna palanca delfegundo goiero, cuyo tdn- 

tente es R, el hipomochlio S, y u potencia eftá en T. 

3. La 



L1b.ro II; i8ji 

' 3 La fuerza de las tenazas también coníifie en compon 
neríe de dos palancas del primer genero y que tienen el hi« 
pomochlio común á entrambas,y es ( jí|.9.) el clavo V ; el 
cuerpo refiílente , que fe ha de afsir , o arrancar , clU en 
R y y la potencia en XZ ; y quanto meixor fiíere la diftan^ 
cia VR , y mayor la VZ , mayores ferán las fuerzas de la 
potencia : y lo mifmo es en las tixeras por la miúna razon^ 
y en ouos muchos inftrumentos íemejantes» 

COROLARIO. 

DE lú dicho fe colige , que en la palanca delfegutido genero^ U 
petencia que fuede frecifamente fufientar el fefo ^Jiemfre 
es menor que es fefo , for efiar jiemfre en mayor dijUncia del hi^ 
fomochlio que es el fifo : en la palanca del tercer genpro fiemfre es 
mayor , for la rascón contraria ; fero en la del frmer genero fue-- 
de fer la fotencia mayor y menor y ^ igual con el fefo. 

PROP. XI. Theorema* 

De h Acbo fe colige quan grandes fean las fuerzas de los muf 

culos de nuejiro cuerfo. (j!g« lo. ) 

EL principal ínllrumento y que firve para executar los 
movimientos de nueftro cuerpo, y para levantar, y 
luitentar las cofas pefadas , ion los muículos, que com^ 
pueüos de porciones carnofas^y tendino(as,eltán aísidos,me* 
diantes los tendones, á los huellos y á quienes , ya contra* 
yendofe, ya relaxando fe, mueven, levantan , doblan, ©.en- 
derezan , formando efte movimiento cerca de las articula* 
ciones,ó junturas. Áqui fe ve claramente fer el hueflb una 
palanca , ó vedis á quien rige , y mueve la potencia aplica^ 
da , que es el muículo , levantando , y fuílentando con 
fu contracción grandes peíbs. 

Efta maquina es ciertamente palanca del tercer gene- 
ro , como fe ve sn.hfig. lo. en quien EA es el ombro ; el 
codo, y mano, AB; y el mufculo que íirve para levantar , y 
fuftentar el codo , fea DC : elle fe une con el hueflb del 
ombro en D ; y con el hueflb AF del codo , no en F , por 
muchas razones que no fpn para efte lug^r, y fon bien cla« 

ras. 



s85 Trat. IX* Ds LA Maojiinaria; 

ras^fi en C ; y porque el movimi^to del codo AF fe hace 
en la aniculacion íoore el punto O, oue es el centro de di- 
cho movimiento , es cieno fér el codo , ^ manó AB una 
palanca y cuyo hipomochlio es O ; el pelo ella en B ; y la 
potencia matriz en C: luego (def. 4. ) es palanca dd tercer 

f:nero , en quien la potencia iiempre es mayor que el ^o^ 
coro!, antee. ) y ellandó la potencia tan cerca del hipo- 
mochlio 9 es forzólo lean muy poderoías , y robuftas fvs 
fuerzas, 

Y para que le vea quantas lean, lupongo , que en dicha 
poftura reda, y horizontal del brazo, lultente la extieim- 
dad B un pefo R , que fea el mayor que precifamente pue- 
da fuftentar la potencia : el qual , íegun confta por iaexp^ 
riencia , puede 1er á lo mas , en un mozo, robulto , de 26. 
libras , í que fe ha de añadir el pelo de mano , y brazo, que 
aunque es cafi de 4* libras; pero por no eftár todo en B, 
hace efedo , ó gravamen de z. libras : es pues el pefo Qnc 
fuftenta en ella poftura la potencia DC 28. libras. La dif" 
tancia verdadera que hay de la potencia C al hipomochlio 
O, es la ÓI perpendicular á la dirección CEX, como fe veri 
en fu lugar ; y la diftancia del pefo es BO , de íiierte , que 
cabera Oí en OB mas de 20. veces : luego la robuftcz , y 
fuerza de la potencia del muCculo , es á lo menos veinte ve- 
ces tanto como 28* libras, (6.) Que Ion 560. libras. Dig^ 
pues , oue lin la maquina equivale la íiierza de elle mufculo 
a 560. libras de pelo. Efta luerza la tiene el muículo en vir- 
tud de otra maquina , como en lu lugar veremos» 

PROP. Xn. Problema* 

Mffvet qúdlquier fefo con qualquiera fotencia con la Télénc^ éd 
frimero , jfegUndo genero. ( Jíj. 1 1 . ) 

EL pelo dado fea B de arbitraria magnitud : lea A I^ 
potencia dada , tan débil como fe quiera. Digo , q**^ 
efta potencia podrá mover el pefo B , aplicada á la palanca 
del primero, ó fegundo genero , en la forma figuiente. Co- 
mo el pelo B no lea infinito , es cierto tendrá alguna pr^ 
porción con las fuerzas de la potencia A* Divídale pues II 



Libro IL ity 

palanca CD en E^ de tal fuerte, que CE á ED tenga la mil- 
ma proporción que el pefo B á la potencia A : pongafe el 
hipomochlio en E, el peíb en D, y la potencia en C ; y por 
ier las dittancias reciprocas con el peío , y potencia , havri 
entre ¿ftos equilibrio ; (i.) y í¡ el pefo le acerca un poco 
mas al hipomochlio , podrá la potencia levantar el pelo en 
cfta palanca del primer genero. 

De la mifaia íiiene obraremos en la palanca del (egundo 
genero FH , ii fe divide la.palanca en G de tal inerte , que 
toda entera, á la porción GH, tenga la mifma razón que el 
peíb B á la potencia A 'y porque colocaihdo el bipomo* 
chlio en el extremo H, la potencia en F , y el peíb en G, fe- 
rá la diltancia FH de la potencia, á la diítanaa GH del pe« 
fo al hipomochlio, como el peíb B.a la potencia A : luego 
cftarán en equilibrio, y por poco mas que fe acerque el pe* 
ib aL extremo H , vencerá la potencia. . 

Eíla es la celebre propuefta de Archiniede$,en que ófre- 
cia levantar la tierra , íi fe le dieile fuera de ella un lujgaf 
firme en que poner el hipomochlio; lo qual escaíi.tan iok 
pofsible en la pradica , como cierto en la efpecukcion. 



PROP. Xm. Problema. 



que n$ 
mas 



jAffoner de tal fuerte lafotencia^ j el fefi en la Palancdj 
fueda la fotencia , fw caliente quefeOy mever el m 

ligero fefi.(fi¡. 12.) 

SEa un peíb A ouan pequeño (e quiera , y (ea la potencia 
B tan esíbrzaaa como (e quiera. Digo , que íe pueden 
colocar en ía palanca, con tal difpofícion, que no pueda It 
^tencia mover al pefo. Dividafe la palanca KM en L, de 
fiíerte , que LM á KL , fea como la potencia 6 al peíb A^ 
Póngale el pefo en M, y la potencia en K,.y (!•) havrá ecpi-^ 
librio : luego íi el hipomocnlio fe acerca un poco mas a la 
potencia que eftá en K , vencerá el pefo A puefto en M , y 
no le podrá levantar la potencia. 



CO^ 



/; -j 



COROLARIO. 

I 'Ñ fine fe de lo dkbú , que generalmente fiempre que fer difpefi- 
cien de und maquina fe aumentan las fuerz^as de la fotemié 
iontra el f e foy fucede^ que fi permutan el pe foj y potencia fus It^Or- 
resy fe dtfmmujien las fuérceos de la potencia ^j fe aumenta la re- 
premia delpefo , enía rmfma proporcitm en que antes las de U 
potencia excman a la refijtencia del pefo. 

PROP. XIV. Theorema* 

txfücanfe varios modos con que el pefo fe puedeaplkara laVá- 
lanca yj en que fe varia fu refífienáa. 

I T7 L cuerpo peíado] (e puede aplicar de tal (uerte \ la 
XJ# palanca » que éfta le atravieUe por medio de mane- 
ra , que el centro de la gravedad del cuerpo efté en la mif- 
ma palanca ; como íe ve en la j!{* 1 3. en que la palanca BA 
palia por el centro D , que lo es de la gravedad de diche 
cuerpo. 

z Puedeíe el cuerpo peíado poner pendiente de la ex- 
tremidad de la palanca , como en F£, (^fig. 14. ) de cuyo 
cabo £ pende el peíb H. 

3 Se puede colocar el peíb en la extremidad de la pa- 
lanca , de fuerte , que el centro de la gravedad efté fobre 
ella, como én DE, ( fig» 15.) fobre cuya extremidad £ íe 
(iipone colocaído elfpdíb. 

ÍSe puede colocar de fuerte ,que el centro de la gra-, 
ad ette debaxo de la palanca, como en TX. (fig* 16.) . 
Eftosfon los modos mas principales de coloourlé el péíb 
en la palanca, de cuya varia difpoíicion íe íiguen diferentes 
grados de reíiftencia ^ que fe explican en las propoíiciones 
iiguientes. 



PROP. 



Libro IL jt^ 

PROP. XV. Theorema. 

'QHsmdú H cmtfú de U gravedad del ftfi ifii en la mfmá F/Uáih 
^d^ la mfma fuerz^a baña para fuJtentarU^ i en lafituaáen 
hmkeiualy}^ fibre illa^ h debaxe de ella. 

(fe**!?-) 

SEa ia palanca horizontal AB , cuyo hipomochlio (ea Q 
la potencia *efté en B , y d peTo en A ; dé fuerte y que 
el centro de la gravedad del pefo efté en la mifma palanca: 
muevaíe fobre el hiponaochlio C , ó á la (¡tuición FG , en 
que el centro de la gravedad efiá en L; 6 a la íituacion HN, 
en que elceiuro deia graved^ eftá en M. Digo^que la mit 
ma potencia B,t^mO) que efté en G, como en N/uftentará 
con la miíma facilidad el peíb; y la reíiftencia de ¿fte fíem^ 
pre íeri la oiífina en ^pilquiera poftura. La razón e&, por^ 
que en todo cgíb conierva el centro de la gravedad del p^- 
ip unii fni(naa dütancia dethipomochlio C, conao también 
la potencia : luego en quaíquiera íituacion es una miiln^ 
la proporción entre l0$ diítancias: luego la fuerza de la po- 
tencia (ienrtpre ícr^ lai miíma , como también la reíiftencia 
del pefo. Lo mifmo fe ha de decir en las palancas, del ie« 
gunao , y p^cer genero. 

PROP. XVL Theorema. 

fiando el fe fe efti fenMtnte de la fdama , también bafialé 
mifma fiíerx^a para fufitntarie en (¡ualqmera fituor 

eien. (Jig^i^) 

EN la palanca FE , cuyo hipomochlto es G , eftc pen^ 
diente el pefo H de la extremidad £• Digo , que íi fe 
mueve h palanca , y fe conftituye en la íituacion QP , ó 
otra qualquiera , la mifma potencia baftará para fuftentar 
tí: pefo en todo cajíb. Porque las diftancias del p^ > y pOr 
tencia al hipomochUo , fe toman de las perpendiculares^ 
PM, NQ^, tiradas del punto P de la fufpenfion del pd<%i y 
del punto Q^, de la aplicación de la potencia; y como ppf 
fer proporcionales los triángulos GPM^GNQ, la miíma ^a^ 
TemeiU. Hh zan 



/ 



/^ 



9^ Tr AT. ££• Dx LA Maqstinari A. 

zon tenga NG á GM^que Qp á GP; ello es, que FG á G£ 
íiis iguales , la mifina nroporcioD tondriti entre sí, en qual< 
quiera (ituacion , las diftancias del peíb , >^ de la potencia: 
lucso en qualquiéra lituacicÁ ferin las joiíc^-merzas hs 
de fax potencia, gomo umbien la rdifienci^ dkl peíb; y por 
coníiguiente ,, las miímas fuJÉizas baibrao para íuítentarle 
en qualquiera diípoficion (|e la$ referidas. 

PROP* XVn. Theorema. 

iBirtxMmdl j qudnto mas fe levama y tátUf nmerjuen^ bafis • 
fdr4 fuftetttéOíUy quamá más fe áepm^átm msjef , 
fuerza es men€fier*ipg*i^.) 

SEa la palanca DE en fituacion I^rizontal , cuyo hipo- 
mocblio fea C; y en fu extreoüdad £ > poogaíe .el peío 
G , cuyo centro 1 de la gravedad , eíbe fobrcJa palanca ; y 
apliquefe la potencia en D, y {nuevaie la palanca hafia pp< 
nerfe en MK. Digo lo priniero , qué en eíU fituacion es 
meneíter menor fiíerza para fuiientav el peío, que quando 
eftava en DE* ^ 

DemoHp. En DE, la linea de la.dkecciaoijeilo.es. Ja li- 
nea que del centro de la gravedad del cuerpo va al centró 
de la tierra, es IG^ pero en MK,.ya'i^ J^'JG la linea de la 
dirección , (i IS ; y por conliguiente , la diftancia del pefo 
il hipbmochlio -en la fituacion horizontal DE,^ iGQ. pei^ 
en la MK, es CS menor que CG: luego (7.) íieodo en todo 
caío una mifma la diñancia que hay de la potencia al hipo- 
mochlio , menor fuerza es meneíler para fuftentar el peíb 
en la difpoíjcion MK , que en la D£« 

Muévale la palanca DE , y póngale en la íituacion RO. 
Digo j que en eftecaíb es menefter mayor fuerza para fuf* 
tentar el peíb , que en .DE : porque en DC,e^ la linea de la 
dirección IG; pero en KO, es IS ; y por coníiguiente , e^ 
cfte cafb la diltancia del peíb al hjpomochlip, es CS mayor 

Sue CG; hiego (7) mayor fuerza íe requiere en RO,que ei; 
^£ para fiátentar el pefo,haviendo la jnilma diítancia eot 
tre la potencia, y hipomóchUo. 

PROP. 



I 

I 



Libro H, ^^| 

PR.OP* XVm. Thcorcma. 

.gufmkitiiñtt^ de la gravedad dilpefi efia debdxedi U Palmh 

€4 ImMfUd j quant^ mas fe levanta el fefo , tanto majn 

fuerza ei menefier para fuftentarte ; y tanto me- 

mr , qüanto mas fe depme. 

(fe* i«.) 

SEa la palanca horizontal TX : (ea el hipomochlio A : la 
potencia efté en T : y el peíb íea V, cuyo centro O. d¿ 
la gravedad eíte debaxo de la palanca. Digo, que en la 
poitura SK fe requiere mayor fuerza para fulcentar el peíb; 
porque en TX la linea de ía dirección es O V ; y en SK , e^ 
OK : luego en TX , la diftancia del pefo al hipomochlio 
es AV ; y en SK, es AK mayor que. Av : luego en ella diíl 
poíicion es meqefter mayor fuerza que enia primera» Dir 
go también , que en RJC,es meneñer nienor fuerza ^ por íer 
h dilianci^ AK menor que AV. 

PROP. XIX. Theorema. 

24 fjptradellAfamochlio conduce mucho f ara facilitar ^ I Jiüficttlr 

tar el movmñento del fefo. (fig. 17. 

LA razón es , porque puede íer tal la figura del hipo- 
mochlio , que al movérfe fobre él la palanca , íe va- 
rtón los puntos en que eítriva ; y por coníiguiente , no í^ 
COníerven tas mifmas diftancias del pefo , y potencia al hi> 
pomochlio : como por exemplo , íi la palanca íe colocaíle 
U)bre una esfera, 6 cilindro , y en la poflura horizontal tp- 
aSSz el punto A en el oblicuo , eílrivaria en el punto Bf 
donde íe ve claramente variarfe la proporción de las dift^-r 
tías ; y por coníiguiente^ la facilidad de la potencia. 



Hh2 PROP. 



PROP, XX. Thcorema. 

^j id fatenáa mueve ) la Valonea far linea (Aüqua , ferañ mém- 
resfusJmxM ^ que moviéndola for linea fetfendi- 

cular. C)í¿a8.) 

T^Igo y que (¡ la potencia A impele la palanca por la li- 
1^ nea aB obliqua , podrá menos conxra el peíb , que 
jicon la mifma fuerza la impeliere por la perpendicular 
AC. La razón es , porque impeliendo por la hnea AB, par^ 
<e del impulíb (e confume en retraer la mifma palanca del 
hipomocfalio : como también moviendo por AD , íe em* 

Elea parte en moverla contra el hipomocnlio ; pero impe- 
endola por la perpendicular AC , todo el iiúpulfo íe em- 
£lea en levantar ei peíb : luego mas fácilmente le moverá 
\ potencia, encaminando fu movimiento por la linea AC, 
que por otra alguna. Otra razón hay mas eficaz, y eviden»- 
te j y es la que le colige del Theorema íiguiente%_ 

PROP, XXI. Theorema. 

Qimdo la poeencia mueve la Fatanjca por linea éíiqúa , fu Tir* 
dadera diflancia es la perpendicular , que [ale del hipomo^ 
... chüo 1l la linea de fu movimiento. 

Supongamos , que una potencia mueva la palanca AB 
por la linea obliqua BC , á quien es perpendicular la 
FD, que fale del hipomocblio. Digo , que la dÜÍancia ver- 
dadera de la potencia al hipomocblio es la perpendicular 
FD i y íegun éíla , íe han de nivelar las fuerzas de la po- 
tencia. 

Demonfir» Aunque lo mifmo es , que; la potencia eft¿ 
aplicada en B , ó que mueva tirando de una cuerda BQ 
mientras conlcrve liempre la mifma linea del movimien- 
to , ó por mejor decir , la mifma obliquidad con la palan- 
ca, ó ángulo B; pero para mayor claridad , fupongo efté la 
potencia aplicada en el punto D de la cuerda , y que tiran-» 

do 



\ 



LlBR O II. 2^1 

doíe pafle la potencia á £ , y el cabo de la palanca baxe á 
G ; tireíe pues la re&a EG , y junteíe F£« ^ ! 

En los triángulos FBD , FGE , los lados FB , FG fon * 

iguales , como también BD y GE por fupoñcion ; y Tupo- 
niendoíc los ángulos B , G iguales , ferán (4* i* EucL) los 
ángulos BFD , GFE iguales ; y quitando el común GFD, 
quedarán los ángulos BFG , DFE iguales ; y por confia 
guíente, los arcos BG, HI,que fon fus medidas, (eran igua- 
les. El arco DE , por donde fe movió la potencia , tiene 
con HI, ó BG, ó AK, por donde íe movió el pefo , la mií^ 
jcna razón que FD á AÍP : luego la verdadera diftancia , fo- 
gun la quaí crece , ó (e diíminuye el movimiento de la po- 
tencia 9 es la linea FD, que íale del hipomochüo , y es per* 
pendicular i la linea del movimiento de la potencia. 

COROLARIOS. 

t T i! linea perpendicular a la palanca , es la mas apta Par 4 
JL/ mover el pefo y y por ella tendrá la potencia mames jm- 
xuis qa^ por otra qualquiera , mientras ¡atgan todas di un mifino 
punto de la palanca* Explicóme en la palanca AB ( /ig. 20. ) cuj0 
hipomochüo es C* Digo^ que mas fácilmente moverá la potencia al 
pefo por la perpendicular BD y que por otra qualquiera. Suponga- 
mas fe mueva por laBE , que forma el ángulo agudo CBE : luegjo 
caerá dentro del circulo. Tire fe pues la perpendicular CF, que^ co^ 
mo dixej es la verdadera difiancia de la potencia , quando mueve 
por BE. Ejla difiancia CE^es necesariamente menor que la CB^qui 
es la diftancia de la mifma potencia quando mueve por BD : luegt^ 
menores fon fus fuer z.as quando mueve por BE^que quando por BD^ 
Supongamos también que mueva por BG y formando el ángulo ob- 
tufo CBG : conque el ángulo CBHferX agudo , j la BH caer'i dm- 
tro del circulo , j la perpendicular Cl ¡era la verdadera diftancia 
de U potencia^ que fiendo nmm que CB tendrá U potencia meno- 
res fuerz^as y^uando dirige por ella fu movimiento. 

z Si la potencia es un pefo , que mueve folamente la palanca^ 
for fu. natural gravedadyfu verdadera diftancia en diferentes pofi- 
turasfera elfegmento de la palanca hortz^ntal^ contenido entre el 
bipomoeblioy y la perpendicular. Sea la palanca ABj ifig'Zi. )j el 
pefo quepye del^ctmia conju^aveáad efteenB: couftdereje la 

Í4- 



9^ Urat. IX. De ia Maquinaria. 

fálducd en U fttuacion horUomd EF,^ trrefe la perpendic$dár BC» 
Ligo 9 que la verdadera difianáa de daba potencia en B^es DC. La 
taxjon eíy parque el cuerpo grave ffáa fu movimiento por ¡a perpe^ 
dkular al boritjfnte^j a qualquter paralela fuya^qual es EFjypar, 
la nnfma raz^n^ Ji el pejo movente efiuviore enH^ feria fu ver^ 
iadera üfiancia la DG. 

PROP. XXn. Thcorcma. 

Ixplicafe la razM de algunas experiencias cmiofasm 

1 T^E lo dicho (e colige la razón , porqué levantamos 
J 3 con facilidad una pica, tomándola por fu mitad; 
pero con gran dificultad íi la tomamos por un cabo ; de 
íuerte , que folos aquellos la pueden levantar en efta forma, 
que alcanzan grandes fuerzas* Es pues la razón , porque 
tomándola por el medio , la tomamos , y levantamos por 
el miímo centro de fu gravedad ; y aísi oaftan fblas aque- 
llas fuerzas, oue (bn iguales á íu peíb ; pero tomándola por 
un cabo , y levantándola , la dividimos en dos partes muy 
dcfiguales , la menor dentro del puño , y la mayor fuera; y 
fe forma una palanca de primero, ó tercer genero ; de fuer- 
te , que ílempre eftá la potencia mas cerca del hipomo- 
chlio , que el peíb de la pica. 

Para mayor claridad veaíe la^¿. 22. en que la pica 
PL , fi fe toma por el medio M fe divide en partes iguales,y 
íe levanta por el centro de fu gravedad ; y afsi ha meneíler 
pocas fuerzas ; pero tomándola con el puño por la extremi- 
dad PO, fe divide en dos partes muy deííguales, OL ma- 
yor , y ÓP menor ; y la mano hace ofició de hipomochlio, 
y de potencia movente , ó fuftentante de la parte mayor 
OL; de fuerte, que fi el punto delpuño,correfpondientei 
P, fe tiene como fixo, y firme ; y el otro punto que corref. 
ponde á O fe mueve ázia arriba , íerá palanca del tercer 
genero , cuyo hipomochlio es P , y la potencia elftá en O; 

Íes forzólo que por eftár tan cerca del hipomochlio P 
aya de experimentar gran refiftencia en el pefo de la picaf 
y íi la parte del puño correfpondiente i O fe tiene firme, 
y la correípondienta á P moviéndote áziar baxo hace ba- 



Libro 11/ ftp^ 

-íér cA ptuito P , íerá palanca del primer genero , en que la. 
potencia P , por eftár tan cerca del hipomochlio O , ha de 
tener gran dificultad en levantar el peíb de la pica. £1 modo 
de determinar qué fuerzas fean menefter para levantarla en 
ella difpoíicion , fe vera en la Eftatica* . . 

Aqtii fe ha de advertir , que la mayor dificultad fe ííeRte. 
quando la pica eftá en lituacion horizontal , como eo PL; 
porque quanto mas íe elevare , como en PQ^, fiempre (e ha- 
llará menos , por (er la diftancia OR , ó PR , tomada hafts 
la perpendicular , la que determina la mayor, ó menor difi- 
cultad; (2 1.) y fiendo efta diftancia menor que la PL,ó Oí-, 
y tanto menor, quanto mas (e levanta , (e figue íer también 
menor la dificultad que fiente la potencia. 

X Coligeíe también de lo dicho la cauía porqué apli- 
cando la rodilla al medio de ün palo, y las manos a fus ex- 
tremidades, con tanto mayor facilidad le rompemos, quan- 
to más diftan del medio las manos ; yeSj porque (e fbrpiaa 
dos palancas del primer genero , para quienes firve de hi- 
pomochlio la rodilla* Sea (fig. z^.yél báculo GMH, cuyas 
extremidades G , H, fe toman con las manos, y fe aplica á 
la rodilla IL ; es cierto , que forcejando para romperle fe 
dobla algún tanto, de fuerte, que el punto M del medio,(e 
aparta del medio de la rodilla ; conque fe forman dos pa- 
lancas del primer genero HLM , GIM , que tienen el hipo- 
mochlio en L, I; el reíiftente que fe ha de vencer eftá en Ñk 
y las potencias , que fon las manos , eítán la una en H , y la 
otra en G : luego quanto mayores fueren las diftancias HL, 
GI de los hipomochlios , crecerán mas las fuerzas de las 
potencias , y vencerán la refiftencia de M con mayor facili- 
dad , y romperán el palo por el punto M. 

3 Con la mifma dodrina cíe la palanca fe conoce la 
caufa, y ceíla la admiración que fuele ocafionar la figuien^ 
te experiencia. Sobre dos banquillos, ó efcaños de igual 
altitud, ponganfe dos vaíbs H^ I, ( jí¿. 2-4. ) 6 vacíos, ó cali 
llenos de agua para mayor feguridad : pongaíe fbbre 
ellos un palo LO, que efté feco ; de fuerte, que con la fuer- 
za de un golpe fe pueda romper, y (us extremidades paf^. 
fea algún poco ázia el medio ae los vafbs ; y con otro palo 

com-' 



tp6 TrAT. IX. Db t a MAOyiNARlA. 

competente ddde ungolpe en medio con buena üenia ^ y 
fe romperá el palo LO por medio en P , íin daño alguno de 
los vaíbs que le fuftentan t y fin derramarle gota de agua* 
La razón es , potxiue la potencia que mediante el golpe fe 
aplica en P , divide el báculo en dos partes PL, PO , cuyos 
cabos , que concurren en P, (e mueven ázia baxo al tiempo 
de la tracción , y los otros dos ázia arriba , conque ion dos 

Íalancas del pnmer genero ^ cuyos hipomochlios ion ios 
ibiosM , N ae los vaíbs , la potencia eftá en P, que coo íu 
movimiento hace ir ázia baxo las porciones mayores MP» 
NP , y levanta ázia arriba las mehores ML , NO ; y como 
las diitancias PM , PN fean con tanto excedo mayores que 
las ML^ NO, que fon las que (e levantan » es forzólo que 
en los puntos y ó eftrivos M, N , (e haga poca , ó ninguna 
fuerza al tiempo de romperle el palo ]X>r el punto P, y ba 
xar las extremidades concurrentes en P , y fubir las otrau 
ML, NO, por lo que no reciben los vaíbs daño alguno* 

PROP. XXIII. Thcorema* 

Qudmb i§s ptenciás dplicadds 4( hs tubos de U Pdlémca fij 

tienen un fefo que de elU efta pettdienteyi que tienen fu centro d 

gravedad en U núfma Palanca , la potencia mas cercana al pej 

fuftefua major porción que la mas remeta , en proporción 

reciproca de las difiancias. ( jí;« ^ 5 • ) 

LAs dos potencias M,N,eftavan aplicadas a los cabe 
de la palanca, de quien depende el peíb P, Digo , qi 
la potencia M íuítenta mayor parte del peíb, que la potci 
cia N^ en proporción reciproca de las diltancias ; de luert 
qucíi, por exemplo , la diftancia NO es doblada de la di. 
tancia MO , la potencia M fullenta doblada parte de peí 
que la potencia N : como íi el peíb P fuere de 6o. libra 
la potencia M fuftenta las 4o.libras, y la potencia N las 2t 
y para que entre las dos íiillenten el pefo en la polhira le 
bredicha , íerá raenefter que en N, haya una potencia fufr 
cíente para fuíleacar zo» ubras; y en M, otra Daihnte pai . 
40. libras. 

Pe* 



Libro n. 

Vtfimfir. La potencia M íirve de hipomochlio , relpec- 
to d€ la potencia N : luego para aue haya equilibrio , y pue- 
da la potencia N (iiftentar el peio P , havrá de tener la po* 
tencid N, con el pefo P , la mifoia razón » que la diitancia 
MO del hipomochlio , y peíb , tiene con la diftancia NM 
del hipomochlio y y potencia, (i.) La diftancia MO (e (u* 
pono (er la tercera parte de NM : lu^o la potencia N , es 
{i tercera parte del pefo P ; y fiendo efte 6o. libras , (era la 
|K>tencia N baitante para fuftentar 20. libras. Aí^ímirmo 
la potencia N j íirve de hipomochlio á la potencia M : lue- 
go y para que éfta pueda íuftentar el pefo P, havrá dt tener 
con dicho peíb la razón que la diftancia ON tiene con la, 
diilancia MN, aquella es dos tercios de éfta : luego la po« 
tencia M equivale , y íe equilibra con dos tercios del psíb 
P ; y íicndo éfte 6o. libras ^ la potencia M havrá de equiva^ 
1er a 4o, libras» 

COROLARIOS. 

I Q^ ^i P^fi ^fi^ ^ widio de la palanid , tanto fu ftentd la una 

i3 potencia^ como la otra^ 
% Las dos fotencias juntas han de fer imales , d foder tanto^ 
como una potencia , que fin maquina fea fufáente para foftener oí 
fefo. 

3 Deh dicho fe colige y que en la palanca dd primer genero^ 
el bipomcblio fufienta tanto al pefoj como a la potencia^j entram^ 
bos legraban ; pero en la palanca delfegundú genero , el hipomo-^ 
cbUo fufienta parte del pefo , y la otra parte la potencia^ tocándole 
adiada uno fu gravamen fegun fuere la proporción reciproca de las 
difianciasy con el pefo yj potencia» 

4 De lo dicho je infiere también el modo de feñalar el punto en 
la palanca^ para fufpender alli un pefoy de fuerte y que fi los dos que 
le han de fufientar tienen fuerx^as defigualesy fean gravados cada 
uno fegun fus fuerz,as precifamente : como por exemplo^ fi fmo pue- 
de Jotamente fufientar pefo de zo. libras y y otro puede fufientat 
40. fumen fe entrambos números , j feran 6o. Dividafe aora la 
palama en dos partesyque tengan entras la rasj^n que 40. tiene 
con zo.yfea el punto O: ( Jíg.25. )fufpendafe en O un pefo de 60. 
üb. y poniendo la fuerz^a menqr ^Nyyla mayor enMy fer a éfta 
gravada en 40. mas y y aquella en xo. porque fer a como NO le 

hLOi 



%g8 Trat. IX. Dfi LA Maquinaria. 

MO ; dfsi Idfuerzjíf y gravamen de M^ i la fuerx^y y earga 

5 Qff l^ faláncáfea más UrgOyl mas ceftajnaia eerukce fa^' 
ta majin , I menor facilidad dejufieutar el fefi , rmentras que la 
freforríon de las diflanáas cenlaspútenáasfea unamifma : €0-- 
mofila falanca majw MSj j la menor QR eJÜn divididas en Oy 
y S frofarcianalmente , efio es^que MOaoS aféateme QS ¿ SR^ 
y el mifinoyi igual fcfo P fe fu ff ende en entramas par dichos fsm^ 
tosjelmifmo gravamen fentirin las potencias en la una que eníéO 
otra ; porque tanta parte del pefofuflenta la potencia M , como Q^ 
y la potencia N , como R; y por el coroU i. las potencias M^y IÑ jun- 
tas , fon iguales al pefo Penla palanca mayor y como tatidnen en 
la menor. 

PROP. XXIV. Theorema. 

Quando dos potencias fuñentan un pefo , cuyo centro de gra:9edaí 

epa fobre la palanca , jr eña tiene fttuamn oUiqua al hártente JU 

potencia que efta en el cabo mas baxo fieme mayor pefo ; y al 

contrario fi el centro de la gravedad efta áebaxo de 

la palanca. ( /ig. 26. ) 

LAs potencias A , y B llevan en (ituacion inclinada un 
pelo , cuyo centro C eltá (obre la palanca , y en medio 
de ella. Dieo , que la potencia B fuftenta mayor parte del 
peíb , que ía potencia A. La razón es , porque el pefo íiem- 
>re agrava las potencias por la linea perpendicular , que es 
a que determma las verdaderas cUftancias del pefo , hipo- 
mochlio , y potencias : luego el peíb C , que en la diípofi- 
cion horizontal de la palanca catearía fobre el punto D, en 
la oblíqua carga (obre E , mas cerca de la potencia B , y mas 
lexos de A : luego (23.) la potencia A fíente alivio , y la B 
mayor gravamen , y peíb, 

Pero fi el peíb tiene íu centro de gravedad debaxo lá 

f)alanca, como en I, íucederá al revés; porque agrava por la 
inea perpendicular IK , y es lo midno que fi eítuviera pen- 
diente del punto K : luego fe acerca mas á la potencia F mas 
elevada , y íe aparta (jíe la G mas baxa : luego aquella fenti* 
ra mayor gravamen ^ y éfta , alivio. 



E 



«99 

LIBRO IIL 

DE L.A SEGUNDA MAQUINA 

Fundamental , llamada Torno , Ar- 
güe y o Exe en la rueda. 

DEfpues de la palanca., fe íigue la inunda nuu 
quina fundamental , llamada cpmunmente tor- 
no y b argüe , cuyo nombre Greco-Latino es 
Axis in ptritrochio f que es Jo mifmo que un exe, 
ó cilindro en la rueda. Tiene tal dependencia de la palan> 
ca , que caíi no íé diftingue de ella , como luego veremos; 
por lo qual no íerá difKultofa fu noticia á quien tuvierq 
bien comprehendido lo que expliqué en el libro aiKece- 
dente. 

PROP. I. Theorema. 

1 

"Exftictft U forma f y ^fpoficm del torno , fus difarenciasy 

; ufo. 

PAppo Alexandrino en el fin del Ub. 8. de las Colecck- 
nes Mathewdtkas j y otros Autores ^ defcriven el tor- 
no en la forma figuiente. Veafelaji^i 27. en la qual AB es 
el exe^ 4bl4y ó íabrio , que es ur>cilií)5fo, ó CÓlij^na rcdoiÉida, 
llamada también tímpano : E , y F fon los clavos cilindri- 
cos , y muy firmes , que ruédíán áentro los encaxes de los 
maderos , ó pies FG, EH , dé tal fuerte , qfue el exe venga k 
tener fituacion horizontal : CD es una rueda bien unida 
con el exe. , á quien ll^mah los Gn^gos ^'moflm , ,yde 

quien 



300 Trat. IX. De la Maquinaria. 

3uicn íalen los rayos SQ, CN,&c. La cuerda de quien pen- 
e d pefo ^ fe ata fírmemetite al exe ^ y queda formado el 
tomo. 

Su u(b es coitio (e fígue. La mano , ó potencia motriz 
fe aplica á los rayos de la rueda , y haciéndole dar bueltas 
juntamente con el tímpano , ó exc » va rollandofe en él la 
cuerda que lleva coní j^ el pe(b L , y ]e fube ázia arriba. 
£1 tomo puede íer en dos maneras* £1 uno tiene el 
tímpano borirontal, ó paralelo al horizonte,como es el que 
«cabamos de explicar. £1 fegundo tiene el timpano per- 
pendicular , como fe ve en la fig. i8. £1 primero íirve or- 
dinariamente para levantar los pefos ; y el fegundo , para 
traerles horizontalmente, o hacerles fubirpor la cuefta de 
un monte. No me detengo mas en la explicación de la fa- 
brica del inundo , por no diferen'ciarfe de la del primero 
mas que en la (ituacion. 

£uas dos efpecies de tomo íe pueden , y fuelen (abri^ 
car tin raeda , atraveíando (blamente por el tímpano dos 
palos, ó perticas fuertes ; conque tienen el mifmo u(b que 
los ((^redichos , pues aplicándole la potencia á las extre- 
midades de las perticas, V dando bueltas , fe embuelve la 
cuerda en el timpano^y ie fube,ó trae el pe(b con facilidad 
iuma. Si la fituacion del timpano es horizontal , ó paralela 
al horizonte, como en la fig. 29. (e llama fuccuUj y cabrioy 6 
triubá;pcro íi dicho timpano es perpendicular al norizonte^ 
como en hfig.zo* fe llama en Latín ergata^ y vulgarmente 
dtgue. Todas eítas maquinas convienen en una mifína dif- 
poíicion eíFencial , y aísi (bn unas mifmas fus propieda- 
des , que explico eo las propoliciones figuientes. 

PROP. n. Theorema. 

H t9rtt§ ts T4lmc4 ferpitu4 del frimer genero, (fig. 3 1 « ) 

SEa ABC la craísicie, 6 baía del timpano,cuyo diámetro 
fea BC , y íu centro £ : la rueda concéntrica al tim- 
Sano fea FGH , en cuya periferia eft^n los rayos HI, PO, 
ce. y áü punto B del tio^ano cfté pendiente el pefo K, x 



Libro lÍL ^ci 

la potencia (upongafe aplicada en I : concibafe la linea 
lEÉ paralela al horizonte ; conque la potencia aplicada en I 
hará con íu impulíb baxar el rayo IH , y juntamente hará 
rodar el torno , hafta oue la linea lEB tenga la (ituacion 
OEN, y el punto B de la cuerda fe íubirá a r4, á quien fe- 
güira el peío : donde (e ve claramente , que el punto E es 
inmoble , y por configuiente hipomochlio , la potenza eP> 
tá en 1 9 y el peíb en B : luego lEB es palanca del primer 
genero , que tiene el hipomochlio entre la potencia , y el 
pe(b : luego el torno viene á íer palanca del primer gene- 
ro. Que lea palanca perpetua es conílante , porque como 
el torno íea circular, en haviendo baxado la palanca lEB á 
OEN , íe pone en el lugar de aquella la TEQ^, y baxando 
éfta de la mifma fuerte, fe fubftituye otra en fu lugar, y aC- 
fi infinitamente : conque moviendo fuccefsivamence la po- 
tencia los rayos del torno , continua el movimiento (uyo,y 
el dd peíb quanto quiere; luego el torno viene á íer palana 
csL perpetua. 

PROP. IIL Theorema, 

ta fotencia viviente , que frecifamente bafta fara fujlentáf tm 

fefo en el mno^ tiene con el pefp la razan mfma que el fe- 

midióme tro del tímpano , con el femdiametro de 

U ruedn , j rajo ; j al contraa^io. 

Dlgp , que fi una potencia viviente , como por exém- 
pío, la mano , aplicada en I^ tiene equilibrio con d 
peíb pendiente de B ; eítoes^ tiene preciíamente las* fo^- 
zas que bailan para fuílentarle , tendrá con el peíb la ra- 
aon miíma ,que tiene la diftancia , o femidiamptro EB del 
timpano , á la diftancia £1 ^ compudk del íemidiametro 
EH de la rueda , y del rayo HL La razón es , porque (2^^ 
la IB es palanca del primer genero , cuyo hipomochüo e5 
E> la potencia cftá en I, y el pcfo en B : lu^o (lib.z.fropiu^ 
quando el pdo , y |>otencia guardan equilibrio , tienen en- 
tre si razón reciproca con las diftancias , y ííriín I á B, co- 
mo B£ á £1 : y í¡ guardan efia proporción , tendían equi- 
librio* ; . . . 

co- 



302 Tkat, IX. Db la Maquinaria. 



I COROLARIO. 

7 ifie €df$ fiemfrefera Upotemid memn 
^ifimfre £B yrr¿ merm que EL 

PROP. IV. Thcorema. 



E 



ExflUafe U p9fwcm que tiene en el mm U fotenáá inámmá* 

da con el pe/0, (fig* ^i») 

LA potencia inanimada fea el plomo D , y primeramen- 
te (ufpendare en I , y tenga equilibrio con el pelo íúC- 
peníb en B. Digo, que en eita poftura horizontal, la mifma 
razón tendrá la potencia D al pefo K , que tiene £B con 
£1 , por la miíina razón de la prop. anteced. 

Suipendafe d mifmo pefo en T , y comp el plomo 
4)bre íegun fu peíb , y gravedad natural , moverá el corno 
exerciendo fus fuerzas por la linea TD , que va ázia el cenr 
tro de la tierra. Tirefe del punto Encentro del torno,la EH 
perpendicular á TP. Digo, que la potencia TD al pelo K, 
aplicado, ó pendiente de B , tiene la mifma razón que £B, 
diitancia de dicho peíb al hiporoochclio , á la perpendicu- 
lar £H« La razón es , porque £H es la verdadera diílancia 
entre el hipomochlio , y potencia , por moverle en. efte ca- 
fo la potencia por linea obliqua á la palanca TQ^^ T£Q¿ 
(2i./f¿.2. deeftetrat.) luego por eífas diftancias fe han 
de medir las fuerzas de la potencia. Efta razón no vale en 
la potencia animada , porque como éfta mueva al pelo pro- 
cediendo por linea circular , íiempre impele por la tangen* 
te , ! que es perpendicular al radio I£ : conque íiemprc 
guarda una mihna diftancia del hipomochlio , y íiempre 
es una mííma la dirección de íu movimiento ; y el arco que 
cofre lia potencia , guarda - fiempre una mifma proporción 
<an el míe camina el pefo ; y afsi , de la mifma fuerte íe 
miden íus fuerzas en I£6 , que en TEQ^^ como antes dixe. 

COROLARIO. 

Slgiüfi diUáiáa, q^ 4gundo U fue^fia ef inanimada y clh 
m ffnr exemfh el piorno D^ nofiemfre es menor que-elfefr^ 



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Libro I/L 302 

jnien ff eqiálürd en el tomo : perqué U ferpenákulnr que fafe 
\ centro E ál ferpendUulo TD ^ puede fer menor que eljenüiia- 
tro £B del úmpám aporque el perpendículo TD puede caer/obre 
mifino femidiameno entre Q^j E'yji en efte cafo^ esforMfifea 
$ji$r U potemia , que elpefo á quien fofiiene. 

PROP. V. Problema. 

>édú el fenúdiámitfo EB del impanoj (fig. ^u) y U áijlanáá 

lEy i HEy bollar las fuérzaos del plomo pendiente ae i,» de T, 

bafiames para fufientar el pefo pendiente 

de B. 

C\Tera£Íon. Hagaíe una regla de tres en 1^ forma fi- 
J guíente ; y para claridad ^ fupongo y que lE conlla 
3e ¿. partes iguales ^EBiy que HE contiene 5. de dicha^ 
partes : íea el pefo K de 6oo. libras : haga(e , como El 6. á 
BE I- aísi 6oo, á loo. Digo pues , que la potencia que 
aplicada en I,es fuficiente para fuftentar el peíb B, es equi< 
y alenté á loo. libras, Afsimífmo , como HE 5.^ BE i. afsi 
¿OQ. i IZO. conque la potencia , ó plomo puedo en T , (1 
{¿equilibra con B 6qo. es de 120. libras. Conlta de las pro- 
ffficiones 3. y .4. 

PROP. VI. Theorcma. 

^anio la potencia tiene mayor raz4>n con el pefoy que elfemidid- 
metro del tímpano al fenúdiametro de la rueda junto con el radiOy 
eíey^tra la potemia al pefo* También fila diftancia de la potencia^ 
y el centro tiene mayor razj>n con el femmametro del timpa- - 
no,que el pefo a la potencia^levantara efia al pe- 
fo y y al contrario* ( Jíg. 5 1 .) 

Digo lo primero y que íi la potencia aplicada en I tiene 
mayor razoix con el pelo pendiente áe B , que tiene 
EB con EI^ la potencia y no íbio fe equilibrara con el pefo, 
Y le fuítentará , fi que prevaleceríL , y le levantará. Digo 16 
icgundoy que fi la lE tiene m^yor razón con EB, que tieníe 
.^1 pefo en B con la poteiicia aplicada en I •prevalecerá la 
potencia , y levantará el pefo fobre el equ$brio. Digo lo 

■ ' ' ' • ter- ■ 



304 Tkat.IX. Db la Maquinaria. 

tercero 9 Que íi la potencia prevalece contra el pe(b levati^ 
tandole íbbre el equilibrio , tendrá con el peíb mayor ra^ 
2on, que EB con Él; ó que £1 con £B tendrá mayor ra^ 
zon 9 que el peíb con la potencia. 

Detmnfif. (2.) La lEb , es palanca del primer genero. 
En la palanca fe requieren dichas proporciones , para que 
la potencia pueda levantar al peíb, como demonftré eu las 
pof. 4. y 5. dd /i&. 2. luego también en el torno. 

COROLARIOS. 

I Ty Ara qui U fotenciá que frecifaminu fuñentavá al feféjU 
X p^fdd mover , y levanur yh fe hade nacer majar , 9 üm 
i€ apartar fe del centro mas de lo que efiava : comofi una fotenáa 
dfücada en H ^fujientava el feío K, fara que le pueda mover , jf 
hacer fulnr , es frecifi y o que mba potencia crez,ca , i que fe ajv* 
que al punto I. 

2 Quanto major fuere la diftancia de la potencia al centro^ 
refpeHoael femiibametro del tímpano y tanto menor potencia ferl 
bacante para fujientar j y levantar elpefo. T quanto una rmfma 
potencia mas ¡e aparthe del centro del tvnpano , con tanta major 
facilidadyj fuAvidad fuftentar\j mover a al pe jo. También quan- 
to mas delgado fuere el tímpano > tanto menor potencia bajiark 
fara fujieutar el pefo , permaneciendo las mifmas circunjiaih 
€ias. 

3 Si rodando el tomo , de tal manera fe rolla la cuerda^ que 
unas bueltas caen fobre otras , crece la dificultad de mover el pefr^ 
porque crece el femidiametro del tímpano , que ademh de la tna^ 
nitud que tenia , induje logruejfo de la cuerda tantas veces;quan- 
tas fueren fus bueltas\jfiendoftempre una mifma la diftancia di 
la potencia , esfuerx^a tenga menor raz4>n cm la difiancia del fefo^ 

r j le levantara con major dificultad. 

'4 QUando la potencia mueve Un pefo en el tomo , la núfma rÁ- 
z4>n queüaj de la dinamia entre la potencia^j centro del timpan^ 
' al femidiametro del tímpano y effa müfinahaj de la veloádad con 
que fe mueve la potencia y a la velocidad con que fe mueve el pefiz 
porque mientras la potencia baxaporelarco ib, el punto B de la 
cuerda que llevx ai je fo, fe fube por tí arco BÑ ; j tanto preáfé- 
mente jube el pefaH aziá b : luegé la imfma raz4n4ieneelafi§ 

10 



Libro III. ^05; 

10» ^M ilénco tíBj^itu can el efpácio que fube tlftfi ; el árc§ 
10 éd t^B ^ tiene UrazM de lE i BE : luego el mevimieme de U 
foténcU , al del pefo , es cerno Ifi 4 BE. 

^ Ld velocidad de la Potencia Tí la del pefo , y la linea que 
aquella corre j i laque epe camn4 » tiene motor froforcion que 
el fe jo a la rmfma potencia en el cafo fobredicho. 

ó Quanto mas tardo es el mowmento del pefoj refpeño del de 
id fotenaia y tanto mas facilifume fube el pefo : conque dfsi eti el 
tarnoy como en las demás maquinasy tanto mas fácil es el levantar^ 
y nmver el pefo f quanfo mas tiempo fe gafla en fu movimiemo* 

PROP. VII. Theorema. 

lExpücafe la maquina llamada comunmente Gru4* (fig^lt^y 

ES bien conocida la maquina i quien llaman los Grie- 
gos Geranon , y vulgarmente Grúa : ufan de ella co^ 
snunmente los artífices para iubir las piedras grandes , y 
pefadas á las fabricas : conlta de una rueda graixle FG , y 
un tímpano CI ^ á quien íe ata una cuerda , que paflando 
por la garrucha H , fe ata firmemente al pefo que (e ha de 
iUbir. >u ufo es bien notorio : entran en la ruraa uno , 6 
¿os hombres, y como fi caminaffen, van pifando la circun^ 
ferencia interior , conque da buekas la rueda, y íe embuel* 
ve la cuerda en el tímpano, levahtando,y fubiendo el pe(b« 
Las fuerzas de la potencia aplicada en A ^ para íubir el 
peíb , fe han de coníiderar en la forma iiguiente : porque 
el hombre pueíto en A mueve la rueda,en virtud de íu pro* 
pía gravedad , tirefe la linea AD perpendicular al horizoii-< 
te 9 que es la que dirige el ímpetu de la gravedad: del cen« 
tro ¿ de la rueda, tirefe la Cu perpendicular d la (bbredi*^ 
cha linea , y efla íerá la verdadera diflancia entre el ceiítio 
y la potencia ; ( ii.i.Maquin. ) y fegun ella, le han de ni- 
velar las fuerzas de la potencia: de fuerte, que íiendo como 
CD al íemidiametro del timpanp ; aísi el pefo L , á la po- 
tencia A , podrá éfta fuílentar el pe(b precifansente ; pero 
iiendo la razón de CD , al Íemidiametro del timpano, ma« 
yor que la del pefo á la potencia , vencerá éíla , y le fubiri 
quanto quiíiere» ConlU de las propoficionfs /\.y 6. de efte U^ 



2o5 Trat. IXr Dfi LA MAoyiNARi a; 
bro. Ella maquina es peligrofa, porque (i (e rompe la coet- 
<k , lleva gran riefgo la vida del que mueve la rueda , por 
la gran velocidad con que (e rebuelve. 

s 

PROP. Vm. Theorema. 

Tbcflkdnfe dgmas mdqmnás ycujfas juetjus tienen defendem 

del tmw. 

m 

\ 

1 T? L Mgm ft aplica regularmente con feliz efeéte p*» 
Jji íubir piedras grandes jV otros materiales á las fa- 
bricas en la forma que expreflía la j!¿. ^3. Puede moverle 
un cavallo , 6 muchos hombres aplicados á los rayos , o 
palahcas A, B, C, D; y quanto eftas fueren mas largas , Te 
podrá fubir mayor peki,y con menos fatiga. La cuerda <|ue 
fube el peíb) le guia por la garrucha E, que ha de dtír bieá 
firme en tierra ; y dando la buelta por otra garrucha f^ le^ 
Váhta el pefo al lugar que fe defea^ 

2 De (emejante maquina ufan los Marineros , paraar* 
ranear ,.y fubir las ancoras; para entrar coías de mucho p^ 
lo en los navios; para facar á tierra algunos barcos grandes; 
y para otros muchos efedos. 

5 Al tomo fe vienen á reducir los molinos , tanto de 
agua , como de viento , cuya diípoíicion no explico por/eiT 
tan vulgar , y fabida. 

PROP. IX. Theorema. 

tx^cafe el mdmülofo ametito de U faíemía con des^iiMi 

Palancas. (/í¿*34.) 

USan comunmente los artífices de algunas maquinas^ 
que por componeríe de muchas de una mifoiaeP 
pecíe , alcanzan mayores fuerzas. Las primeras que fe do5 
ofrecen fon las que fe componen de dos , ó mas tornos ; / 
íupuefto que ( como dixe en la propof 2. ) el torno íe redu- 
t:e a la palanca , la maquina compuelta de dos , ó mas tor* 
-nos fe reducirá áfla compolicion de dos , ó mas palancas; 
y a(si y aunque la compoucíon de muchas palancas fea rC' 



Libro IIL'i 307 

gularmcntc de poco útil ^ G no Ion* perpetuas Como el tor- 
no ; pero es neceflário tener entendido el maraviUolb au« 
mentó de fuerzas que con ellas adquiere la potencia , para 
llegar ai conocimiento de lo mucho que puede , aplicada a 
las maquinas compueíbs de muchos tornos. 

Sea pues (figura 34.) la palanca IM , cuyo hipomochüo 
es L ; y íea ML á LI , como lo. a i. conque la potencia 
aplicaaa en M , podrá diez veces tanto como por sí íbla^d 
equivale á 10 potencias iguales a ella.mifma : apliqudíei 
fu extremidad otra palanca NP , cuyo hipomochlio lea O^ 
y fea PO i ON , también como ip; á i. conque también 
la. potencia aplicada en F , valdrá por io« potencias iguales 
á ella mifma y refpedo del pefo , o reíiftente que eftuviero 
en N: luego la potencia'apUcadaenP vale por lo. paramo- 
ver ázia baxo el punto M de la paknca MI : luego puede 
ella (ola tanto para levantar el pelo 1,'como (i lo. potencias 
iguales eltuvieran en el cabo M» Cada una de eftas vale por 
10. como dixe, por fer ML á LI como lo. i i. luego la po^ 
tencia aplicada en P vale tanto como loo. para mover , y 
levantar el peíb L 

La razón es evidente ; porque el punto P tiene diez ve- 
ces tanta velocidad, como el punto Ñ, ó M: efte punto M 
tkine también lo. veces tanta velocidad , como el puiito¿ 
ó peíb I : luego el punto , ó potencia P tiene roo. veces 
tanta velocidad como el pefo I : luego fegun el principio 
general de la maquinaria , fropof 8. Ub» i* la potencia en P 
vale por lOo. para . levantar el pefoL De eña fuerte íe 
irían aumentando las fuerzas de la potencia fin termino^ 
añadiendo mas , y mas palancas^ 

PROP. X. Tl^eorema. 

- . • - 
Mxflkafc la fuerza de algunas maquinas cmfuefiás ie t0ffáSn 

{figura i^.) 

\ 
I ^Ean los tomos perpendiculares , 6 argües M , N ; y 

' ij fea la palanca , ó rayo HI decupla del íemidiame-? 

tro del timpano N : luego la fuerza aplicada en I valdrá 

po^ I o. para tjraejr el brazp , ó rayo fQ del timpaqo M: y 

lii fu- 



1 



I 

I 
I 

! 
I 



t 



1 



308 Tr AT. IX» Dfi t A MAQyiNARIA; 

liipuefto (ea tambicD FG decupla del (emtdiametro de (u 
tímpano, podri la potencia aplicada en I tamo como loo. 
para mover el pefo P. Confta de lo dicho en la propoCan* 
cecedente. 

1 Por quanto en la diípoficion (bbredicha , (blo puede 
dar el tomo M una media bueíu , es dicha maquina cafi 
del todo inútil; por lo qual (e difponen los tomos en la íbf- 
ma (¡guíente, en. que el movimiento (e fiueda contínuac 
quanto íe quiera, mediante una cuerda , que por efta cau-> 
ia llaman per^mM : rebuelvefe éfta en el umpano N , y en 
la meda del timpano M , cruzándole entre los dos , como 
(e ve en la fig. 30. con lo qual la potencia aplicada en I , es 
poderofifsima para traer el peíb P,como queda dicho. Apro- 
vecha efta maquina para inumerables . uíos mecánicos , co- 
mo todos faben ; ó con la difpocion (bbredicha, en que los 
timpanos (bn verticales,y las ruedas horizontale$;ó en otra 
en que los timpanos (on horÍ2ontales,y las medas verticales, 
proporcionándoles al efeáo que por fu medio íe pretende 
confeguir. 

PROP. XI. Thcorema. 

Ixfücáfe la ejbifenda fiiOTM^ de las maqmnas cenffueftas de rue^ 

das ten asentes, i^g^n^) 

LAs maquinas que (e componen de diferentes medas íe 
reducen claramente al torno , como á maquina fun- 
damental ; y reducicndore el tomo á palanca perpetua, (t.) 
ferá fácil también demonítrar , fe reducen dichas ruedas \ 
palancas perpetuas , como veremos en la propof. íiguiente. 
Las fuerzas que adquiere lá potencia aplicada á eítas ma- 

Juinas es admirable ; y para que fe vea con claridad , íea 
lDF lüi exé muy firnie , que tenga bien.unida h medeci- 
ta F con dientes , ó cilindro, ó timpano eftriado: los dien- 
tes de F ajuften con los vacies de los dientes de la rueda G, 
cuyo exe tenga también otro timpano eltriado M , cuyos 
dientes , 6 eílrias encaxen en los de la rueda H ; cónico tam- 
bién los de N , con los de la rueda I , de cuyo exe efté pea- 
diente el pefo. P. 

Su- 



L I i R o IIL 309 

Supongamos » que la potencia aplicada en A (ea por si 
baftante para mover loo. libras de peíb ; y que AD (ea 
decupla del femidiamecro del timpano F ; y que la rueda 
G tenga tantos dientes , que para que ella dé una buelta, 
haya de dar lo. el timpano F : aísimi(mo la rueda H tenga 
tantos j que para dar una buelta haya de dar io.el timpano 
M : y de la propia fuerte la rueda í » reípedo del timpano 
H* Digo y que la potencia , como loo. aplicada en A 9 po^ 
drá levantar loooooo, libras de peíb« 

Denumjh. La potencia A corre diez veces mayor eípa* 
cío que la rotula. , 6 timpano F ; el timpano F , diez veces 
mayor que la rotula , ó timpano M; y éflie , diez veces m^- ' 
yor que N ; y éfte también anda diez veces mayor eípacio 
que el cilindro LO ; las fuerzas de la potencia crecen en la 
mifma proporción , en que fu velocidad excede á la velo- 
cidad ael peíb , como confta del p'tncmo funddmentdlde U 
Maqiúnaria: luego la potencia A, refpeao del pefo P, equi- 
vale á diez mil potencias iguales á sí mifma ; y fupomen- 
dolé fer la potencia A igual á loo. libras de peío , que fon 
las que preciíamente puede mover por si (ola , equivale 
en las fuerzas i diez mil potencias , bailantes cada una para 
mover loo. libras: luego la potencia aplicada en A , podrá 
levantar , y mover en virtua de efta maquina ioooooo»lib» 
de pelo. 

COROLARIOS. 

I /^Vando la fuerza natural de la potemia es muy ere c ida, 
\J fe de fea pan velocidad en el fefo que fe mueve , true- 
^^mcan fus lugares ía ptemia^y fefr. fot que fue fia la po- 
teruia en la periferia del timpano l^y el pefo en A^fe movería efte 
con tal velocidad , que (fegun lo arriba fupuefio ) doria en A mU 
bueltas , mientras la rueda l da una buelta ; y como la velaúdad 
de la rueda I fe fuponga diez, veces mayor que la del tknfano lO, 
daria el pefo A diez» mU bueltas mientras doria una la potencia 
en L* 

z Délo dicho ¡e colige^ 9^ fifi difpufiejfen 50. ruedas en U 
forma fobredicha , de fuerte , que fus movimientos procediejfen en 
poporáon decupla , pdria una fola hormiga , con efia maquma^ 
nmff no fola el globo de U tierra^ si también un gbob^ lUm de are-- 



y 



glO Trat. UL De la Maqp in aria. 

mdy igui en U CAfáádsidffnuammo ; forqut , como demiujhá 
id PaJre CUm en U Esfetn^ i h ultime del cap. i^el numetQ qm 
eenflade ^o.z^osyyl4Mm(Udjesmaji9r que elnumerodeUt 
granes ie arena que pueden caber, dentro el ambite del firmamoh 
te yjUs 50. ruedas , cuya vebcidad precediejfe en-preperden ie- 
eufía , dar'tan a la potencia tal veloádad , que cenia déla arené 
que üenaria el amlnto del firtnamento , feria como dicho numere ée 
la unidad 9^50. z,eres con un grano de arena , i con una horrmgei 
luego i fia podrid mover todo el pefo fobredubom 

PROP. XIL Thcorema» 

lasfobredkhas maqmias cempuefias de ruedas y fe reducen ¿ P^* 

* laucas perpetuas. ( fig. 38. ) 

LA razón es, porque íi bien íe confidcra , los dientes qüc 
coronan las ruedas de las íobr'edichas maquinas , ton 
Olías tantas palancas , que fe van fuccediendo unas á otras, 
de tal (üerte, que en pallando una, fe fubttituyc otra noien- 
tras dura el movimiento circular de las ruedas. En eíta fu- 

1>oíicion fe demueftra también claramente el aumento de 
as fuerzas que adquiere la potencia con muchas palancas. 
Sean pues tres palancas MN,OP , Q^,difpueltas como ft 
cxpreffa en la hgura; y fea MSa SN , como i. a 10. y afsi- 
mifmo OT a TP , y QV a VR. Digo, que la potencia apli- 
cada en R, refpedo del pefo M , vde por mil. 

Demonftr. El punto R fe mueve diez veces mas que 
Q^ ó P ; y P íc mueve diez veces m ts que O, q N : luego R 
fe mueve 100. veces mas que N ; efte punto N fe mueve 
diez veces mas que el peío M : luego la potencia en R f^ 
mueve mil veces masque cl-pcfá M : luego (8. 2. de elle 
trat. ) la potencia R vale por mil para levantar el peíb M# 
Eilo no íería afsi , fi en lugar de las tres palancas íe uíaífc 
de la ÁB , igual en longitud á ellas ; porque la diftancia LB 
es folamente treinta veces mayor que AL : conque la po^ 
tenciaen B folo vale por jp. para levantar el peío A, q^c 
es notabiliísima diferencia. 

Delodicbohafta aqui fe colige baftantemente el fundamente 
iuo que confifte Us fuerzas de las maquinas compuefiasde ruedas^ 

que 



'-\ 



lixBRO IV. 3XX 

míe érdmárUméiUi Jirven en bs nrnüms de agiu^y viente jj etres 
wnumerMesy de que ufáláBiirMÚkáy jfe exfUcaran en fu fre^ 

LIBRO IV. 

DE LA TERCERA MAQUINA 
fundamental , llamada Carrillo^ 

o Garrucha. 

■ 

LA tercera maquina fundamental y que el Latino lla- 
ma del Gríqgo Trochtea , y nueftro vulgar Garru^ 
cha y Carrillo , ó ?qUa , es^quina tan conocida 
como ufada por los Artífices para mover , y le- 
vantar piedras y y otras coías de gran peíb : fus fuerzas Con 
excelentes , y ucilita mucho el trabaja y íingularmepte. 
quando á ella fe añade el argüe y ó torno y fegun el ellilo 
vulgar , y corriente. 

DEFINICIONES. 

I /^ Anmhét y d Pelea y es ma maquina que confia de una^ ^ 
Vj muchas rodafosj o ruedas fequeñas^ que Je mueven cir- 
eularmente fobre fits exes yjfor quienes pajfa ia cuerday que trae y 
i levanta al fe fe. 

2 La garruchay es de diferentes maneras y fegun el numer» 
de las rodajas de que ¡i comfone. Si confia de. una fola y fe llama 
fimpUj o monopaftos y comoenlafig^^^.j^i^ Si dos ^ fe llanta 
(üfpaftos. ( )íg.4} . ) si tres y trifpajlos. ( jíg-40. jf 44» } r generalr. 
menteyfi confian de muchos carriUosy b rodajas y fe llaman polif- 
fafios j b poleas compueftas. 

3 Qí^fqukra de eftas efpecies de garruchas pueden fer^ i 

me- 



3i2 Trat. IX* De la Maqjjinaria; 

mavMes , ) inmtbles. MvvibUsfin aquellas , cujas ruedas no fiU 
tienen el nwmñento al rededor de fu exe , fi que también fu exe^ 
y tpdala maauma tiene movimiento^ como en la fig. 41. Otras Jim 
énmoUes^ y Jon aquellas^ cuyos exes ejlin fixos en un mi fino lugar, 
yno tienen mas movimiento^ que elaeUsrueddsfolfrefuexe^oo^ 
moenlafg* i^. 



/ 



PROP. I. Theorema, 

la Gormaba fencUUji Jáonofpajlos^ fies inmoble ^ ni añade , m 
qmafiurzAs^l la potencia. (j!¿-390 

SEa la garrucha íimple AB inmoble , efto es , pendiente 
de un clavo fíxo por el garfio Ht Digo, que no aumea- 
ta, ni difininuye las fuerzas de la potencia , que aplicada en 
£ , y tirando ázia baxo, hace fubir el peíb D. 

Demonftr.Qüarídocn una maquina los movimientos Hel 
pelo, y de la potencia Con iguales, no (e aumentan, ni díT- 
minujren las fuerzas de la potencia; pero en la garrucha íim- 
ple, é inmoble fon iguales los movimientos del pefo , y po- 
tencia : luego no fe aumentan , ni difminuyen las fuerzas de 
dicha potencia. Oye (ean iguales dichos movimientos , es 
claro ; porque li la potencia baxa deE , tirando la cuerda 
hafta G , el peíb D, obedeciendo á fu impulíb, fube ai pun- 
to I ; y como en todo cafo íea una miíma la longitud déla 
cuerda , íerá DAE igual h lAG ; y quitando el íegmento 
común I AE , (era DI igual á EG : Juego el movimiento del 
pefo , y potencia fon iguales ; y por configuiente, en virtud 
de eíla maquina, ni íe aumentan , ni difminuyen las fuerzas 
i la potencia. 

Aprovecha pues eña maquina fojamente para facilitar 
el movimiento , tanto del pefo , como de la potencia, qui- 
tando aquella dificultad , que ciertamente caufaria el ro- 
zarte la cuerda alpaflar por fobre el exeC, ó por otro 
qüalquiera cuerpo fixo , e inmóvil , fino eftuviera la rueda 

3ue acompaña con fu movimiento circular el de la cuer- 
a. Logra también el hombre que íiibe un pefo con éfta 
maquina un grande alivio , que no configuiera fin ella, 

^ pues 



Libro IV. 31J 

pues es derto^quefin la garrucha para levantar el peíb,havia 
neceíiaríaroente de agoviaríe , é inclinaríe , experimentan- 
do , y fintiendo toda la gravedad del peíb los mufculos, y 
iiervios^ lo que no fucede aplicando los brazos a la cuerda, 
que tirando coníigue con mayor fuavidad el miímo efedo# 

COROLARIOS. 

X X il ganucbs fimpU j eslo mifm qui una f alone a perpe- 
1 j tua del primer genero de brázjos iguales. La rax*on es^ 

{arque aunque baxando la potencia i j fubiendo el ftfo , figa tam- 
ien ) J ruede el carrillo ; pero fiempre las diftanctas CA , CB fon 
iguales : conque efiando fiempre el pefo pendiente de Ayj la poten^ 
cta de B, 7 el hipomochüo en C, entre la potencia^ y pefo^fera con- 
tinuamente la garrucha una palanca del primer genero^ en que 
fiempre las dífiancias del pefo , j potencia fon iguales. 

z Coligefe de lo dichoj que fer rñtjory ^ memr el carrillo^ no 
da majoreí fuerz,as a la potencia , porque fiempre es igual la dif 
tanda de la potencia a la del pefo j diltando entrambos delexeyi 
centro C^U dijlancia precifa de los jemidiametros Ca^CB^ que 
fiempre fon iguales^ fea el circulo mayor,h menony por configuien- 
tey tanto en el carrillo mayor como en el menor y es igual el movi- 
miento en el pefo^y en la potencial luego no da mayores fuerzM el 
carrillo. 

PROP. II. Theorema. 

Con la garrucha fimple inmola puede un hombre levantar un 

pefo mayor que el fuyo. 

DUdafe fi un hombre , que por lo regular fuele pefar 
150. libras , podrá levantar con la garrucha fimple 
inmóvil un peíb mayor , como de 200. libras. A efta duda 
refpondo con diftincion : ó el hombre íc aplica á la ma- 
quina, fuípendiendo folamente fu cuerpo déla cuerda coa 
las manos , ó hace fuerza eftrivando con los pies en tierra, 
. ó en una pared , ó otra coía firme. Si aplica fus fuerzas del 
primer modo , folo podrá levantar un peíb igual al fuyo: 
porque fiendo la garrucha lo mifmo que una palanca del 
primer genero > de iguales brazos, el peíb natural del hom- 
bre- 



y 



JT4 Trat. IX. Db t a Maquinaria. 
bre (blo íe podrá equilibrar coo otro igual á ¿ ; pefofipan 
tirar la cuerda^ y fiíbir el peíb , eftríva con los pies en ojiro 
cuerpo firme ^ además del impulíb del propio peíb , añadfi 
otro^ originado de la refiftencia que hacen los mutculos , y 
nervios , con que podia levantar mayor peíb que el igual fü 
de fu propio cuerpo. 

PROP. m. Theorema. 

Míubás géínuchas inmoUes j aunque fean inumetábles ^ U9 0^ 
mentáUy ni difmmujen Us fuerzas dt la fottnáa. 

SEan las garruchas E , F , G inmobles, eílo es , que fus 
exes , y centros no tengan movimiento alguno. Digo, 
que ni aumentan, ni difminuyen las fuerzas de la potencia. 
Supongamos, que la potencia eítá en A , y el peíb en C ; y 
que la potencia tirando la cuerda baxa á B , y el peío futa 
a D. 

Demanftr. Ojiando los movimientos del pefo , y poten*, 
cia fon iguales , ni fe aumentan , ni (e diíininuyen las fuer- 
zas de la potencia : ello es lo que fucede en elle cafo , por- 
que como la cuerda AEFGC , (ea la mifma por fupoíicion,. 
oue BEFGD , quitando el íegmento común AEFGD , que- 
aarin DC , AB iguales; pero AB es el movimiento de U 
potencia , y DC es el movimiento del pefo : luego el movi- 
miento del pefo , y potencia fon iguales ; y por confíguicn- 
te, niie aumentan, ni difminuyen Tas fuerzas de la potencia* 

PROP. IV. Theorema. 

lá garrucha movible, que lleva con figo elpefi^ duplica las Ju^^ 

zuís de la potencia. ( jíg. 41. ) 

SEa la garrucha A , cuya caxa fea movible , de cuyo gar- 
fio elté pendiente el pefoB; y eílando el cabo de la 
cuerda fixo en C, la potencia efté aplicada en D, que tiran- 
do la cuerda haga fubir la garrucha , y pefo pendiente , por 
exemplo , haftaE. Digo, que la potencia D tiene duplica^ 
das fus fiíerzas. 



Libro IV. »I5. 

penunJh.Vnn que la garrucha fuba al punto E, es me- 
nclter que la potMcia fe mueva por tanto efpacio , guanta 
«la longitud de las cuerdas CF,GD; efto es, ha de correr 
toda la cuerda, menos el fomento , que quedará refto «i 
llegando la garrucha á E , el qual es igual al Tegmento FG: 
Juego corre la potencia tanto, quanto fon CF, DG; pero 
eítos dos fegmentos juntos fon tanto como dos veces el 
cfpacio AE,á quien es igual el movimiento del prfo: luego 
el movimiento , ó velocidad de la potencia es doblado de 
la velocidad del pefo ; y por configuiente , (la. i. de eíte 
trat.) podrá doblado la potencia contra el pefo : de fuerte 
que las fuerzas precifamente fuficieñtes para levantar loo* 
libras de pefo , podrán con eíla maquina levantar pefo de 
■zoo. libras. r " 

Si en el cabo C de la cuerda fe añadieflé otra potencia, 
que tuvieíTe igual movimiento que la D , folo experimen- 
taría el gravamen de la mitad del pefo; como fi dos llevaf- 
len en una palanca un pefo con igual diltancia de entram- 

IX)S. 

PROP. V. Theoama. 

Si U fotencufe aplica a la garrucha fimple tmvible, fe difimnu- 

jen fus fuerzas pr mtad,refpe£lo del pefo pendiente de una 

extremidad de la cuerda, (fig. 41. ) 

SI la potencia fe aplica en B, y eLpefo fe pone en el cabo 
. D de a cuerda, las fuerzas de la potencia fe difminui- 
ran pc^ mitad ; efto es . que fi podia%r si fda 1 Ztar 
«?;«?!' 'P^'"''' '" ^' ^°'"^ d'^hí, folo podrá íevan- 
SfJ^;.ki1i"^°"-"' PO''q"eenefta aplicación tiene el 
tfí lí ^"1? «"«vinuemo que la potencia; por lo que dixc 

TñtyFTn T""'^* '^""'J' ^''^^'^'> í* potencia quando 

fumasen ..:ÍT P'"?' ^ P*'^*"^'* ^' «Pitadle fus 
tuerzas , o puede la mitad menos de lo que oodria fin la 



■ PROP. 



^ ^^ 

31^ XitAT. IX. De la Maquinaria^ 

PROP. VI. Theorema. 

Su U gétmuba Uénmádá DiffdftBs , fi U cuerda fáffa fmrjlxáBh 

filU movible fin eftar atada a fu caxa ^fino a otro fmto oh 

mobil , la p0t encía filo adquiere Miadas fuer" 

z^as. (jfg.42.) 

EL aumento de las fuerzas de la potencia es diferente» 
íegUB es diferente el ojodo de embolver , y acomodar 
U cuerda en las garruchas compuettas, 6 foüfafios ; y fea di 
primero el íieuiente. 

£1 un cabo de la cuerda efté firme en el punto L, ó eo 
B, ó otro qualquiera , y dando la buelta por el carrillo M 
movible, y por el carrilk) I inmoble, apliquefe la potencia 
al cabo tí, y el peíb al carrillo movible M. Digo , que las 
fuerzas de la potencia aplicada en H, en virtud de elra ma- 
quina íe duplican para levantar , y fubir el pefo pendiente 
en M. 

Demonftr. Tanto fe mueve el punto H , como el punto 
N. (i.) Elte punto N tiene doblada velocidad que el peíb 
pendiente en M : (4O luego el punto H le mueve doblado 
que el pefo pendiente eñ M : luego la potencia aplicada ea 
H tiene doblada velocidad que el peíb : luego fe duplican 
fus fuerzas, (egun la prop. 11. lib^u 

Lo mifmo fucedera , (1 la extremidad H íe fupone fixa, 
y firme, y la potencia fe aplica en L, y tira ázia arriba; eC- 
to es, que la potencia podrá doblado , pero ícrá inútil el 
carrillo I. La razón es , porque en ette cafo la porción de 
cuerda HIN es inmoble: luego es lo mifmo que fi la cuer- 
da eítuviere atada en el punto N , y la potencia tirara la 
cuerda deíHe L , y no huviere mas de una garrucha M íiín- 
pie, y movible, que lleva configo el pefo : luego (4.) íe du- 
plican en eíla conítitucion las fuerzas de la potencia. 

COROLARIO. 

COnfta de lo dicho j quefi la potencia eftuviere en Mjj tlf^fi 
en H, e fiando jfco el cabo L, las fuer z.as de la potencia Ñ 
difminuirian en la mitad ^ por fer el moyimento del pefo dobUde 
del de la potencia» 

PROP. 



LiBno IV.' 31^ 

PROP. Vn. Thcorema* ^ 

Si €n IdfoUá Difpdfi9fjfe aia el cabo de la cuerda en la garmha 
nwvMe que lleva el fefo ^j fe embuelve en fu cantUo^ 
fe triplicaran las fuerx,as de la poten- 

EN la polea, compuefta de dos carrillos B^ I, atefe el un 
cabo de la cuerda en la garrucha movible t , que Uo- 
va el peíb ; y embuclvaíe la cuerda en los dos carrillos BJ, 
y la potencia apliqueíe al cabo C T^^^ > 4^^ tirando ázia 
arriba , tendrá tres veces mas fuerza para levantar el peío^ 
.en vinud de eila maquina, de la que tiene íin ella. 

líenmfit. Supongamos , que la potencia C. fe mueva 
baila tanto que (uba la garrucha I á encontrar con la B. 
No hay duda, que en háviendo llegado á juntarle la garru- 
.<ha I con la B, havrá paílado toda la cuerda por las gam|- 
' Chas,y fe havrá ialido fuera de ellas,menos las dos porción^ 
: FBC 9 GIH , que neceílariamente han de quedar , por íer 
las que abrazan los dos carrillos : luego el movimientp dp 
• la potencia es igual , ó (e mide por toda la cuerda , menos 
jlas dos porciones (bbredichas : luego es igual á las tres par;- 
.tes lE , FG, HC ; ellas tres partes juntas (bn triplas ele la 
porción I£ , que es el movimiento del peíb : luego el mo- 
vimiento de la potencia es triplo del movimiento del peíb: 
^ luego fe triplican las fuerzas ae la potencia, 

PROP* Vm. TTieorwa. 

In la polea llamada Trifpaftosy que confia de dos carrillos inmo- 
bles , y. uno nm'Ale , fe triplican las fmrz^ de la po^ 

tencia. (fig.^) . ; 

LA polea Triípaftos , que íe ve en la jf¿. 44. coníla de 
tres, carrillos : los dos íuperiores L, I, fon inmobles ; y 
. el otro M, que lleva configo pendiente el pefo , es movible: 
, el un cabo de la cuerda eícá atado en M, y pallando dicha 
cuerda por el carrillo I, baxa; y paífando por el carrillo iV^ 
' bueive a fubir , y paíTa por el carrillo L» Oigo^ que la pcv 
. ' * ' ten- 



'^ 1 8 Trat, IX. Db L A Maqp inaria; 

tencía , <]ue deícle el abo P tira el peíb , tiene en virtud de 

la maquina triplicadas fíis fuerzas. 

Denmiflr. ti punto , ó cabo P no íe mueve mas que el 
punto O : de fuerte, que el carrillo L folo íe pone para mar- 
yor conveniencia de la potencia,que deide P tira ázia baxo, 
y deíde O ázia arriba; luego en quanto á lo demás , lo mif- 
mo es que (i eftuviera en 0;en eue cafo (por la antee.) íblo 
triplica Ja potencia fusfuerzasüu^o también quando ie apli- 
ca oiP. 

PROP. K. Theorema. 

I» Id fóUá TriJhdñúSyfi l4s dosgatruchas que yanfuntdSyjf Ik* 
van el fe/ojm movibles , Je qHddrufUcén las fuérzaos 

de la ptencia. (fig-^^ O 

SEa la polea tríípaftos , cuyas dos garruchas inferiores 
MN , que llevan el peíb , fean movibles.' Digo , que 
la potencia tiene quadruplicadas fuerzas , en vinud de eíh 
difpoíicion. 

Demenftr. Supongamos, que la potencia V (e mueve 
tirando la cuerda haíta que las garruchas MN lleguen i 
juntarfe con la íuperior L : en cite cafo folamente queda* 
ran embueltos en los carrillos los pedazos de cuerda RST, 
<3NH, PIQ,; todo lo reftante lo havrá traido la potencia,/ 
ferá medida de íu movimiento , que (on los fegmentos KO, 
. LP , TQ , HV; eftos quatro fegmentos fon quadruplos de 
íblo el fegmento'LP , que mide el movimiento del peío: 
luego en efta difpoíicion de polea , el movimiento de la 
-(potencia es quadruplo del movimiento del peib : luegolas 
tuerzas de la potencia fe cuadruplican ; efto es , valen tan- 
to , como quatro iguales a si , para levantar el pelo. 

Y porque la potencia , que tiraria defde V ázia arribst 
íe fátigaria mucho , íe añade fobre la garrucha KT , otjra 
por cuyo carrillp paífá el cabo de la cuerda V , y queda 
pendiente á la otra parte , con que puede la potencia apli- 
cada tirar con menos trabajo ázia baxo , para mover , y fu^ 
bir el peíb : conque refulta la polea Tetrafpaftos , ú de qua- 
tro taricillos ^ ea quien la poteqcia adquiere quadruplí;^ 



c 



Libro IV. ^ jif 

fáen^ , firvicndo la garrucha fuDcrior añadida para ma*« 
yor Ciudad , y fuavidad tan íblainente. 

PROP. X* Thcorema. 

Tantas veces fe tnulripltcan las fuerzas ielafotencia en la felea^ 

éuja garrucha inferior es movible , quantos fon los tirantes de las 

cuerdas , fi la potencia fe mueve fegun la garrucha 

movible. 

Onib de las proporciones antecedentes; porque en lai 
^.^j difpoíicioo ae la fig. 41. hay dos tirantes de cuerda^y 
fe duplican las fuerzas; (5.) y lo mifmo es en la dilboíicion 
de la Jí¿. 42» (6.) porque el tirante IH , jamás ha ae entrar 

^:en eíta cuenta , por anadiríe íblo para mayor conveniencia* 
En la difpoíidon de la ^¿.4^ .hay tre^ tirantes^ fe triplican 
las fuerzas; (7.) y lo miííno es en la Jig. 44.porque el tiran- 
te HPyfolo fe añade para mayor íacilidad* (o.) En la garru- 
cha (fig. 45.) fe quadruplican las fiierzas,y tiene quatro ti- 
rantes^9.) y íi acaíb íe añade otro carrillo fuperíor, y otfp 

'tirante, es, como dixe , por conveniencia : luego tantas ve- 
ces multiplican las fuerzas , quantas los tirantes de las 

cuerdas , menos el qué dixe (e añade para mayor alivio ite 
la potencia. 

: ^ PROP. XL Problema. 

•Diffoner las poleas de tal manera , que al pago que fe aumenta el 
numero de los carrillos y fe aumenten en poforcion dupla las . 
'j. . fuerzas de la potencia, (fig.j^ó* y 

« . , j 

COníla de lo dicho en l^s propoficiones antecedentes, 
que en las poleas difpueftas con el eftilo ordinario 
crecen las fuerzas de la potencia en proporción arithmeti- 
ca. Bufcaíe aora el modo de difponerlas, de fuerte, que í¡ 
hay un (blo carrillo, fe dupliquen las fuerzas; fi do$,íe qua- 
drupliqucn ; íi tres, íean ocho veces mayores , &c. Confe- 
guiráfe eílo en la forma figuiente. 

Süfpendaíe el pefo que fe ha de levantar ^ de la garru- 
cha flioffible B< y el un cabo de la cuerda eítc bien bxo en 

G, 



«so Trat. XX. De la Maqjinarta; 
G,y el otro elle atado i la garrucha movible C,cuya cuer- 
da cité fixa en F por un caoo,y el otro vaya atado i la gar- 
njcha movible D ; y afsimirmo la cuerda EDH tenga el un 
cabti fixo en E, y la poiencJa apliqueíe en H. Digo, que U 
potencia aplicada en H , íiendo en si igual al pelo , lendri 
ocho veces mas fuerzas que tenia por sí fola. 

Demoiijít. La potencia,que aplicada en H tira la cuerda 
ázia arriba , le mueve con doblada velocidad que la polea 
D : (4.) la polea D , lleva doblada velocidad que C ; y éÜ.i 
lleva también doblada velocidad, que la polea B con el pe- 
fo : luego la potencia H, lleva ocho veces mayor velocidad 
que el pelo : luego alcanza ocho veces mas fuerzas para 
mover el pelo B , que las que por si fola tiene : luego uM 

EDtencia,o pelo fuboétuplo de B,puefto en H,tendra eqiii- 
bno con B. De luene , que íi el pefo B es de 8. arrobaSi 
bañará el pdb de una arroba en H para el equilibrio. 

PROP. Xn. Theorema. 

'Quál^láeTA ffttncia faede mover qualquier pefo con U fcltt^ 
¿ garruíhA. 

LA razón es, porque aísi como el pelo le puede aumen- 
tar , y la potencia dilhiinuir hafta el infinito; afti tam- 
bién añadiendo mas , y mas carrillos á la polea , le puede 
difminuir el movimiento del pelo , y aumentar eJ de la po- 
tencia hafta el infinito ; y como ai paíTo que fe difminuys 
el movimiento del pefb , y fe aumenta el de la poteneWi 
crezcan en éfta las fuerzas, es cierto podrán fietrpre corría 
tjnto , que fuperen la refiftencia de quali^uier peío* 



m 



LIBRO V. 

DE LA QUARTA MAQUINA 

üindamcncai , llamada 

Cuña. 

AUnque la cuña , por la fenciUéz de fu cotnpoG- 
cion , y poco artificio pareció á algunos pooeríe 
con menos piopiedad en el numero de las nia- 
quina$;pero comunqiente los Autores con Pappo 
Aiexaqdrino la cuentan entre las maquinas fundamentales, 
por las grandes fuerzas que tiene para abrir , dividir , y 
romper los cuerpos firmes , lo que otras maquinas no po* 
drian fácilmente confeguir: fu naturale2a,y propiedades fe 
comprehenden en las pg^as propoíiciones que (e figueii* 

PROP. I. Theorema. 

Exflicdfi la forma y y ufo de U cma* (fig* 47.) 

LA (brma , ó figura de la cuña es de un prifma triango* 
lar , y dos de fus fuperficies opueitas vienen a termi« 
nar en una linea re¿i:a , común á entrambas , como íe ve en 
V : haceie de materia firme, como de madera , ó hierro: íu 
u(b es bien frequente : firve para hender , dividir , y partir 
los cuerpos fuertes, como lenos,picdras,&c. porque abrien* 
do primero en dichos cuerpos uo corte , ó pequeña hende- 
dura , fe ajufta op ella la cufpide de la cuña, que a fuerza de 
golpes fe introduce, y abre las piedr4^ o leños con gran &« 
cuidad , y poco trabajo. 



Tomo IlU Kk PROP. 



3i4 iTrAT. IX. De LA MAtiyiNARIA.' 

« 

La Ciña no fe reduce a falanca del frimer gtnero. 0^«470 

>Uelen <x)inumnente controvertir los Autores , ,í¡ la cu- 

) ña fe reduce, ó no á la palancas y dado caíb (me íe re- 

LZga á ella , (i íé reduce á la del pntner genero, o á la del 

(egundo; y aunque la controveriia es de poco útil , la pro- 

|x>ndré brevemente por no apartarme del eílUo común. 

Añílateles en la queftion 17. Méchame* dice reducirle 
la cuña á dos palancas d¿l primer genero opueftas entre 
sí. : lo que explica (ouidubalclo en lu Mechanica como fe (i- 
gue. Sea la cu5a ABC , cuyo vértice B ; y lea AB igual á 
Se ; y el cuerpo que con ella (e quiere dividir , y romper 
fea DlFG , donde yá íe íupone haver entrado la porción 
HBK. £ílo fupuefto , quando fe hiere con golpes la cuña 
en AC y viene a íer AB palanca del primer genero , cuyo 
eftrívo, ó hipomochlio es H; y el pefo , ó rehílente eftá en 
B : aísimiímo CB es palanca del primer genero , cuyo hi- 
pomochlio es K*, y el reíiítente elláen-B. Pandóle mas 
golpes á la cuña ft introduce mas á dentro del cuerpo fcm- 
dible £G: fupongamos pues haya entrado la porción MBL, 
pues como MB, LB fean mayores que HB, KJB, íerá Ibrzo- 
ib íe haga mayor ciísion^ y abertura : luego D íe moverá 
ázia O ; y (3 azia N ; y quanto mas (e introduxere 1« cuña, 
tanto mayor ferá la rotura , y diyiíion , y tanto mas íe mo- 
verá D ázia O , y G ázia N : luego la parte KG es impelida 
en vinud de la palanca AB , cuyo hipomochlio es ti ; y el 
x^íleote ella en B ; y el punto B de la palanca AB impele 
la parte KG ; y aísimiíino la palanca CB j cuyo hipomo^ 
chiio es K , moverá la parte HD : luego , fegun Ariílote- 
les , la cuña íe reduce á dos palancas del primer genero que 
concurren en B^donde eílá el reíiftente,la potencia en AC^ 

y los hiponwchílios en H , y K. 

Elle. íentir de Arilloteles , ha íklo tan mal admitido, 
que apenas íe hallará Autor que le. apruebe* Lo primero, 
porque íi las AB , CB fueren palancas del primer genero^ 
quantó mayores ferian las diitancias de la potencia , ¿ hi- 






Libro V. 32f 

pomochlio 9 mayores (eriaD las fuerzas d^ h potencia ; la 
que ^ íal(b.en eí prefente caíb ; Dorque acortando la cuña, 
6 acortándola pbr LM , el miuno efe&o hará la potencia 
aplicada en LM y diftancia .menor » que en CA , diftancia 
mayor : luego la cuña no ie puede reducir á las dos palaa- 
cas lobrediaias del primer genero. Lo fegundo , porque 
es falíb que la extremidad , o cuípide B de la cuña , toque 
fiempre al cuerpo que fe rompe ; antes regularmente no Ue- 

Sa á tocarle : luego el retíftente no eitá en B , donde havia 
e eftár fi £ie(Ien AB » CB palancas -dd primer genero , de 
que fe colige fer ageno de toda verdad efte dilcuríb. 

PROP. m. TTieorema. 

£4 íHHMf n# y# niáu 4 fédan€4 del fegimi$ geim90 

(fe- 470 

GUidubaldo (iente^que en caíb de reducirte b cuña á pa- 
lanca , fe explicarán mejor íus íuoi^as, y virtud , re- 
duciéndola á dos palancas del íegundo genero , cuyo hipo- 
mochlio común fea la cuípide B ; la potencia eílé en A , jr 
C; y d reíiílente, que íe ha de remover, en los puntos K , r 
H;conque vienen á concurrir como dos palancas AB,y Cft 
del fegundo genero, de tal fuerte, que introduciendo la po- 
tencia ajplicada en A , y C la cuña en el íblidd GE , en vir^ 
tud de la palanca AB, mueve la porción HD ázia O, y coii 
la palanca CB mueve la porción KG ázia N , íirviendoíe 
mutuamente la una á la otra de eftrivo en el punto B. 

Eite fentir de Guidubakio , aunque parece m<3Jor que el 
de Ariítoteles., pero padece las miímas inílancias : porque 
Í3 AHB es palanca del fegundo genero^uya potenciales A, 
el eílrivQ B , y el reíí (lente eltáVn H, tanto mayores ¿uer* 
zas tendría la potencia en virtud de eíta palanca , quanto 
en la mifma diíbncia HB íería mayor la dilhncia AB ; lo 
que es falíb ; pues como ateítigua la experiencia, aunque íe 
^corte la cuña cortándola por LM , las miímas fuerzas 
tiene la potencia aplicada en M, diílancia menor de B,que 
en A , diílancia mayor : luego las fuerzas de la cuña no íe 
explica^ bien reduciéndola á dos palancas del íegundo ge-- 

Kka ae- 





ji;! vTrat. IX. De t A MAtiyiNAKiA.' 

PRCtt>. lI.,Theowi&. 

la ciña nofi reduce 4( palanca del frimet genera. O!¿«470 

Uelen' <x)inumnent:e controvertir los Autores ^fila cu- 
) ña ie reduce, ó no á la pdlanca; y dado caíb que fe re- 
zga á ella , fi fe reduce á la del primer genero, ó á la dtl 
i íegundo^ y aunque la controvertía es de poco útil , la pro- 

I; jpondré brevemente por no apañarme del eftilo común. 

I Añílateles en la queftion 17» Méchame* dice reduciríe 

j ^ la cuña á dos palancas dtl primer genero opueftas entre 

sí. : lo que explica (ouidubalao en (u Mechanica como ie fi- 
e. Sea la cuaa ABC , cuyo vértice B ; y fea AB igual k 
^ ; y el cuerpo que con ella fe quiere dividir , y romper 
fea DbFG , donde yá íe fupone haver entrado la porción 
I HBK. £fio fupuefto , quando fe hiere con golpes la cuña 

en AC , viene a fer AB palanca del primer genero , cuyo 
cftrivo, ó hipomochlio es H; y el pefo , ó rcfiltente eftá en 
B : afsimirmo CB es palanca del primer genero , cuyo hi- 
pomochlio es K, y el reíiíiente ella en B. Paiidolemas 
s á la cuña fe introduce mas á dentro del cuerpo fcm- 
£G: fupongamos pues haya entrado la porción MBL, 
pues como MB, LB fean mayores que HB, KB, ferá forzo- 
10 íe haga mayor cilsion ^ y abertura : luego D fe moverá 
ázia O ; y Q ázia N ; y quanto mas íe introduxere 1« cuña, 
tanto mayor ferá la rotura , y diyifion , y tanto mas fe mo- 
verá D ázia O , y G ázia N : luego la parte KG es inapclida 
en virtud de la palanca Ab , cuyo hipomochlio es ti; y el 
xeíiílente eitá en B ; y el punto B de la palanca AB impele 
la parte KG ; y aísimifmo la palanca CB , cuyo hipooio- 
chlio es K , moverá la parte HD : luego , fegun Ariílote- 
les , la cuña íe reduce a dos palancas del primer genero que 
concurren en B,donde eftá el reíiflente,la potencia en AC, 
y los hipomocmios en H , y K. 

Eíle íentir de Ariltoteles , ha íido tan mal admitido, 

que apenas íe hallará Autor que le* apruebe. Lo primero, 

porque fi las AB , CB fueren palancas del primer genero, 

qu$uitó mayores ferian las diltancias de la potencia , é hi- 

.*' -.*^ po* 




Limo y. j2t 

pomochlio 9 mayores (eríao las fuerzas d^ h poteúcia ; la 
que es íalíaen el prefente caíb; porque acortando la cuña, 
ó acortándola por LM , el miuno efeéto hará la potencia 
aplicada en LM ^ diftanda .menor » que en CA , diftancia 
mayor : luego la cuña no ie puede reducir a las dos palan- 
cas Ibbredidbias del primer genero. Lo fegundo , porque 
esfalfo que la extremidad, o cufpide Bde la cuña, toque 
fiempre ¿ cuerpo que fe rompe ; antes regularmente no Uc- 

Sa á tocarle : luego el retínente no eltá en B , donde havia. 
e eftár íi fueflen AB , CB palancas -dd primer genero , de 
que íe colige fer ageno de toda verdad efte dücuríb. 

PROP. IIL TTieorema. 

14 ítña n9 f$ redMce a fédancd M fegimü genm* 

(fig' 470 

GUidubaldo fiente^que en caíb de reducirte bcuña i pa- 
lanca, fe explicaran mejor fus fueteas, y virtud , re- 
duciéndola á dos palancas del íegundo genero , cuyo hipo* 
mochlio común íea la cuípide B ; la potencia efté en A , jr 
Q y 0l refiftente, que le ha de remover, en los puntos K , y 
H;conque vienen á concurrir como dos palancas AB,y Cd 
del fegundo genero, de tal fuerte, que introduciendo la po- 
tencia ajplicada en A , y C la cuña en el (olido G£ , en vir^ 
tud de la palanca AB, mueve la porción HD ázia O, y coii 
la palanca CB mueve la porción KG ázia N , firviendofe 
mutuamente la una á la otra de eftrivo en el punto B. 

Ette fentir de Guidubaklo , aunque parece mejor que el 
de Ariftoteles , pero padece las miímas inftancias : porque 
íi AHB es palanca del fegundo genero^uya potenciales A, 
el eftrivo B , y el refiftente eltáen H, tanto mayores ¿ucr* 
2as tendría la potencia en virtud de efta palanca , quanto 
en la mifma diftancia HB (ería mayor la diftancia AB ; lo 
que es íalíb ; pues como ateftigua la experiencia, aunque íe 
^acorte la cuña cortándola por LM , las miímas fuerzas 
/^tiene la potencia aplicada en M, diftancia menor de B,que 
en A , diftancia mayor : luego las fuerzas de la cuña no íe 
explica^ bien reduciéndola á dos palancas del íegundo gc-^ 




3 it [Trat. IX. De t a MAoyiNARiA.' 

PROP. ^. JhtaceAu - 

lá ÍIÍÍ4 mfc realice i faUmcá del ftmngnm. Oi¡:*47*) 

Uelen comunmente contioveitir los Autores ^ ,fí la cu- 
ña (e reduce^ o no á la palanca; y dado cafo que fe re- 

zga I ella , íi k reduce á la del pnmer genero, ó ala del 
egundo; y aunque la controvertía es de poco útil , la pro- 
pondré brevemente por no apañarme del eftUo común. 

Aríftpteles en la queftion 17» Mechamos dice reducirfe 
la cuña á dos palancas del primer genero opueftas entre 
ú. : lo que explica (ouidubalclo en (u Mechanica como fe & 

e. Sea la cuna ABC , cuyo vértice B ; y fea AB igual \ 

^ ; y el cuerpo que con ella fe quiere dividir , y roniper 
fea DlFG , donde yá fe fupone haver entrado la porción 
HBK. Efto fupuefto , quando fe hiere con golpes la cuna 
en AC , viene á fer AB palanca del primer genero , cuyo 
eftrivo, ó hipomochlio es H; y el pefo , ó renitente tBÁ a> 
B : afsimifmo CB es palanca del primer genero , cuyo bi- 
pomocblioesK*, y el reliftente elláen^B. Pandóle loas 
(s á la cuña fe introduce mas á dentro del cuerpo fcxs^ 
£G: fupongamos pues haya entrado la porción MBL» 
pues como MB, LB fean mayores que HB, KB^ ferá foi2^ 
10 fe haga mayor ciísion ^ y abenura : luego D fe moverá 
ázia O ; y G ázia N; y quanto mas fe intfoduxere Ja cuña, 
tanto mayor ferá la rotura , y diyifion , y tanto mas fe mo- 
verá D ázia O y y G ázia N : luego la parte KG es inopéb^^ 
en virtud de la palanca Afi , cuyo hipomochlio es H ; y ^ 
xefiftente ettá en B ; y el punto B de la palanca AB m^ 
la parte KG ; y aísimifmo la palanca CB , cuyo hipoiiio^ 
chlio es K , moverá la parte HD : luego , fegun Ariftotc^ 
les , la cuña fe reduce á dos palancas del primer genero qu^ 
concurren en B,donde eftá el re(iftente,la potencia en AQ 
y los hipomochlios en H , y K. 

Efte. fentir de Arittoteles , ha íido tan mal admitido^ 
que apenas fe hallará Autor que le. apruebe* Lo prim^i^ 
porque íi 1^ AB , CB fueren palancas del primer genero» 

quantp mayores ferian las diliancias de la potencia ^ ¿ ^ 
.•' - '^ po* 







Libro V. 32: 

pomocUio 9 mavoies feríaD las fuerzas d^ h potencia ; 1^ 
que ¿ íalíaen el prefente caíb ; jporque acortando la cuña, 
ó acortándola por LM , el miuno efe&o hará la potencia 
aplicada en LM y diibuicia .menor » que en CA , diftancia 
mayor : luego la cuña no ie puede reducir á las dos palan- 
cas íbbrediaias del primer genero. Lo fegundo , porque 
es íalfo que la extremidad , o cufpide B de la cuña y toque 
fiem(Mre al cuerpo que fe rompe ; antes regularmente no He- 

Sa á tocarle : luego el refíftente no dtá en B , donde havia 
e eftár fi íueflen AB » CB palancas *del primer genero , de 
que fe colige fer ageno de toda verdad efte dilcuríb. 

PROP. m. TTieorenuu 

tá ínftf n# y# uiáit 4 ^danu del fegmuk generim 

(fig' 470 

GUidubaldo fiente^que en caíb de reducirte b cuña á pt- 
lanca , fe explicarán mejor íus fiíet^, y vírc^ , re- 
duciéndola á dos palancas del íegundo genero , cuyo hipo- 
mochlio común íea la cuípide b ; la potencia efté en A , jr 
C; y d refiftente, que fe ha de renK)ver, en los puntos K , y 
H;conque vienen á concurrir como dos palancas AB,y CB 
del fegundo genero, de tal fuerte, que introduciendo la po- 
tencia aplicada en A , y C la cuña en el íblidd GE , en vir* 
tud de la palanca AB, mueve la porción HD ázia O, y coii 
la palanca CB mueve la porción KG ázia N , (irviendofe 
mutuamente la una á la otra de eftrivo en el punto B. 

Eite fentir de Guidubakio , aunque parece mojor que el 
de Ariftoteles., pero padece las miímas inftancias : porque 
(3 AHB es palanca del fegundo genero^ya potenciales A, 
el eftrivo B , y el refiftente eltá en H, tanto mayiores ¿ucr* 
zas tendría la potencia en virtud de efta palanca , quanto 
en la mifma diftancia HB (ería mayor la dilhncia AB ; lo 
que es íalíb ; pues como ateftigua la experiencia, aunque (e 
^corte la cuña cortándola por LM , las miímas fuerzas 
tiene la potencia aplicada en M, diftancia menor de B, que 
en A , diftancia mayor : luego las fuerzas de la cuña no (e 
explica^ bien reduciéndola á dos palancas del íegundo gc-i 



J%^ TrAT. IX. De lA MACÍy INAIIIA. 

iiero. Otras razones traeo d Padre Zucdiió y Millieti y Ef- 
coto f pero la Ibbredkfaa es la roas concluyente» 

PROP. IV. Theorema. 

f^fmxM di U cuXd no ft ixflicán hAprntcmnat ttinumdAá 

)í floM indinoih. (fig*^*) 

rltentó el mífino Autor Guidubaldo explicar las fuerzas 
de la cuña reduciéndola á plano inclinado : porque fi 
parA levantar el cuerpo £G , nos valiefienios de la cuña 
CBD 9 dicho cuerpo vendría como i moverle íobre el pla- 
xx> inclinado CD ; pues lo mifmo viene á íer para.el pre- 
fente cafo , que dicho cuerpo (e mueva , y (uba íobre el 
plano^que eftc le miwva,y fe introduzga debaxode dicho 
cuerpo : entrando pues la cuña CBD debaxo el cuerpo 
BG , de tal fuerte le va levantando , que la cuña fe mueve 
xnucho mas que el cuerpo fobredicho ; y pof coníiguiente, 
mimenta las fuerzas de la potencia que introduce la cuña, 
al Daflb que es mayor lii movimiento : y efto mifmo fu- 
cene , quando mediante la cuña partimos, ó rompemos ufl 
cuerpo ; como (fig. 47. ) la cuña CBA fe compone de dos 
planos inclinados AB , y CB y de los quales éíte íirve para 
mover la porción KG ízh N ; y .aquel , para mover la por* 
don HD azia O , y hacer coii eítos movimientos encon» 
nados la diviíion que fe pretende. Mi fentir es, qu^^' 
imaginar dichos planos inclinados en la cuña^ no íirve para 
la explicación del aumento de fuerzas que caula efta ina' 

Siina ; y viene á parar íolo en imaginación , como taii^i^ 
reducir la cuña á palancas del primero , ó ftgundo gen^ 
tó ; y cfto mifmo íienten el Padre MilUet , y Cfeoto coa 

Otros Autores. ' 



PROP- 



Libe o V. fij; 

PROP. V. ThcofciBíu 

Exflicdfi Id yerdadifd tázm del aumenta de tdsfiterzM fMá 
. tnmfer f j diviür los cuerfos ca» la cu- 

LA verdadera razón porqu¿ la potencia, mediante Ift 
cuña , tiene mayores fuerzas para dividir , y romper 
loslólidos coníifte en que la potencia (e mueve mocha , jp 
el cuerpo reíiltente fe mueve poco ; ello es , que la poten* 
da aplicada á la cuña tiene mayor movimiento , que las 
partes Iblidas que fe dividen. Como en la cuña CBA fe ve^ 
que abriendo ál iblido GE ha corrido el punto B » y tam^ 
bien la potencia el efpacio PB , mientras que las porcio* 
Des ^ que fe han íeparado , han corrido , la una el efpacio 
PH , y la otra el efpacio PK , que fupueftp (ea el ángulo 
B menor que 6ó. gra4os , es forzoíb lea PB mayor que el 
efpacio KH : luego en virtud de la difpoíicion de la cuña^ 
el movimiento de la potencia es mayor que el del peíb , 6 
refiltente; y por conliguiente^ crecerán las fuerzas de la po- 
tencia y fi^un la razou de PB á KH« 

PROP. VI. Theorema^ 

IM cuñas mas agudas , aumentan mas las fuerza de U 

fotencia* 

Digo , que de dos cuñas , una mas aguda míe otra , la 
mas aguda aumenta mas las fuerzas ae la poten- 
cia. La razan es ^ porque quanto el movimiento de la po- 
tencia es mayor que el del pcfo , ó cuerpo refiflente^, tanto 
fon mayores las tuerzas de la potencia para mover aquel 
pefo : en la cuña mas aguda , es mayor el movimiento de 
la potencia , refpeéto del movimiento del cuerpo que íc 
rompe, que en la cuña menos aguda ; porque de dos trián- 
gulos de una mifma bafa , el que tiene el ángulo vertical 
{ñas agudo, tiene nuyores lados, ( zi. i. Eucl. ) y por con- 
¿guíente mayor altura , fiendo entrambos Xfbceles : luego 
. ^ : mi- 



^5 Tr AT« Di • Dfi t A MAOjjm ARI Aw 

midiendoíe en la cuña el oiovimiento del íblido refíftente 
por ja bafa de dkfao triaogulo ;.y el movimiento de la po- 
tencia por la altura : ierá mayor el movimiento de la po- 
tencia, reípeétó del movimiento del pefó j en la cuña mas 
aguda , que en la menos aguda : luqo aquella, da mayores 
fuerzas a la potencia. 

COROLARIOS- 

l T AtnÍMy C9rfú áug^esm4jwqM€d€6cugrdiaSym$ 

JL^ dlfmimtffn qui attmemáH lás fuetxM de U fatmi^^ 

qm em iftss es tndjcr U bafe del trumffde que forman fot perfil 

£H fu ferfendicÉík j fef (mfigmeme^ es metimr el nmmienteée 
fesenádj que el del fe fe. 

z C4/¡ tedtts hs mftnmenfos de que ufen Us ariifitesPM 
tertéory romper ^ águgerar^ y tsl Adrar los euerpos foUdesJe rem» 
M U ivüé ^ miQ de fu rmfmá friura fe eobjf^ 



LIBRO VL 

PE LA QUINTA MAQUINA 

fundamental , llamada Roíca *, y de 

alganas Maquinas copí'^ 

pueftas. 

ESta quinta maquina fundamental , cpie Csffin el 
Griego fe llama Cocbíea, y en nueftro vulgar lU;/^ 
(4 , es fin duda la mas poderoía , por eliincreíbie 
aumento de fuerzas y que fk>r ella adquiere la po-» 
tencia. Keducenla comunmente los Autores á la cuña ; y 
como reduzgan éfta á ia palanca , (egun expliqué en el libro 
antecedente , ^ Tacan por coníequencia reducirfe también la 
roíca á la miíina palanca, como íe puede ver en Guidubal* 
do. Otros conciben íec la roíca. un plano inclinado j por 
donde fube el peíb con mucho menor movimiento, que el 
de la potencia que le mueve, como de la cuña (imió Guídu* 
baldo ; pero como dixe en la frofojf. 4. del libro paíTado, 
íirven poco femejantes confideraciones para explicar laa 
fuerzas de l|s maquinas , por lo que no me detendré mas 
en ellas. 



PROP* 



gaS Tkat. IX. De la Maquinarias 

. PROP. I. Theorenia. 



A ^ «i 



ixftUáfe laftmd , y ufi de Ult^fiá. ( fig. 49. > 

LÁufu^ a un ciUniro ^ que íonfid de HHd , ifmubáu effh 
YOf , firmadas en fu contefM , CQino fmveuk iajif. 49* 
Su ufo es tan común , que caíi no neceísita de explicación* 
Sormaíeotro cilindro cóncavo, que fe llama matriz , 6 r^f- 
u bembfd , cuyas efpif as (bn concavas , y tan iguales ^ 1^ 
del cilindro convexo , que fe ajuftan á büas perteátamencei 
entrando las del convexo en las de) concavo : fu diípoíicioa 

Íuede (er diferente , fegun el efe&o para que ha de íervir. 
luchas veces el cilindro concavo eft^L Bxo fin moverfei 
moviéndole iblainente el convexo , que dando repetidas 
bueltas al rededor de íii exe, fube, ó baxa , iegun es el mo- 
vinriento, á la deredia, ó á la izquierda* Otras veces el ci- 
lindro convexo eftá firme 9 é inmóvil , y fe mueve el conca- 
yo.Para hacer rodar el cilindro convexo AB,y tal vez tam- 
bién para n^ver el concavo y (e añaden una ^ o muchas pi- 
lancas BC , á quienes fe aplica la potencia para el moví- 
mienta Tienen las rofcas ungular ufo en todo genero de 
compresión , como en las prenias de la Imprenta , y otras 
inumerables : ion imponderables fus fuerzas para Iqv^ 
tar , o traer grandes petos y y para otros efed;o$ bieo ordi- 
narios 

' PROP. 11. Tbeorcma* 

■ r » 

txfUufe la emfn del áumenic de fuerzas qtteadqmere U feeek 
. iiafniímtáie de U Bpfcd. CÍ!¿*^* 5- 



. , . ' 1 



SEa la roíca AB , con la barra , 6 palanca BC : fupooga- 
fe aplicada la poten<;ia en C , y que dando una buelta 
deícrivacoq fu movimiento el circulo CKL ; es conftanre, 
que mientras la potencia fe mueve por dicho circulo, Ab^ 
la rofca con el pefo O , el cfpacio que hay de una efoira ^ 
otra , efto es , el cfpacio MN ; y íupuefto,por exempio,q|?^ 
el efpacio MN quepa cien veces en la periferia CKL ) di- 
go . que tendrá la potencia C cien veces mas fuerza pai^ 



Libro VL 319 

mover d peíb, que tenia por sí fola fin la maquina , ello es, 
que íi el pelo es de cien arrobas , le podrá mover la pocen* 
oa C con la maquina , aunque íin ella pudiefle levantar ío^ 
emente una arroba. 

lUfmnfiT. Entonces hay equilibrio , ó igualdad entre la 
patencia, y el peíb, quando el movimiento déla potencia 
tiene la miuna proporción con el movimiento del peíb^que 
tiene el pefo con la potencia. Ello fucede en la roic^ 
porque el movimiento de la potencia C,es cien veces mayor 
que el del pefo,y el peíbes cien veces mayor que la poten^ 
cía : luego, en virtua de la rofca, havrá en efte cafo equili^ 
brío , b igualdad de las fuerzas de la potencia con el peíb} 
y fi la Dotencia Hiere algo mayor que una arroba , vencerá 
la remtencia del pdTo. 

PROP. nr. Thcorema. 

áflkéuim de U ^ofia 4 varios ñfis. 

I 

ES muy ordinario el ufo de las roícas ^ara apretar , ^ 
facar el zumo , tanto de las yervas , como acoi* 
tumbran los Boticarios , como de fas uba$ en los laga^ 
res. Para femejantes efeáios (e pueden difponer de varios 
modos. 

'Modo i'Cfig* 50* ) La rofca AB entra por el agugero B^ 
que la abraza dentro de fus efpiras concavas : pafla también 
por el agugero C , liío , y (in eípiras. En efta difpolicion^ 

auando'el cilindro A llega á juntarle con labiga F ^n C, 
ando bueltas á la roícá , vienen á juntarfe los maderos ¥j 
yD, apretando fuertemente entre sí al cuerpo intermedio; 
y íe aumentan las fuerzas déla potencia £ en la proporción 
q^.tiene el circulo delcrito con el movimiento de E, al 
intervalo qae hay de una á otra efpira.Y efte mifmo cfedo 
fe cpníiguc , tanto que el madero BD fea inmoble, y el CF 
fe mueva á juntarfe con él, como que CF lea inmoble , y el 
etro movible. 

Modo s. Qiie viene á ícr mixto de roíira, y palanca,y es 
en efta forma. ( ji¿. J i. ) Sea la rofca AB , que entre en e? 
madero AC por A , y dicho madero efté nrme, é inmovl 

en 



I 



I 



330 Trat. IX« De la Ma^pinaria. 

en C ; d cuerpo que fe ha de cuippríinír, y apretar » cob» 
queíe en D : conque dando bueltas la rofira , oaxará la u« 
bla, o madero CA,por la patte A , y ferí palanca del fegoo* 
do genero , cuyo ellrivo eftí en C ^ la potencia en A , y d 
jpeíiitente enD. 

Determinaníe las fuerzas de efta maquina en efta íbrma: 
Supongamos, oue el madero CApefe 200. libras; eftoesi 
que tí libre , y lencillamente íe carga^ (obre las ubás pueftas 
en D y haga el efedo que harían 20a libras depeío. Sa* 
pongamos también, que la diftancia de una dbtra de la rd** 
ca á otra íea de un dedo , y que la palanca BE tenga fiete 
pies de loi^itud; conque la penferia que corre la potencia 
aplicada en Eiera.22.pies, Ó2<L^ dedos» Supongaíe afii- 
inifmo, que la fuerza del hombre que fe aplica en E, fea por 
si (ola igual á cien libras» Digo , que un nombre iolo con 
efte genero de prenía , tendrá tanta fuerza para comprimir, 

}r apretar las ubas, quanta tendrían 52800. libras depe(b,fi 
ibrementeíecai^^üen íbbre ellas. Y es la razón , porque 
n^ientras el hombre camina 22. píes , 6 264. dedos , la viga 
A baxa un (blo dedo; y el refiftente D,que eíU en medio efe 
la palanca , folo íe muevt efpacio de medio dedo : luego el 
movimiento de la potencia al del reíiftente, es como 204.^ 
un medio; efto es, como 528. á i. y liendo la potencia 
i^ual á 100. (eran las fuerzas de la potencia que mueve efta 
prenfa equivalentes á 52800. 6 como dicho numero i ^ 
unidad: y añadiendo las 200. libras que peía el madero CAy 
^s la fuerza total de efta maquina ,' tanta como el peíb de 
.53000. libras, 

Mod$ 3. ( Jí¿. 52. ) Es mas ordinario , v íe compone de 
dos roícas A, y B : íirve para él mifmo eíeao, que la prenfa 
antecedente , porque la una íirve de hipomochiio , reípc^*' 
de la otra,y el cuerpo que fe comprime íe coloca en medio. 
De otras maneras fuelen difponerfe las roíc«s* , íegun el 
tfcdx) para que fe ordenan, que omito por no tener mas di' 
ficultad qu6las«xplicada$. 



PROR 



•' 



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* 1 



•> • »• 




Libro VI. I31 

PROP. IV. Thcorentt* 

dgmásútfáf msqmas , tnqmímuuntU 
rofca. (Jíg.5J-) 

LA roica tiene frequeotemeñte grande ufo en dijeren^ 
tes maquinas ; pero entre todas , es ungular la qw 
llaman camfuefia , por componeríe de una rofca, y una rue- 
da , entrando las eípiras de aquella en los vacíos oue dexan 
los dientes de éfta , de que refulta un maravillólo aumen- 
to á. las fuerzas de la potencia.^ Su artificio es el fígaienr 
te. - ,. , 

Supóngale y que la rueda K coofta de 50, dientes ,. en 
cuyo tímpano A fe einbuelva la cuerda que fuitoata al 
peto. LarofcaPCcompongaíe de taLiuerte con lajtue»* 
da , que cada una de fus efpiras pueda entrar en los yat:ÍQ9 
aue hay entre los dientes de la rueda* La empuñaduradSP 
íirve de palanca para rodar la rofca ; y tenga con el CpxíU 
diameero del tímpano A , la razón que ^* con i* y Í9s pot 
tCDcia de la mano aplicada en P, fupongale igual 4 .IQO. li^ 
bras. Digo , que dicha potencia , con ella maquina > podrá 
fuílentar pefo de 20000, libras > y que un hombre (blQ pov 
diá tanto como duciehtos»' 

Demonfir. Por quanto en cada buelta de la rofca íelo 
(e impele un diente ác la rueda >, coisflaodo ¿fia d^ 5U 
dientes, ferán.meneíter 50, bueltasde la rofca ^ p3fa.qttr 
la rueda haga una perfedia buelta : luego la empuñadura 
BP hará 50. bueltas mientras la rued;i bace una ; y fien- 
do , fegun lo fupueílo , cada buelta de la empuñadura BP, 
con cada una del tiAapapo A y como,4« con i. feU el .'mo- 
vimiento de la potencia aplicada tít ^ >, al i^pvimiento 
dol oefo pendiente del tímpano , como quatro veces 
$0. a i. eítoes, como zoo, í i. Imffy uütíd^^ócit r^- 
a^n reciproca ) ( 8* i« Maquin^) lapotoncia como :|. igfpli- 
eada enP, tendrá equilibrio con un pfía como zoo,, lúe* 
eo la potencia cc>mo loo. libras^ .jfbáA jfu&entar aoooo. 

. . Si 



33^ TrAT. IX. Dfi t A MAOyiNARIA. 

Si en lugar del tímpano A , (e puíiere alli otra rofca, 
con una otra rueda también de 50. dientes^ un hombre (b- 
lo podría tanto como loooo, y afsi fe pueden ir multipli- 
cando las fuerzas; pero eftas maquinas , aunque tan pinie- 
roías , Ion en la pradica inútiles , por no bañar , ni lo tirme 
de fus cxes, ni lo fuerte de las cuerdas para fuílentar tanto 
peíb , como podrían fuftentar las fuerzas de la potáa>» 
mediante la maquina iobredicha. 

COROLARIOS. 

B T^E 1^ ibcbú fe cdigi ^ de quangran útil fia U rofia fé- 
1 3 fá dijmnuir el movimiento del pe/ó : porque una rof- 
€S con mufoU effká difminuye el $novimenta del fefo tanto» 
(omo una maquma compuefia de muchas ruedas : lo que fe 
fuede afücar i tos reloxes , y evitar la multiplicidad de las 
ruedas. 

Ir Quanto mayor fiure el numero de las efpiras ^y mayor fu 
oUiqmdad , y mayor juntamente la palanca que Jirve de emfu- 
naétra para mover la rofia , tanto merior Jira el movimiento 
del pelo y y mayor el de la potencia ; y por configuiente , tanto coa 
mas facilutad fi mover% el pefo^y tanto mas podero/a /¿rala rof- 
iOé Confia de ¡o dicho. , . 

3 A efla mifma maquina fe reducen los taladros y o barrenas^ 
fornofer otro que una rofca , que fenece en punta ^ dotide rema- 
tan fus tfpras y lo que faálita tanto fu entrada en el madero^ 
4omo atejtigus U experiencia. 

PROP* V, Theorema. 

títftkafif U CMfirmcion ^ ufo^y fuerzM de otra maquina f^^ 
' rofifsimapara levantar grandes pe fos,(fig.^^) 

T TSaii en algunas partes los Artífices de una maquina tan 
\^ poderoía para levantar qualquier peÍQ , qu^ puede 
cpn ellft un bohri>re íbio levantar un carro muy cargado» y 
unacaía.enterademadqrayy: otros pefos íemejances i éíto» 
fu &brica I y ufo es como íe figue. 



\ 



Libro VL }3) 

Haganíe tres ruedas de acero muy (olido , y fuerte» 
uoa mayor B , y dos menores A , y Q iguales, y de igual 
numero de dientes. Supongamos tenga cada una quatro 
dientes ; pero la rueda B, para guardar buena proporción^ 
tenga diez y (eis : éfta, y la rotula C han de tener un mií^ 
flao exe común á entrambas. Hágaíe aísimifino de firme 
acero , é inflexible un prifma con fus dientes á modo de 
fierra D£. Y todo fe na de encerrar en una caxa de ma* 
dera fuerte , y bien giurnecida de hierro , la qual quede 
abierta por arriba. Los dietites de la rotula G han de 
prender los del prifma ; y aísimifmo los de la rotula A han 
de prender los ae la rueda B. £1 exe de la dicha rotuk A» 
(ale íiiera de la caxa que encierra la maquina ; á quien fe 

2 unta la empuñadura corva AGFH , para aue aplican* 
D una , ó dos manos en FH , (e mueva circularmente el 
exe , y con él la rotula A , con quien eltá unido : éfta 
mueve k la rueda B, y C n^ encontrando los dientes de la 
rueda C, los del priuna DE les impelen , con que mué* 
ven dicho prifma ázia arriba y hada que el ultimo diente 
E fe junta con la rotula Q Ajuftando pues el cabo curw 
vo D á la cofa que fe ha de levantar , y el cabo opuefto 
de la caxa eilanao bien firme en tierra,!] fe rueda el hierro 
HF fube el prifma , y faliendo de la caxa impele ázia arr 
riba con gran fuerza el pefo ; y rodando al contrario el 
hierro HF , baxa el prifma , y fe oculta en la caxa, como 
antes eílaya.. 

Para averiguar las fuerzas , y virtud de ella maquina^ 
fupongamos , que la empuñadura FG esquadrupla del fe^ 
midiametro de la rotula A : y porque ella no tiene mas 
que quatro dientes, y la rueda B tiene diez y feis, (e íigMC, 
que para dar una buelta la rueda B , y fu anexa C , ha de 
rodar quatro veces la rotula A 5 y porque el íemidiame- 
cro de la rueda B es también quadruplo. del íemidiametrQ 
de la rotula C , (e moverá aquella con velocidad quatro 
veces mavor que éfta, y por configuiente , aue el priima^y 
el pefo: luego la potencia fe mueve con velocidad diez y 
(eis veces mayor que ^ pefo : luego la potencia, algo ma- 
yor que loo. libras , podrá levantar con efla maquina 
l6oo. libl'a;^ £n lugar 4$ U rotula A| fe puede poner una 

rofca, 



r 



334 Trat. IX. De la Maquinaria. 

rolca , llamada infinita , (emcjinte á la que lleva la iiiac|m- 

lu que explico en la propoljcion liguiente. 

PROP. VI. Theorema. 

Ixfliídfe U maquuiA Kircheriana, compuejta de muchas, ctn qw 
futde un mito levantar con un foto dedo iz;. lilnas 

EN el Mofeo Kircheriano del Col^ío Romano hay un* 
maquina compuefh de palanca , tomo , rolca , y 
garrucha , en la tbrma liguience. La empuñadura AB s 
palanca del primer genero , como en ocra parte dixe. El 
cilindro BC es torno , en quien las elpiras DE forman un* 
rofca llamada perfetua , 6 infinita; ponqué mientras rueda el 
cilindro BC , las efpiras de la rolca licmpre admiten nue- 
vos dientes de la rueda , y expelen otros. La rueda EF 
tiene bien unideá sí el exe,ó cilindro paralelo al horizonte, 
cuya extremidad es G : en erte exe le cmbuelve la cuerda 
que lleva al pelb ; y para mayor aumento de tuerzas, no ft 
ata dicha cuerda inmediatamente al pcfo , li que fe efíx- 
buelve en la garrucha HM , que lleva el peíb ; y por con- 
currir en ella quatro ruedas, o carrillos , le llama tttJ*)' 

Las fuerzas de efla maquina fon tantas , que aplicando 
un niño el dedo a la extremidad A del hierro , levanta un 
pefo de 1 1 j . libras , que es igual a un talento ; y tiene eft* 
excelencia , que aunque fe aparte la mano del hierro AjO? 
por eflb baxa el peíb , li que en virtud de la maquinale 
queda íüípcnlb en el ayre ; y para que baxe , es menelrc' 
rodar al contrarío el hierro A. La caula de tantas fuer^** 
confiíle , en que el movimiento de la potencia al del peí°| 
liene razón compuerta de las razones de la garrucha al 
pcfo : del femidiametro de la rueda EF , al femidiamct"! 
del exeG: y de la periferia del circulo , que deícrive « 
punto A con fu movimiento , á la dilliDcia que hay cn^rc 
dos elpiras inmediatas de ia lofca. 



PROP. 



Libro VL jjy 

PROP. Vn. Pix)blcinj. 

bk d si mifniú. 

SI dentro de una caxa le diípone una rofca con fti twtXx^ 
como la que fe ve en la pgitra j J* X ^ a^* íirmriiit hf f 
una cuerda en el techo por un cabo, y el otro (k rclii ittft i h 
el cilindro G , de fuerte , que rodando ¿ítc , íc viiy* rn \ I 
embolviendo la cuerda , podrá un hombre » icntaiU) loliitf 
ella maquina , fubir á quakniier altura; porque r/KUiu<o o| 
miíirio elhierio, óexe AB,ie iA embolviendo la cucnia \w 



el cilindro G; y como el o^ro cabo elt¿ linnr ^ ¿ ihiiu>ltlí 
arriba 9 deíuene^ que no puede ceder , cskjisolo, K\\\fi U 
xnaquina, y el que va en ella , vaya iubicndo á/.m (tvriUai Y 
tiene eíle inftrumento una gran conveniencia 9 y c^ f (|U« 
puede el que fube parar el movimiento á fu arbitiicifió lo 1 oh 

dexar de mover el hierro AB, íin peligro do cicii ^iitrn |vi 
ra baxar »íerá meaeüer mueva dicho hierro al cotili ai iii lU 
quando íubia* 

También puede uno fubírfea si mífmo á mMÍM»»'»' •«•' 
tura con una garrucha íimple, como cf OC^ ( /W^ ]^'i{ *'• 
efta forma. Pongafeen la cuerda un paU» ttit'>íViíiivlo IKi 
y para mayor facilidad , y fegurídad , atcíc á la ot fii p»*i lí 
de la cuerda un p^fo H , que íea algo mcnjir qtic í'l P» H 
del hombre que quiere fubir. Hecho ello , tirck 1.» /h» »'Ii 
del cabo F , hafta que el palo IK baxc, y el |*Hí> 1 1 1 hm .1 
lo alto. Síentefe el que ha de íübir en cí prtlc> íoliii'»lh Ims 
y tome Con las manos la cuerda HG .y tiicU AtU rtlM^»', y 
r«bira con gran facilidad^ y en queriendo lu^^r , »••»;';•; 
apoco afloíandolacucrda'^HG, y 1« nxfCMiaÜ tüdw liH 
peligro alguno* 



M(ül'* 



33^ XiLAT. IX. De la Maquikariaí 

I PROP. Vm. Problema. 

DifftHtr MM mtV4 maquimt , con U qual fe UvMtn _ 

con tu foflo ;6. ÍAtíí de fefo, 

CÍ5- J7-) 

EN éfta , y tas Gguientes propoíiciones fe propone mu 
nueva maquina muy limpie , con la qual íe explicaría 
ddpues facilmcnie las accione^ de los mulculos de nud"- 
iro cuerpo , y fu robulb pocencia. Difpongalc una vexi- 
ga de buey , ü de puerco MI* , alando , y uniendo tirmifsi- 
mamcnte á lu orificio M un cañoncillo de madera OM, 
f^un fe reprednta en la figura. En la puerta inferior M 
del cañón coloqutfe una ventanilla de vaqueta, ó otra ma- 
teria competente , con tal difpolicion , que abriendo ázii 
abaxo , cícitc ázia arriba ; para que introduciendo á foplos 
elayrepor el canoncillo en lavcxiga, no pueda bolvera 
falir. Pongafe dicho cañón ajultado , y firme en el made- 
ro AB ; y prenda el garfio P un pelo R , que defcanle eu 
el fuelo , é iniroduzgafe el ayre a foplos por el orificio O, 
halla que le dilate la vexiga ; y hecho cito , con loto un 
íbplo que fe le añada , extendiéndole por los lados , fe 
acortara la vexiga ázia arriba , y levantará el pelo R| 
que como fe experimentó en el Colegio curiólo Magdc- 
burgele, era de ;6. libi-as. La razón de ella íe daiii dcT- 
pues. 

PROP. K. Problema. 

Difponer ^tha máquina de fuerte , que btgs nujor tft^ 

PAra que el pelo fe levante á mayor dilfancia , fí 
añadirán quaiio , ó mas vexigas , uniendo firme- 
mente cada una con fu inmediata , mediante im cañón- 
culo , íeinejante al que fe dixo en la proporción antece- 
dente , pieviniendoie á cada uno cea la ventanilla át 



L I B it o VI. 337^ 

maqueta , de el mifmo modo que arriba dixe : introdu* 
ciendo pues el ayre por el orificio O , (e eníancharán, 
y acortarán todas las quatro vexigas al ultimo íbplo ; de 

aue fe feguirá , que levantarán el peíb á diftancia qua* 
rupia de la que le levantava una íola, como también 
(e ha experimentado. Y la razón es clara , porque íi la 
vexiga I. levanta á las demás , y al peíb , por exemplo^ 
un dedo ; comp la z. tenga igual potencia , en recibien-^ 
do el ayre , levantará por si al peíb un otro dedo ; y 
lo miTmo la 5. y 4* luego entre todas le levantarán qua^. 
tro dedos. 

PROP. X. Theorema* 



Ixfücafi ti fundamento del aumento de las fibtedkha$ . 

fotenúas. (Jíg.59.) 

SUpongafe el peíb G , pendiente del clavo F con doS 
cuef das ; y que las potencias H , h , diftraygán , y íe- 
paren las cuerdas , dirigiendo fu movimiento por las li« 
neas OH , oh. Digo , que levantarán el peíb G con mu- 
cha mayor facilidad , que íi le levantaílen tirándole por 
la perpendicular IF. La razón es clara , porque es ma- 
yor el movimiento de las potencias , que el del peíb , por- 
que moviendoíe ellas por la H , h , íe levanta mucho me* 
nos el peío , pues corre una linea menor que la Hh. (^é 
proporción tenga el momento de eílas potencias con el 
del peíb G , lo podrá ver el curiofo en Alfonfo Borelp 
en la parte i. de Motu Animalium , fropof. 94. donde prue- 
ba , que las potencias H, h, tienen con los reíiílentes G, y 
F , quando equilibran con ellos íus fuerzas , la razón 
de la re<3a FI , á la reda Hh. Omito efta demonftra- 
cion , por necefsitar de muchos Theoremas , y íer baí^ 
cante para nueftro intento el faber , por la razón arriba 
dicha , que íiendo en etta dilpoíicion mayor el momen^ 
to de las potencias , que el del pefo , por pequeñas que 
ellas fean podrán levantar qualquier pelo ^ pues en qual- 
TomoUl* Ll quier 



/ 



338 Trat. IX. De la Maquinaria; 

quier cafo podrin diílracr, y doblar las cuerdas FHI, 

Fhl por algún elpacio , i que necefíariamente fe ha de 

feguir algiin movimiento del pefo , fi no lo eftorbáreli 

mayor tcniion de las cuerdas , de que aora le preP- 

cinde. 

Supueílo lo fobredicho, veafe hfig. 60. en que fe fií- 
ponc , que el pelo G pende de quatro cuerdas : éltas 
diftraidas en la forma lobredicha por quatro potencias, 
es cierto harán doblado cteCto que las dos de ellas ío- 
lamenic ; y por configuiente , quanto fueren mas las cuer- 
das que mantienen cl pelo G , y mas las potencias , ferá 
mayor la facilidad cou que ¿fías levantarán el peío G: 
liendo pues la vexiga en la Jigara jy. un agregado de ¡nu- 
merables fibras , ó hilos atados arriba al canon , y 
abaxo con el peíb , quando eltín diítraídas por el ayre 
que dentro fe introduce , fe podrá con ellas levantar el 
peío de las 36. libras con fuma fecilidad; y aunque la 
potencia de un Ibplo fea muy débil , y en dos , ó tres 
libras , no harán cícíto alguno (enlible ; pero íiendo tan- 
tas , un folo foplo que las dilate igualmente á todas, 
podrá hacer efecto ftntible , y levantar el peíb en I4 
forma referida. 

PROP. XI. Theorema. 



ixplkítfe U fatencia que tienen lot mufiulost 

ES confiante , que los mufculos de nueílro cuerpo , y 
de quilquier animal , fon los principales inftrumen- 
tos , y maquinas para mover los miembros : es tam- 
bién cierto , que cxecutan cfte movimiento con la dila- 
tación , y contracción ; porque acortándole , y conrra- 
ycndofe unos , mueven , por excmplo , h mano , ó bra- 
zo , á quienes eftán unidos; y dilatandofe , y alargándole 
éftos , y juntamente acortandofe los antagonittas , fe ha- 
ce el movimiento contrario. Es también torzofo , que los 
mufculos , en virtud de fu difpolicion , lean maquinas 

muy 



; 



L I B R. o VL 55 

jomy vigorólas » y de gran potencia ; porque eíland 
aplicadas ^ los hueilbs como á vedes , ó palancas del 
tercer genero , como dixe en la propofl ii. del itb. i. 
y eítando (ii aplicación muy cerca ael hipomochlio ^ 6 
centro del movimiento , es forzoíb íea tanta fu fuerza, 
que pueda en dilpoíicion tan contraria , no íblo mover 
la mano , ó brazo , íi levantar , y fuftentar juntamente 
un gran peíb , como ateltigua la experiencia. Efta po- 
tencia pues tan vigorofa parece poderle explicar , fegun 
lo arriba dicho, en la forma (iguiente. 

Supongo j Que íi á un mifmo peíb íe' le aplicaílen 
en la forma dicha en la pofof. 9. dos feries ae vexi* 
gas , como la de la pg. 58* aunque no por eílb íe levantaría 
el peíb á mayor diftancia ; pero porque la una puede 
tanto como la otra , la potencia ae las dos juntas fe- 
ria doblada; y íi íe aplicaíTen tres , feria tripla; y aísí 
(e iriat aumentando la potencia al mifmo paíTo que fe 
' multiplicarían aquellas feries : y por coníiguiente , íí 

una Cola íerie , animada con el foplo , puede mover , y 
j. . elevar á cierta altitud un pefo de 40. libras , ocho feries 

L iguales podrán levantar i la mifma altura un peíb de 

}20. libras; y ü todas eílas íeries eftuvieíTen aplicadas 
cerca del centro de la palanca del tercer genero , como 
poco movimiento cerca del centro fea mucho en la ex* 
tremidad donde fuele colocaríe el pefo , no hay duda 
levantaria la extremidad de la palanca por grande efp^* 
cío. Eílo fupueíloy 

Qiial<juiera mufculo íe compone de inumerables 
fibras , aísi carnofas , como tendinofas , llenas de poros , y 
» . receptáculos comunicantes , donde con increible celen- 

^ dad , y muv fenaejante a la de la luz , fe introduce aquel 

^ fluido fútil, ó fean efpiritus animales, que deciendendel 

f celebro ; y en confequencia de efto viene i íer el roufcu- 

^ lo un agregado de mumerables feries como las arriba 

^ dichas, que todas vienen á uniríe por fu extrcrnidad al 

1^ hueíFo ; perp muy cerca de la articulación que íirve de 

^ centro para el movimiento. Introduciéndole pues coa 

^ aquella fuma celeridad , y prontitud aquel fluido fútil, ^ 



f 






340 Trat. IX; De la Maquinaria. 

dpiritus animales , (e Uenao todas las (bbredicfais cavida-» 
des , y íe dilatan lateralmente íus fibras ; de que Ce Cgue la 
intumecencia lateral dd mufculo , y fu contracción , y 
decurtacion , (egun la longitud. Contrayendoíe pues con 
tanta prontitud , lleva coniigo el hueílo , y ie da mo- 
vimiento circular ; y aunque por eiUr unida efta po- 
tencia muícular cerca de la articulación , v centro , fta 
allí pequeño , y corto el efpacio por donde le mue- 
ve ; pero en íu extremidad es muy notable , y cre- 
cido. 

Puede obgetaríe contra efto, que en Ufig- 57* la in- 
tumecencia de la vexiga aUi propuefta y ha de íer 
muy notable para que haga el eftdo , y movimien- 
to de decurtacion , y levante el peíb R , como allí 
(e dixo ; poroue para que feniiblemente le mueva y es 
(brzoíb que íenfiblemente fe acorte. ; y no puede acor- 
tarfe feniiblemente fin que fea mas notable íu dila- 
tación lateral , y mayor que la decurtacion, como^fe 
dixo en la propoficion lo. luego lo mifmo havia de 
fuceder en el mufeulo , lo que es contra la expe- 
riencia ; . pues vemos fer poca fu intumecencia al 
tiempo en que mueve , ó dobla el brazo y ó pierna, 
&c. 

A efto reípondo lo primero , que la intumecencia 
del mufeulo es alguna , como lo ateitigua la ocular ex- 
periencia. Lo fegundo digo , que no es meneítcr fea 
níUcha para exercer fus funciones , y movimientos. 
Lo primero , porque el cabo del mufculo eftá aplicado, y 
afsiao cerca del centro del movimiento del bueflb ; Y 
por configuiente, por poco que alli mueva, es grande 
el movimiento en la extremidad del huello, tag diftante 
del centro, y déla aplicación de la potencia. Lo fegun- 
do , porque fiendo ei mufculo , como he dicho , com- 
puetto cíe inumerables feri« de fibras , que divididas 
en pequeñas concavidades , ion femejantes á la íerifi 
de la figura 58. no ha menefter hacer todo el mufeulo 
dilatación muy fenfible para que fea bien notable fií 
decurtacion ^ y el movimiento que ocafiona en los miem- 
bros: 



L I B 11 o VI; . 'I4t 

bros ! porque la mifina decurtacion , y contracción 
que haría todo el mufculo , fi folo conftaíTe de una 
concavidad total , como la vexiga de la figura 57. 
con gran dilatación , hace dilatándole muy poco , con(« 
tando j como confía , de diferentes concavidades , d 
poros comunicantes ; y para que eflo fe vea con evi« 
dencia» 

Sea en la figura 61, AD una fibra muícular , la qual 

f>ara acortarle ñafia quedar en AC j y levanta/ el pe- 
b defde D hafta C , naya de dilataríe todo lo que es la 
BB. Supongamos aora « que efta fibra confte de 4. re* 
ceptaculos , como vexigas iguales. Digo bailará , que ca- 
da una de ellas fe dilate fblamente quanto es la OG , para 
que el cabo del muiculo y Juntamente con el pefb pen« 
diente , fuba de D haíia C^ La razón es , porque los lados 
AB, BC fon iguales a los ocho lados AH , HF , FG , &c. 
de las 4. veficulas menores ; porque FG es igual á HK, 
El á KM , NL á BM : luego todas las quatro AH , FG, 
El , NL, fon iguales á toda la AB : y de la mifma fuerte íe 
demonflrará fer las HF , GE, &c. iguales á la BC : luego 
todos los ocho lados de las concavidades pequeñas ion 
iguales i los AB , BC : luego la decurtacion de la fibra de 
AD hafta AC , es la mifma , fiendo única la concavidad, 
que fieiklo quatro ; pero tiendo quatro , es la dilatación 
lateral de toda la fibra en la decurtacion , folamente 
lo que es la FG ; efto es , la quarta parte de £B : luego 
con mucha menor dilatación lateral fe hace la decur* 
tacion , haviendo en cada (crie muchas cavidades, que con 
(bk una. Y fi en lugar de las 4. cavidades fe pufíeífen en 
la ferie 4000. fe elevaria el pefb á la mifma altura DC, 
y la dilatación , é intumecencia feria 4000. veces me- 
nor , que la ABC. Confiando pues cada ferie mufcular 
de inumerables concavidades , fe hará la decurta- 
cion , y movimiento.de el mufculo fin notable intume- 
cencia. 

No dudo concurren en los mufculos otras circunftan- 
cias que conducen mucho para fiís acciones , como fe 
puede ver en Alfonfo Borelo , Thomás Bartholino , y 

otros 



34^ Trat. IX. De ia Maquinaria.- 

otros Autores ; pero bafta lo fobredicho para nueílro 

intento. 

De que fe íoüge íUrxmtnte lo mutho que conáuct ejie Tta- 
ttdo de U Maquinaria , ¿ Mecánica , para la explicación , i 
irueligencta de las cofas de la natutaUz.a , tujas optjOíioBes 
regularmente fe txtman per moytnuerao local. 

F I N. 



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