Full text of "Compte rendu"

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ASSOCIATION FRANÇAISE 



POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCE 



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21! SESSION 




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ASSOCIATION 



FRANÇAISE 



POUK 



L'AVANCEMENT DES SCIENCES 



l'ne table des malières est jointe à chacun des volumes du Compte 
Kendu des travaux de l'Association Française en 1892. 

Une table analytique générale par ordre alphabétique termine la 
2"^" partie ; dans cette table, les nombres qui sont placés après la lettre p 
se rapportent aux pages de a l""'' partie, ceux placés après l'astérisque 1 
se rappoi'tent aux pages de la ±""' partie. 



IMPRIMEKIE CHAIX, RI K BERGERE. 20. PARIS. — 23688-1(1-92. 



ASSOCIATION 



FRANÇAISE 



♦j 



POUR L'AVANCEMENT DES SCIENCES 



FUSIONNEE AVEC 



L'ASSOCIATION SCIENTIFIQUE DE FRANCE 

{Fondée par Le Verrier en 1864) 

Reconnues d'utilité publique 



COMPTE RENDU DE LA 21" SESSION 



PAU 



1 e © 2 



NOTES ET EXTRAITS 




LIBRARY 
NEW VO«îK 
BOTaNJCAL 

GARDE N 



PABIS 

AU SECRÉTARIAT DE L'ASSOCIATION 
28, rue Serpente (Hôtel des Sociétés savantes) 

Et chkz m. g. JMASSON, Lickaire de l'Académie de Médeclnk 
120, boulevard Saint-Germain. 

1893 



ASSOCIAÏION FPiAXCALSE XnTcm. 



ubratry 

JEW VORl 

iOTANiCA 
QARDEN 



POUR 



L'AVANCEMENT DES SCIENCES 



NOTES ET EXTRAITS 



M. Ed. COLII&NOIÎ 

Inspecteur général des Ponts et Chaussées, à Paris 



REMARQUES SUR LE CHOC DIRECT DE DEUX CORPS ELASTIQUES 



— Séance du 16 septembre 1892 — .' 

1 

Avant d'aborder la question que nous avons en vue, nous rappellerons 
les formules du choc direct de deux corps élastiques. 

Supposons deux sphères, de masse m et m', animées des vitesses v et v' 
suivant une seule et même droite. Le choc a lieu. Appelons iv et w' les 
vitesses qu'auront ces mêmes sphères après le choc. On exprimera que la 
vitesse du centre de gravité n'est pas altérée par le choc; que, de plus, les 
forces vives sont conservées, lorsqu'on attribue aux deux corps une élas- 
ticité parfaite. On a de cette manière deux équations, dont il est aisé de 
déduire les vitesses finales w et w'. 

On simplifie la solution en rapportant le mouvement à des axes de direc- 



2 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

lion constante menés par le centre de gravité des deux masses. La vitesse u 
de ce centre de gravité est donnée par l'équation 

7nv -{- m'v' 

Au lieu d'opérer sur les vitesses absolues v, v', iv, te', considérons les 
vitesses relatives 

On sait que la résultante des quantités de mouvement relatives est tou- 
jours égale à zéro ; et que le théorème des forces vives s'applique aussi 
bien au mouvement relatif qu'au mouvement absolu. On aura donc les 
trois relations 

(-2) ini\ + m'v\ =^ 0, 

(3) mH\-\-m'iv\^0, 

On tire des équations (2) et (3) 





u\ tc^ 








Ul t'i 


l^"\ 


on en déduit 


V, 





et si l'on pose 

valeurs qui, substituées dans l'équation (4), donnent immédiatement 

Par conséquent, X est égal k -\- i ou à — 1. 

On ne peut faire X = + 1' sans quoi les vitesses des mobiles reste- 
raient les mêmes, tandis que le choc a dû les modifier. Il faut donc poser 
X = — 1, ce qui conduit aux équations 

Wl =: — t'i, iv'^ =^ — V'^. 

Les vitesses relatives changent de sens en conservant leurs valeurs 
absolues. Si de là on revient aux vitesses absolues, on trouve pour les 
vitesses finales 

(o) ^f; = 2w — i\ ir' = 2a — v', 

conformément au résultat connu. 



i:i). 



COLLIGMJ.N. — SLi; LE CHOC DllUXT DE DEUX COUPS ÉLASTIQUES 3 




FiG. I. 



II 

-Nous appliquerons cette solution générale à quelques problèmes parti- 
culiers. 

Supposons que deux points matériels, de masse m et m', mobiles sur 
une même droite OX (ftg. 1), soient soumis chacun à une allraction éma- 
nant du centre fixe 0, pro- 
portionnelle à la masse du 
point et à sa distance au 
point 0. Si l'on appelle x 
et x' les distances des deux 
points mobiles au centre 0, 
ces dislances portant leur si- 
gne, l'attraction exercée par 
le centre fixe sur .le point m 
sera représentée par le pro- 
duit — mM^x; et l'attraction 
sur l'autre point par le pro- 
duit — iii'm'^x'. Le facteur w 
est une quantité constante, homogène à une vitesse angulaire, de telle 
sorte que le produit là'^x soit homogène à une accélération. 

Nous supposerons que le point m parte du repos au point A, à une dis- 
tance OA =: a ^u point 0. Son mouvement pourra être considéré comme 
celui de la projection sur le diamètre OX d'un point directeur a, qui par- 
courrait la circonférence décrite de comme centre avec OA pour rayon, 
avec une vitesse angulaire uniforme a>. De même le mouvement du point 
m' est identique à celui de la projection sur OX du point b, qui parcour- 
rait avec la même vitesse angulaire w la circonférence décrite du point 
comme centre avec OB pour rayon. Et si les deux points mobiles partent 
simultanément des points A et B, les deux points directeurs a et 6 seront 
constamment situés sur un même rayon OP, animé de la vitesse w autour du 
centre 0. Dans ces conditions, les deux points mobiles arrivent à la fois au 
point 0, et le choc a lieu. Les vitesses simultanées des deux mobiles sont 
égales en valeur absolue au produit de m par les ordonnées am, bm' des 
deux points directeurs. En arrivant en 0, ces \itesses sont donc propor- 
tionnelles aux ordonnées Oa, 0,3, c'est-à-dire aux rayons a et 6 des deux 
cercles. Le centre de gravité G des deux points a un mouvement identique 
à celui de la projection du point g, parcourant uniformément la circon- 
férence de rayon OG; à l'instant oh le choc a lieu, la vitesse u du centre 
de gravité est donc proportionnelle à Oy. Comme le choc n'altère pas le 
mouvement du centre de gravité, le point directeur g continuera à par- 



4 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GKODÉSIE ET MÉCANIQUE 

■courir avec la même vitesse w le cercle OyC; tandis que les vitesses 
i-elalives des deux points par rapport à leur centre de gravité, représentées 
sur la ligure par les différences av, py» changent de sens, ce qui revient à 
relourner bout pour bout la droite afi, en la faisant pivoter autour du point 
lixe y. En définitive, le choc amènera le point directeur a de a en a', et le 
point directeur 6 de [3 en 8' ; après quoi la loi du mouvement des deux- 
points se retrouve la même qu'auparavant. Le mouvement de m sera 
réglé par celui d'un point décrivant la circonférence de rayon Ox'; la 
limite de l'excursion du point m vers la gauche sera donc le point A'. 
De même le point m' sera dirigé par un point parcourant uniformément 
la circonférence p'B'p", décrite de comme centre avec 08' pour rayon; 
le point B' est la limite extrême de son excursion. On peut observer qu'on 
a A'B' — AB. 

Un second choc a lieu au point 0, quand les deux points, après leur 
excursion aux points A' et B', reviennent au centre avec des vitesses pro- 
portionnelles aux ordonnées Oa" et 0,8". Le mouvement du centre do gra- 
vité n'est pas altéré; mais les vitesses relatives changeant, la droite a"i3" 
doit être retournée bout pour bout autour du point y', ce qui ramène les 
points a" et ,8'" sur les circonférences de rayon OA et OB, que les points 
directeurs décrivaient d'abord. Les deux points m et m' reprennent donc 
les vitesses qu'ils avaient à leur premier passage au point 0. mais dirigées 
on sens inverse, de sorln quils retournent dans le même temps à leurs 
points de départ primitifs, A et B. Le mouvement des deux points est 
donc une oscillation de A en A' pour le premier, de B en B' pour le second, 
avec changement brusque de vitesse au passage du point 0. 

Si l'on pose OG = c, OA' =: a', OB' -- 6', on aura 

ma -4- ni'b 

c = -, 

m -\- m 

a' = lc— a, 

b' = <ic — b; 

la vitesse du point m au passage du centre variera alternativement 
de coa à coa', puis de — toa' à — coa; celle du point nt' variera de même 
de Mb à Mb' et de — Mb' à — oib. 

Dans le cas particulier où l'on aurait 6 = 0, et m =: m', on aurait 
a' =i et b' = a. Il y aurait échange de vitesse entre les deux points au 
moment où ils se choquent au point 0. 

III 

Le mouvement d'un point pesant qui glisse sans frottement sur la 
cycloïde est, sur la courbe, la reproduction du mouvement que nous 
venons de considérer sur la ligne droite. 



KD. COI.l.ir.MiN. srf\ LK CHOC DIRECT DE DEUX COUPS ÉLASTIQIKS 5 

Soit COC (fig. 2) une cycloïde, ayant pour base l'horizontale CC; 
est le point le plus bas de la courbe. L'équation de la courbe entre 
l'arc s mesuré à partir 
du point et l'or- 
donnée (/ rapportée à 
la tangente OX est 

.s" = 8Ry, 

R étant le rayon du 

cercle générateur. On 

sait que la durée de 

l'oscillation entière d'un point pesant assujetti à glisser sans frottement 

sur la courbe, est indépendante de la longueur de l'arc parcouru, et qu'on 

a pour cette durée 




/ 4R 



9 

quel que soit le point de départ du point mobile. 

Supposons qu'on abandonne à la fois deux pomts matériels, de masse 
m et m', aux points A et B sur la courbe. Ils arriveront ensemble au point 

T 

au bout du temps -^ et le choc aura lieu. Le point w, parti du point A, 

Là 

aura pour vitesse u = — \/±g J>^\ le point m', parti de B, aura 

pour vitesse v' = — s/'ig >< RR- Appelons a et h les arcs OA et OB. 
mesurés sur la courbe. On aura 



V 



-Va' 



c'est-à-dire 



et 









-a 
2T 

2T 



de sorte que l'on retrouvera les conditions mêmes du problème précédent 

en posant o> =: ^— • 

Par conséquent, le point m, après le choc, remontera en un point A' 
de la cycloïde défini par l'arc OA' =: a'; le point m' remontera en un 
point B' défini par l'arc OB' — 6' ; et les deux points parviendront si- 
multanément aux points A' et B' à cause du tautochronisme de la courbe. 



MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Des points A' et B', où ils arrivent sans vitesse, ils retomberont simul- 
tanément au point 0, où ils se choqueront pour la seconde fois ; et ce 
second choc les fera remonter, l'un en A, l'autre en B, c'est-à-dire à 
leurs points primitifs de départ; de sorte que leur mouvement sera une 
excursion de A en A' et de A' en A pour l'un, de B en B' et de B' en E 
pour l'autre, avec choc mutuel des deux points à leur passage au 
point 0. 

L'arc A'B' est égal à l'arc AB. 

De plus, si l'on détermine les positions G et G' des centres de gravité 
des deux masses m et m! dans la position AB, puis dans la position A'B', 
ces deux points G et G' seront à la même hauteur, et la droite GG' sera 
horizontale. En effet, le produit {mg -\- m'g) >< GS représente le tra- 
vail moteur de la pesanteur sur les deux corps m et m' tombant ensemble 
de A et B en 0; de même {mg -\- m'g) >< G'S' est, au signe près, le 
travail résistant de la pesanteur lorsque les deux masses, après le choc, 
remontent simultanément du point aux points A' et B'. Puisqu'il n'y a 
pas de perte de force vive par suite du choc, d'après notre hypothèse de 
l'élasticité parfaite, les deux travaux doivent être égaux. Donc 

GS = G'S'. 



Le cas particulier où le point m' serait primitivement placé au point le 
plus bas de la courbe, et sans vitesse, mérite d'être examiné séparément. 

On aurait alors 



r' 


r^^^ 






C 




6 = 0, 




-^_, G^ 


^^^ 


ma 

O 1 




m -j- »' 
a' ='2c — a, 
b'= 2 c. 






S' 


D S P' 

Fia. 3. 


P 


X 


Supposons que m 
soit moindre que w'; 



{ 

alors c sera moindre que - a, et a sera négatif; le point m rétrogradera 

après le choc en A', pendant que le point m' , parti du repos, remontera 
en B' à la distance curviligne OB' = 2c. Au second choc, les deux corps 
se retrouveront en présence en ; mais là le corps m' perdra toute sa 
vitesse et restera en repos, pendant que le corps m remonte en A et en 
redescend, c'est-à-dire pendant une durée égale à T; de sorte que, .dans ce 
cas particulier, le point m. descend de A en 0, remonte de en A', 
redescend en 0, puis remonte en A, et ainsi de suite alternativement. 
Pour le point m', il monte en B', puis redescend en 0, pendant 



KT). COLLIGNON. — PIÎOBLE.MES SIR LES f.ORPS FLOTTANTS / 

T 

deux périodes égales chacune à -; après quoi il stationne au point 

pendant le temps T. 

On a encore arc OA = arc A'B' et GS = G'S'. 

Enfin, si l'on a m = m', les stationnements au point sont alternatifs 
pour les deux points, et l'on retrouve l'expérience connue des cours de 
physique, où l'on opère sur deux boules d'ivoire égales, formant pendule 
circulaire. 

Les résultats obtenus pour lacycloïde s'étendent approximativement aux 
autres courbes symétriques par rapport à la verticale Ot/, et notamment 
à la circonférence; mais il faut alors que les arcs a, b, soient très petits, 
sans quoi la courbe n'est plus tautochrone, et les chocs peuvent n'avoir 
plus lieu au point 0. Il y a exception lorsque l'on a à la fois b = et 
VI = m' ; car alors chaque point a à parcourir des arcs égaux de part 
et d'autre du point le plus bas, pendant que l'autre l'attend au point ; 
de sorte que les chocs ont encore lieu en ce point. 



M. Ed. COLLI&IOI 

Inspecteur général des Ponts et Chaussées, à Paris. 



PROBLEMES SUR LES CORPS FLOTTANTS 



— Séance du 16 septembre 1892 — 

On sait que, lorsqu'un corps solide flotte à la surface d'un liquide, 
l'équilibre du corps exige qu'il y ait égalité entre le poids du corps et le 
poids du liquide déplacé, et que les centres de gravité du corps et du 
liquide déplacé soient sur une même verticale. D'un autre côté, la stabilité 
de l'équilibre est assurée si la fonction 1 — a\ est positive; V représente 
le déplacement, a la distance du centre de carène au centre de gravité du 
corps, comptée positivement en descendant à partir du centre de gravité, 
et I le plus petit des moments d'inertie de la section de flottaison par 
rapport à une droite menée dans son plan par son centre de gravité. 
La valeur positive de la différence I — aS mesure on quelque sorte le 
degré de stabilité du corps. 

Si l'on appelle S la section à la flottaison, h la profondeur moyenne 



8 MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

de l'immersion, c'est-à-dire une hauteur telle que l'on ait V — S/«, p le 
rayon de giration correspondant au moment d'inertie I, on a identi- 
quement 

I — aV = Sfc^ — ah). 

Sous cette forme, on reconnaît qu'à égalité du volume V, c'est-à-dire 
à égalité du poids total du corps flottant, si l'on donne la densité du 
liquide, la slabililé croît en général à mesure que la section S augmente; 
car l'augmentation de S accroît le premier facteur; elle entraîne en outre 
une augmentation du rayon de giration p, en même temps qu'une di- 
minution de la profondeur moyenne h, et de la distance a des deux 
centres de gravité. 

Nous nous proposerons, dans cette note, de résoudre quelques problèmes 
sur la différence I — a\, considérée à un point de vue géométrique. 

Nous chercherons quelle forme il convient d'attribuer au corps flottant 
pour que cette différence soit constante à quelque profondeur que le 
corps soit immergé, soit que le corps flottant devienne plus lourd ou 
plus léger, soit qu'on le fasse flotter successivement à la surface de 
liquides de densités diff'érentes. Nous supposerons toujours que le centre 
de gravité du corps occupe dans ce système matériel une position connue 
d'avance. Rien n'exige, d'ailleurs, que le corps flottant soit homogène, et 
nous pouvons faire sur la distribution des densités entre ses différentes 
parties telle hypothèse qui sera nécessaire pour amener le centre de gra- 
vité dans la position que nous lui attribuons. 

Considérons le corps dans sa position d'équi- 

_^ X libre (fig. ■/). 

i Soit G son centre de gravité; par ce point nous 

f' ferons passer trois axes rectangulaires, l'un GZ ver- 

i iM tical, les deux autres GX, G Y horizontaux : 

le centre de carène, ou centre de gravité du 
volume liquide déplacé, qui est situé sur la verti- 

à' cale GZ du point G, à la distance GO = s ; 

MN le niveau du liquide, déterminant dans le 
corps la section de flottaison ; 

V le volume immergé, compris entre le plan MN 
et un autre plan horizontal A A.', mené par le point le plus bas du corps 
flottant ; 
l la distance GA; 
z la distance GM ; 

S l'aire de la section faite dans le corps flottant par le plan MN, ou 
plus généralement l'aire de la section faite dans le corps flottant par un 
plan MN mené à la cote z au-dessous du point G ; 



ÉD. COLLin.XdN. — PliOlîl.KMKS Slli LES ColU'S FLOTTAMS 9 

p le plus petit des rayons de giration de la section S par rapport aux 
droites menées dans son plan par son centre de gravité. Nous admettrons 
que le centre de gravité de cette section S soit situé sur l'axe GZ, et que 
la droite par rapport à laquelle le moment d'inertie est le plus petit, soit 
une parallèle à la droite GY, ce qui suppose : 1° que, dans toutes les 
sections horizontales, l'ellipse centrale d'inertie soit orientée de la même 
manière; 2^ que la droite GY a été menée dans le plan YGX parallèlement 
au pelit axe de l'ellipse centrale de toutes ces sections. 

L'aire S sera liée à la variable z par une équation 

qui dépend de la forme extérieure du corps. 

Le moment d'inertie I est égal à Sp\ Le produit aV représente la 
somme des moments par rapport au plan YGX des volumes élémen- 
taires Sch dans lesquels on peut décomposer le solide entre les plans MiX 
et AA'; on a donc 

rtV = / Szdz. 

De la condition qu'on s'impose 

I _ aV = H, 

H désignant une constante, on tire, en différentiant, 

(1) dl = d{a\) = — Szdz, 

équation qui contient la solution cherchée. Pour aller plus loin, il est 
nécessaire de faire quelque hypothèse sur la forme du corps flottant. 

L — Nous supposerons d'abord que les sections horizontales aux diffé- 
rentes cotes ^ soient toutes semblables et semblablement placées le long 
de l'axe GZ. S'il en est ainsi, il y aura un rapport constant entre l'aire S 
de la section et le carré f' du rayon de giration, qui joue dans les 
diverses sections le rôle de ligne homologue. On aura donc, en appelant À 
un rapport constant, 

S = Xp% 

et par suite 

I = Àc\ 
dl = iXfdp. 
L'équation (2j devient 

MpHp + l^/-.dz = 0. 

Elle se réduit à 

4p(/p -f- zdz = 



10 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

par la suppression du facteur }vp^ et par conséquent on a, en intégrant, 

1 

2p2 -f - ^2 _ constante — 2p^, 

en appelant p^ le rayon de giration de la section faite par le plan XGY, 
pour :; = 0. On a, en définitive, 

(2) f' = Pl-ï ^'- 

De cette équation, nous tirerons la valeur de la constante H := I — aV. 
On a en efTet 

1 

4 ' 



S = XI p,- 



1 



^'■1 P; - 7 ^ 



--.rx^»-i-)— {^^'^'-t)^ 



donc enfin 

I — aV = H = X( p2 _ 1 



(p^-ï/^M-^^' 



en appelant Ij le moment d'inertie et pi le rayon de giration de la 
section inférieure du corps, pour z = l. On trouve H = Ii, ce qui 
doit être, puisque la différence I — a\ se réduit à Ij à la base du 
corps, lorsque le volume V est égal à zéro. 

Lorsque le corps se termine inférieurement par un point unique, on a, 
par conséquent, Ij = et H = 0. L'équilibre est alors indifférent, 
quelle que soit l'immersion, à l'égard de tout déplacement angulaire 
autour d'une parallèle à l'axe GY. L'équilibre est stable par rapport à 
tout autre déplacement. 

Revenons au cas général ofi H a une valeur positive quelconque. 
On peut démontrer que, dans ce cas, la coupe du corps par le plan XGZ 
est une ellipse. 

En effet, appelons x l'ordonnée de la surface dans le plan y = 0, 
correspondant à une valeur déterminée de s. A cette hauteur, nous 
avons pour la section horizontale un certain rayon de giration p, qui 
a avec la dimension x un rapport déterminé, à cause de la similitude 
admise. Soit donc p = [ix, p. désignant un nombre constant. Si l'on 
remplace p par cette valeur dans l'équation (2), on obtient pour l'équa- 
tion de la coupe cherchée 

(3) p^^^:=p2_l ^ 



4 



Kl). COLLIGNON. — PROBLÈMES SLU l.KS CORI'S FLOTTANTS 14 

r 

■ce qui représente une ellipse, dont les demi-axes sont - suivant GX, 
et 2sp suivant GZ. 

Appliquons ces considérations à l'ellipsoïde homogène dont la surface 
a pour équation 

7.2 1/2 -2 

^2 ^ ,^2 n- ^2 

La condition relative à l'homothétie des sections horizontales est satis- 
faite d'elle-même. L'origine est d'ailleurs le centre de gravité du corps. 
Nous supposerons m < », pour que le rayon de giration corresponde 
dans chaque section à l'axe de l'ellipse parallèle à GY. Pour une ellipse 
dont le demi petit axe est x, le rayon de giration par rapport à l'autre 

X 1 

axe est égal à. - ; donc a = ^ ; et l'équation de la coupe par le 

plan XGZ est par suite 

1 1 1 

4 4 ' 4 

ce qui représente un cercle de rayon m. Pour que ce cercle appartienne 
à la surface donnée, il faut et il suffit que l'on ait m = l, ou que 
l'ellipsoïde soit de révolution autour de l'axe GY. Il est aisé de le vérifier. 
On a, en effet, en faisant les opérations, 



T.m7i ' "■"'^'^'^ 



I - aV = ^- (m^ - l'^)\\ - -^ 

fonction indépendante de z lorsque l'on a m=l; elle se réduit alors 
à zéro, ce qui doit être, puisque la coupe horizontale de la surface à son 
point le plus bas se réduit à un point. 

Étant donné un corps flottant, dont le poids total soit P, et dont G soit 
le centre de gravité, si ce corps est dans un état d'équilibre indifférent, 
pour une immersion déterminée, on pourra toujours rendre l'équilibre 
stable, en enlevant du corps par un plan horizontal une tranche du volume 
immergé, sous les conditions suivantes : 

1° Le plan sécant doit être tel que les centres de gravité des deux 
tranches du volume immergé qu'il sépare, soient tous deux situés sur la 
verticale GZ; 

2° Le poids total P doit être diminué du poids du liquide correspondant 
au volume de la tranche supprimée; 

3<» Enfin les poids des parties conservées pour le corps doivent être 
réglés de telle sorte, que le point G reste le centre de gravité de leur 
ensemble, comme avant la suppression. 



12 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Dans ces conditions, le plan de flottaison reste le même, et I conserve 
sa valeur. On peut, d'ailleurs, remplacer le moment a\ par la somme 
a,Vi + o^V.,, en appelant Vi et V^ les deux volumes séparés par le plan 
sécant, et a,, a., les distances de leurs centres de gravité au plan XGY. 

On a alors 

l — a\ — \ — OiVi — a^Y, ^^ 0, 



par hypothèse, et par conséquent 

I — a,\\ 



flaV,, 




différence positive, qui assure la stabilité du corps lorsque le volume 
déplacé est réduit à la tranche conservée Yj . 

Prenons pour exemple l'ellipsoïde de révolution examiné tout à l'heure, 

lequel est en équilibre indifférent quel que soit 
son degré d'immersion. Supprimons à la partie 
inférieure le segment compris au-dessous du plan 
horizontal MM' (fm. 2); et, pour maintenir le 
centre de gravité au point G, enlevons aussi au 
corps le segment mN/n', symétrique de MCiM' 
par rapport au plan horizontal (W. Le solide 
ellipsoïdal compris entre les deux plans mm\ 
MM', sera en équilibre stable à quelque profon- 
deur qu'il s'enfonce dans le liquide, et la valeur 
de la constante H sera le moment d'inertie de la section inférieure MM'. 
Il est aisé de le vérifier par le calcul direct de la fonction I — aV. 

II. — Nous supposerons, en second lieu, que les sections horizontales 
soient, non plus semblables, mais affines, c'est-à-dire, que l'on puisse 
passer de l'une à l'autre en amplifiant dans un certain rapport les dimen- 
sions parallèles à Taxe GX, et dans un autre rapport les dimensions pa- 
rallèles à l'axe GY. Rapportons toutes les sections à celle qui est contenue 
dans le plan XGY. Soit S^ l'aire et I^ le moment d'inertie de cette sec- 
tion. Nous supposerons toujours que les variations des dimensions con- 
servent pour toutes les sections horizontales le parallélisme du grand axe 
de l'ellipse centrale d'inertie avec l'axe GX; que, de plus, la section S^ ait 
son centre de gravité au point G, ce qui fixe pour toutes les autres le 
centre de gravité sur l'axe GZ. 

Soit a le coefficient d'amplification des dimensions parallèles à GX; 
p le coefficient analogue applicable aux dimensions parallèles à GY. 
Ces nombres a et p sont des fonctions de z qui restent à déterminer. 



On aura 



S^S^Xû'P, 
1 = I, X «'?, 



ÉD. COLLIGNON, — l'UOBLÈMES SUR LES CORPS FLOTTANTS 13 

et réquation I — aV = H, devient, par la diti'érentiation, 

(4) I,^(a^fi) + S„ >< :Lpdz = 0. 

Comme nous n'avous qu'une équation pour lier ensemble les trois 
variables a, } et c-, nous pouvons imposer à ces variables une relation 
arbitraire. Dans tous les cas on doit avoir, pour z -{), x = \ et 
[i — i, pour qu'on retrouve l'aire S^, et le moment d'inertie I^ dans la 
section du plan XGY. 

Posons 

en désignant par y une fonction arbitraire. Il viendra, en substituant 
dans l'équation (4), 

ou bien, en divisant par P'j,(p) 



équation où les variables ;3 et - sont séparées, et qui est par conséquent 
toujours intégrable par quadrature, dès que l'on se donne la fonction 9. 
Faisons, par exemple, a = p'\ L'équation différentielle devient 

ou bien 

dont l'équation intégrale est 

-^^K.^ +^V - .2n ^«' 

en déterminant la constante arbitraire de manière que l'on ait ^ — 1 
pour ^ = 0. Et comme a = ^", a sera déterminé par l'équation 

qui montre que les coupes du corps par des plans parallèles au plan ver- 
tical XGZ sont toutes des ellipses. La solution est contenue dans la double 
égalité 



(5) 



« = ?" = s/'-.3;rTïrf 



14 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

l'' Si l'on fait n = l, cela revient à poser oc = [3, et l'on retombe sur 
l'hypothèse où toutes les sections horizontales sont semblables. 

2° On peut se proposer de trouver comment doit varier a lorsque B est 
constant. 11 est facile de traiter la question directement; mais la solution 
est contenue dans l'équation (5). Il suffit d'observer qu'alors on a cons- 
tamment [3 =r 1, et que l'équation a = p", avec a variable, suppose 
n infini. On aura donc 



v/'-^i- 



3" Si, au contraire, on veut que a soit constant et égal à 1, et [B va- 
riable, il faut faire n = 0, et alors l'équation (5) laisse p indéterminé. 
Mais l'équation différentielle d'où l'on tire l'équation (o) devient alors 






ce qui donne, en intégrant, 



Km + 1 s„.- = 0, 

en prenant la constante nulle pour que z =^ donne [3 =: 1. On en 
déduit alors 

On voit ici que ,3 décroît très rapidement à mesure que z augmente. 
Il faudra limiter le corps à une profondeur telle, que le grand axe de 
l'ellipse centrale d'inertie des sections horizontales soit partout parallèle 
à l'axe GX. 

4° Supposons enfin n =^ — 1, ce qui revient à admettre que les 
aires de toutes les sections horizontales soient équivalentes. Il viendra 



^' 



a r= - =z i / \ 

'^ V Pi 



Prenons pour exemple particulier le corps qui a pour coupe, par le 
plan horizontal XGZ, un rectangle ABCD ; soit AB = 2m, BC = 2/<. 
On aura pour le rayon de giration de cette section, où l'on suppose 

"' T • 

m <, », p^ — — p. Les équations des coupes faites dans le corps par les 
v/3 

plans XGZ et YGZ sont alors 

/] 3? , 

x = mK/ l = /m^ — 3vS 

V m^ 



ÉD. COLLIG.XO.N. — PROBLEMES SUR LES COUPS FLOTTANTS 



lo 



m 



équation d'une ellipse qui a pour demi-axes m suivant GX et — sui- 



vant GZ ; et 



y = nX. 



mn 



v'' 



3z2 \/ m"" — 3z' 



m' 



équation d'une courbe du quatrième ordre, qui a pour axes les droites 



G"^' et GZ, et qui a pour asymptotes les droites s = 



m 



v/3 



iv 


f . 


7 


t 


B 


ik 


"1 


i '^i 


/ 


K 


i i H' 

i i G 


1 / 

Z 


G 




■s 

X 


i i H 


Pj 


i "'" 

'p 

E' 




1 


/ 
/ 




M G 


c.\\ 

: 
F' i 


C 

Pi 

iE X 


*■ 










Z 


F 


P2 



FiG. 3. — ABCD, rectangle donné; — EFE'F', coupe par le plan prin- 
cipal XGZ; — LHK.L'H'K'. coupe par le plan principal YGZ ; — 
PP', QQ'> asymptotes de la section ; — ka, B6, Ce, I)d, hyperboles 
constituant la projection sur le plan horizontal des cylindres 
construits sur les deux coupes. 

Les deux cylindres définis par chacune de ces équations se coupent 
suivant des courbes qui ont pour projections sur le plan XGY les deux 
hyperboles équilalères représentées par la double équation 

xy ^± mn, 

et qui passent par les sommets du rectangle donné (ftg. 3). 

En coupant ce solide par deux plans horizontaux P^, P.^ équidistants 
du plan moyen, et compris entre les deux asymptotes PP', QQ', on assu- 
rera au corps la stabilité, quel que soit son degré d'immersion dans le 
liquide. 



16 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MECAMQUE 

III. — \ous chercherons, en dernier lieu, quelle est la surface de révo- 
lution à axe vertical, qui assure au solide qu'elle 
renferme une stabilité déterminée à toute hauteur 

(fia- V- 

Soit AB le rayon r^ du parallèle inférieur de la 
surface, BiNC la méridienne, que nous définirons 
par la relation entre le rayon r du parallèle et la 
hauteur s mesurée sur la verticale AZ. 

Le centre de gravité (1 du corps est supposé 
connu d'avance; il est situé sur l'axe de révolution 
à la hauteur AG = A au-dessus du parallèle infé- 
rieur. 

Soit MN le plan de flottaison. Cherchons la hau- 
teur J; = AO du contre de carène au-dessus du même plan. Nous 
aurons 







dz 

Jo 

et a = h — ». 
Le volume V du déplacement est d'ailleurs l'intégrale 



Jo 



et le moment d'inertie de la section MN est - Tir'*. 
Donc 



4 



= 4 "-•'" 



h — 




ih i 'r-dz- -f - f'r-z.dz = H, 

vfo Jo 



H désignant une quantité constante. Telle est l'équation de la méridienne. 
Différentions, pour faire disparaître les signes / , puis divisons par izr\ 

11 viendra 

rdr — hds -j- zdz = 0, 
ce qui donne 

r^ — -Ihz -\- z"^ -^ constante. 



F. niTTKii. — fka.m;.<»is viètk, inventeur de l'algèbre modeuxe 17 

On doit avoir r --= r^ lorsque ^ =r 0. La constante est donc égale 
à r'I, et l'équation de la méridienne est en définitive 

r-2 _ 2hz 4- z' = r' 
I ij 

La courbe est un cercle, qui a pour centre le point r — 0, z h. 
c'est-à-dire le point G. 

Le solide cherché est donc un segment de sphère, mais il faut que le 
centre de gravité de ce segment soit au centre même de la sphère com- 
plète, ce qui exige, ou bien que la densité du corps soit variable suivant 
une loi déterminée, ou bien qu'on enlève à la partie supérieure un seg- 
ment Cba, symétrique de celui que le plan AB retranche à la sphère à 
la partie inférieure. 

Si l'on prenait la sphère entière, en supposant le corps flottant homo- 
gène, la différence I — d\ serait partout nulle, et l'équilibre serait 
indifférent. 



M. Frédéric RITTER 

Ingénieur en clief des Ponts et Chaussées, à Pau. 



FRANÇOIS VIETE, INVENTEUR DE L'ALGEBRE MODERNE 
(esquisse biographique) 



— Séance du 16 septembre 189! — 

En 1847 François Arago s'adressait à mon ami Benjamin Fillon, 
l'éminent archéologue de Fontenay-le-Comte et lui demandait s'il possé- 
dait quelques documents sur François Yiète ; il ajoutait : « Il est honteux 
qu'aucun savant ne se soit attaché jusqu'à ce moment à écrire la vie de 
Viète. » L'intention de l'illustre secrétaire perpétuel dé l'Académie des 
Sciences était sans doute de consacrer au grand géomètre du Poitou 
une de ses remarquables notices ; mais, à ce moment, les documents 
faisaient défaut et quelque temps après, Arago, mêlé aux événements 
politiques, ne songea plus à donner suite à son projet. Il n'est pas dou- 
teux, s'il avait vécu dans le temps présent où l'on est si prodigué de 
statues, que, honteux de ne voir dressée sur une des places de la capitale 

2* 



18 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

du monde civilisé l'image de l'inventeur de l'Algèbre moderne, de l'homme 
de génie qui a eu, sans contredit, l'influence la plus décisive sur les 
immenses progrès accomplis d(^puis trois siècles dans les sciences mathé- 
matic[ues et dans leurs applications, il aurait fait payer par la France ce 
tribut de reconnaissance envers un de ses plus illustres enfants. C'est 
pour libérer de cette dette, la postérité oublieuse, que j'ai entrepris, il y a 
longues années, d'écrire la vie, jusqu'à ce jour ignorée, du grand géo- 
mètre, alors que les hasards de ma carrière administrative m'avaient appelé 
pendant quelque temps dans sa ville natale et que je lisais cliaquo jour 
son nom inscrit sur une plaque en tôle au coin d'un quai désert; 
c'était le seul hommage rendu par ses compatriotes inconscients, à un 
homme de génie dont la place est marquée entre Archimède, Descartes, 
Newton et autres grands inventeurs dans les sciences mathématiques. 
Mais pour connaître l'homme, il fallait connaître son œuvre, et c'est pour 
arriver à ce résultat que j'ai occupé le peu de loisirs que me laissaient 
mes fonctions publiques à traduire les œuvres complètes de François 
Viète et à recueillir les documents épars qui m'ont permis de reconstituer 
cette grande figure dont je vais tracer ici une légère esquisse, 

François Viète, sieur de la Bigotière, est né, en 1540, à Fontenay-le- 
Comte, alors capitale du Petit-Poitou. Son grand-père, originaire de La 
Rochelle, était venu s'établir marchand à Poussais, près Fontenay. Son 
père, Etienne Viète, était procureur au siège de cette ville et notaire du 
Busseau ; par sa femme, il était cousin de Barnabe Brisson, premier pré- 
sident du Parlement pendant la Ligue. 

Après de fortes études chez les Cordeliers, François Viète en lo58, se 
rendit à l'École de Droit de Poitiers, d'où il revint, à la fin de l'année 
1539 bachelier et licencié es droit, occuper au barreau de sa ville natale 
une place où il fut immédiatement remarqué ; malgré ses premiers succès, 
la profession d'avocat, ne répondant pas aux aspirations d'un esprit de 
cette trempe, il acceptait en 1S64, l'offre d'Antoinette d'Aubeterre. dame 
de Soubise, d'entrer dans sa maison en qualité de secrétaire de son mari, 
Jean de Parthenay-l' Archevêque, l'un des principaux chefs du parti 
calviniste et l'adversaire le plus redouté de la famille de Guise ; mais 
avant de s'établir au manoir du Parc de Soubise, près Mouchamps, il 
accompagna Jean de Parthenay à Lyon pour y recueillir les éléments de 
son premier écrit, le récit du siège de Lyon, soutenu en 1563 par 
Soubise contre les armées du roi. 

.Vu Parc de Soubise le jeune secrétaire s'attacha à Catherine de Parthe- 
nay, demoiselle de Soubise alors âgée de onze ans et qui montrait pour 
les mathématiques une aptitude rare ; il lui enseigna les sciences et les 
lettres et ne contribua pas peu à en faire une des femmes les plus remar- 
quables de son temps, qui conserva toujours pour son maître en l'en- 



F. RITTER. FRANÇOIS VIÈTE, INVENTEUR DE l'aLGÈBRE MODERNE 19 

coiirageant dans ses travaux mathénialiques. la plus profonde cl la plus 
affectueuse admiration. Il avait composé pour son élève quelques petits 
traités écrits en latin, qui ont péri en 1793 dans le stupide auto-da-fé des 
archives do la maison de Rohan-Soubise; seul, un petit traité de Géogra 
phie et de Cosmographie nous a été conservé par une traduction publiée 
en 1643. Passionné pour l'étude de l'astronomie et reconnaissant que 
VAlmageste de Ptolémée ne répondait plus aux besoins des astronomes, 
il entreprit de composer sur le même plan un traité nouveau sous le 
titre de : Harmonicum cœleste ; mais, avant toutes choses, s'imposait la 
réforme de la Trigonométrie et la construction de tables plus étendues et 
plus commodes que celles alors en usage. Il consacra à ce laborieux travail 
ses rares loisirs et une partie de ses nuits et il composa le Canon niathe- 
maticus, recueil de tables trigonométriques où, pour la première fois, on 
trouve en regard sur le même feuillet, pour un rayon égal à 100.000, la 
valeur des six lignes trigonométriques, de minute en minute ; et faisant 
suite au Canon, le Liber inspectionum, véritable aide-mémoire, qui ren- 
ferme, non seulement des tableaux donnant, pour la Trigonométrie sphé- 
rique et ivctiligne, sous forme de proportions, la valeur de l'un des 
éléments d'un triangle en fonction des deux autres, mais encore de 
nombreux résultats numériques pour la pratique de l'Arithmétique et de 
la Géométrie. 

La mort de Jean de Parthenay arrivée en 1566, n'apporta d'abord 
aucun changement dans la situation de François Viète; mais la dame 
de Soubise, dans sa hâte de perpétuer le nom de sa maison, avait marié 
en 1568, sa fille Catherine à peine âgée de quinze ans, à un gentilhomme 
breton, Charles de Quellenec, baron du Pont qui ne put s'accommoder 
du caractère autoritaire de sa belle-mère; d'où une rupture à la suite de 
laquelle la dame de Soubise se retira avec sa maison à La Rochelle au 
moment où Jeanne d'Albret, avec son fds Henri de Navarre, avait réuni 
en congrès les principaux chefs calvinistes ; c'est de cette époque que 
datent les relations de François Viète avec la famille d'Albret et avec le 
jeune roi de Navarre dont plus tard, lorsqu'il fut élevé au trône de France, 
il devint un des plus intimés et des plus fidèles conseillers. 

François Viète en 1570, avait trente ans ; conscient de sa valeur per- 
sonnelle, il se sentait né pour une situation autre que celle qu'il occupait 
dans la maison de Soubise ; son objectif était d'obtenir une charge dans 
la magistrature suprême et de faire imprimer son premier ouvrage. Une 
circonstance favorable à ses aspirations ne tarda pas à se présenter ; la 
dame de Soubise, trompée dans son impatience de devenir grand'mère, 
avait engagé sa fille dans un scandaleux procès en nullité de mariage que 
François Viète avec son sens droit, ne pouvait pas approuver ; dans ces 
conditions, il résigna ses fonctions de secrétaire et reprenant sa robe 



20 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

d'avocat, il alla s'établir à Paris; là seulement, grâce à ses relations, 
il pouvait obtenir la charge qu'il ambitionnait et trouver un imprimeur 
assez hardi et assez habile pour vaincre les difficultés de l'impression du 
Canon matliémaliqw. 

Son séjour à Paris fut de quatre années, mais il n'en resta pas moins 
fidèle à s:i ville natale qu'il allait visiter fréquemment et où il faisait 
partie de l'Assemblée urbaine. A Paris, il fut promptement en relations 
avec les hommes qui dans le gouvernement, dans le barreau, dans les 
sciences et les lettres, occupaient les situations les plus élevées ; il s'y 
rencontrait souvent avec son élève chérie dont le triste procès allait 
se terminer d'une manière tragique, par la mort du baron du Pont, 
massacré dans la cour du Louvre pendant la Saint-Barthélcmy; avec 
Jeanne d'Albret, Henri de Navarre et Françoise de Rohan, dame de la 
Garnache, nièce de l'une et cousine de l'autre, dont il était devenu, pen- 
dant son séjour au Parc de Soubise, l'ami et le conseiller dans les procès 
(ju'elle poursuivait, déjà depuis plusieurs années, contre le duc de Ne- 
mours, qui, après lui avoir promis mariage en 1366 et l'avoir rendue 
mère, avait refusé d'exécuter ses promesses et avait épousé la séduisante 
Anne de Ferrare, veuve du duc de Guise. Il s'occupait de cette grave 
affaire et de l'impression de son livre par Jean iMettayer, imprimeur du 
roi, lorsqu'en 1573 il fut nommé conseiller au Parlement ^e Bretagne, 
où il ne fut installé qu'en lo74, quelques mois avant l'avènement du roi 
Henri III. Cette nomination établit que François Yiète, contrairement à 
l'assertion de quelques écrivains protestants, appartenait à la religion 
catholique dont les membres du Parlement devaient faire profession pu- 
bhque au moment de leur installation ; il était d'ailleurs, comme bien 
d'autres à cette époque si tourmentée, un sceptique en matière de religion, 
et cette inditierence explique- comment, ayant vécu dans un foyer calvi- 
niste aussi ardent que le Parc de Soubise, il n'avait pas abjuré la reli- 
gion dans laquelle il avait été élevé. 

Henri 111 que les historiens nous montrent, malgré son indolence et ses 
vices, si habile ù juger les hommes, avait été à même, par sa tante Jeanne 
d'Albret et sa cousine Françoise de Rohan, de connaître François Viète, 
d'apprécier sa rare capacité et sa haute intelligence pour mener à bonne 
fin les affaires les plus difficiles. Monté sur le trône, il le chargea immé- 
diatement de missions délicates et confidentielles; aussi ne paraissait-il 
que rarement au Parlement de Bretagne où sa présence était obligatoire 
pendant la session semestrielle, d'où remontrances et suspension de traite- 
ment, toujours annulées par la production de lettres patentes du roi auto- 
risant François Viète à ne pas faire son service. Ces missions étaient le 
plus souvent politiques, mais quelques-unes intéressaient plus particu- 
lièrement le roi qui avait pour Françoise de Rohan une grande affection. 



F. RITTER. — FRANÇOIS VIÈTR, INVENTEUR DE l'aLGÈBRE MODERNE 21 

Aussi François Viète fut-il pour la dame de la Garnache un puissant auxi- 
liaire pour triompher en 1575, de la résistance de la dame de Soubise 
au mariage de Catlierine de Parthenay avec René de Rohan, frère de 
Françoise. Les poursuites acharnées, de juridiction en juridiction, jus- 
qu'en cour de Rome, de Françoise de Rohtin contre son indigne séduc- 
teur troublaient la quiétude d'Henri RI ; François Yiète, pour mettre un 
terme à une affaire aussi difficile et aussi délicate, trouva la plus habile 
et la plus incroyable transaction, toute à l'avantage de son amie et le 
roi, par lettres patentes, l'imposa aux deux parties. 

En récompense des services rendus et pour mettre un terme à sa situa- 
tion fausse au Parlement de Bretagne, Henri Hl attacha François Viète 
à sa personne en le nommant en 1580, Maître des requêtes de l'hôtel 
du roi. 

Depuis qu'il était entré dans la haute magistrature, chargé de missions 
qui le tenaient le plus souvent éloigné de Paris, il ne lui avait plus été 
possible de surveiller l'impression de son livre et de stimuler l'ardeur des 
ouvriers rebutés par un travail aussi ardu qu'insolite ; enfin, huit ans 
après avoir été mis sous presse, le Canon mathématique sortit, en 1579, 
des ateliers de Jean Mettayer. 

Malgré ses occupations pour le service du roi qui lui prenaient tout son 
temps, François Viète trouvait cependant quelques instants â donner aux 
mathémaliques ; il leur consacrait une partie de ses nuits. « Telle était, 
dit de Thou, la profondeur de ses méditations qu'on le vit souvent rester 
trois jours entiers, assis à sa table de travail complètement absorbé par 
ses recherches, sans autre sommeil que celui qu'il prenait la tète ap- 
puyée sur le coude et sans autre nourriture pour soutenir la nature, 
que celle qu'il prenait sans changer de position. » 

En substituant dans la Trigonométrie, aux règles énoncées en langage 
ordinaire et en toutes lettres, des tableaux présentant à première vue sous 
forme de proportions, l'élément inconnu d'un triangle et les trois élé- 
ments donnés, représentés d'une manière générale par les lettres toujours 
les mêmes, placées aux angles du triangle, François Viète l'avait dotée 
de véritables formules générales ; et, par une de ces inspirations dont les 
grands génies sont seuls capables, ou peut-être même par de longues 
méditations sur les ouvrages de Diophante et de Cardan, après avoir 
reconnu combien était défectueuse leur Algèbre dans laquelle l'inconnue 
seule de l'équation était représentée par un symbole alphabétique, mais 
oij toutes les opérations effectuées au moment même où elles se pré- 
sentaient ne laissaient aucune trace dans la composition de la valeur de 
l'inconnue, il créa l'Algèbre nouvelle, en représentant tous les éléments 
d'une question, connus ou inconnus, par des lettres de l'alphabet, les 
opérations à effectuer sur elles par des signes et enfin le résultat par une 



22 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MECANIQUE 

formule, dans laquelle il suffisait, si la même question était posée avec 
des données différentes, de les substituer pour obtenir immédiatement 
le nouveau résultat demandé ; par cette conception féconde, il aff'ran- 
chissait en même temps l'Algèbre de la nécessité de faire reposer ses 
principes sur des considérations géométriques. 

Une circonstance heureuse pour la science procura à François Viète les 
loisirs nécessaires pour donner un corps à l'Algèbre nouvelle. En 1583 les 
Guise étaient tout-puissants auprès de Catherine de Médicis et peu à peu 
ils obtenaient de la faiblesse du roi l'éloignement de ses plus fidèles ser- 
viteurs ; François Viète, qui avait toujours été pour eux un adversaire re- 
douté, était du nombre ; en 158o, il fut relevé de ses fonctions de Maître 
des requêtes. Retiré tantôt à Fontenay, tantôt à Beauvoir-sur-Mer. auprès 
de Françoise de Rohan, il composa pendant ses quatre années de retraite 
son Art analytique ou Algèbre nouvelle. Quelques-unes des parties de cette 
œuvre magistrale étaient terminées, mais d'autres n'étaient qu'ébauchées, 
lorsqu'il fut en 1589, rappelé à Tours par Henri III chassé de Paris par la 
Ligue. Dès son arrivée le roi mit immédiatement à contribution sa rare 
sagacité; les ennemis de l'extérieur entretenaient avec ceux de l'inté- 
rieur une correspondance en chiffres qui avait mis en défaut les déchif- 
freurs officiels ; malgré la complication des chiffres, François Viète en 
trouva les clefs et, pendant plusieurs années les projets cachés dans ces 
dépêches étant dévoilés et déjoués, le roi fut dénoncé à Rome comme 
ayant eu recours à la magie et à la nécromancie. 

La ville de Tours devenue momentanément la capitale du royaume, 
renfermait dans son sein non seulement les hommes politiques, mais en- 
core les savants et les lettrés obligés de fuir le séjour de Paris. François 
Viète dont la réputation n'était plus à faire, s'y trouva immédiatement 
très entouré; comme son service auprès du roi ne lui permettait pas de ré- 
pondre à tous ceux qui demandaient à être initiés à son Algèbre nouvelle, 
il avait chargé de ce soin quelques élèves formés à son école ; sollicité 
de toutes parts de publier quelques-uns de ses ouvrages, il fit imprimer, 
de 1591 à 1593, ceux de ses traités qui étaient terminés; mais, sauf un 
seul, celui de la Résolution numérique des équations publié en 1600, les 
autres, dont quelques-uns incomplets, ne virent le jour qu'après sa mort; 
plusieurs de ses ouvrages, notamment V Harmonicum cœleste, ont été 
perdus. 

Cependant, la renommée du grand géomètre avait eu le don d'exciter 
la bile de Joseph Scaliger qui, s'étant arrogé le titre de Prince des 
érudits, prétendait au pouvoir absolu dans le domaine des sciences et des 
lettres; il sentait son prestige sérieusement menacé. Réfugié dans un 
château non loin de Tours, il résolut de frapper un grand coup en an- 
nonçant urbi et orbi qu'il avait trouvé la quadrature exacte du cercle et la 



1', RITTER. — FRANÇOIS VIÈTE, INVENTEUR DE l'aLGÈBRE M0DE:RNE 23 

construction rigoureuse de ces fameux problèmes, réputés jusqu'alors in- 
solubles ; il proposait en même temps à François Viète un dédit de mille 
écus dor au profit de celui qui démontrerait l'erreur de l'autre. Provoqué 
à une discussion publique à Tours, Scaliger se déroba ; le grand géomètre, 
dans une suite de conférences ouvertes en lo90, démontra l'absurdité des 
propositions du Prince des érudits et exposa un grand nombre de ques- 
tions difficiles, alors à l'ordre du jour. Ces conférences furent imprimées 
en 1,^93. 

Scaliger, devenu impossible en France, avait été occuper une chaire 
à l'Université de Leyde d'où il lança contre son adversaire, en lo94, le 
trait du Parthe sous la forme d'un livre dans lequel il cherchait à dé- 
montrer ses absurdes et ridicules élucubrations ; François Viète lui ré- 
pondit immédiatement en 159o, par quelques pages, oii, sans le nommer, 
il lui administrait ce que l'on appelle vulgairement une volée de bois vert. 

Au mois de mars 1594, Henri de Navarre devenu roi de France, en- 
trait à Paris et appelait François Viète à faire partie de son Conseil privé ; 
un jour qu'il avait emmené l'ambassadeur de Hollande en villégiature 
à Fontainebleau, celui-ci prétendit que la France n'avait pas un seul 
géomètre, puisqu'il n'en figurait aucun dans le défi adressé par Adrien 
Romain aux mathématiciens du monde entier. « Si, si, répondit Henri IV, 
j'en ai un, et un très excellent ; que l'on aille quérir M. Viète. » Celui-ci 
avait suivi le roi à Fontainebleau ; il arrive, l'ambassadeur lui présente 
le défi qu'il avait fait chercher, le grand géomètre se retire dans l'embra- 
sure d'une fenêtre et, quelques instants après, il en donne la solution au 
diplomate émerveillé. Le défi était présenté sous la forme d'une équation 
du 45" degré; mais, en réalité, c'était une énigme qu'il fallait deviner. 
François Viète avait immédiatement résolu la question, non en devin, 
mais en géomètre, au moyen de la formule générale de la division des 
angles dont il avait depuis longtemps pénétré le mystère. En envoyant, 
le lendemain, au géomètre belge non une seule solution de son problème, 
mais vingt-deux autres, il lui proposa à son tour le problème d'Apollo- 
nius, dont la solution était perdue : Mener un cercle tangent, à trois cercles 
donnés. Adrien Romain ne put le résoudre qu'au moyen de l'intersection 
de deux hyperboles; François Viète lui envoya alors la solution par la 
règle et le compas de tous les problèmes des contacts des droites et des 
cercles et ce sont ses constructions qui ont été depuis lors textuellement 
reproduites par tous les auteurs jusqu'à ces derniers temps, où Gergonne 
leur a appliqué la méthode plus élégante, mais plus difficile, du centre 
radical et des axes de similitude. 

Au reçu de cet opuscule remarquable, Adrien Romain qui occupait 
la chaire de mathématiques à Wurtzbourg, transporté d'admiration, laisse 
toutes ses occupations, monte à cheval, accourt à Paris et de là à Fon- 



24 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

lenay, où il rencontre enfin François Viète ; il se jette dans ses bras et 
reste un long mois avec lui ; puis il retourne en Allemagne défrayé par 
le grand géomètre de toutes ses dépenses jusqu'à la frontière. 

C'était en 159.S ; François Viète dont la santé était profondément al- 
térée par l'excès du travail, avait été envoyé par le roi se reposer et res- 
pirer l'air natal, chargé d'une mission délicate et qui n'exigeait pas un 
grand travail. Les Suisses au service de la France demandaient de l'ar- 
gent ; après les avoir, suivant sa coutume, payé de belles paroles, le 
Béarnais dut enfin s'exécuter et à cet effet il eut recours à un de ces 
expédients que l'on rencontre à toutes les époques de notre histoire : une 
ordonnance du roi prescrivit la transformation de tous les offices de no- 
taires, tabellions et gardes-notes en offices de notaires royaux. Cette 
mesure qui frisait la spoliation, puisque les intéressés étaient obligés de 
racheter leurs offices, souleva de leur part une vive opposition. Pour la 
calmer, Henri IV envoya ses plus fidèles et ses plus habiles conseillers 
pour négocier avec les notaires. Enfin, après deux ans de luttes, intervint 
une transaction; les notaires se soumirent et les Suisses furent payés. 

Rentré à Paris vers la fin de l'année 1599, François Viète avait repris 
son service auprès du roi, mais ses derniers jours furent troublés par 
une aigre et violente polémique où, il faut l'avouer avec regret, il avait 
tort et dans la forme et dans le fond. 

Grégoire XIII avait soumis à l'examen de tous les princes, de toutes les 
Académies, de tous les savants du monde chrétien, en sollicitant leur avis, 
un projet de réforme du calendrier Julien, imaginé par un médecin de 
Vérone, Louis Lilio et rédigé, après la mort imprévue de son auteur, 
par Clavius, de la Compagnie de Jésus. N'ayant reçu aucune observation, 
le Souverain I^ontife l'avait promulgué en 1582. La réforme n'avait 
d'ailleurs d'autre but que de faire osciller la fête de Pâques entre l'équi- 
noxe du printemps et le 25 avril, alors que, d'après les règles anciennes, 
elle rétrogradait chaque année de plus en plus en s'éloignant du 2:2 mars. 
Lui reprocher de ne pas faire correspondre rigoureusement la date de la 
fête de Pâques à celle de la pleine lune équinoxiale, était un reproche 
sans portée; le nouveau calendrier donnait une solution satisfaisante: 
c'était ce que l'on s'était proposé dans une question qui, en définitive, 
était de comput ecclésiastique et non d'astronomie pure. 

En travaillant dans sa retraite à son Harmonicum cœleste, François Viète 
avait repris cette question du calendrier et il avait cru trouver une 
réforme plus exacte que celle adoptée, depuis plusieurs années déjà, par 
la plupart des nations catholiques; mais, comme depuis l'affaire des 
dépêches secrètes, il était fort mal vu à Rome, il attendit l'avènement au 
trône pontifical de Clément VIII, qu'il avait connu cardinal Aldobrandini, 
alors qu'il négociait avec le roi Henri IV, pour lui adresser son nouveau 



C.-A. LAISANT. — REMARQUES SUR LES COURBES UNICURSALES Z£) 

projet de réforme, convaincu que, par la seule autorité de son nom, il 
allait être immédiatement adopté sans examen. Il n'en fut pas ainsi; le 
Souverain Pontife renvoya le mémoire et le calendrier de François Yiète 
à une commission dont Clavius était le rapporteur. Impatienté de n'avoir 
pas de réponse pour ainsi dire courrier par courrier, Yiète s'en prit au 
laborieux jésuite de Bamberg, ô\Âi une correspondance très aigre du 
côté de Viète, très calme de la part de Clavius. La mort du grand géo- 
mètre le 26 février 4603, mit fin à cette polémique, d'où François Viète 
ne serait pas sorti avec les honneurs de la guerre. 

Épuisé par le travail et par la maladie, François Viète, en décembre 1602, 
avait demandé de résigner les fonctions qu'il occupait auprès du roi et 
Henri IV, faisant droit à sa requête, avait ordonné, en raison de ses ser- 
vices éminents, de lui compter « une honneste gratification. » Elle dut lui 
arriver m extremis, ce qui explique comment on trouva sous son chevet 
une somme de vingt mille écus. 

A ses derniers moments, il avait toujours présents les intérêts de son 
pays et, quelques jours avant sa mort qu'il sentait |)rochaine, il rédigea 
d'une main ferme une instruction sur le déchiffrement des écritures 
secrètes; c'est le dernier écrit de ce grand génie, de ce grand citoyen. 

François Viète avait été marié ; on n'en sait pas davantage. Il laissa une 
fille orpheline, Suzanne Viète, qui mourut en 1618, comme le constatent 
les registres de l'église Notre-Dame de Paris. 

Le nom de Viète n'est pas éteint; il s'est perpétué par la descendance 
de son frère, Nicolas Viète, sieur de la Mothe de Monzeuil, avocat et con- 
seiller en l'élection de Fonlenay. Il est porté aujourd'hui par M. Gaston 
Viète de la Rivagerie, officier de cavalerie, et par son frère Roger-Hya- 
cUithe, arrière-petits-neveux de l'illustre géomètre Monge. 



M. C.-A. LAISAIT 

Docteur es sciences, à Paris. 



QUELQUES REiVIARQUES SUR LES COURBES UNICURSALES 



— Séance du 16 septembre 1892 — 

1. — Équipollence générale. — On sait qu'on désigne sous le nom d'uni- 
cursale une courbe dont les coordonnées rectilignes peuvent s'exprimer 
rationnellement en fonctions d'un paramètre variable réel t. Lorsqu'il 



26 MATHÉMATIQUES, ASTKOXOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

s'agit des courbes planes, les seules dont nous voulions nous occuper dans 
ces remarques, il s'ensuit qu'une courbe unicursale est représentée par le 
système des deux équations 

II) X = — 1 ij ^ — — - ' 

en supposant que l'on donne à t toutes les valeurs réelles de — go à -j- ^ • 
Le calcul des équipoUences se prête d'une façon naturelle à l'étude de 
ces courbes. Si nous appelons, en effet, Z le point variable de la courbe, 
l'angle des axes coordonnés, et si nous prenons l'axe des x pour origine 
des inclinîiisons, il s'ensuit que OZ = z = a; -j- ys", ou 

Dans cette relation, /"(/) représente une fonction entière, mais imaginaire 
en général, du paramètre variable réel t; (f{t) représente une fonction 
réelle entière du même paramètre. Mais si nous considérons l'équipoUence 
générale 

(3) z -. /W 

sans aucune restriction sur la nature des fonctions entières /'et 9, la courbe 
représentée par cette équipoUence n'en est pas moins unicursale. Il suffit, 
pour le reconnaître, de multiplier les deux termes par la fonction conjuguée 
de 9, ce qui donnera au dénominateur une fonction réelle, et ce qui fera, 
par conséquent, rentrer la forme (3) dans la forme particulière (2). 

Suivant les cas, nous pourrons donc supposer que le dénominateur -^(t) 
est une fonction réelle ou imaginaire. 

11 y a lieu tout d'abord de faire une observation importante. Si dans les 
équations (1) nous venons à remplacer t par une fonction rationnelle quel- 
conque d'un nouveau paramètre t', le résultat de l'élimination de t' entre 
les deux équations sera le même que celui de l'élimination de /. Il semble 
donc que la courbe restera la même. Cela n'est pas vrai cependant d'une 
manière complète; en voici la preuve ^ar un exemple bien simple. Soient 

X =: al -\- b, ij ^= ciyt -\- b^ 

les équations d'une droite. Posons t = l"^. Nous avons : 

X = al"^ + ^> y = ^1^'" ~\- ^1 

et il saute aux yeux que les points qu'on peut obtenir sont ceux d'une 
semi-droite, et non plus de la droite tout entière. En outre, chacun des 



C.-A. LAISAM. — liËMARQUES SUR LES COURBES UMCURSALES 27 

points de cette semi-droite est obtenu deux fois, par les deux valeurs difîé- 
rentes -\- t', — /'. 

Bien que la première droite comprenne la semi-droite en question, il est 
certain qu'on ne saurait confondre sans inconvénient deux faits géomé- 
triques présentant une ditîérence aussi notable. 

En réalité, lequipollence générale (3) d'une courbe unicursale représente 
non seulement une courbe, mais, si nous considérons t comme un temps, 
le mouvement d'un point mobile sur cette courbe. Ce mouvement peut s'ac- 
complir, soit sur la trajectoire entière, soit sur une portion seulement de la 
trajectoire. Il faut donc étudier une unicursale d'après son équipollence (S) 
ou le système d'équations (1) correspondant, et se garder d'effectuer un 
changement de variable sur le paramètre arbitraire t. 

Il est toutefois un cas particulier où le changement de paramètre ne sau- 
rait introduire dans la courbe aucune modification : c'est celui où à chaque 
valeur de / correspond une seule valeur de t', et réciproquement. Alors, en 
effet, toute valeur réelle donnée une fois à t sera atteinte une fois par /', et 
par conséquent tout point Z obtenu par la variation de t sera obtenu éga- 
lement par la variation de t'. Les paramètres t et t' sont liés dans ce cas 
par une équation de la forme ait' -\- bt -\- et' -\- d -.= 0. 

2. — Degré d'une courbe unicursale. — Toute courbe unicursale est algé- 
brique, et il est facile d'en déterminer le degré. Pour cela, supposons réelle 
la fonction o(t) dans l'équipollence (3) et représentons par m = am -|- b 
l'équipollence d'une droite quelconque. Un point commun à l'unicursale 
et à la droite sera donné par la relation 

:=-^ XU -\- B. 

Mais si nous décomposons tous les coefficients du polynôme f{t) suivant 
les deux directions a et b, nous pouvons donner à ce polynôme la forme 
Ag{t) -{- Bh{t) ; de telle sorte que nous avons 

Ag{t) -f Bh{t) = AU'^[t) -f B0{t), 

équipollence qui équivaut au système d'équations 

g{t) = U'fit), h(t) = -iit). 

Les degrés de g(t) et h{t) sont égaux, en général, à celui de f{t). Donc les 
deux équations seront d'un degré égal au plus grand de ceux def{t) et <f(t), 
c'est-à-dire à celui de f(t) -\- '^(t), ou m. La seconde donnera m valeurs 
M de t, soit réelles, soit imaginaires; et de la première on tirera un pareil 
B nombre de valeurs de u. La droite coupe donc la courbe en m points ; et 



28 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAiNIQUE 

par conséquent le degré de la courbe unicursale (3) est celui du polynôme 

Dans rexcmple du numéro précédenl, nous avions v. --^ At -\- u, équipol 
lence qui représente une droite; et l'équipolience z = a/- -[- « tlt)it être 
considérée comme représentant une courbe du second degré, d'après ce 
que nous venons de dire. C'est qu'en effet l'intersection de cette ligne avec 
une droite quelconque donne toujours deux points, confondus en un seul; 
si bien qu'on doit considérer la ligne i-^Af^ -\-v, comme un cas particulier 
de la courbe z = a/* -f ci -|- c, où c deviendrait nul; or, il est facile de 
voir (jue cette dernière représente une parabole. 

Si l'équipolience d'une courbe unicursale est donnée sous la forme 

fit) 
/. - — :, sans que 9 soit une fonction réelle, on déterminera le degré, 

?(0 

en décomposant 9 en deux facteurs : l'un correspondant à tous les fac- 
teurs binômes provenant des racines réelles ou des racines imaginaires 
conjuguées, l'autre aux racines imaginaires non conjuguées; on a alors 
cp(/) = o,(/).9j(^). Pour rendre réel le dénominateur, il suffira de multiplier 

les deux termes de . ' — par cj o^f/), puisque <pi(/) est réel; Donc, appe- 

?l(0?2</) 

lant m le degré de /*, [i.^ celui de 91, \j.^ celui de 9^, nous aurons dans la 
nouvelle fraction m -j- \>..^ pour le degré du numérateur et jji, -j- t[i.^ pour 
celui du dénominateur. C'est le plus grand de ces deux nombres qui don- 
nera le degré de la courbe. Il est évident, p-i -\- [j.^ étant le degré a de 9(^j, 
qu'on peut dire encore que, pour avoir le degré de la courbe, il suffit 
d'ajouter à celui de /'(/) -\- (^(t) le nombre des racines imaginaires non 
conjuguées de l'équation 9(/) =: 0. 

3. — Première discussion d'une courbe unicursale. — L'équipolience 
d'une courbe unicursale étant mise sous la forme générale (3), appelons 
a, b, c . . . les racines réelles, et a, b, c . . . les racines imaginaires de 
l'équation f{t) = 0; puis a', //, c'. . . les racines réelles, et a', b' g' . . . les 
racines imaginaires de l'équation (^(t) = 0. 

L'équipolience devient alors 

__ , (t — a)(t — b)...{t — \){t — b) . . . 



{t — a')[t — b').,.{t — A'){t — b') 



Le coefficient k, étant constant, na pour effet que d'imprimer à la courbe 
une rotation et un changement d'échelle, c'est-à-dire de la transformer en 
une courbe semblable par rapport à l'origine prise pour centre de similitude. 
On peut donc le supprimer sans rien particulariser, et l'on a l'équipolience 

, ^ '^ — an^ -b)...[t- x)(t — B) ... ^ fit) 

(t — a'){t — b'}...{l — A'){i — n')...^^{t)' 



C.-A. LAISA.NT. REMARQUES SUR LES COURBES UMCURSALES 29 

Pour toutes les valeurs a, b, . . . données à t, z s'annule; par suite, la 
courbe passe par l'origine autant de fois; elle y passe en outre pour 
/ -^ ±: 00 , si le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur. 

L'origine est donc un point multiple dont l'ordre de multiplicité est égal 
au nombre des racines a, b, c, . . . ou à ce nombre augmenté d'une unité, 
suivant que le degré de f{t) n'est pas ou est inférieur à celui de 9(/). 

De même, les racines réelles a', b', c' . . . correspondent à autant de 
valeurs infinies pour z. Si le degré de f{t) est supérieur à celui de oil), la 
valeur / ^ riz oo donne en outre pour Z un point à l'infini. On a donc le 
nombre des branches infinies de la courbe, par la considération du nombre 
des racines a', b' . . . Il faut seulement remarquer que les deux valeurs 
± oc donnent en général deux branches infinies, dans le sens géométrique 
du mot, si le degré de f{t) est plus grand que celui de o(t). 

Les branches infinies étant déterminées, ainsi que le rôle de l'origine au 
point de vue de la multiplicité, on peut construire géométriquement la 
courbe, point par point, d'une façon simple. Si, en effet, on désigne par 
Oa, 06, . . . Oa', 06' ... les racines réelles a, 6, . . . a', b' ,. . . et par OA, . . . 
OA'. . . les racines imaginaires a, . . . a', . . ., en appelant T un point va- 
riable sur l'origine des inclinaisons, depuis — x jusqu'à -|- oc , on aura 

flT.6T...AT.BT... 



a'T.6'T...A'T.BT 



expression dont la construction est très facile et donne un point Z pour 
chaque position du point ï. 

4, — Tangente; poàaire. — La tangente à la courbez =r — s'obtiendra 

. dz nt)o{t) - fity^'d) . .',,., 
en formant 1 expression — - ; i • '-i ' *î^* représente la vitesse, 

rfz 
si l'on regarde t comme un temps. La courbe Zj = — , appelée hodographe 

du mouvement, peut être assez commode dans certains cas pour cette 

détermination de la tangente. L'hodographe est évidemment aussi une 

unicursale. 

La podaire relative à l'origine s'obtient, comme l'on sait, en décompo- 

f^z , ^ , . , , • X . dz 

sant le rapport z : — sous la forme m -+- u.i et en écrivant v = la — . 
'-^ dt dt 

La podaire d'une unicursale est donc aussi une unicursale. 

dz 

o. — Asijmpioles. — En examinant l'expression — et regardant vers 

quelle direction elle tend lorsque t tend vers une valeur qui rend z de gran- 
deur infinie, on a la direction asymptotique de la branche infinie corres- 



30 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

pondanle. Pour dûterminer l'asymptote elle-même, le mieux est peut-être, 

en général, de prendre le point correspondant de la podaire. Si ce point 

est à distance finie, on a immédiatement l'asymptote; s'il s'éloigne à 

l'infini, la branche considérée est parabolique. 

(3. — Centre de courbure ; développée. — On sait qu'en posant 

d^7. dz i d'/j 

— '-:--= /-(-/./, le rayon de courbure ZR est ZR =7 — . L'équipollence 

dl' dl ^ ^ Idl ^ ^ 

de la développée est donc 

, i d'A 



R = 



et il s'ensuit que la développée d'une unicursale est aussi une unicursale. 
7. — Courbes unicursales parement pat^aboliquefi. — Les unicursales 
les plus simples à étudier sont évidemment celles oii le dénominateur cp(/) 
disparaît, c'est-à-dire dont l'équipollence est de la forme 

z = c,r + c,r-' + ...+c„_,i + c,,. 

Elles ne présentent que deux branches infinies, correspondant aux 
valeurs ±: oc de f. Si m est pair, ces deux branches ont même direction. 
Si m est impair, elles ont des directions opposées. Ces deux branches sont 
paraboliques ; car si nous décomposons tous les coefficients, sauf les 
deux premiers, suivant les directions c^, Ci, nous pouvons écrire 

z = c„(r + .,r-' + ...) + c,(r-' + ?,r-^ +,..). 

La direction asymptotique des branches paraboliques est celle de c^ ; et 

le coefficient de Ci tendatit vers l'infini, il en résulte que les seules 
asymptotes possibles s'éloignent à l'infini. 

On remarquera, d'ailleurs, que cette démonstration s'étend au cas où 
plusieurs des coefficients Cj, c^, ... viendraient à s'annuler. Il suffirait de 
décomposer suivant c^ et c , en appelant c le premier coefficient qui ne 
s'annule pas. 

En transportant l'origine en un point de la courbe, on peut toujours 
supposer nul le terme c,,^. Les unicursales que nous considérons, et qu'on 
peut appeler purement paraboliques, peuvent alors être engendrées par 
la méthode cinématique que voici : Concevom, sur m droites rayonnantes, 
0X1, 0X2, ... OX^, des points mobiles Xi, Xj, ... X^^^, animés de mouve- 
ments tels que l'espace parcouru soit projwrtionnel au temps, au carré du 
temps , ... à la m" puissance du temps. Le centre de gravité de ces m points 
décrira une unicursale purement parabolique. 

Il est clair que la direction asymptotique sera celle de la droite OX,,^. 



C.-A. LAISA.NT. — liE.MARQLKS SLK I.KS COURBES UNICURSALES 31 

8. — Génération géométrique ou cinématique des unicursales quel- 
conques. — z =z --— étant l'équipoUence d'une unicursale quelconque, 

considérons les deux unicursales purement paraboliques z^ = f{t), i^ = o{t). 

OZ 
On aOZ=:OK. ~. Donc Zj, Z, étant deux points correspondants de 

deux unicursales purement paraboliques, et K un point fixe, on aura un 
point quelconque Z de i'unicursale (Z) en formant le triangle OKZ direc- 
tement semblable à OZ^Zi, 

Les points correspondants à linfîni de {Z^) (ZJ donneront un point à 
distance finie si le degré de (Z^) est le même que celui de (ZJ, l'origine 
si le degré de (Z,) est inférieur à celui de (Z^) et un point à l'infini si le 
degré de (Z,) est supérieur à celui de (Z^). 

A chaque passage à l'origiiie de la courbe (Z^) correspond un point à 
l'origine de I'unicursale (Z). A chaque passage à l'origine de la courbe (Z^) 
correspond un point à l'infini de I'unicursale (Zj. 

Lorsque le dénominateur ^{t) n'admet pas de facteurs multiples, l'uni- 

•cursale z = — — peut être engendrée d'une façon assez simple par un 

procédé cinématique. Si, en effet, on suppose le degré de f{t) supérieur 
à celui de z>(t), et si on effectue la division de f{t) par o{t), puis la décom- 
position de la fraction restante en fractions simples, on aura, si l'on 
conserve les notations du n" 3 : 



Le premier terme correspond à une unicursale purement parabolique ; 

1' 
les termes > , . . . représentent, pris isolément, des mouvements rec- 

tilignes où l'espace est inversement proportionnel au temps écoulé à 

p 
partir d'une origine déterminée ; enfin, les termes — ' — -, .... représentent 

t — A 

des mouvements circulaires, transformés par inversion de mouvements 
rectilignes uniformes. Si l'on prend le centre de gravité de tous les mo- 
biles animés des mouvements en question, ce centre décrira I'unicursale 
demandée. 

Il est clair que les directions asymptotiques seront données : 

1" Par celle de I'unicursale purement parabolique ■l>{t) ; 

2° Par 1', y, ... 

9. — Transformation des unicwsales. — Une unicursale peut être 
considérée, au point de vue géométrique, comme une transformée de la 



32 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

droite origine des inclinaisons, décrite par l'extrémité du paramètre t, 
quand celui-ci varie de — go à -f- 20 . 

Au lieu de l'origine des inclinaisons, on peut prendre une autre droite 
quelconque, et supposer que l'extrémité du paramètre t décrit cette droite. 
On a alors 

.-M 

Mais l'extrémité de la variable t décrivant une droite donnée, on a 
aussi / - M/' -f N, en appelant / un paramètre réel. Donc 

^ "~ ç(Mr + N) ^ cp,(0 ' 

Les degrés des fonctions entières t\, cpi seront respectivement les mêmes 
que ceux des fonctions f, tp. Il suit de là que lorsqu'on suppose que Tex- 
trémilé du paramètre t décrit une droite quelconque, au lieu de supposer 
ce paramètre réel, on a toujours une unicursale, en général de même 

degré. 

11 y a plus ; s'il existe, entre les deux paramètres /, t' la relation 
i^lt' _|_ jj^ _|_ cf -|- b = 0, et si nous supposons que l'extrémité de la va- 
riable t décrive une droite, on sait que l'extrémité de /' décrit une cir- 

ct' + D ^ . 

conférence. Or, comme t = — —r-^, — , on aura encore une traction 

kt -\- B 

rationnelle en t' après la substitution, et, à moins d'exception, le degré 
ne sera pas altéré. Donc, une unicursale étant donnée, si l'on suppose que 
le paramètre, au lieu d'être réel, varie de telle sorte que son extrémité dé- 
crive une circonférence, on aura encore une unicursale, en général de même 
degî'é. 

Il est d'ailleurs à peu près évident que si l'extrémité du paramètre t dé- 
crit une courbe unicursale quelconque, l'équipollence z = représentera 

o{t) 

encore une unicursale (*). 

f {t') 
En effet, si l'on pose t = , le paramètre t' étant réel, on aura 

z = f\-^—-r)'- ?(— *— r K ce qui donnera toujours une fonction rationnelle 

en r. 

iO. — Courbes bicursales. — On peut définir une unicursale une 
courbe pour laquelle la variable z est donnée par l'équipollence 

uz -f- v = 0, 

(*) Je (lois cette intéressante remarque à M. Râteau, ingénieur des mines, qui assis/ait au Congrès 
de Pau. 



C.-A. LAISANT. — REMARQUES SUR LES COURBES UMCURSALES 33 

u et V étant des fonctions entières d'un certain paramètre t, que l'on 
suppose réel. 

Si l'on considère, par extension, les courbes dont l'équipollence est 
de la forme 

uz'^ -f vz -f- w = 0, 

u, V, w étant des fonctions entières du paramètre réel t, elles fourniront 
une classe intéressante de courbes algébriques, dont la construction sera 
relativement facile, puisqu'on aura chaque couple de valeurs de z répon- 
dant à une valeur de t par une équipollencc du second degré. On peut 
donner à ces courbes, par analogie, le nom de bicursales. 

De même qu'on démontre très facilement que toutes les coniques sont 
des unicursales, on établira, d'une façon analogue, que toutes les cubiques 
sont des bicursales. Rappelons qu'il suffît, pour cela, de prendre l'origine 

sur la courbe, et de poser - =t, ij eix étant les coordonnées cartésiennes 

d'un point de la courbe. 

On verrait comme ci-dessus qu'en supposant que l'extrémité du para- 
mètre / décrive une droite ou une circonférence, au lieu de supposer ce 
paramètre réel, on a encore une bicursale. 

Un cas particulier intéressant est celui où la fonction v"' — 4u\v est le 
carré parfait d'une fonction entière r. L'équipollence de la courbe peut, 
en effet, s'écrire alors 

(2uz -f. V — r) (2ux + V -)- r; = 0, 

et Ton voit que la bicursale se décompose en ce cas en deux unicursales 
que l'on peut étudier séparément. 

H. — Le trifoliwn. — On pourrait appliquer à de nombreux exemples 
les considérations qui précèdent, notamment en ce qui concerne les 
cubiques et les quartiques. Pour nous borner, nous nous contenterons ici 
d'ajouter quelques brèves remarques sur une courbe très intéressante, le 
trifolium, qui a été étudiée par plusieurs auteurs, et surtout par MM. Bro- 
card et de Longchamps, dans d'intéressants mémoires. 

Le trifolium est une quartique unicursale à point triple, limitée de 
toutes parts. Cette seule définition permet d'en trouver l'équipollence 

générale z =: — -. H faut, en effet, que les fonctions /' et 9 ne surpassent 

pas le 4« degré. L'équation f{t) — doit avoir trois racines réelles ; appe_ 
lons-les a, b, c, et soit a la racine imaginaire, en supposant que /" atteigne 
le 4« degré. L'équation -^(t) = ne peut avoir aucune racine réelle, puis - 
qu'il n'y a pas de branche infinie. Soient a', b', c', d' ses quatre racines. 

3* 



34 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

1 i « «,> sMrnassp ms le 4*^ degré, elles doivent être 

Pour que la courbe ne sjrpasse pais le t e . , ^ , 

, . j «'^ct à riirp niip r' — ci a', d' "- Cl B . Eii resumc, 
conjuguées deux a deux, c est-a-dire que c — tj a , u j 

f{t) = L{t- a)it -b)(t- c){t - A), 

<p(0 = M a - A')(< - CJA')(/ - B')(^ - CJB'), 

(/_fl)(i-- 6)(; — c)(^ — Aj 
et '■ = '' {t—x'){t — cjx')it — l^'){t — C]y^') 

Par exemple, l'équation polaire 

p = h cos (a + w) cos 2w, 

donnée par M. de Longchamps pour le trifolium oblique, correspond, en 
posant t = tg 03, à l'équipoUence 

_ {t sin a — cos a) (t^ — i){ti + 1) 

{t — COtg a)(^ — i)(^ -]-i)(t — i) 
= ih sin a TjTZrrÏY 

Elle rentre dans notre équipollence générale des trifoliums, en posant 

a = COtg a, 6 = 1, c i^r — 1, A rz. i, a' = b' : i, K = Hl siu a. 

Cette équipollence du trifolium oblique se simplifie, en supprimant le 
facteur commun t — i, et en écrivant cotg a = k; elle devient alors 

• ., . (t — k)it—]){t ^i) 

^^"^^'^'"^ (t^ + m + h — 

Les deux termes de la fraction rationnelle sont alors du 3'' degré 
en / ; mais la courbe n'en est pas moins du 4« degré, parce que la racine 
— i du dénominateur n"est pas accompagnée de sa conjuguée. 

Dans l'équipoUence du trifolium général, aussi bien que dans celle du 
trifolium oblique, nous pouvons, sans altérer la forme de la courbe, ne 
pas tenir compte du coefficient constant, qui n'influe que sur la simili- 
tude, et nous avons alors 

^ (t — a)(t—b){t — c){t — A) 
^ ^ ^ {t- A',)(t — Cj A') {t — n'){t - Cj B'j ' 

(1) z- jjrzfjy. 

La direction de z = OZ est dans cette dernière courbe celle de t — i. 
Par conséquent, les directions des trois tangentes à l'origine sont celles 



C.-A. LAISANT. — REMARQUES SUR LES COURRES UNICURSALES 35 

de 1 — i, — 1 — i\\ l -\- i, k — i. Dans le trifolium général, ce sont celles 
de a — X, h — a, c — a. 

Le trifolium régulier, qui a pour équation polaire p = cos 3aj, donne 
l'équipollence 

{t" + ir 

1 1 

Les valeurs de t qui annulent z sont x; , — ^ » -=, et il en résulte que 

\/3 V^ 

les trois tangentes à l'origine ont pour directions l'origine des inclinai- 
sons, et les droites 1 -|- ^V^» 1 — W^i c'est-à-dire trois droites également 
inclinées les unes sur les autres. 

Lorsque deux des racines a, h, c deviennent égales, l'une des trois 
boucles du trifolium général disparaît, et on a alors un folium double. 

L'équipollence (1) du trifolium général peut se simplifier, tout en con- 
servant l'origine au point triple, par une transformation très simple, 
consistant à écrire 

(a — è)cO -\- a(b — c) 

~ [a — 6)0 -f (6 — c) * 

Il est évident qu'aux trois valeurs a, b, c données à t correspondent 
respectivement pour les valeurs 0, 1, x) , et il en résulte qu'à un fac- 
teur constant près, que nous pouvons toujours supprimer comme plus 
haut, l'équipollence (1 1 devient 

6(0 — i)(0 — a) 



(6 — a') (0 — cj a') ((i — R'j (6 — cj b') 

Naturellement, les lettres a, a', r' ne représentent plus les mêmes élé- 
ments que dans l'équipollence (1). 

Les tangentes à l'origine sont alors dirigées suivant lorigine des incli- 
naisons et les droites a et 1 — a. 

Nous ne voulons pas pousser plus loin l'étude des propriétés de ces 
courbes que nous avons simplement indiquées, en terminant, à titre 
d'exemples. 



36 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

M. Emile LEMOOE 

Ancien Élève de l'École Polytechnique, à Paris. 



LA GÉOMÉTROGRAPHIE OU L'ART DES CONSTRUCTIONS GÉOMÉTRIQUES 



— Séance du 16 septembre 1892 — 



INTRODUCTION 



Le iiK^moire que nous présentons à la \^^ Section peut sembler, à pi-emière 
vue, contenir une partie des résultats que nous avons déjà donnés en 1888 au 
Congrès d'Oran; mais, dans les parties de sujet commun, il n'est ni la repro- 
duction ni même le complément de ce mémoire; il le corrige, et cependant le 
mémoire d'Oran est exact au point de vue que nous envisagions; en effet, nous 
venions d'avoir l'idée générale de la mesure de la simplicité dans les sciences 
mathématiques, raisonnements et constructions; nous y avions développé l'ap- 
plication à l'évaluation de la simplicité des constructions faites avec la règle et le 
compas, en partant des constructions séculairement classiques adoptées comme 
constructions fondamentales et nous avions appliqué notre méthode à l'évalua- 
tion de leur simplicité, afin que l'on puisse adopter les symboles de ces construc- 
tions pour évaluer la simplicité des solutions d'un problème quelconque. Ce 
but, nous l'avons rempli en ce qui concerne les solutions classiques examinées. 
Nous étions loin de soupçonner que ces constructions fondamentales étaient 
pour ainsi dire toutes à réformer et à réduire, même les plus simples, comme 
celle de : mener par un point donné une parallèle à une droite donnée, de sorte 
qu'il faut les reprendre pour donner une base réelle aux applications de notre 
théorie; c'est cette étude que nous donnons aujourd'liui en y ajoutant la notion, 
|)lus importante encore que celle de la simplicité, de rexactitude des r(jns- 
tructions. Dans le mémoire d'Oran, quelques-unes des construction d'applica- 
tion, comme, par exemple : mener la bissectrice d'un angle dont on ne peut 
prolonger les côtés jusqu'au sommet, ne sont pas les plus simples, et ce sont les 
plus simples que j"aui-ais dû rechercher, mais je n'étais pas encore habitué au 
maniement de la méthode qui est beaucoup plus délicate à appliquer sans 
erreur que /"ex^mne simplicité de son exposition ne peut le faire pressentir: 
je prenais instinctivement pour types les constructions les plus simples à 
exprimer comme étant les plus simples à tracer, sans avoir encore remarqué 
qu"il n'y avait aucun rapport entre cette simplicité d'expression et la simplicité 
réelle de l'exécution; en dehors de ces remarques, tout ce qu'il y a de général 
dans le mémoire d'Oran reste exact et nous y renvoyons pour celles des géné- 
ralités qui y sont exprimées et que nous n'aurions pas répétées ici. 



É. LEMOI.NP:. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 37 



EXPOSITION DE LA THÉORIE DE LA SLMPLICITÉ 
ET DE L'EXACTITUDE 

Une construction exécutée avec la règle et le compas ne comporte que 
les opérations élémentaires suivantes : 

Mettre le bord de la règle en coïncidence avec un point .op. : (Ri). 

Tracer la ligne droite op. : (R2). 

Mettre une pointe du compas en un point déterminé . . . op. : (CJ. 

Mettre une pointe du compas en un point indéterminé d'une ligne. . . 
op. : (CJ. 

Tracer la circonférence op. : (C3). 

(Op. : est l'abrégé du mot opération, i 

Nous ne tenons pas compte de la longueur tracée des lignes. 

Si l'on trace, par exemple, un petit arc ou le cercle entier, c'est tou- 
jours C3 ; toujours R2 pour une portion quelconque de droite tracée. 

Toute construction est donc finalement représent-^^e par : 



Op. : /iRi + /.,R, + //iiCi + m.,C, + /«3C3. 

Nous appelons coefficient de simplicité, ou plus brièvement Simplicité 
de la construction, le nombre l^ -\- 1.^ -\- m^ -\- m^-\- m.^, et coefficient 
d'exactitude, ou plus brièvement Exactitude de la construction, le nombre 
U + "^1 + ^2-> parce que l'on voit facilement que, en réalité, l'exactitude 
dépend des opérations préparatoires l^, m^, m.^ et non des opérations de 
tracé; 1^ est le nombre de droites tracées, m.^ le nombre des cercles (*). 

Pour abréger l'écriture, au lieu d'écrire : la circonférence qui a pour 
centre, et la longueur AB ou la longueur R pour rayon, nous écrirons : 
0(ABj ou 0(Rj. 

Nous ferons ici une remarque importante qui s'applique toutes les fois 
que la notion générale de nombre intervient dans un problème de Géo- 
métrographie, c'est que la question sort alors du domaine de la Géomé- 
trographie pure et qu'il s'y mêle de l'arithmologie, comme on le verra 
dans la suite de ce travail. Ainsi : Diviser une droite dans le rapport 
de deux longueurs données est un problème de Géometrographie pure, 
et : Diviser une droite dans le rapport de deux nombres m et n donnés 
n'est point du tout dans le même cas ; il n'y a môme pas de méthode 
générale purement graphique pour faire le plus simplement possible cette 

(*> Nous n'avons pas été sans voir que la simplicité et lexuclilude d'une opération varient dans 
le même sens que l'inverse des nombres que nous nommons : coefficient de simplicité et coefficient 
d'exactitude; mais comme il n'y a aucune confusion possible et que ce ne sont que, des noms, nous 
avons préféré des dénominations rappelant le but à atteindre à celles de coefficient de complication 
et de coefficient d'inextictiliide plus logiques certainement. 



38 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

division ; il faut étudier chaque cas particulier en ayant égard à la ques- 
tion qui a fourni ces nombres. En pratique, on la ramène au cas des 
longueurs en prenant sur une règle divisée des longueurs proportion- 
nelles aux nombres donnés, et l'on doit faire le plus souvent ainsi, mais 
en sachant bien que l'on sort de la Géométrogrophie pure qui n'autorise 
l'usage que de la règle et du compas. Pour ramener la question à la 
Géométrographie pure, il faudrait porter sur une ligne m -(- n fois une 
longueur quelconque, etc., et cela éloignerait trop de la construction que 
l'on fait pratiquement. Encore si porter m -{- n fois une longueur sur 
une droite de façon à marquer les divisions m, et m -j- n est facile, 
quoique long et peu pratique, il n'est nullement commode, peut-être 
pas possible, d'indiquer le moyen de marquer ces divisions le plus sim- 
plement possible par une méthode générale. La question revient au pro- 
blème : Étant donnée une longueur, trouver une droite m fois plus longue. 
Porter la longueur m fois à la suite d'elle-même sur une droite est une 
solution, mais non la plus simple. En étudiant le problème, on est conduit 
à une question d'arithmologie tout à fait analogue à la suivante, qui 
semble fort difTicile : Combien faut-il effectuer de multiplications, au moins, 
pour calculer A"", le nombre A étant donné? 

La question de la multiplication de la droite par un nombre aurait, 
du reste, à la rigueur, exigé un nouveau symbole pour représenter l'opé- 
ration, qui consiste à fixer sur une hgne donnée la pointe d'un compas, 
lorsque l'autre pointe est fixée; mais, à cause de la nature mixte des 
problèmes où l'on en ferait usage et surtout parce que l'on s'éloignerait 
trop de ce que l'on fait pratiquement, nous ne nous sommes pas arrêté 
à cette considération. 

Il est un point qui mérite aussi quelques mots d'explications, lesquelles 
répondront à une objection que je m'étais faite à l'origine et qui doit 
venir à l'esprit de ceux qui examinent notre méthode. Est-il légitime de 
supposer identiques les opérations Cj, Cj, C3, Ri, R^, pour composer le 
coefficient de simplicité et le coefficient d'exactitude? Non, évidemment, 
s'il s'agissait dans la Géométrograjjhie d'une mesure absolue. Mais ce 
n'est nullement le cas, et j'assimile ces opérations parce qu'elles sont 
élémentaires, c'est-à-dire indécomposables en d'autres plus simples, et 
que, spéculativement, elles ne sont ni plus simples ni moins simples les 
tines que les autres. On peut ne pas faire cette assimilation du reste, en se 
contentant du symbole complet. Le mot de mesure ne peut pas être exact 
avec le sens habituel de ce mot qui s'applique à la comparaison d'une gran- 
deur avec une unité de même nature; une construction n'est pas une gran- 
deur et elle s'exécute au moyen d'opérations élémentaires irréductibles entre 
elles. Si j'emploie l'expression mesure, c'est que je trouve qu'elle s'appliquç 
mieux au but poursuivi que le mot général de comparaison. 



) 



É. LKMOIXE. LA GÉOMÉTROGRAPHIE 39 

La rigueur absolue conduirait, dans beaucoup de cas, à rejeter toute 
comparaison de simplicité relative de deux constructions. En effet, com- 
ment apprécier rigoureusement si la construction 0C3 est plus ou moins 
simple que 0OR2, puisque les unités C3 et R.^ sont par essence de nature 
différente ; mais, en réfléchissant et aussi en pratiquant un peu la Géomé- 
trographie, on reconnaîtra que les assimilations sont admissibles dans 
l'ordre d'exactitude des tracés eux-mêmes; en effet, nous traçons des 
lignes et la ligne n'a pas de dimensions, nous plaçons des points et le 
point ne peut être marqué. En somme, notre méthode donne un critérium 
spéculatif qui a des applications pratiques, et avant elle il n'en existait 
pas. Ce que nous faisons n'est pas une mesure, c'est une comparaison 
avec cinq unités distinctes : Rj, Rj, C^, Cj, C3, et l'on ne peut dire d'une 
façon absolue que la construction A est plus simple que la construc- 
tion R, que lorsque les coefficients de toutes les unités sont respecti- 
vement plus petits dans A que dans R, cas très fréquent 

APPLICATIONS 

I. — Tracer une droite quelconque op. : (Rj). 

IL — Tracer une droite par un point donné op. : (Rj -j- Rj). 

IIL — Tracer une droite par deux points donnés. . . op. : ('2Ri -|- R^). 
IV. — Tracer un cercle quelconque op. : (C3). 

V. — Tracer un cercle quelconque dont le centime est donné, op. : (Ci-j-Cg). 
VI. — Prendre avec le compas une longueur donnée AR . . op. : (2Ci), 

car c'est mettre l'une des pointes en A, l'autre en R (*). 
VIL — Porter sur une ligne donnée, à partir d'un point indéterminé de 

cette ligne ou à partir d'un point déterminé, la longueur comprise entre 

les branches du compas : 

Op. : (C2 -f C3) ou op. : (C^ + C3). 

(*) Il est clair que, pour mettre la première pointe en A, l'opération n'est pas la même que œlle faite 
■en maintenant cette première pointe en A, et conduisant la seconde sur B, nous les désignons cepen- 
dant toutes deux par G, ; nous ne croyons pas qu'il y ait un inconvénient à cela, parce que nous 
ne faisons qu'une théorie idéale des opérations. Ainsi nous supposons, puisque nous ne nous occupons 
pas de la question, que toutes les lignes de la figure se coupent dans les limites de l'épure, qu'il 
est indifférent que ces lignes se coupent sous un angle très aigu, etc., de sorte qu'il nous paraît 
fort suffisant de désigner par le symbole Ci l'opération générale qui consiste à mettre sur un point 
une des pointes du compas; nous reviendrons sur ce sujet dans le cours de ce travail. Du reste, le 
lecteur qui, après réllexion, ne partagerait pas notre avis, n'aurait qu'à désigner par C/ l'opération 
qui consiste à mettre en un point donné la pointe mobile du compas, l'autre étant maintenue fixe. 

De même, puisque nous appelons Rj l'opération qui consiste à mettre le bord de la règle en con- 
tact avec un point, il est évident, à la façon dont elle s'exécute, que l'opération qui consiste à 
mettre le bord de la règle en coïncidence avec deux points donnés, n'est pas exactement deux fois 
l'opération R,, et Ion pourrait aussi désigner parR, -|- R/ l'opération qui consiste à faire passer le 
bord; de la règle par deux points; mais si l'on pratique un peu la Géométrographie, je crois que 
l'on arrivera, comme moi, à reconnaître que cette distinction serait une complication inutile. 

Nous aurions pu peut-être aussi assimiler les opérations Ci et Cj et ne garder pour elles deux 
qu'un même symbole Ci, mais nous ne l'avons pas fait parce que si théoriquement R, et R/ se con- 
fondent effectivement. Ci et Cj sont théoriquement différents; Cj se présente du reste beaucoup plus 
rarement que les autres symboles et en général avec un très petit coefficient. 



40 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

VllI. — Porter une longueur donnée (à prendre avec le compas) sur une 
ligne donnée à partir d'un point indéterminé de cette ligne ou à partir 
d'un point déterminé de cette ligne : 

Op. : (2Ci + C, 4- C3) ou op. : {SC, + C3). 

Remarques. — Lorsqu'on a à porter n fois une même longueur M 
sur une droite à la suite l'une de l'autre de A en B, de B en C, etc., la 
construction doit être interprétée de deux façons et l'on choisira celle 
qui convient au cas où l'on se trouve. 

1° Les points de division intermédiaires ne doivent pas être marqués. 

On prendra M entre les branches du compas (qui, dans la pratique, 
sera alors à pointes sèches), op. : (âCJ ; on portera cette longueur de A 
en B; on comptera : op. : (C^ -|- CJ ou op. : (2Ci) suivant que A sera 
indéterminé sur la droite ou déterminé, et non: op. : (Cj-l-Cg) ou 
op. : (Cl -|- C3), parce que, laissant une pointe en B, on passera en C 
où l'on comptera : op. : (CJ ; puis laissant une pointe en C, on passera 
en D en comptant : op. : (Cj, etc.; on aura enfin : 

Op. : (« + 2)Ci + C, ou op. : (n + 3)Ci. 

Nous résumons donc en op. : (Cj) les deux opérations (Cg -|~ ^i), 
parce qu'elles se font ici d'un seul coup, mais ce n'est pas tout à fait l'opé- 
ration (CJ telle que nous l'avons définie, l'assimilation nous paraît justi- 
fiable eu égard à la question et elle évite la création d'un symbole spécial 
à ce cas particulier; 

2° On marque tous les points de division intermédiaires en reportant 
chaque fois la pointe sèche au nouveau point marqué, etc. ; il n'y a rien 
à dire de spécial et le symbole est : 

Op. : [(n + 1)C, + C, + nCj ou op. : [[n + 2]C, + nC,]. 

IX. — Tracer un cercle quelconque passant par deux points X et B. 

Je décris les deux circonférences A(AC), B(AC) de même rayon quel- 

AB 

conque, mais AC étant plus grand que -^; je trace C(AC) 

op. : f3Ci + 3C3). 

X. — Placer un point C à égale distance indéterminée de deux points 

donnés A et B : 

Op. : (2Ci + 2C3). 



É. LEMOIXE. — LA GÉOMÉTROGRÀPHIE 41 

XI. — Pa7' un point donné B sur une droite BC, tracer une seconde droite 
qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné DAE (*). 

Je trace le cercle A(AE) de rayon quelconque qui coupe AD en D, AC 

en E op. : (Cl 4- C3) ; 

puis le cercle B(AE) qui coupe BC en F op. : (C^ -|- C3). 

Je prends avec le compas la longueur DE, puis je trace le cercle F(DE). 

op. : (3Ci + C3), 

qui coupe B(AE) en H. 

Je trace BH op. : f2Ri + R;). 

Symbole de l'opération totale : op. : (2Ri -|- Rg -|- 5Ci -|- SCg); sim- 
plicité 11; exactitude 7; 1 droite, 3 cercles (*'•';. 

XII. — Connaissant les angles y-ef^ (dont j'appelle aussi a. et ^ les sommets) 

d'un triangle, construira le tt^oisième y. 

Je trace une droite quelconque AB op. : (R2). 

Je trace d'un rayon quelconque R les trois circonférences a(Rj, p(R), 
0(R), étant un point quelconque de AB . . op. : (2Ci -|- C^ + 3C3); 
soit B le point où 0(Rj coupe AB. 

Je prends la longueur de la corde CD que a intercepte sur a(R) et je la 
porte en E à partir de B sur OfR) op. : (SC^ -(- C3). 

Je prends la longueur de la corde FG que p intercepte sur ri(R) et je 
la porte en H à partir de E (dans le sens BEj sur 0(R). op. : (BCj -|- C3). 

Je trace OH op. : (SRi + R^), 

l'angle HOA, A étant sur AB de l'autre côté de que B, est l'angle 
cherché. 

Op. : (2Ri + 2R., + 8C, + 6C3); simplicité 18; exactitude 10; 2 droites, 
cercles (***j. 

(*) Nous supposons toujours, dans nos conslruclions types, que la feuille sur laquelle on les exécute 
ne contient que les données. 

Ces données sont à part et Ion n'exécute pas la construction sur l'une d'elles, sauf quand cela 
résulte de la question. Ainsi, si je veux construire une quatrième proportionnelle à trois lignes 
données, je suppose que les trois longueurs sont à pnrl sur la feuille et qu'on ne fait pas la cons- 
truction sur l'une d'elles. Si, au contraire, on cherche le centre de gravité d'un triangle donné, il est 
clair que l'on opère sur le triangle, et il en est ainsi le plus souvent quand on applique notre 
théorie à un problème déterminé ; les constructions types employées se simplifient alors en raison 
des opérations qui se trouvent faites, que l'on n'a pas à compter par conséquent. 

(**) Quand nous n'expliquons pas les constructions, ce sont les constructions classiques données de 
tout temps dans les géométries; nous les avons prises alors dans le Traité de Géométrie de MM. Rouché 
et DE COMBEROussE, Gi= édition. 

(***! Je ferai remarquer ici que dans mon mémoire du Congrès d'Oran, 1S88, p. S-2, j'avais mala- 
droitement dirigé cette construction à laquelle j'attribuais le symbole 

op. : (4R, + 3R2 + IOC1 + 6C3) ; 

en effet, j'avais tracé inutilement la droite que j'appelle ici OE et j'avais tracé en deux fois les 
circonférences qui me donnaient l'angle BOE := a puis l'angle EOH = p, c'est-à-dire que j'avais fait 
inutilement: op. : (2R1 -|- R2 + ^Cj). Une remarque analogue s'applique à plusieurs constructions 
de ce même mémoire d'Oran et il n'est point étonnant qu'il en soit ainsi, car si la théorie de la 
simplicité était faite, je ne savais pas encore l'appliquer. C'est pour cela, ainsi que je le dis 
dans l'introduction, que je donne de nouveau les symboles des opérations fondamentales en les 



l 



42 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

XIII. — Construire un triangle connaissant un côté a et les deux angles 

xoy, x'o'y' adjacents au côté a. 

Je trace une droite BC et sur cette droite, à partir d'un point quel- 
conque B, je prends BC = a op. : (B2 -f- 20^ + Cj + C3). 

Je trace o(BC) o'(BC) C(BC) op. : (3Ci + SCg). 

Sur o(BC) je prends la corde xij interceptée par l'angle xoy et je la 
transporte à partir de C en C sur B(BC) qui a été tracée pour avoir C ; 
je prends de même sur o'(BC) la corde x'xj' et je la transporte à partir 
de BenB' sur C(BC) op. : (6C1 + -2C3). 

Je joins CB', BC op. : (4R, + 2R,), 

qui se coupent en A. 

ABC est le triangle cherché. 

En tout : op. : (4Ri -\- .SR^ + HC^ + C, + 6C3) ; simplicité 2o ; exac- 
titude 16 ; 3 droites, 6 cercles. 

Il est clair que si l'on fait la construction soit sur le côté donné, soit 
en prenant l'un des angles donnés comme angle du triangle cherché, le 
symbole de la construction sera plus simple. 

Dans le premier cas, on n'aura pas besoin de prendre la longueur a, 
ni de tracer une droite, ni de reporter a sur cette droite, et les cercles 
tracés de 0, 0', C comme centres, le seront avec un rayon quelconque R, 
mais il faudra tracer en plus B(R); le symbole sera donc : 

Op. : (4R,-f2R, -^lOCi + eCa), 

et, dans le second cas : 

Op. : (2R, -h R. + 8C1 -f 4C3). 

XIV. — Constt^uire un triangle ABC, connaissant le côté AB = c, 
le côté AC = h et l'angle BAC = xoy. 

Je trace une droite quelconque op. : (R^). 

A partir d'un point A quelconque sur cette droite, je prends 
AC = 6 op. : (2Ci + C, + C3). 

simplifiant s'il y a lieu, et aussi parce que, étant loin de me douter alors que, à peu près toutes 
les constructions fondamentales données depuis Eudide dans les Géométries élémentaires étaient 
trop compliquées; quelquefois un peu, quelquefois de moitié; cette répétition apparente me permet 
de donner des constructions plus simples qui doivent devenir logiquement les constructions clas- 
siques. Il est étonnant que des questions didactiques aussi simples, placées au commencement de la 
Géométrie, étaient insuffisamment étudiées après tant de générations; aussi lorsque le hasard me 
conduisit à faire cette remarque, je fus très surpris, mais je me l'expliquai, parce que les géomètres, 
n'ayant pas de critérium à ce sujet, ne se sont occupés que de la simplicité de l'expression, de la 
liaison évidente d'un théorème avec une construction qu'ils indiquaient sans qu'ils aient systémati- 
quement porté leur attention sur la partie pratique de l'exécution, et sur les conditions raisonnées 
de sa simplicité. 

Par exemple, dans un énoncé : joindre les pôles de deux droites, est aussi rapide à dire et forme 
une phrase aussi simple que -.joindre un point donné au sommet d'un angle, et, le compas à la 
main, c'est fort différent, puisqu'il faut d'abord construire les pôles, etc. 



É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 43 

Je trace o(AC) op. : (Ci + C3). 

Je prends xy et je trace C{xy) qui coupe A(AC) en B'. . op. : (3Ci -f C,) ; 
je trace AB' op. ; (2Bi-f-R»)- 

Je prends la longueur c que je porte en AB sur AB'. . op. : (3Ci + C3) ; 
je trace CB op. : (âBj + B,). 

Symbole : op. : (4B, + 3R, + 9C, + C. + iCs); simplicité 21; exac- 
titude 14; 3 droites, 4 cercles, 

XV. — Construire un triangle connaissant deux côtés a, et h et V angle B 

opposé à l'un d'eux. 

On trouve pour les deux solutions, quand la solution est possible : 
Op. : (6R, + 4R, + 9Gi + C, + 4C3) ; simplicité 24 ; exactitude 16 ; 
4 droites, 4 cercles. 

XVI. — Construire un triangle connaissant les trois côtés. 

On trouve : op. : (4Ri + 3R, -f- 8C1 + C, + 3C3); simplicité 19; exac- 
titude 12; 3 droites et 3 cercles. 

XVII. — Par un point A pris hoi's d'une droite BC, mener une parallèle 

à cette droite. 

La méthode classique donne : 

Op. : (2Ri + Bj + oCi -j- 3C^); simplicité H; exactitude 7; 1 droite, 
3 cercles (*). 

Mais en voici deux qui donnent des résultats plus simples et qui m'ont 
été indiquées par M. Tarry (Gaston) : 

1° Par A je fais passer un cercle coupant BC en B et en C 

op. : (Cl +C3). 

Je prends BA et je trace le cercle CfBA) qui coupe le premier cercle 
en D et je joins AD op. : rSRi -f R^ + 3Ci + 3C3). 

Symbole : op. : (2Ri + R,, + 4Ci +2C3) ; simplicité 9 ; exactitude 6 ; 
1 droite, 2 cercles. 

2° Je construis un losange ABCD : 

Op. : (2Ri 4- 2R2 + 3Ci -f 3C3) ; simplicité 9 ; exactitude S ; 1 droite, 
3 cercles. 



(•) Je profite de l'occasion pour faire une remarque ne se rapportant d'ailleurs pas directement 
à notre sujet. On sait que la construction s'opère ainsi : on décrit un cercle C(CB), un cercle B(CB), 
un cercle B(AC) qui coupe C(CB) en deux points D et D'; CD est parallèle à AB. .l'ai cherché le 

lieu de D' quand le rayon varie. On trouve immédiatement qu'il a pour équation : ? = . C étant 



le pôle, CD l'axe polaire, l la distance de C à AB, 



sm — 
2 



44 MATHÉMATIUUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Remarque. — Ces simplifications sont importantes à cause de la fré- 
quence de cette construction dans les épures. 

3" Cas oii la droite BC, non tracée, est donnée par deux points B et C. 

Je prends BC, je trace A(BC) op. : (3Ci + C,). 

Je prends AB, je trace CfAB) op. : (3Ci + C,). 

Ces deux cercles se coupent en D, je trace AD . . . op. : (2Ri -f Rj. 

Symbole : op. : {tK, -\- R., + 6Ci + 2Cjj ; simplicité il ; exactitude 8; 
1 droite, 2 cercles. 

XVIII. — Tracer une perpendiculaire en son milieu à une droite limitée 
par deux points ou placer le milieu d'une longueur donnée . 

Symbole : op. : (2R, + R, + ^Ci + 2C,) ; simplicité 7 ; exactitude 4; 
1 droite, 2 cercles. 

XVIIF'^ — Placer le point symétrique A' d'un point A par rapport à une 

droite donnée BC. 

De deux points quelconques B, C, de BC, je décris les cercles B(BA) 
C(CA) qui se coupent en A' : 

Op. : {iC^ -\- 2C., + 2C3):, simplicité 6; exactitude 4; 2 cercles. 

On peut aussi décrire A(R) qui coupe BC en B et en C ; décrire B(AB), 
C(AB) qui se coupent en A' : 

Op. : (3Ci + 3C3) ; simplicité 6 ; exactitude 3; 3 cercles. 

Si la droite BC non tracée était donnée par deux points B et C, le sym- 
bole serait : 

Op. : (4C, + 2C3). 

XIX. — D'écrire un cercle sur une droite donnée AB comme diamètre. 

On prend le milieu de AB. . . . op. : (i2Ri + R, + 20^ + 2C3). 
On prend la longueur OA, puis on décrit 0(0A). . op. : (2Ci + C3). 
Symbole : op. : (2Ri -j- Rjj + 4Ci -j- SCj) ; simplicité 10 ; exactitude 6; 
1 droite, 3 cercles. 

XX. — Tracer par un point C une perpendiculaire à une droite AB. 
1° Le point C est hors de la droite. 

Méthode classique. 

a) Symbole : op. : (2Rj + R., + SC^ -j- 3C3) ; simplicité 9; exacti- 
tude o; 1 droite, 3 cercles. 



É. LEMOINE. — LA GKOMÉTROGRAPHIE 45 

Autre méthode. 

b) B étant un point quelconque de AB je décris B(BCj qui coupe AB 
en A op. : (C, + Cl +C3). 

Je prends AC et je décris A(AC) qui coupe B(BC) en C, je trace CC . 
op. : (2R, + R, + 2C, + C,). 

Symbole total : op. : m, + R^ + 3C, + C, +2C3;; simplicité 9; 
exactitude 6 ; 1 droite, 2 cercles. 

2° Le point C est sur AB. 

Méthode classique. 

a) Même symbole et mêmes opérations élémentaires que si C est hors 
de la droite; la méthode suivante est un peu plus simple. 

b) Je place une pointe en un point arbitraire quelconque hors de 
AB; je place l'autre pointe en C et je décris la circonférence 0(0C) qui 

coupe aussi AB en A ; je trace AO qui coupe 0(0C; qw C . 

op. : r-2Rj + R, 4- C, + C3). 

Je trace ce op. : (2R, -[- R,;. 

Symbole : op. : (4R, + 2R2 -{- Ci + C3); simplicité 8; exactitude o; 
2 droites, 1 cercle. 

Remarque. — Cette méthode h que l'on donne classiquement pour le 
cas où la droite AB ne peut être prolongée au delà de A est plus simple 
que la méthode a générale classique donnée lorsque C est quelconque 
sur AB ; b doit donc être toujours employée et il n'y a pas à séparer le 
cas où C tombe en A, A étant l'extrémité de AB lorsque cette position 
est imposée par les dimensions de l'épure. 

Si l'on veut élever une perpendiculaire quelconque à AB, on a alors : 

Symbole : op. : (4Ri -f- 2R2 + Cj; simplicité 7; exactitude 4; 
2 droites, 1 cercle. 

On peut aussi, par A et R, points quelconques de AB, tracer deux 
cercles quelconques; ils se coupent suivant une perpendiculaire à AB. 

Op. : (2Ri -f- R, + 2C, + 2C3) ; simplicité 7 ; exactitude 4 ; 1 droite, 
2 cercles. 

Si l'on veut élever une pei^pendiculaire quelconque à une droite (non 
tracée) donnée par deux points A et B, on décrit A (Rj, B (R'i ; R et R' étant 
quelconques, l'intersection de ces deux cercles résout la question. 

Op. : (2Ri + R, + 2Ci +2C3J ; simplicité 7; exactitude 4; 1 droite, 
2 cercles. 

Abaisser d'un point C extérieur à une droite (non tracée) donnée par 
deux points A et B, une perpendiculaire sur sa direction. 

On mène A(ACj, B(BC) l'intersection de ces deux cercles est la per- 
pendiculaire cherchée. 



46 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Op. : (2Ri + R2 + iCi + 2C3) ; simplicité 9 ; exactitude 6 ; 1 droite,. 

2 cercles. 

Remarque I. — Si l'on veut mener la perpendiculaire en A à une droite 
AR non tracée et donnée par deux points A et R, il faut faire ainsi : 

Tracer R(R), A(R) d'un même rayon R quelconque se coupant en C, 
puis C(R) passant en A et R, tracer RC qui coupe C(R) en C et tracer 

AC. 

Op. : (4R^ -|- 2R2 + 3Ci + 3C3) ; simplicité 12 ; exactitude?; 2 droites,. 

3 cercles. 

Il est assez curieux de remarquer que lorsque la droite est donnée par 
deux points A et R, il est plus simple de lui mener une perpendiculaire 
par un point quelconque que par l'un des points donnés. 

Remarque IL — Lorsque, dans une construction, on aura à élever des 
perpendiculaires en n points A, R, C, D... donnés de droites données 
L, M, N, P. . . il y a avantag-e, si n > S, à opérer ainsi : 

Je mène une première perpendiculaire en A à M par une opération dont 
la simplicité est 8 (voir XX, 9." b). 

Je décris de tous les points donnés comme centres des circonférences 
de même rayon ; simplicité 2n. 

Je prends sur la circonférence tracée en A la corde du quadrant ; sim- 
plicité 2. 

Je la reporte sur toutes les autres circonférences et, par leur moyen, je 
trace les perpendiculaires; simplicité 5 (n — 1). 

Donc elles seront tracées par une opération de simplicité 5 + 7w, au 
lieu de Sn que donnerait la construction générale. 11 y aura donc avan- 
tage à la prendre si : 

5 + 7n < 8« ou o < n. 

XXI. — Décrire une circonférence passant par trois points donnés. 

Op. : (4Ri -f 2R2 + SCi + 4C3) ; simplicité 15 ; exactitude 9; 2 droites, 
4 cercles. 

XXII. — Diviser un angle donné en deux parties égales. 

Op. : (2Ri + R2 + 3Ci + 3C3); simplicité 9 ; exactitude 5 ; 4 droites, 
3 cercles. 

Si l'angle donné RÂC est déterminé par son sommet A et par deux 
points R et C appartenant chacun à l'un des côtés de l'angle à diviser, le 
symbole de la construction se trouverait augmenté du tracé des deux 
droites AR, AC ; mais on peut économiser quelque chose et n'en tracer 
qu'une en opérant comme il suit : 



É. LEMOLNE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 47 

Je trace AB op. : (2Ri -|- R^). 

Je décris A(AC) qui coupe AB en C dans le sens AB. . .op. : (2Ci -f- C3). 
Puis je décris C(AC), C'(AC) qui se coupent en D, et je trace AD. . . 

op. :(2R, + R, + 2Ci + 2C3J. 

AD est la bissectrice de l'angle BAC. 

En tout : op. : (4Ri + 2R, + 40^ + 3C3) ; simplicité 13; exactitude 8; 
2 droites, 3 cercles. 

XXIII. — Divise?- un arc donné en deux parties égales. 

Op. : (2Ri + R, + 2Ci + 2C3) ; simplicité 7 ; exactitude 4 ; 1 droite, 

2 cercles. 

Quand nous donnons un cercle ou un arc de cercle, nous supposons 
toujours, comme dans cette construction, que le centre en est placé, s'il ne 
l'était pas on le placerait par la construction dont le symbole est ... . 

op. : (4R, + 2R, + 3C, + 3C3 ) 

sur la réalisation de laquelle il n'y a pas besoin d'insister. 

XXIV. — Tracer la bissectrice de Vangle formé par deux droites AB, CD, 
qu'on ne peut pas prolonger jusqu'à leur point d'intersection X (*;. 

D'un point A quelconque de AB, je trace (R étant quelconque) A(R) 
qui coupe CD en C et AB en B ; je trace C(R) qui coupe CD en D 

op. : fCi + C, + 2C3I. 

B et D étant tous deux du même côté de AC. 

Je trace B(R) qui coupe C(R) en J, D(R) qui coupe A(R) en I 

op. : (2C1+2C3) 

Je trace AJ, CI op. : r4Ri + 2Rj. 

Ces deux droites se coupent en M, point de la bissectrice cherchée. 
Je trace un cercle quelconque M(R'; qui coupe AB en H, CD en G. . . 

op. : (Cl + C3). 

G et H étant les points d'intersection tels que GX = HX. 

Je prends un point quelconque M' à égale distance de G et de H ; je 

trace MM' op. : (2Ri + R, + 2C, + 2C3). 

Op. : 6R1 + 3R, + 6Ci + C, + 7C,) ; simplicité 23; exactitude 13; 

3 droites, 7 cercles. 

11 y a un grand nombre de solutions simples du même problème qui 
peuvent être utiles; mais je ne donne que celle-ci, qui est la plus simple 
que j'aie trouvée, afin de ne pas développer outre mesure notre mémoire. 
Cette observation s'applique à beaucoup d'autres problèmes traités ici. 

(*) J'ai donné dans le mémoire d'Oran déjà cité, une solution de ce problème beaucoup plus 
compliquée graphiquement ; je n'avais pas encore l'esprit exercé a chercher les simplifications gra- 
phiques pour elles-mêmes, ainsi que je l'ai déjà dit. 



48 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

M est soit le centre du cercle inscrit au triangle AGX, soit celui du cercle 
ex-inscrit au même triangle tangent au côté AG, suivant que D et B sont 
d'un côté ou d'un autre de AG (qu'il ne faut pas tracer). J'aurais pu 
continuer la construction en cherchant le centre y. de celui des deux 
cercles tangents qui n'est pas M; mais la construction eût été un peu plus 
compliquée, ainsi qu'il est facile de le voir. 

XXV. — Tracer par un point A pris sur une circonférence de centre 

une tangente à la circonférence. 

La solution classique est un peu trop compliquée, elle donne : 

Op. : (6Ri -f- 3R2 -f- G, + C3); simpHcité 11; exactitude 7; 3 droites, 
1 cercle. 

En voici une préférable : 

Je trace A(AO) qui coupe OiOA) en B, je trace B(BA) qui coupe A(AO) 
en G, je trace G(CA) qui coupe B(BAj en D, je trace AD. 

Op. : (2R, -f- Rj + 4G, + 3G,,); simplicité 10; exactitude 6; 1 droite, 
3 cercles. 

XXVI. — Tracer d'un point extérieur A les deux tangentes à un cercle 

donné de centre (*i. 

1° Je trace un diamètre quelconque GOD op. : (Ri -(-f'-i*- 

Je prends OA et je décris G(OA), D(OA) se coupant en E, op. : (iGj -j- 2G3). 

Je prends EO et je décris A(EO) qui coupe la circonférence donnée en G 
et en H. op. : (3G, +G3). 

Je trace AG, AH op. : (4Ri + m^). 

Op. : (5Ri4-3R2 + 7Gi + 3G,5i; simplicité 18; exactitude 12; 3 droites, 
3 cercles. 

2° Je trace la sécante quelconque ABG (B entre A et G); je trace 
G(GA) op. : (R, -f- R, + ±C, + C3). 

Sur BC je prends BD = GA, D étant de l'autre côté de B que G; je 
trace D(GA) qui coupe G(GAj en K op. : (2Gi + 2C,). 

Il est facile de voir que AK est la moyenne [proportionnelle entre AB 
et AG . Je décris A(AK) qui coupe la circonférence donnée en I et I'; je 

trace AI, AI' op. : (4R, + 2B, + 2Gi + G,,) 

qui sont les tangentes cherchées. 

Op. : (5R, 4-3R, + 6C, +4G3) ; simplicité 18; exactitude 11; 
3 droites, 4 cercles. 

(*) La solution claBsique qui consiste à décrire une circonfi'Tenee sur OA comme diamètre, etc., 
donne le symbole : op. : (8Ri r AR2 — ''•Ci t- 3C3). Dans mon mémoire d'uran, j'avais mis : 
op. : (6K, -'- 3R; + iCj - 3C3). Seulement, j'avais oublié de compter la droite OA qu'il faut tracer. 
Les deux solutions que je donne ici sont un peu plus simples que cette solution classique. 






É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 49 

XX VII. — Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC. 

Qu'il s'agisse d'un cercle inscrit ou d'un cercle ex-inscrit, la mé- 
thode classique par les bissectrices des angles du triangle conduit au 
symbole : 

Op. : (6Ri-j-3R, + IIC1 -l-lOCg); simplicité 30; exactitude 17; 
3 droites, 10 cercles. 

Si l'on voulait tracer les trois autres cercles tangents, on aurait en plus 
à ajouter : op. : (12Ri -}- OR^ + l^Ci -|- I3C3). En tout, par conséquent : 

Op.:(18Ri-{-9R,-f-27Ci + 23C3); 
simplicité 77 ; exactitude 45 ; 18 droi- 
tes, 23 cercles. 

Voici une solution plus simple, 
mais qui ne se présenterait certes 
point à l'esprit si l'on ne dirigeait 
point l'attention vers la recherche 
systématique de la simplicité de la 
construction (fîg. 1). 

J'appelle P, Q, R les points de 
contact du cercle inscrit sur BC, CA, 
AB et le centre de ce cercle. 

Sur BA, dans le sens BA, je prends 
AD = AC; sur B A, dans le sens BA, 
je prends BE == BC op. : ( 4Ci + 2C3). 

Je décris A(DEi qui coupe AB en R' (R' est dans le sens ABi, et AC 
en Q' (Q' est dans le sens AC) op. : (3Ci -f C3) ; 

il est évident que AR = AQ = '" ^ ~" ^ et que, par suite, R et Q sont 

les milieux de AR' et de AQ'; est donc le centre du cercle circonscrit 
au triangle AQ'R'. 

Je trace R'(DE) qui coupe A(DE) en deux points; en joignant ces 
points, j'ai un lieu de op. : (2Ri -f- R^ -j- ^ + C3I. 

Je trace Q'(DEj qui coupe A(DE) en deux points; en joignant ces points, 
j'ai un autre lieu de op. : (2Ri -|- R^ -}- d -f- Cg). 

Je décris 0(0R) qui est le cercle cherché op. : (2Ci-f-C3'i. 

Op. : (4Ri H- 2R, + ilC^ -j- 6C3) ; simplicité 23; exactitude lo ; 
2 droites, 6 cercles. 

En appliquant la transformation continue (voir A. F., Congrès de Mar- 
seille, 1891), on arrive immédiatement à la construction qu'il faudrait 
faire pour tracer un cercle ex-inscrit ; elle a le même symbole que celle 
du tracé du cercle ex-inscrit. 

4* 




oO MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Si l'on veut tracer les quatre cercles tangents, il vaut mieux commencer 
par les trois cercles ex-inscrits et finir par le cercle inscrit en joignant 
AO^,.BO,„ etc. 

On a : 

Op.: (I8R1 -f 9R., -f 26Ci + I3C3); simplicité 66; exactitude 44; 

9 droites, 13 cercles. 

XXYIII. — Construire sur une droite donnée AB un segment capable 

d'un angle donné ECD. 

La méthode classique, conduite sans lignes inutiles, donne : 
Op. : (6R1 + 3R, + lOCi + 7C3) ; simplicité 26 ; exactitude 16 ; 

3 droites, 7 cercles. 

Voici une construction 
plus simple (fig. 2) : 

Je trace Ai ABj, B(AB) 
qui se coupent en P et en Q 
. . . op. : (3Ci + 2C3) . 
Je trace C(AB) qui coupe 
CD en D, CE en E; je 
prends F sur C(AB) tel que 
arc EF = arc ED . . . . 
. . . op. : aCi-f^iCg). 
.Je prends D sur A(AB)tel 
que arc BI*D = arc DEF ; 

je trace BD, PQ se coupant en 0; je trace 0(0A) 

op.: (iR^-f2R, + oCi + 2C3, 

et l'on a le segment cherché : 

Op. : (4Ri + 2R., + llCi + 6C3) ; simplicité 23; exactitude 15; 
2 droites, 6 cercles. 

XXIX. — Construire les tangentes communes à deux circonférences 

données et 0'. 

PREMIÈRE MÉTHODE 

Premier cas. — Les deux circonférences sont extérieures (*j, il y a 
quatre tangentes communes; soit la plus grande des deux circonfé- 
rences. 





Fig. 2. 



(*) Pour éviter les erreurs et faciliter la formation du symbole d'une opération, j'écris ordinaire- 
ment, de la façon dont je le fais dans cette première méthode, les symboles des opérations com- 
posantes. 



É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 



51 



Je trace 00' 

00' coupe la circonférence en A et la 
circonférence 0' en A', A et A' étant entre les 
points et 0'. Je prends A'O' que je porte de 
part et d'autre de A en B' et B", B' étant 
porté vers le sens AO 

Je trace 0(OB'j, 0(0B") 

Je prends le milieu (o de 00' 

Je décris (o(coO) qui coupe O(OB') en I et J 
et 0(OB")en Ii et J, 

01 et OJ coupent 0(0A i en 1' et J' . . . . 

OIi etOJj coupent 0(0A) enl'i et J', . . . . 

Je trace les perpendiculaires à 01' et à 01,' 
menées respectivement par 1' et par l'i ; elles 
coupent 00' en V et Vj 

Je trace VJ', V^j; 



Ri 


R, 


c, 


c. 


c. 


2 


1 








3 




1 






4 




2 




1 


2 
2 




2 
1 


4 


"2 








\ 


9 








8 


i 


2 




2 


24 


2 
1^2 








13 




8 



Op. : (24Ri + 12R, + 13Ci + 8C3) ; simplicité 37; exactitude 37; 
12 droites, 8 cercles. 

Si l'on n'a à tracer que les deux tangentes communes extérieures ou les 
deux intérieures, on aura seulement : 

Op.: {12Ri + 6R2+ lOC, + 6C3) ; simplicité 34; exactitude 22; 

6 droites, 6 cercles. 

Deuxième cas. — Los circonférences se coupent; il n'y a que les deux 
tangentes extérieures. 
On trouve : 
Op. : (14Ri -1- 7R2 -f lOCi + 'JCg,) ; simplicité 37; exactitude 24; 

7 droites, 6 cercles. 

Troisième cas. — Les circonférences se touchent extérieurement. 

On trouve : 

Op. : (I6R1 -f 8R, + 12c, -f 8C3) : simplicité 44 ; exactitude 28 ; 

8 droites, 8 cercles. 

Remarquons qu'il faut placer B" en même temps que l'on place B' parce 
que B' et B" serviront alors pour mener la perpendiculaire en AetOA qui 
est une des tangentes. 

Quatrième cas. — Les circonférences se touchent intérieurement. 

On trace 00' et l'on mène en A la perpendiculaire à OA : 



52 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Op. : (6Ri + 3R, + C, -f ^'2); simplicité il ; exactitude 7 ; 3 droites, 
1 cercle. 

DEUXIÈME MÉTHODE 

Premier cas. — Les deux circonférences sont extérieures l'une à l'autre 
(fig. 3). 



FiG. 3. 



Je trace 00' op. : (2Ri + R^). 

Aux notations de la première méthode, j'ajoute celles-ci : 
J'appelle Aj et A'^ les seconds points d'intersection de 00' avec les deux 
circonférences et 0'. 
Je prends sur le cercle les points a et aj tels que AO = Aa = A^a^ . 

op. : ("2Ci + C3). 

a et «j sont placés de part et d'autre de 00'; je prends sur le cercle 0' 
un point a' du même côté de 00' que a et tel que A',0':= A[a'; je trace aa' 
qui coupe 00' en V et ol^o.' qui coupe 00' en Vj 

op. :(4R, + 2R, + 2C, + C3). 

Il me suffit maintenant de mener de V et de V^ les tangentes soit à 0, 
soit à 0' au moyen de l'une des deux solutions indiquées par la cons- 
truction XXVI, et de remarquer qu'il faut en diminuer les symboles de 
op. : (Ri -\- Rj), puisque nous pouvons nous servir dans la première, 
comme diamètre quelconque du diamètre 00' déjà tracé, et dans la seconde 
également de 00' comme de la sécante quelconque qu'il faut mener ; en 
adoptant la première construction, on a : 

Op. : (liRi + 'îRa + I8C1 + 8C3); simplicité 48; exactitude 32; 
7 droites, 8 cercles. 

En adoptant la seconde : 

Op. : (14Ri + 7R, 4- I6C1 + IOC3) ; simplicité 48; exactitude 30; 
7 droites, 10 cercles. 



É. LEMOINE, — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 53 

Si l'on n'a à tracer que deux tangentes communes, soit extérieures, soit 
intérieures, on aura seulement : 

Op. : (8Ri + 4R, -f- llCi + SC3J ; simplicité 28; exactitude 19; 
4 droites, o cercles. 

Deuxième cas. — Les circonférences se coupent. 

En employant la première construction du n° XXVI, on trouve : 

Op. : (8Ri + 4R2 + llCi + 5C3) ; simplicité 28 ; exactitude 19 ; 
4 droites, 5 cercles. 

En employant la deuxième construction, on trouve : 

Op. : (8R1 + 4R, + lOCi H- 6C3) ; simplicité 28 ; exactitude 18 ; 
4 droites, 6 cercles. 

Troisième cas. — Les circonférences se touchent extérieurement. 

En employant la première construction : 

Op. : (14Ri + 7R, + 13Ci + TCg) ; simplicité il ; exactitude 27 ; 
" droites, 7 cercles. 

En employant la deuxième construction : 

Op. : (14Ri + 7R, 4- 12Ci -f 8C3) ; simplicité 41; exactitude 26; 
7 droites, 8 cercles. 

Quatrième cas. — Les deux circonférences se touchent intérieurement, 
comme dans la première méthode. 

XXX. — Construire une droite CD qui soit n fois une longueur donnée AB': 
1° sans marquer les divisions intermédiaires; 2° en marquant les divisions. 

En se reportant à VIII, on trouve : 

i" Op. : [R, + (n + 2)C, + Cj. 

2° Op. : [R, + (n + ijC, + C, -f nC,]. 

Pour certaines valeurs de n, on peut avoir des constructions particuUères 
plus simples. 

XXXI. — Construire une droite CD qui soit la n'"« partie d'une droite 

donnée AB. 

Je trace deux droites quelconques OH, OL op. : (2R2). 

Je porte AB en OH op. : (3Ci -f C3). 

Sur OL je prends la longueur OL égale à w fois une ouverture de compas 
quelconque et j'en marque les deux dernières divisions K et L . . . . 
op. : (2Ci + nCg). 



54 MATUKMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Par K je mène une parallèle à LH (sans tracer LHj 

op.: (2R, 4- R, + 6C. + 2C3) 

qui coupe OH en G; GH est la longueur cherchée. 

Op. : [m, + 3R, + llCi + (n + SjCa]. 

Simplicité 19 +n; exactitude w -|- 10 (les C3 de OL comptent évidem- 
ment ici, sauf l'avant-dernier, pour estimer l'exactitude); 3 droites, (n -|- 3j 
cercles . 

Remarque. — Pour certaines valeurs de n: 2,3, 4, 2p, etc. par exemple, 
on peut trouver des constructions particulières plus simples. 

XXXII. — Divise?' une droite AR en p parties proportionnelles à des 
droites données Uj, n.^, ... n . 

Je mène par R une droite RX op. : (Rj + R^) ; 

Je prends sur RX, RXj = n^\ NjxN^ = n.^, . . . N ,N = w . . . 

op. : [^(3Ci + C3)]. 

Je trace AN^ op.: (2Ri + R.,). 

En chacun des points N ,, iN„_^, . . . Xj, je fais avec N R des angles 
égauxà RNpA, op.: [2(;j — 1)R, + (jo — 1)R,+ (2p-f l)C, + (2/) — IjC^J. 

Op. : [(ip + l)Ri + <> + 1,)R. + i5p + IjCi + (3yj - ijCj; simpli- 
cité lljo -f 2' exactitude 7j9 + 2; (j? + 1) droites, (3jj — Ij cercles. 

Remarque. — Si les parties n,, w^, ... n étaient trop petites ou trop 
grandes pour être employées directement, on les rendrait toutes À fois 
plus grandes ou 1 fois plus petites, ce que nous savons faire par les opéra- 
tions XXX ou XXXI, et l'on calculerait facilement le symbole, lequel serait 
alors plus compliqué. 

Si plusieurs des parties Wj, w^, ... n ^ sont égales sans qu'elles le soient 
toutes, et que l'on ait plusieurs compas (*), le symbole général se sim- 
plifie. 

(*) Nous supposons toujours, si Ton ne prévient du contraire, que l'on ne se sert que d'un seul 
compas ; mais il y a des opérations où il est avantageux d'en avoir plusieurs ; cela arrive si, ayant 
pris avec le compas une certaine longueur, on a encore besoin de celte même longueur dans la suite 
de la co nstruction après avoir été obligé de déranger l'ouverture du compas pour prendre une autre 
longueur; chaque fois que l'on n'est pas obligé de faire ce changement d'ouverture, on gagne : 
op. : (2C1) . Remarquons encore que si la construction se déduit du raisonnement géométrique, l'ordre 
des constructions n'a pas besoin de suivre l'ordre de ce raisonnement. Ainsi, si le raisonnement 
montre à diverses parties de son développement, que l'on a à construire plusieurs cercles de même 
rayon dont les centres sont déjà fixés lorsque l'on construit le premier, il faudra évidemment les 
décrire tous pendant que l'on a ce rayon dans l'ouverture du compas, etc. ; aussi est-il nécessaire, 
pour toute construction faite avec soin, de l'étudier à l'avance dans son ensemble, d'en faire l'étude 
par une sorte de croquis raisonné pour arriver le plus simplement possible au résultat cherché ; il y 
a un or< véritable des constructions géométriques dont on ne s'est jamais systématiquement préoc- 
cupé ; le géomètre, comme je l'ai di'jàfait remarquer, dit aussi simplement: « Je prends la polaire de A 
par rap port au cercle » qu'il dit : « Je joins les deux points A et B » et la chose exécutée est 
bien différente. Le géomètre cherche la simplicité delà plirase, de la déduction, de l'idée , si l'énoncé 
de la conslruction qu'il indique est simple, il dit : « La construction est simple » ; c'est de cette sim- 
plicité d ont on s'est exclusivement occupé jusqu'ici. L'art de la conslruction géométrique ou Géométro- 
graphie se place à un tout autre point de vue. 



E. LEMOINE. 



LA GEOMETROGRAPHIE 



00 



XXXIII. — Construire la quatrième proportionnelle X à trois droites 

N . P 
données 31, N, P : X = -— -- > 

M 

ou : Diviser une longueur P proportionnellement à deux longueurs données 

M et N. 



Voici la construction classique : 

a) Je trace deux droites qui se coupent en A op.: (2Rj). 

Sur un des côtés et dans le même sens, je prends AB = M; AD = N; 
puis sur l'autre côté AC ^ P op.: (9C1 + 3C3). 

Puis, par D une parallèle à BC, je mène cette parallèle (sans tracer BCj 
par l'opération op.: (2Ri -1- Rj -)- 6C1 -f- SCjj. 

J'ai ainsi : 

Op.: (2Ri 4- 3R, + 13Ci -f- 0C3) ; simplicité 2o; exactitude 17; 

3 droites, 5 cercles. 

Remarquons même que si j'avais tiré BC, comme l'indiquent toutes 
les constructions classiques, j'aurais eu le symbole un peu plus compli- 
qué (quoique en employant la méthode simplifiée, voir XVII, pour mener 
par un point D une parallèle à une droite BC) suivant : 

Op. : (4Ri -f- 4R5i -f l'^Ci -j- ^Cj! ; simplicité 26; exactitude 17; 

4 droites, 5 cercles. 

Mais il y a d'autres constructions quHl faut employer de préférence parce 
qu'elles sont plus simples. 






°/ 



:^" 



b) Je trace (fig. 4) une 

droite quelconque 

. ^ op. : (R,). 

Je prends sur cette droite 
RA=:N; RB = P . . . . 
. .op.:(5Ci+C, + 2C3J. 

Je construis un cercle pas- 
sant par les points A et B ; 
je construis R(M) qui coupe 
en C le cercle passant par A 
et B op.: (6C, + 4G3). 

.Je trace la droite RCD (D sur le cercle passant par A et B) 

op.: (2Ri+R,). 

Op.: (2Ri -|- 2R, + IIC^ -f C, -j- 6C3); simplicité 22; exactitude 14; 
2 droites, 6 cercles. 

c) Je trace (fig. S) une circonférence d'un rayon plus grand que la moitié 
de la plus grande des trois lignes M, N, P op.: (Cj). 

Je prends à partir d'un poiat quelconque R de cette circonférence des 



Fig. 4. 



/ 
/ 

/ / 




— -— Vb 






-;'^" 



36 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAMQUE 

cordes RA , RB, RC égales respectivement à N, P, M, op . : (8Ci + C^ + SCg). 
A et B étant de part et d'autre de R, je trace AB . op. : (2Ri -f- R^). 

Je prends sur la circonférence passant 
par A, B, C AE = BC, E et C étant du 
même côté de AB. . . op. : (8Ci -|- C3). 
Je trace RE qui coupe AB en H . . . 

op. : (2R, + R,). 

RH est X, car les deux triangles ARH, 
CRB sont semblables, etc. 
Op. : (4Ri + 2R, + HC, + C, + 5C3); 
F,g g, simplicité 23; exactitude 16; 2 droites, 

5 cercles. 
Les constructions que nous indiquons dans tout ce travail sont géné- 
rales, à moins que nous n'avertissions du contraire, c'est-à-dire qu'elles 
peuvent toujours s'appliquer avec n'importe quelles données, et cela est 
indispensable pour l'étude générale de la simplicité d'une question donnée, 
puisque ce sont des constructions fondamentales d'où l'on part pour éta- 
blir le symbole d'une construction à efTectuer. Ainsi, par les constructions 

N . V 
a, h, c, quels que soient M, N, P, la quatrième proportionnelle peut 

se construire. Il y a quelquefois des constructions plus simples que celles 
que nous venons de donner, mais alors elles ne sont pas générales; par 

N . P 

exemple, pour tracer la quatrième proportionnelle ? on peut opérer 

ainsi lorsque "S et P sont plus petits que 2M (voir Journal de Vuibert, 
1881-82, p. 58). 

d) Je trace d'un point quelconque le cercle 0(M); d'un point quel- 
conque R du cercle, je trace R(N) qui coupe 0(M) en A 

« op.: (4C, + C, + 2C3). 

Je trace A(P) qui coupe 0(M) en B (R, A, B étant dans le même sens); 
je trace B(P) qui coupe R(N) en A et en A'. 

AA' est la quatrième proportionnelle cherchée. . .op.: (5Ci -|- 2Cj). 

Op.: (8C1 -f- C2 -|- 4C3); simplicité 13; exactitude 9; 4 cercles. 

Il y en a beaucoup d'autres du même genre (voir, par exemple. Journal 
de Vuibert, 1881-82 p. 59j. Cette dernière est aussi indiquée dans Ma- 
thesis, 1892, p. I08, mais sans que l'on y ait fait observer son défaut de 
généralité. 

Il est, du reste, fort intéressant de connaître les principales constructions 
non générales des problèmes fondamentaux de la construction, parce 
qu'on doit les appliquer à l'occasion, et aussi de connaître les solutions 
générales moins simples que celles que nous donnons ici, parce que, 
quand certaines lignes sont déjà tracées sur la figure, elles peuvent 



É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 57 

devenir les plus simples; mais avant de les accepter pour établir le 
symbole d'une construction, il faut : pour les premières, examiner si les 
conditions restrictives qu'elles exigent sont remplies; pour les secondes, 
si leur emploi simplifie effectivement la construction. 

XXXIV. — Construire la troisième proportionnelle X := 

M 

Si, dans les constructions du problème XXXIII, on suppose N = P, on 
aura la construction cherchée. 

La construction a) donnera . . . .op.: (4Ri -{- iR^ + lOCj + 4C3); 

b) .) . . op. : (2R, + 2R, + OC^ + C, + 6C3), 

par une modification facile, en remplaçant le cercle passant en A et 

en R par un cercle tangent çn A à RA, puisque A et R se confondent. 

c) donnera op : (iR^ + 2R, + oCi + C, + SC.,). 

Il suffira de prendre sur le cercle tracé au commencement de la cons- 
truction, corde RA = corde RR = N , A et R étant pris de part et d'autre 
de R, de prendre corde RC = M, de tracer RC qui coupera AR en H, 
RH est la longueur cherchée (*). 

d) Construction non généi^ale puisqu'elle exige 2N -< M ; on trouve . . 
op. : (6C, + C, + 4C3J. 

La plus simple construction générale que je connaisse de la troisième 

proportionnelle X = — , dérivée de XXXIII, se déduit donc de c par le 

symbole : 

Op.: (4R, + 2R, + oCi + C^ + SCg) ; simplicité 15 ; exactitude 10; 
2 droites, 3 cercles. 

Si Von a .• N <; 2M, en voici encore une fort simple : 

Je trace R(M), R est quelconque op.: (2Ct -f C3). 

A étant quelconque sur R(M), je trace A(N) . .op.: (2Ci + Cjj -f C3). 

Je trace RD qui coupe A(N) en G . . . . . . . . op..- (2Ri -f- ^^2)^ 

on a CD = X. 

Op.: (2Ri + R2 + 4Ci -4- C, + 2C3); simplicité 10; exactitude 7; 
1 droite, 2 cercles. 

XXXIV'"'. — Dam un triangle ARC, construire les longueurs : 

6* c^ c' a' a* b^ bc ca ab 

— , — , —, —, — , — , — , — _ , — . 

aabbccabc 

La construction pour ciiacune d'elles est plus simple que les construc- 
tions générales XXXIII et XXXIV, parce qu'elle est exécutée dans un 
triangle tracé. 

{*) Cette construction donne le théorème suivant : Si dans un trkmyle ARC on mène du point A la 
perpendiculaire au nn/on OR du cercle circonscril à ARC, celte perpendicuUnve coupera le côU; CR en un 
point H el l'on aura AR2 r= RH . RC. ■ 



58 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Je fais l'angle BAK = C, K étant sur BC dans le sens BC. 

On a : AK r^ — , BK =^^= - • 
a a 

Op.: (2Bi + R, + 5Ci + 3C3). 

En faisant l'angle CAH = B, H étant dans le sens CB, on aurait de 

hr fe* 

même AH = - = AK ; CH = - • 

a a 

On utilise fréquemment cette construction dans la géométrie du 
triangle. 

XXXV. — Construire la moyenne propoi'tionnelle entre deux droites données 

M et N, X'^ = M . N. 

Employons d'abord les deux solutions classiques, cependant en faisant 
les économies possibles de tracé que suggèrent notre méthode. 

La première fondée sur la proposition : 

Dans un triangle rectangle, la perpendiculaire abaissée du sommet de 
V angle droit sur V hypoténuse est moyenne proportionnelle entrée les deux 
segments de F hypoténuse; 

La seconde sur : 

La longueur de la tangente menée d'un point A à un cercle est moyenne 
'proportionnelle entre les distances du point A aux points B e^ C oit une 
sécante menée par A coupe le cercle. 

a) Je trace une ligne AB sur laquelle je prends AB = M, BC = N. . 

op.:(R, +5C, + C, + 2C3), 

soit AB >• BC. Je décris un cercle sur AC comme diamètre en utilisant 
pour prendre le milieu de AC la circonférence A(Mj tracée pour avoir B, 

ce qui fait une économie de op.: (Ci -|- C3), il reste 

op.: (2Ri + R, + 3Ci + 2C3). 

Au point B, j'élève une perpendiculaire sur AC qui coupe 0(0C) 
en D; je l'obtiens par le symbole . . . op.: (SRj -|- R^ -|- 2Ci -f 2C3), 
si j'ai eu soin, en traçant B(1N) pour placer C, de marquer le second 
point C où B(N) coupe AC. DB est la moyenne proportionnelle cherchée. 

Op. : (4Ri + 3R2 + lOCi + C2 + 6C3); simplicité 24; exactitude 15; 
3 droites, 6 cercles. 

h) Je trace une ligne AB sur laquelle je prends AC = N, AB =: M. . . 
". op.: (R, + 5Ci+C. + 2C3). 

Je décris sur CB comme diamètre une circonférence en utilisant pour 
trouver le milieu de CB la circonférence A(M) tracée pour trouver B; soit 
le milieu de CB op.: (2Ri + R, + 3Ci + 2C3). 

Sur AO comme diamètre, je décris une circonférence qui coupe 0(0C) 
enD op.: (2Ri + R, + 4Ci + 3C3). 



É. LEMOIM:. — LA GÉOMÉTROGRAPHIK 59 

AD, qu'on n'a pas besoin de tracer, est la moyenne proportionnelle 
cherchée. 

Op. : (4Ri + 3R, + 12C, + C, + IC,) ; simplicité 27 ; exactitude 17; 
3 droites, 7 cercles. 

Note, — Si j'emploie deux compas, je puis économiser op.: (Ci -|- Cjj 
en me servant, pour trouver le milieu de AO, de la circonférence A(AB), 
et l'on aurait : 

Op. : (4Ri + 3R, + IIC^ + C, + 6C3); simplicité ±6; exactitude 16 , 
3 droites, 6 cercles. 

Ce qui montre que, au point de vue graphique, contrairement à l'obser- 
vation faite généralement, les deux solutions classiques a et 6 sont bien 
près d'être équivalentes (voir Rouché et de Comberousse, Traité de Géo- 
métrie, l""*" partie, p. 152); elles sont d'ailleurs toutes deux très mauvake.s, 
quoique nous les ayions simplifiées par des économies de lignes. Voici la 
meilleure que je connaisse : 

c) Soit toujours M la plus grande des deux lignes M et N, je trace une 
droite AB quelconque op.: (R.j. 

Je trace A(M;, A étant un point quelconque sur AB, op.: (2Ci -f-C.^ + Cj). 

A(Mj coupe AB en B; je trace B(]N) qui coupe BA en C entre B et A; 
je trace C(N) qui coupe B(N) en P et Q op.: (4Ci + 2C3). 

Je trace PQ qui coupe A(M) en H op.: (2Ri + ^2)- 

BH est la droite cherchée. 

Op. : (2Ri + 2R, + fiC^ + C, + 3C3); simplicité 14 ; exactitude 9; 

2 droites, 3 cercles. 

Cj) On peut aussi opérer ainsi : 

D'un point quelconque C je trace C(Mj. 

Je trace un rayon quelconque CR qui coupe C(Mj en B 

op. : (Ri + R, + 2Ci + C,). 

Je décris B(N) qui coupe BC en K, entre B et C ; je trace K(N) qui coupe 
B(N)enP et en Q op. : aC, + 2C3). 

Je trace PQ qui coupe C(M) en A op. : (2Ri + R^). 

AK ou AB est la moyenne proportionnelle cherchée, car les deux 
triangles isocèles ACB, BAK sont semblables et ont AR côté commun. 

Op. : (3Ri + 2R, + 6C1 + 3C3); simplicité 14 ; exactitude 9; 2 droites, 

3 cercles. 

On ne peut dire que cette méthode de construire une moyenne pro- 
portionnelle soit foncièrement nouvelle, car, à une très légère modifica- 
tion graphique près, qui donne 14 au lieu de 15 comme simplicité, on 
la trouve (A^, A., 1857, p. 125), sous le nom de M. Edm.-Aug. Gouz-ij. 
de Lausanne, mais énoncée sans commentaire qui en fasse ressortir 
l'extrême simplicité. 

Son symbole, en exécutant l'opération dans l'ordre où l'énoncé de 



k 



60 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

M. Gouzy l'indique, est : op. : (K^ -\- SCj -\- C.^ -f- SCg), ce qui est la 
moitié de ce que serait l'opération classique exécutée, comme on le fait 
ordinairement, sans les simplifications que nous avons faites, suggérées 
par l'idée systématique de simplification. On n'avait du reste aucun cri- 
térium positif de la simplicité ; depuis quelques années on a signalé cette 
construction dans les journaux de l'enseignement et quelques professeurs 
l'ont indiquée dans leurs cours, toutefois sans dire qu'elle devait rem- 
placer les constructions a et b. 

Je ne suis pas familiarisé avec les méthodes de la statique graphique, 
mais je crois que la théorie de la Simplicité et de l'Exactitude des cons- 
tructions y trouvera une large application. (C'est aussi la construction de 
M. Gouzy qui se trouve indiquée dans les Leçons de Statique graphique 
de M. ^. Favaro, traduction Terrier, deuxième partie, p. 68, 1885.) 

Voici deux autres solutions simples — moins simples cependant que 
c ou Cj — du même problème : 

M 

d) Je trace (fig. 6) un cercle quelconque d'un rayon OB tel que OB >> -;t 

et j'y trace la corde BC égale à M. . . op. : (2Ri + R^ + 2C, -f C, + 2C3). 

Sur BC je prends BK = N ; K étant 

\/^ entre B et C . . . op. : (3Ci -f C3). 

/ \ De K j'abaisse une perpendiculaire 

. \ sur OB, sans que OB soit tracé, en 

'/'i I me servant du cercle B(N) déjà tracé 

/ '' ,' pour avoir k 

/' ... op. : m, + R, ■■{- 2C, + Ce). 

c\ ^.-,r.-.-.*-''-- -/B (vette perpendiculaire coupe en A 

le cercle 0(0B). 
"■~^--.,_ _,--'''' AB est la moyenne proportionnelle 

^ „ cherchée. 

Fig. 6. 

Op.:(4R, + 2R,-f7C, + C,-f4C3); 
simplicité 18 ; exactitude 12.; 2 droites, 4 cercles. 

di) On peut aussi tracer BK = N comme corde d'un cercle de rayon 
suffisant et de centre quelconque. . op. : (2Ri -f- R^ -|- 2Ci -f- 2C3). 

Puis prendre BC = M ; C étant sur BK dans le sens BK 

op. : (3Ci + C3). 

Puis de C abaisser, sans tracer OB, une perpendiculaire sur OB qui 
coupe le cercle 0(0B) en A op. : 2Ri + R^ -(- 2C, + C3). 

AB est la droite cherchée parce que les deux triangles BCA, BKA sont 
semblables et onl le côté BA commun. 

d) et c?i) ont le même symbole. 

e) Je signalerai encore la construction élégante que vient d'indiquer 
M. Lém Colette (Mathesis, p. 192, 1892). 



É. LEMOLNE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 61 

Je trace (fîg. 7) un cercle quelconque 0(0A), OA étant plus grand 
que M. 

De A, point quelconque de ce cercle comme centre, je trace A(M) qui 
coupe 0(0 A) en B et en C, puis A(N) 
qui coupe 0(0A) en F et en G; les "T\" 

points F, B, C, G se succédant dans / \ 

cet ordre, F, B, C, G 

op. : 5C, + C, + 3C3). \V g/ 

Traçons AB, AC qui rencontrent P^n^ / \ y-' \ 

A(N) en D et en E ; puis DE "^^-V-dV-" -,->É:"""r'* 

op. :(6R, -I-3R,) x\/ \/y 

qui rencontre 0(0A) en M ; AM est la ^/V-- -'^'^^^ 

moyenne cherchée. 

Op.:(6Bi + 3R, + 5C, + C, + 3C3): 
simplicité 18 ; exactitude 12 ; 3 droites, 3 cercles. 

XXXVI. — Divise?' une droite AB en moyenne et extrême raison. 

a) Par la méthode classique : 

Je prends le milieu oj de AB et j'élève en B une perpendiculaire à AB. . 

op. :(4R,+2R, + 4C, 4-4C3). 

Sur la perpendiculaire à AB menée en B, je prends Bco = BO et je trace 
i)(BO) op. : (3Ci + 2C3). 

Je trace Aw qui coupe oj(BO) en deux points l etm, l étant entre A et oj 

op. : {m, + Rj. 

Je trace A(A/) qui coupe AB en M entre A et B . . .op. : (2Ci -|- C3). 

AM et BM sont les segments cherchés. 

Op. : (6R1 -|- 3R2 + 9Ci -]- 7C3); simplicité 2o ; exactitude lo; 3 droites, 
7 cercles. 

6) Voici un moyen qui m'a été indiqué par le général Parmentier, mais 
le symbole en est un peu plus compliqué. 

J'élève en B une perpendiculaire à AB et je prends sur elle BC = 2AB, 
la bissectrice de l'angle CAB coupe BC enD; je prends sur BA, BM = BD; 
M est le point cherché. 

c) La construction suivante est la plus simple que je connaisse ; elle 
s'appuie sur ce théorème : Si la longueur de la tangente menée du point M 
à un cercle est égale à la longueur d'une corde AB de ce cercle, corde pas- 
sant par M, MA et MB sont les plus grands segments (additifs ou sous trac- 
tifs) de AB divisée en moyenne et extrême raison (M, B, A se succédant dans 
cet ordre). 

Je décris (fg. 8) A(AB), B(ABj qui se coupent en C et C ; je décris 
C(AB) op. : (4Ci +3C3). 



(O 



62 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAMQUE 

Je mène par A Ja tangente à C(.\lî), pour cela je décris C'(AB) qui coupe 

B(AB) en D et je trace AD op. : i2Ri + R, + C, +C3). 

^ C'est la tangente cherchée, elle 

^ — „, \ coupe A(AI{) en E. 

Je décris C(CEj 



^ 



^^,. / op. : (2C, + C,) 

'■ ~ ^\~-~ ■' quj coupe BA en M. Comme la 

^ ,_ j^ ; / tangente menée de M à C(AB) a 

M^K ^> ! <^ i '' '~^i -? même longueur que AE, et par 

/' '* / ~ suite que AB, AM est la longueur 

du plus grand segment de AB 
divisé additivement en moyenne 
\>.;-:'' et extrême raison. 

Je décris donc A(AM) qui me 
"^' ^' donne sur AB le point de divi- 
sion cherché P op. : (2C, + C3I. 

En tout : op. : (2Ri -|- U,^ -|- (iC, -\- (iC.,); simplicité 18 ; exactitude II : 
1 droite, 6 cercles. 

Remarque. — Cette construction est beaucoup plus simple que la cons- 
truction classique, cependant il peut sembler, en regardant la figure 8, 
qu'elle soit plus compliquée ; cette a|)parcnce tient à ce que, dans la 
figure 8, nous avons tracé toiUe>i les lignes dont on se sert, tandis que, 
pour la figure classique, qu'on est habitué à voir, on dit simplement : je 
mène en B une perpendiculaire à AB, je porte sur cette perpendiculaire 
une longueur égale à la moitié de AB, etc., mais on ne trace sur la 
figure aucune des lignes auxiliaires nécessaires à ces opérations ; si on 
les trace toutes, la plus grande complication du procédé classique saute 
immédiatement à l'œil ; une remarque analogue s'appliquerait à presque 
toutes les questions que nous traitons dans ce mémoire. 

XXXVII. — Tracer par un point P une droite passant par le point de 
rencontre de deux droites données que l'on ne peut prolonger Jusque-là. 

Ce problème a reçu un très grand nombre de solutions. Voici celle 
dont le symbole est le plus simple parmi celles que je connais : 

Soient AA'A", BB'B", les deux droites données : 

Je mène deux droites quelconques A'B', A"B" se coupant en I, puis 
une autre droite lAB quelconque, mais passant en I. .op. : (Rj -|- 3R,J. 

Je trace PA' et PB' qui coupent AIR respectivement en E et en F; puis 
A"E et B"F qui se coupent en P' op. : (8R1 + 4R,). 

Je trace PP' qui est la droite cherchée op. : (2Ri -|-R.). 

Op. : (lIRi "|- 8R2) ; simplicité 19; exactitude 11 ; 8 droites. 



K. LEMOINE. — LA GÉOMKTROGRAPHIE 63 

XXXVIII. — Placer le point A' réciproque du point donné A par rapport 

à un cercle donné de rayon R et de centre 0. 

Deux cas à examiner : 

1« 0A>?. 

2 

Je trace A(AO) qui coupe 0(R) en B et eu C. 
Je trace B(Rj, C(R) qui se coupent en et en A . 
A' est le point cherché. 

Op. : (oCi -f- 3C3); simplicité 8; exactitude 5; 3 cercles. 

2" OA < 2R. 

Je irace OA ; je trace A(R) qui coupe 0(R; en H 

op. : r2R, + R, +3(:, + C3J. 

Je trace R(R) qui coupe 0(R) en D et D' ; je trace DD' qui coupe OA 
en A' op. : (2R, + R, + C, + il,). 

En tout : op. : (4Ri + 2R, + 4Ci + 2C3) ; simplicité 12 ; exacti- 
tude 8 ; 2 cercles, 2 droites. 

Ainsi, dans la recherche du symbole général d'une construction, c'est ce 
dernier symbole qu'il faudra adopter pour compter la recherche du réci- 
proque d'un point A par rapport à un cercle de rayon R, s'il ne résulte 

T» 

pas des données générales que OA >> — • 

là 

Voici une construction qui s'applique aussi quel que soit A, mais elle 
est un peu plus compliquée. 

Je trace un cercle de centre A coupant le cercle donné en B et en C. 

Je trace AB, AC qui coupent le cercle donné en B' et en C 

op. : i4Rt -f 2R, -|- Ci + C,). 

Je trace B'C, C'B qui se coupent en A' op. : ikW^ -\- 2R.j. 

Op. : (8R1 -|- 4R2 + Cl — C3;; simplicité 14 ; exactitude 9; 4 droites, 
1 cercle. 

XXXIX. — Tracer la polaire d'un point A par rapport à une circonférence 

de centre et de rayon R. 

aj Par A je mène deux droites quelconques : la première coupant la 
circonférence en B et B', la seconde en C et C . . . op. : ("IW^ -j- !2R.^). 
Je trace B'C et BC se coupant en D, et [iC, CB' se coupant en E. 
Je trace ED, c'est la polaire cherchée. 
Op. : (12R, -\- 'Riji; simplicité 19; exaclitude 12; 7 droites. 



64 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

b) Je peux aussi, D étant marqué comme précédemment, abaisser une 

perpendiculaire de D sur OA (sans tracer OA) 

op. : (2R, + R, + 4C, + 2C3). 

En tout : op. : (8R1 +5R2 + 4C1 + 2C3); simplicité 19; exactitude 12; 
5 droites, 2 cercles. 

Je n'ai pu trouver de construction générale de la polaire d'un point 
donné A par rapport à un cercle qui soit plus simple que ces deux-là. 

C'est par erreur que j'indique 15 comme Simplicité, dans ma note de 

■D 

Mathesis, 1888, page 222. Je n'avais pas remarqué le cas qm 0A<;— • 
Il y a un grand nombre de constructions pm^ticuliéres du même problème. 

r> 

c) Construction non générale applicable dans le cas où l'on a : OA > -^ • 

Je décris A(OA) qui coupe le cercle donné en B et en C. 

Je décris B(R), C(R) qui se coupent en A' réciproque de A 

\ . . op. : (5Ci + 3C3). 

Je trace OC qui coupe C(R) en D; je trace DA'. . . op. : {iR^ -\- 2R2) ; 
c'est la polaire cherchée. 

Op. : (4Ri + 2R, + 5Ci + 3C3); simplicité 14; exactitude 9; 2 droites, 
3 cercles. 

Si A est extérieur au cercle donné, on peut aussi tracer un cercle sur OA 
comme diamètre; l'intersection des deux cercles est la polaire cherchée; le 
symbole est alors : 

Op. : (6R1 + 3R2 + 4Ci + 3C3); simplicité 16 ; exactitude 10 ; 3 droites, 

3 cercles. 

XL. — Placer le pôle L d'une droite XY par rapport à une circonférence 

donnée de centre et de rayon R. 

Deux cas à considérer : 

1° XY coupe le cercle 0(R) en M et en N. 

Je mène la tangente en M au cercle 0(Rj (voir construction XXV i. . . 
^ op. : (m, + R, + 4C, + 3C3). 

Je trace le cercle N(R) qui coupe en 0' le cercle M(R) tracé pour avoir 
la tangente en M . op. : (Ci + Cg). 

Je trace 00' op. : (2Ri + R,) ; 

00' coupe la tangente en M au pôle cherché L. 

Op. : (4Ri + 2R, + SC^ -j- 4C3) ; simplicité 15 ; exactitude 9; 2 droites, 

4 cercles. 

2° XY ne coupe pas le cercle 0(R). (Cette solution s'applique même si 
XY coupe le cercle 0(R) pourvu que la distance de à XY soit supé- 

. R 

rieure a — 

2 



K. LEMOIXK, LA GKOMÉTROGRAPHIE 65 

De j'abaisse sur XY une perpendiculaire dont le pied sur XY est F et 
qui coupe 0(R) en K du même côté de que F. . . . . 

• OP- : (2Ri + R. + 3C, + 3C3). 

Je décris F(FO) qui coupe OiR) en H ; je décris H(R) qui coupe OF en L 

op. : (4C, + 2C3). 

L est le pôle cherché ; car les deux triangles isocèles semblables OFH, 

OHL ont le côté commun OH, donc OH^ ou R^ = OL.OF. 

Op. : (2Ri + R, 4- 7Ci + 0C3J ; simplicité lo ; exactitude 9 ; 1 droite, 
S cercles. 

Ces deux cas constituent par leur ensemble une construction générale 
de simplicité lo, car si Tune n'est pas applicable, l'autre l'est. 

Il y a encore un grand nombre de constructions générales pour le même 
problème, mais je n'en connais pas d'aussi simples que les deux que je 
donne ici. 

XLI. — Tracer F axe radical de deux circonférences données 0(R), O'(R'). 

Je trace deux circonférences : co(c), 0/(0') qui coupent chacune les deux 
circonférences données, etc. 

Op. : (lORi + oR, + ±C,); simplicité 17; exactitude 10; 5 droites, 
2 cercles. 

Si les circonférences se touchent, le symbole si! réduit à celui de la tan- 
gente au point de contact op. : (2Ri + R, -f- 4Ci -}- 3C3). 

Si elles se coupent, à op. : (2R 4- R ) 

XLII. — Placer le centre radical de trois circonférences Rj, R^, R^, 

a) Ri, R,, R3 sont extérieures l'une à l'autre, ou bien l'une, R3, par 
exemple, est tangente à l'une seulement des deux premières. 

On trace les deux circonférences oj(p), w'(p') du problème précédent de 
façon qu'elles coupent les trois circonférences données ; on trouve : 

Op. : (I6R1 + 8R, -f- 2C3). 

b) Rj et R, sont extérieures et R3 touche R^ et R,, ou elles se touchent 
deux à deux. 

Je trace cofp) seulement; au moyen de cofpj, je construis un point M, de 
i'axe radical de R^ et R3 ; je joins K^ au point de contact Li de Rj et 
de R3. Li étant placé en traçant 0^ O3. , . . op. : (SR^ + m.^ -f C3). 

De même, je construis un point K, de l'axe radical de R, et R3 et je 
joins K^ au point de contact L^ de R, et de R, . . . op.: (6R, + 3Rj. 
En tout : Op. : MfîR, -f- 8R, -f C3). 

c) Ri, Rj se coupent, R3 est extérieur. 



66 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Je trace ojfpj, o/(p'); je détermine l'axe radical de R^ et de R3 ou de R., 
et de R3 qui coupe l'intersection de Ri et de R, au point cherché. 

Op.: (16Ri + 8R, + -2C3J. 

d) Ri, Ra se coupent, R3 touche l'une des deux premières ou toutes 

les deux. 

Je ne trace que w(p) et je détermine avec cette circonférence l'axe 
radical de deux circonférences se touchant : 

Op. : (8R1 + 4R, + C3J. 

e) Rj, Rj, R3 se coupent deux à deux : 

Op.: (4Ri + 2R,). 

XLIII. — Placer un point M dominé par ses coordonnées cartésiennes x, y 
relatives à deux axes donnés ox, oy. 

Je prends Ok — x sur l'axe des a^ op. : (3Ci -f C3). 

Je prends OB = y sur l'axe des ?/ op. : (3Ci + C3). 

Je décris A(y) op. : (C3 + C3). 

Puis, reprenant x entre les branches du compas, je décris B(ic) 
op.: f3C, + C3). 

A(?/) et B(ic) se coupent en M : 

Op. : (lOGi -f 4C3) ; simplicité 14 ; exactitude 10 ; 4 cercles. 

Si je me sers de deux compas, je n'ai pas à reprendre x, mais à me 
servir du premier; j'économise ainsi 2Ci et j'ai seulement: 

Op. : (8C1 + 4C3J (*j. 

XLIV. — Placer les centres de similitude V et V, de deux 
circonférences 0(Rj, 0'(R'j. 

En se reportant à la construction XXIK (deuxième méthode), on voit 
que ces points se déterminent par le symbole : 

(♦) Cette question est l'une (le celles que j'ai déjà traitées (Congrès d'Oran, 18S8, p. 92, conslruc- 
lion XXW, et Bulletin de la Soc. muth. de France, t. XVI, 1887-88, p. 163); mais, quelque simple 
qu'elle soit, j'avais donné un symbole trop compliqué, parce que j'avais adopté une autre construc- 
tion usuelle, aussi simple que celle-ci à exprimer ; mon attention n'étant pas alors fixée comme 
maintenant sur les dilférences qui existent entre les diverses constructions fondamentales, j'avais 
choisi et évalué la première construction classique qui m'était venue à l'esprit, la regardant, sans 
examen, comme équivalente aux autres ; il y a des erreurs analogues dans beaucoup des constructions 
que j'ai données jusqu'ici. Celles de ce mémoire senties plus simples ryue/ot/)« trouver, mais elles ne 
sont fixées, comme les plus simples effectivement, que tant que les géomètres n'en auront pas 
trouvé de préférables. C'est un petit travail expérimental qui sera fait très rapidement, parles uns el 
par les autres, si la question intéresse. Il y a deux ans, j'ai eu à ce sujet une assez longue corres- 
pondance avec M. G. Tarri/ et je saisis celte occasion de le remercier, car un grand nombre des 
simi)lif)cations que j'ai faites ici m'ont été indiquées par lui dans celle correspondance. 



K. LEMOLNE. — LA GÉOMÉTKOGRAI'HIE 67 

Op. : (6Ri + 3R, + 4C, -}- 2C3) ; simplicité 15 ; exactitude 10 ; 
3 droites, 2 cercles. 
Un seul des deux centres se déterminerait par : 

Op. : (4R, + 21Î, + 4C, + 2C,j. 

XLV. — Tracer les quatre axes de similitude de trois circonférences 

données 0(R), O'fR'j, 0"(R"j. 

a) En déterminant les centres de similitude par la construction pré- 
cédente, remarquant qu'il n'y a besoin que de placer les quatre centres 
de similitude de 0(R) et 0"(R"j, de 0'(R'j et de 0"(R"j, que O'O n'est 
pas utile à tracer, on a le symbole: 

Op.: (20Ri + lOR, + lOCi + 6C3) ; simplicité 46; exactitude 30; 
10 droites, 6 cercles. 

6) On peut opérer un peu plus simplement. 

Je trace 00', O'O", 00" op. : {<o\\, + 3Rj. 

Par 0" je mène une parallèle à 00' . op. : (2Ri + R, + 4Ci + 2C3) ; 
dans 0' et 0" et dans et 0" j'ai des diamètres parallèles. 

J'ai donc les quatre centres de similitude par. . . op. : fSRi -|~ ^^^2)» 
et les quatre axes alors par op. : fHRi -}- 4R.j, 

En tout : op. : (2m, + 12R, + 4C, + 2C3) ; simplicité 42 ; exactitude 28 ; 
12 droites, 4 cercles. 

XLYI. — Deux points A ei B étant placés sur une droite, placer le conjugué 
harmonique C d'un point donné C, par rapport à A et à B. 

Je trace une droite quelconque CDE passant par C, puis deux droites 
quelconques passant par A : l'une qui coupe CD en D, l'autre qui coupe 
la même droite en E op. : i^W^ -j- SRaj. 

Je trace DR, EB op. : (4Ri + 2Hj. 

DR coupe AE en F, EB coupe AD en G, je trace FG qui coupe AB 
en C op. : (2Ri + Rj. 

En tout : op. : (OR, -{- 6R2); simplicité I0; exactitude 9; 6 droites. 

Nous venons de donner, dans ce qui précède, les principales construc- 
tions, c'est-à-dire celles que l'on rencontre le plus souvent pour exécuter 
une solution; aussi, avec leurs symboles, tout calculés ici, il sera facile et 
court de trouver le symbole total d'une construction quelconque; notons 
que ces symboles fondamentaux ne devront jamais être employés sans 
examen; ils pourront, le plus souvent, être simplifiés par les circonstances 
particulières de l'épure que l'on exécute, à cause des lignes déjà tra- 
cées, etc. 



68 MATIIKMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Nous allons compléter cette étude par quelques applications prises un 
peu au hasard et par quelques remarques qui î^ermettront de comprendre 
mieux l'esprit et, je l'espère, l'utilité de notre méthode. 

XLVII. — Les deux extrémités k et ^ du côté d'un carré étant jMcées, 
placer les deux autres sommets C et D. 

Je décris (fig. 9) A(AB), B(AB) qui se coupent en K; je décris K(AB) 

qui coupe B(AB) en (î 

_ _d/ \ op. : (4Ci + 3C3). 

^^'■^^-.^ K,--" 1-~-~-~^^ I Je trace AG qui coupe A(AB 

'''N / ^^^ en I. .... op. : (2Ki + B,). 

\ /^ / "■ Je trace K(KI) qui coupe B(AB) 

^,J<i^ / en C et A(AB) en D 

, ^,.. \ / ....;.. op. : (2C, + C,). 

N^î^.-'-''' i y En tout : 

'^r^-- -je" Op. : ( 2Bi + B, + GC, + ^C,) ; 

simplicité 13 : exactitudes ; J droite, 

FiG. 9. 1 J ' ' 

4 cercles. 

Nous tenons cette construction simple de M, Eugène Catalan, qui nous 
a dit l'avoir trouvée en 1847. 

En ajoutant le symbole : op. : (6B1 -|- SB,), elle pourrait servir à 
construire le carré ABCD sur une base donnée, à très peu près aussi sim- 
plement que par la construction ordinaire qui peut se faire — en la con- 
duisant convenablement — par le symbole : 

Op. : (eBi-f-SR^ + lCi-f-oCg); simplicité 21; exactitude 16; 3 droites, 
5 cercles. 

Par tout ce qui précède, on voit déjà qu'il y a bien un véritable art 
des constructions géométriques, que nous appelons la Géométrographie, 
qui, quoique n'ayant point été remarqué jusqu'ici, repose sur des prin- 
cipes d'une simplicité extrême; son importance lient, non principalement 
au temps qu'en le pratiquant, on peut gagner dans la construction d'une 
figure, ce qui, à certain point de vue, est un détail, mais surtout à l'exac- 
titude plus grande qu'il permet d'atteindre en réduisant au minimum le 
nombre des opérations à efîectuer. Enfin, il présente l'avantage d'être un 
critérium pour juger de la simplicité d'une construction. Le besoin de ce 
critérium sera démontré quand on remarquera que la plupart des cons- 
tructions célèbres par leur simplicité et leur élégance ne sont pas ordinai- 
rement les plus simples à construire qui soient connues. On les a cru 
simples parce qu'elles s'énonçaient simplement en faisant image et se 
retenaient sans difficulté; nous citerons, par exemple, la célèbre construc- 
tion de M. Chastes, pour placer les axes (en grandeur et en position) d'une 
ellipse dont deux diamètres conjugués sont placés en grandeur et en 



É. L1:MÛ1NK. LA GKOMKTIiOGUAI'HIE 69 

position; elle n'est pas la plus simple à construire, il s'en faut; l'on en 
connaissait de plus simples... sans que l'on s'en doutât. 

XLVIII. — Voici cette construction telle qu'elle est donnée dans 
V Aperçu historique, note 2o; j'y ajoute les lettres nécessaires à l'intelli- 
gence de ce que nous avons à dire. 

a) Par l'extrémité A d'un des deux demi-diamètres conjugués donnés, 

on mène une droite perpendiculaire au second diamètre OB 

op.: ("2R, + R, + 3C,-f3a3); 

on porte sur cette perpendiculaire, à partir du point A, deux segments 

AC, AD égaux à ce second diamètre op. : (3Ci + C3); 

on joint le centre aux points C et D op. : (4Kj-|-2R2); 

on divise en deux parties égales, par deux nouvelles droites, l'angle COD 
et son supplément op. : i4Ri -f 2R.j + ^Cj + -^Cj). 

Ces deux nouvelles droites seront en direction les deux axes principaux 
de l'ellipse. La somme des deux premières droites OC et OD, sera le 
grand axe de l'ellipse, leur différence sera égale au plus petit. 

Le géomètre s'arrête là, ayant indiqué des constructions dont le sym- 
bole est op.: (lORi 4- 5R, + lOCi + 8C3). 

Mais voici ce qui reste à faire au constructeur pour fixer les axes à leur 
place, en grandeur : 

Tracer le cercle 0(ODj qui coupe OC en deux points E et F de façon à 
avoir la longueur CE du petit axe et la longueur CF du grand axe .... 
op. : (2C, + C3). 

Diviser CE et CF en deux parties égales, ce qui, puisqu'elles ont C pour 
extrémité commune, peut se faire par. op. : (iRj -|- 2R2 + 3Ci 4" SCg). 

Prendre les demi-longueurs ainsi déterminées des axes et les porter cha- 
cune sur l'axe convenable, choix très simple à faire, mais dont le géo- 
mètre ne parle pas op. : (6C1-J-2C3). 

Quand il s'est arrêté, il restait donc à construire 

op. : (IRi -}- 2R, -f llCi + 6G3), 

c'esl-à-dire un peu plus des deux tiers de ce qui était indiqué. 

La construction totale, économiquement menée d'après nos principes, se 
résume par le symbole : 

Op. : (14Ri -f 7R, -j- SIC^ -f LiCj; simplicité 06; exactitude 3o; 
7 droites, 14 cercles. 

Il est clair qu'une des choses qui compUque l'application, à la construc- 
tion particulière dont il s'agit, de l'élégant théorème du maître, c'est que 
ce sont les axes qui sont trouvés par lui, et qu'il faut les demi-axes pour 
la construction, puis il faut encore reporter leurs longueurs en position 
sur OC et sur OD ; c'est un détail pour le géomètre spéculatif, mais point 
pour celui qui trace l'épure. 



70 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Nous nous proposons quelque jour de comparer les très nombreuses 
solutions qui ont été données du même problème afin de déterminer 
quelle est la plus simple, et de faire le même travail pour divers pro- 
blèmes célèbres; en attendant, nous donnerons, de ce même problème, 
une solution due à M. Mannheim, qui est beaucoup plus simple que la 
solution classique de Chasles et qui se trouve dans les A'. A., 1878, p. 529. 

b) Soient om, on les deux diamètres conjugués donnés. 

De m j'abaisse une perpendiculaire 7nd sur on (d étant sur on), je porte 

sur cette perpendiculaire (dans le sens dm) me = no 

op. : m, + K, + 6Ci + 4C3). 

Sur oe comme diamètre, je trace une circonférence dont le centre est i 

et je trace im qui coupe cette circonférence en c et en ^ 

op. : im, + 3R, + 4Ci + 4C3). 

Je trace oc. og, ce sont les axes en position . . . . op. : ( iRi -\- 'âR^). 

Les distances me et mg (que je n'ai pas besoin de tracer) sont les lon- 
gueurs des demi-axes. 

.fe porte les longueurs me, mg sur les directions respectives des axes 
qu'elles représentent et ces axes se trouvent placés aussi en grandeur. . 
op. : (6C1 + 2C3). 

En tout : op. : (12Ri -f 6R, + I6C1 + 90,,) ; simplicité 43 ; exacti- 
tude 28; 6 droites, 9 cercles. 

M. Mannheim n'ifvait pas indiqué, non plus, dans l'article cité, quelle 
était celle des deux droites oc et og qui était le grand axe; mais il a 
complété la solution (voir N. A., -1889, p. 329) en montrant que la direc- 
tion du grand axe est celle de la droite qui joint à celui des deux points 
c ou ^ qui limite la longueur du petit axe. 

Cette solution complète est la plus simple de celles du même problème 
dont nous avons évalué la simplicité, mais rien ne prouve qu'il n'y en ait 
pas ou que l'on n'en trouve pas de plus simples encore. 

Nous avons dit plus haut que l'art des constructions géométriques ou 
Géoméf rographie reposdiït &UT des principes de la plus extrême simplicité; 
la digression à propos des constructions de MM. Chasles et Mannheim nous 
a fait différer l'énoncé de ces principes; les voici : 

1° Da7is chaque construction, ne tracer aucune ligne inutile, c'est-à-dire 
employer, quand on le jjeut, soit les lignes tracées de la figure donnée, soit 
celles déjà tracées dans le cours de la construction. 

Corollaire : tracer, quand cela se peut, tous les cercles d'une ouver- 
ture de compas prise lorsque leurs centres sont placés, quoique le tracé de 
ces cercles ne se présente que plus tard dans le développement logique 
de la solution ; il faut donc, ainsi que nous l'avons déjà dit, que l'on fasse 
l'étude préalable de la question par une sorte de croquis raisonné de la 
construction. 



É. LEMOINE. — LA GÉOMÉTROGRAPHIE 71 

â" Choisir celles des solutions d'un même problème dont l'ensemble des 
constructions conduit au symbole le plus simple. 

3" Examiner, dans chaque problème, tous les cas particuliers de don- 
nées qui peuvent se présenter et simplifier alors le symbole général pour 
ces cas particuliers. 

Cette discussion dans les problèmes un peu complexes, comme, par 
exemple, le problème d'Apollonius icercles tangents à trois cercles donnés) 
est fort délicate, et c'est le meilleur exercice de sagacité et de discussion 
que l'on puisse proposer aux élèves. 

4° Dans la recherche du symbole général d'une construction, n'employer 
que des constructions générales, à moins que l'on démontre qu'une solution 
particulière s'applique toujours au problème que l'on examine. 

Ainsi, par exemple, si dans une construction générale il y a à tracer les 
polaires de points par rapport à des cercles, il faudra adopter, pour le 
symbole général du tracé de ces polaires soit a, soit b de la construc- 
tion XXXIX, et non c qui est plus simple, mais ne s'applique que si la 
distance du pôle au centre est plus grande que la moitié du rayon; à 
moins, bien évidemment, que l'on ne démontre que cette circonstance 
se présente toujours dans le problème général que l'on étudie. 

o° Pour une construction effectuée avec des données particulières, profiter 
de toutes les constructions particulières plus simples que les constj'uctions 
générales qui peuvent s'appliquer dans le cas où l'on se trouve. 

Il y a évidemment à faire une étude générale de procédés pour arriver 
à des constructions simples; rien n'est encore fait à ce point de vue, nous 
allons seulement donner ici un exemple pour faire comprendre claire- 
ment notre pensée. 

Examinons les deux problèmes : Prendre une droite n fois plus grande 
ou une droite n fois plus petite qu'une droite donnée BC ; n étant supposé 
entier. 

Les constructions XXX et XXXI sont assez compliquées et surtout 
donnent lieu à une grande probabilité d'erreur lorsque n est un peu considé- 
rable ; il y a donc lieu de chercher si l'on ne peut trouver d'autre mode 
de constructions dérivant des propriétés de certaines fig-ures ou des valeurs 
du nombre n et qui donneraient un meilleur résultat pratique. 

Supposons, par exemple, que nous ayions à tracer une droite qui soit 

1 1 

le -7- de BC et, en même temps, une droite qui soit le — de BC. Par la 
10 lo 

1 

construction XXXI je construis B,Ci qui soit le - de BC 

o 

op.: (2B, +2R, + llCi + 13C,,), 

1 

et pour avoir le — de BC, je n'ai qu'à diviser BjCj au point N' entre Bj et Ci 



7-2 

de façon que 



MATHÉMATIQUES. ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

\C 1 BC 

' — • ]\'C, sera — - • Je peux, pour diviser BjCi dans le 
1 o 



BiN 2' 

rapi)ort de I à 2. employer le procédé suivant plus simple que le procédé 
général donné pour diviser une droite donnée dans un rapport donné. 
Par Bi je mène une droite quelconque BjA' et sur B^A' je marque un 
point quelconque M' en prenant ByW = M'A' 

op. : (B, -f B, + C,+C, + C3j; 

je, prends le symétrique A" de A' par rapport à C^ et je trace A"M' qui 

coupe BiGi en ]\' op. : (4R, + 3R, + 2Ci + C3). 

En tout : op. : (oRi + 3R, -f 3Ci + C, + 2C3) pour diviser Bfi, en N' 

1 1 

dans le rapport de 2 à i. J aurai ainsi obtenu le 7- et le — de BC par le 

symbole : 

Op. : (7Ri + SB., + UGi + C, + I0C3); simplicité 42 ; exactitude 22; 
5 droites, 15 cercles. 

Je prends BC entre les branches du compas et A 

étant un point quelconque; 
je trace AiBC) (ftg. 10) ; 
puis d'un point C quelconque 
de A(BC;, je trace C'(BCj 
qui coupe A(BC; en B', et 
je trace B'C qui coupe C'(BC) 
en D, puis AC, AB', op. : 
,GK,+3R,+2C,+C,+2C3). 
Je place le milieu H de AC 
et le milieu E de AB'. . . 
op. : (2R, + R, -f 2C, + C3) 




l-IG. 1(1. 



en me servant des cercles A(BCi, C'iBC) pour avoir H, et décrivant A(AH) 
pour avoir E, je trace ED coupant AC en F ; HD coupant B' en G ; 

ED, GF qui se coupent en I : T)I qui coupe .\B' en K. AC en L 

op.: (lOBi +oB.j; 

on a KG r= -i BC, KE = ^ BC. 

En tout : op. : (I8R1 4- 9R, + 4Ci + C, + SCg i ; simplicité 3o ; exac- 
titude 23 : 9 droites, 3 cercles. 
Soit M le point où GF coupe B'C . 
11 est évident que cette figure donne bien d'autres divisions de BC, 



par exemple : HF ^ GE 



IH^^BC; MC 





lE = FC 



-^BC; 



LA = ^ BC: LC = l BC; LH ^ i BC; MB' 

7 < 14 



Dp 

BC ; FG == -= ; 



V 



/3 



É. LKMOINK. LA r.KOMKTHUGKAl'IUK 73 

HG = V BC: 1)H = ^-^ hC: DF = ^ BC: EF = ^^ BC ; 
U ^ 'j b 

DE = 14^ BC : KL = ^^ BC ; GI =^ IF == -^ BC, etc.. etc. 



9 



2v3 



On voit que si, au lieu de prendre CD = BC, on prenait CD - m . BC 
im étant entier ou fractionnaire», on aurait pour toutes les lignes, dont 
nous venons de donner les longueurs pour le cas particulier de »j = 1, 
des longueurs différentes très variées dont on pourra profiter pour cons- 
truire les longueurs des formes : 

/.BC. i-BC, ^.BC, L^BC. ^.BC, 
/ n m n 

l, ut, n étant des nombres entiers. 

C'est une étude à faire pour chaque cas et qui n'est point sans présenter 
certaines difficultés. Létude pourrait être faite pour le cas plus général où 
le triangle AB'C ne serait plus équilatéral. Je constniis un triangle ABC 
dont les côtés BC, C'A, B'A sont / . BC, m . BC. n .BC: je prends D sur 
B'C tel que CD' = d . BC : je prends sur B'A, B'E = p .BC et sur 
C'A, C'H = q . BC, et je mène les mêmes droites que précédemment avec 
les mêmes notations et je calcule les longueurs HF, FC, etc., etc.; il me 
semble que l'on pourra toujours choisir, et même dune infinité de façons, 
les nombres entiers/, m. n,d, p, q, de manière à obtenir, parmi les l^n- 
gueurs HF. FC, etc., toutes les expressions des formes: 



^ . BC. - 



-■■\\/'v ^^' 



T., 8, V. étant des nombres entiers. 

A cette question d'analyse indéterminée, assez imprévue à propos de 
notre sujet et que je crois très difficile et fort intéressante par elle-même sans 
que je puisse l'étudier en détail, s'en rattachent une foule d'autres comme 
les suivantes : Parmi les nombres 1, m, n, d, p, q, combien peuvent être 
choisis arbitrairement pour que Fon puisse déterminer les autres de façon 
que lune des quantités HF, FC, etc., ail une valeur donnée, ou encore : 

Étanl donné un triangle AB'C dont les côtés sont des nombres entiers, 
peut-on toujours trouver une transversale DEF qui divise les côtés du triangle 
en segments qui soient des nombres entiers, ou à quelles conditions le pro- 
blème est-il possible? On ramène immédiatement, par le théorème de Méné- 
laiis, cette dernière question à celle-ci : a, b, c élan/ des nombres entiers, 
l'équation ayz — bzx — cxy -|- bcx — cay — abz -{- abc = 0. a-t-elle 
toujours [jour x, y, z des solutions entières, positives ou négatives, dont au- 
cune n'est zéro ? 



74 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

La nouvelle géométrie du triangle rend encore plus évident combien il 
est indispensable de s'occuper systématiquement de l'art des constructions, 
car tout ce qui se rapporte à elle en fait de construction revient en dernière 
analyse à la construction des points remarquables, c'est-à-dire de ceux dont 
les coordonnées normales (*) présentent, exprimés en fonction des éléments 
du triangle, une symétrie tournante. 

Or, chaque propriété trouvée pour un point, donne une construction de 
ce point plus ou moins simple, plus ou moins directe; il est donc néces- 
saire de classer ces constructions, de présenter la plus simple pour 
déterminer chaque point remarquable étudié dans cette géométrie et de 
connaître les principales constructions parmi les autres moins simples, 
mais qui pourront devenir fréquemment les plus simples dans tels ou tels 
tracés d'ensemble. 



7 M 



A ^ ' ■ 




FlG. 11. 



Le premier problème à résoudre dans la géométrie du triangle où les 
diverses coordonnées employées doivent se traduire pour les solutions 
graphiques en coordonnées normales est le suivant : 

XLIX. — Placer un point M dont on connaît les coordonnées normales 
proportionnelles 1, m, n, par rapport au tî'iangle de référence ABC. 

Je suppose que /, m, n sont des droites (autrement il faudrait déterminer 
d'abord des droites proportionnelles à ces quantités, nous en donnons plus 
loin un exemple). 

a) Je trace (fig. 11) trois perpendiculaires, une à chaque côté, en 



(*) Je dis normales à l'exclusion de harycenlriques, parce que ces ileinières sont des coordonnées 
1res utiles à la sp(^culation géométrique, mais se prêtent mai a la ronstrurlion directe qui n'utilise 
immédiatement que des droites et des cercles et non des poids ou des surfaces. 



^v 



É. LEMOINE. — L.V GÉOMÉTROGRAPHIE /O 

décrivant des sommets trois cercles d'un même rayon suffisant, mais 
quelconque. Les intersections de ces cercles deux à deux donnent les trois 
médiatrices, il est évident que les rayons des trois cercles n'ont pas besoin 
d'être égaux pour tracer des perpendiculaires qui ne seraient pas les mé- 
diatrices, mais c'est plus commode. . . op. : (6Ri -{- SR, -{- 3Ci -\- 3C3). 

Sur chaque côté du triangle, BC par exemple, je prends le pied A' de 
la perpendiculaire menée à ce côté et je détermine le sommet Ai opposé 
à A' d'un carré A'aAia^ de côté l dont les côtés seraient dirigés suivant 
A'B et la perpendiculaire à A'B menée en A'. 

Je trace Aja^, j'ai ainsi fait . . . . op. : 3 [2Ri + R., + 5Ci + 3C3]. 
Les trois lignes A^ai, B^B^, C^y^ déterminent un triangle A.,BX, homothé- 
tique à ABC ; le centre d'homothétie que j'obtiens par. . op. : (iRi + ^R.,), 
est le point M cherché. 

Symbole de l'opération totale : op. : (I6R1 + 8R, + I8C1 + I-2C3) ; 
simplicité 54 ; exactitude 34; 8 droites, 12 cercles. 

Nous avons traité la même question (Bulletin de la Soc. math., 1888, 
p. 163), en nous appuyant sur le même principe géométrique (c'est-à-dire 
que le point M appartient au lieu des points dont le rapport des distances 

à BC et à CA est —, etc.) ; 
m 

Nous trouvions pour symbole : op. : (34Ri 4' ^'^î + l^C^ + '^^3) ; 
smiplicité 71 ; exactitude 47 ; 17 droites, 7 cercles. 

Cette construction est moins simple que la précédente ; de plus, dans 
l'article cité, nous n'en avions pas même tiré le meilleur parti possible. 

Je ferai remarquer à ce propos qu'il ne nous vient pas à l'idée que nous 
fixons ici les symboles fondamentaux de Vart de la construction géomé- 
trique, comme si nous donnions les constructions définitivement les plus 
simples, car : 

1" Un autre géomètre pourra trouver une meilleure interprétation 
graphique de la solution que nous avons adoptée ; 

2° Il pourra imaginer une autre solution conduisant à un meilleur 
résultat; disons même que les constructions ne pourront jamais être 
théoriquement fixées, puisqu'il n'y a aucun critérium pour reconnaître si 
une solution est la plus simple qu'il soit possible et si elle est conduite 
graphiquement le mieux possible; mais pratiquement la chose sera bientôt 
faite quand les géomètres auront dirigé leur attention sur un sujet aussi 
clair et aussi nettement défini ; il suffira d'enregistrer cbaque perfection- 
nement, l'on aura rapidement les résultats effectivement définitifs. 

b) Les coordonnées normales 1, m, n sont des coordonnées normales abso- 
lues et Von en connaît deux, 1 et m par exemple: 

1° Je prends / op. : (SCJ. 

Je décris C(/) et je mène les deux perpendiculaires en C à CA et 



76 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

à CB op.: (4R, + 2R, + 3C, +5C3). 

Je prends m que je porte dans le sens convenable en Cjx sur la per- 
pendiculaire à Câ ; ce transport n'a pas besoin d'être fait pour l qui se 
trouve placé sur le cercle C(/) op- • (3Ci -|- C3). 

Par les extrémités ainsi obtenues de / et de m, je mène des perpendicu- 
laires aux droites qui joignent ces extrémités à C (XX 2° 6) 

op. : (8R, -f 4R, + 2C, + 2C,3). 

Elle se coupent au point cherché. 

Op. : (12R, 4- 6R, + 12Ci + 8C3); simplicité 38; exactitude 24; 6 droites, 

8 cercles. 

2° Je trace un cercle passant par C au moyen duquel je trace les deux 
perpendiculaires à CB et à CA menées en C (XX 2" b, en économisant 
Cl + Cg puisqu'un seul cercle suffit) ... op. (8R1 + ^^i + Ci -)- C3). 

Sur ces perpendiculaires, je place dans le sens convenable les coor- 
données l et m op. : (OC^ -\- 2C3), 

et, comme dans la construction précédente, je trace par les extrémités 
ainsi obtenues des perpendiculaires aux droites qui joignent ces extrémités 
à C op. : (8R. + 4H, + 2Ci + 2C3). 

Op. : (1 6R, + 8 R2 + 9Ci + SC3) ; simpUcilé 38 ; exactitude 2o ; 8 droites, 
o cercles. 

Chaque point remarquable peut évidemment se construire quand on a 
l'expression de ses coordonnées normales, mais cette construction est tou- 
jours beaucoup plus compliquée que d'autres qui se déduisent des pro- 
priétés du point. xNous allons en donner quelques exemples. 

L. — Placer le centre de gravité d'un triangle ABC. 

111 

Les coordonnées du centre de gravité étant -, -7, -, pour trouver, sans 

° abc 

avoir égard aux propriétés de ce point, des longueurs proportionnelles à 

ces quantités, le plus simple serait de les multiplier par a\ ce qui donnerait : 

a' «- 
«, — r ' — ' 



a^ , a-' 

de construire : b = — — c = — , 

b • c 

ce qui donnerait (construction XXXIV) une simplicité 30 et de construire 
le point correspondant par la construction XLIX. En tout une sim- 
plicité 84. 

Voici d'autres moyens, seuls pratiques, déduits des propriétés du triangle : 



É. LK.MOI.M;. — LA (iÉUMÉTUOGUAI^HlK 77 

a) On utilise la propriété suivante : Si A' et B' sont les milieux de BC 
et de CA, AA' et BB' se coupent au centre de gravité. 

Op. : (8B, -f-i'^'^ + SCi -j-^Cjj; simplicité 18; exactitude 11; 4 droites; 

3 cercles. 

b) On utilise la propriété suivante : 

Si l'on construit un parallélogramme CABA", AA' passe par le centre 
de gravité. 

Je décris les cercles B(CA) et A(CB qui se coupent en C op . : i GC, + 2Cj) . 

Je trace C'B qui coupe B(CA en A' op. : i2Bi-[-R:). 

Je trace CC, AA' qui se coupent au point cherché. . op. : (4Ri-|-B;). 

Op. : [6^1 -f-3R, -f-^Ci -{-^2C,); simplicité 17 ; exactitude 12 ; 3 droites, 
2 cercles. 

C'est la construction la plus simple que nous connaissions pour avoir 
le centre de gravité. 

LI. — Placer le point de Lemoine K d'un triangle ABC. 

Ses coordonnées normales étant immédiatement données par les côtés 
du triangle, il serait placé par la construction XLIX; mais il se construit 
d'un très grand nombre de façons plus simples, nous en avons étudié 
six (qui pourraient, du reste, être mieux conduites que nous ne l'avons 
fait alors). (Voir/. E., 1889, p. 34.) 

Je donne ici seulement la plus simple : 

Sur AC je prends AC = AB op. : (2Ci -(- C3); 

puislaissantlapointeen A, jeprendssur AB, AB' = AC, op. : (Cj -[~ C3). 

Je décris la circonférence C'(AC) dont le rayon est entre les branches 
du compas op. : (Ci -|- Cj). 

Je reprends la longueur AB et je décris B'(ABj. . . op. : (3Ci -f- Cj). 

C'(AC) et B'(AB) se coupent en A'. 

Je trace la symédiane AA' qui contient le point K. . op.: {^iK^ -f-R:). 

Je trace l'autre symédiane BB' en faisant une économie de Cl 

op. : (2Ri + R, + ^2Ci -f 3C3). 

En tout : op. : (4Ri-f-2R2-j-13Ci -f 8C3); simplicité 27; exactitude 17 ; 
2 droites, 8 cercles. 

Si j'avais deux compas, je pourrais économiser. . . op.: (4Ci -j- C3) 
et j'aurais pour symbole : 

Op. : (4Ri -f 2R2 + 9Ci -f 7R,); simplicité 22; exactitude 13; 
2 droites, 7 cercles. 

On voit par ce qui précède que : Con peut tracer une symédiane par le 
symbole : 

Op. : (2Ri -}- R2 + "Cl + 4C3); simplicité 14 ; exactitude 9 ; 1 droite, 

4 cercles. 



78 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

LU. — Tfcicer la droite de Lemoine. 

Je fais en A et en B, de l'autre côté de AB que le point C, les angles 
BAA', ABB' égaux à C. 

A' étant sur CB, B' sur CA, je trace A'B', c'est la droite cherchée. 

Op. : (GRi + 3R2 4-6C1 4- 4C,); simplicité 19 ; exactitude 12 ; 3 droites; 
4 cercles. 

Un cas très intéressant, mais aussi beaucoup plus délicat que le problème 
de trouver une construction déterminée le plus simplement possible, se 
présentera très souvent dans la géométrie du triangle : c'est de comijiner 
une construction qui donne le moyen le plus simple de trouver, dans un 
même ensemble de constructions, plusieurs résultats dont on a également 
besoin. Si le lecteur veut s'exercer à quelques cas simples, il verra rapi- 
dement, s'il en doute encore, qu'il y a un a7't véritablement nouveau 
des constructions géométriques. Cette recherche exige que l'on possède à 
fond la géométrie du triangle, que l'on ait une grande présence d'esprit 
pour choisir les constructions quand on fera le croquis de sa construc- 
tion, et beaucoup de réflexion. 

Il arrivera souvent que la combinaison des constructions les plus simples 
pour chaque résultat isolé ne donnera pas du tout le résultat le plus 
simple cherché, qui s'obtiendra par des voies différentes. Le problème se 
complique rapidement et présente souvent des diflicultés que n'aurait pu 
faire prévoir la théorie si simple de l'art des constructions. 

Nous allons en donner brièvement un exemple des plus élémentaires. 

Lin. — Placer le centre de gravité et le point de Lemoine d'un triangle ABC 

en une même construction. 

L'addition des constructions Ll et LU nous donnerait un symbole de 
simplicité 43 qui se simplifierait évidemment un peu en utilisant dans les 
constructions les cercles de même rayon a, b ou c, que l'on peut tracer 
pour une des constructions et qui serviraient à l'autre lorsque leur centre 
se trouverait placé sur l'épure au moment où l'on aurait la longueur conve- 
nable entre les branches du compas, mais il est facile de prévoir que le 
compte total dépasserait 32, car au moment où nous placerions K nous 
aurions au moins 26 (puisque c'est le nombre que nous considérons comme 
donné par la construction la plus simple de K;, et il resterait à trouver le 
barycentre, ce qui exigerait au moins le tracé de deux droites ou six opé- 
rations élémentaires, car aucune médiane n'a été tracée dans la construc- 
tion de K. Les lignes qui précèdent ne sont pas une démonstration rigou- 
reuse que 32 serait dépassé, mais elles le montrent suffisamment. 

Nous allons donner une construction qui place ces deux points par le 
symbole : 



É. LEMUIM:. — l.V GKOMÉTUOGKM'HIE 79" 

Op. : (12Ri + GRo + 9Ci -|- 0C3); simplicité 32 ; exactitude 21 ; 
6 droites, o cercles. 

Je trace les trois cercles A(Rj, R(R), C(R) de même rayon R suflisant 
pour qu'ils se coupent deux à deux op. : (3G, -j- SCj). 

Au moyen de deux de leurs intersections, je place les milieux A' et B' 
deBCetdeCA op.: (4Ri+2R,). 

Je trace AA', BB', ce qui place le barycentre . . .op. : (4Ri -{- 2R2). 

Je prends sur les arcs de A(R) et de B(R) compris entre les côtés des 
angles A et B du triangle les arcs qui placent les points où les arcs sont 
coupés par les symédianes de A et de B (on sait que les médianes et les 
symédianes d'un même angle, symétriques par rapport à la bissectrice de 
cet angle, font des angles respectivement égaux avec les côtés de 
l'angle • ... op. : (6C, + 2C3); 

Et enfin je trace les symédianes de A et de B, ce qui place le 
point K op. : (4Bi + 2R,). 

Les lecteurs pourront s'exercer à la construction la plus simple pour 
obtenir dans un même ensemble : 

Le pont de concours des hauteurs, le centre de gravité, le point de 
Lemoine ; 

Le centre du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit ; 

Le point de Nagel et le point de Gergonne, etc., etc. 



LIV. — Placer un point de Brocard. 

Le point direct w par exemple, tel que ojAC = wCB = wBA. 

Je m'appuierai sur la construction de l'angle de B)'ocard donnée par 
M. Brocard {A. F., Congrès d'Alger, 1881, 10, p. 146). 

Je décris les trois cercles d'un même rayon R quelconque, A(R), B(Rjr 
C(R) op. : (3C, + 3C3). 

Par A je mène la parallèle X'AX à BC en faisant au moyen d'arcs égaux 
pris sur les cercles A(R) et C( R ), l'angle CAX' = ACB ... 

• . op. : (2R, + R. + 3C, +C3). 

Je fais en B (de l'autre côté de AB que le point c) l'angle ABX = ACB 

op.: (2R, + R, + C, + C3). 

Je trace CX op. : (2Ri + R^). 

ex contient w et XCB est l'angle de Brocard. 

Au moyen de l'arc qu'il intercepte sur C(R), je trace, en le reportant 

sur B(R), etc., la droite Boj op. : (2R, -f- R, + 3C, -f C3). 

et j'ai le point to par le symbole : 

Op. : (8R1 + 4R, + lOC^ + 6C3); simplicité 28; exactitude 18; 
4 droites, 6 cercles. 



80 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

LV. — Placer les deux points de Brocard to et o/. 

Ayant fait les mêmes constructions que précédemment, je trace deux des 
droites Ao)', Bo/, Cw', au moyen de deux des circonférences A(R), B(R), 
C(R) et de la corde de l'arc (que j'ai dans le compas) intercepté sur l'une 
d'elles par l'angle de Brocard op. : (4Ri + 2R, + IC, + 20,). 

J'ai donc placé les deux points de Brocard par une construction dont le 
symbole est : 

Op. : (12Ri + 6R2 + 12Ci + 8C,); simplicité 38; exactitude 24; 
6 droites, 8 cercles. 

Ce sont les constructions les plus simples pour obtenir les points de 
Brocard, ... jusqu'à ce qu'on en ait indiqué de plus simples, s'il y en a. 

L\ I. — Placer le point de Steiner. 

Je me sers de la proposition suivante {Mathesis, 1889, p. 69, dans l'article 
qui est la reproduction traduite du chapitre de : A Sequel to the first six 
books of the Euclide, par M. J. Casey, 5*^ édition). 

Des sommets A, B, C du triangle comm,e centres avec des rayons respec- 
tifs a, b, c, je décris des cercles qui se coupent deux à deux sur le cercle 
circonscîit en X^, B,, Ci, ; BC et BjC^ se coupent en A^; AA^ coupe le cercle 
circonscrit au point de Steiner. 

Je trace A(BC), B(CA), C(AB) qui se coupent deux à deux en Ai, Bi.Cj 
op. : (9Ci -i- 3C3). 

Je trace BiCiqui coupe BC en A2,puis je trouve AA2, op. : (41{i -f- 2R2). 

Je trace CiAj qui coupe AC en B^, puis je trace BB^, op. : (4Ri + 2R.j. 

AA2 et EB^ se coupent au point de Steiner qui est ainsi donné par le 
symbole : 

Op. : (8Bi + 4R, + 9Ci + 3C3); simplicité 24; exactitude 17; 4 droites, 
3 cercles. 

LVII. — Placer le point de Tarry. 

Je trace le cercle circonscrit .... op. : (4Ri -|- SR^ + 5Ci + -iCg). 
Je trace le cercle A(BC) qui coupe le cercle circonscrit en Bj et Ci . . . 

■ op. : (3Ci + C3). 

Je trace BiCi qui coupe BC en A2, je trace AA.^ qui coupe le cercle cir- 
conscrit au point R de Steiner op. : (4Ri -f 2RJ. 

Je trace le diamètre RO du cercle circonscrit op. : (2Ri -{- R^); 

l'extrémité opposée à R est le point de Tarry. 

Op. : (lORi -f oR, -}- 8C1 4- 5C3); simplicité 28; exactitude 18; 5 droites, 
5 cercles. 



de A' sur AB et sur AC ; on aura A^ A^ = - • 



K. I.KMOI.XK. LA GÉCt.MÉTliOGKAPHIK 81 

Remarquons que lorsque l'on place ainsi le point de Tarry, le point de 

Steiner se trouve préalablement placé par le symbole 

op. : (8R, + 4R, + 8C, + SC^), 

symbole simple, mais cependant un peu moins que celui que nous venons 
de donner. 

S 2S 
LVIII. — Construire la longueur — ou ~ dans un triannle. 

Il R "^ 

Soit A' le pied de la hauteur abaissée de A surBC; A^ et A^' les projections 

S 
R 

L'intersection de B(BA) et de C(CA) donnera Aj symétrique de A par 
rapport à BC; traçons AAi ; on aura A'. . op. : (âRi -{- R^ -f 40^ + SC,). 

L'intersection de B(BA') et de A(AA') donnera A^'^ symétrique de A' 
par rapport à AB; traçons A'A^^, qui coupera AB en A^' 

op. ; (2R, + R, + 4C, + 2C3). 

On aura de même A^ par op. : (2Ri -f- R., -j- 4Ci -f 2C3), 

S 
et A^A^ (qu'il n'est pas besoin de tracer), c'est-à-dire — est obtenu par: 

Op. : (6R, -I- m, + 12Ci + 6C3); simplicité '27; exactitude 18; 
3 droites, 6 cercles. 

2S '^S 

Si l'on remarque que A' A'^ = —, on s'aperçoit que ^ peut être 

Il R 

g 
construit plus simplement que - ; en efïet, je construis A' comme précé- 
demment par . op. : (2Ri -f R^ + 4Ci -\- 2C3), 

puis A^ç et A'.j, en opérant ainsi : 

Je construis A(AA'j, puis B(BA') qui coupe A(AA'j en A^^,, puis C(CA') 
qui coupe A(AA'j en A',,, op. : (60^ + SCg). 

En tout : op. : (±]X, -f R, + lOCi + SC3) ; simplicité 18; exactitude 12; 
i droite, 5 cercles. 

Je ne donne cette construction LVIII que comme exemple très simple 
des remarques que peut susciter l'application d'une construction, et aussi 
pour montrer l'utilité qu'il y a à conserver dans la mémoire, ou de noter 
la valeur d'un assez grand nombre d'éléments du triangle, afin d'abréger, 
à l'occasion, les constructions. 

c- • » • S ^^/l 

Si je n avais pas utilisé la valeur de A[A^, je n'aurais construit j; ~ -^^ 

R 2R 

que par un symbole beaucoup plus compliqué; il aurait fallu par exemple: 

mener la hauteur partant de A, construire le cercle circonscrit pour 

6* 



82 MATIIÉM.VTIQIJES, ASTRONOMIK, Cl'lODKSIK KT MÉCANIQUE 

avoir le dianiMro rayon 2I{, t'iiliii, cluMclicr la qiuilriùine proporlionndle 
entre IIC, la liaiileur, et ïiH. 

S 
Dans noire pronnùre conslriiction de -, au heu de mener les perpen- 
diculaires (le A SIM' WC, de A' sur AU el sur AC en plaçant leurs symé- 
triques, j'aurais \n\ iMuployer la construclion classique W a, et j'aurais 

obtenu la Hj-ne j- par le symbole : op. : (6K, + '^^^2 + 9C, -f Î^C,.,), de 

même siuqtlii'ilc, mais exigeant plus de li^Mies; remarquons, du reste, 

2S 
que je n'aiiiais pu alors construire —aussi simplement que je l'ai fait. 



Ll\. — Placer le point de (Iergonnk d'un des cercles tangents 
(lu.r trois cnti^s d'un triniif/le. 

La construction indiquée (.4. h\, Congrès de Paris, 1881), p. 213, § 7) 
donne : 

Op. : (lOli, + rjR, -f 9C, 4- ^U:,); simplicité 27; exactitude 19; 
5 droites, 3 cercles, 
pour placer un seul point, et : 

Op. : (22K, 4- nu, + 9C, + SC,); sim])licité io; exactitude 31; 
11 droites, 3 cercles, 
pour les placer tous les quatre. 

LX. — Placer le centre de gravité 1 du périmètre. 

Je me sers de la première construction inili(]uée (^1. P., Congrès de 
Paris, 1889, p. 20o, § 5). 

Je trace B(a); puis A(a), qui coupe AC en p dans le sens de AC et AH 
en Y dans le sens de AB op. : (3C, -|- 2C3). 

Je prends le milieu y' de By et le milieu [i' de C[B au moyen des trois 

nouveaux cercles y(«), C(a), ^(a), puiscjue B(rt) est déjà, tracé 

op. ; (IR, -f- 2R, + 3C, -f 3C3). 

Je trace C(Ct3') qui coupe CB en (3, dans le sens CB et B(By') qui coupe BC 
en Yi dans le sens BC op. : (4Ci -j- 2CJ. 

Enfin, je trace p'^,, y'y, qui se coupent en 1 . . . op. : (4Ri -}- 2BJ. 

En tout: op. : (8B1 -|- 4B, -[- lOC, + 7C3); simplicité 29; exactitude 18; 
4 droites, 7 cercles. 

Par transformation continue en A, on placerait d'une fa(;on analogue 

h -\- c c — a b — a 

le pomt — ■ — > — ; — j 

abc 



É. LEMOI.NE. I,A GÉOMÉTROGRAPHIE 83 

LXI. — Placer le point de Nagel : , etc. 

a 

Soit al^ f^ c. 

Je trace \(a) qui coupe AC en p dans le sens AC et AB en y dans le 
s«nsAB op. : (3C, +C,). 

Je trace C(C8j qui coupe CB en .S, dans le sens CB et B^ B-.'j qui coupe 
BC en Y, dans le sens BC op. : (4C, + 2Cj). 

Je trace y^^ et vv^ qui se coupent en point de Nagel, op. : (4Bi -f- 2B,). 

Op. : (4R, + 2B, + 7C, +3C31; simplicité \Q; exactitude 11 ; 2 droites, 
3 cercles. 

On vérifie facilement cette construction du point de Xagel, parce que 
les équations de }}^ et de w, sont respectivement : 

a-x — b'^y -f- cz\a — èi = 0, 
— a-x + hy(c — a) -\- ez = 0, 

droites qui se coupent au point de Nagel. 

On placerait par une construction analogue déduite de la précédente 

par transformation continue en A, en B et en C, les transformés continus : 

P P — '^ P — ^ 

' — 7— • ; etc.. du point de NaqeL 

a o "^ 



T vir D/ / • , ^ a^j^ + a*c^ — b^c- 
LMi. — Placer le point <ï> : ■ . 



etc. 



>'ous avons fréquemment rencontré ce point ivoir ./. E., 1883, pro- 
blème VU, p.nS; A. F., Congrès de Grenoble. 188o, § 2, p. 28; 4 F., 
Congrès de Toulouse, § 2, 3, 4% p. 23, etc. j ; c'est aussi, comme nous 
l'avons montré, le centre radical des trois cercles de Neuberg. «I» est le 
point où se coupent les deux brocardiennes de la droite de Lemoine par 
rapport à la droite de l'infini. 

-Nous le construirons en partant de la propriété suivante : 

Si A' e.Ht la symétrique de A par rapport au milieu de BC, A, le pied de 
la sy médiane partant de A, A'A, passe en <^. 

Je place A' et C comme il suit : 

Je prends AC; je trace la parallèle à AC menée par B en traçant un 
losange dont le côté ait pour longueur AC, qui s'appuie sur la droite AC, 
en ayant un sommet en B, les points A' et C sont ainsi placés par les 
intersections de cette parallèle et du cercle BiACi qui a servi à la tracer 
op. : <-2Rj + R, -j-oC, + 3C3I 

Ceci exige que j'aie choisi pour B un sommet tel que AC soit plus grand 
que la hauteur partant de B. Au moyen des cercles CiCC), AfAA'i, je 



8i MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

prends sur les arcs qu'ils comprennent entre les côtés des angles C et A 
les symétriques C" et A" de C et de A', par rapport aux bissectrices des 
angles C et A, C" et A" sont sur les symédianes partant de C et de A. 

Ces syinédianes coupent AB et CB en Cl et A, 

op.: (4R, + 2B, + 10Ci+4C3j. 

Je trace C'Ci, A'Ai op.: (4R, + !2R j. 

Ces droites se coupent au point •!> obtenu ainsi par le symbole : 

Op. : (lORi + 0R2 + loCi + 7C3J; simplicité 37; exactitude 2o; 
5 droites, 7 cercles. 

^i b'^c^ 

LXIII. — Placer le pobii W : , etc. 

a 

Ce point s'est aussi très souvent présenté à nous. {N. A., 1885, § 1, 
n° 4, p. 204; i. F., Congrès de Limoges, 1890, p. 124; Congrès de Mar- 
seille. 1891, p. 15o, n° 18; voir, à propos de ce dernier refert, le renvoi 
indiqué à la construction b donnée plus loin, du problème qui nous 
occupe.) 

Je vais d'abord placer ce point en me servant des valeurs de ses coor- 
données, je donnerai ensuite une autre méthode plus simple. 

a) Pour réduire les coordonnées données de W à des lignes, je les divi- 
serai toutes trois par une même quantité qui devra être le produit de 
deux lignes. .Je choisis le produit bc de deux côtés du triangle, ce qui 
me paraît permettre les plus grandes réductions possibles dans la construc- 

fa' a bc\ /b^ a^ c\ 
tion ; ces coordonnées peuvent alors s écrire : I U ( - — T" I ) ' 

c* a"" 6^ 

a* c'^ b"^ à^ bc 
, _ , — , — 

b b c c a 
abréger, j'appelle respectivement /j, Z,^, /3, Z^, /j. 

On pourrait faire pour cela cinq fois la construction XXXIV*"*, mais 
il y a des économies possibles. 

i" Je n'ai, pour les cinq constructions, à tracer que trois cercles ayant 
pour centres A, B, C, en les prenant d'un même rayon; cela économisera : 

op. : (7C, + 7C3). 

a- c* 
2° Pour avoir -7-5-7-» j'ai à faire les angles A et G en B; 
b b •' ° 

» — ? — » » » A et B en C ; 

c c 

» — » » l'angle C ou l'angle B en A. 

fSe reporter au détail de la construction citée.) 

Je ne prendrai donc entre les branches du compas qu'une fois la corde, 



Il faut donc construire d'abord les lignes —■, — > —-, — > — que, pour 



K. LEMOINE. — I-.V C.ÉOMÉTROGRAPHIK 85 

correspondant, dans les trois cercles tracés, aux angles A, B, C, puisque 
ces cercles sont tracés et que je pourrai alors utiliser, pour les constructions 
des angles, la corde d'un angle au moment où je l'aurai dans les branches 
du compas; j'économiserai parla: op. : (4Ci). 

/ a 
J'ai ramené ainsi la solution à construire le pomt : Ui - — U 

(k — ^ r) ' (^2 — ^4 - ) ' n'ayant encore fait que o[2Ri + R2 + ^Ci -\- 30^] 

_7C^_7C3-4Cj,ou op.: [iORi + 5R, + l^C, + 8C3]. 

,, , « , c b 

Pour prendre les trois quatrièmes proportionnelles /i •- 5 h-f h'-' 

I 

que j'appelle >.i, )>2» ^3' j'opère ainsi : 

Comtruction de 1. ou\.-- : 

c 

Je porte AB en CL sur CB dans le sens CB . . . .op. : (3Ci -f C3). 

Je porte l^ en CL' sur CA dans le sens CA . . . . op. : (SC^ -\- C3) ; 
puis je mènerai par B une parallèle à LL' (sans tracer LL'}, construc- 
tion XVIL 

I .a 
3° Cette parallèle coupera CA en L" et CL" sera — ou Àj 

op. : (2R. + R, + 6C, + 2C3). 

c 
Comtmction de X, ou\.-- : 
' b 

Par L', je mène une parallèle à AL fsans tracer AL) 

.op. : r2R,+R, + 6C, +2C3), 

qui coupe CB en N; CX sera 1^. 

Construction de 1.^ ou I4 • - : 

Je porle l^ sur CB en CP dans la direction CB. . .op. : {3Ci 4- C3). 

Par P, je mène une parallèle à LA (sans tracer LA) 

....'. op. : (2R, + R. + 6C1 + 2C3), 

qui coupe CA en P'; CP' sera X3. 

J'ai maintenant à construire les trois longueurs À; — 4, /g — l^, l„ — X,. 

Ce que je fais en portant /^ sur Xj, X,^ sur ^3, A3 sur l, dans le sens 

convenable par op. : ^BCi -j- 3C3), 

et j'ai enfin trois longueurs \k^, ;j.,^, 1x3 par le symbole 

op. : ( i6R, + 8R, + SOCj + 2OC3). 

Il ne me restera plus, pour placer W, qu'à faire la construction XLIX 
du point dont les coordonnées normales proportionnelles sont : ;xi, [j..,, [j-^, 
et je l'aurai obtenu par le symbole total : 

Op. : (32Hi + IGR, + OSC^ + 32C3); simplicité 148; exactitude 100; 
16 droites, 32 cercles. 



86 MATHÉMATIQUES, ASTROiNOMlK, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

b) Je m'appuierai, pour effectuer la seconde construction, sur le moyen 
de construire le point V^ : x'x.iy';:, — z'y,), etc., connaissant les points 
M' : x', y\ z' et M, : x„ y„ z^, moyen que j'ai donné au Congrès de Mar- 
seille, A. F., 1891, p. 15o, n" 13 (*). 

On voit que, si M' et M^ sont les points de Brocard, Yi est le point 

W : , etc., dont nous nous occupons. 

a 

Je place les points de Brocard W et M^ par la construction LIV. . . 

op. : (12R, + 6R, + 12C, + 8C3), 

Comme, dans cette construction, je n'ai tracé que deux des droites 
AM', BM', CM' et deux des droites AM^, BM^, CM^, je trace les deux 

autres, qui me sont nécessaires ici op. : (4Ri -f" -ï^i)- 

Je place le point appelé a (loco citato) op. : (4Ri -j- 2R2), 

et je trace la droite Aa, qui contient W et la droite B?, qui contient 

aussi W op- • (8R. + ■^^■2)' 

W se trouve alors placé au moyen du symbole : 
Op. : ("28Ri + 14R, + 12Ci + SC,;; simplicité 62; exactitude 40; 
14 droites, 8 cercles. 

Et rien ne dit, naturellement, qu'en s'appuyant sur d'autres propriétés 
du point W, on ne trouverait pas mieux. 

J'ai traité cette question surtout pour donner un exemple de la façon 
de discuter les problèmes de construction; j'ajouterai que les constructions 
tirées des théorèmes de la géométrie du triangle (comme la construction b 
de ce point W) sont, pour ainsi dire, toujours beaucoup plus simples 
que celles qui sont déduites simplement de la valeur des coordonnées du 
point à construire, quelque soin que l'on mette d'ailleurs, comme je l'ai 
fait ici, à économiser les constructions en profitant de toutes les simpli- 
fications que la nature des données suggère. 

Toutes ces remarques très simples qui se font vite et facilement dès 
que l'on a un peu l'habitude de construire avec nos principes sont, comme 
l'on voit, fort longues et assez fastidieuses à détailler, à cause même de 
leur degré d'évidence; en suivant ce mémoire, un crayon à la main, on 
verra qu'il se lit sans aucun effort et que presque partout la pensée du 
lecteur suivra immédiatement ou même devancera notre exposition, car 
les connaissances nécessitées par la théorie proprement dite de Vart des 
constructions se bornent aux trois premiers livres de la Géométrie de 
Legendre. 

J'ai répété quelquefois diverses observations ; je ne l'ai pas fait sans 
intention, car le sujet traité étant nouveau, j'ai cru bon d'insister ainsi 

(*) A l'endroit cité, il y a quelques mots sautés à l'impression: page 153, ligne i, en remontant, il 

a'' — Ij'-c- 
faut, après points de Brocard, ajouter : V, est le pomt , etc. 



K. LEMOINE. LA GÉOMÉTROGRAPHIE 87 

sur certains détails lorsqu'ils se présentaient à plusieurs endroits d'une 
façon naturelle, afin de ne pas obliger le lecteur à se souvenir de tout 
ce qui avait été dit précédemment. 

Nous n'avons pas eu pour but, dans l'étude de la Simplicité et de l'Exac- 
titude des constructions, de créer quelque chose qui correspondît exactement 
aux cas de la pratique ; nous croyons, du reste, la chose impossible pour 
beaucoup de raisons : par exemple, on ne peut que compter également, 
dans une théorie quelconque, l'intersection de deux droites, quelles 
qu'elles soient, l'intersection d'un cercle et d'une droite, etc., et si, dans 
une épure, l'une des droites est tout entière hors du papier, si le cercle 
a un rayon considérable, si les deux droites coïncident presque, etc., etc., 
les opérations sont, en réalité, quelquefois impraticables, quelquefois 
fort ditficiles; aussi l'appréciation de toutes les combinaisons diverses 
qui peuvent se présenter de cette façon échappe bien évidemment à toute 
mesure. De ce que nos mesures ne correspondent pas à la réalité immé- 
diate, on ne peut conclure à la stérilité de la méthode, pas plus que — si 
parva licet componere magnis — on ne peut dire de la mécanique ration- 
nelle qu'elle est inutile parce qu'elle ne correspond point à la pratique. 
Du reste, rien que ce travail, où sont simplifiées effectivement par notre 
méthode les constructions fondamentales, séculairement admises, de la 
géométrie, suffit pour établir son utilité, car il est difficile de croire que 
si l'attention des géomètres avait été attirée de ce côté, ils eussent mis 
comme à plaisir, de toute antiquité, dans les traités didactiques, des types 
de construction compliqués, s'ils avaient pensé qu'il en existât de plus 
simples. 
Nous avons fait les hypothèses suivantes ; 
Tous les cercles sont également faciles à tracer. 
Toutes les droites sont également faciles à tracer. 
C'est-à-dire que nous opérons sur une feuille infinie et que la grandeur 
des compas et des règles est illimitée. 

C'est dans le même esprit que nous avons raisonné pour donner le 
même symbole C^ à l'opération qui consiste à mettre la pointe d'un compas 
en un point A lorsqu'une des pointes est hbre et à l'opération qui 
consiste à mettre la seconde pointe du compas en un point A lorsque la 
première est maintenue en un autre point B, — opération que l'on fait 
pour prendre, entre les branches du compas, la distance qui sépare les 
deux points A et B. — Nous n'avons considéré que ceci : dans les deux 
cas nous faisons coïncider une pointe avec un point déterminé, ne nous 
occupant pas de la manœuvre à laquelle l'instrument nous oblige pour 
cela ; on peut remarquer, du reste, que si la manœuvre est différente 
effectivement, le soin à mettre pour faire les deux opérations est le même, 
si l'on veut obtenir la plus grande exactitude possible. Dans une pareille 



88 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

théorie, l'on se trouvera toujours entre la spéculation pure et les faits, 
puisqu'il n'y a pas de représentation réelle du point, ce que nous consi- 
dérons comme tel, étant une petite surface, soit sur l'épure, soit à la pointe 
du compas, etc. 

Il pourrait encore sembler nécessaire de tenir compte du nombre de fois 
que la construction oblige cà changer d'instruments en quittant le compas 
pour reprendre la règle et réciproquement ; on emploierait pour cela un 
nouveau symbole, — la chose serait, du reste, facile — mais elle nous semble 
superflue et ne se trouve pas dans le point de vue où nous nous sommes 
placés; d'abord, ce changement d'instrument n'est ni une opération de pré- 
paration Ri, Cl, C,, ni une opération de tracé R^, C3 qui importe au résultat ; 
ensuite l'idée qui la ferait admettre, c'est le désir de tenir compte du 
temps et nous ne considérons pas directement cet élément. Nous disons 
que la construction A est plus simple que la construction B si A exige 
moins d'opérations élémentaires théoriques que la construction B, voilà 
tout. 

Les positions des données amènent en pratique des impossibilités ou des 
complications de tracés pour résoudre les difficultés, alors le temps serait 
évidemment un élément à considérer, mais nous croyons impossible de 
le faire théoriquement ; on peut objecter aussi que le temps employé à 
l'étude prélim.inaire de la construction à exécuter compense celui qu'on 
gagnerait à exécuter l'épure sans tant de recherches, mais d'abord un 
peu d'exercice rend cet examen rapide et, surtout, nous ne considérons 
pas le temps, mais nous avons en vue l'exactitude de l'épure qui est évidem- 
ment d'autant plus grande qu'il y a moins d'opérations à effectuer, puisque 
chacune d'elles entraîne une erreur (*). 

C'est toujours en suivant la même idée théorique que nous avons 
adopte l'hypothèse que les opérations élémentaires Rj, Rg. C,, C2, C3 étaient 
égales pour former le coefficient de simplicité, nous les considérons comme 
des éléments et une opération de simplicité n est une opération qui exige 
n opérations élémentaires. 

Il serait facile d'imaginer des moyens qui sembleraient évaluer les 
rapports de la durée des opérations élémentaires en faisant exécuter en 
même temps plusieurs constructions déterminées, par des ensembles de 
bons dessinateurs, lesquels répéteraient m fois la même construction, de 
marquer le temps et de déduire de là, en prenant les coefficients de Ri, 

(*) A propos de l'influence du nombre des opérations sur l'exactitude finale du résultat, noussigna- 
lerons une question qui nous semble fort intéressante, mais que nous n'avons pas poursuivie, parce 
que sa solution dépend de spéculations avec lesquelles nous ne sommes pas très familiarisés. 
J'appelle E l'erreur m(jyenne probable que l'on fait sur cbaque opération élémentaire, E,j l'erreur 

probable finale d'une construction dont la simplicité est n. Cela posé, quelle est la valeur probable 

E„ 
de — si un même résultat est recherché par deux solutions qui exigent respectivement n et n' opé- 

rations élémentaires, c'est-à-dire dont les coefficients de simplicil(' sont n et n'? 



K. LEMOl.NE. LA GÉOMÉTROGRAPHIE 89 

Rj, etc. comme inconnues, des équations qui permettraient de déterminer 
leurs rapports de durée ; mais en y réfléchissant un peu, l'on voit que 
l'on n'aurait ainsi que des valeurs s'appliquant aux circonstances parti- 
culières des épures adoptées pour faire cette expérience, et nullement à la 
pratique générale ; la chose peut avoir cependant un intérêt de curiosité, 
quoique nous ne fassions pas intervenir directement le temps dans Vcri 
de la construction géométrique, et nous avons le projet de la mettre à exé- 
cution, si nous trouvons des circonstances favorables pour cela. 

J'ai déjà dit que les géomètres n'avaient jusqu'ici cherché que la sim^ 
plicité spéculative du raisonnement et de l'expression, qu'ils n'ont pas 
paru soupçonner que la simplicité de la construction réelle était tout 
autre. 

Cela vient évidemment de ce que les géomètres construisent peu en 
général, et Vart de la construction n'a pas eu jusqu'ici de place dans la 
géométrie : 1" parce que les géomètres spéculatifs ne s'en sont jamais 
occupé ; 2° parce que les dessinateurs de profession n'ont en général que 
très peu besoin de ces subtilités dans les constructions usuelles de leur 
métier; qu'ils doivent avoir l'esprit plus apphqué à la pratique propre- 
ment dite qu'à des recherches théoriques (cependant utilisables par eux 
et qu'ils ont adopté, sans examen et tout naturellement, les constructions 
indiquées de tout temps par les géomètres dans les livres didactiques qu'ils 
ont entre les mains. 

Il n'est point surprenant que la simplicité du raisonnement spéculatif 
ne corresponde pas très fréquemment à la simplicité de la construction : 

i° Parce que le lexique géométrique permet de condenser souvent en 
un mot des opérations très complexes ; 

2° Parce que le raisonnement est libre de toute entrave, tandis que la 
construction est assujettie à se servir de certains instruments déterminés, 
la règle et le compas (-), au moyen desquels il faut que tout s'exécute. 

Lorsque l'idée nous est venue de nous occuper de ces questions, nous 
avions songé d'abord à une autre représentation des constructions, dont 
nous allons dire quelques mots. 

Avec une règle on ne peut faire autre chose, pour une construction, que : 

Tracer une droite quelconque op. : (oj ; 

Tracer une droite passant par un point donné op. : (cj ; 

Tracer une droite passant par deux points donnés op.: (03). 

Et, avec un compas, que : prendre entre les branches du compas la dis- 
tance de deux points op. : (y ). 

Reporter cette distance sur une ligne donnée : 



(*) Nous n'avons pas considéré ici Téquerre parce qu'on ne remploie pas dans les construction.s nul 
doivent être très exactes; mais, ainsi que nous l'avons montré (A. F., (1888, Congrès dOran, p. 9 
et ailleurs), il est l'acile d'évaluer le symbole des opérations où Ton emploierait cet instrument. 



90 MATHK.MATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Soit à partir d'un point quelconque ^ . . . op.: (y^). 

Soit à partir d'un point donné op.: (y','). 

Tracer un cercle d'un centre quelconque op.: (y.J. 

Tracer un cercle d'un centre donné .op.: (y'g). 

Tout tracé fait avec ces instruments peut donc être représenté par un 
symbole de la forme : 

A(pO + B(p,) + C(p3) + D(y,) + E(y;) + F(y;') + G(y,) + H(y;). 

Nous y avons renoncé assez vite : 

Parce que cette représentation est trop compliquée; 

Parce que ces diverses opérations sont trop ditférentes entre elles pour 
qu'on puisse les assimiler à aucun point de vue ; 

Parce que la plupart des symboles qu'elle admet se composent d'opé- 
rations irréductibles qu'il vaut mieux prendre pour points de départ; 

Parce qu'elle ne met pas en évidence les opérations de préparation 
Cl, Co, Ri et ne s'occupe que des tracés ; 

Parce que l'on ne peut se placer à un point de vue aussi rationnel que 
celui que nous avons adopté dans ce qui précède ; 

Parce qu'elle ne donne pas la notion de l'évaluation de l'Exactitude, 
et que, malgré le détail dans lequel elle semble entrer, elle vaut moins 
que la représentation qui se conlenterait de dire : il faut pour ce tracé 
tant de droites, tant de cercles. 

Je désire avoir bien montré par ce mémoire qu'il existe un art des 
constructions géométriques qui a ses règles propres, son élégance, sa 
grande valeur didactique d'exercice de discussion, et enfin son application 
pratique. 

Comme achèvement des idées émises dans le mémoire du Congrès 
d'Oran déjà cité, il resterait à refaire la géométrie en mettant toutes les 
propositions sous la forme classique du syllogisme. Nous croyons même 
que c'est la partie la plus importante du sujet, — dont ce qui précède n'est 
qu'une application particulière, — parce que c'est le seul moyen démettre 
en évidence et hors de contestation toutes les notions élémentaires irré- 
ductibles ou axiomes expérimentaux qui servent de fondement à la 
géométrie et qui sont, en somme, toujours discutés dès que l'on s'en 
occupe philosophiquement; nous regrettons de ne pouvoir nous mettre, 
au moins actuellement, à cette étude qui est d'un intérêt de premier ordre, 
à notre avis. 

J'ai dit dans le cours du travail que je viens de soumettre à votre 
appréciation : Les géomètres ne se sont jamais occupé des constructions 
jusqu'à leur exécution matérielle finale. Il est certain que, à la lecture de 
cette phrase, il viendra à l'esprit des géomètres une protestation contre 
cette assertion : mais, au contraire, c'est le but final des théorèmes et l'on 



E. 



LEMODiE. — LA GÉOMÉTROGR.\PHIE 91 



s'en préoccupe toujours. Je ne doute pas quu cette réflexion ne soit faite, 
car elle n'a jamais manqué d'être la réponse à mon affirmation quand je 
la produisais en conversation. Je ne crois pas pouvoir mieux la réfuter 
et prouver ma thèse qu'en citant ici (avec l'assentiment des géomètres mis 
en cause), deux faits typiques : 

Au mois de novembre 1891, j'avais, à une séance de la Société mathé- 
matique, parlé de mes idées sur ïart des constructions géométriques, et je 
causais de ce sujet avec M. Mannheim, en sortant. 

Je suis Taxi de pouvoir citer M. Mannheim à cette occasion, car, pas un 
géomètre n'a mieux que lui — avec une préoccupation évidente — donné 
élégamment, sur les sujets qui l'ont occupé : surface de l'onde, rayons 
de courbure, \'is à filets triangulaires, construction des axes dune ellipse 
connaissant deux diamètres conjugués, mémoire d'optique géométrique, 
géométrie cinématique, et dans ses cours à l'École Polytechnique, etc.. des 
constructions finales claires et simplement exprimées. 

Voici des lambeaux de notre conversation se rapportant à l'objet que 
j'ai en vue : 

Moi. — « ... Le géomètre appelle simple une construction synthétisée 
» en quelques mots du vocabulaire géométrique ; mais, le compas à la 
» main, la plus simple de deux constructions n'est pas celle qui s'ex- 
i> plique avec le moins de mots; ainsi, pour la construction du pro- 
» blême d'Apollonius, dont je parlais ce soir, il faut, dans la solution de 
» Bobillier et Gergonne, trouver le centre radical des trois circonférences, 
» ce qui exige le tracé de deux axes radicaux, etc., et il est nécessaire, 
» pour savoir si la solution de Bobillier et Gergonne est la plus simple à 
» tracer, de s'occuper d'abord de chercher les tracés les plus simples 
» qu'elle comporte, celui de l'axe radical de deux circonférences, etc.. » 

i>I. 3Iannheim. — «... Il y a plusieurs moyens très simples : je citerai, 
y à première vue, la propriété de l'axe radical de passer par les milieux 
» des longueurs comprises sur les tangentes communes entre les deux 
» cercles... » 

Le Géomètre avait raison ; pour lui, dans ses spéculations, quand on 
donne deux cercles, les tangentes communes sont données, les milieux 
des segments aussi, etc. ; il s'en sert dans ses raisonnements et en tire 
ses énoncés de construction ; il s'arrête, sa tâche est finie dès qu'il a 
ramené la question à des constructions géométriques élémentaires. 

Mais le Constructeur ? 

Examinons ce qu'il aurait à faire pour tracer ainsi l'axe radical, les 
deux cercles tout seuls étant sur l'épure ; nous supposerons les deux cir- 
conférences extérieures . 

1° Tracer deux des tangentes communes aux deux cercles ; 

2° Placer les points de contact ; 



92 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

3° Prendre les deux milieux de la distance qui sépare les points de 
contact ; 

4° Enfin, joindre ces deux milieux. 

Ce qui, en prenant la construction XIX, première méthode (la plus 
simple dans ce cas), et en conduisant toute la construction économique- 
ment, suivant nos principes, donne : 

Op. : (18Ri + 9R, + 19Ci -f- I2C3); simplicité 58 (soit 58 opérations 
élémentaires); exactitude 37 ; 9 droites, 12 cercles. 

Et la méthode que nous avons employée (construction XLI), pour tracer 
l'axe radical n'exige que : 

Op. : (lORi -f- ^1^2 + 2C3); simplicité 17 (soit 17 opérations élémen- 
taires); exactitude 10; 5 droites, 3 cercles. 

Elle est plus de trois fois plus simple à tracer. 

11 est évident que ces considérations ne seront qu'un jeu pour les 
géomètres, dès que leur attention sera portée sur ce point; ainsi, ayant 
fait voir à M. Mmmheim, dans la suite de notre causerie, que la cons- 
truction qu'il avait citée, à première vue, comme simple était fort com- 
pliquée, je fus amené à dire : « Eh bien! quel est, à votre avis, la construc- 
tion la plus simple du point de Lemoine?» 11 ne répondit plus sur-le-champ 
comme la première fois, mais il m'envoya, dès le lendemain matin, une 
construction du point de Lemoine qui était la même que celle que je regar- 
dais comme la plus simple ot que je donne ici (construction LU). 

Voici le second fait que je veux citer. 

En rédigeant le texte relatif à la construction LV de ce mémoire, pour 
placer les points de Brocard, j'eus l'idée d'écrire à mon ami M. Brocard 
en lui demandant de m'envoyer celle des constructions de ces points qu'il 
croyait la plus simple, afin de la comparer avec celle que ma méthode 
m'avait fait choisir. 

Je copie le passage y relatif de sa réponse. 

« Pour la détermination des points oj, w', il me semble que la cons- 
» truction la plus rapide est la suivante, réduite au minimum de lignes. 

» Soit ABC le triangle; tracer le cercle circonscrit; tracer les trois tan- 
» gentes BC, CB', C'AB'; joindre BB', CC qui se coupent au point K 
>■> de Lemoine. Décrire le cercle Zqui a pour diamètre la droite OK (0 contre 
)) du cercle circonscrit); mener par A la droite EAD parallèle à BC; elle 
» coupe BC en E, CB' en D; joindre DB, EC qui se coupent en Aj sur le 
« cercle Z; les secondes intersections de ces droites DB, EC avec Z sont 
» les points w et w'. » 

Analysons cette construction en l'exécutant à la lettre, mais en prenant 
cependant les constructions réduites de ce mémoire. 

1° Je trace le cercle circonscrit (voir construction XXI) 

op.: (4Ri + 2R,-f oC, + -iC3). 



!■;. LKMOINE. LA GÉOMÉTROGRAIMIIK 93 

2° Je trace les trois tangentes en A, en B et en C (voir construction XXV). 

op. :(6Hi + 3R, + 12Ci-[-9C,). 

3" Je joins BB', ce op. : (4Ri -f 2R,). 

4° Je trace le cercle OK (construction XIX) 

op. : (2R, -f R, + 4C,-f-3C3). 

5° Je mène par A une parallèle à BC (construction XVII) en me servant 
de la construction 1° et en remarquant que le cercle circonscrit déjà tracé 
me permet une économie de op. : (Ci-f-Ca). op. : 2Ri-|-2R2+ 3Ci + Cg). 

6° Je joins DB, EC op. : (4R, + 2R,). 

En lout : op. : (22R, + ilR, + 24C, + 170,) ; simplicité 74; exac- 
titude 46; 11 droites, 17 cercles. 

Notre construction LV donne : simplicité 38; exactitude 24; 6 droites, 

8 cercles. 

Et cependant, si M. Brocard avait eu l'attention attirée sur le point de 
la construction effectuée, il n'aurait pu songer qu'à la solution que nous 
avons développée, car elle est, en principe, de lui. (A. F., 1881, Congrès 
d'Alger, 10, p. 14(3.) 

Je dois ajouter qu'en appliquant complètement notre méthode l'on peut 
réduire de quelques unités le symbole de la construction qu'il nous a 
envoyée; en efîet, pour tracer les trois tangentes en A, en B et en C, l'on 
peut faire en A l'angle B'AC == B en utilisant les cercles de même rayon 
décrits de A, B, C dans le tracé du cercle circonscrit. 

On les a ainsi par op. : (GRi + 3R, -f 9Ci -f SCg). 

Pour mener la parallèle en A à BC, on peut se servir des mêmes cercles 
et gagner encore deux opérations élémentaires en faisant angle EAB = C, 
pendant que l'on a la longueur de la corde de l'arc correspondant à C 
dans le compas, pour tracer l'angle B'^^C. 

On a alors cette parallèle par op. : (2Ri -f R^ + Ci + C^). 

Les points w et o/ eussent ainsi été donnés par : 

Op. : (18Ri + 9R, + IQCi + IIC3); simplicité 37; exactitude 37; 

9 droites, H cercles. 

Je n'ai pas fait ces simplifications parce qu'elles dérivent trop de l'esprit 
de la méthode que nous venons d'exposer pour croire qu'un géomètre, 
quelque habile qu'il soit, construisant une figure com7ne tout le monde le 
fait jusqu'ici, eût eu la pensée de les introduire; mais, même ainsi simpli- 
fiée, la construction reste beaucoup trop compliquée. 

J'ai cité deux exemples qui me paraissent caractéristiques. 

A duobus discete omnes. 

Je crois que tout ce que nous venons d'exposer présente la Géométro- 
graphie comme un corps de doctrine à peu près complet en ce qui concerne 
la géométrie de la droite et du cercle telle que l'entendaient les Grecs, 
mais il reste deux applications à faire en détail au point de vue moderne : 



94 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

1° L'application à la géométrie descriptive en ajoutant l'usage de l'équerre 
et d'un nouveau symbole d'opération élémentaire y relatif. 

2° L'application à la statique graphique qui, outre l'équerre, admettra 
l'usage de règles divisées pour éviter les difficultés provenant des ques- 
tions d'arithmologie introduites par l'idée de nombre, difficultés que nous 
avons signalées précédemment, par exemple: au sujet de la division d'une 
longueur donnée en parties proportionnelles à des nombres donnés ou au 
sujet de la construction d'une longueur qui soit m fois une longueur 

donnée. 

Mon ami M. Maurice iVOcagne, qui a eu l'obligeance de présenter ce 
mémoire à la Section de Mathématiques, m'a écrit à son sujet une lettre 
aimable dont j'extrais les lignes suivantes : «... Je crois qu'au point de 
» vue de la spéculation pure, une solution pouvant se résumer dans un 
» langage plus bref sera toujours préférée à une autre, quand bien même 
» celle-ci serait plus simple au sens absolu que vous donnez à ce mort; 
» il faut bien remarquer, en effet, que la plupart des constructions indi- 
» quées en géométrie pure, sont destinées à n'être jamais réalisées effec- 
» tivement, telles sont les contructions de centre de courbure pour les 
» coYirbes autres que les courbes usuelles; il vaut mieux, dès lors, 
» qu'elles s'expriment sous une forme plus concise, plus élégante, plutôt 
» que de se traduire par une opération graphique plus expéditive. Cela 
» est loin, d'ailleurs, de supprimer l'intérêt qui s'attache aux ingénieuses 
« considérations que vous avez développées ; celles-ci trouvent, en etlet, 
» un vaste champ d'application dans la géométrie pratique et notamment 
» dans la géométrie descriptive. L'art de dresser les épures a tout à ga- 
» gner à s'inspirer de. vos méthodes... Je vous fais part de ces réflexions 
» que j'ai émises à nos collègues de la 1*'' Section, pour que vous puis- 
» siez y répondre... » 

Je remercie doublement M. d'Ocagne, et d'avoir présenté pour moi ce 
travail, et de m'avoir écrit ces lignes; mais je n'ai pas à répondre, 
en ce qui concerne son observation, car je suis tout à fait du même avis 
que lui et je n'ai point eu l'idée de faire ou de dire quelque chose qui en 
impliquât un autre ; je vais seulement profiter de l'occasion pour bien, 
spécifier mon but. Je ne m'étonne nullement que ce but ne soit pas res- 
sorti pour M. d'Ocagne d'une lecture de ce long mémoire, qui n'avait 
pu être approfondie puisque je le lui ai remis la veille de son départ 
pour Pau, et je crains surtout d'ailleurs de ne pas avoir suffisamment 
mis ce but en relief. 

Je ne m'occupe point de l'exposition de la géométrie; pour chaque 
question, plus elle sera concise, élégante, etc., mieux cela vaudra, c'est 
évident, et il n'y a rien à changer à l'idéal de perfection que le géo- 
mètre doit poursuivre; je vise autre chose, car, à côté de la solution 



K. I,I:M01>E. — I,\ GKOMÉTKOGKAPHIE 9o 

spéculative d'une question, il y a la construction cfTectuée de cette solu- 
tion, et la façon de réaliser les constructions constitue une branche par- 
ticulière de la connaissance, un art dont on ne s'est jamais occupé; c'est 
de lui seul dont il s'agit dans mon travail. 

Je n'y prétends même pas suivre exactement la construction réelle, 
puisque je prends pour hypothèse que les instruments et la feuille d'épuré 
ont toutes les dimensions possibles jusqu'à l'infini, que les positions rela- 
tives des données sont indifférentes, etc. C'est la construction rationnelle 
que j'analyse; on ne peut, je crois, analyser d'une façon générale la cons- 
truction réelle, puisque l'exécution d'une même construction est ou facile 
ou pratiquement impossible suivant les grandeurs ou les positions des 
données. Ainsi il est souvent facile de placer les intersections d'une droite 
et d'un cercle, il sulïït de les tracer sur l'épure; mais si !e cercle a 
100 mètres de rayon, comment fera-t-on? 

Nous ne pouvons donc suivre la construction réellement effectuée, mais 
il est clair cependant que de deux constructions d'un même problème, 
évaluées toutes deux par notre méthode, celle pour laquelle on aura le 
plus petit nombre d'opérations élémentaires à exécuter, sera par essence 
la plus simple et que, toutes choses égales d'ailleurs, c'est elle qu'il fau- 
drait rationnellement mettre en pratique plutôt que celle qui exige un 
plus grand nombre d'opérations pour sa réalisation; dans le cas, très fré- 
quent, où l'on compare deux constructions et que, dans l'une d'elles, tous 
les coefficients de Rp R2, C^, C2, Cg sont respectivement au plus égaux 
aux coefficients de l'autre, la chose n'est même pas susceptible d'être 
discutée. 

Il est un seul point de la lettre de M. cVOcagne sur lequel nous ne 
sommes peut-être pas d'accord, c'est lorsqu'il dit que les constructions 
géométriques ne sont, au fond, que spéculatives, c'est-à-dire qu'on ne les 
exécute jamais. C'était vrai pour les Grecs ; s'ils traçaient des figures en 
croquis sur le sable, la chose servait simplement à aider le raisonnement, 
mais ce n'était pas de la construction. Cela explique qu'eux, si affinés, si 
ingénieux dans leurs spéculations géométriques, n'aient point eu l'idée de 
la Géométrographie qui n'avait pas d'objet puisqu'ils ne faisaient pas 
d épures (*) ; nous disons, nous, une construction faite au moyen de la règle 
et du compas, les Grecs disaient une solution possible avec la droite et le 
cercle, notre expression indique les instruments de la construction, la 
leur, les données spéculatives. L'idée si simple et si naturelle de la Géomé- 



(* I Les Grecs ne faisaient pas d'épurés même pour leurs constructions d'édifices; c'est du moins l'avis 
des savants qui se sont spécialement occupé de la question, de M. Choisy, par exemple, dont on 
connaît les beaux travaux sur l'architectuie grecque ; toutes les dimensions étaient détermini'es par 
le calcul; du reste, eussent-ils fait quelques croquis sur le sol, sur des parois de muraille, etc., 
que cel.i n'avait que peu de rapport avec nos épures et ne pouvait faire, chez eux, naître l'idée d'un 
art propre de la construction géométrique. 



96 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

trographie n'est pas née plus tôt, précisément parce que la géométrie 
nous vient des Grecs, que nous avons naturellement suivi leurs traces, 
adopté leurs méthodes, développé leurs conceptions, etc., sans imaginer 
qu'à la base il se trouvait un détail auquel ils ne devaient pas avoir songé, 
puisque son objet : la construction géométrique etléctive, n'existait pas 
pour eux. Aujourd'hui, la Géométrographie s'impose, au contraire, car l'on 
utilise pratiquement beaucoup de constructions géométriques et des plus 
délicates dans les ateliers de précision, pour les machines, etc., etc. Je dois 
dire d'ailleurs que ce point de vue utilitaire ne m'a pas conduit, j'ai pensé 
simplement que, puisque l'on croit utile de donner des constructions qui 
puissent être effectuées avec la règle et le compas, il fallait les donner les 
plus simples possibles et indiquer aussi les moyens généraux de construire 
le plus simplement. Montrer d'une façon complète que l'on exécute réel- 
lement et de divers côtés, dans un but pratique, des tracés géométriques 
d'origine spéculative, et qu'il y a même des géomètres amenés à en exé- 
cuter pour leurs recherches, m'entraînerait trop loin, mais je veux cepen- 
dant citer quelques exemples à l'appui de mon affirmation. 

1° Au courant d'une recherche, on a souvent la présomption d'un théo- 
rème ; la démonstration de son exactitude ou de son inexactitude peut 
conduire soit à de très longs calculs, soit à des études d'autant plus 
ennuyeuses à tenter qu'elles sont faites en pure perte si la présomp- 
tion n'est pas exacte ; beaucoup de géomètres trouvent donc commode 
d'économiser le temps en faisant d'abord une vérification pratique par 
le trait, c'est-à-dire une construction dont le résultat ne démontrera 
rien, bien évidemment, mais indiquera, ordinairement, si l'idée doit 
être poursuivie ou abandonnée; j'ai eu moi-même assez souvent recours 
à ce procédé. 

2° Je citerai ensuite un petit travail de M. Laisant : Constructions gra- 
phiques de nombres transcendants, inséré dans le livre publié à l'occasion 
du centenaire de la Société philomatique, en 1888, qui obligeait à une 
construction délicate pour laquelle il a dû s'adresser à un habile dessi- 
nateur . 

3° Des résultats spéculatifs importants ont même été découverts par le 
seul moyen de constructions graphiques et démontrés postérieurement; 
pourquoi les essais préalables seraient-ils impuissants entre les mains 
du géomètre, quand l'arithmologue en fait un moyen ordinaire d'arriver 
à la probabilité ou à la fausseté du théorème qu'il a en vue? Voici, du 
reste, un cas que je cite avec détails parce que je le crois peu connu. 
M. Dunesme, ancien élève de l'École des Beaux-Arts, architecte, maître 
de dessin graphique à l'École normale et au ci-devant Lycée Napoléon, 
mort il y a une vingtaine d'années, a découvert, le compas à la main de 
très curieuses propositions ; je signale les suivantes parmi celles qu'il 



K. LEMOINE. — LA GKOMÉTROGRAPHIE 97 

a communiquées à l'Institut et qui sont maintenant des théorèmes 
courants : 

a) Toute courbe C est l'ombre d'une surface de révolution S (éclairée, 
par des rayons parallèles; sur un plan perpendiculaire à l'axe de S ; 

La développée de C est l'ombre d'un conoide ayant pour axe l'axe 
de S, pour plan directeur le plan perpendiculaire à cet axe et pour di- 
rectrice l'ombre propre de S. 

b) Si l'on fait tourner une conique autour d'un axe parallèle à un 
axe de figure, elle engendre une surface de révolution dont V ombre propre 
projetée sur un plan perpendiculaire àVaace est une conchoide de conique. 

c) Si l'on fait tourner une sinusoïde autour de la ligne des centres, 
elle engendre une surface de révolution S ; si l'on éclaire cette surface pa/r 
des rayons à 4o°, l'omhi'e propre de S projetée sur un plan jjerpendicu- 
laire à l'axe se compose de deux cercles ; l'ombre portée sur le plan per- 
pendiculaire à l'axe est une cycloïde. 

M. Dunesme faisait avec un soin méticuleux des épures admirables, 
déterminant les Rj et les Ci à la loupe, etc.; je tiens ces détails de mon 
camarade H. Laurent, examinateur d'entrée à l'École polytechnique; 
M. Dunesme était un proche parent de sa mère. 

4° M. d'Ocagne lui-même a — très légèrement — ressenti l'influence de 
la Géométrographie. Vers la fin de 1891, à une séance de la Société 
mathématique, il nous parla d'un problème de construction géométrique 
inspiré par les études de son service actuel (le iSivellement général de la 
France), et en indiqua une solution; le même jour, j'exposai à ce propos 
un résumé succinct des études que je faisais pour évaluer la simplicité et 
l'exactitude des constructions géométriques. A une séance suivante M. Lai- 
sant apporta, du même problème, une solution plus simple, et M. d'Ocagne 
une modification de la première qui semblait, cependant, évidemment 
moins simple à construire que celle de M. Laisant et l'était effectivement, 
comme le démontrait ma méthode de comparaison. M. d'Ocagne revint 
ensuite sur la même question, car il fit présenter à l'Académie des 
Sciences, par M. Bouquet de la Grye, une nouvelle solution qu'il croyait, 
à tort, plus simple, sans doute parce qu'elle s'énonçait plus brièvement 
et qu'il n'avait point d'autre critérium. 

Ayant l'intention de rédiger, comme application de ma méthode, une 
note que je présenterai prochainement à la Société mathématique et dans 
laquelle je comparerai toutes ces solutions du même problème au point de 
vue de la simplicité et de l'exactitude de la construction, j'ai demandé à 
M. dOcagne quelques détails et, dans sa réponse, il m'a envoyé une der- 
nière solution que je viens d'examiner et qui, celle-là, est la plus simple 
de toutes. .Je crois bien que, sans l'idée de Géométrographie, ce problème 
n'eût point été traité aussi à fond, car tout géomètre qui n'aurait point eu 

7* 



98 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

cette préoccupation nouvelle aurait été satisfait de la première solution. 

Cet exemple montre de plus que, même quand on a l'attention attirée 
sur la simplicité des constructions, on ne peut pas, sans notre méthode, 
juger quelles sont les plus simples, car M. d'Ocagne avait évidemment 
cru que la solution présentée à l'Académie était plus simple que celle 
qu'il avait exposée d'abord à la Soc. Math., et c'est le contraire qui a 
lieu de la façon la plus absolue. 

Sauf cette légère restriction, je ne puis que souscrire à ce qu'a dit 
M. d'Ocagne, choses que j'ai, du reste, voulu indiquer en plusieurs 
endroits du présent mémoire. 

Il est un point qui mérite aussi quelques mots d'explications, lesquelles 
répondront à une objection que je m'étais faite à l'origine et qui doit, tout 
d'abord, se présenter à l'esprit de ceux qui examinent notre méthode. 
Est-il légitime de supposer identiques les opérations : C,, C,, Cj, Ri,R:, dans 
la composition des coefficients de Simplicité et d'Exactitude? Non, évidem- 
ment, s'il s'agissait, dans la Géométrographie, d'une sorte de métrage 
absolu ; mais ce n'est nullement le cas, et si j'assimile ces opérations, c'est 
parce qu'elles sont élémentaires, c'est-à-dire indécomposables en d'autres 
plus simples et que, spéculativement^ elles ne sont ni plus simples ni 
moins simples l'une que l'autre. Le mot mesure ne peut donc pas être 
rigoureusement introduit, avec le sens qu'il a habituellement, puisqu'il 
s'applique à la comparaison d'une grandeur avec une autre grandeur de 
même nature prise pour unité ; une construction n'est pas une grandeur 
et elle s'exécute au moyen d'opérations élémentaires irréductibles entre 
elles. Si j'emploie l'expression : mesures de la simplicité, etc., c'est dans 
un sens imagé, parce que je trouve qu'il convient mieux à mon but que le 
mot général : comparaison. Exiger la rigueur absolue ici est impossible et 
serait absurde, car elle conduirait à rejeter même toute comparaison entre 
les simplicités pratiques de certaines constructions ; comment, en effet,, 
apprécier rigoureusement si la construction 20, est plus ou moins simple 
que SOR;, puisque les unités Cj et R, sont différentes. En réfléchissant un 
peu à l'essence de la question et en pratiquant la Géométrographie, on re- 
connaîtra, je pense, comme nous, que nos assimilations sont admissibles 
dans l'ordre d'exactitude spéculative où les tracés géométriques le sont 
eux-mêmes, car nous disons : je trace une ligne, je place un point, et ni 
la ligne ni le point n'ont d'existence objective. Il y a, du reste, des cas très 
fréquents où même ces scrupules théoriques n'auraient point à s'appliquer; 
ainsi la construction dont le symbole est : op. : (4Ri -{- 2R,-j- 8 Cj -|- 3Cj 
est, à quelque point de vue que l'on se place, moins simple spéculative- 
ment que celle dont le symbole est : op. : (2Ri -[- R, -f- 5Ci -f-Cj), puisque 
les coefficients de toutes les opérations élémentaires, qui sont en réalité 
les unités indépendantes de notre évaluation, sont plus petits dans la 



É. LEMOINE. — L.V GKOMÉTROGRAPHIE 99 

seconde que dans la première; ce cas se présente, par exemple, dans le 
problème de M. d'Ocagnc, problème dont nous venons de parler ; enfin 
notre méthode donne, en tous cas, un critérium spéculatif plus ou moins 
parfait dont nous avons déjà montré dans ce mémoire des résultats pra- 
tiques incontestables; avant elle, il n'existait aucun critérium. 



RÉSUMÉ ANALYTIQUE PAR ORDRE DE MATIÈRES 



Introduction. 

Exposition de la théorie de la Simplicité et de V Exactitude. 
Applications : 
1. — Tracer une droite quelconque. 
II. — Tracer une droite par un point donné. 

III. — Tracer une droite par deux points donnés. 

IV. — Tracer un cercle quelconque. 

V. — Tracer un cercle quelconque dont le centre est donné. 
VI. — Prendre avec le compas une longueur donnée. 
VII. — Porter sur une ligne une longueur prise. 
VIII. — Porter sur une ligne une longueur donnée. 
IX. — Tracer un cercle passant par deux points A et B. 
X. — Placer un point à égale distance de deux points donnés. 
XI. — Par un point donné sur une droite, tracer une seconde droite qui fasse 

avec la première un angle égal à un angle donné. 
XII. — Connaissant deux angles d'un triangle, construire le troisième. 

XIII. — Construire un triangle, connaissant un côté et les deux angles adjacents. 

XIV. — Construire un triangle, connaissant deux côtés et Fangle compris. 

XV. — Construire un triangle, connaissant deux côtés et l'angle opposé à l'un 

d'eux. 
XVI. — Construire un triangle, connaissant les trois côtés. 

XVII. — Par un point pris hors d'une droite, mener une parallèle à cette droite. 
XVIII. — Tracer une perpendiculaire en son milieu, à une droite limitée par deux 
points, et placer le milieu d'une longueur tracée. 
XVIII bis. — Placer le point symétrique A' d'un point A par rapport à une droite 
donnée BC. 
XIX. — Décrire un cercle sur une droite donnée comme diamètre. 
XX. — Tracer par un point C une perpendiculaire à une droite AB. 
XXI. — Décrire une circonférence passant par trois points donnés. 
XXII. — Diviser un angle donné en deux parties égales. 

XXIII. — Diviser un arc donné en deux parties égales. 

XXIV. — Tracer la bissectrice de l'angle formé par deux droites qu'on ne peut 

prolonger jusqu'à leur intersection. 
XXV. — Tracer par un point A d'une circonférence une tangente à cette circon- 
férence. 
XXVI. — Tracer d'un point extérieur les deux tangentes à une circonférence de 

centre 0. 
XXVII. — Inscrire un cercle dans un triangle donné. 

XXVIII. — Construire sur une droite donnée un segment capable d'un angle donné. 
XXIX. — Construire les tangentes communes à deux cercles donnés. 
XXX. — Construire une droite qui soit n fois une longueur donnée. 
XXXI. — Construire une droite qui soit la n''"" partie d'une longueur donnée, 
XXXII. — Diviser une droite en p parties proportionnelles à des droites données. 
XXXIII. — Construire la quatrième proportionnelle à trois droites données. 



100 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

N' 
XXXIV. — Construire la troisième proportionnelle X — — • 

Ij-i ,.ï p-2 f,2 f,2 If. i)ç ca ah 

XXXIV 5/s. — Dans un triangle ABC, construire — » -?— »— '~'~' ~'"r' — ' 

" aabuccaoc 

XXXV. — Construire la moyenne proportionnelle entre deux droites données. 
XXXVI. — Diviser une droite en moyenne et extrêma raison. 
XXXVII. — Tracer par un point donné une droite passant par le point de rencontre 

de deux droites données que l'on ne peut prolonger jusque-là. 
XXXVIII. — Placer le point réciproque d'un point donné, par rapport à un cercle 
donné. 
XXXIX. — Tracer la polaire d'un point donné, par rapport à une circonférence 
donnée. 
XL. — Placer le pûle d'une droite donnée, par rapport à une circonférence 

donnée. 
XLI. — Tracer l'axe radical de deux circonférences. 
XLll. — Placer le centre radical de trois circonférences. 
XLIII. — Placer un point donné par ses coordonnées cartésiennes relatives à deux 

arcs donnés. 
XLIV. — Placer les centres de similitude de deux circonférences données. 
XLV. — Tracer les axes de similitude de trois circonférences données. 
XLVI. — Étant donnés deux points A et B sur une droite, placer le conjugué 

harmonique G' d'un point donné C par rapport à A et à B. 
XLVII. — Les deux extrémités A et B du côté d'un carré étant placées, placer les 

deux autres sommets. 
XLVIII. — Placer les axes d'une ellipse dont on donne, placés, deux diamètres con- 
jugués. 
Principes de l'art de la construction géométrique. 
XLIX. — Placer un point M dont on connaît : 1° les coordonnées normales propor- 
tionnelles l, m, n par rapport à un triangle de référence; 2° deux 
coordonnées normales absolues. 
L. — Placer le centre de gravité d'un triangle. 
LI. — Placer le point de Lemoine d'un triangle. 
LU. — Tracer la droite de Lemoine. 
LUI. — Placer le centre de gravité et le point de Lemoine d'un triangle en 

une même construction. 
LIV. — Placer un point de Brocard. 
LV. — Placer les deux points de Brocard. 
LVI. — Placer le point de Steiner. 
LVII. — Placer le point de Tarry. 

S 2S 
LVIll. — Construire la longueur rr ou ^ dans un triangle. 

K n 

LIX. — Placer le point de Gergonne d'un des cercles tangents aux trois côtés 

d'un triangle. 

LX. — Placer le centre de gravité du périmètre. 

p — a 

LXI. — Placer le point de Nagel : etc. 

a 

a^b^ 4- a^c^ — 6V 
LXIl. — Placer le pomt <I> : , etc. 

(I 

a'> b'^c- 

LXIII. — Placer le point VV : ■> etc. 

a 

■Observations diverses sur Vart des eonxiriirlions (jéomélriques. 
Note complémentaire. 



É. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 101 



M. 1 LEMOIIE 

Ancien Élève de l'École Polytechnique, à Paris. 



RÉSULTATS ET THÉORÈMES DIVERS CONCERNANT LA GEOMETRIE DU TRIANGLE, ETC. 



— Héanre du 16 septembre 1892 — 

I. — Sur quelques groupes de trois cercles. 

1. — Soient M^, M^, M^. trois cercles passant respectivement par les 
sommets B et C, C et A, A et B du triangle de référence. Leurs équa- 
tions en coordonnées normales sont : 

^ayz + ^^ax = 0. 

Un trouve facilement que /es paramètres A, B, C sont proportionnels 
aux coordonnées du centre radical M des trois cercles. 

A un même centre radical M(a, fi, y) correspondent une infinité de 
groupes de cercles M^,, M,^, M^, représentés par les équations : 

y «y-^ +^yax = 0, y 0//3 + ^^y ax = 0, 



2"^^ + ^,2""^"^^' 



dans lesquels À désigne un paramètre variable d'un groupe à l'autre. 

Pour trouver les coordonnées du centre et le rayon du cercle M^, nous 
passons aux coordonnées cartésiennes en prenant pour axes des X et des Y 
CA, CB; les formules de transformation sont : 

a; = X sin C, y = ^ sin C, 
. z = ^S — «'^— % ^ 2R sin A sin B - X sin A - Y sin B. 



102 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

La nouvelle équation du cercle M,, sera : 

X^ 4- 2XY cos C + Y^ — x(a - ^) — "^(b - ^ " 7f "= ^• 

On en déduit que les coordonnées normales du centre sont propor- 
tionnelles à : 



C cos A — cos B, C cos B — cos A, 1 + C cos C, 
et que le rayon est donné par : 

'^ 1 _^ C'^ -f 2C cos C 



Pc 



R^ 



(2) 



2. — Cela posé, si les cercles M^^, M^, M^ ont même rayon p, on a 

0,^(i _ l!\ _^ 2).a cos A + X^ rir 0, 

P^(l - Q + "-^^ cos B + À^ = 0, 
T^(l — ^^ + 2ÀY cos C + À^ = 0. ] 
L'élimination de p et X entre ces égalités conduit à l'équation 



(3) 



a^ a cos A 1 

'^^ P cos B 1 
y^ Y cos C 1 



0, 



ou : 



y a(p — Y^) COS A = 0. 



(4) 



(S) 



Donc, si trois circonférences de même rayon passent cJiacune par deux 
sommets différents du triangle de référence, leur centre radical décrit une 
cubique représentée par l'équation (o). 

Si l'on divise les lignes du déterminant (4) par a. S, y, il vient: 



1 , 

a - cos A 
a 

1 

3 - cos B 

1 

Y - cos C 

Y 



=zO. 



On en déduit que la cubique (5) est le lieu des couples de points inverses 
situés en ligne droite avec le centre du cercle circonscrit au triangle de 



K. LEMOINE. GKOMKTRIE DU TRIANGLE 103 

référence; c'est donc le lieu des foyers des coniques inscrites au triangle ABC 
et dont Vaxe focal passe par (*). 

3. — (**) Soient M^, M^, M^ les symétriques des cercles M^, M^, M^ par 

rapport aux côtés BG, CA, AB; M' leur centre radical. Si leurs équa- 
tions sont : 



^ay- + x^^'^ = ^' 2""^^ + B^2 



ax 



0, 



2^'^^" + él 



ax 



0, 



A et A' sont les deux racines de l'équation : 

1 + A'^ + 2A cos A 






ou 



A-4 1 - j^ j + 2A cos A + 1 = 0, 



qui correspondent à une même valeur de p^. On a donc cette relation 
indépendante de p^ : 



1 J 

— I = — 2 cos \ 

A ^ A' -«-us^-^. 



Semblablement 



11 11 

^ + 37=^-2cosB, --f____2cosC. 

Si l'on introduit les coordonnées absolues des points M et M^, ces con- 
ditions prennent la forme : 



1 1 

^ + — , = — 2 cos A, 

/a A a 



1 1 

— + —-, = — -i cos B, 

X3 ' X'3' 



1 1 

-+ — .= - 2 COS G. 

Éliminons entre ces relations les paramètres X et X'; il vient 

1 1 



(6) 



cos A 



a X 



1 


1 








cos B 


i 


P' 




1 


1 






f 


cos G 


Y 


Y 





0. 



Cî) 



(•) Au sujet de cette cubique, voir J. S., 1889, p. 263, et 1890, p. 63. 

(**) Comparer Nieuw Archief von Wiskunde ; deel. VII, p. 78, article de M. Vanden Bertj. 



104 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

De celle équation, on conclut le théorème suivant: 

// existe une infinité de groupes de trois cercles M,^, M^, M^ passant respec- 
tivement jtar B et C, C et A, k et B, et ayant un centre radical donné M 
(c'est-à-dire se coupant deux à deux sur les droites MA, MB, MC) : le centre 
radical W^de trois cercles M'^, M^, M^, symétriques jiar rapport à BC, CA, 
AB (le trois cercles de l'un de ces groupes, décrit une conique représentée par 
C équation (7). 

Celte conique passe par A, B, C, M; c'est une hyperbole équilatère, car 
l'équalion (7) admet la solution : 

\ \ 1 

a : |3 : Y ^^ 



cos A cos B cos i\ 

de sorte que la courbe passe par l'orthocenlre H de AIC 

L'équalion (7) exprime que les inverses des points M, M' sont en ligne 
droite avec le centre du cercle ABC. Par suite, si M- désigne l'inverse 
de M. Vhyperhole (7) est la transformée par inversion triangulaire du dia- 
mètre OM. (lu cercle ABC. 

Toutefois, si M est l'orlhocentre 11, l'équation (7) devient une identité; 
mais, si l'on remonte aux égalités (6j, on voit que M' coïncide aussi avec H. 
De là, un théorème assez curieux. 

4. — Le groupe des cercles M^,, M^,, M^ qui a pour centre radical le 
point M comprend, comme cas particulier, les cercles BCM, CAM, ABM. 
Les cercles M^, M.^, M^ qui leur correspondent, j)assent aussi par un 
même point M , appelé \(i jumeau de M (*). 

Les coordonnées de M résulleut des égalités (6). A cet eiïet, cherchons 
d'abord la valeur de A en exprimant que les cercles {1') passent par le 
point (a, [3, Y), ce qui donne : 

X = 



y/'h 



On trouve ensuite 



1111 1 1 

-, : 1 : i, :^ ^ + 2 cos A : - + 2 cos B : - + 2 cos C; 

a p Y /.a Ap Ay 



donc: 



a' : p' : y' 



Val^Y — 2acosA^aa V^/^^j,, _2,3cos B Vaa V^,8y — SycdsC V^a 

(•) Pour une i_Hude des points jumeaux, nuus ivuvuyoïis à un article de M. Schuule, dans le bulletin 
de Darboiix, 1882. 



K. LEMOINK. — GKOMKTRIE DU TRIANGLE lOo 

Les deux faisceaux M(ABCj, .M^(ABC) étant inversement égaux (par 
suite homograpliiquesj, les intersections A, H, C des couples de rayons 
homologues sont sur une conique passant par M et M-, et ayant pour 
centre le milieu de MM (car si l'on transporte les deux faisceaux paral- 
lèlement de manière à intervertir les sommets M et M , les nouvelles 
intersections des rayons homologues appartiennent à la même conique). 
Autrement dit, MM est un diamètre de l'hyperbole (7). 

Les inverses des points jumeaux M, M sont, comme on le sait, deux 
points tripolairement associés, c'est-à-dire décrivant harmoniqucmcnt un 
diamètre de la circonférence ARC. 

5. — Si nous prenons pour M le centre de gravité de ABC, son inverse 
sera le point de Lemoine K. Le point tripolairement associé à K, point 
que nous désignons par T, est à l'intersection de la droite OK avec la 
droite de Lemoine. Les coordonnées de T sont: 

a(2«- — b^ — c'), etc.. 

et l'on a OT : KT = - cotg'^ (o, m étant l'angle de Brocard. 

Le jumeau du barycentre est l'inverse de T; ses coordonnées sont 

donc: 

1 

a[%i-' — f' — C-) " ' " 

Le jumeau du centre du cercle circonscrit a pour coordonnées: 

sin 2A sin 2P. sin 2C 

siu 3A sin 3B ' sin 3C 

Le jumeau de l'orthocentre H est un point quelconque du cercle cir- 
conscrit au triangle de référence. 

Le point de Aa</e/ (coordonnées normales ^^ , etc.; a pour jumeau 

le point dont les coordonnées sont : -^ , etc. 

2y; — 'Sa 

6. — Proposons-nous de trouver trois cercles M^,, M^, M^.. passant res- 
pectivement par B et C, C et A, A et B, et se coupant orthogonalement 
deux à deux. Soient m^^. œ,^, m^ leurs centres, et p^^, p^, p^ leurs rayons; 
soient aussi À, u, v les angles oj^JJC, oj^CA, (o^AB comptés comme positifs 
ou comme négatifs suivant qu'ils sont extérieurs ou intérieurs au triangle. 
On a les égalités de condition : 

C + a-f pz.:!"- 



A 4- ^i + V = 


_ id,-^ 


B -f V + a :_ 1"^ 


d'où: 




1 

a+ 3 + Y r^^ droit; 



106 MATHÉMATIQUES, ASTROxNOMTE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

par suite : a = A — 45°, p = H — 45«, y := C — 45° 

__ a b c 

^"^ ~ 2 cos (A — 45°) ' ^* ^ 2 cos f B — 45°) ' ^'- ~ 2 cos (C — 45°) * 

7. — Considérons maintenant trois cercles N^,, N^, N^ passant respecti 
vement par un sommet A, B ou C du triangle de référence. On peut les 
représenter par les équations : 

^ayz + m,y + ^,z)^ax = 0, 
Vfl.î/5 4- (L^x 4" ^2^)2«^ ^- ^' 
^aijz + (L,a; + M^ijj'^ax :^ 0. 

Les coordonnées du centre radical vérifient les équations : 

M,y + Ni^ = L,z + N,.- =z L,z + M,r/. 

Pour que les circonférences N^,, N,^ se coupent sur le côté AB, on 
doit avoir : 

Mia + L,6 4- c == 0. 

De même, la condition pour que les cercles N^ et M^ se coupent sur BC, 

<est: N.ô + MgC + a =r 0. 

Enfin les cercles N^, N,^ se coupent sur CA si : 

LgC -|- N,rt -\- b= 0. 

II. — Sur les points complémentaires. 

8. — Soient x, y, z les coordonnées normales d'un point M, prenons le 

point œmplémentaire normal de M M^ : 7j -\- z, z -\- x, x -]- y, 

.le point complémentaire deM^. . M^:^x-\-y-\~z, x-^'iy-\-z,x-\-y-\- 2z, 

Les coordonnées de M„„ sont : 

|(2^»-i 4- l)a. + i (2^"- i)y + i (2-- l)z, 
! (2-^n_ 1)^ ^ 2 ^^,„_, ^ ^j^ _^ 1 j2,„_ ^^j^^^ 

^(2^"_ 1)^ + 1 (2'^«_ 4)^ + I (2'—^ -h 1).'. 



K. LEMOINE. — GKOMÉTRIK DU TRIANGLE i07 

Les coordonnées de M^ni^ sont : 

l (2-- 1)^ + î (-2-'+' +i)l/ + l (2^"+' + ih 
l (r-"+' + \)x + l (^2-- 1)^ + 1 (2^"+^ + 1)--, 
i (2^"+^ + 1).. + î (2^"+^ + i)y + ? (2^'^- 1).. 

M. Vigarié (Mathesis, t. VII, 1887, p. 8) s'est occupé de la même 
question, sans indiquer l'expression qui donne les coordonnées de M . 

Remarque. — Les valeurs des coefficients de x, y, z qui entrent daiu 
une coordonnée de Mp sont les ternies de la (p — if"" réduite de la fracdion 

continue : — 



9 

1 + - 



2 
1-f - 



Tous les points Mp se trouvent sur la droite : V ;(// — :;) — qui joint 

le point M au centre du cercle inscrit. 
Les réduites successives de la fraction continue considérée sont : 

2 2 6 10 20 

î' 3' H' ïï' 21' '^'■' 

et l'on voit facilement par ce qui précède que la réduite de rang 2/; — 1 est ; 

^(2^^-l)+l 

et que la réduite de rang 2^9 est : 

9. — Les dénominateurs de ces réduites se retrouvent encore dans une 
question toute différente que voici : 

Soit ABC un triangle; AiBiC, le triangle formé par les points de con- 
tact Al, Bj, Cl du cercle inscrit à ABC; A^B^Cj le triangle formé par les 
points de contact X^, Bj, C2 du cercle inscrit à AiBjCj; A^BsCg, etc. Ou 



108 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

demande d'exprimer en fonction de A, B. Ç, et de rv la valeur des angles 
du ti'iangle ^^^JC^. 

On trouvera facilement que les angles du triangle A B^ C^^., seront 

donnés par les expressions : 

;r ^ ^ A 3 ""^ ^ ^ B 



■71 » 71 



(£ip—\ <^p—{ 2''^~^ 2"^'^~ 

3' ^ C 



7: 



û)2/)— I û)2p— 1 ' 

et l«es angles du triangle A B.,pC par les expressions : 
3^ , A 3^ ,1^ 

— TT H 1 — 71 -\ 1 

i^ip ' 2"^P '2,^P '±^P 
- + — ; 

•expressions dans lesquelles la suitedes coefficients de xestl, l,3,o, ll,etc., 
■ce qui donne bien, à partir du deuxième coefficient, la suite des déno- 
minateurs des réduites de la fraction continue considérée précédemment. 
On voit que, à la limite, ces droites font entre elles, deux à deux, un 
angle de 60°. (Voir, au sujet de ces dernières questions, une étude très 
complète et très intéressante de M. Collignon, A. F., Congrès d'Oran, 1888. 
p. 4 et suivantes.) 



III. — Sur QUELQUES DISTANCES DE POINTS. 



10. — La distance de lorthocenlre H à l'axe antiorthique est (en 

1 7,2 _j_ ^,2 4p^2 

appelant d la distance Oo, d^ la distance Oo^,) : ^ 

r /• . , » , . „ ■ 1 ■ 1 p'* 4- ro 

La distance de lorthocenlre a taxe an itort nique est: -, - — ^ — ; 

111 

d'où, par transformation continue en A, la distance du point : » - 

abc 

1 {p — af — r ,0^^ 

à la droite — x A- ii A- :^ -^ {) est : - • ; 

^ -^ ^ 6 d„ 



É. LEMOINE. — DU TRIA.NGLE GÉOMÉTRIE 109 

Dans tout ce travail nous posons o := 4R -]- r, B^^ r= 4R — r , etc. 

La distance du centre du cercle circonscrit à l'axe antiorthiquc est : 

—^ — ; par transformation continue en A, on a les distances de H et 

de à la droite — x -\- y -{- z ^= Q ; elles sont : 

1 (p - a)' + r„ - 4R« R(R - ,■„) 
^ ^ ~^. 

La distance du point de Lemol\e à l'axe antiorthlque est ■ ^— ^, 

mM 

d'où, par transformation continue en A, celle du point : — a, b, c à la 

, ., , , ^ abc( ij — a) 

droite — X -\- y -\- z. = est : ^, , m^ = a' + 6^ 4- c^ 

m^d^^ ' ' 

11. — La distance D de la droite de Lemoine à sa parallèle la droite 

qui joint les points de Brocard est donnée par : D 



nVm* — ;-{n* 
La distance du centre du cercle circonscrit à la droite de Lemoine, 

R^ni* 

est donnée par la formule : D'* =r . 

4fm'* — 3n*) 

Cette distance, multipliée par la distance du centre du ceîxle circonscrit 
à un point de Brocard, e^^ égale à R^ cos (o. 

La distance D du point de Lemoine à la droite de Lemolne est donnée 

ii4RS^ 

par la formule : D = ^ • n* = b^c'^ -j- c'a' -f- a'b^. 

m'Yin* — 3n* 

12. — Z étant le milieu de la distance qui joint les points de Brocard, 

on a : 

=^ R^r4 sin* w -f sin- w -|- 4 

(Voir A. F., Congrès de Marseille, 1891, ligne 4, en remontant.) 

13, — Soient d, d^, d^, d^ les distances oO, o^fi, n^O, o^O. 
Soient: 

d', d[^, d^, d'^ k's dislauces des points o, o^^, o^, o,. à l'axe aiiliorlliiiiiie x-\-y -\- zz=0, 
^^'i' ^ia'^'iô' f^'ic » » à la droite — x-\- y-\- z = 0, 

^^2' f^2a' ^26' ^2c » » » X — y-{-Z = 0, 

^^'3' ^^3a' ^36' ^30 » » X-\-lJ — Z = 0. 



-"';=9R' 


m' R'^m* 

"2 + in^ ^"''- 


- 9n') 


— '^i. cotg OJ. 







110 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

On a : ' 



d .d' 3R/' 


; d.d'„ = 


i^^a; 


rf.^; - R/-,; 


f/ . (/; ^ 


d^. d\ ^ Rr 


; da- d\a ^ 


3Rr„; 


^a-^;.— R'V 


da-d'u.= 


d^.d',— Rr 


d,' <a = 


-Rn,; 


dfd'ih^ 3Rr^; 


db-d'ic = 


d,..d'^ Rr; 


<fc- ^C, - 


-R'-a; 


«^c-'^afc- R^'^; 


de- <c = 



Rr,. 

-Rr,. 

-Rr,. 

3Rr,.. 



14. — Le triangle formé par le centre du cercle circonscnt 0, par le 
'point de Nagel N et par le point de Gergonne X a pour surface : 



— (b — c)(c — a)(a — b) 



R + r 
2/-0 



Par transformation continue en A. (Voir A. F., Congrès de Marseille, 
1891, p. 118), on voit que le triangle ON^X^ (N^ et X, étant les trans- 
formés continus en A de N et de X) a pour surface : 



(b — ç)(a 4- b}(a + c) 



K — r 

2r 

au 



15. — La distance D entre les deux points : 



p — c p 



a 



et 



h p — c p — a 



b 



abc 
est donnée par In formule : 



(Voir A. F., Congrès de Nancy, 188(3, p. 87; 



D^ = -— (3^ — 3p^) 
p^ 



Ces points sont les brocardiens du point de Gergonne ; par transformation 
continue en A, on voit que la distance D^^ entre les deux points : 



p — b p p — c p — c p — b 

, , et 5 r : 

abc a b 



4,.2 



p 

- est donnée par : 

c 






ip — a) 



Il ne serait peut-être pas commode d'arriver à ce dernier résultat sans 
la transformation continue (ni même à celui dont il dérivej sans les for- 
mules entre les éléments du triangle sur lesquelles j'ai appelé l'attention 
dans presque tous les mémoires que j'ai présentés à V Association française 
pendant ces dernières années. 



É. LEMOINK. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 111 

16. — Si, pa?' le point invet^se du point de Gergonne, on mène l'antipa- 
rallèle à un côté, la surface du triangle formé par cette antiparaUéle et 

les deux autres côtés est la même pour les trois côtés et éaale à : • 

^ (R + Vf 

La transformation continue montre que le même tliéorème a lieu poul- 
ies transformés continus de l'inverse du point de Gergonne ; la surface est 
SR^ 



IV, — Triangles triorthologiques ; un exemple de triangles a la fois 

TRIORTHOLOGIQUES ET TRIHOMOLOGIQUES. 

17. — Si les triangles ARC, A'R'C sont triorthologiques par permuta- 
tion circulaire (Voir Congrès de Limoges, 1890, p. 111) et que les centres 
d'orthologie soient o,, o^, O3, les triangles ARC, OiO^Og sont également ortho- 
logiques et les centres d'orthologie sont A', R', C. 

18. — Soit un triangle équilatéral ARC, de chaque sommet comme centre : 
on décrit trois cercles de rayons Rj, R^, R3 (les trois cercles sont décrits 
à chaque sommet j, désignant par la notation o(R) la circonférence de 
centre et de rayon R; on cherche les centres radicaux L, M, N des trois 
groupes A(Rij, R(Rj, CfRaj; A(R,), RiRj), C(R,); A(R3), R(Rj), C(R,j. 

1° ARC ef LM>' sont trihomologiques et triorthologiques par permutation 
circulaire. 

2" Appelons Oi, o^, o, respectivement les centres d'homologie de ARC, 
L>L\; ARCMNL; ARC,ALM; ml ml, m^ les quantités a•^—2R^'+R^+R^^ 
o-' + Rf — 2R^ + R^, a' + Rf + R^ — 2R:^, qui sont les coordonnées 
de L; celles de M sont : m'I, m^, m^; celles de N : m^, m^ ml. 

Les coordonnées de o^, o.^, O3 sont : 

111 111 111 



m:/ m'i m'i ml m'i mi' ml' ///^ ' mf. 



"a "c "'0 "'c "'h ""a '"b 



Les trois centres d'homologie et les trois centres d'orthologie de ARC el 
de L>L\ forment deux triangles èquilatéraux inscrits à un même cercle 
dont le centre est le centre du cercle circonscrit à ARC; leurs côtés sont 
perpendiculaires deux à deux. 

3° Les triangles ARC, O1O2O3 sont trihomologiques par permutation cir- 
culaire. Si Von appelle o\, 0^, 0'^ les centres d'homologie de ARC, o^o^o^; 
ARC, O2O3O1; ARC, 030,02, les coordonnées de oj, o^, 0'^ sont: m^, m^, m^; 
K^ '«a' '"6 5 "^6' ^c' *'^aj c'est-à-dirc que o\, o^, O3 se confondent avec L. 
ÎN, iM. Ce sont des points permutiens. (Poulain, Principes de la Nouvelle 
Géométrie du triangle, p. 2S.) 



112 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



V. — Sur quelques coniques. 

19. — La co)nque inscrite Vfa"^ — bc)i /'- — passe par les points 

, (a^ — bc)- ^ 
de Bkocauu; son point de Gergo^ne a pour cooraoïinees , etc. 

20. — La conique inscrite qui a pour point de Gergonne le point de 
Steiner est une parabole (puisque le point de Steiner appartient au cercle 
circonscrit). Elle touche la droite de Lemoine au point : a^(b^ — c^), 
b-^(c-^ — a'^j, c'^(a^ — b'-j. 

Son équation est : / v/a(b-' — c'^)x = ; 

.son fo!/er, le poiyit : 57^.' ^^^^-^^ '^F^^ 'P°'''^ '"""^'"^ "^^ '^'''' 
proque du point de Steinei'); il est sur la droite 7 a^(b^ cos B — c^ cos G) = 0. 

21. — La parabole inscrite tangente à l'axe antiorthique x-\-i/'}- z -^^0, 
a pour équation : N^y/aCb — c)x=l), 

1 

son point c?e Gergonne est : —-. , etc. 

^ a(b — c) 

Le point de contact avec l'axe antiorthique est a(b — c), etc., inverse de 
son point de Gergonne. 

Le foyer de cette parabole est le point ^, etc. 

22. — La conique inscrite qui touche la droite de Lemoine et l'axe 
antiorthique 

1 

1° A pour point de Gergonne : , etc. 

2° Elle touche l'axe antiorthique à l'infini et celui-ci est une asymptote 
de la courbe. 

3° Le centre (c — bj(p — a), etc. est sur le cercle circonscrit. 
4° Elle touche la droite de Lemoine au point a'^(b — c). etc. 

5° La seconde asymptote a pour équation : \ = . 

6° Cette hyperbole a pour équation: ^^\/(b — c) x = 0. 

23. — Voici un théorème presque évident, mais qui sert souvent dans 
la géométrie du triangle pour démontrer que six droites sont tangentes 
à une conique ou que six points sont sur une conique. 



É. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 113 

Si les six points ^coordonnées normales ou coordonnées barycenlriques) 
L,. Mj, Xi; Le, Mfi, N^ sont sur une conique, les six droites : 

Ux-{-M,ij-[-^,z = 0; M + M«?/ + N6^=:0 

sont tangentes à une conique et réciproquement. 

Exemple: Les quatre droites \^7 a? =::0 et leurs trois transformées 

continues en A, en B et en C sont tangentes à l'ellipse inscrite de 
Steiner (ce sont les tangentes communes à cette ellipse et au cercle des 
neuf points et l'on sait que, aux points de contact de ces tangentes avec 
le cercle des neuf points, elles sont aussi tangentes aux quatre cercles tan- 
gents aux trois côtés du triangle). 

abc 

On en conclut que le point : ? ^ 7 et ses trois trans- 

^ b — ce — a a — b 

a b c 

formés continus en A, en B, en C : r ? 1 — » , — ; — . etc., sont 

c — c -\- a b -f- a 

sur une conique circonscrite. 

On vérifiera que cette conique est le cercle circonscrit. 

24. — On sait ivoir Xouv. Corresp. Mathém., 1877, p. ol) que si 
x\ y', z' ; x" . y", z" sont les coordonnées normales de deux points M', M", 
les droites AM', BM', CM'; AM", BM", CM" coupant les côtés aux six 
points : A', B', C ; A", B", C", ces six points sont sur la conique : 



Cela posé, cette conique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole, sui- 
vant que la quantité : 

^a^x'-x"-^(y'=." - z'y'r 
- ^'^bcy'z.y^^'iix'!/" + y'x")(x'z" + zx") + 2x'x"(y'z" + z'y")] 

est plus petite que zéro, plus grande que zéro, ou nulle. 

Si M' et M" sont le barycentre et le point de Lemoine, la conique a pour 

m'" -|- a^ 
centre le point — — , etc. déjà rencontré (voir A. F., Congrès de Mar- 

seille, 1891, p. 149, et J. S., 1888, p. 2o0j. Ce point est sur la droite qui 
joint le barycentre et le point de Lemoine. 

25. • — Soient x, y, z les coordonnées normales d'un point M; 

X, Y, Z ses coordonnées tripolaires. 
On sait que les minima de ax^ -f- by'^ + cz- et de aX'^ -f- 6Y- + cZ'^ 

8* 



I 



114 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

qui sont respectivement 2.Sr et 4.RS ont lieu en même temps pour le 
centre du cercle inscrit. (Boutin, /. E., 1891, p. 159.) 
La transformation continue en A montre que les minima de 

— ax^ -\- hif -\- cz'^ et de — aX^ -j- bT^ -f" c7J qui sont respectivement 

égaux à 2Sr^ et à 4RS ont lieu en même temps pour le point o^. 

Le lieu des points M tels que ; ax^ + bif + cz-'^ = C" est une ellipse de centre o. 

» » —ax-'-\-bif-}-cz^ = 0^ — — 0^. 

» . » aX^-|-6Y'^-|-cZ'^ = C'^ est un cercle de centre 0. 

» » —aX''-{-bY^-\-cZ-' = C"^ — — o„. 

26. — Si un point M appartient à la conique circonscrite qui passe par 
le point de Lemoine et par le centre de gravité, la droite harmoniquement 
associée au point M est parallèle à la droite de Lemoine. 

27. — Une parabole dont le piaramètre p est donné, passe par deux 
points fixes A e^ B dont la distance est c. Le lieu du pôle de AB par rapport 
à toutes ces paraboles est la courbe représentée par l'équation : 

P = 2^ sin^ c, 



l'origine étant le milieu de AB et l'axe polaire étant OB. 

L aire de cette courbe est ——— • 

lop^ 

Dans un triangle ABC, les paramètres des trois paraboles de Artzt sont 

inversement proportionnelles aux cubes des médianes. 

28. — A e^ A' sont les extrémités du grand axe d'une ellipse. Sur A A' je 
décris une circonférence ; par A je mène la droite AK'H qui coupe l'ellipse 
en K', la circonférence en H. 

Soit K le point du cercle tel que KK' soit perpendiculaire à AA', 
H' — de l'ellipse — HH' — — AA', 

K, K', H, H' étant tous les quatre d'un même côté de AA' ; alors : 
1° Les trois points A', H', K sont en ligne droite, 
2° Le lieu du point I où se rencontrent AH et A'K est l'ellipse: 

aif -\- 6a;* = a^b. 

On a un théorème analogue si A et A' sont les extrémités du petit axe. 

29. — Soient les cinq ellipses : 

(1) a'^y^ -{• b^x^ = a^b\ 

(2) (a^ + bHYY + ami + l^x^ = b''{i + l)Ha'' + bHy, 

(3) [a-' — bHyif -f a''b\l — Ifx'' = b\i — Ij^a'' — bHy, 

(4) 0.^6^(1 + l)Hf + {b-' + aHfx^ = a'^(l + Ifib'' + aHy, 

(5) a^b^i — l)Y + (6' — aHyx^ = a\[ — lf{b^ — aHy, 
et M un point de (1). 



K. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE 1>U TRIANGLE 113 

1° Si la normale en M à V ellipse (1) coupe F axe des x en K et V ellipse (2) 

( ' M 
en (j, les points K, M, G se succédant dans cet ordre, on a : -7-r = 1. 

Mh. 

Le symétrique G' de G par rapport à M sera sur l'ellipse (3). Si \ = -, 

(2) et (3) seront respectivement des cercles de rayons a -j- b et a — b. 
2° Si la normale en M à (1) coupe l'axe des y en Kj et l'ellipse (4) en G^, 

C M 

G, étant dans le sens K,M, on aura: -^ = 1. 
* ' MKi 

Le symétrique G'^ de G, par rapport à M sera sur l'ellipse (5). 

S< 1 = - (4) et (o) seront respectivement des cercles de rayons a -|- b 

et a. — b. 

30. — On donne une conique C de centre o et une droite L; par un 
jioint A de L on mène une tangente à la conique, soit K le point oii le dia- 
mètre conjugué de oA coupe cette tangente. Le lieu de K est une conique C 
uya?it avec C pour diamètre commun en grandeur et en position le dia- 
mètre conjugué de L et pour ce diamètre même direction de cordes conjuguées. 
■Si G se compose de deux droites et que l'on appelle M e/ N les points ow L 
coupe C, et ^ le milieu de MN, le lieu se compose des deux droites parallèles 
à oa menées par M et par N. 

Si l'équation de C est : aHf ± b^x^ q= a'^b^ = et celle de L : ^ -|- ^ = 1, 

celle de C' est nH''[aHf ± b'-x^ i^ a'^b^] — [a'^nij ziz bHxY = 0, en prenant 
en môme temps tous les signes supérieurs ou tous les signes inférieurs 
dans les équations de C et de C 

Si L est une tangente à C, le lieu se compose de L et de la tangente 
à C parallèle à L ; comme le montrent immédiatement les considérations 
géométriques les plus simples. » 



YI. — Nouvelles remarques sur la transformation continue. 

31. — On appelle première conique et deuxième conique de Simmons 
{Companion to the iveekly problem papei 3 , 1888, ch. viii, pp. 163-167; 
Mémoire sur le tétraèdre, Neuberg, pp. 44 et 5o) les coniques inscrites 

dont les équations sont > \/x sin (60 -f- A) = et ^ \/x rAn (A — 60) ■-:— 0. 

Les foyers sont, pour la première, le premier centre isogone: sin (A-)-60), 

1 

etc., et le premier centre isodynamique: -. , etc., et, pour la 

seconde, le second centre isogone : sin (A — 60j, etc., et le second 



116 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE El MÉCANIQUE 

centre isodynamique: - — —,- etc. Les points: sin (A -|- 60), etc., 

sin (A — bO) 

et sin (A — 60), etc., sont aussi, respectivement, le point de Gergoniie de 
la première et le point de Gergoime de la seconde. Cela posé, il est facile 
de voir que leurs centres respectifs sont les points : bc -\- aR\/3 et 
br — aï{\/'6, tous deux sur la droite qui joint le point de Lemoine au 
barycentre. 

Remarquons que le point : sin (A + t)0), etc., se transforme en 
sin (A — 00), etc., lorsque l'on fait la transformation continue, soit en A, 
soit en li, soit eu C; d'une façon plus générale, le point : P sin A -)- Qcos A, 
P' sin B -h Q' cos B, P" sin C + Q" cos C, P, P', P", Q, Q', Q" étant des 
constantes, se transforme eu P sin A — Q cos A, P' sin B — Q' cos B, 
P" sin C — Q" cos G, que l'on fasse la transformation continue soit en A, 
soit en B, soit en C; le fait est très curieux et nous ^ne savons point 
si nous avons ainsi la formule générale des coordonnées des points pour 
lesquelles il se produit. 

La transformation continue appliquée aux formules, aux théorèmes, aux 
équations, les divise donc en quatre catégories : 

1° La transformation continue en A, en B, en C reproduit le théorème 
ou la formule. 

„ , abc 

Exemple : 



sin A sin B sin C 

^" La transformation continue en A, en B, en C donne des résultats 
différents de la formule primitive et différents entre eux. 

Exemple : ■ ^ar^r^ — 2So 

donne : ar^^r^ + brr,^ + en;. = 2So^,, 

Ces deux premiers cas sont de beaucoup les plus fréquents. 

3" Une des transformations reproduit la formule, les deux autres la 
changent, mais de même façon toutes les deux. 

Exemple : La formule aiy^ = S(r^ -j- r^) se reproduit par transforma- 
tion en A, par transformation en B ou en C; elle donne : mr^ = S(y; — /■). 

Je nai pas rencontré de cas où une des transformations reproduisant la 
formule, les deux autres la changent chacune différemment. 

4° Les trois transformations en A, en B et en C donnent toutes les trois 
un même résultat différent de la formule ou du théorème primitif. 



K. LEMOl.NE. — r.KOMÉTRIE DU TRIANGLE 117 

Exemple: La conique inscrite qui a pour équation / , y/a; sin (A -\-60)=^0 

a l'un de ses foyers — le premier centre isogone — pour point de Gergonne: 
c'est la première conique de Simmom. 

Les trois transformations continues donnent : La conique irisante qui a 

pour équation ^V-^" sin (A — (JOj ^ a /'un de ses foijers — le deuxième 

centre isogone — pour point de Gergonne: c'est la deuxième conique de 
Simmons. 

Ajoutons aux théorèmes déjà donnés ailleurs sur la transformation 
continue : 

Si un point M est le foyer ou le sommet d'une conique L, le point M. trans- 
formé continu en A de M sera le foyer ou le sommet de L^ transformé de L. 

VII. — Quelques propriétés relatives a des cercles remarquarles 

DU plan d'un triangle. 

32. — Le centre du cercle de Brocard, qui est aussi le centre du pre- 
mier cercle de Le.moine, est sur la droite : 



^x{b^ — c^) cos (A + 0)) = 



qui contient le centre de gravité et le point : «^ cos A, etc. 

Les coordonnées normales du centre du cercle de Brocard peuvent se 
mettre sous la forme : a[n^ — (a^ — 6^c^)l, etc. 

33. — Les droites: 

b cos Cx -\- c cos k . !j -\- a cos B . ^ = 
c cos B . a; -f- a cos C . y -\- b cos A . ;; ^O 

sont parallèles au diamètre OK du cercle de Brocard et à égale distance 
de ce diamètre. 
La distance D de ce diamètre à chacune d'elles est donnée par : 

•TÎ2C2 
1)2 ^^ 



m'* — '6n^ 

34. — La droite de Simson du point de Steiner a pour équation : 

2aHb' — c') 
— — — X =0» 
cos (A -f- w) 

35. — Étant donné un triangle ABC, il y a trois cercles tangents entre 



H8 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAMQUE 

eiix deux à deux qui touchent respectivement le cercle circonscrit en k, B, C 
et lui sont intérieurs; les points de contact de ces cercles deux à deux sont 
sur les cercles (/'Apollomus de ABC et ils y sont tangents à ces cercles ; 
si leurs centres sont respectivement lo,^, w,,, w^, les deux triangles ABC, 
"a'^b^c ^^^ ^^* droite de Lemoine pour axe d'ho)nologie; le rayon Am.^du 

2RS 

cercle tangent en A au cercle circonscrit est : — — ; — ^^ • 

^ a^ + 2S5 ■ 

Il y a aussi trois cercles tangents entre eux deux à deux qui touchent 
respectivement le cercle circonscrit en A, B, Cet lui sont extérieurs; les 
points de contact de ces cercles deux à deux sont sur les cercles A' Apol- 
lonius de ABC auxquels ces cercles sont tangents ; si leurs centres sont 
respectivement w^'^, w'^, co^, les deux triangles ABC, o/^^to^w^ ont la droite 
de Lemoine pour axe d'homologie ; le rayon Ao)^ du cercle tangent en A 

au cercle circonscrit est : tt; • 

a^ — 2S 

Cependant si la hauteur correspondant au plus petit côté, cpar exemple, 
est plus grande que ce côté, ces trois derniers cercles ne sont pas à l'exté- 
rieur du cercle circonscrit; celui qui passe par C contient le cercle 
circonscrit, mais les deux autres lui sont extérieurs. 

Si la hauteur correspondant au plus petit côté c est égale à ce côté, 
le cercle passant par C devient la tangente en C au cercle circonscrit. 

36. — Si H est V orthocentre ; v, v.^, v,., v^, le point de Nagel et ses 
transformés continus en A, en B et en C, Vaxe radical des cercles décrits 
sur Hvj^ et Hv^ comme diamètre a pour équation : 

x{b — C) cos A — yb cos C -\- zc cos C = 0. 

Par transformation continue en B, j'aurai: Vaxe radical des cercles 
décrits sur Hv et Hv^ comme diamètre a pour équation : 

— x{b -(- c) cos A -|- yb cos B -|- c^ cos C = 0. 

Le cercle décrit sur Hv comme diamètre est le cercle étudié très com- 
plètement par M. Fuhrmann. (Voir Mathesis, 1890, p. 105.) 

La transformation continue donne, ainsi que je l'ai montré, les cercles 
décrits sur Hv^, Hv^, Hv^ comme diamètres, lesquels jouissent de propriétés 
analogues à celles du cercle décrit sur Hv comme diamètre. 

37. — Vaxe radical du cercle de Brocard et du deuxième cercle de 
Lemoine a pour équation : 



1 



^2 I ,.. _ 3^2 

'■ a; = 0« 



a 



É. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 119 

38. — L'axe radical du premier cercle de Lemoine et du second cercle 
de Lemoi.ne (*) a pour équation : 



2^^(6-2 _|_ c-^ _ 2a2) ^ 0, 



il passe par le point de Lemoine ; le premier cercle de Lemoine coupe donc 
le second cercle de Lemoine suivant un diamètre. 

Si y. est l'angle sous lequel ces deux cercles se coupent et m l'angle de 
Brocard, on a : cos a ^ '2 sin w. 

39. —Le carré de la corde interceptée sur BC par le cercle de Brocard 

a'Ha'* — Wc'^) 

est : — ^ ; 

m* 

Le cercle de Brocard ne coupe jamais les trois côtés à la fois. Il en 
coupe deux : si, supposant a > 6 > c, on a : 6^ > 2ac, ce sont alors les côtés 
CA et BC qu'il coupe ; si a* > 26c et 6* > 2ac, il coupe BC seulement. 

En résumé, le cercle de Bi^ocard : 

Ou coupe le plus grand côté seul ; il peut lui être tangent ; 

Ou coupe les deux plus grands; il peut couper le plus grand et être tan- 
gent au second ; 

Ou ne coupe aucun côté. 

40 . —La conique Aa;'- + ^if + C::^ + ^yz + Ezx + Fa;;/ — inter- 
cepte sur le côté BC du triangle de référence un segment dont le carré est : 

a-b^c\J)^ — 4BC) 



[Bf^ + C6'- — UbcY ' 

cette conique touche le côté BC si l'on a D- — 4BC := 0. 

Si, en même temps que D'- — 4BC = 0, m a : Bc^ + C6^ — Dbc — 0, 
la conique est représentée par : x{kx + Es -|- ¥y) -{- ^^{hy ±: czY =: 
et coupe BC en son milieu en un point double, c'est-à-dire qu'elle y est 
tangente à BC. ou bien qu'elle a BC pour asymptote. 

VIII. — Bemarques diverses. 

41. — Le point : — , etc., est le point oit se coupent les deux bro- 

a 

Gardiennes de la droite de Lemoine (coordonnées normales) par rapport à 
la droite de l'infini {A.F., 1886, Congrès de Nancy, p. 85.) 

(*) Je rappelle les définitions de ces deux cercles : 

Si par le point de Lemoine on mène des parallèles aux côtés, ces parallèle? coupent les côtés en 
six points qui appartiennent au premier cercle de Lemoine. 

Si par le point de Lemoine on mène des antiparallèles aux trois côtés, chaque antiparallèle à un 
côté coupa les deux autres côtés en deux points ; les six points ainsi obtenus sont sur le second 
■cercle de Lemoine, 



120 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCAMQUE 

l 

Le point: -, etc., est le point où se coupent les deux brocar- 

diennes de la droite de Brocard par rapport à la droite de l'infini. 
Le point : , etc., est le j)oint où se coupent : 

cl 

1° Les deux brocardiennes de la dnoite de Lemoine par rapport à l'axe 
antiorthique ; 

2° Les deux brocardiennes de l'axe antioj^thique : x -{- y -\- z ^^ par 
rapport à la droite de l'infini. 

42. — La di^oite qui joint les points brocardiens par rapport à une 
droite donnée L (voir A.F., Congrès de Grenoble, 1885, p. 26), d'unpointU 
coupe L au même point que la polaire ttnlinéaire de M. Cas particulier : 
la droite de Lemoine et la droite qui joint les points de Brocard sont pa- 
rallèles. 

1 

43. — Soit M le point dont les coordonnées normales sont : 7, etc., 

^ a cos A 

AM, BM, CM coupent BC, CA, AB en A', B', C ; si l'on fait le triangle 
isocèle CAj^A', A^ étant sur CA et Aj^C étant égal à A,,A' et le triangle 
isocèle BA^A', A^. étant sur BA et A^B étant égal à A^.A', on aura : 

AX = A B '-"^ 



'»+'■ 



44. — Soient ABC un triangle, H V orthocentre : 

1° La polaire trilinéaire de M est perpendiculaire à MH, n M appartient 
à la cubique : 



2.= 



by{a -}- c cos B) — cz{a -\- b cos C) 



0; 



2° La polaire trilinéaire de M est parallèle à MH, si M appartient à la 

cubique: Qabcxyz =^ ^^abœg{ax -\- by) 

équation qu'on peut écrire : 

Qabcxyz = (bcyz -\- cazx -\- abxy)(ax -}- by -\- cz). 

45. — Soit un triangle ABC, par un point M de son plan, je mène des 
parallèles à ses côtés : 

La parallèle à BC coupe AC en A^, AB en A^, 



r- f 



:■.-:> 



)) » CA « BA en B^,, BC en B,., 

;) ù AB » CB en C^, CA en C,^. 

Cela posé '. 



É. LEMOINE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 121 

Si M est sur la droite oG ou : ^a(b — c)x = 0, on a : 
AC, + BA, + CB, = AB, + BC, + CA,. 
Si M est sur la droite ; VcLr(b -[- c) = 0, on a : 

AB, + AC, + BC, + BA, + CA, + CB, = 0. 

Si M est sur la droite : Va(p — a)a; = 0, on a : 

B.C, + C,\, + A,B, = p. 

Si M est sur f hyperbole équilatére : y a'^.r^(b^ — c^) = 0, qui passe par 

les centres des cercles tangents aux trois côtés, par le barycentre et a 
pour centre le point de Steiner, on a : 



cb; + ba; + Ac; := ca; + bc; + ab; • 

Si M est sur le cercle conjugué de ABC : Vaj;"^ cos A = 0, on a : 



ab; + AC; + BC^, + ba^ + ca; + cb; = b,c; + CA + a,b;. 

Nous avons vu (./. E., 1884, p. 30) que : 

âc:+bâ; + cb: et' âb; + bc; + câ: 

sont minima respectivement pour le point direct : -, etc., et pour le point 

rétrograde de Brocard. 

C&l -\- ^fil + BC,5 est minimum pour le barycentre. 

q}{\)'^ 4- c^) b^c"^ 

46. — Le point <î> : — — — — , etc. (voir A. F., Congrès de 

cl 

Grenoble, 1885, § 2, 3, p. 28) est sur la droite : ^ii'{h' — c^jx -^-- 0, qui 

1 

contient le centre de gravite et le point —, etc. 

47. — Si un point M est tel que la somme de ses coordonnées normales 
absolues égale la somme des coordonnées normales de son inverse W, 

M et W appartiennent à la cubique circonscrite V(b — c)x(y'' — -■'') — 0. 



122 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

a^ — bc, 

48. — Le point qui a pour coordonnées normales : etc. , est 

à V intersection des deux droites : V£ur(b + c) = O.^axfb — c) = 0. 

La première passe par le point a(b — cj, etc., de Vaxe antiorthique et 
2Mr le point à l'infini: , etc.; la seconde passe par le centre du 

cercle inscrit o, par le centre de gravité du périmètre G^^ et par le point © 
dont les coordonnées sont : a(b -f- c), etc. 

On a: —^= — ^ ,„ ^ ■ • 

49. — Soit ABC un triangle, A'B'C le triangle formé par les pieds des 
hauteurs ; le cercle inscrit à A'B'C touche B'C, C'A', A'B' en a, [i, y. Les 
trois droites Aa, B,3, Cy se coupent au point dont les coordonnées sont : 
a tg A, b tg B, c tg C. 

Si l'on veut placer ce point, on trouve qu'il faut placer l'orthocentre 
de ABC centre du cercle inscrit de A'B'C. op : {AR^ + 2R, + GC^ + 6C3) ; 
tracer deux des côtés du triangle A'B'C, A'B', A'C par exemple, ce qui 
exige qu'on trace la troisième hauteur, op : (6R1 -{- SR.^) ; déterminer les 
points de contact y et [B sur A'B', A'C du cercle inscrit à A'B'C, ce qui 
se fait en abaissant de l'orthocentre des perpendiculaires sur ces côtés, 
op : (4Ri 4- 2R, -j- 5Ci + SC3) ; enfin tracer Bp, Cy, op : (4Ri + 2R,) ; 
on a donc le symbole, op . ÇlT". + OR, + IIC^ -f- IIC3). 

Simplicité 49; exactitude 29 ; 9 droites. 11 cercles. 

(b — c)fc — a)(a — b) 



L'aire du triangle NXK est : — 
L'aire du triangle NXG est : 



Z6 

(b — c)(c — a)(a — b) 



33 

K est le point de Lemoine, N est le point de Nagel, a le point de 
Gergonne. 

Les distances du point K et du centre de gravité G à la droite NX sont 
dans le rapport de 'S à 2. 

Par transformation continue en A, on déduit les aires des triangles dont 
les sommets sont N^, \^, K ^ et N^^, \, G„ on en déduit aussi que les dis- 
tances du point I\, et du point G, à la droite \X^j sont dans le rapport de 

111 

3 à Î2 ; K et G„ sont les transformés continus en A : — a, b, c; » t ' - 

abc 
du point de Lemoine K et du centre de gravité G. 

Le triangle qui a pour sommets N, X et l'orthocentre H a pour surface : 

; (^ — <')('■ — a)(a — b) . 



É. LEMOIXE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 123 

Par transformation continue en A, on voit que le triangle N^,X^,H a pour 
surface : — r- {b — c){c + a){h + a). 

1 1 1 

Le triangle qui a pour sommets a% b"*, c''; — 'rr, • — : ^f ^^ Point de Le- 

cl D' C 

S(b-^ — c-;(c'- — a^jfa'- — b'^j 

Moi.NE a pour surface : — 7-7— ^ ,- . ., ;-; tttt^ • 

'' ' 4(p^ — ro) [(p^ — roj2 — 4S^] 

On en déduit immédiatement, par transformation continue en A, celle 
du triangle dont les sommets sont : 

111 

— a\b\c^\ ^'T^'-rî —a, b.c. 

«•' ¥ C-* 

111 

Le triangle qui a pour sommets les points: a\ h\ c^ ; -7 j'r^'-^' ^^ ^^ 

3. L) C 

Sfb^ — c^j(c'^ — a"-)fa'^ — b^)( p- — rS 1 

ban/centre a pour surface : Krr~^ ^r: vfcTi " 

"^ ^ ' 3[(p^ — ro)* — ibS^j 

On en déduit immédiatement, par transformation continue en A, celle 
du triangle qui a pour sommets : 

111 111 

— aKoKc^; ^Ti'l' '/ 

a^ ¥ c^ a b c 

50. — Soit A' un poiut situé du même côté de BC que A et tel que A'IiC =^ A ; A'CB = B. 
)) B' » » CA .) B » B'CA = B ; B'AC = C. 

,) C .) )) AB » C » C'AB = C ; C'BA =^ A. 

Les trois droites XX', BB', CC concourent au point V : 

1 1 1 

a(a^ — b"-} ' b{b' — c') ' cic"- — b^-} ' 

De même, soit X" un point situé, du même côté de BC que A et tel 
que A"CB = A ; A"BC = C ; soit B", etc., les trois droites XX", BB", CC" 
concourent au point \ y : 

1 1 1 

a(a' — 6''') ' b{b^ — C) ' de'' — a'') 

La droite qui joint les deux points V et Vi a pour équation : 

a 



y » 3. 



0. 



Si A'^, B^, C^ sont les symétriques de A', B', C respectivemeut par rapporta BC, CA, AB ; 

a;', b;, c; » ' » a", b", c" « » » 

AA^, BB'^, CC^ concourent au point rétrogimde -, etc., de Brocard ; 
AA" BB" ce; » » direct -, etc., » 



124 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Le milieu de la droite qui joint les deux points V et Vi a pour coor- 
données -, etc., c'est le centre de l'hyperbole de Kiepert. 

51. — a). —J'ai donné au Congrès de Marseille, 1891, p. 13o, une con- 
struction assez simple pour placer le point I : p — a,p — b, p — c. Le 
théorème suivant, dû à M. Boutin (./. E., 1891, p. 223) en donne une con- 
truction un peu plus simple au point de vue des opérations de préparation, 
c'est-à-dire de l'exactitude. Si K, o, o^^, Oj,, o^, A', B', C sont le point de 
Lemoine, les centres des cercles tangents aux trois côtés et les milieux des 
côtés du triangle ABC, les droites o^A', Oj^B', o^.C', oK concourent en \. 

Il suffira de tracer o^^A', o^B'. 

Je détermine A' et B' au moyen des trois circonférences A{R), B(R), C(R), 
R étant quelconque, etc., op. : (4Ri -f- âR.^ -J- 3Ci -|- SCj). 

Au moyen de ces trois circonférences, etc., je trace les droites o^^Co^^, Ao^^ 
Bo^, op. : (6Ri + 3R, -\- 6Ci -j-GCa) ; puis je trace o,, A'.o^B' : op : (4Ri 4-2R j; 
en tout : op. : (14Ri -f- TR^ + 9Ci -j- 9C3); simplicité 38 ; exactitude 23 ; 
7 droites, 9 cercles. 

Le symbole A(R) représente une circonférence de centre A et de rayon R. 

b). — Le point de Tarry est sur la droite qui joint le centre de gravité 
au centre du cercle de Brocard, droite dont Péquation est : 



yaxic' cos C — b' cos B) = 0. 



c). — Si un point M a pour coordonnées normales : x, y, z, les équations 
des côtés B'C, C'A', A'B' de son triangle podaire sont : 

— X(i/ -f- z cos A)(s -\- y cos A) -j- Y( ;-[-// cos X){x -\- z eus B) 
-j- Z(y -\~ z cos A)(a; -f" 1/ cos C) = 0, etc. 

d). — Si M est un point de la cubique qui a pour équation : 

xyz{b'' — c^)(c^ — a^){a^ — ¥) -f- abc \a^yz{by — cz) cos A = 0, 

et que l'on appelle M^, M^^, M^ les points où AM, BM, C.U coupent les mé- 
diatrices de BC, CA, AB, les points M.^, Mj^, M^ sont en ligne droite. 

Cette cubique passe par les sommets, les milieux des côtés, par le centre 
du cercle circonscrit et y est tangente aux trois médiatrices. 

e). La droite : Xx -|- By -|- C^ — 0, contient les quatre points : 

(B-Cj, fC-Aj., (A-B), 

(B + G), (C - A), - (A + Bj, 

- (B -f C), (C + A), (A - B), 

(B - C), - (C + A), (A + B). 



É. LEMOINE. GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 125 

Cette remarque évidente sert souvent dans la géométrie du triangle. 

f). s/ A', B', C et A", B", C" sont respectivement les sommets du 

triangle pcdal du point de Tarry et du point de Steiner, B'C, B"C" se 
coupent en Ai et AAi passe par le point de Lemoine. (Voir Congrès de 
Marseille, 1891. p. 1S5, n° 13.) 

g). — Soit >I et W deux points d'une conique ; par M et W je mène deux 
faisceaux de n droites parallèles qui coupent la conique : le premier en 
A, B, C, D. . . . le second en A', B', C, D' . . . 

Les deux jtobjgones ABCD . . ., A'BT/D' ... ont même surface. 

h). — Si deux tangentes parallèles à une conique dont les foyers sont 
F et F' coupent une autre tangente quelconque à cette conique en P et Q et 
que le quadrilatère FF'PQ soit inscriptible à un cercle, les deux tangentes 
parallèles sont les tangentes aux extrémités de l'axe focal. Si les deux 
tangentes parallèles sont quelconques et que T soit le point oii la tangente 
PQ coupe l'axe focal, le produit TP . TQ est de la forme : b* . K ou K ne 
dépend que de la direction des tangentes et ou h' est le carré du demi-axe 
non focal. 

Si l'axe focal varie de grandeur ainsi que la direction des tangentes 
parallèles, l'axe focal restant fixe ainsi que la direction PQ et le produit 
TP.TQ, le lieu de P et de Q est une hyperbole équilatère qui a pour 
asymptotes les axes des coniques. 

i)_ — S/ A' et B' sont les points de contact du cercle inscrit sur BC 
et sur CA ; A" le pôle de la perpendiculaire à BC, par rapport au 
cercle de centre C et qui passe par A' et B', menée par le point de contact 
sur BC du cercle ex-inscrit o^ ; B" le pôle de la perpendiculaire à AC, 
par rapport au même cercle, menée par le point de contact du cercle 
ex-inscrit o^. 

1° Les deux cercles décrits sur A'A"e^B'B" coinme diamètres se coupent, 
se touchent, ou ne se coupent pas suivant que l'on a : 

a -f 6 > 3c ; a + 6 — 3c ; a -[- 6 < 3c. 

2" Ces deux cercles sont respectivement les transformés par polaires 
réciproques par rapport au cercle de centre C et de rayon CB' = CA' de 
l'hyperbole de foyers B e< C passant en A et de l'hijperbole de foyers A et C 
passant en B. 

j), _ Par un point M je mène rantiparallèlc à BC qui coupe AC et AB en A^., A,^, 
» ,) CA » BA et BC en B^, B„ 

» ■ » AB » CB et CA en C^, C^^. 

Le point M pour lequel on a: 

AA, + AA, = BB^, + BB, = CC, + CC„ 



126 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

est situé sur la droite qui joint le point de Lemoine au centre du cercle 
circonscrit et il a pour coordonnées ; a -]- "^P cos A, etc. 

, , , ^r. ^b + c)(c + a)fa + b) 
La somme constante est : zK -n — . ^ c * 

k). — Soit un triangle ABC, ti^ouver un point M tel que si par M on 
mène des parallèles aux trois côtés, la somme des inverses des segments 
que M forme sur cette parallèie (segments compris entre M et les côtés) 
soit la même. 

On trouve le point dont les coordonnées normales sont : 

1 

ab -f- ac — oc 

1). — co est l'angle de Brocard d'un triangle, <p l'angle tel que : 

tg A + tg B + tg C = tg ? 
On a toujours : 

12 tg <p cotg 3(0 — 3 tg > cotg ^oj — 54 tg 9 cotg to + 12 tg > + 81 < 0. 

m). — Si Von prend par rapport à la droite de F infini, les points brocar- 
diens direct et rétrogade (voir Congrès de Grenoble, 1883, p. 27, ligne 5, 
en remontant) de tous les points de la droite de Vinfini, ils sont sur la 
conique circonscrite de Steiner, 

n). — Soit un triangle ABC et trois circonférences de rayons 1, m, n 
et de centres A, B, C ; si M est un des deux points tels que les puissances 
de M par rapport à ces trois cercles soient respectivement proportionnelles 
à a*, b'*, c^ et que nous appelions X, Y, Z les côtés du triangle podaire 
de M, on aura : 

X^ — l^ sin^ A = Y^ — ni^ sin^ B = 7J — n'' s'm' C. 

On en conclut que les triangles podaires des centres isodynamiques sont 
de's triangles équilatéraux. (Sghoute, Verslagen en mededeelingen, de l'Aca- 
démie d'Amsterdam, série 3, tome III, p. 89.) 

o). — Dans un triangle ABC considérons le cercle symétrique, par rap- 
port à la médiatrice BC, du cercle (/'Apollonius ayant son centre sur BC, 
et les deux autres cercles analogues. 

On sait que si le t?'iangle ABC est acutangle, les trois cercles symétriques 

des cercles c?' Apollonius se coupent en deux points réels qu'on appelle les 

centres isologiques {J . E., 1892, p. 70). Soient 3 leur distance et d la distance 

du centre du cercle circonscrit et de Vorthocentre. 

On aura : . 

8R'^m^ 



d' 
On sait d'ailleurs que d^ = 9R^ 



cos A cos B cos C 



É. LEMOLNE. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE 127 

Les centres isologiques sont sur la droite d'Euler GH. 

Les centres des trois cercles d'Apollonius sont sur la droite de Lemoine : 

ceux des trois cercles symétriques par rapport aux médiatrices sont sur la 

droite de Longchamps : \ a^ir := 0. 

Ces deux droites se coupent au point : ¥ — c-, c'^ — a^ a"~ — b^. 

La distance D des centres isodynamiques (points où se coupent les cercles 

d'Apollonius) est donnée par la formule : D^ = — ^^ —^ • 

Le rapprochement de cette formule avec celle du n° 33 esta noter. 
Si un angle du triangle égale 120", les cercles d'Apollonius ont un de 
leurs points communs sur le côté opposé. 

R, m^, n^ désignent, comme d'ordinaire, le rayon du cercle ABC: 

a^ _{-, fy^ -\- c\ h'-e -\- c'a'' + a'^bK 

p). Soit un triangle ABC ; si l'on a : b^ -|- c^ ^ a(b -\- c) (ce qui suppose 
A <^ 90), la droite joignant un sommet de la base BC au point de con- 
tact du cercle inscrit sur le côté opposé et la droite Joignant l'autre sommet 
de la base au point de contact du cercle ex-inscrit qui est tangent au 
côté opposé, se coupent sur la médiane partant de A, et si l'on joint un 
sommet B au point de contact sur AC du cercle ex-inscrit qui touche AB, et 
le sommet C au point de contact sur AB du cercle ex-inscrit qui touche AC, 
ces deux droites se coupent sur la symédiane partant de A. laquelle coupe^C 
au point de contact du cercle inscrit. 

q). — Étant donné un triangle isocèle, on peut toujours trisecter avec 
la règle et le compas l'angle que forme un des côtés égaux avec ïantipa- 
rallèle à ce côté. 

Étant donné un triangle ABC, trouver dans son plan un point o tel que 
si Co coupe AB en C et que Bo coupe AC en B', on ait : 

1« Angle ACC = angle ABB' ; 

2° Angle B'oC ou C'oB = a fois angle ACC. 

Le problème est résoluble avec la règle et le compas si X est de la 
forme : 2" — 2. 

IX. — De la division de la circonférence en sept parties égales. 

52. — Si dans un triangle ABC on a : A =: 2B, on aura aussi : 
«2 — h{b -f C) (i) {J. E., 1883, quest. 116, M. Antomari.) 



128 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Si on a en même temps : B = 2C, on aura donc aussi : 6^ = c{c 4-«)(2) 



et les angles A, B, C seront : 4 . -^ > 2.-;:r-' „ 



180 ^ 480 180 
7 



Le problème sera résolu si l'on construit le triangle ABC. 

Supposons c =: 1 et éliminons alors b entre (1) et (2), le résultat est : 

a' — 2a^ — a + 1 = 0. 

Cette équation a ses trois racines réelles, l'une négative entre — 1 et ne 
peut convenir, l'autre entre et 1 ne convient pas non plus puisque a'^ c 
et que c = i ; l'autre entre 2 et 3. 

On calcule qu'elle est: a = 2,250. . . l'équation (2) devient b^ = 3,2o0. . . 
d'où 6 = 1,80... ; c = 1. 

X. — Construction des points [j. et '/ dont les coordonnées 

NORMALES SONT : 

x' t z--' x"^ II'- z-'-' 

-, ^, - et —, ■-^, — . 
X ij z œ y z 

53 . — Soient M et M' les points qui ont pour cordonnées x, y, z ; 
x', y' , z' et ABC le triangle de référence. 

J'appelle E^, F^ les points où MA coupent respectivement BxM', CM' 
» E^, F^ » MB » » CM', AM' 

» E^, F,. » MC » » AM', BM' 

J'appelle M^^ le point où se coupent BF^, CE^, 
» 31^ » .) CFj, AEj 

» M, » « AF., BE. 

Les trois droites AM^, BMj^, CM^ se coupent en ^j.. 

Si l'on traite M' par rapport à M, comme on vient de traiter M par 
rapport à M' en mettant pour cette seconde construction les mêmes 
lettres que pour la première, mais accentuées, il est clair que : les trois 
droites AM^, BM'j^, CM'^ se couperont en fx'. 

Pour exécuter cette construction, il faut : 

Tracer les six droites AM, BM, CM ; AM', BM', CM' . op : {itK, + GRJ 

Placer M^ par deux droites partant de B et de C . . op : (4Ri -f- ^Rj) 

» M^ » » C » A . . op : (4Ri + 2R,) 

Tracer AM^, BM^ qui se coupent en p. op : (4Ri -)- 2R2) 

[X est donc placé par op : (24Ri -\- 12R2) 

Pour avoir M^ une nouvelle droite suffira op : (2Rj^ -|- Ra) 

Ainsi que pour avoir M^^ op : (2Ri + RJ 

Enfin \>.' s'obtiendra en traçant AM^, BM;; op : (4Ri -f 2R2) 



É. LEMOIiNE. — GÉOMÉTRIE DU TIUAN'GLE 129 

[j. et a' seront donc placés par op : (32Ki + 16K.^i lorsque M et M' sont 
placés. 

L'équation de ua' est : y.rx'iy'^z'^ — zh/'^fz = 0, 

par conséquent [xa' se tracerait par le symbole, op : (34Ri -[- i7Rj. 

En prenant pour M et M' difTérents points remarquables, on a pour y. 
et a' et pour u.\t.' des constructions relativement simples de points et de 
droites qu'il serait quelquefois fort long de fixer ou de tracer autrement. 

Si M est le barycentre, a est le réciproque de M' ; a' est le point : ax'', 
bij'-, cz'\ 

Si M et M' sont le barycentre et le point de Lemoine. [>. et ;J^' sont les 

1 

points si souvent rencontrés ^, etc., et a^ etc. 

Si iM et M' sont le point x, y, z et son réciproque, ,u. et ,a' sont les deux 

points réciproques a'^x^, etc., et , etc. 

a^x'-' 

Si M est le centre de gravité M^M', 3I^M', M^M' sont respectivement paral- 
lèles à BC, CA, AB. 

111 

Si M et M' sont deux points inverses x, y, z ; -, -, ~ , kl ei 'j.' sont les 

X y z ' ' 

1 1 1 
deux points inverses x^, y-\ z'^ : — , — . — . 

Si M et M' sont le point de Lemoine et le centre du cercle inscrit, ix et [x 
sont les points a% 6% c^ et le barycentre. 

Si M est le point .2 , y, z et M' un des quatre points : x' , //', :;' ou l'un de 
ses trois associés : — x', y', z'; x', — y', z'; x', y', — z', u' sera le même 
point, fx donnera quatre points associés. 

Si l'on traite a et y.' comme on a traité M et M' on aura deux poiiUs fx , </ 
» ^, et ij.^ ^ » » » ^^, ,^;^ 

etc., l'on aura ainsi la série de points : 
M et M', ;x et y.' ; a^ et y-'^ . . . ;% et i\. Les coordonnées de ix^^ seront : 



;i— 1 

( 

X 



- , etc. 



(1-1 
I 



x'^ ' 



Celles de jx^j seront 



,(^: 



;i-l 
— I 



, etc. 



9* 



130 



MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



XI. — Formules dans le triangle. 

Ajoutons encore quelques formules à celles que nous avons données 
aux Congrès précédents de l'Association française et dans Mathesis, 1892, 
p. 81, etc.. avec leurs transformées continues en A lorsqu'elles en ont. 



54.1. 2 



a cos^ A := rr^ 



V 



m' 



3(R + Vf' + R'-' — p-' 



a cos'^ A -j- 6 cos- B -|- c cos- C 



p — a 



3(R-rJ + R'^-(p 



2. ^a\^^'^pm\-{-n 

— ao + bl^ + cly =^ 2(p — aj(2R — r^] 

3. _2«(?-„ — /')(°„ — ^0 = '^P^P" + ^' — lORr) ; 

- «('a - 0(^^ + '■'') + K'-r + nO(^^c + ''a) 

+ <r, + r J(o, + r,) = lip - a)[ip ~ af + r; + lOU/J . 

4. 2a(r,-r)(r^-r)=4RS; 

mpip' -j- r' — \mr); 



ail 



■ 2 



('•/. - '-y + (''c - ' 

<'-.-rr„)j(r,+rjM-(r„-r)'^j^-4R(p-r/)[(;,-a)'^+r^Hl2Rr^ 
yy^fR — r) 



r„ cos'^ A = c 



R^ 



— r cos- A -|- r^ cos- B -j- r^ cos- C = o^^ -f 
7. Vôc/-^^ cos A ^= /-(op- — 0^); 



(P — a)H^ + rj 



R' 



bcr, cos A — car^ cos B — baVi^ cos C = r^j ^(p — af- 






s 
8. 2^a cos'^ A = — 



(2R 4- r)-' + R'^ — p' 



_S 
R' 



(2K—r^y + lV--(p — af 



— (1 — 4 cos A cos B cos Cj. 



li. LK.Mulm;, 



GKOMKTRIE DU TRIANGLK 



131 



9. cos B -f cos C ~^^, d'où, par transl'orniatioii coiiliuup eu B ou eu C : 



m 



cos B — cos C 



''c - ''l, 



2K 






Or 



cr^ = 



(b — c)/)-' (h — c)7\r 



b'c 



\ 1 . c;-, + br^ = f^ (a + r,) = (p - «)(o + r J ; 
^h + cr^ .= yj^V:^^ _ r). 

il. bc-^ 2pa = (a + c)(a + b), d'où, par transformation en A : 

bc — ±\p — a)a = (a — c)(a — b) 

et, par transformation en B ou en C : 

bc — ±p — c)a = (C — aX.a + b). 

2«« = 2(p'^ — ro r^ -f 24S'^[2B'^ — f p^— ro)] 
= m^ — Sm^n'^ -f Za^H"". 



13. 



14. 6-5 cos B — c^' cos C = 



c- — b- 
2a bc 



C' -\-b' — a-(b- -f- c^j 



c^ — 6'^ 



a 



n- cos ('A -)- wj 



lo 



16. yjr2« - yj) = r^r^^ -f- ;.^;., _ ;.^,.^, 

et, par transformation continue en A, en B et en C : 
P" — «' = '•''/. + ''^,. + ^'/.^'c ; (P — b)[a-i- (p — C)] 
= 'c'a -f '•'•. — '■>:■ ; ' y^ — c)[a + (/; — b}] = r^r^ + ;v^, — rr,^. 
17. a'^r^ -f b-'i-f^ — ch'^, = 4Rp[(7j — c) — c cos A cos B], 
et, par transformation continue en A : 
aV — b-r^ + c^r,^ — 4K('p — a)[(p — b) ~ c cos A cos B]. 



18. y a^ cos- A := /»" — 



4K^ 



Je ne veux pas terminer sans remercier U.Neuberg de toute sa complai- 
sance, des nombreux renseignements, des multiples indications que je lui 
dois, qui, entre autres choses, ont transformé le n° I : Sur quelques groupes 
de trois cercles. 



132 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE. GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Abréviations employées daîis le cours du Mémoire : 

A. F. = Association française pour l'avancement des sciences. 

.T. E. = Journal de Mathématiques élémentaires, publié sous la direction de .M. de 

Longcliamps. 
,]. S. -= Journal de Mathématiques spéciales, publié sous la direction de M. de 

Longchainps. 

ERRATA 

AU MÉMOIRE DU CONGRÈS DE LIMOGES, 1890, § 3, 13, P. 127. 

Dans les coordonnées des quatre points communs aux deux coniques inscrites, il faut 
mettre L, M, N ; V, W, N' au lieu de A, B, C ; A' B' C. 

ERRATA 

Al- MÉMOIRE DU CONGRÈS DE MARSEILLE, 189J. 

Page 2 lignes 7, 8, 9, 17 ; remplacer a par n. 

9, en remontant; au lieu de x', y', z', lire .;', //', :' . 
12 ; la dernière lettre de la ligne doit être C et non B. 
2 ; le dénominateur doit être élevé au carré. 
11, en remontant ; au lieu de : inscrit, lisez : circonscrit. 
4, en leiiiontant; au lieu de : Z, lisez : Z, et ajoutez : Z, étant le cenijc du 
cercle de Rrocarrl . 
18 » 6 ; la première égalité de la ligne doit être : 



» 


4 


;j 


» 


10 


S 


» 


11 


» 


J> 


12 


» 


s 


16 


a 



g' =\ 



» 


28 


» 


1) 


36 





» 


38 


» 


» 


38 


y 


a 


39 


» 


» 


39 


» 


» 


39 


)) 



(/) - ar- -r- 5/-=^ -r lGKr„ 

9; au lieu de x\ y, z, lisez: x', if , z'. 

8; au lieu de : A', B', C, lisez : A', B', C. 

1 et 4, en remontant; au lieu de .M, lisez: JI,. 

3, en remontant ; après Vi est le point, ajoutez : , etc.. ou le puinl. 

1 et 5; au lieu de M, lisez: M,. 

2 ; effacez le barj centre et le point de. 

3 ; effacez Lemoine. 



M. aaston TÂURY 

Inspecteur des Contributions diverses, à .\Igcr. 



FIGURATION DES SOL'JTIONS IMAGINAIRES RENCONTRÉES EN GÉOMÉTRIE ORDINAIRE *; 



— Séance du 17 septembre 1892 — 

192. — Ces prétendus êtres de raison qu'on qualifie d'imaginaires sont 
parfaitement réels, et la géométrie possède le pouvoir de [les peindre à 
ri.magipation sous des formes sensibles. 

{V Voir C. R. du Congrès de Marseille, 2" partie, page 90. 



G. TAURY. — SULITIONS IMAf.I.NAIHKS UN GÉOMKTRIK OHDLXAIUK 133 

Le mot imaginaire devrait disparaître du langage scientifique. Mais, 
pour nous conformer à l'usage, nous conserverons cette appellation ; ce 
qui ne présente aucun inconvénient, pourvu qu'on s'entende. 

La Géométrie pure, telle qu'on l'a conçue jusqu'cà ce jour, est essentiel- 
lement restrictive, parce que son champ d'action est limité au réel. 

De là, dans ses investigations, une timidité qui a toujours entravé sa 
marche en avant. Un peu de hardiesse va lui permettre d'étendre sa 
puissance sur le monde de l'imaginaire. 

L'être primordial qui engendre tous les êtres de la Géométrie, c'est- 
à-dire le point, n'a pas encore reçu sa véritable définition. Cependant, on 
a coutume de dire que le point réel est un cas particulier du point ima- 
ginaire, ce qui revient à admettre qu'il existe une définition plus géné- 
rale du point, embrassant à la fois le point imaginaire, demeuré invi- 
sible jusqu'à ce jour, et le point réel, le seul qui se soit montré aux yeux 
des géomètres. 

Quand la Géométrie ordinaire, que j'appellerai restrictive par compa- 
raison avec la Géométrie générale, répond en langage algébrique par une 
solution imaginaire à la question qui lui est posée, nous sommes préve- 
nus, par cela même, que la demande formulée renferme une impos- 
sibilité. 

A la suite de longues études, j'ai acquis la conviction inébranlable que 
la cause unique de cette impossibiUté résidait dans notre exigence à vou- 
loir que la solution exacte satisfasse, par surcroît, à une condition parti- 
culière, toujours la même, et dont la nature nous échappait. 

Ce qui se passe dans cette circonstance extraordinaire, où l'Homme et 
le Sphinx de l'imaginaire se trouvent face à face, mérite de fixer au plus 
haut degré l'attention du penseur qui veut étudier les lois et la marche 
du raisonnement. 

Les lignes suivantes, que j'extrais de l'ouvrage de Vallès (Des fonnes 
imaginaires en Algèbre, tome I, page 52), en substituant seulement le 
mot Géométrie à celui d'Algèbre, décrivent avec la plus parfaite exacti- 
tude la situation, telle du moins qu'elle m'est apparue : 

« Il est intéressant d'étudier comment, dans ce cas, la réaction de la 
» Géométrie cherche à se mettre en équilibre avec l'action égarée de 
» notre intelligence ; comment elle se maintient dans le vrai, alors que 
» nous voulons l'entraîner dans le faux: comment, du moins, elle refuse 
» de nous suivre dans cette voie, et par quels moyens, toujours logique 
» et toujours utile, tout en nous disant que nous l'avons frappée d'im- 
') puissance, elle nous indique en quoi consiste l'erreur que nous n'avions 
» pas même soupçonnée. » 

Après dix années de méditation consacrées à rechercher la nature de 
cette erreur, j'ai été amené à la conclusion suivante : 



134 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

L'interprétation des solutions imaginaires en Géométrie ne peut être 
obtenue qu'à la condition d'admettre la définition ci-après du point, que 
j'ai adoptée. 

En Géométrie générale, on appelle point l'être produit par l'union de 
deux points de la Géométrie ordinaire, que Ton considère dans un ordre 
déterminé, afin de les distinguer l'un de l'autre comme s'ils étaient appe- 
lés à jouer un rôle difTérent dans cette création. 

Cette trinité est le dogme sur lequel repose la Géométrie générale. 

Les deux composantes du couple dont procède le nouvel être présentent 
deux états difTérents, suivant que leurs positions sont séparées ou super- 
posées. 

(juand les composantes sont séparées, on a la figuration du point dont 
on pressentait l'existence en le désignant sous le nom d'imaginaire. 

Le point imaginaire était une âme sans corps; nous lui donnons un 
corps pour le présenter dans le monde géométrique. 

Dans le cas, infiniment particulier, oii les composantes sont superpo- 
sées ou confondues, on a l'image du point réel. 

Ainsi, tout point réel est nécessairement double. 

Cette conclusion, si étrange qu'elle puisse paraître, est imposée par la 
force même des choses. 

Pour doter la Géométrie pure d'une puissance comparable à celle de 
l'Algèbre, il fallait encore découvrir les véritables définitions de la ligne 
droite, de la distance et de l'angle, éléments constitutifs de la science de 
l'étendue. 

Ces définitions ont été données dans mon premier Mémoire de Géo- 
métrie générale, présenté au Congrès de Paris en 1889 et publié dans le 
compte rendu de la session. 

De nombreuses expériences m'ont confirmé dans la croyance que j'ai eu 
la fortune de rencontrer la voie de la vérité. 

Ma Géométrie générale anéantit le fantôme de l'imaginaire. Désormais, 
toutes les solutions dites imaginaires pourront être représentées par des 
images visibles. 

Je serais heureux si l'exemple suivant, choisi parmi les solutions ima- 
ginaires qui se prêtent à une figuration simple, pouvait faire naître chez 
les amis de la vérité le désir de lire mes Mémoires de Géométrie gé- 
nérale. 

Dans le Journal de Mathémaliques de M. de Longchamps, j'ai proposé 
en 1889 le problème suivant, dont la solution a été donnée dans le nu- 
méro du mois de septembre 1892. 

Quatre trains se meuvent sur des voies rectilignes avec des vitesses 
uniformes. On connaît leurs positions à deux instants différents. 

On demande de tracer une cinquième voie rectiligne qui puisse être 



G. T.VrUtV. S(tLl TID.NS IMAGINAIRES £.\ GKUMÉÏKIK 0HDI.\A1UE 135 

parcourue par un train d'un mouvement uniforme, de telle sorte que les 
quatre premiers trains paraissent immobiles aux A'oyageurs du cinquième. 

Ce problème est du second degré et, par conséquent, peut comporter 
des solutions imaginaires. 

En vertu des définitions nouvelles, données par la Géométrie générale, 
le problème doit être posé sous cette forme : 

Ouatre couples de trains confondus, AA, BB, CC, DD, se meuvent en 
ligne droite avec des vitesses uniformes. 

On demande de trouver deux voies rectilignes qui puissent être parcou- 
rues avec des vitesses uniformes par deux trains P et P', de telle sorte 
qu'à tout instant la ligne droite de (iéométrie générale qui passe par le 
point PP' et l'un quelconque AA des quatre autres points mobiles con- 
serve la même direction. 

Pour que la droite mobile PP'AA de Géométrie générale conserve une 
direction fixe, il faut et il suffit que le rapport des distances PA et P'A 
demeure constant et que la bissectrice de l'angle variable PAP' ait une 
direction fixe. (Voir pour la démonstration mon Mémoire de 1889. j 

En conséquence de ce qui précède, j'affirme sans aucune hésitation que, 
dans le problème primitif, la solution imaginaire présentée par la Géo- 
métrie restrictive doit être interprétée comme il suit : 

11 existe toujours deux trains réels qui se meuvent sur des lignes 
droites avec des vitesses uniformes, de telle sorte qu'à tout instant du 
mouvement : 1" les distances de ces deux trains à chacun des quatre 
premiers soient respectivement dans des rapports constants ; 2° les bis- 
sectrices des angles sous lesquels on voit ces deux trains de chacun des 
quatre premiers conservent des directions fixes. 

Cela est évident en Géométrie générale. 

Quand les deux trains du couple sont constamment confondus en un 
seul, et alors seulement, la Géométrie restrictive donne une solution 
réelle. 

On voit par cet exemple typique que la Géométrie restrictive, en pré- 
sentant une solution imaginaire, nous prévient bien que la demande for- 
mulée renferme une impossibilité. 

Et cette impossibilité tient uniquement, non seulement dans le problème 
qui nous occupe, mais toujours, à ce que nous exigeons que les deux 
composantes du point demeurent superposées. 

C'est en cela que, suivant l'expression de Vallès, consiste l'erreur que 
nous n'avions pas même soupçonnée. 

Dans l'espace réel oîi Descartes a construit les axes de sa Géométrie 
analytique, toutes les places paraissent marquées d'avance pour les points 
réels, dont les coordonnées sont déterminées à l'aide de nombres positifs 
et négatifs. 



136 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

On a été porté à croire qu'il n'en restait aucune pour les points ima- 
ginaires, et, ne sachant où mettre ces êtres dont l'existence s'afTirmait 
de plus en plus, on a imaginé l'hyperespace pour les y loger. 

Dans ces limbes, ils ont attendu la venue d'une Géométrie générale, 
qui leur a donné un corps pour leur permettre de pénétrer dans l'espace 
où nous vivons. 

Le spectre de l'imaginaire a disparu, et avec lui son habitation : Ihy- 
perespace. 



M. COCCOZ 

Commandant d'Artillerie en retraite, à Paris. 



DES CARRÉS DE 8 ET DE 9, MAGIQUES AUX DEUX PREMIERS DEGRES 
DES CARRÉS DE MÊMES BASES EN NOMBRES TRIANGULAIRES 



— Séance du 17 septembre 1892 — 

La question des figures magiques, dont les mathématiciens les plus 
éminents s'occupèrent avec ardeur à la fin du xvii'^ et au commencement 
du xviii^ siècle, s'est enrichie tout récemment de procédés au moyen 
desquels on a résolu des problèmes (*) de ce genre plus compliqués que 
celui des enceintes, qui fut, par l'intermédiaire du P. Mersenne, l'objet 
d'une active correspondance entre les illustres Fermât et Frenicle. 

La recherche des carrés de 8 et de 9 de base, magiques aux deux pre- 
miers degrés, a été précédée par d'autres. Toutes ont eu pour point de 
départ un triangle équilatéral de neuf chiffres inséré dans un volume de 
la Nouvelle Coj'respondance mathémathique qui nous fut communiqué par 
notre ami Edouard Lucas. 

Les quatre nombres de tel côté que l'on veut considérer 

4 3 de ce triangle ont pour somme 20, et l'addition de ces 

9 7 mêmes nombres élevés à la deuxième puissance donne pour 
^ ^ *^ ^ total 126. 

On fit bientôt après, avec dix-huit, puis avec vingt-sept éléments, 

(*) Voir l'Appendice à lu lin du Mémoire. 



COCCOZ. — DES CAHUÉS MAGIQUES 13" 

une quanlité considérable de triangles satisfaisant à de semblables condi- 
tions. Le 19 novembre 1888, un mémoire sur les égalités à deux degrés 
fut présenté à l'Académie des Sciences par son auteur, M. le général Fro- 
lov, et le Journal de Mathématiques élémentaires traita le même sujet dans 
ses numéros d'août et de septembre 1889. 

Ces divers travaux firent naître l'idée de former à deux constantes : 

1° Des enceintes magiques ; 

2" Des cercles de même rayon se coupant deux à deux, leurs circon- 
férences étant divisées en parties égales avec des nombres à chaque 
point de division et d'intersection ; 

3" Des ensembles de lignes formant des figures géométriques comme 
il y en a, mais sans double égalité, dans le chapitre Das magische Po- 
lygon, du traité d'Hermann SchetTer. 

Carré de 8 de base. — M. Savard a le premier arrangé soixante-quatre 
nombres en un carré magique au premier degré et semi-magique au 
second ; mais, c'est M. PfetTerniann qui, avant tout autre, a construit 
un carré de 8 parfaitement magique à deux degrés, et quelques mois 
après un de 9 réunissant les mêmes conditions. Ces carrés ont été pu- 
bliés par les soins de M. Feisthamel le 6 décembre 1890 et le ^ll juin 1891. 

On se rendra compte des difficultés que présentait la construction de 
tels carrés en cherchant, parmi les formules connues et les notations 
dues à Joseph Sauveur, celles qui pourraient aider à résoudre ce nouveau 
genre de problèmes, et aussi, en considérant que les combinaisons de 
huit nombres donnant la double égalité 260 et 11.180 dépassent 30.000 
suivant une première approximation de M. Rilly, qui en a déjà cal- 
culé 23.136. 

La marche à suivre pour obtenir avec des nombres consécutifs un 
carré de 8 comporte trois opérations : 

1° Avec les soixante-quatre nombres former huit lignes, chacune de 
huit éléments, dont la somme soit 260; faire les permutations de chiffres 
nécessaires pour, sans altérer cette première égalité, en trouver une se 
conde 11.180 par l'addition des nombres élevés à leur deuxième puissance. 

Cette opération terminée, on a ce que nous appelons un générateur. 

2° Composer un second générateur ayant les mêmes qualités que le 
premier, et pouvant se conjuguer avec lui pour faire un semi-magique. 

3° Par des changements de place des lignes entières, amener en dia- 
gonales les nombres qui, en dotant celles-ci de la double égalité, rendent 
le carré tout à fait magique. 

Générateur. — Pour former chaque générateur, nous procédons par 
couples égaux, et par leurs complémentaires, en nous réglant, pour com- 
mencer, sur les deux rangées supérieures d'un échiquier dont les cases 
seraient numérotées. 



188 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Nous obtenons les cinq groupements suivants : 

260 et 17 49 81 113 ^260 

16 SO 82 112:^260 

15 51 83 111 =3 260 

13 53 85 109^^260 

9 57 89 105 = 260 

La première décomposition est des plus simples : il faut écrire les 
nombres suivant la marche que les Grecs appelaient boustrophédon. 



|0 


17 


49 


81 


113 


- : 260 


2" 


18 


48 


80 


114 


- 2(30 


;-i° 


19 


47 


79 


115 


^ 260 


-4" 


21 


45 


77 


117 


= 260 


5° 


25 


41 


73 


121 


.= 260 









Z*^"" groupement. 










A 


B 


( 


A 


D 





8 


9 


24 25 


40 


41 


56 




4 


7 


10 


23 26 


39 


42 


55 


58 


12 


6 


11 


22 27 


38 


43 


54 


59 


24 


5 


12 


21 28 


37 


44 


53 


60 


40 


4 


13 


20 29 


36 


45 


52 


61 


60 


3 


14 


19 30 


35 


46 


51 


62 


84 


2 


15 


18 31 


34 


47 


50 


63 


12 


1 


id 


17 32 


33 


48 


49 


64 



On a évidemment des horizontales égales, puisqu'elles se composent 
toutes des couples 17 49, 81 113 — 260. 

Il s'agit de leur donner la double égalité. Dans chaque colonne les 
premiers nombres inscrits sont consécutifs, de la forme n et w + 1 
ayant pour somme de leurs carrés 2n(n -|- 1) -f- 1. Les deux suivants 
(/i — 1) et {il -\- 1) ont pour somme de leurs carrés 2n(M -|- 1) -|- ^» 
quantité qui surpasse de quatre unités le résultat précédent. 

En comparant ainsi chaque couple avec le premier inscrit, on trouve 
les différences mises en marge du tableau. En place des nombres 0, 4, 
12, 24, etc., etc., marquant des différences, on aurait pu mettre plus 
simplemenl : 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, c'est-à-dire les sept premiers 
nombres triangulaires précédés de zéro. Ces différences formant une 
somme 336 pour les huit couples d'une colonne, les horizontales seront 
égales au second degré toutes les fois que les quatre couples de chacune 
d'elles présenteront des différences ayant pour somme 



336 
4 



= 168 



En représentant chaque couple par la lettre placée en tête de sa 



COCCOZ. — DES CAItUÉS MAGIQUES 139 

colonne avec Je chiffre en marge pour indice, on composera des lignes 
à deux constantes telles^ que les suivantes (*): 



Ah. 

Au2 
As4 

As, 

A64 



B40 

B,2 

Beo 
Bc„ 



r.,., J)^ cVst-à-diriî (a) 1 16 20 29 38 43 55 58 i^ 

t:,' L),,, » (h) 1 16 20 29 39 42 54 59 '^ 

C40 \h « (c) 1 16 22 27 36 45 55 58 ^1 

C04 D„ » fdj 2 15 18 31 40 41 56 57 [=: 

r.„ \\, » l'e} 2 15 19 30 37 44 56 57 1=1 

C, \\, » (f) 2 15 19 30 38 43 54 59 IH 



260 


11180 


260 


11180 


260 


11180 


260 


11180 


260 


11180 


260 


11180 



Ou abrège les recherches par l'emploi des termes complémentaires. 
Ainsi, ou déduit immédiatement des six lignes ci-dessus : 



fa') 7 10 22 27 36 45 49 64 
(c'} 7 10 20 29 38 43 49 64 
i'e') 8 9 21 28 35 46 50 63 



7/J 6 11 23 26 36 45 49 64 
(d') 8 9 24 25 34 47 50 63 
(f) 6 11 22 27 35 46 50 63 



Les autres groupements ne comportent chacun que quatre lignes. 



A 



D 



A' 



B' 



\y 



T groupement. 






7 9 


24 26 


40 42 


55 57 


8 10 


23 25 


39 41 


56 58 


16 


5 11 


22 28 


38 44 


53 59 


6 12 


21 27 


37 43 


54 60 


30 


3 13 


20 30 


36 16 


51 61 


4 14 


19 29 


35 45 


52 62 


48 


1 15 


18 32 


34 48 


49 63 


2 16 


17 31 


33 47 


50 64 



S'^ groupement. 






6 9 


24 27 


40 43 


54 57 


8 11 


22 25 


38 41 


56 59 


8 


5 10 


23 28 


39 44 


53 58 


7 12 


21 26 


37 42 


55 60 


56 


2 13 


20 31 


36 47 


50 61 


4 15 


18 29 


3i 45 


52 63 


80 


1 14 


19 32 


35 43 


49 62 


3 16 


17 30 


33 46 


51 64 



groupement . 






4 9 


24 29 


40 45 


52 57 


8 13 


20 25 


36 41 


56 61 


12 


3 10 


23 30 


39 46 


51 58 


7 14 


19 26 


35 42 


55 62 


28 


2 11 


22 31 


38 47 


50 59 


6 15 


18 27 


34 43 


54 63 


48 


1 12 


21 32 


37 48 


49 60 


5 16 


17 28 


33 44 


53 64 



o^ groupement. 






4 


5 


28 29 


44 45 


52 53 


12 13 


20 21 


36 37 


60 61 


4 


3 


6 


27 30 


43 46 


51 54 


11 14 


19 22 


35 38 


59 62 


12 


2 


7 


26 31 


42 47 


50 55 


10 15 


18 23 


34 39 


58 63 


24 


1 


8 


25 32 


41 48 


49 56 


9 16 


17 24 


33 40 


57 64 



(*) Dans les numéros précités du Journal de Mathématiques élémentaires, le signe 
employé pour exprimer une douljle égalité. 



a été 



140 MATHÉMATIQUES, ASTROxNOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

A laide de deux des cinq tableaux, on trouvera les lignes de deux 
générateurs. Supposons les suivants d"' et 5'- groupements) : 



Gi'nérateur doniiaiil, les horizontales. 



Gént'raleiir ilomi;mt les verlirnle^. 



1 


16 


22 


27 


39 


42 


52 


61 


4 


13 


23 


26 


38 


43 


49 


64 


2 


15 


21 


28 


40 


41 


51 


62 


o 


14 


24 


25 


37 


44 


50 


63 


5 


12 


18 


31 


35 


46 


56 


57 


8 


9 


19 


30 


34 


47 


53 


60 


6 


11 


17 


32 


36 


45 


55 


58 


7 


10 


20 


29 


33 


48 


54 


59 



1 


10 


2 


9 


3 


12 


4 


11 


8 


15 


7 


16 


6 


13 


5 


14 


28 


19 


27 


20 


26 


17 


25 


18 


29 


22 


30 


21 


31 


24 


32 


23 


43 


36 


44 


35 


41 


34 


42 


33 


46 


37 


45 


38 


48 


39 


47 


40 


50 


57 


49 


58 


52 


59 


51 


60 


55 


64 


56 


63 


53 


62 


54 


61 



Ces deux générateurs peuvent se conjuguer : la première horizontale 
et la première verticale n'ont d'autre terme commun que l'unité et, en 
outre, 22 et 43 sont leurs seuls termes qui se complètent pour donner 
64-f-l- Il en est d'ailleurs de même des autres lignes ayant un 
terme conmiun, par exemple : 2, 13, 21, 28, 40, 41, 51, 62, et 2, "i, 
27, 30, 44, 4o, 49, 56; le terme commun est 2 et leurs seuls complé- 
mentaires sont 21 et 44. 

Après avoir arrangé dans le générateur dont les horizontales sont 
exactes les nombres de manière que les verticales soient composées 
comme celles de l'autre générateur, on aura un semi-magique auquel on 
donnera une disposition telle qu'il soit formé de seize petits carrés dans 
chacun desquels on trouve 130 exprimé en quatre nombres par 65 
et 65 (fig. 5), ou par 64 et 66, 63 et 67, 61 et 69, 57 et 73, 49 et 81. 
ou 33 et 97 (*) (fig. 7). 



(*) On peut se dispenser de faire cet arrangement par Oo 60; mais il ji'est pas inutile de l'essayer 
quand on désire former les diagonales avec d'autres couples, parce que, en cas de non-réussite des 
16 petits carrés i)ar la décomposition de 130 que l'on a choisie, il n'y a pas de diagonales corres- 
pondantes. 

Le semi-magique figure 7 a ses carrés par 37 73. On pourrait les faire par 61 69 et aussi par .'il fiii. 
Dans le premier cas, on a les quadrangles 



dans le second 



et dans le troisième 



53 


2'. 


/. 


33 


3i 


62 


42 


11 


34 


3 


23 


34 


12 


41 


61 


32 


n 


1', 


V> 


5o 


.il 


41 


10 


20 


63 


^'7 


6 


32 


2S 


^2 


33 


;i9 


A 7 


l'r 


2 


3.Ï 


30 


63 


31 


1S 


33 


/. 


16 


4:; 


20 


49 


61 


32 



COCCdZ. — DES CARRES MAGIQUES 



141 



FiG. ii. — Semi-magique. 
A A' B B' C C D D' 



FiG. 7. 



Semi-magiquc. 



1 


22 


27 


16 


52 


39 


42 61 


43 


64 


49 


38 


26 


13 


4 23 


-16 


l.j 


2 


21 


41 


62 


51 '.U 


50 


37 


44 


63 


3 


24 


25 14 


46 


07 


56 


35 


31 


12 


5 18 


8 


19 


3(1 


9 


53 


3'. 


47 60 


55 


36 


45 


58 


6 


17 


32 U 


29 


10 


7 


2(» 


48 


59 


54 33 



c 
c' 

d 
d' 



1 


58 


36 


27 


53 


14 


24 47 


15 


53 


46 


21 


59 


4 


26 33 


22 


45 


55 


16 


34 


25 


3 (iO 


28 


35 


57 


2 


48 


23 


13 54 


40 


31 


5 


62 


20 


43 


49 10 


42 


17 


II 


52 


30 


37 


63 8 


51 


12 


18 


41 


7 


64 


38 29 


61 


6 


32 


.'.9 


9 


50 


44 19 



Diagonales. — En consultant une liste facile à établir des combinai- 
sons de quatre couples qui donnent la constante 11.180. on trouvera 
celles dont les termes disposés magiquement se prêtent aux change- 
ments de position des lignes qui amènent ces termes suivant l'une des 
diagonales. Il est évident que les colonnes du semi-magique (voir fig. 5) 
étant interverties suivant D, C, B, A, A', B', C, D', les nombres 3 (32, 
16 49, 18 4", 29 36 de l'une de ces combinaisons seront placés en 
seconde diagonale, et qu'en mettant les rangées horizontales par c, h, 
a, d, d', a\ b', c', o 60, 10 55, 24 41, 27 38, qui forment quatre qua- 
drangles avec les précédents, pourront être pris pour la première diago- 
nale (voir fig. 6). 







Fig. 6. 


— Magique. 






D 


C 


B A 


A' B' C 


D' 




5 


31 


56 46 


57 35 12 


18 


c 


51 


41 


2 28 


15 21 62 


40 


b 


42 


52 


27 1 


22 16 39 


61 


a 


32 


60 


45 55 


36 58 17 


U 


d 


54 


48 


7 29 


10 20 59 


33 


d' 


4 


26 


49 43 


64 38 13 


23 


b' 


25 


3 


4'. 50 


37 63 24 


14 


c' 


47 


53 


30 8 


19 9 34 


60 


d' 



Fig. s. — .Magique. 

















/ 


16 


38 


52 


26 


41 


1 


23 


61 


27 


49 


39 


13 


64 


22 


4 


42 


2 


44 


62 


24 


37 


15 


25 


51 


21 


63 


41 


3 


50 


28 


14 


40 


58 


20 


6 


48 


29 


55 


33 


U 


45 


7 


17 


59 


10 


36 


54 


32 


56 


30 


12 


34 


19 


57 


47 


5 


35 


9 


31 


53 


8 


46 


60 


18 



Deux autres combinaisons également par 6o 6o, 3 62, 16 49, 18 4", 
29 36 et 4 61, lo oO, 17 48 et 30 3o conviennent aussi ; elles se con- 
juguent avec oelles déjà indiquées. Il en résulte que si on les désigne 



142 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

par a, [3, Y' 2: 01^ S'Ura six paires de diagonales, a[i, ay, aS, py, jio, yo, 
qui pourront être adaptées à ce carré. 

On. sait qu'un carré de 8 de base se transforme de cent quatre-vingt- 
douze manières quand on déplace simultanément des bandes et des 
colonnes également distantes du milieu. En supposant qu'il ne soit pas 
possible de lui donner d'autres diagonales que celles par 65 65, le carré 
(fuj. 6) est déjà susceptible de 6 X 19^ = l-lo2 solutions. Il en serait 
de même du carré (flg. 8) auquel six paires de diagonales conviennent 
également. 

Cette multiplicité des diagonales, ainsi que les transformations par 
échanges de groupes égaux, qu'il faut chercher pour les découvrir, s'op- 
pose à la détermination exacte, a prio?'i, du nombre de carrés de 8 à 
deux degrés que l'on peut construire par la méthode dont nous venons de 
faire un exposé succinct. Tout ce qu'il est permis d'alfirmer, c'est que les 
lignes, au nombre de trente, qui comprennent l'unité se conjuguent 
cent vingt fois deux à deux, d'oii 120 carrés donnant lieu chacun à 
192 solutions dérivées, c'est-à-dire 23.040 carrés différents, sans compter 
les solutions en quantité assurément considérable dues aux changements 
de diagonales. 



CARRÉ DE 9 DE BASE MAGIQUE AUX DEUX PREMIERS DEGRÉS 

Carré de 9, — Le carré de 81 éléments consécutifs se fait aussij par 
deux générateurs qui se conjuguent pour former un semi-magique que 
l'on dote ensuite de bonnes diagonales. 

Avec la suite naturelle de 1 à 81, les constantes sont, au premier degré, 
369 et, au second, 20.049. 

A.vec les vingt-sept nombres dont se composent les trois premières 
lignes d'un carré naturel, on forme une bande qui comprend trois petits 
carrés magiques auxquels on donne la même orientation. 



2 


7 


6 


11 16 15 


20 25 24 


9 


5 


1 


18 14 10 


27 23 19 


4 


3 


8 


13 12 17 


4 3 8 



En transportant ensuite dans chaque carré deux horizontales prises 
aux autres carrés, on rend égales les neuf lignes verticales. 

Chaque verticale est alors formée de termes dont la somme est 42, 
l'ensemble en comprend quatre paires qui présentent chacune une double 
égalité et une dans la composition de laquelle entre la moyenne de 1 à 27, 
c'est-à-dire 14. 



COCCOZ. l)i:s C.VUKKS MAGIQUES 

h r (I d' !■' 1/ 



143 



(/ /// (I 



2 7 6 


11 16 15 


20 25 24 


18 14 10 


27 23 19 


9 5 1 


22 21 26 


4 3 8 


13 12 17 



Dans le tableau ci-dessus, qui présente le résultat des opérations que 
nous venons d'énoncer, les lignes désignées par les mêmes lettres jouissent 
de la double égalité, leurs éléments se complétant à 27 -|- 1 — 28 (*). 

En agissant de même avec les nombres de 28 à 5i- des 3°. 4'' et 
o'' lignes, puis avec ceux de 5o à 81 des trois dernières ligîies du carré 
naturel, on arrive à des résultats analogues, savoir : deux bandes à ver- 
ticales égales, des couples de ces verticales à double égalité et une ligne 
où se trouve la moyenne qui pour la seconde bande est 41, et pour la 
troisième bande est 68. Il ne reste, pour avoir un générateur, qu'à faire 
avec les verticales partielles des verticales entières dont les nombres 
élevés au carré aient pour somme 20.049. 

Générateur n" i. 





", 


m, 


«; 


fc, 


'■i 


'', 


< 


(■' 

1 


1 




2 


7 


6 


11 


J6 


15 


20 


25 


2i 




18 


14 


10 


27 


23 


19 


9 


5 


1 




22 


21 


26 


4 


3 


8 


13 


12 


17 


42 


m.. 


"o 


"', 


lu 


c. 


cU 


u:. 


(/: 


c: 




34 


33 


29 


43 


42 


38 


52 


51 


47 




41 


37 


45 


50 


46 


54 


32 


28 


36 




48 


53 


49 


30 


35 


51 


39 


44 


40 


2.5 


"o 


(1 

1 


'" ,, 


/^3 


'-i 


(!, 




h' 

.1 


(/; 




60 


56 


61 


69 


65 


70 


78 


74 


79 




64 


72 


68 


73 


81 


77 


55 


63 


59 




80 


76 


75 


62 


58 


57 


71 


67 


66 



204 



(*) Voici une autre répartilion des tronçons d'horizontales qui doniiL' l'égalité des verticales de la 
|u-emière bande, et, en procédant d'une manière analogue, l'égalité dans les autres bandes. 



Il 


r 


b 


// 


r 


n' 


(/ 


m 


d' 


2 


i 


6 


11 


15 


i:; 


20 


2:i 


21 


27 


r.i 


19 


9 


o 


1 


18 


14 


1(1 


13 


12 


17 


22 


21 


2 G 


l> 


■i 


S 



144 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Ce tableau, en même temps qu'il montre une composition de générateur, 
fait prévoir les variations qu'on peut lui appliquer, les lettres (jui, dans 
une bande, ne difîèrent que par l'accent, indiquant les tiers de colonnes 
qu'on peut faire permuter. 

Pour faciliter la vérification de ce générateur auquel nous donnons 
le n° 1, et aussi la construction d'autres générateurs en partant des mêmes 
bases, voici les valeurs au second degré des différents groupes ternaires 
employés : 



«t 


= a\ 


=.812 


«, — 0,;" 5.267 


«3 


6, 




=.866 


6^ = b\ = 5.249 


\ 


^i 


t 


= 794 


c, — c^ — 5.105 


c. 


ds 


=^^; 


= 650 


d.^ = d; = 5.321 


^3 




m. 


— 686 


m, ■= 5.141 





61 = 



c„ = 



dl 



m. 



14.096 
13.934 
14.150 

14.078 
13.970 



Nous ne pouvons produire, dans une note qui doit être succincte, les 
cent quatre générateurs obtenus en orientant autrement les petits carrés 
ou bien en changeant de place dans une même bande les verticales qui 
peuvent se permuter. Nous mentionnerons seulement que, partagés en 
(juatre classes, ceux de la seconde se font en groupant, pour former les 
bandes, les lignes 1'''', 4" et 7*= du carré naturel, puis les 2% 5® et 8% et 
enfin les 3°, 6^ et 9^ Ce qui fait qu'une bonne ligne de générateur, 
au lieu d'être décomposée au premier degré en 4,2 -|- 123 -|- ^04 = 369, 
l'est en 96+123 = 150. 

La troisième classe se fait en groupant, non les horizontales, comme 

Générateur n° .'■. 





2 


7 


6 


11 


16 


15 


20 


25 24 




27 


23 


19 


9 


5 


1 


18 


14 10 


42 


13 


12 


17 


22 


21 


26 


4 


3 8 




















33 


29 


34 


42 


38 


43 


51 


47 52 




46 


54 


50 


28 


36 


32 


37 


45 41 




44 


40 


39 


53 


49 


48 


35 


31 30 


123 


















61 


60 


56 


70 


69 


65 


79 


78 74 




77 


73 


81 


59 


55 


63 


68 


64 72 




65 


71 


67 


75 


80 


76 


57 


62 58 



COCCOZ. — DES CARRÉS MAGIQLKS 145 

nous l'avons indiqué, en établissant le générateur n" 4, mais les verti- 
cales l'«. 2% 3^et 4% ù% 6^ 7% 8% 9% d'où résulte la décomposition de la 
constante 369 en 114 -f- 123 -j- 132. La quatrième classe groupe les 
verticales 1", 4% 7«; 2% 5% 8«; 3% 6«, 9% comme sont groupées les 
horizontales de la deuxième classe ; la décomposition est par 



120 + 123 + 120 = 369. 

En supposant que nous ayons choisi pour horizontales d'un semi- 
magique les verticales du générateur n° 1, celui qui occupe le qua- 
trième rang dans le travail de M. Pfeffermann en donnerait les ver- 
ticales . 

SemiTinagique engendré par les générateurs a» i et n» 4. 



1 

2 


18 


22 


34 


41 


48 


60 


64 


80 


27 


4 


11 


50 


30 


43 


73 


62 


69 


* 13 


20 


9 


39 


52 


32 


71 


78 


55 


* 33 


37 


53 


56 


72 


76 


7 


14 


21 


46 


35 


42 


81 


58 


65 


23 


3 


16 


44 


51 


28 


67 


74 


63 


12 


25 


5 


61 


68 


75 


6 


10 


26 


29 


45 


49 


77 


57 


70 


19 


8 


15 


54 


31. 


38 


66 


79 


59 


17 


24 


1 


40 


47 


36 



En se reportant à ce que nous avons expliqué au sujet de la cons- 
truction des semi-magiques de 8, on aura facilement celui de 9 produit 
des générateurs n° 1 et n° 4. 

Diagonales. — Les lignes de deux générateurs n" 6 et n° 7 faits en 
donnant une autre orientation aux petits carrés de 9 éléments dont 
se composent les bandes donneront les diagonales. Veut-on placer 41 
dans la cellule centrale, l'un des générateurs a dans la ligne où se 
trouve ce chiffre : 6, 16, 20, 28, 54, 62, 66, 76 ; dans l'autre, 4, 12, 
26, 36, 46, o6, 70, 78 sont aussi dans la ligne dont fait partie ce 
même chiffre 41. Et, de plus, ces nombres sont en quadrangles. 



4 62 


56 76 


46 16 


28 12 


20 78 


6 2G 


66 36 


70 54 



Voici les deux générateurs 6 et 7 qui, en outre, se peuvent conjui."uer 

10* 



146 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

pour engendrer un semi-magique qui, lui, emprunterait ses diagonales 
aux générateurs n" 1 et n° 4. 



Générateur n» 6. 



4-) 



23 



204 



4 9 


2 


13 


18 


11 


22 


27 


20 


21 23 


25 


3 


5 


7 


12 


14 


16 


17 10 


15 


26 


19 


24 


8 


1 


6 


29 31 


3<} 


38 


40 


44 


47 


49 


54 


52 48 


50 


34 


30 


32 


43 


39 


41 


42 44 


37 


51 


53 


46 


33 


35 


28 


63 06 


58 


72 


65 


67 


81 


74 


76 


77 79 


75 


59 


61 


57 


68 


70 


66 


64 69 


71 


73 


78 


80 


55 


60 


62 



Génér;Ueur ii" 7. 



42 



123 



204 



4 


9 


2 


13 


18 


11 


22 


27 20 


12 


14 


16 


21 


23 


25 


3 


5 7 


26 


19 


24 


8 


1 


() 


17 


10 15 


36 


29 


31 


45 


38 


40 


54 


47 49 


41 


43 


39 


50 


52 


48 


32 


34 30 


46 


51 


53 


28 


33 


35 


37 


42 44 


56 


58 


63 


65 


67 


72 


74 


76 81 


70 


66 


68 


79 


75 


77 


61 


57 59 


78 


80 


73 


60 


62 


55 


69 


71 64 



Si l'on mettait tout autre nombre dans la cellule centrale, on opére- 
rait comme ci-dessus, de sorte que les cent quatre générateurs composés 
jusqu'à ce jour donnent lieu à 48 + 36 -f 36 -f 36 = lo6 carrés types, 
susceptibles de recevoir chacun quatre-vingt-un nombres différents au 
centre; ce qui fait 12.636 carrés transformables par le déplacement 
simultané des rangées et des colonnes également distantes du centre. 
Soit un total de -2.i26.il2 dans lequel ne sont pas comprises les varia- 



COCCOZ. — DES CARRÉS MAGIQUES 147 

lions provenant d'échanges possibles, dans certains cas, entre des groupes 
ternaires de même valeur. 

A l'article suivant nous donnons un carré appartenant à la 4" classe, 
le dernier de la collection (n° lo6),' avec l'unité dans la cellule cen- 
trale. 



sans 



CARRE MAGIQUE A NOMBRES TRIANGULAIRES 

n{ii -1-1) n^ii, 
La tormuie — ^^ — _ _^ d un nombre triangulaire montre, 

qu'il soit nécessaire de le démontrer, qu'un carié étant fait aux deux 

l)remiers degrés, on en aura immédiatement un à nombres triangulaires 

si l'on substitue, dans chaque cellule, au chiffre qui l'occupe le trian- 

2 H- 4 3 4- t» 

gulaire correspondant : à 1, 1; à 2, — ^ = S;h 3, —~^= 6; à 23, 

23 -1- o29 ^„, 

= 2/6, etc., etc., etc. 

Par exemple, les trois lignes principales du carré suivant qui est 
magique aux deux degrés, seraient composées en nombres triangulaires 
comme nous l'indiquons plus bas (*) : 



40 1-2 71 73 23 30 29 7 24 

55 48 5 16 38 15 80 49 63 

25 6 47 31 62 81 14 64 39 

12 41 10 60 52 74 58 54 8 

36 26 76 21 1 32 43 69 65 

78 56 34 45 67 17 19 3 50 

77 46 57 2 51 61 18 44 13 

11 70 42 53 9 22 75 59 28 

35 4 27 68 66 37 33 20 79 



La somme des quatre-vingt-un premiers nombres triangulaires est 
91.881 dont le neuvième est 10.209. C'est ce chiffre que l'on obtiendrait 
en faisant la somme des nombres triangulaires substitués à ceux d'une 

(*) M. Feisthamel, l'amateur le mieux renseigné et le plus connu de tous les polygraphistes et 
TMiseurs de c;irrés, a eu l'obligeance de publier dans divers journaux, notamment le Siècle et ta France, 

issitot qu'ils lui ont été communiqués, les carrés à deux degrés faits par les trois ou quatre per- 
-onnes qui réussissent à en composer de réellement magiques. 



148 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

ligne quelconque du carré ci-contre qui est le dernier de la collection de 
M. Pfeffermann (15G). 



1'^ horizonfale 


820 


2628 


2556 


2701 


276 


465 


435 


28 


300: 


= 10.209 


1'° verticale 


820 


1540 


325 


78 


666 


3081 


3003 


66 


630 


= 10.209 


1'° diagonale 


820 


117G 


1128 


183U 


1 


153 


171 


1770 


3100 - 


= 10.209 



et ainsi des autres lignes. 



APPENDICE 

1. — Comme exemple de ces sortes de |)roblèmes, la figure 1 représente ua triangle 
composé avec la suite naturelle de 1 à 18 et dont les constantes sont 69 et 871, la figure 2 
un carré de 5 de base dont l'enceinte a pour constantes 65 et 1007, la figure 3 un carré 
de 7 dont Fcnceinte a pour constantes 175 et 5415. 

Les lignes de la figure 4 sont les développements d'autant de circonférences. On 
trouve les constantes 205 et 5537 en additionnant les nombres placés sur chaque circon- 
férence en des points de division ou d'intersection (ces derniers sont ceux qui sont 
répétés). 



l'iG. 1. 

G 

1 3 

8 4 

9 11 

16 13 

17 14 

12 2 5 7 10 15 18 



FIG. 2. 



7 
21 


8 


17 


22 


11 

5 


14 


2.3 


2 


16 


1 


13 


25 


10 


6 
15 


24 


3 


12 


20 

19 


18 


9 


4 



FiG. 3. 



8 
15 


5 


28 


31 


37 


40 


26 
35 


4 


6 


47 


39 


29 


17 


9 


27 


34 


14 


41 


33 


30 


43 


12 


25 


38 


7 


20 


32 


48 


36 


16 


23 


2 


18 


49 
24 


21 


44 


:} 


11 


46 


1 
42 


45 


22 


19 


13 


10 



FiG. /,. 

I li 8 20 21 25 .32 36 M 37 

I 19 8 12 22 13 28 29 33 'lU 

27 30 34 12 7 13 24 2 17 39 

35 38 26 4 31 10 24 5 17 15 

9 18 26 6 31 16 23 36 3 37 

Constantes =: 205 5537 



M. IliOl.OV. — SUR LES RÉSIDUS QUADRATIQUKS 149 



M, Michel EROLOV 

à Genève. 



SUR LES RÉSIDUS QUADRATIQUES 



— Séance du 17 septembre 1892 — 

i . — Dans ses Disquisitiones fuithmeticœ, Gauss appela résidus quadra- 
tiques du module m les restes que l'on obtient en divisant par un nombre 
quelconque m une suite de carrés consécutifs \ , 4, 9, 10 ... Il appela 
non-résidus quadratiques tous les autres nombres, inférieurs à m, qui ne 
se trouvent pas parmi ces restes. 

La considération des résidus quadratiques révèle quelques propriétés 
des nombres qui pourraient servir à la détermination de leurs facteurs 
premiers. 

m — 1 

On sait que pour ut premier il y a — ^ — résidus et autant de non- 
résidus, et que tous ces nombres sont distincts les uns des autres. 

C'est là une des propriétés caractéristiques des nombres premiers. 

Dans ce cas, comme l'a fait voir Gauss, le produit d'un nombre quel- 
conque de résidus et de non-résidus est résidu ou non-résidu, selon que 
les non-résidus sont en nombre pair ou impair. 

On peut obtenir avec deux résidus quelconques, autres que l'unité, tous 
les aulres résidus d'un module, par la multiplication des résidus connus, 
sans recourir à la division des carrés. 

Par exemple, tous les six résidus du module 13 peuvent être obtenus 
avec deux résidus 4 et 9. En effet, leur produit 36 donne le résidu 10; 
le produit de 4 et de 10 donne le résidu 1 ; celui de 9 et de 10 donne 12 
et celui de 10 et de 12 donne 3. Tous les autres produits donneront 
les mêmes résidus. Cette propriété n'appartient également qu'aux résidus 
des nombres premiers. 

2. — Si l'on numérote les résidus en marchant à rebours, le premier 

résidu, correspondant au carré ( — ;^ — j sera égal, pour m de la forme 
4/i -I- 1, à (m — h), et, pour m de la forme 4/i — 1 , à h, et le r/'"*^ résidu 



150 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

sera égal, dans le premier cas, à (m — A + (f — q) et, dans le second, 
à {h-\-q-'-q). 

Donc la différence du {q + i)'"' et du ç"" résidu sera égale à 2g. Il 
en résulte une règle très simple pour déterminer rapidement tous les 
résidus, en commençant par le dernier : en l'augmentant de 2, on obtien 
l'avant-dernier résidu ; en ajoutant à celui-ci 4, on obtient le résidu sui- 
vant, et en continuant à ajouter 6, 8, 12, 14, etc., on obtient l'un après 
l'autre tous les résidus. 

Ces formules sont identiques à celles auxquelles Euler est parvenu , 
selon Legendre, par voie d'induction (art. 179 et 180 de VEssai sur la 
Théorie des nombres, par Legendre, 1808). Cependant les facteurs pre- 
miers des résidus quadratiques ne sont pas toujours résidus. Par exemple, 
pour m=: 13, on a parmi les résidus le nombre 10, sans avoir ses fac- 
teurs premiers 2 et 5; pour m — 43, on a 6, 21, 38, 35, sans avoir leurs 
facteurs premiers 2, 3, o, 7, 19 (*). 

3. — Pour m premier ou composé de la forme ïh — 1, il existe une 

relation très simple entre les — y-^ premiers résidus et les — r — derniers 

résidus, pris dans l'ordre inverse : après avoir trouvé les premiers cl 
le résidu du milieu, on obtient les derniers, en renversant l'ordre des 
premiers et en les augmentant respectivement de 1, 2, 3, 4, o ... Par 
exemple, pour /« := i3, les dix premiers résidus sont : 

1. 4, 9, 16, 2o, 36, 6. 21, 38, 14 

et le résidu du milieu est 35. 

Augmentons 14 de 1, 38 de 2, 21 de 3, 6 de 4, 36 de o, 25 de 6, 
16 de 7, 9 de 8, 4 de 9 et 1 de 10, et nous aurons les dix derniers 
résidus 

15, 40, 24, 10, 41, 31. 23, 17, 13, 11. 

C'est facile à démontrer, car pour m = 4A — 1, le carré du milieu est 

(m A- 1\'^ 
égal à ( — j — j = h"^ et la différence de deux carrés également éloignés de 

/^n 4- 1 X'-* 
ce dernier et se trouvant à la distance 2/ l'un de l'autre, étant 1 — y f- / 1 

— y- 1\ -; nd-\-l, il est évident que la différence des résidus 

correspondants sera égale à / ou à la demi-différence des racines de deux 
carrés, et que c'est la quantité dont il faudra augmenter un résidu de la 

(*) Voir la Table des résidus à la fin de ce Mémoire. 



M. FKOLOV. SUR LKS RÉSIDUS QUADRATIQUES lol 

première moitié de la période, pour obtenir le résidu correspondant de sa 
seconde moitié. 

Si m premier ou composé est de la forme ih -\- \, on obtient les 

derniers résidus en augmentant les — - — premiers résidus de 

i 4 

quantités 

2/i + 1, th + 2, 2// + H . . . 3/î— 1, 3/t. 

Par exemple, pour w= 41. après avoir écrit les dix premiers résidus 

1, 4, 9, 16, 2o, 36, 8, 23, 40, 18, 

augmentons 18 de 21, [40 de 22. 23 de 23, 8 de 24, 36 de 2o, 2o de 26, 
16 de 27, 9 de 28, 4 de 29, 1 de 30, et nous aurons les dix derniers 
résidus 

39, 21, o, 32, 20, 10, 2, 37, 33, 31. 

En etïet, la différence de deux carrés également éloignés du milieu de 
la période étant égale à 

(4/<+ !)(/— 1) + 2// +/ = m{l — \) +2/i +/, 

la différence des résidus sera égale à ^h -{-l (*). 

//( — 1 
4. — Pour m premier de la forme 4/i -|- 1 , tous les — - — résidus se 

m — 1 , , . , , . - - 

répartissent en — - — couples de résidus complémentaires, dont la somme 

est égale km. 

Il est aisé de se convaincre que deux résidus de cette espèce corres- 
pondent à deux carrés dont la somme est égale à m. ou à son multiple, 
car en nommant ces résidus r et R et les carrés correspondants a;'^ et y^, 
on aura a;^ = r, et i/^ = R (Mod. m.) 

En additionnant ces congruences, il viendra x"- -\- if ^ r -\- 'K (Mod. m) 
et en posant r -j- R = m, af- -\- \f ( >! > 1. m . — G r.n n e tout nambre 
premier de la forme 4/i-|- \ est une somme de deux carrés, on peut poser 
m=:a^ -\-b'^, et en multipliant les deux racines a et 6 successivement par 
2, 3, 4 . . . A-, on aura des sommes de deux carrés (2a)'' -j- (^Jf, (3a)'^ 
-\- (36)% {kaf + (46)"^ . . . {ka)'^ -\~ (kbf, toutes multiples de m, qui corres- 
pondront à autant de couples de résidus complémentaires. Si ka, kb dé- 
passent m, on aura soin de les diviser par ce module et de les remplacer 

(*) On obtient aussi, dans ce cas, les derniers résidus, en diminuant le I — ; — I le résidu de 1, 
le 1 1 de 2. le I — -; — I de 3, et ainsi de suite. 



132 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

ffl \ 

par des restes, et si ces derniers dépassent — - — , de les remplacer par leur 

compléments km. 

29 — 1 
Par exemple, pour m ^ 29, on doit avoir — - — =r 7 couples de rési- 

dus complémentaires et autant de couples de carrés. On a d'abord 

(1) 2^ + 5^ = 29 

En multipliant les racines 2 et 5 successivement par 2, 3, i, •>, on 
trouve les sommes suivantes, toutes multiples de 29 : 

(2) 4^ + 10^ 

(3) G^ + 15^ = Q' + (29 — lo)'^ = 6'^ + 14'^; 

(4) 8'^ + 20^ = 8^ + (29 — 20)'^ :r_r 8^ + 9-; 

(5) 12^ + 30-^ = 'l^'^ + (-'^O - -^^y =^12' + 1^ 



2 



et en divisant i)ar 2 les racines (i et 14 de la somme (3), on a : 

(6) 3^ + 7'^ 

Enfin, en multipliant les racines de cette somme par 6, on aura : 

(7) 18-^ + 42^ = (29 — 18)'^ + (42 — 29)'^ := 11^ -f 13-. 

Voilà tous les sept couples de carrés, chacun desquels correspond à un 
couple de résidus complémentaires; par exemple, les carrés 11- -{- 13-' 
correspondent aux résidus o et 24. 

Les nombres premiers de la forme ih — 1 n'étant pas des sommes de 
deux carrés, n'ont jamais de résidus complémentaires. 

Quant aux nombres composés, il en est autrement. 

Pour un nombre composé m de la forme 4/t + 1? 'es résidus ne se 

fil 'I 

répartissent en — - — couples complémentaires que si m ne contient que 

des facteurs de cette forme et est égal à une somme de deux carrés, 
comme 65 = 16 + ^^, 221 — 25 -|- 198, etc. Mais, si m est composé 
exclusivement de facteurs de la forme \h — 1, comme 21, 77, etc., il 
n'y a pas de résidus complémentaires. 

Par contre, pour les nombres composés de la forme 4/i — 1, conte- 
nant des facteurs premiers de la forme 4/t -j- 1 , on rencontre des résidus 
complémentaires : par exemple, pour ni — lo, on a le couple et 9 ; 
pour m = 87, on a les couples 6 et 81, 9 et 78, 24 et 63, etc. 

5. — Signalons encore quelques autres dissemblances entre les résidus 

des nombres composés et ceux des nombres premiers. 

III — 1 
D'abord, pour tout nombre composé m, il y a toujours moins de — - — 



M. FKOLON . — SLR LKS IIKSIDUS QUADRATIQUKS 153 

résidus distincts l'iiii de l'autre, et il existe toujours quelques résidus 
égaux. Cette reproduction de résidus suivant une période indique précisé- 
ment que le module m est un nombre composé. 

En efTet, posons x^ = r et ij"^ = r (Mod. m). 

En retranchant la dernière conyruence de la première, nous aurons 

j;2 — if 13:: (^x -f- II) U — 1/) = 0) (Mod. m). Chacun des nombre x et y 

m 
étant moindre que — , leur somme {x -\- y) et leur différence {x — y) sont 

inférieures à m. Jl en résulte que /// est nécessairement le produit des fac- 
teurs de ces deux quantités {x -|- y) et {x — ij), et, par conséquent, il est 
un nombre composé. Il s'ensuit encore que la distance {x — y), qui sépare 
deux résidus égaux, a toujours un diviseur commun avec le module ut. 
Par exemple, pour m = 77 = 7 x 11, on a les résidus suivants : 

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 4, 23, 44, 67, 15, 42, 71, 2o, 58, 16, 53, 
15, 56, 22, 67, 37, 9, 60, 36, 14, 71, 53, 37, 23, 11, 1, 70, 64, 60, 58. 

On remarque que la distance entre deux résidus 4 est égale à 7, que celle 
des résidus 23 est égale à 22, que celle des résidus 58 est égale à 21, et 
que tous ces nombres ont des diviseurs communs avec 77. 

En second lieu, les lois de Gauss, qui lient entre eux les résidus de tout 
nombre premier n'existent pas pour des nombres composés. Ainsi, pour 
ces derniers, les résidus ne sont pas toujours des produits de deux autres 
résidus ; par exemple, pour tu = 15 on n'obtient ni 1 ni 4 par la multipli- 
cation de deux autres résidus. Parfois un résidu est'le produit de lui- 
même par un autre résidu; tel est pour tn - 15 le résidu 10 qui, étant 
multiplié par 4, donne 10. Il arrive encore que le produit d'un résidu 
par un non-résidu est égal à zéro, ou que le produit de deux non-résidus 
est non-résidu. Ainsi, pour in = 15, en multipliant le résidu 10 par le 
non-résidu 3, on a 30=^- (Mod. m); en multipliant les non-résidus 2 
et 7, on obtient le non-résidu 14. 

6. — Nous présenterons maintenant quelques théorèmes sur les résidus, 
des nombres composés, qui ont rapport à la détermination de leurs 
facteurs premiers. 

Théorème I. — Les différences des résidus d'un nombre composé N et 
des résidus correspondants de l'un de ses facteurs d sont divisibles par 
ce facteur, et, réciproquement, un nombre N sera divisible par un autre 
nombre d, si les différences de leurs résidus correspondants sont divisibles 
par ce dernier. 

En effet, si l'on a simultanément : 

x^ = K (Mod. N) et N = (Mod. d), 
on aura aussi a;'* = R (Mod. d), 



154 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

et si l'on a en même temps : 

x"' = r (Mod. (/), 
il viendra : R — r^O (Mod. d) ; 

c'est-à-dire que la différence des résidus correspondants de N et de d est 
divisible par d. 
Ainsi, en écrivant une suite de résidus de 77 : 

1. 4, 9, 16, 2o, 36, 49, 64, 4, 23, 44, 67. 15 . . . 
et au-dessous celle de résidus de 7 ; 

1, 4, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 4, 2, 2, 4, 1 ... 
ou aura les difîérences : 

7, 14, 21, 35, 49, 63, 0, 21, 42, 63, 14 . . . 

toutes divisibles par 7. 

Pour appliquer ce théorème à la recherche des facteurs premiers d'un 
nombre N, il suffit de trouver un seul résidu R de ce nombre, donné par 
la division d'un carré n'^ par ce nombre. Posons : 

R = n'- — N et r ^ n' — Cd 

où d est un facteur premier, C son coefficient et r son résidu corres- 
pondant au résidu R de N. 
Alors on aura : 

N = Cd — (R — r), 

et si (R — r) est divisible par d, X le sera aussi. 

Par exemple, pour déterminer les facteurs de N = 2263 =: 48- — 41, 
où 41 est le 48'"^ résidu de ce nombre, essayons le facteur 7. Le 48'"" ré- 
sidu de 7 est égal k son (49 — 48) == 1®"' résidu, qui est 1 ; on a 
41 — l =: 40, nombre non divisible par 7 ; donc 7 n'est pas un facteur 
de 2263. Essayons 11; le 48"^*' résidu de ce facteur est le môme que son 
48 — 44 = 4""^ résidu, égal à 5; on a 41 — 5 -- 36, nombre non divi- 
sible par 11; donc 2263 n'a pas ce facteur. Après avoir essayé, de la 
même manière, les facteurs 13, 17, 19, 23 et 29, nous arriverons à 31, 
dont le 48"'^ résidu est le même que son 48 — 31 = 17""= résidu égal à 
son 31 — 17 =: 14'"'' résidu qui est 10; on a 41 — 10 = 31, donc 31 
divise 2263. 

7. — Théorème II. — Les différences des résidus également éloignés 
de deux résidus égaux sont divisibles par des facteurs du module. 



M. FKOLOV. — SUK I.KS KKSIDUS QUADRATIQUES lo5 

En effet, prenons deux résidus égaux R et r, correspondant aux carrés 
x'^ et y% et encore deux résidus Rj et Rj situés des deux côtés de R à 
la distance / de celui-ci, et deux autres résidus r, et r.^ situés de la 
même manière relativement à r. On aura les quatre congruences sui- 
vantes : 

{^x — lf=K,; {x + iy^K,- {ij — if = r,; iy + iy' = r, fMod. N). 
En retranchant les deux dernières des deux premières, il viendra : 

4- 2/ fa; + y\ = R, — r, ; + ±1 [x — y) ~ R, — r, ) ^ ' 

En nommant d^ le facteur commun de N et de {x — /y), et d.^ celui 
de N et de [x -j- y), on aura quatre nouvelles congruences : 

Ri — r, = ; R, — r, = (Mod. d,), 
R, — r, = ; R, — y.^ = (Mod. d.^, 

qui expriment que chacune des quatre différences de résidus est divisible 
par un des facteurs du module. 

Par exemple, prenons dans la période de 77 deux résidus égaux à lo. 
Les deux résidus situés à deux pas du premier résidu lo sont 44 et 71, 
et les deux résidus situés à la même distance du deuxième résidu 13 
sont 16 et 22 ; les dilférences 44 — 1(3 = 28 et 71 — 22 =; 49 sont 
divisibles par 7, et les différences 44 — 22 = 22 et 71 — 16 =- 55 sont 
divisibles par 11, 7 et 11 étant facteurs de 77. 

8. — Avant d'aller plus loin, remarquons que, dans une période directe 
d'un nombre premier ou composé, il y a d'abord une portion formée de 
résidus carrés 1, 4, 9... impairs et pairs, qui se succèdent entre eux, en 
augmentant graduellement jusqu'à l'arrivée d'un résidu de même parité 
que le précédent et moindre que lui, et nous dirons qu'il y a là un 
saut; puis quelques résidus pairs et impairs se succèdent de nouveau 
jusqu'au second saut, caractérisé aussi par deux résidus contigus de 
même parité, et ainsi de suite. Si nous représentons un résidu R par 
la formule R := a-'^ — CN, dans laquelle C est le coefficient du nombre N, 
c'est-à-dire le quotient de la division du carré x"^ par N, il est clair qu'à 
chaque saut le coefiîcient C croît d'une unité. En prenant un second 
résidu /• ~ y^ — cN et en le retranchant du premier, on aura la diffé- 
rence de ces résidus \\ — r z=. x'^ — y'^ — (C — c)N, dans laquelle la 
différence (C — c) désignera le nombre de sauts entre les résidus R et r. 
Par exemple, dans la période du nombre 77 (art. 5), les sauts sont 
situés entre 64 et 4, 71 et 25, 58 et 16, 53 et 15, 36 et 22, 67 et 37, 37 
et 9, etc., et les résidus \, 4, 9... 64 et les résidus 15, 42 et 71 sont 
séparés par deux sauts, les résidus 23 et 56 par quatre sauts, etc. 



156 MATHÉMATIQUES, ASTROA'OMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Théorème III. — Si la différence de deux résidus, situes l'un de l'autre 
à la distance égale à un nombre premier l et séparés par un nombre de 
sauts moindre que /, mais plus grand que zéro, est divisible par /, ce der- 
nier est le facteur du module. 

En effet, en reprenant la formule que nous venons d'établir : 

R — r = a;^ — .?/2 — (C — c)N ^ (a; + ij){x — y) — (C — c)N, 

nous voyons que l = x — y, et comme nous avons supposé que R — r 
est divisible par ce nombre et que le nombre de sauts (C — c) est plus 
petit que /, il en résulte que / doit diviser le module N. 

Par exemple, dans la période de 17, les résidus 9 et 23, situés à la 
distance égale à 7, et séparés d'un saut, donnent la différence 14 divisible 
par 7, donc ce dernier divise 77 ; les résidus 36 et lo situés à la même 
distance 7, et séparés de deux sauts, donnent la différence 21 aussi divi- 
sible par 7, etc. 

9. — Théorème IV. — Si l'on prend deux résidus consécutifs R, et R.^ 
d'un nombre N et si, en les divisant par un facteur premier m, on obtient 
les restes /\ et r.^ , qile l'on trouve, l'un à côté de l'autre parmi les résidus 
de ce facteur, ce dernier divisera le nombre N. 

En effet, soient x'^ et {x zt 1)^ deux carrés consécutifs qui, étant divisés 
par N, donnent les résidus Rj et Rj; ainsi on aura : 

Ri r= d-^ — N et R^ ~ (a? ± 1)^ — N. 

D'après la supposition de l'énoncé du théorème, on a aussi : 

Rj ^ 9\ et R2 ^ y-j (Mod. m) 

et en nommant y^ et (y ± ]y les carrés consécutifs qui donnent, pour 
le module m, les résidus ?•, et r.^ , on aura encore : 

y^ = Vi et y dr l)'^ = r.^ (Mod. m). 

On en déduit successivement : 



n = x^ — y- N ^ (x zh 1)'^ - (y ± Ij'^ 
x:iz7ji = 



(Mod. m). 



(•* + !j) ou (x — y) étant ainsi multiple de m, x^ — y^ — - N le sera éga- 
lement, c. Q. F. D. 

Par exemple, prenons N = 91.471, on aura Ri = 303^ — 91.471 =338 
et R2 = 301-^ — 91.471 = 945. Pour s'assurer si ce nombre 91.471 est 
divisible par "23, divisons par ce facteur les résidus 338 et 9io, et nous 
obtiendrons les restes 1(5 et ^ qui se trouvent, l'un à côté de l'autre, 
parmi les résidus de 23. Donc, ce dernier est facteur de 91.471. 

10. — Tout nombre peut être mis sous la forme N = n^ — 7' ; il est 



M. KKOLO\. sri! I.KS UKSIDIS Ql'ADK ATIUIKS loT 

évident qu'un nombre ne peut être divisible que par des facteurs pre- 
miers m, qui contiennent parmi leurs résidus le nombre r, ou, si ce der- 
nier surpasse m, le reste de la division de r par m. 

Ainsi, les nombres de la forme n- — it peuvent être divisibles par 
il, 13, 23, 37, 47. . ., mais non par Ij, 7, 17, lU, 31 ... de sorte qu'il est 
inutile de les diviser par ces derniers facteurs. Il s'ensuit que la con- 
naissance des résidus des facteurs premiers permettra d'exclure environ 
la moitié de leur nombre et d'abréger d'autant les essais de la division. 
Nous joignons à ce Mémoire la table des résidus des nombres premiers 
de 3 à 97, qui peut faciliter sensiblement la décomposition des nombres 
en leurs facteurs premiers, car la grande majorité des nombres composés 
contient ces facteurs. 

Théorème V. — En écrivant un nombre N sous la forme N =:: n-' — r, 
si l'on trouve un nombre t, tel que la différence (n — /) ou la somme 
m -{- t) ait un diviseur commun d avec l'une des différences (/• — P) ou 
(/2 — r), ce diviseur commun divisera le nombre N. 

En effet, si (n — t) ou (n + t) est multiple de d, (n^ — r-) le sera aussi. 
Si, en outre, la différence (/• — f) est multiple de d, en la retranchant de 
(n'^ _ /"-), on aura n- — r := N aussi multiple de d. Si cest [f' — r) qui 
est multiple de d, en l'ajoutant à (»' — r^), on aura encore w^ — r = ^ 
multiple de d, c. q. f. d. 

Pour appliquer ce théorème à la recherche des facteurs d'un nombre N, 
il faut diminuer ou augmenter n successivement de 1, 2, 3, 4, 5. . ., en 
retranchant simultanément du résidu r les carrés de ces nombres 1, 4, 
9, 16, 25. . ., jusqu'à ce que l'on tombe sur deux nombres ayant un divi- 
seur commun. Les exemples suivants suffiront pour expliquer cette 
méthode : 

1. — Prenons N = 9379 = 97^ — 30, n =: 97, r = 30. 

n-t = m,9o, 94, 93, 92, 91, 90, 89, 88, 87, 8(3, 85, 8i, 83. 
n^t = 98, 99, 100, 101. 102, 103. lOi, 105. 10(i. 107, 108, 109, liO, 111. 

I 30 — 1 30 — 4 30 — 9 30 — 16 30 — 25 
\ 29 26 21 14 5 

) 30 _ 30 49 — 30 64 — 30 81 — 30 100 — 30 
^(''-^''^\ u 19 34 51 70 

121-30 144 — 30 169 — 30 196 — 30. 
«Il 114 139 166 

Les nombres 83 et 1(36 ont le conmiun diviseur 83, par conséquent ce 
dernier divisera 9379. 

2. — Prenons N — 12.361 — 112* -- 183, n — 112, r == 183; mais. 



158 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

pour abréger, au lieu de retrancher les carrés, retranchons les nombres 
impairs 1, 3, 5, 7... 

n—t-^ IH. 110, 109, 108, 107, 106, 105, 104, 103, 102, 101, 
100, 99, 98, 97, 96, 95, 94. 

aJrt= 11"^^ lli' 11^' 11<'>' '^1^' 11^' 11^' 1"^<^' 121' 1'^-' 1^'^' 
124, 123, 126, 127, 128, 129, 130. 

±,;. _r-) ^ 182. 179, 174, 167, 158, 147, 134, 119, 10^2, 83, 62, 

.SÇ)^ U, —13, —42, —73, —106, —141. 

Les nombres 94 et 141 ont le commun diviseur 47, qui divisera néces- 
sairement 12.361. 

Cette méthode paraît être plus expéditive que l'ancienne méthode 
d'Eratosthène. 



TABLE DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 

3 1. 

3 1, 4. 

7 1, 4, 2. 

11 1, 4, 9, 5, 3. 

13 1, 4, 9, 3, 12, 10. 

17 l, 4, 9, 16, 8, 2, lo, 13. 

19 1, 4, 9, 16, 6, 17, 11, 7, o. 

Plus loin, les résidus carrés ne seront pas écrits. 

23 2, 13, 3, 18, 12, 8, 6. 
29 7, 20, 6, 23, 13, 5, 28, 24, 22. 
^31 S, 18, 2, 19, 7, 28, 20, 14, 10, 8. 
37 12, 27, 7, 26, 10, 33, 21, H, 3, 34, 30, 28. 
41 8, 23, 40, 18, 39, 21, 3, 32, 20, 10, 2, 37, 33, 31. 
43 6, 21, 38, 14, 35, 15, 40, 24, 10, 41, 31, 23, 17, 13, 11. 
47 2, 17, 34, 6, 27, 3, 28, 8, 37, 21, 7, 42, 32, 24, 18, 14, 12. 
nS 11, 28, 47, 13, 38, 10, 37, 13, 44, 24, 6, 43, 29, 17, 7, 52, 46, 42, 

iO. 
69 5, 22, 41, 3, 26, 51, 19, 48, 20, 53, 29, 7, 46, 28, 12, 57, 45, 33, 

27, 21, 17, 15. 
61 3, 20, 39, 60, 22, 47, 13, 42, 12, 45, 19, 56, 34, 14, 57, 41, 27, 15, 

5, 58, 52, 48, 46. 
67 14, 33, 54, 10, 35, 62, 24, 35, 21, 56, 26, 65, 39, 15, 60, 40, 22, 6, 

39, 47, 37, 29, 23, 19, 17. 

71 10, 29, 50, 2, 27, 54, 12, 43, 5, 40, 6, 45, 15, 38, 32, 8, 37, 37, 

19, 3, 60, 48, 38, 30, 24, 20, 18. 
73 8, 27, 48, 71, 23, 50, 6, 37, 70, 32, 69, 35, 3, 46, 18, 65, 41, 19, 

72, 54, 38, 24, 12, 2, 67, 61, 37, 53. 

79 2, 21, 42, 65, 11, 38, 67, 19, 52, 8, 45, 5, 46, 10, 35^ 23, 72, 44, 

18, 73, 51, 31, 13, 76, 62, 30, 40, 32, 26, 22, 20. 

83 17, 38, 61, 3, 30, 59, 7, 40, 75, 29, 68, 26, 69, 31, 78, 44, 12, 65, 

37, 11, 70, 48, 28, 10, 77, 63, 51, 41, 33, 27, 23, 21. 



BIERENS DE HAAN . CORRESPONDANCK ET OEUVRES DE C. HUYGENS 159 

80 11, 32, m, 80, 18, 47, 78, 22, 57, 5, 44, 85, 39, 84, 42, 2, 53, 17, 
72, 40, 10, 71, 45, 21, 88, 68, 50, 34, 20, 8, 87, 79, 73, 69, 67. 

97 3, 24, 47, 72, 2, 31, 62, 95, 33, 70, 12, 53, 96, 44, 91, 43, 94, 50, 

8, 65, 27, 88, 54, 22, 89, 61, 35, M, 86, 66, 48, 32, 18, 6, 93, 85, 
79, 75, 73. 



M. BIEEEIS DE HAAÎÎ 

Professeur à l'Univcrsitt^ de Leyde. 



RENSEIGNEMENTS SUR L'EDITION DE LA CORRESPONDANCE ET DES ŒUVRES 

DE CHR. HUYGENS (*) 



— Séance du 19 septembre 1892 — 

En octobre 1882, l'Académie royale des sciences à Amsterdam institua 
une Commission de dix membres pour l'édition de la correspondance et 
des œuvres de Christian Huygens : à D. Bierens de Haan, le président, 
principalement furent confiés l'arrangement et la rédaction de la corres- 
pondance, qui bientôt fut portée à environ 2.700 lettres, tant écrites par 
notre savant qu'adressées à lui, avec encore un certain nombre de lettres 
qui se trouvèrent auprès de ces lettres, ou qui semblèrent nécessaires 
pour éclaircir la correspondance proprement dite. Depuis, la Société 
hollandaise des sciences à Harlem a entrepris de faire imprimer à ses 
frais le résultat de nos recherches : il en a paru quatre tomes, le cin- 
quième est en cours de publication, contiendra les années 1664 et 166o 
et portera le nombre des lettres au delà de 1.500. Nous comptons qu'il 
faudra neuf tomes in-quarto pour la correspondance : puis viendront les 
ouvrages tant imprimés déjà qu'inédits. 

Dans votre Congrès de Paris, en 1889, j'ai eu l'honneur de vous donner 
quelques résultats pour les deux premiers volumes. Permettez-moi de les 
compléter maintenant pour les tomes I à IV. 

Le tome troisième comprend la correspondance de 1660 et 1661 et 
contient 245 lettres et 24 dans un supplément; le quatrième tome comprend 
les années 1662 et 1663, et contient 250 lettres et encore o dans le sup- 
plément. Par suite, ces deux tomes contiennent 495 lettres et 29 dans les 
suppléments, ce qui, avec les lettres des deux premiers volumes, donne 
le total de 1.197 lettres et 67 dans les suppléments, ensemble 1.264 lettres. 

Passons maintenant aux tables des personnes qui ont écrit à Huygens 

C) Voir Comptes rendus du Congrès de Paris (1S89), 2° partie, p. 233. 



160 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ETT MÉCANIQUE 

OU qui ont reçu des lettres de celui-ci. Outre celles-ci, on trouve dans le 
tome m 63 lettres et dans le tome IV 29 lettres qui n'appartiennent pas 
à une de ces catégories. Elles font, avec les 110 de même nature qui se 
trouvent dans les deux premiers tomes, une série de 202 lettres. Elles se 
trouvèrent parmi la correspondance proprement dite, comme appendices, 
ou bien nous les avons introduites comme étant nécessaires pour la bien 
comprendre. Et nous savons que cette addition de lettres si intéressantes 
pour notre but a reçu l'approbation des personnes qui se sont intéressées 
à notre travail. 

Les tables qui suivent ici sont arrangées de la même manière qu'aupa- 
ravant, en 1889. La deuxième colonne donne le nom de la personne ; la 
troisième, le nombre de lettres que Huygens lui a écrites; la quatrième, 
le nombre des lettres écrites par elles à Huygens. Là, où ces colonnes 
portent toutes deux un chifTre, il y a eu correspondance et la première 
colonne en donne le nombre, somme des nombres des deux dernières 
colonnes. Observons que la table III, qui regarde les tomes I à IV, ne 
contient pas seulement dans sa première colonne les sommes des nombres 
que l'on trouve dans les tables I et II de ma note de 1889, et des tables I 
et II que l'on trouve ici; puisque parfois il y a correspondance dans cette 
table III, où il n'y en avait pas dans les tables I et IL 



Table I. Tome III. 

CORRESPONDANTS de H. à H. 

A. Boddens » 1 

23 Ism. Boulliau 10 13 

R. Bo,yle » 1 

C. Brunetti » 4 

H. Bruno » 2 

J. Buot » 1 

5 P. de Carcavy 3 2 

A. Cellarius 1 » 

Chanut » 1 

19 J. Chapelain 5 14 

A. Colvius » 1 

C. Dati 1 

Ph. Doublel » 3 

P. de Fermât » 2 

B. de Frenicle de Bessv. . » 2 

4 Du Gast ' . . 1 3 

4 Gregorius à St.-Vincentio . 1 3 

P. Guisony » 4 

10 N. Heinsius 4 6 

8 J. Hevelius 4 4 

19 Constantijn Huygens frère. 9 10 

Lodewijk Huygens .... 12 » 

G.-A. Kiiiner à Lôwenthurn » 1 

10 Leopoldo de Medicis ... 5 5 

21 R. Moray 6 15 

Cl. Mylon « 1 

M. -A. Neuraeus » 1 

H. Oldenburg y> 2 

Marianne Petit 1 » 

P. Petit "^ 2 

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CORRESPONDANTS de H. à H. 

123 ~ 63 

J. Reeves » 

3 D. Rembrandtsz van Nierop 2 

M.-A. Ricci 1 

C.-C. Rumphius 1 

6 Fr. van Schooten .... ; 4 

G. SchoU » 

R.-F. de Sluse » 

R. Southwell » 

3 H. Stevin 1 

3 A. Tacquet 2 

10 M. Thèvenot 5 

J. van Vliel » 

3 J. Wallis 2 

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Table II. Tome IV. 

CORRESPONDANTS de H. à H. 

A. Auzout » 2 

Ism. Boulliau 1 7 

W. Brereton » 1 

\V. Brouncker » 1 

A. Bruce » 3 

P, de Carcavy » 1 

J. Cliapelain ....... 2 2 

V. Conrart » 1 

Ph. Doublet « 3 

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BIEUEXS DE HAAN. — CORRESPONDANCE ET OEUVRES DE C. HUYGENS 161 

CORRESPONDANTS de H. à H. CORRESPONDANTS de H. à H. 



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P. de Fermât. ...... 

G. van Gutschhoven. . . . 

10 N. lleinsius 

4 J. Hevelius 

Th. Hobbes.. 

40 Constantijn Huygens, frère. 
62 Lodowijk Huygens . . . . 

ISusanna Huygens 

2 Leopoldo de Medicis . . . 

H.-L.-H. de Monmor . . . 
37 R. Moray 

H. Oldeuburg 

10 P. Petit 

4 Is. de la Peyrère 

M.-A. Ricci 

8 R.-F. de Sluse 

S. de Sorbière 

5 M. Thévenot 

J. van Vliet 

J. de Witt 

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Table Ul. Tomes I-IV. 

CORRESPO.NDANTS de H. à H. 

M. -H. van Andel 1 » 

A. Auzout » 1 

Fr. Aynscom 1 » 

D. van Baerle 1 i- 

3 E. Bartbolin 1 2 

6 Ch. Bellair 2 4 

A. de Bie 2 » 

4 A. Boddens 1 3 

76 Ism. Boulliau 30 46 

R. Boyle » 1 

W. Brereton » 4 

W. Brouncker » 3 

A. Bruce » 3 

6 C. Brunetti 1 5 

12 H. Bruno 4 8 

.J. Buot » 1 

J. van der Burch 1 » 

Calthof 1 » 

23 P. de Carcavy 11 12 

A. Cellarius 1 » 

2 A. -G. de Chambonnière . . 1 1 

Chanut » 1 

55 J. Chapelain 17 38 

11 A. Colvius 5 6 

N. Colvius » 1 

2 B. Conradus 1 1 

V. Conrart » 3 

L. van Coppenol 1 » 

S. Coster » 1 

C. Dati 1 » 

Ph. Doublet » 6 

A. Duyck 1 " 

J. Elsevier 1 » 

2 Etats-Généraux 1 1 

Etats de Hollande et de 

West-Frise 1 » 

P. van der Faes » 1 

P. de Fermât s> 3 

B. de Frenicle de Bessy. . » 2 

7 Du Gast '. . 2 5 

2Ô9" 90 163 



209 90 163 

Th. Gobert 1 i, 

J. Golius 2 B 

31 Gregorius à St.-Vincentio . 15 16 

P. Guisony » 4 

10 G. van Gutschoven .... 6 4 

22 N. Heinsius 9 13 

2 G. Hesius 1 i 

H. van Heuraet » 2 

22 J. Hevelius 10 12 

Th. Hobbes 2 » 

2 G.-B. Hodierna 1 1 

2 J. Hudde 1 1 

14 Constantijn Huygens, père. 8 6 
103 Constantijn Huygens, frère. 58 45 

bl Lodewijk Huygens .... 80 1 

Philips Huygens » 2 

Susanna Huygens » 2 

S. -C. Kechelius à Hollen- 

stein 1 » 

23 G.-A. Kinnerà Lowenthurn 10 13 
D. van Leyden van Leeuwtn 1 » 

5 D. Lipstorp 3 2 

13 Leopoldo de Medicis ... 7 6 

18 M. Mersenne 8 10 

T.-B. Mocchi 2 » 

4 H.-L.-H. de Monmor ... 1 3 

H. du Mont 1 B 

58 R. Morav 24 34 

23 Cl. Mylon 8 15 

M.-A. Neuraeus » 1 

Lady Newcastle » 1 

H. Oldenburg » 3 

Chr. Otter » 1 

4 R. Paget 1 3 

6 Bl. Pascal 1 5 

Marianne Petit 1 » 

21 P. Petit 4 17 

4 Is. de la Peyrère 1 3 

W. Pieck 1 » 

J. Reeves y> 2 

6 D. Rembrandtsz van Nierop 4 2 

M"" van Renesse 1 » 

2 M.-A. Ricci 1 1 

10 G. -P. de Roberval .... 6 4 

C.-C. Rumphius 1 » 

3 A -A. de Sarasa 2 1 

118 Fr. van Schooten 63 55 

G. Schott » 1 

D. Seghers 6 » 

78 R.-F. de Sluse 24 54 

S. de Sorbière » 1 

R. Southwell » 1 

J. Stampioen » 1 

3 H. Stevin 1 2 

12 A. Tacquet 6 6 

Tassin 2 » 

15 M. Thévenot 6 9 

8 J. van Vliet 1 7 

J. de Vogelaer 1 » 

J. van Vondel » 2 

23 J. Wallis 11 12 

J. Wiesel » 3 

4 .1. de Witt 2 2 

J. de "Wijck » 1 

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162 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Maintenant on peut donner une statistique des lettres qui n'ont pas 
eu de réponse de part et d'autre, et du nombre des personnes avec les- 
quelles Huygens était en correspondance. 



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164 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Pans le cours de ces années 1637-1663, on remarque beaucoup de chan- 
gement parmi les correspondants. D'abord (tome 1) ce sont le père 
Mersenne, Kinner à Lowenthurn, le Père Gregorius à Sanct-Vincentio 
(ces deux derniers restent en relation avec Huygens encore en 1665), 
Frans van Schooten, qui meurt en 1661. Dans le tome II commence la 
correspondance avec R.-F. de Sluse, qui est d'abord très vive et après 
devint intermittente, avec Ism. Boulliau, qui cesse dans le tome IV, à 
cause du voyage et plus tard de la résidence de Chr. Huygens à Paris, 
avec J. Chapelain, qui reste très vive en 1665 encore, durant les prépa- 
ratifs de l'appel du roi Louis XIV pour attirer Huygens à Paris. Au 
tome III, Huygens a une correspondance suivie avec R. Moray, plus tard 
(tome V) avec H. Oldenburg par rapport aux expériences de la Société 
royale de Londres. On y trouve la correspondance de N. Heinsius et de 
J. Hevelius ; cette dernière disparaît avec le tome V. La correspondance 
de P. Petit (tome IV) est principalement de son côté, et a rapport aux 
horloges et aux télescopes. On y trouve M. Thévenot et A. Auzout pour 
la première fois. 

Ce serait hors de propos de vouloir donner ici une analyse détaillée 
du contenu de ces lettres, seulement j'en glanerai quelques points. 

Huygens était déjà à l'âge de dix-sept ans un expérimentateur indé- 
pendant, et le resta toute sa vie : il procédait d'une expérience à l'autre, 
avant que de formuler ses découvertes, que l'on trouve indiquées dans ses 
Adversaires par le mot « Euryka » ; mais, dès lors, il soutint son opi- 
nion contre celles d'autrui, et les observations et expériences ultérieures 
lui donnaient généralement raison. 

Dans sa correspondance avec M. Mersenne, il démontre qu'une corde 
pendue « ne fait point une parabole, et quelle doit être la pression sur 
une corde mathématique ou sans gravité pour en faire une » (lettres 14, 
20, 21, 22) et Mersenne déclara ensuite que « Huygens s'est surpassé 
lui-même » (lettre 14). Mersenne traite encore avec lui des centres de 
percussion (lettres 23, 2o, 30), de la portée de canon, sur laquelle Mer- 
senne avait fait des expériences lors de son séjour aux Pays-Bas (lettres 
38, 40, 41, 42, 48, 49), de l'enflure d'une vessie dans le vide (lettre 49) ; 
outre de divers autres sujets. 

Huygens fut le premier qui présenta ses objections contre la quadrature 
du cercle du Père Gregorius à Sanct-Vincentio, ce qui donna lieu à une 
longue correspondance (lettres 173, 175, 178, 186) entre ces deux savants, 
dans laquelle les controversistes ne dépassèrent jamais les bornes de la 
politesse, et en sortirent toujours bons amis. A cette discussion se mêlèrent 
A. Tacquet (lettres 137, 139, 142), Kinner à Lowenthurn (lettres 167, 171, 
172, 174, 176, 177, 184, 188) et Xav. Aynscom (lettre 338). 

Avec Gregorius à Sanct-Vincentio et Kinner à Lowenthurn, il eut 



BIERENS DE HAAN . — CORRESPONDANCE ET OEUVRES DE C. HUYGENS 16o 

encore une correspondance (lettres 100, 101, 102, 105, J06, 146, 160, 
167) sur les corps qui surnagent à un liquide; un sujet dont il a traité 
plusieurs fois. 

Dans cette correspondance avec Kinner à Lôwenthurn (lettres 162, 
172, 176, 177), on trouve encore une polémique sur la réfraction dans 
une goutte d'eau. 

Une autre correspondance avec G. van Gutschoven (lettres 135, 153) 
nous donne la construction exacte des foyers principaux d'une lentille 
sphérique, et une détermination exacte de l'indice de réfraction de l'eau 
en l'air, en faisant usage de l'angle sous lequel on voit le rayon de l'arc- 
en-ciel. 

Avec Ism. Boulliau, il traite de divers sujets d'astronomie et encore 
d'un horoscope que celui-ci tirerait de bonne foi pour une princesse 
(lettres 692, 696, 704, 706, 707, 708, 711, 714, 716, 718, 719, 721, 724, 
733, 920). 

Pierre de Carcavy lui sert d'intermédiaire savant et utile pour des 
questions d'analyse des nombres avec P. de Fermât, le célèbre savant 
de Toulouse (lettres 372, 651, 699, 700, 727, 755, 756, 848), sujet au- 
quel Huygens ne prend qu'un médiocre intérêt; et avec Bl. Pascal à 
l'occasion du Problème de la Roulette (lettres 584, 585). 

La correspondance très détaillée avec J. Chapelain contient toutes 
sortes de sujets à Tordre du jour, et finira au tome V avec les mesures 
pour faire appeler Huygens à Paris par l'intermédiaire de Colbert. 

Je n'insisterai pas sur la correspondance avec l'intendant des forte- 
resses P. Petit (que Huygens désigne quelquefois par le surnom de sei- 
gneur du Portail), qui importune souvent l'inventeur de l'horloge et des 
télescopes, mais qui, en revanche, se signale comme hôte hospitalier et 
agréable, — ni sur celle avec Robert Moray et Heinrich Oldcnburg qui 
lui fournissent des nouvelles intéressantes sur tout ce qui se fait dans 
la Société royale de Londres, — ni sur celles avec John Wallis, qui traite 
de sujets intéressants d'analyse et de géométrie, — pour passer aux deux 
sujets qui, comme un fil coniinu, traversent toute cette correspondance : 
l'invention des horloges, la perfection des lunettes et la découverte de 
l'anneau de Saturne. 

Chr. Huygens, aidé de son frère Constantijn, commença déjà en 1652 
(lettre 135 à G. van Gutschoven) à s'appliquer à mouler et à polir de 
bonnes lentilles afin de produire de bonnes lunettes. Il continua toujours 
d'améliorer cette construction et parvint à une telle aptitude que les 
verres de ses mains qui existent encore, peuvent être considérés comme 
excellents. 

C'est à l'aide de ses lunettes perfectionnées qu'il découvrit la lune et 
l'anneau de Saturne ; dans une lettre à Col vins (lettre 217), on trouve le 



466 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

premier dessin de cet anneau. 11 en donne une théorie qu'il pût maintenir 
en général, nonobstant les objections et les théories différentes des sa- 
vants anglais et français. 

Quant à son « Horologium » à pendule qui date du 25 décembre 1636, 
et dont une année plus tard il dressa un exemplaire au clocher de 
Scheveningue, il y ajouta ses lames cycloïdales et ne cessait de les rendre 
plus parfaites et propres à l'usage maritime ; son but, dans ce dernier 
sens, étant le problème de la longitude sur mer, il y travailla avec Alex. 
Bruce, le comte de Kincardin, ce qui donna lieu à des questions de 
jalousie. Mais il y eut encore nombre de compétiteurs post facto dont il 
écrit (lettre 722) : « C'est une chose estrange que personne devant moy 
n'ait parlé de ces horloges, et qu'à ceste heure il s'en découvre tant 
d'autres autheurs ». Mais il surgit un opposant plus formidable pour la 
réputation de notre savant ; le prince Leopoldo de Médicis voulut main- 
tenir la priorité pour Galileo Galilei. Nous avons pu rassembler toutes 
les pièces du procès dans le supplément du tome III, outre les lettres 707 
et 712, de Boulliau, qui se trouvent dans la correspondance elle-même. 
Ism. Boulliau (lettre 609'') prend le parti de Huygens contre le prince 
Leopoldo, et celui-ci (lettre 621") retira loyalement son accusation de 
plagiat. Mais les documents eux-mêmes démontrent à l'évidence que 
Galilei ne peut entrer en lice avec Huygens dans cette occasion. 

J'ose espérer que ces remarques et indications, trop superficielles, pour- 
ront amener quelqu'un de mes auditeurs à l'étude de cette correspon- 
dance si intéressante de tous côtés, et j'ose prédire qu'il ne se plaindra 
pas de peine perdue. 



M. Eodolplie aïïIMiEAES 

Officier du Génie, à Lisbonne, 



SUR L'ÉVALUATION DE CERTAINES AIRES CONIQUES 



— Séance du 19 septembre 1892 — 



1. — Si rf, a et [3 désignent respectivement la longueur SD {^g. 1), 
l'angle SED, et le demi-angle au sommet d'un cône de révolution, et 

si l'on pose : 

cos (a -|- p) . sin p 



k 



sin (a + 2J3) 



R. GUnURAES. — ÉVALUATION DE CERTAINES AIRES CONIQUES 167 

on aura pour la transformée d'une section plane quelconque faite dans ce 
cône (*) : 



d 



P 



ou : 



1 — ±k sin- 



d 



2 sin ^ 



(1 — k) -\- k cos 



to 



sin ^ 



(1) 



Si a -f- 2p < -rt, la section est une 
ellipse, et les valeurs du coefficient k 
seront respectivement : 




FlG. 1. 



4 > /t > 
A-<0 



si 



si 



SI 



- + ?>! 



+ ?- 






Quand on fait a = ou tt, la section primitive est parabolique et A' = ^ * 
Alors la relation (1) devient 

(2) 



d 



P = 



cos 



(J> 



2 sin p 



Si a -f 2^ > TT, la section sera une hyperbole et les valeurs du coeffi- 
cient k seront respectivement : 

\ /**) 

1>A;>2 si a + p<7r 

i>/c>0 si a + p>7r 

A- = 1 si a + ;i = TT. 

Dans ce dernier cas, la relation (1) devient : 

d 



cos 



0) 



sin i 



(3) 



(*) Voyez notre note sur la Transformée des seclions planes du cône de révolution, insérée dans te 
Journal de Longchamps. 



(**) si a = - et ? = -? on a k — - 

2 3 2 



168 MATHÉMATIQUES, ASTRO>OMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

2. — Cela posé, proposons-nous d'obtenir des expressions représenta- 
tives de l'aire conique comprise entre le sommet du cône et le plan de la 
section. Elle est équivalente à l'aire celle qui se trouve limitée par la 
transformée de la section et par les génératrices extrêmes SA et SB, for- 
mant entre elles un angle w , et elle est représentée par l'expression très 



connue : 



1 r ' 
8 = 2/ p'^"^ w 

3. — Considérons à part les trois espèces de sections : 



1" Section elliptique 

Si, dans (4) on remplace p par sa valeur (1), et si l'on fait l'intégration, 
on trouvera ; 



1 cP ^ 2(1-/.-) 
S=Q-1 7, <-=.arcl( 

2 i-^J.k]^\-<tk 



k siii ( _!il ) 
^ ^ \2 sin 3/ 



(1 - A') + /icos 



\siii .3/ 



(o) 



L'égalité de l'arc AB et de la circonférence de la base donne, en dési- 
gnant par / et B la génératrice et le rayon de la base : 

p 

d'Où: -—^ = -^ = 27:. 

R sm [3 

La formule (5) devient alors : 

izdH\ — k) 



(1 — 2A-). \/i — '2k 
et si l'on remplace k par sa valeur (1), il en résulte : 

sin (a -)- 



S =: -KCl" . 



4-;3).cosr^ / su^(7.+2;i) ^^^ 

sin a y sin a 



71 



relation qui a lieu pour a -f- ^ > ou << ;^. 



R. GUIMARÂES. — SUR l'ÉVALUATION DE CERTAINES AIRES CONIQUES 169 



■JT 



Si a -[- ? ^ g' "^"^ ^ évidemment p = cl, et la section est circulaire. 

Là 



Remarques. I. — Si 3 = y, on a 

4 



1 



S = Q ~^^ • V^cotang a (sin a -f- cos a). 



(A,) 



II. — Si l'on fait dans (A), î' = ;^, il vient 



S = 7:rf^ cos ^a . \i cos 2(3 



(A,) 



formule qui exprime la surface comprise entre le sommet et le plan MP 



TT 



III. — Si l'on fait a -|- 23 = -, on aura 



S = ^d\ 



cos 



20 



cos ''p . v/cos 2,3 



(A3) 



qui représente la surface comprise entre le sommet 
et le plan MN. 



2" Section parabolique 




FiG. 2. 



Quand la section est parabolique, la surface comprise entre le plan 
sécant et le sommet est infinie. Cherchons la surface limitée par le plan 
sécant et un plan perpendiculaire à l'axe, ou encore celle qui est déter- 
minée par le plan de la section DLQ et le plan SLQ (fig. 3). 

Si l'on remplace p dans (4) par sa valeur (2), il vient : 



2 



f cko 






ou 



S = 



d^ 




d 



0) 



co 



2 sin fi 




Fir,. 3. 



suivant que co — 0/ est supérieur ou inférieur à w', angle formé, sur le 



170 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

plan de la planification, par les génératrices SL et SA. En développant, on 
trouve, si l'on remarque que : 



w« 



2 sin [3 

/ 



± -— tans: , t^—. — 
6 ^ \2 sin 3 



TT, 



seC 



co 



,2 sin p 



+ 2 



(B) 



Remarque, — Si l'intersection QL du plan sécant avec celui de la 
base passe par le centre de cette base, on a : 



1 X sin p 

M l = - -K W OU (0 — 



2 



2 



d'Où 



2 



3'^ Section hyperbolique 

Comme ci-dessus, cherchons la surface comprise entre le plan sécant 

MNQ et le plan SNQ (fig. 4). 
On a: 




Wp— 0> 



do) 



(1 — k)-{-kcos 



O) 



sin p 



fto 



('-'•)+''■ ««Kii^) 



FlG. A. 



fo^ — w 



Si a -f- P <C ''^j d'où 1 — ^• > A-, il vient : 



d^ 



2A--1 V/2A--1 



1_/, , / l^v/2/c-l.tang(^) 
log' ' 



k sin 



l-v/2/.--l.lang(^^_^p 



w 



+ 



siii 3 



(l-k) +km{ - 
^ - \siiip 



co 



R. GUIMARÂES. — SUR L'ÉVALUATION DE CERTAINES AIRES CONIQUES 171 

Remarque. — Si rintersection du plan sécant avec celui de la base passe 
par le centre 0, on a : 



1 Co' TC 

M . l = -T.R ou - — - ~ -; 
2 sin'p 2' 



d'où : 



S = 



cl'' 



.+ log 



2k-l]i-k ' y/2A_l 



v/2A- -1+1 
v/2A;— 1— 1 



v/2A-- 1 



Si a -j- |3 > TU, ou 1 — k <^ k, il résulte une expression très sem- 
blable à (3). 
Si a -|- P = "J^» p est exprimé par la formule (3), et il vient : 




ce qui donne pour résultat : 



S = — rf' tans 



w 



sin p 



7C 



Comme Wj (fig. 5) est toujours supérieur à -, on a 



tang (Oj = tang 



w 



sin i3 



)<o 



et l'expression précédente est toujours 
positive. 

Si Wj ■< -, il faut faire l'intégration entre 

les limites et w'. 

3 

Remarque. — Si l'on fait w. ^ -t-t:, on a : 

4 




0)7 = CO.R = - 71 R. 

4 



d'où 



et par suite : 



co 



TT, 



sin p 4 ' 



Fig. 5. 



172 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. L. LECORÎfTJ 

Ingénieur des Mines, Maître de Conférences à la Faculté des Sciences, à Caen. 



SUR LES SURFACES D'ÉGALE INCIDENCE 



— Séance du 19 septembre 1892 — 

On peut appeler, d'une manière générale, surface d'égale incidence 
une surface qui rencontre sous un angle constant donné une famille de 
courbes données. La recherche d'une pareille surface se ramène à l'inté- 
gration de l'équation aux dérivées partielles du premier ordre : 

(1) {ap -\-bq — cY — li^(p^ -f q--\-i) = 

dans laquelle a, b, c désignent, pour un point quelconque {x, y, z) de 
l'espace, les cosinus directeurs de la tangente à la courbe qui passe en ce 
point, et K, le sinus de l'angle constant donné. Il y a généralement une 
infinité de surfaces réelles répondant à cette équation. Lorsque K converge 
vers l'unité, les surfaces d'égale incidence tendent à devenir des surfaces 
trajectoires orthogonales ; mais l'on sait qu'un faisceau de courbes rem- 
plissant l'espace ne peut, en général, être coupé orthogonalement par 
des surfaces réelles. De là une sorte de paradoxe, que, dans un autre 
travail (Bulletin des Sciences mathématiques), j'ai essayé d'expliquer. J'ai 
montré que, pour des valeurs de K assez voisines de l'unité, chaque sur- 
face d'égale incidence est formée par une suite de nappes dont chacune 
est imaginaire, sauf à l'intérieur d'un contour fermé qui joue le rôle 
d'une arête de rebroussement. L'aire de la facette réelle ainsi déterminée 
tend vers zéro à mesure que K se rapproche de l'unité, de telle façon 
qu'à la limite les parties réelles de la surface se réduisent à des lignes 
ou à des points isolés. Ces résultats sont établis dans l'hypothèse où le 
faisceau de courbes considéré n'admet pas de trajectoires orthogonales. 

Bien d'autres questions peuvent être posées à propos des surfaces d'é- 
gale incidence. Dans ce qui suit, je me propose surtout de déterminer 
la nature des surfaces d'égale incidence relatives à un système de lignes 
droites issues d'un même point A, et je m'appuierai pour cela sur des 
considérations géométriques d'une grande simplicité. 



L. LECORNU. SUR LE3 SURFACES d'ÉGALE INCIDENCE 173 

D'abord, il est clair que les courbes d'intersection d'une pareille sur- 
face par les sphères qui ont leur centre au point A sont des lignes de 
courbure de cette surface : car les sphères coupent la surface sous un 
angle constant. Le second système de lignes de courbure est constitué 
par les trajectoires orthogonales des précédentes. Le long de l'une de ces 
lignes, les normales à la surface engendrent une surface développable dont 
les plans tangents sont perpendiculaires aux lignes de courbure sphérique 
et passent conséquemment par le point A. La développable ne peut donc 
être qu'un plan ou un cône. Si c'est un cône, les normales à la surface 
cherchée passent toutes par le point A, ce qui exige que l'angle d'incidence 
soit droit, et que la surface d'égale incidence se réduise à une sphère. 
Dans tout autre cas, le second système de lignes de courbure est consti- 
tué par des courbes planes qui rencontrent sous un même angle cons- 
tant les rayons vecteurs issus du point A, c'est-à-dire par des spirales 
logarithmiques égales, admettant ce point pour pôle commun. En ré- 
sumé, la surface est décrite par une spirale logarithmique dont le plan 
roule sur un cône fixe arbitraire, de sommet A ; c'est un cas particulier 
des surfaces de Monge, à lignes de courbure planes et superposables. 

Les formules d'Olinde Rodrigues fournissent une vérification de ce 
résultat. En désignant par R l'un des rayons de courbure principaux 
au point x, y, -, par p le rayon vecteur, par a, p, y les cosinus directeurs 
de la normale, on a les relations : 

da. d[3 dy 1 

dx di/ dz R 

«A" + Py + y- = Kp, 

X' + y' + ^' = ?'- 



On tire de là 



ou bien : 



1 

- {xdx -[- ydij -\- zdz) = Kc?p , 
R 



rfp(p — KR) = 0. 

La solution rfp = correspond aux lignes de courbure sphériques, 

La solution R = p correspond aux lignes de courbure spirales. 

Il est facile d'exprimer les coordonnées x, y, z d'un point quelconque 
de la surface en fonction de deux paramètres arbitraires, correspondant 
aux deux systèmes de lignes de courbure. A cet effet, désignons par l une 
valeur particulière du rayon vecteur et considérons la ligne de courbure (C) 
située sur la sphère de rayon /. On peut évidemment considérer la surface 



174 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

comme engendrée par une spirale logarithmique invariable dont le pôle 
reste en A, dont un point décrit (C) et dont le plan est constamment nor- 
mal à cette ligne. Soit M un point quelconque de la surface, soit m le point 
oij son rayon vecteur, de longueur p, rencontre la sphère de rayon / et soit m' 
le point oîi la spirale qui passe par M rencontre la ligne directrice (C). Con- 
sidérons, sur la sphère de rayon /, un système de coordonnées polaires 6, «p 
dont l'origine P appartienne à l'axe des z positifs. La ligne (C) est repré- 
sentée par une équation (2) /"(O, <?) = qu'on doit supposer connue. Au 
moyen de cette équation, on commencera par calculer l'angle w que forme, 
au point m', de coordonnées 6, 9, la normale sphérique à la courbe (C) 
avec le rayon vecteur sphérique 0, issu du point P. A l'aide du triangle 
sphérique Pm'm, on pourra alors calculer les coordonnées 6^ et <pi du point m 
en fonction : 1° des coordonnées 6, ^ du point m'; 2° de l'angle w déter- 
miné comme il vient d'être dit; 3° du côté mm' = l^. Comme y est lié à 
par l'équation (2j, on voit que ôj et «p^ seront des fonctions des deux variables 
indépendantes 6 et jx. Si Ton passe ensuite du point m de la sphère au point M 
de la surface donnée, il faut substituer au rayon vecteur / le rayon vecteur 

p =1 /e\/i— K\ Finalement les coordonnées cartésiennes résulteront des for- 
mules : 

/ ic = p sin ôi cos (pi, 
(3) ] ï/ = P sin 61 sin cpi , 

( z ^ cos Oi , 

dans lesquelles p, 91, ôj sont des fonctions connues de et de p.. Le sys- 
tème (3) qui dépend de la fonction arbitraire f, introduite par l'équation (2) , 
représente l'intégrale générale de l'équation : 

ijp^ + qy- ^Y - i^'ip'' + q' + ^)i^' + r + ^') = o. 

On connaît la propriété remarquable que possède la spirale logarithmique 
de se reproduire par une foule de transformations. La surface qui nous 
occupe jouit, dans l'espace, de propriétés analogues. Par exemple : 

La podaire du pôle A, les transformées par homothéde ou par rayons 
vecteurs réciproques à partir du pôle A sont des surfaces de môme nature. 

La surface des centres de courbure principaux (enveloppe des normales) 
se compose du cône de roulement, associé à une surface d'égale incidence, 
homothétique à la première. 

Les rayons issus du pôle A et réfléchis ou réfractés par une surface d'é- 
gale incidence se trouvent, après cette opération, normaux à une surface 
d'égale incidence, homothétique à la première, etc. 

Remarquons encore que si l'on décompose la surface en une suite de 



L. LECORNU. — SUR LES SURFACES d'ÉGALE INCIDENCE 175 

fuseaux séparés par des lignes de courbure spirales de telle manière que 
deux lignes consécutives quelconques forment entre elles le même angle 
infiniment petit, tous ces fuseaux peuvent être regardés comme semblables 

entre eux. 

Sans insister davantage pour l'instant sur les surfaces d'égale incidence 
relatives aux rayons vecteurs issus d'un même point, supposons que le 
pôle s'éloigne à l'infini. Les spirales logarithmiques deviennent des lignes 
droites, les cônes de roulement se transforment en cylindre, et finale- 
ment les surfaces d'égale incidence se réduisent à des surfaces d'égale 
pente. Au sujet de ces dernières, je me bornerai à signaler un cas parti- 
culier, qui me paraît assez intéressant. 

Supposons qu'on cherche une surface d'égale pente telle que les seg- 
ments interceptés sur les génératrices par deux plans fixes, verticaux et 
rectangulaires, aient une longueur constante /. Adoptons ces deux plans 
pour plans des zx, zy et prenons pour, plan des œi/, un plan horizontal 
provisoirement quelconque. 

Soient : x = az -\- p 

y = bz -\-q 

les équations de l'une des génératrices. La surface devant être dévelop- 
pable, on a d'abord la relation : 

(4) dpdh — dqcla = 0. 

Soient respectivement x,, z^ et y^, z^ les coordonnées des traces de la 
génératrice sur les deux plans zox zoy. 

Les paramètres j> et q ont pour valeurs : — az^, — bz^. 
La relation (4) peut donc s'écrire : 

(3) b.da.dzy — a.db.dz., + {z, — z.,) da.db = 0. 

En écrivant que la génératrice forme un angle constant i avec la ver- 
ticale, on trouve : 

(6) a^-\-b' = tgH, 
d'où : "c?a -\- bdb = 0. 

Enfin, pour que le segment compris entre les deux traces possède une 
longueur constante /, on doit avoir : 

ou bien : 

(7) {z■^ - ::■.)' (a' + à' + 1) = l' 

d'où ' '^i ~~" '^2 '~~~ cos i 



176 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

et par suite : dz^ — dz^ =: 0. 

L'équation (5) devient alors : 

(a^ -f~ f^^)dzi = al cos i da 

l cosi 
ou : «-1 = — ; — r^ ada, 

tg h 

d'où l'on tire, en appelant C une constante d'intégration : 



Icosi 
' 2 tg H ^ 



On aura ensuite : 



/ 6'' 1\ 

z, = z^ — lcost = lcosi \ç- ^-^. — 2 j + ^• 

Plaçons l'origine des coordonnées de telle façon que C devienne égal 



, Z cos z' , . , , 
a — : — . Il vient alors 



l cos i / a'^ _[^\ 



2 Vtg H 



/ cos i / 6^ 1 

^^~ 2~lt^i + ^. 

Clierchons les courbes d'intersection de la surface par les plans zox, 
zoy. On a : Xi=:- o(:5i — z^ = al cos i ; 

l cos i ( ^i , ^\ 

De même : y^ = h{z^ — ^i) = — bl cos i, 

l cos i ( y-i i\ 

Il suit de là que la génératrice mobile est assujettie à s'appuyer sur 
deux paraboles égales, situées dans les plans zox, zoy. Les paramètres de 
ces paraboles ont pour valeur commune : / sin i tg i. Les axes coïncident 
avec oz et sont dirigés en sens contraire. La distance des sommets est 

l cos i 
égale à — - — ^ c'est-à-dire à la moitié de la projection du segment cons- 
tant l sur l'axe des z. 

La projection du segment l sur le plan xoy est constante et égale à 
l sin i. Elle enveloppe donc l'hypocycloïde à quatre rebroussements : 

2 2 2 

a;^ -|- 2/^ = {l sin if. L'arête de rebroussement de la surface d'égale pente 



K. RITTEU. l'algèbre .NOUVELLE DE FRANÇOIS VIÈTE 177 

est une hélice tracée sur le cylindre qui a pour base cette hypocycloïde. 

Il est à noter que les deux paraboles ne correspondent à des parties 
réelles de la surface que pour les arcs qui se projettent à l'intérieur de 
rhypoQjVcloïde. Le reste de chaque parabole joue le rôle d'une ligne isolée, 
intersection de deux nappes imaginaires. Il est, du reste, évident que, si 
l'on cherche à déterminer une surface d'égale pente par la* condition de 
rencontrer le plan des z-x suivant une parabole à axe vertical, la partie 
réelle de la surface ne saurait admettre pour trace cette parabole tout 
entière : dès que la tangente à la parabole forme avec l'axe des x\in angle 
égal ou supérieur à l'inclinaison supposée du plan tangent sur le plan 
horizontal, on ne peut mener par cette tangente aucun plan réel répon- 
dant à la question. 

Des circonstances analogues se produisent nécessairement, ainsi que je 
l'ai fait voir dans la note précitée, chaque fois que Ton étudie les sur- 
faces d'égale incidence relatives à une congruence de droites ou de 
courbes non normales à une famille de surfaces (au moins quand l'angle 
d'incidence difTère assez peu d'un angle droit). Dans le cas où la con- 
gruence admet des surfaces trajectoires orthogonales, on ne peut rien 
affirmer a priori. On sait toutefois que les surfaces d'égale pente, par 
cela même qu'elles sont développables, possèdent nécessairement des 
arêtes de rebroussement. 



M. E. EITTEE. 

Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, en retraite, à l'an. 



L'ALGÈBRE NOUVELLE DE FRANÇOIS VIÈTE 



— Séance du 19 septembre 1892 — 

L'algèbre enseignée en Europe dès le xiii® siècle par Léonard de Pise, 
d'après les écrits des Arabes qui avaient emprunté cette science aux 
Grecs, se réduisait à la résolution d'un petit nombre de questions condui- 
sant à des équations qui ne dépassaient pas le second degré; les principes 
dont on faisait usage pour découvrir les inconnues étaient fondés sur des 
considérations purement géométriques où les quantités étaient représentées 

•J2* 



178 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

par des lignes droites; dans les calculs l'inconnue était seule désignée 
par un symbole, les données étaient toujours des nombres; la langue de 
cette science n'existait pas. C'est la première époque de l'algèbre, algèbre 
exclusivement numérique. 

François Viète, en introduisant dans l'algèbre l'usage des lettres pour 
désigner les quantités connues aussi bien que celles inconnues, fit faire à la 
science un pas de géant; il créait l'algèbre moderne; mais il ne faut pas 
croire que son oîuvre se soit bornée à cette invention ; elle comprend la 
création de la science tout entière; comme il a rejeté, à l'exemple des 
al"ébristes venus avant lui, les quantités négatives et celles imaginaires, 
toute son algèbre repose sur la considération des seules quantités et 

racines positives . 

Rapidement complétée et perfectionnée par l'introduction dans l'algèbre 
des quantités négatives et imaginaires, l'œuvre de François Viète et 
môme son nom sont tombés dans l'oubli, quoique à chaque page, dans 
nos Traités d'algèbre, se trouve la trace des procédés imaginés par le 
grand géomètre. 

Cette algèbre, presque inconnue de François Viète, je vais, dans un 
rapide exposé, la faire passer sous vos yeux. 

François Viète définit l'Art analytique ou Algèbre nouvelle « la science 
de bien trouver en mathématiques », et il la considère comme composée 
de trois parties : la Zététique ou mise en équation des problèmes; laPoris- 
tique ou démonstration des théorèmes ; l'Exégétique ou résolution numé- 
rique des équations. 11 fait reposer toute la science sur le principe des 
homogènes qui exige que dans toute équation, tous les termes soient 
de même dimension, c'est-à-dire que chaque terme soit composé par le 
produit du même nombre de facteurs connus ou inconnus du premier 



degré. 



Il représente les inconnues par les lettres majuscules voyelles A, E, U, 
et les quantités connues par les consonnes B, C, D...; les puissances de 
l'inconnue par la môme lettre avec un indice formé par l'addition des 
exposants des puissances : quad.; carré; cub. cube, il obtient ainsi la suite: 

A, A q, A c, A qq, A qc, A ce, etc. 
pour X x"" x^ x^ x^ x^ 

mais, pour conserver dans les équations le principe de l'homogénéité, il 
adopte pour les données une série avec des indices correspondant à 
chaque puissance, plan, solide, piano-plan, piano-solide, solido-solide. 

B, B pi, B sol, B pl.-pl, B pl.-sol, B sol. -sol. 

Les signes des opérations dont il fait usage sont : pour l'addition -j-; 
pour la soustraction — , lorsque le terme à soustraire est le plus petit. 



F. lilTTER. t/aLGÈBRE NOUVELLE DE FRANÇOIS VIÈTE 179 

= , 7ninus incertum, lorsqu'il ignore lequel des deux termes est le plus 
petit; pour la multiplication, la particule in entre les deux facteurs; pour 
la division, la barre séparative des termes à diviser; pour l'extraction des 
racines, R ou /, suivi de l'indice de la racine à extraire. 

Dans les applications numériques, l'homogénéité disparaissant, l'in- 
connue et ses puissances sont représentées simplement par les indices 

lA^ \Q, IC, iQQ, \QC, iCC. 

Ainsi, avec ces notations, on aura pour l'équation du 3« degré exprimée 
en signes algébriques : 

A c -f- B k A q + C pi in A. œq D q in F 
x^ -\- px"^ -\- qx =z S 

Et dans les applications numériques : 

16' + 10C> +14A^œql22 

X' 4- lOx^ 4- 14a; = 122 

Après avoir exposé les règles des quatre opérations fondamentales de 
l'arithmétique en algèbre, il donne les règles générales pour la réduction 
des équations à la forme canonique, c'est-à-dire à une équation ordonnée 
suivant les puissances croissantes ou décroissantes de l'inconnue, de telle 
sorte que la puissance la plus élevée ait pour coefficient l'unité et que le 
terme connu, formant le second membre de l'équation, soit positif. 

François Viète applique ensuite les principes poeés dans cette introduc- 
tion (rsagoge)àla formation d'un certain nombre de formules usuelles :les 
propositions énoncées sous forme géométrique dans les 2** et 9*^ Éléments 
d'Euclide; la loi de formation d'une suite de quantités en proportion 
continue et celle pour l'insertion d'un nombre quelconque de moyens 
proportionnels entre A™ et B'" ; la loi de formation des puissances succes- 
sives de la somme et de la différence de deux quantités; la formation du 
type (A -f B)"* -f D (A -|- B)'"'" qui lui servira plus tard pour la résolution 
numérique des équations ; enfin il donne les formules des trois côtés du 
triangle rectangle en nombres, A^ -f B% A'* — B% 4AB, et, faisant suc- 
cessivement l'angle à la base du triangle double, triple, etc., il obtient la 
formule générale de sin mx et de cos mx en fonction de sin x et de cos x, 
formule attribuée à Moivre et qui appartient à François Viète. 

A la suite de ces formules f.Voto priores), Viète donne les cinq livres des 
Zétetiques, recueil de problèmes généraux déterminés et indéterminés sur 
les nombres, les carrés, les cubes et les triangles rectangles en nombres. 
On y trouve résolues d'une manière générale les questions les plus diffi- 
ciles des Arithmétiques de Diophante et l'on peut mesurer la distance 
énorme qui sépare les procédés du géomètre français de ceux du géo- 



■180 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

mètre grec. Ainsi, par exemple, quand Diophante propose de trouver trois 
nonlbres tels qu'en les multipliant deux à deux et en ajoutant 12 à chacun 
des produits, les sommes soient des carrés, il trouve pour ces nombres 2,1 

l 

et -: tandis que François Vièle prenant pour nombre donné b trouve les 
8 

trois nombres demandés, au moyen de formules en fonction de trois 
indéterminées f, g, h et obtient ainsi une infinité de solutions. La Réso- 
lution numérique des équations fait suite aux Zététiques ; il y arrive par 
un procédé analogue à l'extraction de la racine d'un degré quelconque 
d'un nombre donné. Il l'applique à dix-sept types _d'équations trinômes 
jusqu'au sixième degré inclusivement. Sa méthode est générale, mais elle 
devient de plus en plus laborieuse à mesure que le degré de l'équation 
s'élève et que le nombre des termes devient plus grand. Les types sur 
lesquels François Viète opère n'ont généralement qu'une seule racine 
positive ; toutefois il donne le moyen pour l'équation du troisième 
degré, lorsqu'elle a deux racines positives, de les trouver l'une après 
l'autre. Lorsque les racines ne sont pas commensurables, François 
Viète les trouve par approximation ; à cet effet, il transforme l'équa- 
tion en une autre dont les racines sont dix fois, cent fois, mille fois 
plus fortes, et après avoir trouvé la racine de cette équation, il la divise 
par 10, par 100, par 1.000, par la séparation de la partie entière delà 
partie décimale. 

Les deux parties de son algèbre qui suivent la Résolution numérique 
des équations renferment la Théorie générale des équations. La première 
est consacrée à l'examen de la constitution intime des équations ; mais 
cet examen est limité, sauf dans quelque cas où il s'applique aux équa- 
tions d'un degré quelconque, aux équations trinômes du second et du 
troisième degré, ayant une ou deux racines positives, aux relations qui 
existent entre les racines, le coctlicient et le terme connu de l'équation. 

Pour le cas irréductible, il fait connaître qu'il ne peut être résolu 
qu'au moyen de la résolution des deux triangles isocèles dans lesquels 
l'angle du premier est le triple de celui du second. 

La majeure partie de ce traité est consacrée à la transformation des 
équations d'un degré quelconque par altération de la racine. Les algé- 
bristes venus après François Viète n'ont pas beaucoup ajouté aux règles 
établies par lui. 

Dans la seconde partie de la Théorie des équations, le grand géomètre 
donne les règles pour corriger les vices de forme des équations et les ra- 
mener à la forme canonique, en faisant disparaître un terme d'une 
équation, en transformant une équation dont les racines sont fraction- 
naires en une équation dont les racines sont entières ; en transformant une 
équation d'un type que l'on ne sait pas résoudre numériquement en une 



F. RITTEU. l'algèbre NOUVELLE DE FRANÇOIS VIÈTE 181 

équation que l'on peut résoudre, en débarrassant une équation de ses 
coefficients fractionnaires ou irrationnels. 

Il passe ensuite à la résolution générale de l'équation du troisième et 
du quatrième degré, résolution purement algébrique, qui le conduit pour 
la première à la formule de Cardan, pour la seconde à la réduite du troi- 
sième degré ; les formules générales qu'il donne au nombre de trois, pour 
chaque degré, débarrassent l'algèbre des treize cas de VArs magna de Car- 
dan pour le troisième degré, et des quarante-trois cas de Bombelli pour le 
quatrième degré. 

Cette partie de l'Algèbre de François Viète se termine par un grand 
nombre de formules de la racine d'une équation du troisième degré, lors- 
qu'il existe entre le coefficient et le nombre connu certaines relations ; je 
, ne citerai que le théorème que François Viète énonce, mais seulement pour 
le cas oîi toutes les racines d'une équation sont positives, de la composition 
d ucoefficient et du terme connu, avec les racines de l'équation. 

A l'Algèbre de François Viète se rattachent quelques applications, qui 
lui ont fait attribuer l'application de l'algèbre à la géométrie. 

Les Arabes et les algébristes anciens de l'Europe occidentale ont ap- 
pliqué dès l'origine, l'algèbre à la résolution des problèmes de géométrie, 
lorsque l'équation finale ne dépassait pas le second degré. Après l'avoir 
résolue, ils construisaient la valeur de l'inconnue par le triangle rectangle. 

Dans un de ses traités accessoires, François Viète montre comment on 
peut construire directement avec la règle et le compas, les racines des 
équations carrées et bicarrées sans résoudre l'équation, au moyen de ses 
coefficients. 

Dans un autre traité, il montre que lorsque la résolution d'un problème 
conduit à une équation du troisième ou du quatrième degré, la résolution 
ne peut plus être obtenue avec la règle et le compas, mais par une cons- 
truction qui se réduit à inscrire une droite passant par un point donné 
et d'une longueur donnée, soit 
entre deux droites, soit entre 
une droite et un cercle, soit 
entre deux cercles donnés. 

Nous citerons, de ce traité, 
l'application que fait François 
Viète des théorèmes qu'il dé- 
montre, à la résolution du cas 
irréductible. 

Soit EBD un angle donné, si du point B, comme centre avec un 
rayon BE quelconque, on trace un cercle et si on prolonge le diamètre DBC, 
si, du point E, avec une règle mobile, on mène la ligne EF de manière 
que FG, segment extérieur, soit égal à BE, l'angle EFA sera le tiers de 




182 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

l'angle EBA, et l'on aura la relation, BA étant la base du triangle isocèle 
BEA, FB^ — 3BC^FB = BC.BÂ^ relation qui correspond à l'équation 
du troisième degré du type x^ — 'èp'^x = pq"^ qui comprend le cas irré- 
ductible, dont on peut trouver par la trigonométrie la racine positive en 

faisant BD r= cos a = -f-, d'où x ^= p cos -. 

%p ^ 3 

L'étude des différents théorèmes de ce livre qui conduisent aux diffé- 
rents types de l'équation du troisième degré et l'application qu'il en fait 
à un certain nombre de problèmes de géométrie, tels que celui des deux 
moyennes proportionnelles, de la duplication du cube, etc., etc., permettent 
l'interprétation géométrique des racines négatives, comme pour les racines 
de l'équation du deuxième degré ; mais ces considérations me conduiraient 
trop loin. 

Telle est dans son ensemble, l'Algèbre de François Viète; en étudiant 
cette œuvre considérable d'où est sortie l'algèbre moderne, on est étonné 
que son inventeur n'ait pas été un mathématicien de profession, mais un 
Maître des requêtes de l'Hôtel du roi. « Ego, écrit-il à Adrien Bomain, 
qui me Mathematicum non profiteor, sed quem si quando vacat, délectant 
mathematica studia. » « Moi, qui ne fais pas profession de mathématicien, 
mais qui, lorsque j'en ai le temps, fais des mathématiques mes plus 
chères études. » 



M. FONTES 



SUR LA DIVISION ARITHMÉTIQUE 
(POSSIBILITÉ DE LA SUPPRESSION DE CETTE OPÉRATION) 



J'ai présenté à l'Académie des Sciences, Inscriptions et Belles-Lettres de 
Toulouse, dans sa séance du 2 juin 1892, un théorème sur la division 
arithmétique dont je me suis réservé de développer les conséquences. 

Ce sont ces conséquences que je viens exposer ici, en même temps 
qu'une démonstration plus simple, tirée des congruences, du théorème 
en question, que je scinderai en deux. 



FONTES. — SUR LA DIVISION ARITHMÉTIQUE 183 

Théorème I. 

On peut toujours réduire la recherche du reste de la division d'un 
nombre entier quelconque N par un autre M à la même question pour un 
autre A, plus petit que lui, formé de ses éléments et dont le nombre des 
chiffres, indépendant de N, ne dépend que de M. 

En effet, soit iB la base du système de numération dans lequel sont 
écrits N et M, ce dernier étant supposé premier avec S- On peut toujours 
trouver, de différentes manières, deux entiers positifs y? et m (m <^ M) et 

un entier de signe quelconque q, plus petit que -^ en valeur absolue, 
tels que : J9 X M = ^0'" — q 

ce que je puis écrire sous forme de congruence : 

^"' = q (Mod. M) 

Cela posé, soient a, b, c, . . . e, f,g, . . . i, j, k, . . . r, s,t,... les chiffres 
significatifs de N, de telle sorte que dans le système de base fB, ce nombre 
s'écrirait . . . tsr . . . kji . . , gfe . . . cba. Si je décompose N en tranches 
de m chiffres en commençant par la droite, je pourrai écrire : 

N = . . . + (. .tsr) X (^"*r + (. -m X M" + (. .gfe) 

Cela posé, je considère une fonction f{x) composée avec x comme N l'est 
avec 5^"*, c'est-à-dire la fonction 

f(x)= ... + (..ts,^)Xoc' + {..kij)Xx' + (.'9fe}Xx'+{..cba)Xx'' 

de telle façon que [[gf") = N. 

D'après un théorème connu, la congruence (1) a comme conséquence la 
congruence : /"(iB"') = fiq) (Mod. M) 

ou mieux : 

(2) N = f{q) (Mod. M) 

qui nous démontre le théorème énoncé, à savoir que le reste de la divi- 
sion de N par M est le même que celui de la division par M d'un nombre A 
composé avec q comme N l'est avec S"* de telle sorte que : 

A = . . .J^{.Jsr)y< q^ + (. .kji)-Xq'-{-i. .gfé)X. Q' + {• •cba)-Xq' 

q pouvant d'ailleurs recevoir un signe quelconque. Comme ce dernier 

M 

nombre est toujours <^— en valeur absolue on aura toujours A •< N. En 



184 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

outre, si A contenait plus de m coffres, on pourrait le décomposer comme 
il a été fait pour N et après un nombre très limité n d'opérations le rem- 
placer par un autre nombre a"'~'^ jouissant de la même propriété, ce 
qui complète le théorème énoncé. 

Je ferai remarquer qu'en faisant t^ = iO et M successivement égal à 
3, 9, 7, 11 et 13, on retrouve tous les critériums de divisibilité exposés 
dans les traités d'arithmétique (*). 

Théorème II. 

La suite des calculs nécessaires pour obtenir A permet de calculer le 
quotient de M par M sans effectuer d'autre division arithmétique que celle 
d'un nombre de m chiffres par ce nombre, m étant << M et indépendant 

de N. 

En effet, la congruence (2) nous apprend que N — A est toujours divi- 
sible par M. L'autre facteur peut être facilement mis en évidence. 

En effet, on a toujours, pour p. entier : 



LB' 



r 



D'où, en observant que fB"' — g = ;> X M : 

Dès lors, en groupant convenablement les termes de la différence 

fU'^)-f('j) ou N-A, 

qui sont tous de la forme ( . . . z-xy) X { (sfY — q^ \ o" est conduit à écrire 
cette différence sous la forme schématique suivante : 



(3) N-A=MxpX/ 



+ (..fsr)X90 



X 



(fB"f+ 



+ {..kji)Xq'' 

+ {.Jsr)Xq' 



X(5î") + 

+ (gfe) :<q' 

+ {..kji) Xq' 
+ {.Jsr)>Cq'' 



X 



{srf. 



(*) L'observation ci-dessus est faite sans préjudice du beau travail de M. Perrin sur les caractères 
de divisibilité (Congrès de Paris, 1890), notre but n'étant pas ici, surtout, de fournir un caractère 
simple et pratique de divisibilité, mais de calculer le quotient sans division. 

1» En faisant M = ii et m =2 on trouve g = + 1. De là se déduit immédiatement un critérium 
peut-être plus simple que le procédé classique et, dans tous les cas, dispensant de l'emploi des 
nombres négatifs, [)our reconnaître si un nombre est divisible paru. 

2» Si on observe que 7 X 14 = 10" — 2, on est conduit pour 7 à un critérium qui, bien qu'exi- 
geant quelques multiplications par 2, est plus simple que le critérium classique si N n'est pas très 
grand. En tout cas, il est applicable au nombre 49 et permet de reconnaître immédiatement si un 
nombre de trois chiffres est divisible par 7. 



FONTES. SUR LA DIVISION ARITHMÉTIQUE 185 

OÙ le second facteur différent de M est mis aussi clairement que possible 

en évidence. 

Le calcul des coefficients des puissances sruccessives de:fB"* dans la paren- 
thèse peut s'effectuer assez facilement si on commence par la plus élevée, 
c'est-à-dire par la tranche de gauche du nombre proposé, chaque coeffi- 
cient pouvant se déduire du précédent en le multipliant par q"" pris avec 
son signe et en ajoutant à ce produit la tranche suivante de m chiffres non 
encore employée, qu'on rencontre immédiatement en s'avançant vers la 
droite. A se déduit lui-même du dernier coefficient de la parenthèse par le 
même procédé. 

Gomme la multiplication par iB" se réduit à écrire [x zéros à la suite 
du multiplicande, on voit que les colonnes du schéma (3) sont pour ainsi 
dire disposées à l'avance pour les calculs, au moins quand q est positif. 

Ayant fait voir qu'on peut toujours ramener A à un autre nombre a'"~^' 
de m chiffres seulement jouissant des mêmes propriétés, la deuxième pro- 
position énoncée se trouve ainsi justifiée. 

Le procédé de division auquel conduisent, pour ainsi dire d'elles- 
mêmes, les considérations ci-dessus exposées est très simple quand M est 
module d'une congruence à ± 1 f ) ou à un nombre q très petit. Voici, 
en regard, deux exemples de divisions (**), l'une par 09 (99 = 10^ — 1), 
l'autre par 37 (37 X 2"? = 10^ - 1) : 



DIVISION PAR 99 




DIVISION PAR 61 




Dividende : 23 54 56 


78 


Dividende 


: 2 343 565 


627 


23 54 


56 




2 343 


565 


23 


54 
23 




2 


343 
2 


1 


11 

2 
13 reste. 




1 


537 
1 


23 78 35 
quotient 


2 345 911 

27 

16 421 377 

46 918 22 


538 (reliquat, à 
diviser par 37, 
de trois chiffres 
seulement.) 



63 339 597 quotient partiel. 

Le procédé appliqué au diviseur 37 me conduit au nombre A = 538 
que le théorème qui va suivre me permettra de diviser sans effectuer de 
division arithmétique. 



(•) Je ne m'occupe plus ici que de numération décimale. 

(**) Je ne donne pas ici d'exemi)le de la division type, celle par 9, dont le lecteur restituera 
aisément le schéma sur le vu de celle par 99, le principe de la division par 9, que j'avais trouvée il 
y a quelques années, se trouvant, à mon insu, dans l'ouvrage de M. Lucas sur la théorie des nombres, 
mais sans la disposition schématique que j'indique ici. 



186 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Comme exemple où q est différent de l'unité, je prendrai une division 
par 499. Ici, j'observe que 499 X 2 == 10^ — 2. Je disposerai mes cal- 
culs comme suit : 



2 X2=^4.... 
(343+ 4)X2 = 694.. 
+ 694) X2 = 2518. 
(2+ 1)X2 = 6.... 



Dividende 2 343 565 


627 


4 000 


000 


694 


000 


2 
1 


518 
145 
6 
131 reste. 


2 348 262 

2 



4 696 524 quotient. 

Le calcul se fait assez rapidement, car il n'est pas nécessaire d'écrire 
deux fois les produits 4, 694, 2318 et 6. 

Les calculs sont un peu plus compliqués quand 10'"^ est congru à un 
nombre négatif; j'en donnerai plus loin un exemple. 

Le problème de la suppression de la division se trouve ainsi théori- 
quement résolu par le théorème II, car on peut toujours trouver un 
nombre m < M tel que 10'" = + 1 (Mod. M). Mais l'intérêt des nos opé- 
rations deviendrait illusoire si m était très grand, quoique plus petit 

M 

même que -^. Il est plus commode de se contenter d'une petite valeur 

de q si cela est possible. 

Le problème de la division peut être complètement résolu sur le reli- 
quat de m chiffres qui provient de l'emploi de q au lieu de ±: 1, au 
moyen du théorème que je vais exposer ci-après et qui fournit le moyen 
de ramener la division du nombre de m chiffres à une autre plus facile. 

Théorème III 

Soient N, M, S, trois entiers positifs, tels que N > M et que S ■< N — M. 
On peut toujours obtenir le quotient et le reste de la division de N par M 
par une série de divisions par M -j- S. 

En effet, soient B et C le quotient et le reste de la division de N par 
M -}- S, soient B -{- ^ et y le quotient et le reste de la division de N 
par M; nous aurons : 

N = B(M + S) +C; 

N = (B + p)M-f y; 

d'où • BS + C = pM + y ; 

ce qui nous apprend que le reste de la division de N par M est le même 
que le reste de la division de BS -|- C par le même nombre. En faisant 



B(M +S) + C; 

B'(M + S) + C'; 
B"(!VI+S) + C"; 



FONTES. — SUR LA DIVISION ARITHMÉTIQUE 187 

cette seconde opération, qui nous donnera un quotient plus petit que la 
première (car BS + C est plus petit que N de BM), puis une autre, et ainsi 
de suite, nous serons certains d'arriver au résultat sans avoir exécuté 
aucune division par M, ce qui sera très simple si nous avons su conve- 
nablement déterminer S, qui est arbitraire. 
Voici, du reste, comment on peut diriger le calcul : 

On fait d'abord une première 

opération, qui donne N : 

Puis une seconde B'S + C : 

Puis une troisième B'S-|-C' - 

Et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on 

arrive à un nombre B"~^S + C""^ = B " (M -f- S) + C ; 

y<M+S B^"^S + C^"^ = +T. 

On aura alors, en additionnant : 

N 3= (B + B' + B" + . . . + B^"-^^ + B'"^)M + y (*). 

On obtient ainsi le quotient et le reste cherchés. 

Je vais montrer par un exemple comment une division compliquée 
peut être ainsi remplacée par un petit nombre de divisions faciles. 

Soit à diviser N = 2 334 257 83o par M = 598. Ici, je fais S = 2 
pour avoir M + S = 600 (diviseur très facile); j'aurai ainsi successive- 
ment : 



N = 2 334 2o7 83o 

3 890 429 X 2 + 435 

12 968 X 2 -1- 483 

44x2-1- 29 

N =r 



3 890 429 

12 968 

44 

390 344 

quotient 



X 600 -f- 435 
+ 483 

4- 29 



117 reste. 



Comme deuxième application, je donnerai la terminaison de la division 
par 37, commencée à la suite du théorème II, qui se réduit à diviser le 
reliquat de trois chiffres 538 par 37. Ici, je poserai S = 3, pour n'avoir 
plus qu'une division par 4 à effectuer. J'aurai alors : 



538 
13 X 3 + 18 
1 X3 + 17 



13 
1 

U 



X 40 -h 18 

-1-17 



-f- 20 reste. 



quolionl. 



(*) Y sera en général le reste; mais il pourra être intermédiaire entre M et M + S. Dans ce cas, 
la parenthèse doit être augmentée d'une unité, et le reste est ^ — M. 



188 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Le quotient complet cherche est donc: 63 339 507 + 14 = 63 339 611, 
et le reste 20. 

On voit combien ces calculs sont simples. Ils le seraient davantage si 
on pouvait faire S = 1 {*). 

Quoi qu'il en soit, le présent théorème résout, au moins théorique- 
ment, d'une manière complète, le problème de la suppression complète 
de la division arithmétique. 11 est à remarquer que si l'on fait M = 9, 
S = 1, on retombe assez aisément sur le procédé de division par 9 qu'on 
peut déduire des théorèmes précédents. 

IV. — Conséquences et applications de ce qui précède. 

Nous avons terminé, au point de vue théorique, notre étude, dont la 
conséquence logique serait celle de la congruence 10'" ^ </ (Mod. M) ; mais 
cette dernière nous entraînerait bien au delà des limites de notre sujet. 

Nous n'avons pas à nous dissimuler que, dans beaucoup de cas, le 
procédé que nous avons esquissé pour éviter la division arithmétique 
pourrait devenir plus compliqué que cette opération elle-même, surtout si 
nous voulions obtenir le reste exact. 

Mais il n'en sera pas de même si nous voulons simplement calculer 
avec des décimales, de façon à obtenir les quotients de la division, à une 
unité près, d'un ordre donné. Dans ce cas, il nous suffira de faire suivre 
le dividende d'autant de tranches de m zéros que nous jugerons conve- 
nable. Nous supprimerons ainsi les difficultés afférentes à la recherche du 
reste, les plus grandes que présente notre théorie, et nous aurons rem- 
placé la division (opération fort compliquée en elle-même et qui ne nous 
paraît simple que par la grande habitude que nous en avons), par des 
additions, des soustractions et des multiplications. 

Nous prendrons pour exemple un calcul d'intérêts au moyen d'une 
balance des nombres, en supposant l'année de 365 jours, opération assez 
compliquée pour qu'on recule devant elle dans la pratique, où l'on ne 
compte généralement l'année que pour 360 jours. 

Si nous remarquons d'abord que 365 = 73 X 5, nous voyons qu'il 
conviendra d'abord de diviser le taux de l'intérêt par 5 dans la multipli- 
cation de la balance des nombres par ce taux (ce qui sera généralement 
très simple, le nombre qui l'exprime étant presque toujours divisible 
par 5). La division par 73 s'effectuera ensuite en faisant usage de cette 
remarque que : 

437 X 73 = 10* -f- 1 r 

(*) M. Lucas donne, dans son ouvrage sur la théorie des nombres, un procédé abrégé de division 
par 19 différent de celui qui précède et qui peut être généralisé. 



FOXTÈS. SLll LA. DIVISION ARITHMKTIQL'i: 189- 

Nous nous servirons dès lors du schéma du théorème II, en faisant 

m = A 7 = — 1, p — 137 

Supposons que la balance des nombres, multipliée par le cinquième du 
taux de l'intérêt ait donné 32743. Si nous voulons avoir les centimes 
exacts, nous observerons que 137 >< 0,000 001 < 0,001 . Par suite; nous 
ferons suivre le nombre proposé d'une seule tranche de quatre zéros. 

Le calcul pourra dès lors être disposé comme suit : 

3 2745 0000 
3 



3 2743 0003 somme des termes positifs. 
3 2743 » » négatifs. 



3 2741 73 



/ 



31 



3 2741 73 

.9822 ol 

2291 87 

4 4836 11 



Nous appliquons, pour la multiplication par 137, la règle d'Oughtred. 

Le quotient est 448 fr. 56 c. avec les centimes exacts. 

La seule petite difficulté qui puisse se présenter est le placement de la 
virgule. Elle n'est pas insurmontable {^'). 

On voit, par cet exemple, le parti qu'on peut tirer de ce mode de 
calcul quand on a besoin, soit de calculer ou de vérifier un grand nombre 
de divisions par le même nombre, soit de calculer des barèmes, la divi- 
sion arithmétique étant par elle-même, l'opération qui offre le plus de 
chances d'erreurs. 

Je m'abstiens, pour ne pas allonger indéfiniment ce petit travail, de 
fournir d'autres exemples, d'autant plus volontiers que je ne prétends 
nullement imposer une manière plutôt qu'une autre de disposer les 
chiffres aux calculateurs de profession. 

(*) Dans l'espèce, si le nombre des chiffres du dividende eût été très grand, on aurait pu faire appel, 
au lieu de la congruence iO^ =— ^ (Mod. 73), à la congruence 10» = + 1 (Mod- "'3), qu'on obtient 
en élevant la première au carré, ce qui eut dispensé de l'emploi des nombres négatifs, mais alors on 
aurait eu pour multiplicateur, au lieu de 137, un nombre de 7 chiffres, le produits^ X il X101 X137. 



190 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. E.EO]fTAII"EAÏÏ 

Ancien Officier de marine, à Limoges. 



SUR LA DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES EN ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ 



— Séance du 20 septembre i892 — 

1. — Je me propose d'intégrer les équations aux dérivées partielles 

fxA^u + (X + 1.) ^ = 0, i.^^v + a + j.) ^ = 0, 

' ' a- 

auxquelles doivent satisfaire les composantes de déformation u, v, iv d'un 
corps isotrope pour qu'il soit en équilibre d'élasticité, lorsqu'on suppose 
qu'il n'y a pas de forces extérieures appliquées à la masse du corps. Le 
problème général où cette restriction n'a pas lieu se ramène aisément, 
comme on le sait, au cas particulier dont il s'agit. Dans ces conditions, 
la question la plus simple à laquelle donnent lieu les équations (1) est de 
déterminer les composantes de déformation u, v, w^pour tous les points du 
corps élastique lorsqu'elles sont données à sa surface; c'est celle dont 
je vais m'occuper presque exclusivement. 

Soit qi = fi{x, y, z) = 0, l'équation en coordonnées rectangulaires de 
la surface du corps élastique ; si on passe au système de coordonnées cur- 
vilignes orthogonales q^, q^, q^ défini par les égalités : 

(2) q, = f^{x, y, z), q^ =z f^(x, y, z), q, = ^x, y, z), 

on déduira des égalités : 

_ X -f [X dp _ 1 + \>- dp 

^ 2(X4-2[x)dx;' ^ i-TJ .T- ' 



E. FONTANEAU. — SUR LA DFFORMATION DES CORPS ISOTROPES 

qui satisfont généralement aux équations (1), les suivantes : 



191 



(4) 






1 -\- a dp dx ,^ , , dv ,_ , dz. 

2(x -f -2.a I dq, dq, * (/Yi ^Çi 



1 -\- <j. dp 



2(À + 2a I dq^ 



dx , , dy ,_ , dz 

— - Q, — M » + -^ ( Q, — v) — -T- IV, 
d(h dq^ dq^ 



À + a dp dx , , du .^ dz 

^2(À + 2y,i rf7,3 rfg3 c^f/3 dq, ' 



si, pour simplifier, on pose 



(5) 



rfa; , dv , dz 
dq, dqy dq^ 



M 



dx , dy , dz 
dq^ dq^ dq.. 



dx , du , dz 
dq^ dq, dq. 



on aura encore par les égalités (4) les trois équations de condition 



dx dQi dx f/Q, dy dQ^ dy dQ^ 

dq^ dq.^ dq^ dq^ dq^ dq.^ 

j dx (/Qj dx f/Gi dy r/Q, 

^ dqy dqs dq.^ dq^ rf(/i dq.^ 

dx diii dx dQ.1 dy dQ^ 

dqs dq^ dq^ dq^ dq^ dq., dq^ dq.^ 



dfh 


dq, 


dy 

dq. 


dù^ 
dq, 


dy 


f/Q, 



dh 
dq^ 

dh 

dq-i 

dN 
dq^ 



m 

dqv' 
dN 

dq,' 

dM , 

d(h 



2. — D'après cela, je considère d'abord séparément les deux dernières 
équations (4) et celle des équations (6j de condition qui en résulte. Si, 
conformément à la théorie des coordonnées curvilignes, on pose : 



0) 



S+(S)v(ê)=M, (ê)v(|;+(ê 



hi 



( 



dx ) \dy J \dz J 



hl 



et que l'on désigne par a^, b^, q les angles que la normale en x, y, 5 à la 
surface dont l'équation est ^i = fait avec les axes des x, des y et des z, 
on aura, par une transformation facile : 



(8) Q 



i 



div 
dy 



dv 
dz 



+ 6i 



du 
dz 



dw' 
dx 



+ c, 



dv 
dx 



du 
dy. 



\ 



192 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE^ GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

et on pourra mettre la troisième équation de condition (6) sous la forme 
suivante : 



(9) 



a, 



dy 



dQ, 


+ *. 


dQ, 




dy . 




dv' 
dz^ 


+ ^1 


~du du 
dz d.i 


1 


+ Ci 


'dv 
dx 


du 
•dy_ 



Dans cette égalité, qui aurait pu être immédiatement écrite en vertu des 
relations : 



dw dv dCî^ 

(lOj — = -^ 

dy dz dz 



du dw _ dLi , d V du rfQ, _ r/Q, 
ds dx dz dx dy dx dy 



le second membre est l'expression du double de la composante de rotation 
normale à la surface du corps élastique et le premier membre montre 
comment cette composante dépend des fonctions potentielles û^, Q.^, CI3. 
On peut aussi substituer aux deux dernières équations (4) les suivantes : 



(À + l^) 



du dx'yLQ. 

dij., dq.,\dq^ 



1 I 



dx 
d(h 



y X 



dy 
dq. 



dQ,) 
dq-i] 



+ (X + 3-;. ) 



dji dx dy dx 
dq^ dq,^ dq., dq^ 

dy 



dy d\i dy dli 
dq^ dq., dq^ dq^_ 



+ 2(X + 2;. 



(ii; 



dq-i 



di/ ,T 



^1 + ':>^ + 1^-) 

+ 0^ + NyQ = 



\ 



du 



+ 2(X + %J.) 



dx 



\l dq., dq., 

dy dx dy dx 
jlq^ dq, dq, dq^ 



dq., 
dQ., 



+ ^ 



dq., 

Q, + (À + I. 



X 



dy 



dQ.J 



dx 

dq^ ~ dq.,\dq,^ 



dx f/K dx rfR 



dq., dq, _ 



dq., dq, dq.i dq.. 



et pour les termes tout connus de ces équations, on obtient, par une trans- 
formation semblable à celle dont il vient d'être question : 



2a + 2a) 



dq, ' dq^ ' 



(12) 



hj\. 



2(X -[- [xj 
^20+^ 

iLjL, 



[c,u — a,w] + il + aiyQ, 
Cl y — h,w] — (X + ;j.)a;0. 



dx ^, dx ,, 

— N — — M 
dq^ dq. 



E. FONTANE.VU. — SUR LA DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 193 

Enfin, on a les relations suivantes : 



dy d\i 



+ 



(13) 



+ 



dij dK 
dq-i dq.^ 
' dij dz 

jki.dq^ 

dx d\i 
dq^ dq., 
' dx dz dx di 



dq-i dq.:^ 
dy dz 
dq., dq,\d 

dx dK 
dqz dq.^ 



dy dx dy dx~\dK 



.dq.i dq^ dq^ dq^jdx 



dli 



1 



dq.j, dq^ dq^ dq^\dz 



dli 



dy dx 
dÇi dq^ 
1 



■ dK 

Cl a 



dli 
'dz 



h^ha 



dx 

dy dx IdK 
dq^dq,]dy 
dK dli 

dy ' dz 



3. — La troisième équation (6) est une conséquence des deux dernières 
équations (4) et ne donne pas une condition nouvelle qu'aient à vérifier 
les trois inconnues Q,, Q^ et K. On pourra donc prendre à volonté l'une 
de ces fonctions, Q^ par Q3, par exemple, et K en résultera sans difficulté 
par de simples quadratures. Mais si l'on peut ainsi satisfaire d'une infinité 
de manières aux deux dernières équations (4), il faut vérifier la première 
et la difficulté de la question consiste à diriger le calcul de manière qu'on 
puisse atteindre ce résultat. 

Dans ce but, je suppose qu'on ait obtenu pour Q^, Q^ et K un système 
de fonctions propre à vérifier les équations dont il s'agit. Comme ces équa- 
tions sont linéaires, il est clair que, pour avoir toutes les solutions dont 
elles sont susceptibles, il suffit d'ajouter au système connu la solution 
générale des équations homogènes que donne la suppression des termes 
tout connus. D'après cela, j'admets qu'en faisant usage du principe de 
Derichlet et de la fonction de Green, ou par tout autre procédé, on ait 
déterminé les fonctions potentielles d'espace qui correspondent aux fonc- 
tions déterminées pour la surface par le calcul indiqué et, pour simplifier, 
je les désigne encore par Q^, Q, et K. Prenant ensuite U, V, W pour les 
expressions inconnues des composantes de déformation à déterminer pour 
tous les points du corps élastique, je pose : 



U = Qi- 



to, 



X+u. d 



(14) l V = Q,^ + or,-^^^^-[^(Q,+ 



W 



■^^±^^-^1^^^ 



et je déduis de ces formules les équations analogues à celles qui viennent 
dêtre considérées. Comme U, V, W doivent, par hypothèse, se changer à 

13* 



194 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

la surface du corps élastique, respectivement en u, v, w, on aura pour 
résultat du calcul, après avoir efTacé ce qui se détruit : 



(^ + !^) 



\ r ch/ dx 



f/o)j 



+ 



dy dx dy dx' 
dq^ dqs dqs dq^ 



(15) 



(^ + I-) 



dii dx 



dq, 
doi 



dx diildoi. 

y- — X ■ 



dq^ dq^jdqs 

dy dk dji dk 
dq-idq^ dq^dqs_ 



0, 



. dqa 



Iq,] dq 



+ 



dx du 



C?w„ 



+(X+3i.) 



dy dx dy dx 
jlq^ dq.;, dqs dq.,_ 



'>\-{-Q^-\-i^) 



_ dq^ dq.,]dq., 

dx dk dx dk' 
dq^dq^ dq,dq., 



= 0, 



dx rftoj dx diû^ dy dw^ dy dw^ „ 

dqs dq., dq^ dq^ "^ dq^ dq^ dq^ dq^ 

Quant aux équations (4), si, pour simplifier on pose : 



X+ix 



2(X+2f.) 
(16) \ - d^ *- 



_ dQ^ d\i . dx.^ \ "o n 



dq, 



dq, dq, dq. 



dy_ 

dq. 



dx , 

dq. 



, dz dx ^ , dy . dz ^ _^ 

dq, dq, dq, dq. 



dx dy . dz dx dy , ^^ v _ /^ 

dq^ dq^ ' ' dq^ dq^ dq, dq, 

relations d'où on déduit immédiatement, pour la détermination de ç, -/i, C: 



(17) 



dx 



,2 dy 



, dz 



h\ ^ H, •/] =r li\ -^ H, X, = h\~^; 



dq, "' ■' "' dq, ' ' dq, 

elles donneront comme résultat de la même substitution : 



2(X + 2jx) 



ddi, dw^ dk dx , dy 



dx . ^ , dy dz 

dq, dq, dq. 



>. + IX 



(18) 



2(X + 2(.) 



X + [x 



dw, do) 

x-^-\-y 



1>{l + 2;x) 



X 



dq. 



do\ 



dk dx dy ' 

1 — \~ :ï — r T- ^'^1 + x" "^2 
dq., dq^ dq^ dq. 



dx dy 

dq., dq, 

di-o, . dk . dx 



_ dq, 



...... ^.. „„ dy 



dq, dq, dq^ 

dx dy 

-1— ^h + -r- «ï- 
dq, dq. 



dq, 



OJ, 



E. FO?{TANEAU. — SUR LA DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 19o 

On voit que ces nouvelles équations correspondent à un problème qui 
ne diffère du problème d'abord posé que par les conditions : 



(19) 



M = 0, N = 0, 






auxquelles il y a lieu maintenant de satisfaire, la quantité L pouvant d'ail- 
leurs être quelconque. La signification géométrique de ces conditions est 
très simple; car, en vertu des relations (8) et (12), on voit que la compo- 
sante de rotation normale à la surface du corps doit être alors nulle pour 
tous les points de cette surface et que si l'équilibre d'élasticité venait à être 
rompu, le déplacement d'un quelconque de ces points se ferait suivant la 
normale. Réciproquement, lorsque cette dernière condition est satisfaite, il 
en résulte en vertu des égalités (12) ; 



M = 0, N = 0, et par suite 



dq^ dqs 



0. 



4. — Pour arriver à la solution complète du problème proposé, il suffit 
donc d'intégrer les équations (18) auxquelles on peut ajouter les suivantes 
qui en résultent immédiatement, ou bien encore se déduisent en vertu des 
relations (19) des équations (6) : 



dx d 



(O, 



m { ir 



dqi dq^ 
dx d(ù. 



dx dojj dy d 



Wo 



dy d 



co„ 



dq^ dqs 
dx doy, 



dq^ dqy dq^ dq^ 

dx d^i dy d(i}^ 
dqs dq^ dq^ dq^ 

dx rftoj dy doy^ 

~ + XT' 



dq^ 


dq, 


dy 
dq. 


do)^ 
dq. 


dy 


ddi^ 



dq^ dq^ dq., dq.^ dq^ dq^ dq^ dq^ 



rfH 

dq^ 

d^ 

dq^ 



= 0, 



où H a la même signification que dans les égalités (16) et (17). 
De ces équations on déduit ; 



dy(.m_ 
dq^ dq-i 



dx rfH 

dqz dq^ 



dy dU 

dqs dq^ 



dx dH 
dq.^ dqs 



dx dy dx dy 1 d 
dq., dq^ dqs dqjdq^ 



'- + 



dx dy 



dx dy 
dqi dq 



3J 



di)}^ 



dq. 



+ 



d 



(û. 



dx dy dx dy 
Jqidq^ dq.idqy\dq^ 



' dx dy 
Mi d<ïs 



dx dy 
dq-i dq^ 



dqi 



dx dy 
dqs dqi 



dx dy 
dqi dgs. 



dw^ 
dq., 



dx dy 



V dx dy 

\dqi dq^ dq^ dq^_ 



Iq^ ' 



196 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

et en ayant égard à l'identité : 



(21) 



' dx d]! 
dq^ dq, 

+ 



dx dy' 
dq, dq^, 
dx dy 



-+ 

dx dji 



dqi dq^ dq^ dq^ 



dx dy dx dy' 
dq^ dq^ dq^ dq.^^ 

yz 1 


dz 
dq^ 


_ dq^ "~ hjiji^ ' 





on aura pour déterminer les quotients difîérentiels de w^ etw^ par rapport à 



(22) 



d 

doi.j, 
dz 



7 = hjijh 



dx (/H dy d\\ 

_dq^ dq^ dq^ dq^ 

dx dW dx c/H' 

dq^ dq^ dq^ dq^ 



D'ailleurs, les équations (18 supposent les suivantes : 



(23) 



OJ, 



OJ, 









2(X + 2u) dx 

2(X + 2.a) di 

X + ij. d 

2(X 4- 2ix) Jz 



Xi» y + y «2 + f^]> 



et il résulte de la dernière 






(24) 



X 



f/Wj 



(/. 



7 + y 



d 



(0„ 



:(X + Î.) 



dy 



dx' 



X- î/ -7— 



m 



Iq, 



dz 
dy 



dx 

y-, — ^-r- 



— 2(X + 2f.)!; 



Les formules (22) et (24) font connaître à la surface du corps élastique 
les quotients difîérentiels par rapport à z de o>i, w^ et k et comme il s'agit 
de fonctions potentielles, on pourra les déterminer pour tous les points du 
corps; j'admets que ce calcul ait été effectué. 

Parmi les équations qui doivent être vérifiées, je considère maintenant 
les deux premières équations (15) ; on peut, en revenant aux coordonnées 
rectangulaires, le mettre sous la forme suivante : 



(>^+I-) 



dz 
dq. 



dis). , dio. 
X- — [-y- 



d 



to, 



dx 



dy 



dz 



dx dy , dz 
X- — ^y-r~-\-z-— 
dq, dq. 



dz 



(25) 



-(^ + 3îx) — co, + (X + .a) 



dq, 
dz dk 
dq, dx 



doi. 



dz 



dx dk 
dq, dz_ 



0, 



,, 1 . , dz 



t/c 



d 



to„ 



d 



Wo 



x- 



dx 



dy 



dz 



dz 



(^ + 3!^)^^-^.! + (^ + I^) 



dx , dy , dz 

x- — \-y-r--{-z-— 

dq, dq, dq, 

' dz dk dy dkl 

dq, dy dq, dzj 



d 



0J„ 



dz 



E. FO?«TANE.VU. — SUR LA DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 197 



et en remplaçant 



d. 



(/(Oj rfw^ 



dk 



dz ' dz d. 



et — par leurs expressions (22) et (24) : 



«91 



X 



do)^ 
dx 



do^i 



ddi^ dk 



+ y^ + ^-^ + 



:{l + lK)hihJls 



dij 



d:. 



J'dq^ dq,. 



dy ' ~ dz ' dx 
dy dH dy dii 



— (X + 3ii.)(0i 



dq^ dqs dq^ dq^ 



+y 



dx 
dq. 



dx dH dx dM 



dq^ dqs dqs dq^ 



- ^^ + 2^) S ^. 



d: 



dqy 



(^ + 1-) 



dwj , day^ 



., , C?o)2 , dk 
dx '^ dy ^ dz ' dy 



— (X + 3fx)t02 



' dx ^dz' 
dq^ dqi 



dx dE dx f/H 
f/^3 dq^ dq^ dq^ 

2(X + 2,)^C. 



dv 
dq. 



dy dK dy rfH 
dq^dq^ dq^dq^_ 



Ainsi on aura à la surface du corps élastique, en fonction des données 
<Ju problème les expressions, des quantités : 



et (X + \). 



do). , d(û. , doi. , dk 



dx ' "^ dy 
rfto» , dM„ , 



dz ' dx 



dx 



dy 



dz 



- (X -|- 3[x)(o^ 
- (X + 3iJ.)Q„ 



et comme ce sont des fonctions potentielles, on pourra les déterminer pour 
tous les points du corps; soit donc, en considérant wi, œ^, et k comme des 
fonctions potentielles d'espace : 



(> + î-) 



(26) 



do). , do). doy. dk 



d'où il résulte : 



dx 
disi. 



dy 
doi. 



, ^^., , dwn dk 
dx ^ "^ dy dz dy 



(27) 



(X+3[x)a)i — (X + fx) 



(X + 3îxK-(X+^.) 



do3. , dk 

^~i — H7- 
dx dx 



— (X -f- 3,a)co, r=i — IIi, 

— (X -|- 3|x)a)2 = — lia; 



diù, , dot, 

T+y- 



y- 



dti)^ dk 



dy dy_ 

substituant ces expressions dans les formules (23), il vient 

d(x>y dwy 

~d^'^y~dy 




n, + (X + ix) 
n, + (X -f ^) 



lis 

doi 



= 2(X + 2..)^ + (X + |x)y 



d 



0J„ 



(/; 



'-+xp 
; dx 



dx 



2(X + 2^a)-o + (X + ^.)x -^ ; 



198 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

par suite : 



(X + [^) 



(28) 



ch 



n, — 2(À + 2:x)^ + (X + .a 



doii 



dlÙy 

dx dy _ 

- n, + 2(x + %ij.rq - a + y.)s 



d: 



1z 



X 



et on pourra déduire de l'une ou l'autre de ces égalités l'expression générale 

de ^ _^. soit donc, pour tous les points du corps élastique : 
dx dy 



(29) 



d 



(0„ 



do)^ 



dx dy 
On aura, par les égalités (27) et (23) : 



R. 



(X + 3{x)a)i — (X + [J; 



diti. . dui., , dk 
dx ' dx dx 



n^ - (X + [x) 



(30) 



dz 



-yR 



2(X + 2îx)^, 



(X + 3iJ.yo, - (X + î..) 

doi 



do), , c?co„ dk 
x^ + y-jT + :77. 



= n, 



(X + [-) 



(/^ 



dy 

— xn 



dy dy 

2(X + 2u)-ri 



f/wj C?( 



w„ 



Si on substitue dans ces relations les valeurs obtenues pour — et -^, 

on en conclura les expressions de l et de r, pour tous les points du corps 
et î: résultera par la même substitution de la troisième formule (23). 

On peut d'ailleurs observer que la quantité R résulte aussi plus simple- 
ment de la formule : 



(31) - 



dx do)^ dy f/ojj dz 
dqi dz dqy dz dq^ 



d 



0>„ 



dx 



dy _ 



= 0, 



qui n'est autre chose que la dernière des relations (20) mise sous une autre 
forme. 

5. _ Par ce qui précède, on voit que l'intégration des équations aux 
dérivées partielles de la déformation des corps isotropes en équilibre d'élas- 
ticité, lorsqu'on a pour données les déplacements u, v, w à la surface du 
corps élastique, peut être effectuée par une application de la méthode 
usitée pour déterminer les conditions de l'équilibre calorifique, ou de l'at- 
traction des corps dont l'action mutuelle s'exerce en raison inverse du 



E. FONTANE-Vr. — SLR I.A DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 199 

carré de la distance. Cette proposition n'est démontrée que si la surface du 
corps considéré appartient à un groupe de surfaces orthogonales; mais il 
est à croire qu'on pourrait aussi l'appliquer à une surface quelconque, en 
prenant pour système de coordonnées curvilignes une série de surfaces de 
niveau parmi lesquelles soit comprise la surface du corps et les deux 
groupes de surfaces qui coupent orthogonalement chacune de celles dont 
se compose la première série. (Abbé Aoust, Analyse infinitésimale des 
courbes dans l'espace, p. 547; Mathieu, Théorie du potentiel, i"" partie, 
ch. IV, p. 103.) 

Ce résultat ne paraît pas sans importance pour la théorie de l'équilibre 
dès corps élastiques ; mais, au point de vue de l'application, il est à 
craindre qu'on ne puisse en faire usage à raison d'une ditriculté spéciale. 
Il est, en général, impossible d'obtenir par l'observation les composantes 
de déformation u, v, iv à la surface; car, outre la difficulté de les déter- 
miner en rapportant à sa forme primitive les modifications subies par la 
surface du corps élastique, le calcul suppose infiniment petites ces quan- 
tités et, si on avait un moyen quelconque de les mesurer directement, il 
est à craindre que les erreurs d'observation ne fussent du même ordre 
de grandeur que les quantités elles-mêmes. 

C'est sans doute à cause de cette difficulté que les fondateurs de la 
théorie des corps élastiques ont préféré prendre pour données à la surface 
du corps, non plus les composantes de déformation u, v, te. mais les 
composantes suivant les axes des coordonnées rectangulaires de la force 
extérieure appliquée en chaque point de la surface d'oîi résulte la dé- 
formation du corps élastique et le maintien de son équilibre. On peut, 
au moins dans certains cas, arriver à la solution de ce problème nou- 
veau, par la méthode précédente en s'appuyant sur une proposition que 
j'ai démontrée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques. 

Si on désigne par F, G, H les composantes de la pression ou traction 
rapportée à l'unité de surface qui agit en un point quelconque {x, y, z) 
d'un corps en équilibre d'élasticité sur l'élément d'aire normal au rayon 
vecteur p, ces composantes devront, comme on le sait, vérifier les égalités: 

l Fp = X6a; -f 2[xnw -f 1\>.{y?z — -=2), 

(32) \ Gp = mj + 2iJ.nv + 'l'jJzpi — xp,), 

Ho = Uz -^ 2^niv -{- 2u.{xp^— yp^). 



ou pi. p,, p3 



désignent les composantes de la rotation élémentaire et n le 
degré des fonctions m, v, iv supposées homogènes. Or, il est aisé de 
s'assurer et c'est la proposition dont il s'agit que si, pour simplifier, on 
désigne les premiers membres de ces égalités par ?, /, •]/ respectivement, 



200 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

ces fonctions devront, en vertu des formules (1), véritîer les trois équations 
aux dérivées partielles : 



(33) 



(3^ + 2a) A> + 2(X + !.)(n - 2) ^ =r. 0, 

(3X + 2ix)A^^ + 2(X + i.)(n _ 2) ^ = 0, 

m + 2i.)AV, + 2(X + a) {71 _ 2) ^ ^ 0, 

dz 



où T est une quantité définie par l'égalité 
(34) 
On a d'ailleurs : 



-|+| + l = <3^ + ^^)«- 



(34) 
bis 



dy 

dz 

d'\> 
dx 



d<]^ 
dz 

dx 

dy 



1 



3X + 2[j. 
X 



L dy 



dz dx 

-y-dz 



dx 

SI + 2;j. l dz " dx 



1 



dz 



dx_ 
Ix 

dx 



y n(* 

3X + 2a L dx dy_ 



+ 2[x(îi — l)p„ 

+ Mn - l)p 
+ 2jx(n — l)p3, 



25 



où, comme dans les relations précédentes on admet toujours que 9, -f , / 
sont des fonctions homogènes du même degré n. 

De là résulte cette conséquence : il suffit, pour assurer l'équilibre 
d'élasticité d'un corps isotrope dont les coefficients d'élasticité A et [x 
sont connus, des forces F, G, H définies par les égalités (32) et agissant 
à la surface du corps. Il en est donc de ces forces comme de celles 
qui seraient appliquées, comme on le suppose d'habitude, aux éléments 
superficiels du corps élastique pour le maintien de son équilibre inté- 
rieur. Ni l'un ni l'autre des systèmes de forces dont il est ici question 
ne peut se déduire aisément des forces effectives que l'élasticité met en 
jeu aux points de contact des corps. Il semble cependant que cette 
détermination serait moins facile pour le système sur lequel je crois 
devoir appeler l'attention que pour celui dont on suppose habituellement 
la connaissance. 

Pour ce motif, je me bornerai à indiquer la méthode d'intégration 
qui résulte du théorème énoncé pour le cas où le corps élastique est 
une enveloppe sphérique dont le centre est à l'origine des coordonnées 
rectangulaires, parce qu'alors les deux systèmes de forces extérieures 
dont il vient d'être question se confondent en un seul. 



E. FONTANEAU. — SUR LA DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 201 

6. — On satisfait généralement aux équations (32) en posant : 



2(X + iJ.)n — X — 2fx dz 



ou ûi, ^2 désignent des fonctions potentielles homogènes de degré n 
et K une fonction potentielle homogène du degré n -\- i. 

Conformément à cette hypothèse, 9, '\>, y ne peuvent être que des 
fonctions homogènes du degré w, ce que, d'ailleurs, on ne peut constater 
a priori par les données. 

Mais, pour traiter d'abord ce cas simple, j'admettrai que l'on sait 
d'avance tel devoir être le résultat du calcul. Si on passe des coordon- 
nées rectangulaires aux coordonnées polaires en posant : 

(36) a? =: p sin 8 cos v ?/ r:^ p sin 8 sin u ^ = p cos S 

on n'aura qu'à faire l'application des formules démontrées plus haut en 
y remplaçant X -f ;x par 2(X -f jx) {n — 2), X + 2;ji par 2(X + [x)7z — X — 2[x, 
enfin X -f- Sfx par 2(X + ix)n + 2X. D'après cela, il vient par les équa- 
tions (4), les suivantes : 

(X + [x)(n— 2) dp 
2(X 4- fx)n — X — 2;x J^ 
=1 sin cos f (Qj — 9) + sin sin v (û^ — •]/) — cos 5;( 

(X + ^)(n-2) dp 
(3") { 2(X -f- ix)ii — X — 2(x f/8 

= p cos 8 cos v{Qi - o) -\- p cos 8 sin v (Q^ — ']>)-{-? sin ^x 

X -f t^) (n — 2) dp 
2(X + [j.)n — X — 2[x dS 
z= — p sin 3 sin v{Qi — 9) + P sin û cos viQ^ — '}), 

et, suivant la méthode employée, il y aura d'abord à chercher une solu- 
tion particulière des deux dernières, auxqueUes il faut ajouter la suivante : 

— p sin 8 sin u -1^ p cos 8 cos v ^ p sin o cos v —— 

^ do dv ^ dà 

^^^^ ^ , . di\ dN f/M 

— p cos 8 sin V -3— = -^ -7— 

' dv dà dv 



41 



202 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

en posant : 

/3gv i N = — p sin s sin Dcp -|- p sin o cos v]» 

) M = p cos Vù cos 9 -[- p cos 8 sin V'\> — p sin 3/. 

On peut substituer à cette dernière équation celle-ci : 



dQ 



clQ^ 



(40) 



-^ i7 + yiri + ^ 



d 



d: 



dQ, 
dx 



X 



+ y 



d'^ d/ 
dz dx 



+ 



m, 

d'\i d'^ 
dx dy 



dy 



d'Y 



dont les deux membres se réduisent chacun à une fonction potentielle, 
et par conséquent la quantité : 



1 



(41) 



r sin 



dû 



dW 
dv 



d(f) cos f/cp 

= Sm V -ri- : r COS V V" 

dù sm dv 



d<l cos ô . d'I dy 

-+- cos V -r- : sm v -~ -{- -r: 

do sm ô dv dv 



on désignant par r le rayon de la surface du corps, devra être une fonc- 
tion sphérique d'ordre n. On cherchera la fonction potentielle d'espace 
correspondante et pour Qj, Qg deux fonctions potentielles homogènes 
propres à vérifier l'équation (40). Enfin, on déterminera K pour la sur- 
face de la sphère au moyen des deux dernières équations (37) et on en 
déduira la fonction potentielle, homogène et du degré n -f- 1, qui corres- 
pond à cette valeur de K. 

7. — Après avoir ainsi déterminé un système de trois fonctions poten- 
tielles Qj, Q^, K, on posera, conformément aux formules du n° 3 : 



H 



X-ffx)(?i — 2) d 



- [xa, -f yQ, -\- K] 



(42) { " 2(X 4- [x)n — À — 2 p. dp 

sia cos v(Qi — 9) — sin sin v{Q^ — ■];) -|- cos 3;^, 

i = sin 8 cos vE -q = sin 8 sin vR ^ := cos 8H 

et les équations à intégrer deviendront : 

/ (x_|_^)(,j_2)-[a;(Oi + 7/a>, + /.•] 

: [2(X-1- }x)n — X — 2;j.] [sin 3 cos y (wj — ;) + sin 3 sin u(w2 — -q) — cos ZQ , 

(X + [x)(n — 2) - [XLO, + yo,, -f /.■] 



(43) 



= [2(X -f- |x)n — X 



2a] [r cos cos fcoi -j- r cos 8 sin voi^], 
d 



dv 



[Xi»^ + yto, + k] 



[2(X + ij.)n — A — 2{ji] [ — r sin 8 sin voi^ -\-r sin 8 cos via^]. 



E. FOXTAKEAU. — SUR L.V DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 

On en déduit, d'après les formules (22) : 



(44) 



"rfj 
du)^ 
dz 



1 



7' SUl 
— 1 

r sin 



, . f/H . , (/H 

cos s sin V sin ô cos v — - 

dv dû 

... rfH , ^ dW 

sin 8 sin V \- cos o cos v — — 

ao au 



203 



égalités dont les seconds membres devront être dans le cas actuel des 
fonctions sphériques d'ordre n — 1 et il sera facile d'en déduire les 
valeurs des premiers membres pour tous les points du corps élastique. 
Ayant ainsi déterminé ces deux fonctions potentielles on en déduira 

-j T- en faisant usage de l'équation (31) et on pourra môme obtenir 

—, — r- au moyen de la formule : 

dx dy "^ 



(4oj 



-f 



dx ^ dy ~J l 

d^oy^ f/^o)^ rf^coj 

dxdy dz"^ dx'^ 



d'^oi^ 



(/'-03i d' 



0), 



dxdy dy'^ dz"^ 



dx 



dy-V 



rf\Oi 



f/^co„ 



+ T. 



dzdx dzdij 



dz 



qui suppose seulement que w^ et w^ soient des fonctions potentielles. 

Les trois fonctions l, r^, K doivent vérifier les équations aux dérivées 
partielles : 



(46) 



(3X + 2a)A^; + 2( À -f- y.) (n — 2)-—=0, 

dx 

(SX + 2îx)A-r. + 2(À + y.)(n^2) ~ = 0, 



(3a + 2a)A^^ + 2(X + y.) (« — 2) 



dz 



0, 



où T est donné par l'égalité 



rf; , cZ-fj , rfC 



(^^) ^ = ;^ + ;7;^ + t: = 



3X + 2a 



dx dy dz 2(1 -\- ij.)n — a — 2a 



da? dy 



Ainsi, on connaît d'une part, à la surface du corps élastique, les quan- 
tités ;, Tj, l et par suite des calculs qui précèdent pour tous ses points 
A*;, A^Y), A"^^, et la question à résoudre se trouve ainsi ramenée à un pro- 
blème dont la solution dépend du théorème de Green et de la fonction à 
laquelle on a donné le nom de cet illustre géomètre. 

On peut, d'ailleurs, continuer l'application de la méthode telle qu'elle 
est exposée dans ce qui précède et on arrivera ainsi à déterminer, pour 
tous les points de l'enveloppe sphérique, les quantités ;, v], Ç ; après quoi 



204 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

on obtiendra les valeurs correspondantes de u, v, iv en faisant usage des 
formules (32), (33) et (34). 

Ce mode d'intégration des équations (46) se trouve en défaut dans le 
cas particulier oîi l'on a : 

2(X + [jL)n — X — 2fx = 0, 

c'est-à-dire où le degré commun d'homogénéité des fonctions l, -q, Ç est 
égal à : 

W . 2(X-fix)-^ 2(X + a* 

Mais alors on a : 

(48) 3X-f2[x-[-2(X4-[jL)(n — 2) = 
et les équations à intégrer se réduisent à : 

dr dr . „^ dr 

(49) A.Ç=^ A',=^ A'C=^. 

où, en vertu de l'égalité (34), t désigne encore une fonction potentielle. 
Par suite, on aura: 

(50) Ç = |'+^l . -1=1^ + ^2 ^==^^ + ^3' 

où Qj, ^2» ^^3 désignent trois fonctions potentielles, et comme le degré 
commun d'homogénéité des fonctions ç, t), l, est connu, on aura à la sur- 
face de la sphère : 

dl _ X-f 2[x l d^ __ X -f 2ix Yi cK _ X-f2p C 

(^*) Jç ~ 2(X + [x) p f/p ~ 2(X -f i^j p rfp ~ 2(X + [X) p ' 

ce qui permettra de calculer t et d'obtenir, pour tous les points du corps, 
d'abord cette quantité, puis les trois fonctions potentielles Q.^, Q.^, Q,^; après 
quoi, on aura par les égalités (oO) les expressions générales de l, -/], (^. 

8. — Dans le cas où les quantités 9, «j'» X seraient quelconques, la 
méthode pourrait encore être appliquée conformément aux principes qui 
précèdent. La quantité: 



1 



/■ sin 8 



•^_ (M 
do dv 



peut alors être développée en une série convergente de fonctions sphériques, 
et pour chacune de ces fonctions, on aura à déterminer les fonctions poten- 



E. FONTANEAU. — SUR LA DÉFORMATION DES CORPS ISOTROPES 205 

tielles correspondantes et prendre ensuite, pour les expressions générales 
de Qi, Q^, la somme des solutions obtenues. Des deux dernières équa- 
tions (37), on déduira ensuite les différentes valeurs de : 



(l + ^) {,1 - 2) 
2(A 4- ^)ii — À ~ 2[x 



P, 



et de p, ce qui permettra d'obtenir K par une somme de résultats partiels, 
comme on a fait pour Q^, Qa- 

Après cela, on pourra calculer H, conformément à son expression déduite 
de la première des égalités (16), en y remplaçant X -f- !-«• et X -f- 2[j(. respec- 
tivement par 2(X -}- [J-) (n — 2) et 2(X -f jjt.)n — X — 2(x et former les équa- 
tions : 



(S2) 



(X4-aXn-2,) d 
Lu. Clù 



^ ^ 2(X -h \^)n - X 
sin 8 cos i)(ojj — ^) + sin 5 sin v(a)2 — •/;) — cos oS;. 

^ r cos cos vto^ -j- r cos ô sin vl.^^. 



(X + [x)(n 



z: [^'^i + y^'z + '^-J 



2(X + ij.)n — X — 2iJ, (/y 

= — r sin 8 sin f Wj — r sin 8 cos î;(C2. 



De ces équations on déduira, comme plus haut, les expressions de — — ^ et 

dz 

dio„ . d(jy„ diOf doi, , dii)„ ^ 

-7— et puis celles de -^ ~ et — — H — r-^. Ces expressions se rédui- 

dz dx dy dx dy 

ront sur la surface à des séries de fonctions sphériques et, pour chacun des 
termes de ces séries, on pourra calculer les seconds termes des premiers 
nombres des équations (46), ce qui permettra de déterminer les expres- 
sions générales de ;, -/i, C en faisant usage du théorème de Green. 
On peut aussi suivre le procédé employé au n*' 4, et déterminer d'abord 

dix 

— en faisant usage de la formule (24) qui, dans le cas actuel, devient : 



(*3) 



2à %i 



X-f ,a)(n — 2) dk^ 
2!x d:: 



-2 



2(X 4- ij.)n — X 
(X + ;..) {n '- 2 
2(X + {x)/i — X — 27. 






-?, 



où on peut considérer le premier terme du second membre comme une 
fonction parfaitement déterminée et connue qui, sur la surface du corps 



206 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉGANIQUE 

élastique, se décompose en une série convergente de fonctions sphériques. 

Après cela on obtiendra, d'une manière analogue, les expressions 
désignées par U^, U.^ et, en faisant usage des formules correspondantes 
aux égalités (30) et de la formule (53), on aura sous forme de séries les 
expressions générales de c, '/;, ^. 

D'après une observation faite plus haut, on pourrait craindre que le 
calcul ne fût en défaut dans le cas oîi la relation (48) aurait lieu. Mais 
cette objection ne peut être faite si on admet, conformément à l'usage 
généralement adopté, que tous les développements en séries de fonc- 
tions sphériques peuvent s'effectuer en fonctions sphériques d'ordres 
entiers. 

En résumé, on voit que cette méthode dépend des mêmes principes 
que la méthode exposée par MM. Thomson et Tait dans leur savant 
Traité de Philosophie naturelle ; mais on doit la considérer comme plus 
simple, en ce qu'elle évite l'emploi de calculs à effectuer sur des fonctions 
dont le degré d'homogénéité n'est jamais parfaitement défini. 



La proposition qui résulte de ce travail peut être généralisée d'une 
manière très simple. Il suffit, pour cela, d'observer que des équations : 



u 



Q, 



{l) {v=a,- 



w 



A-\- IJ. 


2(X -1- 2,u) 


^ "h [^ 


2(X -1- 2p.) 


X -|- fX 



2(X + 2,.) 



dp dq^ dp dq^ dp dq^ 

dq^ dx dq^ dx dq^ dx_ 

' dp dqi dp dq^ dp dq,^ 

_dq^ dy dq^ dy "•" dq^ dy 

dp dpi dp dp 2, dp dg^ 

jlq^ dz dq^ dz dq^ dz ^ 



on conclut, pour un système quelconque, orthogonal ou non, de coor- 
données curvilignes, les formules : 



"2(X + 2;..) 



dp 
dq^ 

dp _ 2(X -{- 2;ji) 
dq, 

dp 
dq. 



i^) il^ = 



X + fx Idq^ 



dx 



X -|- [J"- idq 



dx , 



("i 



2(X + 2;.) 



dx , 
X + [/. \dq. 



, , dii ,^ , dz 

N , f^V ,. X dz 



10 



Si, en effet, après avoir conservé à qi, q^, q^^) hi, h^, h, leur signi- 



E. FOiNTAJNEAU. SUR LA DÉFORMATION DES COHl'S ISOTROPES 207 

fication générale, on désigne par n^, n^, n.^ les normales respectives aux 
trois surfaces q et que l'on pose pour simplifier : 

dx ' di/ dz 



(3) 



|(a.-„) + |(a.-„;-%„ = A. 



è(û,-«, + :^(Q,-«)-^» = A. 



dx 



dz 
dz 



on aura par les équations (1) 
dp 



dp 



h\ -— -\- hji^ cos (rii, n^) \- hJi^co& (n^, n^) — - 



dp 2(X+2[x) 



dq, 



dp., 
dp .dp 



(4) { h.JiiCOs{n^,ni)- \-ht- \-h^hs cos {n^,n^) 



dqi - dq^ 
dp 



dq^ X -|- [A 
dq^ X + [j. 



Al, 



A21 



dp , ^^dp 2(X+2^) 



h.Jii cos (n^, n^)- \-h^h.,cos{n^, n^)- [- A^ -7—=: 



dq^ 



dq^ ^dqs a -\- [/. 



Désignant ensuite par D le déterminant de ces équations et ayant égard 
aux égalités : 

dx , , , , . dx , , , , , dx dq^ 

^'^ ^ + ^^''^ '^' ^^- ''^^ ^ + ''^^'^ '^' ^^'^' ^^^ ^ =^ rf^ ' 

,^,, / , , , . dx . j2 dx , ^ , , . dx dq^ 

(3) { KK cos («„ „.) 5^ + A, _ + h,K cos („„„.)_ = _, 

, (/a; , , , , . dx , ^^ dx dq^ 

h A cos K, n,) - + M. cos K, ^,) _ + /,3 _ = —, 

et à celles qu'on en déduit en y substituant à x, successivement y et z. 
on obtient : 



,^ , dp ^ 2(X + 2t.) j_ 
^^ ^ d^i X + a 'D 



Al hji^ cos (Wi, n^ hji^ cos (n^, Wg) 
A., hl h^ha cos (n^, Wg) 

A3 /«g/îj cos (ng, n^) ^^3 



d'oîi il résulte immédiatement par les propriétés connues des détermi- 
nants la première des formules (2) ; les autres se démontreraient de la 
même manière. 

D'après cela, il suffirait, pour déterminer les expressions générales de 
u, V, w, de connaître leurs quotients différentiels par rapport à q^, </g sur 
la surface ç^ = 0, car on pourrait alors faire disparaître des deux der- 
nières équations (2) les termes tout connus et résoudre les trois équations 
résultantes par la méthode employée. 



208 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 



M. E. EITTEU 

Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, en retraite, à Pau. 



LA TRIGONOMETRIE DE FRANÇOIS VIETE 



— Séance du 20 septembre 1892 — 

L'invention de l'algèbre moderne n'est pas le seul titre de François 
Viète à la reconnaissance de la postérité : il en a acquis un autre par ses 
travaux sur la trigonométrie ; cependant les services qu'il a rendus sous ce 
rapport au monde savant sont peu connus, quoique l'illustre astronome 
Delambre, qui fait autorité en pareille matière, lui ait consacré un chapitre 
important dans son Histowe de V Astronomie : « De tous les auteurs, 
dit-il, qui ont écrit sur la trigonométrie, Viète est, sans contredit, celui 
qui a montré le plus de génie, qui a fait les choses les plus difficiles et, en 
même temps, les plus utiles... Peu de personnes et nous-même avons 
longtemps ignoré les services éminents qu'il a rendus à la trigonométrie. 
Nous pouvons donc réclamer pour "Viète le système complet de trigono- 
métrie que suivent encore aujourd'hui les astronomes. » 

Un rapide exposé de quelques-uns des perfectionnements qu'il a ap- 
portés à la trigonométrie feront connaître une partie des services rendus 
à la science par le grand géomètre. 

Le premier, il a affranchi la trigonométrie de ses énoncés prolixes en 
présentant sous forme de tableaux, véritables formules, les relations 
entre les éléments connus et inconnus d'un triangle plan ou sphérique. 
C'est lui qui a le plus contribué par ses formules, à propager l'usage des 
tangentes et des sécantes, imaginées par Rheticus et dont l'invention a 
été attribuée à tort pour les premières, à Rheinhold, en ISol ; pour les 
secondes, à Maurolycus en iooS. 

François Viète a, le premier, construit une table commode donnant en 
regard les unes des autres la valeur des six lignes trigonométriques, de 
minute en minute, pour un rayon égal à 100.000. 

La construction de la table des sinus en était encore, sauf quelques 
perfectionnements par les Arabes, aux procédés de Ptolémée pour la cons- 
truction de sa table des Cordes. 



F. RITTER. LA TRIGONOMÉTRIE DE FRANÇOIS VIÈTE 209 

François Yiète ramena la recherche du sinus fondamental de une minute 
à celle de la longueur de la circonférence par la méthode des bissections 
successives donnée par Archimède. 

Il établit d'abord que si P et P' sont les périmètres de deux polygones 
réguliers inscrits d'un nombre de côtés égal à î\, si A est l'angle inscrit 
dans le cercle dont le diamètre D = 2R correspondant au côté du poly- 
gone, on a : ^ 



P 



- /\V' coséc \\ . I> _ /Wœïg 



En prenant pour point de départ le triangle équilatéral dans lequel 

1 

cos A = -, il calcule pour chacun des polygones obtenus par les bissec- 
tions successives, par des formules, qui n'exigent qu'une seule division, 
une seule extraction de racine carrée, de simples additions et soustractions, 
les valeurs de coséc ^A et de cotang ^A pal- excès et par défaut. 

Après dix-sept opérations il arrive aux polygones de 393.316 côtés et 
il obtient pour la circonférence du cercle ayant un rayon égal à 100.000 : 

314 lo9 '^'■'■> 36 



Cette valeur est donnée avec cinq décimales qu'il écrit en caractères 
plus petits et qu'il souligne, ou, en d'autres parties de son livre, qu'il 
sépare par un petit trait vertical, premier exemple de la numération des 
fractions décimales attribuée à d'autres venus après lui et qui lui appar- 
tient en propre. 

Pour la valeur du sinus de une minute, il s'arrête au polygone de 
6.144 côtés et il obtient ainsi : 

sin 1' = 29 0^3 819 :i9 

avec sept décimales. 

Pour la construction de ses tables, il emploie des formules expéditives 
parmi lesquelles je citerai : 

sin (60° + A) = sin A + sin (60° — A) 
tang (45° -\- -\ =i 2 tang A -f tang (4o° — Ç\ 

séc A = I tang ^45° + ^) + ^ tang (^45° - fj 



210 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE ET MÉCANIQUE 

Pour la résolution des triangles, je citerai encore : 

1 

''S sin A -j- sin B 

r~ ir ~ sin A — sin B 

tang^(A-B) 

Le Canon mathématique avec le Livre des inspections, comprenant : le 
premier, la table des lignes trigonométriques avec quelques tables acces- 
soires; le second, les formules pour la résolution des triangles plans 
et sphériques avec un grand nombre de résultats numériques calculés tous 
avec plusieurs décimales, fut publié en 1579. 

Pendant l'impression de son livre qui avait duré huit ans, François 
Viète avait jeté les bases de l'Algèbre nouvelle et en 1589, il avait cons- 
truit l'édifice tout entier et il avait ainsi trouvé le moyen de résoudre les 
équations générales du premier degré à plusieurs inconnues. Appliquant 
sa méthode à la seule formule de trigonométrie sphérique relative au 
triangle sphérique quelconque donnée par Albategni cà la fin du ix'^ siècle, 
qui permet de trouver les angles A, B, C, lorsque l'on connaît les côtés 
a, 6, c : 

cos a = cos b . ces c^ -|- si"^ ^ • ^^^ ^^ • ^^^ ^ 

il trouva la formule qui donne les côtés, en fonction des angles : 

cos A + cos B . cos D = sin B . sin D . cos A 

et toutes les autres fonnules de la trigonométrie sphérique qui permettent 
de résoudre un triangle quelconque sans être obligé de le décomposer 
en deux triangles rectangles. 

Par la comparaison des nouvelles formules ainsi obtenues, il fut conduit 
à découvrir les propriétés du triangle sphérique polaire ou supplémen- 
taire qu'il désigne sous le nom de triangle réciproque et à en faire usage 
lorsqu'il y a avantage à y recourir. Cette invention lui a été contestée 
par Delambre qui a été induit en erreur par une faute d'impression 
dans les figures du texte, erreur dans laquelle il ne serait pas tombé 
s'il s'était reporté au calcul qui se trouve au bas de la page. 

A la Trigonométrie de François Viète se rattache son traité des Sections 
angulaires. C'est un recueil de formules qui donnent sin nx et cos nx 
en fonction de sin x et de cos x, et tang nx en fonction de tang x. 
Les coefficients, dans ces formules, sont facilement déterminés par des 
additions successives des nombres figurés de diff'érents ordres. Il en est 



F. UITTER. — LA TRIGONOMÉTRIE DE FRANÇOIS VIÈTE 211 

de même dans la formule qui donne la corde C de l'arc simple en 
fonction de la corde C,^ de l'arc multiple nA : 

„ n _., n(n — 3) ,_,. mn — 4)(n — 5j _g 
^ "~ ï ^ + 1.2 ^ TO ^ + = ^-^ 

que nous traduisons avec nos signes modernes. François Viète a fait 
plusieurs applications de ses formules, entre autres celle pour trouver 
la somme des cordes des arcs croissant en progression arithmétique, 
partant de l'extrémité d'un diamètre en fonction de la première et de 
la dernière de ces cordes. 

Nous avons dit, dans l'exposé de l'Algèbre de François Viète, qu'il avait 
donné le moyen de résoudre numériquement les équations et de trouver 
la racine positive de ces équations avec un degré quelconque d'approxi- 
mation exprimé en fractions décimales. La corde de l'arc du cinquième 
et la corde du tiers d'un arc sont données par les formules : 

corde ^a — 5 corde ^a -f- S corde a = corde Sa 
3 corde a — corde ^a =z corde 3a 

Il cherche, au moyen de ces relations, le sinus fondamental de une 
minute. Par la division du rayon en moyenne et extrême raison, il trouve 
la corde de l'arc de 36°, et par une quintusection au moyen de la pre- 
mière des équations ci-dessus, la corde de l'arc 7" 12' = 2 sin 3" 36'; au 
moyen de la trisection de la corde de l'arc de (30" égale au rayon, il 
obtient la corde de 20°. et par une nouvelle trisection, la corde de 6° A(f 
égale à 2 sin 3° 20'. Au moyen de ces sinus, il calcule cos 3° 36' et 
cos 3° 20', et il trouve le sinus de leur différence ou sin 16'; enfin, par 
des bissections successives, il arrive au sinus de une minute. 

Je m'arrête ici dans ce rapide exposé, omettant un grand nombre de 
faits intéressants ; mais il suffit pour montrer que si François Viète a été 
l'inventeur de l'algèbre moderne, il a été également le réformateur de la 
trigonométrie ancienne. 



212 



GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 



M. BEEIIS 

Ingénieur des Ponts et Chaussf'es, à Mont-dê-Marsan. 



RACCORDEMENT PARABOLIQUE ENTRE DEUX ARCS DE CERCLE CONTIGUS 

DE MÊME SENS 



— Séance du 20 septembre i892 — 



I 



On connaît la parabole du 3« degré étudiée par Nordling (Ann. P. et 
Ch., 1867) pour le raccordement d'un alignement droit et d'une courbe 
circulaire de chemin de fer. 

L'équation de cette parabole, qui s'étend 
moitié sur l'alignement, moitié sur la 
courbe, est : 




y 



6P 



1 



FlG. 1. 



la courbure — en chaque point étant sensi- 
K 

blement proportionnelle au développement 

.11 

de Tare, ou pratiquement à l'abscisse — =: -x. 

Noi'dling a remarqué que de B en A la parabole s'écarte autant de l'arc 
de cercle déplacé, que de en F elle s'écarte de sa base OFX (ftg. /j. 



Il 

Je conclus de cette remarque qu'en négligeant l'inclinaison toujours 
faible des éléments de l'arc de cercle, et par suite la convergence des 
rayons, l'équation de la portion BC de la parabole, les abscisses étant 
prises le long du cercle déplacé BA, de B en A, et les ordonnées étant 
comptées normalement à l'arc, c'est-à-dire dans le plan vertical des profils 
en travers, n'est autre que 



y = 



X'' 



BEHNIS. — RACCOUDEMEM PARABOLIQUE ExNTRE DEUX ARCS DE CERCLE 213 

L'erreur relative, nulle pour l'ordonnée maxima AC, atteint au 
maximum 1 0/0; c'est dire qu'elle est 
en valeur absolue négligeable. 

De là un procédé très simple de cal- 
culer le déplacement latéral dans la ré- 
gion AB. 

On peut remarquer qu'en vertu de la 
généralité de la démonstration faite par 



Nordling, l'équation y 



6P 



,./B 



représente 



FiG. 2. 



également l'équation de la parabole de 

raccordement par rapport à l'arc de cercle au delà du 'point de tangence 

dans la région BD (fig. 2). 



III 



Nordling a traité également le problème du raccordement parabolique 
doublement osculateur de deux courbes circulaires de même sens, mais 
la solution qu'il en donne est très com- 
pliquée. 

Voici la solution pratique très simple 
qui résulte des observations ci-dessus : 

Soient deux arcs de cercle de rayon R 
et R' (R' < R) tangents en F'(fig. 3). Les 
arcs déplacés viendraient en AB, A'B'. 

Pour les raccorder par une parabole 
osculatrice, je considère tout simplement 
l'arc de la parabole ci-dessus, compris 
entre les points où les rayons sont R 
et R'. 

En vertu de l'observation précitée et 
sous les réserves précédemment indi- 
quées, l'équation de cette parabole par rapport aux deux cercles n'est 
autre que 




Fig. 3. 



Dans le cas où R devient infini, on retombe, comme on devait s'y 
attendre, dans la parabole générale. 



214 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 



M. BEEÎTIS 

Ingénieur des Ponts et Chaussées, à Mont-de-Marsan. 



SUR LES FONDATIONS A AIR COMPRIMÉ AVEC CHAMBRE EN MAÇONNERIE 

SUR ROUET 



— Séance du 20 septembre 1892 — 



I 



Dans les Annales des Ponts et Chaussées (1883), M. Séjourné a rendu 
compte du système de fondations à air comprimé avec chambre en maçon- 
nerie sur rouet, qu'il a appliqué à l'important viaduc de Marmande 
(ligne de Marmande à Mont-de-Marsan.) 

Il a fait ressortir ses avantages : économie de fer, bourrage plus parfait 
sous le plafond, partant massif inférieur plus homogène, enfin prix de 
revient par mètre cube notablement moins élevé, et il a conclu en expri- 
mant très catégoriquement sa préférence pour ce système sur le système 
ordinaire avec chambre de travail en métal. 

Il 

J'ai fait exécuter sept fondations de ce type pour les grands ponts à la 
traversée de l'Adour, sur la ligne de Condom à Riscle, et il m'a paru que 
les conclusions de M. Séjourné étaient sans doute trop générales et que 
son assertion sur le prix de revient définitif demandait, par suite d'une 
équivoque, à être rectifiée. 

Dans le système en question : 

1*" Le montage d'une chambre est une opération compliquée exigeant 
la présence successive des riveurs, charpentiers, calfateurs et maçons; elle 
demande un mois (au lieu de quinze jours) ; puis il faut laisser les maçon- 
neries un mois au séchage, d'où gêne possible dans certaines conditions, 
notamment au voisinage d'une rivière torrentielle; 

2" La descente sur vérins exige un matériel plus puissant et est beau- 
coup plus scabreuse; 

3° Le peu de hauteur du couteau est une gêne sérieuse pour l'enlève- 
ment des obstacles; 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 215 

4° Le périmètre étant plus fort, la descente est plus difficile; d'autre 
part, le vide de la chambre de travail relevant le centre de gravité, la 
descente est moins régulière; enfin la forme elliptique du massif pro- 
voque des girations, autour d'un axe vertical, très 
gênantes pour l'implantation (observées à Riscle); 

5° Le système ne se prête pas aux descentes brus- 
ques, parfois inévitables; 

6° Le massif inférieur est sur une grande hauteur 
hétérogène et la répartition des pressions sur une 
section horizontale s'y fait d'une façon inconnue ; 

7° Enfin, si le prix de revient par mètre cube est 
en effet de 10 francs environ moins élevé, il n'est 
pas la mesure de l'économie du système, en raison 
du cube parasite résultant pour la fondation de la forme elliptique de 
plus petite section entourant la base du fût, forme motivée par la néces- 
sité de résister aux poussées latérales du terrain. 

En ramenant la section des fondations de Riscle à la section des cais- 
sons du type ordinaire employés à Saint-Sever pour la traversée de la 
même rivière l'Adour, sur la ligne de Mont-de-Marsan à Saint-Sever, le 
prix de revient par mètre cube utile se relève de o4 fr. 74 c. à 63 fr. 91 c. 
L'économie apparente peut donc n'être qu'une illusion. 




M. le Colonel A. LATJSSELAT 

Directeur du Conservatoire des Arts et Métiers, à Paris. 



HISTORIQUE DS L'APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 



— Séance du 2/ septembre 1892 — 

Mes chers collègues, 

Je vous demande pardon de vous avoir dérangés de vos travaux pour 
venir voir ici la lanterne magique, mais le sujet que j'ai demandé de 
traiter devant vos trois Sections réunies, quoiqu'il soit déjà bien ancien, 
n'est peut-être pas, en France, aussi populaire qu'il le mérite. 

J'ai donc pensé qu'il pourrait être à propos, alors qu'il nous revient de 



216 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

l'étranger des symptômes multipliés de l'importance qu'on lui accorde, 
d'appeler l'attention des géomètres, des ingénieurs civils et militaires, 
des géographes et des voyageurs scientifiques, sur une méthode appelée 
à leur rendre les plus grands services, qui en a rendu déjà à quelques-uns 
d'entre eux, mais qu'il est devenu indispensable de vulgariser, dans un 
intérêt à la fois scientifique, pratique et patriotique. 

J'aurais pu inviter aussi la Section de Géologie, car vous avez vu hier, 
pendant la brillante conférence de M. Trutat, quel parti ont déjà su tirer 
de la photographie nos savants et intrépides explorateurs des Pyrénées. 
Je vous montrerai, dans quelques instants, que d'autres ont fait de même 
dans les Alpes, et je pourrais ajouter dans tous les pays pittoresques, 
dans toutes les parties du monde ; le terrain est donc bien préparé de ce 

côté. 

Les topographes se montrent également, en général, fort bien disposés 
presque partout ; seuls, nos topographes officiels, qui ont à leur disposition 
de bonnes vieilles méthodes (i), sont demeurés réfractaires jusqu'à pré- 
sent ; mais le mouvement qui se dessine et s'accentue chaque jour ne ' 
tardera pas à prendre des proportions qui finiront par triompher de 
toutes les résistances et par les entrahier comme les autres. 

Il y a, toutefois, lieu de craindre pour eux que, faute de s'y être pris à 
temps pour le diriger, ils en soient réduits à voir des gens, mal préparés 
à ce rôle, chercher à les remplacer et compromettre un succès qui eût 
été assuré entre leurs mains. 

Quant aux ingénieurs, il y a longtemps qu'ils ont recours à l.a photo- 
graphie, mais seulement pour dresser, en quelque sorte, les procès- 
verbaux de l'état d'avancement de leurs travaux, pour mettre en évidence 
les moyens de construction, les engins qu'ils emploient, pour conserver 
le souvenir de leurs chantiers, et quelquefois aussi, malheureusement, 
pour représenter les accidents qui ont compromis l'existence de leurs tra- 
vaux, ou même les résultats de quelque grande catastrophe. 

Je devrais citer, dans le môme ordre d'idées, les architectes, les météo- 
rologistes et même les hygiénistes que j'aurais dû également convier, 
car les uns ont à relever, dans certains cas, nombreux aux États-Unis 
où ce service fonctionne merveilleusement, les désastres produits par les 
tornados, et les autres auraient un grand intérêt à provoquer la construc- 
tion des cartes hypsométriques des grandes villes et des grandes agglo- 
mérations, pour y étudier les questions de drainage et d'assainissement. 
Puisque j'en trouve l'occasion, je dirai, à ce propos, que, dès 1851, 
l'année de la première Exposition universelle, pendant un voyage de deux 
ou trois mois en Angleterre, je fus très frappé de trouver, dans plusieurs 

(1) Très précieuses et qui vont sans cesse en se perfectionnant, mais qui ne doivent pas en 
empêcher d'autres de leur succéder en partie, ou, pour mieux dire, de les aider, de les compléter. 



A. L.VUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 217 

des villes que je visitais, des plans recouverts de courbes de niveau entre les 
mains de médecins et de pharmaciens, membres des Conseils d'hygiène, 
qui les avaient fait exécuter, souvent à leurs frais, et les appréciaient 
fort. Il y a déjà bien longtemps de cela, et je ne sache pas que cet exemple 
ait été beaucoup suivi chez nous. 

Par contre, j'ai le plaisir de voir aujourd'hui, au nombre de mes 
auditeurs, un délégué du ministre de la Marine, et j'en suis doublement 
heureux, d'abord parce que la méthode dont j'ai à vous entretenir est née 
à la mer, sur un bâtiment français, bien avant l'invention de la photo- 
graphie, et ensuite parce que ce dernier art s'est plié, depuis un certain 
temps, aux conditions si difficiles dans lesquelles se trouvent habituelle- 
ment les marins et les ingénieurs hydrographes pour lever et construire 
leurs plans et leurs cartes, ce qui pourra singuhèrement simplifier leur 
besogne (1). 

. Avant de vous montrer les documents que j'ai préparés, voulez- vous 
me permettre une digression, qui sera aussi une entrée en matières. 

En 1846 — veuillez bien retenir cette date, — j'avais été chargé d'étudier 
la frontière des Pyrénées occidentales et le projet d'une forteresse des- 
tinée à surveiller la nouvelle route de Bayonne à Pampelune. Les recon- 
naissances que je fis sur toute la frontière, dans le département des 
Basses-Pyrénées et dans une partie du département des Hautes-Pyrénées, 
me donnèrent l'occasion de faire des croquis de paysage qui me furent 
très utiles pour me rappeler ce que j'avais vu, quand j'eus à rendre 
compte de ma mission. 

Quant au lever de la position militaire de Cambo, par les méthodes 
régulières les plus expéditives que je connusse, il ne me prit pas moins 
de deux campagnes, pour l.oOO hectares au plus, si bien que l'avant- 
projet d'une double tète de pont sur la Nive, présenté en septembre 1848 
arriva trop tard, les événements de cette époque ayant attiré l'attention 
ailleurs. On jugeait, en effet, que le danger immédiat n'était pas du côté 
des Pyrénées et, au lieu de nous protéger nous-mêmes sur un point qui 
était et qui est resté l'un des plus faibles de nos frontières, on tourna les 
yeux du côté des Alpes, avec la généreuse pensée d'aller, au besoin, au 
secours de l'Italie. J'ignore si la question a été remise à l'étude, mais je 
souhaite vivement qu'elle ne soit pas négligée, car, je le répète, aucune 
frontière n'est plus mauvaise que celle de nos Pyrénées occidentales. 

Il faut bien croire que mes travaux topographiques avaient été appré- 

(1) Je n'ai pas voulu faire allusion à l'application, si simple d'ailleurs, dans des circonstances 
favorables, de la photographie au cadastre. Je n'aurais pu que faire observer, à propos d'une com- 
munication écrite, lue le matin même à la Section de Géographie (et déjà parue dans le numéro de 
la Reviie scientijlque du 20 août 1892), que son auteur avait omis de dire qu'il avait emprunté à des 
publications faites depuis longtemps le principe delà méthode dont il veut faire usage, en essayant, 
au contraire, de donner le change par l'introduction de raffinements graphiques matériels sans portée 
sérieuse et plus gênants qu'utiles. 



218 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

ciés, puisque, indépendamment des lettres d'éloges qu'ils m'avaient valu 
de la part du ministre, je fus appelé à Paris et attaché, au Comité des 
fortifications, au Service des cartes et plans. Eh bien, je n'hésite pas à 
dire qu'aujourd'hui le lever de la position de Cambo, qui devrait être 
beaucoup plus étendu qu'à l'époque dont je parle, pourrait être exécuté 
avec une exactitude très suffisante en beaucoup moins de temps, et que 
l'économie porterait principalement sur celui qu'il y aurait à passer sur 
le terrain. 

J'ajoute que mes reconnaissances sur la frontière eussent été infiniment 
plus complètes, plus instructives et plus exactes que celles qu'il m'était 
permis de faire, en parcourant le pays plus lentement que ne le font 
aujourd'hui les touristes les moins pressés (i). 

Je n'aurais peut-être pas autant insisté sur ce sujet, si nous n'étions 
pas précisément dans les Pyrénées, où je me suis avisé, dans ma jeunesse, 
de songer à chercher des méthodes topographiques plus rapides que 
celles qui étaient en usage et qui sont encore les mêmes aujourd'hui, à 
quelques modifications près dans la construction des appareils. 

Le but à atteindre se trouvant suffisamment défini, si je ne me trompe, 
examinons par quelle voie on y est parvenu. 

J'ai, dans ma bibliothèque d'astronomie, un vieux poème latin de 
Manilius, qui renferme quelques excellents aphorismes, au nombre des- 
quels se trouve le suivant, que Montaigne n'a pas dédaigné de lui em- 
prunter, et que j'ai pris moi-même pour épigraphe dans deux circonstances 
oîi j'avais besoin de le recommander aux autres : 

Per varias usus artem experientia fecit, 
Exemplo monsirante viam. 

Je n'ai jamais manqué, pour ma part, de rendre justice aux inventeurs 
qui m'ont précédé, mais je trouve tout à fait naturel de souhaiter que 
ceux qui sont venus après moi en fassent autant. Or, il me serait par 
trop facile de prouver que plusieurs d'entre eux se sont dispensés de ce 
soin, mais passons. 

C'est à l'illustre hydrographe français Beautemps-Beaupré qu'appartient 
l'idée féconde d'utiliser les vues pittoresques pour lever les plans. Cette 
invention date exactement d'un siècle, car elle fut faite pendant la cam- 
pagne de d'Entrecasteaux à la recherche de La Pérouse, de 1791 à 1794. 

Il est bon de rappeler qu'avant Beautemps-Beaupré, les ingénieurs 
hydrographes employaient déjà des vues de côtes, mais uniquement pour 
se diriger dans les passes et entrer dans les ports. 

(1) Peu de jours après la date de cette conférence, je recevais une brochure de M. le comte de 
Saint-Saud, intitulée: Conlribulion à la carie des Pyrénées espagnoles, dans laquelle j'ai vu avec 
plaisir que l'auteur avait commencé à se servir de ses photographies pour évaluer des angles. Je suis 
bien stir qu'il continuera et ira plus loin. 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AL LEVER DES PLANS 219 

L'invention du cercle à réflexion de Borda, qui permettait de mesurer 
successivement un grand nombre d'angles sans revenir au zéro de la 
graduation, comme il fallait faire auparavant avec le sextant, fît penser 
à Beautemps-Beaupré que ces vues de côtes, prises partout où cela serait 
nécessaire, pourraient servir de registres d'angles, et le succès de la 
méthode absolument nouvelle fondée sur cette simple remarque ne se fit 
pas attendre. 

L'ouvrage que le savant ingénieur publia en 1808, et qui fut réédité 
en 18H, était sans doute connu des hydrographes et des marins de tous 
les pays, mais il resta à peu près ignoré, pendant quarante ans, de^ 
topographes et des voyageurs scientifiques, et je ne crois pas m'aven- 
turer en disant que, même dans la marine, il y avait bien peu d'opéra- 
teurs qui voulussent s'astreindre à dessiner des vues de côtes pour y 
marquer les mesures angulaires assez multipliées que comportait le pro- 
cédé de Beautemps-Beaupré, qui lavait pourtant pratiqué lui-même et 
enseigné pendant un demi-siècle. 

Quoi qu'il en soit, en 184(), à propos d'un voyage effectué en Abyssinie 
par deux officiers d'état-major, MM. Galinier et Ferret, Beautemps-Beaupré, 
alors membre de l'Académie des Sciences, se plaignit, d'une manière 
générale, de ce que les itinéraires relevés par les voyageurs n'étaient 
pas accompagnés de vues développées sous forme de panoramas, qui 
préviendraient, disait-il avec grande raison, les erreurs si fréquentes occa- 
sionnées par l'ignorance des guides, et qui pourraient être consultés utile- 
ment dans tous les temps. 

Arago, chargé du rapport sur les travaux d'exploration de MM. Galinier 
et Ferret, mentionna cette recommandation expresse, et l'on pourrait 
dire prophétique, de son confrère. Ce rapport fut publié sous forme de 
notice dans V Annuaire du Bureau des longitudes pour 1846. 

Vous vous souvenez que c'était précisément à cette date que j'exécu- 
tais mes reconnaissances dans les Pyrénées, et vous ne serez pas surpris 
que la lecture de la notice d' Arago m'ait beaucoup frappé. 

Je commençai par me procurer le traité de Beautemps-Beaupré, et je 
reconnus aussitôt le parti que l'on pouvait tirer de la méthode qui s'y 
trouvait exposée en quelques lignes, mais de façon à ne laisser aucun 
doute sur son efficacité. Je ne saurais mieux faire que de vous lire le 
passage de cet ouvrage, qui en contient pour ainsi dire toute la philo- 
sophie : 

« Après avoir adopté, dit Beautemps-Beaupré, le cercle à réflexion 
pour mesurer les distances angulaires des points remarquables des côtes, 
et avoir reconnu la possibihté d'observer, au même instant, un très grand 
nombre d'angles, je jugeai qu'il fallait encore chercher le moyen le plus 
sûr et le plus facile de désigner les positions auxquelles appartenaient ces 



220 GÉiNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

angles, soit qu'ils fussent pris d'une station à la mer ou d'une station à 
terre. 

» L'emploi des lettres de l'alphabet et des chiffres pour désigner les 
objets qui n'avaient point encore de noms conduisait, il est vrai, au but 
qu'il fallait s'efforcer d'atteindre ; mais, en se bornant à ce moyen, l'on 
s'exposait à commettre des erreurs d'autant plus graves qu'il n'y avait 
pas à espérer de vérification, 

» Je crois avoir trouvé la manière (Véviter ces erreurs en faisant, a chaque 
STATION, UNE VUE DE COTE OÙ uon Seulement on indique par des lettres 
ou des chiffres les objets les plus remarquables, mais où l'on écrit les 
mesures des angles observés, ainsi que les gisements des pointes relevées 
les unes par les autres, l'estime des distances, etc. 

» Cette manière d'opérer, que j'ai constamment suivie, m'a procuré 
l'avantage d'avoir toujours sous les yeux, en construisant mes cartes, les 
objets tels qu'ils s'étaient présentés lors des relèvements, et bien souvent 
elle a servi à me faire reconnaître des erreurs qui s'étaient glissées dans 
les observations (1) ». 

L'ouvrage de Beautemps-Beaupré contient un grand nombre de planches 
dont je me contenterai de vous montrer quelques spécimens pour les vues 
développées en panoramas, sur lesquelles sont inscrits les angles mesurés, 
mais je lui emprunterai aussi la carte de l'archipel de Santa-Cruz, levée 
en quelques jours, en mai 1793, comparée, sur la même feuille, par l'au- 
teur, avec celle qu'avait dressée le capitaine anglais Carteret, en 1768, 
au moyen des relèvements à la boussole. On ne saurait, en effet, donner 
une démonstration plus frappante de la supériorité de la nouvelle méthode 
et des propriétés admirables des vues pittoresques, qui sont des témoins 
irrécusables en même temps que des guides faciles à consulter. 

Je n'avais guère besoin, pour ma part, d'être convaincu, et je parvien- 
drais difficilement à exprimer la satisfaction que j'éprouvai en voyant 
réalisée une idée qui m'avait traversé l'esprit, mais à laquelle je n'avais 
pas encore donné toute l'attention nécessaire. 

J'essayai aussitôt de l'appliquer en esquissant des croquis sur lesquels 
j'inscrivais des angles mesurés ou évalués par un procédé analogue à 
celui qu'emploient les artistes pour la mise en place des objets qu'ils ont 
devant les yeux, et je me souviens d'avoir, en 1848, pris des vues, fort 
médiocrement dessinées d'ailleurs, ici même, dans cette riante vallée 
d'Ossau que nous devons parcourir la semaine prochaine. 

Découragé, tout d'abord, par mon insuffisance artistique, je cherchai à 
y suppléer en recourant à un instrument que j'avais heureusement eu 
déjà entre les mains, la chambre claire de Wollaston. Un officier supé- 

(1) Méthode pour la levée et la construction des caries et des plans hydrographiques. Imprimerie 
impériale, 1808 et 18H. 



A. LAUSSEDAT. APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS S'a! 

rieur du génie, le commandant, depuis colonel Leblanc, pratiquait, à 
cette éDoque, la méthode de Beautemps-Beaupré, qu'il enseigna môme à 
l'École polytechnique, en 1848 ; mais il éprouvait les mêmes difficultés 
que moi, et quand je lui montrai, en 1849 et I80O, les résultats que 
j'obtenais avec la chambre claire, il m'encouragea beaucoup à les pour- 
suivre, s'apercevant bien qu'il y avait là un puissant élément de succès 
et de progrès. 

Permettez-moi de vous dire qu'en elTet l'introduction d'un instrument 
de dessin susceptible de précision transformait, tout d'un coup, la 
méthode de Beautemps-Beaupré, en la rendant à la fois plus complète, 
plus sûre et plus rigoureuse, et en dispensant l'opérateur de mesurer les 
angles, en plus ou moins grand nombre. 

Laissez-moi ajouter que la méthode 'photographique se trouvait vir- 
tuellement créée, car il n'y a, au fond, aucune différence entre deux 
perspectives prises, l'une avec la chambre claire et l'autre avec une 
chambre obscure, dans des conditions géométriques identiques. La première 
est nécessairement moins détaillée, moins complète, mais tout ce qu'on y 
a figuré se retrouve à la même place sur l'autre. Les mesures que l'on 
peut prendre sur chacune d'elles sont les mêmes, pour peu que le dessi- 
nateur qui a employé la chambre claire ait opéré avec soin. 

Je dois m'arrêter sur ce mot de mesures, car la nouveauté du procédé 
que j'ai proposé le premier, comparé à celui de Beautemps-Beaupré, con- 
siste précisément en ce qu'il n'y a plus d'angles à lire, à inscrire et plus 
tard à rapporter sur les plans. Les angles ne se mesurent donc pas, à 
proprement parler ; on les trace immédiatement, comme je le montrerai 
tout à l'heure, et les constructions graphiques se trouvent ainsi à l'abri 
de toutes les erreurs de lecture et de transcription. 

Je devais présenter cette observation capitale, dès à présent, sauf à 
fournir la preuve de ce que j'avance, en vous montrant les résultats 
auxquels je suis parvenu depuis I80O, c'est-à-dire dès que j'eus apporté 
à la construction et à la disposition de la chambre claire de Wollaston 
les perfectionnements nécessaires pour la transformer en un instrument 
de précision. 

Les documents que j'ai réunis pour faciliter ma tâche, et qui vont être 
projetés par M. Molteni (1), ont été classés, aussi méthodiquement que 
possible, dans cinq catégories. 

Tout d'abord, puisqu'il s'agissait de l'historique d'un art qui vient 
après tant d'autres, auxquels il a recours, je devais commencer par rap- 
peler les définitions relatives k celui qui vient en tête, je veux dire à la 
perspective conique ou centrale, en me servant de figures élémentaires, 

(I) Les dessins et les épreuves projetés par M . Molteni étaient au nombre de 90; nous ne pourrons 
donner ici qu"un choix très limité des figures les plus essentielles à l'intelligence du texte. 



GENIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

puis VOUS montrer les premiers appareils employés depuis le xvi^ siècle 
l)Our mettre en perspective des personnages, des objets usuels, des monu- 
ments et même des paysages ; viennent ensuite des exemples de construc- 
tion, des perspectives de monuments à l'aide de plans et d'élévations, 
d'après les règles déjà anciennes du trait perspectif; et voici aussitôt, 




FiG. \. — Chambre claire de WoUaston perfectionnée. 



inversement, le moyen de restituer, suivant les mêmes règles, des plans 
d'édifices d'après leurs perspectives. Cet ensemble forme, en quelque 
sorte, un chapitre préliminaire indispensable pour ceux qui ont besoin 
d'être initiés, et je ne crois pas avoir abusé de leur patience en remettant 
ces figures et ces dessins sous les yeux de ceux de mes auditeurs qui les 
connaissaient déjà. 

La seconde série de projections comprend les spécimens des travaux 



A. LAUSSEDAT. APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 223 

de Beaulemps-Beaupré et de quelques-uns de ses successeurs, c'est-à-dire 
des vues de côtes dessinées à main levée et portant l'indication des angles 
mesurés avec le cercle à réflexion (ou, si l'on opère à terre, avec le théo- 
dolite) et, de plus, la carte de l'archipel de Santa-Cruz dressée, en 1793, 
par Beaulemps-Beaupré, rapprochée de celle du même archipel dressée, 
en 1768, par le navigateur anglais Carteret, compagnon de Wallis. 

Vous vous souvenez de ce que j'ai déjà conclu de cette comparaison en 
faveur de la méthode de Beau temps-Beaupré, et vous voyez que j'avais 
raison (1). 

Dans la troisième série, après la chambre claire de Wollaston perfec- 
tionnée (fig. 1} (un petit niveau supprimé sur cette figure suffit pour lui 




FiG. 2. — Perspective d'un édifice dessinée à la chambre claire. 
Principe général de riconométrie. 



donner le caractère et les propriétés d'un instrument de précision), je 
vais mettre sous vos yeux quelques résultats fondamentaux sur lesquels 
je ne saurais trop appeler votre attention. 

Sur le tableau vertical de la figure 2, qui représente une vue du quar- 
tier Panthemont, rue de Bellechasse, vous reconnaissez la ligne d'ho- 
rizon LH et le point principal P de la perspective, le point de vue étant 
en 0. La chambre claire qui se compose d'un prisme, dont deux des 
faces produisent l'effet de miroirs à réflexion totale, ramène la vue sur 
un tableau horizontal oîi il est aisé de la dessiner. La ligne d'horizon LH 



(1) Nous regrettons beaucoup de ne pas pouvoir reproduire quelques vues de côtes et les deux 
cartes de l'archipel de Santa-Cruz ; on les trouverait, au besoin, dans l'ouvrage de Beaulemps- 
Beaupré. 



224 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

et le point principal s'y déterminent rapidement, ainsi que la distance OP 
du point de vue au tableau, et l'on a alors tous les élémenl.s géométriques 
nécessaires pour obtenir, sur le dessin, les angles des rayons visuels réduits 
à l'horizon et les hauteurs apparentes de chacun des points de la perspec- 
tive. Pour tracer (et non mesurer) les premiers, il suffit de rabattre le 
point de vue en 0,., de projeter les différents points que l'on veut 
considérer sur la ligne d'horizon, et de joindre ces projections au 

point 0,,. 

La figure 3 est une réduction redressée, à l'échelle de 1/iO du dessin 

exécuté avec la chambre claire dis- 
posée au-dessus de la planchette, avec 
une dislance du point de vue au ta- 
bleau OP de 30 centimètres, distance 
ordinaire de la vue distincte. En com- 
parant les angles réduits à l'horizon 
fi'O^b', rt'0,.c', etc., tracés, comme 
ou vient de l'expliquer, avec ceux que 
l'on mesurait directement au moyen 
d'un cercle divisé et d'une alidade (on 
s'est servi pour cela d'un excellent 
instrument de la brigade topogra- 
phiquej, les différences à peine sen- 
sibles ont été de l'ordre des erreurs 
de lecture. 11 en a été de même des 
hauteurs apparentes. 
Cette expérience était déjà très concluante, mais celle qui a été faite 
en combinant deux perspectives, et qui est représentée sur la figure 4, 

l'est encore davantage. 

On y reconnaît aisément le plan de l'un des côtés du fort deVincennes 
comprenant le donjon, construit au moyen de deux vues toujours des- 
sinées à la chambre claire. La distance AB des deux points de vue ou 
la base ayant été mesurée avec soin, les deux vues aa (1) et bb ont été 
orientées très simplement et très sûrement au moyen des angles que la 
direction de la base faisait alternativement avec celle d'un point remar- 
quable du paysage, par exemple du paratonnerre du donjon (et ces deux 
angles ont été eux-mêmes évalués, tracés à l'aide de la chambre claire). 
D'un troisième point de vue C, on a pris également une vue ce dont la 
ligne d'horizon seule est tracée sur la figure, et l'on a pu ainsi se pro- 
curer des moyens de vérification. Mais cette épreuve a été superflue, car, 
après avoir déterminé un grand nombre de points du plan par les inter- 

(1) La vue aa est relevée en a'a' sur lu figure pour éviter la confusion qui résulterait de l'entre- 
croisement des deux images. 




p-,g_ 3. _ Redressement de la figure 2. 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 225 

sections des rayons visuels projetés horizonlalement et correspondant 
aux deux vues aa et bb, on a posé sur le dessin un calque du plan du 
fort de Vincenues pris à la direction des fortifications et exécuté à la 




;>-^ 



3 

•a 



c 
o 



e 

o 



a 



c 
a 



3 



a 

bl, 



même échelle par les méthodes dites rigoureuses, et l'on a constaté la 
coïncidence exacte des points du calque et du dessin. 

Ce dernier était donc tout aussi rigoureux que l'autre, et le problème 
de la restitution des plans topographiques par des perspectives était défini- 
tivement résolu. Cette expérience a été répétée avec le même succès, en 
1850, sur l'un des fronts du mont Valérien (voir le Mémorial de l'officier 

13* 



226 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

du génie, n° 16, année 18o4) et, en 1831, en présence du rapporteur scien- 
tifique du Comité des fortifications, M. le capitaine A\x génie Laurent, 
sur l'un des fronts du fort de Bicêtre. 

Je demande à tous les gens de bonne foi si j'ai le droit de croire que 
ces résultats ouvraient une ère nouvelle à l'art des reconnaissances et 
même à la topographie régulière, et j'invite ceux qui continueraient à 
prétendre que la méthode généralement employée aujourd'hui en métro- 
photographie n'a pas été inaugurée en France à apporter des preuves 
aussi nettes que celles que je donne ici et qui sont puisées dans des 
recueils imprimés dont les dates sont faciles à vérifier : Mémorial fn" 16j 
de l'officier du génie, 1854 ; Comptes rendus de VAcadém^ie des Sciences, 
1860; Magasin pittoresque, année 1861. 

Tout ce que nous avons vu jusqu'à présent se rapporte à la planimé- 
Irie, et j'ajoute, avant d'aller plus loin, que la méthode s'applique éga- 
lement bien aux levers à grande ou à petite échelle. 

Mais je ne m'en suis pas tenu là, et j'ai voulu voir si le nivellement 
par courbes horizontales ne pourrait pas être effectué aussi facilement. 
L'expérience a été faite, dès 18d1, en Angleterre, aux environs d'une 
grande ville, et elle a pleinement réussi, comme on peut s'en rendre 
compte sur le plan nivelé déduit des trois perspectives que je vous montre. 

Je ne saurais trop insister, encore à ce propos, sur ce que les vues 
géométriquement exactes sont des documents irrécusables qui permettent 
de faire les vérifications que l'on désire en tout temps. Il y a quarante 
ans passés que ces documents ont été recueillis ; eh bien, sauf les dégra- 
dations des falaises par l'action des vagues et les nouveaux travaux d'art 
qui ont pu être exécutés sur le terrain, il est certain que les vues, qui 
sont la représentation fidèle de ce qui existait alors, ne s'éloignent guère 
de ce qui existe encore aujourd'hui (1). 

Beautemps-Beaupré n'avait pas eu à s'occuper du nivellement, et les 
résultats que vous venez de voir sont les premiers de ce genre qui aient 
été obtenus ; il doit donc encore m'être permis de dire qu'après avoir 
donné la solution complète de la restitution des plans topographiques, 
j'ai indiqué aussi le moyen le plus simple d'effectuer le nivellement à 
l'aide des vues pittoresques, et je l'ai appliqué aussitôt, joignant l'exemple 
au précepte, ce que négligent trop souvent ceux qui proposent des nou- 
veautés, avant de s'être bien assurés qu'elles peuvent passer dans la pra- 
tique et faire faire un véritable progrès à l'art qu'ils ont en vue. 

Je ne quitterai pas la chambre claire avant d'avoir mis sous vos yeux 
des spécimens de dessins agrandis qu'elle permet d'exécuter facilement 

(1) Les difTérences que l'on constaterait pourraient, d'un autre coté, servir à en contrôler la date: 
par exemple, la disparition de certains édifices, ]"état d'avancement de grands travaux publics ; et ce 
cas se présente justement sur les vues dont il s'agit. 



A. T.AUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 227 

quand on l'associe à une lunette terrestre d'un grossissement convenable. 

Voici d'abord l'appareil (fig. 5) et voici le sommet du donjon de Vin- 
cennes dessiné en I80O (fig. 6), de l'une des stations d'où ont été prises 
les vues de la figure 4, la station B, En comparant les deux figures, on 
aura une idée des avantages que procure l'agrandissement de certains 
détails, dont les dimensions réelles étant souvent connues peuvent servir 
d'échelles ou de stadias pour évaluer les distances. 

Nous avons fait un très grand usage de ce procédé pendant le siège de 
Paris par les Allemands, et il nous a permis de relever avec beaucoup de 




Fig. 



Emploi combiné de la chambre claire et de la lunette terrestre. 



précision les travaux d'attaque de l'ennemi, au fur et à mesure qu'il les 
exécutait. 

J'avais omis, comme dans d'autres cas, de donner un nom à cet appa- 
reil, lorsqu'en 1868, il fut réinventé par une autre personne qui l'appela 
Téléiconographe. Ce mot ne me plaisait pas plus que le procédé de Fau- 
teur, et mon droit étant parfaitement établi par deux publications très 
antérieures, le Mémorial de l'officier du génie de 18o4 et le Magasin pit- 
toresque de 1861 (1) d'oîi est extraite la figure 6, je l'ai baptisé à mon 

(1) Je saisis cette occasion pour remercier MM. Jouvet et C'°, éditeurs du Magasin pittoresque, d'avoir 
bien voulu me prêter les clich^'S des figures 1, 2, i, 4 et 6 ; MM. Masson, éditeurs, et G. Tissandier, 
directeur de lu Nature, de m'avoir prêté celui de la figure 5* et MM. Gauthier-Villars et fils, ceux des 
ligures 7 et 8. 



228 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

tour et il s'appelle plus justement et plus euphoniquement à la fois Télé- 
métrographe. 

Les vues dessinées au télémétrographe, par champs de lunette succes- 
sifs, qui vont être projetées actuellement, proviennent de la collection de 
celles qui ont été exécutées pendant le siège ; vous pouvez en constater le 
très grand intérêt. 

Vous savez, sans doute, qu'aujourd'hui la Tcléphotographie, d'abord 
appliquée à l'étude des astres qu'elle continue à rendre si attrayante et si 
fructueuse, a commencé à rendre des services analogurs à ceux qui sont 




Fio. 6. — Donjon de Vincennes agrandi au moyen du tulémdtrographe. 

dus au télémétrographe ; plusieurs officiers, entre autres MM. les com- 
mandants Fribourg et Allotte de La Fiiye, en France, M. Paul Nadar aussi, 
ont obtenu déjà de très remarquables résultats qui en font présager de 
plus importants encore (1). 

J'arrive à la quatrième série des projections qui se rapportent toutes à 
la métrophotographie. 

Avant de projeter les vues photographiées et les plans qu'elles ont 



(1) Une merveilleuse épreuve du mont Blanc vu de Genève (70 kilomètres), obtenue par M. Bois- 
sonaz. avec un téléobjectif de M. Dallmeyer, a éié récemment montrée et offerte par M. Janssen à la 
Société française de photographie. M. Boissonaz a bien voulu, à ma demande, en offrir un exem- 
plaire la galerie de photographie du Conservatoire des Arts et Métiers où elle est exposée depuis 
quelques jours (Janvier i^po). 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 229 

servi à construire par la méthode si simple que vous connaissez bien à 
présent, je voudrais pouvoir vous montrer la première chambre obscure 
très modeste, acquise sur les crédits du Comité des fortifications en 1832, 
que j'avais munie de moyens de calage, d'un niveau et d'une petite bous- 
sole et qui a servi de transition entre la chambre claire et les appareils 
actuels beaucoup plus perfectionnés ; mais j'ignore ce qu'elle est devenue, 
m'en étant séparé en I806. Tout ce que j'en puis dire, c'est qu'elle nous 
a servi, à mon camarade, le capitaine Karth, depuis colonel, et à moi, à 
faire de très utiles essais de restitution de plans, d'après des vues d'un 




FiG. 7. — Chambre obscure photographique. 



champ à la vérité fort restreint. Il fallait faire mieux, en profitant des 
perfectionnements apportés à la construction des appareils, et surtout des 
objectifs, et aux procédés photographiques. C'est ce à quoi je me suis 
appliqué pendant plusieurs années. 

Je franchis la période des tâtonnements pour arriver à la date de 1858, 
où je pus entreprendre, chez l'excellent artiste Brunner, l'exécution du 
projet de ce que j'appelais une chambre obscure photographique et que 
les étrangers, venus beaucoup plus tard, ont appelé le théodolite photo- 
graphique. Chambre obscure ou théodolite, je vous montre ce premier 
modèle (fi g. 7). 

Je ne crois pas avoir besoin de faire la nomenclature des organes géo- 



230 GÉME CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

désiques, très reconnaissables sur la figure, ni d'indiquer la série des 
opérations à faire pour la mise en station de celte chambre solide, de forme 
invaîiable et à foyer constant. L'analogie de l'appareil avec un théodolite 
m'en dispense. Je ne décrirai pas davantage les précautions prises pour 
que la ligne d'horizon et le point principal pussent être immédiatement 
tracés sur les épreuves, ni enfin le moyen très direct (retrouvé depuis 
par d'autres) employé pour déterminer la distance focale. Je vous rappelle 
que ce sont là les trois éléments essentiels qui m'ont servi, quand je 
faisais usage des vues dessinées à la chambre claire et qu'il fallait simple- 
ment retrouver sur les images photographiées, pour opérer de même. Le 
Mémorial (n° 17) de l'officier du génie, qui parut tardivement, en 1864 
(dix ans après le n° 16), contient d'ailleurs tous les détails que l'on pour- 
rait désirer pour se rendre compte de ce qu'était cet appareil et du degré 
de précision qu'il comportait. Les premiers résultats obtenus furent sou- 
mis à l'Académie des Sciences en 1859, et le rapport de MM. Daussy et 
Laugier fut des plus favorables et des plus concluants. (Comptes rendus 
des séances de l'Académie des Sciences, 1860, t. L.) 

Je vous montre actuellement un petit plan du village de Bue, près 
Versailles, exécuté avec huit vues sur coUodion humide prises, en deux 
ou trois heures, en mai 1861, devant les officiers de la division du génie 
de la garde impériale. La réduction de ce plan à l'échelle de 1/2000 me 
demanda deux jours et parut convaincre tout le monde, à cette époque, 
de la simplicité et de l'efficacité de la méthode. 

La métrophotographie ou, comme nous nous contentions de l'appeler, 
l'application de la photographie au lever des plans, allait entrer dès lors 
dans sa phase la plus active, je pourrais dire la plus brillante, dans le 
corps du génie. 

Après de nouvelles expériences faites par les officiers de la division de 
la garde et dans les écoles régimentaires, peut-être même à l'École d'ap- 
plication de Metz, le Comité des fortifications' chargeait, en 1863, M. le 
capitaine Javary de poursuivre ces expériences sous son patronage et 
sous ma direction. 

Je vais faire défiler devant vous quelques spécimens des épreuves 
prises par cet officier distingué dans les conditions de précision que vous 
connaissez et rattachés à des triangulations ou à des cheminements, et, à 
leur suite, les plans que ces épreuves ont servi à construire, presque tous, 

l'échelle de 1/3000 et certaines reconnaissances à l'échelle de 10.000. 
autour de Paris, dans les Alpes du Dauphiné et de la Savoie, aux envi- 
rons de Toulon, en Alsace et dans les Vosges, enfin pendant le siège de 
Paris. Certains auteurs étrangers sont portés à croire que nous nous van- 
tons quand nous réclamons la priorité d'une invention dont l'utilité 
s'affirme partout aujourd'hui. Je ne puis que répéter ce que j'ai dit plus 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 231 

haut : que l'on nous apporte des travaux comme ceux que nous sommes 
en état de montrer, avec leurs dates authentiques, comme le plan de 
Bue, comme celui de Grenoble qui a été présenté en 1864 à l'Académie des 
Sciences, comme celui de Faverges qui a figuré, pendant des mois, à 
l'Exposition universelle de 1867, où il a été vu et étudié par tout le 
monde, comme celui de Sainte-Marie-aux-^Mines, levé avant la guerre 
nécessairement, et qui a été publié dans le Mémorial de l'officier du génie, 
etc., et nous reconnaîtrons le droit de ceux qui les produiront. Mais 
nous sommes, dès à présent, autorisés cà penser que cette démonstration 
ne sera pas faite, car on ne la trouve nulle part dans les nombreuses 
publications allemandes, anglaises, américaines, autrichiennes et italiennes 
qui nous sont parvenues sur l'art nouveau dont il s'agit (1). La vérité, 
qu'il faut bien reconnaître, en ce qui nous concerne, c'est que le Service 
du génie, en dépit des expériences poursuivies avec un plein succès pen- 
dant huit ans, de 1863 à 1871, par le capitaine Javary, s'est désintéressé, 
sans qu'on en ait connu le motif, de cette méthode, fort maladroite- 
ment, et précisément au moment où les Allemands, et un peu plus tard 
les Italiens, s'en emparaient. 

Alors, assez naturellement du reste, ceux qui s'avisaient de l'adopter, 
tout en reconnaissant, pour la plupart, que nous étions pour quelque 
chose, et même pour beaucoup, dans l'invention, ont conclu de cet abandon 
de la méthode que nous n'avions pas su en tirer tout le parti dont elle 
était susceptible. D'autres, mal renseignés ou moins scrupuleux, nous ont 
tout simplement mis de côté et sont allés chercher des noms de savants 
et d'inventeurs qui n'ont jamais essayé de résoudre le problème ou qui en 
ont donné, après nous, des solutions inadmissibles dont ceux-là mêmes 
qui les mettaient en avant se sont bien gardés de faire usage . 

Aussi, quand deux de nos compatriotes, M. Gustave Le Bon et M. le 
commandant Legros, ont publié des articles ou des ouvrages dans lesquels 
ils nous rendaient justice, cela a surpris les uns et gêné les autres. Les 
explications sont donc devenues nécessaires de ma part et je les ai don- 
nées; je viens de les reproduire devant vous, et nous en sommes là. Mais 
si j'ai énergiquement maintenu notre droit, je n'ai pas voulu non plus 
méconnaître les efforts faits dans les autres pays et le mérite de ceux à 
qui ils sont dus. J'ai donc cherché à me procurer les nombreuses publi- 
cations faites à l'étranger (2), dans le but de rendre à chacun ce qui lui 

(1) Cetartai'lé désigné sous un si grand nombre d'appellations «lue l'on n'a que 1 embarras du 
choix : Photogrammelric, Bildinesskunst, photofjrapltische Messkuiist, Messhiid- Verfahren, en Allemagne 
et en Autriche ; fololopografîa, en Italie. Nous nous sommes encore décid(iS à le baptiser nous-mème 
et nous avons adopté le nom d'iconométrie, en général, et de métrophotorjmphie. quand les images sont 
photographiées. 

(2) J'ai été aidé, dans cette recherche, avec un rare dévouement, par M. le commandant Legros, 
à qui j'adresse ici mes vifs remerciements. Le prince Roland Bonaparte m'a signalé, de son coté, un 
traité publié au Canada sous le litre suivant : Photographie surveying, etc. By E. Deville, survejor 



232 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

appartient, en même temps que de contribuer de nouveau, chez nous, 
en les signalant à l'attention publique, à la propagande qui se fait partout, 
en ce moment, en faveur de la photogi^aphie appliquée à l'art de lever les 
plans. 

Je vais faire projeter la série des appareils construits depuis 1865 jus- 
qu'en 1892 en Allemagne, en Autriche et en Italie, et qui sont désignés 
sous les noms de théodolites photographiques ou de photothéodolites. 
Je les montre dans l'ordre où ils paraissent avoir été imaginés et réalisés. 
Voici, en Allemagne, ceux de MM. Meydenbauer, Vogel, Jordan, Koppe; 
en Autriche, ceux de M. Werner et de l'ingénieur en chef des chemins 
de fer de l'État, M. Pollack. 

Enfin, en Italie, celui de M, Paganini Pio, ingénieur géographe de 
l'Institut géographique italien . 

Je n'ai pas pu me procurer encore de spécimens un peu importants 
des cartes ou des plans obtenus par les Allemands, soit chez eux, soit à 
la suite de voyages d'exploration, comme ceux qu'ont exécutés M. Jordan 
qui accompagnait Rohlf, en Lybie, en 1873-1874, M. Stolze, en Perse, 
en 1878, etc. Voici, toutefois, des photographies prises dans le Harz et 
quelques planches tirées de l'ouvrage de M. Koppe, publié en 1889, à 
Weimar, et qui démontrent que notre méthode est employée chez nos 
voisins exactement dans tous ses détails, en y ajoutant même un appareil 
scientifique dont elle peut se dispenser. Voici maintenant un fragment 
très intéressant de la carte des Alpes entreprise, depuis bientôt quinze 
ans, sous la direction du général Ferrero, par M. Paganini Pio. Ce frag- 
ment représente le massif le plus élevé des Alpes italiennes (// gran Para- 
diso, dans les Alpes graïes), dont la cime atteint 4.061 mètres d'alti- 
tude. La carte est exécutée à l'échelle de 1/50.000, avec des courbes de 
niveau équidistantes de 50 mètres. Je vous montre, d'un autre côté, des 
vues photographiées d'une netteté remarquable qui ont servi à la cons- 
truction de cette carte, et je ne saurais trop applaudir à de tels résultats, 
qui font beaucoup d'honneur au directeur de l'Institut géographique 
italien, en même temps qu'à l'habile ingénieur qui les a obtenus. 

Je ne peux pas vous montrer de spécimens des travaux de M. l'ingé- 
nieur en chef Pollack ; mais il y a, au Champ de Mars, en ce moment 
même, à l'Exposition universelle de photographie, des vues et des cartes 
très intéressantes qui représentent encore des régions alpestres dans 

gênerai of Canada, Ottawa, 1889, que j'ai fait récemment venir d'Amérique. M. Deville, dans sa pré- 
face, présente un historique très exact du sujet et reconnaît expressément que j'ai été le premier à 
donner, dans le Mémorial de l'officier du génie, un exposé complet de la méthode. « His work, dit-il 
en parlant de mon mémoire, was sa complète Ihal liltle lias been added ta il siiice. » M. E. Deville vient 
de m'envoyer quatorze feuilles d'uneadmirable carte à l'échelle de 1/40.000 de la région des Montagnes 
Rocheuses traversée par le chemin de fer Pacifique-Canadien. Cette carte, sur laquelle le relief du 
terrain, qui atteint 3. SOO mètres, est figuré par des sections horizontales de lOO p. en lOO p. (30°",5), 
est entièrement construite à l'aide de photographies. (Janvier 1893). Avis aux sceptiques 



A. LAUSSEDAT. APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 233 

lesquelles tout autre procédé que celui du lever photographique présente- 
rait des difïïcultés insurmontables et entraînerait de grandes pertes de 
temps, sans permettre jamais d'atteindre à autant d'exactitude (l). 

Les comphments que j'adresse ici à nos émules étrangers et auxquels, 
j'en suis sûr, vous vous associerez, ne doivent pas vous faire oublier ce 
que nous avons fait nous-mêmes, et, en particulier, les travaux de mon 
excellent collaborateur M. le capitaine (aujourd'hui commandant) Javary, 
qui, en huit ans, n'a pas levé moins de 72.000 hectares de terrain, la 
plus grande partie à l'échelle de I/o. 000, avec des courbes de niveau à 
l'équidistance de 5 mètres. 

En ce qui concerne les instruments, si vous vous souvenez du premier 
modèle de chambre obscure photographique qui a servi aux expériences 
commencées en 1859 (fig. 7), et si vous pouviez le rapprocher, par la 
pensée, de tous ceux qui sont venus après lui et que je vous ai montrés 
en nommant leurs auteurs, vous reconnaîtriez la parfaite analogie qui 
existe entre eux, au point de vue du choix et de la disposition générale 
des organes qui accompagnent la chambre obscure. Assurément, il y a 
des détails de construction fort différents, qui tiennent autant aux habi- 
tudes des artistes qu'à la manière de voir des auteurs, mais il s'agit tou- 
jours de photographies donnant des perspectives coniques sur tableaux 
plans, et l'on n'y trouve ni perspectives projetées sur des surfaces sphé- 
riques ou cylindriques, ni perspectives rayonnantes produisant des ana- 
morphoses, comme celles qui ont été proposées par divers inventeurs et 
que la pratique a toujours fait rejeter. 

Vous avez sans doute remarqué plus particulièrement deux photothéodo- 
lites dont l'axe optique de l'objectif peut être incliné au-desssus ou 
au-dessous de l'horizon, celui de M. Koppe et celui de M. Paganini Pio. 

Le premier est construit entièrement comme un instrument géodésique 
universel, dans lequel la lunette centrale est remplacée par une chambre 
obscure, et M. Koppe applique, en effet, les méthodes géodésiques les 
plus élevées à toutes les mesures qu'il effectue avec les organes puissants 
de son appareil et même celles qu'il prend sur ses photographies. Nous 
n'avons eu et n'aurons jamais cette ambition de tout réunir dans le 
même appareil, et nous considérons celui de M. Koppe comme trop délicat 
pour devoir être recommandé. 

Le second, celui de M. Paganini Pio, est de la même famille, quoique 
d'une construction dilîérente. Tous les deux peuvent donner des photo- 
graphies sur des tableaux inclinés à l'horizon, qui doivent être traités à 
part, quand on en vient à construire les plans. 

(1) Dans son remarquable ouvrage, M. E. Deville, en annonçant que la photographie était employée 
au Canada, comme en Italie, à la construction de la carte des contrées accidentées, ajoutait mélanco- 
liquement : « Jn France, where it originated, it lias been complelely abandoned, al leat ost£nsibily . » 



234 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

Je ne veux vous signaler que cette particularité, qui n'existe pas dans 
les autres photo théodolites, mais qui se présente, avec tous les appareils 
que l'on peut avoir besoin exceptionnellement d'incliner. Tel est le cas, 
par exemple, quand on fait de la photographie en ballon, et deux de nos 
jeunes compatriotes, M. Arthur Batut d'abord, à la Bruguière (Tarn), et 
M. Wenk, à Reims, l'ont rencontré, quand ils se sont avisés, très spiri- 
tuellement, d'accrocher une chambre obscure à un cerf- volant, au moyen 
duquel ils ont obtenu de très curieuses photographies à vol d'oiseau. J'ai 
donné, pour la transformation de ces vues sur tableaux plans inclinés, 
une solution purement géométrique, facile à appliquer et qui peut beau- 




FiG. 8. — Pholothéodolite. 



coup aider à faire concourir de telles vues h des reconnaissances rapides, 
notamment en campagne. 

Je vais vous montrer quelques belles photographies prises en ballon, et 
d'autres à l'aide du cerf-volant, en commençant par celle qui a été obtenue 
la première, en 1858, par Nadar, dont beaucoup d'autres, et son fils 
Paul en particulier, ont perpétué la tradition en France. Je suis bien 
obligé de vous faire remarquer que ce sont des Français qui, encore dans 
ces de-ux cas, ont été les initiateurs. 

Pour en finir avec les instruments, je mets sous vos yeux le dernier 
modèle que j'ai fait construire et qui ne diffère pas essentiellement du 
premier, mais dans lequel cependant j'ai mis à profit l'expérience de 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 235 

M. Javary, les grands perfectionnements apportés à la construction des 
objectifs et les avantages qu'offre l'emploi de l'aluminium (fiy. 8). 

Vous pouvez remarquer que les organes géodésiques de cet appareil 
sont exactement les mêmes que ceux du premier que je vous ai montré 
par projection (fîg. 7) et qui date de trente-cinq ans. 

Au lieu de donner un mouvement de bascule à la chambre obscure, ce 
qui conduit à avoir des perspectives sur tableaux inclinés, vous voyez 
que j'ai adopté la glissière verticale qui permet d'élever ou d'abaisser 
l'axe optique de l'objectif, et de découvrir, dans un sens ou dans l'autre, le 
terrain qui n'était pas compris dans le champ normal. Ce dispositif, très 
répandu aujourd'hui, en particulier pour le cas où l'on est obligé de se 
rapprocher d'un édifice, a été employé depuis longtemps par M. Javary. 
C'est aussi cet officier qui m'a donné l'idée de séparer, au besoin, la 
chambre obscure des organes géodésiques pour faire servir ces derniers 
à la triangulation préalable, sans emporter un poids mort inutile. 

Enfin, l'emploi de l'aluminium, en allégeant l'appareil, m'a permis de 
supprimer le contrepoids que j'avais été obligé de placer sur le côté opposé 
de la chambre, et que vous avez remarqué sans doute aussi sur le très 
bel instrument de M. Pollack. J'ai pu me contenter, en effet, pour équi- 
librer le système, d'un déclinatoire analogue à ceux qui font partie du 
tachéomètre, et l'on en peut faire le même usage. 

Enfin, et ce point vaut la peine d'être expliqué, certains étrangers nous 
ont reproché d'avoir employé des objectifs d'un champ trop limité, et ont 
été jusqu'à se faire un mérite d'avoir adopté ceux qui en donnaient 
un plus considérable. J'ai déjà répondu ailleurs à cette mauvaise chicane, 
en faisant remarquer que, si nous n'avions pas employé tout d'abord des 
objectifs grands angulaires, c'était tout simplement parce qu'ils n'étaient 
pas inventés. Loin de nous pouvoir faire un reproche de cet inconvé- 
nient, on aurait dû réfléchir que c'était la meilleure preuve de l'anté- 
riorité de nos travaux. 

Quant aux si grands avantages que l'on prétend trouver à l'accrois- 
sement indéfini du champ de l'objectif, il faut beaucoup en rabattre 
dans la pratique, et il me serait facile, si nous en avions le temps, de 
vous montrer que les champs de 90° et de 120° sont inadmissibles et 
gênants. C'est aussi l'un des motifs, et non le seul, qui ont fait échouer 
les appareils panoramiques. Il va sans dire que nous nous sommes 
toujours tenus au courant des progrès de la construction des objectifs, 
et M. Javary a employé, au fur et à mesure de leur apparition, les 
meilleurs que l'on connaissait. Seulement, nous n'avons jamais voulu 
dépasser l'amplitude de 45° pour la facilité de nos constructions. 

Je ne crois pas avoir besoin d'insister sur les détails d'exécution de cet 
appareil facilement démontable et décomposable qui, sans présenter les 



236 GÉNIE CIVIL ET MILITAIRE, NAVIGATION 

inconvénients du soufflet, peut se réduire à un assez petit volume. J'ai 
dit, un peu plus haut, qu'une part du mérite des appareils nouveaux 
désignés sous le nom général de photothéodolites revenait aux construc- 
teurs Braun, Reineike, Stegemann, etc., de Berhn ; Salmoiraghi, de 
Milan ; Lechner, R.-A, Goldmann, de Vienne, etc. 

Je me fais un devoir, de mon côté, après avoir rappelé que le premier 
modèle dont j'ai fait le projet a été exécuté par l'habile artiste Brunner, de 
reconnaître que celui que vous voyez, et qui joint l'élégance à la soli- 
dité, a été construit à Paris, chez MM. Ducretet et Lejeune, dont la col- 
laboration m'a été très précieuse. 

Tel qu'il est, notre photothéodolite peut être mis entre les mains de 
presque tous les opérateurs, mais nous chercherons encore à réaliser un 
modèle un peu moins volumineux et moins coûteux pour les explorateurs 
qui ne peuvent pas trop alléger leur bagage (1). Je ne saurais résister à la 
tentation d'exprimer le regret qu'un grand nombre de voyageurs scienti- 
fiques négligent de se munir, comme l'a fait si ingénieusement M. Le Bon, 
de quelques accessoires essentiels pour mettre leurs appareils en station, 
de manière à se procurer, sur leurs épreuves, indépendamment de la dis- 
tance focale de l'appareil, déterminée une fois pour toutes, le tracé de la 
ligne d'horizon et celui du point principal, enfin l'orientation de chacune 
de ces épreuves relativement aux lignes de cheminement que tous ceux 
qui prétendent à la qualification de géographes ne manquent pas de 
relever pour tracer leur itinéraire (2). 

Je m'arrête, sans avoir la prétention d'avoir entièrement atteint mon 
but et développé ma thèse, mais avec l'espoir de vous avoir ébranlés 
et peut-être convaincus. 

Je terminerai par la cinquième série de projections que je vous ai 
annoncées et qui vous dédommageront de l'aridité de la plus grande partie 
de cette conférence. Cette série s'adresse plus particulièrement aux ingé- 
nieurs et aux géologues, et elle fait suite, pour ainsi dire, à celles que 
M. Trutat vous a si bien expliquées hier, en vous parlant des Pyrénées. 

Voici d'abord un certain nombre de vues prises dans toutes les parties 
des Alpes, françaises, suisses, italiennes et autrichiennes, de 18o8 à 1868, 
par M. A. Civiale, qui est à la fois un ingénieur, un géologue et un géo- 
graphe, et dont l'œuvre considérable exécutée à ses frais et dans des condi- 
tions beaucoup moins favorables qu'aujourd'hui, est remarquable à tous 

(1) Nos habiles et courageux explorateurs du continent africain sont les meilleurs guides à suivre 
dans le choix du format a adopter. M. Marcel IVlonnier, de la mission Binger, qui a rapporté des 
centaines de vues saillantes, s'est servi de plaques 9-13 qui ont été amplifiées sans aucune é-formalion 
et sur lesquelles on opérerait alors presque aussi rigoureusement que sur des originaux de plus grand 
format. 

(2) Le nombre des photographies rapportées, depuis quelques années, par les explorateurs, est 
pour ainsi dire incalculable; ne voit-on pas combien il serait précieux, pour la cartographie, de 
donner à ces documents le caractère de registre d'angles que Beautemps-Beaupré avait si bien 
pressenti ? 



A. LAUSSEDAT. — APPLICATION DE LA PHOTOGRAPHIE AU LEVER DES PLANS 237 

les titres. Vous pouvez voir que les photographies qu'il obtenait sur papier 
ciré sec ne le cèdent en rien aux plus belles de celles qu'obtiennent 
actuellement les Italiens ou de celles que vous a montrées M. Trutat. 

Voici maintenant les magnifiques photographies exécutées en Amérique 
sous la direction du major Powell, dans les Montagnes Rocheuses, dans 
le Colorado, dans le Yellow-Stone, et qui sont destinées à accompagner la 
carte topographique et géologique des États-Unis. J'ai pris la liberté, en 
passant à Washington, en 1886, de recommander au major Powell, qui 
est l'un des hommes les plus dévoués à la science que je connaisse, de 
donner aux photographies, qu'il continue à faire exécuter, le sacrement 
qui les transformerait si facilement en éléments de mesure. 

D ne me reste plus, mes chers collègues, qu'à m'excuser de la longueur 
de cette communication et à vous remercier de votre patiente et bienveil- 
lante attention (1). 



Depuis que cette conférence a été publiée dans la Revue scientifique, j'ai reçu, par 
Tentremise de mon collègue, M. É. Levasseur, une notice extraite du Questionnaire du 
premier Congrès géographique italien dont l'auteur est l'ingénieur Paganini Pio. Après 
avoir rendu compte des travaux de photographie entrepris en Italie et des siens en parti- 
culier, enfin du jugement porté sur eux par les étrangers, M. Paganini Pio se plaint de 
ce que les Français semblent les ignorer, le commandant Laussedat excepté. Mais si mes 
éloges le touchent sans l'étonner, il n'en est pas de même de mes prétentions à la prio- 
rité et il met en doute ce que j'ai dit dans le Paris-Photographe de son compatriote 
Porro, qui aurait connu mes travaux avant de songer à appliquer la photographie au 
lever des plans. 

J'ai une réponse bien simple à faire à cette suspicion de ma bonne foi. Porro était à 
Paris en 1854, quand mon mémoire très détaillé sur la méthode générale de la transfor- 
mation des perspectives a été publié. Je pourrais ajouter que je le voyais fréquemment 
et que j'ai eu l'occasion de lui rendre un sei'vice signalé ; mais M. Paganini Pio n'est pas 
obligé de croire cette dernière affirmation et je ne dois invoquer que la date irrécusable 
de 1854. Or, c'est à celle de 1855 seulement que les panégyristes de Porro font remonter 

(1) Je recevais, tout récemment, d'un commissionnaire en librairie de Francfort, un nouvel 
ouvrage sur la photogrammétrie la) de ^f. Franz SchifTner, professeur à l'École royale de niar.ne 
de Pola, intitulé: Die photographische Messkuiist, et édité en 1S02 à Halle, très documenté et très 
intéressant, malgré quelques vieilles redites empruntées à des brochures sans consistance (dont 
quelques-unes avaient même le caractère de réclame) et quelques inadvertances qui disparaitront 
sans doute dans une nouvelle édition. 

Dans une sorte de posl-scriptum, l'auteur, après avoir considéré l'apparition des livres que 
.M. Le Bon et le commandant Legros ont publiés dans ces derniers temps, comme une sorte de 
renaissance de la métropholographie en France, dit qu'il ressortirait de ce qu'ils exposent, à 
propos de l'iovenlion de cet art, qu'elle n'appartiendrait pas à M. Meydenbauer, comme on est 
disposé à le croire en Allemagne (à quelques importantes exceptions près, aurait-il pu ajouter), 
mais à .M. Laussedat. Il rappelle aussi que j'ai établi moi-même mon droit ae priorité dans le 
Paris-Photo gniplie de P. Nadar, et il termine en disant qu'il appartient à M. .Meydenbauer de s'ex- 
pliquer à son tour. 

Ou je me trompe fort, ou l'habile directeur-fondateur de l'Institut photogrammétrique de Berlin, 
dont le mérite, indépendant de la qualité de découvreur, ne parait contesté par personne, ne 
cherchera pas à me contredire, pour peu qu'il prenne la peine de consulter les publications 
imprimées que j'ai citées et que l'on doit trouver à Berlin. (Xote postérieure à la conférence.) 

l'ai II e\iste déjà luute une bibliographie consacrée au uuuvtl art : en allemand, en anglais, en français et en 
itaben. j 



238 PHYSIQUE 

ses premières études sur une chambre obscure sphérique dont ils ne se sont pas avisés de 
se servir, préférant recourir à la chambre obscure topographique dont j'ai donné le pre- 
mier modèle et aux photographies sur tableaux plans, comme l'ont fait tous ceux qui ont 
entrepris des opérations sérieuses, M. Paganini Pio comme les autres. L'habile ingénieur 
a terminé sa notice en rappelant qu'il a appartenu à la marine royale et que, pendant 
deux ans (1874-1875), il a été chargé, à bord du pyroscaphe Tripoli, des vues et descrip- 
tions de côtes, phares et sémaphores, destinées à la construction des cartes marines et des 
portulans. Il part de là, en se récriant sur la difficulté de bien dessiner les vues, pour 
conseiller d'utiliser la photographie qui fournira des vues exactes et servira à résoudre 
les problèmes qui intéressent l'hydrographie. 

Il me semblait impossible, en lisant ce passage, que M. Paganini Pio ne connût pas 
l'ouvrage de Beauteraps-Beaupré et qu'il pût hésiter à admettre les titres de notre pays à 
l'invention fondamentale, même alors qu'il fit des difficultés en ce qui me concerne. Je me 
disposais donc simplement à lui faire connaître les essais de l'amiral ]\Iiot, en 1863, pour 
appliquer la photographie à la reconnaissance des côtes, en le renvoyant au fac-similé de 
la vue photographiée de l'une des Bei-mudes que j'ai publié dans le compte rendu de ma 
conférence du 28 février dernier (1). 

Mais ma surprise a été grande, en découvrant, dans un article du même auteur, intitulé 
la Fototopografia in Italia, inséré dans la Bivista maritima de juin 1889 (Roma, Tipo- 
grafia del Senato), le passage suivant qui fait rêver : 

(Il vient de citer après moi beaucoup d'autres personnes qui se sont plus ou moins 
occupées de la question.) 

« Beautetnps-Beaupré ed altri aumentarono la pléiade di distinti Francesi che irat- 
tarono di fototopografia. » 

En vérité, il faut tirer l'échelle, car si l'intention est bonne, et l'on n'en saurait douter, 
que doit-on pensar de l'érudition de l'ingénieur hydrographe et photo topographe qui 
écrit ainsi l'histoire? 



M. Pierre LE SAGE 

Docteur es sciences. Préparateur à la Faculté des Sciences de Rennes. 



ÉVAPORATION COMPARÉE DES SOLUTIONS DE NaCl, DE KCl ET DE L'EAU PURE 



— Séance du il septembre 1892. — 

Depuis quelque temps, j'étudie l'influence, sur les plantes, de certains 
sels dont je cherche à connaître autant que possible les diverses propriétés. 
C'est ainsi que j'ai été amené à me demander comment se conduisent, 
au point de vue de l'évaporation, les solutions de KCl et de NaCl que 
j'emploie en arrosages ou dans les liqueurs qui servent de substratum 

(i) Annales du Comei-vatoire des Arts el Métiers (2°'^ série, tome IV. Paris, Gauthier-Villars et fils, 
1892J. 



p. LESAGE. — ÉVAPORATIOX DES èOLUTIONS DE NaCl ET KCl 239 

aux végétaux que je cultive. J'ai dû faire plusieurs expériences où je met- 
tais à évaporer, dans les mêmes conditions, de l'eau pure et des solutions 
des deux sels, prises à la même concentration, le plus souvent à 2,o 0/0. 
Des différences très appréciables se faisant attendre, j'ai eu recours à des 
solutions plus concentrées de KaCl, l'une à 10 0/0, l'autre à 20 0/0, 
dont j'ai suivi l'évaporation parallèlement à celle de l'eau pure dans des 
cristallisoirs de mêmes dimensions. Je n'ai pas tardé à observer des diffé- 
rences notables. J'ai donc suivi attentivement les expériences déjà instal- 
lées ainsi que d'autres destinées à vérifier les premières. Je désire présenter 
les résultats généraux qui découlent de ces nombreuses expériences. 

Pour cela, étudions les deux séries d'expériences qui rendent le mieux 
ces résultats. 

La première comprend trois cristallisoirs de 7o millimètres de diamètre, 
3o millimètres de hauteur, bien calibrés et contenant au début 110 cen- 
timètres cubes d'eau pure, de solution à 10 0/0 ou à 20 0/0 de NaCl. 
Ces cristallisoirs ont été placés les uns à côté des autres, dans une salle 
fermée où je ne pénétrais que pour faire les observations, vers 6 heures 
du soir ; les conditions de température et d'humidité de l'air restaient les 
mêmes pour les trois termes de comparaison. J'ai mesuré, tous les deux 
jours, les hauteurs des liquides au moyen d'une bande de papier divisée 
en demi-millimètres et collée au préalable verticalement sur chaque cris- 
tallisoir ; je pouvais ainsi apprécier des différences à un quart de milli- 
mètre près. Je dois dire, à ce sujet, que les observations répétées, nom- 
breuses, suppléent suffisamment aux légères erreurs de chacune dans la 
suite d'un phénomène qui ne se produit que lentement et dont, en 
somme, je ne désire posséder que l'allure générale. En retranchant de la 
hauteur primitive la hauteur observée, j'avais la hauteur d'eau évaporée 
depuis le commencement de l'expérience jusqu'au jour de l'observation ; 
les nombres ainsi obtenus, multipliés par 4 pour rendre le dessin plus 
clair, ont fourni les ordonnées de la figure 1, les abscisses mesurant les 
temps avec le jour pour unité. Un thermomètre placé au voisinage me 
permettait de relever les températures. Pendant les vingt-trois jours que 
dura l'expérience, le maximum de température a été de 26 degrés et noté 
le dixième jour ; le minimum, de 19 degrés, a été noté le deuxième jour. 
La figure 1 indique ces températures; j'ai réduit le nombre de jours pour 
ne pas comphquer inutilement celte figure et, d'ailleurs, sans altérer 
l'allure générale du phénomène. 

On voit que l'eau pure (courbe C) s'évapore plus rapidement que les 
solutions salines et que, de celles-ci, la solution contenant, au début, 
10 0/0 de NaCl (B), laisse évaporer, toutes conditions égales d'ailleurs, 
plus d'eau que celle qui renfermait 20 0/0 de NaCl (A). La tempéra- 
ture, en s'élevant, augmente l'évaporation ainsi que le montre surtout la 



240 PHYSIQUE 

ligne OC qui devrait être droite, à température constante, puisqu'elle 
appartient k l'eau pure, et dont les inflexions correspondent assez bien 
aux variations de cette température. Ceci ne modifie pas suffisamment la 
marche de l'expérience pour masquer les différences essentielles. 

Par suite de l'évaporation, les solutions salines se concentrent de plus 
en plus ; celle qui contenait 20 0/0 de NaCl arrive bientôt à saturation 
et du sel se dépose. La même chose se produit vers le quinzième jour 
pour la dissolution contenant 10 0/0 de NaCl au commencement de 
l'expérience. La courbe B, à partir de cette époque, tend à devenir parai- 




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29 



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lèle à A. Le sel, en grimpant le long des parois des cristallisoirs, ne me 
permit plus de mesurer exactement la quantité d'eau évaporée; mais le 
résultat obtenu était suffisamment net. 

Un autre point est établi par la seconde série d'expériences. J'avais pris 
la même disposition que précédemment et les cristallisoirs avaient reçu 
100 centimètres cubes des hqueurs : eau pure, solution de KCl à 2,5 0/0, 
solution de NaCl à 2,5 0/0. Les observations, faites comme dans le pre- 
mier cas, sont traduites par les courbes représentées dans la figure 2 où 
l'échelle est la même que celle de la figure 1 ; ces courbes appartiennent : 
A. au NaCl ; B, au KCl et C, à l'eau pure. 

Tout en respectant l'allure générale, mais pour ne pas embrouiller la 



p. LESAGE. — ÉVAPORATION DES SOLUTIONS DE NaCl ET KCl 241 

figure, j'ai pris seulement les observations de six en six jours. La tem- 
pérature a varié pendant l'expérience de 17 à 24 degrés; le minimum 
correspondant au huitième jour, le maximum au dix-huitième. Les 
nombres inscrits en haut de la figure donnent les températures. J'ai dû 
m'arrêter après vingt-quatre jours parce que, au voisinage du fond, le 
cristallisoir contenant l'eau pure ne permettait plus des observations assez 
rigoureuses. Après ce temps, les solutions salines avaient une concentra- 
tion d'environ 9 0/0 pour le NaCl et 11 0/0 pour le KCl. C'est ce qui 
explique sur la figure 2 les faibles déviations qui, pour l'eau pure et le 
NaCl, sont de l'ordre do^ celles que présente la figure 1 tout à fait au début. 

On reconnaît encore la prédominance de l'évaporation de l'eau pure 
sur celle des solutions salines. Mais, en plus, la solution du KCl s'évapore 
plus rapidement que celle du NaCl. 

Ce dernier point est encore appuyé par une autre expérience faite avec 
les mêmes solutions mises à évaporer, pendant quatre mois, dans des 
éprouvettes à pied de 2o millimètres de diamètre, loO millimètres de hau- 
teur et graduées comme les cristallisoirs. Après ce temps, les hauteurs 
d'eau évaporée diffèrent de 5 millimètres et la plus grande est celle du KCl. 

En résumé, toutes choses égales d'ailleurs et dans les limites de mes 
expériences : 

1° U eau pure s'évapore plus rapidement que les .solutions de KCl et de NaCl; 

4° Les dissolutions de KCl ont, à même concentration, une vitesse d'éva- 
poration plus grande que celles de NaCl. 

Ces résultats sont confirmés par l'étude des tensions de vapeur des 
solutions salines. En effet, d'après les expériences de Babo et de Wûllner, 
on sait « que la tension de la vapeur dégagée par une dissolution saline 
est inférieure à la tension de la vapeur d'eau, à température égale » (1). 
Dans les tableaux que fournit Wtillner (2) et où il donne la diminution 
de tension de vapeur sur celle de l'eau pure, des dissolutions de KCl et 
de NaCI, à la même température et pour des concentrations égales, on 
trouve d'une façon continue des nombres plus élevés pour le NaCl que 
pour le KCl. Ceci veut dire que la tension de vapeur des solutions de 
NaCl est plus faible que celle des solutions de KCl, à température égale et 
pour les mêmes concentrations. 

Ces données permettaient de prévoir ce que j'ai tiré de mes expériences. 
Cependant j'ai cru utile de faire ces expériences dont les résultats de- 
vaient être suffisamment vérifiés pour m'autoriser à les appliquer aux 
recherches que j'ai entreprises. C'est encore ce qui m'engage à les publier. 

(i) Cours de physique de Jamin, 4" édilion, t. II, p. 231. 

(2) WÙLLNER, Versuche uber die Spunnkraft des W'asserdampfes ans ivhserhjen Salzlôsungen. (Ann. 
de l'orjgendorjf, 1S58, l. CIII, p. 3^2 et 543.) 



16* 



242 



PHYSIQUE 



M. IZAElî 

Professeur au Lycée de Clermoat-Ferrand. 



MODIFICATION DE L'APPAREIL A EXCENTRIQUES DE LISSAJOUS POUR LA COMPOSITION 
DE DEUX MOUVEMENTS VIBRATOIRES RECTANGULAIRES 



— Séance du n septembre 1892 — 

L" appareil classique en question ne permet que la composition des Vi- 
brations de même période. Par l'emploi des profils sinusoïdaux, je l'ai 
transformé de façon à le faire servir à la démonstration générale. 




A et B, disques à profil sinusoïdal du même nombre de dents, montés 
sur le même axe qu'une manivelle met en rotation. A est fixé sur l'axe 
définitivement, B peut recevoir des positions variables grâce au bouton 
de serrage S circulant dans la rigole circulaire R. On fait ainsi varier la 
phase à volonté. 

Les lentilles sont attachées aux extrémités des bras D et D' mobiles au- 
tour de G et C, la ligne ce' passant par l'axe de rotation. Ces bras por- 
tent chacun un galet qui appuie constamment sur le profil correspondant, 



IZARN. — MÉCANISME DES ONDES STATIONN AIRES 243 

grâce à des caoutchoucs ou à des ressorts à boudin que l'on tend plus 
ou moins, au moyen des clefs F F', afin d'empêcher tout sautillement. 
Ces galets sont distants des points C et C d'une quantité égale au rayon 
des disques. 

Au système des disques AB on peut très rapidement substituer un 
autre système, dans lequel les nombres de dents soient dans les rap- 
ports 1/2, 1/3, 2/3, 3/4, ..., etc., et obtenir ainsi toutes les figures 
connues. Il suffît pour cela de retirer les deux clefs, de rabattre en dehors 
les deux bras et de soulever deux petits tourniquets qui appuient sur 
l'axe en avant et en arrière. La même manivelle sert pour tous les couples 
de disques. 

Les disques étant assez grands, on peut obtenir un déplacement suffi- 
sant des centres des lentilles, tout en ne donnant aux dents du profil 
qu'une très faible profondeur, et atténuer ainsi, autant qu'on le désire, 
la résistance au mouvement. 



M. IZAEIf 

Professeur au Lycée de Clermont-Ferraiid. 



APPAREIL DÉMONTRANT LE MÉCANISME DES ONDES STATIONNAIRES 



— Séance du •/? septembre 1892 — 

Cet appareil est destiné à rendre tangible le mécanisme des ondes 
statiounaires aux personnes peu familières avec l'interférence des ondes 
lumineuses, et à leur permettre en particulier de se rendre compte du 
procédé de M. Lippmann pour la photographie des couleurs. Il peut 
servir naturellement aussi à faciliter la compréhension du même phéno- 
mène en acoustique, et il montre d'une façon frappante les alternatives 
de condensation et de dilatation aux points nodaux. 

Voici le schéma du dispositif adopté : 

Deux règles A, B, ù profil sinusoïdal (I), peuvent se déplacer dans le 
sens de leur longueur, et le mouvement de l'une, A, en avant (rayon 
direct), entraîne, par un mécanisme quelconque facile à concevoir, celui 
de l'autre, B, en arrière (rayon réfléchi). 



2ii PHYSIQUE 

Contre les profils de ces règles s'appuient constamment, grâce à des res- 
sorts (non figurés), des couples équidislants et aussi nombreux qu'on le 
voudra et que le comportent les longueurs des règles, de petites ba- 
guettes rr à roulettes. On a représenté seulement deux de ces couples 
dans la figure I. 

La figure Ip, qui est une coupe passant par la ligne MM', montre que 




o 



c 



les extrémités antérieures des deux baguettes d'un même couple servent 
d'attache aux deux sommets opposés d'un parallélogramme articulé, dont 
les deux autres sommets, munis d'anneaux a, a', laissent passer libre- 
ment une tige armée d'une boule P, tige qui, se recourbant en dessous, 
peut glisser dans une gaine g. 

La figure Ij„ représente le même couple lorsque les deux règles occu- 
pent les positions relatives qu'indiquent les lignes poinlillées, et elle rend 
visible que, quelles que soient ces positions relatives, la boule B doit 



CH. FÉRY. — SUR UN NOUVEAU RÉFRACTOMÈTUE 245 

rester immobile, le mouvement n'ayant pour effet que de déformer le 
parallélogramme ; les baguettes s'avancent toujours en effet l'une vers 
l'autre ou s'écartent l'une de l'autre de la même quantité en même temps. 

Les figures L et I^,, se rapportent à ce qui se produit pour un couple 
de baguettes situé à une distance du précédent égale à un quart de lon- 
gueur d'ondulation, et représentent une coupe faite suivant la ligne KK'. 
Ici on voit que le mouvement, au lieu de déterminer la déformation du 
parallélogramme correspondant, se borne à le transporter latéralement à 
droite et à gauche alternativement, la tige de la boule Q glissant alors 
dans la gaine g. 

Ces explications sont suffisantes pour établir que, par le fait de la com- 
binaison des mouvements inverses des deux règles, les boules (qui repré- 
sentent les molécules d'éther) seront alternativement toujours en repos 
ou toujours en oscillation (nœuds et ventres fixes). 

En déplaçant originairement l'une des règles par rapport à l'autre 
d'une quantité quelconque, on observe l'effet produit par un changement 
quelconque de la phase, par exemple celui d'une demi-longueur d'onde 
qui accompagne le phénomène de la réflexion. 

Dans l'appareil réel, les règles sont remplacées par deux rubans d'acier 
sans fin, mis en mouvement par une manivelle et un engrenage conique, ce 
qui permet, au lieu d'un mouvement intermittent, d'obtenir un mou- 
vement continu, comme si les deux règles ci-dessus étaient indéfiniment 
prolongées. 



M. Ch. TÉRT 

Préparateur à l'École municipale de Physique et de Cliimie, à Paris, 



SUR UN NOUVEAU REFRACTOMETRE 



— Séance du 19 leptemln-e 1892 — 

I, — On a signalé depuis longtemps l'importance de la détermination 
des indices de réfraction des corps et en particulier des liquides; l'indice 
est en effet une caractéristique de la matière au môme titre que la densité, 
le pouvoir rotatoire, etc., etc. 

Dans ces dernières années, l'attention des chimistes s'est portée plus 



■^46 PHYSIQUE 

particulièrement de ce côté, et Gladstone, Date, Landolt, Wiillner, Haagen 
et d'autres savants sont arrivés à des lois simples permettant de faire, 
au moyen des indices, une véritable analyse optique des composés 
organiques. 

A un point de vue moins élevé, mais très intéressant également, la 
détermination de cet élément peut, dans un grand nombre de cas, donner 
des indications précieuses sur la pureté des corps et déceler les falsifica- 
tions auxquelles un grand nombre de produits commerciaux sont soumis. 

Si Ton considère que, pour une même substance, les corps frauduleux 
sont généralement connus et peu nombreux, on peut, jusqu'à un certain 
point, apprécier la quantité du falsifiant. 

Enfin, le chimiste trouvera dans la détermination des indices, un pro- 
cédé rapide de dosage des solutions au moyen de tables dressées dans ce 
but; la détermination do l'indice est en effet plus rapide, plus exacte et 
demande beaucoup moins de liquide que la mesure de la densité. 

Diverses opérations industrielles pourront aussi être conduites sûre- 
ment par des mesures successives de l'indice, l'achèvement d'une réac- 
tion étant indiqué par une variation brusque dans la réfraction du liquide, 
ainsi que l'auteur a pu le constater. 

Il est certain que, pour ces divers emplois, il ne faut pas songer à la 
méthode classique du prisme à liquides et du goniomètre, trop longue et 
d'un maniement assez délicat. 

Aussi plusieurs appareils d'un emploi plus facile ont-ils été imaginés ; 

mais bien que la plupart reposent sur des principes très ingénieux, aucun 

ne remplit encore les conditions multiples exigées. Un tel appareil doit 

en effet être rapide, sensible, ne nécessiter l'application d'aucune formule, 

et surtout ne demander aucun réglage ni manipulation délicate influant 

sur l'exactitude du résultat; enfin ce résultat doit être exprimé en indices, 

sin i 
c'est-à-dire donner par une simple lecture le rapport - — , seul comparable 

aux chiffres obtenus par d'autres expérimentateurs. 

C'est cette lacune que j'ai cru combler en imaginant l'appareil que je 
vais décrire. 

II. — Le principe sur lequel repose mon appareil est très simple : il 
consiste à annuler par un prisme solide d'angle variable et d'indice cons- 
tant, la déviation imprimée à un rayon lumineux par un prisme creux 
d'angle fixe rempli du liquide dont on veut déterminer l'indice. 

L'angle que devra avoir le prisme solide permettra d'évaluer l'indice 
inconnu du corps à étudier. 

En effet, si nous prenons des angles prismatiques assez petits pour que 
la formule approchée i 

. . . - r=z n 

r 



247 



CII. FERY. — SUR U\ NOUVEAU REFRACTOMETRE 

soit applicable, quand un rayon ayant traversé l'ensemble des deux prismes 
sortira parallèle à sa direction d'incidence, nous pourrons écrire : 



[n 



l)a = (x-i)- 



(1) 



égalité dans laquelle n est l'indice du prisme à angle variable, -3- l'angle 

du prisme à liquide, ce qui permet de tirer x — i; x étant l'indice du 
liquide inconnu, connaissant l'angle a du prisme variable. 

Ce dernier prisme est constitué par 
une bande de verre découpée radiale- 
ment dans une lentille; dans une telle 
lame l'angle varie d'une manière conti- 
nue du centre optique de la lentille où 
il est nul, jusqu'aux bords où il a une 
valeur déterminée. 

Il serait dilTicile de mesurer en chaque 
point l'angle que forme le plan tangent à 
la surface courbe avec la face plane; il 
est plus facile de l'évaluer en fonction 
de la distance qui sépare le point con- 
sidéré du centre optique de la lentille. 

Considérons donc une lentille plan convexe (forme employée dans l'ap- 
pareil) (fig. 1). On voit que l'on a : 




FlG. I . 



sm a ::= 



K' 



d distance du point considéré à l'axe optique ; 
R rayon de courbe. 

Les angles ayant été supposés assez petits, on peut écrire 

d 



à ce degré d'approximation l'angle est donc proportionnel à la distance d 
et l'égalité (1) devient : 



d'où : 
en posant 



a; — 1 = K X c^ 



(3) 



248 PHYSIQUE 

La simple mesure du déplacement qu'il aura fallu donner à la lentille 

pour compenser la déviation due au prisme 
liquide permettra donc d'évaluer l'indice. 

III. — Pour réaliser ces conditions d'une 
manière commode, les deux faces d'un 
prisme à liquides d'angle assez petit, ont 
été constituées par deux lames de glace 
identiques, planes à l'intérieur et convexes 
extérieurement. 

L'emploi des deux lames identiques 
évite le déplacement latéral qui se pro- 
duirait dans un système dissymétrique. 

Quand la cuve est vide, le rayon sor- 
tant sans déviation passe par les centres optiques et 0' des deux len- 
tilles (fig. 2), car en ce point l'angle a est nul, devant satisfaire à la relation : 




FiG. 



# 



(n — 1) X = (1 



0-^ 



l'indice de l'air étant pris pour unité. 

Si l'on introduit un liquide dans le prisme, le rayon qui passait pri- 
mitivement en B est dévié en B', mais on pourra trouver un autre point 
de la cuve, C par exemple, où la relation soit satisfaite. La distance des 
deux points et C donne donc {x — 1). 




Fig. 3. 



Description de l'appareil. — L'appareil a été construit par M. Pellin, 
à Paris. La figure 3 est une vue d'ensemble qui permet d'en saisir le 
fonctionnement mécanique. 



CH. FÉRY. — SUR UN NOUVEAU RÉFRACTOMÈTRE 249 

La lumière monochromatique sodée provenant d'un brûleur D tombe 
sur la fente du collimateur B; cette fent(^ qui est large, porte un réticule 
vertical. L'ensemble de la fente et du réticule peut être légèrement dé- 
placé pour le réglage de l'appareil, par une vis visible sur la figure. 

Les rayons sortant du collimateur tombent sur la cuve et sont reçus 
ensuite dans une lunette ordinaire à réticules disposés en croix de Saint- 
André. 

La cuve est portée par une plate-forme en verre noir et se déplace sui- 
vant sa longueur, perpendiculairement à l'axe optique de l'appareil, au 
moyen d'un bouton moleté placé au-dessous de la lunette. 

Dans son mouvement rectiligne, la glissière portant la cuve entraîne 
un vernier V qui se déplace devant une graduation fixe E donnant direc- 
tement les deux premières décimales de {x — 1), le vernier au - donne 
les millièmes. Chaque centième d'indice est représenté par un millimètre 
environ sur la graduation de l'appareil de laboratoire. 

IV. — Réglage cle Vappareil et mesure. — La cuve étant vide, on place 
le vernier au zéro, puis on met au point le réticule en croix de la lunette, 
au moyen de l'oculaire ; le réticule vertical de la fente est mis au point 
à son tour par le tirage de la lunette, puis on l'amène sur le croisement 
des fils de l'oculaire, au moyen de la vis de réglage du collimateur et 
sans toucher au vernier qui doit marquer zéro quand la cuve est vide. 

Si le réglage de la lunette est bien fait, le réticule se trouvera dans 
le plan focal de la lunette et ne se déplacera pas par rapport au réticule 
de la fente pour de légers mouvements de l'œil à l'oculaire. 

De ce réglage préalable dépend beaucoup l'exactitude des mesures ; il 
est d'ailleurs très facile à faire et on n'aura plus à y toucher pendant 
toute une série de déterminations, si l'on a soin de replacer toujours bien 
exactement la cuve contre ses butées, ce qui est facilité par le ressort R. 
On met le liquide dans la cuve, l'image du réticule du collimateur dis- 
paraît; on agit alors sur le bouton qui déplace la cuve et, ayant retrouvé 
l'image du réticule, on rétablit la coïncidence; il ne reste plus qu'à lire 
directement sur l'échelle la valeur {x — \) du liquide employé. 

Il n'est pas nécessaire d'emplir la cuve complètement, il est même bon 
de ne pas le faire, pour se laisser la facilité de vérifier le zéro pendant la 
mesure. Dans ce cas, l'image du réticule du collimateur ne disparaît pas, 
mais s'atfaiblit seulement. 

La cuve peut contenir 15 centimètres cubes environ; une épaisseur de 
liquide de quelques millimètres représentant 2 centimètres cubes est suf- 
fisante pour voir le réticule de la fente et faire une bonne mesure ; d'ail- 
leurs, la hauteur du liquide dans la cuve n'influe nullement sur le résultat. 

Cette propriété de l'appareil est très précieuse dans le cas des liquides 
rares dont on n'a qu'un petit échantillon. 



250 PHYSIQUE 

V. — Mesure de l'indice pour d'autres raies. — Tout ce qui précède se 

rapporte aux mesures d'indice par rapport à la raie sodée pour laquelle 

(n I) 

la constante K de l'appareil 2 — -rr — est faite égale à l'unité. 

An 

Si on change la radiation employée, la constante renfermant n (indice 
de la matière des lentilles) variera également. 

Il est facile de calculer la nouvelle constante, mais on peut aussi la 
déterminer expérimentalement au moyen d'un liquide dont l'indice est 
connu pour la radiation employée et à la température de l'expérience. 
Cette nouvelle valeur de K est d'ailleurs toujours très voisine de l'unité. 

La constante pour le sodium étant 1, voici quelles seraient les va- 
leurs de K pour d'autres radiations; ces chiffres se rapportent au crown 
ordinaire employé en optique et à la glace de Saint-Gobain, il sont été 
calculés d'après les indices de ces matières, mesurés par M. J.-B. Baille. 

RAIES B C D fo F G H 

Glace de Saint-Gobain . 0,992 0,994 1,000 1,007 1,0H 1,022 1,033 
Crown de Feil 0,996 0,997 1,000 1,007 1,013 1,023 1,032 

Après une réparation de la cuve, ou dans le cas de remplacement de 
cette partie de l'appareil, il est bon de vérifier la constante au moyen 
d'un liquide d'indice connu. L'eau est très convenable pour cet objet, 
son indice est bien déterminé et varie très peu avec la température, de 
sorte qu'une erreur sur ce facteur ne donne qu'une variation très faible 
de la constante. 

Dans le cas où la cuve ne renferme pas le centre optique des lentilles, 
ce qui donne une plus grande sensibilité pour une même longueur de 
cuve, il faut faire deux déterminations avec des liquides d'indice connu, 
dans les conditions de l'expérience. 

VL — L'appareil peut se prêter également à la mesure des indices des 
prismes solides, dont il n'est pas besoin de connaître l'angle ; la seule 
condition est que l'angle du prisme ne soit pas supérieur à celui de 
la cuve. 

La détermination comporte deux lectures à l'appareil : 

1° Dans ce cas le prisme est supporté par une pince P à l'intérieur de 
la cuve (cette pince est ajoutée à l'appareil ordinaire), l'angle tourné vers 
le sommet de cette dernière, on mesure comme dans le cas des liquides 
le déplacement nécessaire pour ramener l'image du réticule vertical au 
croisement des réticules de l'oculaire. Soit G ce déplacement; 

2" On verse dans la cuve un liquide dans lequel le cristal est insoluble 
et dont on connaît l'indice. Soit / la nouvelle lecture. 



CH. FÉRV. SUR UN NOUVEAU RÉFRACTOMÈTRE 251 

Supposons, pour plus de généralité, que la constante ne soit pas l'unité 
et qu'on ait pour le liquide d'indice N employé une déviation 

K/ = (N — 1) 
l = nombre lu sur l'échelle de l'appareil ; 

soient enfin A l'angle de la cuve et a celui du cristal à mesurer (ces 
quantités disparaissent dans le calcul). 

La première lecture qui donne lieu au déplacement C doit satisfaire à 
l'égalité : 

CK = «(^) 
X étant l'indice inconnu du cristal. — La deuxième mesure donne :. 

Enfm le liquide seul a donné une déviation telle que : 

IK = (N — 1). 

En éliminant (N — 1), A, a, entre ces trois égalités, on trouve : 

IC 
X — l = 



t — < C + /.) 



et simplement : X — 1 = ,^ . ^ tt--, si la constante est 1. 

^ ^ — [C + (iN — 1)J 

VIL — Formule exacte de Vappareil. — Il est intéressant de connaître 
l'erreur due à l'emploi de la formule approchée pour différentes valeurs 
de l'angle A de la cuve. 

Calculons donc le déplacement qu'il faut donner à une cuve d'angle A 
et constituée par une matière d'indice n, pour annuler la déviation due à 
un liquide d'indice x. 

Ce déplacement est d = R sin a, en appelant R le rayon de la face 
courbe. 

Il faut donc déterminer Tanglc a. 

La cuve étant symétrique de part et d'autre de la bissectrice de l'angle 
intérieur, il nous suffit d'étudier la marche du rayon dans une moitié de 
l'appareil. 

En remplaçant la sphère par son plan tangent au point considéré, le 
problème revient à trouver l'angle a d'un prisme d'indice n qui, accolé à 

\ 

un prisme d'angle -^ et d'indice x, détruit sa déviation. 



232 . PHYSIQUE 

Le rayon FG étant normal à la bissectrice OM (fig. 4), le prisme à 
liquide donne : 



X 

n 



sin(- + a 



sin 



9 



La déviation 3 du rayon au point H devant être la même que celle 
produite en G, on peut écrire pour le prisme solide : 



\^ 



1— 




FiG. 4. 



n 



sin (a - -^ 



sm I a — — — 



En éliminant S entre ces deux équations et 
tirant a on trouve : 

A 



{x — 1) sin 



tga 



^- 



. A A 

v} — «■■' sm* — — cos — 



qui, combinée à d = R sin a, donne le déplacement correspondant à 
l'indice x. 
Voici le résultat du calcul, dans lequel on a pris : 







A 


— 15° 








n 


= 1,52 








R 


= 39'='"84 

Erreur 




X — 1 


d 




[x — 1) - d 


(X - 1) - d - 


0,0000 


0,0000 




0,0000 


+ 0,0007 


0,1000 


0,0996 




- 0,0004 


-r 0,0003 


0,2000 


0,1989 




— 0,0011 


- 0,0004 


((,3000 


0,2993 




- 0,0007 


0,0000 


0,4000 


0,3996 




— 0,0004 


-f- 0,0003 


0,5000 


0,5000 




0,0000 


4- 0,0007 


0,6000 


0,5997 




— 0,0003 


+ 0,0004 


0,7000 


0,6996 




- 0,0004 


+ 0,0003 



On voit que l'erreur est toujours dans le même sens (3"^ colonne) et 
aussi que cette erreur est nulle pour un liquide de même indice que celui 

des lentilles. En effet, à ce moment l'angle a doit être égal à -^ et la cuve 



CH. FÉRY. — SUR LN NOUVEAU RÉFRACTOMÈTRE 

devient une lame homogène à faces parallèles, traversée perpendiculaire- 
ment par le rayon. 

La détermination pratique de la constante se faisant avec de l'eau dis- 
tillée, l'erreur est alors représentée par les chiffres de la dernière colonne 
du tableau, e représentant la distance séparant le centre optique de la 
cuve de l'axe optique de l'instrument, quand l'appareil est au zéro. 

Les erreurs sont dans ce cas plus faibles, étant tantôt positives, tantôt 
négatives, il y a comme dans la colonne (x — 1) — d deux points où 
l'erreur est nulle : pour un indice de 1,15 environ et pour 1,33. 

YllI. — Si dans la formule : 



O* rr — 


{x — 1) sm — 


,g a - 


— 




i / * A A 

\/ n- — x^ sin^ -r- — cos — 

2 2 



nous faisons A très petit, nous retrouvons la formule approchée (1) indi- 
quée précédemment : 

n — 1 

Si nous remarquons que, pour un angle de lo° pris comme exemple 
dans le calcul numérique, les erreurs (x — 1) — d -\- z sont inférieures 
à 0,001, nous voyons qu'on peut obtenir d aussi voisin de (x — 1) qu'on 
le désire. 

Pour une même valeur de A, la sensibilité de l'appareil ne dépend que 
de la longueur de la cuve, et le rayon de courbure de la sphère des len- 
tilles devra croître proportionnellement, car, pour de mêmes limites, la 
valeur de a sera la même et on aura : 

d d' 

ï^ = ï^, = sma; 

pour des applications particulières on peut n'augmenter que le rayon de 
courbure en limitant la cuve à la région utilisée. L'erreur dans ce cas 
sera même moins forte entre les limites considérées, et on pourra aug- 
menter la sensibilité en agissant sur A. 

M. Pellin, à qui est confiée la construction de l'appareil, exécute des 
cuves de toutes les sensibilités et fonctionnant entre des limites quel- 
conques. 

Dans tous les cas, la graduation est telle que les lectures donnent dii'ec- 
tement l'indice du liquide mesuré. 



2o4 PHYSIQUE 

Le calcul numérique pris pour exemple se rapporte à l'appareil cou- 
rant de laboratoire mesurant tous les indices entre 1,33 et 1,70; le dépla- 
cement de la cuve est d'environ 1 millimètre pour une unité de la 

deuxième décimale. Le vernier au ^ permet d'apprécier ^ et, avec un peu 

d'habitude. 



10.0000 



M. A. PICÏÏE 

Président de la Commission météorologique des Basses-Pyrénées, à Pau. 



L'ÉLECTROPHORE A ROTATION 



— Séance du SI septembre 4892 -- 

Quoique, en qualité de simple amateur je sois fort indigne de prendre 
part à vos travaux, permettez-moi de vous montrer l'électrophore à rota- 
lion que j'ai inventé à Pau, en décembre I860. 

Cet appareil a son importance, puisqu'il a devancé la machine Bertsch, 
et servi de point de départ à la machine Carré, aujourd'hui répandue 
dans tous les cabinets de physique. 

Les circonstances de cette invention sont, d'ailleurs, assez singulières. 
Retenu l'hiver au coin du feu par la maladie, je m'amusais à sécher des 
feuilles de papier, à les frotter avec la main ou avec une brosse à habits, 
et à observer les étincelles qu'on en tire et surtout les phénomènes cu- 
rieux d'adhérence qu'offrent des bandes superposées, après qu'on a frotté 
la bande supérieure. 

En entrecroisant quatre bandes et laissant dépasser leurs bouts, deux à 
deux, je pouvais suspendre un kilogramme à l'extrémité inférieure de 
ces bandes, fortifiée par un petit morceau de carton collé. 

En tendant sur deux cerceaux des feuilles de papier bulle, en brossant 
le papier du cerceau le plus grand posé sur un tapis, et en plaçant à l'in- 
térieur le cerceau le plus petit, dont le papier portait au centre une de 
ces feuilles d'étain qui enveloppent les chocolats, j'avais obtenu un élec- 
trophore, qui me donnait étincelle négative, puis positive, quand je sou- 
levais obliquement le petit cerceau, ou que je l'abaissais de nouveau. 

Ou bien encore, je plaçais mon grand cerceau électrisé sur les bras 



A. PICHE. — l'ÉLECTROPHORE A ROTATION 2oO 

d'un fauteuil et tenant le petit cerceau à faible distance, j'avais les deux 
sortes d'étincelles, selon que j'approchais ou que j'éloignais ce dernier, et 
même quand je le déplaçais latéralement. 

J'en étais là de ces expériences amusantes, quand je lus dans le Cons- 
titutionnel un article de M. de Parville racontant les merveilles de la ma- 
chine de Holtz, qu'il avait vu fonctionner chez Ruhmkorfï, et qu'il don- 
nait comme mystérieuse et inexplicable. 

Mais l'explication est fort simple, me dis-je, c'est un électrophore à 
rotation et je puis en faire un plus simple encore, immédiatement. Au 
lieu de déplacer latéralement mes cerceaux par un mouvement de va-et- 
vient, je n'ai qu'à faire tourner un disque de papier, dont la partie su- 
périeure sera polarisée par une bande de papier électrisé, et à recueillir 
les deux électricités du disque par deux pointes placées derrière lui, l'une 
en haut, l'autre en bas ; si mes pointes sont reliées à des conducteurs 
isolés, dont les extrémités rapprochées se termineront par des boules de 
métal, il jaillira entre elles de petites étincelles formant ruban de feu. 

Aussitôt dit, aussitôt fait ; je découpe un disque de fort papier bulle, 
je le pique avec trois épingles, sur un bouchon percé dans son axe et 
enfilé au bout d'un vieux tube barométrique assez épais. Je place le tube 
sur les barreaux inférieurs d'une chaise, le disque de papier tourné vers 
le foyer et j'appuie l'extrémité libre du tube contre une grosse bûche 
dressée, afin d'empêcher mon tube d'osciller en long. J'avais ainsi un 
disque de matière non conductrice, pouvant tourner sur son axe, sous 
l'action de la paume de la main passée légèrement sur le tube. 

Je prends un autre tube de verre, je le plante verticalement dans un 
bouchon fixé sur une planchette formant pied. J'enroule, au milieu du 
tube et en haut, deux spirales de fil de fer, dont une des extrémités, ap- 
pointie, devait servir à recueillir les électricités contraires du disque, tandis 
que l'autre extrémité, recourbée, armée des petites boules de cuivre (que 
j'avais dévissées de mes pelle et pincette), formait les deux pôles entre 
lesquels j'espérais voir jaillir les étincelles. Je place ce récepteur der- 
rière mon disque. 

Puis j 'électrisé fortement une bande de papier bien desséché ; la tenant de 
la main gauche, je la présente en face de la moitié supérieure du disque, 
qui la sépare ainsi de la pointe supérieure, tandis que de la main droite 
je fais tourner rapidement l'axe du disque. 

Aussitôt je vois jaillir, entre les boules de cuivre, une série d'étin- 
celles de un millimètre ; j'avais trouvé l'électrophore à rotation sous sa 
forme la plus simple. 

J'ai cru devoir vous raconter cette expérience primitive, Messieurs, 
parce qu'elle montre comment, en matière d'invention, on peut tirer 
parti des premiers objets qu'on a sous la main. 



236 PHYSIQUE 

C'est ainsi qu'en jouant avec des tubes de verre, j'ai inventé, en 1872, 
l'évaporomètre, si répandu aujourd'liui ; et qu'en m'amusant avec un 
pulvérisateur, j'ai pu faire ces curieuses expériences sur les vents plon- 
geants et ascendants, qui ont été présentées au Congrès de Toulouse 
en 1887, et reproduites dans le Cosmos. 

Je vous fais grâce des modifications successives apportées à ma ma- 
chine et me borne à vous la présenter sous sa dernière forme, encore 

inédite. 

Quoique grossièrement construite, quoique la cage en bois empêche 
une forte tension, je parviens à tirer d'un simple disque de papier par- 
chemin séché à l'aide d'un fer à repasser, ou placé devant le feu, des 
étincelles sinueuses de 5 centimètres, qui offrent tous les caractères 
lumineux et bruyants d'un petit éclair. 

Je suis persuadé que si la cage, le disque et la plaque à frotter, source 
d'électricité, étaient en ébonite ou en celluloïd, on obtiendrait 10 centi- 
mètres d'étincelles, avec un disque de 3o centimètres de diamètre. 

Dans l'état actuel, la cage est une boîte rectangulaire de 40 centimètres 
de hauteur, sur 32 de largeur et 15 d'épaisseur ; et le disque n'a que 
2o centimètres de diamètre. 

L'une des grandes faces porte à l'extérieur le mécanisme de rotation, 
tandis que l'autre, ouverte et entourée d'une rainure, permet de placer 
devant le disque soit une plaque de caoutchouc durci, soit même une 
plaque de Holtz avec ses fenêtres et ses armatures. 

La face supérieure (une des deux faces les plus petites du parallôlipipède) 
est traversée par les conducteurs, bien isolés dans des colonnes d'ébonite, 
qui portent les tiges à glissement armées de boules, entre lesquelles 
jaillissent les étincelles, et dont on règle l'écart à volonté. 

Cette forme est très commode et très avantageuse, en ce que, sous 
un petit volume, on a tout sous la main et sous les yeux. 

On tourne la manivelle de la main droite, pendant qu'on bat, de 
temps en temps, la plaque de caoutchouc durci, avec une peau de chat 
ou un foulard de soie, pour lui restituer sa tension électrique ; et la face 
supérieure sert de petite table pour disposer les expériences qu'on peut 
varier à l'infini, en changeant disques, boules ou pointes, en interposant 
ou non des condensateurs, en faisant éclater les étincelles dans l'air ou 
dans des gaz plus ou moins raréfiés, sur l'eau ou dans l'eau. 

Les étincelles jaillissent sous les yeux, à bonne hauteur, et on peut les 
étudier tout à son aise. 

J'estime que cette machine, bien construite, serait plus démonstrative 
que celle de Carré et qu'elle permettrait de faire un plus grand nombre 
d 'expériences c 

Enfin, si on veut se contenter d'étincelles de 5 centimètres, on pour- 



L. BEDOUT. — COMPTEUR DENSI-VOLUMÉTKIQUE 257 

rait la construire à si bas prix (dix francs au plus) qu'on pourrait en 
doter nos écoles primaires, où tend de plus en plus à s'introduire l'ensei- 
gnement scientifique par l'aspect. 

Je me ferais, du reste, un plaisir d'envoyer des dessins précis à tout 
constructeur qui voudrait reproduire cette machine électrique, qui est le 
véritable type de l'électrophore à rotation. 



M. Louis BEDOUT 

à Cazaubon (Gers). 



COMPTEUR DENSI-VOLUMÉTRIQUE 



~ Séance du 17 septembre {892 — 

I. — Jusqu'à ce jour, la science française n'avait pas établi de compteur 
à alcool. Nous étions tributaires des constructeurs étrangers, principale- 
ment des Allemands ou des Autrichiens. 

Siemens, Dolainski, Veiser et Beschorner ont fait divers compteurs, 
peu variables les uns des autres, et qui tous ont, d'ailleurs, des inconvé- 
nients graves qui les ont fait écarter par l'industrie française. L'alcoomètre 
métallique de Siemens n'a pas la sensibilité suffisante pour arriver à des 
données mathématiquement exactes; le compteur Dolainski n'enre-^istre 
lui, que le volume apparent, sans se préoccuper de la densité et de la 
température. Ce sont les seuls usités. 

Le compteur à alcool que j'ai l'honneur de vous décrire a subi déjà, 
avec succès, des épreuves rigoureuses d'essai devant une commission 
déléguée par le Ministère des Finances chez mon constructeur, 3L\L Ri- 
chard frères, de Paris. 

Ce compteur a pour but de mesurer automatiquement le volume d'alcool 
coulant à l'éprouvette et de fournir les éléments pour déterminer la 
quantité d'alcool pur produit par un alambic de distillation. 

Pour cela, il donne les trois éléments essentiels : le volume la densité 
et la température moyennes de l'alcool à sa sortie du serpentin. 

Il s'adapte à l'origine du serpentin et se compose extérieurement d'une 
caisse métallique rectangulaire de dimensions variables. 

17- 



258 CHIMIE 

n. — Description. — Le compteur se compose de trois parties prin- 
cipales (fig. 1 et ^j : 

1° Un réservoir distributeur E dans lequel l'orifice plombé du serpen- 
tin I déverse l'alcool ; 




Fig. I. — Coupe. 



2" Une balance Roberval ou Déranger, dont les deux plateaux sont 
surmontés de deux vases A et B avec leurs accessoires ; 




Fig. 2. — Plan. 



•3* Un bassin T parfaitement isole dans l'intérieur de la boîte pour 
éviter les chocs qui pourraient en modifier la contenance, soigneusement 
déterminée à l'aide d'échelles fixes et que nous appellerons totalisateur. 

Le réservoir distributeur E, à fond incliné vers le tuyau de sortie, est 




FlG. 3 



L. BEDOUT. COMPTEUR DENSI-VOLUMÉTRIQUE 259 

mis en communication avec le serpentin par un tube d'amenée I muni 
de brides boulonnées, susceptibles d'être scellées extérieurement au plomb 
pour éviter l'introduction de substances étrangères aux pro- 
duits de la distillation. L'alcool du réservoir E sort dans 
le filtre D dans lequel il dépose, au moyen de tamis dis- 
posés à sa partie supérieure, les parcelles solides que la 
distillation a pu entraîner, et de là passe dans le vase A. 
Ce vase, soigneusement jaugé, contiendra, par exemple, 
dix litres. Les deux plateaux A et B, vides avec leurs ac- 
cessoires, devront s'équilibrer de la façon la plus exacte. 

Dès que le vase A est plein et que le liquide atteint l'ori- 
fice du tuyau t, l'excédent de ce liquide s'écoule dans le plateau-vase B. 
Lorsque la même quantité d'alcool est passée dans le vase B, celui-ci 
s'abaisse et instantanément le coup brusque et simultané du taquet e 
sur la partie gauche du fléau précipite le marteau M sur le taquet e' situé 
à droite du couteau. Entraîné par ce poids supplémentaire, le plateau B 
déverse précipitamment son contenu dans le récipient entomioir G qui le 
conduit daus le fût. 

Pendant que le plateau s'incline, le vase i reçoit le jet et le restitue 
pour la prochaine pesée au plateau B qui se redresse sous le poids du 
liquide resté dans le vase A toujours plein. Le plateau B, relevé, reprend 
à l'aide du galet g butant sur le point fixe x aidé de son contrepoids. 

Le marteau M, mobile sur son centre, fixé au support de la balance, 
rencontre chaque fois qu'il s'abaisse une tige qui actionne un mouvement 
d'horlogerie chargé d'enregistrer le nombre de fois que le plateau B se 
vide, c'est-à-dire le nombre de pesées, dans notre espèce, de dix litres 
chacune. 

Le vase B est soutenu par une tige en fourche faisant corps avec le 
bras droit f de la balance. Les deux bras de cette fourche sont réunis par 
un axe entouré d'un manchon appartenant au vase B et participant à 
son mouvement de renversement d'environ un angle de 4o degrés. Dans 
cet axe, f est pratiqué un récipient rigoureusement jaugé, appelé chambre 
de jauge, d'une contenance, dans notrg espèce, d'un 
centilitre. Cette chambre (fm. 4] est mise en com- 
munication avec le liquide du vase B par une ou- 
verture pratiquée dans le manchon ; elle est pleine 
au moment où le plateau bascule. En tournant de 
43 degrés par rapport à l'horizon, ledit plateau B, 
solidaire du manchon, ferme par celui-ci sa com- 
munication avec la chambre qui, d'autre part, vient communiquer 
avec le bec d'écoulement solidaire du manchon mobile. Des trous d'air 
pratiqués dans le manchon permettent au liquide qui y est contenu de 




ir 

FlG. i. 



260 CHIMIE 

s'évacuer dans l'entonnoir, d'où il s'écoule par un tube dans le totali- 
sateur T. Le centilitre de liquide, pris comme jauge, a la température, 
la densité et le degré moyens des dix litres déversés simultanément par 
le plateau B, dont il faisait partie intégrante. 

Le totalisateur est un réservoir T jaugé à l'aide d'une échelle fixe qui 
facilite la lecture à travers une plaque de verre placée sur la face du 
compteur, au-dessous du mouvement d'horlogerie. Ce réservoir, d'une 
contenance de vingt Utres, toujours dans notre espèce, renferme un 
alcoomètre et un thermomètre à maxima. Dans son tuyau d'amenée est 
disposé un clapet pour empêcher l'évaporation par le vide de l'alcool 

contenu. 

L'alcoomètre et le thermomètre combinés donnent le degré d'ensemble 
des vingt litres, ayant été empruntés par quantités constantes de un cen- 
tilitre à toutes les fractions de dix litres. Ce degré sera le même que celui 
des vingt mille litres pesés. Si nous supposons le degré à 68, l'alambic 
aura distillé 20.000 X 68 = 13.600 d'alcool pur. 

Le mouvement d'horlogerie qui enregistre par dix litres le passage du 
liquide devra accuser aussi vingt mille litres. On peut donc dire que ce 
compteur se contrôle lui-même et conserve un témoin fidèle des opéra- 
tions. 

On observera que le fonctionnement de ce compteur n'est pas lié aux 
quantités prises comme exemple, et que la capacité des vases A et B est 
essentiellement variable. Cette capacité peut être augmentée ou diminuée 
à volonté ; il en est de même pour la chambre de jauge. Il suffît, pour 
arriver à des calculs sincères, de connaître le rapport entre la capacité de 
la chambre de jauge et celle du plateau-vase A. 

Enfin, l'appareil est complété par une double enveloppe métallique 
parant aux chocs qui pourraient altérer les contenances ou le bon fonc- 
tionnement. Tout danger d'explosion à l'endroit des gaz alcooliques pro- 
venant de la distillation est évité par des grillages métalliques convena- 
blement disposés dans l'enveloppe à doubles parois de la boîte pour éviter 
l'introduction de substances étrangères à la distillation. 

Des regards sont ménagés dans l'enveloppe pour suivre l'opération, et 
des portes scellées donnent accès aux organes actifs dans le cas oii cela 
serait nécessaire. 

Tel est l'appareil que j'appellerai compteur à volume constant et à poids 

variable. 

Il est possible de le transformer en un compteur à poids constant el à 
volume variable. Pour cela, il suffira de remplacer le vase-tare A par un 
poids déterminé, dans notre espèce, dix kilogrammes par exemple. A la 
suite d'une série de pesées, à la fin de la distillation, nous aurons par 
le cadran le poids de l'alcool, par le totalisateur la densité moyenne. 



H. HFRRENS. ALMADEN. SES MINES DE MERCURE 261 

Il nous sera donc facile de connaître le volume de la distillation en al- 
cool pur. 

III. — Utilité de l'appareil. — Je ne m'étendrai pas sur les utilités du 
compteur. Elles sont multiples. 

En adaptant à un rectifîcateur industriel un compteur à l'entrée de la 
chaudière et un second compteur à la sortie du serpentin, on arrive à 
calculer exactement la perte de distillation. 

Un industriel veut établir son prix de revient. Il prend un poids déter- 
miné de matière première : betteraves, grains, pommes de terre, topi- 
nambours, etc., etc. Le produit de sa distillation lui sera rigoureusement 
donné par le compteur. 

Enfin, son utilité la plus considérable résulterait certainement de son 
application par l'État à tous les alambics ambulants ou fixes. I^s agents 
de la Régie auraient en lui un aide sûr pour réprimer efficacement la 
fraude chez les bouilleurs, propriétaires ou industriels. Un exercice plus 
sévère, sans augmentation du personnel, serait son principal avantage. 



M. ïï'^ BERREIS 

Chimiste, à Gracia-Barcelone (Espagne). 



ALMADEN. — SES MINES DE MERCURE ET SES DIVERS SYSTEMES DE REDUCTION 

DU MINERAI 



— Séance du 17 septembre t892 — 

Les mines d'Almaden sont remarquables par leur antiquité et par la 
richesse et l'abondance de leurs mines. Le système d'exploitation remonte 
au siècle dernier, et, depuis lors les changements réalisés dans la manière 
de traiter le minerai de mercure sont de peu d'importance, attendu qu'on 
suit encore le système que Saavedra Barba imagina au Pérou en 1633, 
lequel fut importé en Espagne par Bustamante en 1646, et dont il existe 
vingt-deux exemplaires qui fonctionnent àAlmaden, sans qu'on ait trouvé 
le moyen de le remplacer avantageusement, bien que plusieurs essais et 
le bon vouloir n'aient pas fait défaut. 

En 1806, on établit les fours de chambres qui se communiquent entre 
elles comme dans l'appareil de Woolf et qui reçoivent une charge de 



262 CHIMIE 

vingt-quatre tonnes. La disposition générale fut copiée des appareils em- 
ployés aux mines d'Idria (Aulriche) qui étaient et sont encore propriété 
de l'État. Ces fours portent le nom d'Idria à cause de leur origine ; l'opé- 
ration réductrice dure huit jours ; et s'ils continuent de fonctionner, ce 
n'est certes pas à cause de leur mérite sur les fours Bustamante. 

Il y a de cela une douzaine d'années, on construisit des fours à réver- 
bère dans le but de distiller les minerais menus dont l'encombrement 
était énorme, mais on dut les démolir à cause de leurs mauvaises condi- 
tions ; ils furent remplacés par une paire de fours Livermoore qui furent 
importés de Californie. Ils sont manœuvres par une quarantaine d'enfants, 
qui sont exposés à bien des misères par suite de cet appareil malsain, 
dont les pertes sont considérables. 

Dans ces conditions, on a décidé d'essayer un nouveau système de 




FIG. 1 



réduction inventé parBerrens. Le ministre des Finances espagnol a ordonné 
qu'on fît, aux frais de l'État, des essais comparatifs, entre ce four nouveau 
et ceux qui sont employés en Espagne. Deux fours de Bustamante furent 
choisis, parmi les meilleurs, pour les essais comparatifs. 

Leur traitement est intermittent, le combustible est très énergique, 
houille et coke, l'opération dure quatre jours. — Le nettoyage est très 
pénible pour l'ouvrier ; il se fait sans eau, avec le balai à sec. —Les pertes 
sont en raison de la température, c'est elle qui est le facteur réfrigérant, 
et lorsqu'elle atteint 25 degrés centigrades au 15 mai, on plie bagage, 
on éteint les feux, qu'on rallume le 15 octobre suivant. On évite ainsi 
des pertes considérables qui dépassent 50 0/0, les scories sortent nettes de 
tout métal ; ce résultat s'obtient par l'emploi exagéré de la houille ou du 
coke, mais les pertes sont plus considérables, bien que les minerais traités 
soient plus riches qu'autrefois, parce qu'à mesure qu'on approfondit l'ex- 
ploitation le minerai est plus riche et plus abondant. 



H. nEHHKNS. ALMADE.N. SKS MINES DE MEUClJflE 263 

Le système Berrens est automatique et sa marche est continue, attendu 
que le remplacement d'un four par un autre sur le foyer ne dure que 
quelques minutes. Ce four mobile F (fig. 1 et 2), placé sur deux essieux 
munis de quatre roues en fonte, se compose d'un cylindre en tôle garni 
intérieurement de briques réfractaires. II contient une tonne de minerai 
qui repose sur une grille en terre également réfractaire. Le foyer oiî le feu 
est permanent est construit entre deux rails articulés sur lesquels le 
véhicule susnommé vient se placer et colloquer le cylindre préalablement 
chargé de sa tonne de minerai. On lute le joint avec de la terre réfractaire, 
pendaut qu'on ajuste de la même façon un tube en tôle H au chapiteau qui 
couvre le cylindre. Ce tube communique avec une chambre de transmis- 
sion qui reçoit le premier jet des gaz et vapeurs qui proviennent du four. 
Elle semble être au même niveau que le four, mais le sol est plus bas et 
incliné, afin que le mercure qui s'y condense puisse s'écouler dans un tube 
placé à son extrémité. 

Ce tube, qui met en communication la dite chambre avec l'appareil 
condenseur qui se trouve à 10 ou 12 mètres plus bas, a une longueur 
relative et son diamètre est de 35 centimètres ; il est en ciment et établi 
sur une assise, en fer très solide ; il joue un rôle très important dans 
l'appareil condenseur, c'est par lui que le refroidissement des gaz ou 
vapeurs qui circulent dans son intérieur s'effectue. Il opère de la même 
façon que le col d'une cornue qui refroidit d'autant plus les vapeurs qui 
partent d'un liquide en ébullition, que celui-ci (le col) est placé plus ver- 
ticalement. Dans l'appareil Berrens, la chaleur, en vertu de ce principe, 
ne descend pas, elle se perd, d'autant plus que les vapeurs mercurielles, en 
sortant du four, suivent constamment une pente descendante. 

L'appareil condenseur (fig. 3, 4 et 5) se compose de vingt-cinq compar- 
timents ; la capacité de chacun 
d'eux est de o à 600 litres, ils sont 
formés de deux cônes soudés à 
leur base avec du ciment; le cône 
supérieur est en tôle et celui d'en 
bas est construit en ciment dans 
la terre, la communication entre 
eux se fait par les cônes inférieurs 
et ils se ramifient dans un quadri- 
latère plein d'eau qui se renouvelle 
et qui couvre les cônes en tôle ; 
la pointe ou le sommet des cônes inférieurs se confond avec des rigoles en 
pente pleines d'eau qui reçoivent le mercure condensé et qui le déversent 
dans un puits récepteur M dont l'eau qui le remplit est à niveau de celle 
des rigoles. On peut extraire le mercure du puits (qui se trouve clôturé 




Fig. 3. — Plan de l'appareil condenseur. 



264 CHIMIE 

et fermé à clef) sans arrêter la marche des opérations ; celles-ci ne s'in- 
terrompent que lorsqu'on doit faire le nettoyage de l'appareil : alors on 
enlève les cônes en tôle, on ouvre la chambre de transmission et 
avec de l'eau projetée et des balais on fait écouler le métal et les suies 
vers le puits; ce travail se pratique sans aucune incommodité pour 
l'ouvrier. 




FiG. /.. — Coupe suivant AB. 

Le tirage se fait au moyen d'un piston aspirateur et refouleur 0, qui est 
rais en mouvement par une machine à vapeur P, la marché de ce piston 
n'a pas dépassé quatre-vingts oscillations par minute, et la feuille d'or 
qu'on a plusieurs fois présentée à la sortie des gaz qui soulèvent les cla- 
pets de l'aspiraieur n'a jamais été salie de la moindre tache de mer- 
cure; il faut dire aussi que les vapeurs, avant d'arriver à la machine 




FiG. 5. — Coupe suivant CD. 



aspirante, étaient obligées de traverser deux caisses remplies de charbon 
végétal. 

La fournée d'une tonne de minerai dure cinq heures, mais en augmen- 
tant la vitesse du tirage, on pourra arriver à une diminution d'une 
heure. 

Quant aux pertes, la Commission scientifique dit dans son rapport 
(fol. 11) qu'elles furent celles que les scories manifestèrent, et qu'on 
peut évaluer à i/2 0/00, et elle ajoute qu'en réalité on ne peut constater 
d'autres pertes. 



H. BERREXS. ALMADEN. — SES MINES DE MERCURE 26o 

Le four Berrens se recommande surtout par son coté hygiénique : toutes 
les opérations, charge, décharge, nettoyage etc., se font en plein air; l'ou- 
vrier est donc à l'abri de toute intoxication. 

Les essais comparatifs ont été faits de la façon la plus correcte ; pour 
ce qui regarde le four Berrens, au dire de la Commission technique qui 
fut investie, par décret royal émané du Ministère des Finances, de facultés 
suffisantes .pour établir et constater la marche des fours et le résultat 
obtenu. Elle voulut que les minerais qu'on distillerait fussent exactement 
ceux-là qu'on distille tous les jours, dont le litre moyen est de 11.60 0/0 
(fol. 14 du Rapport), et que le rendement qu'on obtiendrait dans les fours 
(système Bustamente) San Carlos et San Sébastian, qui sont considérés 
comme les meilleurs de l'établissement, ne servirait de base comparable 
qu'autant qu'il concordât avec la moyenne du mercure obtenu dans les 
cinq années antérieures. 

Le four Berrens donna un rendement de 12 0/0 de mercure ; les fours 
San Carlos et San Sébastian donnèrent 12,33 0/0. Ce rendement en plus 
surprit au premier abord la Commission, parce qu'elle avait constaté que 
la feuille d'or placée à l'orifice de l'appareil Berrens n'avait pas présenté 
à la vue la moindre tache de mercure, tandis que dans les fours opposés, 
elle en avait été salie complètement; mais elle trouva bientôt la cause 
de cette différence. Elle constata que les scories pesaient 83 kilos de 
plus que ce qu'elles devaient peser, que le rendement en mercure 
était de 35 kilos de plus que celui qu'on devait obtenir, et, de plus, elle 
trouva 112 kilos de suies (dont le titre ordinaire est de 70 0/0) en plus 
de ce qu'on obtient ordinairement. La Commission, dans son rapport 
(fol. 16), dit avec raison « que ces données contradictoires entre elles ne 
peuvent s'expliquer facilement » ; et, se renfermant dans l'indication du 
décret royal, elle porta son attention sur les rendements de tous les 
fours dans les cinq années antérieures, qui sont : 

1886-87 1887-88 1888-89 1889-90 1890-91 

Moyenne de la production . . . 9,47 9,28 9,12 8,74 8,29 

soit en moyenne 8,98 0/0 de mercure ; et si on ajoute le rendement 
moyen des deux fours San Carlos et San Sébastian obtenu dans les essais 
comparatifs, qui est de 12,33 0/0, nous aurons une moyenne de 9,54 0/0. 
Or, comme par le nouveau système, d'après le rapport de la Commission, 
on a extrait de 6,000 kilos minerai le 12 0/0 de mercure, on peut dire 
avec certitude qu'il y a un avantage en faveur du four Berrens de 2,46 
par chaque 9,54, soit un 2o,70 0/0 sur l'ensemble, ce qui représente 



266 CHIMIE 

le quart en plus de la production d'une campagne réglementaire de 
sept mois, qui est à peu près de 50.000 bouteilles contenant chacune 
34 kil. 500 gr. ; soit 12.500 bouteilles en plus à 8 £. st. = 100.000 £. 

Telles sont les conclusions qu'on peut tirer du Rapport que MM. D. Justo 
Egozcue, D. Grégoire de la Régnera, inspecteurs généraux des mines, et 
D. Daniel de Cortâzar, ingénieur en chef des mines, ont présenté au 
ministre des Finances en janvier 1892, à Madrid. — Ce qui domine dans 
ce document, c'est l'esprit de droiture et de justice. — Ces messieurs de 
la Commission, en partant pour Airaaden, doutaient et ne croyaient pas 
à une perfection si complète du nouveau four ; — et c'est avec une 
profonde réserve qu'ils ont fait mention de certaines irrégularités inten- 
tionnelles de la part de MM. les ingénieurs d'Almaden. Ils auraient voulu 
trouver chez leurs collègues de meilleures dispositions pour faciliter leur 
mandat. Quoi qu'il en soit, en faisant la part de conditions évidemment 
erronées, comme ils disent, « le nouveau procédé se présente quand 
même avec avantage sur tout ce qu'on a obtenu jusqu'à ce jour, avec des 
circonstances très intéressantes « . La Commission s'est noblement conduite ; 
elle aurait pu prouver, par les chiffres qui lui ont été fournis par la direc- 
tion d'Almaden elle-même, que le rendement des fours est de plus en 
plus déplorable. En effet, si nous consultons le tableau du mercure obtenu 
pendant les cinq dernières années, on voit que le tant pour cent du 
rendement diminue chaque année, alors que la teneur du minerai traité 
s'enrichit tous les ans, à mesure que son extraction se fait plus profon- 
dément, comme cela est démontré dans plusieurs documents. 

Ce fait anormal s'explique de la sorte ; MM. les ingénieurs d'Almaden, 
pour faire cesser les clameurs qui se répandaient sur les pertes énormes 
que tout le monde constatait en examinant les scories riches encore de 
métal, eurent l'idée d'employer des combustibles très énergiques pour 
la réduction du minerai et de faire durer celle-ci vingt-quatre heures de 
plus qu'auparavant. Par ce moyen empirique, les pertes furent plus consi- 
dérables, mais les scories furent nettes de tout métal, et ces messieurs 
en annonçant qu'ils avaient perfectionné leurs appareils : Voyez nos 
scories, dirent-ils, elles sont propres. Mais cette façon d'agir, qui pro- 
duit à l'État trois ou quatre millions de francs de perte, pourra bien être 
perçue par le nouveau ministre des Finances. 



E. BLANC. — SUR UN MODE PARTICULIER DE CUISSON DES BRIQUES 



267 



M. Edouard BLAIC 



à Paris. 



SUR UN MODE PARTICULIER DE CUISSON DES BRIQUES, USITÉ DANS CERTAINES 

PARTIES DE L'ASIE CENTRALE 



Séance du 20 septembre 4892 



Au cours du voyage d'exploration que nous avons fait en Asie, pendant 
les années 1890 et 1891, nous avons eu l'occasion d'observer un curieux 
procédé employé par les indigènes de certains pays pour la fabrication des 




Galerie d'accès du combustible 



FiG. 1. — Plan d'un four à briques système Tarantchi. 

briques. Ce procédé, très simple et peu coûteux, présente des avantages 
considérables au point de vue des applications, et il donne lieu en même 
temps à la constatation de phénomènes chimiques intéressants en eux- 
mêmes et dont les réactions sont encore à déterminer. 

Ce mode de cuisson des briques est employé dans la partie occidentale 
de la Mongolie, ainsi que dans la Dzoungarie, dans une partie du bassin de 
rili, et notamment par les peuplades qui portent les noms de Dounganes 
-et de Tarantchis (1). 

(1) On appelle Dounganes des populations de race chinoise, pratiquant la religion musulmane, parlant 
chinois, et qui se sont établies dans la Dzoungarie, principalement pour y former des colonies agricoles. 

Les Tarantchis sont des populations de race turco-mongole, habitant la même région, pratiquant la 
même religion, mais parlant un idiome dérivé du djaggataï, et qui ont été subjuguées parles Chinois. 



268 



CHIMIE 



Ces peuples, qui habitent la partie septentrionale et nord-ouest de l'Em- 
pire chinois, c'est-à-dire les frontières de Sibérie, vivent sous un climat 
qui est souvent très chaud en été, mais qui est surtout extrêmement froid 
en hiver. Par conséquent, leurs constructions doivent être faites avec des 
matériaux très résistants au point de vue des variations de température. 
Les variations atmosphériques, dans ces contrées, sont d'autant plus sen- 
sibles qu'elles sont extrêmement brusques et atteignent souvent une très 
grande amplitude dans une période de temps fort courte. L'automne et 
surtout le printemps présentent des alternances de gelée et de dégel plu- 
sieurs fois répétées, accompagnées de variations hygrométriques considé- 
rables. Les écarts de température à l'ombre peuvent dépasser 40 degrés 




FiG. 2. — Coupe verticale suivant AB. 

dans les vingt-quatre heures (1). En tenant compte de l'action directe du 
soleil sur les surfaces qu'il frappe, dans une atmosphère très peu chargée 
d'humidité, l'écart diurne peut être de 60 degrés (de — 15" à -|- 45°). 
L'écart extrême dans la température annuelle est de plus de 120 degrés 
(de — o0° à -f- 70°). 

Dans de pareilles conditions, où presque toutes les roches naturelles se 
désagrègent, on conçoit que bien peu de matériaux de construction soient 
capables de résister, et les briques cuites par le procédé ordinaire s'al- 
tèrent et s'effritent avec une très grande rapidité. Au contraire, les briques 
préparées par le procédé que nous allons indiquer, bien que faites avec la 



M) Au mois de février 1891, après une période de froid très rigoureux qui a duré jusqu'au a, 
nous avons observé, le 2o, à Merw, une température qui, en quelques heures, s'est élevée de-}- 1° à 
-(-26° à l'ombre. Le lendemain matin, 26 février, la température est retombée subitement à — 10°, 
et ce changement a été accompagné d'une tempête de neige qui a duré pendant .trois jours, et à 
la suite de laquelle la température est redescendue, pendant huit jours, jusqu'aux environs de 
— 15", pour remonter ensuite rapidement, mais non pas encore d'une façon délinitive. Ces oscilla- 
tions se sont répétées plusieurs fois avant l'établissement de la belle saison. 



BLANC. — SUR UN MODE PARTICULIER DE CUISSON DES BRIQUES 



269 



même argile que les autres, résistent parfaitement aux intempéries et 
présentent, en outre, une dureté et une cohésion tout à fait remarquables. 
Ce résultat est obtenu simplement par l'action de la vapeur d'eau. 
Le procédé dont il s'agit est intéressant à deux points de vue : 
4° Avec des argiles de qualité médiocre, à peu de frais, et au moyen 
d'appareils d'une grande simplicité, il permet d'obtenir des matériaux 
présentant des qualités de résistance et de solidité tout à fait supé- 
rieures ; 

2° Son principe repose sur des réactions chimiques nouvelles pour 
nous, ou du moins dont l'application n'a pas encore été faite et qu'il est 
intéressant d'expliquer. 




FiG. 3. — Coupe verticale suivant CD. 



Description de l'appareil. — La disposition de l'appareil est la suivante : 
Le four a la forme d'un cylindre vertical surmonté d'un dôme. Générale- 
ment, pour plus d'économie dans la construction ainsi que pour diminuer 
la perte de chaleur, la plus grande partie de la portion cylindrique (les 
deux tiers environ de la hauteur) est creusée dans la terre. Le dôme est 
au-dessus du sol : il est construit simplement en argile et son épaisseur 
à la base est aussi considérable que possible (généralement quatre archines, 
soit 2'",80); il s'amincit vers le sommet. Ce dôme, habituellement en 
plein cintre, est percé à sa partie supérieure d'un trou assez large, qui 
reste ouvert pendant toute la première partie de la cuisson et "qui sert à 
l'échappement de la fumée et des gaz. 

Pour fixer les idées, nous indiquerons les dimensions que l'on donne le 
plus fréquemment à l'un de ces fours, dont le plan et la coupe sont repré- 
sentés dans les figures 1, 2 et 3. On peut donner à la partie cylindrique 
6 mètres de diamètre intérieur et une hauteur de 4 mètres, dont 3 mètres 
au-dessous du niveau du sol et 1 mètre au-dessus. Le trou ouvert au som- 



270 CHIMIE 

met du dôme peut avoir 1™,50 de diamètre au début de l'opération. Au 
niveau du sol est pratiquée dans la partie latérale du dôme une galerie 
étroite qui sert à y introduire et à en extraire les briques : cette galerie est 
bouchée pendant la cuisson. Une partie de la sole horizontale qui forme 
le fond du trou est constituée par une grille faite de briques non juxta- 
posées, et sous cette grille se trouve une chambre servant de foyer et où 
Ton introduit le combustible par une galerie inclinée qui s'ouvre au 
dehors. Trois évents ou cheminées d'appel, d'environ 2o centimètres de 




Fia. 4. — Vue extérieure d'un fuur (d'après une photographie faite par M. Paul Nadar (i). 

diamètre, prennent naissance à l'intérieur du four, tout à fait au bas de sa 
paroi verticale, et vont s'ouvrir à l'extérieur dans le haut du dôme. Au 
début de l'opération, leurs orifices supérieurs sont hermétiquement bou- 
chés avec de l'argile. 

Marche de l'opération. — Les briques sont placées par séries verticales 
dont le plan est en éventail, de manière à rayonner autour de la partie dé 
la sole qui est à claire-voie, et sous laquelle est allumé le feu. Ces briques 
sont fort grosses : elles n'ont pas moins de O"",!! dans leur plus petite 



(1) Le four dont l'élévation est représentée ci-dessus d'après une photographie faite sur place, n'est 
pas construit tout à fait sur le plan qui vient d'être décrit. Il est non pas rond, mais quadrangu- 
laire. Dans ce cas, les cheminées sont au nombre de quatre au lieu de trois, et elles sont placées 
dans les tours qui renforcent les angles. Mais la forme ronde est la plus typique et la plus employée. 
C'est en même temps la plus simple et celle qui donne les meilleurs résultats au point de vue de la 
cuisson des briques. Le système et le mode de fonctionnement sont d'ailleurs identiques. 



É. ULANC. SIR UN MODE PARTICULIER DE CUISSON DES RRIQUES 271 

épaisseur, ce qui leur donne 0°S225 de largeur et 0'",46 de longueur. Des 
briques aussi épaisses auraient peine à cuire jusqu'au centre par les procé- 
dés ordinaires, et il serait même impossible de leur donner un degré de 
cuisson homogène dans toute leur épaisseur. Un four comme celui qui 
vient d'être décrit peut contenir environ 7.000 briques de cette grosseur. 
On ne les accumule pas tout à fait jusqu'au haut du dôme, de manière 
à réserver une chambre au sommet de celui-ci. 

Les briques étant ainsi disposées, on allume le feu et on le pousse sans 
interruption pendant trois jours et demi ou quatre jours. La quantité de 
combustible dépensée pendant ce temps pour une fournée est de trente- 
cinq charges de chameau pesant 7.000 kilogrammes (à 200''- l'une). Le 
combustible employé est une plante annuelle et assez fortement lignifiée, 
ïalhagi camelorum, dont la valeur calorifique est assez considérable (7.000''' 
de cette plante séchée représentent environ 23.800.000 calories). Le troi- 
sième jour, on rétrécit peu à peu l'ouverture supérieure du dôme avec des 
mottes d'argile mouillée, jusqu'à ce qu'elle n'ait plus que 0"',80 à 1 mètre 
au plus de diamètre; puis après avoir laissé tomber la flamme, on bouche 
hermétiquement l'ouverture avec une couverture de feutre trempée dans 
l'eau. On charge cette couverture avec du sable, de manière à lui faire 
fonner une sorte de poche oîi l'on verse constamment de l'eau. En même 
temps, on débouche les trois évents latéraux et l'on ranime le feu que l'on 
entretient très activement pendant quatre jours. Le tirage qui se faisait de 
bas en haut se fait alors de haut en bas ; il doit donc subir un retourne- 
ment pendant lequel la vapeur d'eau qui s'est répandue dans le four à tra- 
vers la paroi de feutre, subit une surchaufl'e et atteint une pression plus 
forte que la pression atmosphérique. 

C'est sans doute cet excès de chaleur et de pression qui donne lieu aux 
réactions chimiques caractéristiques de cette opération. Par la disposition 
qui vient d'être indiquée, on donne au four une portion de paroi filtrante 
qui émet sans cesse vers l'intérieur de la vapeur d'eau. Cette vapeur d'eau 
passe de haut en bas à travers la masse des briques chauffées au rouge et 
leur fait subir une transformation moléculaire particulière. 

Par suite de cette réaction, les briques qui, à la fin du troisième jour, 
étaient d'un rouge clair et d'une consistance médiocre, acquièrent une 
couleur gris foncé uniforme; leur structure prend une apparence poreuse; 
elles deviennent très sonores et d'une grande dureté; leur cassure est 
nette et à vives arêtes, mais sans être vitreuse. Elles prennent, en somme, 
l'apparence de certaines roches trachytiques. Il est probable qu'en effet 
il se forme, sous l'action de la vapeur d'eau, une sorte de trachyte 
artificiel. 

La quantité de combustible dépensée pendant la seconde période de 
cuisson est, pour une fournée, de quarante-cinq charges de chameau pe- 



272 CHIMIE 

sant 9.000 kilogrammes. Le combustible est le même qui a été indiqué 
ci-dessus (branches d'alhagl camelorum). 

Composition des matériaux employés à la fabi'ication des briques . — L'ar- 
gile employée pour la fabrication de ces briques est généralement du lôss 
ordinaire; cependant lorsqu'elles sont fabriquées dans des localités situées 
sur les grands cônes de déjection qui s'étalent au pied des chaînes de mon- 
tagnes avoisinant la frontière sibérienne, comme les Monts Tian-Chan par 
exemple, elles sont faites avec des argiles d'alluvion provenant de la désa- 
grégation des roches qui constituent la charpente de ces montagnes . Ces 
roches sont assez variées; cependant elles appartiennent le plus souvent à 
la famille des diorites ou à celle des serpentines ; ou bien encore ce sont 
des roches amorphes, compactes, de couleur foncée et qui paraissent être 
des argiles métamorphisées. Toutes ces substances, ainsi que les alluvions 
qui en dérivent, contiennent par conséquent des sihcates d'alumine, de 
magnésie, de chaux et de fer. 

Nous n'entreprenons pas de donner ici la formule des réactions qui se 
produisent dans cette fabrication. Nous ne pourrions le faire que d'une 
façon hypothétique, et nous espérons que cette formule pourra être déter- 
minée d'une façon plus certaine (lorsque le laboratoire de l'École des Ponts 
et Chaussées, auquel nous avons transmis un échantillon rapporté par 
nous, en aura fait l'analyse). Cependant on peut présumer, a priori, qu'il 
se produit de l'oxyde salin, c'est-à-dire qu'une partie de l'oxyde de fer 
contenu dans l'argile des briques se suroxyde sous l'influence de la vapeur 
d'eau, aux dépens de l'autre partie du même oxyde, qui devient basique, et 
qu'elle forme avec celle-ci, en présence de l'alumine et concurremment avec 
d'autres bases contenues dans l'argile, un sel qui peut être un ferrosoferrate. 

Applicatio7i de ce procédé aux constructions hydrauliques de Meriv. — 
Nous avons observé pour la première fois la fabrication qui vient d'être 
indiquée dans la partie septentrionale de la Kachgarie, c'est-à-dire dans la 
région qui avoisine Kouldja. Nous avons vu ensuite des briques qui avaient 
été cuites par ce procédé, dans les murailles ou dans les ruines des divers 
édifices de la môme contrée. Mais nous avons plus tard constaté de nou- 
veau l'emploi de ce procédé aux environs de Mer w, dans la Transcaspienne, 
où il a été récemment introduit. Les ouvriers dounganes et tarantchis, au 
nombre de près de deux mille, qui, après avoir quitté la Chine à la suite 
de persécutions politiques et religieuses, ont trouvé un refuge sur le terri- 
toire russe, et ont été enrôlés pour travailler aux ouvrages de barrage et 
d'irrigation entrepris depuis peu sur le Mourg-ab, ont apporté avec eux la 
connaissance de ce procédé. Celui-ci a été mis à profit avec un grand succès 
et avec une grande perspicacité par les ingénieurs chargés de ces travaux 
d'art, M. Paklewski et M. Sawitcha, dont le premier avait eu l'occasion 
déjà auparavant d'observer ce système dans le district de Kouldja. 



SIELR. MÉTÉOIIOLOGIE DU DÉPARTEMENT DES DEUX-SÊVRES 273 

Dans la localité dont il s'ayit, c'est-à-dire au Yieux-Merv, l'argile em- 
ployée est de l'argile d'alluvion provenant du cône de déjection du xMourg-ab. 
qui apporte dans la plaine des matériaux empruntés aux montagnes d'Af- 
ghanistan, c'est-à-dire à la chaîne du Paropamise, dont la constitution 
géologique est à peu près la même que celle des montagnes dont il a été 
question ci-dessus (1 ). 

L'échantillon de brique que nous avons l'honneur de présenter à l'appui 
de la présente note est fabriqué avec cette matière. On peut voir combien 
l'épaisseur en est forte et la cassure tranchante. La surface est rugueuse 
et fait très bien prise avec le mortier. En outre, le poids de cette matière 
est remarquablement faible, ce qui est un avantage très notable dans les 
constructions. Les briques ordinaires fabriquées dans la même localité 
avec la même argile sont d'un rouge un peu blanchâtre; elles s'émiet- 
tent facilement, et lorsqu'elles ont une épaisseur aussi forte que l'échan- 
tillon en question, elles ont une consistance très inégale dans leurs di- 
verses parties. 

Nous pensons qu'il y aurait quelque intérêt à faire connaître cette fabri- 
cation, dont les résultats ont pour eux l'épreuve de l'expérience dans des 
conditions climatériques particulièrement rigoureuses, et nous crovons 
qu'elle pourrait rendre des services en France, surtout pour l'exécution des 
ouvrages d'art qui doivent braver les intempéries extrêmes, ainsi que dans 
les grands travaux publics. 



M. SIEÏÏE 

Professeur au Lvcée de Niort. 



MÉTÉOROLOGIE DU DÉPARTEMENT DES DEUX-SÈVRES 
ET DE LA RÉGION DU SUD-OUEST 



— Séance du 16 septembre 1892 — 

Depuis douze ans que j'ai l'honneur de remplir les fonctions de secré- 
taire de la Commission des Deux-Sèvres, j'ai recueilli, sur les conditions 
météorologiques du département, une série d'observations résumées dans 
la présente communication. 

i\) Ce sont les terrains de transition qui domiufnl : l'axe de la chaîne est de nature granitique, 
sur les versants se trouvent des placages de roches métamorphiques. 

18* 



214 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

Je n'ai point assurément la prétention d'offrir un travail complet; 
néanmoins je le considère comme ayant un réel intérêt pour la science 
qui nous occupe. En effet, si un résumé semblable était fait dans chaque 
département, le Bureau central, qui reçoit toutes nos communications, 
pourrait peut-être en extraire des matériaux utiles pour arriver à la dé- 
termination des lois qui régissent les phénomènes atmosphériques. La 
connaissance de ces lois, encore inconnues, doit être le but de tous les 
météorologistes qui ont accepté la mission de créer la Science du temps. 

Pour donner à mon travail toute la clarté possible, j'ai laissé de côté 
les détails, c'est-à-dire l'étude des phénomènes irréguliers, pour ne m'oc- 
cuper que de ceux qui se reproduisent le plus fréquemment. Je me suis 
principalement inspiré de la pensée du grand promoteur des études mé- 
téorologiques en France, Leverrier. On sait, en effet, que l'illustre astro- 
nome, directeur de l'Observatoire en 1863, recommandait, dans sa cir- 
culaire aux Commissions météorologiques des départements, « de laisser 
de côté les considérations théoriques, pour s'occuper de la statistique des 
phénomènes ». 

Au point de vue météorologique, le département des Deux-Sèvres ap- 
partient au climat girondin, qui comprend tout le territoire situé entre 
la Loire, les Pyrénées et l'Atlantique. Sa constitution géologique le fait 
diviser en trois régions : la Gàtine, la Plaine et le Marais. 

La Gàtine occupe le nord et une partie du centre. La Plaine occupe une 
portion du centre, le sud et le sud- est. Le Marais commence à quelques 
kilomètres au sud-ouest de Niort, et occupe une partie assez étroite de 
la vallée de la Basse-Sèvre. 

Une chaîne de collines, dirigées du nord-est au sud-ouest, forment le pla- 
teau de Gàtine, de chaque côté duquel sont les bassins de la Sèvre-Nan- 
taise, au nord, et de la Sèvre-Niortaise, au sud. Les sommets les plus 
élevés de ce plateau : Saint-Martin-du-Fouilloux et l'Absie, ont une alti- 
tude de 272 mètres. 

Je ne m'arrêterai pas à l'examen des conditions météorologiques par- 
ticulières à chaque bassin : il me suffira de faire remarquer que le bassin 
de la Sèvre-Nantaise a un sous-sol granitique ou schisteux, tandis que 
celui de la Sèvre-Niortaise est en partie composé de terrain jurassique. 
La nature du sous-sol ayant une influence incontestable sur les phéno- 
mènes météorologiques, en particulier sur la température, on comprend 
qu'il existe une différence sensible entre la météorologie générale des 
deux bassins. On a remarqué que des brouillards locaux se montrent 
dans le bassin nord, tandis que la plaine jouit d'un brillant soleil, ou 
réciproquement. 

Dans l'étude qui va suivre, je ne me suis occupé que des phénomènes se 
rapportant à la météorologie de l'ensemble du département. 



SIEUR. — MÉTÉOROLOGIE DU DÉPARTEMENT DES DEUX-SÈVRES 275 

I. — Du RÉGIME DES VENTS. 

])e\i\ courants gazeux dominent sur notre département : '1° les vents 
du nord-est, qui se rattachent au courant polaire ; ils sont secs et froids; 
2° les vents du sud-ouest, qui dérivent du courant équatorial ; ils sont 
ordinairement humides et chauds. Ces deux courants, à peu près ré"-u- 
liers, ont pour caractère une certaine stabilité. On a pu remarquer, en 
effet, qu'un vent sud-ouest ou nord-est bien établi persiste pendant un 
long espace de temps. Ils alternent entre eux. Tous les vents ayant une 
direction intermédiaire sont de courte durée. Chaque saison a ses vents 
dominants : en été, nous avons parfois le vent chaud et même brûlant 
du sud-est, que quelques-uns de nos collègues, dans la Commission dé- 
partementale, considèrent comme la continuation du sirocco. (Il nous 
paraît difïïcile d'admettre que le célèbre courant africain franchisse la 
Méditerranée et les monts d'Espagne pour arriver jusqu'à nous.) 

En règle générale, le vent dominant du département est celui du sud- 
ouest. Les moins stables sont ceux du sud et du nord, qui ne tiennent 
que quelques heures, rarement un ou deux jours. 

Quelques-uns des vents qui nous visitent sont parfois violents et 
soufilent en tempête : tel est le cas pour ceux du sud-ouest et de l'ouest, 
quand ils forment la continuation d'une bourrasque venue de l'Atlantique. 
Très rarement nos vents tournent au cyclone ; cependant, le cas se pro- 
duit parfois, principalement dans le nord du département, aux environs 
de la ville d'Argenton-Château. L'observateur de cette localité nous a 
signalé trois trombes en dix ans. 

Les bourrasques venant de l'Atlantique ont toujours une action plus ou 
moins considérable sur la force et la direction des vents qui dominent 
non seulement dans notre département, mais encore sur ceux de la 
Vendée, de la Loire-Inférieure, du Maine-et-Loire et de la Charente- 
Inférieure, qui se confondent avec les courants des Deux-Sèvres. 

IL — De la TEMPÉRATURE. 

Au point de vue thermique, le département des Deux-Sèvres, ne renfer- 
mant point de montagnes et se trouvant près des côtes, doit avoir un 
climat tempéré. Le bassin nord a une moyenne thermométrique infé- 
rieure de 1° à celle du bassin sud. Je vais donner les températures s'ap- 
pliquant à la station de Niort, f[ui correspond sensiblement à la movennc 
générale départementale . 

Nous possédons les relevés thermométriques de Niort depuis 1802 ; ils 
sont consignés dans un livre du docteur Guillemeau. Le brave docteur a 



276 MÉTÉOROLOGIE £T PHYSIQUE DU GLOBE 

oublié de nous dire à quelle heure il faisait ses observations, quel genre 
de thermomètre il employait et comment il était installé. Il nous a laissé 
un amalgame de chiffres disposés sans ordre et desquels je n'ai pu tirer 
que ces deux indications. Si l'on en croit Guillemeau, le maximum 
absolu de température, de 1802 à 1841, s'est produit le 22 juillet 182o; 
ce jour-là, le thermomètre du docteur monta à 4i'\ Le minimum ab- 
solu, pendant la même période, — 17°, a été noté le 27 décembre 1829. 
Je ne sais quel degré de confiance nous pouvons accorder à ces deux 
extrêmes. 

Dans ses études, la Commission des Deux-Sèvres a admis la division 
de l'année étabhe dans le bassin de la Seine, en saison chaude et saison 
froide. La première comprend les mois d'avril, mai, juin, juillet, août, 
septembre et octobre ; la seconde est fournie par les mois de novembre, 
décembre, janvier, février et mars. 

La moyenne thermométrique de la saison chaude, calculée pour la pé- 
riode 1878-1890, est de lfj°,5 ; la moyenne de la saison froide est de 5°,8 ; 
soit une moyenne générale annuelle de 10", (3, que je considère comme 
constituant la normale. 

De 1878-1892, l'été le plus chaud a eu pour moyenne 16",! : c'est le 
chiffre obtenu en 1878 et en 1886. L'hiver le plus rigoureux a été celui 
de 1887-1888, dont la moyenne a été 4°,2, c'est-à-dire inférieure de 
plus de 1° à la normale. 

Les mois de juillet et août ont pour moyennes 19°,2 et 19°, 3. Le mois 
de janvier est le plus froid de l'année, avec la moyenne 3", 6. 

L'examen des chiffres ci-dessus montre que l'écart est peu considérable 
entre les moyennes d'été et d'hiver. C'est là le propre d'un climat tem- 
péré. Nous avons remarqué que toutes les fois que la température maxima 
atteint ou dépasse 32", en été bien entendu, il se produit un changement 
de temps en quelque sorte instantané. Un orage se montre immédiate- 
ment. De même quand, en hiver, le thermomètre minima descend à — 12", 
il y a un changement de temps prochain. Ce sont là deux observations 
personnelles sur lesquelles j'ai eu occasion d'appeler l'attention de la 
Commission départementale, et qui m'ont paru bonnes à être signalées au 
Congrès . 

En dehors de la température de l'atmosphère, je me suis occupé de 
celle des sources qui alimentent le déparlement. Il résulte de mes re- 
cherches que les eaux qui jaillissent du calcaire sont plus chaudes que 
celles qui ont traversé le granit ou le schiste. J'ai trouvé pour moyenne 
de trente-cinq sources, 11°, 1 ; la plus froide ayant 8°,2 et la plus 
chaude 13". J'ai pu contrôler dans les Deux- Sèvres l'assertion de 
M. Renou, qui nous dit que la température maximum des sources se ma- 
nifeste k l'automne. Je ne dis rien de la composition chimique des eaux; 



SIEUR. — MÉTÉOROLOGIE DU DÉPARTEMENT DES DEUX-SÈVRES 217 

cette question est du domaine de la chimie ; elle fera l'objet d'une étude 
qui ne peut trouver place dans la statistique purement météorologique 
qui m'occupe en ce moment. 

III. — De i,a pluie. 

Les vents du sud-ouest apportent chaque année une certaine quantité 
de pluie qui tombe sur la plaine ; les nuages bas et pluvieux ne fran- 
chissent pas lahgnede faîtes dont j'ai parlé plus haut; aussi le versant 
sud-ouest du plateau qui essuie ces vents reçoit-il plus d'eau que le ver- 
sant nord-est. Le rapporteur de la Commission des pluies a remarqué 
que la quantité de pluie tombée sur une localité voisine de la ligne de 
faîtes est proportionnelle à la pente du versant. Les stations de Mazières 
en Gàtine et de l'Absie occupant les sommets à altitude maximum, four- 
nissent chaque année le maximum pluviom.étrique. Le minimum de 
chute se trouve aux environs de Thouars, à Belleville. 

La Commission départementale ne possède que depuis dix ans les 
relevés de cinquante-deux stations, tandis que, pour la station de Niort, 
les documents à ce sujet remontent à l'année 1862. 

Voici la moyenne pluviométrique à Mort pour chaque mois : 

Janvier, 71 millimètres; février, o2 millimètres; mars, o9 millimètres; 
avril, 60 millimètres ; mai, 63 millimètres ; juin, 60 millimètres ; juillet, 
53 millimètres ; août, 49 millimètres ; septembre, 67 millimètres ; octobre, 
97 millimètres ; novembre, 84 millimètres ; décembre, 7o millimètres ; 
soit une moyenne annuelle de 780 millimètres. L'année la plus pluvieuse 
de 1862-1890 a été 1883, qui a fourni 1.096 millimètres, et la plus sèche, 
1869, qui n'a donné que 573 millimètres. Si nous faisons la moyenne des 
jours de pluie dans l'année, nous trouvons 15o à l6o. On a pu remarquer 
que 1881, tout en ne comptant que 141 jours de pluie, a donné 723 mil- 
limètres d'eau ; l'année 1872, avec 214 jours, a fourni 1.013 millimètres. 

En somme, on voit qu'au point de vue pluviométrique comme au 
point de vue thermique, notre département n'est point un climat excessif 
La pluie et le beau temps se succèdent assez régulièrement pour favo- 
riser la végétation. L'année 1892 fera époque par sa longue période 
sèche qui comprend le printemps et l'été. La neige ne tombe abondam- 
ment que dans les arrondissements de Bressuire et Parthenay. A peine 
fait-elle une apparition chaque année dans la plaine sur laquelle elle ne 
séjourne que très rarement. 

IV. — Des ORAGES. 

La Commission météorologique des Deux-Sèvres ne possède que depuis 
cinq ans des documents précis sur la formation et la marche des orages. 



278 MÉTÉOROLOGIt: ET PHYSIQUE DU GLOBE 

Ces dernières années, notre honorable colir3gue Barillier-Bcaupré dresse 
des cartes qui sont le plus bel ornement du Bulletin départemental. 
L'examen de ces cartes dressées avec un soin minutieux, montre que la 
route suivie le plus fréquemment par nos orages est sud-ouest-nord-est. 
Quelques-uns, venant du Maine-et-Loire et s'arrètant sur les arrondisse- 
ments de Parthenay et Bressuire, nous viennent du nord-ouest et s'a- 
vancent dans la direction sud-est. 

Le voisinage de la mer fait que les orages des Deux-Sèvres sont moins 
nombreux et moins violents que ceux qui frappent les départements du 
centre. Le tableau suivant indique les journées orageuses dans la période 
1887-189 L En 1887, il y a eu 65 jours d'orage; en 1888, on compte 
48 jours ; 33 en 1889; 43 en 1890 et 30 en 1891 ; soit, au total, ^219 pen- 
dant les cinq années. 

I^es mois de juin, juillet et août sont ceux où se produit le maximum 
d'orages, mai et septembre viennent ensuite. 

Nous ne considérons pas comme orageuse la journée où l'on a entendu 
le bruit d'un coup de tonnerre dans le lointain. Ordinairement, nous appe- 
lons orageuse la journée qui a vu former plusieurs orages en divers points 
du département. On peut remarquer que, dans nos contrées de l'ouest, 
les orages sont multiples et simultanés ; un orage est rarement isolé ; ils 
ont une tendance à souffler par séries ; ils se succèdent à intervalles rap- 
prochés en suivant la même trajectoire ou au moins suivant des directions 
parallèles. J'ai pu observer qu'un grand nombre d'orages n'ont pas une 
trajectoire nettement déterminée : après être restés quelque temps sta- 
lionnaires, on les voit se diviser en deux ou trois tronçons. C'est le cas 
pour tous les orages locaux qui paraissent suivre les vallées. En ce qui 
concerne les orages à grande trajectoire, ils prennent naissance dans le 
golfe de Gascogne, franchissent tout le département du sud au nord et 
ne sont point arrêtés par les collines de la Gàtine. Cette seconde catégorie 
d'orages est moins fréquente que la première ; elle paraît également moins 
redoutable pour les récoltes, elle ne laisse tomber de la grêle que très 
rarement. C'est principalement aux orages locaux, croyons-nous, qu'il 
faut attribuer les nombreuses chutes de foudre qui causent les incendies 
des habitations ou des meules de foin et de paille. Dans les Deux-Sèvres 
on a signalé trente-trois accidents graves causés par la foudre en 1889 : 
incendies, arbres brisés, personnes frappées, etc. En moyenne, deux ou 
trois personnes sont tuées chaque année. 

Les périodes orageuses sont caractérisées par une baisse barométrique 
très accentuée et une élévation de température subite dans une atmo- 
sphère humide. En hiver, on a remarqué quelques orages assez violents 
accompagnés de grésil, ce qui semblerait justifier la théorie de Spring 
sur l'origine de ces phénomènes grandioses. On sait que le savant pro- 



I,_ j K(1N. — PROJET d'observatoire RÉGIONAL DE LA TOUR MONCADE 279 

fesseur belge considère l'électricité des nuages orageux comme produite 
par la congélation des gouttelettes d'eau. 

\ _ Sur la durée de l'insolation, a Niort, pendant l'année 1891. 

Depuis le l^'' janvier 1891, la Commission des Deux-Sèvres possède un 
héliographe Campbell qu'elle a installé à Niort. Nous espérons tirer 
quelque conclusion pratique des indications fournies par cet instrument. 
Un de nos collègues attribue au grand éclairement solaire de 1892 la 
bonne qualité du blé. L'intluence de la lumière, dit-il, sur la végétation 
du blé dans nos campagnes est peut-être aussi importante que celle de 
la chaleur. Nous aurons à examiner ce qu'il y a de fondé dans cette 
assertion. En attendant, voici le relevé des indications fournies par notre 
héliographe pendant l'année 1891 : 

Du l*""' janvier au 31 décembre, nous avons eu, à Niort, 33 jours pen- 
dant lesquels le ciel est resté sans nuage et 62 pendant lesquels le soleil 
a été complètement caché. Le reste de l'année a présenté des alternances 
de soleil et de nuages. 

Le mois de juin a fourni le maximum d'insolation, 268 h. 17m., août 
et juillet viennent après avec 2o4 h. 10 m. et 238 h. o m. C'est le mois 
de février qui a fourni le déficit minimum d'insolation, 138 h. 10 m.; 
le déficit maximum, 289 h. lo m., a été noté en mai. 

Si le soleil n'eût pas été caché par les nuages, il aurait brillé à Niort 
pendant 4.467 h. 8 m. ; il ne s'est montré que pendant 1.988 h. 38 m., 
accusant ainsi un déficit total de 2.478 h. 30 m. 



M. Henry LÉOI 

Président de la Sociuté do Climatologie pyrénéenne, à Pau. 



PROJET D'OBSERVATOIRE RÉGIONAL DE LA TOUR MONCADE, A ORTHEZ 



— Séance du 16 septembre 1892 — 

La météorologie, bien longtemps réduite à des observations dont les 
déductions étaient négligées, commençait à se développer avec le concours 
du Bureau central météorologique de Paris, qui, dès 1864, sous la puis- 
sante initiative de M. Le Verrier, établissait, grâce à l'aide de l'électricité, 
Je grand réseau européen d'observations météorologiques, en vue des 



280 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

avertissements de tempêtes pour les marins. Il se fondait alors des postes 
d'observations dans toutes les écoles normales du territoire et l'on insti- 
tuait dans chaque département des Commissions météorologiques chargées 
de réunir tout ce qui. dans leur rayon particulier, avait trait aux phéno- 
mènes de l'air. 

Mais, jusqu'à un moment donné, rien n'était régulier et les observations 
livrées à des observateurs sans méthode et sans contrôle, commencées et 
suspendues, ne pouvaient former un champ d'exploration utile. Elles n'en 
propageaient pas moins l'idée, et le goût du baromètre et du thermomètre 
alla en grandissant, surtout lorsque, des études et des comparaisons faites, 
on en vint à établir sur des bases à peu près solides la grande science de 
la prévision du temps, aujourd'hui à l'ordre du jour de toutes les nations 
civilisées préoccupées du temps à venir. 

Quant à la climatologie, cette autre science appliquée, découlant de 
la météorologie, elle n'était pas encore, pour ainsi dire, née. Elle était à 
l'état théorique, embrassant l'étude de toutes les causes qui caractérisent 
les divers climats, et par suite les diverses régions de la surface du globe; 
mais elle n'avait en soi rien de pratique dans ce qui avait trait aux 
modifications apportées dans l'organisme humain par l'influence des cli- 
mats et l'on n'en avait point déterminé tout ce qui devait la rattacher 
aux règles déjà connues de l'hygiène publique et privée. 

Et cependant l'influence des climats sur les êtres vivants était connue 
de la plus haute antiquité. 

Aristote et Platon l'avaient signalée. Hippocrate lui avait consacré de 
nombreux développements. 

A la tradition et aux enseignements de la- logique, Arétée, Asclépiade, 
Temison et Colse avaient ajouté le témoignage de Texpérience. 

Le philosophe avait recherché les causes des différences qui existent 
dans la constitution, le caractère, les mœurs, la manière d'être des 
peuples ; le médecin avait trouvé dans l'action des climats sur l'homme 
des moyens efficaces pour guérir certaines maladies. Philosophes et méde- 
cins constataient la puissance et la généralité de cette ressource thérapeu- 
tique; car telle est la liaison intime qui existe entre la vie morale et la 
vie physique que toute diversion opérée sur la première réagit de toute 
nécessité sur la seconde. 

Le Congrès de climatologie et d'hydrologie qui s'est tenu à Biarritz, 
le 1" octobre 1886, a été la consécration de la climatologie. Ces assises, 
qui ont emprunté une "importance presque solennelle au concours de tous 
les savants arrivés des divers pays d'Europe et d'Amérique, ont posé sur 
des bases sérieuses la science des climats à peine ébauchée quoique depuis 
longtemps énoncée en principe. 

Toutefois, afin d'arriver à la propagation des idées que le Congrès avait 



H. LKON. — PROJET d'oBSERVATOIUE RÉGIONAL DE LA TOUR MONCADE 281 

soulevées, il fallait une société qui, grâce à une action continue, intelli- 
gente et contrôlée, s'imposât la mission de poursuivre l'œuvre au delà 
de ses débuts. 

C'est ainsi qu'était née, s'installant à Bayonne, comme un point plus 
indépendant dans la région du sud-ouest, la Société de climatologie pyré- 
néenne, groupant toutes les forces vives de la contrée et dirigeant sous un 
même drapeau les météorologistes du sud-ouest, depuis Arcachon et Biar- 
ritz jusqu'à Bagnères-de-Bigorre, dans le but de discuter les questions 
d'hygiène et de mettre en relief les stations climatériques qui pouvaient 
être utiles en vue du bien-être de la vie et dans la recherche de la santé, 
au moyen d'observations que la météorologie locale pouvait favoriser. 

Elle vit donc arriver successivement, à son appel, avec leurs observa- 
tions : 

Arcachon : Société scientifique, D"" Hameau. — Bayonne : Société de 
climatologie, E. Ragon. — Biarritz : Biarritz Association, Ch. Sébic. — 
BiGORRE : Société Ramond, D-" Gandy. — Cambo : Établissement thermal, 
D-- Juanchuto. — Dax : Société Borda, D^ Bourretère. — Pau : Observa- 
toire particulier, A. Piche. — Salies : Établissement thermal, Saint-Guily. 
Et pendant quatre ans ces observatoires ont envoyé à la Société de 
climatologie pyrénéenne leurs observations journalières qui sont devenues, 
dans le lîuUetin de cette Société, l'objet d'un tableau mensuel comparatif 
avec les observations parallèles de Paris pris comme terme du nord et 
de Nice pris comme terme de la région méditerranéenne, auquel s'ajou- 
taient, comme complément, des résumés trimestriels et annuels. 

Ces observations qui, toutefois, il faut le dire, n'avaient pas la perfection 
que l'on aurait voulu leur reconnaître, établissaient d'une façon suffisam- 
ment scientifique le climat de la région et venaient en aide aux écrivains 
qui se donnent pour mission de placer la chmatologie au service de la 
médication nouvelle, celle de l'utilisation de la nature par la vie au grand 
air, pour le soulagement ou la guérison des maladies nombreuses qui, sous 
• le nom d'états de santé, entravent trop souvent l'exercice naturel de 
l'existence. 

Et pendant que cette évolution de la météorologie se faisait, alors que 
naissait l'émission du principe de la climatologie comme science appliquée, 
un passionné de la météorologie, un vrai bénédictin, retiré à Saint-Martin- 
de-Hinx, dans un coin du département des Landes, avoisinant le rayon 
maritime du golfe de Gascogne, à 20 kilomètres de Bayonne et sur un 
plateau à 100 mètres d'altitude, M. Cartier, enfermé dans son champ, 
avait créé pour lui seul, sans aucune subvention ni assistance quelconque, 
sans autre but que celui d'observer et de noter, un observatoire que l'on 
peut qualifier de premier ordre, réunissant tous les instruments qui 
servaient à inscrire les phénomènes de l'air. Ses observations, qui datent 



282 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

de 1864, se sont continuées jusqu'à sa mort pendant vingt-six ans, 
recueillies sans interruption, avec un dévouement, un soin et une exactitude 
remarquables, publiées d'abord dans un grand nombre de brochures, 
groupées ensuite régulièrement sous forme de courbes auxquelles ont été 
joints des résumés mensuels depuis 1878. 

Cette série peut être considérée comme une des meilleures qui existent, 
établissant avec des pièces immuables les fluctuations du climat de la 
région pyrénéenne. 

Mais M. Cartier a cessé d'exister et le travail qu'il avait commencé est 
interrompu et ne se poursuivra plus. Les essais d'union des météorolo- 
gistes de la contrée n'ont pu avoir de suites : les perfectionnements que l'on 
attendait dans l'installation des observatoires ne se sont pas produits, 
les observateurs ont mis des négligences qui empêchaient la régularité des 
publications ; il y avait parfois des lacunes, et souvent il aurait fallu 
suppléer à des chiffres non établis afin de rendre complets les résumés 
dont la publication avait son importance. Tout reposait sur une seule tête 
dont les loisirs seuls pouvaient èlre employés à une œuvre semblable qui, 
pour être continuée, devait atteindre une certaine perfection, afin de se 
montrer avec une autorité incontestable . 

Dans de telles conditions, il a paru convenable de réédifier sur des bases 
nouvelles ce qui avait été démoli par les circonstances, et un nouveau 
projet d'observatoire régional a surgi, relevant de ses cendres non éteintes 
l'observatoire scientifique de M. Carlier et poursuivant l'œuvre pratique 
de la Société de climatologie pyrénéenne, dont le drapeau arboré existait 
toujours chez son président, M. Henry Léon. 

Mais, pour énoncer ce projet, nous ne saurions faire mieux que de 
reproduire sur cette question l'extrait du rapport de M. A. Piche, sur la 
météorologie dans le département des Basses-Pyrénées : 

« A la mort de M. Carlier, dit M- Piche, sa veuve offrit à l'État l'obser- 
» yatoire de Saint-Martin-de-Hinx, instruments et propriété, à la condition 
» que la longue et belle série d'observations faite par son mari serait 
» continuée. 

■)•> Le Bureau central étudia la question de savoir si cette proposition 
» devait être acceptée. 

» Après examen, il conclut à la négative, probablement par défaut 
» d'élasticité dans son budget, peut-être aussi parce que Saint-Martin- 
» de-Hinx, quoique près de Bayonne, est un point d'accès peu aisé et 
)) n'offrirait aucune ressource aux savants chargés d'y passer leur vie 
» (à moins d'en faire un pénitencier météorologique). 

» Chagriné de voir cette série interrompue et cette belle collection 
« d'instruments inutilisée, M. Léon, dont l'esprit est toujours en quête 
» d'améliorer les observations de la région, s'est dit : 



„_ , ,.-ox. PROJET d'OBSERVATOIUE liÉGIOXAL PK I.V TOUR MONCADE 283 

» Devons-nous demander à M"'« Carlier de nous donner les instruments 
» de son mari, pour fonder, sous son nom, un observatoire à Bayonne, 
» Biarritz, Dax ou Pau? iNon, car toutes observations faites dans ces sta- 
» tions hivernales ou balnéaires seront toujours soupçonnées de partialité. 

» Mettons plutôt l'observatoire Carlier à Orthez, à la tour Moncade. 
» Nous établirons ainsi, de façon indiscutable, le climat du sud-ouest 
» et nos stations en bénéficieront, bien plus que si l'observatoire était 
» dans l'une des cités. 

» M. Léon me communiqua cette idée, que je combattis tout d'abord ; 
» la réflexion m'amena cependant à la partager. 

» Orthez est bien situé, au nord du département, à distance assez grande 
» de la mer et des montagnes ; la tour Moncade se dresse sur le sommet 
» d'un coteau à pentes douces. L'observatoire qu'on y établirait, relié 
» optiquement et par télégraphe et téléphone à l'observatoire du Pic du 
» Midi, ainsi qu'à un troisième point qui pourrait être le jardin Massy, 
» de Tarbes, otîrirait une triangulation météorologique merveilleuse, sur- 
» tout pour l'étude des nuages, si intéressante, mais si difficile. 

» L'observatoire du Pic n'aura toute sa valeur que quand il sera com- 
» piété par deux postes bien situés au pied de la chaîne, en avant de 
» laquelle il se dresse. 

» Au point de vue climatologique, l'observatoire d'Orthez nous ferait 
» connaître les conditions atmosphériques de cette région, si belle et si 
» intéressante du sud-ouest, dont le climat est vraiment spécial par sa 
» douceur et son absence de vent. Enfin, les chefs de la station d'Orthez 
9 vivifieraient tous les postes de la région, en contrôlant les instruments, 
» inspectant les installations, en centralisant les documents et en les 
» publiant. 

» Cela rentrait d'ailleurs dans le plan d'organisation départementale 
» soumis autrefois au Bureau central par notre Commission météorolo- 
» gique. 

» En effet, tant qu'il n'y aura pas dans chaque département un minimum 
» de service officiel, assuré par des ^.gents rétribués, les commissions 
» météorologiques vogueront à l'aventure, sans direction, sans esprit de 
» de suite, sans concert. 

» Assurez ce minimum de service, elles reprendront leur activité féconde 
» et donneront des travaux d'une véritable valeur. 

» J'encourageai donc M. Léon dans son idée et l'engageai à la trans- 
» former en projet à soumettre à M. Planté, maire d'Orthez. 

» Celui-ci, archéologue distingué, esprit ouvert et accueillant, vit aussitôt 
» dans ce projet une occasion favorable de conserver, restaurer et utiliser 
» le vieux donjon de Gaston Phœbus et promit son concours ie plus 
» empressé. 



284 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

» Le conseil municipal d'Orthez, sur la proposition de son chef, prenait, 
» à la date du 12 février dernier, une délibération des plus favorables ; 
» l'affaire est soumise au conseil général et suit son cours. Peut-être 
» aboutira-t-elle au moment du Congrès? » 

Aujourd'hui, avec la réorganisation de la Société pyrénéenne de climato- 
logie, la création de l'observatoire d'Orthez est décidée; le maire d'Orthez 
s'est mis en rapport avec le ministre pour la restauration de la tour 
Moncade, classée parmi les bâtiments historiques ; un plan a été fait avec 
tous les aménagements que comporte un observatoire. Trois étages et la 
terrasse renfermeront les ateliers de réparation des instruments et le loge- 
ment du gardien, la salle des archives et de la bibliothèque, la salle des 
instruments qui n'ont pas besoin d'une exposition à l'air, la terrasse pour 
tout ce qui constitue les observations à l'air libre. Les alentours seront 
disposés en jardin, et une esplanade sera formée pour placer l'abri Renou, 
pour les observations des instruments qu'il comporte. 

Nous venons donc, au nom de la Société jnjvénéenne de climatologie, au 
nom de M""^ veuve Carlier, au nom de la ville d'Orthez, au nom du dépar- 
tement des Basses-Pyrénées et de la région tout entière du sud-ouest, 
solliciter de V Association française pour l'avancement des sciences, réunie 
en Congrès à Pau, de vouloir bien appuyer de son autorité le projet de 
fondation de l'observatoire régional de la tour Moncade, à Orthez, reconnu 
comme utile et complémentaire des grands observatoires établis. 



M. Alfred AIGOT 

Docteur es sciences, Météorologiste titulaire au Bureau central météorologique de France, ^ Paris. 



SUR L'ÉTUDE DES NUAGES PAR LA PHOTOGRAPHIE 



— Séance du 16 septembre 1892 — 

L'étude des nuages est une des parties les plus intéressantes de la météo- 
rologie. Leurs mouvements et leurs formes sont en relation certaine avec 
les variations du temps et permettent souvent de les annoncer longtemps à 
l'avance. D'autre part, la détermination de la hauteur et de la vitesse ab- 
solue des nuages est le seul moyen que nous possédions, en dehors des 



A. ANGOT. — SUR l'ÉTUDE DES NUAGES PAR LA l'IIOTOGRAPHIE 285 

ascensions aérostatiques, pour connaître la direction et la vitesse des cou- 
rants supérieurs de l'atmosphère. 

Mais cette étude offre les plus grandes difficultés ; il est impossible, en 
effet, de décrire l'aspect des nuages d'une façon assez précise pour qu'on 
puisse s'en faire une idée même approchée. Le dessin est également im- 
puissant à saisir ces apparences si complexes et si rapidement variables. 
L'emploi de la photographie s'impose donc d'une manière absolue pour 
fixer l'aspect exact du ciel à un moment donné. 

Cet emploi est aussi très avantageux quand on veut déterminer la posi- 
tion absolue des nuages dans l'espace. Pour faire cette détermination, on 
mesure d'ordinaire simultanément au théodolite^ de deux stations suffisam- 
ment éloignées, l'azimuth et la hauteur du même point d'un nuage ; on en 
déduit, par les méthodes ordinaires de triangulation, la hauteur de ce 
point au-dessus du sol et sa distance aux deux stations. En répétant la 
même opération quelque temps après et comparant les deux positions succes- 
sives occupées par ce point, on calcule aisément la direction et la vitesse du 
mouvement de translation dont le nuage est animé. Cette méthode, simple 
en théorie, présente dans l'application de grandes difficultés. Les deux 
stations doivent être reliées par le téléphone, pour que les observateurs 
puissent s'entendre sur le point exact du nuage qu'il convient d'observer; 
cette entente est généralement malaisée et il peut souvent subsister quel- 
ques doutes sur l'identité des points visés. En tous cas, l'opération est 
longue et ne peut pas être répétée rapidement pour plusieurs points, ce 
qui serait cependant indispensable; ce n'est, en effet, qu'en mesurant 
presque au même instant la hauteur et la vitesse de différents points 
d'un même nuage et comparant les résultats, qu'on peut apprécier le 
degré d'exactitude des mesures et obtenir une moyenne méritant quelque 
confiance. 

L'emploi de la photographie présente, dans ce cas encore, des avantages 
évidents. En photographiant simultanément de deux stations suffisamment 
éloignées la même région du ciel, on obtient d'un seul coup l'image exacte 
de tous les nuages que cette région comprend. On peut ensuite effectuer à 
loisir sur ces plaques toutes les mesures nécessaires d'azimuth et de hau- 
teur et pour autant de points que l'on veut, en prenant tous ceux qui 
peuvent être identifiés d'une manière certaine sur les deux épreuves. 

Toutes les fois qu'on a des nuages sombres sur un fond bleu ou blanc, 
la méthode photographique ne présente aucune difficulté. On opère avec 
des plaques quelconques au gélatino-bromure d'argent et avec un obtu- 
rateur permettant d'obtenir des poses très courtes, entre un dixième et un 
centième de seconde ou même moins. Après trois ou quatre essais, on 
saura immédiatement quelle vitesse convient le mieux pour l'objectif et les 
plaques que l'on emploie, ainsi que pour le degré de clarté du ciel. 



286 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

J'estime qu'il est préférable, dans le doute, d'avoir plutôt un léger excès 
qu'un défaut de pose. Si, après développement et fixage l'épreuve paraît 
un peu trop posée, on la ramènera facilement au point voulu en la plon- 
geant dans un bain d'hyposulfite de soude de 0/0 à 10 0/0, dans le- 
quel on ajoute progressivement quelques gouttes d'une solution saturée 
de prussiate rouge de potasse, faite peu de temps avant l'emploi. L'image 
se ronge peu à peu dans ce bain, plus ou moins vite, selon la quantité 
de prussiate; on suivra la diminution d'intensité avec soin; on retirera 
la plaque un peu avant d'être arrivé au point voulu et on lavera ensuite 
abondamment. Par ce moyen, on peut toujours tirer un bon parti de 
plaques un peu trop posées, et l'on obtient, à mon avis, de meilleurs ré- 
sultats qu'avec des épreuves trop peu posées qu'on essaierait ensuite de 
renforcer par les procédés ordinaires. 

On ne rencontre de réelles difiîcultôs que pour photographier des 
nuages blancs, surtout légers, comme les cirrus et cirro-cumulus, se dé- 
tachant sur un ciel bleu clair. On sait, en eiïet, que, sur les plaques ordi- 
naires, le bleu agit à peu près comme le blanc, de sorte qu'on n'obtient 
sur le cliché qu'un ciel uniforme ou présentant des apparences de nuages 
trop faibles pour permettre des mesures et surtout des reproductions po- 
sitives. Il n'y a qu'un moyen, c'est de chercher à éteindre l'action photo- 
génique de la lumière du ciel, tout en conservant à celle des nuages une 
intensité suffisante. On peut y arriver de plusieurs manières. 

La plus simple consiste à interposer sur le trajet des rayons un écran 
coloré en jaune ; la lumière bleue du ciel contenant peu ou point de 
rayons de cette couleur est arrêtée presque complètement si l'écran est 
suffisamment foncé ; au contraire, les nuages agissent sur la plaque sen- 
sible parleur lumière jaune et produisent une impression. C'est ce procédé 
qui a été employé le premier. M. Hildebrandsson, d'Upsal, a obtenu ainsi 
d'assez belles épreuves : il prenait comme écran une cuve de verre à 
faces parallèles contenant une dissolution de gomme-gutte additionnée 
d'un peu de sulfate de quinine. Seulement, comme les plaques ordinaires 
ne sont que très peu sensibles aux rayons jaunes, il faut poser très 
longtemps ou employer des plaques préparées d'une façon spéciale, de 
manière à augmenter leur sensibilité pour les rayons moyens du spectre 
solaire. C'est ce moyen que paraît avoir aussi employé M. Garnier, de 
Boulogne-sur-Seine, qui a obtenu les plus belles photographies que j'aie 
vues jusqu'à ce jour. Malheureusement, M. Garnier n'a pas publié son 
procédé, sous le prétexte que les tours de main auxquels il a recours sont 
trop compliqués pour pouvoir être décrits d'une manière précise et appli- 
qués par d'autres que par lui. 

Un autre moyen, qui a permis à M. Riggenbach, professeur à l'Univer- 
sité de Bâle, d'obtenir de très belles épreuves, consiste à profiter de ce que 



A. A.NGOT. — SUR l'ÉTUDE DES NUAGES PAR LA PHOTOGRAPHIE 287 

la lumière bleue du ciel est partiellemenl polarisée, surtout à 90 degrés du 
soleil, tandis que celle des nuages ne présente pas trace de polarisation. 
En regardant le ciel à travers un analyseur, que l'on tourne d'une façon 
convenable, on éteint donc une partie notable des rayons émis par le ciel 
bleu, sans diminuer proportionnellement l'intensité des nuages; le con- 
traste est augmenté et l'on peut obtenir des épreuves de nuages très belles. 
Comme analyseur on place devant l'objectif soit un prisme de Nicol, soit 
une glace noire inclinée sur l'axe optique de l'objectif, d'un angle égal à 
l'angle de polarisation totale, et portée par une monture qui lui permet 
de tourner autour de cet axe. L'inconvénient de cette méthode est, qu'elle 
n'est pas générale, le degré de polarisation de la lumière bleue du ciel 
variant beaucoup suivant la direction. De plus, on ne peut guère employer 
le JNicol, qui diminue trop le champ, et la glace noire placée devant 
l'objectif rend l'orientation de l'appareil assez difficile. Toutefois, ce pro- 
cédé peut rendre de grands services ; il a donné, entre les mains de 
M. Riggenbach, de très beaux résultats, surtout quand on opère, comme 
l'a fait ce savant, au sommet de hautes montagnes où le ciel est toujours 
beaucoup plus foncé, ce qui augmente déjà beaucoup la différence entre les 
actions photogéniques du ciel et des nuages. 

Un dernier procédé qui a été également employé par M. Riggenbach 
est le suivant : On n'emploie aucun artifice spécial et on photographie 
simplement le ciel, mais avec un diaphragme assez petit et une durée de 
pose assez courte pour que presque rien ne vienne au développement et 
qu'on aperçoive seulement, après tixage, une image des nuages extrême- 
ment faible, à peine apparente ; on emploie alors un renforcement 
énergique. Celui qui a donné les meilleurs résultats à l'auteur est le 
renforcement au mercure et au sel de Schlippe (sulfo-antimonite de 
sodium). Ce renforcement s'effectue de la manière suivante : la plaque, 
fixée et lavée comme d'ordinaire, est plongée quelques minutes dans une 
dissolution à 1 1/2 0/0 de bichlorure de mercure, lavée abondamment, 
puis immergée dans une dissolution à 2 0/0 de sel de Schlippe, où on la 
laisse assez longtemps pour qu'il ne reste plus aucune place blanche sur 
l'envers de la plaque. On termine par un bon lavage. Ce procédé, qui 
peut donner parfois de bons résultats, ne me paraît pas absolument recom- 
mandable; il est, en tous cas, très dangereux. Le sel de Schlippe est, en 
effet, d'une conservation difficile et l'on risque le plus souvent de gâter 
complètement ses clichés en les renforçant. 

Grâce à une subvention qu'a bien voulu m'accorder V Association fran- 
çaise jiour l'avancement des sciences, j'ai pu faire depuis quelques mois 
de nombreux essais de photographies de nuages, et je crois que le pro- 
cédé le plus sûr et en môme temps le plus simple est encore le premier, 
c'est-à-dire l'emploi décrans colorés, à condition de se servir en même 



288 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

temps de plaques convenables. Le plus commode de tous les écrans est 
certainement un verre jaune de couleur convenable ; mais comme il faut 
de nombreux essais pour trouver la meilleure sorte de verre, je crois qu'il 
vaut mieux recourir aux écrans liquides, dont la composition peut toujours 
être reproduite identiquement la môme. Le liquide dont je fne sers cons- 
tamment est le suivant, que m'a indiqué i>L Léon Vidal, mais qui a été, 
je crois, employé pour la première fois par le docteur Neuhaus : 

Sulfate de cuivre 175 grammes. 

Bichromate de potasse 17 — 

Acide sulfurique 5 centigrammes. 

Eau SOO grammes. 

On peut, du reste, augmenter ou diminuer à volonté la quantité d'eau 
suivant l'intensité de la teinte que l'on veut obtenir. 

Ce liquide est renfermé dans une petite cuve fermée par des glaces paral- 
lèles et que l'on peut fabriquer soi-même ou se procurer facilement chez 
tous les fabricants d'instruments d'optique. On place cette cuve contre 
l'objectif, soit en avant, soit en arrière, suivant que cela paraît plus com- 
mode. Les cuves que j'emploie ont de G à 7 millimètres d'épaisseur inté- 
rieure. Concurremment avec ce li(|uide, il convient de se servir, comme 
plaques sensibles, de celles que fabrique la maison Lumière et qu'elle 
désigne sous le nom de plaques orthochromaliques sensibles au jaune et 
au vert. Ces plaques se trouvent couramment dans le commerce et sont 
très employées pour faire des épreuves de paysages. 

Les photographies que je présente, en même temps que cette note, ont 
été obtenues par ce procédé avec un petit objectif grand-angulaire de 
Prazmovvski, de 15 centimètres de foyer et de 7 millimètres d'ouverture. 
Avec cet objectif, ancien et peu lumineux, il suilit d'une durée de pose 
de 0%5 à 0%8, suivant le degré d'éclairement des nuages. Tous les procédés 
de développement conviennent : sulfate de fer et oxalate de potasse, 
hydroquinone, paramidophénol ; mais il est bon d'ajouter toujours un 
peu de bromure de potassium, ce qui retarde le développement, mais 
donne des images plus denses. D'une manière générale, il vaut mieux 
ne pas employer un développateur très rapide, et on se tiendra plutôt 
un peu en dessous qu'en dessus de la durée de pose convenable, assez 
près cependant de celle-ci pour n'avoir pas besoin de renforcement. Les 
clichés faibles se prêtent mieux, en effet, aux mesures que les clichés 
trop intenses, et on peut en tirer des positifs très convenables à l'ombre 
et sous le papier dioptrique. Je citerai, par exemple, l'épreuve de cirro- 
stratus obtenue le 13 août 1892, à 3 heures du soir (15'' 0'" 7'j. Bien que 
ce nuage fût très léger et le ciel un peu laiteux, ce qui a donné un cliché 



A. ANGOT. ^ — SUR l'ÉTUDE DES MAGES PAR LA PHOTOGRAPHIE 289 

très faible, le positif, tiré à l'ombre sous le papier dioptrique, est très 
satisfaisant. 

Dans toutes ces épreuves, qui comprennent de préférence les nuages 
'les plus difficiles à photographier, cirrus et cirro-stratus, on a poussé 
intentionnellement le tirage assez loin, de manière à montrer que l'on 
peut obtenir beaucoup de contrastes : un ciel très noir et des nuages très 
blancs. Il est bon d'ajouter que toutes les photographies ont été faites 
près de l'horizon, au Bureau central météorologique, dans l'intérieur de 
Paris, c'est-à-dire dans des conditions atmosphériques peu favorables. Les 
résultats seraient certainement bien meilleurs si l'on opérait dans de bonnes 
conditions, à la campagne, ou mieux encore sur les montagnes. 

Je me propose de continuer ces recherches et d'essayer, au moyen de 
la photographie, de mesurer la hauteur et la vitesse des nuages. Le but 
de la présente communication a été surtout de faire connaître aux ama- 
teurs de photographie, si nombreux aujourd'hui, qu'il existe des procédés 
simples et sûrs pour réussir les photographies de nuages. J'espère que 
cela pourra en décider quelques-uns à se lancer dans cette voie et que 
nous pourrons bientôt réunir en France une collection de photographies 
de nuages qui ne laissera rien à envier à celles que l'on réunit en ce 
moment dans les observatoires de l'étranger. 



Légende des planches î et II. 



•pl. I. — 31 mai 1892, à 3 h. 26 m. du soir. 

Cirrus et cumulus au sud. Les cirrus venaient sensiblement du sud ; ils ont pré- 
cédé un orage qui a éclaté le soir même à 7 heures. 
Pl. II. — 29 août 1892, à 3 h. 43 m. du soir. 

Cirrus et cumulus au nord-ouest. Les cirrus venaient sensiblement du sud-ouest; 

beau temps. 
'Ces deux photographies ont été faites avec un objectif grand-angulaire de Prai- 
mowski,de 14 cenlimètres de foyer, derrière lequel était placée une cuve con- 
tenant la dissolution de bichromate de potasse et de sulfate de cuivre. On a 
«mplojé des plaques orthochromatiques Lumière ; durée de pose, 0',8. 



l'J' 



^290 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 



M. le F &AILT 

Bagnères-de-Bigorre. 



QUATRE ANNÉES D'OBSERVATIONS A BAGNERES-DE-BIGORRE 



— Séance du i7 septembre 1892 — 

La station météorologique de Bagnères-de-Bigorre, dont la création 
remonte au Congrès d'hydrologie et de climatologie de Biarritz (1886), a 
commencé à fonctionner à la suite du Congrès de V Association française 
de Toulouse (1887). 

En résumant les observations prises depuis le 1" décembre 1887 jus- 
qu'au 31 août 1892, on obtient les résultats suivants : 

Pression 6arome^/-içMe. — Moyenne générale : 715'""M0. 

(L'altitude de la station est de 550 mètres.) 

Les chifïres extrêmes observés ont été : pour le minimum, 686'"'",70, le 
19 février 1892 ; pour le maximum, 730'»'",50, le 8 janvier 1888. 

Le minimum du 19 février est tout à fait exceptionnel. Les minima 
des années précédentes oscillent entre 691,2 (1888) et 697,0 (1891). 

Cette baisse extraordinaire a fait l'objet d'une communication à la SocieVé 
de Météorologie (mai 1892). 

Il est à remarquer que les pressions et les dépressions extrêmes se pro- 
duisent pendant les quatre mois de l'hiver, de décembre à mars, et que 
les moyennes les plus basses s'observent en mars et avril, époque de pré- 
dilection des bourrasques. 

Températwe. — Moyenne générale : 10°,5. 

Les moyennes déduites d'observations antérieures, prises avec moins de 
précision, donnaient des chiffres plus élevés. 

Le mois d'octobre est celui dont la moyenne se rapproche le plus de la 
moyenne annuelle. 

Le mois de janvier donne la moyenne la plus basse : 3°, 5. 

Les mois de juillet et d'août, les moyennes les plus hautes : 17^21 

et 17°,99. 

La température la plus basse a été de — 15°, le 18 janvier 1891. 

La température la plus haute a été de 37°, le 16 août 1892. Ce maxi- 
]num est absolument exceptionnel. 



H. LÉON. UN SANATORIUM DANS LES PYRÉNÉKS 291 

Le thermomètre, déduction faite de ces deux chiffres, se tient entre 
— 13°,8 (1890) et 32°.06 (août 1890). 

Nébulosité. — Moyenne générale : 6,23. 

Humidité relative. — Moyenne générale : 70,4. 

Les moyennes les plus basses sont données par le mois de mars (notre 
mois le plus venteux), 6i,2, et par le mois de décembre, 65,3. 

Les moyennes les plus fortes sont données par les mois de juillet et 
d'août, 73,1 et 72,2. 

Les plus fortes sécheresses ont été observées de décembre à février : 14, 
en décembre 1888 ; 19, en décembre 1889; 16, en janvier 1890 ; 8 (!) en 
février 1891. 

Pluviométrie. — Moyenne générale annuelle : 1.360 millimètres. 

Les années extrêmes ont été : l'année 18!^8, qui a donné 1131 milli- 
mètres et l'année 1889, qui a donné 1573 millimètres. 

Les mois les plus secs sont les mois de décembre, février, septembre 
janvier (décembre étant le plus sec). Les mois les plus pluvieux sont les 
mois d'août, mai, juin. 

Comme chiffres extrêmes, nous relevons un minimum de ^°"'\i en fé- 
vrier 1891 ; et un maximum de 294°»'", 2 en février 1889. 

II tombe plus d'eau la nuit que le jour, dans la proportion de 1/5. 

Note. — Le principal intérêt de la station météorologique de Bagnères- 
de-Bigorre consiste dans sa proximité de l'observatoire du Pic du Midi,, 
avec une différence d'altitude de 2,327 mètres. 



M. Henry LE 01 

Président de la Société de Climatologie pyrénéenne, à Bayonne. 



UN SANATORIUM DANS LES PYRÉNÉES. BAGNÈRES-DE-BIGORRE 
ET LA FONTAINE DES FÉES 



— Séarire du 17 septembre 1892 — 



Il y a quelques années encore, le traitement par l'air n'avait pas été 
élevé à l'état de principe. L'art de respirer pour le soulagement ou la 
guérison de certaines maladies n'était pas mis en pratique et si, dans 
les livres bien anciens, on en trouvait les indications, ces livres étaient 



METEOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GL013E 

trop recouverts de la poussière du temps pour qu'on aille en ouvrir 
les feuillets. Parfois donc, les médecins vous envoyaient, dans certains 
états de faiblesse anémique, au bord de la mer ou dans la montagne, 
mais ils ne vous traçaient pas les règles d'une vie au grand air, selon 
l'état morbide de votre santé. 

Il n'en est plus ainsi maintenant et, parmi les traitements à appliquer, 
le traitement par l'air occupe une grande place. Il en est découlé la science 
de la climatologie, nécessaire à l'appréciation et à l'application pratique 
de toutes les stations qui, en France comme à l'étranger, se sont suc- 
cessivement fondées, formant, à côté des réseaux des stations thermales, 
le réseau des stations climatiques. 

Toutefois, les médecins n'en avaient pas formulé la théorie et quand, 
il y a quelques années, nous avancions dans quelques articles, sous le 
titre : La Médication par l'air^ les avantages de la vie au grand air dans 
certaines des stations du sud-ouest pyrénéen, nous étions pour ainsi 
dire des premiers. 

Il a fallu qu'un médecin suédois, le docteur Detweiller, basant sur ce 
principe le traitement des tuberculeux à Falkenstein, près de Francfort- 
sur-le-Mein, tout en y joignant celui de la suralimentation, surtout par 
la viande et le lait, et de la gymnastique pulmonaire, vînt synthétiser, 
pour ainsi dire, ces éléments divers en une méthode sévère. Et cette 
méthode, dont il a été fait grand bruit dans ces derniers temps, est venue 
réveiller l'esprit de la médecine qui, et elle a eu raison, ne veut plus 
rester en arrière dans la propagation des traitements de la phtisie par 
l'air, et par analogie de tous ces états maladifs qui ont pour base la 
faiblesse du tempérament. 

De là on est donc parti, soit en France, soit à l'étranger, pour établir 
les différents degrés de l'aérothérapie et l'on a aifiché des stations clima- 
liques qui se sont divisées en maritimes et montagneuses, et ensuite 
créer des sanatoi'ia, construisant des établissements appelant les ma- 
lades et les soignant selon des règles méthodiques. 

C'est ainsi qu'avec de nombreuses stations climatiques se sont peu 
à peu établis en France les sanatoria marins de Berck-sur-Mer, Arca- 
chon et Cap-Breton sur l'Océan ; Banyuls sur la Méditerranée, et aussi 
le sanatorium de montagne du Vernet, dans les Pyrénées-Orientales, au 
Ganigou, placé à 650 mètres d'altitude. 

Mais les Pyrénées du sud-ouest n'ont pas encore admis ce dernier 
ordre d'idées, et cependant où pourrait- on mieux, que dans certaines 
situations privilégiées de ces montagnes, fonder des sanatoria qui béné- 
ficieraient de tout ce qu'offrent déjà de salutaire les stations qui y ont 
été installées. Et dans le nombre de ces stations, nous signalerons 
Bagnères-de-Bigorre. 



H. LÉON. UN SANATORIUM DANS LES PYRÉNÉES 293 

Bagnères-de-Bigorre ne doit pas seulement sa renommée à la variété 
de ses nombreuses sources d'eaux thermales, ayant chacune son caractère 
spécial et particulier, dont l'application dirigée avec intelligence a fait 
de cette ville une des grandes stations pyrénéennes; il se dislingue 
encore par sa situation exceptionnelle au milieu d'une large vallée qu'en- 
tourent des coteaux étages, aux sites riants et pittoresques, et des mon- 
tagnes successives, d'altitudes diverses, se profilant . jusqu'aux: pics élev 
de la grande chaîne, dont les massifs principaux apparaissent au loin 
avec leurs cimes rocailleuses et leurs glaciers de neige. Et entre les 
dWers contreforts s'ouvrent des vallées plus petites, plus étroites, cul- 
tivées et boisées suivant la direction des pentes, d'oîi s'écoulent des 
eaux vives et murmurantes, descendant torrentueuses, favorisant la ver- 
dure et la végétation et portant partout l'air et la fraîcheur, donnant 
ainsi à l'atmosphère un caractère de pureté. On peut donc dire que 
Bagnères-de-Bigorre est aussi une station d'aérolhérapie, car on vient s'y 
poser pour y respirer uniquement, et la valeur de son climat va chaque 
jour en s'affîrmant. 

Mais l'impulsion qu'elle mérite dans ce sens nouveau de la médication 
par l'air ne lui a pas encore été donnée. On n'a pas profité de la 
réclame que pouvait lui faire son climat, privilégié par sa fraîcheur en 
été, modéré dans ses températures en hiver, pour y disposer des ins- 
tallations appropriées, susceptibles d'appeler les malades et les engageant 
à venir se soulager ou se guérir dans les maux qui les atteignent. Et 
cependant la médecine y trouverait un aide, car, impuissante trop sou- 
vent, elle ne peut modifier l'organisme sans ce grand pharmacien du 
monde, la nature, qui a su, dans certains lieux et surtout fi Bigorre, 
doser avec un soin tout particulier la véritable nourriture de nos pou- 
mons, apportant par là une régénération dans notre sang et renforçant 
nos organes atïaiblis. 

La routine seule s'est poursuivie à Bigorre, laissant simplement aux 
mœurs qui, en se modifiant, ont réclamé plus d'aise et de confort, le 
soin de provoquer des logements mieux compris, plus exposés aux 
faveurs de l'air et du soleil, au milieu de jardins ombragés et fleuris. 
Le moment serait aujourd'hui venu d'aller plus loin dans le progrès de 
l'art de vivre et de fonder des établissements qui serviraient à la mise 
en pratique des théories préconisées depuis quelques années, pour la 
recherche de la santé et la guérison des maladies oii un air léger, un 
air pur est nécessaire. 

Autour de Bigorre, une situation se présente d'elle-même pour y poser 
un de ces établissements, c'est celle de la Fontaine des Fées. Non loin 
de la ville, sur le parcours d'une des excursions les plus fréquentées par 
son accès facile, le Bedat, avec une route déjtà tracée au milieu d'om- 



294 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

brages qui, par les fontaines ferrugineuses, contournent le Montaliouet, 
se trouve, dans le vallon qui sépare cette petite montagne de celle du 
Bedat, une déclivité en pente douce, placée pour ainsi dire tout exprès 
pour être le centre d'une oasis oîi s'élèverait un hôtel construit selon 
les règles nouvelles du confort et de l'hygiène. A 4.000 mètres de la 
ville, par les. sinuosités de la route, à 220 mètres à vol d'oiseau au- 
dessus des maisons et de l'établissement des thermes, à 770 mètres d'al- 
titude au-dessus de la mer, il pourrait y être favorisé un plateau dont 
l'exposition serait parfaitement en rapport avec les conditions réclamées 
pour un établissement sanitaire. Placé au sud-sud-est, par sa position 
naturelle, garanti du sud et du sud-ouest par le Bedat, de l'ouest et du 
nord par le Montaliouet, il recevrait par-devant les rayons tournants 
du soleil et serait abrité par derrière des vents souvent violents et 
désagréables qui apportent le mauvais temps ou provoquent le froid. 

Comme pittoresque, il n'est pas de site plus ravissant. A côté se trouve 
avec sa forêt naissante et conmie un paravent de verdure, le Bedat au 
haut duquel plane, sur le mamelon pointu, la statue de la vierge protec- 
trice du Bedat; en suivant à gauche, dans le bas, la route du fond de la 
vallée à côté de laquelle se dessine le cours du torrent de l'Adour ; sur la 
droite, les coteaux riants de la vallée de Campan se poursuivant jusqu'aux 
hautes montagnes et laissant de côté la Monné, le Mont-Aigu et le Pic du 
Midi, cachés par le Bedat, comme le doigt mis devant l'œil cacherait un 
objet cent fois plus grand que lui ; au loin et au-dessus l'Arbison avec 
ses cimes dentelées; plus loin encore les montagnes aux glaciers perma- 
nents qui sont plus immédiatement le fond de tableau de la vallée de 
Ludion, aperçue du col d'Aspin, indiquant les sommets élevés du lac d'Oo, 
du port de Vénasque et de la Maladetta. 

Puis devant, comme un promontoire élevé au-dessus de la vallée, le 
massif de Lhéris au casque de pierre, entouré de ses pics dont les verts 
pâturages sont entrecoupés de bosquets de sapins aux nuances noirâtres. 

Et descendant sur la gauche, avec leur rangée d'arbres méthodiquement 
espacés et se dessinant à travers les clartés du ciel, les pentes douces 
des Palomières dont les coteaux s'abaissent de plus en plus et vont se 
mêler aux vallonnements successifs de la plaine qui se perd peu à peu 
dans l'immensité de l'espace pour se confondre à l'iiorizon avec l'im- 
mensité de la voûte céleste. 

Pour égayer le tableau, coquettement groupés au milieu du tapis cultivé 
de la vallée, avec leurs maisons aux murs blancs et aux toits d'ardoise, 
les villages d'Asté et de Gerde; se rapprochant de Bagnères, le château de 
Pinse, placé comme un ornement dans le cadre riant du paysage; enfin 
les maisons de la ville vues de haut, dispersées avec leurs rues et leurs 
places, au milieu desquelles dominent les tours de l'horloge et de l'église. 



H. LÉON. UN SANATORIUM DANS LES PYUÉNÉES 295 

C'est ce point de vue changeant suivant les clartés du jour, agrandi 
ou rétréci par les nébulosités de l'atmosphère, embelli par les rayons du 
soleil ou rembruni par les tristesses d'un ciel pleia de nuages, que l'on 
aurait constamment devant soi, avec de l'air se renouvelant en brise 
légère, matin et soir, conformément au régime des courants atmosphériques 
que subit la vallée, avec un espace que l'œil embrasse dans une étendue 
qui n'a de borne que le lointain des montagnes et celui de la plaine. 

Le moral, comme le physique, y trouverait ses remèdes, car la sédation y 
serait grande pour l'élément nerveux qui fait souvent partie de la disposition 
morbide de l'homme. Le corps y recevrait tout ce qui naîtrait des con- 
ditions favorables de respiration dans lesquelles il vivrait et s'y régénérerait 
par l'excitation qui serait la conséquence de la nourriture aériforme dont 
il serait, malgré lui, rassasié. 

Par un effet spécial de la configuration des vallonnements au centre 
desquels s'échappe le ruisseau de la Fontaine des Fées, la route, qui les 
contourne dans leurs divers replis, se trouverait horizontale avec un par- 
cours qui pourrait être de près de L500 mètres, formant ainsi une pro- 
menade où le malade agirait sans fatigue sous les ombrages touffus 
du Montaliouet et du Bedat, entre lesquels un plateau, s'ouvrant dans 
l'échancrure qui s'est faite à l'ouest, permettrait un terre-plein vaste et 
également ombragé. 

La végétation, qui forme les ombrages du Montaliouet et du Bedat, 
se compose d'arbres, partie à feuilles caduques, partie à feuillage persis- 
tant, offrant par cette variété les avantages de l'ombrage en été, sans en 
exclure, en hiver, l'influence bienfaisante des rayons du soleil. Les diverses 
essences qui dominent sont : d'un côté, les châtaigniers, les chênes, les 
hêtres, les bouleaux; de l'autre, les sapins, les pins maritimes, les pins 
sylvestres et les mélèzes. Ces dernières essences viennent, à certains mo- 
ments, mêler leur senteur résineuse à la pureté de l'air. 

De cette route horizontale se détachent, soit en avant, soit en arrière 
de la Fontaine des Fées, des sentiers bien tracés qui s'élèvent ou qui 
descendent, s'entrecroisent en lacets pour aboutir plus directement à 
Bagnères ou au sommet du Bedat. 

Il n'a pas été fait d'observations météorologiques sur le climat particu- 
llier du vallon de la Fontaine des Fées, comparativement avec celui de 
Bagnères-de-Bigorre; mais l'expérience de ceux qui aux diverses saisons 
de l'année y ont été ou y ont séjourné, fait croire qu'il pourrait être tout 
à l'avantage d'une station sanitaire, car son exposition au soleil, les abris 
naturels dont il est entouré, sa hauteur moyenne au-dessous du Bedat. 
semblent y avoir favorisé une température qui, pendant la journée médi- 
cale, serait aussi modérée et peut-être plus que celle de Bagnères. 

Ne participant qu'indirectement et pour en recevoir seulement les avan- 



296 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

lages, du grand courant qui de la plaine va à la montagne, ce vallon béné- 
ficierait en hiver de la situation exceptionnelle que sa position climatérique 
a faite, profitant en été de l'altitude dont il jouit, et qui, avec l'espace au- 
dessus de la vallée, amène le calme de l'air joint au calme de la nature. 

Les nuages qui descendent des montagnes ne font que frôler le liant du 
Bedat et ils s'arrêtent même au vallon de la Fontaine des Fées, laissant 
l'atmosphère libre de l'humidité qu'ils apportent. La neige, quand elle 
tombe, se répand en couche épaisse tout autour, mais elle fond sur les pentes 
ensoleillées du vallon, aux premiers rayons du soleil qui succèdent vite 
aux intempéries, chassant avec la sécheresse de l'air l'humidité du sol. 

On pourrait reprocher à la Fontaine des Fées son peu d'altitude, les 
théories qui ont été faites jusqu'à ce jour pour l'amélioration de certaines 
affections morbides, et surtout pour la guérison des maladies de poitrine, 
portant toutes sur les grandes altitudes. Mais ne sont-ce pas des théories 
nouvelles et par suite sujettes à erreur? Ne reviendra-t-on pas, avec quelque 
raison, sur l'avantage des altitudes moyennes, parce qu'avec les facilités 
d'accès, on y trouvera des températures moins extrêmes et plus douces 
qui n'exclueront pas la pureté de l'air, élément essentiel du traitement? 

Et, dans ce cas, Bagnères-de-Bigorre pourrait devenir, dans le vallon 
de la Fontaine des Fées, l'objet d'un établissement type qui, aux avan- 
tages du climat et de l'air, réunirait ceux qu'il peut tirer de la médication 
déjà utilisée des eaux sulfureuses de Labassère et arsenicales de Salies, 
justement appréciées pour les maladies des voies respiratoires et la recons- 
titution de l'organisme affaibli. Il pourrait en être fait, en la transportant 
avec toutes les précautions voulues, une buvette spéciale pour les malades 
qui en auraient besoin. 



M. AVoqU PICÏÏE 

Président de la Commission météorologique des Basses-Pyrénées, à Pau. 



LE DEPERDITOMETRE 



Séance du i7 septembre 1892 



Ce nouvel appareil de physique n'est pas, comme le thermomètre, un 
instrument météorologique, mais un instrument climatométrique. 

Le thermomètre, en effet, peut bien mesurer l'état de vibration ther- 
mique d'un milieu, par rapport à l'état vibratoire de l'eau distillée qui se 



A. PICHE. I.E nÉPEUDnOMKTlîK 297 

congèle et qui bout ; mais il ne donne aucune idée, même approchée, de 
la sensation de chaleur ou de froid, éprouvée, dans ce milieu, par le 
corps de l'homme, qui, vous le savez, se maintient toujours à 37 degrés. 

En Sibérie, le thermomètre marque, parfois, 4o degrés au-dessous 
de zéro et notre long-voyageur, M. le comte Russell, vous dira que, 
malgré cette température extraordinairement basse, on n'éprouve pas de 
sensation pénible, désagréable, si l'air est en repos; bien plus, on se met 
aisément en nage, si on monte la moindre colline exposée aux rayons du 
soleil. 

Au contraire, que l'air soit un peu vif et humide, on se sent glacé, on a 
les oreilles coupées, suivant l'expression vulgaire, avec o degrés au-dessus 
de zéro, soit avec une température de 50 degrés plus élevée que dans le 
cas précédent. 

Le thermomètre n'indique donc, en aucune façon, la sensation calorique 
qu'un homme bien portant (a fortiori un malade) éprouve dans une station 
d'hiver ; et dire que la moyenne température hivernale, à Pau, n'est que 
de 6°, 33, tandis qu'elle est de 7'^,9 à Biarritz, c'est absolument comme si 
l'on ne disait rien, au point de vue climatologique. 

Cette manière de voir ne m'est nullement personnelle, et c'est avec 
plaisir que j'ai trouvé, dans le volume préparatoire du Congrès de Pau, 
cette citation du célèbre D"" Louis : 

« Ici se présente naturellement cette remarque vulgaire, que le même 
» degré du thermomètre n'est pas toujours accompagné, bien s'en faut, 
» du même sentiment de chaleur ou de froid ; que, dans une même jour- 
» née, dans un même lieu, par une même température, on peut avoir 
» alternativement froid et chaud, suivant qu'il y a du vent ou qu'il n'y 
» en a pas. — D'où la possibilité d'avoir froid à Rome et chaud à Pau, par 
» le même degré du thermomètre. » 

C'est sous l'impression de ces idées que j'ai imaginé mon nouvel appa- 
reil qui, mieux que le thermomètre, donnerait la valeur de la thermalité 
d'un climat. 

Comme il mesure la quantité de calories que l'air ambiant enlève, dans 
un temps donné, à un vase évaporant, en faisant connaître la quantité de 
calories qu'il faut produire pour maintenir ce vase à la température du 
corps humain, dans un milieu donné, je l'avais d'abord appelé un calori- 
soustractomètre. Le mot étant quelque peu long et désagréable à l'oreille, 
je vous propose, sauf meilleur avis de votre part, de l'appeler déperdito- 
mètre. Il donnerait, en effet, la mesure de la déperdition de chaleur que 
le corps humain subit dans un certain milieu, en mesurant le gaz (ou l'al- 
cool) brûlé, en douze ou vingt-quatre heures, pour maintenir l'équilibre 
thermique de l'eau contenue dans le vase poreux ; équilibre sans cesse 
troublé par la soustraction de calorique, que lui enlève l'air ambiant, et 



:â98 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

qui varie sous l'action principale de cinq facteurs : la pression de l'air, sa 

température, son agitation, son humidité et sa tension électrique. 

L'appareil pourrait être ainsi établi ; je dis : pourrait, car, hélas ! il 

n'existe encore que dans mon cerveau, à l'état un peu vague de projet 

élaboré. 

En voici, cependant, le dessin fait à l'intention du Congrès : 

Comme vous le voyez, l'appareil se compose d'un vase poreux A. (qu'il 




LEGENDE : 

A. Vase poreux rempli d'eau distillée. 

B. Soubassement contenant un bec de gaz. 

C. Tube gradué mesurant l'eau évaporée. 

D. Tube pour l'issue de l'air chaud. 

E. Tube à boule plein de mercure. 

F. Globule de mercure régulateur. 

G. Gazomètre à cloche graduée. 

H. Tube pour remplir le gazomètre. 

rr. Robinets. 



conviendrait peut-être de revêtir d'une membrane animale pour se rap- 
procher des conditions de la peau), vase fermé, plein d'eau distillée, sur- 
monté d'un tube gradué pour l'introduction de l'eau C, et pour mesurer la 
quantité d'eau évaporée d'une observation à l'autre. 

Ce vase monté sur un soubassement B, dans lequel brûle un petit bec de 
gaz, destiné à maintenir la température de l'eau à 37 degrés, est traversé 
par un tube droit, ou contourné en spirale D, pour la sortie du gaz comburé. 

Il contient enfin un thermomètre plein de mercure E, dont la tige, re- 
courbée à angle droit, à sa sortie du vase, plonge sa pointe effilée dans un 
pli, ou coude, que forme le tube amenant le gaz au brûleur. 



A. PICHK. — LE DÉPERDITOMÈTRE 299 

Ce coude contient ainsi un globule de mercure F, qui l'obstrue partielle- 
ment, et qui laisse passer plus ou moins de gaz, selon que l'eau du vase, 
trop froide ou trop chaude, contracte ou dilate le mercure du thermo- 
mètre. 

Ce régulateur fort simple, que j'ai trouvé sans le chercher (tant il est 
vrai que les idées nous viennent sans y songer), pourrait être remplacé 
par un des régulateurs construits par M. Wiesnegg, pour étuves d'expé- 
riences physiologiques, régulateurs que je ne connaissais pas alors et qu'un 
chimiste ami m'a, depuis, fait connaître. 

Un petit gazomètre G, relié au tube coudé, fournirait le combustible et, 
par la graduation de sa cloche, donnerait la mesure du gaz brûlé. 

On pourrait aussi plus simplement chauffer à l'alcool et peser l'alcool 
dépensé. 

Du reste, Messieurs, je n'ai pas pris de brevet; je vous livre l'idée pour 
ce qu'elle vaut; M. Teisserenc de Bort, à qui je la communiquais par 
lettre, me répondait que, lui aussi, avait eu cette idée ; peut-être même 
en avions-nous causé au Congrès de Biarritz, de douce mémoire. Peu 
importe la priorité de l'idée; honneur et gloire à qui la réalisera le 
premier. 

Car c'est peu de concevoir une idée nouvelle ; le mérite, c'est de vaincre 
les difficultés qui s'opposent à sa réalisation ; c'est de la rendre pratique, 
utile, bienfaisante, acceptable ; c'est de la faire triompher ! 

Supposons-la réalisée ; vous prenez deux appareils semblables, vous 
les placez dans les mêmes conditions ; ils doivent marcher également. 

S'ils présente^t une légère différence, faites pour l'un d'eux une table 
de correction ; puis portez l'un h Biarritz ou à Nice, laissez l'autre à Pau, 
mettez-les sous l'abri Renou, et j'affirme à l'avance que, bien que, l'hiver, 
le thermomètre donne à Pau une moyenne inférieure de 3 degrés à celle 
de Biarritz ou de Nice, le déperditomètre brûlera dans ces stations plus 
de gaz que dans la cité paloise. 

C'est ce qu'il fallait démontrer ! 

Si je ne craignais de me faire accuser par mes concitoyens de faire une 
réclame indirecte pour des stations rivales, en résumant ma thèse en un 
mot d'apparence trop paradoxale, je dirais que le déperditomètre est un 
instrument qui a pour but de prouver de façon irréfutable qu'à Pau un 
malade a chaud, même quand il y fait froid... au thermomètre. 

On reprochera au nouvel instrument d'être un peu compliqué. Peut- 
être pourrait-on trouver mieux : suspendre, par exemple, sous les abris 
météorologiques des deux localités à comparer, une cage renfermant un 
moineau de santé robuste et égale et peser, chaque jour, ce qu'il aurait 
bu et mangé. 

Deux écureuils comparables et comparés vaudraient peut-être mieux 



300 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

encore ; car on pourrait mesurer leur travail giratoire à l'aide d'un comp- 
teur adapté à la roue de leur cage. 

Le comble serait enfin — risum teneatis amici? — de trouver deux ser- 
gents de ville, d'égale humeur, qui consentissent à se prêter pendant trois 
mois à l'expérience ! ! 

Cherchez, Messieurs, vous trouverez; mais surtout, expérimentez ! 



M. E. MEÎfDEZ 

Membre de la Commission météorologique des Basses-Pyrénées, à Pau. 



SUR LES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES 



Séance du 17 septeinbre 1892 



FAITS D OBSERVATION 

Nous avons pu observer souvent de ces remous atmosphériques sou- 
levant des tourbillons de poussière, sable, feuilles, etc., etc. Cet effet 
d'ascension, comme d'aspiration, est très net; mais un examen attentif 
nous fît voir toujours qu'il ne s'agit là que d'un seul des côtés du phéno- 
mène. 

Si une partie des objets entraînés avait bien une direction ascendante, 
une autre partie de ces objets était au contraire portée vers le sol. H 
paraissait exister deux courants : l'un ascendant, l'autre plongeant. 

En réalité, et ainsi que nous avons pu le constater, les poussières et 
autres objets prenaient en tourbillonnant dans les spires du remous, des 
directions alternativement plongeantes et ascendantes, sous des angles 
variés, selon les cas. De là les deux effets d'ascension et de chute que nous 
avions observés. 

Le remous nous apparut alors tel qu'il est, selon nous, constitué. 



E. MENDEZ. 



SIR LES REMOUS ATMOSPHERIQUES 



301 



II 



TRAJECTOIRE DÉCRITE PAR LA VEINE d'aIR CONSTITUANT UN REMOUS. — DIVI- 
SION DE CES REMOUS EN SECTEURS A COURANTS OU VENTS PLONGEANTS, 
RASANTS ET ASCENDANTS. 

Dans un remous, l'air qui le forme, animé d'un mouvement tourbil- 
lonnaire dont le point de départ est situé à une hauteur variable selon les 
remous, parvient soit seulement jusqu'à une zone de moindre altitude, 
soit jusqu'au sol. 

Ce mouvement n'est pas plongeant sur toute son étendue. L'angle initial 



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FIG. 1, 



Veine d'air constituant un remous : a, projection ; b, développement. Section de cette 
veine par un plan passant par la ligne d'axe. 



sous lequel s'enfonce la veine d'air constituant le remous se ferme pro- 
gressivement jusqu'à se réduire à zéro. A partir de ce moment la veine 
prend une direction ascendante. Elle rebondit pour ainsi dire, pendant 
quelque temps, et atteint un point supérieur au delà duquel elle rebrousse 
chemin vers la terre. La première spire supérieure du remous est décrite. 
La suivante commence pour passer par les mêmes phases que celles 
que nous venons d'indiquer, et ainsi de suite sur toute la hauteur du 
remous, qui peut être formé par un nombre indéterminé de spires. 

Nous avons tracé l'allure générale du phénomène en ABCDEK... (fig. 1, a), 
dans le cône théorique RMS, d'un remous. En développant sur un plan 
cette courbe, on obtient une ligne sinueuse, analogue à A'B'C'D'E'K'... 
(fig. 1, b). 



302 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

Chacune des spires d'un remous est composée ainsi de deux parties: 
l'une dans laquelle le mouvement giratoire, c'est-à-dire le vent, est 
plongeant; l'autre dans laquelle ce mouvement est ascendant; ces deux 
parties étant raccordées entre elles, aux points de rebroussement supé- 
rieur et inférieur par deux arcs de faible étendue relative, où la trajec- 
toire passe par des instants pendant lesquels sa tangente est parallèle au 
plan de l'horizon, c'est-à-dire où il ne règne que des vents rasants ou 
sensiblement rasants (fig. 2 et /, b.) 




S.S.E 



FiG. 2. — Figure Ihéoriqiie d'un remous vu d'un point situé sur un plan 
passant par l'axe et les aires où soufflent les vents de S.-S.-E. 



La même disposition existe symétriquement dans toutes les spires du 
remous. Le conoïde qui le constitue est ainsi divisé sur toute sa hauteur, 
en quatre secteurs déterminés par les surfaces-limites où le mouvement 
giratoire prend les diverses directions plongeante, rasante et ascendante 
dont il est successivement animé dans chaque spire du remous, et ayant 
toutes un lieu commun, l'axe du tourbillon, qui est la ligne d'intersec- 
tion entre elles de toutes ces surfaces (fig. 2). 

Dans l'un de ces secteurs, et sur toute la hauteur du remous, ne 
régnent que des vents plongeants. Il n'existe que des vents ascendants 
dans un autre de ces secteurs, ces deux régions étant séparées entre elles 
par une troisième de faible importance relative, formée par les deux 
secteurs restants, et dans lest[uels on ne trouve que des vents rasants ou 
sensiblement rasants (fig. 2). 



E. MENDEZ. SIR LES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES 303^ 



III 



DE QUELQUES EFFETS DIVERS QUE PEUT PRODUIRE 
UN REMOUS ATMOSPHÉRIQUE 

La veine d'air constituant un remous et qui est animée du mouvement 
dont nous venons d'indiquer les principales lignes, peut rencontrer sur 
son passage des matières qu'elle entraîne avec elle. 

Ainsi qu'il arrive pour certaines trombes par exemple, ces matières 
peuvent être puisées dans le nuage au milieu duquel le ou les cycles 
supérieurs du tourbillon évoluent quelquefois. La vapeur condensée 
constituant le nuage est saisie et entraînée vers le sol par le remous, 
dans lequel elle suit tout le parcours de la trajectoire que la veine d'air 
constituant ce remous décrit elle-même. Cette vapeur condensée peut 
rester en cet état, et demeurer visible sur toute la hauteur du phénomène, 
ou être résorbée, disparaître à des altitudes variées, selon les variations 
de température qui peuvent se produire et se produisent entre les 
diverses régions du tourbillon. De là, quelques-uns des aspects que pré- 
sentent ces météores. 

A l'inverse de ce que nous venons de dire au sujet des matières trans- 
portées par le remous des hauteurs de l'atmosphère vers la terre, ce même 
remous peut, lorsqu'il atteint le sol ou une nappe d'eau, y puiser par 
certaines régions de sa troncature inférieure des objets qu'il conduit 
jusques et y compris sa spire terminale supérieure, et qui rendent égale- 
ment visibles sa forme, ses évolutions et sa marche. 

Considérons un lieu situé dans le secteur des vents ascendants (fig. 2). 
Les objets tels que poussière, sable, eau, et tous autres beaucoup plus 
lourds et d'un volume considérable, selon l'énergie du mouvement gira- 
toire, seront entraînés et prendront une direction ascendante sous un 
angle variable selon le remous. 

Une partie de ces objets suivra avec le vent la trajectoire hélicoïdale, 
et après y avoir franchi le secteur des vents rasants au point de rebrousse- 
ment supérieur de la spire, s'engagera dans le secteur des vents ])]on- 
geants, pour revenir à son point de départ ou dans les environs, en 
ayant parcouru ainsi toute la spire inférieure du remous, et avoir atteint 
pendant ce trajet une hauteur plus ou moins grande dans l'atmosphère 
selon l'amplitude des pas de Thélice. 

Mais une autre partie de ces objets, portée par le mouvement dans le 
voisinage ou, plutôt, sur la limite elle-même de la spire immédiatement 



304 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

supérieure, pourra être saisie par celle-ci et entraînée dans cette nou- 
velle spire, OÙ se produiront les phénomènes identiques à ceux que nous 
venons d'indiquer pour la spire inférieure. 

Les matières que le remous enlève par sa troncature inférieure pourront 
être portées ainsi successivement, dans toutes les spires de ce remous, 
et tourbillonner avec et dans ces spires, sur toute la hauteur du météore 
qui semblera être un phénomène d'aspiration du sol vers les hauteurs de 
l'atmosphère. 

Dans les secteurs à vents rasants, les objets qui y auront été portés, 
soit par les vents ascendants, soit à leur retour vers le sol par les vents 
plongeants, auront des routes parallèles au plan de l'horizon, situées à 
toutes les altitudes possibles, dans toute la hauteur du remous. Mais ces 
routes auront entre elles des directions diamétralement opposées, selon 
qu'elles appartiendront aux zones de rebroussement inférieur ou supérieur 
des spires de l'hélice (fig. 2). 

Enfin, dans le secteur des vents plongeants, l'effet constaté sera une 
précipitation vers le sol sous des angles variés, selon les remous. 

Si le remous est de faible envergure et de faible hauteur, comme, par 
exemple, certaines trombes ; que l'on puisse l'embrasser d'un coup d'œil ; 
qu'en outre ce remous se présente en situation convenable pour que la 
zone de séparation des deux secteurs ascendant et plongeant passe par 
l'œil de l'observateur, celui-ci verra simultanément dans le fût du 
météore, deux courants juxtaposés : l'un ascendant, l'autre plongeant. 
Il verra l'un des deux seulement de ces courants, si les conditions 
que nous venons d'indiquer ne sont pas remplies. Selon le poste d'ob- 
servation, la trombe sera alors, pour l'observateur, ascendante ou des- 
cendante. 

Rappelons que l'aire occupée par la troncature inférieure d'un remous 
est quelquefois réduite, pour ainsi dire, à un point; que l'étendue de 
«ette aire peut varier entre des limites très éloignées, ainsi que l'énergie 
giratoire de ces remous, leurs envergures supérieures, la hauteur verti- 
cale qu'ils occupent, et les distances qu'ils franchissent dans leur mouve- 
ment de translation. 

Un remous aérien qui est, dans son résultat final, un phénomène 
plongeant des hauteurs de l'atmosphère vers le sol, peut donc pro- 
duire tous les effets divers d'aspiration, d'arrachement, de compres- 
sion, d'écrasement, de torsion, de rupture, d'enlèvement jusqu'à des 
hauteurs plus ou moins fortes de l'atmosphère, de transport à des 
distances qui peuvent être considérables et dans toutes les directions 
possibles. 



E. MENDEZ. SUR LES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES 303 



IV 



DÉTERMINATION APPROXIMATIVE DES AIRES SUR LESQUELLES SONT TOUJOURS 
SITUÉS LES POINTS DE RERROUSSEMENT INFÉRIEUR ET SUPÉRIEUR DANS LES 
SPIRES d'un grand REMOUS ATMOSPHÉRIQUE. — CLASSEMENT DES DIVERS 
VENTS DE CES REMOUS, EN VENTS PLONGEANTS. ASCENDANTS ET RASANTS. 

Les grands remous évoluent dans des couches atmosphériques qui 
atteignent souvent une très grande puissance et au iniHeu desquelles la 
pression augmente dans de fortes proportions, à mesure qu'on se rap- 
proche du sol. Le mobile gazeux qui traverse ces couches et qui constitue 
le remous est soumis à ces diverses pressions : de là, dans ce mobile, 
des réductions de volume lorsque, dans son mouvement, il se dirige 
vers la terre; des expansions au contraire, lorsqu'il s'en éloigne. 

Dans la figure 1, b, nous avons tracé approximativement les variations 
que subit ainsi la veine d'air constituant le remous lorsque, dans son 
mouvement, elle s'enfonce et s'élève alternativement dans l'atmosphère 
en décrivant les diverses spires superposées du remous. En de sem- 
blables conditions, l'élévation progressive de la température dans le mobile 
y accompagne tout mouvement plongeant ; au contraire, la décroissance 
de la température y est liée à tout mouvement ascendant, et, dans les 
mouvements horizontaux, le thermomètre demeure à un degré sensible- 
ment constant. 

De là, les écarts dé température souvent considérables que l'on note 
entre les diverses aires d'un mouvement giratoire, c'est-à-dire entre les 
divers vents d'un même remous. 

Ce que nous venons de dire a pour conséquence que, dans un remous 
dont les spires affectent des couches suffisamment puissantes de l'atmo- 
sphère, les points de rebroussement de la trajectoire décrite par l'air 
constituant le remous sont précisément désignés par ceux où l'on 
constate les points de rebroussement de la colonne thermométrique. 

Il est d'observation courante que la température croît dans un mouve- 
ment giratoire, de l'aire du vent du nord à celle du vent du sud, en 
passant par l'aire du vent d'ouest; qu'elle décroît au contraire, de l'aire 
du vent du sud à celle du vent du nord, en passant par l'aire du vent 
d'est. 

Les points de rebroussement dans les spires de l'hélice se trouvent 
donc : celui supérieur, sur l'aire du vent du nord ou dans son voisinage ; 
celui inférieur, au point opposé, sur l'aire environ du vent du sud. 

Nous n'avons pu faire des observations assez nombreuses et assez 

20* 



306 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

précises pour fixer les limites exactes des zones dans lesquelles se trouvent 
ces points de rebroussement. S'il nous était permis d'émettre une opinion 
basée sur quelques constatations, nous fixerions volontiers le point de 
rebroussement supérieur très près de l'aire du NNE, peut-être en ce 
point lui-même, et le point de rebroussement inférieur très près et 
peut-être sur l'aire elle-même du SSE. 

Il résulterait de là que dans les spires d'un mouvement giratoire, les 
vents ascendants couvrent une aire totale moins étendue que celle cou- 
verte par les vents plongeants (flg. 2). 

Les vents évoluant dans un remous doivent donc être classés en : 

1° Vents plongeants : ceux d'entre NNE et SSE, en passant par celui d'O. 

2° Vents ascendants : ceux d'entre SSE et NNE, en passant par celui d'E. 

3" Vents rasants : 

o) Vent de NNE, et quelques-uns de ses voisins immédiats: point de 
rebroussement supérieur de la trajectoire, dans chaque spire. 

b) Vent de SSE et quelques-uns de ses voisins immédiats : point de 
rebroussement inférieur (fig. 2 et 1, b). 

Il est entendu que nous nous plaçons dans le cas de remous évoluant 
dans l'hémisphère nord. Pcnir l'hémisphère austral, il y aurait lieu d'opérer 
les transpositions que l'on connaît. 



DES TEMPÉRATURES ET DES VITESSES RELATIVES DES VENTS, EVOLUANT 
A DES ALTITUDES DIVERSES, DANS UN REMOUS. 

Nous venons de voir les variations de température que présente la veine 
•d'air constituant un remous, en décrivant une quelconque des spires 
de ce remous. 

D'un autre côté, cette veine, en parcourant les diverses spires de 
l'hélice, s'enfonce davantage dans des couches atmosphériques de plus 
•en plus rapprochées du sol, au milieu desquelles la pression est de plus 
en plus forte et où, par conséquent, de plus en plus comprimée, elle 
acquiert plus de chaleur. 

En prenant deux points symétriques quelconques dans deux spires 
d'un remous, c'est-à-dire deux points où régnent des vents de direction 
égale dans ces spires, la température sera plus élevée au point situé sur 
ia spire inférieure qu'au point symétrique sur la spire supérieure 
(fig, 3). 

En d'autres termes, les vents semblables régnant dans toutes les 
spires d'un remous sont, entre eux, à des températures relatives d'autant 



E. MENDEZ. — SUR LES REMOUS ATMOSPHÉIUQUES 307 

plus élevées que ces vents appartiennent à des spires de l'hélice plus 
rapprochées du sol, ou inversement (flg. 3). 

Les variations de volume et les phénomènes connexes de variation de 
température que nous venons d'indiquer dans la veine constituant un 
remous ont pour facteur principal la résistance du milieu dans lequel 
cette veine pénètre et évolue. Cette résistance exerce en même temps 
l'autre action habituelle qui a pour effet de ralentir le mouvement. 

La vitesse d'une molécule d'air, c'est-à-dire la vitesse du vent, décroît 
sur toute l'étendue de la trajectoire décrite dans un remous, depuis le 



N.O. 




< f " ^* »— » T* *-*- 

)e Spire inférieure > 



~ Direction du 

.^jnouvement 

detrai^slation 

du remous. 



Déueloppement- jrcr an pian, de, la trajectoire de, l 'air daru- cCeu-x. spires ca/urecutuies 

d'un remous atmosphérique- anim^ d'un maïuiemeniy de- iranshiUon,. , 

Graphique, de, l'inlensilâ' ralaUve- des- vents- £aij> divers points de- la- tryecUivre-. 

Or-aphique- des de<p^ relaii/s de tempêraiicre' . 



KlG. 3. 



moment où cette molécule reçoit sou impulsion initiale dans les hauteurs 
de l'atmosphère jusqu'à celui où elle atteint le sol. 

Lorsque le remous est animé d'un mouvement de translation, la vitesse 
de la veine d'air qui le constitue passe par les accélérations et les ralentis- 
sements que l'on sait. Le maximum qui se produit alors dans chacune 
des spires du remous, et qui s'étend environ de l'aire du NO à celle du 
SO, n'est pas constant sur toute l'étendue de cette zone. — L'aire du NO, 
dans une quelconque des spires d'un remous, est située à une plus jurande 
altitude que celle du SO. Ce dernier vent est donc, toutes autres causes 
•égales d'ailleurs, d'intensité moindre que le vent NO [fig. 3). 

En résumé, tous les vents semblables régnant dans les diverses spires 
d'un remous sont animés de vitesses relatives d'autant plus grandes qu'ils 
appartiennent à des spires situées à une plus grande altitude, ou inver- 
sement [fig. 3). 



308 MÉTKOROLllGIE KT PHYSIQUE DU GLOBE 

En rapprochant cette proposition de celle que nous avons émise précé- 
demment sur les températures, on peut conclure qu'étant donnés dans 
un remous deux vents semblables quelconques, le rapport entre leurs 
vitesses est inverse à celui qui existe entre leurs températures (fig. 3). 



VI 



VEXTS SUPERPOSÉS SELON LA NORMALE A UN POINT DU SOL AU-DESSUS DUQUEL 

PASSE UN REMOUS ATMOSPHÉRIQUE. 

Un remous est composé de spires superposées en nombre variable selon 
les cas, et de diamètres décroissants, en se rapprochant du sol. 

Si l'axe est normal au plan de l'horizon, la veine d'air qui constitue le 
remous décrira dans l'espace une route qui, pour l'observateur situé à 
la surface du sol, sera une courbe en spirale ayant pour centre le point 
où. l'axe vient rencontrer la terre. 

Sur toute l'étendue d'un quelconque des rayons vecteurs de cette courbe, 
le mouvement giratoire sera de direction égale, ou sensiblement. En d'au- 
tres termes, les vents superposés normalement sur toute la hauteur du 
remous seront tous de direction identique. 

11 n'en est plus de même si l'axe est incliné sur le plan de l'horizon, 
et cela nous a paru être un cas très fréquent. 

La trajectoire décrite par l'air dans le remous se projettera alors, pour 
l'observateur, en une courbe à boucles moins ou plus ouvertes, selon l'in- 
clinaison plus ou moins forte de l'axe et les envergures relatives des spires. 
Ces diverses spires présenteront ainsi au même instant, au zénith de 
l'observateur, certaines de leurs régions dans lesquelles le mouvement 
giratoire pourra n'être pas de direction semblable. En d'autres termes, les 
vents régnant à diverses altitudes, au zénith, pourront être de directions 
variées. 

Il se produira ainsi un grand nombre de cas, selon lesquels ces direc- 
tions pourront faire entre elles tous les angles compris entre zéroetlSOde- 
grés, c'est-à-dire entre la limite où les vents superposés selon la normale 
sont identiques et celle où ils sont diamétralement opposés. 

Sur le passage d'un assez grand nombre de remous, nous avons noté 
jusqu'à trois vents divergents au zénith. Enfin nous avons, il nous semble, 
observé de ces vents divergents dus à la superposition de spires de deux 
remous marchant à courte distance l'un de l'autre. 

Dans les notes tout à fait sommaires que nous venons de transcrire, sur 
cette question, nous n'avons eu, bien entendu, que le simple désir de la 
mentionner. 



E. MENDEZ. SLU LES REMOIS AT.MOSl'HÉHlULES 309 



VII 



TRANSPORTS D AIR EFFECTUÉS PAR LES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES. 
DES MAXLMA ET MIMMA DE TEMPÉRATURE OBSERVÉS A LA SURFACE DU SOL 
PENDANT LE PASSAGE d'uN REMOUS 

De la constitution d'un remous, il résuite qu'un tleuve d'air plus ou 
moins puissant, selon l'importance du remous, s'écoule vers le sol pendant 
la durée du phénomène ; ce fleuve a sa source dans les hauteurs de l'at- 
mosphère où le remous prend naissance, et son embouchure à la tron- 
cature inférieure de ce remous. Sur toute la périphérie du conoïde, le frot- 
tement retient à diverses altitudes une partie de l'air qui y circule. Cette 
partie doit être considérée comme très faible, relativement à la masse que 
le courant charrie vers le sol, et qu'il y dépose sur tout le parcours de la 
trajectoire décrite par le remous dans son mouvement de translation. 

rsous verrons bientôt qu'une notable partie de ce courant est en outre 
alimentée par de l'air puisé à des altitudes encore plus grandes que celles, 
quelles qu'elles soient, auxquelles évoluent les cycles terminaux supé- 
rieurs des remous. 

La masse d'air circulant dans ces météores, et portée vers le sol par 
eux, est donc puisée dans des régions de l'atmosphère où peuvent régner 
de basses températures relatives, variables selon l'altitude de ces régions 
et les saisons. 

Les maxima et minima de température observés à la surface du sol, sur 
le passage d'un remous, ont donc pour facteurs, entre autres : les saisons 
et la hauteur verticale occupée par le remous dans l'atmosphère. 



VIII 



SUR UN MOUVEMENT TOURBILLONNAIRE PLONGEANT 
SITUÉ AU-DESSUS DES REMOUS, LES ACCOMPAGNANT DANS LEUR MARCHE 

ET PRODUIT PAR EUX. 

Au moment où se forme un remous, la couche atmosphérique au 
milieu de laquelle il prend naissance subit une dénivellation, qui la trans- 
forme en un cône creux dont le sommet est dirigé vers la terre. Il se pro- 
duit ainsi un vide qui est comblé par un afllux d'air venant de régions 
situées au-dessus du cycle supérieur du remous. Partie de cet afflux ainsi 
appelé est entraînée dans le mouvement de giration du remous et portée 



310 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

vers le sol. Delà, pour ainsi parler, une aspiration constante, exercée 
par le remous et puisant dans les régions situées au-dessus de lui d'im- 
portantes masses d'air. 

Celles-ci se dirigent vers le remous en suivant des trajectoires courbes 
Qffrant dans leur ensemble une allure tourbillonnante, et dont le point de 
convergence est situé dans la direction du centre du cycle terminal supé- 
rieur du remous (fig. 4). 



ci. 







Fig. i. — Figuro théorique d'un remous et du mouvement tourbillonnaire 
secondaire situé au-dessus de lui. 



Un mouvement giratoire plongeant domine donc les remous atmo- 
sphériques, les alimente d'une partie de l'air qu'ils charrient vers le sol, 
les accompagne dans leur mouvement de translation et est produit par 
eux. 

L'axe de ce mouvement secondaire est perpendiculaire au plan moyen 
de la spire supérieure terminale du remous. Il est par conséquent d'autant 
plus incliné sur l'horizon, que le plan moyen de la spire supérieure du 
remous a lui-même une inclinaison plus forte sur ce même horizon 
(fig. 4). 

Pour l'observateur situé à la surface du sol, le phénomène présentera 



K. MENDEZ. SUR LES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES 311 

dans son ensemble la disposition de sa projection horizontale, indiquée 
dans la figure 4. Les deux zones terminales supérieures du remous et du 
mouvement tourbillonnaire secondaire seront limitées par deux courbes, 
ONESO et O'NE'SO', formées sensiblement des mêmes éléments géo- 
métriques, mais débordant l'une sur l'autre d'une quantité NESE'N d'au- 
tant plus étendue que l'axe du mouvement giratoire secondaire est plus 
incliné sur l'horizon. 

Dans une quelconque des spires d'un remous atmosphérique, le point 
de rebroussement supérieur est situé environ sur l'aire du vent du nord, et 
le rebroussement inférieur sur celle environ du vent du sud. Étant donnée 
la manière d'évoluer des remous dans l'hémisphère nord, les rebrousse- 
ments sont donc placés au point de vue de leur orientation : celui supé- 
rieur — aire vent du nord — dans les régions occidentales du remous, et 
celui inférieur — aire vent du sud — dans les régions orientales. 

Dans un remous atmosphérique évoluant dans l'hémisphère nord, le 
plan moyen d'une quelconque de ses spires est donc incliné sur l'horizon 
des régions occidentales de ce remous vers ses régions orientales. D'un 
autre côté, on peut considérer en général, que la trajectoire moyenne de 
translation des remous qui abordent l'Europe a une direction moyenne 
de l'ouest vers l'est. C'est donc, dans la grande généralité des cas, par un 
point du segment NESE'N (fig. 4), que les remous atmosphériques abor- 
dent l'Europe occidentale. 

Plus loin, nous tirerons de ces faits quelques conséquences. 

Nous venons d'indiquer, telle que nous pensons qu'elle existe, l'allure 
générale et la constitution normale du mouvement tourbillonnaire secon- 
daire dominant un remous atmosphérique, et produit par ce remous. Nous 
ajouterons que, par l'observation de nuages dont nous parlerons tout à 
l'heure, nous avons constaté que dans ce mouvement secondaire, il se pro- 
duit fréquemment des remous locaux et de faible envergure relative. 



IX 

HALOS ET AUTRES PHÉNOMÈiNES DE DIFFRACTION ET DE DÉCOMPOSITION DE LA 
LUMIÈRE. PRÉCURSEURS DES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES, — CIRRHI. — CIRRHO- 
CUMULI. — NUAGES MOUTONNÉS. FILES DE NUAGES, PARALLÈLES ET DIVER- 
GENTES. — STRATUS DES HAUTES ALTITUDES. 

Dès qu'un remous est formé, il se produit donc, au-dessus de lui et 
vers lui, un appel de l'air situé à des altitudes beaucoup plus considé- 
rables que celle, quelle qu'elle soit, à laquelle évolue le cycle terminal 
supérieur de ce remous. 



312 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

L'air mis ainsi en marche et puisé jusqu'à de très grandes altitudes, 
peut être et est souvent à de très basses températures. Les filets de cet 
air froid pénétrant dans des couches inférieures de température plus 
élevée, y condensent la vapeur qui s'y trouve, et même — ce qui est le 
cas, il semble, le plus fréquent — la congèlent sur leur passage, en fines 
aiguilles de glace, formant comme une poussière entraînée par l'appel 
d'air qui lui a donné naissance et qui la transporte vers le remous. 

Toute la partie supérieure ABCD (fig. 4) couronnant le mouvement 
tourbillonnaire secondaire, contient celte poussière de particules glacées. 
Au milieu d'elles se produisent les halos et certains autres phénomènes 
de diffraction et de décomposition de la lumière de la lune ou du soleil. 
Remarquons ici que partie de cette région se projette précisément dans 
le segment NESE'N (fig. 4) dont nous parlions dans le chapitre pré- 
cédent, et que ce segment commence à passer au zénith avant, quelque- 
fois bien avant, que la baisse du baromètre n'ait débuté, c'est-à-dire 
avant que, dans le mouvement de translation du remous, la limite SEN 
(fig. 4) n'arrive au zénith. Les halos, etc., peuvent donc se produire 
aux approches des remous et apparaître bien avant que la baisse du baro- 
mètre ait pu prévenir de l'arrivée de ces remous, dont ils sont ainsi les 
précurseurs. 

Dans leur mouvement convergent, les aiguilles de glace se rapprochent 
de plus en plus les unes des autres, à mesure qu'elles plongent davan- 
tage dans l'atmosphère. Des groupements de ces aiguilles se font plus 
denses en certains points que sur d'autres. Elles se réunissent en faisceaux 
plus ou moins allongés, de diamètres plus ou moins grands, et devien- 
nent alors visibles. 

Ces faisceaux sont rectilignes ou courbes selon l'étendue qu'ils occupent 
sur la trajectoire qu'ils parcourent, et selon la courbure plus ou moins 
forte de cette trajectoire. Enfin, ainsi que ces trajectoires, ils peuvent 
être orientés dans toutes les directions possibles. Tous forment avec le 
plan de l'horizon un angle variable, c'est-à-dire que tous plongent obli- 
quement dans l'atmosphère. Ces faisceaux constituent les cirrhi, sous les 
formes purement filamenteuses, plus ou moins denses, que ces nuages 
affectent. 

C'est en cet état que nous nommerons le deuxième stade, que, dans 
leur mouvement plongeant, les aiguilles de glace apparaissent dans les 
régions avoisinant le zénith de la limite SEN (fig. 4), périphérie du 
cycle terminal supérieur du remous. Leur venue coïncide ainsi, à très 
peu de chose près, avec le début de la baisse du baromètre. 

Nous parlions tout à l'heure, en en donnant selon nous la cause, des 
diverses orientations et des courbures que l'on peut remarquer dans les 
cirrhi. Ces orientations et ces courbures peuvent être dues également aux 



E. MENDEZ. SUR LES UEMOLS ATMOSPHÉRIQUES 343 

remous d'ordre troisième qui naissent fréquemment dans le mouvement 
tourbillonnaire secondaire. Ces remous tertiaires entraînent les cirrhi 
dans leurs spires. C'est ainsi que l'on peut voir de ces nuages placés à 
diverses altitudes et se coupant, au zénith, sous tous les angles possibles. 
Dans d'autres circonstances, nous avons observé de ces cirrhi, d'une 
étendue suffisante en longueur, se projetant au zénith en une courbe 
sensiblement circulaire et dessinant ainsi la spire du remous tertiaire 
qui les entraînait dans son évolution. 

Après avoir franchi la zone où les aiguilles de glace, en se groupant, 
forment les cirrhi, ces aiguilles, poursuivant leur route, pénètrent de plus 
en plus profondément dans l'atmosphère. Elles y rencontrent des couches 
dont la température est de plus en plus élevée, ou, si l'on veut, de moins 
en moins basse. 

La pointe inférieure des faisceaux cirrhi est celle qui subit la première, 
dans ces nuages, la transformation due à cette influence. Cette partie se 
transforme en eau et quelques instants de chute, après, en vapeur. Celle-ci, 
par sa force ascensionnelle, rebrousse chemin et se condense presque 
aussitôt formée, du moins en grande partie, car ce rebroussement s'ef- 
fectue à la limite, pour ainsi parler, où soit la température, soit le point 
de saturation, admettent l'état de vapeur. 

11 se forme ainsi, à l'extrémité inférieure du cirrhus, comme un sphé- 
roïde plus ou moins régulier, analogue au sphéroïde de fumée que pro- 
duit une fusée lorsqu'elle éclate. 

Ce troisième stade constitue les cirrho-cumuli. Isolés et en petit nombre 
dans le ciel, ils se trouvent en général à de grandes altitudes encore 
dans les régions CDFG (fig. 4) du mouvement tourbillonnaire secondaire. 

Au-dessous de cette région, le mouvement convergent rapprochant 
davantage entre eux les faisceaux -cirrhi, ceux-ci se groupent de plus en 
plus et, par suite, les sphéroïdes de vapeur condensée qui peuvent se 
former à leurs parties inférieures se groupent eux-mêmes. Ces sphéroïdes 
constituent alors les nuages dits moutonnés, à éléments, c'est-à-dire à 
cumuli plus ou moins grands, plus ou moins menus. 

Dans un grand nombre de cas, ces éléments ne sont pas disposés au 
hasard. Ils se présentent, au contraire, en files parallèles plus ou moins 
rapprochées entre elles. Cela est surtout très net et très fréquent lors- 
qu'on examine le nuage à un moment pas très éloigné de celui de sa 
formation. Supposons que la pointe inférieure des faisceaux cirrhi 
pénètre dans une couche qui, en outre des conditions hygrométriques 
ou de température dont nous parlons plus haut, soit animée d'un mou- 
vement de translation ; qu'il y règne, en un mot, un vent quelconque. 
Les sphéroïdes de vapeur formés par les afflux successifs d'aiguilles de 
glace plongeantes seront immédiatement entraînés, à mesure de leur for- 



314 MÉTÉOUOLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

mation, par le courant, autrement dit, le vent dont ils suivront la direc- 
tion. Chaque cirrhus fournira ainsi une file de sphéroïdes et toutes ces 
files seront dans le lit du même vent, c'est-à-dire qu'elles seront toutes 
parallèles entre elles. Si les faisceaux cirrhi ont entre eux un écartement 
suffisant, l'aspect moutonné du nuage disparaît entièrement pour faire 
place à une autre disposition : celle de files ou bourrelets parallèles séparés 
par de larges bandes sereines. 

La perspective rend ces files divergentes si le nuage a une étendue 
suflîsante. Elles semblent alors jaillir toutes d'un unique point radiant. 

Les nuages moutonnés sont situés dans la région FGKM (fig. 4) du 
mouvement tourbillonnaire secondaire. Ceux de ces nuages présentant 
la disposition en files parallèles peuvent être formés, à diverses altitudes, 
par des courants régnant dans ces hauteurs de l'atmosphère. Ils sont 
alors, en général, de faible étendue ou du moins, l'éloignement les fait 
paraître tels. Mais ils se forment surtout, et dans de grandes propor- 
tions, dans les régions inférieures du mouvement tourbillonnaire secon- 
daire, où ils peuvent être en contact avec les vents évoluant à la surface 
du cycle supérieur terminal du remous et où les faisceaux cirrhi arrivent 
groupés en plus grand nombre. 

Que ces cirrhi soient alors assez rapprochés les uns des autres, ou que 
l'afflux d'aiguilles de glace qui les constitue augmente progressivement le 
volume des sphéroïdes de vapeur condensée, ces sphéroïdes se pénètrent 
réciproquement. Les canaux sereins des nuages moutonnés disparaissent, 
sont comblés. Il en résulte une nappe continue. Elle constitue le stratus 
qui est dans ce cas, et n'est d'ailleurs jamais, à ces altitudes, que le 
second stade, plus ou moins prochain, du nuage moutonné. 

Enfin, sous les diverses formes qu'il peut affecter, et dont nous venons 
d'examiner quelques-unes, selon nous principales et auxquelles toutes 
les autres peuvent se rattacher, l'afflux aqueux balayé par le mouve- 
ment tourbillonnaire secondaire, arrive h la limite KM (fig. 4). Il s'y 
trouve en contact avec la spire supérieure terminale du remous et peut 
être saisi par elle. 

X 

ORDRE DANS LEQUEL DÉFILENT AU ZÉNITH LES DIVERSES CATÉGORIES DE NUAGES 
APPARTENANT AU MOUVEMENT TOURBILLONNAIRE SECONDAIRE, ET LEURS SU- 
PERPOSITIONS POSSIBLES SELON LA NORMALE, PENDANT LES APPROCHES, LE 
PASSAGE ET LA DISPARITION d'uN REMOUS ATMOSPHÉRIQUE. 

Le conoïde constituant le mouvement tourbillonnaire secondaire domi- 
nant un remous peut donc être considéré comme divisé par plusieurs 
sections menées, selon des plans perpendiculaires, à son axe, donnant cha- 



E. MENDEZ. — SUR LES REMOUS ATMOSPHÉRIQUES 315 

cune d'elles des régions tronc-coniques A'B'C'D', D'C'E'K', R'E'M'L'..., etc, 
(fig. 5) de diamètres décroissants à mesure qu'elles se rapprochent du 

1, 




y777777777?777777777777 

Périphérie du cycle supérieur 
du remous, limite sur laquelle 
débute la baisse du banomètre. 



FiG. 0. 



sommet 0' du cône auxquelles elles appartiennent, c'est-à-dire à mesure 
qu'elles sont plus près du remous . 

La première de ces régions A'B'C'D' [fig. S), celle qui est située à la 
plus grande altitude, ne contient que des aiguilles de glace, un essaim 



316 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

plus OU moins dense, mais invisibles, au milieu desquelles peuvent se 
manifester les phénomènes de diffraction et de décomposition de la 
lumière de la lune ou du soleil, précurseurs des remous. 

Dans la région suivante, D'G'E'K', se trouvent les cirrhi filamenteux. 

La troisième, K'E'M'L', contient les cirrho-cumuli épars; la quatrième, 
L'3rN'P', les nuages moutonnés et ceux en files ou bourrelet s parallèles ; 
enfin, la cinquième, P'N'O', les stratus. 

Pour l'observateur situé à'ia surface du sol, ces diverses régions super- 
posées débordent les unes sur les autres, et ces anneaux débordants sont 
limités par des courbes ABA", DCD", KEK", etc. {fig. ë), inscrites les 
unes dans les autres, disposées autour du point 0, sommet du conoïde 
constituant le tourbillon secondaire, et d'autant plus excentriques par 
rapport à ce point et entre elles, que l'axe de ce tourbillon est.plus incliné 
sur le plan de l'horizon. 

Ces anneaux défilent successivement au zénith pendant la marche du 
remous. Successivement aussi, ils y présentent les nuages de formes 
distinctes et caractéristiques des régions tronc-coniques auxquelles ces 
anneaux appartiennent. 

Ainsi passent d'abord les poussières d'aiguilles de glace, ensuite et 
successivement apparaissent les cirrhi filamenteux, les cirrho-cumuli, les 
nuages moutonnés ou ceux en files ou bourrelets parallèles, et enfin les 
stratus. 

A mesure que le remous approche, les diverses régions tronc-coniques 
du mouvement tourbillonnaire secondaire arrivent et se superposent au 
zénith. Avec elles arrivent aussi les catégories de nuages qu'elles con- 
tiennent. On verra ainsi ces diverses formes de nuages, superposées selon 
la normale, en nombre d'autant plus grand que, dans la marche du 
remous, les régions circonvoisines du point (fig. 5) arrivent plus près 
du zénith. 

Au delà, et à mesure que le remous s'éloigne, les phénomènes que 
nous venons d'indiquer se reproduisent symétriquement. Le nombre 
des diverses catégories de nuages décroît progressivement au zénith, 
d'où elles disparaissaient successivement en ordre inverse à celui de leur 
arrivée. 

Au point lui-même et autour de lui, à une distance variable selon 
les remous, s'ouvre l'embouchure inférieure de la gaine a^yo (fig. 5), 
située sur le prolongement de celle analogue du calme central qui existe 
dans le remous. Autour de cette gaine, et sans y pénétrer, évolue le 
mouvement tourbillonnaire secondaire ; elle est libre de nuages. 

La figure 5 permet de se rendre compte aisément, pour chacune des 
régions arrivant ainsi successivement au zénith, de la nature et du mode 
de superposition des diverses formes de nuages qu'elles peuvent contenir. 



J. HICHAllD. — NOUVEAUX APPAREILS ENREGISTREURS 317 

En fait, ces formes n'y existent pas toutes toujours. Elles peuvent se 
produire, et se produisent quelquefois, sans passer par un ou même 
des stades intermédiaires. Selon les remous, il y a ainsi des lacunes. 

11 n'est pas besoin, d'ailleurs, de faire remarquer que si, dans un 
remous, tous lés types sont représentés, on doit, pour les voir défiler 
tous, être placé sur la route du centre du météore ou dans le voisinage du 
parcours de cette trajectoire. Ailleurs, on traversera des segments plus 
ou moins étendus, ne contenant que la série plus ou moins complète. 

Au passage d'un remous, et dans les éclaircies que laissent quelquefois 
entre eux les nuages inférieurs charriés dans les spires de ce remous, on 
aperçoit ainsi défiler au-dessus de lui, et selon le mode que nous avons 
indiqué, les nuages appartenant au mouvement tourbillonnaire secon- 
daire. Mais, tôt après qu'apparaissent les grands cumuli des vents de 
NNO-N à NNE, les larges espaces que laissent entre eux ces cumuli 
sont sereins, à moins qu'un nouveau remous suivant à courte distance, 
ne montre son avant-garde de cirrhi. Le fait se produit souvent. 

A ne parler que du remous qui s'éloigne et sous lequel l'observateur se 
trouve encore, cet observateur y est placé alors, en effet, dans le segment 
TVRZT (fig. 3), au zénith duquel le mouvement tourbillonnaire secon- 
daire a achevé de passer, où il n'existe plus, et n'y a laissé, s'il en a 
même laissé pour quelques instants encore, que les très rares et derniers 
éléments de son arrière-garde. 



M. J. RICHARD 

Constructeur d'instruments de précision, à Paris. 



NOUVEAUX APPAREILS ENREGISTREURS 



— Séance du 17 septemlire 1892 — 



Thermomètre enregistreur donnant le 100^ de degré. — Ce thermo- 
mètre est fondé, comme tous les thermomètres de notre fabrication, sur 
le principe des tubes à section elliptique dits « de Bourdon » roulés en 
hélice et remplis d'alcool, mais dans lequel l'accouplement est fait au 



318 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

moyen d'un système tout à fait nouveau qui permet à l'organe moteur 
d'utiliser le maximum de force disponible en supprimant tous les frotte- 
ments ayant lieu dans la transmission du mouvement au style par les 
renvois de leviers ordinaires, ce qui permet de conserver au thermomètre 
des indications absolument proportionnelles dans une limite de 110 degrés. 
Il est bien évident que, dans la pratique, on n'a jamais besoin d'une exac- 
titude pareille dans une limite aussi étendue, aussi le cylindre ne permet-il 
d'enregistrer que 15 degrés. La hauteur du cylindre étant de 16 centimètres, 
chaque degré est représenté par une hauteur de 10 millimètres dont le 
centième, 1/10® de millimètre, représentant le 100* de degré est déjà très 
appréciable à l'œil. Un de ces appareils a été demandé par une mission 
au pôle Sud, et comme il devait traverser la mer Rouge, il fallait que les 
indications puissent varier de — 10 à -j- 40 degrés centigrades. A cet effet, le 
tube Ihermométrique était monté sur un bâti circulaire muni d'une vis 
tangentielle qui permettait de ramener le style vers le milieu du cylindre 
lorsque l'on prévoyait que les écarts de température pouvaient dépasser 
la limite du papier. 

Ces appareils sont surtout destinés aux locaux où sont installés des 
appareils de haute précision et où la variation thermométrique, si faible 
qu'elle soit, est importante à connaître. 

La rapidité de mise au point est considérable ; elle est due à la grande 
surface en contact avec l'atmosphère comparativement avec le volume du 
liquide. En effet, la partie thermométrique étant composée d'un long 
ruban de métal creux dont la section intérieure est de moins d'un milli- 
mètre, il s'ensuit qu'aucun thermomètre en verre ne peut se mettre 
aussi rapidement en équilibre avec la température. 

Au sujet de l'enregistrement en général des variations de tous les phé- 
nomènes, on ne saurait trop appuyer sur l'importance de l'enregistrement 
par tracé continu . On a cherché à discréditer ce mode d'inscription pour 
mettre en lumière des systèmes à pointage qui certainement sont la plus 
mauvaise chose du monde, puisqu'ils laissent passer continuellement les 
variations les plus intéressantes sans les inscrire et que forcément les 
maxima et les minima ne sont jamais enregistrés exactement. La courbe 
qui en résulte est une sorte de tracé moyen qui n'indique absolument 
rien. Ce moyen, du reste, qui a été employé pour la construction des 
premiers enregistreurs est depuis longtemps tombé en désuétude ; il était 
encore compréhensible quand on n'avait pas le moyen d'écrire sans frot- 
tement, mais aujourd'hui que, grâce à notre plume, l'inscription ne de- 
mande aucune force, cette méthode doit fatalement disparaître. De plus, 
dans ces soi-disant enregistreurs, on est obligé d'emprunter la plus grande 
partie de la force du mouvement d'horlogerie pour faire mouvoir le mar- 
teau pointeur. 11 s'ensuit que le réglage s'en trouve profondément altéré 



J. RICHARD. NOUVEAUX APPAREILS ENREGISTREURS 31 

€t quand, par suite d'usure ou de poussière, il se produit le moindre 
grippement, l'appareil s'arrête tout à fait. Puis il arrive souvent, lorsque 
le marteau frappe sur le godet pointeur, qu'il déplace ce dernier à droite 
ou à gauche, marquant ainsi des points absolument faux et qui n'ont 
que faire au milieu de la courbe. Au contraire, avec le tracé continu 
aucun de ces accidents à craindre, tout est indiqué et toutes les sinuosités 
accusées sont vraies. Laisserait-on même le cylindre s'arrêter par défaut 
<le remontage que la plume continuerait à inscrire indiquant encore le 
maxima et le minima de la période d'arrêt. 

Thermomèti'e enregistreur petit modèle pour Vetwegistrement continu de la 
iempérature dans les soutes à poudre, à charbon, etc. — Il est de la plus 
haute importance d'être renseigné sur les écarts de température qui se 
produisent dans les soutes en général. Les thermomètres à maxima et 
minima ne donnent jamais que peu de résultats sujets à des erreurs pro- 




FiG. 1. — Thermomètre enregistreur. 



venant du déplacement des index par suite des vibrations des navires. 
Aussi avons-nous construit un enregistreur qui, par son faible volume, 
160 millimètres de long sur 123 millimètres de hauteur et 93 millimètres 
•d'épaisseur, ainsi que son bon marché et son excellent fonctionnement, 
trouvera certainement sa place dans toutes les soutes à poudre, la collec- 
tion des courbes étant la meilleure garantie de surveillance aussi bien 
pour le capitaine que pour celui qui est chargé de vérifier les tempé- 
ratures (fig. /j. 

Scrutateur électrique ou Indicateur instantané et à distance du point 
d'un appareil à cadran. — On a souvent besoin de connaître à distance 
■et en un seul endroit l'indication d'un ou plusieurs appareils placés dans 
•des locaux divers. Nous avons construit à cet effet notre scrutateur qui 
résoud ce problème avec une entière satisfaction. L'appareil se compose 
d'un ou plusieurs postes transmetteurs réunis chacun par un fil élec- 
trique au poste récepteur ; il suffit de mettre ce dernier en communi- 
<;ation avec le fil du poste transmetteur au moyen d'une fiche et d'appuyer 



320 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

sur un bouton pour qu'aussitôt le récepteur indique le même point que 
l'appareil transmetteur. Quand on lâche le bouton, l'aiguille du récepteur 
revient immédiatement au zéro. Cet appareil est d'une grande simplicité 
de fonctionnement et sa construction particulièrement robuste permet de 
le placer sans danger dans les mains les moins expérimentées. Il est 
surtout indispensable dans les locaux chauffés à la vapeur ou à l'air chaud 
en ce sens qu'il permet au chauffeur de prendre sans se déranger la tem- 
pérature des pièces à chauffer et par suite d'en opérer le réglage. Cet 





FiG. 2. — Scrutateur électrique. 



appareil peut s'adapter à n'importe quel appareil à cadran, thermomètre, 
hygromètre, manomètre, niveau d'eau, etc. (fig. 2). 

Transmetteur électrique d'ordres à dislance. — La transmission des 
ordres à distance a toujours présenté de grandes difTicultés et tous les 
systèmes employés jusqu'à ce jour ont toujours présenté de nombreux 
défauts qui les ont fait rejeter pour employer des systèmes à ficelles. 
Nous sommes toutefois parvenus à construire un modèle qui donne 
d'excellents résultats et dont le fonctionnement n'est sujet à aucun aléa 
en raison même de sa simplicité et de sa solidité. Cet appareil comporte 
deux postes identiques reliés au moyen de trois fils électriques ; les indi- 
cations se font indifféremment dans les deux sens, il suffit de tourner la 
manivelle placée au bas de l'appareil pour amener l'aiguille extérieure sur 



J. lUC.HARD. — NOUVEAUX APPABEILS ENREGISTREURS ' 321 

l'ordre à donner ; aussitôt une sonnette électrique avertit le mécanicien 
qu'un ordre est donné et l'aiguille contrôle de son appareil lui indique 
l'ordre transmis ; à son tour, au moyen 
de la manivelle, il amène l'aiguille exté- 
rieure en face de l'ordre donné et l'ai- 
guille centrale du premier poste vient 
se placer de môme sur l'ordre transmis. 
La sonnerie cesse alors de sonner et 
la personne qui a transmis l'ordre est 
ainsi certaine d'avoir été comprise. Les 
vitesses de transmission peuvent être 
très rapides et permettent d'envoyer 
plusieurs ordres par seconde. 

Dynamomètres enregistreurs et Enre- 
gistreurs électriques de la vitesse des 
bateaux. — L'étude théorique et expéri- 
mentale de la résistance des carènes de 
navires a donné lieu à des travaux nom- 
breux. Mais la méthode qui est le plus 
généralement admise aujourd'hui con- 
siste à aborder directement l'étude ex- 
périmentale sur les navires eux-mêmes, 
en enregistrant soigneusement les divers éléments de la résistance totale. 
Lorsque, en novembre 1889, M. le ministre chargea M. de Mas, ingé- 




FlG. 3. 



Uynamomètre. 





iiHiiiii iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii lMMiiffliâ 




FiG. 4. — Manomètre eniegistieur pour dyiiauioinèliu. 



nieur en chef des Ponts et Chaussées, d'étudier la résistance des diverses 
formes de bateaux employés par la navigation fluviale au transport des 
marchandises, les expériences devant porter sur l'effort de traction aux 



322 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

différentes vitesses, il était nécessaire d'avoir un dynamomètre enregis- 
treur pour mesurer l'effort, et un enregistreur très précis de la vitesse 
du bateau. Cette vitesse ne devait pas dépasser un maximum de quatre 
à cinq mètres par seconde, et devait être mesurée à moins d'un centi- 
mètre près. Chargés de la construction de ces appareils, nous avons plei- 
nement réussi à donner entière satisfaction à tous les points de vue 
(ftg. 3 et 4). 
Le dynamomètre proprement dit était construit pour mesurer des efforts 

pouvant atteindre jusqu'à douze 
tonnes. Il se compose en principe 
d'une cuvette circulaire creusée dans 
un bloc d'acier; cette cuvette est 
remplie de liquide et fermée par une 
membrane en caoutchouc sur laquelle 
s'appuie un piston d'un diamètre 
connu ; il est bien évident que si un 
effort quelconque comprime le li- 
quide, la pression par centimètre carré 
à lintérieur de la cuvette égalera 

^ effort en kilog. . , 

P zir ; r^ — en centime- 

suriace du piston 

très carrés. Si nous relions la cuvette 
avec un manomètre enregistreur, le 
style de ce dernier se déplacera donc 
en fonction de l'effort. L'expérience 
a, du resle, pleinement confirmé la 
théorie, car au tarage cet instrument 
a été reconnu exact à moins de 1 U/0 
près. Ajoutons que le grand avantage 
de ce système de dynamomètre est 
sa légèreté et son faible volume qui 
permettent de le transporter facile- 
ment et de l'installer dans toutes les 
positions. Ses adaptations sont nombreuses ; il trouve notamment sa place 
sur les grues d'embarquement en permettant de lire instantanément le 
poids des colis embarqués. 

L'enregistreur de la vitesse (fig. 5) se composait de deux parties : 
1° d'un moulinet spécial tournant proportionnellement à la vitesse 
du bateau et envoyant des contacts électriques à un cinémographe ou 
enregistreur de la vitesse absolue. L'emploi d'un moulinet pour la me- 
sure de la vitesse n'est pas nouveau, mais tous ceux employés jusqu'à 
ce jour étaient fort grossiers et n'ont donné que des résultats vagues et 




riG. 5. — Jlouliiiet. 



J. RICHARD. 



NOUVEAUX APPAREILS ENREGISTREURS 



323 



toujours fort entachés d'erreur. Le moulinet que nous avons employé 
était fbrmé par une hélice à six ailes en aluminium de 32 centimètres 
de diamètre, le pas étant d'un mètre exactement, ce moulinet faisait juste 
un tour pour un mètre de chemin parcouru; un tarage minutieux fait 




I ni. ij. — ■ Ciiiémoyraphe. 

par les soins des Ponts et Chaussées a prouvé la parfaite proportionnalité 
des indications de ce moulinet. 

Le cinémographe était le même que celui que nous employons pour 
mesurer la vitesse directe du vent eu mètres par seconde. Tout le monde 
a vu fonctionner cet appareil à l'Exposition et peut le voir encore au 




mg. 



Cinémographe (vue arrière). 



Bureau central météorologique de France, où il enregistre continuellement, 
depuis trois ans, la vitesse du vent prise en haut de la tour Eifl'el (fuj. 6 et 7). 
Loch di/l'érentiel pneumatique enregistrant continuellement la vites.se des 
navires en mer (Système du D' Haro). — Avoir un bon loch indiquant et 
enregistrant continuellement la vitesse du navire est certainement le rêve 
de tout commandant. Depuis longtemps cette question est à l'étude ot 



324 



MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

n'a jamais été résolue parfaitement. On a construit bien des systèmes 
basés sur le tube de Pitot ou sur les hélices, mais tous avaient des défauts. 
Les systèmes pneumatiques, en eau douce, donnaient quelques résultats; 
mais en mer, avec le roulis et le tangage, aucune lecture n'était possible. 
Les systèmes à hélice aux grandes vitesses sortent de l'eau, bondissent sur 
la lame, et là encore les résultats sont erronés. Nous sommes arrivés, après 
de longues recherches, et sur les indications de M. le D' Haro, à cons- 
truire un système qui pare à tous ces inconvénients, qui est d'une solidité 
à toute épreuve et d'une installation rapide et simple. 

L'appareil se compose en principe d'un sys- 
tème de deux ballons en caoutchouc, enfermés 
dans un tube de métal ouvert à une extré- 
mité et séparés par une cloison; le tube de 
métal est fixé contre une des parois du navire, 
à une profondeur telle que le roulis le plus 
fort ne puisse le faire sortir de l'eau. L'extré- 
mité ouverte du tube de métal est tournée vers 
l'avant du navire, l'autre extrémité renfermant 
le second ballon de caoutchouc est percée à sa 
surface normale de plusieurs trous. Les deux 
ballons de caoutchouc sont chacun en commu- 
nication au moyen de tubes souples, avec un 
système enregistreur et différentiel de tubes 
Bourdon tel que, pour une pression égale sur 
chaque ballon, l'aiguille de l'enregistreur reste 
à zéro ; il est bien évident que, dans ce cas, 
quel que soit le degré d'enfoncement des deux 
ballons, l'aiguille de l'enregistreur restera à 
zéro, et par suite ni le roulis ni le tangage 
n'influenceront l'appareil. Mais, en marchant, 
la vitesse du navire va déterminer une pression sur le ballon placé en avant 
sans influencer le ballon d'arrière; or, il est bien évident que cette pres- 
sion est fonction de la vitesse, donc l'enregistreur n'indiquant que cette 
pression n'indiquera que la vitesse relative. On voit de suite l'avantage 
de ce système. L'application des ballons de caoutchouc a de plus l'avan- 
tage d'empêcher l'air de se dissoudre dans l'eau, ainsi qu'il arrive dans 
les tubes de Pitot et autres. Les ballons sont protégés par une grille; de 
plus, les tubes qui relient ces ballons avec l'appareil enregistreur étant 
hermétiquement clos, en supposant une avarie, le pis qu'il puisse arriver, 
c'est le remplacement des ballons, aucune voie d'eau n'étant possible. 
Hjjdromètre ou IncUcaleur de niveau d'eau. — Notre hydromètre est 
incomparablement supérieur à celui à cloche inventé par Decoudun. 




FiG. 8. — Cloche d'hydromt'tre. 



J. RICHARD. — NOUVEAUX APPAREILS ENREGISTREURS 32o 

Dans notre système, la cloche (fig. 8) se trouve, au contraire, fermée en 
dessous et percée de trous tout autour, et un récipient de caoutchouc 
subit la pression de leau. L'avantage est celui-ci, que l'air ne pouvant être 
dissous par l'eau, ni être faussé par la condensation dans le tube, puisque 
c'est de l'air sec qui se trouve dans le ballon, ni sortir par suite de la 
différence dans la pression atmosphérique de la cloche, on n'est plus 
obligé de remettre l'appareil enregistreur ou à cadran continuellement au 
point. Nous avons des appareils installés depuis trois années qui n'ont 
demandé aucune réparation et dans lesquels le point est resté absolument 
stable. Cet appareil sert pour le sondage ainsi que pour le relèvement 
rapide du relief du fond d'un port de mer. Il sufTit, en effet, de traîner 
le récipient par le moyen d'une corde, quelle que soit l'inclinaison du 




Fig. 9. — Manomètre enregistreur pour hydromètre. 

tube par rapport au bateau, il n'y aura que la hauteur d'eau qui sera 
enregistrée. Nous établissons même un dispositif qui permet de faire 
tourner le cylindre enregistreur proportionnellement au chemin par- 
couru (f((j. 9). 

Thermomètre fronde. — L'emploi d'un thermomètre ordinaire que l'on 
fait tourner à la main au bout d'une ficelle est certainement le moyen le 
plus simple, mais aussi le plus dangereux pour la conservation dudit ther- 
momètre, car la corde casse au bout de peu de temps ou bien, dans son 
mouvement de rotation, le thermomètre rencontre un objet quelconque ; 
dans les deux cas naturellement il se brise. Cette petite opération finit en 
somme par revenir fort cher. Pour remédier à cet état de chose, nous 
avons été amenés à construire un support de thermomètre qui, se mon- 
tant sur moulinet à engrenages, est mù à la main par une petite manivelle 
qui permet d'imprimer au thermomètre un mouvement de rotation aussi 



826 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

rapide que l'on désire et sans aucun danger de casse. La disposition est 
telle que l'on peut disposer deux thermomètres parallèlement, ce qui 
donne la facilité de prendre la température des thermomètres humides 
et secs donnant le point psychrométrique et par suite le point d'humidité. 
Ajoutons que tout l'appareil, y compris les deux thermomètres, se place 
dans un élégant écrin de la grosseur d'un fort portefeuille permettant de 
l'emporter sans gêne aux divers endroits où le point doit être relevé. 



M. a. POTJCHET 

Professeur au Muséum d'Histoire naturelle, à Paris. 



SUR LES EAUX VERTES ET BLEUES OBSERVÉES AU COURS DU VOYAGE 

DE « LA MANCHE !> 



— Séance du 49 septembre 189S — 

On sait que la couleur des eaux de la mer est tantôt verte ou tantôt 
bleue, en dehors de toutes conditions spéciales d'éclairage, de fond et d'agi- 
tation. Celles-ci peuvent modifier, dans certains cas et dans une certaine 
mesure, cette coloration, mais on peut toujours se mettre en dehors de leur 
influence. La couleur bleue ou verte de l'eau de mer est une des propriétés 
qui lui sont propres, aussi bien que le degré de salure, la température, etc.. 
Il est à peine nécessaire de rappeler qu'il ne s'agit pas ici des apparences 
infiniment variables de la surface de la mer, mais de la couleur de l'eau 
vue sous une épaisseur suffisante, dans les conditions favorables à ce genre 
d'observations. 

L'appréciation juste de la couleur de la mer, observée en route, exige 
évidemment une certaine habitude de l'œil, mais qu'il est aisé d'acquérir. 
J'en ai fait tout particulièrement l'épreuve au cours de la dernière cam- 
pagne de l'aviso-transport la Manche, à Jan Mayen et au Spitzberg, sous 
les ordres du commandant Bienaimé. Ayant appelé, sur un sujet qui me 
préoccupe depuis 1887 (1), l'attention de M. le lieutenant de vaisseau de 
Carfort, chargé à bord des observations météorologiques, entourés l'un et 
l'autre d'officiers qui prirent aussitôt intérêt à un genre d'observations 

H) Voyez La couleur des eaux de la mer et les pêches au filet fin. (Association française. Toulouse,. 
1887. Compte rendu, 2« partie, p. 590.) — Les eaux vertes de l'Océan (Soc. de BioL, nov. 1887). 



SLR LES EAUX VERTES ET BLEUES 



327 



G. POUCHET. -- 

nouveau pour eux, nous sommes vite arrivés à une uniformité suffisante 
dans l'appréciation de la couleur de la mer. preuve de la base objective 
de nos constatations. 

Je dois dire, tout d'abord, que l'échelle chromatique de M. Forel, qui 
est peut-être d'un usage pratique pour les lacs alpestres, ne nous a été, 
à la mer, d'aucun secours (1). Je suis arrivé à cette conviction qu'il est 
indispensable de s'en tenir, dans l'observation de la couleur de la mer, à 
un nombre restreint de qualifications (2; et je me suis arrêté à trois seu- 
lement, sans plus : vert, bleu, intermédiaire. 

(1) Tout au moins conviendrait-il que les liquides colorés de l'échelle Forel fussent renfermés 
dans des fioles à parois parallèles pour empêcher les effets de réflexion extérieure et intérieure dus 
à la forme cylindrique. 

(2) Je donnerai comme exemple des confusions où l'on tombe forcément en voulant trop préciser, 
le tableau suivant des observations que j'avais prié un ingénieur, M. Ebelot, de recueillir au cours 
d'un voyage du Havre à La Plata, dans l'automne de 1888 : 



DATE 



POSITION 



COULEUR 



11 sept. 

12 sept. 

13 sept. 

Idem. 

à 2 li.ap. midi. 

U sept. 

15 sept. 

16 sept. 

17 sept. 

18 sept. 

19 sept. 

21 sept. 

22 sept. 

23 sept. 

24 sept. 

25 sept. 

26 sept. 

27 sept. 

28 sept. 

29 sept. 

30 sept. 

1<" oct. 

2 oct. 

3 oct. 

4 oct. 

5 oct. 



41° 38' -N. 



37» 43' N, 

33° 58'. 
30° Cl'. 



Santa-Cruz de 
Ténériffe. 



Environ 21°. 

13° 31'. 
9° 59'. 
6" 32'. 
2° 59' N. 
0° 59' S. 
5» 04'. 
8° 52'. 
12° 51'. 
16° 46'. 
20° 09. 

23° 38'. 

26» 57'. 

Lat.: 29» 44'. \ 

JLong.: 50° ll'O.^ 

1 Lat.: 33» 53'. / 

Long.: 59° 33'. ( 



Vert. 

Bleu cham- 

bord. 



Bleu tournesol 
ou bleu marin. 



Bleu ardoise. 
B'eu. 
Bleu. 
Bleu. 



OBSERVATIONS 

Les longitudes ne sont pas indiquées, sauf à par- 
tir du 50" degré de Long, occid. La route s'est 
effectuée directement du Havre à TénéritTe et de 
Ténériffe au largo de la province de Rio Grande 
da Sol. 
L'eau est déclarée verte, à l'unanimité. 

\ L'expression est choisie par M°° E. Ciel pur 

I sur mer moutonnée. 

/ La nuance a été désignée ainsi par divers pas- 
sagers : M. E., bleu glauque ; M""» E., bleu marin ; 
le docteur du bord, bleu indigo ;M.L., bleu rabattu 
de noir ou bleu tournesol ; M"= G., bleu acier. 
Ciel couvert, mer plate. 



Vert. 



Bleu. 

Vert. 

Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 
Bleu. 

Bleu. 

Bleu. 

Bleu. 

Vert. 



Le bleu de la mer, le long du bord, est un peu 

i changé, il est devenu bleu ardoise. En allant à terre 

on la voit passer au vert. Au retour, au moment 

'du flot, l'eau, autour du navire, est franchement 

. verte. On retrouve le bleu en prenant le large. 

( Vers le soir, bleue. On est sur de hauts fonds, à 
( proximité du banc où se perdit la Méduse. 
Entre les îles du Cap-Vert et la côte. 



On noiera la couleur verte sur les bancs de 
allant du navire à terre dans la baie de Santa 



( Dans la matinée, en vue du cap Saint-Tomé, au 
(nord du cap Frio, teinte verdàtre. 



La sonde accuse 57 mètres. 
\ Le navire entre dans les eaux jaunâtres de La 
/ Plata. 

la Méduse et le changement de couleur sensible en 
■Cruz de Ténériffe. Quant au nombie des dénomma- 



328 MÉTÉOROLOGIK ET PHYSIQUE DU GLOBE 

M. de Carfort avait adopté quatre termes : vert, olive, ardoise, bleu ; 
les deux termes moyens correspondant à des nuances se rapprochant 
davantage soit du vert, soit du bleu. Cette distinction ne me paraît pas 
nécessaire et il est d'ailleurs évident qu'en passant d'une localité verte à 
une localité bleue, ce qui peut avoir lieu très vite (1) si la marche du 
navire est un peu rapide, il deviendra très difficile de reconnaître où la 
nuance olive fait place à la nuance ardoise et réciproquement. Je crois 
donc les trois termes que je propose — vert, intermédiaire, bleu — suffi- 
sants et c'est eux que j'ai adoptés au cours des observations attentivement 
poursuivies pendant le voyage de la Manche de Leith à .Tan Mayen. de 
Jan Mayen au Spitzberg, et du Spilzberg à Tromsue. J'ai continué les 
mêmes observations sur la côte de Norwège jusqu'à Drontheim. 

La Manche, au cours de ce voyage, a traversé cinq localités bleues 
nettement accusées et j'entends par là où la mer était aussi bleue que 
la Méditerranée. Elle a également rencontré des localités vertes et enfin 
a navigué, pendant la plus grande partie du temps, sur des eaux de cou- 
leur intermédiaire. 

Voici, d'ailleurs, le relevé de mes observations : . 

Sur la côte d'Ecosse, comme toujours dans la mer du Nord, l'eau est 
verte. 

Le 22 juillet. — 10 heures et demie du matin, l'eau est nettement bleue (2), 
le ciel est gris, c'est-à-dire que l'observation est faite dans les conditions les 
plus favorables. — Midi : Latitude, CA° 03' N. Longitude, 2° (3). — A midi 
et demi, l'eau est plutôt verte (4). 

Le 23 juillet. — l*osilion à midi: Latitude, 64° 12'. Longitude, 1° IS' 0. — 
Vers 4 heures de raprès-midi, l'eau est verte (5). — Vers 6 heures, l'eau est 

lions employées par M. Ebclot, il est, en somme, des plus restreints. Au cours du voyage de la Gazelle 
ivoy. t. II, Berlin, 188S, p. 4), la coloratiun de la mer fut enregistn^e journellement d'après les 
Impressions subjectives du Captlicut. Bendemann. Or, on ne relève pas moins de vingt dénominations 
CTiployéi'S par lui et il suffit de les énumérer pour montrer do quel faible secours elles sont pour 
des comparaisons ultérieures. On remarquera que la qualification <x entfiirbt » indique toujours un 
virage au vert. « Azurblau. — Tiefblau. — Dunl<ell)lau. — Hellblau. — Etwas entgefàrbt, grunlich. 
» — Enlfarbt grunblau. — Grijnblau. — Blaugrau. — Schmutzig-grun. — Schwarzgrun. — Blau. — 
» Dunkelblau elwas enlfarbt. — Grùnlichblau, leicbt entfârbt. — Hellblau etwas enllarbt. — Dun- 
» kelblau-grun. — Dunkelgriin-blau. — Tiefblau etwas enlfarbt. — Schwartzlich griJnblau. — 
» Blau leicht entfârbt. — Enlfarbt blau. » Cet exemple suffit, croyons-nous, à montrer la nécessité 
do recourir aune classification beaucoup plus simple, tout à fait simple. 

(1) Nous ne parlons pas des passages subits d'une couleur à fautre, comme dans la limite orientale 
du Courant du Golfe. 

(2) Le commandant Bienaimé m'informe qu'à 9 heures elle était plus bleue encore. 

(3) Nous sommes donc encore par le travers des Shetland, à 30 milles d'elles et à 130 milles 
environ de la côte de Norwège. 

(4)Jerapporleen note le résultat sommairedes pèches au filet fin qui ont été faites dans les eaux tra- 
versées. Le 22 juillet, pendant qu'on marche à la voile, une pêche au filet fin est pratiqui'^e en puisant 
de l'eau à la mer, de l'avant du navire, au moyen de seaux : Ceratium tripes, Peridimum divergens 
très abondants ; Rhizosolenia, Ceratium furca ; Dinophysis rares ; Méduses, Appendiculaircs, Copédodes 
rares. Dans cette pèche, les Peridinium dominent ; c'est, en somme, une pèche essentiellement végé- 
tale, une pêche d'eaux verles. 

(o) Deux pêches au filet fin ont été faites. La première, comme la veille, au moyen de seaux, à 
l'avant. Le procédé est essentiellement défectueux. Même en se plaçant dans les meilleures condi- 
tions on pêche des détritus du navire (fragments de laine colorée, elc.) et surtout des filaments du 
cordage auquel est suspendu le seau. Cette pèche donne moins de Ceratium et de Peridinium diver- 



G. POLCHET. SUR LES F.AIX VERTES ET BLELES 3'29 

bleue. — L'observation est très précise, faite par un ciel qui se maintient gris, 
c'est-à-dire dans les meilleures con<litions. Le point oîi se produit le change- 
ment d'eau verte en eau bleue est situé par 64° 30' latitude et 1° 35' longi- 
tude 0. — A 7 heures l'eau est encore un peu bleue sous le ciel gi'is ; à 
8 heures et demie, l'eau revient au vert sans être franchement verte. 

Le 2i juillet. — Vers 6 heures et demie et 7 heures du matin, l'eau a nette- 
ment viré au vert. Elle est intermédiaire, mais plutôt verte. — Je note à 9 heures : 
« presque verte ». — Position à midi : Latitude. Gtj" 47'. Longitude. 2° 13' (J (1). 

Le 2o juillet. — A midi la position est : Latitude, 69° '.0'. Longitude, o° 40' 0. 
— Vers 9 heures du soir, l'eau semble un peu virer au bleu (2). 

Le 26 juillet.— Au matin, leau est verte ; à 8 heures et demie, elle devient un 
peu bleuâtre. — Position à midi : Latitude 70° 20'. Longitude o» 30' 0. (3). 

Le 21 juillet. — Nous sommes au mouillage de Marie Muss (4). 

Le 28 juillet. — A l heure et demie, au sud de Jan Mayen, la mer est 
un peu bleuâtre ; à o heures et quart, devant le Phare, la mer est redevenue 
verte (o). 

Le 29 juillet. — A 9 heures, la mer est très faiblement bleuâtre. — A midi, 
l'eau est bleue. Latitude 7l« 38'. Longitude 5° 17' 0. Elle l'est encore à 4 heures 
trois quarts. — A 6 h. oo m., la mer est un peu bleue; à 8 heures trois quarts, 
de même. 

Le 30 juilld. — A midi, l'eau est toujours bleuâtre. Latitude 73° 37'. Longi- 
tude I044' E. — A 1 heure, la mer est nettement bleue; à 4 heures, elle l'est 
encore, mais peut-être plus faiblement. — A 8 heures du soir, la mer est 
encore bleue ; elle va peut-être virer ; elle me paraît, en tous cas, moins bleue. 

Le 31 juillet. — De minuit â 4 heures, l'ofiicier de quart, M. Exelmans, a vu 
passer un baril, un tronc d'arbre, un orque. — A 6 heures du matin, l'eau 
est verte. — A 11 heures, l'eau est verte. — Position à midi : Latitude 73° 13'. 
Longitude 6° 44' E. — A 4 heures, l'eau est entre vert et bleu. — A 9 heures 
l'eau est toujours bleuâtre (G). 

. Le i^" août. — A 1 heure du matin, eau bleuâtre. — A 3 heures et demie, 
dans le Bell Sund, elle est d'un vert sale. 

gens que la veille ; Per. divergens est plus abondant que Ceralium. On trouve, en outre, des Globigérines, 
des Calanus. — Une seconde pêche est faite vers J, heures pendant que le navire a stoppé, avec lappareil 
Biétrix muni de son bateau. Elle est faite à quelques mètres de profondeur. Le dépôt est ronge par 
l'abondance des Copédodes, On trouve Peridinium diverycns, de couleur rose très rabattue, quelques 
Ceralium Iripos, grands Coscmod'SCHs; des Globigérines ; des Sagitta, etc.. La pêche est essentiel- 
lement animale. Pendant qu'on fait ceUe pêche je vois passer un fragment de fucus. 

(1) Une pêche est faite à la pompe : Cera(i»m <c/pos qui parait ici l'être dominant ; C. fusus: Peri- 
dinium divergens de coloration rouge plus accentuée qu'hier; Chetocerus; très rares Hhizosotenia ; 
quelques Radiolaires petits; quelques Coscinodiscus ; Lamellibranches. En faisant la pêche, je vois 
passer deux fragments de fucus plus grands que celui de la veille. 

(2) Dans une p^che au filet fin, je trouve des Sphaerozoaires. 

(3) Pèche au filet fin faite avec les seaux. Celte pêche est exclusivement végétale : Ccscmcd-scus .- 
Polijcysline/i ; Chetnceras : Navicules : Bhizosohnia ; débiis végétaux; quelques œufs de poissons 
pélagiques; pas de Copépodes. Le soir, une pêche est faite en vue de Jan Mayen, avec l'appareil 
Biétrix. Elle est également essentiellement végétale. Le dépit est jaune, mais plus fin que celui 
que j'ai décrit dans les eaux des Feroe. Schizonema en abondance; Tetraspora ; Chetocerus i Diato- 
mées; Navicules; quelques Tintinnidés; un seul Copédode. 

(4) Une pèche au filet fin donne les mêmes résultats que celle de la veille au soir. 

(o) Une pèche au filet fin est pratiquée devant la Grande lagune. Elle est essentiellement végétale : 
Riiizosoknia ; Diatomées nombreuses (beaucoup sont enkystées); quelques Peridinium tripos; Radio- 
laires; Globigorines; œufs de Copédodes et de poissons; un Pluleus. 

(6) Le matin, une pêchi a été faite au moyen de la pompe : Sphserozaires ; Chetocerus; Cosn- 
nodincus; Rhizosolenia ; Diatomées (plusieurs enkystées) ; gros Gijmnodinium vert; petit /»roto/)cri- 
dinium; Appendiruhuies ; Copêpoies. Malgré la présence de ceux-ci en assez grand nombre, la 
pêche peut être regardée comme essentiellement végétale. — Le même jour on constate la très 
grande abondance de Tetraapora Poucheti. 



330 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

Le 4 août. — A 9 heures, devant le cap Lyell, l'eau est verte. — A 9 h. 3S m., 

à la sortie du Bell-Sund, elle tend à bleuir. — A 12 h. 33 m., l'eau est très 

•faiblement bleue. — A 2 heures, l'eau est verte, nous sommes dans l'Isfjord (1). 

Le 10 août. — Mouillage d'Advent Bay : autour du navire, l'eau est bleuâtre; 
de l'autre côté d'Advent Bay, elle est nettement verte (2). 

Le 41 août. — A 11 heures, par le travers du cap Staraschine, la mer est 
verte. — A 12 h. 10 m., en avant de l'entrée de risfjord, elle est bleuâtre. — 
A 1 h. 5 m., très bleue. — A4 heures, on ne trouve pas de Tetraspora (3). — 
A 6 heures, mer bleue, très peu de Tetraspora. — A 7 heures, eau moins bleue, 
un peu verdâtre. 

Le 12 août. — A 2 heures et demie du matin, d'après l'officier de quart, 
M. Exelmans, nous aurions traversé une localité d'eau verte. Puis l'eau est rede- 
venue bleuâtre. — A 7 heures et demie, en face du cap Lyell, nous la retrou- 
vons verte. 

Le 45 août. — A 9 h. 20 m., en face du glacier de Scott, l'eau est verte. — 
A 10 h. 50 m., elle a une tendance à bleuir, elle est cependant plutôt verte. 
— A midi, l'eau est bleue. Latitude : 77° 33'. Longitude : 11° 17' E. — A 3 heures, 
on ne trouve pas de Tetraspora. — A 3 h. 40 m., eau très bleue; il fait calme. 

Le 46 août. — A 6 h. 55 m., mauvais temps. Eau intermédiaire, plutôt verte, 
Tetraspora abondants. — A 10 h. 45 m., eau verte. — A midi, position estimée : 
Latitude : 75° 45'. Longitude : 11° 31' E. — A 12 h. 40 m., eau intermédiaire, 
plutôt verte (4). — A 2 heures, eau plutôt verte. — A 8 heures et demie du soir, 
eau bleue. Latitude : 75° 03'. Longitude : 13* 02' E. Le commandant me dit que 
peu de temps après l'eau est devenue verte (5). 

Le 11 aovt. — A 6 heures, eau verte. — A 6 h. 50 m., eau intermédiaire, 
plutôt verte. — A 10 h. 50 m., eau verte. — Position à midi : Latitude : 73° 17'. 
Longitude : 14° 47' E. — A 2 heures, eau intermédiaire plutôt bleue (6). — 
~ A 6 heures, eau intermédiaire, plutôt bleue (7). — A 9 heures, eau inter- 
médiaire, plutôt bleue (8). 

Le 18 août. — A 4 h. 35 m., mer bleue, beau temps (9). — A 6 h. 30 m., 
eau verte. — A 7 h. 40 m., eau verte (10). — A 9 h. 30 m., eau verte; très beau 
temps (11).— A midi : Latitude : 71° 35'. Longitude 17° 30' E. — A 1 h. 15 m., 
eau verte. — A 1 h. 50 m., eau verte (12). 



(1) Le 6 août, dans Sassen Bay, une pêche au filet fin donne Peridinium divergent ; Cop^podes; 
Appendiculaires: Gastéropodes; Lamellibranches; pas d'algues; une grande Sagilla; Tintinnidé très 
long ; un seul Ceratium tripos. La pêche est essentiellement animale. — Comp. Pouchet, Sur la faune 
pélagique du iJijrefjord. {Complcs rendus Acad. des Sciences, 25 janvier 1892.) 

(2) Comparez l'observation dans la baie de Sanla-Cruz de TénérifTe, ci-dessus, p. 327, note 2. — 
Une pêche au filet fin, dans Advent Bay, a donné : Peridinium divergens ; Gymnodinium puivisculus, 
et surtout un Cakmus (finmarchus ?) rencontré en abondance dans d'autres pèches. 

(3) Les Tetraspora Poucheti sont observés simplement dans un tiers de litre environ d'eau de mer 
puisée du bord avec les précautions nécessaires pour détruire le moins possible de ces organismes, 
et placée dans une cuve à glaces parallèles. 

(4) Tetraspora extrêmement abondants. On en compte plus de vingt dans un tiers de litre d'eau. 

(5) Pendant qu'on prend à cette place des températures de fond, une pêche au filet fin est effec- 
tuée: Tetraspora exlrèmemenl àhondànls; Rhizûsolenia en nombre dominant; Ceratium tripos ; nres 
Peridinium divergens, Globigérincs. La pêche, malgré de nombreux Copédodes et des Tintinnidés, 
est essentiellement végétale. 

(6) On ne trouve pas de Tetraspora. 

(7) On ne trouve pas de Telrasjyora. 

(8) On ne trouve pas de Tetraspora. 

(9) On no trouve pas de Tetraspora. 

(10) On ne trouve pas de Tetraspora. 
(11j On ne trouve pas de Tetraspora. 
(12) On ne trouve pas de Tetraspora. 



G. POl'CHET. SUR LES EAVX VERTES ET RLEUES 331 

Les indications qui précèdent sont relevées sur notre carnet d'observa- 
tions. M. de Carfort, de son côté, a noté également les couleurs de la 
mer sur son journal météorologique en se servant de sa nomenclature 
à quatre termes. Nos deux relevés se superposent sensiblement (1). 

Nous ne pouvions malheureusement, en raison de la route du navire, 
ne repassant pas par les mêmes lieux, établir — sauf en ce qui concerne 
la côte et les fjords du Spitzberg — la forme et l'étendue des localités 
bleues que nous avons traversées ("2). Nous nous bornerons, en consé- 
quence, aux remarques suivantes : 

La première localité bleue s'est offerte à nous très bas par le travers 
des Shetland, entre ces îles et la côte de Norvvège. Puis en montant vers 
le nord, la Manche a rencontré successivement trois autres localités 
bleues. Scoresby, dont l'attention s'est portée sur presque tous les pro- 
blèmes d'Océanographie qui nous préoccupent aujourd'hui, note la fré- 
quence des eaux bleues sur le méridien de Greenwich; or, les quatre 
localités bleues dont nous parlons ont précisément été rencontrées par 
la Manche sur le méridien de Greenwich. 

Deux localités nettement bleues ont été traversées de Jan Mayen au 

(I) Les indications du livre météorologique de M. de Carfort sont les suivantes : 
20 juillet. — 4 heures du soir, verte ; 6 heures, verte. 

il juillet. — 10 heures du matin, verte. — Midi : Latitude : 38» 32'. Longitude : 3° 24' 0.— 2 heures 
du soir, verte ; 6 heures, olive. , 

22 juillet. — 10 heures du matin, bleu ardoise. — Midi, olive ardoise : Latitude : 61° 03 . Longi- 
tude : 2° 0. — 2 heures du soir, olive ardoise; 6 heures, olive. 

23 juillet. —8 heures du matin, vert; 10 heures, olive. — Midi : Latitude : 64° 12'. Longitude : 
^o^5' 0. — 2 heures du soir, vert olive ; 6 heures, ardoise opaque; 8 heures, verte. 

2i juillet. — 6 heures du matin, gris olive ; 10 heures, olive. — Midi : Latitude : 66° 47'. Longitude : 
2» 13' 0. — 2 heures du soir, olive ; 6 heures, vert olive. ^ 

25 juillet. — 2 heures du matin, vert olive ; 10 heures, vert olive. — Midi : Latitude : 68° ol . Lon- 
gitude ; 3° 40' 0. — 2 heures du soir, vert olive; 6 heures, vert olive. ^ 

26 juillet. — 10 heures du matin, gris olive. — Midi : Latitude : 70° 31'. Longitude : 6° 40 0. — 
6 heures du soir, gris olive. 

27 juillet. — Baie Marie Muss. — 6 heures du soir, gris olive. 

28 juillet. — Sud de Jan Mayen. — 2 heures du soir, bleu ardoise ; 6 heures, verte. ^ 

29 juillet. — 10 heures du matin, bleu ardoise. — Midi : Latitude : 71° 38'. Longitude : 3° 17 0. — 
2 heures du soir, ardoise ; 6 heures, ardoise ; 10 heures, ardoise. ^ 

30 juillet. — 6 heures du matin, ardoise ; 10 heures, bleu ardoise. — Midi : Latitude : 73° 37 . Lon- 
"itude ■ 1° 44' E. — 2 heures du soir, ardoise ; 6 heures, ardoise. 

3/ j»i«e<. —1 heure du matin, vert; io heures, olive. — Midi : Latitude : 73° 13 . Longitude: 
go 44' E. — 2 heures du soir, bleu ardoise; 6 heures, ardoise; 10 heures, bleu ardoise. 
1" août. — Dans Bell Sund, vert clair. 
6 août. — Dans Sassen Bay, verte. 

12 août. — Sortie de l'Isfjord. — 10 heures du matin, verte; midi, ardoise ; 2 heures du soir, bleu 
ardoise; 4 heures, ardoise; 6 heures, ardoise; 10 heures, olive. 

42 août. — Baie de la Recherche. — 10 heures du matin, vert laiteux. 

13 août. — 10 heures du matin, vert olive. . 

iS août. —Midi : Latitude : 77° 33'. Longitude: 11°n'E. — 2 heures du soir, bleu ardoise; 

fi heures olive 

16 août. - Midi : Latitude : 75° 43'. Longitude : 11° 31' E. - 2 heures du soir, olive; 6 heures, olive, 

17 août. — 4 heures du matin, olive. — Midi : Latitude : 73° 17'. Longitude : 14° 47 E. - 2 heures 
du soir, ardoise; 6 heures, olive. , , a cr,;,- 

18 août. — 10 heures du matin, bleue. — Midi : En vue des cotes de Norvège. - 2 heures du son. 

verte; 6 heures, verte. „rôfé 

(2) Il était évidemment possible, d'après noire carte, d'en relier plusieurs ; il nous a Paru pre e- 
rable de ne point forcer l'observation en traçant des limites peut-être Particulièrement variables 
dans l'ucèan Glacial, entre les eaux bleues et vertes, et qui échappent par cela même a tout contrôle 
ultérieur. 



332 MKl'KOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

Spitzberg et deux autres du Spitzberg au nord de la Norwège. Peut-être 
ces quatre localités bleues doivent-elles être considérées comme faisant 
partie de deux bandes bleues considérables étendues de l'est à l'ouest. En 
particulier, la première rencontrée au départ de Jan Mayen et la dernière 
rencontrée en approchant de la Norwège se sont trouvées exactement 
sur le même parallèle par 72° de latitude N. (4). 

De Jan Mayen au Spitzberg, les localités nettement vertes ont été, en 
somme, plus rares que les bleues. Nous en trouvons une vers la pointe 
orientale de Jan Mayen ; une en allant au Spitzberg, l'autre en revenant, 
toutes deux entre 75° et 76° de latitude, et pouvant être considérées 
comme appartenant h une même zone verle étendue en latitude. Enfin, 
une autre localité verte s'est montrée dans le sud-ouest de l'Ile de l'Ours 
par 73° 30' de latitude N. 

En approchant de la côte de Norwège, nous avons trouvé l'eau verte 
que j'ai pu suivre le long de la côte jusqu'à Drontheim. 

Autour de Jan Mayen, sauf la localité verte signalée plus haut, la mer 
a présenté une coloration intermédiaire. 

La couleur de la mer sur la côte et dans les fjords du Spitzberg nous a 
offert une particularité intéressante. La Manche a visité Bell Sund et 
Isfjord. Elle s'est avancée sur la côte jusque vers le milieu de Prince 
Charles Foreland. Or, nous avons toujours trouvé, soit avant d'entrer 
dans les deux fjords, soit en en sortant, la mer bleue. Dans les deux fjords, 
la mer, au contraire, s'est toujours montrée à nous verte {^). 

Il n'est pas douteux que, dans l'Océan Glacial en particulier, les limites 
et l'étendue des localités bleues varient selon les années et peut-être 
même plus fréquemment (3). 

On a proposé de nombreuses explications de cette différence de colo- 
ration que présentent les eaux de la mer. Il convient toutefois de dis- 
tinguer ici la cause efficiente des circonstances concomitantes qui peuvent 
l'accompagner dans un certain nombre ou même dans la plupart des cas. 

Nous rangeons dans cette dernière catégorie les influences de la tem- 

(1) Cette limite des eaux bleues et vertes dans le sens des parallèles, qu'on pourrait rapprocher 
dfi celle des eaux vertes et bleues de l'Atlantique tempéré, mérite peut-être de fixer l'attention. 

(2) En 1888, M. Ch. Rabot, qui avait, à ma demande, porté son attention sur la couleur de la mer 
au Groenland, m'écrivait: a M. le professeur... en allant pendant la seconde quinzaine de juillet, la 
B mer est restée verte de la côte d'Ecosse au 21° de longitude 0. de Greenwich, où nous trouvons 
» les premières eaux bleues... Au retour, autour du cap Farewell, eaux bleues. Du 'H ° de longitude 0. 
» de Greenwich au 12° 30', eau verte... Dans les fjords de la cèle occidentale du Groenland, l'eau 
» était verte. » Nansen signale de même la mer bleue sur la ente orientale du Groenland : « De notic 
» tente nous pouvions contemiiler la mer poussant vers l'horizon ses petites vagues bleues... » 

(3) Dès le départ de la_,Manche, au mois d'avril, pour l'Islande, j'avais signalé aux olficiers l'in- 
térêt des observations de la couleur des eaux. Le 4 mai, M. le D' Couteaud m'écrivait rie Rei- 
kjavik : « Nous avons constaté que la mer, depuis les Feroë jusqu'à la cote sud dislande, était 
j> d'une belle couleur bleucj » Même en admettant que l'expression ait été exagérée et que la 
couleur de la mer fut simplement intermédiaire, le fait n'en était pas moins intéressant. En effet, 
l'année précédente, 1891, en faisant, du 5 au u juillet, la route Granton, les Feroé, Reikiavik, et 
du 22 au 30 août la route inverse, j'avais nettement constaté la couleur verte de la mer sur tout 
ce parcours. 



G. POUCHET. — SUR LKS EAUX VERTES ET BLEUES 333 

pérafure et de la salure. Les eaux équinoxiales sont à la fois plus 
denses et plus chaudes que les eaux des hautes latitudes. Elles sont 
bleues, mais on se rond compte de suite que ni la température, ni le 
degré de salure, ni la profondeur ne sont les conditions immédiatement 
déterminantes de la couleur, puisque des eaux vertes peuvent se ren- 
contrer sous les tropiques (1) et que, d'autre part, les localités bleues 
sont fréquentes dans les mers septentrionales. Si les eaux moins profondes 
paraissent être généralement vertes (2), on n'oubliera pas que l'eau est 
verte sur toute la largeur de l'Atlantique tempéré vers le oO'^ degré de 
latitude (3). 

On n'oubliera pas, d'ailleurs, que les mêmes différences de coloration 
des eaux se retrouvent dans les lacs (4), ce qui suflit à faire écarter 
l'hypotlièse d'une intervention de la salure, à laquelle M. Spring attribue 
cependant un rôle important. 

On est ainsi conduit à rechercher, en dehors des facteurs qui viennent 
d'être signalés, l'origine de la couleur verte des eaux, la couleur bleue 
paraissant être la couleur naturelle de l'eau pure (o). 

Scoresby d'abord, puis Robert Brown (18G7), ont les premiers compris 
que la couleur des eaux de l'Océan — et nous pourrions ajouter celle de 
la plupart des eaux terrestres — dépend directement de certains phéno- 
mènes biologiques. Ils se trompèrent seulement en croyant que la pré- 
sence ou l'absence de certains êtres vivants, animaux ou végétaux, pro- 
duisait les couleurs observées. 11 est facile de s'assurer que l'eau est 
bleue ou verte indépendamment de tout être vivant, même microsco- 
pique, en suspension. 



(1) Rappelons l'eau verte signalée p. 327, note 2, sur les bancs de la Méduse et en rade de Sanla-Cruz 
de Ténéiille. Signalons encore une localité verte observée par Schlemitz, au cours du voyage d.e 
la Gazelle. Le 23 août, par o" de latitude S. et 9° de longitude 0. de Greenwich, l'eau devint 
verdàtre de bleue qu'elle était. On remarqua en même temps un abaissement delà densité. Voyez 
Natarforscher, t. VIII, p. 59, cité par W. Spring. 

(2) Fjords du Spitzberg, du Gioénland, rade de Santa-Cruz de Ténériffe, bancs sur lesquels s'est 
perdue la Méduse (voyez ci-dessus, p. 327, note 2), mer du Nord, Manche, etc. 

(3) M. 0. Krummel, au cours du voyage de la Gazelle, donne pour limite inférieure des eaux 
vertes de l'Atlantique tempéré le A0° degré de latitude. Voyez Geograph. Jahrbuch, 1892, p. 9 et suiv. 
— J'ai indiqué et ligure dans la carte que j'ai donnée pour l'été de 1887 cette limite par Ai" lati- 
tude N. vers la cote d'Europe et 41° 30' du côié de l'Amérique. Voyez La couleur des eaux de la 
mer el les pèches au filet fin (Ass. /•'jdnf ..Toulouse, 1887, t. II, p. 596, et carte.) Je faisais remarquer 
dès cette époque que cette limite coïncidait assez bien avec celle des eau.\ de densité i,0270. 

(4) M. Forel (Arch. des Sa. Phijs. et Nat., t. XXI, p. 270) indique comme ayant des eaux bleues : 
les lacs Léman, de Garde, de Lucel, de Kandersleg, l'Achensee et enfin le lac d'Annecy. Pour ce 
dernier, je doi-; dire qu'au cours d'un voyage fait à Annecy au mois d'avril, dans le but même d'ob- 
sener la couleur du lac, j'ai constaté que ses eaux étaient nettement vertes. 

(3) On trouvera un excellent résumé des travaux sur la couleur de l'eau dans l'importante étude 
de VV. Spring ; De la couleur des eaux [Ciel et Terre, 3" année, n» 24; 4' année, n» i. Bulletin de 
l'Acad. des Se. de Bruxelles, janvier 1883. Rev. scient., 1883, t. XXXI, p. 16I). — Nous ne saurions, 
d'ailleurs, partager les vues de M. W. Spring sur l't.rigine de la couleur jaune qui viendrait se com- 
biner à la couleur bleue naturelle de l'eau pour donner les eaux vertes; cette couleur jaune déri- 
verait, d'après M. W. Spring, d'un précipité naissant de sels incolores (carbonate de chaux, de 
magnésie, silice, silicate d'alumine) dû à une trop faible quantité d'acide carbonique pour la com- 
plète dissolution des carbonates ou à une insuilisance de chlorure de sodium pour la précipitation 
du silicate d'alumine. 



334 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOP.E 

Partant de ce fait d'observation que l'eau pure est bleue (1), j'ai admis 
depuis 1887 (2) que la couleur verte des eaux devait être attribuée à la 
combinaison de cette couleur bleue avec la couleur jaune d'un principe 
d'origine organique qui s'y trouvait mélangé. J'admis de plus que ce 
principe était la phycophœine soluble dans l'eau et dont MUIardet a 
montré la singulière fixité (3). 

Depuis les observations de Robert Brovvn on est unanime à reconnaître 
que les végétaux monocellulaires flottants sont, d'une manière générale, 
répandus en beaucoup plus grande abondance dans les eaux froides, 
c'est-à-dire dans les eaux vertes (4). Il n'est pas douteux que cette quan- 
tité prodigieuse d'algues, abandonne sans cesse une notable quantité de 
phycophœine à l'eau de mer. J'ai insisté ailleurs (5) sur le caractère très 
particulier des pêches au filet fin dans les eaux des Feroë. Le même carac- 
tère essentiellement végétal du plankton s'est retrouvé autour de Jan 
May en. 

Dans les fjords du Spitzberg cependant, malgré l'eau verte, le plankton 
s'est présenté à nous comme presque exclusivement animal (6). Mais on 
remarquera que si les fucus ne poussent pas dans ces fjords au niveau 
des marées, on peut voir les bas-fonds tapissés partout de Laminaires. 
Les goémons fixés joueront ici, en abandonnant leur phycophœine, le 
même rôle que les algues pélagiques pour la haute mer. 

Peut-être pourrait-on expliquer la grande zone verte de l'Atlantique, 
tempérée par la présence des Sargasses qui flottent, il est vrai, en partie 
dans l'eau bleue, mais en déf)assent notablement la limite au nord et 
qui laisseraient écouler en se détruisant leur phycophœine dans le sens 
du déplacement des eaux vers le nord-est. 

En tous cas, une question très importante resterait à résoudre : la 
couleur de l'eau des parties profondes de l'Atlantique. 

En partant de cette hypothèse que l'eau verte résulte de la présence 

(1) Voyez W. Spring. 

(2) Voyez mes diverses communications de 1887, Assoc. française, Toulouse, et ii'oc. de Biuloyie. 
Cf. ci-dessus, p. 327, note 2. 

(3) Il sullit, pour l'obtenir, de triturer àesfucnst dans l'eau et de filtrer. M. Forel a supposé (1889, .4n'/t. 
des Sc.phijs. elnal.) que c'était l'eau des tourbières chargée d'acide humiquequi apportait le com- 
posant jaune. Si cette e.xplication, à la rigueur, peut s'appliquer à certains lacs, elle ne saurait être 
étendue à l'Océan pour plusieurs raisons. La couleur de ces eaux de tourbières est d'un jaune forte- 
ment rabattu. On navigue sur cette eau dans certains fjords de Norvvège. On peut citer en parti- 
culier le Kanenfjord. On retrouve les mêmes eaux au fond de certaines petites baies des Feroë. Mais 
ce sont là des phénomènes essentiellement limités. On ne peut songer à attribuer au Saint-Laurent 
l'apport du principe jaune qui donnerait naissance à la grande zone verte de l'Atlantique tempéré, 
plus qu'on ne saurait, d'autre part, admettre une inllueuce des rivières de Norwège et d'Europe 
agissant à contre-courant. Il est à noter, en effet, que les autres grands fleuves atlantiques (iMississipi, 
Amazone, Niger), se déversent dans des eaux bleues et n'en modifient point la coloration dès que les 
particules solides, qu'ils tiennent en suspension, se sont précipitées. 

(4)M.O. Kriiramel signale lui-même l'abondance des Diatomées dans l'eau intermédiaire (blaulich- 
griin.) du courant sud é(|uiLlorial (G<kigr. Jahrbuch, ts92, p. 9 et suivantes.) L'auteur ajoute cette 
remarque à un passage des Pelerm. Miiheil. 1889, qu'il transcrit jiour le resteà peu près textuellement. 

(5) Voyez Sur la jloi e pélagique du Xaahôfjord. (Comptes rendus, \\ janvier 1892.) 

(6) Comp. PoucHET, Sur la faune pélagique du Dyrefjord. {Comptes rendus, 25 janvier 1892.) 



G. POUCHET, SI R LES EMX VERTES ?:T BI.KLES 83d 

d'une certaine quantité de phycophœine en dissolution dans l'eau naturel- 
lement bleue, on pouvait se demander s'il ne serait pas possible d'éli- 
miner celle-là et de rendre à celle-ci sa couleur naturelle. Quelques faits 
sembleraient indiquer qu'on doit y parvenir (1). 

Je ne puis indiquer ici que le résultat d'une expérience préliminaire 
réalisée dans le laboratoire de Concarneau, et basée sur ce fait que le 
noir animal décolore les solutions de phycophœine. La seule partie de 
l'appareil instrumental nécessaire, dont je disposais, était un tube de 
o mètres mesurant o centimètres de diamètre environ, muni à l'intérieur 
de cinq diaphragmes circulaires et aux extrémités de deux glaces paral- 
lèles. L'eau de la baie de Concarneau, convenablement fdtrée, observée 
dans ces conditions sur un écran blanc, bien éclairé, à l'autre extrémité 
du tube, est parfaitement transparente et d'un vert intense. 

Plusieurs essais ont été faits ; je ne relaterai que les deux suivants : 

1° De l'eau de la baie, passée sar un filtre de papier pour la débarrasser 
des matières en suspension, est lentement filtrée une seconde fois à tra- 
vers une couche de 5 à 6 centimètres de noir animal en poudre fine; 

2° De l'eau de la baie, après avoir été débarrassée de même des matières 
€n suspension, est laissée vingt heures environ au contact de noir 
animal réduit en poudre. 

Ces eaux de mer sont essayées dans le tube et donnent exactement la 
même impression que l'eau distillée du commerce et que l'eau de source, 
impression très bien indiquée par W. Spring. Si elles n'étaient point 
bleues, elles avaient du moins subi une décoloration considérable que 
l'observateur le moins prévenu pouvait constater à première vue (2). 

Le temps, les appareils et les matériaux nécessaires nous manquaient 
pour pousser plus loin ces recherches. L'expérience que nous rappoi'tons 
démontre, en tous cas, que la coloration verte des eaux de la mer dépend 
au moins pour une grande partie de la présence d'une substance que l'on 
peut directement lui enlever par des moyens appropriés, et qui jouit 
— comme la phycophœine — de la propriété d'être retenue par le noir 
animal. 

(() U. Sainle-Claire Ueville (Ann. de Chimie, t. XXIII, I8i8, p. 32; trouva que les eaux bleues 
des lacs de la Suisse et du Jura, évaporées, donnaieiil des résidus incolores; tandis que les eaux 
vertes, celles du Doubs et du Rhin, donnaient une quanliié de matière organique assez forte, 
teignant ca jaune les sels d'evaporali'in. On peut yjouler que le précipité obtenu par l'action du 
bichloruie de mercure sur les solutions de phycopliœine est de même jaune. On reconnaît au 
microscope la présence d'un dépôt pulvérulent jaune (phycophœine?;. 

(2) L'eau qui a séjourné sur le noir animal en particulier est déclarée par une personne surve- 
nant au moment de l'expérience, dune nuance •■'■ entre veit et bleu ». 



330 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 



M. Léon TEISSEEEITC DE BOET 

Météorologiste au Bureau central météorologique de Fiance, à Paris. 



SUR LA THÉORIE DES MOUVEMENTo TOURBILLONNAIRES 



— Séance du i7 septembre 1892 — 

Le mécanisme des tourbillons qui se produisent, soit dans l'eau, soit 
dans l'air, a été beaucoup élucide par les diverses expériences de Weyher, 
Colladon, etc., faites dans ces dernières années ; aussi peut-on essayer 
aujourd'hui d'en esquisser la théorie. 

Le premier principe sur lequel il faut s'appuyer, c'est que dans tous 
ces tourbillons le mouvement centripète ne se produit que lorsque les 
surfaces isobares sont plus déprimées que les surfaces de niveau dyna- 
miques. 

De môme tout mouvement dans le sens vertical est dû à ce que la 
variation de pression suivant la verticale n'est pas celle qui correspond à 
la densité du fluide au repos. Dans l'air les variations dans la loi de 
décroissance de la pression barométrique sont sensibles et intimement 
liées à l'écoulement du fluide aux extrémités du tourbillon. 

On peut produire expérimentalement toute une classe de tourbillons par 
des différences de vitesses entre les parties du fluide considéré, soit qu'on 
entraine directement le fluide comme dans les expériences de Weyher, 
soit qu'on l'actionne par des courants voisins de vitesses différentes, 
comme on en voit produire des tourbillons près des piles de ponts. 

Le tourbillon le plus simple que nous connaissions est celui qu'on 
produit en faisant tourner autour de son axe un vase cylindrique rempli 
d'eau ; après quelques instants, si le mouvement est très régulier, l'eau 
tourne avec le vase d'un mouvement uniforme du haut en bas, la vitesse 
angulaire est réglée par celle du vase et constante pour toutes les parties 
du liquide. 

L'eau à sa partie supérieure est déprimée et sa surface libre est formée 
par une surface de niveau dynamique, c'est-à-dire une surface perpendi- 
culaire à la résultante de la gravité et de l'effet centrifuge dû à l'inertie 
du fluide en rotation. 

Si on arrête le vase on voit bientôt l'eau se ralentir dans la partie infé- 
rieure qui frotte sur le fond du vase, la diminution de vitesse angulaire 



L. TEISSEREXC DE BORT. — THÉORIE DES MOUVEMENTS TOURBlLLOî<NAlRES 337 

a pour résultat de changer la forme des surfaces de niveau dynamiques 
dans les parties inférieures du vase où elles deviennent moins déprimées. 
Mais la transmission verticale des pressions continuant à se faire comme 
précédemment, les isobares ont gardé la même forme et sont ainsi plus 
creusées que les surfaces de niveau dynamiques. Il en résulte pour la partie 
inférieure que le fluide est poussé de la périphérie vers l'axe parce que les 
différences de pression qui existent dans le sens horizontal ne sont plus 
équilibrées par l'effet centrifuge comme lorsque les courbures des iso- 
bares et des surfaces de niveau dynamiques se confondent. 

L'afflux de fluide vers l'axe a pour résultat d'augmenter la pression 
dans les régions inférieures et de déterminer ainsi un mouvement ascen- 
sionnel d'une certaine masse du liquide qui comble partiellement la 
dépression existant dans les couches supérieures. Cette dépression dimi- 
nuant, les isobares tendent à se rapprocher en bas de la forme des surfaces 
de niveau dynamiques et l'afflux vers l'axe diminue, il s'arrête complè- 
tement lorsque la vitesse de rotation est devenue uniforme dans tout le 
liquide, ce qui, dans le cas présent, n'arrive que par l'arrêt de tout 
mouvement. En faisant tourner régulièrement le vase qui sert d'enve- 
loppe au fluide on maintient le tourbillon d'une façon permanente sans 
mouvement dans le sens vertical. 

On peut aussi entretenir le mouvement ascendant central en faisant 
arriver par la partie inférieure du vase en rotation de l'eau qui, n'étant 
pas animée d'un mouvement rotatoire comme celle du vase, afflue forcé- 
ment vers l'axe en même temps qu'elle est poussée vers la partie supé- 
rieure par la diflérence de pression verticale qui existe entre les couches 
inférieures, oii il y a afflux, et les couches supérieures où l'eau se déverse 
lorsque le vase est assez plein pour que la surface libre du liquide aftleure 
à ses parois. 

On arrive donc à constituer ainsi un tourbillon dont le mouvement est 
du au frottement des parois du vase, et dans lequel l'afflux par la base de 
liquide en repos relatif produit et maintient la différence de vitesse de 
rotation entre les régions inférieures et la partie supérieure qui est néces- 
saire au mouvement ascensionnel du fluide. 

Lorsqu'on opère dans un milieu libre pouvant être pratiquement consi- 
déré comme indéfini, on peut produire un mouvement tourbillonnaire du 
même genre en imprimant à une masse de fluide un mouvement de 
rotation autour d'un axe, au moyen d'un anneau vide tournant rapide- 
ment autour de son centre ou au moyen d'un moulinet à palettes. 

C'est le mécanisme employé pour réaliser les intéressantes expériences 
de M. VVeyher et celles de M. Colladon. 

Le mouvement de rotation imprimé au fluide au voisinage du moulinet 
se transmet aux masses voisines situées dessous et dessus, pendant que 



338 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

le fluide est rejeté latéralement en vertu de l'action de la force centrifuge, 
qui n'est pas équilibrée par une différence de pression suffisante entre 
le fluide en repos et le centre du tourbillon. 

Dans les tourbillons aériens de Weyher, à mesure qu'on s'écarte des 
tranches où se meut le moulinet, la vitesse angulaire transmise par le frot- 
tement du fluide sur lui-même diminue, tandis que la différence de pres- 
sion entre le centre du tourbillon et le fluide extérieur reste à peu près 
constante ; on arrive ainsi à une zone où les isobares sont parallèles aux 
surfaces de niveau dynamiques, dans laquelle, par conséquent, l'effet cen- 
trifuge est équilibré par la différence de pression vers l'axe. En sécar- 
tant encore plus, on atteint une région où la vitesse de rotation, dimi- 
nuant de plus en plus, les isobares sont beaucoup plus concaves que les 
surfaces de niveau dynamiques, et où il y a mouvement du fluide vers 
l'axe en même temps que mouvement de rotation. 

L'afflux vers l'axe diminue la concavité des isobares et détruit ainsi 
l'équilibre vertical entre les régions inférieures et la partie supérieure du 
tourbillon (c'est-à-dire que la décroissance de pression ne suit plus la 
loi statique, mais est plus rapide qu'elle ne devrait être eu égard à la den- 
sité de l'air), ce qui détermine le mouvement ascendant du fluide. 

Comme on le voit, on reconstitue ainsi un tourbillon identique au 
précédent, seulement le mode de communication du mouvement rotatoire 
est différent, il est dû au déplacement du fluide par les palettes du mou- 
linet à la partie supérieure et à l'entraînement des masses voisines par le 
frottement du fluide en mouvement sur le fluide en repos. 

Dans l'un comme dans l'autre de ces tourbillons, le mouvement de 
rotation détermine une dénivellation des surfaces de niveau dynamiques 
et par conséquent une expulsion du fluide en mouvement par la péri- 
phérie, là où se trouve la vitesse maxima. 

Cette dénivellation des surfaces de niveau entraîne la production d'une 
dépression vers l'axe et il y a mouvement vers la périphérie, là où la 
dépression est inférieure à la dénivellation des surfaces de niveau, mou- 
vement circulaire là où les isobares sont parallèles aux surfaces de niveau 
dynamiques, et mouvement vers l'axe là où les isobares sont plus dépri- 
mées que les surfaces de niveau. 

Les tourbillons formés dans un milieu libre sont plus ou moins coniques, 
la partie la plus évasée étant voisine de la zone motrice, ce qui tient à ce 
que le mouvement gyratoire des couches inférieures est entretenu par 
le frottement des couches supérieures; comme d'ailleurs le tourbillon 
frotte sur le milieu fluide qui l'entoure, la plus grande vitesse angulaire 
se trouve toujours à une certaine distance des bords du tourbillon et sur 
des diamètres de plus en plus petits, à mesure qu'on s'éloigne des 
tranches motrices, soit en montant, soit en descendant. 



L. TEISSERE.NC DE BORT. — THÉORIE DES MOUVEMENTS TOURBILLOXNAIRES 339 

Tourbillom par dépression. — Quand on produit un tourbillon en 
laissant écouler un fluide par un orifice inférieur, comme c'est le cas 
dans les tourbillons qui se produisent par des écluses et dans le tourbillon 
observé par M. CoUadon sur le barrage du Rhône, à Genève, ce phé- 
nomème présente bien toujours la forme conique, mais la partie resserrée 
est tournée vers la région où se produisent les plus grandes vitesses. 

Ces tourbillons forment une classe spéciale et la source de leur énergie 
réside dans la dépression produite par l'écoulement du fluide, naturel- 
lement sous l'influence de la pesanteur ou artificiellement sous l'influence 
d'une asj)iration par un orifice. Le mouvement gyratoire est une consé- 
quence des inégalités de vitesses produites dans le fluide qui s'écoule au 
lieu d'être la cause même du tourbillon et la cause de la dépression. 

L'importance du tourbillon est donc réglée par l'intensité de la dépres- 
sion ('pour le cas du vase percé d'un orifice, la valeur de la dépression 
dépend surtout de la hauteur du liquide au-dessus de l'orifice) et les di- 
mensions de l'orifice, qui sert à l'écoulement. Dans les autres tourbillons, 
au contraire, c'est la vitesse de gyration qui produit la dépression, la- 
quelle détermine ensuite le mouvement suivant l'axe. Dans le tourbillon 
formé par dépression, le fluide tend toujours à se rapprocher de l'axe, 
parce que la dépression est partout supérieure à la déformation des sur- 
faces de niveau dynamiques. 

Si cette dernière condition n'était plus satisfaite la composante verticale 
du mouvement serait annulée et le tourbillon s'évanouirait. En effet, la 
vitesse de rotation croît dans un tourbillon de ce genre à mesure qu'on se 
rapproche de l'orifice, parce que le fluide se rapproche de l'axe, il en 
résulte que la dépression des surfaces de niveau dynamiques augmente à 
mesure qu'on se rapproche de l'orifice d'écoulement et avec elle la 
dépression barométrique traduite par la courbure des isobares, sans que 
jamais elle puisse être moindre que celle des surfaces de niveau, sous 
peine de voir le fluide s'échapper latéralement, au lieu de gagner l'ori- 
fice. 

Dans tous ces tourbillons, il y a toujours transport du fluide vers le 
siège de la cause motrice et non émission du fluide en mouvement de 
la cause motrice vers les régions calmes, comme le voudraient les théories 
dans lesquelles un système moteur supérieur fait pénétrer des spires des- 
cendantes de fluide au milieu d'une atmosphère plus ou moins tranquille ; 
cette dernière forme de tourbillon n'a encore jamais été réalisée dans les 
expériences et paraît d'ailleurs incompatible avec l'existence du frottement, 
parce que : 1° le mouvement descendant ne peut être produit que par 
un excès de pression dans les régions supérieures qui est incompatible avec 
l'aspiration latérale qui produit les gyrations motrices du tourbillon ; 
2° le mouvement de concentration du fluide vers la partie inférieure du 



340 MÉTÉOROLOGIE ET PHYSIQUE DU GLOBE 

tourbillon exige que la dépression des isobares soit plus grande que celle 
des surfaces de niveau; or celle dépression des isobares étant produite par 
la transmission des pressions d'en haut ne saurait être supérieure à celle 
des tranches de fluide placées au-dessus, il faut donc de toute nécessité 
admettre que les surfaces de niveau dynamiques sont moins déprimées en 
bas qu'en haut, ce qui est incompatible avec l'augmentation de vitesse 
de gyration produite par la diminution du rayon de la trajectoire de 
l'air, augmentation d'énergie actuelle qui a été invoquée pour expliquer 
les effets violents des trombes et des cyclones . 

J'ajouterai que dans un tourbillon descendant de ce genre l'air à la 
partie inférieure ne peut s'écouler que vers l'intérieur du tourbillon où il 
produirait alors un mouvement ascendant marqué, ou vers l'extérieur ; et 
dans ce dernier cas on doit, si tumultueux que soit le mouvement, retrou- 
ver la trace de vents divergents, ce que l'observation ne montre pas pour 
ime portion un peu étendue de l'aire occupée par un tourbillon atmo- 
sphérique. 

Ces réserves formulées sur la possibilité de l'existence de tourbillons 
descendants mus par la partie supérieure (et qui s'appliqueraient dans 
leurs généralités à la possibilité de réaliser des tourbillons ascendants 
mus par la partie inférieure), je reprends l'étude comparée des tourbillons 
produits expérimentalement et de ceux qui s'observent dans la nature. 

On observe souvent que lorsque deux courants de vitesses ditiérentes 
ou de directions non concordantes prennent contact l'un avec l'autre, il se 
produit un tourbillon. 

Ce dernier mode de création des tourbillons est particulièrement diffi- 
cile à réaliser dans l'air, mais on le produit assez facilement dans l'eau. 
Cependant M. Weyher est parvenu, en faisant soutïler dans l'air calme une 
large buse produisant un courant d'air en nappe, à créer des différences 
de vitesses qui déterminent la formation d'un tourbillon ascendant. Dans 
la nature il semble que ce soit par des différences de vitesse que se pro- 
duisent les tourbillons aériens. 

Le mécanisme des mouvements de l'air dans la zone génératrice des 
tourbillons a été peu étudié jusqu'ici. Cependant M. Lasne, dans un mé- 
moire sur la théorie des mouvements tourbillonnaires, a indiqué quelle 
doit être la marche de l'air dans cette zone; mais si je suis d'accord 
avec lui sur le sens du mouvement de l'air, je ne saurais le suivre pour 
ce qui lient à la cause de la répartition des pressions et à la transmission 
de haut en bas des vitesses par frottement. Cette circonstance influe 
assez sur l'ensemble de la théorie du tourbillon pour que je sois obligé 
d'en faire un exposé très différent sur plusieurs points essentiels de celle 
qui a été donnée par M. Lasne. 
Il est hors de doute que les courants généraux latéraux étant les moteurs 



L. TEIï^SERENC DE BORT. — THÉORIE DES MOUVEMENTS TOURBILLON-NAIRES 341 

du système, à l'origine dans une tranche de la zone génératrice, la vitesse 
linéaire maxima doit se trouver à la périphérie là où l'air est entraîné 
par le courant latéral. Deux hypothèses se présentent : ou bien la vitesse 
angulaire de cette sorte de disque aérien est uniforme et alors la dépression 
des surfaces de niveau dynamique est une simple fonction du rayon et de 
la vitesse périphérique, ou bien la vitess'e angulaire décroît à l'intérieur à 
cause de l'inertie de l'air qui se présente pour remplacer celui qui a été 
entraîné par le courant. 

La première hypothèse, si les surfaces isobares ont une courbure 
voisine de celle qui résulterait de la rotation de la masse fluide sur 
elle-même, n'est pas conciliable avec le mouvement centrifuge de l'air 
dans la zone supérieure, mouvement indispensable à l'existence même du 
tourbillon, parce que l'air qui diverge, perdant de la vitesse à mesure 
que le rayon de courbure augmente, ne pourrait remonter la pente des 
isobares, puisque sa vitesse serait toujours inférieure à celle qui est 
nécessaire pour faire équilibre suivant le rayon à la pression barométrique. 

Il faudrait nécessairement admettre que les isobares sont moins dépri- 
mées que les surfaces de niveau dynamiques. De plus, à moins de sup- 
poser des vitesses périphériques énormes, si on prend pour point de départ 
cette hypothèse que la vitesse linéaire en chaque point est voisine de celle 
qui correspond à la vitesse angulaire constante, on trouve, dès qu'on 
s'approche du centre du tourbillon, des vitesses si faibles qu'elles corres- 
pondent à des gradients très petits. Ainsi, pour des vitesses assez consi- 
dérables des courants supérieurs, les dépressions barométriques seraient 
beaucoup moindres que celles de la nature et ne pourraient engendrer 
les vents violents que nous observons près du sol. 

M. Lasne admet que la vitesse linéaire ne croit pas avec le rayon, 
mais qu'en partant du centre, où elle est nulle, elle passe par un maxi- 
mum pour décroître ensuite. Cette hypothèse, qui est assez satisfaisante 
pour expliquer la forme des isobares inférieures et la relation qui lie les 
diverses vitesses entre elles, laisse tout à fait dans l'ombre le mode de 
transmission du mouvement du courant générateur à la masse aérienne 
qui forme la tranche aérienne supérieure en rotation. On ne comprend 
pas bien, en effet, comment les courants moteurs périphériques peuvent 
engendrer par frottement des vitesses supérieures à leur propre vitesse. 
Au contraire, si les vitesses centrales sont dues, comme nous le pensons, 
surtout à l'accélération centripète éprouvée par l'air dans la partie conver- 
gente du tourbillon, on comprend qu'elles puissent être supérieures à 
celles des courants généraux. 

Si l'on prend en considération ce fait établi que dans un tourbillon se 
produisant dans un milieu où il y a frottement, les vitesses qui seraient 
obtenues par le frottement de l'air sur l'air décroissent forcément de haut 



342 MÉTÉOROLOGIK ET PHYSIQUE DU GLOIîE 

en bas, c'est-à-dire depuis les tranches motrices jusqu'au niveau du sol, 
en sorte qu'il s'établit, comme nous l'avons vu déjà, un mouvement centri- 
pète inférieur et un mouvement divergent supérieur avec une zone inter- 
médiaire où le fluide tourne circulairement en montant, on reconnaît qu'en 
vertu de la loi des aires il y a accélération des vitesses de la périplif-rie 
vers le centre dans la région c^triprte et qu'ainsi l'air qui arrive en haut 
a dans les parties centrales une vitesse plus considérable que celui qui 
s'élève tout autour. 11 en résulte que l'air arrive à la zone supérieure 
avec des vitesses assez grandes pour pouvoir remonter la pente des iso- 
bares en vertu de l'effet centrifuge et qu'ainsi une dépression baromé- 
trique assez forte peut subsister en haut sans que le mouvement centri- 
fuge soit arrêté. 

L'intensité de la dépression barométrique ne dépend plus directement 
de la vitesse de gyration à la périphérie comme dans le tourbillon circu- 
laire parfait qu'on produit dans un vase qui tourne, mais de la raréfac- 
tion produite par l'aspiration latérale due à l'entraînement de l'air par les 
courants généraux. Sans vouloir entrer ici dans le détail d'ailleurs fort 
difficile à préciser des relations qui lient la vitesse périphérique à l'inten- 
sité de l'aspiration, on conçoit que l'entraînement périphérique de l'air se 
produisant sur une très grande surface par rapport à celle de la partie 
centrale de tourbillon, il y ait baisse de pression en ce point; d'ailleurs 
tout l'air qui est ainsi enlevé au tourbillon doit passer par la partie res- 
serrée du tourbillon là où l'air tourne circulairement, on conçoit donc que 
lorsque le diamètre de cette section est très petit comparé à celui de la 
tranche motrice, la valeur de la dépression du baromètre soit considérable. 

Le tourbillon ainsi formé n'est autre qu'un système physique, aspirant 
l'air par sa périphérie à la partie supérieure et produisant ainsi un cou- 
rant ascendant, lequel détermine des vents convergents inférieurs qui se 
transforment en vents circulaires lorsque leur vitesse de rotation est dans 
une certaine relation avec la dépression des isobares et qui se changent 
plus haut en vents divergents en tourbillonnant et vont augmenter les 
courants latéraux aspirateurs en se confondant avec eux. 

Il est probable que, dans la nature, il existe des tourbillons dans les- 
quels la vitesse la plus grande à la partie supérieure se trouve à la péri- 
phérie; mais on peut penser que, dans les grands cyclones, il n'en est pas 
ainsi. A cause de leur rayon étendu, on arriverait à la périphérie à des 
vitesses énormes. En efîet, le vent qui souffle dans une tempête atteint sou- 
vent (dans la région située en dedans de la moitié du tourbillon) 30 mètres 
à la tour Eiffel. Or, en s'élevant entre 300 mètres et 6 à 8 kilomètres, où 
les cirrus indiquent le mouvement divergent, l'observation des vitesses 
des nuages montre que les vitesses sont au moins triplées, en sorte qu'on 
arriverait facilement à des vitesses de plusieurs centaines de mètres pour 



G. COTTEAU. — LA FAMILLE DES CIDARIDÉES A l'ÉPOQUE ÉOCÈXE 343 

le courant supérieur périphérique, tandis que les vitesses des cirrus ne 
dépassent guère 100 mètres. 

En résumé, les tourbillons atmosphériques participent à la fois du tour- 
billon formé dans un vase en rotation et du tourbillon par dépression, 
et la théorie dont je viens d'indiquer les grands traits, tout en se basant 
sur les propriétés mécaniques des mouvements tourbillonnaires reconnues 
par l'expérience, permet de rendre compte des phénomènes observés dans 
les tourbillons de la nature comme je l'indiquerai ultérieurement. 



M. &. COTTEAU 

Correspondant de l'Institut, à Paris. 



LA FAMILLE DES CIDARIDÉES A L'ÉPOQUE EUGENE 



— Séance du 16 septembre 1892 — 

L'année dernière, au Congrès de Marseille, j'ai présenté quelque considé- 
rations générales sur le groupe des Clypéastroïdes éocènes, dont je venais 
de terminer la description dans la Paléontologie française. Depuis cette 
époque, j'ai commencé l'étude des Échinides réguliers éocènes. Je viens 
d'achever la description des genres et des espèces de la famille des Cida- 
ridées, et j'ai pensé qu'il serait intéressant de vous faire connaître le 
résultat de mes recherches. La famille des Cidaridées est la plus ancienne 
des Échinides et se montre pour la première fois dans les mers du trias et 
du terrain carbonifère ; elle poursuit son évolution à toutes les périodes 
des terrains jurassique, crétacé et tertiaire, et existe encore dans les mers 
actuelles, sous les latitudes les plus diverses. 

Dans le terrain éocène, la famille des Cidaridées est représentée par 
trois genres : Cidaris, Klein ; Rhabdocidaris, Desor, et Porocidaris, Desur. 

Le genre Cidans, tel que nous avons cru devoir le circonscrire, est 
parfaitement caractérisé par sa forme subcirculaire, déprimée en dessus et 
en dessous; par ses aires ambulacraires étroites, plus ou moins flexueuses; 
par ses pores disposés en séries linéaires, non conjugués par un sillon 
et non séparés par une bande saillante ; par ses tubercules interambu- 



344 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

lacraires gros, scrobiculés, pourvus ou non de crénelures, perforés ou 
imperforés ; par son péristome non entamé, recouvert d'une membrane 
écailleuse visible chez les espèces vivantes et sur laquelle se prolongent 
les zones porifères. 

Les auteurs ont établi, au détriment du genre Cidaris, plusieurs genres 
ou sous-genres, qui peuvent être excellents pour la distinction des espèces, 
mais qui ne nous paraissent pas suffisants pour les séparer du type. Du 
reste, la plupart de ces coupes secondaires, à l'exception du Cidark 
Verneuilli, dont M. Pom.el a fait le Dorocidaris VerneuiUi, n'existent pas 
à l'époque éocène, et nous n'avons pas à nous en occuper ici . 

Le genre Cidaris renferme, dans le terrain éocène de la France, vingt- 
trois espèces, dont nous avons décrit le test ou les radioles : 



Cidaris sabaratensis, Cotteau. 

— nummulitica, Sismoiiita. 

— Grossoîivrei, Cotteau. 

— Pomeli, Cotteau. 

— crateriformis, Guinbel. 

— liautevUlensisi, Cotteau. 

— TaramellH (Taramellii, Cotteau. 

— attenuata, Cotteau. 

— Lorioli, Cotteau. 

— Oosteri, Laube. 

— spinigera, Dames, 

— Beloni, Agassiz. 



Cidaris subularis, d'Arehiac. 

— subscrratu, d'Arehiac. 

— inlcrlincala, d'Arehiac. 

— svbcylindrica, d'Arehiac. 

— striatogrmiosa, d'Ai'chiac. 

— ariciilaris, d'Arehiac. 

— prionata, Agassiz. 

— subprionata, Rouault. 

— seminota, Sorignet. 

— gervaisiana, Sorignet. 

— matrotiensis, de Loriot. 



Nous n'avons que quatre espèces dont nous connaissons le test; les 
dix-neuf autres ne sont représentées que par leurs radioles ; mais ces 
radioles sont tellement bien caractérisés que nous avons tout lieu de 
croire qu'ils constituent des espèces particulières. Ces espèces, du reste, 
étaient en grande partie déjà et depuis longtemps connues. Presque tous 
nos radioles proviennent de Biarritz ; ils avaient été, en 1847 et en 1850, 
décrits et figurés par d'Arehiac (1),- d'après des échanlillons recueillis par 
Pratt et déposés à l'École des Mines. Grâce à l'obligeance de M. Douvillé, 
nous avons pu étudier ces types précieux, bien que souvent à l'état de 
fragments. Nous les avons comparés aux exemplaires plus nombreux et 
plus complets rencontrés depuis dans cette localité si riche. Après avoir 
discuté les espèces, nous en avons supprimé quelques-unes et nous avons 
caractérisé d'une manière plus nette et plus précise celles que nous 
avons cru devoir conserver. 

A la suite des vingt-trois espèces recueillies en France, nous avons 



(1) D'Archiac, Deso'iplion des fossiles des environs de Bayonne. (Mérn. Soc. Géol. de France 
2= série, t. Il, -I8A6.) — D'Archiac, Description des fossiles du groupe nummulilique (Méin. Soc. Géol. 
de France, 2° série, t. III, 1850.) 



G. COTTEAU. — L.V FAMILLE DES CIDARIDÉES A l'ÉPOQUE ÈOCÈXE 345 

donné la diagnose de tous les Cidaris éocènes signalés dans d'autres 
contrées, au nombre de vingt-deux : 



Cidaris mesjriliin. V. de Loriol. 

— Mayeri, P. de Loriol. 

— hungarica, Pavay. 

— cervicornis, Scbaiirotli. 

— spclicicnsis, Dames. 

— Snmpicri, Taramelli. 

— infratertiarius, Quenstod. 

— veronensis, Quensted. 

— Vincenfi, Cotlean. 

— poreseadienais, Koch. 

— Bietzi, KoL'h. 



Cidaris Yilanovà, Coîtean. 

— striofa, Hutton. 

— Verneuilii, d'Archinc. 

— hafnen^is, d'Arcliiae. 

— Mortoni, Conrad. 

— Janvfi, Fritsch. 

— longicoliis, Fritsch. 

— acanthica, Fritsch. 

— lacrymuJn, Duncan et Staden. 

— ovipnra, Ihincaii et. Staden. 

— excelsa, Duncan et Staden. 



Sur ces vingt-deux espèces, treize ont été déterminées à l'aide de leur 
test et neuf seulement à l'aide de leurs radioles. Ces vingt-deux espèces, 
étrangères à la France, élèvent à quarante-cinq le nombre des Cidaris 
éocènes que nous connaissons. Parmi les radioles, quelques-uns, couverts 
d'épines plus ou moins fortes, appartiennent probablement au genre 
Rhabdocidaris. Nous ne pourrons avoir de certitude que lorsque ces 
radioles auront été trouvés adhérents au test. Nous avons préféré, quant 
à présent, laisser ces espèces douteuses parmi les Cidaris, où elles ont 
été placées dans l'origine. 

II. — Le genre Rhabdoddains, Desor, se distingue des Cidaris, dont il a été 
démembré en 1837, par ses pores ambulacraires unis par un sillon sub- 
flexueux et, lorsque le sillon fait défaut, par les paires de pores que 
sépare transversalement un bourrelet saillant. Ce genre forme deux 
groupes : Le premier comprend des espèces en général de grande taille, 
remarquables par leurs tubercules fortement crénelés et perforés, par leurs 
pores ambulacraires allongés, unis par un sillon subflexueux; chaque 
paire de pores séparée, en outre, par un bourrelet saillant. Ce sont ces 
espèces, pour la plupart jurassiques, qui ont servi de type au genre. Le 
second groupe renferme des espèces de taille ordinairement plus petite : 
les zones porifères sont moins larges, les pores ambulacraires sont moins 
arrondis, moins allongés, moins écartés, plus arrondis et le sillon sub- 
flexueux qui devrait les unir fait le plus souvent défaut ; le bourrelet qui 
sépare les paires de pores persiste seul et forme alors le caractère essen- 
tiel, pour ainsi dire unique, qui sépare les Rhabdocidaris des Cidaris. 
Les espèces de ce second groupe, qu'elles aient les tubercules crénelés 
comme ceux du /?, Pouechi, ou lisses comme ceux du Rh. Blanchefi. 
sont assurément très voisines des véritables Cidaris auxquels quelques 
auteurs ont cru devoir les réunir. Mais alors il faudrait rapporter 
également aux Cidaris les Rhabdocidaris jurassiques du premier groupe, 



346 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

et cependant quelques espèces ont un faciès bien particulier. Nous avons 
préféré maintenir dans la méthode le genre Rhahdocidans, tel que nous 
venons de le circonscrire. 

Les deux espèces rencontrées dans le terrain eocène de la France ap- 
partiennent au second groupe; la première a été recueillie, à la fois, dans 
le terrain éocène moyen et le terrain éocène supérieur. 



Rhabdocidaris Pouechi, Cotteau. 



Rhabdocidaris Blancheti, Cotteau. 



Chez le R. Pouechi, les tubercules sont fortement crénelés, ils sont 
lisses chez le R. Blancheti. 

Hait espèces de Rhabdocidaris ont été signalées en dehors de la France. 



Rhabdocidaris pseudo-juraxsica, Laube. 

— mezzoana (Laube), Cotteau. 

— Itala (Laube), P. de LorioL 

— Loveni, Cotteau. 



Rhabdocidaris Zittcli, P. de Loriol. 

— fianifco^/ Dunkan et Sladen. 

— sindensis, Dunkan et Sladen . 

— Navillei, Cotteau. 



Ces espèces élèvent à dix le nombre des Rhabdocidaris que nous 
connaissons. 

III. — A la suite des Rhabdocidaris, nous plaçons le genre Porocidaris, 
qui s'en distingue nettement par les sillons profonds et poriformes qui 
rayonnent le plus souvent au milieu des scrobicules et ne se retrouvent 
chez aucun autre Echinide. Les Porocidaris sont, en outre, caractérsés 
par les cloisons épaisses qui marquent, à l'intérieur du test, la suture de 
certaines plaques interambulacraires, et surtout parla forme toute particu- 
lière de leurs radioles. 

Deux espèces éocènes de France appartiennent à ce genre : 

Porocidaris psewdoserroto (Cotteau), Dames, | Porocidaris Schmideli (Munster) Desor. 



La première de ces espèces se rencontre à la fois dans l'éocène moyen 
et l'éocène supérieur ; la seconde espèce paraît propre à l'éocène supérieur. 

Michelin, sous le nom de P. tuberosa {Bull. Soc. géol. de France, 
2« série, t. XVII, p. Ii6, pi. Il, fig. 1 , a b c d, 18o9) signale un très petit 
radiole recueilli à Issy, près Paris, et qui présente au premier aspect, par 
sa dentelure marginale, quelques-uns des caractères des radioles des Poro- 
cidaris. Mais ce radiole est un peu roulé et ne parait pas suffisant pour 
démontrer dans le bassin parisien l'existence du genre Porocidaris. 

Aux deux espèces éocènes de la France, il y a lieu d'en joindre une 
troisième provenant de l'Inde, 

Porocidaris anomala, Duncan et Sladen. 



É. RIVIÈRE. — AGE DES SQUELETTES HUMAINS DE MENTON 347 

Le genre Porocidaris se montre, pour la première fois, à l'époque 
éocène. Il est représenté dans les mers actuelles par une espèce : Poroci- 
daris purpurata Wyville, qui, suivant M. de Loriol, est très voisine du 
Porocidaris Schmidlei. 

Les sillons poriformes sont remplacés par une série de petites im- 
pressions servant de points d'attache aux muscles moteurs des radioles. 

La famille des Cvlaridées compte à l'époque éocène cinquante-huit re- 
présentants. Une seule espèce, C. Belone, s'est rencontrée dans le calcaire 
grossier des environs de Paris. Quatorze espèces proviennent des falaises 
de Biarritz dans lesquelles les Échinides sont si abondants. 



M. É. UIYIÈEE 



SUR L'AGE DES SQUELETTES HUMAINS DES GROTTES DES BAOUSSÉ-ROUSSÉ, 
EN ITALIE, DITES GROTTES DE MENTON 



— Séance du 17 septembre 1892 — 



I 



Au mois de février dernier, trois nouveaux squelettes humains ont été 
découverts, absolument par hasard, dans l'une des grottes des Baoussé- 
Roussé, surnommée la Barma grande. 

De cette découverte, faite à la suite de fouilles entreprises au mépris 
de tous mes droits de propriété, découverte contre laquelle j'ai protesté 
dès le premier jour et je ne cesserai de protester jusqu'à ce que jus- 
tice me soit rendue, la grotte ayant été acquise par moi, ainsi que deux 
autres grottes voisines, en 1872, par acte notarié passé au consulat 
français de Ventimiglia (Italie), tant de choses erronées ont été dites 
ou écrites, tant d'inexactitudes ont été commises — quelques-unes sciem- 
ment — sur l'époque à laquelle appartiennent les différents squelettes 
trouvés aux Baoussé- Rousse depuis vingt ans, que je suis obligé de 
traiter à fond, une bonne et dernière fois pour toutes, je l'espère, cette 
question, afin de n'y plus revenir. 



348 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

II 

C'est en 1869 que j'ai pénétré pour la première fois dans ces grottes; 
c'est en 1870 que j'ai commencé à les explorer, aussi méthodiquement 
que possible, et je crois pouvoir ajouter aussi scientifiquement que pos- 
sible, n'ayant d'autre but que d'en faire l'étude complète, d'en écrire 
l'histoire, sans aucun parti pris, sans idée préconçue, enfin, n'ayant 
d'autre mobile que la recherche de la vérité. 

Je ne reviendrai pas sur la description de ces grottes, au nombre de 
neuf, situées toutes à côté les unes des autres, sur le territoire italien, à 
quelques centaines de mètres de la frontière française, au bord de la 
Méditerranée. Je ne ferai pas de nouveau, non plus, l'iiistorique des 
fouilles dont elles ont été l'objet avant mes propres recherches, et que 
j'ai eu le soin de publier aussi complet que possible, tenant tout particu- 
lièrement à laisser à chacun ce qui lui appartient (1) ; je me bornerai seu- 
lement à rappeler que les sept premières — en les numérotant de l'ouest 
à l'est — ont été habitées par l'homme préhistorique et que je les ai 
explorées toutes, plus ou moins profondément, la septième exceptée. J'ai 
même entièrement vidé la sixièm.e, qui, le jour où j'y ai commencé mes 
recherches, était vierge de toutes fouilles, de telle sorte qu'il m'a été 
permis d'en écrire l'histoire complète. 

Les fouilles que j'y ai pratiquées ont toujours été faites par couches 
de ':25 centimètres, depuis l'entrée de la grotte jusqu'au fond, en ayant 
soin de laisser contre l'une des parois de la grotte que j'étudiais une 
petite épaisseur de ce milieu, comme témoin de la nature du gisement. 
De plus, toute la terre a été criblée, de façon qu'aucun des plus petits 
objets qu'elle renfermait ne put m'échapper. C'est à ces soins que j'ai dû 
de recueillir, entre autres pièces, des mandibules de chauves-souris par 
exemple, des phalanges de petits oiseaux, etc.; c'est à ces soins que j'ai 
dû de pouvoir constater que tout ce que cette grotte renfermait appar- 
tient à wm seule et même époque géologique, et, pour le dire tout de suite, 
à la fin de l'époque quaternaire, et que les hommes dont les restes ont 
été découverts et la faune dont les débris y ont été trouvés étaient 
contemporains, le gisement n'ayant jamais subi le moindre i-emaniement. 

Et ce que je dis pour cette sixième grotte, je crois être en droit de le 
dire pour les cinq autres, qui, dans les fouilles que j'y ai faites, m'ont 
donné des documents semblables à ceux de la sixième grotte, du moins 
dans la masse de terre que j'ai enlevée, ayant procédé de la même 
façon et avec les mêmes soins pour chacune d'elles. 

(I) É. Rivière, De VAntiquitc de l'homme dans les Alpes- Maritimes, p. 6-U. (1 vol. gr. in-i". 
Paris, 1887.) 



É. RIVIKRK. — AGE DES SQUELETTES HUMAINS DE MENTON 349 

J'ai pu ainsi étudier l'homme, sa vie et ses coutumes, depuis son arrivée 
aux Baoussé-Roussé jusqu'à sa disparition de la localité. 

En effet, dans la sixième grotte, les premiers foyers d'habitation de ces 
peuplades, c'est-à-dire les foyers les plus inférieurs, reposaient sur le 
banc coquillier déposé par la mer, lequel portait les traces de l'action du 
feu. J'ai même trouvé, en certains points, des ossements d'animaux brisés 
de main d'homme et des pierres taillées, de la cendre et des matières 
charbonneuses, intimement soudés aux coquilles elles-mêmes déposées 
par les Ilots ; le tout témoignait ainsi du séjour en cet endroit des hommes 
des Baoussé-Roussé peu après la formation du dépôt coquillier. 

Or, à partir de ce niveau le plus inférieur jusqu'à la surface du sol de 
cette grotte, absolument vierge de toutes fouilles, je le répète, le jour où 
pour la première fois j'ai commencé à l'explorer, tous les objets recueillis 
m'ont donné une faune constamment semblable, non seulement pour 
cette grotte, et qu'il s'agisse de la partie supérieure, de la partie moyenne 
ou de la partie inférieure, mais encore absolument semblable à celle des 
autres grottes. Partout et toujours j'ai trouvé les mêmes animaux. 

J'y ai trouvé également des squelettes humains appartenant à la même 
race que les squelettes des cavernes voisines, présentant les mêmes par- 
ticularités ostéologiques, enfin démontrant, par les conditions dans les- 
quelles ils ont été découverts, des rites funéraires absolument semblables, 
tout en restant aussi distincts sur certains points, lorsqu'il s'agissait d'a- 
dultes, de ceux qui ont été appliqués aux enfants. 

Enfin, l'industrie n'a présenté de différences que dans les foyers infé- 
rieurs, où la matière première qui a servi à ces peuplades pour fabriquer 
les^outils et les instruments de pierre, dont elles avaient journellement 
besoin, n'est plus la même et où la taille de ceux-ci varie également. 
En effet si, depuis la surface du sol jusqu'à la profondeur de 3", 75, je 
n'ai rencontré que des silex taillés de diverses espèces et de diverses cou- 
leurs (silex proprement dits, jaspes, clialcédoines, etc.), silex solutréens 
et magdaléniens, auxquels se mêlaient quelques rares pointes mous- 
tériennes ; si, à cette profondeur, j'ai commencé à recueillir, et sur une 
épaisseur très peu considérable (quelques centimètres seulement), avec des 
silex taillés, quelques grès taillés, par contre, au-dessous de cette couche, 
j'ai rencontré exclusivement des grès accompagnés de quelques calcaires 
— ceux-ci en petit nombre. Ces grès présentaient des dimensions beau- 
coup plus grandes et affectaient de préférence le type moustérien. 

Ces dilferences dans la grandeur des instruments ne tiennent qu'à la 
roche à laquelle l'homme des Baoussé-Roussé empruntait la matière 
première, laquelle lui permettait de donner à ses outils les dimensions 
qu'il voulait, tandis que les gisements d'où il tirait les silex desquels il 
détachait les éclats qu'il convertissait ensuite en outils ou instruments de 



3o0 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

toutes natures (grattoirs, lames, pointes, pointerolles, etc.) ne lui four- 
nissaient, sauf de très rares exceptions, que des matériaux de faibles di- 
mensions. De là seulement, je le répète, les différences de grandeur que 
j ai constamment observées entre le silex et le grès taillé. 

Quant à la forme moustérienne des instruments trouvés dans les cou- 
ches inférieures, et à peu près exclusivement réservée aux gi'ès taillés, 
je le répète, et que je n'ai constatée que très rarement sur les silex, 
c'est-à-dire au-dessus des foyers à grès, serait-elle, aux Baoussé-Koussé, 
la caractéristique d'une époque archaïque différente? Je ne saurais me 
prononcer à cet égard en toute certitude. Ce que je puis dire, c'est que 
l'âge géologique est le môme dans toute la caverne, la faune des couches 
les plus superficielles étant absolument identique avec celle des couches 
les plus inférieures, et qu'il n'y a aucune démarcation dans les foyers 
depuis la surface de la grotte jusqu'au sous-sol, c'est-à-dire jusqu'au banc 
coquillier sur lequel l'homme est venu demeurer, banc coquillier — j'ai 
omis tout à l'heure de le dire — qui se prolongeait jusque dans la 
partie la plus profonde de la grotte. 

J'ajoute encore, car je tiens plus que jamais à bien préciser les faits, 
que si les habitants des Baoussé-Roussé ont commencé, dès leur arrivée 
dans la région, à se servir de grès pour fabriquer leurs premiers outils, 
c'est parce que n'ayant pas sous la main le silex dont ils auraient eu 
besoin, ils se sont adressés aux roches les plus voisines. Mais, dès le jour 
où ils ont découvert des gisements renfermant ce silex, ils ont aussitôt 
abandonné la roche qu'ils avaient primitivement utilisée, i)our ne plus 
tailler et fabriquer que des armes en silex, de beaucoup préférables aux 
grès, même siliceux, par leur résistance plus grande au bris résultant 
d'un usage journalier, et cela malgré leurs dimensions plus petites. Le 
silex leur offrait également un autre avantage, celui du plaisir des yeux, 
par la variété et la beauté des couleurs. 

Et puisque je parle de l'industrie, je dois ici une mention spéciale 
aux objets en os que j'ai trouvés dans les grottes de Menton. Le nombre 
de ceux dont l'authenticité, comme pièces travaillées et finies par la main 
de l'homme préhistorique et non comme simplement préparées ou ébau- 
chées, ne saurait être douteuse est des plus petits, puisque, pour les six 
cavernes, il arrive à peine au chiffre d'une centaine. Mais tous, un seul 
excepté (1), appartiennent à l'époque paléolithique, industriellement par- 
lant, qu'ils proviennent des foyers à silex ou des foyers à grès taillés. 
Ceci dit touchant l'industrie, dont j'ai recueilli les produits aux Baoussé- 

(•I) Il s'agit de la portion basilaire d'un bois de Cervidé, dont j'ai fait don, en 1872, au Musée 
du Saint-Germain en Laye, et qui est creusée inégalement et très peu profondément dans la partie 
reposant sur le merrain et porte, sur une partie de son bord externe, une série de petits coups. Cette 
pièce a été trouvée à 10 ou ib centimètres de profondeur, dans la quatrième grotte. 



É. RIVIÈRK. — agi: des SQUELETTES HUMAINS DE MENTON 3ol 

Roussé, et réservant la question des dents et des coquilles percées, dont 
je parlerai tout à l'heure en même temps que des squelettes humains, 
j'aborde maintenant la question de la faune. 

Le nombre des restes d'animaux (des Vertébrés) que j'ai trouvés dans 
les six grottes des Baoussé-Roussé est réellement inouï, il n'est pas moindre 
de huit cent mille. Je puis d'autant mieux l'ailirmer énergiquement qu'ils 
ont été comptés un à un. Cette masse énorme, je ne l'ai obtenue que 
grâce au nombre d'années que j 'ai consacrées à fouiller ces grottes et — 
qu'il me soit permis de le dire — aux précautions que j'ai prises pour 
qu'il ne fût rien perdu, pièces bonnes ou mauvaises, entières ou brisées 
et notamment au criblage de la terre des foyers, pour les os des plus 
petites bêtes. 

De plus, cette faune n'est pas importante seulement par la quantité de 
débris (os, dents, bois) qui la représentent, mais elle l'est encore par le 
chiffre des diverses espèces animales qu'elle renferme, puisqu'il s'élève à 
cent onze Vertébrés : soit soixante Mammifères, deux Reptiles, qua- 
rante-deux Oiseaux et sept Poissons ; elle lest surtout parce qu'elle fixe 
d'une façon certaine l'âge des grottes des Baoussé-Roussé. 

Les premiers comprennent : 

a. — Des Chéiroptères (Cliauves-souris) ; 

h. — Des Insectivores (Hérisson et Taupe) : 

c. — Des Carnivores (Ours, Blaireau, Canidés, Glouton, Mustéliens, Putois, 
Loutre, Hyènes, Lion ou Grand Chat des cavernes, Pantlière, Lynx, jieut-étre 
même le (Felis machairodus) (I). 

d. — Des Rongeurs (Marmottes, xMurins, Arvicola de plusieurs espèces, Castor, 
Lièvre, Lapin). 

e. — Un Proboscidien (Élépliant indéterminé). 

/'. — Des Pachydermes { Rhinocéros tichorhinus, divers Équidés, plusieurs 
Suiiiens). 

g. — Des Ruminants (Élan, Cerf du Canada, Cerf élaphe, Chevi'euil, Cerf de 
Corse, Daim, Antilope, Chèvre primitive (2), Bœufs). 

h. — Des Cétacés (Delphinus et Balœna). 

Cette faune de Mammifères bien réellement quaternaire, ainsi que le 
démontre, sans aucune contestation possible, la présence de certaines es- 
pèces animales, notamment du Rhinocéros tichorhinus (dont j'ai trouvé 
dents et ossements à diverses profondeurs), du Felis spelœa. de YHyœna 
spelœa, de VUrsus spelœus, etc., je ne l'ai pas, seul, déterminée, mais 
j'ai tenu à ce que plusieurs de mes maîtres du Muséum d'histoire natu- 
relle de Paris voulussent bien vérifier mes déterminations, les priant 

(1) D'après une dent canine déterminée, en 1871, par M. le professeur Albert Gaudry . 
(2^ Capra primigenia déterminée, en 1872, par Paul Gervais sur les nombreuses pièces osseuses 
el dentaires que je lui ai remises. 



3o2 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

aussi de m'aider de leurs bienveillants conseils dans les cas douteux ou 

diffi elles. 

Je demande à mes Collègues la permission d'insister, car on s'est plu 
à écrire tout récemment, entre autres choses erronées, que j'avais « con- 
fondu la faune de toutes les grottes, en y ajoutant, ce qui est plus grave, 
les débris recueillis dans un repaire plus ancien, la grotte de Grimaldi, 
voisine, mais en dehors des Baoussé-Roussé ». Non seulement je proteste 
contre une affirmation aussi inexacte, mais je lui donne un formel dé- 
menti, et je le fais preuves en mains, je le fais avec le volume même 
de notre Association de l'année 1878. Au Congrès de Paris, en effet, j'ai 
eu l'honneur de lire devant vous, mes chers Collègues, dans la séance 
du 29 août 1878, un travail portant pour titre : Grotte de Grimaldi en 
Italie, et pour sous-titre — il suffirait à lui seul pour démontrer l'inexac- 
titude de l'assertion contre laquelle je proteste de toutes mes forces — 
Comparaison de la faune de cette grotte avec celle des cavernes des 
Baoussé-Roussé, dites Grottes de Menton. 

Or, dans ce travail, non seulement j'ai donné, sous forme de tableau, 
la nomenclature complète des espèces animales qui constituent la faune 
de la grotte à ossements de Grimaldi, mettant en regard de chacune 
d'elles les espèces similaires ou différentes trouvées dans les cavernes des 
Baoussé-Roussé habitées par l'homme quaternaire, mais j'ai cru « decoir 
.siqnaler tout spécialement à votive attention les particularités qui diffé- 
rencient ou rapprochent ces deux faunes l'une de l'autre » (1). De plus, 
j'ai fait accompagner mon travail de deux planches (-2) reproduisant, 
o-randeur naturelle, les principales espèces animales caractérisant 1 âge 
de la "Totte de Grimaldi, parmi lesquelles je citerai, comme différant le 
plus de celles des Baoussé-Roussé, VElephas meridlonalis, le Rhinocéros 
leptorhinus, VHippopotamus major. 

Enfin je terminai ma communication de 1878 par ces lignes que je 
ne puis me dispenser de répéter aujourd'hui, car elles sont la confirma- 
tion la plus absolue de ma parfaite véracité : « Ici finit ce que j'avais 
à dire sur les faunes comparées de la grotte de Grimaldi et des cavernes 
des Baoussé-Roussé ou grottes de Menton, faunes dont les caractères 
principaux paraissent différencier nettement, au point de vue paléonlo- 

(1) Association française pour l'avancement des sciences, Congrès de Paris, 1878. 

(2) Elles sont absolument différentes de celle que l'ou a invoquée contre moi, quoiqu'elle porte 
en toutes lettres Faune des Grottes de Menton. Celle-ci accompagne le mémoire quej'ai lu en I87U 
au Conurés intemationui des sciences (f'ogniphiqties et qui a paru dans le compte rendu dudit Con- 
grès Elle li"ure également ^planche XVi; dans mon livre sur l'Antiquité de l'homme dans les Alpcs- 
'Maritimes itvre dont 1 auteur des attaques, dont je viens d'être l'objet, faisait, en 1887, dans sou 
journal l'Homme, un éloge tel qu'il le considérait alors - quantum mulalus ab iWo — comme « un 
modèle de monographie locale ^ (t. IV, p. 341), ajoutant que « javais tiré tout le parti possible 
(les fouilles et recherches que j'avais opérées... et que surtout, pour ce qui concerne la faune, je 
l'avais étudiée avec le plus grand soin ». llinsiste même, car quelques pages pUs loin (p. 343}, il. 
dit de nouveau a que j'ai traité avec le plus grand soin ce qui concerne la faune ». 



É. RIVIÈRE. — AGK DES SQUELETTES HUMAINS DE MEiNTOiN 353 

logique, l'âge de ces dépôts. Les premiers, ceux de Grimaldi, formés par 
les eaux, appartiennent soit au commencement de la période quater- 
naire, soit à la fin de l'époque pliocène, c'est-à-dire immédiatement 
après les marnes subapennines, parmi lesquelles je citerai celles de Biot, 
près d'Antibes (France) et celles de Castel-d'Appio, près de Yentimiglia 
(Italie), que j'ai fait connaître le premier, en 1872, dans mon Rapport 
sur la paléontologie des Alpes-Maritimes (1) et que j'ai plus particulière- 
ment étudiées dans la communication que j'ai faite, en 1879, au Congrès 
de Montpellier (2). Les dépôts des grottes de Menton, au contraire, en- 
tièrement formés par les hommes, dont j'ai retrouvé les restes — sque- 
lettes entiers ou ossements épars — et les produits de l'industrie (silex, 
grès et os taillés), appartiennent à cette période de l'époque quaternaire, 
où le Rhinocéros tichorhinus, ÏUrsus spelœus, etc., en un mot, les 
grandes espèces animales tendent à disparaître. Ainsi, du moins, pensai-je 
pouvoir expliquer le petit nombre des pièces osseuses et dentaires de ces 
animaux que j'ai trouvées dans les grottes de Menton. » 

Quant aux Oiseaux, aux Reptiles et aux Poissons, j'ai également signalé 
les différences existant entre les grottes des Baoussé-Roussé et celle de 
Grimaldi, différences telles que, dans les premières, les Oiseaux sont si 
nombreux que c'est par milliers que j'ai recueilli leurs ossements, tandis 
que la grotte de Grimaldi ne m'a donné qu'une seule pièce, un humérus 
de Gallinacé. Ces différences sont telles encore que, dans cette dernière, je 
n'ai pas trouvé la moindre trace d'un Reptile ni d'un Poisson, alors que 
les grottes des Baoussé-Roussé m'ont donné les restes de deux espèces de 
Reptiles (Rana et Rufo) et de sept espèces de Poissons (Cténoïdes, 
Cycloïdes et Plagiostomes). 

Enfin, il n'est pas jusqu'aux invertébrés pour lesquels « la grotte de 
Grimaldi », ainsi que je l'ai fait soigneusement remarquer aussi dans mon 
mémoire de 1878, « forme le contraste le plus frappant avec les cavernes 
des Baoussé-Roussé, où la faune des Mollusques est l'une des plus riches 
que l'on ait jamais signalées dans les grottes habitées par l'homme, 
puisque j'y ai recueilli plus de quarante mille coquilles marines et ter- 
restres — marines surtout — appartenant à cent soixante-dix espèces 
difterentes », tandis que, dans la grotte de Grimaldi, « les Invertébrés 
sont représentés seulement par deux coquilles terrestres, appartenant 
toutes deux à la même espèce, à V Hélix Niciensis ». 

Je m'arrête ici, mes cliers collègues, convaincu d'avoir démontré avec 
la plus complète évidence combien est erronée l'assertion consistant à 
insinuer que j'ai ajouté à la faune des Baoussé-Roussé « les débris re- 

(1)É. Rivière, Rapport au Ministre sur la Paléontologie des Alpes- Maritimes (Archives des Missions 
tcienlifiques du Ministère de l' Instruction publique, 3" série, 1. 1, Paris, 1873). 

(2) Association française pour l'avancement des sciences. Congrès de Montpellier. Année 1879. 

23* 



354 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

cueillis dans un repaire plus ancien, la grotte de Grimaldi ». Il me serait 
éo'alement facile de réfuter toutes les autres inexactitudes ou insinua- 
tions du même article, en contradiction absolue avec ce que son auteur 
écrivait il y a cinq ans à peine ; mais ce serait abuser de votre bien- 
veillante attention — ah uno disce omnes; — il me suftit, je pense, de 
protester énergiquement contre elles. 

Il me reste donc, avant de finir cette communication, à vous dire 
quelques mots, si vous le voulez bien, des nouveaux squelettes trouvés 
dans une des grottes des Baoussé-Roussé au mois de février dernier. 
Je serai bref et m'abstiendrai, pour aujourd'hui, de vous faire l'his- 
torique de cette découverte, me réservant de vous en faire connaître 
l'an prochain, s'il y a lieu, tous les incidents, si invraisemblables 
qu'ils soient. Je me bornerai à dire que ces squelettes, au nombre de 
trois, sont ceux — pour deux d'entre eux — d'un vieillard et d'un 

adolescent (1). 

Ils ont été trouvés à 18 mètres environ de l'entrée de la cinquième 
grotte des Baoussé-Roussé, dite Barma grande, profonde de 3l"\50, 
avant la destruction partielle, dont elle a été indûment l'objet. Ils étaient 
couchés côte à côte, en travers de la grotte, la tête appuyée, pour ainsi dire 
contre la paroi Est, tandis que les squelettes, au nombre de six, trois 
adultes et trois enfants, que j'ai découverts en 1872, 1873 et 187o, dans les 
o-rottes voisines, étaient tous situés, dans le sens même de la grotte, mais 
les uns la tête regardant l'entrée, les autres, le fond. 

Le premier squelette, celui qui a été trouvé le 7 février 1892, et le 
troisième, celui qui est le plus éloigné de l'entrée de la grotte, étant les 
seuls à peu près mis à découvert, le 2 mars 189^2, de la terre qui les 
recouvrait, sont aussi les seuls dont je puis encore parler. Le premier est 
celui d'un vieillard, le troisième paraît être celui d'un adolescent, d'un 
sujet de dix-huit ans environ, du moins d'après les premières constata- 
tions que j'ai pu faire. En effet, certaines parties du squelette n'avaient 
pas encore atteint leur parfait développement, les épiphyses de certains 
os longs n'étaient pas encore soudées à la diaphyse, quand l'individu a 
succombé, enfin, la dernière dent molaire ou dent de sagesse était encore 
dans son alvéole. 

Les individus, dont ces squelettes sont les restes, appartiennent bien 
à la race des Hommes fossiles de Menton ou race de Cro-Magnon, dans 
laquelle MM. de Quatrefages et Hamy les ont classés dans les Cra7iia 
ethnka. Ils en représentent d'ailleurs la plupart des caractères et notam- 
ment la même forme du crâne, c'est-à-dire une dolichocéphalie accusée, 

(t) Autant, du moins, que j'ai pu à grand'peine m'en assurer, pendant le cours do la Mission 
scientifique gratuite, dont j'ai été chargé par le Ministère de l'inslructiun publique, par arrêté en date 
du 3 mars dernier, pour en faire l'étude. 



É. RIVIÈRE, AGE DES SQUELETTES HUMAINS DE MENTON 3o5 

ainsi que la forme rectangulaire des orbites si particulière aux Hommes 
de Menton. Ils sont aussi de grande taille. 

Toutes les pièces osseuses de ces trois squelettes, sans exception, pré- 
sentent, comme dans les précédentes découvertes, cette coloration rouge 
si curieuse, parsemée de points brillants, due au fer oligiste en poudre 
transformé en peroxyde de fer, dont les cadavres — mais ceux des adultes 
et des adolescents seulement — ont dû être recouverts aussitôt après la 
mort des individus. 




FiG. 1. — Vertèbres de poisson, percées, destinées à former des colliers 
ou des bracelets (3/4 de grandeur naturelle). 



Bien que ces squelettes ne fussent pas alors encore dégagés complè- 
tement, cependant j'ai pu constater sur eux la présence de certaines pa- 
rures consistant en colliers formés non seulement de coquillages marins 
percés d'un trou pour être enfilés (1) et de dents canines de cerf, également 
percées, comme sur les squelettes d'adultes précédemment trouvés, mais 
encore d'un assez grand nombre de vertèbres de poissons appartenant 
pour la plupart aux genres Salmo et Trutta (Saumon et Truite) (fig. 7j. 

Jusqu'à présent, j'avais bien trouvé çà et là, dans les grottes des 
Baoussé-Roussé, des vertèbres percées de poissons des mêmes espèces. 



H) Ces coquillages sont presque tous de petites Nassa nerilea. 



3o6 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

J'avais bien découvert, certain jour, dans la quatrième grotte (Barma 
dou cavillou), à 7'°,90 de profondeur, c'est-à-dire à l'",3o au-dessous du 
premier squelette humain d'adulte, une sorte de cachette renfermant, 
avec 7.868 coquilles marines, dont 857 percées de main d'homme, 
49 vertèbres de poisson également perforées intentionnellement pour 
servir de parures et rougies aussi (coquilles et vertèbres) par le peroxyde 
de fer. Mais je n'avais jamais constaté la présence d'aucune de ces ver- 
tèbres sur les squelettes de 1872, 1873 et 1875. Tous ces coquillages, 
toutes ces dents, toutes ces vertèbres de poissons, percés, présentent la 
même teinte rouge que les ossements humains, fait que j'ai autrefois 
signalé, l'ayant également constaté sur chacun des squelettes d'adultes 
que j'ai trouvés dans les mêmes grottes. 

Je dois ajouter que deux autres coquillages, deux Cyprées, étaient placés, 
m'a-t-on dit, sur les tibias du vieillard, l'une à droite, l'autre à gauche, 
au niveau du tiers inférieur de l'os. 

Quant aux armes ou outils trouvés en contact immédiat avec les sque- 
lettes, ils consistent simplement en mh silex taillé mesurant 17 centimètres 
de longueur sur 0°',Û51 de largeur. Il était posé derrière la tête du 
vieillard, contre l'occipital, du moins d'après ce que l'on m'a dit, car la 
pièce ayant été enlevée avec les crânes du vieillard et du jeune homme, 
je n'ai pas pu constater le fait (1). 

J'ai vu aussi un objet en os ou mieux en bois de cerf, assez bizarre, 
ayant la forme d'un double ovoïde et dont la surface présente de nom- 
breuses stries assez irrégulières et irrégulièrement espacées. 

Le peu de temps qu'il m'a été donné de l'examiner ne me permet pas 
de garantir l'authenticité de la pièce. Je la garantis d'autant moins que 
j'ai constaté depuis lors, avec M. G. d'Ault du Mesnil, qui est venu 
expressément, sur ma demande, de Cannes à Menton, le 20 mars, pour 
en témoigner au besoin, que de nombreux objets en os fabriqués 
tout récemment avaient été vendus par le carrier, auteur de la décou- 
verte des squelettes, à différentes personnes, comme des pendeloques 
réellement préhistoriques, notamment à M. le baron Bruiningk, désireux 
de les offrir au Musée de Riga, et qui m'a remis deux de ces pende- 
loques (fig. 2 et 3). Or, ces pièces, je l'affu-me hautement ici, sont abso- 
lument fausses. Il en est de même de certain fragment d'os long dont 
la perforation est également des plus récentes, comme j'ai pu m'en 
assurer, et dont le même individu trafique chaque jour, ainsi qu'un de 
ses ouvriers, auquel je l'ai acheté, bien que le sachant faux, et ce en 

(1) Un autre silex, également de très grande dimension, avait été, disait-on, découvert auprès de 
l'un des deux autres squelettes. D'apri's M. Saige, archiviste de la Principauté de Monaco, le fait 
serait faux, ce silex ayant été trouvé depuis plusieurs années par le carrier qui a découvert les sque- 
lettes et vu par M. Saige, à cette époque, entre ses mains, c'est-à-dirç vers 1883. 




FiG. 2 et 3. — Pendeloques en os 

(Pièces fausses, 4/5 de grandeur 
naturelle). 



É. RIVIÈRE. — AGE DES SQUELETTES HUMAINS DE MENTON 3o7 

présence de M. G. d'Ault du Mesnil. Et je suis si loin d'être seul, av«c 
celui-ci, à considérer ces diverses pendeloques comme fausses, que les 
membres de la Société d'Anthropologie de Paris auxquels je les ai mon- 
trées, dans la séance du 16 juin dernier, ont été unanimes à en recon- 
naître avec moi la modernité. 11 en est 
de même de notre collègue, M. Emile Car- 
tailhac, à qui je les ai fait voir aussi hier 
et pour qui cette modernité ne fait pas 
non plus le moindre doute. 

J'ajouterai encore que plusieurs dents 
canines de cerf, faisant partie, dit-on, des 
colliers trouvés avec les squelettes, sont 
également pourvues de stries dont, jusqu'à 
plus ample examen, je ne saurais afifirmer 
non plus l'antiquité. 

Un mot encore, mes chers collègues, 
si vous le voulez bien, avant de finir, car je ne puis taire certaine sur- 
prise. C'est de voir M. Verneau, aide-naturaliste au Muséum et professeur 
d'anthropologie de la ville de Paris, acquérir une série de ces pende- 
loques comme des pièces vraies, les indiquer comme telles, contre toute 
évidence, dans ses communications, notamment à l'Académie des Inscrip- 
tions, où son travail a été présenté par M. le D'' Hamy, professeur 
d'anthropologie au Muséum et membre de l'Institut, qui, lui aussi, les 
regarde comme préhistoriques, malgré leur aspect faux si facilement 
reconnaissable. C'est de voir aussi M, Verneau s'appuyer, en partie tout 
au moins, sur ces pièces mêmes pour déclarer que les squelettes hu- 
mains des Baoussé-Roussé sont néolithiques et non quaternaires, comme 
je l'ai dit dès le jour de ma première découverte, il y a vingt ans, en 
1872, et comme je l'ai constamment soutenu depuis cette époque, 
preuves en mains. Ce que j'ai dit alors, je le maintiens aujourd'hui plus 
que jamais si possible, n'en déplaise à mes contradicteurs, et ce, avec 
les savants les plus éminents et les plus compétents, parmi lesquels j'ai 
le droit de citer — pour ne dire que quelques noms — A. de Uuatre- 
fages, Broca, Paul Gervais, Lyell, MM. Albert Gaudry, Pengelly, le 
marquis de Nadaillac, Ernest d'Acy, etc. 

Si donc je m'étais trompé, comme MM. Hamy et Verneau le prétendent, 
— ce que, jusqu'à preuves sérieuses contraires, je conteste absolument, — 
je l'aurais fait, en tous cas, en bonne compagnie. Néanmoins je serais 
tout prêt à confesser mon erreur, s'il en était ainsi. Mais, prenant des 
objets faux pour des pièces vraies, des pendeloques modernes fabriquées 
tout récemment pour des bijoux préhistoriques, ils me forcent à leur 
dénier toute compétence pour la démontrer. Je dis <' preuves sérieuses, 



358 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

M. Verneau n'ayant fait aucune fouille aux Baoussé-Roussé, et pour cause, 
mais s'étant contenté de voir les grottes, de mesurer les squelettes et 
d'emporter des débris d'animaux sans aucune valeur scientifique. Ces 
débris, il ne les a même pas recueillis sur place, mais ils lui ont été 
confiés par un carrier naturellement ignorant, dont les recherches, pra- 
tiquées sans aucune méthode, sans aucun soin, n'ont jamais eu pour 
but que le lucre, que de vendre au plus offrant ce qu'il trouvait, ce 
qu'il fabriquait ou ce qui sortait peut-être d'une de ces fabriques de 
faux comme il en existe malheureusement tant en Italie, en France, en 
Angleterre, etc., et que connaissent bien tous les anthropologistes (l). 

Tels sont les faits sur lesquels j'ai cru devoir appeler votre attention,, 
mes chers collègues, afin de prouver de nouveau, devant vous, que les 
hommes des Baoussé-Roussé sont absolument quaternaires, c'est-à-dire 
contemporains des animaux dont j'ai trouvé les restes dans ces mêmes- 
grottes. 



M. Emile BELLOC 

à Paris. 



ÉTUDE SUR L'ORIGINE, LA FORMATION ET LE COMBLEMENT DES LACS 

DANS LES PYRÉNÉES 



— Séance du i7 septembre i892 — 

L'étude fort intéressante, mais encore très controversée, de l'origine et 
de la formation des lacs supérieurs de montagne, date à peine d'une 
trentaine d'années. 

C'est en 1859 que l'éminent géologue anglais Ramsay publia une étude 
de laquelle il résulte que les lacs des Iles Britanniques et des Alpes 
doivent leur creusement à l'action érosive des glaciers. Précédemment, 

(I) Je sais que M. Verneau a fait, le 7 juillet dernier, malgré ma lettre de protestation en date du 6 
du même mois, à la Société d'Anthropologie, dont je fais partie, une communication sur les dé- 
couvertes de février et que cette communication doit figurer dans les Mémoires de la Société, 
J'attendrai, pour y répondre, si je le trouve utile, qu'elle ait paru, me bornant pour aujourd'hui à 
faire à son sujet les plus expresses réserves. 



É. BELLOC. — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES 3o9 

la même opinion avait été formulée par le professeur américain Dana 
pour expliquer la formation des fjords dans les régions du nord. 

Un an plus tard, dans une note géologique relative à Palazzolo et au 
lac d'Iseo, M. G. de Mortillet affirmait sa nouvelle théorie de l'affouille- 
ment glaciaire, et, cette même année, Desor, en cela d'accord avec Escher 
de la Linth, s'efforça de démontrer que la présence des glaciers avait 
exercé une action conservatrice directe sur les cuvettes lacustres. 

Trois écoles, dont les théories paraissent bien tranchées, venaient donc 
de se former. 

Ramsay rallia à ses idées un certain nombre d'adeptes parmi lesquels 
il faut d'abord citer Tyndall, qui, non content de faire siennes les opinions 
du maître et de ses disciples, les élargit jusqu'à attribuer à l'action 
glaciaire le creusement des lacs et aussi celui des vallées. 

Les principaux partisans de l'érosion glaciaire furent, d'abord, le 
D'' Croll, A. et J. Geikie, le D"" Bôhm, et le professeur A. Peuck, de l'Uni- 
versité de Vienne, lequel publia, en 1882, un travail remarquable sur les 
terrains erratiques et l'origine glaciaire des lacs d'Animer et de Wurm, en 
Bavière ; et en 1883 un mémoire assez étendu sur la période glaciaire dans 
les Pyrénées. 

M. G. de 3Iortillet et M. Gastaldi, tout en admettant les idées de 
Ramsay, affirmèrent de nouveau leur doctrine de l'afTouillement glaciaire 
lors de la publication de leur carte des anciens glaciers du versant italien 
des Alpes, 

Quant à la troisième école, dévouée aux idées de Desor, c'est-à-dire à 
la conservation des cuvettes lacustres par la glace, si elle groupa des 
savants de premier ordre et des géologues tels que Ch. Martins, Favre, 
Omboni, Escher, Bail, Heim, Viollet-le-Duc, Charles Grad, deMojsisovics, 
Jeanbernat, etc., elle n'a pas été, non plus que les deux autres, exempte 
de critiques ; comme l'a démontré clairement M. l'ingénieur en chef 
Bayssellance, en attribuant au passage des glaciers, la formation de 
certaines petites plaines de l'intérieur des massifs montagneux et l'arase- 
ment des fissures profondes, « situées sur un point de- la longueur d'une 
gorge. » 

A côté de ces écoles rivales et quelque peu intransigeantes, — dont 
aucune n'a pu faire prévaloir ses doctrines jusqu'ici, — on voit des 
glaciairistes de haute valeur, tel que M. A. Faisan, par exemple, sans 
être des adversaires irréconciliables de l'un ou de l'autre système, les 
admettre toutes, mais dans une mesure très restreinte, comme nous le 
faisons nous-même. 

L'étude scientifique, méthodique et raisonnée, des phénomènes gla- 
ciaires actuels nous apprendra dans l'avenir la valeur relative de ces 
savantes théories. En attendant, loin d avoir la prétention d'apporter ici 



jB-éasiitar Hii'Crm£Tf!f le TPéstaaè tees saocmcl àfi* •:• - ^-"TœfflBra 

ap cgms de? Tf.cb£!rcfafis îtmuMliKai amayiélW -^ r , ^. . _.. — . is rami 

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chidne jTOrénèeraïf-, «1 fiKploré avec Ife fftiB grami soiii, â iraii& «fl ausirn- 
mmil^ '£'iime ^lamâe girécisiaiL, iks fnàiiaiiiraAes 3%@Ù!iii? IkansinES >âe ces 
monta^mâiv. l'ad jm i^soiEBfliir snr ^itace urne <qmatàlsê' «te ifeumniHiib ^^ 
fiait JmjiiirBiiile de se in^onrgr adJnemailL Ste fist «sbsbMë; iiff'iidteraialtiknis 
iK; àégaat pour mai la oau^àdban qsst, •&ms ites fN^msuKes^ JT^aii^iiie âeç 
laof siçiériein^ dant le? sfinîki ^antiocmfsiiHr dfsaflhniffimieiilBttein^^ 
dorf^ fiii place, «si cantenifiarMDe st 'd^pandante «te Ik feitiiiMlliMm (tes 
vklléfif gm te TflHfermfmL 

Lnraqii CIL a ^ra^ikirt a-ttentoraiiiHiit les jréçiaij* iacnalirBfe àML. de ?i6BO- 
^àfliDfc. d Ardidaii. dïJateiiii, <& Penticosa. d^Oasaoi, de la partiÊ a^ptla»- 
tacmak- dE CariitL, otf ., on l'actiaŒi glaciaire a laàsaé de? tmiSES iramaF- 
gnatjif» de *ffi farce ^ de sa jmiaraame. il «emkile inipcHHflMle qc un •fi^nàt 
iifni jiTévBim n'^warconre pa? tm nrtédBrtfinifmt ik fMBl iiiHi g niifm ite 
qm jtfmi Te'^^remr ans fmnifmi- gliiciei^ gnantoc creiEiflmBilt <âe mes lacs 
antuek. 

An Itfîii d'iâtre iàat é. watt canse Tirirgiip-, toamme le w^sideiit les <dâfei>- 
iffims &; JfsrrsioL .placiaJPB. JViricme des lacs de Tn<iiiitBggne est TnriHqpte . 
lies infiufiiirîfis très dififersirtfis ^sm te mibeiL, Ik pesitliuni «éoîicajMpœ^ 
te accidente nroCTafihignes-nn ^flinciçiie«i- ont jïresidé a Iknir j&nmaÉBDU. 
(j^iffiigiies iraifiiDples xapides vf/nl cairfinDfîr rietif cipinifiB.. 

Selan la docîmie de Hamfapr el dn IF l^^nck^ la ifcnrot OTfsnre d nn 
-ckciflr dfviail âtre jûns conaidtaBiiie vais k partie monnamie oi ^- 

gui «fin point le jrtns t'ilewt. à caise fe 3 adacni de ik peaoïfcBii: i ■•- «-^i 
de œ piàucipe, te la» te ptns x'astes fit te ijitas pmffinufe AwîEaifiii^ ^ 
rencontrer <î&ns le iias des vallées inferieiiPïs. Mais •su "caftJI aorn ' .;. 
preuve do conkraiK- «t âuiiif k ionmic poagoe te wénteffite - 

ikcnstres des Pjrénées «ont cantinmées erntrr !1 .f<ï)ft fit ±.6UI) ^ 

{lidtiiude. 

C'-£Sl aiiei ffie iï'mi troirw tes ikis asseoit ime ^s^sB^Séist ^>esp:mm 
i3f) liectaF^ ismiiue te lae 'Qm^^gnniD ^i^s&s^^swa^ «iiine à :SLl^îB métrs 
(â'altitnde, non Ioib de jtniitt imflnniBnit de îk •dhiâne^ snr te ipeveas mm- 
âismal de jnamif cenferal deikAikftEltk; te tkc«teitœBiei(i«iBée d'JLrBn>, 
attitote 1.271» mètres — jfeut-Sfte te gih» égarai «tes PçnîaiweB, — ^fit «m 
vnsB\ J^âtaL dfil Sœ; ii.â(i(i mâkFis «faittlliite ^ 7f) HnÉkasis de sdf- 



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1^;. liKLLOC. — COMBI-KMENT DES LACS DANS LES 1'YRI^;NÉES 361 

face (I ); I»' lac Lanoux (Pyrénées-Orientales) (iiii s'étend sur une longueur 

(le trois kilomètres et occupe une superficie d'à peu près 1 10 hectares, 

à une hauteur de 2. loi métrés. Le 

lac Caïllaouas, moins j^rand (jue le ^ f -g 

hanoux, mérite encore dètre cité à 

cause de sa profondeur qui atteint 

101 mètres, bien que son plan de 

surface soit à la cote 2,10o mètres ; 

attendu que le lac de Séculéje (Oô), 

placé à ()0o mètres plus bas, dépasse 

;\ peine iu mètres de profondeur et 

39 hectares de superficie. 

Parmi les lacs environnant le mas- 
sif de iNéouvieille, le lac d'Orédon 
(1.809 mètres d'altitude, cote fournie 
|)ar M. l'ingénieur en chef .F. Fontes) 
donne à nos objections un appui bien 
remarquable. Cette superbe nappe 
d'eau, qui reçoit le lidji plein des 
lacs d'Aumar (altitude 2.202 mètres), 
d'Auber (altitude 2.100 mètres), des 
Laqueltes (l.!>l)n mètres environ), 
de Lostallat (altitude 2.172 mètres), 
de Cap-de-F.ong (altitude 2.120 mè- 
tres), est moins vaste et moins pro- g, ^fe^^- ,/ 26 
fond que ce dernier, qui le domine 
de 2.*)1 mètres ; et cependant les tra- 
vaux d'endiguement ont relevé son 
niveau de 2"'", 70 centimètres. 

La coupe géologique ci - contre s ^- -jf.-.-t: 
(^9- ^}-> passant par les lacs étages de 
la région d'Oô, fera ressortir plus net- 
tement encore la part très minime 
que l'eau, ;i l'état de congélation, a 
pu prendre au creusement de ces 
excavations lacustres. 

Celte coupe, orientée sud-nord, part 
de la frontière franco-espagnole (alti- 



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(ti Les liaiiles vallw< de lAran rciifennenl un noinbie considérable de lacs mentionnés pour ia 
pretiiit>re fois par MM. Maurice Gourdon et le D' Jeanbernat. M. F. Scbrader, dans sa belle carte du 
versant espagnol pyréntjen (feuille 5), en indique plus de 120, « sans compter les milliers de minus- 
cales nappes deau qui brillent de toutes parts au milieu des rochers » (F. Schhadbr.) 



362 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

tude 3.060 mètres) pour aboutir au village d'Oô (altitude 934 mètres). 
La partie la plus élevée est couverte actuellement par le glacier crevassé 
du Ceil-de-la-Baque, dernier débris de l'ancien glacier quaternaire qui, 
d'après M, Piette, atteignait 860 mètres de puissance à son point de 
jonction avec celui de la Pique, c'est-à-dire entre Cazarilh et Bagnères- 
de-Luchon. Plus bas, au village de Cierp, le glacier de la Pique se 
soudait à celui de la Garonne, lequel, après avoir encore englobé la 
branche descendue de la vallée de Barousse, recevait le produit de tous 
les affluents glacés de la vallée d'Aure, et finalement couvrait d'une 
immense nappe de glace les plaines de Lannemezan, de Montréjau et de 
Sainl-Gaudens. 

L'examen géologique de cette coupe montre d'abord un puissant 
massif granitique, entremêlé par place de grands cristaux d'orthose et de 
débris de gneiss empâtés dans la masse ; il s'étend sur une longueur de 
quatre kilomètres, depuis le Ceil-de-la-Baque jusqu'au bord méridional 
du lac d'Espïnngo. 

Ce granité porphyroïde, étudié d'abord par Charpentier, ensuite par 
les professeurs Leymerie, F. Garrigou, L. Mallada et J. Caralp, n'existe pas 
seulement à cet endroit, je l'ai également vu en place, du moins à peu 
près semblable, à la Maladetta, au Maupas, au Couaïrat, à Montarqué, à 
Espijoles, à Clarabide, etc. Du plateau d'Espïnngo, le terrain cambrien 
— schistes micacés, gneiss schistoïdes, schistes maclifères et à stauro- 
tides, schistes satinés contenant çà et là du quartz enfumé et constituant 
les parois abruptes du vaste entonnoir au fond duquel se trouve le lac 
d'Oô — s'étend jusqu'au bas du grand escarpement qui sépare le bassin 
d'Oô proprement dit de celui d'Astau, où commence le terrain silurien 
composé d'abord de schiste argileux noirâtre, de schiste carburé, et plus 
bas, en se rapprochant du village d'Oô, de schistes ardoisiers, de 
calschistes, etc. 

Cette succession de terrains, dont je ne donne ici qu'une liste très 
incomplète, montre néanmoins que les lacs glacés du Portillon-d'Oô 
(altitude 2.6o0 mètres), le lac glacé d'Oô (altitude 2.670 mètres), le lac 
d'Era couma-era-Abeca (altitude 2.360 mètres), — aux trois quarts comblé 
par les avalanches, — le lac Saounzat (altitude 1.960 mètres), le lac 
d'Espïnngo (altitude 1.375 mètres), et le lac d'Oô ou de Séculèje (alti- 
tude 1.500 mètres), sont formés aux dépens des roches massives ou des 
roches schisteuses, dures et fissiles. 

En un mot, on passe graduellement du granité au cambrien, du cam- 
brien au silurien, et du silurien au dévonien, représenté aux environs 
du village d'Oô par des calschistes grisâtres et des schistes feuilletés, 
facilement clivables, relativement tendres et peu consistants. 
Ici donc, mieux que partout ailleurs, les conditions paraissaient favo- 



É. BELLOC. — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES 363 

rables pour confirmer les doctrines de l'érosion et de l'affouillement 
glaciaire. Or, les faits eux-mêmes vont nous renseigner à cet égard. 

En partant du vieux pont d'Oô, pour remonter le cours du torrent, 
nous voyons que la Neste serpente, pendant plus de trois kilomètres, au 
fond d'une vallée étroite qui n'acquiert une certaine largeur qu'au point 
de réunion des Nestes-d'Oô, de Medassoles et d'Eskierry, c'est-à-dire aux 
Granges-d'Astau. Cet accident orographique, insignifiant en apparence, 
prend ici, au contraire, une importance capitale. En effet, si l'on adoptait 
la théorie de Ramsay, de Tyndall et de Penck, il serait difTicile d'expliquer 
comment un glacier aurait été capable de creuser en plein granité, à 
une très faible distance de son point d'origine, des excavations lacustres 
comme celles du bassin supérieur, en respectant, dans la même roche, 
des affleurements de mille mètres d'étendue ; comment ce glacier aurait 
eu le pouvoir de tailler des à-pics formidables comme les parois gigan- 
tesques qui dominent les régions glacées du Portillon et d'Oô, de 
Saounzat et d'Espïnngo ; d'évider au milieu des terrains cambrions un 
cirque immense, en découpant une falaise de trois cents mètres de haut 
et creusant à sa base un abîme de plusieurs centaines de mètres de' pro- 
fondeur, comme a dû être celui du lac de Séculèje dans les temps 
anciens ; et comment ce même fleuve de glace, parvenu à onze kilomètres 
de son point d'origine, accru de tous les affluents rencontrés sur sa route 
et des précipitations météoriques recueillies à sa surface, — ce qui devait 
lui donner une force érosive infiniment plus considérable qu'au début de 
sa course, — a été impuissant à se creuser un lit suffisamment large, dans 
des terrains friables et délitables tels que ceux que nous voyons affleurer 
dans ces parages. 

On ne peut objecter que ce glacier ne renfermait pas dans son sein 
les éléments actifs de l'érosion ; car, à part le poids incalculable de la 
croûte glacée, il transportait une quantité prodigieuse de blocs de granité 
porphyroïde, de gneiss, de schistes gneissiques, etc., provenant de la 
démolition des montagnes qui forment le bassin supérieur, puisque, à 
([uelques centaines de mètres plus loin, il a abandonné sur ses flancs 
des milliers de blocs erratiques. Ces blocs, minutieusement étudiés dans 
tous leurs détails, par le directeur du Muséum d'histoire naturelle de Tou- 
louse, M. le D"- E. Trutat, avec le concours de M. Maurice Gourdon, 
constituent, à l'heure actuelle, la célèbre moraine de Garin de Larboust. 
En résumé, si le creusement des bassins ouverts dans des roches dures 
était dû exclusivement à l'activité glaciaire, cette activité se fût aussi bien 
exercée sur les saillies qu'au centre des cavités ; et, en admettant des 
parties plus résistantes en certains points, l'érosion eût laissé sur ces 
proéminences des sillons profonds au lieu de les avoir simplement striées 
et polies. 



364 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 



* 
* * 



V Etude des causes actuelles en géologie, à laquelle le savant professeur 
Stanislas Meunier a consacré un travail spécial des plus intéressants, les 
récentes et très nombreuses observations faites sur les variations pério- 
diques des glaciers français, par le prince Roland Bonaparte, les études 
plus anciennes et fort instructives de M. E. Trutat sur les glaciers de 
la Maladetta, pour comparer leur marche à celle des glaciers des Alpes, 
et la plupart des recherches effectuées par les géologues et les glaciairistes, 
démontrent péremptoirement que, quand le terrain est mis à nu par 
l'effet du retrait d'un glacier, il ne présente aucune trace de creusement ; 
au contraire, par le dépôt de la moraine frontale, il se trouve exhaussé. 

L'action érosive du glacier est indéniable, et chaque fois que celui-ci 
rencontre un terrain meuble ou facilement affouillable, elle peut être 
considérable. Mais elle est forcément très bornée en présence des roches 
dures et compactes, et les effets d'érosion produits dans ce cas par l'eau 
à l'état de congélation ne sauraient être comparables au pouvoir désagré- 
geant de l'eau en mouvement et à l'état liquide. 

Pour se convaincre de cette vérité, il suffît de se transporter à l'origine 
de l'une quelconque des vallées pyrénéennes terminées par un glacier, 
tel que celui de Crabioules, par exemple. Ici le contraste est frappant. 
Depuis le parc d'Enfer jusqu'à l'endroit où se trouve actuellement l'hôtel- 
lerie de la vallée du Lys, le glacier a été incapable de creuser, dans le fond 
de la gorge, un passage suffisamment spacieux pour le contenir, tandis 
que les eaux provenant de ce même glacier ont usé et coupé à pic des 
masses rocheuses compactes, comme à la rue d'Enfer, ou des cascades, 
et des gouffres, comme ceux que les baigneurs de Ludion vont admirer en 
foule dans cette magnifique région. 

La force vive de l'eau, accrue par les débris rocheux qu'elle entraîne, 
est capable de donner aux cassures terrestres des proportions considérables 
et d'ouvrir des gorges superbes comme celles des Eaux-Chaudes, de Luz, 
de Gavarnie, de Cauterets ou du Pont-d'Espagne, qui mettent bien en 
évidence les effets irrésistibles des eaux fougueuses en présence d'obstacles 
solides leur barrant le chemin. 

Dans l'état actuel de nos connaissances, aucun phénomène glaciaire 
n'est capable de nous fournir des preuves irrécusables de son pouvoir 
érosif, comme le font journellement sous nos yeux les eaux torrentielles ; 
ce qui ne veut pas dire, toutefois, que les torrents soient les seuls agents 
auxquels on puisse attribuer la création des lacs supérieurs de montagnes. 

Le relief de notre globe n'a pu se modeler sans que la croûte terrestre 



f:. BELLOC. — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES 363 

éprouvât des contractions violentes et sans qu'il en résultât des disloca- 
tions, des plissements et des cassures innombrables. Et, comme le dit 
M. A. de Lapparent, dans son Traité de géologie, d'une si admirable clarté 
de style, « les fentes dont les parois se sont tapissées de matières minérales 
et celles à travers lesquelles a eu lieu l'injection des roches éruptives 
attestent que l'écorce terrestre a subi, à bien des reprises, des effets méca- 
niques capables d'en déterminer la rupture » . 

C'est le long de ces fentes ou lignes de rupture que les granits et les 
gneiss ont surgi, en même temps qu'à côté se produisaient des ploie- 
ments, des bossellements et des redressements verticaux à la base des- 
quels, semblables à des voûtes privées tout à coup de leurs points d'appui, 
le sol s'affaissait et produisait par cela même des cavités plus ou moins 
considérables que les eaux n'ont pas tardé à envahir. 

Cette « combinaison forcée des abaissements et des soulèvements de 
l'écorce terrestre qui se plisse pour rester toujours appuyée sur un noyau 
intérieur dont le volume diminue en raison du refroidissement » comme 
le dit en termes excellents M. le D'' F. Garrigou, dans sa Monographie de 
Bagnéres-de-Luchon, ne fournit-elle pas la meilleure preuve de l'origine 
que nous attribuons aux lacs de montagnes ? 

Élie de Beaumont n'assignait d'autre cause à la formation des lacs 
des Vosges que les écroulements produits dans les cavités, situées à l'in- 
térieur des montagnes. Cependant, il est fort probable que les excava- 
tions lacustres n'atteignirent pas du premier coup ni les dimensions, ni 
la profondeur qu'elles ont acquises par la suite. 

D'un autre côté, les remarquables expériences de sir Jams Hall, de 
M. Alphonse Favre, et les études synthétiques de géologie expérimen- 
tale, plus récentes, plus nombreuses et plus variées de notre éminent 
compatriote M. Daubrée, sur les cassures terrestres, nous révèlent la 
marche des phénomènes qui ont dû présider à la formation du relief de 
notre planète. « Les cassures de divers ordres de grandeur, dit M. Daubrée, 
depuis de simples leptoclases jusqu'aux paraclases qui s'étendent hori- 
zontalement sur des dizaines et même des centaines de kilomètres, et 
pénètrent jusqu'à des profondeurs inconnues, réduisent l'écorce terrestre 
en une sorte de craquelé dont les fragments sont préparés pour une dé- 
molition. » 

Préparée pour une démolition, l'écorce terrestre devait l'être en effet ; 
aussi est-il aisé de comprendre avec quelle puissance l'action dynamique 
des courants torrentiels a dû s'exercer sur d'anciens accidents orogra- 
phiques aussi bien disposés. Les masses rocheuses parfois tranchées 
comme un trait de burin, selon la comparaison pittoresque et exacte de 
M. F. Schrader, dont on connaît les remarquables travaux ; les failles conver- 
ties en ravins profonds, agrandies et déblayées, sont devenues des gorges 



366 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

gigantesques que les dislocations postérieures ont encore façonnées, puis 
transformées en vallées admirables, telles que celles d'Ordesa, de Niscle 
ou d' Arasas, au pied du JVIont-Perdu, vallées comparables, d'après M. E. de 
Margerie, à un coin du Colorado égaré au milieu des Pyrénées. 

Parmi les systèmes d'investigation scientifique, l'un des plus sûrs, — 
bien que ce ne soit pas l'avis de tous les savants, — et le meilleur peut- 
être, est encore celui qui consiste à procéder du connu à l'inconnu. 

Partant de ce principe, en voyant la force érosive des petits cours d'eau 
et des cascades de l'époque actuelle, on peut se faire aisément une idée de 
la puissance développée par les cataractes des anciennes périodes géolo- 
giques. Il a sutTi qu'un petit ruisseau, tel que le Rummel, se trouvât en- 
présence d'un de ces fendillements terrestres pour creuser un profond 
ravin comme celui de Constantine. A plus forte raison, lorsque la force 
hydraulique se trouve centuplée. 

Par exemple, l'émissaire du lac Érié, le Niagara, après avoir précipité 
ses eaux d'une hauteur de 30 mètres, et creusé un gouffre actuellement 
insondable, au pied des chutes célèbres que tout le monde connaît, s'est 
ouvert un passage de 11 kilomètres de longueur, avec des parois de 
72 mètres de hauteur, en moyenne, avant d'atteindre Queenstown et le 
lac Ontario. 

Au nombre des autres agents d'érosion, qui concouren' directement à 
la transformation du relief terrestre, il faut citer en première ligne l'action 
chimique des eaux d'infiltration. 

L'eau de pluie, renfermant 2,40 0/0 d'acide carbonique, selon les cal- 
culs de Péligot; exerce une action directe sur les éléments silicates et 
feldspathiques entrant dans la constitution d'un certain nombre de roches. 
Cette action chimique est particulièrement appréciable aux environs du 
Maupas, dans le massif pyrénéen qui limite le département de la Haute- 
Garonne, sur les crêtes de séparation du val d'Arougé et des Gours-Blancs, 
dans la région de Clarabide, d'Ardiden, d'Estom, de Gaube, de Penticosa, 
et une infinité d'autres contrées où l'on voit des blocs granitiques, ayant 
perdu leur dureté primitive, rongés par places et transformés en une es- 
pèce de matière arénacée, que les montagnards, dans leur langage imagé, 
désignent sous le nom caractéristique de roches pourries. 



* * 

En résumé, l'origine et la formation des bassins lacustres de mon- 
tagnes, ouverts dans les roches vives, sont dues à trois causes principales : 
1° aux accidents orograpliiques résultant des dislocations de la croûte 
terrestre ; 2^ à l'action dynamique de l'élément liquide en mouvement ; 



É. BELLOC. COMBLEMKNT DES L.VCS DANS LES PYRÉNÉES 367 

3° aux transformations produites sur les masses rocheuses par l'action 
chimique des eaux d'infiltration. 

En outre, les recherches méthodiques que j'ai entreprises depuis un 
certain nombre d'années, et plusieurs milliers de sondages que j'ai exé- 
cutés dans les principaux lacs des Pyrénées, m'ont amené à formuler 
les conclusions suivantes : La profondeur des lacs de montagnes, ouverts 
dans la roche dure en place, est en raison de la hauteur et de la verticalité 
des pentes qui circonscrivent leur périmètre. 

Les lacs de Pouchergues, de Caïllaouas, de Gregonio (Querigûena 
d'après l'ingénieur espagnol J. Mallada), etc., sont de véritables gouffres 
ouverts au fond de vastes entonnoirs ; et le plus grand, en même temps 
que le plus élevé des lacs en série du Port de Venasque (altitude 2.300 mè- 
tres environ) que nous avons tout récemment visité, avec mon ami 
M. Charles Bannelier, offre encore un exemple saisissant de ce phénomène. 

Ceci explique pourquoi, — étant donné que les pentes des montagnes 
se redressent dans le voisinage des sommets, — la plupart des lacs pyré- 
néens se rencontrent au-dessus de la zone habitable et vers la partie la 
plus élevée de la chaîne. 



* 
* * 



En dehors des accidents orographiques produits par les contractions de 
la couche terrestre et les forces dynamiques extérieures qui modifient 
sans cesse son relief, d'autres causes accidentelles ont aussi concouru à 
la formation de certains lacs de montagnes. 

Les éruptions volcaniques qui ont occasionné la formation des lacs de 
cratères, comme ceux de l'Auvergne, des îles Açores, etc., n'ont pas 
laissé, dans les Pyrénées, des traces assez nettes pour qu'on ait pu les 
constater, jusqu'à présent du moins. 

Quant aux barrages temporaires provoqués par les éboulements et les 
transports glaciaires ou torrentiels, qui sont capables, à un moment 
donné, d'accumuler sur un certain point d'énormes masses de débris 
rocheux, de limon et de matières arénacées, ils sont au contraire assez 
fréquents vers la partie basse des montagnes. Lorsque ces endiguements, 
qui peuvent entraver le cours des ruisseaux ou empêcher le libre écou- 
lement des eaux pluviales, proviennent exclusivement de l'action glaciaire, 
comme à Lourdes ou à Barbazan, on est convenu de les appeler des lacs 
morainiques. Ils sont quelque peu en dehors du thème de cette étude qui 
comprend surtout les lacs supérieurs de montagne. Je me réserve d'y 
revenir plus longuement à une autre occasion. 



368 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 



* * 



Après avoir essayé d'expliquer l'origine et la formation des lacs pyré- 
néens, il me reste à faire connaître le causes déterminantes de leur com- 
blement et de leur extinction finale; mais, auparavant, je parlerai très 
brièvement de la conservation des lacs par la glace. 

Si les opinions de Desor, d'Escher et de A. Favre, contrairement à 
celles de Ramsay, Dana, Tyndall, A. Penck, de Mortillet et Gastaldi, ont 
été adoptées par des hommes tels que Bail, Lyell, Rutimayer, Murchisson, 
Heim, Omboni, E. Reclus, Ch. Martins, VioUet-le-Duc, Ch. Grad, de Lap- 
parent, Chantre, Faisan, Credner, Mojsisovics, Jeanbernat, etc., cela tient 
surtout au côté séduisant de la théorie nouvelle, d'autant plus que l'hypo- 
thèse d'une calotte de glace préservant les dépressions naturelles du sol 
contre l'envahissement des dépôts détritiques n'a rien d'improbable, dans 
certains cas particuliers, au contraire. 

Mais ce serait une grave erreur de vouloir généraliser une théorie 
comme celle de la protection tutélaire des cuvettes lacustres par la glace, 
ou celle de l'affouillement glaciaire; car, malgré tout, les faits matériels 
observés parlent plus haut que les conceptions originales des savants géo- 
logues qui les ont inventées, si ingénieuses qu'elles soient. 

A la vérité, il faut reconnaître que ces éminents naturalistes n'avaient 
que des données fort restreintes sur la topographie et la géologie sous- 
lacustres et que les moyens d'investigation de la plupart d'entre eux ne 
dépassaient pas le plan de surface des eaux. 

A part les travaux remarquables de M. le professeur A. Forel, sur le 
lac Léman, le lac des Quatre-Cantons, etc., quelques sondages exécutés 
par Ch. Grad dans les lacs des Vosges, et un certain nombre d'autres 
observations isolées, peu de personnes s'étaient données d'une manière 
exclusive à l'étude méthodique des lois qui régissent les phénomènes sous- 
lacustres. 

Depuis quelques années, de nombreux documents hydrographiques ont 
été recueillis et coordonnés avec le plus grand soin. Des recherches sous- 
lacustres considérables et scientifiquement conduites ont été entreprises 
par les ingénieurs du Bureau topographique fédéral suisse, sous la haute 
direction de M. fingénieur Hôrnlimann. M. le professeur J. Thoulet, de la 
Faculté des sciences de Nancy, le savant initiateur de V Océanographie en 
France, nous a fait connaître les lacs des Vosges. M. l'ingénieur des Ponts 
et Chaussées A. Delebecque, a sondé et étudié les lacs de la Haute- 
Savoie, de l'Ain, de l'Isère, du Dauphiné, etc., et dressé les cartes de ces 
fonds submergés qui serviront à compléter la carte du nivellement de la 



É. BELLOC. — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES 369 

France dans ces régions. M. le D'" Ant. Magnin a recueilli de nom- 
breux documents sur la topographie, le caractère des eaux, la faune 
et surtout la flore des lacs du Jura. Enfin, en ce qui me concerne, 
je consacre chaque année plusieurs mois à l'étude des phénomènes la- 
custres, notamment dans la chaîne des Pyrénées (1). Le champ d'obser- 
vation est vaste et fertile; malgré l'étendue et les difficultés matérielles 
de la tâche entreprise, j'espère la mener à bien, si mes forces me le 
permettent. 

Ces travaux, entrepris simultanément pour ainsi dire et sur plusieurs 
points à la fois, ont fourni des résultats importants, dont quelques 
hommes spéciaux ont déjà su tirer profit pour la science. 

A l'aide de mes propres observations, j'ai pu contrôler la valeur 
de certaines doctrines glaciaires et me convaincre de la fragilité des bases 
sur lesquelles reposent, par exemple, les théories relatives à la conser- 
vation des lacs par la glace, que M. Bayssellance a déjà vivement com- 
battues. 

Un ensemble de faits très précis et soigneusement étudiés, dont je vais 
donner des exemples, m'a permis de reconnaître que : la force vive des 
anciens glaciers, loin d'avoir approfondi ou protégé les cuvettes lacustres, 
avait été, au contraire, un instrument actif de comblement, toutes les fois 
que les courants de glace s'étaient heurtés à des affleurements abrupts de 
roches dures en place. 

Le lac d'Estom (vallée de Lutour, tributaire de celle de Cauterets), 
dans lequel j'ai pu relever des profils en tous sens, grâce aux nombreux 
sondages que j'y ai pratiqués, 148 points par 10.000 mètres carrés, me 
servira à montrer par quels moyens ces comblements glaciaires s'accom- 
plissent. 

Si, à l'aide d'une courbe continue, on joint les différents points de 
sondage se trouvant sur un même plan, dans une direction déterminée, 
on obtient le profil du relief sous-lacustre, c'est-à-dire une section qui 
montre clairement les mouvements altimétriques du sol submergé. C'est 
ce que j'ai fait pour le lac d'Estom, dont la figure 2 ci-après représente la 
coupe longitudinale (2) AF, orientée sud-nord, c'est-à-dire dans le sens 
de la pente naturelle de l'écoulement des eaux. 

Cette coupe nous fait voir d'abord, entre A et B, un delta sous-lacustre 

(1) Pour ces études, je me sers d'un modèle réduit et facilement transportable jusqu'au som- 
met des plus hautes montagnes, de l'appareil à fil d'acier — sondeur É. Belloc — que j'ai eu 
l'honneur de présenter l'an dernier au Congrès de Marseille. Le grand modèle que S. A. S. le 
prince Albert l" de Monaco a fait construire pour son nouveau yacht à vapeur, la Princes<!e Alice, 
a été également adopté par l'École des Ponts et Chaussr-es de Paris, par la faculté de Nancy et le 
Bureau topographique fédéral suisse, qui l'emploie actuellement pour sonder les lacs de l'Engadine. 
C'est ce sondeur que M. l'ingénieur A. Delebecque, M. l'ingénieur HOrnlImann, M. J. Tlioulet, ainsi 
que M. le baron Jules de Guerne emploient également pour leurs recherches. 

(2) La longueur de la coupe ci-après — exécutée primitivement d'après une échelle unique — 
ma contiaint d'adopter deux échelles différentes pour pcrmeure a'intercaler cette figure dans le texte. 

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GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

dû en grande partie au transport gla- 
ciaire, et composé de débris rocheux 
et de matières meubles; une plaine 
centrale BC, presque horizontale, 
formée d'alluvions légères et d'un 
dépôt vaseux excessivement fin, à l'ex- 
trémité de laquelle commence une 
série d'ondulations CDE, d'inégale 
hauteur et s'élevant progressivement 
jusqu'au seuil émergeant F, formé 
par un énorme affleurement de gra- 
nité en place. En examinant de près 
ces petits monticules CDE. on voit 
qu'ils sont constitués par des quar- 
tiers anguleux de roche, entassés les 
uns sur les autres, selon des lignes 
un peu incurvées, et perpendicu- 
laires au grand axe de la cavité, 
ce qui leur donne une certaine res- 
semblance avec d'énormes vagues 
pétrifiées. 

A première vue, on pourrait être 
tenté de croire que ces blocs de pierre 
proviennent directement de la démo- 
lition des pentes voisines, ou qu'ils 
ont été entraînés jusque-là par des 
avalanches. iMais il suffit d'un simple 
examen des coupes menées par le 
travers du lac, pour revenir promp- 
tement sur cette impression. En effet, 
les cônes de déjection qui s'engouf- 
frent dans le lac montrent que les 
demi-cercles concentriques A A (fig. 3), 
dont ils sont formés, ont leur partie 
convexe tournée vers l'intérieur de la 
dépression, c'est-à-dire qu'ils sont 
tangents aux plans longitudinaux du 
bassin, et non point parallèles aux 
plans transversaux ou incurvés vers 
l'extérieur, comme le sont les ondu- 
lations CDE, dont la partie convexe 
regarde le rivage. Ces coupes mon- 



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É. BELLOC. COMBLEMENT DES LACS DANS LES l'YRÉXÉES 371 

tre'nt encore que les matériaux lourds et volumineux, entraînés par les ava- 
lanches, au sein de la nappe liquide, ne dépassent pas une zone qui est 
bien loin d'atteindre le milieu du lac. 

Ce point écarté, il reste à voir si le barrage lui-même n'a pas fourni 
les éléments de ces dépôts. Ici, nous nous trouvons encore en présence 
de preuves matérielles indiscutables. Si ces talus ondulés eussent été 
formés aux dépens du barrage, les arrachements des débris rocheux qui 
les composent seraient visibles, car ils n'auraient pu se produire qu'après 
le retrait du glacier, puisque la cavité était pleine de glace, et que celle-ci 
les eût empêchés d'y pénétrer. 

Or, dans ce cas la partie émergeante du seuil granitique du lac, dépas- 




FiG. 3. — Lac d'Estom (.Hautes-Pyrénées . 
Plan schématique des dépôts détritiques sous-lacustres. — Échelle 



sant à peine de quelques mètres le niveau actuel du plan de surface 
des eaux, n'eût pas conservé intactes ces belles surfaces moutonnées, polies 
et striées, encore très nettement visibles aujourd'hui. 

D'autre part, en admettant même — ce qui est improbable — que l'émis- 
saire des lacs supérieurs d'Estom-Soubiran ait charrié jusqu'au lac infé- 
rieur d'Estom les blocs anguleux qui forment son delta, ce transport 
n'aurait pu dépasser le point B ; parce que l'action locomotrice du cou- 
rant aqueux étant progressivement amortie, au contact de la masse 
liquide immobile contre laquelle il venait brusquement se heurter, ce 
courant n'aurait plus eu assez de force pour tenir en suspension ces lourds 
débris rocheux et les transporter au delà de la plaine centrale BC, où 
ils se trouvent actuellement entassés. 

Toutes ces hypothèses étant donc écartées, l'action glaciaire seule 



372 



GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 



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peut nous permettre d'expliquer 
la formation de ces curieuses 
ondulations. 

Lorsqu'un glacier rencontre 
sur sa route une dépression 
lacustre, si les parois de cette 
dépression ont peu d'inclinai- 
son, la glace, en raison de sa 
plasticité, et la pression aidant, 
remonte la pente et parvient à 
la franchir aisément, en l'éro- 
dant plus ou moins. Mais si le 
seuil est solide et fortement re- 
dressé, ce qui est la règle géné- 
rale pour les lacs supérieurs, le 
courant glacé se comporte d'une 
manière toute différente. 

Supposons un bassin comme 
celui du lac d'Estom, occupé par 
un glacier, tel que l'indique la 
figure schématique ci-contre. 
Par suite de la fusion de sa face 
inférieure et du mouvement de 
translation oblique qui l'anime, 
la masse glacée subit deux mou- 
vements descendants bien dis- 
tincts : l'un vertical, l'autre obli- 
que ( 1 ) . Obéissant en même temps 
à cette double action propulsive, 
un bloc tombé accidentellement 



(I) La vitesse de ces deux mouvements est 
loin d'être uniforme dans toute l¥paisseur 
d'un même glacier. Celte vitesse dépend de 
plusieurs causes : i» de la plasticité de la 
glace, 2° de la pente du terrain, 3° des frot- 
tements et des pressions exercées par le fond 
et les parois latérales sur lesquelles s'appuie 
la masse glacée. 

De ce qui précède, il résulte que la région 
supérieure et médiane d'un glacier, étant ani- 
mée d'un mouvement plus rapide que la 
surface inférieure ou la périphérie, la trajec- 
toire d'un bloc rocheux A (fig. 4), par exemple, 
ne suivra pas exactement l'hypoténuse d'un 
triangle rectangle, et que ce bloc tournant 
constamment sur lui-même pendant le trajet, 
aura perdu sa vitesse initiale et changé com- 
plètement de position, en atteignant son point 
d'atterrissement A''. 



É. BELLOC. — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES 373 

à la surface du glacier, occupera successivement les positions A, A^ A% 
A^ A* (/îg. 4), qui le rapprocheront de plus en plus de la surface 
inférieure A*, où il abandonnera définitivement la masse glacée pour 
tomber sur le sol. Le bloc B suivra la même trajectoire, et, lorsqu'il 
atteindra le point B^ il se détachera et atterrira à son tour. Mais les choses 
se passeront tout différemment pour le bloc C. Celui-ci, quoique étant 
entraîné au-dessous du plan de surface de l'obstacle rocheux, se trouvant 
encore incorporé dans la glace, subira des effets de pression tels, dans 
le voisinage de la masse rocheuse qui obstrue le passage du glacier, 
qu'ils l'obligeront à remonter vers la partie supérieure C% qu'il franchira 
en C^ 

Ceci montre clairement, je crois, que si une partie des matériaux 
un peu volumineux, charriés par le glacier et incorporés dans sa masse, 
arrive à franchir sans encombre les obstacles qui ralentissent la marche 
de celui-ci, une autre partie, au contraire, et non pas la moins importante, 
est déposée à la base de l'affleurement, où elle forme des amoncellements 
d'une grande étendue. 

Cet exemple, que je pourrais multiplier facilement, démontre péremp- 
toirement, qu'aii lieu d'avoir cireuse ou même simplement protégé les exca- 
vations lacustres, les glaciers les ont directement comblées. 



* 

* * 



D'autres cas de comblement, encore plus curieux, m'ont été révélés 
au cours de mes recherches ; les causes qui les ont produits sont multiples 
et un grand nombre d'entre elles n'étaient point ignorées des anciens 
pyrénéens tels que Ramond, Pasumot, Dralet, etc., qui en parlent dans 

leurs écrits. 

A une époque voisine de la nôtre (1874), le D^ Jeanbernat leur consacra 
un chapitre spécial dans son beau travail sur les lacs pyrénéens. 

Enfin, en 1887, M. J. Vallot publia également une notice très intéres- 
sante sur le comblement des lacs des environs de Cauterets. 

L'étude spéciale des comblements lacustres, dont je m'occupe depuis 
une dizaine d'années environ, exige l'emploi de méthodes rigoureuses pour 
recueillir les observations et les matériaux destinés à ce genre de recher- 
ches, que je vais résumer très succinctement. 

Vers le milieu de novembre et le commencement de décembre, lorsque 
les surfaces lacustres commencent à se congeler et que le flanc des 
montagnes se recouvre d'un épais manteau de neige, poudreuse ou 
floconneuse, selon le degré de violence des rafales qui la distribuent, 
comme l'a fort bien remarqué M. Lourde-Rocheblave, la neige s'accumule 



374 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

dans les anfractuosités des pentes jusqu'au moment où, sollicitée par 
son propre poids, elle est précipitée au pied des escarpements qui bordent 
les nappes glacées; elle s'entasse sur certains points sous forme de cônes 
neigeux à axe oblique, dont le sommet s'appuie directement sur le flanc 
de la montagne et la base s'étale en demi-cercle sur le plan de surface des 
eaux solidifiées. 

Tant que la neige demeure à l'état floconneux ou poudreux, elle est 
mobile et obéit à la moindre impulsion de l'air ; dans cet état, elle se 
comporte comme le sable fin de nos plages marines ou du désert du 
Sahara. Une partie, rejetée par le vent vers les cimes, tourbillonne et 
remonte le long des pentes avant d'avoir touché le sol, jusqu'à ce qu'elle 
rencontre une couche d'air immobile, ou que son propre poids l'oblige 
à retomber ; l'autre, glissant sur le sol même, vient former à la base 
du cône neigeux à axe oblique, un amoncellement qui grossit sans 
cesse. 

Sous l'action combinée du regel et de la pression exercée par sa propre 
masse, la neige se tasse, et, de poudreuse et floconneuse qu'elle était, 
elle devient moins molle, grenue, résistante, et ne tarde pas à se trans- 
former en névé. 

Dans cet état, les avalanches peuvent facilement glisser sur son pour- 
tour sans la pénétrer; et, lorsque les vents du sud et la chaleur du 
printemps fondront partiellement les neiges des crêtes, et que les préci- 
pitations météoriques entraîneront les matières détritiques, ces matériaux 
n'auront aucune peine à s'accumuler à la base des cônes de névé autour 
desquels ils formeront une espèce de ceinture rocheuse plus ou moins 
épaisse. 

Frappée plus directement par les vents et les rayons solaires, la neige 
qui recouvre la partie élevée des pentes fond la première. Plus tard, la 
croûte glacée du lac, cédant à la poussée simultanée des courants 
liquides qui l'envahissent, et des vents chauds qui la disloquent, craque 
de toutes parts, se fendille et s'effondre. Alors, privés de leur support 
provisoire, les éléments constituant la ceinture rocheuse qui entourait le 
cône de névé, coulent à pic et viennent former au fond du lac des talus 
immergés, séparés du rivage par une dépression en forme d'entonnoir, 
que les avalanches postérieures finiront par combler à leur tour, car ces 
talus dépassent très rarement la zone littorale. 

Les lacs d'Oô, de Caïllaouas, d'Auber, de Cap-de-Long, d'Oncet, 
d'Estom, de Naguille, etc., off'rent des exemples caractéristiques de ces 
phénomènes curieux en même temps que fort intéressants pour l'étude, 
encore peu pratiquée, des causes multiples des comblements dans les lacs 
de montagnes. 

Parmi ces causes, quelques-unes exercent leur action lentement, insen- 



É. BELLOC. — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES S75 

siblement, en déposant sans cesse au fond des eaux les matières alluviales 
ou limoneuses longtemps tenues en suspension. D'autres, rapides et 
imprévues, au contraire, amoncellent brusquement, sur un point déter- 
miné, une quantité considérable de matières solides, qui provoquent tôt 
ou tard l'émergence des talus, comblent les dépressions coniques, et 
finissent, à la longue, par modifier le contour des rivages. 

Un spécimen remarquable de ce genre d'accident est celui que l'on 
voit sur la rive gauche du lac Caïllaouas, entre le torrent qui débouche 
du glacier des Gours-Blancs et du Ceil-de-la-Baque, et l'entrée de la gorge 
sauvage de Clarabide, dans laquelle les eaux du lac bondissent et se préci- 
pitent avec un effroyable fracas. Là se trouve un formidable couloir d'ava- 
lanche, par lequel dévalent, de la montagne de Courtaou, — sur la pente 
opposée de laquelle se trouve le lac de Pouchergues, — d'énormes blocs de 
granit, qui viennent, lorsque la surface du lac est glacée, s'entasser en 
forme de talus, analogues à ceux dont il a été question plus haut, lequel 
€st actuellement relié à la terre ferme par sa partie sud-est. Ce monticule 
pierreux émerge en moyenne de 8 mètres au-dessus de la nappe liquide. 
Sa longueur est d'environ 17 mètres, sa largeur moyenne de 2 mètres au 
sommet et de 10 mètres à fleur d'eau. Son versant méridional est séparé 
du rivage par une dépression ovoïdale, en forme d'entonnoir, qui mesure 
SO mètres de largeur, 50 mètres de longueur et 5™, 45 de profondeur. 

On comprend aisément que, dans de telles conditions et dans l'état actuel 
de nos connaissances, en présence de phénomènes intermittents différant 
considérablement dans leur mode de reproduction, on soit embarrassé pour 
formuler une loi générale. 

Cependant, en faisant la synthèse d'une très grande quantité d'obser- 
vations, on peut dire que : les lacs de montagims présentent des différences 
caractéristiques qui les distinguent nettement des lacs de plaines. 
, Les lacs de montagnes, surtout les lacs supérieurs, sont généralement 
de foime irrégulière, et leurs parois, plus ou moins redressées, montrent 
des pentes latérales asymétriques. 

Les lacs de plaines, plus réguliers de contours, ont une structure plus 
simple, et leurs pentes latérales sont à peu près symétriques. 

Une section transversale passant par le milieu du lac d'Estom (fig. 5), 
fournira un exemple très net de la configuration d'un lac de montagne et 
de l'asymétrie des parois opposées. 

Du point A, rive droite, au point B, l'inclinaison assez régulière du 
talus prolonge en quelque sorte le flanc de la montagne. Du point B au 
point C règne une plaine centrale horizontale, commune à tous les lacs. 
Si, prenant le profil en sens inverse, nous partons du point G, rive 
gauche, nous voyons des parois lacustres infiniment plus tourmentées et 
irrégulières, montrant d'abord un vallonnement prononcé en forme d'en- 



376 



GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 



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tonnoir, dont la paroi G, plonge brus- 
quement sous un angle de 4o degrés 
jusqu'au point F, qu'elle atteint à 
4'",6o de profondeur, et à 5 mètres 
de distance du bord, [ci la pente 
s'adoucit jusqu'au point le plus bas E : 
profondeur o''\42; distance, 10 mè- 
tres du bord. Puis elle se relève sous 
un angle variable de S à 16 degrés ; 
s'arrondit en efïleurant presque la 
surface du lac, au point B : distance 
horizontale de la rive gauche, 36 mè- 
tres, et finalement s'enfonce sous un 
angle variant de 21 à 32 degrés, 
jusqu'à la rencontre du plafond cen- 
tral CB, qu'elle rencontre à 95 mètres 
de la rive droite. 

Cette protubérance sous-lacustre 
CDE, formée d'un amas rocheux, 
mesure 76 mètres de corde et 15°\40 
de flèche, se trouve donc séparée du 
rivage par une excavation conique 
analogue à celle du lac CaïUaouas, et 
dont la base a 35 mètres de diamètre. 
C'est surtout par les bords que le 
comblement se produit. 

Dans les lacs, fort peu nombreux 
du reste, de la région sous-pyré- 
néenne, on retrouve, comme dans les 
lacs supérieurs, une plaine centrale 
sensiblement unie et des talus à faible 
pente, aboutissant à une sorte de pla- 
teau à peine incliné et recouvert 
d'une mince couche d'eau qu'on 
appelle zone littorale. La zone litto- 
rale est la partie la plus tourmentée ; 
elle est alternativement recouverte 
par l'eau ou mise à sec, érodée par 
le mouvement des vagues ou ense- 
velie sous une épaisse couche de 
végétations lacustres formées de Ca- 
rex, Juncus, Sci?yus, Potamogeton, 



É. BELLOC, — COMBLEMENT DES LACS DANS LES PYRÉNÉES 377 

Nuphar, etc., qui, comme au lac de Barbazan et de Saint-Pé-d'Ardet, 
défendent l'approche de la partie médiane. Ces lacs sont principalement 
comblés par les matières alluviales et les apports détritiques charriés 
par les eaux pluviales. 






En terminant, je tiens à signaler deux phénomènes peu communs. 

L'un est visible à la partie méridionale du puissant massif de Carlitt, 
vaste désert pierreux, désolé et sauvage, parsemé de nappes liquides qui 
reluisent au soleil comme autant de diamants jetés pêle-mêle aux quatre 
coins de l'immense moraine ; vu du sommet du Carlitt, ce spectacle est 
un des plus grandioses qu'offrent les Pyrénées. Au milieu de ces lacs on 
distingue l'étang de Las Dougnes, qui, se trouvant exactement placé sur 
la ligne de partage des eaux, a deux émissaires, l'un à l'est, qui va grossir 
la rivière de la Tet, l'autre à l'ouest dont les eaux descendent à Agous- 
trine et au Rio-Segre, affluent de l'Èbre. 

L'autre phénomène, observé au lac de Lourdes (Hautes-Pyrénées), est 
dû à l'action glaciaire. La digue formée de blocs accumulés et de ma- 
tières détritiques abandonnées par le front de l'ancien glacier d'Argelès, 
est tellement résistante que les eaux ont été impuissantes à la renverser 
pour se frayer un passage, ce qui les oblige à rechercher une issue en 
amont pour rejoindre le gave de Pau. 

Ces anomalies hydrographiques ne sont pas cependant uniques dans 
leur genre. Entre le plateau de Langres et le Ballon de Servance, dans 
les Vosges, une petite nappe lacustre déverse à la fois ses eaux dans la 
Saône et dans la Moselle. 

Dans la même contrée et dans la Haute-Italie, les lacs de Gérardmer, 
d"Orta et de Côme, semblables en cela à celui de Lourdes, ont aussi un 
déversoir à contre-pente. 

Ces exemples constituent du reste des exceptions très rares, aussi bien 
dans les Vosges et les Alpes que dans les Pyrénées. 



•378 GÉOLOGIE ET MINERALOGIE 



M. Emile EIYIÈRE 

à Paris. 



DÉTERMINATION PAR L'ANALYSE CHIMIQUE DE LA CONTEMPORANÉITÉ OU DE LA NON- 
CONTEMPORANÉITÉ DES OSSEMENTS HUMAINS ET DES OSSEMENTS D'ANIMAUX 
TROUVÉS DANS UN MÊME GISEMENT. 



— Séance du 20 septembre 1892 — 

Le 28 août 1882, au Congrès de la Rochelle, j'appelais l'aitention de 
la Section de Géologie sur les sablières quaternaires de Billancourt, que 
M. Albert Gaudry — qui les avait visitées avec moi quelques semaines 
auparavant — considérait, d'après la faune que j'y avais rencontrée, 
comme appartenant à la quatrième phase des temps quaternaires ou 
phase tempérée et correspondant au diluvium des bas niveaux de Gre- 
nelle et de Levallois-Perret. Or, c'est dans ces bas niveaux que M. Martin 
et M. Reboux avaient recueilli, entre autres animaux, le Mammouth, le 
Rhinocéros à narines cloisonnées et le Renne. La faune, en effet, dont 
j'avais trouvé les restes de 1875 à 1882, était également caractérisée sur- 
tout par la présence de VElephas primigenius, du Rhinocéros tichorhinus 
(dont j'avais trouvé, moi-même, en place un maxillaire inférieur gauche 
avec ses quatre dents molaires), du Cervus megaceros, du Tarandus ran- 
gifer, du Bos primigenius, etc. 

Puis, je terminais ma communication par cette phrase que je crois 
devoir rappeler aujourd'hui, en raison de l'hypothèse que j'émettais alors 
avec la conviction qu'elle se réaliserait plus ou moins tôt, hypothèse qui 
vient de recevoir, il y a six semaines à peine, la plus complète confir- 
mation des recherches d'un savant bien connu, M. Adolphe Carnot, pro- 
fesseur à l'École supérieure des Mines : 

« Avant de terminer, disais-je^ je dois signaler encore des ossements 
humains réprésentés ; 

» 1° Par un crâne de femme et son maxillaire inférieur ; 

» 2° Par les deux fémurs droit et gauche, probablement du même 
sujet, et mesurant 0'°,40 de longueur ; 

» 3° Par les deux tibias, droit et gauche, du même individu également, 
longs de O'",3oo ; 

» 4" Enfin par une mâchoire inférieure d'homme, plus épaisse que celle 
■de la femme. 

» Ces divers ossements m'ont été remis comme ayant été trouvés dans 
l'une des grandes sablières qui avoisinent de très près la Seine, entre la 



K. RIVIÈRE. — DES OSSEMENTS HUMAINS ET DES OSSEMENTS d'aNIMAUX 379 

berge du côté droit et l'avenue des Moulineaux. Ils proviennent de deux 
individus de même race que l'homme dont les restes, trouvés dans une 
sablière de Grenelle, ont été donnés par M. Martin au Muséum. 

» Mais je ne dois pas omettre de dire ici, tout en voulant garder 
encore une certaine réserve, du moins jusqu'à plus ample information, 
que l'aspect extérieur de ces ossements, ainsi que leur conlexture, leur 
densité, en un mot tous leurs caractères physiques, absolument différents 
de ceux des ossements d'animaux, sans aucune exception, — trouvés dans 
les sablières de Billancourt — sont pour moi l'indice d'une ancienneté cer- 
tainement moindre que celle de ces derniers. 

» Enfin, j'ajoutais que ce fait, pour M. Albert Gaudry comme pour 
moi, n'était pas unique et que l'hypothèse que j'émettais pourrait tout 
aussi bien s'appliquer au crâne humain du musée Carnavalet, indiqué 
comme provenant des sablières de Grenelle, qu'aux autres ossements hu- 
mains de même origine, les uns et les autres présentant les mêmes diffé- 
rences d'aspect et de texture que ceux de Billancourt. » 

Cette hypothèse de la non-contemporanéité des ossements humains et 
des os d'animaux de Billancourt fut vivement combattue par plusieurs 
membres du Congrès, notamment par mon regretté maître, M. de Quatre- 
fages. Néanmoins, convaincu du fait que je soutenais, je persistai dans 
l'opinion que j'avais émise, et, poursuivant, les années suivantes, mes 
recherches sur le même sujet, j'adressai à l'Académie des Sciences, le 12 oc- 
tobre 1885, un pli cacheté, dont je me réservai de demander l'ouverture le 
jour où les nouvelles études que je comptais entreprendre sur la compo- 
sition chimique d'un grand nombre d'ossements humains et d'os d'ani- 
maux, provenant d'autres localités et de gisements divers et un peu de 
toutes les époques, me fourniraient la preuve absolue du fait que j'avais 
soutenu. Malheureusement si les circonstances, en me refusant jusqu'à 
présent le laboratoire dont vingt membres de l'Académie des Sciences 
m'ont fait l'honneur, le 26 mars 1887, de demander au ministre de l'Ins- 
truction publique .la création, ne m'ont pas encore permis d'entreprendre 
•ce long travail, par contre, j'ai eu la bonne fortune de voir un professeur 
■de l'École des Mines, M. Adolphe Carnot, s'occuper, en partie du moins, 
de la même question, dans ses recherches sur la présence du fluor et son 
dosage dans les ossements fossiles et modernes. En effet, M. Carnot étant 
venu me demander certains ossements pour en faire l'analyse chimique, 
j'ai mis immédiatement mes collections à sa disposition et notamment 
■des pièces osseuses provenant des sablières de Billancourt. 

Or, je suis heureux de pouvoir annoncer à la Section de Géologie que 
les résultats de ses recherches confirment absolument la thèse que j'avais 
soutenue en 1882 d'abord, en 1885 ensuite, à savoir que, par exemple, 
dans le cas de doute sur la contemporanéité d'un squelette humain et 



380 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

d'une faune trouvés dans un même gisement, l'analyse chimique permettra 
le plus souvent de trancher la question. 

En efifet, non seulement la lettre que M. Carnot m'a adressée le 29 juillet 
dernier s'exprime ainsi : « L'analyse comparée des os de Billancourt est 
absolument favorable à la cause que vous avez soutenue »; mais encore sa 
communication à l'Académie des Sciences dans la séance du 16 du mois 
dernier (16 août 189i2), entrant dans les détails de l'analyse chimique, 
montre, par les chiffres suivants, les différences de composition des os 
fossiles et du tibia humain provenant de Billancourt. 

os d'animaux tibia humain 

Matière organique 12,81 19,65 

Peroxyde de fer 0,21 3,06 

Acide carbonique 6,06 6,15 

Acide phosphorique 34,20 28,72 

Fluor 1,43 0,17 

La conclusion du travail de M. Carnot est la suivante : « Il ressort de 
là clairement que l'os humain, ne renfermant que la proportion de fluor 
normalement contenue dans les os modernes, tandis que les os d'animaux 
quaternaires en contiennent de sept à neuf fois plus, n'est pas du même 
âge que ces derniers et n'a été introduit qu'à une époque beaucoup plus 
récente dans les graviers anciens de la Seine (1). » 

Quant au pli cacheté, dont je vous ai parlé tout à l'heure, et dont j'a 
demandé l'ouverture à l'Académie des Sciences il y a huit jours, dans la 
séance du 12 de ce mois, veuillez me permettre de vous en donner lec- 
ture avant de terminer : 

Après avoir cité le passage de ma communication de 1882, que je vous 
ai rappelé tout à l'heure, je me suis exprimé ainsi : 

« Depuis lors (1882) j'ai poursuivi mes recherches dans les sablières 
quaternaires soit de Paris, soit des environs, et les autres ossements 
humains, qui m'ont été remis ou communiqués comme provenant de ces 
sablières, n'ont fait que me confirmer dans l'opinion exprimée à la Ro- 
chelle, car partout et toujours, ces ossements ont une physionomie 
absolument différente, sous tous les rapports, des ossements d'animaux 
trouvés au même niveau et de tous sans aucune exception, à quelque espèce 
animale qu'ils appartiennent. 

» Ces ossements humains sont donc à mes yeux d'une antiquité beau- 
coup moins reculée et je crois même pouvoir affirmer dès maintenant que, 
dans les endroits où la contemporanéité de l'homme, en tant qu'ossements, 
avec les animaux quaternaires des sablières de Paris ou des environs a 
été soutenue, elle n'existe pas. Ce n'est pas, loin de là, que je veuille nier 
en quoi que ce soit l'existence de l'homme quaternaire ; la présence incontes- 

(1) Comptes rendus de l'Académie des Sciences, séance du 16 août 1892. 



É. RIVIÈRE. — DES OSSEMENTS HUMAINS ET DES OSSEMENTS d'aNIMAUX 381 

table de silex taillés dans ces sablières et au même niveau que les restes 
des espèces animales, telles que YElephas primigenius ou VElephas anti- 
quus, le Rhinocéros Merckil ou le Rhinocéros tichorhinus, etc., serait là pour 
me donner un démenti formel. 

» Mais si l'homme de ces gisements existe certainement, en tant qu'in- 
dustrie, son squelette, par contre, ne me paraît pas encore avoir été 
trouvé et toutes les découvertes de Grenelle, Clichy, Billancourt, etc., ne 
me semblent pas des découvertes d'hommes réellement fossiles, mais bien 
d'os humains postérieurs à l'époque quaternaire. 

» C'est d'ailleurs ce que j'espère pouvoir démontrer, d'ici à quelque 
temps, d'une façon positive par les études que je vais entreprendre. Il 
s'agit d'une longue série d'analyses chimiques comparatives de tous les 
échantillons qu'il me sera possible de prélever sur des ossements humains 
et sur des os d'animaux d'époques et de gisements divers. 

» Mon intention est donc d'étudier successivement le même os long tel, 
par exemple, que l'humérus, le fémur ou le tibia de l'homme et d'un 
mammifère toujours le même, ainsi qu'un os du crâne de l'un et de l'autre, 
provenant tous deux d'un même milieu, au point de vue de la composition 
chimique, de la densité, etc. J'étudierai ainsi les mêmes os, à l'état frais 
d'abord, puis enfouis depuis quelques siècles dans le même milieu, puis 
à l'époque mérovingienne, à l'époque romaine, ensuite dans les temps 
néolithiques, enfin aux époques géologiques (grottes, brèches osseuses, 
sablières) . 

» Les résultats que j'obtiendrai me donneront-ils raison? Je le crois 
fermement ; en tout cas, je suis prêt à reconnaître mon erreur, si je me 
suis trompé, entreprenant ces recherches absolument sans aucun parti pris, 
sans aucun autre mobile que la passion du vrai et le désir d'apporter, si 
possible, quelque document nouveau à l'histoire de la paléontologie humaine. 

» Ces nouvelles études, je les entreprendrai sous les bienveillants aus- 
pices de M. Alphonse Milne-Edwards qui m'a fait connaîlre, ces jours 
derniers, celles qu'il a lui-même faites il y a vingt-cinq ans (1), et qui 
m'a indiqué aussi celles de Delesse que j'ignorais également ( "2). » 

Telle est la teneur du pli cacheté que j'ai adressé à l'Académie le 
8 octobre 1885 et dont elle a bien voulu accepter le dépôt dans la séance 
du 12 du même mois. 

En résumé, il paraît donc aujourd'hui démontré, conformément à la 
thèse que j'ai soutenue depuis 1882 : 

i° Que les ossements humains de Billancourt sont beaucoup plus ré- 
cents que les restes de la faune quaternaire provenant du même gisement; 

(1) A. Milne-Edwards, Éludes chimiques et physiologiques sur les os (Annales des Sciences naturelles, 
t. XIII, p. 113. Paris, 1S60.) 
(î) Delesse, Annales des Mines, t. XVIII, 1860, et i vol. Paris, 1861. 



382 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

2° Que l'analyso chimique permet le plus souvent, en cas de doute, de 
résoudre le problème de la contemporanéité ou de la nou-conlemporanéité 
d'ossements trouvés dans le même milieu. 

J'ajoute, en terminant, que l'analyse chimique des ossements me paraît 
appelée aussi à pouvoir rendre peut-être certains services en médecine 
légale, en permettant de reconnaître l'époque à laquelle un cadavre aura 
été inhumé, tout en tenant compte, bien entendu, de la nature du sol où il 
aura été trouvé. 

J'espère d'ailleurs apporter l'an prochain à la Section de Géologie de 
nouveaux faits, soit que M. Ad. Carnot veuille bien continuer ses recherches 
sur les pièces osseuses que j'ai trouvées dans divers gisements, soit que, 
à son défaut, j'entreprenne à mon tour d'en faire l'analyse chimique 
comme j'en ai toujours la ferme intention. 



MM. EETT et DÏÏBÂLEI 

à Mont-de-.Marsan. 



SUR LA PROTUBÉRANCE CRETACEE DE SAINT-SEVER 



— Séance du 20 septembre 1892 — 

La protubérance de Saint-Sever est la plus importante des protubé- 
rances crétacées de l'Aquitaine. On peut en effet la poursuivre de Buanes 
à Saint-Aubin, dans le sens de son orientation (E. S. E.— 0. N. 0) qui est 
sensiblement parallèle à la chaîne des Pyrénées, sur une longueur d'en- 
viron 24 kilomètres, sa largeur pouvant atteindre 5 kilomètres, et elle 
recouvre, en totalité ou en partie, le territoire de dix-huit communes 
(Buanes, Fargues, Vielle, Sarraziet, Montsoué, Saint-Sever, Eyres, Coudures, 
Sainte-Colombe, Horsarrieu, Dûmes, Audignon, Banos, Montant, Doazit, 
Maylis, Saint-Aubin et Hauriet). Aussi ne devait-elle pas échapper aux 
observateurs qui ont étudié en détail cette intéressante région. 

En 1824, Ami Boue, dans son Mémoire géologique sur le sud-ouest 
de la France (1), indique le terrain crétacé (craie chloritée) au N. de 
Coudures, à Aires (lisez Eyres), sous la forme d'une craie chloritée durcie, 
verte ou bleuâtre, surmontée de couches crayeuses riches en silex. 

(I) in Annales Se. nat. V s., t. III, p. 239. 



REYT ET DUBALEN. — SUR LA PROTUBÉRANCE CRÉTACÉE DE SAINT-SEVER 383 

En 1847, Delbos (1) signale à Arcet, Audignon et Boulin des dolomies 
qu'il rapporte, avec doute il est vrai, à la base des terrains nummu- 
litiques. 

En 18o3, MM. Crouzet et de Freycinet(2) n'hésitent pas à classer ces 
dolomies dans la division supérieure (craie dolomilique) de leur craie 
silici/ere, la division inférieure de cette cvdÀe, on craie silicif ère propre- 
ment dite, étant du reste accusée aux environs de Saint- Sever par de 
nombreux silex qui jonchent le sol. 

L'année suivante, Delbos i3) fait descendre les dolomies d'Arcet au 
niveau des calcaires d'Orthez, dans la division inférieure (calcaires et 
schistes noirs) de la formation crétacée du bassin de l'Adour. La craie 
supérieure ou à Ananchijtes est représentée à Audignon où il a recueilli 
VO. Matheroniana, 

En 1873 et 1874, MM. Jacquot et Raulin publient leur Carte géologique 
et agi'onomique du département des Landes à l'échelle de ~^^, ainsi que 
la première partie de la Statistique géologique et agronomique de ce 
département. Pour ces auteurs, toutes les assises crétacées de la protubé- 
rance appartiennent à la cy^aie blanche; une teinte jaune indique suffi- 
samment sur leur carte cette uniformité de composition. 

Quelques années plus tard, et principalement en 1880, M. Hébert fait 
connaître le résultat de ses études sur la Craie supérieure des Pyrénées (4). 
Le savant professeur classe comme suit les assises crétacées du bombe- 
ment de Saint-Sever : 

TuRONiEN SUPÉRIEUR. — Calcalres à silex et Ananchytes Beaumonti. 
Sénonien SUPÉRIEUR. — Calcairc blanc compact avec Radiolites lumhricalis. 
p. . . ( Calcaires marneux à Fem(^/îews;esLe|/men>f, O./wenaica, 

UANIEN INFERIEUR. \ , /-,. , ,- ^ i •. . , 

( larva, (Jtostoma jJOnticum, Orbitotdes gensacica, etc. 

Le Cénomanien existe-t-il peut-être au centre de ce bombement, comme 
tendrait à le démontrer un exemplaire d'Holectgpus excisus, Desor, 
espèce du Cénomanien supérieur, trouvé à Mailloc et envoyé à l'auteur 
par M. Dubalen. 

En 1888, paraît la deuxième partie de la Statistique géologique et agro- 
nomique du département des Landes, presque entièrement rédigée par 
M. Jacquot. Cet observateur reconnaît dans la protubérance de Saint- 
Sever les étages cénomanien, twonien, sénonien et danien. 

(1) Notice géologique sur les lerrains du bassin de l'Adour, in Bull. Soc. géol. France,'!' s., t. IV, p. 712. 

(2) Élude géologique sur le bassin de VAdour, i"'» partie formation crétacée), in Annales des Mines, 
5"= s., t. IV, p. 361. 

(3) Essai d'une desrription géologique du bassin de l'Adour, in Mém. Soc. Sa. phys. et nat. de 
Bordeaux, t. I, p. 265. 

(4) Voyez surtout : Recherches sur la Craie supérieure du versant septentrional des Pyrénées, in 
Comptes rendus .4c. Se. (1880), p. 7A4. 

Le terrain crétacé des Pyrénées, 2" partie (Terrain crétacé supérieur;, in Bull. Soc. géol. France, 
3« s., t. IX, p. 62. 



384 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

L'étage cénomanien, visible seulement dans le fond de la vallée d'Au- 
dignon, est composé de calcaires dolomitiques et de calcaires compacts ne 
renfermant que des huîtres indéterminables et le Rqdiolites triangulatns ? 

L'étage turonien qui lui succède est particulièrement net dans les 
carrières de Jouansalle, où il est caractérisé par RadioUtes lumhricalis. 
La dolomie de Labadie en face de l'église d'Audignon, est subordonnée 
à cet étage dont elle formerait le couronnement. 

Le Sénonien consiste en une alternance de calcaires marneux et de 
marnes sableuses. De nombreux silex sont répandus dans la masse et les 
fossiles habituels sont : Echinocorys vulgaris, Jnoceramus Goldfusianus, 
Janira quinquecostata. 

Le Danien débute par des marnes et des calcaires à Hemipneustes 
pyrenaicus, Leymerici, 0. pyrenaica, et se termine par. des dolomies et 
des marbres qui, en raison de leur position au sommet de la forma- 
tion crétacée, sont assimilables aux assises garumniennes de la Haute- 
Garonne. 

Quelques mois après cette publication (janvier 1889), M. Jacquot nous 
donne la feuille de Mont -de-Marsan (1) au bas de laquelle est la partie la 
plus importante du pointement crétacé de Saint-Sever. Quatre teintes 
indiquent les quatre étages de la formation crétacée supérieure. L'étage 
cénomanien y occupe une place beaucoup plus importante que ne l'avait 
supposé précédemment l'auteur (2). 

En 1890, M. L. Reyt (3) signale à Buret-Maçon (Audignon) et à La- 
bouyrie (Eyres) un horizon très fossilifère (0. flabellata, biauriculata, 
Terebratula biplicata, etc.) de l'étage cénomanien, et constate la présence 
de dolomies garumniennes, avec nombreuses formes tertiaires, sur le 
revers S. de la ride crétacée de Saint-Sever, territoire de Montsoué. 

Les explorations entreprises par nous en août 1891, poursuivies en 
novembre et aux mois d'avril et d'août de cette année, nous ont donné 
les résultats consignés dans le tableau ci-joint qui résume la succession 
des assises crétacées de la protubérance. 

Le Crétacé inférieur (Gaultj, méconnu jusqu'à ce jour, occupe une 
place importante dans la protubérance ; il se présente sous la forme de 
marnes avec alternances fréquentes de bancs calcaires ou siliceux, — 
Hamites cf. rotundus, Sow. (4), bélemnites, etc., à la base, — échinides, 
nombreux acéphales et gastéropodes à la partie supérieure, que sur- 
montent des dolomies à grandes janires, Toucasia, etc. 

(1) Carte géologique de la France au 1/80.000. 

(2) \o\r Stalisliquegéol. elmiron. du déparleme.nt des Landes, p. 318. 

3} In Actes Soc. Linn. de Bordeaux, s» s., t. IV, p. 275, et Procès-verbaux des séances de la 
Soc. Linn. de Bordeaux, p. 77. 

(4) Nous avons déterminé nos espèces au Laboratoire de géologie de la Faculté des Sciences de 
Bordeaux, dirigé par M. le professeur Fallût, dont l'autorité est bien connue. 



REYT ET DUBALEN. — SUR I.V PUOTl nÉUANCE CRÉTACKK DE SAINT-SEVER 385 

Les calcaires cénomaniens à Caprinella triangulmns et les marnes à 
0. flabellata, biauriculata, etc., qui leur sont étroitement liées, des- 
sinent une bande limitant au S. le noyau formé par les marnes et les 
dolomies ci-dessus mentionnées. Étroite dans sa partie occidentale où 
l'inclinaison des couches peut atteindre 80% cette bande s'élargit consi- 
dérablement vers son extrémité orientale où les strates accusent un pro- 
longement faible, variant de 10 à 15°. 

L'étage turonien n'était connu qu'à .Jouansalle et Larrey ; nous l'avons 
retrouvé bien développé dans la vallée du Gabas, des environs du Moulin 
de Marrin à Pémarie, en face du bourg d'Eyres. Il présente même ici 
une assise que nous n'avons observée nulle part ailleurs, des Calcaires 
marneux avec Inocérames, Oslrea, Cardium, qui, par leur position entre 
les Calcaires à Badiolites himbricaliii -du Turonien supérieur et les Marnes 
cénomaniennes à 0. flabellata, biauriculata, Terebratula biplicata, doivent 
être regardés comme représentant le Turonien inférieur (Ligérien, Coq.). 

L'étage sénonien, d'Orb., joue un rôle important dans la protubérance. 
Dans sa partie inférieure et sa partie moyenne, peu exploitées, nous avons 
reconnu deux horizons intéressants : Marnes à Micraster coranguinum de 
Pémarie, — Calcaires marneux à Echinocorys Heberti il) du Caoup et de 
Lacoumette . 

L'étage garumnien qui termine la série comprend : à la base des 
Dolomies et brèches dolomitiques, à la partie supérieure des Calcaires 
compacts ou marmoréens et des brèches calcaires. Ces roches, considérées 
jusqu'à présent comme à peu près azoïques, peuvent, dès maintenant, 
grâce à de patientes et laborieuses recherches, compter parmi les plus 
riches en espèces de la protubérance. La plupart de ces espèces, sinon 
leur totalité, étant nouvelles, ce n'est que par la place qu'occupent ces 
assises, entre les marnes et les calcaires- à Hemipneustes p/jrenaicus et 
Orbitoïdes du Sénonien supérieur et les calcaires à Operculines (Operculina 
Heberti) de l'étage suessonien. qu'il est permis de les paralléliser aux 
couches garumniennes de la Haute-Garonne, dont la faune est entière- 
ment différente, mais qui occupent exactement la même position strati- 
graphique (2). 

Une faille principale, se maintenant constamment au N. et à une faible 
distance de la ligne anticlinale, court de l'E. vers l'O. du voisinage de 
Puzacq (au N.-E. de Fargues) aux sources de la Peyradère à Saint-Aubin, 
par la vallée du Pichegarie, Haut-d'Audignon, Pilo, s'incurvant légère- 
ment pour aboutir aux sources de Marseillon, puis reprenant son allure 

(1) Cet horizon avait été déjà signalé par M. HL-berl. {Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 

1880, p. T,i.) . „ 

(2) La série garumnienne typique d'Auzas est en effet comprise entre le Calcaire nanUin a «emi/)- 
neusles, sur lequel est bàli ce bourg, et l'horizon à Operculina Heberti qui succède immédiatement 
aux Calcaires crayeux à Micraster tercensis du Tuco. 

25* 



386 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

vers rO. par la source d'Haouriei, Higué et Laflou. Elle met les assises 
sénoniennes du revers N. en contact avec les couches albiennes, céno- 
maniennes, turoniennes et sénoniennes qui, après s'être voûtées suivant 
la ligne anticlinale, plongent vers le S. sous un angle exceptionnellement 
supérieur à 15° (l). A l'extrémité 0. de la protubérance, à Long, les 
assises garumniennes du revers N. viennent buter à la faille, qui traverse 
ici la vallée de la Gouaougue. contre les couches du même âge ou les 
premiers sédiments suessoniens. 

Une faille secondaire, greffée sur la précédente suivant le cours du 
Pichegarie, au-dessous de Baron, se dirige vers les sources d'Arcet par 
le four à chaux de Reguillem, le Moulin de Marseillon et Larrivière au S. 
de Banos (2). Elle émet à l'E. de Jouancoste une bifurcation qui chemine 
obliquement vers Meignos pour s'infléchir brusquement vers l'O., dans 
la direction de Toulouzette. C'est entre ce bras et la faille secondaire 
d'Arcet, prolongée vers l'O., que paraît s'être produit le plus grand affais- 
sement de la région. 

Les eaux pluviales qui tombent sur le revers N. de la protubérance 
sont naturellement absorbées par ces fractures qui se gorgent encore des 
eaux que leur abandonnent les rivières et les ruisseaux qui les traversent 
et dont le cours peut, en quelques points, se confondre avec leur direction. 

Ces failles forment ainsi un système de canaux souterrains dont les 
eaux jailliront dès qu'elles rencontreront sur leur route quelque obstacle 
s'opposant à un écoulement régulier, ou une issue insuffisante pour per- 
mettre à la masse d'aller plus en avant. 

Les remarquables sources de Marseillon, la Peyradère et Arcet n'ont 
pas d'autre origine (3), et on ne peut plus les regarder, avec M. Jac- 
quot (4), comme le résultat du jeu naturel de nappes artésiennes dans 
les assises supérieures du terrain crétacé. 

Les considérations qui précèdent nous paraissent avoir une grande 
importance relativement a la question des eaux jaillissantes dans la région 
comprise entre la protubérance de Saint-Sever au S. et l'alignement 
crétacé Roquefort-Saint-Julien-Colègne au J\., au centre de laquelle est 
bâtie la ville de Monl-de-Marsan, car elles tendraient à démontrer que, 
s'il existe des eaux artésiennes dans la région ci-dessus délimitée, elles ne 
peuvent venir de la protuljôrance crétacée de Saint-Sever sur laquelle 
cependant, avant un examen approfondi, le géologue pourrait être tenté 
de concevoir les meilleures espérances. 

(1) Ce n'esl, que vers l'extrémité occidentale de la protubérance qu'on remarque des inclinaisons 
beaucoup plus importantes (70 et 80°). 

(2) Celle faille doit évidemment se poursuivre vers l'O. 

(3) Les dépressions en face desquelles bouillonnent ces sources et l'état fragmentaire des roches 
d'oïl elles sortent semblent favoriser la venue au jour de ces eaux. 

(4) Voyez surtout Statistique géologique et agronomique du département des Liimie^, p.iT'i. 



REYT ET DUU.VLE.N. — SUR LA PROTLBÉRANCE CRÉTACÉE DE SAIXT-SEVER 387 



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388 



GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 



M. Joseph EOÏÏSSEL 



Professeur au Collège de Cosne. 



SUR LE PRIMAIRE DE CAMPAGNA-DE-SAULT 



Séance du 27 septembre 1892 — 



Dans les environs de Campagna-de-Sault existe une importante for- 
mation primaire disposée en plis anticlinaux (fig. 1 , 2 et 3). 



Ouest 




Sud 



a: 

\^tiiixentt de 




Nord 



\ Lamj^agiui' ■ 



eT Triais 




Granité 



On'y observe : 

1. Schistes ardoisiers avec lentilles de calcaire et de poudingue. 

2. Schistes noirs avec lentilles de calcaire à (^rthocères,du Silurien supérieur. 

3. Calcaire à goniatites et schistes. 

4. Dolomie, calcaire et schistes. 

o. Schistes avec lentilles de calcaire amygdalin et de calcaire à Orthocères. 
0. Schistes et poudingues. 

Les schistes ardoisiers 1 représentent le, Silurien moyen, autrement dit 
Ordovicien ou Armoricain; car, en certains points des Pyrénées, ils en 
renferment la faune caractéristique. 

Us alternent, à l'ardoisière de Campagna, avec de puissantes lentilles de 



.1. ROUSSEL. — SUR LK PRIMAIRK DK CAMPAGNA-DE-SAULT 389 

calcaire et de poudingue à galets de schiste, de quartz et de gneiss (le 
granité n'y est point représenté). 

L'étage 2 est fossilifère. On y trouve principalement : Orthoceras 
Bohemicum, Cardiola interrwpta et Scijphocrinus elegaiis. 

Les plus beaux fossiles sont sur le sentier qui longe la rive gauche du 
ruisseau de Carapagna, en amont du village, près de l'ardoisière. 

Le calcaire à goniatites 3 existe à ce niveau, dans les Pyrénées, en un 
grand nombre de points : c'est un fait nouveau. 

A Campagna, ce calcaire est bien caractérisé, dans le pli cl, sur le bord 
de l'Aude et sur le chemin de Campagna à Fontanes. A 200 mètres au 
sud du pic coté 1861 mètres, situé à l'ouest de celui d'Ourthizet, il est 
sous forme de lentilles qui alternent avec des schistes. 

L'étage 4 n'a pas une composition constante. Tantôt il se présente sous 
la forme d'une dolomie noire à l'air et rude au toucher. Tantôt cette dolo- 
mie passe à des schistes qu'on a de la peine à distinguer de ceux du 
Silurien; car, comme ceux-ci, ils renferment des lentilles de calcaire et de 
poudingue à galets de schiste et de quartz. Les dolomies et les calcaires 
sont très développés sur les bords de l'Aude; mais on les voit passer, par 
degrés, au schiste, lorsqu'on s'avance du côté de l'ouest; de telle sorte 
qu'à Campagna, sur la rive droite du ruisseau, il n'en reste, dans l'aile 
sud du pli d, que quelques lentilles pour servir de repère. Dans l'aile 
nord de la ride, la dolomie se prolonge jusqu'à la rivière de Rebenty. 
Les dolomies et les calcaires se remplissent de tiges d'encrines et de 
fénestelles, notamment sur le chemin de Fontanes, à l'ardoisière, au 
pic d'Ourthizet, au pic coté 1861 mètres, etc. Cet étage 4 représente pro- 
bablement le Dévonien supérieur. 

L'étage S, que j'attribue au Carbonifère, renferme de très importantes 
lentilles de calcaire à goniatites et quelques lentilles de calcaire à Ortho- 
cères. Ces derniers fossiles sont ordinairement empâtés et frustes. 

Cependant, il existe un point où l'on peut les reconnaître; on le trouve 
en suivant le sentier de la rive gauche du ruisseau de Campagna, à partir 
du continent de ce ruisseau et de l'Aude, quelques pas après avoir passé 
la vieille masure qui existe en ce point. Il renferme des poudingues par 
endroits, notamment à Fontanes. 

Les schistes 6 sont ceux qui, dans les Pyrénées, constituent la plus 
grande partie du Carbonifère. Ils sont, le plus souvent, accompagnés de 
poudingues à galets de schiste, de quartz et de gneiss. 

Sur les bords de l'Aude, les étages 3, 4, a et 6 sont seuls visibles dans les 

plis c et d. Pour trouver les étages 1 et 2, il faut aller jusqu'à Campagna. 

En ce lieu, les couches dévoniennes sont fortement déviées, les plis 

s'élargissent et le Silurien apparaît en masses puissantes sous le Dévonien. 



390 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

M. M. &OÏÏIIDOI 

Conservateur du Musée pyrénéen de Bagnères-de-Luchon. 



LE MUSÉE PYRÉNÉEN DE BAGNÈRES-DE-LUCHON 



— Séance du 2i septembre 1892 — 

Notre époque a le goût des collections. On aime à voir, réunies et clas- 
sées scientifiquement, les productions naturelles du globe. Collections 
publiques ou privées, il en existe un grand nombre et partout. Luchon, 
cette station thermale admirablement située au milieu de la haute chaîne 
et privilégiée entre toutes, ne pouvait rester à l'écart du mouvement 
général. Aussi a-t-elle son Musée, peu important encore, il est vrai, mais 
qui n'en renferme pas moins déjà des choses intéressantes et uniques 
pour la chaîne des Pyrénées, encore si peu connue, au point de vue géo- 
logique principalement. 

Au premier étage de l'aile gauche du Casino sont réunis les collections 
et les plans en relief formant le Musée Lézat, ou Musée pyrénéen de Luchon. 

Parmi les étrangers, baigneurs ou touristes qui, tous les ans, pendant 
les beaux jours, affluent dans nos murs et vont rendre visite à l'œuvre du 
regretté ingénieur Toussaint Lézat, bien peu de personnes sans doute en 
connaissent l'historique et l'origine. 

Il y a une quarantaine d'années environ, Lézat, qui s'occupait alors de 
botanique, accomplissait la première ascension du grand pic Quairat 
(3.059 mètres) au-dessus des glaciers de la vallée du Lys. Panorama d'une 
beauté tellement captivante et si particulière que c'est en l'admirant, par 
une belle journée d'été, que Lézat conçut le projet audacieux pour l'époque, 
qu'il a si vaillamment exécuté depuis, de faire le plan en relief des mon- 
tagnes de la Haute-Garonne. Chose difïïcile alors. A l'époque en effet où 
il se mit à l'œuvre, les cartes de l'État-major n'étaient pas encore faites. 
Il dut y suppléer et relever lui-même toute la région. Malgré les diffi- 
cultés sans nombre qui, à chaque instant, dans une région aussi tour- 
mentée, surgissaient sous ses pas, il ne douta jamais de la réussite. Aussi, 
quels ne furent pas sa joie et son légitime orgueil, le jour où il mit la der- 
nière main à ce remarquable travail! 

Il représente une superficie de 25 kilomètres de large, sur 57 et demi 
de long ; il est à l'échelle de j^, et forme un rectangle de S'^jSO sur 
S'^jTS centimètres. 



M. GOrUDON. — LE MUSKE l'YRÉXÉEN DE BAGNÈRES-DE-LUCHON 391 

Les hauteurs, au contraire, sont un peu plus que doublées, pour conser- 
ver à l'œil les illusions auxquelles nous nous laissons entraîner à l'aspect 
des montagnes. Huit années ont été employées à sa confection, et les 
dix-sept tables ou morceaux qui composent ce relief ont tour à tour été 
portés à dos d'homme par ses guides, et les détails modelés par Lézat sur 
le terrain même, après avoir fixé tous les points importants mathémati- 
quement, à la boussole ou au graphomètre. Il n'est pas nécessaire, je sup- 
pose, d'insister plus longuement sur la valeur et l'importance de l'œuvre 
de l'éminent ingénieur : l'exactitude et la vérité de ses plans en relief 
sont connues de tous ceux qui s'occupent de montagnes. Jamais on n'a 
mieux rendu la physionomie pittoresque de nos Pyrénées. 

Autour de cette œuvre capitale sont groupés les plans en relief des Pyrénées 
centrales au -^^j^, de l'Aran à la vallée d'Aspe, celui des galeries souterraines 
de l'établissement thermal, celui du cirque de Gavarnie et du vieux Luchon. 

D'un autre côté, il convient de faire remarquer que, par sa position unique 
au centre des Pyrénées de France, à proximité de celles de l'Espagne, 
Luchon est un centre extrêmement important, au point de vue de la litho- 
logie pyrénéenne : toutes les espèces de roches et de minéraux se trouvent 
pour ainsi dire représentées dans ses montagnes. De vastes champs d'é- 
tudes et de recherches y sont ouverts aux savants. Si l'exploration de ces 
régions alpestres présente des difficultés, parfois même des dangers, le 
naturaliste, quelles que soient ses études favorites, est toujours largement 
dédommagé de ses fatigues par d'abondantes et intéressantes récoltes. 

Pendant longtemps on regarda les Pyrénées centrales comme dénuées 
de fossiles, surtout dans les terrains anciens. Grave erreur, dont le temps 
et les recherches persévérantes devaient avoir raison tôt ou tard. Déjà, 
\L Leymerie avait indiqué quelques gîtes fossilifères dans nos montagnes. 
C'était un commencement. Au cours de mes excursions alpines, j'ai eu 
la bonne fortune de découvrir bon nombre de nouveaux gisements fort 
importants pour la détermination de l'âge des terrains anciens. Je signa- 
lerai entre autres, sur le versant français, les gisements siluriens de Mon- 
tauban-de Luchon, de Cazaril-Laspènes, de Montmajou et du Hont de 
Barbât. Ceux de Bourg-d'Oueil, de Jurvielle, de Génost, des Honts des 
Bicoulous, de Bern, de Cathervielle appartiennent au dévonien. Ces trois 
derniers nous ont fourni une abondante et très précieuse série de Trilo- 
bites, niveau à peu près inconnu jusqu'alors dans les Pyrénées. 

En Aragon, les empreintes fossiles du plan des Étangs (base de la Mala- 
detta) ont permis de rapporter enfin avec certitude au houiller moyen les 
grauw^ackes micacées, du val de l'Essera, dont l'âge était si discuté. J'en 
dois la détermination à M. R. Zeiller. Il fallait toute l'habileté de ce 
paléontologiste pour nommer exactement ces débris assez frustes pour la 
plupart. Non loin de là nous mettions la main sur des fossiles dévonien 



392 



GEOLOGIE ET MINERALOGIE 



au pic d'Aguas-Passas, et précédemment les orthocères de la tusse des 
Posets venaient fixer l'âge de cette partie du val d'Astos de Vénasque. 

Grâce aux encouragements et aux conseils de mes savants collègues et 
maîtres MM. de Lapparent, Ch. Barrois, de Saporta, j'ai continué mes re- 
cherches. MM. Barrois et de Saporta ont bien voulu accepter la tâche difficile 
d'étudier la plus grande partie de mes fossiles; et, dans ces derniers temps, 
j'ai eu la satisfaction de voir plusieurs de nos localités devenir classiques. 
Je ne saurais également passer sous silence M. G. Cotteau, le savant pa- 
léontologiste auquel je dois l'étude très complète de la riche faune échi- 
nitique de la Pobla de Roda (Aragon), absolument inconnue jusqu'alors. 

Tous les ans, pendant les beaux jours principalement, le pays de Luchon 
est visité non seulement par de nombreux savants, mais aussi par des 
étudiants en vacances qui s'intéressent à ces questions et demandent à 
voir les richesses naturelles de nos montagnes. Malheureusement, les col- 
lections commencées par l'ingénieur Lézat, et auxquelles nous avons 
ajouté une certaine quantité de spécimens, sont encore peu nombreuses 
et mériteraient cependant d'être augmentées. Mais les ressources budgé- 
taires ont fait jusqu'à présent défaut, et, malgré toute notre bonne volonté, 
il n'a pas encore été possible de donner aux séries déjà commencées 
toute l'importance qu'elles comporteraient. Rien, cependant, ne serait plus 
facile que de faire récolter dans chacune des localités que nous venons 
d'énumérer et dans bien d'autres. Mais, pour cela, il serait nécessaire que 
le Musée de Luchon eût à sa disposition un budget régulier. Si nous ne 
nous faisons pas illusion, les séries du Musée prendraient une importance 
telle, que tout géologue, désireux de se rendre compte de la composition 
des Pyrénées, serait obligé de venir de prime abord consulter les col- 
lections du Musée de Bagnères-de-Luchon. 



M. A. BiaOT 

chargé ilc cours ;'i la Faculté des Sciences de Caen. 



SUR LES TRIGCNIES JURASSIQUES DE NORMANDIE 



— Séance du Si septembre 1892 



Le genre Trigonia est représenté dans les assises jurassiques de Nor- 
mandie par quarante-quatre espèces dont la plupart sont nouvelles ou 
mal connues. Dans un travail que nous venons de terminer, nous avons 



A. BIGOT. — SUR LES TRIGOMES JURASSIQUES DE .NORMANDIE 393 

entrepris la revision de ces espèces, commencée par E.-E. Deslongchamps, 
que la mort a empêché d'achever cette étude. 

Nous avons laissé de côté les espèces portlandiennes du pays de Bray,' 
bien connues grâce aux travaux de MM. de Loriol, Munier-Chalmas et 
Pellat. 

Les Trigonies jurassiques trouvées jusqu'ici en Normandie appartien- 
nent à cinq sections : Costalœ, Undulatœ, Scmi-lœves, Scaplioideœ, 
Clavellatœ. 

La section des Costatœ comprend dix-neuf espèces, qui sont les sui- 
vantes : 

1. Triqonia bella, Lycelt, des calcaires à 4. Murchisonœ (Bajocien inlerieur). 

2. T. Feuguerollensis, n. sp., du même niveau. 

3. T. costata, Sow., des couches à A. subfurcatus (Bajocien supérieur). Cette 
espèce, type de la section des Costatœ, est citée dans tout le Jurassique. Le type 
de Sowerby provient de l'oolithe inférieure d'Angleterre et on doit restreindre 
le nom de Tr. costata à l'espèce conforme aux figures données par Lycett. 

4. T. lineolata, Agass., des couches à il. subfurcatus. 
o. T. tenuicosta, Lycett, id. 

6. T. angustula, E.-E. Desl. mss.. id. 

7. T. bipartita, n. sp., id. 

8. T. zonatai?) Agass. 1840 (= T. interlœvigata, Quenst., 1838;, des couches 
à A. fuscus (Bathonien inférieur). 

9. T. pullus, Sow., 182G (= T. Cassiope, d'Orb., 1849), des couches à .4. aspi- 
doides (Bath. supérieur). 

10. T. Langrunensis, E.-E. Desl., mss., des couches à A. aspidoides (Bath. 
supérieur). 

11. T. striatissima, E.-E. Desl., mss., des couches à A. aspidoides (Bath. 
supérieur). 

12. T. RanvilUana, E.-E. Desl., mss., des couches à A. aspidoides (Bath. 
supérieur). 

13. T. Castor, d'Orb. (= T. Cassiope, auct. non d'Orb.), des couches à 
A. aspidoides (Bath. supérieur). 

14. T. crista-galli, E.-E. Desl., mss., des couches à .4. aspidoides (Batli. 
supérieur). 

15. T. elongata, Sow., 1825 (= T. cardissa, Agass., 1840), des couches à 
A. macrocephalus (Callovien) et cordalus (Villersien). 

16. T. Œhlrrti, n. sp. (= T. Bachelieri, auct. non d'Orb.), des couches à 
A. macrocephalus (Callovien). 

17. T. Meriani, Agass., du Villersien. 

18. T. Glosensis, n. sp., des couches à T. fironm (Argovien). 

19. T. papillata, Agass., des couches à T. Bronni et du Ptérocérien. 

La section des G/a6/-œ, d'Agassiz, doit être subdivisée en trois sections: 
1« Semi-lœves, type T. Lingonemis, Dumortier, du Lias moyen ; autres 
espèces: T. Beesleyam, Lyc, du Bajocien; T. Eudesi, n. sp., du Batho- 
nien. — Répartition : Jurassique inférieur (Lias, Bajocien, Bathonien i. 



394 GÉOLOGIE ET MINÉRALOGIE 

Cette section comprend des espèces à aréa étroite, assez bien délimitée, 
généralement lisse, quelquefois ornée de côtes obliques, sans carène 
interne, médiane ou marginale, à écusson bien délimité. Les flancs sont 
lisses, sauf dans le jeune âge; dans l'adulte, ils présentent du côté anté- 
rieur des côtes nombreuses, serrées, parallèles au bord palléal. 

2° Gibbosœ, type T. Gibbosa, Sow., du Porllandien ; autres espèces: 
T. Actœon, Mun.-Ch.; T. Edmundi,Mun.-Ch.; T. Oustaleti, Mun.-Ch.; 
T. More H, Mun.-Ch.; T. Curmnntensis , de Loriol, du Jurassique supé- 
rieur; T. Otnedensis, Lyc, de l'Infra-Lias d'Espagne. — Répartition: une 
espèce dans l'Infra-Lias d'Espagne ; maximum dans le Jurassique supé- 
rieur (Kimméridien et Portlandien). Les espèces de cette section sont 
subarrondies, les crochets sont rapprochés de la ligne médiane ; l'aréa 
étroite ne présente que des stries transverses ; sa séparation en deux 
moitiés est généralement peu accentuée, marquée par un sillon et non 
par une carène ; la carène marginale est absente ou presque effacée. Les 
flancs sont quelquefois lisses, séparés par un sillon oblique, plus ou 
moins marqué, en deux parties inégales, l'antérieure très large, la posté- 
rieure très étroite. Les côtes qui ornent généralement les flancs sont 
normalement ^wôercM^ewses; elles sont limitées à la partie antérieure des 
flancs et s'arrêtent au sillon qui la sépare de la partie postérieure ; leur 
direction est tantôt parallèle, tantôt fortement oblique au bord palléal . 

3" Excentricœ, type: T. excentrica, Sow., du Cénomanien (= T. afji- 
nis, Sow.); autres espèces: T. Boloniemis. de Loriol, du Kimméridien; 
T. lœviuscula, Lyc. du Cénomanien. — Répartition : Jurassique supé- 
rieur (Kimméridien) et Crétacé (Cénomanien). Les quelques espèces de cette 
section que nous connaissons se distinguent des Gibbosœ par leur forme 
plus allongée, leur aréa lisse, se confondant avec l'écusson, l'absence de 
toute séparation entre l'aréa étroite et les flancs; les côtes qui ne sont 
jamais tuberculeuses sont parallèles au bord palléal et traversent toute 
la largeur des flancs, ne disparaissant que sur l'aréa qu'elles traversent 
même dans le jeune âge. 

Une seule de ces sections, celle des Semi-lœves, est représentée dans 
les couches à A. aspidoides (Bathonien supérieur) de Normandie par une 
espèce nouvelle, T. Eudesi. 

Le groupe des Undulatœ est restreint aux espèces dans lesquelles les 
ornements des flancs, côtes ou rangées de- tubercules, présentent dans 
leur trajet une déviation brusque, produisant un angle dont le sommet 
est dirigé vers le bord palléal. Ce groupe des Undulatœ est représenté 
dans le Bathonien supérieur de Normandie par trois espèces : 

21. T. Clytia, d'Orb. 

22. T. detrita, Terq. et Jourdy. 

23. T. Eugenii, n. sp. 



A. BIGOT. — SUR LES TRIGONIES JURASSIQUES DE NORMANDIE 395 

Dans le groupe des Scaphoideœ, restreint dans les limites proposées par 
M. Choffat, se rangent: 

24. T. Bathonica, Lycett, du Bathonien supérieur. 

25. T. Bergeroni, n. sp., id. 

26. T. Baijlei, Dollf., du Ptérocérien. 

Dans la section des Clcwellatœ nous faisons rentrer, comme l'a proposé 
M. Choffat, un certain nombre d'espèces, telles que la T. Painei, Lycett, 
T. flecta, Morr. et Lycett, que l'on classe parfois dans les Undulatœ. 
Ainsi comprises, les Clcwellatœ normandes fournissent dix-huit espèces 
qui sont : 

27. T. striata, Sow., des couches à A. Miircliisonœ. 

28. T. formosa, Lycett, id. 

29. T. Moutierensis, Lyc, des couches à A. subfurcatus. 

30. r. flecta, Morr. et Lyc, du lîathonien supérieur. 

Ces quatre espèces sont remarquables par leur forme subquadraugu- 
laire, le développement de leur aréa, leurs rangées de tubercules très 
serrées, des crêtes transversales situées entre les rangées de tubercules du 
côté antérieur : 

31. T. Adeli, n. sp., du Bajocien supérieur. 

32. T. Painei, Lycett, du Bathonien moyen, forme intermédiaire entre les 
Clavellatœ et les Undulatœ. 

33. T. Scarburgensis, Lycett, du CaUovien inférieur, espèce qui existe dans 
le « Cornbrash » d'Angleterre. 

34. T. Bizeti, n. sp., du CaUovien inférieur. 

33. T. Heberti, n. sp. (=: T. davellala, Héb. non Park. Sow.), à laquelle nous 
donnons un nom nouveau dans l'impossibilité absolue où se sont trouvés les 
auteurs de savoir ù ([uelle espèce doit être attribué le nom de davellata. 
La T. Heberti est une espèce du Villersien. 

36. T. perlata, Agassiz, du même niveau. 

37. T. Woodwardi, Lycett, des couclies à Nud. scAitaius (Oxfordien sup.). 

38. T. Bronni, Agass., des sables et grès coralliens et de l'Astartien. 

39. T. Morieri, n. sp., des couches à N. scutatus. 

40. T. Fisdieri, n. sp., id. 

41. T. Jarryi, n. sp., id. 

42. T. Kerfornei, n. sp., des calcaires coralliens. 

43. T. Choffati, n. sp. (= T. muricata, auct. non Goldf.). Cette espèce, très 
commune dans le Ptérocérien, est unanimement rapportée à T. muricata, 
Goldf., dont le type est de Torre-Vedras (Portugal) ; M. Choffat ayant publié 
une nombreuse série de figures de l'espèce de Goldfuss, d'après des échantillons 
provenant des couches à Pholadomya Protêt du Portugal, il est facile de se con- 
vaincre que la Trigonie du Havre et de Criquebeuf n'a aucun rai)port avec la 
r. muricata ; nous assignons à l'espèce du Ptérocérien de Normandie le nom de 
r. Choffati. 



396 



BOTANIQUE 



Ai. T. Pellali, Miin.-Ch. Le type de cette espèce est du Portlandien moyen. 
M. de Loriol la cite dans le Virgulien de la Haute-Marne ; sa présence bien 
constatée au Havre et à Villerviile fait descendre l'époque de son apparition 
jusqu'au Ptérocérien. 

Toutes les espèces que nous venons de signaler seront figurées dans 
notre travail, accompagné de dix planches in-4°. 



M. Gaston BOIJIIER 

Professeur à la Sorbonne, ;i Paris 



LA FLORE DES PYRENEES COMPARÉE A CELLE DES ALPES FRANÇAISES 



— Séance du 16 septembre IS92 — 

Ayant fait des excursions botaniques, presque tous les ans, dans les 
Alpes et les Pyrénées, de 1869 à 1891, j'y ai noté en un grand nombre 
de points la distribution relative des espèces. Des voyages botaniques en 
Scandinavie, en Suisse, dans les Alpes autrichiennes et dans les Carpathes, 
m'ont permis de comparer cette distribution avec celle des plantes de 
ces autres parties montagneuses de l'Europe. La question de la comparai- 
son entre la flore des Pyrénées et celle des Alpes ayant été posée cette 
année au Congrès de Pau, je saisis cette occasion pour exposer les résul- 
tats principaux d'un travail que je prépare depuis longtemps sur ce sujet. 

Ce n'est pas en superposant deux catalogues de plantes, l'un des Alpes 
françaises et l'autre des Pyrénées, ni en mettant en regard le nombre des 
espèces de chaque famille dans les deux flores, que l'on pourra avoir des 
résultats complets et intéressants. Ainsi que je l'ai fait remarquer déjà 
dans d'autres travaux, il faut observer la distribution relative de toutes les 
plantes et ce sont même souvent les espèces les plus répandues qui four- 
nissent les résultats les plus remarquables. Il va sans dire que la nature 
géologique du sol, son exposition, et le climat général de la région, sont 
partout à considérer. Mais il n'y a pas que les observations qui puissent 
jouer un rôle dans cette étude comparative. Les expériences de culture 
que l'on peut faire, soit en semant ou plantant les végétaux des Pyrénées 
dans les Alpes ou réciproquement, soit en cultivant les mêmes espèces à 
des altitudes différentes, peuvent servir à élucider certains faits que l'ob- 



G. BONNIER. — FLORES DES PYRÉNÉES ET DES ALPES 39" 

servation seule ne permet pas de comprendre. J'ai fait quelques essais 
de cultures expérimentales tantôt dans de petits champs spéciaux, tantôt 
en difîérents points de la réj^ion alpine ou de la région subalpine. 

C'est le résumé des résultats que fournissent à la fois les observations 
comparées et les cultures expérimentales, que je présente aujourd'hui au 
Congrès . 



LES DIVERSES REGIONS BOTANIQUES DANS LES ALPES ET DANS LES PYRÉNÉES 

Il faut d'abord mettre à part la fraction des Alpes françaises et les parties 
des Pyrénées qui sont comprises dans la région méditerranéenne ou dans 
la région de l'Ouest. Dans les Alpes, le Pin maritime et le Pin d'Alep, 
ainsi que la culture de l'Olivier, caractérisent suffisamment la région 
méditerranéenne. Il en est de même dans les Pyrénées Orientales, où l'on 
peut la considérer aussi comme caractérisée par le Chêne-liège, qui s'a- 
vance jusqu'à Prades, Céret et même non loin de Montlouis. 

La région occidentale, qui s'étend depuis le golfe de Gascogne jusqu'à 
Tardets et Saint-Jean-Pied-de-Port, est caractérisée par le Chêne Tauzin (1) 
ou, plus près de la mer, par le Chêne occidental. Une Bruyère, leDaboecia 
poli fol ia, est aussi presque exclusive à cette région. Ces deux régions mises 
à part, le reste de la flore des Pyrénées et des Alpes présente des caractères 
communs si frappants qu'on ne saurait en déterminer les régions que 
par les zones d'altitude relative. Ce sont, d'une manière générale : 

1° La zone inférieure des montagnes, qu'on a appelée aussi zone des 
vallées profondes ou zone des cultures, et qu'on pourrait nommer le plus 
souvent zone des chênes. Le Quercus Bobur y est, en effet, répandu d'une 
manière générale. Parmi les arbres, c'est aussi dans cette zone qu'on 
trouve l'Aulne glutineux, le Peuplier noir, le Saule Marsault, le Saule 
blanc et le Noisetier, arbres qui ne dépassent presque jamais la limite 
inférieure des forêts de sapins. On peut citer parmi les espèces très ré- 
pandues, limitées à cette zone à la fois dans les Alpes et dans les Pyré- 
nées, les plantes suivantes : 

Helleborus fœlidus, Prunus spinosa, Crotœgus Oxtjacantha, Amelanchier vulgaris, 
Carlina acaulis, Scrofularia canina, Globularia nudicaulis, Buxus sempervirens et 
Melica nebrodensis. 

2° La zone subalpine, dont le Sapin blanc (Abies pectinata) est l'arbre 
commun aux Alpes et aux Pyrénées le plus caractéristique, s'étend au-des- 
sus de la région précédente jusqu'à la base des hauts pâturages alpins. 

(1) Il faut excepter le petit cantonnement de Quercus Tozza qu'on trouve aux environs de Mont- 
louis et dont je parlerai plus loin. 



398 BOTANIQUE 

C'est là que dominent le Hêtre, le Bouleau et le Pin silvestre, ainsi que 
le Sureau à grappes, le Sorbier des oiseleurs, le Cerisier à grappes et 
l'Orme des montagnes. On ne trouve presque plus de cultures dans cette 
zone, sauf quelques rares champs de pommes de terre ou d'orge. Parfois 
la zone subalpine ne peut être déterminée au moyen des arbres précé- 
dents lorsqu'elle est occupée exclusivement par des prairies ou par des 
rochers qui relient, en apparence d'une manière insensible, la zone infé- 
rieure à la zone alpine ; c'est ce qui se produit souvent sur les versants 
très abrupts ou sur ceux qui sont exposés au sud. On doit alors avoir 
recours à d'autres espèces caractéristiques, qui se trouvent aussi dans les 
forêts de Sapins, et parmi lesquelles on peut citer les suivantes : 

Aconitum Lycoctonum, Géranium silvaticum, Epilobium spicatum, Spirœa Arun- 
cus Astrantia major, Prenanthes purpurea, Cirsium monspessulanum, Campanula 
palula et Veronica urticœfolia. 

3° La zone alpine inférieure, qui comprend les hauts pâturages des 
Alpes et qui est ordinairement caractérisée par les Rhododendrons et la 
variété alpine du Genévrier. On y trouve aussi le INerprun des Alpes, le 
Cotoneaster et le Chèvrefeuille des Alpes. 

Tous ces arbustes sont peu élevés, plus ou moins rabougris et souvent 
aplatis sur le sol. On peut citer en outre, parmi les très nombreuses plantes 
caractéristiques de cette zone les espèces suivantes, communes aux Alpes 
et aux Pyrénées : 

Anémone alpina, Cardamine resedifolia. Silène acaulis, Trifolium alpinim, Dryas 
octopetala, Alchimilla alpina, Sdxi.fraga oppositifolia, Homogyne alpina, Vuccinium 
uliginosum, Primula farinosa, Pedicularis verticillala, Plantago alpina, Nigritella 
angusiifolia, Juncus irifidus, Carex sempervirens, Festuca Halleri, Poa alpina et 
Allosorus crispus. 

4° La zone alpine supérieure, qu'on nomme aussi quelquefois zone gla- 
ciale et qui s'étend à la base de la région des neiges perpétuelles, attei- 
gnant parfois même jusqu'au sommet des plus hauts pics. 

Cette zone est souvent difficile à limiter par rapport à la précédente: 
aussi les réunit-on parfois toutes les deux simplement sous le nom général 
de zone alpine. 

Il n'y a plus d'arbres ni d'arbustes dans cette zone, et l'espèce qui la 
caractérise le mieux, à la fois dans les deux chaînes de montagnes, est 
le Ranunculus glacialis. On peut citer encore, parmi les plantes très ré- 
pandues, les espèces suivantes : 

Braba frigida, Cherleria sedoides, Arenaria ciliata, Artemisia nmlellina, Erige- 
ron uniflorus, Androsace pubescens, Gregoria vitaliana, Luzula spicata, Poa laxa 
et Oreochloa disticlia. 



G. BONNIEK. — FLORES DES PYRÉNÉES ET DES VLPES 399 

II 

VARIATIONS DANS LA DISTRIBUTION DES PLANTES TRÈS RÉPANDUES 

Les plantes dominantes, formant pour ainsi dire le fond de la végéta- 
tion, peuvent être distribuées d'une manière différente dans les deux 
chaînes de monta£:;nes, ou même, très répandues dans l'une d'elles et faire 
complètement défaut dans l'autre. 

Dans la région méditerranéenne, le Pin d'Alep, qui existe dans les 
parties basses des Alpes-Maritimes, manque totalement dans les Pyrénées. 
Les plantes caractéristiques de la région occidentale, telles que le Chêne 
Tauzin et le Chêne occidental, si répandus dans une partie des Basses- 
Pyrénées, n'existent pas, au contraire, dans les Alpes. 

En dehors de ces deux régions, passons successivement en revue les 
diverses zones d'altitude relative que nous avons caractérisées précé- 
demment. Dans la zone inférieure des montagnes, on peut tout d'abord 
signaler le Charme, comme une espèce intéressante par sa distribution. 
II est très commun dans toute la chaîne des Alpes françaises, sauf dans 
le sud-est. Sa limite méridionale et occidentale passe par Saint-Gervais, 
Bourg-Saint-Maurice, Saint-Jean-de-Maurienne, le Bourg-d'Oisans, le sud 
de Vizille et le Vercors. 

Dans les Pyrénées, au contraire, le Charme est presque inconnu : on 
en trouve seulement un certain nombre de pieds localisés aux environs 
de Foix, de Bagnères-de-Bigorre et de Saint-Jean-Pied-de-Port. 

Le Buis, si répandu dans un certain nombre de vallées des Pyrénées, 
où il devient même parfois presque exclusif, est au contraire peu répandu 
dans les Alpes, où on le trouve rarement en abondance, comme cela se 
produit au nord de Voreppe par exemple. 

Le Rumex scutatwi, limité dans la région inférieure des Pyrénées, où 
il est extrêmement abondant, a dans les Alpes françaises une distribution 
toute autre. On l'y rencontre abondamment dans la région subalpine, et 
souvent même dans la région alpine, comme dans les Alpes de Savoie. 

Les différences sont encore plus grandes dans la distribution des plantes 
dominantes de la zone subalpine. 

Sauf YAbies peclinata et le Pinus silvestris, on peut dire que les 
forêts de Conifères caractéristiques de la région des sapins sont cons- 
tituées par des espèces différentes dans la chaîne des Alpes et dans celle 
des Pyrénées. 

L'Epicéa (Picea excelsa) est répandu dans toute la chaîne des Alpes et 
c'est cet arbre qui y forme le plus souvent les forêts de sapins. II est tel- 
lement disséminé dans toutes les régions des Alpes, qu'on peut dire que 
la carte de sa distribution, depuis les Alpes de Nice jusqu'au lac de 



400 BOTANIQUE 

Genève, y représente l'étendue de la zone subalpine. Cette espèce si ca- 
ractéristique fait complètement défaut dans les Pyrénées. C'est à peine si 
Lapeyrouse a pu le comprendre parmi les végétaux pyrénéens, grâce aux 
quelques pieds qui ont été rencontrés à la base de la Maladetta. L'admi- 
nistration forestière a tenté, sans succès, par exemple aux environs de 
Guchen, d'introduire l'Epicéa dans les forêts des Pyrénées. 

Remarquons, à ce propos, que le fait général de l'absence de l'Epicéa 
dans les Pyrénées semble fort peu connu. 

La flore de Grenier et Godron l'indique à tort comme existant 
dans les Pyrénées au même titre que dans les Alpes, et cette erreur est 
précisée d'une manière particulière dans le récent atlas de M. Drude. Cet 
auteur représente en détail la limite de l'extension de l'Epicéa, limite qui 
englobe tout le Plateau central, où cet arbre n'existe pas, et comprend 
toute la région pyrénéenne, où nous avons vu qu'il fait également défaut. 
On ne peut s'expliquer une semblable erreur, marquant les contours dé- 
taillés de la distribution d'une espèce qui n'existe pas, que par une con- 
fusion avec une autre espèce. Ne serait-ce pas simplement la synonymie 
des Conifères qui en fournirait l'explication, et n'a-t-on pas pris le Sapin 
blanc {Abies pccf.mata DC = Pinus Picea L.) avec l'Epicéa (Abies ex- 
celsa DC = Pmus Picea Duroi (nonL) = Pinus Abies L = Picea excelsa) ? 

Le Mélèze (Larix eui-opœa), quoique moins répandu que l'Epicéa, cons- 
titue d'importantes forêts dans les Alpes françaises, surtout dans la partie 
orientale. La limite occidentale dans les Alpes passe à peu près par 
Saint-Jean-de-Maurienne, le Dauphin, la Mure, Veynes, Digne, Castellane 
et Puget-Théniers. Cet arbre manque absolument dans les Pyrénées. 

Le Pin silvestre, y compris le Pinus uncinata, est répandu, presque 
partout dans les Alpes, et si on ne tient pas compte des endroits où il a 
été planté, on ne le trouve dans les Pyrénées que dans la partie tout à fait 
orientale, dans les vallées d'Arreau et de Luchon, et dans la région située 
au sud de Lourdes. La lutte pour l'existence paraît s'être établie entre cet 
arbre et les autres d'une manière assez différente dans les deux chaînes. 
Tandis qu'en Dauphiné on le rencontre à l'état spontané, souv» nt très 
répandu dans la région inférieure des montagnes, dans les Pyrénées il 
grimpe, au contraire, jusque dans la région alpine, bien au-dessus des 
forêts de sapins, comme aux environs du lac d'Orrédon ou encore dans 
les parties hautes de Moudang et du Uioumayou. 

L'If (T'ixus baccata), cette Conifère qui semble actuellement en voie 
de disparition et dont on n'a guère signalé que quelques pieds isolés dans 
la partie méridionale des Alpes, constitue ennore quelques groupes boisés 
importants dans les Pyrénées, dans la foret d'Irati ou encore entre Ga- 
varnie et Panticosa. 

Le Hêtre est, avec le Sapin blanc, l'espèce qui est la plus uniforme- 



G. IJO.NMKll. — hL(llU:S Di;S l'VltK.NEES ET DES ALl'ES 4U 1 

ment répandue dans la zone subalpine des deux chaînes de montagnes. 
11 ne fait défaut dans les Alpes qu'aux environs d'Aiguilles, de Brianr-on 
et de Modane. Dans les Pyrénées, il ne manque qu'au sud de Montlouis, 
dans un cantonnement où il est exactement remplacé par le Chêne Tau- 
zin. C'est là un exemple très net de remplacement d'espèce. 

Parmi les espèces herbacées très répandues, on peut de même signaler 
les quelques exemples qui suivent : 

C'est ainsi que le Meconopsis cambrica, si répanrJu dans les endroits 
humides ou ombreux de la zone subalpine des Pyrénées, et Vlris xij- 
phioides, si fréquent dans beaucoup de prairies pyrénéennes, ou encoi'e le 
Ramondia, dont les rosettes violacées abondent sur les rochers, sont dos 
plantes inconnues dans la flore des Alpes. 

Inversement, on peut citer dans les Alpes les Achillca dentifera et /y/(/- 
croplujlla, Hieracium Jacquini. Campanula rhotiiboidalis, Gentiana asc/e- 
piadea et de nombreuses autres plantes subalpines qui n'existent pas 
dans les Pyrénées. 

Dans la partie inférieure de la zone alpine des Pyrénées, certaines 
plantes remplacent très souvent le Rhododendron. 11 suffit de voyager 
une seule fois dans cette chaîne de montagnes pour être frappé par l'as- 
pect de ces immenses étendues de Fougère-Aigle (Pteris aquilina) ou de 
Bruyère (CaUuna vulyaris) qui couvrent la base de la zone alpine sur de 
très grandes surfaces au-dessus des derniers sapins. 

La Fougère-Aigle, dans les Alpes, bien loin de s'étendre ainsi dans la 
région alpine, n'atteint même pas la base de la région subalpine. Lors- 
qu'elle y est représentée, ses limites sont à peu près celle du Chêne. Quant 
à la Bruyère, beaucoup moins fréquente dans les Alpes que dans les Py- 
rénées, elle ne s'y élève que rarement à de hautes altitudes. 

Le Rhododendron, qui se trouve ainsi lutter contre ces deux espèces 
dans les Pyrénées, paraît parfois rejeté à des altitudes relatives moindres, 
et on l'y rencontre souvent en abondance dans les forêts de sapins ; tandis 
que, dans les Alpes, sauf en certains points de la chaîne du mont Blanc, 
cet arbuste délimite ordinairement une sous-zone très nette. 

Parmi les espèces herbacées de la région alpine, on peut prendre comme 
exemple de distribution inégale le Teucrium pjjrenaicwn, rare dans les 
Alpes et si comnmn dans les Pyrénées, où il descend jusque dans les 
vallées profondes; ou encore Vllypericiim nummularium, comnmn sur 
tous les rochers humides de la région alpine inférieure pyrénéenne, et bien 
moins répandu dans les Alpes, où sa distribution en altitude est différente. 
Il y a des pâturages ou des rochers de la région alpine pyrénéenne qui 
sont couverts de très nombreuses espèces de Saxifrages inconnues dans 
les Alpes (Saxifraga geranioides, S. ascendens, S. capitata, S. ajugœfolia, 
S. longifolia, S. arctioides, etc.), tandis que, au contraire, bien des espèces 

-26* 



402 BOTANIQUE 

du genre Androsace {A. helvelica, A. imbricata, A. lactea, A. obtusifolia, 
A. septentrionalis, A. Chaixii, etc.), couvrent de leurs rosettes toufiues 
beaucoup de rochers et de pâturages alpins dans les Alpes, et font défaut 
dans les Pyrénées. 

III 

ESPÈCES QUI SE COHUESPONDENT DANS LES ALPES ET DANS LES PYRÉNÉES 



Je viens de citer dans les genres Saxifraga et Androsace les espèces 
spéciales aux Alpes et les espèces spéciales aux Pyrénées. Certaines de ces 
plantes peuvent être considérées comme se remplaçant l'une l'autre dans 
les deux chaînes de montagnes. En comparant les végétaux voisins qui ont 
une distribution assez analogue, on peut mettre en regard les plantes des 
Alpes françaises et celles des Pyrénées qu'on peut regarder comme corres- 
pondantes : 



ALPKS 

Alijssmn flexicaule. 

A. hulimifolium. 

Viola calcarata. 

Géranium aconitifolium . 

G. argentemn. 

Vicia sdvatica. 

Potenlilla nitida. 

P. frifjida. 

Erynijiuin alpinum. 

E. Spina-alba. 

Galiam helvetictun . 

G. mcgalospcrnium, etc. 

Asperula longiflora. 

Vuleriana ttiberosa . 

Scnccio galliciis. 

( 'irsiuin spinosissimum. 

Bhapunticum helenifoliuni. 

Genliana havurica. 

G. pKiKitdu. 

Veronica Allionii. 

Pedicularis incariiala. 
P. fasciculata. 
P. gyroflexa. 
Rumex arifoliiis. 
Bulbocodium vernum. 
Fritillaria delphinensis. 
Lilium croceum. 
Carex pauciflora . 



PYRENEES 

Alyssum Lapegrousianum. 
A. pyrenaicum. 
Viola corntda. 
Géranium pratense. 
G. cinereum. 
Vicia pyrenaica. 
PotentiUa alchimilloidcs. 
P. pyrenaica. 

Eryngiwn Bourgati. 

Galiam cœspilosam. 
G. cumeterrliizon, etc. 
Asperula hirta. 
V(dcriana globulariœfolia. 
Senecio adon idifulius . 
Carduas cariinoides. 
Rhaponticum cynaroides. 
Genliana pyrenaica. 
G . Buiseri . 
Veronica nummularin. 
Veronica Ponœ. 

Pedicularis pyrenaica. 
P. comosa. 

Rumex amplexicaulis. 
Merendera Bulbocodiu m . 
Fritillaria pyrenaica. 
Lilium pijrenaicuin. 
Carex pyrenaica. 



A côté de ces espèces correspondantes, on pourrait mettre en regard 
un très grand nombre de formes, les unes des Alpes, les autres des 



G. BO.NMER. — FLORES DES PYRÉNÉES ET DES ALPES 403 

Pyrénées, mais qui ne sont ordinairement considérées que comme des 
variétés. 11 n'y a même parfois que de simples variations entre la plante 
de l'une et de l'autre chaîne de montagnes. C'est ainsi que VAconiluni 
pyrenaicum n'est qu'une forme de VA. Lijcoctonum, ou encore que V Adonis 
pyrenalca, récemment découvert par M. Reverchon dans les Alpes-Mari- 
times, se distingue de la plante pyrénéenne par quelques caractères tout 
à fait secondaires. On pourrait citer plusieurs centaines d'exemples ana- 
logues . 

Si l'on considère les plantes correspondantes comme ayant une ori- 
gine commune, ces variations prennent un intérêt très grand, et parmi 
les espèces citées plus haut, celles appartenant aux genres Galium, Vale- 
riana, Fritillaria ou Carex, sont certainement très voisines. Leurs diffé-' 
rences. plus grandes que celles de simples variétés, sont cependant bien 
moins grandes que celles qui séparent les autres espèces mises en regard. 

D'ailleurs, la lutte pour l'existence peut s'établir aussi entre espèces 
appartenant à des genres très différents. C'est ainsi que le botaniste qui 
vient des Alpes, habitué à trouver sur les rochers certaines espèces telles 
que ï Hedysarum obscurum, le Lepidium rotundifoUum, etc., est étonné, 
en parcourant les Pyrénées, de voir à leur place le Reseda glauca, le Pa- 
ronychia polygonifolia, etc. Toutefois, la liste précédente garde son inté- 
rêt, car elle met en regard des formes très comparables qui sont chacune 
exclusives à la chaîne de montagnes à laquelle elles appartiennent. 

IV 

EXPÉRIENCES DE CULTURES 

Le climat de la chaîne des Pyrénées n'étant pas tout à fait le même 
au point de vue de la distribution des pluies et de la température, on 
peut se demander si les conditions actuelles de milieu n'agiraient pas 
dune manière différente sur une même plante donnée. J'ai comparé, 
dans ce but, les résultats obtenus dans les cultures expérimentales éta- 
blies comparativement à diverses altitudes dans les Alpes et dans les 
Pyrénées. La plupart des plantes ainsi cultivées étaient des plantes de 
plaine qui tolèrent toutes les altitudes et qu'on trouve jusque dans la 
région alpine supérieure, telles que : Lolus corniculalus, Taraxacum 
Dens-leonis, Thymus Sevpyllum, Rubus idœus, Achillea Mille folium, Ranun- 
culus acîis^ etc., etc. (Ij. 

A des altitudes où la somme des températures pendant la saison est 
sensiblement la même, les modifications internes et externes, anato- 

(\) Voyez G. BCUNMER, Cultures expérimenlales dans les Alpes et ki Pyrénées {Revue générale de 
Botanique, 1890, p. 313). 



404 BOTANIQUE 

iniques et physiologiques, se sont produites d'une manière très analogue. 
On ne saurait donc chercher dans l'influence actuelle du milieu physique 
la cause des difl"érences observées, différences qui d'ailleurs, il faut bien 
le dire, sont beaucoup moins nombreuses que les ressemblances. 

Dans un autre ordre d'idées, on peut se demander si des graines de 
plantes transportées de l'une des chaînes dans l'autre, et venant tomber 
au milieu de la végétation déjà établie, installeront facilement de nou- 
velles espèces. Autrement dit, s'il était possible d'imaginer que l'on 
brassât ensemble toutes les graines des plantes des Alpes avec celles des 
Pyrénées, et que l'on put faire tomber ce mélange sur les deux chaînes 
de montagnes recouvertes de leur végétation actuelle, les deux flores 
seraient-elles rapidement uniformisées? 

Les expériences suivantes semblent prouver que non. J'ai essayé, en 
plusieurs points des Alpes, de naturaliser par semis, sans toucher au sol, 
des plantes spéciales aux Pyrénées et qui y poussent dans des endroits 
absolument analogues. J'ai essayé réciproquement de semer, en certains 
points de la chaîne des Pyrénées, des plantes similaires spéciales aux 
Alpes. Ni dans l'un, ni dans l'autre cas, les quelques plantes qui ont 
germé ou même fleuri n'ont pris d'extension sérieuse. Elles paraissent 
toutes refoulées par la végétation déjà établie, et la naturalisation d'au- 
cune d'elles ne semble certaine. 

C'est ainsi que le Viola cornuta, semé près d'un chalet abandonné dans 
les Alpes vers 2.000 mètres d'altitude, s'est localisé dans un terrain où ne 
se trouvaient pas de plantes alpines et n'a pas pu prospérer dans les 
prairies alpines voisines où poussait en abondance le Viola calcaraia. 
J'ai échoué plus encore dans les essais de naturalisation du Vicia pyre- 
naica, du Carduus carlinoides, du Veronica nummularia et, à des altitudes 
d'environ 700 mètres, du Senecio adonidifolius. Réciproquement, les semis 
de graines de Galium helveticuni, de Cirsium spinosisdmum et de Lilium 
croceum n'ont donné dans les Pyrénées que quelques plantes germant, 
celles de la seconde espèce ayant seules donné des fleurs. 

Ces résultats négatifs s'expliquent assez bien lorsqu'on réfléchit, d'une 
part, que presque partout le sol est déjà préalablement occupé par les 
rhizomes et les racines des plantes indigènes, et, d'autre part, que ces 
plantes étant toutes vivaces, leur germination se fait le plus souvent dans 
des conditions difliciles (1). 

Ainsi donc, quand bien même des graines, dans le même milieu 
actuel, tomberaient à la fois sur les deux chaînes de montagnes, elles 

[il Pour meure en évidence ce dernier point, j'ai semé en différents endroits des Alpes et des 
Ipyrénées, à des altitudes ne dépassant pos l.SOO mètres, des plantes annuelles ou bisannuelles 
leUcs que : Echium vulgare, Verbctscum Thapsiis, Arenaria serpulUfolia, Poa annua, etc.; et ces 
plantes, depuis 188A, se sont assez bien développées en certains endroits, en se reproduisant par 
graines chaque année. 



G. BONNIER. — FLORES DES PYRÉNÉES ET DES ALPES 40à 

auraient à compter avec la lutte pour l'existence qui s'établirait entre 
elles et les espèces déjà établies. On peut prévoir que le plus grand 
nombre d'entre elles succomberaient dans celte lutte. 



CONCLUSIONS 



Il résulte de tout ce qui précède que la chaîne des Alpes et la chaîne 
des Pyrénées présentent à leurs diverses altitudes des conditions actuelles 
de milieu physique qu'on peut considérer comme identiques ; mais, qu a 
côté d'un grand nombre de plantes qui offrent les mêmes caractères, il 
s'en trouve beaucoup qui sont différentes; et, fait plus important encore 
à noter, que les espèces identiques se distribuent souvent, dans chacune 
des deux chaînes, d'une manière qui n'est pas la même. 

Isolées, dans un terrain préalablement déblayé de toute culture et 
convenablement sarclé chaque année, les mêmes plantes subissent dans 
les deux groupes de montagnes, les mêmes modifications. Mais, placées 
en lutte avec les espèces indigènes, elles s'y comportent différomment et 
sont inégalement refoulées par les espèces déjà établies. 

Bien que l'origine de la chaîne des Alpes soit tout autre que celle de 
la chaîne des Pyrénées, la géologie nous apprend qu'à l'époque gla- 
ciaire une communication a dû s'établir pendant longtemps entre les deux 
chaînes. Si donc cette jonction et les conditions actuelles du milieu peu- 
vent expliquer les similitudes qu'on observe entre les deux flores, ce ne 
serait qu'à l'histoire différente de la lutte pour l'exi'stence dans les Alpes 
et dans les Pyrénées qu'on pourrait attribuer la cause des différences. On 
comprend facilement, en effet, que les espèces qui avaient été repoussées 
en dehors de l'extension des glaces ont dû, en remontant peu à peu sur 
ces montagnes corrodées par les érosions glaciaires, se trouver placées 
pour la lutte, de part et d'autre, dans des conditions différentes. 

Si l'on consulte les documents paléontologiques, on voit d'ailleurs que 
les formes végétales ont bien peu varié depuis l'époque glaciaire, et que 
c'est surtout leur distribution qui a été profondément modifiée. 

D'après ce qui vient d'être dit, il ne serait donc même pas nécessaire 
de supposer qu'il s'est créé depuis l'époque glaciaire des espèces pyré- 
néennes de premier ordre, ou des espèces nouvelles spéciales aux Alpes. 
Tout en admettant qu'il a pu. se produire, depuis cette époque relative- 
ment récente, des changements dans les formes ou les variétés, les 
conditions dans lesquelles ont dû s'établir les deux flores suffisent pour 
faire comprendre comment elles ont pu se distribuer d'une manière assez 
différente dans deux milieux presque identiques. 



406 



BOTANIQUE 



MM. COSTAIfTIÏ et DUFOÏÏR 

Maître de Conférences Dirertenr-adjoint du Laboraloire de Biologie 

à rÉcole Normale supérieure, à Paris. de Fontainebleau (1). 



OBSERVATIONS SUR |,A MOLE, CHAMPIGNON PARASITE DU CHAMPIGNON DE COUCHE 



— Séance du 16 seplemhre IS92 — 

Dans les carrières des environs de Paris, où il est l'objet d'une culture 
en grand, le champignon de couche est fréquemment attaqué par une 
maladie à laquelle les champignonnistes donnent le nom de mo/Ie. Tel est 
le nom que nous avons employé dans une Note présentée à l'Académie 
des Sciences (2). 

M. Prillieux (3) a fait remarquer, avec juste raison, que les champignons 
attaqués ne sont pas mous, et il pense que l'orthographe véritable doit 
être mole, faisant dériver ce nom du latin mole.s, masse, les échantillons 
malades ayant souvent, comme nous le verrons plus loin, l'aspect d'une 
masse informe. 

Diverses recherches bibliographiques nous ont conduit à admettre 
comme très vraisemblable cette étymologie, mais à écrire ce mot môle, 
seul mot qui soit dans les dictionnaires i\). 

La maladie peut affecter les champignons de deux façons bien différentes. 

Dans un premier cas, le champignon n'est que peu altéré dans sa 
forme; on y distingue bien différenciés, pied, chapeau et lames. Celles-ci, 
cependant, au lieu d'être droites, sont irrégulièrement ondulées, et à leur 
surface on voit des fdaments blanchâtres qui appartiennent au parasite. 
Ajoutons que la déformation peut être plus grande ; par exemple, le cha- 
peau est plus irrégulier et parfois développé d'un côté seulement; le 
pied est généralement plus épais et plus court. 

(1) Ce travail a été fait au Laboratoire des recherches de Botanique do l'Kcole Normale supérieure 
et au Laboratoire de Biologie végétale de Fontainebleau. 

(2) CosTAMn' et DrFoi R, La Molle, maladie du chfiinpignon de couclie (Comptes rendus do l'Aca- 
démie des Sciences, séance du 29 février 1892). 

(3) Prii.ueux, Champignons ds coaclm nUaques par le Mycogone rofsea. (Bulletin de la Société Myco- 
logique de France, t. vJlL p. 24. Bull, de la Soc. hot. 1892, p. 1-'i6.) 

(4) Chacun connaît le sens que possède ce mot quand il est masculin : un môle est une jetée cons- 
truite à l'entrée d'un porl. Au féminin, il a plusieurs sens peu connus et tout à fait spéciaux. Un de 
ces sens est le suivant : sorte de masse informe que rejettent parfois les femmes. C'est ce sens qui 
rappelle le mieux certains échantillons malades dont nous allons parler. 



COSTANTIN ET DUFOUR. — OBSEUVATIOXS SUR LA MOLE -407 

L'éludo microscopique de ce parasite des feuillets montre que l'on a 
affaire à un Verticillium. L'appareil fructifère est formé d'un filament 
central qui porte des séries de rameaux secondaires disposés en verticilles 
et formant à leur extrémité un capitule de spores. Ces spores sont inco- 
lores, lisses, cylindriques, arrondies aux deux extrémités. Unicellulaires 
quand elles sont jeunes, elles acquièrent tardivement une cloison trans- 
versale. Attirons l'attention sur ce fait qu'elles sont assez grandes; elles 
mesurent 8 à 20 \x sur 3 a à 3,5. 

Telle est la forme fructifère qui se produit au début de la maladie. 
Plus tard, à cette forme sporifère s'en vient joindre une seconde. Çà et 
là, à l'extrémité des ramifications se forment des spores bicellulaires 
sphériques, à membrane épaisse, brunâtre, hérissée de verrues. Cette 
forme fructifère est un Mycogone. Elle apparaît en très grande abondance 
sur le pied et le chapeau. La coexistence des deux sortes de spores sur des 
filaments en continuité les uns avec les autres ne laisse aucun doute sur 
l'identité spécifique de ces deux formes. 

Mais la maladie présente souvent un tout autre aspect. Le champignon 
est alors complètement déformé : le chapeau est à peine développé, le pied 
a l'aspect d'une masse bosselée, irrégulière, les lames existent à peine, 
et enfin, dans les cas extrêmes de déformation, aucune partie du champi- 
gnon ne peut plus être distinguée; il ne reste plus qu'une masse assez 
semblable extérieurement à un Scléroderme et à laquelle convient spécia- 
lement le nom de môle. 

Sur les échantillons de ce deuxième type la maladie se révèle par une 
teinte gris rosé dans les endroits occupés par le parasite. Si l'on soumet 
à l'examen microscopique la moisissure produisant ces résultats, on 
reconnaît encore un Verticillium. Mais celui-ci ne ressemble pas au Verli- 
cillmm dont il a été parlé plus haut. Ses filaments sont beaucoup plus 
grêles, ses ramifications plus courtes, ses spores beaucoup plus petites et 
toujours unicellulaires. Elles ne mesurent que 4 [j. sur 2 jx. 

De plus, en général, avec cette forme, pas trace de Mjjcogone. 

On pourrait inférer de là qu'il s'agit de deux champignons diffé- 
rents, produisant des déformations différentes. Disons de suite qu'il 
n'en est rien, (^cs deux formes sont, il est vrai, le plus souvent, entiè- 
rement distinctes, de sorte que quand l'on rencontre l'une, l'autre 
n'existe pas. 

Cependant, sur un échantillon extrêmement déformé, qui présentait au 
plus haut degré les caractères extérieurs de la seconde forme de la 
maladie, nous avons constaté, en continuité certaine, les filaments de la 
première forme et les filaments de la seconde. L'étude microscopique a 
précisé ces données en montrant toutes les transitions possibles entre le 
Verticillium à petites spores et le Verticillium à grandes spores, la coexis- 



4-08 BOTANIQUE 

lence de ces deux formes d'arbuscules fructifères partant de filaments 
mycéliens communs, et en outre l'existence du Mycogone. 

11 ne saurait donc y avoir de doute. Il nous est difficile de préciser 
dans quelles conditions se constituent les diverses formes fructifères, mais 
elles appartiennent à une môme espèce. 

La forme la plus dangereuse est le Verticillium à petites spores : il 
produit des déformations bien plus considérables et l'immense quantité 
de ses spores en rend la propagation très rapide. 

Quel nom donner au champignon qui produit la môle ? Les Mycogone 
dont il se rapproche le plus sont les M. cervina et rosea. Plus voisin de 
M. cervina par sa couleur fauve il en diffère par les dimensions de ses 
spores ; le M, cervina, d'ailleurs, n'a jamais été observé que sur des 
Discomycètes. D'autre part, le parasite dont nous nous occupons ne possède 
ni des spores de même dimension, ni la même couleur que le M. rosea. 
Ce champignon nous semble donc être une espèce distincte. On sait que 
Tulasne a induit de ses recherches que certains Mycogone doivent être 
des formes fructifères (chlamydospores) d'Ascom ycètes du genre Hypomyces. 
M. Cornu a affirmé que le Mycogone rosea appartenait à un Melanospora. 
M. Magnus(l), qui a observé ce parasite du PmlUota, a supposé qu'il 
appartenait à un Hypomyces, qu'il a appelé H. perniciosus. Nous pouvons 
donc le désigner sous le nom de J/j/co^o«ejoermc/osa, laissant complètement 
ouverte la question de savoir s'il existe ou non un Hypomyces perniciosus. 

Les diverses formes fructifères du M. perniciosa sont faciles à obtenir 
en cultures artificielles, sur fragments de pommes de terre, de carottes, 
de navets, de champignons de couche. 

En semant le Verticillium à grandes spores ou le Mycogone, on repro- 
duit cette forme associée au Mycogone ou bien le Mycogone seul. En 
semant le Verlicillium à petites spores, on n'obtient que lui. Nous ne sommes 
pas parvenus à trouver les conditions dans lesquelles apparaît telle ou 
telle forme fructifère, soit dans les carrières, soit dans les cultures sur 
milieux stérilisés. 

L'aspect des cultures est très différent suivant les spores que l'on a 
semées. Avec le Verticillium à petites spores, la culture est toujours blanche, 
elle se présente comme un gazon touffu, dense, ou bien comme une 
croûte mince, sèche, lisse d'abord, puis irrégulièrement plissée. Avec 
le Mycogone ou le Verticillium à grandes spores, la culture, blanche au 
début, prend une teinte fauve de plus en plus foncée, et elle est consti- 
tuée par un feutrage beaucoup moins serré. 

(1) Voir Versnininhtng deutscher Natiirforscher tit}d Aertze in Wie^hndeiu 18S7. 



/ 

COSTANTIN ET DUFOl'R. — OBSERVATIONS SUR I.A MOLE 409 

La môle est une cause de pertes très sérieuses, car elle existe chez tous 
les champignonnistes. La valeur de la production annuelle des champi- 
gnons dans les environs de Paris est d'une douzaine de millions. Or, la 
récolte est diminuée d'un dixième à un quart environ par suite de cette 
maladie; la perte subie est donc comprise entre un et trois millions. Et 
encore nous ne parlons pas de grandes épidémies; on a vu parfois dans 
des carrières entières, la récolte totalement perdue. 

La môle se montre peu ou môme pas du tout dans une carrière nou- 
vellement employée à la culture de champignons de couche; mais, au 
bout d'un petit nombre de cultures, la maladie s'étend de plus en plus et 
habituellement les champignonnistes finissent par abandonner pendant 
plusieurs aimées les carrières où la maladie acquiert une trop grande 
intensité. Après ce long intervalle, toutes les spores ayant sans doute péri, 
la carrière devient de nouveau apte à fournir des récoltes rémunératrices. 

Y aurait-il des moyens de combattre la maladie ? Nous avons essayé 
une série d'antiseptiques pour voir quel effet ils auraient sur les spores 
du champignon : le sulfate de cuivre, l'acide borique, le bisulfite de chaux, 
le lysol, l'acide sulfureux. 

Nous avons opéré de trois façons différentes : 1" par immersion; 2° par 
pulvérisation; 3" par fumigation. 

Méthode par immersion. — Une culture artificielle du champignon est 
entièrement immergée dans le liquide antiseptique. Une précaution à 
prendre dans ce cas est d'agiter la culture dans le liquide afin d'être bien 
sûr qu'elle est intégralement mouillée. Il va sans dire qu'avant l'im- 
mersion on a fait des semis témoins au moyen de cette culture afin de 
s'assurer que les spores y étaient bien vivantes. Au bout de un, deux, trois 
jours, on fait des semis de la culture immergée et l'on voit après com- 
bien de temps d'immersion les spores sont tuées. 

Ce procédé fournit des résultats intéressants. Voici quelques données 
relatives à divers antiseptiques employés. Une inmiersion de vingt-quatre 
heures dans l'acide borique à 2 et 3 0/0, dans le sulfate de cuivre à 2 
et à 3 0/0 ne tue pas les spores, ni do Verlicillium, ni de Mi/cogone. 
Une immersion de six jours dans l'acide borique à 3 0/0, dans le sulfate 
de cuivre à 1, o 0/0 est également inefficace. Mais si l'on a employé une 
solution de ce dernier sel à 2 ou à 3 0/0 on n'obtient plus aucun dévelop- 
pement. Le lysol a été employé aux doses de 1/2, 1,2 et 4 0/0. Cet anti- 
septique paraît plus énergique que les précédents, car des semis faits au 
moyen de spores prises sur une culture immergée pendant quarante-huit 
heures n'ont fourni aucun développement. Une solution, même très 
étendue de lysol, 1/2 0/0, fait donc périr les spores. 



410 BOTANIQUE 

Méthode par pulvérisation. — Au moyen d'un pulvérisateur, on projette, 
en très fines gouttelettes, le liquide expérimenté sur une culture. Le 
liquide s'est évaporé au bout d'un certain temps; on fait, soit à ce mo- 
ment, soit plus tard, des semis au moyen de la culture. Si l'on obtient 
un développement, c'est qu'il reste des spores vivantes, que l'effet de 
l'opération a été sinon nul, au moins incomplet. On refait une seconde 
pulvérisation, puis un second semis. On voit alors si toutes les spores 
ont, cette fois, été tuées. S'il n'en est pas ainsi, on refait une troisième 
opération et ainsi de suite. 

D'une façon générale, on peut dire qu'avec les liquides employés, l'effet 
de ces pulvérisations est fort incomplet. Il est vraisemblable que le li- 
quide s'évaporant assez vite, son action n'a qu'une durée trop courte 
pour être meurtrière ; de plus, les cultures sont beaucoup moins impré- 
gnées de liquide que quand on emploie la première méthode. Une 
pulvérisation ne mouille pas nécessairement intégralement la culture. 
Des spores échappent à l'antiseptique. Cependant cela ne veut pas dire 
qu'une telle méthode ne puisse pas être utile : un grand nombre de 
spores périssent et le développement du parasite est beaucoup entravé. 

Nous avons obtenu de très bons rési^ltats à la suite d'une seule 
pulvérisation au bisulfite de chaux (à l'état liquide et au degré de 
concentration sous lequel on le rencontre chez les fabricants de produits 
chimiques). 

L'acide borique nous a, d'ailleurs, fourni des résultats nets. Après deux 
pulvérisations d'acide borique à 2 et 3 0/0, on n'obtient pas de déve- 
loppement. Dans ce cas, l'action de l'acide se combine avec la dessiccation 
pour entraver le développement des spores. 

. L'acide borique, par sa présence, doit empêcher la germination des 
spores, car en semant des spores vivantes de Verticillium ou de Mi/cor/one 
sur une pomme de terre plongeant par sa base dans une solution bori- 
quée à 2 et 3 0/0, on n'obtient aucune trace de développement. En opé- 
rant, au contraire, d'après ce procédé avec du sulfate de cuivre, on voit 
les deux formes du parasite se développer très bien, au moins au sommet 
de la pomme de terre, sur la partie la plus éloignée du liquide. 

Par cette méthode, le lysol a fourni des résultats différents suivant le 
degré de concentration de la solution. Deux pulvérisations successives au 
lysol à 1 0/0 sont insullisantes pour tuer toutes les spores d'une culture. 
Elles suffisent à 2 et 3 0/0. 

Dans la pratique, il ne saurait être question d'immerger les meules; 
l'opération est tout simplement impossible. Mais une ou deux pulvérisations 
au lysol ou à l'acide borique, alors que la maladie commence à appa- 
raître, avant qu'elle n'ait acquis un grand développement, rendraient 
des services certains. 



COSTAMTIN ET DUFOUR. — OBSERVATIONS SUR LA MOLE 411 

3° Méthode par fumigations. — Un autre antiseptique employé a été 
Vacirle sulfureux. L'action de cet acide est extrêmement énergique. Dans 
une salle hermétiquement close d'environ 90 mètres cubes, nous avons 
brûlé 30 grammes de soufre par mètre cube. Çà et là, dans la pièce, 
étaient des tubes de culture, les uns ouverts, les autres restant fermés par 
leurs tampons de coton. Au bout de vingt-quatre heures, la pièce a été 
ouverte, et des semis ont été faits au moyen des tubes mis en expé- 
rience. Toutes les spores avaient été tuées; aucun semis n'a fourni le cham- 
pignon; et cela même pour les tubes restés bouchés au coton. Le gaz- 
sulfureux pénètre donc avec la plus grande facilité dans ces tubes pour 
y exercer son effet. 

Ce résultat est très important, car les courants d'air qui se produisent 
dans une carrière à cause de l'aération habituelle, du passage des ou- 
vriers, etc., disséminent les spores de toutes parts, sur les parois de la car- 
rière, par exemple. Plus tard, un autre courant d'air les fait tomber sur 
la meule dont elles produisent la contamination. Les pulvérisations dont 
nous avons parlé plus haut ne peuvent être faites sur toutes les parois 
d'une carrière. Au contraire, le gaz sulfureux pénétrera avec la plus 
grande facilité dans les moindres interstices où peuvent être logées des 
spores et les détruira. 

Mais l'emploi de cet acide ne peut être conseillé que dans des con- 
ditions bien déterminées. On ne s'avisera évidemment pas de pro- 
duire du gaz sulfureux dans une carrière en pleine production, où la 
maladie commence à peine à se montrer; on obtiendrait comme ré- 
sultat la destruction du champignon de couche. 

Mais quand une épidémie est bien déclarée, que le champignonniste 
est dans l'intention d'abandonner sa carrière pour un temps plus ou moins 
long, alors qu'il emploie un remède radical, qu'il enlève tout ce qui a 
servi à la culture, fumier, terre à gopter, etc., et qu'il purifie complète- 
ment sa carrière par l'acide sulfureux. La dépense n'est pas bien grande ; 
une fois l'opération terminée, l'aération chasse complètement le gaz, et 
de suite on peut réutiliser cette carrière. 

Quant au gaz, on le produira en brûlant du soufre. 

Sur des plateaux de fonte, disposés de distance en distance, on place du 
soufre de façon à en avoir environ 300 à 600 grammes par 10 mètres cubes; 
on ajoute un peu d'alcool à ce soufre, et l'on allume d'abord, les plateaux 
les plus rapprochés du fond de la carrière et successivement les autres, à 
mesure que, pour sortir, l'on se rapproche de l'ouverture. Tout a été 
préparé d'avance pour que la fermeture se fasse rapidement. Au bout do 
vingt-quatre heures, quarante-huit au plus, l'opération est terminée. On 
rouvre la carrière, on procède à l'aération, et quand l'odeur a totale- 
ment disparu, la carrière est susceptible de servir de nouveau. 



412 BOTANIQUE 

Ajoutons que diverses précautions devraient être prises, d'une manière 
constante, pour éviter les chances de dissémination des spores. 

L'ouvrier chargé de ramasser les môles — et il devrait y en avoir un 
chargé spécialement de cette fonction — devrait se laver les mains très 
fréquemment avec de l'eau boriquée à 2 0/0 ou 3 0/0, avec du lysol à 
1 0/0 ou avec du bisulfite de chaux. Les môles devraient être enlevées 
immédiatement et ne jamais séjourner sur les meules ou dans les sen- 
tiers de la carrière. 

Les ouvriers qui entrent dans une carrière, que l'on commence à ex- 
ploiter devraient avoir par-dessus leurs habits des vêtements de toile 
sortant de chez le blanchisseur, des souliers ou des chaussons spéciaux 
pour chaque carrière; les patrons devraient exiger d'eux le lavage de 
leurs mains avec les solutions précédentes. 

A l'aide de l'acide sulfureux qui purifiera la carrière, et à l'aide des 
précautions précédentes qui réduiront d'une manière notable les causes 
de contamination nouvelle, on diminuera certainement, dans une pro- 
portion considérable, le nombre des champignons atteints par la maladie, 
et par cela même, les pertes matérielles; les frais, relativement faibles, 
occasionnés par l'emploi de l'acide sulfureux et des divers liquides indi- 
qués précédemment, seront ainsi largement compensés. 



M. Emile BELLOC 

à Paris. 



APERÇU GÉNÉRAL DE LA VÉGÉTATION LACUSTRE DANS LES PYRÉNÉES 



— Séance du 17 septembre 1892 — 

Malgré le noml»re relativement considérable do bassins lacustres ren- 
fermés dans la chaîne des Pyrénées, les plantes, surtout les algues micros- 
copiques, vivant au sein des eaux, ont été complètement négligées par les 
botanistes qui ont décrit la flore de ce beau pays. 

Il est vrai de dire que l'étude des lacs pyrénéens offre souvent des dif- 
cnltés sérieuses, et qu'elle exige, de la part des observateurs, des aptitudes 
physiques toutes particulières, la majeure partie des cuvettes lacustres étant 
reléguées entre 1 .800 et "2.700 mètres d'altitude, dans des régions inhospita- 
lières et par conséquent au-dessus de la zone habitée. De plus, un outillage 
spécial, encombrant, dispendieux et fort difficile à transporter au milieu 



É. BKLLUC. — LA VÉGÉTATION LACUSTRE DANS LES PYKÉNÉES 413 

des vallées sauvages et désolées où ces lacs sont ouverts, est indispen- 
sable à quiconque désire se livrer à l'étude de ces végétations aquatiques. 
De nombreuses explorations personnelles, faites régulièrement chaque 
année à travers ces montagnes, m'ont permis d'accumuler une foule de 
documents précieux, dont le dépouillement a fourni les résultats que je 
vais exposer dans ce mémoire. 

Les lacs supérieurs renferment généralement un très petit nombre d'es- 
pèces de plantes phanérogames. Celles que l'on rencontre le plus commu- 
nément dans les eaux profondes des lacs granitiques appartiennent aux 
genres Sparcjanium, Utricidaria, ou bien à la famille des Ranunculacées. 
Les Muscinées semblent plus abondantes, les Characées ne s'élèvent guère 
au-dessus de la zone moyenne, et ce sont les Spirogyvées, les Desmidiées, 
et surtout les Diatomées qui fournissent l'appoint le plus considérable de 
la flore lacustre ou marécageuse de la haute région pyrénéenne. 

Parmi les phanérogames, certains groupes préfèrent la partie inférieure 
de la chaîne ; je citerai : les Nymphéacées, les Myriophyllacées, les Pota- 
mogétacées, les Juncacées, les Cyperacées ; et parmi les algues : les Con- 
juguées, les Conf'ervacées, les Characées et les Diatomées. 

Généralement un certain nombre de ces végétations émergent, en partie, 
au-dessus des eaux, forment, dans la portion littorale des lacs inférieurs, 
des zones bien délimitées, composées d'abord de Phragmites, puis ensuite 
le Scirpus, auxquels succèdent souvent les Nymphéa, les Potamogeton, 
et plus avant, en allant vers le centre de la nappe lacustre, les Myriophyl- 
lum, les Chara et les Nitella, sur lesquels les Desmidiées et les Diatomées 
vivent en abondance. 

Lorsque les dépressions lacustres ont une faible profondeur et que leurs 
pentes latérales sont peu inclinées et recouvertes d'une épaisse couche de 
limon, il se forme autour des bords intérieurs de ces dépressions une 
zone mal délimitée, périodiquement découverte ou recouverte par les 
eaux, selon les saisons et l'abondance plus ou moins grande des préci- 
pitations météoriques. Dans cette zone, les Carex croissent parfois en 
très grand nombre, mélangés aux Sphagnum, aux Mousses aquatiques ei 
à quelques autres plantes (1) que j'ai cru devoir également faire figurer 
dans la liste ci-dessous, en ayant soin chaque fois de signaler leur habitat. 

A l'inspection de ces végétations lacustres, énumérées plus loin, on est 
frappé de la rareté, — dans nos montagnes, — de certaines espèces telles 

(\) Quelques plantes phanérogames, lelles que lihamnus catharlicus |iar exemple, ne figurent ici 
qu'à litre de simple renseignement; je les mentionne néanmoins puisqu'elles sont citées par cer- 
tains auteurs, qui les ont recueillies, probablement, dans celle zone alteinativement découverte ou 
submergée, dont il vient d'être question, ou bien dans le voisinage immédiat des lacs. Cette expli- 
cation suffira, je pense, pour dégager ma responsabilité, car les botanistes les discerneront aisément 
des plantes exclusivement aquatiques. 



414 BOTANIQUE 

que : Isoetes lacuslrk, hoetes Brochoni (Molelay), Isoetes echinospora, 
Subularia aqualica, Pohjtrichum strictum et Dicranum Schmderi, rencon- 
trées seulement jusqu'ici dans la partie orientale de la chaîne pyrénéenne, 
sauf Vhoetes lacudris, accidenlellement signalé dans la vallée d'Aran. 

La configuration topographique et la nature géologique du sol jouent un 
très grand rôle dans la distribution géographique des plantes aquatiques. 

La composition chimique et la transparence des eaux exercent une 
action directe et très importante sur leur mode de reproduction, tandis 
qu'elles paraissent être beaucoup moins sensibles à l'inlluence de l'al- 
titude. 

Pour fixer les idées sur l'ensemble de ces végétations, je vais énumérer 
successivement les Phanérogames, les Cryptogames vasculaires, les Mus- 
cinées et les Algues microscopiques, qui vivent au sein des lacs pyrénéens. 

PHANÉROGAMES 

RANUNCULACÉES (1) 

nanunculus tricophyllus, Chaix. ) Ces trois espèces se rencontrent assez 

— flamula, L. [ fréquemment sur les bords marécageux 

— lingua, L. ) des étangs. 

Caltha palustris, L. Commune dans les eaux peu profondes. 

NYMPHÉACÉES 

Nymphéa Alba,, L. ) ^^^^^^ j^^ j^^.^ ^^^.^ ^^^^ iuférieures. 

Nuphar httcum, bni. ) 

— pumilum, Sm. l'eu commune. 

CRUCU'ÈRES 

Subularia aquafica, L. Estany Llarch (Pyr.-Or ). 

Roripa nastartioides, Sp. Eaux peu profondes de la région inférieure et mojenne 

DROCÉRACÉES 

Drocera rolundifolia, L. Lac d"Oô. Lac Bleu (sur les bords). 

RHAMiNACÉES 

Rhamilus catharlicus, L. Le D'' Jeanbeniat cite cette espèce sans indicatiou 

d'habitat. (Voir la note l, page 413. j 

MYRIOPHYLLACÉES ("2) 

Myriophylluin spicalum, L. Très abondante dans les pièces d'eau des vallées 

inférieures et moyennes. 

HIPPUaiCACÉES 

Hippuris vulgaris, L. Étangs et mares des basses vallées. 

(1) Le nom des espèces qui n'ont pas été recueilles par moi esl toujours suivi du nom de celui 
qui le
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