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. ■ .^ 



/ \ < — \ 




COURS COMPLET 



MATHÉMATIQUES PURES. 



XOM£ DEUXIÈME. 



Ouvrages du mente Auteur qui te trouveni chex le même 
Ubrairr. 

laAHOGKiWKIBf on nuiTB BÛHSHTAOU VMnUKIOMU , 1 rauee 

da pcnonnei pan Tcnéei duu 1« Malfaématiqiws , d» Gédgniiha , des 
Ibriu, da JiiBéiii<nm,c(c. , MOMBptgiiéda pUnUplicTa: ' " 

li'oii, coiuiiUnblisnadt a^mortcv, i vol. in-So, iree ii 
IVii igir. ioE. , et 11 &. 5ac. ItaDcdepart. 



!({■?, uiiga «t c— ipoHli t p de U fdiwinatif 4ei Icau. 
DUTiags dMtiiw tu Atrono — , au Huia et aoi l^ôûean huii , 
i83o; prU,7b. 5ac.,d9fr. Soifrucdeport. 
Oéeiéùt. ou TnlU de U Ogive de b Tore M de les pertiei, coaieiiant U 



IronoDlqae, U conrtractiaa da Cnue cl U KeriptioD ; Letoni donncet 
àleFocnlUdaiSeieDeeedePuii, iSlS; prii, 76- Soc. 

Traité iUmaatire et Mie am f Êe, wkfMddaairiDftraaionpabliqiie, à'cdi- 
Uon, iftiS, iii-8°. Frii:7fr- 5o e. peur Ttrii, ti9fr.,&UK depon. 

ÊUmauJeSuiiiMt, ii^«>,iSio. Prii : 3fr. pour Paiû.et 4 fr. . franc de 

dii Endd primainc , quel que 




pmmip^ 



MATHÉMATIQUES PURES 



Pu. L.-B. FRAJVCCEUB, 



l'ioh*Murii« U Fieallé de* SeieDca de Paria, Cfaerglier de la LAgian^'Hann , 

OOlriOT ds IToiieniU, et-Euininalour de» Candidats de l'Ecole royale Pol)- 
lotliniqua , Membre honotairc du déparlemeot do U Mnfiae mua, CorrespoD- 
>laiit dBl'AcadianlodeiSciBiices du Saïnt-PeLerobouri;, des Sociétés Phïlamalique, 
il'Eocouragemenl pour nodiulrie lutionnlu , royale et centrale d'agricaltnrc delà 
Mae, d'Iiutruclion élémentaire ni dm Métbodis d'Elue! gnemeal , du» Acsdémiec 
■le KoncD , Cambrai, TontoiHe, Llibonnu, elc 

av1«AliSOBaTIia4tIaÊLivBSOBBBCOL88NOIUIAI^ETr0I.VTECIINlQCIK. 
ET jtCX CASauiATS QVJ SE FHÉPAHERT A V ÊTRE ADMIS. 



QOATfilEHE EDITION, 



« 



TOME DEUXIÈME. 

^m, 

-:_ Î>ÂRÏS, 

BACHELIER, IMPRlMEUR-LIBftAIfU'. - 



I>ï u'iiCOLF. FOi.TTECIlMQU£ , ClC. , 

Qiiat (l« Augtutùu, n* 5S. 

1837. 



n 



COURS COMPLET 



m 



MATHÉMATIQIJES PïfRES. 



f 'S 



LIVRE CINQUIÈME. 

ALGÈBRE SUPÉRIEURE. 



^»V%%»v^%»\»<ftaVVV» V »<»>i»*%%»%%»^^W»%»»%V»v<%»^\<»»»^»>ll)%^|>% fc l(»%|»l(<Wltlt<»%»WWfc%Vfc »\\v»i%« 



f. DES COMBINVSON.S ET DES PUifKSAlfCRS. 



Permuiatiofu cl Comb if misons. 

4^5. Lorsque des termes sont composés de lettres sembla- 
bles ou dîfFcrentes, placées dans divers ordres, nous nomme- 
rons ces assemblages des Arrangemcns, ou des Permutations; 
mais si Tune de ces lettres au moins est différente dans chaque 
terme , et cju'on n'ait point égard aux rangs des lettres , ces 
termes seront des Combinaisons (^. Ainsi abc, bac, cba, bca, 
sont 4 permutations, et abr, abd , bcd, acd, 4 combinaisons 
3 à 3. 



"î-r- 



(*) Los combioaisotis sont anssi apjyelées Produits dlffij-enu ; ifors rcj citons 
cette expression défoctuciise ; car ab et cd , qui sont les comliiiia^siDii^ïlilK- 
niDtas de deux leUros , pcuTcnt cependant former desproduUS <^aux, fionmto 
3 X 8=1 6 X 4 = 1'-^ X 3. On ji distinj^ué anssi les ptrnnutations ilcs arnin/rrnu'ns , 
réservant le i^** nom aux arrangcmons dcp lettres entre clh.>s , on/' »/) : mhis 
cette distinction n^a aucnn but utilo , (>t nous iiVti r<T<m^: pÂ** ii ri<^^','iion |ilïis 
q 110 -do p1usi'*ur<: .1 titres d«>nomi nation*.. 

T. II. I 



-li-HUne 



m 1)1(1 lie 



lUUUUOOit 



quu 



\ 



Il les pretiaiit/>ây>, nous ccrirons tm/'y»] jj 
n«inbfe des combinnîsoDs »en iniliquË pKr ' 

PiCf>o>Diia>Duus de imwer le nomhre y de i 
ifonf À m letiret prùes pà p, ou j- =f mpp] . CotisidérODs d'a- 
bar^ loiarrjtii'.t'ini^tisiluÎGomiiieiiceiitpar unelettre leltequeir, 
iMsis i]ui diSrront , snii i>ar queli^ai.' autre lettre i droîle de a, 
f il ï'iili'tuiiiil par l'ordre s<iiv.«nt l<M]uel elles sont rangées. 8S 
l*«u »U|>firiiiic celte initialaa.iuiaura un égal nombre d'assdB^| 
ÏAàf^K» dep — I lettres; ce saixmt vi$iblemL-nt itrUt les arraifS 
(pKMeii» possibles des ffi — I aiitpe» lettres A, c,rf..., prises /< — i 
euavmlilc; déaignona^enle liorubrc par9 = [(m — i}P(/C^i j. 
Ltonc ai l'on prend ces m — t lettres £•, <-, (/,.., qu'on forn^nvcc 
dl«* touliw i» permutations/) — i à/j — i, qu'enfin^n plaM 
■ en tAs de chaque terme, ou aura toutes celtes des peruiol 
liont pip iu> o"' <> pour initiale. £n clTel , pour qut 
ooll0~ci fùtotuiseou repétc'e plusieurs fois, il faudmi qu'api 
y avoir sifpprimé a, qui est en tète, les assemblages restais 
pr^KuUsscnl la inème erwur, el que quelque peruml 
i>_i kp — I des lettres ù^ c, d... iut cllc-niéme omise o 
fixée; te. qui est contre la supposition. 

T1 f a donc autant d'arran(;enien8 de m — i lettres pri 
p — I à/»— I, que d'arrangeniens de m lettres;» à/», où o est 
il^ttil : soit f ce nombre. Or, si l'on raisonne pour b coiuiiic on 
B fait pour a, on trouvera de même p permutations qui com- 
mencent par A; il y en a 9 qui ont c en léle, etc.; et comme 
chaque lettre doit Mre initiale A son tour , le nombre cbercbé 
y est compose d'autant de Toin ip qu'il y a de lettres , 
J=m9, OM[mPp\r=m.[{m—i)Pi.p-^i]. 

11 sùir^c U (jiio, i". pour obleiùr le nombre^* d'arninQ^ 
' fia4s.d«rp.Wt"'e> a i a. ^cilalor* le nombre d'atraDgcm 
-.•'â«.jn.— ilcit^M prise* I A 1,'ouj^m—iidoncj'" =;»•(« 
; . %*.;£) Wu vrut In nombi-oy d'armn^emcns de m lettres 3 i« 
• ^ ctt3i,'«l « ^signc la quotité d'arra»);cmi;us de m — i ^>l^ 

â s, quotité qu'on ilic div" >!■> ibangvaDt n 




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COHBlKMSONli. 



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lomhredesai 



I c'osi 



ingemens 4 i 
r" = m{m— Oî"» — 2j t"* — ^)i etninsi de suite. 
Il Ml «niblu <]Uc poui passer de l'une de ces équ. i U sui- 
nte, il faut y clianger m eu m- — i, |itiis inulliptier par m, ri- 
i revient i joindre ttux factea» m, m— i..., l'entier qui suii 
^dcnMël''^e ces uombres ; ainsi, pour /i lettres, ce dernier mul- 
cateur sera m — Ip — i), d'où 

du facleun ntp. C'est ainsi que 9 clioses peuvent 
é pennucer 4^4 d'aulonl àt façons différentes qu'il est mar- 
qué par 1« produit des 4 facteurs g. 8. 7. 6 ^ C9''4] = 3oa4i 
c'est le nombre de manières dont 9 personnes peuvent occuper 
i.pLacea. Le* arrau|;ernens de m. choses 1 à 1 et 2 à 3 ^cul^j^, 
|Oal ea iwoilire nf + m(,m — i) = m*. 

Ea làicant tn^p, on obtient le uoitibre z. d'arrangé m en s Ju 
'/*t*(l/es /'»/'. loules le*/) lettres entrant dans cliaque terme, 
= [i'^/']=/'(/'— 0.-3.5.1=1.2,3.4-.,/,... (2). 
l^nflmhred'atMii{;cnienjideâ7 notesde bgHtninemuticalrcsi 

W^J^-fè. C&ttthoaile nombre xdeacombinaisonidijfércntei de II 
Wrtj /imw p à p, o u X := [mC/>] . SUp])os<ins ces jr comLinaisooi 
>, el écrites successivement sur une ligne liori contai»': 
lÎTOM su- dessous de la 1" toutes les permutations des p 
■^iMttcsquis'y trouvent, et nous aurons une colonne verticale for- 
u^ec de E tenues (equ 3), Le second terme de la ligue liorixon- 
inlc donnera de même une colonne verticale de i tenues compo- 
laut IouicsIes permuta lions dcs/> letlresqui y sont comprises, et 
doiiluaeWurenu moins «ttdilTi^rente de celles qui entrenldaug 
la combinaison di^jîi traitée. La 3' combinai.ton donnera aussi ; 
irrmeidiiri-K^iisdi'ïautres.etc.UnformerBdoncainsiim tableau - 
i inii]i'i-.C de X colonnes, ajanl chacune s tecmes; en tout xs re- 
-ii!iais, iiuicamiituent visiblement tnusle^arrangcinens |)ôssi- 
^^Ui. ..!, M. ;)!. ni l.-i(r»i>n<ies /».«/>, aaus qu'aucun loiiomifi ni refU'i 




« — j-, d'à 



(3). 



I,Otfi{U. I cL zétantcoinpnsees chacune de^facteun,r<!(loa.(J| 
etiAlMBaip, (|ui sont des fractions dont les termes sont ttitienj 
el suivent Tordi'c naturel, decroîsMn.s à partir de m pour It 
mérstcur, (!lcrQistaiisju8((u'.)/'[>uurledénotiiiiiaieur. Comi»^ 
pu sa nature, .Tdoilûtre un nombre entier, /a y^rmu/eCO (^ 
l'ine tjractemeni divUibUt par (2) : au reste, c'est ce ([u'on poid 
rail prouver directement. 
^^77, On a 

m-« m~q+x 



[mCq} = 



y=.-: 



Soil;> > q, tous les Tacteurs de cette e'qu. entrent dans V^tm 
(3), qu'on peut par constfquctil écrire 

_ ■ "' — ? "'—g — ' "I— f + i 
*~ *?■»-'' î+» /* 

. I. QiCTchoDS d'abord s'il fe peut que .T = :r':il est clair 
Hu'il faut que le pr.uluil de toutes ces fntclione se réduise A i , 
ou que les MUin^nàieui-s forment la même produit que les de- 
iM>mi Dateur»: si l'oif piem) ceux-ci en ordre inverse, on a '' 

Or, eus deux membres adinCllent un égal nombre de fac 
continus et difcroiseans; si rliaque facteur d'une part n'éta 
Igal à celui qui .1 mèi^ raug de l'autre part, l'^ltiÉ si 
.tnpossibic, puisque, tuppi'ession faite des facteur* commiil 



it resterait des facleun tous plu« grands d'un cûléqticde Vain 
cl en pareil nombre. Ainsi, cette (^qu. exige que m ~ 7=^», 
que x = x' ; lie là ce tbifort'-iai- : 

[mCpl = [mCq] quand m =/» -(- q. 
tttJKUtt Vt\m «a à »6, ut prises la à i». 




^^BmâIhï ée toailnaaitum; ttt, ea efi'et, [i oo £-'86] n [loui imiuor. ^H 

^^B»a99..,^.86. -i3, et pour il<Jnom. i.a.3 .■ la r3...SSi sup- ^Ê 

çn*m>t\n faetnin communs i3- i j. t5 88, il rcsu- ^^| 

I 'y" ™ = loo C 12. Cette rcmarciuewrti rendre plus fa- ^^| 

^^ cilc* le» calculs de la formale (3) , r|UfKnd /» > ^ r». Ou a pin- "^^F 

Hr lAl trouvé loo C'4 qâc loo ^96^^ 3 931 aaS. 

^B Concluti» tic l) ifuc si l'un écrit successivement les nombres 

' de ontbi nattons de m Ictlroc t^i,3àa,3â3, les h 

m/mea vaUurt le rtptvduiront en ordre rétrograde au-delà du ^M 
ttrtne du mitieu. Para*., puui' 8 lettres, ces nombies sont ^M 
8, »8, 5G, 70, 56, 38. 8. (f'oy . U lableau ci-après.) ■ 

II. Supposons q^=p— i; x n'a iju'un ïluI fucleut ilu {'lus 
<|ac x' , et Van ■ 

.=.: "— f*' , .u wcrf=tmap-.)]. -"-^' .,(4; 

I "■ On en tirv cctie rigW, qut sert à déduirceucccssivemalilles 
HUM dca autres les quotités de combinaisons de m Icitrcs 1 ft t . 

a 1 a , 3 A 3 - Écrivez les J'raciiona — . , — ^ — ...ei mul- 

'' I a ' 3 

tlpHct chiieuiu- par le fjroduît de toutes les précédentes. Pni 

es., |War R lettres k combiacr, on écrit |, ^, ^ , et l'on u 

8; 8 X * ^a8i l8 X \'t= 56.- ; c'est ainsi qu'un trouve qucH 

mnaéro* de la lotcrte- fo)-mcnt 8 extraits, a8 ambes, 56 ternes , 

•^aifuaicm^i mS^ ifuinet. Les 90 numéros donnent go extraits, 

4ocâ«iB^, ti^ 4^0 ternes, a 555 igo quatcmes, 43 9{ga68 



:t*-H(wfocteUrs*llccc»>ii/sm, , — - — , . . ont desnumc; 

a 3 

tatL'un dÀroitsaus et des denomiao teurs croissans : tant que ec'^ 

fraction* suul > (, le produit augiiicntc ; il va eu diminuant, 

'■•'<' flic le ranfi i du tenue est tel qu'on ail 



Il HTOni qu' 



ALGÉME. 
n retrouve les mêmes produils en sens rë- 



i" Çn, m pair :^ 3m 1 on & t>« + î 

^ m, joù le dernier facteur est 



oroïiMPt jusqu'au rang 
«ne est [mC^m], ou 



les lemieft 
«4-f 



<4#"' 



a«(aa 



O. 



— ■ — nn~ 



On Kcrit an dénoiniDateur la suite D^tiveOe i.ii3....<t, et 
nu U continue au numérateur jusqu'à an. Com^étonk le 
numérateur par les lacteurs i .3.3 m, , 

«_'-»-3-4 a. 



(i.a.3.. 



•)' 



or les facteurs pairs qui, en haut, sont en rangs altemalib sont 
3. 4-6. .. 3«=s2'x I-3-3-4- -■■i donc enfin le plus grand 
terme, eu celui dm milieu, est 

■■ a ■* 1.2.3.4... ' — 




OONBlHAISOirS. V n 

puisse (aire avec i8 et avec 19 lettres sont 

^= [>8 Cq] = as X ''^'f "'^ = 486ao ; 

^/ ^ [19 C9] = 29xi^^4^-^^= 9^378; 
^ ^ ^-^ i.a.3. . .10 ^ ' ' 

da reste cliacuD des nombres de coiiibiaaisoiis doit toujours 
être entier. 

3^. L'équ. (4) donne aussi 

P \ 7. p ' 

à eaiwe de l'équ. n' 477 «^ ^ 7 =/' — i; ce ^' membre, com- 
pare à Tëqa. (3) , donne 

Celle rehtion apprend à déduire, par une simple addition, 
les combinaisons de m 4- 1 lettres de celles de m lettres; c'est 
ainsi que dans le tableau suivant, qu'on nomme le Triangle 
arithmétique de Pascal^ chaque nombre est la somme des deux 
termes correspondons de la ligne précédente. Ainsi on a 

7* ligne.. . 1, 7, ai, 35, 35, ai , 7, 1. 

Pour composer la S* ligne , on fera i +7 = 8, 7-4-21= 28. 
21 4- 35=s56, 35 4- 35 r= 70, etc. . . 

Celte loi explique le retour des mêmes termes en sens in- 
verse, puisqu'il suffit qu'il ait lieu dans une ligne pour qu'il 
se trouve aussi dans la suivante. Ou reste, nous savons déduire 
les termes d'une même ligue les uns des autres, et de proche 
en proche (1^.), ou à l'aide des termes de la ligne qui pré- 
cède (3".), ou enfin diiectcmeut à l'aide de Téqu. (3) qui oik 
est le terme général. 



r^EmCin» nu fliHoni: , 

uu Qmolilei de ConiAiiwiiiiiu. 





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Ul. Soient I, m,a,b,e.... If, a, m, 1, les ooatbrLS d*tii|| 
lign^ccax de lu suivanU (3°.) roril 1, 1 -\-m,m-^a, a+(i.\ 
m + m. nt -t- 1,1 : la tomme d<* fermes du rangs paLri « 
i + m + a •{- 6 . ■ ■ +m + 1 , In iiiéiiie i)ae ceux d« r 
iU(MÏr»,et«Ut«i que laHOtkiniede^tcMiwsdela ligne pnfcédeal 
Eakjoataiittou«ltrstGrint:j(de)ali(;nem+i,onadoiitlcdoul 
de U sotuitio de la l)||ue m- Or, la i* ligne du loblcai 
i^s + t=4^3'' *lonelcalitpii;»9uivaute8ou(|)oursouuiic 
«*,«'..■>*■ Ainai, ta tomme dut vombinaisons de m teilrvttsi 
s*; c^U d^* urmea de rangs , soi'l pain, toù impairs, est 2"'' , 
mn^i^ fw'on trow^ pour lex rombinai-iont «fe m — 1 lettm. • 

4^. PutageoiMleBiMloUrcRa.fr, c,^,.. (ndeO> 
MMS eu uoiabrc m', les auliv* <rii noiuUrc m", {m— 
yais cbcrdiOD» touici lc« coml>inttlMnit/> l/yfOrui^dc// < 
yccMMèfu Ictirpi^Miilv* nvet/." iIck nuiri's i'/<—/'*+//).Po< 
«A feiWDa^lMlKriu MNiitiinniitous di'K t"'/»'. 
Ijwiin j-*Yf*'fT itottitiic * n m'/yi' cl 




^hlns dumi lit» r" it-auluisi cLacun du» nctoriilb) jt tax~ 
icun d'aoe pari, ivniiis ,■ />' lUt l'aairo, rarmeroul p factcursi 
cl il at TÎnhla qne co syalÈin«a accompliront (our i-cuk qu'où 
ch«ck«. Learnoiiibri; «n donc 

I. Daiu ccnibicu ilc comliiiiaîsoiis dcn m leitres a, b, r. . .\ 
cotrcla Wtlrc A? m'=/.'=i, et X={m— ^)C{p — ^y. ■ 

n. CombiaD(lccombinaiioiMc<inllciitterilasans&, et AKiDS4f 
m' = %,p- ^ nd'où X = aX[('w-3)C(/j — i)]. 

III. Combiru renfcnnenl a el b ^semlilu? ni =:^p =3, 

IV. Couibîeii ne conlicatiisf^ ni a, ni &? m^3,/>' = o ci 

T. Sur U-!i coiitbiiiaisoDH de m \ti\U(i&pkp, combien eu est-î) 
qui coniîftiDfDl deux de* 3 lettres a,b, c? m' = 3, />' =: s, 
A' = 3xa'» — 3)C{/j — 3)]. 

VT. Les rombinaisous de ioletti'cs4 à 4^'>''^i^'' nombre aïo : 
11 Tua di8liu];u4; irnii Ivltresa, A, c, on peut dénia nder coin - 
bien il y a de ces cotuliinaisona qui nu contiennent aucune A'- 
ccf trois lettres, combien en reuferment une seule, loinblcii ?, 
couilii«a tvutea \ei trois «nseinble : On trouve 

■■■ Aoeiinn de. uni* Utires.-- Vm.-jC^ = ■ x 15 = 15 
V. Uo(.»eult , 3Ci,7C3 = î k Î5 = .o5 

ï". n«OT :....' 3c».;ai = s ^ ai = es 

_ 4*. Tonta* Im iroi» ÏC3.7Ci = ■ x 7 = 7 

f NniBlHvta^daiMnibioaliODt. . 3>o 

Qoftnt vix permutationâ de m lettres p 1) pi ^"i centten- 
neju p' lettres pritet parmi ai qu'on a tUtignées, leur nombre 
>^^XXi.3.3-.. /J. Encfi'et, il suflii de prendra chacune 
ilii X cgmbinaisons , et de permuter entre elles les p lettres 
lui y entrent. 

^-j^.EJfcctiKKslrfpermutatiom^àfdestaletiretaL.hfe...^, 
<^e iout«s tes louùcrcs possibles. Oium -tw p — 1 , telle» que 
. 1 . . . V ; appoTlonn l'une d cl tes t à cote de chacune de» 
-.. — ,. + I autres a. f;c.. .h; d'où m, iA, iV , . (h ChangBOiW 



\ 



lO «LGKBKK. 

tour '> lour I «u o,i',c . .k,cl tinus durott* tous li 
1.* 3 tir* m — /' -f- 3 lettres, i,a,b. .. h. En tèto Jccein 
laU, ptafan* I» a* lettre nupprimée X'; Ai'a, £i%. .. . kihi | 
cliangeoDs^uccesaivement i«n{,a,A. . .A, etaou^atironiilc 
lesj)«rn>uialions3ù 3 des m ■^-/' + 3 Ut Ires <t, i, a, A.. . A,J 
fttnti de suite. 

Par ex., [lour permuter 3 j 3 les 5 lettres^, A, c, 
j^le «'et <-, cl pnrtaut<i près de a, b, t; j'ai <^, ^,dbj(l 
diAugeout «^ en a, â et c, il vient tous les arraDj^emeDS s à 9 
des 4 leltiea a, b, c, à. 

du, db, de, ad, ab, ac, ba, bd, bc. ca, eb, cd. 

1) reste ^ apporter f en Itite de chaque tenue, eda, edb, edcÀ 
fois à c)intig«r r en a, en b, en <.-, cl en d; oa a alors lca.6o| 
lAUKCineus demandas C). 

48o. Soit proposé déformer les combinaisons p ^ p- Cber- 
cltons-l es d'abord 9 i 3;âtonsa, cl apportoni cette leltri: 
yrèt de b , e. . ., savoir ab , ac, ad , , : ce sont les conibinal- 
lans 1 à a où entre o. Plaçons de même A près de e, d . ., pui^ 
c prés des lettre;: djC. . . qui sont à droite, etc. , nous nuro» ^ 
loalcs les combinaisons a à a. 

Pnnr combiner 3 i 3 , âtons a v.t combinons a à a les autres 
lettres j, c,d.,., ainsi qu'on vient de le dire; puis apportons 
a niis de chaque terme, b pré» de chacun de ceux où b n'c^i 
pud^i f près de ceux qui n'ont ni b ni c, etc., et nous au- 
rons lc« combinaisons 3 ù 3. 

Eaflfaérat, pour combiner/; ïi/t, ôtetp — alelircs t^ , . u, 
ctraintinez a à a les autres lettres a, b, c. . h; portn f 
d« cluEine résultat l'une des lettres supprim(fe.<i i , put 



f"i Cr%>r M-oùf terl (i trouver I* tof!Bgri/ih» ri l'anagtummr tl'im 
pm.ll -< laj;*icllw offriMit (|iiHl.|iiÂhiii An n*iulUU hourens. C 
/«,>[. >.\*-^Mi. l'uiUMln ilf Rciirl [R, Mi trama, iMtrapxirlakro i 
Tra/r' (■■ -■ •; ffr. Jablmiikl U hti »ns(i«amnuH cl* noMu Lueinii 
mM 4» SuiUilii, d* la Btpioun d« Li>oiiiiki ^ Il tronn en ri 



Il propbrii(|iir , Slanitlai d«ilnl 



il il* PolosA*. 



BINOME DE IKEWTOIt. 11 

■ 

des teriact tans a, b près de ceux qui n'ont ni « dî ^. • •; voas 
aurex k» cottbMÛsons 3 à 3 des leUret a,b,c...h,i: portes 
de nopvemi il pirèe de chaque terme, a près de ceux qui n'ont 
pas a, elc; et tous aurez les combinaison! ^k^dea,b. . . i,k, 
et ainsi de soite, jusqu'à ce qo'on ait restitué toutes les [p — 2) 
lectres supprimées. 

Développement de la puissance dun poljmome. 

481 . Lorsqu'on fait a = 6 =:c . . . , le produit de m facteurs 
(x-f-a) (x + 6) (ar + c) . . . devient (x+o)"*, le développement 
de la puissance tu* .d'uo Innome se réduit donc à effeetuer ce 
produit, et à rendre ensuite les 2"* termes a^b^c, égaux ; ce 
procédé permet de reconnaître la loi qu'observent les divers 
termes du produit, avant d'éprouver la réduction. Or, on a vu 
(n* 97, V.) que ce produit a la forme 

x- + ^x*»— + ^x—* + Cx"-' + iVx*-« abcd, 

A étan i la somme a 4* ^ 4- ^ - • des s*" termes des facteurs 
binômes, B la somme ab + ^c+ ^c* . . de leurs produits 2 à a, 
C celle des produits 3 â 3, abc + abd, . • , etc. En faisant. . . 
a = ^=rc. . . , tous les termes de A deviennent =a; ceux de 
^sont =«•; ceux deC,= /i^. . .; ceux de 2V, =: a". 

Donc A devient a répété m fois, ou ma. 

Pour B^a* doit être répétéautant de fois qu'il y avait de pro- 
duits 2 à 2, ou i5 = a*. [mCT,} =r ^ m (m — i) a\ 

Pour C, a^ est pris autant de fois que m lettres donnent de 
combinaisons 3 à 3 , C =z^fn(fh — i) (m — 2) o^ ; et ainsi de 
suite. 

Pour un terme iVfl^^'de rang quelconque ii,on aA^= {jmCn]a*. 
Enfin le dernier terme est a*. De là cette formule, découverte 
par Newton : 

(x + ûr)'" = af" + mûx'"~' + m. fl'x*""" 

2 

a- 7w . — 5 — a^x^ ', . .+« (")• 



Le terme général et i . 



= C«c..] 



Tw/fc terme qui en a n avnnilui, et (|ui reproduit ions d 



•(u d(!v«lA|»pt!mcn I i 
l^ur obtenir «relu 
c.-4-if. prendre L'i 
i.';i|ioMtit impair. 

48ft, La formule (< 
eoefficitns loni tous c 
outéUidonuéïp. 8.1. 
l'ii lertnei ceux de x ei 
sauCMdc a vlx, i:s( 



de(*- 



o)", un (irenant n^ i, a, 

■ (i}"',iirauirliaii('cr idaen — a 

'ontroirt! 1i-s tcrtiid aA a porli: ii 



) CM cçmpotie de (i« + I ) termes, et les 
jliersi ceux dis puisaanci:» jusqu'à la 10% 
» cxposans àe n vont en croissant de terme 
décroissant : la somme dccos deux pui»- 
n, pour diac]ue tu'mc;aiiiBi{p. 5, i".) un 



terme étant multi/tlW par - et par l'exposflnt de % , fiuiê divûé 

par le rang de ce terme dans la iérie, on a fe terme suiva^^- 
l'ar ex., on trouve '^^Ê 

Pour oblenir (2^'— 5j'yï,Qn {bra tlaaa «Uc equ. x =^ 2Ù\ 
a=—Sv', vt il viendra as*" — g.Sc'. a'fr'-* + 36- 5V. rb". . . 



.,-ift'-5t>)s=5iïi':^S.i5''c>l'<+î(;.a5.ia&:''i"-84.iaS.(i4t^'J 

Uu reste, ou saitiquc dans la rormulu (6) , 
1°. Après II* tenue moyen, les coi-flicions Tcvicnucnt e 
dre rétrograde , et les cocflicieus .'< i-galc distance des exli 
sont égaux I ces coelFuiciis vont eu croisunt jus(iu'au (erd 
moyen dont on a donnt^ h valeur (p. G) . 

etautajouiéàll 



a". Ciiacuu Jestoefliciensilelapuisfani 



lui qui leâuit, doa»e lectielTicicnKle la puissance (m 
inêinv rang que ce dernier, (f'oj: pap. 7.) 

3*. )j« aqulife de loi» Ici eoefiicien!! de \» puissance m*i 
^ a* i^^ soimtic de louï ceux de raogs, toit pair», soit iuiM 




r==9^i,IVqu. [6} su rédiiii a a*'=3 In somme ilv tous les 

t-^z, l'cqu. (6j devient 

p«'+rn.-!^.^*'+ eic...+i-...(8) 

upreuioii est beaucoup pliu simple, on y ranifeoe 

lent de toute puissance proposée. Pour (A+B)", 

le t-inoiiie par ^pour rétlulre le i" terme * cire i, 

lultîplicM p;:ir /f , pour rendre à la quantité sa valettv 

^^i-J-^J .En faiMnl celle fraction ^ ï, on retorabi: 

Ir'r^qui (6). Atnù I Afirè» vtQtxformi les produiu coiuécuiifs 
,f^tcur> m,^ (m— O. \{m~i), \ {m — i)..... 
cotnmi; on f'« dit (p. 5}, nn aura les cocflîciens ilu développe- 
ment qn'il faudra ensoiie multiplier par les puissances crois- 

sanlcadc s. Par ex., pour (m4- 3^)', je prends (aa)' m-) J 

ttîcbiss=: — , le forme le» fractions 6, ', 5, 5t et, par des 

mnlliplicaiion* succesiivcs, j'ai les coelGcieiis 8 , 38 , 56, 70 ^ 
passe ce Icrmc moyen, les fuïvaiis sont 56, a8 et 8. Distribuant 
Ici puiMancea croissantes : , s' , i^. . . . , multipliant tout par 
1560", enfin, mettant pour i la fraction que celte lettre re- 
présente, j'ai 

(ao + 3i)» = ï56.a'-t.3o73.<i'&-H«6ia8.fl«6' + 4838f a'A' 
+ 90750. «'ft' + 108864. o'frV. ■ 
483. Pour ddvdopiwr (â + ft + f + rf. .. 4-»)"', riveoons 
au binoue en faisant i 4- c. . , +i = t-, 
(a 4- s)' a pour terme giinéral [mC-Ja- if, 

« et /» «îtani quelconques, pourvu que « 4-p = m. 

Mausi l'on posée + d. . . 4-'=^. «*" » i = ^+r. "--tic 
icnoc r.cnèïal <Ic s^ = Cft +jy est. . . ifC^ ^ y^ . 

a»ce la eomlîlîon S + '/r~p, savoir , * ^ a + </ — m. 



'4 

F»i»OMi 4e inéoK d + e. 

,,_(c^-r)'c»t... 
• t > + '•==? 



àLUÈtKR. 

. . + ta X , le icriae général de 

"+* + > + '■ =J 



En remonlant, par des suLisûtulions successives, il egi c! 
(lUC le terme général da développe me iH cbcrché esi 

Du retle, « |S, ^.. . sont des entiers arbitraires ijui désignent 
les rangs de chacun de not termes ge'uéraux particuliers tlans 
leurs séries respectives. Le dénominateor du coefficient dv N 
est I. a- 3. ..«X I 3,3. . -^ X .. . , en prrnant auiatit de sé- 
ries de facteurs qu'il y a d'expo&ans, le dernier u excepté. 

lntroduisoDs<y, pour t'aoalogie, le produit i.3.3...i 
que dans le nuiuéraleur, qui prendra la forme 

fl;(m-T),-.{™— 4-i)î<p.r-0-i>-^+<0'<ï- -Cî-î-<-0-X«t»-i),.,aJ 
Qt^pi^m — m; les facteurs/), ;> — i . . . , continuent d 
aér\t m !m— I) (rn — i). .. iastta'à(p~0 + i); lui est i si 
xoaX continuée par r^^fj-^S; et ainsi de Buite, jusqu'il 
B (u — i) . . . a. I ; le numérateur est donc ta suite des facteurs 
dâ^roissan* »i(»»— i)... jusqu'à a. i, qu'on |«ut écrire ainsi : 

I .a.3.. . (ns— i}m. Le terme séne'ral clierclié est donc 

i.a.3. .mxfl'*^'-*' '^ 



A'=- 



■ (9>- 



i.3.._.«xt.ï-3.,.^X i.a.3...>-..X 1 
l>cs exposanS a, S,y.. • sont tous les nombres positifs et entiers 
possibles, compris o , avec la condition que leur somme =: nt: 
et il faudra admettre autant Je termes de cette forme, 
peat prendre de valeurs qui y satisfont, dans toutes les 
lunaisons possibles. La dénominateur est formé d'auiai 
ries de facieu» i.2.3...i>, i.2.3. ..^... qu'il y n de ces ei 
Par ex., pour {/i+fi+f)'", l'on des termes. est 



i.a.3 4.5 X > a.3 X I 
cl le même coefficieut iSaoafleclcra les termes (i'ft'c*,a'AV 



^84- Toul «:ci tu|ipos(' (lUtr IV^posant m uii im nombre en- 
(jcr froiiiif; s'il nVii csi pas ainsi , ou ignore i^uel est le dé- 
veloppement de Ci+a)", et il >'agtt à<t prouver <{a"i\ a encon- 
la iiirme forme (8). [J^oy. ti° 715, IV) ^''^*' * '^'* S"^ *'' ''^" 
iluii la proposition pour tout [igJf^vâle à dévcjupper ; car eu 
ijiulilpliant IVqu, (8) par x*,^ii a la'scrie <le (« + «}"", ou 
r+o}", en faiBonl JTï^fl; ce cslcul reproduit l'equalion (6), 
1 à deviendrait alors dciuouirr'e pour tout exposant m : et par 
iiLte, la doctrine du n" 4^3 serait applicable. 
Ainsi m el n désignant des gTftndeurs qucicouques, posous 
* = i + mt -^ '- m {m — 1) i' + eic,, 
X= i + HÎ + ^ n{n -■)!' + ..le. 
d'où l'ont ire .r_j' = , + ^; + i ^, (^ _ ,) -' ^. eu., 
en faisant p =: m -)- n. 

f-.'i effet, uns nous arrêter k faira Ift muitiplicaiion des poly- 

lonies a- etj-, qui donnerait le» 1"' termes d'une suite îiidif- 

linie, mais n'en ferait pas connaître la loi, observons que si m 

et n sont entiers et positifs, il est prouvé que x^r [t + z)" , 

-(-»)-, d'où ir = (i+ï)"+« = (n-B)p ; dans ce 

produit xjr est bien tel t^ue noui l'avons posé. Or , si 

s entier et positif, la même cbose doit arriver, 

e les règles d^ la multiplication des deux polynômes ne 

Bident pas des grandeurs qu'on peut aliribiKr aux lettres 

pDicteurs. Par es., le lenueen :', dans 3:^, doit être le pro- 

I de certains termes de J^cldej', tenues «juiserDot |«s 

, «Celles (jue soient les valeurs de m et n ; et puisque 

h. produit est {flp — <)'' dans un cas, il sera tel dans tout 

tre cas. 

D'aprèscela, 1°. «i m eilentier et négatif, comme n est 
, faisons R=: — m,n4ërs entier et ppsitif, el l'on sait 
Valors r = ( " + 2)' ; p = o réduit la 3' équ. ;i rjr=:t, 



.)- 



■ imr+n 



g ALUtoRE. 

» — -*■ ■ a 3 n r 

_^«+. n+a. . . ,^î±^'*-=;«-[(ii+«-.«)Cï»-')] 





, 


^1 


+1 
+3 


^ 


+ 1 ■ 
+5 . 


(x*.)-' .... 


■ 


^i 


-+< 


^lO 


+.5. 


(«±-r' ... 


* 


:p4 


+IO 


^ao 


+35. 



fct^et le ubleati p. ft, oùl'onuouTe laloid«e«»Boi»bres. 

ainsi a:'=i +a»ir+2i»iïî^^^^+elc. ; 

inultipUons txtU équ. pw jt = i +m« + eU., 

■Inânl a^'=i +3mr+3m — ^-!.«» + eu. 




BIirOJ^E DE NEWTON. ] <t 

ona(i +zy=(i +2)-»^./3, d'où x + •=(!+«)'" + /?, 
« et ^8 étant mitsi jèût» qu'on veut; donc (n^ 1 13) 

4». Enfin, Vex/io«4m< étant imaginaire^ c*est ^ar conven- 
tion qu'on traite ces expressions par les mêmes règles que les 
réelles; car on ne peut se faire une idée juste d'un calcul dont 
les ële'mens seraient des symboles qui ne sont Fimage d'au- 
cune grandeur; il n'y a donc rien à démontrer ici (n** 128). 

485. Appliquons la formule (6) 4 des «zemples. ^ 

I. Po^r développer ;^=^ X 7~Tfj. * é«»t U i , 

formons la série de (i + kxy (n** 482, 4°- )• I^es coeflSciens 
ont pour facteurs — 1 , i (— 1 — 0> 5 (-- ' —2). . . , qui tous 
sont^-'i; les produits sont alternativement 4-1 et — 1 ; d'où 
résulte cette progression par quotient i — *x -f- A^x^ — A\r^.,. , 
dont la raison est — Ax. Donc 

II. Pour \/(a^±x^),écvÏYonsaà/(\±:'-\==a \/ { 1 ^rj-'), 

en posant x^zaj. Pour développer la puissance ~ de i ztj-*, 
composons les facteurs des coefficiens, savoir r-i, * {\ — 1 ) , 
• (^ — 2)..., ou ^, — |, — |, — |... : les coefficiens sont des 
fractions dont les numérateurs sont les facteurs impairs 1.3.5.7... 
et les dénominateurs les facteurs pairs 2.4>6.8.... Donc 

V^^i^r )— I- ~ - ^^ — ^^Q ^y^çg , 

IIL On obtiendra de mémo 

^ ' a a. 4 ÎI.4C 2. 4. G 8 



T IL 2 



-TjS-^îTa' " 






.)• 






' +{>,+,)*•... iw. p. 


,iS.) 







^fl&i^Twit leacocfEinens de(x+a]", quand m est nn nom- 
lire |M^abi«r, sont multiples de m , absti-aclion faite de ceux 
de .r'^.tl"«T; en ciFei, l'equ. (3). p. 4. donne ' 

1.1,3... pX 
et comme le a' 
l'être ; on supf 

On prouve de mime que tous les tenues de (a + & -^ 
«ont multiples de m, excepté a^.A^.c". . , 

A désir.naiit un entier, on a donc 

(«4-A + c-..r=:a'" + *" + c"...4.w/f. 

Si l'on fait ■ esa = &s=r , A étant le nombre des termes J 

polynôme, on trouvei";=J(4"''*'^i'^''"''*"' — A= multiple de m 



.£>] = ».(/. 


,_,)(™_,)...(m-p+l); 


lembre est i 


nulliple de m, le i" doit auui 


e m premiei 


r et > /» j ainsi , m doit dif iffiH 



1 



;,(A- 



■o_ 



entier. Donc, si le nombre premier m ne di- 
vise pas /i, il doildÏTiserCi*"'.— !). C'est le (Worimc àe Fermai, 
qu'un énonce ainsi t i^i Centlr.r li n ai pas multiple du nombre 
premier m, te reste de la division de hT~' par m est l'unité. 

Celh^orèlne peut encore s'énoncer comme il suilscommeiR — t 
ut un nombre pair, tel que jy,.., A"-'.— i=:(A*— i) (A'-f-ij; 
ainii m doit diviser Itin de ces deux facteurs ; c,-d-d. que le 
reste de In dÎTision de A* par m est dtt . quand m est un nom- 



bre premier ^3* et ? = 



:(«-■) 



'9 



Extractions des Hacines , 4", 5'"'. 



p. 

^V ^7. Le procédé que ii«BS avon* donné (n** 61 et 68) pour 
^K «lUaire lo racines carrées et ctibi({iu;3 peut loaiatenaat £tre 
^P applMiaé à tous les de^^s. Par ex., pour avoir la racine 4* 
^ de 54tt 4^ > désignons par A la 4* puissance la plus ëleve'u 
contenue dans ce nombre, par a le» dixaines, et par b les unités 
deU racine. Comme -/=Ca + fi)' =; rt' +4<''^'-n'fi premier 
^K i|«rmca*eal la 4* puissance ductiiiFre des dijtaines, i la droilii 
^B'Ae laiioelle on pUcera quatre léto. Séparant donc les quatre 
^BcliUrrc* 84G4) on T oit que 5 4 contieut cette 4' puissance du 
' ■ cbtlfredeadixaines.cousidriréescotnniesimplesunités^etcoinmc 
i6nt la 4* puissance ia plus élevée comprise dans 54, on prouve 
qiu!3,r>ciRe 4' de iG, est le cbitl'rc desdiiaines. Otant 16 de 
5(, et rétablissant les tliiffres séparés, le reste, 388 4^4 r '«■"- 
ferme les quatre autres pnrties de (0+*)', ou ^a^b -\-^'b*... 
Mat* 4"*^ cal terminé par trois zéro, qui proviennent de t^; 
Lnl les trois ctiîffres 464» le reste 388 contient 4 fois le 
rùdnildc* unités A ipar le cube dacliifTi-ea desdixalnes, cou- 
rs comme unités simples, ou 4 X 8fr = 33& ; 388 contient 
B outre les mille qui pruvienuent de 611'^'+. . . Le quotient 
, de 388 divisé par 3a, sera doucA, ou ]>A i mais il faut ré- 
pire £> 1 7, 00 la racine à 37, ainsi qu'on le vérifie comme pour 
|| racine cubique ( tiojret t. 1 , p, 93 J , en formant , comme ou 
, Bvoil «i-aprèa, la quantité b {^a'' -^&a'b-^^ab'' + b'). On 
f troRTE le reste 17023. Pour puu&ser l'approximation plus 
loiD, il but ajouter quatre léro dont on sépare trois, et diviser 

t 703io par 1(0", en faisant a'^ 37 ; et comme 

'W ' = 4«'+ i3o'i+ iafli' + 4*'. on voit que, pour former 
ec dÎTiKar^d''. il faut ajouter 6a'* + 8o*' + 3*^ à la partie 
Lhéscs ci- dessus, etc. 




</«ei 



SîoGÎ 



^aSstXTsS^i 44> a* dlTidwir 



7*^=4. 



I 



i 



Il est aiMl de voir que ccUc mardiv de calcul, û coima< 
pour ironTcsr diaquc dîvucui' partiel , est générale , quel 
MÙI le Affiri^ ^' l'^ racine h extraire. 

iSS. l'As tables de logarîtbmes rendent les extractions bien 
fftttlW} ina» <:l)c$ ne suffisent [dus loru^u'on veut approcber 
tloncine* au-dcU des liinitts que cca tables comportent. 0:i 
(kit «loi-» usage des procédés suivan». 

l. Vs séries (U, p. 1 7) servant à exlrait-e les racines carre'es 
arec une grande ap|iroximation. Pour avoir l/iV, coupez A' en 
deux parties a' et ± :r', dont la 1" suit un carré exact, et 
liis grande par rapport à la j'; \/ N = ^ {a' ^x') sen. 
donnée par une secie trcs conver^jente. Soit, par exemple, dc- 
inaudd \/i. Je dierdie v/8 = av^2: comme 8=9—1, 
prewU ^ = 3 , X' = I ; d'où yS = 3 (i — -', - ^...). Po, 
rendre la s^rie plus rapidement convergente, prcuez les ti 
premiers termes, qui font 11,839, " comparez à 8 le c 
cette fraction; vous verre» que 8 =: 1,819' — o,ooZt.^i 

v8^,,8«9.^(.-j^'i^)=.,8,84. vil 4&.i 

enria, prenant la moitié, VOUS arci ^a:=i,4i42r 35623 -j^x. 
~Le« tailles de lugaritbmes donnent la 1" approximation. 
(ju'oB naginentc ensuite par le procédé ci-dessus. 

On M soin de conserver tous les tenues de la série, qm, ré- 
duit» en diehnales, ont des cbilTrcs signifîcatirs dans l'oi^e 
de ceux qu'on veut conseivcr ou résultat ; le T' terme néBli[;é 
doit commencer par o.oooono..., jusqu'à un rang plus avancé 
qae le de^é tl'approxiiuaiîon eKi[;c. 

11. Supposons iju'on connaisse un nombre a approché de la 
raciitc m' de N; soit 6 la difTiJrence entre N et a"", 

î est ta corroïlion que doit recevoir a ; A clx sont de 
nombres, et on aa"±/>=(a±ïr idiHelopiwnt et . 
sentant pu m, vf, ^4', les «i«fllcteu* de 1 cqu. 6, p. 11, 






NOMBRES FIGURES. 2f 

Pour luie première approximation, ne conserfons q«e U i*' 
terme de cette série, b =s mzo*^' ; on en tire une valeur de t 
qui substituée dans le terme '±LÀuf^'^y et négligoBOt les 8ui«> 
Tans , donne 



ea éliminant h = d:(lV-«- a"). Donc }/N^sz a±:z devient 
^ ^ ^ (m— 1) JV -H (m + !)«-' 

Par ex., pour^/65, on prend a=8, d'od \/65=:8x->^— ^— ; , 

ou — ~- = 8,062257, valeur exacte jusqu'à ja 5* décimale. Oa 

pousse rapidement l'approximation^ en faisant plusieurs fois 
successives usage de la fonqnle ; ainsi pour (/S , on fai4 d'à-- 
borda=2,8, et on trouve 2,9i84^; prenant ensuite 0=2,8284?, 
d'où a*eib; on a enfin la même valeur de \/6 , que nous avons 
obtenue précédemment. 

Des Nombres figurés . 

489. On donne ce nom aux nombres suivans r 

i«r ordre i.i. 1. \ . i. i. i. i. 1. 1.... 

a* I. 2. 3. 4' ^' ^' 1' ^' 9* ïo«»-» 

3^ 1. 3. 6. 10. i5. ai. a8. 36. 4^. 55.... 

4^ i* 4* 10* ^^* 3^' ^< ^4* '^o* '^^* ^^^••" 

5* I. 5. i5. 35. 70.126. 210. 33o. 495- 71 5.... 

6® I. 6. ai. 56.ia6.a5a.46a. 79a. 1287. aooa.... 

7* I. 7. a8. 84.aio.46a.9a4*i7i6.3oo3.5oo5.ctc. 

Voici la loi que suiveot ces nombres s Chaque terme est. 

9 



I 



sa ALCÈBKE. 

li tmmm^ ée eeiui qui esi à ta gauche , ajouté à celui qui est 
««.Amm; Moa = 138? + ^*5■ De cette génération , tom- 
■An* à ttUc du tableau , page S, on conclut que les nombres 
M«l Im méincs, mais rangés dans un ordre difTércnt. Une ligne 
<ic (« tternier, telle que 1.7.31 .35. .. est ici une liypoténusc; 
a«« tloBc T^lmClp — 1)] P<>ur valeur d'an terme quel- 
c«a^a« d'ordre /i , ou pris dans la ligne//', et sur une bypo- 



Prenons dmtx lignes conaécutÎTes : 

(p—i)' ordre, ■•i.a. .. . y. r. i. (.*•,, . 

p' I.Â.... Q.n.S.T.... 

*n%^^f^a...R=Ç + r,S = R+i, T==S + t.. 
I*. Sut une hypoténuse, les terraee âe dépassent d'un rai^ 
dautin lignes consécutires ; tels sont T'elv. Si T est le 11 
twstc de l'ordre /p, ou dans la n' colonne et la/?' li^ 
|« (m + 1)' terme de Tordre p — t ; le terme de la ligne précé- 
dente est le (n + a)' de l'ordre/?— 2. . ; pour remonter jus- 
qu'à m >* ordre t. 3. 3.. m, il faut donc au rang it ajouter f> — 2, 
Jidlerence des deux ordres; c.-à-d. que le terme m, n' de l'by- 
pot^quwi s'y Irouvc occuper 1« rattg " + /' — 2, 
m = n+p — 3: 
' IVqu. T^=mC(.p — 1) revient donc 4 [p. 4) 

" = [(«+,.-3) C(/.- I), o« (n- OJ 



T= : 



1+1 n+-7. 



. £+' 






le» déTelo|>p«Mt par l'rqD. (3], p. 4i 
ïdu numifratcur en ordre 1 



" ou la 1* de ces 1 
ïp est < ou > n. On 



e inverse. Ou empli 



du h 



I pressions 
vérifie m^mo 



«1 prenant le* futeurs 
ploie de p 
général T 



C ViOM qoc Jo p' de l'ordre n 



i que le n' terme de l'ordroV 



IfOMBACt FIOURÉS. aS 

ËD f&B9imipss3y^f5 on a 

3*ordre, i.3. 6.10. . .T= ^ïi(fi+i)=: [(n+i) (Ca]; 

4« i.4.io.20...r=Bi/i(n+i)(ii-f.a) = [(n+2)C3]; 

5* i.5,i5.35. ..r=^/i(/i+i)(n+2)(ii + 3); 

s^. Ëa comparant les termes Ty t et S y oh a 
r=mC(;i— 1), /=(m— ijC(;^— 2),5=(m— i)C(/?— I). 
Développons et réduisons (équ. Z, n* 47^)> ^^^ trouvons 

n— i p — I ^ ' 

Ces formules serrent à dédoire les uns des autres, et de proche 
en proche, les termes qui composent , soit la ligne/»*, soit lan* 

colonne. Par ex. /7s= 6 donne 7'= ^. S. Faisant 11 = 2, 

3,4» . • • nn trouve ftlil^f,^*.* pour les nuiltiplicateurs de 
chaque terme S du 6* ordre , donnant au produit le terme 

suivant T. Pour «=7 , 7'=^ . r, donne t, f, |,. . . fac- 

teurs qui servent à passer d'un terme / de la 7' colonne au sui- 
vant T. 

3®. On trouve qu'en ajoutant les deux termes de rangs n-7-1 
et n de 3* ordre , la somme est /i*; donc la somme de deux 
nombres du y ordre successifs est un carré parfait, et tout carré 
est décomposahl^ en deux nombres du 3' ordre. C'est ainsi que 

121, carré de 11, est la somme de 55 et 66, qui sentie 10* et it* 

nombres du 3' ordre. 

4**. Ajoutant les valeurs de A. , . R^S, T, ... ( p. 22 ) , on a 

T= i-fa. ..-f-r-|-^ + '; ainsi un terme quelconque T est 
la somme de tous ceux de l'ordre précédent^ jusqu'à celui < 

qui a le même rang-, ou bien le terme général de l'ordre p est 

le terme sommatoire de Pordre p — 1 ; donc pour obtenir le 
• terme sommatoire 2, ou la somme des n i" termes de l'ordre/i, 

il faut changer/; en /> -f* < <lans l'équ. 1 o. 

Z=[(/i+/>-.i) Cpou(n— I)] 



^ «LGÈBXB. 

-^«tle-'ordre,p«rex., ï = [(n+6)C7];la 7' série arril^ 
«• o* VÊrmt « poar somme [i 5 C7 ] =6435. 

5>. Ob remit de même qu'un terme quelconque du tableau 
ft» U fomme des termes de la colonne quipréchde, limitée au 
iggime ordre; c'est d'ailleurs ce qui résulte de ce que lapre- 
mitrr colonne est' formée des mêmes nombres que tordre p, 
«M- «s termes sont, deux à deux, ceux qui se reproduisent 
«bns vah même hypoténuse , comme ctant à distance e'gale des 
ntr«mes(/^p.5, I). 

4go. Noosavons pris pour origine de notre tableau la série 
1.1,1..., pienon» i.^.J-'.-.j et suivons la mf me généra- 
tkOB ; le a'«Bdre sera l'équidifference 1 .i+i: i+aJ'. i+S^. . . 
ctttwwdetoidnsaoiTans, somme on le voit dan» ce Jableau, 
JMit le prëcédeat n'est qu'un cas particulier. 



,•; I. 1 + * 

s»,..... I. a+ /. 
4» I. 5 + /. 



i + :tt. I + W. ■ + 4/... 
3^3/. '4^+ «f. 5 4- 10/... 

k + 4/. 10 + 10/. l5 + 30*. . . 

10 + V. M + i5J. 55 +'35/..'. 




Hoiifia£s l'icuiiÉs. a5 

riveut île U progression impaire i .3.%;. . .; ilabs la ucoude 
série/=3, etc. 



. 5. ;. 
. 4.^. 16. 



, !Lti ïl:i 



1.4. i. 4- 
t. 5. 9. lï.. 

I. 6. li. 36.. 

T = »Cw-.) 



i 



iialea de l'u 

poials de i 
r.ngl 



F 49'- S' l'on coupe le c&té o/ (fig, a3) du triangle a^m en n—i 
parties égales, aux poinis b ,d J', . .. et qa' on aihaebc, de, /g... 
paTsllèles 3 la base Im, ces longueurs cioisscnt comme les 
nombres i.3,3.4> ■- £d plafanl un poiut en a, a en A et c, 
ZtMrde, ^imfg. .., lasomnie decespoîoU, dapuisu, eiLmc- 
ceeiivemcnt 1.3.6,10.. .; elle triangle a/m contient aniant de 
«es poîal3 qu'il est marqué par le n' de ces nombres do 3' ordre, 
qu'on 3, pour cette raison, nomme's triangulaires. Ces points 
sont équidistans, quand le triangle est équilaCéral. 

De même dans un polygone, de m c6tes , on mène des diago- 
anglesa, et l'on divise cf s lignes et lescolésdc 
I parties égales : joign^tnt par des droites les 
forme 71 — 1 polygones ijui ont 
ités parallèles. Les périmètres de 
1,3 4-- Qu'on place un pointa 
chaque angle , un au milieu des côtés paraUèle:^ du a' poljgone, 
2 points survhacun des côtés du 3', etc., ces côtés contiendropt 

r,2.3, points déplus, et le contour des m — a cAte's 

paialUles auront chacun r?i — 3 points de plus que dans le 
précédent. Faisons i'= m — a, l'aire de noire polygone con- 
tiendra doncdes points (équidistans, si la figure est réç-ulière] 
en quotité marquée par le n' terme de la «érie du 3' ordre, 
qu'on tire de I .t.^t^.Zi:.. C'est ce qui a fait^nommer Carrés, 
Pentagones, Bexagonrt... les nombres de ces séries, dont nous 
avons donne' les ternies général et souimatoire , pour f^i , 3 , 
4,... ou m^=4i5,6. ., Eogénéral, on A'ppeMe nombres' jio- 
Ifgonci, tous ceux du 3* ordre, parce qu'ils peuvent être cqui- 
distans et contenus dans une figure polygonale. 



I 



^6 ALcitnK. 

Si l'on MÎW^M àa aéne po«r an angle liièdre , on «eira 
que Ia>éflei^io.3»... représente U quotité de points qn'on 
ami y ftêtwr ■— im pU«« paralltle», ce qnia&it nanunerces 
nombNV /J^MMUm». Lea nombrai ^M/^Mrcf composent la 
téhm dn 4' OT^«( Ant nom Mrwni détoniner 'la inwii gô- 
nAral et MMlHMtoire, en ieinnt ^ =:4 *^ ^- I-'analogie a. pillé 
A fAitfraliwr ces notions , et l'on appelle tutmbret Jigmér tÊÊfd 
MM qnisent soumis à U )« dn n* 489, et coaprii dnaokMllill*^ 
fiéMtmit , qamqli'oB ne paiœ réellement reprrisMl^.lBaB 
ce» noobra par dw figna de Géoméirie, au-delà im^m^' 

Sur let Permutntiofu et Ut Combinaimru , éimt k 
êÊ$ ùk Im lettres ne sont pas toutes mégaks. 



1^. ïffKtoont le produit da p(Af- 
iitmta-^i-^e. . ., pinsienn fois he- 
teor, en aynrt soin décrire, dans clia- 
que terme, la lettre mnltiplicatear an 
i*' rang, el de laisser à ta place chaque 
■ iplifiinrl.- 




m 



coutiakisoss. 

(itwtï ai n de m letfrt, quand ihaque leur* peut entrer i ,a,3, . . 
ri jvtqii'à v/t>U d- u les rénutiais ; n pewl d'aillenn être >wi 
Par n., 9 chiffres prii 4 &4^**"'"^'9'> "o^Sôt nombres dU- 

La Mminedesuran^emeuidem luttie» 1 à 1 , lia, 3«},.., 



i, esl m + ) 



s uran^emeui u 
-•• + «•... + m" 



, Avec 5 cliifTres 



^^ftwnUtOU a, ou 3 eiuemblc , In quotité <le»iioinbrei quW 
peot Irrite «t J ( 5' i^ t), ou i53. 

Soient nâés A ,B,C.x, t, / faus mart^uées des lettrei *,b, 
■ . . ; un jet de ces dés pToduiia uusjstËiike tel queaAaco... Si 
Ton prend le >•• dé A, et qu'où lui fasse présenter tout i tour 
Kcs divcrMv faut , uns rien cbangei' aux autres dés , Xe système 
ci-deaaus en produiray; aiosi nos n dés donnentyfois plus de 
rtfiutlati que les(n — i ) autres dés B, C...; do^c deux dés 
donucnt/' hasards, 3 dés dounenl /', 4 "^^s /*,.-■ n dés àl 
foetus produisent t' hasardt. Nous regardons ici, comme diffé- 
Tt'ris, les r^saltals identiques, lorsqu'ils sont amenés par des 
dés iliiTérea*. 

Si le i"d^a/facet, le a'/*, le3' /',.., le nombre des ha- 
sarda cst/x/'x/'... 

^çSi. Soient m )ilacei vacant^^, ff ,C . . qu'il s'agit défaire 
—riiper par m lettres, savoir, a pipces par a,^ plates par A, etc. 
'i' rchfin.'i <)c combien de façons ou peut faire cette'dislribu- 
l'i.U est clair que pour placer les « lettres /t, il suffit de pren- 
ne « des Wttres vY,fi,C,... et de les égaler ka : cela peut se 
laireifaulaut de façons qu'il est possible d'égaDlde fois ào, 
« de* UttttiA,/t,C..- : l mCa] marque donc de combien de 
manièrti on peut faire occuper n places, sur m qui «ont va- 
taaua (f''ojrm n* 47^)- 

II reatr, dont chaque terme, « — n. places vacantes, d«nl^ 
r- nrk-titètn: remplies par la lellrvA. d'autant de fuçonsqa 'il est 
-rqué par [m-< CS]; le produit [mC*] X [(m— «) Cfi] . iti- 

'|iie de coinlite» i^c manières on peut distribuer « lettres ", 
1.1 ji Iellre« b , dtnt m places vacantes. 



I 



3o *" 

Ou deiiua<le le nombre de combinaisons «[ue le r^uUttt peat 
préMnUr? 

Il «'agit de prativei que les nombres du lablcau p. ai, 
doua Mit ces nouibrcs de résul la ts, en (irenant les lignes 1,3,3,... 
suinnl «{u'il y a des boiile.t de i ,3,3... couleurs, et prenant 
tlans cette lignu les lerutea de rangs a, 3, 4... selon qu'il y a 
1,1,3... juges. En effet, supposons qu'on ai( effectué toutes 
les combinaisons lianalescas île boules de 1,3 et .1 couleurs, 
jusqu'au terme 1 o de la 3' liyne , et clicrclions le terme 1 5 qiu 
suit, pour le cas de trois couleurs et de trois juges. On formera 
d'abord les résultats auivans qui contiennent des boules blan- 
ches : 

' " 1 noire, 1 rouge 



dcplui 



Or, su 
lablcE 



3 Blanclies, 3 bl. 1 noire, i bl. a noiies, ■ bl. 1 
2 bl. 1 louge, I bl. 3 rouffes, 
n aura les résultats privés de blanches : 
s noires, ? rOuges, 1 rouge, i noire, 
r ces 10 combinaisons, les six premières sont, dans notre' 
u , le nombre qui est à gaucbe de 10, puisque si l'on y 
supprimait 1 blanche partout, on aurait tous les résultats de 
3 boules avec 3 couleurs; et le chiffre 3 est celui qui estau- 
deuus de I o, le nombre de combinaisons de 3 boules de 3 cou- 
lei^. Ainsi tout nombre du tableau que nous voulons former 
ctt , ainsi qu'on l'a vu pour le tableau p. 21 , la somme de ce- 
lui qui est à gauche plus celui qui est au-dessus. Ces deux ta- 
bleaux n'en Tont donc qu'un seul , et on a 

T=[{n+p-^)Cn,QM{p-i)-\. 

Lorsqu'il s'a([it des grades de Facultés , on ne stseri que de' 
boules de 3 couletirs , et le nombre des Juges est de 3 Ji 6 selon 
lestas;/! = 3 donne r = i (n+ 1) (ri + a). 

Le dcvctoppemcnt de {a + fi+i?.., y est forme (n" 483) 
d'auuiit de termes de la furruc Na'lrv'... qu'on peut prendre 
de nombres dilTifrcot pour Ica cuposaus ■,â,}r,... leur somme 



COMBINAISON'^. 30 

feuUats successifs len cDrubinsiioiis demandées 3 à a, 3 A 3... 
Quant aux nombres des combiDaisons , chaque colonne d'an 
produil contienl autant de termes qu'il y en a dans la colonne 
(]ui Ut au^eMUs , phu dans celles qui sont ^ gauche. Si t, a,$y 
y,... «nt les nombres des termes des colonnes d'un produit, 
ceux du produit suivant sont donc i-f-!t,i+a+fi,i-i-'z-t-$+y 
Cette se fie se lire de i.a.S.- selon la loi des nombres figures 
l'n" 489) ; donc , pour les combinaisons a à 3, les colonnrs tuc- 
cesiives contiennent 1.3.3.4"- termes; pour ti:s combinaisons 
3 4 3, elles en ont i.3.6. 10...; pour celles pi^ p, on a la B^rie 
du p' oïdrc. l.e nombre total des combinaisons , ou celnl des 
termes d'un produit, est la somme de la sdrie, étendue à 3,3,4" ■ 
colonnes, selon qu'on a 1,3, 3... lettres à coiidtîner. Pour n 
lettres , il faut ajouter les n 1" termes de l'ordre y;, c.-&-d. 
prendre le n' terme de l'ordre /j -f- 1. Ainsi, U quotité de com- 
binaisons de a lelirai p à p, en admettant que chacune puiue 
j- entrer 1,1,3... f /ois, est le n' nombre de l'ordre p-f- i. Il 
fautdouc changer /i en /> + 1 dansl'équ. [io)pa<;e22: 



(;,+ .)^^..^±^.. 



(la). 



n peut être>, =:OU<|/i. Par ci., 10 lettres 4*4 donnent 
^tS résultats; 4 lettres lo à 10 en donnent 366. On voit d'ail- 
leurs quen Ietti'gs,pri3esp à/», etp+ t lettres prises n — 1 à 
n — I, donnent autant de combinaisons, puisqu'on peut rem- 
placer n pa.t p-^ I , elp par n — i , sans changer T. 

La même eiju (12) en changeant/) en n, eirtenp, donne 
aussi la solution du problême suivant, donlon trouve une ap- 
plication ^nsla collation des grades universitaires des Fa- 
cultés. On a dea boules de p couleurs difTércntea, blanches, 
rouges , noires. . ;ou est convenu d'ailribncr k chaque couleur 
une signification, telle que, bon, méiUocrc. mauvais... Un 

Ïibre n de personne» expriment leur jugcraent eu faisant 
a. chacun d'une boule de couleur conforme â son opinion. 



J 



5a 



iLGÈBnii. 



I 



; )es ânlres divisent ire''..., et que ceux-ri sont en 
iioubrc [> +^1 ('+>)--•. en les rutrancLant , il i-erte 
«(i-^.^ (i+y). .. pour la quotité des divUeurs «^ui adiae^' 
teut a: comme si l'on ei'it apporte, pr^s de tontes les coi 
biiHÙons sans a, les facteurs a,a',a^,... 

Pour Mvoir combien, piniii les diviseurs de t^b^c* ... 
ejtqulrenfeimenta^i'iie prends tou^uuxde o'J' . .., dont 
le nombre est ( i +y) {1+^. . . , et j'apporte n"5" près de 
diacun : les résultats sont dauc en nombre égal. 



Notions sur les Probabilités. 



lont 
I de 

4 



496. Quand on attend un évènciuent du hasard.'la pru- 
dence conÛBte à reutiir le plus grand nombre de chances favo- 
rables : i'^ji^nement ilcnimt probable i raison de la valeur et 
de la quotité de ces chances. Des èvéneniens sont également 
posîibles, quand il y a autant de motifs d'iispvrer que cliacaii 
arrivera, en sorte qu'il y ait una^fgale indécision pour présumer 
celui qui sera réalise, et que dt-s joueurs qui se partageraient 
ces cliances en même nombre pour cliacun , eusiient des motifV 
é^aux d'espoir, et un droit égal à le voir vérifié. On juge du 
degré de probabilité d'ua «vénement, en complirant le nombre 
des chances qui t'amènoul, au nttinbre total de toutesles chances 
également possibles. 

La probabilité se meiure par une fiftcti^i dont le dénonn- 
natcur rst ta quotité de tous le> événement égalemrnt potsibt 
et dont le numérateur eit le nombre det casfnvorables. .levtu 
amener 5 et a avec deux dés dont Ics'faces portent 1 ,2,3, i 
5 etfi; il n'y a que deui cas, sur 36 égali^ment possible*, il: 
voir 5 et a arriver ; ilonc In probabilité est ^ ou ■^. Si j'esptrv 
amener 7 pour somme de pointa, je compte trois cos do 
qui nieront favorables, 5 cl 3, 6 et 1, ^el^; j'ai dunc^ 
pour probabilité : il y n 1 â parier contre 5 qu'on réiusirk.| 

Il faut donc nombrer toutes lei ctancet potsiblet ei •'gai 
puis celle) ifui lont heureuses, et former linefraçlHn de M 



I 



IBOBABILlTIiS. îî 

. Qu.-inii 1.1 probabilité est> {, il. y s vraitcm- 
tilancc; incertiludr, si cette fraction est J,c.-à-d. qu'on peut 
indifféremment parier pour ou contre Véiténement. l^a proba- 
bililË devieDt certitude quaud la fraction est i, puîïqac Iouh 
Inéveneniens possibles solit alors favorable). En/t^unissant les 
|>robabilités pour et contre un ëvénemenl. on trouve toujourii 

Nous allons faire plusieurs applications de ces principes. 

Sur 33 catles mêlées, 1 3 sont des ligure», lo Ues caries blan- 
ches j la )iTobabililé d'amener une fi|;urt.*, «o itraatuue seule 
carie , est -^ ^= ^. Il y a donc 3 à paner t.'oiirrc 5 (fu'ou aiuênct m 
une fiiiure, 5 contre 3 qu'on tirera une cane blanche. 

Sur m cartes , il y en a /' d'une sorte ilesign^ ; quelle e»t la 
probabilité d'en tirer m' ijm soieul toutes de celte espiicG? I.c 
nouibn.- des cas possibles est mCm' , celui des cas ritvorsbtes 

«BipC»»'; la probabilité demandeeest-i-j^— ,, Sur un jeu de 5'j 

* ^ mCm ' 

cotres, par ei., il y a i3 coetir%; cn tirant 3 cartes au lusurd, 
la probabilité qu'elles sont toutes trois des cœurs eat 

Sur m cartes, il y a a cœurs, a piques . etc. ^ on tire m -\-tn" 
caries ; quelle est la possibilité qu'elles sont m' cceurs ei rn° pi- 
ques? mC{ni'^m") est le nombre de tous les hasards possi- 
bles I-esacœurs, combina m' h m, forment oCwi' systiimcs; 
le*fl' piques, t^Cm": en accouplani ces cliauccs (n" 4;8), le 
nombre des favorables e.st \aCm~\.[a'Cm"]: c'est le numéra- 
teur chwché. Il serait [-.Cm'] [flX-m"] [/.•Cm''],i'il y avnit 
en outre a' carreaux dont on voulût tirer m*, etc. 

La roue de loterie contient m numéros dont on lire (i , un 
joueur eu a pris m i quelle est Li probabilité qu'il en Nortii.i 
pi-écisémeni'^} Le noiubte total des chances est mCp, deno 
mina leur cIieTche. On a trouve (n° 47^) le nombre des cbancei. 
favorables, ainsi , le numérateur cnI 

Dans U Loterie de France, m =r go, /f:^ 5, ledrnominnliur 
i 11 3 



» C5=43 949 '">■ liu'm jouïur 


ait prio ao nwntfi^l 


»., iw— ao, s'il veut qu'il en sorU 


/"*"•"""' ^ 


j=/, nufn«r. 3o [70C41 probobi!. 0,4172 V 


' = />' mi.'.[,»C3] 


.... o,a367 . 


3=p':..t.. ao.u.f.hoC»] 


.... o,<*>6 


4=/ 7»[»oC4] 


.... 0,00,, 


5=/'' [««CS) 


... a,oaa3. 


D veut qu'il sorte au moins t numéro, c.-à-d. qu'il en 


t, a, 3,4 ou 5, il faut prendre la 


souime 0,7145. Pour 



Si IV 

sorte t 

qu'il en sorte au moins 1 , ajoniez c 

la ptobohilité est 0,3073, etc. Si ' 

aucun Quiniïra, faite.i /i' nul, n 

o,'}i/(5à I ; voua aurei 0,3^55 

Ces ]>rotiIèmes peuvent s'énoncer ai 
,1 m' (Itfsignées; on en tire^, et on veut qu'il y en ait, ou /iré- 
ctsément, ou au moins, p' prises parmi les Jésigoées ; trouver 
la pnibabilîlé? Par e3E., un joueur de piquet a refu la cartes . 
d'où i) conclut que , parmi les %o auti-es, il y a ^ coeurs ; quelle 
est la probabilité que s'il reçoit encore 5 cartes , il y aura pré- 
cisément 3 cœurs? m ^20, m'-=-^, p=:S, p'r^i; d'où ré- 
_ [.3Cal.[7C3] _ 2730 
aoC5 " )55o4 ' 

comme ci^dessus , on aurait pour la probabilité qu'il viendia 
au moins 3 cœurs , ■ . - ..' "- ■ "" environ -^ . 

Ou a dans une bourse la jetons, dont 4 blancs, on en tire 7, 
quelle est la probabilité qu'il y en a précisément 3 blancx? 
m^ia, m' = 4' P=l< /''=3, d'où on tii-ejff, à peu près y^. 
La probabilité de tirer au moins 3 jetons blancs sur 7 est ~j. 

497. Deux événemcns j'/, A' sont amenés par/>, p' cause* ; 
il y en a 7, q' qui s'y opposent ; oo admet qu'il peuvent arri- 
ver ensemble ou séparément, et qu'ils sont iudiipendaus l'un 
de l'autre: 00 demande quelles sont les probabilités de tous les 
cas. ImaginoiM ^ux dé*, l'un à p-i-ç faces coloi<ée* , p «o 
blanc , <p en noir 1 Vautre 1 p' + q' faces colorées , p' en touge 



suite ~ 



résultats, excepté le 1", 
us Toulei qu'il ne sorte 
I prenez le complément de 

m cartes, îl y en 



En 




^ f Tacc* Il 



i:l le» p roDgcH offrent y 



iiibînaiïons. 



Ipt W OIS ftTorables ; donv U probabilité cal 
1 



l'JIDBABlt.lTfs. 55 

feu bleu: il est vinible que l« jet fie diacun de l-m des sepai^^- 
edrs ri^uliau comparables A dos deux évèneiiteiii. 
 acn rralixê, «i l'onauiËnc l'une des /< faces blanclies , it il 
»e le gen pas . m l'on ninitiic l'u»'; de« 9 faces noires, etc. )iU 
uMubn toul Ai:* Iiaiiards(p. 17 ) est (/f + ç) X (/>'+?') dp- 

Pniaateur cpmmuH de taules nos |irolmbîlilés. 
i l'on veut qu'une facti nuire et une rouge arriveutcusemblK 

c'est celle de voir arriver /f «ans que A ait lieu. Il en (Cru d;: 
méuie des autres cas. 

tlbservez que DousavnuH ki le )>roduit des probsbiliti» re- 

i.Liives.l rbncun des evénemen» goubaiiësi donc ti do évém— 

"f/i3 toul ind^penditm (es uns Jesauwvs, la prvbalfiUté qu'ils 

Il riveront eiuemble rst le produit de toutes les probabilités ri-- 

UiiiifS à rhacun séparément. Ce ibeorènie des probabilité» 

i?iTip»s^rt n'est ici démontrée que puar deux evéneinens ; ma!)) 

>il y en avait un V st , ou uu 3* de à p" + q" laces , ie nténic 

rauoD lient ei)t s'appliquerait, et justitierait la cons<J(|itence 

jtkonctie . 

^^_psr u» jet Je deux des i 6 faces , un veut aineuer 4 et a* ; 

^^Hdle est la probabilité Ai succès^ En ne considérant qu'un 

^^H(,ilja six hasards, dont deux favorable;! (4 ou as) , pro- 

^^Mbilité iiwple fl ou j ; mais ce 1" cas étant arriva , le a' de 

doit encore amener l'auti'e |>oïnt(us uu 4)'i autre probabilité 

iiiuple-'idonc probabilité clterclicc^ X^^i-t;; comme si l'on 

^ù% roiDpard les % cas favorables, aux 36 basards possibles. 

H On A s^rt) les couleurs d'un jeu de 33 caries , en 4 pai|uets. 

n, âc4neaux , etc.; un demande combien on peut parier 

nm l'anu des 3 figures de cceura/ comme on i);nora quel 

tir |«q*cl qui ronti«ni le* corurs, \ est la probabilité lim- 

kiu'oa t'adreni-Ta i cet assemblage 1 mais dans ce cas raè'iir, 

, il faui lirti l'oiiu dtï 3 tijjures , autr^ proliibiUi,* 



36 ALOèBBE. 

simple |i donc celle q«'oii deinaoïJe esl coiupog^e dés ileu 
précédentes) °n^. 

Quand les probabilités se coinpa«ent, elles s'sfiaililissent , 
piûsqu'ellea résultent du produit de plusieurs (|ua»lites '^ i. 
Un bomme dont la véracité m'est connue m'atteste nn fait 
qu'il a TU; j'évalue i 7^ la probabilité qu'il ne veut pas inc 
troinper, et qu'il n'a pas été induit lui-même en errear par ses 
sens. Mais s'il ue tient le fait que d'un témoin aussi vtfndiqut, 
la probabilité n'est plus que de -^X -;^, ou ^, i peu près^, 
S'il y avaitainii ao inlennédiairet, ou n'aurait plus qnef -^ J , 

c-àrd. pas même j ; il y aurait 7 à parier contre 1 que le Tait 
tfaosmis est faux , quoique Totts les intermédiaires soient (pa- 
iement véridiques. On a comparé cette diminution de la pro- 
babilité, à l'extincliou de clarté des objets, vus par l'interpo- ' 
siiion de plusieurs morceaux de verres. 

498. Quand les probabilités simples sont égales entre elLs, 
le résultat, ou produit, est une puissance de cette quantité. Un 
événement A est amené par^ causes, il y en 0*9 qui s'y op- 

foliabililc it'a 




■^. 1«W]mI la 1^0 babil iK- ijue ^ariivera t foise» n roiips, 

a litfMgiicr ceux où il devra se rdalituir. 

Si «i l'on veut que A «rrivi: nti moins il fois, ou cliaii|>iTn 
icii eoi,k ■+■ I,. . . jus<|u'i n, et l'on |>i'eiidi'B la soinuii' des 
rMoliatj. 

I J>(Nictt:d< Domina li'ur delà prub.-iKilile cliervht'e est (^-f?}*: 
bnméinletir s'obtient en dérelo|ipant ce biiionii!,et s'arrétnnt 
tti^rinc où entre p", qu'on prendra :can5 ou avec son eoeffi- 
Inl, aelon t\u'oa voudra avo'nr ou n'avoir pas égard aux k 
Dgs où W se réalise m n coups. Et »i l'on veut c]ue /l arrive 
I moins A fois, vi au plus k' fois, eu n coups, on ajoutera 
os les lerin» pu p a les exposans * , * + i , . . . *', 
V»i ex., un <\é i 6 faces çn a a qui sont favorables i un 
Ueur ; U Faql , pour qnTîl ga|>ne , qu'en 4 <^oups il aniî-iie 3 fois 
ûie on r(RiUc[ou, en un «enl jet dp 4 dén, il faut queSTaces 
•oient Cirorables); on demnnde la probabilité dn ;',nin?J'ai 
p = 3, y =4. pui»C// + y)'s=6*= iî9(i = 
^^^ p* ^ i6coapiquiamÈncnt4foisrnncdesfacesfavorab . 

Brff>'9 = '»8 3 

B^^^r'=384 , 

+i^' = *" ' 

+ ^' = 356 .. . 

^^bnmu^ 1 396 = {/j + <i;\ dénominalcur dea probatilUtdi. 
^^^kc ta probabilité d'amenei' précitémeni 3 fois l'un des cas 
^^Bvonklcs est -p7*gj ou ■^■. on divisera par le coefficient 4) >> 
V l'oniloîl désigner l'ordru où il« arrivent, et l'on aura^; enfin, 
ajoiitnnl les deux I*" nombres, on a 7,',*,i ou i,pour la probn- 
biliti- que les faces favorables se présontcroni au moins 3 fois. 



t de deux joueurs M et iV d'i'galei 



fore 



Dque6point*à A/ pour gaijder la partie, et il eu atanque 
I ; je forme la ()* puissadce 



fc A? La somme de I 



s pouils e: 



y •¥ ^:\*, réserve pour M les 4 '•" terme» (oii l'exposanl 
\f tst au Hioiiix 6; , je pretxh (lour A' les 6 autres leiiueit ; 



^y = . Je 



1)0 d'u 



- P**") 



38 tt^itniiF.. 

l'auU*, cil» somme loUlc 5ia :1c son du .«, ou là'ftrohi 
Vue ijn'il fisBiicra , est j^, celle de iVest j^. Si la pailie eU 
rcimpnc avant de (enter ritn, l'enjru. devrai» être parlRgi' ei 
JttetP/ dans le rapport de 1 3o à 3S3 , à U^n peu p)<4 cotr 
r A 3 : c'est aussi le prix qu'ils doivent vendre K-um prétcntiuHH 
.'< lVojeu,s')lsconMnientâ céder le di ai i qu'iby ont. Quand (•( 
force des joueurs est, par ex., eonintc 3 i a, c-A-d. quand Af 
^gnn ordinairement i A', 3 parties sur 5 , ou qut: 5/ cède A A' 
■ point sur 3 pour égaliser les forces, le calcul est le même e 

posanE j>^ 3 et 9:^9. Dnnsce ca>, on trouve ■ '- *""' ■*" ' 

«SI a celui de A'^ environ :: t4 : '5- 



499' " '"'rive souvent que les causes sont si eaclices, ou 4 
croisent d'une manière si varii/i; , qu'il est impossible de 1 
dt'mêler et d'en noinliref la multitude : les principes expo*^ 
précédemment ue peuvent plus recevoir d'application. On c< 
suite alors l'cip^rieDce, pour s'assurer si les cvénetnens s 
assujettis à nn retour périodique , d'où l'on puisse conjecturé 
avec vraisemblnnre que la cause inconnue qui les n rainenfe" 
souvent sous un ovdrii régulier, agissant encore , les reprodut 
dans le même ordre. Le nombre de ces retours est subaiitué it 
celui des causes m^me* dans les calculs de probabiliti^. Un d<- 
jeté to fuis du suite a présenté 9 fois la face a ; U y a dont 
dans l'action qui le puu.sse, dans sa ligure, sa substance, quel- 
que caïur rachi^e qui produit le retour de 9 fois la rac« a : si 
I ou (ipreuvcs ont ramené de même 90 fois cette face a , lu pro- 
babilité ^ favorable À ce retour acquiert une grande force, 
qui s'accroît encore quand leit épreuves multipliées s'accordent 
avec cette supposition 1 puisque si l'on pouvait faire un nom- 
bre infini d'épreuves, 4|ui toutes préscnUssenI 9 fois sur i« U 
face a; on aurait la nrlilaJe de l'bypotliJtse. 

C'est ainsi que conxiaiument l'cxpcrieDce a prouvé l«s [ 
aatvans, dont il est impoMible d'aasi^uer les causes. 

1". I.a nombre des mariages contractés daji» un pays, | 
tiiie durée quelconque déterminée, cftt à celui de* natSKam 
et A U popuUtinn k très pi'u prÈs, :: 3 : i^ 1 3(^. 




PROBABILITÉS. 

Il naît cnxeiutilK i5 GUes et i6 (garçons. 



'. L» pojiiilatîoii, lu nombre des riaisMiices, ccli 

cl«rluiilc«inarta(^iisont " 3o376i5 :^i 896:67700; i5345; 

à tici {KV pris . par an , les naissances sont le a8* , les morts le 

3e*. et ie* mariage:! le i33* de la population. La difTeVeiicc —, 

^làet uaistante* aui morli est l'accroisse m eut annuel d« la po- 

\ filiation. 

4*. La durée des grnérations de pire en filg «st de 33 ans. 
5". Le nomtMV des morts du sexe masculin' est à celui du 
acte fcminiD ;; 34 1 a3i et dans un pays quelconque, le no>><- 
'br« «*« livani du i" sexe eal à celui du a' :; 33 '. 39. 

6* Les déc^ miles sont le 58*, les Téiniuins le: 61* de la po- 
pulation I ï Paris, la toulii^ des àéci:s n'est que la 3a' du 
■toinhrc di-s faabitans; ces décès s'élèvent auBuelIciuent k 31700, 
terme luoyea, et les oaissaoccs i a48ou. 

7*. La ln«ilté de toute population est au-dessous de a5 ans, 
vt tous les aS ans, nue nioîlié est reunuvclee. 

9* En Prauce, le 66* de la populaliou se nmrie chaque an- 
née. La durée de la vie moyenne est de at) ans '-. 

9', Les rebuis annuels de la Poste aux lettres de Franre 
vm\ de 19000, etc. , . , 

C'cJl sur ces ronsidéralions qu'on établit les Tables des po- 
pB talion rt de Biortaliié : on peut consulter à ce sujet l'yfn- 
^bfiaire du Bureau des Longitudes. 

^1 Ttotu ne diror.s tien de plus sur la doctrine des probabilités, 

l^lli ot si éieoduc qu'elle fait la nialicre des Traités ipédaiiK. 

^«f . rWax de MM. Lapince, Lacioii, Condorccl, Duvillard.elc. 



1 

morts .^M 

I 



4*> iMîKBKK. 

,11. RÉSOLUTIOIJ DES ÉQUATION». 

Composition des Équations. 

5oo Après .nvDÎr transpoiiri et rëduït, louff. équation a Itt 
forme 

kx'+p3c*-r'-^qx'-''i^rx'-' + u + « = o (() 

que nous représenterons ^t (^)f[x)^ a; k ,p,q. .,u août 
•les nombres i onnuii positifs , oégaiib ou léro, On appelle ra- 
line toute rjuantiie' a t^ui^bsUtuée à xiéà»i\lf{x) à lero, sa- 
voii/C<7) = o,ou ha'-^pt^-' +. . . + w =o. 

Soit pris au hasard un nombre a, divîsoiiij le poljnouie (i) 

par X — a ■■ soit R le reste' numérique, 

kx*~' -j- p'x'~'' + q'x'"' , . . -r'' le quotient de cette division. 
Ce quoUent uiultipUé par x — a, étant au|;inen té ile/î, doit 
reproduire identiquement le dividende (i). Ce calcul donne 




4- 

■ Transpasau le* 



IV coarasiTioN des njuirioss. 

W—aA.i\ui dan* l« proiluit nflectt 
j = y' — iip',r = r — oy'.. u = ft 
terom iM-^lif», il vicrii 

p~p + ak. v'^y + «/(', r =r -t-ar/ ... H = u+^if (a). 

i«t itqu, . loules de-' miiiiie rorine, sLTV<.-nt à dëdgiMaueccMi- 

vv-iiKUl \ts UI18 dc4 autres ks con^^asp', y'^,,. du «luo- 

' \u icNy fi [ car cht^vun te compose du coofficù-ni ik 

,-,;: 4nw/(r) . />/«» du produit par a rf« iorfficictu 

■'- '" .Vv^ *• .* * 

VuKi 4a)'V*ti*vli;s (le ce S'allie (l« <'alcuU ^ i;- 

llivinrr i^" '•J^'+ ^ î*' + 9* — ' ' p-""" * — î. 

uintifuti»*'^ ix^+ «*— 3> +3 re*(t; — 5. 

kptè* arim''^ni \x*, i" lennc du quoiieut, on h\me 
I <-i — )o=: — 3 qui c»t le coefficient de x'; cçlui de*' 
I it — axa + 6 = + », ensuite aX» — 7 = — 3, etc. ; 
SilciJÎTtvnir eitx4- ji^feteur mimeriqiieesi partent — a. 



\ 











ix* — i8x- 


+ 4»*' — giit + 


191.. .. 


reste 


-39I, 


Hais on peut 1 


»ussi Irouvur l'nn di 


;s loeffie 


ieiis iiidt'pendjii 


eut de tout au 

r . 1 . ■■ |.. - 


ir*;iarei. élimiiiaiii 


nai-cL-ssi 


iveiiK 


^n.p'.î', 




^<a'+/-(i+y. 


/=*<»' 


+yjn 


■+'/" + '-. 


-'•" -'■- r'^' 


- -+- ^fl"-' + /■a"- 


-'.,.+ 


la + 


«=/w. 






Viiiti pour furiDiT un i-uefticicnt qnelcnoqiie de rang 1 dans 
il (ifMlM:nl, il faut prt-ndrcli:si premiers termes de/[x). reiii- 
l'Urvr X ^r ji , tl supprimer les (luissanceB de a comiRUneH à 
luui la utmti ; et iguant au rvitte fî 4« In division , il est formff 
da f'oijttome proitoséyCx) , où l'on a fait x^a, 8avoir_/"(fl). 
te reste R est ou n'est pas nu) , hl-Iuii que 1 eit on 
Wl )M s racine de l'^qM.y"(ar') ^= o, on voit que /ff/jo^nomr 
■> *■« ou n*f.!t ^a* diviiiblf par j. — a , «r/on yne a e>t ou 
^rti l'a* raeinr de té^u.fÇx)^ a. 

Ix iiiod«.- de cairui indifiudci-dessu» est tré^ uommode pour 
ItuuTcr II' quotient A«f{x) : (.1 — a) , tci'i'iinattrt; ni a est ra- 



4» 



tLGËOHt:. 

c rdiullai nui 



tCnniMinbretlonnéc jt la place «lextlaus un poijai 



I 



I 



une racine au moins 
non» Itron» * =t i , 
peut diviser tou Ici' 



iiis quo'i soit assuré, que toute ftju. 

sujet sur lequel nom l'eviendrons, ei 
ie qui n'Aie lieu .Un {;cn(fralilé, puisqu'on 
qu. COP^i*^' ^' 'leslracino de celle équ. 



ou n idcntiqaementyfx) ^= {x — o}Q, Q étant mm polynôme 
lie di.gr# n — ■ . 

Or si b est racine de l'ëqu. Q = 
d'où Q = (i— *)Q', /(»)=(r 



I 



n , ï — b doit diviser Q^ 

De même c triant raSIne de Q' = o , on a 

Q' = (ï - r}Q" , /(a) = ir - a) (T - A) (* - r) Q". 
Les do^rés des qaotiena s'abaissant successive ment A chaque 
facieur binôme mis en évidence, il est clair qu'après (m — i) 
divisious, on arrivera à un quotients — /du i" degr<!. Donc, 
en admettant que toute équation ait une racine, f (v) de degré n 
eti formé du produit de afocteurs binômes du premier dtgré , 

/{x) = {x-a)[T-b)(i -c).. . (i-O. 

Celle équ. est identique, et la dissemblance de^ deux membres 
dis)Mirai trait, ii l'on c(rectuait len calculs indiqué^. El puisque 
J^[x) devient nul lorsqu'on prend jiour x l'uikquelcouque dos 
nombivs a, A, <' . , toute éqa.f[x)=30 a n racina, tjiti sont, 
en signet contraires , les second* termes de ses u foeteurs 
binômes. 

Crauvons qu'on ne peut en outre décomposer t {\) en dan 
im fadeurs (x — a') (x — b') (x c') . . . Us grandeurs s', 
h', t'.. . ^lani, toutes onplusieun .di^rrrntes de a, b, r... 

Pour cclti itiunlrons que si le binôme x — h divise eioctr- 
ment !e produit de deux polynômes A t( R rationncti et entiers 
par rapport à » , l'"n au moins de cc^ polj-nome» ett divisible 



-II. En effet, I 



ipposoniqu ei 



ni A etB narx— A, 



ou .-lil les q^otîeni A' et H', et ks restes nuinilnqutia a et ^^ 



vï = ^'(jr- A) + ., /I = fi(x 



.*) + »- 



aiM POSITION BES ÉyifiTIOWS. ^"^ 

lEii fatum te fti-oduil jlB, on trouve que r — /i entre toatmr. 

■ hcleurdelouales tenues, excepte de ad.fluie'Unt nn nombre, 

i: peut être ilivisibli? |iar x — fi , à moins cjue l'un des reste» 

luI Donc , etc. 

D'aprèa cela , ]iuiaque/(x) = (x — a) Q, ei qu'où soppoM; 

i' A\y'isef{x), il fnut que {x — a) Q, oufluiâl Q, 

' toil divisible (larj — a', De même pour Ç', dan» Ç»={j:— AJ^>', 

c( ainsi de suite jusqu'au deniiei' tacU'urx— J, qui u'^taut 

|)a« divisible par x — a, montre que x — a ne pouvait di- 

vU.r/(x). 

Donc : 1°. Tout poljrnome i (k) «'«i ritolubie qu'en un ieul 
lyuèmc de m facteurs binomet du premier degré, et Vé'fu. 
ffji) ;^ o n'admet que m racines. 

JM., 



■x". Toute fraction ^4-T «ui devient - lorsqu'on fait x ^ a, 

a pour facteur commun de nés deus iermesy"{x) . * (ï) ; 
Kt;t inêi'ieX'— a peut y entier à uni- puissance quelconque. La 
e la fruction s'obtient en supprimant d'abord les Tac- 
peur X — d qui son! communs, et faisant ensuite x = a : ainsi 
e valeur est finie , nulle ou infinie, selon que x — a est i la 
Idème puisMnce dans les deui lei'mes , ou que x — a porte un 
I plus elevii au uumeratcut ou au dénominateur. 
3', Sideuxéqu./(x) =o,f (x) = o ont une même racine a , 
r — a eiit facteur commun. C'eslaiosî que 



-84=0 



Ixr* _ 3x' ~ ( 7X + 3o = o , x' — 3-jx 
ontx 4.3 pour facteur, qu'on obtient par la métliode du 
commun diviseur. La coexistence de ces deux e'qu. serait ab- 
surde, s'il n'y avait aucun fncteur commun entre elles. Et si 
ee facteur était du a* degré, les equ auraient deux racines 
qui seules répondt.-iîent au problème, etc. 

4*. On peul, pot la division, abaisser le degré n d'une ^qu. 

d'autant d'unités qu'on connaît déracines, la rechi^cbe d^-s 

icioei étaol la même cliose que celle des facteurs bluoniir. 

«(acteurs du 1.' degrésont en nombre ', n (n — t), (n" 4?^) 




44 ALGÈBRE. 

puisqu'tlrvésulUnt des combinaisons 2 A a ilc ceux An i" : 
cens da'S' degré sont ei( nombre -5-1(11 — 1) (m — s), etc. 

5o3. Puisque la proposée 'i* +px'~' +gx'-', ..+ 11 aeo- 
est 1c produit de (x — a) (x — à) (,x — c). . . , il suit de ce 
i)U*OBavu|t. i35du i"vol., que 

I*. £> coefficiaa p dit 2' terme est la somme de touus tes 
racines «, b, c . . . pritttt en signes contraires; 

a", fji: eoefUcieju q du 3* terme est la somme des produits 
deux à deux de cet racines ; 

y. r est la somme des produits i à 3 en signes contraires, elc. 

Enfin , le dernier terme u «1 le produit des racines quand le 
degré n de l'équ. est pair, et ce produit en signe contraire 
quand le degré est impair. 

Transformation des Équations. 

5o3. Pour que hs racines \ d'une équ. (i) deviennent b 
fois plut grandes, /ai tes \ ^='^; d'oix .-. .-•• 




Thi?i!>FORMATiOnS UhS f.QUATIONS. 4** 

leil, l-ar (•»., r<;.|u. x' — ; x' -f e ■>^'' — ^ x — j =", 
âtiplonipar la. on» i«t' — 8r'+ rox* — gjr — 42^0: 
uiIx^tVJ'i *^--^-à multipliant les coefficicns 10, 9014^. 
respecli veinent par t», ti', 13^, U Tit-iil, 

J'' —8^'+ laor*— tiçfyr— 72576 = 0- 

Pour que Ift raeincH \ dune éiju. deviermeni hfoîxp/as 
prtitei , on poicn X ^ hj. c,-à-4^qu*on divisera les (odïi- 
iiK-n* lucccssifs par h?, h', h' . . •h", hc calcul précédent donnait 
A l'equ. An cocfltùcns plus grands; celui-ci les diminue, et 
^'<:iup\oi<: dans ce but. Mais à uioijiB (jue les divisiatis ne nVf' 
l'Ttaent exactement, on a ainsi des cocHtctensfractioanaire.n. 
Soil Yik^ix. x' — i44j^= jo368j en posant x= la^. *>n trouve 
i^fteeiiu. plus simple, y' — j-=:6. 

5o4 .Si l'on vent diminuer toutes les vacines^ il'uni; nitmc 
i|nai)tiU(|, on pose j = i -t-j-. En mettant/ -f-^- pour xd.niid 
tout lu termes de/(x) , l'équ. (1) devient 

un>nnu«nrrâti-i' J développer les puissances de t-4*^|ilrésulii; 
lie U loi connue (11" f\&3) <|uc suivent les termes dfi U furniule 
lie A'ewton. que la transformée ^lani ordonnée selon les puis- 
hiiicescraissaniesde j*, est 



A^Bx + Cx'-^ny. 



. +*r=<' 



Aé\Ma\=ifi. 00 It poljnonie proposé a\*i l'on n remplacé a- pan ; 
ii te didûl de il en muUifiliant chaque lerme par Cexposani 
dr t , et JSminiianl cet «x/jotant de un , calcul qu'on dcïigjnc 
fuu le nom de DirniviiE , et qu'on indique par^^i. De même C 
l trouve en prenant la dérivée de /J, et divisant par »; 
{fi; D est le tiers de la dérivée de C, O — ^/"i, et 
và dt tnite. On sait iIodc composer les cociSciens de la 
naronnée, en les dêtkuisaut succès»! vemeul les uns des 
■Ita, lavoii 



■14 


ALGÈBRE. 


l>uisi|u'ilii résultent dei c 


ombinaisoiu 3 A 


(Ciix ilii 3' degré sont en 


nombre l n (n 



■'l'-.y. Puisque la proi>o«ee3:*+^j^~' - 
1 si le pi'ddiiit de (.r — a) (x — b) [x - 
iju'oii a vu [1. 1 35 du ■" vol. , que 

r. ï^ coefficient y dn 2" tr-rme est 
lat-iiu's a, b, c. . , prUei en signes con 

i". Lf coefficient q du 3' terme est 
di-ii.r à deux de cet racines ; 

3". r itt la somme des produits % à'} 

liiitii) , le dentier terme u est le pr 
dcft'i' n de l'fiqa. est pair, et ce 
'jiia'id le degré est impair. 

Transformation d 

Pour t/iin lex r 




^ ALCifBRR. 

X — 1 ^=:j; on n'a alors que des additidhs h fairci selon la 
loi du tableau p. si . En voici deux exemptes : 

»^ — ia*'-|-4'-«^ — *9 = o «'— ftr'+7*'— 7Jr+7 = o 

, _ii +3o +1 I _5 +a — 5 +a 

I — lo -f ao 1—4 —3 —7 

1 — 9 , —3 _5 

r'— 9r'+'V+ ' = o r'— ar'— 5^'— y+2 = o 

- 5o6. La iiiéme tran»foriiièe , ordonnée selon les puissanceK 
décroissanltrs de jr, peraiel de délivrer l'éqi{. de ton a* terme, 
' en faisant x =jr -f- 1 , et disposaot coaveuableineDi de l'arlii" 
traire i : on a 




TRAnSFOtlltATIOn£ DES ÉQUATIOKS, ^f| 

ï*+/ix -f- 7^= o, tiii fera r -f- 'fp = jr; puis, t^t- 
rftot,ï'+/uf ^=j"— î^'.cl la trausformée en x'^^ip' — î- 
On x'iTKj', et par suiU; les racines x de la proposée. C'est un 
mode de ràolutioii de l'éqvi. du a* degré. 

On *e/n aiséuieiit qu'on clias^e à la fois le A* terme de/r, 

^*| le coefficient * du i" lenne , en faisant x = "^ ° . 

^^W l'on veut chômer le 3' t«r7R<? de l'éiju., on doit faite 

Cette relation conduit eu );^iiéTal à des valeurs irrationnelles 
ou unaginavres de ■ , ((ui ne peuvent être utilement employées. 
Enfin si l'on pose ki" + ;«""-' +. . . -f- u = o, ou chassera 
le dernier terme de l'équ. Il faut alors résoudre l'éqn. pro- 
posée cllc-œème; cl en cfTel la transformée aurait une racine 
, _7' ^ o ; d'où or = i, 

{07. Voici encore deox transformations usitée». 
'.Si l'on pose T^ — j", ce qni change les sit;Des altcrna- 
tteulemeul , les ntcinespositives de redeviennent négatives, 
p^eiproquciDCni. 

', En faisante =-, les racines détiennent réciprcqutSy 

le* plus giaudes de x répondent aux plus petites de jr : comni^ 
In fjctrur* x, x*i 3^. . ■ snnt remplacés par les dIvîseurB y^ 
_»', jr".. • , en muIlipUaut tout par j" , ces facteurs se troit^ 
teut rvinplac^H par j"""'. y"~" ■ ■ ■ Ainsi ce caltul revient 1 
lintribucr, près des coelËcicus, les puissances de j en ordre 
iiiveive de telles de * : 



. + ^ + ^., 



. +^ + u=o. 



J'oû »jr* + ty'"-'-^....'\-qj'-\-px+k = *. 

Kl H l'on Teut en oaue chasser le coefficient u du 1** terme, 



■ poMr«j- = 



, tranifoiui 



Ht <l*uu seul coup les deux conditions. 









^ c-V». s (x) = 



â j-aicni, aveod 



itcx, me irtnlioa donnée par une éqo. entre xet^,^»,^)d 
il ne s'agit donc qac de MToir (ilîminer a: de cette dci 



(D-Saa). 



3 l'aide de la fropotée, problème que nous traiterons biei 

Limites des Racines. 

5o8. Une limiie supérieure des racines de tiqu.i%=^o, en 
une quanliié quelconque qui les surpasse toutes : cette limite 
sérail zéro, li aucun lurnie de_/fu'i:iaîl négatif, [iai£qael't!<lu. 
n'aurait aucune racine positive. Tout nombn: l qui, tubsùtué 
pour s dans ts , dcnne un résultat positif {Xe i" terme kx" 
ayant k 8ij;ne + ) rst limite mpérietire, quand tout nombre >1 
fji dans te même cas, puisqu'aueune valeur .-t ne rt'aout 
l'equ. 



Ou sait que 
d'où x'^(.ir — I )a:'- 



-ŒX»- 






Appliquons celte roriiiule k diaqi 
*(i-i)i";'+»|(i— I)»— +Jto- 



tenne positif di 
il vient 






■o+« 






Nous laisseions \e» termes ué|;alifs sous leur foriae, et n 
les placerons dans les colonnes où x est aiïecle du 
sant' Un terme — sx*, sera mis dans la colonne {x— i) a 
le coefficient sera (*+/>+?-.) (x—i)—«î 'c fiwjj 
(x — i) est la somme des coefficiens positif* çui M 
Or, pour attribuer à x uuC valeur capable de r 
négatif, ilfaul que (*+/!+ y...) (x — i)m 
n'y exislem doue plus si l'on prend 



'>"*'m7+f: 



lé,, 

F' 



LIMITES Des RtClNR.S. 5l 

'OB «p-iluo aulaiit (lu chacune J«x toluniiev di'i st: trouve un 
iBkieoi Degatii i et que parmi loutt:8 les expreMioas (M) 
£D«i fanaéet, ou preune la plus {grande /, il i-st clair que 
jTsou ^/ rendr» tout te polynôme posiiif: /e«t donc limile 
supt-rienre du* radnes de/r^o. Ainsi , divises chaque coeffi- 
cienl négiat^f de fï par la somme lie tout les positifs qui le 
précèdent; ajouiet i à la plus grande des fractions ainsi 
obtenur* ; ce nombrv sera limile supt'rifiire des racines de 

Soit 4^— Sxl + aaj'+ioS*' — 8o.r + u = o; on divise 8 
4, (lunSopar 44-a3 + io5; le i" de cesquotieu» a esl le 
grand-, donc , loaus les racines sont <; a + r, ou 3. 
Eneflaçaul^,7,.. . dud^noiuiiiateur de [Mj , celte formule 
;oi.aledrc 



jtl â *^ou>i + j 



d flugin 



celle fractiou (M], on voit que le plux grand coeffici/nt négatif 
d'tinf^qu.ipn's en-^ , rt augmenté de\, est une limita fupé- 
_rietire de ses racines, quand oiia divisé l'équ. )iar le coefficient 
i" tenue. Cette expression est plus simple que la i*", 
Itm forme à vue , ce qui In rend priiréraMe toutes les fois 
b'or h'b pas intérêt A choisir une limite basse. Les théorèmes 
suir&ns offrent souvent une limite plus avantageuse. 



Sog. N'ayoni 



égard qu'an i" tenue et'au» termes négjatils 



_F»*-/_Gx-» — Hx-" CO 

i( * Vn nombre qui mis pour x lendc celle eipressiou posi' 

■•>F*"-/ + G-''-' + lI«— ' (a) 

F . O II 



|misquc la partie posi 
1 ywj nnJ le i " 



nlire;>(««atis- 
ombrcs >■ « ne 
«e dc/r accroît 
Trtle dr fx plu» 



grand que ta somme des termes nigaiifs est limite supérieure{*). 
Tirons de la relation (3) une valeur de m. Parmi les nombres 

\/F, ^G, |/H. .. il en est un qui surpasse les autres; suppo-. 
BOUS que c'est le 1', nous le rcp'resent^ioni par t : 

^/G = i"> t F et i/H, G=s!j*, F<ïJ', H<**. 

Rempla;onsc)anB[9), Gpar/f, F par 1'^, H pari*; le 3* membre 
sera auj;inento ,etsi l'on rend et" ^ que cette somme, à/ortiori 
la condition (%) sera remplie. Il s'agit donc de rendre. 



■ >i' x*~f + ifx--i 4. **x*-». . 



On pent même ajouter i( 
nome , d'où 



inplèient le j; 
.4-»', 



Admettons qu on prenne x'~> i, ce dernier terme seran^atif, 
et en le supprimant, le i* membre sera augmente. Ainsi, . 




LIMITES .DES RACJN£S. 55 

1 a 

1** tbèorèii>e douDe2i pour liioite; mais prenant |/2, ^^20, 

4 

{/il, le 2* de CCS nombres est le plus grand , à peu pr^s 5 ; 
ainsi lo est une limite supérieure. 

5io. Faisons x = l+j" dansyô: , / ëlant un nombre quel- 
conque ; il vient (n«5o4).//+j-/7+irT^--+^J^ = o. 
Or, si l'on cboisit pour / un nombre tel q*uey/,y^/, /*/. . . 
soient positifs, tous les coefficiens de cette transformée ayant 
des signes -f-i aucun nombre positif mis pour jr ne peut y ' 
satisfaire ; les valeurs réelles de x répondent donc à des yaleurs 
négatives de j* = x — / ; partant l^x. Donc , tout nombre qui, 
mis pour x dans fx et toutes ses dérwées , donne des résultats 
positifs, est une limite supérieure de x. 

Dans notre dernier exemple, les dérivées sont 

4^:^ — 6-r* — 4^^"^ ^9 '^** — lax — 4o>*4'^ — '^' 
On voit que j: = 6 rend tous ces polynômes positifs , et que 
x<^6, limite plus basse que celle qui a été trouvée. 

Observez que si l'on chan(;e les signes alternatifs de la trans- 
formée, les racines de j* auront changé de signe; elles seront 
donc toutes positives, de négatives qu'elles étaient : ainsi, on 
sait transformer une équ. fx = o en une autre Fy = o qui n'ait 
aucune racine négative, en posant x=:l— y, l étant une limite 
supérieure des racines x. 

5ii. Changez .r en — x dansfr, ou les signes alternatifs; 
les racines positives seront devenues négatives, et réciproque- 
ment, en conservant leurs valeurs numériques : cherchez la 
nouvelle limite supérieure T ; les racines négatives defx=:o 
seront, entre o et — /', les positives entre o et /. C'est ainsi qu'on 
reconnaît que dans notre dernier exemple toutes les racines 
sont comprises entre — 4 ^^ + ^- 

5i 2. En faisant x = - dans^j:, leî^ plus grandes racines de z 

répondront aux plus petites de x. Si donc on cherche la limite 
supérieure h des racines de z, ou 5 <^ /*, on aura x ^ -, Telle 
est la limite inférieure des racines positives de x. 



54 ALC^BRR. 

SoiL 1 le |iluB uranil cocRivient do ligne contraire 
lerme de IVqu. X*' +^x"' . . . + a ^ o ; comini: In trausfot _ 
mee est H»" -(-... + /«+ A=o, «n prenant pour limitf^ sopé- 
rieurc * <1 1 + - . on lrouTBaf>— — . C'esi enlre ce oombrt 

el-|- /que saut compl'isËS toutes les racines positives de x. Od 
peut d'ailleurs trouvbr inox limites plus rapprochées, ainsi 
(ju'on l'a eipoAé. On en dira aatantponr les racines négatives 
5i3. H'ayons égard qu'an t" terme et aux termes négatifs 
Aefx, savoir: 
*x»— fV— /— Cx— *— . . . =kx''(f—~-f— ^ .. .\ Nous coci- 

naissons une valeur /dexqui donne un résultatpositîf, et (oui 
nombre > / donna aussi le signe + au résultat : comme les 
termes positifs deyViiccroissem la quantité kx' , on voit que 
danx tout polynôme rationnel et entier fx , ordonné selon lei 
puissances descendantes àe », si l'on fait croUre graduellement 
X , on atteindra l/ieatât une valeur qui donnera un résultat po- 
sitif , et au-delà les résultats seront positifs et croissons. 

Quand le i " terme X.c'est négatif, en lu comparant aux termes 
positifs ', on trouve de même des rësulUitsiiroisEaiis et négatifs. 

Enfin si le polynôme est ordonné selon les puissauces asce/i- 

dantes de x.fx = u + ix... -J-/7T" "'+*■=', "' posant t ;= - . 



!'+...+*): la v-alet 



>ultat 



le signe de u, repond à x = -^ qui produit le même effet sarfk 
On tait donc trouver des valeurs dex fui donnent aux résulta, 
de Et le signe du i " terme . i/ue la suite soit ascendante ou dgi 
cendante. 



1 



514. Onpeut toujours prendre pour x une suite de nomi 
croissant a, fi, y... assez rapprochés, pour que lus valeurs 
leçoit lepofjrnome fx soient aussi voisines qu'on veut. Sup])o- 
»nna d'tbonl que /c n'a que des tenues positifs, et faisons 
«4-1. Lesn?«ulutBsouiyiel/ii + i/'« + ;i"'/'a4-.- 



I 

LIMITIS BBS HkClMMê^ SS 

dMl b4itf«É.«U(/«-f i £/'«+...)> il s'agit d'Attrilmer ai 
une Tikiir telle que cette diiEér. Mit moÛMlre qve tout nmubre 
doQJié h. f <mU est 1^ positif', et i* est très petit et <i ; faisons 
1=1 dans la parenthèse, etpdsoiis»(/'«-(;1«/'^-**)^=^<>tt<CAl^ 

condition sera remplie : ainsiilfiiat prendre is=ou < / „ , , a — 

prenant ensuite xss{0+i)<>^ff opérant de mèmktf on aura 
on. 3* rësnltat qui surpassera k a*4e moins de h; et ainsi de 

Maintenant si fx renlerme des termes né|;atil|^| c^ qu^op 
Vient de dire s'appUquera à Tensenible des termes positifs ; ci 
comme les feUnes qn'ini en doit sdustraite diminuent encore la 
grandeur des résultats, k {dua.forjbe luison ceux-ci ^flBércronu 
ils de moips de k Etiî la sonmrdes tçrmes natifs l'^i| ur- 
tait sur les positifs,, ce serait au contraire aux premiers ^u'ou. 
applîquenît le laiimMWUMn t ci-dessus. -Ced démontre qiie 
Pompent toujours «uppeeer^ que quand x crott insensiblenicu i, 
les résultats de^ sont condnus. 

Racines commensurables . 

5i5. Soit l'équ.y5p=*x■+^J:"^»+7x•-^ . .-f uc+ii=o.. . ( i ). 
Si tous les coefficiens sont entiers, e/ kr= i , aucune racine- ne 
peut être fractionnaire : c^v si l'on pose 

^=f > d0U^+^~-, + . . . + ^ +l/ = 0; 

on a a" + bÇ^pa*^^ -+• qbn^"* . . . + wé*'"* ) = o 

la 2* partie étant multiple de (^ 0" devrait l'être aussi , a: «jul 
est impossible (n^aS). 

Ainsi lonqu'en faisant ^=:i^j:, on dégage le i** terme ilo 
l'équ. (i) dé son coefficient k (o® SoG), sans que les autres coef- 
ficiens eussent d%tre entiers, j* n'a pas de racines fractionnaires; 
et celles de :r le sont, ou sont entières, selon que les racuies 
entières de j^ ne sont pas multiples de k^ ou le sont. Ainsi la. 



65 iLGÈHE. 

Tcchcrdic des tnciacs fraciiotinair^s de x, est rmineode ht 

des tMinei L'otièrcs de ta tTausforinéc eaj'. 

Apite avoir trouvé les raciiii^s*, &,. . . de Véqu./x^o, 
peut 1a décompDBer en ses ùcleurs binômes, 

5i6. Ona vu ii° 5oo, que U ijuotîcut de 1 equ. (ij divisé 
x-~a, ctant désiguepar 

ix'-' +p'x'-'+g'x'-^. . . -f-r'a:' + /ar + i', 
ans ka+p:=p', ap'-^q^i^q',,.. at' -^i! = s', as' + t^t, 
«l Itt reste R=al' + u; on en tire 



. P—P 



-P = —- 



TJ. 



u~~R 



Au lieu de faire servir noj équ-, comme page 4'i * trouve 

r, t'.., p',k, parce» dernières formules. Mais comme il faudra 
connattre 1c reste R, ce procédé ne convient qu'au cas où a ei 
racine, parce queit^o; et priacipalemeot, quand a est entiei 
ainsi que les coefBciens lc,p,q .. ude la proposée. Il suit de 1 
division même ivfx par j;— o, que^', ^'... t', sout aussi c 
nombres entiers. Donc i° adinise u; on ne peut chercher /« 
valeurs enli^ret Je x, que parmi Ici diviseurs du démit 



«". a divise t — t*, e — s'... enfin p — p', c.-à-d. la somme 
c\acundejcoeJjltcienî delaproposée, plus lequotient qu'on vii 
d'obtenirdans la division pn'cédènic ■■ 

3*. Cet çuoiicns sont, en signe coniraire, les coejficiens n 
cessijs du quotient de fs divisé par x — a, el le dernier de < 
quotient ett — k. 

Si CCS conditions, que doit remplir toute racine entière 
fs=: osont satisfaites par un nombre quelconque a, ce noi 
lue est racine; m ufTei, en ebervliant le quotient de^x diril 
paix— «, par le procédé du n'Soo, on reproduit Ici oombi 
ci-dtHitl />',;'.. Y, et ou arrive i un reste nul. 



' RACIIIES COMMlIfSDBABLES. 5^ 

517. Voici donc la marche à suivre pour ttourer les raônes 
entières defxz=zo. On prend, tant en -f" <iu*^i^ — 9 ^ous les 
diviseurs du dernier terme u, et les quotiens de ces divisions; 
on soumet ces quotiens aux épreuves prescriîes par les équ. 
ci*des9ns : si l'un de ces diviseurs conduit à quelque cpiotient 
fractionnaire, on le rejette, il ne .peut être racine; et on ne 
reconnaît pour telle que celle qui donne enfin —A: pour dernier 
quotient. La suite des quotiens numériques entiers ainsi 
obtenus, pris en signes contraires y compose les coeffidetu 
t", si'... p', k <fii quotient algébrique de fx divisé par x^^a. 

Gomme ih 1 pris pour diviseur de u , donne toujours des 
quotiens entiers, ce n'est qu'au dernier terme qu'on reconnaît 
si di I est racine. Il est donc plus court d'essayer directement 
db I , par le procédé de la p. 4' - 

Soit par ex., ar* + 3j:*— 3ia:^-f- 3ar* — 43*+**®™'^» 
comme 210 = 2.3.5.7, on trouve que les diviseurs de aïo 
sontit: (1,2,3,5,6,7, 10,14.'.)*^° reconnaît d'abord que d: i 
ne peut convenir, non plus que les diviseurs qui sont hors des 
limites — 8 et -{- 7 des racines. Le calcul se range sous la forme 
suivante , où l'on a marqué de » les diviseurs à rejetter, et on 
l'on s'est dispensé d'écrire les sommes et différences qui don- 
nent les dividendes. 

«=a 35 6— a -3—5—6—7 



— / = io5 70 4^ 35 — io5 —70 —4^ ""^ ~^^ 

(— 43— t'):a = — i' = 3i 9 » » -#-74 » +17 +i3 » 

(-h3 — /jtass — /= 17 4 * — 4 ■ • 

• (— 3l— ^): a=— / = — 7 — 9 -f^ 

(-f-3 — p') : A=— Xt = —a —a —a 

Ainsi la proposée p'a que trois racines entières , -f- 2 , 4- 3 
et—- 5 : le quotient de la division par x — 2 a pour coefficiens 

les nombres placés sous le diviseur 2, savoir 

2x^ + 75:'— 17*' — 3ix — io5; on divise ensuite par x — 3, 
puis par a: -f- 5, et on arrive enfin au quotient 2x* -f- Sx -f- 7 » 
tek sont les facteurs de la proposée^ 



il.GKBIlK. ^^ 


oici mcon d^ox exemples. , 






-1-= - " ï .1!; 


4 6 9'» '8 -18-w-l 



Pour la i^équ., lefattenr j:+5 donne le quotient r'—ax+a. 

Pour la 3*, on n'i^rauvc qae les diviseur!! île 36 qui sont 
entre les litnileH — 5 et +io; ona le diviseur :r — 3, el le quo- 
tient 8z'-(- l'JX—Xt. 

Voîd des problèmes qu*on résout par cette tne'lhodi 

I, Cherdions un nombre iV de trois cbilTres x,^, 
que ■" leur produit soit 54 : '2° le cbilTre du milieu soil le 6 
de la somme des deux autres ; 3° enfin , en soustrayant S94 di 
nombre N, le reste soit exprimé par les mêmes chiffre» en or- 
dre îuverse. Comme JV=:iooz+ lof-f-Zi on a 

:^z=:64j ^J'^^^-¥** 100Ï+ i<yr+*=y — Sgi 
la 3' ^qu. revient h x — £ = 6; chusant y des deux 1' 
a"»+«'=3 3a4; «"flo mettant î-f-Gpour x, on 
«'+91'+ i8s=t6-». Otx,x,x sont de) nombre» entiew, 
noire méthode don»e;r=3, d'on*- = 9, j-^=3 et y=igi3. 

U. Quelle est la base x du système de numération dans 
quellcooiobre 538 est exprimé par les caractères [4i33)^ 

11 fntil Trouver la racine entière et positive de l'équation 
4ar'+ 13:' + aj:^-3 = 538; cette racine est jr = 5. K la note 
p. 6 du T. 1. 

En géuéra), si A est le nombre exprime- par les n chifTl 
a,b,e,. .. I, la base jt du système est donnée par l'équ. 
ax—'-^-bx'— + rx'-'. . . := /4 — »', 

équ. qui n'a qu'une racine positifc {n''534), qui ddil 
entière ci ^a,fr,c. . . 1. 

(2\a-'— Si' + 3ï + ï 
c ) — »6)^ 

calcul du n- . i;, 3', donne, i .iu«c def*)' = i^, 



du 



RACIHes COMMIMUftiBLtS. $9 

la:'— Sr»+3*+3) log ? — Slog 5. x' — 5x'+3:r+3 = — 3, 
eu lire ^=3 el\ (3± V^'i). 

V. Popr6x' — i9-«'+ î8x* — i8x+4^'>, on fait x='^jr, 
d'où j^— igj-M- i68j-' — 648^+864 = 0. II n'y a pas de 
racines négatives, et les positives sont <ao : or 864 ^2*- 3', 
et l'on doit éprouver les diviseurs 3,3,4 16- ■ ■ '8- On troure 
j-=:3ei 4, el^' — laj" 4-73=0; enfiDa; = i,§et i ±\/ — 1. 

On voit de même que 
6xi+,5** + iox'_x = x(*+i)(»x+0f3x' + 3i-i), 

5i8. Quand le dernier terme u a beaucoup de diviseurs, 
enUe les limites des racines , ces calculs sont longs -. Voici un 
moyen de les abréger. Si o est racine entière de r^qu. fx=o, 
et n'a i]ue des coelSciens entiers, aussi bienqne le quotient Q 

de^x divise par * — a, on « Qi=~ — = cnijer quel que 

soit x.Pi-eooQs pour x un eiiiier quelconques, on voit que,/* 
doit être divisible pai- a — a. Donc pour reconnaître à t'un a 
(les diviseurs du dernier terme u peut être racine entière, 
prenet Ut différence entre » et ce diviieur; toutes les fait ^ue a 
tera racine, cette différence divisera fa, ou le nombre rpâ ré- 
ittlte delà substitution de ■ pour -a. dans fx. Cbaque diviseur 
lie u qui au remplira pas celte condition sera exclus, et le pro- 
rédé géne'ral ne sera plus applique' qu'aux autres diviseurs 
de u, parmi lesquels on pourra faire de nouvelles exclusions, 
«n changeant le nombre a. 

Comme la méthode exige qu'on fasse x^±i dans^,pour 
s'assurer si ±1 ne sont pas racines, les valeurs de Jk sont con- 
nues pour Ces nombres «^ ± 1 , et la règle s'applique immé- 
(diatemeni. 

t Sans le 1" es., p, 57, on doit éprouver 9 diviseurs, entre les 
laites des racines; mais comme x^ i donne /ii=i44i '^^ 
«=1,3,4,5... on reconnaît bientôt que ?,3, 5, — 2— S, et 
Es divisant seuls c44 i les nombres 2,3, 5,-3,-3, — 5 sont 
Il seuls qu'on doit soumettre au calcul. 



6o ALCiCItE. 

519! Clierdions inaiiiteuaiit Us facteurs commeruurables du 
2' degré de l'é(\».Jj: ^ ; l'un de ces facteurs élaiil x'+^a:+j, 
cl le quotient j"-' ^^'x""'+. .,, on a cette équ. identique: 

il y « ici R coeEBciens inconnus. Eiëcutons la multiplicatioD, et 
^[alons les coefliciens des laêmes paissances de x dans les deux 
membres (n' 5oo), noue aurons n dqu.; éliminant/»', q'...\l 
restera deux equ. entremet;, puisenlîn une équ. contenant^ 
seul, et qui sera du degré Jn (n — 1), nombre des combinai- 
sons a il 3 des facteurs binômes du 1" degré. Cette derniers 
équ. aura pour 9 au moins une racine commensurable, puisque 
sans cela fx n'aurait aucun facteur rationnel du 2' degré. Une 
fois ^ connu, l'une des équ. entremet ^ donnera p, et on con- 
naîtra le facteur rationnel x' +px -\- q. 

Ainsi x* — ix' — i2X-H5={x'-f-;)*+ j) (x* +/»'a: + j") 
donne/>-fv'=o, ?+■/•/+¥'=— 3,/>'y+/»/=—iî, qq'=S. 
Les deux 1"* équ. donnent des valeurs de /»' et q', qui, substi- 
tuées dans les deux autres , conduisent A 

lpq + ip—p^~ 13, q' + q (3~p^) + 5 = 0, 




I 



BACIKES tCiLFS. 6l " 

l W*!» jr i»0«r i" terme ; te produit a iloiic ta forme indi- 
ice I. I, p. i35 ; le toefficieut de .r"' c»t la somme des 2" 
-pailictT— a, x—à,. . . ceiixde^""*!/*"'. . - sont les wnimes 
des produits sa a, 3 A 3. . . de ces binômes. Donc 

I*. fi en le produit de tous ces " binômes, ou l'cqu. (A) : 
3'. y* csi U somme de leurs produits n — 1 à n — i , qu'on 
Jiarnie en supprîinanl tuccessivement, daus le produit (A), 
dmcun de» facteurs biuomes, et ajout:iDt tous les résultats ; 
3*. i/'x est la sttmme des produits n — a à a — a, etc. 
Cela posé,Bi/j^i,/r n'a qu'uu seul facteur qui soit =x—^i 
tout les termes de/'i contiennent aussi ce facteur, excepte le 
tcme où il a été omis. R^{x — l>) (.x — c),. . Ainsi /"'a: est 
de la forme /!-(-(x — o)Q, qui n'est pas divisible par * — a. 
On eu dira nulant des autres facteurs inégaux de^. Donc si 
it polynôme f\ n'apas de facteurs égaux, fx et t'x n'ont pas 
tie diviteur commun. ,' 

Mats si (A) contient le facteur (x — ay, pour former yx, il 
faudm omettre de fx successivement chacun des p facleors 
x — a; et {x -~ay~' sera facieUr àe p termes égaus; ensuite 
on detra omettre chacun des autrea facteurs 7 — b,x — e.. ., 
rt^ltats qui auront tous {x — a)' pour multiplicateur; ainsi 
tous le* terme» seront divisibles par (x — a)''~'; mois la somme 
ne le sera pas par ( r — a)'. Oo voit donc queyic ttfx auront 
X —' ay~' pour diviseur commun. En répétant ce raisonne- 
t |>ouf les autres facteurs égaux (x — i)*, on reconnaît que 
i f s u dcsfacieurt égaux , fx et f'x ont un commun divittur', 
'^ui est te produit de tout tet Jacteurs égaux defx, chacun 
éievé à <au puissance moindre d'une unité. 

O'aprtaccla, étnnt donnée tine équ.^=io, ou formera la 
dérivit fa, ut l'on procédera i U recberche du plut grand 
^.fiOmmua ditiscur enlre^ etfx ; s'il n'en existe pa», la pro- ' 

n apuile tacines égales; elle en a au contraire si l'on 
trouve Un liivUcur F, lequel sera réductible i 1" fornitj 
F = (x — a)^' [T — by-'. 



HM19 quo 



1^ connaîtra qu« sous celk d'uo pol;u< 



'. Eudi- 



I 



visaiit/ir pat F, te r/uoiieni cj ettform^ d» tout Usja 
tu . liégagés de» expotans 

7 = (r — «){* — A)(3- — cj (* — rf). 
521. Soient a, ^, y... les produits des facteurs l>î 
pcctifs aux puissances i, 9, 3. . . qui etitreni àamfx, en sorte 
qu'on aiiyx^a.^'.yV^'.j' , . DcfsignoDG par Fie plus grand 
commun diviseur eavtafx elfr; par G celui de Fetf; par 
fîcelui de C el G', etc. , enfin par (/,r,s,r. . . les quottens 
exacts auecessif) de chaque commun dîviieur par le suivant, 



G= y.t'..' 

B= i >' 



etc. 



etc. 



9^a ^.y.i.t..., a^O 

r= ^.y.^ ^ = o 

F = 7.*.i.ç., y = 

etc. I =o 



1 



Kn divisant chacun des quotiens ^,r, .t. . , par le suivant, on 
trouve pour quotiens les facteurs \so\é» <t, fi,y. .. cbacun au 
i" defjre ; et s'il manque dans/2 quelque facteur , fi par ex . , 
lont se réduit ^ poser fi^i , te qui donne alors r ^ *, et le 
q^uotlenl correspoudant n=i, qui annonce l'absence Je facteurs 
su carr^. 

Voici donc les rakuls qu'il faut (aire. 

Chacun des polynômes de la i" colonne est le commun 
viseur entre le précédent et sa dérivée, jusqu'à ce qo'i 
à «lui H qui n'a pour commun diviseur avec .W que i = 
derniers des polynômes de cette colonne. On dîvi^e'ensi 
chacun de ces polynômes par le soirant, ce qui donne les quo- 
liens exseU q, r, t. .. M , enAu on divise de nouveau chacun 
de ceux-ci par le niivanti et ou a ain» pour quotieos «acis, 
•les foDCttOBs de ^ qui sont les produits isoles de cbaqac 
c«pèce d« frctgur du i", i' , 3' dv^é, mais rhacnn réduit au 
i" degré. I,e polfnome >W qui n'a que l'uaile pour commun 
diviseur avec JW «t (au i" de(;ré) le produit des facteurs qui, 
dans^, nnt le plus haut espoNuil. Lorsque l^n des i"* qno- 



el le 
:teurs 

M 

isioV^H 



HA cm ES ÉGALES. 63 

ùens q^ r^s.. . est égal au suivant , le quotient un anoouce 
l'absence, dans^, du facteur de Tordre correspondant à ce- 
lui que ce quotient est destiné à donnçr. 

Voici quelques applications de cette théorie \^), 
I. Soît /x = Jf« — aH+4a:* — 4x* + 4x — 4j 

on en tire fxssSx^ — 4^+ ' ax*— 8ap + 4 » 

et le commun diviseur F = x' -f* ^ » P^ F' = 2X, et le divi- 
sear commun G =s i : la i** colonne est ainsi terminée. Pas- 
sant à la i*^Jx divisé par F donne 

ç 1^ x^ — X* -f- 3IJP — ^ > puis r = X* + 2 ; 
divisant q par r, ona«=sx— -i, /Bsx'-f-a, enfin 

/X=(X— I) (X"4-2)V 



(*) Le calcul dn commiin difUeur est loD(r; on Fabrége par la régla mi- 
▼.iot6 qui donne de suite le reste 4c la division deJJe par^x. Multiplies les 
coejficiens de tK, m partir du 3* par 2, 3, \4*.fois le coej^. du i** terme de fx ; 
multipUet les co^ffieiens de fx à pmrttr dm 2* par le eoeffieient du 9^ terme 
de fx ; retranchez ces produits ^à% et tous aurez les coefficiens du reste de 
dagré ii««a. 

par ex fx •=. x* — * *< -^» 4^' — • 4*' +♦*"•* 4 

/x=' ^5—4 -^^2-.8 +4 

produit dc/r par -f- lo, i5, 20| 25 +40 — Go -4- 8^ — 100 

prodait dej'x par — i -f-4 — la-f-S — 4 

différences 36 — 48 ^72 — 96 

Resta de la division (on ôte le factour 12) 3x>— 4^> -f- ^ » 8 

Quand^ n^a pas de second terme, la partie soustractive est nulle , la régla 
se réduit à multiplier /r par 2, 3, 4 

t 

Soit fx = 3x4 -f- or» — 35x« -f 4Jx -h 4 

/x = 4. 12 -^ o ^ -G -f 4J 

prodottt deyjrTpar a, 3, 4 — 70 -f- i32 •+- 16 

le reate de la dirisiofi est 35x« — 66x — 8 

en acberaut Topération , «s trouvera x-«2 pour commun diviseur j et la pro- 
posée =s(x— 2)» (3x*-Hl2x+ 1). 

On démontre notre rè^la fn cflectuant la division deA4f*M-/'J^~''-+^x*"-»... 

parmAx"— » -4. (/n— 1)^»-» , après avoir introduit le facteur m* i(: dans 

U dividende , paur obtenir un quotient entier. V. la note p. Gf). 



IJ^ ALGÈBRE. 

.n./x = 3^-t-^T] — 3x*— I&r'+iia:"+i2x — 9, 
d'où J'x^62r'+itox* — 12*'. . . et le commun diviseur 

F=:c' + x' — 5x + 3; puis F's= 3x' + aar — 5, 
et le commun diviseur G ^ x — t - euâu C c= 1 , et H^: i . 
PooT former ta 2* coloqne, ou divise^ par F, F par G, G 
par H; pour la 3*, on divise g par r, et r par s. 

^=:a^4.Sx' — 3; — 3, r=a:' + ai — 3, * = x— 1: 
enÈn «^^+1, fi^sx + 3, y^x— i, et 
/Jr={x + i) (* + 3)î Cx-I)^ 
m. Pour yr = r* — 4jc>+i6x— i6, ona/' = 4ï'... 
et Fœi* — 4» -t-4. !? = *' — 4) »=x + 2, 

G^x — a,. r^ï — 2,3=1 , 

ff^i, j = a; —2, y=ix— 2: 

«afin yk = (x + a) (x — a)^ 

IV Jï=x*—iwr ■fSïfS—gaxi—^M.aiV—iS^»—! 082+108 
f=i»— 7r«+i3«'+3jwi8, î=ir*-&t>+5i>+5i:-6,«=i— 1, 




KAGINRS ÉGALEii. 6^ 

i'.Ati résulte tlu ce que a* «ioil iliviscr le iiciiiier Utiui» , f|iie 
û*-" êlani raciiii: de Tc^u. dërivée doil diviser ravant-iiornier 
terme de /r, etc. 

Élimination. 

522. Soient ./, a, -5, ^, . . . des fonctions Acj', et 

Z = //.T^' + /?r"-' + . . . , 7*=r «■ + ft^'""* + . . . 
(Ifux polynômes, qu'on se propose de rendre nuls par drs va- 
leurs accouplées de x et de j*. Pour s'assurer si R est Tune des 
valeurs, qui\r peut avoir,taisons,yïs5^, et les polynômes Z, '/\ 
i-n X seul, devant ne réduire à zéro pour une même valeur « de x, 
auront x — m pour facteur commun. Qu'on cherche donc h> 
commun diviseur />, et l'e'qu. />=6 donnera les valeurs de .r, 
qui, accouplées avec^=j8, résolvent les équ. Z = o, 7'^=o. 
Si ce diviseur n'eiiste pas, ,f ne pcnl recevoir la valeur (h* /^. 

Ainsi il faut chercher le plus {*rand commun diviseur entre 
X et 7'(n' 10?.)» comme si ^y était connu, et éj^aler à zéro le 
reste final J' en j' seul, auquel le calcul conduira. Cette éqn. 
1 Tz^ o aura pour racines toutes les valeurs cherchées de ^y'y 
|iuisqu'elles introduisent un comniiin iliviseur D entre Z et 7'; 
olTéqu. f) =^ o fera connaître les valeurs de .r qui s'accou- 
plent avec celles de jr, <;'est ce <jue nous allons faire mieux 
comprendre. 

Soit m =- ou > Fi; divisons Z |)ar 7', et si cela est néces- 
saire pour cvitei les fractions (n** 102), multiplions Z pnr un 
l.it tirur M qui rende .4:11 divisible paru (*), AI «ftanl, en 
j'jiMM'ial, nne fcuielion de j'. D<fsi(çnons par Ç le quotient en 
lier, ei |hî I\ le rrste, fondions d<* r et de ^y. On a 

i}fZ^ Ç7'4-/< (1) 



*) Si Ici ilojjrt-N iH i-t .'I sont r;jaiiT , .Vsoi.i — .*/, ou M'ul<inici)t !«• Ia'*l#»iii' 
ili- a qui rrciilro |».«h ilaiis A [ V 11" [W j . si ;n -=■ r» -|.|, ;W ^L•^u l«* carrr ilt- ,1. 
*iu <lo cp facteur; si m-.— n |. u, .U ni sura le cuhr , cir. Ou t-vll** ainsi 
•IV-tn* I'uicimIi' iniilliplior de iiiiu\«';iii 1rs rc>tf'A paiiii-l^, <'t <>m arrive .1 mi 
•l«'rnïer re^ti', où » *"»l au «li'i;if n -—t, au plus. Ain- 1 ilans l»* ras ou m. -n-t-i . 
ri M-zr^tf, le quotinnl tinl 

•gn; Arti -f(fl|J^A/i :-.<i;.i.i -f It^ — A/. 

T. !l. > 



66 àlfiEBfit. 

CelXn iqu. tait Jenliyue. «an* frac lions, ui irratioiialité»; j 
te T«ii&o iltt"^ P'^r contes raleti» quelconque» mUo* jioui 
elj-. Subatîtaoïis X ;=■, ^t-^^^, supposées des voleim propf 
j TvaàTc Z «t 7' nuls : R la acra donc aussi , savoir , 

« = 0, r = 0. 

El si deux nombres tins pour x et j- dans /î et T rendcf 
c« pulynomes nuls, ou voit qu'alors MZ = o, savoir o 
>/^a, ou ;?r=o. Ainsi les ïotutiona du sysiÈme 7^o, H= 
cuiivieuueiit , »oitàZ=ao «vcc */=:o, soit  W=o,iiMe 7*i^=o 
i:i nkiproijuemt'nl. Donc si 

Au lieu lies 6t\\x Z t^ o, T=o. 

On traite les équ-, T = o, « =; o, 

un obtiemlra toutes les couples cherdides , et en outre d'à. 
toluiions étrangères à la question, qui donnent M — 
'r=so. Du reste, le problème est devenu plus MlupW, 1 
qu'il admette ces solutions ctiaiigères, parce que le d^ré de^ 
est moindre que n. 

Divisons de uiérae T, ou plutôt ftf'T, par Jï, M' étant a 
facteur propre ,1 rendre le quolieut Q' entier; ff éunl le 
reste, on a 

M'r=^Q'R + R- (3) 

Ou prouve encore que toutes les couples de valeurs de jr et d<.'_v 
quirendeal 7^ et R nula, donnent auMi A' = o avec fî := o, 
équations qui aduietteut toutes les solutions cherchées; mais 
que reci{>ro()uenietil R=^ o et /I' ^ o admettent en oiilre le>i 
mlniioni ijui rendent nuls Af' et R; en sorte qu'en traitaiii 
les équ. H r= (I, R' = o, au lieu des propostfcs, ou aura 
toutes les soluliooa cherchées, cl de plus des solutions <iiran- 
gères qui rcndetu nuls . soii M avec T, soit W avec R. 



1 



l£ncu 


lin put: 




pi)irïuii! 


m du quotient, Ib! 


nultiplltMpMifl 


utraL 


rÉi>r.Li< 


int(l«a>2. losdciii 






ent.eiunubliwi 


de «ijlo 1* 1 


r«teN. 






1 


U 


rtglr 


<|uc noua il<>n«uoi 


ici ■• m. 


(klillf nuïii.l T .il 


>pr.™*.^ 


t8r«i« 


1, util 


juH B val UBVtat dD 


ce Icrlnc 


. cm alur» tl nHt •bmuhtpLMrfl 



ÊMMINATIOX. 6-^ 

<)ii di videra eaAiiite il/'/îpar R' tl'uù 

En coDtinuanl ainsi le calcul du commun diviseur entiv Z 
et Tf on voit que deui restes consécutifs étanl égales à zcro 
admettent toutes les solutions demandées, et en outre des 
couples de valeurs qui rendent nuls Tun des facteurs inlru- 
duitSy ainsi que le diviseur correspondant. Le degré de x 
s'abaissani graduellement, on arrivera enfin à uu reste final >', 
où X n'entrt*ra plus: mf^ étant le dividende, et D le diviseur 
qui est en {jénéral du i" degré en j:, 

on a mV s= Dç + f\ (4) 

d'où Z> =s o, l'sro, (5) 

ëqu. qui ont toutes les solutions chercbées, et de plus cellç*s 
qui rendent nuls les facteurs introduits annai que les diviseurs 
correspondaus, savoir M avec T, M' avec /î, Jlfavec /{', l'tc. 
î/équ. Y =. o n'a que la seule inconnue j^ et nous suppose- 
FOUS (|u'on en sache trouver les racines, lesquelles substituées 
dans 7^-^=0, feront connaître les valeurs de x qui s'y accou- 
plent. Il nous restera à chasser de Fies racines élran{;èrcs. 

Soient, par ex. t.x^ — y'' -+• i=o, ar*— '^xj + ^*4- 5=0. 
Kn divisant le i" polynôme par le 2*, le quotient est 2, et le 
reste, dega{',e du facteur 3, est D r- ixy — j'^ — 3. Multi- 
pliant le diviseur par 4j^> et divisant par 1)^ le quotient 
est "xxy — 5^^ -h 3 , et le reste J' = — f^ -^ ^f" + 9 = o. 
On résout cette ëqu. en posant j" ^^ z\ d'où z^ — 8z - - y, 
z =9 et — I ; puis J- = :ii 3 et ih y/ — ' : enfin, substituant 
tiaos Z> = o, ou a pour valeurs correspondantes x ^=. ±i 
et ui |/ — I. 

Pour '5?*+ 'i'Xy — 3/' + i u.- o , x^ — ^-' =:o , le i ^^ rrsie e^t 

D ~ ilxj — 3t^'*-f" I ; le 2*, Y=r 4^' — i ; donc ,.?' — — x-rr. ±: \ . 
P , ^ >y^j'/ *-'t3nt des fonctions de j^, les ëfju. 

5.. 



6S iUîtuitt. 

donnent. .(P— /<) a^ + Q — ? = o 



le i"reM<:Dest(.6j^— ar+O-f + Sy— 6^^— j'jOKinuhi- 
jtlii! le liiviseur par (167-' — V+ 'Y, ou (KviSepar^, t^lon a 
l'oqualidii finale 3aj^ [4r^— r^'+3r + i) = o; on eu liic 
r^« M; (n' 5i5); on abaisse ensuite le defp-é, «t on Urouvt- 
_^;=i (Si: ^33); enfin , Dt=o danne les valeurs con-Mpon- 
iAnle6x=o, ',, — 1 et — i. 

f fi%^. Indiquons les modifications i[(ie doit subir la métliodt 

/ ih. emnniun diviseur. 

Supposons i|Ut' Zsoit II? produit dcdeux fadeurs, Z-ssP'y^f^. 
Comme X ne peut eue nul , « moins ijue P ou Ç ne le soii 
( ri° 5oi), le problème s* partage eu^leun : 

P=e)«ïec /*■=(), et (> = oaTcc 'r=o. 
Ces deux sysièniea admettent taute< les solutions cliercliut < , 
l'i sontplitt siitipk's que le proposé. El si Z et ?*sont décom- 
posables eu divers facteura , le problfcuie se partage en aiitani 

■ d'autres qu'on peut i-ombiner chaque facteur de Zavec cLaqut 
<lo T. 

Ainsi, x". — -xjrx — Zj''+j-=o. ,r' — j-'^a, comiiii 

' ■r"r-J'' = (*+>) (^— ^J. on prend d'abord ^ = a?, et 
la première riqu. donne r=o et ^; pu!sj-= — »^o rèsulu 
du 1" faclettr : ce sont toutes les solutions deUtan^éea. 

Cea s'applique ail casoiik' facteur /^ ne contient nue j'; alors_ 
Pdoil diviser cliai^uii des termes de J? (n° 102,I11). PAsatil ." 
avec 7^0 , ou aura une partie des aolutiom ; les autres s 
données (lar Ç;=o avcr 'f\=:o. On ne pcuî donc pas xiipy'i 
ici, commr. dam le pracèéé ilii commun diviseur, le» Jili 
Jonctions df y setili ou plutôt on. les supprime en les tn 
à pari. 

Ainsi , [lour Jt" -f- .x !j- — 1 1 
X' — -ÎX 4.^' —y^ o , on * le 1 
depaiscr J une 3' division, ou -..■.'_ 



ÊLIMIIIfATION. 6g 

mais en posant j'rr i dans le diviseur, ce qui donne j:=o et 2. 
Ensuite , on continuera le calcul avec le reste x — 2 qui amèoc 
l'e'qu. finale^* — j-ssro, savoir, j'sso et 1 avecx==.2. 

Avant de multiplier un dividende par quelque facteur 
il/,3/'. . . il faat donc s'assurer, par la méthode du commun 
diviseur, si le diviseur n'admet pas M^ ou ses diviseurs, comme 
facteur de tous ses termes; car, alors, il faudrait supprimer ce 
facteur du diviseur, et le traitei^à part , comme on vient de 
le dire. 

Par ex. , jt* — x^+x CT"— ^) +^* — 4=^1^* — x^-— 4=^os 
une première division donne. le ijaotient x, et le reste 
X (j^— 2) +J^ — 4 î ^""^ ^*' '^^ facte^ commun : on pose 
donc ^=2 dans le diviseur, qui devititt^Ar* — ax — ^/à^oix 
x=: I ± \/5. te reste, rédtiit à *+j^+at devient diviseur^ 
et on arrivée l'équ. finale j^'+ 3^ =»4;Si4?<}çf-j^==ro et — 3, 
avec x=: — aet-f- 1. ' i " 1 '.. 

Soient encore les équ. 

•r — (3^— 6)x*-f-(3^»- 127 f8)— y + 6;-*— 8r^o, 

jf*+(2r+2)x4-j^-+-2r=o 

Une I *• division donne ce reste 3x^ {y — i ) -hj"^ 4- 3j** — 4j • 
avaut de le prendre pour diviseur, on doit supprimer les fac- 
teurs^ et j* — I , qui donnent ^'•s: o et 1 ; puis on a xaso et — 2 , 
pour j^=o; x:= — I et — 3 pour 7"=i. Le reste devient 
3x+j"+4 ? P'*s ^OMT diviseur, on a l'equ. finale j^'—^ — 2=0, 
d'oii^= 2 et — I avec x = — 2 et — i , : ce sont les six solu- 
tions du problème. • 

% 5^4- Enfin , quand il arrive qu'un facteur commun D existe 
dans Z et T*, Z^szP X D-, 7"== Q X A conmie D == o rend ces 
produits nuls , cette équation unique ne peut donner que l'une 
des inconnues j^ même quand* elles y entrent toutes deux : 
l'autre inconnue reste donc quelconque. Ainsi le probU-me 
admet une infinité de solutions ; il est indéterminé, Le^ soiu* 
lions des équ. P=o, ^--o, qui sont en nombre limité, satis- 
font aussi à la question. 



70 ALGitlRE. 

La eqo, C/— 4) a;* — ^+4=BOj ar' — x' — ;r>+j'=so, 
out le IkcUur conmun x—i, aîitai qo'on le trouve en prati- 
quant le calcul indiqué 1 ainsi, x i= 1 r^uil les proposées â lAo, 
ijnel qne.toit^. En outre, les quoliens delà division parx — t, 
sowl T , ' 

(J— 4) (a: + i) = o,a-— ^=BOi 

outre le nombre infini de solationc qu'on vient d'obtenir, on a 
donc encore ^=s 1 et 4, répondant i x=r— 1 et ± a. 

5a5. Cliercbons i dégager Y:=o des racines ciran{;cres. 
Comme ces racinesreudent nul quelques facteurs, A/,Jlf .... qui 
sont en ^ seul,- il suffira de diviser.}' par M, M'... pour dusser 
ces racines (*] : mais il esl^lus iJourt de les détruire dans les 
restes «accessifg , comme on Ta le dire. 

Seulement , nous remarquerons que le (acteur m delà der- 
nière diviiioD, ne donne lieu i aucune solution étrangère; car, 
si j-:=.x est racine de m = o, et aussi de K = o, l'équ. iden- 
lique (4J devient yD = o pour cette valeur dej'. Or, on n*a pas 
, puisijiic le f.icti'iir m n'a t'ié choisi que pour rendre 




KLIMiNAXJON. 71 

celui de R : Ainsi Q est une valeur numérique (*)^ et les \io* 
lynoines TeiR sont deyeDi» les mèines par j'ssa, à un fac- 
teur numérique près. Faisons aussi ^ == A dans l'èqu. (1), il 

vient 

R^M'T—Q'R-l'iM'+QQ'), 

Or A' et 7* sont des degrda n — 2 et /i — 1 , ce qui empêche les 
deux membres d'être identiques; d'où Ton voit que cette éq% 
serait absurde, si l'on n'avait pas ilf' -)-QQ^ = o , quel que soit 
j:, qui d'ailleurs n'y entre pas. Ainsi le s* reste K est rendu nul 
par j'e=A; j^— AdtTÎse A'. Comme chaque racine deTéqu. 
Af = o conduit à la même conséquence , on voit que \cfacleu!' 
M introduit dans le 1" dividende^ doit diviser le a' reste R'. 
Donc si l'on substitue au reste R\ dans le calcul du commun 
diviseur^ le quotient exact de IV divisé par Af, on aura sup- 
primé de l'opénition les solutions étrangères que ce facteur 37 
avait introduites. C<^ cç quotient., et non plus /T, qui doit 
être pris pour diviseur de R, on plutât dé XfR. 

On prouve de même que le a* facteur Jf' divise exactement 
le 3* reste R'j et que c'est le quotient "ijni doit remplacer />" 
dans la division suivante, pour supprimer les racines étrangère.* 
amenées par lU'; et Ainsi de suite. L'équ. finale Y = o obtenue 
delà sorte, sera donc exempte de toutes les solutions étrangères. 

P&rex.,x^jr — 3jf-(- i=o, x* {jr — i)+x — 2 = 0. Multi- 
phons la r" par (jr — i)*, et divisons par la a* ; il vient 

i"Reste— x(jr* — 5r + 3)-f-j^— 4j^4-i..... D, 
multipliant la 2*équ. par (j'^ — 5j^ + 3)', on a 

2' Reste... y^— ioj^ + 37J^^— 64^^ + 52^— 16, 
lequel dmt être divisible par {jr — i )* ; le quotient est Téqu. 
finale €mx t sans racines étrangères , 

r^— 8j-»4-2ojr— 16=0. 

Fjes solutions sont ^ = 4, 2 et 2 ; D= o donne x= — i , i et i . 

(^) Et en effet les termes en x, x*... qui oOpposont le quotient Q, d'a- 
prèi la marche du calcul ( F. note p.65 j , ont po«r facteurs respectifs a, «•, 
qui d«rlenncnt nuls pour t=.\. 



'2 AlCï^hÊl. 

l'ouï- «y — 4j-'j-'.^.x4-6=o, «'(j— ïj+x^, +at^ft 
■u mu^plîc U.i''«t|u. |»r (j- — a)S '> >MvinOii donneJc n 

ri comniL-j— 1 est ticleur coukiiiun Je ji cl B, on le sii|>|)ii- 
iie, Cl on ajr=i , avec Jt=a et—i , pui-. 

ï relie j^c In a' division wi -/' — ^/Jj-^^ — ÔJ — «', ou 



I divisant pV'.'J" — »)% ''{qo. finale csi 



•'Mj'' + 57>-' 



-7»-r- 



.^o 



li'o 



re j=— ïet.7.= — 1. i>m^5r +8^=at 
Aurcftt , il M pi^ut (]uu la racine^ :^ A de M^o rédui&i 
;iu<legré n — a «u plu»; alors .l/nc (livis« |ilns fî", car kt équ. 
H = o, R' r= u ni: trouvant au luéine dcgn que 7', né pcrnui Jr 
tiaicnl plus d'appliquer le rURoniienibnl ci-dessui> ; Y esl doue 
(.111 barrasse de U laciuA eii-augi-ru a, ce qu'on letonuali biea- 
tift. Dons l'ex. suivant, k rauieui'^ iutroduil daus la i" divU * 
stoii , nu divise pas le j.' ri^Me. et se reU'OUTt: dans le tlernici 
teste , d'nu il faul le dégager. 



Quaud 



Cr- 


,)x'~.i = o, /j'— ar+i = o: 


Resle. 
Hesie. 
Reste 


.. (J■—t)x'^ec^J'—^)-J■. 


i) arrive i{u'udc combiualsoti des équ. Z^=o 
iQ résultat simple, otydpiteinplojer celuî-c 
Z ; touime aiûai on peut IroOrer plu» e. 
arZel'/'par rapport à ^. Ko ajoutant leséqi 
, et resulvaiil selon y, qui, dan» ta Boinin 
degré, on qbtieul sur-le-tliamp les soluiioi 



Quand Z et 7' «ont au même d^urt- m, m 
coniuie uiiu ini:ijuutM.j^ple , onaliaîssu^'une dcâci 



«liunuS 



crt f»- 



ÉMMINATIOW. 75 

5^26. La i€gle douDèi! p. 67 présente quatre cas d'excepiions, 
sclou que )' ou />, esi nul de lui-inême , ou est une valeur nu* 
nicrique. 

i^ Cas. Le ttste Y se réduit à wéro. D est alors facteur 
(-ofniDOu de Z ei de 1\ c'est ce qui a déjà été ezaïuiné n^ 5a4 '" 
Leproblèïïne est indéterminé. 

i'Cas. y e$i un nombre, V et D (équ.4) ne peuvent être ren- 
(lusnuls ensemble ; ainsi aucune valeur dex et de j^ ne peut sa- 
tisfaire aux proposées, qui expriment alors des coiidilions con- 
tradicloires \ It problhne est absurde. C'est ce qu'on voit sur les 
cqu. 

3*' — Sxj^-f 3jr' — 1 =-0, 2x^ — 4^J"h^X*'i- « =^0. 

Posez deux équ. dont Ja coexistence soit impossible , ayant une 
même inconnue z, telles que 3z*— isso, 2z*+ 1=0: faites 
z:=j:-f j*i ou x-^j-y ou toute autre fonction de x et de j; il 
est évident que les deux équ. seront incompatibles. 

3' Cas. Le diviseur D devient nul, pour une racine y sa cA- 
/V^fi. Y=o : alors j<-— A est facteur de Dy et on a vu qu'il 
l'allail supprimer ce facteur et le traiter h part (p. 68). 

C'est ainsi que dans le dernier çx . du n** 5a3 , si l'on eût ou- 
blié de supprimer les facteurs j^ etj^ — i du i*' reste; on au- 
rait trouvé i'équ. tinalej^ — 37^-f- j^+^J^^ - V'=o, dont 
les racines sontj'rro, 1,1, — 1 et 2 ; les trois premières donnent 
lieu à la présente circonstance. 

4* Cas. Le dernier diviseur D devient un nombre /", quand 
on fait y = A^ en divisant D parj*— A, le quotient étant /C et 
le reste L, on a D=.(jr — a) /C+£,j puisque ^i= A dian^je D 
en une valeur ni\mérique /, x n'entre pas dans L ; et comme 
on doit avoir ensemble Dsso, Y=r, o, la valeur j':^ A répond 
à X infini y seule manière de rendre D nul. Par ex. les équ. 

yx^-i-xy(jr^i)^i=Oyjr\r'+j'^—j*—i=.o, 

ont pour équ. finale j>'^{jr — i) =1=0, ut pour dernier tliviscur 
.r r — I :^ o ; donc jr=. i iqiond à x= i , cl j*:= o à x=^ 00. 



74 ALGBRnK. 

V<a, mîfwit wonlrc comment on ^iiDine en(r« irditA 

«■'4»* — aj-^o. x'+^'^m, i'x=i. 

On cbtoK il'ahord y, entre ces équ. deiti à deux ; on um 
• )cus r^a finales eux ot i, unirL- lesquelles on élimine < 
viml vaiiu une equ, f» x. Aiost ou d 

On trouve x= ± i , 5a-' = i , et ka quaue racines de t 
' connues ; sesi ensuite dofut^ paci'équ. c'x ^ i , etc. 



des Racine/. 



Si-]. Repr^Mniom kx* -f- px'~' + m par Jx., 

poMlîf, et ctinstrulAorui [fig- r)sur le« axes rectani;1e9 Ax,j 
\!kcoa.iheM3f/H'. . . dontl'équ.csi j-=/x. A chai[ueab«cii 
AP rcpoiid uni! ordonnée PM, et uuc avule; toute paraBi 
' àtaxeAy coupe dokc la courbe en un poini unique ; la courbe 
ett un irait continu, s' étendant à l'infini, tant à droite ^u'n 
gauche, sans nœud, ni double branche ; elle peut famto" di- 
sertes ondulations . Elle porte le nom de courbe parahoUqM 
par analogie avec la parabole dont l'équ. ««t j- = ax*. 

Quand l'arc coupe l'axe des x en quelque point k , l'ai 
Ak de M point repond k jr^o, et est par consijqucat rachi 
del'iiqu.y'j: = o i \ù* raciiies positives sont tes al»9ï rases d 
poidils de section places ï droite de l'origine A; les iiegattYq 
sont k jaucbe. Une ordonnée posîliva^Jlf doanc uu potut Âf 
de la COUiIn aiiui: en-deSsus dp l'axe Ax; une n(<i;ativo P'H 
donne un pf^il.Jf au-datsous. 

Pour qt^ft «tic- absùne Ak , racine de l'équ /* i 
succède uiii^ AOXrnAk , il fnut que l'nrr se recourbe , m: i 
proclie di' l'axe Ax. i^c qui produit les serpe n te melia <149 
«oit d*"!' la fig- I ; les ondulalion» qui n'arrivent pus ioi 
fUa, ne donncDtkUcunff lacine reelli:. Coinim! la foniic] 
«rtwbc d(<tennine Ici miùrii-B , et n^g'cn ses diïi.1* poin 



SUR LEXISTV.VQK. OES RACIKEÏJ. -^5 

Kia tlimitiiiM de l'«rc mI celte de tm ta(ip,eatt, cJaerchou t» 
I incliii»tir>iu(I«<:«s iBDcenlMiiui' l'uedesx. 

Soit BIHM" (fif,, 2) un arc de U mm-he dont l'éqy. ett I 
r =^/x. M et Jf deux points de «cl arc : i «t _j- les coor-^ 
l donatode A/, x *t-Aelj' + * celles de M', savoir, AP=x, 



i=/'x+ifc.r«+^ *'./■* 



. (3) 



h Close de ^=/ff. Oi- e 
et d^^ant |iar S ]'; 



irésolvantle inan|;le recta Dgle^if^, 
iiRle iiue la sccaiiie M'MS hii avec 



2*:-. 



l'axe ,-/;i- , on a ttaigS — ^rjr^ - 



li t'expreosion (7) ni 



. 1.1 valegrdc laaf; 5- Or pim h diminoc-, plus cette eipreuioD 
Lijiproehe de/'x, en même lempi que 5 tend à dvtenirl'Bn- 
'" (jnc la laiigcnte au point U fait avec ^r : on a donc 

taug 7; -=f'x =: dérivée dupofy^ome b. 

'**AInBi qaand on prend pour x tous les dcgrës de p,raiideurs 
! AP et AP' [fig. 0. les différentes valeurs de/'x sont 
èÈîlea des taDgeotes de tous les anf,le!i T que fuat avec l'axe 
IfitlM taiigeoies MictcsBÎves S l'arc MM- Ces angles Ront ai- 
FjAà Mu côte droif) quand /'a: a le signe + {coniine pour 
Iratc UM, fig. a) ; obius quandy^^ a le signe — ( comme pour 
KOAf ,Gg. 1) : la tangiintcest parallËle aux x, en O, 9, d'O'.O", 
{Qifnd /'x=o ; Ie8 ondulations de lo courbe résultent des va- 
iations de signe qu'éprouve fx. 
Comme, d'après la forme de _/j: aucune valeur de jr ne peut 
rendre ce poljnorae infini, nuTle part la tangente n'est per- 
pendiculaire aQi z; la courbe av peut donc aftcctur la ft^. 3 
a rebroustentent. 
5a8. Puisque le triaugl^ lectargle HM(^ (fig. a) dopnc 
'Q=h.f.t, oua y'iï^/j:+ A /■.! = ordonnés du point tf 



l 



' ^ (l.afcBHK. 

DotiK fwtr inmaiimÊMm i/iuilif ou itiigaiij, (t ei l 
» etntratft* ; ht tigrtes sont les mêmes Jart' 



sigmesc 



Af^< 



lUOQ* (Vite (Iirfarle i \'é 



-Gx+l=/r.A-o 



K^fOaant/'x^ o, oiia Jrs= |, ^ el 3; c(^s racines sont |Mr- 
(rit*>url'axc ^x(6fi 4) *** -«f Ci»/', /^ el P' , les ordotnw'cs 
«ovtnWBttaiilci *ont cetloa il«s iiia»ima oa raiinnut ', i>- 
Mml*»0=— ^;/^0'=+77,/"0'= + f Coiii.ncx=.' 
Jonne Jfii=î, la c 
Aount f ^a,8ç) . 

uuiinf dd l'uu d« ces poiuU ù VAxilfUi/'x 
ilEonvekCi tl uit concave clans le t*Âe ié ' 
c un uiaxilNniu,iié);atif en O, u 

u po;itir«n l)'. On a deux poiMlAI 



a'mfleii» /,/'.Ku 
.«t n«e*i>'> *'"* ï^ 
u courlie. Il f a <lui 
aa O' , cl enliu un ii 
Je MClion avec l'as* 



ip|»Cp8Mcen flOO' O- : rctiii./"x = i) 
,^7.. . abscisses J(^, A<y despoiill* | 



, CD Ce» i»î v/O 

p\ciaM réelles de l'éigu,^ =: o ; les deux 

nsircs. , 

53_i- Les racines rte l'équ. J'x ss a 

jKiinu da la coarbt: uu U t&iigciKe cti hori 

(]UB ces ptiNilit ont laur ordoiMtfi 

iflon Icssi^jnr» Ak/x oi/'x. Mais si qovlqi 

I end en aaltef'x uni , akin il n'y v plus 

iiiiim, mais influxion hornontalu, comme dans la, lig. 

etlei la |Mrtic du dt^velojipumflnt (4) '|"''l ^-'Ul ajouter 

donnée PM Ml alor< i A' ./'j: + 

tlionRe de ùgiie uvt^c h, l'aie esIconcAved'un cdliTdu [>oiut^' 

de coaUCt, rt.fiwvUs de l'nulre. Coiiiuie cetU: vflenr de x 

dorme à U fat»/' — u.y*^- ^^ o. la 1" de ee» riju. a deux 
_ racines i^i^ t»* 5ao]. Ci- cas arrive ijuand deux ondulaiîona 

BtKcetxivM ac (ondeitl 1 




1-ff 



r.qui )<iini tut u 



I- seule par l'cT3nuDiaisein«Dt 4» 
M U (oiDcidrocc d» I 



Deiuinie, il ponmila' 



. unct <)iM celles de leur» tanfjunl». 



r i)U«y 'x fill allasi mil^la |«M 



5UK l'existence des RiaNKS. «jq 

'aâditive à PM dan» l'eipreisioo (4) s<irail ^ *«./"x +. .^ . 

<|tiii:onsCTveles<g><e de^" des deux côtés Ju contact ; î) jîiu- 

mil doue maximiiin ou mininmin, selon le signe — ou ^-^Ak 

w y"r:lroison'lulatiauade la courbe K réuniraient en uncseulr. 

En g^n^ral , pour avoir un iiiaxiiiiDm ou un minimam, _ 

tattd la tangente est hori7,oiiuilL', il faut que la i" dérivée \ 

u'esl fias nalle parla racine deJ''x=o, soît d'urdre |trÏi 

f^le Mt;ne de celle ilérivéc si^rt A distinguer le maximum di 

* minimum. Et pour iiue la raciiiL' dc/'x^a réponde à un 

innexioii, il faut C[iie la i" dérivé:^ At/'x «juin'cxl pas vendu 

nulle soit il'ordre impniii 

Il suit de la forme de la courbe paraboliqne c|U*taitCoi> 
veitli^ doit siiccedijr A une concavité, el rédprD([uemcii(, m 
inaxioium positif suit un maximum iiegaiif, si l'arc coup 
l'axe des x, oi un ininînium positif, »*il ne le rencontre pas : 
le maximuiu n^galif est pareillement suivi d'un tuiiAnata, 
négatif, oud'nn inutoMin) positif. Cependant s'il orrive que 
1.1 courhe a une tan|)«nte horizontale au point même d'in- 
fletion ffip. 5), ea» où /'x ^:= o ea même lempsque/'x=: o, 
il n'en est plus siasi, et ee (/oint singulier tient lieu à ta fois 
d'un mosimniu et d'un minimum rénnis ensemble. Si l'on a 
en outre/*xt= o, on relombe stn le cas prtfc^dent, seulé- 
luem trois points de cette espèce sont fondus en un seul , et 
ainsi de suite. 

Lorsque la tangente est oblique â l'axe des «, fx n'est 
plus nul, et si f'r^a, on a t-u qoela courbe ft une iufleiion ; 
inab cette inflexinu disparaît si t/i ni^me ratine de cette (?qu. 
donne fx ^ o-, deuv onduUlionE se son! reuiiies en un seul 
poioi. Et si /'."x est auui ^ o . l'iiiOexion rep«nit , etc. En 
un mot. toutes les circoiis tances énoncées dans le cas où la 
tangente ei.i. linrizontale, peuvent se réaliser aussi cjuand elle 
est gblique, par Vcv^QaiMement de quelques otTdulations. 

S3«. Il "ail de ces raison ne men» que quand deux abstisse.s 
^P, AF , (fig i) downeni pobr fx deux vesnUais de signes 
conir&ireK /'iV, /*'(*/', le* point* Wei iV/'de lo tourbe ctiun 



I 

1 

I 



U^ 



8o AI.GRDRG. > 

des deux cAléi <lc l'axe x'x, cl i'arc «Iivnitl alli-r Je l'un de 
ces poiati à l'autre par un irait continu , la courbe doit cou- 
per l'aze en un point intermédiaire^. El inèmeil ne peut «(uc, 
dans c«t intervalle PP", la courbe «il des aerpentemen!) , et 
<|u'elk' forme 3,5. . . interaèclions avec l'axe, comme on le 
voit |iar. l'are ponctué des fig. 8 et 9, où la courbe va de m 
eaM, en traversant l'axe nn nombre impair de fois. 

Deux abscisses ^P, Alf (lî(;. 1} qui donnent pour J'x îles 
■résultats d<; même sîf.ne PM, fM', indiquant que dintx 
points M, _^ de U courbe sont situés d'un même câid de 
l'axe x'x, ^m qui joint l'un i, l'anire peut ne point couper 
l'axe; mais si l'arc est ondulé, il jieul aussi )e couper en 
3,4- '■ points, comme un le voit par l'arc ponctué de m en M 
iH- 6 ^*- 7)- 

On ne regardera pas coinnie une exception a ce nonibri; , 
soitpaîi', Koit impair, d'intersections de la courbe avec l'axe 
jt'x, le cas où elle loucherait cvt axe (Gg. lo); car aloi'.i fx 
et fx seraient nuls ensemble pour l'abscisse ;r = a du point 
k de contact, cas où l'equ. fx = o a la racine double d, et 
le facteur {x — a)'; ce iODt deox points de section de l'arc 
MkM' qui se trouvent réunis en un seul, et ce point de 




SUR L^SXISTENCE DES RAGINEk 8t 

533. D*après cela , examinons les deux cas de degré' pair et 
impair. 

I. Si reçu, fx = o est de degré pair n , en prenant pomr x 
la fimite AP (6g. Set 7) des racines positÎTes, ou le r^ terme 
kjc^ du polynôme^ positif et pins grand que la somme des 
termes négatifs , l'ordonnée PM est sofitiTe. Par la même 
raison fx et f'x sont aussi positifs ; la tangente aux points 
de la courbe depuis M jusqu'à l^nûni fait un angle aigu T 
aTecTaxe A»<, et est concave vers le haut, s'éfi^iant déplus 
en plus de cet axe. L'abscisse Àp étant limite ae racines né- 
gatives, fx et fx sont encore positifs, parce que les expo- 
sans n et n — 2 du i*' terme de ces poljnomes sont pairs; la 
courbe est donc aussi concave, jusqu'à l'infini et s'écarte sans 
cesse «u-de^sus de l'aie Ax\ Mais fx est n^atif , parce 
que n — i est impair : la tangente aux points de la courbe 
depuis nf jusqu'à l'infini fait un angle obtus / avec Ax. 

Or, si le dernier terme de fx est négatif, — u , en faisant 
X'=:Oj jr devient — m, et il faut porter la longueur AB-ssz, — u 
(fig. 6) en-dessous de l'origine A : la courbe passe par les trois 
points THy B et ilf , et doit couper l'axe au moins une fois en k' 
à gauche, et une fois en ^ à droite : mais elle peut aussi cou- 
per cet axe en 3,5. . . points de chaque côté, si elle fait des 
serpentemens assez étendus pooV l'atteindre, ai. isi qu'où le 
voit par la ligne ponctuée. Donc toute éçu. de dei ré pair dont 
le dernier terme est négatif a un nombre impait • de racines 
positives et aussi de négatives, mais toujours au moins une de 
chaque espèce. 

Et si le dernier terme de fx est positif -f- u ^ en faisant x = o, 
jr devient 4- 1/, qu'il faut porter en AB (fig. 7) au-dessus de 
tangente i^i*^r; courbe passe par les trois points m^ B et M^ 
est gblique, par l'e^^^^e x'x, et l'on est incertain si elle fait 

. ■ . ^ d'y atteindre : mois s'il y a des 

53a. Il suit de ce» raisonnez. , • / * i 1 •» »« 

, . pbve pair tant à droite qu a 

AP, AP, (fig. ..) donnent po&. , ,t„e'e. Donc touic 

contraire» P^.. PM', le. points ih ^ ^^, ^^^.^.^^ ^„ „•„ 



/ 



es 



ALCëBIII':. 

'Â le nombre 




Hjlicunc racine réélit-, 

iivtrt j pnir pour les négatives. 

11. Si l'x est de degré impair n, tout ce qu'on vient de J 
pour 1« foriiic de la courbe du câté des x positives e 
vniii à partir de Bl (fig. 8 el g) , elle est encore concave vers Ifl^ 
haut, s'ëcarutiit siina cesse de l'axe ^j: etallantà l'infîni, avec 
des taugcnica tpii font des aitgles aigus avec eut axe. Mais si l'on 
prend pour x la limite -1p des racines négatives, comme l'ex- 
posaut 1 du i" terme Aefx, et celui n — 2 àef"x sont im- 
pairs, ce prcinicv terme est négatif, et l'on a une ordonnée 
négative pm, et un arc convexe vers \e haut. En outre, au 
pvint m, situé sous l'axe, la tangente fait un angle aigu 
avec les x, parce que l'exposant n — i du 1" tenue de f'x 
est pair. 

Or , si le dernier terme de fx est négatif, — u , x ::= o donne 
y ^= — M, qu'il faut porter en Ali (fig, 8) sous l'origine A : • 
la courbe va donc de m en fi, puis en M. D'où l'on voit qu'elle 
p«ut ne pas couper l'axe x'x dans l'espace Aif , et qu'elle le 
coupe certainemeol une fois entre ^^ et P. Les interscctinus 
que produiraienL des serpentemens seraient d'ailleurs en nom- 
bre pair de -T'en A , et impair Ae A en P. Donc toute équ. de 
degré impair dont le dernier terme est négatif a toujours un 
nombre impair de racines positives {au moins une), et peut 
n'en avoir aucune négative; lorsqu'il en existe de cette der- 
nitre espèce, elles sont en nombre pair. 

Et *i le dernier terme de fx est positif, ^ u , il faut prendre 
AB^u (Cg. g) au-dessus de l'origine A -. la courbe va de m 
en Bat en M, coupe l'axe entre A etp en un aoiubie impair 
de points, peut ne pas rencontrer cet axe de A enP, et si elle 
le rencontre, ce doit être en un nombre pair de points. Donc 
toute équ. de degré impair, dont le dernier terme est positif , 
a un nombre impair de racines négatives ( au moins une ) , et 
peut n'avoir aucune racine positive , ou en avoir un notn- 
bre pair. 

Le cas où la courbe serait tangente i l'axe des x ne fait pas 
'^^xceplion à ces principes, puisque nous arons VU qu'alon 



SUR L^EXISTEffCE DES RACINES. 85 

Vëqii. yr =r o a des racines égales, et qu'on doit compter ces 
racines comipe répondant à un égal nombre de points com* 
ii^iins entre la courir et l'axe. 

Lorsqu'une éçu. ordonnée est formée de termes positifs sui» 
ifif d autres termes tous négatifs, il ny a qu'une racine posi-^ 
t^ , les ifutres racines sont négatives ou imaginaires. Car 
réqn. 

kx^ ^. . . . ^ qx^ — rr*"* — iar*~'. . . — ii=o, 

devient ' ^ kx""* •••• + 9 =-+—.••••+ —i » 

, a: ' X* X* 

lor&qu^on la divise par xK La proposée a une racine positive, 
«piûffqueson dernier ternie est négatif; j:ss«i rendf donc égaux 
lestéew membres de cette dernière équ. Qu'on tasse croître 
ou (iMcrpUre x> l'égalité sera impossible, puisque Fun des 
membres augmentera, tandis que l'autre diminuera. 

534- Puisque toute équ. de degré pair doit avoir ses raci- 
nes réelles en nombre. pair, ou n'en avoir aucune, et que si le 
degré est impair, les racines réelles sont en nombre impair, il 
s'ensuit que les racines imaginaires d^une équ, sont toujours 
en nombre pair : Une équ, qui n'a pas de racine réelle est né- 
cessairement de degré pair^ avec un dernier terme posiflif. 

Quand toutes les racines de réqu.y^x = o sont réelles, la 
courbe an — i tangentes horizontales et /i— i serpenteiiiens. 
Si cbacun de ces arcs atteint l'axe des a , les ti racines de l'éq. 
fx-=zo sont aussi réelles ; et comme alors il n'y a que des 
maxima alternativement positifs et négatif s, /r et /"a: ont 
toujours des si^es différens pour toutes les racines de fx^szo^ 
et leur produit reste négatif. 

Mais les racines réelles sont remplacées par des imagtnaires 
accouplées, quand ces intersections doubles manquent, c.-à-d; 
quand des maxima sont remplacés par des minima, l'ondu- 
lation n'ayant pas un développement suffisant pour atteindre 

l'axe. 

Et lorsque l'équ. /^x= o a des couples imaginaires pour 
racines (car elles sont toujours en nombre pair) la courbe 

6.. 



W SDR lVsIST1.>CE OtS RACINES. 35 

Vi-qH- yx^^o a alors h».{ racini-s réelles^ luait s'il n'en coupe 
<]u'unc »culc coniinc ^^, ou aucune comme OB', il u'y a 
qtu: deax racines rédlU-s ou aucuuc. La courbe a deux points 
il'înflexioa clonu«^ ^oTfx = o, 

MiiÎJit rd([u.yx=io n'a qu'une racine réelle, l'équ.yjrr^o 

. n'en a pu de telles, la courbe h'a pns tl'inQcxion et ne fait 

qu'une seule ooflulaiion (flg. 6) qui peut couper t'aie en deux 

points, ou ne pas le rencontrer, aiusi il y a deux racines 

rculIcB , ou 4 imaginaires. 

Pour l'equ, du 5* degrc, )a courbe a la tï^. i^.sifx^o^ 
ses 4 racines réelles , ou la fi;;. 1 1 s'il n'y a que deux racines 
radies, ou enfin la lij;. 13 si les 4 racines de/'7:=o sont ima- 
ginaires. 

S(u» nous fonder sur te Ihéorème (lu n'Soi, nous avons re- 
connu que toute cqu. a une racine réelle, excepKf qit&ud le 
degré est pair et le dernier ternie positif i nous nous re'servons 
de prou ver plus tard «jne, tlans ce cas même, il existe un ^m- 
bole atgébriguf . une fonction des cOffficivns , qui sulAtitncc 
pour X doit réduire /i ^ léro; nous serons assures alors que 
lonto^qa. aune lacioc réelle ou imaginaiie , et d'après te 
n* Soi, qu'elle en a prcciscnient n. 

536. Sciieni a, b,... — a', — b' ,... lis racines relies d'une 
^qu./j;= 'I\x — a){x — b)...{x-\-a') (a: + *')... On sup- 
pose ici que 7'=o n'a pas de racines réelles, et que par con- 
séquent le polynôme '/'est de degré pair, avec son dernier 
icnns positif. I.e dernier leiuie dej^ctaiitle produit d« celui 
(la Tpar — u, — b,. .. + a , +6. . . son signe ne dépend 
qtK du DOmbre [lair on impair des facteurs iii'fjatifs. Donc le 
dernier icrme d'une êqu. est positif ou négatif, selon que le 
' j|oiubr« <lcs racines positives est pair ou impair, quel que soit 
^'ûllctirt le nombre des négatives cl des iin3i;iiiaires. 

537- Supposons qu'ayant résolu ruqn.y.t= o, on ait dis- 
ia\iuia lies minima de la courbe j'=:^, parla 
raiion des signes de fx etf"x, pour les valeurs de x <\ui 



I 
I 



ALGÈBRE. 

. Admettons que cen rsciiics répOnâcal 



I 

I 

I 



86 

sont racines dtfx =: 

à M maxima el m ininiina. 

Cela posé, imagiaous qu'un point mobile partant de rinfltil 
négatif, décrive cette cuurbe en allant jusqu'à l'infini positif. 
Pendant une immenee étendue de la marche, ce mobile ne 
rettcoatrera pas Vaxn, parce que ce n'est que dans le voisinage 
de l'origine que commonceront les ondulations. Après chaque 
maximum, il tendra vers l'axe , el ensuite te coupera , à moins 
que l'axe se recourbant ne donne naissance à un minimum. 
Ainsi chaque minimum détruira une intersection indiquée parle 
maximum voisin. 11 en faut conclure que il/ — m-f-i est te nombre 
des intersections, c.-à-d. des racines rvelles de l'équ.yi^o ; 
nous ajoutons le terme 4- ■ > P^i'^^ 1'"^ dans le mouvMWdt 
du mobile, nous n'avons pas compté l'intersection qui ftir 
cède le i" maximum ou succède au dernier. S'il y a aatauit j^ 
luaïima que de raiuima , il/ =: m et il n'y a qu'une seule ra- 
cine réelle (l'équ. est alors de degré imp.iir} ; quand il n'y « 
pas de minimum , un seul maximum est possible, et l'équ. a 
deux racines réelles ; elle est de degré pair et le maximum est 
ne'galif : enfin quand il n'y a pas de maximum, on ne trouve 
qu'un seul minimum et aucune racine n'csl réelle; l'équ. 
est de di'gré pair et le minimum est positif. 



1 



Racines incommensurables. 



538, Méthode de Newton. Après avott dégage une équ. 
proposée de ses racines soil égales, soit commensurables. il 
s'agit de trouver les racines irrationnelles. Supposons qu'on 
soit parvenu à connaître une valeur approchée y de l'une de 
ces racines, qui soit seule compiîsc entre ■ et â; en faisant 
x^y dansyir, on jugera par le signe du résultat (p. 8a) si 
la racine est comprise entie a. et y, ou entre y et Û : posons 
qu'elle soit entre» et y. Faisons ;r = ^, nombre entre ceux- 
ci, e( nous saurons si la racine est entre <c et fi, on enU« 
$ et y. On resserre ainsi de plus en plus les timitid, et 01 
approche indéfiniment de l<-i rucinc. 



1 



■AaKES HfCOMMEVSUBABLBS. 87 

Hm.cto piwéM terAii impratkaUe poar de fraudes ap- 

prdximationt; on ne l'emploie que pour obtenir un nombre 

CL qui soii approché à moins du dixième de la valeur êe z. 

Déffgnant renreur par j^ bn a x = «+J^9 substituant dans 

^ssoy on a (n** 5o4) 

Biais On siqipose que jr.^^ ^^^nè petite quantité, et m n'entre 
an dénominateur d'auctin des .coeffidens^ qui sont les va* 
leurs de fx et de Wè dâ^bés^ quand on iait x=fle : la règle 
de Newton consiste à^Krdèr J^^J^» • . • comme assez pe** 
tiis pour pouvoir être i^ligtfs, ce qui réduit la transformée 

*/*+/■/'- =0f d'où 

•^ /%« n*«t«— +/i(ii— iV»-\ . .+1 

Appdons 9 oetle firaction^ ou seulement sa valeur approchée; 
j^ïsrx donne xssa^s pour 2* approximation. Faisant «4*'=*i» 
et dëiignant par /-, la nouvelle correction, elle sera donnée 
par la même eipressiou où «e sera remplacé par m^\ doAc 
xss«-i^«4'J'ii.<B^ AÛDsi de suite. 

Soit par ex. ir' — mp —5 = o; en faisant j: =12 el 3^ les 
résultats -^ i et +16, accusent l'existence d'une racine 
cotre % et 3, qui même est plus voisine de a. Mais x^sn, , i 
doone 0^061 ; ainsi a,i est plus graud que x^ et plus voî^ 
sîn de la racine que a. Faisons « = 2,1, la correction est 

A^— a« — 5 0,061 ^, 

Bornons- nous aux dix-millicmes, pour une i^ approximation, 
x=2 ,0946. Prenons ce nombre pour valeur de a, et il viendra 

o,ooo54i55o536 ,^.3 

j= f 2^ — 7—73 = — o,oooo4o5i 

11,16204748 

Notre i^ décimale était donc défectueuse, et on trouve...* 
jraB'3,og455i49* On poussera ce calcul plus loin pour cor« 
riger les dernières décimales et approcher davantage. 



Si l'on cooMrve Ir lennecn^' > 



8 le déreli>ppcmeul)«B^ 



I 



T' + ^rf-- 

aprùs «voir irourc la i" correction s, on la substilu 
ilausle déoouiinaleur, et on obtient une valeur pli 
l'ItA. C'est Ainsi que dans notre ex. s = — o,oo54 
~- Jl/*" '^'^'■b^ — ^ ' °^\ '• '^ dénominateur devient 1 1 , i 
r = o,oo54483, quanlité dont la dernîËre décim&le ttt seule 

Soit encore l'équ. :i:^ — x*-f-3xs^fl^ quia une racine entre 
1,3 et 1,3, qui donnent pour réauItMs — o,3i3 et + o, io7< 
Foison» B^i.S, nous avonsr^ ^~^ ^ — o.oa , et- 

4.47 

a:=i ,a8. Comme ;^a = (3«~ ii7-=2,9_7', le dépomioa- 
leur aBgoientédc — o, o58 devient 4. 4'^; d'oLi_7'= — o,oi43> 
ainsi x:=i, 375s. On prend«:=i, 3^6, et on continue l'af^ro»- 
xiniaiion. t 

539. La méthode de Newton n'est cnacle que sous certain»' 
conditions. Eu effet, construisons, comme n'Sa^, la courbe 
parabolique (Kg. i) dont l'èqu. est y=: fx. Les racines de 
l'ëqu.^ =0 sont les abscisses despoiuts ^', k' . . . d'intersec- 
tion de cette courbe avec Ax. Soil x = AP = a une valeur 
approchée de la racine Ak ■= a (fijj. i5 et i6j : l'ordonnée 
PM^^f», et la tanj^cnte de l'angle 7' que fait avec .^x la 
tangente en M çit'f'm (n" 5^7}. En résolvant le tt iang^le TPM, 
on trouve TP.laxi^T^ PM=f', et la valeur d« la <outan> 
sente» := TP est 

Tdte est la nouvelle valeur upprochée de Ai = a, selon 1^ 
indiliodc de Newton, qui a, comme on voit, pour objet de 
«ubstitucr h l'arc Mk sa tangente ^fT, dans la recliercbe du 
point de section li nvcc l'aie. On fait ensuite servir cette a' 
proxiinalion AT h tiouvcr une autre tangcolc itf'T', potCUl 
uouveUc valeur ^^7* plus approchc'c, el ainsi de sailc.CeM 



I 

e 

I 

I 



r, ikcvsiA i.\comui^»surabi,e:5. 89 

taicUioden'estd'ailleursbonnequ'aulantque les points T,'n... 
ainsi obtenus se rapprocbenl saus «sse de i. 
Or si l'on eut pris pour l'approximation ■, la partie jfp 
(Hg. i5} qui répond au point m voisin do uiasimum O, il «1 
eTidcnl que la tangente mi en ce point, loin de conduire A 
une valeur plus approchée de ^i, pourrait même donner une 
soulangcute pres(]ue infinie ; et mêiue pour le poiut de contact 
m', celle soulangente serait dirigée en sens contraire. Ainsi la 
forme et la position de Varc mjtf lelalivcmentà l'ane, peuvent 
être telles que t» rè;<le serait Caulive : et il faut la souniiettie à 
des conditions spéciales, si Von veut être assuré de sou succès. 
i". Jljaut connaître deux nombres m et ^, entre UsqueU il 
n'y ail qu'une seule racine comprise .■ car si la courbe coupait 
l'axe en plusieurs points intermédiaires à a et &, elle y fêtait 
des serpcnlemens; il serait douteux que le point de contact 
fût propre â donner une valeur plus voisine de a que «. C'est 
ce qu'on peut voir sur la ti|;. i oùles limites v^p, .^/>' ne sau- 
raient permettre d'approcber de Ak et Ak' . 

a". Aucune valeur de x entre net fi ne doit rendre nulles les 
dérit-éetfx , Cx ; car il se trouverait , dans l'intervalle, un point 
maximum ou minimum, oubienunein(leiion(n"539el53o], 
circonslauces qui pouri^ient visiblement rendre la méthode 
de Newton défectueuse. 

Nous donnerons [n* 556) des procédés pour trouver les li- 
mites m tt fi, et s'assurer que'la condition précédente est 
remplie. 

3°. Lortqu'on aura trouvé nos deux limilef ■ et fi, on ne 
pourra te servir, pour pousser V approximation p que de celle 
quirendixetî'x. de mêmes signes. Les fig. i5, 16, 1^, 18, 
représentent les positions différentes que peut avoir l'arc, 
selon qu'il tourne sa convexité ou sa concavité vers le haut, 
j^^est la racine a: AP, Ap, sont les limites • et ^ qui l'inter- 
ceptent seulf: ; la soutanjjeote PTest la correction s indiquéi 
par la mélbodc pour la valeur AP =. ■. Or on voit que,poui 
■la sûreté du procédé, il faut que le pied T de la tangente soi 
eiftce ctlui de P de rordonnéc cl le point k de section avci 



I 
J 



ALGbPHK. 

, à» |>niul P, on iloit voir iii cuiivcxiKi de l'Mty 
4* H, «1,^ , coiHDie on sait (n' SaS) t|ue le si(;ne de l'ordon- 
,1^ j^ «Ml le uiimtt que celui dQ/"x , pour l'abscHse .... 
jI^^c^*' TcIIo e»t donc la liiuile qu'il faudra pràiercr 
M0 tV^roiiuiation ulu!rioure. 

laM^ve la con»ideratiou des signes aura couduit à prcftii'eir 
.j^ Je* tleUX limites ■ >■ i , il auîl du nos % 
iMH* ^f* apprt»iiiifttions ftuccessiTes seront toujours pli 
^«, va dtMKeiidanl saiis cesse vers celte rac 
K«Mnuvi onapriSixC! " (^6- (6 et i^), on montera tcts 4| 
■At Mue •nit« d'approximations toutes ^ 

S(o. Voici donc laïuarclieù suivre: t'. on clierchcra detll 
Uiuilei • et jS entre lesquelles il n'y ait qu'une seule racine 
1*. rpn reMcrrera ces limites jusqu'à ce qu'on soi t certain qu'en< 
uc «Iles, ii ne se trouve aucune racine des équ. /'x =io 
/*x := o; 3", cnËQ on prcnilrR pour première approxîmaliot 
celle # de CCS deux limites qui, substituée dans fxe\ 
iloanera des résultais de mêmes sif^nes. Lecalculfera connalti 
la valeur « qui est la correction à ajouter, avec son signe, ^ 
pour obtenir la 2* approximation ■ + ; ; celle-ci prise pol 
nouvelle valeur de m servira à en trouver une 3', etc. 

Il est évident qu'on peut se dispenser de prendre cxactemei 
la valeur de t , telle que la donne le calcul, et qu'on peut Idj 
en substituer une autre moins composée, poui 
ponâeii unpoint T compris entre P et k. Ainsi en rt'duisant 4 
eu fractions décimales, on n'y conservera que les thillrespro 
presà la racine, pour ne pas compliquer inutilement les 
culs suivans. 11 est donc todicpensable de connaître le dcgt 
^'approximation lie ckatjuc correction. 

Or si , par le point m, qui répond A la 2' limite Ap = ff J 
inm^H- une parallèle mq \ la taii|;cnte MT, cette limite sAV 
i trouvera dans la partie- concave de la courbe, et lepoin 
I vistltlcniuii entre W pieds T vl q. \.e triangle frj/19 tlouDl 



cer 



«•Sî /i 



- prce que/;Si;»i nég«tif]H 




t 



HAClHe.S IKCUMUENSUIUOLES 

• Voii Aq=:fi — ïï-- VoiU ilonc deux limites conni 
1 1 .'quelles (oiube la racine clierctiée a , savoir : 

/- /^ 

•' = • — i-, ^ =^—4^. 

f' J • 

On lie conservera pour valeur de » que les chiffres décintaux 
communs ù ces deux expressions ; ce sera la 3* approsimaiion. 
RieD euteudu que dans ces calculs , on aura soin d'alTector Ict 
quantités du signe (|uel'opéraikon même delËTintiu.-. L'appiOkî- 
malion , assez lente d'abord , convergt.' ensuire rapidomeiit 
vers a , dèa qu'on est parvenu à obtenir 5 à 4 ctifire» décimaux 
de la racine. Fourier a démontre' U loi de ces approximations 
•dans (on Analyse des équations déterminées. 

Reprenons l'équ. ,r' — ^x — 5^o- (fousavons trouvé que 
la racine est entre 2 el 2, licommey^ ^ 3ar' — a,y3r=s6T, 
on voit que/ret/*x sont posiiiTs pour j; ^a =a,i. C qu'on 
devra toujours préférer les valeurs ]> x. D'ailleurs les racines 
de l'équ. 3*' — a = o ne sont pas comprises entre a = 3, i 
etâ = a- Enfin on a obtenu 

/«=+o,o6i. /'. = +, ,,23 et ^=— o,oo543: 
ainsi a ^ ^,o^5-}. Prenons S := a.og < a fainsi qu'oA le rc- 
cotinait, à cause Aef» = — 0,050671)1 divisons^ par/"», il 
vient — o,oo45i ; ainsi la 2' limite de a est fi' = l,09{^i.^Lvn 
quaire t"' décimales sont donc exactes , x=:i,o^B. 

Prenons ce résultat pour valeur de a, d'où_^;=-f~o,oao54i55 

(le signe 4- annonce que cette limite est |>(i) et 

y«= 1 1,1620474^ • 1^ quotientestla correction 0,000048517; 
d'oui ^2,094^31433. Pour distinguer Icsclûffrcs défectueux, 
bisons & ^= 2,og45i d'oJi ffi = — o,ooo5^4%i ^^ signe 
— atteste que celte a'iimite est <^ a, ainsi qne cela est néces- 
laire. Divisant par fa, le quotient est — o,oooo5r46 ; d'où 
tl ^ 2,09455148' I^ous avons donc 8 cbinVca décimaux 
exacts. 

Le chIcuI devient long , quand •> est uu nombre compose ; 



1 peuirsJ)i'ii()cr.L'apf»i'Oxii»ationaafl^jâ Tail c 



i l'on 3. tiré la correction x 



/• 



/;/'•■■ 

. le calcul plus loin, il faut sabstituev à J, «i, = •+ r, 
fx, f'x, fx; d'où résulte ce développement, qu'à raia 
la petitesse du nombre j, on rcduil aux i'" letinca : 

/.,=/.+./. + -;.•/•«, /■., = /i. + ./.; 

le calcul est donc facile Ji achever. Dans nolru ex. on 
■ t= 3,1 cl l'on a obtcnu/ï = + o,o6i , /'• =i i 
f'i'^ 1^,6, f^=- — o,oo54 : pour pousser l'approximatil 
plus loin, il faudra poser a,T= a — o,oo54i donc 





/«, 


= o 


,o6i-o 


ooS^X 




/•- 


= 1 


,î3-o 


oo54x 


et 


/«. 


= o 


00054,,, 


/■'.= 



i.j3+(( 



.,.6,9li,., 



io54)' X 6, 



I 



541. Méthode de Lagrange. Ce qu'il importe avant tout Je 
connaiire pour trouver les racines d'une équ., c'est te lieu dr 
ces raciViej.c.-à-d. une suite de nombres entre lesquels cbaquc 
racine soil seule renfermée .- tel est le vrai point de la dil 
culte. Lorsqu'on substitue pour x les nombres 
o, i,a,3...,et qu'on trouve autant de résultats succcse 
de signes diflerens qu'il y a d'unités dans le degré n de l'éqi 
toutes les racines sont réelles , et le beu de chacune est coni 
Mais excepté ce cas, on rcsie incertain sur le nombre 
racines réelles et leurs limites , parce qu'on ij;nore si entn 
nombres qui, substitues pourr, ont donné des résultats 
signes contraires, il n'y a pas 3,5. . . racines comprises; 
bien si entre les nombres qui donnent les mêmes signeS; 
n'y en a y&t a, 4- . . (n° 53a). Miiis si l'on cboîsit une «éric 
substitutions successives asscs rapprochées pour qu'il ne ptt] 
se trouver plus d'une racine intermédiaire , on sera 
chaque changement de xîgtie ciurr lifi r^tuUais 
tcnee d'une xeule racine vuv Ut nombrtt mi 






RACINES IlfCOMBIENSURABLES. q5 

qiiil nj en à aucune entre les nombres qui Mnnent des résul" 
tais de mente signe. 

Si deux racines a ei b sont entre a et a, les quatre nombres 
sonte'crits ainsi par ordre de grandeurs croissantes «, a, ^^ A; 
d'où A — fit >> 6 — a. Donc , quand cette condition ne sub- ^ 
sistera pas , les racines a et ^ ne seront pas entre a et A. Ainsi 
il suffit de choisir « et a moins écartés que ces racines, pour 
qu'entre « et a il ne puisse y avoir qu'un des nombres aeià^ 
on qulL n'y en ait aucun. Concluons delà que si è est moindre 
que la plus petite différence entre les racines, et que, partant 
de la limite inférieure Y, on substitue les nombres Y , V -^^ f 
V + ai", . . . jusqu'à la limite supérieurel, on obtiendra quêtant 
de résultats de signes contraires qu'il existe de racines réelles. 
Chaque changement de signe inlique une seule racine entre 
les nombres substitués ; et il q'y en a aucune eoCre les nombres 
qui ont donné le même signe. 

Pour obtenir ce nombre /*» formons Téqu. dont les racines 
sont les difTérences de toutes celles de la proposée prises 2 à ?. : 
y désignantla différence dune racine xav^ec toute autre racine y 
on changera j: en x + J^ ^aus yà: = o ; d'où 

A +• ^/'* + ^^/> + . . . =0; 

cC divisant par j*, on a 

X et X ^^^ ^^^^ incennucs. Éliminons x {n^ 5ai), il viendra 
un^ équ. Fjr -=• o, dont l'inconnue jr est la différence entre 
toutes les racines de la proposée ; Fjr = o est l'équation aux 
différences , c.-à-d. que jr est la différence entre uue racine 
quelconque de or et toutes les autres. Ainsi le degré de cette 
équ. est n (n — 1 ) , nombre des arrangemens 21 à a des n ra* 
cines de x. 

Ces différences a — ô, b — a, b-^c^ c — ô, sont^lesaà 
2 en signes contraires; en sorte qu'on a ensemble^ =s« et —«, 
et que Fjr devient nul dans les deux cas : ainsi Fjr ne doit ren- 
fermer que des puissances paires de y. Cela résulte aussi de ce 



^4 Arcï.RnB. 

que Fy peut ùtfe (lrcoiii|io£é en facleurt de la forme». 

Cr-«') tr'— ^)--- 

Op peut donc poser j-'=z sans ÎDlroduice de radîcaax 
on «ara téqn, au carré des dtfft'rrnces ^xc=o, dont 11 
nues est le carré de toutes Les dîSi'i'ences entre les racines de» 

6J3. Noas savons trouver un nombre i moindre que toui 
les valeurs positives de s, (n* 5i2), i< r ou ^% yi .<_j- 
denc \/i, ou uoe quantité positive moindre , pourra £tre pr 
paur la dilTérence ^LOtre les nombres à substituer pour 
Comme k-s fonctions Fj-, ^z, ont les mêmes cocfficiens , i 
aussi la limite inférieure de ^t", <<^', en sorte qu'on peut au 
prendre ^:=i- Comme plus J" est petit, et plus il faut faire 
substitutions de /' à /, il faut prendre J'ie plus (;rand paHÎbtè, 
a&n d'abréger les calculs. Ainsi, quand i~^i, on prendfa^=:| 
ou pourra, si l'on veut, substituer les nombres naturel 
o, I, 3t 3. . . Mais quand i-^ i, on doit faire i^^i. 

Les substitutions de nombres fractionnaires et irrationnel 
seront évitées ainsi qu'il suit: 

i". Or sait approcber de \/i à moins d'iaïc fraction donné 
telle que j, J. . . (n' 63) j on prendra donc {/i par tléfaiit 

moiUB de r, et on fera i = f- Ou choisira h de manière i x 

pas descendre beaucoup au-dessous de yi, et à n'être pas u 
nqmbre trop compote. 

3°. Au lieu de substituer pour j-, o, y, —,. . on rendi 

leq racines, e^ par conséquent leurs diiïéreoces , /> foi» pli 
f,randeB(ii* 5o3), en posant /i;r=i, et il restera à subBtitU| 
pour ', o,g'f2^,3g. . . ou si l'on veut o,i,3,3.. . Ainsi ■ d 
tait transformer une p'qu. en une autre ijui n'ait pat plut ll'ui 
ntfint comprise entre deux eatiert successifs quelconqws. 

Observez que J se déduit de Fjr, et que f z est inutile A totmo, 
De plus , en cliatiant le 3' terme deyjrso , ( n" SoS}', louti 
les racines sont aaf>inentéus de U même quantité; AleB crâ 



BAGINES INGOMIIBNSURABLBS. ^5 

'servent leorv diSerences : Fjr se tire plus aisément de c«ile 
transfonnéei et reste la même. 

543. Soit, par ex., Téqu. x^ — ax=5dont une seule racine 
nous est connue (p* 87); pour savoir si les deux autres sont 
réelles , changeons a: en x +jr^ d'où Sso^ — a -f- 3xjrJ^y*efs% * 
éliminant x il vient (n® Saa) Téqu. j* — laj^if-SGj^'-f^Sso. 

Pour trpuyer la limite inférieure de j*, faisons j^"* = - , d*pù. . . 

643 1;^+36 V*. . . =0, et 1; < 1 +^, et même «< 1 , d'où 
^^1=1^. En faisant x=— 1,0,1 ,a. • . on trouveia autant 
de changemens de signes que or a de racines réelles. 

L'équ. :r^ — iaj:'+4' ^—29=0 donne 

d'où chassant x^ y^^ ^V^+ 44'!/*=^49J ^° feit^s:-, et il 

vient 49^*— 44»^*--» P™v<io,jr>|/J5, ou | sa/*; 

faisant :r=:i/, on a z^ — 48/« + 656/= i856, 

équ. qui n'a au plus qu'une seule racine entre deux nombres 
entiers successifs. Posons <=o, 1,2...; nous verrons que / est 
entre 3 et 4 9 entre 21 et 22 , entre 22 et 23 ; donc x est entre | 
et I , -x^'et-^, -^ et ^; il existe deux racines entre 5 et 6 qui 
n'auraient pas été reconnues sans ce calcul. Les racines sont 

x=: 0,95108. . . 5,35689. * * 5,69303. . . 

De même *^ •^ 7a: + 7 = domie j"^ — 4v^^+44 1/' = 4Q» 
v<^9,j^>J et 1/5, ^=1 : on po«ex==j/, etc. On reconn^î^ 
bientôt qu'il y a une racine pntrç — 3 et — i^, une entre ^ et 
|; enfin une entre -f et 2, savoir : 

arcs — 3,04892... 1,35689... 1 969203. 

Enfin po^r l'équ. x^ — a:' — 2X + i = o, comme x = o, i ,2, 
donne les résultats + i , — i , vf» i , et qu'en changeant a: en — Xj 
les nombres i et 2 donnent des signes contraires , le lieu des 
trois racines est connu , et Véqu. aux différences n'est pas 
utile. Toutefois cette éqn. estj^* — 1 4t* + 49.^' = 49> ^P" 



I 



(j6 ALGÈimE. 

jnend quc.r>t, ^ -- i, ce niii s'acooiJu avec ce qn'oT)>il 

de dire. 

Ce» uIciiU toujours ciécutableg, n'ont d'autre i 
uieut que d'être d'une longui^ui' excessive quand le degrtf est' 
un peu ctevë : la ihdoric en est claire, compltle et sans excep- 
tion; mais les opt^raliona devienneni impraticables. 11 rc-sle à 
pousser l'approximation plus loin, et Lagrangc a encore en- 
posé une métbodo facile qui sera donnée plus lard (n*6i3). 

544- fii'fffc rfe Descartes. Lorsqu'une équ. fx-=^o est or- 
doDoée, on peut pre'sumer le nombre des racines soit positives, 
soit négatives, ;'i U seule inspection des signes. Nous appelli^- 
roas jtermnnence la succession de deux signes semblables, ei 
variation celle de deux signes difT^rens. La règle de Dcscart. ^ 
consiste en ceci : Toute équ. complète a txi plus autant dr ru- 
cines positives que de i<ai-iaiions , autant de nfgati<''es que de 
permanences. 

En effet, toute équ.^=o peut être encore considérdeConf 
le produit d'un polynôme quia tous ses facteurs binom 
ginaifes, par ;r — a, t — fi,... x-f-a', x + fc'.,. facteurscm 
poudansaux racines réelles a, !>... — a' , — b',.. Voyoél c 
ment les facteurs binômes corrcspundans introdoiscat datis| 
produit Goit des variations , soit des penuaneaceN. 

Supposons pour fixer les idées qu'un polynôme Fx^ 
cette snccessi on de signes : 

+ + 1 h + +H + -+■ 

Multipbonaparx-f'a' pour in traduire une nouvelle racine n 
galive — a'. Il faut d'abord multiplier par x, puis par a 
ajoater tes deux produits quisonl composés des mcrae* nif.aU 
le 3* étant recule d'un rang à droite pour l'ordonner ; savd 



h- + - 



+ ++ + -H 

- + 4- + H — -h— i-i 
I + + + I i >■ «'^j 



Quand les deux rignes correspon 
conservent au produit ; le casconti 






KiCINES IHCOHWEKNURtBLES. Q^ 

ùidiquer qu'^ l'ioias d'avoir <-gar>i à la grandeur des coef- 
ïicien»! le ligne est incertain. 

Comme le» deux pr«duiu pai tieU sont composés des niiiiues 
iVgnes, lésine se trouvent que là où il y svaitTarintion : lUi 
ibre pair de variations successives donne un égal noiubre 
', lesijuels sont situés entre des signes semblables ; au con- 
quand la quotité des variations élAÎt impaire, les i 
ifx le sont aussi , entre des sif^es diftcrena. Donc si l'on 
vent disposer «le loua ces signes ï (/*■ manière à introduire ie 
plut grand namhre possible de -variaiioiis au produit , il faudi'a 
changer tous ces i en + "^^ ~ allernalifs ; et puisque chaque 
série de i est entre deux signes semblables ou dilTérens , selon 
que leur nombre est pair ou impair, il est visible qu'on ne 
pourra introduire plus de variations qu'on n'a de signes i, 
c.-à-d. plus de variations que la proposée n'en contient. 
D'ailleurs le produit a un terme de plus; donc iV a au moins 
une permanence de plus 

U se peut que tous les i ne se changent pas en variations, 
alors le produit aurait deux , quatre.. . permanences de plus que 
Fx. Donc l'introduction des racines négatives emporte celle 
permanence pour chac 



iTau n 



Multiplions maintenant Fx par x — a, pour intioduî 
racine positive*]-, le «'produit partiel, reculé d'an rauf, ii 
droite , est formé de signes contraires h ceux de Fx, an sorte 
^^^ne les i sont iosrriu à chaque permanence : 

Wk + — + 4. _^. + + + _+_ + 

V- - + H + + + -+ + - + - 

~ + - .■ + - i ' -1- - -1- « '* t - + - + - 

Une succession de signes semlilables dan< Fe devant s'y ter- 
miner par une variation , toute série de i doit être compriiie 
entre -(- et — . Qu'on dispose de ces (' en les changeant tom, 
soit eu -l- , soit en — , pour former le plus grand nombre de 
termanences, il n'y en aura qu'anianl que dans Fx : Le pro- 
ant un terme de plus, a donc: au maint une variation 
\eplus. Si tous lesi ne se changent pas m permanence», il v 1 
r. Il - 



q3 AtCÈBBE. 

1, 4. .. variaiioiUile^luaquedaiiiKr. Donc l' in irottaet 
ntùiite* iiiMÙives emporte. cf.Ue d'au mùini une variaiion 

De M r^uUc te tbeorènie énonce (*]. 

545. DffsiBOons par P le nombre des racines ponilivcs 1 
^tl. de degré n, {>at N celui des négaiivcs, par [i celui di 
pcruuncncGS, et par v celui des variations; il e^t dcmonU 
tfiut 

1'. /» = ou<i', »". A'=ou</i. 

Of ïi toutes les racines sont réelles, on a 

puisque laproposéc a en tout n -|- 1 termes. Comparons P à 1 
il peut arriver trois cas, P>, ou < , ou= !■ ; le l" est d« 
uioulré impossible (1°); si le i* a lieu, il faut pour que In doi 
niërcéqu. subsisle, que l'on ait, par compensa^on, JV|>p,H 



Ût racines dune équ. sont rvelles , etk a précisément auia 
Je racine) positives que de varialiom , et autant de négati* 
que de permanences. 

546. D'après la règle de Oescartes, on (kuI rcconaaîtr 
dans certains cas qu'uue équ. a des racines imaginaires, et 
dispenser du loni* oitcul de l'équ. aux dilTerences. 

1°. Lorsque Vé<\n.fx =: o est privée de l'un de ses teriiia 
on le remplacera par :t oj:*, et l'on comptera les permanea 
et le» variations dans les deux cas de + o, — o. Or si 
termes eu ar'"" cl ar'"*"' sont de sîjpies ditFerens , on trouvera 



(•) Tool (OCi luppote que Fx osi un polynôme complvt , cl il tcra ^.\a^ 
Toir qnf, l'ily m«n"iui"iiiiclqms tsrinci, la constiquenca rclallicouxrMi 
pMitiïM (uUlita «nrorri mni» on 1 va nintn \\'o\aanet <ni'il n*on aii 
■ja m&mg pour It» n^gulrci j en torts que qsaud uno rqu. Fic-rz,i>m% 
nitUplAle, et qu'on leut iiti(|Der )■■ nombre jinssiblu de c«llt*-«l4 U< 
ebangvT ' on — i, sBn de r«coniiallre combiea lu mniToruiti! imati 
K^|Mi pcwltlTM, nombre qui cooiknl sui ai^oii!ïM<lc Fi^a 



wm 



niCrNtS [IKOUMBNSItRAULES. 99 

' iMme aonlire de!) unes et dos Aiiti'ea, ce qui indique II- plus 
Qr«u<l uuutbrc possible ilu* racines positives ci nc(>,Biivca : ai 
ce» tenue* ont le uii-mB sifiiie , la contradiction que préKtitent 
le* dvui ivsultata attestent l'existeuce de racines imaginaire*. 
Aîiwi j' + 2.r — 5=DéUintch3ngéen x'±ox^+^x — 5=o, 
on ironvc a peruianeiicos et une variatiou, ou 3 variations à 
• 'rioniè i ce qiu oit absurde- Donc s'il manque un terme enti^ 
ù-!)X teratti de même signe , la proposée, a des racines tma- 



a*. Sila proposée manqur de plusitriirit termes successifs, 
lotîtes irx racines ne peuvent être réelle» : ceci résalte de ce 
qu'où vimt de dire. 

y. Ln Uois variatinns Je x^ — 3x' + i2jc — ^ =: o fout 
|>r«ttu»eT l'ejiistcnca de trois racines poiitivee. Hullipliaiii 
|iar X -f- a , il vient 

a-» + («_3)jr' + (i2 — 3<i>r« + (iaa — 4)a> — 4fl = o. 
ICscay oos d'introduire àe» peruianeoces en prenant une valeur 
conTennblcdeiiparex. >r=3 j rend les qnatre [ircmiers termes 
poMlifs. La proposée a donc deux racines imaginaires , puisque 
q. en a-' en durait , à volonté , trois négatives, ou 
Htrc positives. 
', Qu'on cbau^;e j: cay + k ety ■+■ H -.fx ^= o deviendt.i 
et f jf' =: 0. Supposons qae ^y' ait quelques varîa- 
iks An inoiuB q ue Fj i si toutes les valeurs de jr sont réelles, 
s o aura l'une de ses racines positives » qui sera devenue 
ptive — «', dans ^y' = o ; d'où j^« + A = — «' +fc'- 
Ainsi X a une ractoe entre A et K. Comme il en est de même 
pour chaque variation qu'on a perdue, x aura autant de ra- 
et A' : ni la lliéorie des limites prouve que taules 
; X u'cxislenl pas , on icra assuré que 3: en a d'I- 



c = j -t-aety+î. 



^ + SJ-* — 6.r + S 



j-"' 4. 5j ■■ + ^■' -H ï ^ o 



Im Ami ««nitiaM c|tii font présumer i|ui 
^«M A rwitt (levenut^s nt^gnlivea pour ^', annciicent li 
^^t^ni^ I tolrc ici 3. Maisd'uiie part, la limite uir 
^j>(ti> 5io) «I j- >'T^i lie l'autre «Ue de y «t - 
»*W«»W.r = j' + '. ' — r >5e* r<5 = "*(!' 
^m- «**»< iBGWupatibles , on en conclut que x a deux racé> 
^gmMum. Si ces limitca étaient concîliables , on 
art «rai > iumuin *i :r a deux racine* entre 2 et 3 ; in 
Mtl Uu moins rcMcrre l'espace qui les renferme. 
S*, S» tawlc» lus racines de I equ./J: = o aoiit n 

t d« leur!! ditlérenccs sont tous ponîiifs: te* racines t 
r<V«. mmetarê des iiijf'érrnces étant toutes positives .tes xtgm 
»eJfi*vi*tpritenler que des variations. 

U]. iffitiode de Fourier. Soit une équ. de degré 
Hnoan*-«ale« dérivées successives, que nous écriroiu H 
An mxené, /«"'./t""')-. /"/'/ Faisons dans' ces p^yi 
ntt* x^a, nombre arbitraire, positif ou nég9tif:chM 
Jodpcn un lesuttat numérique dont le sifjiic sert 
au—', nous inscrirons ces signes consécutifs dans lei 

A les fonctions icspectives qui les ont produits, et nous m 
» une li|iue de signes que nous désignerons 

t^=b'^a, nous fonaerons une autre Iijj3 
8 que nnus écrirons sous les précédents, et dont 11 
uible 8; et ainsi de suite. Comparons ] 
variations de signes de ces diverses séries. 

Soit f£ l'un quelconque de nos pol;r<>omee. Prenons pow 
iroi» valeurs très voisine» a — J",o et a + i\ nous aurons 



^(a — Jl = so — J^'o+ 'J'ip'a — J.^V"-' 

»(«+ ^= •<• + **'« -f- '.J^*'" + ;^V«. ■ 



co 



tfuus sj^posont / Iras peut, i-t que «a 11*1*61 pas nul ; 
fésuliats ont lesiKiiedc ^, attendu que le 1" teriae l'a 
porte sar ceux quî suivent et ooi un iiigne coiiimire an f 
Donc hmiy'o-fitit itvi'trr ùiteiuibirmeM 1, ihtuonc « 



^V RACINES fTICaMMENSUBlBLeS. lOt 

^jfijncjMïM C-'K.. f i' t contervt: ton signe proprr , tant qu^ftk 
ne devieni pat mille. 

Ma» 91 d««i racine <1« l'equ. fx = o, les séries (i) pertbnt 
leur i" tervac-. et les rcsullats prennent les signes du teriiMi 
suirant zp^ip'a : c.-à-d. ijoe tant que x<^a, k' signe d<; ^xttl 
«lui do produit — / X *'", c'esi-à-dire contraire à colui de 
p'a : tandis que pour x ^ a le signe devient celui de p'a ; les 
deux signes sont donc difTérens pour ces deui résultats. Donc 
celte de nos Jonction) qui pmie par téro , change autsitôl le 
ligne det résultats qu'elle donne. 

548. Appliquons ces prine'^esà nos polynômes/^*!... f'/y; 
Si l'on y fait x=a, les résultats Turin eront tiue suite de signes; 
et si X croit p.ir degrés insensibles, les signes de chacune res- 
teront toujours les mêmes, Josqu'à ce qu'on tombe sur une 
valeur x=aj qui rende nulle quelqu'une de ces fondions qui 
sera désignée par 9'; car alors pour celle-ci seoicment le signe 
sera cliatigé. Ou aura donc l'une de ces deux dispositions: 

/'"' 9' 9 ou /'"J »' 9 

^<- + -+■ ■ - ^ ■-. 

*=a + 0+ ..-t- o— .... 

x>ï + ++ ...++-.... 

uiie variation , qui exislail dont tet signes, se trouve ensuite 
remplacée par une permanence , quand ^x a pass/ par téro .- 
tous les autres signes sont d'ailleurs les luêines avant qu'après 

Mais il faui encore considérer les signes de la colonne qui 
esta droite de 9. Quand ils tpnt les nièmcs que pour 9', lo 
suite donnée par x <[ n a une seconde variation , tandis que 
celle qui provient de x ^ ^i a une permanence ; d'où l'on voit 

»que deux variation» ont disparu ensemble. Mais »i le signe 
«ommao aux termes qui suivent 9 est contraire à celui de 
,^, la i'* série a une variation et une permanence, et h 3' une 
permaiieuce et une variation, en sorte que aucune variation 
i^esi disparue, mai.* la variation est .teulirneni reruléc J'im 

L - 



ttM ALG&US. 

'«V à* * "* * !». A w d e là 4e x=a, en cmtinDant île fiun mltn 
jt iMKwiUwKBi. b àourdle «érie de sigocÉ ae cstueircn, jtw- 
•{tt'k OT ^'<m icscoBtre quelque ftmctioo qnî devienne Bolle; 
«« MMà de mite. 

€tà aev'i^liqne qu'en partie k la fonction^, attendu 
^'cUe n'est mirie d'ancon si^e. Si donc x^ a est racine de 
j/w^M, il fant supprimer tous les signes qui sont à droite de f , 
«t Ton voit que tiant te passage par une racine a de Véqu. 
bsa, il diaparait une seule variation. 

549- EiamÎQons le cas où deux dérivées successives soDt 
unllâ ensemble pour x^a, savoir f'a=:o,f(i=:o: alors les 
séries (i) deriennent 

♦(<»—'')=* î^'/a — b''**« + ««■ 

*(o + /) = i*»^'» + ^;^-a + etc. ' 

Les signes des résultats étant ceux du 1" terme, sont les mèAes 
que celui de^'a, tant pour 3: <<i, que pour x'^a; et pour le 
second léro répondant à fa, le signe dc^'n reparaît. Mais 9' etf' 

-tlevant ; cl en etFet 




RICtNF.S INOOUHRHSOn^SLeS. io3 

O» a'ft{)pli<|aer3 |uii u:ci au cas où la fooclion p ëenitf, 

i|iu! l'éipi. /r=: o aurnit dus racines égales , si l'oo avait 

/'x^o, el nous supposons ,/à: dcgagi: de fadeurs égaux 

5aiJ. 

Si iras fonctions successives aont nulles poui j:=a, savoii 

if' ei^'i le même raisannemenl prouve que x<^(i a 4 ou 3 

variations, selon le signe de la colonne suivante, tandis ^ue 

pour x'^a, on n'a aucune variation ou uue seule : eu sorti: 

lu*!) disparaît 4 ou ^ variations 



fw...^fr 9\9-- 



/C").. 



9 9 9 P- ■ ■ • 
H h- + . 

. + o o o +.. 

■+4- + + +.. 



...+ o o o - 

»>• ++++ - 

Quand x:=a rend nulles ^,5. . . fonctions successives'^ les dé- 

veloppcmcns (t) perdent autant de termes initiaux , el le i" 

tenue e»! ani:clé de ^ si ce nombre de zéros est pair, et de^ 

s'il est impair. Cliaque zéro répond à une variation pour 

T^>*, et A un« permanence pour x^a, et les van'alions dU~ 

foraùtenî iotijourt par couples. Il en faut conclure aue s'il y 

S ttirot con»vcnlirs, il disparait z variations quand x est pair 

;:±:t (inand t est impair, en prenant + quand k signe qui 

idecesséros est le même que celui qui les suit, et — dans 

intre las. 

rOans l'ex. suivant, on suppose donnée la série àex^sa; \a 

s'oblicut en mettant au-dessus île cliaque te*ro un 

pl« MDUaire & celui qui est ^ sa gaudie ; et la Iroisiémc en 

tiol su contraire ce munie signe; de manière ï former 

hitnt de vacinllons pour x '^ a , et de permanences pour 

fc ^ a ) on conserve les signes dans les colonnes exemptes de 



J04 AtGE^nB. 

Kx Taciatiom sonl perdues daits le pattage [lar x ^ 
pratique est appelée rigne du double signe .- nous en furons q 
fréquent UH^e. 

55o. En pArtant de 7 = ■ et qui donne une série de sît:;Da 
(aitons Cloître x par degrés continus : les résultats coiitervM 
root leurs si{;nes tant qu'on ne tombera pas sur uni 
x=a, qui rende nulle quelqu'une des fonclions/ï'). .._/*/*/! 
Si c'cMfx qui est =:o , par celle valeur, il disparaîtra une va- 
; riation seule, Mais si c'est quelque dérivée qui est nulle , ou il_ 
I partira deux variations, ou du inotos une variation 
pUcée vers la droite. Il pourra disparaître k la fois a 
variations, parce que plusieurs dérivées succesaÎTCS seraitri 
nulles ensemble. Mais lorsque j; reçoit les valeurs ^.«".r*. , 
des racines de l'équ. ,yj: = o, les variations partent» 
une, tandis que les ratines des équations y'j:=:o,y"x:=.o,,1 
les laissent subsister, ou les font disparaître x à a. Hai> j^ 
mai* wne variation perihie ne peut reparaître dont la ti 
des valeurs croissanici qu'on attribue à x. 

Aucune de nos fondions 9 ne peut passer par zéro , qu'au- 
tant qi^e le résultat de la substitution, dans celte fonction, d'un 
nombre un peu moindre que la racine de f :r ^ o , donner ait 
un sï^M contraire à celui qui le précède , afin que cctl« var^ 
tion sa puisiie clianjjer en une peruiaoeiice immédiatement ag 
delà de celle racine. 

Comuie le i" teruie des polfaômes/t*). . . /",/',/ est a 
temativement de de(;ré pair et impair, si l'on fait x = 
ou seuleiueui ,x ^^ la limite — Z' des racines négatives i 
Jx^iO, y'x^o, elc. , ou n'obtiendra que di 
tau-f-ct^auccresifs.ou n variations, pnrce que le 
l'einporterasur ei;ux de si((nes contraires qui le suivent. Sil^ 
fitit r ^^ 4' °° > "^ ^ '<■ Ibuitc / des racines posili 
que dus +. Ainsi , en faisant croître x inaensiUeiiicul dcpi 
^tjnsqu'A -f'/, toutes les variations seront disparues. I 
prtHiapmeiit ileirt nombres — /' et 4- / qui »e douucnt l'un q 
dck jivi»tioiis , l'autre que des pvruunence» , *out les li 



E 



V HACIHKï IHCUMHSflSU RABLES. lo5 

cnirt!lca(|UeUesUiiiteslesraciaes(le3éqii./ir=o, ya::=o, eli-., 
•uiit ronipriM». Car tbaqui; racine de l'une de ces ëqu. duvani 
chuMr une Kule variation , un ne peut trouver, liors de cet> 
lîlet t >ucun Doiiibre qui produise cet effet. C'est donc une 
ne tout nombre /qui rend nos pnljnonies/, /',/'. .. 
itifi, est limite supérieure des racines de l'équ./ir^o, et le 
tliéor^uie du 11° 5iu reïoil une itéuionslration nouvelle et 
{ilu* (■ tendue. 

Soit ai le nombre de* racines imaginaires de/f=D , n— si 
iclai des racines réelles, qui sont uiilre — /' et /. Quaud on 
fers passer x ^aduelleiuent de — V k l, lus n varisliona de 
la i" srrie de signes disparaîtront jusqu'à la dernière- El puis- 
que les raciiitfs réelles r,/ ,r'. . . cbasseni les variations une 
A UDc, les 31 autres variations seront cliassces, par couples , 
en reudant nulles les diverses dérivées f, f ■■■ Ces deniièies 
substitutions sont donc les indicateurs de l'existence des ra- 
cines imaginaires, cl en accusent la quolilÉ. 

55f . Ce qui ptéciide démontre le iheorèmc de la rhgU: dfs 
ligne» de f}eicanrs avec plus d'étendue. Faisons x=o, et la 
ligne des signes lera lompoiée des signes luccessijk de h ; car 
chaque fonction est réduite à son dernier terme , qui , comme 
ou uit, est le produit par i.a.3... des coefficients respee- . 
tirs Ae/i pris en ordre rétrogi'ade. Cette suiie de sif^es doa- 
M^ par jr=:o a len mêmes variations et j^ermanences que^. 
Soit w le nombre des t'", et n— v celui des autres. Passons de 
x = o k a:=ï-f/;U i*' série perdra ses v variations, et si 
/rsso n'a que des radnes réelles, celle équ. en a » positives. 
n« taènie posant x ^=: — t, comme on n'a que des variations, 
en nombre n), on perdia donc n — v variations en passant 
de— rio; il y a donc n — v racines négatives , autant que 
/s a de pctinane lices. Mais si la proposée a des ratines ima- 
giiiurTs , commis il disparaîtra par couples des variations qui 
n •uni les indications , on voit que lotite éifiiatiùn çui n'a que 
it» racints téelUi , a précitément autant df varialion* yue 
de racines ficsiùves, et autant de permanencfs que de racines 



If Jm/ieljitomrH, 

SSa. SoCre llié«ne iimtoMn: qne u l'on mtMilBc pour ^ 
A«> — wA nj a rt ^ J»a> toato» nos fauctioiu, et qa'oii écrit i- 
I0 «£BH dn rteduti es deui séries eomtpondmntrs A et /' 

t", il n'y aan )«Mai> phu de varMiiot» dans ^ (|nc dans ^ . 
■ a*. Si le iKiinbn dc« rarislîo» est U même dans AfXB, 1 .1 
pfApOstfe n'a aitcRRc ncine enfre a cl A ; 
' S*. Si la s^ric B a une rnriatiou de mmiu que j^ , îl y a g 
seule racine entre atib; 

^*. S'il y a deux vai-jaliot» de moins dam ^ (]ne dans I 
ou la propax^c a dcut incines réelles rnire a et A , ou ces ra- 
àllcs tiianqurnt et sout remplacées par deux imaginaires; 
restera iï ilisUn^jucr l'nnde ces cas de l'aurre. Dons le i*', O" 
pourra siiparcr les rncintzs, en sulislituani des nombres iuui 
iitdJiatres qui cljosscntles variations une à une, ce qui serai 
luipoMÎble dans le ileuxiiimc cas -, 

S*. Lonque lu tétie'B a trois variations de moins que A, o< < 
' il existe trois racines réelles en ti'e net A, ou il n'y eu a qu'un 
seule, les deux aulres étant remplacées par des îiiiagiuaiii'- 
Ui's proccidcs spiiciaui feront reconnaître ces cire onstsnc«:s. 
Vx ainsi de suite ; 

0°. La valeur de j: qui, saus ûtreracioe del'^qu. ^=0 , fsùj 
jicrilrc deux vniiaiions, en passant par voie de contiai 
de a 4 A, se rapporte aux racines imaginaires de celte éqtu 
cti est l'indication ; tille rend nulle quelqu'une des dérin 

(*} SI fVfB. tk = on>prWr Janifcu 
iMpH-li ïr(»K* ataUfW u«i hbIh-i lîgHa . 
itu tfffol lp pf-Kanni' /i MnB|irniil U* l«mn fiS-fui^-', vl (•>n<|a'i 



H«Cir()iS INC0»f«K«3LIR*nLliS. IO7 

S «le la pr^ccdoiilcvt de IniDivnnlr éianlks inciiicEi 
K de Cc« ibncliuus siuccAuvcs peuvent aiiw f Ire tmitulces 
mble. S'il (lisparail 4 varintons, paice ([uc 3 ou 4 Tonc- 
, «IcnTéei cousocutivcs sont nulles, il y a deuit couples 
Mginaircs pour l'èqu. /c=q. Enfui, aulanl les léries pei- 
I (I« fois a varialjons , les snbsiitutions suivant la loi de 
aulaiit la proposée n de coujiles du rflciiit:^ îma- 



. Comme la substitution des nombres continus ii'ejt pas 
siblc, poav hire usa(>e de cette ilitforie, il faut opérer 
si c|u'i\ snii : 
»■' Od substitue des nombres pm i volonté, qu'où iHendra 
celui F cjui ne donnera que des •}- et — Bllcrnalifs, 
lelui / qui ne douiicra que de» -f- i c^s nombres T et / 
mt les limites entre lesquelles toutes les racines sont com- 
KS. Entre eus, il 7 a souveut de grands intervalles qui n'iu- 
Beptent tucune racine et qu'il convient de dépasser ; des 
» ^'ts sur des nombres pris au hasard ronduiseut gise- 
nt à évites tWs calculs inutiles ; 
. Lorsque deux séries A et B sont formées des mêmes 
n de» polynômes y,/',/'... ne peut devenir 
I par une valeur de x entre a et b. L'une de ces fonctions 
lient nulle , quand une variation est déplacée vers la droite ; 
'ti^tl n'y .1 que déplacement, le nombre qui le produit n'ac- 
"c l'existence d'aucune racine imaginaire de l'équ.yxr^o. 
■ tte ^u. aunit deux racines imaginaires , s'il lisparaissuil 
■u% variations pour une voleur de x qui annulterait quelque 
nvéc; 

i*. Quanti en partant de a, on perd jusqu'à fr un nombre 
rikranaiions, il est évident que^ etyïont des signes 
1 le signe est le même, quand il dis|Mra!t un nomln-c 
C variations. Nous retrouvons donc ce tbéorème, qii'il y 
( nombre pair ou impair de racines entre a et O, selon que 
fsaluia fa et J'b ont uu sit;ne semblable ciu difi'ereut . 
h i\MMt SU rang de* nombres [uiirs ; ' 



4''- Lorsqu'en faisant x=:a , In suite <le signes ^ conlieuï q 
ternie flui , ou plusieurs lëros successifs , on formera les sêrii 
a~icta+i'a(i\oo la règle des doubles lignes, p. io3ila t'*8ei 
comparée à la sérte qui précède A, pour indiquer les racini 
<;^d , et la seconde à celle qui suit A pour faire connaître l< 
ncines I>o ; eufiu, en coioparaiit les deux séries dea— Ji 
a^i^ , on saura combien de racines imaginaires sont attesté 
par le nombre pair d<: variations perdues de l'une À l'antre. 

Par ex. fx=i^-i-x+i , /'=5ar'+i , /'=mx', etc., dou 
tteal le tableau qui suit , où l'oo a fait usage de la rcg 
double signe pour chaque résultat nul. 

/• /■' r f f / 






— I et o. 



on voit qu'il existe une racine réelle enire — i et o, ei q 
les 4 varinlioDs qui disparaîsseui de x<^o à x^>o anDouce 
4 racines imaginaires. La coiirbe dont l'équ. est^^^ ' 
celle de la ligure 13. 



Pour/â:= 



— 4a?'— 3x+a3, f'x=l^x'~ 

=l»r'— i4t, fr^k^^l^, /•'= 

f" r" r r / 



Il y a deux racines imaginaires qui chassent deux variatia 
dei<;o à X >-o; les léro* qu'on rencontre A x=ii etanefo 
partir aucune variation , ce qui vien^ de ce que chaque xéro t 
entre deux tignei différent. Enfin, il y « une racine en I 
3 el 3, puis une enlre 3 et 4 : il restera à en pousser l'npproi 
«Mlion. La ■■ourhe.f==/* c*t rppr^stfnicc lig. 30, parMOM'. ' 



RACHIFS IHCOMMRMSUnAnLF^. I OQ 

554 l*orsqu'il u'exisic qu'uuc seule racine eutre deus nom- 
l>rcs a cl ù, et par conséquent qu*oii ne perd ({u'unt- variaûon 
lie la série J i fl, on approche de a-tre racine par la inetUodc 
de Ncwtoo. Mais avant il faut satisfaîie anx conditions i{ne 
cette méthode prescrit (p- 89), savoir (joe /' et/' ne chan- 
gent pas de signe de o à A ; c'csL-i-Hire qu'il faut que la va- 
riation prrdue soît précisément dai's la dernière colonne/. 
Tou» les signes de A tl B sont nlors Iks mêmes , exceple le 
dernier. C.'c&t ce qui arrive pour la racine qui est entre a et 3 
dans l'en, précédent. 

Mais si U variation eil perdue avant le dernier terme des 
«éiics, J' et /' De sont plus dans la condition exigée. 11 faut 
substituer des uombres intermédiaires !t a cl l> , aGn qu'en 
rcMcrrant l'espace qui contient la racine , il n'y ait plus ni in 
ftexion, ni tan^cole horitonlalc k la courbe ^-==/x, dans cciu 
étendue, et qu'on retombe sur le 1" cas. 

Ainsi daiis le dernier ex., pour approcher de la racine qui est 
rntre 3 ci 4. ■' fat» rejeter hors des limites le minimum qui 
al atieité par le changement de signe de /. On pose l'équ . 
/jr^o, et on trouve que la seule racine réelle est entre 3et 3, 1. 
C4iinine celle dc_/Jc:=o est entre 3,i et 4> qu'il faut que/ ety" 
•nient de même sicnc, on fera x:^4» d'où/* = 61,/= ri, 

? ft.i. Pi T — ^,'*, pouri"approximatiot>. Faisant x^3,8, 

d'oà/' = 43,io8, /=:o,6356, 5= — 0,01448, on trouve 
x^ 3,78553; et ainsi de suite. S est la soui-tart^cnie. 

555. Quand on perd deux variations de A à f!, il reste à re- 
^rtMinaltre s'il y« en eFTct deux r.'icines entre a et b. Cette dis- 
^^■mionsera divisc'e en trois cas. 

^HOn ooHiparcra, de(;auche i droite, les signes correspondant 
^^B* deux sérit-s ; dès qu'on rencontrera deux signes contraires 
^^ni U même fonction , une variation sera remplacée par un« 
^^■rnaneoce : plu» loin, ou trouvera une seconde variation 
^^BnlBc. & cela arrive avnnt la colouue des signes Ak/x, ce sera 
^^•3* cas. mité ci-apr^>: et m la scrr>nde variation nVst per- 
^^■kqu'sa deriiii-r ■ij'.ne, on ttouvcru le* deux njsièniesiuivans, 



o,iriin,pcr.l lc».leiixva 
.bnsr«ulre, la i" v.irb 


ALOftFRK. 

iatioHHtlans le.i trois île 
ion cslpetJuc avant/" 


1" M. (•]. 

f^a .... +-H— .. 
*==tr.... + + _ .. 


./"/V >«<u, 

- + 1- + + 

- + ++ + + 



lafgnwi 



Construisons la courbe pai'.iboliiiue MOM" {&g. ■g)don< 
Vena. eMy^^/x, entre les abscisses y^P=: a, AP =^b. 

556, i"Cas. faeXf'b sont de signes contrairos; ce soni 
les valeurs des tangentes îles angles 7' et 7* que font, a^ 
l'axe des a:, les droites MT, M'T qui touchent la courbe aux 
points M et M , dont les abscisses sont a et b. On voit tjue 
de ces angles est aijju vers la droite , et l'autre obtus. Comme 
IVqu./'a: = o ne perd qu'une seule variation , elle n*a qu'une 
racine entre a eti, c.-à-d. que la courbe j-=7> a une tangente 
en un point intonn^diatre O, parallèle aux x. fx ne perd pas 
de variation et reste pnsiliTdans l'intervalle; ainsi l'arc tourne 
sa concavité veii lu haut (n'SsS). LesGg. ■9t:t io représentent 
la fonne de cetre partie de l'arc, quia en O uiipoin|depa«aat;'& 
pour/x, du posiiitau ncgaiif, par îéro. 

Si la conrbe atteipt l'axe dans l'inlervalte PP" (fig, ao), 
a deux racines réelles <4A,./^A': Ces racines sont iinaginniresdau) 
le cascoutittîre (fif;. rg], et alors les tangentes aux diven poînlV: 
île l'arc JI/OW s'inclinent déplus en plus sur l'axe de W en O, 
où le parall^lisuic a Heit, puis se reltvent en sens oppose vers ^t . 
La nature concave de l'arc , fait qu'il reste compris dans l'an- 
Cle forme par les deux tangentes eu M cl M'. On voit donc que, 
silcaomniet fi (lïg, 19) de cet angle est situé au-dessus de l'Bae, 
la courbe ne peut le couper, et les racines sont ceriaiueineut 
imaginaires entre P et P' 



01 



vtii/a tx/h ppu*fnlêlri) néBalim 



mbli), c.-«i-i). que Icfe 



n'riiee par un ciamcn spi^ial, cl il niiniide lourniir les fîg. iijvl iiidvI'luM 
cAIciIr* I, pur uiif réviilulinn autour de l'aip, ifln de rubdll» In fig. eq 
ilMsau*. Toutixt tlora (embUbla 1 co qui a Ht eipnié dans le Utlir. 



hacimes iHroMMGifiniiABtKs. 



1 91 ei M' sont 



/4-..<o. 



rfjr lesBon^-tangcnlea «i 

La i" eslpowliveiya ayant ie si^,ne — , ellaa' négative. Il 
«9t clair <jae ai l'oa fait abstraction des signes, et t\\\e l'une 
det tout-langentei ou leur somme, t'gale ou turpaste tinter- 
vaUe b — a, les deux racines présumées sont imaginaires. 

Et si cette circonstance n'a pas lieu , on tienu:arc incertain 
sur la nature des racines ijui peuvi'nt alors êtrii rcellea ou ima- 
ginaires, la courbe pouvantcouper l'axe, au nu pas le rniicon- 
trei', entre P et P*. On doit, dans ce cas, opérer de l'uae ou 
de l'autre manière suivaDle : 

On regardera les limites. a e( b comme tro{i écartées {wur 
décider la question , et prenant x =: (|uclqLie nornbic intermé- 
diaire a, on verra si la série des signes , comparée ^ Â et B, 
fait dis{>ai-aitre tes variations inic à une; car alors les racines 
seraieiit réelles , l'une entre a et n', l'autre entre a et &. Et si 
la double variation se perd, encore entre a et a', on calculem 
la sous- tangente pourx=:a', afin de vérifier « la règle précë- 
dente a lieu. 

Ou bien, on opérerait commesiToné tait assuré que les racines 
iutermédiaires sont réelles, et qu'on voulut en approcher da- 
vantage , par 1,1 niétbode de Newton ; car alors on serait con- 
duit À deux nouvelles sous-tangentes, dont la somme pour- 
rail excéder /i — a. 

Comme à meauve qu'on approche du minimum O, les (an- 
^^■gentes approchent d'être parallèles à l'axe, les sous-tangentes ' 
^^■deviennent très grandes, et la TË^Ie ci-dessus est plus propre i, 
^^Hite vérider. On comprend que si les racines sont imaj^inaires, 
^^Bvn ne larde pas à les reconnaître par leurs sous- tangentes dout 
^^■la somme est ^ ^ — a. 

^^^ Au rouiraire , quand les deux racines sont réelles, les sous- 
^^'tongenlcs n'augmentent plus iDdéfinimenl; on voit converger 
chaque valeur rie x vers deux termes qui sont les racines d 



m^^^-^t •" i "' '' dcricni ués facile île Iromtt VU 
m^^m MpynPB 4U>, tubatilat-e pour x, aeparc c«s itti 

IS^ t* Cas. Lorsque yà el fa sont de situes contrair 

I est ù'unc auirc nature, fa et /"A ayant des sigui 
1, et pASsani |'»r zéro dans l'inteiTalle ( comme f pei 
aWWUtïoiiiy^-T^o, a une racine entre a et b) l'arc est cal 
TCltf «m )e liaut en m (fij;, i(>) A la i" limite v<p»=n, et ioH 
wmA U a' AP'^btvi diaris cet espace, il existe tin |toîi 
(llnOeKion I, dont l'abscisse ^7 est racine de /^jr=o. I.esson 
uuj^ntcs ne lèvent plus alors la difliculté, puinqiie la taj 
l^ieiKi, ne pent se prêter au\conditioiH prescrite* u-deniin 
■ Ifaut d'abord resserrer l'intervalle, pour que l'iullexion lâ 
soit pu comprise. On substituera donc pour x une autre vi 
lotir interme'diaire n\ propre à séparer les dcn\ racines, ha 
de i'^lenduc où est le point /, ce qui ramènera lescliosea i 
premier cas. 

Il se pourrait cependant que la courbe eût la ligure Af/J 
(Rlj, 5) où l'intlexion est précisément au point où U tangtri 
est lioriïontale:on tenterait alors vainement de resserrer aiH 
l'intervalle pour éviter que Xi-* f fussent de signes ililTérert^ 
Mais coinine/" et f sont nuls ensemble, les éi\\i.J'x^^ 
fx=o, ont alors une racine commune ; c'c« un cas de r 
ligalcs, Les racines Gliercliëess«raieiiliin8|;iMaires, à moins qtl 
llnAeaioM / ne fût le point luêiiie de sectinn de la courbe avi 
Vû\t, ce i]iii supposerait en même leinp$,/x=:o, et par 
Séquent lu proposée aurait des facteurs égaux. 

558- 3' C«s, l>a coinparai.*on des suites A et /(, manifeste! 
prrte de deux variations, avant d'atteindre la dernière a| 
loaov.Quc ce soit, pareil. d^s/'*(|ue ka' vnrîntion duparM^ 
»u se |«apawfa de traiter Véi\\\.f x~o, et on cLerelninig 
rllcA dc4ut fMinet entre « et b. Si ces racines n'enUlenl pu 
l'é»i»i ,/ 'r ^% a anui deui raciuei imaginaires îndiqnifes por^ 
•tnkK VMtAtioiw |Mi^ue«, puUquc la laogeuie 1 l'arc de t 
4im1Vsu. f\y^fx, nejwuliire boriionulp enireocti 



nACINF^ inCUUMttlStIItABLF.S. 






ii3 
«ttcnJa <\wi f'x n'y est pas nnlle; «il tire n'a ilonc p.is de 
raaxiiiiain iliax l'intervADc. On reconnaît de iiiËme i{ue lei 
4i\a.f' rsso, J.c ^oout aussi dtui racinus iiiiaginaîres corrcs- 
uitlanto. 
k Mïb» It^deux racines (tu /':r = o sont Tf elles entre a et &, 
jxhey^=^fx n deux lant;eiiK;s horizontales ilans cet us- 
pace, t-'t aRcctc la lij;. 2t, nyant un double serpentemenl , 
arec mnxtmtim et niiiiiniuni. La distance de a à d est donc 
tra]) grande, et il faut la diinltiiicr, jusqu'à ce que lus inflexions 
n'y «oient plus comprises, cl<{ue le minimum s'y trouve seul, On 
apptendra alors «i l'iiqu./'f =o a deux racinesreeUeseiitre 
In nouvelles lîmiies pliu étroites a' et b' . De U , ou cberclicia 
si la courbe dnni YKi\\t.y^fx a ou non Acax sections avec 
l'aie, et ensuite s'il on est de même de la conibe^^/i-. Il 
tuflit (|Hc \v» <Icut racines clin'chéea soient imaginaires pour 
l'uuc des éijD,,..-y^x=o,_/'x^o,/'x:=o pour que celles 
qui la nnivent soient dans le mÉme cas. 

Il ii« fan> pas oublier, dans la circonstance pre'scnte, de sas- 

Mirer si l'équ.y^x=:oa des racines égales ; car notre tbcoriu 

suppose toujours que l'cqu. qu'on Ir-iiic est d^gajjëc de eus ra- 

V cines. A cet égard , observons que la reclietdie di» racines 

I lie* est )ii1on{;ue (n" 5a i) qu'il convient de l'éviter, et qu'on 
<i«it l'en occuper qu'auiiint que les opérations eu inontient 
péoMWié. Comme le cas des racines «gales est cxceptiounel, 
K on grand avantage de U méthode de Foniicr, de ne \ks 
ncbcr que quand, par accident, cela est reconnu indispen- 

' 55<). Il r«*te à examiner ce qu'il Tnut f;iire quand il disi^i- 

>U pin* Coi deux variation* de a h b. Ou comprend qu'en 
rprocliant ces d«ux limites, il arrivera que les variations par- 
idlsoil unei une, soit deux à deux, ce qui mmùoera aux 
ktraitcs ci-di?MUs. Cependant , il se pourrait aussi que pour 
H valeur de x entre a il b, plusieurs dcriv^eii devinssent 
, ce qui conduirait ï trouver plusieurs idrbs succcssifi 
V la tant de sigues corrcsputtdantc à quelque nombre i<i- 
IT U. 8 



Il4 AlOÈBKK. 

terméiUwre inconna ^ , eomme.celaeslamrtfp. 108; H di«> 
paraîtrait alara 4 ou 6 variatioiu à la fois , indice aimrtf A'%m 
tant dlmagînaires. Ce cas ett facile i recotniatirc , car ces <lé* 
riTto'ontdesfacteurt communs, qui égalés à zéro dannciit la 
valeur de X qal prodnit ces zéros successifs, et niet en évi- 
dence l'existence dee racines imaginaires. 

S60. Appliquona ces principes à divers exemples : 

I > = »» — 5« + 3, y = î*' — 5, /' = fo, /• = fi^ 



+ a .... 4- + + + o «rf. 

Les trois racines de la proposée sont réelles , entre ^ 3 
>t — a, oet-^ > t I ets. La conrbe est représentée fig. II. 

II./t = xi-a»-5, r = 3*' -a.y = 6.,/* = 6 

j' r r f 




.BACniBS mOOMHBirfUlUBLBS. Il5 

toutes qmtn hnaginaires, d'après U règle des doubles dgnès. 
La pr«^osée ëquiraut h{x^ + a) (^ + 1) » o. 

IV.Jk = x4 — X» -f. ar« — 6» ^ 5, /'e= 4*1 -. ic« eic. 



IT • » 



x=âo....4' — •4- — + 4 •*•"• 
I ..,. 4- + H- — •!- a *«"*. 
a....-f» + -4- + •4- o vtfW. 

On présume qu*il y a deux racines entre i et 2 ; comme les / 
et /' ont même signe +» et que les f* ont des signes con- 
traires, on calcule les sous - tangentes, x = i donne iSi rs 1 , 
nombre égal à rinterralla a — i ; ainsi ces deux racines man- 
quent. Il en £sut dire autant entre o et 1 ; car les deux Taria- 
tions sont perdues dès /', et Téqu. y*'x=o a visiblement ses 
racines imaginaires. 

y. /x =r X* — «• -1- ajc — 3, /* = ar« — ax -4. 1, etc. 

mut 

x=:o.... «f- -• + — 3 vari. 

I .... -f "^ "^ "" * vari. 

a .... «f* 4- •f' + o vari. 

La proposée a une racine entre i et 3 ; quant à celles qu'on 
doit chercher entre o et i , elles sont imaginaires : on voit en 
effet que les deux variations sont perdues dès f'y et que l'équ. 
fx ^ o n*a pas de racines réelles. La courbe est celle de la 
fig. 12. 

VI. /x = x^ -. 3*» — 4x -4- i3, Z' =x 3x« - 6r — 4, «te. 

m o f 

x = — 3.... •+• — ■+• — 3 vari. 

— a ... . -f- — + ■+• a vari. " 

-4- a • . • • ■+• -•- — + a vari. 

H- 3 ... . ■+• + -f- ■+• o vari. 

Outre la racine qui est entre —3 et — 2 , on en présume deu^l 
entre 2 et 3. On trouve 

x = -|- 2,5.. + -f. — — I vari* 

Ainsi il y a une racine entre 2 et 2,5, puis une autre entre a,5 

8.. 



Il6 AtGiBItK. 

et 3. Conme U si^iHiiîon x^tfi qui a mis cea nùJDci en 
eridence, est dne'au hasard, voici comment on a dû opérer 
pour les reconnaître sûrement. Les/et /' sont positifs ponr . 
x^3, «t les f passent du — au -)- ; il s'agit de distinguer 
quelle est celle des formes de la fig. ao qui convient à la courbe. 
O^prendra les sous-tangentes aux deux limites 

On supposera donc 7^ 2j, et T = 3J. La i" de ces valeurs 
donne/==o,a,/' = — 2,3, 5i = 2 ^3=0,09, et ^7 = 2,34 ^ 
on tire delà 2*,/=o,a3,y = 3,72,5,:=o,o8et jr=s3,73. 
On est donc conduit à prendre un nombre intermédiaire tel 
que :c=2,9. 



VU. Ai 



- J *> + <«•- 4x H 




RACI.fKS IKCOHMENSUIllDLES. Hj 

iti« ocl I, Cl deux entre i et 3, Pour les 1"*, coiuiiie les deux 
(■riaiiofis sonl perdues i, f , on pose fx:=o : or f et f* 
l dm oignes coulraiien quand 7=1; l'inlcrvallu doit doitc 
'c diminué. On prend x-^\, d'gù f ^ — 21, /'=:. — i^, 
fs=—5,\ , el la différence de sigiRs de f et /" ii'esiste plus. 
f Or prend 1rs aous-Unfjcnleii pour s'assurer s'il y a deux racines 
cntjc o cl ; ; 5, est > J , ce nui prouve que ces racines sont 
iuiajjinaires. Celles de l'tqu.^ = o le sont doue aussi. 

Quant aux racines entre 1 et a, il faut aussi diminuer l'in- 
tcTïallcTon fait x^i^, et comiUL-y=:— 1 ,g.. ., tandis que 
pour x=\ «t a, les résnltals sont i et 3, on voit qu'il ; a une 
raciae entre 1 ut 1 î, puis^ne autre entre 1 ~ et 3. 

IX, /r = 3^' — iSi» -f goi — 117 



+ 3 . 



+ + + + + ■ 



On reconnaît l'ciislencc d'une racine entre a et 3 ; en faisant 
jr=:a,5, il »ienl/"=o,34,y ^ao7,i9,.S = — 0,003, d'où 
»=a,498-.... 

QLUBt aux autres racines, elles »oul imaginaires. En effet, 
le» TariatioDS perdues de 1 à a, !e sont dès f, ce qui conduit 
i tniter d'abord l'équ. f'x =: o. On pose jc = 1 ,5, ce qui ne 
labse subsister dans f qu'une seule variation (*), et sépare les 
drai lacines téelle!!. Il reste 1 savoir si celles de reqa.yJ::=o 
sontatmi séparées. Ou a 



1|6 ALGÈBRE, 

Lea conditions de signes étanl remplies, on procMe au ulcnUci 
»ont-UngenIes.Ontrou¥e/=ï53,59,/=— »,8i,^.=pli|a;>o^5_ 
ainsi la proposée manque des deus racines entre i ei a, 
Poar les racines qu'on croit exister entre — i et — a, 
encore conduit à l'uqu. f'xz=o, qui a deux racines réelles 
|>aréM par x = — i ,6 s il vient 




les conditions de Mgocs ayant lien, on calcule la s< 
^, ^ï^>o,5. Ou remarque que 3?=— 1,5 doni 
de signes contraires, ce qi 
à — a est trop étendue. 
X./x = x« — 6H + 4 



1 

, on calcule la sous-tangcnle 
! 3?= — 1,5 donnent/ et/* 
c que l'intervalle de — 'ij^| 

_ + 1 + Svar.. ^M 

f- + - -f- 4 v,rL ^M 

1- + - - 3 S 

>+ + -(-? Hiri. H 

- + + + 9 varl. H 

h + + + O vari. V 



Jj omettant f =: — ;, il serait disparu 3 variations 
■M. , y ■.|B • été nécessaire de prendre cet intertnédioice. 

lamiditxts zéro n'apprennent rien sur l'existence des imagi- 
naires, parce qu'ils sont entre dessî^jnes contraires (p. io8). Il 
j a une racine entre — -, et o, et une entre o cl i j elles 
*!= — o,i3... et-^o,ia.,.. Vcnons-cn aux quatre auti 
qu'on présume entre —t et — ;; et entre a et 3, 

Lea deux variations sont perdues dÈs /', et il faut | 
/'i^o t tuais on doit s'jssurcr «vaut tout si cette éqo. a 
racines égales, ce qui a lieu en oiTet, car 
/*w5o (r» — M— a)», /•=iao{i— (r'— ax — a). 

I.««wurlit! dont l'Aju. est J^=/'x touche l'axe au point dont 
l'pt«bK(MC« Matloi racines de IVqu. x' — ax— a=o, savoit 






RACiULS jni:01IMEBSURABLES. 111) 

= I ± V^ 3 (v. ta ûg. 32) , à cause de ce* racines doubles. Si 
r donc oa pivnait ces valeurs de x pour en déduire la suile de 
[ ■ip,ni.-« de nos fondions, oa Uouverait deux lëros successifs, et 
F ipir cooséijueut la rètsU' des doublet signes inoolrerait qu'il 
li4>*P*'>l'*'cus variaLions, quelt(ue voisines que les deux limites 
I^UÛot de ces racines, qui n'étant pas communes avec y"ji:t:;o, 
reni que celte dernière ^qu. n'a pas de racines réelles e 
- I et — o , 5 , ni entre 3 et 3 : la proposife est donc aui 
lin» le même cas. 



M- Pour 



o, /' = 



On pense que les racines sont par couplts entre o et — i, et 
entre a et 3. En cliercbant ces dernières, on trouve S, = j, 
^, ^ — 77; la somme est ^ < i, et un resle dans l'incertitude 
s'il j a deux racines intermédiaires ; on a les racines approcbees 
«^ a, 4 <!t 3)8' On substitue, et on trouve 



^bIUdm 



».* ■ 



o,oi>6 



^ic=o,oi, .V,-^^o,o6,jT^3,4l et 3,^4' Comme tes 
MMt-iangentes dëcroissenl , loin d'augmenter, en approchant 
du Biinimum, on reconnaît que les racines sont réelles. On les 
•^ra eo prcuant une moyenne , telle que 

1 = 5,5.... + + + 

ainsi deux racines réelles sont mises en évidence, et on peut 
piXKédcr à l'approximation. On voit de même que les racines 
sont aussi réelles entre «et —1. La proposée a pour racines 

*=>±V'a=ii:i,4i4a»..., et x=i±v/3=i±i,73ao5. . . 
Elle équivaut k (x* — sa: — i) (x' — ax — a] =: o 

la cauriMj'=/jc a A peu pris, la forme de la 6g. t3. 



1 30 ALGÈBRE. 

56) . Théorème Je M. Sturm. On procède par la mdtfiodé do ' 
c[)iDinuadiVisei)r,àlarecheri:liedesracteur3^uxde/j;(n''59ci), 
' avec l'âtlentlon de changer chaque reite de signe avant de le 
prendre pour diviseur. Ainsi on divisera _fr par y^c, puis y*X 
par le reste change de sifpif , eic On obtiendra de la sorte OM . 
suite de polynômes de degr^ décroissants , dont chacun' est 
toBil tour dividende et diviseur, tds que(*} 

fx,fx,...Fx,ipx, 4.x r ilO)- 

Cliaque terme est le reste , diBogé de signe , de la division des 
deux tenues cjui sont h sa gauclie , et /'«st un nombre. 

Qu'on substitue dans tous ces polynômes un nombres quel- 
conque pour x; et qu'on écrive sur une ligne les signes succes- 
sifs des résultats obtenus; qu'où eu Jasse autant pour un autre 
nombre £, et (ju'on place les signes des re'sultals en correspon- 
dance avec les preuiicrs.il s'agît de dénioutrer que, sib'^a, 
la seconde suite de signet a perdu autant de variations qu'Hjr 
a de racines de l'équ. fi = o enire a et b. Quand les deux sé- 
ries ont un ég.il nombre de variations, il n'existe aucune racine 
entre ces deux nombres. 





sait{ 






P a éu 



RACIKES IRC0MMEHSDB11.LES. 121 

Or si t'OD suppose (]ucx=«, donne ifx = -iit = o, on a susû 
}\^o c.-:i-d. que le polynôme Fx quî pi-cttde *x devient 
iiussi nul; el ai:isi de proche eu proche jusqu'à f'x et fx: 
ainsi fx aurait des facteurs égaux contre l'hypothèse. Ou 
voit de même ijue FaT=^xz=o, donnerait 4'cc ^ o , et par 
saîte toutes les fonctions seraîcui nulles, ainsi que f^ : si 

^=0 est supposé (Ic'jjaBée de racines é[;ales, f doit ctre un 
ihre constant. 

Tout polynôme qui devient nul est placé entre deux ré' 
»ullals de signes contraires ; car sîfn =0, on a Fn^ — -Jn, 
tl'ûù l'on voit que les trois polynômes deviennent + o — , 
ou — o +. Ainsi lorsqu'on fait croitte x de a veis li par va- 
1<-UTS continues , le passade de l'un quelconque de nos poly- 
nômes par le'ro, ue change pas le noiiibro des variations, puis- 
que comparant les deux suites avant et apri's^r = a, elles sont 
~i- , et^--^ . 

Mais examinons ce qui nirive pour te deruier et le i" poly- 
nôme , car ils ne sont pas placés cuire deux signes, comme les 
autres, ^est un nombre qui conserve toujouYs le inèuie signe 
aux résultats. Quant à /r, nous savons que SL_/àr=o, le signe, 
ëtail contraire à celui de f* placé h sa droite, devient 
ilui dcf'm ; ninsi une variation s'est clianiice en permanence. 

Eu continuant de faire croître x par degrés conliuus , fx 

>nrraâson tour passer par ïéro, et chan;;er de sijjne, «ans 
pour cein , altc'ier le nombre des variations, comme onl'a dif— 
nontrë r et dès i^ue/r eifx se retrouveront avoir des signes 
untraires , fx pourra de sonveau passer par ze'io , repreudie 
e signe qu'avait d'abovdy'j, et perdre une nouvelle variatiou. 
Zt ainsi de suite. 

Cela démontre notre théorème, puisque le pasfwige de/c par 
■éro produit une dimioulion , chaque fois, daus le uombre des 

'ialiona, et que c'est le seul de nos polynômes qui amène ce 

lultat . 

Il est d'ailleurs évident qu'on peut) sans changer ces consé- 
quences , multiplier ou diviser l'un de nos polynômes par un 
uombrt positif; ces facteurs immériquos pcrnicltent d'éviter 



13J AICSBHE. 

)c* coefficicB* Conclionoiiircs, coiuuie dans U luciliodc du c 



Voici l'usage de ce tliéorèinc. Dans lous tei polynômes {]ii), 
oaknx=o, ce qui donne pour cliaque fonction le signe de 
son dernier lernic; puis x^ la limite supérieure i des racines 
positives ; cette limite donne les signes successifs du i" icrrae 
de chaque polynôme; attendu qu'elle revient à faire x= oo. 
Ou pose ensuite r^ — t, limite des racines uégatives, la- 
quelle donne les mêmes signes que r=— oo. On comptera les 

irialions de cliacuue de ces trois suites; si quelque résultat 
est téro , on le remplacera par un -f- , ou un — , à volonté , ou 
on n'eu tiendra pas compte j ce qui est indifTérent, puisque re 
e deux signes contraires. Ou conclura 
de U que la proposée /r r= o a autant de racines négatives 
qu*ou 3 perdu de variations en passant de — / à o, et autant 
de positives qu'on a perdu de variations de o à + /. Pour 
séparer ces racines les unes des autres, on substituera des 
nombres intermédiaires, qu'on rapprocbera juiiqu'A ce que 
î disparaissent une à une ; et même pour opérer 
avec plus d'ordre, on substituera d'abord léro pour x, puis 
des nombres croissans, Unt positifs qiie négatifs, jusqu'à co 
qu'on obtienne les suites de sijjnes que produisen 

alors atteint les deux limites, qui sep 

enteront aiusî d'elles-mêmes, 

Prenons pour cx.yr^ a;'— x' + 2x' — 6jr + 5 ^ o 
/'c=4j'_3je'+43: — 6, — i3x*+68x— 34, 
— 79"+>'4'. +'89aa93 



aucune racine u'cit donc uï négative , ni ^ 4 ' *• » 

cet mtcrvalle on ne perd aucune varî*lion , les quatre ra* 

iou( imaginaires. 



BACnifiS incOlIMBKgURABLBS. laS 

P<MPira:*+«»H-ajt»+asso, on a Sx^-^x^-^^Xf-^x^-^ix^^S, 

— •.... — -f.— — — -4-5 vûrL 

— l..,.4''4-"— — — 4- a «»«'•«. 

— o. .•. •4"<'-»-» — H» 9 «on. 

-^i,... -«--4- — — — -4- a *»«"• 

Il ne peut y avoir de racines qa'enlre — • 4 ^^ ^^ » ^t comme 
on ne perd qu'une seule rariation , il n'y a qtt^one seule racine 
réelle , qui est entre — i et —9. 

Soïifxssix^ — GoB^ -4- 7X* •+• 8*+ 7 , d'où 
5x«— i&r*4>i4«— 8, la*'— aije+32ar— SS.Teg**— , etc. 

« = — 4»««« "* ■♦" ^ H- + "" 4 •«'<• 
•^3.•.•-f•4-— «-f-+— " 3 «on*, 
o. ...-^•"— "— ""■♦•■^ 3 varL 
+ 1.... -♦• — — — -<-— 3 vart. 

+ a....-f--4- + 4-"-— I vari. 

11 y a donc une racine entre •— 3 et — 4 > deux entre i et2; 
les autres sont imaginaires. 

Poar/r=:x* — 1x5 + 4^ — 4*+!, on a 

&«• — x*4-ia: — I,— 5j:'+7X — 2, — 54^ + 29, —925 

«sso. ...-f*-— — -f--** 3 vari, 

•5 ....+ — — -f" — 3 vari, 

j ... — -^-f. — — a vari. 

I ....-♦•+ o — — I vari. 

On a une racine entre | et |, et une eotre f et i ; les deux autres 
sont imaginaires. 

En6nx*— 4^ + **+6^ + î^ donne 

2x'-— 6x'+jr+3, 5x'— lox — 7, x— i , +1^ 

x = — I....-4» — -4- — 4- 4 ^*'*'' 
o. ... -4- 4- — — 4- 2 vtfW. 
i..,.<4- o— o -f-a vari. 
a. ... -4- — — 4- + a vtfn. 
3.... + 4- -f -♦- + o vari, 

on a deux racines entre o et — 1, et deux entre 2 et 3. 



I 



Le Ui^rèntc d« M. ^ttiriii ist tris i-eitnr<[uable , et Joit 
faire |UTlie des clèiiicds d'algùbrc. L'analogie qu'il a avec ce- 
lui <1« Fourtcr Mt évideote , el les avcixn de l'auteur montrent 
qu'il s'en est servi pour diriger ses rcclicrches. Il reste encoi > 
i Mparcrlet unes des autres , celles des racines qui ne sont |i< 
intUescutrcles nombres sulislttu^s, ce qui exige de nouvelli- 
Kubili tu lions mlcnnédiaiies. An reste, cette me tliode ne douiic 
«ncunc ressource pour procéder & cette séparation, ni poiii- 
approelier de plus en plus des racines. 

56a. Méthode de M. Buiian. Soil fait x = a+j- dansl'équ. 
/r ^ o ; l'inconnue de cette transformée sera j = x — a: nous 
avons donné p. 46 un procédé propre ù obtenir facilement 
cette cqu. Soit de même compose des transformées eu x-^b, 

x—c a,&,rétiint des nanibi'es quelconques croissiaiis. 

Observci que cet équ. se déduisent successivement les unes 
desauires; car soient 6=: a -i-s, c:= 6-|-^..., vous tirerez de 
la i" transformée en ^ ou ;r — a, celle dont l'inconnue est 
i^j — a.:=x — { a-^a)z=x — b. De même, de cette der- 
nitre, vous tirerez celle dont l'inconnue est f = a — i9^x— c, 
elc. 

Admettons d'abord que toutes les racines de^ ^ o soient 
rcelU'9; le nombre de5|)0sitîves est égala celui des variatii 
(n" 545^; il en faut dire autant de chacune de nos tranaftq 
utées. Mais si des racines sont entre et £ 
néf-alifT-^x — a; ainsi le nombre des variations de la tri 
formée en a: — a sera moindre d'autant d'uuilés qu'il y • 
racines entre o et a. Doue si ta proposée et sa transfonuéf 
x—a ont un égal nombre de variations, il n'y a a 
cine entre o et a ; il y en a une seule , si cette transformée p 

une variation; a, 3, 4 racines font disparaître 3t,3,4'" 

variations. Do même pour l'équ. en ï^^— «, autant on «an 
perdu de variations de l'équ. en j-, à celle en ï, autant il y aura 
de racine» de j entre o et a., c,-à-d. auUnt de isclneg Ae x 
entre « et i , puisque b :=a -f-* ; et ainsi de suite. Quant a Wi8| 
racines né(;ativcs, on cbange .r en — :rdausyx=D, et AH 
cliercUe de nouvetu les positives. '^I 



^^m hACI^ES INOOMHfeNSURAHLEâ. 1 sS 

^B^ Cullc «onuétjueace u'etit plua vraie <|uancl la proposée s des 
^|«wiii«sîiiiaf;inairc«; tt lorequ'oii perd ;ï ta fois deu\ variations, 
E on igiiorc ù culte |H-nc uat due à WainUnçt: de deux racines 
iiilerinédiaires, ou si cesraiiues ntanriucnl et sont remplacées 
par dcuï imaginaires. La pcrti: du (ruîs variations laisse dou- 
ter *'il y a trois racines ou une seule, etc. 

^cloa M. Budan , il faudrait alors fractionner l'intervalle 
pour 1« rcsiiTicr, afin que, s'il existe en eflet deux racines in- 
termédiaires , on puisse les s<!parer', ce qu'on reconnaîtra par 
la perte de* variations une à une. Si ces racines sont tris rap- 
proclicca, qu'elle» ne diffèrent par ei. que dans les 2' décima- 
le*,» n'est que lorsqueTintervalle entre les nooibreso, a, £,c,.,. 
acra d'un centième, qu'on sera certain de les avoir séparées. 
NoD-MuIcment ces ralcnls sont pcnîblcs ; tuais si les racines 
cju'on clicrche mauqueui en effet, comme la séparation est 
iiupoesible, on pouiserait fort loin l'approximation, sansavoir 
jamais la preuve que ces racines n'existent pas , parce qu'elles 
pourraient être plus rapprochées que le degré d'approxîinatioa 
qu'on a obtenu. Celle olijeclion contre la méthode est insur- 
nionlable, si ce n'est dans de^ cas particuliers pour lesquels 
M. Bodan donne une solution de la difficulté, qui reste d'ail- 
leun entière d.ius tous les autres cas. Ainsi cette méiliode ne 
pcut£lre regardée comme natisfaisanic. 



. VojDUS maintenant comment l'auteur la fait servir A ap- 
::ha les racines. De l'équ. yr= o, il tire successivement 
tontes le* Itanïformtîes en jt— i ,x—3,x — 3..., par le procède 
f'ic la p. 461 juiiqu'^ ce qu'il arrive à une équ. qnî n'ait que 
• 4^ + ' d'après le nombre de variations perdues, il apprend 
sombicn t/^ii( exiger de racines entre les nombres 0,1, a,..., 
K<|uî donne l'entier contenu dans chacune. Si la Ir.tiisformée 
r — a a léru pour dgrnier terme , x .— a u-it fadeur de^j 
* 5oo ] i et quaad plusieurs derniers termes de celle traoa- 
née sont nuls A la fuis, la racine a est multiple : ce qnî fait 
baaatlrc toulex Ici lacincs entières iiii'galL-s ou égales. Il resli: 
hisaitc i traiter i pitrl le quotient de/x divi»<f (wr « - 



ia6 4LaiBKB. 

Nom déiigoeNu par (o), (i). (a)» le* l 

eux — o, »— i) X— 31, etc. 

Ainn pour l'^qn, j;<— &r)-f-i6x* — s4x4-i6so, on « 
(o). . . . 1 — 6 + i6 — a4 + i6 
(I).... . - a + 4- 6 + 3 
(2).... I 4- a 4- 4 o o 

•i[iai(x — 1)' dinse^x, et comme (t—1 )'+>(' — >]+4''=o 
ctt le qnotient , et que cette ëqa. a bci ncinca inugiDùres , 
l'équ. propoiée ett motue. 

Prenoiu z*~8x*^i&c— isso; en nooi bomaot asx 
traïuforiuéeg qui perdent det variatioiu et qa'il suffit de ttù» 
ter, nouiaToai 



ChaagMnt x an — * 



Ou voit qu'il cxiite uoe 



M.... 
OJ- ■■ 


1 o - 8 — i6 - 19 I Mrt. 
. + I. + 4S + 44 _ Si I ^. 
i + i6 + 88 + i7fi + 5a tn>mrt. 


(.1.... 

(>)■- 
UDe r 


1 a_8+lG— laSMrt. 
1 + 4 - • + 4 - 3 3 •»< 
l + B + i6 + te + 4 o wrf. 

Beineeiitre3et4, et qu'entre — i 




ÈRACrSËS lircOMMBffSOnABLU. lij 

pDicra U iran«f»rinee en 3/, qui consiste , d'aprds Vêtpx. 
-<î=:^y, A iniittiplierpsr 10', 10', lo'... les coefficient 
eclirc de IVqu. caj: — a. De celle Jqu. enx', on tirera les 
iraïuTornito en r* — i, x' — 2,. . . ; celle en t'— o'qHÎ perd 
une Tnrulîon (a' étant <^ 10) donnera le chiffre a des dixièmes. 
Multipliant de nouTCau les coefficiens successifs de l'équ. ea 
3r' — o'jur 10", 10', 10'... on nura l'e'qn. en x", d'où l'on 
dédain U» transformées en .r' — 1, a^ — a,... x' — a*; celle-ci 
perdant une variation, a'<C^ 10 sera le cLilTre des centihnes de 
U racine : ainsi des autres cliiffres. 

Observez <]uc si, au lieu d'arrêter le calcul des transformées 
3 celU quia une Tanatioo de moins, on le poussait Jusqu'à 
l'équ. «u y — 10, commet' — 10=: 10 [3: — ("+')]* lo» 
coefficiens de cette Iraniformée seraient les produit* par 

io*, 10', 10' de ccuji de l'équ. en j: — (d-f- t); ce qui 

donne un moyen de vérifier l'exactitude des calculs. 

Ain*i dons l'eX. précèdent, si l'on supprïme les transformée» 
lauliles, on ■ pour la racine entre 3 et 4 

^iq».ta*', (o).... i + l*e. + 4&.o+ 41oon — Sioooo 

I (fi).... I +144 + 6970+ ii3oi4_ 5îi84 

(5).... I + -48 + j4i4 + .i,4n + 669G. 

{■«)■ . . I + iSn + 83oB + i^&ioo + Sioaoo 

On CD conclut que x' est entre 6 et 7 , d'où x= 3 ,6. L'équ, (10) 
^Uotla lateie que Ttfqu. (4) ci-dessus, dont les coeflicieus 
_ •oui multiplies par i,to, loo, looo,... sei-t à vériGer le» 
Hudcals-Ponr trouver les centièmes de la racine, on reprendrait 
^Pnqu (&], dont on multiplierait les coefficiens par les mêmes 
BLJbcleors, cl on aurait l'équ. en x', etc. C'est ainsi qu'on trou* 
»craitar=3,64575... 

De nèmc . pour la racine comprise entre — 1 et — 1, qui est 
— 1, 64575... Les deux autres racines sont imaginaires. 

Ce mode d'approximation est général; mais il eut long, 

et moins commode que d'autres, auxquels, pour cette raison, 

on donne U prêfiircme. C'est aussi celui qu'on emploie pour 

' |i.uer It-S racines, quand il s'en trouve plusieure comprises 

'ire deux entiers successifs : car alors lea variations qu'on 



I 



VlS ÀLGÈBRH. 

perdait à Ia fois datu le passade d'une transfornide i U mi- 
Tante , (c trouvent ne diiparaîtic que l'une après l'autre , lors- 
qu'on alleint au premier dei chiffres décimaux qui n'est p&a 
commun à ces racines. C'est ce qu'on voit sur cet exemple : 

X* — 4«» + ^ + 6x + a => o. 

-4-t- 1+ 6 + ■» a vaH. 



ChUCCIDl X 



(0... 

(J).. 
(»).■ 



1 +4 + I — 6+ » 



^4 + 



■ "9+ la + a o •*"- 
11 peut exister deux racines entre s et 3, et deux entre o et 
•^ I . Pour s'en assurer et approcher de leurs valeurs , on fera 
X — a^iV^'i pour trouver les racines entre 1 et 3 : il vient 



(o) ... 

(4) .... 

(5) .... 

(7) .... 

(8) .-... 



Il y a donc cleu: 



I + 4'> + loo — Êoûo + aoooo » vtr. 

I + .'6 + 676 — 3(n4 + 4.6 a var. 

I 4- 6a 4- 850 — i5oo — t8;5 r vr. 

I 4- 68 + ia34 — 3i5a — 9^9 1 i«r. 

1 + 71 + 1444 + 53î8 + *):6 MT. 



entre a et 3, savoir x= 




J-.U,»»ti£niJ±J^: 



R*CltlF.S IHACINAtRï;a. I 3q 

- 1". L'Mldiiion donof (iï + «ï')+(A+*')l/ — I. I,a K0I15- 
imelioii » bit at cbangeant a rt ft' de sii;ne. 

I", he (Moduit est («o' — 66') + (a6+ «"JJ^/ — i. 

_ (aa-t-bA')+{a'b —ab') \/~i 

n nilUi(ilùi»tlc« deut urines [i»r a' — b' ^ — i. 
4" I.e dêvcloppcincnl de («+ iv^ — i )" s'obdcul en faisant 
k «f- A^, *e •ufvant de la formule 6, \>. 1 1 , et retnpiafniit 
tAtsuîU- A par fr\/— i. Or il Mt^vidi^ni que les termes alicr- 
MÙU où A est ftifu-ct il« fiuitSHiices impaires sont seuls imagi- 
, et toi» tes aaii-«s rrfels ; car en formant les pui«iancet 
♦^îi.S.ii .. d^ y/ — t, ou troUTL' une période composde des 
"ftilt tCTines [ 1/ — I,— I, — V — I > + I ] qui se reproduisent 
inili-lînînienl. Ainsi ledeveloppi^tncnta ta forme /)+7 ^ — i. 
5*. ObseiTct (jue si m est entier et positif, la série est li- 
mittfe, ct/> et f «ont Ji^s ijuantilds finies : le même calcul ert 
appitcalile aux casoùm est DêQalif ou fractionnaire: seulement 
/r et y sont des dtiveloppetiieiM îtltmile*. Toujours b est fac- 
teur de 7 . 

6*.Ceaucaiiipreiidcetuî des extractions de racinesde tous les 
^e^fét t comme celui des racinescarrces revient fréquemment, 
Botu l'examincroi]* A pan. l'our avoir \/{a + 6 [/ — tj , po- 

r* = V'(«+6i/— i)-t-V(a-6V/-i) 

d'où t'=:aa + ai/(fl'-H6'), /' = a« — av'Co' + ô') 
coniBu: V(a* + 6') > «. on vçîi que *' est tut nombre posi- 
tif, et /• un negaltf — £■■; ain«i * est réel, et / n la forme 
g^ ^\. AitMJ en ajoutant ou retroBcfannl les exprcKsions ci- 
dewui, on a 

L 1/(0**^—1)= i(A±/)=;*±i*\/—i. 

Bti foTWe do binAfnu n'a JnnC pas chance. En raisanta:=o. 






?i 



|5o ALOÈBRK. 

et 6 ^ t ,oii trmiTC t' ^3 ,/■ = ^ >, 4'eâ 

7". Lorsqu'on Csit :t=:;a +A^— 1 tlans un polynôme 1 
lîoiiiiel et entier #x' +^jr""'..., ronint«<haqui: terme »e ii<- 
vcloppe étala forme (+/v' — ' ■ il s'enraU que le polynôme 
a auMÎ cette même forme (•). 

8°. Les inèmea opérations faîte» sur 3,4. .- ■ biuom«s ina 
ginaircs conduisenl à ime conséquence semblable. 

II. Soilx=a+é. —1 uiiciacîne del'eqa. / -=0 sitVonef- 
Ittlae lescalculs, le poly nomey^i: prenuit la foi t-Q ^ — 1 , 

et U résultat étant =^0, ilesl dair qu'on a /^ —^ et ^=0, 
puisque la partie réelle ne peut détruire l'imaginaire. Or a l'*u 
fait :t ;:= Jï — é V'— ' d^us _/i, comme Q contient toute» les 
puimauces impaires de b, et c{u'il suffit de changer û-detsus b 
ea—à, le résultat sera P — Q\/ — i. et par conséquent =^0^ 
aiDsia — Ai ' — 1 estaosh) racine del'équ., et7>est divinblc ^ 
par (:r — ay+b', produit des deux facteurs du T'degr^. Doi 

(•) pour (Uielq>par (a+i^— 1)*, poaei 

a ^ p <UM 1 , i = r tin 1, d'oAr' bb a> -f- £>. langi ^ 

doDoent diH iRleun résllM pour t 
' qu*Oji nprwlle ft module dr t'im 



rebUons qui, 

l'anglB-îr, 



d **»/-. =r(oo,,:î: , 



■>). 



(■:fc fts/ — 1}* = r«(oc«ti =>:«lnfti. V- 



Aiiui /c =^ ti" + p 



« forme , t cdiei du pengtaph» M 




RtCI»K9 IWAGIttaiTlbS. l3l 

kMf rffif. f» = o a pour racine s + bj/ — i, elle a aussi 
;.^ Ii^ ^t et U poljiume in a U facteur du second degré 
• — a«x +a'-4- b" 
III. Poar former les jiulynomcs P et Q, il suffit de chtta- 
get J cil A^ — I dans l'équ. p. 4^i cl sappriinaut le favleur b 
qui est commua h tous les termes de Ç), les cqu. P^o, Q=o, 



/-^•r«+r^,/"- 



» étjn. feront conualtr*; les racines imaginaire)! de 
l'é<]u. i{Baiul a et y aeroal commensurables ; éliioinant A*, il 
■uiSni de tnîter l'équ. finale en a par le procède de la p. S7. 
^it, par ex., Iciju. 

i"— 3:c*— ia*+4o = o; 
dW a* — 34»' — iaa4-4o — (6a' — 3) *■ +ft<:so , 

4a* — tia— u^4<'*' = o. 
Éliminant *•, on a i6a*— 34"' — i5ia' — 36= o pour equ. 
finale: on obtient let racines coniniensurables a =+3 et — a, 
d'oùfr'K I « 4» p"" x = a± v' — I et — a±aV — 1 : la 



=[(j;-i)*+i] [(* + a)= + 4]=t^'— 4^-5) (ar'+4^+8). 

Soit encore x* — 4^+ loa:' — Sx + i6j=o, d'où 
«t— ^aï+ioa" — 80 + 16 — *• {6a'— 12a -(- io)+é*=o 

4a' — I la- + aoa — 8 — 6"{4a — 4) = o 
tflÏBÙtiani *•; — 4'** + ii^t^ — 68a*+\i7iP — g7a'+34o=o, 
»wd « ^ o et 1, d'où 6* ^ a et 4 ; aiusi In proposée renent k 
(i* + a) (ar'— 4ar + 8)=o. 

Qaaod IVqu. Enale en a n'a pas de racine coiikincnsurable , 
cette llièoiie oc fait connaître a et $ que |)ar approxiiuatiou 

S6i4- Mais it restu ^ démontrer que loutei L-t racint* ima- 
gimoirei ont la forme x^=^a±b^' — i,ct inéin^ que louir 



I 



132 iLGàeiti-:. 

étfu. a une racine. C'eai à peu prés aiiiei qu'it sua c|iw | 
pfindia prouve ces UK^oièmes {Théorie de§ nombreti j 
p. 1,5). 

I. Si l'on chnB(;e x en x + h dans un polynôme /c , (e <l 

ïi'loppemeiit est fx + h/'x + {k-f'.T ; pouui enSitt 

-1=0 4- A V^ — itfxpTvnd la forme (.'-H' t^^'' «pression q 
nV'Sl pas nulle, parce qui: nous ne supposons pas que a+^V^— 
soil racine de l'équ.yi^ro. Memétne f'x,/^'x, .. . prentti:ni. 
la forme c' + tl ^— i , «Le. : seulement quelques-unes 
dernières expressions peuvent être nulles. Admetlonsqai 
ta plus basse des puissances de h dont le cuefiîcieiit n'i 
nul, en sorte qacjx devienne, pour a:=ii + ft \/ — i +fi 

d'où r = c + c'«V + c'a' + 's' *' . . . , =a, 

ÇI = rf + (/'<i'»' + (fa'* '»'*■... =o. 
nous remplafons ici h par ai, et nous supposons que. . 
x=ia+b\/~i+a:, soii racine de l'équ. /ri=o. Il est t!»iddB 
que ces deux c'qu. P^o,Q^=u, qui expriment cettccoudilina, 
reviennent :'i /'*+Ç>'=o, puisque telle éqii. ne peut subsister 
sans reproduire les précedeotes. Développant les carrés de i* 
et Q, il vient 

i» + Ç' = (c' + *^) + i(cc' + dtr)^z* + clc 
Comme ou peut prendre • aussi petit qu'on veut, le terme ^ 
«'z' donne son signe (n'5i 3) â la somme de Ions les tenues q 
suivent c° 4-rf*j et prenant z* = + i , ou — i, selon les c 
pour donner au a' terme un signe contraire à celui du l" 
somme P' + C'est <(•■+</. 

tl «-El vrni i(ue r/4 i/<f pourrait être nul ; mais alors onj 
rail z' =± (/ — i;car/*-f-Çt^ — 1 devîeudrait alors 

f + rf»/— I ±C<^ + (^V'— i>' ;/- ' +«»*■ 
d'où P^=C'^ <f a'etc ,Q = d±c'a' etc. . 



k 



RACiriKS IHtfîlKAIRCS. 1^5 

.iinsi OU a RKore Z" +()•<; c* + rf*, pour depeiitca valcvrx 
de «, eo prcnuit iti le signe contraire à celui du cd' - c'd. 
On ne pourrait d'ailleurs avoir cif — c'd=:o, et t(f+tU=:oi 
la Minme des carnés de ces équ. leiieftt à 
+ 4f)(c"+d'')=ii, ce qui supposerait, contre ThypOtlièse, 
<|ne c et (/, eu c' et (f sont nnis ensemble. 

II. Qoant k l'ëqu. ^= ± i , ou d: V^ — i , il esi aise du Ij 
lAondre. 
Kl'. Pour i'= 1, onax^ I. 

W. a". Pour ^=3 — I, onaa^ — I, quand i est impair. 

SI i^aA est double d'un nombre impair A,x**s=-~i i on 

pose z'-=t, d'où (*;= — I, et t=^ — i = ï', puis t=:±^^j. 

Si (=4*,st'=— I. donne ;'•=—[, puis (=±4/— i=r' ; 

donc s=±^(±^— 1) exprcHtioD qu'on sait mettre sous la 

forme a+^j/— i (n- 563, 6"). 

Pour i=^W,ï" = — 1 donne t~it-^fi\/ — 1=»', et 
eitrayaut la racine , t prend la forme «' + ^ v' — ' 1 «^ *>"^> 
ie suite. 
3". Qoantaui équ. ï' = ± \/— I 
• »' le sera de î''^ — 1 , equ. qu'où sai 
fc=: - + fi V- — I = t" -, ainsi i- a encoi 

r III- Il f»t donc démontre , ilans toute équ.yi^ o, racine 
quand les coef&ciens sont imaginaires, que si l'on po.oe 
x^a^è^ — I , ce qui donne c t^ dy — i, on sait corriger 
l 'Il If (lo thèse en faisanl xr=a-^b \/ — i-f. «s, Je manière i 
obtenir un développement P + Q V — ' • <'*i9 lequel on a 
P* -f- V' ^ c' + '^' Partant ensuite de cette valeur corrigée 
de X, on en formt-ra une seeoude , par le même procédé, où 
P'-\-Q*\Mtn diminue, et cela indéfiniment. Et comme ce bi- 
«ome est cstfenliellemeDt positif et d^croissanl, nu le rendra - 
ainsi autant qu'on voudra voisin de léro; c.-à-d. qu'on est 
assuré qu'il existc une valeur t = A + B\/ — 1 qui douncrn 
A-^ Ç^/ _ ,,H/'' + Q' = o, d'où Pcl 9 = 0. iMVju. 
fi = o a donc toujours une racine de la forme a +■ b |/ — 1 ,. 



, soit f l'une lies racines, 
t résoudre, et qui donne 
e la (orme a'+i3' V* — l. 



l 

I 



1S4 ALafcBBI!. 

elpartuHe ane a', a— bj/ — 1 , cl un faeU^r réet Ja ■%• dfgré 
(x —«)■-{- h* t cependant li h ^ Of la racine eU réelle et n'a 
plut i^conjuguée. 

a". Toute équ. de degré pair e*r décotnposable en /acteur» 
réels du a' degré- il en e»t de même des équ. de degré impair^ 
mail iij a en outre un fadeur Hnomc du 1" degré. ■■ 

3'. Les racines imaginaires des équ. sont tanjourt confu—^ 
guées sous la forme a ± by/ — 1 ; et toute Jonction imaginaire 
ett réductible à celle forme; car eu ég&Uut celle foiiciionàx, 
ou pourra, par des iranspositioiiset élùval'iuns de puissancrs, 
chasser de cette équ. tous les radicaux (11° 5^7) , ei arriver k 
une équ.yx = o, qui a pour raciues les valeurs de la fonction 
proposée, racines dont la forme est a ± if\/ — 1 . 

565. La ihéoriciju'onvientd'exposer, permet d'approcher des 
racines imaginaires de l'équ. fx=o ; car posant x^=a-^b^—\ 
oà a et A sont des nombres réels quelconques qu'il convient de 
prendre entre les limites connues des racines réelles, _^ de- 
viendra c -t- d\/ — I , elc. Soit j' une quantité très petite par 
rapport â V^ (a* + i') ; faisons a: := a + by/ — ■ +y, nous au- 
rons, en négligeant les puissances de j supérieures i la plu. 
bosse t, 
J{a + b)/—x -hr) = c+d\/- 1 +y (c'+d-»/- t ) + «le. Ci] 



I 



posons. 



j-oiy= 



<j-MvA- 



£4-rf^ 



,+"■»'- 



4 

-btin^^l 



crf*— c'rf 



et fx = {i—m) (c + rfv^— 0+ etc. 

m désigne ici une fraction positive dont la valeur arbiii 
sera telle quej* aoît contenu plusieurs fois dans a-^by—i . Ix 
. i" terme de. la valeur (3) A&fx étant ainsi rendu plus petit, la 
tendance de^x vent zéro est accrue, et la maritie de raj>proxi' 
tnation est évidente. Le choix du uoiuhie m, laisse beaucoH 
de latitude, ri quand (a.raciue sera sui&samineiit apjtrodiiip] 



KilCJVES IHâClKAlKES. 1 S5 

»,«!. ftqo. yî = i*4. 3«*— 3j;+ ario; prcnotM 
XŒ ; -1 i|/ — I 4-^, avec m = I, 
ainii z^D,59 + tt,55v/ — t» ■"approximation. 



cl X 



o.aa7i- 



"4S>/-i 



^— o, 0)37+0 fOoiSv'^i 



6,63oi 

5763 + 0,55151/— i. etainsideiuile. 
Cm cakuls sont pins siaéa en *e servnnt de la transforinalioii 
indiquée dans la noie p. i3o; d'où l'on tire l«ti expressions (i) 
et (a) ict entuile. quaiiil <= 1, ce (|UÎ est le cas le plusordi- 
osirc, (a) esi la valeur de la correction^. Mais quand ' >■ 1 , 
on doii exlraire une racine de degr^ (, ce qu'on fait, ainsi qu'il 
Ml expliqué dans la note citèt 



k 



HÙOlUTlOn D^UATIO» PARTICUUÈBXS. 



Abaissement des Équations. 



G6. On peut abaisser le degré d'une équ. fx=:o, quand on 
hunt rt-laiiûn f{» ,h)-^o mire deux de tes racines A et \i. 
Car mêlions a et & pour x A^iw/x, nous aurons ces trois dqo. 
»,*)sso*/i = o,/6 = o,éUiuinanl t entre la 1" et la y, . 
a un dcrnicT diviseur PXa.b), et une étju. finale en a seul. 
Il doit coexister Avccfa -=0, et avoir avec elle un commun 
iiotir en a; ^[jalanl ce diviseur à téro , on trouvf a; ensulle 
t,b) ^ o dnnnc b Si ce diviseur n'existait pns , la relation 
imaét f[a ,b) =s o n'eiiisierail pas. 
["Si J'oîi tait, par ex. (]Ul- deux des racines £ et d de IVqii. 
[* — l^xrr BJ. sont tcH« qu'on a fr^a + nx; ttirainafll o 



i56 «LfiÉniiK. 

ie ^ — 3-}»^8i, on trouve a^' — Sx" — iji-f-Jos»*», 
'\m doil avoir un commun diviseur avec la propoiée. Kn effel, 
ïu facteur est j + 3 , d'où j: = — 3 , (lois a = t — aj; = ^ 
ce soni les Jeux racines ; la 3' est a: = — 4- 

Soit «' — 7x + 6 = o ', ai l'ou doone encore i -s « -^ ar, 
élimine f> (le a' — 504-6 = 0, «ton a (aar* — 3ar — aJ4j=: 
dont X — % est le commun diviseur avec la proposée 
*^a, fl = — 3:eHfi(i »= i. 

Supposons qu'on sache que 3 est la eoinioe de deux àcs ra- 
cines del'équ. i'— ax' — 9T' + 3a*r=a3; comme d'ailleurs 
+ 2 est la Hoinnie des quatre racines, les deux autres ont ïtfro 
pour somme, o :r= — x; substituant dans a* — ad'. . . 3^0, on 
tombe sur la proposée où les signes alteniatirs sont cbangcs 
j'+aj:* — gx* . - sjoulani et retrancbani ci-s deux équ. en t. 



I 



ainsi x^=.^\/ I 



t par SI 



X' — 9T'. 

x' — 1 1 eal facteur 
:r=i±|/-i. 

567. Les^^u.Jv'cj/^nifue.c sont celtes dont les termes à i^f 
distance des extrêmes, ont même coefficient ; 
J.r:^ki' + px'-'+qx'-'.. +qx'+pjt + k = o 

si a est l'une des racines, - l'est aussi, parce qu'eu eabsdtB 
ces deux valeurs e> chassant les dénominateurs, on obtient del 
r^uliHla identiques. Les racines s' avcouplvnt éeux à deux par 
vaieurt réciproque*: de là, le nom qu'on donne .\ cm équ. Ou 
exprime analytiquemeiK celte propriété par l'équ. -^h 



A=^/Q 



1" Cm, Degré impair. w+ 1 qui est le nomlin; de» tctmfS 
de l'équ. (0 eut pair , et le coeflicieut P du terme moyen «e 
répète : il est visible que j ;= — 1 «attsfait A l'équ. Ainsi — 
Cil U s^ule racinc'qui ae s'accouple pas avec une réciproqi 
pUcc qu'elle est elle-inêiue ta réciproque. On diriscra-y* 



î 



ÉQUATIOm RÉCIPROQUES. l^'J 

par»4»i (|inMiéil^p.4i), «t dé8i);nafit le quotient par Fxs=o, 
cette équ. d'ordre pair sera réciproque, puisque ses raciues 
sont réciproques. C'esl au resie ce qu'on démontre directe- 
ment ; car si l'on change Jt en- dans l'cqu. identique fx =, 

(x+ i) Fx^ et si Ton multiplie parx*, on sait que le i*' 
membre realerajEr; ainsi 

égalant ces deux valeurs de ^r, on a fx=:a:""'iY-l, ce qui 

est le caractère propre aux équ. réciproques. Soit 

3jc9— I ox»+ aj:'+ 1 Sx^— 8x^— &:»+ 1 Sx- etc. +3=o 

on a Sx* ~ I îr^+ 1 Sx* — aar* — fir ♦ — aar^ etc. -f-3=o. 

a* CiA^ degré pair. Le coefficient moyen P ne se répète pas. 
Changeons n en 2m dans Téqu. (i) , et divisons par x^ ; puis 
réunissons les termes à coefiicicus égaux. 



posons zrrx-f-x"' ; une fois qu^on aura formé et résolu la 
transformée en % >Yon aura x par 

Or, pour éliminer x, nous avons visiblement 

(x^-'+x-C-)) (x+x-') =x^4.x-'4-x'-'+*-x'-') ; 

d'où x'-f-x-'=(x*— 4-x-(*"-')) A— (x*-'+x-('-') ). 

Faisons successivement t=ay3»4* • » *l ^*cnt 

x*-Kt-^=«»— a , x'+x-'^=sz»-3«,'' 

x4+x-4=z»-^s«+2, x^H-.r-5=^**— 5*^+5x, 

x^+jf^'srz^— Gi^+gt»— a, etc. 
En gémfiai , chacune de ces expressions est la somme des deu)L 



1 5d tLGÊSIIB. 

prtfcidenlu mollipliéei pur s et pw 
l'eqn. générale- 

Un terme quelconque T so lire de criui 
l« relaiion '/"s 



Oa peut en déduira 



a.3 
etc.... (4). 
S q«i te précède 



(,,aft+0(t— afi+a) 



5, Jl déngnani le 



h{i—k)r 

noudiredelËniusuitérieuisàT'. Itoasoe démontrons patciittk 
théorie qai repose sur les mêmes principes que les sénei de 
sin. et coc d'arcs tnnlUples (.^oj. a" 634). 

Votre es ci-dcTant traité 3x' — 1 3x' . . . devient 
3 [xt^.1-.) _ ,3 (XI4. 1-IJ+ , 5 (x*+*-) — a (.r+*-')-fi=Oi 
d'où 3ï'— i3«* + 3«' + 37»— 3o=o 

ett=i,3,3 et — |; puisi = i±o, \{y±.}/5) et — J {5^;»/ — 11). 
L'équ. proposée du 9' degré revient Aooei ** 

(x+ 1) (jc — .)• (a:' -* + i ) (3»* + 5*+ 3) = o. 

L*éqtt.a«*— I IX' +371* — 43r* +5ox' — 43r', .. + a 
dOKue 3«* tis'4- ig^-^io'^o - 

etx^o, *,aei 1; puUx=±v' — i, liOj^iJtti''— ^),» el 
doncoiia{*"+ 1) (ar— i)' (■!'— 3^+ >){' — 'jt'^— >) — 

De même l'^qu. 

ïS + j:»— 9x'+3ar<— ftï»— 8a:t4.3x'...+ 1 s 
donae a* — 9a*+ia^ — lOjH+i*»» — ç^'+t^^Oi 
d'oii C^' +x-») — 9 (x* + X-') -t- la (i +<— ) ^ ao 
d'où s' — i3x'+iax=o, elisso,i,3et — ^,si\\MÀfr=±. 
*(id::|/— 3),'H3±ï/5}«,— B±|/3. Vi^u. du g 



|r.-»+»> (»*i^3»+ t)<»'+*H-t)= 



I 



4 



I 



ÈQOlTIOKi k OHOE TVRMU. l5g 

}uaiions à deux tenues. Racines de funite. 

I. K^mIvobi l'éqt». Jx*^ B, AexB étant positifs. Soit 

 \» nànt tf aie -j, k' ^ --•. DUtUnt Alf pour B, on « 

jf* — A'csoi raiuntjc=ilj*,il reste à résoudre tVqu.j'—i^o, 
et i multiplier par A toutes les valeur» dej'. '/^«I aombre a 
Jonc D Tiatears différentes pour sa racine n' ; on tes obtient en 
multipliant sa racine arithmétique par les u racines de f unité. 

L'cqu Àx* + B = o , p»r le même calcul «e ranène à 
T'+t' — o, ppÎ8à^ + l=0. 

CoiDinc Vé^a.j' — i;=oeal salisraîlc [)ar^ = i , divisons-la 
par j- — I ; nous tronvon» cette equ. réciproque, MMCcptible 
d'être Bl>aissee (u' 567J , 

r-+r-'+r-' - +r+'=o. .(1) 

Si n en impair «mimej-' — i r=o ne peut avoir de raduss 
négatives, et r^ae l'^qu. (1} n'en a pu de positives, la proposée 
n'a qu'une racine réelle. 

Si n est pair, y' — 1=^0 est satisfaite par ^=:d:i, et 
divisible par j" _ I ; d'oùj--' +^-'.. -If y' + i=o{n-567). 
Comme il n'y a dans cette dquaiion que des eiposans pair» 
et des termes positifs, il n'y a ni racines positives, ni ot^a-- 
livesi la proposée u'adoncd'auires racines réelles qucj^=±i. 
Soii«=am; on a j"" — t =(j-"' - t) (j-'+t); et IVqu. 
proposée ae partage eu deux autres. 

\ Parex.,j''— i =0 donnej-' +^+ 1^0; d'où 

^=''. J'=-;(»i:W' — 3). 

Déméiue :r' — A'=ô donne j^ — 1 = 0; divisant parj^ — 1, 
joa trouve _x' -f ' = • ; de là jrtsszii 1 , et ± v/ — i ; enfin 



I 



569 Soit a l'une des raeiécs de l'équ. j'' — 1 =: o i comme H 

--^ - J 



]40 iUïrBRE. 

■■=1, on «•''=t,qac) nue soit l'enliet/j, poailif ou ii 
1/tSqil.J^— I =:oest ((oiic satisfaite por j* = «P; <:.-à d. i 
timettracine, »' Vett autst. De U celte snittiufinie d« ndl 
fin-* <iiii sont toui racines : 

.... a~', «"^ ■"*, o~'. *^, a", a', «\ . . (a). 

1°, Si l'on prt;tMi/r>-n, wi Jitisaat [«r a, ^ a U fon 

<ty -f *, i ëlaul < n-, J'^a''!-^' -= a.1 X ■' :zz •', i 

•'*=> I. Ainsi dt» t|Uv/> tUpasse'i, ait nstoiniu? sur li 
valett», dans !« itiêmc ordre: de U celle pcriode 
(*',«•, «\.. ««) (3J. 

ï*. Si /^ est iiégaiir, ona«~' = «"~f =î«'"~' = , . 
dc«*^i; l'exposant — p peut donc ^iru ■(.■mpUcé parnt 
D'où l'on *oit que li-s exposons n^çatifs reprodaiaetit ei 
les mêmes nombres <{ue les positifs , e( ttfins le tnéme ordrt;. 

Les valeurs {-i) sont donc irlks, que si l'on en prend une <iticl 
conque , et les n — i qui la saluent ou lu pn^djenl, on aiinej'c- 
riorie qui se rr-produii indéfiniment dnn» Us deux sens. lin on- 
tre, r«(]U. aP^^x^ em safisfalte non-seuiemeai p»r p=iq. 
nniis encore pnides valeurs de a qui siippos^-nt/iestç iiiègau>. 
car, drvitons par a', il vîeut ■''~'— i = o. Il sullil donc, pom 
que •'^a*, que a soit racine de l'iqu. j''"* — i =o. 

570. Il rcBlc ." savoir si tes n termes de I» période (3) sm>i 
en elTel inégaux. Examinons s'il se peut que a?=isi*.p et y 
étant <n; il fadt que«, déjà racine de l'tiqu. j^ — 1 =0, le 
soit aussi de/*— I = o, en faisant /> — q^m-, ce qui fH|»- 
pose que ceséqu. ont U'i commun diviseur qui, égalé À 
donnera Cf. Cbe relions. ce facteur par la méihode ncioului 
(n* 105). 0" divise d'abord _j"— i pet_j^— 1 , m 
aux restes, jr"-" — 1 , jr'^" — i. . . . , enfin j-*^ i , ijctain 
l'excès de n kuc lt;s multiples de m, qui j^ sont contcniur' V.^ 
suite ou dïvise.j* — 1 par ce reste j' — 1 , qui donne Iv re> 
y— I, lé\an\ Vmt%Aem «ur [l- plus grand mil1li|4« de i', irtt 
11 procède comiôu pvui' Irtmvcr le tacuac 
an«i'«h > - 






t*. Si a e*l an nombre irrrmtfr , le commun liiviseur entre 
ntlmeu I , ei relui dej^' — i el^ — i esl^y — i ; iloue il 
n'y a que «^ i qwi puitte niiiihe ifssa^; tous Us lurmes de 
U période sonl inégaux; une seule racine iuiaginaiie ■ douiic, 
par KS puÎMAiicefi, ci',a ... a' oa 1, toutes les autrei racijies. 

a». Si a eil le produit de dtux Javuurs pnmier» \ et h , 
r^=th; pouDs le* tt<|ii y — 1 -=o j-*— 1 =;o, et soiciiiâ et v 
des racines aatmi que + t, «avoir, ^'^i, y'' — r; d'oii 
fi''-5,-''^(fl».)»=.. P«.».|ni; fi". >.'e( (^3,)' sont = t, 
fl,», el(ây)»onira«il«»de^»— 1 r= o; fS, S". ■ ,û') Torluent 
/ nombres diffetciis, qui se leproduîfent pt^iiodiqnemiiM 
(n" 569) ; Butii I0 n puÛMDcea de fi ne fonnent i^ue / iioiii- 
bnradisuncts, qui, dan*(^, â'...^*J, leviennentA fois. Duniêinr- 
(>!»'■- ■**) fonnent/peiiode» de fi terme*. 

liais (Sy,*SV,âV'- -(S'y") sont diflerer.s et eonsliiMnt !a 
lirriode de* n racines cbercliéex. En effet, pour qu'on ciU 
•>J' = [ÊyJ», ou(3y;^»— 1 = 0, il faudrait (|uc ^ fut ratine 
. -inïaitnc ijr—i — i _ o et jr* — i ^o, cqu, ([ui nt peuvent 
atoir pour iâcleurs quej*' — 1 ou j'* — 1 , puistjue n=lh. 
tm aurait SV =^ • ; d'où y' =; j , à cause de Jî' =: 1 ; et 
iio« aussi y* -= 1 , / et A auraient un facteur autre que un , 
contre lliypo thèse. CoStluons de \!i que si l'on pi end m=^^, 
ta période sera (m,*',*'. . .s"), fonnce de n termes differetis. 

On peut abaisser l'exposaui p de ^fy" au-dessous de / puur 
9, <W A pour y, puisque 6' — >' =: i , et l'on peut ôtcr de p 
unifies multiples de/ou h. Ainsi, iSV^pnisenteious les termes 
de la période, A et r éL-int les restes de la division de p par / 
et h. Donc, pour obtenir toutes les racines de^ — t =0, on 
clserclieraâ et y , e.-i-d. l'une des racines, antre i^ne -^-i . des 
<ff|ii. j^— . I =0, j*—i =0; puii on formera fi^y" . en prenant 
pour betu toutes les combinaisons de* nombres de 1 A ^ puur 
A, de 1 à A pour c. 

l,OtM|nc 1^2, on fait 8 3= — i- 

Qiutid n «st le produit Ihi de trois nombres premiers, i}u 
prouve de m^me qu'il faui poser /* — i =o,j'* — 1 =0. 
f — I = o ^ tirer de chacune une racine autre que ■+■ 1 i faire 



K-'CDOtr 



I 

t 



!»■ pi'oiluiidt^ ce» nciim^/; pofid. eo |>rcndte les puîBMmcca, 
touies couiprite* daos la (orme t^y'f^.è.c ri d «tant loo 
liinaîtouB des nombre) i ,a,3. . ,, jusqu'à l.fiet i, et ainri diji 
auUMca*- 

3". Lorsque l'expouinin osl de ta forioe A*, A étant un n 
bru preiaîer, on nûtouoeta caiume dans l'ex. suivant. 

j*' — t = 0, où 6i ^3', Poseï^' — t ^o, «isoîl S une r 
fine ioiag-inaire de cette éqn.; extrayez-en lei rtcînea i , ; 
et aj, savoir, I, |/l, |/9, y* i ce aeroot autant de gdIuI 
de la propocée, puisque les puissaucei Bt" août des )>uissauci 
d«S', qui^i ^le produit i. \/6. \/i. ^â = a est au 
dej-, par la inéiue raison. Or, a, ■*,«'.. ■«*' aonttlcaqnl 
litéa toutes différentes, puiaque sans cela ■ serait une racine 
commune kj*' — i = o eiy — i = o, et qui suppose euire 
ces équ. un facteur commun, qui ne peut Être qne^^— i sss'û; 
ainsi ■ serait racine de celle-ci, a' = i , ou 9'. 5. V9. ytmsit 
élevant à la puissance 9, il vient 9= 1 conlre lliypotbSl 
Ainsi a,>i',N^.,.B" sont les 81 racines delà proposée. 

Eu ge'néral, pour résoudre^ — i^o lorsque n^h*, f 
ses j^ — I =: O ; t étant l'une des racines autre que -|- t 
U-ayea de I diverses racines dont les dcj;rés 1' sont marqua 
par is=h* h' h*. . ■h,^~* , en sorte que vous rorniiei les k ré- 
sultats $,y. ., désignés par y»; ils leroot tous des racines de 
j' — 1 = 0, aussi bien que leur produit m^fi^t. ... et les 

termes*, a' «', tous dilTérens, constitueront les n raànU 

cberchées. 

On voit de même que si m=^A'/', il faut résoudre^ — 1 =• 
et y— I s=o, multiplier entre elles tontes les racines de ce» 
équ., et faire ce produit =«. Soient iS et y des racines, ftutt; 
que -^i, de chaque Équ.; qu'on fasse 






^'^j/va 



^P iQUATtONft A ItEVX TkllHKS. 1 4$ 

d'où ^=tt— t, yM— ;fi +^ — 3):piiia 

-a«;<.+i/_3), m*s='-l~t+S/~3), -^-i,eu.. 

Pour ;-" — 1^0, tûte» j^ — i=:ot!t7^ — i=o; pour 
ta r"«ia., pnarr — I et ^' — i , leorprodail— (/ — i = 3j 
y eut le même qae Ô-ltessiu, et l'oR ■ 
-^KV/— I— V3), «•=;{'— V' — î). -' = v— I. etc.; 

571. Puisque .r^*»**!**- ■ ■ ■ ''«iqn- (') ("* 568) donne 
I +•+«'.. ,«'''^»( i-t^'4—'. ..*"-•= o, i+«'4-«"...— o 
ou .f, = 5iSS ■?>..• ^AssA, Sm'^= n, 

en daignant par 5*1 ta somme des |)uigMaces k de toutes les ra- 
ciuM, k Huit cnltvT et non divisible par n. 

574. ifoits «TOI» rMuii U résolution de l'équ.^ — 1=0, 
48 r**oii n cal un nombre premier. Nousnoos servirons iiuin- 
Unaiiidcslicnestrigonométriques, enreiivoyaDtpouc le reste 
à U noUî XIV de la Réiol. numér. des équ. 

lui faÎMaiCosf^/), on a vu, d° 36i, que chacun des cosinus 
tucceasiff de* arcs %x, 3x, ^x. . . s'oblient en multipliant les 
I precrdens par 2^ et — ■ , puis ajoutant. Pour mettre en 
e U loi que les résultats observent, faisons mage d'un 
• d'analyse. Soit icoa x=y-^y*; il sait do la loi indï- 
i!,quepottravoircos3j',il faut mal tipliercosxou;f)'4*^') 
par j- +^', qui est 2 cos x , et relrancber cos a* eu 1 . On 
tnmve a eoa a* = r* + J"^ '. "» obtient d« mètua 

a (oa Ir :=j^ +.X^ , a cos 4>^^j-'+^*, etc. 
Démootron* que les résultats auiveni loujourt la màme loi. 
SuppoMKM que cette loi M>i( v<^i[iéc pour deux degrés coaii^u- 
lib it — 1 «( n — I , ou 



tucceasin 

KTa 



1^4 ALGIÏBIIK. 

intiltiplioni U dcaxiènu: équ&iioii par j'4j'~''t et relrandioui 

la i"; il Tiendra a cos«*=^+J'~"l«1"'P"'"'*'' pn>p»- 

silioD. 

Ona !icoix=j +2,, ^ cot nx ■=j' + —; 

d'où (^ jr^—iir coa x+i=Oy j-"— v"co«n*-f-is=o., .(i). 
S l'on a COR j:, ces équ. donncrontj' paiicos nx ; ainsi oa pouri» 
trouver coB /u; sans cl torcher nicceuiTemeitt coa 3^, cos4^...; 
c'est le terme général de la série des cosinus , et l'on pourrait 
employer ces équ. 1 la composition des tables ; mais le calcul 
serait compliqué d'imaginaires. 

Si les tables de sinussont formées, qu'on j prenne les valcnis 
de cos X et cos nx, nos deux t^qu. ne contenant plus que^, de- 
vront avoir une racine communes; mais si l'on ajT-«, on a aussi 

X-=- I ainsi qu'on peut le rccotinatire (leséqu. (i) sont réci- 
proques), donc elles ont deux racines coramunu, ou plutôt U 
I " divise la 2*. Posons nx^f, quel que soit l'arc f, il faut 
donc que 




ÉQUATIOIfS A DEUX TEBMES. l45 

jt étAnt un entkr quelconque, pair pour y*— i , impair lorsqu'il 
9*agit Je y* -4" I - ^' '^ *" trinôme est un carré, on ne prendra 
pour diviseur que sa racine ; ce cas exige que le cosinus soit 
d: i; alors il est o, n, an. . . , et le facteur se réduit kx±i. 

Les racines dej^ d: i =o sont donc comprises dans 
jr — cos^-^)±:8Înr~Y \/— I... (4). 

Tant que l'entier k ne passe pas n, Tare — est une fraction 

croissante de la demi-circonf. ; ces arcs ont des cosinus in^aux, 
et Von obtient des facteurs différens du a* degré, que nous 
représenterons par A^B^C*.,L^M. Gomme n+i et n — t'ont 
un pour somme, ces nombres sont ensemble pairs ou impairs , 

h 

soit A = n db i,t étant < n; Parc devient — =îrdi— .arcsdont 

n n 

le cosinus est le même : d'où résulte que le facteur trinôme est 
le même pour i^n — i et n-f-t. Après avoir donc pris pour A- 
tous les nombres (pairs ou impairs) jusqu'à n, au-delà on re- 
trouve les mêmes facteurs de 2* degré en ordre rétrograde 
M,L... Cy B, A. 

• 

Passé 271,^ a la forme 27/1 + <9 et l'arc devient ^qw 4- -^ , 

n 

dont le cosinus est encore le même; ainsi, on retombe sur les 
mêmes facteurs dans le même ordre A^B . . . L,M, . . ^ By A. 
11 est, comme on voit, inutile de donner à k des valeurs 

1°. Si n est pair, -^ nzÏLî sont ensemble pairs ou impairs; 

kic l'x 

k -=: \n±i doime les aras — = { sr ih — , dont les cosinus 

n n 

sont égaux en signes contraires, savoir, = rp sinf — j; ainsi, 

lorsque n est pair, on ne fera pas k > ^ n, mais on prendra 
les cosinus avec le signe ±, 

a*. Si n est impair, l'un de ses nombres n — 1 et / est pair 
T. 11. 10 



1^6 ILCÈBRE. 

et l'autre impair, puisque leur soir 
n'est en droit de prendre que l'un à 



t impaire : S 
ui' valeur de II. 4 



ii=n — j,iétant<; jnjonacosf — l^cosf»- — \=-cosf-^ 

c.-à-d- que quand i dépasse ' n, le» cas. de notre facteur tri' 
nome (3), sont, en si^ne coDlraire, les mêmes que si l'oueûi 
pris k:=i, valeur eiclueet < \ n. Donc o/i^raks»>, i ,2,3... 
lana aller au— delà de ^ n, et on obtiendra des arcs'^ j », iJont 
tel cot. conviendront ati théorème (3) , mais en ckangeant rfï 
deux en deux le signe du cosinus. j^M 

Ë[ifia,^= - donner* — aâxcosf — j-^a', pour U tl^H 
mule générale des facti^urs de x' z^ a'. 

Pour j^ + 1 , * doit être impair ; A = i donne l'are j » ou 
45° , dont le cos est î V^ 3; pris en ^ , on a les deui (acte 
^'±J' 1/3+ 1; ainsi 

Pour .J^ + I , A ^ I donne l'arc | » , dont le cos. est j 
qu'on prendra eu ±-, A=3douae le cos. idro; do*c 

y+i=Cr-+j-V/3+o Cr'-r\/3 + .) CT+i)., 

Soitj* — I ; faisons A ^ o et a ; les C08. de aéro et 
I et -,, qui, pris en ±, donnent 

j^-i=(j-+i) o*4.j.+ i) (j'-^+o cr-i). 
j^-,=0-_i) tr'+O^Cjr + Ofj- ') tr' + t) 

y — I = Cr' + i) CX' — I ) Ces facteur» viennent d'être d^ 
composés. 

Pour j9 T- • il faut fnire i := o , 1 , a , 3 , et 4 , et prendre le» 
COS. de ran^ n-^" *" signes contraires, savoir 1 , — co» ïo", 
-f.cos4o''t - roafio" et -f cos 80, les facteurs sont, outre 

J--' ct^-t^+i,0-+>.879 ■J'-f'K. -i,53a.. J-+1) 
0-'-o,347...^+.) 

Ountij^ + i, on opérera de tuème, en p'^-ianl avec uni 



ÉQDATlOirS A DEUX TERMES. 147 

gne contraire les COS.- de rii^s impair», ce qui rcTient h chan- 
gtircî-dcsso* )c9 Mgn'i«de loai !« a" lermM du farteurs, savoir : 

■2t eu dTct, il est clair qu'il suilït de diauger j- eu —j-. 
Il rst facile de résoudre par rapport à l'art /, l'éqn. 

* conmi+p cos(m— Ol+?CDS (m — 2)/ +Pc=o. 

Car CD posaui a co« (^ar + ar-', on a (D'57a) 

éqn. traita p. 137. On pourrait aassi développer lescos, d'arcs 
multiples lelou les puissances ascendantes des cot d'arcs sim- 
plet, par lesTormuIes que nous ferons connaître plus lard. 

5j4- ï^ proposition (3) est ce rju'on nota me le Théorème de 
C'ïfr* .■ ce MVBDt l'avait présentée sous une forme guométrïqne. 
Du rajo» .rffl=o (lig. 2^,2^ bis) soit décrit > , ,rcle ^rfCfli, 
<.'( le diamètre AU, passant eu un point arb-^' . O ; à partir 
de ./^ ptutagei la circoufereuce eu an aies ét>,'i(ti. " 'yoB, Bb..., 
' lificua est le n' de « ; mcnei des rayons vecleuis du poiat O 
i^x point* de division. Celui qui va au point ijuclconque C 
i iUic le triangle COP, duquel, en faisant l'angle CRA^a, 
'jR=-x, on liK 

CP = dmam, nP = iicfua, OP=iaco»a — x; 

»-\-a'=^OC.OL; et si l'arc ÀC 
Ce trinôme étant facteur de 

i*-;fif, tclon que k est pair ou impair , les rayons vecteurs , 
ineD(!saus point» de dimiona allcrnatifs, consliluont tous ces 
facteurs. OÂ^=a-~x, Off=:(i + a:, réponde • -ix facteurs 
réels du i" dei;rt-. 

Deaiganns par Z, 7.' ,Z' . 
paires, et par c, :'■ ■'...,•, 
aura 

«.E'.s'.t.^«*+*''i que O Boit intérieur 
/ Z . Z', . .s^a'-^x' , si O est inicneur (fi{j. a4)- 
'■,.£*.Z'...=at»*«^», si O est extérieur (fig. 04 JiV). 



contient k divlsittos , on it a = 



les rayons menés a a divisioaa 
:eux qui vont aux ii^paires; on 

térieur. 



,48 



ALGÈBRE. 

Équations à treis termes. 



SjS. Prenons l'ëqu. jix*' + Ax* + C= o , où l'un de* a— 
posansde x est double <le l'autre j en faisant x" =: z , il vient 

A^+Bs + C=o. 

I*. Silesracinei de x sont réelles, telle que/et g, on doit 
résoudre ces éqa. à deui termes 3^ =/t ^ ^S- 

Par exemple , tromTCr deux nombres tels , que leur produit 
soit 10, et la somme des cubes 1 33 ? 



^(ï)=' 



33, ar«— i33x'+iooo=o. 



Faisant a;'^z, «' — i33s+ iooo = o; d'où « = 8 etiaSj 
posant ensuit'^ x*=: 8 et laS, il vient j;=2 et 5, et en outre 
[n°569) 3«,'''>5tf', puis 5» et 2a*,aéUnt une racine oobique 
imaginaire d'=-anité. Telles sont les trois solutions du pro- 
blème. 

a". Si les racines sont égales, on a B'—-^AC:=o, la pro- 




^K ËQUiTIOHS A mois TKRHËS Ï^C) 

^E| cante de A' < 4 ■^^'- H y a donc un arc p qui a la inoilié di? 
^■«e factear pour cosinus, arc «ju'on délerminera par log. d'a- 
prà« la relatiou 



HotreireosformccesldoncdivÎBibleparj* — ■iyQoe(-\+iT=o, 

b prenant pour ^ tous les arcs dont te cos. est doiioé pav 
>|'^g. (5), et ([ui sont non-ieulement l'arcf <[ 180", donne par 
"^toblt;, mais encore 41 + 37, ^-^-^w.. ., en général, ï-|-3*!r, 

rt étant uacnUerc[uelEoitque:soili^^: , tous lei facteurs 

dits BODt compris dans la forme 

xV^*— MV?MC).coï++V>C=o... (6). 

1 1 est d'ailleurs Uiutile de prendre * > n , puisque k=:qn+i 

donne l'aie ly»- H ; et supprimant les circonf. ayn-, il 

c à prendre le cos. de i'avc qu'on a eu pour A = t^n\ on 
koinberaildonc sur les mêmes facteurs. 
rObservci qu'ici le rayon est ;=i , el que si l'on fait U5aj[e 
Bn tables delog., il faut soustraire iode lous leslog. des cos. 
{^'on emploie dans le calcul, (foy. l, I, p. 377.) 
^ aoiil'équ i«— aar'-f. i = o : .-/= C= 1, fi=— 3, 

p3}onirouvccos9:=i, le» arcs 4 = 0°, lao* el 340°; partant 
«roposce^ ses trois lacteuis de la fornieo."— 3xcos4+ ■ -. 

mille cos-i(, a pour valeurs 1 , — sin 3t>"^=— -^ et 

• So'^ — -;, on trouîc jr' — %x + 1 , et j'-f ,r + i, ce 
nùcr bcleur étant double. Ainsi la proposée est le carre' de 
-1 — l)fx' + 3r+l).oudex^— I. 

Soil encore ar' + âr* + a5 = 0î v/=B=i, C=»5,ii=:a, 
I co» «•= — — ; Us tables donnent, à cause du signe—, 
' 90', dont la moilid -J. est i-]' 5a' i o' ; aj outons 1 Ho", 



IftOus (onisetuuïm) arc dont le 1 



est le incmc niic le 



kédcnt' 



en siQDC contraire 



i5D iLOÊBM:. 

SuUiimant (Uns le t' lerme de U for- '_•>»*■ ■ • T.8»a3o)l 

mulegéiierale(6),lcealrulci-contredoune \/^. ..'..'. olîfgisso 

— 3 pont coefficient de l'uu des facteurs. 3 'MÏ?ï 

Ainsi nos facteurs tout x' ±3^:4- 5. 

EdGd, pourî^ + 3j:'+ 5=:o, ou a cos p = ~ — , 
î - 



OiSorn3oa 



. o,4fi;69r., - 



On trouve ^^^Gi" ^t', ou plutàt ii8° 19', e a prenant le 
plément, à cause du signe — . 1-e tiers est 1^ = 39° 36' ao' 
ajoutant 1 30° deux fois successives , el prenant les cos ■^, c 
cos 39* 26' ao', — sin 69" 26' ao", et sln 9° 26' ao° Donc 






. 0.4677'' - 
- ..«8779 



-,97'4< 



".4«7:'> - 



o, 353*0 — I o.iJSgi 
Soil fait «=— 3.2672 4- 2, 7486 — 0,48143, 
;t nos trois facteurs sont de la forme x'\^i+»x+ V^5. 



I 



Racines des expressions complitfuées de Radicaux. 



576, Admettons que a 4- V^ soit un carré, et cbercLoiis-cu 
la racine, qui doit avoir la forme \/z + V X' *' '^"'^ ^ toH 
/-f ^^, on aurait x^y*. Posons donc ^^H 

V/Cfl + ï/A) = l/x+i/j-, d'oùx+j-+av'(^) = fl + ^B 
puis x~\-jr=^a, ^\/{xy)=\^b, I 

en st^panint l'équ, en deux , comme p. I29. Pour tirer x Kiy 
de tu* cqu., formez les carrés el retrancher, vous aarei 

X- — 7JCJ- + j-~=(j —x)'= a' — A- 
Commexiiijf »opi soppoH^s rationn«l«, a» — * doit £w 



FOMCTIOMS RADICALES. l5l 

caneinact connu, i{uc: nous ferons =i(*; x —j-^k, et 
;i- + jr^a donnent la solution chercbée 

Soii 1/(4+^1^3); oiia .1 = 4, Ac=i3; d'oiiû" — ft = A"=4, 
puisissa, j:^=3 ei_r= li'a racine demaadifeest d:(i-|-V^3) 

Ïillc de ^ — aV3 «t =t (1 — \/3). 
Pour V'{— I +2 t/— a),a'— A=9,A=3,*=i,^=_2, 
l'on tt± (1 + 1/ — a) pour racine». 
Si a-|-yA est un cube eiact, on pose 
_ éUDt une indetermiuëe dont on dispose à volonté pour faci- 
liter le calcul. En eleTant au cube et comparant les lermes ra~ 
ItioDD<1a, on trouve 
mmatcea rfqa. et retrancbant, on a 
f .••-& = s't;r'+3:rrr-(3i'v<r+J'V<r)']- 

k, le facteur de z' est la dilT^renee de deux carres, et revient 
PlibL'inent i, (x + v^j-)' X C*— V^)', <>" i^' — J}'; donc 

— ~-^(x'—jry. Mais a: et^ sont supposés rationneUi ainsi 

" membie doit être un cube exact ; et il sera toujours fa- 

^fle diïterminer e de manière à remplir celle condition, ne 

yte qu'en posants^ (a' — by : si a' — 6 cal un cube, on 

I ge'néral, on difcomposera a' — b en facteurs 

n distinguera bîentât quels facteurs doiventêtrc 

ponr avoir un cube eiact. Ainsi, ( et 



« dmiiin équ. iIoduc x, eu au contentant des seules rac 



retionnellea ; la prà:édente fait coniuiltfej', et l'on a k neÏH, 

demandée. 

Pour 10+6^3 on a asssto, b = io8, a' — «s — 8; 
ainsi «=:if et Jt^—t. Donc ^x^-^&c^io, d'où ^^i, 

puis j-=3 ; enfin , 1/(10 +tV3) = 1 + \/3. 

Soit encor«8 + 4V5; on a a* — b= — 16; on fera s:=4. 
* = — I î d'où 4*' +3x^2, eta; = ^, j-s:!; enfin , 
i VA- C' + V'^ C racine cubiqne de 8 + ^^5. 

En posant v'Ca4.^'i)=(x+ y'j'Ws, 
et raisonnant de même, on déterminerait x, jr et z, dan« le cas 
où a + V^ ^** ^"^ puissance r* exacte. 

S-]"}. Dans toute autre formule , il ne suffitpas de substituer, 
pour les radicaux qui s'y trouvent, leur valeur approchée, parce 
qu'on néglige ainsi toutes valeurs imaginaires dont ces radi- 
caux sont susceptibles. On doit remplacer V -^t para^ A, 




•iti0issàmiMmfftiÈ. ' i53 

' • ■• ',.,.. • ■ ■ ^ 

■ I ■ ■ 

Enfin flimiiwiiit s, on obtient Vém. finale 

091 troBfo d-^boid.x ssQet <— i /«mi aonUes Militions léeUm 
demancUes; qntnt aux quatre antres ncines , elles se rapp<NPr 
lent amtcomliiiiaisons des irateurs des jladiies imaginaires des 
radicanz earrë et cdiique de lai proposées 

ÉqimÊiam du troisÔtiic degré, ^ 

578. Pour résoudre l-équ. kx?^4Êi^^4x+c=s o, chassons 
le a* terme el le eoeffident du premier, en posant ( page 48} 

x' — a 

d'où *'' + 3i/(ikb — ««) + ao^ — gabk + a7c/t» = o. 
Ainsi toute ëqu. cfu 3* degré est réductible à 

**+/>ar + j = o.,.. (i). 

Posons jr es jr-l-s; d'où x^ = Zjrt (jr+ s) +J^+«^ ; 
ainsi h proposée devient 

Or, le partage de x en deux nombres^ et z peut se faire 
d'une infinité de manières, ctron a le droit de se donner leur 

produit, ou leur différence , ou leur rapport , etc Posons 

donc que le i** facteur est nul , ou 

Le cube de la l'^équ. j^V = — (^pf montre que^ et z^ ont 
— y pour somme, et — (3/?)' pour produit, c.-à-d. que les 
inconnues jr3 et z' sont les racines / et / de Vcqu. du a* degré 
(n«'i37,5*) 

^'+7i=i\py w» 



l54 ALGk»RB. 

qu'on nuiHiue la Rédiùie. Conaaissant I et <*, ftn a j'^^(,s^^j 

i, •,«*, ^tant le* trois racines cubiqaes de l'unité (d* SGç)}, 
oD a donc 

Uais il ne faut pas, pour obtenir xasj'-^z, ajouter toutes cet 
valeurs deux i deui , puisqu'on aurait g racines au lieu de 3. 
Comme, au lieu de l'équ jrt=s—^p, onenaeuiptoyélecube, 
on a triplé le nombre des racines ; il ne faut donc ajouter que 
celles de ces valeurs de^et des dont le produit est— j/>, ou 
\/ {W), puisque le 2* membre de l'equ. (2) étant = — (.(', la 
racine cubique e3t:=|^. Il est facile de voir, â cause de a^ssi 
quedesgcombiuaisons, on nedoit admettre, arec j;= j/t-f-v/f', 
que 

a: = «V^( + •'!/(', et •V + 'l/''- 
SuliBtituant pour* et»' leurs valeurs — ^(i "àiy/ — 3), «'568, 
et faisant , pour abr^er , 

«=V'+V'ï'. d~\/t—^i 
=-\{s±dV-Z) 




noisiiMs smouÈ. i55 

UmdMaritif|M«il(p.i59)|dbi|/«;aiBii#«»3, rffis|/5; 
enfin, jrr±3, et--4 (3rdr|/-— 15). 

jr'— 27x4-54 = 0» donne <*+ 541 4* 7^=7= o, ou 

(t + a'j^asoj i = — 27: ainsi « = — 6et 3 (rtdne double). 

On penl retondre Véipi. du 3* degré à 1*^4» des tables de 
log.y &t se serrant dà procédé décrit t. 1, p. âgo^poiir 
obtenir les racines 1 et / de la réduite. . 

Si p esi positif, on pose tang p = JlIsEL, 

d'où 1=1/ (ip)»tangi^, /r^-k^i^, 



tang i^ 

puis |^l=V^(i^jX^tangi^i/l' = --^^S^. 
^ ï/tangif 

A' p €»/ n^if «((/; on pose sin p 3= -^2Lil£L; 

3. 3 s t/ (|/^) 



d'où l/i=— l/(J/i)Xl/tangif, 1/1^=: f 

Une fois qu'on a trouvé les racines cnbîqv'es de / et l% on en 
tire les Taleura de # et de d, et par suite celles de x. 

Par ex. , pour Véqu. x^ + gx 4-6 ss o de la p. i54y on a 
/i at g, 9= 4 6 ; c'est le i" cas ci-dessus 

a o.3oio3oo 

3 0.4771313 

V3 o.33856o6 o.a3856o6 o.a3856u6— 

j 

6 —0.7781513 v^tang... T.9ao4798 —1.910479^ ' 

TiBs# o.a3856o6 !•' 0.1590404 î*.... o. 3i8o8o8— 

^ss^o^ J^ =- 3oO Ips tMlg =5 7.7614394 

I®'' tônns. . . . i,449i5o 
%® • — a»o8oo83 



* = X = — 0,637833, à z=. 3,5aa333 
X = + 0,318916 dt i,75i 166. v'— 3 



l58 ' ILCÈBM. 

ondoitpr^fôr8ridle8igneii^tif.EDdiTisantptrv/[p*,1fttmi*; 
formée «««' — »— -^=0. 

Or te supposition que 4/''>*72'» *"''iVl>~s ««enfin 



positif : il & le signe — , pour x = t ; il y a donc une racine 
de M entre 1 et ^ ^ := 1 , 1547. Faisons s ^^ 1 -j- v, v sera 
<C°t i547) et on pourra D^gllgerv^ipauruoe 1" approxim^ 



par suite 

On donne à cette valeur approchée de ;c un signe contraire k 
. celui du dernier terme q ; on procède ensuite à une approxi- 
mation ulle'rieare par les procédés ordinaires (n"S38); l'ex- 
pression (S) , qui revient à x = — ; a rt v'A donne ensiùte 
les deux antres r 




TROISlàUK DEGRÉ. |5q 

On cliMSe le a* terme on posant 3ni'=/>; d'où m ^^l^p. 

Donc _?^ + ^, . + I = o. Mais dans le cas que nous tiai- 

lons, te«l imttgmaire dans l'équ. (2}, ou{; 7)° <l(j/')' ' on 
peuldODC trouvemnarcf doat lecoa. soîllainoiticduracleur 
Uaj^, poisque cette moilié e$t< 1 1 



cou f = 



'■î/'l-(3/')' 



■ {7)i 



alors la proposée , se trouvant réduite k notre a' trinôme , est 
diruible par ^' — a^ cos ^ « + 1 ^^o; divisant par y, on a 
jr +^' ^ 3 COB f ¥ ; el comme x = m {^ +J'~') > on a 

*.— »V'(7/')- cosjf (8) 

L'arc 4) sera donné par un calcul 1o{;arithmique : on en pren- 
dra le tiers, auquel on ajoutera lao" et i/^o", parce qu'on piut 
pretiilre, outre l'arc trouvé dans la table, les arcs ip+in, 
p +4'> ■!■>■ ont le même cosinus. L'équ. (8), où cos jf prend 
iroii Taleors, déterminera les trois racines réelles. 

Soij. pntcs., x^ — 5x — 3:3:o;on 
aj>^5, o^ — 3, cos e = r. 

l.e calcul ci-contre donne fs=45°4&'9'i 

ilout le tier4etti5''i(i'3*. On j ajoutera 

iao*cti4<>''>'tron prendra les cosinus, 

qtti mit 




t^i&'ifi'i" — iiu ^^• x& 


•, - CM 75" iff r. 




f P*«kI ci-conlre , 






■"!r... T.sSWS 


..(,.!,5(! 

<.8Sl!ia3l- 


i,4.i5îs:6— 


■■■ ».!aM49». 


-.,S3<ï«S 


T,8i;îli9-. 

-o.eSfiGiee 



^ Po-'-IVqu. «■'— 5^ + 3-0, .1 suffit de cliaugcrjT en— X, 
*»" «tombe sur l'équ. précédente : on a donc les iiu-inc* 



l6o ILGÈbRE. 

racines en «ignés contraires. Au reste, en tndlantdtreetcnetit 
cet ex., l'éqa. (S) donnant cos p négatif, l'ara p cst^go", et 
le supplément du précédent : le calcul se continue de même. 

Soit l'équ. x^ — 4s-f>>=^o: d'où cosf :^ — r~î~ Le c*t 



cul donne^^io8'5j'3', 5, et l'on obtient enfin. , 
ar s: 1, 860807 .... ^2,114907.. ■ ■ 0,254099.1. .. 

Équations du quatrième degré. 



58i. Soit proposée l'équ. jr*-^jM:'^$x + r:=Oi pour la 
résoudre, employons la même marche que pour le 3* degré; 
regardons a; comme formé de deux partiesj'et x, x'^j'^-ti 
d'où 

j4 + (6r' +p)y + (,4 +;,!' + ?« + /■) 

+ 4«^ + (4z' + a/jx + y)j' :^ o. 
Mais nous pouvons poser une relation k volonté entre^ et z : 
égalant à icro la a* ligne qui renferme les puissances impaires 
de j*, nous avons 




Subititiiaiit du» r=j'>f M e( dans (i) , il rimt 
lyanl égard à la correspondo 



OotfoaTcenfîn, en ayant êgaril à la correspondance [les signes, 
ef éliminant j*, 



f 



=-:v/tti,/(-,-,f+i?,) 



(«)■ 



n téinailra U réduite (A); et prenant une racine po- 
on la fabst'ituera dans les formules (â), <[ui donne- 
IDI )« quatre valeara de x. 

, par ex-, ar«— i9ar-+24x=i,'-.^=— ^,y=ia,etc.; 
trédaitenl (*— 191' + 961= 144. L'une des racines (=--3 
aoati« 

jf=^V/3± 1/(4-2^/3), et -;»/3±v(4-H»i/3); 

elcoiBia«(p i5i) l/(42:al/3;= 1 ±1/ 3, 
oua x=i:±:7l/3, .r = — l±^^'3. 

L'èquAtîoD J?* — î5-r* + S*"f — 36 = o a pour réduiic , 
1' — 5o/* -+- 769! ^ 36oo i prenons ( = 9, et nous aurons 
T^3,a. I et — 6. 

Pourar*— j:+i=:(i,ona (' — 4'^ i; d'où 1= a, 1 14907. -. 
<.vt>X- p. 160} ; on en tire 

x = — 0,7371360:^0,934099 V^— I, 
x=+o, 737136 d:o,43ooi3<) \/ ~ 1 . 

Knfin, tVquation jr^— 3x' — 43^=4** doune 



I3_6e+i69( = i764; 

«=9; puiia-«=4, — I et î(3±t^ — 3i). 

E'SSs. Si l'ou mettait pour f, dans tei équ. B. toute aatnrâ^ 



cdeUrcdaitc, 



'ub tiendrait pas dct 



iBur I-, Cl l'on lie préfère la racine positive i aux deux auire» 



(' el (°, que pour la commodiié des calculs. En effet , 
taons ce» valeurs S en fonction des trois racines. On a 



'+<■+>■ 



<.t.f=r 



f* + (* r^ — 3/> — ( 



■ C4) 



de même 

Cesëqu. ne cocvienocnt qu'aulant que 9 est potûtif ', car 
faut observer que la réduite ne conleuanl pas y, mais 7^. con- 
vient à la proposée quel que. soii le sij;ne de f , Lien que les 
racines 2 soient différentes pour -f-q et pour — f. Maïs dans 
les ëqu. B, conime on doit subslîiuer la valeur de g avec son 
signe, celle circonstance rétablit les données telles qu'elles 
sont. 11 n'en est pas de même dans les équ. (4) où y n'entre 
plus; aussi fâut-il avoir égard au 8if>ne de 9 daos l'équ. (3), 
et prendre l/r en — , quand y est négatif, pour que les deuv 
membres y aient le même signe ; les radicaux des deux parts 
devant recevoir le ±. Ainsi quand q sera négatif, il faui 

[JOser ^(l'(') ^ — ^ . te qui donne aux valears ff la fori 

Or remarquons que, dans l'un ou l'autre de ces deux < 
les équ. 4 et 5 sont symétriques en /, (' et l', c.-à-d. qoe fl 
expressions donnent les quatre mêmes valeurs, lorequ 
cbangc l'une de ces lettres en l'autre. Ainsi ces dqo. 4 < 
^tant les mêmes que B sous une autre forme, les ^qu. âM 
donnent que 4 racines. 

formes 4 ■-'' ^ "O"' d'ailleurs propres i faire rccoiiualtn, 
lire des raciues de r •. t»t 



FOMCTtONS SYMÉTRIQUES. l65 

i". Si î» réduite a tes trois racines réelles, il ne peut arri- 
ver quedeiuc cas; comme leur produit t.i .t° =^q'^ est poûtlT, 
ou deni sont négalJTes. ou aucune ne l'est. Dans ce dernier 
cas, |/r, l/'', V/ï" sont réels, et nos quatre racines de x sont 
réelles. Dans l'autre cas, au contraire, |/i' et ^C sont ima- 
ginaires, et les quatre valeurs de x le sont aussi. Donc , quand 
la réduite tombe dans le cas irréductible , la proposée a ses 
quatre racines ensemble réelles ou imaginaires , selon que t a 
trois valeurs positives ou une sfule. On en a \u des exemples 
ci>4lessus. 

Cependant bII arrive , dans ce a* cas , que l* = i* , comme 
deux de nos valeurs de z contiennent la différence des radi- 
caux ^l', ^t", les imaginaires s'entre-détruiseiit, et ta pro- 
posée a deux racines réelles et égales, et deux ima;;inalrci. 

2°. Si la rc'duite n'a qu'une sefile racine réelle t, comme t 
est alors positif , ^fesl réelle. D'ailleurs, désignons /'et /' par 
a±ft|/— i.d'où 

V/('±:|/<" = V(,ï+i|/-.)±v/(<i_6i/_,); 
le carré est C\/('± 1/ i")' — ia±%^ (a'-i- A'), 
f Ce dernier radical est visiblement réel et>0[ ainsi, noire 
carre a deu\ valeurs réelles, l'une positive, l'autre négaliv<r : 
en extrayant la racine, qui est i ('±l/'i", on a donc une 
quantité réelle V/.rf d'une pan , et une imaginaire 1/ — li de 
l'autre. Reoiontsntaux valeurs précédentes de jt, onvoilclai- 
remeot que li la i:éduile n'a qu'une seule racine réelle t, eelleei 
est positive, et la proposée a deux racines réelles et deux ima- 
ginaire i. 

IIV. F0NCT105S SÏMÉTBlQtKS. 
583. 
and 
: 






Puissances des racines des Équations. 



583. On dit qu'une fonction est sjméiriqu 
md elle n'éprouve aucune altération, eu y é 
I lettres qui s'y trouvent l'une eu l'aul 



■ ou invariablr , 
:liangeanttouies 
re : telles M^rii 



I 

[ 



|64 ILGÈDRE. 

a' + i», y'a+y/b, a + b-i- sm a. sin /., elc , (^ùîT 
rent les nièines lorsqu'on met b pour a, el a pour A. Le* ci 
ciens des divers termes d'une éqa. /x:=o sont des fonctù 
synuflrîqiKïs dea ractaea a,b,c. ,. (n° 5oa). 

Mous représenterons à l'oïenir, par [a'b^c''.. .J, U fonclio 
symétrique dont e^O c* . . . est un lertiie, et dont ou obtiei 
les autres termes en échangeant chaque lettre a, h, c. . 
toutes les autres successivement : i>ar S^ la somme des putth 
tances m de ces racines, ou 5.= û"' + /^"' + c". . . . Or, 
connaître ces racines , prouvons qu'on peut toujours trouref V 
le» quantités .V„ et [ii*6"c''. . . . J , quels que soient les enti 

m,m,fi,y , en fonction des coeDidcnR/t, q. . • . de U p 

posée, 

fx est identique avec [x—a).[x — 6).(x— c). . . , et Ton a 
(a" Sic, 2°) que la dérivée f'x est 
>«—' + («-') z-*™-.. . ^M'-*) ('-<). . . + i^--}(— e). .. «e. . 
En divisant par_/x' , on troiive 



En développant (x — a)~', ou a (page 17, I) 

Cbangeaut *i en A, c. . ,; et prenant la somme de toos «S (i 
sultats^ notre second membre est 

MnUiplianl donc l'éqa. par i"+yiT"-' + yr"-'-f.rj 



FONCTIONS SYMË.TIIIQCJE5. Io5 

Le t* membre • m tenue»; le second va à t'iniini, chaque ligne 
ayant son ■"terme reculé d'un rang de plus à droite que dans 
la ligue qui procède; il y a m 4- 1 lignes. £n comparant les 
coefiiciens des mêmes puissances de x dans cette identité, on 
obtient une infinité d'équ Leam i'"équ.onlcLaciuienn terme 
de plus que la précédente; elles sont (en supprimant mp,mq..., 
aux deux iiicmbres] 
5,+p=:::o,5.+;j5, + 2î = o,Sî+/>5,4-î5, + 3r=:o..., 

5,+;>5i-, + ?5t_, + rS,_3.... +*v = o.... (^). 
k étant un entier <;fn, et v\e coefficient de i™-» dansyi. Au- 
■ Iclà de ces m e'qu. , le i" membre ne donne plus de terme à 
comparer avec ceuK do %', et l'on trouve 

S,+pSi_,-\-qSi_,-\-rS,_3...-\-uS,_, = o.,.. (S), 
tétant un entier > ou =»i. Ou t, S„^a"-i-6'. . .^m. 

584. Ces équ. sont dites à Newton : en voici l'usage. 

La i" donne ^,^ — p, valeur qui, introduite dans la 2*, 
^^nne 5,; on a ensuite Sj., . 

£,^^p, S,=—pS,^iiq, 5s=— /îS. — î5, — 3r....; 
'«ainsi de proche en proche. En général, la valeur de 5i con- 
duit à cette règle. Sous les m termes qui, dans la série des ^, 
précèdent celui Si qu'on veut calculer, écrivez les coefficient de 
fxcn ordre inverse, avec des signes contraires; multipliez cha- 
que terme par celui qui est au-dessous, ajoutez, et vous aurez 
le tenue suivant 5i : 

<$!— ill 5|_n_, . . - <^l_) , >^l_i , -^(-i. 

Soit, par ex. , l'ëqu. :^ — 33:' + ax— 1^0, on ^= — 3, ' 
5r = 2, r^ — 1; les facteurs seront i, — 3 et 3. Ainsi, on 
trouve d'abord 5,^3, 5, = 3,5, ^5; la série des 5 se con~ 
tiime comme il suit, chaque terme étant formé du produit 
des trois qui le précèdent, multipliés rcspcclivetnent par 

HL — 3 et 3, 

^U,5,^3,3g,68<t5e,367, 853, 1983, 4610, 10717,34914,57918, 



i 



Poor x' — 3c*4*i3JC=4> '^ facteiirt sont 4t *-">>*t3, 
et l'oa obtient 

3,3,— 15,— 6g, — 15, 7a3, ao73,^a5i7,— agSSS... 

Enfin, pourx' — aj ^=5 , les inulti[diGaieurB «mt 5, aeto^ 

•> trouve 3, o, 4< >S| S| 5o,gi , i4o, 433.-. 

En «ppliquant ce théorème à j:~— i^o, on trouve, comme 
l'âge i43. 



Il est donc bcile d'obtenir U somme de toutes lei puissances 
entières des racines d'une équ. sans connaître ces racines. S'il 



s'agiiaail des puissances n^livf 



n changerait x en -, et 



l'on applî«f uerait nos formnlea i la transformée en ^ ; on au- 
rait les sommes demandées. Pour l'^qu. x^ — 3x' •^-2X^=1, 
on aurait les facteurs ■ , — 3 et a de ia transformée; d'où les 
sommes des puissances positives, qui sont tes natives de- ' 
mandées, 




F09CTI01V8 SYMÉTRIQUES, t tQfJ 

tleDDcnt que deux des m racines , opérons lès permutations^ 
comme n' 49^ > ^^ multipliant 

5^= fl*+6*4-c*...par5^5=fl^ + *^4-c^.... 

Si les facteurs partiels contiennent la même racine, le produit 
partiel a la forme a^-^fi; sinon ce produit est tel que,a«6iS. 

Ainsi le résultat sera «S^-f.y8 + [a*ft^ ; donc 

De même , pour la fonction [a^^c^j , multiplions [a*&^] par 
Sy\(C) deviendra = 5. X *Sr^ X «S^ — 5^^.^ X Sy Formons 
k produit 

I®. Si les £icteurs partiels n'ont pas de racine commune , le 
produit partiel est tel que a^b^c^ -, ces résuluts réunis forment 
la fonction Lû*^c^J dont on cherche la valeur. 

a*. Si les facteurs partieb comprennent une racine commune, 

le terme est tel , que a* ^ ^" , ou a*A^^, suivant que cette 
racine est le i'^ facteur ou le 2^. De là résultent les fonctions 
[a*-H>^ , [a*^^+>]> dont Téqu. C donne les valeurs: 

ou a donc (D) 

L'esprit de ce genre de calcul est facile à saisir, et l'on peut 
rappliquer aux fonctions symétriques formées de quatre fac- 
Idirs et au-delà. On sait donc évaluer ces fonctions à l'aide 



l6i} ALCÈEBE. 

(les seula coefficicDS de la proposuo , puisque les .S si 
par ce qu'on a exposé précède m me lit. 

Observez que si la fonction symétrique proposiie (.'laîl trae~ 
lionnaire , en la rdduHant au mime dénominateur , elle for*' 
meraitune fiacliondout cbaque terme serait une fonction ïi 
variable. C'est ainsi que 



Appliquons ces préceptes généraux. 



'l~abc.: 



Résolution mtmérique des Êtfuatioris. 

586. Plus a sera grand par rapport nux antres racines b,c... 
plus.Ç) approchera d'être égal à son i" termcû',el5»_ 
cL-s 5 sont d'ailleurs connues d'avance. Donc, en divisant, oivl 
trouve fl=t^ji : 5»„,. Ainsi, après avoir formé U série des 
nombres^.,-ï, ,5, . , , , le quotient de chaque terme par celui 
qui le précède , approchera de plus en plus de la radD« sup^ 
ricure a, à mesure que l'indice de S sera plus élevé. Ou pour-«| 
rail de même obtenir la moindre racine (n° 5o^, 2"} 

Leg imaginaires peuvent modifier notre proposilioi) ; 
9oitT;=a±;8 \J — I ; faisons*^ > cox^, |3 =: A siit f . 
qui est tODJonrs permis, puisqu'il en résulte 

*■■ = -• + fi' , tang ç = - , 

équ. d'où l'on peut conclure A et l'arc 9 dans tous les c 
On a x=: A {cos ^:±:sin f. 1/ — 1) ; d'où (nntB,paBe i44) \ 

(»±&V~ >)*=*' {cos Apisint*. l/— 1). 
Nns deux racines imagiiioiies supposées, introduisent 
dfiil5.S, le icrmesA^cos kç. t\ faut donc que a, ou ^(•'■■i'0 
moiudre que la plus grande racine a , pour que le thâ 



•lilic. 



.,=57918, A\.=24()i^ 
e valeur approcli<!c de à 



niiii 



FO^CTlo^a jihétkiques; 169; 

Stl;. QivrcLoiis r^quatioii au cane; desditT^renccs, 

F» = 2;* + J'i— + Qt*-' h t/r= o, 

1 li-s incannnes sent P,Ç.. . V. Nousarous 
{X — a)' = x' — lax'-' + J" à'x'~* — A'a^x'-^. ..±a', 
Ix—b)' =x' — ibx'"' + A' b'x^-" — Ab *x'-^ ... ± A' , 
(X— e)' = j:' — Icx'-' + A' etc. 

Ccs^<IU. sont en nombre m\ l,A' .A". . .sont les coeAiciens 
binôme pour la puissance /. Ajoutons, le 2' membre sera 
mx' — tS^'- +^5,»'-* — A'Sjx'-K, . .=b Si. 
Cli.-iageona «uccesnvcment X en a,i,<.-...., 

(a —i>)' + {a — c)' . . . =mai ~ lS,a'-' + . . . :±S,, 
(& — a)' + (* — c)'... =mA' — /S',6'-'+ ... ±S,, 
(c— «)' + etc. 
'Lu ajoiiUnl loutei ces ùqu. , le 1" membre est la tomme des 
puhsancet I éft diffét 



! de toutes les racine» , 
1' membre est 



- A'S3S,^j + ±mS,. 

t rien tirer de cette formate , 
xk deux en «igiit 



■eiranchées 
deux à di^ux. Le a 

mS, — IS.Sr^. + A' S,Sx., - 

Or, si /est impair, on ne peu 
carlndiflî<ri'ncesMonl^nie$ deux à deux en signes contraires, 
Cl fean puissances / s'enlre-détruisent. Le a' membre est 
fontic de termes dont ceux qui sont à égale distance des ex- 
tlcines Ont mcnie coefTicienl, mêmes indices pour S, avec des 
signes coniraitcs; ces termes se détiuisent donc aussi : de 

Mais si f est pair, (n— &}', (A — â)' sont égaux deux à 

deux , et diaque terme du t" membre est doublu ; d'ailleurs, 
parties du a* sont encore égales deux A deux, mais ont 
doublent donc aussi , excepté le terme 
luoyrn , (|ai ne s'accouple avec aucuu autre. Prenant la moîtie 
de* d«ax nieiulneu, cltacjuo terme redevient simple , et il faut 
trduire le \eXKvr. motcn à moitié. .4insi, d'une part, faisanl 



1^0 ALCEBBK., 

^=31, le i" membre de vienL la lomme des pui 
dea dilT. dea racines , ou celte des puiuaucea i des carré» de 
cea diff., somme que nous représenterons par/}. D'une antre 
.r)4ut 31, 4' , jf -.. désignant les coeHSciens du binôme, pour 
l'exposant 21 il vient (p. 6) 

I ai (ai— 1) (ai— a) (t+i) 



X (S,)* . 



a. 3. 4.. 
Les coefficiens ai, A A". . . ont pour valenis les n 
de la ligne ai dans le tableau, p. 8; on doit s'arrêter ai 
du milieu dont on prend la inoiùé. Ces facteurs sont pour 



>mbrcs 
terme 




TROISliMB OEGRâl J7I 

Pour x^^fx+ r= Oyles^o*?!* • . • sont 

3, o, • ay , — 3r, ay*, 5qr, — ay' + 3r» ; 

d'où /;=— 6y,/.=i%*, /3t=-66^-8i/-; 

Ce sont les coefficiens de Téqu. au carré des différences pour 
le 3* degré. On trouvera les formules pour le 4* et le 5* degré 
dans U Résolution numér. de Lagrange , n®* 38 , 39 et note III. 

Équations du second degré. 

588. L'équ. x!^ +px -f- ^ = o ayant a et ^ pour racines m- 
connues , cherchons la valeur z z=zC'^mb. m étant un nombre 
arbitraire. Gommer -f- 6^ — fy ces deux équ. feront connaître 
a tt, b j quand z sera obtenu. Mais on ne peut trouve.r cette 
valeur de a + mb , sans obtenir aussi celle de ^ -f- ma ; z ayant 
CCS deux racines , est donné par cette autre équ. du a* degré 

\z—{a + mb) ] X [2 — (6 + ma) ] = o. 

H est donc impossible de tirer parti de ce calcul , tant que m 
demeure quelconque. Mais si cette équ. en z est privée du 
a* terme, ce qui arrive quand m =1— i , on a 

z» = (û— 6)' = a*+ 6» — aaô=5, — ay ; 

et comme (p. i65) 5, =/>• — 2^ , on trouve 

z=:a — * = ±: \/ {p'—^q)y a + b^z-^p, 

d'où Ton tire enfin les deux racines a et ^. 

Équations du troisième degré. 

589. Les racines de xi^ + px H'?^^ étant afb^c, la 
quantité z = a -f* ^^ + ^c est susceptible de 6 valeurs 
(équ. a ci-après) , quand m et n sont quelconques : et comme 
on ne peut trouver Tune de ces valeurs, sans que le calcul donne 
en même temps les 5 autres , z doit être racine d'une cqu. du 



6* (legr^ : il est donc inutile d'eiperer qu'on Irouvera » aruit à. 
Cependant si l'on admet que m et n peuvent recevoir de tb> 
leurs telles . que cette équ. en x sait ^ ■+■ A^ + 5 ^ o , ré- 
soluble par te 2* degré (n° 5^5) , on en tire bientôt z , et en- 
suite X. Eu effet, posant s* =: u, on a 

u = — ^^±: V (!'*'-*)=«'■ ••■(■)■ 
Oésîgnsnt par x' et <* les deux r&dnes cubiques deu,etpar 
I, a, «* celles do l'unité (n' 569] , les ail valeurs de z doivent 
lésulterde tous les diangeineus de place entre a,6,c,dau8 le 
trinôme a '\- mh -f' ne ; posons 

i -^ a -\- mb + ne \ z" = a + n6 + me, , .(a), 
•z' ^ A + me -L no [ aV = b -^ ne -^ ma, 
aV ^ c -^ ma ■\- nb\ aï" = e + na + mfr. 
Chaque lettre passe ici d'un rang â celui qui est i gauche, et 
le I*' terme à la dernière place. 11 reste donc i déterminer les 
arbitraires m et n, de manière à ce que ces sU ^qa. soient 
réalisées. Multiplions az' par •* ; il vient , k cause de <':=: i , 
z'=.a.'b + ma.'c-\' nm'a=!a + ma + nc. 




/ 
/ 



QUÀTRI&HE DEGRÉ. ' I73 

târ une foit  H B coiinas en fonctioA «es èœffioiens fi et q^ 
Véqa. (1) domien 1#8 valeurs de ;i^, dont les rarînes cubiques 
M^ etif seront connues. Les équ. (3) doDneroot ensuite a^b^c^ 
comme nous le montrerons. 

Développons le cube de z' ?= a 4* «c + #*&» en mettent 
I pour if chaque fois qu'il se rencontre , 

On obtient z'^ en changeant ici & en c ; ajoutons ces deux ré-« 
sultats , il vient 

— A = ^ 5s — la^ +3 (•+«»') [û'*] = 553—12^, 

à cause de abc = — ^ ,5, = o , « + «* = — i , et de la formule 
(C,p. 167) qui donne[a'ô]=5,5a— 1S3 : et commets = — 3^ ; 
on a >^ = 277. 

D'un antre cètë, «'i'sx5, 4- (• •+• •*) [«*] = — 3^, 
à cause de ^ =— a/>, ([a^] =/>, a + «t»=^— i, 
le cube est jB = — 27/?^. 

Ainsi, " = — 27(i^=*= V^I?M^^J^ = 2'. 

Comme ici les facteurs de 27 sont les racines li et t' de Téqu. 
/' + ^f s=: (i/»)', on a z^ = 27/. 

Éliminant a^b^c^ entre les équ. (3) et 4 + ^ 4" ^= ^9 4^* 
provient de ce que la proposée n'a pas de 2^ terme , on a 

Za = 2!^z\ 3^ = «z' + «V, Scrrr-V+^z"; 

3 .*» 

et puisque z' = 3 v/ <' , z* = 3 V /' , on retrouve les valeurs du 

n» 578. 

Équations du quatrième degré. 

Sgo. Pour résoudre l'équ. x^ +px^ 4" ^-^ + ''= o, nous ne 
chercherons pas à former les valeurs de z = n -f* ^^ 4- ^^ 4* ^^j 
qui sont au nombre de 24 ; mais dez=a-t*^ + ^ {c-^ d) ^ 
qui n'en a que 6 : et même faisant m = — i , nous poserons 
z=: a -{• b — c — d^ dont les six valeurs sont égales deux à 
deux avec des signes contraires. La racine z sera donc ^donnée 



tj4 IL&ÈBÏBi 

far ute tfqù. du G* d«gi^ , telle que s^ ■!- ji^ +'/)^ -4- CaB«^ 
qm ■'« que àm pniBNaicea pûrei, en Mite qoe cet 6 Tilenft 
n'ont que troi* cÊTtét diffifraig. Poeuit ;^ := l , on retoaben 
lamne éqn. da 3* degréj qui donnem t, per mite *, et enfin jt. 

En déreloppwtt le carré on a, 
(a+b—e—d)' s ( a+é+c+rf)'— 4 (ae+ ad+bc+ 60). 
La i" partie est nulle, puîique le a* terme manque dans la 
proposée I ajoutant et ôfant 4 (ab^-cel) , on a 

(a + A_c-d)*=s=— 4[flA]+4(<iA + cd). 
Changeant b en c,puis en tf, comme [ab] =:p,on a 

(a + c - b-J)" =; — 4p + 4(ac + bd). 

(a + d — c - b)' == — ^p + ^(ad + bc); 
telles sont les valeurs de nos trois carrés z*. Il est clair que les 
calculs seront plus simples, si l'on prend pour inconnue .. . 
u ^ ^ 2' -f-/) , puisque les valeurs de u seront 

ab + cd, ac + ùd, ad ^ bc : 
formons l'équ. qai a ces trois racines. Comme on a 




ÉLIJI11IATI09. I7S 

Aeg^f piiULeiMnicine$db(z»e' els')> i^^Bt^cIra tirer 11^6,0, il 
des équ. 

Ajomtées a à a, ceséqu. donnent 

dont la somme a z=^ \ {Z'^ z + z") i par suite, on a ft^c et d. 
Or z,z' fz' étant prises en d: , on a 8 racines au lieu de 4«: et 
en effet, Téqu. en z dépendant de^^ et non de ^, notre calcul 
laisse le signe de q arbitraire. Le produit des trois dernières 
équ. est 

izz^^4^ + a*(b + c + d)+[abc] = — y, 

à cause de — a = 6 «f* c -f- ^* Le produit zt' z' a donc un signe 
contraire A ç^ d'où suivent ces deux systèmes, comme p. 161, 

^positif, j: = j («±:z'qiz'),ct J( — z±^±z^); 
q négatif, x = J (« ±:«':±:*'),ct \ (-zzipz'diO. 

Élimination. 

591. Soient Z=:o, ou ^x" 4-/>j:"*» -(- etc.+'w =0, 

r — o, ou /t'x" 4- />'jf"^* +... • + "'=©; 

deux équ. en x et y. Si la a* équ. est supposée résolue par rap-, 
port à jr, savoir, :r3sa,6,c. ... on pourra substituer ces va- 
leurs, qui sont en fonction de y dans Z = o; il en résultera 
autant d'équ. ^ = 0, ^"=0, C=:o.. . , en j^ seul. Si la T'est 
résolue, les valeurs^ = «,«', et' .. . étant mises dans x-=za, 
donneront les valeurs correspondantes xs/S,^',!^". . . ; de là 
les couples («,^),(« ,/SO. . . • , qui rendront Z eiT nuls. On 
en dira autant pour B= o et x=:6, C=o et x =c 

En posant le produit ^ X ^X C. . . = o, cette équ. aura 
pour racines toutes les valeurs de j* ainsi obtenues; ce sera 



donc Viquatien finaU en J , d^aRée de toute racine étrait' 
îjère. 11 s'agit de coinposer le produit ABC. . . 

H&is comme <x produit ne doit pas varier quand on change 
aen 6,eiic. . . , les coeSciens BOut foDCtious syméli'ii[ueii de 
ces lettres, qu'on suppose être racinea de rcqa, 
aolae par rapport à x. On sanra donc exprimer ces coefficii 
en S,, S,, Si. . tirés de T=o, c'est-à-dire, 
GoefKciens de T, qui sont en^. Dés lors lu produit ABC. 
se trouvant dégagé, d'abord de z, et ensuite de 
ne contiendra que l'inconnue j". 

Donc, mettcx successivement pour x dans Z = o , les lettres 
a,b,c... en nombre n égal au degré de x dans T; multipliez 
les polynômes résultana , les coefficiens du produit seront des 
foDctious syméiriqbcs de a,b,c...; tirei ensuite di 
les valeurs de S,, S, . . . eaj-, et exprimez vos fonctions 8ym<^ 
triques en S„S, ... : vous aurci IVqu. iinale demandée. 

Soient x^x — 3r-|-i=o, x'i,j- — 0-f--»^ — a = o, 
d'où (a'j-_3û+i) (Ay-3A+0 = o, 

«'6"^ +JS3 — 3flAj- 5. + 9ûi — 3S, + < =»- 
Hais on tire de la deuxième équation proposée - 

r—i ^ — « iJ—'Y jr—i 

enfin, on olilîent la même équation finale que p. 71- 

Ajoutant les e^posans qui , dans cliaque terme de Z , affec- 
tent X et j-, désignons par m la plus grande de ces tomme» 
m est ce qu'on nomme le difgré de l'éqii. Z := o; j- ne doit 
entrer qu'au premier degré au plus dans le coefficient 
a:*"' 1 au ■x' dans celui y de x^-' , elc. Soit n le di 
y:=o; prouvons que le degré de Pt'qu. finale ne ptut 
le produit ma des degrés des équ. propotéet 

On sait que la valeur de S, ne contient d'sutic cocftWicnt 
que ^'', celle de 5. contient 9', etc. .. S,,S,,St... ont donc 
leur degré eu^, exprimé par leurs indices respectifs. D'il 
eûté, an terme du prodnil ABC..., tel quej"' la'trty... 



I 



m<^ 

I 



r ne uoit 
ent Pi^^Ê 



t 

FRACTIONS GORTINDES. IJJ 

•on Aegré i -f • + /^ + y* • • * = ""* ^^ P^^^ » puy que chaque 
tenue de ji est au plus du degré m , et qu'il y a 91 facteurs 
A^ByC... 11 suit d'ailleurs des formules du n» 585 , qui ex- 
priment des fonctions invariables, ,ique' a^b c^,..\ sera en j* du 
degré «c-f j6-(-y... Donc, le terme sera lui-même du degré mn 
an plus t c. q. f. d. 

Voyez un Mémoire de M. Poisson , 11* Journal poljc-^ 
technique. 

V. PRACTIOW GONTIirUES.' 

Génération et Propriétés. 

Sga. Pour approcher d'une racine de réqu.yj: =r o, soit/ 
l'entier immédiatement moindre , et x' une nouvelle incon- 
nue^ ii d'oùx=E^4"*7 • substituant dans /x=so^ on a 
une transformée Fxf = o. Soit j^ l'entier au-dessous de x\ on 
fera x' = y + -y ; puis ar* = j^ -J — ^. .. x", j:" étant >i; 

on obtiendra ainsi les équ. {jf) et, par substitution, la va* 
leur de x sous la forme {B) qu'on appelle une fraction con-^ 
tinue. 



«'«y + ^ (4) 
«•=r*4--^ etc. 






Les entiers j*, jr', j*", ^*, . . . sont les termes de la fraction 
continue, que , pour abréger, nous écrirons ainsi : 

x=r.y yf^fyJ'^ 

L'évaluation de x en fraction ordinaire se fait par le procédé 
suivant. Soit , par exemple , 

T H. 11 



1^8 iLGtUR. 

frenaiil d'abord la portion icnuinale 3 4- î i je la rédaU à J : 

l'unilé divisée pu J donne | et x deTÎent 



lie iiu'inc 3+ J= ^;puis nu i i ^ ■= y;, 011 = 3+ ' ^JL ' 

qui revient à2+ (; T7=' + iîi enfin ar= ^. La marclie 
ilu calcul revient visiblement à celle de la p. $7 , t. I. Dans les 
ex. snivans, la i" lifpKCOOtientle* termes de la Traction con- 
tinue, et l'opération se fait naâ t Multiplier chaque terme 
par le nombre intcrit au-detsoat , et ajouter celui qui est à la 
droite de ce dernier; placet la somme au rang à gaucke. 
x= a, ., 3, >, 4 II x= 3, », ., 1,3. >, 4 
III, 40, 3i, 9, 4, I II 61;, 189, ;i, 4a, 3i, 9, 4, 1 

On a doncf ^ ^/ d'une part, etx = 'fj^ de l'autre. 

Lorsque la fraction continu va à l'infini , on l'arrête i l'un 




FRAGTIOVS GOHTIKUKS. I79 

OU Toit que %- k^^jL, ^ * ^^^ •^^^ 7 » remplaçons ici y' 
par y + J5» «^ ^^J> /> r'' deviendra x= j^, f, jr% y. 
Or leDam^tear c devient 

• 
le dénominateur «/devient « ■ ; d*où y = /j , ■» , 

Et conii^rant ces vaknis de -7 > ^ > on voit qae le numéro^ 

ieur àtune convergente se déduit des deux précédens multipliés 
respectivement par 1 et par F entier terminal, puis prenant la 
sofhme des produits : le dénominateur suit la même loi. Cette 
loi appartient d'ailleurs à toutes les convergentes(C), puisqu'elle 
résulte d'un calcul semblable , aux accens près, pour chacune 
en particulier. Donc 

p = 7t^4-m« p'=xiiV+»»' iP) 

p ny + m 

11 suffit donc de former les deux i'*' convergentes, pour en 
déduire consécutivement toutes les autres, par ex. 

x=;2,-i,3, 2, 4, donne ^f,^,i^,i^/, 

fractions tour-à«tour <^ et ^x dont ~ est la valeur exacte. 
Ce procédé offre un second moyen d'obtenir cette valeur. 

593. En éliminant j^' entre les équ. (D), il vient 

pn — p'n = — {tint' — ri m) 

c.-à-d. que la différence des produits en croix des termes de 
deux convergentes consécutives, est constamment la même en 

12.. 



- 



^^I^^^^^B^B 


l80 ALCëBRE. 




d 


signe» eonirairvt : et cotnme |)our 


les deux 


■■"PI 


^ -■?:L+1, crue dijfii-emf: eu i , 


on en conclut que ^H 






J 


on prend + quand y et 'A sont de 


ranGS pair» 


■F>'M 


— quand les rangs sont impairs (*). Donc 


m 


i", Comme tout diviseur de p et /. 


>' devrait aussi diviser i , ^ 


ji et p' sont premiers entre eux; il en 


est de inèti 


lie de/jeln, 


de/>' et n'. /-cj convergentes lonl irrédifciililei ; 




2". Si dans réqu. (E). on remplace 


ij' par la valeur totale x 


de la fraciioD conliaue . prise depuis 1 


!c lermcy j 


usqn'^ la Gn, 


• =y,y*'.y*',--." w«irqu 


'au lieu d•a^ 


!oir une ton- 


vergcnte, on aura la valeur exacte de 


r X, savoir : 




x-"'+'" 


(C). 


J 


~ nc + m'"' 




^M 


3°. Retranchons — ;el-; dez, pour obtenir Ui 


lerrSwTîS^ 




icce&ii>e«soM 


^ 


»_.__! c b _ 1 


P " 


'p^'-H 


è' i'^o'g'' ? i'"~ jv ■■ 


■■■ ?-'-.■" 


"' ■ 


la somme de loalc* eaa éijn. •« niduit k 






J=l'+??-r?-'-;^ 


*?h- 


H 






....^ 






.......^H 


*»J>ta«< *« ina^^toj^«^^ 


1 


■ 



FfiACTiaN» CONTINUES. l6l 

i^ de diacuoe de ces eontergeotes i 

Les signes sont contraires, parce que a: est compris entre les 
deux convergentes. Cette a* difier. est moindre que la i'% puis- 
que m'< n' et s^ 1 , 2 contenant la partie entière et positive 

jr* ; ainsi x est plus près de -7 que de --> : Us convergentes (fi) 

sont déplus en plus approchées de x » altenuuivemeni par dé^ 
faut et par excès , d*Ott résulte leur dénominaUon } 

4^. Lorsqu'on limite la fraction continue pour en tirer deux 
coBTergcntes consécutives — , -7, les erreurs /^, t ont les va- 
leurs (Hy, et comme x ^ 1 ^ si Ton pose x as i dant la a% on 
augmente la fraction^ d'où 

n ^ n (/i + 'w ) 

V erreur de toute convergente -^f ^ est moindre que V unité di^ 

n 

visée par le produit de son dénominateur n' multiplié par la 
somme n' + m' de ce dénominateur et de celui de la fraction 
précédente. Dans Tex. cité , on a les fractions ~ et ^; celle-ci 
n'est pas fautive de ^j-y , 117 étant = 9(9+4)* 

Souvent aussi on néglige le terme m'y ce qui accroît en- 
core la fraction {K) , et on a J" <^ -7^; ^^^^ convergente est 

approchée de x à moins de i divisé par le carré de son déno» 
minateur : '^ n'est pas en erreur de ^. 

594. Soient T7» -pj 2;desfcactionscroissantesquelconque8^ 

la différ. entre les extrêmes surpasse celle de chacune avec Tin- 
t£rmédiaire. Supposons en outre que h^ h\ l, V soient tels qu'on 



l83 

ail/A' — fA= I 



= w>- 



h h' 



■ et>-: 

[isitifs, I 



k'V 



Ces mimera [eu ts étant entiers et positifs, sont au inoinif 

rempUçoDS-les par i ; il rient l'h' < h'k' et < k' /'; < 

k"^[ et /]', en supprimant les lacteurs communs. 

grand des trois dénominateurs. De luême , 

trois fractions, on voit que i > A et /. Ainsi la fraction îi 

tnediaire est pins compliquce que les deux extrêmes. 



Or z est entre - 



;; pour que la fraction rr fût plut v 



sine de x que ces convergentes, il faudrait qu'elle tombâten- 
tre elles , el par conséquent fût plus composée. Donc chaque 
convergcnle ajjproche de x plus que toute autre fraction con- 
çue en termeiplua timplct. 



A l'aide de 



, composons les deux fraction» 



t désigne 

la convergente suivante; d'où 

m" m' +«"»!'+ an' 



+ (1-1)"" ^ m+ln" 
,3. . . jusqu'à^ quiest l'entier contenu djua i 



m'+yn'-y-- 



(£). 



1 

aaoa y 

4 



Or p — t: = -jT/r I quel que soit l'entier I : donc les fractious 

,£) sont irréductibles [i"); elles approchent de x plus que 
toute autre nioîus compoicc ; leurs dlITér. cotisëcaiives ayant 
même sigae, ces fractions ccoisseut de la i" iV la dernière, ei 
• toutes sont <; a: , si les e:itrémcs aouC de taiigs impairr, (huis 
lu cas contraire, elles descendent vers x, eufin l'erreur J'ili 



> d'elles 



, est ■: 



rrj , puisque » est entre 1 



ÉQUATIONS DÉTERHIHAeS DU PREMIER DEGRÉ. l83 

Od peol donc insérer entre nos convergentes principalei (C), 
j^' «- 1 fr&ctions qai jouissent des mêmes propriétés qu'elles. 
Ces convergenJLes intermédiaires se partagent en deux séries; 
les unes, insérées entre les rangs impairs, montent vers x, et 
les autres sont ascendantes vers x : on les forme en ajoutant 

terme â terme j^ fois successives , les: convergentes -— ,ct — 7. 

Dans notre ex. on a. ...... a: = a,. 1, 3, a, 4 ' 

convergentes principales -', |, -ïjî-, î^, ij^. 

Prenant 7 et ^, on en déduit f , | et ~, celle-ci est la 3* con- 
vergente principale, et on a fait 3 additions, à cause du terme 
3. Partant de ^ et^, je trouve 4^, |^, ff , 4^ : les fractions 
dé rangs pairs se tnitent de même (cette série nç se limite pas), 
et on a 

Vi/> a> 3> \ A^> 13' »a» 3*> ^ •* ^ l^fô^ 

Observons qu'on peut commencer la série des convergentes 
principales (C) par | et Ô9 qui remplissent toutes les mêmes 
conditions qu'elles. 

Équations déterminées du premier degré. 

5g5. Pour réduire en fraction continue la valeur de x dans 
Féqu. Ax = By il faut, selon ce qu'on a dit a» 692, extraire 

Ji H 1 

rentier j^ contenu dans j:=:—=j"4-—=^H — ?> ^ étant le 

reste de la division de B par A : 

, A , B! R 9 t ^" f 

pais x=:^=jr+—, *=^, = ^ '^W ^ =^^- 

ao«ç '=^+p+i_^^^ =j.y.r.j^ etc. 

^ y" elc. 
Cette opération donne pour termes de'hi iVaciion continue, les 
qtt o tî^ a - sttccoitfi fa du calcul du comuiuii diviseur entre A et 
t^^tfùMA fraction est toujouis unie. 



l84 ALCËBHB. 

Paiex-, pour Véqn. a645 T=975a; ooa 

3.5, |îui)!i!i|ui|!5i|^, . = Ht = 3,., .,'5,,. 

On en tire les convergentes prmcipdn cl interuédiûiei fax les 

calculs (£) et {L), savoir : 

R). T, h «). f, (i^). H. tI. Ht-- <* = 4H 

B. (S. 4. V. K, f». (fs, ;;;, m-- >» 

It fraction -nr e«t plus approchée de x que toute autre plua 
Binfple; elle l'est à moins de •^. 
Cn trouve de mime pour ar^fff =s5,a,3,a,7, 

(-'), ^. H. (M), ^. Hi"-<'. a).H» cH)>?îi-->* 

on sait donc résoudre celte question i Étant donnée une frac- 
tion, en iroui/er d'auirct plus simplet, "et gui en approchent 
plus que toute fraction mcins composée qUeUe». 

596. Voici quelques applications de cette doctrine. 

I. Onalrouvëir^3, 1415936. . . pour Icro^/wit defncir- 
conJSrence au diamètre; ia fraction continue équivalente à la 
partie décimale donne 

■■:= 3, 7, 15,1,392,1 ,t,i,3,i,3,i,i4-' -{.Vox- Complttat- 
gibre de M. LacFoix, p. a88,C* édit.) : ou en tire l«t con ver- 




£qd. d^.term. du phehikr deghé. i65 

I partie corrigée dan» le calendrier grégorieD , qui supprime 

(troii bmeatiles wcalaircs sur quatre, c.-A-d., o'iuterrale que 
7 jonn eu joo ans. Pour apprécier ce système , Iraitoas par 

E-voini UxiQrie la fraction ï^àôà'o 'ïï > qui se développe en 

»=.,4>,,i,3,. ,.,»,...;, ^, Ji, ^.,'^. ^.... 

L Prenons, pares-, la fraetjon^, c.-à-d. supposons l'année so- 
laire de 365 ^ jours : il faudrait pour que l'année civile s'ac- 
rordAt avec cette dar<!c, intercaler 8 jours en 33 ans; on ferait 
riisque 4* auoee de 366 jours, en ne faisant reveuîr la 8* bîs- 
•estile qu'au bout de cinq ans; puis on recommencerait une 
période semblable de 33 ans. Telle dlaïi le système des an- 
^^eicii» Perses. 

^^B On remarquera que les fractions ^ et |^ ne se trouvent pas 
^^harmi lus convergentes soit priocipaled, soit intermédiaires, 
^^bt que l'on aurait pu adopter un mode d 'intercalât! on plus ap- 
^^hrocbé que celles qu'on suit dans tes calendriers Julien et Gré- 
^^^■orien. Mais cc;t inconvénient est sans importance réelle (f^oy, 
^^0inn Vranographie). 

' III. L« mois lunaire synodiqite est de 39^,5305889; le mois 

solaire de 3o',43685i5; le rnpportz de cei< nombres étant con- 
^^«rti en fraction continue, on en tire les convergentes 

^^^B l'oa refjarde , par ex. j ~\ comme valeur de z, ce sera sup- 

^^KM<:r que 335 mois lunaires s'écoulent en 338, ou 19 fois 

^^Ha inoUsobires; Is ilifTerenceest 9; ainsi en 19 ans, il faudrait 

^muierciler 7moi» lunaires de plus, pour que le soleil et la lune se 

nlrmircnt dans tes mêmes positions relatives. Cela posé, qu'on 

(urme 19 tables indiquant les pbases de la lune ^ leurs dates, 

•t cea tables en annonceront les retours pendant toutes les pé- 

19 auuéea, en prenant ces tables dans leur ordre de 

n. C'est ce que Méilioa atait appris aux Grecs, dont 

idrier était luni-solaire, et qui avaient nommé cycle 

vc«tle période, et nombre d or le numéro qui désignait 

19 calendriers qui s'appliquait i vbaque année. 




lésignait ^Hj 

J 



[ 



ÊquMions iruleterminées du premier i/egre. 



597. Nous Hayons (11* 1 18 ) qu'il 9ulïil de connaître une s 
lulion jr^*, ^=.S, en nonibrescntiersde l'éna. ax+/ij-= 
pour en conclure toute autre; les valeurs de. c et de^ l'ormenj 
(Jcïetiui-diflercncusdantla raison est A pourx, el— d pourj-]^ 
* = « + i(, _j-^;3 — ai. La ibeuric des iraclions coutinucsf 
tluuue un moyen très simple de trouver les nombres a 

Resolvonsen convergçntcs^, et soit^ raTant-deralèn^ , 

celle qui précède la proposée ; on a tu ( /7, a* 693 ) que 

ap' ~-bp^=:±Z I, à'aiiap'c — ùpe^:lzc, 

le signe est-f- ou —selon que la frac tiou continue, prise en toK^^I 
litii, tii formée iun nombre pair ou impair de lermet. Conki^ 
parant avec (u: -^ bj^c, on voit que celle<ci estsatiafaiteej 
jiosant 0,-=. p'c, S=^ — pc, dans li; cas où les deux membres ont 
méiuc signe, et • = — p'c, /3=/(cdaDale cas contraire. 

Rien n'est donc plus facile que d'obtenir une Bolnttou ca 
nombres entiers de I equ. ax+by^c i On rétout en continue 

la fraction r; on forme ta convergente L quien résulte quaad 

on néglige le dernier terme } on retranche ces deux fractions , et 
oit a ap'-^ph r= :^ i j on multiplie par e, et an compare tem9 ' 
à terme avec as -f- by ^ c. 

Soit par ex. l'équ. io5r— 43^=1^; io5 [.4\|..', !) .I_M jjj 
la méthode du commun diviseur douue „ I g | ! 7 [ 

Cette dernière fraction s'obtient en supprimant !e terme 4, eti 
raideduprocedée»posép.37,T.I. De iï\ ôtauli^, on trooJ 
'"■9~45-2>— — « ( la fraction continue oyant 5 icrmesl 
1 doit prendre le ligue — ; d'ailleurs les pioduils des chilW 
de» Unité», prouvent que Udilier.«tiiô(}*live). OamnlUpI^ 



tliV. tUDÈTKfU. DU PHKMIëR DEGRÉ. 1 87 

[ cette ^u. par — 1 7 , et comi>araiit i U proposée, on tiouTC 
-9-'7tr="'7. ^"o" 

«■=— i53 + 0i, ^= — 374 + 105:. 
Do même pour l'equ. 4'4^ + ti5_^ = 539, on a 
j ^ 3, 1 ,2,5,7 1 supprimant 7 , il vicul ri: rctrancbantces 
Fraclions, on trouve 4^4' '^ — ti5 5çf~ — 1 ; multipliant par 
— 539 cl comparant & la proposée, il vient x=: — 16.5391 
j- =59.5391 donc i=—86a4+ 'i5(, .r=3i8oi — 4î4(.6u 
■itnpiirie ces équ. en obscrvan t que 4^4 est conienu ^5 foi^ dans 
3i8oi; OD cbange t et ( + 75, et on trouve 

1= I + ti5t, ^=r— 4a4'- 
LV(|U. 19* + •}X= t'7 tiotinc-y =;a,i ,a,a;-! =a,i,a; 
reUauElianI, 19. 3 — 8.7 = i ; multipliant par 1 17, on a 

^X=35l - 3/,J-=— 936 + igf, ou x=i— 7(,j'=:i4+ 19/. 
Oa peat s'exercer sur les ex. cités p. 1 78 du l. I". 
Le problètne de cbronolo^ie qui consiste ik trouver l'anoée x 
dontleçfc/cre/o/reeat c, et ienomireif'oHn, revieutàcbercher 
l'entier X qui divisé par 38 et 19, donne pour restes c — 9 et 
R^i. Le procède du a' tat donne pour cette année 
jr=56Cc— ri) + c + 75 + 532.1. 
t •£*«•! tons les 532 ans que les mêmes nombres c et n reviennent 
* ^riodiqueineiit ensemble : cetie durée est ce qu'on appelle U 
période djroni.ùenne {Voj. VVranographie), 

fit si Von veut que ranni<ejr ait en outre 1 pour indiction, 
t-à-d. que X divisé par 1 5 donne le reste 1 — 3, on a la période 
julienne de 7980 ans. imaginée pnrScaligcr. On trouve 
jr=4845c + 4aoon— 10641 + 3367 -f 798o(. 



Équations déterminées du second degré. 



' SgS. Rétolvous un fractions continues les raciaci de l'équ 
yV.r' — a*i=*, 



|$8 ILGÈBRK. 

A, mtAi soDteBtiert, ^ cU pontif; on luppow U racioe irra- 
tionnelleetposiliTeicartîxestnégilif, il suffit de changer* 
en— « pour donner & cette racine le signet. Quand le coefficient 
du 3* terme n'est pu un Dombre pair, oa doit multiplier toute 
l'rfqa. par a. On « 



. W, 



( est supposé pontiC et non carr^. Prenons d'abord \/t avec 
le signe +i «t désignons parole plus grand entier contenu 
âaiu;r, d'où 

, I t/(4-« - A 

Soit ftit > = ^ — «... (3); 

Multiplions baut et bas la yaleur de x' par v^f -H jS , noui ati- 



i—ie^ 

t — ^= A [k — Aj-' + saj"), en sorte ({ue .^est factenrcom' 
inun ; posant 

k~Aj*+imx = B... (4). 




ÉQU. DÉTBRM. DU SfiCOlTO DEGRÉ. 1^9 

les qmoiieDS eoticraj^, j^, j^,. . . et le» restes r, r', r*,.., donc 

m+yts Cy+ t^j etc. 

Or les éqa. (c) donnent jfyzsm+fi, Bj/xx^ + y, etc. Done> 
eu sabstîtaant , 

^=m — r^,ctc. j 

Il faut en outre connaître les diviseurs B^ Cf.. Les ëqu; (a) 
donnent 

donc , à cause de (^ . • . iff = * + ^ (r + • — m) ; 
de même Z?C= i8*— >.' + >^^ = i?y (i8— .y) +>/^, 

Dxr^+J^(/^— /^), etc. 
Le tableau suivant offre un algorithme pour les opérations : 













DITIDE2IDB8. 


DITISBCAB. 


QOOTlKNt. 


BESTBS. 


Dipptfa. 




k 




R = m-it 




m + « 


A 


J 


r 


r — il 


2m — r 


B=zk ^j^ (r-JR) 


y 


r' 


/ — r 


tim — r' 


C = A 4- y (r'-r) 


r" 


r* 


r*— / 


am — 1^ 


D = B + J'* ('••— '^) 


y 


f^ 


H' — r* 


om — r*' 


JS = C -+- r^ ('^-rO 


yt^ 


r«v 


r»^ — r* 


etc. 


etc. 

• 

■ 


etc. 


etc. 


etc. 













Ainsi , après avoir forme' R = m — «, le quotient j* et le reste r 
(le la division — -j — , on prendra les difféc. r— fî, am — r, 

etl'on calculera -5; la fraction — — — donnera j*' et /; puis on 



igO ALCàBBB. 

fonnenr' — i*,et un — i' et C, et UfraclîoD- 
y et f', ««c 

Lonqn'on Mn coudait à retrouver l'âne des fractions coin- 
plètes précédentes , comme on en tire le qootieDt et le reste 
déji trouvés , puis la même fraction subséquente, etc. j il ai 
clair que la fraction continue eat périodique. 

^it par es-, l'équ. gx* — Z^-\-^\=:0; on doublera pour 
que le s' terme ait un coefficient pair : ilTient^=:i8, «^39, 
= V^45 , 



As— 83, et X 



'. L'entier de ^^S estm =6, d'où 



m — a-=Rsss — îi. On ne doit p» supprimer le facteur 3 
qui est commun aux deui terme* de U fraction . Prenons le ra- 
dial en + ) et nous aurons 

k =-8a, «=«-■=— 33 

■ = g dur. 43 




iqV. DÉTEBM. DU SECOND DEGRÉ. igi 

Dans le i*" de nos ex. ces fractions sont -2 — llz_— 2+, 
t/45-3^^^ V45j:5^,^^ l^^Ëdti^sV. etc. 

i 10 ^ 

600. Quant à la racine qui répond au signe — du radical , 

l/l— « 
lorsqu'elle est négative, on l'écrit x = — -ï-— -^ — , et on traite 

cette fraction comme il a été dit , et si cette racine est positive, 
on a x = *'*^^ =!;-}--;, v étant l'entier contenu, ou le 1" 
terme de la fraction condnue ; on en tire 

attendu que A est encore facteur conunun haut et bas, ce qu'il 

est aisé de voîi^ comme précédemment. \// a ici le signe +} et 

on retombe 9ur le cas déjà traité. 

3q — 1/45 I 

Ainsi dans notre i" e». *=-2 — g^Ll- = 14-—, , 

x' := — *^^ j or cette fraction est la plus grande racine 
del'équ. sax''— 4^x'+iS = <>9 qui donne ce =s 21, m:a6 

k = — 18 m— «»lt=:— 15 , diff. ao 

- =3 7 , B s: a , t , y =3 , 1^=1 , o 

=11 , C = 10 , H*» ^=« » '^^^ » o 

am-i^mi , D = 2 , ^ » ^=5 , r^=i , o 
su , £ =: 10 y (i^, firtetion déjà trourée. 



donc la 2* racine est x = i , i ,3 [1 ,5]. 

Une fois que les deux racines sont réduites en fractions, on 
peut former les convergentes qui en sont des valeurs approchées 
% des degrés connus. Tout ce qu'on a dit p. 1.79 s'applique ici. 

601 . Soit pris une fraction complète quelconque z= ^^-^^t 



/ 



priment , il vient - 



IQS ILCEBRB. 

doBt^wt l'entier approchif ; la toavttgeate com^ndwite 
^^jr,y,. , , j^, — , -) lei deux ranTeifenlea précédentet t 

oniaitCp. i8o)quex = j^^^^. 
Substituant ponr s et :r lea fraction! complètes qni les ck- 

même dénominateur, et égalons séparément entre eux lui 
termes irrationnels, 

wn'^ An — an' — Pm', ^An — mît') = P*m' — APm + tii ; 
éliminant w, il vient , k cause de mn — lai^ ^ d: i , 

(^n— OB')' =s±PA + n''t 

,„ ■ ^ç)--,-(i)-*=±^. (/,. 

Ce calcul revient à éliminer m et m' entre les trois équ. ci- 
dessus, en sorle que téqu. ( î) exprime que la Jraelian —, , 
,t + ou-«lo„ 




BQU. UéTERM. OU SECOSD DEGRÉ. 



I9S 



tijjjtelonqueks converge» tesde rangs impain corretpandantet 
ivnt entre Zr.t deux racines plus petites yu'cUet. 

Cfft (léDominalcurs ue sont dooc nËgatils <{ue dans les rangs 
pain , et uncore faul-il <]iie les deux racinea de x soient asBoi 
rapprochées l'une de l'autre pour tomber ensemble entre les 
deux convergentes successives correspondantes: alors les ter- 
me* inilianx i)es deux fractions continues sont les mcmes. Mais 
rapproiimalion devenant de plus en plus serrée, on arrive 
bîeol&t k une convergente de rang pair qui tombe entre les 
ractoes ; dis-lors , nn ne peut plus trouver de dénominateurs 
ncrailifs justju'i l'infiDi, Comme chaque fraction eompleie 
est"^ 1, si le dénomiiMleur /*est négatif, le numérateur doit 
^^UHi l'clre : donc « est négatif et ]> \/t, en sorte cjue cette 



I 



(uplcie a la form< 






602. Soient 



W+/ 



E " 



'+t 



, des fractions 



|irises paruii celles qui n'oitl pas de dénominateurs ne'gaiifs. 
ce <]ui'a lieu dès la 1" de toutes , quand les deux racines de x 
n'ont pas leur partie; entière commune. Les équ. (o) donnent 
; donc D, E, 1' sont < t ; 



^V D, E, F, <(; 

Supposons s'il se peut , que l'on ait 
^Ù^* = < — ^, d'apris les équ. (a), etc.; la 1" doi 
£i5-=(V/i+») (V't-9) 






• <»/'■ 

5,d'où £/?=/—»•. 



«•, ^"' <;i, d'où £<v'(, et notre complète < 1, ce 
t «M impossible. Donc, l^nt qu'on aura des dénominateurs 
tifs , les parties «, ^, - ■ peuvenl bien être négatives aussi ; 
au-deB , elles auront toutes le signe-^, et dès-lors 
—i-i-p donne ^<.-(-(p, ou£;<a^'(! tes di»omina~ 
ne peuvent doncatieindnr le doublr de ^/t. 



I 



Bt {MHcqnc eu consuntc» ■, ç,.. . D, £,... aùnt lontn 
positi*M, entières i-t un nombre inûoi. qu'elles dr pciivem 
deptaMc leo limites assignées, on dcvrs (dt uu lard n 
quHqoe fractio» complète déjA obtenue, et par suJtr^. I 
plMe» iubsequenies , avec les mêmes entiers eonlenm : 1» teetf 
me< de la fraction continiK reviendront dans le tnéin 
))(WK après un certain nombre de termes initiaux, la fivctt 
continue sera jiérioàique , ce qu'on a déjà rcmarqut^ dans II 
t%. tités. 

Observeique si la période est [a,b,c. . -^,A] , on peut t 
donner la fonne a [A,c. . .g-,A,a}, a,&[c. . .g,A,a,6] , 
en romtocDçant par tel terme qu'on veut, pourvu qu'on ^ 
jette & la fin de la période les termes initiaux retranebél. 1 
période se trouve , il est vrai , composée des mêmea l4 
tuais ces termes observent une disposition différente. 

Suivons les détails de ces calculs sur l'équation, 
S^r*^— 3i9*+43'^o . qu'on doublera pour que' 
cient soit un nombre pair. On obtient les résultats sucoessif^^ i 

TTS -'■^' -^358"-' "*■' ^^-^-^^l^J 



't/45+5 



V^5+5_ 



•l/45 + 5_ 



5 + , eiik. I 



Donc X :=i, \ 
_ 3i9— 1/4$ 



3, I , 3 [5, t]. Pour l'autre r 

= ,+,v:ii=î5=,+. 



1/45 H 



1/45+15 



1/45 H 



1/45+5 



>ntetrouterutieilei fractions complilei de la i**rBci 
r=2, I, 1, 1,4 [1.5) 
Vtqu. 1801 x* — 3991 X + 331 1 s= o , donne 



àQfO» DÉTCKII. DU SUXm» DBGRi. igS 

dmc jrss 1,99 9[i » i > 5]. f/sutre rtciae s'oblieiil de même; 
clke8tx&aiij»9, a, a[5^ r, i]. 

6o3. Supposons que la période commence au x*' terme 
j: = [a,*,c,€r] ce qui revient à jr= a^b,'c^ d,x^ d^oùTôn 
tire I éo transposant 

= -/* + ! :, 






a+i) 



C-|.<= 



+.+i) 



ft+ 






'*3+i>»+ ■ 



^/e + :i 



— X 



C*»+î). 






— X 



I t 



a — X 



En substituant continudlement pour — x cette même valeur 
dans â — jr , on trouve enfin «-x:^OyJ,c, 6, â><f, c... 
=so [<f^ c, ft^â]. Ainsi} lorsque la période de Vune des ra^ 
ci'nes commence éh$ le i*' terme. Vautre racine est comprise 
entre oet — i , ei ta période est Jormée des mêmes termes 
écrits en ordre rétrograde. 

Réciproquement , si Vune des racines dex esl^ i , ei que 
Vautre soit entre o et — i , ces racines ont les formes 

x^=2[a,b,c.,.g,K], — X := o [h ^ g . . .c , b, ay 
effet, X =:y 4- - , ^ avec x' > i ; d'où x- = ; Tune 

X X — — J^ 

des racines de x est supposée entre o et -— i ; donc les deux 
valeurs de x' sont dans les mêmes conditions que celles de x^ 
savoir l'une ^ i , l'autre entre o et — i . Il en laut dire au- 
tant lie x', *",.,. dans x' =^ + -y , etc. 

X 

Or, s'il se pouvait qu'on eût x =.^ [«, ô. . . g j h"] , le 



En 




l(fi rB&CTIONS CONTIFUES. 

i" terme y étant teul étranger k la période , on aanol 

X' ssa[a, b. . . ^> A], et par conséquent aiuil.. .'. 

— y:=o[A, g..- A,o], en verta de ce qu'on a démoutré: 

â'oit —, = — ( * + ~ , t_ ) ■ ••'"' 1* ^* ''■l«ir de * lenît 

'=-^+?=-^-'-G+«c.> 

Pour qtie cette qi'intité fût entre oet- 
pose , il budnf *({u'od eût jr^h, et I 
h, a, b... k jen sorte que h ferait 



li qu'on lesup- 
, et la i" racine de x serait 
i que h ferait |Artie de la période, 
contre l'hyp/'iè5e,ar^ [A, a, b... g\. On voit que la pé- 
riode de X i peut commencer au a' terme de la fraction 

continue. F la même raiBOa, on ne peut supposer 

x'=y{a, b. . h],d!tA.x=j.y \a,b.. .],enfïisantGoni- 
niencer la périqi^ au 3* terme; et ainsi de suite. 



Par ex. l'éqa. toz* 

racinei sont j; .-= [ i , i , 



i4x'^5 , donne x^ - 
1,-ï, 3], — x==o[3,a, I, 
3, no trouve .T" = i^^ — -3, 




RQL. DitTKnH. 



XidD DtGRL. 



'07 



6o5. Supposous que U propoMfc H>it *•— mx = >; fai- 
snni A^t dans Ici foritiulr:) p- 188 , U Tieiil ;r n^ ■ ±: ^t. Si 
l'entier m conleitn (tnns V'' se trouve être précisément ^ • , 
l'une des racines est ^ ■ > et la 3* entre o et — 1 ; ainsi ce* 
lacineaout la forme j;=: [ani,a,A... p,A],— ar=ro[A,y.,.(i,am], 
Ketntncltons m dex, et nous aurons pour les deux valeurs 
de ± l/( , 

X/.= m[u.b...g.h.:,m:i,-y/,=-m[h,g...à,a,iim] 
Mais on sait que ces deux expressions doi' -A être ifgales en 
aignei contraires, d'où a ^ A, b:=g... .ens > que la forme 
écla fractiou eontinoe est v'( = ni[o,ft. . . A, _ m]. Donc 
1". Ln période de v'ï commence ou 2* terini ' 
a'. Le dernier terme de celte période est doi*' e de l'initial 
M(|ui ii'-n fait pas partie; 
^■,5*. Au dernier terme près 311, la périod." est symctriqug , 
^B^d. quVtle est U métne quand ou la lit en f ■^te ré(ro(;rad<f. 
^Pbu Uonn |/6f =7 [i,4t3,i>3,3,i,3,4,t^i4]. 

I.c terme du milieu 1 de ^61 ic lépèce, circousiance qulu'ar- 
n*e |>at i ^^19; cela vient de ce que le nombre de» termes dt: 

K période est impair dans un cas , et pair dtius l'autre. 
la lablc I ci-après donne les périodes des racine* cariées 
a woinlites entiers «^79 : on n'y a souvent indiquii que h 
moilîé de la période, en marquant le terme moyen de" quand 
il M rep^iL-, et de' quand on ne doit l'écrire qu'une seule fois. 
On a quelquefois supprimé l'entier initial m cooleuu dans ^1. 

Pour trouver par approximation la valeur de ~ , on 

mettra pour ^t, l'une des convergentes qu'on tire de inu dc- 
rrioppetneut en fraction continue, telle que la donne notre 
table I , ou qu'on l'obtient directement , en observant que la 
foiute sjmétriqucdeccttcperiodc permet de n'en calculer que 
la Dioitic d«i termes {voj. l'Al^joritlime, p. 1S9). 

liun pcm 1 es. uv la p. 190 , X =: -^ - p , cunimt , . . 



I 



1/45 = 6 [i, a, a, a, 1,12], 011 trouve V45=>4i^> 
exacte juaqn'à U 10' dèciaialet d'oo i = ^ ± ~ t/4^ ^ 
3,i66ti6. . ±0,373677996x5. .. Enfin 

x'^ 2,53934466391) et xc= t , 7939686704 ■■ 
606. Nous aurons besoin plus tard de coutiallre dans le di^ 
veloppeUetit de ^t, les fractions complètes dont tt! de'nora 



ert un , MToir s = 



minier, est m-j-r, savoir 



etP = i 



intier cuituuu du 



= ('" + ')+-; 



d'où 2' = - 



- := — ~. Or cette fiaciion est pré- 

^/t ^ m t — m* *^ 

cisément celle qui donne l'entier u initial de la période, et par 

suite ses autres termes : d'où l'on voit qu'il ne peut y avoir , 

dans le développement de V'i, d'autre fraction compUk doot 



le dénoiu. soil un, que ta 



C = — ^n -f; , cl c 



=: am -\- , qai produit le dernier terme 3m de la pé- 
riode à diacun de ses retours. Comme ■- doit être ~ y'l,K:=m 
est la plus grande valeur que cette constante puisse prendre ; 
2Fne*t aussi le plus grand terme de )a fraction, et ne peut M- 
lulter que d'un dénominateur P:z. t. 

Il est maintenant facile de déduire l'une des racines de la 
proposée de l'autre, qu'un suppose connue. Car soit donné 
x=p,q, .. .M[a,6, . . -f,g,lt]; f^iisoRs s^=: [o ,b ^ . . .J ,g ,H\: 
on a en outre — i =^ o [Ji,g^, • .A, a] ; en substituant pour 
c l'une ou l'autre de ces valeurs dans x-:=p,<j. . .UtS, on ob- 
tient les deux racines de x. Mais comme la a* fraction conti- 
nue est composée d'un terme o , et de parties négatives, on 
l'en délivre eu se servant des relations suivantes, qu'il es* aisé 
da vérifier : 



w . 



(/Il 



^^ 7 etc. y' 

on cliafse ensoile les tigoas -- ,. en laÎMAt f =; ^ 4. ^ 

/ «te. , 

dânsTéquation (/). 

I 

— - = [a, a, 3] ; on a pour la a* nâoe 



*=«+t_ 



'* 3 etc.) 






faisant dauf(/),fi 35 S '^» - il vient 



x=^i + 



5 + 



+ 7+1 . 

^ + 2 eu. 



i,3,i,i[8,4,2] ' 



La période est ici la même que jponr la 1'* racine; m l'on 
veut la mettre sous forme rétrograde {v, p, 194 ) , on écrira 
jr=i,3«i|i,3 [a,«,3]. 

Prenons «ncore jr = 1,7 [[1 , i, i, 3,3, 2] as i, 7,2, en fai- 
sant 2=Xi,i,i,3,3,2], et par suite — a=:o [2y3y3,i,i,i ] : 
on a 



jf=i-f- ^ fl 
7-»-V3 



+ 



3 ctcj 



= I -H 



"*^+5ete.)- 



P*'-"^* = ^+5 + etc.,~i 



I 



^"•■3 etc., 
^1,4,1,2 [3,1,1, 1,2,3]. 



^+7+'^. 

^"^3 eu., 

11 5uit (le U que les fractions taminues qui sont racines 
sfunt même équ, du a* degré ont toujours leurs périodes Jo^^ 



I 



t;)6 rBACTIONS CONTIBtJtS, 

i" urne y étant seul étranger k 1s période , oii airi 
x' = [a, &- . ^. A], ei gxr conséquent aussi. ..'.. 
.T' = o[H,^...ft,a),cn veriH île ce qu'on a Aêm 

il'où — ,= — ( ft + - , I : ainsi la a* valeur de j- « 

'=-^+?=-^-"-G+«..> 

Pour que celte qi TQlité fût entre o et — i , aiiisi qu'on le b 
pose , il faudra*' qu'on eût j* = ft , et la i " racine de x 
h , a , b. .. tiCfn sorte que A ferait |fartie de la périoi 
contre l'hyp **iè»e , a; =: [ft, a, b. . . g]. On i 
riode de X : peut commencer au a' terme de la frac^ 
continue. P la D)éme raison, on ne peut supposer.. 
.r'=/[o, b. .h], d'oùx=j-.y [a,b. ..], en faisant ot 
meucar la péri';'!* au 3* termes cl ainsi de suite. 

*• •J±t/tK 

Par ex. l'é-iu. lo 2^— 117=5 , donne z:= ^ — î-^ 

1 T I I 

Licine* SDnt:r .^ [i . i , i, 3] , — «^ o [3, 3, i, l]. 

Pour 5:f*— 7x = S, on trouve jr^ 2 — ,''_29 
' lO 1 

x^[t, I, s, 1,9, r , 4], et — xz^o [a,i,9,i ,s,rj 

6o4- Lorsqu'il arrive que la période coininen«e tf 
i" terme , et de plus est ywjAf-iyut, c.-à-d. qu'ellcn 
même quand on la lit en sens inverse, les termes &^ 
distance dei extrêmes sont égaux , Icjt deux racines i 

même période. Alors .r et , sont égaux, c.-i-d.qiwbl 

iwsde ne change pas quand on remplace x par — « -^ 
de tftieéqu. est donc Ax' — Bx ^=^ jt . 
Cv't ainsi que7X* — fix^^i^,» pourq 
cl — r - n {i ,( ,?,l,|],Tnl«ua4 



ÙjU. OÂTEBIl. UC SEQOKU DEGRÉ. 

Catcuinni leideui coQvergenica —, -^, vu leurs t«rir 
U partie irréBulJfcrej-,_j-',y. .., il Tiendra 



~ Wt-\ 






11 roIc à flubsttluer cette valeur de l dans l'équ. (i) , i-t on 
aiin l'^n. du 3* degré' eu i, dont l'une des racines eat In fiac- 
lion continue donnée. Ainsi toute fraction continue périodique 
eu racine d'une équ. du i' degré. 

Soil x= I, t,3 (;r, I, a, i]= I, t, 3, «; on a d'abord les 

(onverceolet | et ï, dou a::=-7 , 1 = — -, 

" • *' 4'+'' 4^-7 

tiiuftnt dam 4*'— 4< = 5i i^iu- qu'on a trouvée pour.. . 
is=[;i, i,a,i], il rient 6oj:'—2o4a:+i 73=0. Et en effet, 

, , . . ioï+l/a4 
la plud grande racine ' — — - 






60 
b fraction continue propoitie. La 3 



- a pour développe! 
ci ne est 



loa— l/a4_ 



.ili[i,'.«,a]. 



Itafn 

1^^ PrewTOi encore l'expressiou a = i ,6 [3, a, a]; et posons 
i^[3,a,a], d'où l'on lire les convergentes \ et ~, pois 
5(*— ■S£ = 7. On a d'ailleurs j:i= 116,2, et les tonver^enies 



; et J, d-o 



I substituant cette valeur dans 



l'ecia. préc4!denie, il vient 

5(x—,y + i5(:t- 1) (6r-,) = 7 [Gx—})' 

on iS'jx' — 383x^ a33^o.En effet on trouve que cette équ. 

583± 1/365 , , , 
donne x^^ ^—j , et le* calculs précédemment exposes 

tuonircnique ù l'on prend lexigne — , ou a pour valeur de r la 
fraction continue proposée t en prenant 4- on trouve poui 
l'autre racine, x= 1 ,3,i, r [3, s, a]. 



FRACTIOKS COWTI/»UES. 



I" TABt.E des Périodes de k'i. (^^«page 



-97-:) 




SQU. liiimiTKiiii. DU MCOND degrA. ao5 

Équations indéterminées du second degré. 

€08. Résolvons d'abord, en nombres entiers, réquation . . . 
fn7'=5X*:±a> c.-à«-d. rendons entière la quantité 



jc* — r 



m ' 



r étant le reste négatif << m de la division de a par m. Si Toii 
&it X = 1 9^,3,4 • • • 9 tétant divisé par m, les reaies présente» 
ront une propriété bien remarquable. 
Si m est pair ^ soit prîsx= ^ m ±: «, d'où 

— = ^ ^i:<i4-5 — — ; 

tn tn ,771 

X* 

les restes de — , lorsqu'on prend pour x les deux nombres 

\ m di«y sont donc les mêmes : ainsi^ lorsqu'on passe xss^ m, 
jusqu'à x==77ty on retrouve les mêmes restes en sens in- 
verse. 

C'est ainsi que, pour le diviseur i4> on trouve les restes 
suivans : 

1. 4. 9^. II. B. 7. 8. II. a. 9. 4» 1- 

Si m eit impair, les nombres ^ ( m±: i ) sont entiers; fai- 
sant x=: ^(iw±:i)di«, onax* = ^(m±:i)»db«(7fiihi)4-4»'; 
les db se correspondent; divisant par tti, on trouve, qu'on 
prenne le signe supérieur ou Tinférieur, que le reste de la di- 
vision est le même que pour ' (m^ + i) + ol-^ê^ i ainsi pour les 
deux valeurs de x, les restes de x' divisés par m sont encore 
e'gau)^ ; passé x = ~(m -- 1 ) on retrouve les mêmes restes en 
ordre rétrograde. Ici Jle terme moyen se répète. 

On trouve , par exemple, que, pour le diviseur 17, les restes 
"isuccessifs sont 

i.4-9*i6.8.2.i5,i3.i3.i5.a.8.i6.9.4*i' 



aOij FHiCTlONS COKTrNUfiS. 

Quand x^nt, Mvoir jr^(i*i-|-<i, comme 
— = rm + !W( -I- ^, 

le reste est le même que si l'on eut pris£=a<^ m. 

Coucluons île lA que, i". ti l'on prend k ^ t,2,3. . 
qu'à riafini, tet restes de In divition de x ' par m se m 
tent tt formera une période symétrique de m termes. 

La table IT donne ces périodes pour les diviseurs le* pN 
simples. 

Od ne peut rendre on entier, qu'autant quer 

un des termes de cette période ; et si « est le rang de ce loriq 
f = • donne r pour reste de la division de jc' par m; onac4 
infinité de solutions, x^^im ±.1, i étant un entier quelconq^ 
Chaque fois que r entre dans la période, on a une valeur il 
et une équ. semblable donnant un système de solutions. ' 
il ne seranëcessaired'avoirégard qu'à la demi période, piti 
leretour du resterse fait au:< rangsaet m — «, 
tans des extrêmes, et qu'il ne resuite pas de cette demik«fc_« 
leur de sotulion nouvelle. 

*'4-4o X' — 1« 

■-T3 •°''— 75-=' 

Dan» la de mi- période du diviseur (3 , le reste 19 ne se li 
qu'au 5' rang i ainsi x:= i3ï±5, 

L'équ. x'=\ y-f- 7 est impossible en nombres entiers, | 
que 7 ne se trouve pas dans la période du diviseur 17. 

Enfin, pour a;' — ^^=\7y, comme 4 entre aux rniip,s 
dans la demi-période du diviseur 12, ou a 
.r ^ iai± 2 et ±4- 

Observei que quand le diviseur m est un produit /)/>', x*— 
n'est divisible par m qu'autant qu'il l'est par p et par// ; I 

reuilra donc eutien «t ;— par de» valeurs telles q 

X = i/( ± «, j ES l'p' ± «' 11 restera ensuite à accordei \ 



Par en., i3^^x'+4o donne - 



ÉQU. INDKTEHM DU SECOND DEGRÉ. ao5 

■olutiotts calre elles, car les valeurs de tctl' doivent âtre choisies 
dernsnicnci donner le uièuie nombre x. Ainsi, od posera 
_(n' 133) 

r" — r x'—r . -li 

■— — , j— ,et ^— 

P P P 

liodpeM lui-ui^me décomiKisable eu deux facteurs , U 
F^clioa peul être remplacée par deiu autres , et ainsi de 



- 3= entiers. 



r escinplc, ptiur résoudre 
3.5^ =«•— 46, comme 3i'5: 
■livtsil>lc|Mr 9, ^ clS; savoir, e 

-1 i'-4 1 



a iionibies cuticrs l'équaiion 
= 9.7.5, je rendrai j' — 4** 
. Extrayant les entiers , 



^^■i pk'rtodes de c«s diviseurs donnent «*^ 1, « = 3, a' := l'i 
^^■m, il Cuit reiidrç( sans dépendance mutuelle entre les ± ) 

■ 1. 



a queicon(|ue des quoi 
lf5(±A, d'où 



iroUTc enfin que si i désigne l'u 
ibrc» 19, 89, a6 et 44' °" ■ ^^ • 
±* = io, 36,44,89, 226, 271...^= 1,3, 6, 35, 162, 233, . 
Pour résoudre en nombres entiers l'équ. fn}'^=ajc'-)-aix'+C. 
illî|tlioDa par a, 

(ag-t-A)- — (/)■ — oc) _ i'—D 



I bitaiit ax -^ b:=s, b' — ne z^.D. 

clierclicra les solutions i^^mfdla qui rendent Mite fraclion 
nmbre entier : puis on devra résoudre l'équ.du t" degré 
r •!- /> ^rrtl ±«, c -à-d. qu'on ne prendra que les valeurs 
pticrcs de f, qui rendront r onùcr. Si a et m sont premiers 
1% , z' — D sera multiple de a et de m ( puisqu'on a 
kltiplié par a); ainsi 011 divisera le résultat par a, ci l'on 
my. Quand n cl m uni un fadeur commun 6, il doit aussi 



206 PRiCTlOHS COHTnmS. 

l'sire rie nbx + a oa cherche d'abonl la forme ftmhaSaàà 
valmndex, qoirempUMentce(lecfindilïon,f scB^-f-y, et 
flubftiluant dani U proposée , 6 dbpaistt. 

Soit 'jx ^ 3x* — Sx + ^; on multiplient par 3, pour que 
le coefficient de x soit pair; d'où a:=6, &:= — 5, <! ^4- 
/>s=i. Oo rendx* — 1 multiple de 7, en faisants^ jit± 1, 
qui ett Ici z=s Gz — 5 1 on en tire 

x^^t+ I, et +3. 

I.'équ. itx sssix' — 5z+6 est absurde en nombres eotierfl. 

PounÇj-^fia:» — a*4-i, on rend d'abord 3X — i multiple 
du bc leur 3, commun 1 i5 et 6, uroir, x^3a^ + a, d'où 
5r^i8x'*+3a:E^ + 7; extrayant lesenticrs, il reste à rendre 
ix'' +3^ + 2 multiple de 5 ; on trouve 2 si 5f := Sx* + 1 ; 
drmc x* = 3 , X - II, puis 2 = i Sf" + 1 1 . 

609. Soit l'équation 

az' + :ibj-z + t^ ■=M, 
qu'il s'agit de résoudre en nombres entiers. 

1" Cas. Si A* — ac^=o; multipliant le 1" membre para, 
il iluTÎent un carré exact, (az -f- frj*]* =: aM; ainû aM doit 




iQv. iHntVKnu. nu swfirtno dfgbê, ;î. 

^i«r 3«' ^ «xr + HT* =«7. on tnwivc 

(3,__^V + 207._8, , «• — 8, — 20J- . 

a*i'ï 3« — J" ^ tt ; doiif ±^ ^=oeta, iw^pei 1 , 

i* = 3<;i|. 

3* CftS. Si b*—~ac r^t un carré positif ^', muUipIJaut e 

me pard, el ccalani le t'' membre à réro, pour en oblei 

n facieurB, on trouve que la propoarfe retient à 

âoieniy et ^ deux facteai-A produis 
1 e«ax dn ■" membre ^U viendra 



r=' 



I M; posons 



■ik 



Ainti aprvs avoir décomposa oif/ eu deux fai tenr.i de toutes len 
iiiâni«rcs possibles, on les prendra mur ï tour, l'un poar y. 
l'aat» pour; , «I l'on ne conservera que les sysièmes qui ren- 
drnl rnli«r> d'abord y, puU î. On prend J" et » en ±, parce 
<|u'an peut donnrr à/ ri g le sî(;[ie + oa —t. Ainsi, 
i«' +-9J'B-4-7^*^38, ^lani double pour rendre pair le 
coafficîetit dc^, donnent 4 > ^=9, c=i4, Jï^5, n.I/=3o4- 
• ptodwMna de 3a4 sont 

îX i5î. = 8x38=4 X7*>= 1x304=16x19; 
1 Jf »^ï"* nym^mgH conTÎetinent seuls et donoenl 
±y=: i5 et 3, iip s=53eii. 
pCu.SiÂ' — oc est positif Don carré, pour comparer cr 
"attui reste ù dire avec ce qu'où a vu, nous écrirons la pro- 
soUB la forme A:.* — ■îmzj — Aj* ^^P. Les racines de 
. Ax^ — aaijf:=tïont irrDfioiine11es(ou i^t' + Ak est 
ifnnn carré); drvcloppons-les eu fraclions continues. Il 
1 de \'ét\ix. {/) (u'âoi ), quelaconTer|;entc qui précède la 



1 complète 



l/'+- 



t C[u«iid o 



)ndition 



An* — a*nB' — Aff''= ±.P. 
jittRXC de /* depetidanldu rsuf* pair nu impair 




aoo FiAcnoAs coirriKints. 

TM^e»!*. En comparant cette eqa. i UprepoMC, on 
tgoe « le signe dca a** membres ol le intee, on â celte 

Donc , pour trouver^ et i . développes le» rai 

liotu continacB ; li parmi Icscorivergenlei — -~ 

il it'en trouve dont le deaotninalcor soît le secoud rueiubrv P 
de la proposée, on limitera la contîaaei l'entier donne pv b 
complète précédente . puu on chercben la cotivergeoie corret- 

[loiidantc —n et l'on aura iK=n,j'=:/)'; mais il faut que nette 

convergente soit de rang pair quand le x* membre /'«si positif, 
impair <)uandP est négatif, si le développement cUcelni de la 
plus grande racine ; et que le contraire ait lieu pour la pb» 
pcliltf Mciiie. Chaque complète qui vient en rang utile donne 
une Kilulinn , en sorte que si elle fait partie de la période , on 
a une infinité de valeurs pour z et y. 

Soit, par ex., as'— r4?''+'ir'^=5i*'>* trouvé (p. 190) que 
2*" — i^x+i']^o a pour moindre racine X3=i ,1, 1(3,2], et 
que la 3' complète a S pour déiiaiiiinaleur ; donc la couver- 
Hente ' vient en ran^; impair, ft donue cette solution unique 
c^ t ,^ = I , parce que la période n'entre pour rien. 

Si lu a' membre, au lieu de 5, était -f- 3, il n'y aurxtt pas 
de Hulutlon entière, parce que les complètes, dont 3 esiledé- 
nomtnati'ur, élaut toutes de rangs |)airs dans la i;rai>ile n- 
eiiie X, cl impurs dans la petite, ne sont pas en rangs utiket. 

Mais si le 2° membre est — 3 , développant la grande ntd^| 
x;;^5(9,3), on l'arrèteia aui rangs 1,3,5,7.. , parce ^^| 
les complètes suivantes ont 3 pour dénominateur; de U[^H 
convergentes J, ^, '^ ■ ■ ■ , qui donnent autant de 9d^| 
tions. La moindre racine .r ^ i,t,i(3,2}, arrêtée aux >^H 
mes a', 4*, 6*. . ■ , donne de même ' , -y- , f^. . . ; donc,m^H 
±^='.7,55..., on prendra ±.t=S,^8,2gj...ou%,ttfi&r*jM 

Eiifîn, quand le deunifrmi' membre cxt a, on trouve dcmfe^H 



icr, (loiK le a' membre 



F ÉQU. INOKTtltM. UU SECOND DEGRE. 309 

ttj's:o,3,i6,iaG,99t, avec ± r = i,ii ,87^685,5393. . . 
ou i,3,25,i97,iS5i... 

Comme I» toovergeoles sont loujaurs irréductibies, on 
Il 'ob lien! «in si que les Rolutioas qui sont premières entre elles 1 
sappoaons i]uc la propO«^e en admeiie qui aient un facteur 
coininuo 8,s = £='o'= tr* = o" aurait alors 
i S' (az-* + aAi>' + cf') = P. 

' i> ttt donc multiple tle 6*1 soît P' U quotient , il reste à tirer 
^ tij d'une equ. wmblaLle à la proposée, le a' membre 
(^laiit P' ; (lonr, autant P aura île facteurs carrés i', au— 
nura <le valeurs de i et d'équ. à trai- 
B est seul différent, P' = P ; fl'. 
Soii, par rx., \'é{\a. î' + 2sx — Sj^^çt, qui n'admet pas 
de solutions premières eairc elles ; comme 9 est ^ 3' , résot- 
*oo»a'* + My — 5r'' = " ; reqii,x»+ aT = 5doone 

t 't. ' I ^' a ' 

ir=i (3,4)telIescouver|<entess, ï, ï|, t^.-. Les termes de 
<c« fractions sont la valeurs de s* et y'; multipliant haut et 
b«spar3« on trouve cnliii 

= 3 ,9, 85, 861.,. ±^=0, 6, 60, 594... 
lit deuiième racine de x ne donne aucune solution nouvelle. 
Les dénominateur» des complices ,sn"t<'ï l/l{page igS), 
Qmudlea'mcmbre /* diSpassi.' celle limite, on ne peut esp^rci 
que P an irouTc parmi ces dénominateurs, et noire procède ne 
fiùt plus connaître les sululious; inaisyd(!signant un facteur de 
J', Pcs/P'in un enlicf quelconque, posons _f:^ m -f-_/y; 



± 
Là dei 

1 ■- 

^B Qmtw 

■ V»^ 

■ Ait pi 

^P Qu'oc 



C 7 — )' 



+ i>yi(.ù^cn)+vJ^-=P'. 



Qu'oo rcude entier ce 1" coeSicient, pnr unit valeur conve- 
nable de n (p. 3o3) i chaque fois que 0' — ac entrera dans la 
dcmi-periodc du dlviseury, on aura des valeurs de ± n 
autnnt dVqu. 5 vvsoudre, telleique jfz'-^i/iys-^-Cjr" = 
T. 11. .4 

\ 



2IO FMACTiONS CUNTIKUFS. 

OH Cet P'iOlitlea niéines (aiusi que B' — ^C), Ainu or petM 

rcHuire P à être P'<; a j/f , cl même jusqn'A f^^i». 

Ainsi l'équ. 66»* — ify» +j-* =34 , en preotnt/is ■7,c«n- 

66— len + t' .j. . 

duila rendre ^ entier ; dou nss :t et i6, 

piuis 

I.'unc tlu CCS transformées a é\é résolue (p. ao8} ; l'autre n'en 
dilKre que par le signe de j-' ; on en tire donc 
±a=:i , ii,87,..3,a5...av«:±/:= a, 56, 44^i'- 4''>333..., 
niiaT>?c ±^=i6, 142, iiao,...i4ii^". 

Nous suppriiiicruns la ilémonstialionqui viablitque ce pro- 
cède fait obtenir toutes les solutions entières. 

610. Ces calculs l'appliquent ^ l'eipi. z' — if*T^±\ ; mai* 
ils deviennent aloi's très faciles. On (IeVelop|>e v''ten fraction 
continue !■= \,'^(=u (h',u'.. . .u",k', au), et l'on ne s'arrête 
qu'aux complètes dont le dénominateur est 1 , en rang impair 
pour + I, et pair pour — i.Or, il est prouvé (n°6o6} que les 
;ulus coiniili'tos iluni 1 esidenniniiKOeurÇes 




I 



KQV. INDÊTeniti. Dd SFCOND DECBÉ. :t ) ) 

^* S\V^ "t"* i'*>*'*t lc«siGDCséUnl<l*ailleurs quelconques, 
±s=l, 15,449,,.. — ^=o,4i i«o--. 

Soit*'— i3«* = ± I : coiniH*- v^ i3 = 3 (1, 1, i, 1,6), 
lrtcon»ergcnic»corrM[K»n<Uiu<«aurilo«r du terme i qui uré- 
céde6,Èont.i,'-^,m,':^... = d'où i=i ,649 .^^=0, 180... 
poDr4'';et s= 18,33382.. .j- = 5,648^... pour — I. 

Soite* — 3^= t i comme \/3= 1(1 ,a), toutes les c on ver- 
ftlilc» îi;»7trîtùÉ*TH ■•' ''*'"''^'" ''** *''^*'"""*'> '' ""y en a 
4ncune , quand le a' membre est — 1 . 

l/équ. «■ — 5J"=— • ^ ser solutions dans les fractions al- 

Etant donné un nombre impair iV = anj + 1 ; qu'il soit par- 
tage tn m et m + 1, ses deux moiliës inéjjaleset entières, et 
qu'on dccomjiose chaque partie eti deux autres i on pourra 
toujoum clioistr ces parlIt'B telles que leurs prnduit-t respcctlTs 
«oient egnux , siroir : 

Encfiél , éliminani t et/, il v\enty~x'^lm+i)x—inx. 
Oii rétoui cette équ. , comme on l'a dit , en posant 

x = ',(t + m).y^i(t + m+ ^). 
' d'où t'-i' = im+tr—m' = ^m + ,=pJ. 
Ainsi', pour trourer ( et i , on décDm|>osera. N en deux parties 
~4ellea que ce nombre sait la dii^rence de leurs carres, Soient 
« «1 M, deux facteurs impairs pioduisanl JV, N^=a&, il 
VWIid» [l^i){t — t) = m&,t + t^M,l — z = »; d'où 

a ' a ' a ■•' ' a 

Comme a etj3 sont impairs, \{»±fi) sont entiers, et il est aisé 
de voir que l'un de ces deux nombres est pair et l'autre im-- 
I mir : maii pour que x soit entier, il faut qui: m soit pair on 
V impair arec ; (• — Bl , condiliou qui rend j' ciilier. 

lur A' ^ I o5 = 3 . 5x + I , en diicomposanl i o5 c« 

,4.. . 



fiia FRICTIOKS OORTIIIDU. 

35X3, onalssig, i=i6,m=52,x=34tj'«s36, o/^iS^ 

^=^17: eteneffet, 34x18=36x17=613. 

ObMTTez qa'A prenant $■= 1 pônr l'an d» facteun de ff^ 
et it^^m-i- i pour l'autre, on trouve f = nt -f- > («sans, 
3C^y=o I les quatre parties de iVse réduùeatdonci deiiif 
alora il suit de ce qu'on vient de dire que tout nombre £m* 
pairim+i , est la différence des deux carré* {m -^ 1)' — m% 
ainai qu'on le fait (n* i34> s*)- CelU déeompoiilion en devx 
cairés peut se Jâtre de plusieurs mamkres en prenant ponr 
iacteurs « et ^ produisant 3m-(->, des nombres tels que 
^(a— ^ soit pair ou impair avec m : mais si le nombre 
am + ' estpremier, il n'y a^u'une teule manière délire la 
dicomposilion. 

611. L'équation 

as- + ^bjx 4.cy^ ^dt-^Fjr +/= o , 
la plus générale du 3° degré, se ramène k la précédente , en U 
dégageant des termes de 1" dimension. Soit -Tait 
« = *»' + «, j- = /y + ^; . 
!i-\-d=a, a5i^ + 2.ii + e = o--- (i). 




iQU. IUDATBRV. de DBOEÉ supérieur. 31 3 

forme conTenable (o** 597). Maintenant , mul tîplions les équ. ( r) 
respectiTement par <t et j8, puis ajoutons ; nous avons 

I>fouj désignerons le ntiuiérateur par N i la transfornée est 

az'*+2Az'y+cy + 4D«/+iVD=o... (3); 

cqu. qu'on sait résoudre. 

Lorsque fr* — ac = o, ce calcul ne peut plus se faire; mais 
multipliant par a , les trois premiers termes forment le carre' 
de az -^bjTi posant ce «binotne =1 z\ le reste du calcul est 
facile. 

Soit 7X' — azj--f-3^* — 3oz+ ioj'-f-8 = o; 

les equ. (a) deviennent z = — -^ — , jr = ^ — -j^ ; mais j^ etz 

• 

ne sont entiers qu'autant que 4o, facteur commun des cons- 
tantes, l'est aussi de z eijr' y qu'on peut changer en 402' et ^oy'\ 
ainsi ce facteur 4o s'en va, et l'on pose 

Z = /+2, jr = y-,, 7Z'» — 23>' + 3y'=27. 

Celte équ. a été traitée (p. 207) et a donné ±:z' = o el -?., 
it:^'=3 ot 1 ; donc on a 

z = 4»o»^ ^' ^> a^<^c j-niio, — 2, 2 et — 4- 

Des Équ. indéterminées de degré supérieur. 

Gj2. Pour résoudre en nombres entiers l'équ. 

obsei'vons que si x = «, on a aussi x:=» + mi, t étant un 
nombre entier quelconque, puisqu'en substituant, le 2^ mcm- 
hie prend la forme a + ^ct -f- c«* . . . -f- '^ ^> qui est visible- 
meut divisible |>ar m. Lorsque «^ m, si Ton prend pour if 



3i4 FAACTlo^t eo»TiHUfia, 

l'entier contenu dans —, U valeur t ^n ± mi >é trouve com^ 

prise entre + î m el — ^ m. Donc t'il existe des sobuiont en - 
tière* de lapropoiie, il y en a tùujours une infimilé, et Vune au 
moins des valeurs de i est<C ^ '■'i dans chaque sj'sltme 



Lorsqu'on divise par m ceux de> coefficiens *, i, c. . . . qui 
sont ^ m, on extrait les parties entières , et on ùmplilïc le 
problème. Du resteiUoffit, pour résoudre l'équ.,d*essa]er pour 
X tour à tour, tous les entiers <:^ ^ m , ce qui donnas les nom- 
bres simple* «, et pai suite toutes les valeurs de J:^<*4*'nt' 
AiDsi pour l'équ. 7^^ 174-9' — 3x* + 5x^. on posen - 



j- = a + x + 



3 + aJr — ^e + Sr' 



puis prenant x=:o, 1,3, 3 



et 4> tant en + qu'en —, ou reconnaîtra que x=:a et± i 
conviennent seuls; ce seront les valeurs de ■ dans x^m+-]t, 
qui comprend toutes les solnlions, et permet d'en conclure les 




iqV. î»DÛThhU. DE DEGRÉ SV^^^I^Ii^UR. 2l5 

que «,i3,y. . . Ce seront les seules valeurs que m' puisse avoir s 
en faisant 8iiccefl6i?eiueot 

etz=:a+b'x+c'x\..y ^=i(/ + b' X + . . . , >.=a'+. .. elc. 



un prendra les racines entières de jp; celles de ces racines qui 
rendront m maltiple de m' pourront feules résoudre la ques- 
tion; mais il faudra en outre que te quotient — , = ^ soit en- 
tier , afin d'avoir la valeur correspondante de j*. 

Observez que le long calcul de Téliniination dont ou a parlé 
ne servant qu'à faire connaître le nombre A^ on l'abre'ge beau- 
coup^ en prenant m' et m nuls , c.-à-d., en cherchant le com- 
mun diviseur entre les polynômes ol -f*^'^+'*» et a-f-^'+etc.; 
seulement il faut avoir l'attention de ne pas supprimer les^^ fac- 
teurs nume'riques qui pourraient affecter tous les termes d(! 
l'un des restes, ainsi qu'on est en droit de le faire dans le cal- 
cul ordinaire. Cette opération donne A pour reste final , car 
s'il existait un commun diviseur numérique, on le supprime- 
rait dans l'équ. proposée. 

Par ex. soit jf{x^ — 3) = x' -f- i , la recherche du commun 
diviseur entre x' — 3 et x'-f-ï » conduit au reste final lo, dont 
les diviseurs sont i , 2, 5 et 10, en -f* et en — : prenons ces 
huit valeurs successivement pour m' dans leséqu. x^ — 3=m', 
x" +\=>inyQ\. nous venons qu'on ne peut admettre que 

m' r= — 7, , d'oîi .r = I , m = 2 ,^7" = — 1 

m' = + 5, a: = 2, m^5, ^ = +1; 

icUos sont les deux seules solutions du problème. 

Mous ne traiterons pas les équ. où les detix inconnues en- 
trent à des degrés supérieurs, parce qu'on n'a aucune méthode 
;;cnera1e pour les résoudre ; on n'y parvient dans chaque cas 
particulier, que par des procédés spéciaux. Vojr* les Hechcr- 
< hcs arithm. de Gauss , les Mémoires de Berlin , etc. 



3IU FKACTIOHS COHTimiM. 

Bésolution des Équations numAtquet. 

6i3. Soit^^ouneéqu. i]iù«it 4léprép«réed« nunièreè 
a'avoiraacunesraciDoicoinamuunibles, on i^lm" nifhMi 
prises plniicora entemblfl entre deux nombm «ntiera sncAMÎft 
( n" 54a ) ; admettopi qu'on conniiue poor obsqne niçine icni> 
tionnelle l'entier « qui eit immédiatement moindre (n' S4i ), 
et procédons & L'approiimation nltérieure. 

D'âpre! la r^le donnée (n* Sgt), soit fait x^et-^- —,,/xieso 

deviendra yjx' == o. Or, par supposition, il ; a une des valeurs 
de y qui est >■ I , et il n'y en a qu'une ; cette racine répond & 
la valeur de x dont m est la partie entière, et dont nous vou- 
lons approcher. Raisonnons de même paury,x' =: o , et soit 
l'entier approcbé de x'; on est assure qu'il n'y a qu'une valeur 

de x' qui Boît positive et ]> i ; on posera donc x'^0 + — ;, 

X* ayant une racine ]> 1 , cl une seul«i de là une tnmiformée 
f^" = o dont x' est l'inconnue. On voit donc que la racine ^ 




ÉQUATIOIIS VUMÉRIQUIS; 317 

ciens {wgr. f* 46 (^}, il suffira de les subslicaer dans cette éqa. 
Soit propoaée Féqo. x^—- ax-»5aao, dont une seule ra- 
cine est rédie et coiD{irise entre a et 3 (a* S60) ; appliquons 
notre nëlhode. En bisantxs:say dans x'-^ajr-— SySx*'— a, 
Sxet I9 onironve — 1,10,6 et i, pour coefficiens de Téqu. 
en jif. Mais sif est entre 10 et 1 1 , et Von trouve de inènie pour 
lés coeflcieoÉ de Péqii. en jb^, 6t ,—94» — *20,— •! ; donc on ob- 
tient ces lésultatSt où l'on s'est dispensé d'écrire les puissances 
dex,d/,«^f qui sont asseï indiq[uées par les rangs des termes I 

a» 

|> 
I» 
a, 

tf 
3, 



fifts «s-Hoara^- aar«— 5s=;o «oticr 

/i«s— 1+ io-f-6-f 1=0 

/.SB 6i<— 94— * so— lao*.... 

/i=:— S4— a5•^ %+ 61=0..:.. 

/* = , 71 — laS — 187 — 54 =s o . . 

/iss — S6a«f-i73«f-3o3-f 71S50... 
yias ig5 — 4^ — 883 — 35a = o... 



• • • 



Donc jTBsa, 109 1, 1, ^t i , S.. . ^8^ = 3,09455... ; 
valeur qui a 5 décimales exactes, puisqu'elle n'est pas en erreur 

yéqu. x'-i-j;*-i-ax+i=:oases trois racines réelles, et 
compriaes entre i et a,o et i , — 1 et -^a. Approchons d'abord 
de la !■•. 



/* 
A 
II 



.... *» — x»— a* H- 

. — I — I -f- a -h 

, « 3- 4— 

,. — 1-4- ao -4. 9 -f 

181 — 391 — 40 — 

.. — 1974- 568-». 695-1-18 

ft ao59 "~ >*«S — "*>S — 197 = o 

etc. 



s= sntiff 



= O 
s O 
ss o 



4. 

ao, 

a, 
3. 
I , 



(«) Voiei le cttleuf pmerit p. 46 pour dédnife/. de/, dent Tex. t alTtiit : 

-4-10 -4-8+1=0 eniier 10 

H- 8 -4- 61 
-10—94 

— 20 

— ao — 94 -4* 61 

-94 -î»- 1 



/.x = - 
Facleur 10 



{:- 



d'où 



/.*. 



-fC 



3-tS FKACTIOAS OOimllflff., , . 

La racine rompriie entre o et i M IVf ntO' de-lttllpaey'et 
comme dès U 3* o|>^i«tioii o» ntomlwiMir ht limdfa"iiB<i (»).- 
on doit retroarer les éqH. 3, 4* S-'-t ''*'<^ ' 
X = o, 3,4, ao, a,3,i. 6, lo, 5, 2 =:;^|>^s^ 0,4450(18^79. 

Çofin, pour la ricins native, il l«ttt changer « w •—. jr; «t 
comme on a alors l'équ. (1), on pose de soite 
— x=i,4,«>,s,3.i,6,io,S,a = ^}l4=T,246g7ç|6o37. 

Nous rencontrons ici une particolariM propre i l'exemple 
proposé, en sorte qae les trois rsdnes se troiivant formées des 
mêmes lerpies, on est dispensé flu calcul de* deux dernières. 
Pour A = a** —14a -f- (7 = o ,eDU«r 5 



-S 



On retroa*e_/|; donc t^5 [3,3] couime p. ijo., 

(ii4- Eiposons maintenant tes moyens d'abr^erces dirers 
culcuU. 




^UATlOltS NUMélllQUC6. aiQ 

z efti une valeur qui en dépend ; mais chacune des autres ra- 
cines x\ jr^... donne une équ. semblable; ainsi, z', z*. . . 
étant les valeurs de z correspondantes , on a 



* SS ""^ "T* «]C 



"T 2t "53 — jT I Z — — — —7 ZsZ. -53 — r-r , etC. 

Ajoutons ces (1—1) équations, et faisons pour abréger. 



A ss 77- "T T7 + • • • 9 nous avons 

*'+*• + 1* ...= — ï («— i ) ±: 4r . 

I^ transformée en z étant représentée par ^z'+i9s''''+. . .sco, 

la somme des racines est z + z' + ^^'^ * • = -^ -^ ; retranchant 
IVqu. précédente, 

m' . /? A ^ , 

z=-,0-.o_^.;:-^^;... (a) 

mais--; ne tarde pas à approcher assez de x pour que /soit fort 

petit; Z',/''.^, qui sont les différences des autres racines x'^x",,, 
à notre convergente, sont à peu' près égales aux différences de 
ces racines à x\ et plus ces différences sont grandes, plus a est 
petit; ffL croît d'ailleurs de plus en plus : ainsi, le dernier terme 
de notre équ. est alors négligeable ; d'où 

Mon -seulement cette équ. donne l'entier «-, contenu dans z, 
mais même en résolvant en continue, par la méthode du com« 
mun diviseur, on peut prendre plusieurs termes successifs, 
comme composant la valeur de z et continuant celle de x; 
z^3r,ç,r. . .; d'où x^ur,0, . • ^^^fty^yv . . En arrêtant la frac- 



tion z à l'un de ses termes 9 , soient ^, , —, les deux dernières 

p q 



330 FRlCTIOtlS COIfTIKOU. 

conrergentes, on a (equ. G, y- i8o) 

et snbstiln&nt dans la transformée en *, on paue de mita i 
celle qui répond au terme r, en supposant qu'en effet ce terme 



convienne i la valeur de x. Puisque *= ■ _, , il suffira 

d*a*oir deux liniilea rapprochées, entre lesquelles x soit corn* 
pria, et de substituer ces limites dans cette fractiou, pour avoir 
celles de z i ces dernières résolues en continues, leurs termes 
communs le seront aussi i z, et continueront x. 

Ponrla i" racinedu dernier es., partons delà traDsTormée^!); 
les convergentes sont | = ■ , i , 4; flf ^ i > i > 4t*<>i <l'<>ô l'on 
tirez:=-7^ + t-|7^^HHt = 'i 3> i)^.. .; on remarque que 
les quatre ■"* termes continuent la valeur de x, bqnelle ar- 
quiert de suite 8 termes. On en tire les convergentes | et if; 

d'où s = —2, et par suice la transformée fj , en substi- 

tuant dans J'^■^ et ainsi de suite. 




La résolution de Téqu. x^^siA^ ou Textriclion des facinet, 
rentre dans cette méthode. Aion «^ = 17 donne 

d: = 2, 1,1,3, i38 = ^; 

et formant la valeur de 2, on arrive à 2 =: 1 , 3, a. . . ; d-où 

x«^^=: «,5712818. 

61 5. L'équation 10' ==29 se traite delà même manière. 
On trouve d'abord que x entre i et a; savoir , 

x= 1 +^, 10 ^2=29; loX loV = 29; 10= (2,9)*'. On 
voit ensuite que af est entre 1 et 3 ; 

*' = a + 4, io = (a,9)V(a,8)?, (i^)*'= a, 9; et 

I 

ainsi de suite. Donc 

jr = I ,a,6,6, 1 , a, 1 ,2. ..= ^ = 1,4603980. 

Cette valeur ^x est approchée à moins de (^^îi)'» avec si t^ 
chiffres décimaux exacts. 

10* = 23 donne x= i,a,i,3,4,i7,a =7f|y= 1,3617278. 

Ainsi, on sait résoudre, par approximation, Téq^- 10' = ^, et 
comme on peut prendre au lieu de 10, toute autre ba^e, on 
sait calculer le logarithme d^un nombre dans tout système. 

VI. MÉTHODE DES GOEFFIGIEN3 INDÉTERHfHÉS. 



DéconiposUion des fonctions rationnelles. 

616. F et ^ étant des fonctions de x identiques, c.-à-d. qui 
n'ont qu'une simple dissemblance provenue de la manière dont 
elles sont exprimées algébriquement, Téqu. F=9 n^a pas bc- 



333 FnACTIOtfS DATIOMMCLLU. 

>oio pour m renier qa'on atiriboe kxdn ymUmntm^WÊiMttf 

et doit Mibsulfli', quelqne soitle nombM qa'on jti^4 propai 

de mettre priur x, SuppoioDi qi)e, pu de* Artifice* d'atMljH, 

on paiTÎetine à ordonner Fet f par rapport à x, loiu la tntee 

forme 

puÎH^u'il n'y avait entre F et f qa'nne différence apparente due 
aux formea sou» leaquelle* ces fonctions ^latent eiprintto, 
cette différence de formes n 'es is tant plus, on doit prédaément 
trouver dans un membre tont ce qui entre dans l'autre; donc. 

Et en effet, puisque l'équ. doit subsister pour tonte Taleur 
de j: , si l'on prend x^o, on a a= A. Ces deux constantes 
n'ont pas été rendues ^ales par cette supposition ; elles l'étaient 
sans cela , et l'Iiypollièse n'a élé ici qu'un moyen de mettre 
cette vérité en évidence. Dès lors, quel que soit x, on a encore 
bx + ex' + , . . = Bx -i' Cx^ ... ; divisant par x, 
b + cx + etc. = fl -f- C*. . .; 

= C. 




FnAOTRHJS »lTI(«KttI.K8. aSA 

■)o»tvU«soil)ssoiui»u. Pari» ilivisiLiii, onpiMit toujourialiaix' 
fctr K- degrrf Jn polynôme S. par rnpport à x , BU-d«Moiw d.- 

I), c'est dan» eei éial ijue "oiis prenons la fraction. Soil . 

p = /'x; Q,P ei Ç étant des polynoines premiera entre eux, 
ilr&ticQréspet^, posons 

tJ~ y "*' P 

Pour réduire au même difiioitiioaicur D=l'>^ (>, multiplîoiiit 
^r»-| + . . . par P, ttA'x'~'-^. . , par ^>, tes produits seront 
Je ilrj;ré/i +(^ — 1 , c -i-d. forinciont lui jtoly nome complet 
d'un degré moindre de i que D; et comme A L'^t au plus de ce 
inciue de^rtl, va comparant clta<iiic terme de A' à ceux den pro- 
doits ci-de»)UK, on eu tirera /' + f equ. entre les co(;fficicnN 
inconims ^ .jf ,RfB'...,doxil ic nomlircesi visihlement/'+y. 
puisque nos numérateurs ont q et/j liTines; ces inconnues ne 
lieront qu'au i" àe^é, et )e calcul conduira bientôt à les tron- 
wr. H est donc prouvé que la di^coinposilion indiquée e»t !<■- 
i;iiime , et le calcul donne actuellement les valeurs de tnuii.s 
\vs partit» coiu posait tes. 

Etïi Pel Çl9«nieux-mi:inesdécoinposabIe8 tn d'autres fai- 
iturs premiers entre eux, sans chcrclier à dciorminer^, y/",/;., . 
oii remplacera chaque fraction par d'auires formées selon 1o 
mi-me principe; c-à-d. t{M, pour décfimpoter la Jraciion ra- 
tionnelle propotée, il faut trouver Us J'aiteu, 
fux de ton dénominattur , et égaler cette frai 
J'autrta qui aient cet facieiira potir dénomin 
numérateurs totem det polynômes reipcctivement d'un dfgrr 
miiiwtre d'une unité. 

On égalera doue D k léro pour le résoudre eu ses fadeuis 
^iiiiplcs; et il M présentera deux cas, selon que /> n'aura 'jui? 
,\,i facteurs inégaux, ou eu aura d'égaux. Examinons ces den\ 
< i-i «e|iai't'iuent. 

i" c(u Si'D:={x — a) (» — b) (ï^c) . . , UD ]>ascra 



r=^^ + ; 



-+■ 



â34 FDiCTIOHS RATlOfUBtLES.' 

et il l'agin de dcIemiDer Ay B,C.,. pir le procéda i{a'«ta 
vient d'expoBcr. 
Parexemple.soitD = (*—«) (x — Jk);onâ 
kx + t _ A . g 
{X — a) (* — *)~x— a'^'x— * 
d'où *r + / = ^(x- A) + 5(x -a) 

= (y< + 0)X— ^A — 0d. 

AiD*i kssA-i-B, ~l:=Aè + Ba; 

ka + l - kb + t 



el enfin A:=— 



*=-, 



Poor 



j'cgale le dénominateur k xëro ponr en 



X* X — 2 

obtenir les facteurs binômes; x' — x::=i donne x^3 et 
ce sont les velenrs de A et a. Oaa^^^4( ' = 3; ainai 
a — 4^ ->a a 



De même 




FilACTfOlfS BATlONHEtLES. 3!)5 

X»— jT+i jix + B. C 



on troure C= J, jff=>^ = — .J. 



jr _ Ax + B , C 



Deraèine -« =-:r-; — ^- -1 » 



donne — A sss B z=. C =i \, 

2* CAS. Chaque facteur àeDj de la forme (x — > a)', donne 

lieu à une composante telle cpie ^ ^ — ^ j maiacemme 

celle-ci est elle-même décomposable, on pose de suite, au lieu 
de cette fraction, la somme équivalente 

£t en efFet, il est visible qu'en re'duisant au même dénomina- 
teur, le numérateur a la même forme que ci-devant, et un égal 
nombre de constantes inconnues. 

ar^ -f ar' -4- a _ -jif _fl_ _£^ _D_ E 



x(jr — i)*(x + 0' X ' (a:+0* ^+ï (ar— 1)* x— i 

donne = 7 — ~ — 7: — — 7 — "f" ; xî"^ — ~ — • 

X (x+i)* x-f-i (ar— i)* X— I 



On trouvera de même 



I 2 



xCx+O'Cx'+x-f-i) îr (x-t-i)^ x-f i*^x* + x-f- 1 * 

Si les facteurs égaux du dénominateur étaient imaginaires, 
quoique le même procédé puisse être appliqué, il sera préfé- 
rable de les réunir en facteurs réels du 2* degré , sous la forme 
{x' +px + î)'; le numérateur est alors ^x*'~* + Bx^^ ''^ . . . 
ou plutôt on prend les fractions composantes 

Jx+B , Cx + D j._^^ + ^ 



T. H. i5 



aa6 fbàctioms ratiovhelus. 

Par eiemple , on fera 



_ -* B C Dx+E Fx + G Bx+r 

-"i+x'*":r'"*"x"^ *•+! "^(ar'^-O»"^ x' + i ' 

Le calcul dooneia 
A=i-^, B = — C = i, D = — £=;, Fz= — G = i, 

616. L'nsi^e fréquent qu'on fait de la décomposition de» 
fracUdna rationnelles, rend très utile la méthode suiTautc, 
qui abrège les calculs. 

■ " us. Facteun inégaux. Soit Z>:s(x — a)5,5 étant an 
produit de facteurs tous différeiis de jt — a. La dénvée est 
iy = S-^{x — a)S; on pose C*) 



11 s'agit de déterminer la conitaote A, sans oonnalire le po~ 




FEACTI^I» «ÀTIOlIlIBLLBfi. 2:27 

Yisafef àaoB ce qui soit, de celte notation) , noua avons tt=z4 

et /i =r ^#; partant j A^ "^^^ Donc remplacez le dénomi^ 

naieur D de la fraction proposa par sa dérivée ïf ; puis chan 
gez X en a, vous aurez le numéraieur A de la fraction compo^ 
santé dont z — a ail & Mnominateur, On devra de même faire 

'-' -.^,-«*.— «-a.-i^,. 

...» en snnposant Z> = (a: — «) (x — tf) (x — c) , . . 

X — c 

— Sx* — 5x + 6 iV — 5ar^ — 5jr + 6 

or, vou» atea 1>=3(J?— i) (ji-|- 1) (X'-^9)jv; fattea donc ir=i^ 
— 1,2 et o, etvoos anrex 2, — 1, — 4e^3 pour résultats la 

proposée revient a — , — — - — + -. 

' ^ X — I jT-f-' ^ — ^ * 

I Ni 

Soit la fraction - ^ •; on ^*jp=^i or (p. 146), 

X«-I=(*+I) (Z— I) (z* — Z+I) (z» + z+i). 

Pour les deux i*" facteurs, on fait «=±i, et Ton a±:^; le 
facteur suivant donne z ^= ^(i d: |/ — 3); d'où Ton tire 

n^ Sa _ i ± t — 3 

6(1 :i:\/— 3)*~"6(i6Hh«6v/ — 3)~" 12 ' 

les deux fractions composantes sont faciles à trouver; réduites 
eiî une seule, on a-J. ■ — . Enfin, le 4* facteur de D in- 

dique qu'il suffit de changer z en —z dans ce dernier résultat. 

Donc , 

_ji I /^ 1 , x-^ a z + a \ 

i''— I ""(ïVz— I z-f I "*"«' — z 4-1 z»-|-z-Hi/ 

a* CAS. Facteurs égaux Soit D:sz{x — «)*•, si l'on dianfjc 



i5.. 



asS FRACTIOm UlTIOiraiLLIS. 

xtna + h d«u N et D, en polysonica demnaent ( d* 6«4) 

Ns=n + nk + in'A- + ^b'A' + . . . , et Z> = A<. 
En (UTinnt, et mettant « ^- a pour h, on Ironie 

jy " , "' I î "' ■ . 

D~-(ï — a)''^(jc_a)'-^(jc-„)i-*'^*" 

Ainii la proposée te décompote en \fractwm, JûM let numé~- 

râleur» tant ce que dariennent N , If , i N*. . . en Jouant 



—■ — ■ — i^ — ■; comme le nttmentear a poat 

dMvtodx — •] et 6, en faisant x:=i, on obtient a, — i et 3 
pour nnmtfraleun des fractions compoiantea, nvoir, 

i^ — ']X+6 _ a r 3 

(a; - 0' (x-i)' {x—i)''*'x—i- 

Mais si le dénominateur contient d'antres facteon avec 




FftACTION^ llATIOJIllÇLtBS. 22Q 

neai/, /'t /'• • • » tt par confléquent le développement de k 
première partie. 

prëdiânent comme si lafraciipn propotée n'eut ea que (x— a)' 
au dénominateur. On tire de cette équ. 

F=/+/'.(x-a)4-i/'.(x — a)«+.... (3), 
Fest donc connu ; et Ton a dans Téqu. (i) 

P N^FS _ N—FS 



Cette identité exige que (sf—aY soit fiictenr de iV«— FS ; U iant 
effectuer la division pour obtenir le quotient P; la a* partie de 
notre fraction proposée est connue , et il faut la décomposer à 
son tour. 

Soit, par ex. , -==:■ = irr^* — ^ '» 

'^ D (x — i)'(x+ï)x 

faites x= i dansiS=x* -^x = 2, 5' = ajf4" i^=3,»S* = 2, 
JV = 5x*— i3x»+ ...=4,N' = aox5.... r=4,iV = io. 
Donc, 4 = a/, 4 = 2/^+3/, i o = a/'+6/'+a/- 
pui8/=2,/ =•! ,i/''=3,F«i-(^-i)+3(x. 0'=3x'-7x4 6. 
Le produit FSy retranché de A^, donne 

ax* — 93:^+ i5x* — iix + 3, 
qui, divisé par (x -—1)*^, donne P = ax — 3. 
Il reste à décomposer, par le premier procédé, 
P ax — 3 j, , P ax — 3 

faisant x ^ — 1 et o , il vient 5 et — 3 ; puis 

iV____a I 1 ^ 1 ^ ^ 

Observez que, dans cet ex. , il eât été plus court de détermt- 



aSil oohtkroekce dks séries. 

nvr d'abord les denx derni&res fraction, en fainnt j:^— ^ i 

et o dans JV et />' ; d'où 

TraiH|)onnt eea dnu deniiferes fractions et ionisant, on Wolne 
F ar* — 7J + 6 
{x-i)'- . (X— I)» 
dant ce qu'on a vu à-devant, et ett très fiicUe à déeonposer. 
z3_6x*+4x— I 
f-3x5_îr- + ,x+6' **"""= 
Z>sb:(x-|- i}*(x— a)(x— 3), on Cen xssset 3 daoa ff^et/?'; 
on aura les fractioDi ; retranchant de la 



aisément la première 
iant ce qn'on a vu à-c 
De même, pour jr = 



, qoi rentre 



proposée , on a ■■ ■ ■ , qu'il s'agit de décomposer. Mais on 

lrouve/s=— i,f^ I; donc il vient ea6n, en réunissant cok 

jwriîcs . 




il tanne* dinuiiueiit «ans cetse. Sn elle 



A pu-tir da if, 



* 



FOmcuii eat riùblement t> — ■ et la somme :: n X — . ou - : 
de méoie la somme des an termes qui suivent ceux-ci, eit amsi 
^ ;, etc. ) en sorte que k somme totale surpasse -Xoo: il 
n'j a pudeliiniie. 

i'. uand x<^ I . la progressioa géométrique a+ax+asi'.. 
eat constirgeate, car outre que ses termes decioissent, les sommes* 1 
prises à partir du terme de raug n sont 









On voit que, j: étant <^i, à mesure que n augmente, ci^s 
sommes sont de pliu eu plus petites, et tendent vers lero. 

3*. Si l'on connaît le terme général u„ d'une série 

u,+ u, + u,. . . Oa changera neo 14- i , et on aura le teriiiu ' 

derangn + i, et le quotient F^=-^^^^ sera le facteur qui mul- ', 

liplianl un terme produira le suivant. Or ti tous le» temteir ] 

tOfU potitifs et ii , pour de grandes valeurs tic x,F tend vers I 

^anetimiie L, la série ett coniM-rgentc ou divergente , ielonque 1 

Welle limite F e»t <; ou > r . 

En elTt-l, supposons d'abord /. <^ 1 , et prenons un nombre 
P^quelcoiiquc / inicruiëdiairc à Z, et i , en sorte que £,<;/<; i , 
f Puisque F converge vers Lh mesure que n s'accroît, il s'ensuit 
I qu'A [lartir d'un raiif; n sufdsamtnenl graud , le facteur F ap- 
icra autant qu'on voudra de L, et deviendra par consii- 



Cqueni <C II d'où 



4 (orltori Kt^.<A«,. w,^, </■»,, 






33a CONVKEGKIICB BRS SBRIU. 

Cea Unuo coiuMfcatifs étant uoindret qiw ceiu de U pFogrw 
sion géométrique Ua(/-|-/'+/*. . .], qm est conTergeatc, il a'cA- 
■nit que la série proposée l'est aussi. 

On prouve de même que si U^ > , les lermes it^,,, Hb^a,... 
■ont plus grands que ceux d'une progression gé<Mnélriqiu dont 
la raison / étant ^ i , on arrive à des termes auau giaoda qu'on 
veut, ce qui montre qne la série est divergent*. 

Ainsi pour (x + <i)*, il sait de la valeur 7, p. ia, et delà 
relation 4> p- 5, que F^ — ^- . -; plus n crolt^ et pins F 

approcbe de la limite -, que ce facteur atteint pour r = qd : 

donc la formule du lûnome est convergente on divei^nte se- 
lon que :c <^ ou > «. 

Au reste les deux transformations suivantes sont propret » 
augmenter la convei^eace de cette série 




SÉRIES BteURAENTES. iSH 

vergence , cette propriété a liea auMÎ pour la proposée : car les 
termes négatifs devant être retranchés des posidfS| ne font que 
diminuer la somme totale , et tendent par conséquent à aug— 
inenter la convergence. 

X^ 3C^ Sp 

PouTjr— — =.-1 --7-—— etc., en rendant ton& 

2.3 2.3. 4-5 a. ..7 

les termes positifs, on a pour terme général 

''" "" a . 3 . . . (an— i)*"""*" ~a . 3 . , . an(an 4. 1)* ^an(a/i + 1) 
comme n= 00 donne jP=s o» la série est convergente : d^ail- 
leurs posant /«'<^ i , on trouve oc' < (^ + *»; « VoR prend 
4n'']>jr'y ou ii]>^x, on voit qu'à partir du rang ^xles termes 
vont en décroissant. 

4^« Toute série dont les termes ont des signes alternatifs -^ 
et — 9 est convergente, quand ces termes décroissent sans bor^ 
nés vers la limite zéro. Car soit 0— ^ + C''^d+ • . • ; comme 
cbaque terme négatif peut être retranché du positif qui le pré- 
cède, on n'a que des binômes jpositîfs, et la somme prend le 
signe + s d'un autre côté on peut écrire a — {b — c) — (d — e)...; 
et a doit surpasser toutes les parties soustractives. Or on peut 
prendre pour a un terme assez éloigné dans la série pour qu'il 
soit aussi petit qu'on voudra ; donc à fortiori la somme totale 
depuis a jusqu'à l'infini est dans le même cas. 

Cest ainsi que la série i — 7 -I- 7 — 4 • • • est convergente» 
quoique elle ne le soit pas quand tous les signes sont -j- . 

Voy. le Cours d analyse de M. Cauchy, p. I23. 

Séries récurrentes. 

620. Toute fraction rationnelle, ordonnée selon les puis- 
sances croissantes de x , dont le numérateur N est d'un degré 
moins élevé que le dénominateur Z>, peut se développer en une 
série infinie À^Bx + Cx^ + Dx^, . . ; cela résulte de la divi- 
sion actuelle de iVpar Z>, puisque le quotient ne peut jamais 
donner de puissance négative ni fractionnaire de x. Cette divi- 



a54 SÉRIES RËCDAIll 

■ion poomit bire connaître le* co«ffiàen* A, B, C. .'.' ; taù» 
on pcé&re le calcul soivant, qui met en riridence U loi de k 
aâië. On poie 



a + bx + cx'...+hx'- 
t+mx+/lx'...+$x' 



= A + Bx + Cx* + Dx*, . . 



On réduit au même dénominateut ; puis comparant Ici tennet 
où X porte des exposBDS ^ux , l'équ. se part^ en d'antre*, 
qui serrent à d^terniiner A, B, C... (n" 6i6) ; le dénomina* 
tenr a i pont tenne constant, ce qui n'Ate rien à la génératit^, 
parce qu'on peut diviser N et D par ce i*' terme, quel qu'il 
soit. 



Soit ■=r- = ~ 



"+' 



- = À + Bx + Oc* + DxK . 



+Am\ +B»\ 



■+ D\x' + . 



D'où a^=A, B^Aa.z=o, C+ Ba=o.. 
La i" de ces équ. donne A, la 2* B, la 3* C . . 




SÉRIF^ RÉCDBBLNTES. 255 

fftt le numeralËiir, cl le dénornitiateur est i — la raison de la 
Itmçrcssitni. 



- (cD divisant liaul et bas par 6) 



^blpDM OClU «ine, dont le premier terme est ~ et U raison ^ . 
^^b^ j«.+ p:'+ ...):enfii>> on tioure 

^m '- 3" •* a(t- ^x)- 

^HSlai l'on donne cette série et sa loi, on reirouvela fraction g 
^^Wnliiie en divisant le l" terme ^ par r — le racteur \x. 
a-hbx 



Pout - 



-=A-\-Bx + Cx* + Dx^.. 



T + fix- 

on a a + bx= A+ B\x+ C\x' -j- D\X^... 

+A»\ +Bm\ +CJ ... 

+M +m ... 

puis J=a, B-^A»=^l', C-^Ba + A^^o 

Ceséiju. domieut succesBivemenL ^,fi,C. . .; la i">^=>ipeut 
encore «c tirer de Vét^u. supposée, en y faisant x = i>. 

Soient ]U,IV.P, trois coeQiciens iiidélerminésconséculîfEdu 
lévclappemenl; il suit de ooire calcul qu'on a P+!\'a+JU0=so; 
^d'oû P^ — Na. — MS : donc, un terme quelconque de ta tilrie 
m tin de» deux précédem multiplias , l'un par — «x , l'autre 
'. On observe que ces facteurs, retrancbés de ■ , don- 
tut Icdénoinioateurde la fraction proposée. Pour ladévelop* 
', il but d'abord trouver les deux i'" termes A-\-Bx, soit 
■■r la division, soit à l'aide des^qu. A =.a,f!=^ù — am; puis 
ji l'aide des facteurs ~-ttx et -^x', on compose les termes sui- 
tns> de proche mi prociie. 

Réciproquement, si la série et sa loi sont donn^t«, on remonte 
il ta fraction génératrice, qui ett la lommc totale de cette série 
tttfu'A rinjini, par tm calcul simple; i moins les deux fac- 
, forme le trinôme di!i)uiiuiialenr i -\-mx hfix'. Quant 
H numcralcur n^hx , on » n ^: A , A = A + Am. 



I 



SBKIE^ RECUHHKHTES. 



Parc 



l+k^~ 



, «n divisaui haai 



et b&s par — 3; \es facteurs sont donc — ^x, et + {x* t dU 
luurs, oo trouve — i+^,x pour les deux i*" lermesi de U ca^ 
série — I +^x — j.t' ■+■ ~-x^ — .... Et réciproqoi 
U Mrie est connue, c.-i-d. b\ l'on a les deux premien ti 
et les facteurs — \x, + \,x', ceux-ci, retroncb^s de i, doiu 
de suite le dénoiuinateur de la fraction généra trice ; oo a ei 
(I = — 1 , A := a; li'où résulte le numérateur. 

„ . , , a-i-bx-i-cx- 

En raisonnant de même pour -— — — . .._. , >, o 

que les trois premiers tei-roes de la s^rie donnt^ni 

èqu.d'où l'on tiic les valeurs dey/, £ et C. Les termes si 
s'en déduisent, comme ci-dessus, et t]unlre coefficieDs si 
sifs sont liés par cette équ. Q^= — Pa — AB — Jtfy, en' 
BOrle qu'un terme quelconque se tire des trois précéd«a$, en 
les multipliant par — «c , — fix', — yx^. Et réciproquvinuui, 
on peut remonter de la ïérie à la fraction géaéiatrici: qiUMfrH 
exprime la somme totale. Celte loi s'étend à touti^s les trsvtin 
rationnelles. 

6ai. On nomme HécitrreiW; toute série dontcl»()ae V 
est déduit de ceux qui le précèdent, eu les multipliant fMUr i 
quantités invariables : ces facteurs s'appellent VÊeheOe 1| 
retalion. C'est ainsi que les sinus et cosinus d'arcs éqoidifl 
(t)"* 361 , 573], les sommes des puissances di-s racines de>^ 
(n'SBS), forment des séries récurrontcs. Nous dîroua ili^ 
>[Ue mute fraction rationnelle dont le dcnominatcnr i 
1 + a,r + fix'. .. ■+ tx', se développe en une séria 1 
i-cnie, ddiii l'eclielle de relation est formtrc de 
— *x, — fl.r',,. , — Ar*; on cbciclie d'abortl les i 
soil par la diviaion , soit par les cocfUciens indéterKiinëfc^ 
termes !^uivans s'en dcduiscni ensuite dr proche 



s^niES récurhentu;. 



»Î7 



■■+-+?-'+î'-'+^-'+- 



f>n tronvc aùemctit les quatre premiers termes; et comme en 
(livitant Ixpropost^e, haut et bas, par —3, on obtient pour les 
quatre bctenrs Jj;,^!'', — |x' et [x*, cette échelle de relation 
«erl i prolonger U M'rie tant qu'on veut. 

fi est inutile d'ailleurs de rsppelt^r que si les termes de la 
série vont en décroissant, on approche d'autant plus de la va* 
leur lulalc, qu'on prend un plus grand nombre de termes; mais 
qu'il n'un est pat ainsi quand la série est diver^jente, et qu'il 
faut ta prendre dans sa totalité pour qu'elle represenm la frac- 
tion dont elle est le developpeiuent. {^ox- n°'9get6ig. ) 

6aa. Qierchons !e terme général T des séries récurrentes 
1.1 Traciion proposée F étant développée, on a 
p_ a + bx + cx' . . . + tx^- ' 



r + ^>. 



t-i^ 



=trf+*:c4-fx'4-DaJ. . 



(!) 



on connaît les 1 premiers coeffinens A, B,C... et la loi de la 
■crie. Pour décomposer F en tractions de i" degré , on cher- 
chen les facteurs du dénominateur; à cet eflet changeons x 

en -, et égalons Ji téro, nous aurons ik résoudre une équ. dont 

noiu supposons d'abord que les racines k,i' .t", ■ . . sont iné- 
gales, savoir 

u imaginaires, rationnelles 



a trraiinnnellen 



gpoarff et n 



positives , 
I aurons 



négatives on i^ro. Kenietton< 



-f-(tr' = (i — *x) li—i'x) (1— *'*).. 



a38 liKHIKS HKCURRBHTIiS. 

Mous avons dunné |i. 226 U moyen de déterminée l«» cois- 
untes K,K' , K',.. . qui par conscqnentwal connues, ûnii 
que A,*',**. . . 

Or chacune de ces firactious se développe en une progiewoa 
f;éoiiiArique ; la série (1) est la somme terme par terme de 
tes 1 progressioDs : le terme général T est donc la somme de 
leurs termes généraux. Ainsi on a 

T= (Kft- + iCh'' + K'k" + etc^x- (3) 

Donc peur irouvar te terme général 1 de la térie récurrente 
propotée, et décompoêer cette série en progrettioas géométri- 
ques dent elle soit ta somme, ilftiui égaler à séro le dénami- 

nateur de iajraclionfj- changer X en-, chercher les racisiet 

k.k'ik'. . . de celte équ. ï' + «î*~'+ ... =0; ces racines se- 
ront (en si[;ncs contraires) les facteurs de x dans les dénom. 
du fractions composantes (3), elles raisons des progreasîons 
seront kx,k'x,.... les coefSciens K, K', K'. .., numér. de 
ces fractions , étant déterminés , le terme général 7* sera con- 
nu (3). 
Dans notre ex. du a" d^ré p. a36, on égale k léio le dé- 




SKII1£S RÉCURRIiirTES. 239 

i(i+Jjc+3*jrS.. 3-x«) et — i(i +x + jr'. . .jc»)-, 

le terme général est 7= ix«(3«+' — i). 

*^ ^ a+x + x* ji * . . 
Enfin ' ^ , 4 devient 

i—\x — x'+ix* I— x''^i4-x I— ix* 

Les tennes généraux des progressions sont ax",^( — x)" et 
— KJx)» : donc la série i+x+2x»+ Jx'. . . dont l'échelle de 
relation est îx^x^ et *— ^x', a pour terme général 

r=ix-(6d:i-(i)— ). 

G)mme le termQ sommatoire 2 de la série récurrente est la 
somme des termes sommatoires des progressions composantes, 
on trouvera aisément cette quantité S. 

Quand réqu.j^ + «(f''"4- • •• = û a des racines égales, 
c.-é-^. un facteur {j — r)', il faut introduire dans Téqu. (a), 
outre les fractions correspondantes aux facteurs in^ux, d'au- 
tres fractions de la forme {vojr, p. %iS) 

r:r;i ■'■(I- ne)* "*■(!- nrr"^'-+o-rx)' ^4). 

la focmale du binôme donne (p. i5) 

l.{i-rx)-'=L { I + /ne + /'-^ti r'or» + /(±i.(+^rV... l 

tenue général = L r rj r r"x'. . . (5; 

pour avoir le terme général T de la somme de toutes les frac- 
tions (4), il faut faire successivement /= i ,a ,3, . . . et ajouter; 
ce qui donne 

r=|L'+/;'(n+i)+L-(H-i)^+^"(«+«)î^.^...} 

Les fractions n'engendrent plus de progressions géométriques 
(la !'• exceptée). 



2^0 SÊRIKS RÉCURRENTES. 

Dans l'éi. liu 4* dc^re p. 237, les fractions coupoualu 



d'où 

De même 



— -ij I +x (i — xy I — »' 
'-r4*+*' 



|-Cn + ir:r- 



(i—x)* -{i-xy {i~xy^(i-x)* 
T=(n+i) , i+a) C«+31-3(iH-i) (iiH-a)+CB+i)=((i+i)'i 
lu série est . * + a'a:+3'r'+4^i'. , 
Enfm prenons la fraction 

On divise liaut et bas par 8, et on égale le dëDoin, à céro , en 
j" changeant a: en-; l'équ. j* + J^' — |j*-- ■ =*> revient à 
Cr' + aJO' — ï)*^Oi ainsi on décompose la fnction proposée 



c'+UxK... 




f 



VsipTCMion (3) de T. qui devra reproduire ces termes conii.-- 
>:iili&, Mioir, 

A=K+K'-i-A'..., S=Kk+K'f..., C=Kk'-\-K'y'.... 
Un pouot un noinl>re i de ces équ. , on en tirera les valeurs 
d«i confiantes X, A', ^T". - . qui ne sont qu'au i" d^ë. 

Reprenons l'équ. du i' depre p. 236 , où l'on à trouvé *=;' . 
f=-i , et par suite r=[(A'(ir+ K^{~^)*)]x'. Falmûs 
n =: o cl = I ; comme les deux i"' termes Je \ série sont 

'i+*i', on aura lescqu. A'+A'^ — • tîA' — ,V=;i, d'où 
JC^^s, contme ci'deranl. On en tire même les frac- 



tions composantes ; : — . 

' i—.x i+X 

Vt%. du 3' degré p. aSg, où i = i ,k'^ — tyk'= \, donne 
r;=[/C+A'(— 0'+'C'(i)*]-T'. Faisantn=o,i cta, elcom- 
paraol aux termes respectifs de la série 14**^ + 3-^' . - -, ou a 
I» éqn. 



K + A' + A-— , 



-A' H 



1, A-f./C'+;A'=a. 

d'où l'on lire A = a,A'=î,A'-=— ^, et la uême valeur de 7' 
qac précédemmeiii. 

Quand le dcnom. de /^ a des facteurs dj^aux ( i — rx)' , outro 
leslenaes Kk*,K'k''.., correspoudans aux facteurs iuéjjaux, 
il en existe d'autres dont la forme est comprise dans l'e'qu. (5), 
où /:= 1,3,3. . . il c*t évident que ces derniers termes se Irau- 
reni réuni» sous l'espression 

(«'-f.4'« + c''.' + d'nV.. -f./V-'Kx«, 

^^ft',... y étant (les nombres inconnus, qu'on pourra olite- 

r en Miivant )c mode de calcul précédent, et formant aiitanl 

Fqu. qu'on a d'indéterminées. 



6[3- 



lli~î«3 + &r + iJ»^*4-- 



I i'*,u. ^-3r+,'r- 



= = 0- — a) (r— ■.)'- u 



a4a billle* EXPOMESTIELLIS. 
fractionprovcaue da fsclenr^ — 2, est , donnant le 

iGnneX.a'x*. Celle» qui répondent it (^ — ;)* donnent 

{a'-j-b'n) (T,T)';auiù 

7'= {z'K + i',)t{a' + ù'n))^^. Or 11=0,1,2, donnent 

doncA = 2, rf=i^ A' = 3,etr=x/2-+<+l±_!?^ 

De méniedanil'ex. du 4' degré p. 34<><*i> ^ A;^— a,r:=ir 

1=3, puis 7'=a:'{ (—3)"X +(!)"(«' +*''' + cV)}j fatsant 
n=o,i,3,3, on a leséqu. 

3 = A' + «', i=— aA'+;a'-l-;é' + ic', ^=eU, 

d'où l'on lire /v ^ I , a'^3, ^'^^, i^' ^ ^ ci la nicmc va- 
leur de T'que prdcédeiiinicnt. 

Voyez n° G19, ce (|ui a 6\.é dit sur la convergence des 




silllES fiXPONEVTIBlLBS 2^^ 

teon binomeâ, oa ^ ^ r == ït ^^ — , 



a -f .en 



prenant -^ si n est im[uùr. La réunion de tous ces produits 
estix, savoir 

II 

jr est â -— 1 ; ainsi k est connu. Il s'agit de trouver ji^B^C. » 
Ces constantes restent toujours les mêmes quand on change x 
en z ; d'où 

Retranchons (i)» et bisons s as x 4* >t 

a* — ii* = a*. a* — 0*5=0* (tf' — i) 
il» (o'-i) =r (x-x)[* +^(x +x) + Z? (r« + w + a-), . . 

+ 9 («""" +^^""" . . . + x--»). , .] 

Comme af-^ Isa ki -^j4i*... j d'après l'equ. ^1}, les deux 
membres sont divisibles par 1 =s x — x ; donc 

Cola posé, faisons l'arbitraire 1 = 0, ou s ^x, et remplaçons 
a* par sa valeur (i); nous trouvons 

d'où ixA=k\ ZB=zkA, ^C=kB,... kP=nQ... 

L'équ. kP ^ nQ prouve qu'un coejfficienl quelconque Q est 
le produit de celui qui le précède multiplié par k et divisé par 
son rang n. Enfin 

o*=i 4.^3: I- ■■ 4-— > ...— ...(A) 

2 2.3 2.3... n 

625. L'équ. (2) donne k en fonction de j* ou a ; pour trouver 
an contraire o, lorsque it est connu, on fait x=i dans (A) ; 
d'oi fl=i4./t4-:i**+i*^4.,.. Cette série et (2) sont les 

i6« . 



344 s£lIBS EXPOnKlITIELtES. 

déTeloppement de l'éqa. qui exprime, 

en tennu finis, la liùson de aetkt 3a tenu 0,16666 6G08S 66 
cbercbons cetlc nlation. Fùson* ici ^\\\\\\ ^mW ^u u 

J(=ietnoinniODiflavaleiirqueprend ^ o,ooi3S WUtSt 

aloraIabaieaie=a+|+^+-^+... i* o.inoiâ poi5 8; 

Le calcul de ce nombre est facUe A ^V" *'.''!*°??.??^.f! 
faire. Ici qu'on le voit ci-contre ; cha- e=i,;t89S t8^ 59 

que lermese tirant du précèdent , di- 

vistfpar 3,4,5.. ., ainsi qu'il suit de la nature de cette série. 
Hais d'un autre cité , k cause de l'arbitraire x, on peut poser 
A:i;^ 1 dans {A) , le 3* membre derient ^ e. 

D'où o^^ff, e*=:(i. Telle est l'équ. finie qui lie it et a; k ett 
le logarithme dem, prit dont le tysième dont la base est t. Oa 
préfère cette ba&e e dans les calculs algébriques, parce qu'ils 
en sont plus simples, ainsi qu'an sera à portée d'en juger. On 
appelle logariihmei népériens, ceux qui sont pris dans ce sys- 
tème; nous les désignerons à l'avenir par le signe 1, en con- 
tinuant, comme n* \Sfi, d'eiprimer par Log que la bue est 
un nombre arbitraire b, et par log que cette bue est 10. Donc 




^F IJiiRIES KXPOKt.HTIi:i.LES. 3J^5 

Bivims, h cl:Gtaiit de* nombres qaolconqne» , auMi liicu que 
Ia base A ilu système de )»(;., 



I.06(i + s)=Lo5*+togeg. 



a»' 



■M'- 



.)... (D). 



I 



Lonqu'i) s'agit àc log. nêpiiiieD», Log e se chauge en l« =1, 
pDÛ(]iic ce &cuar esllclo^. de la baseméiue ilusjstèmc qu'on 
ijfiaaidbn (n* i46. i".)ilVqu. (C) devient 

d'oà LoB(i+j-) = Lo(!eX l( i+^). 

Ainsi on cliangc tous les log. népériens en tog. pm tUns nn syt- 
icine quelconque b, en inuUipliaaI. les première pu Log c 
(d* i48); ce facteur conitaiit Log e= Jl/est ce qu'on nomme 
le MODOU; c'est te log. de la bote népérienne e prh dans te 
fjrtSème h, ou ùl'onreul, c'en a» divisé par te log. népérien 
dû la base b. Pour chaque système , le module M a une «aleur 
parliculière, pa^cequeleuomb^e«^esla^tleulêlue:=3,^l8a8..■ 
le loç. de ce nombre cbauge avec I4 base à. Si l'on prend a 
pou base, 

1,0g a =ï I , et Icqu. (4) dovîenl k Log c := i , d'où 
Mk=i, A/=loee, W=^= j^... {5J; 

t Icailcux lacleurg M et A sont vaiiablea avec b base du sjs- 
Ltfane ,uiais leur produit est constant et^ i. Nous saaroos 
Pbicntût calculer le module 3/ pour toute basedonnéed. 

636. Pooc appliquer l'équ.(C)aucalcul du log. il'unnombre 
t^nnii, il but rendre la série convergente. L'èqu. (£) donne, 

n changeant^ en —J-, 

Log (t — j- ) = - M (j- + !j- ' + ; ^ '+...) i 

uancttant de (C'}, il vient 



^°=(i^= 









(«• 



a46 séllIKS HXPOKEIlTieLLES. 

Le pretoier membre devient & ^ Log s — Log ( a — i), c.-à-d. 

la différence des log. contecutifa de x et s ^ i . Ainsi , 

" = •"[^^1+551^ + 557^? •■■]••• <"■ 

Lorsque le module XI Kcra connn, on calcolera auétnent, et 
de proche en proche, les log. des nombres envers 2,3, 4i5--, 
pnisque celle valeur de la différence A entre ces ]og. est très 
convei^enie, et le devient d'autant pliu que le nombres est 
plus élevé. Et même s'il s'agit de former des log. iiépërienSi M 
ou Log e, devient le^ i , il est très aisé de calculer A ; ainsi 
on peut composer une table de log. népérîeni. 

Quant à la valeur de M exprimée par l'équ. (5) . elle résulte 
du calcul de la, ou du logar. népérien de la bote a. 

Si, par ex., a^io: on fera dans l'équ. (F}, M^ i, puis 
s=«i;onaurB A=:l3 (i cause delii=e); 
le double de la est I4 : ensuîle 2 =: 5 
donnera 15, et cnGn on aura lio. Ce 
calcul est exécuté ci-contre. On divise 
ensuite i par lio: c'est ainsi qn'on 
U-ouvc 





sÉniKs cinc^JLAine». 34? ' 

uL le 1" iuRit jioui- (loiuivi A awuc 8 dtciuialsî. Il faut 
d'aillcuri calcolcr a ou 3 cliitlVes nit-ili/U de c^ux i\u,'oa veut 
raiuer*er, altii d'éviter l'accttuiilaiion dm errean i il convient 
«-■n outre de ne partir ijui; de £ =; toono, parce que le* lo);. îj 
réricun ce déduisent aiacutcaidei autres; dès que 2 passe laoo ] 

ou i-i!ul iMfgligcr I devant aa et poser 4 =: — . 
•■ Par eiemple, £=10001, donne a E=o,<H}oa43<fa5; d'où 

quaiilité qu'il Taul ajoutera log 99856=4 i9993';4^i pouravoic 
loR 99857 = 4.9993785. 
On observe d'aillemii que tes lo<r. eonsécuiifs coniicnreol une 
niémedifii'raice dans une certaine étendue de UtBt}le(i*' vol., 
p. 123 ); il n'est donc accessaira ila calculer les vnlcurs de & 
que de distance à anln;. Ou remarque que ::== 9(^840 donne !>; 
mine Dotobre A ( la vnlcur ci-dessus ) que pour : =: 99S60 ; 
donc, daa« l'iulervallc de cv6 deux nombres z,ù cal cunstanl, 
en Nc tiofitani /■ 9 décimales. 

Séries circulaires. 



I 



6jj. FfOpoKi 119 -nous de dévi;lopper en séries sin ;r clcos x 

t Milon Us puissances croissantes de l'arc x. D'abord ces séries 

e peuvent avoir de termes ou x ait un exposant négatif, ou 

h 

1 lirncruMinshe 1 car 1* ai l'on y admettait Px ' = P. \^x* , on 

^ aurait (valcitn pour cliaquc «ce, et l'nit sait que le sinus et 

le cosinos n'en ont chacun qu'une seule; 2* si l'on suppose ou 

Urute tel que Px~' =: — ,lasciii:devieii(lraitinliniepourx=:=o, 

tandis que le san. devient o et le los. iin. Cela prouve en 
outre que sin x »*a que des termes dont x est tacteur, et que 



i le tonne conslaot de a>sxvit = 
%"&» X ^ ax + àx* + cx\ . 



. Posons donc 



1 



ou voit d'abord que = a + ix. . . i 

(jnc la limite du rapport du iinus  l'arc e 



I aait (a- 36 ' 
; «inai en bi- 



I 

I 

I 



Lorsijue X devient n^catîf, le sin . et le cos. conservent U 
jjraudeurs , luais le sinus prend le signe — . Or, quand on n 
|)Iacef par — x dans nos développcmens, les signes des (i 
sances paires cliangent seuls; il faut donc f^ae ie déveUpftt 
de fin X n'ait que des termes à expotans impain, cl eetuià 
cosx des exposani pain. Ainsi ont 

co»j:=i + ^j'H- Jjri + Cx*... -t-ff*".. 

HO X = X + ^'x' 4.fi'T* + . . . + itfV'-' 4- W*****. . . J 

tn désignant par i les rangs des termes. Il l'sgil de dtftsnai- 

ner les coelGcîens numériques A, A' ,0,8",.. 

Changeons x en x + h dans le Iiinome /* cos x + Ç «i 
«léveloppons selon les puissances de A. On |>eui ex^culer cvcaU 
de deux manières, qui doiventconduireau mémeresaltatt i 
eu dércloppant d'abord le Iiinoine selon x, t^t changeant « 
MiiUxenx-t-/i; soil eu remplaçant x par x + A, et rodtt 
onsuiie pour siu h et cos h leurs valeurs développées kIod I 
EnreprcsentantlesrésHUat8par<ï+/8A+y/i'..,=(i'+f A-f y'*'.' 
on u» lire a^a', fi=:fl, .. nous n'aurons besoio iei que 
des cocfficîens de la première puisuuce de h , c.-&-d. de l'^qu. 

I". Pc4Mx-fQaûix = 
P(t+^*»+Jx«...4-JV*")+Ç(«+-*'x'+ff'x5... +*•«**-'! 
■I s'agit de remplacer a- par x+A , cl de conserver le coefid 
«le A*; c.-â-d. qu'd faut prendre la dériver ^ donc 
^=P(a^X + 4fix'...ai,Yx"-')+Ç[i + 3//'x'-f-5iï'x'. 
(ai+i)A-x"]; 
a". P cos x+Ç aia x devient P cos (x+A}+Ç sin C 
ftcoBxcosA— aiii3câulk)4.Q[HoxcMA+coixfuiA^J 



m|ibiotn cos A i«i I •(- 4k* . 



B*pst A+w*'*».., 



^^Btcfaùiquc lc> tenues nt'i cuire cos h, n'eu inoduisent aucun 
^^fpt (oitaircciede A', et ([uc sin A ne donne que A; eu sorte que 
^F g'ss'—P siax+ Qcoax. 

L'éqo. ideniique A'=^' ttt foniiffede termes qui ont pour 
(aclcnn rupcctifs PetQ; et comme ces foiictians sont u-bi— 
train», il dut qac IVqu. se pariage eu deux autres, en ^Qa- 
laol letira coelEcicns. Donc, eu remplaçant cos f et sîaxpar 
leur* d6<rcloiipetuens , on a les équ. identiques 

5WT+4B*»+6Ci*...ii'A'x"-'=-x-^*'— Zfjc»...— Wx"-', 
1 +$A'x'+5Brx*... (at+i) K'x" = t+jis'+Bx>...+Nx". 
D'où en égalant ternie jk terme , 

7.J=—t, 4fl = — ^, 6t = — tf" ete. 3iN=:^ — Sfj 
SA'=A, 5/r= /r , 'jC=C etc. (3i+j)IV= Ni 

Subsliiuanl cea râleurs de ji. jf, B, B', . , oti a enfin 
»> . ** X' ^ . 



3.3 

.-? + 



a. 3.1 



3.3.4 






(G); 



Les termes Rënëmux rcsulieut de Nts r- , ff* ^ —s— — , 

" 3* 31+ ■ ' 

i^'iuations qai indiquent comuicnt chaque coefficient se ài- 
liiit de celui qui a niouie rang dans l'autre série. On preod + 
'ni — dans ces termes, selon quel est de la forme a( ouaS+i. 
638. On a ainsi les grandeiin do sin . et du cos. d'un arc dont 
1.1 lonf;ucur est x, le rayon du cercle dtant un. Soit 3sr lacir- 
(finfércuee (n* G3r), on a « ; j :: i8o' ; nombre i de degrés 

' l'arc Xi substituant tioura: sa valeur-;; — = - (f^. p. 366, 
100" ft ' 
t- I U valeur de ^) nos séries deviennent , i détignani le nom- 



r=:i — A'f + B'iK. 



I 



a5o Hilntes ciiicm.AiRM. 

le calcal ie* ceeOiuica» donne 



loB* =5.^.85:36,59 
log B = 7,9i748 o85j — 



Faisons i 



\os C = M.iïoaoiSa 
loB D = i7.9!P7"- 



l«e £ = M>St7i3 
loB F =. ^,*Sgî«_ 

loB P = 3o.c(m>> 
699. MaUJl importe moios de cniculer les sinua et connitf 
([UC li;urs log. Soit ^la difierence constaule des arcs de la table 
• {■l'on veut former; uu arc quelconque ( est = nt'j d'où 

sinx=;n■^(l — ^ n'^...). «os x^ i ~~ «'^ + ... 

= .3 a...5'"' *~ a 3.3.4""* 

nous avons sjn x^ n^(i — j-), f os X ^ I — »; prcbant I- 
\og. dans uu système quelconque, dont le module wt Af (n' Cs^^i 
un trouve 

Logsin « = LogB*— M (jr + a J" + '^ J^-'-), ^M 

Log COSX=: — WCl+7t'4-| »'■■■); 1 

cnSn, remettant pour ,reis leurs valeurs, 

' a. 3" 4.5,9" g'.S.;" "' 

a "* 3.4" ^'' • 
fii la base des log. est 10. et que les arcs de la table procJidcni 
de la'en 10", comme celaalieu dans les tables dcCanet.^t^t! 
ia longueur de l'arc de 10', ou le 6.(8oo* de la demi-circonfi - 
renée «. D'après les valeurs de •■ cl de W(n"63i, 6aG), ou 
trouve, tout calcul £ait, que 

lopsinxslogj'+logn— /fn' — £A^.,logco>x=^m^— jB*»* — 

loB J = 5,6855; 486fiB!(3S4i 

li'C A = tô,i3o;8 a^iigi 56j las B => *'i«48l taifti 

loB r = lîl'TuTgo joiea 84 tog *" =T " '~~~ 



l«Bsinx=Lofl(ii^- 
Log cos X = 



los C = »8,ik)8ot II 



t*e D* = S^^if 



SÉRIES GIBCULAIIIES. :i5l 

Par ex. y ponr l'arc de 4^ \ ou 16200', on a n = 1610. 

log /= 5,68557^ log il ss 10,3307828 \oz B = 30,12481 13 
\oQ H z= 3,9<^l90i log n* = (>,4t9o3oo log n' = i2,838oGoo 

^ 0,00044649 4>64{^ia8 8,91638713 

^ 0,00000009 On retranche les nombres correspondant. 

a,8946433o:=Iog tin 4« V/ ^ 

ioe A' s= 10,7079041 log B* œ 19,3009025 . — o,ooi3l9{7 
log Ji* = 6,4*9^*^^^ '^ "^ == i2,838o6oo — o,oooooi38 

3^1269341 6,1389625 — o/>oi34o85 

complément = log cos 4^ 3o' =.1,99865915 

Si Ton veut avoir log A= 10, on ajoutera 10 aux caractërîs- 
liques {Vçj- n^ 36a.)- ^^^ log* clés Ung. et cot. s^obtienDcni 
par de sliliples soustractions. 

Comme n croît de plus en plus , nos séries ne peuvent guère 
servir au-delà de ia*y parce qu'elles deviennent trop peu con- 
vergentes. On ne les emploie même que jusqu'à 5 ; aii-deU, on 
recourt au procédé suivant 

g^ sin(j:-f-^ sin x cos^+sin ^cosx 

On a ■: ■- = r = 

sm X sin X 

cos ^ -f- sin /cot x =cos / (i 4- tang /. cot x) \ 

prenant les log., le i'*' membre est la différence A entre les 
log. des sinus des arcs a: -4- ^ et x , savoir, 

A = log cos /+ M ( tang l. colx — \ tang* è cot^ x+ 3...). 

Va\ raisonnant de même pour cos (x +/), on trouve que la 
dilTtirence entre les log. consécutifs des cosinus est 

û'=log cos <r — ilf (Ung / tangx + ^ Ung* «T. Ung' x -f- y..). 

Lorsqu'on se borne à 9 décimales, et qu'on prend J'de 10% le 
i'* terme de ces séries donne seul des chiffres significatifs, 

A = M tang J^cot x, a = — M tang J". Ung x, 
«t Ton a log (3/ tang ^= 5,32335 91788. 

itod /est 1', ona log (V tang <!) = 4*1^1^' ^4^ 



g5S fiKItlES CmCULAlfttS. 

Aiusi, en parlant de: l'arc ^j= 5", donlon conoait lu mo. , î' 
COS., la lang. et locot., un peut, de j>roche eu proche, calcul' i 
lotu \e» sinus et coiinus par leurs dilTëreuceiinccesùvesA, ù' , 
soit de tu' en io°, soit de l'en ■'; par suite ou coaclim U 
lâng et la cot. Soit, par exemple , 



x^ to'io'Be'jlog cot x=o. 7459888 
coostan te ^5.3333593 



4.0693460 
Diir. Io(;aritlim. a ^ 0,00011^31 



Ing tanG x=j -35401 i a 

5.3a33^i 

6.5773704 

a'= — o,ooooa3779 

On remarquera ici , comme p. 347, que le» ijuantitéa a et &' 
sont constantes dans une certaine étendue de la table. Pour 
éviter l'accumulation des erreurs, on calculera d'avaoce des 
termes de distance en distance lesquels serviront de ptnnt de 

L'é<ia, ain 3X^=a bÏdx coe x, qui donne 

logein 3x = log 2 + lo(;siu:c-f-lo£cosf , 
servira à cclusage. Comme ain ^5'=^l/3, tan(j45^=eot45^=i , 
on pourra partir de cet arc cl calculer sio 4^° ~ "*'• '*• ^'M'* 
arcs complémentaires ont réciproquement lesin. de l'uu pour 
COS. de l'autre; d'où l'on tire leurs tang. et cot., delà 00 panera k 
45» ± ao°, 45° ± 3o*, etc. 
63o. En comparantleïseric8(G)et (tf) à l'éqa.{B), on voit 
que leur somme est e', ausigne près des termes de 1 en 7 rangs ; 
or, si l'on change f en ±j \/ — 1 , dans le dcvcloppemcnl (B) 
dcC, comme |/ — 1 apour puissances y — 1, — 1, — |/— i,.^! , 
lesquelles se reproduisent périodiquement à l'infini , le» si^nt - 
des termes se trouvent êlru les tnémes que dans les série» <' 
et Bi d'où 

c=t^"' = cos;c±: v/ — I. ainx... (/). 
En ajoutant et retranchant ces deux équations 

e'Y-'+c—*^" e'f— _e~»V-- 



sSBIES CTaCULAIilïS. 



255 



d'où 



en nmltipliaiit haut et bas par é^^\ On ne doit regarder ces 
expmaiooi que comme des résoltats analytiques, où les ima- 
ipnaires ne sont qu'apparentes > attendu qu'elles doivent dîs- 
panltre par le calcul même. 

Enfin, changeant x tnnx dans (f) , on a 

r^"»^~' = cos /tr ± |/ — !• sin nx. . . (£») ; 

mais le i*' membre est la puissance n' de l'équ. (/) ; donc on a, 
quel que soit n, 

cosiurd:|/*-i« sin iix=(cosâr±: v'— i. sin â?)"... (JU), 

Ces formules sont très usitées. Nous nous bornerons ici k les 
appliquer à la résolution des triangles. Faisons 

Cy'— I — Cy^i 

d'où cos C= I (js+z') , sin C. v'— i = i (»— O- 

Soient A^ B^ C, les trois angles d'un triangle^ 0, b^ c, les côtés 
respeclÎTement opposés; on a 

a sin B = 6 sin ^ = 6 sin (H 4' O ; 
sin A ^ „ é sin C 

— -g = taDg /? = j-;y^3j^ ; 

enfin, 

a^t/— I =1 (a — 60—1 (a— fa) 

(équ.D) =^(x-«')+ ^(«•-.,-)+-|^ (*»-*")... 

Mais la formule (L) donne 

2"=co8 mC-|-|/— ï -«n wC, sf^scosmC — |/— i.sin mC; 

d'où z"^ — z'^^sss 2 V' — I . sin m C 



d'où 



354' S&RIES ciscnuiftu. 

En subslitlual et luppriinuit le liiclciir conann ay — i,U 

vient < 

/» =- MB C + — ^ sin a C +V^ "« iC+. , , 

rédnitàc*=:(a— lïx} (a — frs'), à cause dezs'^t. Preiiuilei 
log-, OD obtient 

. aIosc=:=aloBa— 3/^^(8 + 0+^^ («'+=')...]; 

et couune s" + '''" = sens >n(7, on a 

log csrloga — -Wf - cos CH ; cosaC+ -5— ,coa3C.. j. 

Cet deux sériel servent à résoudre un trîxngle, où & est uès 
petitparrappori à â, connaissant /ejrfeufcj!itf« a el 1> et fong/c 

63i. L'éqa. (/} donne, en prenant les )o;;. uépe'rîens, 
±x\/ — 1=1 (coaa; ± \/ — i , sin rj 1 




SÉKIKS CIRCD LU BU. 
pourUng. de leur tomme, UDg(.r+y)^ - 

iommttMtdoacx + x'=/^S''. FaUoiui <lsas(i7) tang;x= ', 
tangy^J, et 0JoutODSi nous aurnir» la lougoeor d« l'arc de 
ii)*, qui cat le «{UBct de Udeuû-ciKOnIfreuceir du cercle (toit t 
le rayon est i : 

1 . = 1 - j (i)^ + i CtÎ* • ■ - + 4 ( iî' + ï Ci)* ■ ■ ■ 

On obtient de* séries plus convei^Riiles par le procédé de 
Hacbia. Prénom l'arc x dont la tang. est ^ , d'où (Z,, n" 359) 



- := ^ , tang 4^ 



- tang* X " ' ■■*'"' I — C-^)' "^^ ' 

cet arc 4-* difière donc très pea de 45° ; v étant l'excfes de ^r 

suriS*. ou V SX ix '^ SS^, on n tann v = — ; ;— =-io. 

Par conséquent, aï l'on fait tang ;r^î, et qu'on répète 4 fois la 
série TV, on aura rarc4^i lie incine tang v^^^, donne l'arc t\ 
et retranchant, on obtient l'arc de ^5^, ou 

1— 4[s-i<î)'+5(i)'".l-T7i + îCTisV — ■■ 

Nous avons donné (n* a4S)l«:T<!sultat de ces calculs avec ao de- 
annales. «b:3,i4i59 a6535 89793, 

log» = o,497i4 96136 94, U:= 1,1447a 98858 494. 

63a. Faisans x =kw dans l'équ. (1) , k désignant un entiei- 
quelcuiiqne ; on a sid t =s o . cos x = ± i , selon qne t est (Utir 
ou impair, 

e=*"^— =±1, l(±i) = il*rl/— 1; 
mnltipliantpartemodulciV, et ajoutant )avaieurnniuériqu«v< 
de Log. a. 

■ ctani nu nombre quelconque pair , s*ils*ogit de log (+a), 
- 1 impair pour liig (—0). Donc tout nombir a une infinité de 



^56 SÂRiU aRCULAlKEft. 

log. àant U même rjrtlS^me ; ces log. sont Utui àmagiaaint ti 

ce Homàre ett négatif; t'il est potilif, un teul ett réel (*). 

633. IMveloppoDi inaiotenaDt nn s et co> x selon tet sinnl et 
cosipiu des arc 3, sr, 32. . . PosodS 

COÏS+ v* — >■ «"«Œ^i €08 5—1/ — '• nâx=v; 
d*où jv^i, 2co»»^j-+i'i I, u, jffji'.., étant IcscocIB- 
riensdelapuiaianceu, on a, qael qneioitH, 

2*««"ï — j^+u r""' + -^J—* +■ ^jr— . - - 
L'^Q. (M) donne j-* = cos As + y" — i . sin **. 
Dodc 

a" co»"» ^ «» «« + ««>(«( — 2)« + j<'co»(u^4)'* ■ • CJ' 
±V/ — I [«nii» + «sin(« — a)B + .^Bio(ii — 4)z ]. 

Ïjc ± provient ici de V' ~- < > qui admet toujoars ce double 
tàgt^e. Quand u est entier, cos"! ne peut avoir qu'une seule va- 
Icur; CCS Jeux expressions doivi^nt donc être e"; 




SÉRIES GIHGUIAIRES. ^5ff 

trelui qaî en axaprèsluii en ayant u — oravant, e8tes<-^(ii—- ax)z: 
les cosinus de ces deux arcs sont les mêmes; leurs coefficiens 
sont aussi ^uz , par la propriété de la formule du binôme ; 
ces termes sont donc remplacés par le double de l'un, de sorte 
qu'en divisant Téqu. par a, et en désignant par u^jf. A*, . . , les 
Goefficiensp.8 du développement de la puissance u du binôme; 
on a 

a""' C08"Z= COS HZ -4- u cos (ii— 2)z + ^' cos (u — 4)'- * • (Q) 

en n'étendant la série qu'aux arcs positifs; seulement il faut , 
quand n eti pair, prendre la moitié du dernier terme constant g 
qui ne s'est réuni avec aucun autre. ^. p. 6 la valeur de ce 
nombre. 

Changeons dans cette équ. z en { «■— - z\ le i" membre de- 
viendra 2*'* sin "« : quant au 2* membre, un arc de rangx 
étant {u^^ ajf)« = Az, devient-^s-A — hz, ou ^sru— «-x— Az t 
on peut ajouter wx à cet arc sans changer son cos. , qui devient 

COS (^ «• — Az) = cos \ wu cos hz -f- sin \ wu sin hz\ 

i*. Si u est un nombre pair ^ cos^ vu = zb i , selon que u a 
la forme ^n ou 4^^+ ^ 9 s^i^ i vu = o ; ainsi le cosinus se ré-- 
duît à ih cos Az= di cos (u — aj:)z. Donc 

±2»"' sin«s = cos uz-^u cos (u — 2)z + A' cos (u — 4)*"- C^)» 



il ne faut pousser le développement que jusqu'au terme moyen 
(qui est constant) , dont on prendra lamoitié. On prend le signe 
-4- quand u est de la forme /\n, et le — si u = 4^ + 2- 

2^. ^SV u est impair, cos ^ vu =0, sin \wu'=z^i selon que 
u a la forme 4n + i ou 4'> + 3 , et on trouve 

±: 2""* sin^z = sin uz — u sin (u — 2)z + -^ siû (u — 4)** • ■ {S). 

On ne poussora le développement que jusqu'au terme moyen 

(qui contient sin z, et dont on ne prend plus la moitié); le signe 

+ a lieu quand u =r 4n + < > le — ' quand n s= 4^* + 3- 
T. II. 17 



SERIES CIHCUMIHKS. 



On en lite ûseiuent h 



l'quAtiom fluivantca i 



2Cos'« ^ cos a« + I 



8C06^Z := COB 4> + 4C0S 3E ^- 3, 
i6cos'f = cos Sz ■+■ 5cos 3: -f- tocos 2, 
3acos°; = cos 62 -{- 6co3 4^ -f~ iScosiz-f-io^a 






— SaÛD^s s= c 



I 3z — 3»D s, 

s 42 — 4*^0* ^ + 3 > 

1 Si — Ssiii 3z + tosin s 

I 61 — 6cos 4* + < 5coa a 



634- Réciproquement, développons les sinus et cosiant 
nulliples, selon les puissances de sLn x=^s, oass:=c. te af 
membre dcre<iuaiion(;Vp. 353), estCc-^^/— i.i}": enlet^ 
vctoppaut pai U foiniule du binôme, od arrive 4 uae^qu, 
kk fotme 

coswï + ^ — i.sio nz^P+Q^ — 1 ; 

et puisque les imaginaires doivent se détruire entre elles, \'é~ 
quation se partage en deux autres, cos nz^P, ûm lu^ Q 
la 1'* contenant tons les termes où «^— 1 porte an esi 
pairs; ainsi, n étant entier ou frac^oonain, poaitif oa 
lif , on a 



sin i«=iic"-'j- 



— '-•■+ 



"(— !)("-') ("-3). 



•SpoMB|^ 



H(n-}.-(a.4) 
• a. 3.4. 5"*^ ^ 



, et ('^ cos X, on a 



cos 3>=3«) — 3c*', 
coi 4xs=ct— 6c**»+**, 



S 6»=f"— i5cV+i5c'*<-^, 



SIU 2Ï=3«, 

sin 3c=£3i;'j^-<', 
sin 4i=4<^* — 4^**, 



635. Dan» tm iiMrinuks, Wsiims soAt inAUi htcc les «^m». 
nof; on peat en trouver d'autres en fonction duseulsinns, 
ou du cosinus. Puisque les arcs c, az» 3z. • . font une équi- 
différence^ les sinus et cosinus forment une série re'currente 
(n® 36i), dont les facteurs sont 2 cos z et — i . De même, si les 
arcs procèdent de af en a, savoir, z, 3z, 5z. • . , on bien oz, 
^z^ ^ ; les facteurs sont % ces az et — i ; or, 

acos as =3 a(o» — s*) s»a— 4'\ Ainsi, parlant de cos z»= i , 
sin os= o, cos zzszcj sîn z = 5^ il est bien aise de former les 
séries récurrentes qui suivent, dont on a les deux i*" termes 
et la loi (n^ 6a i). 



sin az=#( ac) cos az^ ac*— i, 

sin 3Maa$Ç ^tf-^ i), cos .3z= ^c^ 3c, 

sin 4*:ss( 8c^k— 4^), cos 46= 8ci-« 8c'+ i, 

sin 5z=/(i6cr* — iac*+ 1), cos 5zi=i6c* — aoc^-f* ^^^ 

sin 6z=r#(3ac*— 3ac'+ 6c), cos 6z=3ac' — 48^^+' 8c» — i, 

sin 7z^(64c^ — 8oc*+a4c*— i), etc. 

Yoici lesfmrmmles générales (XI* leçon, Cal. des fonctions, 
Lagrange) (*) : 



(«) Yoict ]«8 Talran du terme général T, i* terme de cas équ. , et do fac- 
teur F qui multipliant le i« terme produit le terme suivant ( V. p. 3). 

•In m... T=(-i)'- (oc)— •<-►« jXC(«— OC(i— 0J> 

il 7 a 7 n , ou •; (11+ 1) termes , selon que n est pair ou impair ; 
le dernier terme est ':^met dans le i*' cas, et =bi dans le a*. 



cos nz, . . r=(-i)i-'(îi«)— »•♦» X ,_" [(it~iOC('-')3> 



^— 4? " — rôr=î) ' 

k série a ; 114.1, ou | (n+i) termes, selon que n nt pair 00 impair; le der< 
terme est :t 3 dans le 1*' cas^ et ± anc dans le a*. 

17.. 



36o SÉRIES cincnLUiEs. 

■in 1»=* {Cm)—- (ii-a)(w)^+i(ii-3)(ii-4)(»c)«-« 
„n— 5» — 6, .__,, . , -H — 6...n— 8, ._i_ > 

Mi»i»=Cac)»-ii(ac)»-'+in(B-3)(«)»-<-iiiC«-4)(«-5X»c)"-"... 

yenon»-en . . enant uiz séries aKendantes selon s. 

nu aa=c(aj, . md Sx^iSt^iC*? 

sîn 4*^(4'*' '> >■■> 5s^:5« — 3(M>+i6<»^, 

rin 6«=c^— Saj'+Sa/), sin 7ï=7»— Sei^+naj*— 64*', 
sin 8i=cC8»— Bw'+iga»*— la&Of eU. 

COSX£-=I— v', COS3xsKC(l^4'')> 

co84z=i— 8f»+ 8**, cos53=<:(i— ia«*+i6»*), 

cos6*=i— i8j'+48**— 3a**, co«7z=c(i— 24*»+8o»t-64*«j, 
etc. etc. 

I*. Qaand r est pair, on pcnt poser (^ 

(*} La i* tonna T eit I« Guitmr F qni mnlUplitiil h f tcnna produit lu 
lirma luîTsnt , dans ces équ. , ont pour nlenn 

^(-0'-c(aii"--l(;n+i-0C(3,-. 




HÉTIiODB INVERSE DES SéBJES. 



261 



«4Q 



C08 



'^-'*- xr ^ +" —.3- • T.?" ^-/^^ " J 



a ' a* 3.4 
2*. El quand n est impair, 



iïM. t 



6ID nz 



cosnz 



L 1.2 ^ 1.2 3.4 ^ ' J 



Méthode inverse ^ ou retour des Séries. 

-636. Étant donnée l'équation j-s ^^ où f x est nne série , 
il s'agit de trouver xrsF;^ en série ordonnée selon jr. Si cette 
dernière a one forme connue , telle que, par exemple , 

il ne s'agit que de déterminer les coefficiens^^JI, C .. On subs- 
tituera dans la proposée j^=^x, cette série et ses puissances, 
pourx,x*,x^, et Ton aura une équ. identique, qu'on parta* 
géra en d'autres, par la conxparaison des termes où j^ a la même 
puissance : ces équations feront connaître les constantes A, 
£ fCjD, • . 

Soit J = M{x — {x' + ^x^—ixK,.); 

qu'on se soit assuré que la série cirdessus convient pour x (cela 
guit de ce que jr est le log. de 1 -f- ^> ou a'' == i -f-x : vojrez 
n'^GaS); substituant donc pour xla série ^J'+Dj'*"n il vient 



Djr^,.., pourx, 



il'oû 
puis 



Enliu 
De 



HÈTSODE IKVeHSE DES SÉRIKS. 

AM=t, B={A*,C=AB—{ A\ D=.. 



a. 3. 4" 



3.Î 

: X — X* + X' — JC* 

Mais il est rare qu'on connaisse d'avance la forme de la sé- 
rie chercbée x-^Fy-, on indique alorïles puissances Aejr par des 
lettres, ;r= j*j-" + B j-^ + Cy,... et il a'agil de déterminet 
les coefficiens et les exposans, en considérant qu'après \x >ub<- 
titution dan9^=:=9x, il faut que chaque terme «ut d«tliû( 
par d'autres où j^ a la même puissance. ■ 

Soit ^=ir' + i3:' + iaîf+...: ■ 

supposons x = ^j'-\-By^ ■\- C/'*'+..., 

a, fi,y. . . ^lant des nombres croissaiis. Nous ne luetlons pas 
de tenne sans^, parce que ^r=orépondà/:=0. En substi- 
tuant pour X sa valeur , nous voyons que, 

t*. Les exposans 3, 3, 4- ■ • qu'avait jr, formant oneëqui- 
difTérence, «, ^.y... doivent en former également ose, poii 
qu'en développant, les puissances x*, x*. . . jaiûrODl viaîf ' 
luent de la même propriété. 

a*. Si l'on trouve a et «9, y,t'... s'ensuivront. 

3". Le terme où y aura le plu» petit exposant est \ Ay f il 
doit s'ordonner avec le i" membre j-, d'où a> ^ ■ i ; -ï^i; 
ainsi, « = i, A=^\/ï. 

4°. Les termes qui casuile ont le moindre exposant, étant 
ABy et;'^V"t pour s'ordonner ensemble, iU dotTWJ 



mis- 

1 



«voir ■ -{- 11 s 



, ou ^ ^ î 



ainsi yss»\, t= 



tm rebûsani le calcul , on trouve biencAt A^B^C. .; d'où 



Ccsl «îiifi «ne 



i.a.3 i«a...5 i.a..*7*"' 
se reofene 0Otit la formeae^Ay '^Sj^é^Of^. • . 
On troUTe , iout calcul fidt ( vùjr, n* 64o) , 

Pour xs=a/ + bjr* + cjr^+> . . , on obtient 

* • • 

. X bx* . aé'— oc .. Sabc'^à'd — 5A* ^ 
La8ériex=ar+*J^ + ^+<^^.. donne 

Enfin, j'' = ar-i — i x^ — \x^ — Tg«^— rb ^'••• 

donne x'^ Ay^ ^ By'^J^ CjT^. . . ; 

et par suite, 

Si la proposée était j^ = a-4-^^4'^^-**S pour la commo- 
dité du calcul, il serait bon de transposer a, et de dire 

T*-»tf c d . 

îi— T — ==«, d'où z=x+^x*+T«^+...; 

on dételopperidt ensuite x en z. Au reste, voyez n* 751 , où 
nous avons traité la question du retour des suites de la ma- 
nière la plus générale. 

Des Équations de condition. 

687. Lorsque la loi qui régit Un phénomène physique est 
connue et traduite en équ. p {Xjjr.., a^ &...) = o, 'il arrive 
souvent que les constantes a, &,<?... sont inconnues, x, j*. . . 
étant des grandeurs variables avec les circonstances du phcno- 



364 UOINDRES CAHIIÙS. 

liiène. On consulte alorî l'exiiériencu pour deUrmiiicr a,b ,c... 
en mesurant des rnteurs simultanées du f,^,x,. .. et lessntw- 
tituant dans l'équ. 9^ o : puis répélanl l'opérience, on ot>- 
serve d'autres valeurs pour i, j-, s... , ce qui doniM d'aaire* 
équations de condition entre les constantes Inconnues a, (,c... 
quel'i^liuiinatian faiteusuite connaître. 

Mai« lei valeurs tirées de l'observalipn u'clan t jsmaia exacte 
les nombres a, b', c ,.., qu'on obtient ainsi poui 
ne peuvent être regardés que cnmme appiocliés : on doit doa| 
poser, dans 9~o, a^a' -^ À, b=:f>' + /l... et délermi^ 
lier les erreurs  ,B. . . , dont a^b. . . sont alTec tes ; et et 
A, B... sont de très petites quantités, on est antorisé i C 
négliger les puîisances supérieures : ainsi l'équ. $ = oe 
tient plus les Inconnues ^,£. .. qu'au 1" degré, par«x., 
la forme 

o=x-\-Ajr+Bz + a... (I). 
On supplée alors à l'imperrection des mesures de x, y, m. M 
par le nombre des observations. En rdiérant SOQveut les r 
perîtnces, on obtient autant d'cqu. (i), où x, y, t... : 
connus ; on compare ces éi\n. , on en combine plusieurs c 
elles , de manière à obtenir une équ. moyenne , ou l'un* 
constantes ait le plus grand facteur possible, tandis qu'an coÉI 
traire les autres facteurs deviennent très petits : par U !'« 
reur de U détermination des cocflicien» se trouve huucoaf 
atlixiblie. En réduisant ces équ. de condition au nombre dtâ 
ioconnucs, l'cli mina tion donne bienlâl les valeurs de A,B.. . 

Cette métliode est usitée en Astronomie ; mais «Ik est biea 
moins exacte que celle des moindres carrdt, propoaéc j 
M. Lcgendre, qui racLètc la longueur des calculs parla p 
cision des résultats. Concevons que l'observation ait donné d 
valeurs peu exactes dex,jr, z. . .; substituées dans l'équ. (4 
le 1" membre n'y sera pas zéro, mais un nombre e très petilv 
inconnu. D'autres espériences donneront de même Ica emtf 
e, e'. . . correspondantes aux valeurs a:',*%j^,j'''. 

e'=x' + ^y + /ï,'..., c"^x'+4y'+ÛM'. 



265 



laH>iiinic(lescaiTé3deces(.'(iu., ctn'ecrivont 



Il que 



les 



Urracs rn A, parce que les auU'es termes ont mcine forme : 
oD irouTc qnc c' + (/' ■+ c*. . . est 

=vrf-Cr'+y-l +3-^Cx^+xy...) +a^fl(j-s...) +2^C elc. 
Ce 2* membre a la forme A''m + iAn +k; il est le plus petit 
possible quand on prend A LeI, que la dérivée soit nulle, 
Am-i-n^o {vojr. ii" 140. [I, et 76^) j eu ne contidërant que 
le facteur constant et inconnu A , on a donc 
xyj-xy...+A(j*+y'...)+lS(.jz+y^...)+Ctjrt...)eU.=o. 
Il faut multiplier chacune deséqu. de condition (t) par le Jim- 
leur y de K, et égaler la somme à zéro. On cooserve au facteur^ 
■on signe. En opérant de même pour B, C..., ou obtient au- 
tant dVqiL aemblaHes qu'il y a de consianles tuconnues; ces 
cqu. MOI du 1" degré , et l'élimination est facile A faire. 

Par ex., la Mécanique enseigne que sous la laliludej*, la 
longueur x du pendule simple à secondes sexagésimales est 
x=A+Sstu*j^, A et /I étant des nombres invariables, qu'il 
s'agît de déterminer. Il suflîrait de mesurer avec soin les, lon- 
gueurs X sous deux latitudes dllFérentcs y, pour obtenir deui 
éqa. de condition propres à donner A et S. Mais la précision 
»em bien plus grande si, comme l'ont faitMAI. Mathieu et Biot, 
on mesure x aoas six latitudes dilTércntcs, et qu'on traite, par 
b mtJlIiode précédcntejleasix équ. de condiùon. Lesquan- 



ivcura, 
à + 0.0.506771. - o,9-jî»j8i 



1 mètres, donnent ces si K 

A .(. B. 0,493^370 - o,!K,3i74o, 
A + (I.o,5iïGii7 — o.g^'ibtfi^, 
B -t- ll,o,6a45(>a8 — o.gjiouîa- 
Touime le coefficient de A est 1 , l'équ. qui s'y rapporte est 
Turmi'e <\v la somme den six erreur»- Pour Û, on multipliera 
tliaque trinôme par le facteur qui affecte B, et l'un ajoutera 
lui six praduits: donc 

6-^+^.3,0657375 — 5,9614793 = 0, 
-^.3,0657375 + *. 1, 593389^ — 3, <46(p77 = o. 



uyik 




366 VOtBDBES CâKBÉS. 

Ii'dliUiiifttiOo donne AetB; enfin, on » 
z = o.gjyi S755 + B un 'j- , log A = SiftStSaff, B tf 

^^. la Cona. de* Tenu de 1816, où H. BIsthiea diacBta 
p^ cette méthode les obBerrations do pendule ûûtes par la 
E*pagnotsen diven lieux. 

GonMltCK mon Atironomie pratique et tna Géadiiie , où ce 
«Djet ett traité ay«c le plus grand détail. 




LIVRE SIXIÈME. 

ANALYSE APPLIQUÉE AUX TROIS DIMENSIONS. 

1. TRICOnOMitTItlB SPR^niQCE. 






Notions fomiamcntales. 

638. Trois plans MON, TfOP, MOP (fÎR. a5), qui pas- 
sent par le centre d'nne splièrc, déterminent unan|;lefnïffrffO, 
elCDUpcnlIa surface selon iIl's grands cercles, dont les AtaCA, 
CB, AB, formentuu trianj;Iespliéric{ue.^£C; les angles plans 
de ce trîMre O sont reapec ti vente n l mesurés par les cAtéa ou 
de ce triangle ; savoir, 'NOP par AB, MON pa r AC, MOP 
par fiC VolBq\c Cdu triangle es i mesure par celui que forment 
deux tangentes en C, aux arcs contîgus AC, BC; ces tan- 
çâtes, limées dans les plans de ces arcs, mesurent l'angle 
lîêdrc de ces mêmes plans iVOWP, c.-à-d. l'inclinaison <lc In 
face NOM sur POM. Donc , lut angles plans du Iri'fdre O 
font meittrét par les c6iés du triangle aphérique ABC, et les 
inclinaiiont àesfaees «ont les angles de ce triangle. 

Les problèiues où, doDnanl(|uelqut.-8 parties d'un triangle 
»})bérique, on ee propose de uoufer les autres partie», aonl 
iprécis^inent les mcinet que ceux où connaissant plusieurs éi«- 
Itaeosd'un tritdrc, on «eut obtenir les autres. Il y asixélé- 
imrni .- trois angles A , B , C , et let /rois cSiés opposés a , b , c , 
triangle sphérique ; ou, si l'on veut, trois angles plans 
c , et les troi» angles diblrei opposas A , B , C , du iriidre 
il s'agit. Étant données tivis difttsn'xpartiet, il eu que»- 
W lie lUk-rminer le»1trois aiitirr. 



I 



aOS AHiLYSK DKS TBUIS DIMESSIOKS, 

D'après cela, que, d'un point O, l'on dîrijjc des rayi 
i Iroii poÎDls 3i,N,P éloi{;iiés dans l'espace, tels que 
étoiles , pnr es. , C(^s lignes seront les arêtes d'un trièdre 
dfliil les cléiutins uoiistituans seront ceux d'un trian);1e spht 
<|ue .4BC, lequel cit fonué par les arcs de grands cercles qi 
joiljneui les points où ces arêtes vont percer la surface d' 
splicrt; de rayon arbiivaire, dont l'œil es( le centre O. 

Ces principes servent à dénionirer les tlié o reines su ivAiu. 

1°, Tout angle plan d'un irîèdre elaot moindre que d<i» 
Ataila, chaque c6lé de tout iriaiigle sphdrîque est <^t8a*. CA<n 
que angle eu aussi plus pclit que deux droits i c'est ce qn'init 
encore du triangle polaire. (''. ci-apris n" 639.) 

Toutes les fois qu'un calcul conduira i, trouver pour valeur 
d'uu angle ou d'uu ciSté de triangle, un arc ^ 180", cette so- 
lution devra cire rcjetee comme impossible, ou du moins lem- 
placi<e par le supplcineut de cet arc: elles cas., sin,, tang.,etc. 
ne peuvent appartenir qu',\ un arc moindre que U dcmi-cir- 
coofifrcnce. 

a". Puisque la somme des angles plans de tout angle polyèdse 
«st moindre que 4 droits (n" 380], la somme det trois céiéi 
tout triangle sphérique, est plut petite que 36o". L'angle Uni 
d'un cube, formé de 3 angles droits, montre quediaqne 
d'un triangle spIteViquc peut valoir et même surpasser 90°. 

i*. Deux triangles sphériquessontégaux , lorsque troisangla, 
eu Iroiî c6tis, ou deux côtés et l'angle compris , ou deux aagte». 
et le côté adjacent , sont respectivement égaux lIukim à 1 
Ces ilitforèiucs se prouvent, ainsi que les deuii suivans, 
pour Itis triangles rectilignes (n" i63). 

4». Dans un triangle sphértque isosc'ele, fan: abaif*if 
peu'l. du sommet sur la ùase , divite par moitié cet 
i'angle du sommet; Us angles égaux sont oppotèt • 
égaux, ri réciproquement. 

5". Dans tout triangle sphértque, te plus grand angle i 
toujours opposé au plus grand côté, le moyen fesl au « 
k moindre au plus petit. 

&.Vnc6lé en ton jours moindre que ta somme des deux aairi 







TBIGONOMÉTRIE SPilÉHiyilE. 26g 

ti pliu granâ ywp leur différence : car la somme de deux an- 
ulL'iiplaiisd'un tri^dresurpasaeleS*, d'oùa<6+r, eti<c+c. 
ou a^O—c. Doue auMÎ> la dcmi-tomme des trois calés d'un 
triangle tuqiasse toujours un côté quelconque .• car en reinpla- 
^atil /> + (.- pat n-j- i,a-\-b + c devient 2(i+i; ainsi le demi- 
pc'riinùUc ^ a + ; I > a. 

039. Coupons notre trièdre O par Iroia plans respectivement 
perpend. aux arote*; ces plans dclerinincront un second trièdre 
O' opposé au 1" ifijî- a6) ; les angles plans de l'un seront sup- 
pUmens des angles dièdres de Vautre, et rédpivquemeni. 

Eo elîel, l'ono de» faces du trîcdre proposé O, ^lant MON. 
menons, en de» points {juelconques N,M, sur les arites O.W, 
ON, deux plans puri>endiculaires Si lea droites , et par suttu 
aiu lace» JI/OiViMOP d'une part, WOiV./VOP de l'autre; les 
angle» M et /Vdn quadrilatère OjWP'/V sont droils; l'angle P 
est donc guppliJinmi de MON. Mais ces deux pltiiis coupam 
»ent des faces du nouveau trièdre <y, et se coupent suivant la 
droite O'P", arête de ce corps. L'ani^le dièdre formé par ces 
plans est TÎsiblenient mesuré pur l'nnf;lc MP'N. puisque le 
plan de cet nn|>,le est (perpendiculaire à ces deux faces. Donc 
l'angle MON du premier est supplément de l'angle dièdre P' 
An second. Il en faut dire autant des deux autres faces MOP, 
NOP, qui sont supptémens des angles MN'P, NM'P. Les 
aoglci plans du trièdre O sont donc respectivement les sup- 
plèmens des angles dièdres du trièdre opjioBè O' . 

Rtictproquement , les anjjles plniu du trièdre O' sont les 
supplément des angles dièdres du trièdre O, par la même 

Les deux Iricdres O et C déterminent deux trîancles »plié- 
rique» j4BC,A'B'C qui sont tels que les angles de l'un sont 
lupptémcos dc« c&les de l'autre , et réciproquement. 

Étant donné un triangle tphérique ABC dont a,b,c sont les 
(6i4t, on peut toujours en construire un autre A'R'C, dont le» 
:^tia sont .i',l)',c', ul, que les angles K, h, C de fun soient Us 
iiipplértum respectifs des calés a',l)',c' de l'autre, cl récipn>~ 
gisement, Mvoir : 



370 ANALYSE ans TltOfS DIHUtâlUKS. 

a ■= iSo' — A , II' = 180" — , e = iSo" — C... (i), 
^— 180° — fl, fl'=i8o- — A, C=i8o- — c... (a). 

Le Iriangleoinsi forme 3'appelle/ïoifl(>cou*(i/y/i<mMWwdlli*', 
On voit en outre «jue /a somme dca trou angles de lot.-. 

triangle iphérique , est toujours comprise entre deux et n . 

droits. En effet, d'une psrt chaque angle étant moindre quL 

deux droits, A -{-B-f-C'<6 droi»; et d'au aotn [lartTeu 

aj«aiBDt les trois équations (3] on a 

A + B+C = 6droits— (a'-}-** + c'); 

et comme on a vu que «i' + A'+c'<4 droil» t»' 636, »•) , 
on voit que A + B +C>a droits. 

Lescquaiioiu(i) et (aj sont fort utiles, car «Iles réduîacni 
Jk trois les six problèmes de la trigonométrie spliérique, qui 
consistent â trouver trois des six élénieDs d'ua triangle, 
lorsqu'on connaît tes autres. Supposons par exemple, qa'on 
sache trouver les trois angles A,B,C, quand on connaît lo 
trois cAtes <i,A,c, : recipror|uenient, si l'on donne les trois 
augles A,B,C, pour trouver un côté d, on subslJttteru vu 
triangle son supplémentaire Â'B'C, dont on connaît les trois 
câtés a',b',c\ par les équ, (3) ; et lorsqu'on aura trouvé l'iut A' 
des angles, l'équ. (1) donnera le câté opposé a = 180" — K' 
En sorte qu'il suffit de savoir résoudre u» triangle dont «n 
connaît les trois côtés, pour savoir aussi résoudre celui dont en 
a les trois angles; et ainsi des autres eu- C'est c« qui «'éclùr- 
cira mieux par la suite. 

&(o. Si l'on coupe le tnèdre O {fiy, %-^) par un plan/imn p if^ 
pendiculaire à un atèle 08 , en un point m tel que Om = 
on a 

mn^ tangc, 0«=:secc, mp= tangA, Op =sée A P 
Or les triangles reciiligues mnp , npO donnent ( n" 355) 
np'^^mn^-^pm' — imn pm.vM A, 
iip^= nO-t-pO'— nnO.pO.tos a; 
relranclniu la 1" de la a', il vient, à cause des IriaiH 



^^r TRMOROMBTBIB SPBÉBIQUE. 37 1 

nmOtpmO , rectangtfiB «n nt, et de Om^= t, 

cl metUnt — pour séc, et — pourtang., 

Y 



ces a , sin 
•-■ C0.C.CO.4 + 


c.sin A.cos>4 


qui conduit à Yiqualion fondamt 


nlofc 


co««= co» é. co«c+s 


ut £ . sin r- cos 


On «luait de mâme 





I 



cos b^z COI «•«(» c + siti a. MU c.coi B 
tôt c=! cas a .cas b + tin a. 9in II .cas C 

cos a— cm b to» c 



/co 



19 C\ 



d'oti I — C«»' ^ «: wn' ^ , ... 

r^uîunt le 2* membre au même déuomiiutteur, ei rcmpU-' 
ant un' par 1 — cos', 

I— coi'i — cos'c — cos* a + 3 cas a. coa i.cea c 

Sl&'jff=: - . ■ - . . — ^^^— . 

Prenons lo recine carrife , et divisoua les deux membres par 
siu a, le a' membre etltine fonction sjrméiriqueàe a, b,e,^ne 

nous Hommeroa»5f, savoir t s: U. Cbwjgeant dans cette 

iju. A et a, m Btik, an C etc, comme Afrme conatant, 
^'D en lire 

sin  sin fl 



(5) 



1; Dans tout triangJe tphérique , l«t h'jiuj dci angles sont pnpor- 
^MenneU aux sinut des côtés opposés. 

Pour cUmiacr b du l'^u. (3), menons pour cos & »a va- 



37» 



AHALTSB des trois DiaSMIONS. 



Igor (^, etïîU— —^ pouf sin b ; il Tient 

' . ■ - - . «nasincno^CMj/ 
CM o^icos a coi'c+sin a sin c cosc cos B-f ^^J 

iMJ» cos'c=i— ftia'c; donc en divisant toatpai.nnAÙV, 
tin c cot a^coi c coi B -^ an Bcùt j1... (6). 
En appliquant à Véqn. (3) la propriété da triangle supple- 
meit taire (ëqa. i et a), c'est-à-dire, cliangeant aen i8o* — A, 
A en i&o" — a< etc., nous avons 

— cos^ =C0R B eot C — lin Bsia Ccos a, . . (^). 

Ces théorèmes aufiisent i la résolution de tous les triangles 

sphériques , ainsi qu'on le verra par les développemens que 

nous allons donner ; niais il y a encore une équ. générale qu'on 

emploie quelquefois. 

Ëliininona cos c en tre les équ. (4) i comme. . . cos'a ^ I — ain'n, 
en divisant tout par sin a, on trouve 

sin a G03& = sindcos acoa C + sinccos B.... (8). 

Nous devons encore ajouter que dans les équ. gAiéràles entre 

certains élémens d'un triangle sphérique quelconque ABC^ 

cliaiiRor g et y:/ en b et Z 




THICOHOMÉTBIB RBCTIMGHE. 37? 

S «équations ioat propres au calcul logarithmique , et 

pscuti la rtàoluUon de tout Irianglc recuiigle î Dei nnq 

wns a, b, t, B rt C deux itani donnés, un peut toujour* 

r les irais autres. Ainsi \a. question est po»^e entre troij 

iM clonl un seul est inconnu. Oa dénommera les angles 

& Iriangle par A,B,C, l'anfile droit ciant A, et l'on cher- 

eliera celle de ces sii equ. qui comprend les trois éléraeas 

dont il s'agit ; mais pour trouver cette équ , il pourra arriver 

n*on soil obligé de changer de place les lettres B et C dans la 

■re. Suivant les divers cas qui se présentent , ou choisit les 

. qui contiennent les trois elémens compris dans le pro- 

i«t <l«iu ■ni;l<» ii,C . {irenei l'Aquatim (g} 

uii >n(>|g B I uppiwè ï (mJ 

elIsciM* ( adjncent c (p) 

Ua uoh tAtét a, b, e (■) 

ton eSUÏde l'angle ilntit ot Isa aoi;!.!! 1I,C (t) 

Il cM4« VtB ■'■"EtB '■■'o» X" ^"C^e '< (r) 

rc fréquent usage qu'on fait dié ces équ. exige qu'on les ait 
|K cesse présentes ^ la mémoire , chose que le défaut de »y— 
Irie rend assez difficile, Mnuduit a indiqué un moyen ttai- 
^^iqne de le* retrouver, qui consiste ib lire, sur la %uru, le» 
cinq ilémvM du triangle rectanj;le dans L'ordre où ils sont , en 
faisant le louv, cl i observer que les trois eli'mens entre les- 
quels on cherche une relation , sont coniigus ou akernatif» • et 
il est de fait qu'on a toujours 

, .... , . ( i/ciïin.d'oiTj alteuhes, 

rot. arcinlermédtatre^i produit i . 

' \ iU3 coi.darrs contiCus. 

Seulement , en appliquant ce théorème , il faut remplacer les 

deux iSiés de l'angle droit par Icitrt complément , c'esl-A-dire 

s sin. par co«., Jeun inng. par col., etc. On peut , en eflèl , 

iier que ces deux prop««ilinn$ reproduisent exactcmcot 

six (fqualions. 

'. Dcl'équ. (m), on conclut que /ecojinuf f/iir^^t^niMe 

K ^gal au produit des caiinut det deux autres r6ié»; ainsi l'nn 

1 trois côuis est < ou i>(|o'', selon que les Jeux autre» 



374 ANiLYSE DES TROIS DIH&NUÛSS. 

tUtét sont d'espèces semblables ou diSiérentes, car les costniu 

d'arcs ^ go" sont n<5{^lifi. 

s*. L'étju. {q) montre que Eil'on compare l'iiypot^nasc anx 
deux angles adjacens B et C, l'un de ces trgis arcs est ^ 
on ^Cgo", scion que les deux autres arcs sont d'espèces sem- 
blables ou dilTerentcs, 

3*. Les dqu. (r ou «} prouvent que chacun des angles BtiC 
est toujours de même espèce que le côte' opposé. 

4". De même, l'équ. {p) montre que riiyjKitéiiuse cl un cAtc 
•ont de même espèce, quand l'a nf;le compris est <|| 90% et 
d'espèces difTërenles quand cet augle cst]>90''. 

Kou9 entendons par arcs de même espèce ceux qui sont en- 
semble soit <^, soit^90°; et d'espèces difii-rentes, quand 
l'nn de ces arcs est <[ et l'autre j> 90°. 

5". Enfin , si le câlé b de l'angle droit ^ 90" , on aura 
cos(=:o, et (d'après les dqu. m et f)cosa^o, cos^=o:Ies 
c.t\téi CA, CB sont donc chacua de go", et pcrpend. sur AB ; 
le triangle est isoscèle bi-rcctanglu ; C est \cp6U de l'arc AB 
(fig. a8), G.-à— d. que C est distant de 90* de tons les points 
de cet arc. 




V TRIOONOMKTHIE RKCTILICNE. 375 

«»n »oil par eelt« i-tiu. que la somme des deux angleiB etCett 
^go", paitque le a' membre est négatif , et doit devenir po- 
sitif. 

a". De mêtue poar obtenir un côté b de l'an^'le droit , con- 



B 



nusaot le» an(;les H et C, l'équ. (#) donne cos 6^ -^ — r; 



sin C 



«insiTouat^qu. citée et «"Seo) 

f*>°8 i* = iin C + ««.-. ans ;(C+,)' 

Uiigi6=V'{i">i6[Ufi-0+45*].tai>g[H« + 0-45*]}. 
3°. Coiui&issiuit l'hypoténuse n et im cAté r, poar Iroaver 
l'angle «djacenifl, l'Cqu. (/^) donne 

— tang c eot a cos c si» a — sin c cos a 



iAPs--e = 



I + tangcci 



L On Ttnurtfaera que les sinus de a — cet a -(-c doivent avoir 
lenfaiie sifjnc, pour éviter les iniagitiairesi doucsia-(-c]>'i8o°i 
llijpotéDUse a doit être <jr. Donc quand le triangle a de» an- 
gles obtuK , l'bypoténuse a n'est pas le plus grand c&té, G'wt 
m rote et que la Gg. 3i mettra en évidence. 

4''. L'éqo. (tit)donne cosr^ 7, d'où 

ung»! c=ungi (a + 6) .tang ^ {a- b) (i3) 

. Enfi:), si l'on ctierclie un cdté &, connaissant l'angle op- 
et l'hypoténuse fi, nu lieu d'employer l'équ. (n) quand 
b est Totsin de 90", poseï 

b = 90'^ os , tang x ^ sin o si» B ; 
Véqu. (n) revient i cos as^tang x, d'où 



xant^si= 



- tang 



;— ^Unfi (45*- 



ANALVEE DEa TBOIS DIHBMSIOttS. 
utne (45-- i 6) - l/un(î(45'— ^.. 



L'arc X étant calculé par l'équ. Ung x =: sin a sin J 
derniËre donnera b. 

Pfoiu domieroas ici les cinq clémens constitutifs d'un triao' 
{•.le spbe'rique rectangle, afiii qu'on puisse s'exercer d l'appli- 
cation nuiue'rique des forraulea, en prenant, h volante, d«^^ 
de ccsélémeoB, et calculant ks (roisautres. ^Ê 

TYiangle rectangle d'éprtmve. ^| 



UÏIIS13 




„.„„„.. 


-- 




, = ,,4,,s.54 

B= i38.i5.45 
C » 105.55.39 


T.80OO.34 
TgSI.oea 


+ 1 1 M 


1 1 1 1 -t- 





I 



Le signe — qui suit plusieurs de ces log. est destiné i în- 
diqaer que le facteur qui s'y rapgiorlc esin^gatif ; ce qu'il m: 
faut pas confondre avec les — qu'on plaM i gauche des 
log., quand on \eut écrire qn'il faut les soustraire, ce qui 
arrire dans le cas d'une division. Selon que le nombre des fac- 
teurs négatifs d'une formule est pair ou impair, le produit a le 
signe + ou — , circonstance qu'il faut noter avec soin '. Ciir, 
pareicinple, taug a donne pour a un arc «< 90°, qtiaud celle 
UDgente est positive , et le supplément de cette valeur q 
la tangente est iiégalive. 

Quant au 1 qui est l'entier de plusieurs log,, cetUt u 
aeté upliquèeT. t, p. tar. 

TrùtHgUt sphéri^uri QbUquaaglei. 
^3. Pauons en revue tous les cas qui peuvent m 
(6g- a8). 

1" CAi. éteni donnét Ui mit e6tét a,I»,c, trou\-er Fangtr S 



ïin', cnr. 
aud eetle 
UT quu^^J 



rUGOROHâTIlIK SPUEHIQUE. 2^7 

^L'iqa. (3)i p-31*i ^ ■ub«tUuant i — 2 sîd'î //pour cm .f 



*! A|U. «t d'uD fi-cqiwnt usaf,e. Ou en tire 



a SU) siit c 



Ei ciUM de l'equ (8) de la note n* 36o (*J 



_ sin {(,a-^ 



■c).siai[a+ c 



(.5) 



-fî) 



Cette é<\xi, propre au calcul des lo[;. , fait connaître l'angle A. 
^^Elk devient pUiN ijinùtiique, en posant 

^%*on 



Mn' - ,/ =3 - 



siuA. sine 



De utime, en luelianl dans l'équ. (3), 
< v/, ona 



(16) 

pour 



("7) 



•■A=- 



C18) 



'.sin c 
■ l**decesequ. parlas", 

■in(/»— Z-).»!!» (;■>— c) 
«in/*, sin (/'—a) 
lO tiuekonc|ac de ces iroia ^^n, résout la qvcstion. 
9* Cas. Étant donnât Ut trois angles A, B,C, trouver le cSlia^ 
a propricW dn (rianQlasuppWiucntaire (p. a6ç)),appli(|uéc 
1 (!qu. précddcDles,|>ar la substitution des valeurs (1) et (3], 



!■) Comme 1i> {nvini«r incinbn- Ml mcntinltemun 
mli»<iui)&M«M»l<<tlo<'l. on «M 
, M r ^ t— d . puliqui) lu rnlaUoiH 
on nttv»t* «lot» kl lo ihèMimaG*, pap a60. 



378 

donne 



ANALYSE DBS TROIS DIHEHBtOHS. 

1 rOS P. C08 (P — A) 

2 Bin B.nn C 

. I C08 (P — fl) .co» ( P — Q 

3 un B.ua C. 

, ^> _ CO*P.CO»(P— .^) 

wng-- a_— cos(P-fl).coaCP-C)* 

3* Cas. Êumt donnés deuxc6tés»eth, et P angle comprit C, 
prouver le troisième c6lé ? 
L'éqn. (4 ■ p. 271) peut être employée aons cette fonne 

cos c^ coBacoBi(i + taug a tangi cos C). 
Connaisunt deux cAies btC, et l'angle compris j1, od peot 
trouver le 3* cAtéa,& l'aide del'équ. fondunentsle (3,p. 271), 
en la rendant propre au calcul logarithmique. On pose 

cos ^ = 3 COS" 3 ^ — 1 , COS a s= 1 — a sin' 7 a, 

d'où I — nàn'^ a^coB{b-i- c)-i-^a\n baineco^ljt, 

= 1 — 3 Bin'j (& + c) -(-2 «ini sine cos* ^ jt; 




||5*CiS. Ûe deux côUs et les angles opposas, comtaùtant 

j iUmeM, tnuver U quatrième ? 
r II faut recourir à la rhgte des quatre sinus, é([u. 5, p. 371, 
L.644-^'^P'*^ lorsqu'un counait les truis câlés, on les trois 
iglM d'un tri.iugld , tout pioblÈine de ti'i(;ouoni^tne spbë- 
II! comprend au rang des doiiDées un anglu et un câtc adja- 
, outre un iroisiÈine élément : dans ce qui suit , nous de- 
eron» toujours cet angle par^, elce cMc pari. Abaissons 
'un des auglei C (Jàf,. 39) un aie CD perpendiculaire sur le 
i c : ce cAl^ c sera coupe en deux segmens p cl 9', et l'sn- 
e C CD deux angles t et b', savoir ; 

entendu que l'une de wa parties sera nigaiive dans cka- 

« équation , li tare perpendiculaire tombe hors du triangle, 

I qui se présente lorsque l'un des angles A et U de la base 

V aigu et l'autre obtus ; cet arc tombe, au contraire , au-de- 

I dii triangle quand ces deux angles sont de même espace. 

En iSet, des deux triangles leciaiigles ACD,BCI.'>, tirons les 

I valeurs de l'arc {icrpend. CD, par \'é(\a. (r), p. aja, 
K long CD = lani; A sin ^ ^ lang B sîn ip', 

■ les angles A et li sont de inéiiie espî^cc ; leurs tangentes ont 
■iinc sigillé ; sin f> et sin ç sont donc dans le inénie cas : mais 
quand A ei Û sont d'eipèccs différentes, leurs langunlcs, et 
[lar suite sin 9 et sîn f' doivent avoir des signes contraires ; 
alors l'arc per|>en dieu lai re C/7 tombe Lors du triangle , et L'uii 
Bas s^mens 9 et 9' a seul le signe — . 

H 645. Dans U figure 39, on voit que le triangle ABC est de- 
Hompose en deux, <^t.'0,i?CZ>, qu'on peut traiter séparément, 
^ndont la rifsoluUon fait connaître les élemcns non donnés, h 
^nide de ceux qui le sont. Ce procédé conduit J deséqu. sim* 
^Bes , auxquelles le calcul des log. s'applique faGilcineut. C'est 
^Bt que nous allons uionlrei. 
^AOu résout d'abord les iriuiglcs ACD,BCD, pour en ûrcr 



I 



aSo ANiLÏSE DES TROIS DIMBHSIOflS. 

l'une tics |iarUes f ou &, du cùlé c ou lie l'angle C, e 
aant conaus l'aorte ^ ei le cAié adjacent b. Les éqn. (p « 
|i. 27a cooduiseut aui cqu. (1 et 2). Puis tirant dccbacoo d 
ces tiiangles les valeurs de l'aie pergienduiulaire CD, et éga- 
lant cm valeurs , on obtient ks équ. (5,6,^ etfi), les(iaell«« 
vienneul reapecuvcineul des ei]U, (m, j,r et//). 
Tang ç=tang*cosuJ,.. (O.cot fl =co«* tang W.. .(rf 

c = ff+*', (3); C=a+&', (4 

cos a cos t' ^ eoB ji rin # « 

i^^~EST' ' '' ^~B~a^ ™ 

tang ^ si»*' , tang a cog9 

tang B~~ sin 9 ' ^ ' ' lanç b cos? ' 

ain^ sin B imC , , 

5Î7 = S,T=S7 '* 

Voici les divers cas qui peuvelit se préseoter, et U uuuicq 
de les traiter par ces équ. euayautsoiit d'ailleurs d'aï oirç 
aux signes des sin., cos. et tang., signi-s qui sont positifs ou o4>' 
j^atirs, selon queces ligues appartiennent k des «rcs < ou >go° . 
Outre les données A et b, on b eucore un 3' elëuieul. 1 

1". Si l'on connaît c(dcii;i;ri$»j« belc, cf l'angU eomprii è^j^^Ê 
l'tfqu. (i)donue(9), (3)doune9', etcesarcs peuvent recevoir I^^H 
signe—; (5) donneo) (7), B ; eiilin (9), C, dont l'c$pi:ce (^^^ 
d'ailleurscounuc (u" 644). ." 

3".SironaC((fc«j: aiigles\etC,ethcSté adjùcem b), 
l'dqu. (2) donne «1 (4), S', qui peut être négatif; (6), B; (8), a; 
(9), c, qui est d'espèrc connue. 

3". Quand on coitoait a {deux côtés a tt b, e/ faagie^ 
poti k) l'équ. (Odowey; (5),*'; (3),c-, (^etg), flet C: 
ou bien, (2) donne fl; (8),''; (4).c; (6^19), Acte. 
Dans ce cas, le problème a en général deux solution*; carJ 
ou 6* étant calculé par au cosinus, l'arc a le double signe ±Q 
et Cont donc deux valeurs, à moins qu'où ne soit coudai 
CB njcur unL- comme négative , ou > 18»». reséqu.f6el| 



■ TBIGOHOMÉTIIIE SI'HArIQUE. a8t 

itoniicnl 9' et f' par leurs sinus et il on résulte deux valeun 
de H; Av mime pour C et c. 

4°. Qaaad on coniiail B {deux angles A cr B , et le cûte op- 
posé *) l'équ. (a) donne S; (6), «'; [4), C; (8 et 9), a L-t <-. 
On bien (■} donner ; (■;).9'; (3), o; (5 «t()), d et C. 
Il «»t« encore ici deun solutions , i^ar 9' ou f étant donné 
un siouSt l'nrc a deux valeurs supplémentaires; ainsi c 
l'équ. (3), et a dai>s l'équ. (8), reçoivent deux valeurs: 
denéttic pDUrii et c dnns (Set ^), etc 

Obscrvui qac dans chacuu de* quatre cas que uoub venons 
d'aualjser, on ne se sert que des l'qu. marquées de numéros 
soit pairs, soit impairs : lorsqu'on a le cboix des deux sys- 
tcines, on doit pri5f^r celui qui eonduil à des calculs plus 
litnplet ou plus précis (*). 

646. Voici plusieurs conséquences importantes [fig. 3g) 
cosb~ 



Fden 



'. L'equ. (5) donna — 






cos i + cos a cos 9 -f- cos p' " 
verm deséqu. 7 et 8, T. I, p. 373, toinnic c = fi + (i'ona 
«■"Bitf'— *)=ta»fi H* H-*).lang-;[a— fc) eot \ç... {ta)- 
Connaùsantles Iroit i;âlé»a,b,i, d'un triangle, celteéqu. lait 
connaître la deini-diflerence de sefjuiens p et »' , et par suite ces 
segmens mêmes , puisque ; c est leur deini-sotnuie. Eu rcsol- ■ 



f *) Pour r«aoadni un trimglo Bpbériquo où l'on coniull >oit deux eùtêa oS 
■Il BD(lc, mit ilflQi anglia M nn cAlë, abaisaei de )'uu ilai lOinnieta un art 
parfwodlfl. aur le «Al» <ipp<w« , pour rormof dflu» iHsiikIto ™cla(l([l8i, donl 
l'uuslldeiu parti» cobbum, otilrs l'angle droit. Col trc nedoU dono p«i 
liartlr do l'aDgla donof lUai le '» tai, ni IqntMr nr le «M donoi 'tant l« 
3* CH. Hdaaliet r« triangle rocUnele, el uleulai les drus se|ineni « «t V* 
'- '-" ~ucaHi8et|'de)'uigl«dui<)nnM. Ui «qu. 5,6,7 «81 •'*'»'>- 



il aldii 

l". Iri COI. Jri Jau eiUt Jr {■«•ttçle £oi ^ri Vartpttprnd. imu comm 

I. in B)|)Hiu rtlptcUfltc U tai» i Ut ni- lU eeieâliU ^inl etmime toi 

•. Lei toi. Jit Jeux viglfi à U batc nu» comm' Itt •mai rtiptctifi dei 
UUhiic, Ititot. J.- ctita^ct lOMItoaoBilfiK'au iki u^fmfai • e^ 



tu 



I 



aSa AXALTSE DES TROIS OIHEBSlOyS. 

«SDt la iriiD^ei re?Uii{;lef .4CD,ÂCD, on oblim leia. 

l^nAtlB. savoir: 

cof jf=tMt^ f cot fr, co> £ = Uu£ f' cota... fil], 
s*. L'éqa. (^} dopoe de mêine (tw^n n* 36o ei ëq^ 3, T. I, 

,.3,.). 

Ung -< — tani; B lin y'— tin 9 lang 4 (• — *,' 

sin ^ '+ tin f Ung 1 (ç' -}- Cv ' 



UDg .Y + ungA 
laDg î if' — •) = 



sin (-■< — g) 



.Ue^ic 



9ID (.-/ + f ) 

Quand on connaît deux angles A,hetle cÔtc adjacent c. cette 
éc|U. donue 9 et 9' (fig. ag) : les équ. (1 1) deleriuinent ensuite 
aetb. 

3'. L'éqn. (6) doDDe, en opërani de la même manière . 
tangîtîi'— i) = tangi (v^+BJ.iaog ;{./—»;. laDgiC. {i5 , 

Lorsque let mit anglet A, B, C, soni donnés, cette équ. iàii 
connaître 6 et ^' ; on & ensuilc les côtes aet b, ea résolvant I06 
triangles ACD,BCD, 

cos 6==:cotScot^, cosn^cot S' cotll.... (i4) 




THfCOnOHbTRIE SPUÉRIQCE. a83 

Uî|>lianl IVqu. (i6) membre à membre par cette dernière, 
■ les Tscteurs qui ne sont pas détruits sont au carré ; pre- 
llla racine, il vient 



t"SH« + *) = 



COSJCv* — fl) 



. tang Je (*), 



.- C>1) 



cosn''+*) 
ttuaiit l'équ. (i6) par la précédente, 
jalon* les valeurs (i3el i5) de tan;; '- {*' — fl) 
I même manière sur l'èqu. rësultaule , ce t] 
iger j4 el ci-dcratit en a et À, ut réciproquement , puis 



[ opérons 
revient à 



; noiu avons 



ung ■(>*-/() = 



{ C. 



■ ('( 



'-M-\-br^ — j 

'éll« sont les analov^iea de Néper : on s'en sert ptincipale- 
Uponr trouver deux càtes a et A d'un triangle, lorsquon 
iakll le 3* côte c et les deux angles adjacens A et fiCéqu. 1 7); 
bien, pour trouver deux angles^ et fl, connaissant les deux 
jloppos(<3 a, A, et l'angle compris C (équ. 18). 
iangtet Uoteeles. Soient C el li les deux ang'^» ^C"»* 
"Tun triangle ii08cè!c [fig. agôiV) , A el c les deux côtésegaux , A 
l'aoï^lc du sommet, a la base ; l'arc perpeud. qui va du sommet 
au milieu de la base, donne deux triangles rectangles symé- 
triques, dans lesquels on tronvc les relations suivantes^ Jcu^- 
luées des combinaisons 3 à 3 des qiutre élemeus A-^h^ a, b ; 
CCS cqu. font conualtre l'un quelconque de ces arcs, quand ou 



• UBB-* ■ «M -(^ — i)}«t DD* ipiuililcpiMUîn, ilfiatqHB 
i}*t«M ' (A + B) «loni inSm* signe, d'où I'od e(ia';.'iil i|tw 

M il> ^làir M^lti fwffanfwi eu loufourt dr la m4w ejfiri f v 
M dei deux rfiiéi Offioin . tl r^tproiiiimnii 



^94 4NALTSC DES TROIS DiMENSI0»3. 

a Icft deux autres. Ainsi , de cei quaWe parties rtun 1 
gle ifihi'n'ijue itoacHe , Vangle A du sommet, ta base a, , 
h des c&lis égaux, et Vun B des angles légaux, deux étant li 
tufs, onpcut trouver les deux autres. 

Mn'ia::=MB^,Asial>,.... (m) 
cosb ^cot Bcoi{^,.. . . (q) 
tang \ a = Uag b cos B ,.. .. (p) 
cosî^^cos^o BÎofî, .. .. (») 

Des problèmes qui ont deux solutions. 

647- Tout irionglo tpherique rétuUe de la kciîoq d'uns 
sptiëre |}ar tiois plana qui passent au centre. La figure 9t a 
pour base le cercle KMK', et reprdicnle un héroisplière produM 
par l'un i)e ces plans : leit deux auties plaus donni?ut les dani^ 
circonrëieiicea ACm^BCU', qu'on voit ici en perspective; leun 
plans se coupent selon le rayon CO, ctdéterniineDl le Iriauglai 
Bpbérique 4BC. Les aica CA,C*t sont supplémenuires; l'an- 
gle A est l'iiiclinaiion du plan AC» sur la base KK'. En me— 
naul le plan MCm, par le rayon CO, pcrpendicutaiicineal à^ 
celte base SK', puis prenant MA' = !UA, de pari et d'autre 
de ce plan MCm, on obtient un deuxième f\aaA'Ca sjiuéi^< 
trique ivrfC, et l'on a 

m«=m<t', ACt=A'C, Cu=CçC, A = A'^» = *' 

Si Von fait tourner le plan v^Ctf autour dn rayon CO, pooe 

prendre touiesles positions CK,CB,Cf,... te pknserxpe»^ 

peadjeulalre à la base quand il coïncidera avec MCm-, put»j 

liant l'une quelconque de ses positions, il formera kvec t» h 

Idnue SB^i.-« aupplémenUires , l'un en-deMOUS, l'autre •« 
dessu» de ce plan. Les arcs CB , CA, C/, . . . croissent es «*4 
cariant de l'arc perpend. CW=:4', qui est le plus petit de tou^ 
jusqu'à l'arc perpend. opposé Cm, qui est le plus grand. El 
cHèt, le triangle rectangle ACM, où CA-=:b, donne... 
(OS ACM = cot b tang J, > ^l '"^ facteur taug ij- est cogaiaot^ 
Quand l'anjile ACM est devenu de 90°, comiae pour l'ai 
CK, dont le plan est perpend. à MCm, ou a cot & = a, 1 



TRtl}O!»0HliTRJ& SPRSRIQDE. 3^5 

l'nrc CK^tfi'. Le plan conlinuanl ensuite do roumer ven 
Ca, to» ^CWdcTient négatif, etcroliaimiqnccot ^; cnsorM 
(jue l'aix C-' continue d'augmenter. Tout est d'fttllean symé- 
irique doi deux câ(^ du plan MCm ; ainsi les bits et lesin- 
clinatiODa teronl deux à deux (égales, pour des aies t<ganx 
.itj* = Hjt, «avoir CA =s CA". angle A = A'. 

En tournant ainsi , le plan coupant s'inclino d'abord de plus 
«n plus «ur la baie KMK' , ai devenant CB, CA, CK, car le 
triangle nctangle ACM donne encore 

vm'^^ânbiraAy..,. (i6) 
éqa. doat le i" membre est constant, et où sin b va d'abord 
en angtnentaot, comme on vient de le dire: ainsi sin,4dà:ro!t 
en même temps. Mais d^ que le tf>\é b atteint 90° (alors CB 
détient CK =90* = 3/f), sin ft diminue; doncsin^aug- 
mente, et l'angle A aigu à la base, a pris sa moindre valeur aa 
point A', et eommentie à croître. Ce point K est \e p6le de ta 
demi - circonf<érence MCm ; l'angle K est mcsuri! [jar l'arc 
CJ(fa3i^ = A, on de l'autre cAté du plan coupant, par 
(;-n = t8o*— 4. 

On voit donc que tons les arcs partant de C (Ëg. 30 pour 
■bmilir en quelque point de la base demi-circulaire KMK', 
■col <9n*i tandis que les autl-es qui vont en KmK' sont^cjo", 
et que C/C=CA"=9o'.DeplH», CM= 'l', et CrnssiSo'—^ 
(ralanrs de 4' que donne l'équ. 16) sont les limites entre les- 
<|uc)1es CCS arci CA sont renfermés. Plus un arc approche de 
CM, et plus il est petit; plus il approche de Cm, plus, au 
contraire, il est grand. ^ 

L'inclinaison des pla&H sur la base, de 90* qu'elle est un 

JUCm, diminue eu prenant loi positions CSfCA,,., jusqu'en 

|C/t ou «llr devieDl K = •}-■. pais elle croit de A' vers m, ju*- 

ll'i redevenir dego" en Cm. L'angle vu aigu du cAtc de CU, 

I il eut obtus dn cAle «le On, ces derniers angles étant 

ipliïmcns respectifs dc« premiers 1 tous ces aup,les obtus 

it< 180' — 4. 

, tout L-sl symétrique de part ut d'aulrc de MCm, en 



I 
I 



I 



â86 ANILTSK DES TRUI5 UIMBUSIORS. 

sorte que pour deux arcs égaux M^ cl JT/.V, les incllnû 
de CV, Ci" aoulvQa\es,et ces arcs sonl égaux. 

D'après cela , il est aisé de reconnatlre si , pour un iriangle 
quelconque BCA, B'CA, l'arc CM perpcniiiculaire sur la 
base AB , tombe au-dedans ou au-dchors de ce triangle , et 
roDvériiie les corollaires donnes d°64i, relatifs aux grandeurs 
des eûtes et des anjjles des triangles rectangles. 

Les probUmes qui ont des solutions doubles, at qu'on a 
coutume d'appeler cas douteux, sont ceui ou, parmi les doo- 
nées , il y a un côlii et l'angle qui lui est opposé, ce qui arrive 
dans deux problèmes 3" et 4°) p> sSo. 

648- i"Ca9. On donne deux côlët a et b, et l'angle oppoté^. 
Coupez rbéiiiispliÈre K MK' ( lig. 3 1 ) par un plan v/Ca, pas- 
sant par le centre O, et qui soit incliné de l'augle A sur la 
base; pub prenez AC^b , C sera le sommet du triangle, le- 
quel doit être fermé par un urc CB=sa, de grandeur connue- 
AnaljsonS ces conditions. 

Supposons d'abord que V angle h soit aigu, CA = b est I'ud 
des côtes du triangle que ferme le côté a qui doit tomber 
dans la région aA MA, puisque si te cdté a tombait comme 

Cf, Cm, le triangle CAJ, CA» au lieu de l'angle 

aigu A, aurait celui qui , de l'autre cùlé du plan CA, en est lo 
supplément. Ce côté terminal a, partant du sommet C, doit 
doue se rendre en quelque point de l'arc AMA'm. Lesarcs, tels 
que CB, CB' sont deux k deux égaux et autant inclÎDcs ntr la 
base, lorsqu'ils vont en des points B, B\ à égale distance 
de M. Prenons MA' ^ MA, MB' ^=. MB, les arcs seroi 
CA' = CA = b, CB'=CB = a. 






Or, si le cAté a est <;fr, a tombe dans l'angle ^Cyf, COI 
CB, CB' , et l'on a deuj triangles BCA, B'CA, com( 
des trois éWmens donnes A, b et a, c'est-à-dire di^ux tolw 
tiont du problème. Alors l'un des angles if à la base est obttu, 
l'autre B' est aigu. Au contraire, si a> b, l'arc a tombe 
comme Cf , et le triangle ACJ"" est le seul qui réunisse les 
trois élémena donnés , attendu que l'arc Cf, symétrique à Cf, 



^H THICOMOMLiniti SPH^RIQUe. 287 

■.I- ùouTcesdm, comme claut situé au-dessus du plan C.V. Il 
, ™ doue qu'une lolution, et l'angle li du triangle jICJ^ est 
..;,ii en,/", ainsi que i. Enfin, quand le côte a>C«î=t8o"— A, 
l'.-irc a tombe comitie C^, en-dessus du jilan ACtt, etiï n|^ a 
nucunt: soluiion possiàle. 

Dans tout ceci , l'arc i < go°, puisqu'on « pris Cyt = A i 
nui* X) 1*00 avait b r= Ca."^ 90°, ut (juc le càte' a tombât 
comme CD ou CB'y on aurait encore deux solutions BC«,D'C«, 
ajant à la base, l'un l'nii^lcB aigu, l'autre l'angle C obtus: 
tandis qu'on n'en aurait qu'«/ie seule aCf', si ce cûte a tombait 
en Cf dans l'espace A'Ca, avec un nngley obtus aussi bien 
ijue 6 1 enfin , il n'y aurait aucune solution, si ce côté a tom- 
bait en CJS" au-dessus du plan jlCa. 

Ainsi, quand l'angle y/ est aigu, b éinnt > ou «Cgo", il n'j 
a qu'une solution, lorsque le cûté ô tombe dans l'espace a 6'.^', 
c'est-à-dire qiund la valeur du l'arc a est entre à et 180"— A : 
ut alors l'angle i la base est aigu ou obtus avec h : hors de ces 
limite^ti il y a deux solutions, ou il n'y ena aucune; deux, quand 
a tombe sur l'arc jIMA', circonstance où a< 90" ; aucune, 
quand a tombe sur l'arc am», ou a _> go°. 

Venons-en maintenant aucis 011 X'anglc A f.ti obtus, cas où 
li; c6té o qui ferme le triaui'.le , en partant de C, doit être au- 
dessus dn plan «C>V, tels que C/", Clf... Le même raisonne- 
ment montre que si a ^ ('« ^ 90°, et si le cAte terminal a 
tombe danal'espace nC» , il y adeux solutions, telles quoCfi*, 
aCB", ayant h. leur baie, l'une un angle li' aigu, l'autre 
Biiçle B' obtus ! qu'jV n'x en a qu'une seule KG», quand ce 
câté a tombe, comme ci-devant, dans l'angle «'C^V, l'angle /f 
]i la hase étant aigu ou obtus eu même temps quc£; vt enfin 
qu'il n|7-cN(j^ajdepossible,lorsqucaiombcsur YaxcA'MA. 
On opérera de mcme pour le cas de ti = C.4 < 90'. 
Que l'angle A soit aigu ou obtus, on voit donc que la solu- 
tion col unique, quand le côté terminal o, opposé à l'angle 
donné ^, a sa valeur entre b et iSo**— b : hors A« ce* limites, 
la question admet deux solutions ou aucune; deux, quand 4 
et a sont de même espèce (ensemble^ ou <Ci;o'')> et aucime, 



¥ 



aSS AKALVSE DV:S THOB nrHKNfirONS. 

lorsque «sarcssOiU d'espaces différciitc». Et s'il n'y a qn'iii 
solution ,Belf) sonl de même espèce. Or, o» sait (n" 644) H ■ 
la perpend. abaissée du sommet C suf la base c, (odiIk niJ 
dedkns ou au dehors du triangle (ce que d'ailleurs on recon- 
naît bien sur la fig. 3i), selon que les angles ^el i9i U Ijmc, 
•ont d'eapèces semblables ou diiféreiitea; donc dans les cqa, 
essf±.<p', C = l±S',on prendra le signe -|- quand les aru./ 
et 6 seront de même espèce, et — danstecascoalrairc. condi- 
tion qui détermine la solution. L'analyse du troisième eu 
du n'èifS estainsi complétée, puisqu'on sait quelle est ttUc d 
deux solutions qu'on doit admettre. 

Donc lorsqu'on aura un triangle à résoudre, ccnm 
deux calés a , b e( un angle oppoié B , on comparera a à\ 
i iflo" — b,- si a est l'une de ces limites, ou compris entre c 
il n'y a qu'une seule solution ; B et b sont de même eap^<xs\ 
et c seront la somme ou la différence de leurs xegmcnsy i 
^ue tef arcs A et b seront desphces semblahtct ou d^ 
renies. Hors de ce* limites , on a deux solutions, quand A mS 
sont de même espèce, et aucun triangle n'est pOstibU dans f 
cas contraire. 

Observez que U moindre cl la plus grande taleurs que \ 
cité terminal a puisse recevoir sont CMet Cm, l'une <}', I*ai>- 
ire tSo" — tJ.' *'"* n'était pas compris entre ces tîuii tes, cVil- 
à-dire entre les deux valeurs supplémentaires de -^ que dnnnr 
lVqu.(i6), p.a85, le problème proposé serait absurde, pin 
qu'on ne pourrait former aucun triangle avec tes IroU é\én\ i 
donnés >^, èet a. Au reste, ce cas n'exige pas de calcul s^^t.;.^. 
pour être reconnu, attendu qu'il se manîfestv de lu»"intee 
par one opération impraticable. 

649- ^' ^*^- ^" ''<">'tc deuxangUs A et B, at^tun 
posé b. 

En raisonnant comme ci-dessus, on arriveraità une 
séquence qu'on obtient plus fncdemcnt par la oonsîiltiralioiîi 
triangle supplémentaire .rfB'C (fig. a6, n* 639).On y coni 
lcscûtéBû'=ti8o"— ^, 6'tz=i8o»— £,etrau(île^3=:i8o'- 



1 

<•<■■ 

limai. I 



I Ttiico.NOMtTn[E <;pi[i:niQui;. 2OQ 

et il *uil de c« qu'on vient de diie que ces él<imens appartien- 
nent i ilctu IriaDglea dont un seul convient à la question , 
tf and^icâtij opposé iiTangle A', esicompris entre»' et iHo^-a'; 
ou, « qui équivaut, quand 8 est entre A et 180" — -ji (en i"e- 
tntDclumt chaque arc île 180°). Alora ^ et a doivent être de 
I nwmecfpèce ; Cet c setout la somme ou la différence de leurs 
, selon que les arcs A ^tb seront d'espèces semblables 
■ difTérCDles. 

Ï.IMM hrtqu'on voudra résoudre un triangle oU A, B etbtc-' 
Udonnét, on comparera B à h ei à 180° — A; il B eil l'un de 
u initrmédiaire entre eux , il n'y aura qu'une teuïe 
Éolution i K ei a seront de même espèce; dam les équations 
C=:6±i', c=9±f', on prendra le signe -If quand let arcs K^ 
et h teronl de même etpice , et — daris Vautre cas , ce qui ap- 
prendra ^uelh est celle qu'on doit adopter ou rejeter des deux 
solution) que donne le calcul n'GiiS, /i' . Hors Je ces limites, iljr 
adeux solutions, quaruih et b sont de même cspbce,el aucune 
lorsque ces arcs sont d'espèce différente. 

En outre, l'angle Adoii Être compris eutre les deux valeurs 
■uppUmentaîres de <j' données par l'équ. (16); car sans cela, 
on ne pourrait fonner aucun trianuk avec les données, et le 
ptoblÈme serait absurde. 

65o. Quand le triangle est rectangle, CM ou Cm (Bg. 3 1) est 

. l'un des câtés, et si l'on donne an angle et un cjté opposé, il y 

■ deui solutions quiserécluisenl:ïune seule dans certains cas. 

■ Ëiant donnés l'hypot^nusv a et un ctltc b, trouver l'an- 

Kgle opposa B? LVqu. (m}, p. 373, fait connaître B par un 

pinus, qui répond d deux arcs supplécncntaîres. De même, 

l donuéï rbypottfnuse a ei l'angle B, trouver le cdté op- 

^>e bf La même cqu. donne deux arcs supplémentaires 

r le cAlé oppoM- A. Mai* dan« w* deux cas, on n'admet 

leule wtutioa , parce que les deux arcs CA on CA! qui 

te triaaglc CMA, CMA\ «ont symétriques : aîusî B 

ft^ sont de même espèce et il n'y a plus d'indécision. 

I s*. Ëtaut donnés un calé b de l'angle droit Ot l'angle op- 

iB, la troisième partie cbercbéc admet deux valeu 



i 



agO ÂIIILYSB DES TROH BIlinSIOMS. 

n l'on demande rfaypotetiiue a,r^qn. (R)dannenBfl; rifaa 
dieiche le trouième cAttf c, l'éqn. (r) donne un c; eiiBn, 
pour tntmtr l'angle C adjareot au <Aié connu fr, l'éqa (j) 
donne un C. Ainii l'incoDouc reçût deox raleni* wmfffàê- 
aenlairee ponr l'arc corre^udant â chacun de eet ânva. 
65i. Voici quelque! applications numériquea. 

I. Soient 0= i33' 19', A = 57*38',^ = 4^a3'. Le trinn^ 
eat impossible, parce que a n'est pas entre S^'sS' et son snp- 
pldment iaa*3a', et qn'en outre ^ et a ne sont pas de lufaie 
espèce. 

II. Il en font dire autant ai l'on a, A ■^ lao*, B ^ 5i*, 
b^ioi'; car on trouve que £ n'est pas entre i3o* et 60% ei 
que £ et A ne soDt pas de même espèce. 

III. Soient &^ 4°° ''' '*>'• a^So" lo' 3o', j^£=42"i5'i4*'> 
il n'y a qu'une solution, attendu que a est entre b et 180^—6^ 
£ est <^ go*, et l'arc perprud. abaissé du sommet tombant 
dansle triangle, f et p' sont positifs; c est la somme de ces arcs. 
Le calcul des équ. (1, Set 3], page aSo, doue 




■ TmGOHOWETIIlE SPHÉIIIQOB. 

(1, 6 et $ eanilaLieiit aux calculs suivAhs. 

(M *....T.8ûfiiS.7 tmB... i.SegîV «■"' 



"1345 T 




Naiu lemineroni l« trigoci« mairie «pU^riifutf , en ilonnut 

t(Mn le« dfinriH il'aii (riaiiglc t|>(iéii(]uc, comme exercice de 

alcal; cir ronoaitMnl tous Its rikineni dn Lriangle, on y 

prmdra i volonté troi* de et* vlémtns po«r dniinm, cl l« 

. «llGal dfrvm repTodaift^ In trois BOlm. 



I 

I 



TROIS D1HE^SI0^S. 



1 ., 


Loe. sLr.. 


Ue. ™,. 


Lob- un». 1 


A = i»i°î6' 19*81 
B= 43..5..î,66 

c=. 34.15.1,76 

4 = 76 35.36,0 

b = 5o.ro, 3o,o 
e = 40. o.io,o 
, =-3v 8.5o,o 
V= 71. g. 0,0 

« =-43 5i.i6,a 
8'= 78.6.19,0 


1.93017^7 

7.8i;6J79 

7.7503664 

1.9880008 

1 .8853636 

T.8i>8i^6 

i.7ï5ii9o5 — 

i.9î85:4t 

T.84o6i63 - 

■t.99i5;33 


T.7,9ÎB,4 - 

1.8693336 

1.9173860 

l.lbSïajg 

1.80648.7 

1.88(3363 

1.9377113 

î.4864R:4 
î-85ïï»fti 

1,3,4.076 


0.4108873 — 

I.9,-,S3o43 

1.833t>8ci4 

o.6!W77».j 

o.t.7838,9 

i.gaîSSeS 

i.7983G95_ 

o.493i<*7 

^.Bl8l6^9 - 

«.676165; 


On ■ povir l'arc perptodUiiliire 
4 = 40. Si. 3,0 [ 1.8.56388 


i 8;876o3 


1.9368787 



, SURFACES ET CODnBI 



DOUULE COtIRDDKE. 



Principes généraux. ^| 

652. Pour fixer ( fii;. 32 ) la position d'na point M dans l'es- 
[wce, on conçoit U-ois axes ^x, Ay, Ai, r]ueDOUtsapp<Heron< 
rectangulairespour plus de facilité, et les plans s>^3:,S/^.x.^^, 
qui passent par ces lignes; puis on donne tadiitance P3t, ou 
i=c, de ce point à sa piojeclion P sur l'un de ces plans, 
ainsi que cetle projection, et par conséquent les coordonnée 
AN, ASdu point P, o\ix=a,j- = b : lei 
ne «ont autre cliose que les distances MQ, JttR, MP }> à 
(rois plans; ces droites achèvent le paralltilépipède QA'. 

En considérant qu'oulre l'angle trièdre zAxjr, les trois p 
coordonnés forment sept autres tcîMres, on verra liientAt^l 
la position absolue du point j^/dans l'espace n'est lîxëc p 
longueurs de a, A, c, qu'autant qu'on introduira les m 
-dessous du plan xAjr, 1 



dans * 



1 étenduf 



niléfini 



.les 



: sont négatifs; 



SURFACES ET UGKES DANS l'eSPACE. 3()S 

i^Buntbedu f\*as^T, yvnx', x est négatif ;^ l'est en ariitrc 
Il |»U» sax. 
I 653- Ifuaj^inont uiieéqu. entre les trois coordonnées :r,^, t, 
|lequcy[x,7', s)=:oi cUesera indélcniûnée. Prenons, pour 
X de «8 variables, des valeurs quelconques x = ii^^7V, 
ï:&=PiV(6g. 3a] i notre équ. donnera, pour s, au moins 
I nne ncitie s=c. Si c est réel, on ^Ijivera en P la |i«rpen(l- 
PH^c au planj'.^x, et le point M de l'espace sera ainsi dd- 
Icnuiné. Cbangcant de valeurs pour les arbitraires j:et^,c.-à-d. 
prenant ^ volonté des points P sur le plan xAj, on lirci-a de 
iVqa. aaunl de voleurs de z; tous les points ^/, ainsi oblenos, 
MTOnl sur une surface, qu'on forme en les unissant par la pen- 

K, et établissant entre eux la continuité : cette surface sera , 
rex., unc^ue, un cylindre, uuespbÈreiy(*,^, j) ;=o sera 
yualion de la surface , parce qu'elle en distingue les divers 
intsde tous ceux de l'espace. Si x a plusieurs racines réelles, 
surface aura plusieurs nappes; etsi s est imaginaire, la per- 
id. indéfinie clevtie en P au plan xy ne la rencontrera pas. 
ji, après avoir pris une valeur fixe de^, telle que j-^Ass^^^, 
on fait varier x, l'ordonnée PM^=z se mouvra suivant SP 
parallèle au plan xs, et les variations correspondantes qu'elle 

B éprouvera seront déterminées par/(i, 6, i)^o, qni est par 
nméqncnt l'équ. de l'intersection delà surface parle plan SM, 
AUe les deux coordonnées x et », comptées dans le plan QMPS- 
De même, eu faisant x^a, ou z = c, on a les intersoclions 
de U surbcc par des plans MN, ou QH , parallèles aux jz ou 
au xy. 

z:^o est visiblement l'éqo. du plan ,i_j-|= = '^ celle d'un plan 
qui lui est parnlli:lc , et en est distant de U quantité c ; x = o 
est l'équL du pltnjri,x-=a est celle du plan qui lui est paral- 
lèle , ineoc À la distance a. 

' 654. Le triangle reeltugle ^W/* donne 3' -f- -*/" = v^W' i 
[t comme 00 tire de jiPt\\ AP*-=. x' + y', on 

n TaMnt AMisR. Donc, 1*. la distance d'uu point i l'origine 



I 



L TnolS DIHEKStONS. 



cttla racine deacarréti des (rois coordonnëes de ce point. 3°, Si 
x.j'ett sont variable*, cette équ. caractérisera tous les pâinu 
de r«sp«ce dont la disuticc à l'origine est la incinc ct = /)i 

I c'est donc têqualion dt! ta aphère qui a R pour rajiou ctl^g| 
centre A l'origine. ^^| 

Soient deux painli, l'un JV(r, y, i), l'auire jVrx'.^,^^H 
(fig. 33)i n ot m leun [irojectinns aur le plan xjr, mn cm b^^^H 
detalifiueAfA'=£/{. Or (n<'373), on a ^H 

D«plua, MP, parallèle â mn, fonno le inangle MTiP [«•- " 
tangle en P; d'où 3/iV=3/P'+PJV'=m«'+7^iViel comme 
Il PN=Nfi~Mm=z~s-, oD a ^J 

^H /{ est ta distance entre les points (jr.j't s), (x', y,^i^i '^^H 

■ l'on regarde 2-,^, z comme des variables , celte ^qvMÙM^^^M 

cetta d'une sphhre de rayon R, et don! le centre Ctl àVoS ^^^Ê 

^o\n\M(x',y', t'). ^^ 

[uel- 
pUit 

1 



L 



635. Conrevoo* une surface cylindrique droite à base quel- 
conque (n° 3IJ7) ; celte l^ase est une courbe donnée MU le pUit 
ij'pat son équ.y(ï, j-):= o. En altribuani à r et j-dei 
liiura qui satisCassenl à celle equ-, le point du plan xy que o 
coordonnées déterminent, est uu de ceux de la courbe qi^ 
sert de base au cylindre ; la perpt-nd. s indéfinie , ^lev^ en C 
point au pUn «>-, est une généntricc de ce corpsi ainsi, quel- 
que valeur qu'on attribue à z, l'extréroiic de celte pefpend. 



mton mB. nC(BG. 33] paralliloi à .^. aoDiicni £<:= i_ t' 
inde IfiV nir l'aiodei x, dq toJI qm) ta longurar ^iinr llgitc 
•n Ui raeiiK carrA Je ta tomme dei carréa de su projt€iiO<u im 

lUMi JfP = ltJV-cos IVIff i Jonc U projvciioD ■■ «i I« ptwIidtJ 
la longneiir proJBlée par le coi. du l'incliraiMaj «I ivcIproqueniHil t 
lijns dsDi l'cspiieg «Il la qooUaoi di ■* piwiaotion *ur un plan dïviaâ ft 
ualniuda l'anglo qB'eU« fail •»« ce pl«a- Cet lU^urtme* lYn-ndwil 41 
\a.\ atra |iUuM >ii<ié«i iUd) l'Mpoco ( Vnt" f 79! ] 



I &T UCnKS DAH& L ESPACE. atjS 

f U ambux dncylindre , eii i]uel<fue point qu'on ta ter* 

I. Doue l'^uation dr la jur/acc d'un tytindre dtvit en celle 

i U gcacratnce du cyltndrt! droit est perpend. au plan des 
, 1 «i]ii. de cette surrace cKt celle de la base tracée sur ee 

, etc. 

laème raisonneioent prouve que I Vqu. d'uu plan perpcnd. 

I des plana coordonnés est celle de aa IVacc lur celui-ci , 

d. de U ligix; d'ioteraectio» de cis deux plana. Soit doue 
./fi=:.(lig. 33 A»), a=:Ung Clil.x=ax+a, quicsilVqu.de 
U ligne SCtvif U.> plan tAx, est aussi celle du pl&n FEBC, 
pcrpend. à i.Ax, et menrie suivant BC. 

656. Soient M ^o , iV = o , les éiju de deux surfacva quel- 
conques ; cliacuno de ces equ. distingue en particulier ceux dea 
points d« l'espace qui appartieneot à la ligue suivant laquelle 
CCS surfaces »e coupent. Donc, un point est déterminé par tn>ù 
/^tàotivm entre x . j , z , yui sont les coordonnées de ce point ,• 
une iurfaeepar une seule équation ; une courbe en a deux, tfui 
ton! celte* des surfacei qui, par leur intericction , di'ierminent 
cette ligne. Comme il y a une induilé de surfaces qui passent 
pu une li^ne donn^ , on sent qu'une même courbe dana l'cs- 
inflnité d'équations. 

l'oo élimine s entre M=o, 7V:=o, on trouvera uneéqu. 
Ij ; ce sera celli: d'un cylindre droit , qui coupe 

deux surfaces suivantia courbedont il s'agit, et aussi l'cqu. 
de la prajeclioti (n' i-jî) de cette tourbe sur le plan xjr. De 
luéroe, en éliminant j-, no aura l'équ. y ^=ode la projection 
lUr le planxs, oudn cylindre projeUnt; P^o, Q^o, sont 
les éqii. de noK deux cylindres, qu'on peut substituer aux sur- 
iîiccs données, ce «ont les éqo. des projections de notre courbe, 
L-l celles de la courbe mime i donc, on peut prendre pouréqu. 
iFunei courbe Us équ. de tes pwjectiom fur deux des pians 
coordonnés. 

iptà&T- Appliquoiut cm principa a la ligue droite^ Non.t preu- 
Kaas pour cea cqu. celles do deux |iUn* quelconques qui la 



puu 

■Mw 

1^! 



agS 



ANALYSE i. TROIS DIHEIISJOHS. 



CODtienneDt ; mais il sera convenable de préfère 
niiKnt àet rësnlUU pliu simples. L'axe de» * a 
x=o, j'=o, qui sont celles de» plans j-s i 
x=.A, j- ^0, sont les équ. d'une droite PU 
lèle ans z, et dont le pied P , sur le plan j*^, a pour coordon- 
nées x=^ii, _/= fi. On raisoriuera de mêtne pour les outres 
axes; x^o, s^ a sont les éi|u. décelai des j", etc.. . . 

Soit une droite quelconque EF, dans l'espace (fig. 33 ait] ; 
conduisons un plan FEDC peipendiculaire au plan x*; BCta 
aéra la projection sur ce plan (n" 2^7). De même ou projutlera 
EFea HG sur le plan j-z ; les équ. de ces projectkH» , «à de» 
plâDS projetana, sont celles de la droite EF, ou 

)l sera aise de voir que *elp sont les coordonuées AB,jtG , 
point E où la droite EF rencontre le plau :r;-, et que a e 
sont les tangentes des angles que ses projections BC, ffG fût 
avec l'axe ^z. Eu éliminant z, on obtient l'équ. de la proja 
tîon sur !eplan xy, 

ay=zbx + afi — ba. 

636- Si la droite EF (fig. 33 bis) passe par un poiol d 
F(x', y, s), lesprojectionsCeti/decepointiODCaittiêccsui 
celles de la droite ; donc tes cqu. sont (n" 369) : 

ï_x' = fl(ï — i'), 

j--y=b{z-z-). 

On trouvera aisément les valeurs de a et fr lorsque la il 
doit passer par un second point ix',jr', t'). 

Quand la droite passe par l'origine j/, ses équations sont 

Il est aisé de voir que les projectioasdedeux droites pai«l- 
làles sur le même plan, sont parallèles (n" a68); doue les cqu- 
de ces lignes doivent avoir pour z les mêmes coelTicîeus a 
cldifférer seulement par les valeur» dc&coustaalcsoct^. , 



«dn^l 




SUUACKI ET UCtfES DANS L BSPlCB. 



397 



^^F Équations du Plan , du CjUndre, du Cône, etc. 

^^V fiSg- Quelles qae soient Iuh conditions qui detenaineot U 
^^^ntUTi! d*une surface, tlles se rëduiseat toujours, en dernière 
^^^BuIyMià donner U loi de sa ge'aération, qui consiste en ce 
^^^[■'une courbe Génératrice, variable ou constante de forme. 
glÎHc le long d'uue ou plusieurs lignes tlonuées, qu'on nomme 
Dinctricet . L'équ. de la surface engendrée s'obtient 
nant ici comme au □" 46a ; nous allons eu donner divers exem- 
ples , en commençant par le plan. 

Un plan OC (Gq. 34) est engendré par une droite EF, qui 
^_ glùuG sur deux antres qui se croisent : les traces BC, BD de ce 
^Krttlui stu ceux de xt, jrx, se rencontrent en B sur l'axe des i, 
^^nc ont pour équations , savoir , 

^B BD...x = o, tz=BjJfC... {\), 

^^^B fuauit AB= C. La trace BC, glissant parallèlement le 
\. long de BD, engendre ce plan BDC; c'est ce qu'il s'agit d'ex- 
primer par l'analyse. 

Soit EFaxte parallèle quelconque à BC, dans l'espace; le 
plan projetant EHIF sera parallèle à zx, HI le sera à Ax. La 
prajectiou de EF sur le plan tx le sera à BC; en sorte que les 
équations de EF seront 

y—*, t = v4x + fi... (a). 
Ponr aTtnr le lieu £ de l'iDierseclion de EF avec U directrice 
iSD.AuiâaomXfj etzenuelcs quatre équations (1) et (3), 
U Tiendra l'équation de condition 

lS = fi- + C... (3), 
li exprime que les lignes BD et EF se coupent. Si donc on 
ne 1 a et ^ des valeurs qui y satisfassent , on sera lûr que 
qa. (1) seront celles de b ^nératrice dans une de ses po- 
ns. Concevons donc qu'on mette dans (a) pour fi sa valeur 
^ C, ces équ. seront celles d'une géni^ratricc quelconque, 



398 IBALVSE Â TBOIS DUnnJMK. 

doni U pontioti iépeadn de la valoir ^'os amibacnà far- 
tMtniic ■. On eo conclat que, fi l'on dÎMine ■ eolic dln, 
c.-à-il. « et ? eauc In uou éqo. (i) et (3) , Venu, ii'ibIimii 

est celle Au pUn , paiique x,jrett repcàentent W rnnfJnit 
oéec dea dÎTcn points d'one génënlrice qnelcoiM|ue> 

C est le s à l'or^ine, on ^A; jtf et 5 ton t la Ungentes des 
auglet que font arec les axes des x et de*^ les traces AC, Jï/) 
du plan , sur ceiu de* xc et detj'z. 

Si l'on laitTarier Cseal,leplan ie meut paralietemeat, parce 
que set traces detu eurent parallèles (n'aGSj. Doue 

1*. Toule etjuation du 1" degré est celle d*un plan; 

2*. Deux équaiions quelconques du 1" degré sont telles 
d'une ligue droite; 

3*. Lorsque l'équ. d'on plan est donnée, 00 obtient les cqu. 
des trac» snr les plans des x's.^set f^, en faisant snccessîre- 
ineat^ = o,z^o, s^o-, ce sont les équ. decesplaos. Ainsi, 
Ax + Bjr + C^o est l'éqn. de la trace dn plan sur celui 
des^çf. 

On aurait pu prendre uDe droite quelconque dans l'espace 




ÉQUATHM DU CÏUHDRE. 399 

l'on met (l»ns (1) Fm, pour 18, cei deux étpi. Mront lionc celles 
tl*une g<jncralrice quelconque, dont U position il^pendra 
de U Talevr (l« u; et si l'on élimipc ensuite k i;nlre elles , od 
aura une reUlion entre x, ^ el s, qui aura lieu pour une gé- 
iii-ralncc quelconque ; ce sera par conséquent l'equ. chercha. 

r^oclaons de M que pour tronver l'équ. d'une surface cylin- 
drique, il faut éliminer x, ^ el: entre les <fqu. (1) et celle* 
M=:o, If'^o, de la courbe directrice ^ pui.i , dans l'equ. de 
condition $-=F», qui en réêulte, mettre x — as pour «, et 
j — bt pour ^ ; l'iiquation du cylindre est donc de la fnnne 
^ — £ir = F(x — ai), la forme (*) de la fonction P dépendant 
de la nature de la directrice. i,,Fe^. n" ^4^ et 919) 

Si, par ex., la base est un cercle de rayon r, tracé dans le 
plan jr;*, et plac^ comme l'est celui ,^£ de lafig. 36, le diamètre 
AE «arl'axe des x, et l'origine en A, 1c» cqu. delà directrice 
aontj^ +a-*=arx, is=o ; éliminant x,jr et t par les éqii. (i)) 
vient ^* + «'= ara, pour l'équ. de condition (*"). Ainsi 

(^ — iï)'+ (ar-«)'=3K^— «) 

c*t Cé^u. du (rylitidmoiilique à ù(ue circulaire s la direction de 
l'ax* danue les valeurs de a et b. Si cet axe eat dans le plan xi, 
on a 6 ^ , 

j' + (x — a£y = 2rix — at). 



(•) Lr* ligue» Fi, J^i ^r... icneol it dmtgiicr dtrii roiicUoiu JiffirBiilea 
dm; iU iDdlqonit do formiilei duia ImqaollM la mïino qaantil^ x antro, 
BiaU oanbiDM 4o diiovu nwaièrM aim le* dona^a. ia eonlnira,^,^ 
ïont la laBiiia fonoti«n de ileni qiuntltài différente» > el « : m lorta qu« m 
r<jn changnli s on z- d*iia cslle-u , an reprodiiirall !d<-nlii)utuaoiil l'auln) 



j . — = r, cei ronctloln dB*iendt«iui 



id«miqi»'>, et =/r. 



(■■J C<l>cittUlbladDM>l-aitaa, paUqoa «al ;S Mat Im cooi 
' A dii la i;énantrlco. H<m« raraifqa* p«nr It sdna. 
t'4l pourrait irouTor re<[u-<lu pi*", c^n lo cuntidùinot co 
n h Uaa MI une llga« dtolu-. 



1 



SOO IRALYSB 1 TROIS DHEHIORB. 

Enfin, M le contre du cercle «t ûtné à l'origine, il nitttdK 
remplacée le second membre par r*. 

66t. Soient M = o, A'=o (i), 

let éqnatîons de U directrice quelconque d'une surhoe ctmigme 
(0*389). LeacoordoDaee<duBonimet^tanla,ft,c, tontedroUe 
qui passe par ce point a pour é<[u. (o' 658), 

« — a=m(s — e), jr — b=fi(x — c)... (a). 
Si cette droite rencontre la courbe , elle sera une génératrice t 
éliminoos donc a:,^ et z entre cea quatre ëqu., et à l'aide des 
équ. (x) , éliminons et et ^3 de l'ëqu. finale fi = Fa, noos «oron* 
pour le cane une équaUon telle que 



H-.=^GS> 



JjB forme de la fonction F, dépendant de la courbe directrice, 
est donnée par le calcul même que nous Tenons d'exposer. 
{^oj. a- 745 et 919.) 

Par ex., si la base est le cercle jiE (lîg. 36), ces équ. sont 
= *>; J'+^=»'^; l'or^ne est à l'extrémité A du dia 




iQUATIOU DU CONE. SOI 

eu nommant m la Uogcnte de l'angle formé par l'axe ei la g^ 
iiéralrke, ou poKant me = r. 

Si le cercle de lalMse n'était pa» trace dans le plan xjr, 
■nais dans un plan incline' sur les xy, et perpund. aux xt, A 
étant la lang. de l'nnglc que cette base fait avec le plan xy, U 
faiidniii remplacer les cqu- (i) parï=y/j etx'+_;-+i'T=r'. 

6Ga. On peut concevoir toute surface de révolution comme 
. ngendrée (n'a86) parle mouvemenld'ua cercle BOC(fig, 37), 
doni le plan est perpend. à uu axe Ai, le centre /étant sur cet 
axe, et le rajon IC tel, que ce cercle coupe toujours nue 
courbe quelcouque donnée CAB. I^ous ne traiterons d'abord 
que le cas où l'axe est pris pour celui des s. Tout cercle BOC 
dont le plan est parallèle aux xy , a pour équ. celles de son 
plan et de ion cylindre projetant, ou 

i = i9, et a:'+jr' = .'... (,); 
en faisant ^/=^, elle rayon /C=«. 

Les tfqo. de U direcuice donnée CAB étant 
M=no, N=o... (a), 
pourque ces courbes se rencontrent, il faut qu'en < 
x,j-el I entre ces quatre équ., la relation fi=:F», j laquelle 
on parviendra, soit satisfaite. Si l'on met /^«pour^ dans (■}, 
ces équ. seront alors celles du cercle générateur dans une de tes 
positions dépendante de t> ; et si l'on élimine ensuite «, on aura 
Véqu. demandée. Ainsi , on éliminera x, y et i des quatre 
cqu. (i) et (a); puis dans l'ëqo. HnalejS=f«, on mettras 
pour^, et ^'(x'+J'') pour ■ ; l'équ. de la surface de révo- 
luliun a donc la (orme z:= F(x* -i- jr') 1 celle de la fonction /i* 
d^'pend de la nature de la courbe: directrice, et est donnée par 
le calcul que nous venons d'exposer. 

I. Soit d'abord prit pour directrice un cercle dans le plan 
xz, et dont le centre Hoit A l'origine; on a, pour les ëqu. (2), 
jr = o, x'-^ s' = r*, et pour l'équ. de coudition a ■ -f /S» ssa r", 
ce qoi est d'aîUcon aident par soi-même ; donc, rcineUani 



Soa iSU.1SB è. TBOtl tUMUttlOBa. 

a* 4. j" paw «", «i a po«r « , on a Jf ■ + j^ + ■• = 1* p 

de U tfdièrc (ft* 654). 

II. Trafoiu (latit le |iUti b une parabole BACstoteti 
Mt k «oit flfi' 37 : «ex équaticrtit aérant j^o, x* k 
é'tn «"îispja, et 

L^a. lia Pttrah^laidt de révolution lutoar de l'axe des j. 

III. Detuèute, l'dqu. de r£Jfi/)t(»~ifc el de i'BypertohUr 
de révolution , Août le 1" axe jt »^ coafouil Breccelaî4 



Ici ■^ik* t^étictin oui lieu pour i'ellî plaide. 

IV. SnpptMoaa qu'une ilnûte '^iietcoaquâ tourne a 
Taxe deea; f^crdtooa lasiufacede rêvolulioiiija'clW ei 
Le* é(]u. de cette droite loobite , qui est U dircclHce , • 

i=al+.rf, f — bi^B; 
d'où (og -h ^» + (tS + ^ )• = •■, 

pour êqn. de conditio». Celle de la surface e*l dooc 

,• +7* := («• + i-)f + »(-*i + 5ft)« + ^ + B». 
En feituDi x:=o, on trouve (n" jSoJ que nnterKciiua par k' 
planai est une hyperbole; comme x et j- n'entrent ici qo'as- 
•embl^l en binômes x* -^y, « est une foncUon de T* + j"', 1^1 
laAUrrace eoeendrée est un Lyperbolo'ide de rêrolntton. 

Cependant si la droite génératrice coupe r«zede»s, ««ïdeux 
équ. doivent être satisfaites en faisant Jirr=_^-:=o clz=if; 1 
A^= — oc, ff=: — bc; donc 00 a 

qui appai tient A uu cAoe ilroil (o" 66i). 

Pour iiouTer l'équ. d'une >«&<« de révolution doM F«^ 
«K sitnatimi quelconque , tl fnni on recourir à «ne C 
(nation de rootdonntfea (n^ 676), ou luiUr directement \e à 
Uème d'niM manitre analo^e i la pr^«<den(c. (P^o^. 



SODPACEit OU RiivotUTron. 



ProiAintes sur le plan et la ligne i/roUe. 

i63- Remarquoni , comme au ii" 3^5 , qu'on peut se propo- 
X ({cnrcs ilc prnbUmeR sur lei surfaces. TanlAt il «'agit 
• déUrrainer les pointa qui jouitseut d« certaines propriété, 
taolAt de donner à la surface une position ou des dimeosions 
(elles, qu'elle renipluse des couditions demandées. Dans le 
1** cas, Xtj*,! sont les tnconnaes; dansiez*, U faut d^^terminer 
quelques constantes de l'équ. d'une manière convenable. I.ea 
condUions données doivent , dans tous les cas , conduire \ ou* 
tant dVi^u. que d'inconuues, sans quoi le problème serait in- 
déterminé ou absurde. Noutallonfl appliquer ces considéra- 
tions générales au plan, 

664- Tnutvr Ut projections de l'interteciion de deux ptam 
donnés par leur» éyuations. 

En âimîiuDt s , on a U projection sur le plan j;/, 
iA-~-A')x + {B — ff)r-\-C'-C-=to. 

De mime cbassant j: ouj*, 

(,A'—A)»^{AB' — AB)y-\-AC~AC=:o, 
[B' — B)z + iA'B — AB-)x + BC — B'C-=o. 

sont les équ. des projections sur les plans des^s et des xt. 

tiG5. Faire posKr unplanpar un, deux ou troitpoinii don- 
nât. L'équ. deceplaoéuni *r=Ax -v- Bj' + C, s'il passe par 
le point (x', f , s'), on » ï'=: Wat'+^y-j- C; «t retranchant, 
W vient 

c'est tVqu, du plan qui passe [wr le point {x' , / , s'}. Le pro- 
blème resterait indéttJTniné si les constantes A ni B nYtaicni 
pu dntinée*, h moins qu'elles nt fussent lier» par deux équa- 
MMd'oû il faudrait W déduire. S, p«r exemple, le plan doit 



So4 AlflLYSE A TROIS DIMENSIONS. 

être parallèle & uu autre, %-=.jfx +B^+ c, on aura 



A=A\ B = B'. 



Quand le plan doit passer par 



:• point (x',y, j°), 



L 



I on I 
s' = Ax* 4- ^J"' + C' ; ce qni laisse une consUiite aclùtraire, et 
permet de faire passer le plan par un 3' point, etc. [ycfy. o" 369.) 

666. Trouver le point ^intersection de deux droites. 
e(ju delà i"". .. i=flï +■, y^bs -^A, 
équ. delaa*.. .. x^a'z + *', j-^b's-{-ff. 

Pour le point cliercb^, x, j' et £ satisfont à ces cjaaire éqfu- 
liMis; éliminant, on trouve l'équation de condïiian 

Si elle n'est pas satisfaite, les lij^nes ne se coupent pas; et si 
l'est , le point d'intersection a pour coordonnées 

_ m—m _ ^—& _ a'»—a<^ _ b'$—b/ 

*~te—a~F^^' '~ a' — a ' ^~ b'—ô ' 

667. Trouver les conditions pour qu'une droite et un pian 
coïncident ou soietu parallèles. Soient les éqii. du plan et de la 
droite 

z = Ax+Bj' + C, 

en substituant iTz+K, etbs+S pour x ct^ dam la 1" 
x{Aa + Bb — i) + A* + BS + C = o. 

Si la droite et le plan n'avaient qu'un point de 
en trouverait ainsi les coordonnées, mais pour qu'elle soit en- 
tièrement située dans le plan , il faut satisfaire i cette éqo. quel 
que soit a; d'où (u'*6i6), 

Aa-i-Bb=i, A* + Bë + C=o; M 

ce sont les équ. de condition cherchée!. j^ 

Si la droite est simplement parallèle au plan , il faut qu'en les 
transportantparallèlemenl jusqu'à l'orifjine, la droite et le plan 






1 

'm I 

1 



\ 



DU PLAN BT DE LA LIGNE DROITE. 3o5 

co'mcîdeiit; ainsi y ceséqu. doivent être satisfaites en y suppo- 
sant «« jSet Cnnls; d'où 

j4a + Bb — I =o. 

668. Exprimer qu'une droite est perpend. à un plan. Le plan 
projetant la droite sur les xjr est à la fois perpend. au plan 
donné et à celui des xjr\ ces deux derniers se coupent donc sui- 
vant une perpend. au plan projetant (n^ 272 et a^S); c.-à-d. que 
la trace du pian donné sur les xjr est perpend. à toute droite 
dans le plan projetant, et par suite à la projection sur le plan xj 
de la droite donnée. Donc, lorsqu'une ligne est perpend^ à un 
plan, les traces de ce plan et les projections de la ligne sont à 
angle droit. D'après cela, les équ. du plan et de la droite étant 
les inéines qu'an numéro qui précède, celles des traces du 
plan sur les xz eijrzj sont 

z = Ax+Cj z = Bj+C, 

i C i C 

la relation connue (n® 370, cqu. 4) donne 

y^4'^ = o> ^ + 0=0. 

Cette é<|u. détermine deux des constantes du plan ou de la 
droite qui lui est perpendiculaire. Les autres constantes devront 
être données, ou assujetties à d'autres conditions. 

669. Lorsque Ton veut mener un plan perpendic. à la droite 
donnée, Téqu. de ce plan est donc 

z-^-ax + bjrz=zC. 

Les coordonnées du pied de la droite sur le plan xj- 
sont « et /S; la sphère, dont le centre est en ce point, a pour 
équation (n° 654), 

Ces deux dernières équ. appartiennent donc à un cercle dont le 
plan est pcr()end. h la droite donnée ; le rayon de ce cc;c1e et sa 
situation altsolue dépon<Ient de /* cl de (\ 

T. 11. 00 



5o6 AIIALYSR A TROIS DIHEHSIONS. 

Soient Jlfsso, iV = o, lei lïqu. d'une courbe; pour'q«'<llc 
coupe notre cercle, il faut que cea quatre équ. pnÏMentco- 
esialer; en éliminant i , jrcii, ona nne equ. de con^tion 
r=F{Ci, et remettant 

ï + ot + Aj'pour C, et 4/[(a; — a)»^^ — ^)' + 2*] pour r, 
on aura l'éqn. de la surface engendrée par la révolution de la 
courbe donnée autour de l'axe quelconque. 

670. Si an contraire le plan eit donné , et si l'on veut que la 
droite lui 8oit perpendiculaire, et passe par un point donne 
i^,y,M'), on a pour les équ. de la droite, 

a; — x' + A[t-~x')s=o, y—j'^ S{s — «')=rO. 
69 1 . Od en déduit la distance du point au plan ; car , met- 
tons l'équ. du plan soui la forme 

t—x.-=A{x — j?) + Bij—y) + r., 
en faisanl Z, = C — «' + ^V + sy ; 

puis éliminons les coordonnées x,^, s du pied delà perpentl., 
il vient 

L , —AL , —BL 




DU FL4N ET DE LA LIGNE DROITE. Soy 

La distance P entre les points (x,jr, z), (3^,^ , z'), loui cal- 
cul fait, est «kmnëe par 

673. Trouver Tangle A quejbrment deux droites. Menons , 
par l'origine , des parallèles à ces lignes ; l'angle de ces deux 
parallèles est ce qu'on appelle l'angle des droitesr, qu'elles se 
conpent ou non. Soient donc les équ. de ces parallèles 

(i)... x = as, ^ = &x, (2)... x=:dzj jr=b'z\ 

il faut trouver A en fonction de a, b^a eXb\ Concevons une 
sphère dont le centre serait à l'origine , et qui aurait l'unité 
pour rayon ; on aura les coordonnées des points où die coupe 
nos droites, en éliminant .r,j' et z entre leurs équ. respectives 
k\ celle de la sphère, qui est x^ +jr* + z*s=s i.Ou trouve . . . 
( ^» -j- ^« -J- I )z« = I , d'où l'on tire z, puis x et jr par les 
cqu. (1) ; on accentue ensuite a et b pouf avoir x', x' eiy ; 

I a b 

I , a' . b' 



* — - y/_ • -/H • iJuK^y — 



I.a distance D de ces points est donnée par 
D' = {J — xY -H (y— J-)' etc. = 2 — i{xx' +jry -4. zz), 

à cause de ar''4-y -f- 2* = i, ^*+J'' + «*= i- On a, dans 
l'espace, un triangle isoscèle dont les trois côtés sont i , 1 et D\ 
raii(;le A est opposé à ce dernier; l'équ. (D, n*355) donne 
pour cet angle cos >f == i — -^D' = tx' +J'y + zz, ou 

i-haa'-hb b' 

i"*. Pour en déduire les angles A*, F, Z, qu*uiie droite fait 
avec les axes des Xy jr et z. il faut donner à la 2' li{]ne tour à 
tour la situation de chacun de ces axes, puis ineUre ici les va- 
leurs de //' cl b' correspondantes. Par ex. , ar-rro, j'rir o, sont 



3aD AlfiLYSB A TROIS DIMEX510SS. 

les eqn. de l'aie des t s ponr f|ue la éqa. (a) deviennenteclkt' 
<i, il font poser «i'^6'=.o. Si l'on introduit ces Tslenn dan» 
notre formale , on aura 



Faisons tourner la r)roiteautourderortgioepourra|^liqner 
sur le plan des arx, sans sortir du plan projetant- l'ai^lcÂoot 
b' est la tangente diminuera, et deviendra nul : ainsi il laut 
foire b'=^o, pour avoir l'aiigle qu'une droite dans l'cspaocfoit 
avec une antre située dans le plan des it\ cequîrcdaitlenu^ 
ménienr i i + tu^, et le second radical à ^( i + a'*). Et si 
cette 3* droite se rapproche de l'axe des x,a' croit, et d«-ient 
infini lorsqu'elle coïncide avec cet axe. Alors i diitparait {*> 
devant aa' et a'*, ce qui réduit le numérateur à on', et le sccoud 
radical! (/a" ou a'; leur quotient étant a, on a pour l'angle 
X qu'une droite dans l'esiuce fait avec l'axe de* x, 



En foiaabtdc même a* ^o, l/=.a> , on trouve cos F. Donc, 




DU PL19 ET DE LA LIGNE DROITE. • SuQ 

K:8 oosinus des angles qa'une droite (ait avec les axes, sont 

cos Y^s. . — , 

1*. Ces valeurs sont aussi celles des sinus des angles que la 
droite fait avec les plans des^x, xzeiocf, puisque ces angles 
sont visiblement les complémens de X, K et Z. 

3**. Ajoutons les carrés de ces cosinus ; il vient 

cos» X+ cos» y+ cos»Z= I. 

On peut donc mener dans l'espace une droite qui forme, 
avec les axes des x et des j^, des angles donnés XeiY) mais Z 
csl déterminé. Cest ce qui d'ailleurs est visible. ( Vojr, n^ 677.) 

4**. Prenons une longueur quelconque 3/iV(fig. 33), sur une 
<lroite, qui fiiit dans l'espace les angles X, F« Z avec les axes, 
et projetons-la sur les .r et les j^ ; les projections sont 

* BCzssMN. cos AT, et M2V. cos Y. 



B N 
X croît, et plus les termes -^::2, "Z^^ • • ♦ *Pprochcnt de léro, qui répond 

à X infini ; en sorte que si a-=zmf la limite est |^ ; ci a^m , la fraction doyiont 

^ " ' , qui est infinie avec x; enfin, si rt<m, la limite est léro. 

On appelle cette opcratlony<iire x infiniment grand. 

Il est facilo de voir que le raisonnement ne porto que sur le i^*" terme du nu« 
morateur et du dénominateur, en sorte qu^on aurait pu d^abord réduire la frac- 

tion à ^ — ; Il on serait de même de toute autre fonction algébrique, co qu^on 

démontrerait par un raisonnement analogue. Concluons donc que , pour 
faire x infini dans une /onction, il faut n*x conser%*er que les termes où cette 
lettre porte les exposons les plus élevés : au contraire, pour Jaire z infinimen 
pt'tit , il/aut supprimer tous les termes, excepté ceux qui ont 1rs moindres puis } 
sanccs de x. 

Ccst ainsi que, quand .r-rsx, • -, - ^ sere<luil a ■ — = 1. 



5iO ANILVSE A TBOIS DIHENSIOHS. 

Hab mit ou /HP, «t U projecliori de AfPf sur le pUn agr, 
mn:=lUN,ma Z; et projetant <le nonveau mn lorlea x et les 
y, CCS projections iODt fiC:=mn.cos 9 et mn.sinS, S étinl 
l'angle que fait mn avec les x; donc nos projectiooa lont 
BC^MN. sin Z. cos 6, et MT(. siu Z . sio * ; égalantles raleun 
des inêuies projections , il vient 

cos X = sin Z . cos S , cos y 7= sin Z , sin l . 
Aulieu de déterminer une direction dans l'espace, par le* (rois 
angles X, K, Z qu'elle raitavec les aies, il suffit de donuer 
l'angle qu'elle fait avec sa projection sur le plan 27- ( compli- - 
roent de l'angle Z), et l'angle â de celte projection avec l'aiL- 
de X; et réciproquement. 

En ajoutant les carrés de ces deux c'qu., on a 

cos» JV+ODs' r=«n'Z= I — cos' Z, 
relation déjà trouvée (3°.)- 
5". Hettaot les valeurs de cos X,X', Y.. . danscosy/,)*, ^«7 
cos .^=:tcos Xcos a' + cos Y cos Y' -i-cosZ cos Z'i 
l'anjjle des deux droites est exprimé en fonction des angles qtie 




UV PLIN ET UK LA I.ICHR nnolTE. 311 

. k cosinus de t'angli; de ces droite», et par conséqucnl 



celui des plaoi est 



i + ^^' + gg' 



t". Si l'on faitprendreau a* plan la situntioa décelai des xr, 
^=ne»t80iitqu-; il faut donc faire ^3= C^o, etfi' = QD , 
pour avoir l'angle '/' ifu'uu plan fait avec celui des :cz. On n dr 
iiicuie les angles l CI ^ qu'il fait avec leaj-tet \esxjr. Donc 



)t*oà 



sT=~ 



\^{t+A'+B') 



coi' T+cos' U+ cof 






Cl cok9=cob Tcos T + cos V cos !/'+ coi ^eos K, 
pour le cosinus de l'anele de deux plans en fonction de ccii^ 
qu'ils roruieiil respectivement avec les plans coordonnés. 
3'. Si les plans sont à aiigk- droit 

oa cosTcos'/'+cos t'cos IJ'+ cos f^coaP"=o. 
675. 't'rouvfr i'angk n dune droite cl iunplan. Soient 
x^Ax-^Bjr+C et x=aa+«, y—bz-\-ê, 
leurs équ. I/angle clierclie est celui que la droite fait avec sa 
projection »ur le plan (n' a-]3) i si l'on abaisse d'un point du la 
ilroito une pcrpend. sur ce plan , l'auglt de ces deux ligues sera 
donc complément de o De l'origine, mignons uue droite quel' 
conque, xi=â%,j:=b'i\ pour qu'elle soit pcrpcitd. au plan, 
il faut (ii°66e). qu'on nii a= — J, h' = —H. L'anfile 
qu'elle forme avec la ligne donni!e a pour cosinui la valeur de- 
trniiihce p. 307; donc 

I —Aa—lib 



I 



3 I 3 AMlLySE A TKUIS DIUEMSIOHS. 

Il >e» aise d'en conclure que les au^Ut que la dioitu fait XMc 

les plans cooidoDiie's des xx, jz et xjr, ont poitr lintu ret~ 

pectils 



^/(,-l_fl.+i-j' i/(,+«.+é')' y(t+a*-i.br 
ce qui s'accorde avec ce qu'on a tu (h" 6^3, a".)- 

Transformation des coordoTinées^ 

676. Pour transporter l'origine au point («, fi,y)f nns 
changer la direction des axes, qu'on suppose d'ailleurs qnd- 
conque, par un raisonnement semblable à celui du n° 3&i, on 
verra qu'il faut faire 

x=x'+», :f=y+fl, ««ï'+y. 
Les axes pTin)iti& a: , j*, z sont parallèles aux nouveaux x',y, z', 
quels que soient les angles qu'ils forment entre eux ; ou doit 
d'ailleurs attribuer aux cordonnées «, yS, y de la nouvelle ori- 




TBAHSFOItUATIO.\S DKS OTOBnOBKÉeS. 5l5 

TcUm sont lui rulalioiis qui siirvi'iU it dianger la iliret-lûiD 

des aie*. Comme (x'x), (x'jy), (ar'i) sont les auj-les que 

foriac la droite Ax' avec \ea axes i-eclaiiguiaires des x,jr, s, on 

a(n'673,3"0 

.s-(V=) = 
^eméme eos'Cyx) +cos'C/y) + fos'(A)= " }. ..(B). 



s'cyx) + cos'c/y) + cos'C/ï) t= , s . 

s'Cs'^) + cos"(ï»+cos>(i'2)=, i 



fornienU'titrËeux donnent 

C08fyj')=:l/...CC), 



'Les angles que les nouveaux 
~(B-6î3, 5'.) 

coii(xy) = s, co8(i'ï') = 
en faisanl, pour abroger, 
S=(iOt(x'x)coai/x) + cos(xy) cos(Xr)+co8(a''x)cosCr'i) 
7'=tos(3:'x)co8(t'x) + cos(a:» cos(ï» + cos(jr'i)co»Cï'!), 

tf=eosCr'*)co»(«'j:}+cosOO-)cosCi»+coB(/r]cos(r'ï). 
Si Ii-8 (loUTclles coordonnées sont rectangulaires, on a 
^=o, T=0, L' = o {D), 
Lc»ifqii.(,*),Cfl),{0,(0),contien[iL-utlcsneufaLgleBqnefont 
a Mes JT*, y, z', a»ec les x, y, x. On voit que lorsqu'on veat 
tlioistrun nouveau système de coordonnées, cesueufanulesne 
forment que six arbitraires, parce que les équ. (B) en diïter- 
iiiinent trois j et même, quand ce sjslèine est aussi rectangu- 
hirr, les équ. {!>), qui expriment cette condition, ne laissent 
|il un que trois arbitraires. L'aie des :t' fait avec les f,^, s, trois 
anf.lcs , dont deux sont quelconques, et le 3' s'ensuit : l'axe 
tIcH j*' ser&il dans le même cas s'il ne devait pas Être perpend. 
aux x'; mais cette condition ne laisse réellement qu'une arbi- 
traire; cequifait 3en tuut, puisque cesdoimées fixent la situa- 
lion de l'axe des «', pcr{ienil au plan x'y . 

678. Au lieu de déterminer la [lasition des nouveaux axes 
rectangles, par les angles qu'ils forment avec les premiers, on 
peut prendre le* données suivantes. 



LlnpUn C-.<rVfli(!.3H) est incliné de I 



x.Yjq«'ilcoupc 



3l4 AnlLYSE A TROIS DIKENSIOIIS. 

pUnC^tdeiennineparSet*}', uaçonalndinixaxeiirwtaBglet 
j<y, j4y ! le i" faisant avec la trace AC l'angle CAx':=f. 
Les uouTeaiu aies sont ainïi fixés par les angles 9, ^et^, qù 
donnent l'inclioaison du plan l'y sur le plan ajr, la dlrectioa' 
de la trace AC et celle de Ax' dam ce plan l'y ainsi délcr- 
miné; l'axe j^, dans ce plan, fait l'angle :r'.^ dego"; et l'axe 
z' est perpend. h ce luènic plaît. Pour transformer les axes , il 
reste à exprimer les angles (x' x), (j'x)... , qui entrentdans les 
éqa. A, en fonction des données 6, -J. et p. 

Les droites Ax, .//.r'et..^Cforinentuntrièdre dont on con- 
naît deux an;;les plans $ et 4-, ainsi que l'angle dièdre com- 
pris t. Appliquons ici la formule (3, pag. 171} de la Trigono 
nietrie sphériquei faisons c =: {x'x), C^6, a^-^., b ^f. 

cos (x'x) ^ cos ^^ cos $ + sln ^J/ sin p cos S : 
Il est clair que pour l'angle xAy , il suffit d'opérer de même 
sur le triëdre formé par ./^C et les axes .r et ^' : les angles pians 
sont(^x), CAy ^^n'' -~ ^, CAx-=.^; on trouve dont 
cos (^'a:). Prenons eiisuito le trièdre x'ACy, dont les angles 
plans sont(*'j'), CAy^'^a''-^-i,,exCAx'=.^ tôt pour Kx'^r), 




WTEUSECrrONS PLANES. 3l5 

en augmentant >)/ lie 96*. Enfin, l'angle x^C étant aussi droit, 
et l'angle dièdre z^CVrrrgo" — Ô, le trièdre-z^Cx' donne 

cos (ar'z)==8in ^ sin 6, 

d'où cos(^'x)=cos^ sinô; 

enfin , cos (»' z) = ces ô. 

On a ainsi les valeurs des neuf coefficiens des équations (y/). 

Leséqu. de conditions/^ et D sont satisfaites d'elles-ménics 
par ces valeurs , ainsi qu'on peut s'en assurer. 

Des Intersections planes. 

679. Lorsque l'intersection des deux surfaces est une courbe 
plane , il est plus commode , pour en connaître les propriétés» 
de la rapporter à des coordonnées prises dans ce plan DOC 
(fiig. 39), déterminé par l'ançile I, qu'il forme avec le plan xjr^ 
eX par l'angle ^ que fait avec Ox l'intersection 0€ de ces 
plans; nous prendrons cette ligne OC pour axe des .r' : la per- 
pend. OÂf menée sur OC y dans le plan coupant DOC, sera 
Vaxe des j-'. 

Comme il s'agit d'avoir en x'^\ l'équ. de la courbe d'intersec- 
tion des surfaces ; il est clair qu'après avoir fait la transforma- 
tion (jf) pour rapporter l'une de ces surfaces aux axes x\jr\ z', 
il suffira de faire ensuite z' =: o, et l'on aura son intersection 
avecle plan x'Ojr\ Il est préférable, dans un cas aussi simple, 
<le faire z' -r^z o dans les équ. (^}, et de chercher directement 
les cosinus de (x'x), (j^a:)... Dans le trièdre AOCB^ on con- 
naît les angles plans a=4t 6=90*, et l'angle dièdre compris 
C .--^ 6 : donc, l'équ. (3, p. 271) devient 

tos {j'x) = sin 4^ cos Ô , cos {yj) = — cos ^^ cos 9, 

De plus, 

(x'x) = 4. , {x'j) = 90» — 4 , {xz) = 90". 
\\i\i\\\ , le plan x* Oy\ qu'on suppose élevé au-dessus de celui 



3l6 ANALYSE A TROIS DIMBHSIOHS. 

des j^, fait avec l'axe Ox l'&ngle (t'bjssç)»' — 0* Ainn , Iv 

cqiuiions {/i) donnent 

3: = y «« i)/ -i-y gin 4* COB Ô ^ 

j-=x'nn-if — ycoii{-cos8 [ (£)- 

» =y sÏD 9 ) 

On serait auni parvenu à ces résultats, en se serrant deiéqu. 
du n* 678. 

680. Appliijuons ces équ. au cône oblique dont la base est an 

cercle. Le plan zAx ( fig. 36) perpend. au plan coupant AB, et 
mené par l'axe ^C, sera celui des ;cz; la section y40 de cesdcux 
plans, ou l'axe de la courbe, coupe celle-ci au tommet A , qui 
sera pris pour origine des coordonnées : le plan x/1j, parallèle 
à la baie circulaire du cane, itéra celui des xy; il coupe le cane 
selon un cercle AE , de rayon r , qu'on peut regarder comme 
Itidi'reclrice même (a' 661); ainsi, notre cône, dontlesommct 
a pour coordonnées a,o,c, dont l'axe est dans le plan xs, et la 
base, surlcplanxf, apouréqu. c'(j:'+7') t ac(''— o)x*..-=o, 
comme p. 3oo; le iiUu coupant AB éUnt perpend. anx^a, 
coupe le plan :rf selon l'axe ^^, et il faut poser 4 = 90° dans 
les é 




IBTBRSECTIONS FLANES. Siy 

leur de tang4| poar Finterprèter, nous avons 

tant; S AD = -^^r = - , lang SAB r — —^. 

" AD a " £1+^ tango 

En mettant pour tangl notre a* racine , il vient, toute réduc-- 

lion faite I 

„.^____£H:££ c _ SD 

tang ô^/J — aa'r— a^-J-acV— ac* "" iFi:^ oÈ' 



ou tang 5-r^^ = — tang SED = tang SE A. 

Ldiseciion est don c encore un cercle, quand les angles SAB* , 
SEA^ formés avec les génératrices opposées, sont égaux. Le 
plan coupant j^^^ étant comparé au cercle AE de la base, c'est 
ce qu'on appelle des sections sous^contraires. 

Pour obtenir les sections planes du cône droit, il suffit de 
poser a:=r dans Téquation (2), 

y*(f'cof » I— r*sin«9 ) + cV* + 2cr/ (rsin 6 — c cos I) = o ; 

cette équ. revient à celle du n** 4^0. Du reste , on ne^eut plus 
rendre éffiVLX , de deux manières , les facteurs de x'* et j*'*; el , 
en effet, les sections sous-contraires coïncident alors. 

681. Le cylindre oblique , dont la base est un cercle situe 
comme pour le c^ne ci-dessus , et dont Taxe est dans le plan xz, 
a pour équ. (p. 299) 

jr«-^(j:-.ûx)* = 2r(x — flz). 

En y introduisant les valeurs (1), le plan coupant étant perpend. 
aux xZj ou a 

j'''(cos'd -f a'sin*6 — sosinô cos6)-f-j:'* = 2rf' (cos3 — asind). 

l.a section est une ellipse qui se réduit au cercle quand sin 9 =0, 

(^1* — 1) tang 1 = 2a, ou tang 6= — tang2«i; 

(équ. Lj 359), « étant Taugle que Taxe du cylindre fait avec les 
j • donc i est le supplément de 20. 



5l8 AK&L\SK A TKOIS -DINKIISIOIU. 

Surfaces du second ordre. 

68. [.'^()uation geiiérûle du 2' degré eit 
a.r' + i'j-"4- cz'+ a<irr+ 2MS+2/>« +^a-+ Ar + <»^* . . . ( i). 
Tour i/i>cufer cette équ., c.-;i-d. déterniiner la nature et Lipu< 
silioii dus suiTaces qu'elle représenti:, limplifions-la par une 
transformation de coordonnëe.i qui cbasse les termes en ^, xx 
tUji-, les axes, de reclanf-ulaires qu'ils sont, seront rendus 
ubliqnes, en «ubsUtuant les valeurs {A), p. 3i2; et les neuf 
anjjtes qui y entrent étant asGUJellis aux conditions (A), il y a 
six arbitraires dont on peut disposer d'une infinité de manières. 
Ë|;alon8 a léro les coefficicas des termes eu x'y , x'z' et y' s'. 
Mais si l'on veut que la direction des nouveaux a^es soit 
aussi rectangulaire , comme celte condition est exprimée jrar 
les trois relations {D) , les six arbitraires sont réduites k Irorà, 
que nos trois cocfRciens, l'galés ^1 zcro, suRisenl pour faire ron- 
iiaitre, ci le problème devient iW terminé . 

Ce calcul sera rendu plus facile par le pi-océdé suivant. Soient 
=ia,j-- Si les é((u. de l'axe des ,r'; en faisant, pour abréger, 




ucdcs 



SURFtCEï bu ïbCUKU ORDRE. ^19 

wixici, «,•'. »",i9.S', fi", aliendii que k-ii equ, (fl) se iroîiïeni sà- 
LiiTaiies <l*ellcB-incincs. 

.Sutwtilnonï donc cl-s valeurs de x^j, : dani l'équ. j'cnc— 
t.ik' du 3'dcgrc, eC rualom h icro le» coefiiciens de x y^ x't 

' » .>-V : 

l'une CCS ëqu. peut s'obtenir seule, et sanii faire la sul1sIitu- 
' '011 en entier ; de plus d'apri-s la symétrie du cairui , il suffit 
il irouvcr une de ces riqu. pour en dcduin: les deui autres. 
s •' et /Centre la i" et les équ. x^iii, j-s^Ë'z de 
-s^ i il viendra cette e*qu.. qui est celh d'un plan, 
ffl- + rf|S + e):r + (J- + te + /)r + (««+yiS+f)i=o...fj), 
Or, la 1" équ, CBl la condition qui cliasse le terme xy : en («m 
qu'on n'néfjard qu'à elle, on peut prendre »,^,*'^';'i vclonic", 
{intirTU qu'elle aoit oatiarBile : il suffira donc que l'ave d«s }' 
oit irnctj dans le plan dont nous venonn <lc donner l'équ , 
jiour que la trnnuform^e n'ait pus de terme en r'y 

Ile même, en éliminant ■" ci S" de la -x' équ., .\ l'aide des 
i|u. de l'axe des s', i = a'i,^ =S";, on aura un plan tel, 
liirsi l'on prend pour axe des s' toute di-oile qu'on y truce- 
■ M, la ttansfonn^e sera privée du terme en x'i'. Mais, d'npr^t 
la fnrme d«* deux i"* équ., il csl elaîr que ce second pl.-in esl 
le même que le premier 1 donc, si l'on y iraee les axes des j' 
et s* A volonté, ce plan sara celui des y' ei i'. et In iransfar- 
iiiee n'aura pos de tetroes en x'y' et x'i l.a direclion de ce« 
;iiies , dan» le plan , étant quelconque . on a une infinité Ak ays- 
K'uiiiS qui attei|fuenl ce but ; ré<ju. (a) sera , comme ou voit , ' 
telle d'un plan parallèle \ celui qui coupe par moiti'. toutes 
le» parallèles aux x, el qu'on nomme Plan diamétral. Si, en 
outre, on veut que le terme en ^z' disparaisite, la 3* équ. de- 
ra Taiic coanaltre a el ff . et l'un voit qu'il y a une mliniK' 
'axes obliques qui rempiisxenlles trois condiliout imposées. 



Sao ANALYSE 1 ThOIS OIHEHSIOMS . 

683. Mais admettons que les x',y et s' soieut recUnga- 
laircs; Vase des x' devra être perpend. au plan dcsj^ *' dont 
nous avoDd trouvé l'équ.; et pour que ;c = as, j':=0z soient 
leiequ. d'une perpend. à ce plan (a), il faut que^u'âSS} 

<ii + ^ + e = (M + /i3 4- c>-. . . (3), 
A + A^ +/ = {cm -(-/â + c)»... f4). 

Sulmiiuant dans (3) la valeur de m tirée de (4) ■ on trouve 

+ (fl-c)C/a+(/'-<f> = o. 

Cette équ. du 3* dcgrc donne pour ^ au moins une racine 
réelle; l'équ. (4) en donne ensuite une pour it ; ainsi l'axe des 
x' est déterminé de manière à être perpend. au plan^/, et à 
priver l'équ. des termes en x'i,' et x'y . Il reste i tracer dans 
cû plan yt, les axes à angle dioit , et tels que le terme j-V 




SCBFACES DU StCOND ORDRE. Sst 

niduit ft em +Jfi=a ; les angles coirespondiuii sont tlroils : l'on 
des aies , celai des t', par ex ., se trouve dans lé plan xy, et 
l'on obctent son équ. en cllinîtiant ■ et ^à l'aide de xr=aXt 
y=$s; celle équ. esl ear+yj- = o. Les directions desj-' il s' 
sont données par notre équ. en j3, réduite au 3' degré. 

3*. Si, outre ce ■"coefficient, le 2* estausst^o, tirant A 
de l'équ. cî-de^isus , pour substituer dans le factear de |S', il se 
n!(luU au dernier terme deVéqu. en fi : 

i<i~v)fd+{f'~d')e^o. 
Ces deux équ. expriment la condition dont il s'agit. Or, le 
coefficient de jS se déduit de celui de $', en cliangi^ant b en c, 
etdea e, et il en est de même pour le i" et le dernier terme 
de l'équ. en ^ : donc l'éfiu. du 3* degré est fiatisbite d'elle- 
même. Il existe alors une inrmité de systèmes d'axes rectangu- 
lairesj qui cbsssent les termes en x'j^, x't et^V. Éliminant 
«aet £ des équ. (3} et (4), à l'aide des deux équ. de condition 
ci-dessus, on trouve qu'elles sont le produit dçf»~~df et 
efi — rf par le facteur commun e<ii-j-_/{/S-j-ye. Ces facteurs 
sont donc nuls ; et éliminant • et |3 , on trouve 

fx^dz, ej^di, edx-^-fdjr+fes^o. 
Les deux 1"* sont les équ. de l'un des axes ; la 3', celle d'un 
plan qui lui est perpcnd., et dans lequel sont tracés les deux 
autres axes sous des directions arbitraires. Ce plan coupera la 
surface selon une courbe cii tous les axes à angle droit sont 
principaux , qui est par conséquent un cercle, seule des cont bcs 
du 2* degré qui jni^^ de celle propriété. La surface est alors 
de révolution autoi^^c l'axe dont nous venons de donner li^s 
dqu.; c'est ce qu'on reconnaît bientôt en transportant l'origine 
au centre du cercle. (Voy. Annales deM'ith., 1. 11.) 

685. L'équ., une fois dégagée des trois rectangles , esl telle 

it^~i-mr+nx*+gx+qy + >i'z=h... {5). 
Chassons les te lia es de première dimension, en [ranspoi- 
r. II. 21 



n tri s = o i In tim 



uni l'oriulr-e ..i" è-)G) : il est clair (|uc « mUuI *tra y 
cxftfli i'â<'-i, inant(ut! ile l'un des cirrtfs ^'.J^', 
exatutDcnMis r s cas à part; il »'agil il'clinn) ilc dlxcnlcr l'é 

Toute di-oite (lassaDl par rurigine , coupe la surbcc en il 
2 oiflU, A «git es distances des deux paris , puisque l'^B. 
ta même npii^s aroîc change les signes de x, j et it l'oriiji 
L-lant au milieu de toutes les cordes lucnccs ]>ar cepotni, i 
un Ccntirj là surface jouit ihnc de la piv/mVii^ rf'auw'r i 
cfoirr, kmies Us fou que la imiitforméc ttc mmttpiv iTmirun 
de* earré.i den variables. 

Siant prendrons toujour* n positif ; il reste 1 examiiu'r W 
casoi^ k Hm sont positifs, ou ni^jjatifs, ou dcsigDM diflcrt'n* 

(i86. Si , dans l'e^iu. (6) , A , m et n sont posilifs , il fftul i^ae 
h le soil aussi, sans quoil'eqii. %cïa\l nbfitrde et nerrprétel 
rait rien ; el &i A est nul, on a ;c:=o, _j' = 
[n" 1 1 a), et la snrr.icc oVsl ciu'«« sciilpoin 

H&is quand A est positif, eu fnisant séparément x, ^ otfl 
ou) , on trouve (tcséqu. à l'ellip,<ie, courbes ijui résultent deT 
section de notre suifacc pnr les trois plans coordonnés. Toi 
plan parallèle i ceux-ci donne aussi des ellipses, et il sera 
aisé de Toir qu'il en est de même de toutes les »ccUon« pUd 
[»" 6^f)J : c*cst pour cela que ce corps a le nom d'Ei/iptotdi 
Les longueurs j^,A,6' des Uoianxi-sp:incipaux s'obttciincniaj 
cliercbant les sections de la surface i>at les axes de* x,j eV 
savoir, iC ^ ft, mD'^:=h, 'i^' ^ A; dkaïnaut A, meln 
I'^qu.(6j. 

telle est l'cqu. de t ellipsoïde rapport à son centre 
axes principaux. On peut concevoir cette surfaec e<i(;endi 
par nue cllipsi; tracée dans le plan xy, mobile parai lélenicnfl 
elle-inènre, pendant «juc ses dcuK aies TOtieht, Cette cc 
elissanl le long d'une autre elli|ise Iracéc dan* le plan i 



SL'RPiCES DU SECOND OBDBE. 33? 

.tcuKdes<]iuniiUF«y«,i7,CMnt<fgaIc*,otin un eUipsot.U de 
r^volulioii;iii A-=- ii-=sC, nn a une «phèie. 

kiSS^. Suppwolif J nift;atif, met ApoKitif*, ou 

Eii posant X o\k y nul, on reconnaît que les scciions par Icb 
, Ijuïdt j'» et xz sonlilea hyperboles, dont l'axe «les s «si 
i < a' ase i lei plans uienéa par l'nxe des z donnent celte oiètne 
courbe ; on dit que la surfate est un hyperboloUie. Les «ections 
parallU» au plan de xjr sont toujours des ellipses rëe)l«ii, uù 
A,iitC^—v difsi(;naiit les loogueiirs coia prises sur les axes, 
à |iertif (Ib l'origine : l'équ. est lu même (|ue ciMleaMi% au «i^ne 
pr^du i" lermc, qui devient ici négatif. 

688. Enfin , quanti k et h «ont né{plifs , 

tous les plans qui sont mènes par l'axe d«s s coupent la surface 
selon des (i jpcrboli;s , dont l'axe des : est le premier axe ; le 
plan XX ne rcnconlfc pas la surface, cl ses parallèles, au-deU 
dedeux ItniiU'Soppoai^Cs, donnenKlcs <.-llipses. Onaun/iT^er- 
f'ùlaide à deux nappes auionr de l'axe des i. L'e'qu. en A, li, 
f ' c*t encore la tnêtnc que ci-dessus, excepté que le terme en s» 
ost Mul posilir 

689. Lof«<iucA=o, on a, dans ces deux cas, *s'=ni7^+rx', 
l'ryji. (fwnrlSniT, qui esta nos hyper bo loi des ce que les asymp- 
totes diaicnlJi l'hyperbole, [f^qj'. p. 3oo.) 

11 réitérait i Iraiter 1c cas de k et m néjjalifs; mais il se rr- 
duit \ une simple inversion dans les nxes, pour In ramener aux, 
dc«» pr>5cédco». I-Tiypcrbololde est i une ou deux nappes au- 
tour de l'axe des X, selon que K est ni^saiif ou [losilif. 

690. Quand l'equ. (S}estpriv<^dc l'un dcRcarrL's, dc.r'p.n 
«X., en Uansportaot l'origine, on peut déga(;cr cette equ. du 
urme constant , et des 1"* puissances de 7- et :, savoir, 



Ss4 ilCALTSE A TUÛlS DIIIE:N£tO^S. 

Les scctious par les plans lies es et jr;- Mnt Jus paralioks t 
liées dans uq suns , ou ilaes le sens op\>oié , ulon In sî{;ni>|| 
A, m et /iji les plans parallèles i ceux* d donnent auiui (Ic»f 
rabotes. Les plans parallMesauxj'S ilnnnent des ellifiscs. oaa 
hyperboles , selon le signe de m. La surrace est un parabct 
rUipli-jiie dons un cas , hj-perlroUi/uc dans {'«atrCj k s 
lorsque le paraUoloïde est de révolution. 

691. Quand h^o, IVqu. a la forme a'i^ ± à'j^ ^o, v 
1» signes de i et m. Dans un ras , on a s = o cijr a 
que soit .t; la surface se réduit à l'axe des x : ttansl'aolra, 
(iM +*?■).((« — bj')^^a indique qu'on peut rendre à toloaté 
chaque facteur nul i ainsi , l'on a le système de deui plana 
se croisent selon l'axe dcsar. 

691. Lorsque l'équ. (5) est privée de deux carrés, par I 
de X* eij-', eu transportant l'origine parallèlement aux si 
rtfduira l'cqu. à 

Les sections par les plans menés selon l'axe tics : sont dc«.i 
rabotes. Le plan xjr et ses parallèles doiinenl dea droites J 
sont parallèles entre elles. La surface est donc uu (^lùtm^ 
base parabolique {a" 660): 

Si les troiscarrésuianquaient danslVqn. (5),ellcwr«it«l 
d'un plan. 

693. Il csl bien aisé de reconnaître le cas où la propo»^ 
est décomposaMe en deux faetcurs rationnels ; ceux où ell| 
formée de carres positifs, qui se rffaolvcnt en deux éqn. 
sentant la section de deux plans ; cnTm ceux où, étant fo^ 
de trois parties essentiellement positives, elle est absurde. 1 
«cci est analoBue à ce qu'on a dit n-.^SS et 459. 



LIVRE SEPTIÈME. 



CALCbL DIFFERENTIEL ET INTEGRAL. 



l. BÈCL£S GÉNâltll.&S DF. LJL OIFFÈnF.BTUTIOtl. 



D^nilions , Théorème de Ta/lor. 

igf. Plu> une brandie «le connaistances ombra&se d'ohjcl!) 

trctoil d*a|i|>liutïom Hivcrsca, et plus il est difficile d'en 

icddinitioncitacte «lui pcriiteUe d'en «ODcevoti- tonte 

loduc, et cDtiiprcnni: tous lex sujets (|ue l'un jieut y ratla- 

'. Celle partie de la liaute analyste , qu'on nomme Calcul 

(f/^<-rv/(/ic/, «'applique \ de* quesiinns <i variées, que iioun 

■l'eu pouvons ckposurU nature sans faire d'abord quelques ob' 

^_KF*at)ons préli in inaires. 

Bufilanldouoee une ifqu./ =/(-r) entre deux variables j: el.r, 
^^bsD p«ut reijarder connue repi'éaentL'e pr une courbe plaiii: 
^Uifir (fiQ. 4»] tapporleu It deux axes coordonnéK reciangu-' 
lûre« ^x, Ajr, on comprend que si l'on aiuibue ^ l'abscisse x 
uiM •aile lie valeurs quelconques , d'où l'on tirera celles des 
ordonnées torre8poRdantesj',on aura tuie série de pointsAf, JM' 
de la courbe i mais que ces pointa seront séparés les uns des 
jiiirc4 par un eerlain inler<(allc, quelque voisines qu'où sup- 
pose K-s valeurs de x. Ainsi, dans cet état l'équaiion /:=yi 
u'cipTimi: pas qu'il y ait coMimiiti cotre les points. Cette rer 
marque peut Atrc faite pour toute tiqu. cuire 3,4-. ■ variables. 
~^^yuns SI l'analyse ue {tcut pas fonruir quelque artifice propre 
laDÎfesIcr In continuité dans les fonctions. 
Knous pour exemple l'équ. j =;«c' -f- bx* -f c. Si, ajue» 



I 



I 



530 CALCUL DirFÉRBMTlEL. 

a«o» considère lo point M, ({ui a {imir coordoniuics . 
uoiu voulons preudro u» autre poiul ST pour le ceinpi 
i", cniiommaatx+A n yr ^ k tes coorAaanw» AP" , P'Jh 
on aura j'+*=)o(je4-A)'+ftCj^ + A)' + c, et dtfvelopj 

Or, te coefficient de ta i" puûseiKu Je li, tavoïr 3ajc*'^aAr, 
eit déduit de la fonciiuu proposée, eu porte l'emprciubi, nt a 
convient qa'4e1le; de plus ce coeiGcient estiudtfpeadttil de I 
c|ui est la distaucv PP" dei» extreiullûs Aes deux atucÙM*, 
qui, par suite, mesure t'iutervalludce deux poiiiUdelaconrt 
donc es coefficient est composé de luauiËre h exprimer cja'M 
coDsidère deux poiuts da la courbe aussi rapproché» qa*^ 
veut, et par conséquent que la fouction csl couliuuc. lycs c) 
liciens de V, h^ participent k celte propriété. De li on tireq 
toutes les fois qu'une «jueslion propotée , de quelque t 
qu'elk soit, reposera sur In nolioit de cominuhé , les i 
liuens des puissauces de A dons le déreloppeuteut de c 
foDCtion, oiikarest reuiplaciijMirx + A, convcnnblcmcal c> 
l)inés cl Boalyses , pourront résoudre le problfeino. 

RaisouBOus de même sur te cas géaéral^=3/(x) : le ti^ij 
représente ici une Jonction quelconque de f. Si l'on rempli 
a:p»rx+*,etj'parj'+>,onauraréqu.j-+*=/tx+ft 
il s'agit maiutcnant de développer f(T+h) de luanière^ 
mettre eu évidence les termes aflcclés des ditTiTt-'Olea puissance 
de h. Ce calcul seia soumis i la nature de la foDcttony, cl noos 
rcnxkis bieutAt comment on jieut IVffectuer pourcbaquc forme 
deyi contenions-nous de faire remarquer ici que si l'on prend 
A=o, ce qui suppose A =0, et fait coïncider le a' point ft' ^~ 
le 1", tuas le» termes où A est facteur devront di«]Uralln: d 
le développement dont il s'agit de /{x + H), en sorte qii'il 
restera que le seul i" terme, qui par cCHHéqiient doit ftrey 
oajr. On voit aussi que A ne peut iin aflÏKté d'aueun e 
aaut négatif, car a'il exisLtit d.to» /[t + A) un (ertue t 



â/A~", lequel équir 



, *' 



I faiMui A nul , ce icnne dq 



lHinilItaE Dt TiTLOK. 
aaiit hiAni, or qc t-eliuuvcrail |ilu» /(c). Il (lût (te U que 

f(x -t-k] doit te démtopprr ik cmif muniire , . , . 

H» + h)=:sTx+ une tniic de terme* Joui b ustJiKli-ar à diffi- 
rcRie» puissances ffotiliws . 

6^. Mau on {wut voir qu'eu {jcnetal 

if, oulrc le It-rnie/r, ilotU «n vknt itc prouver t'cxiïteilce, 
m lerine ^A coiiloiiaut la i" puBpRiiu: (L- A mullipUce i>ar 
E fonction de a seul , que dohs octignuiis par y, el 2", un 
iMc d'autres termes où h untrc ^ iIcs puittsancus «if|>t- 
Litcurc* i ta i**, cl que uous ilcsignoiis par ah \ ■ C-iatit fuiiclifin 
rtife X et de h, et aiimetUut cncori: le facteur h ^ qucIquL- 
•.^(«fiance |io«ilKT. 

l'our prouver cutti; ^iroiioailioii , qUJ sert de basi: h lont !>; 

fticul diOtfriiitiL'l, iitraons une tan(;ctil(: 7'^ au point A/(t,^) 

t la courbe BM.V dont IVqu. e%iy=^fx. Ou sait quctctle 

toit« t'obtieni en incnonlpar ce point M vuic W^c quel- 

}On<\M^ SSiM", appelée j:é(D/iit-, d la faisan) tourner autour ifu 

joint .t/juxquTi ïc que tes points Hl «L fl/' de ïeviiou coIdei- 

rOŒt eosciiibte. l'aisou» pai analyse telU- upc'ralioti (;<.'0in4:- 

triquc. Eu ïba:i(;uaiit x eii ;r-f-^i et_^ciij' + ^i pour cuusî- 

^J6cr un second poiut S/t de la eourbc . uou* aurovs 

^, + <=/Cjr+ A) (lour rorJonoec !>' M' ; "ii a 

3JQ=h.PAf=/(x+h], MQ^i, 
*=/".«'- /W=/(.r + ;.) - f{x), 
il'nû Ib triangU recua|;le MM'i^ donne 



Unjî «*«<) = 



mt" 



> di'dutiv la direrlion de la langmle tlicrcbee '/*3t,-H 
lam celte eiprettioii , faire h nul , afin d'expricncr que 
itt K (approcbc- de M Jusqu'i colneidenec. La nleur de 
^tiuj; tt.VQ Mt dont te que devient le dertiier incinbrc ci- 
, lorsqu'on y pose h ~ o. El imisque la direction elier- 



523 



CALCUL DiFrëReniiKt,, 



» 



dièe Je la UngeMe ddf enil âa point IH, il est clair ij^u'on d 
trouver une foDclioii de x jioui- t<:sultai ; nommoos-la J^. 

De la lésuUe que la valeur ile ce dernier memlire dût ê^ 
formée de deux parties -, i°. du terme /, qui est indcpendl 
de A ; a", d'autres tcrniLS dont h est facteur à dîrertes pnl 
sancet positives, et qui diiiparaisacnt lorsqu'on po«e } 
Désignons ces termes ensemble i>af ■ , qui est une rouctioo l| 
X et de h, et nous aurons 

/(£±4^=y + ....(„, 

équation qui revient k celle ci-dessus (i), en cliassant te Mau 
ininateur A et transposant /(x). Pour que ce raisonnement M 
fripas exact, il faudrait quelep(>iul(:c,j') qae nousavonspn 
sur la courbe nVût aucune tangente , ce qui ne saurait arriTl 
que dans certains cas spéciaux , où en effet le calcul dilTëreal^ 
prdseute des résultats obscurs : mais tant qu'on se ti£at d 
des ge'neralites qui laissent X quelconiiue, on est assure qf| 
l'équation (i) est toujours vraie. 

696. Quelle que soit la forme de la fcincliou/, on est dm 
certain que l'expression /{x + h) est susceptible , par des a 
culs convenables , d'être développée en plusieurs terme* , d« 
le ■'' est la fonction proposée f(x) ; le 2' no terme ^A qui 
renferme /i qu'à la 1''* puissance et est facteur d'une foactli 
de Xi enfin d'autres termes compris dans la fonnc«A, qui lui 
contiennent le facteur A i quelque puissance plus clevëc que 
un, c'est-à-dire A^ a donnant «^o. 

Le second (eriney A a pour coefficient^'' une fonction de X, 
qui est essentiellementrésultantc de la proposée^, oajxi et 
de plus, comme elle est indépendante de A, elle est propre iV.^ 
exprimer que la fonction/cst continue, puisqu'elle provî 
de ce qu'on considère i la fois deux points d'une courbe a<^ 
voisins qu'on veut. Ce facteur^ de la 1" puii>unce di 
qu'on appelle la dérivée ou le coefficient différentiel d 
tionj- ! on l'eiprimc aussi par /'(»). (/-'• p. tS.) 



TnioAKite DE TAYu^n. 53g 

La ronction m est elle-même susceptible , comme on ra bien- 
lAi le dire, fie se développer en plusieurs tenu», procédant 
selou lea puissaucca de h, et dont clinque coefiïcicat peut , 
auDsibiea que^, exprimer la continuité dans^: mais comme 
on rerra que ces coefliciens dépendent de j-', cette remarque 
Daffiiiblic eu rieu notre couséqueuce) seulcmeol , selon les pro- 
blèmes, on peut èlre conduit à préférer tel ou tel de ces coef- 
ficîens pour cet objet. 

6q- . Ou voit , dans l'équation (a), que plus h décroît, et plus 
n devient petit, jusqu'à être nul quand h devient léro : on en 
lire cette (onsequencc, qui doicie même souvent un excellent 
procédé de calcul pour déduire la fonction /'(x) de/{x), que 
la dérivée jr' d'une fonction^' est ce que devient le i" membre 
de l'équation (a) lorsqu'on rend A nul ; c'est-à-dire que la dr!- 
rivéej'yOïi te coefficient différentiel dune fonclionij , eut la U" 
mile du rapport de l'accroissement de cette fonction j à celui de 
lavanaMeTi; en effet, le Huméra(eur_/"(je + ftJ — ■yîz)esll'«- 
ces de la fonction variée sur la fonclian primitive, et le déno- 
minateur est l 'accroissement h attribué à x. {}'<^. ce qu'on a 
ditn" ii3 sur les limites.) 

698. L'origine du mot dijffcrentiel est utile à connalire. Puis- 
que, dangréqu.ition (3), le terme « est aussi petit qu'on veut 
arec h, taudis quej', qui est înde'pendanl de h, reste cons- 
tant, il est clair que plus A sera petit, plus le 2* membre ap- 
prochera de se réduire àj"; ainsi la différence y (3^ -|- h) — /{x) 
se réduit à^ft, pour des valeurs de A très petites; et comme 
y h est la différence entre la fonction variée et la fonction pri - 
mitive , on a appelé y h une petite différence , 011 une différen- 
tielle. Et même Leibuilz, inventeur de ce calcul, ayant dési- 
gné par le signe d un accroissement infiniment petit attribué 
i une variable , dj et d.r ont élé des symboles destinés à rem- 
placer les lettres k et A ci- dessus, et l'on a euydx (autteude 
y h) pour la différentielle dc^, savoir dj^ydx. Cette pota- 
tion est reçue dans le (jenre de calcul dont nous exposons les 
principes. La dérivée ou le coefficient différeniicl de la Jonc- 



J 



33o (iâU:uL uifrËKMTiBi.. 

iioiiy=s£{je),ettj',ou I'()i},ou -^j c'en lu co-^Li'cnl J^JA 

terme, ou de ta i'* puhtaTue de b ttam le dévttlopfiftmeMI^ 

la fonction varide r(x+li),' gn ta li'mile dit rapfion ^ ftim 
croittentent ita la fonction r(t) li celui de In variable a,* eWn 
fin te co^fficienl de ta diffircKce iujinitnent petite d y as jli^ 
qu'en trouve torique t eroh de ils. 

Eii attachant au mol dérivée l'acccptioD prcctïilentc , duh 
ponvotis (léUnîv le calcul ilill^renliel, une ôrattche de kau:: 
ana^te, dan» taquelle on ret:herckc tes dérivicf de l 
Jônctioiii proi>oséct , on anigtie leurs praprit! lés jHUticul 
et l'on applique ces diiriiMcs aux prob&mtit daiu letqt 
conliituité det fonctions est une det conditions cttenUcttex.i 

Regardons l'u|ii'e5sioii jr' toiuiiie co»itue, kus^ui 
donuéi |)uiscLtiej-' ivt unu foucûoa d«x, ullc cstiusc 
de varicr.cld'avoiràsou loue une Jûiivcc, que a 
roua par y-, de nictue, la diirivée dey" sera y", celle d 
uraj*'*. . . On conçoit donc ce qu'où uiilcud par ta d 
de premier, de second, de iroisihnc ordre. . . 

G99. Nous ne savons )>ascucori.-coiiiincn( ztt Aenlfcnt 4 
a (équ. 3) ; voyons à ddvclo{>[>er cette foncûoo. lAiflé 
y+apar/*; celle f»|u, deviendra 

f{x+h)^fx + Ph=j + pf, (3). 

PcMon«;t + A = =, d'oàh=z~-x, fs=y+P(»— x). ' 

Or P, <iDi était fonction de xel de h, l'eit actudleincuid 
xet S) CCS variables sont indd|)undaiitcs , |>u!si)uc leur dîlT 
estacbilraire. On [icul donc reijatdei i comme uu nombre q 
tant donne' , et faire varier x seul (avec j- cl P qui confier^ 
:r). Cliaogeom donc 7 eu ^ -f 1 dau5 ta durniirc iqa. 1' 
l'Itangera {las i l'.j- deviendra 7 +y» + C/; 3". /f= 
t^bangera en (P+P'i + yi) (i^x — 1). Ne tonsurrciwii 
toute l'equ. que les cocfliciens des lerues otif vitau ("dcc^ 
«avoir 

o =.yi-Pi+ P'n^ - X) +. . . . , 
d'où p==y+p'{,~x}+... M;. 



TU£OiB«B OB TiYUMt. 3St 

TraiUNU cette «lo. coiainc la |ir<.'céUânte- Le ckangemeul de x 
tnx + idoune fss^' — P' + /-''(3— *). .. , d'où 

3P'=y + P'(z~X)... (S); 

de même 3/»"=^^+ P"(s— x). . . 

4P"=j-'+ /»■•(«-»)... 
linons P,?*,?",... dpsrfqu. (3), (4), (5)... puîsrctablis- 



i> A au lieu de z — x, el doqi aurotis 



■ {^,: 



c'eut la formule appelée Théorème de Tajlor, du nom du cd* 
Icbre geomitre qui l'a d^ouTerte. 

Far lelUcorëine{i], toute fou cii on ^x était de'eomposéc en 
^^yh-^tih, la 3* partie «A renfermant tous les fermes ou A 
a Due puiuancc supérieure à la première : luainleDant nous 
eonnaUsons la couipositiou Je ces dernieri termes. 

Tout cela est coufonne i ce qu'on a exposé n* 537 ; mais ici 
^, qui désignait alors ua polynôme raùODoel et entier, rc- 
préieata uue fuuction quelcouque de x. 

Il cit donc di-'moutré que loisqu'on attribue è ;r un accrois- 
BCMctU h danR une fonction quelconque ^r, la série (A) , d^ 
veloppement de J'{x -^ h) , n'a que des puissances enliires et 
potia'vea de h, du moins <iuand x conserve une valeur indéter- 
minée (n" 695). Celte série (^) sert à trouver ce développe- 
ment, toutes les fois qu'on sait tirer de^r les dérivées succes- 
^ves f'x, f'x. . . , ou y, / . . . 

Par eï., soitj'ssjr", on en tite y^ma:""', puisque ttl est 
le coefficient de A' dana le développement de {x+h)". De ni^tnc 
y=3iii[»n— i)a*-',j'*=m{ffi— I) {m—i)x'"-'^, elc. Donc en 
sultalituaut dans l'éipi. [/t),f{x-^h) devient (.c+fi)'", et l'on 
retrouve la série de Newton (p. 11). Il sulGl donc df savoir que 
le, a* terme de {x ■+ hy tst tnx-'-'h, pour en avoir le dcvclop- 
peiucut total, ,qtiel que soit l'exposant m. 

Mous avons appns, pa(;t; 333 et suiv., tk dévclopiicr diverse» 



35a C4tcut. uirFÉffKHTtt.i 

foitctions eu tétivn : connue la rcdicrclie de ces CK|>m*ï6hJ 
une application simple des princtpeR du calcul des tiérivatia 
lions les tirerons de la foruiulû de Taylor, eu suivant les n 
de ce calcul: nous ne ferons donc aucun usage de ces S 
avant de les avoir ttcmontr^ea de n 



Règles de la differentiatton des Fonctions alg^nift 

700. La Rianitire dont la d<?rivce x" ®" composée nii x, 
peutl de la fonrliou primilivc^, et en porte l'euipranU 
faut, pour chaque fonction pTopostfc, savoir former celte d 
vée i c'est ce qu'on obtient par deux procèdes. Le i" r^suln 
la délÎDÎlion même, ciprimée par l'<!qu. (1). 

On changera x en x + U dans la Jonction propotée 1%, 1 
ton exécutera les calculs niScesfaires pour mettre en èvtdence^f^ 
terme affecté de ta i" puissance de\i : le coefficient de ce let 
est la dérii-ée cherchée y', ou fx. 

70t. Le second procédé est foudé sur la proprit'IeJeslintil 
D* 697. Après avoir clian^jé x en x + A, on rotranclie 
fonction proposcu, et l'on divisera (lar A, afin de coiup* 
rapport j^ 4- «i ^^ l'accroissement de la fonction h celai d 
variable: puis faisant décroître A iitdefinimont, 
la grandeur vers laquelle ce rapport tend sans cesse , «■- 
qn'on en cherchera la valeur dans le cas de A =:o : cette lim 

Mais il convient de composer des règles pour cliaque e 
(le fonction, aiîn d'être dispensé d'appliquer directemcot 4 
piOctJdés, dans tes divers exemples qu'on rencontre : ces ré(;lL 
donnent la dérivée pour chaque cas, sans qu'il soit iiécesuir 
défaire des raison nemcns spéciaux; ou opère alors comme lor 
qu'on fait une multiplication, une cKliacliou de mcina, > < 
tout autre calcul algébrique. 

70a. Soity =: A + Bu — Cl.-, : A.B^C ét»ni il- 

constanlcsi "i'-- ■ des fondions dcx. Pour obtenir la dérîvr. 
appliquons la prcmiËie règle. Un metlànl x -|- A pour x, Â v 



FOKCTiOilS ILCËIIBIQUES. 353 

laBfjOfM, 0if Jcvicni B(u + u'h +mk). Cl est cliangé en 
Ri+ZA +iSA) ; «ioai U foiiciiou variée/ (^+ A) est id 
f = {^+Bu— Ct. . .) + {Bu —a...)h-^B3.h— Cfih... 
h>ne, ^^ Su* — Ct... t. a dérivée d'un polynôme est Ut 
mitie dtrx dérivées de lotis Us termes, en conservant les signet 
fUJCoefficicnit les termes eonsians ont téro pour dérivée. 
, Ainsi, /■= a' — r' dopcie^f jti — ix. 

X=i I +4^ — 5x — Bar' donne y =ar — 5 — gjr*. 
[ 7o3. Poar j'=uX'.« et t ^tant fonctions de*: mettant 
K4- A pour X, il mut /(x+ A) ou 

}'=(it+«A+-/0X(t+CA+/3A), 
y=«'(-(-«/'. 

Dein«iiie,>=«.^.i', en fnïsant t.v=:i, devieiit^=u.i: 
B'oûy^u'i + ua'! mais aussi s' ^('(■-^(i''; donc 

y^ tva'-{- tuv'-^uvt. 
Ainsi ^ dérivi'e d!un produit est la somme des dérivées prises 
en regardant tucctissivemcni chaque /acteur comme seul va- 
riahte. Notre ilt^moiisl ration s'iileuil !t^,5. . . facteurs. 

yss{a-\-x)[a — x) ào\ii\vy^^(a—x)i — {a-^x)\, [niis- 
<|ae4> t cl — I tiontlea dérivée* des facteurs; ouy := — ai. 
7= {a + bx)x^ doiineyï=*3r'+ 3±^{a + bx). 

7o4> s ctutilant des fonctions identiques de;E, changeons:): 
en jr-^ A dans i^ 11; nous xuruns 

i^s'A4-3A=u.f u'A -ffSA. 
Donc x'^i»' (n'6t6); de mêii 
Donc , deux fonctions idenliquf 
liqnet pour tous les ordres . 



C, on &z':=u', ï"^n" 

I ont aussi leurs dérivées iden- 



705. Soit jTs-; on en tii-c y = 



i d'où y I -^jri = 



554 cu£VL nrrtviTin.. 

Im dérivée dune fi'aciioA eu égale é eeUe Jh nmmérmimr; 

moi»' te produit Je la/raction prapaaie par ia é/r i 0ét A mm 

dénominateur, celte di_fférence diineée pqr et ifi'iiiiiiii'miiMi. 

^06. Ou bien , e$t égale au déaomiatieitr maMpUé pmM 

dérivée du nmméraleur, maint le Htanérateur muUifftié pmrjM 

dérivée du dénominateur, cette différence divisée par k eivré 

du dénominateur. 

On peut encore tirer ces r^es en effectuant la ânùion de 

uA.uh+»k 

'— t + ik+e/i 

d'oùy =etc. 

... * *' 1 , t [1 — x)x 
Ain», jr = , donner ^ ; '—, 

—î+i^. ^ _ (3— 2j)fcjc4a(a4--'^J*) _ (3^^j-fa 
^^ 3 — ax '-^ (3— 23:)» " (3— axj- 

^07. Si le nutneratear u est constant, on fera ii'=o, et l'o 



.-^-'J-^-'l 



la dérivée ^une fraction dont le n 
le produit du numérateur p 




^^P FUNCTIOM tlGÉBnlQUES. 355 

ruil ilv* m laclcun s donne celle miutc qoaiiiité. Donc h dé' 
. 1 ï te cê-i y = an"-'.»' ■ 

kX t= a + l'x + cx\ 

B*|fn I I i" Il I—' -' 1 '■■■ I *- 1 "" 

^m^ttout j-=x\a -^ 6x'), ca raisanta + &-r'=:s,on as'— a^T: 
■«patlarèiileh''7o3,y=3-r=i + xV=.T'(3fl4-5i'x'). 

F-nfin, j-=(a+frx)'; on aj-=s' en ïWMnt « + ((^ = 1, 
d'où t' = A, y s=itz' = nb{a + bx). 

1". QuanJ\aeH<iUicretni'gaiif, m^~n, ct^=i"=t~", 
-^, cnveriuflela ri'glen''707, 



..I» a j- cS — ; d'oùy := 

i-r \ie ce qu'un Tient de ilci 



3", Çiiaru^ m eUjracU'onnairf, m = ^,ouay=^z •!■, d'oii 

,1*= a', en dlcvanii la puissance ^ : prenons les dérivées de» 
• Iriix mcmlir<:s qui sont des fonctioDHidentiqucii lie x(n''7D4): 
f> c\q son\\i:\àci entiers pcshif s otj nifgatifi ; i\ suÎLdcsileuii 
<a» prcci^'dcns ciiic qy '. y ■= p^~' . s' ; cotuiac jt ■= qm , cl 
y- := s", on a {vojr. u* 7 10) 

qs'^-'y = qmtf*~' .ï ; d'où y ssma"—'.!'. 

I Quel que ioil L'expoiont m, i t^Wni une fonction de x, /n 

(diJri W't.' (fc t" est donc nu'*" .t'.i éuoi une d^rivi'e qu'on lire 

■itfs-=fx. Nom ne disons rien des «x posons ivraiionuels 011 

iuin^inaifcx, qui rentrent dans les prifcédeos. {foy- p- t6.) Au 

rtste Toici une ddinoustraiinn nui cinlirassc tout les cas. 



556 CALCUI. DIFFÉIBRIBL. 

70g. Cfaansconi a; en x-f- Aduuj'sx', 

d'oà (^*)"=(. 4. ^)"=t. +.)--. + ^ + «^ 

en divisant toul par «", et faUast A^xs. Or, (i + «)■ «rt 
indépenduit de X, puisque, h étant arlMtnire, s ett quelconque, 
m^iue quand on dcteriniue x: il faut donc que notre dernier 
lueinbre soit auui uns x, et par conséquent le second tenne 

en particulier; d'où — ^ ^constante ; c.^-d. qucj^ doit être 

composé en x, de manière que divisé par x"~', le q 
■oit une fonction de m, telle quejîn, ouj' :=x"~'._^. 
Déterminons /m. Noua avons 

(,r+ A)-s=a:- + fct— ./m+etc. 
Donc Cx + A)"=3x- +Ax"-'./« +etc. 

(* + A)"*-=x-+- + tc-+— ./(m + Bj +..., 
en changeant m en n et en m 4. n. Mais en multipliant les 
Ueux i"* uqu., on irouTe pour produit la 3* équ., excepto 
qu'il y a/m+/B, au neude/{Bi-}- n) i dooc(note, p. igc)} 




vQVcnoirs Aii&éaiUQOBs. 



5S7 



710. Pottf/-= j/lisrV", ona 






c'etC la formule des dérivées des fonctions radicales. 
' Pour j^ SB l/(^ + *"**)*> on fai t s = a -(- ôx% et Ton a 

D^Qième j^aa i/x^ donney^a^^ =1 — 5 — . 

Comme les radicaux du a* degré se rencontrent plus souvent, 
on forme une règle pour le cas de m -= a ; j^ =: ^z donne 

y =s : ta dérivée if un radical carré est le quotient de la 

dérivée^ de la fonction ajfectée de ce radical, divisée par le 
double de ce même radical. 

Parex., T'as: fl + iV^JC— -i donne^ =3' ^ w^ +'Z;* 



Pour 
ona 



^ = (or' + ft)' + a (ar — b) V/(a*— • j:*), 



Enfin, jri= 



y= 



— JP+ l/(a*4-a:*) 



a" 



donne 



t/(fl' + «•) . (aar* + «' — aar l/ ii*+ «*) 

Si Ton eût multiplié haut et bas la fraction proposée par 
X -|- v/(a» + jr*) , on aurait eu 






ajf* 



a- aV('»' + *')* 

v- ^1 i.EUntdonn^une fonction compliquéej^s/ir, supposons 
•*T. II. a» 



358 



CAUUL difféhbhtiel. 



rju'en repréMnUnt par t une partie de cette fonction, ou x=Fx, 
la proposée devienne plu> simple et csprîmée en tata\,j'==fiii 
on a ces trois ëqu-, dont la i" résulte de réUtnioation des s 
untre les deux autres : 

[t)j=/x, (a)« = F3r, C3)^ = #». 

Nous allons tirer la dérivée j"' de ces deux dernières, sans aous 
servir de la i". Comme il y a deux variables x et s, notre no- 
tation ne suffit plus ; car j' ne désigne pas plus la dérivée de 
1» i" équ. que celle de la 3* ; cependant x est variable dans 
rtiUL'jxdanil'autrG, et les fonctionsyetfsont très dilTéren les. 
T.a dérivéede^ s'exprime aussi bien par d^que par j^ (n'ôgS); 
t^l puisque la dérivée de x est x' = i , ou dx= i , nous écri- 
rons -p-, pour marquer que la dérivée de^ est prise relative- 
ment à Ut variable principale X, qui reçoit l'accroissenicii t 



bitraire h. On appelle dy la dijfértnlielle de y, expression 




FONCTIONS ALGKBRIQUKS. 53l) 

Le a* membre est le produit des dérivées des équ. (^) et (3), 
c'est-à-dire de f z par rapport à x, et de Fx par rapport à x. 
I^a déris^c d'une fonction de z, lorsque z est fonction de x, est 
le produit des dérivées de ces deux fonctions. 

Il est inutile de donner des exemples de ce théorème , qui a 
déjà été appliqué, n" 708, à la dérivée de z** ; il nous sera 
d'ailleurs très utile par la suite. 

712. Il peut arriver que Téqu, j^==^ soit assez composée 
puiir qu'il soit nécessaire d'y introduire deux variables 2 et 1/, 
représentant des fonctions de z ; alors Téquation proposée 
y'=sfx. .'. (1) résulte de IVlîmioation de z et i# entre ces trois 
t*\iu. données 

(2)... ZSsFx, (3)... M=\I/X, (4).. .jrr=i(p{z,u). 

Il s'a{;it de tirer de celles-ci la dérivée de la première, coiujno 
si Ton eût cl]aij{>é x ^ii x -j- h dans l'équ. (1). Cette traiisfoi- 
mutioti faite dans les équ. (2) et (3), donne pour les accroissc- 
iiions k et i qui reçoivent z et u, 

dx dx 

Changeons donc « eu « -}- ^, et m en 11 -f- / dans Té^u. (4) ; et 
coiumc cette |)artie du calcul est la même , soit que k et / aient 
une valeur déterminée, soient qu'ils restent arbitraires, z du 
y sont traités comme des variables indépendantes. Il est donc 
permis de changer d'abord z en z + ^ sans altérer u ; puis , 
dans le résultat, de mettre k + z pour u sans faire varier z. 



[*) Observez que les dz ne s^entre-détniisent pas , parce que le ds qui di- 
vise 4r indique, nou-seulement une division, mais aussi que la dérlviHï ou 
(lifleronticlle 4r est tirée de Fëqu. x-=s.^^ comme si raccroisscment h était 
attribue à;, et non pasàx; alors dj est =1 : d'un autre côte, le multipli- 
4-ateur àz indique que la dérivée de s est tirée de Tcqn. z -rz Fv ^ x ayant pris 
J'ae';roi«sem(*nt h , nxidx -=: t. 



54<> CILCDI. DIPrËHimiL. 

Gs (loaUe calci^ conduira an mtm* bal <[« m l'on eftt Ivt è 

la M» les deux ctiangsmeni- 

niettanl s + it pour s dans j-=f (j*b)i ncat mbodUhs 
aulreseonsUntcsdelVqu., et^ iefiimt jr + ^ k + .'. . . 

reste i substituer ici u -f- ipour ». Le i*' terme jr doit akira 

être considéré comme ue contenant qa'une seule variable v, et 
deTÎent 

(ir 
Le a* terme ^*- k est pareillement une fonction de U va- 
riable Ui mettant u + i pour u , le développement coAimencera 
par ce même premier terme { n' 694 } , en sorle que la soianut 
est 

11 n'a pas été besoin de considérer les tenues inbiéquens, parce 
«|ue le but du calcnl étant de trouver le coeffiôent de h, les 

termes i*, *', l'ft. . . . i^onncraient des fi", fi'. . . Subrtitqons 




^r F01tCTI0»5 ALG^-PKIQUes. 5^1 

Doue , la diriwe dune foncii<in compilée da différemet 
Jbncliona pariiculiin», est la somme dru dérivées relatif es à 
chtuunt , contidirée téparément et indépendamment raue de- 
tauire, en «wani Za rt^y/e rfun" 711.II est visibk que les dd- 
rivalioDS des produits et des quoileus ne sont que des cas [i3t- 
ulkndece tlte'orème tn" ^o3et7»7). 



»^\imn de ce tlieore 
I - , a + bx 

f=a + bx, us 
L» dérivée de ^,u ci 



D a j" ^ — 1 en faisant 

I — X ; d'oi / ^ />, u' =; - 



l« dérivéede^.u étant con»ian«, fisl —jona — 5— pour la 
iknvce relative ku, par les règles n" 707 et 70?, a". Lasoimue 

, , . .... , 6 , ai b+bx+tn 

Ml la dérivée cbercuce : donc j^ = — -^ — j^— 



I 



-j:')*— (3— 3J)3: 
4 — 5r 



eu faisant 



= t— »',iis=3x — ax',fts=4 — 5t,ï'= — aT,«'=3 — 4^.''= — 5; 
ne uonsidérani tju'utm 



prenant les dérivées successtveiueni 
Tanablei,H, ou 1, et ajoulanl, c 



'=-; 






LoTBCiite les valeurs qu'on doit égaler j des variables s, u,.. 
ne sont pas très compliquées, oh préfJire opérer sans le secours 
de cette transformation , en la supposacil taciteuient. C'est ainii 
qu'on tire de suite de 

jr = {«-ax + *>)', y=ila — 3x+x'yOx' — i). 

7t4' Après avoir trouvé In dérivée j^, eu traitant cette fonc- 
tion de X selon leii rËglea qui Tiennent d'être posées , on en 
m la ilérivce du a* ordre j-': ceik- ci doimnade luî'uii'^, 
ipuis/", etc. 



^^3 GILCDL DIFFÉREHTlRt. 

Par exemple, yacx-' donne y = — x~*, j' = zjr-', 
j*— — a. 3i -< etc. , ^f) = ±.11.3... n*-("*'). 

De niéine j-= yx=x* doaaey=-x » J"' ^ . -a; , 

_ i.i _4 „ t. 3. 5 -ï ,,., 1.3.5... t2fl-3) 

Pour_7'=i a:", on » y = ma;""', j-' = m(m— i)x"~'. .., 
^(•>=m(m-0(ni-a).,. (m-n+i)*"— . 

7i5. Il est facile mainlenant d'appliquer le ibéorème du 
Taylor (A, u' 699J à toute* les fonctions algébriques , c.-A-d. 
d'en obtenir le développement en série , selon les puissances 
croissantes de h, lorsqu'on y a changé j: en sr + k. 

I- Soil^ = j:~' ; nous venons de trouver y, ^' Donc 




EXPOlfKNTlIvLLKSy LOGAfllTHIlBS. 34$ 

Fonctions exponentielles et logatithmiques. 

716. Pour aToir la dérivée de j" ==yr= <ï*, suivons la règle 
<la n* 700 : il vient 

f(x + A) = «"*■* = a' . fl* = fl' + y h + etc. (n» 696) ; 
d'où , en divisant par û', a* = i + ^h + etc. 

Or 

Le 1** membre de cette équation étant indépendant de :r, le 2', 
et en paiticulier le coefficient de A, doit aussi l'être:. donc, 
y doit être composé en :r, de telle sorte que, divisé par a', le 
quotient soit une constante k^ fonction inconnue de la base a y 
y= itfl*. Ainsi, 

y = ka'; y = ^•û*, y = ko', . . . j-o = ^-o*, 



• • • • 



1 2.3 2.3.4 

d'après la formule de Taylor. La constante k se détermine 
comme au n** 626 : on pose xz=: i ; puis, dans a=. i +^ -|- J A*. . . 
on fait ^= I , et Ton désigne par e la base qui correspond , 
e = 2,71^281828. . . ËnGn, on pose kx'ss^x dans la i'*' série ; 

le 2* membre devient e, et l'on a a*t=e, a = e*; d'où 

_LoB^_, _ 



ifr — .riîLi: = U=: 



Log e log e' 

selon que le système des log. est quelconque , ou a pour base e, 
ou enfin a. Les notations convenues p. 244* ^^^^ ici employées: 
\a désigne que la base des log. est c\ ou qu'il s'agit des log. 
népériens, etc. En un mot, le Calcul différentiel reproduit les 
séries démontrées n*625, et par suite les conséquences qu'on 
en avait tirées. 

717. Stfit j- = a% z étant une fonction de a:, « ==/r : la 
règle n* 7 1 1 donne j^' := ka* . z'z=l a* . 2' 1 û j 2' se tire de z =/ï . 
ha dérivée d'une exponentielle est le produit de cette même 



5^ UUDL BiTFiuamsL. 

qmaatMjMV la dériva de lexpoMami, ttpmr bçwuiMUeL, 
qmi en le log. népérien de ta base. 

j' = «**- y=-«-.3i.. 

518, Pour j' = Log jr, U règle n* 700 conduit a 
»'=Log(* + A) = Logx+yA + elc 

eoponot A=jr:, Obserrei, rouiine d' 709, que zestinilêi-oc- 
ilaiil d«:r, iiutsiu'u-: (Jiaugeaiit (.onvenablenientrarbiliMire ^.. 
zpeut (Icsiieurei- constant lorsque x variu. Le 3* iuiui!;:l'. .1 
eu particulier le tvrnie yzz, doit donc 11e pas conlenîr x : j' 
est compose en x de manière que le prodiût^X soil une coiis- 
laiite M, j'x'^^M. Ainsi, ^n' ;i4;. 




SI POHKHTI ELLES I LOGABITHIIU. $45 

JliU (pt a45), fÎMteur constant dans un système de log.^qui sert 
à traduire ceux-ci enlog. népériens, etrëcifiroquenien t. On re- 
trouve donc ici les mêmes séries et la même tliéôrie que procé* 
demment. 

719. Soit fssLog 2, z étant une fonction de xioaa fn^ 711), 

._^_ z' _ £ 

La dérMe du log, dunefonclion est la dérivée de celte /onction, 
multipliée par le module et divisée par cette même Jonction, 
Le facteur ilf est 1 , quand il &'agit des log. népériens ('*';. 

i/«\ 1 1 A *^^ ^ tu' — ui 



ui 



j= Log s" s n Log 2... y^ss 



Mnz' 



jr^Loç 



»/(i +')' 






M 



jr =5 Log(ap + Vi+x*). . . f^ 



M 

1/(1+*')' 






j^=i 



i/i -4-x 4-|/i— : 



V^i -^x — V^i — jr' 



r- 



X ^ \ — x^ 



720. Les log. serrent souvent à faciliter la recherche des dé- 
rivées. 

1. Soitj" == utvz,. . .; on en tire \jiss\u-^\tAr l*' +• • •*» 



(**) Od annit pu tirer la dériTée d« oelle des eiponentielles : jsa* donne 
y as !d'.jna =r r«'.l« ; d*où / = — p = -ï-. RéciproquemeBt, de ootte der- 
Mière ^. oû peut déduire la précédeote , c.-à-d. la dérim j' de d*. 



346 



CALCUL DIFFEIUTIEI.. 
-< — UultipUant par \m 



tin a^'', ce qui prouve que ta règle b' ^oS est vraiCt quel qtu 
soil le DOinti''e des (acteurs. 

U.j- = z' Aanne\y=t. \z, ^^s |-l'. U. 

ilonc y = z',( f. t'lz\ 

m. Dej-=« , on tire \j-=b'. la, y =a . 6'. l' la l&, 
iy.j':=t donne 1^ =: f\z; donc 

i=9:+i....(!f+.i.y=.'-,.(i-+^i<.i.+"^). 

Fonctions circulaires, 

^ai. Cherchons la dérivée de^ = sin j:, le rayon étant t : 
on a sin (x:^h) ^ sin x cob h ± cosf. sin &^^ ±^'A-fctc. ; 



a co.ijr.sin A = ayA + etc, s 



^ A+eic. 




SfHUSy TANGEWTKS. 547 

passer aux dërÎTëes d'ordres supérieurs^ et Ton trouve qu'elles 
se reproduisent peViodiquement daos l'ordre 

sin X, cos â:, — sinx, — cos jr. V 

i 

1>e théorème de Taylor donne par conséquent 

in(x+*) = «n*(i~+~^...) 



sin 






Faisons ensuite successivement j:= o etsgo^ nous trou- 
vons les mêmes séries que pagef 249 ; d'où résultent la forma- 
tion des tables, le rapport ^ du diamètre à la circonférence et 
les formules des n^ 628 à 635. 

722. Pourj" = 8inz, onaj' = z'.cosz. 
Sïjr ^ cos 2, on ay' = — z' . sin z. 

m 

Soit r=tang2=: , on a (n^noô) r'= — ^ = z' .sec r. 

La dérivée de la tangente dtun arc est le carré de la sécante , 
multiplié par la dérivée de l'arc fonction de x. 

i 

Pour^=cotz, onaj^' = — 



sm* z 



Puisque |/^(i-f-co8ar) = cos -; x, la dérivée de ce radical 
est — \ sin ^ x\ c'est en effet ce que le calcul donne. 

Soit j-=:cos mz; on a j^ = — mz'. sin ms, 

jr = sin mz J^ = ntz' cos mz, 

n /i X *• - sinflx) 
De j-i=cos(lx), on tirej^' = ^^ — i. 

X 

Pour ^=: cos X , ona 1^ = sin a:. 1 cos x; puis 

(siii^x\ 
cosx.lcoso: — )• 
■ cos x/ 



3^8 ULCDL DIFPiltBltT»L. 

y^_!!— . donne /s:^ S- ^ s' ung s.iécz: c'est la déri- 

■^ COBZ' •' CMI 

■réeàej^técz. 

: S* col S, 

, fcoi »)' , , 

r ss 1 i- =s — % Ung s, 



•' ^^^ * " "•; cos'z Ung s na as 

H. Legendre s donné duis la Contt. de» Temt de 1819 des 

séries propres au ulcul des log. de sln., et», et tang. 
$oil^ = log. siii X; apptiquant le théorème de Taylôr, et 

désignant pnr M le module, on a 



y=Afcotjr, y=— 



_, JiMcoax 




sinus, TASCEWTas. 549 

si>i î-;'3o',oB £vt A = Brc<le3'=;3tin 1'. Votd le calcul 1 

•' isiàOÎ 4 94"^^ ~ i"li!nne= o MD^aPnï 

M r.63j;8 l-KaiS »• . =— o.OooooojB 

r«»..,. O.aflSSi (iaU..— 1.9139s î*;. = p. 

.«■iwmc J.86arS a« 7.a89Sl - û = o ct^a^B 

fi-l* lama DO produit rion quand loesiiir... = T r<64ii)»{ 

■ Il ne prend ane • ilteimilcs. 

l«C "la »:" H' = 1,665.339 

' L'iio méthode est surtotil utile lorsqu'on veut calculer les lop,. 
I L-i- UDC grand« approximation. 

7^3. Supposons ijue x soil le sinus d'un arc, r; ce qu'on 

y = »fc($m = .t),ùax = B\aj. 
I..-1 T.iriahlc x qui reçoit IWcroissemeiit /i, m'est plus l'arc, 
mais bien te sinus. Or l'équ. x = sin,r donne 

Pour^r ^ arc (nin ^ i) . on a donc j-' := — — ^ — — . 
Vo»T_r=iTC (cossss), on ouraiij-'t^-— -^-— . 
l'renonjr = erc (uag^s); d'où s=:iang,7-, s'= -^— , 

. =ts' CO«'j-;*;t puisquecoï'^ =j-— ï, y=-j-p-;. 

Ainsi , la dén'We d'un arc, exprimi-e par son timm , est 1 di- 
t^ii^ fiar le cosinus ; celle d'un arc 'Xpiiméc par son cosiitus, 
ml — I divisé par le tinus i enfn, celle d'un arc exprimé par 
sa tangente , est 1 divisé par 1 ^ te carré de celte tangente. 

Si le rnyon, au lieu d'être 1 , dtail r, on aurait, <'n rendant 
le* formules liomojjènes ( 11*347. ^"^r 

= arc(iiu:=s}, / = ««(tnnfîrsî), r ■-== i^ngz, 

ri" . rz' . 1^%' 

"^^— 3')' -'^^r' + i'' -*^"c08'b' 



^50 CALCUL DIPFEREBTIEL. 

Dérivées des Éqitations. 

n34> £» résolvant l'équ. F(x,j-)^o sous U forme ^-^^r, 
il surait facile d'en tirer^ï', X^'jj"'. . : lusis cette résolution, 
ijuicRl rarement possible, n'est nullement nécessaire; car met- 
tons, pour^j- , sa valeur^T dans la proposée } il en résultera uni: 
fonction du x idenltqueuient nulle , que nous désignerons pa i' 
r ^ F{x, fx) 7= o; les dérivées a', :", =■, . . seront oulles 
in" 7o4]- Or, pour obtenir =', il convient, d'après ce qu'on a 
vu n" 712, de simplifier l'expression compliquée F{x, fx), 
un égalant Itj- le groupe de termes yê, et d'appliquer la règle 
de cen'i l'équ. s=:F(:r,_;') = o, qui est la proposée même 
Donc 

. d; , d; , , d= da 

"=ai-^^-^=*'' ''=-Tx-dy 

Cïsdeuii termes sont des fonctions ç 




^H DÉBIVÉeS DES iidUK-TIOtii. 3 j t 

fi valeur» Aex=f'- (rouimc le calcul de la iWnvation \a\sw dans 
1 ■ tes m^mi'â radicani que ilans/r (n' 710}, j' a aussi n »,-t- 
l.urs. Si y n'esi t|u'au i" ilcgiû dans :' =0, cela vient de ce 
i)»io ^ «'y trouve Bossi , et coii^purte les inêiiies radicaux que 
réliiNlnalion ile_j- dohreproduifu. 

(jafi. I/équ. i' = orenfcruie x,y el^r , qui soin des fonc- 
ma de jr. Le raîsouueinenl du n° 734 prouve qu'on peut en 
m \'ét\\i, s' =. , en regardant ? et f-' comme coutenaat x, et 
ppt'irtuaiit la règle tt" 713. La notation dont on a*e!it servi «le- 
î«tii alorsplui^tendue. Par ex., -T— ^— , -r^"n ' ''6"''is''0'»l 
i]iie dans In première, la dérivée est prise d'abord en vonsidé- 
liint X Eomnic variable, et qu'on a pris ensuite la dérivée du 
it-!>uluit relativement à_^; daas la deuxième. On preud les de- 
I ivccK trois fois ttacccssives : deux fois par rapport à x, et une 
lois pour J-. Du reste, il Biiit de ce qu'on a dit (n" 712), (]ue tes 
.['■rivocs peuvint être prises dans tel ordre qu'on veut ; dans le 
it, par e.\., les prem 



^foi! 



pour :r, < 



„i,»po. 


ir ,. (Tiy- 


)'api6s cel; 


.,rcq»;=. 


i-. 


+ "'îi 






;+; 



pool 



e fois pour ;- , 



+ aT--'-=« 



(.oucdqu.dn i'*degrden_T'donnera_r''eKprimi'eenT. r etr' 
ou pourra éliiniiier y' \ l'aide de I equ- z' ~ n ; et si l'on vcu 
.liasscrr parl'équ. «=:o, alors lude(;r(i de^r'^'el^vera, 

Leilcnicres. n° ■•■iHtax'' — Zayiy + ^x + 4ar,r=« 
en jircnant les di-rivërs relativement \ x, y el >-'. coiuine vn- 
rialilcs iitd^pendaiileft, donne 

tnfenne un uvmv <-Mii«lni>t, i 
oiuiuc on l'a vu u" 70a. Aiusi 



71-5. Si la proposée s 
dUparait de la difrivA: s' 



■lifa 



%^2 CILCUL tUFPÉimmiL. 

a.' ^j» c= i' donne x -j- j'y «: o , qm ut iniUpendaitt der, ei 
«kpriiiie une propriété commune à toiulei ccrclu dont la ccntit 
eil k l'origine. Il est incme permis de cfaauer telle coutuli 
qu'on veut, en l'éliminant â l'aide deséqu. s =so, %' zsa^mid 
à faire reparaître celle qu'on aurait cliaiKe d'à bord. j':=ar-f A 
âonncjr'ssEd, qui ne contient pas A ; et chassant «, on a.,..;. 
y^j''x + b, qui est înde'pend.intc de a. 

La dérivée du 2* ordre perd une a* constaote; relie du 3' 
ordre, une 3* constante, etc., et le résultat expriuie ainsi une 
propriété de l'équ. proposée, quelles que soient ces constantes. 
y's=a — bx* Aoanc jy=—bx,j-y -i- y '■=:—&■, et chas- 
sant &, il vient cette oqu. dégagée lie a et ft,_/^=:Cw'4;y'')'- 

Onpeut encore chasser u rie consL-inlcr, en résolvant la pro- 
p(iPrés = o, sous la forme CT=f(x, y), et différentiant. 
('nnime les deux procédés doivent conduire à des résultais équi- 
v.-tlen», et que celui ci introduit des radicaux dépendans du de- 
(■nj de c, il est visible que si l'on préfère éliminer c entre les 
équ. »^o, a' =:o, le deyréde^r' doit s'élerer. Parc.v., 

^■' — ï<:r + ^' = c', (j--~ c)y 4.x = o 

donnent (x' — ar')^'" — 4^j;r' — x' := o. 




VAHIABI.r.S ISDfl'KKDAHTES. 355 

ii'i'st plus cxpritueu qu'en x. Les crocbeU ( ) soni mis pour tn- 
•liijucr que X m variable principale , cl refoît Taccroissi'- 
iiieiil A Mai* il pcul arriver ^u'au litii d<:,r= ^^ïi on donne ' 
Jeux t:<ju. (|Ui licnt^- Kix h une 3' Viirialtle (. 
^ = ç(. x = /t... C). 
Il budraît donc L'Iiiniaer t entre ces deux équ. pour obtenir 
r^Fx, eu tirer (^'), t^"),... et substituer dans ■i'.Ce calcul, 
ordinaire ni eut loii|; , ou nicine imposaible à elTecluer, n'est p.ts 
nécessaire-, il suffit d'exjirinier la fonction -^ en t, à l'aide des 
rfqu. {a) et de leurs dcrivces #', /'. . . : celles-ci ne sont plus 
prises par rapport à x, mais bien ^ f , devenue variable indé- 
ftenJantB. Proposons- nous donc de modifiiir la fonction dou- 
D(!e-^, pour l'amener à renfermer (,p',/',., au lieu de r.^it^T-'),.. 
Soient h, k, i Us accroisse mens que prennent ensemble les va- 
riablesx,^, (s 

j-^Fx donne * = (y) A + ; (j-') h-+... (,), 

r=*' *=j-'' +:j''''" +■•■ w. 

X=/l k^^i +ï*"'"' +.-. (3). 

Ces dcrivées se rapportent aux fonctions respectives F,9, f; 
(j-') est la dérivée de Fx relative k xij oi .r' sont celles iIl-s 
equ. («) par rapport i t, ou 

Ar , dr , , àx ., 

Lu fonction 4 est donnât! en iy') , {y") . ... et l'on Teut k 
traduire en j:', j-', ar", y'.->^ qui sont des fonctions connues de I. 

Égalant le» valeurs d« A, puis mettant pour h la série (3), eu 
se boriiai>t aui deux premières puissances de A, on a 

iy') t'i+ [(j-')V + ix') x-'-\. ki'... ^j'i + k yi- ... ; 

cl comme i est quelconque (n" 616}, 

Cr') *• =j-', {j-'J Jf' + Lr") x" =.r', etc. 
OoDc, pour exprimer ^ta t >enl, il faut -j subsiituct ii 



T 11, 



a3 



554 CàLCDL DIFt-ËRKVTICL. 

On peut tirer (j"") , (j'"). . . de la valeur de (_/), (]ui est le quo- 
tient des (iétivtïcs relalivea h I, lirces des étjuations (a); 

(j-')=—, = -i- = -j^ : j -. Car (y') rej^rtiseDie une fonclioo 

de X, (x'y^^ '^'■*^' H**'"" P*^"' à 9011 tour re{;arder comme une 
fonction de (, telle que (y)=Ç,(, puisque x = //. 

Qu'on raisonne de uifinepour ces iroisderniiiresdriu., on en 
conclura que (^") doit cire !e qtioiîent des dérivées de Ç. ( e\/t 



{D). 



-J-x 



; donc, en 



reUliveià t. Or, celle de ^ilss*^ est - 

divisant par x' derivëe de fl, on retrouve l'expression Oci 

dessus de (j"')- Pareîllemeiil, la dérin 

cunt divisée par x', doi 



: de celte valeur àe{jr') 






(E). 



rtatnsideaaulres. On peut donc employer 4 de troiarnlnières: 

i« Eu cliniinanU entre Uséqu. [a), tirant (j-"), [y)..... 
del'equ. résultan ic^^Fxi cnlin, subsliluautdans^'i 

a". EnmelUntdaDs4pour(j-'), {j') .., leoij «IcarsfO], 
(E)..., ce qui exprime 4 en r,j-,y,j'..., et par «uile eu i, i 
l'aide des ^qu. (a) et de leurs derivéesi 

3*. Enfin , en formant en fonction de ( la fraction (y)='l; , 
puis prenant les dérivées relatives à /, divisant chaque fois par 
x oa/'l,ei cnlin substituaut dans 4* les valeurs sioEiobtenar) 
poiir(j'). (J-')... 

^30. Soit r une fonction donnée de (, ''=Ji supposons que 
les équations (a) soient sr = cos (,_^:=rsiiii (•); d'où 



(") Ccipqu. sont csllca qui Iranaforraenl li'S toorOoniiMt do roci 
en polainu (H" 385; ; loriqu'unc rormula diiri>n!nUulla 4 aurft é 
pour le 1*' ixaliniCiIacileul sniranl ta rcjuic*ï«ir« proproana 



'ol!2l 



VARllBLES INDfiFCnOtEtTES. 
«* = »' cof I — r «in * j-* = r* «in i + rttn t. 



x':=r" eos t— si' ton t—/ co^ t,y 7=1^ S] 



555 

+»r'coa I — rsin( 



Substituant , dans -^, d'abord Us expressiona (D) qni y iolro- 
duiroaiy, x'.y. . . , au lieu de (j^). fj^. . . , puis celles que 
nous Tenons d'obtenir, il n'y entrera plus que iel r, r^, r*. . ,, 
tsen i, pav l'éqn. r^/L Par es., si 



t[y)- 



aa*=- 






. d'après la valeur (D) de (y) : et comme celles de x" ety don- 
nentyx — x'j-=.i',jy -f-TT'=/7' ( celte équ. est la dérivce 

de«*4-^' = '^).«n '1 



Pareillement , soit 4- = 
.na y'+y' = r'+^, 



e enfin 4 = ^. 



"=■»* + a/' — rr"; 



■i' est donc ronnu pour chaque valeur de (, puisque Us for- 
mules seront eipriinées en iseUfl, lorsqu'on aura rr= ft. 

73i. Quand 4» ^'^ainsi traïuforaie, /est vSriable indé- 
pendante ) et si l'on veut que x soit remis dans son état piî- 
milif, il suiGra de poser a/ t= i , d'où a-:=x" r:=x!' ^. . . • ; 
cary redevient (j-') , et par suite y se change en (y), etc. 
C'est ce qu'on peut vérifier sur nos exemples. 

Une fois que ^est (jénéralisé cl convient à la variable princi- 



quialicu poiiricanilaart luIvanlM ■]g4 ■ l'une exprime la ian|;. deTaDglD j^, 
que fait un rayoD tecteiiranic la tane. à ana courbe quelconque, riutraunost 
la rayon de courbure ( n"* 7^4 . 7IÎ)- Ces erpresiions lorii done , par noiru 
f^nl, traduites un roordouoéeii poUirei, 

a3.. 



356 CALCUL DIFFiHEBTIEL. 

pale t, il esc iotlilTi-renl que 2' l'ait ^té origiimiremcnt, et l'oa 
peut suppose!' que c'était quelque autic variable u qui ëuit in- 
dt^pendante. Or, en faisant y= i , on exprime que la variable 
principale est x ; donc ï = t établît la uiénie cLose pour / t la 
condition qui exprime quel eti variable principale, est t':=i; 
d'où o^ ['=(*--. on dit alors que /ût///?rVcn/ic/fc//e t esironi- 
tantt. I,o^st|ue^f,o été généralisé pour conveair à toute tiiialile 
principale , aucune dijférentiells n'y est comiante. 

Puisque la série (3) p. 353, dérive de l'éq. x^ft,x' dcsii 
, et i* = I montre que la difTérentielle de je reUtire i 



i 



At 

3' variable t quelconque , est conslaute. De même 

/'=!, peur que i devienne variable piiiicipale, il fauteulendre 

que la dérivée det, relative à une autre variable u, est confiante. 

Voici l'usage de cette propcsition. 

^33. S'il arrive que 4 ne cou tienne pas r, ■i=l^i(j'')>(/'') ■•], 
l'equ. XT=ft u'cst plus nécessaire , el il suIGt d'eu avoir la dé- 
rivée x' =f'i ; car les relations (D) n'introduisent pas x dans ^ , 
mais seulement x',^', . . . , et tes calculs préccdens sont laciles. 
Or, si cette équ. dérivée donnée conleuail I, au Heu de x, pour 
variable dcpeiiilante, qu'on ait, par ex., F(f,/',.r)=o, il fau- 
diait d'obord {jénéraliser celte équ., pour qu'aucune difTcKa- 

tiellen'y soi t constante , en niellant -; pour ('; puis faire ('3=1, 

pour rendre t variable principale; ce qui revient à remplacer de 

suite ï par — 



Supposons, par es., que les équ. (a) soient .?*= ^/, j-=- 
la dérivée étant ici relative à JC; pour qu'elle le devienne jl, 



r=;7i^'">^ = — '^ =— ^. etc. 

ira élé5<înéralise parles relations (D), on y întip- 



I 



VARIADI,b:S IMlÉ!'EM>\ttTt3. 35^ 

rfuinrctfaWn, et 4 se trouvera cxpriiktceii r, et en i\Ktïvéea 
Ti:lauves il, si ^ n'y entre pas. C'est ainsi [[uv 

U [i+çr^' a.vie.t f4l±-Cg.puu^+-i23;. 

'On voit que «}' sera exprima en fouction de/, puisque^', _^* 
ont des dérivées relatives à/, qu'on tire <]c^=^ft; 4 *cra donc 
poui' cbaque valeur de /. 
De même, ai les ^qu. (a) sontj-=.9t, ('' = i + [^')% le* 
iv^e» ^lant relatives à j, on cliatiQe celle-ci en i'"=y '-f-^' i 

i'=^l, la variable iodépendante est (, et l'on a 

i^'+y*=^i ; d'oùyjr''+^'j-''^o,Holre valeur de-J-e^n^" 
ralisée devient donc, en éliminant 3^ ou r', -1= -— ^— ^. 

Pour ol>ienir -j en fonclioii de 1, il ne reste plus qu'à tirer de 

j-=:Çl, Iesd^riv«!es^,_r'. relatives à r, puîsj:'= \/(i — j-'*), 

et substituer dans li- = j^ : j-". Si au lieu de _x ^^(, on eût 

■(ioiiné x^ft, on aurait opère de uicme sur la 3* valeur de 4- 



Iè 



l-FreDoiM e 



e 4 = -■ . / . J; étant variable principale , et 

■. x{j ) r r- . 

où l'on veut que l le soit à son tour, et que(''= ■ +fj')*iles 
formules £),£.' donneiitjaprésavoir mut tipUébaut cl bas par y^r 

de3:''+y''=t,ontire3:'a;'+Xr'=o,y*'+x"-hr>"+y"=o- 

Éliininant de cette derniJire y, ptûs^-'", à l'aide des deui pre'- 

_Cl!dcntcs , on trouve y 

K devient cnlin 



=-yy:-ri 



Par là l'ejpression 



! 233. Quelques deuionslratioas peuvent être siiuplifît-c» pat 



558 cjuxmL DtFFAniiTjn.. 

CM priodpes. Si l'on k l'équ. jrts=fa t^, et wi dMTte(7'),0<), 
retatireiï x, etqn'au veuille trotnar lea dAîréei de z ^:f^ 
relativea à X, sans résoudre la premicrc éqiudon, od tëm 
ys=t,0!=j^ ssj'... dans les ëqiL(0), c.-i-d. qu'il nrf* 

fin déposer (f) ~ —, O-'J =— p.... 

P«r eiemple , j' =s <i' donoe (^*) = ta* : on ai tire 

-7^*0*=*^; d'où i"^ j— , lorsque j- est variable indépen- 

dante. 11 est visible qa'on a ainsi la dériva de a; ^ Log ^. 
Poor ^ ^ sin or, ou a (j'") =s cos x; donc, on trouve 



7^G0tx, 3/ = — 



3? "' " cos aï V'i^~J''y 

X ^ arc (rin ss _;-) p. 349- 



dérivée de l'équation 



Enfin, de^= tang x on tire la dérivée de x^rc (tang='j') : 



0^')=.: 



=-^,^= 



cos» XX" " I + J^ 

^34. Pour géoérsltscr une foncUoD 4^01" ordre, on cbange 
dj- _<i^ _ d^ d^__ d^ 





SÉBIE DE TAVLOH FAUTIVR. 55^ 

- di/fèrenlitH* A, elle ne devra (éprouver aucune etlération tors- 

i/uon voudra changer de variable indéficndanie ; seulement 

lit ily, t\t... quiy mirent désigneront Us ili/JéreniielUs relit^ 

tives à retta nouvelle variable. C'est « qui rend U notalion 

dilTmnticlli! Iri-f commode dans lu Calcul iolCQral.et dans 

MBte optfralion où l'on en conduit & cli.-ui|;er de variablu [iriii- 

H|bale, poorvu t^u'il u'y entre que des ddrivtfcs de ■"ordre. 

^PSoit^ = 8io I ; j^'zs «osa î', vcvicnl j dj- ^ cos î.ds; d'où 

t\z — - - — ; ce calcul est nréferaUc & ctlui du 

CM » V ^ — X^ 
u* 733, pour otiti'tiir la dérivée de l'rfqu. ï = arc f!iiii= r). 

Au reste , l'avan(a|;e dont nous parlons n'a plus Heu pour le 
a* ordre, caria 1* formule (/>) devient 

r Ici les dcrivtfci sont relatives i uue troisième variable l,doiU 
«n tuitiiose que x eX y sont des fonction!! données. Il suit des 
pi-)ni:i];)cs d'où nous sommes p.-irtis, que le 1" membre q'csi 

autre cliose que la dérivée de -p , qu'on divise ensuite par dx; 

et qu'en consid^raut ces dy et Ax comme des fonctions de 1, ou 
peut poser (n' 719, 3»,) 



tz. 



dx dx' 



<ë) 



Ax 



«n sorte qu'il est bien facile de retrouver b:s équ. (D), (Ë'>.- 
et mime de les conserver dam la mémoire. 



Des cas où la Série de Tajrlor est en défaut. 

5. LaformnU (.y, d* 699) peut no pas être vraie, quand 
le tira pour z un nombre d; ïav^=yjr, devenant /(« 4**) 
[u'on cbau(^e j: un a -f A, il se pourra que, x étant engagé 



56o CALCOL DIFFiXiarlBI.. 

MUS des ndiuns > la valeura + k, qB*oaaHUiB|Hwx,kiMe 

h loiu quelque radical , parce que la coiuUntM de U ttmetiM 
/"auraient détroit a : ainsi A aurait dei paîaMBCn rractioa- 
nairea. On sent d'ailleurs que /(a + A] ne «intuwBt d'aalH 
variable que A, n'est pas toujoun développaUc'niïmit kt 
puïaiances entières et positives de h. Ctât nafâ que 00]t Aj logA.. 
ont de» exposaos natifs pour k, puisque A = o les rend in- 
finis. 
Soit j-=l/x+ V/(x — a)*i pour a:=fl + Aon a 




Jusqu'iti nos rùglcs ont été sans cicepUon, parce que x a 
conservé sa valeur gcu«ra1e ; mais quand nous voudrons appli- 
quer ces règles A des cas particuliers où x sera un nombre 
donne, il se pourra qu'accidentellement on tombe sur ime ex- 
ceplioa du théorème de Taylor : il convient de trouver des ca- 




n faisant A=:o, on troure 

R CocfficicDS AfB. . . L «ont donc les valeui-s ijuii prend_/3r 
dérivées , lorsi^u'on y fait jr = d, précisément comme 
a série de Taylor. Mais .^ cliuquedérivaiiou , le i" ternie 

ip^nilt, parce cju'il est constant ; à la /' dérivation, on ob- 
iiilA; i la(f+i)', ona 

/t'+0(a+fi) = m(r;,_O...A/fi-'-'+ ; 

ut coinitie m eat une fraction <^/-{- i , ce i" termcauiicx[io- 
suiil iuf[;nlif , et ft=; odooney'*') tJ=oo. A partir de _7-l''^'), 
toutes les dérivées sont de luciiic iiiliuies, parce que cet expo- 
iiaiit reste sans cesse négaiîf (n" 708, 3°.). 

Donc, i". si la valeurs; ^a re rend infinie aucune des fonc- 
tions j-, y, 7*. . . , le dcveloppement de Taylor u'csl pas fau- 
tif (n- 699). 

SU' une des fonctions y, j', y'... devient infinie pour 
.^ h, laulet les tuivantea le sont auesi; le ike'orhme de Tajlor 
fautif qu'à partir du terme qui contient la première dê- 
! infinie j h reçoit en ce lieu un exposant fractionnaire. 
!•. Si j-csl infini, y' , y' ■ -. le sont aussi, et A a des puis- 
sances DéQatives. 

4". Pour j-=jr", comme la dérivée de l'ordre n est de la 
forme v^i""', qu'aucune valeur de x ne rend infînie, si cç 
n'esta; =0, qujiid m n'est pas entier et positif, on reconnaît 
• jticlatormule du Lîiiouie (x-f- A)" n'est jamais fautive (ce cas 
1 \i:cplé).0«en dira autant des séries de a", Log (•+*)» "n x 
>^t cos X. 

•;37. Il lesie a trouver le développement qui doit remplacer 
\a partie fautive, quand ce cas existe : A cet cfTel, clmiigei x 
fi\ a -^h Aofii fx , elfaitcsic développement de y(>i -f" ^) ^ 
i'iiidc des séries connues. Par ex., 



K 



I 



, 3a:— an — i 

X— c+{x~b) Y{x — „) donne y - a^/^:t^^) ' 



36^ CALCUL DIFPdijUtlEI» 

xBsarend y infini; donc^', j^... b Mat aiiial , ci ft Ml 
avoir an exposaat colre o et i àAo% le <léveloppciiicnt d* 
Y^fifl + k): le I" terme est^^e. Qa'on cbâtige en eSet 
xena+AdauU proposée, on a Ysne + {a— b')h*+ h*. 

Soit cDcoro y^c + x+{x — A) (« — «)»; 
d'où /=i + (j:-fl)i + |(:i-J);/(x-«), 



y=:3|/(x-fl) + 



3(1- 



4V{a:— a)' 

x^a donne jrz=c-\-a, j'ssi ; les autres dérivées sont infinies. 
Le développement de f{a + h) commence par (c 4- <*) + K 
les autres tenues ne procèdent plus selon &*, A*. . . Eu effet, 
mettons a -f- A pour x, jr devient 

y = (c + o) + ft + (<i-&)A'+A'. 
^38. Lorsqu'on a trouvé les divers termes non fautifs (Je la 
suiie Y, pour obtenir les suivans, retrancfaei de f{a -f-X) la 
partie connue, le reste étant réduit, sera une fonction ^ de h, 
qu'il s'agira de développer en une série qui ne procède plus se- 
lon les puissances entières de fi. 




SÉHIK DE T*YI,OH FAUTIVE. 



363 



f 



•]3r^. Exumiuon:! ct; r|iù ariive, lorsque x ^ a nïtasie un 
•mcP de la ronclioii_/i-;/>a [lour facteur quelque puissance 
<Icx-o(n«5:.o), ouP=Q(x-a)". 

Si/nestenlicrc(posiUr, ladërivéeRi'conLieutunlerme 

[a(;ë du fadeur x — a, puisque l'eiposant s'abaisse succcs- 

'eiiieut jusqu'iV. . . 3, 1,0; ainsi le fadeur Ç,quia(iispaTude 

toutes iMdëriT^fes.rcparnil dans la m' et les suivantes: le tbéo- 

lÈme lie Taylor n'est pas fautif , et il no se présente Ici rien de 

irticolicr. Soil j"^(:f — fl}',(x — b) — ax*; on a 



y= — a 



- ôfi' + h\ 



a*. Quandm est une fraction comprise entre / et /+'< ^^=0 
£iit dlsparaïlre Q de toutes les dérivées ; celle de l'ordre /-^ 1 
prenant le facteur (« — a)""'"', l'euposantealuégalif , la dé- 
rivée infinie, et la série de Taylor fautive^ partir de ce terme; 
ct en effet, puisque le radical indiqué par (x— n)" disparaît 
de toute la série , et reste cependant dans /(a -}- h) , les deux 
raemlires n'aursieiit pas auinnt de valeurs l'un que l'autre, si 
h ne prepait ce oicmc radical. 

Ainsi j- E= i^ + (j: — b) {x — o) • 
dooDo r = a' + 3a'h -f- 3 ah'+ (a— b) lA -f fi' + h\ 

V((X^ SI""' '" exemples, n" jSS et 737. 

3*. Si m est négntif , P et toutes ses dérivées , ayant * — « 
au dénominateur, sont infinis pour x= a, et le développe- 
ment de Taylor étant fautif dès le i"(erroc, A a des puissance* 
l'ca. C'est ce qui arrive pour 

j^ = -— ^; d'où l'=!o'ft-' + 2a4-/., 

'■ v/lx'-or)' *~âW ~mW +8SW •■■" 
[ 740' Supposons que x = a fasse disparaître de y un radical 
iBubsialcdansr'tC.-i-d, que la i" puissance dex— asoil 
tcicnr de ce radical : pour* ^ a, y' st trouve avoir plus de 



CALCUL DIFFblIKIITiKl.. 
cause du radiul , qui n'e 



nabic^ on poum 



564 

valeurs q 

Eu (flcvaal l'«iiu. y =^fx i la puissance c< 

delruirece radical , qui n'enUcra plus dans 

Prenons la déiivée (11° 7^4) -p + -p-. j-* =0, et substitaon» 

a pour Xy et pour ,r la valeur unique dont il s'agit ; les coefli- 
cîcns devlundronldesnombres^et B, savoir, A-^By = 0. 
Mais par supposition , y a au moins deux Valeurs correspon- 
dantes • et &, savoir, A ■\- B» = o, Â-{- /îd^o-, dooc 
IHm — jS) ^o, ou /J = o et ^=0, puisque » est diffci 
de 0. Donc notre équ. lidrivée de z =:: o est satisfaite d' 
même et îndi^peudaute de toute valeur de y 
di di ,0 

Passons à l'êqu. de'rivée du a* ordre (0° 716), qui a U fc 

le ■" terme disparaît ; et comme !H,N et L sont des fondions 
de are! j- sans radicaux, IVqu. ^/j^' -|- a i\y-f-/.^o fera con- 
naître les deux valeur» de y', attendu que M ,N et L sont des 
constantes connues : h. ukoîns qu'il ne dût y avoir plus de deux 
valeurs de y, contre une de y, pour ar^a; car M,N et L de- 
vraient se trouver nuls ensi^mble, et il faudrait recourir à l'cqu. 
du 3' ordre, y' et y* s'en iraient , parce que leurs coeffu 

étant 3^^fy' + lV)et -^ qui sont nuls, y entrerait alors 
cube. 

En général, on doit remonter aune déri' 
dical que x ^ a cbasse de y. 

Soit, par ex, 



Érea^_ 




SÉaiB I>E TAVLOR FIOTIVE, 365 

revient i 

d'on 3(jr — JC) X'= 2 C^ — -a^) + {jc— «) (Sx— aô— a). 
Ciiaquo membre âev'ieut nul quand x :=j-:=a. La dérivée du 
-l' ordre est 

O— »■) J-" + Cr'- ')• =3x— a« — 6, 
qui (loDue (^'— I )' = a — b, et b même valeur de j"' que ci- 

dvMUS- 

De iiiùme J'^=C-' — û) . (jr— i)S , donue ^"=0, ^'-^ \/(ff — tj , 
qaand x=a. Mai» si l'on chaste le ladical , et qu'on [ii'cnne 
l<-s dérivées des troiti premiers ordres 

^'= (:r-o)'( ^-*), 

j-'j^+ÔT^j-'-f-ay =8x— tia — 26. 
z^=«et,r'^o satisfont aux trois prcnûêreséqu., et la 4' donne 

j-'=r|/« — b, comme ci-devant. 

Si le radical disparaît dc^ cl y, mais reste daiis^, (x — n}* 
l'st facteur de ^ et_j-', qui ont un ogal nombre de valeur» , tau- 
dis que^'en a davantage, jjour x=(i. Si donc on ùît évanouir 
If radical de la proposée y^=fx, el qu'on clierclic^ à l'aide 
de la dérivée du i» ordre de l'équ. implicite ;-:=o, elle devra 
donner j*"=^ ï, comme se trouvant satisfaite d'clle-iuéme. 
Ou passera aux dérivées 3*, 4'---> 1"' ^^o'^^ peuvent faire con- 
nalire y'. 

On raisonne de même quand (x — a}' est facteur d'un radi- 
cal dans jr^fx. etc. 

Par exemple, j-^x + Cx — a)' \^x, quand x = o, donne 
^=.a, y^i, x"=' — ^^*- """' l* proposée revient à 
ir-x)^ (x-fl)'x; 
2{y-0 (j'-^)= (X-a)\5x-fl). 

(y-i}'+y Cr-x) =aCx-art5x-afl). 
ÎJ-'tr'-') +j'fj— ^) =6(x_<i)[5.r-3o), 



I 



566 cALcoi DiFfiHBinriEL. 

QuumI x=a, ontroave j-=flî loot sedëiruit dansrdqa. dn 
i" ordre; celle do a* donne y=i; la sHitante est o^o, ti 
eafii la dernifcre donne j^ = ±»V/«- 

Limites de la Série de Taylor. 

74i. Prenons un terme Ah* de la série ^« + A), « étant 
positif 1 ce terme et tous ceux qui suivent ont une somme de Ja 
forme A'(^+flW)(n' 738). Or, ^ + BA^ *e réduit i .rf lor*- 
ifoe A est nul , et croit par degrés insensibles arec W bctcar h : 
«i A est très petit , A l'cuiportc donc sur Bh^. Aiu&i , «n peut 
prendre h asaet pcli't pour qu'un terme quelconque de latine 
{{a-^h) surpasse la somme de tous ceux qui U suivent. 

74*- Quand a croît et devient a+h, fa peu! être de 
nature à augmenter ou à diminuer, h étant positif. Dans la 
série yïrt + h):=fa+hfa. . . comme on peut prendre h Un 
petit, le signe du fa dcleniiiDe celui du développement de 
f(.a + h) — Ja; s\ fa est positif, fa est donc croissant; le 
contraire arrive quand fa a le signe — . C'est ainsi qoe sin a 
croit jusqu'à 90" , pour dccroUre ensuite, parce que la dérivée 
cos a est positive dans le i" quadrans, négative dans le î'. 
Donc, sit'x resie positif depuis % = a jusqu'à x^a-f-b, sans 
devenir infini , f» «a croissant dans tonte cette étendue. 

Que dansy^(<i + A) on fosse croître h de xéro d i, et que 
a-^h=p et a-\'h=q soient les raleun qui dolf^cnt le 
moindre et le plus grand résultat: 

/(„+;,)_/>, /•,_/(„+!) 

seront positifs : or, ce sont les [lérivécs, relatives à h, de 

fif+i.)-f„-hj- p, fa+h/;-f(.+h). 



M 



!') fl[ï + *) Jotieul Ft, rjuand on poM J4-A = ri prenon» la <l«ritti 
lilliD (oîl t X, )oit à h, commo s'=i, elle axa écklemeut f: (n' 
peat doDc tuppoter f (r+A) protcmie indïncremmcnt de la irarîtitdl 
^miùo h dant F;*+il. Aidai, quelque noas Donsidérîoni ïcJ 
rclatlTHs tA, clkaHilrnaTant f'irc Ira ni^rau que Bi oD les «il 1 prltN po^ 
01 hUeimH<^=a 



MUITES DES SÉRIES. 567 

CnfOMCnsos doWeai donc crotire depuis A=o jusqu'à h-=b ; 
■rt comme h^o les rend nulles, elles sont positives dans celte 
étendue, OU 

ce serait le conlroiresi h ^lail n^f^alir; donc/(a + fi) = _/â 4- 
uduombrc compris eu ire /</*/> et /i/'y,c'est-A-d. que *i/'unAo/-ne 
ta /érie f{ii + h) au seul //remier terme ta , l'erreur esl "^ \it' 2> 

Ailineitons tnaintenaut que la séiie deTajIor ne soit pas fau- 
tive dans ses trois i" lcrmcnf{a+h)^/a-i.hfa + \ h'/'a.... 
Soient fi et q les voleurs momdri: et plus grande que reçoit 
f (a+h), depuis A^O jusqu'à h^b; dans celle étendue, les 
quantités 

sont positives, «iosi que leurs primitives 

pnîiique/i=:iilcs rend nulles. 11 fnuL eu dire au tant des p ri m î- 
livcs de ces deruiâi et , qui sont 

na + h)~fa-hfa-{hrp.fa+hra^.{hrq^nn+hy, 
donc /(a + A)=/, + /i/-<i+i;,M, 

A ^tanl-un nombre compris cntre/'p etfq. En bornant la 
férié de 'i'nylor niix deux premiers termes, l'erreur est donc 
t omprisr entre les limites -U'Cp cl ; li'f'q. 

En [;(<n^ral, si l'on arrête la série de/(a-|-/i) au terme 
• jui prdecdc ft*, l'erreur sera comprise entre les produits de 

~ par /i'ip et /''ïy, ou par des nombres , l'un plus 



1.3.3. , 



à la 



;squnniités;^€t 7 



int le>! valeurs di;:r4- A, qui rcndent/'(.T' + /ij le plus pelît 



 le plus i^raud dans l'éteudue comprise de A 



. Mois iliaul qu'a 



m/^, fx. 



■tienne iiiCnie depuis x^AJDG<iu'i^ x^a-^fi. 



h quelcon- 

..yX.Jxn 



56ft CALCUL DIFFÂIHITIEL. 

Et puisque /) et ^ lont dea Tilean ïtttonaéduim e 



blement choisi et inconnu. On peut donc pour eikcteineiit, 
pourvu (fu'aucuiie des dérivées oe soit infinie, 

Noua avons ainsi une nouvelle démonstration de U série de 
Taylor, et nous savons mesurer l'erreur qu'on commet en l'ar- 
rêtant à un terme désigné, on obtenir une expression finie qui 
en soit la valeur. 

Par e»., ^=a' donne ^■)=:A'.fl'î/OCa: + A)s=*Va^*j 
la pin* petite et la plus grande valeur répondent à A^o et h 

quelconque. Les limites de l'erreur sont les produits de — s 

par a' et a"*'*. Pour a', cca derniers facteurs sont i et a*. 

Pour log(x 4-^)1 les limites sont ±: — xf — et î — Y 

n \x' (x-t-h)'/ 

Enfin, x^x" donnejt") = [»»Pn]x"-"(n'475) : l'erreur 
est donc entre ces limites 




FO^cTlons DK fLUsiEUHs VAniABixs. 569 

Bantce réniltat, menons partout j-+A pourj-, saus cli.injjer 
■. D'abord le 1" terme ; deviendrn 



. — 5+etc. 



I in*m« , représeclons par u , la /onction de x etjr désiguée 
f T- i en iiietUnt J + * pour j'y u se changera en 

j - k+ ■ — -h etc. Ainsi, remettant pour u saralenr 






fh 



.+ .,^+*)=.+ |» + ^'j 










le. En réunissant ces divenes parties, on a 
i'z 1': , 



d'2 fh . 



lésine tténin\ est 



dj-'d»''-(a.3.. 



di-dj- a ^■ 
d's J' , 

ip-n +■ 

m) (a.3...»)- 



Il est visible t^u'on aurait pu elianger d'abord j- en .^ + * , 
puis dans le r^nltat .r en a; -f- ''• Mais par U on aurait obtenu 
une série de forme diflcrente de la première, qui aurait du lut 
_£tre identique: toutes les dérivées relalÏTes^ 3: auraient prétcdé 
telles de j-. Il sulEl, pour y parvenir, de cbangcr ci-dessna 
tf en r , et * en A, et réciproquement. L'idenlilé de ce nou- 
T. 11. a4 



^jXt • CibCGL DirPiREPTIKt. 

TMM lÀBlut avec 1« précédent, «Imm, «ue«m|wnuit tel 

à urne, 

d'z d'« d'à _ d'« dh. _^ d*» 

Aydx dx^^ éj'dx SxSp* 3/3? ix'Ajr' 

à"*'! d-*'l 

Cl en eeoeral . ■ „ . . ^ j - • ; ■■ , -. 

" dj-"dr" dr'df" 

CdncluODs de U que lorsqu'on doit prendre let dérivée» s\ 
âivt* dune fonction ï relativement à deux variablet, il c 
diffifreitt datu quel ordre on fera cette double opênaUttt. 

^ a:' , dî ix' àz 2x^ 
Par ex., * = —^ donne -r— ± — , t— := r; 

U dérivée de la i", par rapport à y, ainsi que celle d« li 
relalivetoent à x, lOnt éfialemcnt — —-. 

r' 

Les dérivées du a* ordre «ont 

d^_br d'« _ ex* 

d^'^.r" dj'~ r*' 

donc ï- est à U fois U dérivée de la i", relaûventent i r. 

el la dérivée du a* ordre de -r^ relativement à j; — --est Ude- 
rivée de -p^ par rapport i x, et aussi celle du a' ordre de -j^ 



par rapport It j- ; et «iasi des autres. 

744- Puisque xet^ sont îndépe'nd&n« dans i'équ.x==/'(x'«nv 
on peut en prendre la dérivée relativement â xseul, OU Aj-, df- 
signoDipar^elfles fonctions conuaes de xet^, qu'on Iroave 

pour ces dérivées respectives, -v^ =p, t— =</. Hau 

avait titre dépendance établie entre y ttx, telle que x — 
c« différences partielles ne pourraient plut être prise! 1 [ 
paÏMiiie la vwMlîoii de x entraînerait celle dej-. Pour renlu 
eei deux eu en «n »col , on a coutume de supposer qtw « 



1 



FDNCTIOHI DK PLUtlEtiKS TAHlÂnLES. S^l 

relation ^ ^syx existe, et U dérivée se met soa» la forme 
d» =:/>dx + f 4;- (n* 7145 ; ■"*'* toinme on laiise celle fooc- 
lîon p arbi(i-aire, iJ faudra y avoir égard datK les ntagei auz- 
^uqBel* cette équ . tera réservée. Si la question exige que la dé- 
^Hutndance aoil établie, de j'=px on tirera dj^=: jr'dx, et 
^^■■bslituant en aura dz ^ {p-i-qy)dx. Si la dépendance 
^^Vexiste pas , l'équ. dîlTérenlielle se partagera d'elle-même en 
^^^knx antrea : car ds représente la différentielle de z prise rela- 

dvemeot à j: et ,7- enaemble , ou -j— djr -(- — d^ ; el , comme 

l'équ. sabtiate quel que soit ^x, ou sa dérivée j^, on aura 

»ils . da , ■ j ji ■ '^ ^* 



au'oo partage en deux aulres 

air yàx—xif da 



}•+'• ' <!r (l'+r')' 



.(..„6 = î) 



donne da^= — 



rn-»' 



U'o 



da 



da 



r+» 



Soit en Qcnénl u^o, une equ. entre les trois Tariefole» 
r, ^ et S; si Von a en outre une autre relation a=^(x, j"), 
un ne doit plu* considérer dans la proposée qu'une seule <ra- 
riable indépendante; ainsi l'on a (n* ^iS) 



du 



"^d, + ^d^+;;^da=,. 



. (I), 



KqMcxss/^(.r, ,7*) donne ds:=^d.i: + ?d,r. On tireradenc 



37» 



-CALCUL DIFF^Umn.' 



U valeur de 



qui est k dérivée qu'on « 



teiuie en rïiminuit s de l'équ. u ^ o> 

Bbii s'il n'y a«[icaneautrereUtiiMiqneH=o, ah«B|iaan 
aappoternne, pourra qu'elle ilemeareariMinin; «BMtrteqM 
notre equ. m partagera en deux antfca, i caaee foe^ cm 
-qoeleonqne, 

du . dti du du 

on^ et q sont lei dénvéesoa différentielles partiellei d« z rela.- 
tifesijret^. C'est, en effet, ce qu'aurait donné l'tfqu. m ^ o, 
si l'on y eàt regarde tonrù lourj* et x comme constans, ainù 
qu'au n* 724< l'^iu- (i) e*t donc la dérÏTtie de n = o, qu'il y 
ait ou non un autre dépendance entre les variables a: , ^et s. 

Il est inutile d'insîsler sur les dérivées des ordres snpe'rieurs, 
et il est évident qu*on pourra différentter chaque éqo. du i" 
ordre, soit par rapport 1 x, soit relativcmoit 1 ^, ce qui en 
donnera trois dn a* ordre t et aiaH des autres ordres. 

On pourra aisément trouver le développement des fonctions 
de3,4- ••) variables suivant les puissances de leurs accroisse- 




I 



FOHcrioni ne i'i.l»ik<!iis T*nitGi,H 



i 



purut, et Ion trouve /i. -j— =f. -p, relatioa qui exprime 

qœ B est une fonction de t, i-=Jty quelle que soit il'ailleurtla 
fonoc de celle fonction /i 

Parexemplc, i=/{;c'-f-j'') donne 

/'r — ?^ = «- 

Or, de queiqueinauiëre que x'+J** entre dans la valeur d«i, 

cette dernière éqo. demeurera la même ; elle s'accordera ave^ 

= = ioe{ï*+r). *=V(J^'+J"), -= aiJ^îV^.) ' «*«=•" 
D'où il suit que toute fonction de x'+j-* doit être un cas par- 
ticulier de T équation aux diffisrenti elles partielles f^ — qi=o. 
De nxème y— tit^f(x — az), lorsqu'on diiférentie séparé- 
ment par rapport à i et x, puis ù z &ty, donne 

-V = (i— ''/')X/', {.-6?)=— ayxy. 
Ëliuiinanty, on a o^ + Ayss i pour l'équ. aux ditTeren lie lies 
parlicUes de la proposée, quelque forme qu'ait d'ailleurs la 
fonction y! 

V En traitant de uijine "^ ^f\Z )' **'* "■*"*'" 

Nous auront par la suite occasion de faire sentir l'ini|>orlanu 
de celle tbéorie i nous nous bornerons ici à dire que Us trois 
_tfqu. du 9* ordre peuvent servir k éliminer deux fonctions ar- 
bitraire*^, 91, qui Gxidcraieni dans l'équ. proposée, etc. 



Sn^ cài/:uL DiFriasmuL. 

II. APFUC&TIOHS DU CAtCOL 



Ifévdoppement en séries des Jonctions £uma muIb 

Variable. 

^4i>- FaisoDS s = o dans la série de Taylor (page 33i), et 
âësigDOiu par/, f f ■■■ lea râleurs constaotei que preaneat 
fx,J'x,f'x,. lorsqu'on y meiEéropour*, on a 

/»=/+»/• + ;*•/■+ i»r+--- 

Il est vrai que cette formule n'a lieu qu'autant que sr = o ne 
rend infiDie aucune des quantités^, yx... (p. 36i). Chan- 
geant ici heuXif,/'... sont indépendans de A, il vient 

Telle est la formule, due à Madaurin, qui sert 1 développer 
toute fonction de x en série suivant les puissances eutitres et 
positives de x, lorsqu'cllid en est suscepiil 




DATSLOrPKMliAT Elt &BRIES. ZjS 

<1« MacUoriniM peut pliu être employée, parce que U fonction 

pfopMCC oe ptocède pas suivant les puisêsocea entiËres el posî— 

Ûvea de la variabic. Il faut «lors, ou U loametlre aux procédés 

I4u II" 738, ou plutôt liù faire subir une traDtformaliou qui la 

Bnnile propre i notre calcul : la inpposilion dej' = 2*jt remplit 

nMiiTenl es but , en déterminant I1 coBStaDle A, de sorte que 

jr=:o ne rende infinie aucune des fonctions z, if ,t", . . 

Par ei., la série de cot £ ne peut procéder suivant les puii" 
UDcesposiliresdex, pubquecot o=:oo. Falsons^T*^ ~ ^cot x; 



, i cause des formules G ^iB , p.a49> 



^-{kiDce 

^H^cUon dont on aura aisément les dérivées successives, {[ui n< 
Hontpas infinies lorsque a; est nul. On trouve /= x.J* = 
f= — f. /* = «■-; d'où 



I et-oucotxc 



3 3'. 5 ■■' 

3 3'. 5 3».5.7~3-.5v:' ' 
Ce procédé a d'ailletus l'inconvénient de ne pas faire conuaiire 
la loi de U série , quoiqu'elle soit mise ici eu évidence 

Nous enseignerons bientôt les moyens il'employer le Calcul 
^fféreotiel au développement de ^ ^^ ""^ fraction continue 
fonction de x. (Voy. n'S^S.} On en lire inâme^ sous la forme- 
de série, d'après le procédé de la note p. 180. 

l(^. On peut appliquer aussi U théorème de Haclaurin aux 
êqu. k deux variables. Ainsi , pour ms,^—- xzr= m , on prendra 
s', «"...(n* 7^4) • on fer* 7=0 f et l'on aura 



/=■. /■= 






r^'. /'==â 



5^ CkICDL DIFFâUjrUU. 

Oo peut même déreloppcr stÛTaot I^i piûmmmw iIti» 
dantea de x. On mettra r~' pour ^; et aprti aTûir obtenu li 
■crie aelon let expouiu croissaDidA (, oa rémCttia ie~* poor 

t, et l'on aura celle qn'on demande. Par eseoiplc, pour 

mjr^ — x\f — mx^:=o, on fera j':=l~'jd*oùiii;^^ — ji;^i»; 
OD prendra les dérivdes^, j-'. .., rclatÎTe* i(, pUM'osÂn 
partout f^o; enfin, on mettra les résultats poury,/^,^... 
dan* la s^rie de Haclanrin , où t tiendra lieu de x. Ce calcul 
donnera, en remettant x~^ pour ( , 

j-= — m — m'a:-*— 3m'i~* — i2fn"a-s+55o»"jr~'»... 

. 749- Onprop<Uâdedévelopperu=jf)'suivantlespuis8aaces 
de Xj y étant Ûé à jr par IVquatien 

les fonctions,^ et fj* sont données. Observons que si , à l'aide 
de l'équ. (i), on éliminait ^, u ne contiendrait plus qaejr, et 
la formule de Maclaurin deviendrait applicable. On cherche- 
rait alors w, u', u'...; pui»/,y,/'..., en faisant *=o. Or, le 
calcul différentiel sert à trouver les dérivées w', u'... sans re- 
courir à l'élimiBatî on. En effet, les dérivées (n' 711) relaUves 




DiTXLOFPEXEHT SU SÛlES. 



577 



I, DooiaiumM 



d'où 



d*ii ^^ d"ii du 4?^ , 

dC^'"didi^'^"'"d7 Vdï'^-''' 

d'il d'il ■ au Ajr , 

d*ii 

dx 



i=^,-^+^(^«r+g),>; 



1 J<fc» 

mais ^ = I ^^ d^ ^= ^«^v ^^^^ ^^ parenthèse se réduit à af j-, 

et le produit par p'jr^ à 2^j^.^^= dérivée de ^•j' relative à f; 
ainsi 






d 



du 



Donc, en multipliant une dérivée -r— par f'^, et prenant de 

nouveau la dérivée de ce produit par rapport à f , on passe à 

la dérivée de Tordre suivant. Maintenant représentons -p -^'j* 

d'il df j» » 1 , 1 f 

parv, nous avons -7— j = -i— , et d après la règle quon vienl 

de trouver 






Kar-^'-^) . d'il dv 

'ï^"'^dï5 = dïd-/'. 



dr 
dii 



donc 






dî* 

du 



(5)i 



de même -t-t = 



"(S?''') 



df' 



(6); 



et ainsi de suite ; la loi est manifeste. 

Faisons maintenant .t-^o dans la fonction //° qu'on vvttt 



5y6 citeiiL DippéftsKTiBi.. 

développer, çt dani ses dëi-ivées successive», pour obUni 
exprusions qui uni ëtë daignées pary,/',/*.. . dons la «érir 
deHaçkurin (ii°746); Véqu. (i)»eréduii4^=l, A'où/r=/i- 

Ji(ëqo. a)derieBl/> ou/*!; ainsi g^ =^f.f( (^«- 3)n 
a.ri™t''2:^(éq„. 4), ^ = ''•'y" (Éq.. 4)iett.,«. 



a enfin, 
port i f , 



1 désignant des dérÏTëes prise» pftr i 



fr = /' + ^*'-/'' + ~ ir'-f'i)' + ^ (♦''./■O' + «• 

Telle est la7(>rmufeifeLfl^j-an^e.(Voy. Méc.céL.t. I,p. i^' 
Si y_7- est = j' , d'où fj ^ i ^ /"'( , on a ùmplenu 

^ = I + arf I + ^' {^'0' + ^ (^'0' + eu. 

Soit demandée ta valeur développée de u = y", en supp 
sant ^- = 1 + jy", ComparaLt à l'ëqualion (i}i <»n a 
fl = t', f't = mr—, 91=:!', çtft = mr*^'i 

à'oû _;^ = (" + m^f"*"-' -f. m. "*— '" ■ " ' ■ jf *"— + . 

On aurait aussi la valeur de 3'", dans le cas où l'^qu, (t) m 
rait remplacée par a -^ Sj" +rX" ^o; il suffirait défaire ici 

, = --, a:=^t. 
fi ê 

^So. Eu faisant ci-devant x^ i, on trouve le dëvelop[ 
ment de j5', lorsque _;• = ( + çjr, 

fjr=^ft + 9tft + 4 (^v/,)- + J (»'l/'i)' +. . . . 
On tiredc lila puissance n de Ininoindre racine_>' de IVquati 
r = / + ç^^en laisaniy>-=j-",/(— i^/r^jn"-'; 

j' = ,. + „ [,,.,— + ! (/,.,"-)• + J (*'(.(— )'...J, 
I,es irait» iiidii|ui'nt des dcuv^cs lelalivi;! à f; on ai: lOft |n] 



1 M i«U:ur iiunt^nquii , qu'aïucs 1» ulcuU ( voyci Rèsol. 
numér. , oOleXI). 

Pmr ex., l'équ. j- J" — flj- + « = o est rameuée à la formi: 
j- =!( + ^ en poMHl 

'=i'"=l'''"'"" - 1 '"■.»■'■■- = |i '**'■■■ ^ 

prenant les dérivées convenables , on trouve enfin 

-•=a)i-+<?>'"-fX?)'+""-^"4t#)'-i 

..r^.,^ |,én<.>l Q". " X [(»• + » - .) C (i- .)] X (2:)'. 

Pour afoir la puissante n delà plus grande racine^, il faudrait 
chanf>er jr tny', c.-JUd. remplacer, dans le résultat, a. par y, 
-/ par «, et j^ P«ry~*- 

^5i. Lorsqunn veut la i" puissance de x> ''c<]uatioH éiam 
jrt=t + tu-, on fait ci-dessus n = i , 

^ = 1 4- (y =. I -1- *( + ; (*■')' + i C*'')' H 

Celle saite s'applique surtout à la méthode invene des téries, 
qui consiste à tirer la valeur dej-deVéqu. ■+;3j--J-yj-+.. ,^o, 
qu'on réduit à la Eorme _r = (+'P.r. en posant 

.=-',,.=- '"• + ■"'■ , y I =^'" '^;'"'— .... 

il vieut «Dfin 



I 






¥^ + 



5g*>J' 5«*>* 



5ur Z(i Résolution des Équations. 

^Sa, Dénionlron* de nouveau plusieurs théorèmes sur les 
^qualioiu. 
_ I. Soit y une l'onctioo de x, qui admet les faclcurs {z — n)", 
, on sorte qu'on ait 



380 CALCUL DIFFÉntBTJBt. 

i'necoDtenaatquedeaficteurada t" àe^iméf/uu. ; 
les log. dec deux membres et leun dërivéu, eo trovn 
y^{x-a)'-'(x-b)-'...imPix—b).,. + HPiX'»^)...ebt.] 
Ainsi, U fonction de t proposée a(jr — a)'~' (je^4)*~'. .. 
pour plus grand commun diviseurj avec M dérivée , c* qui re> 
produit le tliéoièmedes racines égales (p. 6i). 

II. La dérivée de 1 (cos x ±sin ^ .^— i), est (u* 719 X 

— siDX±cosx.l/ — 1 ...._., ~ 

3--: —, , qui se reduitàs t/ — 1 , Or, i/ — 1 est 

cosxssiux.t/ — 1 ^ ' ' ' 

ansû la dérivée de x^— t donc ( n* 808) 

1 (cos xitsin x-v/ — i) ^±x^ — 1. 

Comiuecetteéqu. doitavoir lieuquelque soitx, oan'ajouU 
|iasde constante arbitraire v^, puisque xsïo donnerait ^so. 
On en conclut le tliéorème (I, p. 362), d'où il sera aisé de 
tirer les formules A', C, M, et par suite les facteurs de x'^a* 
(p- i43)- 

III. L'équ. x~ + />x*~' + ... «^ u=3e, étant décomposée 
en ses facteurs simples (x— a; (x — b (x — c]..., les log. de QCi 
deux fonctions de x sont identiques; d'où 




SUE l.tS Vil 



'il=flt:.., et pOïMt, pourabre'jîcr, 1= =j-, qui est la pre- 



mière oorceciîon «u signe contraire, i 
1' F'h 



r = 






•f A 



y]^.. 



e cherchée, ou A+j-, est donc 

r/cstniitai que de IVqn. x"" — 2t:=5, ou lire it^a,i poi 
valeur approchée de l'une de ses racines (p. 87); or 

:| F*=*'—a>— 5=0,061, F'A=3i'— 3=1 t,33,/i"'A=6*=ia,l 

tF* 61 F"k 1360 
« = 1,1—0,00543188 — 0,00001655 = 3,09455157. 



Sur les F'aleurs o, 



, o X =0 , 



753. NotisaTODsdit ( p. 43, 2*.} que quand x = a change une 
fraction proposée en |, r — a est facteur commun des deux 
terme», et qu'il faut la dégager de ce facteur, qui peut y entr 
à def puissances diflerentes. I.e calcul diSerenlicl donne 1 
moyen facile d'atteindre ce but, et d'avoir la valeur de cette 
fraction, dans le casdexi=a, valeur qui est nulle, ou finie, 
ou infinie. Changeons x ^a x -\- h ; la fraction proposée 
P. . , P -f-Ap' + J A*P' +... 

9 ''"■''°'"- 9 iK'v;n>- +... ■■■'-*'- 

fuiaons ensuite r=: a: Pet Q sont nuls; on divise enauili.' haut 
et bai par h, et l'on a 

P' 




land A;=o; les suppositions Atx=: 1 
■hangr r en a. Ainsi , lDr*(Me r- 



et An 



levicnuent 



S6a CtLCUI. OTFFÉXSTITIEI.. 

rive que P" ou(^ toit encore = o, ta ïracliou est d 

infinie ; et si P* et (V* disparaissent ensemble des dévela]if)c- 

ineDs(^, il faudra les diviser par ; Met Taire h:=o; on «an, 

P P" 
pour x=a, -^ = rp". e' "'msi de «uite. ■ 

Donc, pour avoir la valeur ^une fraction tpii 4^iem % ion^Ê 
que x^a, on différentiera le numérateur tt le dénominateur 
un même nombre de fait, jusqu'à ce que tun ou raulm ne 
devienne plut téro lorsqu'on mettra a pour x. 11 ne faol pas 
craindre 4{ue toutes lesdérive'es P'.Q*, P',Ç*... soient nulles, 
car alors, quel que soit ft, on auraity(a+ &):=o, ce qui est 
impossible. 

^54. Voici quelques exemples de telle tb^orîe. 

i. La somme des n premiers termes de la progressiou. 

a t '. x: X' : x'.. . , est - [n' 144); si :riKi , ectl 

fractioD deTÎeut l ^ prenant les dérivées desdeui termes, qi 
sont nx*~' et 1, puis fusant x=^i, il vient n pour U 
cherchée, ce qui est évident. 



Ajr*— »/•«-(- Je- 
ivées du i" ordre donnent encore 



qui devient IpoorxKSi:; lescfé- 
= ti il but 



I 



o|iL'ratioDS successives, parce que(x—c]> était facteur commi 



III. De méme- 



- a*x + a' 



donne * pour xrsa 



m celui 



dérivées des deux termes sont 3x' ~ 3ax — 

nulle quand x:T:a; zéro est donc la valeur cherchée, ce qui 

vient de ce que le facteur du numérateur est (x — a)', et que 

dudi'iionûnateurest (x^rf). Pour la même fraction 
versée, On aurait trouvé l'infini, par une raison semblable. 






tction rcDr^H 

1 



~ re qtuamTe|wBrz=d u 

^^ .... 1 — «in ï 
! V. Po0rj- = ;^ ~— 



= ^1 les délivre 



k qutdrans, on tt 



dérivas des deux termes donnent 



Lvn. Onv«ma«w 



me que :r s; i donne f pour 



-V(Mr-x*) 



- = — I , et - 



-^ + l:r- 



^55. Latndihode que noui venons d'exposer ceaiera d'èlre 
applicable si k- lliéoTÔme de Taylor est fautif dans Vordredct 
lermet qi^cn est obligé de conserver. ■ ce qu'on reconnaîtra ai- 
M-iucnl , puisque l'une des dérivées auxquelles on «era conduit 
h*ieudr« infinie. Alors il faudra cbangcr x en a + h dans P 
fÇt ctcfTcctuer les developpemens (n''-;3t)], euscbomantau 



l tcnoe de chaciB. On a 



.^fi" + ■ 



U notant 



lairc en négaiif. On dtTisera les deux lei 
e la plus basse de h, et l'on fera ft =o. Si i 



38t C&I.CIIL DlFTiREKTIEI,. 

la nlenr unie ^ ; 1> proposée est nulle on infinie , si^not ijie 

m wt > ou •< »- 

I. Soit( J' — "')' ; :r = a donne |, et il est inatîle de re- 

{X — «)ï 
courir aux dérivéei des deux termes, puisqu'elle* deviennent in- 
finie» (n* 739, a*.). Rusant a:s=« + k, on trouve pour K =: o , 



= (")'- 



il. V^^-V^^^+^t^-"^ devient ? pour :c=a; fûson. 
x^ssa + h; nous avons 

t.+ni-^i +^i _ ^i^.i^ih+. .._• 

en développant par la formule da binôme, dlniant liaut et bai 




MAXIHk ET MINlHi. S85 
. P 

near x^ d l'alots on a )a fraciion ^ qui devient ~. Par ex , 

r = (i— *). ttng {"iwx), est dans ce cas quand x^ i ; comme 
■ I — * a _, 

par le» ffcglcs prescriie*. 

Quand -r. derient — , P el Ç ont la Tornie ■=, fi devenant 
uul pour j:=sd; ainsi la proposée rentre dans le cas de %. 

Soilpajeï.,P=iang (^.-J,elÇ=:— p-—— : la trat- 
■- devient — lorsque x=:a; mais elle se change en 



P _ o(j*— «'} ., , aa' — _ 4f 
!nfin,BiroDaoo — oo poura:=(i,onlrarisformerareïpics- 



I 

|^iioncn-= — 7)'^^^ Ç étant nuls, ou -- , qui rentre dans 
ce qu'on vient de dire. C'est ainsi que x tnngx— ^rséc x, 
Lani le cas où x:^<)o', devient 

xsiax — ;« , ,, , xcosx + iiax 

. ?!— = I . d on ■ := — I . 



net Maxima et Mininia. 

1^57. Lorsqu'en attribuant J jc différentes valeurs s ucccRSfvei 
E fonction j-=Jx, cite croît d'aliord pour diniinucv 
^ui(c,on donne le nom de maximum h l'elatde la fonction 
i sépare la accrois«unieni des décruisscmcns; et si /x dl- 
Ijinc d'abord pour croître ensuite , le minimum est h v.-iU-ur 
■epare ces deux elals. On dît donc <^u'iinc fonrlion fx est 
wuii4evnttti\\mx),moniinm\ni\n\tmparïaiiipjtosilionde\^:a, 
tÇu'fU^ fstplus gra/idc daiute i" tôt, et plus fiettie diin< h 
~ II. :i5 



586 CitCOL DIFFÊftnTlKt. 

2*, que les valeurs qu'elle aurait en prenant pour% à 

bres, l'un ]> a , l'autre <^ n , iMiriDiATEKEKT. 

Ainsi, pour juger » fa est nn n 
\\ï»a.iwitf{a-^h)e\.f(a—h) soient toni deux ^yï, OH tavi 
deni <3^ 1 quelque petit que soit h. Bhis 

Dans CCI dévelopi>cincns , on pourra toujours prendra h aaaex 
petit pour que le terme kfa l'emporte «ur la sotnme de ceux 
q«i le suivent ( n" 71(1), en sorte que le 8i{;ne de A/'a sent 
celui de toute la suite à partir de ce terme. On aur» donc 
f{a±h)^Ja±.ih; fa ne pouvant pas être compris entre cei 
deux valeurs, n'est nimajri/num ni m/ntmKm .-ainsi, ilfaut que 
fa^o. Pour trouver IcÊ valeurs de i, qui sonl seules capables 
de rendre fx un maximum ou un minimum, il faut donc ré- 
soudre l'équation y' = fx -.= o . 
Alprs nos d^veloppemcns sont 

Siy*a est positif, on voitquey(a ± A):=_/ii+**' i d'où ilsiiit 




MitXIKA et MIRIHA. 



58, 



•)SS. PniKBiora queli^ues exemples. . 

I. Poarj'=:i^(ipx), on a y =. ^ — ; celte qn.inUié ne 

pouvant itre rendue nulle , la fooctioii ^Z [ipx) n'esl suscep- 
lible, RÎ de maximum , ni de minimum. 

II-j-sA— (JT— fl)'donncy=— aCi — û) = o,J'oùar=a, 
yî=— ajain»! x=« donne le maximum j^ =i b , fa\s<]ae x' 
tn négatif; c'est ce qui e»l d'uîlleurs visible. 

y=b+ (:t — fl)'a au contraire un minimum. 

Eo miaén\ y^=X (* — a)'=o donne x = a, 

Il sera facile de voir que x^a donne un maximum ou un 
minimum, floivant que K devient par U né};a(if ou positif, 
[MUTvu que n soit impair. 



m.sohr-,^,... 


s» en lire(n'" 70661705), 


^-i.+.r^' 




-=0 donne x = ±.i ; 1 


nai. .lor. j-=±! et^'s^l 



donc x=i répand au maximum \-, et a:^— 1 au mini- 
mum — ^', ou plutâtaumuxiVnum négatif, puisqueooiissoinnicn 
convenus de rc^iarder les quantités comme plus petites quand 
elles «ont plus avaac(.'es vers l'infini négatif, 

IV. Poury — jm;yf + 3r"=:a', on trouve (n" 72,'î cl 7o5) 



y== 



«^1:^5. y = 



"/-/'■ 



relj-àraidedela proposée, 



11 maximum el 



I minimum. 



■^ = ; 



S88 ciLcii. DipriaBPTiFL. 

V. Partillenenl x\-~Zaxx+j*^o A m wr 

-j^-ax'^ J-— or 

onTOÎl«|iK:r^a répand au min/mimt^s:», et xssc^a^ 
maximum j=. a\/^. 'J'oy. p. j6t ctfig. 4?-) 

V). PurUi^r un nombre a en deai pxrliea, de lorte que le 
produit de ta puiu>nce m de l'une, par U puismwc n de 
l'astre ,M>il le plu* grand pouible. Eo prenant x pour l'une des 
parties, il faudra rendre un maximum la quantité 

j = x'(a-x)': 
d'où j'ssx""' (a~x)'~' [nia — x(m-t-'*}]t 

j-- = x— '(a— a-)— [tm + n-O (« + ii;ar»— eu-:. 

_j'=o donne ar^o, x-=a et *=; ; cette dernivrc 

racine convient au maximum qui est rifri* T J ; Icx 



deux autres répondent 




VtXIHA ET UIMMA. 3^9 

IX- Du lonlc* In cOrtles supjiléiUËuUiircs d'une cliij»e. 
>|ucllcs «ont celles qui formcal !<-■ plu^ grand an{;1c? Ed ^em- 
^MiilfMrd c>Mesdeui-aic.«, ala laugcnte lie l'aoulc qucrunc 
• k-ïvscorilea fait avec le»i, ran{;l(:iiescortlu»(ii'4'^) a pow 



ingeMlc 



-br 



:'esl GcUt; quaulilc qu'il s'agit de icudre 



^Ki maximum par une valeur coiivunaiilo ilc a , ou plutôt (çii 
ué|;iii;i;ant le diviseur conMaot a' — &'] 

^ ''• j. ■ • . ''' ^ * 

■^ ' m ■' m' ' a 

donc le* cwdes dont il H'atsi I sont dirigées k l'iuie des ekU(;i»iics 
du peiit aie : leurs parallèles , uicricfes par le centre , sont les 
iliaiuêtre4cOhjui}u<i«(|ui foruientlcplusfjrniid an)jle possible : 
tes diauiûtTL-s sont égaux. {Voy. p. ^Sa du i" vol.) 

\. De loua les triangles coitstruils sui une métuc lose u, et 
Itûpfrimi'trei, c.-ih-d.de même coït tour 2/', quel est celui dont 
Taii^est la plus grande? On a (n" 3 1 8, III) 

j-=p(p—a) (p—x) (a + x—p), 
vu daignant l'aire fta j-, el l'un des C'^tt!s iucoDuus[>ar x; car 
\c ydléttstixp — a—x. Pour rendre^* un maximum, pre- 
1I0U9 les Iqq- vi la derÎTife , nous aurons 



- = o,d't>. 



= V'~ 



:ùk. 



p—x a+x—p 
Hnii le Uiangle cbei-cbé est is 

En général, de tous les polygones isopt^rirni^tres, celui dont 
P'aiieestlapIusgi'ondeestêiiuilatcraliearsoil^/ît.'OJÏCriB. ^i) 
• )iol jnonic maximum, si ^Û n'est pa!(= AC, faisons le irian- 
xiscJile v^^C, tel4ue^/;+/C^^fl-|-£C;nousauronsle 
iriau(;k AIOAUC, d'où AlCOE^jtBCDE.cv qui est 
Wvtrairc h, l'Ii y]>oii)Csi-^ 

] \I. Sur uue liasc donnée AC^a ( Gg. 4i), quel est le plus 
huUt de» triangle» tircouserits au cercle O/'V îioit le fjiyoH 
pP=r, At'^Aiy=x, Ir periiiiiUe ?/», CF ittn=CE^a—x ; 



BE=nL. 



Les troit cales ^tant a, 




"|u'oiia> p' 
p — a + x ft et» pour l'aiire 7 «lu UiaDglcCn" 3i8, III) 

'" j'=px(.p— a) (a—x), 
tl'où jr'= arO— <"■) («—*); 

à CAUsc de j-=pr (n° 3 18, IV) : pi-eoBot la dérivée, «( foisani 
^'=0, on trouvera (j- — ary [a— 2x) = o; d'odx = ^n 
Fest le milieu dMJC; les deux autres c6l^ sout égaax.ct I. 
tfîauQle est isoscèle. 

XII. Sut les côtes d'un carré ABCD (fig. 35) , p»«i»oii* l'-s 
parties rigoles qucIcoa<{ues Ja,Bb,Cc,Dd; la Ûgare abcd 
un carre) car, i". (iBr=AC. .., le iriaagle dAa=saBbz 
d'où a(i^bc-=:cd^ad; a", a csi le sororaei de dcu» 
coii]pIétuens,el de l'angle dab ; donc celui-ci esi droit ; d« 

pour l'angle abc, etc 

Cela posé, de tous les carrés inscrits dans ua carré doi)r< 
On demande quel est le plus petit.' Soit AB^^a, Aa=x 
d'où aD^a — x ; puis te triaugle Aad douoc 



a 



<id'=ax'— a. 



doac x--= 



li ie point a est &u milieu de AS. 

XIII. De tous les paralléIcpipÈdes rectangles e{^ax à 

donoéa^, et dont la lif;ne A ostune arÈte, quel est celui 

surface est ta plus petite? Soient j et s les autre? ari:lc*,ij:î i 

le volume :=a^ : donc, les dimensions du parai IcUpipcilc s 

- sont donc les aires des faces-, le d 



1 



b.x et r-; -,-. bxeX. - 

bx b' X 

ble de leur somme est l'ni 



:: totale. 






c les deux autres dimensions x et 's doivent h\xv é 
Si le cblc n'est pas donnd , j; étant toujours l'uu dViu , ■ 
autrai doivent être \/—: -7- +41/0^681 donc l'aine touL 



v°. 



«iXlNA ».T MINIMJ.HTts. 



agi 



[ b' y b ,a»o: 

u Lorsr|u'un veut ap|ilii]uer cette tbtorie aux cotirbcs.oii 
e (n* 7^] la dérivt-c de leur ifqu. : tes racincN rdullcs de x 
: r, qui Mlisfont A la propoitéc elim. dcrjvéu, s'obtienneiii 
• T IVIitutnatioii -, l'iles puuvent seules résoudre ù dus marima 
Il minitna d'ordouiices. Oa prendra ta dérivée dua'ordic, 
'. laiiaiil / = o,pui8 tneltantpourz et ^ l'une des couples de 
i>.inn obtenues, si jr^^^y ctjr=^pO {fi(;. i) rendcnt_j* uè- 
. itif, le point (> sera un maximum : ci les coordonnées vf//, 
"ij* reodeut y' {)Ositif, u' aéra au contraire un minimum. 
(^uaud Icd developpenieus Aiif{a±.h) sou t fauiils dans les 
'< riiics ouxijuels on est force de recourir pour reconnaître Ich 
^iitxima ou minima, il faut cburclicr ces devcloppewcns leU 
.[[l'ilï doivent être (u° ^38}, et voir s'ils sont en cBei l'un et 
I iuirc]>ou<;yfl. Aiasi^^i + {a: — a)^ donne 

■ =o donne 7:=<i,qui rend j-' = ca; ainsi la formule de 
hiylor est Caulive. Mats/(d:±:/>} = ^± A^.donc il u'y a ni 
"iixîmum ai minimum. Aucontmirede j-^A + (j: — a)' , on 



doiic 2':=a Cl ^ = 1^ répondent ^ un minimum. On aurait iu> 
n^iximum pour j-=:fr— (i— a)*, 

760. Quant aux fonctions du deux variables, z^^J'{x,j-), 
imitons lc3 raison ne inen» du 11° ^S^. Changeons xcnx-f- /i,et 
j an j--\-k et développons coiniite u" 7^3; en faisiiiU *=:b/i, 

rOKs aurons 

L , , /di di\ h' fà'K , à'z , .d"s\ 



y 



3g2 'X CILCOL DIFFitratUL. 

Or, pour ^'ou ait toajonrsZ^XfOaZ^Sj qtwlqnepc^ 

que MÎent A et k, il ûnt que le fecood tnme nit nid indt- 

pendAmment âe«, d'où 

ds , d» 

dj- ' d:c ^ ' 

mai* en ouiri: , le terme suirant doit être poûtîf daoi le cm du 
luitànaan, et négatif pour le maxînatm. Oa éliminen doncjc et 
j* entre les équ. (i), et leurs racines pourronl seules conTcnir au 
bat proposé : il faudra subaliluer ces racines dans le terme sai- 

yant —\^zi- • ■ Jil"' devra être perpétuel! eioent de toètna 

signe, quelque valeur qu'on attribue i a, et quel qu'en soit le 
ligue. Or, une quaatilé^-{-a«ff + CH* ne peut conserver son 
signe quel que soit m,î moins que ks fadeurs ne soient ima- 
ginaires (a* i3g,9'.),ce qui exige que AC — B' 3oit>'0. Il 
faut donc qu'on ait 

d'* ^ / di Y 

dr''4r* Kàxdj-J^"-- ''^* 

e si^ue : s'il est n^alif , 






^f HëTUODK UES TtRGEnTtS. 


593 


PrcnoDtsur tai" uu point, dont:!:^ soit l'absciaie : 


sa diAtaucc 
("•654) 


R*=(:i— ï')' + ^' + i% 




ou /f='x-x')'-|-(Ax+^)' + Cax+») 




^Ww^BOBs M a' membre par /.nous aurons 




^B ^=aCa:— r')+a(*:c+(3)6 + aCax + «) 


.. = 0, 


^ ^,-=,-a(;.-y) = o;d'où:.==y«- 




Poi«iue r»** , U ligue cherchée est perpend. à l'ase des x, H 
<:I pai' cons^quetil elle l'est auasi à la u' droite qu'on aurait pu ^M 
l>rcndr«j pour cet aie : c'est ce qu'on «it déjà {u» 274). Du ^M 


■ S=»Oi- + ^'^-£.=- 5& = 


-^ I 


i^Ucoadition (a) est sati^raite, puisque 4 (a'-t-é'] > ; il y a ^| 


minimum. La lougueur de lalignc cliercbccesl R =; 

I.'cqu. de sa projection sur le plan jz étaut j = 
l'Ile passe par uu point (x,^,s) de la a' droite, 


V("'+»-)' ■ 




1 


tlonc ccsligues satisfont 41a condition Cii'e^S.e*.; 
|niid. cDlrc elles; ce qu'on avait déjà prouvé. 


l.clsoulper- ^H 


Méthode des Tangentes. 


1 


^B 76a. Soit propose de ineiici" une laa,;eote TAJ (lig. 4o) au 
^»ml!a{x,j) de la courbe BMIH' .dont l'equaiion est doDUffc ,| 
^K=/r : telle du U droite TMU est ^HÉ 


^H > — .' =laDi; • (X— «), 


^ 



Z^ CALCUt. DtFFBKBITlBL. 

X et f étant let coordonnas variablei da b ^otH» X 
celle* da point de contact M, « l'angle T. H n éW 
n* 695, que ta dérivce y=J'x est la tangate d« l'nogl 
la limite du rapportdes accroisse mena J#Qet ifQàan 
donnéesxet^.C'eit même sar ce principe que nous aTootri 
Vcxisleoce de« dérivées pour toute fonction de x, et par 
le Calcul différcutiel entier. Dodc (n' 3^6) 

y-r=y (x-x). 






lanB«a=y, co8«:s- 



'. La normale MPf fait avec l'axe du x un augle, ( n* 3^0) 



y{r-jr)+x-x=o. 

s*. Eh faisant r=;:o,<>D àlesabscisso^T', .^iV, des pied* 
de la langcDtG et de la normale; d'oii l'on tire ;r^JiryOu 



sous- tangente TP = 



y 



sous -normale PiV:=j'j-'. 



Lorsque ces valeu» ont uu signe négatif, cela indique que ces 
lignes tombent eu sens oppose à celui de notre figure ; il suffit 




n&TiooE DES TksaaiiKt. SgS 

Uipsu et l'bypvrboU a',r'XA'z'=d:A'A*; d'oti 
on lire «Je U les sous-Ungentea, etc. (f^oj: n" 408 
La longaeur àc la ooriiule, 



4.'t4i4-} Par es- 1 on uoave pi 
en (a'ixiul c* := a' ^b; 



_Al/±(a'— c'x') 



f m. Poor l'éqa. _7-"=:x'a'"~", on trouve ^ c 



. La pa- 



rabole eu est un cas paniculîer : c'est ce qui a fait douner aux 
courbes renfermées daus eeltc équ. le nom de paraboles, m 
et n einni posiliTs. j^^=;a'x s'appelle \:i première parabole eu - 
l'irfitCf r'=ax' est la seconde. 

Du luèiue, on donne le nom à'hjperboles aux courbes dont 



Icc 



s-iangente est 



-r 



cll(> est la méinc, prise en signe contraire, que dans le cas prc- 
i Client. 
IV. Pour la courbe dont r<!qu. c*t x'^Sarz + ^r'^o, 



•' f—ax' — «> aj~ *- • 

V. Dans la lo[;ariibimque[n''4%))T^i'*'°')''^-' 



"-=[-; la sous-tani;enleeït ^(jaleau module (n'SaS). 

VI. Soient .rf/» = i, PM=y, MQ~z^\f{-iiy — j-) 
(fit;, 43), l'ctp. delà cycloîdewfit/r est 3r=arc(sin = i)—;, 
' I'" ^1'^) : l'arc est ici pris dans le cercle (jeoeratetir A/C£), dont 
le rayon =r. La dérivée est donc (n° 7a3) 

I = ■ " : — »', <!qu. où t' ^ . y~J)^ _ 

OunCicliiuant z et i', la cyclo'idc a pour équatiou deriv<fe 

t.,-/=;/(:.rr-^1, OU y = yJ(V:^, 
ginc éti 



iHeÎQC étant au pwnl de rebrousseuicui A. 



3q6 CALCDL D1FF^K£VTIIL. 

Pour pwaer uns ungente TM, on remarqnem qtw 
ioiu-Doni»le=j-y= V/Carj-— j-')=s»=ïJfÇ, 
Aîoii,U ligne MD menée âu point de contut D du cerde gi- 
ii^ralenr avec l'axe ^£,e$l la normale. La corde AfDenoth 
loncueur; on obtient, en effet, j-V/fi +j''*)^ ^(arj-). La 
corde supplémentaire JfG est la tangente. On voit donfe que 
pour mener une tang. en M, on décrira MN parallèle à l'axe 
^r,puia la corde KF.et cnBn MG parallèle à KF. 

Si l'origine est ûluée au point le plus élevé F, en aorU fu'oii 

prenne FSistx, f Jlf= j*, l'équation de la cycloïde est 

x=:arc (un =2} + s (a' ^"j^); la dérivée est 



y-Vi^^y 



Ou aurait aussi trouvé cette équ. en transportant l'origine en F 
(cUangeBat x en »r— *,et y en ar— j-). 

764. On peut résoudre un grand nombre de problèutea rela* 
lifsaiix taiigcnlt:s,tels que de les tracer par nn point exle'rîeuri 
uuparalli:leuientàuncdrpiiedounée,ouelc.(^.u'*4o7et 4t3') 
CLerdioustpar ex., l'angle jS foniié parla laiig. 7'M (fig. 44)) 
ut le raj-oit v<vteur AM tiieué de l'origine au point de conlaci 
Mipc^j). L'angle 6 que ce rayon vectuurlait avec les x est donné 




Ui.inODR DFS TANGEPITES. Hgj 

Tian»fonnon«,tiu<nn(r«ire,cn rete Ici formules de tiing.,i!lc. 
l'reaans donc 9 pour variable indépendante au lieu de X; et eu 
<'itlcu1, qu'on a dëjA Wn page 355, donne 

lan65= ^. 

;66. Od poumit de même traduire en r, / et â les valeurs 

rj^,^, etr. ; mais, ih caute de leur complication, Oti préfère 

le proc^d^ iuivant. On nomme soiis-iangenle la longueur de la 
p.iriie AT, prise Hur la perpend. à AM ; le point T'élant ainsi 
déirriuin*', la tangente TM s'(;usuit. Or, le triangle TAM 
donne AT=i A!H lang. fi, ou 

sous-lang^v/r^ -7. 

ÏPour ïn ïipiralc d'Arcliimède [n° 473. fip. 45), on a 
— fi r* _ r^__ 

3t' r' ~ ' P"^ ■ 

A insi la soui^tangcn te ATesl «^gale eu longueur à l'arc de ccrctc 
dvcritda rayon ^.f/=r, et qui mesure l'aupJcM^x =9. Quflnt 
à l'ani^le S, ■! croit sans cesse avec l'arc 6 ; et comme ce n'ol 
(|>i'nprê» ane infinili! de tërolutions du rayon vecteur (pie 
^devient infini, l'angle droit est ta limite de fi. 
Dans la spirale liyperbolique (n" 474) 



»ous-tang = — 



;3=r-5; 



b ao II s- tangente est coaslaiiie ; l'asymptote est la limite dr 
mules les tnn|;enles; enfin, l'nnftie du rayon vecteur avec In 
langcntc est obtua et df'croU i mesure ijUe 9 augmente, [yofi 

c i" volume, la figure a^ij.) 

r la spirale logoritlimique (n° 474) 

r^=:tfi, W\^^:^ —, «ons-lang = p. 



3gS CAtCDL DIFFftRtBTIKL. 

La «onrbe coupe topi bm rayni» Tecteora r* 
qui eat de 4^*( qoend a e*t U baae dee log. 
UDfi- croît proportionnellement ea nyott 



Des Rectifications et Quadratures. 

^67. LoraqnelVqa. _7'=i_^ d'une courbe BMSf (fig. 40} est 
donnée, la lon{[ueur BM^s d'un arc développé est déter- 
minée quand Ma extréinilen B et ^/ sftat connues ; cbercliona 
cette longueur. Pour cela, remarquons que B restant fîse, i 
varie avec le point M; ainsi t est une fonction de x^AP, 
qu'il s'agit de trouver, s-=zFx. Si a: croît de AssPP'ij- croîtra 
de M'Ç = *,ei 1 de MSf^l; donc 

s =Fx. F{x + h)=s + yk+ts-h*-t-. 

d'où * =yA+7^'A' + .. ., I~s'h +\t'h' +. , 

corde MJ/'=i/(A-+i')=Ai/(i+y+y^-A+...). 
D'un autre ci>te,U tangente Wff donne (n* 76a) 




BF.CTirrCATIOKS ET QUADRATURES. Sqq 

fonction primîcire Fx. Nous donneront bien t6t (n'*849) ^^^ 
moyens de laire ce calcul. 

I/éqn . da cercle^ dont le centre est à l'origine , est 
j^« + x-«:r% d'où jy+x=o; 



■'= \/0+p)=-î 



^(r'—x*) ' 

c'est la dérivée de l'arc de cercle s , exprimée en fonction de 
son sinus ou cosinus (qui est Xj ^fojrezn^ 7^3). Pour rectifier 
Tare de cercle » il faudrait donc intégrer cette fonction (n° 
849, "I). 

D*après notre valeur de /, on peut simpliGer les formules de 
la page 3g4i qui deviennent 

rs' yds - . rds 

tanccntc = «^ = ^^ , normale = r# = ^ . 

768. Pour obtenir Taire BCPM = t (ii^,. ^o), imitons les 
raisonnemens précédens; nous verrons que /est fonction de x^ 
ou l = 9X;. que les accroisscmens k et 1 de l'ordonnée et de 
Taire pour Tabscisse .r 4- ^9 sont 

On a rectangle MPP'Q—jh, LPP'M'={j+k)h', Tunitccstla 

limite de leur rapport — ^^-—7, i est donc aussi la limite du 

rapport entre le rectangle MPP'Qzizjh et Taccroissemcnt. . « 
MPP'M''=^i de Taire I. Ce rapport est 

Il faudra mettre iciyipour j', et intégrer Téquation t'=:Jx, 
Si les coordonnées faisaient Tangle m, on trouverait 



/qO ClI^UL DIFFiUBTIIL. ' 

^ CbercboDi l'iire ^K»l=r (Bg. U)i 
denx rayon» ▼«teiiri AM, AK, dont U dorai 
r«atR vaiùnt avec M. Oa a l'aire AKM ou 



ABM^ABCD + DCMP— AMP^ABCD+t—ij^; 
donc T = ^fla/X — ^5C£>— ( + 1^. 

Or, la varialion dn point M ne change pas les points A, Cet 
A' : prenani la dérivée, en regardant ABSfK et ABCD comme 

constaas , 

Traduisonslesvaleursde f',^ etr'encoordoDDées polaires' r 
etfl; en inetUnt p , i , 1, , pour/, y et*' (n'^ag), 

la variable principale est devenue quelconque ; pour qu'elle 
Boit I , il suffit de mettre ici , pour x, y, ^ et y. les valeurs 
du n" ^So, et il viendra 




0SCDLAT105S. ^01 

i^a'i) en est nn (jui approclic [ilus que tout autre de la courbe 
UMZ , de pan et d'autre du |ioinl M. C'est ce qu'on nuuune 
le CcrcU otvutateur; son centre D et son rayon DM sont 
appelles Centrr ^l Rayon de courbure ; et comme en cliaugcant 
le poîiii M, te cercle change aussi de centre et de rayon, on 
nomme Déi/eloppée la courbe iOD, qui passe par tous les 
centrée du courbure : U li[;ne donnée BM7. est U Dévelo/i-- 
pante de lOD. 

Poar trouver le cercle osculateur d'une courbe, en uo point 
ioé M, il faudra expriuier en analyse les couditions qui le 
lltinnineut : généralUonscescoDsidéraltons. Concevons deux 
irbc» qui se coupent; leurs équ. ^^_/t, y^F.Ï donnent 
Y pour la uièine abscisse x = X, qui est celle du point 
lun : jusqu'ici il n'y n qu'une simple intersectioa. Coin- 
trôna le cours des deux lignes de part et d'autre de ce poiul, 
I pour Cfbj incitons ar +. fi pour ,r et A', dans j- et I'; le* 
oi-dounécs correspondantes sont 

la distance entre les deux points de nos courbes dont 
t*ab»cis!ie est a: + fi i il faut dans T , Y' .... rcmplacvr X par 
X. Plus S' sera petit pour une valeur dunniie de /<, plus les 
point* correspondans seront voisins , d« sorte que le degré de 
rapproclicmcntde nos courbes ddpend de la petitesse de l, dans 
une étendue déterminée fi. 

Or, s'il arrive que U valeur de x, pour laquelle y=:Y, tend 
aussi ^■'= y, on a 

^= ■, fi'O-'-l") + ; ft'(j'-ï^) + . .. . 
et DOS dcuK courbes approchent plus l'une de l'autre que ne le 
ferait une troisième qui, passant par le même point (.i:,^), ne 
rampliraitpas celte mcmc condition. Car, soil y^»£ l'équ. âe 
distance A, entre les points de celle tourbe cl de 
, qui ont pour abscisse .x -f- A , r&t 

4 = /.fi-'— r) + ifc'(>'-y'>+ ■ ■ 



%:, 



/03 CALCUL UIFFKRSHTIRL. 

en suppount px^fic, pour qu'elles aient le poinl c 
{x,/)- Or, lei valeiin de / et A onl la fomu 



i-^bh' + ch^-\'. 



ti — Ak^B)i''-\-C.h\ 



d'où A~-i-=Ah + (B — A) A' + (C— c) k'+ 

Si donc OQ prend h anset petit ( n* 741) pour qne le teme Àb 
donne son ligne à cette série, ù-~i ayant le signe de A , nn 
«tira A ^ ^ poDT cette valeur de A , et poar toutes cellea qui 
aentmoiodrea, qaclqueaoitlen(;nedeA. Ainû la courbej'=:|'^ 
approche de celle j'^fx, dans toute cette étendue A , et de 
part et d'autre du poîut copainnn , plus que ne le fait la 3* 
courbe >^9{, quelle qu'en soit la nature. 

Si, outre j^^K, on a aussi_7^ := K*, on verra de même que 
nos deux courbes approclient l'uue de l'autre, dans les points 
voisins de celui qui est commun , plus qu'une troisième qui hl- 
remplirait pas ces deux conditions , et ainsi de suite. Nous Ji~ 
rons de deux lignes qu'elles ont un Contact on we Oteulation 
du i^on/zv, lorsqu'elles satisfont aux coaditiousf=}',j''=Ki 
pour la même abscisse x De mêmej'^ Yyj-=- F*, y'-=. Y' su- 




OSGULATIOM3. 4o3 

née d'une courbe. Prenons une droite dont la situation soit in«* 
déterminée-, nos équ; soint 

X=fx^ VssaX + b^ 

a tt b étant quelconques. Si Ton pose jr^sV et j-'ssy^ ou 

il j aura oscnlation du i*' ordre ; la droite sera tangente t en 
effet, pour qu'une autre droite approchât plus qu'elle de là 
courbe, de part et d'antre du point commun , il faudrait que 
celle-ci remplit les mêmes conditions , c.-à*-d. qu'elle eût les 
iikémes râleurs pour ses constantes. Ainsi, y est la tangente 
de l'angle que bit notre droite avec les axes ; éliminant a et ù, 
l'éqn. de la tangente est 

comme u* 763. On tire aisément de là Téqu. de la normale, la 
valeur de la sous-tangeute, etc. 

973. HaisonnoBS de même pour le cercle : les équ. de la 
courbe donnée , et d'un cercle considéré dans une situation 
quelconque, sont . 

a et b sont les coordonnées du centre, R est le rayon. JNous 
établirons un contact du a* ordre pour déterminer ces trois 
constantes. Les dérivées de cette dernière équ. sont 

donc (^ — *)• + (!: -.a)»=fl* (1), 

(jr—b)y + x^a=:0 (a), 

lj-b)y ^y'+i=o (3). 

Tirant jr —6 et x-^a des deux dernières, 

y y 



4o4 



Cll-COL UlfFÊREnTIEI.. 



i-t-y 



On à donc ainsi le rayon cl le centre de courbure. Tout ■«) 
cercle approcbeia moins de noire courbe qae celui-ci , pa( 
□u'it devrait remplir les uiéinea couditiMii, e.-à-d. cvtncid 
artc lui. 

774- On TOil que, t^. la tangente i la courbe l'est «ossi 
cercle osculaUnr, puis(]ue ^ a la meute valeur pour Ton* 
l'autre. 

»•, L'équ, de lanorinaleest j-'(J'— j-J -fc-X — x^o; u r 
; met a et d pour X et Y, elle est satisfaite , puîiqo'oa nlroi 
la relation (i), qui ne suppose qu'un contact du ■"ordre en 
la courbe et le cercle : donc te centn de eourbure eét *ur 
normale, ainsi que le centre de tout cercle ({ai a la Riême ta 
ecatc 7'Mifip,. 46). 

3*. Si l'on élimine x et j- entre l'équ. j-^/i de la courbe , 
cdks 3 et 3 C|UJ déterminent a et li, on aura ud« i elation un 
les coordonnées du centre de courbure, quel que soit le point 
ce sera donc téqu. Je la développée. 

4*. Puisque fi, a et A sont des foncliont de x. que le eali 
drtenuine ainiuu.-Dt , si on les substituait dans le* éqa. i et 
ellca tetmient identiques : on ]>«ut donc les dlli^renlicr en re( 
dast A, a «I A comme rariables. ferons d'abord aarl'^u. i 
il Tient 

d'où />'_r"+"* = Oi 



I 

I 

I 

K N*tfa«-M 



<*)LaTmUaedaR4Biifom|K>rl«rl«*igtM±i ^di c>oa»«eMta«9 

i<la«MniU (klaur d« Il le ilfat +. SIr'talpMi 
ta Mnrba lowne m ddutoIU *en 1\» i1m<, «■ p 



OSCOLATIUOS. 



4o5 

en r«tlBnrbant de (3) : c'«*t , comme on devait s'y attendre , la 
dérivée de IVqu. (i) [wr rnppoil i o et A seuls. On a donc 

— — ^ -^ poui' la tangente de l'angle que fait la normale avec 

l'axe des .1^- Soit6=:f>3réqu. de ta développée; sa tangente au 
point (a, ^) £ait avec l'aie des x un angle dont la tan;;, trigo- 



Domé trique est ^ 



f 



( II" ^29), puisque, dans notre 



calcul , nous avons regardé Aela comme des fonctions où x est 
variable principale. Donc la normale à la di-'velcppante nt tan- 
gente ù la développée. 

5". Faisons la même cliosc pour l'équ. (i), c'est-à-dire pre- 
non»-en la dérivée en faisant tout varier, et âtons le résultat de 
IVqu. (3}; oupluiAt prenons U dérivée de (i) relativement à 
<|, b elR seuil. Il vient 



.(jr-b) 6'_tr-o) a- = 



■-RR'. 



VkNir en tirer une relation qui appartienne à tous les points de 
h développée, il faut éliminer x et j-. Mettons donc pour 
X — att y—b leurs valeurs tirées de (1) et (>); aprbsy avoir 



iubsiitué— Trpoo'^) "^ trouve 



► 



/« 






«"K + J-fl 



=—mv. 






1/(0- + 4-)" 

Si l'on prend a pour varittWc principale , If i^^{i -i-l>'^) 
Mt ta dérivée du ruyon de courbure relativement A n. Mais celle 
de l'are r de la développée est aussi / ;= \/ (i + 6") ( n' 767) ; 
doncR'^i', éiju. (|uiest ladcrivcede ncsiH-'^i .tétant 
une consume arbitraire ( n' 8e8). 

Pour un autre art S de dtivelopptic, le rajon de courbure est 



/,o6 CkUl'il. DIFFKHIiTltL. 

Ji + J, l'origiue &s«d<:cutarcL-Uiif UncnCMnai *yr-Smi 
\liiHffr*j>ctdead\:ax rayons. ll^uildsU quflv O mY>(G§,4G) 
■ont lei centres de courbure des point* B et M, l'an OD de 11 
(Uveloppée est la diSifrence des rayoni de coarburs AO, lUD. 
Pqbc* m l'oB courbe un fil sur U d^TCloffi^ OD, ctniale 
tend BoinDt AO, en ledcroulaDtdedemwOZf, l'sttuéniiUi) 
décrira la développanlc HUl : c'est sur cette propriété qu'ol 
fondée la dénomination du ces courbes. 

6°. Le* expression* du rayon de courbure et des coardonnéf« 
du centre «e présentent sous diverses forniea, suivaut qu'on \ 
pieiid telle ou telle variablepour indépendante. C'est ainsi qu'oii 
avu(u" 73a) que 

suivant que U Tariable principale est arbitraire, ou bien en 
l'arc < : ai celle variable est l'absciissex, on peut écrire ainsi Jt -s 
valeurs de H, «et A, 




t Ift longue a r de lu normale ( n* 763, 1). Donc le rayon ' 
t courbure fie la jiarabole i^stégal au cube de la normale, di- 

.-/(fie. 46), 

= p; ainsi, la distance Al du sommet à 
1 centre de coorbui-e est le double de celle du (oyer. Plug 
iltroll, phis la courbure dîniinne , el cela indéfinimeiil. Les 
pfdoonees da centre de courbure sont 



■^ par le carré du demi-paramhtre . Au 



P 
Ëluiûnanl x kXj Aej'=^^px,oaa., pour^qu. de la développée, 

8 ..... S't' 

= ((!_»)> d 00 à' ^ , en (ransporlaut 1 oricine 

1-^p ' f" ^IP ^ " 

r I c'c!<l la seconde parabole cubique. îious apprendrons 
ientAi i U discuter (p. 416). 
' II. Pour l'ellipse on a n^y' -^n'x' ■=. m'n' ^ 



Wtanl la dislance du foyer au centre, 



Telles vont le« valeurs du r.iyoïi el des coordonnées du ccnli':: 
de courbure pour l'ellipstr. En coinpai-ant les valeurs de H , de 
la nortnnle (p. Sç)?) ut du parnmî'iri' p, nn reconnaît que; 

c'est te même ibéorëme que pour la gurn- 



JV' 



/! = 

biili-. Puisqu'un trcdelndevtloppdeest In difTérence entre les 
rayons di; courbure qui paiti'nl de sesextr^miti^s (p. 4^)> '^^ 
^ue ces rayons sont des quanlUris &am, cet arc çst recliriablo. 
lia ui^ui« chose arrive pour toutes les courbes algiibriques^ on 

lOt trouver une droite de ra£me longueur qu'un arc donn^ 

R Ia développée, 
^mmir /[ décroît quand x nu]*m':uti.- . l'cstaux quatre ex- 



^o8 CiLCITL DlFliApJITIBL. 

bëmitû dei aiei que A ut maximmm oa mùti m iÊm s «dx aofir 

meti 0,Cf àe l'ellipse ( fig. ^3) U oonrbiue at la ptiu gandc, 

A=— ,a=s±-, 6 = 0; en Z> et D\ clic y Mt la. moûl 
pudc, fi^ — , £ = ±— , â=so; les poîatt A, V*.*« ^> 



aÏDii dtftennînéi , lont le> centres de coarbure des c 
des un. Pour avoii IVqa. delaïUvcloppëe, tirons les Tileon 
lie X et ^ de celles de a et fr, et substituons dans l'éqn. de 
l'eUipse ; noBi avons 

enfiiisant C*^9, Ci^p. D'après ce qui ten dit ( p. 4>g} > 
nn trauTC que ta caurtw a des rebrouMcmens ans quatre pointi 
A( ^V) l'i et qu'elle est formée de quatre arcs convexes ve» les 
deux axes, A l'^anl desquels el le est s j métrique : la déreloppee 
est dessinée au pooctné dans ta figure ^3. 

Pour l'hyperbole (n* 397), clianges nea*^-~i. 

ni. U cydoîde (6g. {3) donne (p. SgS] 




OSCULATIOttS. ^Otf 

Pivisant CVS Talcurs , on n 

a' ar— j" y ^r—y \ ar 4- i ' 

en mettant — b pour jr. Or, si l'on prend les ordonnées posi- 

• , .... A' / * 

<i«s&enscnï«intraire,ilvient-7^i / — — r, qui est prtci- 

lémenl l'équ. de Uméme cycloïde, lorsque l'origine est en F. 
Itooc U développée LA de la cycloïde est une cyclo'idc égale ; 
l'arc AL eai identique avec FA' , le sommet F est poite' en A. 

IV. Dans la spirale logarithmique (lîg. 45), r=a ; 

d'où a = ry'(,i 4- l'a) =rBéc « ^ , 

la lasgente (le l'angle AMN — ■* du rayon vecteur avec la ner- 
inale ^tant ^ 1 d (n' 766}. La projection du rayon de courbnri; 
Al^ sur le rayon vecteur est = r; ainsi, laperpeiid. AN, élevée 
sur ce rayon au pâle, rencontre la normale au centre A^de cour- 
bure. A M en donc la sou», tangente de la développée, et AN^on 
rayon vecteur; ./^J/ forme avecla courbu^U/, eu cbaque point, 
le même angle â que AN fait avec la développée. Donc , la dé' 
vcloppéc est celte même courbe placée en sens différent. 

Ou appbquerai t de même la tlicoric des oscu la lions ^ des cour- 
bes d'un ordre plus élevé (voy. Fond, anal., n° ii7)ietilest 
viïible que deux courbes qui ont un contact du 3% 3% 4*> • ■ • 
ordre, ont même tAngente et même cercle osculateur à ce 



776 La différence entre les ordonnées des deux courbes dinu t 

/= A/A"-|-fl'A"— + suivant que Mh"" est positif ou iié- 

j>atif, comme le signe de t est celui de ce terme quand h est 
tirs petit, l'ordonnée de la courbe est plus grande ou moindre 
ifUR cellcde sou osculatricc ; ce qui fai tj ager si la 1" est en-dessus 
ou en^dcssous de l'autre. Mettant^ h pour h, le signe de Mh'" 
changera lorsque msera impair, etlacourbe sera coupée par sqo 
«sculatrice nu point commun. On voit dune qu'une courf'r est 
I HmfOiirs coupât- pur ion crnlr oiciilnirur. 



4lO CILCLL tUFFÛIimitL. 

Des jisfmptotes. 

777. Si le dëTelappemcDt de/{x -t- h) est botif ,«lon on bc 
peut dublir uoe osculalion qu'autant que la série de F(x+k) 
procède suivant la même loi, du inoins dans l'ordredes pRinîen 
termes qu'on doit comparer : cette cooditivo dépend de la 

nature des fonctions fa et Fjr, et ne peut avoir lieu qu'acci- 
dentellement, c.-à-d. pour de certaines valeurs de x^le même 
raisonnement exige alors qu'an é^aie les premiers coeffictens 
pourqu'ily aitosculation. (Voy. Fond, analjt , n* 120.) 

&o\tu\.jr^fx,jr= Fxleséqu. de deux courbes : supposons 
qu'on ait développé fx et Fx en séries , suivant les puissances 
descendantes de x tvojr. p. 376], en sorte que chacune de ces 
fonctions soit mise sous la forme 

Ax'^Bxf-^-\-... +M*-'" + A>-"-"+. ... 
Si les exposans de eus deux développemens sont les mêmes jus- 
qu'à un certain terme Mx—", et qu'on puisse disposer de quel- 
ques constantes pour rinHre aussi les 1*" coefficrens éj^aux sans 
introduire d'imaginaires, la différence entre deux ordonnées 
quelconques sera M'x'" +■■ ■ Il suit de li que l'une de nys 




rainTS MtlLTLPI.G« fJ COSJUCUÉS. 4'' 

Doue le» droites qui ont (lour é^a. ^t=± — sont les asyiup 



' lote» rcctiligacfl, et Jouùseut seules de cette propriété 

PCM est de même de je = o el ^ = o , pour xjr = m 



. La courbe dont l'iiqu. est jrr= — — — est formi 

ustre branches sytnâtri(|ues par rapport aux axes, et Joi 
poni'Totis UivtilAl trouver la figuie. On a (n* i35) 



selon qu'on fvruie le développement suivant Its puissinces du 
.r ou de j. Les droites qui ont pour equ. j^=o el x = a, 
sont donc des asymptotes L'hyp<^rliole qui a pour asymptotes 
leaaxes des x et des ^,el k pour puissance, l'est aussi , laais le 
iprocbetneot est ici beaucoup plus grand. 
m. Soii^— 3«^j'+x-=Q,fig. 47 ^748): un a 

La droite j:=. — x — a e»t donc une asymptote ; elle se cuns- 
Iniitco prenant AB = AC^a, et tirant liC. 

Soit etifin^' — aar'^' — x» +a«ay* — Sot' — o; 
"(3. a -4) 



V 



irait 

r 



r=±px±- 



i +Axr'+.... 



p désignant v'(i±V^3). Donc, en construisant les droites 
CF, (*W (fiR. 48), qui ont pour ordonnées coa deux prcinteis 
terrars , on aura les asymptotes rectiligne!i de ta courbe pro- 
posée. 

Des Points multiples et con/ugues. 

L978. Lorsque les branches d'une courbe passFUi |iar uti uiènie 
Uil, «oit en se coupant, soiteR »t!l»ucbant, ce point eHl a|i- 
é double, triple. . . . mullif/le, suivant qu'il est vuinmun à 
, trois nu pluhieutH brandies. t'.tHiH donnée! I>qu. 



eue |, 

-1 



I 



I 



^ta CtLUUL DIFFlinBHTiei.. 

d'une coucbciproposous-nous de déterminer ces poials, sidk 
eu », et leur nature. 

Suent F= o , wy + iV= o 

l'éqta. CD JT et j* de la courbe, et sa dérivée ; on supfWK f 
délivré de radicaux. 

i" càs Si les branches de la courbe se coupent au point 
cbercliif, il y a))lusîeura tai^entei en ce point :ainM, pour une 
valeur de X et ci;Ue de j- qui y répond, jr' doit avoir autant de 
valeurs «ju'il y a de branches. Or, on a vu ( n' 740 ) «ine feUe 
condition rend il/ et A' nuls. 

3* CAS. Si les branches de la courbe k toucbent, il a' 
(^u'oue valeur de j^; et même quand le contact est du (n^ 
ordre.il n'y a (o*77i)qu'une valeur de^, _^. . . jK' 
ou doit GO trouver plusieuis pour ^'^''- Or, l'^tjuaiion dérivée 
de l'ordre na la forme lUjf^ + . . . = o,M éuot ici le même 
coeXicknl (n'^aÔ) que pour y, J"'--., dan» le» de'rivnoi «uc- 
cesùvcs; et comme cette équation est du ■"dcgrc.et ezeniptc 
de radicaux ; elle ne peut douner plusieurs ralcun dc^') pour 
une aenle de x et dej' : on a donc encore jtf ^o,et parxonsé- 
queot y^o,pat la nicme raison qu'au n' ^fe. 

Coneluonsde U ^^lte,pçur trouver Ui pcùiU muttiptes eFune 
oMW^, on égalera à aéro Ui tldriveei MrlVdefOH équ. T= a , 
ftrifatômrAlOKrpmr ny/mriàjctàs. Pnû, éiimtinanl X e/ y 
*m$n: Jeux de et* équ. t 

.V=o. N=o, ^=o...(i)t fl 

Um vatetn rceUa fui Mtùferwu àUy, poumM mie» jH 
fnutem'r aux fioinii muliiftlei. ^* 

Je ais/NMtrTVNiit^yMrrefuV, parce que ces points pcnveol au: 
Df pas exister «re»r ces éqn. .ainsi qu'on va le voir. Ou passti 1 
A U derivile du a' onire in'7a6), Jl/f' +Py'4.etc. =»o ; i : 
prwMiit l'uue des couplet de vaU-urs de x et jr qu'on vicni li 
trouver, OD Icssubslitucni ici -.j' disparaîtra, et y sera dom 
par une equ. du a' degré. Si les racines suniriJcUes, il J aor» «n 
i>9iiu ^otihk; Ica dcuk Ungenlcs Ji «s bianclics seront ditci mi- 



POINTS MOLTlI>t.ËS ET RONJOCtlÉS. 4'^ 

nées pat ces raleurade^', et donneront la tiircciion des courbes 
en ce lieu. 

7^9. Mais si le^ racines sonl imaginaires, il y aura un point 
sans tangente, et par conséquent toul-à-fail isoW des branclics 
de la courbe; c'est ce qu'où iioiniue un Poi'ui conjugua. En effet, 
s'il y a un lel point pour l'abscisse a, les ordonnées voisines 
tloîvent être imaginaires; en supposant l'équ. A'=o, mise sous 
la forioe y =fa, si l'on y met adzh pour x, la valeur corres- 
pondante de jr, ou y(a±/j), sera iinajrinairc pour A très 
petit. Soit^*) le i"coeflicicnt qui sera iniaginairc dans celle 
série i comme l'équ. JI/j-<"^-t-clc.;^o ne peut présente rj^l*) sous 
cette Tonne, attendu qu'elle ne contient pas de radicaux ,mèmi: 
a[uH en avoir dliminé y, y' . . .^'"~'' , il faut donc t^e l'on 
ait JW= o,el par suite A'^ o. 

Ainsi, Icd points conjuguf^s sont compris parmi ceux que 
• lonueut lei<Jqu. fi)'. '"ais on les disiing^ueen ce qut: la courbe 
n'y peut avoir de tan(;cnlc : y doit cire iuia^pnairc , ar et j 
^laut réels. 

^80. Il pourrait arriver que tous les termes de ladéiiréedn 
V ordre disparussent : alors il faudrait recourir à celle du 3*, 
d'oii_^ et y' s'en iraient, et qui conliendiait^ au 3' degré. Il 
y aurait un point triple, si les trois racines étaient réelles , et 
il n'y aurait pas de point mulliple dans le cas contraire. 

Quand on est force de recourir à l'équ. du 4' ordre, oùy «l 
au 4* degré , la courbe a un point quadruple, double ou con- 
jugui, suivant que les quatre racines sont réelles, ou que deux 
sont imaginaires , ou qu'enfin aucune n'est réelle ; et ainsi de 
suite. 

781. Voici quelt^ucs exemples. 

I. Soit a7-'~x'7 — ije'=Oi d'où 

."... {3^*-i»)y-3r'Cr + i) = o. 

a"... 6.^7^'— &r'j-' — 6x{y + b)-=o, 

3*... 6«y' _,8Tr' — 6r — 6&="o. 



I 



/^l4 CArXUL DIPPÉRUITIBl.. 

Nous avons omis les termes en j'^ y. . . . , qtA di^NtntMiltf 
par la suite du calcul. Oc 

ou tirej' = — &, 2^f/(3(i£'), qui dc utûfool pu t It 
proposée'^ et x = o , / = o : l'origine peut donc Ctie an pahi 
multiple. Hais tous les tenues de la dérivée du a* ordre di^- 
raiBsent; celle du 3* devient ajr'^^^b, qui ne donne pourj*' 
qu'une seule racine réelle ; donc notre courbe n'a pat de point 
multiple. 

II. Prenons j-' — :c*+a^' + 3«y = o, 

d'où vT'Cv' + 3*') + 4^'— 5i:' + ^x=o 
En posant j' (a;-"+33r") = o, x{^x' — 5x^ -|- 67^) = o, 
on trouve que :c = o et j-^o peuvent seules remplir cfs 
ronditioni et satisfaire à la proposée. Les dérivées des a* et 3' 
ordres sont par U nulles d'elles-mêmes ; celle du 4' devient 
^* + 3j'''+i^o, dont les racines sont imaginaires; ainsi, 
l'origine est un point conjugué. 

III. Pour X* — t<y' — 3ay— a<i"ar' + «'=o (fig. 49), 




I-OINTS KULIll'Lt^ tT œKJUCUËS. 4>5 

four lua painU où 1^ tati|;cHie vsi i)aiallÈl(; aux x, ou fera ^' 
Il il, ou« = j:(x' — fl'). I'. .i=oi«poiiJùj-=;' — d.i^i! qui r«- 
ilixiiir le point £, pourUquelj" est ^, et non pBs=o; ou trouve 
auMi le maximum eu F,y^^ \a. a°. x=±a(lenne. outre les 
l>uiiiu/><:tp', \vi,minima OeiU pour lesquels _j-^ — Ja, 

Eu(in,y = 0!), ou j-(jr+a)=a fait cônnailie Ips points 
/ et (i, où la courbe a sa taugeute pnrallÈle aux y : on tiouve 
MH=^ÀC -DE. 

IV. SoilcHCore**+Mi:lr— "/*=<» (^S- 5o); 

Après avoir trou»»; que l'origine |iem seule être un point mul- 
tiple, ou uit cOndiiit ^ la liértvée du 3' ordre, qui iluunu 
y'^= o et J-' =s± v/a. Ainsi , en y^ il y a un point Iripic ; la 
(ourbea pour Ungentet l'axe (bas:, el les lignes /</J,yfir à ^5°. 
On n le» minima U ei O ea faisantys» ; ou x(j:*4-<(j-)=o , 



I 



<!'.. 



=3r. 



Kiifin les limi te*G ei F*e irouvenl enposan t j':=oo,o 
■ loù T=± Jfli/6, et j'= — |«. 

V L'équ. J-' — axj'-\-x^:^o (fig. 5i) donne 
i"... 3yy'i'ij*—ttx) + /ix' — qy' = o, 
3«... 2{6r'— «■»■)/■ — 4-^7' + '^■'^*="> 
3». . . niry'—6qx-' + ^x=o. 

On trouve que l'origine e«t un point triple ; et couiine l'on a 
j := o Ht y = 00 , iea axes sont tangens k la courbi'. 

VI. 0» pourra a'ex*rcer (fig. 5a) sur l'équation 

r^-i-x' — 3oj'' + 2éT-r:^o; la courbe a aussi un point iriiilo 
j lorigiiie. ( fojr. eocore IVx. IV, p. 4i i , fig. 48.) 

78». Lorsque l'éq. est explicite, la recliercLe des points 
iKiiItljile* tst bien pluN aisée. On a vu (p. 363) que l'absciste 
l'orvcN poil liante doit rliasïicr un radical de la valeur de j", en 
1 1 iidani nul son coefficient. Le àt^ré de ce radical ddpeiid du 
>i>inl>rc de« braaclia», et l'exposant du focffii'i<iit iliiiiTiiunL- 
■ 1 y a limplc int«iwct(oi> ou ûsuuhitiuii. 



I 
I 



/,6 CkLCUL OlfFiREKTtEL. 

r perd un radical )Loui':T=^i,qui neditjuaraîi pai dej^. , 
i'oiigmc '^'""^ '^'* ' f'S- ^^J' '^ = ' donne ttu poiol dou' 
un C, pour lequel Icflbrauclies te cou|>enl «ou» uu aitglc dn : 
paia(|uc yi^dzi. D'ailleurs, 3:=:^ donne les maxima vcc 
vt £>'; 7v/=a fixe la limite ^ de la courbe. 

Pour Vét\u. j-=(ii~x) j/(i — x), b courbe a un (k-j 
conjoQUC dont l'abicisse est x = a, parce que jf- c*t imifuin 1 1 
dans les points voiatiis. i.'originc est de même uu point conj"- 
guépour la courbe dont l'é<\n. est j-=^\^i^ — à). 

Ei>(in,j- = {;r— a}'l/(x— 4}+c, où «>*. est l'équ. di; U 
vourbc EDFO {dz- 5^) farinée de deux liranchea qui ont en P 
la uiènte tangente ED. Si x—a eût été au cube, U* dL-ui 
lirattcbes auraieut eu raèute cercle osculaieur, etc. . . 

Du reste, un point triple, quadruple... est annonce! p.it < 
radical du 3', 4* tiqire 

On a décrit uu cercle du diamcirc A!=V (fii{;. 53); ■ 
droite *^^ tourne en A , taudis que PiV,perpead. i ^/,(;Ij- 
panlUlenicni. Ou dcituude quelle est la courbe vfilfCdca poil 
Jtf de sccttou de ces deux droites luobdca, le po'iuL A' éunt um 
eoN au milieu de l'atc jéKF sous-entendu par ^F. L'origiiic 
rUnIcn C.leséqu. des droites mobiles PN, jiFvoat j=*, 
^■=Ëix—r)i les coordonnées du point Jf sont CP-^^m, 
PM^${^a. — r) ; comme PA' est une ordonnée au ccnlc, 
/•A» = r'— ■•. Or, A'éUnt le mU.eu de fart ATiF. le tavon 
CN est perpend. sur jtF, et les triangles APM, CPN to. - 
semblables : d'où 

éJL~~^ •— - _ V{f'—m'-\ _ — i 

PM PC f(._r) 1 — « 

telkcst l'ôqu. de condition «ttic In conaUoloa * et S (n* J 
«■ les cUnâiMiil, i l'aide de x=«,^=:j {x — r) 
P»w l'eqt». de la coarbe proposée. 



VC^3^ 



r-^^)\/tr' — ^1 



nt-aÎMt de rccoonnUK la fig. 53. L'origine C a un point 
inblcipoiir Iei]neiy^=ti : les taugen(«K y sont iiitliDécsà 
S flcgrû >ar Al. hh feuille AC a un maximum vers D , t!t 
ne sVtead pas au-^eU du sommet A, qui est une limite. De 
uif mi! que le point Af est donné par h milieu T^ de Varc ANF, 
le milieu JV' de l'arc ^iV/^ donne ^f' : on a aioil deux branches 
infinies CO, CO' \ lei points O et O' de section avec le cercle 
ont pour absciasc ^^r. Ces brandies ont pour aRymplotes, la 
tangente do cercle an point /. 

V Concavité, convexité et points singulier.t ries 
' Courbes. 



7S3. On peut employer les situations diverse* de la l&n|;ente 
à U recherche de U figure des courbes (rt"' 4t>6 ,4 II). Étant lion- 
ne r^<]u. j=/j, et sa tanjî. au point (a:, _>■) . comparons 
les ordonné» pour la même abscisse x-f- A (n° 73a), Gf{. aa. 

j'p'/i^.j+fk, f[x+h)=P'!u'=y+yh+--yh-+. . . . 

Comme on pcul prendre h assez peiit pour que le signe de 
-,^'A* soit celui du reste de la série, l'ordonnée de la courl>eest 
plus grande nu plus petite que celle de la tangente, suivant que 
_X' est positif ou négatif; en sorte que la courbe tourne vem 
l'axe des x aa convexité dans le i" en», et sa concavité dans 
le 1*. Si \e» ordonnées étaient négatives, ce serait visiblement 
le contraire ; donc une courbe tourne vers l'axe âei x sa con— 
vexité ou ta concavité, suivant que y e( y ' sont de mêmes signes 
ou de signes contraire». (V. p. 76.} 

Il eït aisé de voir qu'au point H^iMfiexion M (fig. 5t) cl 60), 
où In courbe change sa concavité en convexité, v" doit aussi 
changer de signe . ce qui exige qu'en ce point j-* soit nul ou 
inlîni : à moins cependant quej* ne change de signe en même 

mp* quo^', le point qn'on considère se trouvant dans ce cas 

V l'axe des x. C'est au reste ce qui va être développé. 

\, Apria avoir pris uapoint^«,0) sur notre courbe, pour 



CiLCllU. UIFFEBRUTir-L. 



416 

iuitcr s'il priiRenie quelque particularité, c'usl-à-din; ; 
'es parlies de la courbe de f 
ordonnées /(- ±.li). D'iitifl) 



Singulier, il faut coiii[iare 

il'aulrede ce point, 

lieux CM. 

1** cAfi. 1^ développement dci{»-^\\) ne contenant p 

aucun exposant fraciionnaire dont le dénominateur t^ 

m. a /(« + ft) =^ ,3 4. Ah' + /*;.»+.,. 

Les coefficient sont réels, puist^ue, »'ib éuient iina^M 

]>oinl (a, ^) serait conjugue (u" 779). De plus (quel < 

le sigoe de h) h', k* . . . sodI réeU, en sorte que la coarbsj| 

tend de part et d'autre du point (n, 0). 

r. Si le développcmeot de /{u+h) est Tau lîf dès I« detuifl 
tenue Ah° , on si a est une fraction > o et < 1 
( n' 736), et au point (a, S) la (ang. e»t perpeod. nus i 
prenant les dérivées relatives it h, oaa. 

fi» + h) = aAh'- + ..., /•(«+fc>=:fl(fl — D^A-^ 
La valeur de_/' («4-A) est de^tlince à donner la directioa li 
taiig. au point de la courbe dont l'abscisse «st a -f- A, puise 
est indilTércnt q-ie x oa h ait varié daos /(* ■+- ^ ). ( f^qà 
la noie, p. 366.) 

Cela posé, le signe de Aff et de ses dérivées di5cidc de e 
des séries entières, lorsque h est très petit. Que a soil une £ 

1 l'est aussi, rordoiinéc /"(a 
: câté de l'ordonnée iniigei 



croit d'i 



u n est impair ! 
côte et décroit de l'a 



[jiieavec A. Il; a don 
mirent les Hg. 55 et S6, »uifl 



paite que ^VA" cbange de s 
Jiexion, disposée coin luv le m 
que A est poMtifou négatif. 

En effel,/' (•+ A) cbange aussi de signe avec A, parce q«e 
1 — a donne à A, dans le 1" terme, un exposant impair m— 
a'n»i, U courbe présente d'un côté sa concavité, ex de l'a 
toiiïexité à l'axe des x ( n° 788 ). Nous a' 

:C=* + (x— «)^... (fig. 55). 
j-=sS-(r-.ji... (fig. 56) 




POINTS SrHGULIEnS. 



Oiieil dira natani poMr^' = (i'3r, ft (.r— i)'= i— a: 



4'9 



Muu ût m ctt pjtir, ^\/A* a toujours le mèroe signe que v^, 

IHeI que aoit celui île h, en sorte que les ordonnées, voisines de 
Btre tiint;ente de pari et d'aulie, cfoissent lorsque ^ est posi- 
L et décroissent dani le tas contraire, )t peu près comme pour 
tmaxima. La courbe prend la forme indiquée Ug. 5^ et 58. 
KnouK appelleron:) Cératoide (•). Le signe de/' (a-t-^) est 
•lUemeot négatif pour l'un et positif pour l'autre, en sorte 
une la courbe doit présenter 1 l'axe des x, des deux eàtca de 
l'rirdonn^e inngeaie, «a concavité ou sa convexité, suivant que 
.-/ a le si.juc + ou le signe — . 
■► LcBéqu. jr=^ + {j— fl)< et^=ia — (X — a)' donnent les 
^^K. 57 Bl 58, On en trouve un autre exemple dans la Cycloîile. 
^r^ 3° Mai* si le développement n'est pas fautif dans les deux 
ftciniert termes , a^=i, ft > r, j-' n'est plus infini, et l'on a 
^pour la taug. del'anj^le que fait avec l'axe des x la droite qui 
loncije la courbe au point («, ^) : elle est parallèle aux x, si 

t= D ; inclinée i 45", si ^ = 1 , etc. 
/ (* + A) = i8 + ,V/. + BA» + 
/•(- + A)=-^ + ^Bft'-+ .... 
D'après cela, si l'exposant /r est un nombre pair, ou une 
clion dont le numérateur soit pair, la courbe ne prrisente an 
point («, ff) rien de particulier, puisqu'elle s'étend, de part et 
it'autre, au-dessus de U tangente si B est positif, et au-des- 
sous si B est négatif; la difTérence entre les ordonnées de ces 
deux li(;nes étant Bk* .4* ^**^' ^" *°'' d'ailleurs qu'alors le signe 
■ ley^ («-|- A) est le mémo que celui de B. 

r'tslce quia lieu pour l'équ. j-;=S +* -ht-r — *)'■ 



I Sotn atiun çrtttat lus dËninniiuitlODa A» Céiatoitlr vl RainpiiiSir à 
» lie irhrouuemtnt Jn )* < " ni Aa la a* arpitcd hhi> leaiiuillo rvs poluli 
cooni». O* mul« wm >l«ri>M Jf Kîf ie, coinr , r'i^^st, irr dotnau . 



I 



I 



7,30 CALCDL DIFFiRtNTfXL. 

Cependant, >t A = o, il J a maximun on rniiu 
p. 39i.)Cela«mvepoar j=£ + A(i — .)*. 

Quand b eat un nombie irapstr, ou une frtctien dont le 
menteur m e»t impair, ^ = — ; BV, ou f y^K" , cbi 

9\^e avec A , let ordonnées crotiient d'on câtë el décroi 
île l'autre : de ^Xva.f (« + /<) est dans le mnneo 
Texposaot de son i" tenne e«t auHÎ un nombre tm; 
•n une fraction dont lennitt^ntenr m^an est m)MÙr 
il y a nue inflexion au point ( «, £), dont la dti|M»itM)n dépeciil 
de la direction de la tangente, et d» si^e de B. 
Voici plusieurs exemples. 

3». j-r= x—(x-my-, 4-. J-^— Cr-^^^Cig. 

5». j-=-x + (.r--)3:(flg.63) 
la Ungente est inclinée à 45° iliins lMcxeinpWl*,et3*; à iSTi 
dans le 5' ; elle est parallèle aux x dans le 4*- 

Si b est entier (c.-k-d., 3, 5, •)...), y' es\KA% on pourra tajj 
procher notre tbéorème de celui des n]axifna(o° 7S7). Cltacuix 
des rannes de^' =0 ne peut repondre A wic iultcotion, qn'au- 
que la 1" des dtiriïée» ,7^,^". . ., (joVIle ne rend pas 
nulle, est d*ordre impair. Si b n'est pas eoljcr, comme il cit 
^ I , j-" est nul ou infini, suivant que /> est >ou<^a. 

785. 2* CAS. Le développement de t{m-\-)x) ecnteiuau 
radical pair, l'une des ordonnées /(•+ A) ou /(* — A) 
tma^naire ; l'autre est double, A cause du radical pair qui y 
troduit le signe ib. Ainsi, la courbe ne s'étend que d'an 
de l'ordonnée /3, et elle a deux branches. 

1°. Si le développement est fautif dès le 3* tetine, < 
et I ; l'ordonnée $ est Uiigenle, Supposoiu 

"= -. n »lw»l pair, le Unne ± ^\/lr moaire que 

point (9, f(j est une Limiic de la courbe dam le icasdei »; clî 



I (tu 

a 



POINTS SINGULIERS. jf3l 

ta tome KMQ ou N'MQ' (lig. Gi), suivant que A doit 

iri' pris «n + ou en — ; l'une des ordonnée» est ;> j9, l'autre 

tsl < 5 on PM ■ d'Ailkuts, pour les poinU voiùns de M, l'une 

L^ vateun de/' {a-\-h) est positive, l'autre est négative j ce 

^■pâ proove que l'une eus hrandies NlHat convexe, et que 

^Blaire Q!U eit concave tcti l'itxe des x. 



I- pour 

1 



«qu.^s=i+*±(ar — •;», et ^e=A+x±(-— j:)» 
icnl, l'one QMIV, l'autre Q'MN'. ]Soiis«o itvon» trouve 
pUiaieurt axen^les (n* 781). 

Mai* ai It radjctl pair afieele un des termes qui suivent Ah', 

pour l«s ordoBitées voisine* de cslls qui est tangente , fi est 

'(« -4* A) quand A est positif ; le contraire a lieu lorsque ^ 

n^&lit -, en sorte que les brancbes de courbe ont ( fig, 63 ) 

(onue Ç V-V dans un cas, Ç>'^/^^' dans l'autre. On voit d'ûl< 

qu'alors/' («■^A)dtaut de signe contraire à A,\a courbe 

doit aA'ecter celte figure, <]ue nous nommerons une Ramphoide. 

C'est c« qui n Iieuponr^ = l3-f- A(x^H}i -{-/(fv)'. 

k Quand A doit être négatif, pour que/(« + A) soit réel, la 

Hdnrbe est & gauche de l'ordonnée tangente PM. 

a*. Lorsque le développement n'est fautif qu'au-delà du 2* 
terme, o^i, et la Ungenle à la courbe au point («, fi) sera fa- 
dlcdi Goiuiruirc. Si le teruie Dh'' porte le radical pair, il a la 

forme ^/^^A"^ l'une des branciies est au-dessus de la lang. _ 
l'auttes'abaisMtau-dcMOus.puisquecette droite a pour ordonnée 
l'=j8 + j*A ■ ily « donc une Cérd foi f/c. On a. y' nulouinSui, 
suivant que b e« > ou < a. Pour l'équ. y=^-\-x-\- [x — •) ' , 
(fin. 6f) la tangente tsl inclinée k 45^, quand x=i a. 

Pour »;rss— I— a:+a( I— Jc)',oBala6g.64. 

Mais si l'exposant, dont le dénominateur est pair, est au-deU 



■ de fiV, le signe de S suffit pour décider quelle 



inde, de l'ordonnée de la courbe, 



I la plui 



:elk'â + v^Ad«U 



igcnle. On mit donc qu'il } aune iiampboide. Oua(û^.6<3} . 



<33 TirRUL niFFBRKIITIBI- 

pour Tcquation 

j- = & + x + ax- +b^3^... hcomrbe QJ/JT," 
^ = iS + z~ax* + ^t/jr*... U tourbe Q'JfiV. 
•■96, CoBcIuons de là que, i * ua Gmitc*, dan» le leot dei x 
oa dans le mus des j', j-' est onl on infini. 
3*. Aux inSexions et aux cératoîdet, y est nnl ou iofioi. 
3*. Four trouver les points singuliers, il faut prendre la dé- 
rÎTée My + IV'^o de l'e'qu. f (XjJ") = o de la courbe ; faire- 
]U~o on If^o; en tirer, à l'aide de • (z, j-) = o. Ici ncinrs 
qui peuvent seules appartenir aux limites. 
4*. On prendra de même la dëriv^c du a* ordre, ou celle 



y—— j^'i"' <i*»>''«y 



= ^, (on suivra U i 



règle du 



lf=o : ceséqu. reronlcoD— 
t des iuflexions on des cërs- 



n" 7o5), puis on posera Q^o, 
naître l'x et l'jr des points qui 
loîdes. 

5*. Il faudra ensuite chercher le développement de ^{1 -r ^' 
{tour chacune des valeurs de j: ain^i obtenues, ou pluEiîtrecon* 
naître le cours de la courbe de part et d'autre dn point qu'elles 
déterraînent. 




COURBES ET SURFACES. ^^5 

j=l/(*— !)• (r.B.57), j- = â—y'x' (lÎB.Sej, 

j' =*• + |/{T - i)S (ûg. 59), ^ = T» -I- T- - v^i' (6g 60). 

/?&r Surfaces et des Courbes dans l'espace. 

, -jei- SoiCDt x=/(x,jr), Z=F(X,r)Ieséqn( 
tteux turfaces courbes; pour qu'elles aient un point < 
^tj'i 0<>lfaut <iuc pour les mêmes ordonnées Z^z, on ait 
r^= X, y :=Y. Prenons sur chacune uu autre point répon- 
I â*nt aux abscisses x + ^ ^^J + * i «dus représenterons, |iouï 
Ubr^Cer, les s cor rop on dan s (n** 743) par 

î + ;>A H- i rft» + . . . Z + PA + a flA- + . . . 

+ 7* + »AI + . . . + Ç* + 5AA H 

+ ; /*'4- ... +-: 7"*'+... 

f la distance entre les deux points dont il s'agit est 

CP-p)fi + CQ-?)* + i {fi_r)A'+... 
Si P^pei Q =q, c-àd. si les difTérentielles partielles du 
i"oTdted« nos fonclions/ei Fsont re>pccl>vemen( égales. Us 
raisunuemensdun''77o feroot voir qu'une 3' surface ne pourra 
approcher des premières aulaiit qu'elles approchent l'une de 
l'autre, \ moins ({ue celtcli ne remplisse les mêmes conditions 
à leur é|;aril i il j n alors confacf ^u i" onlre Pour le contact 
L du a" ordre , il faudrait en outre que Ic^ différences parliclles 
^^Mu a* ordre fussent aussi égales entre elles, ou 
^B R~r, S = t, T=L 

^* Pare* , tout plan a pour équ,{o''659) Z = ^X + /'>'+Ci 
sa position dépend des constantes /f, B, C. qu'on peut diilcr- 

I miner en établissant une oscnlalion du i" ordre, x, j' et i 
);lant Ie^ coordonnées du point de contact, il vient 



<3^ (lALCUL OIPPfcSEKTISL. 

/*etï JésiRnaoi toajour»le»fonction<^, ^.lirècidçr* 
zr=/(:pifyd& la suifacB courbe ; cettetfqu- ayant par eom 
pour d*tî«e ds =:pdx + qàr- 

Si l'on élimine A, B, C, oa trouve, pour le plan buigcnt, j 

Z~z==p{X — x) + 9ir-.j)... {Ay. 
Une fois l'equ. (lu plan langent obtenue, il sen fiui 
ii-ouver tout ce <|ai se rappoito i, »a position. Par ^., k a 

IWglcf qu^lrailavL•cUpUux^,estcosç=— — -2— r^T ^ 

La normale qui passe par le point (:r,j', s) est de plui p 
pendÎGulairti ait plan tangeut i ces coodîtious, exprimée*^ 
analyse (n'ëtiB), donnent, poui- les i^a. dclauonnmlc, 

788. Voici plusieurs exemples de l'usais qu'on p«m f«ire à 
équations j4 et B. 

I. Tous lex cylindres ont cette pioprt^tc distiuetive, <[iu Je 
an qui les touche en un point, toucbe selon une gcfidratrtcc, 

cette droite est parallèle à une autre (n" 680) dont o 
i'q.3rs=az,j':^&z. Énonçons ce fait en analyse, et nous aurc 
exprima que la surface touchée est un cylindre, sans avoir p 
licularisc la courbe directrice; nous aurons donc re'qaafion d 
toute espèce de cylindre. On n donne (n" 667) la conditîonti 
P<irall^lisine d'an plan avec une droite ; elle di-rtcDtid (O 
yl=îp, B :=/]), ap-\-bq=\, équ. ctierchëe. (^çy.p. ; 

II. Le plan tangent au cnne passe par le sommet. Hettcn 
pour X, y clZ, dans l'equ. (^}, les coordonnées a, b, c 
ïe point, et l'equ. s — c-=^p{x — a) -^^{jr — f»), expHm 
la propriété qui caractérise toute surface conique, quelle q 
soit la base, sera l'équ. de celle surface (n" 745). 

ni. luia^sinons qu'une droite coupe sans gesse l'axe d«« s 
demeure bouwntale, tandis qu'elle glisse le long d'une cooi 
elle eiiuiindie une surface notttinée Cûnou/e, à cause de un 
BCMibluice afcc un c&ue dont le nuinmet aurait une artts.- ' 



COUII»K14 hT SUnïACES. 4^^ 

qui canictériM «s rurfaccs , c'est qu'un plan les touche selon 
une g^mfralhcc harhonuli: i eiprimoiis anatytîqtieiuent Ktt« 
propriélé. En bisjuit Z^^s, dans l'éqnalion {//), nous avoui 
tX — *)/* + (*'— J") S"= o; «c sont les ^qu. il'anc horîion- 
ulu inc^ dans le plan tangent. Pour que celle droite coupi; 
Vn%e At% I, il faut que sa projection sur le plaii xf passe {tar 
l'origine, ou bien qac^i+7/ = o: telle est Véqp. de tous les 
i'>noldc9. 

IV. Toute norioale d'une surface quelconque de rëvolation 
t.i couper t'axe-, donc, si l'on élimine .V, K, Z, entre iea^ua- 
lions (B) de U normale et Celles de l'axe de révolution, l'équ. 
reiultanle en X, y, >> exprimant la proj^été éooDCce, sera celle 
delà surface de rtivoluliou, quel qu'eu soit le mdridien. Par ex., 
si l'axe est celui desi, dont les équations sont X^o, K^o, 
r«liminationdDniie/>7'^j^,équ. de loutesurEace de révolution 
autour de l'&xe des £ (n' 745). 

Lorsqu'on veut particulariser une espèce de surface cylin- 
drique, cotii(}ue... , il faut introduire, pour ^ et q, des fonc- 
tions de xet^, qui sont déterminées par In nature de la courbe 
directrkcdoun^e.C'ost ce qui sera examiné par la suite (n'goi}. 

';&). Noua avons traité ( o" 760 ) des maxima des fonctions 
de dcui variables. Il en résulte que si l'on veut trouver les s 
moximaoa minimci d'une surface courbe, dont on a l'équation 
-^f(x,j], il faudra poser p^o, q=.o{\e plan tuiigent p.i- 
lUùloMux Tjr), et éliminer x,^ et zenirc ces iroii^équ.; mais 
' ^ coordonnées ainsi obtenues n'appartiendront ji des points 
Uuués de la propriété dont il s'a^t, qu'autant qu'elles satisfe- 
ront i la condition (2) (p. 39^), qui apprendra à distinguer lo 
maximum du miniintim. 

-lyo. l'onr que le plan tangent soit perpend. .iu plan yt, il 
Liut qucsoo cqo. soit réduite ;i la farine Z — i^=q{Y— j'^ 
(u'655); aiDsi/>^o. Plus généralement, soit 
Pdx+Çdj+fldï^o, 
renltelle d«)'equ. d'une surface (n° '/\(i); P=.<ic*\ la 



^36 C&LCUL OIFFÉREHTIKL. 

condilion qui expriiiie que le plui tangent est perpesd. «a|li( 
jt. Il &ul donc que les coordonné« x, j', » dn pomtds contui 
MlûfAMentà l'équ. P^o, età celle f («ij*. x) = deli^i^ 
&Ge. Telles sont donc les équ. de la courbe qm jouit de U pi» 
priété que le pUo Ungent soit peqwnd. au plmn^c^ ECttacaBri» 
eit la limite de la surface dans le sent dei^x. Aïnti, en diiù- 
oant X, on a la projection de la surface sur le plan dmjrx. De 
mÊme, celle sur le plan ^c^setrouveen éliminant a entrefssO, 
et/I^o. Les deux équ. P=o, ^ =: o te rapportent au mAKi- 
mum de z, etc. 

Pour la splière , par exemple (d" 654 ) > 

la dérivée relative à z seul est s — c=o; éliminant z, on a 
(x — a)' + [j- — i)*=:f*, |K>ur l'équ. du cercle de projection 
sur le plan xy; ce qui est d'ailleurs visible. 

79r. Projetons sur le plan xj-1'srcj de courbe dans l'espan:, 
puis développons (n* 387, 4°0 '^ (^y'ii'^re f(>''t<^<!p'>'''c*y'*^™^ 
desperpend. à ce plan : la base est un arc a, projection de l'arc i. 
Or, on peut concevoir cet arc s rapporté aux coordonnées rec- 
tangles A et z, puisque \ est étendu en ligoe droite ; Vaire t du 




CUUBBES ET SURFACES. tjs^ 

]iiirl,l'lircliIuc^lin(Lruilroii,quia |iour base la projection de 
l'arc , et qai est terminée par ret arc ; et de l'autre la longueur 
de l'arc rtctiné. 

793. Supposons que le trafjùzc curïîUgne CBIHP (fin- ^o) 
tourne autour île l'aie ^x ; clierclions le volume v et l'aire u 
ducorpsde révolution qu'il engendre, l'équ. de l'arc ^^ étant 
donnée, ^'==^T. Soient v^Fx,u=spx; il s'agit dedéleriiiiner 
les fonctions F et 9. AltribuoDs j\ x l'accroissement PP'=^ h ; 
y, f et u deviendront ^-J-A,f + i,u+/; d'où 

*=yA + ..., i=</h + ..., 1 = 1/}! + ... 
il s'agit maintenant, pour appliquer la métbode des Umiles. 
do trouver des grandeurs qui comprennent entre elles les 
:■<: croisse mens i et /, quelque petit que soit A. 

1". LesrecUngles MPP'Q,LPP'M', engendrent, dans leur 

rcTolulion nutour de Ai , des cylindres dont les volumes sont 

T>^/i et *0' + *)'A (n' 3o8) : leur rapport ayant l'uni te pour 

ItiiiiCc, et le volume i, engendré par l'aire MM'P'P, elant 

toujours intermédiaire entre ceux-ci, Vunilé doit être aussi la 

■ ■ . ' i^+elc. . 

Iimitedu rapport ? ou ; donc. ... v =»rr*. 

a". La corde MUf et la tangente JHH décrivent des troncs 
de cÛDc, dont les aires (n" ago.S".) sont »(3_r + *)- MM', et 
« {aj-+yA). BM : le rapport de Mil/' àMH tend sans cesse- 
Tcrs l'unité (n° 767); lalîmiledu rapport de nos deux aires est 
donc I, qui est par conséquent celle du rapport 

>(ar+*) MAf ^{^x+i). Vii+y-' yyi'....) 

l u' + -iu-/.-i~... ' 

attendu qu«^ l'aîre / décrile par l'arc MlU' est intermédiaire 
cnlrc te* premières, quelque petit que soit A. Donc 

On mettra^ pour j- dans ces valeurs de v' et »'. cl l'on hi— 
tarera; c-à-d. qu'on remontent nux fondions i- et h dont elle» 
•onllcadériveci (n'SSiJ. 



^ 



;nt 1 



^3d C«tXUL DIPTilKHTIKt.. 

793- Ti'a(ûn> tax un pUn jiPB (dg. 67) uu Ua)Ktu ÇDi 
Soient cdef sa projecUon aur un auUe plan jtQB > et « l'iuifft 
de ces deux pUÛs ; suppoiiODs (jue lesc<SLësCJ7,£F*oUiiitpa 
pend, à l'intersection AB, on a (n" 354) <:d=:CPX' 
ef:=EFy. cos m ; donc IVire do trapiic 

crff/=iCHx(CD+£F)ccB« = CD£Fxci)s«. 
Celle relnlion entre notre trapèieet M projection «égaletneni 
lieu pour un triangle (]aelconque DIF(fig. 68), puuqu'eu oie- 
nant les perpend. CO,LF»aT AB, et CE paralUtc à OF, ou 
forme le parkllelograDime CDLF, dont l'aire est double dccci [- 
du triangle DIF. Or, d'une part, toute tigure rectjligae u^' 
ddcomposable en triangles i de l'autre, on peut, parla mc'tlioii' 
des limites, étendre aussi la proposition k toute aire pLiii<. 
curviligne. Donc la prvjeciion P sur unplan d'une aûv ftla^i 
quelconque A, eit le produit de celte aire par te tvsinm ■'■■ 
tangte des deux plans, P:=A cos •. 

Soient donc «,■',»", les angles que fait une âtre plane .^ «»<.<. 
les plans coordoniit^s ; P, P', P',aei trois projeclioa*; 00 * 

P = ^C08«, i»' = ^«.3*', P'=^cos«'; ^M 
faisant la somme des canes , il vient j^H 

jI'=P* + P" + P". 
i cause de cos'*-f cos'«' + cosV=:i (0*6741 1"-)- Dooc./c 
oarré d'une aire plane quelconque est U tomme des carrés de 
les trois projections sur les plans rectangulaim coordonnés. 

Ces théorèmes serrent à trouver l'étendue des surCaces plaaei 
situées dans l'espace, en les ramenant k être exprimëMà l'aid^ 
de deux variables. 



594. Soil s^/(x,j-) l'uc)u. d'uuc surface courbe 
quatre plans parallèles deux à deuic , i^ c«ux des xi et des J^ 
çbercliou» le volume ^ et l'airu V du corps MyEF ( fig. 69] 
renfermé enli-e ces limite*. Attribuons ^ x et ji- les 
mens h et A; le point M{Xjy, s) sera comparé au 
corps aura pris l'accroissement reiifernui cnirc le* 



u point ^JH 



COUfIBRS ET SUHrACKS. 4^9 

SD, FW,SB ; y ttV tont donc «les iionctioul de X tljr qu'il 
n'agit do d^lcimiiMr.Ttflanl augmenté du A, ayieii^wn 
accru (n- 743) de 



J» 



, ^df , . d'/' 

'+a7*+dF- 



..'1''' i.ij.''''' *'j. 



Or, u l'on nVit &U erollre que i de ft , ou bien <{ue ^ de A , 
corpi aurait reçu l'augioeniaiion 









donc, en relmncbaal, on a volume SiCfîQ 

Oa vernit de mimtqae l'Aire MC^ - — — 
^ axàx 



d«tr 



Pour appliquer ici In méthode des limites, chercliona des 
grandeur! entre lesquelles ce votume et cette aire soient tou- 
jours renfermas, <|ue1(|ue petit que soit h ; représentons tecorps 
iWC/î5ÇP à part (llg. 70). 

1°. Le porallélcpipëde rectnoRle MPSs & pour volume /'ii ; 
celui (lu parallclëpipidc construit sur la même base, et dont 
,$C=:x4-/est latiauteur, est=hk{c + t). 



Le rapport "Xi^* *" tolomea ayant l'unité pour limite, 
r est auuî U limite de 

d'.a*i =. 

On mettra donc pour s sa valeur/(;t,^), puis on inteurcrir 

deux fois , «l'abord relativement ^ .x , en regardant .j- comme 

tnsUni^ enfin, on intégrera de nouveau le résultat par rapport 



M.:^-^ *»+.., 



r seul. (f^. n° I 



30 



. Menons un plan langentjlfj'ou point il/ (j-,^,a] ; l'a 



/Ao ciLcuL diffAkbiitiel. 

Mr't'^, qui eit renfermée entl'eletpUni MR.AfQiQr'v/'^ 
eat(n*793) le quoiiealdeulwKPQ/iAdiTUëeparUcaAl- 
de l'angle qu'elle fait avec le plan j^-, UTOÎr (d* 674. !*•) : ' 



"4/ (!+/>• + ?•)' 



= Mk'(i-f-/»'+9"). 



Maîa il est ladle de voir que TuDÎté est la liimte da r«|^it de 
-j — j- AA +. . . à cette quantité. Donc 



3j^= ,/(,+,•+,■). 

il iaadra donc dîfférentier l'éq. t^f^x^jr) de la surface; 
puisdedi^/>dx+7<{/, tirer les valeurs dey? et 7 en fonction 
du X <Ajr, et les substituer ici ; enfui , intégrer comme on l'a 
dit ci-dessus. Nous donnerons des applicatious de ces diverses 
formules (u<* 855). 

795. Imitons en trots dimensions ce qui a cte dit des oscul.t- 
tioiis des courbes planes. i-=:f{x,jr'i, Z^F(X, f] sont les 
cqu. de deux surfaces courbes ; si elles ont un point commun 
(x,^, i], pour eu comparer l'ëcarlement dans les parties voi- 




CUllHBtlS ET SUlIF&CliS. ^3t 

Si>ir, pur ex., uii plan Z = j1X+Br + Ci il aura un 
cniiiact du 1*' Drdri! avec la surface s-=^f{x,jr), si l'on iléter— 
iiirne K-s consiaitics ji,S, C par ces conditions, que le plan 
jt.-iHHepMT le point donne (x^y,:) , e( qu'on ait A^p, B-=.q. 
Df \'x r^iuilo l'ei|a. {A) du plan langent (n" 797). 

Pour la *pHère. on a l'équatiou 

Ou établit ainiî un ûmple cou tact au point x.^.i (ii*744) 
[a;_a)' + 0-- &)' + [. -c)'=«% 
(a:_a)+^((_c) = o, ^-6 + y (e-c) = o ; 

(i.'Mi'OÏscqna<iongiiëtermini;nllescoordouiit'C5du centre, et par 
lou.sdqueiitlaiipUére, dnii^le cas d'un simple contact, lorsque le 
lajonn est connu. En posant, pourabrégcr, (i-f-^"+y"J~'^^, 
IVliminalioD donne 

a-=ixJrnp^, b=j-^nq^, c— x — n^....(i)i 
cctiesplièrea même plan langent que la surface ^ son centre est 
sur la uorinalu , équ. {B) p. 4a4- Pour que l'osculation fût du 
3' ordre, il faudrait di^leruiiner l'arliitraire n de manière â 
rendre /ï=:r,5=ï, '/'^= ( : puisqu'on n'a qu'une constanle \ 
drliTUitiier, on ne peut remplir ces trois conditions i en géué- 
lal loute surface n'a donc pas une sphère osculairJce comme 
une courbe a tiii cercle osvulaleur. 

796. Mai» rendons la somme des termes du ï* ordre de la 
si'rie {n° 787) les inèraes pour la spbt:re et notre surface , ou 

« étant le rapport i( : & : on trouve pour les dérivées du a' ordre 
de l'équ. do la sphère relatives jk .t et A y, 

(»— r)/i+I+/'"=o, («-<■) 5+,.7=:0, («-f)'r+l+'/'=0: 

(«— c) Cr+a*i+(»-}+'+;''+!i/>î«+C'+?>'=" •• £»)■ 
y>, f, r. (,(soi>t des fonction» de xtxy. qu'on lire de l'i'quation 
H^f\x,}) de la surface proposée; a eut la langenie de l'angle 



qa« tait, avec l'axe des x, nue dtoiic qui touclte anp 
coninun, et est menée dam une direction arbitraire. Cm- 
équ. fùtcoonaiUe s — oen foncUoa de x,y eXa; Ici tfqu. <i 
donnent ensaite a, b , et le rayon n de courbure de la ucn' 
faite par un plan passant pat la Dormale et In tantale doni 
s'agit. On peut donc trouver les courbum de la •aria» d.m- 
toutcs les directions imaginables. 

Ayons surtout égard aux sections dont la courbure ctt la 
plus grande ; faisons varier n par rapport k <t seul , d posoni 
w'=!0(n" ^57). Mai», d'après l'équ. (1 ), on a alocsc'^ut, en pre- 
nant z,p, 7,conBtans; donc la dérivée de l'^qu. (a) TtUtive i 
(' et ((, en faisant & nul , donne : 



(3). 



l 



{S-C) (^ + W)+;,y + {i + J*),=0 , 

d'où (s — j«-f/>7«+(«—c)r+i +/»•=() I 
en multipliant par «et relranchant de (a). T) es taise d'èUminei 
Et entre ces deux équ. , et d'arriver A cette relation destinée! 
donuer 3 — c, 

yt(z—cr^Blz-e) + 9~' = o.... (4); 
ou jf = (r — s', B = r(^i + q') + t{t-t'p^ — *^*- 

On en tire deux valeurs de x — t:, et par suite 0) donne le 
rayons n de la plus grande et de la moindre courbure de la aur- 
face BU point donné (.r, _j-, al: enfin, l'une des équ. (3j r;iit con- 
naître a , ou les directions de ces deux courburcs- 

Conccvons nos deux lignes dr courbure tracées à la «urfacc 
proposée; elles sont indépendantes du syilêmc d'axes auquel 
celle-ci est rapportée, et restent constantes lorsqu'on rliiinj^ 
de plans coordonnés. Prenons le plnn langent pour c^luî i\et 

XX ; il est visible que x,j-,s,^ et y soat nuls, cl les «ïqu. (3: 

deviennent 

€(* + /•)=•, c-r.- + r) = r; 

d'où »■' + «(r— /) — j=o. 

Le produit des deux racines de « étant — I. on en condal^ 

les deux courbes se coupent l, augle diolt. C 

des CAS ii'Ës pariieulicrs 011 l'équ. (4) Mrait MttaTaiie 



ROVnilES FT SdRV^CES. 

.mrface, li l'on prend un pt 



équ. (le 



455 

Il quelconque, il 
jr a loujams deux plans, passant par la normale en re jioini, 
yui tant perj>mà. l'un ù l'autre, et donnrni la plus grande et 
ta moindre courbure do la surface. Les éqii. prfcédentes font 
couoftlucces tieux «lîreïiions, pt par suite tes nvom ric rm 
^^gax courbitrc«. 

^^■^j. Étant denm^e anv courbe dnns l'cKpacc , 
^^Hbx «urftreeB dont elle est l'intersection , eu eliin 
^^mneut X ct^ entre ce» é(\u. , on aura remplace ces surfaces par 
âciixcjlindresperpeocl. aux plans coorilonniis des xj et des j-b, 
et Icscqu. résultantes r=/c,s^/\r> seront colles des projec- 
tion» de U courbe sur ces pbns. Une tanj;. à la courbe l'est aux 
cylindres, et par conM^quent ses projections sont tang. à celles 
de la courbe ; ainsi les équ. de la tanf;. sont 

Z-5=/>(X-x). 2-5 = 7(1--^). 
t,tu"on mcileyj-et F'jrpour^/clç.etccsctiii. serontdëterini- 
iiëe.i. En eliuiinantx, j*, s, entre nos quatre equ. , on a une 
relation cntie .V,T'. 2,qui estrdquation de la ian[;eule en un 
point quelconque de la courbe, c.-J^-d. relie de la surface en gcn- 
•liiie por une droite mobile sans 
cit un plan, la courbe est plan 
courbure: on dixtinguerA dont 
I nu Ire. 

Au point de contact, il y au 
Cenle; cette multitude de ni>nnalcs déterminent le plar 
mat, dont il est facile de trouver l'équ. (n»668), 



esse tan(;enle. Si cette surface 
. autrement elle a une double 
I deui cas l'un de 



infinité deperpend. k la tan- 



7.- 



X- 



.Xiiy- 



i> 



796. On peut appliquer U théorie des contacts des surfaces 
aux courbes à double courbure, mais nous n'entrerans pas ici 
dans ce» déuiU. [Voyei Fond, analjri. {n" î4i), cl l'Anal, 
a/ipl. de Mouge.} Bornons-nous à la reclicrclie du plan oscil- 
lateur. Soient ssat/x,^=«I'' les ^qu. de la tourbe ; celle du 
plan qui passe |iar l« point {x^, i], est 



Di-riemniions ^ ei Bw i-iabU««iil un CMiuci du i* ordre^ 



l'o» àmmffi r ta x + A, r M < weeTronl, ]«Mr la coariM^I 



l=hf+\h-J-... A=H'+'7*'-î'-- 
MeUOMcioiK:« + A.j- + *.*+' pourX. y.^.dawl'*) 
du plan ! il wieatl=-J/' + Bi,oa 

y + ; 1/'+ . . . = (-< + ^-J-')* + '. Bh^-+. . . 
Lei arbitraire* A et B seront de(«Miiin«;c3 i«r ces deux condi- 
lierns A+Bi^^f. B ,' =:f ; donc X'équaliotiduptm 
lateur es! 

/>e /a méthode î^ijinifèsinude . 

^9^ Nous aTOna dt-ji remarqué (loine I . doIp, P*^ * 
«D appli(]iuji(laint:tbodedes liinilcs (u" i i3ji unetf(|ii. < 
des constantes et des vnriabics qui peavent <ir« rcndocs a^ 
petîtesqu'oD veut, que lorsqu'on n'a besoin que de la teladi 
qui lie W termes constans , ce n'e&t pas coumeltrc iu><! i;rr 
que de uëgUger dans le calcul quelquc»-unsdes trrmc» qu« 
sait dersir disparaître par la pâture mènnr du prorpdc. Il a 
é(e de même in' ^11) pnur la inétliodedeilaii^iits- l-a o 
Inde roal^ëniatique ne sera donc pas allMe par ces omtaMd 
Tolootaires, pourvu qu'on se soit assure qu'en effet elW» n'A 
tent que les quantités qui, par La nalureinèinde VopérattJ 
doivent disparaître du résultat. 

Oa pourra donc, dans tome question semblahle, nmcttv 
Ustmetind^JimmeHi peiiii.iyi^ leit géomètres nnt appel», «id 
^^haiiz,Avinfinimeni petits, bnsedtspensatitd'jtavoirégl 
On abrégetubcBDcoop les calculs, puisqu'il «SI soUfBlit4ia 
o^valueroealennesi ci Iqs resuluuserwu m«cI». On p 
ineme pciésentcr la ihéone avec la ritiwcur )[itetni(triqi 
prouvant q^. |» quaniiWs ..m\^* «„u »., rwiç de k 



METHUDK INFIMTESIMIILE. 4$$ 

' <to»TCnl en éliv sup^ihniën. C«tle inelhodc est |)rccieii»c, iioft- 
seulvrnmt psnr ^r&ver les réaaitatsdansia mémoire, U)a>« en- 
core pour les »))éculaiioni analytiques f omptiquéCR ; et il im- 
K(e de ne pas *e priver d'uu secours itUB»i puÎMant, surtout 
Donatdt'rant qu'on peut toujours rendre au procédé la h- 
nrijui lui tnauque en «{iparence. 
800. Les applications de ces notions aux éicmeus de Céo- 
iiiciriesont si faciles, ^uenous nous dispensa tout de les faire i 
( Iiarun pourra aisément y suppléer. Mais venons-en A celle» du 
Calcul dirr<jreutie1. 

Soient _^, £, 1... de^ fonctions données quelconques de jr ^ si 
.T jircnd l'accroissement dx, ceux que prendront^, z.. résul 
feront des relations données qui lient ces variables i x, et l'on 
«ara 

d^=Adx+Bd»*+ . . . , dï = jfdx + B'Ax'+.. . 
Or, quel que soit U- but de noire opération, d^ doit être com- 
biné a»ec dï, àt. . . de manière à former une rfqu. J/=; o. 
Lar<qu'on aura substitué i d^, ds. . . leurs valeurs, d.r sem fac- 
tearcominun, et pourra étrei^mij dans l'équ. 3/=o, en sorte 
t|Be les premiers coefliciciiBv^, ^', . . . eu soient seuls exempts. 
M.ii«x,^, ï. . . étant maintenant regardés comme des lernec 
lixes, leursaccroiïsemensdx, dj'.,. pourront être rendus aussi 
petits qu'où voudra, de sorte qu'en faisant di^o. l'équ A/^o 
devia perdre tous les termes B, B". . . On pourra donc d'avance- 
iléj;ai;er le calcul de ces terme*, et dire que tlj- = yfdrt 
di= A'Ax... ; tel autres termes sont négltf,éi comntedes in^- 
U petits du a' ordre, expression qui sert h évilci' une cii- 
vlocution. 

conçoit les grandeurs comme farmécs de parties quel- 
ffeqoes élémentaires, qu'on nomme tJiJfêrfntirlU:*, et qu'on 
Ittgne par la lettre d, comme nous l'avonif indiqué n'tKjSi Ces 
■érenlielles, comparées aux élémens véntivbtcs , n'en diD^ 
it que dp ipiantités ni'j^ligfabln , c— i-d, de valeurvque II! 
knl ferait disparattrc si l'on y avait é^ard. Le résultat n'rlant 
celle sorte ircrreur, eii prenant niiiïl ■!♦>« qnan- 



^S6 CÂLCCL Din 

tuAdéCKlnnuM au Uea du viritaUa, "rr r~TTi.iiiM^j| 
des caltaU et à de* conûdéntioasâfaylai qû klpdf^tt «apK 
lièneiBent les opriralions. 

dr, djr, diffâentieUe* de xctjr,nt Htnt pas pc^c^^^Ml 
la attrauaemcDS de ca Tsriablef , qntûqn'oB lea tiaiti o^^ 
tcb) poÏMia'aB lien de prendre if ^ ^dx ^ 31**^^, «K 
piend Mnlement df = Adxi ce «ont dei qamntilâ qtti se 
dïBcrcnt de ces accroisse nenf que de parties qui s'entre-<Utnii- 
seat par le calcul , et qu'il est iautile de coDsïdérer. 

^ot la dérÎTée que nous «tobi désignée par ,t-', et que noat 
•aroni trouTer pour toute fonction. Il est , au reste , bieo usé 
ie l'obtenir de nooTcau , en parlant des principes mêmea qB« 
noiu Tenons d'eiposer. En Toici quelques exemples ; 

Soilj'^^f, s et (étant de* fonctions def , on a 

àjr=l=+dz)(i + àt)~tt=lds+sit. 
ennéglîgeantds.dl. qui necontientqoedx', dz*... 

Pour^=r«, onadj-^(z+d2)"— i'^m^^'is, en aé- 
Sligeuit les ds\ ds^ . . {^ojr. n* •;iAi.) 

Soit ,*-=«■; d'où dj- = a'+*' — fl*a=«»(«* — i); tnais 
(p. a43) on a o^csi +il&4- . . .; donc dT-^fto^s, ensnp- 




MiTUODE inFLHITbSIMiLI 

d^fcclncu»! , il faut 

!lque 



, s'être BBSuréqu'il n'en résul- 
tera itucunc erreur, et que ai l'en ajoutait à eelles-ci ce qui leur 
nanque, ces parti» ajoulifes s'entre- détruiraient. 

AioM I pour que la melliodc puisse être employée en toute 
«ùrctc , il faut remplir une condition indispensable , celle du 
{'égalité det limiles, ou dernières raisons, qui consiste à compa- 
rer les gritndeura véritables à celles qu'on leur substitue , i les 
£aire varier ensemble , et à voir si , dans leur diminution pro- 
gressive, leur rapport tend sans cesse vers l' unité', car VuniU 
en doit être ta limite. Si un arc de courbe flA/(fig. 40) a pour 
accroissement l'art: .V^, on pourra prendre en sa place la corde 
MM'; cette cordesera la différentielle de l'arc, attendu qu'en 
rapprocbant les points M et M" , l'arc et la corde diminuent , 
et leur rapport tend vers l'unité c(ui en nst la limite. Mais on 
ne doit pas prendre >fQ pour dilTérentielle de MI^, sous pré- 
texte que MM' et MQ tendent à l'égalité, et deviennent nuls 
ensemble, car le rapport .'Vi/tf' : ^/(^ n'a pas 1 pourlimite-Cest 
que ax' et bx, qui devienueat nuls ensemble, ont pour 






, et non pas 1 



En comparant nn arc de cercle h son sinus, on peut prendre 
l'accroiHCDuent de l'un pour celui de l'autre -.j^sin z donne 
d^=sin(s+dz)— sinE, ou sine cosdi + sîa dî.coss — sin i. 
En remplaçant sin da par àx et cos d* par t , parce que les rap- 
ports de CCS grandeurs tendent vers l'unité , on trouve 

47'^d<.co>>. ORlrauveraitdeinémcladifl'érenlielledeeDST, 
de arc [tangs=;r) .... 

Un principe qu'on ne doit jamais perdre de vue, dans te 
genre de considérations, est celui de l'Aornog-cnt^iV, qui consiste 
en ce que les difTifrentieltes doivent être de même nature que la 
gratideui' qu'on considère , et de même ordre entre elles. On ne 
peut donc prendre pour difTéreutielle d'un solide qu'un autre 



,ide : pour celle d'une surface 



trdcr u 



î ligni 



quu 



te. :onnedui 



la suiuinc d'une iutlnité de poin 



pas. 



p aire coiuiui; a rctiniou d'une sàîe de lj(;n£s, etc-j et en 



4S8 



C4LCVL WrflllMITlM.. 



I 



I 



ie/ormitie ne dtvn fui 



iir«i{/cr 



rle»dtft-| 



oti le» diffirenùMa imtU de a 

CetaTÛfice , qui traûc les dilKraitticUeicaMine m ellea«taini 
cMcU«, donne liea, il ert vrai, àdcstfqo. difectacaacs ; tnan 
no Bc doit pu iVii inquiéter, parce qu'on nt eooTUoea que le 
rMuli*t définitif n'en kia p^t alteial, toute le» fonqa'oti n'aura 
ta TU que les limites, leaqacMet foat la mèniei (Maries dtHe' 
renticUes et pour les elétnens rénUbte*. Ce calcul * 
d'abord comiDc un luo jeo d'approximation , pouqa'o 

place cetiï-«i par de* qaantitesqui en sont Toisii>a ; niaiaa 

lia ne desiioe ce calcolqu'à ladeierminaiioa do dcraîèran»- 
Kiiw, qui aonlles mêmes pour les nos et les anUca, le calcul a<- 
qnien la riguear méoie de l'Algèbre i et le langage , anaa bMB 
t|ae U aotation, en ont tonte l'exactilode, puisque dte qn'â 
proaonce leamota d'in/î/u'mc-iu/reu'f, dtdt^nMieOc, onC 
teod ne bire usage dq calcul que dans le* problèmes qui d^pi 
dent, Doa plus des grandeurs qu'on a cnrbagées. mais des i; 
poru de leurs demi^^res raisons. Lnc dijpfrratielle cji donc m^ 
ftartic de la différence , partie difiu le rapport nver cette dij^ 
retÊce a Fumii pour Umilc. 

Dans le Calcul intégral, qui a pour but de rcntOBtcr de* 4 
titrées aai foaciions pnmitiTcs, od regarde rintegrale c 
la somme de* élémeiu ou des difTêTcniielks. ainsi qu< notis « 
rons occasion de !c rcmariiucr, n" Sja, S|6 cl 85a. 

Les applications de ces principes i U Géotnétitc et & la 1 
cautqoe sont très fr^uenies. Voici quelques exODpWs des p 

8os. Soient BM = » (fig. 40) un aie de coorbe, les e 
nées de J/ iftant * etj^ j ™s„ j. ~j^ i >,«. de celte coi 
tangente TM sera supposée le proloDgenient de réléaKOl à 

"wd« de Tare JfJr = d*, potrvaDi approcber aaUnt qJ 




HÉTBflDR INFINITESIMALE. ^Zq 

Il d*, dj Klds, on « 



ni le tnaD|{k Wim>, dont les 
«n* 76a et p. 399, 



XMaf, /*: 



47- 
"djt' 



_^4r 



' Puisque l'arc ^il/' =4 et sacordeont rimiiËpourliiiiiledL' 

r rapport , on peut suhstituvr l'arc d^ è sa cotdc, et l'on a 

la longueur de l'hypoténuse, ou di= \/(d.r' -j-dr"). 

Soit ( IWe CBMP ; le rectangle indéfiniment petil 

MPf Q=^jA.T pourra élre pris pourdl^ donc àt:=ytix. 

I 6o3. Appliquons ce procédé aux coordonnées polaires. Du 

tAt A (fig. 4S) pour centre, décrivoiis l'arc MQ par le point 

là. , ■WO AM MO r , „,, , 

■ (r.O.noluaurons — i- = — . ou -—^i^-; donc MQ=inU. 
"* ' " my Wm i!'j i ^ 

eiiODs /IT perpendiculaire sur ylM, cl la tan|;ente 7'M' qui 

^confond aïec l'arc, suivant l'élément MM' ^ ds , or, les 

irilDglcs semblables MM\), TM /t donnent ( voy. p. 397) 

M(^ _ AT niy _ AT 
MQ ' AM' "" .1/" ~ r ' 



lbi>* le lriaii[;le 



sooA-tanj' A r= -r-. 
Clan,.!... TW.^ on a 
^uf^TMA^-Ç^^"^ 



<lr 



|)cplu»,MiM'- = MQ' + M'Ç* rtcTient .!*■ - r'dfl" + .)/■■ 
"Enfin, l'airi) ABM^=t comprise entre deux rayuns vcfirur» 
a pont différent ici lu AMM', qu'on peut i-e{;arder comme r(;al 
■ ^Myiory*>/y = i^.Wx MÇ;d'oudT = ; r-d» (p- 4«o). 
, H04. Dau> sa l'évolution autour de ^f(Gl,'. 40), C'/'JI//' en- 
llliidre un corps duni le volume est cet l'aire u; or, l'aie 
JfM décrit la dinéicnticlle de u, iguï est un Irouc de cAue, et 
i »jir (cir. /'Af + «r. />■«'), bu plutôt = WWx «I. /*« : 
jkncdu =.3wjAt. De iiicinc l'aire MPI'' M' cngcudrc la dllîd- 




44« 



CALCUL DIFFÈftHBnn» 



realiclle du voliusc f qu'on pcutiC^B 
ILndre décrit par ^PP'Q='''^X«'*'**'' 
CeU eal conforioe au n' ;9a. 

Soil U «rfcce «.orbe BD (6fi. dg) iomt l'équ- .=/t«i J^J* 
douBM ; lonqa'oo fera croître * de dx.le votone r^sEFMlf 
croitade jrfiFft = ^dx.ai.dM.«eiéwlta»,««iHI"i H 

^ de dr: le volnim; IfBfi croît» de M<^5/'=^;^-ix^J- 

d»L' , , 
De même l'aire lf.V= f augmente de ^^=j;^jZ.-^V- 

Cda poK, 1". U pUn Unq (fig. :o), pu»llèle an pUn *r. 
fonne le parallélépipède itPS* dont le Tolume est aUOr, 
donc d'^==Ardj-, formule qui revient à celle du n" 791. 

a*. Le plan tangent Mr's'q peut être lappoié cooToadu asec 
la iuiface dans IVieodue de J/C; et comme ( n- 793J la bue 
PSf on 4r<l'> est = JVCxcos ■, 
de ce plan sur celui de* jrt-, on a 

-«^-T—d^Jr v^;i +^'+î'j, (p. Wl. 



.wc=- 



Dooc 



ixij \/;i +i>'+ ?■;. 




11. t. 


44' 


, ou plutôt de 


contact 


lurbe qu'on a 


appelle 


es deux tiqu.. 


et l'on 


i appartiendr: 


1 à cette 


irfacË mobile 


: ce sera 



e valeur 



METHOUli IltFl.NlTKSIMAI 

le ui' do nuée dv ■, Ucoarbe il'intersecûoD 
lies deux surfaces voisines : c'est cette co 
Caractériitique. Qu'on éliiiiini; « entre c 
aura une équ. en *,j, s, sans ■ ni ^, qui 
courbe, quelle que soit la position de la su 
donc l'équ. de i'Envelojifie. 

De plus, pour une caractéristique, dctennîue'e p 
{lailiculiêre de s, si l'on fait varier a ia&niuientpea,il/ct J/' 
devenant M' et M', on aura une seconde caractéristique ioGni- 
ment voisine de la i". Pour les points communs à Tune et à 
l'autre, on a les trois équ. Al^a, M' ^o, M"-^o, lesdéii- 
véeti étant ici relatives à m seul. En faisant passer te par toutes 
les grandeurs posnbles, chaque élal donnera des points pariicu- 
lier» de l'enveloppe, lesquels sont ceux du contact des carac- 
ttïristiques considc'rces dans leurs situations consétutives. La 
courbe qui les Joint est nommée ari-te de rebrouisement ; elle 
est touchée par toutes les caractéristiques , pre'cisément de la 
in É nie manière que l'enveloppe touche toutes les enveloppées 
selon ces courbes. Les deux équ. de cette arèle s'obtiennent en 
éliminant «entre les trois équ. pi'écédentes. 

Enfin, éliminant «entre les équ. M=o, M'=a, M' = o, 
JM' t:: 0, où les dérivées sont toujouis relatives ù «, on verra 
de même qu'on obtient celui des points de l'ariic <^e rebrouste- 
menl qui forme lui-uième un rebroussement ou une infleiion. 

8o6. Prenons te plan pour surface ntobile, les caractéristiques 
seront des droites, et l'enveloppe jouira de la propriété d'être 
une iiir/ace développa!/ h , de pouvoir s'étendre sur un plan . 
sans rupture ni duplicature, en ne la lupposant uî llexiblc, 
ni extensible, En effet, si l'on fait tourner chaque élément de 
celle surface autour de la droite de section par l'élément voisin, 
on pourra visiblement amener tous c» élémens à se trouvcr 
sppliqués sur un plan. 

Les surfaces développables peuvent être regardées comme 
formées d'cicmcns plans d'une longueur indélinie; tels sont le 
cône cl le cylindrc.Clierchonn uneéqu. qui appaviicnne k toutes 



k 



I 



/,^2 CALCUL IKTKCIIit. 

ces surfaces, sans avoiv égard k la ntttun; <iu uiouTcmciit '^u 
prend le plan mobile. Le pUu tangent coïncidaQt «vec on ék- 
ment plan , il est clair que x, y etz peuveol varier, sana ^lU 
pour cela ce plan varie. L'riqu. eat (A, p, 4a4) 
Z =/)X + gY + z—px—^, 

DilTérentiona par rapport à z, j* et s, et esprimont que /i, q i'( 
z — px — ^ ne changent pas. De ces trois condition*, le calcul 
montre que l'une est comprise dans les deux nuira, en sorfc 
qu'on n'a que ces deux équ . Ap^=o, dj ^ o , ou plutôt ( irn 
conservant la notation de la p. ^Zo) r -^sy" ^o, s -^ty ■=^0. 
Ici,^ dépend de la direction selon laquelle le point de contact 
a changé; sn éliminant^', il vient eofin, pour 1 e'qu. de touiei 
les surfaces developpables , quelle qu'en soit d'ailleurs la génc- 
ration particulière, rt — s' =^ a. 

foj. l'Analyse de Monge, où cet illustre ge'oiaètr« a pfâieiité 
une foule d'npplicalions curieuses de la doctrine iniùiiutsii 
aux surfaces courbes. 



11. INTÉGRATION DES FONCTIONS DUNE SEULE VAIlllBl.1 



Règles fondamentales. 



807. Le calcul intégral a pour but de remonter dci (otictim 
dérivées à leurs primilivei; on y parvient 'a l'aide d'uue nm 
de principes et de tran «formation h. Pour évitcT les modiU. 
tioDB qu'il faudrait faire éprouver sua fonuales, en vertu < 
divers changemens de variable indépendante [ n" 734 )> "" 
préférerons l'emploi de la notation de Leibiiiti. Lorsqu'on v< 
inarquer qu'on doit prendre l'inté^^lc d'une fonclittn, o» 
&it préccder du signe f qu'on prononce Somme } aîjisi . . . . 
y^4*',é(aBt la dérivée de x< + c, on écrira dr ^ 4^'!! 
d'oùj--=_/5j'dx = a;'-f- c. 

^8. li;\auiiiion4 la relation qui doit exister i-Hlre les functi- 



1 



nÈCLES FOMJAMBnTALES. 44^ 

]>riinîtives^ i-l Fr d'une môme dérivée _/■'. Le ihéorimv de 
Taylor donoe 

/(x + h) = fx +yk + {yk' + ...., 
F(_x+h) = Fx +yh + •^yh*+ 

d'où f(x+h)~ F(x +■ h) =fx — Fx. 

Il f»m donc que y* — Fx n'éprouve aucun chan|;cinent, lort- 
qu'on j cliange x vn x + h; ainsi Jx — Fx conserve la iiièuie 
valeur C, quel que soit x,/x=^Fx+C. Donc, Iouim Ufforte- 
tiont primitives qui ont même dérivée , ne dijférent entre elles 
que fiar la valeur du terme constant. Si l'on ajoute une coni- 
lantr. arbitraire à toute intégrale , elle prendra la forme la plus 
géni'raU dont elle toit susceptible. 

809. Eu renversant les rè(;les principales du calcul des déri- 
vations, on trouvera autant de règles du calcul înt^ral. 11 sera 
facile d'en conclure que, 

I . L'intégrale if an palj-nome est la somme des intégrâtes de 
tes divers termes ; on conserve à chaque terme son signe et sort 
toefficitnt ( n° 701 ), 

II, Pour intégrer t'Ai. , il faut augmenter l'exposant n ^ une 
unili', supprimer le facleuriit , et diviser par l'exposant ainsi 



augmenté (n" 70a) ; 
Pareillement j4z~ 



A fAi*Ai = 



«+' 



-C. 



ih. 



I AA: 



a pour intégrale 



tlai 



iaùle e 



dénominateur , on prend la fraction en signe 

diminue l'exposant de la variable d'uru unité, et ton multiplie 

le dénominateur par cet exposant oiiui diminué. 

Ces règles s'appliqui^nt aussi aux fonctions qu'on peut rnine- 
ner h z'àz. I'our/ix"~'d:r(6 4-cj")"', on rcmnrquc que ta dit- 
Mrciitielle de 0-j- ex' est ncx'~Ulx ; puisi|ue notre i" facti^ur 
n'en diffère que par la constante ne, on le prépare pour l'a- 



£££ CALCUL IirréBB&L. 

n^wràceUe fonne, et l'on « 

— xw*"— <!*(* + ejt^« — s>^, 
ne «e 

ca fâïnntft +cr'^x. On a donc, poar ïnli^nle, 

La transfemutïon qui a inlroânït s n'clait mèiiie pu Bëccf- 
Mire, et il Gonnendn k l'aTenir de Véwiter, parce qu'elle tait 
lugnir les calcnlf . 

De nième/Bï/C4^ + 3)xdx= 1(4^' + 3)' + C- 
III. Lm rësle précédente eit en début lonqne m ^ — ii 
puùqo'oo tmateJ'i~'dz^oo ; maïs cela Tient de ce que l'inté- 
gnle appartient à une autre cqièce de fonction. On aait (n* ^ 19) 

quey^=l« + C. De mêmey^-; = K«+») + ^- 

DoBc, toMteJnaciion Jontiemimcrateurat I* £^reiUxeUe du 
déHomimaieur, apamr ïntégraie le bgarilMme ée oe éémomina^ 
uir. Daus ce cat, nous mettrons à l'aTcnir, pour \m commo- 
dité des calculs, U cuoiiaole artMtraîre soni ù ferme IC. 




ttàCLBS FONDAiiEftTALEli. ^^5 

On a VU (n* 7o3) que J(kO = «('' + 'J"; donc, en iulégroiil. 

„t=fu,U-}-ftAu 
et f"At :=ul — ftdiii 

a\n%\ , après avoir dècomposi une différentielle propoÂte en deux 
facteurs, dont l'un soit directement intégrable, on intégrera en 
regardant fauirejacteur comme constant; mais on retranchera 
ensuite l'intégrale de ta quantité qu'on obtient, en di/férenu'anl 
ce résultat par rapport à la feule fonction qu'on a prite pour 
constante. 

Ainsi , pour uiWgrer lar.dx, je regarde dr comme seule va- 
liable, et j'ai x.\x; je différcntic ce résullat par rapport ^ 
l.r seul, et j'obliens 

f\x.êx = xAx — fx. ~ =xU — x+ C. 

Celle régie offrel'airanuge de faire dépendre l'intégrale cber- 
cWe d'une autre intégrale ; et l'adresse de ce genre de calcul 
corniste à faire la décomposition en deux facteurs, de sorte quv 

Ile dernier soit moins complique que la proposée. 
VI. La règle da n'-j^i donne, le rayon eUnt i. 



' — da 
j/(.-i') 



= arc(3in = 
= arc ( cos = 



') + C, 
-,) + C, 






= arc(Ung=s) +C. 



On pourrait aussi supposer le rayon ^ r, et l'on aurait ces 
mêmes seconds membres pour valeurs respectives des intégrale» 
r rdt r — rdi r l'As 

Ponr obtenir / r-> on divisera haulet bas par <i, 

J a + ùx' 

m ai _m /a dt 



^Jlfi G&LCDL IHTÛftAL. 

|Fratc GheKb^. le nion éUnt i ; d'«à 

On tronre de même 

Des fractions rationnelles. 

8io. lfoiukToiisdonné(p. aa3) du procèdes gëntfniu pour 

N 
àéeomfomt tonte fnction ntionnelle ^ en d'Rntrea, dont la 

forme wU Tau des mÎTintes : 



Ai+B 



Âx-^B 



><,0,ji,7,n...,étaotdeaeoastAatca,etles&ctanndex>+px-)-9 




FRACT10n« BATIOKHVLLES. 447 

donc — [l(â4T«) — 1(a— «} + l«] ttt riot^ak, d'où 

J a^^^j^'^^a a — x 
De même 

/ (a — 4^) dx / * ^dj? ^^ r^Ax 
x^— a: — a Ja— x Jx+i 

=:.al(:r— a)— al(x+i)+l<?=l 



^dx 



(x^—x — a)'* 



a* CAS. La fraction ■ ^ ^, a pour intégrale (règle II ) 

dx lix \dx 




x'+x'+a , adx , 

— ï ■ X QX ^S -^— + - 

X* — ax'+x X (x— i)' X— I (x+i)» x+i 

donne poor intégrale 

îlx î Jl(x— 0+— i_._51(x+i)-|uc. 

X — I * a(x+i) * ^ r / • 

3* GA8. Poor la fraction ^ ds, on Intègre séparément 

^ ^; et - j ^ ; la première par la règle III , la deuxième 
par celle YI (n* 8og). On trouve 

Ainsi (p. aa5) on décompose 

rxAx ^n.àx ri(x~.)dx 

y x*— I J X— I / x*+a:-f-i • 

■ 

le i" terme = Jl (x-^i). Pour le a* on fait x=:z — i,ce 

qui donne — / f j +Z 'a ; Tune de ces intégrale est 

= -'l{z*+3)=-.ilv/(x»+x+i)j 



^^B CALCUL INTÉGRAL. 

r»Htre donne f V'S «rc ({ang = ^ j. Donc 

Prenong pour lecond exemple (p. ni5] 

' finlëgrale eit 1 - )L .- ^ — ~ -;arc(lMig=;r). 

4' CAS. Il a'agit dlnte^r une série de fncUoni de la 
forme . , ' ,C, t " itvat succe 
cela, cbacnoe se partage eu deux, " -' 

La i" slntigre sur-le- champ {règle II) i 

; si cepenàant n = ï , ona ;^1 (;'-f :S'). 



a(r.-i)(i- + ^-V 



Pour 







FRACTIOriS H*TJOH«ELLES. 

'où, comparant terme à terme, on lire 

A' + t — aA'(/i — 1). {K + L)S'=:t. 
'irant Us valeurs de A' et L , et les Bubslituaot , 



449 



\r à: 1. 3n— 3 r àt__ 

T. 'usage de cette ë<ju. est facile à concevoir. On a une série 
de fractions de la forme/ - ^ i on intégrera d'abord celle 

où l'a la plus grande valeur n, et notre formule la remplacera par 

deux termes, l'un intép.re, et l'autre de la forme / ~ . 

qui s'ajoutera avec la fraction suivante. On con linueTB ainsi jug- 
(ju'i la fraction -—-7; , dont l'inlégrale est connue (règle VI}. 

Soit, par exemple. 



l 



')àx (2J+.] dr .1 

terme de chacune donne, parlarèglell, 

/—ixdx I r a*dJ — t . 

t aux seconds termes, on a , par notre formule , 

J (!■ + .)■ - 4(X'+ ,)■ ^ -^ (I-+ .)• 



Or, ce dernier ternie , joint i eeluî de noire 2' frati 






intce terme i intégrer arec la Iro 
i5 /* dx i5 



enfin, ajoutantce terme i intégrer avec la troisième fraction, 
a trouve 



AJK> ciLcm. iinCiUL. 

Il mm b'^îI plu qae de réaair e 

fomr naUipsle de U fencûon prsfMiif 



En «p^ant de inême , on tnmTC 

. y-T . ,_ . — -. Cette fraction «tant décoMpiMée 

(p.9a6), les aeab lonwt dont rintégnâon pent p^MBler 
qnJ^oe JMcahé tont 



/^ 



(*•+■)' 



ii + 



/*^' 



*+■ 



Es Toîd » inM< drax eiemplcs ( «qr. p. 227 et 33o) : 

rwfa ^ »'r, (j:-.)t/ix-— i»+,f) 
jr:^ SSL (i+.)j^(i'+«r+.'j 




FONCTIONS IRAATlÔNMbLLBS. ^5l 

ex|>o9MM firaclioluiairct proposés. Vwc U on aura à intégrer 

ce qni n'offre pas de di£Gicahé. 

Pour |/jr.djr : (x— i), on fera x=z*j et Ton aura 

8i3. Prenons maintenant une fonction quelconque affectée 
du radical ^(ji'f'Bx+Cx^). Après avoir dégagé x^ de son 
coefficient Cj en multipliant et divisant par |/Cy il se présente 
deux cas, suivant que x* est positif ou négatif (*). 

I*' CAS. Si Ton a }/(a + ftx+x«), on fera (♦♦) 
V/(tf+fta: + ar»)3B:«dix; d'où a + bx=!^±.2tx, 

\/(fl + Ax + «*)=«±:x= T ^ 

ainsi tout est dewiu rationnel dans la fonction proposée. 



{*) X détifiMiit une foneUos mtionnelle de x, on a à intégrer 

Xàx 

cen deux expreuioni te tndtont eomme U est dit ci-tprès. On pourrait même 
ramoner la a* à la i'*, en multipliant et ditiaant par le radical : 

r J(ii-Hfar=fcx«) 



( * *) On pourrait «leore fliire Id la radical = » ± s : ce qui conduirait aux 

SX2s 



mèmei râleur» de x et dx ; la radical deviendrait = — ^37- •, el tout 



ierait rendu rationnel. 

a«). . 



«5« CALCUL IBTÉGRAL. 

tu ptcuot, par tx. , les sign» infërienn, on tronTé 



/vc«' 



>pî+s?) 



Donc a 



=iWi+.;t + i/o+»j.+i')]- 



/l7 



Pourintrfgrer'dj- = **V^(«'+^')» on ûût 

^(«■+x^^» — *, d'où d;- =ad:c — xdx; 
tjtpii , ja» — sx*+yâdjr ; metUnt pooT dx 1» valeoT (p. 45i ), 
pois intégnuit, oDa.^dx=2<*+-îa'l*;enfiB 

dx 




FoncnoHs irratiokhellbs. 4^3 

Cest ainsi <[u'on trouve 

^ De inême poar / — , qu'oa sait d'ailleurs être l'arc 

lont te sinus est X , on fera ]/{* — a:') = (i — x)i; d'où 
V= 



<■+■ 
il 



4»da 



arc(aln = x)=— L-r+a-arc^lang^ y/^i_f Jj. 

urdr=d3rv/{a'-r'),onfait \/i^{a~x)Si d'où 
_ SaVAt _ — Sfl'da . Sa'Jj 

j-= ^^— + ■——;+ <iV arc (tang = ») + C, 

jr^iirV/fl*- *•+ a'.arc ^tanfi = l/ j~) + <^- 

On pourrait appliquer ce procédé au i" cas, lorsque les 
racines de x*-\-bx ■^a:=o sont réelles. 

8i5, L'adreme qu'on acquiert par l'habitade indique les 
irans formation s les plus favorables. Ainsi, on pourra faire dis- 
paraître le second terme aona le radical ( d° 5o6 ) , ce qui le 
uettra sous la forme V^(^* ±<i' ), ou V^(ii' ± i' }, en sorte 
r^m'on aura pour termes à intégrer (.voj. n° 821) 
»-dz . ^*At 

L .Dans ce dernier cas,l'irraliooDalit^ disparaît en faisant, . . . 
(^(a*S:ï*)^a — hi, parce que le catré de cette équ. est 



« 



CALCOI. IWTEGIAL. 



>: iToà 
'"■=F'' 



— d< 



*=»—«; l^t^ile tu donc (ri^k TI > 

On annil pa ftwn bÎR Is ImufonHtIïoB piécédente, qwa»- 
nît damié 

/' sd» 
y^= «- - ï.âlC (t»g = B). 

De même, en bùuit x=x— a,»Ba 



' l/ciae+i*) |/(x'_a'J' 




^ DJFFiRfillTUBLLES JUHOMBS. 455 

ciant I il Tiendra 



(X — tf) 



«••4-1- 



Quai^ Vtexpofant de «—a est entier, on sait intégrer la fonction . 

Si ~lLi = I. on doit intégrer z'di; si i est positif 

n * ft * ' 

et= Ay on a one suite de monômes, en développant (s— a)*x''iU; 

enfin» si — ^- 1 est négatif, on a une fraction rationnelle. 

n 

Donc toutes les /où que Vexposant de x hors du binôme, f^ug^ 

mente de i, est divisible par celui de x dans le binôme , on 

sait intégrer la fonction. 

817. Ce cas n'est pas le seul où Ton sac^e intégrer; en divi* 
sant le binôme proposé par x*, et multipliant hors du binôme 
par x"^, on a 

ifa-H-M (6+ ax-^yàx. 

Or, en reproduisant ici le théorème précédent , il est clair que 
cette expression sera intégrable pourvu qu'on ait 

iii<4*np4*i - . m+i , 

^ , ou plutôt — — 'f'p zx entier. 

Ainsi , lorsque la condition indiquée précédemment ne sera pas 

remplie , on ajoutera pan résultat fractionnaire obtenu — ^ , 

et, si la somme est entière, la fonction sera intégrale par 
cette voie. 

81 8. Mous ferons remarquer que %\p est fractionnaire (et ce 
cas est le plus important, puisque sans cela on n'aurait à iiik- 



456 CÂWOL ibtiSgrai.. 

técKT qu'une suite de monômes) , en supposant que q soit le 
dénomiMteur de p, il xn. plu* facile de faire le calcul, en 
{■istnta + ir'sss*. 

O» demande , pu es. , d'intégrer x~'dx(a+x') ; 

est ici — ^\ ikudt n l'on ajoute — \, la somme e«t — a; pour 
int^rer il faut donc multiplier et diviser par {x*)~* ou x~*, et 
l'on a «-'dr(i+flx-0"'. 

Oa ïrta r+a«~*=i»*; d'où x = { ' "j • P"'* ^^ 
Tant fc la paissance — 6, etdiffdrentiant , on trouve jr-'dx; 
d'où ; ( I "* «"'M* , dont l'intégrée est 



;C»^ 






3r'H 



De même **dar(«'+jr')ï deviendra |d«(x*— a'*^, 




FFERESTtEtLES fiIKOMKS. 



457 



SgaUnt les valeur» (1) 



fS/w-' 



"ix. 



K»), 



Qiaiiceoiis p — 



ITOUVC 

\ p, el m +"- en m, nous aurons 



(^). 



Id mettant poar le dernier (erme de l'cqnation (a) sa valeur 
que donne (3), «n obtient 



Hbnaiion où l'on a z = a + dx\ 

B $20. Voici l'usage de ces diverses formules. 

1°, LVquation ( v/ ) fait dépendre rintégrale/x'dx.s'' de 
jx"—t^0ix : elle serl à diminuer l'erpoiant de j. hors du bi- 
nom^ de n oniléspar une i" optiration; puis celui-ci de », par 
une 3*, etc.; eu sorte que l'intégrale proposée dépendra de 
fx"' iij^jj. ^ i étant un nombre entier positif. 

3°. La formule {B) sert au contraire à diminuer Pexposant 
p du binôme x, de i , a, ^. . . i unités, 

3". En résolvant les équ. {A) et (fi) , par rapport au Urme- 
à intégrer dans le a' membre, on obtient, en changeant m — n 
en m dans (A) , et p — i en p dans (fl) , 

x-*>iP*- — A(m + np + » + r )/j"-*- . ifàx 



A-d. 



<,{m 



■ (Q. 



«/.(/, + .) 

Ces formules servent au contraire à au(;menter l^sexposans de.r 
bors du binôme z, cl celui du binôme, ce qui esta ti le lorsque 
l'un ou l'autre est néj;3tif. 

4° On pourra donc déterminer d'avance U loi des cxposans 
d(t X dans le résultat d'une inirigraliou proposée. Ainsi, il sera 



L. 



^S8 Calcul ihtégkil. 

bcile de priYoit cette forme, p&r ex. 

(hi.éntera donc, ù l'on yeat, l'iuage asseï pénible de noc 
Eonuola, en égalant les difierentieUes de ces qoantitéi, com- 
païKDt enaiûu terme à terme , comme dam 1& méthode det 
coefficient indéterminés (d° 8i i), ce qui fera connaître ^,B,C. 

631. Nonsdonnerona ici im procédé d'intégration ^ùestre- 
marquableparsa simplicité et par les nombreuses drcoostucei 
où il pénètre aj^qné. 

KSërentions la fonction x*~'v/(i — x*); oons anrons 

mnItipUons et divisons le r" terme de cette di^rentielle par 
1/(1 — X»), il viendra 




DiFIEiRBHTIELLES BINOMES. 4^ 

pendre, en dernière analyse, Tintegrale cherchée de 

,, ■ ' ^ , ou / -i-T— -TT .... M n est impair, 

r àx r ^ • . • 

1 .y/^,i- X f ^" / 777 ZI^ .... 81 n est pair. 

Les deux i"* rentrent dans la règle lY (p. 444) ; hi 3* a été 
donnée (n? 8i 3) ; la 4* est Tare (sin = x). 

Par exemple, on a 

XuX 



A 
f 



-= — -. V^i— 3r»-f Jarc{8in = *)+<!, 



x^âx «• + a 



. i/i— x" + c, 



yx*âx 
l/(i-<f)- 

jT7(r:F)= jp-.*»/i-*'+garc(sin = a:) + c. 



8aa. Si l'exposant n était négatif, on ne pourrait plus ap- 
pliquer les formules £ et F; mais en faisan 
tomberait sur celles-ci : en effet on a 

dx x*~*dx 



x=:s 



-•I 



onre* 



«•1/(1— a:*) 
dx 



1/(^-1)' 
«•-'ds 



Ou pourrait aussi traiter le cas actuel directement par un calcul 

semblable au précédent (n^ 821); car, en différentiant 

^"•■•■'^(i— X'), etc., on trouve 

r àx — l/(i-x') n— fl r dx . 

Jaf«j/(,_x*)"" (n— i)x— '"^n— ijx— i/(i— x»)'"^ ^* 

formule dont Tusage est facile à concevoir. On a d'ailleurs 



460 

(D* 8i3) 



ciLCDL iimcaÂi» 



É 



On trovrem de mime ' 

Des FonctÙMS exponattùUes. 
SsS. n mit desr^lcf de U différenlUUon (0*716) que 

On non donc inl^ru deux de* eu particuliers qoe pe«- 

vent prëienter les exponentielles. 

1*. Sis=/(a*), la fonction za*dx, ta fÙMUit a* = u , de* 

• j Ju.du 
Tiendra^— ; — . 
la 




FOBCIIOWS EXPONENTIELLES. 



46 I 



en traitautdeincmed'x*~'dx, elaioside suite, de proche 






proelie , 



aura 



^-'^^y 



est évident que le même calcul s'appliquera à ïoxôx, 
Isnt nne foiic^on alQébriqne et eutîère de x. 



Donc 



/ia^d. 



'~ \a J la 



SiS. Mais ii l'exposant n est négatif, en r^ilecliisiant sur 
l'csprîtdela mrilbode qui vient d'clre employée, enverra qu'il 
faudrait au contraire faire croître auccessivenieut l'expasaiit 
dex. OaiolëgreradouG, en regardant d'abord a' ci 
tant, et il viendra 



En faisant 
la forme 



/ a'Ax _i —a' la fe^Ax 

le même raisonnement, on réduira la fonction j 






i.3.3...(n— a)r^a.3...Cn 



-OJ ^ 



Hais ici on ne peut pas pousser plus loin le calcul, parce qu'il 
faudrait ci-dessus faire n t= i , ce qui donnerait l'infini , lan« 
gage dont L'Algèbre se sert pour indiquer qu'il y a absurdité. 

L'intégrale / a long-lcmp» exercé les analystes , et l'on 

est forcé de la regarder comme une transcendante d'une espî^ce 
partie a I iÈ re , qui ne peut dépendre des arcs de cercle, nideslo- 
garitlimes. A défaut de niétbode rigoureuse, onemploic les sé- 
ries ( p. a43) 



T— :+i"+ 



■' + ; 



Va 



r + . 



Àfti CALCUL IHtAGKAL. 

HullipUanC par dx et intégrant chaque terme, il vient 



/- 



8a6. Si n était fractionnaire, l'une ou l'antre det m^lhoda 
précédente* serriraiti réduire l'expoiant de :c i bre compris 
entres, et i on— i, etledéveloppementen série (n**7^6,84o) 
aerviniit eniuite à donner, par approiimation , l'inl^pâle 
cherchée. 

Tout ce qu'on a dit îà peut également s'appliquer à ttfix, 
lorsque s est une fonction quelconque algébrique de x. 

Dei fonctions logarithmiques. 

* 837. Proposoni-nona d'int^er sdx.l*^;, létant une roocdon 
quelconque algébrique de x. 

. Si a esl entier et poiiiif, on intégrera par parties, en regar- 
dant d'abord l"x conune constant; il viendra 




FONCTIONS LOGARITHMIQUES. ^03 

(b8. Mais ti ii c*( entier et négatif, on vetrn , comme pré- 
T:etli: r.uiuit (o'SaS), qu« pour faire croître au contraire l'ex- 
pOftint du logarithme , il faut prendre d'abord z constant dans 
nt^legration par parties de/sdxl'x. Comme 

on partagera zàx.\'x en ces deux facteurs ix X — - \'x. 



n 



rtix _ 

J l^x~- 



- I— "I + ^^^^J[ \-'*-x.é(ix)) , 



formule qui remplit visiblement le but qu'on veut atteindre. 
Main, pour mieux voir la nature des obstacles qu'on rencontre, 
appliquons ceci à 

/ T"dT — -r*^' ffi + 1 Çx^Ax 

op4^rant de même snr ce dernier l«rme, etc., puis réunissant 
ces divers résultats, on aura 

rx-Ax x"^-r 1 m+, _j__ 

J \'x ~ n— iLr^'^ n— a*l— 'X 

■P^(«-a)(n-3) l-'x ^ J^).a.3...(/.-i)7Tr' 

Nous sommes obliges de nous arrêter ici ; car nous ne pour- 
rions prendre n = i, dan» notre formule, sans y introduire 
l'inlini. Mais faisons 

j-+'=:«, d'où (m-f-i)a;"dJ=:<ls. 

. x'Â x _ dï _ e-du 

Il v.eni j^ _ .j- _ -_ . 

en posant U=u. On reproduit donc ic! la fonction du ■■"SiS, 
qu'on ne sait intégrer que parles séries. 

Bag. Lortque B en fractionnaire , soit positif, soit négatif, 
l'une ou l'autre de ces formules ramène l'intégrale de t&x . X'x 



/g/ CILCDL IMTbCRAL. 

à ullc d'sse fonction de roème forme, n éUmt compris ertit 
I et— I. Après qnoi il faudra recourir an dtf TeloppmieDt ti 
tinti {o- 746,840). 

Z7eJ Fonctions circulaires. 



83d. S'il entre dea ara d&ns uae fonction , pour nDtC^grcr, 
ou rein&rquera que la différentielle de ces arcs est algébrique, 
et que , par cooiéqnent , ai l'on pratique l'intégralion par par- 
tial, en regardant ces arcs d'abord comme constans (X. p. 445), 
la fonction proposa en sera exemple. Ainn , z étant «ne fonc- 
tion de :■: , on a 

ys<1x.arc(sîn:=jr)^«rc(sin:=x),yidr — / -" V T" 

De in&ne on trouveni 

/idx.ire(tang=x)=arc{Ung=x)/sdar— y^pi^. 

83i. Mais lorsque les fonctions renfèiment dea fif^nes tiig^ 




FONGTIOUS CIRCULAIRES. '/fij 

fsin^x.ixrsj -7rj3p: = — ïC08X.(3 — cos'a:)4.c, 

y l/(»— ») 4 2.4 ^ 

83a. II' Méthode. Il suit du n"* 722, que 

fdx.coskx r= jsinA'j:+c,/clx.sin^x= — -rcosit^ + c. 

Or, on a appris (p. 256) à développer toute puissance de sin x 
et €08 X eu séries, suivant les multiples de Tare x ; on aura donc 
à intégrer une suite de termes de la forme ci-dessus. 

Par exemple 9 

fco^x . Ax =/{i7 cos Sx + -î^ cos 3x + 5 cos x)(lx 
= 5V "° 5ar +^- sin 3x + 1 sin x -f- c. 

On emploie souvent cette méthode , parce qu'il est plus facile 
d'obtenir les solutions numériques ^ quand on préfère les sinus 
et cosinus des multiples des arcs, aux puissances de ces lignes 

833. III* Méthode. Les foimules (A^, n"* 63o) serviront aussi 
a traduire en exponentielles les si nus, cosinus. ... ce qui ramè- 
nera l'intégrale de ceux-ci a celle des premières (n* 823). 

834. La IV* Méthode consiste dans l'intégration par parties. 
Comme — dxsin x est la difTcrentiellc de cos x, décomposons le 
produit sin"x . cos'x . dx, en dx . sinx . cos"xXsin"**'x j le 1' 'fac- 



cos'''*''x 



tcur ayant pour inté^jrale — — ^ , on obtient 



sin*""'* .^. . m— I 



/dxsin"xcos"JB=»— — : — cos'''*"'x+ — -• -/cos''"*''x sin'"~'x . J.t. 

Mettons pour cos''"*'*x,sa valeur cos'x.cos'x, oucos"x( i-sin*x) ; 
transposant, il vient 

/ilriin"j.co8"x=: r h /djr.8in"^*x.cos''x (/). 

En opérant , par rapport au cosinus , de la môme manii rc 
T. II. 3o 



■/^ ' tlLCIlL IBTÉORAr. 

que nous vcnoas de le faire pour le sinus , on aDr« 

/ArtiB"r.cos"*= ^ ■ ■ f- ^x; /di.sin"*.eo»"-ij..,. (| 

Ces formules abaissent l'expoRaiit tlu sinus ou du cotini»; 
leur usage combiné et successif donne l'inlégralc longiit ut d 
Il sontenticn etposittfi.. Par exemple, on a 

/d«8in*a7C0s'i=— ^sin'xcos'a:-f-|/"dj:sinxïos'x, 
/"dxsin jcûs'j:^ jsin'xcosa- + J/darsinV; 

or, ce dernier termes — ^cosjr + c; réunissant ces diTerta . 

parties, on a 

/dx sin'arcM" j = cosa^ — J sin'x cos'x + -^sîn'jc — -\) + e. 

835. Hais si moafiestné^tif,ces formules exigent quelque 
modification. Fia i"donne,encfaangeantRea— a. 




F01IGTI019S CIRCULAIRES. 4^7 

836. Si Ton fait noum nul dans les équ. /et K, on a 

-. ^ , — co&af.8in*"~*j:. , wi— i ^_ . 
/8in*Jf.cMP= — -^ H ^^^ /dJPSin^-'jT, 



771 



7» 



ycosrx.dx = + faxcos* *x, 

changeant dans ces e'qu. 777 en — 777 -|» 2, Tien — 7i-f*2, on trouve 

/ da: ""Cosj tti — % p èx 

sin"»x ( 771^—1) sin* "'x 77» — ij sin'"~*x' 

/dx sinx n — 2 /• dx 

COS*X (71 I ) COB'^'X n — ij cos^^^x ' 

Au Heu de déduire ainsi toutes ces fonnules des deux équ. / 
et Kj on pourrait les trouver directement. Il suffirait pour 
cela de réfléchir à la nature de l'intégration par parties , et au 
but qu'on s'y doit proposer. 

On pourrait encore intégrer d'une autre manière les frac- 

cos^x.dx sin""x.dx , 

tious . , — ^et ; car la première, par ex. , si 771 

8in*x cos'x *^ ' ^ ' 

r 1 ""^ si n*x^ ^dx 
est pair et = 2%, équivaut à î r— ^ ; développant 

9111 %C^ 

(i — sin^x)*, on a une suite de termes de la forme sin^x.dx. 
Si 77t est impair et = 2A -f- < > ^^ ^ 

cos**x. cos X . dx ( I — z'')hh 

sin*x z* ' 

f 

en faisant islnx=sz. 

337. Pour le cas où les cxposans du sinus et du cosinus sont 
à la fois négatifs, en multipliant le numérateur par cos'x-4- sin^r, 
on a « 

. r î!f = r ^ +r iifi— . 

J sm"»x.cos*x J sin"''"'x.cos*x J 8!n'"x,cos''— x 

On parvient donc à des fractions dégagées de sinx, ou de cosx. 
Si m:^n, comme sinx C08x=^sin2x, en faisant ax=:::, 

3o. 



^06 ClLCL'L nrÉCML. 

Il tatùoa piofoke le dt»^ en 

838. ïouï iiite-rM]! -i p-art cin^ fooclïoiis an 

puce qD clin offrent dc^ calc^U plus tîmples , «oit parée ^m 

iMM formule* t ramirneDt loau^ les KUtre». 

. ^ . dx , . dï , . 
) *. soit ; en faitant iO< t = ; , >7d a . Iracuon 

raiivunetle 'p. ^}6): d'où 



/„^.= 



Cl, cûaite 'n*35-^; uin3*-Ix:= 



J ïi; 






+ 
V-'r — coïx) 



= l.c tang \± 



s*. In talcal îemb'aLIe, eu faisant siox^;, clonno 

r Jx , Cl T-1.SH.I 




IKTÉCRAIlU» l'AH StllU.3. ^fit^ 

ÇonstatUes arbitraires. Intégration par séries. 



'SSg. Soit P l'iiiràiiralc d'u 



: fonction iAx du 



= i(lx> cl t 1.1 cons Unit; aihitiaii'o qu'où iloil ajoutât (iuul 
qu'elle ioîl la lilus géncfrale posiibti: (n" 808) , ou a 

fzAx =^P + r.. 
Tanl^u'il nu «'imiique d'un calcul, c icste qu<:kcnquL- ; mai* 
lorsqu'on veul appliquée tulle iiitt'^i-alc 1 une question dciei- 
niinée, la constante c cesse (l'ttic ai Ijîlrairc , et doit satisfaire 
à dea tonditions pre^rilcs. Si, par ex., ou denMnde l'aile 
/;CP3/=((fi6- 40), comprise entre tus ordonnées BC , PM, 
dont la position repond aux abscisses acl b, comme (11° ^68) 
d( = 7d:r, on a ï=^dr = P + f. Or, l'aire P+c. com- 
lueiifanl loisqui^ x =: vJC=:« , 1 doit cire nul lorsqu'on fera 
.!■=;« dans P+c, on /l+c = o, A élaiil la valeur que 
prend la fonction de T désignée par P, lorsque x-=a, on lire 
de U (■ = — A, d'où l'aire l=;P — A. Il restera ensuite â 
mettre 6 jiour T , et l'aire sera renfcnnL'e diins les limites pres- 

Eii gênerai , pour deteTuiinei U conslaiile arbitraire, d'après 
les conditions de la question, on cbercliera quelle valeur k doit 
prendre l'intégrale ï = /'+f lorsque a:=fl, sivoir, *=v<4-(.-. 



t = *— -^, el i=P-^k~A, 

lit, couiiiie un voit, nécessaire de coni 

ni<fgra/r, t,-à-d. sans savoir pour quelle 



îlrc l'or 



suns qu'il « 

gin< de Vin 

.relie est n 

Tonte intégrale dont l'ori^iue n'est pas Aset: 

àéjiiii'-; elle n'est Comiilèlc que quand elle rculernie U 
nie atbiiraire. Lorsque les limites avib sont donni 
=.P ^A en vertu de U 1"; lucttanl pour x la a* 1 

:JÏ — ^,p(iur la valeur absolue nniiii-ri<jue et cons- 
ole de ( 'JjCm ! CC1.I CD qu'on aotiinie une /nlrgtale di'Jinie, 
\^lB ifMiil les valeur» que prend P lorsque x = atil b. Eu 



iiite b. 



Afti CALCUL IKTÉCRAL. 

remarquant la forme de cette cxprcssio» , il est visible <{ae pov 
l'obtenir, il suffit lie faire x:^aet x=b dans tintégrale i^ 
définie P, et de retrancher le premier résultat du second. Toai 
ceci ■'éclaircîni bientôt. 

M. Foarier a imaginé une noUtion Tort commode po&r dôt- 
gner W intégrales définies ; on affecte le signe / d^nt^^tim 
de deux indices, l'un iurérieut qui se rapporte i la i" Vimut 

de l'intiigraie, l'autre supérieur pour la 2* limite, f indique 

une intégrale prise depuis XT=a, jusqu'à 2:^=6. Cest ainsi ({ue 

/ ^ sin xdx^i, parce que l'intégrale — cosi devienl — i eta 

aui; deui limites. L'expression / indique que l'inléBrale 

commence i x=a, et s'étend jusqu'à une valeur indéûnie deli 
variable x. 

84^. Lorsqu'une fonction proposée n'est pas susceptibled'uDe 
intégration exacte, on a recours aux approximations. Ainsi, 




INTbGAATIOâf PAU SKKIES. 4?^ 

Ou u'a pas ajouté de coRstaulti, parce qu!on suppose que l'aie 
dont il s'agit ici est le plus petit de ceux dont x est le siiius 
ou la tangente, arc qui est nul quand le siu. et la tang. le sont 
La i'* de ces formules a servi ( n^ 63i ) à trouver le rapport v 
de la circonférence au diamètre ; on peut employer la .2' au 
lucine usage, car le tiers du quadrans ayant \ pour siuus, en 
faisant xss^, on a 

Du reste y la loi de ces séries suit du calcul même. 

84 !• Pour qu'une série soit.dc quelque usage dans lesapplU 
cations uuméiiquesi il laut qu'elle converge (p. ^3o) ; il est donc 
convenable d'avoir divers procédés pour effectuer ces sortes 
d'intégrations. La suivante est due à Jean Bcrnoulli. 

Faisons &= — x dans la formule de Taylor; comme/^x — x) 
uuyi(o), est ce que devient/, ovi/x^ lorsque x = o,y(o) est 
une cousiantc b ; donc 

Or, la dérivée j^ de j^ étant donnée, l'intégration consiste à 
trouver j^-, soit/sdx l'intégrale cherchée, zzzzj , s' =j^. . . , 
cl Ton trouve 

^ B=/sJx = d 4- XX — \ s'x* + g *V — . . . 

11 suit de ce qu'on vu (n* 74 O9 qu'on peut obtenir des li- 
luilcs de la somme des termes négligés. 

dx 

' on a 



r dx 

Far exemple, pour /— -— =l(a-|-x), 

/>=3l/l, î= , s'=; ; -, z" 



fl + x' (a + x)-' ~{n-^xy 



X . X* x"* 

a -Px ' 2 (fl -f xy "^ ï{a 4-T) 






• • « 



-2 CALCLL lIlTciCmiL. 

g^s. La formule de Tavlof doase «Hh fo^ s^fit, 

doJ /:* + *— a;-/x=r '.* — «)-!--:*•(* — «)• + .... 
en fkîsani A = £> — a. Si l'on pnaA eamile x^s. ce qv 

f han gn s, =', :' en des constMBlM ^, ^. JF..., M 

obdeni 

/*— /« = ^(A — tf,+ ;^;«—«j*+;.rf' (* — «:'..., 
c'estl'inté^iale/idreBtrtflMliaiitesf ^a eix^fr ^a*83g]. 
3bû poar qne cette *érie foiï applicable , il fant qoe ccUc de 
Tavlor ne toit pu fanûre. Oo examiaen donc la marcLe de 
l> foBctioa 5 depaù x^a jiuqn'â z=:6. aCade recoanaiiie 
N elle derieci ïiifiaîâ, pour de ceruiaes Tslenn iniemédiaire» 
(Je cette Tariab!c x. 

Oa pourra &itc coarer^^cc U s«rie autant cju'oo voudra^car, 
partageant nmemlle l — a en n parties «^jali^f i, en aorte 
que S— a=R/, oa pr^nJT^i d'abord l'initiale entre les [imites 
•1 et o + i, c.-3~d. la'oa isettra ci-desMsa +/pour^ De 
nifiiie on pren^ira l'iitegraïe cepuit â^/jnsqn'à a -f~ "i o» 
in: tri depuis cette qi: iniiiË j-.isqu\ a + 3i. . . 




llITÊCtIATIO;) IMB SÉRIES, 4?^ 

Tl-Uc est l'int^rale dcftAx «iiLre les liiiiUeti lie a i b. Si l'on 
|jrciid i' SMi*! petit pour K boriiei' au ttul t" terme, on a 

fidx = Ai + fl/ + Cl . . . + ^fi , 

.1 rie dont les diven tenues soot les valeurs que prend succès- 
-utimcDt lai fonction ziXx, toisqu'oii fait x égal k a, a -y. i , 
a-^2i. . . C'est pour cela que da us la inctliode iulîuitésiiualc on 
regarde riutcgi«le comme la Somme d'un uombre infini d'elé- 
meus, qui BOut les valeurs conaéculivc!; que prend la fonctioti 
lorsi]u'on fuit pasier la variable par loutes les valeurs iiiterme- 
iliaVres entre ses limites; c'est ce qui s'cclaircira par la suite 
[n"846,a".). 

Cansultei sur les approximations des intégrales déûnies un 
beau Mémoire de M. Poisson, insère parmi ceui de l'iDStiiai, 
iSiii. M. Cauchy a aussi éi^rît sur le même sujet, et eu a fait 
lies upplicaliouj A des questions de Géométrie et de Mécanique 
litfs curieuses. La Tkcorîe de la chaleur, par M. Fourîer, reu- 
fcrme un grand nombre de questions qui se rapporlent aux în- 
ti^grales dcSoies. 

S44- Nous ne dirons rien des iulc(jratioas du a', 3'... ordre 
des fonctions d'une seule variable , puisqu'elles rentrent dans 
ce qu'on a expose. Il y a alors ,3, 3. . . . consinntes «ibi- 



Par exemple , pour 



// 



r')djr* 



Dtégrera une prc- 



.ii:re foi»; cl comme la fraction propost'cse décompose (p. aiS) 

aa'dx Ax 

'^ [x'+ ii'l* *" x' \ SI- ' ''' "'"" liremiére donne (ii° 8i i ) 

do- 



X- + <"' ^J ^' + «' 



+ c, il reste A inlé^rei de nniivcou 



xAx 



fPî 



= ll/(i'+a-)+« + i- 



•=hix.« 



■=/ 



QUADRATURES. 



:r ;(loncf=:Logx, 



iti )irenant pour sysiéine i\e lo^;. celui dont lu moduli; est 
,V=ïin « £11' 718). Si rEiD);1e> est droit , M = i, onrclombi: 
iur lu 1" cas, et l'on obtient les Idq. iiejiériens; m»\a on voit 
iju'cn faitant varier l'angle ■ des asymptotes, on peut obtenir 
lou!i les systûnies pour lescguels M-c^t. Aiiiiti, lorsque la base 
est 10, onail/=:o,43439 44'^'9r l'aiiulc qui ace nomUrepour 
sinus, le rayon c'iant 1, est «^a5''44'>5', 47 : tel C6t l'adule 
que doivent former les asymploies d'une byperbole dont la 
liui&sance est 1, pour que cL.iquc aire soit le log. tabulaiie 
■ le son abscisse. On voit par là <]ue c'est très iuiproprvnit^u i 
qu'on avait donné la de'nouiination de Logarithmn hjpvrbo- 
liquet aux Idj; ■ niipc'riens, puisque tous les systèmes de log, 
trouvent leurs reprcscutations dans les aires de diverses by- 
perboles. 

III. Poui- le cer(;le^ = a' — i', l'orij-ine élaut au cenlre 



=f\/ia'—x')Jx: 






rnœuUipliant et divisant par V^ (a'— x*). Or, 
est facile i intégrer par parties , puisqui.-^ 
renlicllc de — l/C"' — ■»^*) i ■'on 



V(i'- 



■■)• 

ir terme 
la diffi- 



' Vi«' 



-*•) 



I 



Snbsliiuona cl iranHposoni 
mais la formule dj*^dx' + d/* appliquée h 1 






'^ — ^= ; ,— — :: ; donc , en prenant l'arc t 
I les même* limilex que l'intégrale proposée, on a cnfîii 
; Tj- + ; «M + r. SoicHi CAiib, AB=h ((!(;. 73) : doublow 



QfUDRiTUHES. 477 

Tl. ï.a mûllicidc de Simpson pour évalurr les /i/res curvi- 
lignes (iltinet por approximation , mérite tlVlre exposée. 

Clierrhons d'abord l'aire d'un petit segment C£A/(fi(;. ^^j 
d'nne courbe ([uelconquerapportiie aux aie«reciangu1aircs^f, 
/Ijr.vt nommons t l'angle MCH ionaé par In corde CMti\ec Ax. 
Menons Tordoiin^e A'E, par le milieu A' entre les ordonnées 
termiualMCVÏ, MP. On peut sensiblement r.-gnrder l'arc CM 
comiuu appartenant à une parabole dont le soniniet Tj xé- 
poml au milieu / de In corde. I.'niie du serment est tlonc 
CEMÏ = \ CM.U. Or les triangles LEf , MCH, donnent 



I LI=EUi 
^^rCeta pos 

'' (lu tranèie 



, CM = 



CH 



UCEAII= ^RtxCH. 

=y, KE=y 



■Cela posd, faisons BKr=KP=h, C 
^^•; l'aire CBPME se compose 
du trapèze CDPMt = h(j' +j-), cl lie CE!Hl~\l: Et, 
Or El^E/i — fiI = ^,{iy—y—y): donc le segment 
CEMl= j A (y*— J''— lïO I 0* la petite aire 

CEMPB = ] h (ly+^y+ij^-). 



Supposons l'aire plane «y/CD(rif:. 76) qu'on» 
limitée parla conrl»e AC, U droiie BO et Ici 



lair<!s^/(, CD;: 



^utiiiesnrcr, 
[>erpcndic! 



) coupei 



1 la liasc BP en un nombre pair de 



partie» (-^alcs. dont A seia la lonfjncur, et par les poîiila de di- 
visions, on mènera des ordonndesy.y .J"'-.. J^ qui couperont 
l'aire eiietéiiieni dont les surfaces rcspcctÎTes seront exprimées 
deux k deux par lu formule ci-dessus i la a', la 3',... seront 

; ''Ci^'' + V +-t.r'). 5 ^tîj' + V" + ; J-'"). clc- 

fi/ani irat^ un nombrt impair d'ordonnéet étjiii-dislanUfi , 
faites leu r somme , plus celte de tomes les ordonnées de rangs 
pairs, moins la nwilié de* deux extrêmes; te tout multi/'In' 
par î de tenr intervalle h. 



4^jQ CALCUL IHTiOBiL. 

La même rcyle a'nppliiiiic tividouincnt su m «à IVofetit 
commo ACFE tcnniudc par deux courbes oppOÉ<«s^ en appe^ 
Janty.j'*,^'' les longueur! toUlet de ctuqae pinlIèU. 

Plus h est petit, et plus le résultat eit approché i]e l'ain A^ 
inandde. Ce tliéoiërai.' s'applique à toute ndace in^gidîiK, 
parce qu'on peut la (lLk;oroposer en d'autrei qu'oo évalue i^ 
parement, et qu'on ajoute ou retiiLiiclic ensuite, te\oa leacas. 
Lorsqu'il arrive que la base se trouve coupée par la courbe, 
la inème rèi;le reçoit son application , en faisant ^le à ïéro 
l'ordonncic (lu polut de section. 

846- Noua ferons ici «{Uclqucs remarques. 

1°. Si l'aire fcstcoinpriseentre les branches BM, Z> A', d'une 
lucme courbe (fig. •}%); ou entre deux courbesdtSicrentcsdon- 
tiée», en nommant Y^Fx, ji=fx^ les ordonnées PM, PE, 

BCPM^fYAx, DCPE=:fj,\x, d'où DDEM=J(r~j)Ax. 
'2". Selon la méthode InGnilésimalc (n" 80a, B^3) l'aire 
/ peut être considérée comme la somme de ivcLinglcs tels que 
m (fig. 78), dont Ax et >Sj sont les cûté«; ixéjr est donc 
l'éléinetit de l'aire (, et il s'ajjit d'intégrer jjTdxd/ entre les 




QUADRATURES. ^jg 

«f anginenlc (0^74^)- ^''i ^^^^ ^^ triangle rectangle ABD^ on a 
r^rz^a costfy d'où 

clr=i — 2iisintf(i«,(lde= -r 7- = ——--- -. 

2av^(i— cos«) |/(4û'— r*) 

Ainsi Taire <]/=:—- ^ r*d« donne 

'^*^''r I ' ^'' . ^3. H 1.3.5 r^ 






'"~4â\3 "*"2.5.2'a*"^2.4.7.2»a^'^2.4.6.9.29ûy ) 

rintcf{;rak est prise ici depuis r=o, et exprime l'aire du seg- 
ment j^OB dont la corde est r. £n faisant r=:a^ on a Taiio 

(•> ^ 

M + ô-g H 7 — . . . J; égalant à 

Jjira', on trouve pour «■ celle série convergente dont la loi c. t 
manifeste 

•^~^\3"*"2.5"^2.4.7"*"2.4.6.9"^2.4.6.8.ii"+"-V 

3°. Quand laire sera renferinc'e entre deux courbes BM, DE 
{fig 78), dont on a les équ. Y^^FXj jr^^fx, on intégrera 
rclc'ment m=sdjrdx depuis P^ jusqu'à PMy c.-à-d. que j^d.r 
devenant (K— j^)dj:, sera une fonction connue de jr, repre'scn- 
tant Vêlement ME compris entre deux ordonnées infiniment 
voisines. Il restera à intégrer relativement à x entre les limites 
j4Cj AP\ et si l'aire est comprise dans le contour d'une courbe 
fcrme'e, on intc^.rera (F— j")da: depuis la moindre valeur de x 
ju&qu'à la plus grande. Lorsque l'aire est renfermée entre quatre 
branches de courbes, telles que BM^ BI, JK, KM, il est 
facile de la partager par des droites parallèles aux axes, en 
parties qu'on sache évaluer séparément d'après les principes 
préccdcns. 

Les parabries opposées AFy AF' (fig. 80) ont pour équ. 



^8q calcul IKTÉCniL. 

j*Œ±3/w:; intceroMTéleiuent m = tIj;.ilj'rriatiTenient*j, 

ieU'taM, e.-i-cl. depuis — ^jnsqa'i +!Î^; x^dttai 

•L^ poor l'aire de la tranclie itiHf. Intégrant de noarua it 

^ en C, on Oepui» j~o, l'aire F'AFC aéra ^ , on î xr. 

4». L'ordonnée j- de la courbe ne doit pas derooir infinie 
entre leslimitet de l'aire (n" 842). 

5". L'éléincnij-dxcliange de si|;ne avec j- ou x, d'où il mit 
que l'aire devient négative lorsque x oa^sont de signet con- 
traires. 

Lorsque la courbe coupe l'aje des x entre les limites de 
l'aire, il faut cbcrcber chacune des deux parties etajonter. 
parce que l'une est positive et l'autre négative, et que la somme 
demandée doit être obtenue sans avoir égard à ce dernier signe. 

Pares., la courbe Ar.(<CD (fig. 79} a pour équ.^-=x x". 

AK-=A1-^\ ; l'origine est en A. L'aire / = ^x' — ix'-f-c; 




HFCTIFlOATIOfiS. (JOI 

Mais la Tormale ( n" 767 ] des recliricalions, appliquée au cer- 
cle (iout le rajou est a, donne pour longueur de son arc j, 

dj^— ' '-ri d'où dr = îidf , et r^ 'Aj, en prenant 

l'arc i entre lei inèmea limites que r, a;= CO et x=: CA. 
Quand ^ = (1, on a T =r ;<«; ainsi, le secteur circulaire 
BC0 = \COXiiTt BO; et 

le secteur ellipli(iueil/CO=îftx«rc BO=:->c OCB. 

Pour l'hyperbole AfA^tfig. 7a), onaxr=»j',d'oùi-'=: — ^ 
et dT = — yàx, T= — /j^laî ! donc le secteur (jnelcontjue hy- 
perbolique CAM=CBPM. 

Bifi. Lorsque les coordonnées sont polaires (dg. 45), on a 
C«* 769), drsa-; r'dfl. Ainsi , dans la spirale d'Aidiiinùde 

(n' 473)1 oiia«T = <ifl, on trouve »=: - //"dr=-.— -(-<■. 

Pour l'aire AIO formée par une révolution entière du rayon 
vecteur AM , il faut prendre l'intégrale depuis r-=o jusqu'à 
r^a. On obtient j^/0 ^ ,- to' r= le tiers du. cercle dont le 
rayoti est Al. 

UemarquOHS que pour pouvoir étendre l'intégrale au-delà 
de 1=360'', il faut avoir égard à ce que celle a* aire contient 
celle qu'on ïietil d'obtenir, comme (n°84*», 5".), 

849> Donnons quelques exemples de lu formule (n" 767) 
des TcctiricatioDS , i^ fx/^ix* + dj-'). 

I. Pour la parabole, ^'i^a/^jt donne 

.rd.T- = H'. s=J^i(jr*+p'). 

Celle intégrale est (n' 81 3, p. 45i) 

1 // Cfi^. 71),^ = ') donne j = o: on 



48a 



1 ongmc est au cenlre 01 
r"— x% oay*=itrx- 



C.»ICUI, ItlTÉCHAt.. 
oc^ — ip^ipi donc 

y> ^ r / 

li. Pour la seconde parabole cubique j^=al', ona 

Engendrai, _7- = a3:* rcprcRente toutes les paraboles ou li 
bypçrboles , «u'ivaut que r est une Traction positive ou tiégll 
ùv« : on oblient s=:fix^{i + n*a*x"-*). Toutes U» I 
(n* 816} que 7(n — 1} est eMciemcnt coutenu dam 1 

«lue ~ r + ; est entier, on aura l'arc * sous forme fiai 

III. Four le cercle, suivant qut 
reïtrdinilcdn ilianièire, on o_j^ = 

Dans «es deux cas, il vient ^ = / — ■■ En mettant poui 

valeur en x, on voit que l'iu tentation ne peut sVfli^Iuer ^ 
par séries (n° 840), ou par des arcs de cercle , ce qui ramÛ 
U question au point d'où l'on est parti. 

IV. Pour l'ellipse , ay-|-iV=a't' donm 

J oV\ "'—x' ) ^ i/(a-_j.j ■ 
eu faisant ae-=\/{a' — b') \ e désigne le rapport de l'exeenlii^ 
cite au demi-grand aze. On ne peut intégrer cette expression 
que par une série ; mais il Êiudra 4^ioser le calcut de manière 
àla rendre convergente. Ainsi on pourra développer (n" 485, 11), 

Ou bien on fera l'arc OU ( Gg. 73 ) du cercle circonscrit = b, 

d'où C>*=a:=flcosS, et ^ -=— d*. 

ipuis *= — <i/d9t/(i — e-coa*fl). 

On aura à intégrer uue mi te de termes de la forme vif cot*^ df 
( n° 636) \ par U J'arc OM dépendra , à l'aide d'une smc « 
Parc coriespondaat OB du cercle circonscrii. 




I 



La rectification de l'hyperbole oiTiC un calcul semblable. 
V, Dan» la cyclotde (fii;.43), l'origine ^nt un F, on a 
("" 763, VI) 

/=V/^. '=/^'^.=-^(''... 

On II 'ajoute pas de constante, lorsciue l'arc î couimcHce 
en F Or V^(ao') ^=^^^1 donc FM = % foîs la corde KF. 

85o, Si le» coordoonées sont polaires ( a° 769), b» n 
dj=;v'(r'de'+<lr*). Ainsi, Inspirale d'Arcliimèdu, oùagrr=aS, 



a„.„ .=/^Y(^.^..). 



Eu comparant cette expression à celle de l'arc de parabole, on 
voit que les longueurs des arcs de ces courbes sont égales, lors- 

ijue r est l'ordonnée de la parabole, et- le paramàti'e. 

Dans la spirale logorilLmique (n" 4"4)i ^ = 1''; on trouve 
jr=/(Iri/a = r{/% + c : si l'arc comme uce au pôle, c = o, 
m l'on a 4 = r\/3. Ainsi , quoique la courbe n'atteigne son 
l^<ile qu'après un nombre infini de rëvoliiiions, l'arc j est fini et 
c^.-il St la diaj^onale du carré construit sur le rayon vecteur qui 
)<: termine. 

foyez, pour les courbes i\ double courbure , ce qu'on a dit 
II" 791. 

Des aires et des volumes des Corpu. 

85i . Le volume v et l'aire u d'un corps de révolution autour 
de l'axe des j; s'obticuueut (n° '^^2) en intégrant 

Voici quelques applications de ces formules. 

I. Pour L'ellipse, en recourant & la valeur de di(n'849> 1^ )< 



L 



3... 



^8^ CALCDL IKTiCBlL. 

L« i" donné v =»** (^— ^ + "y "* *• ' 

(In limites, c= — Ja. SoildoncsUluatnirdaKBnuBtd'd- 

lipiOlde,ou:ca?a — », le volumes -5— - (3« — »J. Pov 

l'elliptolde entier, i=aa, et l'on a J «rft'a. Il en rémlteqae, 1'. k 
Tolnme delà sphères * wà^ ; 2*. l'ellipiolde de réTolation est i 
la sphère circonscrite 'là' la*; 3". chacun de ces corps est les 
Idacjliadreqailui est circonicrit ; 4*- enfin le segment spbe- 
riqne=irz*[a — ja). 

L'intégrale qui entre dans la valeur de u est visiblement Vùre 
d'ane portion de cercle concentrique à l'ellipse comprise entre 

les mêmes limites que l'arc générateur, et dont le rayon est -, 

Soit z cette aire facile à obtenir ; on aura u t= -. 

511 s'agit de U sphère, on â (0*849, ''')• ^'= i *^'<^'^ 

H ^f^wrdx. Ou trouve aitémeot 3«rf pour U snrlàce de la ca- 
lojte onde lasonedonlzcst labantear; et 4r''*pour Vaircdc 
la sphère entière. 







CUBATURIIS. ^85 

^5». Le Toloinc ^cl l'aire U d'un corps sont donnes par les 
Iormul«a(n° T^) 

r=Jfuixiy, V=ff6iAr\/(f\.p'-\-'n. 
Voici comment on doit entendre ces doubles intégrales. Après 
avoir mis pour s,/) et j leurs valeurs en i et en j-, tirées de 
l'equ. de la surface proposée (n° 787), on int^rera, en regar- 
dant comme coiiiitaut ^ ou ^ à volonté, suivant i|ue l'une of- 
frira des calcuisplussimples que l'autre. On aura ensuite égard 
aux limites que la question détermine. 

Par ex., si l'aire V, qu'on demande, doit être comprise entre 
deux plans parallèles aux xi,jr=ia,jr:=b, et qu'on ait in- 
tégré par rapport i_/, on prendra rinlégrale entre les limites 
amb, X étant regardé couync constant. On aura ainsi l'aire 
MB (fig. 69) d'une tranche dont l'épaisseur est infiniment 
petite :=d:c, tenuinée aux deui plans Jl/£, SB, dont il s'agit. 
Cette i" intégrale sera de la forme fx.d'X, c-â-d. délivrée de^, 
mais contenant x. On intégrera de nouveau, rctalivenient à x, 
depuis la plos petite jusqu'à la plus grande valeur de cette va- 
riable ; et L'ou aura l'aire demandée, qu'on regarde comme la 
somme d'une série infinie de tranches semblables. 

Si le corps est terminé latéralement par des surfaces courbes, 
on devra introduire, dans La 1" intégrale, des fonctions de x, 
pour les limites de y, ai opérant d'une manière analojjuc au 
Des exemples éclairciront tout ceci. 



Pour la sphère (fig. 81), x' +f -\- E* = r'; d 
On fera d'aboidj- constant, et r' — J'=: A' ; d'o 



r=ffàaxv •'-'■-!'■ 



— e t "'^ 
~Jj vi.-f— 



.•ir, y =m'»}V <.■*•-'')■ 



Une 



CALCOL iUTlKRAL. 

"♦uiï^gratioi» donne, pour ruDe.nlj'.aiTfrin=î\oi,ï 



plan jr*^**"?*'!*"?''*''*""''""*"'"'^^"''^^»'*""'^'^"*''**'"" 
x'+y^r', etdaus lequel l'abscisse ^f==±:\/(f-^r'J=±:.^ 
«t le rayon du cercle formé par le plan coupant DmC. Si Ai§ 

on prend cette intégrale depub x = 1 Jusqu'à x = 

nn aura l'aire infiniment étroite DmC d'one bande pinlli 
aux 3-1, et tracée sur rbémiaphtre supérieur. 

Faisons doncT^:^ — v# et .t:^+,4 dans nolrearcô-de* 
puis retranchant le i" résultit du a', nous auront 
que l'arc dontlesinus^i.est ^v. Intégron« par rapport I 
qu'on a prise pour constante ; nous auions «rr^ pour s* int^d 
trt le» limites étant — r et r, qui sont la plus petite cl la p 
p-anite valeur de j-, arr* sera Taira de l'héiniRpht!re rapil 
n autant pour le volume /''(p. 4-'^)i 



/i/(^'~;c')dT = 



xi/(^'-x') + -;^«rc(.i. 



Prenons k-s limites — ^ et + ^, comntff à-^*n*M; le 
disparaît, et l'on a ^rrA*. 11 faut done intégrer de nourt 
; T (r* — _j-') Àj, qui représente la vol urne de la irancHe DmCE; 
et l'on a -^a- [r'j- — \y'), qui revient â /'^-j *r^ entre le^ limites 
— r et + r. C'est le volume de la demi-spUirc, 

L'élément du volume ^estd.rdj'di : on inlègre d'abord 
rapport à z, depuis le î de U surface inférieure, qui limiti 
corps, jusqu'au z. de la surface supérieure : ainsi, l'on 
idjrd_^ ces deux valeurs de a en fonction de x et j', telles qui* 
les tire des équ. de ces deux surfaces : ou a ainû le paralléli 
pède compris entre elles, et élevé sur la base cUdj". Ou 
cusuite relativement h t. pour former la somme de tous \i 
prismes qui composent une tranche dont d^- est l'épaisseur 
qui est comprise entre deux plans parallèles aux Ti. Suppôt 
que le volume ^soit compris dans un cylindre Al}fg (fig. 
élevé sur une base donnée mng , les limites de cette 9* lui 
fjralc résultent d'un section quelconque Pmn, faite diiw 
corps par un plan pcrpend. aux _r = a'""» I'*"» prendra l'intt- 



1 

is ^^ 



CIlBATtlRBii. ^87 

graU depuis jc=: Pm jotqu'A x= Pn, valeurs fju'an lire eo 
fonction Je j' de l'^qu. de la courbe rtfng, buse de notre cylin- 
dre. Soientx=^etx=Fr ces valeurs; on les mettra aiicces- 
sivctucot pour a: dans l'intégrale, et l'on reirancbcra les retul- 
Uts l'un de l'autre. Il ne restera plus qu'à intégrer une fonction 
d« j-, depuis la moindre valeur jiU de y jusqii\ï U plui 
grande ^C, valeurt qu'on tire encore de l'tjqu. de la baie/n^ , 
Cbcrctions, parex., le volume ducAnedrait. Pienoos son axe 
pour celui deaj', et le sommet pour ori|>îuc : l'cqu. est (n*G6i} 
/',r':=x'+x',/<ftanllaUng. de l'angle formé par l'axe et les 
{;<: lierai ri ces. Or^iAxAj- devienta^^C^'^— j:')d2rdj-, depuis les 
inférieur jusqu'au supérieur , puisque z ^ ±: 1/ ( ly — x' ). 
-^-'intégrale relative àjraélédanntïc ci-dessus et p. 4^3, savoir. 



Comme en faisant 1^0, l'cqu. du cône donne x-=^^ljr ponr 
les limites du corps, il faut changer ici a- en — /f (ce qui donne 
téro), puis en + ^ l^d'oû ily. arc (lanj;. ^0O)=lT^/''] j il 

R:nt,enretraucliant,ir/'j-'d^, qu'il faut intégrer depuis^^o, 
le sommet, jusqu'à j*^ h, qui repond h la base. Donc enfin 
volume dit cûnc droit est j «/'fi', ce qui revient au ibéorème 

De même, si les limites de l'aire sont déterminées par i 
courbe FMNG tracée sur la surface dont il s'agit, ou cherchera 
sa projection J^ sur le plan 3:y {n° 656), qui déterminera un 
cylindre droit, pour lequel ou raisonnera pre'cisément de la 
même manière. On întégvera donc AxAjr \/{i ■+ p' + 5') entre 
les limites ci-dessus désignées. 

En voici uu exemple. 

Soient tracées, sur le plan xjt, les deux paraboles égales et 
opposées i^>^£ , F'AE (tig. 80), dont j* = nx,;^' := — (w 
sont k-séqu.;putslaparallJ:le FF* k l'axe des jt, ACéiiu\k=ib. 
De plus, concevons un cane droit 4 baie circulaire , dont le 

tmmct serait i, l'origine A, et qui aurait pour axe celai des :, 
Iqu. étant ï = *V/(a:'-f,r'}. (n'GCi). Ou demande de trou- 



I 



468 CALCUL INTÉGRAL. 

ver Win du cAne comprise du» le cjlindre droit élevé nf 
AMFFM'. L'éqa. du cAve donne 

*î ^^v . + ,•+,- = ,+.. 



l'élément de l'aire du cône «31^/(1 +^*) dxd^, n projection ett 
en Ht. L'înl^rale relative i x est f/ ( 1 + ^*)^J, qu'il faut pren- 
dre depuis Jl^ jaiqu'en Jlf, et l'on aura l'aire de b bande inS- 
niment étroite qui est projetée en MW. Or les éqa. des para* 
ImUs donnent, pour les absdsses des points M* et M, limites de 
l'intrgrale, 

Opc'rant niainteuanl pour^ sur cette i** intégrale, il vient 




SÉPARAT.ON BhS ViBIAULt^. 4^9 

H en 9cr* de incnie de lott(e équ. dgm on pourra tépaier les 

varinbles. Le cas le plus simple est celui oii M est fonction de x. 

et ^ dej* «eulement ; car, divisant l'équaliou par Mfi , on a 

4r . df _ „ 

A' "^ >/~ 

C'est ainsi que Ax\/(i +j'") — Jtd^ ^ u 

l(cx)=l|>+ï/(t +j-)], el cx=j^+i/Ci+^'). 

854. ^iM=XY,N=xy,, A'etX,, éUnt des fonctions 
de .r, >' cl K, des fonctions de j , on a A'^dj + X,r,dar = o. 
qui donne, en divisant par Xï ^, 

^ r.,(r + |d»=o. 

^^P^5. La séparation des variables tst encore possible daus les 

^T^U. AoBioji/fMfn'Ssa) par rapporta x et ». Soit mie degrc 

de cliaquc lerme.dÇ;''jf*, oum^A+i ; en divisant l'equ. pat 

.t", le terme ^j-'j:"iieTicnt -^r-) =^ï*, en faisant ^^ xi. 

Ou voit donc que Af et A' deviendront des fonctions de i seul, 
tu sorte que si l'on divise par M l'cqu. Màr + A'dx^ o, on 
aura Aj- + Ziix = q. Mais_T- = J^î donne ^ = .rda +s(la:, donc 
xd3 + (a+2)d*=ûi d*oa 



àx , di 

Prenons, pour 1"' 
ona par ax-i-liy, n 



i-r-!!'-=o. 



s trouTeroiis 

(j-Mjjds 



equ. facile  iniegrur. II faudra eniuite substituer'- pour i. 
C'est ainïi que j'â^ + (x + ^y) dt ^ o, à cause de d ^ o 



49» 



cAiccrt inTéskAL. 



dsCi +«) 

ds an noméniteui dm- terme , qni derilM ,,^^j. "• 

. On a donc à intégrer 

1 +2 

da: , _d3 d» _ 

d'nii l(ei)+l(i+2) + 7^=". 

ou l.»(:i: + «) = ^;j, le(i+^) + j-|rj = '>- 

II. Pour qr"<b' + ('■ + Ar*)*!* = o , on a 

m. Soit a«ir— ^■ii=J.ivc^+j'"); p»»»' ^=". "^ 

divisant par x, on trouve 

4;-J-air=dil/(i +;■), d'où — =j,^,_^^.,. 




siPAnATIÛIf PPS YAMiBLES. 49 i 

donc iïiXegfMe. Ainsi pour 

(ax+bjr + c)êjr+{mx+,njr+p)dxz:zo. 

on fait ax + by'^c:=z mx + ryr+p^zt^ * 
d*où aàx + bdx':=zdz mdr + n4^s=df; 

- mdz — éuU - bdt — ndz 

la proposée devient homogène , 

zd^ + fdxsso, on (mz — m) dz+(Al — az)dl=o. 
Quand mi^—na ssso , ce calcul cesse d'être possible , mais alors 
fn = -T-9 et la proposée est 

bcdix+bpdx + {ax+ùjr) (Mj'+iidx) = o, 

dont on sépare les variables en faisant âx+ bjrzsLv; on subs- 

, , dw— ûdj: 
tilue cette valeur, et 4r= 1 > c^c. 

857. Prenons Téquation linéaire, ou du i" degré en j'^ 

djr + Pj-dx^Qdx, 

PetQ étant des fonctions de x ^ on fera j^=z<, d'où 

zAi + tdz + Pzidx = Qdx ; 

dans Téqu. j-=zzty 2 et <sont des fonctions de x^ dont Tune 
est visiblement arbitraire ; on peut donc la déterminer en éga- 
lant À zéro le cpef&cient de z; donc 

dt + PidxssOy tizsaQdx. 

dt ' r 

La !'• donne — = — Pda:, d'où hss— /Pdx, et comme 

Pdx ne contient pas j*, Tintégrale 11 de Pdx est facile à trouver. 
On a donc 

h=— ii+a, ou <=c-«+*=e*c-". 
I/équ. I(b= Çdx , devient e«dz=Çc"dx ; d'où 

e^jss/Qe^'djr+c, 



/na CALCUL IHTÊGB&L. 

Q «t u MMit des fondions connues de x , et l'intégiide fQ^èx 
étant obtenue , on remetln poar z ta valeur — on j'e"^, ce qui 
duuten enfin llntégnle demandée 

j-c'=fQc'dx+c, ëqu. OÙ u=fPix. 
11 Miit de ce calcul, qa'il est inutile d'ajouter une constante a i 

Soit , par example , At +J'i* = ax'dx ; on a 
P=t, Q^ax", u=/Pdx=sx, 
/Çe"di=yâa*e*dx=ae- (x'— 3*' +&r— Q ; 
donc ^Œcff-' + a(** — 3x»+6x— 6).^ 

Pour t'éi^u. (1 + X*) dj*— j'ard* =:oJx, on a 




I 



W DIFFÉRENTIELLES EXACTES. (J^J 

trantfornuJe lioinogÈne li m = — a , el qu'on intègre en icpa- 
r.in( les variables, quand m = — 4- 

3°. D«n» (ont autre cas, soit fait z^t~',x"'*-^ = ii, puis 

V "- m + 3' w + 3' " ™+3' 

et l'on a celts é([a. semblable à la proposée, 

on pourra donc la traiter comme ci-dessus , et l'intégrer lorsque 

Et si « n'est pat — a ou — 4 > "" effectuant une transforma- 
tion semblable, et continuantde pi'ocbe CD proche, selon les 
mêmes procèdes, ou Sera ramené k des équ. de niêmes formel 
que la proposée, ajfant pour la variable, dans le 3* membre. 

+ 4 " + 4 _£+4 

-f 3' n-f3' p + V 
c.-ii-d. que cet exposant est 

f- _ "' + 4 _ 3w+8 _ 5w+ia ■ ;to + i6 

p m-f.3' 2 'M 4-5' 3m + 7' 4m + 9 ■■■ 

'Que l'une de ces fractions soit nulle, ou — a, ou — 4 > ''"'^gi^!*: 
sera faciles trouver; savoir, m = -r ^ - , l'éUnt un entier quel- 
conque, positif, ou zéro. 

Si Von eût commencé par faire^=l~', x'^*':=t, dans la 
proposée , te même calcul aurait conduit à trouver qne l'inte- 



uu exposant successivenieni = 



gration est possible lorsque m = 



-a 



_-4, 



la condition d'intégrabilité de l'éqo. de Riccali. 
^L Du Facteur propre à rendre intégmble. 

ï 



859. L'éqn. lUdjr -)- TVd.r^scknc résulte pas toujours im- 
fdiateœent de la différentiation d'aneéf{v,J[T,y)= o; car 
a pu, après ce calcul, multiplier ou diviser toute l'cqu. par 



^Q^ CâLCUt IMTÉOHAl. 

UD« fonction quelconque, ou en ébininci' uneMnaUtote (u° •■/. 
èi l'aide de /{x,j')=o, ou enfin faii'c telle combinaison qu' 
voudrft de ceKcqu. entre elles. LVqu. proposée peut donc iii'< 
ët« une difféivnlietle exacte. 

En [général, tohu zsJXx,j), la diil'^rcaUfiUe éUnt. . 

ilw = flf()7'+A'd3:, la relation -p— = --—|—deri«iilid 



dxdy iffJ.T 



>i± 



"d.r" 



Ainsi, loutet lex fois que Mdj + Stiar est une diffé 
exacte , la condition ( i } doit être remplie. Réciproquemcni 
silAelîi tatisfont à fa condition l^i), }itdy + îidx ett unediDc- 
reniielle exacte qu'il sera toujours possible d'intégrer. 

Pour dé monder cet te réciproque, intégrons Jtfdj-co rqjardan t 
xcoiiuueconstant,eisoit/'rinlégraie, fonction connue (iexGi^, 
résulianldc/MJj', relative à^ seul, ouAf: 



! 



PrEiunl|Kiur 



I 



la constante arbitraire nue quanti tê.V, qnipoutn conlciiîrx, 
nous aurons P+Xpour l'intégrale de Wd/ relative ij'. Prou— 
TOns que P-j-X est l'intégrale de M^x+^dx, quand l'ffuu. ( i ) 
a lieu. 

La diflereutiellc complète de P -^ .X est 

^dx+^dr + cW ou —dx+my+àX: 

d'où l'on doit conclure que P+ A'sera l'intcgnlcde Mtlr+ rt 
( qui sera par conséquent une diiréren titille exacte), si l'nu |mj 
délennioer A' de sorte que ce trinôme iioît= Afdr + W»Lr , 1 

JVdx=^d*+dX, ou dA-=(fl'— J^)dx... (ïj 

Or, en différentiant 3i= — par rapport k x, on'tfoovc, i 
*ertn de la condition supposée (i), 

'}J}i^d*P^_<W dft d'P_ 



'-<"-'£) 



DIFréttENTieLi-tS EXtCl 

■clallvoi.r; Tf- 



495 






U don< 



fonction de x, ce qu'il s'af>issait de déin 

L'iuicgralecLercliceesidoncP + 'Y, Pelant celle de Jtfd^ 
par rapport ijraeaï, et X l'inlegialc de ta fonction de x dooncc 
par IVqu. (a). Nous avons donc ile'iuontré notre réciproque eu 
luAno len^ cpie nous avons donne un protéd^ d'intégration 
de Wdj-+A'dx. 

Il cït inutile de dire qu'on peut également commencer par 
imécreryvdx, jetant constant, et compléter l'intégrale par 
une fenctioa ¥ de 7, etc. . . On préférera celle de ces deux voies 
qui facilitera davantage le calcul. 



^^Bt. Soit propose d'intégrer 
que 



Ax 



I/O +x') 



adx + aij'dri o 



A= 



troavcP^^';aînsi^'+.Vestl'inlégralechercIiee, puis- 
juc la condition (i) e*t remplie. La dilTéreDtiellud«^'+ A' re- 
lative à x, comparée Ji iVd.r, doimo {p. 4^1] 

•^^ +adx, d'oùX = ar+l.c[x+v/Ci+x')li 



donc, oniir'+wr+l.cl^r + i/Ci+a:*)] 
II. De même pour 



I 






K: 






Après avoir Teconou i\M l'dqu. (■) est satisfaite, on intégre 
r rapport à X ; on trouvera 



«l/Cr+rJ + i 



"(>«»b=|)h 



1-, 



/ng CALCUL INTÉGRAL. 

CD «liBignaiit par Y une fonction <lc j". DilF^rvutJant cclU «- 

preswon par rapport àx. et comparant a àldy, on a un 

dï' = 36r'd7-, d'où y=bj-' + c. Ainsi l'iolégralc cal obtonu: 
complètement. En faisant a^A = o, on Iroave 

Celle inlégrale , employée par M. La place (Jtfi^caR. 
t. I, p. 6), est un cas particulier de la prccédenU. 
III. On trouvera de même 



r .|j[x+t/(x-+^-)]+j-tir 



=\.cix-\-\/(x'+x'y]- 



860. Quand Mi\j- + Pk'iix ne aatiaraJL paa i U condilîOD d% 
té(;rabilité , on peut se proposer de trourer si , eu uitilliplb 
cette expression par une fonction s de iX et j', elle pourrait de- 
venir une diiTérentiellu exacte. M<l;'-t-JVdx:=o résulte de IVli- 
mination d'une constante entre ta primitivey^ jt, ,;~, c)^a , et 
sadifTérentielle immédiate. MettonKceséqnatïonssous Informe 
y-i-K = o, e^f (:r,_j-),cequ! est permit j A' repr^seiiie une 
fonction quelconque de :>: et ^. La ddfiri^ de c=:f(x,^) étant 

, caranie la com- 



onay+^ = 



tante c n'entre plus ici , cette expression (n" 737) est ideniif 
avecy+K.oa 



y-4-A-= 



ua ^=P(y+fc>; 



comme ces deux membres sont identiques , et que p' e«t V 
dérivée exacte , P{y+K) doit également en être a 
proUTC (\a'ily a toujours un facteur P propre ù rendre inUgrû 
ta Jonction y' + K , ainti que toute équation différenlietlem 
premier ordre entre x et y- 

CUerchous ce fadeur, que nous représenterons par ï. 

'*'**!r+'Vïdjr ne peut être différenlielle exact* qu'autant flj 
4t^_d(iV«) „.. /dJM drt\ „ d« „ d. 



di^=^ 



■b- 



-f' 



Ux 



-f')^-^ 



-M.y— 



DiyrBilbMIkLLE» K\1CTES. ^Ot 

Mttc vqu. aux diff^tculielles paiùelles est ranimeul utile à 
causedËUdifGcullcdcKcalculsimaUonjicut en tirer quelques 
|>i'opriétes remarquables. 

i'. Si t'int^raleu lie i(it/il_7'4~''Vdf)L'tui( connue, le facteui' 
X sérail lacileA trouver ^ car en cotuparaDt -r— iIj: -|- -j— ^^' 

avec slUfàj'-i-Ni.U), qui lui est identique, on «n tirerait 
aJse'inent s. 

a'. Multipliant l'^qu. iiu:=z{Mi}j+[\'ùx) par une foiic- 
tioR quelconque de it , lelk' que ipu , nous avons 

j«.du^;.(pH(.>AIr + JVdr). 
Or. le premier membre étant une difFeienticIle exacte, le 
deuxième , qui lui est identique , doit jouir de la même pro- 
priété ; d'où il suit qu'il jrn une infinité de facteurs s. fupioprea 
à rendre in légrablc toute fonction de j; et de ^, et que la con- 
oaissaucc de l'un d'entre eui i sufTtt pour en obtenir un nombre 
infini d'autres x.fu. 

3°. Si le facleurr ne contient que l'ui 
on le trouve aisément ; car soit z fonctii 
se réduit <i 

àz_dx/AN dM\ 



des variables xou^, 
de X seul , IVqu. (3) 



(4), 



ds 
parce que -f- = o,etq: 



«Ir 



dî_ 
' dx ' 



L plus une diiféreucc par- 

.ntcgration de celte équ. donnera s; car l'hypolIièHo 
cii[;e que le 3i* membre soit iiidt'peDdant dejr; on rcconnnilrs 
même ^ ce caractère si la sujqiosiiion est légitime. 
Oe nictne, si s est fonction de j- seul, on a 

d. _,ir/dM div\ 

T-7v(,-s— ;!?/■■<"■ 

et le a* membre doit être indépendant de X. On remarque dans 
; renfermée c 



s <iqU: 

|(cs cal nulle, lorsque Mdy + !Vdx ecl 



- diCfer, 



irlle 



IT. H 



/qS CALCUL IWTÉCHAL. 

!. Soit, par exemple, iLB+(<idx + aij-4r)V(' + *'>=•; 
la condition d'integrtbilit^ n'est pas remplie , -poisque 

.W _ dM -i-bjrx 

Ay Ax ï/O+a^)' 

tnftb cette quantité, divisa par M on iby^{\-^3f*), donne 
pour qnoiicni cette fonction de x, — — — ;; donc l'équ. sera 
rendue iniégrable par un facteur fonction àex. L'équation (4) 
donne 

Donc z = : — t.- I^ proposée preodalors la forme qu'on 

a traitée n* 859, '■ 

II. I/équ. linéaire 4/+ PjAx = Çdi donne -^ 1""^^' 

aussi la condition (i) n'a pas lien ; mais cette fonction P, di- 




DIFFERENTIELLES EXACTES. 499 

telle fonclioti F des variables x, j^. . . ; si on les remplace par 
Ix^ Ijr. ,.j /.étant un nombre quelconque , F deviendra l*F; 
faisant /=:i+ h , F devient donc 

D'un autre côté, Xjjr. , , sont devenus x + hx^jr-^-' hjr, . .y 
et la fonctkmFde(a:«HAx)y {jr-^hjr), . . . se développe sui- 
vant le théorème (n* 743)» 

^^ Ax àjr ^ dx' 2 àxàj dj-' 2 

Comparant les puissances semblables de h , dans ces deux déve- 
loppemens , on trouve 

„ àF àF 

àx Ajr^ 

. r. d»F , . d»F . d*F . . 

m(m-.i)F=^x' + ^.^2arr+^r-+... 

861. Pour appliquer ce théorème à Mijr-\-Nàx y Met N 
étant homogènes du degré/?, cherchons s'il existe uti facteur 
homogène z, qui rende zMdj-i-zNdx une différentielle exacte ; 
soU nie degré de z. Comme iVz est homogène du degré P'^n, 
la propriété ci- dessus donne 

d{Nz) , diNz) 

iliMz) d(Nz) 
or, on suppose — _ = -j~- ; 

en substituant dans la précédente pour ce dernier terme sa va-» 
leur, il vient 

celte équation est satisfaite, en faisant z-= ^ . -., -; car 

32.. 



5oO CALCUL INTEGRAL. 

alors le àepé n àezat^—p — J, d'tiùp^m + i 
Oonc "^^"^^^J" «t iuiécrablc ; Vintrfgration i>e|i; 
ensuite de difficollé (ti' SSg). 
On uouve (jueid^— dxl>+ i/'(^+J'' )]*">» doii ftw 



divise par xi/Cx' + r") i "'tegrant - 



jkfiv apport 



i j-, on »Ur+V'(-^+.?'')l (n'SiS)-, ajoutant X, diRcrcn- 
liant par lapport & x , et cotn|>arant , il vient 

ainsi, X ^ le — Ix*, et l'intf'grale cherchée est 

comme n" 855, 111. 

862. Od a quelquefois besoin de diSifreotier, relatirenicnt 
à j', des fonctions qui, tell<Mqueu:=/3tf'dr, sontaficcteesdu 
signe d'intégration par rapport à :r j on diSerentie alors sous lu 
signe/. En effet, pubqu'on a 




f 3(H.0TIOri> SI.1GULIKIU:s. 5oi 

mitiation (Ifc, <|U(-'lqucgrai)il(;urqu'oiiprciinej)ourt-, dans l'une 
(■t l'autre , i{ilJtiid mémi: c sérail udi; fonction du x et ^ : cela 
vsi (<videnl- DiRereiiliaiiiyi^o par rapport à x, j et c, on u 

(jui M réduit à Pdjr + ^'d j; ^ o , en posant Cdc := o ; doue , 
loutc râleur de c qui satUfail ^ cette condition, change f^ o 
en une équation S^=n, telle que sa dilTerenticlle est encotu 
/'d^+ÇMx=o:l'dimiiialioii décentre les equ.Cdt=o,y^o 
radonuera la proposée F'=io; donc 5= o est une relation 
entre xet^ qui satisfait à l'equ. f:=o, cteneituneintéginle, 

Cdc = o donne, 

l'.dc^o, c=Gou8t., et la foDCtiou/'rËste la iDÉnie. 

t". €■=0 peut donner une valeur constante et du terminée 
dc<';y=o devient alors une intégrale particulihre , qui n'offic 
rien de remarquaHe : c'est un cas renferme dans le précèdent , 
où l'on a pris pour c an nombre designé- 

3'. C ne contient pas c, qaaiidc n'est dans^qu'au i"dei;re: 
alors on nedoit pas poser C^o, celte e'qu. ne pouvant donnci 
de valeur de c ; ou plutôt C= o donne une intejjrale partieu- 
lière, qui répond à c infini. 

■ 4*- C^o , ou^^o, pcutdonner pourcunefonclionva- 
Friable, c=^(r,j'); j étant sulisli tuée à tdaMRy=ro, on aura 
uoeéqu.5=o, dont ladiirértntielle sera encore Pd^+Çîdjr=o, 
en éliminant 9. 

Engéiiéral,5 n'est pas compris dansyC:r, j*, c), puisque c ne 
peut y recevoir que des valeurs conslantes, tandis que c est de- 
venu variable. L'equ. S=:o, qui ne renferme pas de constante 
arbitraire, o Are donc une relation entre xet j-, qui satisfait A 
la proposée V=^o, quoique n'étant pas comprise dans wa in- 
tégrale générale. C'est ce qu'on nommoimc Solution \ingulii.rc 
ou jtarnculièn. 

Car exemple, l'élimination de U constante c cotre t'eqnntnm 
j-' — ar_r-|- j'^c', et u dérivée, donne (n" 737) 



5o3 CàLCDL IHTéGRàL. 

Bwi> •■ t'on Kgonlc c comme letile «•lûble dans l'éi 
primitive propo§ée, on anr» c = — j-, ce qui la cT 
2>^a;':=o. Onpeutaisémenta'uinriir, puUciSciil, qiuceUe 
éqa. satisfait à notre équ.difréreDlielle,iiiioiqu'e1leiieKMtpH 
comprise dans son intégrale. 

Paceillement «* ^ acjr — b — c> = o , a pour dAivée, «près 
l'élimination de c, 

La dérivée reUtiTe i e seul donne jr -f- e^ o ; d'où es — jr, 
puis ^^-jr' =3 A; c'est la solutioa sin{^lièrc de noire éqnadon 
dérivée. 

L'équ. j'=* + (c — O'U**, donne C^a(c— i) \/x= O; 
d'où c=t, puis y=.Xy cas particulier de l'intégrale com- 
plète ; ce n'est donc pas une solution singulière. Ceci se rap- 
porte A ce qui a été dit (a*.)- 

EuSd, l'équ. j^ + jr* = af;r, donne C=:m^o, qui, uc 
contenant pas c, ne donne encore qu'une intégrale parliculièrf 
relative A c = oo. ( V<^e* le cas 3'. ) 
964- Nous ferons ici quelques remorques 




ftOI.UTIOnâ ïlBCULliRbS. 5l 

Ibtw A û toulti» IcK valeur» [laMitiles , ces lignes consdcutivus 
I coupcroiil lieux i deux eu udb série <1« poiuis, ilunt le 
ntèiae formera une courlx; taii(;ente h cliacuuc. L'équ. 
V(.7,j', c) =:o appartient à l'une de dos courbes, ainsi qu'à 
I courbe qui tes embrasse toutes; seulement c est cousiant 
s le 1*' cas, queU que soient x etj-; tandis que dans le »', 
e e>t une fonction Tai îablc des coordonn^iis du point de con- 
tact. La lanf^nte, eu ce poiut, étant dëtermiove par y , est 
la même pour l'une et pour l'autre ; y doit donc consci-ver la 
inémcvaleDr, que csoil constant ou variable d!xuijlx,ys)=0: 



d'où il s 



t que 



i l'on éVin 



: entre / = 



,v_ 



f 



l'cqu. résultante en a: et^, qui est la solution singulière , ap- 
fiariiens à la ligne de contact des courbes comprises dans l'in- 
tégrale lomjilile. {Foyet a" 8o5. ) 

4". Résolvons par rapport i c l'équ. ^/^x,^, c}:= o, cl soît 
c^='J.(«^7-) , Si l'on substituait 4^ {x,j) pour c, AxasJ{x,j, t')=o, 
le résultat serait iden tique nicoluul, ainsi que toutes les dci'ivecs 
|jeelalives, Boit à x, aohà^. On a donc (n' 71a} 



'dar" 






'J/= 



dc 



o, donne -r 
Ai 

propre aux solutions singulières, offre encore un moyen de les 



De x' ^ tcj ^ f* ^ fc ^ o , on 



d< 



donc X* + _y' ^ ft, qui rend cette Eraciiou inlinie, est lasolu- 
..Uoo siliRuliÈre , 



En posant - 



- inËni, il conviendra de s'assuivr si la 1 



Mlatîon entre x ety, qui un vdiulU'i combinée ■■ 
\tt, ue4loniiepas9(.c,,^):=cou3t ^ cai uluison: 
patécnlc particulier!.' 



c la piopa- 



I 5o4 CALCOI, INTâGHAL. 

5". L'exiattiiicc de» mlutions «iiiguliëres esl aue cotiMfqoi 
de M que l'équ. T^~^~°' ^«""e pour tf une râleur* 
rialile c=:7{f,^): tuais il M peut que U fonction y «ni H 
duclible à ane consUnte, en vertu de l'intégrale conplèlc. ., 
/(x, >',0= °> "U que/coDltot c sous la forme (c— o) [c — »), 
en sorte que c=ç leviendrait à (.:=a;aIors on n'iunit plu» i 
qu'une intégrale parliculii:re, comme si l'on eût prit un nonibrV 
de'lcrmin^ pour c. Donc, pour que C^o donne (me tvbitia 
linguUire, il faut qu'il n'ai i-ésuUe pour c , M* une a 
ni même une fonction variable ç qui, mise dont ( — 
drait àjr prendre pour c une valeur conttaïue. 

Parejemple, 

{x'+jr'—b) Cr'— 3fr) + (^— *)C'=0. 

donne C=-^(r'+j-'— éJ + Car'— *)c=o; 

.ou .= :î:ff!±2^i',pni.r(^. + ^-*J = , 
Cette equ. n'ett qu'une intégrale particulière prorenoe di 

De même c* — {x-\-x)c — t +ar +.r ss o , donne 
C=ac-.r-^_i = o, c=H^+r + 'J; 
la pi-opoiée, qui revient à {c—t) (c — r— ^)=o, devieo 
(^4-^ — ')'='>; ainsi on a z+^^ i, intégrale partico^ 
lière prorenue dec=i, après avoir divisé par e — i. 

J/équ. jr=x-{-{c-~\y{c — xy. donne 

r=:i donne l'intégrale particulièie ^=ix; c^x donne II 
même chose , et non pas une solution «ingolière, quoique c »ol 
variable. 

Enfin , p= ; {x+i) donne la solution eingnlière, 
lî'- Soiia le multiplicateur qui rend dérivée exacte l'^qulln 
/+A' = o, en sorte que :{j^-{. K)^<p'=a ait pour pi^ 



SOtUTtOHS alNGUl-IËRF^ 5oS 

iiiitivc f{T,j') = c; la soluliou singulière S^o ne dbît pas 
ûlrecomptitiedanscelleétiualioii. Parconsequent, side5=o, 
on (ire X ^^ fonction de x,j-=<i/x, la substitution dans la 
fouclîon 9(^1^) ne doit pas la réduire à une cousianle ; ainsi 
sa dérivée f' ne doit pat être nulle. 

On voit donc que des deux expressiouH j-' -\-K , et ^' on 
xiy-^-K),VuDe doit ctre nulle en vertu de ^ = 41, tandis 
que l'aulri: ne doit pas l'être ; ce qui ne peut avoir lieu qu'au- 
tant que s est infini. Il en resuite que les solutions singulières 
rendent infinis tous les facteurs propres à rendre in legrable 
l'équ.difr^rentielleproposéeiouplutàt, qae les solutions gingtt- 
lières de cette équ. ne sont autre chose que les facteurs algébri- 
ques , que l'on peut mettre en évidence, et séparer entièrement 
de cette équ. par une tranfori nation convenable. 

(f^oyet an Mémoire de M, Poisson, 1 3' Journ. Polj-t., où îl 
est démontré qu'on peut toujours délivrer une équ dm" ordre 
de sa solution particulière, ou eu inlroduire une à volonté.} 

865. Concevons que ^= A* satisfasse à luie équ. proposée 
y=F{x, 7"), X étant une fonction donnée de j: , et qu'on ait 

X' = F{x,X) (1); 

cherchons à reconnaùn si yt=X est une lolulion singulière, 
ou une intégrale particulière; X ne renfenuantpasdeconstànte 
arbitraire. Soitj-:=.^(x, «) l'intégiale complète de_7^=^F(x,^) ; 
a ëtant la constante arbitraire : si y^ X est un cas particulier 
de j-='^[x,a), en sorte que •i,t.x,a) devienne X lorsqu'on 
attribue à o une valeur i, il faut que ^K^, a)—X soit zéro 
pour a=/> I donc ( n' 54o) 

^ix,a)~X=(a~l>r», 
m étant la plus baute puissance de a —b , et a une fonction de 
X et A qui ne devient o , ni oo , pour a^à. Représentons U 
constante {a — 6)"" par c ; l'intégrale complète de ^'^f(x,^) 
sera donc _^=:X + ci. 

^^4'ou substitue cette valeur de ^ dans ^'= '^(x,^) , qctt^H 



5o6 CiLCL'I. ItlTtoSlL. 

relatiOD deviendra identique. 

Oc, d'une part , le dd vélo [ipe ment de z sumat la [mituim 
uccndantcs de c,a la forme (n** 'jJS) tas K + À^ + Oif-^^ .\ 
le< eiposaiis a , &... éiaut cioitsaïuet potitifB,ctX,^,A... 
des ronclioiu de X i car s n'est ni 00, ni o, lonipie cat«. 
Donc 

X" 4-ca' = X' + K'c + A'c-*'+ .... 

De l'autre part, le développciaent de F{ic,X+c^ iVait pa- 
reillement être F(j:, A) +À'c*z'' + 3ic"z"+- ■ . n, f». . .élani 
croiuaus et positifs. Cette itfrie est d'ailleurs facile à obienir 
(n" 746) , et l'on doit retarder comme connus les noiubrct n, 
m.. ., ainsi que les [oiiclîons de x désignées pat A\ M.... Si 
donc l'on met ici pour = sa valeur développée , on a , en verlu 
de(i), 

K'c + ji-c'*' + =l\'c'iK-i-j1c' +...)• 

-; Mc"(A'+-/c" 4-. . r+eu 
11 s'agit donc de savoir s'il est pouible de déterminer = , ou 
plutôt les coefficieiis A, U... on fonction de x, et lc:i nombres 
a, 6 . . . , de manière à rendre cette équ. idenUque - car , si ceb 





SOLUTIOKS SinCOLIÈRES. 



qiiilatsoilsctnblaltlv, puisqu'il n'y a jiaa d'ijiposint île c qui 
^oi^ <;i dana U i" membre: et comme A' ne peul être nul, 
il ne sera pouîblc en aucune majiicic de satigraire A l'idenlilé : 
y = XKtai donc nat tolutîou singuliJirc. 

866. Puisque n i^I» "laiis « dcrniei' cas , eii menant X+ cz 
poar j" dan» fXx.j-), si le développement de Taylor est fautif 
entre le i" et le a* terme, c.-à-d. si la dérivée de F[x,jr) 
rcIaliTe à jr est tnfioie (ii° ^36. 3".), r^X est une solution 
singulière. Réciproquement une valeur y=X qui satisfait à 



y = F(T,j'), et rend 



infini 



lolution siaguliè 



puisqu'elle donne au dévelopjieiueiit de F[x,X-^ct) la foriin; 
X" + Tir--K' .... « étant < i , 

La eonditinn -|— , ou -——^^CK , forme donc le véritable ca- 

ractère des solutions sinjjulières , et l'on voit que pour qu'elle 
xoit remplie, si b roDCtioi»/^est (tl{;ébrique, elle doit renfermer 
uu radical (n* 739,3".) que l'hypothèse ^:= A' fait disparaître. 
Dans le i " de nos exemples , p. 5o3 , on a 



x'— t 'd^ x*~b\ l/(i'+J-' 



^^ 



et cette demière fraction est rendue intiniu par la satulioii sin- 
Cnliiïer'^ft — X'. 

867. Il tst donc facile '4'obtenir tes lolutiom tingulitm 
fan» connaître tinlégrale compliicj car en tirant la valeur de 

■J-, on l'éRaiera à rinfiui : soit ~—=:rt„ on fera ï'=o, ou 

I/:=oo. Couiidérant tous les facteurs de ces équations, les 
résultats qui satisferont i^=f(x,^) seront seuls les solutions 
singulières. 

Pour y=»a(j — n)', on a ak(j'-~ny-'=oo, ce qui oigo 
que i soit <^i, et _7-=: n ! et comme la proposée n'est saiisfaile 

r j-^ H que si * est positif, on voit qu'elle nVsl Misccplitic 



SOLUTIONS 5INGUI.Ib:Bï:5 $09 

À".ï'outjrix—-^^j=^<if, où ds=:[/[iix' + t]x'),On trouve 
T' — a'=-ixjy-j-y'{a- — x'), 
[l'oi'i xy:=y (x' — a') i puis éliminant y, on a, pour la so- 
litlion singulière, x*-t-y=:a*. 

4", Celle de^^xy-{-i',, où 1', est uneronctiou c[uelcot)(|ue 
lie j ', s'obtient en éliinitiaiit y k l'aide de ar -j- -— = o. 

868. Puisque saua connaître l'intégrale complète d'une e'qu. 
dérivée f^=o, on sait en trouver les solutions singulières, et 
que le facteur :, propre à rendre inlcgrablc la proposée , est 
alors infini ( n" 864 , 6". ) , on peut souvent, par des artifices 
d'analyse, trouver ce factetir x. Un exemple tiré du Mémoire 
deTrewbley ( Acad. Turin, 1790 — 91) suffira potir faire en- 



tendre 



}Cédé. 



Dnn» l'ex. 3' nous avons trouvé ^'+y — a'=:o pour solu- 
tion singulière ; la proposée résolue par rapport à y, donne 

(a'—x')y+xj' = a\/lr'+x-~a'), 
qui t^t visiblement satisfaite par x' — fi' = o : on essaiera si 
le fatie'ur t a la (orme (ï* — a'^lj-'+x" — a')", m cl n ëfanl 
desiiidclcrminces. Pourcela,on multipliera l'équ. ci-desatis pai- 
celtc fonction, et l'on posera la condition {t) (n" 859) , puis 
vu verra qu'elle est remplie en prenant m = — 1, «^ — i; 
lî , le facteur qui rend la proposée intégrable est 



^^nCg. Cherchon* rinléjjrale de f(:r, _f, y,^'". . ._^'-) ^ o, 
^^Hbtmc cette équ. ue peut provenir que del'Âiminalion d'une 
^^^pstante c entre l'équ. intégrale et sa dérivée immédiate, dans 
I («quelles c entre & la puissance m , soit <; = »( jtiJ-) la valeur 
de cette constante tirée de rinu'grale; ^'{x,_y) = f> ne c«n- 



{x»-à>)-iy+x-—a-)-''- 

■S Êijwttions où les Différentielles passent le pi-emier 
degré. 




.krnier ionnc^arc(iaag=y)-t-«': t^limiDanty, ç 
iiu, pour i'iuulyrale deinandcii , 



5li 
trouve 



= V^(ar 



r')- 



■c(unfi=^l-^)+c. 



U. Si Vénu.alatOTmcy^yx-^-Fx', en iliffdret-tianl, on ^ 



rd^+(^ + ^),iy, o«(x+^ 



,( cause de il^=ydjr. 

Eu cgalaiii cliatiue facteur à o, il v 



Bty=cetx + 



ne reste )ilus qu'A dliiuiiiery, entre la proposée et l'use ou 
uirc lie ce» equ. Celle-ci ne iloniic fjn'une solution Biii|>u- 
re (il* 867, 4''-) ■ '^ '" coaduil i rinlcgiale compltd; 
= ci- + C, enilésigitaul jwr Ccequc devient i^' lorsqu'on 
rL-mplace y par c, ou C=Fc. 

Ainsi, ^dj: — *d_|- = oV'[dx* + dj-') Bc met sous la formf 
j=yx + al/(,+y): 



_/=cet .r + 



"J 



la 1" dnnne pour intégrale complhUi J-^=cx-\-a\/(t + t'); b 
»* couUuit à la solution singulière _r'+*'='"'. lorsqu'on «-n 

fe la râleur de j' pour la substituer danfi la proposée. 
fl Comtaiites tvbUraircs ; de r/rite'gratigfides équ/t- 
tiotis différentielles à Faide des séries et de Ienr.\ 
constructions . 

871. Kcprencos la série de Maclaurin (n- 746)1 

dans laquelle yb, /"o, fo. . . sont les valeurs constantes qiu.- 
[ircnnent /x, /"ariya:. . . . , lorsqu'on fait jr = a. Si l'cqu. 
dKrivdc donui^ecst du 1" ordre, ou en titeray.y, y. . en 
lOMCtion <Xe y l't .r, |)ar di^s dérivations successives. Puivqui: 



CONSTANTES inBlTRAIRES. 



5i5 



y. De quoique manihre qaon soit parvenu à une intégrale, 
^tÊtrenJèrme U nombre convenable de constantes arbitraires, 
celle iqu. sera la primitive de la proposée, et ret^ermera né- 
fessairement toute autre intégrale qui j satisferait aussi avec 
le même nombre de eonstanlet arbitraires, 

87a. En faisant A:= — r dans 

nx + h)=^+yh+',j-'k'+ 

w...ft>^y-yx+iyx^ 
(3) . . .fo==y~yx 4. ir"** 

Donc, i". si l'équ. dcrivéc donnée est di 



ordre, on aura 
t' ; an sorte qu'en substituant 
.éjjrale , /o étant la constante 



y. y- 

dans U formule (t), t 
arbitraire. 

a*. Si l'équation proposée est du •>.' ordre, j**, y. . . seront 
donnésenx, j-et,^', en sorte qu'en substituant dans (i)et (3), 
on aura deux équ, entre X,J^ et j-*, chacune contenant une 
constante arbitraire, ce qui formera deux ^qu. iDlé(;ralea du 
("ordre. 

Et ainsi de suite. II est d'ailleurs évident, par la forme même 
de CCS intégrales, qu'elles sont di/Tércntes. k\asi,louleéqu, du 
n* ordre, a n intégrales de tordre n — 1. Si tes dernières 
étaient connues, l'intégrale finie le serait bienlât, puisqu'il suf- 
firait d'éliminer entre elles j-', y , _;■•-'. Donc, ayant une 

équ. dérivée du s' ordre , on aura également sa primitive abso- 
lue, soit en éliminant j" entre ses deux dérivées du t" ordre, 
soit en cherchant une relation finie entre x et x- l^i contienne 
deux constantes arbitraires, et qui satisfasse-'^ la proposée. On 
> dira autant des autres ordres. 

[1 nous resterait i démontrer, sur l'intégration des équ. de* 
I supérieurs, plusieurs théorèmes relatifs anx fadeurs 
II. 33 



TiL 



5l4 GàJJGOl IHTWUL. 

pcopiM à lendre ini^gnble* et awt 
\^%Joam. PofyL, leçons i3, i4ct i5, pu 

873. La théorie que nous venoni d'ezpiMamt 
compUtement ; mais elle n'eat pu tonjonn propK à biiç 1 
nattre l'int^rale approximatÏTe , à moiàa qu'a 
dei Uaniformations qui amcDent la foMtJon à 1' 
pour qu'on puÏMe j appliquer les principes 

Lorsque l'intégrale ne doit pa« procéder suivant lespnlisaoces 
eotitres et poùtives Ae x,oa aura 

j^Jx' + 3x* + Cx'+... (I), 
et il s'agira de déterminer les exposana a, &,c. . ., et les coeffi- 
dens A,B,C. . .Pour cela, on en tirera les râleurs de jr',^'. . . 
et on les substituera dans la dérivée proposée , que nous sup- 
posons du i" ordre et qui devra être rendue identique ; puis 
ordonnant par rapport à x, on comparera terme à terme les 
puissances de même ordre , ainsi que leurs coefficiens, comme 
pagea6x; ce qui déterminerai, a,B,à... 

Ainsi, pour(i+y)_yr=i,on aura 




IKTÉGftATIOHS VAH SÉAIBS. 5l5 

ait pu ensuite applii^uer la s^rie de Haclaurin 



[On »e«ni do laoïne ijuc l'équ. i^ +j-da- = ojc^dx 



[«, + ,)(m + a)^(m + . )...(«■ 






manque d 



+ 3) 
lèrnlité, 



parce 



qu'eilc est privée de constante arbitraire ; niait si l'oi 
dans IVqu. dlflereDiielle proposée * en « + fl, etj-cni + A, 
on développera I to s ; en sorte que !a série / soit nulle lorsque 
t=Oi pnb substituant pour z et ( leurs valeurs :r— a et ^ — b, 
on aura l'intégrale clercliée, où a et £ tiendrout lieu de la 
constante arbitraire c , puisque dans l'intégrale f{.x,jr^ c)^t> , 
rpcut ôlrc déterminé en fonciion de a et i. Il sera aisé d'élcndre 
ces principes aux ordres supérieurs. 

■875. On peut aussi approclier des intégrales à l'aide d(;s frac- 
tions continues. Sohx^jfx^, Sj^, Cx'.. ., entuiTani la no- 
tation p. 177, cette valeurdej-serarepréscntée par /=: , 

s désignant le resU de la fraction continue, ou s^Bx*. Cf. . . 
Subslitoanl dans l'équ. diQ'érentii^lle proposée pour,r celte va- 
leur, en né(>li{;eont ï, ou faisant r=î-^^, on ne conservera que 
les l"" termes , parce qu'on regardera x comme très petit (note, 
page 3d8}. On trouvera ji el a par la comparaison des coeflî- 
wna et des exposans ; puis on Ara , dans l'équ. dilTcrentiellc 

proposée , y ^ - ■ ^ ; raisonnant de même pour la transfor- 

^^OlécenE, onrerai=fl*»; puis, après avoir trouvé Bel à, on 

^^■tweis s ^ ■ ■ — dam I equ. en c ; ei ainsi de suite. 

I^K Pare)(.,mr-|-(i +^).T^='>, en faisant j^=^.r', devient 

"' (m+a). ^x'+aAx'-'=o, qui se réduit A a/rf.r'-' = o, A 

cause de j: très petit ; donc a=o , et ji reste iuddlcrmioé. On 

faîl«i»uî(e^ = ■ r ~>** Von a m{i + t)=lt -i-x):' ; d'où 

fwttntz=£jr*, on tinm+Ox^^m — à)t:abBx*-'\ ou plu- 



vàl * 



=6Bj^- 



ClLCilL IKTÉGRtL. 

, donc (■=!, *t i 



= m. On fera < 



I 

I 



j=Mc(taas=x) = 



,— "^ ,; enfin on obtiendra cette fraction conlinuL' 
uii^grale : 

Comme l'équ. proposée a pour intégrale j'=j^(i4-*)' 
ON a ainsi le développement de cette fouction eu fractÛNi 
tinne. 

Ou pourrait en déduire l'intégrale so» la forme d'une lérâ. 
{^o^. la note, p. i8o.) 

De même , l'équ. ilx r=(i-|-x*)dy donne ce dtfreli 
de l'arc en fonction de la tangente. ( fox- t>* 63t} 

mt (3^' a«y 

3.5 ' 5.7 ' 7.9 

Consultée sur ce sujet le Calcul intégral de I^croix , 
n' 668, ouvrage dont on ne saurait trop recomman'Jer la lec- 
ture, et dans lequel on trouve réuni tout ce qi 
la doctrine de l'Intégration. 

8';6. Lorsqu'une équ. difierenlielle proposée ap^rtient ii 
une courbe, il peut être utile de construire celle courbe, 
intégrer l'équ. , en opérant ainsi qu'il 

Supposons d'abord que l'équation soit du premier on 
fXx,j,y)= Oj concevons que la coutume M>it délcnni 
par la condition qut x =^ a dnnne ji- r= h On prendra (69. 
jtB = a, BC := b, et le point Cscra sur la courbe diercUée. 
En substituant a et £ pour x et ^ dans F = o , on en lirmi 
pour y une valeur qui fixera la direction de la tangente KC 
au point. C. Prenons un point D assez rotain de C, pour qu'on 
puisse, «ans erreur notable, regarder la droite CO comme con- 
fondu? avec Tare de courbe; AF=a, FD=ià' aeroi 
coordonnées d'an antre point D de notre courbe ; en son* ^ 
pourra faire j::=a', et ^^ b' dans F=o, et en tirer b 
leur de ^correspondante, et juir conséquent la sîltwtioii 
UBfntte lE, qui s'écartw» (rte ptm de la 1". Oncu 



X , loroe ïï^^ 
ader la I«- 
i est conna sar 

ntt il 



Kr, 



cOHSTmjcrioNs des éqdat. dipfér. 5>7~ 

d'opercr du tafitic |iour uti 3° point ; et l'on voit (|ue la courbe 
fera remplacée par un polygone CDEZ. 

Ou pourrait cucore raisonner de la maDÎtre suivante. On 

rerail *ie l'équ. F^= a et Je sa d^riv^e les v aleurs àay eijr", 
fonclioa de x eljr, et on les substituerait dans celle du 
nyon de courbure R [n° 773) ; puis, traçant la tangente KC , 
et menant une perjicnd. CA' égale .1 ce rayon, ïet^ctantrsBt- 
placés par a et />, on décrirait du centre /V un arc de cercle C'O; 
on regarderait ensuite lepoinlOcommeétant sur la courbe, ses 
coordonncesélaiila'et^'. On mènerait de nouveau la tangente 
ID et le rayon de courbure DO, etc. La courbe serait alors 
reinplacce par un système d'arcs de cercles conlîgus. Il est même 
évident (|ue l'erreur serait moindre qu'en se servant des tan- 
gentes seules, et qu'on pourrait eu conséquence, prendre les 
points C, D, E plus écartés les uns des autres; ce qui rendrait 
les constructions moins pénibles, 

855. Si l'equatioQ différentielle proposée est du a* ordre. 
Fix,j'',j'') = o; après «voir cboiai de même un point arbi- 
traire C pour un de ceux de la courbe, 11 faut en outre prendre 
i volonté une droite quelconque KC pour lang. en C; cette 
double condition détermine les deux constantes. On tirera la 
valeur d«y , et par suite celle du rayon de courbure H, en fonc- 
tion de .7,^ ct^i et couiine ces -quantités sont connues pour lu 
point C, on décrira l'arc de cercle CD, comme précédemment. 
Le point D de cet arc étant supposé sur la courbe , on décrira 
sa noruuile OiV, en menant au premier centre N une ligne 
droite. Pour le second {Mint D, on connaîtra donc ses coor- 
données u', ^', et U valeur de ^' qui résulte de la direction de 
la tangetile ID en O , et l'on calculera la valeur de H' pour ce 
point D ! prenant OD = R' on liécrira l'arc DE, el l'on aura 
un 3* point E, dont ou eonuaStra les coordonnées et la iliiec- 
tion de la normale ; et ainsi de sutle. 

Un raisonnement semblable doime le moyen de vemplacci b 



irlie [1 
t Ou pourrait aussi aj 



ippliquei 



paraboles 
i priacipi 



scula triées. 




/«wï étn cet 

<«■ ••«ccotdo avec I, 
""''""•"oeinWj, 

'^' iqvations dts 



878. D„,,„^ 

■««"•i»te„an.;„di, 
•l««llee..ladiiré,e„Ml 

Si<loacoa„„, 
■^'»-»».,elU, <,„.„„ 

'" ?3iJ. K\na\, pour.'. 
P-urcon.i.nKd,^ ;, 
P»"poiaaIa:'^, „ 



B EQUATIONS Oa OBCHfS aDPÉniEUAï. âl9 


(^ + '^"îd-Ï=î 


.cos - , OD remarquera que celte dqualion 


«quivaat i 

[ 


d'r dj' i X. 


'qm'oa écrHj' = x 


t. 'cos-, Jetant toujours variable princi- 



palei d'oA -ï^ — T—^i- = -r- .- cos - , anciuic dérivée n'étflitt 
cousUute. Eaùn , ar' = i , donne *'' ^ i +^'', ''j" ^j-'jr', 



K-Ce 



eat constant, et Jt et £ Mut les coastantes arbitraires : 
y=:-sin-+b, d'où yt=k+bx cos-. 



."Ce o'esi pas , au reste , qu'on ne puisse quelquefois préférer 
â T toute atitre variable principaV, et intégrer; mat», par la 
suîle, & moins que nous n'avcrtisiîoni du contraire, nouq pren- 
drons toi^ours dx constant. 

679. L'équation la plus générale du 2* ordre a la forme 
F{j',y,y 1 x)=u> i il convient d'examiner d'abord les cas per- 
iulters où elle ne renfermerait pas les quatre quantités j-',^, 
n'en enUe que deux, l'équ. peut avoir l'une de ces 
lis formes , 

F{f,x) = ^, Pfy,y)=o, F(j'V) = o. 
Quand J-' n'est accompagpié que dej-' et x,ob dej^ etj-, l'équ . 
^ »t de l'une des deux formes : 

ualégrons d'abord ces cinq cas particnUcra. 

^ I. Si l'ona^'is/n eommey'4i=dy, la proposée revient 

■(â/ s^St.df . Soit y = X-\- C, l'inicG"ïe de cette équ, -, 






\ 5aa 



CALCUL IKlAOlU 



r'dx=Ay, I 



I 

I 



d-i-Cx +/Xdx. 
Soit, par ex., d'j-=^<l^, ou <iy=adxi il vieat d'ibciH 

Demême, ■oild»j'=oxMjr', ou j' = <»x", oocnliB.., 
d^^a*"cLr-, on irouve jr:= A + e3:+ ■■ /„"X^* ' 

«=: — I, on obiienij' = ^+cj + *ixlx; etiiasi — a,< 
jr =: A •\-cx — air. 

ObMrvei qac le calcul ci-desaus s'applique également \ 
^'>=^, oa d.j'(—)=/:r.djc. d'où j^"=r+: 
Il ne a'agit plus qoe d'operec de nouveau comme sur l« prof 
sêe. L'intégrale a la forme 

le signe/" désignant n intégrations MiKeMtTcs. 

II. 880. Si laproposée a la forme Ff/', ^)^o, en «M 
laoig— pour^, elle devient du 1" «dreeotM^'et ar; etl** 
en tire Ax^/y.iy. De plus, comme ij ^yAx, on 
^r=yj'y*ày. Ces deux équ. étant in tégtéea , il^signoi 
en lu intégrales par 

x=M-^.A, x = ^+^i 
A MB étant les constantes arbitraires, Jtf et^ de* tanctil 
connues dc^. On Toit donc qu'il ne s'agit plus que d'ëUmii 
r enire ces équ. (n'8j:t), et l'on aura llnt^rmle cherchée» 
ses deux constantes. 

Soita^+Ci+yji = o;oniroaTe 

— "dj-'^t.+y-jïjj. 



• («' 



'VîT+r^ 



iQOATIOnS DES OBDRES SOPÉRIEUnS. 531 

et enfin C^— x)" + {fl— ^)'=a'. 

GeUeinlép,ratioDdoiuielaaolulîoncleceprob1ëine: quelle ect 
la courbe dont le rayon de courbure est constant, ou 71^ a? 
Lt cercle Jouît seul de cette propriété. 

Ce procédé s'applique à tous les ordres, pourvu que l'équ. 
soit de la forma f(r<''./<'"^]=o. Ainsi pourytr*,j'*)^», ou 
fera dj-''=yda:, d'où x=fFy.Ay\ 

et y=Jj'àx=f{F'j-yây). 

Heiunt ensuite pour x ce^'^ intégrale dans âjr=.yàx , on par- 
vient à des valeurs dex et dej* exprimées en j^, et renfermant 
troi« constantes arbitraires : on eliinine ensuite y' entre elles 

111. 88i. Passons aux équ. delà forme j"*:=i^; en multi- 
pliant dj^^^dJTpar yix^iÀjf, on trouve 
yAy^yAy... {A): 

rttanl ici pour ^" sa valeur /y, oa a y Ay= F jr.dx^ ^'"^^ 
î/'^ic+y-fy.dj-, y=v^c^+3/Fj-.d7); 

PWeicrople, a'à'j^ ^ jrAx*=o, ou «y = — jr, devient 

«ydy=a— rd^,d'oùûV=<;'— rîP't'*^*=p^J~r)l 
donc, intégrant, on a 

x=a.txz{ûa=i^\-^b, ou - = Bin( \ 

qui équivaut à j-sscsin— +c'cos-. 

De même d"x- (/"Cv) ^ <*** donne \ a/*= C-\-^{ay). 






n lait c + \/j = I 



!^ii 



ÉQUATIONS DU OltDHBS SOHAIEDIIS. 
iX{t ■{• y^)\6x :=a'iy , équ. qui esi «éparablei 

En tirant la valeur de y, y^jj-'Ax donne 

la tîgae demandée est formée par une lame élastique qu'on 
courbe. (^o7««u°938.) 

Si l'oii eût voulu que R fût une fonclion donni^e A' de 
lUbvcisse x, on aarait pote (i 4-^'']>=Jf^. Le meta e calcul 
aurait daoo4 

y ràx „ ,. . r VAx 

Tclluestla lolulioti Aixprobihme inverse des r^j^oiu ite cour- 
bure. 

Soit {i+y) + J^>' = a^VC>+y) ■ o" ™et eelli; 
éqo. foiM U forme 

qui etl lindaire (11*657) et devient intégrable en la divissnt par 
1/(1 +^)"- i^V- r 4980 On troa.e 

(»y + t) 

1/(1+/')' 
M*i8^=yr — fiti/, devient 



'■y— _ j, /• y+i/f'+/ -)\ . 



i/(i+y) 

il ne reste plus qa'A chasser de Iji y, à l'aide de la valeur dex. 
Ou trouve, tout ealcul fait, et en faisant, pour abrej-er, 



5x4 CALCUL IHTAoUL. 

a((^«+x*)dy=«j'dx, qu'on lépue en p(MUUJr=y<; d'il 

On intèsn pu log. , et il vient 

y=eV^(M*-t.«'), et *=5«^'(rf+«l; 
or,^ ^fy dx, lonqa'oa net ponr^ et A* lenn nlean en s, 
derient ^ =: j c* z ( 3a' -f x* } + &. Il faudra enfin éliminer « 
entre cet Tsleorv de x et de^. 

883. V. Si^powns qne l'ëquctioD du z* ordre ait U fonne 
^(y, j',^)^o,c.-à-d. que x n'y entre pas. La lubstitutioo de 
lnTa]eur(^, p. 5ii] dej^, réduira U proposa au i" ordre 
enirej-ety. 

Pat ex., MJ-* =Jiy,j-),on tioaTex'dy =:àj'.J(y,j-), dont 
U ferme est auei simple. 

I*. Si l'intégrale qu'on obliendim est réx^oble par rapport i 

y, en sorte qaey :^Jj', on aura dx^^^7^,etrou en con- 
clura aiiêment t eay. 

a*. Si l'on peut lirer^ en fonction dej-', ouj^si^'^d^-ss^'dj 




ÉQUiiTlOKS DtS OBDRRS SCPÊRIEOnS. 5a5 

11 ftut cninite^initiery eutre c«s cqu. On irouve, pat ex., 
lorsque c^o. 



(^., a-o>,^=c/ 



L'équ. a6y= \/ (j* -V- a^f) devient 

Poar intcgrer, on fera^ := — àcaiisederhoniO[;énéité,etron 
aura abtAy — abj-àn = i.''àj^{s^ + a-); l'équ, est sépa- 
rable , et fnsanl ensuite v/ (s* + n*] = '* ; on en tire î,ds, et 
d^ — éM( 



l'on substitue ; on trouve 
tenir j en fonciion de t. 



r; il sera ais^ d'ob- 

vC — at — b 

i que f' : par conséquent aussi 



-/■<£ 



=/; 



;;. On éliminera ensuite t. 



Soit_f ° + Ay + Bj = o, AelB étant consUns : on a l'équ. 
homoeèneydy + Af Ay -^ B yAy =: q ; onfaUy =j-Mi 
,. . dr_dj-_ -au _ -du 

en désignant par a et ft les racines de u* -f- j4u + £ ^o; et i 
cause de d^=ydx, on trouve 

dj- ^^^^ — d" dj- ^.^^_ -du 



An, retranchant; on obtient pour intégrale complète, 
t(A— a)= — *»«" + n«"t qu'on peut mettre sous In forme 
fe= Ce" + De**, C et D étant des constantes arbitraires. 
K d cl frsont imaginaires, ou a =i—/i\/ — i ,fci=*+*v''— '. 



il but millier Féqualîon dii+(u — «)'d4r=s!<»y <|in donne 

M — a=: — r-j; d*oi 

Jmâx 

On retrpnve donc ainsi les résultats obtenus dans le dernier 
exemple. 

885. Intégrons Téqu. linéaire ou du i^ degré enj-^ 

Pj Q et A étant des fonctions quelconques de x seul.^ Il est 
aisé de ramener l'intégrale de £«tte équ. à celle du paragraphe 
précédent, en faisant disparaître le terme A. Pour cela, Cotisons, 
comme n^SSy.j^^tt; d'où 

£n substituant et partageant Téqu. résultante en deux autres, 
à cause des Tariables l et s, on a 

z' + Pz'+ Qz=o. • . (i), 

ou d/ + l'(P + ^)dx=^. . • (2). 

Supposons que la 1'* soit intégrée (n* 884)i et qu'on en ait tiré 
la yaleur de s en jt ; la a* sera linéaire du i** ordre entre / et jt, 
et sera (acile à intégrer d*après ce qu'on a vu (n* 857). 

2J^ R 

En changeant n* 867, j* en 1', P çn P + , Qen — , on a 

s z 

M=/Pdjp + ak, 
/Pd* !#• 
e"=z:e .«• srf .z* (n* 149, ia«.), en faisant, pour abréger, 

fPdx 

f3=e • . . • (3). 
Donc on a ^s*/ s=/Rf xdr , 

puis jrz=zt%z=zzjy—jn^xàx'^. . . (4). 



ÊQQATIOMS D£> OBDHBS SUPÉUeOBa. 



Tl)« 



= o ; on y «atisrait e 



D'aillcuraf =1 , et fB0tâx=pn,!l: 






prenant i= \/ar**'. 
: mx + b ; donc 

886. Lorsqu'cu toaiplant j-, x, Aj-, âx, et i\'j. cLiacun poui- 
\iii fadeur, l'dqu. est homogène, oa l'intègre en posant 

^• = ux, J_y = y<lx,^'x=z... (1), 
u,y etsétnut de nouvelles variables. En effet, U trausforinée, 
d.ins notre tijpotliëse d'bomogcnëi»!, aura partout x en bcteur 
è In incme puissance, attendu <]uej^ el.r" sont censés Otrc de« 
degrés , o et — i (n* 855]. Ainsi , la division dégageant l'équ. 
de la variable .x, elle sera réduite à la forme t^=.J{y , u). 

Or, on s (l/;=j-'dir = udx4**d«, xdy =3Zulx, 



ilx 



''y_ 



Il du ("ordre en^el u 



Rieltantypour 2 dans (3), rette équ. 1 
et on l'inlêgieva : ([u'on lire de làj^'^çu, el qu'on substitue 
dans (a), cette équ. séparée aura pour întep,rnle lx = .J.«; il 
restera à éliminer u, â l'aide de j-^=ux, et l'on aura l'inté- 
1; raie complète, puisque les équ. (3j el (a) ont intraduit cliacune 
une constante arbitraire. 

Parcx.,a:d"j-=iÎ7dr,ottï7^=r'.donnez=r', et (3) devient 

']>■' cy -") = y*!", à'oix : /• =s /(hj/ + /■'«} =y" + i ^ - 

Or, ~ = -^ donne x =s <■/ ; ainsi , «liminanty entre ces 

deux int^jjfeles, il vient x' — iaxu:= C; puiti, éliminant u 
ilcj = ux, X' — 2<y= Ccsl l'intégrale cliercbéc. 

887. Soit l'équ. Aj'-i-By+ Kyi*>=û, dont les coef- 

fiïictis sont constant; (ai»onsj";= ce*', d'oii 
_ yt + B& + Ch'+ .... Kh-'-t .. IM). 

~ T. 11. 34 



iQUATrOHS DES ORDRES aUPÉRIECRS. 

On a tu que l'intégral e de celle-ci eït(a + Ax, . ,-\-fx''~')e^. 
D'un autre cûlé, la proposée est saûsfaite par^^ te'*, cV',.. , 
Taleurs correspondantes aux n — m racines inégales de k dans 
r^q. {M). Comme, par ia propriété' des cq. lia^aires, la somme 
de ces solutions doit aussi satisfaire à la propose'e , l'intégrale 
complète est 

^ = (a + ftx. . . +/:<:'"-')ei^ + ce»' + c' e'*+. . . 
a, b,. ./,c, <^ . . . sont les n constantes arbitraires;*, h, t.. . 
sont les racines de l'équ. (^J. 

Ainiipourj-— a/ + 37-° — 2;^4-j-"=o,on trouve 

i_aA + aV — aA'+W = o=Ct— /.)' (i+A'), 
d'où y = l,a + Me' +ce^-'+de'y-' , 

V jr=^[a + bx) + Acos X -i- B ùa X. 

^B 889. I.Vquation Linéaire de tout les ordres ett 

■ ^j- + By + cr" +• ■ • + f(y^ = X. 

Supposons que X désigne une fonction donnée de :t, et que 
jt, Ù . . . soient constans. On sait toujours réduire l'intégra tioii 
h la réiolution des équ. par le procédé suivant, que nous appli- 
querous seulement au 2* ordri; : 

^j' + ny-i-cy = x. 

Soit fl-*' dj le facteur qui rend cette équ. intégrablc : coinniL- 
A'p"*' <\x est la difréri^ntiuUe d'une fondion de x; telle que /', 
le 1" membre e~*'dj:(v*j-+Bj-' + (?r')> est aussi celle d'une 
fonction delà forme e~**(<y+i_;-'). DilTércncions donc ce ré- 
sultai , et comparons terme à terme , nous aurons 
— l,a=A,—hù + a=B, bssC, 
d'où ^ + BA + CA*=o, a= — T, (>—€. 

La constante inconnue h est l'une des racines de la 1" de ces 
cqu. ; les deux autres donnent 'J et 6, et rintéQrale du l'îonlre. 

. <î>-|-V = <'*MP + ')- 

34., 



I^QUA lions SIUI LT*N^.ES. 



r<:Ia posé , il esl visible qoe le a* terme dx + Mj* seiail la àtf- 
rêrvntielledu i", abstraciloa faite île (a+a'A)tl(, si l'on avait 



ik- + (a-b')i=i. 



m -7+71' 

^ppenanl jiour k l'une des l'aciiies de celle ^qu. , l'ou aura 
( o + a' *)Cx + *r) «'' + dT+ W^= ( r+5A)d/, 
on (<i + o'*)jidl + aK=7' + 5*)dl, 

en fatsanl x-^t_ysa u. It aéra ahé d'inle^rer ciilte dquatioji 
linéaire [u" 857), et d'en tirer la valeur d« u en fonction de t, 
oax-\-kjr ■=fl \ on mettra lour à l<nir pour k lus deux racines 
de noire equ., et il ne restera plus qu'à climiuer ( entre les 
résultats. 

Si les racines de k sont imagioaires , on remplace les expo- 
nentielles par dessin, et cos., comme n** 883 et 884' ^' ^' 
elles sont égales, on n'obtient, il est vrai , qu'une seule inté- 
grale entre x,y et ( ; mais en tirant la valeur de l'une de ces 
variables, et subsiiluant dans l'une des proposées, ou doit in- 
tégrer de nouveau l'équ. résultante l\ deux variables. 

891. Si l'on a trois dqu. et quatre variables x, y, s et t, 
pour éliminer s et t, et obtenir une relation entre :7 et j-, on 
posera 

( «r + 6^ + « )d/ + di = TAt, 

»(rt** + 6>4.c'«)di+dj-= S&t, 
(a'x + hy + c'»)di + dî = mu 
Nous supposons que 7*, >$ et /t soûl fonctioDS de ( seul ; et 
<]uc les autres coefliciens sont consians. Pour opéier de même, 
iiiultipliunsla x'par t et la3* par/, k et /étant deux indelcr- 
iiinces ; puis, ajoutant te tout, mettons la résulta t sous la forme 



|.l-o'« + .-/)(i + 



»+4'» + i-( 



+^*+„-;- 



r,r+ 



i+ifi+a'l' 



U. 



+ (U + *<!?+ lih=cr+S^ ■i-Ht)il. 



554 CALCUL iNiteau.. 

Ofj il eit clair que la parUe renfermée entre 1 

pour différeutilte Ax + k^ + là* , ti l'on AHenàÎM / et t pv 

lei condilioui 

b-i-b'k + b't _, c + e'k + i^t 

donc, li l'on fait x + '^J' + 'z^») onanra 

(fl + «'*+«'/)Mdï + d«=:(r+« + /t/)d». 

IntëgraAt cette éqn. linéaire, il viendra u en fonction de i, 
ou x+kjr -l-Is^y^etGoniine Aet/sontdonnéspardes^v- 
do y dëgre , en en rabstttiuat lei racioet dani cette int^rralc, 
elle donnera trois équ. entrex, j', t et z, qui serviront à élûui- 
ner I et s. 

89a. Si l'on a les equ. du a' ordre 

dy + Hj- + bàx)ii+ (çr +g*)df^Tdr. 

d'x+{tt'dj'+b'àx);tl+(t^jr+f'x)dt'=Sdf, 
on Ean ^=^/, éxszqii, 

«tTonaarad/* + (ap+bq+cj+gx)At = TAt, 




pnOBLEMES. 535 

Orihogonoie , en iiienaRt des taD);erilca à celte coarbe et à la 
coiirbe^nriable, il leur point d'inlersectkin, cestangenlesserorït 
à angles droits. 

Voici le mojen général d'obtenir réc|u./(x,j-) toiles trajet- 
toires. SoilF(7','V,L'J.^oréqu. de la courbe mobile , à raison 
du ptiramélre variable c. Pour une valeur de c, celte courbe 
prend une situation déterininifc jiM (fi^j. 84) : incaons des 
(alimentes â cette ligne et à la trajectoire DM en leur point 
commun M; Y'ciy enfixcroulIciincUnaisoDs sur l'a^iedes^, 
et l'atigleï'AfT' qu'elles forment entre elles a pour tangente 

_ y~r ,. . 

(t+ry)<i+r-y=o.. ..(.). 

Il but ici remplacer K et Xpar^ et X, parce qu'il s'agit d'un 
point Gotnman aux deux courbes : a est une constante ou une 
fonetion donnée. Le raisonuement du u" 46a demonlre que si 
l'on élimine c entre celle equ. et celle F(j- , x , c) =0 de la 
courbe coupée, et qu'on intiigre, onaura celle de la trajectoire. 
Sicile est afthojjonalc, on troBvesiuipIemen t, au licudc(i},réq. 

Par ex. , si l'on demande la courbe qui coupe à angle droit 
une droite qui tourne autour de ['origine, V= cX donnera 
y =:c, et l'équation (a) deviendra 1 + (-y = o : diminant c 
à raiileilej-=cx,ou trouvexdx+j'Jr'^o; d'oùx'-f-y^^". 
Donc la trajectoire est un cercle de rayon arbitraire. 

Mais si la droite doit cire coupée sous iin angle donné , doiii 
a est la tangente , le même calcul appliqué i l'èqu. (i)doni>c 
pour la trajectoire, celte équ. dîlTér. bomogtnc (u" 855> 

j-+ax=yCx— qr); 

d'où 

(li)U. qui nppparlicDt^ la spirale loi',anthmique(n'> 1^74)1 ainsi 
qu'un ]KUl s'en convaincra tiu traduisant celle relation en cnor- 
Jonnées poIaire«(n° 365). 



al{c»/x'+j-)=arc(uo6 =|) 




PROSLÈllltS. 557 

l.a courbe cberciiee usl (toiic un cercle dont le cunir« est i:u un 
lii;u quelconque de ï'axc des x, el dont le lajroii eil moyen 
pi'ojtoi'tioaael «atre 3f et la distauce de ce point à l'ortjjînc. 
C'est, au reste, ce qui est d'iiilleurs visible. 

Mais, outre celte innltilude îaliDie de cercleequisaiisfontau 
pi'oblème , il y a eucore ]iour solutlou uce parabolu ; car, en 
rcmoutant aux procèdes dcsn" 863 et 867 , oq troUTera l'ètia. 
siuguliÎTej'*=:7/*J' + p*- Il est facile de veriUer (ci 
l'a vu n° 864. 3°. ) que cette parabole résulte de l'in 
coiilinucUe de tous les ceicles successifs compris dans la solii- 
tioD géïKirale. 

695. Xouvcr une courbe telle , que les perpend. abaissées 
de deux pohits fixes sur toutes ses tangentes forment un ilc- 
tangte constant =sjt. Prenons pour axe des x la ligne qui joint 
les deux point* , l'un étanU l'origine, et l'autre distant deia: 
le n' 374 fait connaître les expressions des distances de ces deux 
points à la tangente , quia pour équ. Y — j=y{X — Jf), et 
l'on IrouTe 

("y +^-y X) (^-yT)=A(. +/■)..-• (0- 

Celte équ. s'intègre en la dilTérentiant d'abord ; y est facteur 
commua, et l'on irouTe^ := o, et 

—xl^^/ +j'-yx) ■+. 0'-yx)lia'-x)=2iy... . (a); 
U i'*doniiey:=£-, qiu change la proposée eu 

(MK+^~ex) t/— cx) = A(i + c*); 
ce sont les équ. d« deux droites) et il est aisé de s'assurer 
qu'elles répondenteneffet^uproblèine. Le nombre des droites 
comprises par couple dans cette relation est d'ailleurs infini. 

Quanta l'ifqu. (2}, si l'on en tire la valeur de^, et qu'où la 
substitue dans (i), en changeant x en x + a, ona 

On trouve donc une ellipse qui apour foyers les poiuts fixes 
donnes, el pour demi-axes v/(A + a') et ^t. Celte courbe est 
nue solution noguliirc du problème, et résulte de l'intersccUon 



itQUAT. OIfFÉII. A TIIOIS VAHIABLES. 53q 

«mplie, comme/) cauticui 2 ([ui est fuuctiou de i et j-^ 
poitrolilcnir le premier membre de l'cqu. (i). il ne faut pas m 
bornera regardera comme constant Aans p ,t:\.j' comme varia- 
ble; il faut en outre faire varier s par lapftorU _7-;d'où (11° ^44) 

. + 9'-fii * ""Use de o = -— . On en dira autant de 

tivcmea( à j;; oca donc, au lieu de la condition (r). 






q leurs vakurs, 






çS-o 



„J9. 



equ. qui exprime que r est une fonction de deux variables in- 
dcpendantes , auiqueltes elle est liée par une seule equ. 

898. Soit F le facteur qui rend l'equ. PdJ-f Çdj+/ldj=o, 
la difTerenticlle exacte de y(:c,^, 1)^0. Il suit dus piincipcs 
développés (p. 370), que, si l'on fait x constant, ou dx^o, 
l'équ. F(ii\y-{-FRdzz=Q doit être une di ifére a tielle exacte 
entre ^ et zi ou doit en dire autant puuid^^o, et dz^o; 
d'où l'on tire 



I 



A.FH_à.FQ d.FP d.FH d.FQ _d.FP 
' " "~ dï ' ds d* ' dx djr 



F 


f dfl 


-^1 


=^2-r- 


-fl^^ 




\djr- 


à, i 


i.r| 




lË- 


,\« 1 


■.■if 


„dfl 


F 


~dî J 


:="&- 


37 


F 


lË- 


-5:] 


^-^■ 


-^il.^ 



Or, si l'on multiplie respectivement ces <fqu. par P, Q et R, 
et qu'on les ajoute , les 2" membres se détruiront , en sorte 
qtic le facteur commun F disparaissant , on retombera sur h 
relation (t); donc oit ue peut espcrer de rendre la proposLC 



ÊQU4T. DlPti». A TllOIS VARIABr.r,S. 5,|t 

11. Avant du traiter l'A^U. tAx + xày-i-jâz^o , od la sou- 
mettra à lacontlilion (a) j et commt x + j- + 1. n'est pas nul, 
on Toit(|ucrd(]ii. n'est pas iulcgrable. Si l'on exécutait le calcul 
indiqué pour l'inlégration , on trouverait que Z ne peut être 
d('j;tti;édeict^. 

m. PoarZ^(x-a) +^(^-6)] dï=(ï-c) (xda:+j-dj-), 
la méine tiiose a lien , à moios que <t et A ne soient nuls. Dans 
ce cas, on a (j:'+^') ds=[i — c) {xiix +jd}') ; on intègre 
en raisaiU ds=Oi d'où x^+j-'^=Z'. DtfTérentiant et com- 
parant à la proposée, on trouve Zdz^=(x—e)iZ; à'oà 
Z = A{:.—c). Ainsi l'intégrale est 3:'+^*= <<• (j—c)*. 
IV. Soit encore proposée l'équ. 

(r+r«+»")'i*+(i'-Hr>+=')ilr + («'+aa-+r)'i==o. 

Eu faisant àz duI , on doit intégrer 

1 ^ o : d on 

^3[arr(t,n,=^î)+.,..(.n,=£±?|)]=^. 

on,, .„(„„„= iï^^^) = ,, ^3./. 

Puisque cet arc est une fonction de a , sa tangente l'est aussi , 
Dl l'on peut poser, «O faisant le dénominateur =3^, 

[^ +■?•+ ')» ^ (^ +.r+ g}' _ , ,^) 

f — iï — S7~2^ f 

Dilférentions cette équ., chassons le dénominateur^', etcom- 



(*)Ob trsoiB MuTwtl dm fananl» din> loqnilka on doit fouler dciar» 
donn» {ur Inin Mng. Suilirc (taBg=:c) + m(ting=je)i melxdMgasiit 
«wd<n» »rea, uu ■ = uiig m, /9 = taa| n, Il l'sfii da uimitct riupreuion 
d,.r.rf ■-(-■. On a (liqu. *, o° 35<)] 

ua8('B4-,= ^~^i d-ou« + » = .r«(^i.nB=— ^), 

CmI aimi c|n'en ■ Hdnil t'équ. ri-dcuiu. 



J 



éQU. DlPrén. A TROIS VARIABLES. 54$ 

que, dans b tlilT^rentiatioii des cqu., oii suppose (aritemest 
()ue le* vamblei! x et ^t- loiit dii pendantes, en vertu d'une rela- 
tion arbitraire qui les lie l'one à l'autre. Dans le cas actuel , ou 
ne peut mté(;rer sans établir cette dépendance : on voit que, si 
l'on pose Z=:fs, le systhne de nos deux e'qu. 



+çi« = o, •T~+9'» = FR.. 



(6) 



satisfait i la proposée, quelle qne soit d'ailleurs la forme de la 
fonction f . 

Les équ. qui ne satisfont point à la condition d'intëgrabililé 
étaient autrefois appelées Absurdes .* on établissait en prin- 
cipe qu'elles ne si{;nifUient rien, et qu'un problème susceptible 
lie solution ne pouvait Jamais conduire h ces sortes de relation", 
'ju'on prétendait équivaloir ans imaginaires. Moage prouva que 
celle opinion est fausse, en donnant la tbéorie préce'dente. 

Si l'ou chercLe une surface courbe qui remplisse certaines 
conditions, lesquelles, traduites en analyse, conduisent à une 
equ. différentiel le entre les coordonnées x, j et i, les points 
de l'espace qui satisfont au problème sont donc , dans le cas 
présent, non pas ceux d'une surface, mais ceux d'une courbe à 
double courbure, parce que l'équ. ne peut exister qu'en se par- 
lageanl d'elle-même en deux , ainsi que cela s'est souvent ren- 
contré d'ailleurs (n" lia, %3, 6i6). Bien plus^ comme p 
cal arbitraire, ce n'est pas une seule courbe qui répond au 
probUme, mais une infinité de courbes soumise* à une loi 
commune. 

Ainsi, pour 3dx-f-:i:d^-(-j-dï = o, on trouvera 

d'où j--l-sU + *i = o, U + ^'a = _j-x— , 

pour les équ. (6) dont le système satisfait à la proposée, quelle 

que soit la fonction p. 

Dans l'ei. 111 du W 900 , on .\ 

n = — x(x—a)~j'lj- — ù), f=(a — r)-; donc 
JC* + J-'+2f«=o, (a — r)(.'r + 3r(T— fl) + j(j' — *) = o. 



DIFFÉR. PAItmLLES, I" ORDRE. 545 

e (r* ~i-s*)dx=!(j'+x')àx, puis 

arcÇtang =jj — art^ tang ;= ^ =a'c, 

ou (note page 540 

. Preaona l'équ. génifrale /iWaim/u i" ordln; 

P, Q, ^ élant des fonctions donnéei des z. J*, S. EUminoDS p 
lie ds:=fn\x+g<ij', noiuauron» 

Pàc — Fdx=q{Pilr— Çdj).... (0. 
équ, â laquelle il faut satisfaire delà luanièrela plus (•énéralei 
ij élant (luelconque , puisque, il'après l'equ. proposée, y reste 
indét^ntiiné. Quand les variable» x, y , s, sont séparées dans 
ce(t« équ. , cliaque membre peut être readu intégrable eu 
particulier. Soient irr=a, / =A 'es întégralec des équations 
lespcclives 

Pd»— rdar=o, P<!r — Qd« = o... (a)[ 
l'équation revient â itàw-=iqf*'àf, ft et />' étant les facteura qui 
reudeot les équ. (a) intégrables ; et pour que cette équ. le soit 
clle-iuètne , il faut que — 17 soi t une fonction de (, savoir. . , 
tr=:7p, 9 dési(;iiantuue fonction toul-â-fail arbitraire. 

Lorsque les x.Xt c sonl mêlées dans les équ. (2), sir^a, 
c-i f :=0 , sont des fonctions qui y satisfont , la proposée a 
encoie {lour intégrale w^Çf ; el c'est ce qui nous reste à dé- 
montrer. 

En effet, pour reconnaître ni la proposée est satisfaite par 
uue équ. quelconque vr^^P, il faut qu'en la difTcreuciant sous 
la forme dt^/^dï + yd^, les valeurs qu'on trouvera pour /j 
eiy, étant substituées, donnent Pp ■^ Qy ^ ^. Les différan- 
titdlea de v =«, / ^$ étant 



T. II. 



35 



DIFFÉR. PAATISLUtS, l" ORDReT" 5^7 

l'iotégrak fsa0 s'obUeudi-a ensuite (cliap. IV], et i s:f p sem 
rintéijralc de Pp -f" Çî = "■ 

Par ex., {Jj'= 'jx, doiiue P=j; Ç= — x,jâj'+xdx=o, 
d'où, t =1^ +J'' , puis S7=f (jf +^'), éi\a. finie des surraccs 
(le r<$Tolu(ion autour de l'axe des t (d" 663 et 74^)- 

Poar/»J;+47-=o, on trouve -rilj-—j-ilar=:o, 17-=: l*r,j-=»r, 

-î = f; enfin s =ç (^; c'est l'equ. des coQoides (n" 788). 

De même, soit q^pP, P ne coulensat pas e, Vintt^rale 
est 

Fêtant le fncteui' qui rend intcgrable (]j:4'''<b'- 1 

a". Quand il arrive que deui des équ. (3) ne 

que deux variables et leurs diSereulielIes, ri[ité(jr 

.-lisémenliretp. 

Soil proposée IVqualion/jjr-t-gT^"*; •Ï''"J xdzs^nzôx, 

it]j'=jdx, puis t = mx',j':=Sx; on eutiretfetg, valeurs 

de K et p, et par suite rinlégrale cberclice z:= x'f (- V Ou 
toit que 9 est bomogÈne et quelconqui;; et cooimula propowîe 
«at l'éooncê du tbtforèiue des fonctions hoino[(énei (p. 499). 
on en retrouve aîmi la déinoasUation pour le cas de deux 
irariâblei. 

Pour />jc' + £r' = ='. on a iMx=îa'djt, ifif ^j-*dx ; 
f _wi 'oua~' — «"' = ■, y~' — x~' = /; doncl'iutégrate est 



tiennent 



% î-i='(^-j). 



<-^- 



Xvl y élaat de» fonctions de x seul , IVqu , y =pX + /', 
xSioBat X<ix + P^Axi=o, .Ydj- + djr = o. et 

3*. Qntnd l'oiie des étia. (3) est seule entre deui variables, 

■ttlMHMHlillÉiiiiiiiJlilM 



DIFf£r. PAnTIELI:FS, t" OKQRE, S.fQ 

).i loiictinn* e«t arbilrniiv. L'intégrale Hsulre ensniltr ilc l'éli- 
luiiinlioii de q eiwic ces deux écyt., loratjue celle fonction f a 
vvii i)ulermin<!e (ti''9t()). 

ç)o6. AjirÈ» avoir mis dans d« =jjiix + y*lr> 'a valeur deji 
ou celle de jr, tîrc'e île la ])i'(>(>osee , on s une équ. difTcren- 
liclle entre les quatre variables t, _j-, * et 7 ou ji. Supposons 
que celte équ. loit réilucttlile A être une cIift'éi'eiLlii.'lle exacte, 
en prenant pour constante p on ç, ou une fonrliun 9 ite cette 
leure; et soit /(a-iXt «. *) = Ci i'inle'eralc daos celle hypo- 
ihÈM de 9 coiistaol. Il est visible que et l'on difTurenlie celle 
equ., on reproduira celte d'où on l'a tirée, noii-seulcnieot t 
Il c demeurant constnns; mai» iiiËme, ai 9 et c sont dis va- 



rlablei, 



pourvu qu 1 



Il ait-f„d» — dt: 



, pour I 






i i «on état de fouclion variable quelconque dans r<iqu. dilTc- 
l'i'nitelle, et que cependant l'cqu. f= c en soit toujours l'iu- 
legrnle , il suffira de supposer que c est une foncliou arLiilraire 
de 9, telle, qu'on ait ensemble 



/c*,r,^»)=*^. 



=(i'S. 



I Dans le cas oO la propos<!e est différentielle exacte, I étant pris 
pour constant , on intégrera dans celle hypothèse , et l'on aura 
la i"dcvrs éifu., qu'on diJJ'^renliera ensuite rrlativemeni à i 
feu/, pour former la a*i le syst<:mc de ces deux équ. satisfera ji 
la proposée, p étant une fonction arbitraire. Quand on aura 
déterminé 9 (»" 919)1 >' restera à éliminer 9 entre ellc^, et l'on 
aura l'integmle demandée. 

Il suit de ce qu'on a vu (n" So5), que si la 1" cqii, est coti- 

sîd<'rée comme appartenant 3 une surface courbe dont 9 serait 

un parainttre variable, ces deux tfqu. sont celles de la caracté- 

Lristique ; la rechercbe de cette courbe revient, comme on voit, 

Et l'intégration de l'dqu. proposée. 

Suit donnée l'cqu, z^pq; on trouve 

yda — 5djc_ 0+ r ) ds — r,Ij 



■+yd^. ,{r=i 



C+a-î' 




DIFF^K. PiltTIKU.ES, a> OBDKI!. 

ftour Véja. prt 4- IT*^ ^r 0° trouve 

(t ~t'),U=stil, u{t •^l')dz =x^iu; 



I 






^•quationt différentielles partielles du a' ordre. 

p eK q Avl 1" ordre, l'équaiion 



gog. Outre les ooefGi 
|)eut contenir 

d'où Ap-=r&x-^tAx, d? = *dx + r4r--' f^)- 

d'x=d/>dj + dqAy=iràx^ + a^diilr + «Ir". 
H s'agit d'intégrer l'équ. /(x, y, z, p, q,r,*,i)=o. 

Icmarquoita d'abord qu'on doit considérer ^r* comme cons- 



tant dans l'équ. qui 



âx- 



s=P 



al^ 



a forme r^/*^+ Q, qui revient;! 
Q étant des fonctions de x,jr et s ; car 



les diSerenticlles partielles 7, j et i , qui se rapportent k la 
variation de jr, n'entrent pas ici (n'goa) ! on a alors à inté- 
grer une équ. aux difTérenliellcs ordinaires du a' ordre entre :r 
atii inaisau lieu de la constante addîtîve, on prendra une 
iction arbitraire ^y. 



^Jonetic 



exemple, si s n'entrcpasdansPet Q, en substituant 



dx 

/>, on a ^ = iV + Ç ; la fonction {Pp -\- Q) Ax est li- 

nt^aire entre les variables /' et x; y est d'ailleurs ruasUuit; 
l'inttfgrale est donc fn" 857J , 



ex.x; X est d'ailleurs 
en faisant .i = /P(lx, 



/'=^ = <"t/*^'<?dx + «ir). 



55a o*w 

intégrant de nouTMD, et ajoaUat iuieiiaa*i^|if|{fMll^aili^ 
tnin -iX' *>" * llnl'e"^ demandée. 

EovlTéqn. trrre3(it— i)j>r4-*|COBn«dliMeefnn|ilt 

'=^- <?=4> 

on obtient 

EoBn «oit :cr^(n— i)p, on a itsssx'fij'-f-^.j'. 
910. Poiwmt<%rerr=Py+Ç, ouj^.eaP g^ +Ç» il 
faot prendre x conatant, et ajouter fx et ^s. 
SiàtatBaxy, on a d'tbord q=i -j- =i^---ff jr; pois 



6flx K= j^x + /fv+ ^. 




^F UlfFÏR. rARTIELLES, a* OBOBE. 5S3 

Intégrant cnsoite, par rappctrl À z, il vîenl 
Par ex., pour*jçj'=6pz + o_7-, on trome 



+j^p'jc. »=pi-,+y.^+4j-. 



913. Pnoona l'^u. tiniain du a* onfre 

ft, S, T, y sont donnés eux, j, ^,p elq. Ëlimlnanl rci 
^ par les équ. (fi), qui serrent de définition i ces fonctions , 
00 a 

/ld/»d^ + 7Hydx— raTd^=»Cfld^— 5d«l^+7*dz*). 
Supposons qu'on connaisse deux fonctions a-, f , qui rendent 
nul cLaque membre respectif, ou qu'on ait «=>, f^=^, avec 

^ RAj' + yJz' =.ydad^, 

^k RApAy + rdydx = ^dzdj-. 

^^P; ■'agit de prouver qu'ici, comme bu n'goS, Tt^:=<Pf satisfera 
i la proposée, quelle que soit la fonction p,» el ( conicnatic 
x,jr, z,pclq. Pour le démontrer, ramenons d'abord ces équ. 
au I*' ordre, en posant dj- = nda:, il vient 

^^ Ra'-~SQ+T=:=0... {i)t 

^K AyBzadx, Raip + Tdq=sX''odx... (i). 

^TS ('•deceséqn. donne ponr n deux valeurs en *,_?■, K,p,q; 
et l'on sup]M)se qtie r=a ei f=& ont élé dc'tcnninés Je ma- 
nière à satisfaire aux équ. (a). Formons donc les dilTérentieltcs 
complètes dif :::=o, d/^o, sous la forme 

^dx+^dr + C<]x + Dd/j + £dy=o,adi+/r.Ir...ed?=o. 
Mettons />dx + 7i\^ pour ds, ndr pour d^; enfin, pour d^ su 
valeur liiéc de (a), nou) aurons deux sortes de tcrmea danit 
iliuque équ., les uns Eacteuia dcd.r, les auliesdcd^; en lc« 



^H DIFFin. PiKTlKLLfiSj 3' OHDIIE. 555 

~wiinftttraQ, donttaralear. lubsiitu^ dans (i), donnera deux 

(fqa. oaii[ae]leï il Taudra latisfatre par des intéfjrales nssa, 

f =fi : on fera wsi^^f , et il restera à intégrer cette p<]u. du 

i" ordre. 

Comme l'e'qu. (i) est du i* degré, on en tire deai valears 
den; on préfèrent celle qui se prêtera mieux aux calcula ul te- 
neurs. 

9i4- Prenon», parenemple, ç'r— a^5r<+/i'i=o; R=sç', 
S= — ^p^t ^^i*'» ^=o, donnent, pour l'équation (i), 
y*Q' + 2/iço+/)*^o; d'où qa^p = o;ei cliciiiiaat û des 
(kju.Ca), 

jiix + qâjr s=o,qdp ^pàq. 
Celle-ci donne p=$q ; l'autre revient à d«= o, ïc= ■; et 
S = 9m, oup^ q^t, reste à intégrer de nouveau. 
Appliquons la inétbode du n" 903, qui donne 

po«at^r=<fw, il vient enfin pour l'intégrale chercbée, f e(4 
étant les deux fonctions arbitraires, ^4* ^2 = 4''- 

l,'équ3tion rï*+9Jrj-J+_r'I = o, où /ï:=x', 5=ax_;-,.., 
donnent Qx = y^ et les équations (a) deviennent_^dj:=T»lj', 
jcd/J+j-dy ^ o. La i" donne j* =:ux; chassant j- de la a*, 
elle devient d/J«^eid9 = o;d'où/^ + tÇ=^; enfin, fi=:$a 
donne pour l'intégrale première , j>x ^-^y^x^ (^ \ 

Leséqu. (s) du n'goB sont îcidz^dx.f, jrd^ ^ j-dx; on 
liredecetledernitrer=:«a-;cliassant_7'derautre,dï^dj:.$«, 
2sx9'+0;eu6n,$=^, doaaet=xi,(^\+^f^\ 
Dans l'exemple suivant on afaily>+-5^= m, 

r(,i + gm) + s{q — p) m = t(i^pm). 
li'iiquation (i) est 
^K (I + 'jm)a'— i'/—iJ)mQ = t + 1""< 

^Hbà n = I. Quant i l'autre racine de n, comme •;llc con- 



DirPÉn. PAIITIEI.LES, 3' ORDRE. 557 

n rsitonncra de mcine pour la a* racine n deO , on plutAt 
■nt ici m en n: mais iUuffit de traiter l'un de ces deux 



, parce que 



l'autic conduit au même résultat. On choisit 



poi qui se prête le mieux au calcul. 



J a'agil n 



i" iolégrale. 



it d'iutégrer de uouTcau ; pour cela, repre 



[ tirons-en la valeur de jj pour la 
mettre dans di=:/«lx + qi]x : remarquant que par la nature 
des dcuxracinesmet ndee,ono/twin=;7', on trouve 
_ Rdï — dxfFàx — drj'(7 — mx) ~ n^ii\r~nJix) ; 
^B comprenant dans <f' le divlsuur constant m. Or , pour in- 
^HTer cette ëqu. ( n" 9o3}, ou égalera ik £éio chaque mcmbie 
Séparément ; d'où 

yz=nx + c, Bs—fàxffdx—fiix.^'ij- — mx) = b. 
Il convient, avant tout, de faire quelques remarques : 
i". On devra mettre nx ^-cpour^ dans la a' équ., etin- 
légrer par rapport àx; puis on remettra^ — rurpour c dans le 
résultat. 

2*. Les deux intégra les yUar/yd* nécessitent une distinction 
importaole, puisqu'on a d'abord mis mx -f- a pour^ dans f, 
etjr — mx jiour a dans le résultai; tandis qu'on doit faire 
ï-;=:ar-J-cdansdj//''dj(, et restituer j-—nx pour e. 

3". fàx.^'ij — mx) devient fax. f'[ x (n — m ) + c ] , ou 
, ou plutâl (>[(n — m)x-\-c], en comprenant la cous- 

laulG n — m dans *; ainsi, l'on a ç{jr~mx}. 

4°< Enfin, la constante bctX une fonction quelconque -J-der, 
o«t=40' — ««J- ^oati 

ni=f<^xfFàx^9(j—mx) + ^[j-~„x). 

Par ««., pour r—s — ai = hy"^, on a 
fi* -4- lits a, <l'où »i = i, n^— 3 cl^=j-f.«,j'^:«' —XX. 

Donc 

kdx 



fFÀL 



-/. 



-^Al(*+«t=*ir. 



/U*/rdjc = /»d*lj-=/*dr. IC«'— az). 



558 citcoi iflTfcoiiAL. 

Celte înbfgrals s'obtiont aisément ( n" 817, on 809, T); tt\i 
Jiesiaii — ix — fy-.ly/X) ^'* reiaeilaaitx +y pour«*Aiaii, 

Pour r ^ b't ou -r-; ^ ** t— ; 1 «I"" W l'équ. des corde* 
vibrantes (i^. tna Mécanique, a' 3 itt) .oa^Rssi, T= — b', 
S = o^=f', d'où a':=b',rn = b = — n, jstbx + m, < 
j-=a—bxi enfio fàjefVAx=tt. Dodc 

Noos rcavoyons , pour de plus amplca détails nir eeiu À 
liêre, &u Calcul intégral àe H. Lacroii. 

916. OninlèËre quelquefois en suivonlleprtKifdi! dnu'; 
qui consiste à partager la proposée ea deni éqii. 1 l'aide d'à 
tiiilélcnninei' 6. Pji' ex. , l'équ. ri = t^, des surfaces dcveltl 

pabIcB [n" 806), donne - = I ^ - , d'où r=:f4, «=:lf, 

rdx+ïd;-=S(*dr+(47'), otiép=Siiç(B, 0*909). 
Cette équ. dVsi Integrablc qu'auuot que B est ïoucitoa de | 
(loue /i=9f esc l'inlegrale »", L'équ. ds=^dx4-94r ^^^'i 
di=dx,ifff^çdjri supposant q constant, par la ta^ib 
du ii°9o6, il vient 

Toutes les surfaces devcloppablcssonlcomprUe» dans le »y«lli 
de ces deux équ. , et pour l'une d'elle* qu'on dcicrioiDer^ifl 
particulier, il faudrait trouver les fouelions * et ^i- , puis é 
miner y entre les deux équ. résulunles. 

Iruégmtion des Équations diffërentielies parttei 
par les séries. 

•""«^'l°'»i™'-,.,I...iicl»>i»i«.n.rui.eJoJ^ 



INT^G. DBà ÈQV. DIFFân PART. PAR SÉRIES. SSq 
TÎabUê,teUeque7,«tposon« la formule de Madaumi (a° ^4*^} 

f, f f. . , . désignent ici des fonctions cberchccs de y, qui 
sont ce que dcTiennent l'intégrale r^/(:r, y) elses dérivcis 
rulaùvcs à X , lorsqu'on fait x-=.o (*). Qu'on lire delà pro- 
\'i3sée r^F[r,s, i,p, q, x, j), il est clair que si l'on change 

X en «!ro , » en /. p en /', enfin soM-fi en -~ , il n'enlrci a 

dan» In valeur de rqucyi f, cl leurs dérivées par rapport .< j", 

puisque 7 devient -j — , et j=-j-^| : ainsi, r deviendra Z'. De 

luéine la dérivée de r, relative h x, donnera /", à l'aide des 
mêmes funclions / et /', qui demeurent quelconques ; et 
ainsi pour _/*", f^, ... en sorte ({uc la série contiendra dciik 
fonctions arbitraires de j'. 

Pour le 3' ordre , le niètne raisonnement prouve que la série 
ci-dessus est l'inttfgrale et contient les trois fonctions queleon- 
quesy) f',f°- Enpéiiéral, toute équ.différ.paniclled'ordi-en 
a une intégrale qui eoittient n fonctions arbitraires. 

giS. Lajjran(;e a encore proposé d'npprocher des intégrales 
I p ar la métUode des cocfficicus iudéietminés. On pose 
|K z==ip-\-x^-^x'x + x\-^x'm.... 

^^B| prenant Icsdllférenticlli^s convtrnables, substituant dann In 
^^toposce , el égalant entre eui les termes où x entre au même 
degré, on a divti-ses équ. qui servent Ji trouver celles des fuiic 
tions de j- qui ne doivent pas rester arbitraires. 

» Par es., pour r^;, ou trouve 
d'e . 



dj- 



-q~9' -^^V+^'x- 



{') Si la lonct.\oaj{r,y) devait ttre de aaliiro ï doaner l'infliii pour qihili|ua 
ta.\eMide/,f,J" ..., il ruudrtil, «onuna on rstsiln'Sjt, changer i an j— a; 
dam In proposa. ' ilnni une eonaUnla ipi'aa prend & foloDt4, d« manli^tv 
* B« |diu r«Dconucr à» Anatm inllnloi dsna l«» calcul) iju'on ri Mpofrr. 



PONCttDNS ARSITRAIHES. 56i 

duDtfu est composé eau. Il ne restera plus qu'A mettre a: — az 
pour u, dans y~bz^=^u, pour avoir l'equ, de la surface 
cylindrique parliculièrc doDt il s'agit. 

ParËilleincnt les surfaces dé révolution autour de l'axe des i 
ont {mur ùqu. pj^=qx , dont l'intégrale est a^-f- j-'.=; pi 
(n"&)2,74^); la fonction Ç dcmeui'e indéterminée tant que 
la gi^n^ratrice de U surface reste quelconque : mois si cette 
courbe est donnée par ses e'qu. .1i=o, ZV^o, dans toutes 
ïeï situations elle sera sur la surface ; le» .t, j- et ï seront les 
nicines. Posons z^u , éliminons x,yK\ i entie ces trois equ, , 
pub substituons leurs valeurs dans i*-f-_7-'=:çu, nous saurons 
coraioent la fonction 9 est composée en u; remettant donc 2 
pour u, et ar'-f-j'' pour fu , nous aurons particularise $ , de 
manière que l'êqu, uppnriiendra L'>;clusivciiicnl à la surface 
proposée. 

Et si le corps est engendre' [lar la révolution d'une surfauo 
mobile, qui serait invariablement liée à l'axe des s, et dont 
ou aurait l'equ. M=^o , en la considérant dans l'une de ses 
positions, différentiaut, on trouvera les expressions àe p et r/ 
en X , jr et 5 ; substiiuJes dans /ly — ya;j=o, on aura l'équ. 
îf^o de la courbe de contact du corps [{ffuérateur avee la 
surface cngeudréc , puisque k-s plans tangens sont communs A 
l'une et i l'autre. Ou a ainsi les équ. d'une courbe qu'on 
peut rqjarder comme (génératrice, et l'on retombe sur le cas 
précédent. 

I,c coiioîdc a pour équ. px-i-çjrxra, dont l'intégrale est 
jr^=x.fi {p. 435, 548). Faisons s:=tt,et tirons x,^ et 2 en u. 
à l'aide des équ, M^o , N^=o de la courbe directrice; enfin, 
mettons ponr .r et j' leurs valeurs dans jr=;x.9u , et nous sau- 
rons comment fu est composé en u. Hn6n, remplaçant u par s, 
nous aurons 7 a , et l'équ. particulière y =^ x.çt du conolde 
propose. 

Quand la directrice est un cercle tracé dans un pl.in parallèle 
aux yt, dont les équ- sont x=ia,j*^z'^b*, on trouve 

liVqu, des cônes est t—c^p(T — «)+?(j' — h), dont 
T. If 36 



CiLCCL DKS VARIATIONS. 563 

pour ^qu.^ = px, toutes ans oi'donn(!eg / seioiit les valeurs de 
l\ foiictioii fi, en sorte que cette courbe soit non-seulement 
quelconque , inat« m£nie puisse Être tracée & In maiu par un 
mouvement libre et irrégulier • la courbe peut même être 
Oitconiinue, c.-ji-d. forme'e de branches différentes placées 
bout i bout, ou Ditcontigue , c.-à-d. Tonnée de parties isolées 



et séparées les 



s des autres. C'est £ulcr 



ts pnn- 



m 



cipes borsdi: doute, même contre TaTiâ de d'Âlcmbert, qu'on 
peut regarder comme l'inventeur du calcul aux différences par- 
tielles; calcul dont les ressources sont immenses, les applica- 
tions d'une utilité sans bornes , et qui , comme on voit, est le 
)jren dont on se sert pour soumettre les fonctions irrégnlièies 
^{'analyse matliéiua tique. 



VI. CALCDI. DES VAKUTIONS. 



(^?. Les problèmes des /lo^i^/'iméirf-i'avaientdéjï été résolus 
pur divers géomètres avant la découverte du Calcul des varia- 
tions ^ mais les procédés dont on se servait ne formaient pat 
un corps du doctrine, et chacun de ces problèmes n'était ré- 
solu que par une mélliode qui lui était particulière, et par des 
artifices d'analyse souvent Uki détouiués. Il appartenait au 
célÈbre Lai-rBD{;e de ramejier toutes les solutions à une méthode 
uniforme. Voici en qnoi elle consiste. 

Étant donnée une focctionZ^= F{x, j, ^',j^'..), en dési- 
gnant par X , T'--- 'i^* dérivées du j- considéré comme fonc- 
tion de X , jr ^= çx , on peut se proposer de faire Jouir Z de di- 
verses propriétés ( telle que d'être un maximum, ou toute auirej, 
soit en assignant aux variables x, j; des valeurs numériquet , 
soit en établissant des relations entre ces variables , et les liant 
pardetéquationt. Quand l'équ. j'^^^j: est donnée, on en dé- 
duit j', y, y"-- en fonction de x. et substituant, Z devient 
■^fz. On peut assigner , par les règles connues du Calcul diffé- 
rentiel, quelles sont les valeurs de x qui readcnt^^un maxi- 
mrim ou un minimum. On détermine ainsi quels sont les peints 
3t>.. 



CiLCOL t)K5 TARUTIÔNS. 565 

t loujoiin Z, ^Z, OU Z,<^Z s en raisoDDant comme 
8 la théorie des masirrm et minima ordioaires [n" 757), 
roil (|u'tt faut (|ue les termes du 1" oidre soient nuls, et 
on ait 

, àZ , ^, >\Z . „ dZ 



itque <t est arbitraire pour cbaque valeur de x, et qu'il n'eit 
pas uécessaire que sa valeur, oUEaroruie, restent les mêmes, 
quand X varie ou est consiaut, F, k" . . . sont aussi arbitraires 
que k. Car, pour une valeur quelconque :t: =: A , on peut sup- 
Y>oKtk=a + b{x-~X) + '-c{x—Xy-^el(:.,X,a,b,c,.... 
eiaat prifics à volonl<!; et comme celte ëqu. et ses diffc-renEiclieB 
doivent avoir lieu, quel que soi tx, elles devront subsister lors- 
que x^X, ce qui donne k^a, k'^b, k'^c Donc, 

notre ëqu. Z, txZ-f-. .. ne peut être salisfaîte, vu l'indépeti- 
nnce. de a, b,c.. . , à moins que rliaque terme ne soit nul, 
elle se partage eu autant d'autres qu'elle renferme de 
, fl l'ou u 



K^< 



(n) èlaut l'onire le plus élevé de j dans Z. Ces diverses cqu, 
devront s'accorder tantes entre elles, et subsister en même 
li-mps, quel que soit :r. Si cet accorda lieu, il y aura morim uns 
<ui minimum, et la relation qui en résultera enlrej'etx sera 
l'equ. cUcrcbue, j-^çx, qui aura la propricW du rendre Z 
plus grand nu plus pelit que ne pourrait faire toute autre rela- 
lii>n entre x et j. On distinguera In maxitnun du minimum , 
suivant les ihëories ordinaires, d'après Us sij^nes des termes 
du 2* ordre de Z,. [fojrrz page 3gu.) 

Mais si toutes ccséqu. donnent dis relations différentes entre 

.r vlj, le problème sera impossible dans-leiat de (;énéralît(! 

qu'on lui n donné ; et s'il arrive que quelques-unes seulement 

de ccséqu.s'accnrdeni entre elles, alors la fonction Zaura des 

umima et minima, relatifs ù quelques-unes des quantité 



I 



CALCUL DES T*»lllTIORS. 

jty.y.--, sans en aïoir d'absolm 
ces quantités. Les ét\a. qui s'accordent entre elle» doni 
les fdatîons qui éwhlisstnt les maximn et minima ruiatiftjj 
si l'on nu veul rtudri! X uu maximum o 
rapport à l'une des quanlilt» j-, j^, y° . . ■ couiiniaJorï il ae^ 
dra satisraire i]u'à une équ. , !e problème »rra loojours {HMnM 
934. Il suit des considérations précédenies, que, 
1°. Lesquantitésx et^ Bontdejjendautes l'une dcl'ai 
que néanmoins on doit les faire varier couinu; si elles éui 
iudépendaules, puitquece n'est qu'un procédé de c&lcalp 
parvenir au résultat 

a*. Ces variations ne sont pas infinimenl petite* ; «l *i " 
emploie le Calcul différentiel pour les obtenir, ce n'ect ^ 
romme un moyen expédilif d'avoir le second terme dn dëi) 
loppeincnt, le seul qui soit ici nécessaire. 

Appliquons CCS notions générales k des exemples. 
I. Prenons sur l'axe des x d'une courbe deux abscisse* n 
cl menons des parallèles indërmies h l'axe des,?'- Soîij' =4 
l'équ. de celte courbe : si par un point quelconque on mèneq 
tangente, elle coupera nos parallèles en des po'toU i\Bi < 
(n'763) pour ordonnées t=y+y (wi — J)elA=J--hr'<''- 
5i la forme de # est donnée, tont «stici connu; nuit si cl 

l'cai point, on peut demnndcr quelle est la courbe qui jou 

la pivpiiélè d'avoir, pour cliaque point de langence, U prodtiii 
de ces deux ordonnées plus petit que poDr tootc aatre courbe 
OnaictZ = /xA, ou 

■z=rr+f'«-x)y] {j'-\-{n-x)yy 

D'apris l'énoncé du problème, les eonrhes yut>oM«(/"i 

un même point (x, j), ont des tanfientcs de direction* diverses; 

et ccllequ'on ebercl.e doit avoir une tangente (elle, que la c.o- 

Uion2=m«Tim«m Boit remplie. On doitdoncreEarderxetr 

comme constan» dans d^ = o d'o 

— V' a — _ 



—tt) X »l 



f*- 



OtLCVL QKS VARIATIONS. 
La courbe est une ellipse ou une hyjverbole , selou que C est 
iic^alif nu poflittf, les aoioinets sont donnés pai' ^ = m el^n: 
dans k- i"ca8, le produit /.A, ouZ, est un maximum, parce 
(jue y' aie KÎjj&e — ; dans le a', Z esl ttu minimum, ou pluiùt 
un maximum négatif : ce produit est d'ailleurs constant. . . 
lh=: — ^C(m — n)', carrd du demi-second oie; c'est ce qu'on 
trouve en substituant dans Z pour j-* et ^ leurs valeurs. 

tl. Quelle est la courbe pour laquelle, en chacun descs points, 
le carié de la sous-normalc augmentée de l'abscisse, est u» 
minimum? On a Z=:(jy -^-x)', d'où l'on tire deux équ., 
qui s'accordent eo fftisaut_j-j'-)- j ^ o , et par suite x'+j'^=r' . 
Doue tous les cercles décrits de l'origine comme centre , Mlis- 
font seuls à la question, 

giS. La théorie que nom venons d'exposer n'est pas d'uuu 
grande étendue; mais elle sert de développement prélinkinaire. 
Utile pour l'intelligence du problème beaucoup plus intéressant 
qui nous reste à résoudre. Il s'agit d'appliquer tous les raison- 
nemens précédens à une fonction de la forme fZ : le sign* / 
indique que la fonction Z est différentielle, «1 qu'après l'avoir 
intffgrca entre les limites désignéci, on veut la faire jouir dtw 
propriétés précédentes. La difficulté qui se rencontre ici vient 
donc dje ce qu'il faut résoudre le problème sans faire Tinté- 
([ration ; car ou voit asiei qu'il est en général impos5ilile de 
Texécuter. 

Lorsqu'un corps se ment, on peut comparer entre eux, soit 
les divers points du corps dans l'une de ses positiotis, soit le lieu 
qu'occupe successivement un point deVigné dans les inslaus 
suivans. Dans )e i*' cas, le c^rps est considéré cuinme fixe, et 
le «igné d se rapportera aux changemens des cooriioniiées de sa 
>urfaceidanslc2', ondoit exprimer, par un signe nouveau, de« 
verialioni tout-i-fait indépendantes des »'", et nous nom 
servirons de t. Quand nous cnnsidérans une courbe immobile, 
on même variable, mais prise d.nns l'une doses positions, d3r,d^,.. 
Annoncent une vompareiion entre ses coordvnnûcs ; mais, pour 
r égard au» divcri Ueuz «[u 'occupe ns même point d'une 



CALCUL DES VAtUATIOnS. 369 

regardante, x,,x^...jr,x,tj'„--, coiumc autant de variables 
indépendantes ; nous aurons 

dZ=mi\x-\-nAx,-i'piix,...-^Mij-\-my_...-\-fAx-\->ét^..., 
m. q..., M, N..., f, r... , étant lea coefficiens des différences 
partie llci tie Z pur rapportât:, x^...,j, Xyt *> V*' ^'ûlés 
comme autant de variables; ce sont donc des fonctions connues 
pour chaque valeur proposée de Z. En pratiquant celte diffc- 
rentiatiuD absolument de la même manière par le signe ^, on a 

;'Z = m.J^4.n.<Mx+/).AI'x+7.War+... 1 

+^ , is,-t-,.ids+w. Wi-i'Z-^''+- ■ • ) 

Or, celle quantité connue, eldout le nombre des termes est 
limite, est précisément celle qui est sous le signe/, dans les 
termes du 1" ordre de notre développement : en sorte que la 
condition du maximum ou du minimum dein.indée, est que 
JSZ^^, entre les tiinites désignées, quuUcs que soient les va- 
ria6ons tx, iy, Jt. Observons qu'ici , cointne précédemment, 
le calcul différentiel n'est employé que comme uq moyen facile 
d'obtenir l'assemblage des termes qu'il faut égaler i ïéro ; de 
sorte que les variations sont encore finies et quelconques. 

Nous avons dît qu'on pouvait mettre d./o' au lieu de i:ixi 
ainsi la 1" ligne de l'équ. é<|uivaut à 

m.tx +n.d;a+p.I^'f^* + ?.d'^c+etc. 

m, n... contieunent des différ-, de sorte que le défaut d'bomo- 
(•énéîlé n'est ici qu'apparent. Il s'agit main tenant d'intégrer; or, 
ta suite du calcul fera voir qu'il est nécessairu de dégager du 
signe y', autant que possible, les termes qui coutiennent d^. 
Pour y parrenir, on emp'oie la formule de l'iuldgratiou par 
|iarttes ( p. 44^) i 

/^.<i^ = n.■^x— /da.Jy, 

fp.d'i'x=p.à/x — dp.fx + fà'p.fx, 

/î.d'^=j.J'/!r -dy.dAr+d'g./x— /il-y /r, etc. 



CALCUL DES VARtATIOKS. d^l 

porte à latiéOinélrie.cM^qu. «ont celles de la coufbe ou de la 
surface qui jouit de la iicapnétë demandée. 

((37. Comme l'intégra lion est effectuée et doit êlrc prise entre 
lies liiniliis désignée», le» ternies qui resicutet composent l'équa- 
tion (C) se rap|K>rlunl à ces liuiiics ; elle est devenue d« la 
l'orme A + L^= , L étant une fonction de x,j-, 2, ^x, ty. 
it... Mariiuons d'un accent les valeurs iiumên(|ues de ces va- 
riables ù la r* limite, et de deux â la 2*, Comme l'inléfjrale 
liait élre prise entre ces limites, il faut marquer les divers 
termes de L, qui compoaent l'équ. (C) d'abord d'un , puis de 
deux acccns ; relranclaT le 1" résultat du ■x' , et égaler J T.éro 
(n'SJg); de sorte que l'équ. Z.^— /ii, 3= o ne renfermera plus 
de variable*, puisque :c,^... auront pris les valeurs a:,, ^,..., 
'■• '-^■-■'t assignées par les limites de l'intégration. On ne 
doit pas oublier que ces acccns se rapportent aux limites de 
l'intégrale , et ne désignent pas des dérivées. 
Il se présente maintenant qu.ilrc cas. 

1°. .Si Ici limiles sont données et fixes ("), c.~&-d. si les 
valeurs extrêmes de x,j et 2 sont constantes, comme (fx,, 
il^.r,, etc. , Ix^, d^,T, etc. , sont nuls , tous les termes de L, 
et L^ sont téro,el l'équntion [O est satisfaite d'elle-même. 
Alors on détermine les constantes que l'iniégratlon Introduit 
dans les équ. (J?), par les conditions que comportent les 
limites. 

3°. Si tes limiie* tant arbitraires et indépendantes , alors 
cbacun des cocfficiens de /:c,,^jr,..., dans l'équ. (C], est nul en 
particulier. 

3". S'il existe des équ. de comUlions pour les limites (•*), 

(*) Ce Mit nviont, oo Géomélrie, i celai où l'au ehn«hv iinncoarlia qui , 
oolra qu'elle doit jouir de 
•IdII encan) (uiocr par deux | 
la en d«li!nnliie 
M par les dem pnïnl* doiit II ■'sQlt. 
*i Cala algalO», «n <> Miortri*, i|ui> la it 
M iMiinl* i|iii ne (iiiii iilim [ii<><i , noia i| 



I 



CALCOL DES VARIATIONS. 5j^ 

A-fail «rbitraîrc (*J, pHrce qu'il rentre daus les trois utt pté~ 
çédtns. ' 

<p,S. Il pourrait aussi airivcr que lu tinture de la question 
ai-sujclllt les variations lx,ty tlis à île certaines conditions 
donntiespardeséqu. 1=0,3^:0 .., et cela indépendamment 
des limites: comme , par ex. , lorsque la courbe cherchée doit 
être tracée sur une surlace courbe donnée. Alors l'équ. {B) ne 
»e partagerait (dus en trois, elles équ. (£») n'auraient {ilus lieu. 
Il faudrait d'abord réduire , comme ci-dessus , les variations 
au plus petit nombre possible dans la formule {H) à l'aide des 
ëqu. de condition, et «égalera zéro les coelliciens des variations 
reGtante3; ou, ce qui revient au même, ajouter à (£) le» termes 
^i+A'^-t-... ; partuger cette équ. en d'autres en y regardant 
i'x, Sy, fi comme indépendantes; enfin, éliminer le» indé- 
terminées A, a'. . . 

Nous ferons observer que , dans les cas particuliers , il est 
souvent préférable de faire , sur la fonction donnée Z, tous les 
calculs qui ont conduit aux équ. {B) et {C) , au lieu de com- 
parer chaque cas particulier aux formules générales précédem- 
ment données. 

Tels sont les principes généraux du calcul des variations i 
Appliquons-les à des exemples. 

939 Çueileestla courbe CMK plane (fig. 44) ^c" '« longueur 
WK , comprise entre dirux rajroiti vecteurs AKel Mi,esi laplui 
petite posiibel? On a (n" 80 J , 769) * — /l/tr'dfl' +67*) = Z, 
il s'agit de trouver la relation r=#0, qui rend Z un minimum. 
La variation est 



/X = 



rdù-- 



.fr+r'àl.iài + dr.^ dr 



(*) Alori U Gonrbo chercha ■ l'une da if «itr^mit» miujitli* 
par vn point Su, undlique l'antre doit tire ou quckonqua, 0» si 
on* eourb* ou tiir nn« inthco dontif <■. 



J^^i^ , Dis VARIATtOKS. S-jG 

■l'oi'i l'un comb|idx=<-a(lf , i\/ = bdi etdx^cdx. Eii carrant 
<i ajoutant, on ohlient a* + i'4-c'=i, candition que les 
comtanles ^yl>,e doivent remplir pour que ces ëqu. soieiil 
conipaiiblea entre elle». Par la division , on trouve 



dx_6 



dx" 



~, -r-=:-; d'où bx=:aY- 



donc des droites; ainsi 



1« projections do U ligne cUercliec soi 
celte ligue est elle-nièine une droite. 

Pour en délerniiner la position, il faut connaitrc les cinq 
canilanlcKi, b,e,a' ell/. S'il s'agit de trouver U plus courte 
dislance entre deui points fixes donnes (Dg. 85), j/(«^ _^^ s^ , 
*^\^,J\*«)t i' e*' (^'^'f que ix,,Sy„yiy,... sont nuls, et que 
l'équ. (C) a lieu d'eltc-mcme. Eu assujettissant nos deux éqiu- 
lions5 être satisfaites lorsqu'on y substitue j:, « ',>^, etc., pour 
r ,j et t,on obtiendra quatre équ. , qui, avec a'+i*+c*^i, 
ilt-lertnineronl nos cinq constantes. 

Supposons que In 3' limite soit un point fixe C dans le plan 
.rf, cl la 1" une courbe ^5, si tuée aussi danscepTaii; l'équa- 
tion bx^aj + a' suffit alors. So\ty'=fe , l'équ. de AB ; 

l4: 



tire iy;=Aîx, ; l'équ. (C) devient L= 



■■'-*£ -h-. 



<'i comme la 3* limite Cest fixe, ilsutBt de combiner ensemble 
Ifs cqu. /y = <//'T, , et Ax.3x^-\-àr,.tj=sa. En éliinioant 
Jjr, on obtient Ax^'^Âàj^z=.o. 

On aurait pu aussi multiplier l'cquation de condition... 
/f,— jitx=o par l'iudi! terminée A, et ajouter i Z,_, ce qui 
eût donné 



àT' 



^xA.tx.i 



, on obtient de même dj:, + j*d7-^=o. 
Mais puisque le point jtf(jr^,^^) est sur notre droite ^YC, 
a aussi Adj-,=ddj',: d'où a=—bA,tl T ^ — "i~" 



■77 



/s 



CALCUL VLs VAHUTIOHS. 
<4'£ et CD, qui servent deliroitea, etsautdooni 
surface ïplierique. 

()3i. Lorsqu'un corps se meut dans un fluide, il eu éprouve 
une Insistance qui dépend de sa focnie, toutes circonsiai 
é(;ates d'ailleurs : si ce corps est de révolution et se meut dam 
le sens de son axe , la Mecapique prouve que la riJsislance est 
la moindre possible , quand l'équation de la courbe génératrice 
remplit la condition. 

_j:^y__ — minimum d'où Z = ^y^ 
/dx'-Hdj-* ' i+y 

Déterminons cette courbe (jénératricc du loUde de moindre 
réiisiance. En prenant la variation, on trouve 

m = o „~ ~*'^'^-^'^^ ^ —^JT" 
' "-(dj:'+dj-')' c«+y)' 

"'-dx + dj-- t+y "' cn-y-)' ■ 

lai'équ. CD) est M — dA'=rOi et d suit du calcul qu' 
de faire sur Z , que 

â cause de W=dW. Ainsi , en intégrant , on a 

Donc <7Ci+y)*=vy 




(T+y) 
OliBcrve» que 
nn«j de suite ne 



— dn=o , ou — n^^. 
an même but. On a 



^^ "i'+y r 



irte que ces di 






*a Bubstittunt pour ^ sa valeur, cette intégrale est facile 1 
obtenir; il reste ensuite h éliminer j-' entre ces valeurs de 

:. Il 37 




Cjn,COL DBS T*III4TIOK3. 
te'un tMlrecàtQ,y^fyùx^yx — fvAy', ou 



579 



x—jx- 



■'y-pf+yjy-P'V- 



c [tang=y), 



ce dernier terme s*mlËgrc par parties, etl'on a 
y^yx — cy — {by~a), arc (tang=y)+/. 
Éliminons l'arc tang. entre ces valeurs de x et de^ : 

, . (by~a)Ax , bAr—aàx 

«Dfio{IV,p. 444) *^%^{by-ax-\-e)-\.h. 
Cette équation, rapprochée ducelle delapage 483, moalreque 
la courbe cherchée est une cyclolde, dout od déterminera les 
quatre cons ta a tes d'à près an égal nombre decondilions données. 



<3.* 



i/(t- 



A)* 



933. Prenons pour 3* ex. la fonction Z= 

un arc de courbe, ou (Ij'=:dx'+dj"+d*' : il s'agît de rendre 
/Zun minimum. Ce problème revieut à trouver la conrbe^C 
(fig. 85) suivant laquelle un corps pesant doit tomber, poui 
mettre le moins de temps possible à passer de C en ^.(/'ly.raa 
Mécanique, n* 191). Tormaut la variation ix, nous trouvons 

_ — tij ,^ __jlf_. ji— tir ._ d» 

enfiii, »»=Jtf=P. ..^o- Les équ. D deviennent 



•^Cd^V-Cï-À")^"' ''(.Uv/i-A))-' 



■ (') 



di 

V.djv'Cï- 

Kous omettons iciU3*équ., qu'on peut démontrer £lre com- 
prise, dans les deux autreSi condition sans laquelle le problJ;me 
propos*.' serait absurde. En in tét;Tanl, et divisant l'un par l'autre 
lei résultats, on obtient d^':=adTi ce qui prouve que la projcc- 

3,. 



CALCUL UtS TiniATlONS. 58l 

tou équation u=o, réqu.(/?) ae se {larlagc en (rois équ. qu'après 
avoir DJDUtéA^u, ce qui donne, au lieu de» équ. (i), (roi» équ. 
entre l«ïqtielles, éliminant a, on aurait celles de la conrbe 
ilicrchéc. Si l'on avait ponr limites deux points (ixes, les cous- 
lentes seraient déterminées par la condition que la courbe 
passAt par ces deux points: lorst^u'on a pour limites deux 
vriurbes, celle qu'on cherche doit les couper à angle droit 
comme ci— dessus. Ainsi , le restedu problème est le même dans 
les deux cas. 

934. Quelle Ml la courbe BM (Bg. ^8) dont la longueur 
ett donnée, qui passe en B et en M, et qui intercepte entre tet 
ordonnées terminales BC, PM et l'axe kx, Faire la ptui 
grande? jydx doit être un maximum, l'arc i étant constant ; 
il faut donc combiner la variation de /Z=^d3rayec celle de 
/^/(âx' + dj") — const. = o , suivant ce qu'où a vu n" 938 , 
afin de pouvoir partager l'équ. 3 en deux autres. Ou trouve 
fiour la variation complète 



/T^.Alx+dx.d/r-f- - 



'0- 



^dx 



M = àx. iV=A.=i., 



.^■^- 



'ds ' 



Jis cqn. Boul identiques, puisqu' en intégrant l'une ou l'autre 
III parvient au même résultat; on ne doit donc pas élimiuerA 
oire elles. La i" donne, en mettant v'C djr'-f-d^') pourdj, 

dr v-[A'-cr- c}'] , 



dx 



!,d'où(x 



<:y-ho--cr = 



La courbe cherchée est donc un cercle ; et suivant qu'il tourne 
M convexité ou sa concavité k l'axe de» ;c, l'oire est un mini- 
mum ou un maximum. On doit déierniiuer les constantes c, 
. >-i A par la condiliou que le cercle paue |tor les points £ et 

"/, et que l'arc BM ailla longueur exigée. Tel est le {ilue 

-iiiple des prohl(;mes d'hopMmètrfs. 



ix = 



Si la coDatanle c 




CkLCtlL DES VAI 

937, Parmi toutes les courbes planes, terminées par deux 
ardonnées BC, PM {fig. 71), qui engendrent dans leurs révo- 
lutions des corps dont /' 
est celle qui produit le pli 

Od a /ir^'d.i 

D'où il e^l facila du l 

Ccséqu. e'accordeol entre elles, et la 
(c-J-)dj- 



(j — II)* + ^' =' 4''' I ^1"- '^'"" cercle dont le centre est en 
un lieu quelconque de l'axe dcs^, etqui doii passerpar les 
deux points donnes. Toutefois ce cercle ne répond au problème 
qu'autant que l'aire engendrée par la révolution de l'an; CM 
se trouve avoir l'étendue exigée i en effet , l'équ. intégrale ne 
renferme que deux constantes , qu'on déterminera par la con- 
dition que la ligne passe par les poinU C et M. La solution 
générale du problème est donnée par l'équ. (t). 

gSB. De toutes les courbes planes , d'égale longueur entre 
deux points donnés , quelle est celle qui , dans sa révolution , 
engendre un volume ou une aire maximum ? 

Dans les deux cas, /"4/(dz* + dj'')=consl. En outre, dattB 
l'un fwy'dx, et dans l'autre ÇiityAs {n' 79a), doit être un 
maximum. D'abord, dans le i" cas, Z= -jrj^éix. En raison- 
nuit comme ci-dessus, ou trouve 



d'o 






licourbedontit s'sgit ici joail de la propriété que son rayon 



difféhehces finies. 585 

est bomontal, est le plu9 bas possible. En sorte que toute 
niasse d'eau dont )a surface supérieure est horizoatale , > son 
centre de graïiti le plus profondement situe. 

Consulte! l'ouvrage d'£nler, intitulé : Melhodus invenicndi 
lineat curvtu maTimi minimûe proprieiate gaudeniet. 



VIII. 01FFÉBENCB5 ET SliHIES. 



Méthode directe des Différences. Interpolation. 

94i. Étant donnée une série a, b, e, d retrant^ons 

chaque ternie du suivant; a'=& — a, i/=c — b, c'ssd — c. • . 
formeront la série a', b', c, d'., . des dîjfértnces premières. 

On tiouvt; de même la série a' , b' , c" , d" des diffïf- 

renees secondes, û°i=i' — a' , V-^c' — A', c"-^d' — c' j 

celles-ci donnent Ks difftrences troisièmes a"^i"— a", 
li" :=c" — b" ...; et aiusi de suite. Ces difTérences sont indi- 
quées par A, et l'on donne à cette caractéristique un exposant 
qui en marque l'ordre ; A" est un terme de la suite des diffé- 
I ences 71". On conserve d'ailleurs à chaque dilTéreoce son signe, 
lequel est — , quand on la lire d'une suite décroissante. 

Par exemple, la fonction ^7"^ j' — ga:-|-6, en faisant suc- 
cessivement a: =:o, 1,3, 3, 4' ■ ■ donne une série de nombres, 
dont j- est le terme général, tt d'où l'on tire les difieVences, 
ainsi qu'il suit : 

pour r = û, >, a, 3. 4. 5, C. 7 

«rio r ^ 6, — 3, — i. 6, 34, se, 168, j8G.... 



diir. a" ù'/ B 6, la, 18, 34, 3", 36 

diU î" 4»^^= 6. G, 6. G, G, G 

>44. On voit que les différences iroincmes sont ici constajites, 
ue les différences deuxièmes fout une équidilfé renée : on 
e à des différences constantes toutes les fois que j- est nnc 



Donc, «i l'on fa.itx^a,B,y-- .. dans Ai"+/jj:"'~'+. . , . , 
ladiiTér. (m— i)' de px"~' élant coosianle, la m' sera nuU<:, 
donc pour notre polynôme In diftér. m' tst la iiiûme que s'il 
n'y avait que son i*' terme ^jt". Donc , la différence m* est 
constante, lorsqu'on substitue à x des nonil/res équidîffércns , 
dans une fonction rationnelle et entière de degré m. 

()43. On voit donc que , si l'on est conduit à substituer des 
uunibres equidifferens , ainsi qu'on le fait pour résoudre une 
équ. iiumcrique (page gi et ai6], il suffira de clicrcLer les 
(m + i) i'" résultais, d'en former les di&eiences i"", a"... : 
)a m' n'aura qu'un terme; comme on sait qu'elle est constante 
et^i.a.S, . .rnih", on prolongera cette série à volonté. On 
prolongera ensuite, par des additions successives, la série des 
di/Tér. (m^i)" au-deU des deux termes connus; celle de 
(m — 2)" sera de luéuie prolongée. . , ; enfin la série des rc- 
■altats provenus de ces substitutions, leseraaussi, autant qu'on 
voudra, par simples addition*. 

C'est ce qu'on voit dans cet ex. : x^—x' — ix+ i. 

DilT. 3" G. e. G. G. 6. G G... 
a" 4. lu. 16. aa. a8, 3j. 40... 



*■ 



.3.4.. 



G... 



Ces séries se déduisent de celle qui est constamment 6.6.6. . 
et des termes initiaux déjà trouvés pour cliacune : un terme 
t'obtient en ajoutant celui qui est à sa gauche, awc le nombre 
icrit au-deisus de ce dvrnier. On peut aussi continuer lesséries 

dans le sens contraire, pour obtenir les résultais de 

X^ — 1 , — 1,-3 Vn terme t'obtient alors en retranchant 

le nombre inscrit au-dessus de l'inconnue de celui qui est à 
droite de celle-ci. 

t le but qu'on se propose , de résoudre une équ. , il n'ot 
|Ids bcxoin de pousser la série des résultats au-delâ du terme 
k l'nn ne doit rencontrer que des nombres de même signe, 
■ qui arrivbd^s que lousies termes d'tue colonne quelconque 



ISTBBPOLiTIOS. 591 

Puisque la diffurcnco esl i peu prtis constante , du moins de 
60° A 75°, on peut, dans «lie étendue, employer l'équ. (O) ; 
faisant A=5, ilTÎeni, pour la quantité à ajouter à ^,:=iooo, 

5.74,6.1 — ;i,s(» — 5)=i5,i2.r — 0,04.3*. 
Ainsi , en prenant s^i ,3,3. .., puis ajoutant looo, on en (ire 
les cordes de 61°, Ga", 63°. , . . ; el même prenant pour : des 
valeurs fractionnaires, on a la corde d'un arc quelconque 
intermédiaire entre 60" et ^S". Mais ou ne doit guère étendre 
l'usaf-e des différences ainsi obtenues, au-deU des limites d'oii 
elles ont été tirées. Voici encore un ex. 

Oaalog3ioo=jr„ = 49'36i7 .._,,„o., 

Ioe3..o z=49,,6o4 ,^.l ^'=-45 

lo(!3.20 ^494'546 3^ _« 

log3i3o =4955443 ^' ^ 

Nous considérons ici la partie décimale du lo(;. comme étant 
un nombre entier. En faisant A^io, il vient, pour la partit! 
additivei log 3ioo, 

i4°o,ç)5.s — o,»35.s'. ;, 

PouravoiilealoQ.de 3 toi, 3ioa,3io3...,oo feras=i .3,3..,, 
et mème,st l'on veut log. 3107, 58, on prendra 1=7,58, d'où 
résulterai o6d6 pour quanti té à ajouter au lof;. de 3 100; savoir, 
log. 310758 = 5,4924^*3. f^qy. mOQ Astronomie pratiquif , 
n" 77, et ma Gi'odésie , n" 378. 

g48- Ces procédés s'emploient utilement pour abréger le 
calcul des tables de log. de sinus , de cordes , etc. On se borne 
à cbcrclier directement des résultats d'espace à autre, et on 
comble ensuite rinlerïallc par Inierpolation. 

Le plus souvent la série proposée a, A, c. . . , ou la table de 
nombres qu'on veut interpoler, répond aux rangs i, 3, 3. . . , 
alors A=i, et l'on cbercLe quelque terme intermédiaire k j'„ 
et j-i répondant au rang t; l'cqu. {D) devient alors 



". Quand il arrive qui 



l'+i 



nul, ou très petit, Ea série se 



ISTERPOLATIOK, 5q3 

Si l'on connaît le réauliat du calcul, dans l'ex. précédent, o 
en lirelenumér. j-t— j-B-=io6oG, cjui , divisépari'=: t: 
donne une ■''* approximation , s i= o, ^58 : cette valeur n 

, 1 0606 

pour ï, dans F, donne i ^ -^ = 0,758. 



13991" 

Le problème inverse se résoudra de même lorsque A' s 
coMiant, etc. (^. Conn. des Tems, 1819, p. 3o3.) 

949- Voici une manière commode de diriger le calcul qu£ 
A» est constant, et qu'on veut trouver n nombres intenné- 
diaires luccessifs entre ,ro et y,. En changeants en s-fi dann 
(DJ et retrancbaut, ou a la valeur générale de la difTér. 1" 
pour la nouvelle série interpolée : faisant de même sur celle-ci, 
on ob tient ta dilTér. 3% savoir : 

Différ. i",/ = -Y- H ~- 

On Teut insérer n ternies entn 
A^ft-f- 1; puis bisaut e:^o, 
rentes 



Différ. 2", J'=-- 



**= ; 



t-'z^~ 



n + i 

on calculera 1' , puis J" ; te terme initial 3' servira i^ composer 
la suite de» différence! i'" de la série interpolée (J^ on est ta 
différ. constante] ', puis, enfin, on a cette Hcrie par de simples 
additions. 

VeDt-on.dansrex. de la p. 691, calculer les Iog.de3ioi,3i03, 
3lo3, . ., on interpolera 9 nombresenire ceux quiaontdonn^: 
d'où n ^9, J"=; — 0.45, i^=\^ao,-^t^. Oii fonne d'at>ord 
l'équi différence qui a i' pour terme initial , et — o,45 pour 
différ. constante, Icn différ. premières son I 
■ 400,735, 1400, 3^5, 1399, 8aS, 1899,375, 1398,935... 
Des additions successives , en partant de lug 3 100, donneront 
les log. consécutifs qu'on clierche. 

Je suppose qu'on ait observé un pbéuomJMiG physique de 1 3* 
II. 36 



t 




t â la Sun pie 



IHTEHPOLATlOIf. 



OD l'a vu pour les log. (i" vol., page ia3), 
JnB|)ecttoa, ou obtient tes résultais cliercbcs. 

Quand U série a deux variables, ou aiQuuiens, :cct = , lui 
valeurs de^ se disposent en tabkà double enliée, coiniuccelli: 
dePjthagore (n* l4); «" prenant pour coordonnées i et a, !■; 
résultalestconlenudans la case déterminée ainsi. Parex., ayiiiit 
pria x^t, on rangera sur la i" ligne toute» les valeuvs de 
^correspondantes à x=: t, 3, 3..<; on mettra sur unez'li^ne. 
celles iiue donne ;^a; dans une 3', celles de s^3. . ■ Pour 
obtenir le résultai qui repond à x = 3 cl ar=i5, on s'arrêtera 
à la case qui, dans la 3* colonne, occupe le 5* ri 
leurs intermcdiaires s'obtiennent d'une manière a 
qui a été dit. /'. p. ai et 24- 

gSi. Nous avons supposé jusqu'ici que les ^ 
équi différences. S'il n'en est pas ainsi , et qu'on connaisse les 
résultats^ = a, b, c, d... proveuus des suppositious quel- 
conques j: = a, f , y, J*. . ., ou peut recoiu'ir à la iliéoric ex- 
posée n" 46!J| lorsqu'il s'agissait de faire passer une courbe 
parabolique par une suite de points donnas : ce problème n'est 
en effet qu'une inlerpolalion. On peut aussi opérer ci 
suit. 

A l'aide des valeurs correspondantes c 
formel les fractions consécutives : 



ng. Les va- 
lulogue à eu 



it par des 




ÊlimiiUBt entre ces éqi 



INTÉGRATION. Sg^ 

Pour obtenirladitFércncea*, il faudrait opérer sur û^i, comme 
CD a bit pour la proposée; et ainsi des différences 3", 4""- 

^Jntégration des Différences. Sommation des Suites. 

^3. L'inCeijration a ici pour but de remonter d'une dîBt!- 
rence donnée en x, h la fonction i\at l'a produite; c.-à-d. de 
retrouver le terme (jénéral Vj d'une série j'„,j-„_^_^^j-„_^^...,, 
tODnaissant celui de la série d'une différence il'ordre quel- 
conque connue. Cette opération s'indique par le signe S. 

Par ex., Z[3x'+x — a) doit rappeler l'idée suivante, tachant 
que fi :i= I ,- une fonction j-^ engendre une série, en y faisant 
j:^o, 1 ,3,3. ..) les différences i"> qui s'eusuivent lormeot 
une autre suite dont 3x'-|-^ — a est le ternie général (elle est 
ici — 2, 2, 12, aS..,). L'objet qu'on se propose en intégrant 
est donc de trouver^ .i, fonction qui, si l'on inet.r+i pour x, 
donnera, en retranclian t, le reste 3j:"+j — s. 

Il est facile de voir que, i°. les signes £ et A se détruisent 
(comme fetd); ainsi , xA/x=/r. 

2°. ù(,aj) = aùj'; donc Saj-^aïj-. 

3". Comme i(^l — Bu)=^il( — Hùu, de même, on a 
^Al — Bu)=iAXt—Blu, r et u étant des fonctions de x. 

954. Le problème de déterminer^, par sa différence 1", ne 
renferme pus les données nécessaires pour être résolu compléts- 
meiit ; car pour rccoiuposeï- la série provenue de j-,, en partant 
de — 2,2, 12, 28..., faisons le i" terme jo^a, nous trou- 
vons, par des additions successives, a, a — 3, a + a, a+i3,.., 
et a demeure arbitraiie. 

Toute intégrale peut être considérée comme comprise dans 

l'équ. {A) (p. SïJg) ; car en prenant x^so, 1, 3, 3.,., dans 

la différence 1" donnée en x, on formeva la suite des diffé- 

retranchant celles ci consécutivement, on aura les 

I différences a'», puis les 3", ^''... I-u tenue initial de ces séries 

1 i'j'o, û'j„. . . , et CCS valcuit substituées dans {A) don- 

it_r,. Ainsi, dans l'exemple ci-dcssus (qui n'est que celui 



^.^.x—+J-. 



,.l— !+-<" 



-5 H< 



INTÙ^It&TlON. , ^^' 

■Mse de/ji{m+i) =1 , »e réduit à 
1—3 3*' 

Pour abréger, nous omettons ki les termes du développe m en i 
de a en 3,quti le calcul prouveiait s'cDtre-délruire; et nous dc- 
^Donspar I, m, ji'. A' ... les coefTicicns du binôme. VenouB- 

au deuxième membre , et faisons le même calcul sur 

*r*~'+iïic"~';-" nous aurons, avec les mêmes puis«ai)ccs 
respectives de x et de A, 



• 




+ ( 


«-3)^4. 


'■- 3-^- ■ 


-^-' 


+ 










+ (" 


-5)v + 




Hn comparant lermc à 


terme , on 


en tire aisémenL 








(3 = 


—A'U^ 








a 


où l'on lire eoGn 













Ce développement a pour coefliciens ceux du binôme de deux 
en deux termes, multipliés par de certains facteurs numé— 
Tiques a, b t c. . . , (ju'on a nommée Nombres Bernoullient, 
parce que Jacques BernouUi les a le premier déierminés. Ces 
facteurs sont d'un fréquent usa^e dans la théorie des suites ; 
BOUS donneroDs un moyen plus facile de les évaluer (n° 957) : 
en voici d'avance les valeurs. 



</=— - 



J=-Te,T 



. Concluons de là que , pour obtenir ïx", m tflant mt 



inTÉGHATlON. 6ol 

957. Voici un moyen facile d'étendre tussi loin qu'on veut 
Jes valeurs des nombres bernoullieos a, è, c. ... Qu'on fasse 
x=.h=i, dansl'équ. (D); Ur" est le terme général de la série 
qui a x" pour dilTérence i " ; nous considérerons ici S i , et celte 
s^rie est la suite naturelle o, 1,2,3.... Prenons léro pour 



" membre , et transposons - 



aC»i 



- =am-f-6^''+c^"+d^'. 



+ 0' 



l'on tire 
fiembre; 






En faisant m = 3, le 3' membre se réduit à am, d' 
a^Yiim=^doaneam + bji", ou 4<i + 4^> P^'^'' ' 
ou trouve am + bA'+6c, pour ni^6. ...; ainsi 
dant selon les nombres pairs m = 3,4i6,8...., 
chaque fois une équ. qui a un terme de plus, et sei 
de proche en proche le derniei terme 2(t,4^,6< 

958. Prenons la différence du produit 

j-^(x—h)x{j: + h) ix + ^h)...(x + if,): 
en mettant x-f-^pour:i:, et retrauchant, i) vient 

Aj,=x(x+h) Ix + yh-j... (x4-rt)X(»+3)A; 

divisant par ce dernier facteur constant , intégrant , et remettant 
pour j'a sa valeur, on trouve 

Sx(x+h) (jr + aA)...Cx + M) 



Cette équation donne t intégrale du produit de facteur* qui 
forment une é.quidif}érence. 

959. En prenant la différence du a* membre, on vérifie 
l'équation 



*(*+ A) (x+aft). . . (ar+ifi) ihx^x^h) . . . [.c+(i- r )h\ 



inTËGRATIOIt. OoS 

gC3. Il u'y a qu'un petit nombre de fonctions dont on sait 

trouver l'ialegrale finie; on a recours aux séries quand ou ne 

sait pas intdgret cxactemcDt. Celle deTajlor Aj,^yh+... 

Cn"95a), donne 

j^,^hiy+{h'zj'+ 'A'zy . ... 
oà y , J-' . . . sont les dérivées successives de ^,. ReRardons r' 
coiumeunefonctionadonnéeenij il faudra faire j^;=!,^'r=z', 
j^=»'...,cij'^s=fyàx=fs(lx; d'où 

fiiix=hU+ih'%i'+'^h^%^ . . . i 
puîi Ii^A~'/idx— JASz'— gA'ïx". ,. 

Celle équ. donne £ï, quand on sait trouver Ss',Zi'... ; pre- 
nons la dérivée des deux membres; celle du i" sera Ss', ainsi 

qu'on peut s'en assurer. Ou tirera de là 2«", puis £z" ; et, 

même sans faire ces calculs, il est aisé de voir que le résultat 
de la substitution de cl-s valeurs sera de la forme 

Il reste à déterminer les facteurs A,B, C... Or, si «=3:'". 
an en lireyidx, s', s".. , , et , substituant, il vient une série 
qui doit èlrc identique avec {D) , et , par conséquent , privée 
des puissances m — a, m — 4" • En sorte qu'on posera 



_fiex 



ckH 



. dAV" 



a,l>,t 



.. . .-+Tî+r34+î.... 

. étant les nombres bernouUiens. 
_ Par ei.,Bis=£r,ft=:i,//3:.da;=xi3; — a:,i'=jc-', 8"=! etc.; 
■a«>c E^ar = C+ xir — X — ;/r +00^' + 6x-' -f cj:"* etc. 

^K 964. La série a, b,c,d k, l, ayant pour différ. 1" 

^H, b', c'. . . , oa a TU (u" ^5) que 

W^b^a+ti, c=s&+b', rf=c + c'. .../=* + *'; 
^qn. dont la somme donne l^a + a'+b'-i-c'. ...+k'. 
Si les nombres a', b' ,c'.,. sont connus, on peut les considérci- 



H INTÊGRATroH. 6o5 

^ktomme commence. Par ex., ponr la suite des caiTes, on 

prcndSx*, p. 600, en changeant le signe du a' terme, et l'on a 

la cotislante est = o, parce que la somme est nulle quand .t= o. 
Hais si l'on veut que la somme s'étende de n' à x*, elle est nulle 
quand 3:= n — I ; et l'on aconst. =— n . ■ ~r _. 

Cette théorie s'applique à la sommation des nombres figures. 
Par ex., pour ajouter les XI*" nombres pyramidaux 1.4. 10. 30 ., 
(p.2i), il faut intégrer le terme général |a:(:r + a) (a: + i); 
on trouve (n" 968) Vi(-^— ')iCx+ 1) C' + a) : enfin il faut 
changer t en j: + 1 , et l'on a, pour !a somme demandée, 
^x{x+ i) (r + a) fx-}-3). La constante est nulle. 

966. Let nombres Jigurés inverses sont des fractions qui 
ont 1 pour numérateur, et pour dénominateur une suite figurée. 
Le .r* terme de l'ordre /> est (p. 33) 

'■'3...(/>— ) j^„^ ^ '■^■3---(;'— ) 

1(1 + 1). . .(!+/)— 3) * i.p—i}x{x-Jri)-{x+i>~i) 

est l'intégrale (n'gSg). Changeons ar en .r+ 1, puis détermi- 
nons la constante en rendant la somme nulle quand x^o, 

aurons €=- ; et la somme des x 1 



^nons 






f — ' 



a.3... (/>-!) 



p—1 {,p — %){x-i.\){x^ 
Faisons successivement/j^3, 4i 5.. 

's + i + ri + A 
i+t + A+A- 



1). ..(«+;.—»)• 
et nous aurons 



i.a.3.4 



i+TT + ii 



(i+i)...(i+4)' 



TABLE DES MATIÈRES 

CONTENUES 

DANS LE SECOND VOLUME. 



I 



ALGEBBE SUPÉRIEURE. 

QMr. I. CombitalioBi ei pi^rmuiailoni : page t; formiili! du binôme Jo 
Newton, diiïïloppcnientcleïpuiaianeesdeapoIjiiomM, 1 1 j rocinos 
du dngri^E SDpi^rLOure, ig; iiomlires figurés, ii ; eombinaiiOBi th 
«hoioi qui DG Boni pa> toiitci iné|^los, 96; notioai ^ur lei pro> 
babîliUi, 33- 
Ou». II. lUtolittioHdttiqiiaUoiu. Conipoiïliaaducooinriaiii, ^0; Unna- 
formationi, 44) Hmilea daa ndaes, 5o; racines corn iDoniUro- 
Iilei,55; raeinH éenles, 6<i; Dllminatlon, ÙS; sur l'eiiitcnoe dca 
ncinoi, 74; rnoines incommeuiBrablet : mëlhodede AshIod, STi; 
deD.BenianlH, t6Si deL.t(;ranQfl, 91; ràgle do DourM, i^i, 
elia5;Hi?UiodeduFourier, lOn; JeM. Sturm, ii"! duM. Bud:iii, 
I3j i racioGS tmaginairCB, 1:18. 
Qur.IlI. Èijuaiieni parlicalitres. Abniuement du degré, éifuntioni n'ci- 
proquw, i35; lùjiuitiDni h dcui larmes, ncine» àa l'unil^, ijij; 
Théorimes de CAle* et de Uoivre, r^, 147 î'.^1'"''i'>'» ^ 'foi* 
terme», 148; cilculdM radicBut, iSo; Équ. du 3* doeré, 153; — 
du 4' deBT^, tGo. 
IV. Foneiiotu t}tnririiiuei. Somme* dei puisbaneoi dei racines , iG3 ; 
i^aalatian numérique de> éqiuilions, 168; équations du 3'ilegrt>, 
171 ; —du 3' degré, 171 ; — du 4* dcerf , 17Î; ttiminatian, 175. 
Qltf. V. Fractiani eoilinua, 177; équations déterminée* du i'"'deBré, iSt; 
équulioos indéterminées du ■"' de|rré, 18S; équationi délenniDéct 
du y' desté , 187 i éqnationi indétcrmincHis du 1° defiré, 3o3 { ré- 
■olulion des équations oumériques de tnus les dogréi, 3i3, 3<6. 
kW. tléih«4f iki coffficitni InJ^iermlafi, I3i{ décomposition des frac- 
tions rfttiounellts , mi ) eonTcrgtonae des sérias, »i}; airitt ré- 



TABLE DES MATIERES. 609 

QUP. V. intégration des équaHont à trois variables : équations diffi&rei»- 
tidlee totales, 538; diflërentielles partielles du i^ ordre; 544; 
— du a* ordre, 55 1 ; intégration par séries, 558; fonetions arbi- 
traires, 56o. 

Gbip. YI. Calcul des Variations y 563; isopérlmôtres , conditions de maxima 
et minima, 56^ , 58i . 

LIVRE VIII. 
CALCUL DES DIFFÉRENCES. 

Des différeneesjmies, 585 ; interpolation, 589 ; terme général des suites, 
5^5; intégrales aux différences finies, 597 ; sommes des séries, 604. 



FIN DE LA TABLE DU SECOND VOLUME. 



T. II. 



39. 



qH'on fasse successvement /> = 5, 6, 7 et 8, on aura 

2I5+ b-.al7=a(^ + i(lrâ)'+...) 
413-4I2 -15 = 2(^ + ^(^)3+...) 

2I7+ 15 -513=a(^ + i(.^»+...) 

Ces séries rapidement convergentes , sont faciles à calcnler, et 
on tire ensoite les log. de a, 3» 5 et 7 par Félimination entre 
ces quatre équ. du i*' degré. Haros a imaginé de poser 

m=p^p + S)(p — 5), n=(/i + 3)(p— 3)(/i+4)(p-4)- 
Il obtient ainsi une série procédant selon les puissances im- 



paires de 



7a 



, qui est tellement convergente , que 



pi — a5p*-|-7a 

dès/>= 12, le 2* terme a son i*' chiffre significatif au 9* ordre 
de décimales. Il obtient ainsi le log. de/> + 5, lorsqu'il con- 
naît les log. de/? + 4>/> + 39/99/9—3 et /? — 5. 




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