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Full text of "Cours de géométrie analytique à l'usage des élèves de la classe de mathématiques spéciales et des candidats aux écoles du gouvernement"

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COURS 


GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE. 


PARIS.  —  IMPRIMERIE  GAUTHIER-VILLARS  ET  FILS, 
21847  Quai  des  Graiids-Augustins,  55. 


COURS 

DE 

GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 


des  Élèves  de  la  Classe  de  Mathématiques  spéciales 
et  des  Candidats  aux  Écoles  du  Gouvernement; 


\  '1 

^^-^     PAU 

Bf^'NIEWENGLOWSKT, 

Docteur  es  Sciences, 

Ancien  Professeur  de  Matbémaliques  spéciales  au  Lycée  Louis-le-Grand, 

Inspecteur  de  l'Académie  de  Paris. 


TOME  III. 


GEOMETRIE   DANS   L'ESPACE, 

AVKC    U\K 

NOTE  SUR  LES  TRANSFORMATIONS  EN  GÉOMÉTRIE, 
Par    Emile    BOREL, 

Maître  de  Conférences  à  la  Facullé  des  Sciences  de  Lille. 


PARIS, 

GAUTHIER-VILLA  11  s  ET  FILS,  IMPRIMEURS-LIBRAIRES 

DU    BUKEAU    DES   LONGITUDES,    DE    l'ÉCOLE    POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Aujustins,  55. 

1896 

(Tous  rlrnils  réscrîcs.) 


c> 


ÇA- 

-L.3, 


COURS 

DE 

GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE. 


TOME  m. 


CHAPITRE  I. 

COORDONNÉES. 


Fit 


\.  Soient  {^/Ig.  i)  x'x,yj,  z' z  trois  droites  ayant  un  point  com- 
nuin  O,  mais  non  situées  dans  un  même  plan,  et  soit  M  un  point 
(juelconque.  Les  plans  menés  par  M  parallèlement  aux  trois  plans 
yOz^  zOx^  xOy  forment  avec  ces  derniers  un  parallélépipède, 
dont  trois  sommets  A,  B,  G  sont  smt  x'x, 
.y'y'i  ^' ^  respectivement.  Si  la  position  du 
point  M  est  déterminée  par  rapport  au 
trièdre  Oxyz,  ces  trois  points  sont  déter- 
minés ;  le  point  A  est  commun  à  x' x  et  au 
plan  mené  par  M  parallèlement  au  plan 
yOz;  B  est  à  l'intersection  de  y' y  et  du 
plan  parallèle  k  zOx  mené  par  M;  G  est 
l'intersection  de  z' z  avec  le  plan  parallèle 
au  plan  xOy  mené  par  M.  Réciproquement,  si  les  points  A,  B,  G 
sont  donnés,  le  point  M  est  déterminé;  c'est  le  point  commun  aux 
trois  plans  ADF,  BDE,  GEF,  respectivement  parallèles  aux  plans 
yOz,  zOx^  xOy.  A  tout  point  M  correspond  un  système  de  trois 
points  A,  B,  G  et  réciproquement. 

Sur  chacune  des  droites  x' x^  y'y,  :;':;  on  fixe  un  sens  positif;  nous 
conviendrons  de  désigner  par  0.r,  Oj-,  Oz  les  demi-droites  posi- 
tives; Ox',  Oy,  O  z'  seront,  par  suite,  les  demi-droites  négatives. 

NiEWENQLOWSKI.  —  G.  art.,   III.  1 


CHAPITIIE    I. 


Si  l'on  connaît  les  mesures  algébriques  des  segments  OA,  OB,  OC, 
les  points  A,  B,  C  sont  déterminés  sans  ambiguïté,  et  il  en  est  de 
même  du  point  M.  SiOA  =  a,  OB  ^  6,  OC  =  c,  ces  trois  para- 
mètres a,  b,  c  sont  les  coordonnées  du  point  M. 

Les  deux  vecteurs  AD  et  OB  sont, égaux,  parallèles  et  de  même 
sens,  c'est-à-dire,  en  un  mot,  éqcipollents  ;  de  même  DM  et  OC  sont 
équipollents;  pour  cette  raison,  le  contour  OADM  se  nomme  le 
contour  des  coordonnées  du  point  M. 

Si  l'on  représente  par  ^,  y^  z  les  coordonnées  d'un  point  M,  on 
voit,  par  ce  qui  précède,  qu'il  faut  donner  trois  équations  x  =  «, 
y  z=  b,  z  =  c  pour  déterminer  ce  point,  que  nous  représenterons 
par  la  notation  M(a,  b,  c).  On  nomme  souvent  a:  l'abscisse,  y  l'or- 
donnée, z  la  cote  du  point  M. 

Remarquons  immédiatement  que  tous  les  points  du  plan  MAD 
ont  même  abscisse;  on  peut  dire  que  x  =  a  est  l'équation  de  ce 
plan.  De  même  tous  les  points  de  la  droite  MD  ont  même  x  et 
même  y,  le  système  des  deux  équations  x  ^=  a,  y  =  b  représente 
donc  cette  droite. 

De  même  y  =  b  est  l'équation  du  plan  MBD  ]  y  =z  b,  z  =  c  re- 
présentent la  droite  EM. 

Le  planyO:;a  pour  équation  ^  =  0;  l'équation  du  plan  zOx 
est  y  =  o;  enfin  ^  =  o  représente  le  plan  x Oy.  Ces  trois  plans  sont 
appelés  souvent  les  plans  de  coordonnées. 

L'axe  des  x  a  pour  équations  y  =  0,^  =  0.  Les  équations  de  l'axe 
des  y  sont  5  =  0,  ^  =  o,  et  celles  de  l'axe  des  :;  sont  x  =^  o,  y  =  o. 

On  voit,  par  ce  qui  précède,  qu'une  parallèle  à  l'un  des  axes  de 
coordonnées  est  représentée  par  deux  équations;  nous  verrons  bien- 
tôt qu'il  en  est  ainsi  pour  une  ligne  quelconque. 

Lorsque  le  trièdre  Oxyz  est  trirectangle,  on  dit  que  les  coordon- 
nées a:^,jKj  -3  sont  rectangulaires  ;  elles  sont  dites  obliques  dans  le 
cas  contraire.  Nous  supposerons  toujours  les  demi-droites  O^,  Oy, 
Oz  dirigées  de  telle  sorte  qu'un  observateur,  placé  les  pieds  en  O 
et  la  tête  en  un  point  de  la  demi-droite  O^,  voie  Ox  à  sa  gauche 
et  Oy  à  sa  droite,  quand  il  regarde  l'angle  xOy. 

Tout  système  de  coordonnées  rectangulaires  ou  obliques,  défini 
comme  on  vient  de  le  faire,  est  appelé  système  de  coordonnées  rec- 
tilignes  ou  encore  cartésiennes. 


Fig.  2. 


COORDONNÉES.  3 

2.  Représentation  d'une  surface.  —  Considérons  une  surface 
quelconque  S  et  un  système  de  coordonnées  Oxyz  {Jig.  2);  toute 
parallèle  à  l'axe  des  z  menée  par  un 
point  quelconque  P,  pris  dans  le  plan 
Ojcy^  rencontre  la  surface  S  en  des 
points  déterminés  M,  M',  .  .  . ,  ce  qui 
revient  à  dire  que  le  z  d'un  point 
quelconque  de  S  est  une  fonction  dé- 
terminée des  deux  autres  coordon- 
nées X,  y.  En  d'autres  termes,  les 
coordonnées  œ,  y,  z  de  tout  point 
appartenant  à  une  surface  sont  liées 
par  une  même  équation  f(x^y,  z)  =  o,  que  nous  appellerons  l'é- 
quation  de  cette  surface.  On  a  supposé  que  la  surface  S  n'est  pas  un 
cylindre  ayant  ses  génératrices  parallèles  à  l'axe  des  z. 

3.  Réciproquement,  toute  écjuation  f{x,  y,  z)  ■:=  o  définit,  en 
général,  une  surface  déterminée. 

En  effet,  supposons  d'abord  que  l'équation  ne  renferme  qu'une 
seule  variable  :  soit,  par  exemple,  f(^x)  =  o.  A  toute  racine  a  de 
celle  équation  correspond  un  plan  parallèle  au  plan  Oyz;  donc,  le 
lieu  des  points  dont  l'abscisse  x  vérifie  l'équation  précédente  est 
un  système  de  plans  parallèles  au  plan  Oyz',  ce  système  contient 
autant  de  plans  que  l'équation  proposée  a  de  solutions.  Si  cette 
équation  admet  une  solution  imaginaire  a-i-^i,  nous  dirons  que 
l'équation  x  =  a-i-  ^i  représente  un  plan  imaginaire  parallèle  au 
plan  Oyz.  D'après  cela,  une  équation  algébrique  de  degré  m  à  une 
seule  inconnue  représente  un  système  de  m  plans  réels  ou  imagi- 
naires, distincts  ou  confondus,  parallèles  à  l'un  des  plans  de  coor- 
données. 

L'équation  sin.r  =  o  représente  une  infinité  de  plans  dont  les 
équations  sont  comprises  dans  la  formule  x  =  A  tt,  /{  étant  un  entier 
quelconque,  positif  ou  négatif.  (On  suppose,  bien  entendu,  une  ligne 
de  la  figure  prise  pour  unité.) 

Considérons,  en  second  lieu,  une  équation  à  deux  variables 
f{^iy)  =  Oj  X  et  y  désignant  des  coordonnées  rectilignes.  Si  l'on 
construit,  dans  le planxOy,  la  courbe  C  qui  a  pour  équation,  dans 
ce  plan,  f{oc,  y)  =:  o;  et  si  l'on  considère  le  cylindre  qui  a  pour  liaso 


CHAPITRE    1. 


Fig.  3. 


];i  courbe  G  {fig-  3),  et  dont  les  génératrices  sont  parallèles  à  l'axe 
(les  ;,  tout  point  M  de  ce  cylindre  a  même  ^  et  même  y  que  la 

trace  P  sur  le  plan  xOy  de  la  géné- 
ratrice MP  qui  passe  par  M,  et  réci- 
proquement, tout  point  qui  a  même  x 
et  même  y^  qu'un  point  quelconque  P 
de  la  courbe  C  est  sur  le  cylindre  con- 
sidéré. Donc,  le  lieu  des  points  dont 
les  coordonnées  vérifient  l'équation 
donnée  est  un  cylindre  dont  les  géné- 
ratrices sont  parallèles  à  Taxe  des  z. 

On  verrait  de  même  que  les  équa- 
tions   /(y,  :;)  =  o,    /(s,  x)  =  o    re- 
présentent, la  première  :    un    cylindre   dont  les   génératrices   sont 
parallèles  à  l'axe  des  x\  la  seconde  :  un  cylindre  dont  les  généra- 
trices sont  parallèles  à  l'axe  desjf. 

Soit  enfin  fi^x^  y,  ^)  =  o  une  équation  à  trois  variables  x^  y,  r, 
ces  lettres  désignant  des  coordonnées  rectilignes.  L'équation  z  =  h 
représente  un  plan  parallèle  au  plan  xOy',  l'équation y(x,j)",  h)  =  o 
est  celle  d'un  cylindre  dont  les  génératrices  sont  parallèles  à  l'axe 
des  z;  le  système  de  ces  deux  équations  représente  la  courbe  C 
commune  au  plan  et  au  cylindre  considérés.  Si  l'on  fait  varier  d'une 
manière  continue  le  paramètre  A,  la  courbe  C  se  déplace  et  se  dé- 
forme d'une  manière  continue;  elle  engendre  une  surface  S.  Consi- 
dérons un  point  quelconque  M  de  cette  surface,  et  soient  Xg, y^,  :-o 
ses  coordonnées.  D'après  le  mode  de  génération  de  la  surface  S,  il 
passe  par  le  point  M  une  courbe  Cq  définie  par  les  équations  z  =  z^, 
/{x,  y,  Zq)  =  o,  d'où  il  résulte  que  /{xq,  y^,  Z(,)  =  o.  Réciproque- 
ment, si  cette  condition  est  remplie,  le  point  M(xo, yo,  Zq)  est  sur 
la  courbe  Cq  et,  par  suite,  appartient  à  la  surface  S.  Le  lieu  des 
points  dont  les  coordonnées  vérifient  l'équation  donnée  est  donc  la 
surface  S. 


Remarque.  —  Une  équation  entre  x,  y,  z  peut  se  décomposer  en 
plusieurs  autres  et  représenter  plusieurs  surfaces  distinctes.  Il  peut 
encore  arriver  que  l'équation  considérée  n'ait  que  des  solutions 
imaginaires,  ou  encore  qu'elle  n'ait  qu'un  nombre  déterminé  de  so- 
lutions réelles  et,  par  suite,  représente  un  certain  nombre  de  points 


COORDONNÉES.  5 

réels.  Ainsi,  par  exemple,  l'équalion 

n'a  ([u'une  solution  réelle,  el  représente  le  point  ayant  pour  coor- 
données «7,  h,  r. 
L'équalion 

ix  —  ay-h-if  —  0)--hiz  —  c)2-H  <:/■•!  =  o 

n'a  aucune  solution  réelle. 

Plus  loin,  en  tenant  compte  des  solutions  imaginaires,  nous  inter- 
préterons autrement  ces  équations,  et  nous  dirons  que  la  première 
définit  un  cône  imaginaire,  la  seconde  une  sphère  imaginaire.  Pareil- 
lement, l'équation 

(  .r  —  a  )-  -H  (7  —  6  )■-  =  a 

repi'ésenle   une  droite   si    l'on   ne   tient  compte  que  des  solutions 
réelles,  car  on  en  tire 

x^a,        y  =  b. 

Mais  nous  pourrons  aussi  la  considérer  comme  représentant  deux 
plans  imaginaires,  car 

{x  —  a)'^^{y  —  by^  [x  —  a  ^  i{y  —  b)][x  —  a  —  i{y  —  b)]. 

4.  Représentation  d'une  ligne.  —  Une  ligne  peut  être  considé- 
rée comme  l'intersection  de  deux  surfaces;  il  en  résulte  que  les 
coordonnées  J",  y,  z  d'un  point  quelconque  de  celle  ligne  vérifient 
les  équations  de  deux  surfaces  : 

f(x,y,z)  =  o,        fi{x,y,z)  =  o. 

Réciproquement,  le  lieu  des  points  donl  les  coordonnées  vérifient 
deux  équations  est  l'ensemble  des  points  communs  aux  surfaces  dé- 
finies par  ces  deux  équations  :  c'est  donc  une  ligne. 

Nous  verrons  plus  loin  un  autre  mode  de  représentation  d'une 
surface  ou  d'une  ligne. 

o.  Cylindres  projetants  d\ine  ligne.  —  Soient  f{x,  y,z)  ^  o, 
J\[x,  y,  z)^=o  les  équations  d'une  ligne  C,  el  a,  h,  c  les  coordon- 
nées d'un  point  M  de   cette    ligne.   Les    équations  /{a,  b,  3)  =  o, 


b  CHAPITRE    I. 

fi{ci.j  b,  z)  =  o  ont  au  moins  une  solution  commune  z=^c;  donc, 
si  l'on  élimine  z  entre  ces  équations,  on  a  R(rt,Z>)  =  o,  ce  qui 
prouve  que  le  point  M  est  sur  le  cylindre  qui  a  pour  équation 
R{a;,y)  ^o.  Réciproquement,  soient  a,  b,  c  les  coordonnées  d'un 
point  P  de  la  trace  de  ce  cylindre,  de  façon  que  R(a,  b)  =  o;  les 
équations  /{a,  6,  z)  =  o  et  /,  (a,  b,  jz)  =  o  ont  au  moins  une  solu- 
tion commune  c,  et,  par  conséquent,  le  point  M(«,  b,  c),  situé  sur 
la  parallèle  à  Os  menée  par  le  point  P,  appartient  à  la  ligne  C.  Le 
cylindre  ayant  cette  ligne  pour  directrice  et  dont  les  génératrices 
sont  parallèles  à  Oz  a  donc  pour  équation  T{(x,  y)  =:  o;  on  obtient 
cette  équation  en  éliminant  jz  entre  les  deux  équations  données.  Les 
parallèles  à  l'axe  des  z  menées  par  les  différents  points  de  la  ligne  C 
étant  des  projetantes,  le  cylindre  que  nous  venons  de  déterminer  a 
reçu  le  nom  de  cylindre  projetant  parallèle  à  l'axe  des  z. 

On  déterminerait  de  la  même  manière  le  cylindre  projetant  paral- 
lèle à  l'axe  des  y  en  éliminant  y^  et  le  cylindre  projetant  parallèle  à 
l'axe  des  a:  en  éliminant  .r. 

6.  Remarque.  —  11  est  indispensable  d'observer  qu'une  courbe 
n'est  pas  complètement  déterminée  quand  on  connaît  deux  des  cy- 
lindres projetants  de  cette  courbe  parallèles  aux  axes  de  coordon- 
nées; il  peut  arriver  en  effet  que  l'intersection  complète  de  ces  deux 
cylindres  se  décompose,  de  sorte  que  la  courbe  considérée  ne  soit 
pas  toute  cette  intersection.  Par  exemple,  si  l'on  donne  les  cylindres 
projetants  d'une  ellipse  parallèles  à  l'axe  des  y  et  à  Taxe  des  z,  ces 
deux  cylindres  ont  en  commun,  comme  on  le  verra  plus  loin,  non 
seulement  l'ellipse  donnée,  mais  en  ovitre  une  seconde  ellipse  dis- 
tincte de  la  première;  pour  achever  de  déterminer  celle-ci,  il  faut 
connaître  encore  le  cylindre  qui  la  projette  parallèlement  à  l'axe 
des  X. 

Donner  deux  cylindres  projetants  revient  à  donner  les  projections 
de  la  courbe  sur  deux  plans  de  coordonnées;  on  voit  donc  qu'une 
courbe  n'est  pas  entièrement  déterminée  quand  on  connaît  deux  de 
ses  projections.  C'est  d'ailleurs  ce  dont  on  peut  se  rendre  compte  de 
la  manière  suivante  : 

Supposons  que  les  projections  d'une  courbe  C  sur  xOy  et  sur/0-  soient 
des  cercles  C,  G"  ayant  même  rayon  et  leurs  centres  dans  un  plan  parallèle  au 
plan  xOz.  * 


Fig.  4. 


COORDONNÉES.  7 

Pour  dclcnnincr  le  point  de  la  courbe  C  qui  se  projette  en  un  point  P  du 
cercle  G',  menons  par  P  un  plan  parallèle  au  plan  zOx]  ce  plan  coupe  le  cy- 
lindre parallèle  à  Ox  ayant  pour  base  G"  sui- 
vant deux  génératrices  qui  rencontrent  la  pa- 
rallèle à  O^  menée  par  P  en   deux   points   M, 

M' (A-- 4). 

La  courbe  C  peut  donc  cire  le  lieu  des  points 
M  ou  le  lieu  des  points  M',  et  il  peut  se  faire 
que  ces  deux  lieux  soient  deux  courbes  dis- 
tinctes, et  c'est  précisément  ce  qui  arrive  dans 
le  cas  particulier  considéré,  car  les  équations 
des  deux  cylindres  étant 


(•?•- 

-af 

+  (r- 

-6)^  = 

-R^ 

ir- 

-by- 

+  (=- 

-C)2  = 

=  \\\ 

si   l'on   considère  l'intersection  complète  de  ces  deux  surfaces,  le  troisième 
cylindre  projetant  a  pour  équation 

(.r  —  «)- —  {z  —  c)2  =  o. 

Celte  équation,  qui  est  celle  de  la  base  de  ce  cylindre  sur  le  plan  xOz,  re- 
présente deux  droites;  ce  cylindre  dégénère  donc  en  deux  plans  perpendicu- 
laires au  plan  xOz,  d'où  il  résulte  que  la  courbe  G  est  l'une  ou  l'autre  des 
sections  de  l'un  des  deux  premiers  cylindres  par  ces  deux  plans. 

D'une  manière  plus  générale,  si  l'on  regarde  une  courbe  comme 
l'inlersection  de  deux  surfaces,  il  peut  se  faire  que  cette  courbe  ne 
soit  pas  toute  l'intersection.  La  courbe  ne  sera  donc  pas  entièrement 
déterminée  par  la  connaissance  de  ces  deux  surfaces  seulement. 


Angles  d'une  demi-droite  avec  les  axes  de  coordonnées. 

Premieu  cas.  —  Axes  rectangulaires. 

7.  Considérons  {fig.  5)  d'abord  trois 
axes  rectangulaires  et  soient  x^  y,  z  les 
coordonnées  d'un  point  M  pris  sur  une 
demi-droite  OA  issue  de  l'origine.  Dési- 
gnons par  a,  P,  y  les  angles  que  la  demi- 
droite  OA  fait  avec  Ox,  Oy,  Oz  respecti- 
vement, c'est-à-dire  les  angles  AO.r,  AOj', 
AO:;.  11  est  évident  a  priori  c^n'W  existe 
une  relation  entre  ces  trois  angles,  car,  si  l'on  donne  a  et  (3,  la 
droite  OM  est  une  génératrice  commune  à  deux  cônes  de  révolution. 


8  CHAPITRE   I. 

ayant  pour  axes  Ox  clOy;  elle  est  donc  déterminée,  et,  par  suite, 
Y  ne  peut  prendre  qu'un  nombre  limité  de  valeurs. 

Effectivement,  si  l'on  désigne  par  /  la  longueur  OM  et  si  l'on  pro- 
jette orthogonalement  OM  sur  les  trois  axes  successivement,  puis 
le  contour  des  coordonnées  de  M  sur  OA,  on  obtient 

(i)  :r==/cosa,        y  —  l  co?<'^,         z  ~  l  cos^r, 

(l)  X  COSac  -{- y  005*^ -h  Z  COS'l  ~  l, 

d'où 

(3)  cos^a  H- cos^  ^ -i- cos'y  =  I- 

Réciproquement,  si  l'on  connaît  trois  nombres  réels  rt,  6,  c  tels 
que 

a^ -+-  b"- -^  c^  —  I, 

il  existe  une  demi-droite  OM  faisant  avec  trois  axes  rectangulaires 
des  angles  dont  les  cosinus  sont  égaux  à  a,  6,  c.  En  effet,  prenant 
une  ligne  de  la  figure  pour  unité,  construisons  le  point  M  ayant 
pour  coordonnées  a,  b,  c,  et  soient  a,  ^,  y  les  angles  que  OM  fait 
avec  les  axes;  en  nommant  /  la  distance  OM,  ou  a 


d'où 

et,  par  suite, 


— /cosa.         é=^cos3,         c  =  /  cosy, 
/  =  !,         cost  =  a,         cos'^  =  b,         cosY  =  C- 


Réciproquement,  si  une  demi-droite  0/V  fait  avec  Ox,  Oy^  Oz 
des  angles  dont  les  cosinus  sont  respectivement  égaux  à  a,  b,  c,  le 
point  M  pris  sur  cette  droite  à  l'unité  de  distance  de  l'origine  a  pour 
coordonnées  a,  b,  c]  le  problème  a  donc  toujours  une  solution  et 
une  seule. 

Remarque.  —  Pour  abréger,  nous  dirons  que.cosa,  cos^,  cosy 
sont  les  cosinus  directeurs  de  OM. 

On  a 

sin-a  -(-  sin-^  -+-  sin^Y  —  a, 

d'où  l'on  déduit  que  la  somme  des  carrés  des    projections  d'un  segment  sur 


COORDONNÉES.  9 

trois  plans  rectangulaires  deux  à  deux   est   égale  à  deux    fois  le  carré  de  ce 
segment. 

8.    Trouver  une  demi-droite  dont  les  cosinus  directeurs  soient 
proportionnels  à  des  nombres  donnés.  —  Supposons 

cosa        cos^  _  cosy  . 
a  b  c     ' 

(Il  désignant  par  \  la  valeur  commune  de  ces  rapports,  on  a 

cosa  —  la,         cos^  =  lu,         cosv  =  Xc; 

donc 

IHa'- -h  b^ -^  c'-)  ^  i , 

cl,  par  suite, 

en  posant 
Ou  a  ainsi 


^±1,         R  = -H /<^<^— 62 


-hc^. 


a  ^  b  c 

COSa  =  î  —  ,  COSfJ=:î— ,  COSY  =  ôîr- 

En  prenant  successivement  £  =  -f-i  etî  =  —  i,ona  deux  demi- 
droites  OM,  OM'  directement  opposées,  portées  sur  une  droite  AA' 
répondant  à  la  question  (^).  Nous  dirons  que  a,  b,  c  sont  propor- 
tionnels aux  cosinus  directeurs  de  la  droite  AA'. 

9.  Carre  de  la  distance  dhin  point  à  l'origine.  —  En  élimi- 
nant cosa,  co5,3,  cosy  entre  les  équations  (  i)  et  (a),  on  a 

On  déduit  aussi  cette  formide  de  l'égalité  géométrique 

l  ~  X  -^  y  ~\-  z, 
qui  donne  immédiatement  (I,  38) 

li  =  {x-'ry  +  ly  —  x'^+y"--^  z^. 

10.  Cosinus  de  l'angle  de  deux  demi-droites.  —  Soient  OA, 


lO 


CHAPITRE    I. 


OA'deuxdemi-droiles  {fig.  6);  a,  p,  y  et  a',  P',  y' les  angles  qu'elles 
font  avec  les  axes.  Prenons  sur  OA  un  point  M(.r, y,  z)^  et  proje- 
tons OM  et  le  contour  des  coordonnées 
de  M  sur  les  axes  et  sur  OA',  ce  qui 
donne 

a7=/cosa,        jK  =  ^cosp,         ^  =  /cosy, 
X  cosa'-f-jK  cos  P'-f-  z  cosy'  =  l  cosV, 

V  désignant  l'angle  AO  A' et  /la  longueur 
OM.  En  éliminant  x,y^  z  entre  ces  quatre 
équations,  on  obtient 

cosV  =  cosa  cosa'+  cos  ^  cosp'-f-  cosy  cosy'. 

Pour  simplifier  l'écriture,  désignons  par  a,  6,  c;  a',  h\  c'  les  co- 
sinus directeurs  des  deux  demi-droites,  de  sorte  que 

cosV  =  aa'-t-  bb' -\-  ce' . 

Condition  d'orthogonalité,  —  Pour  que  les  deux  droites  OM, 
OM' soient  rectangulaires,  il  faut  et  il  suffit  que  cosV  =  o,  c'est- 
à-dire 

aa' -\- bb' -^  ce' =^  o . 

il.   Calcul  de  sinV  : 

sin^V  =  I  —  {aa' -^  bb' -+-  cc'Y, 
ou 

sin2V  =  (a2+  ^,2_j_  c2)  (a'2_|_  £,'2_,_  ^'2)  _  (aa'-H  66'-h  cc'y-, 

et,  en  vertu  de  la  formule  de  Lagrange, 

sin2V  =  {bc'—  cb'y-h  (ca'  —  ac'y^-i-  (ab'—  ba'y-. 

Les  deux  droites  OM  et  OM'  auront  la  même  direction  si  sinV  =  o, 
ce  qui  a  lieu  si 


La  valeur  commune  de  ces  rapports  est  égale  à 


^l 


62- 


v/a'2-f-  6'2-f-c'2 

c'est-à-dire  rh  i  ;  si  a=r  a' ,  b  =::^h\  c  =  c'  les  deux  demi-droites 
OM,  OM'  sont  confondues  ;  si  a  =  —  «',  b  =  —  b\  c  ^=  —  d ,  elles 
sont  opposées. 


COORDONNÉES. 


12.  Expression  de  cos  V  en  fonction  des  coordonnées  de  M  et 
fi(.  M'.  _  Oq  a,  /  et  /'  désignant  les  longueurs  OM  et  OM'  (/^.  7), 


d'où 
c'esl-à-dirc 


cosV  = 


/'  —  x'  -^y  -h  z', 
II'  cos  V  =  xx'  -+■  yy'  -h  zz\ 
xx'-hyy'-h  zz' 


Fis.  8. 


13.  Angles  de  deux  droites,  connaissant  des  nombres  propor- 
tionnels à  leurs  cosinus  directeurs.  —  Supposons 


cosa 
a 


cosp 


cos  Y 
c 


cosa 

a' 


cos^'  _  cosy' 


cosa  =  t  —, 


cosa  —  £  --, 


R' 


cosp 
cos^' 


b 

R' 
R' 


cos  Y    =: 

cos y' = 


c 


iT' 


R 
R' 


s/a- 


y/^ 


6'2 


Soit  V  l'un  des  angles  que  font  entre  elles  les  demi-droites  deux 
à  deux  opposées  dont  les  cosinus  directeurs  sont  proportionnels  aux 
nombres  donnés,  on  a 

bb' -\-  ce' 


cosV 


,  aa 


RR' 


La  formule  comporte  un  double  signe,  parce  que,  sur  chacune 
des  deux  droites  («,  ^,  c)  et  («',  b\  c'),  on  peut  choisir  à  volonté 
une  demi-droite  ou  la  demi-droite  opposée  ;  V  peut  donc  designer,  par 
exemple,  l'angle  AOA'  ou  son  égal  BOB' (y?^.  8),  ou  bien  l'un  des 


12  CHAPITRE    1. 

angles  AOB',  BOA';   or  les  angles  AOA'  et  BOA'  sont  supplémen- 
taires. 

Condition  d' orthogonalité.  —  Pour  exprimer  que  les  deux  droites 
AB,  A'B'  sont  orthogonales,  il  suffit  d'exprimer  que  l'un  quelconque 
des  angles  que  nous  venons  de  considérer  est  droit  :  la  condition  de- 
mandée est  donc 

ad  -\-  bb'  -T-  ce  =  o. 


Calcul  de  sin  V. 


sin^V  = 


—  On  trouve 

{bc  —  cb'Y+{ca'—  ac'y^-h(ab'~-  ba'Y 
(a2+  b-^-{-  c^){a'-^-\-b'-^-h  c'2) 


14.  Applications.  —  i"  Soient  deux  points  M(x,  y,  z),  M'(x',  y',  z'};  et 
soient  P  et  P'  leurs  projections  sur  le  plan  .rO/".  La  condition  pour  que 
l'angle  MOM'  soit  droit  est 

(i)  ccx'-i-jyy -\- zz' —  o. 

La  condition  pour  que  l'angle  POP'  soit  aussi  droit  étant 

(■i)  xx'^yy'^o, 

pour  que  ces  deux  équations  soient  vérifiées  simultanément,  il  faut  et  il  suf- 
fit que 

:;:;'  =  o. 

On   en   conclut  que   la   condition   nécessai/'e   et  suffisante  pour  quun 
p-  angle  droit  se  projette  orthogonalement  suivant 

un  angle  droit  est  que  le  plan  de  projection  soit 
parallèle  à  l'un  de  ses  côtés. 

•1°  Considérons (y?^. g)  un  triangle  sphérique  ABC; 
rapportons  la  sphère  sur  laquelle  est  tracé  ce  triangle 
à  trois  axes  rectangulaires,  l'axe  Oz  étant  le  rayon 
OA,  et  l'axe  Ox  étant  dans  le  plan  du  cercle  AB  et 
dirigé  du  côté  où  se  trouve  le  sommet  B  par  rapport 
à  OA,  enfin  l'axe  Oy  étant  dirigé  par  rapport  au 
plan  zOx  du  côté  où  se  trouve  le  sommet  G.  Cela 
étant,  les  coordonnées  de  B  sont,  le  rayon  de  la  sphère  étant  pris  pour  unité, 

X  =  sine,        y  =:  o.         ^  =  cosc, 

et  les  coordonnées  de  C 

j;' =  sinô  cosA,        j' =  sin  6  sin  A,         ^'=cos6; 
donc 

cosa  =  cos6  cosc -1- sinô  sine  cos  A  ; 

c'est  la  formule  fondamentale  de  la  Trigonométrie  sphérique. 


COORDONNÉES. 


l3 


IJr.i  xii.MF.  CVS.  —  Axes  oblù/ues. 

15.  Nous  allons  reprendre  les  mêmes  questions  avec  des  axes 
obliques.  Nous  désignerons  par  X,  [jl,  v  les  angles  yOz-^  zOx^  xOy 
(  fig.  lo).  Soient  a,  [3,  v  les  angles  qu'une  demi-droilc  OA  fait  avec 
les  axes  Oj*,  Oy^  Oz  respectivement;  .r,  r,  :;  les  coordonnées  d'un 
point  M  pris  sur  cette  demi-droite,  et  /  la  longueur  absolue  OM. 
Si  nous  projetons  le  contour  des  coordonnées 
OPQM  cl  sa  résultante  OM  successivement  sur 
les  trois  axes  et  sur  OA,  nous  obtiendrons  les 
quatre  équations  suivantes  : 


Ci) 


X  -r-  y  C05V 

X  cosv  -+■  y 

X  cos[a.  -f- J'  cos)> 


•3  cos  \j.  =  l  cosa, 
z  cosX  =  /  cos^, 

;;       =:  /  COS  y, 


X  COS  %  -+-  y  cos  "^  -\-  z  cos  y  =  /. 


Les  quatre  quantités  x ,  y.,  z,  l  non  nulles  toutes  les  quatre, 
puisque  le  point  M  est  supposé  différent  de  l'origine,  étant  liées 
linéairement,  le  déterminant  de  leurs  coefficients  est  nul,  c'est-à-dire 


0) 


I  cosv  cos'j.  cosa 

cosv         I  cosX  cos^ 

cosu  cosX  I  cos  Y 

cosa  cos^  cos  Y  i 


Telle  est  la  relation  entre  les  cosinus  directeurs  d'une  demi-droite 
dans  le  cas  général. 

Remarque.  —  L'équation  (4)  conserve  la  même  forme  quand  les 
axes  sont  rectangulaires  ou  obliques. 

16.  Expression  du  carré  de  la  dislance  du  poinX.  M(.r,  j',  z^  à 
V origine.  —  En  multipliant  les  deux  membres  des  équations  (i), 
(>.),  (3)  et  (/j)  respectivement  par  .r,;^,  ^>  ^  et  ajoutant,  on  obtient 

a;2-i-j-2-f-  c2_)_  .yy-  cosX  -4-  izx  cosjji  +  'ixy  cosv  =  f-. 

On  obtient  immédiatement  celte  formule  en  parlant,  comme  clans  le  cas 
<K?s  axes  rectangulaires,  de  l'équation  vectorielle 


l  =  x-^y 


i4 

fi 'où 


CHAPITRE    I. 


li—(^x-\-  y  -\-  zy=  'Zx^-\-  l'^.yz  cos(y,  z). 
17.   Posons 

x^-\- y--^  -^+  "^y^  cosX  -\-  izx  cos|jL  -\-  ixy  cosv  =  <^{x,  y^  z); 

il  est  évident  que  cette  fonction  est  positive  pour  toutes  les  valeurs 
réelles  non  toutes  les  trois  nulles  attribuées  à  x,  y,  z.  D'ailleurs 

•\i{x,y,z)^=(x-Jry  cosv-i-^  cos[i.)2-4-  (y  sinv-4-z  sin  jxcosA)-  -f-^-  sin^  jx  sin^A, 

A  désignant  le  dièdre  y  O^r^. 

La  fonction  'hÇx,  y,  z)  ne  peut  être  nulle  que  si  x  =y  =  z  =  o, 
quand  x,y^  z  sont  réels. 

Si  l'on  désigne  par  -]>,,  d/o,  'i's  les  demi-dérivées  de  'b  par  rapport  à 
x,y,  z  respectivement,  on  voit  que  les  équations  (i),  (2),  (3)  peu- 
vent se  mettre  sous  la  forme 

(l;,=  /C0Sa,  •b.2—lcOS^,  >\l3=l  COS'[. 

Le  discriminant  de  la  forme  'b(x.y,  z)  est  le  déterminant 

I  cosv  cas  IX 
cosv  I  cosX 
cos[z     cosX        I 

Ce  déterminant  est  positif  et  moindre  que  i.  En  effet,  on  trouve,  en 
le  développant, 

I  —  cos^A  —  cos-  ;ji  —  cos^v  -;-  2  cosX  cos  ;jt  cosv 
=  I  —  cos^pi  —  cos^v  -f-  cos^fji  cos-v  —  (cosX  —  COSJJt.  cosv)2 
=  sin2  [jL  sin^v  —  (cosX  —  cos  (i.  cos  v)^. 

Si  l'on  désigne,  comme  plus  haut,  par  A  le  dièdre  yOxz^  cette 
expression  peut  s'écrire 

sin^  jjt.  sin^  V  —  sin^  [ji  sin^p  cos^  A 

ou  enfin 

sin^jj.  sin^v  sin^  A. 

On  peut  donc  désigner  ce  déterminant  par  co-,  et  nous  poserons 
(0  =  sin  [JL  sin  V  sin  A.  On  voit  que  to2<  i.  D'ailleurs  oj  a  une  signi- 
fication géométrique  simple.  Considérons,  en  effet,  le  parallélépipède 
construit  sur  trois  arêtes  OA  =  a,  OB  =  ^,  OC  ==  c,  dirigées  sui- 


COORDONNÉES.  l5 

vant  les  axes,  et  soit  V  son  volume.  Si  l'on  nomme  y  l'angle  qu'une 
perpendiculaire  au  plan  xOy  fait  avec  Oz,  on  peut  prendre  pour 
hauteur  la  distance  du  sommet  G  au  plan  xOy^  cette  liauteur  a  pour 
mesure  ccosy;  la  base  a  pour  mesure  «ôsinv  et,  par  suite, 

V  =  abc  sinv  cosy- 

Les  cosinus  directeurs  de  la  hauteur  étant  0,0,  cosy,  on  a 


1  COSV  COSIJL 

cosv  I  cosX 

COS[Jl  cosX          I 

o  o  cosy 


o 

COSY 
I 


c'est-à-dire,  en  développant, 

oi- —  cos^Y  sin-v  =  o. 

On  vérifie  ainsi  que  to-  est  positif  et  moindre  que  i,  et  l'on  peut 
poser 


(l  ou 


COSY  sinv  =  w, 
V  =  abciù. 


Si  a=:  b  =  c  =  i,  on  a  V  =  to;  (o  est  donc  la  mesure  du  volume 
du  parallélépipède  construit  sur  les  axes  et  dont  les  arêtes  sont 
égales  à  l'unité.  La  mesure  de  l'aire  du  parallélogramme  construit 
.sur  OA  et  OB  étant  aO  sln(x,  y),  par  analogie,  on  pose 


et  Ton  écrit 


V  =  abc  sin(j-,  ^,  -  ). 


Pour  cette  raison,  on  a  nommé  o)  le  sinus  de  Sangle  trièdre 
Oxyz. 

Pour  que  co-  =  i ,  il  faut  et  il  suffit  que  sin[Ji  =  sinv  =  sinx\.=  i , 
ce  qui  exprime  que  le  trièdre  des  axes  doit  être  trirectangle  ;  dans  ce 
cas,  le  déterminant  co*  se  réduit  à  sa  diagonale  principale. 

Si  l'on  nomme  —  F(J?,  y,  ^)  la  fonction  adjointe  de  la  fonction  ^{x, y,  z), 
la  relation  fondamentale  (5)  prend  Ja  forme 

F(cosa,  cos[5,  cosy)  —  w'  =  o; 

on  le  voit  en  remplaçant  la  dernière  colonne  du  déterminant  (5)  par  la  somme 
de  deux  colonnes  ayant  pour  éléments  cosa,  cos^,  cosy,  °  ^^  °>  o>  0,  i. 


l6  CHAPITRE    I, 

La  relation  précédente  peut  s'écrire 

ros-a  sin^X  H-  cos^P  sin^  [jt  +  cos- y  sin^v  —  i  cos  p  cosy  sin  \j.  sinv  cos  A 

—  2  cosy  cos  a  sinv  sinX  cosB  —  ■>.  cos  a  cos  J3  sinX  sin  [jl  cos  G  --  o. 

En  décomposant  en  carrés  la  fonction  ¥  {x,y,  z),  on  trouve 

Y ix,y,  z)  =  (^sinX  — _7sin[jL  cos  G  —  ^  sinv  cos  B)- 

-J-  (^  sin  ;JL  sin  G  —  ^  sinv  cosX  sinB)2+  z'^  sin-X  sin-v  sin^B, 

et,  par  suite,  pour  toutes  les  valeurs  réelles  de 
.r,  j',  z,  le  polynôme  ¥ix,y,  z)  est  positif  et  ne 
peut  s'annuler  que  si  a?  =  jk  =  ^  —  o. 

18.  Angles  de  deux  demi-droites.  —  Soient 
OA,  OA'  deux  demi-droites  {Jig-  ii)  et  a,  b,  c 
les  cosinus  directeurs  de  la  première,  a',  b' ,  c' 
ceux  de  la  seconde.  Soit  encore  M{x,y,  z)  un 
point  de  la  demi-droite  OA.  Si  nous  projetons  le 
contour  OPQM  des  coordonnées  du  point  M  el 
sa  résultante  OM  successivement  sur  les  trois 
axes  et  sur  OA',  nous  obtiendrons,  en  désignant  par  /  la  longueur  OM  et 
j)ar  V  l'angle  AOA',  • 


(0 

(2) 

(3) 

d'où  il  résulte  que 


X  ■+- J)^  COSV  -t-  -3  COS|X  = /«, 

.rcosv-r-j  -f-^cosX=/6, 

a;  COS  [j. -)- j' cosX -H -3  =^  le, 

a' X       -î-b'y        -hc'z        =/cosV, 


(  cosv  cos[x  a 

cosv         I  cosX  b 

cos  [x  cos  X        I  c 

a'           b'          c  cosV 


o, 


et,  en  écrivant  dans  la   dernière  colonne   o  4-  a,    o  -\-  b,   o  -H  c,  cos  V  -t-  o  et 
développant 

I         cosv      cos[x     a 

cosv         I         cosX     b 

cos  [JL     cosX         I         c 

d  b'  c'        o 


w- cos  V 


ou  enfin,  en  tenant  compte  des  notations  du  n"  17, 

db 


V  '     /   -^F       j'd¥ 

cos  \  = \  a \-  b 

2  tu  2  \ 


da 


,  d¥ 
'   Te 


COORDONNÉES.  17 

La  condition  d'orlhogonalité  est  donc 

,0F       .,()¥         ,  dV  OV        ,   dV  à? 

a h  t»  -7  -4-  c  — -  =  o  ou         rt  -— ,  -f-  6  -7-,  -f-  c  — ;  =  (). 

Oa  ou  Oc  Ou  Oo  Or 

19.  Autre  expression  de  cosV. —  Si  l'on  désigne  par  x',  y',  z'  les  coor- 
données d'un  point  M'  pris  sur  OA' à  une  distance  /'  de  l'origine,  on  a 

l  =  x-hy-{-z,  l' =  x' -h y -+•  z' , 

d'où,  en  faisant  le  produit  des  deux,  vecteurs  /  et  ?', 

//'  cosV  =  xx'  -^ yy'  -]-  zz'  -h  (yz'  +  zy')  cosX 
-+-  {zx'  -t-  xz')  cos;jL 
-+-  {xy'  -i-yx')  COSV 

..        i  /    ,à'l  ,  O'h         ,0'b\        1  /     O'I  0-h  O'h   , 

■>.\      Oz  <fy  Ox  I        i\     Ox        ^   Oy  Oz    ' 

On  peut  obtenir  aussi  cette  équation  en  multipliant  par  x\ y\  z'  les  deux 
membres  des  équations  (i),  (2),  (3)  du  n"  18,  et  les  ajoutant  membre  à 
membre  en  tenant  compte  de  l'équation 

ax' -T-  by' -\-  cz'  =  l'  cos  V. 

Si  donc  on  suppose  /  =  /'  =  i ,  on  a 


cosV  =  -  Lr  — !-  -)- K  -r-  -t-  -  -r 
■i.\     Ox      -^    Oy  Oz  J 


I  /     0-h  O'I  06 


'2\0x  Oy'  Oz 

La  condition  d'orlhogonalité  est 

a:'  -^  -+- y'  -i-  -H  5'  ^  =  o. 
Ox      "^    Oy  dz 

20.    Calcul  de  sinV.  —  En  supposant  l  =  l'  =  i,  c'est-à-dire 

'V('^,  JK,  5)  =  i,         '!^(x',y',  z')^f, 

nous  avons 

sin*V  =  I  —  cos^V  =  I  —  {^''^i-^y''\>î-r-  -s'-^î)^. 

En  posant  <^,  =  -  — ^, ,  •  •  .,  on  peut  écrire 

sin»V=      (x<!^t  -^ yi^i  -h z'!^3){x''^\  -^/'V.  "^-''^3) 
~{x'\>\  -hy'l'i-hzY3){^''!,>i  -^y''\'i  -t-^'-i^î), 

ou  plus  simplement 

sinîV  =  I.{xy'  —yx')(<!^i'\/'^  —  '\f\^i). 
NiEWENOLOWSKI.  —  G.  an.,  III. 


l8  CHAPITRE    I. 

Mais  on  reconnaît  aisément  que 

^i^'2  ~  't'i'1'2  =  i^y—y^')  sin^v  -H  (yz' —  zy')  (cosX  cosv  —  cos[ji) 

■+- {zx'  —  .r^')  (cos[x  cosv  —  cosX), 

et  pareillement  pour  les  expressions  analogues. 
On  en  déduit 

sin^V  =  F(_^;;' — zy' ,  zx' — xz' ,  xy'  —  yx'). 

Pour  que  sinV  =  o,  il  faut  et  il  suffit  que 

yz' —  zy'  =  zx'  —  xz'  ^^  xj'  —  yx'  =  o, 

puisque  F(«,  p,  w)  est  une  iaxxsxQ  définie^  c'est-à-dire  ne  peut  s'annuler  que 
si  w,  V,  w  sont  nuls;  donc,  en  tenant  compte  des  hypothèses  4'(-^>/>  -)=  '> 
(J^(a7',^',  5')  =  !,  il  faut  prendre 

x'—tx,        y'=zy,         z'  =  zz        (£=rti). 
Lorsque  l  et  l'  ont  des  valeurs  différentes  de  l'unité,  on  a 

et 

gjj^2V  =  F  (  j^'  —  zy\  zx'  —  xz',  xy  —  yx'  )  _ 
^^' 
Les  conditions 

x' =\x,        y'=z\y,         z'^^Xz 

expriment  que  V  =  o  ou  V  =  r  suivant  que  X  est  positif  ou  négatif. 

On  peut  d'ailleurs  trouver  pour  cosV  et  sinV  une  autre  expression.  Si  l'on 
décompose  'i^{x,y,  z)  en  carrés,  on  a 


et,  de  même. 
Or 


d'où 


^{x,  y,  z)  =  P2  +Q2  +R2 


'  '  dx  dx  dx 

ôy  ây  dy 

'  dz  dz  dz 


.r'Ç;, -f-yj;2  +  y^3=PP'-t-QQ'4-  RR', 


COORDONNÉES.  I9 

et,  par  suite, 

PP'^-QQ'-hRR' 
cosV  = 


y/pj  -+-  Qï  +  R2  v/P'2-f-  Q'î  H-  R'î 

et,  enfin, 

(QR'-RQ')2-4-(RP'— PR')2+(PQ'— QP')î 


sin2V  = 


(  P2  ^_  Q2  _,_  l\2  )  (  p'2  ^  Q'2  ^_  K'2  ) 


21.  5"t7  existe  trois  nombres  réels  a,  b,  c  vérifiant  la  relation  fonda- 
mentale 10*  —  F(a,  ô,  c)  =  o,  on  peut  construire  une  demi-droite  OA 
ayant  ces  trois  nombres  pour  cosinus  directeurs. 

Prenons,  en  effet,  sur  les  axes,  des  segments  OA  =  a,  OB  =  b,  OC  =  c 
après  avoir  choisi  une  unité  de  longueur.  11  y  a  un  point  M  et  un  seul  qui 
se  projette  orthogonalcment  en  A  sur  Qx,  en  B  sur  Oy  et  en  C  sur  Oz. 
Soient  cosa,  cos^,  cos^  les  cosinus  directeurs  de  la  demi-droite  OM,  et 
désignons  par  /  la  longueur  OM.  En  vertu  de  la  construction^du  point  M. 

a  rj         ^  c 

cos  r—-i  cos  ^,  —  -  1  cos  v  =  -  ; 


donc 

..>2  


to^  —  -ji  F(a,  b,  c)  =  o. 


el,  par  suite, 

l  —  i         et         cos3c=«,         cosp  =  6,         cosy  =  (■• 

Réciproquement,  s'il  existe  une  demi-droite  OA  dont  «,  b,  c  soient  les 
cosinus  directeurs,  les  projections  orthogonales  d'un  segment  OM,  égal  à 
l'unité  de  longueur  et  pris  sur  cette  droite,  sont  égales  à  a,  b,  c.  On  voit 
ainsi  que  le  problème  posé  a  toujours  une  solution,  et  qu'il  n'y  a  qu'une 
seule  demi-droite  répondant  à  la  question. 

22.  Problème.  —  Trouver  une  demi-droite  dont  les  cosinus  directeurs 
soient  proportionnels  à  trois  nombres  donnés. 

11  s'agit  de  déterminer  les  angles  a,  p,  y  tels  que 

cosa  _  cos 3  _  cosy 
abc 

a.  b,  c  étant  des  nombres  donnés. 

Si  l'on  désigne  par  X  la  valeur  commune  de  ces  rapports, 

cosa  =  Art,         cos^  =  X^,         cosY=Xc, 

donc  X  doit  vérifier  l'équation 

w- —  Xî  V(a.  ù,  c)  =  o, 


20  CHAPITRE 

ce  qui  donne 

X 


\/t\a.  b,  c) 

On  obtient  donc  deux  demi-droites  opposées  définies  par  leurs  cosinus  di- 
recteurs, qui  ont  pour  expressions 


cosa  = 


\/¥ia,b,c)'  s/¥{a,b,c)  '  v^F(a,  6,c) 


23.  Remarque.  —  Nous  avons  fait  remarquer  plus  haut  que  ¥{a,  6,  c)est 
positif;  les  valeurs  trouvées  pour  X  sont  donc  réelles.  On  peut  vérifier  ce 
résultat  de  la  manière  suivante.  Prenons  sur  l'axe  Ox  le  segment  OA  —a\ 
sur  Oy,  OB  =  b,  sur  O-s,  OG  =  c,  et  considérons  le  point  M  qui  a  pour 
projections  orthogonales  A,  B,  G.  Si  a,  p,  y  sont  les  angles  que  OM  fait  avec 
les  axes,  on  a 

a  =  Zcosa,         6  =  /cosp,         c  =  lcos-(, 

l  étant  la  longueur  OM,  ce  qui  prouve  que  la  demi-droite  OM  est  une  solu- 
tion. Le  problème  est  donc  possible,  et,  par  suite,  X  est  réel.  D'ailleurs,  si  M' 
est  symétrique  de  M  par  rapport  à  l'origine,  il  est  clair  que  OM' est  aussi  une 
solution  et,  comme  le  problème  n'a  que  deux  solutions,  les  valeurs  de  X  sont 
réelles  et  correspondent  à  deux  demi-droites  opposées. 

24.  Trouver  l'angle  de  deux  droites  connaissant  des  nombres  propor- 
tionnels à  leurs  cosinus  directeurs.  —  En  conservant  les  notations  précé- 
dentes, on  trouve,  au  moyen  de  la  formule  du  n°  18, 

,ô¥^  dF         ,0¥ 

.,  ,  da  db  de 

COSV    : 


•i  /F(  «,  b,  c)  F(rt',  b' ,  c') 


et,  par  conséquent,  la  condition  d'orthogonalité  conserve  la  même  forme  que 
si  a,  b,  c,  a' ,  b' ,  c'  étaient  les  cosinus  eux-mêmes. 

23.  Extension  des  calculs  précédents  à  des  segments  quel- 
conques. —  Soit  M,M2  un  segment  dont  les  extrémités  ont  pour 
coordonnées  x^.,y^,  C)  et  .^2,^2,  z.^.  On  a 


M, M,  =  072—^1  -^y-i  —  yi  -+-  -2 
on  en  conclut 


M,M2    =  J>(a72  — ^1,72  — 71,  -2— -1). 
Si  les  axes  sont  rectangulaires  : 


M,M2  ^(^x,-x,Y-^{y^-y,Y  +  {z^-z,y-. 


COORDONNÉES.  21 


Si  l'on  considère  deux  segments  MqIVIi,  MoMj,  on  pourra  évi- 
demment appliquer  les  formules  des  numéros  précédents  en  rem- 
plaçante, j>-,  z  clx'.y,  :■'  pare,  —  a"o,  J'i  —fo,  -i— ^ol  a:.—  x^, 


Coordonnées  du  point  qui  partage  un  segment 
dans  un  rapport  donné. 

26.  Soit  M  le  point  qui  partage  le  segment  M,  Mo  dans  le  rapport 
—  A,  de  sorte  que 

Si  l'on  appelle  m,  w?,,  m.i  les  projections  des  points  M,  M,,  Mj 
sur  l'un  des  axes,  faites  parallèlement  au  plan  des  deux  autres  axes, 
la  relation  précédente  se  conserve  en  grandeur  et  en  signe,  et  l'on  a 


//j/Hi  -f-  A  mni-i  =  o. 
On  en  déduit  immédiatement,  pour  les  coordonnées  de  M, 

ou,  en  posant  A  =  <-  , 

_  Xia?|-t-Xia-.2  _  XijKi  -f-  XajKa  _  Xi  Zi-hljZ, 

""-       h  +  1.2      '  ^~       X,  +  X2       '  ""-       Xi  +  X,      ' 

j",,  j)",,  V,  étant  les  coordonnées  de  M,,  et  ^aj  JK2>  ^2  celles  de  M^. 
Si  ).  varie  de  —  oo  à  -+-  oo,  le  point  M  décrit  la  droite  M,  Ma  tout 
entière.  Si  X=ro,  le  point  M  coïncide  avec  M,,  si  A  est  infini  M 
coïncide  avec  Ma  ;  enfin,  si  )v  =  i ,  le  point  M  est  le  milieu  de  M,  M  a 
et  ses  coordonnées  sont 

a^,  H-j"2      .ri+.r-2       -1 -t- -} 


27.  Application.  —  Soient  M,,  Mo,  M3  trois  points  quelconques. 
Le  point  M  défini  par  les  formules  précédentes  est  sur  la  droite 


22  CHAPITRE    I. 

M)  Mo,  et  le  point  P  ayant  pour  coordonnées 

(Xi  +  Xo)a7 -4- X.Ta'j 

X    = 


Xl  -i-  X2  -+-  X3 
(Xi+X2)jK-hX3JK3 

•^  Xi  +  X,+  X3       • 

/  (  A  j  — f-  A2  )  -3  -f-  A3  ^3 

Aj  H-  Aj  -r-  A3 


est  un  point  de  la  droite  MM3.   Donc,  en  faisant  varier  arbitraire- 
ment X,,  )^25  ^3î  les  formules 

_  X)a?i  +  Xoa^'o -I- X3:r3 
~  Xi+  X2-+-  X3 

XlJKl-i-X2j^2+X3j^3 

Aj  -T-  A2  -+-  A3 

k\  Zy  H-  A2-52  -1-  A3  Z^ 

A]  -f-  A2 -t-  A3 


y 


définissent  un  point  quelconque  du  plan  passant  par  les  trois  points 
donnés. 

28.  Coordonnées  homogènes.  —  Nous  poserons 

_  X  Y  Z 

^—  Y'         J'—  ^"'  -  —  ^? 

et  nous  conviendrons  de  ne  donner  à  X,  Y,  Z,  T  que  des  valeurs 
finies  et,  en  outre,  de  ne  jamais  supposer  X,  Y,  Z,  T  nuls  tous  les 
quatre.  Dans  ces  conditions,  à  chaque  point  M  correspond  un  sys- 
tème unique  de  valeurs  des  coordonnées  x,  y,  z  ou  un  système  de 
valeurs  de  X,  Y,  Z,  T  proportionnelles  à  quatre  nombres  détermi- 
nés, car  si  ^  ^  «,  jK  =  ^,  ^  =  c,  on  pourra  écrire 

X_Y_Z_T_, 

a         b         c         i  ' 

et,  réciproquement,  si  X  =  ).«,  Y  =z\b^  Z  =  Xc,  T  =  \d,  ces  équa- 
tions déterminent  un  seul  point  ayant  pour  coordonnées  cartésiennes 
-j»  -,i  -,•  Nous  dirons  que  X,  Y,  Z,  T  sont  les  coordonnées  homo- 
gènes du  point  M.  La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'un 
point  (X,  Y,  Z,  T)  soit  à  l'infini  est  T  =  o. 

Si  l'on  donne  deux  points  M,  (X,,  Y,,  Z,,  T,),  M2(Xo,  Yo,  Zo,  To), 


COORDONNÉES. 


les  coordonnées  du  poinl  qui  j)arlage  le  segment  Mj  M^  dans  le  rap- 
port —  A  sont  données  par  les  formules 


X  Y  Z 


Xi-t-(xXj       Yi-hjxVj       Z,-h[jiZ2        Ti-h  [iTz 

T 

|JL  étant  défini  par  l'équation  [x  =  ). ^r' 

On  peut  donc  dire  que  les  coordonnées  homogènes  de  M  sont 
Xi-h^iXi,         ï,-H|i.Y2,         Z1-+-1J.Z2,         Ti-i-;xT2. 

l^orsqu'on  donne  à  [x  toutes  les  valeurs  réelles  de  —  00  à  +  ao,  le 
point  M  décrit  la  droite  M,  Mo  tout  entière;  en  particulier,  si  [x  =  o, 
le  point  M  coïncide  avec  M),  et  si  [x  est  infini  M  coïncide  avec  M-^. 

Si  l'on  considère  un  nouveau  point  M'  correspondant  à  une  va- 
leur fx',  le  rapport  anharmonique  (M,  M  2  M  M')  a  pour  valeur  --,  ; 

les  quatre  points  forment  donc  une  division  harmonique  si  tx'= — tx. 
Il  importe  de  bien  se  rappeler  que,  si  l'on  fait  une  même  combinai- 
son homogène  et  linéaire  des  quatre  coordonnées  de  deux  points 
M,,  M2,  savoir 

X.Xi-^XjX,,        XiYi+XjYj,        XiZi-t-XjZ,,        ).,T,+  X,T,, 

on  obtient  les  coordonnées  homogènes  d'un  point  de  la  droite  M,  Mo. 
Par  suite,  si  l'on  combine  linéairement  les  coordonnées  de  trois 
points  M|,  Mo,  M3,  on  obtient 

\,-^A,\,-^X3X3,     X,Y,+  À2Y,-+-X3Y3,     X.Z.+  X^Z.  +  XsZs,     X.Ti-f-X^T.+  XsTj, 

qui  représentent  un  point  quelconque  du  plan  déterminé  par  les 
trois  points. 

Projection  d'une  aire  plane. 

29.  Si  l'on  considère  une  aire  plane  S  tracée  dans  un  plan  donné, 
sa  projection  sur  un  plan  a  pour  mesure  Scosa,  a  étant  l'angle  des 
deux  plans.  Il  en  résulte  immédiatement  que  si  par  un  point  quel- 
conque A  on  mène  une  perpendiculaire  au  plan  de  l'aire  considérée, 
et  si  l'on  porte  sur  cette  perpendiculaire,  à  partir  de  A,  un  segment 
AB  dont  la  longueur  soit  mesurée  par  le  même  nombre  que  l'aire  S, 
de  sorte  que  si  l'on  représente  par  /  la  longueur  prise  pour  unité,  et 


24  CHAPITRE    I. 

par  a  le  côté  du  carré  équivalent  à  l'aire  donnée,  on  ait  AB  =  y" 

et  si  enfin  l'on  projette  AB  sur  la  perpendiculaire  menée  par  A  au 
plan  de  projection,  la  projection  AC  du  segment  AB  a  précisément 
pour  mesure  ABcosa  et,  par  suite,  AC  représente  l'aire  projetée. 
Ij'étude  des  projections  d'une  aire  plane  sur  un  plan  est  donc  ra- 
menée à  celle  des  projections  d'un  segment  de  droite  sur  un  axe. 

Considérons  trois  plans  de  coordonnées  rectangulaires  et  soient 
S.r,  Sj,  Sa  les  projections  d'une  aire  plane  sur  les  plans  yOz^  zOx, 
xOy  respectivement.  Si  l'on  nomme  a,  [i,  y  les  angles  qu'une  per- 
pendiculaire au  plan  de  l'aire  fait  avec  les  trois  axes,  on  a 


^x  - 

el,  par  suite, 


ztScosa,         Sy=dzScosp,         S;  =  ±  S  cosy, 


Soit  OABC  {^fig-  12)  un  tétraèdre  dont  les 
arêtes  OA,  OB,  OC  sont  dirigées  suivant  les 
axes  O^,  OjK,  O^;  on  a 


donc 
c'est-à-dire 


ABC  =  OAB  +  OBG  -F  OGA  . 

Soit  OH  la  perpendiculaire  abaissée  de  l'o- 
rigine sur  le  plan  ABC.  En  appelant  V  le  vo- 
lume du  tétraèdre,  et  a,  6,  c  les  longueurs  des 
arêtes  OA,  OB,  OC,  on  a 


3  V  =  ABC./i  =  OBG. a  =  OGA. 6  =  OAB.c, 

9V2  _  9y2       gVî       9V_2 
7Î2  «2    "^    62    ^    c2    ' 


I 

Â2 


I 


Autres  systèmes  de  coordonnées. 

31.  Le  système  cartésien  n'est  pas  le  seul  système  de  coordon- 
nées employé.  Voici  quelques  autres  systèmes. 

Coordonnées  polaires.  —  On  détermine  la  position  d'un  point  M 
en  donnant  sa  distance  p  à  un  point  fixe  O  et  les  angles  a,  [S,  y  que 


COORDONNÉES.  25 

OM  fait  avec  trois  axes  rectangulaires  menés  par  le  point  O.  En 
nommant  .T,y,  z  les  coordonnées  rectangulaires  de  M,  on  a,  comme 
nous  l'avons  vu, 

a»=pcosa,        j'  =  pcosp,         ^  =  p  cosy, 
J-2  + j*-l-  32  =  pj^         cos*a  -4-  cos*  j3  4-  cos'y  —  1 . 

Plus  généralement,  on  peut  choisir  sur  un  axe  R'R  passant  par 
l'origine  O  un  sens  positif  OR,  et  regarder  p  comme  une  abscisse 
comptée  positivement  si  M  est  sur  OR,  néga-  pjg   ,3 

livement  si  M  est  sur  OR'.  En  appelant  a,  ^,  y 
les  angles  que  OR  fait  avec  les  trois  axes  rec- 
tangulaires Ox,  Of,  O-,  les  formules  précé- 
dentes subsistent. 


32.  Coordonnées  spliériques.  —  Considé- 
rons encore  trois  axes  rectangulaires  {fig-  i3) 
et  la    sphère  ayant  pour   centre   l'origine  et      ^ 
pour  rayon  OM;  soit  OA  la  trace  du  plan  zOM.  sur  le  plan  xOy. 
On  pose 

ÔM  =  p,        z  OM  =  0,        AO"^  =  o, 

0  étant  compté  de  o  à  -  et  cp  de  o  à  aiï.  Le  point  est  évidemment 
déterminé  si  l'on  donne  p,  0,  cp.  On  voit  immédiatement  que 

a"  =  p  sin  0  costf,        j' =  p  sinO  sin(f,         z=:pcos6, 

'j  est  la  longitude,  0  la  colatitude. 

33.  Coordonnées  cylindriques.  —  11  est  quelquefois  commode 

de  déterminer  la  position  du  point  M  en  donnant  sa  cote  z,  et  les 

coordonnées  polaires  /•,  o  de  sa  projection  sur  le  plan  xOy,  de 

sorte  que 

ce  =^rcoso,        jK=/*sincp, 

Ainsi,  par  exemple,  le  point  M  ayant  pour  coordonnées 

x  =  acos(^,        y  =  asin<f,         z  ~  ba^, 

décrit  une  hélice  tracée  sur  le  cylindre  ayant  pour  équation 


20  CHAPITRE    I. 

34.  Remarque,  —  Dans  le  système  cartésien,  un  point  est  déter- 
miné par  l'intersection  de  trois  plans;  dans  le  s_ystème  des  coordon- 
nées polaires,  un  point  est  commun  à  une  sphère  et  à  une  droite, 
génératrice  commune  à  deux  cônes  de  révolution  d'axes  donnés  et 
ayant  pour  sommet  commun  le  centre  de  la  sphère;  dans  le  système 
de  coordonnées  sphériques  un  point  est  l'intersection  d'une  sphère, 
d'un  plan  et  d'un  cône;  enfin,  dans  le  système  des  coordonnées  cy- 
lindriques un  point  est  l'intersection  d'un  cylindre  droit  et  de  deux 
plans. 

D'une  manière  générale,  si  l'on  considère  trois  familles  de  sur- 
faces quelconques  ayant  pour  équations 

/(■^,  JK> -' 0  =  o,        fi{x,y,z,T^)  =  o,         /2(37,  jKi,^,  0  =  o. 

i,  -^j  "C,  étant  trois  paramètres  arbitraires;  si  ^l[x^y,z)  est  un  point 
commun  à  ces  trois  surfaces,  ses  coordonnées  a:,  jk,  z  sont  des  fonc- 
tions déterminées  de  ^,  r,,  ^. 

Ou  peut  regarder  ^,  r, ,  "C,  comme  les  coordonnées  de  M;  on  a  ainsi 
le  système  le  plus  général  de  coordonnées  curvilignes. 

EXERCICES. 

1.  Une  demi-droite  fait,  avec  les  trois  demi-axes  Ox,  Ojk,  Os,  des  angles 
égaux;  calculer  la  valeur  commune  de  ces  angles. 

2.  Soient  A,  B  les  deux  demi-axes  d'une  ellipse;  a,  b;  a',  b'\  a",  b"  les 
demi-axes  de  sa  projection  sur  trois  plans  rectangulaires  deux  à  deux  :  dé- 
montrer les  formules 

1 A2  +  2  B2  =  «2  -}-  62  +  a'2  -f-  6'2  -H  a"'-  -!-  6"2, 

A2B2  =  a''-b^-^a'-^b'^-ha"^'b"^  (Prouhet). 

3.  Trouver  les  coordonnées  du  centre  de  gravité  d'un  système  de  points 
dont  on  donne  les  coordonnées  et  les  masses,  en  partant  de  la  même  défi- 
nition qu'en  Géométrie  plane.  Cas  où  les  masses  sont  égales  :  centre  des 
moyennes  distances. 

4.  Dans  un  tétraèdre,  les  droites  que  joignent  chaque  sommet  au  centre 
de  gravité  de  la  face  opposée  sont  concourantes;  trouver  les  coordonnées  du 
point  de  concours  G. 

5.  Les  droites  joignant  les  milieux  des  arêtes  opposées  d'un  tétraèdre  sont 
concourantes;  coordonnées  du  point  de  concours.  Ce  point  est  le  milieu  des 
droites  considérées  et  coïncide  avec  le  point  G. 


COORDONNÉES.  '>.'] 

0.  Calculer  sinV  en  remarquant  que  le  double  de  l'aire  du  triangle  OMM' 
est  égal  à  //' sin  V,  et  en  appliquant  le  théorème  relatif  aux  projections 
d'une  aire  plane  sur  trois  plans  rectangulaires. 

7.  Démontrer  la  formule 

.     Xh-u-Hv     .     uH-v  —  X     .     v-l-X  —  [JL    .     X-+-a  —  V 
w*  =  i  sm sin sin sin • 

2  x  .1  1 

8.  Si 

^(x,j,-)  =  o(P,Q,R), 

'o  étant  une  forme  quadratique  des  formes  linéaires  P,  Q,  R,  et  si  —  <I»  est  la 
forme  adjointe  de  o,  on  a 

cosV 


sinïV== 


2  \/({> .  'Jf' 
.^(QR'_RQ',  RP'—PR',  PQ'-QP) 


i).  Interpréter  les  équations  suivantes,  où  /■,  0,  o  ont  la  signification  donnée 
au  n"  32  : 

0  =  const; 

o  =  const; 

/(0)  =  o; 

/(?)  =  o; 

/(/•)  =  o; 

./(/•,  0)  =  o; 

/(/•,'•?)  =  o; 

/(0,'f)  =  o. 

10.  Calculer  la  distance  de  deux  points  dont  on   donne  les   coordonnées 
sphériques. 

11.  Calculer  dx'^-\- dy^-\- dz'^^  x,  y^  z  étant  des  fonctions  de  /•,  0,  o.  On 
trouve 

dx"^  ■+■  dy^  -)-  dz-i  =  d?"^  -f-  f-  dO^  -^  p2  sin^  0 .  do^-. 


28 


CHAPITRE   II. 


CHAPITRE  IL 

TRANSFORMATION  DES  COORDONNÉES  REGTILIGNES. 


35.  Si  l'on  peut  exprimer  les  coordonnées  .r,  y,  z  d'un  poinl 
quelconque  M,  rapporté  à  trois  axes  en  fonction  des  coordonnées 
x',  y,  z'  du  même  point  par  rapport  à  trois  nouveaux  axes  de  coor- 
données, étant  donnée  l'équation  d'une  surface  rapportée  au  premier 
système,  il  suffira  d'j  remplacer  x,  y,  z  par  leurs  expressions  en 
fonction  de  x' ^y' ,  z'  pour  avoir  l'équation  de  la  même  surface  rap- 
portée aux  nouveaux  axes.  Il  en  sera  de  même  à  l'égard  d'une  ligne, 
intersection  de  deux  surfaces  définies  par  leurs  équations.  En  rem- 
plaçant dans  ces  dernières  les  coordonnées  anciennes  en  fonction 
des  nouvelles,  on  obtiendra  les  équations  de  la  ligne  considérée,  par 
rapport  au  nouveau  système.  Comme  en  Géométrie  plane,  nous  dis- 
tinguerons plusieurs  cas. 

Premier  cas  :  Translation  des  axes.  —  On  déplace  l'origine 
sans  changer  la  direction  des  axes,  le  sens  de  chacun  des  demi-axes 

positifs  étant  conservé. 
Soient  {fig.  i4)  • 

a:',, jKii  z-i  les  coordonnées  de  la  nou- 
velle origine; 

.r,  y,  z  les  anciennes  coordonnées  d'un 
point  quelconque  M; 

x\y',  z'  ses  nouvelles  coordonnées. 

Si  l'on  projette  sur  Ox,  puis  sur  Oy  et  enfin  sur  Oz  le  conlour 
00)  M  et  sa  résultante  OM,  on  a  immédiatement,  en  se  rappelant 
que  les  projections  d'un  segment  sur  des  axes  parallèles  et  de  même 
sens  sont  égales. 


Fig.  i4. 


Xi 


Zi 


y=yi+y, 

Deuxième  cas  :  Changement  de  directions  des  axes,  sans  chan- 
gement d'origine. —  Première  méthode.  —  Soient  Oxjz  le  trièdre 


TRANSFORMATION    DES   COORDONNÉES   BECTILIGNES.  29 

formé  par  les  demi-axes  positifs  nouveaux.  La  position  du  second 
trièdre  sera  déterminée  si  nous  connaissons  les  cosinus  directeurs 
de  chacune  des  demi-droites  Ox,,  O^i,  O^i  relatifs  aux  anciens 
axes. 

II  est  commode  de  faire  usage  du  Tableau  suivant  : 


Ox 

o.r 

Oz 

0^1 

a 

b 

c 

<V. 

a' 

b' 

c 

Osi 

a" 

b" 

c" 

Fis. 


dans  lequel  le  cosinus  de  deux  demi-droites  se  trouve  inscrit  à  l'in- 
tersection de  la  ligne  et  de  la  colonne 
correspondante;    ainsi   les    cosinus   de 
O^,  sont  :  a,  6,  c;  ceux  de  Oy^  :  a', 
b\  c',  etc. 

Cela  posé,  M  étant  un  point  quel- 
conque, soient  OPQM  et  O  P,  Q,  M 
{^fig.  i5)  les  contours  des  anciennes  et 
des  nouvelles  coordonnées  de  ce  point. 
Si  l'on  projette  ces  deux  contours  suc- 
cessivement sur  Ox^  OjK,  O-::,  on  ob- 
tient, en  appelant,  comme  nous  l'avons  déjà  fait,  ).,  [Ji,  v  les  angles 
des  anciens  axes 


(0 


X 

^y 

cosv 

a:cosv 

-^y 

a:cos;jL 

-^y 

cosX 

cos  \x  =  ax  -\-  a  y  -\-  a  z  , 
cosX  —  br'-^  b'y'-h-  b"  z' , 

=  ex' -h  c'y'  -\-  c"  z' . 


Le  déterminant  de  ces  équations  étant  égal  à  lo-,  les  anciennes 
coordonnées  X,  j',  z  sont  des  fonctions   linéaires  et  homogènes  de 

Il  est  évident  que,  réciproquement,  on  pourrait  de  la  même  façon 
exprimer  jr',  y\  z'  en  fonctions  linéaires  et  homogènes  Ae  a ,  y^  z. 

Deuxième  méthode.  —  Pour  déterminer  les  directions  des  nou- 
veaux axes,  on  peut  faire  usage  de  points  directeurs.  Marquons  sui- 


3o  CHAPITRE   II. 

O^,  un  point  A,  sur  OjKi  wn  point  B,  sur  O^,  un  point  C,  et  soient 

ÔÂ  = /,         ÔB  =  m,         OG  =  n; 

enfin,  désignons  par  /?,  ^,  /•,  //,  ^',  /';  p\  q\  r"  les  coordonnées 
anciennes  des  points  A,  B,  C.  Les  équations  (i)  résolues  par  rap- 
port à  X,  jK,  ^  donnent 

X  =^  ux' -\-  u'y'-\-  u"z', 

y=  çx' -+-  v'y' -^  v" z' . 
z  =  wx'  -h  iv'y'  -^  w"  z' . 

Appliquons  ces  formules  au  point  A  en  remarquant  que  ses  coor- 
données nouvelles  sont  x'  :=  l,  y'  =^  o ^  z'  =  o  ]  on  obtient 

p  =  ul,        q  =  <^/,        /•  ==  wl. 
On  aura  de  même 

p'  ^^   U' V .  ^'=:p'/',  f' z=   iv' l\ 

p"  =  u"  r,  q"  =  «'"  /",  /•"  =  iv"  I"  ; 


donc 


X  ^  '-^  X  -\- '—  y  -\-  ^ 


(2)  {7=   l^'-t--^- jK'+|r^', 

^z^jx^jy-^jz, 

et,  si  l'on  suppose  que  OA  =  i ,  OB  =  i ,  OC  =  i , 

IX  =  px' -A- p' y -^- p"  Z\ 
y  =  qx'-\-qy'-i-q"z', 
Z  =  rx' -\-  r'y'  -h  r"z'. 

On  peut  d'ailleurs  obtenir  ces  formules  en  projetant  le  contour 
des  coordonnées  anciennes  sur  Ox  parallèlement  au  TplanyOz,  sur 
Oy  parallèlement  au  plan  zOx,  et  enfin  sur  O^  parallèlement  au 
plan  xOy. 

Troisième  cas  :  Transformation  générale,  —  On  change  à  la 
fois  l'origine  et  les  directions  des  axes.  Faisons  d'abord  subir  aux 
axes    primitifs     une    translation    qui    amène    l'origine    au    point 


TRANSFORMATION   DES   COORDONNÉES   RECTILIGNES.  3l 

0,{a:t,  fi,  Zf),  qui  est  l'origine  des  nouveaux  axes  (^g.  16).  Si 
l'on  nomme  x" ,  y'\  z"  les  coordonnées  d'un  point  M  par  rapport  au 
système  O,  j^oj'a^o  parallèle  au  premier,  on  a 


(4) 


Xi 


Y  -yv-^y 


l'iK. 


En  second  lieu,  si  l'on  nomme  p,  q,  /•;  />',  q'^  /';  />",  7",  /"  les 
coordonnées  des  points  directeurs  A,  B,  C,  par  rapport  au  système 
auxiliaire,  ou,  ce  qui  revient  au  même, 
les  coordonnées  anciennes  des  points 
directeurs  A',  B',  C  pris  sur  des  demi- 
droites  parallèles  à  0(A,  OjB,  0,C 
de  même  sens  respectivement,  et  me- 
nées parl'ancienne  origine  ;  nous  pour- 
rons exprimer,  à  l'aide  des  formules  {:>) 
ou  (3),  x" ,  y,  z"  en  fonction  de  x\ 
y\  z'.  Donc,  en  supposant  OA'=i, 
0B'=  I,  0C'=  1 ,  on  obtient,  en  combinant  les  formules  (3)  et  (4), 


(5) 


/  .r  =  px' -h  p'y -i- p" ^'-\~  Ti. 

f    z  ==  rx  -\-  r'y'  -\-  r"  z'  -h  -i. 


On  pourrait  également  se  servir  des  équations  (i)  dans  lesquelles 
x^y^  z  seraient  remplacés  par  x",  y",  ^". 

36.  Cas  particulier  :  axes  rectangulaires.  Relations  entre  les 
cosinus  directeurs  d'un  trièdre  trirectangle.  —  Quand  les  axes 
primitifs  sont  rectangulaires,  les  formules  (i)  se  simplifient  puisque, 
dans  ce  cas,  cos)v  =  cos  \k  =  cosv  =•  o,  et  l'on  a 


(6) 


X  =  ax'  -^  a' y'  -h  a"z', 
y  =  bx'  -h  b' y  ->i-  b" z^ 
z  —  ex'  -+■  c'y'-\-  c" z. 


D'ailleurs,  dans  ce  cas,  il  est  évident  que,  si  OA  =  i,  OB  =  i, 

OC  =  I,  on  a 

p  =:  a.         q  =  b.         r  =  c.  .... 

Si  les  nouveaux  axes  sont  également  rectangulaires,  les  formules  (6) 
conservent  la  même  forme,  mais  il  y  a  alors,  entre  les  neuf  cosinus 


32  CHAPITRE   II. 

qui  figurent  dans  les  seconds  membres,  six  relations 

l  a^  -+-  b^  -h  c-  =^  i,  l  aa'  -+-  bb'  -\-  ce'   =  o, 

(7)  <   a'- +  6'2 -h  c'2  =  I ,  (8)  \  a' a" -\- b' b" -\- c' c"  —  o, 

\  a"2-t-  b"--r-  c"-=  1;  '   a" a  -\- b" b  +  cf  c  =  o. 

Les  équations  (7)  expriment  que  les  nombres  donnés  sont  les  co- 
sinus directeurs  des  arêtes  du  second  trièdre  relatifs  à  un  trièdre 
trirectangle  Oxyz^  et  les  équations  (8)  expriment  que  le  trièdre 
Ox^y^  Z\  est  trirectangle.  Il  est  évident  qu'en  renversant  les  rôles  des 
deux  trièdres  on  a  aussi 

ia- -t-  a'-  +  a"2  =  1 ,  1  ab  -h  a' b' -h  a" b"  —  o, 

62  +  6'2 -+- 6"2  =  I ,  (ro)        1  6c -+- 6'c' -t- 6"c"  =  o, 

c^  -f-  c'2  -f-  c"-  =  1  ;  \  ca  -\-  d  a!  -\~  c"  a!'  —  o. 

Il  était  d'ailleurs  certain  «/)r/o/f  que  ces  neuf  cosinus  devaient  être 
liés  par  six  équations;  car,  si  l'on  se  donne  les  angles  que  Oxy  fait 
avec  O^  et  avec  Oy,  Ox^  est  déterminé.  En  second  lieu  Oy^ ,  étant 
perpendiculaire  à  Ox,,  est  déterminé  si  l'on  connaît  l'angle  que  Oyx 
fait  avec  Ox^  et  alors  le  second  trièdre  est  déterminé.  Les  cosinus 
étant  connus  dès  que  trois  d'entre  eux,  convenablement  choisis,  le 
sont,  il  faut  qu'il  existe  six  relations  distinctes  entre  ces  neuf  quan- 
tités. D'où  il  résulte  que  les  relations  (9)  et  (10)  sont  nécessaire- 
ment des  conséquences  des  équations  distinctes  (7)  et  (8). 

Il  est  facile  de  vérifier  l'équivalence  de  ces  deux  systèmes. 
Effectivement,  supposons  vérifiées  les  équations  (7)  et  (8)  et  considérons 
le  déterminant 

;      b       c 
D  =      a'     b'      c' 

à      b"     c" 

En  tenant  compte  des  relations  (7)  et  (8),  on  a  immédiatement  D^  =  1 ,  et, 
par  suite,  D  =  s. 
Les  équations 

aa'  -+-  bb'  -+■  ce'  =  o, 

aa"  -\-  bb" -^  ce"  =  o 

déterminent  les  rapports  mutuels  de  a.  b,  c.  En  nommant  A,  B,  G  les  coeffi- 
cients de  «,  b,  c  dans  le   développement  de  D,  suivant   les   éléments   de   sa 


TRANSFOKMATION    DES    COORDONNÉES    RECTILIGNES. 

première  ligne,  on  a,  en  vertu  des  équations  précédentes, 


33 


d'où 


a  =  A  £,  ^  -—   I)  î,  c  =   C  : 

On  trouvera  de  la  même  manière 


d'où  l'on  tire 


et 


On  a  aussi 


a'=:A'£,         h'—\\'t,         c'=C'ô, 
«"=A"£,         ^>"=B"£,         c"=C"e, 

«--i-  «'--+-  a"-  =  2(A«  -4-  A'a'-i-  A" a")  =  s^  ^  , 
ab -h  a  b' -^  a" b" ^  t{kb -^  X.' b' -^  K"b")  =  o. 


A2-^B2+C2  =  i,        AA'+BB'+GG'=  o, 
Si  l'on  considère  le  déterminant  adjoint 

ABC 

A'     B'     C 
.  A"     li"    G" 

on  sait  qu'il  est  égal  à  D^,  donc  A  =  i. 

Des  équations 

AA'-hBB'-4-CC'=o, 

AA"+BB"-hCG"=o. 


on  tire 


B 


A2-f-  B2-1-G2 


B'G'—  C'B"  ~  G' A"—  A'G"       A'B"— B'A" 


=  I, 


donc 


A  =  B'  G"—  G'  B",         B  =  G'  A"—  A'  G",         G  =  A'  B"—  B'  A" 


Les  mineurs  de  ce  déterminant  sont  donc  égaux  à  ses  éléments. 

Les  relations  que  nous  venons  de  démontrer  s'étendent  à  un  déterminant 
de  degré  quelconque. 

Il  est  facile  de  décider  si  D  =  -f- 1  ou  D  —  i .  En  effet,  déplaçons  le  trièdre 
Oxyz  d'une  manière  continue  en  laissant  son  sommet  fixe.  Il  est  évident 
que  les  neuf  cosinus  varieront  d'une  manière  continue;  donc  D  variera  aussi 
d'une  manière  continue,  puisque  c'est  une  fonction  entière  de  ces  cosinus; 
par  conséquent,  D  ne  pouvant  prendre  que  l'une  des  deux  valeurs  -)-  i  ou  —  i , 
dont  la  différence  est  finie,  conservera  une  valeur  constante.  Or,  on  peut 
amener  Oa^j  à  coïncider  avec  Oa?  et  0/t  avec  Oy\  alors  Ozi  coïncidera 
avec  Oz  ou  avec  la  demi-droite  opposée.  On  aura,  pour  cette  nouvelle  posi- 
tion, 

a  =  6'=i,         a' =  a"  =  b  =^  b"  =  c  =  c' =  o       et       c"  =  i     ou     — i. 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  3 


34 


CHAl'ITIlE    II. 


Mais  D  se  réduit  à  c"  ;  donc  enfin,  dans  le  premier  cas,  D  =  -i-i,  et,  dans 
le  second  cas,  D  =  — i.  D'après  cela,  imaginons  un  observateur  placé  les 
pieds  en  O  et  la  tête  en  un  point  de  la  demi-droite  Oz.  Si  cet  observateur 
voit  Oa;  à  sa  gauche  et  Oy  à  sa  droite,  on  aura  D  =  -+-  i,  si  cet  observa- 
teur se  déplaçant  de  façon  que  ses  pieds  restant  au  point  0  et  sa  tête  venant 
en  un  point  de  O^i,  il  voit  Oa^i  à  sa  gauche  et  Oj^j  à  sa  droite,  et  D  =  —  i 
dans  le  cas  contraire.  En  d'autres  termes,  D  =  -i- i  si  l'on  peut  amener  les 
deux  trièdres  à  coïncider  en  faisant  tourner  l'un  d'eux  autour  de  leur  som- 
met commun;  D  =  —  i  dans  le  cas  contraire. 

37.  Conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  que  deux  trièdres  soient 
trirectangles.  —  Revenons  au  cas  de  deux  trièdres  quelconques  et  considé- 
rons un  trièdre  auxiliaire  trirectangle  OXYZ.  Soient  a,  p,  w;  u',  v',  tv'; 
u",  v",  w"  les  cosinus  directeurs  des  arêtes  du  trièdre  Oxyz,  et  soient  «i, 
V\,  . . .,  w'[  ceux  des  arêtes  du  trièdre  OyXiy\Zi,  tous  ces  cosinus  étant  rela- 
tifs au  trièdre  auxiliaire.  On  a 


Pareillement, 


u       V 

w 

2 

1 

cosv 

COS[J. 

u'     v' 

w 

= 

cosv 

I 

cosX 

i  u!'     v" 

w" 

C0S[JL 

cosX 

I 

«1        Vi 

Wl 

2 

, 

COSVi 

COSfJL, 

u\     v\ 

w\ 

= 

COSVi 

1 

cosXi 

u\     v\ 

w". 

cosaj 

cosXi 

I 

Or,  en  conservant  les  notations  précédentes, 


u       V 

u'     v' 
u"     v" 


Donc 


Ml      Pi      w^ 


D 


a  a  a 
b  h'  b" 
c     c'     c" 


Il  en  résulte  que,  dans  le  cas  général,  la  valeur  absolue  de  D  est  au  plus 
égale  à  i;  elle  ne  peut  être  égale  à  i  que  si  co-=  wj  =  i,  c'est-à-dire  quand 
les  deux  trièdres  Oxyz,  Oxiy^Zi  sont  trirectangles. 

On  en  conclut  que  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  les  deux 
trièdres  soient  trirectangles  est  D2=i.  S'il  en  est  ainsi,  les  équations  (7) 
et  (8)  sont  vérifiées;  réciproquement,  si  ces  relations  sont  vérifiées,  D^  =  1  et, 
par  suite,  u.2— ^j2_j_  j^gg  relations  (7)  et  (.8),  ou  les  relations  équiva- 
lentes (9)  et  (10)  sont  donc  nécessaires  et  suffisantes  pour  que  les  deux  triè- 
dres donnés  soient  trirectangles. 

Si  un  observateur,  placé  les  pieds  en  0,1a  tête  sur  la  demi-droite  0^,  re- 
garde l'angle  xOy  et  qu'il  voie  Ox  à  sa  gauche  et  Oy  à  sa  droite,  si  un  se- 
cond observateur  placé  suivant  Ozi,  les  pieds  en  0,  la  tête  en  un  point  de  O^j, 


TRANSFORMATION    DES    COORDONNÉES    RECTILIGNKS.  35 

\uiL  C)j|  à  sa  gauche  et  Oj"!  à  sa  droite,  nous  dirons  que  les  deux  trièdrcs 
sont  de  même  espèce,  et  d'espèces  contraires  s'il  n'en  est  pas  ainsi. 

Cela  posé,  la  formule  D  =  db  (owt  montre  que  D  ne  peut  être  nul  que  si 
(I)  =  o  ou  0)1  =  o;  mais  to  =  ±  sin  (jl  sinv  sin  A,  donc  lo  ne  peut  être  nul  que 
si  les  droites  Ox,  Oy,  Oz  sont  dans  un  même  plan;  remarque  analogue 
pour  Wj.  Or,  on  peut  déformer  les  trièdres  d'une  manière  continue  de  façon 
à  les  rendre  trirectangles;  il  résulte  de  ce  qui  précède  que  D  ne  changera  pas 
de  signe,  et,  comme  les  trièdres  ne  changeront  pas  d'espèces,  on  en  conclut 
que  D  est  positif  s'ils  sont  de  même  espèce,  négatif  s'ils  sont  d'espèces  con- 
traires. 

38.  La  fonction  <|;(.r,y,  ^)  reste  invariable  quand  on  effectue 
une  transformation  de  coordonnées  sans  changement  d'origine. 
—  Soit  M  un  point  quelconque  dont  les  coordonnées  anciennes  sont 
x.,y^  z,  et  les  nouvelles,  x' ,  y' ,  z' .  On  a 

puisque  chacune  de  ces  expressions  est  la  mesure  de  OM  . 

C'est  d'ailleurs  ce  que  l'on  peut  A'érifier  par  le  calcul.  En  effet,  si  l'on  fait 
la  substitution  linéaire  définie  par  les  formules  (3),  '^ix,y^  z)  se  change  en 
un  polynôme  homogène  du  second  degré  dans  lequel  le  coefficient  de  x'^  est 
égal  à  <^(/>,  q^  r),  c'est-à-dire  i  ;  pareillement,  pour  les  coefficients  àc  y'^  et 
de  z"^.  Le  coefficient  Aq  y'  z'  est  égal  à 

dp  vq  Or 

c'est-à-dire  acosX',  etc. 

Si  l'on  nomme  M  le  module  de  la  substitution,  et  si  l'on  remarque  que  les 
discriminants  de  'ij{x,y,  5)  et  de  '^{x\y',  z')  sont  respectivement  to"^  gj  ^,'î^ 
on  a 

M'-  =  —  ; 

quand  les  deux  systèmes  d'axes  sont  rectangulaires,  JNP  =  i. 

Formules  d'Euler. 

39.  Si  l'on  veut  passer  d'un  système  de  coordonnées  rectangulaires  à  un 
autre  système  de  coordonnées  rectangulaires  et  de  même  origine,  on  peut 
exprimer  les  coordonnées  anciennes  d'un  point  quelconque  en  fonction  des 
nouvelles  et  de  neuf  cosinus  liés  entre  eux  par  six  relations.  Il  en  résulte 
qu'on  doit  pouvoir  exprimer  les  anciennes  coordonnées  en  fonction  des  nou- 
velles et  de  trois  paramètres  arbitraires.  C'est  ce  que  l'on  peut  réaliser  au 
moyen  des  formules  suivantes,  dues   à   Euler,  quand  on   suppose  que  l'on 


36 


CHAPITRE    II. 


puisse  faire  tourner  le  premier  trièdre  autour  de  son  sommet,  de  manière  à 
le  faire  coïncider  avec  le  second. 

Soient   Oxj^z,   Ox'y'z'  {fig.  17)  deux  trièdres  trirectangles   remplissant 

cette  condition. 

Désignons  par  0  l'angle  zOz'  et  soit  N' N 
l'intersection  des  deux  plans  xOy,x'Oy'\ 
nous  choisirons  la  demi-droite  ON,  de  telle 
sorte  qu'un  observateur,  placé  les  pieds  enO 
la  tête  en  N,  voie  Oz  à  sa  gauche  et  Oz'  à 
sa  droite,  et  nous  désignerons  par  cp  l'angle 
ipON,  cet  angle  étant  compté  de  o  à  ïtt.  En- 
fin, nous  appellerons  i]'  l'angle  dont  il  faut 
faire  tourner  ON,  l'axe  de  rotation  étant  Oz' , 
pour  l'amener  en  Ox',  la  rotation  autour  de 
Oz'  étant  regardée  comme  positive  de  gauche 
à  droite  pour  un  observateur  placé  les  pieds  en  O  la  tête  en  z' ;  on  peut 
compter  l'angle  t|^  de  o  à  271. 

Gela  étant,  je  dis  qu'en  faisant  tourner  le  trièdre  Oxyz  successivement  au- 
tour de  0^  d'un  angle  égal  à  cp,  autour  de  ON  d'un  angle  égal  à  0,  et  enfin 
autour  de  Oz'  d'un  angle  égal  à  ([»,  on  lui  fera  prendre  finalement  la  position 
Ox^yiZi-  En  effet,  la   première   rotation  amène  Oa;  en  ON  et  Oy  en  Oy^, 

l'angle  de  O^i  avec  Oy  étant  égal  à  <p,  et,  par  suite,  NOjki  étant  égal  à  -• 

La  droite  ON  est  donc  perpendiculaire  aux  trois  droites  Oy^,  Oz.  Oz'-,  si 
nous  faisons  tourner  autour  de  ON,  de  l'angle  6  et  de  gauche  à  droite,  le 
trièdre  O'^y^z,  Oz  viendra  en  O' z  et  Oyi  prendra  la  position  Oy^,  perpen- 
diculaire à  Os'  et,  par  suite,  dans  le  plan  x'Oy'.  Il  est  évident  que  la  troi- 
sième rotation,  autour  de  Oz',  fera  coïncider  ON  avec  Ox^  et  Oy^  avec  Oy'. 
Cela  étant,  si  nous  nommons  a;],  _;^],  z^  les  coordonnées  d'un  point  M.{x,y,z) 
par  rapport  au  système  ON^iz;  x-^,  y^,  ^2  l^s  coordonnées  du  même  point 
par  rapport  aii  système  O^y^z',  et  enfin  x' ,  y' ,  z'  ses  coordonnées  par  rap- 
port à  Ox'y' z',  on  a  successivement  à  considérer  trois  transformations  de 
coordonnées  planes,  ce  qui  donne 


(?) 


x  =a:^iC0SÇ) — jKi  sinip, 
y  —  Xi%\no  -+- j'icoscp. 


\  y  = 


(6) 


I      X\  —  ^2) 

/   y^^y^COsO — ^2  sinO, 
'    Sj  =  jKa  sinô -H  S2COS6, 


i'^ 


Zi 


X2  =  a7'cos(|^  — y'  sin<\i, 
y^^:^  x'  sini|;  -{-y'  cos4', 


TRANSFORMATION    DES   COORDONNÉES    «ECTILIGNES.  Sj 

En  éliminant  les  inconnues  auxiliaires,  on  obtient  sans  difficulté 

X  =  a"'(coscp  cosJ;  —  sincp  sirn];  cosO) 

— ^'(coso  sin6  -I-  sin»  cos'\i  cos6)  -+-  2'  sin<p  sinO, 

j' =  :r'(sin(p  cost]/ -f- COSO  sini];  cosO) 

—  ^'(sinç  sinili  —  cosçcos<J/  cosO)  —  z'  cos©  sinO, 

z  =  x'  s\x\<\i  si  II  6  -h  y  cost{;  sin6  -\-  z'  cosG. 

Cas  particulier  :  (L  z=  o.  —  Les  formules  se  simplifient  beaucoup 
dans  ce  cas;  elles  se  réduisent  à 

X  =  37'  cosç  — y  sin  o  cosO  -+-  z'  sincp  sinO, 
Y  =  x'  si» o  -\- y  coscp  cosO  —  z'  coscp  sin 0, 
z  ^^  y  sin6  -f-  z'  cosO. 

iO.  Application.  —  Rapporter  la  section  d^  une  surf  ace  par  un 
plan  donné  à  deux  axes  tracés  dans  ce  plan. 

On  transporte  d'abord  l'origine  des  coordonnées  en  un  point  O 
du  plan  sécant,  les  nouveaux  axes  Ox,  O^,  O^  étant  parallèles  aux 
anciens.  Nous  savons  former  l'équation  f{^x,y^z)^=o  de  la  sur- 
face rapportée  aux  nouveaux  axes. 

Cela  fait,  on  prend  pour  nouvel  axe  des  x  la  trace  du  plan  sécant 
sur  le  plan  Oy,  le  nouveau  système  étant  d'ailleurs  rectangulaire 
comme  Oxyz. 

L'équation  de  la  surface  rapportée  aux  axes  Ox'y'z'  sera 

f{x'  COSO  — y  sin<p  cosO,  ^'  sin  tp  -+-j''  coscf  cos6,  y'  sinO  -+-  z'  cosO)  =  o; 

par  suite,  l'équation  de  la  section  rapportée  aux  axes  Ox'y'  s'ob- 
tient en  faisant  z'  =^  o  dans  l'équation  précédente,  ce  qui  donne 

/(ar'coso  — y'sinocosô,  a?'?intp-i-j>''  costf  cosO,  ^'  sinO)  =  o. 

Il  est  d'ailleurs  très  facile  d'obtenir  directement  cette  équation. 

Classification  des  surfaces. 

41.  Les  formules  de  transformation  de  coordonnées  étant  li- 
néaires, si  l'équation  d'une  surface  est  algébrique  et  de  degré  m  par 
rapport  à  un  système  déterminé  de  coordonnées  rectilignes,  l'équa- 


38  CHAPITRE    II. 

tion  de  la  même  surface  rappoi'tée  à  tout  autre  système  de  coordon- 
nées rectilignes  pouvant  s'obtenir  au  moyen  des  formules  de  trans- 
formation, c'est-à-dire  par  une  substitution  linéaire,  sera  encore 
algébrique  et  de  degré  m. 

On  a  ainsi  été  conduit  à  distinguer  les  surfaces  en  deux  classes  : 
les  surfaces  algébriques,  c'est-à-dire  celles  dont  l'équation  peut  se 
mettre  sous  la  forme  fix-,  y,  z)  =  o,  f{x,  y,  z)  étant  un  polynôme 
entier  en  x,  y  et  z,  et  les  suif  aces  transcendantes,  dont  l'équation 
n'est  pas  algébrique. 

On  appelle  ordre  d'une  surface  algébrique  le  degré  de  son  équa- 
tion. 

42.  Une  droite  quelconque  rencontre  une  surface  algébrique 
d'ordre  m  en  m  points  {au  plus).  —  En  effet,  rapportons  la  sur- 
face considérée  à  trois  axes,  l'axe  des  z  étant  la  sécante  donnée. 
L'équation  de  la  surface  est  alors  f\x,y^  5)  =:  o,  qui  est  du  de- 
gré m  au  plus  par  rapport  à  z. 

Dans  le  cas  le  plus  général,  cette  équation  est  de  degré  m  effec- 
tivement, et,  par  suite,  l'axe  des  z  coupe  la  surface  donnée  en 
m  points.  Si  le  degré  de  l'équation  s'abaisse  de^  unités,  p  des  points 
de  rencontre  sont  à  l'infini. 

En  conservant  les  conventions  habituelles,  nous  pouvons  donc 
dire  qu'une  droite  quelconque  coupe  toute  surface  d'ordre  m  en 
m  points  à  distance  finie  ou  infinie,  réels  ou  imaginaires,  distincts 
ou  non. 

Réciproquement,  si  une  droite  quelconque  coupe  une  surface  al- 
gébrique en  m  points,  cette  surface  est  d'ordre  m. 

43.  Théorème. —  Toute  section  plane  d'une  surface  d'ordre  m 
est  une  courbe  d'ordre  m. 

En  effet,  si  le  plan  sécant  est  pris  pour  plan  des  x,  y,  l'équation 
de  la  section  rapportée  aux  axes  Ox,  Oy  s'obtiendra  en  faisant  z^o 
dans  l'équation  de  la  surface.  Il  peut  arriver  que  l'équation  ainsi  ob- 
tenue se  décompose;  dans  ce  cas,  la  section  se  composera  de  deux 
ou  plusieurs  courbes  d'ordre  inférieur  à  m,  ou  d'un  certain  nombre 
de  droites  et  de  courbes,  ou  bien  sera  composée  uniquement  de 
droites;  enfin,  quelques  parties  de  la  courbe  obtenue  peuvent  être 
à  l'infini,  si  le  degré  de  son  équation  s'abaisse  au-dessous  de  m. 


TRANSFORMATION    I)KS    COORDONNÉES    RRCTILIGNES.  89 

4i.  Nombre  de  paramètres  de  V équation  d'une  surface  d'or- 
dre m.  —  Le  nombre  des  coefficients  du  polynôme  le  plus  général 
de  degré  m  à  Irois  variables  est  égal  au  nombre  des  combinaisons 
complètes  de  quatre  lettres  m  à  m,  c'est-à-dire 

Km  _  c»      -  r3       _  (m-^i)(m-ho.)(m-^-3) 

Le  nombre  des  paramètres 

_  (  /n  +  O  (  m  -t-  2  )  (  m  -+-  3  ) 

I  .  'Jt .  3 
OU 

rn^  -h  6  m-  -H  1 1  /?i 


N  = 


Il  en  résulte  qu'il  faut  N  points  pour  déterminer  une  surface 
d'ordre  m.  Si  m  =  2,  on  a  N  =  </.  Il  faut  neuf  points  pour  déter- 
miner une  surface  du  second  degré.  Pour  abréger,  nous  appellerons 
(juadrique  toute  surface  du  second  degré.  Pour  l'équation  d'une 
quadrique,  nous  adopterons  les  notations  suivantes 

Kx^^  A'^2  _|_  \"  -1  _^  2  V>yz  -^  'iH'  zx-^  ?.  B"  a^K  +  2  C  .r  +  2  C'y  -h  ?X"  5  -+-  D  =  o 

ou 

0(^,7,  z)^Oi{x,  y,z)-^'D  =  0, 

cp  (^,  y^  z)  étant  le  polynôme 

A  r'  4-  A  'j'î  -+■  A"  z"'  -\-  i  Byz  -+-  2  B'-a?  -4-  '2  ii"xy, 
e\.Oi{x,j-,  z)  représentant 

iCx  -+-  1QI y  -f-  iÇa" z. 

45.  Courbes  gauches.  —  On  nomme  courbe  gauche  une  courbe 
dont  tous  les  points  ne  sont  pas  dans  un  même  plan.  On  nomme 
courbe  algébrique  toute  courbe  qu'on  peut  obtenir  par  l'intersection 
totale  ou  partielle  de  deux  surfaces  algébriques.  Si  les  deux  surfaces 
sont  d'ordres  m  et/?,  un  plan  quelconque  coupant  la  première  sui- 
vant une  courbe  d'ordre  m  et  la  seconde  suivant  une  courbe  d'ordre  /?, 
et  ces  deux  courbes  ayant  mp  points  communs,  on  voit  que  le  plan 
sécant  rencontre  la  courbe  commune  aux  deux  surfaces  en  mp 
points.  On  appelle  ordre  d'une  courbe  gauche  le  nombre  de  points 


4o  CHAPITRE   II. 

communs  à  cette  courbe  et  à  un  plan  sécant  quelconque.  D'après 
cela,  la  courbe  commune  à  deux  surfaces  d'ordre  m  et  p  est  une 
courbe  d'ordre  mp. 

46.  Remarque.  —  Si  une  courbe  gauche  est  d'ordre  p,  p  étant  premier, 
elle  ne  peut  constituer  à  elle  seule  toute  l'intersection  de  deux  surfaces  algé- 
briques. Ainsi,  par  exemple,  une  courbe  gauche  du  troisième  ordre  est  une 
partie  de  l'intersection  de  deux  cônes  ayant  une  génératrice  commune.  Soient, 
en  effet,  A  et  B  deux  points  d'une  cubique  gauche.  Le  cône  ayant  pour  som- 
met le  point  A,  et  pour  directrice  la  cubique  est  du  second  ordre,  puisqu'un 
plan  quelconque  mené  par  A,  ne  coupant  la  cubique  qu'en  deux  points  P,  Q 
autres  que  A,  coupe  ce  cône  suivant  deux  droites  AP,  AQ;  de  même,  le  cône 
de  sommet  B,  ayant  la  cubique  pour  directrice,  est  du  second  degré.  L'inter- 
section de  ces  deux  cônes  se  compose  de  la  cubique  et  de  la  droite  AB.  Il 
résulte  immédiatement  de  là  qu'une  cubique  gauche  est  déterminée  par  six 
points  A,  B,  C,  D,  E,  F  ;  car,  le  cône  du  second  ordre  de  sommet  A  ayant  pour 
génératrices  les  droites  AB,  AC,  AD,  AE,  AF,  et  le  cône  du  second  degré  de 
sommet  B  et  ayant  pour  génératrices  BA,  BG,  BD,  BE,  BF,  sont  évidemment 
déterminés,  attendu  que  chacun  d'eux  a  un  sommet  donné  et  pour  directrice 
la  conique  passant  par  les  cinq  points  d'intersection  d'un  plan  avec  les  cinq 
génératrices  données. 

EXERCICES. 

1.  Couper  la  surface  définie  par  l'équation 

^2  yi  z"- 

^-^  6? +  c-^  -'=="' 

par  un  plan  passant  par  l'origine  de  manière  que  la  section  soit  un  cercle. 

2.  Même  question  pour  les  surfaces  représentées  par  les  équations 

X"'  j2  ^2   ^ 

a'-        b-        c'^ 

3.  Déterminer,  dans  ce  dernier  cas,  le  plan  sécant  de  façon  que  la  section 
soit  une  hyperbole  équilatère  ou  deux  droites. 

4.  Cherchez  les  plans  qui  coupent  la  première  surface  (n°  1),  suivant  une 
ellipse  d'aire  donnée. 

5.  Couper  la  surface,  ayant  pour  équation 

1 237  =  0, 

■  P  q 

par  un  plan  passant  par  l'origine  de  façon  que  la  section  soit  un  cercle. 
—  Pour  toutes  ces  questions,  appliquer  les  formules  d'Euler. 


PLAN   ET   LIGNE   DROITE.  4» 

6.  En  posant 

rt  =  cosO,         o)' =  sinO  situj^,         b  =  — sinOsincp, 
calculer  les  six  autres  cosinus  au  moyen  des  relations  fondamentales. 

7.  Prouver  que  les  neuf  cosinus  vérifient  l'équation 

(Jacob[.) 

8.  Prouver  que  les  neuf  cosinus  vérifient  l'équation 

i5m*-T-(r  — 5)2+  (r'  —  s')^-h  (r"— s" )^'+-  \pq  =  o, 
où  l'on  a  posé 

p  =  ab'  c'  -^  a'  b"  c  +  a"  bc\ 

r  =  ab'  b"  ■+■  a  b"  b  -\-  a  bb' , 

r'  =  bc'c"  -+-  b'  c"c  -+-  b"  ce  , 

/■*=  ca'a"  -+-  c' a" a  -\-  c" aa' , 

q  =  a6"c'  -f-  a' 6c"  -(-  a'bc', 

s  =  ac'  a"  -h  o!  c"  c  -H  a"  ce' , 

s'  =  ba' a"  ■+■  b' a" a  -\-  b" aa' , 

s"=zcb'b"  +  c-'^'ô  +  c'^ô'.  (J.vcoBi.) 

Les  axes  sont  supposés  rectangulaires. 


CHAPITRE  m. 

PLAN  ET  LIGNE  DROITE. 


Du  plan. 


47.  L'équation  du  plan  est  du  premier  degré.  —  Considérons 
un  plan  quelconque  P  {^fig.  i8)  et  soient  0.r,  Oy,  Os  trois  axes  de 
coordonnées.  Sur  la  perpendiculaire  N'N,  menée  par  l'origine  à  ce 
plan,  nous  choisirons  un  sens  positif,  ON,  et  nous  désignerons  par 
a,  ^,  Y  les  angles  que  la  demi-droite  ON  fait  avec  O  j;,  Oj',  O;;  res- 


42  CHAPITRE    III. 

peclivenient.  Soit  H  le  point  de  rencontre  du  plan  P  et  de  la  droite 
N'N;  nous  appellerons  p  le  segment  OH  compté  avec  le   signe  + 

si  H  est  sur  la  demi-droite  ON, 
avec  le  signe  — ,  si  ce  point  est 
sur  la  demi-droite  ON';  on  peut 
remarquer  que  /?,  a,  [3,  y  sont  les 
coordonnées  polaires  du  point  H. 
Le  plan  P  est  complètement  dé- 
terminé si  le  point  H  est  connu. 
Cela  posé,  soient  M  un  point 
quelconque,  Xq,  jKo,  ^o  ses  coor- 
données; la  perpendiculaire  abais- 
sée de  M  surle  plan  Prencontre  ce 
plan  en  un  point  R,  et  nous  dési- 
gnerons par  t/la  mesure  algébrique 
du  segment  RM,  d  étant  positif  quand  RM  a  le  même  sens  que  ON, 


négatif  dans  le  cas  contraire.  Si  l'on  projette  sur  l'axe  W^  les  deux 
contours  équivalents  OPQM  et  OHRM,  on  obtient       ^  ^ 


d'où  l'on  tire 

(I) 


Xq  cosa  -^ yo  cos  ^  -4-  -So  oosy  =  p  -\-  d, 


d  =^  x^  cos  a  -1-  j'o  cos  ^  -f-  -Sq  cos  y 


Pour  que  le  point  M  soit  dans  le  plan  P,  il  faut  et  il  suffît  que 
d  =  o\  donc  l'équation  du  plan  P  est 


(•^) 


X  cosa  -\- y  cos  [i  +  5  cos  y  — p  =  o, 


ce  qui  prouve  que  l'équation  d'un  plan  quelconque  en  coordonnées 
reclilignes  est  du  premier  degré. 

48.   Réciproquement,  toute  équation  du  premier  degré 

(3)  A^+Bj'  +  G5  +  D  =  o 

représente  un  plan.  En  effet,  on  peut  déterminer  des  angles  a,  [i,  y 
et  une  longueur  ayant  pour  mesure  algébrique/?,  tels  que  l'équation 
(2)  soit  équivalente  à  l'équation  (3).  Pour  qu'il  en  soit  ainsi,  il  faut 
déterminer  X  de  façon  que 

cosa=XA,         cosp  =  XB,         cosy  =  XG,        —  p  —  ID; 


PLAN   ET    LIGNE   DROITE.  4^ 

mais  pour  que  cosa,  cos[3,  cosy  soient  les  cosinus  directeurs  d'une 
denii-dioile,  il  faut  et  il  suffit  que 

X2F(A,  B,  G)  =  oj2, 

ce  qui  donne,  en  posant  R-=:  F(A,  B,  C), 


X=s^        (.  =  ±0. 


et,  ensuite, 


,    ^  A(o  -  Bco  Go)  Dto 

(4)       COSa=£--,  COSp=£— ,  COSY  =  £— ,  —p  =  z  — 


Si  les  axes  sont  rectangulaires,  co  =  i ,  R  =+ y/A=^+ B-4- C^. 
Dans  le  cas  général  nous  supposerons  toujours  w  >  o,  ainsi  que 
cela  a  été  dit  plus  haut. 

Il  convient  de  remarquer  que  les  deux  déterminations  de  e  cor- 
respondent à  un  même  plan  ;  car  supposons  que  ON  corresponde  à 
s  4-  I ,  la  demi-droite  opposée  ON'  correspond  alors  à  s  =  —  i  ;  mais 
comme,  en  passant  du  premier  cas  au  second,/?  change  de  signe  sans 
changer  de  valeur  absolue,  on  obtient  le  même  point  H  et,  par 
suite,  le  même  plan  P,  dans  les  deux  cas.  L'équation  (2)  est  donc 
l'équation  d'un  plan  déterminé. 

Remarquons  que  l'équation  (3)  renferme  trois  paramètres.  Il 
faudra  donc  trois  conditions  pour  déterminer  un  plan. 

4-9.  Cas  particuliers.  —  Si  le  plan  P  passe  par  l'origine,  /?  =  o  j 
son  équation  ne  contient  pas  de  terme  constant. 

Si  p  varie  seul,  le  plan  P  se  déplace  parallèlement  à  lui-même. 

D'après  cela 

X cos a  -Hj'cos^  -f-5  cos y  =  o 

représente  le  plan  mené  par  l'origine  parallèlement  au  plan  défini 
par  l'équation  (i). 

De  même 

Ax-^  îiy  -+-Cz  —  o 
et 

A  a"  ^-  Hy  -H  G  5  -t-  D  =  o 

représentent  deux  plans  parallèles,  le  premier  passant  par  l'origine. 

L'équation 

X  —  Xo+y  cos  V  +  ^  cos  [x  =  o 


44  CHAPITRE    III. 

est  celle  du  plan  perpendiculaire  à  l'axe  des  x,   mené  par  le  point 

(^0,  o,  o). 
Pareillement 

X  cosv  -\-y  — jKo  +  -S  cosX  —  o 

représente  le  plan  perpendiculaire  à  Oy  menée  par  le  point  (o,  yo?  o)- 
Il  en  résulte  que  les  équations 

57 -4-JK  cosv  +  2  COS  tx  =  o. 

X  ç,i^?,^> -\- y -\- z  ç.o'àX  =o 

sont  celles  de  la  perpendiculaire  au  plaa  xOy  menée  par  l'origine. 
La  perpendiculaire  au  même  plan  menée  par  le  point  Xq,  y^,  Zq  a 
donc  pour  équations 

X  —  Xo-h  (y  —yo)  cosv  -f-  (z  —  ^o)  cos|Ji  =  o, 
(x  —  Xo)  cosv-t-jK  — y^  -h  (z  —  ^o)  cosX  =  o. 

50.   Résolution  de  l'inégalité  A.x  +  Bj-  -f-Cs-f-D^o  ou  <Co. 

—  Posons  P  =  Ax  -}-  By  -h  C  z  ^D  ;  Pq  =  A^o  +  Bj'o  +  C5o+D. 
Nous  dirons  que  le  pol^'nome  P  prend  la  valeur  Po  au  point  M  ayant 
pour  coordonnées  Xq,  y^,  z^.  Si  l'on  suppose,  par  exemple,  C  ^z^  o, 
la  parallèle  à  l'axe  des  z  menée  par  M  rencontre  le  plan  P  ayant 
pour  équation  P  =  o  en  un  point  R(^05  J'o? -^i)  6t  le  P^^^^  -^0/ 
au   point  Q_{x,),  y^,  o).  On  a 

D'autre  part,  RM=  QM  —  QR  =  ."o  —  ^, ,  donc  Po  =  C  xRM; 
par  conséquent,  Pq  a  le  signe  du  segment  RM  si  C  >>  o,  le  signe  de 

—  RM  si  C<o. 

Le  plan  P  partage  l'espace  en  deux  régions  ;  il  est  évident  que,  si  le 
segment  RM  est  positif,  il  en  sera  de  même  pour  tous  les  points 
situés  du  même  côté  que  M  par  rapport  au  plan,  et  nous  appellerons 
la  région  qui  contient  tous  ces  points  la  région  des  z  positifs; 
l'autre  région  sera  celle  des  z  négatifs.  On  voit  par  ce  qui  précède 
que  le  polynôme  P  prend  un  signe  déterminé  dans  l'une  de  ces  ré- 
gions et  le  signe  contraire  dans  l'autre. 

Nous  appellerons  région  positive  celle  dans  laquelle  le  polynôme  P 
est  positif,  et  région  négative  celle  dans  laquelle  P  est  négatif.  Si 


PLAN    ET    IJGNK    DROITK.  45 

C  >  o,  la  région  positive  est  celle  des  z  positifs  ;  si  C  <  o,  c'est  celle 
des  z  négatifs. 

Pareillement,  si  A  >  o,  la  région  positive  est  encore  celle  des  x 
positifs,  et  si  B>»  o,  c'est  aussi  celle  des  y  positifs. 

Lorsque  le  coefficient  D  est  différent  de  zéro,  on  peut  remarquer 
aussi  qu'à  l'origine  le  polynôme  P  a  le  signe  de  D;  donc  si  D  >  o, 
la  région  positive  est  celle  qui  comprend  l'origine,  et,  si  D  <!  o,  c'est 
au  contraire  celle  qui  ne  la  comprend  pas. 


51.  Application.  —  Prenons  sur  la  demi-perpendiculaire  ON 
(y?^.  19)  au  plan  P,  menée  par  l'origine,  un  point  M (^,,  jK(,  ^i),  et 
soit  /  la  valeur  absolue  du  segment  OM;  si 
l'on  appelle  a,  [3,  y  les  angles  de  OM  avec 
Ox,  Oj,  Oz,  on  sait  que 

X,  cosa  -t-^i  cos^  -^  Zi  cosY  =  l; 

donc,  en  conservant  les  notations  du  n°  48, 
on  trouve,  en  vertu  des  équations  (4), 


P,  =  £ 


/R 


11  en  résulte  que,  si  la  longueur  l  est 
suffisamment  grande,  P,  a  le  signe  de  s. 
Par  conséquent,  si  e  =  H-  i ,  un  point  M,  pris  sur  ON  à  une  distance 
suffisamment  grande  de  l'origine,  est  dans  la  région  positive  du 
plan  P;  si  s  =  —  i,  il  est  dans  la  région  négative.  A  cause  de  ce 
résultat,  nous  appellerons  demi-normale  positive  du  plan  P  celle 
qui  correspond  à  £  =  -t-  i ,  et  demi-normale  négative  celle  qui  cor- 
respond à  £  =  —  I . 


1.  Distance  d'un  point  à  un  plan  défini  par  son  équation. 


Soit 


kx  -\-^y  -\-Oz-^D  —  o 


l'équation  d'un  plan.  L'équation  (i),  si  l'on  lient  compte  des  for- 
mules (4),  devient 

,          A:r„-|- B;'o+ Czn+ D 
a  —  z ■ — n w. 


46  CHAPITRE    m. 

Dans  celle  formule,  d  a  une  signification  précise  qui  a  élé  définie 
plus  haut. 

Quelle  que  soit  la  détermination  choisie  pour  e,  la  formule  attri- 
bue un  signe  pour  les  valeurs  de  d  qui  correspondent  aux  points 
situés  d'un  côté  de  la  droite,  et  le  signe  contraire  pour  les  points 
situés  de  l'autre  côté.  On  peut  choisir  s  de  façon  que  d  soit  positif 
pour  une  région  désignée  à  l'avance.  Ainsi,  en  prenant  £=r  +  i, 
f/ est  positif  pour  tous  les  points  situés  dans  la  région  positive. 

Il  est  superflu  d'ajouter  que,  si  l'on  veut  la  valeur  absolue  de  la 
distance,  il  faut  donner  à  £  le  signe  de  P,,. 

53.  Equations  des  plans  bissecteurs  d'un  dièdre.  —  Soient 
P  ^  o,  Q  =  o  les  équations  de  deux  plans  ^  le  lieu  des  points  égale- 
ment distants  de  ces  deux  plans  est  défini  par  les  équations 

R       ~  IV 

Q  désignant  le  polynôme  A'^r  +  B'y  +  0'^+ D'  et  R' désignant 
y/F  (A',  B',  C)  si  les  axes  sont  obliques,  v/A'^+  B'^-j-  G'-  s'ils  sont 
rectangulaires. 

54.  Conditions  pour  que  deux  plans  soient  parallèles.  —  Pour 
que  deux  plans,  ayant  respectivement  pour  équations 

Aa?  4- BjK-(- Gs -+- D  =  o,         AV -f- B'jK-1- G'j -H  D'  =  o 

soient  parallèles,  il  faut  et  il  suffit  que  les  perpendiculaires  à  ces 
plans,  menées  par  l'origine,  soient  parallèles;  or,  les  cosinus  direc- 
teurs de  ces  droites  sont  respectivement  proportionnels  à  A,  B,  G  et 
à  A',  B',  G';  les  conditions  demandées  sont  donc 

A  _  B  _  G 
A'  ~  B'  ~  G'* 

On  peut  encore  remarquer  que  les  plans  parallèles  respective- 
ment aux  plans  donnés  et  menés  par  l'origine,  ont  pour  équations 

kx -^-By -\- QiZ  —  o,        k' X -\-B'y -\- C  z  =  o. 

Ces  plans  doivent  coïncider,  si  l'on  veut  que  les  plans  donnés 
soient  parallèles. 


A 
A' 

B 
~  B' 

et 

B        G 

B'  ~"  G'  ' 

A 

B 

G 

A'  ^ 

'  B'  " 

"  G'* 

PLAN    ET    LIGNE    DROITE.  Ùq 

55.  Application.  —  Les  inlcrseclions  de  deux  plans  parallèles  par  un  troi- 
sième sont  des  droites  parallèles.  On  peut  le  vérifier  en  prenant  le  plan  sé- 
cant pour  plan  des  a?,  y.  Dans  ce  plan,  les  traces  des  plans  ont  pour  équations 

Aa?  +  Bj -+- D^  =  o,         A'a7 -h  B'j' -4- D'^  =  o, 

ce  sont  des  droites  parallèles,  puisque  les  coefficients  de  ces  équations  sont 
proportionnels  par  hypothèse. 

Réciproquement,  si  en  coupant  deux  plans  par  deux  autres  plans  non 
parallèles,  on  obtient  dans  chaque  cas  des  intersections  parallèles,  les 
deux  plans  donnés  sont  parallèles. 

Supposons,  en  effet,  que  les  deux  plans  sécants  soient  le  plan  xOy  et  le 
plan  yO z;  on  suppose 


donc 


56.  Equation  générale  des  plans  parallèles  à  un  plan  donné. 
—  Si  le  plan  donné  a  pour  équation  P  :=  o,  l'équation  cherchée  est 
P  + A=:  o,  \  désignant  un  paramètre  arbitraire. 

57.  Equation  du  plan  passant  par  un  point  et  parallèle  à 
un  plan.  —  Soient  x' ,  y' ,  ::!  les  coordonnées  du  point  donné  et 
A.r  4- BjK  +  C:; +D  =  o  l'équation  du  plan  donné;  l'équation  cher- 
chée est  de  la  forme  Kx  +  Bj^  +  G  :;  +  )v  =  o  ;  on  détermine  X  par 
la  condition  que  cette  équation  soit  vérifiée  pour  x  =^  x' .^  y  ■=  y' ^ 
;;  =  c';  on  obtient  ainsi  l'équation 

A(^— a;')  +  B(j' — y  ) -h  G(- —  2')  =  o. 

Angle  de  deux  plans   {axes  rectangulaires). 

58.  Soient  Ao:  +  BjK  +  C 3  +  D  =  o,  A'x  +  B'j  -h  C'^  +  D'=  o 
les  équations  de  deux  plans.  L'angle  V  des  normales  à  ces  plans  est 
donné  par  la  formule 

,  AA'-i-BB'  +  GG' 
COSV  =  ££    ^, , 

R  =+y/Â2-+-B2-HG2,        R'=  +  v/A'*-hB'2-i-G'». 


48  CllAIMTRR    m. 

Si  £  =  s',  V  désigne  l'angle  de  deux  demi-normales  de  même  signe  ^ 
si  £  =  —  e',  c'est  l'angle  de  deux  demi-normales  de  signes  con- 
traires. 

Condition  d'ortliogonalité  :  AA'-i-  BB'-h  CC  ==  o. 
Axes  obliques.  —  Quand  les  axes  sont  obliques 


cosV  =  - 


B' 


dF 


G' 


dF 


•■*  v/F(A,  B,  G)F(A',B',G') 

et  la  condition  d'orthogonalilé  est 

.,dF       ^.dF^^,dF 
^  ^-"^  c)B-^^  JC="- 


59.  Équation  du  plan  passant  par  trois  points  Mj,  M^,   M3.  —  Gette 
équation  est  évidemment 

X      y      z  i 

Xi     jKi      -I  I 

Xî    y.     .-,  1 

x-i    y-i    -3  I 

On  voit  que  le  coefficient  de  x  ne  peut  être  nul  que  si  les  projections  des 

trois  points  sur  le  plan  j'Oz  sont  en  ligne  droite,  les  projections  étant  faites 

parallèlement  à  Oa?;  remarque  analogue  pour  les  coefficients  A^  y  ou  de  z. 

Donc  cette  équation  est  bien  du  premier  degré  si  les  trois  points  donnés  ne 

sont  pas  en  ligne   droite.    Si,    au    contraire,   ces  trois   points  sont  en  ligne 

,      .                                                                               a^i  +  X.r,      ri-t-Xva     -Si  +  ^^-o 
droite,  on   peut   remplacer  x-^,  j'3,   ;;3    par — ■ -,  ~ .^- ,  r — ; 

I  —H  K  1  — l—  A  I  —1—  À 

alors,  en  multipliant  les  éléments  de  la  dernière  ligne  du  déterminant  par 
i-t-X,  on  voit  que  ce  déterminant  est  identiquement  nul.  Dans  ce  cas,  le 
plan  n'est  pas  déterminé. 

60.  Condition  pour  que  quatre  points  Mi  ^  Mg,  M3,  M4  soient 
dans  un  même  plan.  —  La  condition  demandée  est 


Xi  jKi  -1  1 

x^  y^  Zz  1 

■^3  JK3  -^3  1 

^4  J4  -4  I' 


61.   Equation  du  plan  coupant  les  axes  en  des  points  donnés. 
-  Soient  A(a,  o,  o),  B(o,  6,  o),  C(o,  o,  c)  les    traces  d'un  plan 


PLAN    ET    LIGNE    DROITE.  49 

sur  les  trois  axes;  l'équalion  de  ce  plan  est 

X        y 


,  .        —  I  =  o, 

abc 


SI    «,  b^   c   grandissent  indéfiniment,  le   plan   ABC   disparaît  à 
l'infini. 

Mais,  avec  des  coordonnées  homogènes,  l'équation  du  plan  ABC  est 

abc 

Donc,  si  -  =  j-  =  -  =  o,  le  premier  membre  de  cette  équation  se 
réduit  à  —  t.   Or,   l'équation  d'un    plan   quelconque    étant  de   la 

forme 

kx-\-'Ry-\-Q.z-^Y)t  =  o, 

nous  conviendrons  de  dire  que  l'équalion  i  =  o,  étant  du  premier 
degré,  représente  un  plan;  d'autre  part,  si  un  point  M  a  pour 
coordonnées  homogènes  x,y,  z,  f,  la  condition  ^  =  o  exprime  que  le 
point  M  est  à  l'infini.  Nous  dirons  donc,  en  vertu  de  la  convention 
que  nous  venons  de  faire,  que  tous  les  points  à  l'infini  sont  dans  un 
même  ip\anjictif,  nommé  plan  de  l  infini. 

62.  Équation  générale  des  plans  passant  par  V intersection 
de  deux  plans  donnés.  —  Soient  P  =  o,  Q  ^  o  les  équations  des 
deux  plans  donnés.  L'équation  demandée  est 

(i)  aP4-pQ  =  o. 

En  effet,  cette  équation  représente,  quelles  que  soient  les  valeurs 
de  a  et  ^,  un  plan  passant  par  l'intersection  des  plans  donnés  et 
si  x\  y\  z'  sont  les  coordonnées  d'un  point  pris  dans  l'un  quel- 
conque R  des  plans  passant  par  cette  intersection,  l'équation 

(2)  PQ'_QP'  =  0 

représente  un  plan  qui  coïncide  avec  R;  donc,  en  donnant  à  a  et  ^ 
des  valeurs  convenables,  l'équation  (i)  représente  tel  plan,  passant 
par  rintersection  des  plans  donnés,  que  l'on  veut. 
On  peut  remplacer  l'équation  (i)  par  l'équation 

P-hXQ  =0. 

NiEWENQLOWSKI.  —  G.  an.,  III.  4 


5o  CHAPITRE    III. 

Remarque.  —  Si  P  =  o,  Q  ^  o  représentent  deux  plans  paral- 
lèles, l'équation  (i)  représente  tous  les  plans  parallèles  au  plan  P. 

63.  Application.  —  Mener  par  une  droite  un  plan  perpendiculaire  à 
un  plan  donné.  —  Soient 

kx  -^-^  y  -\-  ClZ  =  0 
l'équation  du  plan  donné  et 

k' X  H-  B' j  -+-  G':;  -(-  D'  =  o,         A".r  -t-  \S" y  -t-  G" 3  -f-  D "  =  o 

les  équations  de  la  droite  donnée.   Un  plan  passant  par  cette  droite   a   pour 
équation 

(  A'  +  X  A"  )  ^  -t-  (  B'  -f-  X  ^")y  +  (  G'  -t-  G"  )  3  -+-  D'  4-  X  D"  =  o  ; 

ce  plan  est  perpendiculaire  au  premier  si 

A(  A'-4- XA") -+- B(B'-4- XB")  4- G(G'-+- XG")  =  o. 

64.  Equation  du  plan  passant  par  un  point  et  par  V  intersec- 
tion de  deux  plans.  —  L'équation  (2)  résout  la  question. 

Application.  —  L'équation 

(AD'  — DA')^+(BD'— DB')7+(GD'— DG')  z  =  o 

représente  le  plan  passant  par  l'origine  et  par  l'intersection  des  pians  ayant 
respectivement  pour  équations 

kx  -+-  Yiy  -t-  G;  -f-  D  =  o.         k' X -^  B'r  -+-  G'ô  -h  D'  =  o. 

65.  Intersection  de  trois  plans.  —  Soient 

Aa?  -h  B_/  -i- G  -  -4- D  =  o, 

A'a;  H- B'j  +  G' 5  +  D' =  o, 
A"^  -H  B>  -f-  G"^  -H  D"  =r  o 

les  équations  de  trois   plans.  Appelons  A  le  déterminant  des  coeffi- 
cients des  coordonnées. 

Premier  cas  .•  A  ^o.  —  Les  équations  ont  une  solution  unique  : 
les  trois  plans  ont  un  point  commun  à  distance  finie;  ils  forment  un 
ttièdre. 

Deuxième  cas:ÙL  =  o.  — L'un  des  mineurs  du  second  degré, 
par  exemple  AB' — BA'^o.  Soit  A,  le  caractéristique  correspon- 


PLAN    KT    LIGNE    DROITE.  5l 

danl,  c"csl-ù-dire 


A,  = 


A 
A' 

A" 


B 

I) 

H' 

D' 

B" 

D" 

(a)  A,  ^o.  —  Les  deux  premiers  plans  se  coupent  et  le  Iroi- 
sième  est  parallèle  à  leur  intersection  (il  peut  être  à  l'infini).  Dans 
ce  cas,  les  trois  plans  n'ont  aucun  point  commun;  ils  forment  une 
surface  prismatique,  ce  qui  revient  à  dire  qu'ils  sont  parallèles  à  une 
même  droite.  On  peut  dire,  dans  ce  cas,  qu'ils  ont  un  point  com- 
mun à  l'infini. 

(b)  A,  =  o.  —  Le  troisième  plan  passe  par  l'intersection  des  deux 
premiers;  en  d'autres  termes,  les  trois  plans  ont  une  droite  com- 
mune. 

Troisième  cas.  —  Les  mineurs  du  second  degré  de  A  sont  tous 
nuls  :  les  trois  plans  sont  parallèles;  mais  un  des  coefficients  de  x, 
y  ou  z,  par  exemple  A  ^  o. 

Il  j  a,  dans  ce  cas,  deux  caractéristiques  à  considérer. 

(rt)  L'un  au  moins  des  déterminants  AD' — DA'  ou  AD' — DA^^z^o. 
Les  trois  plans  sont  parallèles  et  non  confondus.  Ils  ont  une  droite 
commune  à  l'infini.  L'un  d'eux  peut  être  à  l'infini. 

{b)  AD'-DA'  =  o,  AD"-DA"  =  o.  —Les  trois  plans  sont 
confondus.  L'un  des  plans  peut  être  indéterminé. 

Quatrième  cas.  —  Les  coefficients  des  coordonnées  sont  tous 
nuls.  Dans  ce  cas  limite,  les  plans  sont  à  l'infini,  ou  l'un  d'eux,  ou 
deux  d'entre  eux,  ou  même  tous  les  trois  peuvent  être  indéter- 
minés. 

66.  Conditions  pour  que  trois  plans  aient  une  droite  com- 
mune. —  Ces  conditions  résultent  de  la  discussion  précédente,  mais 
on  peut  traiter  la  question  d'une  autre  manière  très  commode  à  ap- 
pliquer. En  effet,  pour  que  P=:o,  Q=:o,R  =  o  représentent  trois 
plans  ayant  une  droite  commune,  il  faut  et  il  suffit  qu'il  existe  des 
constantes  a,  ^,  y  non  nulles  et  telles  que 

a  P  -»-  ^  Q  +  Y  R  =  o. 

En  effet,  si  le  plan  U  [)assc  par  l'intersection  des  plans  P,  Q,  on 


52       •  CUAPITIJE    m. 

peut  déterminer  a  et  ^  tels  que  l'équation  aP  +  jj  Q  ^  o  représente 
le  plan  R  :  donc  il  y  a  une  constante  — y,  telle  que 

—  YRE=aP-i-pQ. 

Réciproquement,  si  l'identité  précédente  est  vérifiée,  le  plan  R 
passe  par  l'intersection  des  plans  P,  Q. 

Il  convient  de  remarquer  que  si  l'une  des  constantes,  a  par 
exemple,  était  nulle,  l'identité  [3  Q  +  yR^  o  ou  [3Q  ^  —  yR  expri- 
merait que  les  deux  plans  Q,  R  sont  confondus. 

Il  importe  encore  de  remarquer  que  la  droite  commune  aux  plans 
P,  Q,  R  peut  être  à  l'infini. 

Les  conditions  A  ^  o,  A,  ^  o  conduisent  d'ailleurs  à  la  même  pro- 
position. 

67.  Application.  —  Considérons  un  trièdre  Oxyz;  les  équations 

^  +  JKcosv-t-5  cosfji.  =  0,        X  cos^i  -\-  y  -{-  z  cosX  =  o 

représentent  la  perpendiculaire  au  plan  xOy  menée  par  l'origine;  en  élimi- 
nant z,  on  obtient 

a7(cosA  —  cos  [j.  cosv)  — y  (cosix  —  cosX  cosv  )  =o. 


CCS  A  cosB 

sin] 


X  -7-^  —y 


Celte  équation  représente  le  plan  mené  par  O^  et  perpendiculaire  au  plan 
xOy't  de  môme  les  plans  menés  par  chacune  des  deux  autres  arêtes  et  per- 
pendiculaires à  la  face  opposée,  ont  pour  équations 

cos  B  cosC 

y  —. z  -. —  =  o, 

sinfji.  sinv 

cosC  cos  A 

z  —. —  X  —. — ^  =  o. 

sinv  sinA 

La  somme  des  premiers  membres  de  ces  trois  équations  étant  nulle,  les 
trois  plans  se  coupent;  la  ligne  d'intersection  commune  est  définie  par  les 
équations 

a^cosA  _  jKcosB       ^cosC 
sinX  sinjj.        ,     sinv 

On  retrouve  ainsi  une  propriété,  bien  connue,  des  trièdres. 

68.  Remarque.  —  Pour  exprimer  que  trois  plans  sont  parallèles  à  une 
même  droite,  il  suffit  d'exprimer  que  les  plans  parallèles  respectivement  aux 


PLAN    ET    LIGNE    DROITE.  53 

plans  donnés  el  menés  par  l'origine  des  coordonnées  ont  une  droite  com- 
mune, ce  qui  revient  à  dire  que  les  équations 

Xx  -hBy-hCz  =  o,        A'a^-+-B>-f-G's=o,         A"x -^  By -h  C  z  =o 

ont  des  solutions  autres  que  zéro.  La  condition  est  donc  A  =o. 

69.  Exprimer    que  quatre  plans   ont  un  point   commun.  — 

Soient 

P,  =  A^  -1-  B^  -hCz  -i-Dt  =  o, 

p-i  =z  A'x  -+■  ny  -+-  c'z  -f-  D't  =  o, 

P3  =  A":r  -+-  B>  +  C"z  -hï)"t=  o, 

\\  =  A"'cc-^  ny  +  c"'z  -+-  D"'t  =  o 

les  équations  des  quatre  plans  donnés.  Pour  que  ces  plans  aient  un 
point  commun  à  distance  finie  ou  infinie,  il  faut  et  il  suffit  que  les 
équations  précédentes  aient  une  solution  autre  que  zéro.  Donc  la 
condition  est  que  le  déterminant  des  coefficients  de  x,y,  z^  t  soit 
nul.  Si  l'on  veut  que  les  plans  aient  un  point  commun  à  distance 
finie,  il  faut  en  outre  que  Fun  au  moins  des  mineurs  formés  avec  les 
coefficients  de  :r,  jk,  z  soit  différent  de  zéro. 

Dire  que  le  déterminant  complet  est  nul,  c'est  dire  qu'il  existe 
des  nombres  a,  |^,  v,  3  non  tous  nuls  et  tels  que 

aPi+!3P2-^YP3-t-oP4==o. 

Si  l'un  des  coefficients,  par  exemple  y,  est  nul,  les  plans  Pj ,  Pg,  P4 
ont  une  droite  commune,  comme  nous  l'avons  vu. 

70.  Etant  donnés  quatre  polynômes  distincts  P, ,  Po,  P3,  P.,, 
l'équation  d'un  plan  quelconque  peut  se  mettre  sous  la  forme 

aP,  -H^Pî-f-cPs-i-i^Pi  =  0. 

On  peut,  en  effet,  déterminer  a,  b,  c,  d  de  façon  que 
ux  +  vy-^wz-hrt^aPi  -h  bP2-i-  cP^  -^  dP^. 

En  égalant  les  coefficients  des  mêmes  variables  on  obtient,  pour 
déterminer  a,  b,  c,  d,  quatre  équations  linéaires  dont  le  détermi- 
nant est  différent  de  zéro,  par  hypothèse. 

En  particulier,  ÀP,  +  ^P.,  -i- v  P;,  =  o  est  l'équation  générale  des 
plans  menés  par  le  point  commun  aux  trois  plans  P,,  P^,  P,!- 


CHAPITRE    m. 


Coordonnées   tétraédriques. 

71.  Supposons  que  P,  =o,  1*2  =  0)  r*3  =  o,  P/,  =  o  soient  les  équa- 
tions des  quatre  faces  d'un  tétraèdre.  A  tout  point  {x,y^  z,  t)  cor- 
respond un  système  de  valeurs  proportionnelles  de  P(,  P2,  P3,  P4,  et 
réciproquement,  si  Pi,  P2,  P3,  P/,  sont  proportionnels  à  des  nombres 
donnés;  x,y^  z,  t  sont  aussi  proportionnels  à  des  nombres  détermi- 
nés. On  peut  donc  dire  que  le  point  {£C,y,  z,  t)  a  pour  coordonnées 
tétraédriques  P,,  P2,  P3,  P.,. 

En  appelant  a,  ^,  y,  8  les  distances  d'un  point  M  aux  quatre  faces 
du  tétraèdre,  on  voit,  comme  en  Géométrie  plane,  que  les  fonctions 
linéaires  P,,  Pg,  P3,  P/,  des  coordonnées  de  M  sont  égales  à  la,  a[i^ 
vy,  où]  X,  a.,  V,  p  étant  des  constantes  arbitraires  :  si  ).  =  [x  :=  v  =  p, 
on  a  ce  qu'on  appelle  les  coordonnées  tétraédriques  normales.  Si 
l'on  nomme  «,  b,  c,  d  les  aires  des  faces  du  tétraèdre  ABCD,  il  y  a 
entre  a,  p,  y,  S  une  relation 

aa+ip-i-cv  +  o^ô  =  3V, 

V  étant  le  volume  du  tétraèdre;  cette  relation  est  générale  si  l'on 
attribue  à  a,  p,  y,  0  des  signes  convenables,  cboisissant  le  signe  -h 
pour  tout  point  à  l'intérieur  du  tétraèdre,  ce  signe  changeant  pour  a, 
par  exemple,  quand  le  point  M  traverse  le  plan  BCD,  dont  l'équa- 
tion est  a  =  o.  Le  plan  de  l'infini  a  pour  équation 

a%  -\-  b*^  -\-  c^  -^  do  =  0. 

Plus  généralement  on  peut  supposer  que  P,,  P2,  P3,  P^  désignent 
quatre  polynômes  homogènes  distincts  à  coefficients  réels  ou  imagi- 
naires. 

Expression  du  volume  d'un  tétraèdre  en  fonction  des  coordonnées 

de  ses  sommets. 

72.  La  méthode  que  nous  allons  suivre,  comme  celle  relative  à 
l'aire  d'un  triangle  en  Géométrie  plane,  est  due  à  E.  Lucas. 

Considérons  un  tétraèdre  ayant  pour  sommets  les  points  A,  B,  C, 
D^  nous  représenterons  par  le  symbole  ABCD  la  mesure  du  volume 
de  ce  tétraèdre,  affectée  du  signe  H-  ou  du  signe  — ,  conformément  à 
la  convention  suivante. 


PLAN    ET    LIGNE    DROITE.  55 

Si  un  observateur  placé  les  pieds  en  A,  la  tête  en  B,  regarde  le  seg- 
ment CD,  il  peut  arriver  que  G  soit  à  sa  gauche  et  D  à  sa  droite  ou 
inversement  (en  admettant,  bien  entendu,  que  AB  et  CD  ne  soient  pas 
dans  un  même  plan).  Dans  le  premier  cas,  on  vérifie  aisément  qu'un 
observateur  ayant  les  pieds  en  C  et  la  lôte  en  D,  et  regardant  AB, 
verra  A  à  sa  gauche  et  B  à  sa  droite,  et  cela  sera  le  contraire  dans  le 
second  cas.  Nous  dirons  pour  abréger,  dans  le  premier  cas,  que  le 
segment  CD  est  direct  par  rapport  à  AB  el,  dans  le  second  cas, 
que  CD  est  inverse.  Cela  étant,  ABCD  est  ailecté  du  signe  -\-  si  CD 
est  direct  par  rapport  à  AB  et  du  signe  —  dans  le  cas  contraire.  On 
reconnaît  facilement  que 

ABCD  =  —  ACBD  =  CABD . . . . 

Soient  o",,  j',,  c,  ;  x^,  lo,  z.>\  x-^^y-i,  z-^-.  x^^y^,  z-,  les  coordon- 
nées des  quatre  sommets  donnés,  et  soient  x-^,  y^,  Z:,,  ...,  ^g,  rg,  ^8 
les  coordonnées  de  quatre  autres  points  A',  B',  C,  D'.  Représen- 
tons par  (a,  p,  y,  o)  le  déterminant 

■^a     JKa     -^a 

^^   y^    ^p 

XI    yz     zi 

Si  l'on  remarque  que  le  rapport  des  distances  de  deux  points 
{xx,  y\,  z\)  et  (^a,  JKjXî  '-ii.)  a"  plan  défini  par  les  trois  points 
(•ÎPa,  ra,  -a),  (^p,  JKp,  -p),  (^Y'  .Ty'  ^y)  ^St  égal  à 

(î^-.  «,  p.  Y)' 
pourvu  que  les  distances  considérées  soient  regardées  comme  étant 
de  même  signe  ou  de  signes  contraires,  suivant  que  les  points  ()v)  et 
(a)  sont  d'un  même  côté  ou  de  côtés   différents  du  plan,  on  a  suc- 
cessivement, en  grandeur  et  signe, 

ABCD  ^  (1,  2,  3,  4) 

A'BCD  (5,2,3,4)' 

ABCD  _  (5,2,3,4) 

A'B'CD  ~  (5,6,3,4)' 

A'BXip  _  (5,6,3,4) 

A'B'CD  ~  (5,6,7,4)' 

A'B'CD  ^(5,6,7,4) 

A'B'CD'  (5,6,7,8)' 


56  ciuriTUE  m. 

d'où,  en  multipliant  membre  à  membre,  et  simplifiant, 

ABGD     _  (i,  2,3,4) 
A'B'G'D'  ~  (5,6,7,  8)' 

Appliquons  cette  formule  à  un  tétraèdre  dont  le  sommet  A'  soit 
sur  O^,  B'  sur  Oy,  G  sur  0^  et  D'  à  l'origine,  et  supposons 
^5  =  -h  I ,  j'c  =  +  I ,  ^7  =:  -t-  I ,  les  autres  coordonnées  de  A',  B',  C 
étant  nulles,  de  sorte  que,  les  demi-axes  positifs  des  coordonnées 
étant  orientés  de  façon  qu'un  observateur  placé  les  pieds  à  l'origine 
et  la  tête  en  un  point  du  demi-axe  positif  O^,  voie  Oa;  à  sa  gauche 
et  Oy  à  sa  droite,  on  aura  A'B'C'D'  =  —  ^w,  ce  qui  donne 


■'^i   yi 

ABGD=-iw 

^2       72 
^3       JS 

^4       74 

Remarque.  — Cette  formule  justifie  la  condition  trouvée  pour 
que  quatre  points  soient  dans  un  même  plan. 

Ligne  droite.         , 

73.  Une  ligne  droite  peut  être  considérée  comme  étant  l'inter- 
section de  deux  plans;  elle  sera  donc  définie  par  deux  équations  du 
premier  degré 

Aa^-i-Bj-t-G^-t-D  =o, 

A'a^  +  B> -+- G'^ -+- D' =  o. 

On  peut  déduire  de  ces  équations  celles  des  projections  sur  cha- 
cun des  plans  de  coordonnées  faites  parallèlement  aux  axes  ;  savoir 

(AB'—  BA')r  —  (GA'—  AG')2-+-  AD'—  DA'  =  o, 
(BG'— CB')^  _(A.B'— BA')a7-f-  BD'— DB'=o, 
(GA'— AG'):r  — (BG'—  GB')  j+ GD'— DG' =  o. 

Si  l'on  connaît  les  coordonnées  0:^,  yo,  z-o  d'un  point  de  la  droite 
considérée,  ces  équations  se  mettent  sous  la  forme  suivante 


(0 


,ro 


7—70 


BG— GB'        GA'  — AG'        AB— BA' 


PLAN    ET    LIGNE    DKOITE.  5y 

74.   On  oblient  directement  ces  équations  de  la  manière  suivante  : 

Soil  OC  (y?^.  20)  la  parallèle  à  la  droite  AB  menée  par  l'origine 
des  coordonnées,  cl  soient  x,y,  z  les  coordonnées  d'un  point  quel- 
conque M  de  la  droite  A13,  x^^  y^^,  z^  celles 
d'un  point  déterminé  A  pris  sur  la  même 
droite,  et  enfin  a,  b,  c  les  coordonnées 
d'un  point  quelconque  D  de  la  droite  OC. 

Les  projections  des  segments  parallèles 
AM,  OD  sur  un  axe  quelconque  étant  pro- 
portionnelles aux  longueurs  de  ces  seg- 
ments, et,  en  outre,  ces  projections  étant 
des  segments  de  même  sens  ou  de  sens 

contraires,  suivant  que  les  segments  AM 

et  OD  sont  eux-mêmes  de  même  sens  ou  de  sens  contraires,  on  a, 

en  généralisant  les  calculs  relatifs  au  plan  (I,  88), 


(2) 


X  —  .T„ 


.Yo        ^  —  -^0 


=  P. 


A  M 

p  désignant  la  mesure  algébrique  du  rapport  — ^,-  ?  ce  rapport  étant 

affecté  du  signe  +  ou  du  signe  — ,  suivant  que  AM  et  OD  sont  de 
même  sens  ou  de  sens  contraires.  D'après  cela,  si  le  paramètre  p 
varie  de  — ao  à  +  00,  le  point  M  décrit  la  droite  AB  tout  entière 
dans  le  sens  du  segment  OD. 

Les  coordonnées  du  point  M  sont  donc 


(3) 


a7  =  a"o+«p,      y=yo-^t>^. 


cp. 


Le  point  D  se  nomme  point  directeur  de  iVB;  on  peut  prendre 
pour  point  directeur  un  point  quelconque  de  OC. 

Les  coordonnées  a,  6,  c  se  nomment  les  paramètres  directeurs 
de  la  droite  AB,  On  peut  les  remplacer  par  des  quantités  propor- 
tionnelles; mais,  dans  ce  cas,  il  importe  de  remarquer  que  si  l'on 
écrit,  par  exemple, 


x  —  scq  _  y—yo 


'•, 


si  a,  p,  y  ne  sont  pas  des  coordonnées,  /•  n'est  plus  nécessairement 


58  CHAPITRE  in. 

un  nombre,  et  l'on  a  ;■  =  A  ■ ;  si  le  degfré  dhomoffénéilé  de  a  est 

OD  ^  ^ 

égal  à  n,  celui  de  T.,  c'est-à-dire  celui  de  r,  sera  i  —  n. 

Lorsque  l'on  prend  le  segment  OD  pour  unité  de  longueur,  p  est 
la  mesure  algébrique  du  segment  AM,  et  a,  b,  c,  coordonnées  du 
point  directeur  D,  situé  à  l'unité  de  distance  de  l'origine,  se  nom- 
ment les  paramètres  principaux  de  la  droite  AB. 

75.  Cas  particuliers.  —  i"  Supposons  que  la  droite  donnée  ren- 
contre le  plan  xOy  au    point  A(/?,  ^,  0)5   les  équations  de  cette 

droite  étant  alors 

z 

c 
on  en  tire 


X  — p 
a 

y 

-'7  _ 

b 

X  = 

a 

-z+p, 

b 

ou  bien 

(4)  x  =  mz-\-p,  y  —  nz  -^  q. 

Ces  équations,  qui  ne  renferment  que  quatre  paramètres,  m,  n,/?,  ^,  sont 
souvent  commodes  dans  la  résolution  des  problèmes. 

2°  Si  la  droite  est  parallèle  au  plan  x  Oj/",  elle  peut  être  évidemment 
représentée  par  des  équations  de  la  forme 

X  —  x<i       _V  —  Vo 

z  =  h,  ■ =  - — z-^ — 

a  0 

Il  suffit  de  supposer  dans  les  formules  générales  c  =  o,  z  =  h^ 

ce  qui  donne 

X  =  Xo+  ap,         y  —  y^-i-  bp,  z  =  h 

ou 

x  —  Tq  _y  —  jKn  ^z  —  h 
a  b  o      ' 

en  convenant  que,  si  le  dénominateur  d'un  des  rapports  est  nul,  on 
devra  annuler  aussi  son  numérateur. 
D'ailleurs  des  équations  (4)  on  tire 


Sil' 


on  pose 


X          p 

z  = — < 

m       m 

y  = 

n                   np 

—  X  -h  q '- 

ni           ^         m 

m         ' 

n 
m 

=  1, 

np 

q ==  V 

PLAN    ET    LIGNE    DUOITE.  69 

ol  si  l'on  suppose  que  h,  )v,  {jl  restant  fixes  on  fasse  croître  indéfini- 
ment m,  n,  p,  q,  on  obtient  à  la  limite,  pour  toute  valeur  finie  de  ^, 

ce  qui   montre  que  les  écpiations  (4)  sont  générales,   pourvu  qu'on 
attribue  aux  paramètres  des  valeurs  finies  ou  infinies. 

76.  Angle  de  deux  droites.  —  Les  équations  des  droites  A,  d' 
étant  données,  on  connaîtra  les  paramètres  directeurs  de  ces  droites 
ou,  tout  au  moins,  on  pourra  déduire  de  ces  équations  des  quan- 
tités proportionnelles  à  ces  paramètres;  on  pourra  donc  calculer  les 
angles  formés  par  les  parallèles  à  ces  droites  menées  par  l'origine 
des  coordonnées. 

Si  les  équations  des  deux  droites  sont 

a^  —  -rn   _  y—Vi)    _    Z  —  Zn  T  —  Tx    _  y—yi    _   Z  —  Zi 

abc  a'  b'  c' 

et  si  V  désigne  l'un  de  leurs  angles,  on  a,  par  exemple,  si  les  axes 
sont  rectangulaires, 

,r  ,  aa'  -\-  bb'  ■+  ce' 

COSV  =  ££    —; '  • 

Si  rt,  b,  c  sont  les  coordonnées  du  point  directeur  D  de  la  droite  A 
et  a  ,  />',  c'  celles  du  point  directeur  D'  de  A',  la  formule  précédente 
convient  à  l'angle  DOD',  si  s  =  s',  et  à  son  supplément,  si  s  = —  s'. 

On  a  ensuite 

{  bc' —cb' )'^-\-  (ca'  —  ac'  Y ^  {ab'  —  ba'Y 


sin2\ 


(a^-f-  62-1-  c2;(a'''-f-  b'-^-+-  c"^) 


Condition  d'ortliogoncdité  : 

aa  -{-  bb'  +  ce'  =  o. 
Conditions  de  parallélisme  : 

a  _  b       c 
a'        b'        c' 

11.  Remarque.  —  Quand  les  axes  sont  rectangulaires,  la  droite  menée 
par  l'origine  et  faisant  avec  les  axes  de  coordonnées  des  angles  a,  p,  y  a  pour 
équations 

^     ^     y     ^  __f 

ces  a        cos[J        cosy 


6o 


CHAPITUIÎ   m. 


Il  n'en  est  plus  de  même  si  les  axes  sont  obliques;  les  équations  de  cette 
droite  sont  alors 

or  -h y  cosv  -f-  z  ces  jx  _  a?  cosv  -h y  -i-  z  cosl  _  x  C09,ix  -{-y  cosX  -+-  z 
cosa  cos^  cosy 

78.  Déterminer  la  direction  d^ une  droite  orthogonale  à  deux 
droites  données  A,  A'.  —  Les  équations  des  deux  droites  A,  A' étant 
données,  on  connaît  les  j3aramètres  angulaires  de  ces  droites  : 
a,  ^,  c;  «',  h\  c'.  Soient  /,  m,  n  les  paramètres  d'une  droite  ortho- 
gonale à  A  et  à  A';  si  les  axes  sont  rectangulaires,  on  a 


d'où 


la  -4-  inb  -j-  ne  =  o, 
l 


la'  -i-  inb'  -\-  ne' 


bc'  —  cb' 


ab'  —  ba' 


et,  par  suite,  si  /,  m,  n  sont  les  paramètres  principaux, 


bc' —  cb' 
K       ■ 


ca  —  ac 


ab'  —ba' 


R 


en  faisant 


R  =  \/{bc' —  c6')^-H  {ca  —  ac')2_t-  {^ab' —  ba  )^ 


Si  l'on  suppose  les  points  directeurs  à  l'unité  de  distance,  R  est 
égal  à  sinV,  V  désignant  l'angle  aigu  ou  obtus  formé  par  les  paral- 
lèles aux  droites  A,  A',  menées  par  un  point  quelconque;  et  l'on  peut 
écrire 


1  = 


bc' —  cb' 
sin  V 


ca  —  ac 

m  =:  z  -. — 77 — , 


sin  V 


ab' —  ba' 
siu  V 


Il  est  facile  de  reconnaître  à  quelle  demi-droite  correspond  la  détermina- 
tion £  =-4-T.  Pour  cela,  soient  D  et  D'  les  points  directeurs  principaux  de 
A  et  de  A'  et  soit  A  le  point  ayant  pour  coordonnées  /,  m,  n.  Le  tétraèdre 
OADD'  a  pour  mesure 

l      m    n 

abc 
a'     b'     c' 


c'est-à-dire  -  e  sinV;  si  l'on  suppose  s  =  -i-i,  le  segment  OA  doit  être  dirigé 

de  façon  que  DD'  soit  direct  par  rapport  à  OA;  c'est-à-dire  qu'un  observa- 
teur placé  les  pieds  en  O,  la  tête  en  A,  verra  OD  à  sa  gauche  et  OD'  à  sa 
droite,  de  sorte  qu'une  rotation  d'angle  V  qui  amènerait  OD  en  OD'  doit  se 
faire  de  gauche  à  droite. 


PLAN    ET    LIGNE   DROITE.  6l 

Si  les  longueurs  OD,  OD'  n'étaient  pas  prises  pour  unité,  les  paramètres 
(litt'ctoiirs  principaux  de  la  normale  positive  OA  seraient 

bc' — cb'  ca' — ac'  _      ah' — ba' 

^  ODOD  sinV  '  '"  ^  ODOD'sinV  '  "  ^  ODOD'sinV  * 

79.  Équations  des  bissectrices  des  angles  formés  par  deux  droites 
concourantes.  —  Soient  D(a,  6,  c)  et  D'(a',  6',  c')  les  points  directeurs  de 
deux  droites  données  et  soit  D'j  le  symétrique  de  D'  par  rapport  à  l'origine 
des  coordonnées;  soit  E  le  quatrième  sommet  du  parallélogramme  construit 
sur  OD  et  OD'  et  soit  E'  le  quatrième  sommet  du  parallélogramme  construit 
sur  OD  et  OD'j  ;  les  coordonnées  de  ces  points  sont 

a-\-za',         b-\-zb',         c-{-zc'\ 

£  =  -\-\  correspondant  au  point  E  et  e  = — i  au  point  E'. 

Si  l'on  suppose  les  longueurs  OD  et  OD'  égales,  les  droites  OE  et  OE' sont 
les  bissectrices  des  angles  formés  par  OD  et  OD';  donc  si  les  points  D,  D'  sont 
supposés  à  des  distances  égales  de  l'origine,  les  bissectrices  des  droites  défi- 
nies par  les  équations 

X  —  X(i  _  y—,Vo  _  g  —  3o  x  —  xq  _  y~yo  _  j  — -sp 

abc  a'  b'  c' 

-int,  en  vertu  de  ce  qui  précède,  définies  par  les  équations 

X  —  Xq    _  J—Vq    __  ^  —  f  0  ^ 
a -t- sa'        b-+-zb'        c-i-zc' 

Si  les  points  D  et  D'  sont  à  des  distances  quelconques  de  l'origine,  les 
équations  des  bissectrices  sont 

X  —  Xo    _   JK— JKo    _     z  —  Zo 


a  a'       b  b'        c  c' 

^  -(-£■ 


en  posant 


R         R'       R         R'       R  R' 

R=:/K«,  6,  C),        R'  =  /'H«',  ^'.  c')- 
80.  Coordonnées  de  PliXcker. —  Les  équations  d'une  droite 


peuvent  s  écrire 


y—yp  _  z  —  zq 

b        ~~       c 


cy  —  bz  =  cyo  —  bzo, 
az  —  ex  =  azQ  —  cXq, 
bx  —  ay  =  bxQ  —  ay^. 


62  CHAPITRE    Iir. 

Si  l'on  pose 
de  sorte  que  a,  p,  y  sont  les  déterminants  déduits  du  tableau 


/y 


en  supprimant  successivement  chacune  des  colonnes,  les  équations  de  la 
droite  prennent  la  forme 

cy  —  bz  =  a, 

az  —  ex  =  p, 

bx  —  ay  =:  y. 

Ces  équations  sont  celles  des  projections  de  la  droite  sur  les  plans  de  coor- 
données. 

On  a  identiquement 

aa-i-6p-HCY  =  o. 

fl  suffit,  pour  déterminer  une  droite,  de  connaître  les  rapports  mutuels 
des  coordonnées  homogènes  «,  è,  c,  a,  p,  y  et,  comme  ces  paramètres  sont 
liés  par  l'équation  précédente,  on  voit  qu'il  n'y  a  en  réalité  que  quatre  para- 
mètres. 

Remarquons  immédiatement  que  l'équation 

a  37  +  ^y  -I-  Y  j  =  o 

est  vérifiée  par  les  coordonnées  de  tous  les  points  de  la  droite  considérée; 
c'est  donc  l'équation  du  plan  déterminé  par  l'origine  des  coordonnées  et  par 
cette  droite. 

Coordonnées  homogènes  de  la  droite  passant  par  deux  points.  —  Soient 
x\  y',  z'  et  x" ,  y" ,  z"  les  coordonnées  cartésiennes  de  deux  points  A,  B;  les 
équations  de  la  droite  AB  étant 


X  —  X 

x"~^J' 


y"— y 


on  voit  immédiatement  qu'on  peut  poser 


a.^=  X  —  X  , 

a=y'z"  —  z'y" 


b=y"-y\ 


T  =  '^>"  -  y^'' 


Coordonnées  homogènes  de  l'intersection  de  deux  plans.  —  Soient 

Ax  -{-  By  -+■  Cz  -+-D  =  o, 
A'x  +  B'v+C'z^D  =o 


les  équations  des  deux  plans  donnés.  En  éliminant  successivement  chacune 


PLAN    ET    LIGNE    DROITE. 

(les  variables  a",  y,  z  (73),  on  voit  qu'on  |)eut  poser 

a  =  BG'— GB',        ^»  =  GA'  — AC,         c  =  AB'-BA', 
a  =  DA'-AD',         p  =  DB'-BD',         y  =  DG  —  GD'. 

81.  Coordonnées  te'traédriques  d'une  droite.  —  Soient 

ificr  -+-  Viy  -H  M',z  -1-  r^t  —  o, 
UiX  -t-  i'iy  -h  ti^2  5  -jf  r-it  =  o 

les  équations  de  deux  plans  rapportés  à  un  tétraèdre  de  référence. 
Si  l'on  pose 


63 


/'l,î  =  (ifl^'i)    =  —P2,\,  Pl,3  =  ("l"'2)  =  —P3,l, 


Pl,i  =  («1  ''2)  =  —P*,ly 
PZ,3  =  (l'l»'2J  =  —/>.!, 2» 


(M,1>.,)  =   ,,,tv,  _,,,(',, 


etc. 


les  équations  des  plans  passant  par  la  droite  A,  intersection  des  deux  plans 
donnés,  et  par  les  sommets  du  tétraèdre  de  référence,  sont 

Pi,i7^Pi,3^  -^PiA^  =0' 

I  P3,l^  -^  P3,îr  ■+-P3,'J  =  0, 

[  />4,ia7-f-/j.,27-f-/'i,3-  =0. 

Les  quantités /?i_2)  yfi.s, />i,45 /'2,3, />3,4, /'4,2  sont  appelées  les  coordonnées 
/étraédriques  de  la  droite  A  ;  elles  sont  liées  par  la  relation 


(2) 


Pl,2P3,',  +  Pt,3P',,2  ■+-pi,iP2,3   =  O, 


comme  on  s'en  assure  en  développant  par  la  règle  de  Laplace  le  détermi- 
nant nul 


«1 

t^l 

(V, 

n 

«2 

V-, 

(t'2 

rî 

«.i 

t'3 

(V; 

1-3 

«i 

fi 

H'V 

>\ 

Réciproquement,  si  la  relation  (2)  est  vérifiée  et  si  l'on  suppose  d'une  ma- 
nière générale />a_/ = — />,-,>t,  les  équations  (i)  représentent  quatre  plans  se 
coupant  suivant  une  droite  commune,  car,  en  ajoutant  les  premiers  membres 
des  trois  dernières  équations  multipliés  pa^r  p^,,.  pf,^2j  Pi,3i  on  obtient  identi- 
quement zéro;  en  multipliant  de  même  par  /?3,4,  />4,i  pi,3  les  premiers  mem- 
bres de  la  première  et  des  deux  dernières  équations  et  ajoutant,  on  obtient 
I  ncore  zéro,  etc. 

On  peut  exprimer  les  six  coordonnées  tétraédriques  en  fonction  des  coor- 


64  CHAPITRE    III. 

données  Xi,  yi,  zi,  ti  et  x-i,  y%,  -3-2,  t^   de  deux  points  de  la  droite.  En  effet, 
les   équations 

i'i.ajl -1-/^1,3 -Si -l-/?i, 4?!  =  G, 

donnent 

px,'i  =  \{Zih),         pi^s  =  l{tiy.2),        /'iA  = '*^(Jl^2)• 
0n  a  ensuite 

P'2,1  '"^1-+-  Pî,3  ^1  +P2,i  h  =  O, 
'  /'2,1  •^2  +  /'2,3  -22-t-/'2,4  ^2  =  O, 

d'oij,  en  tenant  compte  de  l'expression  déjà  connue  de  pi^^, 

P2,i  =  ^^i^ih),         Pk,i  =  '^{x\Zi), 
et  l'on  obtiendra  de  même 

Les  six  coordonnées  sont  donc 

^,«2  —  ^1^2,  ^172  —  71^2,  Jl-2—  ^1^2, 

^l72— 7l^2,  ^1^2  —  ^1^2,  Xit.,—  tiX.2. 

On  a  ainsi  obtenu 


Ui  VC-i  —  Wi  Ui 


r,  ?f. 


Wi  r-i  —  /'i  Wï 


Ji^i—^ifi        Xiy-r 


■yix. 

P]  7'2 


('l  (^2 Wi  P2 

Xi  ti txX'i 


82.  Moment  d'un  vecteur  par  rapport  à  un  point.  Interprétation  des 
coordonnées  de  Plûcker.  —  Considérons  trois  axes  rectangulaires  et  un  vec- 
teur AB  ;  soient  o^o,  JKoî  -^o  les  coordonnées   du  point  A  et  a,  b,  c  celles  de 

l'extrémité  G  d'un  vecteur  OG  équipollent  à  AB. 
On  nomme  moment  du  vecteur  AB  par  rapport 
au  point  O  (ou  encore  moment  du  vecteur  OA 
par  le  vecteur  OG)  un  vecteur  OM  perpendicu- 
laire au  plan  OAB,  dont  la  longueur  soit  me- 
surée par  le  même  nombre  que  l'aire  du  paral- 
lélogramme construit  sur  OA  et  OG;  ce  vecteur 
étant,  en  outre,  dirigé  dans  un  sens  tel  que  AB 
soit  direct  par  rapport  à  OM. 

Il  est  .facile  de  calculer  les  coordonnées  a,  p,  y 

de  l'extrémité  du   moment  OM.  La   droite   OM 

{fig.  Il)  étant  perpendiculaire  à  OA  et  à  OG,  si  l'on  nomme  V  l'angle  AOG, 

les  paramètres  directeurs  principaux  de  l'axe  OM  ont  pour  expressions  (78) 

cjo— 6^0  aZ(,—  cX(,  bxo—ayo 


OA.OGsinV 


OA.OGsiuV 


OA.OGsinV 


PLAN    KT    LIGNE    DROITE, 
mais,  si  l  désigne  la  longueur  prise  pour  unité,  on  a 

„„       OA.OGsinV 
OM  =  . : 


65 


les  cooidonnées  iln  point  M  sont  donc 


hz. 


aso  —  CTo 


bXn 


«ro 


Si  l'on  projette  le  parallélogramme  OABC  sur  le  plan  des  x,  y  on  obtient 
un  parallélogramme  OA'B'C;  en  appliquant  les  formules  précédentes  au 
vecteur  A'B',  on  trouve  que  son  moment,  par  rapport  au  point  O,  est  pré- 
cisément égal  à  la  projection  de  OM  sur  0^.  Il  résulte  immédiatement  de  là 
que  si  l'on  forme  le  moment  de  AB  par  rapport  à  un  autre  point  de  0-3,  la 
projection  du  nouveau  moment  sur  O^  sera  encore  égale  à  y. 

Pour  cette  raison  le  vecteur  y  se  nomme  le  moment  de  AB  par  rapport  à 
l'axe  0^;  il  est  égal  au  moment  de  la  projection  de  AB  sur  un  plan  perpen- 
diculaire à  Os  par  rapport  à  la  trace  de  Oz  sur  ce  plan. 

On  voit  que  a,  p,  y  sont  précisément,  à  un  facteur  constant  près,  trois  des 
coordonnées  homogènes  de  la  droite  AB. 

83.    Coordonnées  vectorielles  d'une  droite.  —  Soient 


c 


les  équations  d'une  droite  A,  et  supposons  que  a,  b,  c  soient  les  coordonnées 
d'un  point  D  (Jl^'.  22);  si  l'on  prend  sur  la  droite  A  un  vecteur  PQ  équi- 
pollent  à  OD,  le  moment  OM  de  PQ  par  rapport  au  point  0  est  indépen- 
dant de  la  position  du  point  P  sur  la  droite  A;  il  est  évident  que  la  droite  AB 
est  entièrement  déterminée  dès  que  l'on  con- 
naît les  deux  vecteurs  OD  et  OM.  Soit  OH 
la  perpendiculaire  abaissée  du  point  O  sur  la 
droite  AB;  OH  est  perpendiculaire  au  plan 
déterminé  par  OD  et  OM;  d'ailleurs 


Fij 


OM  X  /  =  OH  X  OD, 


ce  qui  donne 


0H=  l 


OM. 
OD' 


en  outre,  le  sens  dans  lequel  on  doit  mener  OH  est  évidemment  déterminé. 
On  peut  donc  regarder  OD  et  OM  comme  étant  les  coordonnées  vecto- 
rielles de  la  droite  AB;  les  composantes  de  OD  et  de  OM,  sur  trois  axes  rec- 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  5 


66 


CHAPITRE    111. 


tangulaires  passant  par  O,  sont  les  six.  coordonnées  de  Plucker  et,  récipro- 
quement, les  résultantes  des  coordonnées  de  même  nature  sont  les  deux 
coordonnées  vectorielles. 


8i.  Intersection  de  deux  droites.    Condition  pour  que   deux 
droites  soient  dans  un  même  plan.  —  Soient 


X(t 


y  —  Vn 
h 


.y—.y\ 
b- 


Xo  Xi 

a 

yo-ji 

b 

Zq  ^1 

c 

les  équations  de  deux  droites.  Pour  que  ces  droites  aient  un  point 
commun,  il  faut  et  il  suffit  qu'on  puisse  déterminer  p  et  p'  ^érifiant 
les  équations 

/  Xo  -h  ap  =  Xi  -h  a' p', 

(0  '  .l'o-t-'^p  =yi  +  b'p', 

(     Zq-^  Cp   =   Zi   +  c'  p'. 

La  condition  pour  que  ces  équations  soient  compatibles  est 


(2) 


Si  cette  condition  est  remplie  et  si  l'un  des  mineurs  formés  avec 
les  éléments  des  deux  dernières  colonnes  du  déterminant  est  diffé- 
rent de  zéro,  par  exemple  a&' — ba' y^  o,  les  deux  premières  équa- 
tions du  système  (i)  déterminent  les  valeurs  de  p  et  p'  qui  vérifient 
la  troisième  équation,  et,  par  suite,  les  deux  droites  données  sont 
concourantes. 

Si  les  éléments  des  deux  dernières  colonnes  du  déterminant  (i) 
sont  proportionnels,  les  droites  données  sont  parallèles. 

Si  les  éléments  des  deux  premières  colonnes  sont  proportionnels, 
les  deux  droites  se  coupent  au  point  (.Tj,  j-,,  ;s,  )  ;  si  la  première  et 
la  troisième  colonne  sont  proportionnelles,  le  point  (.To,  jKo?  ^o)  est 
commun  aux  deux  droites.  Enfin,  si  les  éléments  des  trois  colonnes 
.sont  proportionnels,  les  deux  droites  sont  confondues. 

La  condition  (2)  peut  s'écrire 


X(j 

a 

a' 

.70 

b 

b' 

H- 

2tf 

c 

c' 

Xi 

a 

a 

II 

b' 

b 

^l 

c' 

c 

PLAN    ET    LIGNE    DROITE. 


67 


c  esi-à-clire 
(3) 


a  a.  H-  /v'^  -f-  c'y  +  «a'-i-  W^' -\-  07'=  o, 


rt,  6,  c,  a,  ,3,  Y   et  a',  b' ,  c' ,  a',  [i',  y'  étant  les  coordonnées  homogènes  des 
deux  droites. 
En  posant 

aa-f-63  +  CY  =f{a,ù,c,  a,  p,  y), 

cette  relation  peut  s'écrire 

da  où  Oc  0%       ^  d'^        '  t^Y 

En  tenant  compte  des  relations 

rta  4-  6  ^  -H  CY  =  o,         rt'a'-r-  b"^' -\-  c'y'  =  0, 
l'équation  (3)  peut  se  mettre  sous  la  forme 

(a -i-  a')  (a  4-  a')  -H  (6  4-  6')  (;3  4-  P') -h  (c  -I-  c')  (y  -4- y')  =  o; 

elle  exprime  donc  que  la  résultante  des  vecteurs  OD  et  OD'  est  perpendicu- 
laire à  celle  des  vecteurs  OM,  OM',  en  désignant  par  OD,  OAl  et  OD',  OM' 
les  coordonnées  vectorielles  des  deux  droites. 

85.  Exercice.  —  Mener,  parallèlement  à  une  direction  donnée,   une 
droite  qui  rencontre  deux  droites  données.  —  Soient 


T  —Xq  _y 


X  —  •■^1  _  y  —Il  _  z  —  zx 

c' 


b' 


les  équations  des  deux  droites  données;  si  X,  Y,  Z  sont  les  coordonnées  d'un 
point  de  la  droite  cherchée  et  a,  p,  y  les  paramètres  directeurs  de  cette 
droite,  ses  équations  sont 


? 


ï 


en  écrivant  qu'elle  rencontre  les  deux  droites  données,  on  obtient  les  équa- 
tions 

X  —  Xq     a     a 

Y-y,      b      '^ 


Z  —  zo     c     Y 


X  —  Xi     a'     a. 

Y -y,     b'     ? 
Z  —  Z\     c'     Y 


=  0, 


qui  définissent  la  droite  cherchée,  en  y  regardant  X,  Y,  Z  comme  des  coor- 
données courantes. 

Si  l'on  remplace  a,  p,  y  respectivement  par  bc' — cb' ,  ca' —  ac' ,  ab' —  ba' 
ces  équations  représenteront  la  perpendiculaire  commune  aux  deux  droites 
données,  en  supposant  les  axes  rectangulaires. 


68 


CHAPITRE  III. 


86.  Exercice.  —  Mener  par  un  point  (a;',  y',  z')  une  droite  gui  rencontre 
deux  droites  données.  —  Conservons  les  notations  précédentes;  on  obtien- 
dra les  équations  demandées  en  éliminant  a,  p,  y  entre  les  équations 


y —  y 


Xq  —  X      a     a 

Jo  —y'    b    p 

Zfi  —  z'     c    Y 

On  trouve  ainsi 

Ou  ç\  — —  j[j  (J^        ijj    '"'■"    i/7         I 

7o— j'    h    y-  y'     =  o, 

~<        o         -  7'     \ 


ï 


X\  —  X     a      a 

yr-y'   b'    ,3 

I  ^1  —  z'      c'     Y 


X\  —  X     a     X  —  X 
yi—y'    b'    y  — y' 

^l   —  ^         C        ^   """  'Z 


Intersection  d'une  droite  et  d'un  plan.  —  Condition  de  paral- 
lélisme. 


87.  Soient 


kx+  BjK-f-  C-S  +  D  =  o, 


les  équations  du  plan  el  de  la  droite  donnés.  Les  coordonnées   du 
point  commun  s'obtiendront  en  remplaçant  dans  les  équations 

x  =  x^^a^,         jK=JKo+6P)         z  —  z^+c^, 

0  par  la  valeur  qu'on  obtient  en  résolvant  l'éqviation 

A(a-o-+-«p)-+-B(jo+  ^'p)+  G(^o-<-cp)-+-D  =  0, 
ce  qui  donne 


P=- 


A  .-To  +  B_;Ko  -f-  G  2o  -*-  D 


Aa-i-B6  +  Gc 


11  en  résulte  que  la  condition  pour  que  la  droite  soit  parallèle  au 

plan  est 

Aa-f-BZ»  +  Gc  =  o. 

Celte  condition  exprime  que  le  plan  parallèle  au  plan  donné  et 
mené  par  l'origine  contient  le  point  directeur  (a,  ^,  c)  de  la  droite. 
On  retrouve  ainsi  ce  théorème  de  Géométrie  élémentaire  :  pour 
qu'une  droite  soit  parallèle  à  un  plan,  il  faut  et  il  suflît  que  la  parai- 


PLAN    ET    LIGNE    DROITE.  69 

Irle  à  la  droite  menée   par  un   point  de  ce  plan  y  soit   contenue 
tout  entière. 

Pour  que  le  plan  donné  contienne  la  droite  donnée,  il  faut  et  II 
suffit  que  la  valeur  de  p  soit  indéterminée,  c'est-à-dire  que 

Art -f- Bi -+- Ce  =  o,         Aa"o-l- Bj'o-t- G-o-<- D  =  o, 

ce  qui  veut  dire  que  le  plan  doit  être  parallèle  à  la  droite  et  doit  en 
outre  contenir  l'un  de  ses  points. 


88.  Exprimer  que  trois  droites  partant  d'un  même  point  sont 
dans  un  même  plan.  —  Soient  D(rt,  b,  c) ,  D'(«',  6',  c'), 
D"(«",  b",  c)  les  points  directeurs  des  trois  droites  données;  ces 
droites,  partant  d'un  même  point,  par  hypothèse,  sont  dans  un 
même  plan  si  les  trois  points  directeurs  et  l'origine  des  coordonnées 
sont  dans  un  même  plan,  et  réciproquement.  Il  faut  et  il  suffit,  pour 
qu'il  en  soit  ainsi,  que 

ia      h      i 
a'     b'      < 
.  a"     b"     c 

Si  l'on  nomme  a,  P,  y;  a',  P',  y';  a",  P",  y"  les  angles  que  les  droites  font 
avec  les  axes  de  coordonnées,  on  reconnaît  que  le  produit  du  déterminant 
précédent  par  le  déterminant  lo^  est  égal  à 


ll'l" 


cosa  cos[i  cosy 
cosa'  cosP'  cos-f' 
cosa"     cos^"     cosy" 


/,  /',  /"  désignant  les  distances  des  points  D,  D',  D"  à  l'origine.  La  condition 
demandée  peut  donc  s'exprimer  encore  en  égalant  à  zéro  le  dernier  déter- 
minant. 

C'est  ce  que  l'on  reconnaît  directement  en  remarquant  que  les  plans  per- 
pendiculaires aux  droites  données,  menés  par  l'origine,  ont   pour  équations 

arcosa  -+-^cosp  -hzcosy  =  o, 
cr  co^a.'  -hy  cos^'  -i-  z  cosy'  =  o, 
X  cosa"-f-/  cosp'-t-  z  cosy'  =  o, 

€t  pour  que  ces  droites  soient  dans  un  môme  plan,  il  faut  et  il  suffît  que  les 
trois  plans  précédents  aient  une  droite  commune. 

La  condition  obtenue  est  la  même  en  axes  obliques  ou  en  axes  rectangu- 
laires. 


70 


CHAPITRE   HI. 


89.  Mener  par  un  point  (^o,  yç^,  Zq)   une  droite  parallèle  à 
deux  plans  donnés.  —  Soient 

kx  '\-By-\-Cz  —  o.         k' X -\-Wy-\- Q,' z  =  o 

les  équations  des  deux  plans;  les  équations 

A  (.r  —  a^o)  -f-  B  {y  —yo)  -+-  G  (z  —  ^o)  =  o, 
A'(a"  — a:-o)  +  B'(jK— JKo)  -^  G {z  —  z^)  =  o 

représentent  la  droite  cherchée.  On  en  tire 

oe  —  x,^   ^  y—y<>   _    -  —  -0 

BC— GB'       CA— AG'       AB  — BA'' 

On  obtient  encore  ces  équations  en  exprimant  que 

X  —  Tn  _  y  —  Vq  _  z  —  Zq 
abc 

représentent  une  droite  parallèle  aux  plans  donnés,  c'est-à-dire  en 

posant 

ka  -)-  B6  -i-  Gc  =  o, 

Aa'+  B6'-f-  Ce'  —o. 

90.  Mener  par  un  point  (xo,  jj'o?  ^o)  uf^  plan  parallèle  à  deux 
droites  données.  —  Soient 


X  ^y 
a        b 


-  =  Z 
a'        h' 


les  équations  qui  définissent  les  directions  données  5  un  plan  passant 
par  le  point  donné  ayant  pour  équation 

k{x  —  X(,)^B{y  —  yQ)^(^{z  —  z^)=o, 

les  coefficients  A,  B,  C  sont  assujettis  aux  conditions 

Aa -f- B6  +  Gc  =  o,         Aa'-+- B^'-t- Gc' =  o; 

l'équation  cherchée  est  donc 


ou 


—  ^0   y  —  yo 

-=  — 

a              b 

c 

a'             b' 

c 

(x  —  Xo)  (bc'  —  cb' )  -\-  (y  —  yo  ){ca' —  ac')  -i-(s  —  Zo)(ab'—  ba')  =  o. 


PLAN    ET    LIUNK    UROITK. 


Angle  d^ine  droite  et  d'un  plan.  —  Conditions  d'orthogonalilé. 

9i.  L'angle  qu'une  droite  fait  avec  un  plan  est  le  complément  de 
l'un  des  angles  que  cette  droite  fait  avec  la  normale  à  ce  plan.  Nous 
savons  déterminer  la  direction  de  la  normale  à  un  plan;  nous  pou- 
vons donc  considérer  le  problème  comme  résolu. 

Si  les  axes  sont  rectangulaires  et  si  A,  B,  C  sont  les  coefficients 
des  variables  dans  Téquation  du  plan,  «,  6,  c  étant  les  paramètres  di- 
recteurs de  la  droite,  on  a,  d'après  cela,  V  désignant  l'angle  cherché, 

sm  V  = 


En  écrivant  que  sinV  =  o  on  retrouve  la  condition  de  parallé- 
lisme ;  et  en  posant  sin^  V  ^  i  et  appliquant  la  formule  de  Lagrange, 
on  obtient  les  conditions  d'orthogonalité 

^  _  '^  _  Ç 
abc 

Ces  équations  expriment  que  la  droite  donnée  est  parallèle  à  la 
normale  au  plan. 

92.  Equations  de  la  perpendiculaire  à  un  plan  menée  par  un 
point  donné.  —  Soient 

A:r-i-BK-hGj+  D  =  o 

l'équation  du  plan  et  .ro,jKoi  ^o  les  coordonnées  du  point.  Les  équa- 
tions cherchées  sont  (axes  rectangulaires) 


En  désignant  par  P  le  premier  membre  de  l'équation  du  plan,  les 
coordonnées  du  pied  de  la  perpendiculaire  sont 

où 

Po 
p  A«-i- B*-+-Gî' 


-72  CUAPITIIE    III. 

93.  Equation  du  plan  perpendiculaire  à  une  droite  donnée  et 
passant  par  un  point  donné  {axes  rectangulaires).  —  Si  les  para- 
mètres directeurs  de  la  droite  sont  a,  6,  c,  le  plan  cherché  a  pour 

équation 

a{x—XQ)-^b{y—yo)-^c{z—ZQ)  =  o. 

94.  Équations  de  la  perpendiculaire  menée  à  une  droite  par 
un  point  P(xi,y,,  ^i)  pris  hors  de  cette  droite.  —  f.a  perpendi- 
culaire cherchée  est  l'intersection  du  plan  perpendiculaire  à  la 
droite  donnée  et  passant  par  P  et  du  plan  contenant  cette  droite  et 
le  plan  P. 

Soient 

X  — Xçf  y  —  jKo  -"  —  -^o 

abc 

les  équations  de  la  droite  donnée  A.    Un  plan  passant  par  le  point 
P(.r( ,  jK)  5  2)  )  ^  pour  équation 

k{x  —  xi)  ^B{y  —  y^)  -\-  C{z  —  zi)  =  o. 

Ce  plan  devant  contenir  la  droite  A,  les  coefficients  A,  B,  G  doi- 
vent vérifier  les  équations 

kixQ  —  Xi)  +  B(7o  — 7i)+  C(^o— -Si)  =  o, 
Aa  +  B6  +  Ce  =  o. 

L'équation  de  ce  plan  est  donc 

•'^  —  ^0   y  —  jo    -s  — -so 

Jfi  —  x^    yi—yo    Zi—zç) 

abc 

Le  système  formé  par  cette  équation  et  celle-ci 

a{x  —  xi)  -^b{y  ~yi)-^c{z  —  Zy)  =  o, 
représente  la  perpendiculaire  abaissée  de  P  sur  A. 

Distances. 
95.  Distance  d' un  point  à  une  droite.  —  Soient 

•■^  —  -^0  _  r  —  JKo  _  -  —  -^0 


PLAN    ET    LIGNE    DROITE.  78 

les  équations  d'une  droite  A  et  .r,,  jKi,   -i   les  coordonnées   d'un 
point  A. 

Si    nous   abaissons   de   A  la  perpendiculaire  AH  à  la  droite  BC 
iJfg'  23),  le  triangle  rectangle  ABH  donne  Pj     ^3 


AH 


AB   —  BII  . 


On   peut  supposer  que  le   point  B  ait  pour 
coordonnées  Xt^,yQ,  z-q  et,  par  suite, 

2 

AB  =(^7,  — a7o)2+(7,  — 7o)-+(-^l-^o)-• 


<r 


En  second  lieu,  BH  est  la  distance  du  point  B 
au  plan  perpendiculaire  à  la  droite  BG  et  passant  par  le  point  A, 
donc 

BH"=  [^(^«  —  ^o)  +  ^(ri  — ro)  -»-  g(-gi  —  -gp)]^ 

En  remplaçant  AB  et  BH  par  les  expressions  précédentes,  puis 
réduisant  au  même  dénominateur  et  appliquant  l'identité  de  La- 
grange,  on  obtient,  pour  la  distance  d  à\x  point  A  à  la  droite  BC,  la 
formule 

jo  ^  [c^'yi  — Ko)  — ^>(-s,  — Zo)]i+[aUi— Zq)  — c(.r,  — aro)]2+r6(j7,-j-o)  — CT(y,— j^o)p 

rt2_|_  62 -f-  C^ 

Autre  méthode.  —  Désignons  par  x,y,  z  les  coordonnées  du  pied  H  de  la 
perpendiculaire  AH.  On  a 


(I) 
(2) 


a{x  —  xi)-^  b{y  —yx)^c{z  —  s,)  =  o. 


En  désignant  par  ai,  Pi,  yi  ce  que  deviennent  les  coordonnées  homogènes 
de  la  droite  BG  quand  on  remplace  Xq,  y^,  Zq  par  Xy,  yi,  Zi,  on  a 


<3) 

(4) 

<5) 


(^{y—yi)  —  f^X^  — -,)  =  a—  a,, 

a{z  —Zi)—  c{x  —  xi)  =  ^—^i, 
b{x  —  Xi)  —  a(y—yi)  =  y  —  yi  ; 


ajoutons  membre  à   membre,  après   élévation  au   carré  des  deux  membres, 
les  équations  (2),  (3),  (4),  (5);  on  obtient 

rf2(aî^_^,2_,_c2)  =  (a-ai)2+(P-pi)î-t-(Y-Y,)2; 
on  retrouve  la  formule  déjà  obtenue. 


74  CHAPITRE    III. 

96.  Equations  de  la  perpendiculaire  commune  à  deux  droites. 
Expression  de  la  plus  courte  distance  [axes  rectangulaires).  — 
Soient 


y  —  ro 


x  —  xi  ^  7  —  ,ri 

a'  b' 


les  équations  de  deux  droites. 

Le  plan  P  mené  par  l'origine  des  coordonnées  et  parallèle  à  ces 
droites  a  pour  équation 

x{bc' —  cb' )  -^ y{ca' —  ac')  -\-  z{ab' —  ba' )  =  o. 

Un  plan  mené  par  la  première  droite  et  perpendiculaire  au  plan  P 
a  pour  équation 

pourvu  que 

Aa  +  B6  4-  Ce  =  o, 

\(bc' —  cb')  -+-  B{ca' —  ac')  -i-  C{ab' —  ba')  =  o. 
L'équation  de  ce  plan  est  donc 


^0 


bc' 


y—jo        z  —  zq 
b  c 

ac'     ab' — ba 


ca 


De  même,  le  plan  mené  par  la  seconde  droite  et  perpendiculaire 
au  plan  P  a  pour  équation 

x  —  spi       y—vi        z  —  zi 

a'  b'  c' 

bc' — cb'      ca' — ac'     ab' — ba' 

Ces  deux  équations  définissent  une  droite  s'appujant  sur  les  deux 
droites  données  et  perpendiculaire  au  plan  P  et,  par  suite,  à  ces 
deux  droites  elles-mêmes  ;  ce  sont  donc  les  équations  de  la  perpen- 
diculaire commune  aux  deux  droites  données. 

La  longueur  du  segment  de  la  perpendiculaire  commune  comprise 
entre  les  points  où  elle  rencontre  ces  deux  droites  est  égale  à  la  dis- 
tance du  point  (a:^,,  j-,,  z^)  au  plan  parallèle  à  P  mené  par  le  point 
(^O)JKoi  ^o)i  c'est-à-dire  à 

_^  (xx  —  a-p) ( bc'—  cb')  -\- ( y^— yç>){ca' —  ac')  -t-  (-Zi  —  ^q) (a6'—  ba') 
s/{bc'  —  c6')"^-f-(  ca'  — ac')2-i-  {ab' —  ba')^ 


PLAN    ET    LIGNE   DROITE.  ^5 

On  peut  écrire  immédiatement  cette  expression  en  remarquant  que,  si  Ton 
appelle  A  le  point  ayant  pour  coordonnées  3*o,  ^oi  -So  et  B  le  point  ayant 
pour  coordonnées  ari,^i,  ::i,  la  projection  du  segment  AB  sur  la  perpendi- 
culaire commune  est  précisément  égale  à  la  plus  courte  dislance  des  deux 
droites,  et  pour  obtenir  cette  projection  il  suffit  de  faire  la  somme  des  pro- 
jections des  composantes  Xi  —  Xq,  y^ — y^,  zx  —  Zq  de  AB  sur  une  droite 
dont  les  cosinus  directeurs  sont  proportionnels  à  bc' — cb' ,  ca' — ac\ 
ab' —  ba' . 

97.  Remarque. —  Le  numérateur  de  l'expression  précédente  est,  au  signe 
près,  égal  à 

a' a -4-6' ^ -h  c' Y  M- «a' -I- ^  p' -f- c  y'. 

En  égalant  à  zéro  cette  expression,  on  obtient  donc  la  condition  pour  que 
les  droites  données  soient  dans  un  même  plan.  Nous  avons  déjà  obtenu  cette 
condition,  qui  subsiste  avec  des  axes  obliques. 

Si  l'on  suppose  que  «,  b,  c  soient  les  coordonnées  d'un  point  directeur  D, 

a',  b\  c'  celles  d'un  point  D';  en  posant  u=  OD,  a'=  OD'  et  en  appelant, 
comme  plus  baut,  t^  le  vecteur  ayant  pour  composantes  a,  p,  y.  et  ^'  celui 
qui  a  pour  composantes  a',  P',  y')    la  plus  courte  distance  a  pour  expression 

,        uv' -^  vu' 

d  = 


uu'  sin  V 


Vêtant   l'angle   des   deux   droites.  Le  produit  c?  sin  V  se  nomme  le  moment 
des  deux  droites  données;  il  a  pour  expression 


uu 
u  et  u'  désignant  les  longueurs  absolues  OD,  OD'. 

98.  Exercice. —  Autres  méthodes  pour  calculer  la  distance  d'un  point  à 
un  plan  ou  à  une  droite  et  la  plus  courte  distance  de  deux  droites. 
1°  Soit  ^{x,y,  z)  un  point  du  plan  défini  par  l'équation 

Aa-4-  ^y  -^Cz  +  D  =  o, 

et  soit  V{xx,yi,  Zx)  un  point  donné.  Cherchons  le  minimum  de  AM  .  Si  l'on 

pose 

u^{x  —  xiy-^{y—yiy-^{z  —  ziy-, 

on  peut  regarder  u  comme  fonction  des  deux  variables  indépendantes  x,y, 
car  z  est  une  fonction  de  j?  et  de  ^  déterminée  par  l'équation  du  plan.  En 
posant,  pour  simplifier, 


dz  dz 

on  a 


Ox=P^         ^=^' 


A  -H  C/)  =  0,        B  -f-  C  <7  =  o. 


yÔ  CHAPITRE    III. 

Or,  si  u  est  minimum,  on  a 

du  du 

c'est-à-dire,  en  tenant  compte  des  valeurs  de  jo  et  de  q, 

Q,{x  —  Xi)  —  A.{z  —  ^j)  =  o, 
G(7— ri)  — B(2  — -30  =  0, 

d'où  l'on  tire 

B{x  —  Xi)  —  k{y  —  yx)  =  o. 

Mais 

k{x -x,)-^B{y- y,) -i-C,{z-z,)  =-"?,; 

en  désignant  Kx^  h-  Bj'i  +  G^i  -t-  D  par  Pj.  En  ajoutant  les  carrés  des  pre- 
miers et  des  seconds  membres  de  ces  équations  et,  désignant  par  d'^  le  mini- 
mum de  u,  on  trouve 

2°  Soient 

a^o-f-ap,     jKo  +  ^p,     -So+cp 

les  coordonnées  d'un  point  M  pris  sur  une  droite  donnée.  La  fonction 

M  =  (ap -i- a^o  —  a7i)2  H- (6p +jKo  — JKi)^  H- (cp -t- ;3o  —  ^i)^ 

étant  supposée  minimum,  on  a 

a{açi  -\-  Xq  —  Xi)  -\-  b{b^  -l-jKo  —  Yi)  -t-  c(cp  H- ^o— -Si)  =  o- 

En  remplaçant  p  par  la  valeur  tirée  de  cette  équation,  on  retrouve  l'expres- 
sion du  carré  de  la  distance  du  point  K{xi,yi^  Sj)  à  la  droite  donnée. 
On  peut  faire  usage  de  l'artifice  suivant  : 
En  vertu  des  équations  précédentes,  on  peut  écrire 

_  I.a^.'S.{a^^XQ  —  XxY—\'^a{a<?+Xo—Xi)]'^ 

En  appliquant  l'identité  de  Lagrange,  p  disparaît. 
3°  Soient  enfin 

XQ-{-a^,    yo-+-bp,     Zg-i-cp     et    Xi-+-a'p',    .yi-hb'p',     Zj-t-c'p' 

les  coordonnées  de  deux  points  M,  M'  pris  respectivement  sur  deux  droites 
données.  La  plus  courte  distance  de  ces  deux  droites  est  le  minimum  de  MM'. 
Proposons-nous  de  chercher  le  minimum  de  l'expression 

u  =  {xo  —  Xi-h  ap  —  a'p'y  -^  (yo—yi-h  b  p  —  b'  p'y  -h  (cq  — ^i-f-  cp  —  c'p')^. 

S'il  existe  des  valeurs  de  p  et  de  p'  pour  lesquelles  ces  trois  carrés  soient 


l'LAN    ET    LIGNE   DROITE.  77 

nuls,  la  valeur  minimum  de  u  sera  nulle;  mais  cela  ne  peut  arriver  que  si  les 
deux  droites  se  rencontrent.  Supposons  qu'il  en  soit  autrement. 

Pour  chercher  le  minimum  de  u,  on  peut  préalablement  multiplier  u  par 
une  constante  quelconque.  Or,  en  vertu  de  l'identité  de  Lagrange,  si  nous 
désignons  par  L*,  M^,  N^  les  trois  carrés  dont  la  somme  est  représentée  par 
M,  on  peut  écrire 

(  A2+  B2+  C2)M  =  (BN  —  GM)«-i-(GL  —  AN)^-^  (AM  —  BL)î 

-i-(AL-+-BM  +  CN;2. 

Mais  on  peut  déterminer  A,  B,  G  de  façon  que  le  dernier  carré  soit  indé- 
pendant de  p  et  de  p',  car  il  suffit  de  poser 

Aa  +  B6 -1- Ce  =  o,         Aa' +  B6'-i- Gc' =  o 

et,  par  suite,  il  suffit  de  faire 

A  =  6c' — cb',         B  =  ca' — ac\         G  =  ab' — ba'. 

Si  l'on  suppose  ces  valeurs  attribuées  à  A,  B,  G,  on  voit  que  u  sera  mini- 
mum si  l'on  détermine  p  et  p'  par  les  conditions 

L  _  M  _  N 
A  ~  B  ~  G  ' 

et  le  minimum  cherché,  c'est-à-dire  le  carré  de  la  plus  courte  distance,  aura 
pour  expression 

_  [(xo—xi)(bc'—cb')-h(jo—yi)ica'—ac')-h(zo  —  zi){ab'—ba')]^^ 
~  {bc—cb'y^{ca'—ac'Y  +  (ab'—ba'y 

On  peut,  en  outre,  déterminer  les  valeurs  de  p  et  p',  qui  correspondent  aux 
pieds  de  la  perpendiculaire  commune;  car  il  suffit  de  résoudre  le  système 
suivant 

a-Q—  -^i-i-  «?  —  a'p'-t-  \{bc' —  cb')  =  o, 
yçj—yi-\-bp  —  b'^'-{-'k{ca'—ac')  =  o, 
-0  —  ^1  -+-  c  p  —  c'  p'  -H  X  (rt  6'  —  ba')  —  o, 

dans  lequel  X  est  une  inconnue  auxiliaire.  Le  déterminant  de  ce  système  est 
égal,  au  signe  près,  à  la  somme  des  carrés  des  coefficients  de  X  ;  il  est  donc 
différent  de  zéro,  si  l'on  suppose  les  droites  données  non  parallèles.  Si  l'on 
nomme  x\  y' ,  z'  et  x" ,  y",  z'  les  coordonnées  des  pieds  de  la  perpendiculaire 
commune,  on  voit  que  les  équations  précédentes  peuvent  s'écrire 

x"  —  x'  -\-'k{bc' —  cb')  =  o, 
y"  — j'-t-  \{ca'  —  ac')  =  o, 
z"  —  ^'  -t-  X  (a  b'  —  ba'  )  —  o. 


■jS  CIIAPITIIE   m. 

On  en  déduit  que  les  cosinus  directeurs  de  la  perpendiculaire  commune  sont 
proportionnels  aux  coefficients  de  1. 

D'autre  part,  le  plan  mené  par  la  seconde  droite  et  par  le  point  M  a  pour 
équation 

x  —  xi  y— Il 

a'  b'  c 

Xq—  Xi-\-  ap    J'o  —  yi  +  bp     Zo—  Zi-+-  cp 

En  remplaçant  les  éléments  de  la  dernière  ligne  par  leurs  valeurs 
a' p' — \{bc' — cb'),       b' p' — 'k{ca' — «c'),      c' p' — \{ab' — ba'), 
on  voit  que  le  coefficient  de  p'  est  nul,  et  il  reste 


x  —  xi       y—y\       z  —  z\ 

a'  b'  c' 

bc' — cb'     ca'  —  ac'     ab' — ba' 


o; 


c'est  l'une  des  équations  de  la  perpendiculaire  commune.  On  retrouve  l'autre 
par  le  même  procédé. 

Rapport  auharmonique  d'un  faisceau  de  quatre  plans. 


99.  Soient 
P  +  jui  Q  =  o,         P  -t-  7^2  Q  =  o,         P  -t-  m^  Q 


P  -h  m^Q  =  o 


les  équations  de  quatre  plans  passant  par  l'intersection  des  deux  plans  défînis 
par  les  équations  P  =  o,  Q  =  o.  On  démontre,  comme  en  Géométrie  plane, 
que,  si  l'on  coupe  ce  faisce  au  parune  transversale  qui  le  rencontre  aux  quatre 
points  a,  b,  c,  d,  le  rapport  anharmonique 


a  pour  mesure 


ca  _  da 
cb'  db 

nii  —  «I4  *  m.^  —  nii. 


Cette  expression  est  indépendante  de  la  position  de  la  sécante;  on  la  nomme 
le  rapport  anharmonique  du  faisceau  des  quatre  plans. 
En  particulier,  les  équations 

P  =  o,         Q  =  o,         P  +  mQ  =  o,         P— wQ  =  o 

représentent  un  faisceau  harmonique. 

Si  l'on  considère  deux  faisceaux  définis  par  les  équations 


P  +  XQ  =  o,         R  +  [jtS  =  o, 


l'I.lN    KT    I.IC.NE    DHOITH.  yg 

on  (lit  que   les  deux  faisceaux  sont  homographiques,  si  X  et  |ji  vérifient  une 
équation  de  là  forme 

X  [X  H-  A  X  -I-  13  fn-  G  =  o. 

lui  supposant  que  R  corresponde  à  P  et  S  à  Q,  on  peut  disposer  des  coef- 
ficients des  polynômes  Q  et  S  de  façon  que  la  relation  homographique  se 
réduise  à  X  =  fx.  Sous  cette  forme  on  voit,  sans  calcul,  que  le  rapport  anhar- 
moniquc  de  quatre  plans  du  premier  faisceau  est  égal  au  rapport  anharmonique 
des  quatre  plans  correspondants  du  second  faisceau. 

Réciproquemerit,  si  le  rapport  anharmonique  de  quatre  plans  quelconques 
d'un  faisceau  est  égal  au  rapport  anharmonique  des  quatre  plans  correspon- 
dants d'un  second  faisceau,  ces  deux  faisceaux  sont  homographiques. 


EXERCICES. 

1.  Démontrer,  par  une  transformation  de  coordonnées,  que  l'équation  d'un 
plan  est  du  premier  degré. 

2.  Démontrer  que  l'équation  du  premier  degré  à  trois  variables  représente 
un  plan,  en  remarquant  que  la  droite,  qui  passe  par  deux  points  de  la  sur- 
face représentée  par  cette  équation,  est  tout  entière  contenue  dans  cette 
surface. 

3.  Former  l'équation  du  plan  perpendiculaire  au  milieu  d'une  droite  AB, 
en  écrivant  que  ce  plan  est  le  lieu  des  points  équidistants  des  extrémités 
A  et  B. 

4.  Former  l'équation  du  faisceau  des  plans  bissecteurs  d'un  dièdre,  con- 
naissant les  équations  des  deux  faces. 

*).  Vérifier  que  si  une  droite  AB  est  perpendiculaire  à  un  plan  P,  tout  plan 
parallèle  à  AB  est  perpendiculaire  au  plan  P. 

G.  Les  sommets  A,  B,  C  d'un  triangle  sont  situés  sur  trois  axes  rectangu- 
laires Ox,  Oy,  Oz;  connaissant  les  coordonnées  (a,  o,  o),  (o,  6,  o),  (o,  o,  c) 
de  ces  sommets,  trouver  les  coordonnées  des  centres  des  cercles  inscrit  ou 
exinscrits  au  triangle  ABC;  les  coordonnées  de  l'orthocentre,  du  centre  du 
cercle  circonscrit,  etc. 

7.  Généraliser  le  théorème  des  transversales  en  coupant  un  polygone  quel- 
conque, plan  ou  gauche,  par  un  plan.  Étudier,  à  ce  point  de  vue,  le  quadri- 
latère gauche. 

8.  Vérifier  que  les  milieux  des  côtés  d'un  quadrilatère  gauche  sont  les 
sommets  d'un  parallélogramme. 

9.  Vérifier  par  le  calcul  qu'une  droite  est  perpendiculaire  à  un  plan  quand 
elle  fait  des  angles  égaux  avec  trois  droites  situées  dans  ce  plan. 

10.  Par  trois  points  A,  B,  G  en  ligne  droite,  on  mène  trois  parallèles  qui 


8o  CHAPITRE    III. 

rencontrent  un  plan  M  en  trois  points  P,  Q,  R;  prouver  que 

AB.CR  ±  AC.BQi  BC.AP  =  o. 

11.  Prouver  que,  dans  un  trièdre  :  i"  les  plans  bissecteurs  des  dièdres  se 
coupent  suivant  une  droite,  lieu  des  points  également  distants  des  faces; 
2°  les  plans  menés  par  les  bissectrices  des  faces  et  perpendiculaires  à  leura 
plans,  se  coupent  suivant  une  droite,  lieu  des  points  également  distants  des 
arêtes;  3°  les  plans  menés  parles  arêtes  et  les  bissectrices  des  faces  opposées 
ont  une  droite  commune.  Former  les  équations  de  ces  droites  en  coordonnées 
tétraédriques. 

12.  Soient  A,  B,  G  trois  droites  parallèles  à  un  même  plan;  prouver  qu'il 
y  a  une  infinité  de  droites  qui  les  rencontrent  et  que  toutes  ces  droites  sont 
parallèles  à  un  même  plan. 

13.  Si,  par  le  sommet  d'un  angle  trièdre,  on  mène  dans  chacune  des  faces 
une  droite  perpendiculaire  à  l'arête  opposée  à  cette  face,  les  trois  droites  que 
l'on  obtient  ainsi  sont  situées  dans  un  même  plan. 

14.  Étant  donnés  un  triangle  et  trois  axes  fixes,  qui  rencontrent  le  plan  du 
triangle  en  E,  F,  G,  on  prend  sur  les  axes  trois  points  fixes  A,  B,  G  (situés 
respectivement  sur  Ox,  Oy,  Oz)  et  l'on  fait  tourner  autour  des  côtés  da 
triangle  trois  plans  qui  rencontrent  les  axes  en  M,  N,  P,  tels  que 

AM       „ BN  GP       , 

^ËM  +  ^FN-^^^GP=^' 

a.  p,  Y>  8  étant  des   constantes;    prouver  que  le  point  commun   à  ces  trois 
plans  décrit  un  plan. 

15.  Exprimer  le  volume  d'un  tétraèdre  en  fonction  des  longueurs  de  deux 
arêtes  opposées,  de  leur  perpendiculaire  commune  et  de  l'angle  des  deux 
arêtes. 

16.  Soient  AB  et  CD  deux  vecteurs;  on  a 

6  vol.(ABGD)  =  (a  +  a')(a  +  a')  +  (6  +  6')(|3  -h  jB')  -i-  (c+  c')(y+  y'), 
a,  6,  c,  a,  ^,  Y,  etc.  étant  les  coordonnées  de  Plucker. 

17.  Le  moment  de  la  résultante  de  plusieurs  vecteurs  issus  d'un  même 
point,  par  rapport  à  un  axe,  est  la  somme  des  moments  des  vecteurs  par 
rapport  au  même  axe.  En  conclure  que  le  moment  de  la  résultante,  par  rap- 
port à  ces  points,  est  la  résultante  "des  moments  des  vecteurs  par  rapport  au 
même  point. 

18.  Soient  «i,  u^,  . . .,  «„  des  vecteurs  quelconques;  ak,  b/c,  Ck  les  compo- 
santes du  vecteur  Uk\  a^,  j3>t,  ya-  les  composantes  de  son  moment  par  rapport 
à  l'origine;  si  l'on  pose  X  =  Sa^.,  Y  =  26^.,  Z  =  Sc>t;  L  =  Sa^.,  M  =  2^/, 
N  =  Sy/1>   les  expressions  X^ -t- Y2 -h  Z2  et  LX  +  MY -t- NZ    conservent  des 


PLAN    ET    LIGNE   DROITE.  8l 

valeurs  invariables  quelle  que  soit  l'origine  des  coordonnées  et  quelles  que 
soient  les  directions  des  axes. 

Le  vecteur  (X,  Y,  Z)  se  nomme  la  résultante  générale  et  le  vecteur 
(L,  M,  N)  le  moment  résultant  du  système  donné  de  vecteurs. 

19.  On  peut  choisir  une  infinité  de  points  P  tels  que  le  moment  résultant 
relatif  à  P  soit  parallèle  à  la  résultante  générale.  Le  lieu  des  points  P  est  une 
droite  parallèle  à  la  résultante  générale. 

20.  Trouver  les  droites  de  moment  nul,  c'est-à-dire  celles  relativement 
auxquelles  la  somme  des  moments  d'un  système  de  vecteurs  est  nulle. 

(Pour  plus  de  détails  sur  la  théorie  des  vecteurs,  voir:  Traité  de  Méca- 
nique, par  P.  Appell,  t.  I;  Paris,  Gauthier-Villars.  —  Leçons  de  Cinéma- 
tique, par  G.  KœxiGs;  Paris,  Hermann.) 

21.  Le  rapport  anharmonique  des  quatre  points  d'intersection  d'une  droite 
avec  les  faces  d'un  tétraèdre  est  égal  au  rapport  anharmonique  du  faisceau 
des  quatre  plans  menés  par  cette  droite  et  par  les  sommets  du  tétraèdre. 

22.  Appliquer  à  l'espace  la  théorie  des  centres  de  gravité  établie  en  Géo- 
métrie plane  (Tome  I). 

23.  Trouver  la  distance  d'un  point  P  à  une  droite  AB  en  prenant  sur  cette 
droite  un  segment  AB  de  longueur  donnée  et  écrivant  que  le  carré  de  l'aire 
du  triangle  PAB  est  égale  à  la  somme  des  carrés  de  ses  projections  sur  les 
trois  coordonnées. 

24.  Examiner  ce  que  deviennent  les  équations  de  la  perpendiculaire  com- 
mune à  deux  droites,  ainsi  que  la  formule  de  leur  plus  courte  distance, 
quand  l'une  des  droites,  tournant  autour  d'un  de  ses  points,  devient  parallèle 
à  l'autre. 

25.  Trouver  les  conditions  pour  que 

X  r=  cy  -^  bz,        y  =  az  -h  ex,         z  =  bx  -h  ay 

représentent  une  ligne  droite;  si  la  condition  est  remplie,  les  équations  de 
cette  droite  sont 

---jJL=  =  ~=L=.'  (T.)* 

26.  Interpréter  l'équation 

X  cosa  -\- y  cos^  -t-  z  cosy  =  o 

de  cette  façon  :  un  triangle  est  projeté  sur  trois  plans  rectangulaires;  la 
somme  des  pyramides  qui  ont  pour  bases  les  trois  projections  et  pour  som- 
met un  point  du  plan  du  triangle  est  équivalente  à  la  pyramide  qui  a  pour 
base  le  triangle  et  pour  sommet  l'origine.  (T.) 

*  Les  énoncés  marqués  de  ce  signe  (T.)  sont  empruntés  à  un  Recueil  de  pro- 
blèmes de  Géométrie  analytique  de  M.  Todiiunter. 

NiEWENOLOWSKi.  —  G.  an.,  IIL  6 


82  CHAPITRE   IH.  —    PLAN    ET    LIGNE    DROITE. 

27.  Trouver  ce  que  représentent  les  équations 


28.  Les  équations  d'une  droite  étant 


(T.) 


a  —  cy  -¥-  bz        ^  —  az  -\-  ex  _  ^(  —  bx  -+-  ay 
abc 

les  mettre  sous  la  forme  canonique.  Former  l'équation  du  plan  mené  par  l'o- 
rigine et  cette  droite,  et  calculer  sa  distance  à  l'origine,  ainsi  que  les  coor- 
données du  pied  de  la  perpendiculaire  abaissée  de  l'origine.  (T.) 

29.  Une  droite  dont  on  donne  les  équations  coupe  les  plans  de  coordon- 
nées supposés  rectangulaires  en  trois  points.  Trouver  les  angles  a,  p,  y 
formés  par  les  droites  joignant  l'origine  à  ces  points.  Si  ces  angles  sont 
donnés,  montrer  que  la  droite  décrit  le  plan  ayant  pour  équation 

30.  On  mène  par  l'origine  trois  droites  égales  de  longueur  l,  de  manière 
que  les  angles  de  la  première  avec  les  axes  Ox,  Oy,  Oz  soient  égaux  res- 
pectivement à  ceux  de  la  deuxième  avec  les  axes  Oy,  Oz,  Ox  et  à  ceux  de 
la  troisième  avec  Os,  Ox,  Oy.  On  mène  trois  plans  respectivement  perpen- 
diculaires à  leurs  extrémités;  trouver  les  coordonnées  de  leur  point  d'inter- 
section. (T.) 

31.  Un  plan  coupe  les  six  arêtes  d'un  tétraèdre  en  six  points;  on  consi- 
dère sur  chaque  arête  le  conjugué  harmonique  de  chacun  de  ces  points  par 
rapport  aux  sommets  de  l'arête;  montrer  que  les  six  plans  menés  par  les 
six  nouveaux  points  et  les  arêtes  opposées  se  coupent  en  un  point. 

32.  Résoudre  les  questions  relatives  aux  angles  et  aux  distances  en  coor- 
données obliques  et  en  coordonnées  tétraédriques. 

33.  Trouver  les  équations  de  la  droite  menée  par  les  symétriques  d'un 
point  par  rapport  à  deux  plans. 

34.  Prouver  qu'à  tout  système  de  variables  x^,  x^,  x^,  x^,  x^,  x^  liées  par 
une  relation  quadratique  ^(^x)  =  o,  de  discriminant  non  nul,  on  peut  faire 
correspondre  une  droite  déterminée  de  l'espace,  la  correspondance  ayant  ce 
caractère  que  l'équation  \{x,x')  =o  exprime  la  rencontre  des  deux  droites 

On  désigne  par  ^{x,  x')  la  forme  polaire,  c'est-à-dire 

l^ix,  X  )  =  X.    ——  -^  X.y h.  .  .4-  X.   -T^  . 

^  '  dxi  ^  dxi  ^  dx^ 

(Voir  La  Géométrie  réglée,  par  G.  K.«;\igs;  Paris,  Gauthier-Villars.) 


l'OI.MS,    DIIOITKS    ET    l'LANS    IMAGINAIRES.  83 


CHAPITRE  IV. 

POINTS,  DROITES  ET  PLANS  IMAGINAIRES. 


100.  Points  imaginaires.  —  Si  une  équation /(^,jj^,  :;)  =  o  est 
vérifiée  quand  on  pose  x  ^  a  -\-  a' i^  j  =  b  -\-  b'i,  z  =  c -j-  c' i^ 
nous  dirons  que  la  surface  représentée  par  l'équation  précédente 
passe  par  le  point  imaginaire  ayant  pour  coordonnées  les  nombres 
imaginaires  précédents. 

Ainsi,  de  même  qu'à  un  système  de  trois  paramètres  réels  a,  b,  c 
correspond  un  point  réel,  le  point  ayant  pour  coordonnées  «,  Z>,  c 
si  ces  lettres  désignent  des  longueurs;  de  même  si  a,  a',  b,  b',  c,  c' 
désignent  des  longueurs,  nous  dirons  que  a  -h  a' i,  b  -\-  b' i,  c  -\-  c' i 
sont  les  coordonnées  d'un  point  imaginaire  et  que  a  —  a' i,  b  —  b' i, 
c  —  d i  sont  les  coordonnées  du  point  imaginaire  conjugué  du  pre- 
mier. 

101.  Plans  imaginaires  ;  droites  imaginaires.  —  On  appelle 
plan  imaginaire  l'ensemble  des  solutions  d'une  équation  du  pre- 
mier degré  en  x,  y^  z  à  coefficients  imaginaires,  et  droite  imagi- 
naire l'ensemble  des  solutions  d'un  système  de  deux  équations  du 
premier  degré  à  coefficients  imaginaires.  On  suppose,  bien  entendu, 
que  les  coefficients  de  ces  équations  ne  soient  pas  les  produits  de 
coefficients  réels  par  un  même  facteur  imaginaire.  Par  opposition, 
si  les  coefficients  sont  réels,  on  dit  que  le  plan  ou  la  droite  sont 
réels. 

On  appelle,  en  général,  surface  imaginaire  l'ensemble  des  solu- 
tions d'une  équation  à  coefficients  imaginaires;  mais  il  peut  arriver 
qu'une  équation  à  coefficients  réels  n'ait  que  des  solutions  imagi- 
naires; nous  dirons  encore  qu'elle  représente  une  surface  imaginaire. 
Une  ligne  imaginaire  peut  être  l'intersection  de  deux  surfaces  dont 


84  CHAPITRE    IV. 

Tune  au  moins  est  imaginaire    ou    l'intersection   de  deux  surfaces 
réelles  qui  n'ont  aucun  point  commun. 

102.  Théorème.  —  Dans  tout  plan  réel  ou  sur  toute  droite 
réelle  il  y  a  une  infinité  de  systèmes  de  deux  points  imaginaires 
conjugués. 

La  démonstration  est  immédiate. 

103.  Théorème.  —  Tout  plan  imaginaire  passe  par  une  droite 
réelle. 

En  effet,  l'équation  d'un  plan  imaginaire  peut  se  mettre  sous  la 
forme  P+fQ  =  o,  P  et  Q  étant  deux  polynômes  à  coefficients 
réels;  le  plan  considéré  contient  la  droite  réelle  commune  aux  plans 
P  et  Q.  Ces  plans  sont  d'ailleurs  distincts,  car  si  l'on  supposait 
Q=);P,  l'équation  P  +  t'Q  =  o  se  réduirait  à  P(i  +  A)=:oou 
P=:  o  et  par  suite  ne  serait  pas  à  coefficients  imaginaires. 

104.  Corollaire.  —  Deux  plans  imaginaires  conjugués  se 
coupent  suivant  une  droite  réelle. 

En  effet,  on  appelle  plans  imaginaires  conjugués  deux  plans  dont 
les  équations  peuvent  se  mettre  sous  la  forme  P  + /Q  =  o  et 
P  —  i'Q  =  o.  Ils  ont  donc  en  commun  la  droite  définie  par  les  équa- 
tions P  =  o,  Q  =  o. 

lOo.  Théorème.  —  Il  n''y  a,  en  général,  aucun  point  réel  sur 
une  droite  imaginaire. 

En  effet,  les  équations  d'une  droite  imaginaire  sont  de  la  forme 

P-t-tQ  =  o,        R-i-tS=o, 

P,  Q,  R,  S  étant  des  polynômes  réels;   les  coordonnées  d'un  point 
réel  appartenant  à  cette  droite  devraient  vérifier  les  quatre  équations 

P=:o,         Q=o,         R  =  o,         S=o 

qui  n'ont  pas,  en  général,  de  solutions  communes. 

Lorsqu'une  droite  imaginaire  a  un  point  réel,  ce  point  appartient 
aussi  à  la  droite  imaginaire  conjuguée. 

106.  La  droite  qui  passe  par  deux  points  imaginaires  conju- 
gués est  réelle. 


POINTS,    DROITKS    ET    PLANS    IMAGINAIRES. 

En  effet,  si  dans  les  équations 

X  —  x'        y  — y'         z  —  z' 

x' — x'  ~  y — y  ~  -s"  —  z' 

x'=a-^(i'i,        x"  =  a  —  a' i  ,        etc., 
X  —  a  —  a'  i        y  —  b  —  b'  i       z  —  c  —  f  ' 


on  pose 
on  obtient 


ai  b' i  ci 

ou,  en  simplifiant, 

X  —  a       y  —  b       z  —  c 
a!  y  c' 

CoROLLAinE.  —  Sur  une  droite  imaginaire^  on  ne  peut  pas  trou- 
ver deux  points  imaginaires  conjugués. 

107.  Théorème. —  Quand  deux  droites  imaginaires  se  coupent, 
leur  point  de  rencontre  est  réel  et  leur  plan  est  réel. 

Si  le  point  commun  était  imaginaire,  le  point  conjugué  serait 
aussi  commun  et  les  deux  droites  coïncideraient;  en  second  lieu,  si 
le  plan  des  deux  droites  était  imaginaire,  le  plan  conjugué  les  con- 
tiendiait  aussi;  elles  seraient  donc  confondues. 

Corollaire.  —  Dans  un  plan  imaginaire  on  ne  peut  tracer  deux 
droites  imaginaires  conjuguées. 

108.  Remarque.  —  Comme  nous  l'avons  déjà  fait  en  Géométrie 
plane,  nous  conserverons  aux  expressions  analytiques  qui  repré- 
sentent des  éléments  géométriques,  quand  les  lettres  dont  elles  dépen- 
dent représentent  des  quantités  réelles,  les  mêmes  noms  quand  ces 
lettres  représentent  des  imaginaires.  Ainsi  l'expression 

{x^-x,y-^{y^—y^y-^{z^~ZiY 

sera  toujours  le  carré  de  la  distance  de  deux  points  ayant  pour 
coordonnées  rectangulaires,  réelles  ou  non,  x^,  y^,  Zq  et  :r,,  )■,,  ;:,. 
Il  peut  arriver  que  le  carré  de  la  distance  de  deux  points  imagi- 
naires soit  positif. 

Pareillement,  si  un  point  M  a  pour  coordonnées 

aroH-Xa^i  yo-^-lyi  Zq-^-Izi 


86  CHAPITIIK    V. 

ce  point  est  sur  la  droite  qui  joint  les  deux  points  M^,{xo■,  J'o^  ^-o)  et 

HT      /  \  1-  -  MMn 

M,  (.ri,  r,,  5,  )  et  nous  dirons    encore  que   — A=T7TT~'etc. 

^  iVJ  ;V1 1 

L'expression 

aa'  -^  bb'  -h  ce' 


yja"-  -\-  b^^  c-  \/a'^4-  b'^-^  c"^ 


s'appellera  encore  cosV,  et  nous  dirons  que  V  est  l'angle  des  direc- 
tions de  paramètres  a,  6,  c  et  a' ,  b' ,  c',  les  axes  étant  rectangulaires, 
même  si  quelques-uns  de  ces  paramètres  sont  imaginaires. 


CHAPITRE  Y. 

SPHÈRE. 


109.  On  nomme  sphère  le  lieu  des  points  situés  à  une  distance 
donnée  d'un  point  fixe.  La  distance  fixe  se  nomme  le  rayon  et  le 
point  fixe  le  centre.  Soit  R  le  rayon  d'une  sphère  et  soient  a^  b,  c 
les  coordonnées  de  son  centre;  son  équation  est 

<\i(x  —  a,  y —  b ,  z  —  c)  —  R2  =  o, 

ou,  en  développant, 

(i)  J^(.r,  JK,  ^)  —  rya  —  y'yb-.  ^'K  +  4^(«'  ^'  c)  — R2=:  o, 

•!^(x^y,  z)  désignant,  comme  nous  l'avons  vu,  la  fonction 

x^-h y-^  3--+-  -lyz  cosX  -+-  "^.zx  cos;ji.  -f-  ixy  cosv. 

Quand  les  axes  sont  rectangulaires,  l'équation  précédente  se  ré- 
duit à 

(37  —  a)2+(j_6)2+(^  —  CY-  R-  =  O. 


SPHÈRE.  87 

410.  Conditions  pour  que  V équation  du  second  degré  repré- 
sente une  sphère.  —  Soit 

(2)  ^{x,  y,  5) ->r  iCx  ^ 'iC'y-^  iC  z -¥-ï)  —  o 
une  équation  du  second  degré,  dans  laquelle  on  a  posé 

(p(r,  y,  z)  =  Ax--^  \'y--i-  A's^-f-  2Byz  -h  -xB'  zx  ■+■  f.Wxy. 

Pour  que  l'équation  (2)  représente  une  sphère,  il  faut  et  il  suffit 
que  l'on  puisse  déterminer  a,  b,  c,  R  de  façon  que  les  premiers 
membres  des  équations  (1)  et  (2)  ne  diffèrent  que  par  un  facteur 
constant.  Les  calculs  et  raisonnements  sont  les  mêmes  que  dans  les 
questions  analogues  de  Géométrie  plane  relatives  au  cercle.  Le  coef- 
ficient de  x^  dans  (2)  étant  égal  à  A  et  dans  (i)  à  l'unité,  on  doit 
poser  A^  o,  puis 

(3)  o(x,y,z)~      X<\i(x,y,z), 

(4)  iC  =  -\'y,„ 

(5)  2C'  =  -A^;, 
(f...  9.G"=-A^',, 

(7)  D  +  AR2=       A']^(a,  6,  c). 

Si  les  axes  sont  rectangulaires,  on  a  donc,  en  vertu  de  l'identité  (3), 
les  conditions 

(8)  A=A'=A",        B  =  B'=B"=o 
quand  les  axes  sont  obliques  : 


(8)'  A  =  A'=:A'=:    ^ 

'  COSÀ 


B'     _     B' 

:os.a        cosv 


Si  l'on  suppose  ces  conditions  remplies,  les  coordonnées  a,  b,  c 
sont  déterminées  par  les  équations  (4),  (5),  (6)  qu'on  peut  écrire 

Q 

(4)'  rt  +  6cOSV  +  C  COS  (X  =  —    Y  ' 

G' 
(5/  «  cosv -i- 6  ■+•  c  cosX  = j^> 

C 
(6)'  a  COS  jU -I- 6  COS X  H- c  = ^> 

et  dont  le  déterminant  est  différent  de  zéro.  On  peut  remarquer  que 


88 


CHAPITRE    V. 


les  projections  orthogonales  du  centre  sur  les  trois  axes  sont  déter- 
minées;  ainsi  sa  projection  sur  Ox  est  le  point  ayant  pour  abscisse 


-,  etc. 

A 


Pour  déterminer  R^,  on  multiplie  les  deux  membres  de  ces  équa- 
tions par  —  a,  —  bf  —  c  et  l'on  ajoute,  membre  à  membre  avec 
l'équation  (y);  il  vient 


(9) 


Ca-^Cb-h  C"c  +  Dh-  AR2  =  o. 


Donc,  en  éliminant  a,  b,  c  entre  les  équations  (4)',  (5)',  (6)',  (9) 
et  tenant  compte  des  relations  (8)',  il  vient 


d'oij 


ou 


A  B"  B'  G 

B"  A'  B  G' 

B'  B  A"  G" 

G  G'  G"  D  +  AR2 


A  A 


=  0, 


H  désignant  le  discriminant  du  polynôme  (2)  et  A  celui  du  poly- 
nôme o{x,y,  z)  ;  mais,  en  vertu  de  l'identité  (3),  A  =  A^to-,  donc 


R2=  — 


H 

A*w2' 


Les   conditions   pour  que    l'équation   (2)  représente  une  sphère 
réelle  sont  donc,  dans  le  cas  général, 


A  =^0, 

A  =  A'  =  A"  : 

H<o. 


B 

cosX 


B' 


B" 


COS'JL  COSV 


Si  H  >>  o,  les  coordonnées  du  centre  sont  réelles  et  R  est  imagi- 
naire sans  partie  réelle. 

D'après  cela,  l'équation  générale  des  sphères  peut  se  mettre  sous 

la  forme 

A'\i(x,  y,  z)  -\-  iCx  -\-  9.0' j  -h  iC'z  +  0  =  0. 

Convention.  —  Toutes  les  fois  que  nous  supposerons  A  =  i ,  nous 
représenterons  par  a-  le  premier  membre  de  l'équation  d'une 
sphère. 


SPHÈRE.  89 

111.  Équations  d'un  cercle.  —  Un  cercle  peut  être  défini 
comme  étant  l'intersection  d'une  sphère  par  nn  plan.  D'après  cela, 
si  nous  représentons  par  t  =  o  l'équation  d'une  sphère  et  par  P  =  o 
l'équation  d'un  plan,  les  équations  d'un  cercle  seront 

cr  =  o,        P  =  o. 

Si  )^  et  [JL  sont  deux  paramètres  variables,  les  équations 

représentent  une  infinité  de  cercles  situés  dans  des  plans  parallèles 
à  un  plan  fixe,  et  dont  les  centres  se  trouvent  sur  une  droite  fixe 
perpendiculaire  à  ce  plan;  en  effet,  si  \  varie,  le  centre  de  la  sphère 
représentée  par  l'équation  '7^=\  reste  fixe  et  l'on  obtient  le  centre 
d'un  des  cercles  considérés  en  abaissant  une  perpendiculaire,  du 
centre  de  la  sphère  sur  laquelle  il  se  trouve,  sur  son  plan. 


PUISSANCE    D  UN    POINT    PAR    RAPPORT    A    UNE    SPHERE. 

112.  Soient  .To,  .l'o,  ^0  les  coordonnées  d'un  point  P.  Une 
sécante  menée  par  P  coupe  une  sphère  représentée  par  l'équation 
f{x,y,  s)  =  o,  en  deux  points  Q,  R. 

Si  l'on  désigne  par  a,  ^,  y  les  paramètres  directeurs  de  la  sé- 
cante, les  coordonnées  des  points  d'intersection  s'obtiendront  en 
remplaçant,  dans  les  formules 

p  par  les  racines  de  l'équation 

Si  le  coefficient  de  x-  est  égal  à  A,  le  terme  en  p-  a  pour  coeffi- 
cient At|<(a,  ^,  y),  et  le  terme  tout  connu  sera  f{xo,yo:  ^o)-  On  en 
conclut 

PQ.PR  =  /(^o,ro.-go)  ^  ^,_  ^j^ 
A 

d  étant  la  distance  du  point  P  au  centre  de  la  sphère.  Les  calculs 
sont  les  mêmes  que  dans  le  cas  du  cercle  (I,  235). 


go  CHAPITRE    V. 

Le  produit  PQ.PR,  indépendant  de  la  direction  de  la  sécante,  se 
nomme  \di puissance  du  point  P  par  rapport  à  la  sphère  considérée. 
Cette  puissance  est  positive,  nulle  ou  négative,  suivant  que  le 
point  P  est  extérieur  à  la  sphère,  sur  sa  surface  ou  intérieur. 

Le  lieu  des  points  ayant  une  puissance  donnée  par  rapport  à  une 
sphère  est  une  sphère  concentrique  à  la  première. 


PLAJV   RADICAL    DE  DEUX   SPHERES.  INTERSECTION  DE   DEUX   SPHERES. 

113.  Le  lieu  des  points  d^ égale  puissance  par  rapport  à  deux 
sphères  est  un  plan  perpendiculaire  à  la  ligne  des  centres  des 
deux  sphères. 

En  effet,  si  l'on  représente  par  (t(jc,  jk,  s)  =  o,  (T,(^,y,  3)  =  o 
les  équations  des  deux  sphères,  le  lieu  demandé  a  évidemment  pour 

équation 

a(^,j,  z)  —  T,(.r,7,  :;)  =  o, 

ou,  pour  abréger, 

a  —  7,  =  o. 

Pour  trouver  les  points  communs  aux  deux  sphères  données,  il 
suffît  de  résoudre  le  système  o-  =  o,  t  —  a-,  =  o.  La  seconde  équa- 
tion représentant  un  plan,  on  en  conclut  que  l'intersection  de  deux 
sphères  est  un  cercle. 

Si  l'on  prend  des  axes  rectangulaires,  on  vérifie  immédiatement 
que  le  plan  radical  est  perpendiculaire  à  la  ligne  des  centres. 

114.  Les  plans  radicaux  de  trois  sphères,  prises  deux  à  deux, 
se  coupent  suivant  une  droite . 

En  effet,  soient  (r  =  o,  a-,  =  o,  o-^  =  o  les  équations  des  trois 
sphères  données;  leurs  plans  radicaux  ont  pour  équations 

ff  —  jj  =r  o,         aj  —  ^2  =  o,  a2  —  a  =  o. 

La  somme  des  premiers  membres  est  identiquement  nulle;  donc 
ces  trois  plans  ont  une  droite  commune  définie  par  les  équations 

(T  =  J]  =  (Tj. 

Cette  droite,  que  nous  nommerons  Vaxe  radical  des  trois  sphères, 


SPHÈKE.  91 

est  perpendiculaire  au  plan  des  centres.  Si  les  centres  sont  en  ligne 
droite,  elle  est,  en  général,  rejetée  à  l'infini. 

lio.  Les  plans  radicaux  de  quatre  sphères,  prises  deux  à 
deux,  ont  un  point  commun. 

En  efl'et,  il  suffit  de  considérer  l'axe  radical  des  trois  premières 
sphères,  défini  par  les  éqtiations 

7  =  ji  =  jj 

et  le  plan  radical  de  la  première,  par  exemple,  et  de  la  quatrième 

On  voit  que  la  droite  et  le  plan  ainsi  obtenus  se  coupent  au  point 

défini  par  les  équations 

3  =  ji  =  (J2  =  53 

et  qui  a  même  puissance  par  rapport  aux  quatre  sphères.  C'est  leur 
centre  radical. 

116.  Equation  générale  des  sphères  passant  par  V intersection 
de  deux  sphères  ou  d^une  sphère  et  d'un  plan. 

Soient  T  =  o,  o-,  =  o,  P  =  o  les  équations  de  deux  sphères  et  d'un 
plan.  L'équation  générale  des  sphères,  passant  par  l'intersection  des 
deux  premières,  est  a-  4-  )v'7,  =  o  ;  celle  des  sphères  passant  par  l'in- 
tersection de  la  première  et  du  plan  P  est  t  +  XP  =  o.  Démonstra- 
tion par  le  procédé  habituel. 

117.  Cercle  de  l'infini.  —  Deux  sphères  peuvent  occuper  les  mêmes 
positions  relatives  que  deux  cercles  situés  dans  un  plan;  elles  peuvent  n'avoir 
aucun  point  commun,  un  seul  point  commun  qui  est  alors  situé  sur  la  ligne 
des  centres,  ou  enfin  se  couper  suivant  un  cercle.  Mais,  de  même  que  deux 
cercles  situés  dans  un  plan  ont  en  commun  deux  points  imaginaires,  qui  ap- 
partiennent à  tous  les  cercles  tracés  dans  ce  plan,  de  même  toutes  les  sphères 
ont  en  commun  un  cercle  imaginaire  à  l'infini,  qu'on  nomme  le  cercle  de 
Vinfini.  Pour  expliquer  le  sens  de  cette  proposition,  écrivons  sous  forme 
homogène  l'équation  d'une  sphère  quelconque 

^{x,y.,  2)  -\-  iQaxI  -\-  "iCyl  ■+-  2  C zt  -1-  D/*  =  o. 

Cette  équation  est  vérifiée  si  l'on  pose 

^  =  0,         ^{x,y,z)  =  o. 


92  CHAPITKE    V. 

Nous  dirons  que  toute  solution  xq,  yo,  -So)  ^o  de  ce  système  représente  ui» 
point  et,  comme  ^o  =  o,  nous  dirons  que  c'est  un  point  à  l'infini.  Nous  avon* 
déjà  convenu  de  dire  que  t  =  o  est  l'équation  d'un  plan  fictif  nommé  le  plan 
de  Vinjini.  Or,  l'équation 

^{x.y,z)  =  o 

n'a  que  des  solutions  imaginaires,  si  on  laisse  de  côté  la  solution  x  =  o, 
y  —  o,  z  =  o;  d'autre  part,  soit  J^ojJKo»  ^o  une  solution  quelconque;  l'équa- 
tion est  encore  vérifiée  si  l'on  pose 

a-  =  X a^o ,         y  =  XjKo  ,         z=lzo, 
c'est-à-dire 

.T         y         z        ^ 

^0        JKo        -So 

On  convient,  comme  nous  le  savons,  dédire  que  les  équations  précédentes,. 
à  coefficients  imaginaires,  représentent  une  droite  imaginaire  issue  de  l'ori- 
gine et,  par  suite,  la  surface  représentée  par  '\i(a:,  y,  z)  =  oesl  une  surface 
imaginaire  n'ayant  qu'un  point  réel  :  l'origine,  et  formée  par  des  droites  ima- 
ginaires issues  de  l'origine;  c'est  ce  qu'on  nomme  un  cône,  mais  un  cône 
imaginaire.  A  un  autre  point  de  vue,  c'est  aussi  une  sphère  ayant  son  centre 
à  l'origine  et  son  rayon  égal  à  zéro. 

D'après  cela,  l'ensemble  des  solutions  du  système 

/  =  o,         'l{T,y,z)  =  o 

est  ce  que  l'on  nomme  le  cercle  de  l'infini.  Le  cône  représenté  par  l'équa- 
tion '^^Crr,  ^,  z)  =  o  peut  être  considéré  comme  ayant  pour  sommet  l'origine 
des  coordonnées  et  pour  directrice  le  cercle  de  l'infini. 

Si  l'on  fait  une  transformation  de  coordonnées  en  conservant  l'origine 
et  que  a?',  j)'',  ^' désignent  les  nouvelles  coordonnées  d'un  point  quelconque 
M(a7,  y.  z),  on  a 

^{x,y,z)~^{x',y\z'), 

de  sorte  que  le  cône  considéré  ne  change  pas.  Si  l'on  suppose  les  axes  rec- 
tangulaires, ce  cône  a  pour  équation 

j"2_i_j2  -+-^2  —  0, 

Le  plan  xOy  est  un  plan  quelconque  mené  par  le  sommet  du  cône;  il  coupe 
ce  cône  suivant  les  deux  droites  définies  par  le  système 

5  =  o,         x'-t- j'-  =  o, 

c'est-à-dire  suivant  les  droites  isotropes  issues  de  l'origine  et  tracées  dans 
le  plan  xOy.  On  voit  ainsi  que,  par  un  point  quelconque  de  l'espace,  on 
peut  mener  une  infinité  de  droites  isotropes,  qui  sont  situées  sur  un  cône 
déterminé  ayant  ce  point  pour  sommet;  nous  pouvons,  en  effet,  prendre  le 
point  considéré  pour  origine  des  coordonnées  et,  par  suite,  lui  appliquer  ce 


spiiÈRK.  g3 

■qui  précède.  Pour  cette  raison,  le  cône  représenté  par  l'équation  '^^(3:,  j,  5)  =  o 
se  nomme  le  cône  isotrope  ayant  pour  sommet  l'origine. 

Le  cône  isotrope  ayant  pour  sommet  un  point  quelconque  (^oj  ^oi  -^o)  a 
pour  équation 

•c'est  la  même  chose  que  la  sphère  de  rayon  nul  ayant  ce  point  pour  centre. 
Gela  tient  à  ce  que  la  distance  de  deux  points  situés  sur  une  droite  isotrope 
■est  nulle  et  réciproquement. 

Remarquons  enfin  que,  si  l'on  fait  une  transformation  de  coordonnées,  le 
j)lan  de  l'infini  ne  change  pas;  donc  le  cercle  de  l'infini  est  une  courbe  abso- 
Jument  invariable. 

Toutes  les  sphères  ont  donc  en  commun  le  cercle  de  l'infini  et,  récipro- 
quement, toute  surface  du  second  degré  qui  passe  par  le  cercle  de  l'infini  est 
une  sphère.  En  effet,  si  l'on  pose  ^  =  o  dans  l'équation  d'une  surface  de 
-second  degré,  on  obtient 

?(^»r.  -)  =  o. 

En  d'autres  termes,  la  courbe  représentée  par  les  équations 

?(-2^.r, -)  =  0.      t  =  o 

•est  située  sur  cette  surface.  On  voit,  comme  plus  haut,  que  la  première  équa- 
tion est  celle  d'un  cône  ayant  son  sommet  à  l'origine;  pour  que  le  plan  de 
.rinfini  coupe   ce    cône  suivant  le   cercle  de  l'infini,    il    faut  et  il  suffit   que 

^(•a^,^.^)^  A.J/(a7,j',  z); 

<ce  qui  démontre  que  la  surface  doit  être  une  sphère. 
Cela  étant,  soient 

'i^{x,y,z)-{-'i.Cxt  -^'îC  yt  ^iC  zt  -^  D/2    =  o, 
'if{x^y,z)-{-'i.C{Xt-T''i(Z\yl-\--i.(^'[zt-^-  T>it-  —  o 

iles  équations  de  deux  sphères.  Les  points  communs  à  ces  deux  surfaces  sont 
définis  par  le  système  de  ces  deux  équations,  que  l'on  peut  remplacer  par  le 
système  formé  par  la  première,  par  exemple,  et  par  l'équation 

i[2(G  — C,)a:-t--2(G'— C'j^K-hafC— C';)^-H  D  — Di)/]  =  o. 

Or,  cette  dernière  se  décompose  en  deux  ;  f  =  o  donne  le  plan  de  l'infini  et  le 
second  facteur  donne  le  plan  radical.  Donc  l'intersection  complète  de  deux 
sphères  se  compose  de  deux  cercles,  dont  l'un  est  le  cercle  de  l'infini. 

Si  deux  sphères  sont  concentriques,  le  second  cercle  se  confond  avec  le 
•cercle  de  l'infini. 

H8.  On  nomme  plan  isotrope  tout  plan  tangent  au  cercle  de  l'infini. 
Supposons  les  axes  rectangulaires  et  cherchons  la  condition  pour  qu'un  plan, 


94  CUAI'ITKE    V. 

passant  par  l'origine  et  ayant  pour  équation 

ux  -h  i>y  -{-  w z  =  o, 
soit  isotrope. 

Les  droites  communes  à  ce  plan  et  au  cône  isotrope 

devant  être  confondues,  nous  avons  à  faire  le  même  calcul  que  s'il  s'agissait 
d'exprimer  qu'une  droite  est  tangente  à  une  conique  représentée  dans  un 
plan  en  coordonnées  homogènes. 
La  condition  demandée  est  donc 


Cela  posé,  soient 

ôp  _  y        z 

les  équations  d'une  droite  isotrope  et,   par  suite,  supposons 

Soient  a',  p',  y'  les  paramètres  directeurs  d'une  seconde  droite;  nous  appel- 
lerons cosinus  de  l'angle  de  deux  droites  imaginaires  l'expression  analy- 
tique formée  avec  les  paramètres  de  ces  droites,  qui  représente  le  cosinus  de 
leur  angle  quand  elles  sont  réelles.  D'après  cela,  pour  les  deux  droites  que 
nous  considérons,  la  formule 


cos  V  = 


aa'-l-  p^'-t-yy' 


/a2  4-  |B2  -+-  ^çi  /a'2  +  ^'2  -(-  y' 


montre  que  cosV  est  infini.   Cette  conclusion  n'est  pas  légitime  si  la  seconde 
droite  est  parallèle  au  plan  isotrope  défini  par  l'équation 

aa7+  pr  +  Y-  =  o^ 

et  qui  n'est  autre  chose  que  le  plan  tangent  au  cône  isotrope  mené  par  la  droite 
isotrope  considérée;  dans  ce  cas,  cosV  est  indéterminé. 

La  normale  au  plan  précédent  est  la  droite  isotrope  considérée  elle-même; 
donc  la  perpendiculaire  à  un  plan  isotrope,  menée  par  l'un  de  ses  points,  s'y 
trouve  contenue  tout  entière. 


Exprimer  que  deux  sphères  sont  orthogonales. 

119,  Définissons  provisoirement  le  plan  tangent  en  un  point  à 
une  sphère,  le  plan  perpendiculaire  en  ce  point  à  l'extrémité  du  rayon 
qui  y  passe;  nous  dirons  que  deux  sphères  sont  orthogonales  quand 
les  plans  tangents,  menés  en  chacun  des  points  de  leur  intersection. 


SIMli-RE.  95 

sont  perpendiculaires.  Il  faut  et  il  suffit,  pour  qu'il  en  soit  ainsi,  (|ue 

(P  =  K2  -1-  R'î , 

d  désignant  la  distance  des  centres  et  R,  IV  les  rayons  des  deu\ 
sphères. 

En  raisonnant  comme  dans  le  cas  des  deux  cercles  (I,  243),  on 
obtient  la  condition 


I 

COSV 

COSii. 

G 

COSV 

I 

cosX 

G' 

COSfJL 

cosX 

1 

G" 

2  G, 

ac; 

ac; 

DA 

+ 

AD, 

Cette  condition  est  linéaire  par  rapport  aux  coefficients  de  cha- 
cune des  deux  équations  et  réciproquement;  si  les  coefficients  va- 
riables de  l'équation  d'une  sphère  sont  liés  par  une  équation  linéaire 
et  homogène,  la  sphère  variable  représentée  par  cette  équation  est 
orthogonale  à  une  sphère  fixe. 


120.  Equation  de  la  sphère  circonscrite  à  un  tétraèdre,  en  coordon- 
nées tétraédriques. 

Soient  xi,  yi,  Zi{i  =  i,  2,  3,  4)  les  coordonnées  des  sommets  A,  B,  G,  D  du 
tétraèdre,  rapporté  à  trois  diamètres  rectangulaires  de  la  sphère  circonscrite 
à  ce  tétraèdre.  Nous  ferons  la  transformation  suivante  : 

X  =  7.X1  -h  '^Xi-\-  yX3  -+-  OX:,  , 

Z  =   %Zi  -l-  p  -2  -+-  Y -3  -t-  O^V  , 

t  =  OL      -h^      -+-Y      +8     , 
en  substituant  dans  l'équation 

x^  +  j2  ^z"-  —  R2  f^  =  o, 

nous  voyons   immédiatement  que  les  coefficients  de  7.^,^^,^^,  0*  sont  nuls 

—  2 
et  que  le  coefficient  de  a^  est  égal  à  — 2AB  .  Si  nous  désignons  par  a,  b,  c 

les  arêtes  AB,  AG,  AD,  et  par  d,  e,/les  arêtes  respectivement  opposées  aux 
premières  GD,  BD,  BG,  on  a  identiquement 

a;2  4-^2  -H  ;:2  _  Rî  f2  =  —  (a2  a  ^i  -)-  /Ç»2  a  Y  -4-  c^a  0  -t-/*  '^y -^  e^^o  ^  d'--^;rj  ). 

Le  discriminant  du  premier  membre  est  égal  à  —  R*,   celui  du  second  a 


96 

pour  expression 


i6 


CHAPITRE   V. 

O  «2  62  c2 

«2  o  /2  e2 

62  /2  o  ^2 

C2  e2  f/2  o 


D'autre  part,  le  module  de  la  substitution  est  égal  à  ±  6V,  V  désignant  le 
volume  du  tétraèdre  ;  donc 

I 


36R2V2  = 


i6 


D, 


D  désignant  le  déterminant  précédent.  Or  ce  déterminant,  qui  a  pour  ex- 
pression 

peut  se  mettre  sous  la  forme 

—  {ad-+-  he  -\-  cf){ad  -+-  be  —  c/){ad —  be  -+-  cf){ —  ad -^  be  +  cf) 

et,  par  conséquent,  si  l'on  pose  ad -\- be -\- cf  =  as,  on  a 

36R2V2  =  s{s  —  ad){s  —be){s  —  cf). 

Les  paramètres  a,  p,  y»  o  sont  les  coordonnées  barycentriques  du  point 
ayant  pour  coordonnées  cartésiennes  x,  y,  z.  L'équation  de  la  sphère  cir- 
conscrite au  tétraèdre  de  référence  a  donc  pour  équation,  en  coordonnées 
barycentriques, 

a2a^  -l-62aY  +  c^ao  -!-/2;3y  H-e2j35  _|_  c?2.^g  _  o. 

Si  l'on  désigne  par  A,  B,  C,  D  les  aires  des  faces  du  tétraèdre,  et  par 
«1)  Pi,  Ti)  Oi  les  coordonnées  normales,  il  suffira  de  poser  a  =  Aai ,  p  =  B  ^j, 
■y  =  Gyi,  s  =D8i  pour  avoir  l'équation  de  la  sphère  en  coordonnées  nor- 
males. En  ajoutant  au  premier  membre  de  l'équation  trouvée  l'expression 

(Aaj  -H  B^i  -I-  Cyi  +  Doi)(Aa,  +  /i^i  -+-  l'(i  -+-  moi), 

on  aura  l'équation  d'une  sphère  quelconque. 

Remarque.  —  On  appelle  quelquefois  triangle  adjoint  à  un  tétraèdre 

le  triangle  dont  les  côtés  ont  pour- mesures  ad,  be,  cf.  Si  l'on  désigne  par  S 

l'aire  de  ce  triangle,  on  a 

36R2V2==  S2. 

Si  les  quatre  points  A,  B,  G,  D  sont  sur  un  cercle,  R  doit  être  indéterminé, 
on  a  V  =  o,  donc  S  =  o,  c'est-à-dire 

ad  ûi  be  ±  cf  =  o. 

C'est  le  théorème   de  Ptolémée.  Réciproquement,  si  cette   relation  a  lieu, 


SPHÈRE.  97 

RV  =  o.  Alors,  ou  bien  les  quatre  points  sont  dans  un  même  plan  sur  un 
cercle,  ou  bien  ils  ne  sont  pas  dans  un  même  plan  ;  dans  ce  dernier  cas  Vjî^o, 
donc  R  =  o;  ils  sont  donc  alors  sur  une  même  sphère  de  rayon  nul.  (Cours 
de  M.  G.  Darboux,  à  la  Sorbonne,  1890-91.) 


Inversion. 

121.  Soient  O  un  point  fixe  et  M  un  point  variable;  si  l'on  prend  sur  OM 
un  point  M'  tel  que  OîSJ  .  OM' =  k,  k  étant  une  constante  positive  ou  néga- 
tive {k  =  ±  a',  a  désignant  une  longueur),  on  dit  que  la  figure  décrite  par  M' 
est  l'inverse  de  la  figure  décrite  par  !\1,  par  rapport  au  point  0,  qu'on  nomme 
\e  pôle  d'inversion. 

Si  l'on  prend  trois  axes  rectangulaires,  issus  du  point  O,  et  si  l'on  dé- 
signe par  x,  y,  z  les  coordonnées  de  M  et  par  a?',  y\  z'  celles  de  M',  on  a 


X 

= 

OM 
OM' 

= 

k 

k 

x 

OM' 

2       ar'2 

^y'i 

-H  2' 

'2 

kx' 

et  de  même 


r  =  ^7 


z-'- ->r  y"^ -\- z"^ 
ky'  kz' 


x'^  -i- y'-  -\-  z''^  x''^-hy''^ 


Donc  si  le  point  M  décrit   une  surface  ayant  pour  équation  /(x,y,  z)  =  o, 
le  lieu  de  M'  sera  aussi  une  surface  définie  par  l'équation 

/  kx  ky  kz  \  _ 

•^  \x- -h  y'^ -\- Z-'  X- -T-y- -h  z'^'  x^ -h  y- -r- z'J 

Il  en  résulte  immédiatement  que  si  M  décrit  une  ligne,  intersection  de 
deux  surfaces,  M'  décrit  aussi  une  ligne,  intersection  des  deux  surfaces  res- 
pectivement inverses  des  premières. 

L'inverse  d'un  plan  est  une  sphère  passant  par  le  pôle  d'inversion,  et 
réciproquement;  en  effet,  pour  plus  de  simplicité,  prenons  pour  axe  des  x 
la  perpendiculaire  au  plan  menée  par  le  pôle;  l'équation  de  ce  plan  étant 
X  =  a,  son  inverse  a  pour  équation 

kx  =  a{x^-\-y^  -f-^'). 

Réciproquement,  on  peut  mettre  l'équation  d'une  sphère  passant  par  le 
pôle  sous  la  forme  précédente  et,  par  suite,  son  inverse  est  un  plan  perpen- 
diculaire au  diamètre  passant  par  ce  pôle. 

L'inverse  d'une  sphère  quelconque  est  une  sphère  ne  passant  pas  par  le 
pôle.  Démonstration  immédiate. 

L'inverse  d'un  cercle  est  un  cercle;  car  un  cercle  peut  être  défini  comme 
l'intersection  de  deux  sphères. 

NiEWENGLOWSKI.  —  G.  an.,  III.  7 


gS  CHAPITKE    V. 

Si  l'on  considère  deux  points  M',  M"  correspondant  à  deux  valeurs  diffé- 
rentes de  la  puissance  d'inversion  A-,  k\  on  a 

ÔM  .  ÔM'  =  k,         ÔM .  OM"  =  k\ 
donc  

Oi\r  _  1^ 

et,  par  suite,  M"  et  M'  décrivent  des  figures  homothétiques  par  rapport  au 
point  0.  On  a  alors 

f!  _  /'  _  ^'  _  ^' 

x'  ~  y  ~  z'  ~  k 

EXERCICES. 

1.  Lieu  des  points  dont  le  rapport  des  distances  à  deux  points  fixes  est 
constant. 

2.  Lieu  des  points  tels  que  la  somme  des  carrés  de  leurs  distances  à  des 
points  fixes  soit  constante,  chaque  carré  étant  multiplié  par  un  coefficient 
constant. 

3.  Lieu  des  points  télé  que  les  pieds  des  perpendiculaires  abaissées  de 
chacun  d'eux  sur  les  faces  d'un  tétraèdre  soient  dans  un  même  plan. 

4.  Lieu  des  points  tels  que  les  pieds  des  perpendiculaires  abaissées  de 
chacun  d'eux  sur  les  faces  d'un  tétraèdre  forment  un  tétraèdre  de  volume 
constant. 

5.  Déterminer  les  coordonnées  des  centres  de  similitude  de  deux  sphères. 

6.  Étant  données  quatre  sphères,  six  centres  de  similitude  de  ces  sphères 
prises  deux  à  deux,  convenablement  choisis,  sont  dans  un  même  plan.  Le 
nombre  total  de  ces  plans  est  égal  à  8.  Former  leurs  équations. 

7.  Former  l'équation  de  la  sphère  qui  passe  par  les  sommets  d'un  tétraèdre 
connaissant  les  coordonnées  rectilignes  des  sommets. 

8.  Former  l'équation  de  la  sphère  circonscrite  à  un  triangle  et  dont  le 
centre  est  dans  le  plan  de  ce  triangle,  connaissant  les  coordonnées  des  som- 
mets du  triangle.  Cas  particulier  :  }es  sommets  du  triangle  sont  sur  les  axes 
de  coordonnées. 

9.  Déterminer  une  sphère  tangente  à  quatre  plans.  Calculer  les  rayons 
des  sphères. 

10.  Déterminer  une  sphère  tangente  à  quatre  sphères.  (Voir  Leçons  de 
l  Agrégation,  par  M.  G.  Kœnigs.) 

H.  Trouver  le  lieu  des  points  de  contact  des  sphères  tangentes  à  trois 


spiilîiiE.  99 

sphères  données. —  On  pourra,  à  l'aide  d'une  inversion,  remplacer  une  des 
sphères  données  par  un  plan. 

12.  Lieu  des  centres  des  sphères  qui  coupent  deux  sphères  données  suivant 
des  grands  cercles. 

13.  Lieu  des  centres  des  sphères  qui  coupent  trois  sphères  données  suivant 
des  grands  cercles. 

14.  Lieu  des  centres  des  sphères  qui  coupent  orthogonalement  deux  sphères 
données. 

13.  Lieu^des  centres  des  sphères  qui  coupent  orthogonalement  trois  sphères 
données. 

16.  Former  l'équation  de  la  sphère  qui  coupe  orthogonalement  quatre 
sphères  données. 

17.  Trouver  le  rayon  de  la  sphère  de  centre  donné  qui  coupe  une  droite  A 
en  deux  points  A,  B  et  une  droite  A'  en  deux  points  A',  B',  de  sorte  que  le 
tétraèdre  ABA'B'  soit  équivalent  à  un  cube  donné. 

18.  Si,  sur  une  sphère  de  rayon  pris  pour  unité,  on  trace  une  courbe  quel- 
conque, on  a,  entre  les  coordonnées  o",  ^,  z  de  tout  point  de  cette  ligne,  la 
relation 

(  .r'î  +  y 2  -f-  -'^  )  [  ( xf  —  yx"Y  4-  ( JK^"  —  zy" y  -^(zx"  —  xz"  y  ] 

^{x'x"-^y'y"+z'zy■^r\x{y'z"—z'f)^y{z!x"—x'^:')^z{^x'f—y'x'')Y, 

dans  laquelle  les  accents  des  dérivées  sont  relatifs  à   une  variable  indépen- 
dante. (E.  Catalan.) 

19.  Fêtant  données  trois  sphères,  on  peut  leur  mener  huit  plans  tangents 
communs,  deux  extérieurs,  six  intérieurs. 

La  somme  algébrique  des  dislances  d'un  point  quelconque  aux  deux  plans 
extérieurs  est  égale  à  la  somme  algébrique  des  distances  de  ce  point  aux  six 
plans  intérieurs.  (Stoll.) 

20.  Aux  faces  d'un  tétraèdre  ayant  un  sommet  commun  A  on  circonscrit 
trois  sphères  égales.  Démontrer  que  les  plans  tangents  aux  points  diamétra- 
lement opposés  à  A  se  coupent  sur  la  corde  commune  aux  trois  sphères. 


lOO  CHAPITRE   VI. 


CHAPITRE   VI. 

COURBES  GAUCHES  :  TANGENTE,  PLAN  OSGULATEUR,  COURBURES. 


Équations  de  la  tangente  à  une  courbe. 

122.  Considérons  une  courbe  quelconque;  on  peut  la  définir  au 
moyen  de  deux  équations 

f{^,y,z)  =  o,       fi{x,y,z)=o, 

d'où  il  résulte  que  les  coordonnées  x^  y  d'un  quelconque  de  ses 
points  peuvent  êlre  regardées  comme  des  fonctions  de  z\  et,  par 
suite,  si  l'on  fait  un  changement  de  variables  en  posant  z  =  '^{t)., 
les  deux  autres  coordonnées  deviendront  des  fonctions  de  la  nou- 
velle variable  t]  en  définitive,  les  trois  coordonnées  x,  y,  -z  seront 
des  fonctions  de  t  : 

Réciproquement,  un  pareil  système  d'équations  définit  une  courbe, 
car  les  équations 

définissent  un  cylindre  parallèle  à  l'axe  des  z,  et  les  équations 

X=f{t),  Z  =  '^{t) 

définissent  un  second  cylindre  parallèle  à  l'axe  àes  y\  l'intersection 
de  ces  deux  cylindres  est  le  lieu  représenté  par  le  système  consi- 
déré. 

Gela  étant,  soient  M  et  M'  deux  points  de  la  courbe,  correspondant 
à  des  valeurs  i  et  ^  +  A^  du  paramètre;  la  sécante  MM'  a  pour  équa- 
tions 

x—f{t)        ^       y-^jt^        _^        z  —  ^jt) 


COURBES   GAUCHES.  10 t 

les  paramètres  de  la  sécante  MM'  sont  proportionnels  à 

/'(t  +  0\t),     cf'(<  +  0AO,     '!^'{t-i-(iM)         (o<0<i). 
Ces  expressions  ont  pour  limites  respectivement 
fit),    o'(0,    f(0. 
La  droite  ayant  pour  équations 

-r—fit)  ^  y  — oit)  ^  z-^{t) 

fit)  «p'(0  f(0 

est  la  tangente  en  M  à  la  courbe  donnée. 

On  peut  remarquer  que  la  projection  de  la  courbe  donnée  sur  le 
plan  xOy  étant  définie  parles  équations  x  =f(t)^  y  =  '-p('),  on  vé- 
rifie ainsi  que  la  projection  d'une  tangente  est  tangente  à  la  projec- 
tion de  la  courbe. 

On  peut  encore  écrire  ces  équations  sous  la  forme  suivante  : 

X  —  x  _  Y— jK  _  Z  —  z 

dx  dy  dz 

X,  Y,  Z  désignant  les  coordonnées  courantes  et  x,  y,  z  celles  du 
point  M. 

On  voit  ainsi  que  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  la 
tangente  sont  de  la  forme 

.   dx  ^  dy  ,   dz 

X  +  l-^-^,       ^  +  X^,       Z  +  A-. 

La  tangente  en  M  n'est  déterminée  que  si  les  dérivées/'(^),  'f'(z), 
•y(i)  ne  sont  pas  nulles  toutes  les  trois. 

Si  la  courbe  est  définie  comme  intersection  de  deux  surfaces,  par 

les  équations 

/(x,  r,  z)  =  o,        /i{x,y,  z)  =  o, 
on  a 

-^  dx^  ^  dy^  ^  dz  =  o,         -f^  dx -^  -Ç- dy -h -^^  dz  -  o 

dx  dy    "^        ôz  dx  Oy    "^         ôz 

et  les  équations  de  la  tangente  en  M(^,  y^  z)  sont 

\  —  x  _  Y~y  ^     Z  — z 

àlà2x_àfàf~'dldf^_dlàf,~dfd/^_dldj^^ 
dy  dz        dz  dy        dz  dx        dx  dz        dx  dy        dy  dx 


102 

ou  encore 


CHAPITRE   VI. 


dy 


Plan  normal. 


123.  On  nomme  plan  normal  en  un  point  d' une  courbe  le 
plan  perpendiculaire  à  la  tangente  au  point  de  contact. 

Si  les  axes  sont  rectangulaires,  l'équation  de  ce  plan  est 

{X-x)dx-\-{Y  —y)dy  +  {Z  —  z)dz  =  o 
OU,  si  l'on  veut, 

[X-/(0]/'(«)  +  [Y-ç(0]?'(0  +  [Z-<{>(0]<î''(O  =  o. 

Quand  la  courbe  est  déterminée  par  deux  équations,  comme  plus 
haut,  en  éliminant  dx.,  dy,  dz  entre  l'équation  du  plan  normal  et  les 
équations  obtenues  en  différentiant  les  deux  équations  données,  on 
met  l'équation  du  plan  normal  sous  la  forme  suivante  : 


X  —  X 

Y-r 

Z  — 

àf 

àf 

àf 

dx 

àf 

dz 

àA 

àA 

àA 

dz 

ày 

dz 

Longueur  d'un  arc  de  courbe. 

124.  Si  l'on  considère  un  arc  de  courbe  AB  et  deux  points  M,  M'  de  cet 
arc  ayant  pour  coordonnées  x,  y,  z  et  x  -{-  \x,  y  h-  A/,  z  -H  Az,  la  corde 
MM'  a  pour  longueur 

v/Aa-2  +  Aj^2  _,_  ^32 


AiP 


\/'-{% 


A^\2 
X-xj  ' 


en  supposant  les  axes  rectangulaires.  Si  l'on  inscrit  dans  l'arc  AB  une  brisée 
dont  chaque  côté  ait  pour  limite  zéro,  les  extrémités  de  cette  brisée  étant  A 
et  B,  ou  du  moins  ayant  pour^  limites  les   extrémités  fixes  A  et  B  de  l'arc 


GOURDES    GAUCHES.  I03 

considéré;  en  répétant  les  mêmes  raisonnements  que  dans  le  cas  d'une  courbe 
plane,  on  démontre  que  le  périmètre  de  la  brisée  a  une  limite  ayant  pour 
expression 


LV 


'^^Èï-^iÈy^'' 


Xo  et  Xi  étant  les  abscisses  de  A  et  B,  en  supposant  que,  si  un  point  M  par- 
court l'arc  AB,  l'abscisse  de  ce  point  va  en  croissant  de  Xo  à  Xi.  Cette  limite, 
indépendante  de  la  nature  de  la  brisée  dont  tous  les  côtés  sont  seulement 
assujettis  à  tendre  vers  zéro,  se  nomme  la  longueur  de  Varc  AB.  Si  M  est 
un  point  variable  de  l'arc  AB,  la  longueur  de  l'arc  AM  est  une  fonction  de 
X  que  nous  représenterons  par  *,  de  sorte  que 


=XV-(ïr-(^:r- 


et  l'on  en  conclut 

ds^  —  dx^  -+-  dy"^  +  dz'*-. 

Le  rapport  de  l'arc  MM'  ou  As  à  la  corde  MM'  a  pour  limite  i,  quand  MM' 
tend  vers  zéro,  car 


MM'         /A.r2  ■+-  A>'2  -h  A32 


v/-(r:r-(ë/ 


As  As  /  ^*  \ 

Or,  le  numérateur  et  le  dénominateur  ont  la  même  limite  quand  Ar  tend 
vers  zéro. 

125.  Application  aux  tangentes.  —  Si  l'on  nomme  a,  3,  y  les  angles  que 
la  tangente  en  M  fait  avec  les  trois  axes  des  coordonnées,  on  a 

cosa       cosp        cosy         £ 
dx  dy  dz  ds 

t  étant  égal  à  -t- i  ou  à  — i,  el  ds  étant  la  différentielle  de  l'arc  s,  qui  cor- 
respond à  un  accroissement  dt  de  la  variable  indépendante.  Si  l'on    prend 

£  =  -+- 1,  on  a 

dx 

cosa  =  —7- , 
ds 

cl,  par  suite,  a  est  aigu  ou  obtus  suivant  que  s,  regardée  comme  fonction  de 
X,  est  une  fonction  croissante  ou  décroissante.  Si  l'on  considère  un  mobile 
M  décrivant  l'arc  AB,  si  ce  mobile  prend  deux  positions  infiniment  voisines 
M,  M',  qui  correspondent  à  deux  valeurs  ^  et  t  -h  \t  àa  paramètre,  le  point  M' 
est  d'un  côté  déterminé  du  plan  normal  en  M;  si  l'origine  des  arcs  est  placée 
de  façon  que  l'arc  s  croisse  avec  la  variable  t,  on  voit  que  £  =  4- 1  correspond 


I04  CHAPITRE   VI. 

à  la  demi-droite  MT  portée  sur  la  tangente  en  M,  qui  est  dirigée  relative- 
ment au  plan  normal  en  M,  du  même  côté  que  M',  c'est-à-dire  dans  le  sens 
du  mouvement. 

.  .      ,  ds 

Lorsque  la  variable  indépendante  est  le  temps,  un  segment  égal  à  -j-  et 

porté  sur  la  demi-tangente  MT  est  la  vitesse  v,  et  l'on  a 

dcc  dy  „  dz 

-— -— fcosa,  -^  =  Pcosp,  -j-  =  vcosy. 

dt  ^  dt  ^  dt  ' 

Ces  expressions  sont  les  composantes  de  la  vitesse  respectivement  paral- 
lèles aux  axes,  et 


Autre  définition  de  la  tangente. 

126.  On   peut   définir  la  tangente  à  une  courbe  de  la  manière  suivante. 
Soient 

X  —  ^_Y  —  y       Z  —  3 
abc 

les  équations  d'une  droite  menée  par  un  point  M  (a;,  y^  z)  d'une  courbe;  le 
carré  de  la  distance  à  cette  droite  du  point  M' {x -^  Lx,  y->r  £^y,  z -\- ^.z)  a 
pour  expression 

{b!i.x  —  a\yy--{-  {c^y  —  b^zY  +  (a\z  —  c\xy 

Or,  en  appelant  x',y',  z' ;  x",  y",  z",  ...    les  dérivées  de  x,  y,  z  par  rap- 
port à  la  variable  indépendante  t,  le  numérateur  a  pour  expression 


(é>a7'  —  af)  a;  -f-  i  {bx"  —  ay" ) Lt"^ -^  . .  ?( 


On  voit  ainsi  que  la  distance  considérée  est  du  premier  ordre  par  rapport  à 
Af,  à  moins  que  l'on  n'ait 

abc 

x'  ~  y  ~  z' 

et,  dans  ce  cas,  la  distance  est  au  moins  du  second  ordre;   elle  est  du  troi- 
sième ordre  si  l'on  a,  en  outre, 

x'     y     z' 

La  tangente  en  M  peut  donc  être  définie  comme  étant  une  droite  telle  que 
la  distance  d'un  point  M'  de  la  courbe  infiniment  voisin  de  M  à  cette  droite 
soit  infiniment  petite,  du  second  ordre  au  moins,  la  distance  MM'  étant  re- 


COL'RBES   UAVCIIES.  Io5 

MM' 

gardée  comme  étant  du  premier  ordre;  il  faut,  en  effet,  remarquer  que  — —  a 

...      ds 
pour  limite  -7-  ou  (^. 
'  dt 

Remarque.  —  Si  l'on  a  constamment 

x"  _  y" 

on  en  déduit 


X-     y     z'  ' 


d\os:,x'  _  dlogy  _  d\o^z' 
dt  dt  dt 

d'où,  en  intégrant  deux  fois,  Xq,  j'o,  zq  et  a,  b,  c  étant  des  constantes, 

^  —  ^0  _  r  —y»  _  ^  —  ^0 ^    __^    g^ç 

a  ù  c 

127.  Applicatiox.  —  Etant  données  les  coordonnées  rectangulaires 
Xq,  yo,  Zq  d'un  point  Mo  et  les  équations 

r  —  xi  ^  r— ri  _  ^  —  -51 
a  /)  c 

d'une  droite  A,  on  fait  tourner  le  point  Mq  d'un  angle  a  autour  de  A  et 
l'on  demande  les  coordonnées  du  point  Mj  avec  lequel  Mq  vient  coïncider 
après  cette  rotation. 

Soient  x' ,  y\  z'  les  coordonnées  du  point  G  de  rencontre  de  l'axe  A  avec 
le  plan  qui  lui  est  perpendiculaire  et  qui  passe  par  M,  de  sorte  que  G  est  le 
centre  du  cercle  que  décrit  le  point  Mo;  posons 

z  =  3'  -+-  Z  , 


X    —  x' -\-\  ,   ■ 

y  =y+Y, 

j"o=  a^'-hXo, 

ro^y-^- Yo, 

ce  qui  revient  à  prendre  le  point  C  pour  origine.  Si  l'on  nomme  s  l'arc  de 
cercle  compté  à  partir  de  Mo  que  décrit  le  point  mobile,  les  cosinus  direc- 

.      „  ,  ,  dX    d\    dZ    ^, 

teurs  de  la  tangente  en  un  point  M  du  cercle  sont  -%—  »  -t-j  -3-  •  U  autre  part, 

la  tangente  étant  perpendiculaire  au  rayon  OM  et  à  la  droite  A,  on  a,  en 
supposant  le  sens  positif  de  rotation  autour  de  cette  droite  convenablement 
choisi  (111,78)  et  en  appelant  r  le  rayon  du  cercle, 


d\        bZ—c\ 

d\        c\  —  a'ù            d'L        a\—b\ 

ds               r 

ds  ~         r        '          ds               r 

On  en  déduit 

r/2X  _  I  /     f/Z           d\\ 
ds^   ~  r\      ds           ds  / 

=  \[a(a\+bY-hcZ)-{a^-hbi-h 

I06  CHAPITRE    VF. 

Pour  simplifier,  supposons  a^-\-  b^-\-  c^  =  i;  d'autre  part,  le  plan  du  cercle 
étant  perpendiculaire  à  A,  on  a  aX-h  bY-+-  cZ  =  o;  donc  enfin 


d^X  _ 

X 

ds^   ~ 

7''^ 

e  même 

d-^Y            Y 

d"-!. 

Z 

ds-^     ~           7-2   ' 

ds-^  ~ 

~    7-2 

(Ces  formules  sont  évidentes  si  l'on  sait  que  l'accélération  dans  le  mouve- 
ment circulaire  uniforme  est  dirigée  vers  le  centre.)  On  déduit  des  équations 
précédentes 

S  S  s  ^  V  ç 

X  =  A  cos  -  -4-  B  sin  ->       Y  =  A'  cos  -  -h  B'  sin  -  ,       Z  =  A"  cos  -  -h  B"  sin  -  , 
r  7'  7-  7-  /•  r 

A,   B,   A',  B',   A",  B"  étant  des  constantes   arbitraires  {voir,  par  exemple, 
Cours  d'Algèbre,  t.  II,  p.  164).  Or,  si  5  =  o,  le  point  M  est  en  Mo;  donc 

A  =  Xo,         A'=Yo,         A"=Zo. 
En  second  lieu, 


Si  s  =  o, 


dX  i  ^     .     s        I  ^  s 

—r-  = Xo  sin i —  B  cos  -  • 

ds  r  r         r  r 


\   ds  /o  7-  7- 


S 

ce  qui   donne   B;   on  calcule  de   même  B'  et  C"  et,  par  suite,  si  -  =  a  on  a 

pour  le  point  Mi 

X=  Xf)  cos  a  -H  (èZo  —  c  Yq)  sin  a  , 

Y  =  Yq  cos  a  -I-  (  c  Xq  —  a  Zo  )  sin  a  , 

Z  =  Zq  cos  a  -+-  («Yq  —  6X0)  sin  a; 

on  en  déduira  facilement  x,  y,  z. 

Plan  osculateur. 

128.  Soit  M  un  point  d'une  courbe  correspondant  à  une  valeur  t  du  para- 
mètre et  soient  M'  et  M"  deux  points  correspondant  à  des  valeurs  t -\- hi, 
t  -\r  hi-\-  h^;  si  l'on  suppose  que  hi  et  h^  soient  des  infiniment  petits  du 
même  ordre,  le  plan  MM' M"  tend  vers  un  plan  limite  déterminé  quand  hi  et 
/i2  tendent  vers  zéro,  et  ce  plan  limite  se  nomme  le  plan  osculateur  en  M. 

En  effet,  l'équation  d'un  plan  mené  par  M  est  de  la  forme 

.      A(X— a7)  +  B(Y  — j)-t- G(Z  — ^)  =  o. 
Si  l'on  nomme  Aja?,  Aj^,  Ai 2  les  accroissements  de  x,  y,  z  qui  correspon- 


COURBES   GAUCHES.  IO7 

dent  à  l'accroisseinenl  hi  et  Aj,r,  ^iy,  AjS  ceux  qui  correspondent  à  Ai  -(-  /<î, 
on  exprime  que  ce  plan  passe  par  M'  et  par  M"  en  posant 

Alia?-4-  BA,^-i-  GAjS  =  o, 
A^tX  -hB\2y  -^  C!^îZ  =0. 

On  aura  donc,  à  la  limite  (II,  p.  24) 

A.cp'  -h  By  -h  G  3'  =0, 
Ax"^ïiy'-hGz"  =  o, 

et,  par  suite,  l'équation  du  plan  osculateur  en  M  est 

X  —  x,    \  —  y,    Z  —  z 


X  , 


y 
y" 


=  o; 


ce  qu'on  peut  écrire  encore 


X-x,     Y-y,     Z-z 
dx,  dy,  dz 

d'^x,        d^y,         d^z 


129.  Le  plan  osculateur  peut  être  défini  autrement:  en  effet,  \e  plan  mené 
par  la  tangente  en  M  et  parallèle  à  la  tangente  en  M'  a  pour  limite  le 
plan  osculateur  en  M,  quand  M'  vient  se  confondre  avec  M. 

Effectivement,  soit 

A(X— r)  +  B(Y  — 7)  +  C(Z  — 3)  =  o 

l'équation  d'un  plan  passant  par  M.  Ce  plan  contiendra  la  tangente  en  M  et 
sera  parallèle  à  la  tangente  en  M'  si  A,  B,  C  vérifient  les  conditions 

kx' -^  Bj''-f-  Cz'  =  o, 
A(:r'  +  A2-')  -4-  B(y-i-Ay)  +  C(z'-i-A3')  =  o. 

Cette  dernière  équation  peut  être  remplacée  par  celle-ci 


.   t^x        n  ^y        n  ^^ 

A h  B  -f-  -j-  C  -—  =  o , 

M  M  \t  ' 


qui,  à  la  limite,  devient 


A:r"-f-  ny-^Cz"  =  o. 


En  éliminant  A,  B,  G  on  retrouve  bien  l'équation  du  plan  osculateur  en  M. 
Enfin,  on  peut  encore  définir  ce  plan  comme  étant  la  limite  du  plan  mené  par 
la  tangente  en   M  et  par  le  point  M',  quand  M'  tend  vers  M,  car  on  devra 


io8 


CHAPITRE   VI. 


AAa^'-i- BAj'+ CA^' =  o, 

ce  qui  donne,  à  la  limite,  le  même  résultat  que  plus  haut. 

La  propriété  caractéristique  du  plan  osculateur  est  la  suivante  :  si  l'on 
calcule  la  distance  d'un  point  M'  à  un  plan  P,  mené  par  M,  la  corde  MM' 
étant  regardée  comme  étant  l'infiniment  petit  principal,  cette  distance  est  un 
infiniment  petit  de  l'ordre  le  plus  élevé  possible  quand  le  plan  P  est  le  plan 
osculateur  en  M.  En  effet,  la  valeur  absolue  de  la  distance  de  M'  au  plan  P 
défini  par  l'équation 

AÇX-x)-hB{Y  —  y)-i-C(Z~z)  =o 

ayant,  pour  expression,  au  signe  près, 

A  A37  -f-  B  AjK  -4-  G  A5 


v/A2+B2+G2 


c'est-à-dire 


\t'- 


(Ax'-h  By'-h  Gz')  M  -+-{Ax"-i-  B/'-f-  G^") 1- 


v/A2-kB2+G2 
cette  distance  est  du  second  ordre  si 

Ax'-\-  By'  -4-  G  3'  =  o, 

c'est-à-dire  si  le  plan  contient  la  tangente  en  M;  elle  est  du  troisième  ordre, 
si,  en  outre, 

kx"-^By"-\-Cz"  =  0. 

Donc  la  distance  considérée  est  de  l'ordre  le  plus  élevé  possible  si  le  plan  P 
est  le  plan  osculateur;  c'est,  d'ailleurs,  cette  propriété  qui  lui  a  fait  donner 
son  nom. 


130.  Le  plan  osculateur  d^une  courbe  plane  est  le  plan  de  cette  courbe; 
cela  est  évident  géométriquement,  puisque  le  plan  M  M' M",  déterminé  par 
trois  points  quelconques  de  la  courbe,  n'est  autre  que  le  plan  de  la  courbe 
même.  On  le  vérifie  aisément  par  le  calcul.  Soit,  en  effet, 

kx  -{-  By  -i-  G  G  -)-  D  =  o 

l'équation  du  plan  de  la  courbe,  l'équation  du  plan  osculateur  peut  se  mettre 
sous  la  forme 


X  — ^      Y— y      k(X—x)  +  B(Y  —  y)-^C{Z  —  z) 
x'  y'  Xx'  -^By'  -^Cz' 

y"  kx"-\-By'-^Gz" 


X 


et  se  réduit,  par  suite,  à 

A(X— a:)H 
ou 

AX 


COURBES   GAUCHES. 

+-B(Y-j')-^C(Z- 
BY-f-CZ  +  D  =  o. 


109 


)  =  o 


car  les  éléments  de  la  dernière  colonne  du  déterminant  sont  identiquement 
nuls,  à  l'exception  du  premier,  et  le  coefficient  x' y  —  y' af  doit  être  sup- 
posé différent  de  zéro,  car,  si  l'on  avait  identiquement  x' y  —  y' x"  =  o,  on  en 
déduirait/' =  aa:' et,  par  suite,  _;'=  ax -+- 6,  a  et  6  étant  deux  constantes, 
ce  qu'on  ne  peut  supposer  si  l'on  fait  l'hypothèse  C  p^  o,  car  la  courbe  se 
réduirait  alors  à  une  droite. 

Réciproquement,  si  le  plan  osculateur  est  fixe,  ou  seulement  s'il  reste 
parallèle  à  un  plan  fixe,  la  courbe  est  plane. 

En  effet,  si  l'on  suppose 

y'z''—z'y'=\k,         z'x"—x'z"=\ïi,         x'y''  —  y'x''=lC, 
A,  B,  G  étant  des  constantes,  on  en  tire 


Ax' -h  Hy  -+-  Cz'  =  o, 


d'où,  en  intégrant. 


Ax  -h  By  -4-  G-5  -I-  D  =  o, 
D  étant  une  nouvelle  constante. 

Courbures. 

131.  Considérons    une    courbe    rapportée  à  trois  axes  rectangulaires,  et 
soient  M  un  point  de  cette  courbe.  M'  un  point  infiniment  voisin  et  enfin  MT, 
M'T'  les  demi-tangentes  tra- 
cées dans  le  sens  du  mouve-  Fig.  2/1 . 
ment. 

Considérons  une  sphère 
ayant  pour  centre  un  point 
quelconque,  par  exemple  l'o- 
rigine des  coordonnées,  et 
menons  des  rayons  Om,Om' 
parallèles  aux  demi-droites 
MT,  M'T'.  Quand  M  décrit 
l'arc  AMB,  le  point  m  dé- 
crit un  arc  de  courbe  splié- 
rique  amb ,  qu'on  nomme 
Vindicatrice  sphérique  de  ^^ 
la  courbe  donnée  {fiig.  24)- 

L'angle  mOm'  est  mesuré  par  un  arc  de  grand  cercle   ayant   pour  extré- 
mités les  points  m  et  m'.  Or  l'arc  de  grand  cercle  considéré  et  l'arc  de  courbe 


ITO  CHAPITRE    VI. 

sphérique  décrit  par  m  sont  des  infiniment  petits  respectivement  équiva- 
lents à  leur  corde  commune  mm'  :  donc  leur  rapport  a  pour  limite  i.  Cela 
étant,  si  l'on  désigne  par  0  Vangle  de  contingence,  c'est-à-dire  l'angle  des 
demi-tangentes  MT,  M'T',   on  nomme  courbure  moyenne  au  point  M  de 

l'arc  MM'  le  quotient ^rrr,  î  et  courbure   en  M  la  limite  de  ce  rapport. 

^  arc  MM"  ^^ 

D'après  cela,  si  l'on  désigne  par  s  l'arc  A.M  et  par  a  l'arc  «m,  on  voit  que  la 

d^ 
courbure  en  M  de  l'arc  AB  a  pour  mesure  -y-  •   On  nomme  rayon  de  cour- 

ds 
bure  au  point  M  le  rapport  inverse,  et  l'on  pose  R=  -^. 

Pour  calculer  R  en  fonction  des  coordonnées  du  point  M,  remarquons 
que  les  coordonnées  de  m  sont  les  cosinus  directeurs  de  MT,  c'est-à-dire 
dx    dy     dz 

d^  =  v/(^cos  a)2-+-  (c^cosP)2_,_  (ofcosyj^ 
ou 

mais 

dx        ds  d'^x  —  dx  d''-  s 
ds  ds'^ 

D'autre  part, 

y.{dsd'^x  —  dxd'^sy-=ds'^[{d'^xY+  {d'^yY-A- {d'^ z^} 

-\-  ds'^ (d'^sy —  2 ds d'^ s{dxd'^x  -+-  dy d^y-hdz d-z). 

En  différentiant  l'équation 

dx'^  -h  dy^  +  dz^'=  ds^, 
on  obtient 

dx  d-x  -\-  dy  d'^y  -h  dz  d^z  =  dsd-s 

et,  en  substituant  dans  la  somme  précédente,  il  vient 

:S.{dsd'-x  —  dxd^sy=  ds^[{d-^xy-h  (d-^y^-h  (d'-zy-—(d^sy-], 

et  enfin 

d<i^ 
R  = 


\/{d-^xy'  +  (d-'yy-^{d-^zy—{d-'sy 

Si  l'on  prend  l'arc  pour  variable  indépendante,  cette  formule  donne 

132.  Considérons  le  plan  normal  en  M  et  le  plan  normal  en  M'.  Si  l'on  sup- 
pose  que  les   coordonnées  de  M  soient  des  fonctions  d'un  paramètre  t,  on 


COURBES   GAUCHES. 


peut  représenter  le   premier  par  F(/)  =  o  et  le  second  par  F{t  -+-  \t)  =  o. 
Lintersection  de  ces  deux  plans  sera  définie  par  les  équations 


ou,  si  l'on  veut,  par 


F(0  =  o,         F(t-hM)  =  o, 


F(,)=o,         F('  +  A.)-F(0^ 

donc,  l'intersection   de   ces  deux  plans  a  pour  limite,  quand  M'  se  confond 
avec  .VI,  la  droite  définie  par  les  deux  équations 


ou 

(0 


F(0  =  o,         F'(0  =  o 
(X-x)x'-^{Y-jr)r''¥{Z-z)z'  =  o, 


La  droite  DE  ainsi  obtenue  est  perpendiculaire  au  plan  osculateur,  puisque 
ses  cosinus  directeurs    sont  proportionnels  aux  déterminants 


r-  --y 


X  y — y  X 


Fig.    23. 


Si  l'on  prend  l'arc  s  pour  variable  indépendante,  l'équation  (2)  représente 
un  plan  perpendiculaire   au   plan   normal  en  M,  car 
on  a,  dans  ce  cas, 

d'où,  en  prenant  la  dérivée  par  rapport  à  s, 

x'  x"  -\-  y  y"  -\-  z'  z"  =  o. 

Cherchons  les  coordonnées  du  point  G,  intersec- 
tion de  la  droite  DE  avec  le  plan  osculateur  en  M 
{Jig.  25),  qui  a,  comme  nous  le  savons,  pour  équa- 
tion 

(3)  (X-x)(yz''-z'y)^{Y-y){z'x"-x'z")^{Z-z){xy"-yz")^o. 

Le   déterminant  du   système   formé   par   les  équations  (i),  (2)  et  (3)  est 
égal  à 

{y  z" — z'  x"Y  ^  {z'  x"  —  x'  z'Y  -^  {z'  y" — y  x"y, 

c'est-à-dire 

(,x"^^y"^-^z'^){x"'^—y''^z'"^)  —  {x'3r-\-yy^z'z')'^ 

ou 

En  second  lieu 


y 

y" 

•x"—x' 


X  y  —yx 


=  s'*{x''{y"--¥  z''i)-x'(yy^z' z')\=.s'i{s'x'-x's'). 


112  CHAPITRE    VI 

donc 


Pareillement 


Y 

-X 

= 

5' 

s  X 

—  X  s 

x'' 

'-+/'■ 

■  -h  ^"2  — 

s" 

'•i 

Y- 

-y 

=: 

s' 

^y 

-ys" 

x" 

2+y'2 

-+-  y  2  _ 

s" 

i 

7 

s' z" 

— •  z'  s" 

On  en  déduit 


X  2-i-jK  -  -+ 


Le  point  C  se  nomme  le  centre  de  courbure,  et  le  cercle  ayant  pour  centre 
C,  pour  rayon  R  et  décrit  dans  le  plan  osculateur  en  M  se  nomme  le  cercle 
de  courbure  relatif  au  point  M. 

133.  Normale  principale,  binormale.  —  Toute  droite  menée  par  M  et 
perpendiculaire  à  la  tangente  en  M  à  la  courbe  considérée  est  une  normale 
à  cette  courbe.  On  peut  donc  mener,  par  chaque  point  d'une  courbe,  une 
infinité  de  droites  normales,  en  ce  point,  à  cette  courbe;  parmi  toutes  ces 
normales,  il  y  en  a  deux  que  l'on  distingue  plus  particulièrement,  ce  sont  : 
1°  celle  qui  passe  par  le  centre  de  courbure;  on  l'appelle  la  normale  princi- 
pale; elle  est  l'intersection  du  plan  osculateur  et  du  plan  normal  en  M,  et 
1°  celle  qui  est  perpendiculaire  au  plan  osculateur  et  qu'on  nomme  la  binor- 
male. La  tangente  en  M,  ou  mieux  la  demi-tangente  MT,  la  demi-normale 
MG  dirigée  de  M  vers  le  centre  de  courbure,  et  la  binormale  MB,  consti- 
tuent un  trièdre.  On  peut  choisir  le  sens  de  la  binormale  de  façon  que  ce 
trièdre  soit  orienté  comme  le  trièdre  des  axes.  L'étude  du  déplacement  de  ce 
trièdre  de  référence,  mobile  avec  son  sommet  qui  décrit  la  courbe,  est  liée 
intimement  à  la  nature  de  cette  courbe;  cette  étude  se  fait  en  Cinéma- 
tique. (  Voir,  par  exemple  :  Leçons  de  Cinématique,  par  G.  Koenigs.  Paris, 
Hermann.  —  Consulter  aussi  :  Leçons  sur  la  théorie  générale  des  surf  aces  ; 
chap.  P%  t.  P"";  par  G.  Darboux.  Paris,  Gauthier- Villars.) 

Nous  allons  déterminer  les  cosinus  directeurs  des  arêtes  de  ce  trièdre. 
Nous  connaissons  déjà  ceux  de  la  demi-tangente  MT,  qui  ont  pour  ex- 
pressions 

dx  „        dy  dz 

cosa  =  -T-j  cosp  =  -^,  cosy  =  ->-• 


Le  plan  osculateur  en  M  est  parallèle  au  plan  déterminé  par  le  rayon  Om 
de  la  sphère  que  nous  avons  considérée  plus  haut,  et  par  la  tangente  en  /n  à 
l'indicatrice  sphérique,  puisque  le  plan  mOm'  est  parallèle  au  plan  mené 
par  MT  parallèlement  à  M'T'.  Il  en  résulte  que  la  tangente  en  m  à  l'indica- 
trice est  parallèle  à  la  normale  principale  en  M;  donc  si  a',  P',  y'  sont  les 
angles  que  MG  fait  avec  les  axes,  on  a 

dcosx  o,      «?cosj3  ,       dcosy 

cos  a  =  — , —  ,  cos  p  =  — ; — -  5  cos  V  =  - — ; — t 

«or  rtj  '  do- 


COURBES    GAUCHES.  I |3 

OU 


cosa=R-^,         cosp'=R-^,         cosy'=R-^ 

c'est-à-dire 

oosa'  =  R 


dsd^x  —  dxd^s 


ds^ 

cosp=R ^—T-" ' 

,      _,  dsd^-z  —  dzd^s 

Soient  enfin  a",  p",  y*  les  angles  que  la  binormale  fait  avec  les  axes;  on  a 
oosa"  _  cosp'  _  cosY* 


djd-z  —  dz  d-y        dz  d^-  x  —  dx  d'^  z        dx  d^y  —  dy  d-  x 

I 


ds  sj{d^xf-v-{d^yY  ^  (.d-^zf  —  (d'-s)^' 
donc 

.       „  dyd^z  —  dzd^y 
cosa   ^kJL^-^-^ ^, 

„_       _,  dzd-x  —  dxd^z 
''''^   =^ di^ ' 

,,       -^  dx  d-  y  —  dy  d-  x 

cosv    =  R ^^—, — ^ . 

'  ds' 

Si  l'arc  5  est  la  variable  indépendante,  ces  formules  deviennent 

cosa  =  57',         cosp  =  j'',         cosy  = -^', 

cosa'=Ra7',         cos^'=Rj''',         cosY'=iRj", 

cos%  =K{y'  z"  —  z'  y"),       co?,'^"  =K{z'  x"  —  x'  z"),       co'i'i"  =  \\{x'  y" — y'  x"). 

134.  Rapportons  une  courbe  à  trois  axes  rectangulaires  confondus  avec  le 
irièdre  de  référence  relatif  à  un  point  de  cette  courbe,  l'axe  des  x  étant  la 
tangente,  l'axe  des  y  la  normale  principale  et  l'axe  des  z  la  binormale.  Si 
l'on  développe  les  coordonnées  x,  y,  z  d'un  point  M  en  fonction  de  la  va- 
riable t  dont  elles  dépendent,  les  coefficients  de  t  sont  proportionnels  aux 
cosinus  directeurs  de  la  tangente  à  l'origine;  donc  les  coefficients  relatifs  à 
^^^  et  à  5  sont  nuls  et  celui  de  x  est  égal  à  ±  i  ;  on  peut  le  supposer  égal  à  1, 
en  choisissant  convenablement  le  sens  des  abscisses  positives;  d'autre  part, 
si  t  est  infiniment  petit  du  premier  ordre,  z  doit  être  du  troisième  ordre 
puisque  le  plan  xOy  est  le  plan  osculateur  au  point  0;   dans  ces  conditions 


X 


NiEWENGLOWSKi.  —  G. an.,  III. 


Il4  CUAl'ITRE    VI. 

Si  l'on  prend  l'arc  s,  compté  à  partir  de  l'origine,  pour  variable  indépen- 
dante, on  doit  avoir 

a-'^  -t- jk'2  -+-  3'2  =   I, 

c'est-â-dire 

donc 

a  =  o,         3a'-t-262  =  o, 

et,  par  conséquent, 

X  =  S  —  ~  b^s^  +  . . .,        y  =  bs^  -h  b' s-^  -i-  . .  .,         z  =  cs^  -\- 

On  trouve  ensuite,  pour  s  =  o, 

Les  coordonnées  du  centre  de  courbure  sont 

X  =  o,  Y  =  -,  j  Z  =  o. 

Le  cercle  de  courbure  est  donc  le  même  que  eelui  de  la  projection  de  la 
courbe  sur  le  plan  osculateur. 

Si  l'on  calcule  la  corde  OM,  on  trouve,  pour  la  longueur  de  cette  corde, 

/  =  s—  ^    b^s^-i-  ..., 
c'est-à-dire 

donc 

,.      l  ^  s  I 

'"^^^  =  I4H"^' 

et  l'on  voit  ainsi  que  la  différence  entre  un  arc  infiniment  petit  et  sa  corde 
est  infiniment  petite  du  troisième  ordre,  cet  arc  étant  supposé  du  premier 
ordre. 

Torsion. 

135.  Le  plan  osculateur  d'une  courbe  gauche  ne  reste  pas  parallèle  à  un 
plan  fixe  ;  soient  M  et  M'  deux,  points  infiniment  voisins  d'une  courbe 
gauche;  les  plans  osculateurs  en  ces  points  font  un  angle  infiniment  petit  w, 
qu'on  nomme  V angle  de  torsion.  Le  rapport  de  cet  angle  à  l'arc  MM'  est  ce 


COURBRS   r.AUCHBS. 


l5 


qu'on  nomme  la  torsion  moyenne;  la   limite  de  ce  rapport  est  la  torsion; 
on  pose 

,.  «0  I 

liiii  — -  =  -, 
as       X 

•z  se  nomme  le  rayon  de  torsion. 
Soit 

A(X  — ^)-t-B(Y— ^)4-C(Z  — c)  =  o 

l'équation  du  plan  osculateur  au  point  'M{x,y,  z).  On  a 
.   ,  S(AAB  — BAA)î 


(A»-t-B*-i-C*)[(A-t-AA)i-^(B-HAB)î-+-(G  -h  AG)«]' 


d'où  l'on  tire 


1        v^KAf/B  — BrfA)2 


Pour  transformer  cette  expression,  considérons  le  déterminant 


On  sait  que 
donc 


on  aurait  de  même  B,  G  et  B',  G'.  Les  propriétés  des  déterminants  adjoints 
donnent  ces  identités  : 

AB'— BA'=-'A, 

BG'— GB'  =  yA, 

GA'— AG'  =  a''A: 
donc 


x'   y 

■*» 

= 

x"     y 

-' 

x"  y 

A=y-"- 

-->"; 

A'  = 

■.yz"'- 

--y"; 

1        \î-f-B*  +  Gî' 

mais  nous  avons  trouvé  (132) 

A»H-  B»H-  G*  =  s'i{x"i-^y'i-^  z'i  —s'*) 
donc 

i_  _  A»  -I-  B^  -+-  Gy 
R»  ~  s'^  ' 

ce  qui  nous  donne 

I      _    A 


1  l6  CHAPITRE    Vf. 

et,  si  l'arc  s  est  la  variable  indépendante, 
formule  qui  détermine  x  en  grandeur  et  signe. 

EXERCICES. 

1.  L'hélice  tracée  sur  un  cylindre  de  révolution  est  définie  par  les  for- 
mules 

x  =  acoso,        y  =  asino,         z  =  b(f; 

former  les  équations  de  la  tangente,  de  la  normale  principale,  de  la  binor- 
male,  du  plan  osculateur  en  un  point.  Calculer  R  et  x  en  chaque  point. 

2.  Mêmes  exercices  pour  une  hélice  tracée  sur  un  cylindre  quelconque,  en 
prenant  pour  variable  indépendante  l'arc  5  de  la  section  droite  de  ce  cy- 
lindre; les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  cette  hélice  sont  données 
par  les  formules 

^  =/(«)>        J  =  ?(«)-         z  =  as, 

a  étant  une  constante.  Prouver  que,  si  l'on  nomme  p  le  rayon  de  courbure  de 
la  section  droite  au  point  M,  on  a,  pour  ce  point, 

D       /     ,      »N  1-+- a2 

a       ' 

3.  Mêmes  exercices  pour  Vliélice  conique  définie  par  les  équations 

X  '—  t  cos  t,        y  =  t  sin  t,         z  ■=  t. 

4.  Un  point  parcourt  une  circonférence  pendant  que  celle-ci  tourne  au- 
tour d'un  de  ses  diamètres,  supposé  fixe.  La  vitesse  angulaire  du  point  est 
égale  à  la  vitesse  de  rotation  de  la  circonférence.  On  demande  :  i°  les  équa- 
tions de  la  trajectoire;  2°  l'équation  du  plan  osculateur  de  cette  ligne; 
3°  l'expression  de  son  rayon  de  courbure,  etc.  (E.  Catalan,  Manuel  des 
Candidats  à  l'École  Polytechnique.) 

5.  Étudier  la  courbe  définie  par  les  équations 

X  =  e^,        y  =  e-',         ;:  =  l  s/'i.. 

Prouver  que  c'est  une  hélice  tracée  sur  un  cylindre  ayant  pour  base  une 
chaînette.  Prouver  que  l'ombre  de  cette  hélice  sur  un  certain  plan  est  une 
hyperbole  équilatère.  (E.  Catalan.) 

6.  Étudier  la  courbe  définie  par  les  équations 


COURBES   GAUCHES.  II7 

7.  On  considère  sur  une  courbe  gauche  cinq  points  M,  Mj,  Mj,  M3,  M4  cor- 
respondant à  t,  t-i-  hi,  t-^-  Aj,  t  -\-  ht,  t  -^-  h^;  on  suppose  que  hi,  A„  h^,  h^ 
soient  infiniment  petits  et  l'on  demande  d'étudier  l'ordre  infinitésimal  du 
tétraèdre  M,  MaMsMi. 

—  On  remarque  que  le  déterminant 


6 


(la  première  ligne  étant  seule  représentée  dans  cette  notation,  les  trois  autres 
s'en  déduisent  en  remplaçant  hi  par  h^,  h^  par  h^)  est  égal  au  produit  des 
déterminants 

hy      li\      1^ 

T  2.  6 

li^     h\     }i\ 
126 

h    ^    ^1 

I  2  6 
/»4  hl  h'I 
126 


X 

X 

X 

X 

y 

y 

y 

y'" 

T. 

_» 

_ff 

,111 

X 


On  trouve  ainsi,  en  négligeant  les  puissances  des  accroissements  supérieurs 
à  la  troisième, 


72  V  = 


x' 

x"     x'" 

y 

y  y 

^ 

X  (hi—hiJi/ii—hs)  (hi—h^){fi.2—h^)(hi—hi)(h3—h^) 


ç'6 

7a  K*  -z 

P  désignant  le  produit  des  différences   des  accroissements  h  deux   à   deux. 
(Cours  de  M.  G.  Darboux,  à  la  Sorbonne.) 

8.  Une  droite  AAi  se  déplace,  ses  extrémités  décrivent  deux  courbes; 
soient  AT  et  AjTj  les  demi-tangentes  aux  trajectoires  de  A  et  Ai,  décrites 
chacune  dans  le  sens  du  mouvement  :  prouver  que 

rf.AAj  =  —  rfi.cosTAAi  —  dsi  .cos  AAiTj. 

—  Il  suffit  de  différentier  l'expression 

a»  =  (t  —  ar,  )« -+- (jK  — 7i  )*  H- (2  - -1  )»  ; 

on  peut  aussi  donner  une  démonstration  géométrique. 

9.  En  désignant  par  A  le  déterminant  formé  avec  les  dérivées  premières, 
deuxièmes  et  troisièmes  des  coordonnées  d'un  point  d'une  courbe   par  rap- 


r  l8  CHAPITRE    VI. 

port  à  l'arc  s,  prouver  que 

I  ^'"2  -t-  r"'2  H-  2"'2  I  R'2 


A2  = 


R4t2  R2  R6  R« 


10.  Démontrer  les  relations  suivantes,  les  dérivées  étant  toujours  prises 
par  rapport  à  s  : 

Sx'x"'  =  -  ^-, 


^^'^"~       R\R/' 


bX   37"=   —    777   


Ri        R^t2    ■    RVR 


le  signe    S  indiquant  que  la  somme  doit  être  étendue  aux  trois  coordonnées 
(  notation  de  Lamé);  ainsi  Sx'x'"  —  x' od" -\- y' y'" -^  z' z'" . 

il.  On  considère  une  sphère  ayant  pour  équation 

(X-a)2-+-(Y  — 6)2  4-(Z-c)2-p2  =  o; 

on  écrit  qu'elle  rencontre  une  courbe  définie  parles  équations  a;  =/(*), 
y  =  ©(*),  ^  =  '^{s)  {s  étant  la  longueur  de  l'arc  AM,  A  désignant  un  point 
fixe  pris  sur  la  courbe  et  M  le  point  variable  {x,  y,  z)}  en  quatre  points  con- 
fondus en  un  seul  (sphère  osculatrice);  pour  cela,  on  égale  à  zéro  la  fonc- 
tion 

F  (0  =  (/- «)^-f- (?  -  6)'-+ («l^  -  c)^  -  p2 

et  ses  trois  premières  dérivées.  En  déduire  les  formules 

^       I    ^A  ^  I    rfB  .        i   dC 

''        L   ds  '        \   ds  ^        A   ds 

A,  B,  C  étant  les  coefficients  de  l'équ-ation  du  plan  osculateur,  et 

p2A2=  (cv'^-+-y'^-^z'^-)(x"'^-hy"'^--hz"'^)  —  {x'x"'-i-y'y"'-+-z'z"'y. 

12.  Prouver  que 

p2  =   R2  +  T2R'2. 

13.  Si  l'arc  est  pris  pour  variable  indépendante,  les  coordonnées  du  centre 
de  courbure  sont 

X  =  x-^R'^x",        Y=7-t-R2y',         Z  =  ^  +  R2^"; 


COURBES    (iALCHES.  I  I9 

on  déduire,  en  posant 
la  formule 


-=[(T)'-(f)']- 


14.  La  partie  principale  de  la  distance  d'une  des  exlrciuiiés  d'un  arc  infi- 
niment petit  s  au  plan  osculateur  correspondant  à  l'autre  extrémité  a  pour 

mesure  ^r^-'  (O.  Bonnet.) 

15.  La  partie  principale  de  la  plus  courte  distance  des  tangentes  aux  e\- 

trémités  d'un  arc  infiniment  petit  est  égale  à  — ^ (O.  Bonnet.) 

(  Voir,  pour  les  questions  9  à  15,  le  Cours  d'Analyse  de  l'Ecole  Poly- 
technique, de  M.  Ch.  Hehmite;  Paris,  Gauthier- Villars.) 

16.  Prouver  que,  si  a,  p,  y  sont  les  angles  que  la  tangente  à  une  courbe 
en  un  point  M  fait  avec  trois  axes  rectangulaires,  a',  P',  y'  ceux  que  la  nor- 
male principale  en  M  fait  avec  les  mêmes  axes,  et  a",  P",  y'  ceux  de  la  bi- 
normale,  on  a 

rfcosa'  _  rfcosS'  _  d  co^Y '^^ •    ^ 

dcosx         dcos^         rfcosy  di  t 

(0  désignant  l'arc  décrit  sur  la  sphère  de  rayon  i  par  l'extrémité  du  rayon 
parallèle  à  la  binormale;  d'où  il  résulte  que  la  tangente  à  la  courbe  sphé- 
rique  décrite  par  l'extrémité  d'un  rayon  parallèle  à  la  tangente  est  parallèle 
à  la  tangente  à  la  courbe  sphérique  décrite  par  l'extrémité  d'un  rayon  pa- 
rallèle à  la  binormale,  et  la  direction  commune  est  celle  de  la  normale  prin- 
cipale. (J.-A.  Seruet,  Frenet.) 

17.  En  conservant  les  mêmes  notations,  on  a 

dcosoL  ■=  cosa'  da,         f/cosa"=  cosa'  dm, 
c?cosa'=  —  cosa  di  —  cosa"  du). 

En  conclure  une  relation  entre  les  différentielles  des  arcs  que  décrivent  sur 
la  sphère  de  rayon  i  les  extrémités  des  rayons  parallèles  aux  arêtes  du  trièdre 
de  référence. 

18.  Les  équations 

X  =  a  -i-  bt-^ct^,        y  =  a'-\-  b't-hc't^,        z  —  a' -\- b"  t -h- c' t^ 

représentent  une  parabole.  Trouver  les  coordonnées  de  son  sommet,  de  son 
foyer,  la  direction  de  son  axe,  etc.  Étudier  les  vecteurs  ayant  pour  compo- 
santes 

dx       dy       dz  d^x       d^y       d^z 

dJ'     dt'     dt  ^'  Itt**     It^'     "dli' 


120  CHAPITRE    VII. 


CHAPITRE  YII. 

PLANS    TANGENTS 


136.  Soit  f[x^y'^  ^)  =  o  l'équation  d'une  surface  S.  Nous  allons 
prouver  qu'en  tout  point  M(^05  JJ^o?  ^o)»  pour  lequel  l'une  au  moins 
des  trois  dérivées  fx^^fy^-,  f-^  est  différente  de  zéro,  les  tangentes  à 
toutes  les  courbes  passant  par  Met  tracées  sur  cette  surface  sont  dans 
un  plan  qu'on  nomme  le  plan  tangent  e/z  M.  En  effet,  une  courbe 
tracée  sur  la  surface  S  peut  être  considérée  comme  étant  l'intersec- 
tion de  cette  surface  et  d'une  autre  surface  S';  elle  est  donc  définie 
par  deux  équations 

ff(x,y,  z)  étant  seulement  assujettie  à  la  conditiony,  (xo,JKo7-5o)  =  o• 
Les  équations  de  la  tangente  à  cette  courbe,  au  point  M,  sont 


(I) 

(^       "«>io^^^      ^'^ày,^^'       -)/o  = 

=  o. 

(2) 

(— )ë-^^-^«>t-^-->S  = 

=  o, 

Or,  quelle  que  soit  la  fonction  ft ,  la  droite  représentée  par  ces 
deux  équations  est  dans  le  plan  défini  par  l'équation  (i);  ce  qui 
démontre  la  proposition. 

Il  résulte  de  là  que  le  plan  tangent  en  un  point  est  déterminé 
quand  on  connaît  les  tangentes  à  deux  courbes  qui  passent  par  ce 
point  et  sont  tracées  sur  la  surface. 

137.  Autres  /ormes  de  V équation  du  plan  tangent.  —  i°  Si 
l'on  rend  l'équation  de  la  surface  homogène,  en  posant 

F(.,^,.,0  =  (»/(f.f  f). 
on  vérifiera,  comme  pour  l'équation  de  la  tangente  à  une  courbe 


PLANS   TANGENTS.  121 

plane,  que  l'équation  du  plan  tangent  au  point  (xq^  yo^  -07  '0)  peut 

s'écrire 

àf  àf  df  <if 

dxQ      ''  oyçi  ozq         ato 

2°  L'équation /(.Tjj',  z)  =  o  définit  z  comme  fonction  de  a-  et 

de^.  Si  l'on  pose 

dz  dz 

on  a 

df        àf  df        df 

On  obtient  en  effet  ces  deux  équations  en  annulant  la  dérivée  de /(ar,^,  s) 
par  rapport  k  x,  y  conservant  une  valeur  constante,  puis  de  même,  la  dé- 
rivée de  f{x,y,z)  par  rapport  k  y,  x  demeurant  constant.  Gela  étant,  en 
représentant  par  de  grandes  lettres  les  coordonnées  courantes,  l'équation 
du  plan  tangent  au  point  {x,  y,  z)  étant 

(X-.,|H-(Y-^,|H^(Z-.,lf  =  „. 

si  l'on  élimine  ■—  el  -^  entre  les  trois  équations  précédentes,  on  obtient 
ox       oy  -x  V 

Z-z=p{\-x)-^q{\-y). 

Telle  est  la  seconde  forme  que  nous  voulions  donner  à  l'équation  du  plan 
tangent. 

138.  Autre  définition  du  plan  tangent.  —  Menons  par  le  point  {x,y,  z) 
d'une  surface  un  plan  quelconque;  la  distance  du  po\nt{x-i-\x,y-i-\y,  ^-t-As) 
à  ce  plan  a  pour  mesure,  en  supposant  pour  plus  de  simplicité  les  axes  rec- 
tangulaires, 

A^_r^- B^A£_j-_CA£ 

v/A2  -H  B2  -+-  G2 

Si  nous  regardons  z  comme  fonction  de  x  et  dey,  en  supposant  \x  et  A^ 
infiniment  petits  du  premier  ordre,  \z  sera  aussi  du  premier  ordre.  Or, 
on  a 

\z  =  p \x  -+-  q ^y  -+-. . ., 

les  termes  suivants  étant  du  second  ordre;  la  distance  considérée  sera  donc 
du  second  ordre  si  l'expression 

(X-\-pC)\T-h{B-hgC)iky 

est  identiquement  nulle,  c'est-à-dire  si  A  =  — pC,  B  =  ^—  qC;  l'équation  du 


122  CHAPITRK    Vil. 

plan  cherché  est  alors 

—  pC(X  —  x)  —  gC(Y—y)-i-C{Z  —  z)  =  o. 

On  retrouve  ainsi  l'équation  du  plan  tangent  en  M{cc,  y,z);  on  peut  donc 
définir  ce  plan  tangent  :  un  plan  tel  que  la  distance  à  ce  plan  d^ un  point 
situé  sur  la  surface  à  une  distance  de  M  infiniment  petite  du  premier 
ordre  soit  infiniment  petite  du  second  ordre  au  moins. 

139.  Autre  méthode  pour  former  V équation  du  plan  tan- 
gent {applicable  aux  coordonnées  tétraédriques) .  —  Soit 
f^x^^y^^z^  t)  =  o  réquation  d'une  surface  que  nous  supposerons 
algébrique  et  de  degré  m.  Soient  x,y,  z,  t  les  coordonnées  d'un 
point  A  de  cette  surface,  et  X,  Y,  Z,  T  les  coordonnées  d'un  point 
quelconque  M.  Les  coordonnées  d'un  point  quelconque  P  apparte- 
nant à  la  droite  AM  sont  de  la  forme  ^ -h  }.X,  j  +  )vY,  ;ï  +  XZ, 
t  +  ).T;  pour  que  P  soit  un  point  commun  à  la  surface /et  à  la  sé- 
cante AM,  il  faut  et  il  suffît  que  X  soit  l'une  quelconque  des  racines 
de  l'équation 

/(^  +  XX,jK-f->.Y,  ^-i-XZ,  ^-i-XT)  =  o. 

Cette  équation  étant  du  degré  m  en  X,  le  nombre  de  points  d'inter- 
section est  égal  à  m;  il  y  aura  autant  de  ces  points  confondus  avec 
le  point  A  que  l'équation  précédente  aura  déracines  nulles;  or,  si 
l'on  développe  le  premier  membre  par  la  formule  de  Taylor,  on 
obtient  l'équation 


/(.,^...o^x(x|^y^-;.z|.t|) 


Le  terme  indépendant  de  X  est  nul,  puisque  le  point  A  appartient  à 

la  surface.  Si  l'une  au  moins  des  quatre  dérivées-^?  -r^j  -^j  -^  n'est 

^  ox    oy    oz    ot 

pas  nulle,  on  voit  que,  si  X,  Y,  Z,  T  ne  vérifient  pas  l'équation 

X^4-Y^  +  Z^/  +  T^  =  o 

dx  dy  àz  dt  ' 

c'est-à-dire  si  la  droite  AM  n'est  pas  dans  le  plan  défini  par  cette 
équation,  cette  droite  rencontre  la  surface  en  un  seul  point  con- 
fondu avec  A  et  en  w  —  i  autres  points;  au  contraire,  dès  que  le 
point  M  vient  se  placer  dans  le  plan  précédent,  l'un  au  moins  de 
ces  m  —  I  points  vient  se  confondre  avec  A  et,  par  suite,  une  telle 


l'LANS    TANGKSTS.  123 

sécante  a  au  moins  deux  points  communs  avec  la  surface/  confondus 
en  A;  on  dit  alors  que  cette  droite  est  tangente  à  la  surface,  et  l'on 
voit  que,  dans  l'hjpolhèse  où  nous  nous  sommes  placé,  le  lieu  de 
toutes  les  tangentes  en  A  à  la  surface /est  un  plan  défini  par  l'équa- 
tion précédente  :  ce  plan  est  le  plan  tangent  en  A.  Toute  droite  issue 
de  A,  et  non  située  dans  ce  plan,  ne  rencontre  la  surface /qu'en  un 
seul  point  confondu  avec  A;  on  dit  alors  que  le  point  A  est  un 
point  simple.  Nous  sommes  ainsi  parvenu  à  ce  résultat  :  en  tout 
point  simple  d'une  surface  algébrique  il  y  a  un  plan  tangent,  défini 
par  l'équation  écrite  plus  haut. 

Si  les  quatre  dérivées  du  premier  ordre  sont  nulles  au  point  A,  on  voit 
que  toute  sécante  issue  de  A  rencontre  la  surface /au  moins  en  deux  points 
confondus  avec  le  point  A,  puisque  les  deux  premiers  termes  de  l'équation 
en  X  que  nous  avons  considérée  sont  nuls.  On  dit  alors  que  le  point  A  est  un 
point  multiple  de  l'ordre  p,  si  la  première  des  dérivées  partielles  de  la  fonc- 
tion/qui ne  s'annule  pas,  au  point  A,  est  d'ordre  p.  Dans  ce  cas,  on  appelle 
tangente  en  A  toute  droite  issue  de  ce  point  qui  rencontre  la  surface  en />-+- i 
points  au  moins  confondus  avec  A,  et  l'on  obtient  l'équation  du  cône  formé 
par  toutes  les  tangentes  en  égalant  à  zéro  le  coefficient  de  1p,  ce  qui  donne 
l'équation  symbolique 

X 1-  Y h  Z  —  +  r  —      /  =  o. 

ox  oy  Oz  "U  p 

Si />  =  i,  cette  équation  développée  est  la  suivante  : 

le  signe  Q  indiquant  que  la  somme  doit  être  étendue  à  toutes  les  coordonnées. 

140.  On  démontrera,  au  moyen  de  la  niéthode  suivie  en  Géométrie  plane 
(t.  I,  p.  353),  que  si  a,  p,  ...,  X  sont  des  fonctions  linéaires  des  coordon- 
nées T,jr,  z  prenant  les  valeurs  a,,  ^j,  . . .,  Xi  au  point  M(a:i,_;'i,  zi),  le  plan 
tangent  en  M  à  la  surface  ayant  pour  équation  /(a,  p,  . . . ,  X)  =  o  sera  défini 
par  l'équation 

(,_„)|:^(^_p,)^^...+a_x,)|=o 

et  si  a,  p,  . .  . ,  X  sont  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  de  x,  y,  z,  t  et  que 
l'équation  /(a,  3,  ...,  X)  =  o  soit  elle-même  homogène  par  rapport  à  a,  p,  ...,  X, 
l'équation  du  plan  tangent  sera 

c/ai        '  api  aXj 


124  CHAPITRE    VU. 

141.  Plan  tangent  à  C origine.  —  Si  une  surface  passe  par 
l'origine  des  coordonnées,  on  obtiendra  l'équation  du  plan  tangent 
ou,  plus  généralement,  l'équation  du  cône  des  tangentes  à  l'origine, 
en  égalant  à  zéro  l'ensemble  des  termes  du  plus  bas  degré  dans  le 
premier  membre  de  l'équation  de  la  surface ,  mise  sous  forme 
entière. 

Soit 

Oi{x,  y,  z)  -^r  ^i{x,  y,  z)  ^ .  . .  =o 

l'équation  de  la  surface  considérée,  ^^(x,  y,  z)  désignant  l'ensemble 
homogène  des  termes  de  degré/?.  Les  équations  d'une  droite  issue 
de  l'origine  étant 

^  _  y  _  ^  _ 

le  point  ayant  pour  coordonnées  ao,  |3p,  yp  sera  sur  la  surface  si  p 
est  racine  de  l'équation  y(ap,  '^jo^^o)=:  o,  c'est-à-dire 

Cette  équation  a  une  racine  nulle  et  une  seule,  si  cp,  (a,  [^,  v)  ^  o. 
Une  seconde  racine  sera  nulle  si  '-pi(a,  [3,y)^o;  c'est-à-dire  si  la 
sécante  est  dans  le  plan  ayant  pour  équation 

Oi{x,y,z)  =  o. 

Ce  plan  est  le  plan  tangent  à  l'origine. 

Si  cp,  (x,  y^  z)  est  identiquement  nul,  l'équation  en  p  a  au  moins 
deux  racines  nulles,  quelles  que  soient  les  valeurs  de  a,  |^,  y;  et, 
dans  ce  cas,  toute  sécante  issue  de  l'origine  coupe  la  surface  en 
deux  points  au  moins  confondus  avec  l'origine;  si  le  polynôme 
<p2(^,  y,  z)  n'est  pas  identiquement  nul,  on  voit  que  l'ensemble  des 
droites  ayant  plus  de  deux  points  communs  confondus  avec  l'origine 
est  représenté  par  l'équation 

Et  ainsi  de  suite.  La  proposition  est  donc  démontrée. 

142.  Intersection  d'une  surface  par  son  plan  tancent  en  un  point 
simple.  —  Prenons  pour  plan  des  x,  y  le  plan  tangent  en  un  point  simple 
d'une  surface,  l'origine   étant  le  point  de  contact.  L'équation  de  la  surface 


PLANS   TANGENTS.  12a 

sera  do  la  forme  suivante  : 

Z  =  ax^-h  ^bxy-h  cy^ -+-  2 dxz  -+-  2 eyz  -h/z^  -)-..., 

chacun  des  termes  non  écrits  étant  de  degré  3  au  moins.  L'équation  de  la 
courbe  d'intersection  de  la  surface  par  le  plan  des  x,  y  est,  dans  ce  plan, 

o  =  ax^  -f-  ihxy  -h  cy-  -+-.... 

Cette  intersection  a  donc  un  point  double  à  l'origine. 

En  particulier,  si  la  surface  est  du  second  degré,  elle  est  coupée  par  son 
plan  langent  en  un  point  simple,  suivant  une  conique  ayant  un  point  double 
en  ce  point,  c'est-à-dire  suivant  deux  droites. 

On  vérifie,  par  exemple,  qu'une  sphère  est  coupée  par  son  plan  tangent  en 
un  plan  quelconque,  suivant  les  deux  droites  isotropes  issues  du  point  de 
contact. 

Considérons  une  surface  de  degré  supérieur  au  second  et  supposons  que 
les  tangentes  au  point  double  de  la  section  par  le  plan  tangent  soient 
réelles;  prenons  ces  tangentes  pour  axes  des  x  et  des  j';  l'équation  de  la  sur- 
face étant  alors 

s  =  2  hxy  -t-  2  dx  z-\-  -i.  eyz  -\-  f  z"-  -f- . . . , 

si  l'on  coupe  cette  surface  par  le  plan  xOz,  la  section  obtenue  aura  pour 
équation,  dans  ce  plan, 

z  ^^  idxz  -^fz-  -r-. . .  ; 

on  voit  que  l'origine  est  un  point  d'inflexion,  la  tangente  d'inflexion  étant 
l'axe  des  :f,  c'est-à-dire  celle  des  tangentes  à  la  section  par  le  plan  tangent 
par  laquelle  on  a  mené  le  plan  sécant. 

143.  Remarque.  —  Si  une  droile  issue  d'un  point  A  est  tout 
entière  sur  une  surface,  le  plan  tangent  en  A  contient  cette  droite, 
car  si  X,  Y,  Z,  T  sont  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de 
cette  droite  et  x^  y,  z,  t  celles  de  A,  on  a  par  hypothèse 

f{x  -hl\,y-hlY,z-^-lZ,t-^n)  =  o, 

quelle  que  soit  la  valeur  de  "X;  donc  les  coefficients  de  toutes  les 
puissances  de  X  sont  nuls  et,  en  particulier, 

Ox  oy  Oz  ôt 

de  là  cette  conséquence  :  si  un  plan  coupe  une  surface  de  second 
degré  suivant  deux  droites,  il  est  tangent  à  cette  surface  au  point  de 
rencontre  de  ces  deux  droites,  pourvu  toutefois  que  ce  point  soit  un 


126  CHAPITRE    VIF. 

point  simple.  Ainsi,  la  conclusion  serait  en  défaut  pour  un  plan  pas- 
sant par  le  sommet  d'un  cône  du  second  degré. 

144.  Rayons  de  courbure  principaux.  —  Soit 

z  =  ax^  -^  % bxy  -\-  cy^  -h. . . 

l'équation  d'une  surface,  l'axe  des  z  étant  la  normale  à  l'origine  et  le  plan 
xOy  le  plan  tangent.  L'équation 

ax-  4-26  xy  -+-  cy^  =  1 

étant  celle  d'une  conique  ayant  pour  centre  l'origine,  on  peut  supposer  que 
les  axes  Ox  et  O^  soient  les  axes  de  symétrie  de  cette  conique;  alors  l'équa- 
tion de  la  surface  aura  la  forme 

z  =  ax^-^  cy^  -H. .  . . 

La  section  par  le  plan  y  =  o  a.  pour  équation 

z  =  ax-  -^ . . . . 

Le  rayon  de  courbure  Ri  de  cette  section  a  pour  mesure j, ;    mais 

au  point  O,  ;:'=  o,  5"  =  2«;  donc  Rj  =  —  -  ;  de  même  R2  étant  le  rayon  de 
courbure  de  la  section  normale  menée  par  Oy,  on  a 

i  C 

L'équation  de  la  surface  peut  s'écrire 

^  = -TT-  a-2 -+- -—  r^ -H 

2K1  •.>,  R» 

Cela  étant,  si  l'on  fait  un  changement  de  coordonnées  en  posant 

X  =  x'  cosa  — ^'  sina,         y  =■  x'  ?,'\noL  -{- y'  cosa, 

l'équation  deviendra 

cos^a       sin^aX     ,„        sinacosa     ,    ,       /sin^a       cos^a 


^  =  i,^rRr-^TR7r--^  -K7Rr"-^^v^i^^TR7;'>' 

et  l'on  voit  que  les  rayons  de  courbure  R'  et  R"  des  sections   normales  rec- 
tangulaires j^'=o  et  2' =  o  sont  déterminés  par  les  équations 


PLANS    TANGENTS.  I 27 

d'oii  l'on  lire 

I  I    _    I  I 

H"'  "^  ÏF'  ~"  ÏÏ^  "^  ÏÏ^* 

La  somme  constante  ■^,  -1-  ^  se  nomme  la  courbure  moyenne  au  point 
con'sidéré,  Ri  et  Rj  sont  les  rayons  do  courbure  principaux  en  ce  point. 

Application  au  second  degré. 

Ii5.   Considérons  d'abord  une  splière 

(X  — rt)»-^(Y  — *^î-4-(Z-  c)2—  K2  =  o. 
Le  plan  tangent  au  point  {x,  y,  -)  a  pour  équation 

{\  —  a){  T  —  a)  -\-  (\  —  h  )  {y  —  b)  -ir  {'/.  —  c)  i  z  —  c  )  —  W-  =  o, 
en  supposant  remplie  la  condition 

{x  —  ay- -r-  (y  —  bf  -\-  (z  —  c)^  —  R*  =  o. 

On  vérifie  ainsi  que  le  plan  tangent  est  perpendiculaire  au  rayon 
qui  passe  par  le  point  de  contact. 

Soit,  en  second  lieu,  une  surface  de  second  degré  quelconque 

A  J"2  -•-  A'  r-  -H  A"  ;;-  -f-  9.  B^-  -f-  2  B'  5J7  -+-  ■>.  W xy 

-\-  i  Q.X    -f-  2  QJy    -h  2  C  c:  -(-  D  =  o  ; 

le  plan  tangent  au  point  (,r,  j',  z)  appartenant  à  celte  surface  a  pour 
équation 

AXa:-+-  k'Y  y  -\-  K-Zz  ^'B{yZ  -^  zY)  ^W  (  z\  -^  xl)  ^W  {x\  ^  y\) 

+  C(X -h  a-) -t-G'(Y-+-^)-<-C"'(Z -+--;-+-  D  ^  o. 

146.  Exprimer  qu'un  plan  est  tangent  à  une  surface.  —  Cas 
du  second  degré.  —  Soit 

(i)  «X-f-cY-4- (rZ -+-rT  =  o 

l'équation  d'un  plan.  Pour  que  ce  plan  soit  tangent  à   une  surface 
ayant  pour  équation 

(2)  /(^>J,  ->  0  =  0, 


CHAPITRE    VII. 


il  faut  et  il  suffît  qu'il  existe  un  système  de  valeurs  de  x^  y^  z,  t  vé- 
rifiant l'équation  (2),  et  telles  que  l'équation 


(3) 


ox  oy  oz  ôt 


soit  identique  à  l'équation  (i).  On  obtiendra  la  condition  demandée 
en  éliminant  ^,  jk,  z,  i,  "k  entre  l'équation  (2)  el  les  équations 


^-^  -lu 


dy  '  dz  '  dt 


\r. 


Dans  certains  cas,  on  trouve  deux  équations  de  condition  (surfaces 
développables). 

Dans  le  cas  du  second  degré,  en  remplaçant  \  par  2).,  nous  obte- 
nons les  équations  du  premier  degré 


(4) 


kx  -f-  Wy  -+-  h'z  -4-Gf  —\u  =  o, 
B"x-\-  A'j  -f-B^  -+-Ct  —  \v  =0, 
(  B'x  +  B_/  +  A"^  +  G"  ^  —  X  «^  =  o, 
Cx  -{-  C'y  -h  C"z  H-  Df  —  Xr  =0, 
ux    -^-  vy    -t-  wz   -V-  rt  =0. 


La  dernière  de  ces  équations  remplace  l'équation  (2);  en  effet, 
celle-ci  pouvant  s'écrire 


df  df  df         df 


dx 


ôz 


dt 


on  peut  y  remplacer  les  dérivées  par  des  quantités  proportionnelles 


M,   P,   (V,  Z. 

La  condition  demandée  est  donc 


A  B"  B'  G  a 

B"  A'  B  G'  V 

B'  B  A"  G"  w 

G  G'  G"  D  r 

u  i>  w  r  o 


Nous  représenterons  par — F(m,  <p^w,  r)  le  déterminant  précé- 
dent; on  a 

F(a,  V,  w,  r)  =  au^+  a'i''^+  a"w^-i-  dr^-\-  ibvw  -\-  ib' wu  -^-ib" uv 

-k-  2cur-i-  2c'vr-\-  2  c"  wr, 


PLANS    TANGENTS.  I29 

«,  «',   ..-,  c"  étant  les  mineurs  du  discriminant   H  de   la   forme 
f  {x,y^  z,  t).  Nous  supposons  H^  o. 

L'équation  F{u,  v,  w,  /•)  =  o  se  nomme  V équation  tangentielle 
de  la  surface  représentée  par  f{x^  y,  z,  t)  =z  o  en  coordonnées 
ponctuelles.  Les  coordonnées  homogènes  du  point  de  contact  du 
j)lan  (w,  V,  IV,  r)  tangent  à  cette  surface  sont 


dF 
du 


dv  ■ 


dF 


dF 


comme  on  s'en  assure  en  résolvant  le  système  (4). 


147.  Exprimer  qu'une  droite  est  tangente  à  une  quadrique.  —  Soient 

ux  -+-  vy  -i-  wz  -+-  rt  =  o,       u'x  -+-  v' y  -^  w'  z  -\-  r'  t  =  o 

les  équations  d'une  droite.  Si  cette  droite  touche  la  quadrique  en  un  point 
M(a7,  y,  z,  t),  l'équation  du  plan  tangent  en  ce  point  doit  être  de  la  forme 

( X  a  -4-  ixu')x  -\-  ( X c  +  y^i'')y  -h{lw  -h  iiw')z  -\-  (Xr  -h  ixr')t  =  o; 

on  doit  donc  pouvoir  déterminer  X,  [x,  x,y,  z,  t,  tels  que 

A.X  -+-  B"j  +  B'^  -+-G;=Xa-+-{Jia', 
B''x-\- A'y-hBz    4- G'ï  =  Xt^ -H  (ji(^', 

B'x  +  B j  -i-  A."z  -h  G'7  =  X  w  -f-  [JL  w', 
Cx  -f-  G'7  -t-  G"^  +D^  —Ir  -h  n  r', 
ux    -+-  vy    -+■  ivz    -h  rt    =  o, 
u'x  -h  v' y  -+-  iv' z  H-  r' t  =  o, 

et  réciproquement,  si  ces  équations  sont  vérifiées,  la  droite  donnée  passe 
par  le  point  {x,  y,  z,  t)  et  se  trouve  située  dans  le  plan  tangent  en  ce  point; 
elle  est  donc  tangente.  La  condition  demandée  s'obtient  en  éliminant  x,y,  z, 
t,  X,  (JL  entre  les  équations  précédentes;  on  obtient  ainsi 


o. 


A 

B" 

B' 

G 

u 

u' 

B" 

A' 

B 

G' 

V 

v' 

B' 

B 

A" 

G" 

w 

M' 

G 

G' 

G" 

D 

r 

/•' 

u 

V 

w 

/• 

o 

o 

u' 

v' 

w' 

r' 

0 

o 

148,  Mener  par  une  droite  un  plan  tangent  à  une  quadrique. —  Soient 

(«,  V,  w,  r),         {u',  v',  w',  r') 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  9 


l30  CHAPITKE    VII. 

les  coefficients  des  équations  de  deux  plans  passant  par  la  droite,  c'est- 
à-dire  les  coordonnées  tangentielles  de  deux  plans  menés  par  cette  droite; 
un  plan  passant  par  l'intersection  des  deux  premiers  a  pour  coordonnées 
tangentielles 

M-f-Xa',     p-hXp',     w-^-lw',     r  +  lr'; 

ce  plan  sera  tangent  si  X  est  racine  de  l'équation 

¥(ii -i-Xu',  t'-f-Xp',   w-\~'kw',  /• -!- X/"')  =  o. 

Il  y  a  donc  deux  plans  répondant  à  la  question. 

En  exprimant  que  ces  deux  plans  sont  confondus  en  un  seul,  on  obtient  la 
condition  pour  que  la  droite  donnée  soit  tangente  à  la  quadrique,  sous  la  forme 

dF         ,dF         ,dF         ,dFY 

=  0. 


/     ÔF         ,dF 

4F(m,  V,  w,  r)  F(u',  V  ,  w' ,  r)  —  {  u'  -, h  p  - — h  w 

^  \      du  dv 


dw  dr  ) 


149.  Équation  du  cône  des  tangentes  à  une  surface,  issues 
d'un  point  donné.  —  Soient  S(:ro,  ^l'o)  ^oj  ^o)  un  point  donné  et 
f{x,  y,  z,  t)  =  o  l'équation  d'une  surface.  Soient  x,  y,  z,  t  les  coor- 
données d'un  point  M;  on  sait  que,  pour  déterminer  les  points  de 
rencontre  de  la  droite  SM  et  de  la  surface  y,  il  suffit  de  résoudre  l'é- 
quation 

f{xo+'kx,  yç)+\y,  z^i^Xz,  tQ+Xt)  =  o; 

on  exprimera  que  SM  rencontre  la  surface  en  deux  points  confon- 
dus en  écrivant  que  cette  équation  en  X  a  une  racine  double;  l'équa- 
tion représentera  le  faisceau  des  tangentes  issues  de  S.  Si  la  surface 
est  du  second  degré,  l'équation  précédente  pourra  s'écrire 

/o-i-XP  +  XV=o, 


df  df  df  df  df 

oxq  oyQ  ozq  (Jto  ox 


en  posant 

et  l'équation  demandée  est 

4//o-P^  =  o. 

Le  lieu  des  points  de  contact  est  déterminé  par  le  système  formé 
par  l'équation  précédente  et  par  l'équation  y  ^  o,  c'est-à-dire  par  le 
système  y  =  o,  P  =  05  la  courbe  de  contact  est  donc  plane.  Si  l'on 
représente  par  T  =:  o  le  plan  tangent  à  la  surface  f  en  un  point 
M,  [x^  ^ytj  Zf,  tf),  et  par  P,  ce  que  devient  P  quand  on  j  remplace 
les  coordonnées  courantes  par  les  coordonnées  de  M|,  on  voit  que 
le  plan  tangent  au  cône  en  M|  a  pour  équation 

2/0T-PP,  =  0. 


PLANS   TANGENTS.  l3l 

Celle  équalion  se  réduit  à  T  =:  o,  si  le  point  M,  est  sur  la  courbe 
(le  contact. 

Donc,  le  cône  formé  par  les  tangentes  issues  de  M  est  tangent  à 
la  quadrique  tout  le  long  de  la  courbe  de  contact,  ou,  comme  on  dit, 
il  lui  est  circonscrit.  Le  plan  de  la  courbe  de  contact  se  nomme  le 
plan  polaire  du  point  S. 

loO.  Equation  du  cylindre  circonscrit  {(ont  les  génératrices 
sont  parallèles  à  une  direction  donnée.  —  Soient  a,  |3,  y  les  para- 
mètres de  la  direction  donnée  et  x,  y,  z  les  coordonnées  cartésiennes 
d'un  point;  une  droite  issue  de  ce  point  est  définie  par  les  équa- 
tions 

on  exprimera  que  cette  droite  est  tangente,  c'est-à-dire  qu'elle  ren- 
contre la  surface  /  en  deux  points  confondus,  en  écrivant  que  l'é- 
quation 

/(ar-f-ap,  JK  +  ^p,  z -^- yp)  =  o 

a  une  racine  double. 

Supposons  que  la  surface  soit  du  second  degré  et  soit  o(x,y,  z) 
l'ensemble  homogène  des  termes  du  second  degré  ;  l'équation  en  o 
est  alors 

?-?(«,  ?,  ï)  -+-  ?  (^  'j^  +  P  ^  +  T  ^)  +/(^,  r,  z)  =  o; 
l'équation  du  cylindre  demandé  est  donc 

4/(:r,j,.)cp(a,?,Y)-(«^+?^5^Y;|{)'=o. 

On  vérifie,  comme  plus  haut,  qu'en  chacun  des  points  de  la  courbe 
des  contacts,  qui  est  plane,  le  plan  langent  au  cylindre  est  le  même 
que  le  plan  tangent  à  la  quadrique. 

Remarque.  —  Si  l'on  suppose  que  le  point  S(j:o,  j'o?  ^o?  'o)  dis- 
paraît à  l'infini  dans  la  direction  a,  P,  v  l'équation  du  cône  circon- 
scrit de  sommet  S  devient,  à  la  limite,  celle  du  cylindre  circonscrit 
parallèle  à  la  direction  (a,  ^,  y);  c'est  ce  que  l'on  voit  immédiate- 
ment en  remplaçant  ^o)  JKo)  -o  para,  (3,  y  et  ^o  par  o  dans  l'équation 
du  cône. 


CHAPITRE    VII. 


Normale  à  une  surface. 


151.  On  nomme  normale  en  un  point  M  d'une  surface  la  per- 
pendiculaire menée,  en  ce  point,  au  plan  tangent  au  même  point. 

Si  les  axes  sont  rectangulaires,  la  normale  au  point  M(5:,jk,  z)  à 
la  surface  définie  par  l'équation  f[x^y^  5)  ^  o  a  pour  équations 

Y  —y  _  Z  —  z 

fy~A' 

Le  point  M  se  nomme  le  point  d' incidence  ou  le  pied  de  la  nor- 
male. 

Les  pieds  des  normales  issues  d'un  point  (^oîJKo?  ^0)  sont  à  l'in- 
tersection de  la  surface  donnée  et  de  la  courbe  définie  par  les  équa- 
tions 

a!o  —  x  _  yo  —  y  _  z^  —  z^ 

J  X  J  )  J^ 

Plan  tangent  à  une  surface  définie  à  l'aide  de  deux  paramètres. 

152.  Soit  F(a7,  y,  z^  —o  l'équation  d'une  surface  S;  on  peut  dire  que  cette 
équation  définit  z  comme  fonction  des  deux  variables  indépendantes  x  ç,x,y\ 
or,  on  peut  faire  un  changement  de  variables  et  poser 

u  et  V  désignant  deux  nouvelles  variables  indépendantes;  alors  z  pourra 
aussi  s'exprimer  en  fonction  de  u  et  p,  et  l'on  aura,  pour  définir  les  points  de 
la  surface  donnée,  le  système 

a^=f{if',v),        y=fv{u,v),         z=f2(u,v). 

Réciproquement,  un  pareil  système  définit- en  général  une  surface;  sup- 
posons en  effet,  par  exemple,  que  les  deux  premières  équations  déterminent  u 
et  p  en  fonction  de  a?  et  dey;  ^  est  alors  une  fonction  de  a?  et  de  y.  On  ob- 
tiendrait d'ailleurs  l'équation  de  la  surface  en  éliminant  uetv  entre  les  trois 
équations  données. 

Gela  étant,  supposons  qu'à  chaque  système  de  valeurs  attribuées  à  u  et  v 
corresponde  un  point  M;  on  demande  l'équation  du  plan  tangent  en  M  à  la 
surface  que  décrit  ce  point  quand  u  et  v  varient. 

Si  l'on  remplace  v  par  une  fonction  de  u  et  que  l'on  fasse  varier  u,  le  point 
défini  par  les  équations  précédentes  décrira  une  courbe  tracée  sur  la  surface  S 
et  les  équations  de  la  tangente  au  point  (u,  v)  seront 

'    X  —  x      _       y  —y       _        Z  —  z 
du       dv  du         âv  du         dv 


PLANS   TANGENTS. 

OU,  en  introduisant  un  paramètre  variable  X, 

X_^_X^-X.'^=o, 
ou  ov 


i33 


du 


Y-r-XS-X.'^==o, 


ùv 


Z_^_X^^-X.'^=o. 
du  Ov 

En  éliminant  X  et  \v',  on  voit  que  la  tangente  considérée  est  dans  le  plan 
défini  par  l'équation 


Y -/,(«,  i^) 


àA      à/i 
du      dv 


^-Mu,^^    t    f 


Il  convient  de  remarquer  que  cette  équation  disparaît  si,  pour  un  point 
M  (m,  v),  les  dérivées  partielles  par  rapport  à  l'un  des  paramètres  sont  nulles 
toutes  les  trois,  ou  encore  si  les  dérivées  partielles  par  rapport  à  u  sont  pro- 
portionnelles aux  dérivées  par  rapport  à  v. 

Dans  ce  cas,  les  équations  (i)  représentent  toujours  la  même  droite,  sauf  si 


àf 


du        dv  du 


dv  du         dv 


df    df\     dfv   ,.~,  ,        .         ,       ,  .  ,     , 

alors,  en  supposant  —-?  4— >  -f-  différents  de  zéro,  les  équations  de  la  tan- 
'^'^  dv     dv     dv 


gente  sont 

X  — ^ 

d''/            à-f     ,       dH    „       df   „ 
du^           dudv           dv^             dv 

On  en  déduit,  pour  l'équation  du  plan  tangent, 

du^           dudv           dv^ 

dv 


o, 


en  n'écrivant  que  la  première  ligne  du  déterminant. 

On  peut  arriver  à  l'équation  du  plan  tangent  par  un  procédé  très  simple. 
Soit  ¥{x,y,  z)  =  o  l'équation  de  la  surface;  regardons  x,  y,  z  comme  fonc- 
tions de  u  et  V,  et  différentions  par  rapport  à  a,  puis  par  rapport  à  f ,  ce  qui 

donne 

d¥df_       àF   àfi 

dx  du        dy    du 

dF   df        àFàA 
dx   dv        dy   dv 


dF  dh 
dz    du 

dz    dv    ~°' 


l34  CHAPITRE  VII.—  PLANS  TANGENTS. 

l'équation  du  plan  tangent  étant 

,  „   ,,.    .         dF     aF    £)F  ,  .      ,         . 

il  ne  reste  plus  qu  a  éliminer  -r-  •>  -^  ■>  -—  entre  les   trois  équations   précé- 
da;    o/     c;^ 

dentés. 

On  voit  que,  si  les  dérivées  partielles  par  rapport  à  u  sont  proportion- 
nelles aux  dérivées  par  rapport  à  v^  c'est-à-dire  si  la  courbe  ii  =  const. 
est  tangente  à  la  courbe  v  =  const.,  on  ne  peut  déterminer  les  rapports  de 

dF    aF       dF  .    .,         ,         .  ,,  .    , 

j-  >  -r—  et  -r—  ;   mais  u  ne  s  ensuit  pas  que  ces  dérivées  soient  nulles  et,  par 

suite,  on  ne  peut  pas  en  conclure  que  le  point  considéré  (a,  v")  soit  un  point 
singulier  de  la  surface. 

EXERCICES. 

1.  Deux  surfaces  ont,  en  général,  un  certain  nombre  de  points  communs 
pour  lesquels  les  plans  tangents  font  un  angle  donné.  En  particulier,  deux 
sphères  quelconques  sont  orthogonales  en  tous  les  points  du  cercle  de  l'in- 
fini. 

2.  Exprimer  que  deux  surfaces  sont  tangentes  en  un  point.  Ce  problème, 
qu'on  peut  considérer  comme  cas  particulier  du  précédent,  en  diffère  nota- 
blement. Application  à  deux  sphères. 

3.  Exprimer  qu'une  surface  et  une  courbe  se  coupent  sous  un  angle  donné. 

4.  Déterminer  les  plans  tangents  communs  à  deux  sphères. 

5.  Cônes  circonscrits  à  deux  sphères. 

6.  Mener  par  un  point  un  plan  langent  commun  à  deux  sphères. 

7.  Mener  par  une  droite  un  plan  tangent  commun  à  deux  sphères  :  condi- 
tion de  possibilité. 

8.  Mener  un  plan  tangent  commun  à  trois  sphères. 

9.  Trouver  l'équation  du  plan  tangent  en  un  point  d'une  surface  définie 
au  moyen  de  deux  paramètres  m,  v^  en  écrivant  que  la  distance  du  point 
(w  -f-  Aa,  V  -\-  Lv)  à  un  plan  mené  par  le  point  (m,  p)  est  un  infiniment  petit 

du  second  ordre  au  moins,  quel  que  soit  le  rapport  - — ■■>  ^u  et  iiv  étant  re- 

^  Au 

gardés  comme  étant  du  premier  ordre.  Traiter  aussi  le  cas  où  -r- )  t— >  -r— 
^  du    ou      ou 

„      .  àf    d/i     d/a 
sont  proportionnelles  a  -^>  -^,  -—• 

ov      OV        Oi> 

10.  Former  l'équation  tapgentielle  d'une  sphère  rapportée  à  des  axes  quel- 
conques. 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  iS*» 


CHAPITRE  YIII 

LIEUX  GÉOMÉTRIQUES.   -   GÉNÉRATION  DES  SURFACES 
OU  DES  LIGNES. 


153.  Soient 

(i)  f{x,y,z,a)  =  o,        fi(x,y,z,a)  =  o 

deux  équations  renfermant  un  paramètre  arbitraires.  A  chaque  va- 
leur Oo  de  a  correspond  une  courbe  définie  par  les  équations 

(2)  f{x,y,z,ao)  =  o,        /i(x,y,  z,  ao)  =  o. 

Si  a  varie  d'une  manière  continue,  la  courbe  considérée  se  dé- 
forme et  se  déplace;  elle  engendre  un  lieu  dont  on  obtient  l'équa- 
tion en  éliminant  a  entre  les  deux  équations  (i).  En  effet,  soient 
^o>  yoi  ^0  les  coordonnées  d'un  point  M  de  la  courbe  Go  définie  par 
les  équations  (2);  on  a 

/(a^cJKo,  ^0,  «0)  =  0,        f\{cco,yo,ZQ,ao)  =  0; 

par  conséquent  les  équations 

(3)  f(xo,yo,zo,a)  =  o,        /i(:ro,7o,  ^o,  «)  =  o 

ont  au  moins  une  solution  commune  :  «o  j  donc,  si  nous  savons 
former  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  les  équations  (3) 
en  a  aient  au  moins  une  solution  commune,  on  aura 

(4)  R(a:o,7o,  ^0)  =0 

et,  par  suite,  tout  point  M  du  lieu  est  sur  la  surface  ayant  pour 
équation 

(5)  R{x,y,z)  =  o. 

Réciproquement,  soit  M{a:Q, yo^  ^0)  un  point  de  cette  surface; 
ses  coordonnées  vérifiant  l'équation  (4),  les  équations  (3)  ont  au 


f36  CHAPITRE   VIII. 

moins  une  solution  commune  «o  et,  par  suite,  le  point  M  est  sur 
une  courbe  définie  par  les  équations  (2);  le  point  M  est  donc  un 
point  du  lieu. 

154.  11  y  a  lieu  de  faire  ici  une  remarque  analogue  à  celle  qui  a  été 
faite  pour  la  recherche  des  lieux  géométriques  en  Géométrie  plane. 

Pour  qu'un  point  M(^o,yo,  ^0)  de  la  surface  trouvée  fasse  partie 
du  lieu,  il  peut  arriver  qu'il  soit  nécessaire  que  les  équations  (3) 
aient  au  moins  une  solution  commune  «o  satisfaisant  à  certaines 
conditions;  par  exemple,  cette  solution  «o  devra  être  réelle  et,  en 
outre,  comprise  entre  certaines  limites.  Si  ces  conditions  ne  sont 
pas  remplies,  certaines  parties  du  lieu  trouvé  pourront  être  des  par- 
ties parasites. 

On  voit  encore  que^  si  l'une  des  surfaces  représentées  par  l'équa- 
tion (i)  passe  par  un  point  fixe,  ou  contient  une  courbe  fixe,  ce 
point  ovi  cette  courbe  feront  partie  du  lieu  trouvé. 

Cas  de  plusieurs  paramètres. 

155.  Il  arrive  souvent  que  les  équations  de  la  ligne  mobile 
renferment  plusieurs  paramètres.  Supposons  que  le  nombre  des 
paramètres  variables  soit  n\  dans  ce  cas  il  faudra  assujettir,  en  gé- 
néral, ces  paramètres  k  n  —  1  relations. 

Soient,  par  exemple,  les  équations 

f  {x,y,z,ai,ai,  .  ..,aa)  =  o, 
/l(^)7,^i  <^t,  «52,  .  • -,  <^«)  =  o, 

?i(«i,  «2)  •  •.,  ««)  =  0, 

Cp2  («1,  «2)    •  •  -,  CLil)  =   O, 


©„_i(ai,  a^,  ....  an)  —  o. 


On  obtiendra  l'équation  de  la  surface  engendrée  par  la  courbe 
génératrice  définie  par  les  deux  premières  équations,  en  éliminant 
les  n  paramètres  a,,  «27  .."_a,i  entre  les  /i  +  i  équations  précé- 
dentes. Nous  avons  déjà  fait  plusieurs  fois  le  raisonnement  qui 
convient  à  ce  genre  de  questions  ;  il  est  inutile  de  le  reproduire  une 
fois  de  plus. 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  187 

Génération  d'une  ligne. 

156.  Supposons  qu'un  point  M.[x,y,  z)  appartienne  à  trois  sur- 
faces, dont  les  équations 

¥{x,y,z,a)  =  o,         ¥i{x,y,  z,  a)  =  o,        ¥i{x,y,  z,  a)  =  o 

renferment  un  paramètre  variable  a,  on  aura  l'équation  du  lieu  en- 
gendré par  le  point  M,  en  éliminant  a  entre  ces  trois  équations;  ce 
qui  donnera,  en  général,  deux  équations 

f{^,y:S)  =  o,       fi{x,y,z)  =  o; 

le  lieu  de  M  sera  donc  une  ligne. 

D'ailleurs,  si  l'on  résout  le  système  proposé,  on  peut  en  tirer 

et  nous  savons  déjà  qu'un  pareil  système  représente  une  courbe. 

157.  Cas  général.  —  Il  peut  arriver,  d'une  manière  tout  à  fait 
générale,  qu'on  ait  à  chercher  le  lieu  décrit  par  un  point  dont  les 
coordonnées  vérifient  n  -h  i  équations  renfermant  n  paramètres 

Fi(ar,^,  s,  ai,rt2,  „    .,rt„)  =  o, 
¥i{x,y,z,  ai,  a., an)  =  o, 


Fn+i{^,y,  3,ai,ai  ...,an)  =  o  ; 


l'équation  du  lieu  s'obtiendra  encore  en  éliminant  «i ,  «o»  •  •  •?  <z„, 
entre  ces  n -f- 1  équations;  on  aura  ainsi  une  équation  unique,  en 
général,  représentant  une  surface. 

S'il  y  avait  n  -\-  2  équations,  en  éliminant  les  n  paramètres,  on 
obtiendrait  deux  équations  entre  x,y,  z,  et  le  lieu  serait  une  ligne. 

Il  est  superflu  d'ajouter  que,  si  l'on  donnait  autant  d'équations 
qu'il  y  a  de  paramètres,  tout  point  de  l'espace  pourrait  convenir; 
car,  si  l'on  attribue  k  x,  y,  z  des  valeurs  particulières  .To,  yo,  Zq,  on 
aura  n  équations  pour  déterminer  n  inconnues  a,,  a-i-,  .  .  - ,  ««.  Ce- 
pendant, dans  certains  cas,  il  peut  se  faire  que  l'élimination  des 
paramètres  soit  possible,  mais  alors  au  résultat  de  l'élimination  cor- 
respond un  théorème  et  non  plus  un  lieu  géométrique. 


l38  CHAPITRE   VIII. 

158.  Directrices.  —  Supposons  qu'il  s'agisse  de  trouver  l'équa- 
tion de  la  surface  engendrée  par  une  courbe  dont  les  équations 
renferment  deux  paramètres  a,  h.  Pour  que  la  courbe  engendre  une 
surface,  il  est  nécessaire  que  les  paramètres  a  Ql  b  soient  liés  par 
une  équation;  on  obtient  ordinairement  cette  équation  en  exprimant 
que  la  génératrice  est  assujettie  à  rencontrer  une  courbe  fixe,  qu'on 
nomme  directrice. 

Soient 

(G)  f{x,y,z,a,b)  =  o^        fi{x,y,  z,  a,  b)  =  o 

les  équations  de  la  génératrice,  et 

(D)  <f{x,y,z)  =  o,         t^i{x,y,z)  =  o 

les  équations  de  la  directrice.  Pour  exprimer  que  ces  deux  courbes 
se  rencontrent,  il  faut  écrire  que  ces  quatre  équations  en  x,  y,  z 
ont  au  moins  une  solution  commune,  c'est-à-dire  éliminer  x^y^  z 
entre  ces  équations.  Ou  obtiendra  ainsi  une  équation  de  condition 

et  il  n'y  aura  plus  qu'à  éliminer  a  el  b  entre  cette  équation  et  celles 
de  la  génératrice. 

Plus  généralement,  si  les  équations  de  la  génératrice  renfermaient 
n  paramètres,  il  faudrait  n  —  i  directrices  pour  que  la  courbe  mo- 
bile pût  engendrer  une  surface;  à  chaque  directrice  correspond  ,  en 
effet,  une  relation  entre  les  paramètres. 

Nous  allons  maintenant  donner  quelques  exemples. 

159.  Étant  données  une  sphère  S  et  une  droite  A,  on  demande  le  lieu 
des  sommets  des  cônes  circonscrits  à  la  sphère  suivant  les  courbes  d'in- 
tersection de  cette  sphère  et  des  plans  menés  par  la  droite  donnée. 

Prenons  pour  origine  le  centre  de  la  sphère,  l'axe  des  z  étant  parallèle  à 
la  droite  donnée,  l'axe  des  x  étant  la  perpendiculaire  abaissée  du  centre  sur 
cette  droite,  et  enfin  l'axe  des  y  étant  perpendiculaire  aux  deux  autres 
axes.  Les  équations  de  la  sphère  et  de  la  droite  sont 

.r2-|-j2_,_52_  R2  —  o, 

X  =  a,         y  z=  o. 
Un  plan  mené  par  A  a  pour  équation 
(i)  X  — «  +  XY  =  o. 


LIEUX    GÉOMÉTRIQUES.  189 

Soient  X,  y,  z  les  coordonnées  du  sommet  du  cône  circonscrit  à  la  sphère  S 
le  long  du  cercle  suivant  lequel  elle  est  coupée  par  ce  plan;  le  plan  de  la 
courbe  de  contact  a  pour  équation  {M^) 

(2)  Xa^  +  Yj  +  Z:;— R2=o. 
Identifions  les  équations  (i)  et  (2),  ce  qui  donne 

(3)  ^  =  0;        X  =  \  = 

Les  équations  du  lieu  s'obtiendront  en  éliminant  X  entre  les  équations  (3); 
on  trouve  ainsi 

R2 

z  =  o,        X  =  —  • 
a 

Le  lieu  est  donc  une  droite  Ai  facile  à  construire;  mais,  si  l'on  ne  consi- 
dère que  des  figures  réelles,  la  droite  tout  entière  ne  convient  pas  nécessai- 
rement au  lieu;  il  faut  en  effet  que  le  cercle,  intersection  du  plan  (i)  et  de 
la  sphère,  soit  réel;  pour  cela,  il  faut  et  il  suffit  que  la  distance  de  l'origine 
au  plan  sécant  soit  moindre  que  le  rayon  de  la  sphère,  c'est-à-dire  que  X  vé- 
rifie l'inégalité 

-v^<R, 

v/i-f-X2 

en  supposant  a  >  o;  ce  qui  donne 

Cette  condition  est  toujours  vérifiée  si  l'on  suppose  a  <  R  ;  supposons  a  >  R  ; 

I                     -If                        ^        \/a^—  R-         ^    ^       v/«"-—  R2     ,      ,     .       . 
dans  ce  cas,  il  laut  supposer  X  > ^ ou  X  < ;  la  droite  A, 

coupe  la  sphère  S  en  deux  points  ayant  pour  ordonnées  j'  =  ±  —  y/a- —  R'^; 

R2 

un  point  quelconque  de  Aj  ayant  pour  ordonnée/  =  X  — ,  les  points  d'inter- 


section trouvés   sont  ceux  qui   correspondent  à  \  =  ±iJ^l__31;   donc  la 

R 
portion  de  Ai  située  à  l'intérieur  de  la  sphère  ne  correspond  pas  à  la  défini- 
tion géométrique  du  lieu. 

160.  Trouver  le  lieu  des  intersections  de  deux  plans  faisant  partie  de 
deux  faisceaux  homo graphiques.  —  Soient  P  =  o,  Q  =  o  les  équations 
d'une  droite  A;  P'=  o,  Q'=  0  les  équations  d'une  droite  A';  un  plan  appar- 
tenant au  premier  faisceau  a  pour  équation 

P-f-XQ  =  o; 

un  plan  appartenant  au  second  faisceau 

P'-hX'Q'  =  o. 


l4o  CHAPITRE    VIII. 

La  relation  homographique  la  plus  générale  étant 

XX' +  aX  +  6X'-f-c  =  o, 
l'équation  du  lieu  est 

PP'—  aPQ'—  èQP'-i-  cQQ'  =  o. 

Si  l'on  suppose  que  P'  corresponde  à  P  et  Q'  à  Q,  on  peut  disposer  des 
coefficients  de  façon  que  la  relation  homographique  se  réduise  à  X  =  X';  l'é- 
quation du  lieu  est  alors 

PQ'— QP'=o. 

Le  lieu  est  une  surface  du  second  degré. 

Cas  particulier.  —  Supposons  les  droites  A,  A'  parallèles  et  les  plans  coi'- 
respondants  perpendiculaires;  soient 

x  —  x^  _    y—yç)       z  —  zq 


a  b  c  . 

cc'-x^  ^  y  —  yx  ^  z  —  z^ 

abc 
les  équations  de  A  et  de  A';  un  plan  passant  par  A  a  pour  équation 

(i)  al^z  —  z^)  —  c  {x  —  x^;)  +  \  lc{y  —y^)  —  b{z  —  z^)\^o, 

de  même 

(2)  a(^_^j)_c(a7  — a7i)-hX'[c(jK— jKi)  — 6(5  — ^i)]  =  o 

représente  un  plan  passant  par  A';  ces  plans  étant  supposés  rectangulaires, 
on  doit  poser 

(3)  c2(i-+-XX')-j-(a-Xè)(a  — X'è)  =  o; 

on  aura  l'équation  du  lieu  en  éliminant  X  et  X'  entre  les  équations  (i),  (2),  (3). 
Le  lieu  est  évidemment  un  cylindre  circulaire  droit;  si  l'on  pose 

cjo — è^o  =  a,  «-Zo — ciPo  =  p,  bxo—  ayo  —  ^{, 

cyi  —  bzi  —  xi,         azi-^cxi=  '^i,         bxi~  ayi~yi, 

['  équation  du  cylindre  prend  la  forme  symétrique 

(cy  —  bz  —  ix){cy  —  bz  —  ai)  -+-  (az  —  ex  —  '^)(az  —  ex  —  ^i) 

-h{bx  —  ay  —  y)  (bx  —  ay  —  yi)  =  0, 

ou  encore 

< 

(«2+  b^^c^''){x^-+-y''+  z^)—-(ax^  by  ■+■  cz)^— (x  +  ai)(cy  —  bz) 

—  (?-+-  ^i){az  —  cx)  —  {y-h-{i){bx  —  ay)-^-oi.oii-h  ^'^i-hyyi  =  0. 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  l4l 


Cylindres. 

161.  On  nomme  cylindre  une  surface  engendrée  par  une  ligne 
droite  qui  se  déplace  en  s'appujant  sur  une  directrice  fixe  et  en  res- 
tant parallèle  à  une  direction  donnée. 

L'équation  d'un  cylindre  peut  toujours  se  mettre  sous  une  forme 
remarquable.  Si  l'on  choisit  pour  axe  des  z  une  droite  parallèle  à  la 
direction  des  génératrices,  l'équation  du  cylindre  sera  de  la  forme 

/(^,r)'=o: 

mais,  si  Ton  fait  un  changement  de  coordonnées,  x  et  j^  se  change- 
ront en  des  fonctions  linéaires  P,  Q  des  nouvelles  coordonnées  et 
l'équation  prendra  la  forme 

/(P,Q)  =  o, 

P  =  o,  Q  =  o  représentant  deux  plans  non  parallèles. 
On  arrive  à  ce  résultat  directement  de  la  façon  suivante  : 
Si  l'on  représente  par  les  équations 

P  =  o,        Q  =  o 

la  direction  donnée,  Pet  Q  étant  deux  polynômes  du  premier  degré, 
les  équations  d'une  génératrice  quelconque  seront  de  la  forme 

P  =  a,        Q  =  6. 

En  exprimant  que  cette  droite  s'appuie  sur  une  courbe  fixe  donnée, 
on  aura  une  équation  de  condition 

/(a.  b)  =  o, 

et  l'équation  de  la  surface  s'obtiendra  en  éliminant  «,  b  entre  les 
trois  équations  précédentes,  ce  qui  donne 

/(P,  Q)  =  o. 

162.  Réciproquement,  si  P  et  Q  désignent  deux  polynômes  li- 
néaires 

P  =  ax  -+-  by  4-  C5  -4-  c/,         Q  =  a' x  -f-  b'y  +  c' z  +  d' 

supposés  distincts,  c'est-à-dire  tels  que  l'un  au  moins  des  déter- 


l42  CHAPITRE    VIU. 

minants  ab' —  ba',  bd —  cb\  ca' —  ad  soit difFérent  de  zéro,  toute 
équation  de  la  forme 

/(P,Q)  =  o 

représente  un  cylindre  dont  les  génératrices  sont   parallèles   à   la 
droite  D,  ayant  pour  équations  P  ^  o,  Q  =  o. 

En  effet,  supposons  qu'on  trace  sur  la  surface  représentée  par 
l'équation  donnée  une  courbe  quelconque,  et  soient  ^05  J'o?  ^o  les 
coordonnées  d'un  point  M  de  cette  courbe;  je  dis  que  la  parallèle 
à  D  menée  par  M  est  tout  entière  sur  la  surface  S;  effectivement,  si 
Po  et  Qo  désignent  ax^  +  by^  +  cZq  -\-  d  el  a'x^  -h  b'y^  +  d z^  +  d, 
les  équations  de  cette  parallèle  sont 

P  =  Po,        Q  =  Qo. 

Pour  qu'un  point  M'  de  cette  parallèle  appartienne  à  S,  il  faut  et 

il  suffit  que 

■  /(P',  Q')  =  o; 

or  cela  est  évident,   car 

P'=^Po,        Q'=Qo 

et  le  point  M  étant  par  hypothèse  sur  S,  on  a 

/(Po,Qo)  =  o. 

D'ailleurs,  on  peut  remarquer  que  l'équation  donnée  peut  être 
regardée  comme  étant  obtenue  en  éliminant  les  deux  paramètres 
a,  b  entre  les  équations 

P  =  a,        Q=è,       f{a,b)  =  o. 

163.  Problème.  —  Former  V équation  du  cylindre  ayant  pour 
directrice  la  courbe  définie  par  les  deux  équations 

f{^,J^z)  =  o,        fi{x,y,z)  =  o 

et  dont  les  génératrices  ont  pour  paramètres  directeurs  cl,  |3,  y. 

Soient  x,y^  z  les  coordonnées  d'un  point  M;  ce  point  sera  sur 
le  cylindre  si  la  parallèle  à  la  direction  donnée,  menée  par  M,  ren- 
contre la  directrice  donnée. 

Les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  cette  parallèle  étant 
de  la  forme  x  +  ap,  jk  +  l^p,  z  +  yo,  il  faut  et  il  suffît,  pour  qu'il 


LIJELX    GÉOMÉTRIQUES.  1^3 

en  soit  ainsi,  que  les  deux  équations 

/(a7-4-ap,7-i-3p,  5  + Yp)  =  o,        /i(x  +  tp,  y -h  ^p,  3  + Y?)  =  » 

aient  au  moins  une  solution  commune.  On  obtiendra  donc  J'équa- 
lion  demandée  en  éliminant  p  entre  les  équations  précédentes. 

Cas  particulier.  —  Soient 

z=o,        /{x,f)  =  o 

les  équations  de  la  directrice  et 

X  =  as,        y  =  b  z 

celles  de  la  direction  des  génératrices;  les  équations  d'une  géné- 
ratrice étant 

x  =  az-hp,         y  =  bz-i-q, 

les  paramètres  p,  q  sont  les  coordonnées  de  la  trace  de  cette  géné- 
ratrice sur  le  plan  de  la  directrice  plane  donnée  \  l'équation  du 
cylindre  est  donc  évidemment 

f{x  —  az,y  —  bz)  =  o. 
L'équation 

{x  —  az  —  x^Y  -!-  {y  —  bz—yoy-  —  Y{^  —  o 

représente  un  cylindre  circulaire  oblique. 

16  i.  Théorème.  —  Le  plan  tangent  à  un  cylindre  est  le  même 
en  tous  les  points  d^ une  génératrice. 

La  proposition  se  vérifie  facilement  si  l'on  suppose  l'axe  des  z 
parallèle  aux  génératrices;  dans  ce  cas  l'équation  du  cylindre  étant 

le  plan  tangent  en  un  point  M(a;o,  ^oj  ^o)  de  cette  surface  a  pour 
équation 

il  est  donc  indépendant  de  la  position  du  point  M  sur  la  généra- 
trice j:  =  To,  jK  =J>^0'  La  trace  de  ce  plan  sur  le  plan  xOy  est  la 
tangente  au  point  (^o>  J'o)  à  la  trace  du  cylindre  sur  ce  plan. 


l44  CHAPITRE   Vlir. 

La  vérification  se  fait  aussi  avec  l'équation  générale /(P,  Q)  =  o.  En  effet, 
pour  des  points  Mq,  Mi  situés  sur  une  même  génératrice,  on  a  Pi  =  Po  et 
Qi  =  Qo;  or,  les  plans  tangents  en  Mo  et  Mi  ont  pour  équations 

(P-P.)|;H-(Q-Q.)5|=o 
et 

et  ces  équations  sont  identiques,  en  vertu  de  la  remarque  précédente. 

165.  Problème.  —  Reconnaître  si  une  surface  donnée  est  cy- 
lindrique. 

On  coupe  la  surface  par  un  des  plans  de  coordonnées  ;  supposons 
que  la  section  par  le  plan  xOy  soit  une  courbe  ajant  pour  équa- 
tion fi^Xy  y)  =^  o.  L'équation  générale  des  cylindres  ayant  cette 
courbe  pour  directrice  estf(x  —  az,  y  —  bz)  =  o.  On  cherche  s'il 
est  possible  de  déterminer  a  et  b,  de  façon  que  cette  équation  soit 
identique  à  celle  de  la  surface  donnée. 

Nous  trouverons  une  méthode  plus  simple  pour  le  second  degré. 

Cônes. 

466.  On  appelle  cône  une  surface  engendrée  par  une  droite,  qui 
se  déplace  en  passant  toujours  par  un  point  fixe  nommé  le  sommet 
du  cône. 

Soient  ^Oî^oj  ^0  les  coordonnées  du  sommet;  on  peut  mettre  les 
équations  de  la  génératrice  sous  la  forme 

X -- Xq  =  a{z  —  z^),        y—yo  =  b{z  —  Zç)). 

Il  faut  que  les  deux  paramètres  a,  b  vérifient  une  équation 

F<a,  è)  =  o, 

que  l'on  obtiendra,  par  exemple,  en  exprimant  que  la  génératrice 
rencontre  une  directrice  donnée,  ou  encore  qu'elle  se  déplace  en 
restant  tangente  à  une  surface  donnée.  L'équation  du  cône  engendré 
est  donc 

F  /^~^%  .r— .ro' 

\z—Zq'    Z  —  . 

ou 

/(^  — a:-o,  JK— JKo,  z  —  z^)  =  o, 


LIEUX  GÉOMÉTRIQUES.  l45 

/  désignant  une  fonction  homogène.  En  particulier,  l'équation  d'un 
cône,  ayant  pour  sommet  l'origine  des  coordonnées,  est  de  la  forme 

le  premier  membre  étant  homogène. 

Plus  généralement,  supposons  que  le  sommet  soit  défini  par  trois 
équations  du  premier  degré 

P  =  o,        Q  =  o,        R  =  o, 

en  supposant  que  le  déterminant  des  coefficients  de  x,  y,  z  soit  dif- 
férent de  zéro;  une  droite  quelconque,  passant  par  le  point  de  con- 
cours de  ces  trois  plans,  peut  être  représentée  par  deux  équations 

de  la  forme  ^ 

P=aR,         Q  =  6R; 

si  les  paramètres  «,  h  sont  liés  par  l'équation  de  condition 

F(a,  b)  =  o, 


l'équation  du  cône  sera 
ou,  sous  forme  homogène. 


Ff;;,§)=o 


/^P,  Q,  R)  =  o. 

167.  Réciproquement ,  à  la  condition  expresse  que  P,  Q,  R  dé- 
signent trois  fonctions  linéaires  de  x^y^  z  distinctes,  une  équation 
/(P,  Q,  R)  =^  o,  dont  le  premier  membre  est  homogène  par  rapport 
à  P,  Q,  R,  représente  un  cône  ayant  pour  sommet  le  point  S,  com- 
mun aux  plans  ayant  pour  équations 

P  =  o,        Q  =  o,        R  =  o. 

Effectivement,  soient  ^o>JKo?  ^o  les  coordonnées  du  point  S,  et  P^, 
Qo,  Ro  les  résultats  de  la  substitution  des  coordonnées  de  ce  point 
aux  coordonnées  courantes  dans  P,  Q,  R;  une  droite  quelconque 
passant  par  S  a  pour  équations 

P  _  jQ  ^  R 
f*o      Qo      Ro 

Soient  x^^y^^  s,  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  M  de 

NlEWENOLOWSKI.   —  G.  ail.,  III.  10 


l46  CHAPITRE   VllI. 

la  surface  représeatée  par  l'équation  donnée;  on  a,  par  hypothèse, 

/(P,,Q,,Ri)  =  o; 
mais 

Po      Qo      Ro  ' 

donc  x^  y,  z  étant  les  coordonnées  d'un   point  quelconque  de  la 

droite  SM,  on  a  aussi 

Z  -  il  -  -?. 
Pi  "  Qi  ~  Ri 
et,  par  suite, 

/(P,Q,R)  =  o; 

ce  qui  prouve  que  la  droite  SM  est  tout  entière  sur  la  surface  /; 
cette  surface  peut  donc  être  engendrée  par  une  droite  passant  par  S 
et  s'appuyant  sur  une  courbe  fixe,  car  on  peut  supposer  que  le 
point  M  décrive  une  courbe  tracée  sur  cette  surface;  en  un  mot,  la 
surface  considérée  est  un  cône.  D'ailleurs,  en  écrivant  l'équation 
sous  la  forme 


./P    Q 
■^U'  R^ 


ou 

P     Q 


R'   R,'  -°' 

on  peut  considérer  cette  équation  comme  obtenue  en  éliminant  les 
deux  paramètres  a,  b  entre  les  trois  équations 

P  =  aR,         Q  =  ^R,         ¥{a,b)  =  o. 

Remarque.  —  Si  les  polynômes  P,  Q,  R  étaient  liés  linéairement,  de  sorte 
que  l'on  eût,  par  exemple,  R  ^  aP-h  ^Q,  l'équation  homogéne/(P,  Q,  R)  =o 
représenterait  un  cylindre,  puisqu'elle  serait  de  la  forme  ç(P,  Q)  =  o.  Ainsi, 

par  exemple, 

f{x  —y,  y  —  z,z  —  x)  =  o 

n'est  pas  l'équation  d'un  cône,  mais  d'un  cylindre. 

Si  Q  et  R  étaient  fonctions  linéaires  de  P,  l'équation  donnée  représenterait 
un  système  de  plans. 

168.  Trouver  V équation  du  cône  ayant  pour  sommet  un  point 
donné  S(.ro,  j^o?  -^c  ^o)  Gt  pour  directrice  la  courbe  définie  par 
les  deux  équations 

(i)  ./(^,r,  2, 0  =  0, 

(2)  fr{x,y,z,t)  =  o. 


LIEUX    GÉOMÉTRIQUES.  l^J 

Soient  x^j',  z,  t  les  coordonnées  d'un  point  M  du  cône  cherché; 
les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  la  génératrice  SM  étant 

de  la  forme 

a7-l-X.ro,     J' 4- X/o,     2-(-X:;o,     t-\-\t^^ 

pour  que  SM  s'appuie  sur  la  directrice  donnée,  il  faut  et  il  suffit 
que  les  deux  équations 

(3)  /  {x-\-\x^,  y-\-\yo,  z-^Izq,  t-hlto)  =  o, 

(4)  /i(-^-H>^^o,  JKH-Xj'o,  z-hlzo,  t-{-lto)  =  o 

aient  une  racine  commune  X.  On  aura  donc  l'équation  demandée  en 
éliminant  \  entre  les  équations  (3)  et  (4). 

En  particulier,  supposons  que  le  sommet  donné  soit  l'origine  des 
coordonnées,  c'est-à-dire  supposons  a^o  =  jKn  =  ^o  =  o;  les  deux 
équations  (3)  et  (4)  se  réduisent  à  celles-ci  : 

/  (x  y,  z,  f-h  Ito)  =  o, 
/i(x,y,z,  /-4-X/o)  =  o. 

Au  lieu  d'éliminer  )x,  on  peut,  ce  qui  revient  au  même,  éliminer 
t-\-'kto;  il  est  donc  évident  que  l'équation  du  cône  cherché  s'ob- 
tiendra en  éliminant  t  entre  les  équations  (i)  et  (2). 

Application.  —  Soit  à  trouver  l'équation  du  cône  ayant  pour  sommet 
l'origine  des  coordonnées  et  pour  directrice  le  cercle  défini  par  les  équa- 
tions 

(x  -  x,y  -^  (y -yo)-  ^  (^  -  ^0)^  -  l\'  =  o, 

ux  -{-  vy  -\-  wz  —  1  =  0. 

Rendons  les  deux  dernières  équations  homogènes;  il  suffira  d'éliminer  la 
variable  d'homogénéité;  ce  qui  donne 

[x  —  Xq{ux  -k-  vy  -^  w z)]-  -\-  [y  — yQ{ux  -\-  vy -^  w z)Y 

-r-[z  —  Zq{ux  ->:-  vy  +  w  z)Y  —  K-{ux  -^vy  -h  wzY  =  o, 
ou 

xi-hy-i  -+■  z^  -h  {ux  -^  vy  -h  w z)i  ( xl  -+-75  -+- -g  —  R)^ 

—  {xxq  -hyyo  -h  zzo){ux  +  vy  -h  »'z)  =  o. 

169.  Théorème.  —  Le  plan  tangent  à  un  cône  est  le  même  en 
tous  les  points  d^ une  génératrice. 

Prenons  le  sommet  du  cône  pour  origine  des  coordonnées,  son 

équation  sera 

f{x,y,  3)  =  o, 


l48  CHAPITRE   VIII. 

le  premier  membre  étant  homogène.  Si  a,  [3,  y  sont  les  paramètres 
de  direction  d'une  génératrice,  les  coordonnées  d'un  point  quel- 
conque M  de  cette  génératrice  seront  x  =  ap,  y  =  ^p,  5  =  Yp.  Le 
plan  tangent  en  M  a  pour  équation 

ûx  ay  àz 

ou 

'^  doc^^  d^^^  d-^-""^ 

cette  équation  est  indépendante  de  p,  ce  qui  démontre  la  propo- 
sition. 

170.  Reconnaître  si  une  surface  donnée  est  un  cône.  —  On 
transporte  l'origine  des  coordonnées  en  un  point  ^o?  J'o?  ^o  ^t  l'on 
cherche  si  l'on  peut  déterminer  ^Q^y^,  z^  de  façon  que  la  nouvelle 
équation  soit  homogène  par  rapport  aux  nouvelles  coordonnées. 


Surfaces  conoïdes  à  plan  directeur. 

171.  On  appelle  ainsi  une  surface  engendrée  par  une  droite  mo- 
bile qui  s'appuie  sur  deux  directrices  fixes,  dont  l'une  est  une  droite, 
et  enfin  reste  parallèle  à  un  plan  fixe  nommé  plan  directeur. 

Soient  P  =  o  l'équation  du  plan  directeur  donné,  Q  =  o,  R  =  o 
les  équations  de  la  directrice  rectiligne  donnée.  Les  équations  d'une 
génératrice  seront  évidemment  de  la  forme 

(i)  P  =  a,        Q  =  èR, 

a  el  b  désignant  deux  paramètres  variables.  En  exprimant  que  la 
génératrice  s'appuie  sur  la  seconde  directrice,  on  obtient  une  équa- 
tion de  condition 

(2)  f  a,b)  =  o 

et  l'équation  de  la  surface  engendrée  est,  par  suite, 


Réciproquement,  toute  équation  de  cette  forme  peut  être  regardée 


LIEUX    GÉOMÉTRIQUES.  l/jQ 

comme  obtenue  en  éliminant  les  paramètres  a,   b  entre  les  équa- 
tions (i)  et  (2);  elle  représente  donc  un  conoïde. 

Au  lieu  de  s'appuyer  sur  une  droite  et  sur  une  courbe,  la  géné- 
ratrice peut  être  assujettie  à  s'appujer  sur  une  droite  et  à  rester 
tangente  à  une  surface  donnée. 

172.  Exemples.  —  1°  Plan  gauche.  —  On  appelle  ainsi  la  surface  conoïde 
dont  les  deux  directrices  A,  A'  sont  rectilignes. 

Prenons  la  droite  A  comme  axe  des  z;  on  obtient  une  génératrice  quel- 
conque en  joignant  les  traces  des  droites  A,  A'  sur  un  plan  parallèle  au  plan 
donné;  prenons  l'une  des  génératrices  ainsi  obtenues  pour  axe  des  x\  enfin, 
supposons  le  plan  yOz  parallèle  à  A',  le  plan  xOy  étant  parallèle  au  plan 
directeur;  les  axes  étant  ainsi  déterminés,  les  équations  de  A  sont  a?  =  o, 
jK  =  o,  et  celles  de  A'  :  a*  =  a,  ^  =  bz. 

Les  équations  d'une  génératrice  sont  de  la  forme 

z  =  A,        y  =  mx, 

puisque  cette  droite  doit  s'appuyer  sur  l'axe  des  z  et  être  parallèle  au  plan 
xOy;  en  exprimant  que  la  génératrice  rencontre  A',  on  obtient  la  condition 

bh  =  ma. 

Il  ne  reste  plus  qu'à  éliminer  les  paramètres  variables  m,  h;  ce  qui  donne 
l'équation  du  conoïde 

bzx  —  ay  =  0. 

On  voit  que  la  section  de  cette  surface  par  un  plan  parallèle  à  yOz  est 
représentée  par  les  équations 

37  =  a,         bzx  —  ay  =:  o, 

qui  définissent  une  droite.  Cette  droite  mobile  rencontre  les  génératrices  du 
premier  système  et  reste  parallèle  au  plan  zOy. 

De  plus,  soient  Xq,  yo,  Zq  les  coordonnées  d'un  point  M  de  la  surface 
trouvée,  de  façon  que 

bzoXQ  =  ayo; 

on  peut  représenter  une  droite  du  premier  système  par  les  équations 

bh 

z  =  h,      y  =  -^, 

et  déterminer  h  de  façon  que  cette  droite  passe  par  M,  car  les  deux  équa- 
tions 

bh 

Zo=  n,         yo=  —  •2*0 


l5o  CHAPITRE    VIII, 

sont  compatibles;  de  même  on  peut  déterminer  a,  de  façon  que 
Xo  =  a,         bzo—  ajo  =  o. 

On  voit  aussi  qu'il  passe  deux  droites  par  chaque  point  de  la  surface 
trouvée.  Nous  verrons  plus  loin  que  c'est  une  propriété  générale  des  sur- 
faces du  second  degré. 

1°  Hélicoïde  à  plan  directeur.  —  Considérons  une  hélice  définie  par  les 
équations 

a?=Rcosa,        ^=:Rsina,         z  =  a'x\ 

une  droite  perpendiculaire  à  l'axe  du  cylindre  sur  lequel  cette  hélice  est  tracée 
et  qui  s'appuie  sur  l'axe  a  pour  équations 

^  =.  A,        j'^a^tanga; 

en  exprimant  que  la  droite  rencontre  l'hélice,  on  a  la  condition  aa  =  /?; 
l'équation  du  conoïde  engendré  est  donc 

y  z 

—  =  tang  -  • 
se  °  a 


Surfaces  de  révolution. 

173.  On  appelle  sur/ace  de  l'évolution  toute  surface  engendrée 
par  la  rotation  d'une  courbe  fixe,  plane  ou  gauche,  autour  d'un 
axe  A.  Tout  point  de  la  courbe  donnée  décrit  un  cercle  ayant  son 
centre  sur  l'axe  et  dont  le  plan  est  perpendiculaire  à  cet  axe,  et  qu'on 
nomme  parallèle .  Une  surface  de  révolution  peut  donc  être  consi- 
dérée comme  engendrée  par  un  cercle  mobile  dont  le  centre  décrit 
une  droite  fixe  (l'axe)  et  dont  le  plan  reste  perpendiculaire  à  cette 
droite,  c'est-à-dire  un  cercle  ayant  pour  axe  la  droite  A;  ce  cercle 
mobile  étant  assujetti  à  rencontrer  une  directrice  fixe. 

Ce  second  mode  de  génération  va  nous  permettre  de  trouver  la 
forme  de  l'équation  de  toute  surface  de  révolution. 

En  effet,  tout  cercle  dont  le  centre  est  sur  un  axe  A  perpendicu- 
laire à  son  plan  peut  être  considéré  comme  l'intersection  d'une 
sphère  ayant  son  centre  en  un  point  quelconque  de  l'axe  et  d'un 
plan  perpendiculaire  à  cet  axe;  et,  par  conséquent,  si  P  =  o  est 
l'équation  d'un  plan  perpendiculaire  à  A  et  o- =  o,  l'équation  d'une 
sphère  déterminée  ayant  son  centre  sur  A,  les  équations  de  tout 
cercle  satisfaisant  aux  conditions  données  pourront  se  mettre  sous 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  l5l 

la  forme 

(0  T  =  a,        V  =  b 

et  réciproquement,  quels  que  soient  a  et  b,  ce  système  représente 
un  cercle  satisfaisant  à  ces  conditions.  Pour  que  ce  cercle  rencontre 
une  courbe  fixe,  il  faut  et  il  suffit  qu'il  y  ait  entre  a  el  b  une 
relation 

(2)  /(a,b)  =  o, 

qu'on  obtiendra  en  éliminant  x^y,  z  entre  les  équations  du  cercle 
mobile  et  celles  de  la  directrice  donnée;  donc  la  surface  engendrée 

aura  pour  équation 

/(a,  P)  =  o. 

Ainsi,  l'équation  d'une  surface  de  révolution  quelconque  peut 
toujours  être  formée  au  moyen  de  deux  fonctions  o",  P5  a- =  o  étant 
l'équation  d'une  sphère  et  P  =  o  celle  d'un  plan. 

174.  Béciproqiiement ,  toute  équation  de  la  forme  précédente 
représente  une  surface  de  révolution  dont  l'axe  est  la  perpendicu- 
laire abaissée  du  centre  de  la  sphère  o-  sur  le  plan  P. 

En  efTet,  une  équation  de  cette  forme  peut  toujours  être  regardée 
comme  obtenue  en  éliminant  deux  paramètres  a,  b  entre  les  équations 
(i)  et  (2). 

On  peut  d'ailleurs  faire  le  raisonnement  suivant  :  soient  a:o,yo,  Zq 
les  coordonnées  d'un  point  M  de  la  surface  représentée  par  l'équa- 
tion donnée,  de  sorte  que 

/('o,  Po)=  o, 

Tq,  P^  étant  les  résultats  de  la  substitution  des  coordonnées  de  M 
aux  coordonnées  courantes.  Les  équations 

(T  =  do  ,  P  =  Po 

représentent  un  cercle  passant  par  M,  ayant  son  centre  sur  la  per- 
pendiculaire abaissée  du  centre  de  la  sphère  t  sur  le  plan  P  et  dont 
le  plan  est  parallèle  au  plan  Pq  ;  or,  un  point  quelconque  M^  de  ce 
cercle  est  sur  la  surface,  attendu  qu'en  vertu  des  équations  t,  =  t^, 

P,  =Po,  on  a 

/(a,P)  =  o. 


l52  CHAPITRE  VIII. 

La  surface  peut  donc  être  considérée  comme  engendrée  par  le 
mouvement  d'un  cercle  mobile  ayant  pour  axe  une  droite  fixe. 

475.  Cas  particuliers.  —  Supposons  que  l'axe  de  révolution  soit 
l'axe  des  z,  les  coordonnées  étant  rectangulaires  et  soient 

les  équations  de  la  génératrice;  un  cercle  ayant  O^  pour  axe  est 
défini  par  les  équations 

ou,  plus  simplement, 

x^  -\- y^  ^=  a' ,        z  =  b. 

Puisque  ce  cercle  doit  rencontrer  la  courbe  donnée,  on  doit  poser 

fHb)+f\{b)  =  a' 
et,  par  suite,  la  surface  engendrée  a  pour  équation 

^^  +  7^  =/^(s) +/!(-)• 

Si  la  courbe  génératrice  est  dans  le  plan  ^O^,  par  exemple,  et 
définie  par  Féquation 

f{x,z)  =  o, 

on  a,  pour  un  parallèle  quelconque, 

a72+j2  =  p2^        /(p,5)  =  o; 
donc  l'équation  demandée  est 

Application.  —  Équation  du  tore.  —  Considérons  le  cercle  ayant  pour 
équations 

y  =  o,        (^  — a)2-i-^2  _R2==  o; 

la  surface  engendrée  par  ce  cercle  tournant  autour  de  l'axe  des  z  a  pour 
équation 

(v/^24_  j2_  aY  -+-  ^2  —  R2  =  o 
ou 

a72  +  j2  _i_  ^2)2  _  2(a2  +  R2)  (a;2  +JK^)  +  2(«2  _  R2)52  4.  (  «2  _  R2  )2  ^^  o. 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  l53 

Équation  générale  des  surfaces  de  révolution  du  second  degré. 

176.  Supposons  qu'on  prenne  des  axes  rectangulaires,  l'axe  des  z 
étant  l'axe  d'une  surface  de  révolution  du  second  degré;  la  section 
par  le  plan  ;rO  z,  c'est-à-dire  la  courbe  méridienne,  est  une  conique 
ajant  pour  axe  de  sjmétrie  l'axe  O^;  son  équation  dans  le  plan  xOz 
sera  donc  de  la  forme 

Aa-2-H  X'z^-hiCz+B  =  o; 

donc  la  surface  elle-même  a  pour  équation 

A(ar2-^jK2)-4- A'^2-f-2C^-4-D  =o 
OU 

A(3-2-hj2  +  -2)4-  2C--f-D  +  (A'—  A)52  =o. 

Si  l'on  fait  un  changement  quelconque  de  coordonnées,  la  fonction 


(x^ 


2C  d 

•^  A  A 


se  change  identiquement  en  Acr,  et  z  devient  une  fonction  linéaire  P 
des  nouvelles  coordonnées;  donc  l'équation  la  plus  générale  d'une 
surface  de  révolution  du  second  degré  est  de  la  forme 

Acr  +  P2  =  0, 

A  étant  une  constante  et  a-  et  P  ayant  la  signification  déjà  donnée. 
Réciproquement,  toute  équation  de  cette  forme  représente  évidem- 
ment une  surface  de  révolution  du  second  degré. 

Nous  allons  vérifier  ce  résultat  sur  des  exemples  particuliers. 

177.  Exemples  de  surfaces  de  révolution  du  second  degré. 

i"  Ellipsoïde.  —  Prenons  trois  axes  rectangulaires  et  considérons  l'ellipse 
tracée  dans  le  plan  des  x,  z  et  ayant  pour  équations 

X^  r2 

si  l'on  fait  tourner  cette  ellipse  autour  de  O-z,  elle  engendre  un  ellipsoïde  de 
révolution  ayant  pour  équation 

x^  -+-  r^        ^2 

— r-  -H  —  —1  =  0. 

Si  a  >  c,  cette  surface  porte  le  nom  ^'ellipsoïde  aplati;  si  a<  c,  c'est  un 
ellipsoïde  allongé. 


l54  CHAPITRE    VIII. 

1°  Hyperboloïde  de  révolution  à  une  nappe.  —  Surface  engendrée  par 
une  hyperbole  tournant  autour  de  son  axe  imaginaire.  L'équation  de  la  méri- 
dienne étant 

celle  de  l'hyperboloïde  sera 

x^  ■+-  v2        z2 

On  voit  que  tout  plan  parallèle  au  plan  des  x,  y,  ayant  pour  équation 
z  ■=  h,  coupe  la  surface  suivant  un  parallèle  réel,  dont  le  rayon  a  pour  ex- 
pression 

-  v/A2  -h  c2. 
C 

Cette  surface  peut  être  engendrée  d'une  autre  manière.  Considérons  une 
droite  A  et  un  axe,  et  prenons  pour  axe  des  x  la  perpendiculaire  commune 
à  l'axe  et  à  la  droite  A,  l'axe  des  z  étant  l'axe  de  révolution,  et  enfin  l'axe 
des  y  étant  perpendiculaire  aux  deux   autres.    Les  équations   de  A  sont  de 

la  forme 

X  =  a,        y  =  mz. 

La  surface  engendrée  par  A,  tournant  autour  de  0^,  a  donc  pour  équation 

372  ^y1  =  «2  -I-  ni2_i_^2 
OU 

x'^-\-y'>-        m^ 


«2  a'2 


=  i; 


il  suffit  de  poser  m  =  ±  —  pour  que  cette  équation  coïncide   avec  celle   de 

l'hyperboloïde   trouvé  plus  haut;  ce   qui  prouve  que  cette  surface  peut  être 
engendrée  de  deux  manières,  soit  en  faisant  tourner  la  droite  A 

a 

x  =  a,  r^-'S, 

soit  en  faisant  tourner  la  droite  A' 

a 

x  =  a,         y  =  —-z, 

l'une  et  l'autre  autour  de  l'axe  des  z. 

3"  Hyperboloïde  de  révolution  à  deux  nappes,  —  Considérons  l'hyper- 
bole ayant  pour  équation,  dans  le  plan  xOz, 

x^  ^2 

Si  cette  courbe  tourne  autour  de  son  axe  réel,  elle  engendre  la  surface  défi- 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  l55 

nie  piir  l'équalion 


x^  +  yï        5^ 

if :,  -+-  I  =  o  ; 

un  parallèle  étant  défini  par 

a' 

z  —  h,         ar2  -+- jK*  =  --  (A'  —  c2) 

n'est  réel  que  si  h'y>  c  ou  /t  <  —  c.   La  surface   n'a  aucun  point  entre  les 
plans  ayant  pour  équations  z  •=  —  c,  ^=  +  c;  elle  a  donc  deux  nappes. 

4°  Paraboloïde  de  révolution.  —  Soit 

X^  9-/?.3  =  O 

l'équation  d'une  parabole  tracée  dans  le  plan  xOz;  la  surface  engendrée  par 
cette  parabole  tournant  autour  de  son  axe  a  pour  équation 

xi  -f-JK*  —  2/?^  =  0. 

Si  l'on  suppose  /»  >  o,  cette  surface  n'a  de  points  réels  que  du  côté  des  z 
positifs. 

5°  Cône  de  révolution.  —  La  méridienne  est  une  droite  rencontrant  l'axe. 

Soient 

^  =  o,         z  =  X  tanga 

les  équations  de  cette  droite;  la  surface  engendrée  a  pour  équation 

x^  -h-  y^  —  z-  cet- a  =  o. 

6°  Cylindre  de  révolution.  —  Supposons  enfin  que  la  droite 

j^'  =  o,         X  =  a 

tourne  autour  de  Oy,  la  surface  engendrée  a  pour  équation 

X-  +  j'^  =  a^; 
ce  qui  est  évident,  a  priori. 

Remarque.  —  Chacune  des  équations  trouvées  est  bien  de   la 
forme  At  +  P-  =  o  ;  ainsi,  par  exemple, 

a72_^j2  _   2^;5  =  (a:2  4- j2-f-   -2  _  'Xpz)  Z^ ,       CtC. 

178.  Équations  du  cylindre  et  du  cône  de  révolution  rapportés  à  des 
axes  rectangulaires  quelconques.  —  Soient 

^''  a       ~       b       ~       c 


l56  CHAPITRE    VIII. 

les  équations  de  l'axe  et  R  le  rayon  du  cylindre  donné.  On  aura  l'équation 
de  ce  cylindre  en  écrivant  que  la  distance  d'un  quelconque  de  ses  points  à 
l'axe  est  égale  à  R;  cette  équation  est  donc 


(2) 


+  [a(^  —  so)  —  c(iF  — a7o)]2  — R2(a2_|_^2^_c2)  =  o. 


En  second  lieu,  supposons  que  x^,  yo,  Zq  soient  les  coordonnées  du  som- 
met S  d'un  cône  et  0  le  demi-angle  d'ouverture  de  ce  cône,  l'axe  étant  la 
droite  représentée  par  les  équations  (i)  ;  en  appelant  x,  y,  z  les  coordonnées 
d'un  point  du  cône,  on  a 

^^cft  _  a(x  —  Xo)-^b(y—yo)-hc(z  —  Zo) 


(3) 


/«'  -f-  62  +  c2  ^(x-Xo)^^iy—yo)^-+-{z  —  zoy 

(  («2-4-  62+  c2)  [(x~Xoy-+(y—yQy^{z—  z^^]  cos2ft 
)        —[a{x  —  Xo)  +  b{y—yo)-hc(z-Zo)y'  =  o. 

PROPRIÉTÉS    GÉNÉRALES    DES    SURFACES    DE    RÉVOLUTION. 

179.  Théorème.  —  Les  normales  à  une  surface  de  révolution 
aux  différents  points  d'un  même  parallèle  rencontrent  Vaxe  de 
la  surface  en  un  même  point  et  réciproquement . 

Prenons  l'axe  d'une  surface  de  révolution  pour  axe  des  z)  les 
coordonnées  étant  rectangulaires,  l'équation  de  cette  surface  peut 
s'écrire 

La  normale  au  point  (^,  JK,  z)  a  pour  équation 

X  —  x  _  Y  — y  _    Z  —  z    ^ 

IX      ~      ly      ~  —/'(z)' 

cette  droite  rencontre  l'axe  des  z  en  un  point  ajant  pour  coordon- 
nées X=o,  Y  =  o,  X  =  z  -\-  jf{z)  ;  ce  point,  ne  dépendant  que 
de  s,  reste  donc  le  même  pour  tous  les  points  d'un  même  pa- 
rallèle. 

Réciproquement,  supposons  qu'une  surface  soit  telle  que  les  nor- 
males menées  à  cette  surface  en  tous  les  points  de  toute  section 
plane,  dont  le  plan  est  parallèle  à  un  plan  déterminé,  rencontrent 
une  droite  perpendiculaire  au  plan  de  cette  section;  si  cette  droite 


LIEUX    GÉOMÉTRIQUES.  iSj 

est  prise  pour  axe  des  ;;,  les  coordonnées  étant  rectangulaires,  et  la 
surface  ajant  pour  équation  /{^,y,  z)  =  o,  la  condition  pour  que 
la  normale  au  point  (x^y,  z)  rencontre  cet  axe  est 

f_  ^  y. 

J  X         J  y 

or,  si  ;;  a  une  valeur  constante  z^^  l'équation y( a:,  jk>  ^o)  =  o  donne 

f'x+y'xf'y  =  0\ 

la  condition  obtenue  peut  donc  s'écrire 

^-^yy'x  =  o; 

ce  qui  prouve  que  l'expression  x-  -\-y-  reste  constante  quand  z  ^=  z^/, 
on  a  donc  x'^  -f-jK"  =  c?  c  étant  une  constante  dont  la  valeur  dépend 
de  ^0-  Gela  revient  à  dire  que  x- -{- y^  est  une  fonction  de  z  seule- 
ment et,  par  suite,  que  l'équation  de  la  surface  est 

x^'-^y-  =f{x). 

Ce  théorème  est  donc  démontré. 

On  peut  l'établir  encore  ainsi.  La  normale  en  un  point  M  étant  perpendi- 
culaire à  la  tangente  en  M  à  la  section  plane  menée  par  M  parallèlement  au 
plan  donné,  sa  projection  sur  le  plan  de  cette  section  est  normale  à  la  sec- 
tion ;  donc  la  normale  à  la  surface  rencontrant  l'axe  donné,  la  normale  à  la 
section  rencontre  le  pied  de  l'axe;  cette  section  est  donc  telle  que  toutes  les 
normales  rencontrent  un  point  fixe  et,  par  suite,  c'est  une  circonférence.  On 
en  conclut  immédiatement  que  la  surface  est  de  révolution. 

180.  Le  plan  tangent  en  tout  point  d'une  surface  de  révo- 
lution est  perpendiculaire  au  plan  du  méridien  qui  passe  par 
ce  point. 

La  proposition  est  évidente  géométriquement.  En  effet,  le  plan 
d'un  parallèle  étant  perpendiculaire  aux  plans  des  méridiens,  la  tan- 
gente en  M  au  parallèle  est  perpendiculaire  au  plan  du  méridien 
passant  par  M  et,  par  suite,  le  plan  tangent  en  M,  contenant  la 
tangente  au  parallèle,  est  perpendiculaire  au  plan  méridien. 

Voici,  à  titre  d'exercice,  la  vérification  par  le  calcul. 
Soit 


l58  CHAPITRE    VIII. 

l'équation  d'une  surface  de  révolution,  en  posant 

c  =  (^x  —  û^oY  +  (y  —  roY  -^  (z  —  ^oT  ,        P  =  ax-^by-hcz. 
Le  plan  tangent  au  point  M(j:^,^,  -s)  a  pour  équation 


^^~'^>\d^  dx~^dP  dx) 


c'est-à-dire 


(!) 


2^[(X-:r)(^-^o)  +  (Y-r)(7-Jo)-i-(Z-5)(. 


'o) 


[a(X  — x)-+-6(Y-j-)4-c(Z  — z)]  =  o. 


On  peut  remarquer  que  l'équation 

{^-x){x-xo)^{^-y){y-yo)  +  {1-z){z-zo)  =  o 

est  celle  du  plan  perpendiculaire  à  AM,  A  étant  le  point  de   coordonnées 

^0,  J'o)  -Su,  et  que 

a(X  — x)  -f-  b{\  —y)  +  c{Z  —  z)^o 

est  le  plan  du  parallèle  mené  par  M;  l'intersection  de  ces  deux  plans  est 
perpendiculaire  au  plan  méridien  mené  par  M;  donc  la  proposition  est  vé- 
rifiée. On  peut  aussi  remarquer  que  le  plan  méridien  de  M  ayant  pour  équa- 
tion 

X—x     \—y      Z— 

abc 


(2) 


=  o, 


x  —  x^    y~yo    ^  —  -0 
la  condition  d'orthogonalité  des  deux  plans  (i)  et  (2)  est 
àf 


àf 


+  ^'o)  +  c- 


=  o; 


abc 

x  —  xo  y—yo  z  —  zo 

elle  est  évidemment  remplie. 

181.  Plan  bitangent  au  tore.  —  Nous  avons  trouvé  l'équation  du  tore 

(3^2_|__^2_^_;32_^.«2_  R2j2_  4a2(^2_|_^2)  _  o. 

La  méridienne  se  compose  de  deux  cercles  égaux,  symétriques  par  rapport 
à  l'axe  des  z;  considérons  une  tangente  commune  intérieure  à  ces  deux 
cercles;  le  plan  mené  par  celte  droite  et  perpendiculaire  au  plan  méridien 
est  bitangent  au  tore;  je   dis   que  ce  plan   coupe   la   surface  suivant  deux 


LIEUX    GÉOMÉTRIQUES.  l5g 

cercles.  En  effet,  le  cercle  de  l'infini  est  un  parallèle  double;  il  en  résulte 
que  le  plan  considéré  coupe  la  surface  du  tore  suivant  une  courbe  du  4*  degré 
ayant  quatre  points  doubles,  dont  deux  sont  les  points  cycliques  du  plan  bi- 
tangent  et  les  deux  autres  les  points  de  contact.  La  section  se  décompose 
donc  en  deux  coniques  passant  par  les  points  cycliques,  c'est-à-dire  en  deux 
cercles. 

C'est  ce  que  nous  allons  vérifier  par  le  calcul.  Soit  tp  l'angle  que  le  plan 
bitangent  fait  avec  le  plan  des  x,  y.  Faisons  un  changement  de  coordonnées 
en  conservant  l'axe  désuet  faisant  tourner  autour  de  l'angle  cp  l'angle  xOz. 
Les  formules  de  transformation  se  réduisent  ici  aux  suivantes 

a7  =  a',coscp — Zjsincp,        y  =  y^,         ^  =  a"i  sin'^  H- ^i  coscp  ; 

on  devra  faire  5,  =  o  pour  avoir  l'équation  de  la  section  dans  son  plan,  ce 
qui  donne,  en  supprimant  les  indices, 

(ar2-f-72+rt2_  R2)2  =  4^.2(^2  _  R2^^_  4  a^J^^. 

En  appliquant  la  méthode  donnée  Tome  II,  page  i34,  on  reconnaît  que 
cette  équation  représente  deux  cercles.  On  peut  arriver  à  ce  résultat  de  la 
manière  suivante  :  ordonnons  par  rapport  à  y,  ce  qui  donne 

J'*-+-2^2(^î_,_rt2_  R2)^_(^2_^_  a'._   R2)2_4^2(«2_  R2^  _  4^2^,2  _o, 

ou,  après  une  transformation  facile, 

jr*-^  272(572— a2+R2)+  (,r2— a2+  R«)2  =  4  R27, 

équation  qui  se  met  sous  la  forme 

{x--\-y^-—a^-^  Vi.-  —  -xKy)  {x-  -^  y'^  —  a"-  -^  K'^-\-i\\y)  =  o. 

On  obtient  bien  ainsi  deux  cercles  dont  les  centres  sont  sur  l'axe  des  y  à 
une  distance  de  l'origine  égale  au  cercle  générateur. 

Surfaces  de  translation. 

182.  Considérons  deux  courbes  définies  par  les  équations 

(C)  x=f{u),        y  =  o{u),         z  =  'l{u) 

et 

(Cl)  x=fx{v),        j  =  cp,((0,         z=^i{v). 

Le  milieu  de  la  droite  joignant  un  point  P  de  la  première  à  un  point  Q  de 
la  seconde  décrit  une  surface  définie  par  les  équations 

ix=f{u)-^fi{v),  -ly  =  o{u) -\- Ox{v),  23  =  '].(«) -H  (î^,(c). 


l60  CHAPITRE    VIII. 

Ces  surfaces,  auxquelles  M.  S.  Lie  a  donné  le  nom  de  surfaces  de  trans- 
lation, peuvent  être  engendrées  de  deux,  façons  par  la  translation  d'une 
courbe.  Effectivement,  si  v  conserve  une  valeur  constante,  ce  qui  revient  à 
supposer  le  point  Q  fixe,  le  milieu  de  QM  décrit  évidemment,  quand  M  se 
déplace  sur  la  première  courbe  C,  une  courbe  homothétique  G',  et  dont  le 
rapport  de  similitude  est  égal  à  -|-;  si  le  point  Q  décrit  la  seconde  courbe  Ci, 
la  courbe  G'  éprouve  une  translation  et  se  déplace  sur  la  surface  obtenue.  On 
verrait  de  même  que  cette  même  surface  peut  être  engendrée  par  la  transla- 
tion d'une  courbe  Gj  homothétique  à  Gi  dans  le  rapport  i.  Si  l'on  prend 

x=f{u)-^fi{v),        7  =  o(m)  +  Oi(p),        z  =  ^{u)  ^  ^x{v), 

on  aura  une  surface  susceptible  d'être  engendrée  par  la  translation  d'une 
courbe  égale  à  G  ou  d'une  courbe  égale  à  Gi,  ce  qui  est  d'ailleurs  évident  par 
les  formules  précédentes,  car,  si  p  =  t'o»  oxv  obtient  le  point  dont  les  coordon- 
nées sont/(M)-f-/i(Po),  ?(")  +  ?i(<^o),  ^I^C")  +  4^1  (^o)j  en  faisant  subir  au 
point  ayant  pour  coordonnées /(m),  cp(«),  "^{u)  une  translation  dont  les 
composantes  sont/i(po),  ^i{^o),  '^^{v^,),tl  qui  reste  par  suite  la  même  pour 
tous  les  points  de  la  courbe  G. 

Ainsi,  la  courbe  u  =  const.  est  une  courbe  égale  à  G  et  qu'on  peut  faire 
coïncider  avec  G  par  une  translation;  de  même,  la  courbe  v  —  const.  est  une 
courbe  égale  à  G\. 

Exemple.  —  Les  courbes  G  et  Ci  sont  définies  par  les  équations 

37  =  - —  )  y  =  u,         s  =  o, 

■xp 

x=^  — ,        7  =  o,         5  =  p; 

iq 

la  surface  de  translation  correspondante  est  déterminée  par  les  formules 


ip        iq  -^ 


son  équation  est  donc 


\ =^  IX. 


P         9 
Nous  étudierons  plus  loin  cette  surface  qui  est  un  paraboloïde. 

EXERCICES. 

1.  Étant  données  deux  droites  OA,  OB,  trouver  la  surface  engendrée  par 
la  droite  OM  qui  fait  avec  OA  et  OB  deux  angles  MOA,  MOB  dont  la  somme 
est  constante. 

2,  Lieu  des  points  tels  que  la  somme  des  distances  de  chacun  d'eux  à  trois 
plans  fixes  soit  constante. 


LIEUX    GÉOMÉTRIQUES.  l6l 

3.  Une  droite  de  longueur  constante  se  déplace  de  façon  que  les  extré- 
mités glissent  sur  deux  droites  fixes,  non  situées  dans  un  même  plan.  Lieu 
décrit  par  un  point  marqué  sur  cette  droite;  surface  engendrée  par  la  droite. 

A.  Lieu  des  centres  des  parallélogrammes  qui  ont  leurs  sommets  sur  les 
côtés  d'un  quadrilatère  gauche. 

5.  Le  côté  AB  d'un  triangle  ABC  est  inscrit  dans  un  angle  fixe  MON,  le 
plan  du  triangle  fait  avec  le  plan  de  cet  angle  un  angle  constant;  trouver  le 
lieu  du  sommet  C. 

—  On  trouve  une  ellipse  :  la  somme  ou  la  différence  de  ses  demi-axes  est 
égale  au  diamètre  du  cercle  circonscrit  au  triangle  AOB.  (Terquem.) 

6.  Lieu  des  points  dont  la  somme  des  distances  aux  côtés  d'un  angle  droit 
est  constante. 

7.  Lieu  des  points  dont  la  somme  des  distances  aux  côtés  d'un  trièdre  tri- 
rectangle  est  constante. 

8.  On  donne  deux  triangles  ABC,  A'B'C.  Par  un  point  quelconque  M  du 
plan  ABC  on  mène  les  droites  MA,  MB,  MC;  on  prend  dans  l'espace  un 
point  S,  tel  que  dans  le  tétraèdre  SA'B'C  on  ait 

SA'=MA,       SB'=MB,       SC'=.MG; 

le  lieu  de  S  est  une  surface  du  second  degré.  (Jacobi.) 

9.  On  donne  une  sphère  et  un  point  A  sur  cette  sphère;  une  sécante  AP 
coupe  cette  sphère  en  P;  on  prend  sur  AP  le  segment  PM  égal  à  une  lon- 
gueur donnée  a;  lieu  de  M. 

10.  Lieu  des  points  M  de  l'espace  tels  que 

MF±MF'=2a     ou     MF.MF'=a2, 
F  et  F'  étant  deux  points  fixes. 

M.  La  surface  définie  par  les  équations 
a;  =  cosK  cos2(>,        j^  —  cosusiniv,         z  =  s\nu(cosv  —  costfsinf) 
est  de  révolution.  Prouver  qu'elle  n'a  qu'une  face.  (Hoppe.) 

12.  L'angle  des  droites  qui  joignent  un  point  quelconque  d'un  tore  aux 
points  de  contact  d'un  plan  bitangent  est  constant. 

13.  Une  sphère  doublement  tangente  à  un  tore  le  coupe  suivant  deux 
cercles. 

14.  Dans  un  tore,  on  inscrit  deux  sphères  dont  les  centres  sont  dans  un 
même  plan  méridien.  Démontrer  que  les  tangentes  menées  d'un  point  quel- 
conque du  tore  à  ces  deux  sphères  ont  un  produit  proportionnel  à  la  distance 
du  point  au  plan  méridien  considéré. 

lo.  On  inscrit  trois  sphères  dans  un   tore.  Démontrer  que,   si   d'un   point 
quelconque  du  tore  on  leur  mène  des  tangentes,  si  c,  c',  c"  désignent  les  dis- 
NiEWENGLOwsKi.  —  G.  an.,  IIL  ii 


102  CHAPITRE    VlII. 

tances  des  centres  des  sphères  et  ï,  t' ,  t"  les  longueurs  des  tangentes,  on  a 

ct±c't'±c"t"  =  o. 

16.  Trouver  la  surface  engendrée  par  une  droite  qui  s'appuie  sur  deux 
cercles  qui  ont  un  rayon  commun  OC  et  dont  les  plans  sont  rectangulaires, 
et  sur  la  droite  AB  joignant  les  extrémités  des  rayons  OA  et  OB  perpendi- 
culaires à  OC. 

17.  Pour  tout  cône  ayant  son  sommet  à  l'origine,  on  a 

do  di) 

on  peut  dire  que  chacune  de  ces  équations  est  l'équation  différentielle  de 
ces  cônes,  (r,  cp,  6  sont  les  coordonnées  sphériques.)  (T.) 

18.  L'équation  différentielle   des   surfaces   de   révolution   autour  de   l'axe 

^  dr  ,r^  -, 

des  s  est  -r-  =:  o.  (T.) 

ocp  ^      ' 

dr 

19.  Interpréter  l'équation  sin6  -—  -+-  rcosO  =  o.  (T.) 

oo 

20.  Une  surface  est  engendrée  par  un  cercle  variable  dont  le  plan  est 
parallèle  à  ic  -+- y  =  o  et  qui   rencontre  l'axe  des  x,  l'axe  des  y  et   la  ligne 

y  =  X,  z  =^  c.  Trouver  l'équation  de  cette  surface  et  le  volume  compris  entre 
l'origine  et  le  plan  x  -hy  =  c.  (T.) 

21.  Deux  paraboles  égales  ont  leur  sommet  commun  à  l'origine;  leurs 
axes  coïncident  avec  l'axe  des  x,  mais  sont  opposés;  le  plan  de  l'une  est  le 
plan  des  x,  y;  celui  de  la  seconde,  le  plan  des  x,  z.  Une  droite  variable  pa- 
rallèle au  plan  y  =  z  rencontre  ces  deux  paraboles.  Lieu  de  sa  trace  sur  le 
plan  des  y,  z.  (T.) 

22.  Lieu  des  points  de  contact  des  plans  tangents  menés  par  un  point 
donné  aux  surfaces  dont  l'équation  f(x,  y,  z,  a)  —  o  renferme  un  paramètre 
variable  a. 

23.  Si  le  cône  x^-h y^  =  z(mx  -\-  z)  coupe  une  sphère  ayant  son  centre  à 
l'origine,  trouver  la   projection  de   la   courbe  d'intersection  sur  le  plan  des 

(T.) 

24.  Un  cercle  touche  l'axe  des  z  à  l'origine  et  rencontre  toujours  une  ligne 
droite  située  dans  le  plan  des  x,  y,  trouver  l'équation  de  la  surface  en- 
gendrée. Prouver  que  l'origine  est  un  point  singulier  et  prouver  que,  dans 
le  voisinage  de  l'origine,  la  surface  peut  être  considérée,  approximative- 
ment, comme  engendrée  par  un  cercle  ayant  son  plan  parallèle  au  plan  des 
x,y  et  son  rayon  proportionnel  à  z^.  (T.) 

2o.  Lieu  du  point  M  tel  que  le  plan  mené  par  M  et  perpendiculaire  à  OM 
détache  du  trièdre  des  axes  un  volume  constant.  (T.) 

26.  Trouver  la  surface  engendrée  par  une  droite  qui  est  parallèle  au  plan 
des  X,  y  et  rencontre  l'axe  des  z  et  la  courbe  xyz  =  a^,  x^-hy^=  c^.      (T.) 


LIEUX   GÉOMÉTRIQUES.  l63 

27.  Équation  de  la  surface  engendrée  par  une  droite  de  longueur  donnée 
qui  se  meut  parallèlement  au  plan  des  x,  y,  dont  une  extrémité  est  dans  le 
|)lan  des  y,  z  et  l'autre  sur  la  courbe  x  =  v^{z)  tracée  dans  le  plan  des  x,  z. 

(T.) 

28.  Équation  de  la  surface  engendrée  par  une  droite  rencontrant  à  angle 
droit  la  droite  x  -\- y  =  o,  z  =  oet  rencontrant  la  parabole  x^  =  az,  y  —  o. 

(T.) 

29.  La  droite  AB  de  longueur  donnée  s'appuie  par  ses  extrémités  sur  deux 
axes  rectangulaires  Oa?,  0^;  on  abaisse  la  perpendiculaire  OC  sur  AB  et  de  C 
comme  centre  avec  CO,  pour  rayon,  on  trace  un  cercle  dans  un  plan  perpen- 
diculaire à  xOy;  équation  de  la  surface  engendrée  par  ce  cercle.         (T.) 

30.  On  donne  les  équations  d'une  droite  A  et  l'équation  d'une  courbe  rap- 
portée à  cette  droite  et  à  une  perpendiculaire  à  A  menée  par  un  de  ses  points. 
Equation  de  la  surface  de  révolution  engendrée  par  cette  courbe  tournant 
autour  de  A. 

31.  Lieu  des  points  équidistants  d'une  droite  et  d'un  plan. 

32.  Lieu  des  points  dont  la  somme  ou  la  différence  des  distances  à  deux 
droites  quelconques  est  constante. 

33.  Prouver  que  la  surface  qui  a  pour  équation,  en  axes  rectangulaires, 

x^-\-  y^-r-  z^  —  3  xyz  =  a^ 
est  de  révolution.  Trouver  son  axe. 

34.  On  donne  un  cylindre  droit  vertical;  une  hélice  tracée  sur  ce  cylindre  ; 
une  sphère  inscrite  dans  ce  cylindre.  Une  droite  horizontale  se  meut  en  s'ap- 
puyant  sur  l'hélice  et  en  restant  tangente  à  la  sphère.  Equation  de  la  surface 
engendrée.  (Dewulf.) 

3o.  Un  conoïde,  circonscrit  à  une  sphère,  a  pour  directrice  rectiligne  une 
tangente  à  cette  surface,  perpendiculaire  au  plan  directeur.  On  demande  : 
1°  l'équation  du  conoïde  ;  2°  les  équations  de  la  courbe  suivant  laquelle  il 
touche  la  sphère. 

—  La  courbe  de  contact  est  la  même  que  la  courbe  trajectoire  de  l'Exer- 
cice 4  du  Chapitre  VL  En  outre,  si  l'on  considère  le  triangle  sphérique  ayant 
pour  côtés  deux  quadrants  perpendiculaires  et  la  demi-trajectoire  passant 
par  leurs  extrémités,  ce  triangle  est  équivalent  au  carré  construit  sur  le 
rayon  de  la  sphère.  (Viviani.) 

36.  Une  circonférence  G,  de  rayon  R,  roule  dans  l'intérieur  d'une  circonfé- 
rence fixe  C  de  rayon  2R,  en  entraînant  une  circonférence  C"  qui  a,  avec  la 
circonférence  C,  un  diamètre  commun,  mais  dont  le  plan  est  perpendiculaire 
au  plan  des  circonférences  C,  C.  On  demande  :  1°  quelle  est  la  ligne  décrite 
dans  l'espace  par  un  point  quelconque  lié  à  la  circonférence  C;  2"  quelle  est 
la  surface  engendrée  par  C.  (E.  Catalan.) 


i64 


CHAPITRE   IX. 


CHAPITRE  IX. 


NOTIONS  SUR  LES  SURFACES  REGLEES. 


183.  Définition  des  surfaces  réglées.  —  On  nomme  surface  réglée  toute 
surface  qui  peut  être  engendrée  par  le  mouvement  d'une  ligne  droite.  Ainsi 
par  exemple  le  plan,  les  cylindres,  les  cônes,  l'hélicoïde  à  plan  directeur,  le 
lieu  des  tangentes  à  une  courbe  gauche,  etc.,  sont  des  surfaces  réglées.  Nous 
verrons  que  toutes  les  surfaces  du  second  degré  sont  réglées  ;  seulement  il  y 
aura  à  distinguer  celles  qui  admettent  des  génératrices  rectilignes  réelles. 


484.  Expression  des  coordonnées  d'un  point  d'une  surface  réglée  ait 
moyen  de  deux  paramètres.  Plan  tangent  en  un  point.  —  Considérons 
une  surface  réglée  S,  et  soit  G  une  génératrice  rectiligne  de  cette  surface; 
G  rencontre  une  courbe  G  tracée  sur  S  en  un  point  P  ;  soient  x^y,  z  les  coor- 
données de  P  :  ce  sont  des  fonctions  d'un  paramètre  u.  Si  nous  supposons 
que  par  chaque  point  P  de  la  courbe  G  passe  une  génératrice  G  déterminée, 
les  coefficients  directeurs  a,  6,  c  de  G  sont  déterminés  en  fonction  de  u\ 
soit  M  un  point  de  la  génératrice  G,  nous  pouvons  considérer  la  distance  PM 
comme  un  second  paramètre  arbitraire  ^,  et,  en  supposant  les  axes  rectan- 
gulaires et 

«2  -1-  62  -I- c2  =  I, 

les  coordonnées  X,  Y,  Z  de  M  sont  données  par  les  formules 

X  =  x-\-av,        'Y=y-^bv,        Z  —  z -\- cv. 


Si  nous  représentons  par  a\  . . . ,  x',  . . .  les  dérivées  de  a, 
rapport  à  m,  l'équation  du  plan  tangent  au  point  M  est 


X  —  X  —  av    Y — 'y  —  bv    Z  —  z  —  cv 

x' -\- a' V  y -^  b' V         z'-\-c'v 

a  b  c 


ou,  plus  simplement, 


\-x       Y— jK        Z—z 

x' -^- a' V    y'-r-b'i>     z'-+-c'v 

a  b  c 


,  a7. 


par 


On  vérifie  ainsi  que  le  plan  tangent  en  M  contient  la  génératrice  PM,  puisque 


NOTIONS   SUR   LES   SURFACES    RÉGLÉES. 


i65 


pour  tout  point  de  cette  génératrice  les  éléments  de  la  première  et  de  la  der- 
nière ligne  de  ce  déterminant  sont  proportionnels. 

18o.  Surfaces  développahles.  —  Cherchons  à  quelles  conditions  le  plan 
tangent  à  une  surface  réglée  est  le  même  tout  le  long  d'une  génératrice. 

L'équation  du  plan  tangent  en  M  développée  suivant  les  éléments  de  la 
seconde  ligne  du  déterminant  peut  se  mettre  sous  la  forme 

A  -f-  Bf  =  o  ; 

pour  que  celte  équation  soit  indépendante  de  f ,  il  faut  et  il  suffit  que  A  et  B 
aient  un  rapport  indépendant  de  v^  sans  quoi  l'équation  précédente  repré- 
senterait, quand  v  varie,  une  infinité  de  plans  passant  par  l'intersection  des 
deux  plans  A  =  o,  B  =  o. 

Il  faut  donc  que  les  équations 

X  —  a?    Y — y    Z~z 

x'  y'  z'         =0,  a'  b'  c'         =0 

abc 

représentent  un  même  plan  et,  par  suite,  que  les  mineurs  du  premier  dé- 
terminant relatifs  à  la  première  ligne  soient  proportionnels  aux  mineurs 
correspondants  du  second  déterminant;  en  d'autres  termes,  dans  le  déter- 
minant 

abc 

a'     b'     c' 


X  —  X 

Y-r 

Z  —  z 

=  0, 

a' 

b' 

c' 

a 

b 

c 

D 


y 


les  mineurs  relatifs  à  deux  lignes  doivent  être  proportionnels;  donc  ce  dé- 
terminant est  nul,  et  réciproquement,  s'il  en  est  ainsi,  les  mineurs  relatifs  à 
deux  lignes  sont  proportionnels;  donc  les  déterminants  A  et  B  ne  diffèrent 
que  par   un   facteur  indépendant  de  v.    La   condition   demandée   est  donc 

D  =  o. 

En  posant 

A  =  bc' — cb\        B=ca' — ac',         C  =  ab' — ba', 


D  =  Kx'-i-By-i-Gz'. 

Interprétation  de  la  condition  D  =  o.  —  Si  nous  supposons  maintenant 
que  V  soit  une  fonction  de  u,  le  point  M  décrira  une  courbe.  Cherchons 
dans  quel  cas  la  tangente  en  M  à  cette  courbe  sera,  pour  tous  les  points  M, 
la  droite  PM  elle-même.  Les  coordonnées  X,  Y,  Z  sont  dès  lors  des  fonctions 
de  u,  et  l'on  a 

X'  =  aj'-H  a'v-{-  av' , 

Y'  =  y  -{-  b' V  -\-  bv', 

TJ  —  z'  -{-  c'  V  -\-  cv', 


l66  CHAPITRE    IX. 

et  nous  voulons   que   X',  Y',  Z'  soient  proportionnels   k   a,   b,  c;    ce   qui 
exige  que 

x'-T-a'v  _y-\-b'v        z' -\- c  V 

=  j =  ) 

abc 

ou,  en  introduisant  une  variable  auxiliaire  X, 

x' -h  a' V  —  «X  =  0, 
y  -\-  b' V  —  6X  =  o, 
z'  -\-  d  V  —  cX  =  o. 

Il  faut  donc  qu'il  existe  des  valeurs  de  p  et  de  X  vérifiant  ces  trois  équa- 
tions, qui  sont  linéaires  ;  donc  il  faut  et  il  suffit  que  D  =  o.  Si  cette  condition 
est  remplie,  les  équations  précédentes  se  réduiront  à  deux,  desquelles  on 
pourra  tirer  v  en  fonction  de  ii.  Aussi,  en  résumé,  pour  que  le  plan  tan- 
gent à  une  surface  réglée  demeure  le  même  en  tous  les  points  d'une 
génératrice,  et  cela,  pour  toutes  les  génératrices,  il  faut  et  il  suffit  que 
les  génératrices  rectilignes  de  la  surface  soient  toutes  tangentes  à  une 
même  courbe  gauche.  On  dit  alors  que  la  surface  est  développable,  et  la 
courbe  gauche  que  nous  venons  de  définir  se  nomme  Varête  de  rebrous- 
sèment. 

On  peut  encore  remarquer  que  si  D  n'est  pas  identiquement  nul,  mais 
s'annule  pour  une  valeur  de  u,  le  plan  tangent  est  le  même  tout  le  long 
de  la  génératrice  qui  correspond  à  cette  valeur  de  u. 

186.  De'termination  de  l'arête  de  rebroussement.  —  Nous  supposons  rem- 
plie la  condition 

Plx' -\-  Bj'-(-  Q.z'  =  o. 

Les  équations  écrites  plus  haut  donnent  alors 

cy — bz'  _  az' — ex'  bx' — ay 

p  _  ^  =.  g  _  Q-^' 

équations  équivalentes  en  vertu  de  la  condition  précédente  et  de  l'identité 

Aa  +  B6  -h  Ce  =  o. 
Les  coordonnées  d'un  point  de  l'arête  de  rebroussement  sont  donc 

„  cy' — bz'  ,,  -  az'—cx'  ^  bx' — av' 

X  —  x-\-a~ — T ,  Y  =  V -t- 6 ,  Z  —  z-\-c 7s — ^• 

Cas  particulier .  —  Supposons  les  équations  de  la  génératrice  données 
sous  la  forme 

X  =  az-f-a,         Y  =  6s-)-p. 

On  peut  poser  a?  =  a,  j'  =  p,  ^  =  o  et  recommencer  les  calculs  précédents 


NOTIONS    SIR    LES    SIMIFACES    UÈGI.ÉES. 

on  trouvera  comme  condition,  pour  que  la  surface  soit  développable, 

a'P' —  6'a'=  o 
et  les  coordonnées  d'un  point  de  l'arête  de  rebroussement  seront 


167 


X=  a  — 


'         a  ab  —  ba 


b' 


b'a' 


mais  8'=  — r-,  donc  on  peut  écrire 
a  ' 


X 


(la  —  aa. 


o.b'-b'^'  _        a' 


Thkorème.  —  Le  plan  tangent  en  un  point  M  dUme  surface  dévelop- 
pable est  le  plan  osculateur  à  l'arête  de  rebroussement  au  point  de 
contact  de  la  génératrice  rectiligne  qui  passe  par  M. 

En  effet,  on  peut  supposer  que  le  point  P,  origine  des  abscisses  v  soit  pré- 
cisément le  point  de  contact  de  la  génératrice  G  avec  l'arête  de  rebroussement. 
On  a  alors 

a  =  kx' .         b  =  /-y',         c  =  kz' 

et  les  coordonnées  du  point  M  sont 

X  =  a? -f- (Pip',         Y^=^y-^wy\         Z  ==  z -{- w  z\ 
en  posant  w  =  kv.  Le  pian  tangent  en  I\l  a  donc  pour  équation 

\—x  Y— j-  Z  —  z     ! 

x'-^wx"  y'-i-wy"  z'-^-wz" 

I          x'  y'  5' 
ou,  plus  simplement, 

X  —  x    Y  — y    Z- 

y" 
x'  y'  z' 

Ce  qui  démontre  la  proposition. 

187.  Point  central,  ligne  de  striction,  paramètre  de  distribution,  for- 
mule de  Chasles.  —  Considérons  deux  génératrices  G,  Gi  d'une  surface 
réglée  quelconque  et  soit  RRi  leur  perpendiculaire  commune.  Si  Gj  vient  se 
confondre  avec  G,  le  pied  R  de  la  perpendiculaire  commune  sur  G  tend,  en 
général,  vers  un  point  limite  déterminé  w,  qu'on  nomme  le  point  central 
de  G;  le  lieu  des  points  centraux  se  nomme  ligne  de  striction.  En  conser- 
vant les  mêmes  notations,  nous  allons  chercher  la  limite  de  PR.  Si  nous 
appelons  a,,  61,  Ci  les  paramètres  directeurs  de  Gi,  l'une  des  équations  de 


IbO  CHAPITRE   IX. 
la  perpendiculaire  RRj  est 

X  —  Xi  Y — jKi            Z  —  zi 

ai  bi                     Cl 

bci  —  cbi  ctZi  —  aci     abi  —  bai 


=  o, 


^lîj*^!)  ^1   étant  les   coordonnées  du   point  Pj   de  rencontre  de  Gi  avec  la 
courbe  C. 

Les  coordonnées  de  R  étant  x  -+-  a\>,  y  -l-  bv,  5  -h  cp,    v  est  déterminé  par 
l'équation 

\  X  —  xi  -h  av    y  —  yi-h  bi>    z  —  zi  -h  cv 
ai  bi  Cl 

I     bci  —  cbi       coi  —  aci         abi — bai 
d'où 


abc 

ai  bi  Cl 

bci — cbi     cai — aci     abi—bai 

Si  l'on  pose 


x—xi         J—yi  z—zi 

ai  bi  Cl 

bci  —  cbi     cai — aci     abi—bai 


xi  =  x-h  ^x ,      yi—y-^^y,       zi  =  z  ■+-  ^ZJ 

en  divisant  par  Am  et  faisant  tendre  Am  vers  zéro,  on  obtient 


lira  V  = 


X  y  z 
abc 
ABC 


A2+B2-i-C2 


Le  numérateur  peut  se  simplifier.  En  effet,  le  coefficient  de  a?',  par  exemple, 
est  égal  à 

b{ab'  —  ab')  —  c{ca' —  a' c)  =  a{aa' -^-  bb'-{-cc')  —  a'{a'^-\-  b^ -^  c^-); 

or  l'équation  «^  _i_  ^2  _j_  ^2  =  i  donne  aa' -\-  bb' -\-  ce'  =^  o,  donc  ce  coefficient 
se  réduit  à  —  a';  on  a  ainsi  finalement 


lim  p  =  — 


a' x'  -\-  b'r'-+-  c'z' 
A2  -+-  B2  -+-  C2 


Il  convient  de  remarquer  qu'on  ne  peut  supposer  que   l'on   a    constamment 
A  =  B  =  G  =  o,  car,  dans  ce  cas, 

a'        b'        c' 


d'où  l'on  tire 


b  c 

-  ==  const.  et  —  =  const., 


NOTIONS   SUR    LES   SURFACES   RÉGLÉES.  169 

Cl,  par  suite,  la  surface  serait  un  cylindre.  Nous  laisserons  ce  cas  particulier 
(le  côté. 

Quand  la  surface  est  développable,  le  point  central  est  le  point  de  contact 
de  G  avec  l'arête  de  rebroussement.  En  effet,  si  l'on  suppose  que  le  point  P 
soit  précisément  ce  point  de  contact,  on  a 


et,  par  suite, 


aa!  -ir  bb'  -h  ce'  =  o 


a! x'  -\-  b'y'  -\-  c' z'  =  o. 


Reprenons  le  cas  d'une  surface  réglée  quelconque,  et  soit  o  l'angle  des 
deux,  génératrices  infiniment  voisines  G,  Gi.  Si  8  est  la  longueur  de  la  per- 
pendiculaire commune  à  G  et  Gi,  on  a 


Xi  —  T    ji—y    zi  — 
abc 
ai  bi  Cl 


d'où 


sintp        (6 Cl  —  cbi)^-T-  (cai—  aciY-^  {abi —  baiY 


Iim  - 


x' 

y 

z' 

a 

b 

c 

a' 

b' 

c' 

A2-f-Bî-r-G2 

\x'-^Bv'^Cz' 


si  la  surface  est  développable  k  —  o,  et  réciproquement. 

Cela  étant,  prenons  pour  point  P,  origine  des  abscisses  i>,  le  point  central  to, 
c'est-à-dire  posons 

a'x'-\-  b'y'  -{-  c'z'  =  o 

et  soit  wM  =  p,  M  étant  un  point  quelconque  de  la  génératrice  G;  cherchons 
le  plan  tangent  en  M;  son  équation  est 

X  —  x        Y— jK       Z  — s 

x'  -h  a'  p    y'  -i-  b'  p     2'  -i-  c'  p 
a  b  c 

Les  cosinus  directeurs  de  ce  plan  sont  proportionnels  à 

bz' — cj''-r-Ap,        ex'—  az'-i-Bp,        ay' —  bx'-h  Gp; 

ceux  du  plan  tangent  en  10  sont  proportionnels  à 

bz' — ey' ,         ex' — az\         ay' — bx'. 


170  CHAPITRE   IX. 

Soit  6  l'angle  de  ces  deux  plans;  on  a 


.          \/l.[B{ay—bx')  —  C(cx'—az')]^ 
langO  =  p  - — .    ,    ; ^^ ^. 

^      ^  ^{bz'~cyy^p^x(bz'—cy) 

Or 

SA(èz'— cy)=  ^x\Bc  —  bG)  =  a'x'-+-  b'f-h  c'z'=  o 

ot,  par  suite,  en  vertu  du  résultat  précédent  et  de  l'identité  de  Lagrange, 
on  a 

I.[B(ay—bx')  —  C(cx'  —  az')Y^  =  (A^^B^-i-C^)-L(bz'—cyy-; 

en  outre 

B{ay — bx')  —  G  (ex' — az') 

=  a(By-^  Cz')  —  x'(Bb  +  Ce)  =  a{Ax'-^  B/'—  Cz') , 

donc 

I.[B{ay—bx')  —  C{cx'—  az')]^  =  (Ax'-hSy-h  Gz'f  ; 

on  trouve  ainsi,  en  définitive, 

.  A2-+-B2-4-C2  p 

tangO  =  p  ^^,- 


kx'  ■+■  By  -+-  Gz'       k 

pourvu  que  l'on  compte  6  avec  le  signe  -i-  dans  un  sens  convenable.  Cette 
formule  a  été  donnée  par  Chasles. 

Si  p  croît  de  o  à  -I-  00,  6  a  arie  de  o  à  H ,    si  l'on  suppose   A'  >  o ,   et  si  p 

décroît  de  o  à  —  ce,  G  varie  de  o  à Il  en  résulte  que  tout  plan  mené  par  G 

est  tangent  à  la  surface  en  quelque  point  de  G. 

Cette  dernière  remarque  entraîne  une  conséquence  importante. 

Si  l'on  cherche  le  nombre  de  plans  tangents  menés  par  une  droite  A  à  une 
surface  réglée,  on  en  trouvera,  en  général,  autant  qu'il  y  a  de  points  com- 
muns à  la  surface  et  à  la  droite  A.  En  effet,  soit  M  l'un  de  ces  points,  il  passe 
par  M  une  génératrice  rectiligne  G,  et  le  plan,  formé  par  A  et  G,  est  un  plan 
tangent.  Réciproquement,  si  nous  considérons  un  plan  tangent  à  la  surface 
mené  par  A,  ce  plan  tangent  contient  une  génératrice  qui  rencontre  A  en  un 
point  M;  ce  point  est  le  point  de  contact.  II  y  a  donc,  en  général,  autant  de 
plans  passant  par  A  que  de  points  de  rencontre  de  A  avec  la  surface. 

Ce  raisonnement  paraît  en  défaut  pour  une  quadrique,  car  nous  verrons 
plus  loin  que  par  chaque  point  d'une  quadrique  passent  deux  génératrices  rec- 
tilignes;  mais  les  quatre  génératrices,  menées  par  les  deux  points  d'inter- 
section de  A  avec  une  quadrique,  se  trouvent  dans  deux  plans,  et  l'on  n'ob- 
tient, en  définitive,  que  deux  plans  tangents. 

On  nomme  classe  d'une  surface  le  nombre  de  plans  tangents  qu'on  peut 
lui  mener  par  une  droite.  La  classe  d'une  surface  réglée  est  donc  égale  à  son 
degré. 

Les  surfaces  développables  ne  sont  pas  comprises  dans  le  raisonnement 
précédent,  puisque  un  plan  quelconque  mené  par  une  génératrice  n'est  pas 


NOTIONS    SUR    LES    SURFACES    RÉGLÉES.  17I 

tangent,  en  général,  à  la  surface.  Dans  le  cas  des  surfaces  développabies,  on 
nomme  classe  le  nombre  de  plans  tangents  qu'on  peut  mener  par  un  point 
quelconque. 

188.  Nous  avons  vu  que  les  cosinus  directeurs  du  plan  tangent  en  M  sont 
proportionnels  à 

A-4- -  (ôV-cy),         ^-^-{cx'—az'),         Q-i-  -{ay'—bx'); 

P  P  P 

donc,  si  M  est  à  l'infini  sur  G,  les  cosinus  sont  proportionnels  à  A,  B,  C. 

Si  l'on  mène  par  un  point  fixe,  par  exemple  par  l'origine  des  coordonnées 
des  parallèles  à  toutes  les  génératrices  G,  on  obtient  un  cône  qu'on  nomme 
le  cône  directeur  de  la  surface.  Pour  obtenir  les  cosinus  directeurs  du  plan 
tangent  à  ce  cône  le  long  de  la  génératrice  g  parallèle  à  G,  considérons  deux 
génératrices  infiniment  voisines  g  et  gi,  dont  les  cosinus  sont  a,  6,  c  et 
a  -r-  Aa,  b  -T-  A6,  c  -r-  Ac.  Le  plan  mené  par  g  et  ^.^1  a  pour  équation 

x{blc  —  clb)  -\-y(c\a  —  a\c)  -h  z{a\b  —  6Aa)  =  o; 

donc  le  plan  tangent  cherché  a  pour  équation 

x{bc' —  cb')  -\- y{ca —  ac' )  -1-  z{ab' —  ba')  =  o. 

Ainsi  le  plan  tangent  à  la  surface  réglée,  dont  le  point  de  contact  est  à 
l'infini  sur  G,  est  parallèle  au  plan  tangent  au  cône  directeur  le  long  de  g.  Il 
en  résulte  que  le  plan  tangent  au  point  central,  plan  que  nous  appellerons 
le  plan  central,  est  perpendiculaire  au  plan  tangent  suivant  g  au  cône  di- 
recteur. 

Dans  le  cas  particulier  où  les  génératrices  G  sont  toutes  parallèles  à  un 
même  plan  A,  le  cône  directeur  se  réduit  à  un  plan  directeur.  Alors  la  per- 
pendiculaire commune  à  deux  génératrices  G,  G]  perce  le  plan  A  au  point 
d'intersection  des  projections  de  G  et  Gi  sur  A;  le  point  central  est  donc  le 
point  de  G  qui  se  projette  sur  A  au  point  de  contact  de  la  projection  de  G 
avec  son  enveloppe,  et  le  plan  central  est  perpendiculaire  au  plan  direc- 
teur A. 

189.  Dans  toute  surface  réglée,  le  rapport  anharmonique  de  quatre 
plans  tangents  menés  par  une  même  génératrice  G  est  égal  au  rapport 
anharmonique  de  leurs  points  de  contact. 

Gela  résulte  immédiatement  de  la  formule  de  Chasles.  Coupons  le  faisceau 
des  quatre  plans  tangents  par  une  perpendiculaire  au  plan  central;  les  dis- 
lances des  points  d'intersections  au  plan  central,  proportionnelles  aux  tan- 
gentes des  angles  que  les  plans  tangents  font  avec  le  plan  central,  sont  aussi 
proportionnelles  aux  distances  des  points  de  contact  au  point  central.  Si  l'on 
préfère,  en  prenant  pour  axe  des  z  la  génératrice  G  et  pour  plan  des  a?,  z  le 
plan  central,  l'origine  étant  le  point  central  et  enfin  les  coordonnées  étant 


1^2  CHAPITRE    IX, 

rectangulaires,  l'équation  d'un  plan  tangent  en  M  dont   la  cote   est  z  étant 

y  =  mx,  on  a 

z 

"'  =  r 

d'où  il  suit  que 

/ni  —  m^  _  m^  —  nis  _  Z\  —  23  ,  ^i  —  Zi, 
m-i — m^'m-i  —  nii,        Si  —  Zi^'zz  —  z^ 

190.  On  déduit  de  là  que,  si  deux  surfaces  réglées  ont  une  génératrice 
commune  G,  elles  ont  même  plan  tangent  en  deux  points  de  G,  et,  si  elles 
en  ont  plus  de  deux,  elles  se  raccordent  tout  le  long  de  G. 

C'est  d'ailleurs  ce  que  montre  le  calcul;  en  effet,  comptons  les  distances  à 
partir  du  point  central  w  de  la  première  surface,  et  soit  waii  =  pi,  coi  étant 
le  point  central  de  la  seconde,  enfin  soit  ôj  l'angle  que  le  plan  central  de  la 
seconde  surface  fait  avec  le  plan  central  de  la  première.  Si  l'on  nomme  6' 
l'angle  que  le  plan  tangent  en  M  à  la  seconde  surface  fait  avec  son  plan  cen- 
tral, on  a 

tango  =  |,  tango' =  ^; 

les  deux  plans  tangents  coïncideront  si 

6'  =  e  — Oi,      p'  =  p  — pi, 


c'est-à-dire 
ce  qui  donne 


tang(6-6,) 


P  — Pi 
k' 


^'  (I  ~  '''"^^^  )  =  (P  -  Pi)  (i  +  7,  tangôi  ^ 


On  obtient  ainsi  une  équation  du  second  degré  en  p. 

Si  les  deux  surfaces  ont  même  plan  directeur,  6i  =  o  et  l'équation  s'abaisse 
au  premier  degré,  et,  par  suite,  il  n'y  a  plus  qu'un  point  où  le  plan  tangent 
soit  le  même. 

Donc,  si  deux  surfaces  réglées  ont  trois  plans  tangents  communs  en  trois 
points  d'une  même  génératrice,  elles  sont  tangentes  en  chacun  des  points  de 
cette  génératrice,  et,  dans  le  cas  où  elles  ont  même  plan  directeur,  si  elles 
ont  deux  plans  tangents  communs  en  deux  points  d'une  génératrice  com- 
mune, elles  se  raccordent  tout  le  long  de  cette  génératrice. 

191.  Si  l'on  connaît  les  plans  tangents  en  trois  points  A,  B,  G  d'une  géné- 
ratrice G,  le  plan  tangent  en  tout  autre  point  M  est  déterminé,  comme  le 
montre  le  théorème  du  n"  189.  On  peut  l'obtenir  par  une  construction  ingé- 
nieuse indiquée  par  MM.  Mannheim  et  Dewulf.  Menons  par  G  un  plan  H 
quelconque  et,  dans  ce  plan,  traçons  sur  AB  un  segment  capable  de  l'angle 
que  le  plan  tangent  en  B  fait  avec  le  plan  tangent  en  A;  puis,  du  même  côté, 
traçons  sur  BG  un  segment  capable  de  l'angle  que  le  plan  tangent  en  G  fait 


NOTIONS    SUR    LES   SURFACES   RÉGLÉES.  178 

avec  le  plan  tangent  en  B;  les  deux  cercles  obtenus  se  coupent  en  B  et  en 
un  second  point  D;  l'angle  BDM  est  égal  à  l'angle  que  le  plan  tangent  en  M 
fait  avec  le  plan  tangent  en  C,  car,  si  l'on  coupe  le  plan  H  par  des  plans  per- 
pendiculaires menés  par  DA,  DB,  DG,  DM,  le  rapport  anharmonique  du  fais- 
ceau de  ces  quatre  plans  est  égal  à  celui  des  quatre  points  A,  B,  G,  M.  In- 
versement, si  le  quatrième  plan  tangent  est  donné,  la  même  construction 
permet  de  déterminer  son  point  de  contact  M. 

192.  Enfin,  nous  indiquerons  une  détermination  remarquable  du  point  cen- 
tral donnée  par  M.  G.  Darboux.  Si  l'on  porte  sur  une  perpendiculaire  à  G, 
menée  par  le  point  central,  une  longueur  égale  à  A:  de  O  en  A,  l'angle  MAO 

est  précisément  égal  à  0,  puisque  tangMAO  =  vt-t- *  Or  on  peut  mener  par  G 

U  A 

deux  plans  tangents  au  cercle  de  l'infini,  qui,  par  cela  seul  qu'ils  passent 
par  G,  sont  aussi  tangents  à  la  surface  considérée. 

Si  l'on  conserve  les  mêmes  axes  qu'au  n°  189,  un  plan  mené  par  G,  ayant 
pour  équation^  =  mx.  sera  tangent  au  cercle  de  l'infini  si  m  =  ±  i. 

Le  point  de  contact  est  déterminé  par  l'équation 

7  =  tang6  =  rh  i. 

D'après  cela,  si  l'on  détermine,  avec  des  axes  quelconques,  les  deux  plans 
tangents  au  cercle  de  l'infini  menés  par  la  génératrice  G,  la  distance  de  leurs 
points  de  contact  divisée  par  oA  donne  pour  quotient  le  paramètre  de  distri- 
bution A-,  et  le  milieu  du  segment  formé  par  ces  points  de  contact  est  le  point 
central  de  G. 

EXERCICES. 

1.  Vérifier  que  les  équations 

représentent  des  surfaces  développables.  (T.) 

2.  Trouver  la  surface  engendrée  par  les  normales  à  une  surface  réglée 
gauche,  menées  en  tous  les  points  d'une  même  génératrice. 

3.  Appliquer  les  formules  générales  relatives  aux  surfaces  réglées  à  la  sur- 
face engendrée  par  la  droite 


^  _;_  f  ==  X  (  -  —  i')  Z  —  -^  =  1  (- 

6     '    c  \a         /'  b         c        IXa 


ou  par  la  droite 


y     ^       [^      \        y 


X  et  fx  désignant  des  paramètres  variables. 
Trouver  la  ligne  de  striction. 


z  _  I   fx 
c        (JL  \a 


174         CHAPITRE  IX.  —  NOTIONS  SUR  LES  SURFACES  RÉGLÉES. 

i.  Mêmes  questions  pour  la  surface  engendrée  par  la  droite 


4-  =  ^> 


ou  p 


ar  la  droite 


\/p     s/q 

y       ^ 
s/p      s/9 


y 

s/p 

s/q 

y 

rp 

z 

9.x 

5.  Trouver  la  ligne  de  striction  de  la  surface  développable  circonscrite  à 
deux  ellipses  dont  les  axes  sont  parallèles  et  les  centres  sont  sur  une  per- 
pendiculaire à  leurs  plans. 

6.  Si  les  deux  plans  tangents  communs  à  deux  surfaces  réglées  en  deux 
points  d'une  génératrice  commune  sont  isotropes,  ces  deux  surfaces  se  cou- 
pent le  long  de  cette  génératrice  sous  un  angle  constant.  Réciproque. 

7.  Deux  surfaces  réglées  ayant  même  paramètre  de  distribution  le  long 
d'une  génératrice  commune  peuvent  être  placées  de  manière  à  se  couper,  le 
long  de  cette  génératrice,  suivant  un  angle  constant. 

—  Examiner  ce  qui  arrive  si  les  paramètres  sont  égaux  et  de  signes  con- 
traires. 

8.  Sur  une  surface  donnée  on  peut,  par  chaque  point,  tracer  deux  courbes 
telles  que  les  normales  à  la  surface  le  long  de  chacune  de  ces  courbes  dé- 
crivent une  surface  développable. 

—  En  effet,  soient  a,  p,  y  les  angles  de  la  normale  avec  trois  axes  rectan- 
gulaires; si  l'on  porte  sur  la  normale  une  longueur  R  convenablement  choisie 
à  partir  du  pied,  on  devra  avoir 

d(x -{- Rcosa)  _  d  (y -{- R  cos^)        d(z  -i-  R  cosy) 
cosa  cosp  cosy 

ou,  en  simplifiant, 

dx  -h  R  «f  cosa  _  dy  -+-  R  d  cosQ  _  dz  -+-  R  ofcosy 

cosa  cos p  cosy 

Mais,  si  l'on  ajoute  membre  à  membre  après  multiplication  des  deux  termes 
par  cosa,  cos^,  cosy,  on  reconnaît  que  la  somme  des  numérateurs  est  nulle, 
tandis  que  celle  des  dénominateurs  égale  i.  Donc 

dcosoL        dcos^        dcosy  i 

dx  dy  dz  R 

(Olindes  Rodrigues.) 
Ensuite,  en  tenant  compte  des  formules 

dz  :=^ p  dx ->!- q  dy ,         dfcosa  =  — pd cosy, 

on  obtient 

dx  -\-  p  dz        dy  -\-  q  dz 

dp  dq 


ENVELOPPES.  175 

et,  en  remplaçant  dp  par  rdx  -}-  5  dy  et  dq  par  sdx  -^  t  dy, 

(i  -\-  p^)dx  -^  pq  dy  _  pq  dx  -^  {\-+-  q^)  dy 
r  dx  -+-  s  dy  s  dx  -\-  t  dy 

ou  enfin 

[s(n-/?2)  —pqr'\  dx^-i-  [t  (i -h p^)  —  s{i -+-  q^-)]  dx  dy 

H-  [pqt  —  s{i-^q^)]dy^  =:o, 

dy 
ce  qui  donne,  en  chaque  point,  deux  valeurs  de  -y-  >  à  chacune  desquelles  cor- 
respond une  valeur  de  R. 


CHAPITRE  X. 

ENVELOPPES. 


193.   Définition.  —   Soit 

(l)  /(37,  JK,   5,  «)  =  0 

l'équalion  d'une  surface  dépendant  d'un  paramètre  arbitraire  a.  Les 
surfaces  correspondant  à  deux  valeurs  infiniment  voisines  a  et  a-\-1i 
du  paramètre  déterminent  une  courbe  définie  par  les  deux  équa- 
tions 

f{x,y,z,a)^o,        f{x,  y,  z,  a-^rh)=o, 

OU  encore  par 

/./                    N                   f(x,r,z,a-+-h) — f(x,y.z) 
/(x,y,z,a)^o,  -^       '■' ^- ^ ■- =0. 

La  couibe  d'intersection  a  donc  pour  limite,  quand  h  tend  vers 
zéro,  la  courbe  définie  par  les  deux  équations 

(2)  /{x,y,z,a)  =  o,        fa{x,y,z,a)  =  o. 

Cette  courbe  se  nomme  une  caractéristique.  On  nomme  enve- 
loppe de  la  famille  de  surfaces  définies  par  l'équation  (i)  le  lieu  de 


176  CHAPITRE    X. 

ses  caractéristiques.   L'équation  de  l'enveloppe  s'obtient  donc  en 
éliminant  a  entre  les  équations  (2). 

Chacune  des  surfaces  de  la  famille  (i)  se  nomme  une  enveloppée. 

La  propriété  suivante  justifie  ces  dénominations. 

194.  En  tous  les  points  d'une  caractéristique  V enveloppe  est 
tangente  à  l'enveloppée  correspondante . 

Considérons,  en  effet,  un  point  M(^,  j-,  ^)  appartenant  à  la  ca- 
ractéristique qui  correspond  à  une  valeur  déterminée  «o  du  para- 
mètre, et  dont  les  équations  sont,  par  suite, 

f{x,y,z,ao)  =  o,        J'aS^,  y,  z,  a^)  =  o. 

Si  l'on  regarde  x,  y  comme  des  fonctions  de  z  et  de  a  définies 
par  les  équations  (2),  ces  deux  équations  définissent  l'enveloppe  F. 
Les  équations  de  la  tangente  en  M  à  une  courbe  tracée  sur  F  étant 

X~x _  Y  — y  _  Z  —  z 

dx  dy  dz 

dx^  dy.,  dz  vérifient  l'équation 

~  dx  -^  ^  dy  -^  ■—  dz  -h  -f-  da  =  o, 
ox  oy  dz  oa 

OÙ  a  =  «0  5  ou,  plus  simplement,  en  vertu  de  la  seconde  des  équa- 
tions (2), 

-^  dx  -^  ~  dy  -^  -^  dz  =  o, 
dx  dy    -^         dz 

ce  qui  prouve  que  toutes  les  tangentes  de  M  à  l'enveloppe  sont  dans 
le  plan  représenté  par  l'équation 

c'est-à-dire,  puisqu'on  suppose  «  =  «oj  dans  le  plan  tangent  en  M  à 
l'enveloppée  qui  a  pour  équation 

f{x,y,z,aQ)  =  o; 

ce  qui  démontre  la  proposition. 

195.  Mais  les  enveloppes  que  nous  venons  de  considérer  ne  sont 


ENVELOPPES.  17^ 

pas  les  seules.  On  peul,  en  elïet,  considérer  des  enveloppes  de  sur- 
faces dépendant  de  deux  paramètres  arbitraires. 
EflTcclivement,  soit 

(3)  f{x,y,  z,a,b)  =  o 

une  équation  dans  laquelle  a  ci  b  désignent  deux  paramètres  va- 
riables. 

Attribuons  à  a  et  Z>  des  accroissemenls  arbitraires  infiniment  pe- 
tits h,  k,  et  considérons  la  surface  infiniment  voisine  de  la  première 
et  ayant  pour  équation 

(4)  f{T,y,:i,a-hh,b  +  k)  =  o. 

La  courbe  d'intersection  peut  être  considérée  comme  définie  par 
le  système  formé  par  l'équation  (3)  et  par  celle-ci 

fi^,y,^,  «~/i,  h  +  k)  —f{T,  y,  s,  a,  b)  =  o, 

qu'on  peut  écrire 

hf;,{x,y,z,a-^^h,b-i-^k)-\-kf,,(x.y,z,a-hOh,b-i  ()k)      (o<0<i.) 

Si  l'on  suppose  que  ^  ait  une  limite  \  la  courbe  d'intersection  a 
pour  limite  la  courbe  définie  par  les  deux  équations 

/{x,y,z,a,  b)  =  o,        fa(^,.r,^,  a,  b  ) -^  !/'/,( x,  j,  z,a,  b)  =  o. 

Mais,  quelle  que  soit  la  valeur  arbitraire  A,  les  points  dont  les 
coordonnées  sont  déterminées  par  les  trois  équations 

(5,  /=o,         1  =  0,         ^^=0. 

sont  sur  cette  courbe.  On  appelle  encore  enveloppe  le  lieu  de  ces 
points,  qui  ont  reçu  le  nom  de  points  caractéristiques. 

196.  En  chacun  des  points  caractéristiques  Vemeloppe  est 
tangente  à  V enveloppée. 

Les  équations  (5)  peuvent  être  regardées  comme  définissant  a:, 
y,  z  en  fonction  de  a  et  b.   Soient  x,  y,  z  les  coordonnées  d'un 
point  M  de  l'enveloppe,  correspondant  à  des  valeurs  «„,  b^  des  para- 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  la 


1^8  CHAPITRE    X. 

mètres;  la  tangente  en  M  à  une  courbe  quelconque  tracée  sur  cette 
enveloppe  est  définie,  comme  plus  haut,  par  les  équations 


dx  dy  dz 

les  différentielles  dx,  dy,  dz  devant  vérifier  l'équation 

dx  dy    ''        dz  da  db 

OÙ  «  =  «Q,  b  =  b^.  Mais  on  suppose  y-  ==  o,  -jj  =:  o;  on  voit  donc, 
comme  dans  le  cas  d'un  seul  paramètre,  que  chacune  des  tangentes 
considérées  est  dans  le  plan 

c'est-à-dire  dans  le  plan  tangent  en  M  à  l'enveloppée  («„,  6„). 

Exemples. 

197.  Soit 

ux  -\-  vy  -^  ivz  -+-/-;  =  o 

l'équation  d'un  plan;  si  u,  v,  w,  r  sont  des  fonctions  d'un  seul  paramètre, 
l'enveloppe  de  ce  plan  sera  une  surface  réglée,  puisque  les  caractéristiques 
sont  des  droites.  En  outre,  le  plan  langent  à  l'enveloppe  sera  le  même  en 
tous  les  points  d'une  caractéristique  «oj  car  ce  plan  sera  évidemment  celui 
des  plans  considérés  qui  correspond  à  la  valeur  «o  du  paramètre;  en  d'autres 
termes,  l'enveloppe  est  une  surface  développable.  Les  équations  d'une  géné- 
ratrice sont  donc 

iix  -\-  vy  -\-  wz  -^  r  =  0,         u' x  -+-  v' y  ■+-  w' z  +  /-'  =  o, 

où  u' ,  v' ,  w\  r'  désignent  les  dérivées  de  u,  v,  w,  r  prises  par  rapport  à  a. 

On  peut  se  proposer  de  trouver  Varête  de  rebroussement.  Pour  cela,  si 
nous  considérons  un  point  M  de  la  génératrice,  dont  les  coordonnées  a?,  y 
soient  des  fonctions  de  z  et  du  paramètre  a,  quand  on  passe  d'une  généra- 
trice à  la  génératrice  infiniment  voisine,  le  point  M  prend  une  nouvelle  posi- 
tion M'  et,  si  M  appartient  à  l'arête  de  rebroussement,  la  droite  MM'  a  pour 
limite  la  génératrice  elle-même.  Or  les  paramètres  directeurs  de  MM'  ont 
pour  limites  les  différentielles  dx,  dy,  dz  définies  parles  deux  équations 

u  dx  -f-  V  dy  -\-  w  dz  -\-  { u' x  -f-  v' y  -\-  w'  z  -\-  /•'  )  da  =  o, 
u'  dx  -+-  i>'  dy  -{-  w'  dz  -\-  { u" x  -+-  v" y  -\-  w" z  -\-  r"  )  da  —  o. 

Le  coefficient  de  da  est  nul  dans  la  première  équation;  or,  il  faut  que  dx, 


KNVELOPPES.  179 

clf,   ds  soient  proportionnels  à   vw' — wv',  wii' — uw' ,  iw' — vu';  donc  on 

doit  avoir 

u" X  -\-  v" y  -\-  w" z  -\-  /•"  =  o. 

Cette  équation,  jointe  à  celles  de  la  génératrice,  achève  de  déterminer  l'a- 
rête de  rebroussement  ;  on  peut,  en  effet,  tirer  des  trois  équations  obtenues 
x,y,  z  en  fonction  du  paramètre  a. 

Ainsi,  l'enveloppe  d'un  plan  mobile,  dont  l'équation  ne  dépend  que  d'un 
seul  paramètre,  est  une  surface  réglée,  lieu  des  tangentes  à  une  courbe  gauche. 
On  peut  démontrer  que,  réciproquement,  une  pareille  surface  réglée  est  l'en- 
veloppe d'un  plan  mobile. 

En  effet,  le  plan  tangent  en  un  point  d'une  génératrice  rectiligne  est  le 
même  tout  le  long  de  cette  génératrice  et  coïncide  avec  le  plan  osculateur 
au  point  de  contact  de  cette  génératrice  avec  la  courbe  gauche  donnée;  il  en 
résulte  que  la  limite  de  l'intersection  des  plans  tangents,  le  long  de  deux  gé- 
nératrices infiniment  voisines,  est  la  limite  de  l'intersection  de  deux,  plans 
osculateurs  en  des  points  infiniment  voisins  de  la  courbe  gauche  donnée;  or 
on  démontre  facilement  que  cette  limite  n'est  autre  que  la  tangente  à  la 
courbe  gauche,  c'est-à-dire  précisément  la  première  génératrice  considérée. 
L'enveloppe  des  plans  tangents  est  le  lieu  de  ces  génératrices;  c'est-à-dire  la 
surface  considérée  elle-même. 

D'ailleurs,  pour  faire  comprendre  la  proposition  relative  aux  plans  oscula- 
teurs sur  laquelle  nous  venons  de  nous  appuyer,  il  suffit  de  remarquer  que, 
si  Mj,  M2,  IM3,  iMv  sont  quatre  points  infiniment  voisins  d'une  courbe  gauche, 
les  plans  M1M2M3  et  M.2iM3M;  ont  pour  intersection  la  ligne  M2M3et,  en  gé- 
néral, celte  ligne  a  pour  limite  la  tangente  en  M.  En  tout  cas,  la  démonstra- 
tion par  le  calcul  n'offre  aucune  difficulté. 

198.  Si  x^  y,  z  sont  les  coordonnées  d'un  point  d'une  surface,  on  peut  re- 
garder z  comme  fonction  de  a?  et  de  _/;  si  l'on  pose 

dz__  dz_  _  ^  _    .  ^^^     _  d'^z  _ 

di~P'         dy~'^'         ôx^  ~  '"'         d^oj  ~  *'  d]^  ~  '' 

une  surface  développable  sera  caractérisée  par  l'équation 

ri  —  s"^  —  o. 

C'est  ce  qu'il  est  aisé  de  prouver.  Remarquons  d'abord  que,  si  l'on  se  dé- 
place sur  une  génératrice  quelconque  d'une  surface  développable,  p  cl  q  de- 
meurent constants;  on  peut  déjà  en  conclure  que  q  est  une  fonction  de  /?; 
mais  nous  allons  établir  directement  cette  proposition.  Les  coordonnées  d'un 
point  d'une  surface  développable  peuvent  se  mettre  sous  la  forme 

x  —  az  -^  et,        y  =  bz  -\-'^, 

où  «,  b,  a,  [î  sont  fonctions  d'un  paramètre  u,  vérifiant  la  condition  (186) 

a"f>' —  b'  3.'  =  o. 


l8o  CHAPITRE    X. 

On  peut  dire  que  les  équations  précédentes  définissent  z  et  u  comme  fonc- 
tions de  37  et  de  j';  par  conséquent,  en  prenant  les  dérivées  par  rapport  à  x 
et  y  successivement,  on  obtient 

,    ,  ,,  du  ,    ,  ,^  du 

i  =  ap-\-{az-i-ix)-j-)  o=aq-\-{az-\-ix)-y-, 

,..     .  du        du 

et,  par  conséquent,  en  éliminant  —  et  -r— , 

ap  —  I  _      aq      a'z  -+-  a' 

bp  bq  —  I        6 -S  -t-  ji' 

Mais  la  condition  a'P' — 6'a'  =  o  montre  que  le  dernier  rapport  est  indé- 
pendant de  z\  donc 

ap  —  \  _      aq       _  a' 

bp  bq  —  1         P' 

et,  par  suite,  en  éliminant  u  entre  ces  deux  équations,  on  arrivera  à  upe  re- 
lation entre/?  et  q.  Or,  si  l'on  suppose  q  —  fip),  on  en  tire 

^  =  f'(p\  ^, 
dx      ^  ^^ '  ôx'' 

dq        r, .    ^  àp 

d'où  il  résulte  que  le  déterminant  des  dérivées  partielles  de  p  et  q,  c'est- 
à-dire  rt  —  5^,  est  nul. 

199.  Réciproquement,  si  rt  —  5^  =  0,  q  est  une  fonction  de  p.  En  effet, 
soient  p  =  ¥  (x,y),  q  =  Fi  (x,y)  ;  en  éliminant  y,  on  aura  une  relation  entre 
p,  q  et  X  qu'on  peut  écrire  ainsi 

g  =fip,  ^), 
et  d'où  l'on  tire 

dq^  ^à£dp^^dj_^  dq  ^  df  dp  ^ 

dx       dp  dx     •  dx  dy        ôp  dy' 

mais,  par  hypothèse,  les  dérivées  de />  sont  proportionnelles  à  celles  de  q\ 

donc  J-  ■=■  o,  et,  par  suite, /(/»,  x)  est  indépendant  de  x.  On  peut  donc  po- 

ox 
ser  q  =f{p).  L'équation  du  plan   tangent  au  point  (x,  y,  z)  de  la  surface 

considérée  étant 

Z-z=p(\-x)-^q(Y-y), 

nous  pouvons  écrire 

Z  =pX  -h  qY  -\-  z  —  px  —  qy. 

Mais,  si  q  =f(p),  je  dis  que  z  —px  —  qy  est  aussi  une  fonction  de/);  en 


elTet,  si  l'on  pose 
on  a 

de  sorte  que 


ENVELOPPES. 


V  =  px  -\-  qy  —  z 

dv  dv 

^^^rx  +  sy,         -=sx  +  ty- 

àv  dv 

<)y  ôx       '' 


i8j 


Les  dérivées  de  v  étant  proportionnelles  à  celles  de  />,  v  est  une  fonction  de/?. 
D'après  cela,  l'équation  du  plan  tangent  peut  s'écrire 

Z=y,X+/(/?)Y-Ho(/>): 

l'enveloppe  de  ce  plan  est  une  surface  développable. 

200.  Lorsque  rt  —  s^  jzé  o,  l'équation  du  plan  tangent  renferme  deux  para- 
mètres et,  si  l'on  met  cette  équation  sous  la  forme  générale 

ux  -^  vy  -\-  w z  -h  /i  =  o, 

la  surface  enveloppe  pourra  être  considérée  comme  définie  par  cette  équa- 
tion jointe  aux  équations 

du  dv  dw        dh  du  dv  dw        dh 

da       "^  da  da        da  db       -^   db  db        db 

Mais  il  n'est  pas  inutile  d'ajouter  que  toute  surface  peut  être  considérée 
comme  étant  l'enveloppe  de  ses  plans  tangents;  la  proposition  a  déjà  été 
établie  dans  le  cas  des  surfaces  développables.  En  prenant  comme  variables 
indépendantes  x  et  ^,  le  plan  tangent  ayant  pour  équation 

Z_.^_/,(X-^)-5r(Y-j)  =  o, 

nous  devons  égaler  à  zéro  le-s  dérivées  du  premier  membre  par  rapport  à  x 
et  _/,  ce  qui  donne,  tout  calcul  fait, 

r(X  —  a7)-f-5(Y  — ^)  =  o, 

Si  l'on  suppose  rt  —  s^^  o,  on  a  donc  bien  X  =  a:,  Y  =^y  et  par  suite  Z  =  s, 
X,  Y,  Z  désignant  un  point  de  l'enveloppe,  ce  qui  prouve  que  l'enveloppe  est 
le  lieu  des  points  de  contact. 

On  voit  ainsi  que  tout  plan  tangent  à  une  surface  non  développable  ne 
peut  toucher  la  surface  qu'en  un  nombre  limité  de  points.  Dans  le  cas  du 
second  degré,  un  plan  tangent  coupe  la  surface  suivant  deux  droites,  il  est 
vrai,  mais  il  n'est  tangent  qu'au  point  de  rencontre  de  ces  deux  droites. 

201.  Cas  de  plusieurs  paramètres  liés  par  des  équations  données.  — 
Soit  à  trouver  l'enveloppe  des  surfaces  définies  par  l'équation 

f{^,  Ji  ->  «i>  «2,  ...,  a„)  =  o, 


102  CHAPITRE   X. 

les  paramètres  étant  assujettis  an  —  t  équations  de  condition  : 

?/;(«!,   «2,   •  •  -,   an)  —  O, 

oùp=^i,  2,  ...,  n  —  I.  On  obtiendra  dans  ce  cas  l'enveloppe  en  procédant 
comme  en  Géométrie  plane,  c'est-à-dire  en  adjoignant  aux  n  équations  don- 
nées l'équation  qu'on  obtient  en  égalant  à  zéro  le  déterminant  formé,  avec  les 
dérivées  prises  par  rapport  aux  paramètres,  des  n  fonctionsy,  «fi,  ^z,  ...,  cp,;. 
Supposons  maintenant  que  les  n  paramètres  ne  soient  assujettis  qu'à  n  —  2 
équations  de  condition.  Pour  simplifier,  considérons  trois  paramètres  liés 
par  une  équation,  et  soit  proposé  de  trouver  l'enveloppe  de  la  surface  ayant 

pour  équation 

f{x,  y,  z,  a,  b,  e)  —  o, 

sachant  que 

cf(rt,  b,  c)  =o. 

Traitons  c  comme  une  fonction  de  a  et  de  6;  on  doit  poser 


df       df  de 
da        de   da 

àf        df  de 

~ — l — — =  0. 

àb        àe   db 

Mais 

()©        d<Sj  de 

da        de  da          ' 

à'9        àd^  de 

db  '^  àS  db  ~  ^' 

d'où  l'on  tire 

da 
dcp 
d^ 

àf 
àb 
dcp 
db 

àf 
de 
àdji 
àc 

On  écrira  donc  que  les  dérivées  de  la  fonction  /  par  rapport  aux  paramètres 
a,  b,  c  sont  proportionnelles  aux  dérivées  de  cp  par  rapport  aux  mêmes  pa- 
ramètres respectivement,  et  il  ne  restera  plus  qu'à  éliminer  a,  b,  e  entre 
quatre  équations. 

On  en  conclut,  en  imitant  la  démonstration  donnée  en  Géométrie  plane 
(t.  I,  401),  que  l'on  obtient  l'enveloppe  de  la  surface  définie  par  l'équa- 
tion 

f(x,  7,  z,  u,  i>,  w,  r)  =  o, 

homogène  par  rapport  aux  paramètres  u,  i>,  w,  r  satisfaisant  à  une  relation 

homogène 

tp  (m,  V,  w,  r)  =  0, 

en  éliminant  les  paramètres  entre  l'une  des  deux  équations  précédentes  et 
celles  qu'on  obtient  en  écrivant  que  les  dérivées  de  /  et  de  cp  par  rapport  à 
ces  paramètres  sont  proportionnelles  : 


au 

àf 
àv 

Et 
àw 

àf 
àr 

<^Cp 

au 

do 
àv 

0*9 
àw 

ào 
dr 

ENVELOPPES.  l83 

Ainsi,  pour  avoir  l'équation  de  l'enveloppe  du  plan 
ux  -\-  vy  -\-  w z  -h  r  t  =  o, 
dont  les  coefficienls  vérifient  l'équation  homogène 

F{u,  i>,  w,  /•)  =  o, 

il  suffit  d'éliminer  les  paramètres  u,  c,  (v,  r  entre  l'une  de  ces  équations  et 
les  suivantes 

X         y  -2    _    ^ 

L'équation  F  =  o  est  V équation  tangentielle  de  l'enveloppe,  et  l'on  voit 
que  les  coordonnées  ponctuelles  d'un  point  de  l'enveloppe  sont  proportion- 
nelles aux  dérivées  de  la  fonction  F. 

202.  Si  l'on  avait  n  paramètres  liés  par  n  —  2  relations 

'Pp(a,,  «2»  •  •  •)  «'()  =  0,  />  =  I,  2,  . . .,  n  —  2, 

on  adjoindrait  aux  équations  données  celles  qu'on  obtient  en  égalant  à  zéro 
les  déterminants  fonctionnels  des  fonctions  /,  tfj,  cp2,  ...,  o«-2>  obtenus  en 
laissant  de  côté  successivement  deux  paramètres  ai,  puis  a^,  par  exemple,  et 
en  éliminant  les  n  paramètres  entre  les  «  -+- 1  équations  obtenues. 

Maison  peut  procéder  d'une  manière  plus  symétrique;  supposons,  pour 
fixer  les  idées,  qu'on  donne  les  équations 

/(a',7,  z,  a,  3,  Y,  V)  =  o,        tp(a,  p,  Y,  V)  =  o,        <V(»,  ?.T.  V)=o. 

Nous  devrons  écrire  les  deux  conditions 


àf_  àf  df_ 

doL  c^Y  dW 

0<f  d(f  do 

(Jy.  d^(  d\ 

^4*  ^4'  ^'\' 

d^  d^  d\ 


=  o, 


àl  àl  dj 

d^  d^(  d\ 

dcp  d'-D  â'Çi 

d'^  à^  d\ 

d<\)  d^i^  df!(i 

d^  d^  d\ 


Or  on  sait  que,  pour  qu'un  déterminant  soit  nul,  il  faut  et  il  suffit  qu'il 
existe  entre  les  éléments  des  rangées  parallèles  une  même  relation  linéaire; 
on  doit  donc  pouvoir  déterminer  des  constantes  X,  jj,  telles  que  l'on  ait 


di> 

^di 

àf  _ 
dY 

dy 

d'h 

à^ 

àf  _ 

dY  ~ 

,   do 
d\ 

d<!j 

l84  CHAPITRE   X. 

et  par  suite  aussi 

df       ^  d^  d^ 

Mais,  si  l'on  différentie  les  équations  données,  ce  qui  donne 

on  voit  que,  en  vertu  des  relations  écrites  plus  haut  en  X  et  [jl,  ces  trois  équa- 
tions doivent  se  réduire  à  une  seule,  ou,  en  d'autres  termes,  la  première  par 
exemple,  doit  être  identique  à  celle  qu'on  obtient  en  ajoutant  membre  à 
membre  les  deux  dernières  après  multiplication  par  des  facteurs  conve- 
nables X  et  [Jl.  Il  n'y  a  plus  ensuite  qu'à  éliminer  a,  p,  y,  V,  X,  [x  entre  sept 
équations.  Nous  allons  appliquer  cette  méthode  remarquable  à  un  exemple. 

203.  Trouver  l'enveloppe  du  plan  défini  par  l'équation  (i) 

(i)  a^-h  ^jK-H  yz  =  V, 

a,  p,  y,  V  étant  liés  par  les  relations 

a^  ^2  T^        _ 

(^)  V2  — «2   +   V2—  6^   "^   V2  —  C2    ~°' 

(3)  «2+  j32-i-Y2=  I, 

Différentions  les  équations  (i),  (2),  (3)  en  regardant  a,  p,  y,  V  comme  des 
variables,  ce  qui  donne 

(4)  X  doL -i- y  d^ -\- z  d-^  =  dV , 

(5)  a  </a  +  p  c^3  -I-  Y  ^Y  =  o. 


(6) 

en  posant 


«^^  8^^       ,       ydy     ^  ,    ,y 


^2 


_(V^—  «2^2  (V2_62)2  (V2 


-•ïi— 1 V. 

—  C2)2j 


(')  Surface  de  l'onde  de  l'ellipsoïde 

{Voir  Mascart,  Traité  d'Optique,  t.  I,  p.  563.)  Ce  calcul  est  dû  à  A.  Smith  {Phi- 
losophical  Magazine,  t.  XII,  p.  335;  i838). 


ENVELOPPES.  l85 

Pour  appliquer  la  méthode  exposée  plus  haut,  nous  devons  déterminer  X 
et  [i  tels  que 

(7)  x=l^-h  Y2-a2' 


(lo)  I  =  fjiA- 


(9)  ^^^Ï+T^.o^ 


Il  n'y  a  plus  qu'à  éliminer  a,  p,  y,  V,  X,  [i.  entre  les  équations  (i),  (2),  (3), 
(7),  (8),  (9),  (10). 

Or,  les  équations  (7),  (8),  (9)  donnent,  en  vertu  de  (2)  et  (3), 

V  =  (XX  -h  '^y  4-  Y^  =  X. 
En  posant  r*  =  a?*-f-  y^-h  z^,  on  obtient 

,.i  =  V2  -t-  [jl2  -^  =  V2  +  Ç 

ou 

,ji  =  V(r2-V2). 
De  là  on  tire 

j7  =  Va  (  n-  r— =  Va  ^7- 

\         V  -^  —  a2  /  V2  —  a2 

et,  par  suite, 

X        _       Va        _  X  —  Va 

r2  —  ai  ^  V2— a2  ^  r^  —  V^ ' 

On  peut  donc  écrire  les  équations 

X        _  X  —  Va 

r2  —  «2  ^  /-î—V*  ' 

^2  _  62    ~     /'2—  V2  ' 

g        _  -a— Vy 

/.2  _  cl    ~    ,.2—\i' 

d'où,  en  multipliant  par  x,  y,  z  et  ajoutant, 

.     .  372  y2  z« 

/•2 — a*       /'î — 6*        /•2 — c^ 

Cette  équation  peut  d'ailleurs  se  transformer  en  l'écrivant  ainsi 

X^  y2  Zi  ^x^^yi^z* 


l86  CHAPITRE    X. 

ou 


2. 


o, 


c'est-à-dire 


lyiyl  c^^S 


En  chassant  les  dénominateurs,  on  obtient  enfin,  sous  forme  entière, 
(i3) 

L'enveloppe  cherchée  est  donc  une  surface  du  quatrième  ordre. 


_  a2(62_|_  C'')X'^—  62(c2-i-  a2)j2—  c2(a2_L.  62)22+  «2^2  c2  =  Q. 


204.  Équations  tangentielles.  —  On  peut  regarder  une  surface 
soit  comme  le  lieu  de  ses  points,  soit  comme  l'enveloppe  de  ses 
plans  tangents.  Si  on  l'envisage  à  ce  dernier  point  de  vue,  il  y  a 
lieu  de  distinguer  si  la  surface  est  développable  ou  non. 

En  effet,  quand  la  surface  n'est  pas  développable,  une  seule  équa- 
tion exprime  qu'un  plan  lui  est  langent  ou,  en  d'autres  termes,  la 
surface  n'a  qu'une  seule  équation  tangentielle.  Effectivement,  l'é- 
quation d'un  plan  tangent  à  cette  surface  dépend  de  deux  paramètres  ; 
en  l'écrivant  sous  la  forme 

ux  -^  vy  -\-  ivz  -1-1  =  0, 

M,  V,  w  étant  des  fonctions  de  deux  paramètres;  si  l'on  applique  la 
méthode  du  n°  195,  on  obtiendra  une  équation 

F(m,  V,  w)  =  o, 

ou,  si  l'on  écrit  l'équation  du  plan  tangent  sous  forme  homogène, 

ux  -+-  vy  ■+■  wz  -\-  rt  =  o, 
on  aura  une  équation  homogène 

F(u,  V,  w,  /■)  =  o, 

qui  est  ce  que  nous  avons  appelé  Véquation  tangentielle  de  la  sur- 
face; nous  savons  que  les  coordonnées  ponctuelles  du  point  de  con- 
tact du  plan  (w,  v^  w,  r),  dont  les  coefficients  vérifient  l'équation 
F=  o,  sont  proportionnelles  aux  dérivées  F,'^,  F^,  F^,  F,'.. 

L'équation 

F  (  i<  -j-  X  a',  V  -\-\v',  w  -{-\w',  r  -hlr')  =  o 


EKVELOPPES.  187 

détermine  les  plans  tangents  menés  par  l'intersection  des  deuï  plans 

(m,  V,  w,  /•)  et  («',  v',  iv',  /•').  On  voit  ainsi  que  la  classe  est  égale 
au  degré  de  l'équation  tangentielle. 

205.  Les  choses  se  passent  différemment  quand  il  s'agit  d'une  sur- 
face développable. 

En  effet,  si  l'on  conserve  les  mêmes  notations,  on  voit  que  les 
icients  ->  ->  —  de  1  équation  d  un  plan  tangent  a  une  pareille 
surface  étant  fonctions  d'un  seul  paramètre,  si  l'on  applique  la  mé- 
thode du  n°  193,  on  obtiendra  deux  équations  entre  ces  coefficients, 
ou  deux  équations  homogènes 

F(«/,  (',  H-,  /•)  =  o,         Fi  (u,  p,  w,  r)  =  o. 

Donc,  une  surface  développable  est  définie  par  un  système  de  deux 
équations  taiigentielles. 

Considérons,  par  exemple,  le  cône  du  second  degré  ajant  pour 

équation 

Aa-2-t-  A'j'2_f.  M' z--^  iHyz  -h  %W zx  -h  iW xy  =  o. 

Pour  qu'un  plan  ayant  pour  équation 

ux  -+-  vy  -H  i%>z  -H  r  =  o, 

lui  soit  tangent,  il  faut  d'abord  qu'il  passe  par  son  sommet,  ce  qui 

donne  une  première  condition 

/■  =  o. 

En  identifiant  ensliite  l'équation 

ux  -\-  vy  -\-  wz  =  o 

avec  celle  d'un  plan  tangent  au  cône,  on  aura  un  calcul  absolument 
identique  à  celui  qui  permet  de  trouver  l'équation  tangentielle  d'une 
conique,  en  Géométrie  plane,  avec  des  coordonnées  homogènes  (ce 
qui  s'explique  en  remarquant  que  le  plan  considéré  sera  tangent  au 
cône,  si  l'intersection  de  ce  plan  par  le  plan  :;  =  i  est  tangente  à  l'in- 
tersection du  cône  par  ce  même  plan). 

On  obtient  ainsi  les  deux  équations  tangentielles  du  cône  : 

r  =  o,         a  II-  -k-  a'  v'^  -\-  a"  w^  -\-  ib  V  w  -\-  ib'  wii  -4-  ib"  uv  =  o, 

où  «,  «',  a",  6,  b' ^  b"  sont  les  mineurs  du  discriminant  du  premier 
membre  de  l'équation  ponctuelle  de  ce  cône. 


leb  CHAPITRE   X. 

206.  Il  nous  reste  à  prouver  qu'une  courhe  a  une  équation  tangentielle. 

Supposons,  en  effet,  que  les  coordonnées  x,  y,  z  d'un  point  d'une  courbe 
soient  exprimées  en  fonction  d'un  paramètre  arbitraire  ï,  les  coordonnées 
d'un  point  quelconque  de  la  tangente  au  point  (^)  étant 

un  plan  contiendra  celte  tangente  si 

«/  (0  +  vfi  {t)  +  wf.i{t)  +  r  =  o, 

en  éliminant  t,  on  a  bien  une  équation  homogène  en  u,  v,  w,  r. 

Ainsi,  il  peut  arriver  qu'une  équation  tangentielle  représente  une  ligne  et 
non  une  surface. 

L'équation 

a2-t-(^2-1-  w2  =  G 

exprime  que  le  plan  (m,  p,  w,  r)  est  tangent  au  cercle  de  l'infini.  Cette  équa- 
tion est  l'équation  tangentielle  du  cercle  de  l'infini,    ' 

Les  équations  tangentielles  d'un  cône  isotrope,  ayant  son  sommet  à  l'ori- 
gine, sont  donc 

r  =  O,  U^-Jr  i>^-]-  w^  =  o. 

Les  équations  du  cône  isotrope  de  sommet  (a,  b,  c)  sont 

au -{- bv -\- cw -]- r  =  o,         u''' -\- v^ -\- w'^  =  o . 
Considérons  une  courbe  située  dans  le  plan  ayant  pour  équation 

u' X  +  v'y  -+-  w'z  -I-  I  =  o. 
Soit 

ux  -h  i>y  -h  wz  -)-  1  =  G 

l'équation  d'un  second  plan;  l'intersection  de  ces  deux  plans  sera  tangente  à 
la  courbe  considérée,  si  le  plan  mené  par  l'origine  et  par  cette  intersection, 
c'est-à-dire  le  plan  ayant  pour  équation 

{u  —  u')x  -\-  {v  —  v')y  -\-  {w  —  w')z  =  o, 

est  tangent  au  cône  ayant  pour  sommet  l'origine  et  pour  directrice  la  courbe 
donnée;  on  en  conclut  que  cette  courbe  est  représentée  par  une  équation  de 
la  forme 

F(ii  —  m',  p  —  v\w  —  w')  =  o, 

F  désignant  une  fonction  homogène. 

Réciproquement,  l'équation  précédente  est  vérifiée,  quel  que  soit  X,  si  l'on 
pose 

M  =  «'-)->.  a,         v^=v'-\-\'^^         w  =  (v'h-Xy 
et 

F(a,p,Y)  =  o. 


ENVELOPPES.  189 

Or  l'équation  du  plan  mobile  étant  alors 

u'x  -ir  v'y-i-  w'z  -\-  i-t-X(aa7-t-  P7-I- 75)  =  o, 

à  chaque  système  de  valeurs  de  a,  p,  y  correspondent  tous  les  plans  passant 
par  une  droite  située  dans  le  plan 

u'x  -+-  v'y  -}-  w' z  +  1  =  0; 

l'enveloppe  est  donc  une  courbe  située  dans  ce  plan. 
Si      ' 

II'  =  c'=  «/  =  o, 

la  courbe  est  dans  le  plan  de  l'infini;  c'est  facile  à  vérifier  directement.  Ainsi, 
par  exemple,  si  l'équation  donnée  est 

ll--\-  f2-|-  w^=  o, 

on  a,  en  appliquant  la  méthode  générale  des  enveloppes, 

x        y        z 

ux  -\-  vy  -\-  wz  -\-  t  =  o,  -==  —  =  —; 

U  V  w 

donc 

t  =  o,         x"^ -^ y^ -^-  z"- —  o. 

EXERCICES. 

1.  Trois  points  se  meuvent  avec  des  vitesses  uniformes  à  partir  de  positions 
données  sur  trois  axes  rectangulaires  ;  trouver  l'enveloppe  du  plan  passant 
par  leurs  positions  contemporaines.  (T.) 

2.  Une  sphère  de  rayon  constant  passe  par  l'origine;  trouver  l'enveloppe 
des  plans  de  contact  des  cônes  circonscrits  de  sommet  donné.  (T.) 

3.  Enveloppe  des  plans  qui  touchent  deux  paraboles  ayant  même  sommet, 
même  axe  et  situées  dans  deux  plans  rectangulaires. 

4.  Enveloppe  des  plans  ayant  pour  équation 


S.  Une  sphère 

x^-\- y^-\-  z-  —  2 ax  —  -iby  —  2 c^  =  o 

est  coupée  par  une  autre  sphère  passant  par  l'origine  et  ayant  son  centre  sur 
l'ellipsoïde 

x^         JÎ 


«2         b^        c^ 
Trouver  l'enveloppe  des  plans  d'intersection.  (T.) 

6.  Enveloppe  des  plans  de  contact  des  cônes  dont  les  sommets  se  meuvent 
sur  l'ellipsoïde 

-—T-  +  — p—  +  — ^T-  -  '»' 


igO  CHAPITRE    X.  —   ENVELOPPES. 

et  circonscrits  à  l'ellipsoïde 

â^^  'fi  ^  ^  "^  '  • 

7.  Trouver  l'enA^eloppe  des  surfaces  définies  par  l'équation 

(X2+[Jl2)P+2XQ  +  2[JlR+S   =0, 

P,  Q,  R,  S  étant  des  polynômes  donnés  en  x,  y,  z. 

8.  Trouver  l'enveloppe  d'une  sphère  de  rayon  constant  et  dont  le  centre 
décrit  une  courbe  donnée. 

9.  Trouver  l'enveloppe  d'une  sphère  passant  par  un  point  fixe  et  dont  le 
centre  décrit  une  courbe  donnée. 

10.  Trouver  l'enveloppe  d'une  sphère  orthogonale  à  une  sphère  donnée  et 
dont  le  centre  décrit  une  courbe  donnée. 

11.  On  mène  des  plans  tangents  à  la  surface  cz  =  xy  en  tous  les  points  où 
elle  est  coupée  par  le  cylindre  x^  =  ay.  Trouver  les  équations  de  l'arête  de 
rebroussement  de  la  surface  développable  engendrée  par  ces  plans.      (T.) 

12.  Enveloppe  des  plans 

a^+  PjK-i-Y^  =  1, 
sachant  que 

aa.-+-  b'^  -\-  c'(  =r, 

13.  Former  l'équation  tangentielle  de  chacune  des  ellipses  définies  par  les 
équations 

x"-  7^  ^2  y2 

-^  +  -/-r  =  I,       Z  —o         et         --  -H  ;'—  =  I  z  =  h\ 

en  conclure  les  équations  de  l'arête  de   rebroussement  de  la  développable 
circonscrite  à  ces  deux  ellipses. 

—  Les  équations  tangentielles  des  deux  ellipses  sont 

«2^2+  62p2_i  =  o^         «'2^2+  b'^v'^—{wh-\-\Y  =  o; 
on  peut  poser 


cos«  sin  ?  ,  /a'2  ^'2 

U=  }  V  = —p- ,  ivA  +  I  =  *  /  — -  cos2  ; -H  — -  sm2  ^  ; 

^  A  Y     «2  A2  ' 


a  b  \  a^  b^ 


on  a  ainsi  u,  v,  w  en  fonction  de  t  et  l'on  applique  la  méthode  du  n"  197,  ce 
qui  donne  les  coordonnées  d'un  point  de  l'arête  de  rebroussement  exprimées 
au  moyen  du  j^aramètre  t. 

14.  L'équation  du  plan  tangent  à  une  surface  peut  s'écrire 

X  sinO  cosç  4- Y  sin6  sino -f- Z  cosO  =  0, 

0  étant  une  fonction  de  0  et  de  ca. 


NOTIONS   SUR    LES   SYSTÈMES   DE   DROITES.  IQI 

On  peut  poser 

sinO  = .    )  cosO  =  t  lanKfK        et        o  =  x; 

on  obtient  ainsi 

X  cosa?  -t-  Y  sina:  -H  l'Z  sin  «y  4-  5  =  o, 

z  étant  une  fonction  de  x  et  de  y. 

Calculer  les  coordonnées  Ç,  tt),  Ç  du  point  de  contact.  (0.  Bonnet) 

Appliquer  à  l'équation 

Z  =  «X  -f-  6Y  +  R  v/<72^^6^TT. 

l.').  Étudier  les  sections  par  les  plans  de  coordonnées  de  la  surface  de  l'onde 
représentée  par  l'équation  (i3)  (203). 


CHAPITRE  XI. 


NOTIONS  SUR  LES  SYSTÈMES  DE  DROITES.  —  COMPLEXES, 
CONGRUENCES. 


207.  Nous  avons  vu  que  l'on  peut  faire  correspondre  à  une  droite  six  pa- 
ramètres a,  b,  c,  a,  p,  Y  liés  par  une  relation  homogène 

aa-f-6^-hCY  =  o, 

et,  réciproquement,  à  tout  système  de  paramètres  liés  par  l'équation  précé- 
dente correspond  une  droite.  On  démontre  plus  généralement  que  l'on  peut 
faire  correspondre  à  chaque  droite  six  paramètres  Xi,  x^,  ...yX^hés  par 
une  équation  quadratique  et  homogène 

?(a7i,  x-i,  xs,  Xi,  Xi,  xe)  =  o, 

et  réciproquement;  et  en  outre  que  la  condition,  qui  exprime  que  deux 
droites  Xi,  . . .,  x^;  x\,  . . .,  x'^  se  coupent,  est  la  suivante 

,    ai  ,    dP 

x'.  T^  -+-  a-;  3-^  -f- . . .  =  o  (  >  ). 
'  dxi  ^  dXi  ^   ' 

(')  ro//*  G.  Kœnigs,  La  Géométrie  réglée  et  ses  applications  (Paris,  Gaulhier- 
Villars)  et  la  Note  à  la  fin  de  l'Ouvrage. 


192  CHAl'ITUE    XI. 

Mais  nous  nous  bornerons  à  faire  usage  dans  ce  qui  suit  des  coordonnées 
de  Pliicker. 

208.  L'ensemble  des   droites,  satisfaisant  à  une  relation  homogène  de  la 

forme 

/(a,  6,  c,  a,  p,  y)  =  0, 

constitue  ce  qu'on  nomme  un  complexe.  L'ordre  du  complexe  est  le  degré  m 

de  l'équation  précédente. 

Par  chaque  point  de  l'espace,  il  passe  une  infinité  de  droites  du  complexe 

qui  sont  sur  un  cône  qu'on  nomme  cône   du  complexe  relatif  à  ce  point  et 

dont  nous  pouvons  aisément  former  l'équation.  En  effet,  soient  x' ,  y' ,  z'  les 

coordonnées  d'un  point  donné  A;  en  nommant  x,  y,  z  les  coordonnées  d'un 

second  point  M  et  X,  Y,  Z  les  coordonnées  courantes,  les  équations  de  la 

droite  AM  sont 

X  —  X        Y  —  .'K_Z  —  z 

x  —  x'  "  y— y  ~  z  —  z' 

ou 

Y(z  —  z')  —  Z{y—y')  =  zy'  —  yz', 

7i{x  —  x')  —  X(^  —  z')^xz' — zx' , 

X(jK  — /)  — Y(a^  —x')=yx'  —  xy'. 

On  peut  donc  poser 

a  =^  X -^  x' ,  b=y — y\  c^z  —  z' , 

a  —  zy'  —  yx',         ^  :=  ipz' — zx',         -^  =  yx'  —  xy' 

et,  par  suite, 

f(x  —  x',  y— y',  z  —  z,  zy'  —  yz',  xz' —  zx',  yx' —  xy')  ^  o. 

Cette  équation  étant  homogène  par  rapport  aux  différences  x  —  x',  y  — y', 
z—z'  représente  un  cône  de  degré  m  ayant  pour  sommet  le  point  A. 

En  second  lieu,  les  droites  du  complexe  situées  dans  un  plan  donné  enve- 
loppent une  courbe  dont  la  classe  est  égale  à  l'ordre  du  complexe. 

En  effet,  soit 

u'x  -+-  v'y  -\-  w'z  -4-1  =  0 

l'équation  d'un  plan  donné,  et  soit 

ux  -h  vy  ^  wz  -\-  i  =  o 

l'équation  d'un  plan  passant  par  une  droite  située  dans  le  premier  plan, 
Les  équations  de  cette  droite  sont 

(vu' )y -h{wu')  z  =  u  —  u', 
{w\^'  )  z  -\-  (uv>'  )  X  =  V  —  v', 
{uw')x -\- (vw')y  —  w  — w' . 


NOTIONS   SUR   LES    SYSTÈMES    DE   DROITES.  ig3 

On  peut  donc  poser 

a=(wi>'),  b  =  (inv'),        c  —  {vu'), 

a  =  «  —  u',         p  =  f  —  v',         -(  z=  w  —  w', 

où 

(^wv')=:ivv' — Viv',       etc. 

Pour  toutes  les  droites  situées  dans  le  pian  (u',  v',  w' )  on  a  donc 
f[{wv'),     {uw'),    (vu),     u  —  a,     V  —  v',     w  —  w''\  =  o- 

Cette  relation  est  homogène  par  rapport  aux  différences  m  —  u'.,  v  —  v', 
w —  w' \  elle  représente  une  courbe  et  la  classe  de  cette  courbe  est  égale  à 
l'ordre  du  complexe.  Celle  courbe  se  nomme  la  courbe  du  complexe  rela- 
tive au  plan  donné. 

Si  les  équations  de  la  droite  mobile  sont  sous  la  forme 

X  —  az  -i-p,        y  =  bz  -h  q, 
l'équation  du  complexe  sera  une  relation  entre  a,  b,  p,  q. 

209.  On  nomme  congruence  l'ensemble  des  droites  appartenant  à  deux 
complexes.  Par  chaque  point  de  l'espace  on  peut  mener  un  nombre  déter- 
mine de  droites  de  la  congruence;  ce  sont  les  génératrices  communes  aux 
cônes  des  deux  complexes  donnés;  dans  un  plan  il  y  a  un  nombre  détermine 
de  droites  de  la  congruence,  qui  sont  les  tangentes  communes  aux  courbes 
de  la  congruence  situées  dans  le  plan  donné. 

Si  l'on  adopte  les  quatre  paramètres  a,  b,  p,  q,  ily  a,  pour  une  congruence, 
deux  relations  entre  ces  paramètres. 

Enfin,  si  l'on  donnait  trois  relations,  a,  b,  p,  q  pourraient  être  regardés 
comme  des  fonctions  données  d'un  paramètre,  et  les  droites  du  système  con- 
sidéré seraient  les  génératrices  d'une  surface  réglée. 

Un  plus  grand  nombre  de  relations  correspondrait  à  un  nombre  déterminé 
de  droites. 

En  résumé,  on  peut  considérer  :  i°  ce  que  M.  Kœnigs  appelle  l'espace 
réglé,  c'est-à-dire  l'ensemble  de  toutes  les  droites  de  l'espace,  lesquelles 
dépendent  de  quatre  paramètres;  2"  les  complexes  ou  systèmes  de  droites  à 
triple  indétermination;  3°  les  congruences,  systèmes  de  droites  à  double  in- 
détermination; 4°  les  séries  réglées  à  indétermination  simple;  5°  enfin  les  en- 
sembles de  droites  qui  sont  déterminées  et,  par  suite,  à' indétermination 
nulle. 

Voici  encore  quelques  autres  définitions  dont  nous  pourrons  avoir  be- 
soin dans  la  suite.  Nous  adoptons  celles  qui  ont  été  proposées  par  M.  G. 
Kœnigs. 

Les  droites  issues  d'un  point  dans  un  pian  forment  un  faisceau  plan;  le 
point  et  le  plan  en  sont  les  supports. 

Deux  droites  qui  se  coupent  définissent  un  faisceau  plan;  trois  droites  qui 
se  coupent  deux  à  deux  formant  un  triangle  ou  un  trièdre.  Dans  le  premier 
NiEWKNGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  i3 


ig\  CHAPITRE    XI. 

cas,  toute  droite  qui  les  rencontre  est  dans  leur  plan;  dans  le  second  cas, 
toute  droite  qui  les  rencontre  toutes  les  trois  passe  par  leur  point  de  ren- 
contre commun;  l'ensemble  de  toutes  ces  droites  forme  ce  qu'on  nomme  une 
gerbe.  D'une  manière  générale,  on  appelle  h}' pe /'fais  ce  au  l'ensemble  de 
toutes  les  droites  qui  rencontrent  trois  droites  qui  se  coupent  deux  à  deux. 

210.  Etude  sommaire  du  complexe  linéaire.  —  On  nomme  complexe 
linéaire  le  complexe  défini  par  une  équation  du  premier  degré 

Aa  +  B6 -+- Ce -h  Da -f- E  [3 -t- Fy  =  o. 

Le  cône  du  complexe  se  réduit  à  un  plan  et  la  courbe  du  complexe  à  un 
point.  On  voit,  en  effet,  que  les  droites  du  complexe  qui  passent  par  le  point 
(x',  y\  z')  sont  dans  le  plan  ayant  pour  équation 

k{x  —  x')-^B{y  —  y')  ^  C{z  —  z') 

-+-  T){zy'  —  yz')  -+-  E{xz' —  zx')  -+-  ¥ {yx'  —  xy')  =  o. 

Cherchons  les  droites  situées  dans  le  plan  {u',  v',  w');  on  a,  pour  ces 
droites, 

A{wv' —  f>w')  -+-  B(mhp' —  wu')  ■+-  C{çu' —  uv') 

-h  T){u  —  u')  -\-E{v  —  v')  -h  F{(\>  —  w')  =  o, 
ou,  en  ordonnant, 

(D  -f-  B  w'  —  Cv')  u  -+-  (E  +  C  u'  —  A  w')  V 

-+- (F -+-  Ap'  —  B  w'_)(v  —  (D  a'+  Ep'+  Fw')  =  o. 

Le  plan  («,  v,  w),  mené  par  une  droite  du  complexe  située  dans  le  plan 
{u',  v',  w'),  passe  donc  par  le  point  ayant  pour  coordonnées 

D  +  B»/— Cp' 
Xi  =  — 


ri  = 


^1   =:  -         ■ 

Dw'-t-  Ep'-t-  Fw' 

u'xi  ■+  v' yi  4-  w' Zy  -+-1  =  0; 

donc,  toutes  les  droites  considérées  passent  par  un  point  fixe  situé  dans  le 
plan  {u' ,  v' ,  w').  Ce  point  se  nomme  \e,  foyer  ou  pôle  du  plan. 

Il  est  évident  que  les  droites  passant  par  un  point  donné  étant  dans  un 
plan,  ce  plan  a  pour  foyer  le  point  donné;  on  l'appelle  le  plan  focal  ou  le 
plan  polaire  du  point  donné. 

Si  l'on  emploie  des  coordonnées  homogènes,  les  coordonnées  ponctuelles 
homogènes  du  pôle  du  plan  («',  v' ,  w\  r')  sont 

D /•'+ B  <v'— G p',     Er'+Qu'~Aw',     Fr'-+- Ap'— B  a',     —  (Dm'+Ep'-+-F(v'). 


T>u 

■  -^  Ev 

-1-  F  w' 

E 

-H  G  m' 

—  A  w' 

Dm 

'  -\-Ev' 

'+  F(p' 

F 

-+-  A  v'  ■ 

—  Bm' 

NOTIONS   SUR    LES   SYSTÈMES    DE    DROITES.  IqS 

Si  l'on  suppose  w'=  i>'—  w' =  o,  r'=i,  ces  expressions  deviennent 

D,     E,     F,     o; 

donc  le  pôle  du  plan  de  l'infini  est  dans  une  direction  bien  déterminée  qu'on 
peut  appeler  la  direction  axiale  du  complexe. 

Enfin,  si  D u' -^  Ev' -h  F w'  =  o,  le  pôle  du  plan  (u',  i>',  w')  est  à  l'infini;  on 
appelle  plan  diamétral  tout  plan  dont  le  pôle  est  à  l'infini,  c'est-à-dire  tout 
plan  parallèle  à  la  direction  axiale. 

Comme  exemple  très  simple,  on  peut  considérer  le  complexe  des  droites 
rencontrant  une  droite  donnée  A(a',  b',  c',  a',  P',  y').  L'équation  du  complexe 

est  alors 

aa'-H  6P'-t-  cy'-t-  ««'-+-  P6'+  yt.-'  =  o, 

on  vérifie  alors  que  le  pôle  d'un  plan  est  le  point  où  ce  plan  rencontre  A  ;  que 
la  direction  axiale  est  celle  de  A,  etc.  Mais  tous  les  points  de  la  droite  don- 
née sont  des  points  singuliers  du  complexe,  car  une  droite  quelconque  pas- 
sant par  chacun  d'eux  fait  partie  du  complexe.  Un  tel  complexe  est  dit  com- 
plexe  spécial. 

Les  droites  assujetties  à  rencontrer  deux  droites  données,  non  situées  dans 
un  mê  me  plan,  constituent  une  congruence  linéaire;  par  chaque  point  il  en 
passe  une  et  dans  chaque  plan  il  s'en  trouve  une. 

Nous  verrons  que  les  droites  assujetties  à  rencontrer  trois  droites  forment 
une  quadrique. 

211.  Exemple  de  complexe  du  second  ordre.  —  Nous  considérerons  le 
complexe  formé  par  les  tangentes  à  une  sphère.  Si  l'on  prend  trois  axes  rec- 
tangulaires passant  par  le  centre  de  cette  sphère,  l'équation  du  complexe  sera, 
R  étant  le  rayon  de  la  sphère, 

R?(a2-f-62-t-c2)  — aî—  P^—yî  =  o. 

Le  cône  du  complexe  de  sommet  oc' ,  y' ,  z'  a  pour  équation 

^i{{x-x'y-^{y-yy-^{z-zf]  =  izy-jz'Y 

-\-  {xz'—  zx'y-+  {yx'—  xy')^  ; 

c'est  le  cône  de  sommet  {x',y',z')  circonscrit  à  la  sphère. 

L'équation  tangentielle  de  la  courbe  du  complexe  située  dans  le  plan  défini 
par  l'équation 

ux  -^  vy  -^  wz  -f-  I  =  o, 
est 

R»[(»'f'  — tMv')îH-(<f(t''—  wu'Y-k-{vu'—  uv'Y]  =  {u  —  n'y 

-h  {v  —  t'')ï-i-  {w  —  w'y-. 

Cette  courbe  n'est  pas  autre  chose  que  la  section  de  la  sphère  par  le  plan 
considéré.  On  le  vérifie  aisément  de  la  façon  suivante  : 

Faisons  passer  un  plan  par  l'intersection  des  plans  (u,  v,  w)  et  (a',  v',  w'), 


IQÔ  CHAPITRE    XI. 

son  équation  sera 

{u -\- 'k  u  )  X  -\-  {v  -\-  \v')  y  -\-  {w  -{-\w')  z  4-  I  -t-  X  =  o; 
il  sera  tangent  à  la  sphère  si 

La  droite  d'intersection  sera  une  tangente  si  les  deux  plans  tangents  qu'on 
obtient  ainsi  se  confondent,  c'est-à-dire  si  l'équation  précédente  a  une  racine 
double.  En  exprimant  qu'il  en  est  ainsi,  on  trouve  précisément  l'équation  tan- 
gentielle  obtenue  plus  haut. 

Tous  ces  résultats  sont  évidents  géométriquement. 

Les  tangentes  communes  à  deux  sphères  définissent  une  congruence.  Il  en 
passe  quatre  par  chaque  point  :  ce  sont  les  génératrices  communes  aux  deux 
cônes  circonscrits  aux  sphères  données  et  ayant  ce  point  pour  sommet.  Dans 
chaque  plan  il  y  en  a  quatre,  qui  sont  les  tangentes  communes  aux  cercles 
suivant  lesquelles  les  deux  sphères  sont  coupées  par  le  plan  considéré. 

EXERCICES. 

1.  Si  l'on  considère  deux  droites  d'un  faisceau  plan  ayant  pour  coordon- 
nées («1,  . . . ,  «s)  et  (6],  ... ,  èc),  les  coordonnées  de  toute  droite  du  faisceau 

sont  de  la  forme 

Xi  —  lai-h  ixbi, 

X  et  (j.  étant  deux  paramètres. 

2.  De  même,  les  coordonnées  de  toute  droite  d'un  hyperfaisceau,  défini 
par  trois  droites  a,  b,  c,  sont  de  la  forme 

Xi  =  \ai-h  [ibi-h  "^ Ci- 

3.  Étant  donné  un  plan  P  et  un  point  p  situé  dans  ce  plan,  le  pôle  />'  du 
plan  P  est  dans  le  plan  polaire  P'  du  point/?  (210). 

4.  Les  pôles  de  tous  les  plans  menés  par  une  droite  sont  situés  dans  les 
plans  polaires  de  tous  les  points  de  cette  droite. 

5.  Les  plans  polaires  de  tous  les  points  d'une  droite  A  se  coupent  suivant 
une  même  droite  A',  qui  est  le  lieu  des  pôles  des  plans  menés  par  A.  Ces  deux 
droites  sont  dites  conjuguées. 

6.  Toute  droite  qui  coupe  deux  conjuguées  fait  partie  du  complexe. 

7.  Toute  droite  du  complexe  qui  coupe  une  droite  A  coupe  aussi  sa  con- 
juguée. 

8.  Deux  angles  formés  de  droites  conjuguées  sont  sur  une  quadrique. 
(Voir  la  Théorie  des  génératrices  rectilignes  des  quadriques.) 

9.  Le  rapport  anharmonique  de  quatre  plans  menés  par  une  droite  est 
égal  au  rapport  anharmonique  de  leurs  pôles. 


NOTIONS    SLR    LES    SYSTÈMKS    DE    DUOITKS.  I97 

10.  Le  lieu  des  pùles  d'une  série  de  plans  parallèles  est  une  droite  qu'on 
nomme  diamètre.  Quand  les  plans  sont  parallèles  à  la  direction  axiale  ils 
sont  perpendiculaires  à  leur  diamètre,  qui  se  nomme  alors  axe  du  complexe. 

11.  Tout  plan  perpendiculaire  à  l'axe  rencontre  cet  axe  et  deux  droites 
conjuguées  quelconques  en  trois  points  en  ligne  droite. 

12.  La  perpendiculaire  commune  à  deux  droites  conjuguées  rencontre  l'axe 
à  angle  droit. 

13.  Si  l'on  nomme  0  la  plus  courte  distance  d'une  droite  d'un  complexe 
linéaire  et  de  l'axe  de  ce  complexe,  G  l'angle  aigu  formé  par  ces  deux  droites, 
on  a 

0  tangO  =  k, 

k  étant  une  constante.  Dans  le  cas  du  complexe  spécial,  A:  =  o. 

14.  Les  droites  d'un  complexe  linéaire  sont  les  binormales  à  des  hélices 
d'égal  pas,  tracées  dans  un  même  sens  sur  les  divers  cylindres  de  révolution 
ayant  pour  axe  commun  l'axe  du  complexe.  Ces  hélices  s'appellent  hélices 
normales  du  complexe,  (G.  Fouret.) 

15.  Par  rapport  à  un  complexe  linéaire,  le  plan  polaire  d'un  point  quel- 
conque de  l'espace  est  le  plan  normal  de  l'hélice  normale  qui  passe  par  ce 
point. 

16.  Les  plans  osculateurs  d'une  hélice,  aux  divers  points  de  rencontre  de 
cette  hélice  avec  un  plan  quelconque,  se  coupent  en  un  même  point  de  ce 
plan.  (G.  FouRET.) 

17.  Les  points  de  contact  d'une  hélice  avec  les  plans  osculateurs  qu'on 
peut  lui  mener  par  un  point  quelconque  sont  dans  un  môme  plan  passant 
par  ce  point.  (G.  Fouret.) 

18.  Si  l'on  définit  une  droite  par  ses  coordonnées  vectorielles  «,  p,  l'équa- 
quatipn  d'un  complexe  linéaire  est  de  la  forme 

X  M  -t-  |i.  f  =  o. 

19.  La  distance  d  à  l'axe  du  pôle/>  d'un  plan  P  est  donnée  par  la  formule 

d=  k  tangO, 

0  étant  l'angle  de  l'axe  et  de  la  normale  au  plan  P.  En  déduire  la  formule 
du  n"*  13,  ou  inversement. 

20.  Étudier  le  complexe  tétraédral  ou  complexe  des  droites  qui  coupent 
les  faces  d'un  tétraèdre  en  quatre  points  dont  le  rapport  anharmonique  est 
constant. 

21.  Lorsque  les  tangentes  d'une  courbe  appartiennent  à  un  complexe  de 
droites,  le  plan  osculateur,  en  un  point  de  cette  courbe,  est  le  plan  tangent 
au  cône  du  complexe  suivant  la  tangente  à  la  courbe  en  ce  point. 


198  CHAPITRE    XII. 

22.  Soit/(a,i»,  c,  a,  p,  y)  =  o  l'équation  d'un  complexe  ;  soit  Ag  une  droite 
de  ce  complexe;  on  appelle  complexe  linéaire  tangent  relatif  à  Aq  le  com- 
plexe linéaire  défini  par  l'équation 

Otto  ôbo  dco  ocUf,  o'po  0^0 

Le  plan  polaire  d'un  point  quelconque  M  de  Aq,  par  rapport  à  ce  complexe, 
est  tangent  suivant  A9  au  cône  du  complexe  relatif  au  point  M . 

23.  En  un  point  M  d'une  courbe  dont  les  tangentes  appartiennent  à  un 
complexe  linéaire,  le  plan  osculateur  est  le  plan  polaire  de  M  par  rapport 
au  complexe  linéaire  tangent  relatif  à  la  tangente  en  M  à  la  courbe. 

24.  Trouver  l'équation  de  la  surface  réglée  lieu  des  axes  des  complexes 
linéaires  ayant  quatre  droites  données  (cylindroïde  de  Cayley  ou  co  noïde  de 
Pliicker);  on  peut  donner  à  l'équation  du  cylindroïde  cette  forme 

z(x^-\-j^)-+-  kxy  =  0, 
k  étant  une  constante. 

\Voir  pour  ces  Exercices  :  G.  Kcexigs,  La  Géométrie  réglée;  G.  Fouret, 
Notions  géométriques  sur  les  complexes  et  les  congruences  de  droites; 
A.  Demoulin,  Mémoire  sur  l'application  d'une  méthode  vectorielle  à  l'é- 
tude de  divers  systèmes  de  droites.^ 


CHAPITRE  XII. 

FIGURES  HOMOTHÉTIQUES. 


212.  Dé/initions.  —  Soient  S  et  M  deux  points  ayant  respecti- 
vement pour  coordonnées  ^05  jKoj  ^0  et  x^  y,  z;  prenons  sur  la 
droite  SM  un  point  M'  tel  que 

(i)  -=^  =  k; 

SM' 

k  étant  une  constante  numérique  donnée,  positive  ou  négative, 
suivant  que  les  deux  segments  SM  et  SM'  ont  le  même  sen  s  ou  des 
sens  contraires.  Si  l'on  opère  ainsi  pour  chaque  point  M  d'une 
figure  F,  on  en  déduira  une  nouvelle  figure  F',  engendrée  par  le 
point  variable  M';  on  dit  que  les  deux  figures  F  et  F'  sont    homo- 


FIGURES   UOMOTHËTIQUBS.  IQQ 

théliques  directes  si  k  est  positif,  inverses  si  k  est  négatif;  le  point  S 
se  nomme  le  centre  d'homothétie  et  k  le  rapport  d'homothétie.  La 
relation  (r)  subsiste  pour  les  projections  des  segments  SM,  SM'  sur 
un  axe  quelconque;  on  a  donc,  Jc',  j/-',  5' étant  les  coordonnées  de  M', 


X  —  Xq   _    . 
x' Xq 

et,  par  suite, 

de  même 

X  =  Xo{\  —  /c)-+-  kx'; 

y=y<i(i-k)-hky, 

z  =  ZQ{\  —  k)+kz', 

et,  en  posant 

^0(1  — ^)  =  «,        y<>{i  —  k)  =  b,        Zo{i  —  k)  =  c, 

on  obtient  les  formules 

(2)  x  =  kx'-\-fi,        y  =  ky-\-b,         z  =  kz' -\-  c. 

Si  le  point  M  décrit  une  surface  ayant  pour  équation 

f{x,y,z)  =  o 

le  point  M'  décrira  la  surface  définie  par  l'équation 

f{kx  -\-  a,  ky  +  h,  kz  -h  c)  =  o. 

On  voit  de  même  que,  si  M  décrit  une  courbe.  M'  décrira  aussi 
une  courbe. 

A  un  plan  correspond  un  plan;  à  une  droite,  une  droite. 

213.  Si  l'on  déplace  le  centre  d'homothétie  S,  sans  changer  le 
rapport  A',  la  figure  F'  subira  une  translation  et  ne  changera  pas  de 
forme  par  conséquent.  En  effet,  si  l'on  remplace  ;ro,  j^oj  -^o  par 
•2?o  +  ^n  yo  -h  J"t  >  ^0  -f-  ^»  respectivement,  on  obtiendra  pour  déter- 
miner les  coordonnées  :r",  j",  d'  du  point  M"  correspondant  à  M 
dans  ce  second  cas,  les  équations 

(3)       X  ^kx'-^r  a->rax,        y  =  ky" ->r  b  +  bi,        z  =  kz" -^  c -^  Ci, 

o\x  l'on  a  posé  , 

ar,(i  — A-)  =  ai,        y^{i  —  k)==bi,        5,(i~A')  =  c,. 

La  comparaison  des  équations  (2)  et  (3)  donne 

X  —  X  -^  j^,  y  —y   -^  —  ,  z   =  z   -{-  -r' 


200  CHAl'ITRE    XII. 


Ce  qui  montre  que  l'on  passe  du  point  M'  au  point  M"  en  faisant 
subir  au  premier  point  une  translation  déterminée. 


CYLINDRES    HOMOTHETIQUES. 

214.  La  figure  homothétique  d^ un  cylindre  est  un  cylindre. 

En  effet,  si  l'on  suppose  l'axe  des  z  parallèle  aux  génératrices 
du  cylindre  donné,  l'équation  de  ce  cylindre  étant  f(^x,  y)  =  o, 
celle  de  la  surface  homothétique  sera  de  la  forme 

f{kx  -ha,  ky  -h  6)  —  o. 

Si  le  premier  cylindre  est  algébrique,  le  second  l'est  aussi  et  du 
même  degré  que  le  premier. 

Si  l'on  déplace  le  centre  d'homothélie  parallèlement  à  l'axe  des  5, 
cette  équation  ne  change  pas,  ce  qui  prouve  que  deux  cylindres 
homothétiques  ont  une  ligne  de  centres  d'homothétie,  parallèle  à 
leurs  génératrices,  que  l'on  appelle  l'acre  d^homothétie. 

De  là  résulte  immédiatement  cette  conséquence  :  un  plan  coupe 
deux  cylindres  homothétiques  suivant  deux  courbes  homothé- 
tiques, le  centre  d'homothétie  de  ces  courbes  étant  la  trace  de  l'axe 
d'homothétie  des  deux  cylindres  sur  le  plan  sécant. 

215.  On  en  déduit  que  deux  plans  parallèles  coupent  deux 
cylindres  homothétiques  suivant  des  courbes  homothétiques. 

Considérons,  en  effet,  deux  cylindres  homothétiques  C,  C  coupés 
par  deux  plans  parallèles  P,  P'.  Ces  plans  rencontrent  l'axe  d'ho- 
mothétie des  deux  cylindres  en  des  points  S,  S';  les  sections  des 
deux  cylindres  par  le  plan  P  sont  des  courbes  homothétiques  par 
rapport  à  S;  soient  M  et  M"  deux  points  correspondants  de  ces 
courbes;  la  génératrice  du  cylindre  C  menée  par  M"  rencontre  le 
plan  P'  en  un  point  M',  et  la  droite  MM'  rencontre  l'axe  d'homo- 
thétie en  un  pqint  Sj,  tel  que 

SiS   _  SiM  _  _SM_  _ 
Si  S'  ~  Si  M'  ~  SM"  ~    ' 

ce  qui  démontre  la  proposition. 

Réciproquement ,    si  l'on    prend  deux  courbes   homothétiques 


FIGURES    UOMOTHÉTIQLES.  201 

pour  bases  de  deux  cylindres  ayant  des  génératrices  parallèles  à  une 
même  droite,  les  cylindres  obtenus  sont  homothétiques. 

216.  On  démontre  de  même  que  la  figure  homothétique  d'un 
cône  est  un  cône;  les  sommets  des  deux  cônes  sont  des  points  ho- 
mologues. 

On  démontre  facilement  que  les  sections  de  deux  cônes  homo- 
thétiques par  deux  plans  parallèles  sont  des  courbes  homothétiques  ; 
il  suffit  de  remarquer  que  deux  plans  parallèles  coupent  un  même 
cône  suivant  deux  courbes  homothétiques  par  rapport  à  leur  som- 
met; cela  étant,  soient  G  et  C  deux  cônes  homothétiques,  P  un 
plan,  P'  son  homologue;  les  sections  correspondantes  sont  évidem- 
ment homothétiques;  or,  les  sections  du  cône  C  par  deux  plans 
parallèles  P'  et  P'  étant  homothétiques,  on  en  conclut  aisément  que 
les  sections  du  cône  G  parle  plan  Pet  du  cône  G'  par  le  plan  paral- 
lèle P"  sont  aussi  homothétiques. 

217.  La  figure  homothétique  d'une  surface  du  second  degré  est 
une  surface  du  second  degré  qui  a  les  mêmes  directions  asympto- 
tiques  que  la  première. 

La  réciproque  est  vraie  au  point  de  vue  algébrique.  Il  y  aurait  à 
faire  une  discussion  analogue  à  celle  qui  a  été  faite  pour  les  coni- 
ques; mais  nous  regarderons  comme  étant  homothétiques  deux  qua- 
driques  ayant  les  mêmes  directions  asymptotiques,  même  si  le  rap- 
port de  similitude  est  imaginaire. 


APPLICATION    AUX    SECTIONS    PLANES    D  UNE    SURFACE. 

218.  Théorème  préliminaire.  —  Une  section  plane  d'une  sur- 
face algébrique  et  sa  projection  sur  un  plan  sont  de  même  degré. 

Formons  Téquation  du  cylindre  projetant  la  section  plane  consi- 
dérée, les  génératrices  étant  parallèles  à  l'axe  des  z)  l'équation  du 
cylindre  est  la  môme  que  celle  de  sa  projection  rapportée  aux  axes 
Ox,  Oy.  Faisons  une  transformation  de  coordonnées,  le  nouveau 
plan  des  x.,y  étant  le  plan  sécant;  l'équation  du  cylindre,  dans  le 
nouveau  système,  l'axe  des  z  ayant  gardé  la  même  direction,  sera  la 
même  que  celle  de  la  section  plane  rapportée  aux  nouveaux  axes 


202  CHAPITIIE    XII. 

des  X  et  des  y.  Or  le  degré  de  l'équation  du  cylindre  n'a  pas  changé, 
donc  les  degrés  de  la  section  plane  considérée  et  de  sa  projection 
sont  les  mêmes.  La  démonstration  géométrique  est  d'ailleurs  évi- 
dente. 

Dans  le  cas  du  second  degré,  il  est  évident  que  la  section  et  sa 
projection  sont  de  même  espèce. 

219.  Théorème.  —  Les  sections  d' une  quadrique par  des  plans 
parallèles  sont  des  courbes  homothétiques . 

En  effet,  on  peut  supposer  le  plan  des  x^  y  parallèle  aux  plans  sé- 
cants. Si  l'équation  de  la  quadrique  est  alors 

les  équations  d'une  section  sont 

z  =  A,        f{x,y,h)  =  o. 

Si  h  varie,  la  seconde  équation  représente  des  cylindres  homothé- 
tiques et  l'on  sait  que  les  sections  de  deux  cylindres  homothétiques 
par  des  plans  parallèles  sont  des  courbes  homothétiques. 

220.  Théorème.  —  Les  sections  de  deux  quadriques  homothé- 
tiques par  des  plans  parallèles  sont  des  courbes  homothétiques. 

En  effet,  soient 

/(^,  7,2)  =  o,        fi{T,  y,z)=o 

les  équations  de  deux  quadriques  homothétiques;  les  sections  par 

des  plans  parallèles  au  plan  des  ^,y  sont  définies  par  des  équations 

de  la  forme 

z-h,  f{x,y,h)  =  o 

et 

^  =  h',      .  fi{x,yJi')  =  o\ 

on  a  donc  encore  à  considérer  les  sections  de  deux  cylindres  homo- 
thétiques par  des  plans  parallèles,  puisque  les  termes  du  second 
degré  sont  les  mêmes  dans  les  équations  des  deux  quadriques  et, 
par  suite,  dans  les  équations  des  deux  cylindres  projetants. 

221.  Corollaire.  —  Les  sections  d'une  quadrique  et  du  cône 
de  ses  directions  asymptotiques,  de  sommet  quelconque,  par  des 
plans  parallèles,  sont  des  courbes  homothétiques. 


FIGURES   HOMOTHÉTIQUES.  2o3 

En  effet,  une  quadrique  et  le  cône  de  ses  directions  asympto- 
liques  ayant  pour  sommet  un  point  quelconque  sont  des  surfaces 
homolhétiques  dont  le  rapport  d'homothétie  est  nul  ou  infini;  d'ail- 
leurs les  termes  du  second  degré  étant  les  mêmes  pour  ces  deux 
surfaces,  la  démonstration  précédente  s'applique  sans  modification. 

Il  convient  toutefois  de  remarquer,  à  l'égard  des  théorèmes  précédents, 
que  si  deux  sections  parallèles  sont  des  hyperboles,  l'une  peut  être  homothé- 
tique  à  la  conjuguée  de  l'autre. 

222.  Sections  planes  d\in  cône  du  second  degré.  —  Considé- 
rons un  cône  du  second  degré  et  soit  P  un  plan  ;  si  nous  menons 
par  le  sommet  du  cône  un  plan  P'  parallèle  au  plan  P,  les  sections 
du  cône  par  les  plans  P,  P'  sont  des  courbes  homotliétiques.  Or  le 
plan  P'  coupe  le  cône  suivant  deux  droites  qui  peuvent  être  réelles 
et  distinctes,  confondues  en  une  seule  droite  réelle,  ou  imaginaires 
conjuguées,  en  supposant  que  les  équations  du  cône  et  du  plan  aient 
tous  leurs  coefficients  réels. 

Si  les  génératrices  situées  dans  le  plan  P'  sont  imaginaires  conju- 
guées, la  section  faite  par  le  plan  P  devant  être  h  omo  thé  tique  à  un 
système  de  deux  droites  imaginaires  conjuguées  est  nécessairement 
une  ellipse. 

Si  ces  génératrices  se  confondent  en  une  seule,  la  section  par  le 
plan  P,  homothétique  à  une  droite  double,  est  une  parabole;  enfin 
si  ces  génératrices  sont  distinctes  et  réelles,  la  section  par  le  plan  P 
est  une  hyperbole  dont  les  asymptotes  sont  parallèles  à  ces  géné- 
ratrices. 

Quelle  que  soit  la  courbe  du  second  degré,  ellipse,  parabole  ou 
hyperbole  que  l'on  donne  comme  directrice  d'un  cône  du  second 
degré,  on  peut  donc,  en  verlu  de  ce  qui  précède,  obtenir  une  sec- 
tion plane  d'espèce  donnée;  on  peut  même  obtenir  un  cercle.  En 
effet,  si  un  plan  P  coupe  un  cône  du  second  degré  suivant  un  cercle, 
le  plan  P'  parallèle  à  P  et  mené  par  le  sommet  du  cône  coupe  ce 
dernier  suivant  deux  droites  isotropes  et  réciproquement;  il  suffit 
donc  de  chercher  les  génératrices  communes  au  cône  donné  et  au 
cône  isotrope  ayant  même  sommet;  soient  G,  G';  G),  G',  ;  les  deux 
couples  de  droites  isotropes  imaginaires  conjuguées  obtenus;  les 
deux  plans  menés  par  G  et  G'  ou  par  G,  et  G',  sont  réels  et  tout 
plan  parallèle  à  l'un  de  ces  deux  plans  coupe  le  cône  considéré  sui- 


204  CHAPITRE    XIII. 

vant  un  cercle.  Un  cône  réel  du  second  degré  peut  donc  être  regardé, 
de  deux  manières,  comme  un  cône  circulaire. 


!.  Sections  planes  d^un  cylindre  du  second  degré.  —  Les 
sections  planes  d'un  cylindre  du  second  degré  donné  sont  de  même 
espèce,  quel  que  soit  le  plan  sécant;  on  a  donc  trois  espèces  de 
cylindres  du  second  degré  :  le  cylindre  elliptique,  le  cylindre  para- 
bolique et  le  cylindre  hyperbolique. 


EXERCICES. 

1.  On  nomme  figure  semblable  à  une  figure  donnée  toute  figure  égale 
à  une  figure  homothétique  directe  de  la  proposée. 

Former  l'équation  générale  des  surfaces  semblables  à  une  surface  donnée. 

2.  Lieu  des  points  qui  partagent  dans  un  rapport  donné  les  cordes  d'une 
quadrique  issues  d'un  point  donné. 


CHAPITRE  XIII. 

CLASSIFICATION    DES    QUADRIQUES    RAPPORTÉES 
A  DES  COORDONNÉES  PONCTUELLES. 


Soit 


A 

B" 

B' 

B" 

A' 

B 

B' 

B 

A" 

224 .  Préliminaires , 


le  discriminant  de  la  forme 

^{x,y,z)  =  Aa72-)-  A'/^-i-  A''^^  _^  iByz  -h  iB'zx  +  iW xy. 

Ce  déterminant  a  trois  mineurs  du  premier  ordre  symétriques  : 

A'A"  — B2,     A"A  — B'2,     AA'— B"2; 

les  trois  autres  mineurs  du  premier  ordre,  non  symétriques,  sont 

B'B"— AB,     B"B  — A'B',     BB'— A"B". 


CLASSIFICATION   DES   QUADRIQLES.  2o5 

Nous  ferons,  relativement  à  ces  mineurs,  les  remarques  suivantes, 
qui  nous  seront  très  utiles  : 

1°  Lorsque  A=  o,  si  Van  des  six  mineurs  précédents  est  diffé- 
rent de  zéro,  V un  au  moins  des  mineurs  symétriques  est  différent 
de  zéro,  et  si  deux  mineurs  symétriques  sont  différents  de  zéro, 
ils  ont  le  même  signe,  si  tous  les  coefficients  sont  réels. 

En  effet,  la  fonction  ^{x,y,z)  est  la  somme  de  deux  carrés, 
puisqu'on  suppose  A  =  o  et  qu'au  moins  un  mineur  de  premier  ordre 
est  supposé  diflférent  de  zéro.  Donc 

^{x,y,  z)  =  z{ax  -+■  by  -h  czy  -f-  -J{a' x  -h  b' y  -h  c' zy , 

£  et  s' ayant  la  signification  habituelle.  Les  deux  carrés  étant  distincts, 
l'un  des  déterminants  ab' —  ba' ,  ca' —  ac' ,  bc' — cb'  est  diff^érent  de 
zéro.  Soit  par  exemple  ab' —  ba! ^  o;  alors,  en  faisant  ^  =:  o  dans 
l'identité  précédente,  on  obtient 

kx"*--^  iWxy  4- A'72  =  z{ax  -\-  by^  -\-  z  {a'x-^  b'y)-; 

donc  AA'  — B"2^o.  En  outre,  AA' — B"-  a  le  signe  du  produit 
es'.  Donc  les  mineurs  symétriques  diff'érents  de  zéro  ont  le  même 
signe. 

2°  Il  résulte  de  là  que,  si  ^  =  o  et  si  les  mineurs  symétriques 
sont  nuls  tous  les  trois,  il  en  est  de  même  des  trois  autres 
mineurs. 

La  proposition  est  fausse  quand  on  suppose  A  ^  o;  en  effet,  si  les 
six  mineurs  sont  nuls,  A  =  o. 

Ainsi,  par  exemple,  les  mineurs  symétriques  du  discriminant  de 
x--\-y--{-z- — 2yz  —  2ZX — 2xy  sont  nuls  et  les  autres  mineurs 
sont  égaux  à  +  2. 

3"  Quand  on  suppose  BB'B"^o,  5/  les  mineurs  non  symétri- 
ques sont  nuls,  les  mineurs  symétriques  sont  aussi  nuls. 

En  effet,  on  suppose 

AB=B'B"',        A'B'=BB,        A'B'=  BB'; 

on  a  donc,  puisque  B,  B'  et  B"  sont  supposés  tous  les  trois  diff*érents 

de  zéro, 

B'B"  .,      B'B 


206  CHAPITRE   XIII. 

d'où 

AA'  =  B  "2  .... 

4°  Si  tous  les  mineurs  de  A  sont  nuls,  l'un  au  moins  des  coeffi- 
cients A,  A'  ou  A"  est  difFérent  de  zéro,  car  'f{£C,  y,  z)  étant  alors  un 
carré 

tp(a:',jK,  z)  =  t{ax  -^  hy  -4-  cz^-. 

k  —  za''-^         A'=£'6',         A"=£c2. 

Si  A,  A'  et  A"  étaient  nuls,  <p(^,  jk,  z)  serait  identiquement  nul.  On 
voit,  en  outre,  que  ceux  des  coefficients  A,  A'  et  A"  qui  sont  diffé- 
rents de  zéro  ont  le  même  signe  ;  c'est  d'ailleurs  ce  qui  résulte  des 

égalités 

AA'=B"S         A'A''=B2,         A"A  =  B'2. 

5°  On  déduit  (voir  Cours  d'Algèbre,  t.  II,  p.  198)  des  propriétés 
du  déterminant  adjoint  les  identités 

a'a"-è2=AA,         «"«— 6'2=A'A,         aa'—b"^    =A"A, 
b'b" —  ab=Bts.,         b"b  — a'b'=B'\,         bb' —  a"  b"  =  B"  \. 

Si  A  :=  o,  on  a  donc  par  exemple  a' a"  =  b-,  ce  qui  prouve  que 
ceux  des  mineurs  principaux  qui  ne  sont  pas  nuls  ont  le  même  signe, 
ainsi  que  nous  l'avions  établi  directement  (1°). 

225.  Théorème.  —  Si  l'on  prend  pour  nouveaux  plans  de  coor- 
données trois  plans  ayant  pour  équations  P  =  o,  Q  =  o,  R=zo, 
en  désignant  par  X,  Y,  Z  les  nouvelles  coordonnées,  on  a 

P  =  AX,        Q  =  BY,        R=GZ, 

A,  B,  G  étant  des  constantes. 

La  démonstration  se  fait  comme  en  Géométrie  plane  (t.  I,  p.  270). 

CLASSIFICATION    PAU    LES    DIRECTIONS    ASYMPTOTIQXJES. 

226.  Soit 

F{x,y,z)  =  kx''--^  k'y^-\-  M' z^ 

-+-  2  Byz  -\-  2  B' zx  -(-  2  B" xy  -\- ^C,x  -\- 2  C'y  -h  2  C z  +  D  =  o 

l'équation  d'une  quadrique. 


CLASSIFICATION   DES   QUADRIQUES.  2O7 

Nous  supposerons  dans  tout  ce  qui  suit,  sauf  avis  contraire,  tous 
les  coefficients  réels. 

Le  cône  des  directions  asjmploliques  ayant  pour  sommet  l'origine 
des  coordonnées  a  pour  équation 

ç(ar,  7,  z)  =  o. 

Premier  cas  A  ^  o.  —  Ce  cas  se  subdivise  en  deux  ; 

."  c?(^,7,5)  =  s(P2-f.Q-2-f-Rî), 

P,  Q,  R  désignant  des  polynômes  distincts,  à  coefficients  réels. 

Le  cône  des  directions  asymptotiques  est  imaginaire,  la  surface  est 
limitée  dans  toutes  les  directions.  Un  plan  mené  par  le  sommet  du 
cône  la  coupe  suivant  deux  droites  imaginaires;  donc  toute  section 
plane  de  la  surface  est  une  ellipse.  Celte  surface  est  un  ellipsoïde 
réel  ou  imaginaire  ou  un  cône  imaginaire. 

Le  cône  des  directions  asymptotiques  est  réel;  en  effet,  il  peut 

être  considéré  comme  engendré  par  la  droite  mobile  ayant  pour 

équations 

P  =  Rcoso,         Q=:Rsino. 

Les  sections  planes  peuvent  donc  être  d'espèce  quelconque.  Les 
surfaces  de  cette  nature  sont  des  hyperholoïdes  ou  des  cônes 
réels. 

Deuxième  cas  A  ^  o.  —  Un  mineur  symétrique  différent  de 
zéro,  par  exemple  AA' — B"- ^  o.  Alors  (^(x,y,  z)  est  la  somme 
de  deux  carrés  distincts. 

Une  seule  direction  asymptotique  réelle,  définie  par  les  équations 
P  =  o,  Q  =  o.  Le  cône  des  directions  asymptotiques  se  réduit  à 
deux  pians  imaginaires  conjugués,  qu'on  nomme  plans  directeurs. 
Toute  section  faite  par  un  plan  non  parallèle  à  la  direction  asympto- 
tique réelle,  coupant  les  plans  directeurs  suivant  deux  droites  ima- 
ginaires conjuguées,  coupe  la  surface  suivant  une  ellipse.  Tout  plan 
parallèle  à  la  direction  asymptotique  réelle  coupe  les  plans  direc- 
teurs suivant  deux  droites  parallèles;   donc  la  surface  est  coupée 


208  CHAPITRE   XIII. 

par  un  pareil  plan  suivant  une  parabole.  Une  surface  de  cette  es- 
pèce se  nomme  une paraboloïde  elliptique. 

Le  cône  des  directions  asjmptotiques  se  réduit  à  deux  plans 
réels,  appelés  ^^<2/z5  directeurs.  Tout  plan  non  parallèle  à  l'inter- 
section des  plans  directeurs  coupant  l'ensemble  de  ces  deux  plans 
suivant  deux  droites  concourantes  coupe  la  surface  suivant  une  hy- 
perbole; tout  plan  parallèle  à  l'intersection  des  plans  directeurs 
donnera  une  parabole.  Une  surface  de  cette  espèce  est  appelée /xxra- 
boloïde  hyperbolique. 

Troisième  cas.  —  Les  mineurs  du  premier  degré  de  A  sont  nuls. 
Dans  ce  cas 

L'équation  de  la  surface  est  donc  de  la  forme 

P  et  Q  désignant  des  formes  linéaires;  si  P  et  Q  sont  des  polynômes 
distincts,  de  sorte  que  l'intersection  des  plans  P  =  o,  Q  =  o  est  à 
distance  finie,  la  surface  est  un  cylindre  parabolique,  car  la  sec- 
tion par  un  des  plans  coordonnés  ayant  une  équation  de  la  forme 
Pj  -t-  Q)  =  o  est  une  parabole  si,  ce  qu'on  peut  toujours  supposer, 
ce  plan  n'est  pas  parallèle  à  l'intersection  des  deux  plans  P,  Q. 

Si  Q=2aP  +  6,  a  Ql  b  étant  des  constantes,  l'équation /*:=  o 
représente  deux  plans  parallèles. 

CLASSIFICATION    PAR    LA    DÉCOMPOSITION     DE    f  [x ,  y j   Z,    t) 
EN    CARRÉS. 

227.  Posons 

f{cc,y,z,  t)  =  o{x,y,z)-^-  7.{Cx -<r-  G'j -h  G"z)t-hT)t^, 

et  soient  A  le  discriminant  de  cp  {x,y,  z)  et  H  celui  de  /{x,  y,  z,  t). 

Premier  cas  .•  A  ^  o.  —  La  fonction  (uÇx,y,  z)  est  alors  la  somme 
de  trois  carrés  distincts;  nous  poserons 

^{x.y,  z)  =  z{ax  -+-hy  -\-  cz'Y 

+  z\a'  X  -\-h'y  -\- c'  zY  ^  t"  {a"  x  ^  b"y  -^c"  z)"^. 


CLASSIFICATION   DES   QUADRIQUES.  2O9 

En  raisonnant  comme  dans  le  cas  de  trois  variables  (t.  I,  p.  269), 
on  peut  trouver  des  constantes  </,  cV ^  d" ^  D,  telles  que 

f{x^y^  z^  0  =  t{,ax  -h  by  -h  cz-\-  dt)^  h-  z'{a'x  ■+■  b'y  -\-  c' z  -f-  d' t)^ 

-^  t' {a"  X -^  h"  y  -\-  c"  z-\-  d' ty -\-  Di/2; 

et,  en  remarquant  que /(:r,  y,  ^,  ^)  —  D,  «^  egj  \^  somme  de   trois 
carrés  et  que  par  suite  son  discriminant  est  nul,  on  trouve 

H 

Si  l'on  pose  -  =  £"'L-,  réquation/(^,jK,  z,  t)  -=0  peut  se  mettre 

sous  la  forme 

£P2  ^  £'Q2  ^  £«-^2  _^  c"'L2   =  o, 

et  si  l'on  pose  enfin,  en  supposant  H  ^  o, 

P_X  Q-Y  ^-7 

on  obtient  les  équations  suivantes  : 

(l)  /    X2-f-Y^  +  Z2—  I   =0, 


(2)  „  X2-t-Y2-f-Z2-hI=0, 

(3)  ^    ,  7-    ,  x2-hY2— Z2— I  =0, 


(4)  l  X2+ Y-^-Z2-M  =0. 
Si  H  =  o,  on  a  les  équations 

(5)  |X*  +  Y2_Z2  =  o, 

A  7^  o,  H  r=  o,  { 

(6)  '  'I    X2  +  Y2-hZ2  =  0. 

Deuxième  cas  :  A  =  o.  —  Ce  cas  se  subdivise  :  supposons  un 
mineur  symétrique,  par  exemple,  AA' —  B"^  ^  o.  Nous  désignons  ce 
mineur  par  o. 

La  fonction  <o{x^y,  z)  est  la  somme  de  deux  carrés  distincts 

^{x,y,  z)  =  z{ax  -+■  by  -h  czy  -+-  z'{a'x  +  b'y  -^  c' z)-;       ab'  —  ba' ^  o. 

Si  l'on  pose 

ax -\- by -\- cz  =  Y* ,         a'x -h  b'y -h  c' z  =  Q, 
on  a 

\r^'y.^tbP-hz'b'Q; 

il  en  résulte  que  P  et  O  sont  des  fonctions  linéaires  de  4  'j'.  et  tcs'  . 
NiEWENûLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  i4 


210 


CHAPITRi;    XIII. 


Si  l'on  pose 
on  a 


Dr-; 


A 

B" 

B' 

B" 

A' 

B 

G 

G' 

G" 

la  condition  pour  que  les  polynômes  P,  Q,  R  soient  distincts  est 
la  même  que  la  condition  pour  que  j'f^,  |  ç^  et  R  soient  distincts, 
puisque  P  et  Q  étant  des  fonctions  linéaires  de  cp^,  o^,  et  récipro- 
quement, si  les  trois  premiers  polynômes  sont  liés  linéairement,  il 
en  est  de  même  des  trois  autres  et  réciproquement.  Or  le  discri- 
minant des  trois  polynômes  ^  «pi,  ifj?  ï^  ^st  le  déterminant 


A,  = 


Nous  sommes  ainsi  conduits  à  supposer  : 

1°  0  ^  o,  A,  ^  o.  Les  plans  P  =  o,  Q  =  o,  R  =  o  se  coupent  en 
un  seul  point,  et  il  en  est  de  même  si  l'on  remplace  R  par  un  plan 
parallèle  R,  ayant  pour  équation  aR  +  D  ==  o;  en  prenant  ces  trois 
plans  pour  plans  de  coordonnées,  on  obtient  donc 

sP2  +  £'Q2+  Ri  =^  o; 

en  remarquant  que  S  a  le  signe  de  es',  on  a  des   équations  de  la 
forme  suivante  : 

(7)  o>o,  Y2-f-Z2- aX  =  o, 

(8)  .             o<o,  Y2  — Z2  — .iX  =  o, 

X,  Y,  Z  étant  trois  polynômes  distincts  à  coefficients  réels. 
2''  A,=  o.  Alors 

Cx  +  C'y  -+-  C"z  =  s/iP  +  z'h'Q, 

f(x,y,  z,  t)  =   £P2  +  2£/jP  -+-  £'Q2+  2£'/i'Q  +  Df2 

f^x,y,  z,  I)  ^  £(P  +  hy  +  £'(  Q  +  h')^  +  Dif2 

Di=   D  —  £A2_£'/j'2; 

ce  qui  conduit  aux  équations  suivantes,  si  D,  ^  o, 

(9)  .^  |X2  +  Y2_I=:0, 

0  >  o,        < 

(10)  (    X2+  Y2-t-  1  =  0, 
(il)                                                           0<0,  X2  —  Y2—  1  =  0. 


donc 

ou 

en  posant 


CLASSIFICATION   DES   QUADRIQUES.  2  I  I 

Dans  chacun  de  ces  cas,  H  =  o;   mais  un  mineur  du  troisième 
degré  de  H  est  différent  de  zéro. 

Si  D,  ^  o,  on  a  les  équations  suivantes  : 

(12)  0<O,  X2— Y2=(), 

(13)  0>O,  X2+Y2=o. 

Les  mineurs  du  troisième  degré  de  H  sont  alors  tous  nuls,  mais  au 
moins  un  mineur  du  second  degré  est  différent  de  zéro. 

Troisième  cas  .'1  =  0.  —   Les  mineurs  symétriques  de  A  sont 
nuls,  mais  un  des  coefficients,  par  exemple  A  ^  o.  Dans  ce  cas 

o{T,y,  z)-^z{ax  -{-  by  -\-  czy-^  a^o 

on  a  ainsi 

f{x,y,  z,  t)  ^  EP2-+-  i{Qx  +  C'y  +  a'z)t^\)tK 

Deux  nouveaux  cas  se  présentent,  suivant  que  les  équations 

ax  -+-  by  -^  cz  —  o,         Cx  -\-  G  y  -\~  C"  z  =  o 

représentent  des  plans  qui  se  coupent  ou  des  plans  parallèles.  Dans 
le  premier  cas,  l'équation  de  la  surface  se  ramène  à  la  forme 

(l4)  X2-2Y  =  0, 

X  =  o,  Y  =  o  représentant  des  plans  qui  se  coupent.  Dans  ce  cas, 
un  mineur  du  troisième  degré  de  H  est  différent  de  zéro. 
Si,  au  contraire, 

C^  4-  C'y  -H  C"z  =  eAP  -+-  A, 
on  a 

et  par  conséquent  on  a  les  équations  suivantes  : 

(i5)  X'— 1  =  0, 

(16)  X2-+-i  =  o, 

(17)  Xî  =  o. 

Si  la  fonction  (^(x,y,  z)  s'abaisse  au  premier  degré,  l'équation 
f(x^y^z,l)  =  o  représente  deux  plans  dont  l'un  au  moins  est  le 
plan   de   l'infini.   En   laissant  ce   cas  de  côté,   nous  avons  obtenu 
17  formes  différentes. 


212  CHAPITRE   XIII. 

228.  L'équation  (i5)  représente  deux  plans  parallèles  réels; 
l'équation  (16)  représente  deux  plans  imaginaires  conjugués,  paral- 
lèles à  un  plan  réel;  l'équation  (17)  représente  un  seul  plan;  mais 
comme  son  premier  membre  est  un  carré,  on  dit  qu'elle  représente 
un  plan  double  qui  est  d'ailleurs  réel. 

L'équation  (14)  représente  un  cylindre  dont  les  génératrices  sont 
parallèles  à  la  droite  définie  par  les  équations  X  =  o,  Y  =:  o.  Sup- 
posons que  cette  droite  ne  soit  pas  parallèle  à  l'axe  des  z;  dans  ce 
cas,  la  trace  du  cylindre  sur  le  plan  xOy  a  pour  équation 

Xf  — 2Yi  =  o, 

en  désignant  parX,  et  Y,  ce  que  deviennent  les  polynômes  X  et  Y 
pour  z=o.  Cette  dernière  équation  étant  celle  d'une  parabole,  on 
a  affaire  à  un  cylindre  parabolique. 

L'équation  (12)  représente  deux  plans  concourants  réels  et  l'équa- 
tion (i3)  deux  plans  imaginaires  conjugués. 

L'équation  (9)  est  celle  d'un  cylindre  elliptique;  l'équation  (10) 
représente  un  cylindre  elliptique  imaginaire,  et  enfin  l'équation  (11) 
représente  un  cylindre  hyperbolique.  On  vérifie  ces  résultats  comme 
dans  le  cas  du  cylindre  parabolique. 

Enfin  on  voit  immédiatement  que  l'équation  (5)  est  celle  d'un  cône 
réel  et  que  l'équation  (6)  définit  un  cône  imaginaire;  dans  les  deux 
cas,  le  sommet  est  le  point  défini  par  les  équations 

X  =  o,        Y  =  o,        Z  =  o. 

Il  ne  nous  reste  donc  à  étudier  que  les  équations  (i),  (2),  (3), 
(4),(7)et(8). 

229.  Ellipsoïdes.  —  Prenons  pour  plans  de  coordonnées  les  trois 
plans  définis  par  les  équations  X  =  o,  Y  =  o,  Z  ^  o,  et  désignons 
par;»,  j',  z  les  nouvelles  coordonnées  d'un  point  quelconque  M;  on 

a  (225),  en  désignant  par  a,  b,  c  trois  constantes,  X  =  -,  Y=  j, 
Z=  -;  l'équation  (i)  devient  ainsi 


a^        0^        c^ 

Sous  cette  forme,  on  reconnaît  que  «,  6,  c  désignent  trois  lon- 
gueurs; rien  n'empêche  de  supposer  «,  b,  c  positifs. 


CLASSIFICATION   DES   QUADRIQUES.  21 3 

Il  est  facile  de  se  rendre  compte  de  la  forme  de  la  surface  repré- 
sentée par  l'équation  (i)'.  Nous  voyons  d'abord  que  les  sections  par 
les  plans  de  coordonnées  sont  les  ellipses  ayant  respectivement  pour 
équations,  dans  ces  plans, 


y 


7-1=0, 


ù^ 


—  i  =  o, 


C2    "^    «2 


On  obtient  ainsi  des  ellipses  rapportées  chacune  à  un  système  de 
diamètres  conjugués. 

Prenons  sur  O x  {fig.  26)  une  longueur  0A=:  a;  sur  Oy,  0B=  è, 
et  sur  Oz,  OC  =  c;  OA  et  OB  forment 
un  système  de  diamètres  conjugués  de 
l'ellipse  située  dans  le  plan  xOy^  etc. 
On  voit  immédiatement  que  la  surface 
peut  être  engendrée  par  l'ellipse  mobile 
définie  par  les  deux  équations 


Fis.  26. 


=  A, 


x^ 

«2 


dans  lesquelles  h  désigne  un  paramètre 
variable.  Cette  ellipse  variable  a  pour 
diamètres  conjugués  les  deux  cordes  déterminées  dans  les  deux  el- 
lipses (OC,  OA),  (OC,  OB)  ayant  OC  pour  demi-diamètre  commun, 
par  le  plan  PwQ,  {z  =  h)  parallèle  au  plan  xOy. 

La  section  par  le  plan  z  =  h  n'est  réelle  que  si  —  c  <i  h  <Cc. 

Cette  surface  peut  être  engendrée  par  une  ellipse  mobile,  de  la 
manière  suivante  :  Considérons  un  trièdre  OABC;  OB  et  OC  sont 
les  deux  demi-diamètres  conjugués  d'une  ellipse  E,  ;  OAet  OC  deux 
demi-diamètres  conjugués  d'une  ellipse  Eo,  et  enfin  OA  et  OB  doux 
demi-diamètres  conjugués  d'une  ellipse  E3.  Le  lieu  engendré  par 
une  ellipse  mobile  E  qui  rencontre  les  ellipses  E|  et  E2,  reste  hoino- 
thétique  à  l'ellipse  E3  et  dont  le  centre  se  meut  sur  la  droite  CC; 
C,  étant  le  symétrique  de  C  par  rapport  au  point  O,  est  la  surface 
représentée  par  l'équation  (i). 

On  n'a  représenté  sur  la  surface  que  les  arcs  d'ellipses  appartenant 
au  trièdre  Oxyz.  Cette  surface  a  reçu  le  nom  d^ ellipsoïde. 

Le  cône  des  directions  asymptotiques  ayant  pour  sommet  l'origine 
a  pour  équation 

-pî  yî  z^ 

^-^fï  +  ^  =  o; 


2l4 


CHAPITRE    XIII. 


ce  cône  étant  imaginaire,  on  voit  que  toute  section  plane  de  l'ellip- 
soïde est  une  ellipse. 

L'équation  (2)  peut  se  mettre  sous  la  forme 


(2)' 


X' 
«2 


7^ 


1  =  0; 


elle    représente    évidemment   une    surface   entièrement   imaginaire 
qu'on  a  nommée  ellipsoïde  imaginaire. 

230.  Hyperholoïdes .  —  En  adoptant  les  mêmes  notations  que 
dans  le  numéro  précédent,  on  peut  mettre  les  équations  (3)  et  (4) 
sous  la  forme 

X^  y!         ^2 

^2  +  ^  -  ^  -  '  =  «' 

e  ayant  la  valeur  -h  i  ou  —  i  ;  si  nous  admettons  aussi  la  valeur  e  =  o, 
nous  comprendrons  encore,  sous  la  même  forme,  l'équation  (5). 

i"  Soit  £  =:  +  i  ;  l'équation  est 


(3)' 


iF2 
«2 


"62 


^2 
C2 


La  surface  définie  par  cette  équation  est  coupée  par  le  plan  xOy 
suivant  une  ellipse  ayant  pour  équation,  dans  ce  plan 


a;2 

«2 


z: 

62 


En  prenant  OA  =  <a!,  OB  ^  6,  on  voit  que  OA  et  OB  sont  deux 

demi-diamètres    conjugués     de 
cette  ellipse. 

La  section  par  le  plan  xOz 
{fig-  27)  est  une  hyperbole 
ayant,  dans  ce  plan,  pour  équa- 
tion 

.r2         Z' 

«2   ~   C2 


de  sorte  que,  si  OC  =  c,  la  dia- 
gonale OD  du  parallélogramme 
construit  sur  GAet  OC  comme  côtés  est  une  asymptote  de  cette  hy- 
perbole. On  obtient  de  même  une  hyperbole  pour  section  par  le  plan 
yOz.  Nous  ne  représentons  qu'un  arc  de  chacune  de  ces  courbes. 


CLASSIFICATION    DES    QUADRIQLES.  2l5 

La  seclion  par  un  plan  parallèle  au  plan^rOjK  est  une  ellipse  a^ant 
pour  diamètres  conjugués  les  cordes  déterminées  par  ce  plan  dans  les 
deux  hyperboles  précédentes;  les  équations  de  cette  ellipse  sont 

a^        b'  c2 

elle  est  donc  réelle  quand  h  varie  de  — go  à  +00.  La  surface  repré- 
sentée par  l'équation  (3)'  peut  être  considérée  comme  engendrée  par 
cette  ellipse,  dont  nous  n'avons  représenté  qu'un  arc  PQ. 

Ainsi  la  surface  considérée  peut  être  engendrée  par  une  ellipse 
qui  se  déplace  et  se  déforme  en  restant  homothétique  à  une  ellipse 
fixe  et  en  s'appujant  sur  deux  hyperboles  fixes  ayant  un  diamètre 
imaginaire  commun  auquel  sont  conjugués,  dans  chacune  de  ces 
hyperboles,  deux  diamètres  conjugués  de  l'ellipse  fixe,  le  centre  de 
l'ellipse  mobile  se  déplaçant  sur  le  diamètre  imaginaire  commun  aux 
deux  hyperboles. 

On  peut  obtenir  un  autre  mode  de  génération.  Eff'ectivement,  si 
nous  coupons  la  surface  par  un  plan  parallèle  au  plan  xOz,  et  ayant 
pour  équation  y  =:  A",  la  section  est  une  hyperbole  définie  par  les 
équations 

Si  l'on  suppose  A- <^  6^,  cette  hyperbole  est  homothétique  à  la 
section  faite  par  le  plan  xOz]  si  A  =  ±  6,  la  section  se  compose  de 
deux  droites,  et  le  plany=6  ou  y  ■= — b  est  un  plan  langent; 
enfin,  si  l'on  suppose  k-  >>  6-,  la  section  est  homothétique  à  la  con- 
juguée de  la  section  faite  par  le  plan  xOz. 

On  peut  regarder  la  surface  comme  engendrée  par  l'hyperbole  va- 
riable définie  par  les  deux  dernières  équations. 

De  même,  on  peut  la  regarder  comme  engendrée  par  l'hyperbole 
ayant  pour  équations 

Cette  surface  a  reçu  le  nom  à^ hyperboloïde  à  une  nappe. 
2"  Soit  £  =  —  I  ;  l'équation  est  alors 

,  ,  ,  r*        r2        2î 


2l6  CHAPITRE   XIII. 

La  section  par  un  plan  parallèle  au  plan  x  Oy  a  pour  équations 

X^  r2  /i2 

c'est  une  ellipse  qui  n'est  réelle  que  si  l'on  suppose  A^  >>  c-.  Donc 
si  l'on  prend  sur  l'axe  des  y  deux  points  G,  C  symétriques  par 
rapport  à  l'origine  et  tels  que  OC  z=  c  =  —  OC,  on  voit  que  la 
surface  n'a  aucun  point  réel  situé  entre  les  plans  parallèles  au  plan 
xOy  et  menés  par  les  deux  points  C,  G'.  On  voit  ainsi  que  la  sur- 
face a  deux  nappes  distinctes.  Le  plan  des  .r,  y  ne  la  coupe  pas  ou, 

si  l'on  préfère,  la  section  par  ce 
plan  est  une  ellipse  imaginaire.  La 
section  par  le  plan  xO z  {fig-  28) 
a  pour  équation,  dans  ce  plan. 


Fig.  28. 


c'est  une  hyperbole  rapportée  à 
deux  diamètres  conjugués,  OG 
étant  un  demi-diamètre  réel.  De 

même,  la  section  par  le  plan  yOz  est  une  hyperbole  ayant  pour 

équation,  dans  ce  plan, 

La  surface  peut  être  engendrée  par  une  ellipse  ayant  pour  dia- 
mètres conjugués  les  cordes  déterminées  dans  ces  deux  hyperboles 
par  un  plan  mobile  parallèle  au  plan  xOy. 

Elle  peut  aussi  être  engendrée  par  l'hyperbole  définie  par  les 
équations 


y  =  ^^        ::¥  -  T.  =  - 


ou  par  l'hjperbole 


X  =  l, 


=  —        1+    -T 


On  a  donné  à  cette  surface  le  nom  à^ hyperholoïde  à  deux 
nappes. 

Dans  les  exemples  précédents,  comprenant  les  ellipsoïdes  et  les 
hyperboloïdes,  l'origine  des  coordonnées  est  un  centre;  car  à  tout 


CLASSIFICATION    DES    QUADRIQUES.  217 

point  M  (^, y,  g)  de  la  surface  comprend  le  point  M'( — x,  — y,  — z), 
symétrique  du  premier  par  rapport  à  l'origine  {voir  n"  23i). 

231.  Paraboloïdes. —  Les  équations  (7)  et  (8)  peuvent  se  mettre 
sous  la  forme 

! 'IX  =  0, 


en  prenant  pour  plan  de  coordonnées  les  plans  définis  par  les  équa- 
tions X  =  o,  Y  =  o,  Z  =  (). 

Deux  cas  se  présentent  suivant  que/)  et  q  sont  de  même  signe  ou 
de  signes  contraires.  Dans  le  premier  cas,  en  modifiant,  s'il  le  faut,  le 
sens  des  x  positifs,  on  peut  supposer  p  el  q  positifs.  Dans  cette 
hypothèse,  on  voit  sur  l'équation  même,  qu'on  doit  supposer  ;r  >  o 
pour  tous  les  points  réels  de  la  surface;  donc  tous  les  points  de  cette 
surface  sont,  par  rapport  au  plan  j'O;;  du  côté  des  x  positifs. 

Le  plan  xOy  {fig-   29)   coupe  la  surface  suivant  la   parabole 

ayant  pour  équation 
J        ^  ^  Fig.  29. 

y"^  —  t.px^o, 

et  le  plan  xOz,  suivant  la  parabole  ayant  pour 

équation 

z^  —  2  (/  37  =  o  ; 

nous  n'avons  représenté  que  les  arcs  OA  et  OB 
de  ces  courbes. 

La  section  par  le  plan  j' Os  est  composée 
de  deux  droites  imaginaires  passant  par  l'origine;   ce  plan  est  tan- 
gent en  O  à  la  surface. 

La  section  par  un  plan  parallèle  au  plan  y  Os  a  pour  équations 

X  =  h, 1 =ih: 

P         9 

c'est  une  ellipse  qui  n'est  réelle  que  si  h  >  o.  La  surface  peut  être 
considérée  comme  engendrée  par  cette  ellipse. 
Un  plan  parallèle  à  xOz  donne  une  parabole 


y  =  k, 


=  ÎX 

1  p 


Cette  parabole  est  égale  à  la  parabole-section  par  le  plan  xOz\ 


2l8  CIIAPITKE   XIII. 

si  A"  varie,  elle  se  déplace  en  restant  parallèle  à  elle-même  et  de  telle 
sorte  qu'un  de  ses  points  décrive  la  parabole-section  faite  parle  plan 
des  X,  y. 

Pareillement,  la  surface  peut  être  engendrée  par  la  parabole  ayant 
pour  équations 

p  p 

Cette  surface  a  reçu  le  nom  àe paraboloïde  elliplique. 
Supposons  en  second  lieu  y?  et  ^  de  signes  contraires  ou  mieux, 
supposons  l'équation  mise  sous  la  forme 

■ =2  3", 

P         9 

p  el  q  étant  positifs.  Les  sections  par  le  plan  xOy  et  par  le  plan 
xOz  sont  alors  des  paraboles  dont  les  concavités  sont  disposées  en 
sens  contraires,  et  dont  les  équations  sont 

2  =  0,        y^ —  -i-px  =  o, 
J^  =  o,         z^~r- iqx  =^  o\ 


Fig.  3o. 


nous  avons  représenté  seulement  les  arcs  OA  et  OB  de  ces  para- 
boles {fig.  3o). 

Les  sections  par  des  plans  parallèles  au 
plan  yOz  sont  des  hyperboles,  définies  par 
des  équations  de  la  forme 


—  =  h. 
'1 


Le  planyOscoupe  la  surface  suivant  deux 
droites  auxquelles  les  asymptotes  des  hyper- 
boles considérées  sont  parallèles. 
La  surface  peut  être  engendrée  par  l'hjperbole  mobile  définie  par 
les  équations  précédentes. 

Les  sections  par  des  plans  parallèles  au  plan  xOz  sont  des  para- 
boles égales  à  la  parabole-section  faite  par  le  plan  xOz.  La  surface 
peut  être  ainsi  engendrée  par  le  mouvement  d'une  parabole  qui  se 
déplace  en  restant  égale  et  parallèle  à  une  parabole  fixe,  de  manière 
qu'un  de  ses  points  décrive  une  seconde  parabole  fixe,  ayant  avec  la 


CLASSIFICATION   DES   QUADRIQUES.  219 

première  un  diamètre  commun,  mais  celle  fois  les  concavités  des 
deux  paraboles  fixes  étant  dirigées  en  sens  contraires.  On  peut  en 
effet  obtenir  l'équation  de  la  surface  en  éliminant  k  entre  les  équa- 
tions 

y  =  k, 


—  =2  0"  —      - 
</  P 


on  peut  aussi  considérer  la  surface  comme  engendrée  par  la  parabole 
z  =  l, 


Celte  surface  porte  le  nom  de paraboloïde  hyperbolique. 


232.  Nous  pouvons   dresser  le  Tableau   suivant  qui  résume  la 
classification  des  quadriques  : 


JkTf  O... 


H  ?£o. 


A  =  o... 


/A.Tio. 


Un  mineur  du  2*de- 
gré  de  A  est  diffé-  ' 
rent  de  zéro,  par^ 
exemple 

S  =  AA'— BVo.. 


A,  = 
(H 


:0) 


Les  mineurs  du  2 
sont  tous  nuls,  u 
est  différent  de 
exemple  \  ^  o. . 


degré  de  A 

n  coefficient 

zéro  ,    par 


X»+ Y»+Z=  — I  =  o,  ellipsoïde  réel  (H  <o). 
X»+  Y^-t-  Z»+  I  =  0,  ellipsoïde  imaginaire  (H  >  o). 
X?+  Y' —  Z"  —  I  =0,  hyperboloïde  à  une  nappe  (II  >o). 
\  X'+  Y» —  Z'+i  =  o,  hyperbol.  à  deux  nappes  (H  <o). 
X'+  Y'—  Z»  =  0,  cône  réel. 
X'+  Y'-i-  Z'  =  0,  cône  imaginaire. 

Y»+Z»— X  =  o,  paraboloïde  elliptique  (H<o). 
Y»—  Z^—  X  =  o,  paraboloïde  hyperboloïde  (H  >  o). 
X^-hY»—  I  =  0,  cylindre  elliptique 

réel. 
X'  +  Y^-(-  I  =0,  cylindre  elliptique 

imaginaire. 
X' — Y"— I  =  0,  cylindre  hyperbo- 
lique. 

X^  —  Y' =  o,  deux  plans  concou- 
rants réels. 

X=-hY'=o,  deux  plans  concou- 
rants imaginaires. 

H  =  o,un  mineurdu 
3*  degré  de  H  est 
différent  de  zéro. 

Les  mineurs  du  3* 
degré  de  H  sont 
tous  nuls. 

Un  mineur  du  a* 
degré  est  différent 
de  zéro. 

iLes  mineurs  du  2» 
degré  de  H  sont 
tous  nuis. 


Un  mineurdu  3"de- 
gré  de  H  est  dif- 
férent de  zéro  . . 

Les  min.  du  3'  de- 
grédeHsonttous 
nuls,  un  mineur 
du  2°  degré  est 
différent  de  zéro. 

'  X'-f- Y  =  o,  cylindre  parabolique. 


IX»- 


IX» 


I  =0,  deux  plans  parallèles 
réels 

1=0,  deux  plans  parallèles 
imaginaires 


220  CHAPITRE   XIV. 

EXERCICES. 

Dire  ce  que  représentent  les  équations  suivantes  : 

4372+  yy'^-+-  932  _|_  i^yz  -+-  8zcp  -4-  8^7;'+  8.V  -{-  ly  -h  iz  -+- B  =  o, 

■\x'^-\-  7J^2_|.  5^2_i_  i^yz  -+-  8zx  ■+-  8xy  +  Sa;  -f-  2/  +  gis  -t-  D  =  o, 

4a;2-i-  7^2 _^_  yz^-h  i^yz  -+-  8zx  +  8xy  -\-  ^x  -i-  2y  -h  "îz  =  o, 

x^-h  3y^ —  z^  —  4xy  -+-  lyz  —  8 y  -h  \z  —  11  =  0, 

Zx'^-T-  5y'^-\-iz^-\-iyz  -\-  Ç)zx  —  ^x-\-  iy  —  2Z  4-  D  =  o, 

ip2 —  3^2 —  6^5  -h  izx  —  8xy  —  ^x  -+-  iy  —  1  z  -\- T>  =  o , 

2  072  + j)/2+  z2+  I  —  2JK-3  -^  ^  ZX  ^Xy  —  Zx  — ^-t-D—  O, 

2  5^2  -h  _^2  _|_  ^2  _|.  I  —  2^Z  -1-42^  4^/  —  437-(-  iy 2  2  +  D  =  o. 

D  étant  une  constante. 


CHAPITRE  XIV. 

THÉORIE   DU    CENTRE, 


233.  Définition.  —  On  appelle  centre  d'une  surface  un  point 
fixe  P  tel  que,  M  étant  un  point  quelconque  de  cette  surface,  le 
point  M'  symétrique  de  M  par  rapport  à  P  soit  encore  un  point  de  la 
même  surface. 

234.  Conditions  pour  que  l'origine  des  coordonnées  soit  centre 
d'une  surface.  —  Il  faut  et  il  suffit  que  l'équation  de  la  surface 
f[x.,y,  jî):=o  ne  change  pas  quand  on  change  x,  y,  z  en  — .r, 
—  y,  — z  respectivement;  car  si  un  point  M  a  pour  coordonnées  ^, 
y^z^Xe  point  M',  symétrique  de  M  par  rapport  à  l'origine,  a  pour 
coordonnées — x,  — y^  — z. 

On  déduit  immédiatement  de  cette  remarque,  que,  si  l'équation  de 
la  surface  est  algébrique  et  entière,  son  premier  membre  doit  être  un 


THÉORIE    DU    CENTRE.  221 

polynôme  tel  que  les  degrés  de  tous  ses  termes  soient  de  même  pa- 
rité. On  le  voit  en  coupant  la  surface  par  une  droite  quelconque 
menée  par  l'origine,  c'est-à-dire  en  posant  x  =  ap,  y  =  ^p,  5  =  yp  et 
en  exprimant  que  les  degrés  des  diiTérents  termes  de  l'équation  en  p 
obtenue  sont  tous  de  même  parité. 

D'une  manière  plus  générale,  pour  exprimer  que  le  point 
P(a'o,  J'o>  -0)  est  un  centre,  il  suffira  d'exprimer  que  l'équation 

/(  j»o  -+-  a?,  7o  -f-  ?p,  -So  +  TP  )  =  o 

ne  change  pas  quand  on  change  p  en  — p,  et  cela  quels  que  soient 
a,  P,  T- 

235.  Recherche  du  centre  dans  les  qiiadriques.  —  On  pro- 
cède comme  pour  les  coniques  :  on  transporte  les  axes  parallèlement 
à  eux-mêmes  et  l'on  écrit  que  la  nouvelle  origine  est  un  centre.  On 
obtient  ainsi,  pour  déterminer  le  centre  d'une  quadrique,  les  équa- 
tions 

fx  =  0,  /^  =  O,  f.  =  O. 

Discussion.  —  Les  équations  du  centre  sont 

Ax  -{-  B"j  -f-  B'z  -1-  G  =  o, 
B"x-hXy-^-Bz  -4-G'=o, 
B'x  -\-  Bj  -i-A"z-\-C"  =  o. 

Ces  équations  définissent  trois  plans  qu'on  nomme  les  plans  du  centre. 
Nous  poserons,  comme  plus  haut,  AA' —  B"-  =  0  et  nous  nomme- 
rons A,  le  caractéristique  correspondant. 

Premier  cas  .•  A  ^  o.  —  Les  plans  du  centre  se  coupent  en  un 
seul  point,  situé  à  distance  finie.  On  obtient  ainsi  une  première 
classe  de  surfaces  du  second  degré;  ce  sont  les  quadriques  ayant 
un  centre  unique  à  distance  finie.  Cette  première  classe  contient 
les  ellipsoïdes,  les  hyperboloïdes  et  les  cônes. 

Les  coordonnées  homogènes  du  centre  sont  c,  c',  c",  A. 

Deuxième  cas  ;  A=o;  un  des  mineurs  symétriques  de  A  dif- 
fère de  zéro,  par  exemple  8  72^  o  et  A,  ^  o.  Deux  des  plans  du 
centre  se  coupent  et  le  troisième  est  parallèle  à  leur  intersection  ;  ces 
trois  plans  forment  une  surface  prismatique.  La  quadrique  n'a  pas 
de  centre.  Comme  les  trois  plans  du  centre  ont  un  point  commun  à 


222  CHAPITRE   XIV. 

l'infini,  on  peut  dire  que  la  quadrique  a  un  centre  unique  à  l'infini, 
dans  la  direction  ayant  pour  paramètres  c,  c' ,  c";  on  obtient  ainsi  une 
seconde  classe  de  surfaces  :  ce  sont  les  paraboloïdes. 

Troisième  cas  :  A  ^  o,  0  =?^  o,  A,  =  o.  —  Les  trois  plans  du  centre 
ont  une  ligne  droite  commune  :  on  obtient  ainsi  une  troisième  classe 
de  quadriques,  ayant  une  ligne  de  centres  à  distance  finie  :  ce  sont 
les  cylindres  elliptiques  ou  hyperboliques,  et  les  systèmes  de  plans 
concourants. 

Quatrième  cas  ;  A  :=  o  ;  tous  les  mineurs  du  second  degré  de  A 
nuls,  un  coefficient,  par  exemple  A^o;  l'un  des  deux  caractéris- 
tiques AC'-B"Gou  AC"-B'C^o. 

Les  plans  du  centre  sont  parallèles.  On  a  une  quatrième  classe  de 
quadriques  :  les  quadriques  ayant  une  ligne  de  centres  à  l'infini,  ou 
cylindres  paraboliques. 

Cinquième  cas  :  A  =  o;  les  mineurs  du  second  degré  de  A  tous 
nuls,  A^o,  AC'-B"C=:o,  AC"-B'G  =  o. 

Les  trois  plans  du  centre  sont  confondus.  Cinquième  classe  de 
surfaces  du  second  degré,  ayant  un  plan  de  centres.  Ce  sont  les 
systèmes  de  deux  plans  parallèles. 

236.  Premièhe  classe  :  Surfaces  à  centre  unique  (à  distance 
/inie) .  —  Transportons  l'origine  au  centre  et  conservons  la  direc- 
tion des  axes  primitifs,  en  posant 

si  ^ojJKoj  -o  sont  les  coordonnées  du  centre,   la  nouvelle  équation 
sera 

?('2^',y>-3')-i-Di   =0. 

En  raisonnant  comme  pour  les  coniques,  on  trouve 

Di  =  Ga-o  +  G>o  +  G"^o  -^  D, 
et  aussi 

..=  H. 

L'équation  d'une  quadrique  à  centre  unique,  rapportée  à  trois 
axes  parallèles  aux  premiers  axes  et  passant  par  le  centre  de  cette 


THÉORIE    DU   CENTRE.  2a3 

quadrique  est  donc,  en  supprimant  les  accents, 

tf{x,y,z)-i-  ^  =0. 

Dans  les  Chapitres  suivants  nous  ramènerons  cette  équation  à  une 
forme  plus  simple. 

Dkl'xièmk  classe  :  Sur/aces  à  centre  unique  rejeté  à  l'injini. 
A  étant  nul  et  8  ^z^  o,  l'ensemble  des  termes  du  second  degré  est  la 
somme  de  deux  carrés  ;  l'équation  est  donc  de  la  forme 

z{ax-\-  hy  -\-  c z^-  -i-  ^ {a  x  -t-  h' y  -\-  c' z)^  -+■  -xCx  -{-iCy  -t-  -xC" z  -l-  D  =  o. 

On  suppose  8^0;  donc  ab' —  ba! y^  o;  on  en  conclut,  en  suivant 
une  méthode  déjà  expliquée,  qu'on  peut  mettre  l'équation  sous  la 
forme 

t{ax  -^  h  y  -\-  c  z  -\-\Y  -\-  t\a'  X  ■+-  b'y  •+-  c'-z  -(-  [ji)2h-  aC'î^  -+-  D,  —  o. 

Si  l'on  pose 

ax  ■+-  by  -\-  c  z  -^\  —  '?,         a'  x  -+-  b'y  4-  c'  z  -f-  iji,  =  Q, 

les  équations  du  centre  sont 

saP  -(-  î'a'Q  =  o, 
zbV-^t'b'Çl  =  o, 
£cP-+-£'c'Q-)-Cï  =0. 

On  doit  supposer  G'|  ^  o,  sans  quoi  les  plans  du  centre  auraient 
une  droite  commune. 

Troisième  classe  :  Quadriques  ayant  une  ligne  de  centres.  — 
Ce  cas  correspond  à  C'|  =  o;  l'équation  de  la  surface  est  alors 

£P2-|-£'Q2-+-D,   =  O. 

On  reconnaît  bien  l'équation  d'un  cylindre,  si  D,  ^  o. 
C'est  d'ailleurs  ce  qu'on  peut  vérifier  ainsi.  Transportons  l'origine 
en  un  point  de  la  ligne  des  centres.  L'équation  prendra  la  forme 

?(^>r>^)  -+-  Di  =  0; 

d'ailleurs  A  =  o  :  donc 

9(:r,7,  i;)  =  £Pî+£'Qî,         etc. 


224  '  CHAPITRE    XIV. 

Si  en  outre  D,  =  o,  l'équation  de  la  surface  est  alors 

elle  représente  deux  plans  concourants. 

Quatrième  classe.  —  L'équation  est  de  la  forme 

t{ax  -h  bj  -h-  czy-+-  2Gx  -i-  2G'_7  +  iC'z  ^-  D  =  o. 

Les  plans  du  centre  sont  déterminés  par  les  équations 

saP  H-  G  =  o, 

tbP-hG'=o, 

£cP  +  G"=o, 
où  P  ^  aa-  -h  by  +  cz. 

Ces  plans  ne  sont  confondus  que  si  l'on  peut  trouver  une  con- 
stante h  telle  que 

G  =  ha,         C  =  hb,         G"  =  hc  ; 

s'il  n'en  est  pas  ainsi,  l'équation  est 

£P2_hQ  =  o, 

P  =  o,  Q  =  o  représentant  deux  plans  qui  se  coupent  :  la  surface 
est  un  cylindre  parabolique,  puisque  la  trace  sur  un  des  plans  de 
coordonnées  a  une  équation  de  la  forme 

P?  +  Qi  =  o. 

Cinquième  classe.  —  Les  plans  du  centre  étant  confondus,  l'équa- 
tion de  la  surface  est  de  la  forme 

ou 

(P  +  A)2  +  Di  =  o; 

elle  définit  bien  deux  plans  parallèles. 

237.  Remarque.  —  On  démontre,  comme  pour  les  courbes,  que, 
si  une  surface  a  deux  centres,  elle  en  a  une  infinité  situés  régulière- 
ment sur  une  droite,  et  si  cette  surface  est  algébrique,  tous  les  points 
de  cette  droite  sont  des  centres  ;  si  elle  a  trois  centres  non  en  ligne 
droite,  elle  en  a  une  infinité  qui  sont  les  sommets  d'un  réseau  de  pa- 
rallélogrammes et,  si  elle  est  algébrique,  elle  a  un  plan  de  centres; 
enfin,  si  une  surface  a  quatre  centres  non  dans  un  même  plan,  elle 
en  a  une  infinité  qui  sont  les  sommets  d'un  ensemble  périodique  de 
parallélépipèdes. 


THÉORIE  DU  CENTRE.  22$ 


Cône    asymptote. 

238.  On  nomme  cône  asymptote  d'une  quadrique  de  la  première 
classe,  le  cône  des  directions  asymptotiqiies  ajant  pour  sommet  le 
centre  de  celte  quadrique. 

239.  Equation  du  cône  asymptote  d'une  quadrique  à  centre 
rapportée  à  des  axes  quelconques.  —  L'équation  d'une  quadrique 
à  centre  unique  rapportée  à  un  système  quelconque  d'axes  étant 
f{x^y,  z)  =  o,  l'équation  de  la  même  surface  rapportée  à  des  axes 
parallèles  aux  premiers  et  passant  par  son  centre  est 

a{x,y,z  )+  -  =0, 
et  l'on  a  l'identité 

/{a^,y,z)  =  ^{x',y',z')-\-  -■ 

L'équation  du  cône  asymptote  étant,  par  rapport  aux  nouveaux 
axes, 

est  donc,  par  rapport  aux  anciens, 

/(^,7, -5)—  j  ^o- 

240.  Quadriques  conjuguées.  —  L'équation  d'une  quadrique  ho- 
mothétique  et  concentrique  à  la  proposée,  rapportée  aux  nouveaux 
axes,  étant 

^{x,  y,  z)^  ^~  -  =c, 

on  voit  de  même  que  l'équation  de  cette  quadrique,  rapportée  aux 
anciens  axes,  sera 

Si  l'on  suppose  k  infini,  on  retrouve  l'équation  du  cône  asym- 
ptote; si  A"^  =  —  I ,  on  aura  l'équation  de  la  quadrique  conjuguée  a 

la  première,  c'est-à-dire 

-,  ,       ail 

f{x,  y,  z)-  —  =o. 

Si  l'équation  proposée  est  celle  d'un  liyperboloïde,  la  seconde  sera 
celle  de  l'hyperboloïde  conjugué. 

NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  i5 


226                                                                CHAPITRE   XIV. 

Ainsi  les  équations 

xi           y2           ^2                                                    .7.2            yl 

-  ^  +1  = 

=  0 

représentent  deux  hjperboloïdes  conjugués.  Si  l'on  coupe  ces  deux 
surfaces  par  une  même  droite  ayant  pour  équations 

X  _  y       z 

â  =  -p-  =  Y^P' 

l'une  d'elles  sera  coupée  en  deux  points  M,  M'  qui  correspondent 
à  p  =  p'  et  p  = —  p';  la  seconde  sera  coupée  aux  points  N,  N'  qui 
correspondent  à  p  =  p'/  et  p  = —  p'i';  de  sorte  que,  si  M  et  M'  sont 
réels,  N  et  N'  sont  imaginaires  conjugués  et  réciproquement.  On  voit 
que  deux  quadriques  conjuguées  ont  le  même  cône  asymptote. 

241.  Asymptotes  d'une  quadrique  à  centre.  —  Rapportons  la 
quadrique  à  trois  axes  passant  par  son  centre  et  soit 

son  équation.  Soient 

les  équations  d'une  sécante.  L'équation  en  p  étant 

p2cp(a,  p,  y)  +  P(^»^^  +?  j^  +Y3T;j^?(^o,ro,^o)-^Di  =0, 
les  deux  points  d'intersection  sont  à  l'infini  si  l'on  suppose 

ce  qui  exprime  que  la  droite  considérée  doit  être  parallèle  à  une 
génératrice  du  cône  asymptote  et  située  dans  le  plan  tangent  à  ce 
cône,  mené  par  la  génératrice  considérée. 

Si  en  outre  cp(^Q,yoj  ^0)  +  Di  =  o,  l'équation  en  p  est  indéter- 
minée et  la  droite  est  tout  entière  sur  la  quadrique.  On  en  conclut 
que  tout  plan  tangent  au  cône  asymptote  coupe  la  quadrique  suivant 
deux  droites  parallèles  à  la  génératrice  de  contact.  C'est  ce  que  l'on 
peut  d'ailleurs  vérifier  par  un  calcul  direct.  Supposons,  en  effet,  que 
le  plan  des  x,  y  soit  un  plan  tangent  au  cône  asjmptote,  la  généra- 


THÉORIE   DU   CENTRE.  227 

Irice  de  contact  étant  l'axe  des  y,  l'équation  de  ce  cône  sera  de  la 

forme 

AiF'-j-  A'^--^-  2B75  -f-  ïB'zx  =  o, 

et  celle  de  la  quadrique 

A 37'-+-  A"52-+-  iByz-h  iB'zx-h  D  =  o. 

La  section  de  la  quadrique  par  le  plan  œOy  a  pour  équation 
A^r^  H-  D  =  o  et  celle  du  cône  :  Ax^  =  o  ;  ce  qui  démontre  la  pro- 
position. 

242.  Théorème.  —  Tout  plan  passant  par  le  centre  coupe  le 
cône  asymptote  suivant  les  asymptotes  de  la  section  faite  par 
ce  plan  dans  la  quadrique. 

La  démonstration  est  immédiate,  si  l'on  prend  le  plan  sécant 
pour  plan  des  x,y. 

Recherche  des  points  doubles  d'une  quadrique. 

243.  Soient  a7o,  joi^o»  h  et.r, _;>',  3,  t  les  coordonnées  de  deux  points  Mq,  M. 
Les  coordonnées  homogènes  d'un  point  quelconque  P  de  la  droite  MqM  sont 
de  la  forme 

xq-^\x,   yo-^'^y,    zq-^\z,    îQ+lt. 

Le  point  P  sera  un  point  de  la  quadrique  définie  par  l'équation 

f{x,y,  z,  0  =  0, 
si  X  est  une  racine  de  l'équation 

/{xo-h  Ix,  yo-i-'ky,  zo-hlz,  to-^lt)  =  o, 
c'est-à-dire,  en  développant, 

Si  le  point  Mo  est  un  point  de  la  quadrique,  cette  équation  a  une  racine 
nulle.  Nous  dirons  que  Mo  est  un  point  double  de  la  quadrique  si,  quelle  que 
soit  la  direction  de  la  sécante  MqM,  c'est-à-dire  quelles  que  soient  les  va- 
leurs de  x,y,  z,  t,  coordonnées  de  M,  deux  points  communs  à  la  quadrique 
et  à  la  sécante  sont  confondus  avec  Mq,  ce  qui  revient  à  dire  que  les  deux  ra- 
cines de  l'équation  précédente  sont  nulles.  Pour  qu'il  en  soit  ainsi,  quels 
que  soient  x,  y,  z,  t,  il  faut  et  il  suffit  que  Xq,  yo,  -Zq,  t^  vérifient  les  équa- 
tions 

df  àf  df  df 

(^)  àr""^  é="'  Â'  ^=°' 


228  CHAPITRE    XIV. 

qui  entraînent  l'équation /(a^oj/o)  ^oj  ^o)  =  o.   II   résulte  de  là  qu'un  point 
double  d'une  quadrique  est  un  centre  situé  sur  cette  surface. 

On  peut  discuter  les  équations  précédentes;  mais  il  est  préférable  de 
suivre  une  méthode  employée  par  M.  Méray  {Nouvelles  Annales  de  Mathé- 
matiques, 1892).  Pour  cela  nous  établirons  les  propositions  suivantes  : 

1°  Une  droite  joignant  un  point  quelconque  d'une  quadrique  à  un 
point  double  de  cette  quadrique  est  tout  entière  sur  cette  surface. 

En  effet,  si  Mq  est  un  point  double  et  M  un  point  de  la  surface/,  les  coor- 
données de  tout  point  P  de  MqM  vérifient  l'équation  (i), 

2°  Si  une  quadrique  a  deux  points  doubles  Mq,  Mj,  tout  point  de  la 
droite  MoMi  est  encore  un  point  double  de  cette  quadrique. 

En  effet,  si  ~-  =  o  et  —~  =  o,  on  voit  que  -j-  —  o  quand  on  remplace  x 

(JXq  0JC\  ox 

^                                  ^                                       ^         àf          df         .     df  ., 

par  xo-\-  >^Xi,  y  par  _/o  -+-  A/j  •  •  •  5  ^^i'  o"  ^  alors  -—  =  -^ ^  ^'  t~"  '  ^'-  "  ^" 

UX  OXq  OXi 

est  de  même  pour  les  autres  dérivées. 

3°  Tout  plan  passant  par  un  point  d'une  quadrique  et  par  deux  points 
doubles  distincts  appartenant  à  cette  quadrique  fait  partie  de  cette 
surface. 

Effectivement,  soient  a^o,  ^o»  -^oi  ^oj  ^uju  z\,  t^  et  x^y,  z,  t  les  coordon- 
nées de  deux  points  doubles  Mo,  Mi  et  d'un  point  quelconque  M  d'une  qua- 
drique. Les  coordonnées  d'un  point  quelconque  du  plan  MqMiM  sont  de  la 
forme 

x,^-^\xx  -V-  \xx^     JKo  + ^JKi  +  HJK7     z^-\-\zx-\-  ]i.z,     ^o-t- A^i  +  [J-^j 

et  l'on  vérifie  aisément,  en  vertu  de  l'hypothèse,  que 

f{XQ'\-\Xi-^  ]XX,  yt^-^  \y\-\-  H-JK,  ZQ-^r\Z\,+  \xz,   tç^-\-\tx-\-  )i.t)  —  o. 

Le  premier  membre  est  en  effet  identique  à 

-\-f{\xY-\-]XX,     Xjl-f-lJ.^,     \Zx-\-\XZ,     Iti-i-   lit). 

Chacune  de  ces  trois  parties  est  nulle. 

D'ailleurs  on  peut  encore  raisonner  ainsi  :  une  droite  du  plan  MqMjM 
menée  par  M  rencontre  MqMi  en  P  ;  tout  point  P  de  Mo  Mj  est  un  point  double 
de  la  quadrique;  donc  MP  est  située  tout  entière  sur  la  quadrique. 

4°  Si  une  quadrique  a   trois  points  doubles  Mo,  Mi,  M2  non  situés  en 

ligne  droite,  tous  les  points  du  plan  M0M1M2  sont  des  points  doubles. 

r^         ■   df  df  df  df  j 

Car,  si  -r—  =  o,  -~—  =  o,  -~-  =0,   on  a  encore  -^  =  o  quand  x  est  rem- 

0X0  OXi  0x2  ox 

placé  par  Xq  +  \xi-\-  ^x^,  y  par 70-+-  l^yi  +  [J-72; 


THÉORIE    DU   CENTRE.  229 

Gela  posé,  on  voit  d'abord  que  la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que 
le  système  (2)  admette  au  moins  une  solution  différente  de  zéro  est  H  =  o. 
Ainsi  les  seules  quadriqu»s  admettant  des  points  doubles  sont  les  cylindres, 
les  cônes  et  les  systèmes  de  plans. 

Si  H  =  o,  il  y  a  plusieurs  cas  à  distinguer  : 

1°  Les  équations  (2)  se  "réduisent  à  trois;  la  quadrique  a  un  point  double 
unique.  Dan3  ce  cas,  toute  droite  joignant  le  point  double  à  un  point  de  la 
surface  en  fait  partie;  la  surface  est  donc  un  cône  si  le  point  double  est  à 
distance  finie,  ou  un  cylindre,  s'il  est  à  l'infini. 

2°  Les  équations  (2)  se  réduisent  à  deux  ;  la  quadrique  a  une  ligne  de 
points  doubles.  Dans  ce  cas,  tout  plan  mené  par  la  ligne  des  points  doubles 
et  un  point  de  la  quadrique  fait  partie  de  cette  quadrique;  donc  la  qua- 
drique se  compose  de  deux  plans  qui  sont  nécessairement  distincts,  sans 
quoi  elle  aurait  un  plan  de  points  doubles.  Si  la  ligne  des  points  doubles  est 
à  distance  finie,  les  deux  plans  sont  concourants;  si  elle  est  à  l'infini,  ils  sont 
parallèles. 

3°  Les  équations  (2)  se  réduisent  à  une  seule;  la  quadrique  a  une  infinité 
de  points  doubles,  qui  sont  tous  les  points  d'un  plan.  Dans  ce  cas,  la  forme  / 
est  un  carré  parfait  et  la  surface  se  compose  de  deux  plans  confondus  avec 
le  plan  des  points  doubles. 

EXERCICES. 

1.  Chercher  le  centre  de  chacune  des  surfaces  définies  par  les  équations 
données  en  exercice  au  Chapitre  précédent. 

2.  Trouver  les  centres  de  la  surface  ayant  pour  équation 

a  cosa7  -I-  b  co?,y  -4-  c  coss  =  i . 

3.  Trouver  les  centres  de  la  courbe  ayant  pour  équations 

rr2  —  cos^,       y  =  ?,inz.  (E.  Catalan.  ) 

4.  L'hélice  a-t-elle  un  centre? 

5.  Si  trois  cordes  d'une  quadrique  se  coupent  mutuellement  en  parties 
égales,  leur  point  commun  est  le  centre  de  cette  quadrique. 

6.  Quand  deux  surfaces  sont  homothétiques,  si  l'une  d'elles  a  un  centre, 
l'autre  en  a  aussi  un  et  les  deux  surfaces  sont  homothétiques  directes  et 
homothétiques  inverses,  le  rapport  de  similitude  étant  le  même,  au  signe 
près;  réciproque. 

7.  Lieu  des  centres  des  quadriques  représentées  par  l'équation 

x^-if- yï  —  ^2  _(_  ipzx  -\~  1  qyz  —  -lax  —  iby  -\-  icz  =  o, 
a,  6,  c  étant  positifs  et  donnés,  et  p  et  q  variables.  Cas  où  p  et  g  sont  liés 


23o  CHAPITRE   XV. 

de  façon  que  l'équation  représente  un  cône.  Indiquer  la  partie  du  lieu  qui 
correspond  à  des  hyperboloïdes  à  une  nappe  et  celle  qui  correspond  à  des 
hyperboloïdes  à  deux  nappes.  {École  Polytechnique,  1862.) 


CHAPITRE  XV. 

PLANS  DIAMÉTRAUX.  —  DIAMÈTRES. 


244.  Définition.  —  On  nomme  surface  diamétrale  d'' une  sur- 
face donnée  le  lieu  des  milieux  des  cordes  de  cette  surface  qui 
sont  parallèles  à  une  direction  donnée. 

Dans  le  cas  d'une  surface  algébrique  d'ordre  m,  la  surface  dia- 
métrale conjuguée  à  une  direction  donnée  sera,  en  général,  une  sur- 
face algébrique  d'ordre ^ 

Il  en  résulte  que,  dans  le  cas  d'une  quadrique,  les  surfaces  diamé- 
trales sont  des  plans.  Nous  allons  étudier  plus  particulièrement  ce 
cas  particulier. 

245.  Cas  du  second  degré.  —  Soient  .Tq,  ^o>  ^0  les  coordonnées 
d'un  point  M  et  a,  ^,  y  les  paramètres  d'une  direction  donnée,  D. 
Les  points  d'intersection  d'une  sécante  menée  par  M  parallèlement 
à  D  et  de  la  quadrique  ajant  pour  équation 

sont  définis  par  les  formules 

-œ  =  XQ+a^,        j=Jo-hPp,         -s  — 2o-t-Yp, 
dans  lesquelles  p  est  l'une  quelconque  des  racines  de  l'équation 
(i)  p'-ç(a,  p,  y)+  p(a/;^-t-  py;„  +  t/;J  ^fixo,  Jo,  ^o)  =  o. 

Il  convient  de  distinguer  plusieurs  cas. 


PLANS   DIAMÉTRAUX.  23  I 

Premier  cas:  'f(o(.,  ^,y)^o.  —  La  direction  des  cordes  n'est 
pas  une  direction  asymplotique.  Pour  que  le  point  M  soit  le  mi- 
lieu de  la  corde  parallèle  à  D  menée  par  ce  point,  il  faut  et  il  suffit 
que  les  racines  de  l'équalion  précédente  soient  égales  et  de  signes 
contraires,  c'est-à-dire  que 

Le  lieu  cherché  est  donc  défini  par  l'équation 

Je  dis  que  cette  équation  représente  un  plan  à  distance  finie.  En 
effet,  on  peut  l'écrire  ainsi  : 

x^'^-\- y^'a-k-  zo'y-{-  -iCoL  -^  iC ^  -^-  2 G" Y  =  o. 

On  ne  peut  supposer  les  trois  coefficients  des  variables  nuls,  car 
les  équations  ©^  =  o,  cp^  =  o,  cpÇ  =  o  entraîneraient  cp (a,  [3,  y)  =  o, 
ce  qui  est  contraire  à  notre  hypothèse. 

Nous  arrivons  ainsi  à  cette  conclusion  :  dans  toute  quadrique,  le 
lieu  des  milieux  des  cordes  parallèles  à  une  direction  non  asympto- 
tique  est  un  plan  à  distance  finie,  qu'on  nomme  le  plan  diamé- 
tral conjugué  à  la  direction  donnée. 

Deuxième  cas  :  ç)(a,  ^,y)  =  o.  —  Toute  parallèle  à  la  direc- 
tion donnée  D,  menée  par  un  point  quelconque  M,  rencontre  la 
surface  au  plus  en  un  seul  point  à  dislance  finie;  donc,  quelle  que 
soit  la  position  de  M,  il  est  impossible  que  ce  point  soit  le  milieu 
d'une  corde  parallèle  à  D.  Toutefois,  il  peut  arriver  que  l'équation 
ay^-f-  ,3y^'.  4-  y/-'  =  o  représente  encore  un  plan  à  dislance  finie. 

Les  équations  a^  =  o,  (p ^  =z=  o,  cpÇ  ^  o  n'ont  de  solution  autre  que 
zéro,  que  si  A  =  o.  Supposons  donc  A^o;  dans  ce  cas,  malgré 
l'hypothèse  !:p(a,  |3,  y)  =  o,  les  coefficients  des  variables  ne  sont  pas 
tous  nuls  et  l'équation  (2)  représente  un  plan  P  à  distance  finie, 
parallèle  à  la  direction  a,  |i,  y,  puisque  l'on  suppose 

D'après  cela,  si  par  un  point  M  pris  dans  le  plan  P  on  mène  une 
parallèle  à  la  direction  (a,  p,  y),  cette  parallèle  sera  dans  ce  plan,  et, 
comme  les  coefficients  de  p^  et  de  p  sont  alors  nuls,  l'équation  (i) 


232  CHAPITRE    X\. 

s'abaisse  au  degré  zéro,  d'où  il  résulte  que  la  parallèle  considérée 
rencontre  la  surface  en  deux  points  à  l'inlini  :  c'est  donc  une  asym- 
ptote. Si  l'on  suppose  de  plus  que  M  soit  sur  la  surface/,  la  sécante 
sera  tout  entière  sur  la  surface,  carl'équation(i)  disparaît  alors  iden- 
tiquement. On  en  conclut  que  le  plan  P  coupe  la  quadrique  suivant 
deux  droites  parallèles  à  la  direction  D;  ce  plan  est  le  plan  asym- 
ptote parallèle  à  cette  direction. 

On  peut  montrer  sans  calcul  que  le  plan  P  est  parallèle  à  D.  En  effet,  ce 
plan  est  le  lieu  des  points  M  tels  que  la  parallèle  à  A  menée  par  M  ne  ren- 
contre la  surface  q«u'à  l'infini;  donc,  si  M'  est  un  point  de  cette  parallèle,  la 
parallèle  à  D  menée  par  M'  étant  la  droite  MM'  elle-même,  M'  appartient  au 
lieu  et  se  trouve  par  suite  dans  le  plan  P. 

On  peut  regarder  encore  ce  plan  comme  un  plan  diamétral  :  en 
effet,  considérons  une  sécante  parallèle  à  D  et  non  située  dans  le 
plan  P. 

Cette  sécante  rencontrant  la  surface  en  un  seul  point  à  distance 
finie,  le  milieu  de  la  corde  correspondante  est  à  l'infini,  dans  la 
direction  D;  c'est  donc  un  point  du  plan  P.  Si  la  sécante  est  dans  le 
plan  P,  les  deux  points  d'intersection  étant  à  l'infini,  le  milieu  de  la 
corde  est  un  point  quelconque  de  la  sécante,  et  il  en  est  encore  de 
même  si  la  sécante  est  tout  entière  sur  la  surface.  On  voit  ainsi  que 
tous  les  points  du  plan  P  peuvent  être  considérés  comme  des  milieux 
de  cordes  parallèles  à  D;  ce  plan  est  donc  un  plan  diamétral  singu- 
lier. 

Il  resterait  à  examiner  encore  le  cas  où  A  =  o,  l'un  des  trois  coef- 
ficients tp^,  (d'q  ou  o'y  étant  différent  de  zéro;  nous  y  reviendrons  plus 
loin(n°W): 

Troisième  cas.  —  Supposons  cp^  =  o,  93  =  0,  (s'y=o,  les  para- 
mètres a,  p,  Y  n'étant  pas  tous  nuls,  bien  entendu  ;  on  a  donc  A  =  o  ; 
si  en  outre  on  suppose  Ca  -f-  G'[3-f-  C'y  ^  o,  on  voit  qu'en  suppo- 
sant par  exemple  5  ^  o,  on  a  A,  ^  o.  C'est  donc  le  cas  des  parabo- 
loïdes  ;  le  plan  P  est  alors  à  l'infini.  On  a  ainsi 

a/i+P/j+T/3  =  const. 

ce  qui  exprime,  comme  nous  le  savons,  que  les  plans  du  centre 
d'une  paraboloïde  sont  parallèles  à  une  même  droite. 

Quatrième  cas.  —  Supposons  que  dans  l'équation  (i)le  coefficient 


PLANS    DIAMÉTRAUX.  233 

de  p  soit  identiquement  nul.  On  a  alors 

ce  qui  exprime  que  les  plans  du  centre  ont  une  droite  commune; 
c'est  le  cas  des  cylindres;  la  direction  asymptotique  est  celle  des 
génératrices;  pour  cette  direction  le  plan  P  est  indéterminé. 

Remarques.  —  i°  Les  plans  du  centre  sont  les  plans  diamétraux 
conjugués  aux  directions  des  axes  des  coordonnées. 

2°  Le  terme  constant  de  l'équation  de  la  quadrique  n'intervient 
pas  dans  l'équation  du  plan  diamétral  conjugué  à  une  direction 
donnée  :  donc  le  plan  diamétral  conjugué  à  cette  direction  est  le  même 
pour  une  quadrique  et  pour  son  cône  asymptote.  Tl  en  résulte  que,  si 
une  droite  est  coupée  en  A  et  B  par  un  hyperboloide  et  en  A'  et  B'  par 
le  cône  asymptote  de  cet  hyperboloide,  on  a 

AÂ'  =  BB'. 

246.  Théorème.  —  Dans  une  surface  à  centre  unique,  tout 
plan  diamétral  passe  par  le  centre  et  réciproquement. 

En  effet,  les  équations  du  centre  étant  f!^  =  o,  f'y=^  o,  f'^  =  o, 
tout  plan  dont  l'équation  est  de  la  forme  (2)  passe  par  le  centre. 
Réciproquement,  les  trois  plans  du  centre  formant  un  trièdre,  tout 
plan  passant  par  le  centre  peut  être  représenté  par  une  équation  de 
la  forme  (2)  :  c'est  donc  le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction 
a,  p,  Y-  Mais  ce  plan  peut  être  un  plan  diamétral  singulier. 

247.  Théorème.  —  Dans  une  sur/ace  à  centre  unique  à  l'in- 
fini, les  plans  diamétraux  sont  parallèles  à  une  droite  fixe. 

En  effet,  on  peut  mettre  l'équation  d'une  telle  surface  sous  la 
forme 

PQ  +  R  =  o 
où 

P  =  ax  -t-  by  -f-  cz, 
Q  =  a'x  •+■  b' y  4-  c  z, 
R  =  a' X  4-  b'y  -\-  c" z  -+-  D, 

les  coefficients  de  P  et  de  Q  étant  d'ailleurs  réels  ou  imaginaires. 


234  CHAPITRE   XV. 

On,a 

tout    plan  diamétral  est  parallèle  à  l'intersection  des  plans  P,  Q, 
c'est-à-dire  des  plans  directeurs.  Les  plans  du  centre  sont  donc  pa- 
rallèles à  cette  même  droite. 
Supposons  que 

cp(  a,  p,Y)==(aa-i-6p-i-CY  )(«'«-+- 6' p-f-c'Y)  =  o; 

soit  par  exemple 

a%  -)-  6p  +  cy  =  o. 

Dans  ce  cas,  le  plan  diamétral  conjugué  a  pour  équation 

P(rt'a  +  è'P  +  c'y)+  «"3:  -f-  6"p  -f-  c"-[  =  o; 

il  convient  de  noter  que  ce  plan  est  à  distance  finie  tant  que  la  di- 
rection considérée  n'est  pas  parallèle  à  l'intersection  des  plans  di- 
recteurs. 

Au  contraire,  si  l'on  suppose 

«a -1- èp -I- cy  =  o         et         <z'a -1- 6'^  ■+■  c'y  =  o, 

on  ne  peut  pas  supposer  en  outre 

a"a-4-è"P-f-  c'y  =  o; 

puisque  P,  Q,  R  sont  trois  polynômes  distincts;  dans  ce  cas,  le  plan 
diamétral  est  rejeté  à  l'infini. 

218.  Théorème.  —  Tout  plan  diamétral  d^ un  cylindre  à 
centre  passe  par  la  ligne  des  centres. 

Car  les  équations/^  =  o,  /^  =  o,  /j  =:  o  représentant  trois  plans 
ayant  une  droite  commune,  l'équation  ay^+  ^/y+y/z=  o  repré- 
sente un  plan  passant  par  cette  droite. 

249.  Théorème.  —  Tous  les  plans  diamétraux  d'un  cylindre 
parabolique  sont  parallèles  aux  plans  des  centres. 

En  effet,  les  équations  f^  =  o,  f^.  =  o,  fz  =  o  représentent  des 
plans  parallèles. 
On  peut  d'ailleurs  étudier  ce  cas  directement.   En  effet,  l'équa- 


PLANS    DIAMÉTRAUX.  235 

lion  d'un  cylindre  parabolique  est  de  la  forme 

où 

P  -—  ax  -\-  by  -\-  cz,         Q  =  a'x  -+-  b' y  -h  c' z  -t-  d' . 
Donc 

a/^+  P/;+Y/;  =  2P(«a4-6p-f-CY)-f-2(a'a-f-6'p  +  c'y). 

Le  plan  diamétral  est  à  l'infini  si  «  a  +  6  [3  +  c  y  =  o,  et  indéter- 
miné si  en  outre  a' ci  -{-  b'  '^  -\-  c'y  =  o. 

2o0.  Plans  diamétraux  des  systèmes  de  plans  parallèles.  — 
En  remplaçant  dans  l'équation  précédente  Q  par  une  constante  et  P 
par  un  poljnome  linéaire  complet,  on  voit  que  le  plan  diamétral  con- 
jugué à  une  direction  quelconque  dans  un  sytème  de  deux  plans  pa- 
rallèles est  le  plan  équidistant  de  ces  deux  plans.  Il  est  indéterminé, 
si  la  direction  des  cordes  est  parallèle  aux  plans  donnés. 

Remarque.  —  On  peut  dire  que,  dans  toute  quadrique,  un  pian 
diamétral  passe  par  le  centre  ou  parle  lieu  des  centres. 

2ol.  Problème.  —  Un  plan  étant  donné,  ce  plan  peut-il  être  regardé 
comme  un  plan  diamétral  d'une  quadrique  donnée? 

II  faut  que  l'on  puisse  mettre  l'équation  de  ce  plan  sous  la  forme  (2).  Donc 
ce  plan  doit  passer  par  tout  centre  de  la  surface.  Nous  avons  déjà  étudié  le 
cas  d'une  quadrique  à  centre  unique.  Le  cas  des  cylindres  à  centres  est  à 
remarquer.  Prenons  la  ligne  des  centres  pour  axe  des  z\  l'équation  du 
cylindre  sera 

Aar2-f- A>2-i-  D  =  o. 

Il  s'agit  d'identifier  l'équation 

ux-^vy-\-wz-\-h=^o 
avec 

Aa.r  -f-  A' j3_/  =  o. 

On  a  les  conditions  tv  =  o,  A  =  o  et  pour  déterminer  a  et  p  : 

Aa  _  A'P 
u    ~     V 

Il  y  a  donc  une  infinité  de  cordes  parallèles  à  un  plan  et  telles  que  le  plan 
diamétral  conjugué  à  l'une  quelconque  de  ces  cordes  coïncide  avec  un  plan 
donné  passant  par  la  ligne  des  centres. 


236  CHAPITRE    XV. 

252.  Exercice.  —  Trouver  une  surface  du  second  degré  telle  que  les 
plans  diamétraux  conjugués  à  deux  directions  différentes  soient  paral- 
lèles. 

La  surface  cherchée  ne  peut  être  de  la  première  classe. 
Considérons  un  paraboloïde  dont  l'équation  peut  être  mise,  comme  on  l'a 
vu,  sous  la  forme 

Les  plans  diamétraux  conjugués  à  deux  directions  (a,  p,  y)  et  (a',  P',  y') 
ont  pour  équations 

k^y  -\-  k'-^z  -f- a  =  o, 

A  P'jK -+- A'y'z -f- a' =  0. 

Ces  plans  sont  parallèles  si 

i-1 
P'-y'' 

ce  qui  exprime  que,  si  l'on  mène  par  un  point  une  parallèle  à  l'intersection 
des  plans  directeurs  et  une  parallèle  à  chacune  de  ces  directions,  les  trois 
droites  obtenues  doivent  être  dans  un  même  plan. 


Diamètres. 

253.  On  nomme  diamètre  l'intersection  de  deux  plans  diamé- 
traux d'une  quadrique.  Tout  diamètre  passe  par  chaque  centre  de  la 
quadrique.  Dans  une  surface  à  centre  unique,  toute  droite  passant 
par  le  centre  est  un  diamètre.  Dans  un  paraboloïde,  tous  les  dia- 
mètres sont  parallèles.  Dans  le  cas  d'un  cjlindre,  il  n'y  a  qu'un  dia- 
mètre, qui  coïncide  avec  la  ligne  des  centres.  Si  le  cylindre  est 
parabolique,  le  diamètre  est  rejeté  à  l'infini. 

254.  Théorème.  —  Les  plans  diamétraux  conjugués  à  toutes 
les  cordes  parallèles  à  un  plan  donné  P  passent  par  une  droite 
qu'on  nomme  le  diamètre  conjugué  du  plan  P  et  qui  est  le  lieu 
des  centres  des  sections  faites  dans  la  quadrique  par  des  plans 
parallèles  au  plan  P. 

Soit 

ux  -\-  vy  ■+-  wz  =  o 

l'équation  du  plan  donné,  qu'on  peut  supposer  mené  par  l'origine 
des  coordonnées.  Soit 


PLANS   DIAMÉTRAUX.  287 

l'équation  du  plan  diamétral  conjugué  à  une   direction    (a,  |3,  y) 
telle  que 

Il  est  évident  que  le  plan  diamétral  considéré  contient  la  droite 
ayant  pour  éciuations 

U  V  w 

On  peut  d'ailleurs  remarquer  que,  si  l'on  suppose,  par  exemple, 

^                      i              1                               «a  -f-  f  8      ,  ,, ,  . 

W  ^  o,  on  peut  remplacer  y  par !-;  de  sorte  que  1  équation 

du  plan  diamétral  devient 


.(/;-f:/;)-p(/;-£/;)  =  o. 


et  sous  cette  forme  on  voit  que,  cette  équation  renfermant  le  para- 
mètre ^  au  premier  degré,  le  plan  qu'elle  représente  pivote  autour 
de  la  droite  ayant  pour  équations 


w 


Lorsque  le  j)lan  P  coupe  la  quadrique  suivant  une  conique  à 
centre,  le  lieu  des  centres  des  sections  faites  par  des  plans  parallèles 
au  plan  P  est  la  droite  précédente.  Ce  résultat  est  évident  géométri- 
quement, car  si  par  le  centre  M  d'une  de  ces  coniques  on  mène  une 
corde  PQ  parallèle  au  plan  P(ce  qui  est  possible),  le  plan  diamétral 
conjugué  à  la  direction  PQ  passe  par  M;  le  point  M  appartient  donc 
à  tous  les  plans  diamétraux  considérés  et  par  suite  à  la  droite  qu'ils 
contiennent  tous;  cette  droite  est  donc  bien  le  lieu  des  centres  des 
sections  faites  par  des  plans  parallèles  à  P. 

On  établit  facilement  ce  résultat  par  le  calcul.  Soit  en  effet 
M[xQ,yQ^  So)  le  centre  d'une  de  ces  coniques.  Si  l'on  mène  par  M 
une  corde  de  direction  (a,  p,  y)  on  a,  le  point  M  étant  le  milieu  de 
cette  corde, 

Cette  équation  est  vérifiée  par  tous  les  systèmes  de  solutions  de 

l'équation 

«a  -t-  f  p  -t-  ivy  =  o. 


238  CHAPITRE   XV. 

Ces  deux  équations  du  premier  degré  devant  avoir  les  mêmes 
solutions,  ont  leurs  coefficients  proportionnels;  donc 

Jt„  Jva  J^n 


_  _rp 

u  V 


255.  Remarque.  —  Il  peut  se  faire  que  le  plan  P  coupe  la  quadrique 
donnée  suivant  une  parabole  et  que  néanmoins  le  diamètre  conjugué  à  ce 
plan  soit  à  distance  finie.  Gela  est  facile  à  expliquer  :  parmi  les  plans  paral- 
lèles à  P  il  s'en  trouve  un  qui  coupe  la  quadrique  suivant  deux  droites  pa- 
rallèles; le  lieu  des  centres  sera  la  droite  équidistante  de  ces  deux  droites  et 
située  dans  leur  plan. 

Prenons  le  plan  P  pour  plan  des  x,  y  et  rapportons  la  section  à  son  axe  et 
à  sa  tangente  au  sommet  et  supposons  en  outre  que  le  plan  xOz  soit  le 
plan  diamétral  conjugué  à  la  direction  des  y.  L'équation  de  la  quadrique 
sera  de  la  forme 

y"^ —  '>.px  -\-  A"^2_^  -iB'zx  -h  ^C"z  =  o. 

Le  diamètre  conjugué  au  plan  des  x,  y  a  pour  équations 

fx  =  o,  /y  =  o, 

c  est-a-dire 

B's  — p  =  0,        y  =  o. 

Or  la  section  de  la  surface  par  le  plan  B'^  — ^  =  o  a  pour  équa- 
tions 

Bz-p  =  0,  J.2-H  -g^  +2   -gf    =0, 

cette  section  se  compose  donc  de  deux  droites  équidistantes  du  dia- 
mètre trouvé.  Si  B'=  o,  le  diamètre  est  à  l'infini. 

2o6.  Théorème.  —  Le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction 
du  diamètre  conjugué  à  un  plan  P  est  parallèle  à  ce  plan. 

En  effet,  la  parallèle  au  diamètre  trouvé,  menée  par  l'origine,  a 
pour  équations 

u  V         w 

Si  l'on  nomme  );,  ix,  v  les  paramètres  directeurs  de  cette  droite, 
on  a  donc 

u  V  w 

le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction  (X,  a,  v)  a  pour  équation 

.rca^-H_;^cp'  -f-3cp^-i-  aCX  -)-^G'[jL  -)-  aCv  =  o, 


PLANS    DIAMÉTRAUX.  289 

c'est-à-dire 

UX  -h  Vy  -h  IV z  -h  h  =  o, 

h  étant  une  constante,  ce  qui  démontre  la  proposition. 

On  peut  donc  définir  le  diamètre  conjugué  à  un  plan  P  :  un 
diamètre  tel  que  le  plan  diamétral  conjugué  à  sa  direction  soit 
parallèle  au  plan  P. 

257.  Problème.  —  Mener  par  un  point  donné  A(a7o,^o>^o)  "^  plan 
gui  coupe  une  quadrique  donnée  suivant  une  conique  ayant  son  centre 
en  A. 

L'équation  du  plan  demandé  est  de  la  forme 

u(x  -Xo)H-t'(^— 7o)+«^(-  — -o)  =  o; 
le  point  A  devant  être  sur  le  diamètre  conjugué  à  ce  plan,  on  doit  avoir 

f  f  f 

J  x„    ./r„    J  Zn  . 

a  V  w 

donc  l'équation  demandée  est 

{x—x^)f\.^^{y  -jKo  )/;„-+-(-  —  -o)/;„= o. 

EXERCICES. 

1.  Trouver  l'équation  de  la  surface  diamétrale  conjuguée  à  une  direction 
donnée  et  relative  à  une  surface  algébrique  quelconque. 

Appliquer  la  méthode  à  la  surface  ayant  pour  équation 

a73_|_^3_|_  33 —  "^xyz  -1-1  =  0. 

1°  Pour  une  direction  quelconque  de  cordes;  2"  pour  des  cordes  parallèles 
au  plan  x  -{- y  -^  z  =■  o. 

2.  Lieu  des  centres  des  moyennes  distances  des  points  d'intersection 
d'une  surface  algébrique  et  d'une  sécante  variable  parallèle  à  une  direction 
donnée. 

3.  Trouver  le  lieu  des  cordes  d'une  quadrique  qui  ont  leur  milieu  en  un 
point  donné. 

4.  Lieu  des  cordes  d'une  quadrique,  telles  qu'un  point  donné  les  partage 
toutes  dans  un  rapport  donné. 

5.  Démontrer  les  théorèmes  de  Newton,  Mac-Laurin  {voir  t.  II,  p.  73,  les 
théorèmes  relatifs  aux  courbes)  pour  une  surface  quelconque.  Appliquer  ces 
théorèmes  à  une  quadrique  et  considérer  en  particulier  des  sécantes  issues 
du  centre. 

M-^OfiMi       ■   


2^0 


CHAPITRE    XVI. 


CHAPITRE  XVI. 

PLANS  PRINCIPAUX.  —  CORDES  PRINCIPALES.  —  AXES. 
ÉQUATION  EN  S. 


258.  On  nomme  plan  principal  tout  plan  diamétral  perpendicu- 
laire aux  cordes  qu'il  divise  en  parties  égales;  la  direction  de  ces 
cordes  est  alors  appelée  direction  principale. 

1°  Supposons  les  axes  de  coordonnées  rectangulaires.  Le  plan 
diamétral  conjugué  à  la  direction  (a,  [3,  y)  ayant  pour  équation 

(i)  ^?cx+J'?3+  •^?y  +  '^^"^  ^~  aC'P  -I-  2G"y  =  o; 

la  direction  donnée  sera  une  direction  principale  si 


(2) 


?3 

T 


cp,, 
T 


En  prenant  comme  inconnue  auxiliaire  la  valeur  commune  de  ces 
rapports,  que  nous  appellerons  2  S,  nous  devrons  trouver  des  valeurs 
non  toutes  nulles  de  a,  [^,  y,  vérifiant  le  système 

(3)  f<Fâ=S«,        i?p=Sp,        i<pV=SY, 

ou,  en  développant, 


(4) 


(A  — S)a4-R"p  +  B'Y  =  o, 
B"a  +  (A'— S)^-+-By  =o, 
B'a4-Bp-l-(A*-  S)y  =  o. 


Pour  que  ces  équations  soient  vérifiées  par  des  valeurs  de  a,  ^3,  y 
non  toutes  nulles,  il  faut  et  il  suffît  que  S  soit  racine  de  l'équation 
suivante,  dite  équation  en  S, 


(5) 


A(S) 


A  —  S         B"  B' 

B"        A'— S         B 
B'  B         A"— S 


ou,  en  développant, 

—  A(S)  =  S3  — (A  +  A'-}-A")S2+(a-ha'-Ha")S  -  A  =  o, 


PLANS    PRINCIPAUX.  24 1 

rt,  «',  a!'  étant  les  mineurs  symétriques  du  déterminant  A,  de  sorte 
quea  =  A'A"-BS  a,'=A"A  — B'^,  «"zzz  AA'— B"». 

'1°  Supposons  les  axes  obliques.  Dire  que  le  plan  diamétral  conjugue  à  la 
direction  a,  p,  y  est  perpendiculaire  à  celte  direction  revient  à  dire  qu'il  est 
parallèle  au  plan  diamétral  conjugué  à  la  même  direction  dans  une  sphère. 
Donc,  la  direction  considérée  sera  une  direction  principale  si 

Ta  _  ?^  _  ?Y 
Si  l'on  désigne  par  S  la  valeur  commune  de  ces  rapports,  on  a  alors 

L'équation  en  S  provenant  de  l'élimination  de  a,  p,  y  s'obtient  donc  en  éga- 
lant à  zéro  le  discriminant  de  la  forme 

^(x,y,z)  —  S'\i(x,y,  z). 
Discussion  de  l'équation  en  S. 

MÉTHODE    DE    MM.    KtlONECKER    ET    WALECKI. 

2o9.  A(S)  est  le  discriminant  de  la  forme 

Soit  a -^  bi  une  racine  de  l'équation  A  (S)  =  0;  pour  cette  valeur  de  S,  la 
forme  précédente  est  la  somme  de  deux  carrés  au  plus,  et  l'on  peut  poser 

<:^{x,y,z)  —  {a^bi){x^-\-y^+z-^)^{V^'P' iy -;-  ( Q  -+-  Q'  t )2, 

P,  P',  Q,  Q'  désignant  des  polynômes  entiers  en  x,  y,  z  à  coefficients  réels; 
quelques-uns  de  ces  polynômes  pouvant  d'ailleurs  être  identiquement  nuls. 
Or  on  peut,  et  cela  d'une  infinité  de  manières,  attribuer  à  x,  y,  z  des  valeurs 
Xo,  yo,  Zo  non  toutes  nulles  pour  lesquelles  les  polynômes  P'  et  Q'  (qui  sont, 
au  plus,  au  nombre  de  deux)  se  réduisent  à  zéro.  On  a,  pour  ces  valeurs, 

fi^o,yo,  ^0)  -ia-^  bi){xi-^yl-+-  zi)  =  Pi-r-  qi, 

Po  et  Qo  étant  ce  que  deviennent  P  et  Q  après  la  substitution.  Le  second 
membre  de  cette  égalité  étant  réel,  il  en  est  de  même  du  premier,  ce  qui 
prouve  que  6(a-g -f- j§ -t-  z^)  =  o,  c'est-à-dire  6  =  0. 

La  démonstration  précédente  s'étend  à  l'équation  obtenue  en  égalant  à 
zéro  le  discriminant  de  la  forme 

a{Xi,Xi,  ...,Xn)  —  S(fi{Xi,X.2,   .  .  .,  Xn), 

'^{xijXi,  ...,x„}  désignant  une  forme  quadratique  quelconque,  et 

ç>,(a-,,a:2,  ...,x„) 
NiEWENOLOWSKI.  —  G.  an.,  III.  16 


242  CHAPITRE    XVI. 

une  forme  quadratique  définie.  En  particulier  elle  s'applique  à  l'équalion  en  S 
relative  à  des  axes  obliques  (2S9,  2°). 

Conditions  pour  que  l'équation  A(S)  =  o  ait  une  racine  multiple.  — 
Il  s'agit  de  savoir  si  l'on  peut  déterminer  S  de  façon  que  A(S)  =  o  et 
A'(S)  =  0.  Or,  on  trouve 

—  A'(S)  =  «g-T-  «g  -4-  «g, 

en  désignant  par  «g,  «g,  «g  les  mineurs  symétriques  de  A(S).  Mais,  en  vertu 
de  la  remarque  faite  plus  haut  (224),  si  A(S)  =0,  S  étant  dès  lors  réel,  deux 
mineurs  symétriques  de  A(S)  qui  seraient  différents  de  zéro  auraient  le  même 
signe;  la  somme  de  ces  trois  mineurs  devant  être  nulle,  chacun  d'eux  est  né- 
cessairement nul,  et  il  en  est  alors  de  même  des  trois  autres  mineurs.  Réci- 
proquement, si  tous  les  mineurs  du  premier  ordre  de  A(S)  sont  nuls,  il  est 
clair  que  A(S)  =  o  et  A'(S)  =  o.  Donc,  pour  que  l'équation  en  S  ait  une  ra- 
cine multiple,  il  faut  et  il  suffit  qu'il  y  ait  une  valeur  de  S  pour  laquelle  les 
mineurs  du  second  degré  de  A(S)  soient  nuls,  c'est-à-dire  : 

j  (A'— S)(A"— S)  — B2  =0,         B(A  —  S)  — B'B"=o, 

(6)  (A"— S)(A  — S)  — B'2  =  o,         B'(A'— S)  — B'B  =0, 

(  (A  —  S)(A'— S)  — B"2=o,         B"(A"— S)-BB'  =0. 

Pour  que  S  soit  racine  triple,  il  faut  en  outre  que  A"(S)  =  o,  c'est-à-dire  : 

A  -  S  -+-  A'—  S  -1-  A"  -  S  =  o. 

Mais,  en  vertu  des  équations  (6),  deux  des  trois^différences  A  —  S,  A' —  S, 
A" —  S  qui  ne  seraient  pas  nulles,  devant  avoir  le  même  signe,  on  en  conclut 
que,  chacune  de  ces  différences  doit  être  nulle,  et  par  suite,  toujours  en 
vertu  des  équations  (6),  on  doit  avoir 

(7)  A  =  A'=A"=S,         B  =  B'=B"=o. 

Réciproquement,  si  ces  conditions  sont  remplies,  on  voit  immédiatement 
que  A(A)  =  o,  A'(A)  =  o,  A"(A)  =  o,  et  par  suite,  dans  le  cas  de  la  sphère 
et  seulement  dans  ce  cas,  l'équation  en  S  a  une  racine  triple,  égale  au  coeffi- 
cient de  x'^.  Si  les  équations  (6)  peuvent  être  vérifiées  et  si  la  surface  n'est 
pas  une  sphère,  l'équation  en   S  a   donc   une   racine  double. 

Si  aucun  des  coefficients  B,  B'  ou  B"  n'est  nul,  on  tire  des  équations  (6) 

c       A        B'B"            ^                B"B            j^          „       BB' 
S=A g-,  S  =  A ~,  S  =  A ^, 

et  par  suite  on  doit  avoir 

B'B"  _  B"B  _     „      BB' 

Ces  conditions  sont  donc  nécessaires  pour  que  l'équation  en  S  ait  une  ra- 
cine double,  quand  B,  B',  B"  sont  différents  de  zéro;  elles  sont  suffisantes,  car 
si  elles  sont  remplies  et  si  l'on  remplace  S  par  la  valeur  commune  de  ces 
expressions,  on  voit  que  les  équations  (6)  sont  vérifiées. 


PLANS    PRINCIPAUX.  243 

Supposons  en  second  lieu  B"  =  o  ;  la  dernière  des  équations  (6)  montre  qu'un 
second  coefficient  des  rectangles,  par  exemple  B',  doit  être  nul  :  donc  si  un 
seul  des  coefficients  des  rectangles  est  nul,  l'équation  en  S  a  ses  trois  racines 
siniplos. 

Supposons  enfin  B"=  o,  B'=:  o  et  B  j^^  o;  les  équations  (6)  donnent  alors 

S  =  A,        (A'— A)(A"— \)— B2=o. 
Si  B  —  B'  =  B"  =  o,  les  équations  (G)  se  réduisent  à 

(A'— S)(A"— S)=r  o,         (A"-S)(A  — S)  =  o,         (A  -  S)(A'— S)  =  o 

et  il  suffit  alors  que  deux  des  coefficients  A,  A',  A"  soient  égaux,  et  leur 
valeur  commune  est  alors  la  racine  double. 
En  résumé,  si  B"  =  o,  les  conditions  sont 

B'=o,         (A'— A)(A"— A)-B-2  =  o       et      S  ==  A 

ou 

B  =  o,        (A  —  A')  (A"—  A')  —  B'2  =  o      et       S  =  A'. 

Ainsi,  il  faut  deux  conditions  pour  que  l'équation  en  S  ait  une  racine 
<iouble,  quand  les  coefficients  sont  réels. 

On  peut  résumer  ainsi  la  discussion  : 

Pour  que  l'équation  en  S  ait  une  racine  double,  il  faut  et  il  suffit  qu'il 
existe  une  valeur  de  S  telle  que  (^{x,y,z)  —  S(x^-\-  y^-h  z^)  soit  un  carré 
parfait;  et  pour  qu'elle  ait  une  racine  triple,  que  cette  forme  soit  identique- 
ment nulle. 

APPLICATION    DE   l'ÉQUATION    EJV   X. 

260.  L'équalion  en  S  n'esl  pas  autre  chose  que  l'équation  en  À  re- 
lative aux  deux  coniques  ayant  pour  équations,  dans  le  plan  xOy, 

\x--i-  iWxy  -+-  A'j'2_}_-2B'a:-f-  iBy  -+-  A"=  o,         x--{-y^-^i  —  o. 

l.a  seconde  équation  représentant  une  conique  imaginaire,  les 
quatre  points  communs  aux  deux  coniques  considérées  sont  néces- 
sairement imaginaires,  ce  qui  prouve  que  l'équation  en  \  relative  à 
ces  coniques  a  ses  trois  racines  réelles. 

En  second  lieu,  pour  que  l'équation  en  À  ait  une  racine  double,  il 
faut  et  il  suffit  que  les  deux  coniques  soient  tangentes;  le  point  de 
contact  étant  nécessairement  imaginaire,  les  deux  coniques  sont  alors 
tangentes  en  deux  points  imaginaires  conjugués;  donc  si  l'on  rem- 
place \  par  la  racine  double  S,  on  a 

o{x,y,  I)  — S(a:-2-i-^2+i)  =  sP«. 


2^4  CHAPITRE    XVI. 

L'équation  en  "k  aura  une  racine  triple  si  les  deux  coniques  ont  un 
contact  du  second  ordre;  mais,  le  point  de  contact  étant  imaginaire, 
il  j  aurait  un  second  contact  du  second  ordre,  imaginaire  conjugué 
du  premier,  ce  qui  est  impossible  à  moins  que  les  deux  coniques  ne 
coïncident;  dans  ce  cas,  la  quadrique  proposée  est  une  sphère. 


METHODE    DE    CAUCHY. 


261.  Premier  cas  :  B,  B'  et  B"  différents  de  zéro.  —  Si  l'on  déve- 
loppe A(S)  suivant  les  éléments  de  la  première  ligne,  on  peut  écrire 

(A—  S)  [(A'—  S)  (A"—  S)  —  B2]  —  B'2(A'—  S)  —  B"2(A"—  S)  ^-  aBB'B"  ^  o. 

L'équation  (A.' — S)(A"  —  S)  —  B2=o  a  deux  racines  réelles  et 
inégales;  on  le  voit  en  substituant  — oo,  A'  ou  A"  et  +00.  Soit  a  la 
plus  petite  racine,  qui  est  inférieure  à  A'  et  à  A"  et  soit  [îi  la  plus 
grande,  qui  est  supérieure  à  A'  et  à  A".  Substituons  à  S,  dans  A(S), 
successivement  — 00,  a,  [B,  +  go.  On  a 

A(a)  ^  —  B'2(A'—  a)  —  B"2(A"—  a)  +  aBB'B", 

c'est-à-dire 

[B'(A'— a)-BB"]2 


et  de  même 


A(a) 

A(P)  =  - 


A'— a 

[B'(A'— P)  — BB"]2 

A'-p 


Si  les  deux  numérateurs  des  fractions  précédentes  sont  différents 
de  zéro,  on  a  le  tableau  suivant  : 

SI  —  co      a       P      H-  00 
A(S)|    -+-—+       — 

Dans  ce  cas,  les  trois  racines  sont  réelles,  distinctes  et  séparées 
par  les  intervalles  précédents.  L'équation  B'(A'— S)  —  BB"=o 
étant  du  premier  degré,  il  peut  arriver  que  l'un  des  nombres  a  ou  ^ 
soit  une  racine  de  cette  équation 5  supposons  que  ce  soit  a.  Dans  ce 
cas,  A(a)  =  o.  L'équation  en  S  a  alors  une  racine  égale  à  a  et  une 
racine  comprise  entre  ^  et  4-oc;  sa  troisième  racine  est  donc  réelle 
et  peut  d'ailleurs  être  égale  à  a  ou  en  être  distincte. 


PLANS  PRINCIPAUX.  245 

Deuxième  cas.  —  IJ  un  des  coejficients  des  rectangles,  par 
exemple  B"=  o. 

A(S)s(A  — S)[(A'-S)(A''— S)-B2]  — B"-(A'-S). 

En  suivant  la  méthode  précédente,  on  reconnaît  que  les  Irois 
racines  sont  réelles  et  toujours  distinctes. 

Troisième  cas.  —  Deux  des  coejjicients  des  rectangles  sont  nuls. 

B'=-B"=o. 

A(S)  =  (A  — S)[(A'— S)(A"-S)-B2]. 

Les  trois  racines  sont  réelles  et  égales  à  A,  a,  [îi. 

Dans   ce  cas,    il  y  aura   une  racine  double  si  A.=  a  ou  A=:P, 

c'est-à-dire  si 

(A'— A)(A"— A)  — B2=o, 

et  il  ne  peut  y  avoir  de  racine  triple. 
Qlatkièmê  cas.  —  B  =  B'=  B"=  o, 

A(S)e=(A  — S)(A'— S)(A"-S). 

Les  racines  sont  mises  en  évidence.  Il  y  a  une  racine  double  si 
<leux  des  coefficients  A,  A' ou  A"  sont  égaux.  Si  A=  A',  la  racine 
double  est  égale  à  A.  Si  A  =  A'=  A",  A  est  racine  triple. 

Conditions  pour  que  V équation  en  S  ait  une  racine  double. — 
Nous  n'avons  plus  à  nous  occuper  que  du  cas  oîi  B,  B',  B"  sont  dif- 
férents de  zéro.  Il  résulte  de  la  discussion  faite  dans  le  premier  cas 
que  l'équation  A(S)  =  o  ne  peut  avoir  de  racine  double  différente 
de  a  ou  de  (3.  On  doit  donc  avoir,  si  S  est  racine  double, 

(A'— S)(A"— S)-B2=o,         B'(A'— S)  — BB"=o     et     A'(S)  =  o. 

On  tire  des  deux  premières  équations 

.,      ^      BB"  .„      „       BB' 

Mais 

-A'(S)  =  (A'— SXA'— S)  — B2-4-(A''— S}(A  — S)-B'2+(A  — S)(A'— S)  — B'2, 

en  égalant  à  zéro  et  tenant  compte  des  valeurs  trouvées  pour  A'  —  S 
et  A" —  S,  il  vient 

(A-S)(H:  +  :^)=.B'^-hB^ 


2/|6  CHAPITRE   XVI. 

c'est-à-dire 

A-S=-g-. 

On  obtient  ainsi  les  conditions  nécessaires 

B'B"       .,      BB"       .„      BB' 

et  la  valeur  commune  de  ces  expressions  est  précisément  la  racine 

double.  Réciproquement,  si  ces  conditions  sont  remplies  et  si  l'on 

pose 

B'B"  BB"  BB' 

on  vérifie  immédiatement  que  A(S)  =  o,  A'  (S)  =  o. 

Les  conditions  précédentes  sont  donc  nécessaires  et  suffisantes 
pour  que  A(S)  =  o  ait  une  racine  au  moins  double. 

Conditions  pour  que  Véquaùon  en  S  ait  une  racine  triple.  — 
Il  s'agit  de  trouver  à  quelles  conditions  il  existe   une  valeur  de  S 

telle  que 

A(S)  =  o,         A'(S)  =  o,         A"(S)=o. 
Or 

2A"(S)  =  A  —  S  +  A'— S  +  A"— S. 

Mais  en  vertu  des  deux  premières  conditions  A  —  S,  A' — S  et 
A" — S  ont  le  même  signe,  celui  de  BB'B";  donc  on  doit  avoir 
A  =  A'=A"^S,    ce  qui  est   impossible,   car  A — S   étant  égal  à 

R'  R" 

—j5— n'est  pas  nul;  donc,,  si  BB'B"^  o,  l'équation  n'a  pas  de  racine 

triple.  Supposons  donc,  par  exemple,  B"  =  o,  B'  =  o.  Dans  ce  cas, 
l'équation  ne  peut  avoir  une  racine  triple  que  si  B  ^  o  el 
A  =  A'  =  A". 

En  résumé,  l'équation  en  S  ne  peut  avoir  ses  trois  racines  égales 
que  si  l'équation  y(^,jV'5  s)  ^  o  représente  une  sphère. 

Remarque.  —  La  méthode  de  discussion  de  Gauchy  s'applique  à  une 
équation  A(S)  =  o,  dont  le  premier  membre  est  obtenu  en  retranchant  S  à 
chacun  des  éléments  de  la  diagonale  principale  d'un  déterminant  symétrique. 
Les  racines  de  l'équation  obtenue  en  annulant  le  déterminant  mineur  formé 
au  moyen  des  p  premières  lignes  el  des  p  premières  colonnes  séparent  les 
racines  de  l'équation  obtenue  en  annulant  le  mineur  formé  avec  les  jo -h  i 
premières  lignes  et  les/?-+-i  premières  colonnes. 


PLANS    PRINCIPAUX. 


MÉTHODE    DE    JAC015I. 


262.  Cette  méthode  ne  s'applique  qu'au  cas  où  l'on  suppose  BB'B"/^  o. 

Reprenons  les  équations  (4);  on  peut  les   transformer  de  manière   à  les 

rendre  plus  symétriques.  En  multipliant  le  premier  membre  de  la  première 

par  B,  on  obtient 

B(A  — S)a-^BB''p4-BB'Y  =  o, 

et,  par  suite,  si  l'on  pose 

B'B"a-    B"Bp-^BB'Y==V, 
cette  équation  s'écrit 

On  est  ainsi  conduit  à  poser 

A g-  =  h,         A —  =  h  ,         A  —  g^  ^  A  ; 

ce  qui  permet  d'écrire  les  équations  (4)  sous  la  forme 

(  V==Ba(S  — /î), 
(4)'  V  =  B'p(S -/.'), 

(  V  =  B"y(S-A''). 

On  reconnaît  ainsi  que  les  valeurs  de  a,  p,  y,  qui  correspondent  à  une  va- 
leur donnée  de  S,  sont  proportionnelles  à 


B(S— A)  B'(S— /i')  B"(S  — A")' 

résultat  que  nous  utiliserons  plus  loin. 

D'autre  part,  en  écrivant  les  équations  (4)'  de  cette  manière  : 

B'B"a, 

t 

et  en  ajoutant  membre  à  membre  ces  équations,  puis  supprimant  le  facteur  V, 
on  obtient  l'équation  en  S  sous  la  forme  que  Jacobi  lui  a  donnée  : 

B'B"  B"B  BB' 


B'B" 

V 

B 

S 

— 

A 

B"B 

V 

B' 

S 

— 

A' 

BB' 

V 

B(S— A)    '    B'(S  — A')    •    ii'\6  —  h") 

On  sait  discuter  les  équations  de   cette  forme  {voir,  par  exemple,  Cours 
d'Algèbre,  t.  II,  p.  igS). 


2^8  CHAPITRE   XVI. 

On  obtient  d'ailleurs  cette  équation  sous  forme  entière  en  posant,  dans  A(  S  ), 
A       1.       B'B"  ,,       ,,      B"B  .„       .„      BB' 

D  D  li 

et  simplifiant.  L'équation  en  S  prend  ainsi  la  forme 

BR' 

(/j_S)(/i'-S)(A"-S)+ -j^(A  — S)(/i'-S) 

-+-  ^  {h'  -  S)(A"-  S)  -+-  ^f  (A"-  S)(/i-  S)  =  o. 

On  discute  cette  équation  en  substituant  —  oo,  h,  h',  h",  -h  oo;  en  supposant, 
pour  fixer  les  idées,  h  <Ch' <C  h".  Si,  par  exemple,  BB'B"  est  positif,  elle  a  une 
racine  réelle  entre  h  et  h',  une  deuxième  entre  h'  et  h",  et  une  troisième 
entre  h"  et  -h  oo.  Ces  trois  racines  sont  donc  distinctes. 

Supposons  A  =  A' <  A";  dans  ce  cas,  S  —  A  est  en  facteur;  en  supprimant 
ce  facteur,  auquel  correspond  une  première  racine  réelle  A,  on  obtient 
l'équation 

r>r>'  /R'R"  R"R\ 

(/,_S)(A"_S)+^(A-S)H-(i^H-:yij(A"-S)  =  o, 

équation  de  même  forme,  qui  a  une  racine  réelle  comprise  entre  A  et  h"  et 
une  autre  racine  réelle  plus  grande  que  A"  ou  plus  petite  que  A,  suivant  que 
BB'B"  est  positif  ou  négatif. 

Enfin,  soit  A  —  A'  =  A".  Dans  ce  cas  (S  —  hy  est  en  facteur,  ce  qui  prouve 
que  l'équation  A(S)  =  o  aune  racine  double  égale  à  A  et  une  racine  distincte 
de  A.  On  retrouve  donc  un  résultat  déjà  obtenu,  à  savoir  que,  dans  le  cas  où 
les  coefficients  B,  B',  B'sont  tous  trois  différents  de  zéro,  les  conditions  pour 
que  l'équation  A(S)  =  o  ait  une  racine  double  sont  :  A  =  A'=  A". 

Remarque.  —  On  appelle  souvent  A,  A',  A"  les  nombres  de  Jacobi. 

MÉTHODE  DE  M.   LAURENT  POUR  EXPRIMER  QUE  l'ÉQUATIOK  A  (S)  =  O 
A  UJ^^E    RACIJVE  DOUBLE. 

263.  Orljfceut  dire  que  l'équation 

(7)  (A  — S)aH-B"p  +  B'Y  =  o 

est  l'équation  en  S,  pourvu  que  a,  p,  -{  soient  regardés  comme  définis  par  les 

équations 

(  B"a-v-(A'— S)p-i-BY=o, 


(8) 


B'a  +  Bp-f-(A"  — S)y  =  o, 


en  supposant,  en  outre,  par  exemple,  a^  -+-  ^2  _[_  ^2  —  j . 

Je  dis  que,  si  l'équation  A(S)  =  o  a  une  racine  double,  les  mineurs  de  A(S) 
sont  tous  nuls.  En  effet,  posons 

(A'  — S)(A"— S)  — B'-  =  a,         BB'-B"(A"-S)  =  6", 
BB"— B'(A'— S)=  6', 


PLANS   PRINCIPAUX.  249 

et  supposons  que  l'un  au  moins  des  mineurs  «,  6",    b'  soit  différent  de  zéro. 
On  tire  alors  des  équations  (4), 

a  — Xrt,         ^  =  \b",         Y  =  ^^', 
d'où 

Mais  on  doit  annuler  la  dérivée  du  premier  membre  de  l'équation  (7)  par 
rapport  à  S  ;  donc  on  doit  poser 

(A  — S)a'-4-B''p'+B'Y'  =  a, 
B''a'-+-(A'  — S)P'~By'  =--  p, 
B'a'-i-B!B'^(A''-S)Y'  =  Y, 

a',  3',  y'  étant  les  dérivées  de  a,  !3,  y  prises  par  rapport  à  S. 

En  ajoutant  membre  à  membre,  après  multiplication  par  «,  6",  b' ,  on 
trouve 

a  a  -f-  6"  p  H-  6'y  —  o. 
c'est-à-dire 

\{a^^b"-^~b"i)^o. 

Mais,  d'après  ce  qui  précède,  les  deux  facteurs  de  cette  équation  sont  dif- 
férents de  zéro;  il  est  donc  impossible  de  supposer  un  mineur  difterent  de 
zéro  (voir  Nouvelles  Annales,  1891,  p.  5o3,  où  la  méthode  est  généralisée). 


264.  Théorème.  —  Les  coejfficients  de  Véquation  en  S  sont  des  inva- 
riants. 

Le  discriminant  de  la  forme  o{x,y,  z)  —  'à'^{x,y,  z)  est  un  invariant  rela- 
tivement à  toute  substitution  linéaire,  quel  que  soit  S  ;  il  en  est  donc  de 
même  des  coefficients  des  différentes  puissances  de  S. 

En  particulier,  dans  le  cas  d'une  transformation  de  coordonnées  rectangu- 
laires, le  module  de  la  substitution  est  égal  à  i,  et,  par  suite,  si  l'onjiommc 
Al,  A',,  ...  les  coefficients  de  l'équation  transformée,  et  Ai(S)  le^ouveau 
discriminant,  on  a 

A,(S)  =  A(S); 
il  en  résulte  que 

A  -+-  A'  4-  A"  =  A,  -!-  A'i  ~  A';, 

a  H-  «'  -f-  a"  =  ai  -+-  a'i  -t-  a'[ . 

A  ::=  Al. 

On  voit  que  les  racines  de  l'équation  en  S  ne  changent  pas  quand  on  fait 
une  transformation  de  coordonnées.  On  en  conclut  immédiatement  que  S' 
est  une  racine  double  si  pour  S  =  S'  tous  les  mineurs  du  premier  ordre  du 
discriminant  A(S)  sont  nuls,  que  les  axes  soient  rectangulaires  ou  obliques 
et  que  l'équation  en  S  n'a  une  racine  triple  que  dans  le  cas  de  la  sphère. 


25o  CHAPITRE    XVI. 

DÉTERMINATION    BES    CORDES    PRINCIPALES. 

265.  Théorème.  —  A  une  racine  simple  de  C équation  en  S 
correspond  une  direction  unique  de  cordes  principales  ;  à  une 
racine  double  correspondent  une  infinité  de  directions  principales 
qui  sont  parallèles  à  un  même  plan.  Quand  V équation  en  S  a 
une  racine  triple,  toutes  les  directions  sont  des  directions  prin- 
cipales. 

Supposons,  en  effet,  que  S  désigne  une  racine  simple;  dans  ce 
cas,  l'un  au  moins  des  mineurs  de  A(S)  est  différent  de  zéro;  donc 
les  équations  (4)  se  réduisent  à  deux.  Supposons,  par  exemple,  le 
mineur  (A  —  S)(A' —  S)  —  B"-  7^  o  ;  les  équations 

(A  — S)a-f-B"P-^B'Y  =  o, 
B"a  +  (A'  -S)P-+-  By  --- o 

déterminent  les  rapports  mutuels  de  a,  [3,  y^  à  la  racine  S  considé- 
rée ne  correspond  donc  qu'une  seule  direction  principale,  qui  est 
celle  de  l'intersection  des  plans  définis  par  les  deux  équations  pré- 
céden  tes,  quand  on  y  remplace  a,  ^,  y  par  des  coordonnées  courantes. 
D'ailleurs,  on  tire  de  ces  équations 


BB"— B'(A'— S)       B'B"-(A  — S)' 
c'est-à-dire 

Ba(S  — A)  =  B'j3(S  — A')- 

On  retrouve  ainsi  un  résultat  déjà  obtenu. 

Supposons  que  S  soit  une  racine  double;  les  mineurs  de  A  (S)  étant 
tous  nuls,  les  équations  (4)  se  réduisent  à  une  seule;  supposons  que 

ce  soit  la  première 

(A-S)j3  +  B"p-+-B'Y  =  o; 

il  j  a,  dans  ce  cas,  une  infinité  de  directions  principales,  parallèles  au 
plan  ayant  pour  équation 

{A~S)x-hB"y-+-B'z  =  o. 

B'  B" 
Supposons  BB'B"^o;   dans  ce  cas,   A  —  S  =  ^^>  etl'équation 

précédente  peut  s'écrire 

X        y         z 

B  +  B'  -^  F  =  ^- 


PLANS   PRINCIPAUX.  25 1 

Si  B"  =  B'  =  o  et  S  =  A,  la  première  des  équations  (4)  dispa- 
rait, les  deux  autres 

(A'_A)P-f-BY  =  o, 

Bp-t-CA»  — A)y  =  o 

sont  identiques,  puisqu'on  suppose  (A' —  A)  (A"  —  A)  =  B^.  Il  j  a 
donc  alors  une  infinité  de  directions  principales  qui  sont  parallèles 
au  plan  défini  par  l'équation 

(A'  —  A) y  -h  Bz  =  o. 

Enfin,  dans  le  cas  de  la  sphère,  les  équations  (4)  disparaissent 
quand  on  pose  S  =  A;  donc,  dans  ce  cas,  toute  direction  est  une  di- 
rection principale,  ce  qui  est  é\'ident  a  pj'iori. 

266.  Théorème.  —  Deux  directions  principales  qui  corres- 
pondent à  deux  racines  distinctes  de  Inéquation  en  S,  sont  rec- 
tangulaires. 

En  effet,  soient  S  et  S'  deux  racines  distinctes  et  a,  [3,  y;  a',  |B',  y' 
les  paramètres  directeurs  des  cordes  principales  correspondantes. 
On  a 

doL  dp  ^  d'(  ' 

^,  =  2Sa,  jp  =  ^^^,         dY='^^- 

On  en  déduit  immédiatement 

d'où,  en  retranchant  membre  à  membre, 

o  =  (S-S')(aa'-f-p?'-+-YY'), 
ce  qui  prouve  que 

aa'-i-  PP'  -f-YY'=  o> 
et  aussi  que 

,  do        „, do         ,  do 

On  voit  ainsi  que  les  cordes  sont  rectangulaires  et,  en  outre,  que 


2  52  CHAPITRE    XVI. 

chacune  d'elles  est  parallèle  au  plan  diamétral  conjugué  à  l'autre, 
c'est-à-dire  que  les  deux  directions  sont  conjuguées. 

267.  Remarque.  —  De  ce  qui  vient  d'être  établi  résulte  une  nouvelle  dé- 
monstration de  la  réalité  des  racines  de  A(S)  =  o.  En  effet,  si  cette  équation 
avait  une  racine  imaginaire  p -^  qi,  on  pourrait  déduire  des  équations  (4), 
pour  S  =p-i-qi,  une  solution  a  ^=  a  -\~  a'  i ,  ^  =^  b  -\-  b'  i,  -^  =c  -h  c'  i;  mais  ce 
système  serait  évidemment  vérifié  en  posant 

S'=/J  —  qi,         ce' ^=  a  —  a' i,         P'=6 — b'i,         y' =  c — c' i. 

Or  la  condition  aa'  -f-  p3'  -+-  yy'  =  o  donnerait 

«2  -^  a'2  _  62  -H  è'2  +  C2  -i-  C'2  =  O, 

c'est-à-dire 

a  =z  a'  -=  b  :=  b'  =  c  =  c'  =  o, 
et,  par  conséquent, 

a  =  p  ==  Y  =  o, 

ce  qui  est  contraire  à  l'hypothèse. 

268.  Théorème.  —  A  toute  direction  principale  donnée  par  une 
racine,  différente  de  zéro,  de  V équation  A(S)  =  o,  correspond  un 
plan  principal  à  distance  finie. 

En  effet,  l'équation  du  plan  diamétral  correspondant  à  une  direc- 
tion principale  a,  p,  y  est 

^Ça'^Jîa  "+~  ^?Y-^  '^Ga  -t-  aC'P  -f-  aCy  =  o, 

c'est-à-dire 

S(a.r -f- Pjk -^  Y-2)  +  Ga  +  G'p  +  C'y  =^  o. 

Ce  plan  ne  peut  être  rejeté  à  l'infini,  ou  indéterminé,  que  si  l'on 
suppose  Sa  =  o,  S[i  =  o,  Sy^o,  c'est-à-dire  si  S  =  o,  puisque 
l'un  au  moins  des  paramètres  a,  [3,  y  est  différent  de  zéro. 

A  une  racine  simple  non  nulle  de  l'équation  en  S  correspond  un 
plan  principal  unique;  à  une  racine  double  non  nulle  cori'espondent 
une  infinité  de  plans  pi-incipaux  perpendiculaires  à  un  plan  déter- 
miné et  passant  par  vine  même  droite  (254). 

269.  Théorème.  —  U équation  en  S  ne  peut  avoir  ses  trois  ra- 
cines nulles. 

En  effet,  si  les  trois  racines  sont  nulles,  l'équation  a  une  racine 

triple;  donc 

A  =  A'  ==  A",         B  =  B'  =  B'  =  o  ; 


PLANS   PRINCIPAUX.  253 

en  outre,  la  racine  triple  est  égale  à  A;  donc  il  faudrait  supposer 
A  -n  A'  =  A'  =  B  =  B'  =  B"  =  o. 

270.  Corollaire.  —  Une  quadrique  possède  au  Dioins  un  plan 
principal  à  distance  finie. 

En  effet,  une  au  moins  des  racines  de  l'équation  en  S  est  diflTérente 
de  zéro. 

271.  TnÉouisME. —  U ne  quadrique  à  centre  unique  possède  au 
moins  un  système  de  trois  plans  principaux  formant  un  trièdre 
trirectangle. 

En  effet,  supposons  d'abord  les  trois  racines  de  l'équation  en  S 
distinctes;  le  terme  constant  de  l'équation  en  S  est  égal  au  discrimi- 
nant A  de  la  fonction  '•o{x,  y,  z);  il  est  différent  de  zéro,  ce  qui 
montre  que  chacune  des  racines  est  différente  de  zéro,  et,  par  suite, 
qu'à  chacune  d'elles  correspond  un  plan  principal  à  distance  finie. 
Si  l'on  mène  par  le  centre  trois  droites  OA,  OB,  OC  parallèles  aux 
cordes  principales,  ces  trois  droites  forment  un  Irièdre  trirectangle. 
Le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction  OA  est  précisément  le  plan 
OBG;  OAC  est  le  plan  diamétral  conjugué  à  OB,  et  enfin  OAB  le 
plan  conjugué  à  OC 5  les  trois  faces  du  trièdre  sont  donc  les  trois 
plans  principaux. 

Supposons,  en  second  lieu,  que,  l'une  des  racines  étant  simple, 
les  deux  autres  soient  égales;  appelons  S,  la  racine  simple  et  Sa  la 
racine  double.  Menons  par  le  centre  une  droite  OC  parallèle  à  la 
direction  principale  correspondant  à  S,.  A  la  racine  So  correspon- 
dent une  infinité  de  directions  principales  perpendiculaires  à  Si^ 
|)Our  mieux  dire,  toute  droite  perpendiculaire  à  OC  est  une  direc- 
tion principale;  donc,  si  l'on  prend  deux  droites  OA,  OB  formant 
avec  OC  un  trièdre  trirectangle,  les  faces  de  ce  trièdre  seront  des 
plans  principaux  ;  on  obtient  ainsi  une  infinité  de  systèmes  de  trois 
plans  principaux  rectangulaires  deux  à  deux.  Les  plans  principaux 
correspondant  à  la  racine  double  passent  tous  par  une  droite  qui 
est  le  diamètre  conjugué  au  plan  parallè.le  aux  cordes  principales 
fournies  par  celte  racine  double. 

Enfin,  si  les  racines  de  l'équation  en  S  sont  égales,  la  quadrique 
est  une  sphère  et  tout  système  de  trois  plans  diamétraux  rectangu- 
laires deux  à  deux  constitue  un  système  de  trois  plans  principaux. 


2.54  CHAPITKE    XVI. 

272.  Théorème.  —  Un  paraboloïde  a  au  moins  un  système  de 
deux  plans  principaux  rectangulaires,  parallèles  à  la  direction 
des  diamètres. 

L'équation  ea  S,  relative  à  un  paraboloïde,  a  une  racine  nulle  à 
laquelle  correspond  un  plan  principal  à  l'infini.  Pour  le  pi'ouver,  il 
suffît  de  remarquer  que  les  paramètres  directeurs  des  cordes  prin- 
cipales qui  correspondent  à  la  racine  nulle  sont  déterminés  par  les 

équations 

A  a  H- B"p -+- B'y  =  o, 

B"a  +  A'p-)-  By  =  o, 

B'o;+  B;3  +A"y=o-. 

Or,  si  l'on  regarde  a,  [^,  y  comme  des  coordonnées  courantes,  ces 
équations  sont  précisément  celles  des  plans  du  centre;  on  sait  que 
ces  plans  sont  parallèles  à  une  droite  déterminée,  et  de  plus  on  ne 

peut  pas  supposer 

Ga-^G'P^C"Y  =  o, 

car  la  quadrique  serait  alors  un  cylindre;  le  premier  membre  de 
l'équation  du  plan  principal  conjugué  à  la  direction  a,  [3,  y  se  réduit 
donc  à  une  constante  différente  de  zéro. 

Les  deux  autres  racines  de  l'équation  en  S,  si  elles  sont  distinctes, 
fournissent  deux  directions  principales  distinctes;  on  a  ainsi  trois 
directions  principales,  rectangulaires  deux,  à  deux;  les  plans  princi- 
paux qui  correspondent  aux  racines  non  nulles  sont  donc  perpendi- 
culaires entre  eux  et  parallèles  à  la  direction  des  diamètres. 

Si  les  racines  non  nulles  sont  égales,  il  correspond  à  la  racine 
double  une  infinité  de  cordes  principales  perpendiculaires  à  la  direc- 
tion des  diamètres;  en  choisissant  deux  directions  quelconques,  per- 
pendiculaires entre  elles  et  aux  diamètres,  on  aura  une  infinité  de 
systèmes  de  deux  plans  principaux  rectangulaires  passant  par  une 
même  droite. 

273.  Théorème. —  Dans  le  cas  des  cylindres,  le  plan  principal 
correspondant  à  la  racine  nulle  de  l'équation  en  S  est  indéter- 
miné. 

Prenons  pour  axes  des  x  et  àes y  les  axes  de  symétrie  d'une  sec- 
tion droite  d'un  cylindre  à  centres,  l'axe  des  z  étant  perpendiculaire 


PLANS    PRINCIPAUX.  200 

oux  deux  premiers  axes;  l'équalion  du  cjlindre  est  alors  de  la  forme 

Aarî^  A>2-f-D  =  o. 

L'équation  en  S  i*elative  à  ce  cylindre  est 

S(A— S)(A.'~S)  =  o; 
les  racines  sont 

Si  =  o,         S»  "A,         Sa  =  A'. 

La  direction  principale    correspondant  à  Si    est  délînie   par  les 

équations 

Aa  =  o,         A'^  =  o, 

Cette  direction  est  celle  de  l'axe  des  z;  le  plan  principal  corres- 
pondant est  visiblement  indéterniiné. 

On  vérifie  immédiatement  que  les  denx  autres  racines  donnent 
pour  plans  principaux  le  plan  xOz  et  le  plan  j/'Oz.  Si  ces  racines 
sont  égales,  A  =  A',  le  cylindre  est  de  révolution  et  tout  plan  pas- 
sant par  son  axe  est  un  plan  principal.  r 

Considérons  maintenant  le  cas  d'un  cylindre  parabolique.  On  peut 

évidemment   mettre  l'équation  d'un   cylindre   parabolique  sous  la 

forme 

y"^ —  o.px  —  o. 

L'équalion  en  S  se  réduit  alors  à  S-(i  —  S)  =  o.  A  la  racine  nulle, 
qui  est  double,  correspondent  une  infinité  de  cordes  principales  pa- 
rallèles au  plan  ^O^;  le  plan  principal  correspondant  à  chacune  de 
ces  cordes  est  à  l'infini,  sauf  celui  qui  correspond  à  la  direction  Oy 
et  qui  est  indéterminé.  A  la  racine  simple  correspond  la  direction 
Oy  et  le  plan  principal  est  le  plan  xOz.  Le  cylindre  parabolique  a 
donc  une  infinité  de  plans  principaux  perpendiculaires  à  ses  généra- 
trices et  un  plan  principal  qui  est  parallèle  aux  plans  du  centre.  Ces 
résultats  se  vérifient  d'ailleurs  sur  la  forme  générale 

{ax  ■+-  by  -r-  czY-^  ia' -^  'i-l>' y  -H  ac's  -h  c?'  =  o. 

Conditions  pour  que  l'équation  du  second  degré  /(a?,  y,  z)  =  o 
représente  une  quadrique  de  révolution  (axes  rectangulaires). 

27i.  Nous  savons  déjà  que  la  forme  de  l'équation  d'une  qua- 
drique de  révolution  est 

Aa+  Pî==o, 


2.56  CHAPITRE   XVI. 

0-  étant  le  premier  membre  de  l'équation  d'une  sphère,  A  une  con- 
stante et  P  un  polynôme  du  premier  degré,  qu'on  peut  d'ailleurs,  sans 
inconvénients,  supposer  homogène. 
On  a  donc,  dans  ce  cas, 

cp(ar,  y,  z)  =  k{x'^-^y^-r-  z^)  -h  P2 

et,  par  suite, 

^{cr,  y,  z)  -  A(a72-4-72_|-  ^2)  ^  p2. 

Ce  qui  prouve  que  A  est  une  racine  double  de  l'équation  en  S  rela- 
tiveà  cette  quadrique. 

Réciproquement,  si  l'équation  en  S  a  une  racine  double  non 
nulle  S,  on  a  identiquement 

<p  (a;,  JK,  ^  )  —  S  (072 -H  j2 -4- ^2  )  =  /i  p2^ 

p  désignant  un  polynôme  entier  homogène  en  x,  y,  z  et  h  une  con- 
stante, l'équation  de  la  quadrique  est  donc 

S(;r2-i-j^2_|_^2)_|.  /j.p2_|_  iQx^%Cy^-i.G'z  +  D  =  o, 

c'est-à-dire 

/  G  G'  C"  D  \ 

S  (  a;2  +  JK^-h22_i_2         a7_|_2j_j-2^-i_j   _t-  AP2 

ou 

Sa-+-/iP2  =  o. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'une  quadrique  soit 
de  révolution  est  que  V équation  en  S  relative  à  cette  quadrique 
ait  une  racine  double  et  différente  de  zéro. 

Équations  de  l'axe.  —  Supposons  d'abord  B,  B',  B"  différents  de 
zéro.  Par  hypothèse, 

B'B"  _  B"B         ,,      BB' 


S  désignant  la  racine  double;  on  a  donc 

cp(:r,7,^)  =  S(:r2-H^2_i_^2)_^BB'B"(|^^, 
et,  par  suite, 

T^     ^      y       ^ 

B        B'       B" 


y   ,  _^ 

B' 


PLANS    PRINCIPAUX.  257 

L'axe  est  la  perpendiculaire  abaissée  du  centre  de  la  sphère  t  sur 
le  plan  P;  ses  équations  sont  donc 

B(..C).B.(..f)=B.(..£).. 

Supposons,  en  second  lieu, 

B"=o,        B'=o      et      (A-A')(A -A";  — B2  =  o. 

On  a,  dans  ce  cas, 

cp(a-,  j, ;:).--  A(a72-i-j^2^^*)-H(A'—A)72-f-(A"—A)52-^  iByz; 

donc 

(A'— A)Pî=[(A'— A)jK  +  B^]2. 

Les  équations  de  Taxe  sont  alors 

C  G" 

G  ^^X       ^-*-Â 


  =  ^'        X^- 


II  est  facile  de  vérifier  que  l'axe  est  le  diamètre  conjugué  au  plan 
auquel  les  cordes  principales  qui  correspondent  à  la  racine  double 
sont  parallèles. 

AXES. 

275.  On  appelle  axe  d'une  quadrique  un  diamètre  perpendicu- 
laire au  plan  auquel  il  est  conjugué.  C'est  donc  le  diamètre  con- 
jugué à  un  plan  principal. 

Un  axe  ainsi  défini  est  l'intersection  de  deux  plans  principaux. 

En  effet,  rapportons  une  quadrique  à  trois  axes  rectangulaires, 
l'axe  des  x  étant  un  axe  de  cette  quadrique,  c'est-à-dire  le  diamètre 
conjugué  au  plan  j)/-05.  Ce  diamètre  a  pour  équations 

OU,  en  développant, 

B"x  -^  A>  +  B5  -+-  G'  =  o,         B'a-  -+-  BjK  -h  iVz  -f-  G"  =  o. 

Ces  équations  doivent  se  réduire  aux  suivantes 

Y  —  o,        z  =  o; 
donc 

B''==B'=G'^GV^o. 

NiEWKNGLowsKi.  —  G.  an..  III.  i-j 


258  CHAPITRE    XVI. 

Ces  conditions  sont  nécessaires;  si  elles  sont  remplies,  les  deux 
équations  considérées  se  réduisent  à 

A'y  -4-  B^  =  o,         By  -h  M' z  =  o, 

ce  qui  montre  qu'on  doit  supposer 

A' A"— 625.^0. 

L'équation  de  la  surface  est  donc 

Plx'^-\-  A'72-i- A"z2_4_  'x'Qyz  +  2Ga7+  D  =  O. 

La  section  par  le  plan  yOz  est,  d'après  ce  qui  précède,  une  co- 
nique à  centre;  son  centre  est  l'origine.  On  peut  supposer  que  les 
axes  Oy  et  O^  sont  les  axes  de  cette  conique  et,  par  conséquent, 
supposer  B  =:  o  ;  l'équation  de  la  quadrique  est  donc  enfin 

On  voit  ainsi  que  le  plan  xOy  est  conjugué  à  Oz  et  le  plan  xOz 
conjugué  à  Oy\  donc  O^r  est  bien  l'intersection  de  deux  plans  prin- 
cipaux. 

Réciproquement,  supposons  que  deux  des  plans  de  coordonnées 
soient  des  plans  principaux  et  quey'=  o  se  réduise  ky  =  o  etyj  =  o 
à  ^r=o;  on  voit  immédiatement  que  l'équation  de  la  surface  est  de 
la  forme  trouvée  plus  haut. 

276.  Remarque.  —  Un  axe  est  un  axe  de  symétrie,  comme  cela  résulte  de 
la  forme  de  l'équation  précédente,  mais  la  réciproque  n'est  pas  vraie. 

Cherchons  en  effet  les  conditions  pour  que  l'axe  des  x  soit  un  axe  de  sy- 
métrie, les  axes  de  coordonnées  étant  toujours  supposés  rectangulaires.  Pour 
qu'il  en  soit  ainsi,  il  faut  et  il  suffit  que  les  deux  équations 

Xx'^^X'y^^M' z^-^iByz  +  iB' zx-^iW xy  +  iCx-^'iCy  +  iC" z-^  D  =  o 

et 

S.x^'^k'y^-\-K"z''--^'}.Byz  —  iB'zx  —  iWxy-^iQ,x  —  -i.Gy—iC"z-+-  h  —  o 

soient  équivalentes,  ce  qui  peut  avoir  lieu  de  deux  manières;  ou  bien 

B'==B"==  C'=C"=-o; 
dans  ce  cas,  l'axe  des  x  est  bien  un  axe  de  symétrie;  ou  encore 
A  =  A'=A"=B==C  =  D  =  o; 


PLANS    PRINCIPAUX.  259 

l'équation  se  réduit  alors  à 

B'zx  4-  B'x-y  -f-  C'y  -+-  G"z  =  o. 

Or  le  diamètre  conjugué  au  plau/0;;  a  pour  équations 

B"a:-i-C'=o,        B'x-\-G"=o; 

il  est  donc,  en  général,  rejeté  à  l'infini. 
Par  exemple,  si  l'équation  est 

a-j  -t-  5  =  o, 

on  voit  que  l'axe  des  z  est  un  axe  de  symétrie  et  aussi  un  axe  ;  mais  l'axe  des  a: 
est  un  axe  de  symétrie  et  non  un  axe;  cela  tient  à  ce  que  la  surface  est  en- 
gendrée par  une  droite  mobile  perpendiculaire  à  l'axe  Ox. 

1277.  Équations  des  axes  :  i'*  Quadriques  à  centre  unique.  — 
Soit  S)  une  racine  de  l'équation  en  S;  les  paramètres  de  la  direction 
principale  correspondante  sont  proportionnels  à 

I  I  I 

B(S,— A)'      B'(Si  — A')'     B"(St  — A")' 

l'axe  parallèle  à  cette  direction  étant  le  diamètre  conjugué  du  plan 
qui  lui  est  perpendiculaire,  cet  axe  a  pour  équations 

B(S,-A)/;-B'(S,-A')/;=B"(S,-/i")/:. 

2°  Paraboloïdes.  —  L'équation  en  S  ayant  une  racine  nulle  s'a- 
baisse au  second  degré  :  on  pourrait  donc  former  les  équations  des 
plans  principaux  qui  correspondent  aux  deux  racines  non  nulles  S2. 
S3  ;  on  aurait  ainsi  les  équations  de  l'axe  unique  du  paraboloïde  con- 
sidéré. On  peut  procéder  autrement. 

Les  paramètres  de  la  direction  principale  répondant  à  la  racine 
nulle  sont  fournis  par  les  équations 

Aa  -hB'P-^B'y  =  0, 
B'a-^  A'P  +  By  =0, 
B'a-+-B3  -+-A"y  =  o. 

Supposons  AA' —  B"2  ^  o;  les  deux  premières  équations  sont  dis- 
linctes  et  la  troisième  en  est  une  conséquence.  On  a  donc 

"-  =.?  =  J-. 
V        b        a" 

Iv'axe  étant  le  diamètre  conjugué  du  plan  perpendiculaire  à  cette 


26o  CHAPITRE   XVI. 

droite  a  pour  équations 

b'         b         a!' 

On  peut  donner  à  ces  équations  une  forme  plus  symétrique.  En  effet,  on 
peut  les  écrire  ainsi 

Vx=  ^/>=  -^fz 

ou,  en  tenant  compte  de  l'identité  bb'  —  a"b", 

bf:c=b'f;.^b"fL. 

On  peut  mettre  encore  ces  équations  sous  une  autre  forme.  En  effet,  on  en 
déduit 

b'         b      'a"  è2-+-6'2-+-a"2  b' -^  b">- -\- a!' >■ 

et,  par  suite,  en  posant 

bi^b'-^-^a"       ~  '' 

les  équations  de  l'axe  peuvent  s'écrire 

(0  f'^^ikb',        f'y=ikb,        f'.^ika". 

On  en  déduit  facilement  les  coordonnées  du  sommet,  c'est-à-dire  du  point 
de  rencontre  du  paraboloïde  et  de  son  axe.  En  effet,  en  écrivant  l'équation 
du  paraboloïde  sous  la  forme 

^fx  +  yf'y  -^  ^f'z  -^tft^o, 

on  voit  que  les  coordonnées  du  sommet  vérifient  les  équations  (i),  lesquelles 
se  réduisent  à  deux,  et  l'équation 

(2)  k{b'x-\-by-^a"z)  +  (lx-^C'y -^Cz-^D  =  0. 

278.  Équations  du  faisceau  des  axes  d'une  quadrique.  —  Soient  a,  p,  y 
les  paramètres  directeurs  d'un  axe  ;  cet  axe  est  parallèle  à  une  direction  prin- 
cipale; donc 

?^  _  9^  _  ?V. 
a    -    p    -    Y  ' 

d'autre  part,  le  diamètre  conjugué  à  un  plan  perpendiculaire  à  cet  axe  a  pour 
équations 

fx  __  Jj[  __  fz 

p       y' 

Il  en  résulte  que,  pour  tout  axe, 

Jx  J  y  Jz 


PLANS    PRINCIPAUX.  26 1 

OU,  sous  forme  explicite, 

a/;-4-by;+b7^  ^  By;-i-A'/;-i-B/:  ^  B7;-+-B/;+Ay^ 

/a:  /^  /= 

ces  équations,  qui  se  réduisent  à  deux  (voiV*  Exercice  1),  représentent  le 
faisceau  des  axes  de  la  quadriquey. 

Exemples  : 

1°  Aa:2-f- A'72-4- A"^2-4-D  =  o, 

on  trouve 

Aa?  _  A>  _  Pi-'z 
X  y  z 

ou,  sous  forme  entière, 

(A  —  A')ar7  =  o,         (A'— A")j5  =  o,        (A" — A)  2^  =  0, 

ce  qui  donne 

a:  =  O,  JK  =  O  ou  ^  =  O,  2  =  0  ou  5=0,  37  =  o. 

a°  A'j'^  -j_  A"z2  -+-  2a:  =  o, 

0  _  A>  _  A''^ 
X         y  z 

ou,  sous  forme  entière, 

7  =  0,        2=0. 

279,  Proulème.  —  Exprimer  qiHune  droite  est  un  axe  d^une 
quadrique. 

Soient 

x  —  x^  _  .r  —  ro  _  -g  — -^0 

a        -        p  Y 

les  équations  d'une  droite.  Cette  droite  est  un  axe  si  elle  coïncide 
avec  le  diamètre  conjugué  au  plan  qui  lui  est  perpendiculaire,  c'est- 
à-dire  avec  le  diamètre  conjugué  au  plan  défini  par  l'équation 

(i)  aa?-l- p_^-H  Y^  =  o. 

Ce  diamètre  a  pour  équations 

/„\  fx_Jy_  fz 

^■^  a    -    p    -    y' 

On  exprime  que  les  deux  droites  représentées  par  les  équations  (i) 
et  (2)  coïncident  en  écrivant  qu'elles  ont  deux  points  communs,  par 


202  CHAPITRE    XVI.  —    PLA>S    PRINCIPAUX. 

exemple  le  point  [xq,  yo-,  ^o)  et  le  point  à  l'infini  dans  la  direction  a, 
^,  V.  Ecrivons  donc  que  ce  diamètre  passe  par  le  premier  point,  ce 
qui  donne 

f         f         f 

et,  en  second  lieu,  exprimons  qu'il  est  parallèle  à  la  direction  a,  [3,  y  ; 
donc 

(4)  t«  =  î^  =  ?i. 

a  p  Y 

Les  conditions  (3)  et  (4)  sont  nécessaires  et  suffisantes.  Les  con- 
ditions (4)  étaient  d'ailleurs  évidentes  a  priori. 

280.  Problème.  —  Exprimer  qu'un  plan  donné  est  un  plan 
principal. 

Soit 

ux  -\-vy  -\-  wz-{-h=i  <^ 

l'équation  d'un  plan.  Le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction  per- 
pendiculaire à  ce  plan  a  pour  équation 

Les  conditions  demandées  sont  donc 

u         V  w  h 

Remarque.  —  Un  plan  principal  est  un  plan  de  symétrie  et  réci- 
proquement. 11  peut  cependant  y  avoir  exception.  Si  l'on  considère 
le  système  formé  par  deux  plans  rectangulaires  P,  Q,  l'un  de  ces 
plans,  P  par  exemple,  peut  être  considéré  comme  un  plan  de  symé- 
trie, et  n'est  cependant  pas  un  plan  principal. 


EXERCICES. 

1.  Trouver  les  directions  principales  d'une  quadrique  sans  se  servir  de  l'é- 
quation en  S. 

—  Il  suffit  de  remarquer  que  les  cordes  principales  sont  les  génératrices 
communes  aux  cônes  ayant  pour  équations 

yiz—  z^y  —  o,        5cp!p— a7o';  =  o,         a7o^  — jK<?x— o. 


RÉDUCTION    DE    l'ÉQUATION    DU    SECOND    DEGRÉ.  203 

Les  deux  premiers  cônes  ont  quatre  génératrices  communes,  mais,  en  gé- 
néral, trois  de  ces  droites  appartiennent  au  troisième  cône,  tandis  que  la 
droite  if  =  o,  ^2=  o  ne  lui  appartient  pas,  excepté  dans  le  cas  où  les  deux 
premiers  cônes  sont  tangents  suivant  cette  droite. 

2.  Trouver  directement  les  cordes  principales  de  la  quadrique  ayant  pour 
équation 

—  On  a  à  résouilre  le  système 

7.  y        1T         z 
X    ~   jK    "'    -  ' 

Penser  à  la  solution  z  =^  o,  etc. 

3.  Déterminer  les  directions  principales  et  les  plans  principaux  des  sur- 
faces représentées  par  les  équations  données  en  Exercices  au  Chapitre  XIII. 

4.  Plans  principaux  de  la  quadrique  représentée  par  l'équation 

kx"^-^  k'  y^-h  M' z"^  -h  {Jix  -^B'y  -^B"  zy  —  \  =  o. 

5.  Equation  en  S  relative  à  la  quadrique  ayant  pour  équation 

z{ax-+-  a  y  -{-  a  zY-^  t'{bx  -~  b'y  -t-  b" zY -{-  z" {ex  -+-  c'y  -\-  c" zY-\-  d=  o. 

6.  Même  question  pour 

z{ax  -^  by  -Y-  czY->r  z'{a' x  -¥-  b' y  -+-  c' z^-^  z" {a" x  -\-  b" y  -\-  c" zY  -{-  d  —  o. 

7.  Plans  principaux  de  la  quadrique  représentée  par  l'équation  xy  =  o. 

8.  Discuter  l'équation  en  S  en  axes  obliques  en  employant  la  méthode  de 
l'équation  en  X. 


CHAPITRE  XVII. 

RÉDUCTION  DE  L'ÉQUATION  DU   SECOND   DEGRÉ. 

(axes  rectangulaires.) 


PREMIÈRE    MÉTHODE    ."     TRANSFORMATION    DE    COORDONNÉES. 

281.  Transformation  auxiliaire.  —  L'équation  (f{a:,j-,z)  =  o 
représente  un  cône  si  l'on  suppose  A^o.  Dans  ce  cas,  l'équation 
en  S  n'a  pas  de  racine  nulle;   supposons  ses   racines   distinctes  : 


264  CHAPITRE    XVn. 

Si,  S2,  S3.  A  chacune  de  ces  racines  coi-respond  une  direction  prin- 
cipale dont  nous  savons  calculer  les  paramètres  principaux,  puisque 
nous  connaissons  des  nombres  auxquels  ils  sont  proportionnels.  On 
peut  donc,  sans  changer  l'origine,  choisir  trois  nouveaux  axes  de 
coordonnées  rectangulaires  ayant  pour  directions  les  trois  directions 
principales  obtenues,  et,  par  suite,  les  formules  de  transformation 

seront 

X  =  fxx'  -\-  a'  y'  -h  %  z\ 

a,  [i,  Y  correspondant  à  la  racine  S,  ;  a',  [3',  y'  à  la  racine  S2,  et  a", 
P",  y"  à  la  racine  S3.  On  a  ainsi 

cp(a?,  7,  z)  =  cp(aa7'+a'y-l-a"5',  ^x' -^  ^' l' -^  P"-^',  Y^' +  t'j' "'"  ï''-^')  ' 

ou,  en  tenant  compte  des  équations  a'cp'^  -f-  [î'cp'p  +  Y'?y  ^=  Oj  •  •  •  ' 

cp(a7,7,  z)  ^  cp(a,  p,  Y)a7'2+  ç(a',  p',  ^^')y2^_  (p(a",  p",  y")^'^; 
mais 

2cp(a,  p,Y)  =  atfa-+-  P?p-i-Y?y  ^^SiC^^-^  P^"^T^)  =  ^^»' 
d'où 

?(«,  P>y)  =  Si. 
De  même 

On  obtient  ainsi  cette  formule  fondamentale 

^(x,y,  z)  =  Six'^  -+'Siy'^-^Ssz'^. 

Le  calcul  subsiste  sans  aucune  modification  si  A  =  o;  dans  ce  cas 
l'une  des  racines,  par  exemple  S3  =  o,  et  l'on  aura 

'fi{x,y,z)-^  Sia7'2-+-S2/2. 

Supposons,  en  second  lieu,  que  deux  racines  soient  égales,  par 
exemple,  S,  =  Sa.  La  direction  Oz'  est  déterminée;  soient  a",  P",  y" 
ses  paramètres  principaux.  On  doit  poser 

a"a+P"P-i-Y"T  =  o; 

ce  qui  exprime  que  Ox'  doit  être  dans  le  plan  passant  par  l'origine 
et  perpendiculaire  à  O^';  on  peut  prendre  pourOic'  l'intersection  de 


RÉDUCTION    DE    l'ÉQUATION    DU   SECOND   DEGRÉ.  205 

ce  plan  avec  un  second  plan  quelconque  et,  par  suite,  poser 


on  a  ainsi 


P 


np"-  mf  ~  If—nT."       ma"—  /p" 

I 


£ /(np"- mf  )« 4- (//— rta")2-+- (/"a"— ^P')^ 
On  détermine  ensuite  a',  [i',  y'  en  posant 

a"  a'  -4-  P"  p'  -h  y"  y'  =  o> 
a  a'  -4-  p  p'  -t-  Y  t'  —  **' 
a'-2    -t-p'2    -4-y'2    =  I. 

Le  calcul  s'achève  comme  plus  haut  et  l'on  a 

o{x,y,  z)  ^  S,(a^'2+y2)  ^  Sas'^ 
Si  Si  ;=  o,  la  formule  se  réduit  à 

Si  le  cône  est  isotrope,  il  n'j  a  pas  lieu  de  faire  cette  transfor- 
mation. 

Remarque.  —  Dans  chacune  des  transformations  indiquées,  la 
direction  positive  de  chacun  des  nouveaux  axes  est  indéterminée; 
on  pourra  la  choisir  de  façon  que  les  deux  trièdres  Oxyz  et  Ox^y^  Zt 
soient  de  même  espèce. 

282.  Application.  —  Si  l'on  remplace  S  par  une  racine  de  l'équa- 
tion en  S,  la  forme 

se  change  en  une  somme  de  deux  carrés  ;  si  les  racines  sont  dis- 
tinctes, il  y  a  trois  formes  de  décomposition  distinctes  :  en  effet,  on 
a  identiquement 

cp(^,7,2)-S(:r2  +  72+z2)^(S,-S):r'2+rS2-S)7'2-f-(S3-S)V2. 

Supposons  Si  <  Sa  <C  S3.  On  a 

?  -  S, <{.  r^  ( S2  -  S,  )/2  +  (  S3-  S,  ) z'^  ^=  P2  -^  Q'-, 
©  -  Sî^l^  s^  (S,  -  Sî)a:'2  +(83-  S2)s'2  ^  P'2—  Q'2, 
tp  — S3(;/-(S,— S3)a:'2-H(S2-    83)-'^=  —  P"^-  Q"-, 


266  CHAPITRE   XVII. 

P,  Q,  P',  Q',  P",  Q"  désignant  des  polj'nomes  entiers  eu  a:,  y,  z,  à 
coefficients  réels. 

On  n'obtient  une  différence  de  carrés  que  si  l'on  remplace  S  par 
la  racine  moyenne. 

On  peut  arriver  directement  à  ces  résultats.  En  effet,  je  dis 
d'abord  qu'à  deux  racines  différentes  correspondent  deux  décompo- 
sitions différentes. [Supposons,  en  effet,  qu'on  puisse  écrire 

cp  —  S  <{;  =  eP2  -+-e'Q2, 

(p   -S'4^  =  £P'2H-£'Q'2, 

on  en  déduirait 

(S'—  S)lL  =  £(P2—  P'2)  -4-  £'(Q2  —  Q'2). 

On  peut  trouver  une  infinité  de  valeurs  non  toutes  nulles  de 
.r,  y^  z  pour  lesquelles  P  —  P'  =  o,  Q  —  Q'  =  o  ;  pour  un  pareil 
système  de  valeurs,  le  premier  membre  s'annulerait,  ce  qui  est  im- 
possible, puisque  ^  ne  peut  être  nul  que  si  x  =y  :=  z  =  o. 

On  a  donc  trois  formes  possibles  de  décomposition;  donc  on 
peut  poser 

tp  — Si<V=        P2-f-Q2, 

«p-Sîtl^^      P'2— Q'2, 

Cp_S3t|.ES-P"2-Q"2: 

de  là 

(S2  —  S,)4/  =  P2  _  P'2  +  Q2  +  Q'2. 

On  peut,  pour  une  infinité  de  valeurs  de  x,  y,  ^,  supposer  P'  =  o, 
d'où  l'on  conclut  So — S,  >  o.  On  verrait,  par  un  raisonnement 
analogue,  que  S3  —  S2  >  o  ;  donc  S,  <<  So  <C  S3. 

283.  Rédaction  de  l'équation  d'une  quadrique  à  centre 
unique.  —  1°  Transportons  d'abord  les  axes  parallèlement  à  eux- 
mêmes  au  centre  (xq,  j^o?  ^0)  en  posant 

ce  qui  donne,  comme  on  l'a  déjà  établi, 

/(^,  J) -s)  =  ?(^',  j'j -s')  +  ^• 
2"  On   applique  ensuite  à  o(x',y' ^  z')   la  transformation  précé- 


RÉDUCTION   DE   l'ÉQUATION   DU   SECOND   DEGRÉ.  267 

dente,  en  posant 

a:'=aX  +  a'Y-4-a''Z, 

y  =  px4-p'Y  +  p"z, 

ce  qui  donne 

cp  (a-',/,  3' )  =  Si  X»  -+-  s,  Y2  H-  S3  Zî  ; 

on  obtient  ainsi 

/(^,j.,z)^S,Xî+S2Y2-+-S3Z2-t-?. 

284.  Réduction  de  V équation  d' un paraboloïde .  —  On  suppose 

1"  On  conserve  l'origine  et  l'on  prend  pour  directions  des  nou- 
veaux axes  trois  cordes  principales  en  posant 

X  =  dx'  -\-  n! y'  -\-  Cl"  z' , 
y  =  '^x'-^-^y-^^"z\ 
z  =ya7'-H  y'j'-f-Y''^'; 

ce  qui  donne,  en  supposant  que  la  racine  nulle  soit  S), 

f{x,y,  z)  =  S2/2  -I-  Ss-s'^  +  iCix'-^  2G;/4-  2C';  5'-+-  D, 

où 

Cl  =Ga  +  C'p  +  C"Y, 

C',=  Ga'+G'P'-f-G'Y', 
GÏ  =  Ga"'-+-G'P"-f-G''Y". 

Je  dis  que  C,  est  différent  de  zéro.  En  effet,  nous  supposons  S,  =  o  ; 

donc 

Aa  +B''P-f-B'Y  =  o, 

B'a  +  A'p-^BY  =0. 

On  suppose  AA' — B"^  ^  o  ;  si  l'on  posait  en  outre 

GaH-G'p-+-G''Y  =  o, 

on  aurait  A,  =  o,  ce  qui  est  contraire  à  notre  hypothèse. 

2"  Cela  posé,  la  section  de  la  surface  par  le  plan  ^'03'  =  o  est 
une  conique  à  centre;  on  peut  la  rapporter  à  ses  axes  de  sjmélrie. 


268  CHAPITRE    XVII. 

Il  suffît  d'écrire 

■  /(.,r,.)=.s.(y-.gy-.s3(.'+|y 

-4-  2  Cl  hr — — p^  +  -p^ 

en   faisant  la  transformation  définie  par  les  formules 

•^ "^  s; ~  *  '     ^  ^  si  ~  '^'      ^  ~  ^^Gis;  ~  icTs;  ^  ^  "  ' 


on  obtient 


/(a7,JK,5)  =  S2Y2M-S3Z2^2CiX. 


285.  Réduction  de  V équation  d^ un  cylindre  à  centres.  — 
1°  En  conservant  la  direction  des  axes,  prenons  pour  nouvelle 
origine  un  point  quelconque  [x^^  y^,  z^),  de  la  ligne  des  centres 
en  posant 

x  =  Xo-^x\         y=yf,-\-y,         z  —  Zo-hz'; 
on  obtient 

où 

Di  3=  Ca7o  -4-  G'jKo  +  C'zo  -+-  D. 

2°  On  prend  pour  nouveaux  axes  des  parallèles  aux  cordes  prin- 
cipales ;  une  racine  de  l'équation  en  S  est  nulle,  supposons  que  ce 
soit  Si-  On  aura,  en  suivant  la  marche  indiquée  au  n°  280, 

286.  Réduction  de  Véquation  d'un  cylindre  parabolique.  — 
La  fonction  'Z)[x.,y,  z)  étant  un  carré  parfait,  l'équation  en  S  a  une 
racine  double  égale  à  zéro  :  posons  Si  =  So  ^=  o.  A  la  racine  S3  cor- 
respond une  direction  unique  de  cordes  principales;  je  prends  cette 
direction  pour  nouvel  axe  des  z.  Pour  déterminer  a,  [3,  y,  je  pose 

cx"a^-p"pM-Y"Y=ro, 
Ga-}-C'p  +  C"Y=o 

(de  façon  qu'en  faisant  la  même  transformation  que  pour  un  para- 
boloïde  on  ait  Ci=  o).  Nous  avons  déterminé  Os'  et  O^';  pour  Oy' 


RÉDUCTION   DE    l'ÉQUATIO.N    DU   SECOND    DEGRÉ.  269 

on  prend  une  perpendiculaire  aux  deux  premiers  axes.  On  obtient 
ainsi 

f{x,y,z)-^.  S33'*  -i-  1 C,  y  H-  9. G",  z' -i-  D. 
Or 

ce  qui  nous  conduit  à  faire  une  translation  des  axes  en  posant 


et  enfin 


Gï  _  '      JL  _     G?     _  Y 

83"'      ^  ^  iç.\     2g;s3~    ' 


287.  Réduction  de  l  équation  d'un  système  de  deux  plans 
parallèles.  —  L'équation  en  S  a  encore  une  racine  double  nulle; 
soient  S|  =  S2  =  o  et  S3  p^  o. 

On  transporte  les  axes  parallèlement  à  eux-mêmes,  en  prenant 
pour  nouvelle  origine  un  point  quelconque  du  plan  des  centres,  ce 
qui  donne 

/(^,7,  -s)  =  ?(^'j'  -')  +  Di, 

Dj  =  Cxq-\-  G'^o  -t-  G"zo-+-  D. 

Enfin,  en  prenant  pour  nouvelles  directions  des  axes  trois  cordes 
principales,  on  a  immédiatement 

/(:r,^,^)sS3Z2-t-D,. 

DEUXIÈME    MÉTHODE   :     USAGE    DES    INVARIANTS. 

288.  Formes  réduites.  —  L'équation  en  S  ayant  toujours  au  moins  une  racine 
différente  de  îiéro,  une  quadrique  quelconque  a,  comme  nous  l'avons  déjà 
dit,  au  moins  un  plan  principal  à  distance  finie.  Faisons  un  changement  de 
coordonnées  et  prenons  ce  plan  pour  plan  des  x^y.  L'équation  de  la  surface 
sera  alors,  évidemment,  de  la  forme 

A-'i^'--l-^(a:',y)  =  o, 

x',y',z'  désignant  les  nouvelles  coordonnées,  cl  g{x',y')  un  polynôme   du 
second  degré  au  plus. 

1°  L'équation  g{x',y')  =  0  est  du  second  degré;  supposons  qu'elle  repré- 
sente une  conique  à  centre;  on  peut  rapporter  cette  conique  à  ses  axes  de 
symétrie,  ce  qui  se  fait  par  une  transformation  de  coordonnées  dans  laquelle 


270  CHAPITRE    XVII. 

la  coordonnée  z'  ne  change  pas   et,  par  suite  la  nouvelle  équation  sera,  en 
posant,  pour  plus  de  symétrie,  z'  =■  Z, 

K\  Z2  -^  Al  X2  +  A'i  Y2  +  Di  =  o. 

Si  la  conique  qu'on  vient  de  considérer  était  un  cercle,  la  surface  serait  de 
révolution,  la  réduction  se  ferait  en  prenant  deux  diamètres  rectangulaires 
de  ce  cercle. 

2°  g(^x' y')  —  o  représente  une  parabole.  En  rapportant  cette  parabole  à 
son  axe  et  à  la  tangente  à  son  sommet,  l'équation  de  la   quadrique  prendra 

la  forme  réduite 

A'iZ2  +  A'iY2-4-2CiX  =  o. 

3"  g{x\y)  —  o  représente  deux  droites  parallèles.  En  prenant  pour  nou- 
vel axe  des  Y  la  droite  équidistante  et  pour  nouvel  axe  des  X  une  perpen- 
diculaire, on  obtiendra  l'équation  de  la  quadrique  sous  la  forme 

A"iZ2-+-A,X2-hDi  =o. 

4°  g{^'i  y')  est  du  premier  degré.  Si  l'on  prend  pour  axe  des  Y  la  droite 
représentée  par  l'équation  g{x\  y')  =  o,  l'équation  de  la  surface  devient 

A';Z2h-2GiX  =  o; 

5°  g{x\  y')  est  une  constante  :  la  réduction  est  toute  faite  et  l'équation 
cherchée  est  de  la  forme 

AÎZ2+Di  =  o. 

Calcul  des  coefficients  des  formes  réduites. 

289.  1°  Qiiadriques  à  centre  unique.  —  La  nouvelle  origine  est  le  centre 
de  la  quadrique  ;  on  a  donc  d'abord 

TT 

/(  3^,  JK,  3  )  =  cp  (  ip',  y ,  45' ) -f- -  ; 
d'où 

D   -" 

et  en  second  lieu 

cp(a7',  /,  z')  =  Al X2  -H  A'i  Y2  +  A'(  Z^. 
Donc 

o{x\  y\  z')—  S(a7'2  + j'2+  ^'2)  =  (Al  -  S)  X2-f-(A',  —  S)  Y2-i-(  A'^  -  S)  Z2. 

Si  S  =  Aj,  le  second  membre  se  réduit  à  une  somme  de  deux  carrés;  donc 
Al  est  une  racine  de  l'équation  en  S  relative  auxnouve  aux  axes  :  c'est  donc  une 
racine  de  l'équation  en  S  relative  aux  premiers  axes  et,  par  suite,  on  peut 
poser  Al  =  Si;  de  même  A'i  =  S2,  Aï  =  S3;  Si,  Sg,  S3  étant  les  racines  de 
l'équation  en  S.  On  voit  en  outre  que 

^{X',y\  5')-  S,  (^'2  4-/2+   -'2)  ^  o 


RÉDUCTION    DE    l'ÉQUATION    DU   SECOND    DEGRÉ.  27 1 

représente  deux  plans  qui  se  coupent  suivant  le  nouvel  axe  des  X,  car  cette 
équation  peut  s'écrire 

(S2-S,)Y2-^mS,-S,)Z2  =  o. 

Cet  axe  n'est  pas  autre  choso  que  la  ligne  des  centres  de  la  quadrique 
dégénérée  représentée  par  l'équation  précédente;  donc  les  équations 

se  réduisent  à  deux  et  représentent  le  nouvel  axe  des  X. 
On  détermine  de  la  même  manière  les  deux  autres  axes. 
L'équation  réduite  est 

S1X2+S2Y2+  S3Z2+  ~  ^o. 

'j."  Paraholoïdes.  —  On  a 

/(:r,  y,  z)  ^  A'^  Y^-t-  A'{  Z^-f-  2G1X. 
En  menant  par  l'origine  des  parallèles  aux  nouveaux  axes,  on  aura 

<p(a:,7,z)-S(a72+j2  +  z2)HH-Sy2  +  (A',-S)y2^(A';-S)Z'2. 

En  appelant  Si  la  racine  nulle,  on  en  conclut  comme  dans  le  premier  ca?, 
A'i  =  S2,  Aj  =  S3.  Les  équations 

d^  .  '^?  c  ^?  c 

--i-    —  XZiX  =  0,  T- 2i5  V  =  O,  V-    —  2  0-3  =  0 

dx  dy  -^  dz 

se  réduisent  à  deux  et  donnent  la  direction  des  nouveaux  axes. 

Nous  savons  calculer  les  coordonnées  du  sommet  :  on  aura  donc  ainsi  la 
nouvelle  origine  et,  par  suite,  la  position  des  nouveaux  axes.  Reste  à  cal- 
culer Cl.  Or  le  discriminant  H  est  un  invariant;  donc,  si  les  axes  primitifs 
sont  rectangulaires,  on  a 

—  Li4  02O3  =  xl . 

D'ailleurs  S2  et  S3  sont  les  racines  de  l'équation 

S2  —  (  A  -f-  A'+  A")  S  -+-  a  -t-  a' -^  a"  =  o. 

Nous  poserons 

A-f- A'-)- A"  =  M,        a-H  a'4- a"=:  P, 
donc 

On  obtient  pour  Ci  deux  valeurs  égales  et  de  signes  contraires,  car  la  di- 
rection positive  de  l'axe  des  X  n'est  pas  fixée. 

On  peut  remarquer  que  le  paraboloïde  est  elliptique  si  a -t- a'-(- a"  >  o, 
hyperbolique  si  a  -f-  a'n-  a"  -<  o. 

3"  Cylindre  elliptique  ou  hyperbolique.  —  En  suivant  la  même  marche 


272  CHAPITKE    XVII. 

que  dans  les  cas  précédents  on  obtient,  en  supposant  Si  =  o,  la  nouvelle  ori- 
gine étant  un  point  quelconque  de  la  ligne  des  centres, 

Nous  savons  déjà  calculer  Dj.  On  peut  procéder  autrement;  en  remarquant 
que  f(37,  y,  z,  t) — Di  ^^  est  une  somme  de  deux  carrés,  on  voit  que  les 
mineurs  du  premier  ordre  du  déterminant 


sont  nuls.  On  a  d'après  cela 


d'où 


A 

B" 

B' 

G 

B" 

A' 

B          G' 

B' 

B 

A" 

G" 

G 

G' 

G"    D- 

-I 

a 

A' 

B 

G' 

B 

A" 

G" 

G' 

G" 

D-  Di 

Di 

du 

Di 


o; 


De  même 

En  ajoutant  ces  équations  membre  à  membre  on  obtient 


D, 


dA 


dH 


dïi 

dX" 


D,  =  0; 


D'ailleurs  P  ^  o,  sans  quoi  l'équation  en  S  aurait  deux  racines  nulles,  ce 
qui  n'a  pas  lieu  dans  le  cas  d'un  cylindre  à  centres. 

En  outre  si  l'on  nomme  b  et  c  les  demi-axes  de  la  section  droite  du  cylin- 
dre, on  a 

b^Si-hDi  =  o,        C2S3- 

d'où 

62c2P  =  Df, 
et,  par  suite,  on  peut  poser 

Di=6cv/P, 

ce  qui  nous  donne  l'égalité  suivante 

du        dU        dH        ,      ^Jl 

.        ^         <^H         dH         dH        .  j  r  • 

L  expression  h  =  —r  -h  -n-.  -+-  -m,  qui  reste  constante  quand  on  tait  une 

oA        oA'       d\    ^  ^ 


RÉDUCTION    DE    l'ÉQUATION    DU    SECOND    DEGRÉ.  278 

transformation  de  coordonnées  en  conservant  des  a\es  rectangulaires,  se 
nomme  V invariant  des  cylindres.  (Voir  G.  Darboux,  Notes  à  la  fin  de  la 
Géométrie  analytique  de  Bourdon) 

Nous  admettrons  que  L  est  encore  constant  quand  P  =  o,  c'est-à-dire  dans 
le  cas  du  cylindre  parabolique; 

4°  Cylindre  parabolique.  —  L'équation  réduite  sera 

SaZî+aCiX  =0. 

On  a   S3  =  M   et  l'on   peut  calculer   Ci   en  se   servant   de  l'invariant  L; 
on  trouve 

L=  — MCf; 
d'où 

L'équation  réduite  est  donc 


V- 


MZ2-+-2Si/  —  ^X  =  o. 


Autre  calcul.  —  On  peut  mettre  l'équation  du  cylindre  sous  cette  forme  : 

(ax-\-  by  -f-  c^)--4-  iQx  -h  •ïQ'' y  -+-  -iC" z  4-  D  =  o 
ou 

P2-f-2Q  =0. 

Si  le  plan  P  est  perpendiculaire  au  plan  Q,  P  =  o  représente  le  plan  prin- 
cipal et  Q  =  o  le  plan  tangent  perpendiculaire  au  plan  principal.  On  est 
ainsi  conduit,  comme  dans  le  cas  de  la  parabole  (I,  284),  à  introduire  une 
indéterminée  X  et  à  écrire  l'équation 

(«37-4-  by  -\-  cz  -{-"ky 

-\-  i{C  —  a\)x  -^  i{C' -  b\)y-+-2iC"—cl)Z'i-D  —  l'-  =  0, 

puis  à  poser 

a(G  -aX)+6(C'— 6X)+c(C"— cX)  =  o, 

ce  qui  donne 

.  _  aC-j-bC-hcC 
~      a^  _,_  62  -f-  c2 

L'équation  du  plan  principal  est  donc 

aC  +  bC-^-cC 
ax  -+■  by  -h  cz  -\ t- ; —  =  o. 

Pour  mettre  l'équation  du  cylindre  sous  la  forme  Y^ —  ip  S.  =  o,  posons 

ax  -+■  by  -\-  C2  -i-X  =  Y  /a* -h  6*4-  c«, 
■i{C  —  a\)x  -\-  i^C  —  b\)y  -\-  i{C  —  c\)z 

=  2 X  /(G  — aX)»4-(G'—  6X)2-1-(G''— cXT^ ; 
iNiEwiiNGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  18 


274 

d'où  l'on  tire 


CHAPITRE   XVII. 


P  = 


v/(G  — aX)2-4-(G'-èX)2  +  (G'— cX)2 


donc 


Or,  l'identité  de  Lagrange  donne 

(a2+62+c2)[(G  — aÀ)2  +  (G'-6X)2-i-(C"-cX)2] 
(aG'— èG)2  +  (èG"— cG')2  +  (cG-aG')S 

(«G'— èG)2-^(èG"— cG')2  +  (cG  — «G')2 


5°  Système  de  deux  plans  parallèles.  —  L'équation  en  S  a  encore  deux 
racines  nulles;  en  transportant  l'origine  en  un  point  du  plan  des  centres  et 
prenant  l'axe  des  Z  perpendiculaire  à  ce  plan,  l'équation  prend  la  forme 

S3Z2-HD1  =0. 

On  a  S3  =  M.  Pour  calculer  Dj,  il  suffit  de  remarquer  que 

f{x,y,z,t)~D,t^ 


donc 


est  un  carré;  d'où  il  résulte  que  les  mineurs  du  second   degré  du  discrimi- 
nant de  cette  forme  sont  tous  nuls;  donc 

A         G 

G     D  — D, 


ou 

de  même 

et,  par  conséquent, 


AD  -  C2  ^  AD„ 

A'D  — G'2  =  A'Di, 

A"D-G''2=  A"D,, 


d'-H 


d'-H 


d'-U 


^^'^^"        ()A''t)A        dAdX'  _  N 
M  ~  M- 


en  désignant  par  N  le  numérateur. 

Si  l'on  nomme  lof  la  distance  des  deux  plans,  on  a 

83^2+ Di  =0 
ou 

Di  =  — M^2. 

N  =  -  M2rf2, 


Donc 


N  se  nomme  l'invariant  d'un  système  de  deux  plans  parallèles. 
L'équation  réduite  est  alors 


La  condition  de  réalité  est  par  suite  N  <  o. 


RÉDUCTION    DE    l'ÉQUATION    DU    SliCOM)    l)i:(.lil':.  276 

SOMMETS.     —    LONGUEURS    DES    AXES    d'uNE    QUADRIQUE 
DE    LA    PREMIÈRE    CLASSE. 

290.  i"  Ellipsoïde.  —  L'équation  réduite  d'une  quadrique  de  la 
première  classe  est 

SiX^-f-SîYî+SsZî-f-  "  =0. 

Celte  quadrique  sera  un  ellipsoïde  si  les  coefficients  S,,  S^,  S;, 
ont  le  même  signe.  L'équation  en  S  ayant  ses  trois  racines  réelles,  le 
signe  de  ces  racines  sera  déterminé  en  appliquant  le  théorème  de 
Descartes. 

Supposons  donc  que  S,,  Sa,  S3  aient  le  même  signe;  l'ellipsoïde 

H 

sera  réel  si  --   et  S,    ont   des  signes  contraires.    Chacun  des  axes 

coupe  la  surface  en  deux  points  réels,  symétriques  par  rapport  au 
centre  et  qu'on  nomme  sommets.  L'ellipsoïde  a  donc  six  sommets. 
La  distance  de  deux  sommets  situés  sur  un  axe  se  nomme  la  lon- 
gueur de  cet  axe.  Si  l'on  nomme  2a,  2^,  2  c  les  longueurs  des 
trois  axes,  on  a 

A  A  A 

d'où 

H  /,  H  .  H 

Abi  Ab2  AS3 

l'équation  de  la  surface  peut  donc  se  mettre  sous  la  forme 

X2  Y2  Z2 

-—  +  vr  +  —  -  I  =  o. 
a-        0^         c- 

Si  So  Sa,  S3  et  —  ont  le  môme  signe,  nous  poserons 
et  l'équation  deviendra 

X2  Y2  Z^ 

Dans  ce  cas,  l'ellipsoïde  est  imaginaire. 

2"  Ilyperboloïde.  —  Supposons  en  second  lieu  que  deux  racines 
de  l'équation  en  S,  par  exemple  S,  et  Sa,  aient  le  même  signe  et 
que  S3  ait  le  signe  contraire.  Alors,  deux  cas  peuvent  se  présenter. 


276  CHAPITRE    XVII. 

(a).  S3  et  —  ont  le  même  signe.  L'axe  des  X  et  l'axe  des  Y  coupent 
la  surface  en  des  points  réels  et  l'axe  des  Z  la  coupe  en  des  points 
imaginaires  conjugués  ;  la  surface  a  donc  quatre  sommets  réels  et 
deux  sommets  imaginaires  conjugués.  Nous  poserons 

H  ^,  H  o        H 

«2  =  --^-,  62=—-—,  C2=-— , 

de  sorte  que  ia  el  ib  seront  les  longueurs  des  axes  réels  et  nous 

appellerons  2  c  la   longueur  de  l'axe  imaginaire.  L'équation  de  la 

surface  est  alors 

X2       Y2        Z2 

cette  surface  est  un  hypevboloïde  à  une  nappe. 

H 

[h).   S3  et  —  ont  des  signes  contraires;  dans  ce  cas  Taxe  des  Z  seul 

coupe  la  surface  en  des  points  réels.  Cette  surface  a  donc  deux  som- 
mets réels  seulement  et  deux  paires  de  sommets  imaginaires  conju- 
gués. Si  nous  posons 


H  ,.         H  .  H 


a'  =  Tp 


62   = 


ASi  AS2  AS3 

l'équation  prend  la  forme 

X2        Y2        Z2 

et  représente  un  hyperboloide  à  deux  nappes. 

291.  Equation  aux  carrés  des  longueurs  des  demi-axes  d'une 

TT 

quadrique  à  centre.  —  Si  l'on  pose  S  p  -+-  —  =:  o  et  que  l'on  rem- 
place successivement  p  par  S|,  S2,  S3,  on  trouvera  pour  les  valeurs 
correspondantes  de  p  : 

1°  Dans  le  cas  de  l'ellipsoïde  réel  :  p,  =  a^,  pa  =  6^,  p^  =  c-  ; 

2"  Dans  le  cas  de  l'ellipsoïde  imaginaire  :  p,  =  —  a^.,  pa  =  —  ^^, 
p3  =  — c2; 

3"  Dans  le  cas  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe  :  p)  ^=  a^,  p2  =  6^, 
P3  =  — C-; 

4°  Dans  le  cas  de  l'hyperboloïde   à  deux  nappes  :    pi  =  —  a^. 
pa  —  —  b^i  p3  =  c2. 
On  suppose  conservées  les  notations  précédentes. 


RÉDUCTION    UE    l'éQUATION    Dl'    SECOND    DEURÉ.  277 

On  peul  donc  dire  que  les  valeurs  de  p  sont  les  carrés  des  deml- 
ionj;iicurs  d'axe  (pourvu  que  l'on  appelle,  jiar  exemple  dans  le  cas  de 
l'hyperboloïde  à  une  nappe,  ci  lu  demi-longueur  de  l'axe  imaginaire). 

H 

D'après  cela,  si  dans  l'équalion  en  S  on  fait  la  substitution  S  =  —  —  j 

l'équation  obtenue  en  p  sera  l'équation  aux  carrés  des  demi-longueurs 
d'axes.  Dans  le  cas  le  plus  général,  cette  équation  est 

H 


A 
B" 
B' 


H 

Âp 

il 

Tp 

H 


B'^ 

A'-+- 
B-i- 


cosv       B' 
B 

cosX     A' 


Ap 
il 

II 


COS  [J. 

cosX 


202.  On  peut  obtenir  cette  équation  par  une  méthode  géométrique,  celle 
de  Galois.  Supposons  l'équation  de  la  quadrique  rapportée  à  ses  axes  de  sy- 
métrie 

X2  Y2  Z2 

X+B   +  G-'  =  ^' 
et  considérons  la  sphère  concentrique  ayant  pour  équation 

X2  Y2  Z2 

Le  cône  ayant  pour  sommet  l'origine  et  pour  directrice  la  courbe  d'intersec- 
tion de  ces  deux  surfaces  a  pour  équation 

Ce  cône  se  réduit  à  deux  plans  quand  on  remplace  R^  par  A,  B  ou  G  et  il  est 
évident  que  pour  ces  valeurs  de  K^  la  sphère  est  bitangenle  à  la  quadrique. 
Rapportons  la  quadrique  et  la  spiière  à  des  axes  quelconques  passant  par 
leur  centre,  mais  pour  plus  de  simplicité  supposons  ces  axes  rectangulaires; 
leurs  équations  seront 

'^{x,y,  2) -H    -  =0, 
x^-k- y^-+-  z^ —  R-  =  o; 
le  cône  aura  alors  pour  équation 

-H  ihyz  -\-  iB'zx  -h  aB'xy  =  o. 


( 


278         CHAPITRE    XVII.  —  RÉDUCTION    DE    l'ÉQUATION    DU    SECOND    DEGRÉ. 

Pour  que  ce  cône  se  réduise  à  deux  plans,  il  faut  et  il  suffit  que 


H 

B"  A' 

B' 


B' 


H 


B' 
B 


A"- 


H 


Les  racines  de  cette  équation  en  R2  sont  A,  B,  C.  On  retrouve  bien  l'équation 
déjà  obtenue. 

KXERCICES. 

i.  Deux  quadriques  homothétiques  ont  leurs  axes  parallèles  et  proportion- 
nels. Examiner  le  cas  de  deux  paraboloïdes  homothétiques. 

2.  Exprimer  que  deux  quadriques  sont  semblables  et  dans  un  rapport 
donné  k  de  similitude.  En  particulier  exprimer  que  deux  quadriques  rappor- 
tées à  un  système  quelconque  de  coordonnées  rectilignes  sont  égales. 

3.  Montrer  qu'un  paraboloïde  elliptique  peut  être  considéré  comme  la  li- 
mite d'un  ellipsoïde  ou  d'un  hyperboloïde  à  deux  nappes  dont  un  sommet 
réel  et  le  plan  tangent  en  ce  point  restent  fixes,  les  longueurs  des  axes  gran- 
dissant indéfiniment,  mais  les  paramètres  des  sections  principales  contenant 
le  sommet  fixe  ayant  des  limites  finies. 

4.  Un  paraboloïde  hyperbolique  peut  être  considéré  comme  la  limite  d'un 
hyperboloïde  à  une  nappe  dont  un  sommet  réel  et  le  plan  tangent  en  ce  point 
restent  fixes,  les  longueurs  des  axes  grandissant  indéfiniment,  mais  les  pa- 
ramètres des  sections  principales  contenant  le  sommet  fixe  ayant  des  limites 
finies. 

5.  Un  cylindre  parabolique  peut  être  considéré  comme  la  limite  d'un  para- 
boloïde dont  un  des  paramètres  croit  indéfiniment,  ou  encore  comme  la  li- 
mite d'un  ellipsoïde  de  révolution  aplati,  dont  un  sommet  d'une  ellipse  méri- 
dienne ainsi  que  le  plan  tangent  en  ce  point  restent  fixes,  les  axes  de  cette 
ellipse  grandissant  indéfiniment,  mais  son  paramètre  ayant  une  limite  finie. 

6.  Trouver  le  volume  d'un  ellipsoïde  rapporté  à  trois  axes  de  coordonnées 
quelconques. 

7.  Appliquer  la  réduction  aux  exemples  donnés  en  Exercice  au  ChapitreXIII. 

8.  Les  équations 

(ai.r  -f-  biy  -f-  Ci  z^-hia^x 
{ayx  -4-  a^y  -+-  a^zy-h  {bix 

représentent,  si  les  axes  sont  rectangulaires,  deux  ellipsoïdes  égaux,  en  sup- 
posant le  déterminant  des  neuf  coefficients  différent  de  zéro.  (Jacobi.) 


^27 

-h  Ci 

zy- 

-+- 

(«3^-1- 

bsy  +  Cizy  = 

I, 

627 

-+-  63 

zy 

-+- 

(Ci  X  -+- 

Ciy  -hC3^)-2  = 

I 

PÔLES  ET  PLANS  POLAIRES.  279 

CHAPITRE  XVIII. 

OLES  ET   PLANS  POLAIRES. 


293.  Définition.  —  On  dit  que  deux  points  A,  B  sont  conjugués 
harmoniques  par  rapport  à  une  quadrique  quand  ils  sont  conjugués 
harmoniques  par  rapport  aux  points  d'intersection  de  cette  quadrique 
et  de  la  droite  AB.  L'équation  de  la  quadrique  étant /(^,  y^  z,  t)  =  o 
en  coordonnées  homogènes  ou  létraédriques,  et  les  coordonnées  de  A 
étant  Xq,  yo,  Zq,  Iq',  celles  de  B  :  ^, ,  j^i ,  5, ,  f,  ;  les  points  d'intersec- 
tion de  AB  et  de  la  quadrique  s'obtiennent  en  remplaçant  dans  les  ex- 
pressions Xo-i-KXt,  . . .,  X  successivement  parles  racines  de  l'équa- 
tion y'(.ro+  "kxi, yo+  ^-yi,  ^0  +  ^^t?  ^0+  ^^^t  )^  o.  On  en  conclut, 
comme  dans  le  cas  des  coniques,  que  la  condition  pour  que  A  et  B 
soient  conjugués  est 

àf  àf  df  df 

'  dxo       -^    dfo  àzo  dto 

PLAN    POLAIRE    d'uN    POINT. 

29i.  Le  lieu  des  conjugués  d'un  point  A  /?«;•  rapport  à  une 
quadrique  est  en  général  un  plan  P,  qu  on  nomme  le  plan  polaire 
de  A. 

En  effet,  le  lieu  des  conjugués  de  A(xo,  j^o?  ^o?  '0)  a  pour  équation 

i)f  df  df         df 

dxo       •"  àfo  dzo  dfo 

Le  point  A  se  nomme  le  pôle  du  plan  P. 

Rappelons  que  le  plan  de  la  courbe  de  contact  d'un  cône  circonscrit 
à  une  quadrique  est  le  plan  polaire  du  sommet  de  ce  cône  par  rapport 
à  cette  quadrique. 

[1  résulte  de  la  forme  de  l'équation  obtenue,  que  le  plan  polaire 
d'un  centre  est  à  l'infini  et  que  le  plan  polaire  d'un  point  double  est 
indéterminé. 

Le  plan  polaire  du  point  à  l'infini  dans  la  direction  (a,  ^,  y)  est  le 


20O  CHAPITRE    XVIII. 

plan  diamétral  conjugué  à  cette  direction;  c'est  en  effet  le  lieu  des 
milieux  des  cordes  parallèles  à  cette  direction. 

D'ailleurs,   en   écrivant  l'équation   du  plan  polaire  de  A  sous  la 

forme 

àf  àf  df       ,   df 

on  voit  que  si  l'on  fait  .Tq  =  a,  yo  =  [S,  Zq  =  ^;  «o  =  o  on  obtient 

df      „ df         Of 
dx       ^  oy  oz 

295.  Problème.  —  Trouve?^  le  pôle  'd^un  plan,  par  rapport  à 
une  quadrique. 

Soit,  en  coordonnées  homogènes, 

u  X  +  vy  -\-  w  z  -k-  rt  ^=  o 

l'équation  d'un  plan.  Il  s'agit  d'identifier  cette  équation  avec  celle  du 
plan  polaire  d'un  point  (.ro,yo?  ~-oi  h) 

df  df  dt  df 

ôXq       •"  dy^j  dzo  dio 

On  obtient  ainsi,  en  introduisant  une  inconnue  auxiliaire  1  : 

àf  .  àf  .  df  .  àf  . 

dxo  àyo  Ozq  dtç, 

ou,  en  développant, 

A  370+  B"j^o  +  B'^o  +  G^o  —  lu  =  o, 

B"xq-{-  A'ro  -t-  Bso  -t-  G'^o  —  1^'  —  o, 
(1)  ■  ,  ^ 

'    B'xq  -+-  B  yo  -+-  .V Zo  +  G'  io  —  '^  «'  =  o, 

G  370+  G'^o  +  G"^o+  D  to  —  1  r  =  o. 

Discussion  :  1°  H  ^  o.  —  Quelle  que  soit  la  valeur  attribuée  à  À, 
ce  système  d'équations  détermine  Xq,  y^,  ^o?  ^0  en  fonction  de  \. 
Donc,  dans  une  quadrique  proprement  dite  (ellipsoïde,  hjperboloïde 
ou  paraboloïde),  tout  plan  a  un  pôle  à  distance  finie  ou  infinie.  Cal- 
culons les  coordonnées  de  ce  pôle.  Si  l'on  nomme  a,  a\  . .  .,  b" ,  c, 
c',  c",  d^  (d  =  A)  les  coefficients  des  éléments  de  H,  on  trouve,  en 
appliquant  la  règle  de  Cramer 

llxo=:\{au  A- h" V -\- b' w -^  cr), 


PÔLES    ET    PLANS    POI. AIRES.  28 1 

Cl  des  valeurs  analogues  pour  ro-  ^'^'i  appelanl  —  1'  (",  <S  «^  /'), 
comme  nous  l'avons  déjà  fait,  le  premier  membre  de  l'équalion  tan- 
genlielle  de  la  quadrique  donnée,  on  obtient  pour  les  coordonnées 
du  pôle  du  plan  (//,  r,  w,  /■)  les  formules 

_    l    dF  _    X    ()F  _    X     (^F  _    X    (JF 

2 11  OU  "^  2  H   d^'  2  H  aw  2  H  or 

On  reconnaît  ainsi  que  si  un  plan  passe  par  son  pôle  il  est  tangent 
à  la  quadrique  et  le  point  de  contact  est  le  pôle. 

Le  pôle  est  rejeté  à  l'infini  si  ,~  =0,  ou 

eu  H-  c'  i-'  -r-  c"  iv  -t-  dr  =  o, 
c'est-à-dire  quand  le  plan  passe  par  le  centre  de  la  quadrique. 

Pour  mieux  préciser  ce  résultat,  considérons  une  quadrique  à  centre  rap- 
portée à  son  centre  et  ayant  pour  équation 

Ax^-h  A'y--\-  iVz'^^  D  =  o. 

11  s'agit  d'identifier  les  équations 

\xxo-h  iVyyo-^'  .V'zzo-h  D  =  o, 

ux-h-     vy     -+-    wz    -f-  /•  =  o, 
ce  qui  donne 

A-tq  _  A'ro  _  k" zt,  _  D 

U  V  W  !• 

T  1         -        1        .1      1        I        /  X  I         D«     Dv      Dw 

Les  coordonnées  du  pôle  du  plan  («,  v,  w,  r)  sont  donc  -^  >  tt~'  T»~  » 

on  voit  bien  que  le  pôle  est  à  l'infini,  dans  la  direction  conjuguée  au  plan 
donné,  quand  ce  plan  passe  par  le  centre.  Pour  exprimer  que  le  plan  est  tan- 
gent, il  suffit  d'écrire  qu'il  contient  son  pôle,  ce  qui  donne  l'équation  tangen- 
tielle  de  la  quadrique 

S'il  s'agit  d'un  paraboloïde 

k' y^-\-  A" z'^-r-  'XX  =  o, 

on  identifie 

A' jvjo  ■+-  A-'zZo  -f-  ;r  -f-  a?o  =  o 

avec  l'équation  du  plan  donné;  on  trouve  ainsi 

_  r  V  w 

U  Au  Au 

Le  pôle  est  donc  à  l'infini  si  u  =  o,  c'est-à-dire  si  le  plan  donné  est  parallèle 


202  CHAPITRE    XVIII, 

à  l'axe  du  paraboloïde.  L'équation  langentielle  est 

2°  H  =  o.  —  La  quadrique  a  un  ou  plusieurs  points  doubles. 

Supposons  d'ïibord   que  la  quadrique   donnée  n'ait  qu'un  point  double  et 
soient  a?i,  j-j,  Zi,  t\  les  coordonnées  de  ce  point. 
Des  équations  (i)  on  déduit 

'^/  àf  df  df  ., 

ou 

àf  df  df  df         .  , 

^«^. -^'^»#;-^^«5t"^'"57;  =  "^("^'+'•^'-^"^^*-^''''^•■ 
Mais  le  premier  membre  est  identiquement  nul,  puisque  -^r—  =  o,  ^r^-  =  o,  ...  ; 
d'autre  part  on  doit  supposer  X  ^  o,  donc 

uxi  +  vyi  ■+-  wzi  +  rti  =  o, 

ce  qui  prouve  que  le  plan  donné  doit  passer  par  le  point  double.  Dans  ce  cas 
les  équations  (2)  se  réduisent  à  trois  comme  on  le  voit  en  multipliant  par  a^o, 
.Xoj-^O)  ^0)  6t  ajoutant  membre  à  membre.  Il  y  a  donc  alors  une  ligne  de  pôles 
dont  on  obtiendra  les  équations  en  éliminant  X. 

Exemple.  —  Soit 

Aa;2+ A'jk2_j_  A"^2  =  o 

l'équation  d'un  cône.  Identifions  l'équation  du  plan  donné  avec 

A  xxq  h-  A'jkj'o  h-  A"  zzq  =  o  ; 

on  doit  poser  r  =  o  et  l'on  a  ensuite 

A  3^0  _  A>o  _  A"zo  ^ 
Il  t»  w    ' 

en  regardant  .^0,^0;  -^o  comme  des  coordonnées  courantes  nous  obtenons  les 
équations  de  la  ligne  des  pôles  conjuguée  au  plan  donné,  ou  polaire  de  ce 
plan. 

Cas  du  cône  isotrope.  —  La  polaire  du  plan   (a,  v,  w,  o)  par  rapport  au 
cône  isotrope 

372  + ^2-4-^^=  o 

a  pour  équations 

X  _  y  _  ^ 

u        V        w 

c'est  donc  la  perpendiculaire  au  plan  donné. 

On  en  déduit  cette  conséquence  remarquable   :    la   normale   en    un   point 
d'une  surface  est  la  polaire  du  plan  tangent  en  ce  point  par  rapport  au  cône 


PÔLES    ET    PLANS    POLAIRES.  283 

isotrope  dont  le  sommet  est  au  point  de  contact.  Celte  remarque  est  utile 
dans  les  transformations  homographiques. 

Cas  du  cylindre.  —  Soit 

Xx^-\-  My^-^  D  =  o 

l'équation  d'un  C}  liiulrc.  I-e  plan  polaire  du  point  (j^oi  y^i  ^o)  ^  pour  équation 

A  xxo  -f-  Pi-'yyo  +  D  =  o, 

il  est  parallèle  à  la  ligne  des  centres;  l'équation  précédente  ne  dépend  pas 
de  Zq'.  elle  représente  le  plan  polaire  d'une  parallèle  à  l'axe;  le  plan 
(a,  V,  w,  r)  ne  peut  avoir  un  pôle  que  si  w  =  o,  c'est-à-dire  si  le  plan  est 
parallèle  à  la  ligne  des  centres;  s'il  en  est  ainsi  on  trouve  une  ligne  de  pôles 
ou  polaire  du  plan;  ses  équations  sont 

Aa:  _  A'^        D 

u  V  r 

si  /■  =  o,  c'est-à  dire  si  le  plan  passe  par  la  ligne  des  centres;  sa  polaire  est 
rejetée  à  l'infini. 

Cylindre  parabolique.  —  Soit 

y^ —  ipx  =  o 

l'équation  réduite  d'un  cylindre  parabolique.  Le  plan  polaire  du  point 
{xq,  yç),  Za)  a  pour  équation  yy^  —  px  —  pxo=  o;  il  est  donc  parallèle  aux 
génératrices.  Réciproquement  la  polaire  d'un  plan  parallèle  aux  génératrices 
et  représenté  par 

ux  -h  vy  -\-  r  =  o 
a  pour  équations 

pv  r 

y——    —,  x=  -; 

u  u 

elle  est  donc  parallèle  aux  génératrices  et  rejelée  à  l'infini  si  u  =  o,  c'eàt- 
à-dire  si  le  plan  donné  est  parallèle  au  plan  principal. 

En  second  lieu,  si  la  surface  a  une  ligne  de  points  doubles,  on  voit,  comme 
plus  haut,  que  le  plan  polaire  d'un  point  quelconque  passe  par  la  ligne  des 
points  doubles  et  réciproquement,  à  tout  plan  passant  par  cette  ligne  cor- 
respond un  plan,  conjugué  harmonique  du  premier  par  rapport  aux  deux 
plans  auxquels  se  réduit  la  quadrique.  Les  équations  (2)  se  réduisent  alors  à 
deux  et  l'on  obtient  l'équation  du  plan  conjugué  au  premier  en  éliminant  X. 

Rnfin,  s'il  y  a  un  plan  de  points  doubles,  les  quatre  équations  (i)  se  ré- 
duisent à  une  seule;  le  plan  polaire  d'un  point  donné  coïncide  avec  le  plan 
double  et  le  pôle  d'un  plan  coïncidant  avec  ce  plan  double  est  indéterminé. 

POSITIONS    RELATIVES    DU    POLE    ET    DU    PLAN    POLAIRE. 

29G.  Théorème.  —  Quand  un  point  se  déplace  sur  un  diamètre 
d'' une  quadrique  à  centre  unique,  son  plan  polaire  par  rapport 


284  CHAPITRE    XVIII. 

à  cet^e  quadrique  conserve  une  direction  fixe,   conjuguée  à  ce 
diamètre. 

En  effet,  soient  x^^  j>^oj  ^o>  ^o  les  coordonnées  du  centre  de  la  qua- 
drique ;  a,  [3,  Y  les  paramètres  du  diamètre  considéré.  Un  point  quel- 
conque de  ce  diamètre  a  pour  coordonnées  a^o  +  ^^a,  j^o  +  ^^^> 
^0  +  ^^Yj  ^0-  Le  plan  polaire  de  ce  point  a  pour  équation 

il   est   donc   parallèle   au    plan    diamétral  conjugué    à  la   direction 

(^,  P,  Y)- 

On  peut  préciser  davantage.  Prenons  pour  axe  des  x  un  diamètre  et  pour 
axes  des  j'  et  des  z  deux  diamètres  conjugués  de  la  section  de  la  quadrique 
par  le  plan  diamétral  conjugué  à  l'axe  des  x.  L'équation  de  la  quadrique 
sera  de  la  forme 

Aa72-i-  A'jk2_^  A"^^  _i_  d  =  o. 

Si  l'on  suppose  le  diamètre  Ox  réel,  sa  longueur  -xa  est  donnée  par  l'équa- 
tion Aa2  _4_  D  =  o.  Le  plan  polaire  du  point  {x^,  o,  o)  a  donc  pour  équation 
xXi^  —  «2  —  o.  On  verrait  de  même  que  si  ce  diamètre  est  imaginaire,  le  plan 
polaire  aura  pour  équations  xx^^  +  «2  _  q^  Qgg  équations  se  discutent  comme 
celles  relatives  aux  coniques. 

Cas  d'un  paraboloïde.  —  Une  sécante  menée  par  un  point  M 
parallèlement  à  l'axe  d'un  paraboloïde  coupe  cette  surface  en  un 
seul  point  A  à  distance  finie,  le  second  point  d'intersection  B  étant  à 
l'infini;  il  en  résulte  que  le  point  A  est  le  milieu  du  segment  MM', 
M'  étant  la  conjuguée  de  M.  Réciproquement,  si  l'une  des  extrémités 
d'un  diamètre  mené  par  M  est  le  milieu  de  MM',  l'autre  extrémité 
est  à  l'infini  et  la  quadrique  est  un  paraboloïde,  en  supposant  qu'il 
s'agisse  d'une  quadrique  a_yant  un  centre  unique  à  distance  finie  ou 
à  l'infini. 

Il  convient  de  reprendre  celte  question  par  le  calcul.  Considérons  une 
quadrique  quelconque  et  prenons  pour  axe  des  x  un  diamètre,  l'origine 
étant  l'une  des  extrémités,  à  distance  finie,  de  ce  diamètre.  Le  plan  tangent 
à  l'origine  a  une  direction  conjuguée  au  diamètre  qui  y  passe;  on  peut  sup- 
poser la  section  par  le  plan  tangent  rapportée  à  deux  directions  conjuguées; 
l'équation  de  la  quadrique  sera  de  la  forme 

Aa^2_{_  pj y%_j^  ^."^2  _j_  2Ga7  =  o. 
Le  plan  polaire  du  point  (a^o,  o,  o)  a  pour  équation 

A  a7.ro  -f-  G  (  a?  +  a7o  )  ~  o. 


PÔLES    ET    PLANS    POLAIRES.  285 

Cette  équation  se  réduit  à 

X  -+■  Xq  =  O, 

si  A  =  o  et  réciproquement.  La  propriété  considérée  est  donc  une  propriété 
caractéristique  des  paraboloïdes  et  du  cylindre  parabolique. 

PROPRIÉTÉS    DES    POLES    ET    DES    Pl.ANS    POLAIIIES. 

297.  Théouèmes.  —  1°  Si  le  plan  polaire  d'un  point  m  passe 
par  unpoint  p,  réciproquement  le  planpolaire  de  p  passe  par  w, 
car  m  et  p  sont  conjugués. 

Corollaire.  —  Le  pôle  du  plan  passant  par  trois  points  a,  b,  c 
est  le  point  commun  aux  plans  polaires  de  ces  trois  points. 

2°  Si  un  point  m  se  déplace  dans  un  plan  P,  son  plan  polaire  M 
pivote  autour  de  p,  pôle  de  Pet  réciproquement,  si  un  planM 
pivote  autour  d'un  point  p,  son  pôle  m  se  meut  dans  le  plan  V, 
polaire  de  p. 

Mêmes  démonstrations  que  pour  les  coniques  (t.  I,  p.  4i5)- 

Droites  conjuguées. 

298.  1°  Si  un  plan  tourne  autour  d'une  droite  D,  son  pôle  décrit  une 
droite  Di;  2°  si  un  point  se  meut  sur  Dj,  son  plan  polaire  tourne  autour 
de  D;  3" si  unpoint  se  meut  sur  D,  son  planpolaire  tourne  autour  de  D,  ; 
4"  si  un  plan  tourne  autour  de  Di,  son  pôle  décrit  la  droite  D. 

En  effet  :  i"  Soient  a,  b  deux  points  de  D  et  A,  B  leurs  plans  polaires  par 
rapport  à  une  quadrique  donnée.  Si  un  plan  passe  par  a,  son  pôle  est  dans 
le  plan  A;  s'il  passe  en  outre  part,  son  pôle  est  dans  le  plan  B;  il  est  donc 
sur  la  droite  Dj,  intersection  des  plans  A,  B. 

2°  Un  point  m  de  Di  est  dans  le  plan  A,  donc  son  plan  polaire  passe 
par  a;  m  étant  aussi  dans  le  plan  B,  son  plan  polaire  passe  par  b.  Donc  M, 
plan  polaire  de  m,  contenant  a  cl  b  contient  la  droite  D. 

Si  l'on  considère  deux  points  ai,  bi  de  D|,  leurs  plans  polaires  Ai,  B| 
se  coupent  suivant  D;  cette  remarque  suffit  pour  établir  les  deux,  dernières 
parties. 

On  peut  donner  aux  démonstrations  précédentes  une  autre  forme.  Soient 
Xq,  yo,  Zo,  <o  et  ^>  ^>  ^>  '>  'es  coordonnées  de  deux  points  a,  b  de  D.  Le 
plan  polaire  d'un  point  quelconque  m  de  D,  m  ayant  pour  coordonnées 
XQ-hlxi,  yo-^  ^yu  • .  -,  a  pour  équation 

P„H-XP,  =0, 


286  CHAPITRE    XVIII. 

Pq  =  o  et  Pi  =  o  étant  les  plans  polaires  de  a  et  6;  ce  qui  démontre  la  troi- 
sième partie  et  prouve,  en  outre,  que,  si  m  décrit  D  dans  un  certain  sens, 
son  plan  polaire  M  tourne  autour  de  Dj  dans  un  sens  déterminé,  qui  sera 
renversé  si  m  décrit  D  en  sens  contraire.  La  quatrième  partie  se  trouve  ainsi 
établie. 

En  second  lieu,  les  plans  polaires  de  quatre  points  Xj,  "ki,  X3,  X^  de  D 
ayant  pour  équations  Pq  -r-  Xi  Pi  =  o,  Pq  +  X2  Pi  =  o,  . . . ,  on  obtient  ce  théo- 
rème important  : 

Le  rapport  anharmo nique  de  quatre  points  en  ligne  droite  est  égal  au 
rapport  anharmonique  de  leurs  plans  polaires  par  rapport  à  une  qua- 
drique  quelconque. 

Soient  Uq,  Vq,  Wq,  r^  et  «i,  Pi,  Wj,  ri  les  coordonnées  de  deux  plans  Mq,  Mi 
passant  par  D;  un  plan  quelconque  M,  mené  par  cette  droite,  a  pour  coor- 
données Mo  +  Xmi,  Po  + ^  ^1)  «'o -+- X  np-i,  ro-f-X/'i-Si  F(m,  (^,  w,  r)  =  o  est 
l'équation  tangentielle  de  la  quadrique  donnée,  le  pôle  du  plan  défini  donné 
par  l'équation 

(  Mo  ^-  X  «1  )  ^  H-  (  Pn  ^-  X  Cl  )  ^  -t-  (  (Vo  +  X  tVi  )  ^  -4-  (  /'o  H-  X  /'i  )  if  =  o 

a  pour  coordonnées  ponctuelles 

^F        .    d¥  àY       .    d¥  dV        .    d¥  d¥       .    dV 

-r hX— -, hX-^, hX- —  ,  4-X-—  , 

ouq  oui  ovo  ovx  dwo  owi  or  ori 

c'est  donc  un  point  m  de  la  droite  passant  par  les  pôles  mo,  nii  des  deux 
premiers  plans  Mq,  Mi  ;  si  M  tourne  toujours  dans  le  même  sens  autour  de  D, 
ni  décrit  Di  tout  entière  dans  un  sens  déterminé  ;  les  deux  autres  parties  sont 
ainsi  démontrées. 

299.  Théorème.  —  Le  lieu  des  pôles  d'une  droite  D  par  rapport  aux 
sections  obtenues  en  coupant  une  quadrique  Q  par  des  plans  menés 
par  D  est  la  droite  Di  conjuguée  de  D  par  rapport  à  Q. 

En  effet,  les  plans  polaires  de  tous  les  points  de  D  passent  par  le  pôle  p 
de  cette  droite  par  rapport  à  l'une  quelconque  des  sections  considérées, 
puisque  ce  pôle  et  un  point  quelconque  de  D  étant  conjugués  par  rapport  à 
la  section  sont  aussi  conjugués  par  rapport  à  la  quadrique.  On  voit  ainsi 
que,  si  5  est  le  sommet  du  cône  circonscrit  le  long  de  cette  section,  la  droite 
Di  est  la  droite  ps. 

300.  Positions  des  droites  D  e^  Di.  —  Menons  par  D  un  plan  diamétral  de 
la  quadrique  Q  et  prenons  pour  axe  des  x  le  diamètre  de  la  section  qui  est 
conjugué  à  la  direction  de  D,  l'axe  desjK  étant  la  tangente  à  l'une  des  extré- 
mités de  ce  diamètre;  enfin,  l'axe  des  z  ayant  une  direction  conjuguée  au 
plan  diamétral  considéré.  L'équation  de  la  quadrique  est  alors 

Aa72-f- A'72  -H  A"z^--i-'2Cx  =  0; 


PÔLES    ET   PLANS    POLAIRES.  287 

et  les  équations  de  D  étant 

5  =  0,  37  =  Xq- 

La  droite  conjuguée  Dj,  intersection  des  plans  polaires  de  deux  points 
de  D,  a  pour  équations 

Xxxo-\- C{x -{- Xo)  =  o,        ^  =  0. 

On  voit  ainsi  que  D  et  Dj  rencontrent  un  diamètre,  qu'elles  partagent  har- 
inoniquement,  et  de  plus  elles  ont  des  directions  conjuguées  par  rapport  aux 
sections  faites  par  des  plans  parallèles  au  plan  tangent  mené  à  l'une  des 
extrémités  du  diamètre  considéré.  C'est  ce  que  l'on  voit  très  simplement  par 
la  Géométrie. 

En  particulier,  si  D  est  tangent  à  la  quadrique,  Di  passe  par  le  point  de 
contact  de  D  et  est  aussi  tangent  à  la  quadrique. 

Dans  le  cas  d'un  ellipsoïde,  pour  obtenir  deux  droites  conjuguées  il  suffit 
de  couper  cet  ellipsoïde  par  un  plan  diamétral,  de  tracer  le  diamètre  con- 
jugué et  de  mener  par  deux  points  divisant  ce  diamètre  harmoniquement 
deux  droites  D,  Dj  parallèles  à  deux  diamètres  conjugués  de  la  section  dia- 
métrale. 

Dans  le  cas  d'une  sphère,  on  partagera  un  diamètre  harmoniquement,  et, 
par  les  points  obtenus,  on  mènera  deux  droites  perpendiculaires  entre  elles 
et  perpendiculaires  à  ce  diamètre. 

Autre  construction.  —  La  droite  Dj,  conjuguée  de  D,  peut  encore  être 
obtenue  autrement  :  Di  passe  par  les  points  de  contact  des  plans  tangents 
menés  par  Y)  à  la  quadrique. 

En  effet,  le  plan  polaire  de  chacun  des  points  d'intersection  de  D,  avec  la 
quadrique  Q  est  tangent  à  cette  quadrique  et  passe  par  D,  et  réciproque- 
ment le  point  de  contact  de  tout  plan  tangent  mené  à  Q  mené  par  D  est 
sur  Dj . 

On  retrouve  ainsi  cette  proposition  :  on  peut  mener  par  une  droite  D 
deux  plans  tangents  à  une  quadrique.  Ces  deux  plans  peuvent  être  réels  ou 
imaginaires;  ils  sont  confondus  en  un  seul  si  D  est  tangent  à  la  quadrique, 
car  D|  est  alors  aussi  tangente. 

301.  Plans  conjugués.  —  On  dit  que  deux  plans  P,  V  sont  conjugues 
par  rapport  à  une  quadrique  quand  le  pôle  de  l'un  est  sur  l'autre.  Soit 
F(m,  V,  w,  r)  =  o  l'équation  tangcntielle  de  la  quadrique  (supposée  non  déve- 
loppable)  et  soient  u,  v,  w,  r  et  u' ,  v' ,  w'^  r'  les  coordonnées  tangentielles  des 

deux  plans;   le   pôle  du  premier   a  pour   coordonnées  ponctuelles  ;t— '  -j"  j 

d¥     d?  .  ,        ,  j     ,         • 

-7—.  T—  ;   ce  point  est  dans  le  second  plan  si 
dw     or 

.d¥         ,dY  ,  d¥         ,d¥ 

u \-v hW   -; \-  r   —-=0. 

du  ov  ow  or 


CHAPITRE   XVIII. 


S'il   en   est   ainsi,    réciproquement,  le   pôle  du    second   plan    est   dans   le 
premier. 

La  condition  précédente  peut  s'écrire 


u! 

H 

v' 

w' 

r' 

0 

U    i>    w 

r 

302.  Les  plans  tangents  menés  à  une  quadrique  par  l'intersection  de 
deux  plans  conjugués  sont  conjugués  harmoniques  par  rapport  à  ces 
deux  plans  et  réciproquem.ent. 

En  effet,  l'équation 

F(m  -f-  X«',  V  -\-\v\  w  -^\  w\  r  +  X/-')  =  G 

détermine  les  plans  tangents  menés  par  l'intersection  des  deux  plans  P,  P'; 
la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  les  plans  correspondant  aux 
deux  racines  X',  X"  de  celte  équation  forment  avec  Pet  P'  un  faisceau  harmo- 
nique est  X'-t- X"  =  o;  ce  qui  donne 

,dY         ,dY  ,dY         ,dY 

u  -7 \-  V  - — \-  w  -. v-  r  •—  — o. 

ou  ov  ow  or 


EXERCICES. 

1.  Étant  données  deux  droites  D,  D,  conjuguées  par  rapport  à  une  sphère, 
les  sections  de  cette  sphère  par  un  plan  quelconque  passant  par  D,  et  par  un 
plan  quelconque  passant  par  Di,  sont  des  cercles  orthogonaux;  en  faisant 
varier  les  plans,  on  obtient  ainsi  deux  familles  de  cercles  orthogonaux  tracés 
sur  la  sphère. 

Montrer  que,  réciproquement,  si  deux  familles  de  cercles  orthogonaux 
sont  tracées  sur  une  même  sphère,  ces  cercles  peuvent  être  obtenus  par  le 
mode  de  génération  précédent. 

2.  Transformer  par  inversion  la  propriété  précédente,  le  pôle  d'inversion 
étant  un  point  de  la  sphère. 

3.  On  considère  le  cône  ayant  pour  sommet  un  point  A  et  pour  directrice 
une  section  plane  d'une  quadrique;  montrer  que  ce  cône  coupe  la  quadrique 
suivant  une  seconde  courbe  plane;  connaissant  l'équation  du  plan  P  de  la 
première  conique,  trouver  celle  du  plan  Q  de  la  seconde;  prouver  que  le  plan 
polaire  de  A  et  le  plan  passant  par  A  et  par  l'intersection  des  plans  P  et  Q 
forment  un  faisceau  harmonique. 

4.  Dans  l'exemple  précédent,  si  le  plan  P  enveloppe  une  quadrique  don- 
née, trouver  l'enveloppe  du  plan  Q. 


PÔLES    ET    PLANS    POLAIRES.  389 

f).  On  (lit  qu'un  tétraèdre  est  conjugué  à  une  quatirique  donnée  ou  que  la 
quadriquc  est  conjuguée  au  tétraèdre,  si  chaque  sommet  est  le  pôle  du  plan 
de  la  face  opposée.  Former  l'équation  générale  des  quadriques  conjuguées  à 
un  tétraèdre   pris  pour  tétraèdre  de   référence. 

6.  Former  l'équation  tangentielle  d'une  quadriquc  rapporlt-e  à  un  tétraèdre 
conjugué. 

7.  Exprimer  qu'une  quadriquc  rapportée  à  un  tétraèdre  conjugué  est  tan- 
gente à  un  plan  donné.  En  conclure  que  les  quadriques  conjuguées  à  un  té- 
traèdre donné  et  ayant  un  plan  tangent  commun  ont  sept  autres  plans 
tangents  communs.  Etudier  les  cas  où  certains  de  ces  huit  plans  sont  coïn- 
cidents. 

8.  Lieu  des  pôles  d'un  plan  donné  par  rapport  aux  quadriques  conjuguées 
à  un  tétraèdre  donné  et  tangentes  à  un  plan  donné.  Lieu  des  centres  de  ces 
quadriques. 

9.  Lieu  des  pôles  d'un  plan  donné  par  rapport  aux  paraboloïdes  conjugués 
à  un  tétraèdre  donné. 

10.  Appelons  :  1°  indice  d'un  point,  par  rapport  à  une  surface  du  second 
degré,  le  rapport  des  distances  de  ce  point  et  du  centre  de  la  surface  au 
plan  polaire  de  ce  point;  2°  indice  d'un  plan  le  produit  des  dislances  du 
pôle  du  plan  et  du  centre  de  la  surface  à  ce  plan  ;  3°  indice  d'une  droite 
le  rapport  que  l'on  obtient  en  divisant  le  carré  de  la  demi-corde  déterminée 
par  cette  droite,  dans  la  surface,  par  la  quatrième  puissance  du  demi-dia- 
mètre parallèle  à  la  droite. 

On  demande  de  trouver  d'autres  expressions  pour  la  valeur  de  ces  indices. 

(Faure.) 

11.  Lorsqu'une  quadriquc  est  conjuguée  à  un  tétraèdre  :  i"  la  somme  des 
carrés  des  demi-axes  est  égale  à  la  somme  des  inverses  des  indices  des  arêtes 
du  tétraèdre;  2°  la  somme  des  carrés  des  inverses  des  demi-axes,  prise  en 
signe  contraire,  est  égale  à  la  somme  des  inverses  des  indices  des  faces  du 
tétraèdre;  3"  le  produit  des  carrés  des  demi-axes,  pris  en  signe  contraire, 
est  égal  au  produit  des  inverses  des  indices  des  sommets  du  tétraèdre,  mul- 
tiplié par  trente-six  fois  le  carré  du  volume  du  tétraèdre.  (Faure.) 

12.  On  donne  une  quadriquc  et  un  plan.  Si  l'on  prend  dans  ce  plan  trois 
points  conjugués  à  la  surface,  la  somme  des  inverses  des  indices  de  ces 
points  est  égale  à  l'inverse  de  l'indice  du  point  où  le  plan  est  rencontré  par 
le  diamètre  qui  lui  est  conjugué.  (Faire.) 

13.  Une  quadriquc  étant  conjuguée  à  un  tétraèdre,  la  somme  des  inverses 
des  indices  des  centres  des  sections  déterminées  dans  la  surface  parles  faces 
du  tétraèdre  est  égal  à  — 3.  (P'aure.) 

ii.  On  donne  une  quadriquc  et  un  tétraèdre  abcd\  si  l'on  désigne  par  A, 

13,  C,  D  les  faces  de  ce  tétraèdre  opposées  aux  sommets  a,  6,  c,  d  et  par  A' 

!>/   /-./    lA/  1        I  1  •        j  1  V    cos(A,  A')     , 

li  ,  L  ,  D  les  plans  polaires  de  ces  sommets,  la  somme    >  -^ —  dans 

'  '  ^(a,A)(o,A') 

NcEWENGLOWSKi.  —  G.  an  ,  IIL  19 


agO  CHAPITRE    XIX. 

laquelle  o  est    le    centre   de    la  quadrique   est  constante.    On   désigne  par 
(a,  A)  la  distance  de  a  à  A,  ....  (Fa lue.) 

15.  On  donne  un  tétraèdre  conjugué  à  une  quadrique.  Si  l'on  désigne  par 
I  l'indice,  par  rapport  à  la  quadrique,  du  centre  d'une  sphère  inscrite  au  té- 
traèdre, et  par  Rie  rayon  de  cette  sphère,  l'expression  —  a  la  même  valeur 
pour  toutes  les  sphères  inscrites  au  tétraèdre. 

16.  On  donne  une  quadrique  et  deux  droites  L,  M.  Sur  L  on  prend  deux 
points  arbitraires  a,  b  et  l'on  trace  les  plans  polaires  de  ces  points,  qui  cou- 
pent  M   en   c   et   c?  et   le    diamètre  parallèle   à   M  en  e  et  f.   L'expression 

Oe.Of.   ;  dans  laquelle  0  désigne  le  centre  de  la   quadrique,  est  con- 

cd 
stante.  (Faure.) 


CHAPITRE  XIX. 

POLAIRES  RÉCIPROQUES. 


303.  Surfaces  polaires  réciproques.  —  L'enveloppe  des  plans  polaires  des 
points  d'une  surface  non  développable  S  par  rapport  à  une  quadrique  D  est 
une  surface  non  développable  S',  car  le  plan  polaire  d'un  point  de  S  dépend 
de  deux  paramètres;  je  dis  que  réciproquement  la  surface  S  est  l'enveloppe 
des  plans  polaires  des  points  de  S'  par  rapport  à  la  même  quadrique  direc- 
trice. 

En  effet,  soient  a,  b,  c  trois  points  de  S  et  A',  R',  G'  leurs  plans  polaires  ; 
le  point  m'  commun  à  ces  trois  plans  est  le  pôle  du  plan  abc.  Si  6  et  c  vien- 
nent se  confondre  avec  a,  le  point  m'  a  pour  limite  le  point  de  contact  a'  du 
plan  A'  et  de  la  surface  S',  et,  d'autre  part,  le  plan  abc  devient  le  plan  tan- 
gent en  a  à  la  surface  S;  on  voit  ainsi  que  S  peut  être  considérée  comme 
étant  l'enveloppe  des  plans  polaires  des  points  de  S';  il  y  a  donc  réciprocité. 

La  démonstration  précédente  suppose  que  S  ne  soit  pas  une  surface  déve- 
loppable; voici  une  nouvelle  démonstration,  qui  fera  nettement  ressortir  cette 
hypothèse. 

Supposons  les  coordonnées  x,  y,  z  d'un  point  quelconque  m  de  S  expri- 
mées au  moyen  de  deux  variables  indépendantes  m,  v\  et  soient 

x  =  f{u,v),        y=^fi(u,i>),         z^fi{u,v). 

Si  l'équation  de  la  quadrique  D  est  ¥{.t,  y,  z^  t)  =  o,  les  coordonnées  du 


POLAIRES    RÉCII'UOQUES.  29 1 

point  de  contact  m'  du  plan  polaire  de  m  avec  son  enveloppe  sont  détermi- 
nées par  les  équations 


(2) 

(3) 


àj_    àV_  f]^   àV_  dfi   dV  _ 

du  dxi  du  dyi  du   dzi         ' 

^/  iE  <^A    <^F  àFj  dF  _ 

dv    dxi  di^   dyi  dv   dzi 


Le  plan  polaire  de  m'  par  rapport  à  D  a  pour  équation 


dF 


dF 


dF 


^  dxi       ^àfi  '^  "  dzi 


dF 
df. 


Si  l'on  élimine  Xi,  yi,  Zi,  ti  entre  les  équations  (1),  (2),  (3),  (4 ))  on  obtient 

l'équation 

x  —  f{u,v)  y~fi(,u,v)  z  —  f2iu,v) 

df  àf^  dj^ 

du  du  du 

àf  àf,  djj. 

dv  dv  dv 


=  0, 


qui  représente  le  plan  tangent  en  m  à  la  surface  S. 

Les  deux  surfaces  S,  S'  sont  dites  polaires  réciproques  par  rapport  à  la 
quadrique  D. 

30i.  Etant  donnée  l'équation  d'une  surface  non  développable,  trouver 
celle  de  sa  polaire  réciproque. 

Soient  «p(K,  v,  tv,  r)  =  o  l'équation  tangenlielle  d'une  surface  non  dévelop- 
pable, et  /{x,  y,  z,  t)  =  o  l'équation  ponctuelle  de  la  quadrique  D;  enfin, 
soient  x,  y,  z,  t  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  m  de  la  polaire  réci- 
proque S'. 

On  obtiendra  l'équation  ponctuelle  de  S',  en  exprimant  que  le  plan  polaire 
de  m  par  rapport  à  D  est  tangent  à  S,  ce  qui  donne  immédiatement 

On  voit  ainsi  que  la  polaire  réciproque  d'une  quadrique  est  aussi  une  qua- 
drique. 

303.  Polaire  d'une  sur/ace  développable.  —  Nous  définirons  la  surface 
])olaire  d'une  surface  développable  comme  étant  le  lieu  des  pôles  des  plans 
tangents  à  cette  sur/ace.  D'après  cela,  soient 

o{u,v,w,r)  =  o,         Oi{u,v,w,r)  =  o 

les  équations  tangentielles  d'une  surface  développable.  En  écrivant  que  le 
plan  polaire  d'un  point  x,  y,  z,  t  par  rapport  à  la  quadrique  D  est  tangent  à 


292  CHAPITRE    XIX. 

celte  surface,  on  obtient  les  deux  équations 

"îifx,  fy,  fz,  ft)  =  0,  ^lif'x,  fy,  fz,  ft)=^0. 

La  surface  polaire  d'une  surface  développable  est  donc  une  courbe. 
Dans  le  cas  d'un  cône,  si  l'on  prend  son  sommet  pour  origine,  les  équations 
tangentielles  de  ce  cône  étant 

/•  =  0,         o(u,  v,  w)  ~  o, 

la  polaire  aura  pour  équations 

ft  =  o,      ?(/r. /j> /:)  =  o; 

ce  sera  donc  une  courbe  plane,  ce  qui  est  d'ailleurs  évident,  parce  que  les  plans 
tangents  au  cône  passant  par  un  point  fixe,  leurs  pôles  sont  dans  un  plan 
fixe.  La  proposition  s'étend  à  un  cylindre. 

En  particulier,  la  surface  polaire  d'un  cône  du  second  degré  est  une 
conique. 

306.  Polaire  d'une  courbe.  —  Nous  appellerons  sur/ace  polaire  d'une 
courbe  l'enveloppe  des  plans  polaires  des  points  de  cette  courbe.  Les 
points  d'une  courbe  G  dépendent  d'un  seul  paramètre,  il  en  est  de  même  des 
plans  polaires  des  points  de  cette  courbe  et,  par  conséquent,  l'enveloppe  de 
ces  plans  est  une  surface  développable  S'. 

Cette  proposition  peut  être  considérée  comme  étant  la  réciproque  de  la 
précédente. 

Il  convient  de  préciser  davantage. 

Soient  ni,  p  deux  points  de  G  ;  l'intersection  des  plans  polaires  M',  P'  de 
ces  deux  points  est  la  droite  conjuguée  de  mp.  Si  p  s'approche  indéfiniment 
de  m  en  restant  sur  G,  la  sécante  mp  a  pour  limite  la  tangente  en  m  à  G,  et 
l'intersection  de  M'  et  P'  a  pour  limite  la  tangente  en  un  point  m  de  l'arête 
de  rebroussement  G'  de  la  développable  S';  le  plan  M'  est  le  plan  osculateur 
de  G'  en  m! .  Je  dis  que,  réciproquement,  le  plan  polaire  de  m!  est  le  plan  os- 
culateur M  de  G  en  m.  En  effet,  si  l'on  cherche  la  polaire  de  G',  on  trouvera 
une  surface  développable  S  telle  que  les  tangentes  à  son  arête  de  rebrousse- 
ment soient  les  conjuguées  des  tangentes  à  G';  l'arèle  de  rebroussement  de  S 
est  donc  bien  la  courbe  G  elle-même. 

On  peut  d'ailleurs  obtenir  ces  résultats  très  simplement  par  le  calcul. 
Soient,  en  effet, 

^  =  /("),      r-=/i("),       -=Mu) 

les  équations  définissant,  au  moyen  d'une  variable  m,  un  point  ni  de  la 
courbe  G  et  F(a7,  y,  z,  t)  —  o  l'équation  de  la  quadrique  D.  L'enveloppe  du 
plan  polaire  du  point  m  est  définie  par  les  deux  équations 

/   N  /•/    ^  ^F        ^  /     ^  '^F        ^  ^    ^àF        ÔF 

(0  /(")^^+/>^")j^-/^(")di^^- 


,.  ÔV 

,,  dF       „  dF        dF 

\ 

-Y hZ  —  -f-  ---  =  o. 

dx 

dy           dz         dt 

POLAIRES    RÉCIPROQLES.  298 

Si  à  ces  équations  on  adjoint  la  suivante 

(3)        /"(«)^-^/^(«)jî;--/^(".'^="' 

le  système  de  ces  trois  équations  définit  l'arête  de  rebroussement  de  la  sur- 
face développable  S',  représentée  par  les  équations  (i)  et  (2). 

Les  coordonnées  d'un  point  de  cette  arête  étant  représentées  par  x,  y,  z,  l, 
le  plan  polaire  de  ce  point  a  pour  équation 

(4) 

En  éliminant  x,  y,  z,  t  entre  les  équations  précédentes,  on  obtient  aisé- 
ment l'équation 

X-/(«)     Y-/,(«)      Z-Mu) 

f'{u)  /i(«)  /;(")     =0, 

fiu)  f[{u)  fl(u) 

qui  représente  le  plan  osculateur  au  point  m  de  la  courbe  G. 

La  tangente  à  l'arête  de  rebroussement  G'  de  la  surface  S'  est  définie  par 
les  équations  (1)  et  (2),  qui  représentent  :  la  première,  le  plan  polaire  de  m 
et,  la  seconde,  le  plan  polaire  du  point  à  l'infini  sur  la  tangente  en  m  à  G  ; 
les  tangentes  en  des  points  correspondants  des  courbes  G  et  G'  sont  donc 
conjuguées. 

Nous  dirons  que  la  courbe  G  et  la  surface  développable  S'  sont  polaires 
réciproques,  ainsi  que  la  développable  S  et  la  courbe  G'. 

En  résumé,  aux  points  de  G  correspondent  les  plans  osculateurs  de  G',  et 
réciproquement,  et  aux  tangentes  de  G  correspondent  les  tangentes  de  G'. 
Gette  dernière  remarque  est  très  importante  en  Géométrie  réglée. 

307.  T11É0RÈ.ME.  —  Le  degré  dune  surface  non  développable  est  égal  à 
la  classe  de  sa  polaire  réciproque. 

En  effet,  aux  points  d'intersection  d'une  surface  non  développable  S  par 
une  droite  A  correspondent  les  plans  tangents  menés  à  sa  polaire  réciproque 
S'  par  la  droite  A'  conjuguée  de  A,  par  rapport  à  la  quadrique  directrice. 
En  appelant  m  et  |ji  le  degré  et  la  classe  de  S,  m'  et  \x'  le  degré  et  la  classe 
de  S',  on  a  donc  m  =  (jl',  /n'=  [x;  on  verra,  comme  en  Géométrie  plane,  qu'on 
ne  peut  avoir  iji  =  m{m  —  i)  et  fx'=  m'(m' — 1)  que  si  m  =  ni'  =  1. 

Aux  points  d'intersection  d'une  courbe  G  et  d'un  plan  P,  correspondent 
les  plans  tangents  menés  à  la  développable  polaire  réciproque  de  G  par  le 
pôle />'  du  plan  P;  donc  la  classe  d'une  surface  développable  est  égale  à 
l'ordre  de  sa  courbe  polaire  réciproque,  l'ordre  d'une  courbe  étant  égal 
au  nombre  de  points  de  rencontre  de  cette  courbe  et  d'un  plan  quelconque. 

Ainsi,  la  polaire  réciproque  d'une   conique   est    un  cône   du  second  degré. 

308.  Théorème.  —  Dans  la  transformation  par  polaires  réciproques, 
à  quatre  points  en  ligne  droite  correspondent  quatre  plans  passant  par 


294  CHAPITRE    XIX. 

une  même  droite^  et  dont  le  rapport  anharmonique  est  le  même  que 
celui  des  quatre  points  donnés. 

Cette  proposition  importante,  que  nous  croyons  devoir  rappeler  ici,  a  déjà 
été  établie  au  n"  298. 

309.  Interprétation  des  équations  en  coordonnées  tangentielles.  —  Le 
pôle  du  plan  ayant  pour  équation 

ux  -\-  vy  -{-  w  z  -h  rt  =  o, 

par  rapport  à  la  quadrique  imaginaire  ayant  pour  équation 

a  pour  coordonnées  u,  v,  w,  /■;  donc  la  surface  ayant  pour  équation  tangen- 

tielle 

F(m,  p,  w,  r)  =  o 

est  la  polaire  réciproque,  par  rapport  à  la  quadrique  directrice  imaginaire 
considérée,  de  la  surface  dont  l'équation  ponctuelle  est 

F(^,r, -,  0  =  o. 

On  peut  d'ailleurs  construire  la  polaire  réciproque  par  rapport  à  la  qua- 
drique réelle  ayant  pour  équation 

372  _i_  j2  ^_  ^2  __  I  _  o, 

et  construire  ensuite  la  symétrique  de  la  figure  obtenue  par  rapport  à  l'c^ri- 
gine  des  coordonnées. 

Cherchons  par  exemple  ce  que  représente  l'équation  /{u,  v.  w)  ■=  o,  dont 
le  premier  membre  est  homogène.  L'équation  f{x,y,z)  —  o  est  un  cône 
ayant  son  sommet  à  l'origine;  la  polaire  réciproque  de  ce  cône  est  donc  une 
conique  dans  le  plan  polaire  de  l'origine  par  rapport  à  la  quadrique  direc- 
trice considérée  plus  haut.  Si  les  axes  sont  rectangulaires,  cette  quadrique 
est  une  sphère  imaginaire;  tout  plan  passant  par  son  centre  a  pour  pôle  un 
point  à  l'infini  dans  la  direction  perpendiculaire  à  ce  plan.  On  nomme  cône 
supplémentaire  d'un  cône  donné  le  lieu  des  perpendiculaires  aux  plans 
tangents  à  ce  cône  menées  par  un  point.  On  voit  ainsi  que  l'équation 
f{u,  V,  w)  —  o  représente,  quand  les  axes  sont  rectangulaires,  la  conique 
intersection,  par  le  plan  de  l'infini,  du  cône  ayant  pour  sommet  l'origine  et 
supplémentaire  du  cône  ayant  pour  équation /( a;,  jk,  z)  =  o. 

Supposons  toujours  les  axes  rectangulaires  et  considérons  le  cône  isotrope 

dont  l'équation  est 

a?2^j^2^_  ^2  =  o, 

Tout  plan  tangent  à  ce  cône  est  isotrope;  la  perpendiculaire  à  un  de  ces 
plans,  menée  par  l'origine,  se  confond  avec  la  génératrice  de  contact;  donc 
le  cône  supplémentaire    se  confond  avec  le  cône   proposé.   Il  en  résulte  que 


l'OLAIUES    RÉCIPROQUES.  296 

est,  en  coordonnées  tangentielles  rectangulaires,  l'équation  du  cercle  de 
r  infini. 

Considérons  encore  une  quadrique  O,  coupée  par  un  plan  P;  soient  (1  la 
conique  d'intersection  et  F  le  cône  circonscrit  à  cette  quadrique  le  long  de 
G  et  dont  le  sommet  est  le  pôle  p  de  P.  Transformons,  en  prenant  pour 
quadrique  directrice  la  quadrique  imaginaire  x^-\- y'^-h  z^ -{-i  =^0.  S.\&  co- 
nique  G  correspond  un  cône  F' circonscrit  à  la  polaire  réciproque  Q'  et  ayant 
pour  sommet  le  point  /?',  pôle  de  P.  Soient  u^x -k- Vf^y -^  w^^z -\- fq^^  o 
l'équation  du  plan  P,  et  F(m,  c,  w,  r)  =  o  l'équation  langentielle  de  la  qua- 
drique Q;  les  coordonnées  ponctuelles  de  p'  sont  «oj  <'0)  ^vq,  To,"  l'équation 
ponctuelle  de  Q'  est  ¥{x,y,  z,  t)  =  o,  et  le  cône  F'  a  pour  équation 

^F{x,y,  z,  t)  F{uo,  Vo,  »'o,  To)  —  («oF'^  M-  t'oF^.  +  (v^F;  -+-  roF'iY  =  o, 

donc  l'équation  tangentielle  de  la  conique  G  est 

4F(m,  c,  w,  r)  F  (Mo,  «'o,  wo,  r„)  —  (moF'„  +  t'oF,',    r-  h^oF',v  -^  /•oF',.)2=  o, 

équation  que  l'on  peut  obtenir  directement,  en  exprimant  que  l'intersection 
des  deux  plans  {u,v,w,r),  (uq,  Vq,  Wq,  ro)  est  tangente  à  la  quadrique 
donnée  (148). 

L'équation  obtenue  exprime  que  le  plan  (m,  i>,  w,  r)  est  tangent  à  la  co- 
nique G;  si  on  l'applique  au  plan  («,  v,  o,  /•),  c'est-à-dire  si  l'on  fait  w  =  o 
dans  l'équation  précédente,  on  aura  l'équation  tangentielle  du  cylindre  paral- 
lèle à  l'axe  de  z  mené  par  G  ou,  ce  qui  revient  au  même,  l'équation  tangen- 
tielle dans  le  plan  xOy  de  la  projection  sur  ce  plan  de  la  conique  G,  faite 
parallèlement  à  O^.  G'est  ce  qu'on  peut  encore  expliquer  ainsi  :  en  faisant 
z  =  o  dans  l'équation  du  cône  F',  on  a  l'équation  de  la  section  de  ce  cône 
par  le  plan  xOy;  or,  au  plan  ^  =  o  correspond  le  point  à  l'infini  dans  la 
direction  Oz,  soit  w  =  0;  donc  à  la  conique  section  du  cône  F  par  le  plan 
xOy  correspond  bien  le  cylindre  parallèle  à  Oz,  mené  par  G. 

Glierchons  enfin  la  condition  pour  que  l'équation  langentielle 

/{u,v,w,  /■)  =  o 

représente  une  conique.  La  condition  pour  que  /(or, y,  z,  t)  =  o  représente 
un  cône  est  que  le  hessien  de  la  forme  /(x,y,z,  t)  soit  nul;  donc,  pour 
que  l'équation  tangentielle  donnée  représente  une  conique,  il  faut  et  il  suffit 
que  le  hessien  de  son  premier  membre  soit  nul. 

EXERCICES. 

1.  Les  polaires  réciproques  de  toutes  les  surfaces  passant  par  une  même 
courbe  sont  inscrites  à  une  même  développable.  Application  aux  quadriques 
et  en  particulier  aux  sphères. 

2.  Les  polaires  réciproques  de  toutes  les  surfaces  inscrites  à  une  même 
développable  ont  une  courbe  commune.  Application  aux  quadriques. 


2q6  CHAPITRE    XX. 

3.  Faire  la  discussion  de  la  polaire  réciproque  d'une  quadrique  par  rap- 
port à  une  quadrique  directrice  D. 

4.  Conditions  pour  que  la  polaire  réciproque  d'une  quadrique  Q,  par  rap- 
port à  une  quadrique  donnée  D,  soit  la  quadrique  Q  elle-même. 

5.  Trouver  les  quadriques  D  telles  que  la  polaire  réciproque  d'une  qua- 
drique donnée  Q  par  rapport  à  D  soit  une  quadrique  donnée  Q'.  —  On  con- 
sidère le  tétraèdre  conjugué  commun  à  Q  et  Q',  etc.  (voir  n°  loS). 

6.  Étant  données  deux  quadriques  polaires  réciproques  par  rapport  à  une 
sphère,  trouver  une  relation  entre  le  cône  des  directions  asymptotiques  de 
l'une  d'elles,  et  le  cône  circonscrit  à  l'autre,  et  ayant  pour  sommet  le  centre 
de  la  sphère  directrice. 

7.  La  polaire  réciproque  d'une  surface  réglée  est  une  surface  régL'e. 

8.  Deux  tétraèdres  de  volumes  V  et  V  étant  polaires  réciproques  relative- 
ment à  une  surface  du  second  degré  dont  les  demi -axes  sont  a,  b,  c;  si  l'on 
appelle  Vj,  Vj,  V3,  V4  les  volumes  des  quatre  tétraèdres  que  l'on  obtient  en 
joignant  le  centre  de  la  surface  aux  sommets  de  V,  on  a 

abcy  ^^,\iY^\,\, 


6    /  V» 


CHAPITRE   XX. 

PROPRIÉTÉS  DES  DIAMÈTRES  CONJUGUÉS  DANS  LES  QUADRIQUES 

A  CENTRE. 


Ellipsoïde. 

310.  Tout  ellipsoïde  réel  possède  une  infinité  de  systèmes  de 
diamètres  conjugués.  —  En  effet,  soit  A  un  point  pris  sur  la  surface 
d'un  ellipsoïde  réel  de  centre  O;  le  plan  diamétral  conjugué  à  la  di- 
rection OA  coupe  cet  ellipsoïde  suivant  une  ellipse  réelle;  si  l'on 
considère  deux  demi-diamètres  conjugués  OB,  OC  de  cette  ellipse, 
OA,  OB,  OC  forment  trois  demi-diamètres  conjugués  de  Vellip- 
ioïde.  Si  l'on  fait  coïncider  respectivement  les  directions  positives 


PROPRIÉTÉS    DES    DIAMÈTRES    CONJUGUÉS.  297 

des  axes  Ox,  Oy,  Oz  avec  OA,  OB,  OC,  si  a',  b',  c'  sont  les  lon- 
gueurs de  ces  trois  demi-diamètres,  l'équation  de  l'ellipsoïde  sera 

a?'2        /*       2'* 

On  voit  ainsi  que,  réciproquement,  si  OA,  OB,  OC  sont  trois 
demi-diamètres  conjugués,  OA  et  OB  sont  deux  demi-diamètres 
conjugués  de  la  section  faite  par  le  plan  diamétral  conjugué  à  OC. 

311.  La  même  surface,  rapportée  à  ses  axes  de  symétrie,  a  pour 
équation 

J.2  yi  32 

Je  dis  que  pour  tout  point  de  l'espace  on  a  identiquement 


x^ 

y' 

TÎ 

x'i 

yi 

z 

'•1 



-+- 

-+- 



= 

. 

■+- 

-+- 

-~ 

a* 

b^ 

C' 

a'* 

6'* 

c' 

2 

En  effet,  l'ellipsoïde  étant  supposé  rapporté  à  ses  axes  de  symé- 
trie, faisons  une  transformation  de  coordonnées  et  prenons  pour 
nouveaux  axes  trois  diamètres  conjugués  Ox\,  OB,  OC;  les  for- 
mules de  transformation  fournissent  une  identité  de  la  forme 

X^'         v^        z^  ,    ,      ,      , 

^  +  ii  +  ^-?(^'^-^ 

la  nouvelle  équation  est  donc 

^{x',y',  z')  —  i  =0; 


mais  elle  est  aussi 

X'^             v'2            Z'^ 

^2  +  i^-^,-i-'=«' 

donc 

312.  Théorèmes  (dits  d' Apollonius).  —  i''  La  somme  des  car- 
rés de  trois  diamètres  conjugués  d\in  ellipsoïde  est  constante. 

2"  La  somme  des  carrés  des  faces  du  parallélépipède  construit 
sur  trois  diamètres  conj ugués  est  constante. 

3"  Le  volume  du  parallélépipède  construit  sur  t/ois  diamètres 
conjugués  est  constant. 


•298  CHAPITRE    XX. 

On  a,  en  ellet,  en  conservant  les  notations  précédentes, 


— \-  - — \-  — 

il  A  2  fi 


'•2         5-  x"^         jk'^        z"^ 

a'-        62'  "^  ^  ""  â'2  "*"  "6^  "^  ^  ' 

ar2 -j- J)^2  +  ^2  ==  x"'-  -^  y- -\-  z''^  -+■  -ly' Z'  COsX  -r-  iz' x'  COS  [JL  +  2  37'^''  COSV, 


À,  [JL,   V  désignant  les  angles  des   axes  de  coordonnées   dirigés  sui- 
vant les  diamètres  conjugués  considérés. 
On  tire  des  identités  précédentes 


.y-L 


y 


6i  +  ^)-^'V(^'./'-'') 


b  -         c  - 


Le  discriminant, de  la  seconde  forme  est  égal  an  discriminant  de 
la  première  multiplié  par  w*.  En  égalant  ces  discriminants  à  zéro  on 
a  donc  des  équations  identiques,  savoir 

S3-f-S2(a2+  62+  c2)4-S(62cM-c2a2-(-a2i2)^_rt2^,2c2  =  0. 

Par  suite 

«'2_j_è'2-|_c'2  =  «2+  ^2^_  c2, 

6'2c'2sin2X  -i-c'2«'2sin2[i-i-  a'2  6'2sin2v  =  62 ^2  _f_  ^2 ^2  _i_  ^^2^2^ 
a'  b'  c'  lu  =  aèc. 

Ces  équations  sont  la  traduction  analytique  des  théorèmes  ana- 
logues à  ceux  qu'Apollonius  a  trouvés  pour  Fellipse,  et  qui  ont  été 
démonlrés  pour  la  première  fois  par  Livet  et  Binet. 

313.  Démonstration  géométrique.  —  On  s'appuie  sur  la  remarque  sui- 
vante :   Étant  donnés   deux  systèmes  de  diamètres  conjugués  O.AiB,Gi  et 

O.A2B2G1  ayant  un  diamètre  commun  OGi 
les  diamètres  OAi,  OBi  et  OA2,  OB2  sont 
dans  un  même  plan  qui  est  le  plan  diamétral 
conjugué  à  OCi.  Gela  étant,  soient  O.ABG 
et  O.A'B'G'  ijig.  3i)  deux  systèmes  de 
diamètres  conjugués,  le  premier  étant,  par 
exemple  si  l'on  veut,  formé  par  les  axes  de 
symétrie  de  l'ellipsoïde.  Le  plan  AOB  et  le 
plan  A' OB'  se  coupent  suivant  un  diamètre 
OD;  soient  OE  le  diamètre  conjugué  à  OD 
dans  le  plan  AOB  et  OE'  le  diamètre  conju- 
gué à  OD  dans  le  plan  A'OB';  O.DEG  et  O.DE'C'  sont  deux  systèmes  de 
diamètres  conjugués  ayant  un  diamètre  commun  OD,  donc  les  diamètres  OE, 


PKOI'HIÊTÉS    DKS    DIAMÈTRES    CONJUGUÉS. 


299 


OC,  OE',  OC  sont  dans  un  même  plan.  On  peut  ainsi  passer  successive- 
ment par  les  systèmes  O.ABC,  O.GDE,  O.DE'C,  O.A'B'C;  deux  systèmes 
consécutifs  ont  un  diamètre  commun,  les  autres  forment  deux  couples  de  dia- 
mètres appartenant  à  une  même  conique.  Il  en  résulte  que  dans  chacun  de 
ces  systèmes  la  somme  des  carrés  des  diamètres  est  la  même  :  le  premier 
théorème  est  donc  démontré.  Le  troisième  se  démontre  aussi  facilement,  car 
si  l'on  considère  les  parallélépipèdes  correspon- 
dant à  deux  systèmes  consécutifs,  par  exemple 
O.C'DE'  et  O.G'A'B',  ces  parallélépipèdes 
ayant  un  sommet  commun  et  des  bases  équi- 
valentes, situées  dans  un  même  plan,  sont  équi- 
valents. 

Reste  à  établir  le  second  théorème.  Pour  cela, 
considérons  deux  systèmes  de  diamètres  conju- 
«ïués  ayant  un  diamètre  commun,  O.IIKL  et 
O.HK'L'.  Les  faces  construites  sur  OK  et  OL 
d'une  part,  sur  OK'  et  OL'  {fig.  82)  d'autre 
part,  sont  équivalentes;  reste  donc  à  considérer  les  faces  (OH.OK),  (^OH.OL) 
et  (OH.OK'),  (OH,OL').  Soient  OM  et  ON  les  projections  de  OK  et  de  OL 
sur  01!  ;  non*  avons  à  calculer  la  somme 


et  la  somme 


Oli'x  iVlK  -f  OH'x  NL 

2/ 2         2  2         2\ 

OH    (OK  -+-0L  -OM  -ON  ), 

OH'  (ôïë^  -»-  ÔL'*  —  ôm"'^  —  on"''  ), 


en  appelant  M'  et  N'  les  projections  de  K'  et  L'  sur  OII.  Mais 

2      — 2       2      2 

OK   +0L    =  OK'   ^-OL'  , 

et,  d'autre  part,  on  a  aussi 

ÔM^  +  Ôn'  ^ÔM'^-i-ÔN'', 

car  la  somme  des  carrés  des  projections  de  deux  diamètres  conjugués  d'une 
ellipse  sur  un  axe  est  constante.  On  voit  ainsi  qu'en  passant  d'un  système  de 
diamètres  au  suivant,  la  somme  des  carrés  des  faces  des  parallélépipèdes 
construits  sur  ces  diamètres  reste  la  même  :  le  second  théorème  est  donc 
établi. 


SU.  Lieu  des  sommets  des  parallélépipèdes  construits  sur  trois  dia- 
mètres conjugués  d'un  ellipsoïde.  —  Soit  M  le  sommet  opposé  au  centre 
dans  le  parallélépipède  construit  sur  les  trois  demi-diamètres  conjugués  OA', 


3oo 


CHAPITRE    XX. 


OB',  OC  {fig.   33).  Si  l'on  prend  pour  axes  de  coordonnées  les  axes  de  sy- 
métrie, puis  les  diamètres  considérés,  en  appelant  x^  y,  z  et  x' ,  y' ,  z'ies  an- 
ciennes et  les  nouvelles  coordonnées  de  M,  on 
Fig.  33.  a  vu  que 

xi.  1/2  5:2  -r'2 


r 


6'2 


Mais  x'  =  a',  y'  =  b',  z'  =:  c',  donc  le  point  M 
est  sur  l'ellipsoïde  homothétique  et  concentrique 
au  proposé,  et  ayant  pour  équation 


^—  +  -  =3. 


Pour  chacun  des  autres  sommets  P,  Q,  R,  on  a 


-^  b^ 


^="' 


car  pour  P,  par  exemple,  x'  =  o,  jk'  =  b',  z'  =  c'  et  de  même  pour  les  deux 
autres;  ces  trois  sommets  sont  donc  sur  un  nouvel  ellipsoïde  homothétique 
et  concentrique  au  premier. 


315.  Variations  de  la  longueur  d'un  diamètre  de  l'ellipsoïde. 
—  Soient  a,  ^,  y  l^s  cosinus  des  angles  qu'un  diamètre  OM  fait  avec 
les  axes  de  sjmétrie  de  l'ellipsoïde  donné;  en  appelant  p  la  longueur 
de  ce  diamètre  et  .r,  y,  z  les  coordonnées  de  son  extrémité,  on  a 


et,  par  suite, 


pa. 


j  =  pP,       z  =  py, 


62 


C2 


Supposons  a^  b  ^  c.   On  peut  écrire    ainsi  la  formule  précé- 
dente 

p2       a^^^    \b-^        ay        '    \c2        a^  ) 


-.-«- 


On  a  donc 


_L  _  JL     _  32 


c  S  p%a. 


T  I 


Sur  tout  ellipsoïde  d'axes  aa,  2  6,  2c  (a  >  6>>  c),  il  y  a  une  infi- 
nité de  points  situés  à  une  dislance  du  centre  égale  à  p,  si  l'on 
suppose  c  <C  Q  <^a. 

Les  points  satisfaisant  aux  conditions  données  sont,  en  effet,  dé- 


PROPRIÉTÉS    DES    DIAMÈTRES    CONJUGUÉS. 

terminés  par  les  équations 


3oi 


I  —  o, 


"-  +  y^-^  ^^  —  p'  =  o. 


On  peut  remplacer  l'une  de  ces  équations  par  celle-ci 


-a=-^)-^'(p-^)- 


^M^,-,^)-o, 


qui  représente  un  cône  qui  n'est  réel  que  si  l'on  suppose  c  <.^  <i  a. 
Les  points  cherchés  sont  à  l'intersection  de  ce  cône  et  de  la  sphère 
concentrique  à  l'ellipsoïde  et  de  rayon  p. 

Il  est  d'ailleurs  facile  de  se  rendre  compte  de  la  nécessité  des  con- 
ditions précédentes.  Soit  en  effet  M  un  point  de  l'ellipsoïde  ayant 
pour  demi-axes  OA.,  OB,  OC  {Jig-  34)-  La 
section  faite  par  le  plan  OAM  est  une  el- 
lipse ayant  pour  demi-axes  OA  et  OD  ; 
OD  est  compris  entre  OB  et  OC  et,  par 
suite,  plus  petit  que  OA  :  donc  OM  -<  OA. 
La  section  parle  plan  MOG  est  une  ellipse 
ayant  pour  demi-axes  OC  et  OE;  mais 
OE>OB>OC,  donc  OM>OC.  On  a  supposé  OM  à  l'intérieur 
du  trièdre  OABC,  ce  qui  était  évidemment  permis. 


316.  PnoBLÈME.  —  Construire  un  système  de  trois  diamètres  conjugués 
égaux  d'un  ellipsoïde. 

Supposons  le  problème  résolu  et  soit  x  la  longueur  commune  de  trois 
demi-diamètres  conjugués  égaux;  on  aura,  en  vertu  du  premier  théorème 
d'Apollonius, 


3 

Or,  on  voit  immédiatement  que  cette  expression  est  comprise  entre  a^  et  c* 
(a  >  6  >  c);  donc  il  y  a  sur  la  sphère  une  infinité  de  points  situés  à  une 
distance  du  centre  égale  à  la  valeur  absolue  de  x  définie  par  l'équation  pré- 
cédente; ces  points  étant  à  l'intersection  de  l'ellipsoïde  donné  et  du  cône 
avant  pour  équation 


x^ -, +.r^ 6, +-^  - 


hi  —  ^c-t 


Soit  M  un  point  pris  sur  la  courbe  d'intersection  de  l'ellipsoïde  et  de  ce  cône; 
il  y  a  dans   l'ellipse  intersection  de  rellipsoïde  par  le  plan  diamétral   con- 


3o2  CHAPITRE   XX. 

jugué  à  OM,  deux  diamètres  conjugués  égaux;  si  l'on  appelle  iy  leur  longueur- 
commune,  on  aura 

2  j2  _j_  ^2  —   «2  _^  ^,2  _j_  c2  =  3  372 , 

donc  y  =  x\  il  y  a  donc  une  infinité  de  systèmes  de  trois  diamètres  conjugues 
égaux,  dont  les  extrémités  sont  sur  la  courbe  d'intersection  de  l'ellipsoïde  et 
du  cône  obtenu. 

317.  Relations  entre  les  longueurs  et  les  directions  de  trois  diamètres 

conjugués  d'un  ellipsoïde.  —  Soient  OA',  OB',  OC  trois  demi-diamètres 

conjugués  d'un  ellipsoïde.  Soient  ai,  ^i,  yi  ;  «21  Pa»  "{l'i  ^3,  ^3,  Ys  les  cosinus 

directeurs  de  ces  demi-diamètres,   l'ellipsoïde  étant  rapporté  à  ses  axes  de 

symétrie,  Soient  a^i,  jki,  ^i;  oc^,  y^-,  Zi',  x^,  y^,  z^  les  coordonnées  des  points 

A',  B',  G'  respectivement,  et  enfin  a',  b' ,  c'  les  longueurs  des  demi-diamètres 

considérés.  On  a 

ar,  =  a'ai,        7i  =  rt'Pi,         ^,  =:a'Yi, 

x^=^b'a^_,         jK2  =  6'p2,         Zi  =  b''(i, 

^3  =  c'  as .         j3  =  c'  ^3 ,         -33  =  c'ys  • 

En  écrivant  que  les  extrémités  de  chacun  de  ces  diamètres  sont  sur  l'ellip- 
soïde, puis  dans  le  plan  diamétral  conjugué  à  chacun  des  deux  autres,  on 
obtient  les  équations  suivantes  : 

/   a'2a?     ,    a'^pf         «'^v^  _  /    ^^'^^  ^  '^^h  ^  ï.ï-2  _  , 


\    b'^-^l      ,      è'^PI  6'2Yi_  «2^3      ,       ?2?3      ,      Ï2Y3_^ 


C  '■ai 


£!ill  ==  I .  I  ïi^  +  Ml  H_  liii 


62  C2  '  1        «2  è2 


a^  O''  c-  !     a'  0'=  c 


0  ; 


mais  si  l'on   fait    la   ti'ansjormation  homo graphique  définie  par   les  for- 
mules 

-=X,         f^Y,  f^Z, 

a  b  c 

d'où  l'on  déduit 

—  ^1  )  — T~  —   *  1  !  —  '^^i  •  •  •  j 

a  6  c  ' 

les  équations  (i)  et  (2)  deviennent 

(  Xf+Yf-^Zf  =  1,  (   X,X2  +  Y,Y2  +  Z,Z2-o, 

(1/  Xl-+-Y|-l-Z|  =  I,  (2)'  X^Xj  +  Y^Ys  +  Z^Za^o, 

f  X|-i-Y|-+-Z|  =  i;  (  XjX.+YsYi-hZjZ,  =0. 

On  aurait  pu  écrire  immédiatement  ces  équations  en  remarquant  que,  si 
l'on  pose 

37'=  aX',        jK'  =  èY',        z'=cZ';        x"  =  a\" ,        f=^b\\         z' =  cZ\ 


PROPRIÉTÉS    DES    UIAMÉTRES    CONJUGUÉS. 


3o3 


on  on  déduit 


X'-f-X" 


y-^y 


^  =  b 


Y' 


Z'+Z' 


cl,  par  suite,  au  milieu  d'un  segment  correspond  le  milieu  du  segment  trans- 
formé. A  un  plan  correspond  un  plan;  à  deux  droites  parallèles  correspondent 
deux  droites  parallèles.  Au  plan  diamétral  conjugué  à  une  direction  8  cor- 
respond donc  le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction  transformée  A.  Or,  à 
l'ellipsoïde  correspond  une  sphère  concentrique  et  de  rayon  i,  et  aux  trois 
diamètres  conjugués  de  l'ellipsoïde  correspondent  trois  diamètres  conjugués 
de  la  sphère,  c'est-à-dire  trois  diamètres  rectangulaires  deux  à  deux. 

Cela  posé,  les  équations  (i)'  et  (2)'  forment,  comme   on  sait,    un    sy'^tème 
équivalent  au  suivant  : 


CîV 


X2  +  Xi  +  X|  =  i, 
YÎ+Y|-fY1  =  i, 

Z? -^  Z| -^  Z|  =  I  ; 


1  X.Y.-t-X,Y,-.-X3Y3  =  o, 
(4)'        Y,Z, -i-Y^Zî-t- Y3Z,  =  o, 

(  ZjXj -f- Z2X2 -+- Z3X3  =  o  ; 


c'est-à-dire,  en  revenant  aux  notations  primitives 


1  x\  -^-  x\  -^  x\  =  a^, 

ou      (3)"   \  y\+y\^yl=b'^, 

\  z\-^  zl-^  zl  =  c-2; 


(   rt'-aj  -f-  b"^a.\  -r-  c'2a|  =  «-, 

j  a'2ai3i-+-6'2a2^2-+-c'2a3P3=  o,  I  a;,^! -f- a?,7î -h  j^-jJ,  =  o, 

M)    <     «'-?rri+^'"^P2Y2-^c'^?3T3=  O.     ou  (4)"    j   71^1-^72-2  -t-^a -3  =  0, 

(  a'^Yiai -f- 6'2Y-2a2H- ^'273^3=  o;  '  z^Xi-i-  z^^x^ -^  z^x^  —  o. 


318.  Exercice.  —  Application  des  formules  précédentes  à  la  démonstra- 
tion des  théorèmes  d'Apollonius.  —  1°  Si  l'on  ajoute,  membre  à  membre, 
les  équations  (3),  on  obtient  immédiatement 

rt'î  _)_  1,'i  _|_  c'2  =  a^  H-  62 -t-  f  2, 

>.°  Calculons  la  somme  des  carrés  des  faces  du  parallélépipède  construit  sur 
les  diamètres  considérés;  il  suffit  pour  cela  de  calculer  la  somme  des  carrés 
des  projections  de  ces  faces  sur  les  trois  plans  de  coordonnées.  Relativement 
au  plan  xOy,  on  trouve  pour  somme 


^1    yi 


^ï    72 
Xi     73 


î    -^3       73     ? 

la:,    7,   I 


Or,  cette  somme  est  le  carré  du  Tableau  rectangulaire 

a-i     Xi     x^  M 
7i    72    73  II 


3o4  CEIAPITRE    XX. 

et,  en  vertu  des  formules  (3)"  et  (4)",  ce  carré  est  égal  au  déterminant 

«2       o       j 
O  62    I 

OU  a^b^.  En  calculant  de  même  la  somme  des  carrés  des  projections  des  faces 
sur  les  deux  autres  plans  de  coordonnées,  on  obtient  ô^c'  et  c^a^\  la  somme 
des  carrés  des  faces  considérées  est  donc 

«2^,2  _,_  62c2 -h  c^a^. 
3°  Le  volume  du  parallélépipède  est  égal,  au  signe  près,  à 

^i   y\    -1  I 

^2    72    -52  !  ; 

^3      YZ       -3    I 

or,  en  faisant  le  carré  de  ce  déterminant  et  tenant  compte  des  équations  (3)" 
et  (4)",  on  trouve  a^b^c^;  ce  qui  démontre  le  troisième  théorème. 

4"  On  peut  encore  calculer  la  somme  des  carrés  des  projections  de  trois 
diamètres  conjugués  sur  une  droite  quelconque.  Soient  X,  [x,  v  les  cosinus 
directeurs  de  cette  droite;  on  a 


().a7,  -H   [XJKl  +  V2i)2-+-()<a"2+[^J>-2-(-V22)^+(>^^3 


[-«•73   -+-  '>  ^3  )^ 

=  X^a^-f-  [J.2  62  -+-v2c2; 


ce  qui  prouve  que  cette  somme  reste  constante,  quel  que  soit  le  système  de 
diamètres  conjugués  que  l'on  projette  sur  la  droite  donnée. 


319.  Relations  entre  les  paramètres  de  trois  plans  diamétraux 
conjugués  d'un  ellipsoïde.  —  On  dit  que  trois  plans  diamétraux 
sont  conjugués  si  chacun  d'eux  est  conjugué  à  l'intersection  des  deux 
autres.  On  voit  immédiatement  que  les  plans  formés  par  trois  dia- 
mètres conjugués  deux  à  deux  sont  conjugués  et  réciproquement. 
Cela  posé,  soient  (w,,  t^,,  (V,),  («21  ^2,  ^2)1  ('^3,  ''3,  «^3)  les  coeffi- 
cients des  équations  de  trois  plans  passant  par  le  centre  d'un  ellip- 
soïde rapporté  à  ses  axes  de  symétrie.  Le  diamètre  conjugué  au 
premier  plan  a  pour  équation 


a'  Ui 


y 

b-^v, 


z 

C-  Wi 


en  écrivant  que  ce  diamètre  est  dans  chacun  des  deux  autres  plans  et 
procédant  de  la  même  façon  à  l'égard  de  chacun  des  trois  plans  don- 


PROPRIÉTÉS   DES   DIAMÈTRES   CONJUGUl'S.  3o5 

nés,  on  obtient  les  conditions 

a^  «2  "3  H-  b-  i'i  V3  h  c^  iVi  (f  3  —  0, 

«2  «3  Ui~  b^V^Vi  -r-  C-  H^3  Wi  —  O. 

Hyperboloïdes . 

320.  En  raisonnant  comme  pour  l'ellipsoïde,  on  voit  qu'un  hyper- 
boloïde  admet  une  infinité  de  systèmes  de  trois  diamètres  conjugués, 
mais  les  longueurs  de  ces  diamètres  ne  sont  pas  toutes  réelles. 

L'équation  d'un  hyperboloïde  rapporté  à  trois  diamètres  conju- 
gués est  de  la  forme 

A 372  -I-   Â'j2  -t-  A"  ^2  —  I  =r  o. 

Si  deux  diamètres  sont  réels  et  le  troisième  imaginaire,  l'hyperbo- 
loïde  est  à  une  nappe;  si  deux  diamètres  sont  imaginaires  et  le 
troisième  réel,  l'hyperboloïde  est  à  deux  nappes;  ce  sont  les  seules 
hypothèses  possibles.  L'équation  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe 
rapporté  à  trois  diamètres  conjugués  peut  se  mettre  sous  la  forme 

x^-        .y2        -2  ^ 
«^  "^  6^  ~  c'2  ~  ^ 

et  celle  d'un  hyperboloïde  à  deux  nappes  sera  de  la  forme 

xi  v2  ^2     ^ 

rt'2  6'2  c'2 

32L  Théorèmes  d'Apollonius.  —  Dans  un  hyperboloïde  : 

i"  La  somme  algébrique  des  carrés  de  trois  diamètres  con- 
jugués est  constante; 

•1°  La  somme  algébrique  des  carrés  des  faces  du  parallélépi- 
pède construit  sur  trois  diamètres  conjugués  est  constante; 

3°  Le  volume  du  parallélépipède  construit  sur  trois  diamètres 
conjugués  est  constant  ; 

c'est-à-dire  : 

a'2-T-  6'2—  c'2=  a2_i_  ii_  c2, 

a'^b'^  sin2v  —  b'-c'-  sin2X  —  c"^a'^  s'\n-  ;jl  n=  «2^2 —  b-c'^ —  c'^a-, 
a'  b'  c' (M  =  abc. 

La  démonstration  est  la  même  que  pour  l'ellipsoïde. 

NiEWENGLOWSKI.   —   G.  an.,  III.  30 


3o6 


CHAPITRE    XX. 


Fie;.  35. 


322.  Lieu  des  sommets  des  parallélépipèdes  construits  sur   trois  dia- 
mètres conjugués  d'un  hyperboloïde.  —  Soient  Oa^j,  Oji,  Osi  {Jig.  35)  les 

directions  de  trois  diamètres  conjugués  d'un 
hyperboloïde  à  une  nappe ,  et  supposons 
OA  =  a' ,  OB  =  b\  OC  =  c'.  En  appelant  x, 
y,  z  les  coordonnées  d'un  point  par  rapport 
aux.  axes  de  symétrie  et  x' ,  y' ,  z'  ses  coor- 
données par  rapport  aux  nouveaux  axes,  on  a 


A    îc, 


X'' 
«2 


62 


Z2 
C2 


■Ll 

6'2 


Les  coordonnées  de  M  sont  x'  =  a\  y'  =  h', 
z'  —  c';  donc  le  point  M  est  sur  l'hyperboloïdc  à  une  nappe  donné,  car 

372  y%  s  2    ^ 

«2   "^     62    ~   ^    ~^' 

Le  point  R,  situé  dans  le  plan  des  deux  diamètres  réels,  a  pour  coordonnées 

x'  =  a',  y'  =  b' ,  ^'  =  o  ;  donc 


^2 
62 


^  =  ^' 


le  point  R  est  donc  sur  un  hyperboloïde  homothétique  et  concentrique  au 
premier. 

Enfin,  pour  Q, 

3?'=  a',        ^^'=0,         z' =  c' , 

et,  pour  P, 

x' =  o,        y' =  b' ,         z' =■  c' \ 

donc  chacun  de  ces  points  est  sur  le  cône  asymptote,  car 


x"^ 

02 


62 


On  voit  d'ailleurs  que  AM  et  MB  sont  des  droites  situées  tout  entières  sur 
l'hyperboloïdc  et  que  OP  et  OQ  sont  des  génératrices  du  cône  asymptote. 


323.  Variations  de  la  longueur  d'un  diamètre  dhin  hyper- 
boloïde. —  Soient  .r,  y^  z  les  eoordonnées  d'un  point  M  appartenant 
à  un  hyperboloïde  à  une  ou  à  deux  nappes  et  a,  ^,  y  les  cosinus  di- 
recteurs de  OM,  la  surface  étant  rapportée  à  ses  axes  de  symétrie;  en 
désignant  par  p  la  longueur  de  OM,  on  a 


62 


£  étant  égal  à  -+-  i  dans  le  cas  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe,  à  —  i 


PROPRIÉTÉS    DES    DIAMÈTRES   CONJUGUÉS.  Soj 

dans  le  cas  de  riijperboloïde  à  deux  nappes.  On  voit  ainsi  que  pour 
deux  hypcrboloïdes  conjugués,  à  tout  diamètre  réel  de  l'un  corres- 
pond un  diamètre  imaginaire  de  l'autre.  Le  rapport  d'homothétie 
des  deux  hypcrboloïdes  est  égal  à  doi,  comme  nous  l'avons  déjà  fait 
remarquer.  Si  e  =+  i,  pour  que  p  soit  réel,  il  faut  que  l'on  ait 

ce  qui  exprime  que  le  diamètre  doit  être  extérieur  au  cône  asym- 
ptote. En  supposant  a  <ch^  on  voit  que  p  >  a. 

Il  y  a  sur  l'hyperboloïde  à  une  nappe  une  infinité  de  points  situés 
à  une  distance  du  centre  plus  grande  que  a:  ces  points  sont  sur  la 
sphère  ayant  pour  équation 

et  par  suite,  à  l'intersection  de  celte  sphère  et  du  cône  ayant  pour 
équation 

"'  (i  -  ^)   --^^  (/7i  -  ^)  -^Ki  ^  pO  "^  "• 

Ce  cône  est  réel  si  l'on  suppose  p  >  a. 

Dans  le  cas  de  l'hyperboloïde  à  deux  nappes,  les  diamètres  réels 
sont  intérieurs  ^yi  cône  asymptote;  leur  longueur  est  plus  grande 
que  ic.  Les  points  à  distance  du  centre  égale  à  p  sont  sur  le  cône 
ayant  pour  équation 

Ce  cône  est  réel  si  l'on  suppose  ^~;;>  c\  il  y  a  donc  une  infinité  de 
points  situés  à  une  distance  du  centre  supérieure  à  c. 

324.  Trouver  trois  diamètres  conjugués  égaux  d'un  hyperboloïde.  — 
Supposons  a'=  b'^=  c';  on  doit  avoir,  dans  ce  cas, 

a'-^—  a^-\-  b-—  c2; 

s'il  s'agit  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe,  on  doit  avoir,  en  supposant  a  <C  b, 

a^-^  b^—  c^-l    a'^         ou         ^>c; 

dans  ce  cas,  le  problème  est  possible;  sur  la  ligne  d'intersection  de  l'hyper- 
boloïde et  de  la  sphère  de  rayon  a',  donné  par  l'équation  précédente,  pre- 


3o8  CHAPITRE    XX. 

nons  un  point  M;  le  plan  diamétral  conjugué  à  OM  coupe  l'hyperboloïde 
suivant  une  hyperbole  sur  laquelle  nous  pourrons  trouver  au  moins  un 
point  N,  situé  à  une  distance  du  centre  égale  à  a' \  soit  c'  le  demi-diamètre 
imaginaire  conjugué;  nous  aurons 

a'i  ^-  a'2  _  c'2  =  a2  -f-  62  —  c2  =  «'«, 

donc 

c'—  a', 

ce  qui  montre  que  l'hyperbole  obtenue  est  équilatère.  On  voit  ainsi  que  les 
extrémités  réelles  des  diamètres  répondant  à  la  question  sont  sur  une  même 
courbe,  intersection  de  l'hyperboloïde  et  du  cône  ayant  pour  équation 


62_c2  ^a'^  —  c'i-         ^a^-A^b^ 


a^  -^         b^  c2 

Dans  le  cas  de  l'hyperboloïde  à  deux  nappes,  il  faut  supposer 

«2-1-  62— c2>  c2, 

c'est-à-dire 

a2-f-62>  2c2. 

Si  cette  condition  est  remplie,  on  prendra  un  point  M  sur  la  courbe  d'in- 
tersection de  l'hyperboloïde  et  du  cône  ayant  même  équation  que  plus  haut; 
le  plan  diamétral  conjugué  à  OM  coupe  la  surface  suivant  une  ellipse  imagi- 
naire et  l'hyperboloïde  conjugué  suivant  une  ellipse  réelle;  sur  cette  ellipse 
réelle,  prenons  les  deux  demi-diamètres  égaux,  et  soit  b'  leur  longueur;  on 

aura 

2  6'2  —  a'2  =  a2  -I-  62  _  c2  =  a'2  ; 

d'où 

6'=  a' . 

On  doit  remarquer  que,  si  l'on  suppose  <z  <  6  et  ct2_|_  52^  202,  on  aura 

aussi 

6  >  c. 

325.  Relations  entre  les  longueurs  et  les  cosinus  directeurs  de 
trois  diamètres  conjugués  dhin  hyperboloïde.  —  On  obtient  des 
formules  analogues  à  celles  qui  sont  relatives  à  l'ellipsoïde,  en  chan- 
geant, pour  l'hyperboloïde  à  une  nappe,  c  en  ci,  et,  pour  l'hyperbo- 
loïde à  deux  nappes,  a  et  6  en  ai  et  bi. 

En  posant  -  =  X,  ^  ^  Y,  -  ^=^iTj,  l'hyperboloïde  à  une  nappe 

se  transforme  en  une  sphère;  il  en  est  de  même  pour  l'hyperboloïde 

à  deux  nappes,  en  posant  —  =  f  X,  j-  =  «Y,  -  =  Z. 

Considérons,  par  exemple,  l'hyperboloïde  à  une  nappe,  et  soient 
OAl'=  a',   0B'=  h'  deux  demi-diamètres  conjugués  réels  et  sur  le 


PROPRIÉTÉS   DES   DIAMÈTRES   CONJUGUÉS.  SoQ 

diamètre  conjugué  à  leur  plan,  nous  portons  une  longueur  OC  égale 
à  c';  si  l'on  appelle  a;,,^(,  5,,  X2,  y2}  -Sa,  ^35^3)  23  les  coordon- 
nées des  points  A',  B',  C  et  a,,  ^1,  Yo  «2,  ^o,  Y2,  ^3,  ^3,  Ys  les  co- 
sinus directeurs  de  OA',  OB',  OC,  on  a 


a 

'n 

C2 

b 

'^Yi 

l      a2  62 

^  ^     1  6'2a2        6'2p2 

(l)       < H ^-;- —    =  £,  (2) 

\      a  2  62  c2 

d'où  l'on  lire 


a2  ^  62 

-^  =  °. 

«2*3     P2  p3 

a2     62 

-¥^-». 

«3*1  _^_  P3  Pl 

a2   •   62 

_M=„. 

3)        a'2p2_^6'2p|_c'2p2^  £62,  OU         (3')     !r?-i-JKi-ri-  £62, 


6'2y2   _  c'2^2  =  _  £c2,  U2    _^  ^2   _  ^2    ^  _  ,  ^2 


l  a'2aipi--6'2a2  32— c'2a3p3  =  o,  /  ari^j-h  a^a^j  — a?3jK3=  o, 

U;       ;    «'^PlTl--^'^P2T2—  C'2P3Y3=0,  OU  (4')       J    JKlSl-f-r2'32  — rS-Ss^  O, 


(  a'î^ia, -H  6'2Y2a2  — c'2Y3a3  =  o,  '  ^i  Xi-{-  z^Xî  —  Z3X3  —  o. 

Dans  ces  formules,  il  faut  faire  e  :=  h-  i  ;  en  prenant  s  =  —  i ,  on  a 
les  formules  relatives  à  l'hjperboloïde  à  deux  nappes. 

326.  Relations  entre  trois  plans  diamétraux  conjugués.  — 
En  raisonnant  comme  pour  l'ellipsoïde,  on  trouve 

a^UiU-i-r-  b^VyV^ —  02^11^2=0, 
«2  «2  «3  _!-  62  V^  V3  —  C2  tV2  «^3  =  O, 
«2^3  M, -H  b'^VzVx  —  C^W3Wi=  O. 

EXERCICKS. 

1.  On  coupe  un  ellipsoïde  et  son  cône  asymptote  par  un  plan  passant  par 
les  extrémités  de  trois  demi-diamètres  conjugués  de  l'ellipsoïde;  prouver  que 
le  rapport  d'homothétie  des  deux  sections  obtenues  est  égal  à  i^i. 

2.  Lieu  des  diamètres  d'un  ellipsoïde  qui  sont  conjugués  aux  plans  tangents 
au  cône  ayant  pour  équation 


a"2        ^2        z2  _ 


l'ellipsoïde  ayant  pour  équation 


02    "^"62 


3lO  CHAPITRE    XX.—    PROPKIÉTÉS    DES    DIAMÈTRES    CONJUGUÉS. 

3.  Si  l'on  détermine  des  tétraèdres  ayant  pour  faces  trois  plans  diamétraux, 
conjugués  d'un  ellipsoïde  et  un  plan  tangent  à  cet  ellipsoïde,  de  façon  que  le 
produit  des  trois  segments  déterminés  sur  les  diamètres  conjugués  corres- 
pondants soit  minimum,  les  volumes  de  tous  ces  tétraèdres  sont  équiva- 
lents. (T.) 

4.  Dans  un  ellipsoïde,  la  somme  des  longueurs  de  trois  diamètres  conju- 
gués est  la  plus  grande  possible  quand  ces  diamètres  sont  égaux. 

5.  Si  Pj,  P2,  P3  sont  les  pieds  des  perpendiculaires  abaissées  du  centre  0 
d'un  ellipsoïde  sur  trois  plans  tangents  parallèles  à  trois  plans  diamétraux 
conjugués,  on  a 

f  1  '      _    '  '  ' 

ÔPf  ^  0P|  "*"  ÔF|  ~  ^  "^  P  "^  ^  ' 

et,  si  Qi,  Q2,  Q3  sont  les  points  où  ces  perpendiculaires  rencontrent  l'ellip- 
soïde, 

2  2    "^  2  2   ~^ 2  -2    ~~   n'*   ~^   h^  r^'  '         '^ 

OPjOQ,        OP2OQ2        OP3OQ3       "" 

6.  Par  chaque  point  P  d'un  ellipsoïde  dont  on  donne  trois  diamètres  con- 
jugués, on  mène  trois  droites  qui  rencontrent  chacune  l'un  de  ces  diamètres 
et  est  parallèle  au  plan  des  deux  autres.  Ces  droites  rencontrent  la  surface 
de  l'ellipsoïde  en  Pi,  Pg,  P3  ;  trouver  l'équation  du  plan  passant  par  ces  trois 
points  et  l'enveloppe  de  ces  plans  quand  le  point  P  se  meut  sur  l'ellip- 
soïde. (T.) 

7.  OA,  OB,  OG  sont  trois  demi-diamètres  conjugués  d'un  ellipsoïde. 
Trouver  le  volume  du  cône  qui  a  pour  base  la  section  diamétrale  parallèle 
au  plan  ABC  et  pour  sommet  le  pied  de  la  perpendiculaire  abaissée  du  centre 
sur  le  plan  ABC. 

8.  Étant  donnés  trois  diamètres  conjugués  d'une  quadrique,  si  l'on  projette 
chacun  d'eux  sur  une  droite  perpendiculaire  au  plan  des  deux  autres,  la 
somme  des  inverses  des  carrés  de  ces  projections  est  constante.  (Faure.) 

9.  Lieu  des  milieux  des  cordes  d'un  ellipsoïde,  chaque  corde  étant  pro- 
portionnelle au  diamètre  qui  lui  est  parallèle. 

Plus  généralement,  lieu  du  point  qui  partage  chacune  de  ces  cordes  dans 
un  rapport  donné. 

10.  Soient  OA,  OB,  OC  trois  demi-diamètres  conjugués  quelconques  d'un 
ellipsoïde  et  soient  OA',  OB',  OC  les  demi-diamètres  perpendiculaires  aux 
plans  BOC,  COA,  AOB.  Trouver  entre  OA',  OB',  OC  des  relations  analogues 
aux  théorèmes  d'Apollonius.  (Neuberg.) 

11.  La  somme  des  carrés  des  inverses  de  trois  diamètres  rectangulaires 
d'un  ellipsoïde  est  constante  et  le  plan  qui  passe  par  les  extrémités  de  ces 
diamètres  enveloppe  une  sphère  concentrique  à  l'ellipsoïde. 

12.  Chercher  si  deux  quadriques  concentriques  peuvent  avoir  un  système 
commun  de  diamètres  conjugués.  Discussion. 


CÔNES   DU   SECOND    DEGRÉ.  3ll 

13.  Lieu  des  diamètres  conjugues  aux  plans  diamétraux  qui  coupent  un  el- 
lipsoïde suivant  des  ellipses  d'aire  constante.  Lieu  des  perpendiculaires  à  ces 
plans  menées  par  le  centre  de  l'ellipsoïde. 

1-4.  L'œil  étant  en  un  point  de  la  surface  d'un  ellipsoïde,  les  perspectives 
des  sections  planes  de  cet  ellipsoïde  sur  le  plan  diamétral  conjugué  du  rayon 
qui  aboutit  à  l'œil  sont  des  courbes  bomolliétiques.  Le  centre  de  chacune  est 
la  perspective  du  sommet  du  cône  circonscrit  à  la  surface  suivant  la  section 
plane  considérée. 

1d.  Etant  donnée  une  quadrique  de  centre  0  et  un  point  M  :  i"  si  M  est 
extérieur  à  la  quadrique,  on  mène  une  tangente  MT,  le  demi-diamètre  con- 
jugué OT  de  cette  tangente  et  le  demi-diamètre  OA  du  plan  de  ces  deux 
droites;  soit  Vie  volume  du  tétraèdre  AMOT;  i"  si  M  est  intérieur,  on  mène 
une  demi-corde  MT,  le  demi-diamètre  OB  conjugué  de  cette  corde  et  le 
demi-diamètre  OA  conjugué  du  plan  de  ces  deux  droites;  soit  V  le  volume 
du  tétraèdre  ABOT,  Prouver  que  si  x,  jk,  -s  sont  les  coordonnées  de  M  et 
f{x^y,  z)  '—  o  l'équation  de  la  quadrique,  on  a 

f{x,y,z)  =  t~^^\^, 

E  =  -f- 1  si  M  est  extérieur,  e  =  — i  si  M  est  intérieur. 


CHAPITRE  XXI. 

CÔNES  DU  SECOND  DEGRÉ. 


327.  Relations  entre  la  théorie  des  cônes  et  celle  des  coniques. 
—  A  toute  propriété  d'un  cône  du  second  degré  correspond  une 
propriété  des  coniques  et  réciproquement.  On  peut  le  voir  aisément 
de  la  manière  suivante.  Rapportons  un  cône  du  second  degré  C  à 
trois  axes  de  coordonnées  quelconques  passant  par  son  sommet, 
et  soit 

o{x,y,z)  =  kx--\-  k.'y--^  \" z^  ■+-  iByz  -+-  2.B'zx  4-  iB'xy  =  o 

l'équation  de  ce  cône.   La  section  S  faite  dans  ce  cône  par  le  plan 
z  =  i  se  projette,  parallèlement  à  l'axe  des  z,  sur  le  plan  xOj',  en 


3 12  CHAPITRE    XXI. 

vraie  grandeur,  suivant  laconique  ajant  pour  équation,  dans  ce  plan, 

i){x,y,  z)  ^^  kx^-\-  A'jK^  -f-  A"-i-  nBy  -+-  iB' z  -+-  ■iB"xy  =  o. 

On  voit  qu'en  coordonnées  homogènes  l'équation  de  cette  co- 
nique, dans  son  plan,  est  la  même  que  celle  du  cône;  ainsi,  la  même 
équation,  interprétée  de  deux  manières  différentes  ,  peut  repré- 
senter une  conique  ou  un  cône. 

A  tout  point  M  pris  dans  le  plan  de  la  conique  S  correspond  une 
droite  OM  passant  par  le  sommet  du  cône;  si  M  est  sur  la  conique, 
OM  est  une  génératrice  du  cône,  et  réciproquement.  A  toute  droite 
située  dans  le  plan  de  la  conique  S  correspond  un  plan  mené  par 
l'origine  des  coordonnées.  Exprimer  que  le  plan  ayant  pour  équation 

ux  -^  vy  -+-  wz  -=  o 

est  tangent  au  cône  G  revient  à  exprimer  que  la  droite  représentée 
par  cette  même  équation  en  coordonnées  homogènes  est  tangente  à 
laconique  ayant  pour  équation  o(x,  y,  z)  =  o.  La  condition  est  donc 

F(j<,  V,  w)  '^  au^-h  a' v^  -4-  a"v--^  ibvw  -+-  'ib' wu  -f-  ih" uv  =  o, 

a,  «',  ...,  ^"  étant  les  mineurs  du  discriminant  de  la  forme  cp(.r, y,  ^). 
Le  système  des  équations  tangentielles  du  cône  C  est  donc 

r  =  o,         F(a,p,  iv)  — o. 

On  établit   d'ailleurs  directement  ces  conditions   en   identifiant 

l'équation 

ux  -~-vy-^wz-\-r^rio 

avec  celle  d'un  plan  tangent  au  cône  donné. 

On  peut  déduire  de  là  les  équations  tangentielles  d'un  cône  du 
second  degré  dont  le  sommet  a  pour  cordonnées  a^ojJKo)  ^o-  Oii  peut 
mettre  l'équation  de  ce  cône  sous  la  forme 

Le  plan  (f^,  v,  w^  ;•)  sera  tangent  à  ce  cône  s'il  passe  par  son  som- 
met et  si  le  plan  parallèle  au  premier,  mené  par  l'origine  des  coor- 
données, est  tangent  au  cône  transporté  à  l'origine,  c'est-à-dire  au 
cône  ayant  pour  équation  cp(^,  je,  ^)  =  o.  Les  conditions  sont  donc 

uXii-\-  vy(^-\-  wzç^-\-  r  —  o,         F(m,  p,  «')=:  o. 


CÔNES   DU    SECOND   DEGRÉ.  3l3 

Les  plans  polaires  de  tous  les  points  d'une  droite  OA  par  rapport 
au  cône  C  sont  confondus  en  un  seul  plan,  et  si  a,  b  sont  les  coor- 
données du  point  A  de  celle  droite,  qui  se  trouve  dans  le  plan  de  la 
conique  S,  ce  plan  polaire  de  OA  a  pour  équation 

sa  trace  sur  le  plan  z  ^=  i  est  la  polaire  de  A  par  rapport  à  la  co- 
nique S. 

Un  cône  du  second  degré  peut  toujours  être  regardé  comme  étant 
le  cône  asymptote  d'une  infinité  de  quadriques  liomolhéliques  et 
concentriques,  car,  si  l'équation  de  ce  cône,  rapporté  à  des  axes 
passant  par  son  centre,  est 

?(^,7,-s)^o, 

il  est  le  cône  asymptote  de  l'une  quelconque  des  quadriques  définies 
par  l'équation 

D  étant  une  constante  arbitraire. 

Un  système  de  trois  diamètres  conjugués  de  l'une  quelconque  de 
ces  quadriques  est  aussi  un  système  de  diamètres  conjugués  de  leur 
cône  asymptote.  De  là  résulte  qu'un  cône  du  second  degré  a  une 
infinité  de  systèmes  de  diamètres  conjugués  et  que,  si  Ton  prend 
l'un  de  ces  systèmes  pour  axes  de  coordonnées,  l'équation  du  cône 
sera  ramenée  à  la  forme 

Aa?2  -f-  k' y-  -f-  A'-s^  —  o. 

C'est,  d'ailleurs,  ce  que  l'on  peut  vérifier  directement  sans  aucune 
difficulté. 

Je  dis  maintenant  qu'un  plan  quelconque  coupera  le  trièdre  des 
nouveaux  axes  suivant  un  triangle  abc  conjugué  à  la  conique,  inter- 
section du  cône  par  le  même  plan.  Il  suffit,  pour  le  prouver,  de  re- 
marquer que  le  plan  polaire  de  l'axe  des  x,  par  exemple,  par  rapport 
au  cône,  est  précisément  le  planj^^Os. 

Réciproquement,  si  abc  est  un  triangle  conjugué  à  une  conique, 
le  cône  qui  a  pour  sommet  un  point  quelconque  O,  pris  hors  du 
plan  de  la  conique,  et  pour  directrice  cette  conique,  admet  pour 
système  de  diamètres  conjugués  les  droites  Oa,  O^,  Oc.  On  voit, 
en  elTel,  que  chacune  de  ces  droites  a  pour  plan  polaire  le  plan 


3l4  CHAPITRE   XXI, 

formé  par  les  deux  autres;  en  prenant  pour  axes  les  droites  Oa, 
Ob,  Oc  et  exprimant  ces  conditions,  on  obtient  bien  l'équation  d'un 
cône  rapporté  à  trois  diamètres  conjugués. 

Ou  voit  ainsi  que  trois  diamètres  conjugués  d'un  cône  forment  un 
trièdre  conjugué,  c'est-à-dire  tel  que  le  plan  polaire  de  chacune  de 
ses  arêtes  est  le  plan  formé  par  les  deux  autres  arêtes,  et  récipro- 
quement. Ce  trièdre  et  le  plan  de  l'infini  forment  un  tétraèdre  con- 
jugué au  cône. 

Cônes  supplémentaires. 

328.  Le  lieu  des  perpendiculaires  abaissées  d'un  même  point 
sur  les  plans  tangents  à  un  cône  C  est  un  second  cône  C.  Réci- 
proquement,  le  cône  C  est  le  lieu  des  perpendiculaires  abaissées 
du  sommet  de  ce  cône  sur  les  plans  tangents  au  cône  C. 

Soient,  en  effet  :  SA,  SB  deux  génératrices  infiniment  voisines  du 
cône  C,  SM  l'intersection  des  plans  tangents  à  ce  cône,  menés  Je 
long  de  ces  génératrices.  Soient  S'A',  S'B'  les  perpendiculaires  abais- 
sées de  S'  sur  les  plans  tangents  suivant  SA  et  SB  au  cône  G.  La 
droite  SM  est  perpendiculaire  au  plan  A'S'B'.  Si  SB  vient  se  con- 
.  fondre  avec  SA,  SM  vient  aussi  se  confondre  avec  SA  et  le  plan  A'S'B' 
a  pour  limite  le  plan  tangent  suivant  S'A'  au  cône  C;  on  voit  donc 
que  SA,  limite  de  SM,  est  perpendiculaire  au  plan  tangent  à  O 
le  long  de  S'A',  Les  cônes  C  et  C  sont  appelés  cônes  supplémen- 
taires. 

329.  Equation  du  cône  supplémentaire  d'un  cône  du  second 
degré.  —   Soit  {coordonnées  rectangulaires) 

(ù{x,y,z)-=  kx'^  +  A'jk2^_  k"z^-^iByz  -+-  o.B'zx  ~h  iB"  xy  =  o 

l'équation  du  cône  C;  cherchons  l'équation  du  cône  supplémentaire 
ayant  même  sommet.  Soient  x,y.,  z  les  coordonnées  d'un  point  M  de 
ce  cône;  le  plan  perpendiculaire  à  OM,  mené  par  l'origine,  a  pour 
équation 

X^  -f-  Yy  -H  Zz  —  o; 

il  suffît  d'exprimer  que  ce  plan  est  tangent  au  premier  cône,  ce  qui 
donne  l'équation 


CÔNES    DU    SECOND    DEGRÉ.  3l5 

OU 

ax^-h  a'/'- -4-  a"z--\-  "y.byz  -\-  ib' zx  -t-  ib'xy  =  o. 

On  vérifie  immédiatement  la  réciprocité,  car,  en  appliquant  la 
même  règle,  on  obtient  pour  l'équation  du  cône  supplémentaire  du 

second  cône 

^.^{x,y,z)  =  o. 

Cône  équilatère. 

330.  Cherchons  la  condition  pour  qu'on  ^^rnsse  placer  sur  un  cône 
du  second  degré  un  trièdre  trlrectangle. 

La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  qu'il  en  soit  ainsi  est, 
en  supposant  les  coordonnées  rectangulaires, 

A  +  A'4-A"=  o. 
En  effet,  soit 

kx--\-  A.'/2-+-  h" z"*--}-  Q.Byz  H-  iB'zx  +  iB"xy  =  o 

l'équation  d'un  cône  rapporté  à  trois  axes  rectangulaires  passant  par 
son  sommet;  si  l'on  peut  placer  sur  ce  cône  un  trièdre  trirectangle, 
en  prenant  les  arêtes  de  ce  trièdre  pour  axes  de  coordonnées,  son 
équation  deviendra 

Al 372  -{-  h\y^^  K\z^--^-3.Miyz  -^iB\zx  -^  o, B'(  xy  =  o, 

en  désignant  les  nouvelles  coordonnées  parles  mêmes  lettres  que  les 
anciennes.  Mais  le  nouvel  axe  des  x  étant  une  génératrice  du  cône, 
cette  équation  doit  être  vérifiée  quand  on  y  fait  j^  =  o,  5=0,  quel 
que  soit  x]  on  en  déduit  A,  =0;  en  exprimant  que  les  autres  axes 
s  ont  sur  le  cône,  on  trouve  les  conditions  A',  =0,  A"  =  o.  Or,  on 

sait  que 

A -f- A' -+- A' =  Al -+- a; -+- A'i  ; 

donc  V invariant  A  -)-  A'  +  A" doit  être  nul. 
La  condition  est  suffisante.  En  effet,  supposons 

(i)  A  +  A'-+-A"'  =  o. 

H  faut  d'abord  démontrer  que,  si  cette  condition  est  remplie,  le 
cône  proposé  est  réel.  Or,  des  trois  coefficients  A,  A',  A",  dont  la 
somme  est  nulle,  deux  au  moins  ont  des  signes  contraires.  Suppo- 
sons, par  exemple,  AA'<!  o.  Dans  ce  cas,  le  plan  :rO^  coupe  le  cône 


3l6  CHAPITRE   XXI. 

suivant  le  système  de  droites  défini  par  l'équation 

Ax^-\- X'y^-{- iB" xy  =  o, 

lesquelles  sont  réelles,  puisque  A  A' est  négatif. 

Si  A,  A',  A"  étaient  nuls,  le  cône  serait  évidemment  réel^,  puis- 
qu'il contiendrait  les  trois  axes  de  coordonnées. 

Le  cône  considéré  renfermant  des  droites  réelles  est  réel;  cela 
étant,  prenons  pour  axe  des  z  une  de  ses  génératrices,  les  deux 
autres  axes  formant  avec  le  nouvel  axe  des  z  un  trièdre  trirectangle  ; 
l'équation  rapportée  à  ces  nouveaux  axes  sera 

Ai.r2-f-  \\y^-T-  aBi^^  4-  iB^zx  +-  -i.B\xy  =  o. 

La  section  par  le  plan  xOy  a  pour  équation 

Aix^-h  A'ijK^-i-  iW[xy  =  o. 
Al  -+-  A 1  =  A  -H  A'  -H  A"  =  o  ; 


Or, 


donc,  les   deux  droites  représentées  par  l'équation  précédente  sont 
rectangulaires. 

Si  la  condition  (i)  est  remplie,  on  peut  donc  placer  sur  le  cône 
donné  une  infinité  de  trièdres  trireclangles,  puisque  la  section  par 
le  plan  mené  par  son  sommet  et  perpendiculaire  à  une  quelconque 
de  ses  arêtes  est  composée  de  deux  droites  rectangulaires  qui  forment 
avec  l'arête  considérée  un  trièdre  trirectangle  placé  sur  le  cône.  Tout 
plan  perpendiculaire  à  une  arête  et  ne  passant  pas  par  le  sommet 
coupera  donc  ce  cône  suivant  une  hyperbole  équilatère.  Un  pareil 
cône  a  reçu  le  nom  de  cône  équilatère. 

Les   conditions  pour  que   les   droites  définies  par  les 

X        y        z  X        y         z 

0?  """  f'  ""  y''  '^'  ^  f  ^  y"' 

où  a,  p,  Y,  . .. ,  désignent  leurs  cosinus  directeurs,  soient  sur  le  cône  donné, 
sont 

(2)  cp(a,  p,YJ  =  o,         tf  (a',  P',  y')  =  o»         ?(»">?")  T".>  =  «• 

Les  conditions  pour  que  ces  droites  soient  rectangulaires  deux  à  deux 
étant  supposées  remplies,  si  l'on  ajoute  membre  à  membre  les  équations  (2), 
on  obtient  la  condition  (i).  Si  cette  condition  est  remplie,  on  n'a  plus  que 
huit  équations  pour  déterminer  les  neuf  cosinus;  on  voit  ainsi  que  si  le  pro- 


331.  Remarque.  - 

-  Le 

équations 

X        y 

z 

a='^ 

~  ï 

CÔNES    DU    SECOND    DEGRÉ.  817 

blême  est  possible,  il  a  une  infinité  de  solutions.  Cette  méthode  ne  suppose 
pas  les  coefficients  réels. 

332.  Condition  pour  qu'on  puisse  mener  à  un  cône  du  second 
degré  trois  plans  tangents  rectangulaires.  —  Si  l'on  peut  mener 
trois  plans  tangents  rectangulaires  à  un  cône  du  second  degré,  le 
cône  supplémentaire  sera  équilatère  et  réciproquement.  La  condition 
demandée  est  donc  (axes  rectangulaires) 

(  3  )  a-^a'-h  a"  —  o 

et,  si  cette  condition  est  remplie,  il  y  aura  une  infinité  de  trièdres 
trirectangles  circonscrits  au  cône  proposé. 

Traitons  la  question  directement.  Soient («i,  i',,^ï^,),  («21  ^'a^ ''^2)5 
(î^3,  ('3,  w^)  les  coefficients  de  trois  plans  rectangulaires  tangents  au 
cône  proposé;  on  a 

F(Mi,t',,  Hf,)  =  0,         ¥  {Ui,Vi,Wz)  =  o,         F(m3,  t'3,  (V3)  =  o; 

en  ajoutant  ces  équations  membre  à  membre  et  tenant  compte  des 
conditions  d'orthogonalité,  on  obtient  l'équation  (3). 

Si  cette  condition  est  remplie,  le  cône  est  réel.  En  effet,  «,  «',  a" 
ayant  une  somme  nulle  ne  peuvent  avoir  le  même  signe;  supposons 
aa''<^o.  Les  plans  tangents  menés  par  l'axe  des  z  sont  déterminés 

par  l'équation 

au^-+-  a'v^-h  "i.b" uv  =  o 

dont  le  premier  membre  est  le  produit  de  deux  facteurs  réels.  Les 
plans  tangents  menés  par  l'axe  des  z  étant  réels,  le  cône  est  réel.  Si 
nous  prenons  pour  nouveau  plan  des  x^yyxn  plan  tangent,  l'équa- 
tion tangentielle  sera 

en  désignant  les  nouvelles  coordonnées  par  u,  v,  w.  Mais  la  somme 
a  -+■  a' -+-  a",  qui  est  un  invariant,  étant  nulle,  on  a  «i  +  <?,==  o;  on 
en  conclut  que  les  plans  tangents  menés  par  l'axe  des  ;;  sont  rectan- 
gulaires. 

Il  y  a  donc  une  infinité  de  trièdres  trirectangles  circonscrits  à  un 
cône  quand  la  condition  (3)  est  remplie,  car  les  plans  tangents  menés 
à  ce  cône  par  une  droite  issue  de  son  sommet  et  perpendiculaire 
à  un  plan  tangent  quelconque  étant  rectangulaires,  forment  avec  le 
premier  un  trièdre  trirectangle  circonscrit. 


3l8  CHAPITRE    XXI. 

333.  Conditions  pour  qu'un  plan  mené  par  le  sommet  d'un  cône  du 
second  degré  coupe  ce  cône  suivant  deux  droites  rectangulaires.  —  Soient 

cp  (37,  jK,  s)  =  o         et         ux-T-vy+wz  =  o 

les  équations  du  cône  et  du  plan  donné,  le  sommet  du  cône  étant  supposé  à 
l'origine.  L'équation 

^{x.,  y.,z)  ^  {ux  -^  vy  -\-  wz )  (  u'x  -h-  v'y  -^  w' z)  =  o 

est  l'équation  générale  des  cônes  passant  par  les  droites  d'intersection  du 
cône  et  du  plan  donné;  il  suffit,  pour  le  prouver,  d'imiter  la  démonstration 
relative  à  l'équation  générale  des  coniques  passant  par  les  points  d'intersection 
d'une  conique  et  d'une  droite.  Cela  posé,  on  peut  déterminer  les  coefficients 
de  l'équation  précédente,  de  façon  que  le  cône  qu'elle  représente  contienne  la 
normale  au  plan  donné,  menée  par  le  sommet,  ce  qui  donne  la  condition 

cp  (?i,  P,  W)  -!-  («2-1-  t;2_^  (^,.2)  (^uu'  -+■  Vv'  -^  Ww')  =  O. 

Il  suffit  alors  d'écrire  que  le  cône  ainsi  déterminé  est  équilatère;  on  trouve 
finalement 

tp  {u,  ç,  w)  —  (u'^-i-  f2_j-  w^)  (A  -+-  A'-f-  A")  =  o. 

334.  Application.  —  Trouver  les  plans  qui  coupent  une  quadrique  sui- 
vant une  hyperbole  équilatère. 

Il  suffira  d'exprimer  qa'un  plan  mené  par  le  centre  de  la  quadrique  coupe 
son  cône  asymptote  suivant  deux  droites  rectangulaires;  tout  plan  parallèle 
répondra  à  la  question. 

Exemple  :  la  quadrique  a  pour  équation 


x^ 
a- 

H- 

y' 

62 

^2 
C2 

la 

condi 

ition 

dem 

landée 

est 

u 
a' 

2 

p2 

c2 

-{■ 

M2-+-p2 

-f-  W^ 

I  1  I 

33S.  Conditions  pour  que  les  plans  tangents  menés  à  un  cône  du 
second  degré,  par  une  droite  passant  par  son  sommet,  soient  rectangu- 
laires. 

Soit  F(u,v,  w)  =  o  l'équation  définissant  le  cône  donné,  ayant  son  som- 
met à  l'origine;  les  équations  de  la  droite  donnée  étant 

X        y        z 
u         V         w 
il  suffit  d'exprimer  que 

ux  -^  vy  -^  wz  =  o 

représente  un  plan  coupant  le  cône  supplémentaire  suivant  deux  droites  rec- 


CÔNES   DU   SECOND    DEGRÉ, 
tangulaires,  ce  qui  donne  la  condition 

F  (m,  V,  w)  —  (w'-f-  p2_i_  (v2)(«  _^.  a'-i-  a")  =  o. 


3i9 


336.  Étant  donnés  deux  cônes  du  second  degré,  trouver  la  condition 
pour  que  l'un  d'eux  contienne  trois  diamètres  conjugués  de  l'autre. 

Si  deux  cônes  remplissent  la  condition  demandée,  en  les  coupant  par  un 
plan  quelconque  on  obtiendra  comme  sections  deux  coniques  dont  l'une  sera 
harmoniquement  circonscrite  à  l'autre.  Il  suffit  donc  d'appliquer  une  théorie 
connue  (I,  ol8,  a"). 

Soient  <o  {x,  y,  z)  —  o  et  <fi(x,  y,  z)  -;  o  les  équations  des  deux  cônes  et 


e 


A  j  a  -•  - . 
A  «1-  . 


2B,6 

2B    61 


6,  =  o  exprime  que  le  premier  cône  contient  une  infinité  de  systèmes  de  trois 
diamètres  conjugués  du  second;  6  =  0  exprime  que  le  second  cône  contient 
une  infinité  de  systèmes  de  trois  diamètres  conjugués  du  premier. 

337.  Application.  —  Dire  qu'un  cône  de  second  degré  est  capable  d'un 
trièdre  trirectangle  revient  à  dire  qu'il  contient  un  système  de  trois  diamètres 
conjugués  du  cône  isotrope  de  même  sommet.  L'équation  en  X  est 


A  +  X         B"  B' 

B"        A'4-X         B 
B'  B         A"-;-X 


=  0; 


le  coefficient  de  X^  est  A  -+-  A'-h  A";  la  condition  demandée  est  donc 

A  +  A'+A^rrrO. 

Pour  exprimer  qu'un  cône  est  capable   de   trois  diamètres   conjugués  de 
l'ellipsoïde  ayant  pour  équation 

X^  v2  ^2 

il  suffit  de  considérer  le  cône  asymptote  de  cet  ellipsoïde  ;  l'équation  en  X  est 
alors 


le  coefficient  de  X^  est 


B" 
B' 

A 

b^c-i 


B" 

A'  ^ 


B' 
B 


A'- 


A'  A" 

1 — ,- :  la  condition  demandée  est  donc 

c-a^        a-b^ 


\a^-\-Mb^-^  K'c^^o. 


320  CHAPITRE    XXI. 

On  obtient  cette  condition  au  moyen  de  la  transformation  homographique 
que  nous  avons  déjà  employée  (3i7)  et  définie  par  les  formules 

a?  =  aX,        j^  =  èY,        z  =  cZ. 

La  transformée  de  l'ellipsoïde 

x'^       y*       z^ 
a^        b-        c^ 
est  la  sphère 

X2+Y2+Z2  — I=-0. 

A  trois  diamètres  conjugués  de  l'ellipsoïde  correspondent  trois  diamètres 
conjugués  de  la  sphère,  c'est-à-dire  trois  diamètres  rectangulaires.  Il  suffira 
donc  d'exprimer  que  le  cône  transformé  du  proposé,  c'est-à-dire  le  cône 
ayant  pour  équation 

Aa2X2+A'è2Y2-FA"c2Z2-4-...  =  o, 

est  capable  d'un  trièdre  trirectangle,  ce  qui  donne  la  condition 

Aa2_|_  A'è2-i- A"c2  =  o. 


Théorème  de  Frégier. 

338.  Si  un  trièdre  trirectangle  pivote  autour  de  son  sommet 
situé  en  un  point  fixe  d^ une  quadrique^  le  plan  passant  par  les 
points  d'intersection  de  ses  arêtes  et  de  la  quadrique  coupe  la 
normale  à  cette  quadrique  au  sommet  du  trièdre  en  un  point 
fixe. 

Prenons  trois  axes  rectangulaires,  l'origine  étant  le  point  fixe 
donné  et  l'axe  des  z  la  normale  en  ce  point  à  la  quadrique,  dont 
l'équalion  aura  la  forme 

Soit  ux-\-vy-{-wz  —  I  r=  G  l'équation  d'un  plan;  le  cône  ayant 
pour  sommet  l'origine  et  pour  directrice  la  conique  suivant  laquelle 
ce  plan  coupe  la  quadrique,  a  pour  équation 

o{x, y,  z)  -H  z{ux  -T-  vy  -i-  w z)  =  o. 

La  condition  pour  que  ce  cône  soit  équilatère  est 

A  H-  A' -H  A"-i-  w  =  o. 

Le  coefficient  w  étant  constant,  tous  les  plans  qui  satisfont  à  la 
condition  donnée  coupent  l'axe  des  z  en  un  point  fixe,  ce  qui  dé- 
montre la  proposition. 


CÔNES    DU    SECOND    DEGRÉ.  321 


EXERCICES. 


1.  Si  par  un  point  d'une  quadrique  on  mène  trois  droites  parallèles  à  trois 
diamètres  conjugués  d'une  seconde  quadrique,  le  plan  qui  passe  par  les  se- 
conds points  d'intersections  de  ces  droites  et  de  la  première  quadrique  passe 
par  un  point  fixe  (théorème  de  Frégier  généralisé).  Réciproque. 

2.  Lieu  des  points  de  Frégier  et  enveloppe  des  plans  polaires  de  ces  points 
relatifs  à  tous  les  points  d'une  quadrique  donnée. 

3.  L'équation  d'un  cône  du  second  degré  quelconque,  peut  se  mettre  sous 
la  forme  E  -f-  Xj  =  o,  E  =  o  représentant  uit  cône  équilatère  et  (t  =  o  un 
cône  isotrope  de  môme  sommet. 

4.  Lieu  du  pied  de  la  perpendiculaire  abaissée  du  centre  d'une  quadrique 
sur  le  plan  passant  par  les  extrémités  de  trois  diamètres  conjugués;  lieu 
de  cette  perpendiculaire. 

5.  Former  les  équations  tangentielles  d'un  cône  droit  du  second  degré, 
touchant  trois  plans  donnés  (ui,  Vi,  Wi),  {u^,  v-i,  tvj),  (u^,  V3,  W3). 

6.  Soient  S  le  sommet  d'un  cône  droit,  O  le  point  où  l'axe  rencontre  un 
plan  quelconque  P.  Démontrer  qu'il  existe  un  rapport  constant  entre  les 
distances  des  points  O  et  S  à  une  tangente  quelconque  de  la  section  du  cône 
par  le  plan  P  (J.  Neuberg). 

7.  Lieu  des  sommets  des  cônes  de  révolution  passant  par  une  conique 
donnée. 

8.  Lieu  des  sommets  des  cônes  équilatères  passant  par  une  conique  et  par 
au  point  donné. 

9.  Lieu  des  sommets  des  cônes  capables  d'un  trièdre  trirectangle  circon- 
scrit, passant  par  une  conique  donnée  et  tangents  à  un  plan  donné. 

10.  Deux  systèmes  de  diamètres  conjugués  d'une  quadrique  à  centre  sont 
sur  un  cône  du  second  degré. 

11.  Lieu  des  diamètres  conjugués  aux  plans  qui  coupent  un  hyperboloïde 
suivant  des  hyperboles  équilatères. 

12.  Lieu  des  foyers  des  sections  d'un  cône  de  révolution  par  des  plans 
menés  par  une  normale  à  ce  cône. 

13.  On  considère  une  section  plane  d'un  cône  quelconque,  et  le  développe- 
ment de  cette  section  sur  le  plan  tangent  en  un  de  ses  points  M.  Si  l'on 
prend  pour  axe  des  x  la  tangente  MT  à  la  section,  les  équations  de  la  section 
et  de  sa  transformée,  rapportées  à  cet  axe  des  x  et  chacune  à  un  axe  des  y 
perpendiculaire  au  premier  et  mené  par  M  dans  son  plan  respectif,  soient 
y  =f{x)  et  ji  =  <p(a^)  les  équations  de  ces  courbes  et  enfin  6  l'angle  que  le 

NiEWENGLowsKi.  —  G.  an.,  in.  ai 


32  2  CUAPlTIiE    XXII. 

plan  sécant  fait  avec  le  plan  tangent  au  cône  en  M,  on  a 

cosO  =  Il  m  -- — -  =  ~„~ 

f{x)         cp  {x) 

pour  a;  =  0.  En  conclure  la  condition  pour  que  M  soit  un  point  d'inflexion 
du  développement. 

14.    En  supposant  que  le  cône  soit  de  révolution,  trouver  l'équation  du  dé- 
veloppement d'une  section  plane  en  coordonnées  polaires. 


CHAPITRE  XXII. 

PLANS  TANGENTS  (FORMES  RÉDUITES).  —  SPHÈRE  DE  MONGE.  — 
LIEU  DES  SOMMETS  DES  CONES  DE  RÉVOLUTION  CIRCONSCRITS 
A  UNE  QUADRIQUE. 


ELLIPSOÏDE. 

339.  Plan  tangent  en  un  point  de  la  surface  d'un  ellipsoïde. 
—  Considérons  un  ellipsoïde  E  rapporté  à  ses  axes  et  défini  par 
l'équation 

3^2  r2  ^2 

l'équation  du  plan  tangent  au  point  (.Tq,  j'o,  ^o)  est 
avec  la  condition 


62         ■        C2      -'==^' 


^2 


a2   ^   62   ^  c2 


340.  Mener  à  un  ellipsoïde  un  plan  tangent  par  un  point 
donné.  —  Soient  ;r,,y(,  Z)  les  coordonnées  du  point  donné  P.  Les 
coordonnées  des  points  de  contact  d'un  plan  tangent  passant  par  P 


PLANS    TANGENTS.  SaS 

sonl  définies  par  les  équations 

x^        y  2        z^  XX  t        YYi        zZi 

^,  +  P  +  ^->--'         ■^-^'^--*-^-^  =  ^' 

la  seconde  élant  celle  du  plan  polaire  du  point  P.  Il  y  a  donc  une 
infinité  de  plans  tangents  issus  de  P,  qui  sont  réels  si  la  courbe  d'in- 
tersection de  l'ellipsoïde  et  du  plan  polaire  de  P  est  réelle.  Pour 
trouver  la  condition  de  réalité,  on  peut  former  l'équation  de  la  pro- 
jection de  l'intersection  sur  le  plan  des  a:,  y  et  écrire  que  cette  pro- 
jection est  réelle.  Il  est  plus  simple  d'opérer  ainsi  :  rapportons 
l'ellipsoïde  à  trois  diamètres  conjugués,  l'axe  des  x  étant  le  diamètre 
OP;  l'équation  de  l'ellipsoïde  deviendra 


t'2 


Xi  yi 

ai        bi         c  ^ 

Les  coordonnées  de  P  sont  alors  x'=  p,  y=  o,  z'  =  o  et  le  plan 
polaire  du  point  P  a  pour  équation  p^':=  a''^ . 

Les  points  de  contact  sont  définis  par  l'équation  précédente  et 
celle-ci  : 

y'i  ^'2     ^        ^    ct'2 

La  condition  de  réalité  est  alors  o-  >>  a'^  ou  -^  —  i  ">  o  ; 

»  a  ^ 

Mais  l'identité 

x^       y^       z^ a?'*        y'^       z'^ 

donne,  pour  le  point  P, 

£i  +  Zi  +  il  =  p1'  . 

«2  ^2  c2  a'^ 

La  condition  demandée  est  donc 

«2  ^2  c- 

Gette  inégalité  exprime  que  le  point  P  doit  être  extérieur  à  l'el- 
lipsoïde. En  effet,  dans  toute  la  région  qui  comprend  le  centre,  la 

fonction  —  +t^H — i  —  i  a  le  signe  —  ;  pour  un  point  pris  par 

exemple  sur  l'axe  des  a?,  à  une  dislance  du  centre  plus  grande  que  <?, 
ce  poljnome  a  le  signe  -+-. 


324  CHAPITRE    XXII. 

341.  Plans  tangents  parallèles  à  un  plan  donné.  —  Soit 
ux -\- vy -\- wz  =  o, 
l'équation  d'un  plan;  il  s'agit  de  déterminer  r  de  façon  que 
ux  -^vy-^-wz-{-r  =  o 

représente  un  plan  tangent  à  l'ellipsoïde  donné.    Pour  cela,  identi- 
fions cette  équation  avec  l'équation  du   plan   tangent  en  un  point 

xxq        yyo       zso 


ce  qui  donne 

X(, 

b^v 

^0 

I 
r  ' 

d'où 

a 

au 
r 

b 

bv 
r 

c    ~ 

cw 
r 

On  obtient  ainsi  les  coordonnées  du  pôle  du  plan  (u,  ç,  w,  r);  pour 
que  ce  plan  soit  tangent,  il  faut  et  il  suffit  que  le  pôle  soit  sur  l'el- 
lipsoïde, ce  qui  détermine  r  : 

Cette  équation  est  l'équation  tangentielle  de  l'ellip  soïde. 
L'équation  demandée  est  donc 

ux  -h  i'y  -+-  w z  =  z\/a^u^-h  b'V^-h  c^vc^. 

On  peut  donc  mener  à  un  ellipsoïde  réel  deux  plans  tangents  pa- 
rallèles à  un  plan  quelconque  (11,  c,  w)  et  les  points  de  contact,  qui 
sont  diamétralement  opposés,  ont  pour  coordonnées 


Xo 


yo  =  ^ 


v/a2 

«2 

+   62(;2 
62  P 

-1-C2 

«,2 

v/a2 

«2 

+  62p2 

-4-C2 

W- 

C^IV 

/a2M2_|_è2(;2  4_  c2w2 

342.   Sphère   de  Monge.  —    Circonscrire  à  un  ellipsoïde  un 
trièdre  trirectangle. 


PLANS    TANGENTS.  325 

Il  s'agit  de  déterminer  neuf  cosinus  directeurs  a,,  pi,  Yi  j  ^21  1^2?  Yai 
«3,  ^35  y3  et  les  coordonnées  x,y,  z  d'un  point,  tels  que  l'on  ait 


a^ 37  H-  P2JK  --  Y2  ^  =  £2/a*a|-f-62p|H-c2Y|, 
a\-r   .\-^  0.1^  i         aiPi-<-a2p2-i-a3P3  =  o, 

Pî  -^-  .31-^  Pi  -  '  PlYl  +  P2Y2-    P3Ï3=  o, 

YÎ-+-YI  +  Y3  =  '  Yi  *1  -t- Y2  «2  -t-  Y3  «3  =  O. 

Ces  neuf  équations  ne  sont  compatibles  que  si 

On  obtient,  en  effet,  cette  équation  en  ajoutant  membre  à  membre 
les  trois  premières  équations,  après  élévation  des  deux  membres  au 
carré. 

Si  le  point  (s^,y,  z)  n'est  pas  sur  la  sphère  représentée  par  l'équa- 
tion précédente,  il  est  impossible  de  mener  par  ce  point  à  l'ellipsoïde 
donné  trois  plans  tangents  rectangulaires  deux  à  deux.  Si  la  condi- 
tion est  remplie,  les  équations  données  se  réduisent  à  huit.  On  peut, 
d'ailleurs,  se  rendre  compte  a  priori  de  l'existence  d'un  lieu  des 
sommets  des  trièdres  trirectanglcs  circonscrits  à  l'ellipsoïde. 

En  effet,  considérons  un  cjlindre  circonscrit  à  l'ellipsoïde;  ce 
cylindre  est  elliptique;  les  plans  tangents  à  l'ellipsoïde,  menés  par 
une  parallèle  aux  génératrices  du  cjlindre,  issue  d'un  quelconque  des 
points  du  cercle  de  Monge  relali  i  à  une  section  droite  de  ce  cjlindre, 
sont  rectangulaires,  et  il  n'j  a  plus  qu'à  mener  à  l'ellipsoïde  des 
plans  tangents  perpendiculaires  aux  génératrices,  pour  obtenir  ainsi 
une  infinité  de  trièdres  trirectanglcs  circonscrits  dont  les  sommets 
sont  sur  deux  cercles.  Le  lieu  demandé  est  engendré  par  ces  cercles, 
quand  la  direction  des  génératrices  varie.  11  résulte  de  ce  qui  précède 
que  le  lieu  cherché  est  une  sphère,  qu'on  nomme  sphère  de  Monge^ 
relative  à  cet  ellipsoïde. 

Autre  méthode.  —  Proposons-nous  de  former  l'équation  du  cône 
supplémentaire  du  cône  circonscrit  à  l'ellipsoïde,  ajant  pour  sommet 
un  point  donné  M(X(,jKt,  5,).  Écrivons  qu'un  plan  tangent  passe  par 
ce  point  : 

uxx  -   vyx  -}-  wzx  =  y^a*M*-f-  b^v^  ■+-  c' w*. 


326  CHAPITRE    XXII. 


La  perpendiculaire  abaissée  du  cenlre  de  l'ellipse  sur  le  plan  tan- 
gent considéré  a  pour  équations 

^  _  .y  __  -z . 

on  en  déduit  immédiatement  que  le  cône  supplémentaire  du  cône 
circonscrit  de  sommet  M  et  ayant  pour  sommet  le  centre  de  l'el- 
lipsoïde a  pour  équation 

Pour  que  l'on  puisse  mener  à  l'ellipsoïde  donné,  par  le  point  M, 
trois  plans  tangents  deux  à  deux  rectangulaires,  il  faut  et  il  suffît 
que  le  premier  cône  soit  capable  d'un  trièdre  trireclangle  circonscrit, 
et,  par  suite,  que  le  second  cône  soit  équilatère,  ce  qui  donne  immé- 
diatement cette  condition  que  le  point  M  doit  être  sur  la  sphère  dé- 
finie par  l'équation 

On  voit  ainsi  que  chaque  point  de  la  sphère  de  Monge  est  le  som- 
met d'une  infinité  de  trièdres  trirectangles  circonscrits  à  l'ellip- 
soïde. 

Le  centre  de  la  sphère  de  Monge  coïncide  avec  le  centre  de  l'el- 
lipsoïde, et  le  carré  de  son  rayon  est  égal  à  la  somme  des  carrés  des 
demi-axes  de  l'ellipsoïde. 

343.  Lieu  des  sommets  des  cônes  de  révolution  circonscrits  à  un  ellip- 
soïde. —  Si  un  cône  G  est  de  révolution,  tout  cône  G'  supplémentaire  du 
premier  est  aussi  de  révolution,  car  les  plans  tangents  au  cône  G  faisant  des 
angles  égaux  avec  l'axe  de  révolution,  les  génératrices  du  cône  G'  font  des 
angles  égaux  avec  la  parallèle  à  l'axe  de  G  menées  par  le  sommet  de  G'  et 
réciproquement.  D'après  cela,  pour  exprimer  que  le  point  M  {x\,yi,  z^)  est 
le  sommet  d'un  cône  de  révolution  circonscrit  à  l'ellipsoïde  E,  il  suffit  d'ex- 
primer que  le  cône  supplémentaire  ayant,  par  exemple,  pour  sommet  le  centre 
de  E,  est  de  révolution.  Nous  avons  obtenu  l'équation  de  ce  cône;  en  la  dé- 
veloppant, on  obtient 

X'^{X\  —  «2)  +  J.2(j2  —  62)  +  32(^2  _  ^2) 

■+-  "^yi^iyz  -t-  izixizx  -T-  iXiYxxy  =  o. 

Il  faut  nécessairement  que  le  coefficient  d'un  rectangle  soit  nul,  sans  quoi, 
en  égalant  les  nombres  de  Jacobi,  on  trouverait 

—  «2  =  — è2  =  — c2. 


PLANS   TANGENTS.  827 

Supposons  donc,  par   exemple,  B  —  B' =  0  ;   pour  cela,  il  suffit  de   poser 
',1  —  o,  et  ensuite 

(x-^       a2-hc2)(jf—  62-i-c2)  —x-\yl  :-r  o. 
On  obtient  ainsi  un  premier  lieu  défini  par  les  équations 

On  trouve  deux  autres  solutions  : 

y2  z^ 

X  —  o,         ~— — -  H — —  1  =  0, 


7  =  0, 


Z2 


c'^—b"-         «2  —  62 


Le  lieu  cherché  se  compose  donc  de  trois  coniques  situées  dans  les  plans 
principaux,  concentriques  et  coaxiales  aux  coniques  principales.  Ces  co- 
niques ont  reçu  le  nom  àc  focales;  nous  en  verrons  plus  loin  la  raison.  Si 
l'on  suppose  a  >  6  >  c,  la  focale  située  dans  le  plan  des  y,  z  est  une  ellipse 
imaginaire;  celle  qui  est  dans  le  plan  des  x,  y  est  une  ellipse  réelle  située 
entièrement  à  l'intérieur  de  l'ellipsoïde,  et,  enfin,  la  troisième  est  une  hyper- 
bole dont  la  partie  extérieure  à  l'ellipsoïde  est  le  lieu  des  sommets  des  cônes 
de  révolution  réels  circonscrits  à  l'ellipsoïde. 


HYPERBOLOIDES. 

344.  Plan  tangent  en  un  point  dhin  hyperholdide.  —  Consi- 
dérons un  hjperboloïde  à  une  ou  à  deux  nappes,  rapporté  à  ses 
axes  de  sj  métrie.  L'équation  du  plan  tangent  en  un  point  (.^Cq, jKo»  ^o) 
de  cette  surface  est 


avec  la  condition 


345.  Mener  à  un  liyperboloïde  un  plan  tangent  par  un  point 
donné.  —  Soient  J7i,  j-,,  Sj  les  coordonnées  du  point  donné  P.  Les 
coordonnées  des  points  de  contact  des  plans  tangents  issus  de  P  sont 
définies  par  les  deux  équations 

^    r!  _  f^  ^ ,      ££i  ,  yy\  _  -^i»  _  p 

a»        6*        c2       ''  a2  62  c'^' 


^^0     ,    JKJKo 
a2    ^    62 

ZZq 
C2 

^0  ,  yo 

^l 

a2        62 

C2 

SaS  CHAPITRE    XXII. 

Pour  discuter  ce  système  d'équations,  nous  distinguerons  deux  cas. 

Premier  cas  :  Hyperholoïde  à  une  nappe.  —  Rapportons  la  sur- 
face à  trois  diamètres  conjugués,  l'axe  des  x  étant  le  diamètre  OP. 
Il  y  a  plusieurs  hypothèses  à  faire  : 

1°  OP  est  un  diamètre  réel;  l'équation  étant 

X'i        y'i        z'^  _ 

les  coordonnées  de  P  sont  x'^  p,  y'r^  o,  z'^=  o;  les  équations  de 
la  courhe  de  contact  sont  : 

Dx'  —  a'^  ^ _  —  ,__. 

La  seconde  équation  étant  celle  d'une  hyperbole,  on  voit  que  le 
cône  de  sommet  P,  ayant  cette  hyperbole  pour  directrice,  est  tou- 
jours réel;  si  p'  =  ±  a',  le  point  est  sur  la  surface  et  le  cône  se  ré- 
duit au  plan  tangent  en  P,  comme  on  le  voit  aisément. 

2°  OP  est  un  diamètre  imaginaire;  nous  pouvons  poser  ^'^  o, 
y  =  o,  z'  =  p,  les  équations  de  la  courbe  de  contact  sont  alors 


x^       y 


c  ^ 


On  voit  que  le  cône  circonscrit  de  sommet  P  est  encore  réel. 

3"  OP  est  une  génératrice  du  cône  asymptote.  Prenons  pour 
axes  des  x  et  des  y  deux  génératrices  du  cône  asymptote,  l'axe 
des  z  étant  l'intersection  des  plans  tangents  menés  le  long  de  ces 
génératrices;  l'équation  de  la  surface  sera  de  la  forme 

^2  -f-  2  B  xy  =  r . 

Nous  pouvons  supposer  le  point  P  sur  l'axe  des  x  :  x  =  o,  y  =  o, 
-5  =  o.  Le  plan  polaire  de  P  a  pour  équation 

Bpr  =  •; 

il    coupe  donc  l'hyperboloïde  suivant  une  parabole;    dans   ce    cas 
encore,  le  cône  de  sommet  P  est  réel. 

Deuxième  cas  i  Hyperholoïde  à  deux  nappes.  —   i°  OP  est  un 


PLANS    TANGENTS.  829 

diamètre  réel.  L'équation  de  la  surface  étant 

X'i  y'i  3'*    _ 

â/i  "^  b^  ~"  ?2  ""  ~  '  ■ 

nous  supposerons  x'  =  o,  y'  =  o,  z' =  p.  La  courbe  de  contact  du 
cône  circonscrit  de  sommet  P,  a  pour  équations 

x'i        r'2       c'2 
f^  a  2        6  2        p  2 

Cette  courbe  est  réelle  si  l'on  suppose  p'^  <;  c'^  ou  —  S^  +  i  >  o; 
c'est-à-dire  si  le  point  P  est  extérieur  à  la  surface.  La  condition 
trouvée  équivaut  d'ailleurs  à 

^?      y\     ^? 

«2    ^     62  C'-  -^ 

elle  exprime  que  P  doit  être  dans  la  même  région  que  le  centre. 

2"  OP  est  un  diamètre  imaginaire.  Nous  pouvons  supposer,  par 
exemple  x'  =  p,  y'  ^  o,  z'  =  o,  alors  les  équations  de  la  courbe  de 
contact  sont 

Celte  courbe  est  une  hyperbole,  elle  est  donc  réelle. 

3°  OP  est  une  génératrice  du  cône  asymptote.  La  conclusion  est 
alors  la  même  que  pour  l'hyperboloïde  à  une  nappe. 

346.  Plan  tangent  parallèle  à  un  plan  donné.  —  On  obtient 


ux-i-vy-\-wz=zt.  y/  a-  u^  -\-  b^v^—  c^  w^ 
pour  l'hjperboloïde  à  une  nappe  et 


ux-T-vy-^wz^^i  \J  c-w''-  —  a^Mî—  b'^v'^ 

pourThyperboloïdc  à  deux  nappes.  On  voit  ainsi  que  l'on  peut  tou- 
jours  mener,  à  l'un  des  deux  hyperboloïdes  conjugués  seulement, 
deux  plans  tangents  parallèles  à  un  plan  donné. 
Proposons-nous  d'interpréter  l'inégalité 

a2f^2-t- ^^t-î— c2n^•«  >o       ou       <  o. 


33o  CHAPITRE    XXH. 

Pour  cela,  considérons  le  système 

.r2         r2        ^2 

h  -, =0,  nx  +  vy  +  w z  =  o 

a-2        b^        c^         '  -^ 

Si  w  =  o,  on  a  a-iL^  -\-  b-v^  >-  o,  et  le  plan  sécant  coupe  le  cône 
suivant  deux  génératrices  réelles.  Supposons  w^o;  la  projection 
sur  le  plan  des  x^  y  de  l'intersection  du  cône  et  du  plan  (?<,  v^  w) 
a  pour  équation 

La  condition  de  réalité  est 

a-p2  /(v2  itn     /(V2  P2\ 

ou,  en  simplifiant, 

«2  a2  H-  62  (^2  _  c2  (V2  >  O. 

Donc  pour  qu'on  puisse  mener  à  un  hyperboloïde  deux  plans  tan- 
gents parallèles  à  un  plan  donné,  il  faut  et  il  suffît  que  le  plan  pa- 
rallèle au  plan  donné,  mené  par  le  centre  de  l'hjperboloïde,  coupe 
le  cône  asymptote  suivant  deux  droites  réelles,  s'il  s'agit  d'un  hyper- 
boloïde à  une  nappe,  suivant  deux  droites  imaginaires  dans  le  cas 
de  l'hyperboloïde  à  deux  nappes. 

Si  le  plan  est  parallèle  à  un  plan  asymptote,  il  n'y  a  plus  qu'une 
solution  limite,  qui  est  ce  plan  asymptote  lui-même. 

347.  Sphère  de  Monge. —  L'équation  de  la  sphère  de  Monge  est 

^2  j_j^2^_22  =:  a2_4_  62  _c2 

pour  l'hyperboloïde  à  une  nappe  et 

372  ^yi  ^  z^  =  C^  —  a^  —  b^ 

pour  l'hyperboloïde  à  deux  nappes. 

Etant  donné  deux  hyperboloïdes  conjugués,  l'un  d'eux  seulemen  t 
possède  une  sphère  de  Monge;  c'est  l'hyperboloïde  à  une  nappe    si 

Lorsque  a^  +  b^  ^  c^,  la  sphère  de  Monge  se  réduit  à  son  centre. 


PLANS   TANGENTS.  33 I 

348.  Lieu  des  sommets  des  cônes  de  révolution  circonscrits.  —  Oo  trouve 
encore  trois  coniques  situées  dans  les  plans  principaux.  Il  suffit,  pour  passer 
(lu  cas  de  l'ellipsoïde  à  celui  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe,  de  changer 
c-  en  —  c^  et  pour  l'hyperboloïde  à  deux,  nappes  a^  et  6^  en  —  a^  et  --  h"^. 


PARABOLOIDES. 

349.  Equation  du  plan  tangent  en  un  point  d' un  parabo- 
loïde.  —  Nous  supposons  le  paraboloïde  rapporté  à  ses  deux  plans 
principaux  et  au  plan  tangent  en  son  sommet;  son  équation  étant 
alors 

P  9 

le  plan  tangent  au  point  {x^,  yo,  Zo)  a  pour  équation 


avec  la  condition 


P  (l 


P      q 


350,  Mener  à  un  paraboloïde  un  plan  tangent  par  un  point 
donné.  —  La  courbe  de  contact  du  cône  circonscrit  de  sommet 
donné  (.C) ,  j^j ,  ^  i  )  a  pour  équations 


yy\        zzi  y^        z^ 

^^ 1 :^X  -\-  Xi, i =  2x; 

p  9  P         <l 

on  peut  remplacer  la  seconde  équation  par  celle-ci 

y%  ^2   ^        l  yy\  -22i 


P      q        \  P        q 

qui  représente  un  cylindre.  Si  l'on  suppose  pq  <<  o,  c'est-à-dire  si 
le  paraboloïde  est  hyperbolique,  ce  cylindre  est  lui-même  hyperbo- 
lique. On  peut  donc  mener  à  un  paraboloïde  hyperbolique  une  infi- 
nité de  plans  tangents  par  un  point  donné.  Si  l'on  suppose  pq  >•  o, 
pour  fixer  les  idées  supposons  />  >  o,  q^o;  dans  ce  cas,  le  cy- 
lindre obtenu  est  elliptique;  en  écrivant  son  équation  sous  la  forme 

i(r-r.)'H-^(=-=,)'  =  ^"  +  |-..„ 


332  CHAPITRE   XXII. 

on  voit  que  la  condition  de  réalité  est 

^^    -H   --—  IXi  >  O. 

P         9 

Cette  inégalité  définit  la  région  extérieure  au  paraboloïde  ellip- 
tique considéré.  ' 

351.  Plan  tangent  parallèle  à  un  plan  donné.  —  Identifions 
les  deux  équations 

-^ 1 X  —  x^  =  o, 

p  9 

ce  qui  donne 

_1_Z!L  —  J^o   — _^ 
u        pv        qw  r 

d'où 

/•  pv  qw 

Xq  —      -  ,  JKo  = '  -30=- • 

On  obtient  ainsi  les  coordonnées  du  pôle  du  plan  (u,  v^  w,  r)] 
pour  que  ce  plan  soit  tangent,  il  faut  et  il  suffît  que  son  pôle  soit 
sur  la  surface  ou  sur  le  plan  lui-même,  ce  qui  donne  la  condition 

r  = H  2 , 

'lu  2U 

on  obtient  aussi  l'équation  tangentielle 

pv^  -f-  qw^  =  iru. 
L  'équation  d'un  plan  tangent  peut  se  mettre  sous  la  forme 

ux  +  VY-\-  wz  + ^ —  =  o. 

On  peut  mener  à  un   paraboloïde  un  plan   tangent  parallèle  à  un 
plan  donné,  pourvu  que  ce  plan  ne  soit  pas  parallèle  à  l'axe  du  pa- 
raboloïde. 

352.  Plan  de  Monge.  —  Soient  [x\ ,  jKi  ,  5,  )  les  coordonnées  d'un 
point  M.  Si  un  plan  tangent  au  paraboloïde  passe  par  M,  on  a 

uxi  -H  vfi  -t-  wzi  H {pv^  -^  qw"^)  =  o, 


PLANS   TANGENTS.  333 

on  en  déduit  l'équation  du  coue  ayant  son  sommet  à  l'origine,  et 
supplémentaire  du  cône  circonscrit  de  sommet  M,  savoir 

x(xxi  -\-yy\  -+-  zzi  )  +  { {py^  ■+-  9^"^  )  —  "• 

Ce  cône  est  équilatère  si 

X\^{{.p^q)^  o. 

Donc  chacun  des  points  de  ce  plan  est  le  sommet  d'une  infinité  de 
trièdres  trireclangles  circonscrits  au  paraboloïde  donné.  Ce  plan  a 
reçu  le  nom  àa  plan  de  Monge. 

3o3.  Lieu  des  sommets  des  cônes  de  révolution  circonscrits.  —  Ecrivons 
que  le  cône  dont  nous  venons  de  former  l'équation  est  de  révolution,  nous 
trouverons  ainsi  pour  le  lieu  cherché  les  deux  paraboles  ayant  pour  équa- 
tions 

y  =  o,         z^-  =  {p  —  q){-2X-hp), 

z=o,        yi  =  {g  —p}{2x-^q). 

EXERCICES. 

1.  Établir  les  équations  relatives  à  un  paraboloïde  (3i9-3o3),  en  considé- 
rant cette  surface  comme  limite  d'un  ellipsoïde  ou  d'un  hyperboloïde. 

2.  Trouver  le  lieu  des  sommets  des  trièdres  dont  les  faces  sont  parallèles  à 
un  système  de  plans  diamétraux  conjugués  d'un  ellipsoïde  A  et  tangentes  à 
un  second  ellipsoïde  B.  (Concours  général,  i86o.) 

3.  Un  plan  tangent  à  un  ellipsoïde  détermine,  avec  les  plans  principaux, 
un  tétraèdre  dont  le  volume  est  constant;  trouver  le  lieu  du  point  de  con- 
tact. 

4.  Mener  par  un  point  pris  sur  l'un  des  axes  d'un  ellipsoïde  le  plan  tan- 
gent qui  détermine,  avec  les  plans  principaux,  le  tétraèdre  de  volume  mi- 
nimum. (T.) 

5.  Trouver  le  lieu  du  point  de  concours  de  trois  plans  rectangulaires  deux 
à  deux  et  touchant  chacun  l'un  des  trois  ellipsoïdes  ayant  pour  équations 


.r-        y 

«2    "^     62 

x^  y^ 


=  1, 


«2  + Aï  ^è«-H/i'-'      c^-hh^ 

X*  yî 


2 

(T.) 


6.  Si  une  corde  d'un  ellipsoïde  passe  par  un  point  fixe,  l'intersection  des 
plans  tangents  aux  extrémités  de  la  corde» décrit  un  plan  fixe. 


334  CHAPITRE   XXII.   —   PLANS    TANGEMS. 

7.  Trouver  le  volume  d'un  cylindre  circonscrit  à  un  ellipsoïde  et  limité  aux 
deux  plans  tangents  parallèles  à  la  courbe  de  contact. 

8.  On  considère  un  cylindre  circonscrit  à  un  ellipsoïde  et  l'on  mène  les 
plans  tangents  à  l'ellipsoïde  aux  extrémités  du  diamètre  parallèle  à  l'axe  du 
cylindre;  un  diamètre  quelconque  de  l'ellipsoïde  coupe  l'ellipsoïde,  les  plans 
tangents  et  le  cylindre  en  des  points  dont  les  distances  au  centre  sont  h, 
k,   l;  prouver  que 

9.  On  circonscrit  un  cône  à  un  ellipsoïde;  soient  R'  la  distance  de  son  som- 
met au  centre  de  l'ellipsoïde,  2R  la  longueur  du  diamètre  de  l'ellipsoïde  qui 
passe  par  le  sommet  du  cône.  Supposons  menés  les  plans  tangents  à  l'ellip- 
soïde aux  extrémités  de  ce  diamètre.  Un  diamètre  quelconque  coupe  l'ellip- 
soïde, les  plans  tangents  considérés  et  le  cône  en  des  points  dont  les  distances 
au  centre  sont  h,  k,  l.  Prouver  que 

r;       KkJ        VR2        R'2/  VA-       k\'  ^    ^ 

iO.  On  mène  un  plan  tangent  à  un  ellipsoïde  à  une  distance  donnée  du 
centre;  trouver  les  projections  sur  les  plans  principaux  de  la  courbe,  lieu 
des  points  de  contact.  Dans  quels  cas  l'une  des  projections  se  réduit-elle  à 
deux  droites?  (T.) 

H.  Une  tangente  à  l'ellipsoïde  —;  -I-    ,  0  -! r  —  i  =  o  rencontre  l'axe  des  z 

a^        b'-        c'- 

et  une  courbe  tracée  dans  le  plan  des  a?,  y.  Lieu  engendré  par  cette  droite. 

Exemple,  la  courbe  a  pour  équation 

^.  +  T.  =  ""-  (T.) 

12.  Lieu  des  perpendiculaires  aux  plans  tangents  communs  à  deux  ellip- 
soïdes ayant  même  centre  et  mêmes  directions  d'axes,  ces  perpendiculaires 
étant  abaissées  du  centre  commun. 

13.  Montrer  que  les  deux  surfaces 

xi  1/2  Z2  a2  32  y2 

al  ^  b-^        c"-         '  x^        y^        z^- 

se  touchent  en  huit  points,  si 


abc 


=  I, 


et  que  les  plans  tangents   en  ces  points  forment  un  solide   ayant  pour  vo- 

lume -^• 

3(aPY)^ 


NORMALES.  335 

14.  En  chacun  des  points  d'un  ellipsoïde,  on  mène  le  plan  tangent.  On  pro- 
jette sur  ce  plan  le  diamètre  issu  du  point  de  contact.  Démontrer  que  ces 
projections,  déjà  tangentes  à  l'ellipsoïde,  sont  tangentes,  en  outre,  à  une  se- 
conde surface.  (Mannheim.) 


CHAPITRE  XXIII. 

NORMALES. 


ELLIPSOÏDES. 


334.  Normales  menées  par  un  point  à  un  ellipsoïde .  —    Soit 

X^.  y1  ^2 

(0  — .  +  T^  -+-^.,—1=0. 

l'équation  d'un  ellipsoïde  E  rapporté  à  ses  axes   de  symétrie.    La 

normale  en  un  point  (j:,  y^  z)  de  la  surface  de  cet  ellipsoïde,  a  pour 

équations 

a^{\  —  x)  _  b^{\  —y)  _  c^(Z  -  z)  ^ 
-  _  --  _  ^ 

Les  coordonnées  des  pieds  des  normales  issues  du  point  P(a,  p,  y) 
sont  déterminées  par  l'équation  (2)  et  les  équations 

«^(g  — ar)  _  h'^i^—y)  _  c^y  — -s)      - 
X  y  z 

Les  points  communs  à  l'ellipsoïde  E  et  aux  cjlindres  représentés 
par  ces  équations  sont  les  pieds  des  normales  issues  du  point  P. 

Il  est  intéressant  de  remarquer  que  l'équation 

a»(«-a7)  ^  b\^-y) 
X  y 

représente,  dans  le  plan  des  x,  y,  l'hyperbole  d'Apollonius  relative  à  la  pro- 
jection (a,  P)  du  point  P  sur  ce  plan  et  à  la  section  principale  correspon- 
dante, bien  que  la  projection  d'une  normale  à  E  issue  de  P  ne  soit  pas 
normale  à  la  section  principale. 


336  CHAPITRE    XXIII. 

On  a  l'explication  de  ce  résultat  en  se  rappelant  la  propriété  de  l'hyperbole 
d'Apollonius,  énoncée  t.  II,  p.  209,  n°  4. 

On  tire  des  équations  (2),  en  désignant  par  X  la  valeur  commune 
des  rapports, 

a^oi  623  cSy 

(^^  ^^^^X'       ^=èi^'        "=^- 

Ces  équations  définissent  une  cubique  ;  les  pieds  des  normales 
sont  à  l'intersection  de  cette  cubique  et  de  l'ellipsoïde  E;  ils  corres- 
pondent aux  valeurs  de  \  qui  sont  racines  de  l'équation 

V  i\-  —       '^^^^  ^^f^^  ^^T^  _ 

^^^^^  (a-i+X)2  ^  (62+X}2  ^  (c2+X)2  -  '  -  «' 

équation  obtenue  en  écrivant  que  les  coordonnées  {x^y^z)  définies 
par  les  équations  (3)  sont  celles  d'un  point  de  E. 

L'équation  F  Çk)  =  o  est  du  6^  degré  et,  à  chaque  racine,  corres- 
pond une  normale  à  E,  issue  de  P.  En  outre,  si  l'on  suppose 
«  >»  Z^  >>  c,  on  reconnaît  immédiatement  que  cette  équation  a  tou- 
jours une  racine  réelle  entre  — 00  et  — a'^elwne  entre  — c'^ei-\-ao  : 
donc,  d'un  point  donné,  on  peut  mener  à  un  ellipsoïde  six  nor- 
males dont  deux  au  moins  sont  réelles.  (Pour  la  discussion  com- 
plète de  l'équation  F().)^o,  voir  Nouvelles  Annales.^  1870, 
p.  481,  Joachimsthal.) 

355.  Étude  de  la  cubique  des  normales.  —  La  courbe  représentée  par 
les  équation  (3)  est  du  troisième  ordre;  on  voit,  en  effet,  que  les  points  de 
rencontre  de  cette  courbe  et  d'un  plan  quelconque  sont  déterminés  par  une 
équation  de  la  forme 

a^d.  b-?>  c^y 

u  — r  -4-  V  ,-      .,  -h  w  — — 4"  -hr  =  o. 

a^-i-k  62  _|_  X  C--+-A 

Les  équations  (3)  donnent  pour  \  infini  :  x  =  o,  y  ^=  o,  z  =  0.  Pour  X  =  o, 
on  trouve  x  =  a,  y  =  ^,  z  =  ^.  Pour  X  =  —  a^,  x  est  infini,  y  tx.  z  ayant  des 
valeurs  finies;  de  même  pour  X  =  —  b^i  y  est  infini  et,  pour  X  =  —  c^,  z  est 
infini.  On  voit  ainsi  que  la  cubique  passe  par  le  centre  de  l'ellipsoïde  et  par 
le  point  P  et,  enfin,  qu'elle  a  trois  asymptotes  parallèles  aux  axes  de  symétrie 
de  l'ellipsoïde. 

Nous  savons  déjà  que  le  cône  ayant  pour  sommet  un  point  quelconque 
d'une  cubique  et,  pour  directrice,  cette  cubique  même,  est  du  second  degré; 
en  particulier,  la  cubique  (3)  passant  par  le  centre  de  l'ellipsoïde,  par  le 
point  P  et  par  les  pieds  des  normales  issues  de  P,  il  en  résulte  que  les  six 
normales  issues  de  P  sont  sur  un  cône  du  second  degré  et  les  droites  joignant 


NORMALES.  887 

le  centre  de  l'ellipsoïde  aux  pieds  de  ces  normales  sont  aussi  sur  un  cône  du 
second  degré.  Nous  allons  former  les  équations  de  ces  cônes. 
Écrivons  ainsi  les  équations  (3)  : 

X  y  z 

Multiplions  les  deux  membres  de  ces  équations  respectivement  par  b-  —  c^, 
c*  —  a^,  a- —  b^  et  ajoutons  :  il  vient 

— [—    — {_     Q 

X  y  z 

ou,  sous  forme  entière, 

a'^0L(b-^—c^)yz  -h  b'-^  (c'-—  a"^)  zx  -^  c''^(  (a^—  b'-)  xy  =  o. 

On  a  ainsi  l'équation  du  cône  ayant  pour  sommet  le  centre  de  l'ellipsoïde 
et  passant  par  les  pieds  des  normales.  On  voit  que  ce  cône  a  pour  génératrices 
les  axes  de  symétrie  de  l'ellipsoïde;  par  suite,  il  est  équilatère. 

Plus  généralement,  transportons  les  axes  parallèlement  à  eux-mêmes  en 
prenant  pour  origine  un  point  quelconque  de  la  cubique,  celui  qui  correspond 
à  une  valeur  déterminée  X'  du  paramètre  et  qui  a,  par  conséquent,  pour 
coordonnées 

,_     a'-<z  /_  _HL.  ,_  cM-X' 

^-a2+X''  ^  -  b-2-^l''  -  -  -^¥Y" 

En  posant 

X=:X'-^\,  JK=y-f-Y,  ^  =  Z'-+-Z, 

on  a 

a^a(X'-X)  b^^(l'-l)  c2y()/_X) 

(a2^X)(a2-hX')'  (62+ X)  (62-4- X'/  (c2-|- X)  (c^^  X')' 

d'où  l'on  tire 

a2a(X'-X)  ,,,  .   ,  _62p(X'-X)  c^T(X'-X) 

"--^^=   (a2H-X')X'        ^'-^^-    (62-hX')Y'         '-^^=   (c2+X')Z> 

en  procédant  comme  plus  baut,  on  obtient 

a^-oi(b^-c^-)  h^-^(c^--a^)  c^Y(«^-^'^)  ^ v 

c'est  l'équation  d'un  cône  équilatère.  Ce  résultat  est  évident  a  priori  puisque 
le  cône  doit  passer  par  les  points  à  l'infini  de  la  cubique  et,  par  suite,  doit 
admettre  des  génératrices  parallèles  aux  axes  de  l'ellipsoïde.  E.i  particulier, 
si  X'=  o,  on  a  l'équation  du  cône  des  normales  sous  la  forme 

a(62— c2)YZ-hP(c2  — a2)ZX-t-Y(«2— 62)XY  =  o 

NiEWENGLOWSKI.  —   G.  an.,  III.  J2 


338  CHAPITRE   XXIII. 

OU,  par  rapport  aux  anciens  axes, 

«(^'2-c2)(7-p)(^-Y) 

-f-[3(c2-a2)(^  — Y)(^  — a)H-Y(a2_62)(^_a)(j  — P)  =  o. 

Ce  cône  passe  par  le  centre  de  l'ellipsoïde,  ce  qui  était  évident  a /j/'to/'i 
puisque  la  cubique  des  normales  y  passe. 

Remarque.  —  La  cubique  représentée  par  les  équations  (3)  est  unicur- 
sale;  il  en  est  de  même  de  toute  cubique  gauche.  En  effet,  si  l'on  considère 
deux  points  fixes  (A,B)  pris  sur  cette  cubique,  la  position  d'un  plan  passant 
par  là  droite  AB  dépend  d'un  seul  paramètre  X;  or  ce  plan  ne  coupe  la 
cubique  qu'en  un  seul  point  M  différent  de  A  et  de  B;  les  coordonnées  de  M 
sont  donc  des  fonctions  rationnelles  de  X. 


Pôle  normal  et  pôle  tangentiel  d'un  plan.  —  Surface  normopolaire. 
Synnormale.  —  Formules  de  Desboves. 

356.  Le  pôle  du  plan  passant  par  les  pieds  de  trois  des  normales  issues  du 
point  P  est  sur  une  surface  trouvée  par  Desboves  et  qu'il  a  nommée  la  sur- 
face normopolaire  de  l'ellipsoïde  donné.  Soit  M(ari,  yi,  ^i)  le  pôle  du  plan 
passant  par  les  pieds  A,  B,  G  de  trois  des  normales  et  soit  M'(a72,  ^2; -32)  le 
pôle  du  plan  passant  par  les  pieds  A',  B',  G'  des  trois  autres  normales.  Le 
plan  ABG  ayant  pour  équation 


^1      yy^     zzi 

a^  bi  c2 


—  1  =  0, 


les  valeurs  de  X  qui  correspondent  aux  trois  pieds  A,  B,  G  sont  les  racines 
de  l'équation 


■     a2-i-X        62 -f-  X        C2-+-X 

Pareillement,  les  valeurs  de  X  qui  correspondent  aux  trois  autres  pieds  A', 
B',  G'  sont  les  racines  de  l'équation 

a^2  PjKs  7^2  _ 


«2+X  62+  X  C2-4-X 

En  raisonnant  comme  dans  le  cas  d'une  ellipse  (II,  i54),  on  en  conclut  l'i- 
dentité 

«2  a  62  p  c2y 


(a-^-^ly-        (62+X)2        (c24-X)2 

(XXi         ^         pJKl  Y-^1  \     /      °^^i  PJ>'2  Y^2 


;; I 


^a2-hX        62-1-X        c2-i-X         /   Va2+X        62-hX        c24-X 
En   décomposant  le  second  membre  en  fractions  simples  et  identifiant  au 


KORMALES.  889 

premier,  et  en  supposant  que  le  point  P  ne  soit  pas  dans  un  plan  principal, 
on  obtient  les  relations  suivantes  : 

(4)  XiXi  =  —  a'^,        jj^,  =  _62,         -,-,  =  _c2, 


.ri  —  X-y-h 


a^—b-^  a^—c^- 


,5)  (^,_^,^l(Z^l±£i£=i^lk^î±|lZi)  =  o, 


c-  —  a'^  c^ —  b- 


En  posant 


les  équations  (5)  peuvent  s'écrire 

Ixi^ x.i-\-  [3 G  —  Y B  —  o, 
J1-+-./2-+-TA.  —  aG  =  o, 
-Si^--2  -+-  aB  — ^A  =  o. 

En  général,  ces  équations  en  a,  p,  y  ne  sont  pas  compatibles;   si  l'on  mul- 
tiplie par  A,  B,  G  et  qu'on  ajoute  membre  à  membre,  on  obtient 

k{xi  -f-  X2)  -H  B{yi  ^yi)  -+-  G(-i  -+-^2)  =  o; 

«2 

et,   en   remplaçant  A,  B,  G   par   leurs    valeurs   et  x<i,   y<,,  z^   par , 

b^          c- 
> )  on  voit  que  le  point  M  doit  être  sur  la  surface  du  quatrième 

degré  ayant  pour  équation 

c2v2-t-62-:2  /ï2  ^2  _i_ /.2 -r>2 


b-^—C^  '-^  '  C2—  «2 

(7)  { 

^f^"     ,2,^:i^!  +  «!r: 

La  symétrie  de  la  définition  des  points  M  et  M' montre  que  le  point  M' doit 
être  sur  la  même  surface,  qui  est  précisément  la  surface  normopolaire  de 
Desboves. 

Si  le  point  M  est  sur  cette  surface,  les  équations  (6),  dans  lesquelles  on 
tient  compte  des  équations  (4),  se  réduisent  à  deux  et,  dans  ce  cas,  il  y  a 
une  infinité  de  points  P,  situés  sur  une  droite  nommée  synnormale  relative 
à  M  ou  encore  synnormale  du  plan  polaire  de  M. 

Ainsi,  étant  donné  un  point  M  sur  la  surface  normopolaire,  on  peut 
trouver  sur  la  conique,  intersection  de  l'ellipsoïde  E  par  le  plan  polaire 
de  M,  une  infinité  de  systèmes  de  trois  points  A,  B,  G,  tels  que  les  nor- 
males à  E  en  ces  points  aillent  concourir  en  un  même  point  P,  et  le 


34o  CHAPITRE   XXIII. 

lieu  de  ces  points  P,  correspondant  à  tous  les  systèmes  de  points  A,  B,  G, 
est  la  synnormale  relative  au  point  M. 

Si  l'on  se  donne  le  point  M,  le  plan  polaire  de  M'  a  pour  équation 

^    ,   y  ,  ^ 

il  passe  donc  par  les  projections  sur  les  axes  du  symétrique  de  M  par  rapport 
au  centre  de  l'ellipsoïde  (Joachimsthal). 


HYPERBOLOIDES. 

357.  On  obtient  des  résultats  analogues  à  ceux  de  l'ellipsoïde;  il 
suffît  de  changer  dans  les  calculs  précédents  c-  en  —  c-  ou  a-  et  b^ 
en  —  a-  et  —  b'-. 

PARABOLOÏDES. 

358.  Normales  menées  par  un  point  à  un  paraboloïde.  —  Les 
équations  de  la  normale  en  un  point  du  paraboloïde  défini  par 
l'équation 

(1) 1 =  IX 

p         q 

étant 

X  —  X  \  —  Y  Z  —  z 

—  I  r  ^       z 

les  pieds  des  normales  à  ce  paraboloïde,  issues  d'un  point  P(a,  [3,  y), 
sont  déterminés  par  l'équation  (i)  et  les  équations 

tx  —  x         P  — y  Y  —  z 

(2)  =p^ — ^  ==  ^  ■* 


En  appelant  \  la  valeur  commune  de  ces  rapports,  on  en  déduit 


r 

p-h  A 


Ces  équations  définissent  une  cubique. 

On  déduit  facilement  des  équations  précédentes  l'équation    du   cône   des 
normales.  En  effet,  si  l'on  pose 

X  =  a  -h  X,        y  =  <^-{-Y ,         5  =  Y-4-Z, 


1)11  obtient 

X  = 

X          Y--^? 
^'         ^-/>  +  X' 

ce  qu'on  peut  écrire 

X 

X  =  '' 

^=-(p  +  l), 

34 1 


z  =  =^ 


'^=-(7H-X). 

Kn  multipliant  les  deux  membres  de  ces  équations  respectivement  par 
p  —  q,  I,  —  I  et  ajoutant  ensuite,  membre  à  membre,  on  obtient 

X      ^  Y       Z  "     ' 

ou,  en  revenant  aux  axes  primitifs, 

(/>- ^)  (j- -?)(-- Y) -+- 13(^  -  t)  (^ -«)- t(^ -«)  (r- ?)  =  o. 

Les  pieds  des  normales  issues  de  P  sont  les  points  communs  à 
cette  cubique  et  au  paraboloïde;  les  valeurs  de  "k  correspondantes 
sont  les  racines  de  l'équation 

(3)  (-^-(^-^(-^)  =  <'- 

Celte  équation  étant  du  cinquième  degré,  on  voit  qu'on  ne  peut 
mener  d'un  point  donné  que  cinq  normales  à  un  paraboloïde.  La 
sixième  est  la  parallèle  à  l'axe,  si  l'on  regarde  le  paraboloïde  comme 
limite  d'ellipsoïdes  ou  d'iijperboloïdes. 

339.  Quadrique  de  révolution  passant  par  les  pieds  des  normal ef: 
issues  de  P.  —  En  écrivant  ainsi  les  équations  (2) 

a  —  X        ^  —  y       Y  —  z 


(S)   (I) 


et  multipliant  les  deux  termes  de  ces  rapports  respectivement  par  2x,y,  z, 
on  voit  que  la  somme  des  dénominateurs  est  nulle;  il  en  est  donc  de  même 
de  celle  des  numérateurs,  ce  qui  prouve  que  les  pieds  des  normales  issues 
de  P  sont  sur  la  quadrique  de  révolution,  ayant  pour  équation 

ix^  -t- j'2  -t-  2^  —  2a:r  —  ^y  —  Y--  ==  ^1 
dont  l'axe  est  la  parallèle  à  l'axe  du  paraboloïde  menée  par  le  point  ayant 
pour  coordonnées  a,  -  >  ->   c'est-à-dire  par  le  milieu  de  la  perpendiculaire 
abaissée  du  point  P  sur  l'axe  du  paraboloïde. 


342  CHAPITRE   XXIII. 

360.  Pôle  normal  et  pèle  tangentiel  d'un  plan.  —  Surface  normopo- 
laire.  —  Synnormale.  —  Formules  de  Desboves.  —  En  regardant  le  para- 
boloïde  elliptique  comme  limite  d'un  ellipsoïde  et  le  paraboloïde  hyperbolique 
comme  limite  d'un  hyperboloïde  à  deux  nappes,  on  peut  déduire  des  for- 
mules de  Desboves,  relatives  aux  quadriques  à  centre,  des  formules  analogues 
relatives  aux  paraboloïdes. 

En  partant  de  l'équation 

xi  y2  -2. 

—  +  7^  +—  —  1  =o 
a^        b^        c2 

et  posant  a;  =  X  —  a,  puis  —  =  p,  —  =  or,  et  faisant  grandir  a  indéfiniment, 
r  '  '^         a  a 

on  obtient,  à  la  limite, 

•^  -h  —  —  'iX  =  o. 
p  q 

Dans  les  formules  (5),  (6)  et  (7)  relatives  à  l'ellipsoïde  (page  SSg),  rempla- 

«2  62  c"- 

cons  a7o,  Vo,  z^  par j j >  puis  X\  par  X\  —  a  et  a  par  a  —  a,  et 

•^  a?!         jKi  zi     ' 

posons  b^=^pa,  c^  =  qa  et  enfin  faisons  croître  indéfiniment  a,  nous  obtien- 
drons, à  la  limite,  les  équations 

l{pz^+qy'^)x-^ip  —  q)[iqy^  —  ipz^-]-pq{p  —  q)]  =  o, 

ipxz%-\-{'2.pz''- —  a^jK^-H  qp"^  —  Pq"^)  Y  =  ■i.xz{-iy'''  — px  -+- p-)i 

•iqxytj.  -\-  {iqy'^ —  o.pz''-  -\- pq''-  —  q P^)  P  =  ixy{iz'^ —  qx  -\-  q-)^ 

p'^zi-hq-^yi  =  —  iXiyiZi. 

La  première  est  l'équation  de  la  surface  normopolaire  et  les  trois  autres  re- 
présentent la  synnormale  relative  à  un  point  (x,y,z)  de  la  surface  normo- 
polaire; ces  équations  en  a,  P,y  se  réduisent  en  effet  à  deux,  si  x^y^z  sont 
les  coordonnées  d'un  point  de  cette  surface. 

Calcul  direct.  —  On  peut  obtenir  ces  formules  par  un  calcul  direct,  que 
nous  allons  indiquer  rapidement. 

Si  Xi,  yi,  Zi  sont  les  coordonnées  du  pôle  du  plan  mené  par  les  pieds  de 
trois  des  normales  issues  du  point  P  (a,  p,  y),  ce  plan  a  pour  équation 

yyi        zzi 

•i^^^  4- X  —  Xi  =  o 

p  q 

et,  par  suite,  trois  des  racines  de  l'équation  (3)  vérifient  l'équation 


0  -+ 
Si  l'on  représente  par 


(4)  _^  +_^_a-;r,-X  =  o. 

p  -^k        q  -+-X 


vy  -H  wz  -1-1=0 
l'équation  du  plan  mené  par  les  pieds  des  deux  autres  normales,  parallèle- 


-l-i  =  o; 


NORMALES.  343 

ment  à  l'axe  du  paraboloïde  (c'est-à-dire  du  plan  mené  parles  pieds  des  trois 
autres  normales),  les  deux  autres  racines  de  l'équation  (3)  sont  les  racines 
de  l'équation 

/>  -+-  X       <7  4-  X 

on  doit  donc  avoir  identiquement 

^p  +  ly.-^  {q-^Xy       2(a-i-A) 

\p-\-\       </ -+- X  *       7\/>-f-^      g' 4- X       /' 

En  faisant  l'identification,  on  trouve  immédiatement 

_     I  _     I 

et,  par  suite,  quand  on  connaît  le  pôle  (^i,^i,^i)  du  plan  passant  par  trois 
des  pieds  des  normales  issues  du  point  (a,  P,y),  l'équation  du  plan  mené 
parallèlement  à  l'axe,  par  les  pieds  des  deux  autres  normales,  issues  du  même 
point,  est 

yx      -1 

Nous  laisserons  au  lecteur  le  soin  d'achever  le  calcul. 

EXERCICES. 

1.  En  deux  points  M,  M'  d'un  ellipsoïde,  on  mène  les  normales.  Le  plan, 
mené  par  le  milieu  de  la  corde  MM'  et  perpendiculairement  à  cette  corde, 
passe  par  les  milieux  des  lignes  qui  joignent  les  points  de  rencontre  des  nor- 
males avec  chacun  des  plans  principaux.  (Laguerre.) 

2.  Quelle  est,  parmi  les  normales  à  un  ellipsoïde,  celle  qui  est  la  plus 
éloignée  du  centre.  (Mannheim.) 

3.  On  donne  un  ellipsoïde  de  centre  O,  dont  les  demi-axes  sont  a,  b,  c. 
Soient  a,  p,  y  les  angles  que  la  normale,  en  un  point  M  de  cet  ellipsoïde, 
fait  avec  les  axes  de  symétrie.  On  demande  de  déterminer  en  fonction  de  a, 

i°  La  distance  ^  de  0  au  plan  tangent  en  M; 
9.°  La  distance  o  de  O  à  la  normale  en  M; 
3°  La  longueur  OM  ; 
4"  Les  angles  de  O  m  avec  les  axes; 

5°  La  longueur  mp  de  la  portion  de  la  normale  en  M  comprise  entre  ce 
point  et  l'un  des  plans  principaux.  (  Svéchnicoff.) 

4.  D'un  point  P,  pris  sur  une  normale  en   un  point  A  d'un  paraboloïde 


344  CHAPITRE   XXIII. 

(elliptique),  on  peut  mener  à  la  surface  quatre  autres  normales,  ayant  pour 
pieds  les  points  B,  C,  D,  E  ; 

1°  Trouver  l'équation  de  la  sphère  S  passant  par  les  quatre  points  B,  G, 
D,  E; 

1°  Trouver  le  lieu  des  centres  1  des  sphères  S,  quand  ce  point  P  se  déplace 
sur  la  normale  en  A,  ainsi  que  la  surface  engendrée  par  la  droite  PI. 

(Concours  général,  i883.) 

5..  Un  ellipsoïde  est  coupé  par  un  plan  parallèle  à  l'un  des  plans  princi- 
paux ;  montrer  que  les  normales  à  cet  ellipsoïde  aux  points  de  la  section 
rencontrent  deux  lignes  droites  fixes,  situées  dans  les  deux  autres  plans  prin- 
cipaux. 

6.  Les  pieds  des  normales  à  une  quadrique,  qui  rencontrent  une  normale 
donnée,  sont  sur  un  cône  du  second  degré  ayant  pour  sommet  le  pied  de  la 
normale  fixe. 

7.  Trouver  l'équation  de  la  surface  engendrée  par  les  parallèles,  menées 
par  l'origine,  aux  normales  à  l'ellipsoïde 

X^  r2  ;j2 

—  -t- 1 =1 

aux  points  ok  cette  surface  est  coupée  par  la  surface  homofocale  ayant  pour 
équation 

x^  y^  z- 


k        b--h/c       c--\- k 


(T.) 


8.  On  mène  des  normales  à  un  ellipsoïde  aux  points  où  cet  ellipsoïde  est 
coupé  par  une  sphère  concentrique  :  lieu  de  leurs  traces  sur  un  plan  Çi\c  et, 
en  particulier,  sur  l'un  des  plans  principaux  de  l'ellipsoïde. 

9.  Si  l'on  fait  mouvoir  le  point  de  départ  des  normales  à  un  ellipsoïde  suc- 
cessivement sur  les  parallèles  aux  axes,  menées  par  un  point  donné  P(a,  P,y), 
les  traces  des  normales  sur  les  plans  principaux  conjugués  à  chaque  paral- 
lèle seront  sur  les  sections  du  cône  des  normales  issues  de  P  par  ces  mêmes 
plans. 

10.  Quand  le  point  P  est  dans  un  plan  principal,  le  cône  des  normales  issues 
de  P  se  réduit  à  deux  plans,  dont  l'un  est  le  plan  principal  et  le  second  un 
plan  perpendiculaire. 

Pour  avoir  les  pieds  des  normales,  issues  du  point  (a,  p,  o),  par  exemple, 
qui  ne  sont  pas  dans  le  plan  principal  z  —  o,  on  considère  la  droite  ayant 
pour  équations 

du  pôle  de  cette  droite,  pris  par  rapport  à  l'ellipse  principale,  on  abaisse 
une  perpendiculaire  sur  cette  droite  elle-même,  et  du  pied  de  cette  perpen- 
diculaire on  mène  des  tangentes   à  l'ellipse  qui   se  projette  sur  le  plan  prin- 


NORMALES.  345 

cipal,  suivant  la  droite  considérée;  les  points  de  contact  sont  les  pieds  des 
deux  normales  cherchées. 

11.  Le.  lieu  géométrique  des  points,  auxquels  correspond  un  cône  des  nor- 
males qui  soit  de  révolution,  se  compose  de  quatre  droites. 

12.  Les  axes  principaux  d'un  cône  circonscrit  à  un  ellipsoïde  sont  des 
génératrices  du  cône  des  normales  issues  du  sommet  de  ce  cône. 

(Ghasles.) 

13.  Quand  plusieurs  surfaces  du  second  degré  sont  homolhétiqucs  et  con- 
centriques, les  normales  à  ces  surfaces,  menées  par  un  point  donné,  sont  sur 
un  même  cône  du  second  degré.  (Ghasles.) 

a.  Les  normales,  menées  d'un  point  à  toutes  les  quadriques  passant  par 
l'intersection  d'une  quadrique  donnée  et  d'une  sphère  ayant  pour  centre  le 
point  donné,  sont  sur  un  même  cône  du  second  degré.  (Ghasles.) 

15.  Par  un  point  donné,  passent  toujours  dix  synnormales  réelles  ou  ima- 
ginaires; à  un  point  donné,  d'où  l'on  abaisse  six  normales  à  un  ellipsoïde, 
correspondent  toujours  vingt  pôles  conjugués  (pôles  de  plan  passant  par  les 
pieds  de  trois  des  normales)  dont  deux  au  moins  sont  réels.  Parmi  les 
dix  synnormales,  il  y  en  a  toujours  au  moins  deux  de  réelles. 

16.  Un  plan  perpendiculaire  à  un  plan  principal  d'un  ellipsoïde  a  toujours 
une  synnormale. 

17.  Quand  un  plan  a  une  synnormale  par  rapport  à  un  ellipsoïde  donné, 
cette  droite  passe  par  les  pôles  normaux  conjugués  aux  projections  du  pôle 
du  plan  considéré  sur  les  plans  principaux,  par  rapport  à  chacune  des  el- 
lipses principales. 

18.  Si  l'on  considère  les  normales  dont  les  pieds  sont  sur  une  section  plane 
d'un  ellipsoïde,  chaque  normale  est  coupée  par  deux  autres  normales,  et  le 
lieu  des  points  d'intersection  se  projette  sur  le  plan  sécant,  en  général,  sui- 
vant une  cubique. 

19.  La  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  trois  normales,  dont  les 
pieds  sont  sur  une  section  plane  d'un  ellipsoïde,  se  coupent  en  un  même  point, 
est  que  le  pôle  du  plan  sécant  se  projette  sur  un  plan  en  un  point  d'une  cer- 
taine ellipse,  et  alors  le  plan  sécant  a  une  synnormale. 

20.  Quand  un  plan  non  parallèle  à  l'un  des  axes  d'un  ellipsoïde  a  une  syn- 
normale, cette  droite  jouit  des  propriétés  suivantes  :  i°  elle  se  projette  sur 
le  plan,  suivant  une  normale  à  l'ellipse  de  section;  a''  elle  perce  l'ellipsoïde 
en  un  point  de  cette  môme  ellipse;  3°  elle  passe  par  le  pôle  normal  conju- 
gué, par  rapport  à  l'ellipse  de  section,  de  la  projection  du  pôle  du  plan  sé- 
cant sur  ce  plan  lui-même;  4°  ^^  synnormale  d'un  plan  non  parallèle  aux 
axes  n'est  jamais  normale  à  l'ellipsoïde. 

21.  Étant  donné  un  plan  dont  le  pôle  est  sur  la  surface  normopolaire, 
trouver  le  nombre  des  normales  réelles,  passant  par  un  point  de  la  synnor- 


346  CHAPITRE    XXIII. 

maie  du  plan  et  dont  les  pieds  sont  sur  la  section  correspondante.  Construire 
ces  normales. 

22.  Déterminer  le  nombre  des  normales  réelles  passant  par  un  point  de  la 
synnormale  commune  à  deux  plans  et  dont  les  pieds  soient  sur  les  sections 
déterminées  par  ces  plans.  Construire  ces  normales. 

23.  Lieu  des  points  d'où  l'on  peut  mener  des  normales  doubles  à  un  ellip- 
soïde. 

24.  Lieu  des  points  d'où  l'on  peut  mener  des  normales  triples  à  un  ellipsoïde. 

25.  Les  pieds  des  normales  à  un  ellipsoïde,  issues  d'un  même  point,  ne 
sont  jamais  sur  une  même  sphère. 

26.  Démontrer  que    la   synnormale  d'un  plan  de  pôle  (a,  p,  y)  est  perpen- 

a       |j      Y 

27.  Démontrer  que  la  synnormale  d'un  plan  mené  par  trois  sommets  d'un 
ellipsoïde  (non  situés  dans  un  même  plan)  passe  par  le  centre  et  que  le  pôle 
du  plan  se  projette  sur  ce  plan,  à  l'intérieur  de  l'ellipse  de  section,  quand  la 

plus  grande  des  trois  quantités  -,  j,  -  est  plus  petite  que  la  somme  des  deux 

autres  et  à  l'extérieur,  dans  le  cas  contraire. 

28.  Démontrer  que  si  le  point  de  départ  des  normales  à  un  ellipsoïde  se  dé- 
place sur  l'un  des  axes,  le  lieu  des  pôles  des  plans  qui  passent  par  les  pieds 
des  normales  prises  trois  à  trois  est  formé  de  deux  courbes. 

29.  La  surface  normopolaire  d'un  ellipsoïde  de  révolution  se  réduit  à  deux 
couples  de  plans. 

30.  Etendre  les  résultats  précédents  aux  hyperboloïdes.  Les  plans  sécants 
peuvent  donner  des  sections  paraboliques;  on  propose  de  démontrer  qu'alors 
la  condition  nécessaire  et  suffisante  pour  que  ce  plan  ait  une  synnormale  est 
que  son  pôle  se  projette  sur  lui,  sur  une  perpendiculaire  à  l'axe  de  la  parabole 
de  section,  menée  à  une  distance  du  sommet  égale  au  paramètre  de  cette 
courbe,  et  du  même  côté  que  le  foyer. 

31.  Faire  voir  que  sur  chaque  normale  il  existe  toujours  deux  points  de 
départ  de  normales  doubles  dont  les  pieds  se  confondent  avec  celui  de  la 
normale  donnée  (ce  sont  les  centres  de  courbure  de  la  surface  au  pied  de  la 
normale  donnée.  ) 

32.  Etendre  aux  paraboloïdes  les  questions  précédentes. 

33.  Trouver  la  condition  pour  qu'un  plan  ait  une  synnormale  par  rapport 
à  un  cône  du  second  degré. 

34.  Par  deux  droites  passant  par  le  sommet  d'un  cône  du  second  degré  on 
mène  des  plans  tangents  à  ce  cône  et  par  les  génératrices  de  contact  des 
plans  normaux.  Conditions  pour  que  les  quatre  plans  normaux  se  coupent 
suivant  une  même  droite. 


GÉNÉRATRICES  RECTILIGNES.  347 

35.  Si  l'on  coupe  un  cône  par  un  plan  parallèle  à  celui  des  plans  princi- 
paux qu'il  faut  choisir  pour  que  la  section  soit  une  ellipse  et  qu'on  détermine 
les  quatre  points  où  la  section  coupe  quatre  génératrices  correspondant  à 
quatre  plans  normaux,  passant  par  une  même  droite,  les  quatre  points  obte- 
nus seront  les  pieds  de  quatre  normales  à  l'ellipse  issues  d'un  même  point, 
et  réciproquement. 

36.  Discuter  la  réalité  des  normales  menées  d'un  point  à  un  cône  du  second 
degré. 

{Voir  pour  toutes  ces  questions  :  Théorie  nouvelle  des  normales  aux 
surfaces  du  second  ordre,  par  Desboves  (Paris,  IMallet-Bachelier).] 

37.  On  coupe  une  surface  du  second  degré  par  un  plan;  aux  différents 
points  de  l'intersection,  on  mène  les  normales  à  la  surface;  par  un  point  de 
l'espace  on  mène  des  droites  égales  parallèles  aux  longueurs  interceptées  sur 
ces  normales  entre  leur  pied  sur  la  surface  et  le  plan  de  symétrie;  les  extré- 
mités de  toutes  ces  droites  sont  sur  une  conique.  (Laguerre.) 

38.  Soit  K  la  courbe  d'intersection  d'une  surface  du  second  degré  et  d'une 
sphère  ayant  pour  centre  un  point  d'un  plan  principal  de  la  surface;  dési- 
gnons par  C  la  projection  orthogonale  de  K  sur  ce  plan  de  symétrie,  et  par 
C  le  lieu  des  points  où  ce  même  plan  est  coupé  par  les  normales  élevées  aux 
diflerents  points  de  K,  C  et  G' sont  deux  coniques  ayant  leurs  axes  parallèles, 
et,  si  l'on  désigne  respectivement  par  a^  et  a"^,  6*  et  b''^  les  carrés  des  axes 
parallèles,  on  a  à^a'^—  b^b'-.  (Laguerre.) 


CHAPITRE  XXIV. 

GÉNÉRATRICES  REGTILIGNES. 


Propriétés  des  génératrices  rectilignes  d'une  quadrique. 

361 .  Quadriques  admettant  des  génératrices  rectilignes  réelles. 
—  Cherchons  quelles  sont  les  quadriques  autres  que  les  cônes,  les 
cylindres  ou  les  systèmes  de  deux  plans,  sur  lesquelles  on  peut  tra- 
cer des  droites  réelles.  Soit  une  droite  réelle  D  tracée  sur  une  qua- 
drique; un  plan  sécant,  mené  par  D,  coupe  la  quadrique  suivant 
deux  droites  réelles  qui  sont  :  la  droite  D  et  une  seconde  droite  D'. 


348  CHAPITRE    XXIV. 

La  section  par  le  plan  tangent  en  un  point  quelconque  M  pris  sur  D 
étant  parsuite  du  genre  hyperbole,  il  ne  peut}' avoir  de  droites  réelles 
sur  un  ellipsoïde  ni  sur  un  paraboloïde  elliptique.  11  ne  peut  pas  non 
plus  y  en  avoir  sur  un  hyperboloïde  à  deux  nappes,  car  le  plan  tan- 
gent en  un  point  M  de  cette  surface  la  coupe  suivant  deux  droites 
imaginaires  conjuguées;  comme  on  le  voit,  par  exemple,  en  rappor- 
tant la  surface  à  trois  diamètres  conjugués,  le  demi-diamètre  réel 
étant  OM.  L'équation  de  la  surface  étant  alors 

xi  yi  ^^     __ 

le  plan  tangent  au  point  x  =  o,  y=o,  z  =  c'  a  pour  équation 
z  =  c  el  la  section  par  ce  plan  est  définie  par  les  deux  équations 

11  ne  reste  plus  à  considérer  que  l'hyperboloïde  à  une  nappe  et  le 

paraboloïde  hyperbolique. 

L'équation  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe  peut  se  mettre  sous  la 

forme 

X2-H  Y2— Z2=  T2, 

et  celle  d'un  paraboloïde  hyperbolique, 

X2_Y2=Z, 

X,  Y,  Z,  T  étant  des  polynômes  linéaires  distincts.  En  écrivant  ainsi 

ces  équations 

(Y  — Z)(Y-i-Z)  =  (T  — X)(T  +  X) 

et 

(X-Y)(X+Y)  =  Z, 

on  voit  que  l'une  et  l'autre  peuvent  se  mettre  sous  la  forme 

PQ  =  RS, 

P  =  o,  Q=:o,  R  =  o,  S  =  o  représentant  quatre  plans  formant  un 
tétraèdre  (dont  l'une  des  faces  est  à  l'infini,  dans  le  cas  du  parabo- 
loïde). 

Cela  étant,  je  dis  qu'on  peut  tracer  une  infinité  de  droites  réelles 
sur  les  quadriques  représentées  par  une  équation  de  la  forme  précé- 
dente. 


GÉNÉRATRICES  RECTILIGNES.  349 

En  effet,  les  équations 

dans  lesquelles  le  paramètre  X  est  variable,  représentent  une  droite 
mobile  située  sur  la  surface  H  considérée,  car  on  obtient  l'équation 
de  cette  surface  en  éliminant  \  entre  ces  équations. 

Il  en  est  de  même  pour  la  droite  mobile  représentée  par 

([i)  P  =  !JlS,         Q=-R. 

Je  dis  maintenant  que  si  X  et  u.  varient  de  — oo  à  +00,  chacune  de 
ces  droites  engendre  la  quadrique  H  tout  entière.  C'est  ce  que  dé- 
montre le  théorème  suivant. 

362.  Théouème.  —  Par  chaque  point  de  la  quadrique  H,  il 
passe  une  droite  (À)  et  une  droite  {^). 

En  effet,  soient  Xq,  jKoj  ^o»  '0  les  coordonnées  d'un  point  M  ap- 
partenant à  la  quadrique  H;  pour  que  la  droite  (X)  passe  par  M,  il 
faut  et  il  suffit  que  le  paramètre  \  vérifie  les  deux  équations 

Pq  =  A  Rq,         Qo  =  y  So, 

A*0)  Qo>  Ro>  So  désignant  les  résultats  de  la  substitution  de  .Tq,  j'oi 
^01  ^0  «1^1^  coordonnées  courantes  dans  les  polynômes  P,  Q,  R,  S.  Or, 
les  équations  précédentes  sont  compatibles,  car,  en  éliminant  )>,  on 
obtient  PoQo=RoSo,  et  cette  équation  est  vérifiée,  puisque  Je 
point  M  est  sur  la  quadrique  H.  On  verrait  de  même  qu'il  passe 
par  M  une  droite  (jjl). 

Les  droites  (X)  et  les  droites  ([x)  pouvant  décrire  la  quadrique  11 
tout  entière,  on  voit  que  tout  hjperboloïde  à  une  nappe  et  tout 
paraboloïde  hyperbolique  peuvent  être  engendrés  de  deux  manières 
différentes  par  une  droite;  en  d'autres  termes,  ces  surfaces  sont  des 
surfaces  réglées  qui  admettent  deux  systèmes  de  génératrices  recti- 
lignes.  Il  reste  à  prouver  que  ces  systèmes  sont  différents  et  qu'il  n'y 
en  a  pas  d'autres.  Ce  qui  suit  le  démontre. 

363.  Théorème.  —  Une  droite  Çk)  et  une  droite  (tj.)  ont  un  seul 
point  commun. 


35o  CHAPITRE   XXIV. 

En  effet,  le  système  des  quatre  équations 


P  =  XR, 

Q=is. 

eut  s'écrire 

XjJL             I 

I 


P  =  [jlS,  Q=-R 

R  _  S 

[X  X 

ce  qui  prouve  que  la  droite  (X)  et  la  droite  (p.)  ont  un  point  com- 
mun, et  un  seul,  dont  les  coordonnées  tétraédriques  P,  Q,  R,  S  sont 
respectivement  proportionnelles  à  Xpi.,  i,  jji,  X.  On  peut  toujours  ré- 
soudre le  système  linéaire  en  x,  y,  z,  t  : 

P=:X[JL,         Q=i,  R=H,         S  =  X; 

on  en  déduira 

ce  =:  aXix  -r-  b\  -{-  c n  -+-  d, 

y  =  a'  X[x  -\-  h'  \  ~\-  c'  \x  -+-  d' , 
^  =  a"X|x^-Z>"X+c"  )j.-^d", 
t  =  a"'\\i  -+-  b"!  -h  c"'[j.  -+■  d'". 

Les  coordonnées  cartésiennes  du  point  commun  à  la  droite  (a)  et 
à  la  droite  ([j.)  sont  donc 

X  a'kix -^  b\ -h  c  [x -h  d  y        a'\\x-\-...  z        a"X|j.-!-... 

t        à" XiJL  -f-  b'" X  -H  c'" ]x  -f-  d"  '  t    ^  d" X (jl-I- .  .  .  '  1  ~  d"\\x  -\- .  . . 

On  voit  que  si  l'on  donne  à  X  une  valeur  déterminée,  \x  variant  de  — oo  à 
-1-30,  le  point  défini  par  les  formules  précédentes  décrit  une  droite  tout  en- 
tière, la  droite  (X).  Ainsi  une  droite  (X)  est  rencontrée  par  toutes  les 
droites  ([i.). 

On  voit  en  outre  par  ces  formules  que  le  rapport  anharmonique  des  quatre 
points  d'intersection  de  la  droite  (X)  par  les  droites  (|jii),  (fJ^-î),  (fJ^s)»  (F^i)  est 
indépendant  de  la  valeur  de  X.  D'où  ce  théorème  :  les  droites  d'un  système 
déterminent  sur  deux  droites  de  l'autre  système  des  divisions  homographiques. 

364.  Equation  du  plan  passant  par  une  génératrice  (à)  et  une 
génératrice  ([jl).  —  Un  plan  passant  par  la  droite  Çk)  a  pour  équa- 
tion 

P  — XR  +  A(XQ  — S)  =  o; 

de  même  Téquation  d'un  plan  passant  par  la  droite  (jjl)  est 

P— [jiS-i-/c([a.Q  — R)  =  o. 

Ces  plans  sont  identiques  si 

h  =  tx,        k  =  X. 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  35 1 

Lccjuallon  clierchde  est  donc 

P  — XR—  [jLS-f-X|xQ  =  o. 

Cette  équation  représente  le  plan  tangent  au  point  de  rencontre 
des  deux  génératrices  considérées;  en  cherchant  son  enveloppe,  on 
retrouve  l'équation  de  la  surface. 

On  verrait  ainsi  que  les  quadriques  ne  sont  pas  des  surfaces  développables 
si  on  ne  le  savait  déjà  par  leurs  équations  tangentielles. 

365.  Théorème.  —  Deux  génératrices  dUin  même  système 
n'ont  aucun  point  commun. 

Pour  qu'un  système  de  valeurs  de  ce,  y,  z,  t  vérifient  le  système 

P  =  XR,         Q  =  x^,         P  =  X'R,         Q-=)^S, 
il  faudrait  supposer 

(X-X')R  =  o,        (^L^-Ç^<à  =  o, 

et,  comme  on  suppose  \-^  V,  on  devrait  poser 

R  =  o,         S  =  o,       d'où       F  =  o,         Q  =  o, 

ce  qui  est  impossible  puisque  les  quatre  polynômes  P,  Q,  R,  S  sont 
distincts. 

366.  Théorème.  —  Les  systèmes  (a)  et  (u.)  sont  les  seuls. 

En  effet,  soit  D  une  droite  située  sur  la  quadrique  H;  prenons 
deux  points  A,  B  sur  la  droite  D  et  supposons  que  D  n'appartienne 
ni  au  système  ()v)  ni  au  système  (p.).  Par  A  on  peut  faire  passer  une 
droite  ().)  et  par  B  une  droite  ([x).  Ces  droites  se  coupent  en  un 
point  C;  le  plan  ABC  couperait  la  quadrique  H  suivant  trois  droites, 
ce  qui  est  impossible. 

En  résumé,  une  droite  (1)  diffère  toujours  d'une  droite  (pi), 
puisque  ces  deux  droites  ont  un  seul  point  commun;  les  droites  Çk) 
et  les  droites  (jji.)  sont  les  seules  droites  tracées  sur  la  quadrique  H. 

Nous  allons  maintenant  étudier  en  particulier  l'hyperboloïde  à  une 
nappe  et  ensuite  le  paraboloïde  hyperbolique. 


352  CHAPITRE    XXIV. 

Génératrices  rectilignes  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe. 

367.   L'équation  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe  rapporté  à  ses 

axes  de  symétrie  étant 

x^       y^       z^-  _ 
«2  -+-  èi  ~  32-  -^' 

écrivons  cette  équation  sous  la  forme 

On  obtient  ainsi  les  deux  systèmes  de  génératrices  rectilignes  au 
moyen  des  équations 

(X)  ^^£=xf.+  î),       {-î  =  ^f.- 


b        c  \         a)  b        c        \ 

Y       z  (         x\  y        z        I  /         x 

368.  Coordonnées  du  point  de  rencontre  d'une  génératrice  (À) 
et  d'une  génératrice  (u).  —  On  lire  des  équations  précédentes,  re- 
gardées comme  formant  un  système, 


d'où 


ensuite, 


X 
1  H 

a 

I 

X 

a 

X 

1  — 
a 

\^ 

h 

fX-A 

X 

a  "~ 

fX-X. 

[ji  -+-  X  ' 

y 
b 

z 

-+-  - 

c 

-^H-X' 

y 

z 

2 

1 

Tx' 


Les  coordonnées  d'un  point  quelconque  de  l'hyperboloïde  peuvent 
ainsi  s'exprimer  au  moyen  des  paramètres  ^,  [x  par  les  formules 

X  |X X  JK    _    XlJH-I  s    _    X|JL I 

a~|Ji.  +  X  b  [Ji-t-X  c         (J.H-X 

369.  Condition  de  parallélisme  d'une  génératrice  (1)  et  d'une 
génératrice  ((x).  —  Les  formules  précédentes   montrent   que,  à 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  353 

toute  génératrice  (a),  correspond  une  génératrice  (li.)  qui    lui  est 
parallèle;  la  condition  de  i)arallélisme  est  p,-(-)v=  o. 

370.  Equation  du  plan  contenant  une  génératrice  (X)  et  une 
génératrice  (ui).  —  En  procédant  comme  dans  le  cas  général (364), 
on  trouve 


£_,(,. ^)_,(,_^)^x,(|-f)=„ 


OU 

Telle  est  l'équation  du  plan  tangent  au  point  (X,  ui.). 

En  particulier,  si  l'on  pose  [j.  =  —  X,  on  obtiendra  l'équation 

^  (i  — X2)H-  ï(i-|-  À2)_  aX  -  =  o, 
6  c  a 

qui  représente  un  plan  asymptote.  L'enveloppe  de  ce  plan,  quand  X 
varie,  est  le  cône  asymptote. 

371.  Théorème.  —  Toute  génératrice  rectiligne  d'un  hyper- 
boloïde  à  une  nappe  rencontre  L'ellipse  de  gorge. 

L'ellipse  de  gorge  est  la  section  par  le  plan  principal  contenant 
les  deux  axes  réels;  c'est  donc,  dans  le  cas  présent,  la  section  faite 
par  le  plan  des  x^  y.  Or,  si  l'on  considère  le  point  de  la  surface 
ayant  pour  paramètres  X,  r^,  ses  coordonnées  sont 

X2-I  ,      -il 

X  =  a  X-: >  y  =  6  r-r »  5  =  0. 

X^-f-l  *^  X2-I-1 

On  voit  ainsi  que  par  tout  point  de  l'ellipse  de  gorge  passe  une 

génératrice  (X)  et  une  génératrice  ([x),  celle-ci  définie  par  l'équa- 

I 
tion   UL  =  v* 
'         X 

Plus  généralement,  une  génératrice  rectiligne  rencontre  toute  sec- 
tion plane  de  la  quadrique  au  point  commun  à  cette  génératrice  et 
au  plan  de  la  section. 

372.  Variation  de  l'angle  d'une  génératrice  avec  le  plan  de  l'ellipse 
de  gorge.  —  Soit  M  un  point  de  l'ellipse  de  gorge;   prenons  pour  axes  le 

NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  23 


354  CHAPITRE    XXIV. 

diamètre  OM ,   le  diamètre  conjugué   ON   et   conservons  [l'axe  des  z;   l'é- 
quation de  l'hyperboloïde  sera  ainsi 

2^       Y^  _  Z2  _ 

a'i  "^  6'2  "~  c2  ~  '  ■ 

Le  plan  tangent  en  M  a  pour  équation  X  —  a'  ;  il  en  résulte  que  les  deux 
génératrices  passant  par  M  sont  définies  par  les  équations 

^  ,  Y2  Z2 

o  -        c^ 

Si  l'on  nomme  cp  l'inclinaison  de  l'une  ou  de  l'autre  de  ces  génératrices  sur 
le  plan  de  l'ellipse  de  gorge,  on  a  donc 

tangcp^l^. 

Si  le  point  M   décrit  le   quart  de  l'ellipse,  depuis  le  sommet  A  jusqu'au 
sommet  B,   cp  va   en  croissant  de  oq  à  çi,   ces  angles  étant  définis  par  les 

équations 

c  c 

tangtpo=  ,,  tangcp,  =  -• 


373.  Théorème.  —  Les  génératrices  j'ectilignes  sont  parallèles 
aux  génératrices  du  cône  asymptote. 

Les  équations  de  la  parallèle  à  une  génératrice  (X)  menée  par  le 
centre  sont 

r      ^  _  ^  ^         y      ^  _      '^ 
b        c  a  h        c  \  a 

En  éliminant  X,  on  obtient  l'équation  du  cône  asymptote;  il^en  est 
de  même  pour  une  génératrice  ([jl),  et  VonVoit  que,  si  \  ou  [x  va- 
rient, chacune  des  parallèles  à  ces  génératrices,  menées  parle  centre, 
décrit  le  cône  asymptote  tout  entier. 

On  voit  ainsi  qu'à  toute  génératrice  du  cône  asymptote  corres- 
respondent  une  génératrice  (X)  et  une  génératrice  parallèle  ([x). 

374.  Théorème.  —  Trois  génératrices  d^un  même  système  ne 
sont  pas  parallèles  à  un  même  plan. 

En  effet,  s'il  en  était  ainsi,  les  parallèles  à  ces  génératrices  me- 
nées par  le  centre  seraient  dans  un  même  plan,  ce  qui  est  impos- 
sible, car  ce  plan  devrait  couper  le  cône  asymptote  suivant  trois 
droites. 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  355 

On  peut  encore  raisonner  ainsi  :  soit 

abc 

l'équation  d'un  plan  passant  par  l'origine  ;  pour  que  ce  plan  con- 
tienne la  parallèle  à  une  génératrice  (X),  menée  par  le  centre  de 
l'hyperboloïde,  il  faut  et  il  suffit  que 


,  A  -t-  B  ("x  -  ^-)  +  G  ^X  +  -^  )  =  o. 


Cette  équation  étant  du  second  degré  en  X,  il  ne  peut  y  avoir  que 
deux  génératrices  au  plus  qui  soient  parallèles  au  plan  donné. 

375.  Théorème.  —  Les  projections  cV une  génératrice  sur  le 
plan  principal  sont  tangentes  à  la  section  principale  correspon- 
dante. 

Soit  M  un  point  appartenant  à  une  section  principale;  les  géné- 
ratrices passant  par  M  sont  dans  le  plan  tangent  en  M;  ce  plan  étant 
perpendiculaire  au  plan  principal,  les  projections  de  ces  génératrices 
sur  ce  plan  principal  sont  tangentes  à  la  section  principale. 

La  démonstration  analytique  est  aussi  simple.  Considérons,  par 
exemple,  la  projection  d'une  génératrice  (A)  sur  le  plan  xOy  ;  son 
équation,  dans  ce  plan,  est 


■'■'( 


x\  -    r  X 

-     —  aXr-t-i =  o; 

a  /  b  a 


l'enveloppe  de  celte  droite  est  l'ellipse  de  gorge. 

376.  Génération  recliligne  de  l'hyperboloïde  à  une  nappe.  — 
Considérons,  par  exemple,  trois  génératrices  rectilignes  A,  B,  C  d'un 
hyperboloïde  à  une  nappe,  appartenant  à  un  même  système;  une 
droite  mobile,  assujettie  à  rencontrer  ces  trois  droites,  coïncidera 
successivement  avec  toutes  les  génératrices  du  second  système.  En 
effet,  soit  M  un  point  quelconque  de  la  droite  A;  il  n'y  a  qu'une 
droite  qui  passe  par  M  et  rencontre  B  et  C.  Cette  droite  coïncide 
donc  avec  la  génératrice  du  second  système  passant  par  M,  et  il  n'y 
a  plus  qu'à  supposer  que  M  parcoure  la  droite  A  tout  entière,  pour 
que  la  droite  mobile  coïncide  successivement  avec  toutes  les  géné- 
ratrices du  second  système 


356 


CHAPITRE  XXIV. 


Fig.  36. 


Réciproquement,  étant  données  trois  droites  quelconques  K^  B,  C 
NON  PA.1ULLÈLES  A  UN  MEME  PLAN,  unc  droitc  niobUc  assujctlic  à 

rencontrer  ces  trois  droites  en- 
gendre un  hyperboloïde  à  une 
nappe. 

En  effet,  on  peut  construire 
un  parallélépipède  (que  l'on 
nomme  le  parallélépipède  de 
Binet)  en  menant  par  chacune 
de  ces  droites  deux  plans  res- 
pectivement parallèles  aux  deux 
autres  {Jig-  36);  si  l'on  prend 
pour  axes  de  coordonnées  les 
parallèles  aux  droites  données, 
menées  par  le  centre  de  ce  pa- 
rallélépipède, en  appelant  2«,  2^,  2C  les  longueurs  des  arêtes,  les 
équations  des  droites  A,  B,  C  sont  respectivement 


(A) 


y  =  —  b, 

z  =  c: 


(B) 


z  =  —  c,  _     i  X  =  —  a, 

(C)  ,' 

Pour  définir  une  droite  LMP  s'appuyant  sur  A  et  sur  B,  écrivons 
l'équation  d'un  plan  mené  par  A  et  celle  d'un  plan  mené  par  B  : 

(i)  c  — c  +  X(jK-t-6)  =  o, 

(a)  z -A- c -^  [x{x  —  a.)=:o; 

exprimons  que  cette  droite  rencontre  C,  ce  qui  donne  la  condition 

(  3  )  X  6  -h  [Jt  a  =  c. 

L'équation  du  lieu  s'obtient  en  éliminant  )v  et  [x  entre  les  équa- 
tions (i),  (2),  (3).  On  trouve  ainsi,  tons  calculs  faits, 


ayz 


cxy 


abc  =  o. 


La  surface  représentée  par  cette  équation  a  un  centre  unique,  qui 
est  l'origine  des  coordonnées;  son  cône  asymptote  est  réel,  car  il 
contient  les  axes.  Enfin,  c'est  une  surface  réglée  ;  c'est  donc  un  hyper- 
boloïde à  une  nappe.  D'ailleurs,  on  peut  écrire  l'équation  obtenue 
sous  la  forme 


2Z 

c 


^-  -I-  4  =  0. 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  SSy 

Les  droites  A',  B',  C,  symétriques  des  premières  par  rapport  au 
centre,  font  évidemment  partie  de  la  surface  de  l'hyperboloïde;  on  a 
ainsi  un  hexagone  gauche  y  inscrit. 

377.  Si  l'on  rapporte  la  surface  précédente  à  ses  axes  de  symétrie,  en  nom- 
mant 2a,  2p,  ?.Y  les  longueurs  des  axes,  on  aura 

2{ayz  -h  bzx  -h  cxy  -f-  abc)  ~l  k  i—  "^  7^1  —  ~  —  M' 

et  l'on  voit  que  k  =  —  t-abc. 

Le  module  de  la  substitution  qu'il  faut  faire  pour  passer  des  coordonnées 
rectangulaires  aux  coordonnées  obliques  est  égal  à  co',  oj  ayant  la  significa- 
tion habituelle.   Le   discriminant  de   la   forme   du  second  degré  du  second 

membre  est  égal  à  — ^..^       ■>  et  celui  du  premier  est  égal  à  iabc\  on  a  donc 

ri  * 


c'est-à-dire 


8  «3^,3^3 

labc  =  ■ — -77- t^i-, 

4  a^Y  =  2«6cw. 


Or,  Sabcoi  est  le  volume  du  parallélépipède  construit  sur  A,  B,  C  ;  on  peut 
donc  énoncer  ce  théorème,  dû  à  M.  Genty: 

Le  volume  du  parallélépipède  de  Binet  construit  avec  trois  généra- 
trices quelconques,  d'un  même  système,  d'un  hyperholoïde  à  une  nappe 
est  constant  et  équivalent  à  la  moitié  du  volume  du  parallélépipède 
construit  sur  les  longueurs  des  axes  (aa,  2(3,  i^f). 

378.  Relations  homo graphiques.  —  Nous  savons  déjà  que  les  généra- 
trices d'un  système  tracent  sur  les  génératrices  de  l'autre  système  des  divi- 
sions homographiques.  On  peut  retrouver  aisément  cette  propriété  sur  la 
figure  précédente;  il  suffit,  en  effet,  de  remarquer  que  la  projection  de  la 
génératrice  LMP,  faite  parallèlement  à  l'axe  des  z  sur  le  plan  des  droites  A 
et  B',  passe  par  un  point  fixe  P'  et  trace,  par  suite,  des  divisions  homogra- 
phiques sur  A  et  sur  l'arête  D'M'  parallèle  à  B;  on  a  en  effet 

ib  ia 


DM'         D'L 

et,  par  suite, 

■ib  2  a    _ 

On  peut  d'ailleurs  démontrer  encore  cette  proposition  en  remarquant  que 
les  projections  de  quatre  génératrices  d'un  même  système  et  la  projection 
d'une  génératrice  du  second  système  sur  l'ellipse  de  gorge  étant  des  tangentes 
à  cette  ellipse,  le  rapport  anharmonique  des  points  d'intersection  de  ces  gé- 


358  CHAPITRE  XXIV. 

nératrices  est  égal  au  rapport  anharmonique  des  points  d'intersection  de  ces 
tangentes  à  l'ellipse  de  gorge. 

Considérons  deux  génératrices  fixes  d'un  même  système  A,  B,  et  soient 
ai,  «2»  ^3>  ^4  et  b^,  62,  63,  64  les  points  où  ces  deux  génératrices  sont  rencon- 
trées respectivement  par  quatre  génératrices  de  l'autre  système.  Le  rapport 
anharmonique  des  quatre  plans  menés  par  B  et  les  droites  a^bi,  a^b^i  0.3 bs, 
a^bit  est  égal  au  rapport  anharmonique  des  quatre  points  «i,  a^,  «3,  a^,  et  de 
même  le  rapport  des  quatre  plans  menés  par  A  et  les  mêmes  génératrices 
du  second  système  est  égal  à  celui  des  points  èi,  62,  63,  6v  On  peut  donc 
dire  qu'une  génératrice  du  second  système  est  l'intersection  de  deux  plans 
correspondants  de  deux  faisceaux  homographiques  ayant  A  et  B  pour  arêtes. 
La  réciproque  est  vraie;  nous  l'avons  déjà  démontrée  (160). 


Génératrices  rectilignes  du  paraboloïde  hyperbolique. 

379.  Les  génératrices  rectilignes  d'un  paraboloïde  hyperbolique 
possèdent,  outre  les  propriétés  établies  plus  haut,  quelques  pro- 
priétés caractéristiques  que  nous  allons  établir. 

L'équation  d'un  paraboloïde  hyperbolique  pouvant  se  mettre  sous 

la  forme 

PQ  =  R, 

les  deux  systèmes  de  génératrices  sont  définies  par  les  équations 


(X)  P  =  XR,         Q=J 


K  ' 


({X)  Q  =  [^R,        P=-- 

On  obtient  ainsi  cette  proposition  : 

Théorème.  —  Les  génératrices  de  l'un  des  systèmes  sont  pa- 
rallèles à  Vun  des  plans  directeurs  et  les  génératrices  du  second 
système  sont  parallèles  à  V autre  plan  directeur . 

380.  Théorème.  —  Deux  génératrices  d' un  paraboloïde  hy- 
perbolique ne  sont  jamais  parallèles. 

En  eflfet,  il  suffît  évidemment  de  considérer  deux  génératrices  de 
systèmes  différents,  car  deux  génératrices  d'un  même  système  sont 
les  intersections  de  deux  plans  parallèles  par  des  plans  non  paral- 
lèles; or  une  génératrice  ().)  étant  parallèle  au  plan  Q,  et  une  géné- 
ratrice ([x)  parallèle  au  plan  P,   les  deux  droites  ne  peuvent  être 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  SSq 

parallèles  que  si  elles  sont  parallèles  à  l'inlersection  des  plans  P 
et  Q,  c'est-à-dire  à  l'axe  du  paraboloïde.  Mais,  toute  parallèle  à  l'axe 
ne  rencontrant  la  surface  qu'en  un  seul  point,  il  n'y  a  pas  de  géné- 
ratrice parallèle  à  l'axe. 

On  vérifie  d'ailleurs  très  simplement  cette  proposition  avec  les 
équations  écrites  plus  bas. 

381.  Supposons  maintenant  le  paraboloïde  rapporté  à  ses  plans 
principaux  et  au  plan  tangent  en  son  sommet;  son  équation  peut  se 
mettre  sons  la  l'orme 

P        9 

en  supposant/?  ^  o,  ^  >>  o. 

Les  systèmes  de  génératrices  seront  alors  définis  par  les  équa- 
tions 

,  >  _2i      -^  _  -^  y       ■^  _  ' 

\/p         sjq  '  s/p         \/q         >' 

sip      siq  VF      s/q      ''■" 

382.  Théorème.  —  Les  projections  des  génératrices  sur  un 
plan  principal  sont  tangentes  à  la  section  principale  corres- 
pondante. 

En  efTet,  la  projection  d'une  génératrice  ()v),  par  exemple,  sur  le 
plan  xOy  a  pour  équation,  dans  ce  plan, 


s/p 


l 


il^x  —  il  ■—  -I-  I  —  o. 
VP 

L'enveloppe  de  cette  droite,  quand  "k  varie,  a  pour  équation 

aa:  =  o. 

P 

383.   Projections   des    génératrices  sur   le  plan   tangent   au 
sommet. 

La  projection  d'une  génératrice  ().)  sur  le  plan  tangent  au  *om- 


36o 

met  a  pour  équation 


CHAPITRE   XXIV. 


2_ 1  =  1. 


ce  qui  montre,  comme  on  devait  s'j  attendre,  que  celte  projection  a 
une  direction  fixe. 

Le  point  de  rencontre  de  cette  génératrice  avec  le  plan  tangent  a 
pour  coordonnées 

_  y  _      •^  _  ' 

ce  point  décrit  la  génératrice   du  système  ([x)  situé  dans    le  plan 
tangent. 


Fig.  37. 


384.  Il  est  facile  de  construire  les  génératrices  passant  par  un  point  donné 

de  l'une  des  paraboles  principales.  Soit,  en  ef- 
fet, M  (Jiê'.  37)  un  point  de  la  parabole  si- 
tuée dans  le  plan  xOy.  La  tangente  en  M  à 
cette  parabole  s'obtient  en  abaissant  MA  per- 
pendiculaire sur  l'axe,  et  prenant  BO  =  OA; 
la  tangente  cherchée  est  la  droite  MB.  Au 
point  B  correspondent  deux  points  N,  N'  de  la 
seconde  parabole  principale  et  NA,  N'A  sont 
les  tangentes  en  ces  points.  Les  génératrices 
cherchées  sont  les  droites  MN,  MN';  on  ob- 
tient facilement  leurs  projections  sur  le  plan 
tangent  au  sommet:  ce  sont  les  droites  PQ, 
P'Q;  leurs  traces  sur  ce  plan  tangent  sont  les 
points  I,  K  etles  droites  01,  OK  sont  les  géné- 
ratrices situées  dans  le  plan  tangent  au  sommet. 

385.  Variations  de  l'inclinaison  d'une  génératrice  sur  le  plan  des  x,y. 
—  En  appelant  a  l'angle  NMB,  on  a 

NB 

tanga=g^. 

Soit  X  l'abscisse  du  point  M;  on  a 


A 

N 

P 

vv\ 

F    \, 

B 

^l/f 

0           /(K     a> 

'^/ 

/\>/V 

P'      \ 

y 

N'    / 

NB  =  v/'-i?^,        BM  =  v/■i/'a7^-4^^ 


d'où 


tanga 


p  désignant  le  rayon  vecteur  MF  relatif  au  foyer  F.  On  voit  ainsi  que  si  x 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  36 1 

varie  de  o  à  -h  co,  p  varie  de  -  à  -t- oo  et,  par  suite,  a  va  en  diminuant  de  aj 
il  o,  Xi  étant  l'angle  aigu  défini  par  l'équation 

tanga.  =  ^|. 

386.  Problème.  —  Trouver  une  génératrice  parallèle  à  une  direction 
donnée. 

Clierchons  s'il  y  a  une  génératrice  (X)  parallèle  à  la  direction  définie  par 
les  paramètres  a,  p,  y.  La  parallèle  à  une  génératrice  (X)  menée  par  l'origine 
a  pour  équations 

on  doit  donc  déterminer  X  de  façon  que 

\/p      \/q 

Le  problème  n'est  donc  pas  possible,  en  général;  il  faut,  en  effet,  que 

-t  =  -^:  ; 

"Jp         s/q' 

c'est-à-dire  que  la  direction  donnée  soit  parallèle  au  plan  directeur  qui  est  pa- 
rallèle au\  génératrices  du  système  considéré. 

Si  cette  condition,  qui  était  évidemment  nécessaire,  est  remplie,  le  pro- 
blème est  possible  et  n'a  qu'une  solution. 

Si,  en  effet,  l'on  suppose  ^  =  A"  \p^  y  =  k  \Jq^  on  prendra  X  =  —  • 
De  même,  si  ^  =  A-  //>,  y  =  —  A  y/^,  il  faudra  prendre  [j.  =  -  • 

387.  Application.  —  Soit  M  un  plan  perpendiculaire  au  plan  directeur  P; 
il  y  a  une  génératrice  G  du  système  (|ji)  perpendiculaire  au  plan  M,  pourvu 
que  M  ne  soit  pas  parallèle  à  l'axe.  Les  génératrices  (X)  rencontrent  toutes 
la  génératrice  G;  donc  leurs  projections  orthogonales  sur  le  plan  M  ont  un 
point  commun,  qui  est  le  pied  de  la  génératrice  G  sur  le  plan  M. 


GÉNÉRATION    RECTILIGNE    DU    PARABOLOÏDE    HYPERBOLIQUE. 

388.  Soient  G,,  Go  deux  génératrices  du  même  sjstème  d'un 
paraboloïde  hyperbolique;  les  génératrices  du  second  sjstème  ren- 
contrent G)  et  Go  et  sont  parallèles  à  un  plan  directeur,  non  parai- 


362 


CHAPITRE   XXIV. 


lèle  aux  deux  premières  droites.  Donc  la  surface  peut  être  engendrée 
par  une  droite  mobiJe  assujettie  à  rencontrer  les  deux  droites  G( ,  G2 
et  à  rester  parallèle  à  un  plan  fixe. 

La  réciproque  est  vraie;  nous  l'avons  déjà  établie  (172). 

389.  Second  mode.  —  Considérons  trois  génératrices  G|,  Go,  G3 
du  même  système  et,  par  suite,  parallèles  à  un  même  plan  direc- 
teur ;  les  génératrices  du  second  système  rencontrent  G(,  Go,  G3  ; 
donc  le  paraboloïde  donné  peut  être  engendré  par  une  droite  mo- 
bile s'appuyant  sur  les  trois  droites  données. 

Réciproque.  —  La  surface  engendrée  par  une  di^oite  mobile, 
assujettie  à  s^ appuyer  sur  trois  droites  pa- 
rallèles A  UN  MÊME  PLAN,  cst  wi  paraholoïdc 
hyperbolique. 

Soient  D,  D',  D"  (yfig.  38)  les  trois  droites 
données  parallèles  à  un  même  plan.  Prenons 
pour  axe  des  z  une  droite  s'appuyant  sur  les 
trois  droites  données,  l'origine  étant  surD; 
puis  prenons  0.r  parallèle  à  D'  et  Oy  parallèle 
à  D". 
Les  équations  des  droites  données  seront 

(D) 
(D') 
(D") 


s  =  0, 

y  —  mx 

y  =  ^, 

z^a. 

a;  =  0, 

z  =  b. 

Une  droite  A  s'appuyant  sur  D'  et  D"  a  pour  équations 

(  I  )  z  — •  a  -4-  y.  y  =  o , 

(2)  z  —  6  -f-  ]J.X  =  o. 

La  condition  pour  que  cette  droite  rencontre  D  est 

(3)  bXni  —  a[ji.  =  o. 


L'équation  du  lieu  engendré    par  A  s'obtiendra  donc  en  élimi- 
nant ).  et  [j.  entre   les  équations  (i),  (2),  (3);   ce  qui    donne,   en 

P 

—  ) 

z{bpx  —  ciqy)  —  ab{px  —  qy)  =  o. 


posant  771 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES.  363 

Cette  équation   représente   un   paraboloïde  hyperbolique,    pourvu 

qu'on  suppose 

abpq (a  —  b)  ^  o . 

Si  l'un  des  facteurs  de  ce  produit  est  nul,  l'équation  représente  deux 
plans;  ce  qu'il  est  facile  d'expliquer. 

Hyperboloïde  et  paraboloïde  de  raccordement. 

390.  Déterminer  le  plan  tangent  en  un  point  de  la  surface  réglée 
engendrée  par  une  droite  qui  se  déplace  en  s' appuyant  sur  trois  courbes 
données.  —  Les  tangentes  en  A,  B,  G  aux  courbes  directrices,  définissent 
un  hyperboloïde  à  une  nappe  dont  la  génératrice  ABC  fait  partie;  cet  hyper- 
boloïde et  la  surface  considérée  ont  mêmes  plans  tangents  en  A,  B  et  G; 
donc  elles  ont  même  plan  tangent  en  tout  point  M  de  leur  génératrice  com- 
mune ABC  {fig.  39).  Pour  avoir  le  plan  tangent  en  M  à  la  surface  consi- 
dérée, il  suffira  donc  de  construire  le  plan  tangent  en  M  à  l'hyperboloïde  ; 
pour  cela  il  n'y  aura  qu'à  tracer  deux  droites  A'B'G',  A'B'G",  s'appuyant 
sur  les  tangentes  AA',  BB',  CG'  et  à  mener  par  M  une  droite  MM'M",  qui 
rencontre  A'B'G'  et  A''B"G'';  le  plan  AMM'  est  le  plan  tangent  demandé. 


Fig.  3cj. 


Fig.  /jo. 


On  aura  une  solution  analogue  pour  la  surface  engendrée  par  une  droite 
assujettie  à  s'appuyer  sur  deux  courbes  données,  et  à  rester  parallèle  à  un 
plan  donné  P.  On  considérera  le  paraboloïde  ayant  pour  plan  directeur  le 
plan  donné  et  dont  les  tangentes  en  A  et  B  aux  directrices  données  seront 
deux  génératrices.  11  suffira  de  couper  ces  tangentes  par  deux  plans  paral- 
lèles au  plan  directeur  et  de  mener  par  M  une  droite  MM'  qui  s'appuie  sur 
les  génératrices  obtenues  A'B',  A'B"  {fig.  ^o).  Le  plan  AMM'  est  le  plan 
tangent  en  M  au  paraboloïde  et  à  la  surface  engendrée  par  AB. 

L'hyperboloïde  et  le  paraboloïde  considérés  ont  reçu  les  noms  de  parabo- 
loïde et  à' hyperboloïde  de  raccordement. 


364  CHAPITRE    XXIV. 

Méthode  générale  pour  trouver  les  droites  tracées  sur  une  surface. 

391.  Soit /(a7,jK, -s)  =  o  l'équation  d'une  surface;  pour  exprimer  que  la 
droite  ayant  pour  équations 

x^=az-\-p,        y  =  bz-\-q 

est  sur  cette  surface,  il  suffit  d'écrire  que  l'équation 

f{az  -hp,  bz-^q):^  o 

est  vérifiée  identiquement. 

Si  l'équation  de  la  surface  est  algébrique  et  de  degré  m,  l'équation  en  z 
sera  au  plus  de  degré  m',  il  faudra  donc  que  a,  b,  p,  q  soient  assujettis  à 
m -+- 1  conditions.  Donc,  en  général,  si  /n  >>  3,  le   problème   est  impossible. 

Si  /n  =  3,  on  a  quatre  équations  pour  déterminer  quatre  inconnues,  donc 
une  surfacedu  troisième  degré  a, en  général,  «re  nombre  déterminé  dedroites. 
On  démontre  qu'il  y  en  a  alors  au  plus  vingt-sept.  Mais  il  peut  y  en  avoir 
une  infinité  et  il  existe  des  surfaces  réglées  d'un  degré  aussi  élevé  qu'on  veut. 

Si  /7i  =  2,  les  quatre  inconnues  ne  sont  assujetties  qu'à  trois  équations;  il 
y  a  donc  une  infinité  de  droites,  réelles  ou  imaginaires,  sur  toute  surface  du 
second  degré.  En  suivant  cette  méthode,  nous  allons  retrouver  les  généra- 
trices rectilignes  des  quadriques,  dont  nous  obtiendrons  les  équations  sous 
une  forme  nouvelle. 

392.  Hyperboloïde.  —  Soit 

^2  y1  z"-    _ 

a'^        b'^        c'^ 

l'équation  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe.  Ecrivons  les  équations  d'une  droite 
sous  la  forme  suivante 

X       z  y     o  ^ 


L'équation 

(%     .      ,         . 

devant  être  vérifiée  identiquement,  nous  poserons 

Il  faut  donc  que  (a,  [3)  et  (/>,  q)  soient  les  coordonnées  de  deux  points  ap- 
partenant à  un  même  cercle  de  rayon  i  et,  en  outre,  que  les  rayons  corres- 
pondants soient  rectangulaires.  Nous  sommes  ainsi  conduits  à  poser 

a  =  coscp,         p  =  sincp;         /?  =  cosO,         g'=sinO; 
cos(G  —  cp)  =  o,       c'est-à-dire       0  =  (f  h 1-  /itt. 


GÉNÉRATRICES   RECTILIGXES.  365 

Il  suffit  évidemment  de  faire  les  deux  hypothèses  A-  =  o  et  A-  =  i. 
1°  A-  =  0.  On  a  alors 

0  =  ç-f--,         p  —  —  sintf,         q  =^  costp. 

On  obtient  ainsi  un  premier  système  de  génératrices  définies  parles  équations 

X       z  .  y       z    . 

-  =  -  coso  —  sino,         V  =  -  sincs  -+-  coso. 
a       c        ^  ^  b        c        '  ^ 

■2°    A  =  I  , 

û  Bit 

0  =  cp  H ,  />  =  sino,  q  =  — C0SC5, 

ce  qui  donne  le  second  système 

ce       z  .  y       z    . 

—  =  -  coso  -H  sino,         ~  ^=  -  sino  —  coso. 
rt        c         '  '  6c'  ' 

A  une  même  valeur  de  ç  correspondent  ainsi  deux  génératrices  de  systèmes 
différents,  parallèles. 
On  peut  exprimer  les  inconnues  au  moyen  de  0;  on  trouve  ainsi 

-  =  -  sinO  -f-  cosO,         -=7-  =  —  -  cosO  -i-  sinO 
a       c  oc 


et 


oc  z  y       z 

-  = sin8  -+-  cosO,  ,-  =  -  cosO  -t-  sinO. 

a  c  oc 


A  une  même  valeur  de  0  correspondent  ainsi  les  deux  génératrices  de  sys- 
tèmes différents  qui  rencontrent  l'ellipse  de  gorge  en  un  même  point. 

Remarque.  —  On  peut  écrire  l'équation  de  la  surface  de  façon  à  mettre 
en  évidence  les  génératrices.  En  effet,  les  équations  d'une  génératrice  peuvent 
s'écrire 

-  coso  -I-  =7-  sin o  =  -  5  -  sino  —  4  coso  =  —  i  ; 

a         '         6         '        c  a        '         y  ' 

en  faisant  la  somme  des  carrés,  on  obtient 

:^smcpj+(^-sin'-?--^-cosoj 

C'est  l'équation  de  la  surface.  Elle  est  vérifiée  en  posant 

X  Y    .  z  X    .  y 

-  cos  o  -I-   ,-  sin  o  =  -  »  -  sin  o  —  ~  cos  o  =  £  : 

a         '        b         ^        c  a         ^        b         ' 

en  prenant  £  =  -hi  et£  =  r-i)Ona  ainsi  deux  génératrices  parallèles. 
Autre  calcul.  —  On  peut  aussi  écrire  les  équations 

x  —  xq  _  y—yo  _  z  —  zq  _ 

-V-  -  -j-  -  -Y~  -  ^ 


X  y    .         ^      i  X    .  y 

-  cos  o  -t-   r  sin  o  1  -H  (  -  sin  o  —  —  cos  o  ) r  =  i  • 

a         '         b         V        Va         '         b  '  /         c- 


366  CHAPITRE    XXIV. 

et  exprimer  que 

/(a7o-+- ap,  jKo+ P?,  So-+- TP)  =  o, 
quel  que  soit  p. 
Appliquons  celte  méthode  à  l'hyperboloïde.  On  obtient 

a'-'  "^  '       62  cl  "~  '  ' 

ce  qui  donne 


62 

«2       ' 

62 

-^0 
C2 

«2 

P2 
62 

C2 

a- 

62 

C2 

On  voit  qu'on  obtiendra  les  génératrices  en  coupant  la  surface  par  les 
plans  tangents  au  cône  asymptote;  les  génératrices  situées  dans  un  plan 
asymptote  sont  parallèles  à  la  génératrice  de  contact  du  cône  asymptote. 

393.  Paraholoïde.  —  Nous  mettrons  l'équation  d'une  droite  sous  la  forme 

Y  z 

-^—  —  <xx  -{-  h,  ---  =  ^x  -\-  k, 

\/p  \lq 

et  nous  poserons 

(aa7  +  A)2—  (^57  4-  k)''-—ix  =  o, 
ce  qui  donne 

a2_  {32  ^  o,         a/i  —  p>t  =  1,         /i2_  A-2  =  o 
ou 

p  =  sa,         /c  :=  s'A,  a/i(i  —  es')  =  i. 

On  ne  peut  prendre  ss'  =  i  ;  donc  e'  =  —  s,  et,  par  suite, 

•XOL  -la. 

Donc,  en  posant  successivement  s  = -4- i  et  £  =  —  i,  nous  obtenons  les 
deux  systèmes 

V  ^  z  1 

-^  =  ajc  H j  — —  =  aa? 

v//?  2a  ^^  -xa 


et 


ris  1 

-7^  =  y.x  ~, 5  — -  =  —  ax  -\ . 

\/p  aa  ^/g  17. 


On  peut  mettre  ces  équations  sous  la  forme 

y          z                             y          z  \ 

—  +  -.^  =  -i^x,  -^-^ =  - 

slp     H  sip     slq     '^ 


GÉNÉRATRICES    RECTILIGNES.  867 

t'I 

y £_  ^  .  21  -•   jL  =  1 . 

\Jp        s/q  '  >/p        s/q        ^ 

On  peut  d'ailleurs  donner  à  a  des  valeurs  diflérentes  dans  ces  deux  sys- 
tèmes. Si  l'on  conserve  la  même  valeur  à  a,  on  voit  que  le  plan  contenant 
les  deux  génératrices  a  pour  équation 

ce  plan  est  perpendiculaire  au  plan  des  x,  y;  ce  qui   s'explique   en   remar- 
quant que  les  deux  génératrices  percent  ce  plan  au  même  point. 
Les  génératrices  passant  par  le  sommet  correspondent  à  a  infini. 


ASYMPTOTES    D  UN    PARABOLOIDE    HYPERBOLIQUE. 

394.  Première  méthode.  —  Écrivons,  comme  plus  haut,  les  équations  d'une 

droite  sous  la  forme 

y  z 

■^  =  ax -{- h,  -j7:  =  ^x  +  k, 

yp  vq 

et  formons  l'équation  aux  abscisses  des  points  d'intersection  de  cette  droite 
et  du  paraboloïde 

{a.x  -t-  h)-—  (3^-!-  A")-  —  IX  =  o. 

Pour  que  les  deux  racines  soient  infinies,  il  faut  et  il  suffit  que 

a2— 32  =  0,         a/<— [3A  — I  =  o. 
On  lire  de  ces  équations 

p  =  a,  h  =  h—- 


P  =  —  a,         k  —  —  h-\-  -j 


ce  qui  donne 


et 


-^   r=  OLX  -{-  h,  ——    =  tX  -f-  A 

Y  z                                      I 

—:  =  a.x  -ir  II,  -—   —  —  OLX ll-\ 

\Jp  \lq                       ^ 

Considérons  la  première  droite  et  la  génératrice  rectiligne  parallèle  ayant 
pour  équations 

y                     \  z                      I 

■^—xx-\ »  -—  =  «a: . 

yjp                   i«  s/q                   2a 


368  CHAPITRE   XXIV. 

Le  plan  de  ces  deux  droites  a  pour  équation 

il-  4-  =  1. 

s/p      H      =' 

On  voit  que  ces  droites  coïncident  si  /i  =  — » 
De  même,  la  seconde  droite  et  la  génératrice,  ayant  pour  équations 

y  \  z  i  . 

-^  =  aa?H ,  -—  =  — aa^H , 

\/p  2a  ^q  aa 

sont  parallèles  et  leur  plan  a  pour  équation 

-Z_  j-  -f_  —  i. 

Donc,  pour  avoir  toutes  les  asymptotes,  il  suffit  de  mener  par  chaque 
génératrice  un  plan  parallèle  au  plan  direcLeur  correspondant  et,  dans  le 
plan  obtenu,  une  droite  quelconque  parallèle  à  cette  génératrice. 

Deuxième  méthode.  —  Ecrivons  les  équations  d'une  droite  sous  la  forme 
générale 

x  —  xç^  _  y—yo  _  z  —  zq  _ 
a        -         p        -       Y       -P' 

et  écrivons  que  l'équation  en  p 


—  i{xq-^  ap)  =  o 
a  ses  deux,  racines  infinies.  On  doit  donc  poser 

Ë!_ï!  =  „,      M_ï±._,  =  o. 

p  q  ■  P  q 

La  première  équation  se  décompose  en  deux  autres.  On  peut  évidemment 
poser  simplement 

1°  p  =  v/^,  Y=.v/^,         d'où         a==^--^ 

VP      s/q 


ou 


2°  P  =  v/p,         Y  =  — /s''         d'où         a=^4-^. 

SIP       \q 

On  obtient  ainsi  pour  l'équation  générale  des  asymptotes 

x  —  x^      ^  y—yo  ^z  —  Zq  £  =  ±i. 

\/p       "/q 

On  voit  qu'il  passe  deux  asymptotes  par  chaque  point  de  l'espace;   si  le 


GÉNÉRATRICES    RECTILIGNES.  869 

point  est  pris  sur  le  paraboloïde  on  obtient  des  droites  situées   sur   la   sur- 
face. 

393.  Plans  asymptotes  du  paraboloïde.  —   Considérons   deux   généra- 
trices définies  par  les  équations 

y  \  z  I 

s/p  '^-^  /«7  •-'■» 

et 

Y  \  z  I 

--  =  H-^  -1 ô  '  -  .-  =  —  p.r  H -■ 

\/p  ^r  v</  '^1^ 

les  coordonnées  de  leur  point  commun  sont 

^  ~'-  — ô  '       :►'  =  — —  v/'.      -  =  — f  v(j- 

Ce  point  est  à  l'infini  si  a  =  o  ou  si  j3  =  o.  Le  plan  tangent  en  ce  point  a 
pour  équation 


— - 

(a  — 3) 
/7 

=  9. 

a3 

Si  p  = 

0, 

cette  équation  se  1 

réduit  à 

V 

y/'/ 

r 

a 

et 

,  pour 

a 

=  0,  on  obtient 

7 
s/'p 

z 

1 

Les  plans  asymptotes  sont  donc  les  plans  menés  par  chacune  des  généra- 
trices parallèlement  aux  plans  directeurs  correspondants, 

396.  Exercice.  —  Lieu  des  points  par  lesquels  passent  deux  génératrices 
rectangulaires  d'une  quadrique  réglée. 

\°  Hyperboloïde.  —  Le  lieu  cherché  est  la  courbe  d'intersection  de  l'hy- 
perboloïde  et  de  la  sphère  de  Monge  y  relative.  On  peut  établir  cette  pro- 
position de  diverses  manières. 

Première  démonstration.  —  Soient  M  un  point  du  lieu  et  MA,  MB  deux 
génératrices  rectangulaires.  Si  nous  menons  la  normale  MC,  le  trièdre  tri- 
rectangle  MABC  est  circonscrit  à  la  surface,  car  MAC  et  MBC  sont  des  plans 
tangents;  le  point  M  est  donc  un  point  de  la  sphère  de  Monge. 

Deuxième  démonstration.  —  La  section  par  un  plan  passant  par  le  centre 
et  parallèle  au  plan  MAB  est  une  hyperbole  équilatère;  si  l'on  nomme  b'  et  c' 
deux  diamètres  conjugués  de  cette  hyperbole,  on  a 

0^1^  +  b'i  —  c'î  =  aï  4-  62  —  c2. 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  a^ 


370  CHAPITRE    XXIV. 

Mais  b'  —  c',  donc 

(m^=  a'^  +  b'^  —  c^. 

Réciproquement,  si  cette  dernière  condition  est  remplie,  b'^  =  c'*  et,  par 
suite,  MA  est  perpendiculaire  à  MB. 

Démonstration  analytique.  —  Les  coordonnées  du  point  de   rencontre 
d'une  génératrice  (X)  et  d'une  génératrice  ([i.)  sont 

fjL  —  X                     ,  Xjx-i-i                        Xu. —  r 
X  —  a  ^  ,  y  =  b  — ^ ,  z  =  c  — ^  , 

[JL-f-A  "^  [JL-i-X  [X-hA 

et  la  condition  d'orthogonalité  des  deux  génératrices  considérées  est 

4«2X[JL  —  ^*2(  X2  -  l)  (fx2—  l)  —  C2(X2+  r)(|JL2-l-  l)  =  O. 

On  peut  écrire  cette  condition  de  façon  à  mettre  en  évidence  les  fonctions 
Xjj.  H-  i,  X[Ji  —  I,  [X  -i-  X,  [i.  —  X  ;  on  obtient  très  simplement 

a2([JL  —  X)2+62(X[JL+I)2+C2(X;JI  — l)2—  (a2  4-^,2_c2)(X-l-   11^=0, 

ce  qui  prouve  que 

x-  +  y^  +  z^  =  «2_i_  b-î—  c^. 

Paraboloïde.  —  La  condition  d'orthogonalité  des   génératrices  représen- 
tées par  les  équations 


=  2  \x, 


et 


est  la  suivante 


_  __  y_ i_  ^  i 

\lp          s/q  s/p          \/q          ^ 

y        -^   _ ,     .  y        -^  _  ' 

s/p         s/q                 '  ^p         \Jq         \^ 


Il  s'agit  d'éliminer  X  et  [jl  entre  ces  trois  équations.  On  doit  trouver  deux 
équations;  l'une  d'elles  est  évidemment  celle  du  paraboloïde.  Pour  obtenir 
l'autre,  remarquons  que 

J_  =  z!_£!. 

Xi^  p  q' 

Donc,  le  lieu  est  l'intersection  du  paraboloïde  et  du  plan  ayant  pour  équa- 
tion 

ix  -\- p  —  q  =z  o, 

qui  n'est  autre  que  le  plan  de  Monge.  Le  lieu  est  donc  une  hyperbole. 

Quand  p  =  q  on  dit  que  le  paraboloïde  est  équilatère;  le  plan  de  Monge 
est  alors  le  plan  tangent  au  sommet;  le  lieu  se  compose  donc,  dans  ce  cas,  des 
deux  génératrices  passant  par  le  sommet.  Ces  génératrices  sont  rectangulaires, 


GÉNÉRATRICES    RECTIUCNES.  871 

car  les  deux  plans  directeurs  d'un  paraboloïdc  équilatcrc  sont  rectangulaires, 
et  réciproquement. 

EXERCICES. 

1.  Chercher  ce  que  devient  l'équation  d'un  cylindre  circonscrit  à  un  hy- 
perboloïde  à  une  nappe,  quand  la  direction  des  génératrices  du  cylindre  de- 
vient celle  d'une  génératrice  rectiligne  de  l'hyperboloïde. 

2.  Trouver  la  droite  conjuguée  d'une  génératrice  rectiligne  d'une  qua- 
drique. 

3.  Les  hauteurs  d'un  tétraèdre  sont  quatre  génératrices  d'un  hyperboloïde 
à  une  nappe. 

4.  Quatre  génératrices  d'un  hyperboloïde  étant  données,  construire  le 
tétraèdre  qui  admet  ces  quatre  droites  pour  hauteurs. 

5.  Dans  un  tétraèdre  quelconque  :  1°  les  droites,  qui  joignent  les  sommets 
aux  centres  des  cercles  inscrits  dans  les  faces  opposées  sont  les  génératrices 
d'un  même  hyperboloïde;  2°  celles  qui  joignent  les  sommets  aux  centres  des 
médianes  antiparallèles  des  faces  opposées  jouissent  de  la  même  propriété. 

(Neuberg.) 

6.  Soient  A',  B',  G',  D'  les  projections  des  sommets  d'un  tétraèdre  ABGD 
sur  un  plan  quelconque.  Démontrer  que  les  perpendiculaires  abaissées  de 
A',  B',  G',  D'  respectivement  sur  les  plans  BGD,  GDA,  DAB,  ABG  sont  les  gé- 
nératrices d'un  même  hyperboloïde.  (Neuberg.) 

7.  Soient  A',  B',  G',  D'  les  projections  des  sommets  d'un  tétraèdre  ABGD 
sur  un  plan  P,  et  soient  A|,  Bi,  Gi,  Dj  les  orthocentres  des  triangles  B'G'D', 
G' D'A',  D'A'B',  A'B'G'.  Démontrer  :  1°  que  les  perpendiculaires  abaissées 
des  points  A'  et  Ai  sur  le  plan  BGD  et  les  six  droites  homologues  appartien- 
nent à  un  même  hyperboloïde;  2°  que  les  perpendiculaires,  abaissées  du  mi- 
lieu des  droites  A'Ai,  B'Bi,  G'Gj,  D'Di  sur  les  faces  correspondantes  du 
tétraèdre  ABGD,  concourent  en  un  même  point.  (Nelberg.) 

8.  Le  centre  de  la  sphère  circonscrite  à  un  tétraèdre,  le  centre  de  l'hyper- 
boloïde passant  par  les  quatre  hauteurs,  le  centre  de  gravité  du  tétraèdre 
sont  en  ligne  droite.  (Joaciiimsthal.) 

9.  Trouver  les  génératrices  rectilignes  de  l'hyperboloïde  ayant  pour  équa- 
tion 

ayz  -h  bzx  -¥■  cxy  4-  t/  =  o. 

Les  conditions  pour  que  cet  hyperboloïde  soit  de  révolution  sont 
a         _  ^*         _         ^ 

I  —  COsX  I —  COS(Jl  1  —  cosv 

X,  [JL,  V  étant  les  angles  des  axes  de  coordonnées.  Interpréter  géométrique- 
ment ces  conditions.  (De  Saint-Germ.vin.) 


372  CHAPITRE   XXIV. 

10.  Deux  hyperboloïdes  à  une  nappe  Hj,  Hj  ont  une  génératrice  commune  L. 
Par  tout  point  m  de  L  passe  une  génératrice  Li  de  Hi  et  une  génératrice  L2 
de  H2.  Comment  varie  l'angle  de  ces  deux  droites  quand  m  parcourt  L. 

(Dew'llf.) 

11.  Si  par  un  point  fixe  P,  pris  sur  un  hyperboloïde  réglé,  on  mène  des 
droites  s'appuyant  sur  les  diagonales  des  quadrilatères  que  forment  deux 
génératrices  fixes  du  premier  système  avec  deux  génératrices  variables  du 
second  système,  ces  droites  sont  situées  dans  un  même  plan. 

(Neuberg.) 

12.  Soient  A,  B,  G  trois  génératrices  d'un  même  système  de  l'hyperbo- 
loïde  H;  A',  B',  G' trois  génératrices  d'un  même  système  de  l'hyperboloïde  H'; 
P  un  point  quelconque  de  l'intersection  des  surfaces  H,  H'.  Par  P,  on  mène 
les  deux  droites  qui  s'appuient,  respectivement  sur  les  couples  de  droites 
(A,  B'),  (A',  B);  soit  y  le  plan  passant  par  ces  droites.  On  obtient,  d'une 
manière  analogue,  deux  autres  plans  a,  p,  en  combinant,  d'une  part,  les  cou- 
ples (B,  G'),  (B',  G),  et,  d'autre  part,  les  couples  (G,  A'),  (A',  G).  Les  plans  a, 
p,  Y  passent  par  une  même  droite.  (Neubeug.) 

13.  En  un  point  P  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe,  on  mène  les  deux  géné- 
ratrices; puis,  par  chaque  génératrice,  un  plan  perpendiculaire  au  plan  tan- 
gent en  P;  ces  plans  touchent  l'hyperboloïde  en  deux  points  Q,  R;  trouver 
l'équation  du  plan  passant  par  QR  et  par  le  centre  de  l'hyperboloïde. 

(Ed.  Lucas.) 

14.  Soit  cp(a7,  j',  z)  l'ensemble  des  termes  du  second  degré  dans  le  premier 
membre  de  l'équation  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe.  Si  l'on  désigne  par  H 
le  discriminant  de  ce  premier  membre  rendu  homogène  ;  par  y,  Y  >  T'j  ^  '^^ 
mineurs  de  H,  qui  correspondent  respectivement  aux  demi-coefficients  de 
x,y,  z,  t  dans  y/;  enfin  par  X,  \x,  v  trois  paramètres  assujettis  seulement  à  la 
condition  ç(X,  jx,  v)  =  o;  les  projections,  sur  les  plans  coordonnés,  des  géné- 
ratrices de  la  surface  appartenant  à  l'un  des  deux  systèmes,  auront  pour 
équations 

A(À^  —  va7)-f-vY  — Xy"+ Y  V  H  cp'  =  o, 
A(|Jia7 —  \y)  +  Xy'  —  HT +2-  /^^  Vr  ~  ^' 

En  changeant  le  signe  de  /H  ,  on  obtiendra  les  équations  qui  se  rappor- 
tent à  l'autre  système  de  génératrices.  (TissoT.) 

13.  Dans  un  paraboloïde  hyperbolique,  la  génératrice  de  chaque  système, 
qui  passe  par  le  sommet,  est  celle  sur  laquelle  les  génératrices  de  l'autre  sys- 
tème interceptent  les  segments  les  plus  petits.  (TissoT.) 

16.  On  pose 

X  =  ax  -\-by  -\-  cz  -\-  dl,         Y  ^  aiX  -\-  b^y  -t-  Ci  s  -h  <^i  ^ 


a 

h 

c 

d 

o 

o 

«1 

b. 

Cx 

ch 

o 

o 

a' 

b' 

c' 

d 

X 

o 

a\ 

K 

c', 

d\ 

Y 

o 

a" 

b" 

c" 

d" 

•.>,\' 

X 

a'[ 

K 

c\ 

d\ 

2  Y' 

Y 

GÉNÉRATRICES    RECTILIGNES.  878 

OÙ  a,  i,  C,  d,  «1,  61,  Cj,  ds.  sont  des  fonctions  d'un  même  paramètre.  La 
droite  mobile  X  =  o,  Y  =  o  engendre  une  surface  réglée.  Trouver  l'équation 
de  la  quadrique  passant  par  trois  droites  infiniment  voisines  de  cette  surface, 
correspondant  aux  valeurs  m,  a  -)-  A,  u -\-  h -\-  k  àw  paramètre,  quand  h  et  k, 
supposés  de  même  ordre,  tendent  vers  zéro. 
On  trouve 


=  o; 


a',  6',  ...,b",  ...  sont  les  dérivées  premières  et  secondes  de  a,  b,  ...,  bi,  ... 
et 

\'  ^  a' X  -{-  b' y  +  c'  -3  -h  d' ,         Y'  =  a\  x  -\-  b\  y  -\-  c\  z  -h  d\ . 

(P.VINVIN.) 

17.  Lieu  des  perpendiculaires  à  l'axe  imaginaire  d'un  hyperboloïde  à  une 
nappe  et  aux  génératrices  d'un  même  système.  Lieu  des  pieds  de  ces  perpen- 
diculaires. Le  plan  mené  par  une  génératrice  et  la  perpendiculaire  commune 
correspondante  est  tangent  à  l'hyperboloïde  en  un  point  P,  et  au  lieu  de  la 
perpendiculaire  commune  en  un  point  Q;  trouver  les  lieux  de  P  et  de  Q.  On 
cherchera  leurs  projections  sur  le  plan  de  l'ellipse  de  gorge. 

18.  Par  chaque  point  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe,  on  mène  les  bissec- 
trices des  angles  formés  par  les  deux  génératrices  qui  y  passent;  lieu  de  ces 
droites. 

19.  Former  l'équation  de  la  quadrique  passant  par  les  trois  droites 

A  =  o,     B  =  o;        C  =  o,     D  =  o; 

Aa  -I-  Bp  -H  Gy  -f-  Do  =  o,     Aa'-f-  B^'-f-  Gf-l-  Do'=  o, 

A,  B,  G.  D  désignant  des  polynômes  linéaires  et  a,  p,  . . .,  0  des  constantes. 
On  trouve 

Aa^-B3  _  Aa'-4-  B  P' 


Cy+Do        GY-f-Do' 


(Barbier.) 


20.  Exprimer  que  quatre  droites  sont  quatre  génératrices  d'un  même  sys- 
tème d'un  hyperboloïde. 

21.  Exprimer  que  trois  droites  sont  trois  génératrices  d'un  même  système 
d'un  paraboloïde  hyperbolique. 

22.  Lieu  des  points  dont  le  rapport  des  distances  à  deux  droites  D,  D',  est 
constant,  les  distances  à  D  étant  comptées  parallèlement  à  un  plan  P,  et  les 
distances  à  D'  parallèlement  à  un  plan  P'.  On  trouve  une  quadrique.  Quelles 


374  CHAPITRE   XXIV.  —    GÉNÉRATUICES    RECTILIGNES. 

sont  les  quadriques  susceptibles  de  ce  mode  de  génération?  L'une  de  ces  qua- 
driques  étant  donnée,  trouver  les  droites  D,  D'  et  les  plans  P,  P'. 

23.  Lieu  des  centres  des  sphères  tangentes  à  deux  droites  rectangulaires 
non  situées  dans  un  même  plan. 

24.  Lieu  des  sommets  des  paraboloïdes  hyperboliques  équilatères  passant 
par  deux  droites  données. 

25.  On  donne  trois  parallèles  d'un  hyperboloïde  de  révolution  à  une  nappe; 
trouver  le  cercle  de  gorge. 

26.  Trouver  les  droites  situées  sur  la  surface  xcosnz  —  y  sln/iz  =  o. 

27.  Exprimer  que  le  plan 

Ix  -4-  my  -h  nz  -h  p  =  o 
coupe  l'hyperboloïde 

suivant  deux  droites  (Exercice  de  calcul). 

28.  Lieu  des  points  par  lesquels  passent  deux  génératrices  d'un  hyperbo- 
loïde ou  d'un  paraboloïde  faisant  entre  elles  un  angle  donné. 

29.  Un  tétraèdre  ABCD  est  partagé  en  deux  parties  équivalentes  par  le 
paraboloïde  hyperbolique  qui  passe  par  deux  couples  d'arêtes  opposées. 

30.  Quand  les  six  arêtes  d'un  tétraèdre  sont  tangentes  à  une  quadrique,  les 
quatre  droites,  suivant  lesquelles  le  plan  des  trois  points  de  contact  des  arêtes 
issues  de  chaque  sommet  rencontre  la  face  opposée,  sont  des  génératrices 
d'un  hyperboloïde. 

31.  Quand  un  tétraèdre  est  inscrit  à  une  quadrique,  les  plans  tangents, 
menés  par  les  sommets,  rencontrent  les  faces  opposées  suivant  quatre  droites 
qui  sont  les  génératrices  d'un  hyperboloïde. 

32.  Quand  les  six  arêtes  d'un  tétraèdre  sont  tangentes  à  une  quadrique, 
les  plans  tangents,  menés  par  les  arêtes  d'une  même  face,  se  coupent  en  un 
même  point,  ce  qui  donne  quatre  points.  Les  quatre  droites  obtenues  en  joi- 
gnant chacun  de  ces  points  au  sommet  opposé  à  la  face  considérée  sont  des 
génératrices  d'un  hyperboloïde. 

33.  Lieu  du  pied  de  la  perpendiculaire  commune  à  une  génératrice  G  d'une 
quadrique  et  aux  génératrices  de  même  système,  sur  ces  dernières;  ce  lieu 
est  une  conique.  Enveloppe  du  plan  de  cette  conique  quand  la  génératrice  G 
décrit  la  quadrique  donnée. 

34.  Enveloppe  de  la  projection  conique  d'une  génératrice  rectiligne  sur 
un  plan  diamétral  parallèlement  à  la  direction  conjuguée  à  ce  plan. 

35.  Enveloppe  de  la  projection  conique  d'une  génératrice  rectiligne  sur  un 
plan  quelconque,  le  point  de  vue  étant  le  pôle  de  ce  plan. 


SECTIONS   CIRCULAIRES.  875 

36.  Trouver  les  droites  situées  sur  la  surface  normopolaire  d'un  ellipsoïde 
ou  d'un  hyperboloïde  (on  trouve  huit  droites  parallèles). 

37.  Trouver  les  droites  situées  sur  la  surface  normopolaire  d'un  paraboloïde. 

38.  Trouver  les  droites  situées  sur  une  surface  du  troisième  ordre. 

—  II  y  a  au  moins  une  droite  réelle.  On  rapporte  la  surface  à  un  tétraèdre 
de  référence,  dont  une  arête  est  cette  droite.  Un  plan  mené  par  cette  arête 
coupe  la  surface  suivant  une  droite  et  une  conique;  on  peut  déterminer  le 
plan  de  façon  à  avoir  trois  droites  :  alors,  si  ces  droites  sont  AB,  BG,  CA,  on 
suppose  que  ces  droites  soient  des  arêtes  du  tétraèdre  ABCD.  Le  plan  T  =  XZ 
coupe  suivant  AB  et  une  conique;  en  écrivant  que  cette  conique  se  réduit  à 
deux  droites,  on  a  une  équation  du  cinquième  degré  en  X,  admettant  la  so- 
lution X  =  o.  Donc,  par  AB  passent  cinq  plans,  donnant  chacun  trois  droites; 
mais  AB  est  comptée  quatre  fois  de  trop,  ce  qui  réduit  à  onze;  ne  comptant 
ni  BG,  ni  GA,  restent  neuf  droites.  On  en  obtient  autant  pour  BG  et  pour  GA  ; 
donc  en  tout  vingt-sept  droites.  Chacune  de  ces  droites  en  rencontre  dix 
autres. 

Remarque.  —  Les  vingt-sept  droites  peuvent  être  représentées  par 

«1,    a»,    «3»    «4'    fi-^i  «e!         ^1,    ^ïj    ^3)     64»     ^5)     l>(,'i 
C12,   Ci3,   Ci4,   C16,   Cje;  C23,   C2V,   Cjj,   Caej 

^34)     C35,     C36;  C43,     C46  ;  Cge- 

Se  rencontrent  : 

i"  Une  droite  a  et  une  droite  b  d'indices  différents; 

2°  Une  droite  a  ou  6  et  une  droite  c  ayant  un  indice  commun; 

3°  Deux  droites  c  n'ayant  pas  d'indice  commun.  (Gremona.) 

39.  Démontrer  que  les  perspectives  des  sections  planes  d'une  quadrique  sur 
un  plan  quelconque,  le  point  de  vue  étant  sur  la  quadrique,  ont  deux  points 
communs.  (Ghasles.) 


CHAPITRE  XXV. 

SEGTIONS    GIRGULAIRES. 


397.  Nous  nous  proposons  de  déterminer  tous  les  plans  qui  cou- 
pent une  quadrique  donnée  suivant  des  cercles.  Pour  cela,  nous  éta- 
blirons le  théorème  suivant  : 

Théorème.  —  Si  deux  quadriques  ont  une  courbe  plane  com- 
mune, elles  en  ont  une  seconde. 


3y6  CHAPITRE   XXV. 

Il  s'agit  d'établir  cette  proposition  sans  supposer  que  le  plan  de 
la  courbe  commune  soit  /•ee/(car  nous  l'appliquerons  plus  loin  dans 
le  cas  où  ce  plan  est  imaginaire). 

Supposons   que  l'équation  du  plan  de  la  courbe  commune  soit 

mise  sous  la  forme 

V  ^  z  -î-  ax  -^  by  -r-  c  =  o, 

ce  qu'on  peut  toujours  supposer  en  choisissant  les  axes  convena- 
blement, et  soienty*(^,y,  5)  =  o,  g{x,  y,  z)  =  o  les  équations  des 
deux  quadriques  considérées.  Divisons  les  polynômes  f(x,y,  z)  et 
g(x,y,  z)  par  le  poljnome  P  du  premier  degré  en  z;  nous  ob- 
tiendrons les  identités 

f(x,y.,z)^P.Q  +f,(x,y), 

Q,  Qi  étant  des  polynômes  du  premier  degré  entiers  en  z,  x^y,  et 
f^  (x,  y),  gi  (x,  y)  deux  polynômes  du  second  degré  au  plus,  entiers 
en  X  ely. 

Or  /,  (x,  y)  =  o  est  l'équation  du  cylindre  dont  les  génératrices 
sont  parallèles  à  l'axe  des  z  et  qui  a  pour  directrice  l'intersection 
de  la  première  quadrique  par  le  plan  P;  de  même  gf  {x,y)  =  o  est 
l'équation  du  cylindre  de  même  direction  et  admettant  la  même 
directrice  5  donc 

a  étant  une  constante,  car  ces  deux  cylindres  sont  identiques.  Il  en 

résulte  que 

^{^,r,z)  —  af(x,y,  z)=  P(Qi  — aQ); 

ce  qui  prouve  que  les  points  communs  aux  deux  quadriques  sont 
dans  le  plan  P  ou  dans  le  plan  ayant  pour  équation  Q,  —  aQ  =  o; 
en  d'autres  termes,  l'intersection  complète  des  deux  quadriques  se 
compose  de  deux  courbes  planes.  Il  pourra  arriver  d'ailleurs  que 
Qi  —  «Q  soit  identique  à  P  à  un  facteur  constant  près,  c'esl-à-dire 
que  les  deux  courbes  planes  coïncident. 

Remarque.  —  Il  convient  de  remarquer  que  l'on  a  trouvé  une 
constante  a  telle  que  g  —  a/  soit  un  produit  de  deux  facteurs  du 
premier  degré  qui,  égalés  à  zéro,  fournissent  les  équations  des  deux 
courbes  planes  communes  aux  deux  quadriques. 

Autre  démonstration.  —  On  peut  démontrer  le  théorème  précédent  d'une 


SECTIONS    CIRnULAIHES.  877 

manière  plus  simple  au  moyen  des  coordonnées  tétracdriques.  Supposons, 
en  effet,  que  l'une  des  faces  T  du  tétraèdre  de  référence  (face  qui  n'est  pas 
nécessairement  réelle)  soit  dans  le  plan  de  la  courbe  commune  aux  deux 
quadriques.  On  pourra  mettre  les  équations  de  ces  deux,  quadriques  sous 
la  forme 

/(X,Y,Z,  T)^    cp(X,  Y,Z)-f-TP  =  o, 

ff{\,  Y,  Z,  T)  =a'^(X,  Y,  Z)  -h  TQ  =  o, 

P,  Q  étant  des  fonctions  linéaires  de  X,  Y,  Z,  T  et  (5(  X,  Y,  Z)  =  o  étant 
l'équation  du  cône  ayant  pour  sommet  le  sommet  du  tétraèdre  opposé  à  la 
face  T  et  pour  directrice  la  courbe  commune.  On  a  immédiatement 

ce  qui  démontre  la  proposition. 

Plans  cycliques. 

398.  On  nomme  plan  cyclique  tout  plan  qui  coupe  une  qua- 
drique  suivant  un  cercle. 

Soient  /(j7,  y,  :;)  =  o  et  U  =  o  les  équations  d'une  quadrique  et 
d'un  plan;  si  la  section  de  la  quadrique  par  ce  plan  est  un  cercle,  on 
peut  faire  passer  une  infinité  de  sphères  par  ce  cercle-,  soit  o-  :^  o 
l'équation  de  l'une  de  ces  sphères.  La  quadrique  /  et  la  sphère  d 
ayant  une  première  courbe  plane  commune  en  ont  une  seconde;  on 
peut  donc  déterminer  une  constante  S  telle  que 

/— Sj  =  UV, 

V  étant  un  poljnome  du  premier  degré  en  x^y,  z.  Si  l'on  désigne 
par  ^,  P,  Q  les  ensembles  de  termes  du  second  degré  de  t  et  du  pre- 
mier degré  de  U  et  de  V,  on  a  donc 

o  —  S'j.^  PQ, 

ce  qui  prouve  que  S  est  une  racine  de  l'équation  en  S. 

Réciproquement,  à  toute  racine  non  nulle  de  l'équation  en  S  cor- 
respond un  système  de  deux  plans  cycliques.  En  effet,  soit  S  une 
quelconque  des  racines  de  l'équation  en  S,  supposée  différente  de 
zéro;  en  vertu  de  l'identité  précédente,  l'équation  de  la  quadrique 
peut  se  mettre  sous  la  forme 

S'i^-^  PQ-+-  R  =0, 

R  étant  un  polynôme  du  premier  degré.  La  section  de  cette  qua- 
drique par  un  plan  parallèle  à  P,  ou  par  un  plan  parallèle  à  Q,  est 


378  CHAPITRE    XXV. 

un  cercle,  car  l'une  de  ces  sections  est  représentée  par  les  équations 

S<L  +  aQ-i-R  =  0,         P  =  a, 
OU  par 

S<{;-l-pP  +  R  =  0,  Q=p, 

et  chacun  de  ces  systèmes  représente  un  cercle. 

Si  la  racine  S  était  nulle,  les  sections  obtenues  se  réduiraient  à 
des  droites. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  qu'une  quadrique  a,  en  général,  trois 
systèmes  de  deux  plans  cycliques.  Cherchons  combien  il  y  a  de 
systèmes  de  plans  cycliques  réels. 

399.  Théorème.  —  Le  seul  système  de  plans  cycliques  réels 
correspond  à  la  racine  moyenne  de  V équation  en  S. 

En  effet,  si  S  est  une  racine  de  l'équation  en  S,  nous  savons  que 
cp(a?,  jK,  ^)  — Sdi(^,  y,  z)  est  la  différence  de  deux  carrés,  c'est- 
à-dire  le  produit  de  deux  facteurs  du  premier  degré  à  coefficients 
réels,  uniquement  quand  S  est  la  racine  moyenne.  Il  y  a  donc,  au 
plus,  un  système  réel  et  deux  systèmes  imaginaires. 

400.  Théorème.  —  Le  système  de  plans  cycliques  correspon- 
dant à  une  racine  déterminée  de  V équation  en  S  est  formé  de 
plans  perpendiculaires  au  plan  principal  qui  correspond  à  cette 
racine. 

On  peut,  en  effet,  au  moyen  d'une  transformation  de  coordon- 
nées, poser 

(p(^,JK,^)=SiX2-+-S2Y2-t-S3ZS 

a;2  _^^2  +  ^2  =  X2  +  Y2  ■+■  Z2  ; 
on  en  déduit,  par  exemple. 

On  voit  que  les  plans  cycliques  obtenus  passent  par  la  droite 
Y=:o,  Z  =  o.  Ils  sont  donc  perpendiculaires  au  plan  principal 
X  =  o. 

Les  plans  cycliques  menés  par  le  centre  d'une  quadrique  passent 
donc  par  un  axe  de  symétrie  de  la  quadrique. 

On  peut  établir  par  la  Géométrie  que  le  plan  d'une  section  circulaire  est 
perpendiculaire  à   un  plan  principal.   En   effet,  soit  F  un  plan  cyclique;  les 


SECTIONS   CIRCULAIRES.  879 

sections  par  les  plans  parallèles  au  plan  P  sont  des  cercles.  Soit  A  le  lieu 
des  centres  de  ces  cercles,  c'est-à-dire  le  diamètre  conjugué  au  plan  P;  con- 
sidérons le  plan  projetant  A  sur  P;  ce  plan  partage  évidemment  en  deux 
parties  égales  les  cordes  qui  lui  sont  perpendiculaires;  c'est  donc  un  plan 
principal,  et,  par  suite,  le  plan  P  est  perpendiculaire  à  un  plan  principal. 

401.  Théorème.  —  Les  sections  circulaires  obtenues  par  deux 
plans  non  parallèles  et  correspondant  à  une  même  racine  de 
l'équation  en  S  sont  sur  une  même  sphère.  (Hachette.) 

En  eflfet,  supposons,  en  prenant  des  axes  rectangulaires, 

et  coupons  la  quadrique  par  les  deux  plans  ayant  pour  équations 

P  =  a,        Q  =  p. 

L'équalion  de  la  quadrique  est 

/=  S(57î-+-  jK-  +  -'-)  -I-  PQ  -t-  2Gar  +  2G>  -H  sC^  H-  D  =  o. 
Or 

/- (P  -  a)  (Q  -  P)  =  S(a;« -+-^2+ 52) -h  2G:r  4- 2G> 

+  2  G's  +  D -+- P  p  4- Qa  -  a3, 

L'équation/ —  (P —  a)  (Q  —  [j)  =:  o représente  donc  une  sphère  ; 
or  cette  équation  est  évidemment  vérifiée  par  les  coordonnées  des 
points  de  chacun  des  cercles  tracés  sur  la  quadrique  f  que  nous 
avons  considérés;  donc  ces  deux  cercles  sont  bien  sur  une  même 
sphère. 

Autre  méthode. 

•402.  Nous  savons  que  les  sections  d'une  quadrique  et  de  son  cône  asymptote 
par  un  même  plan  ou  par  des  plans  parallèles  sont  des  coniques  homothé- 
tiques;  pour  trouver  les  plans  cycliques  d'une  quadrique,  il  suffit  donc  de 
trouver  les  plans  cycliques  de  son  cône  asymptote.  Or  nous  avons  déjà  mon- 
tré comment  on  peut  obtenir  les  plans  cycliques  d'un  cône  quelconque  du 
second  degré. 

D'après  cela,  il  suffit  de  déterminer  S  de  façon  que 

?(^,  J>  -)  — S4/(ar,  j,  z)  =  o 

représente  deux  plans. 

Il  convient  de  remarquer  que  si  l'on  coupe  par  un  plan  quelconque  le  cône 
des  directions  asymptotiques  de  la  quadrique  et  le  cône  isotrope  ayant  pour 
sommet  commun  l'origine  des  coordonnées,  on  obtient  deux  coniques.  Les 
sécantes  communes  correspondent  aux  plans  cycliques  de  la  quadrique  et  les 


38o  CHAPITRE    XXV. 

sommets  du  triangle  conjugué  commun  aux  deux  coniques,  aux  axes  de  la 
quadrique.  Les  plans  cycliques  sont,  en  effet,  les  plans  menés  par  l'origine  et 
les  sécantes  communes;  les  axes  sont  les  droites  menées  par  le  centre  de  la 
quadrique  et  parallèles  aux  droites  joignant  l'origine  aux  sommets  du 
triangle  conjugué.  Si  l'on  remplace  le  cône  isotrope  par  le  cône  des  direc- 
tions asymptotiques  d'une  seconde  quadrique,  on  obtiendra,  par  le  même 
procédé,  des  plans  coupant  les  deux  quadriques  suivant  des  coniques  homo- 
thétiques,  et  un  système  de  diamètres  conjugués  commun  aux  deux  qua- 
driques. 

Application  aux  formes  réduites. 

403.   Ellipsoïde.  —  Soit 

^  -+-  T-,  +  —,  —  I  =  o  (  «  >  6  >  c) 

a-         b-         c^ 

l'équation  d'un  ellipsoïde  rapporté  à  ses  axes  de  symétrie. 

Les  racines  de  l'équation  en  S  sont  — ^>  r^>  —_',  la  racine  moyenne 

est,  en  vertu  des  hypothèses,  égale  à  t^-  Les  plans  cycliques  dia- 
métraux réels  sont  définis  par  l'équation 


c'est-à-dire 


{t-^^2-/;2(^'-^^'  +  ^')  =  0' 


On  peut  obtenir  directement  cette  équation.  En  effet,  les  plans  cycliques 
diamétraux  doivent  contenir  un  axe;  or,  la  section  par  un  plan  contenant  un 
axe  est  une  ellipse  dont  l'un  des  axes  est  égal  à  la  longueur  de  l'axe  situé 
dans  le  plan  sécant  et  dont  l'autre  axe  est  égal  à  la  corde  dirigée  suivant  la 
trace  du  plan  sécant  sur  le  plan  de  la  section  principale  perpendiculaire  à 
l'axe  considéré.  On  voit  ainsi  que  la  section  ne  peut  être  un  cercle  que  si  le 
plan  sécant  passe  par  l'axe  moyen;  or,  l'équation  du  faisceau  des  droites 
joignant  l'origine  aux  points  d'intersection  du  cercle  et  de  l'ellipse  repré- 
sentés, dans  le  plan  xOz,  par  les  équations 

a'-        c^ 
est 

Cette  équation  définit  les  plans  cycliques  réels. 


SECTIONS   CIRCULAIRKS.  38 1 

On  peut  écrire  l'équation  de  rellipsoïde  de  manière  à  mettre  en  évidence 
les  plans  cycliques  réels.  En  effet,  si  l'on  pose 

on  voit  que  l'équation  cherchée  est 

a^^-h^--)-  -2—62  =  62. PQ. 

Elle  exprime  cette  propriété  :  Le  lieu  des  points  tels  que  le  carré  de  la 
tangente  menée  d'un  de  ces  points  à  une  sphère  soit  proportionnel  au 
produit  des  distances  de  ce  même  point  à  deux  plans  diamétraux  de  la 
sphère  est  un  ellipsoïde  ou  un  hyperboloïde  concentrique  à  la  sphère 
et  admettant  pour  plans  cycliques  les  deux  plans  diamétraux. 

401.  Ombilics.  —  On  appelle  ombilic  d'une  quadrique  un  point  de  cette 
quadrique  tel  que  le  plan  tangent  en  ce  point  la  coupe  suivant  un  cercle 
de  rayon  nul.  Un  ombilic  est  donc  l'extrémité  du  diamètre  conjugué  à  un 
plan  cyclique. 

On  peut  encore  définir  un  ombilic  :  un  point  tel  que  les  deux  génératrices 
rectilignes  qui  y  passent  soient  deux  droites  isotropes.  Il  y  a  sur  chaque  qua- 
drique huit  génératrices  isotropes,  quatre  de  chaque  système.  Chaque  géné- 
ratrice isotrope  est  rencontrée  par  les  trois  génératrices  isotropes  de  l'autre 
système  qui  ne  passent  pas  par  le  même  point  du  cercle  de  l'infini.  On  obtient 
ainsi  douze  ombilics  réels  ou  imaginaires. 

Ombilics  réels  de  l'ellipsoïde. —  L'équation  d'un  des  plans  cycliques  réels 
étant 

-  /a-  —  62  -f-  ô  -  ^b-  —  c2  =  o. 


le  diamètre  conjugué  a  pour  équations 

T 

y  =  o, 


^a^—b'^  v/62— c2 

il  coupe  l'ellipsoïde  aux  points  ayant  pour  coordonnées 


ac 
y  =  o,  x=±-^ 


/^^_P  ^^^cœ      /b^-^ 

y  ai— ci  ~   f>   \    a^—c^ 


l'ellipsoïde  a  donc  quatre  ombilics  réels  situés  dans  le  plan  principal  perpen- 
diculaire à  l'axe  moyen. 

405.  Hyperboloïdes.  —  Soit 
a*        6»2        c* 


382  CHAPITRE   XXV. 

l'équation  d'un  hjperboloïde  à  une  nappe,  ou  de  l'hyperboloïde  à 
deux  nappes  conjugué  du  premier.  Les  plans  cycliques  de  ces  sur- 
faces sont  les  mêmes.  Les  racines  de  l'équation  en  S  étant -t 

j-^,  —  »  la  racine  moyenne  est  j-^  si  Von  suppose  a  <C  b.  On  aura 

donc  des  calculs  analogues  à  ceux  qui  sont  relatifs  à  l'ellipsoïde  ;  il 
suffira  de  changer  dans  ceux-ci  c^  en  —  c^.  Les  plans  cycliques  réels 
ont  pour  équation 


{b^- 


a2)--(62+c2) 


406.  Ombilics  d'un  hyperboloïde.  —  Soit 

a  c 

l'équation  d'un  plan  cyclique.  Le  diamètre  conjugué  a  pour  équations 

X  z 


y 


\/b^ 


a-! 


V^ 


Cette  droite  coupe  l'hyperboloïde  à  une  nappe  en  des  points  imaginaires  ; 
elle  coupe,  au  contraire,  l'hyperboloïde  à  deux  nappes  en  des  points  réels 
ayant  pour  coordonnées 


y  =  o, 


ac     /b-^  —  a'^  ,    ac ,    /b^ 


407. 


Plans  cycliques  d'un  cône.  —  On  peut  obtenir  les  plans  cycliques 
du  cône  défini  par  l'équation 


x^ 

«2 


62 


c- 


de  la  même  façon  que  pour  les  hyperboloïdes. 

On  peut  aussi  procéder  de  la  manière  suivante. 
Nous  allons  chercher  les  plans  cycliques  menés 
par  le  point  ayant  pour  coordonnées  o,  o,  c. 

Soit  ABC  (Jig.  40  la  trace  d'un  plan  perpen- 
diculaire au  plan  xOz  mené  par  G  ;  si  la  section 
^    du  cône  par  ce  plan  est  un  cercle,  on  aura 


CB.CA=—b\ 


Le  point  B  est  donc  à  l'intersection  de  l'arête  OB  et  de  la  figure  inverse 
de  OA  par  rapport  à  G,  la  puissance  d'inversion  étant  égale  à  — b^.  Il  suffit 
d'abaisser  GD   perpendiculaire  sur  OA  et  de  prendre,  sur  le  prolongement 


SECTIONS  CIRCULAIRES.  383 

de  DG,  un  segment  CE  tel  que  DG.GE  =  b*;  le  point  B  est  à  l'intersection 
de  OB  et  du  cercle  décrit  sur  GE  comme  diamètre.  On  obtiendra  ainsi  deux 
points  d'intersection  B,  B'  et,  par  suite,  deux  plans  cycliques  ayant  pour 
traces  BA,  B'A',  pourvu  qu'on  suppose  a  <  6.  Nous  laissons  au  lecteur  le 
soin  de  faire  la  discussion. 

408.  L'équation  du  système  des  plans  cycliques  du  cône  étant 

:77^  v2  Z^  I 

l'équation  du  cône  peut  s'écrire  ainsi 

On  obtient  ainsi  ce  théorème  :  Le  lieu  des  points  dont  le  produit  des 
distances  à  deux  plans  est  proportionnel  au  carré  de  leur  distance  à  un 
point  de  l'intersection  de  ces  plans  est  un  cône  ayant  ce  point  pour  som- 
met et  admettant  ces  plans  pour  plans  cycliques. 

On  peut  transformer  cet  énoncé.  Soient  M  un  point  du  lieu  et  S  le  sommet 
du  cône,  MP  et  MQ  les  distances  de  M  aux  plans  cycliques;  on  a 

MP   MQ 

j^.^=const. 

Donc,  en  appelant  a  et  ^  les  angles  que  MS  fait  avec  les  deux  plans 
cycliques,  on  a  :   sina.sin  p  =  const. 

Si  l'on  coupe  le  cône  par  une  sphère  ayant  son  centre  au  sommet  du  cône, 
les  plans  cycliques  coupent  la  sphère  suivant  deux  grands  cercles  et  le  cône 
détermine,  sur  la  sphère,  une  courbe  ou,  plutôt,  deux  courbes  symétriques 
nommées  ellipses  sphériques.  Si  d'un  point  de  l'une  de  ces  ellipses,  on 
abaisse  des  arcs  de  grands  cercles  perpendiculaires  sur  les  deux  grands 
cercles  obtenus,  le  produit  des  sinus  de  ces  arcs  sera  constant. 

409.  Paraboloïdes.  —  Le  paraboloïde  hyperbolique  ne  peut  pas 
avoir  de  plans  cycliques,  car  la  racine  moyenne  de  l'équation  en  S 
est  nulle.  Au  lieu  de  plans  cycliques,  la  méthode  générale  donne  les 
plans  directeurs.  Un  système  de  deux  droites  situées  dans  un  même 
plan,  et  dont  l'une  est  à  l'infini,  est  en  effet  un  cercle,  car  c'est  une 
conique  passant  par  les  points  cycliques  de  son  plan. 

Considérons  au  contraire  un  paraboloïde  elliptique  rapporté  à  ses 
plans  principaux  et  au  plan  tangent  au  sommet,  dont  l'équation  est 

i i -iX  =  0. 


384  CHAPIIHE    XXV. 

Les  racines  de  l'équation  en  S  sont  o,  — ,  -  •  La  racine  moyenne  est 
—  si  l'on  suppose  /?  >■  ^;  les  plans  cycliques  sont  alors  donnés  par 
l'équation 

ou  plus  simplement 


P      q      P        "^ 


qx- —  s-C/»  —  ^)  =  o. 

On  arrive  au  même  résultat  en  coupant  le  paraboloïde  par  un  plan 
passant  par  l'axe  des  jk  et  en  rapportant  la  section  à  cet  axe  et  à  une 
perpendiculaire  à  Oy  menée  dans  son  plan  par  l'origine.  On  calcule 
aisément  les  coordonnées  des  ombilics. 

410.  Cylindre  elliptique.  —  Si  l'on  considère  le  cylindre  ayant 
pour  équation 

^  H /'  =  0, 

P  H 

ce  cylindre  a  les  mêmes  plans  cycliques  que  le  paraboloïde  que  nous 
venons  de  considérer.  On  peut  les  trouver  directement;  il  suffit  de 
couper  la  section  par  le  plan  xOz  par  un  cercle  de  centre  O  et  de 
rayon  p  ;  on  obtient  ainsi,  en  combinant  les  équations 


l'équation 


ou 


^2- 

—  pq  =  O,         x''--{-  z' 

/>2               \  p         pq 

qx'-~z^-{p  —  q) 

P'  =  o, 


qui  représente  les  deux  plans  cycliques;  on  obtient  donc  les  traces 
de  ces  plans  en  joignant  à  l'origine  les  points  de  rencontre  des  géné- 
ratrices du  cylindre  situées  dans  le  plan  xOz  el  du  cercle  de 
centre  O  et  de  rayon  p. 


EXERCICES. 


1.  D'un  point  pris  sur  un  paraboloïde  hyperbolique,  on  abaisse  des  perpen- 
diculaires sur  les  génératrices  d'un  même  système;  le  lieu  de  ces  perpendi- 
culaires est  un  cône  du  second  degré  :  trouver  ses  plans  cycliques.  Lieu  des 
pieds  des  perpendiculaires. 


SECTIONS    CIRCULAIRES.  385 

2.  Exprimer  que  le  plan  Ix  ■+-  my  4-  nz  coupe  la  <\\idiér\(\\i(t  f{x, y,  z)  =^0 
suivant  un  cercle. 
—  On  peut  exprimer  qu'il  y  a  une  valeur  de  S  telle  que 

soit  divisible  par  Ix  -\-  my  4-  nz  et  par  suite  égal  à 

{Ix  -h  m  y  -i-  nz){l'  X  -+-  m'y  -h  n'  z), 

V,  m',  n'  étant  des  inconnues. 

On  peut  aussi  déterminer  l\  m',  n'  de  façon  que 

o{x,y,  z)  — (Ix  ■+■  my  -+-  nz  ){r x  -h  m'y  -i-  n' z)  =  o 

représente  un  cône  isotrope. 

3.  Lieu  des  sommets  des  cônes  circonscrits  à  une  quadrique  et  qui  sont 
coupés  par  un  plan  donné  suivant  des  cercles. 

A.  Si  l'on  coupe  un  cône  du  second  degré  et  ses  plans  cycliques  menés  par 
le  sommet,  par  un  plan  passant  par  le  sommet,  les  deux  couples  de  droites 
obtenues  ont  les  mêmes  bissectrices. 

5.  Trouver  les  plans  cycliques  d'un  paraboloïde  elliptique  en  se  servant  de 
cette  propriété  :  les  projections  des  sections  planes  sur  un  plan  perpendicu- 
laire à  l'axe  sont  des  coniques  homolhétiques  (Ex.  Sg,  Ghap.  XXIV.) 

6.  Soient  A  un  ombilic  d'une  quadrique,  S  et  B  le  second  point  d'intersec- 
tion de  la  normale  en  ce  point  avec  la  surface.  On  joint  un  point  quelconque 
M  de  la  surface  S  aux  points  A  et  B  ;  par  A  on  mène  un  plan  perpendiculaire 
à  AM  qui  coupe  BM  en  P.  Le  point  P  décrit  un  plan  cyclique.       (Genty.) 

7.  Sur  une  normale  menée  par  un  ombilic  O  à  une  surface  du  second 
degré,  il  existe  un  point  P  tel  qu'en  menant  par  ce  point  une  transversale 
rencontrant  la  surface  en  des  points  M,  M',  l'angle  MOM'  soit  droit,  quelle 
que  soit  la  direction  de  la  transversale.  Le  plan  polaire  de  P  est  un  plan  cy- 
clique. 

8.  Etant  donné  un  ellipsoïde,  trouver  un  point  P  sur  cet  ellipsoïde  et  une 
droite  L,  tels  que  les  cônes  qui  ont  pour  sommet  le  point  P  et  pour  bases  les 
sections  faites  dans  l'ellipsoïde  par  des  plans  passant  par  L,  soient  de  révo- 
lution. Lieu  de  L  quand  la  longueur  de  l'axe  moyen  de  l'ellipsoïde  varie. 

(Concours  général,  18G7.) 

9.  Trouver  les  points  d'où  l'on  peut  mener  à  un  ellipsoïde  des  normales 
quadruples.  Les  pieds  de  ces  normales  sont  les  ombilics. 

10.  Lieu  des  ombilics  des  quadriquesjj'-hj^'-i- 32  —  -iuyz  —  ibzx —  ?.cx^=i 
quand  abc  =  i . 

11.  Étant  données  une  conique  G  et  une  droite  D  située  dans  son  plan, 
mais  ne  la  coupant  pas,  trouver  un  point  S  tel  que  le  plan  déterminé  par  le 

NiEWENQLOWSKi.  —  G.  an.,  in.  ai 


386  CHAPITRE   XXVI. 

point  S  et  la  droite  D  soit  un  plan  cyclique  du  cône  ayant  la  conique  G  pour 
directrice  et  le  point  S  pour  sommet. 

—  Le  plan  (S,  D)  doit  couper  le  cône  suivant  deux  droites  isotropes;  on 
en  conclut  immédiatement  que  si  M'  et  M"  sont  les  points  d'intersection  ima- 
ginaires conjugués  de  D  et  de  S  et  si  l'on  pose  M'M"=:  ihi,  le  point  S  doit 
être  sur  le  cercle  de  rayon  h  ayant  pour  centre  le  milieu  réel  de  M'M"  et  dont 
le  plan  est  perpendiculaire  à  D.  Traiter  la  question  par  le  calcul, 

12.  La  proposition  précédente  résout  cette  question  de  Géométrie  plane  : 
Etant  données  une  droite  D  et  une  conique  G,  trouver  un  point  S  et  un 
plan  P,  tels  que  la  perspective  de  G  sur  le  plan  P,  le  point  de  vue  étant  S, 
soit  un  cercle  et  que  la  perspective  de  D  soit  la  droite  de  l'infini.  G'est  une 
des  propositions  les  plus  utiles  de  la  théorie  des  propriétés  projectives  des 
figures,  de  Poncelet. 


CHAPITRE  XXYI. 

DISCUSSION  D'UNE  ÉQUATION  NUMÉRIQUE  DU  SECOND  DEGRÉ. 


411.  Étant  donnée  une  équation  du  second  degré/(.37,y,  z)  =  o, 
nous  savons  déjà  reconnaître  la  nature  de  la  surface  qu'elle  repré- 
sente, au  moyen  de  la  décomposition  du  premier  membre  en  somme 
algébrique  de  carrés,  ou  au  mojen  de  l'équation  en  S. 

Il  j  a  encore  d'autres  méthodes,  que  nous  allons  indiquer  dans  ce 
Chapitre  ;  mais  nous  ferons  d'abord  une  remarque.  Une  même  équa- 
tion rapportée  à  deux  systèmes  différents  d'axes  de  coordonnées 
représente  des  surfaces  de  même  nature.  Pour  plus  de  clarté, 
considérons  deux  systèmes  d'axes  de  coordonnées,  un  système 
d'axes  rectangulaires  et  un  système  d'axes  obliques,  et  représentons 
par  J7,jK,  ^  et  X,  Y,  Z  les  coordonnées  relatives  à  ces  deux  systèmes. 
Comparons  les  surfaces  représentées  par  les  équations  /(^,y,  ;î)  =  o 
et  /(X,  Y,  Z)  =  o.  Ces  deux  équations  représentent  des  surfaces 
du  même  degré;  supposons  d'abord  qu'il  s'agisse  du  second  degré. 

Dans  ce  cas,  si  l'on  décompose  /(^,JK,  z)  en  carrés  et  si  l'on  a, 
par  exemple, 

/(  07,  j,  ^  )  =  (  «a:  -t-  6/  H-  cz  -+-  dY 

-+-(a'x  -h  b'y  -\-  c' z  H-  d'y-  —  {a" x  -+-  h" y  -t-  c" z  +  d"y-+  h, 


ÉQUATION   NUMÉRIQUE    DU   SECOND    DEGRÉ.  887 

on  aura  évidemment  aussi 

f^X,  Y,Z)  =  (rtX  +  ^»Y  +  cZ-f-f/)2 

-4-  (a'  X  +  6' Y  +  c'Z  -h  d'f  —  (a*X  -i- b"\  -^  c"Z-h  d"  f- +  h 

et  par  conséquent  si  l'on  suppose,  pour  fixer  les  idées,  h<C  o,  cha- 
cune des  équationsy(j7,  y,  z)  =  o  ou  y(X.,  Y,  Z)  =  o  représentera 
un  lijperboloïde  à  une  nappe. 

Il  convient  toutefois  de  remarquer  que  si  Vespèce  est  conservée, 
la  variété  peut  être  modifiée.  Ainsi,  par  exemple,  l'équation 

représente  une  sphère,  si  les  axes  sont  rectangulaires  seulement,  et 
un  ellipsoïde  rapporté  à  trois  diamètres  conjugués  égaux,  si  les  axes 
sont  obliques.  De  même,  l'équation 

représente  un  hyperboloïde  de  révolution  si  les  axes  sont  rectangu- 
laires; un  hjperboloïde  encore  si  les  axes  sont  obliques,  mais  non 
plus  de  révolution. 

D'une  manière  générale,  on  peut  passer  de  l'une  des  figures  à 
l'autre  au  moyen  d'une  transformation  homographique ,  car  les 
coordonnées  X^  Y,  Z  sont  des  fonctions  linéaires  des  coordonnées 

j\  1',  r  : 

X  =  ax-Jr-^y-\-'{Z-\-o, 

Y  =  ol'x  -\-  ^'y  -h  y'- +  0', 

et,  par  conséquent,  les  deux  surfaces  rapportées  aux  mêmes  axes 
sont  définies  par  les  équations 

f{x,y,z)  =  0, 
f{'xx-^  p_/-f- Y^  ~i~  ^»  ^'-^  "+"  P'.X"^  ï-  ~*~  ^'i  «"374-  ^"y  -\-  y'-z  -+-  0")  =  o. 

Or,  à  un  point  correspond  un  point;  à  une  droite,  une  droite;  à 
un  plan,  un  plan.  Les  surfaces  représentées  par  les  deux  équations 
précédentes  se  correspondent  point  par  point;  si  un  point  esta  dis- 
tance finie  ou  infinie,  son  transformé  est  aussi  à  distance  finie  ou 
infinie  respectivement,  ce  qui  prouve  qu'à  une  nappe  de  la  première 
surface  correspond  une  nappe  de  la  seconde.  Si  tous  les  points  de 
la  première  surface  sont  à  distance  finie,  il  en  sera  de  même  pour 


388  CHAPITRE   XXVI. 

la  seconde.  A  une  section  plane  de  l'une  correspond  une  section 
plane  de  l'aulre;  'ces  deux  sections  sont  des  courbes  de  même  degré 
et  à  chaque  branche  infinie  de  l'une  correspond  une  branche  infinie 
de  l'autre.  A  une  tangente  correspond  une  tangente,  à  une  asymptote 
correspond  une  asymptote.  Ces  sections  sont  de  même  espèce.  On 
voit  donc  que  les  deux  surfaces  sont,  elles  aussi,  de  même  espèce  : 
l'une  peut  être  considérée  comme  une  déformation  de  l'autre.  Mais 
si  l'une  est  une  surface  de  révolution,  la  seconde  ne  sera  pas,  en  gé- 
néral, une  surface  de  révolution. 

On  peut  encore  remarquer  qu'aux  génératrices  rectilignes  de  la 
première  surface  correspondent  les  génératrices  rectilignes  de  la 
seconde  ;  mais  à  des  cercles  tracés  sur  la  première  correspondent,  en 
général,  des  ellipses  sur  la  seconde. 

Méthode  des  contours  apparents. 

412.  On  peut  former  d'abord  les  équations  du  centre  ;  la  discussion 
de  ces  équations  donne,  comme  nous  l'avons  vu,  une  première  indi- 
cation. Si  la  surface  a  un  centre  unique  à  l'infini,  c'est  un  parabo- 
loïde;  nous  savons  distinguer  le  paraboloïde  hyperbolique  du  para- 
boloïde  elliptique  en  cherchant,  par  exemple,  la  nature  des  plans 
directeurs.  Si  la  surface  a  une  ligne  de  centres  à  distance  finie,  c'est 
un  cylindre  à  base  elliptique  ou  hyperbolique  :  l'un  au  moins  des 
plans  de  coordonnées  ne  sera  pas  parallèle  à  la  ligne  des  centres  et, 
par  suite,  l'espèce  de  la  section  par  ce  plan  déterminera  l'espèce  du 
cylindre,  ou  indiquera  s'il  s'agit  de  deux  plans  sécants.  Le  cylindre 
parabolique  a  une  ligne  de  centres  à  l'infini,  et  le  système  de  deux 
plans  parallèles,  un  plan  de  centres;  on  voit  ainsi  que  la  discussion 
des  équations  du  centre  suffit,  sauf  pour  les  surfaces  de  la  première 
classe.  Pour  ces  dernières,  on  peut  d'abord  transporter  l'origine  des 
coordonnées  au  centre;  l'équation  prend  alors  la  forme 

Si  D,  =  o,  on  a  un  cône;  on  coupera  ce  cône  par  les  plans  de 
coordonnées.  Si  l'une  des  sections  se  compose  de  droites  réelles,  le 
cône  est  réel;  mais  si  les  trois  sections  obtenues  sont  imaginaires, 
on  ne  peut  rien  conclure.  Dans  ce  cas,  on  coupera  encore  par  des 
plans  parallèles  aux  plans  de  coordonnées  ;  si  le  cône  est  réel,  l'une 
des  sections  ainsi  obtenues  doit  être  réelle. 


ÉQUATION   NUMÉRIQUE    DU    SECOND    DEGRÉ.  HSg 

« 

Supposons  D,  ^  o  ;  il  esl  très  commode  le  plus  souvent  de  décom- 
poser le  polynôme  'f(x,y,  z)  en  carres.  On  peut  aussi  procéder  de 
la  manière  suivante,  si  l'un  au  moins  des  coefficients  des  carrés  est 
différent  de  zéro  ;  soit,  par  exemple,  A"  yé  o.  Dans  ce  cas,  en  résol- 
vant par  rapport  à  z,  on  met  l'équation  de  la  surface  sous  la  forme 

^  =  —  '^  ^-^ '^r  ^    '    v/^B'a:-t-B^)î— A"'(Aa;2-i- A>»-H2B'r7+D,)  ; 
ce  qu'on  peut  écrire 

z  =  —  -''^-TT, — '—  ±  TT'  Z'^"* -^  '■  fii^y  -+- py^  —  A" D 1 . 

L'équation 

Ix*  -1-  inixy  -h py^  —  Â'D,  =  o 

représente  le  cylindre  circonscrit  à  la  surface  et  dont  les  généra- 
trices sont  parallèles  à  l'axe  des  z;  on  voit,  en  effet,  que  la  courbe 
de  contact  de  ce  cylindre   est  définie  par  les   équations 

/{x,y,z)  =  o,        /;  =  o; 
c'est-à-dire 

s  = p — ■—  >  Ix^  ->r  imxy  -^py-  —  A  Dj  =  o. 

La  dernière  de  ces  équations  représente,  dans  le  plan  des  x,  y,  la 
projection  sur  ce  plan,  faite  parallèlement  à  l'axe  des  z,  de  la  courbe 
de  contact  du  cylindre  circonscrit  considéré,  c'est-à-dire  la  projec- 
tion du  contour  apparent  de  la  surface  relativement  à  la  direction 
de  l'axe  des  :;.  C'est  la  discussion  de  la  nature  de  ce  contour  appa- 
rent qui  va  nous  permettre  de  reconnaître  la  nature  de  la  quadrique. 
Pour  que  z  soit  réel,  il  faut  et  il  suffit  que  l'inégalité 

(i)  Ix^ -^'iinry -irpy^— A"  ïiito 

soit  vérifiée.  Nous  sommes  ainsi  conduits  à  distinguer  trois  cas, 
suivant  que  la  courbe  de  contour  apparent  est  une  ellipse  réelle,  une 
ellipse  imaginaire  ou  une  hyperbole. 

i"  Ellipse  réelle.  —  Si  A"D,  <  o,  l'inégalité  (i)  est  vérifiée  pour 
tous  les  points  situés  à  l'intérieur  du  contour  apparent;  la  quadrique 
est  donc  un  ellipsoïde. 


SgO  CHAPITRE   XXVI. 

Si  A"D,  >»  o,  la  quadrique  se  projette  à  l'extérieur  de  l'ellipse; 
c'est  un  hjperboloïde  à  une  nappe. 

2°  Ellipse  imaginaire.  —  Si  A"D,  <<  o,  la  projection  delà  qua- 
drique sur  le  plan  xOy  couvre  ce  plan  tout  entier;  cette  quadrique 
ne  peut  être  qu'un  hyperboloïde  à  deux  nappes. 

Si  A"D,  >  o,  -S  est  imaginaire  pour  les  valeurs  réelles  de  x  et  de 
y  ;  la  quadrique  est  un  ellipsoïde  imaginaire. 

3°  Hyperbole.  —  Si  A"D,  <<  o,  la  projection  de  la  quadrique 
couvre  toute  la  région  du  centre;  c'est  donc  un  hyperboloïde  à  une 
nappe. 

Si  A"D|  >>  o,  la  projection  de  la  quadrique  couvre  les  deux  régions 
distinctes  du  plan  qui  constituent  V intérieur  de  l'hyperbole,  projec- 
tion du  contour  apparent  :  on  a  donc  affaire  à  un  hyperboloïde  à 
deux  nappes. 

Remarque.  —  La  nature  de  la  quadrique  est  déterminée  par  l'ombre 
qu'elle  projetterait  sur  le  plan  des  x,y  si  les  rayons  lumineux  venaient  de 
l'infini  dans  la  direction  de  l'axe  des  z.  On  peut  arriver  aux  conclusions  pré- 
cédentes d'une  manière  un  peu  différente.  L'axe  des  z  est  le  diamètre  conju- 
gué au  plan  du  contour  apparent  que  nous  avons  considéré;  or,  ce  diamètre 
est  réel  ou  imaginaire,  suivant  que  A"Di  est  <  o  ou  >  o.  Si  le  contour  appa- 
rent est  une  ellipse  réelle  et  si  l'on  suppose  A"Di  <  o,  on  voit  que  la  surface 
a  une  infinité  de  systèmes  de  trois  diamètres  conjugués  réels  :  c'est  [donc  un 
ellipsoïde  réel.  Si,  au  contraire,  A"Di  >  o,  deux  diamètres  conjugués  du 
contour  apparent  forment  avec  l'axe  des  z  un  système  de  trois  diamètres 
conjugués,  dont  deux  seulement  sont  réels;  la  quadrique  est  donc  un  hyper- 
boloïde à  une  nappe,  et  ainsi  de  suite. 

413.  La  méthode  précédente  ne  s'applique  pas  si  A  =  A'=  A"=  o. 

L'équation 

ayz  -+-  bzx  -h  cxy  -f-  <i  =  o, 

dans  laquelle  les  coefficients  a,  è,  c,  d  sont  tous  supposés  différents  de 
zéro,  représente  une  quadrique  ayant  pour  centre  unique  l'origine  des  coor- 
données et  dont  le  cône  asymptote  est  réel;  c'est  donc  un  hyperboloïde. 
Pour  reconnaître  la  nature  de  cet  hyperboloïde,  on  peut  faire  usage  de  la 
décomposition  en  carrés;  il  est  plus  simple  de  procéder  ainsi.  L'axe  des^  est 
une  génératrice  du  cône  asymptote;  il  en  résulte  que  l'hyperboloïde  est  à 
une  ou  deux  nappes,  suivant  qu'il  contient  ou  non  des  droites  parallèles  à 
l'axe  des  z.  Cherchons  donc   si   l'on  peut  déterminer  a  et  j3  de  façon   que 

l'équation 

{a^  -i-  bcL)z-\r  0%^  -\-  d  =  o 


ÉQUATION  NUMÉRIQUE  DU  SECOND  DEGRÉ.  SqI 

soit  vérifiée  quel  que  soit  z\  ce  qui  donne 

rt^-l-^x  =  o,         ca[3-+-rf  =  o, 
d'où 

—  aï  — rf  =  o. 
a 

Le  système  d'équations  en  a  et  ^  n'aura  de  solutions  réelles  que  si 
abcd'^  o.  Donc,  deux  cas  : 

1°  abcdy-  o ,  hypcrboloïde  à  une  nappe; 
9°  abcd  <Co ,  hyperboloïde  à  deux  nappes. 

Les  conclusions  précédentes  ne  subsistent  pas  si  quelque  coefficient  s'an- 
nule; par  exemple,  si  a  =  o,  l'équation  représente  un  cylindre  hyperbolique. 
Si  c^=  o,  on  a  un  cône  et  deux  plans. 

Équation  résolue  par  rapport  à  l'une  des  variables. 

414.  L'équation  de  la  quadrique  résolue  par  rapport  à  z,  en  sup- 
posant que  z  entre  au  second  degré,  prend  la  forme 

z  =  ax-^by-^c±  \Jj\x,y), 

f{x,y)  étant  au  plus  du  second  degré. 

L'équation 

z  =  ax  -\-  by  -\-  c 

représente  le  plan  diamétral  conjugué  à  l'axe  des  5,  el/{x,y)  =  o 
est  l'équation  du  cylindre  circonscrit  parallèle  à  l'axe  des  z.  Cette 
équation  représente  donc  aussi  la  projection  Cj  sur  le  plan  des^r,^, 
faite  parallèlement  à  l'axe  des  z,  de  la  courbe  C  de  contact  de  ce 
cylindre. 

C'est  encore  la  nature  de  cette  conique  qui  déterminera  la  nature 
de  la  quadrique. 

1°  C  est  une  conique  à  centre.  —  La  quadrique  est  alors  de  la 
première  classe,  puisqu'elle  est  coupée  par  un  plan  diamétral  suivant 
une  conique  à  centre.  Pour  que  z  soit  réel,  il  faut  et  il  suffit  que  x 
Gl  y  vérifient  l'inégalité  y"(x,jK)  =  o.  On  fera  donc  la  même  discus- 
sion que  dans  le  n"  412;  on  pourra  aussi  étudier  la  nature  du  dia- 
mètre parallèle  à  l'axe  des  z  et  qui  a  pour  équations,  comme  on  s'en 
assure  aisément,  f'^  =  o,/^  =  o.  On  connaîtra  ainsi  la  nature  d'un 
système  de  trois  diamètres  conjugués  et,  par  suite,  on  connaîtra 
l'espèce  de  la  quadrique. 


392  CHAPITRE   XXVI. 

D'ailleurs /(a^,^)  ==  sPï  4- î'Q2 -H  £"/i2,   donc  l'équation   de  la   quadrique 
est  de  la  forme 

(z  —  acc  —  /jj  —  cy  —  zF^  —  z'q^'  —  z"h^  =:  o: 

on  connaît  ainsi  immédiatement  la  nature  de  cette  surface. 

2"  G  est  un  système  de  droites  concourantes.  —  La  quadrique 
est  un  cône;  si  les  deux  droites  sont  réelles,  ce  cône  est  réel.  Si  les 
deux  droites  sont  imaginaires,  il  faudra  étudier  les  sections  par  les 
plans  de  coordonnées. 

On  a,  dans  ce  cas, /(a:,  j')  ^  PQ  ;  l'équation  de  la  surface  est 

{z  —  ax  —  by  —  cy-  —  Y  (l  =  o , 

P,  Q,  3  —  ax  —  by  —  c  sont  des  polynômes  distincts  :  donc  l'équation  repré- 
sente bien  un  cône. 

3**  G  est  un  système  de  deux  droites  parallèles,  —  La  surface 
est  un  cylindre. 

On  ^f{oc,y)  =  a'P2  -4-  6'P  -f-  c'  ;  l'équation  est  donc 

(z  —  ax  —  by  —  cy-  —  a'P^  —  6'P  —  c'  =  o  ; 

c'est  bien  l'équation  d'un  cylindre. 

4°  G  est  une  parabole.  —  La  quadrique  étant  coupée  par  un 
plan  diamétral  suivant  une  parabole  est  un  paraboloïde.  Les  sec- 
tions par  les  plans  de  coordonnées  permettront  de  déterminer  la 
nature  du  paraboloïde. 

D'ailleurs  le  paraboloïde  elliptique   se  projette  à  l'intérieur  de  Ci,  et  le 
paraboloïde  hyperbolique  à  l'extérieur. 
f{x,y)  =  tP'^+  Q  :  donc  l'équation  de  la  quadrique  est 

{z  —  ax  —  by  —  c)  —  eP^  —  Q  =  o; 

c'est  un  paraboloïde  elliptique  si  s  <  o,  hyperbolique  si  s  >  o. 

5°  G  se  réduit  à  une  seule  droite.  —  La  quadrique  est  nécessai- 
rement un  cylindre  parabolique  ou  un  système  de  deux  plans. 

D'ailleurs /(iF, 7)  ^  P,  P  étant  un  polynôme  de  premier  degré  en  x,y; 
l'équation  de  la  quadrique  est 

(z  —  ax  —  by  —  cy  —  P  =  0. 


ÉQUATION    NUMÉRIQUE   DU   SECOND   DEGRÉ.  898 

6"  f{x,y)  est  une  constante.  —  L'équalion  représente  deux 
plans  parallèles. 

415.  Supposons  enfin  que  l'une  des  coordonnées,  z  par  exemple, 
n'entre  qu'au  premier  degré,  de  sorte  qu'on  puisse  mettre  l'équa- 
tion de  la  quadrique  sous  la  forme 

z  —  . iLJ         où         P  =  aa;  -f-  ^v  -t-  c. 

I'  -^ 

Le  système /(j:',y)  =  G,  P=  o  représente  deux  droites  situées 
sur  la  surface,  et  il  faut  remarquer  que,  si  ces  droites  sont  à  distance 
finie,  la  surface  ne  peut  être  un  cylindre,  car  les  génératrices  étant 
parallèles  à  l'axe  des  z,  l'équation  ne  devrait  pas  contenir  z.  La  na- 
ture de  la  quadrique  sera  déterminée  par  la  nature  de  ces  deux 
droites. 

Nous  supposerons  que  l'intersection  du  plan  P  et  de  la  quadrique 
soit  : 

1°  Deux  droites  réelles.  —  La  quadrique  est  un  hyperboloïde  à 
une  nappe,  parce  qu'on  peut  y  placer  deux  droites  parallèles  et 
réelles. 

Dans  le  plan  xOy  l'équation  f{x,y)  =  o  représente  une  conique  G,  P  =  o 
représente  une  sécante.  Si  U  =  o,  V=  o  sont  les  équations  des  tangentes  à  G 
aux  points  d'intersection  par  cette  sécante,  on  a 

/(:r,7)^aP2  +  pUV, 

l'équation  de  la  quadrique  peut  s'écrire 

P(5  — aP)=:pUV; 

c'est  donc  bien  un  hyperboloïde  à  une  nappe. 

2"  Deux  droites  imaginaires  conjuguées.  —  La  quadrique  est 
un  hyperboloïde  à  deux  nappes,  puisque  le  plan  asymptote  P  la 
coupe  suivant  deux  droites  parallèles  imaginaires  conjuguées. 

3°  Deux  droites  confondues.  —  Le  plan  P  est  alors  un  plan 
tangent  coupant  la  quadrique  suivant  une  droite  double;  on  a  donc 
un  cône. 

On  peut  poser 

/(r,7)sPQ-f-Rî, 

donc  l'équation  est 

P(5_Q)_R2  =0. 


394  CHAPITRE   XXVI. 

4"  Une  seule  droite  à  distance  finie.  —  Le  plan  P  est  un  plan 
asjmptote  coupant  la  quadrique  suivant  une  seule  droite  à  distance 
finie  :  cette  surface  est  un  paraboloïde  hyperbolique. 

Si/(a:,  ^)  =  o  représente  une  hyperbole,  P  =o  doit  représenter  une  pa- 
rallèle à  une  asymptote,  et,  dans  ce  cas, 

l'équation  de  la  quadrique  devient 

P(z-Q)-aQ-4-p. 
Siy"(^,^)  =  o  représente  une  parabole,  on  a 

/(^,j.)  =  aP2-HQ, 

et  la  quadrique  a  pour  équation 

P(5  — aP)=Q. 

5°  Deux  droites  à  V infini.  —  La  quadrique  est  alors  un  cylindre 
hyperbolique. 

On  le  voit  aisément  ainsi  : 

/(^,j)  =  PQ  +  a, 

donc  la  quadrique  a  pour  équation 

P(^-Q)=a. 

Dans  tout  ce  qui  précède,  le  polynomey"(^,  y")  est  supposé  du  se- 
cond degré  et  indécomposable;  mais  il  peut  se  faire  que  f{x,y) 
soit  un  produit  de  deux  facteurs,  ou  que  son  degré  s'abaisse.  On  a 
donc  à  examiner  encore  un  certain  nombre  de  cas.  Si/(^,  jv")  6st  le 
produit  de  deux  facteurs  Q,  R  distincts  de  P,  on  se  trouve  de  nou- 
veau dans  le  premier  cas.  Nous  pouvons  donc  laisser  ce  cas  de  côté 
et  supposer  y(^,  j^)  HE  PQ.  Nous  aurons  ainsi  à  considérer  les  cas 
suivants  : 

P  0 
6°  ;;  =  — j^  ou  mieux  P(5  —  Q)  =  o  :  deux  plans. 

7°  ^==  p  ou  Pi;  =  Q  :  paraboloïde  hyperbolique. 

8°  ^=  p  ou  P;5  =  a,  a  étant  une  constante  :  cylindre  hyperbo- 
lique. 

P  peut  se  réduire  à  une  constante;  l'équation  est,  dans  ce  cas, 

z=f{3c,y). 


ÉQUATION   NUMÉRIQUE    DU   SECOND    DEGRÉ.  SqS 

Le  polynôme /(.r,  jk)  est  alors  nécessairement  du  second  degré  et 
l'on  peut  avoir  encore  les  cas  suivants  : 

9°  z  =  £{Q-  -^  K-)  -\-  h  :  paraboloïde  elliptique. 

lo"  z  =  Q^ —  R-  +  A  :  paraboloïde  hyperbolique. 

Il"  c  =  £Q2  -I-  R  :  cylindre  parabolique. 

Exemple.  —  Considérons  l'équation 

x^  -+-  0.  V>yz  =  h 
ou 

z  = 


V.B7 


Deux  cas  :  1°  /*  >  o;  x^ —  h  =  o  représente  deux  plans  parallèles  au  plan 
yOz.  Ces  plans  sont  coupés  par  le  plan  xOz  suivant  deux  droites  parallèles 
à  l'axe  des -S,  qui  appartiennent  à  la  surface;  cette  surface  est  donc  un  hy- 
perboloïde  à  une  nappe.  Le  plan  jOz  coupe  la  surface  suivant  une  hyper- 
bole ayant  pour  asymptotes  l'axe  des  y  et  l'axe  des  z,  et  les  plans  parallèles 
à  zOx  donnent  des  paraboles. 

1"  h  <  o.  La  surface  est  un  hyperboloïde  à  deux  nappes. 


Discussion  d'une  équation  tangentielle  du  second  degré  (  '  ). 

-416.  Nous  ferons  d'abord  la  remarque  suivante  :  Sohf(x,y,  z,  t)  =  o  l'é- 
quation ponctuelle  à  coefficients  réels  d'une  quadrique;  on  obtient  son  équa- 
tion tangentielle  au  moyen  de  la  substitution  linéaire 

u  =/r,       t'  =f'y,       w  =/:,       /•  =//,  H  7^  o. 

Donc,  en  vertu  de  la  loi  d'inertie  d'Hermite,  les  premiers  membres /(a?, ^,5,  t) 
et  F(k,  V,  w,  r)  de  l'équation  ponctuelle  et  de  l'équation  tangentielle 
d'une  même  quadrique  présentent  le  même  nombre  de  carrés  positifs  et  de 
carrés  négatifs. 

Cela  posé,  on  sait  que  les  coordonnées  du  pôle  du  plan  {u,v,  w,  r),  par 
rapport  à  la  quadrique  représentée  par  l'équation  F(  if,  c,  tp,  /•)  =  o,  sont  pro- 
portionnelles à  F,',,  Y'^,,  F,'^„  F^;  il  en  résulte  que  les  coordonnées  du  centre 
sont  c,  c',  c",  a"',  si  l'on  pose 

F(«,  V,  w,  r)^au^-^  a'v'^-^  a" w--\- a" r^ -\- '>.bvw -{- ib' wu -\- ib" uv 

-h  leur  -h  ic' vr  ->r-  ic' wr. 
L'équation  du  centre  est  \  F'^  =  o. 
On  sait  que  l'équation  F(a,  v,  w,  r)  =  o  représente  la  polaire  réciproque 

C)  Voir  Leçons  de  l'Agrégation  classique  de  Mathématiques,  par  G.  kcBMOs; 
Paris,  Ilermann. 


396  CHAPITRE   XXYI. 

de  la  quadrique  (dégénérée  ou  non)  représentée  par  l'équation  ponctuelle 
F(x,  y,  z,  t)  =  o,  par  rapport  à  la  quadrique  imaginaire  représentée  par 
l'équation 

x'i  -i-y-  -h  z'^-h  t-  =  o. 

Soit  H  le  discriminant  de  la  forme  F(x,y,  z,  t).  Si  H  ^  o,  l'équation 
V{x,  y,  z^  t)  =  o  représente  une  quadrique  qui  peut  être  un  ellipsoïde,  un 
hyperboloïde  ou  un  paraboloïde;  il  en  est  donc  de  même  de  l'équation 

F(  M,  V,  w,  r)  ■=  o. 

Si  a"'=o,  cette  équation  représente  un  paraboloïde;  il  est  facile  de  savoir 
s'il  s'agit  d'un  paraboloïde  elliptique  ou  hyperbolique.  En  effet,  si  une  sur- 
face est  réglée,  sa  polaire  réciproque  est  aussi  réglée,  les  génératrices  cor- 
respondantes des  deux  surfaces  étant  des  droites  conjuguées  par  rapport  à  la 
quadrique  directrice.  Il  suffira  donc  de  décomposer  la  forme  F(u,  p,  w,  r) 
en  carrés;  s'il  y  a  deux  carrés  positifs  et  deux  négatifs,  le  paraboloïde  sera 
hyperbolique;  dans  les  autres  cas,  il  sera  elliptique.  La  direction  de  l'axe  du 
paraboloïde  a  pour  paramètres  directeurs  c,  c',  c",  lesquels  ne  peuvent  être 
nuls  tous  les  trois;  car  dans  ce  cas,  a'"  étant  nul  aussi,  H  serait  nul. 

Soit  en  second  lieu  a'"  ^  o.  En  appliquant  la  méthode  de  décomposition 
en  carrés  de  Gauss,  on  a 

F(  »,(',»',/•)  =  ^{^  F'^jV  *(«,(>,  w), 

<!>(«,  c,  iv)  est  une  forme  quadratique,  somme  de  trois  carrés.  Le  cône 
asymptote  a  pour  équations 

F',.  =  o,         *(«)  V,  w)  =  o 

puisque  les  plans  tangents  à  ce  cône  sont  les  plans  tangents  à  la  quadrique, 
menés  par  son  centre. 

Si  4>(m,  V,  w)  est  la  somme  de  trois  carrés  de  même  signe,  le  cône  asym- 
ptote étant  imaginaire,  la  quadrique  est  un  ellipsoïde  réel  ou  imaginaire,  sui- 
vant que  le  signe  de  ces  carrés  est  celui  de  —  a"  ou  celui  de  a'". 

Si  <ï>(m,  c,  w)  est  la  somme  de  carrés  de  signes  contraires,  F  =  o  représente 
un  hyperboloïde.  Ce  sera  un  hyperboloïde  à  une  nappe  si  F  est  la  somme  de 
deux  carrés  positifs  et  de  deux  carrés  négatifs,  car,  F(x,  y,  z,  t)  =0  repré- 
sentant alors  une  surface  réglée,  il  en  est  de  même  de  sa  polaire  réciproque; 
si  F  contient  trois  carrés  de  même  signe,  c'est  un  hyperboloïde  à  deux 
nappes. 

Supposons  maintenant  H  =  o.  L'équation  F{ce,  y,  z.  t)=o  représentant 
un  cône,  F(tt,  c,  w,r)  =  o  représente  alors  une  conique  dont  le  plan  est  le 
plan  polaire  du  sommet  du  cône. 

Le  centre  de  la  conique  a  pour  coordonnées  c,  c',  c",  a".  En  effet,  les  plans 
tangents  parallèles  au  plan  ux  -\-  t'y  -h  wz  =  o  sont  déterminés  par  les  va- 
leurs de  /'  qui  sont  les  racines  de  F(«,  v,  w,  /•)  =  o;  si  r'  et  r"  sont  les  deux 


ÉQUATION    NLMÉRIQUE    DU    SECOND    DEGRÉ.  89^ 

racines  de  cette  équation,  le  plan  équidistant  des  deux  plans  tangents  paral- 
lèles au  plan  donné  a  pour  équation 


c'est-à-dire 


ux  -h  vy  -h  n-z  -\ =  o, 


cu-^  c  v-^  r  w 
ux  -\-  vy  -\-  wz  —  ;„ =:  o  ; 


c      c      c 
or  ce  plan  passe  par  le  point  fixe  ayant  pour  coordonnées  — ;=>  sa  —s'  Ce 

a      a      a 

point  étant  à  égale  distance  de  tous  les  couples  de  plans  tangents  parallèles 

est  le  centre  de  la  quadrique  ou  de  la  courbe  représentée  par  l'équation 

F(«,  V,  w,  /•)  =  o. 

Il  est  facile  de  déterminer  la  nature  de  la  conique  en  cherchant  les  plans 
tangents  issus  de  son  centre.  Il  suffit  de  procéder  comme  dans  le  cas  d'une 
quadrique  proprement  dite.  En  supposant  a'"^  o,  nous  emploierons  encore 
la  méthode  de  Gauss  et  nous  poserons 

F(«,  V,  IV,  r)  =  ■^,  (-^  Flj   +  ^(u,  V,  w); 

Il  étant  supposé  nul,  F  est  la  somme  de  trois  carrés  au  plus.  Si  nous  sup- 
posons qu'un  au  moins  des  mineurs  du  premier  ordre  de  H  soit  difi"érent  de 
zéro,  nous  voyons  que  la  forme  *ï*(m,  v,  w)  sera  la  somme  de  deux  carrés.  Si 
ces  carrés  sont  de  même  signe,  la  conique  est  une  ellipse  réelle  si  le  signe 
de  a'"  est  différent  de  celui  de  4>,  une  ellipse  imaginaire  dans  le  cas  contraire. 
Si  *  est  la  différence  de  deux  carrés,  la  conique  est  une  hyperbole. 

Si  a"'  =  o,  la  courbe  est  tangente  au  plan  de  l'infini,  c'est  donc  une  para- 
bole dont  l'axe  a  pour  paramètres  directeurs  c,  c',  c" . 

Mais  il  pourrait  arriver  que  c  =  c'  =  c"  =  a"  =  o;  dans  ce  cas  particulier, 
la  fonction  F  ne  dépend  plus  de  r;  F';,  est  donc  nul,  et,  par  suite,  le  point  de 
contact  de  tout  plan  tangent  est  à  l'infini  ;  la  conique  est  dans  le  plan  de  l'in- 
fini, ce  que  nous  savons  d'autre  part  (206).  Cette  conique  est  imaginaire,  si 
les  trois  carrés  en  lesquels  F  se  décompose  ont  le  même  signe,  et  réelle  dans 
le  cas  contraire. 

Supposons  maintenant  que  F(m,  f,  w,  r)  soit  la  somme  de  deux  carrés;  si 
ces  carrés  sont  de  même  signe,  l'équation  F  =0  représente  deux  points  ima- 
ginaires conjugués,  et  si  les  carrés  sont  de  signes  contraires,  deux  points 
réels. 

Enfin,  si  F(«,  v,  iv,  r)  est  un  carré,  l'équation  représente  un  point  unique. 

On  peut  dresser  le  Tableau  suivant  qui  résume  la  discussion  : 


398 


n^o. 


H  =  o, 
mais  un  mineur 
du  premier  or- 
dre   est    diffé- 
rent de  zéro. . 


H  =  o, 

tous  les  mineurs 
du  premier  or- 
dre sont  nuls, 
un  mineur  du 
deuxième  or- 
dre est  diffé- 
rent de  zéro. . 
H  =  o, 

tous  les  mineurs 
du  second  or- 
dre sont  nuls, 
F  est  un  carré. 


a'"^  0. 


a'"  ^  o. 


'  a'"  ^  0. 


a  ^  o 


CUAl'lTHE    XXVI. 

<P  somme  de  trois  carrés  du  même  signe 

que  a'" 

1  »1>  somme  de  trois  carrés  du  même  signe 

que  —  a'" 

*ï>  somme  de  deux  carrés  du  signe  a'"  et 

I      d'un  carré  de  signe  contraire 

4>  somme  d'un  cari-é  du  signe  de  a'"  et 

deux  carrés  de  signe  contraire 

'  F  somme  de   deux   carrés   positifs  et  de 

de  deux  carrés  négatifs 

F  somme  de  trois  carrés  de  même  signe 

et  d'un  carré  de  signe  contraire 

4>  somme  de  deux  carrés  du  même  signe 

que  a'" 

<I>  somme  de  deux  carrés  du  même  signe 

que  —  a'" 

4>  somme  de  deux  carx'és  de  signes  con- 
traires. 

'  c,  c',  c"  non  tous  nuls 

F  somme  de  trois  carrés 

de  même  signe 

F  somme  de  trois  carrés 
ayant  des  signes  con- 
traires  

«I>  est  un  carré  du  même  signe  que  a'".. . 
4>  est  un  carré  du  même  signe  que  — a'" . . 


Ellipsoïde  imaginaire 

Ellipsoïde  réel. 

Hyperboloïde  à  deuj 
nappes. 
1  Hyperboloïde    à    un< 
)      nappe. 

)  Paraboloïde  hyperbo 
(      lique. 

Paraboloïde  elliptique 
j  Ellipse  imaginaire. 

I  Ellipse  réelle. 

) 


c,  c',  c"  non  tous  nuls. 
c  =  c'  —  c"  =  0 


Hyperbole. 

Parabole. 

Conique  imaginaire  i 
l'infini. 

Conique  réelle  à  l'in 
fini. 

Deux    points     imagi 
naires  conjugués. 

Deux  points  réels. 
(  Un  point  à  l'infini  e 
I      un  point  à  distanci 
(      finie. 

Deux  points  à  l'infini 

(  Un    point    à   distanci 
(      finie. 
Un  point  à  l'infini. 


Il  convient  de   rappeler  qu'une  seule  équation  F(m,  v,  w,  /•)  =  o  ne  peut 
jamais  représenter  ni  un  cône  ni  un  cylindre. 


EXERCICES. 


1.  Reconnaître  la  nature  des  quadriques   représentées    par  les  équations 
suivantes  : 

1.  a(cc^  ■+■  lyz)  -\-  b{y^-h  izx)  H-  c(^2_i_  -^xy)  =  i. 

On  formera  l'équation  en  S  et  l'on  cherchera  dans  quel  cas  la  surface  est 
de  révolution,  en  supposant  les  axes  rectangulaires. 

t.  a^x"^^  yz)-^  b{y'^ -^  zx)  + c{z^--^  xy)  =  ^. 
3.  a(x-  —  lyz)  h-  b{y^—  izx)  H-  c{z^~  ixy)  =  i. 


ÉQUATION   NUMÉRIQUE   DU   SECOND    DEGRÉ.  899 

i.  ar* 4- ( 2 m- -I-  i){y-  -i-  z^)  —  ■?.{fz-hzx-h  xy)  =  2 m'  —  'Sni-\-i.  Discu- 
ter quand  m  varie  de  —  ce  à  -l-  00. 

5.  x^  — y-  -+-2^2  —  .fyr  _  ^^x  -h  ^xy  -hix  —  4j  —  4  =0. 

6.  ar^  —  y'^-i-iz^ —  lyz -\- ^zx -\- .\xy -^ 'ix  —  ^y — 1  =  0.  Trouver  les 
génératrices  rectilignes. 

7.  3ar2  -(-  8j2  _4_  24  s2  —  2875  —  18337-1-  loxy  —  ix  -^  \y  =  o, 

8.  ix^-h  5y^  -+-  2z^-Jr-  lyz  -t-  6a^/-f-  iy  -^  ?^z  -^  1  =  o. 

9.  ar^-h  272_|_  232 -f- iay  —  237—4^—4^  =  0. 

10.  3x2-i-2_/2-f-  2  3'-_|_  2^3  _|_0a7-h67 -4-6^-1-9  =  O, 

11.  "i x^  ^ y- -\- z^ -\- y z  —  izx  —  ixy -ir  y -\- 1  =  o. 

12.  x'^-\-y^  -t-  23*-t-  2_7-  -t-  2337  -1-  ixy  —  ix  —  "iy  -\-  iz  =  o. 

13.  372 -t- 2 j'^ H- 3 2 — lyz  —  23y^-i-2/  —  23 -f- 1  =  0. 

14.  372-4-^2-1-932 —  6jz  -H  6337  —  237^  —  x-\-  y  —  Zz  =  o. 

I0.  372-1-^2-1-  952  _  5^^  _|_  (j  -^ 2 377  —  2  37  -h  iy Gz  -f-  I  =0. 

16.  372-f-72_^  1Z--\-  ^yZ  —  2337  —  '237^  4"  2 J —  3  =  O. 

17.  3372-+-  2J'2_(_   J^3  —  2337  —  ^X  —  83  —   8  =  O. 

18.  37^  —  y^ —  232 —  !^yz  H-  237^  -+-  ly  -r-  23  =  o. 

19.  372  -H  Ç)yz  -f-  3337  H-  2  37JK  -I-    37  H-  33  =  O. 

20.  .r2  _  2^2  -H  32  —  4  337  -f-  237^  -+-  4^  "+-  4  3  —  9  =  O- 

21.  372 -f-  'iy^-h  232-1-  ^yz  -f-  ixy  —  337  —  iy  —  33  =  0. 

2:2.  372-1-  25j2-f-  932  —  30^3  -h  6337  —  103"^  —  237  —  ly  =  o. 

23.  372-I-/2 —  232 -f-  273  -H  2  337  -l-  237^  —  \x 2_K-t-23  =  0. 

Les  exercices  o  à  23  sont  empruntés  au  Manuel  des  candidats  à  l'Ecole 
Polytechnique  de  E.  G.vtalax. 

24.  3724-^'-!-  32  —  2_^3  COSX  —  2337  COS  [X  —  23"7COSV  =  I. 

Cas  où  X  -4-  jj.  -f-  V  =  TT. 

23.   «(7  —  3)2-1-6(3— 37)24-0(37— j)2  =  a37  4-  Pj-i- Y3  4-  0. 

26.  3-2 — JK3  4-  1  =  O. 

27.  (37  —  «)2  4-  {y  —  bY-^{z  —  cY=  («37  4-  P7  4-  Y-3  +  0  )'. 

28.  372-i-j'2_t-  3Î  =(^ax  -In  h  y  4-  03)24-  A  (a  37  4-  by  -\-  cz). 

29.  ay(y  4-3)4-  637(374-  z)  -h  xy  =  o.  Lieu  des  centres.  Indiquer  les  par- 
ticularités relatives  aux  axes  de  coordonnées,  aux  sections  planes.  F^eut-il  y 
avoir  des  sections  circulaires?  Ces  surfaces  peuvent-elles  être  de  révolution? 

Montrer  que  leur  enveloppe  est  une  quadrique  quand  ab  reste  constant. 

(Brocard.) 


400  CHAPITRE    XXVII. 

30.  x'^—'lxy-h'kz^  —  2X-hlJ-Z—l  =  0.  (PiCQUET.) 

31.  z  =  ax -\- '^y -h  y  ±  \/x'^  —  y'^-^  ax  -h  by  -\-  c.  (Fourkt.) 

32.  z  =  ocx-+-^y-\-ydz\/{lx-h  my)^-+-  ax  -h  by-i-  c.  (Fouret.) 

II.  Reconnaître  la  nature  des  quadriques  définies  parles  équations  tangen- 
tielles  suivantes  : 

33.  yvi—3wi-Jr-r^-  —  6uv-^iur  —  &vr  =  o. 

34.  Q.u^-hiov^-i-'iiv^ -\- r^  —  1UW  —  6uv-ir-2ur  —  6p/'  =  o. 

35.  ■2U^-h  8i>'^  —  2  UW  —  6  MP  -4-  /'-  +  2  U7'  —  6c/'  =  o, 

36.  ivw  -\-  livu-h  7,uv  -\-  "irw  —  r^  =  o. 

37.  2  M-  4-  P^  —  W^  —  2  M/-  —  2  i>r  =  o. 

38.  2  m2  4-  2  p2  -(-  3  (v2  —  4  (;r  =  o. 

39.  uv  —  vw  -+■  (VU  —  'IV  -h  i  =  o. 

40.  a' —  V- —  2iv2_(_  3(;(^  _j_  wu  —  2  w  —  (i^  -h  i  =  o. 


CHAPITRE  XXVII. 

DÉTERMINATION  DES  QUADRIQUES. 


Nombre  de  conditions  déterminant  une  quadrique.  Conditions  linéaires. 

Ail .  L'équation  la  plus  générale  du  second  degré  à  trois  varia- 
bles, /(^5  JK,  -s)  =  o,  renferme  dix  coefficients,  et,  par  suite,  neuf 
paramètres.  Il  faut  donc  neuf  conditions  pour  déterminer  une  qua- 
drique. Lorsqu'une  condition  s'exprime  par  une  équation  du  pre- 
mier degré  entre  les  coefficients  de  l'équation  générale,  nous  dirons 
que  cette  condition  est  linéaire.  D'après  cela,  donner  neuf  condi- 
tions linéaires,  c'est  donner  neuf  équations  du  premier  degré,  homo- 
gènes par  rapport  aux  dix  inconnues  A,  A',  . . . ,  D.  On  sait  qu'un 
pareil  système  admet  toujours  des  solutions  non  toutes  nulles;  mais 
pour  qu'une  solution  convienne  il  faut  encore  que  l'un  au  moins  des 


DÉTERMINATION   DES   QUADRIQUES.  4oi 

coefficients  des  termes  du  second  degré  soit  différent  de  zéro,  si  l'on 
rejette  les  quadriques  dégénérées  en  système  de  deux  plans  dont 
l'un  au  moins  soit  le  plan  de  l'infini.  Les  choses  étant  entendues 
ainsi^  on  voit  que,  si  l'on  cherche  une  quadrique  assujettie  à  neuf 
conditions  linéaires,  trois  cas  peuvent  se  présenter  :  i"  le  problème 
est  impossible;  2°  a  une  seule  solution  ou  3"  une  infinité  de  solu- 
tions. Si  le  déterminant  principal  du  système  des  équations  linéaires 
données  est  du  neuvième  degré,  les  rapports  de  neuf  des  coefficients 
au  dixième  sont  déterminés,  et  l'on  peut  former  une  seule  équation 
du  second  degré  qui  vérifie  les  conditions  données  ;  mais  il  peut  arri- 
ver, comme  nous  l'avons  fait  remarquer,  que  cette  équation  ne  re- 
présente pas  une  quadrique  proprement  dite.  Si  le  déterminant  prin- 
cipal est  du  huitième  degré,  deux  des  coefficients  peuvent  être  pris 
arbitrairement  et  les  huit  autres  sont  des  fonctions  linéaires  et  ho- 
mogènes de  ces  deux  coefficients  arbitraires;  on  peut  former  une  in- 
finité d'équations  vérifiant  les  conditions  données  et  la  solution  la 
plus  générale  est  représentée  par  une  équation  de  la  forme 

fi  et  yij  désignant  deux  polynômes  déterminés  et  ).,,  ).2  deux  arbi- 
traires. Si  le  déterminant  principal  est  du  septième  degré,  la  solu- 
tion la  plus  générale  contiendra  trois  arbitraires  et  sera  de  la  ïovmi 

et  ainsi  de  suite. 

Tout  ce  qui  précède  s'applique  à  l'équation  en  coordonnées  tan- 
gentielles  F(m,  v,  w,  /•)  =  o;  il  convient  de  se  rappeler  que  les  dé- 
générescences sont  alors  des  coniques  ou  des  points. 

Les  considérations  précédentes  s'appliquent  aux  équations  de  tous 
les    degrés.    L'équation    à    trois   variables    du   degré    n    renferme 

— -^ coeihcients  ;  on  voit  donc  qu  il  tant 

1.2.3  ^ 

(n-l-i)(n-4-2)(n-f-3) 

conditions  linéaires  pour  déterminer  une  surface  d'ordre  n. 

418.  Théorî:me  fondamental.  —  Il  y  a  une  seule  quadrique 
passant  par  neuf  points  donnés  ou  il  y  en  a  une  infinité. 

NiEWKNGLOWSKI.  —  G.  an.,  III.  26 


402  CHAPITRE    XXVII. 

En  effet,  l'équation  qui  exprime  qu'une  quadrique  passe  par  un 
point  donné  est  linéaire  par  rapport  aux  coefficients  de  l'équation 
du  second  degré;  on  a  donc,  puisque  l'on  donne  neuf  points,  neuf 
équations  de  la  forme 

kx"-  -+-  A'j?  -!-  A"  3?  -+-  2  BjK;  Zi  -\-  1  WziXi  ■+- 1  B"xiyi 

-i-iCxi  -hiC'yi  -+-  -iCzi-h  D  =  o, 

où  l'indice  i  prend  les  valeurs  i ,  a,  3,  .  . . ,  9. 

D'ailleurs,  les  coefficients  des  termes  du  second  degré  ne  peuvent 
être  tous  nuls  que  si  les  neuf  points  donnés  sont  dans  un  même 
plan,  puisque,  si  ces  coefficients  étaient  nuls,  il  y  aurait  un  système 
de  valeurs  non  toutes  nulles  G,  G',  G",  D  telles  que  les  équations 

iCxi-T-  aC'jj-H  "iCzi  H-  D  =  o         (t  =  I,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9) 

fussent  vérifiées  par  les  coordonnées  des  neuf  points  donnés.  S'il  en 
était  ainsi,  on  pourrait  former  une  infinité  d'équations  du  second 
degré  satisfaisant  aux  conditions  données,  puisqu'il  suffirait  de  mul- 
tiplier le  polynôme  aGjc-f-  aG'j"  -f-aG"^  -h  D  par  un  polynôme  li- 
néaire quelconque  ;  l'équation 

{o.Cx  -h  aC'jK-H  2G"s  -f-  D)(Xia7-i-  Xjj  -+-  Xjz-l-  X4)  =  o 

représenterait  une  infinité  de  quadriques  dégénérées  passant  par  les 
neuf  points  donnés.  On  voit  ainsi  que  le  problème  n'est  jamais  im- 
possible. Donc  on  peut  toujours  faire  passer  une  seule  quadrique  ou 
une  infinité  de  quadriques  par  neuf  points  donnés. 

419.  Autre  méthode.  —  Supposons  que  l'on  puisse  construire  un  tétraèdre 
ayant  pour  sommets  quatre  des  neuf  points  donnés,  par  exemple  A,  B,  G,  D  ; 
si  l'on  prend  ce  tétraèdre  pour  tétraèdre  de  référence,  l'équation  d'une  qua- 
drique passant  par  ces  quatre  points  est  de  la  forme 

axy  -+-  bxz  -\-  cxt  -\-  dyz  -+-  eyt  -\-fzt  =  o 

€t, réciproquement,  toute  équation  de  cette  forme  représente  une  quadrique 
circonscrite  au  tétraèdre  de  référence.  Il  reste  à  déterminer  les  coefficients 
a,  b,  . . .,  f  de  façon  que  cette  équation  soit  vérifiée  par  les  coordonnées  des 
cinq  autres  points,  ce  qui  donne  cinq  équations  du  premier  degré,  homogènes 
par  rapport  aux  coefficients  inconnus.  Supposons  que  parmi  ces  points  il  y 
en  ait  au  moins  trois  qui  ne  soient  pas  dans  le  plan  d'une  face  du  tétraèdre 
ABCD,  et,   en  outre,  forment,  avec  le   sommet  opposé  à  cette  face,  un  té- 


DÉTERMINATION   DES   QUADRIQCES.  ^oS 

traèdre;  dans  ce  cas,  le  degré  du  déterminant  principal  sera  au  moins  égal 
à  trois.  En  effet,  si  les  points  E,  F,  G  ont  pour  coordonnées  a7i,^i,  zj,  ?i  ; 
^2)  y-îi  ^2i  h  )  ^3)  y3i  -*^3)  '3  6t  si  aucun  de  ces  points  ne  se  trouve  dans  la  face 
BGD  ayant  pour  équation  37=  o,  le  déterminant  des  coefficients  de  a,  b,  c, 
c'est-à-dire 

ri   -I   ^1 

^1^2  ^3   y 2   -32    tî 

yz   -^s    ^3 

sera  différent  de  zéro,  si  l'on  suppose  en  outre  que  les  quatre  points  A,  E. 
F,  G  ne  soient  pas  dans  un  même  plan. 

Si  ces  conditions  sont  remplies  (et,  en  particulier,  elles  le  seront  si  quatre 
quelconques  des  neuf  points  donnés  ne  sont  pas  dans  un  même  plan),  ou  bien 
il  y  aura  une  seule  quadrique  passant  par  les  neuf  points  donnés,  ce  qui  arri- 
vera si  le  degré  du  déterminant  principal  est  égal  à  cinq;  ou  s'il  y  a  une  infi- 
nité de  quadriques  répondant  à  la  question,  le  nombre  des  paramètres  arbi- 
traires sera  au  plus  égal  à  deux,  et,  dans  ce  cas,  l'équation  générale  des  qua- 
driques passant  par  les  neuf  points  donnés  sera  de  la  forme 

>'t/i-f->>2/2-+->>3/3  =  0, 

X,,  ).2,  X3  étant  des  coefficients  arbitraires  et  fi,  f^,  /s  trois  polynômes  dé- 
terminés. Dans  ce  cas,  les  quadriques  passant  par  les  sept  points  A,  B,  G,  D, 
E,  F,  G  passeront  par  les  deux  autres. 

420.  Théorîîme  corrélatif.  —  H  y  o.  une  seule  quadrique  tan- 
gente à  neuf  plans  donnés  ou  il  y  en  a  une  infinité. 

La  condition  pour  qu'une  quadrique  soit  tangente  à  un  plan  donné 
(i^,,  (^),  W(,  /•»  )  s'exprime  en  écrivant  que  l'équation  langentielle  du 
second  degré  F(w,  t^,  w,  '')  =  o  est  vérifiée  quand  on  y  remplace 
les  coordonnées  tangentielles  courantes  parcelles  du  plan  donné; 
donner  neuf  plans  tangents  c'est  donc  donner  neuf  conditions  li- 
néaires par  rapport  aux  coefficients  de  l'équation   langentielle. 

Le  problème  est  de  même  nature  que  le  précédent,  mais  on  peut 
le  ramener  à  ce  dernier  par  la  méthode  des  polaires  réciproques. 
S'il  existe  une  quadrique  Q  tangente  à  neuf  plans  P,,  P2,  . . .,  Pg, 
sa  polaire  réciproque  Q'  par  rapport  à  une  quadrique  D  passera  par 
les  pôles/?»,  />2,  .  .  .,/?9  de  ces  neuf  plans,  par  rapport  à  D,  et  réci- 
proquement. 

Il  peut  arriver  que  Q'  soit  un  cône;  dans  ce  cas,  la  quadrique 
cherchée  Q  dégénère  en  une  conique  ;  si  Q'  est  un  système  de  plans, 
Q  dégénère  en  un  système  de  points. 


4o4  CHAPITRE   XXVII. 

421.  Cas  particuliers. — L'équation  d'un  cône  de  second  degré 
ne  renferme  que  huit  paramètres  arbitraires,  car  H  =  o.  D'ailleurs  A 
est  différent  de  zéro,  donc  l'équation  H  =  o  permet  de  déterminer  D 
en  fonction  rationnelle  des  autres  coefficients.  11  faudra  donc  huit 
conditions  pour  déterminer  un  cône  du  second  degré;  en  particulier 
il  y  a,  en  général,  un  nombre  déterminé  de  cônes  du  second  degré 
passant  par  huit  points  donnés.  En  écrivant  que  l'équation  du  second 
degré  est  vérifiée  par  les  coordonnées  de  ces  huit  points,  si  le  dé- 
terminant principal  est  du  degré  huit,  on  pourra  résoudre  le  système 
des  huit  équations  obtenues  au  moyen  de  deux  arbitraires  \^  y.,  et  il 
restera  à  écrire  la  condition  H  =  o,  ce  qui  donnera  une  équation  du 

quatrième  degré  en  -  ;  le  problème,  qui  revient  à  trouver  les  cônes 

du  second  degré  passant  parles  points  communs  à  deux  quadriques, 
admet  donc,  en  général,  quatre  solutions.  Donner  comme  conditions 
qu'une  quadrique  passe  par  huit  points  et  soit  un  cône,  c'est  bien 
donner  neuf  conditions  ;  mais  ces  conditions  n'étant  pas  toutes  li- 
néaires le  problème  peut  avoir  plus  d'une  solution,  le  nombre  des 
solutions  étant  fini. 

L'équation  d'un  paraboloïde  renferme  huit  paramètres,  puisque 
A  =  o. 

L'équation  d'un  paraboloïde  hyperbolique  dont  l'axe  n'est  pas 
parallèle  à  l'axe  des  x^  peut  s'écrire 

{x  -\-  b y  -\- c z){x  -\- b' y  -+-  c'^)  +  iGx  -^  ^G'jk  -f-  iC z  -i-  D  =  o 

et  renferme  huit  paramètres;  si  l'on  demande  un  paraboloïde  pas- 
sant par  huit  points  donnés,  le  problème  est  déterminé  et  a,  en  gé- 
néral, plus  d'une  solution.  En  écrivant  que  l'équation  du  second 
degré  est  vérifiée  par  les  coordonnées  des  huit  points,  on  exprimera 
les  coefficients  de  l'équation  en  fonction  linéaire  et  homogène  de 
deux  paramètres  X,   [x,  et  en  écrivant  la  condition  A  =  o,   on  aura 

une  équation  du  troisième  degré  en  -  •  Le  problème,  qui  revient  à 

faire  passer  un  paraboloïde  par  les  points  communs  à  deux  qua- 
driques, a  donc  en  général  trois  solutions. 

Le  paraboloïde  est  tangent  au  plan  de  l'infini;  d'une  manière  plus 
générale,  il  y  a  trois  quadriques  passant  par  huit  points  et  tangentes 
à  un  plan,  et,  corrélativement ,  trois  quadriques  tangentes  à  huit 
plans  et  passant  par  un  point. 


DÉTERMINATION    DES    QUADRIQl'ES.  4o5 

Il  convient  de  remarquer  que  l'équation  générale  d'une  quadriquc  d'espèce 
déterminée  peut  renfermer,  en  apparence,  un  nombre  surabondant  de  para- 
mètres. Ainsi  l'équation 

(ax  -\-  bj  -h  c zy  -h  z(a' X  ■+■  b'y-i-  c'z)^  -+-  aCar-t-  aC'^-i-  aCz  -h  D  =  o 

représente  un  paraboloïde  quelconque;  il  semble  qu'elle  renferme  neuf  para- 
mètres; mais  il  est  évident  que  les  coefficients  de  l'ensemble  <f{x,y,  z)  des 
termes  du  second  degré  ne  sont  pas  arbitraires,  puisque  le  discriminant  de  cp 
est  nul. 

L'équation  d'un  cylindre  à  centres  ne  doit  renfermer  que  sept  pa- 
ramètres, puisque  H  =  o,  A  =  o.  Donc  sept  points  suffisent  pour 
déterminer  un  cylindre. 

L'équation  d'un  système  de  deux  plans  qui  se  coupent  ne  doit  ren- 
fermer que  six  paramètres,  de  même  que  l'équation  d'un  cylindre 
parabolique. 

L'équation  d'une  quadrique  de  révolution  ne  renferme  que  sept 
paramètres;  on  peut,  en  effet,  la  mettre  sous  la  forme 

S (372 -+-^2+  z^-)  +  2Cx  -h  7.Cy  -h  ïC" Z  -+-  D  ■+■  (ux  -h  t'y  -h  w z)^-  =  0, 

ou  encore 

{x  —  a)^-\-(y  —  ù)--r-(z  —  c)2  =  (ux  4-  i'y-+-  wz-\-  hy. 

Conditions  multiples.  Éléments  remarquables. 

422.  On  appelle  élément  remai'quable  d^ une  quadrique  :  un  point, 
un  plan,  une  droite,  une  courbe,  une  surface  qui  sont  déterminés 
quand  la  quadrique  est  donnée.  Exemples  :  un  centre,  un  sommet,  un 
plan  tangent  au  sommet,  un  plan  principal,  un  plan  cyclique  mené  par 
le  centre,  un  axe,  une  génératrice  rectiligne  passant  par  un  sommet; 
une  section  principale,  le  cône  asymptote,  la  sphère  de  Monge  sont 
des  éléments  remarquables.  Si  pour  déterminer  un  élément  remar- 
quable il  faut  p  équations  de  conditions,  donner  cet  élément,  c'est 
donner/?  conditions. 

Si  un  élément  n'est  pas  entièrement  déterminé  quand  la  quadrique 
est  donnée  et  si  sa  détermination  complète  exigeant/?  conditions  il 
en  manque  q^  la  connaissance  de  cet  élément  ne  vaudra  évidemment 
que  p  —  rj  conditions.  Nous  allons  indiquer  combien  de  conditions 
valent  les  principaux  éléments  d'une  quadrique. 

Un  point,  un  plan  tangent  valent  chacun  une  condition  ;  mais  un 
plan  tangent  et  son  point  de  contact  valent  trois  conditions.  Eln 


4o6  CHAPITRE    XXVII. 

effet,  si  l'on  prend  le  point  de  contact  pour  origine  des  coordonnées, 
l'axe  des  z  étant  la  normale  en  ce  point,  l'équation  de  la  quadrique 
peut  se  mettre  sous  la  forme  cp(^,  y,  ;;)  4- s=  o,  et  ne  renferme 
plus  que  six  paramètres  arbitraires. 

Une  tangente  vaut  une  condition  qu'on  obtient,  par  exemple,  si 
les  équations  de  la  droite  sont  x  =  az  -\-p,  y  =  bz  -{-  q.,  en  écri- 
vant que  l'équation /(a  j5  -f-/?,  bz  -\-  q,  z)=o  a  une  racine  double. 

Le  centre  vaut  trois  conditions,  qu'on  obtient  en  écrivant  que  les 
plans  du  centre  passent  par  ce  point  donné.  Un  sommet,  un  plan 
principal,  un  plan  langent  en  un  sommet  (sans  le  sommet)  valent 
trois  conditions. 

Les  équations  d'une  droite  dépendant  de  quatre  paramètres,  toute 
droite  remarquable,  un  axe  par  exemple,  vaut  quatre  conditions. 

Une  génératrice  du  cône  asymptote  ne  vaut  que  trois  conditions, 
car  il  faut  pour  la  déterminer  donner  encore  une  condition.  Un  dia- 
mètre ne  vaut  que  deux  conditions  :  on  les  obtiendra  en  écrivant 
que  les  coordonnées  du  centre  vérifient  les  deux  équations  données 
de  ce  diamètre. 

La  sphère  de  Monge  vaut  quatre  conditions. 

Une  conique,  tracée  sur  la  quadrique,  vaut  cinq  conditions;  car, 
pour  qu'une  quadrique  passe  par  une  conique,  il  est  nécessaire  et  suf- 
fisant qu'elle  en  contienne  cinq  points.  Pour  le  voir  analjtiquement, 
prenons  pour  plan  des  x,  y  le  plan  de  celte  conique.  L'équation  de 
la  quadrique  sera  alors  de  la  forme 

{ax  -{-by  -\-  cz  -\-  d)z-\-f{x,  y)  =  o, 

f{oc^y)  étant  un  polynôme  du  second  degré  donné.  Cette  équation 
ne  renferme  que  quatre  paramètres;  donc  la  conique  donnée  vaut 
cinq  conditions.  Un  cercle  tracé  sur  la  quadrique  vaut  aussi  cinq 
conditions,  comme  une  conique  quelconque  ;  les  axes  étant  choisis 
comme  plus  haut,  l'équation  de  la  quadrique  sera 

{ax  -^  by  +  c z -+- d) z  -+-  x'^-hy^—  R-  =  o, 

si,  pour  simplifier,  l'axe  des  x  et  l'axe  des  y  sont  deux  diamètres 
rectangulaires  du  cercle  donné.  D'une  manière  générale,  si  le  cercle 
est  défini  par  l'intersection  d'une  sphère  et  d'un  plan  donné,  l'équa- 
tion de  la  quadrique  peut  s'écrire 


DÉTERMINATION    DES    QUADRIQUES.  [\0') 

<T  et  P  étant  donnés  et  Q  étant  un  poljnome  linéaire  arbitraire,  et, 
par  suite,  renfermant  quatre  paramètres. 

Un  plan  cyclique  ne  vaut  que  deux  conditions,  car  cela  revient  à 
donner  deux  points  :  les  points  d'intersection  de  ce  plan  et  du  cercle 
de  l'infini.  Si  on  prend  le  plan  donné  pour  plan  des  x^  y,  les  axes 
étant  rectangulaires,  les  deux  équations  A  =  A',  B"  =  o  expriment 
que  ce  plan  coupe  la  quadrique  suivant  le  cercle. 

Un  ombilic,  avec  le  plan  tangent  correspondant,  vaut  cinq  con- 
ditions; prenons,  en  effet,  l'ombilic  donné  pour  origine  des  coor- 
données, le  plan  des  x,y  étant  le  plan  tangent  en  ce  point;  l'équa- 
tion de  la  surface  sera,  les  axes  étant  supposés  rectangulaires, 

cc^-^y--+-  z  (ax  -h  h  y  H-c3-l-c?)  =  o: 

elle  contient  donc  quatre  paramètres  arbitraires.  On  peut  remarquer 
que  ax  H-  by  -\-  cz  -\-  d=^o  représente  la  direction  des  plans  cy- 
cliques associés  au  plan  ;;  =  o.  En  écrivant  ainsi  l'équation  précé- 
dente : 

^2  _l_  ^2_i_  ^2  -\- z{ax  -+-  by  -\-  c' z  -^r  d)  =  o, 

et  en  faisant  un  changement  de  plans  de  coordonnées,  si  Xq,  yo,  ^o 
sont  les  coordonnées  de  l'ombilic  dans  le  nouveau  système,  l'équa- 
tion de  la  surface  sera  de  la  forme 

{x  —  .To)'^-h(y  —yoY-  4-  (^  —  3o)- 

^[a{x  —  Xo)-^  ?(r— ro)-t-Y(^  — '2o)]P  =  o, 

P  étant  un  polynôme  du  premier  degré,  arbitraire.  Si  le  plan  tangent 
en  l'ombilic  n'est  pas  donné,  l'équation  précédente  renferme  six  pa- 
ramètres; donc  un  ombilic  seul  vaut  trois  conditions.  Un  plan  direc- 
teur d'un  paraboloïde  vaut  deux  conditions;  il  en  vaut  trois  s'il 
passe  par  l'axe.  Mais  si  l'on  n'a  pas  encore  exprimé  que  la  surface 
est  un  paraboloïde,  pour  exprimer  que  ux-h  i'y  -h  wz  =  o  est  un 
plan  directeur,  il  faudra  exprimer  que  (^(x,  y,  z)  est  divisible  par 
ux  -h  vy  -{-  wz^  ce  qui  exige  trois  conditions. 

Le  cône  des  directions  asymptotiques  vaut  cinq  conditions, 
puisque  si  l'on  connaît  le  cône  des  directions  asymptotiques  d'une 
quadrique  on  connaît  l'ensemble  des  ternies  du  second  degré  de  son 
équation.  D'ailleurs,  donner  le  cône  des  directions  asymptotiques, 
c'est  donner  une  conique  dans  le  plan  de  l'infini. 


4o8  CHAPITRE   XXVII. 

Le  cône  asymptote  vaut  huit  conditions,  car  si  Ton  prend  le  som- 
met pour  origine,  l'équation  de  la  quadrique  est  cp(a:,y,  z)  -\-'k^=  o, 
le  polynôme  cp  étant  donné  et  "k  étant  un  paramètre  arbitraire. 

423.  Le  nombre  de  conditions  fournies  par  plusieurs  éléments 
n'est  pas  toujours  la  somme  des  nombres  de  conditions  correspon- 
dant à  chacun  de  ces  éléments  donnés  séparément. 

Ainsi  le  centre  et  un  axe  ne  valent  que  cinq  conditions  et  non  pas 
sept,  car  le  centre  étant  donné  il  ne  reste  plus  à  donner  que  la  di- 
rection d'un  axe  pour  déterminer  cet  axe.  D'ailleurs,  si  l'on  prend 
pour  axe  des  x  l'axe  donné,  l'origine  étant  le  centre,  l'équation  de 
la  quadrique  sera,  les  axes  étant  rectangulaires, 

Ax^-+-  \'y^  -+-  A"^^  _|.  -iByz  -i-  D  =  o. 

Cette  équation  renferme  quatre  paramètres  arbitraires. 

Une  génératrice  rectiligne  vaut  trois  conditions,  puisqu'il  suffit 
d'exprimer  que  trois  points  d'une  droite  sont  sur  une  quadrique 
pour  que  la  droite  tout  entière  y  soit  contenue.  Deux  génératrices 
du  même  système  valent,  d'après  cela,  six  conditions;  mais  deux  gé- 
nératrices de  systèmes  différents,  ayant  un  point  commun,  ne  valent 
plus  que  cinq  conditions  (c'est  le  cas  d'un  ombilic,  qui  équivaut  à 
deux  génératrices  isotropes  de  systèmes  différents).  Dès  qu'on  a 
exprimé  que  l'une  de  ces  droites  est  sur  la  quadrique,  la  seconde 
ayant  déjà  un  point  sur  la  quadrique,  il  n'y  a  plus  qu'à  exprimer 
qu'elle  en  a  deux  autres. 

Trois  génératrices  du  même  système  valent  neuf  conditions;  nous 
savons  d'ailleurs  que  la  quadrique  est  alors  déterminée. 

Deux  génératrices  d'un  système  et  une  génératrice  du  second  sys- 
tème ne  valent  que  sept  conditions,  puisque  cette  dernière  généra- 
trice rencontre  les  deux  premières. 

Quatre  génératrices,  dont  deux  de  chaque  système,  valent  huit 
conditions. 

Trois  diamètres  conjugués,  donnés  en  position  seulement,  valent 
six  conditions;  si  l'on  donne  en  outre  leurs  longueurs,  cela  fait  en 
tout  neuf  conditions,  car  la  quadrique  est  alors  déterminée. 

Cherchons  combien  valent  de  conditions  une  conique  et  une 
droite,  une  conique  et  deux  droites. 

Nous  remarquerons  d'abord  que  :  une  droite  et  une  conique  si- 


DÉTERMINATION    DES   QUADRIQUES.  ^Og 

tuées  sur  une  quadrique  ont  un  point  commun.  En  effet,  le 
point  de  rencontre  de  la  droite  et  du  plan  de  la  conique  est  évidem- 
ment sur  la  conique,  puisque  cette  courbe  est  le  lieu  des  points  de 
la  quadrique  qui  sont  situés  dans  son  plan.  Si  la  droite  D  était  pa- 
rallèle au  plan  P  de  la  conique,  la  section  de  la  quadrique  par  le 
plan  parallèle  à  P  mené  par  D  étant  homothélique  à  la  quadrique, 
et  d'autre  part,  celle  section  se  composant  de  la  droite  D  et  d'une 
seconde  droite,  D  est  parallèle  à  l'une  des  asymptotes  de  la  conique, 
et,  par  conséquent,  rencontre  cette  conique  à  l'infini.  Remarquons 
enfin  que  la  droite  ne  peut  être  dans  le  plan  de  la  conique. 

La  démonstration  par  le  calcul  est  immédiate. 

Il  résulte  de  là  qu'une  conique  et  une  génératrice  recliligne  valent 
sept  conditions. 

Une  conique  et  deux  génératrices  de  même  système  valent  neuf 
conditions;  mais  si  les  deux  génératrices  sont  de  systèmes  différents 
elles  ne  valent  plus  que  huit  conditions.  Il  convient  de  remarquer 
que  toutes  les  quadriques  qui  passent  par  une  conique  G  et  par  deux 
droites  coupant  cette  conique  en  A  et  B  et  se  rencontrant  en  M,  ont 
trois  plans  tangents  communsdontles  points  decontactsontles  points 
A,  B,  M.  Si  les  deux  droites  coupent  la  conique  en  un  même  point, 
la  tangente  en  ce  point  à  la  conique  et  les  deux  droites  doivent  être 
dans  un  même  plan.  L'ensemble  vaut  donc  encore  huit  conditions. 

Deux  coniques  tracées  sur  une  même  quadrique  ont  deux  points 
communs,  qui  sont  les  points  d'intersection  de  la  quadrique  et  de  la 
droite  commune  aux  plans  de  ces  coniques;  donc  deux  coniques 
données,  devant  avoir  deux  points  communs  pour  être  sur  une  qua- 
drique, valent  seulement  huit  conditions. 

Paramètres  de  grandeur.  Paramètres  de  position. 

424.  Quand  une  surface  est  déterminée  en  grandeur,  il  faut,  en  général, six 
paramètres  pour  déterminersa  position  par  rapport  à  un  système  donné  d'axes. 
En  effet,  considérons  un  trièdre  lié  invariablement  à  celle  surface;  il  suffira 
de  connaître  la  position  de  ce  trièdre  par  rapport  au  trièdre  des  axes  pour 
connaître  la  position  de  la  surface  elle-même.  Or  il  faut  six  paramètres  pour 
fixer  la  position  d'un  trièdre,  savoir  :  i°les  trois  coordonnées  de  son  sommet, 
les  angles  que  l'une  de  ses  arêtes  fait  avec  deux  des  axes  de  coordonnées  et 
l'angle  qu'une  seconde  arête  fait  avec  l'un  de  ces  axes.  S'il  faut/)  paramètres 
pour  déterminer  la  surface  en  grandeur  et  position,  on  en  conclut  que  le 
nombre  de  ses  paramètres  de  grandeur  est  égal  à  />  —  6,  C'est  ce  que  l'on 


4lO  CHAPITRE   XXVII. 

vérifie  pour  une  quadrique  à  centre  dont  la  grandeur  dépend  de  trois  para- 
mètres qui  sont  les  longueurs  de  ses  trois  axes,  ou  encore  pour  un  parabo- 
loïde  dont  la  grandeur  ne  dépend  que  de  deux  paramètres  qui  sont  les  para- 
mètres des  deux  sections  principales.  Mais  le  nombre  de  paramètres  de 
positions  peut  s'abaisser;  c'est  ce  qui  arrive  dans  les  cas,  et  seulement  dans 
les  cas  où  une  translation  ou  une  rotation  laissent  la  figure  invariable. 

Il  s'abaisse  d'une  unité  pour  les  surfaces  de  révolution  et  les  cylindres,  de 
deux  unités  pour  le  cylindre  de  révolution,  de  trois  unités  pour  la  sphère. 

Ainsi,  pour  déterminer  en  position  une  surface  de  révolution  de  grandeur 
donnée,  cinq  paramètres  suffisent,  car  il  suffit  de  connaître  la  position  de 
l'axe  et  un  point  de  cet  axe  lié  à  la  surface.  Pour  une  sphère,  trois  para- 
mètres de  position  suffisent,  qui  sont  les  coordonnées  de  son  centre. 


Conditions  pour  qu'une  équation  du  second  degré  représente 
une  quadrique  d'espèce  déterminée. 


425.  Nous  connaissons  déjà  les  conditions  pour  que  l'équation 
représente  un  paraboloïde,  un  cône,  un  cylindre;  nous  avons,  en 
effet,  résolu  ces  questions  en  faisant  la  classification  des  quadriques. 
Nous  allons  compléter  ce  qui  a  été  dit  à  cet  égard. 

1°  Cylindres.  —  Nous  savons  que  si  l'on  suppose  AA'  —  B"^^  o, 
les  conditions  pour  que  l'équation  du  second  degré  représente  un 
cylindre  sont  A  =  o,  A,  =  o  (227).  Il  convient  de  montrer  que  ces 
conditions  sont  équivalentes  à  A  =  o,  H  =  o. 

En  effet,  on  peut  déterminer  les  nombres  x  et  jk,  tels  que 

S.X  -¥-  B" y  4-  B'  =  o, 
B'x  +  A>  +  B  =  o, 
B'x-h  By  -\-  A"  =  o, 

puisqu'on  suppose  le  déterminant  de  ce  système  nul  et  AA' —  B"^  ^  o. 
Or,  on  peut  poser 


n  = 


A 

B" 

o 

c 

B" 

A' 

o 

G' 

B' 

B 

0 

C" 

G      G'     Ga;-HG'7  +  G"     D 


=—{Gcp-hCy-hC")^l, 


donc  l'équation  ^^  =  o  entraîne  H  =  o.   Réciproquement,   si  l'on 
suppose  A  z=  o,  H  =  o,  on  a  nécessairement  A,  =  o;  en  effet,  si  le 


DÉTKRMI.NATION   DES   QUADRIQUES.  4n 

coefficient  Cx  ■+-  C'y  +  C"  était  nul,  on  aurait 

A.X  -+-  B"y-h-  B'  =  o, 
B"x-h  X'y-h  B  =  o, 
Gx  +G>-hG"=o, 

d'où  l'on  tirerait  encore  A,  =  o. 

2"  Deux  plans  gui  se  coupent.  —  Pour  exprimer  que  l'équation 
du  second  degré  représente  deux  plans  qui  se  coupent,  on  exprime 
que  les  plans  du  centre  ont  une  droite  commune  à  distance  finie  et 
que  cette  droite  est  sur  la  quadrique. 

Si  l'on  suppose  A.A' —  B"-  ^  o,  les  conditions  sont 


A  =  o, 


Al  =  o 


et 


A 

B" 

G 

B" 

A' 

G' 

G 

G' 

D 

La  dernière  condition  s'obtient  en  écrivant  que  les  coordonnées 
d'un  centre  quelconque  vérifient  l'équation/^  =  o. 

3°  Cylindre  parabolique.  —  On  écrit  que  l'équation  en  S  a  une 
racine  double  égale  à  zéro  :  si  BB'B"^  o,  les  conditions  sont  donc 


B'B" 


A'- -3^=0. 


Si,  par  exemple,  B'  =  B"=o,  et  il  faudra  poser  encore  :  A  =  o, 

A'A"-B2=o. 

4°  Deux  plans  parallèles.  —  Il  suffit  d'écrire  que  les  plans  du 
centre  sont  confondus.  Si  l'on  suppose  A  ^  o,  on  obtient  ainsi  pour 
conditions 

AA'— B"'î=o,         AB  — B'B"  =  o,         AG'— GB''=o, 
AA*— B'2  =  o,        AG"-B'G  =  o. 

On  peut,  quand  BB'B"7Z^  o,  écrire  ces  conditions  sous  forme  plus 

symétrique 

,  .  .        B'B"  .,      B'B 

(i)  A g-=0'  ^ ôT  =0, 

(2)  BG  =  B'G'  =  B"G". 

En  eff'et,  si  les  conditions  (1)  sont  vérifiées,  l'équation  de  la  qua- 


B'    ~"'  B"    ~**' 


4l2  CHAPITRE   XXVII.  —    DÉTERMINATION   DES    QUAURIQUES. 

drique  peut  s'écrire 

elle  représente  donc  un  cylindre  parabolique,  et,  si  l'on  veut  qu'elle 
représente  deux  plans  parallèles,  il  faut  et  il  suffit  que  les  équa- 
tions 

I  -+-  f;  -»-  J=  o,  Ca7  +  C>  -H  C"z  =  o 

représentent  un  même  plan,  ce  qui  donne  les  équations  (2). 

EXERCICES. 

1.  Exprimer  qu'une  quadrique  a  pour  centre  un  point  donné  et  pour  axe 
une  droite  passant  par  ce  point. 

2.  Equation  générale  des  quadriques  passant  par  une  conique  et  une 
droite.  Si  l'on  prend  la  droite  pour  axe  des  z  et  û  f{x,  y)  =  o  est  l'équation 
de  la  conique  dans  le  plan  des  x, y\  on  trouve  f{x,  y)  -+-  z{ax-\-  by)  =  o. 
Le  polynôme /(iP,  y)  n'a  pas  de  terme  constant.  Si  P  =  o  est,  avec  des  axes 
quelconques,  l'équation  du  plan  de  la  conique  elf(x,  y,  z)  =  o  l'équation 
du  cylindre  ayant  cette  conique  pour  directrice  et  dont  les  génératrices  sont 
parallèles  à  la  droite  donnée,  enfin  Q  =  o,  R=  o  étant  les  équations  de  cette 
droite,  on  trouve /(a?,  y,  ^)  -i-  P(a  Q  -t-  ^R)  =  o.  Prendre  aussi  un  tétraèdre 
de  référence  dont  la  droite  soit  une  arête,  la  conique  donnée  étant  dans  le 
plan  d'une  face. 

3.  Traiter  le  même  problème  quand  la  droite  est  parallèle  au  plan  de  la 
conique. 

4.  Equation  générale  des  quadriques  passant  par  deux  coniques  données. 
On  suppose  l'une  de  ces  coniques  dans  le  plan  xOy,  l'autre  dans  le  plan 
xOz;  elles  rencontrent  l'axe  des  x  aux  mêmes  points.  On  trouve 

A.x^  +  A.y^  -+■  A."z^  -+-  ^.lyz  -{-  iB' zx  -H  -iB" xy 

•+■  2Ga7-f-  aC'jKH-  2G"s-f-D  =  o, 
X  étant  un  paramètre  variable. 

5.  Exprimer  que  deux  quadriques  ont  un  plan  principal  commun,  ou  un 
axe  commun,  ou  un  plan  directeur  commun,  ou  un  plan  cyclique  commun,  la 
même  sphère  de  Monge,  etc. 

6.  Exprimer  que  deux  quadriques  ont  une  droite  commune.  (  Voir  G.  BouR- 
LET,  Nouvelles  Annales,  p.  434;  1894.) 

7.  Gombien  donne-t-on  de  conditions  quand  on  assujettit  une  quadrique  à 
être  inscrite  à  un  cône  du  second  degré  donné. 


INTERSECTION    DE  DEUX    QUADRIQUES.  4' 3 

8.  On  donne  le  plan  polaire  d'un  point  par  rapport  à  une  quadrique,  com- 
bien cela  fait-il  de  conditions? 

9.  On  veut  que  deux  droites  données  soient  conjuguées  par  rapport  à  une 
quadrique;  combien  cela  fait-il  de  conditions? 

10.  On  donne  l'axe  d'une  quadrique  de  révolution;  combien  cela  vaut-il  de 
conditions? 


CHAPITRE  XXVIII. 

INTERSECTION  DE  DEUX  QUADRIQUES. 


Théorèmes  généraux. 

4!2G.  Théorème.  —  U intersection  de  deux  quadriques  est,  en 
général,  une  courbe  gauche  du  quatrième  ordre. 

Considérons  deux  quadriques  Q,  Q';  les  intersections  de  ces  deux 
surfaces  par  un  plan  quelconque  sont  deux  coniques  C,  C  qui  ont 
quatre  points  communs.  Un  plan  quelconque  coupe  donc  la  courbe 
d'intersection  des  deux  quadriques  en  quatre  points;  par  suite,  cette 
courbe  est  du  quatrième  ordre. 

Mais,  comme  nous  le  verrons,  cette  courbe  peut  se  décomposer 
en  deux  coniques,  en  une  conique  et  deux  droites,  en  une  cubique 
et  une  droite,  en  quatre  droites. 

427.  Équation  générale  des  quadriques  passant  par  l'inter- 
section de  deux  quadriques. 

Soient  y=  o,  g=o  les  équations  ponctuelles  de  deux  quadri- 
ques. L'équation 

est  vérifiée  par  les  coordonnées  des  points  communs  aux  deux  qua- 
driques/", g.  Si  l'on  peut  déterminer  X  et  jx  de  manière  que  l'équa- 


4l4  CHAPITRE   XXYIII. 

tion  précédente  représente  l'une  quelconque  Q  des  quadriques  pas- 
sant par  l'intersection  des  quadriques  données,  cette  équation  sera 
l'équation  générale  demandée. 

Soient  Xi^yt,  z^  les  coordonnées  d'un  point  quelconque  M  de  la 
quadrique  Q,  non  situé  sur  la  courbe  d'intersection  des  quadriques 

f,  g.  L'équation 

fgi  —  S'fi  =  o 

dans  laquelle  /)  et  ^<  représentent  ce  que  deviennent  les  poly- 
nômes/et  g  quand  on  y  substitue  aux  coordonnées  courantes  celles 
de  M,  définit  une  quadrique  Q(  passant  par  le  point  M  et  par  les 
points  communs  aux  quadriques  /,  g.  Si  l'on  coupe  les  deux  qua- 
driques Q  et  Q(  par  un  plan  quelconque  passant  par  M,  les  deux 
coniques  obtenues  auront  cinq  points  communs  et,  par  suite,  coïn- 
cideront. Or,  si  les  intersections  de  deux  quadriques  par  chacune 
des  trois  faces  d'un  trièdre  coïncident,  ces  deux  quadriques  coïnci- 
dent, comme  on  s'en  assure  aisément  en  les  rapportant  à  ce  trièdre. 
On  voit,  par  ce  qui  précède,  que  les  quadriques  Q  et  Qj  coïncident 
et,  par  suite,  la  proposition  est  établie. 

Remarque.  —  La  proposition  précédente  peut  être  en  défaut;  si  les  deux 
quadriques  données  dégénèrent  en  systèmes  de  plans  ayant  une  droite  com- 
mune, et  définis  par  les  équations 

PQ  =  o,         aP2-+-6PQ-+-cQ2  =  o, 

l'équation 

aP2  +  (6 -+- X)  PQ  +  cQ'- =  o 

ne  saurait  représenter  tous  les  systèmes  de  deux  plans  passant  par  la  même 
droite. 

428.  Théorème.  —  La  classe  de  la  surface  développable  circonscrite  à 
deux  quadriques  est  égale  à  4. 

En  effet,  le  nombre  des  plans  tangents  à  deux  quadriques,  qu'on  peut  mener 
par  un  point  donné,  est  égal  au  nombre  des  plans  tangents  communs  aux 
deux  cônes  ayant  ce  point  pour  sommet  et  circonscrits  à  ces  quadriques,  et 
ce  nombre  est  égal  à  4- 

429.  Théorème. —  Si¥  {u,v,  w,  r)  =  o,  G{u,v,w,  r)z=  o  sont  les  équa- 
tions tangentielles  de  deux  quadriques,  l'équation 

XF(m,  V,  w  ,r)  ■+•  y.G{u,  v,  w,  r)  =  o 


INTERSECTION    DE    DEUX    QUADRIQUES.  ^l5 

est  l'équation  générale  des  quadriques  inscrites  à  la  développable  cir- 
conscrite aux  deux  premières. 

II  suffit  de  remarquer  que  l'équation 

l¥{T,y,z,t)  -^\LG{x,y,z,t)  =  o 

représente  le  faisceau  des  quadriques  passant  par  Tintersection  des  deux 
quadriques  définies  par  les  équations  ponctuelles 

¥{x,y,z,t)  =  o,        G{x,y,z,t)  =  o 

et  de  transformer,  par  polaires  réciproques,  la  quadrique  directrice  ayant  pour 
équation  x^  -hy^  -h  z- -+- 1^  =  o. 

430.  Théorème.  —  Trois  quadriques  ont,  en  général,  huit  points  com- 
muns. 

Ce  théorème  est  une  conséquence  immédiate  du  théorème  de  Bézout  rela- 
tif au  nombre  de  solutions  d'un  système  d'équations  simultanées;  on  peut 
l'établir  directement  de  la  manière  suivante. 

Rapportons  les  trois  quadriques  à  un  tétraèdre  de  référence,  dont  un 
sommet  soit  l'un  des  points  communs  aux  trois  quadriques.  Les  équations 
de  ces  quadriques  sont  de  la  forme 

f  {x,y,z)^tg  {x,y,z)  =  o^ 

/■i{^,y,^)-^tgi{x,y,z)  =  o; 

f^f\,fi  désignant  des  polynômes  homogènes  du  second  degré,  et  g,  gy^  g^ 
des  polynômes  homogènes  du  premier  degré.  Pour  trouver  les  points  com- 
muns autres  que  le  point  :  a:  =  o,  j  =  o,  z  =  o,  posons 

nous  aurons  ainsi  à  déterminer  a,  p,  y  de  façon  que  les  équations 

p/i(«,  ?»T)-+-  tgiia,  p,Y)  =  o, 

p/2(5'>P>T)-t-  ^^2(a,  P,t)  =  o 

aient  une  solution  commune  autre  que  p  =  o,  f  =  o.  Pour  cela,  il  faut  et  il 
suffit  que  a,  p,  y  vérifient  les  équations 

fgi  -  ft /i  =  « ,         fffi  —  gfî  =  o. 

En  regardant  a,  p,  y  comme  des  coordonnées  courantes,  ces  équations  dé- 
finissent deux  cônes  du  troisième  ordre,  ayant  même  sommet  et,  par  suite, 


4l6  CHAPITRE    XXVIII. 

ayant  neuf  génératrices  communes;  mais,  les  deux  génératrices  communes  au 
cône  /=  o  et  au  plan  ^  =  o,  devant  être  rejetées,  on  trouve  seulement  sept 
nouvelles  solutions,  ce  qui  démontre  la  proposition. 

4:31.  Théorème  corrélatif.  —  Ti^ois  quadriques  ont,  en  général,  huit 
plans  tangents  communs. 

Démonstration  par  polaires  réciproques. 

432.  Théorème. —  Les  quadriques  qui  ont  huit  points  communs  ont,  en 
général,  une  infinité  de  points  communs  situés  sur  une  biquadratique, 
intersection  de  deux  quelconques  d'entre  elles. 

En  effet,  si  l'on  donne  huit  points  et  si  le  déterminant  principal  du  système 
d'équations,  linéaires  par  rapport  aux  coefficients  de  l'équation  générale, 
obtenues  en  écrivant  que  cette  équation  est  vérifiée  par  les  coordonnées  des 
huit  points  donnés,  est  du  huitième  degré,  l'équation  la  plus  générale,  véri- 
fiant les  conditions  données,  sera  de  la  forme 

^1/1+5^2/2  =  0; 

y,  =  o,  /î  =  o  représentant  deux  quadriques  passant  par  les  huit  points. 

fl  peut  arriver  que  le  déterminant  principal  soit  du  septième  ordre  seule- 
ment; dans  ce  cas,  l'équation  générale  des  quadriques  passant  par  les  huit 
points  donnés  sera 

>^i/i  -H  X2/2  4-  X3/3  =  o  ; 

toutes  les  quadriques  passant  par  sept  des  points  donnés  passent  alors  par 
le  huitième. 

Si  quatre  quelconques  des  points  donnés  ne  sont  pas  dans  un  même  plan, 
le  degré  du  déterminant  principal  ne  pourra  pas  s'abaisser  davantage  (419). 

433.  Théorème  corrélatif.  —  Toutes  les  quadriques  qui  ont  huit  plans 
tangents  sont,  en  général,  inscrites  à  une  même  développable  circon- 
scrite à  deux  quelconques  d'entre  elles. 

434.  Théorème.  —  Les  quadriques  qui  ont  sept  points  communs  ont  un 
huitième  point  commun.  (Lamé.) 

Si  l'on  suppose  que  quatre  quelconques  des  sept  points  donnés  ne  soient 
pas  dans  un  même  plan,  ou  mieux,  si  l'on  suppose  remplies  les  conditions 
trouvées  au  n"  419;  en  suivant  la  méthode  indiquée,  on  voit  que  l'équa- 
tion générale  des  quadriques  passant  par  les  sept  points  donnés  sera  de  la 
forme 

^1/1  +•  ^2/2  +  ^3/3  =  o 

et,  par  suite,  toutes  les  quadriques  passeront  par  les  huit  points  communs 
aux  trois  quadriques /i,/2, /s,  qui  sont  d'ailleurs  trois  quelconques  des  qua- 
driques passant  par  les  points  donnés. 


INTERSECTION   DE    DEIX    QUADRIQUES.  ^l"] 

En  particulier,  toutes  les  quadriques   passant  par  sept  des  sommets  d'un 

hexaèdre  passeront  par  le  huitième.  Si  a  =  o,  aj  =  o ;  p  =  o.  Pi  =  o ;  y  =  o, 

Yi  =  o  sont  les  équations  des  couples  de  faces  opposées  de  cet  hexaèdre, 

l'équation  générale  des  quadriques  qui  lui  sont  circonscrites  sera,  en  vertu 

de  ce  qui  précède, 

À,aa,-f-  XîPPi-f-XsYYi  =  o. 

Il  peut  se  faire  que  les  sept  équations  exprimant  que  l'équation  du  second 
degré  est  vérifiée  par  les  coordonnées  des  points  donnés  se  réduisent  à  six. 
Par  exemple,  si  l'on  suppose  que  trois  des  points  donnés  soient  sur  Ox, 
trois  sur  Oy  et  le  septième  sur  Os,  l'équation  générale  des  quadriques  pas- 
sant par  les  sept  points  donnés  sera 

lixy  -^  z[liX  -^Isj  -hl-Js  —  c)]  =  o. 

Si  les  sept  points  sont  dans  un  plan  (non  disposés  sur  deux  droites,  ni  sur 
une  seule  droite),  en  prenant  ce  plan  pour  plan  desa;,^,  l'équation  générale 
des  quadriques  passant  par  ces  sept  points  contiendra  trois  paramétres  et 
sera 

zCKiX  -+-  l^y  •+■  X3S  +  X4)  =  o. 

Si  les  sept  points  étaient  sur  une  droite,  ils  compteraient  pour  trois  points 
et,  par  suite,  l'équation  contiendrait  six  paramètres,  etc. 

•43d.  Théorème  corrél\tif.  —  Les  quadriques  qui  ont  sept  plans  tan- 
gents communs  en  ont,  en  général,  un  huitième. 


Quadriques  bitangentes. 

436.  Théorème.  —  Si  deux  quadriques  se  touchent  en  deux 
points  A,  B,  et  si  la  droite  AB  n  est  pas  une  génératrice  commune 
à  ces  deux  quadriques,  elles  se  coupent,  en  général,  suivant 
deux  courbes  planes  ;  et  réciproquement. 

En  effet,  soit  M  un  point  de  l'intersection  des  deux  quadriques, 
le  plan  ABM  coupe  ces  deux  surfaces  suivant  deux  coniques  ajant 
trois  points  communs  A,  B,  M  et  tangentes  en  A  et  B,  puisque  les 
tangentes  en  A  et  B  sont  les  intersections  du  plan  sécant  et  des  plans 
tangents  en  ces  points  aux  deux  quadriques.  Ces  deux  coniques 
coïncident  et,  par  suite,  les  deux  quadriques  ont  une  première 
courbe  plane  commune  passant  par  A  et  B.  Il  peut  se  faire  que  leur 
intersection  se  compose  uniquement  de  cette  conique;  s'il  n'en  est 
pas  ainsi,  soit  M'  un  point  commun  aux  deux  quadriques,  non 
situé  sur  la  conique  que  nous  venons  de  déterminer;  le  plan  ABM' 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  a'j 


4i8  CHAPITRE    XXVIII. 

coupe  les  deux  quadriques  suivant  une  nouvelle  conique,  qui  leur 
est  commune,  et  l'intersection  complète  se  compose  de  ces  deux 
coniques. 

Il  est  évident  que  le  raisonnement  précédent  ne  convient  plus 
quand  la  droite  AB  est  une  génératrice  commune  aux  deux  qua- 
driques, car  tout  plan  passant  par  AB  coupe  chacune  des  deux 
surfaces  suivant  un  système  de  deux  droites  dont  l'une  est  la  droite 
AB.  Dans  ce  cas,  l'intersection  complète  des  deux  quadriques  se 
compose  en  général  de  AB  et  d'une  cubique;  nous  reviendrons  plus 
loin  sur  ce  cas  particulier. 

Réciproquement,  si  deux  quadriques  se  coupent  suivant  deux 
coniques,  ces  deux  courbes  ont,  en  général,  deux  points  communs 
A,  B^  en  chacun  de  ces  points,  le  plan  tangent  est  déterminé  par 
les  tangentes  aux  deux  coniques.  Les  deux  quadriques  sont  donc 
tangentes  en  A  et  en  B;  elles  sont  bitangentes. 

Il  peut  arriver  que  les  points  A  et  B  se  réunissent,  c'est-à-dire  que  les 
deux  coniques  soient  tangentes  en  un  point  A  à  une  même  droite;  dans  ce 
cas,  les  quadriques  se  louchent  en  ce  point,  comme  cela  résultera  de  la  dé- 
monstration donnée  plus  bas  (438). 

437.  Nous  allons  maintenant  établir  le  théorème  précédent  par  le  calcul. 

Nous  prendrons  la  droite  AB  pour  axe  des  z,  l'origine  étant  le  milieu  du 
segment  AB;  l'axe  des  _;^  sera  parallèle  à  l'intersection  D  des  plans  tangents 
en  A  et  B  communs  aux  deux  quadriques;  enfin  l'axe  des  x  sera  une  droite 
quelconque  rencontrant  D.  Soient  z  =  o,  ir  =  a  les  équations  de  D.  Si  l'on 
pose  OA  =  c,  une  quadrique  passant  par  A  et  B  a  pour  équation 

-2 —  c-  -I-  Aa"2-{-  A'/^-i-  :>-  Bj'-  -H  2B'^.r  -+-  iW  xy  -t-  aC.r  -+■  o.G'y  =  o. 

En  exprimant  que  le  plan  tangent  en  A  et  le  plan  tangent  en  B  doivent  con- 
tenir la  droite  D,  on  trouve 

BcM-C'=o,  B'ac-t-Ga  —  0^  =  0, 

—  Bc-f-G'=o,        — B'ac-t-Ga  —  0^  =  0, 

d'où  l'on  tire 

B=o,         G'=o,         B'=o,         Ga=c2. 

Les  équations  des  deux  quadriques  sont  donc  : 

z^—c^-+-  Ax^-^  A'72-f-  aBVj-f-  ^^—  ar  =  o, 
z^  —  c^ -{-  AiX^-h  A[j^ -i-  ^B'ixf  -i X  =  0. 


INTERSECTION    UR    DEUX    QUADRIQUES.  4 '9 

Les  points  communs  à  ces  deux  quadriques  sont  déterminés  par  l'une  des 
deux  équations  précédentes  et  l'équation 

(A  -  A,  ):r2  +  (  A  -  A',  )72  +  ,.(B"'- B'D^r/ =  o, 

qui  représente  deux  plans  passant  par  l'axe  des  z.  L'intersection  des  deux 
quadriques  se  compose  donc  de  deux  courbes  planes. 

A3S.  Réciproquement,  soient  P  ^  o,  Q  =  o  les  équations  des 
plans  de  deux  coniques  communes  à  deux  quadriques.  Si  l'une  de 
ces  quadriques  a  pour  équation  y  =  o,  l'autre,  pouvant  être  consi- 
dérée comme  passant  par  l'intersection  de  la  première  et  du  système 
de  deux  plans  définis  par  l'équation  PQ  =  o,  aura  une  équation  de 

la  forme 

/-+-2XPQ  =  o. 

Si  l'on  pose 

df  ôf  df  df 

âa-x  ofi  dzi  aty 

l'équation  du  plan  tangent  au  point  M(:r, ,  j>^( ,  5, ,  <,)  de  la  première 
quadrique  étant  T  =  o,  le  plan  tangent  à  la  seconde,  en  ce  même 
point,  supposé  commun  aux  deux  surfaces,  aura  pour  équation 

T4-).(PQ,  +  QP,)  =  o, 

P,  et  Q,  désignant  les  résultats  de  la  substitution  de  .r,,jK<j^i,  ^i 
aux  coordonnées  courantes  dans  les  polynômes  P,  Q.  Or,  si  l'on 
suppose  que  le  point  M  soit  l'un  des  points  communs  aux  deux  co- 
niques qui  composent  l'intersection  des  quadriques  données,  on  a 
P,  =  o,  Q,  ^  o  et,  par  suite,  on  voit  que  les  deux  quadriques  sont 
tangentes  en  M. 

439.  Equation  générale  des  quadriques  bitangentes  à  une 
quadrique  donnée.  —  Soit  y*(x,y,  5)  ^  o  l'équation  d'une  qua- 
drique; toute  quadrique  bilangente  à  la  proposée  la  coupe  suivant 
deux  coniques  ,  et  réciproquement.  Il  en  résulte  que  l'équation 
demandée  est  de  la  forme 

f(x,y,z)-^VÇl  =  o, 

P  et  Q  étant  deux  polynômes  de  premier  degré. 

Application.  —  Proposons-nous  de  trouver  l'équation  générale  des  qua- 
driques tangentes  à  deux  plans  donnés.  Soient  U  =  o,  V=o  les  équations 


^20  CHAPITRE    XXVIII. 

de  ces  plans,  et  R  =  o,  S  =  o  les  équations  d'une  droite  coupant  ces  plans 
en  A  et  B.  Une  quadrique  tangente  en  A  au  plan  U  est  coupée  par  ce  plan 
suivant  deux  droites  AM,  AP  ;  si  cette  même  quadrique  est  tangente  en  B  au 
plan  V,  elle  est  coupée  par  ce  plan  suivant  deux  droites  BM,  BP,  M  et  P 
étant  les  points  de  rencontre  de  cette  quadrique  et  de  la  droite  commune 
aux  plans  U  et  V.  On  vérifie  ainsi  que  la  quadrique  coupe  la  quadrique  dégé- 
nérée formée  des  plans  U,  V  suivant  deux  coniques  dégénérées  en  systèmes 
de  droites  (AM,  BM)  et  (AP,  BP).  Le  système  des  plans  de  ces  coniques  dé- 
générées a  pour  équation 

aR2-4-èRS  +  cS2  =  o 

et,  par  suite,  l'équation  de  toute  quadrique  tangente  aux  deux  plans  U,  V 
aux  points  où  ils  sont  rencontrés  par  la  droite  (R  =  o,  S  =  o)  est  de  la 
forme 

UV-t-aR2-4-6RS  +  cS2  =o, 

a,  b,  c  étant  des  paramètres  arbitraires. 


Quadriques  inscrites  ou  circonscrites. 

440.  Quand  deux  quadriques  sont  tangentes  en  trois  points, 
elles  se  coupent  suivant  une  seule  conique  et  se  raccordent  le 
long  de  cette  conique^  pourvu  que  la  droite  qui  passe  par  deux 
quelconques  des  points  de  contact  ne  fasse  pas  partie  de  V inter- 
section. 

En  effet,  soient  A,  B,  G  les  points  de  contact  de  deux  quadriques 
ayant  trois  plans  tangents  communs.  Les  deux  surfaces,  ayant  même 
plan  tangent  en  A  et  B.  se  coupent  suivant  deux  coniques  dont  les 
plans  passent  par  ces  deux  points.  Mais,  C  étant  aussi  un  point  de 
contact,  les  plans  des  coniques  communes  doivent  aussi  passer  par  C, 
ce  qui  prouve  que  ces  plans,  ayant  trois  points  communs,  sont  con- 
fondus. En  d'autres  termes,  toute  l'intersection  se  réduit  à  une  seule 
conique  située  dans  le  plan  ABC.  D'autre  part,  les  plans  tangents 
en  A,  B,  i\  ont  un  seul  point  commun  S  à  distance  finie  ou  infinie  ; 
car  ils  ne  peuvent  avoir  une  droite  commune,  puisqu'on  ne  peut 
mener  à  une  quadrique  que  deux  plans  tangents  au  plus  par  une 
droite.  Le  plan  polaire  de  S  par  rapport  à  l'une  quelconque  des 
quadriques  est  le  plan  ABC;  donc  les  deux  quadriques  sont  inscrites 
à  un  même  cône  ayant  S  pour  sommet;  elles  ont  donc  même  plan 
langent  en   tous  les  points  de  leur  intersection  ;   on  dit  alors  que 


INTERSECTION    DK    DEUX    QL'ADRIQUES.  ^1i 

l'une  est  circonscrite  à  l'autre  ou  que  la  seconde  est  inscrite  à  la  pre- 
mière. 

Supposons  maintenant  que  AB  soit  une  génératrice  commune  aux 
deux  quadriques.  L'intersection  de  la  première  quadrique  par  son 
plan  tangent  en  C  se  compose  de  deux  droites,  dont  l'une  rencontre 
la  droite  AB  en  un  point  D  qui  est  le  point  commun  à  AB  et  au  plan 
tangent  en  C.  Il  en  résulte  que  CD  appartient  aussi  à  la  seconde 
quadrique  et  par  conséquent  ces  deux  quadriques  se  louchent  en  D. 
Donc,  si  ces  deux  quadriques  n'ont  que  deux  plans  tangents  com- 
muns le  long  de  AB,  le  point  D  se  confond  soit  avec  A,  soit  avec  B. 
Supposons  que  D  se  confonde  avec  B;  dans  ce  cas,  les  deux  quadri- 
ques ont  en  commun  une  conique  dégénérée  formée  des  droites  AB, 
GB;  elles  se  coupent  en  général  suivant  une  seconde  conique  pas- 
sant par  A  et  C. 

Nous  verrons  plus  loin  que  si  les  deux  quadriques  ont  même  plan  tangent 
en  trois  points  d'une  droite,  elles  se  raccordent  tout  le  long  de  cette  droite 
et  ne  peuvent  avoir  d'autre  plan  tangent  commun  en  un  point  situé  hors  de 
celte  droite  (430). 

441.  Démonstration  analytique. —  Soit  S  le  point  de  concours  des  plans 
tangents  en  A,  B,  G;  prenons  le  tétraèdre  SABG  pour  tétraèdre  de  référence. 
Une  quadrique  passant  par  A,  B,  G  a  pour  équation 

2  BYZ  +  2  B'ZX  ^-  2  B"  XY  +  i  C  X T  -+-  >  G'  Y T  +  2  G" ZT  -+-  DT^  =  o  ; 

le  plan  tangent  en  A  a  pour  équation 

B"\  -+-  H'Z  +  GT^o. 

Ce  plan  passe  par  le  point  S,  donc  G  =  o.  On  verrait  de  môme  que  G' =  o, 

L'équation  d'une  quadrique  vérifiant  les  conditions  données  est  donc 

DT»  +  2  B  YZ  +  >.  B'ZX  -t-  2  G'XY  =  o. 

Les  équations  des  plans  tangents  en  A,  B,  G  sont  respectivement 

B'Y^-B'Z^o,         B'X-^BZ^o,         B'X-fBY  =  o. 

On  peut  remarquer  que  les  traces  de  ces  plans  sur  le  plan  ABG  rencontrent 
les  côtés  de  ce  triangle  en  trois  points  situés  sur  la  droite  ayant  pour  équa- 
tions 

T  X        Y        Z 

T  =  o.  -t-        -H  —  =  o, 


422  CHAPITRE    XXVIII. 

et  que  les  droites  joignant  les  points  de  contact  A,  B,  C  aux  sommets  du 
triangle  formé  par  les  traces  des  plans  tangents  en  A,  B,  G  sur  le  plan  T  =  o, 
concourent  en  un  même  point  ayant  pour  coordonnées 

T  =  o,        X=B,         Y  =  B',        Z=B". 

Considérons  une  seconde  quadrique  remplissant  les   mêmes  conditions  et 
soit 

D,  T2  +  2  B,  YZ  4- 2  B  ;  ZX  +  2  b;  XY  =  o 

son  équation;  ces  quadriques  ayant  mêmes  plans  tangents  en  A,  B,  G.  on  doit 
poser 

B'  _  b;  _  Bï 

B   ~   B'  ~   B"  ■ 

Rien  n'empêche  d'ailleurs  de  supposer  ces  rapports  égaux  à  i  ;  de  sorte  que 
l'équation  de  la  seconde  quadrique  sera 

DiT2-i- aBYZ  +  2B'ZX -^  ?.B"XY  =  o, 

et,  par  conséquent,  si  l'on  représente  par  f—o  l'équation  de  la  première 
quadrique,  celle  de  la  seconde  sera 

/-f-XT2  =  o. 

On  voit  ainsi  que  les  quadriques  données  se  coupent  suivant  une  seule  courbe 
plane  située  dans  le  plan  T  =  o  et  qu'en  chacun  des  points  communs  le  plan 
tangent  est  le  même,  car,  si  l'on  forme  l'équation  du  plan  tangent  en  un 
point  (a^i,  ^1,  Zi,  tx)  de  la  seconde  surface,  il  faut  ajouter  aux  premiers 
membres  de  l'équation  du  plan  tangent  à  la  première  le  produit  TTi,  qui  est 
nul  si  le  point  de  contact  appartient  à  la  courbe  commune. 

442.  Équation  générale  des  quadriques  circonscrites  ou  in- 
scrites à  une  quadrique  donnée.  —  Soient  fz=  o  l'équation  d'une 
quadrique  etP=o  Téquation  d'un  plan;  une  quadrique  circonscrite 
le  long  de  l'intersection  du  plan  P  et  de  la  quadrique  donnée  a  une 

équation  de  la  forme 

/+2PQ  =  o, 

Q  étant  une  fonction  linéaire;  mais,  pour  former  l'équation  du  plan 
tangent  à  cette  quadrique  en  un  point  de  la  courbe  d'intersection  de 
la  quadrique  f  par  le  plan  P,  il  faut  ajouter  au  premier  membre  de 
l'équation  du  plan  tangent  à  la  première  l'équation  PQ,  +  QPj,  P» 
et  Q,  désignant  ce  que  deviennent  P  et  Q  quand  on  j  substitue  aux 
coordonnées  courantes  celles  du  point  considéré.  Or  P,  =  o;  donc 
on  doit  avoir  aussi  Q,  =  o,  puisque  les  deux  quadriques  ont  même 


INTERSECTION   DE   DEUX    QUADRIQIIES.  ^2^ 

plan  tangent.  Le  polynôme  Q  doit  donc  être  nul  en  tous  les  points 
de  la  conique  intersection  de  la  quadrique^et  du  plan  P;  donc  Q 
doit  être  proportionnel  à  P  et,  par  suite,  l'équation  demandée  est  de 
la  forme 

comme  nous  l'avons  trouvé  par  une  autre  méthode  (441);  on  vé- 
rifie immédiatement  que,  réciproquement,  cette  équation  représente, 
quelle  que  soit  la  valeur  de  X,  une  quadrique  qui  se  raccorde  avec 
la  proposée  en  tous  les  points  de  la  conique  suivant  laquelle  elle 
est  coupée  par  le  plan  P.  L'équation  précédente  est  donc  l'équation 
générale  demandée. 

443.  Théorème.  —  Par  un  point  donné  il  ne  passe  qu'une  seule 
quadrique  circonscrite  à  une  quadrique  donnée,  le  long  d'une 
conique  déterminée. 

En  effet,  l'équation  /,  +  aP^  =  o  est  du  premier  degré  en  ).. 

Application.  —  La  courbe  de  contact  du  cône  circonscrit  à  une  quadrique^, 
ayant  pour  sommet  le  point  S(:ro,  yo,  Zg)  est  dans  le  plan  polaire  du  point  S; 
donc  ce  cône  a  une  équation  de  la  forme 

^  /      àf  df  ùf  dfy- 

Pour  déterminer  X,  il  suffit  d'écrire  que  le  cône  passe  par  son  sommet,  ce 
qui  donne 

/(^o,ro,-So)-l-4À/2(.ro,j'o,  ^o)  =  o; 

en  éliminant  X  on  retrouve  l'équation  connue  du  cône  circonscrit. 

Pareillement,  la  courbe  de  contact  du  cylindre  circonscrit,  dont  les  géné- 
ratrices ont  pour  paramètres  directeurs  a,  p,  y»  est  dans  le  plan  diamétral 
conjugué  à  cette  direction;  ce  cylindre  a  donc  une  équation  de  la  forme 

Il  suffit,  pour  déterminer  X,  d'écrire  que  le  cylindre  passe  par  le  point  à 
l'infini  (a,  p,  y>  o),  ce  qui  donne 

cp(a,p,Y)-f-4Xcp2(a,p,Y)  =  o, 

et,  en  supposant  ç(a,  S,  y)  7^  o,  on  lire  de  cette  équation  X  =  —  - — ; — ^5 — -  ; 

49(*,  p,  y) 
en  remplaçant  X  par  cette  valeur,  on  retrouve  l'équation  connue  du  cylindre 
circonscrit. 


424  CHAPITRE    XXVIII. 

444.  Théorème.  —  Deux  quadriques  circonscrites  à  une  même 
quadrique  se  coupent  suivant  deux  courbes  planes. 

En  effet,  les  équations  de  ces  deux  quadriques  peuvent  se  mettre 
sous  la  forme 

leurs  points  communs  sont  les  points  communs  à  l'une  d'elles  et  au 
système  de  deux  plans  représenté  par  P^  —  Q^  ^  o. 

Exemple.  —  Deux  quadriques  de  révolution  ayant  un  foyer  com- 
mun sont  circonscrites  à  une  sphère  de  rayon  nul;  elles  se  coupent 
donc  suivant  deux  coniques.  Leurs  équations  sont  de  la  forme 

(a;  — a)2-i-(j_  ^,)2-|-(-_c)2=  Q2; 
on  peut  donc  leur  appliquer  la  démonstration  précédente. 

445.  Théorème.  —  Les  intersections  par  un  même  plan  de  deux 
quadriques  dont  l'une  est  circonscrite  à  l'autre  sont  des  coniques 
bitangentes. 

En  effet,  prenons  le  plan  sécant  pour  plan  des  x^  y.  Les  équations 
des  deux  quadriques  peuvent  s'écrire 

f{x,  y,  z)  =  o,        f{x,  y,  z)  ^  k{ax  ^by-^cz  +  df  ^  o. 

Les  sections  par  le  plan  des  x.,y  ont  pour  équations,  dans  ce  plan, 

f^^^.y,  o)  =  o,        f{oc,y,  o)  -f-  k{ax  ■+■  by -^  d)^  =  o. 

Quand  le  plan  sécant  est  mené  par  une  tangente  à  la  courbe  des  contacts, 
les  sections  sont  osculatrices,  c'est-à-dire  ont  un  contact  du  troisième  ordre. 
Si  l'une  des  quadriques  est  une  sphère,  on  obtient  alors  le  cercle  osculateur 
en  un  sommet  de  la  conique  située  sur  l'autre  quadrique. 

446.  Corollaire.  —  Si  l'on  coupe  une  quadrique  circonscrite  à  une  se- 
conde quadrique  par  le  plan  tangent  en  un  ombilic  de  cette  dernière, 
la  section  aura  pour  foyer  l'ombilic,  la  directrice  correspondante  étant 
la  trace  du  plan  sécant  sur  le  plan  de  la  courbe  des  contacts. 

En  effet,  en  prenant  pour  axes  des  x  et  des  y  deux  droites  rectangulaires 
menées  par  l'ombilic  d'une  quadrique  dans  le  plan  tangent  en  ce  point  et 
pour  axe  des  z  la  normale  au  même  point,  l'équation  de  cette  quadrique 
sera 

f{x,y,z)  =  x'^-^y'''-{'Z{ci.x-+-^y-\-^z  +  ^)  =  o; 


INTERSECTION    l)E    DEUX    QCADRIQUES.  /JîS 

en  conservant  les  notations  du  numéro  précédent,  la  section  d'une  quadriqui* 
circonscrite,  par  le  plan  des  x,  y,  aura  pour  équation 

x^-\- y^-\-  k{aT  4-  by  4-  d)-  =  o, 

ce  qui  démontre  la  proposition. 

417.  Cas  particulier.  —  Tous  les  points  d'une  sphère  sont  des  ombilics. 
En  second  lieu,  toute  quadrique  circonscrite  ou  inscrite  à  une  sphère  est  une 
quadrique  de  révolution,  et,  réciproquement,  on  peut  inscrire  ou  circon- 
scrire une  sphère  à  une  quadrique  de  révolution,  le  plan  des  contacts  étant 
celui  d'un  parallèle  quelconque  de  cette  surface.  Gela  étant  admis,  on  obtient 
ces  théorèmes  : 

La  section  d'une  quadrique  de  révolution  par  un  plan  tangent  à  une 
sphère  y  inscrite  est  une  conique  ayant  pour  foyer  le  point  de  contact 
de  la  sphère  et  du  plan,  et  pour  directrice  correspondante  l'intersection 
de  ce  plan  et  du  plan  des  contacts. 

La  section  d'une  quadrique  par  un  plan  tangent  à  deux  sphères  y 
inscrites  est  une  conique  ayant  pour  foyers  les  deux  points  de  contact 
du  plan  sécant  et  des  sphères. 

Dans  le  cas  d'un  cône  ou  d'un  cylindre  de  révolution  on  retrouve  le  théo- 
rème de  Dandelin. 


CAS    ou     L  INTERSECTION    DE    DEUX    QUADRIQUES    SE    DÉCOMPOSE. 

448.  L'intersection  de  deux  quadriques  étant,  dans  le  cas  le  plus 
général,  une  courbe  du  quatrième  ordre,  peut  se  décomposer  en  deux 
coniques;  en  une  conique  et  deux  droites;  en  quatre  droites  ou  enfin 
en  une  cubique  gauche  et  une  droite. 

On  obtient  deux  coniques  quand  les  quadriques  sont  bitangentes; 
mais  on  peut  avoir  aussi,  comme  cas  limite,  deux  coniques  tan- 
gentes, comme  nous  l'avons  vu.  Il  nous  reste  à  étudier  le  cas  où  les 
deux  quadriques  ont  au  moins  une  droite  commune. 

Quadriques  ayant  une  droite  commune. 

449.  Nous  avons  démontré  que  si  deux  surfaces  réglée  quelconques 
ont  une  génératrice  rectiligne  commune,  elles  se  touchent  en  deux 
points  de  cette  droite,  et  que  si  elles  ont  même  plan  tangent  en  trois 
points  de  la  génératrice,  elles  se  raccordent  tout  le  long  de  cette 


426  CHAPITRE    XXVIII. 

droite.  Nous  allons  démontrer  ces  propositions  dans  le  cas  des  qua- 
driques. 

Les  équations  de  deux  quadriques  contenant  l'axe  des  z  sont  de 
la  forme 

kx--^  k'  y^-^  7.Byz  -i-  aB'z.r-t-  7.^"  xf  -h  2Cx -+-  2  C'y  =  o, 
kix^-+-  t\\y^-^  2B1JK-S  -+-  iB'fZX  -{-  l'Qlxy  -\-  iC^x  -\-  iC\y  =  o. 

Les  équations  des  plans  tangents  aux  points  ^  =  o,  y  =  o,  z  =1  h 
sont 

h{B'x  4-  Bjk)  +  g  a-  +  C>  =  o, 

li{\i\x  -f-  Bi_^)  4-  Cxx  -h  G'jjK  =  o. 
Ces  plans  sont  confondus  si 

B7t  +  C    _  Bi/i  +  G' 

B'i  A  -H  Cl  ~  Bi  h  H-  G', 

L'équation  précédente  est  du  second  degré  en  h]  il  j  a  donc  sur 
l'axe  des  z  deux  points  réels  ou  imaginaires  en  lesquels  les  deux 
quadriques  sont  tangentes;  si  les  deux  quadriques  sont  tangentes  en 
trois  points  de  l'axe  des  ^,  elles  sont  tangentes  en  tous  les  points  de 
cette  droite  et  l'équation  précédente  est  vérifiée  quel  que  soit  h.  Dans 
ce  cas,  on  a 

A  -  E  -  _^  -  ^' 

B,  ~  B'i  ~  C[~  Z\' 

450.  Quadriques  se  raccordant  le  long  d'une  génératrice  com- 
mune. —  Supposons  les  conditions  précédentes  remplies.  On  peut 
supposer  la  valeur  commune  des  rapports  précécjents  égale  à  l'unité, 
et,  par  suite,  l'équation  de  la  seconde  quadrique  sera 

Ajar^-H  A'jjK--t-  2Byz  -+-  ■2B'zx  -h  "îB^xy  -\-  2Gx  -h  2 C'y  =  o. 

L'intersection  des  deux  surfaces  est  alors  définie  par  l'équation  de 
l'une  d'elles,  et  l'équation 

(A  — Â,)^2+(A'— A'i)jK2-t-a(B"— BÏ)^^  =  o, 

qui  représente  deux  plans  passant  par  l'axe  des  z.  Cette  intersection 
se  compose  donc  de  l'axe  des  2,  associé  à  deux  droites  D,  D'  qui 
rencontrent  cet  axe.  On  peut  encore  dire,  si  l'on  veut,  que  l'intersec- 
tion se  compose  de  deux  coniques  dégénérées  :  (0-s,  D)  et  (Os,  D'). 


LXTKRSECTIOX   DK    DEUX    QIADRIQUES.  /j27 

Il  est  facile  d'établir  que,  dans  le  cas  qui  nous  occupe,  les  deux  surfaces 
ne  peuvent  être  tangentes  en  aucun  point  pris  hors  de  la  génératrice  suivant 
laquelle  elles  se  raccordent.  Prenons  la  droite  D  pour  axe  des  x  et  supposons 
l'axe  des^  parallèle  à  D',  l'axe  des  z  étant  le  même  que  plus  haut.  En  repré- 
sentant par  a?  =  o,  2  =  a  les  équations  de  D',  les  équations  des  deux  qua- 

driques  seront 

V>yz  -  i-  I)'  zx  -H  B"  xy  —  B  rLy  =  o, 

Byz  -+-  B' zx  -+-  B'|[  xy  —  Bocy  —  o. 

Si  ces  surfaces  étaient  tangentes  en  un  point  pris  hors  de  l'axe  des  z,  le 
point  de  contact  serait  sur  D  ou  sur  D';  supposons-le  sur  l'axe  des  x.  Les 
plans  tangents  au  point  x  =  Xq,  y  =  o,  z  =  o  ayant  pour  équations 

XoiB" y  -+■  B'z)  —  Ba/  =  o, 
XoiB'ly-^B'z)-BoLy  =  o. 

Ces  plans  ne  peuvent  coïncider  que  si  B'  =  Bj  ;  mais,  dans  ce  cas,  les  deux 
quadriques  coïncideraient. 

4ol.  Il  peut  arriver  que  les  droites  Del  D' coïncident;  si  nous 
supposons  que  l'axe  des  a;  soit  la  droite  D,  on  aura 

A  =  A,  =  o,        B"  =  B';,        G  =  o; 

les  équations  des  deux  quadriques  sont  alors 

A'  y- -+-  i  Byz  -f-  •>. B'zx  -f-  ■>. B'xy  -f-  2 C'y  =  o, 
A',^'^  -h  1  Byz  -T-  1  B'  zx  -f-  1  B" xy  -)-  x  C'y  =  o. 

Dans  ce  cas,  ces  deux  surfaces  se  raccordent  en  tous  les  points  des 
deux  droites  qui  leur  sont  communes. 

Bemarquons  enfin  que  si  deux  quadriques  se  raccordent  le  long  d'une  droite 
commune,  le  plan  tangent  commun  en  chaque  point  de  celte  droite  varie 
avec  le  point  de  contact,  à  moins  que  ces  surfaces  ne  soient  des  cylindres  ou 
des  cônes.  Supposons,  en  effet,  que  l'axe  des  z  étant  une  génératrice  recti- 
ligne,  le  plan  xOz  soit  tangent  tout  le  long  de  cette  droite  à  une  quadrique; 
l'équation  de  cette  quadrique  sera  de  la  forme 

Aa-î  -f-  A.'y^  m-  2  Byz  -\-  2  B'xy  -+-  2  C'y  =  o  ; 

on  voit  que  cette   équation   représente  un  cône  si  B  ^  o,  et  un  cylindre,  si 
B  =  o. 

432.  Quadriques  tangentes  en  deux  points  d'une  génératrice 
commune.  —  Nous  supposerons  les  deux  points  de  contact  réels; 


428  CHAPITHE    XXVIIl. 

l'un  d'eux  peut  alors  être  pris  pour  origine  des  coordonnées,  le  plan 
tangent  en  ce  point  étant  par  exemple  le  plan  yOz^  et  l'axe  des  z, 
comme  plus  haut,  la  génératrice  commune.  Les  équations  des  deux 
quadriques  seront  alors 

Ax^   -h  A'jK-  -!-  oByz    -4-  9.W zx  -+-  "iW xy  h-  'xx  =  o, 
A 1  a7^ H-  A j jK- H-  2 B lyz  +  2 B,  sr  -f-  2 B 1  xy  -f-  9. a?  =  o. 

On  a  supposé  le  coefficient  de  x  différent  de  zéro,  car  les  deux 
quadriques  ne  peuvent  être  des  cônes,  dans  le  cas  précédent. 

On  peut  supposer  encore  que  le  second  plan  tangent  commun  soit 
le  planj^Os;  il  faut,  par  exemple,  poser  B'^B,  ;  le  point  de  contact 

de  ce  plan  aura  pour  coordonnées  x  =  o,  y  =  o,  z^=  —  rr-, • 

Cela  étant,  proposons-nous  de  cliercher  les  points  de  l'intersection 
des  deux  quadriques  qui  se  trouvent  situés  hors  de  l'axe  des  z. 

Cherchons  pour  cela  les  points  de  cette  intersection  situés  dans 
un  plan  quelconque  mené  par  l'axe  des  z.  En  posant  j"=  mx  dans 
les  équations  des  deux  quadriques,  et  supprimant  le  facteur  x^  on 
trouve,  en  résolvant  le  sjstème  d'équations  linéaires  obtenu  : 


a 

m 

ain^ 

-^■ 

bm 

^-f- 

cm  -+- 

d 

a" 

m 

2^- 

b"m-\-c" 

am^ 

~ 

bni 
a' 

m'' 

cm  -h 

cl 

iin^-r-  bin--\-~cm,  -\-  d 


L'intersection  se  compose  donc  de  l'axe  des  5  et  de  cette  cubique, 
qui  passe  par  les  deux  points  de  contact  des  deux  quadriques  qui 
sont  sur  la  génératrice  commune,  car  :r  =  0,^  =  0,  z^=  0  pour  m 

c"  I 

infini,  et  ;r  =  o,  y  =  o,  :;  =  —  =  —  —,  pour  m  =  o. 


L'origine  est  un  point  double  de  la  projection  de  la  cubique  sur  le  plan 
xOy,  les  tangentes  étant  Ox  et  Oy;  d'ailleurs,  la  projection  cylindrique  ou 
conique  d'une  cubique  sur  un  plan  quelconque  a  toujours  un  point  double. 
Voici  comment  Poncelet  le  démontre.  La  cubique  fait  partie  de  l'intersec- 
tion de  deux  quadriques  f=o,  y*!  =  o  ayant  une  droite  commune  D;  ces 
deux  quadriques  définissent  un  faisceau  ponctuel  (/-H  X/j  =  o).  Soit  S  le 
point  de  vue;  par  S  il  passe  une  quadrique  du  faisceau,  dont  deux  généra- 
trices rectilignes  SA,  SB  passent  par  S.  L'une  SA  rencontre  la  droite  D  et  la 
cubique;  l'autre  SB,  de  même  système  que  D,  rencontre  donc  la  cubique  en 


INTERSECTION    DE    DEUX    QL'ADRIQUES.  4^9 

deux  points;  la  trace  de  SB  sur  le  plan  de  projection  est  un  point  double  do  la 
projection  de  la  cubique  sur  ce  plan. 

•453.  Qiiadriques  ayant  deux  génératrices  rectilignes  com- 
munes. —  Quand  deux  quadriques  ont  deux  génératrices  de  même 
système  communes,  elles  en  ont  nécessairement  une  autre,  ou  deux 
autres. 

En  effet,  soient  G,  G'  les  deux  génératrices  communes.  Ces  deux 
génératrices  ne  peuvent  pas  constituer  toute  l'intersection;  soit 
donc  M  un  point  commun  aux  deux  quadriques  et  non  situé  sur  G 
ni  sur  G'. 

La  droite  qui  passe  par  M  et  s'appuie  sur  G  et  G'  a  trois  points 
sur  chacune  des  deux  surfaces;  cette  droite  est  donc  une  génératrice 
G|  de  l'autre  système,  commune  aux  deux  surfaces. 

Il  peut  se  faire  que  l'intersection  des  deux  quadriques  se  compose 
des  trois  droites  G,  G',  G(  ;  dans  ce  cas,  les  deux  quadriques  se  rac- 
cordent le  long  de  G|.  Supposons  qu'il  y  ait  d'autres  points  com- 
muns, et  soit  M'  l'un  d'eux^  on  voit  encore  que  la  droite  Go  qui  passe 
par  M'  et  s'appuie  sur  G  et  G'  est  tout  entière  située  sur  cliacune 
des  deux  quadriques  :  l'intersection  se  compose  alors  des  quatre  cô- 
tés d'un  quadrilatère  gauche. 

Traitons  la  question  par  le  calcul.  Soient  P  =  o,  Q  =  o  les  équations  de  G, 
R  =  o,  S  =  o  celles  de  G'.  Les  équations  de  doux  quadriques  contenant  G  et 
G'  sont 

P(aR-T-6Sj-r-Q(a'l{ -H  6'S)  =  o, 

P(aR  +  pS)-i-Q(a'R  -^  ?'S)  =  o; 

les  points  d'intersection  non  situés  sur  G  sont  les  points  communs  à  l'une  de 
ces  quadriques  et  au  système  de  deux  plans  défini  par  l'équation 

(aR^6S)(a'R  +  fi'S)    -  {yW    ■    3  S)  (a'R -i- 6'S)  =  o. 

Ces  plans,  passant  parG',  coupent  cette  quadrique  suivantdeux  droites  Gi,  Gj, 
qui  peuvent  d'ailleurs  être  confondues  en  une  seule. 

Si  les  deux  génératrices  communes  sont  de  systèmes  différents, 
elles  se  rencontrent,  et  l'on  peut  les  considérer  comme  formant  une 
courbe  plane  commune  aux  deux  quadriques,  qui  ont  alors  une  se- 
conde conique  commune,  laquelle  peut  d'ailleurs  dégénérer  en  deux 
nouvelles  génératrices  rectilignes. 


43o  CHAPITIIE   XXVIII. 

454.  Cas  particulier.  —  Intersection  de  deux  paraboloïdes  ayant  un 
plan  directeur  commun  et  une  génératrice  commune.  —  Si  l'on  repré- 
sente par 

PQ4-R  =  o,        PQ'4-IV=o 

les  équations  des  deux  paraboloïdes,  on  voit  qu'ils  ont  une  génératrice  com- 
mune, située  dans  le  plan  de  l'infini,  ayant  pour  équations  P  =  o,  ^  =  o. 

Si  la  génératrice  commune  donnée  est  parallèle  au  plan  P,  le  plan  paral- 
lèle à  P  mené  par  cette  génératrice  coupe  les  deux  paraboloïdes  suivant  deux 
génératrices  communes;  dans  ce  cas,  l'intersection  se  compose  de  ces  deux 
droites,  dont  l'une  est  à  l'infini,  et  d'une  conique,  qui  peut  dégénérer  en 
deux  nouvelles  génératrices. 

Si  la  génératrice  commune  n'est  pas  parallèle  au  plan  P,  les  deux  parabo- 
loïdes peuvent  être  considérés  comme  ayant  deux  droites  communes  ne  se 
rencontrant  pas;  ils  en  ont  donc  deux  autres  qui  sont  parallèles  au  plan  P. 

II  est  utile  de  reprendre  ces  questions  par  le  calcul.  Dans  le  premier  cas, 
prenons  pour  axe  des  x  la  génératrice  commune  donnée,  le  plan  des  a;,  jk 
étant  le  plan  directeur  commun.  Les  deux  paraboloïdes  sont  alors  tangents 
en  un  point  de  l'axe  des  x;  on  peut  supposer  ce  plan  pris  pour  origine  et  que 
le  plan  xOz  soit  le  plan  tangent  commun;  les  équations  des  deux  parabo- 
loïdes seront  alors 

z{aT   -^by   -\- cz)   -i- y  =  o, 

z{aiX  ^b^y  -\-  Ciz)-\-y  =  o. 

L'intersection  est  donc  définie  par  l'une  de  ces  équations  et  l'équation 

z{{a  —  ax)x  -\-  {b  —  bi)  y  -\-  {c  —  Cl)  z\  =  o; 

elle  se  compose  donc  de  l'axe  des  x,  d'une  droite  à  l'infini  dans  un  plan  pa- 
rallèle au  plan  directeur  z  =  o,  et  d'une  conique   située  dans  le  plan    ayanl 

pour  équation 

(a  —  ai)x  -\-  {b  —  bi)y  -H  (c  —  cx)z  =  o. 

Supposons  maintenant  que  la  génératrice  donnée  ne  soit  pas  parallèle  au 
plan  directeur  commun  ;  prenons-la  pour  axe  des  z,  le  plan  des  x,  y  étant  pa- 
rallèle au  plan  directeur  donné.  Les  équations  des  deux  paraboloïdes  seront. 

dans  ce  cas, 

z{ax  -T- by)    -+■  a' x  -\-b'y   =  o, 

z{aix  -+-  biy)  -h  a\x  -\-  b\y  —  o. 

Les  points  communs  non  situes  sur  la  génératrice  z  ^=  o,  t  =  o  sont  les 
points  communs  à  l'une  de  ces  quadriques  et  au  système  des  plans  définis 
par  l'équation 

(ax  -h  by)  («',  X  -h  b\y  )  —  (aix  -+-  bxy)  (a' x  -+-  b'y)  =  o. 

Chacun  de  ces  plans  coupe  la  première  surface,  par  exemple,  suivant  l'axe 
des  z  et  une  droite  s'appuyant  sur  cet  axe  et  parallèle  au  plan  des  3?,  y. 


INTERSECTION    DE    DEUX    QUADRIQUES.  43' 

L'intersection  se  compose  donc  de  l'axe  des  z,  d'une  droite  à  l'infini  et  de 
deux  droites  parallèles  au  plan  directeur  donné  et  s'appuyant  sur  la  généra- 
trice commune  donnée. 

155.  Théorème.  —  L'intersection  de  deux  quadriques  ayant 
un  plan  diamétral  commun  se  projette  sur  ce  plan,  parallèle- 
ment aux  cordes  qui  lui  sont  conjuguées,  suivant  une  conique;  et 
réciproquement. 

En  effet,  si  le  plan  diaraélral  est  pris  pour  plan  des  x^  y,  l'axe 
des  z  étant  parallèle  aux  cordes  conjuguées,  les  équations  des  deux 
quadriques  pouvant  s'écrire 

z^-.  /{x,y)=^o,         z'--^f,{x,y)  =  o, 

la  projection  de  leur  intersection  sur  le  plan  des  ^,  j^  a  pour  équa- 
tion 

/(^,  r)— /i(xi,7)=:o. 

Réciproquement,  si  la  courbe  d'intersection  de  deux  quadriques 
se  projette  sur  un  plan  suivant  une  conique,  prenons  ce  plan  pour 
plan  âesx^y^  l'axe  des  z  étant  parallèle  aux  projetantes;  les  équa- 
tions des  deux  quadriques  seront 

/i^,y>^)  =  o,        f{x,y,z)-hlF{a;,y)=o; 

le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction  O^  a  pour  équation  -^  =  o; 
il  est  le  même  pour  les  deux  quadriques. 

456.  Corollaire.  —  Quand  les  axes  de  deux  surfaces  de  révolu- 
lion  du  second  degré  sont  dans  un  même  plan,  ce  plan  est  un  plan 
principal  commun;  donc  la  projection  de  l'intersection  des  deux 
quadriques  sur  ce  plan  est  une  conique,  ou,  plus  exaclemenl,  un 
arc  de  conique,  si  l'on  se  borne  à  la  projection  de  la  partie  réelle  de 
l'intersection. 

Faisceau  ponctuel  de  quadriques. 

457.  Soient /( a:,  j^,  s,  /)  =  o,  f\{x,y,  z,  t)  =  o  les  équations  de  deux  qua- 
driques. L'équation 

/{x,  y,  z,t)-^  X/,  {X,  y,z,l)  =  o, 

dans  laquelle  X  est  un  paramétre  arbitraire,  définit  une  infinité  de  quadriques 


432  CHAPITRE    XXVIII. 

dont  l'ensemble  constitue  ce  qu'on  nomme  un  faisceau  ponctuel;  les  deux 
quadri^uesy  ety*!  sont  les  bases  du  faisceau.  On  voit,  comme  pour  les  fais- 
ceaux de  coniques,  qu'on  peut  prendre  pour  bases  deux  quadriques  quelcon- 
ques du  faisceau. 

4S8.  Théorème.  —  Parmi  les  quadriques  d' un  faisceau  ponctuel  il  y  a. 
en  général,  quatre  cônes;  les  sommets  de  ces  cônes  sont  les  sommets  d'un 
tétraèdre  conjugué  par  rapport  aux  quadriques  du  faisceau. 

Pour  exprimer  que  l'équation  y -t-  X/i  =  o  représente  un  cône,  on  doit  an- 
nuler le  discriminant  (ou  hessien)  de  la  forme /"-r-  XjTi  ;  on  obtient  ainsi  une 
équation  du  quatrième  degré  en  X,  H(X)  =  o,  ce  qui  démontre  la  première 
partie  du  théorème. 

Pour  démontrer  la  seconde  partie,  nous  ferons  d'abord  observer  que  si  un 
point  a  même  plan  polaire  par  rapport  aux  quadriques  f  el  f,  ce  plan  po- 
laire commun  sera  le  plan  polaire  du  point  considéré  par  rapporta  une  qua- 
drique  quelconque  du  faisceau  (f,fi),  car  si  l'on  a 

.,^  àf  _       df,  df  _       df  àf_       df,  àf_       df, 

ox  dx  ay  oy  oz  oz  ât  dt 


on  en  déduit 


^i)-'>-^)S-i 


Il  suffit  donc  de  considérer  seulement  les  quadriques/"  et  yj. 

Cherchons  les  points  qui  ont  mêmes  plans  polaires  par  rapport  à  ces  deux 
quadriques;  ce  sont  évidemment  les  points  dont  les  coordonnées  vérifient  les 
équations  (i)  dans  lesquelles^  désigne  une  constante  convenablement  choisie. 
Or,  pour  que  ces  équations  admettent  des  solutions  différenles  de  zéro,  il  faut 
et  il  suffit  que  H( —  A)  =  o;  on  voit  ainsi  que  les  points  cherchés  sont  les 
sommets  des  cônes  que  nous  avons  trouvés  plus  haut. 

Si  deux  points  A  et  B  sont  des  points  doubles,  le  plan  polaire  de  A  passe 
par  B,  car  si  les  coordonnées  de  ces  points  sont  x',  y',  z',  t'  et  x",  y,  z",  t", 
on  a 

àfi        -..àfi  df        -,  df  df        .,dfi  df       , ,  dfi 

iS  +  X'  f-,  =  o,     T^  +  X  /-,  =  o,     /^  -f-  X'  /4  =  o,      /-,  -+-  X'  -f{  =  o. 

dx  dx  dy  ày  dz  dz  dt  dt' 

dx^^dx"-""'    dy^^dy"-""'    d^'^^dF-'"'    dp-^^^r-*"' 

d'où  l'on  tire 


en  posant 


P-t-X'Q  =  o,         P-^X"Q  =  o, 
O       dx'       O      dx"  ^       O       dx'       O      dx" 


Donc,  en  supposant  X'  ^  X",  on  a  P  =  o,  Q  =  o  et  aussi  P  -i-  XQ  =  o. 


INTERSECTION    DE   DEUX   QUADRIQUES.  4^3 

D'après  cela,  en  supposant  les  quatre  racines  de  l'équation  H(X)  =  o  dis- 
tinctes, soient  A,  B,  G,  D  les  sommets  des  quatre  cônes  du  faisceau.  Le  plan 
polaire  de  chacun  de  ces  points  passe  par  les  trois  autres;  autrement  dit,  le 
tétraèdre  ABGD  est  conjugué  aux  quadriques  du  faisceau.  On  peut  remarquer 
d'ailleurs  que  chacune  des  faces  du  tétraèdre,  ABC  par  exemple,  coupe  évi- 
demment lesdeux  quadriques  suivant  deux  coniques  auxquelles  le  triangle  ABC 
est  conjugué,  ce  qui  prouve  que  le  plan  polaire  de  A  passe  par  B  et  C;  il 
passe  par  D  pour  la  même  raison. 

439.  Cas  particulier.  —  Si  l'on  considère  deux  coniques  situées  dans  des 
plans  didérents,  mais  ayant  deux  points  communs  ou  tangentes,  ces  deux  co- 
niques peuvent  être  regardées  comme  l'intersection  d'une  quadrique  /  et 
d'une  quadrique /t  dégénérée  en  un  système  de  deux  plans.  L'équation  en  \ 
relative  à  ces  deux  quadriques  aura  une  racine  double  égale  à  zéro  (ou  in- 
finie), qui  correspond  à  la  quadrique/i,  et  deux  autres  racines.  Donc  on  peut 
faire  passer  deux  cônes  par  deux  coniques  ayant  deux  points  communs. 

On  peut  déterminer  les  sommets  de  ces  deux  cônes.  En  effet,  regardons 
les  deux  coniques  comme  étant  l'intersection  d'une  quadrique /et  d'un  sys- 
tème/i  de  deux  plans,  et  soit  AB  l'intersection  de  ces  deux  plans.  Le  som- 
met S  de  l'un  des  cônes  a  même  plan  polaire  par  rapport  aux  quadriques/ 
et/i  ;  le  plan  polaire  de  S  contient  donc  la  droite  AB,  ce  qui  prouve  que  S 
est  sur  la  droite  A'B'  conjuguée  à  AB  par  rapport  à/.  La  droite  A'B'  coupe 
la  quadrique/ en  deux  points  m,  m'  et  le  système  de  deux  plans /i  en  deux 
autres  points  n,  n'  ;  en  outre,  S  est  conjugué  harmonique  par  rapport  à  m,  m' 
et  à  n,  n'.  On  voit  ainsi  que  S  est  l'un  des  points  doubles  de  l'involution  dé- 
finie par  les  deux  couples  m,  m'  et  n,  n'. 

Réciproquement,  soient  S  et  S'  les  points  doubles  de  cette  involution.  Le 
plan  polaire  de  S  est  le  même  par  rapport  aux  deux  quadriques/, /i  ;  c'est 
le  plan  déterminé  par  la  droite  AB  et  le  point  S'.  Je  dis  que  le  cône  de  som- 
met S,  qui  a  pour  directrice  l'une  des  coniques  données,  contient  aussi 
l'autre  conique.  En  effet,  soit  P  un  point  quelconque  de  la  première  co- 
nique; la  génératrice  SP  coupe  la  quadrique/ en  Q'  et  le  plan  de  la  seconde 
conique  en  Q".  Or,  si  R  est  la  trace  de  SP  sur  le  plan  polaire  de  S,  les 
points  Q'  et  Q'  sont  tous  deux  conjugués  de  R  par  rapport  à  P  et  S  ;  donc 
ils  sont  confondus,  ce  qui  prouve  que  SP  rencontre  la  seconde  conique. 

On  peut  déterminer  autrement  les  points  S,  S';  si  l'on  trace  dans  chaque 
conique  le  diamètre  conjugué  à  AB,  soient  EF,  GH  les  diamètres  obtenus, 
E,  F,  G,  H  étant  leurs  extrémités;  on  voit  aisément  que  les  sommets  S,  S' 
sont  les  points  communs  aux  deux  droites  EG,  Fil,  ou  aux  deux  droites 
EH,  FG. 

460.  Conditions  pour  que  l'équation  H(X)  =  o  soit  indéterminée.  — 
Laissant  de  côté  les  cas  particuliers  où  les  quadriques/ /j  seraient  des  sys- 
tèmes de  plans,  on  voit  d'abord  que,  le  terme  constant  et  le  coefficient  de  X» 
devant  être  nuls,  les  quadriques/ et /i  doivent  être  des  cônes.  Si  ces  cônes 

NiEWENGLOWSKI.  —  G.  OU.,   IIL  28 


434  CHAPITRE    XXVIII. 

ont  même  sommet,  toute  quadrique  du  faisceau  sera  aussi  un  cône  ayant  le 
môme  sommet.  Supposons  que  /  et  /"i  soient  des  cônes  ayant  des  sommets  dif- 
férents O,  O'.  Toute  quadrique  du  faisceau  est  un  cône;  soit  w  le  sommet 
d'un  quelconque  de  ces  cônes.  Le  plan  polaire  de  lo  par  rapport  aux  qua- 
driques  /, /i  passe  par  O  et  0':  il  en  résulte  que  w  est  sur  l'intersection  des 
plans  polaires  de  00'  par  rapport  aux  deux  cônes/,/].  Le  lieu  des  sommets 
des  cônes  du  faisceau  est  donc  une  droite,  et  celte  droite  ne  peut  être  que  la 
droite  00',  donc  to  est  sur  00'.  Mais  le  plan  polaire  de  w  devant  contenir 
00',  on  en  conclut  que  les  deux  cônes  doivent  avoir  pour  génératrice  com- 
mune la  droite  00'  et  être  tangents  le  long  de  cette  droite;  ces  deux  cônes 
ont  donc  alors  en  commun  une  conique  rencontrant  00'.  11  est  d'ailleurs 
très  facile  d'établir  la  réciproque. 

461.  Discussion  de  l'intersection  de  deux  quadriques.  Méthode  de 
M.  G.  Kœnigs. —  Nous  excluons  les  cas  exceptionnels  où  les  deux  quadriques 
f  et  fi  sont  des  cônes  de  même  sommet  ou  des  cônes  de  sommets  différents, 
tangents  le  long  d'une  génératrice  commune.  Alors  parmi  les  quadriques  du 
faisceau  il  y  a  des  quadriques  n'ayant  pas  de  point  double;  nous  pouvons 
supposer  qu'une  de  ces  quadriques  soit  prise  pour  l'une  des  bases  du  fais- 
ceau, soit /cette  quadrique.  On  peut  mettre  l'équation  de /sous  la  forme 

PQ  =  RS 

et  exprimer,  comme  nous  l'avons  vu  dans  la  théorie  des  génératrices  recti- 
lignes,  les  coordonnées  tétraédriques  d'un  point  quelconque  de  la  quadrique 
en  fonction  de  deux  paramètres  X,  [jl,  en  posant 


J^  _  Q  _  R  _  S 


^  > 


et  toute  équation  entre  X  et  [x  correspond  à  une  courbe  tracée  sur/. 
On  démontre  aisément  le  théorème  suivant,  dû  à  Ghasles  : 

L'équation  entière  F(X,  [jl)  =  o,  de  degré  p  en  X  et  de  degré  q  en  [x, 
représente  une  courbe  d'ordre  p  -t-  q  tracée  sur  la  quadrique  f. 

Or,  l'équation  d'une  quadrique /i  peut  se  mettre  sous  la  forme 
F(P,Q,R,S)  =  o; 
donc  l'intersection  des  quadriques /, /i  est  définie  par  l'équation 

F(X;a,  I,  [j.,X)  =  o, 

qui  est  du  second  degré  en  X  et  du  second  degré  en  \x.  On  voit  ainsi  que 
cette  intersection  est  en  général  du  quatrième  ordre. 

On  aura  donc  tous  les  cas  où  cette  intersection  se  décompose  en  étudiant 
les  cas  dans  lesquels  le  polynôme  F(X[jl,  i,  [x,  X)  se  décompose. 

Nous  renverrons  le  lecteur  aux  Leçons  de  l'Agrégation  classique  de 
Mathématiques,  de  M.  G.  Kœnigs.  Foi'r  aussi  Tresse,  Nouvelles  Annales,  1892. 


INTERSECTION   DE   DEUX   QUADRIQUES.  433 

Remarque.  —  La  discussion  tic  l'intersection  de  deux  quadriqucs,  au  moyen 
del'équation  H  (À)  =  o,  a  été  Tailc  complètement  par  Pain  vin  (voir  Nouvelles 
Annales,  p.  481  ;  année  1868).  Voir  aussi  Lucien  Lévv,  Nouvelles  Annales, 
p.  65;  1891. 

46:2.  Invariants  simultanés  de  deux  quadriques.  —  L'équation  II (X) 
développée  est 

H  4- eX -^  <I>X2  ^- e'X» -f- H'X*  =  o  ; 

H  cl  ir  sont  les  discriminants  des  deux  formes  f{x,y,  z,  t)  et/i(.r,/,  s,  t). 

Les  coefficients  de  l'équation  précédente  sont  des  invariants.  En  imitant 
les  raisonnements  qui  ont  été  faits  à  propos  de  l'équation  en  X  relative  à  deux, 
coniques,  on  démontre  que  si  la  quadrique/*!  est  circonscrite  à  un  tétraèdre 
conjugué  à  la  quadrique/,  on  a  0  =  o  et,  réciproquement,  si  cette  condition 
est  remplie,  il  y  a  une  infinité  de  tétraèdres  conjugués  à  la  première  quadrique 
et  inscrits  à  la  seconde. 

S'il  y  a  un  tétraèdre  conjugué  à  la  quadrique  fi  et  circonscrit  à  la  qua- 
drique/",  on  a  e  =  o  et,  réciproquement,  si  cette  condition  est  remplie,  il  y 
a  une  infinité  de   tétraèdres  conjugués  à  /i  et  circonscrits  à  /. 

On  dit  alors  que  la  quadrique /i  est  harmoniquement  circonscriie  à/,  ou 
que  y  est  harmoniquement  inscrite  ai  fy. 

On  voit  ainsi  que  si  une  quadrique  fi  est  harmoniquement  circonscrite  à 
la  quadrique  /*,  inversement  la  quadrique/est  harmoniquement  inscrite  à  fi- 

On  verra  de  même  que  la  condition  pour  que /soit  harmoniquement  cir- 
conscrite à  fi  et,  par  suite,/  harmoniquement  inscrite  à /est  9i  =  o. 

Enfin  on  démontre  que  la  condition  *  =  o  exprime  qu'il  existe  un  té- 
traèdre conjugué  à  Vune  des  quadriques  et  dont  les  six  arêtes  sont  tangentes 
à  l'autre,  et  réciproquement,  car  <ï>  est  symétrique  par  rapport  aux  coeffi- 
cients des  deux  équations. 

On  vérifie  la  condition  en  prenant  un  pareil  tétraèdre  pour  tétraèdre  de 
référence. 

Faisceau  tangentiel  de  quadriques. 

463.  Soient  F(m,  v,  w,  r)  =  o,  Fi( u,  v,  w,  r)  =  o  les  équations  tangentielles 
de  deux  quadriques.  Le  système  de  ces  deux  équations  définit  une  surface 
développable  de  classe  égale  à  4-  L'équation 

F(«,  V,  w,  r)  -\-  tj.Fi(M,  V,  IV,  r)  =  o 

définit  un  faisceau  de  quadriques  inscrites  à  cette  développable.  On  voit,  en 
effet,  que  si  un  plan  (ui,  Vi,  Wi,  ri)  est  tangent  à  cette  développable,  c'est- 
à-dire   est  un   plan    tangent   aux    deux   quadriques   F   et  Fj,    on   a 

F{ui,vi,wi,  /•,)  =0,         Fi{ui,  vi,  Wi,ri)  =  o 

l't.  par  conséquent, 

F{ui,vi,  ivi,  ri) -h  ;aF,(»i,  fi,  »i,  ri)  =0. 


436  CHAPITRE    XXVIII. 

En  écrivant  que  le  discriminant  du  premier  membre  est  nul,  on  trouve 
quatre  \aleurs  de  fi.  pour  lesquelles  l'équation  précédente  représente  une 
conique.  Il  y  a  une  relation   simple   entre  les   racines  de   cette   équation  et 

celles  de  H(X)  =  o;  Xjji  =  -j-  (voir  t.  I,  S19). 

On  a  donc  ce  théorème,  qui  est  le  corrélatif  du  théorème  du  n°  458  : 

464.  Théorème.  —  Il  y  a,  en  général,  quatre  coniques  inscrites  à  la 
développable  circonscrite  à  deux  quadriques  données. 

On  voit,  en  effet,  que  la  développable  circonscrite  à  deux  quadriques  est  la 
polaire  réciproque  de  la  courbe  d'intersection  des  quadriques  polaires  réci- 
proques des  proposées.  A  tout  cône  passant  par  l'intersection  de  ces  quadri- 
ques correspond  une  conique  inscrite  à  la  développable. 

465.  Théorème.  —  Quand  deux  quadriques  sont  bitangentes,  on  peut 
leur  circonscrire  deux  cônes  du  second  degré. 

En  effet,  si  l'on  transforme  par  polaires  réciproques  deux  quadriques  bi- 
tangentes S,  Si,  il  leur  correspondra  deux  quadriques  S',  S'j  inscrites  à  deux 
cônes,  qui  sont  les  polaires  réciproques  des  coniques  suivant  lesquelles  se 
coupent  S  et  Sj.  Or,  les  deux  quadriques  S',  S,  étant  inscrites  à  un  même 
cône  se  coupent  suivant  deux  coniques  dont  les  polaires  réciproques  sont 
deux  cônes  circonscrits  à  S  et  Sj. 

La  développable  circonscrite  aux  quadriques  données  se  compose  alors  de 
l'ensemble  de  ces  deux  cônes. 

EXERCICES. 

1.  Trouver  l'équation  générale  des  quadriques  tangentes  aux  quatre  côtés 
d'un  quadrilatère  gauche.  Montrer  que  les  points  de  contact  sont  dans  un 
même  plan. 

2.  Trouver  l'équation  générale  des  quadriques  tangentes  aux  six  arêtes 
d'un  tétraèdre  pris  pour  tétraèdre  de  référence. 

—  On  trouve  quatre  équations 

a^-x^-^b^y^-^c^-z^--^  d'-f^ 

—  labxy  —  lacxz  —  ladxt  —  ibcyz  d=  i  bdyt  ±2cd zt  =  o. 

3.  Trouver  l'équation  générale  des  quadriques  ayant  un  plan  donné  pour 
plan  principal. 

—  On  peut  former  l'équation  générale  des  cylindres  du  second  degré  dont 
les  génératrices  sont  perpendiculaires  au  plan  donné  et  regarder  la  quadrique 
demandée  comme  circonscrite  ou  inscrite  à  ce  cylindre. 

4.  Équation  générale  des  quadriques  ayant  pour  centre  un  point  0  et  ad- 
mettant pour  axe  la  droite  donnée  OA. 


INTERSECTION    DE   DEUX   QUADRIQUES.  [\Z'J 

3.  Lieu  des  centres  des  quadriques  passant  par  l'intersection  de  deux  qua- 
driques  données.  Cas  où  la  cubique  trouvée  se  décompose. 

6.  Par  l'intersection  de  deux,  quadriques  on  peut  faire  passer  trois  para- 
holoïdes;  le  nombre  de  paraboloïdes  hyperboliques  est  impair. 

7.  Déterminer  l'intersection  des  deux  surfaces  ayant  pour  équations 

x^  —  iy--^  ys  -\-izx  —  xy  —  ar  -f-  iy  =  o, 
x^ — y^  -h  yz  -^  zx  —  x  -r-  y  =  o. 

—  Appliquer  la  méthode  du  n°  45:2.  Ces  deux  surfaces  n'ont  que  deux 
droites  réelles  communes. 

8.  Discuter  la  nature  de  la  projection  de  l'intersection  de  deux  quadriques 
de  révolution  dont  les  axes  se  rencontrent,  sur  le  plan  des  deux  axes. 

9.  Etant  données  deux  droites  AB,  CD  non  situées  dans  un  même  plan, 
trouver  l'intersection  de  l'hyperboloïde  engendré  par  la  rotation  de  CD  au- 
tour de  AB  et  du  paraboloïde  engendré  par  une  droite  mobile  rencontrant 
AB  et  CD  et  perpendiculaire  à  AB.  (Fouret.) 

10.  Prouver  que  si  deux  quadriques  ont  deux  génératrices  communes  OA, 
0,B,  mêmes  plans  tangents  tout  le  long  de  l'une  d'elles  et  en  un  point  de 
l'autre,  elles  se  raccordent  aussi  le  long  de  cette  dernière. 

\  1.  Quand  deux  quadriques  se  coupent  suivant  une  conique  et  deux  droites 
passant  par  un  même  point  A  de  cette  conique,  les  sections  des  deux  qua- 
driques par  un  plan  quelconque  mené  par  A  ont  un  contact  du  second  ordre 
en  A  ;  en  outre,  si  le  plan  sécant  passe  par  la  tangente  en  A  à  la  conique,  le 
contact  est  du  troisième  ordre. 

1:2.  Trouver  le  lieu  engendré  par  une  droite  mobile  qui  est  tangente  à  une 
quadrique  donnée  et  rencontre  deux  droites  fixes.  Cas  où  ces  droites  sont 
tangentes  à  la  quadrique. 

13.  Les  plans  polaires  d'un  point  fixe  par  rapport  aux  quadriques  d'un 
faisceau  ponctuel  passent  par  une  droite  fixe.  Cas  où  le  point  fixe  est  à 
l'infini. 

14.  Le  lieu  du  pôle  d'un  plan  fixe  par  rapport  à  toutes  les  quadriques  d'un 
faisceau  tangentiel  est  une  droite. 

Cas  particulier  :  lieu  des  centres  des  quadriques  du  faisceau. 

lo.  Le  plan  polaire  d'un  point  fixe  par  rapport  aux  quadriques  passant  par 
sept  points  donnés  passe  par  un  point  fixe.  Cas  où  le  point  fixe  est  à  l'infini. 

16.  Le  lieu  du  pôle  d'un  plan  fixe  par  rapport  aux  quadriques  tangentes  à 
sept  plans  donnés  est  un  plan.  —  Lieu  des  centres  de  ces  quadriques. 

17.  Lieu  des  sommets  des  cônes  du  second  degré  passant  par  l'intersection 
d'une  quadrique  et  d'un  cône  donné. 

18.  Si  l'on  donne  un  point  et  le  plan  tangent  en  ce  point,  cela  fait  trois  con- 


438  CHAPITRE   XXV. II.  —  INTERSECTION   DE   DEUX   QUADRIQUES. 

ditions.  Y  a-t-il  une  quadrique  tangente  à  trois  plans  donnés  en  des  points 
donnés?  Montrer  que  le  problème  est  impossible  ou  a  une  infinité  de  solu- 
tions. 

19.  Combien  passe-t-il,  par  huit  points  donnés,  de  quadriques  tangentes  à 
un  plan  donné? 

20.  Combien  y  a-t-il  de  quadriques  tangentes  à  huit  plans  donnés  et  pas- 
sant par  un  point  donné  ? 

21.  Les  quadriques  qui  passent  par  sept  des  sommets  de  deux  tétraèdres 
conjugués  à  une  même  quadrique  passent  par  le  huitième. 

22.  Les  tangentes  menées  du  centre  d'une  quadrique  aux  sphères  circon- 
scrites aux  tétraèdres  conjugués  à  cette  quadrique  ont  une  longueur  con- 
stante. 

23.  Les  lignes  qui  joignent  les  sommets  correspondants  de  deux  tétraèdres 
polaires  réciproques  par  rapport  à  une  quadrique  sont  des  génératrices,  d'un 
même  système,  d'un  hyperboloïde. 

24.  Les  quatre  droites  suivant  lesquelles  se  coupent  les  faces  correspon- 
dantes des  deux  tétraè  Ires  précédents  sont  aussi  sur  un  même  hyperboloïde. 

25.  Par  les  douze  points  de  rencontre  des  arêtes  d'un  tétraèdre  et  d'une 
quadrique  on  peut  faire  passer  quatre  plans,  chacun  d'eux  étant  mené  par 
trois  points  situés  sur  les  génératrices  d'un  même  sommet;  les  droites  d'in- 
tersection de  ces  plans  et  des  faces  opposées  du  tétraèdre  sont  des  généra- 
trices rectilignes,  d'un  même  système,  d'un  hyperboloïde. 

26.  Par  les  arêtes  d'un  tétraèdre  on  mène  douze  plans  tangents  à  une  qua- 
drique; ces  plans  passent  trois  à  trois  par  quatre  points,  si  l'on  combine  ceux 
qui  passent  par  les  arêtes  d'une  même  face;  les  droites  qui  joignent  ces 
quatre  points  aux  sommets  correspondants  du  tétraèdre  sont  des  génératrices 
d'un  même  système  d'un  hyperboloïde. 

(Pour  les  questions  19  à  26,  voii^,  par  exemple.  Complément  de  Géomé- 
trie analytique  de  Briot  et  Bouquet;  Paris,  Dunod.) 

27.  Soient  ABCD  le  tétraèdre  conjugué  à  deux  quadriques  S,  Si  et  F  la 
courbe  gauche  d'intersection  de  S  et  Si.  Les  plans  polaires  d'un  point  P  par 
rapport  aux  quadriques  passant  par  F  tournent  autour  d'une  droite  A:  les 
plans  menés  par  A  et  par  les  sommets  du  tétraèdre  ABCD  forment  un  fais- 
ceau dont  le  rapport  anharmonique  est  indépendant  de  la  position  du 
point  P. 

En  particulier,  les  plans  menés  par  une  tangente  quelconque  à  F  et  par  les 
sommets  du  tétraèdre  ABCD  forment  un  faisceau  dont  le  rapport  anharmo- 
nique est  constant.  (Painvin.) 

28.  Par  l'intersection  de  deux  quadriques  de  révolution  on  ne  peut  faire 
passer  d'autres  quadriques  de  révolution  que  si  les  axes  des  deux  quadriques 
données  sont  rectangulaires  ou  parallèles. 


FOCALES.  —    QL'ADRIQUES   HOMOFOCALES.  4^9 

S'ils  sont  rectangulaires,  on  n'en  peut  faire  passer  qu'une  :  les  axes  des  trois 
(juadriques  sont  rectangulaires  deux,  à  deux. 

S'ils  sont  parallèles,  on  en  peut  faire  passer  une  infinité. 

—  Lieu  des  foyers  de  leurs  méridiennes.  (Amigues.  ) 

29.  On  considère  un  tétraèdre  MABC  dont  la  base  est  fixe.  On  prend  sur 
les  arêtes  AM,  BM,  CM  des  longueurs  données  AA',  BB',  GC  et  l'on  suppose 
que  MA'=  MB'=MG'. 

Lieu  de  M. 


CHAPITRE  XXIX. 

FOCALES.  —  QUADRIQUES  HOMOFOCALES. 


466.  Définition.  —  On  appelle  foyer  d'une  quadrique  le  centre  d'une 
sphère  de  rayon  nul  bitangente  à  cette  quadrique.  Si  l'on  représente  par^"  =  o 
l'équation  ponctuelle  d'une  quadrique  et  par  a  =  o  l'équation  d'une  sphère 
bitangente,  on  pourra  déterminer  une  constante  X  telle  que 

P  et  Q  désignant  deux  polynômes  du  premier  degré. 

On  voit  que  X  est  une  racine  de  l'équation  en  S  et  que  P  =  o,  Q  =  o  re- 
présentent deux  plans  cycliques.  Si  le  rayon  de  la  sphère  q  est  nul,  le  centre 
de  cette  sphère  est  un  foyer,  et  la  droite  représentée  par  les  deux  équations 
P  =  o,  Q  =  o  se  nomme  la  directrice  correspondant  à  ce  foyer. 

467.  Foyers  d'un  ellipsoïde.  —  Soient 

l'équation  d'un  ellipsoïde  rapporté  à  ses  axes  de  symétrie  et  a,  j3,  y  les  coor- 
données d'un  foyer.  Nous  devons  déterminer  X,  a,  p,  y  de  façon  que 

^'^  ■^+|T  +  i-'-M(-r-a)^-f-(7-?)^+(5-Y)*]  =  o 

représente  un  système  de  plans  qui  se  coupent.  Il  suffit  d'écrire  que  la  qua- 


440  CHAPITRE   XXIX. 

drique  représentée  par  l'équation  précédente  a  une  ligne  de  centres  située 
sur  cette  surface.  Les  équations  du  centre  sont 

Ces  équations  devant  se  réduire  à  deux,  il  est  nécessaire  que  l'une  d'elles 
disparaisse  identiquement;   on  doit  donc  poser,  par  exemple,  y  =  o,  X  =  —  ; 

ce  qui  confirme  l'observation  faite  plus  haut,  car  --  est  une  racine  de  l'équa- 
tion en  S  relative  à  l'ellipsoïde  considéré.  Les  deux  autres  équations  de- 
viennent 

X       X  —  %  _       à  y  _  y  —  P_       P 

a 2  "^      6-2      "^  a^'—e- '  l  ^       c2       ^  62—  c2 ' 

X  'V      ,       , 

Substituant  les  valeurs  de  -  et  de   ,-  ainsi  trouvées  dans  l'équation  (i),  on 
a  b  1  V  / 

obtient,  tous  calculs  faits, 

«2  fi2 


«^ 


62 


I  =  O, 


On  a  ainsi  obtenu  une  infinité  de  foyers  situés  dans  le  plan  xOy;  le  lieu 
de  ces  foyers  est  une  conique.  On  obtient  encore  deux  autres  coniques,  si- 
tuées dans  les  deux  autres  plans  principaux,  dont  tous  les  points  sont  des 
foyers;  leurs  équations  sont 

2  +  :T^-—,  -  I  =  o,         a  =  o, 


62- 

Y 


c^—b'^        a^—b"^ 


P 


Ces  trois  coniques  sont  les  focales  de  l'ellipsoïde  donné. 

Si  l'on  considère  un  des  foyers  F,  situé  par  exemple  dans  le  plan  xOy,  la 
directrice  correspondante  a  pour  équations 

«2a  62  8 

--  y=- 


a,  8,  o  étant  les  coordonnées  de  F. 

La  polaire  du  pied  D  de  la  directrice  dans  le  plan  xOy  par  rapport  à  l'el- 
lipse section  principale  de  l'ellipsoïde  donné  située  dans  ce  plan  a  pour  équa- 
tion 

Xa  Y8 

■  -i- * I  =  o. 

a2_c2  b^—C^ 

On  voit  que  cette  polaire  est  la  tangente  en  F  à  la  focale  et,  en  outre, 
qu'elle  est  perpendiculaire  à  la  droite  DF,  qui  joint  le   foyer  au  pied  de  la 


FOCALES.  —    QUADRIQUES   HOMOFOCALES.  'l  'i  i 

directrice  correspondante;  on  voit,  en  effet,  que  la  focale  et  l'ellipse  princi- 
pale ont  les  mêmes  foyers,  et  l'on  sait  que  le  lieu  des  pôles  d'une  droite  par 
rapport  à  une  famille  de  coniques  homofocales  est  une  droite  perpendicu- 
laire à  la  première. 

On  trouverait  des  résultats  analogues  pour  les  hyperboloïdes. 

408.  Remarque.  —  Nous  avons  déjà  obtenu  les  focales  comme  lieu  des 
sommets  des  cônes  de  révolution  circonscrits  à  la  quadrique.  Il  est  facile 
d'expliquer  ce  résultat.  En  effet,  si  une  sphère  est  bitangente  à  une  quadrique, 
on  peut  circonscrire  à  celte  quadrique  et  à  cette  sphère  deux  cônes  (465)  qui 
sont  évidemment  des  cônes  de  révolution;  si  le  rayon  de  la  sphère  est  nul, 
les  deux  cônes  se  réduisent  à  un  seul  ayant  son  sommet  au  centre  de  la 
sphère;  donc  le  centre  d'une  sphère  de  rayon  nul  bitangente  à  une  quadrique 
est  le  sommet  d'un  cône  de  révolution  circonscrit  à  cette  quadrique.  Réci- 
proquement, si  un  cône  de  révolution  est  circonscrit  à  une  quadrique,  toute 
sphère  y  inscrite  est  bitangente  à  la  quadrique,  et,  si  son  rayon  est  nul,  son 
centre  est  confondu  avec  le  sommet  du  cône;  donc  le  sommet  du  cône  peut 
être  considéré  comme  le  centre  d'une  sphère  de  rayon  nul  bitangente  à  la 
quadrique  donnée. 

469.  Foyers  d'un  paraboloïde.  —  Pour  que 

^  -+-  —  ~  -ix  —  \[{x  —  olY  +  {y  —  <^Y+  {z  —  ^iY-]  =  o 

représente  deux  plans  qui  se  coupent,  nous  exprimerons  d'abord  que  les 
équations 

,  +  X(:j7-a)  =  o,  l-\{y-^)  =  o,  ^  -l(z-'()  =  o 

se  réduisent  à  deux.  La  première  ne  peut  disparaître;  on  est  donc  conduit  à 
poser 

X  =  -  ,         3  =  o  ou  '       X  =  -  ,         Y  =  o. 

P  Q 

Prenons  la  première  solution;  on  en  déduit 

x-t—p,        -y- -  ^  -  yZTTj' 

ce  qui  donne  une  première  focale 

3  =  o,  — ■ i-aa  — 0  =  0. 

^  P  —  'l 

Il  y  a  une  seconde  focale  ayant  pour  équations 

Y  =  0,  — '- h  2  a  —  <7  =  o. 

q—p 


4^2  CHAPITUK    XXIX. 

470.  Focales  d'un  cône.  —  L'équation  du  cône  étant 

x"-         y"-        -^2 
a-         b^         c- 

nous  cherchons  X,  a,  p,  y,  tels  que 

représente  deux  plans  qui  se  coupent.  En  suivant  la  même  méthode  que  dan? 
les  exemples  précédents,  on  trouvera  pour  focales  trois  couples  de  lii^nes 
droites  passant  par  le  sommet  et  perpendiculaires  aux  plans  cycliques  du 
cône  supplémentaire. 

471.  Interprétation  de  l' équation  focale  dhine  quadrique.  —  H  y  a 
deux  espèces  de  foyers. 

L'équation  d'une  quadrique  peut  se  mettre  sous  la  forme 

S[(^-a)2+(7-p)2-|-(^-Y)-^]-PQ. 

Si  S  est  la  racine  moyenne  de  l'équation  en  S,  les  équations  P  =  o  et  Q  =  o 
représentent  deux  plans  cycliques  réels.  On  dit  alors  que  le  foyer  (a,  p,  y) 
est  un  foyer  de  première  espèce.  L'équation  précédente  exprime  que  le  carré 
de  la  distance  d'un  point  quelconque  M  de  la  quadrique  à  un  foyer  de 
première  espèce  est  proportionnel  au  produit  des  distances  du  même 
point  M  aux  deux  plans  cycliques  qui  passent  par  la  directrice  corres- 
pondante. 

Dans  le  cas  d'un  ellipsoïde,  les  foyers  de  première  espèce  sont  dans  le  plan 
principal  perpendiculaire  à  l'axe  moyen. 

Les  foyers  qui  correspondent  aux  autres  racines  de  l'équation  en  S  sont 
appelés  foyers  de  seconde  espèce;  les  plans  cycliques  passant  par  la  direc- 
trice correspondant  à  l'un  quelconque  de  ces  foyers  sont  imaginaires;  il  con- 
vient alors  de  chercher  une  autre  interprétation  de  l'équation  focale. 

Considérons  par  exemple  la  focale  d'un  ellipsoïde  située  dans  le  plan  per- 
pendiculaire au  plus  petit  axe,  en  supposant  «>  6>c;  soient  a,  p,  o  les 
coordonnées  d'un  point  de  cette  focale.  On  a 

a-        b^        c^  c2  "-^  )        ^j        r '  j 

^  ^2  _  {x^olY     .r!  _  Cru  Pi'  _ , 

«2  c"-  b'-  C"' 

J-  _  1 V-  -  -^^^^  V  f-^  -  -^  V  r  -  -^^ 

a"-        cV  V  a'^—c''-j\b'^        cyY        h^-c-- 

Or  l'équation  z  ~  nix  représente  un   plan    cyclique  diamétral  réel  si  l'on 


FOCALES.  —   QDADRIQUES    UOMOFOCALES.  443 

pose 


et,  par  suite, 


I 
6* 

I 

c2 

r 

~  bi 

I 
ci 

T 
~  02 

I 

C2 

I 
~"bi 

1  -t-  ni2 
On  peut  donc  écrire 

X^  V^  Z^  I 

a?',/'  étant  les  coordonnées  du  pied  de  la  directrice. 

Mais  le  second  membre  de  l'identité  précédente  représente  le  carré  de  la 
distance  du  point  M(a7,  y,  z)  au  point  oij  la  directrice  est  rencontrée  par  le 
plan  mené  par  M  parallèlement  au  plan  cyclique  considéré.  Donc,  la  distance 
d'un  point  quelconque  M  d'une  quadrique  à  un  foyer  de  seconde  espèce 
de  cette  surface  est  proportionnel  à  la  distance  du  même  point  à  la  di- 
rectrice, cette  distance  étant  comptée  parallèlement  à  un  plan  cyclique 
réel. 

•472.  Nouvelle  définition  des  foyers  d'une  surface.  —  Une  sphère  de 
rayon  nul  est  un  cône  isotrope;  un  foyer  est  donc  le  sommet  d'un  cône  iso- 
trope bitangent  à  la  quadrique.  Soit  F  un  foyer;  le  cône  isotrope  de  som- 
met F  est  tangent  à  la  quadrique  en  deux,  points  M,  M':  les  génératrices  FM, 
FM'  s'appuient  sur  le  cercle  de  l'infini.  Supposons  que  le  foyer  F  se  déplace 
sur  une  focale;  les  plans  tangents  menés  par  FM  et  FM'  à  la  développable 
circonscrite  à  la  quadrique  et  au  cercle  de  l'infini  se  déplacent  et  engendrent 
deux  nappes  de  cette  développable;  la  focale  appartient  à  chacune  de  ces 
nappes  :  c'est  donc  une  ligne  double  de  cette  développable,  et  l'on  peut  re- 
marquer que  l'intersection  des  plans  tangents  le  long  de  FM  et  de  FM'  est  la 
tangente  en  F  à  la  focale.  Réciproquement,  soit  F  un  point  d'une  ligne 
double  de  la  développable;  par  la  tangente  en  F  à  cette  ligne  on  peut  mener 
deux  plans  tangents  au  cercle  de  l'infini;  ces  plans  sont  aussi  tangents  à  la 
développable,  et,  par  suite,  ils  touchent  la  quadrique  en  deux  points  M  et  M'. 
Soient  I  et  I'  leurs  points  de  contact  avec  le  cercle  de  l'infini;  les  droites 
IM,  IM'  sont  des  génératrices  du  cône  isotrope  de  sommet  F  qui  touchent  la 
quadrique  aux  deux  points  M  et  M';  donc  ce  cône  est  bitangent  à  la  qua- 
drique et  F  en  est  un  foyer. 

D'une  manière  générale,  on  appellera  focales  d'une  surface  (ou  d'une 
courbe)  quelconque  les  lignes  doubles  de  la  rfeVe/o/>/>a6/e  circonscrite  à  cette 


444  CHAPITRE    XXIX. 

surface  (ou  à  cette  courbe)  et  au  cercle  de  l'infini.  Cette  définition  a  été  pro- 
posée par  M.  G.  Darboux  en  1864  {Comptes  rendus  de  l'Académie  des 
Sciences). 

473.  Appliquons  ces  considérations  à  une  quadrique.  Parmi  les  quadriques 
inscrites  à  la  développable  circonscrite  à  cette  quadrique  et  au  cercle  de 
l'infini,  se  trouvent,  outre  le  cercle  de  l'infini,  trois  quadriques  dégénérées 
en  coniques;  ces  coniques  sont  précisément  les  focales. 

Les  coniques  du  faisceau  tangentiel  défini  par  l'équation 

(X2m2-h62(;2  4_  c2tv2  _  ,-2  _[_  X  («2  _,_  p2_,_   (^2  )  =   O, 

autres  que  le  cercle  de  l'infini,  correspondent  à  X  =  —  «2,  X  =  —  62,  X  =  —  c2. 
On  voit,  en  effet,  que  le  discriminant  se  réduit  à  (X  -+-  a''-)  (X-h  è'^)(X  -1-  c^  ). 
Si  l'on  pose  X  =  —  c^,  par  exemple,  on  obtient 

(a2_c2)M2+  (62_  c2)  p2_  ,.2  ^  o. 

Cette  équation  représente  la  focale  située  dans  le  plan  des  x,  y. 


Quadriques  homofocales. 

474.  On  appelle  quadriques  homofocales  deux  quadriques  ayant  les  mêmes 
focales. 
Soit 

xi.  yl  ^2 

a-         b'        c2 

l'équation  d'un  ellipsoïde;  les  quadriques  homofocales  à  cet  ellipsoïde  sont 
les  quadriques  inscrites  à  la  développable  circonscrite  à  cet  ellipsoïde  et  au 
cercle  de  l'infini;  l'équation  tangentielle  d'une  de  ces  quadriques  est  donc 

(a2+X)if2_^(62  +  X)p2  _^(c2  +  X)  w2_,.2=o, 

(  t,  par  suite,  l'équation  ponctuelle  est 

372  y2  ^2 


«2 -H  X  6'-'+  X  C2- 

On  verra  de  même  que  l'équation 

^2  ^  yl 


X  +  «2  X  -+-  62  X   —  C2 

représente  une  famille  de  cônes  horaofocaux. 

475.  Théorème.  —  Il  passe  par  tout  point  trois  quadriques  homofocales 
à  une  quadrique  à  centre  donné  :  un  ellipsoïde,  un  hyperholoïde  à  une 
nappe  et  un  hyperholoïde  à  deux  nappes. 


FOCALES.  —    QUADRIQUES    IlOMOFOCALES.  445 

Eli  oITct.  l'équation 

a  trois  racines  réelles  Xj,  X2,  X3  ;  si  l'on  suppose  a  >  6  >  c,  on  a 

-  a'-  <  X,  <  —  6î  <  X,  <  —  c2  <  X3  ; 

Xi  donne  un  hyperboloïde  à  deux  nappes,  X^  un  hyperboloïde  à  une  nappe  cl 
X3  un  ellipsoïde. 

47G.   Coordonnées  elliptiques.  —  On  a,  d'après  ce  qui  précède 

^l     ,     rf>     .     ^       ,_  -(X-x,)(X-x,)(X-X3) 


X-i-a^       1-hb-       X-Hc2  (X -Ha=')(X  +  62)(X-+-c2) 

En  appliquant  la  théorie  de  la  décomposition  des  fractions  rationnelles  eti 
éléments  simples,  on  trouve  immédiatement 


u  — 

{b^ 

'—a^){c^  — a2) 

î  _ 

(b^ 

■■-i-h 

,.)(6^-t-X2)(62+X3) 

u 

{c^ 

—  è2)(aî— 62)          ' 

2   — 

(C^ 

+  x, 

)rc2+X2)(c2-+-X3) 

Les  coordonnées  d'un  point  quelconque  peuvent  donc  s'exprimer  au  moyen 
des  trois  paramètres  Xi,  Xj,  X3  qu'on  nomme  les  coordonnées  elliptiques  de 
ce  point.  A  chaque  système  des  valeurs  Xi,  X»,  X3  correspondent  huit  points, 
sommets  d'un  parallélépipède  rectangle. 

477.  Qiiadriques  homofocales  à  un paraboloïde.  —  L'équation  langen- 
tielle  d'un  paraboloïde  étant 

pv^-\-  gw^—  iru  =  o, 
le  faisceau  des  quadriques  liomofocales  a  pour  équation  tangentielle 

\u^-\-{p  -^'k)v--\-{q  -^  \)w- —  iru  —  o, 
et,  par  suite,  pour  équation  ponctuelle 

—^ r-   H ;r    IX  X    =   0. 

jo  -H  X         q  -\-h 

On  voit  qu'il  passe  par  chaque  point  trois  de  ces  surfaces;  en  appelant  X,, 

X.2,  X3  les  trois  racines  correspondant  à  un  point  (a^o,  Jo-  -o)j  et  en  supposant 

/)  >  <7,  on  a 

X,  <  — /?  <  X2  <  — g- <  Xj  ; 


446  CHAPITRE   XXIX, 

on  obtient  ainsi  trois  paraboloïdes  dont  l'un  est  hyperbolique,  celui  qui  cor- 
respond à  X  =  X2. 
De  l'identité 

yl  zl  (X-X,)(X-XO(X-X,) 

• r-    -i-    r-    IX  Q  —  A=—    ^—— ir— j 

p-hk         q-\-k  [^p  -^l){q  -hk) 


on  déduit 


2    _    (/'+>^l)(/>  +  X2)(/?  +  X3) 

y  0 


■^0 


'7 

—  F 

f  r/  +  X 

i)(q 

+  X2 

)^'7 

+  X3 

.) 

F 

-g 

X,+ 

X2  + 

X3  + 

/j-f 

-9 

EXERCICES. 

1.  Trouver  les  focales  d'un  cylindre  du  second  degré;  d'un  système  de 
deux  plans. 

2.  Le  plan  qui  passe  par  un  foyer  et  par  la  directrice  correspondante  est 
normal  à  la  ligne  focale  et  coupe  la  quadrique  suivant  une  conique  qui  admet 
ce  point  pour  foyer  et  cette  droite  pour  directrice. 

3.  Le  carré  de  la  distance  d'un  point  au  centre  d'une  quadrique  est  égal 
à  la  somme  des  carrés  de  trois  des  axes  des  quadriques  homofocales  passant 
par  ce  point. 

4.  Deux  quadriques  homofocales  se  coupent  à  angle  droit. 

5.  Le  lieu  du  pôle  d'un  plan  donné  par  rapport  à  un  système  de  quadriques 
homofocales  et  une  droite  perpendiculaire  à  ce  plan. 

6.  Trouver  les  surfaces  homofocales  à  une  quadrique  donnée  et  tangentes 
à  un  plan  donné. 

7.  Démontrer  que  les  axes  d'un  cône  circonscrit  à  une  quadrique  sont 
les  normales  aux  quadriques  homofocales  à  la  proposée  et  passant  par  son 
sommet. 

8.  Les  plans  qui  passent  par  les  deux  lignes  focales  réelles  d'un  cône,  et 
par  une  génératrice  du  cône  font  des  angles  égaux  avec  le  plan  tangent  au 
cône  le  long  de  cette  génératrice. 

9.  Les  cônes  de  sommet  donné,  circonscrits  à  une  famille  de  quadriques 
homofocales,  sont  homofocaux  et  leurs  focales  sont  situées  sur  les  quadriques 
de  la  famille  qui  passent  par  son  sommet. 

10.  On  peut  mener  deux  quadriques  homofocales  tangentes  à  une  droite. 
Chercher  l'angle  des  plans  tangents. 


FOCALES.  —    QUADRIQL'ES    HOMOFOCALES.  44? 

11.  Oïl  donne  une  famille  de  quadriques  à  centre  et  homofocales.  D'un 
point  pris  dans  un  de  leurs  plans  principaux,  on  mène  des  normales  à  ces 
surfaces.  On  demande  : 

i"  De  trouver  et  de  construire  le  lieu  des  pieds  de  ces  normales; 

■i"  De  déterminer  l'enveloppe  des  plans  tangents  menés  aux  quadriqucs 
par  les  pieds  des  normales. 

12.  Trouver  le  lieu  des  sommets  des  trièdrcs  irirectanglcs  dont  les  arêtes 
sont  tangentes  à  une  quadrique. 

13.  On  nomme  points  correspondants  de  deux  quadriques  homofocales  à 
centre  dont  les  axes  ont  pour  longueurs  ia,  'ib,  2c;  ia',  'lô',  ic'  deux  points 
dont  les  coordonnées  vérifient  les  équations 

X        x'  y       y'  z        z' 

a        a'  h        b'  c        c' 

Chercher  tous  les  points  qui  correspondent  à  un  point  donné  sur  l'une  des 
surfaces  et  situés  sur  les  surfaces  de  même  espèce. 

li.  La  somme  des  carrés  des  distances  au  centre  de  deux  points  situés  sur 
deux  ellipsoïdes  homofocaux.  est  égale  à  la  somme  des  carrés  des  distances 
au  centre  des  deux,  points  correspondants. 

15.  La  distance  de  deux  points  situés  sur  deux  ellipsoïdes  homofocaux  est 
égale  à  la  distance  des  deux  points  correspondants.  (Ivory.) 

IG.  Que  représente  l'équation  Xj  -\-  À»  +  ^a  =  const.  (476). 

17.  Trouver  le  lieu  des  directrices  d'une  quadrique;  cas  d'un  cône. 

18.  Trouver  le  lieu  des  cubiques  des  normales  issues  d'un  point  P  relatives 
à  un  système  de  quadriques  homofocales. 

19.  Trouver  la  limite  des  focales  d'une  quadrique  à  centre  dont  un  axe 
tend  vers  zéro. 

20.  Foyers  et  directrices  de  Vellipse  sphérique.  —  Si  l'on  coupe  une 
sphère  par  un  cône  ayant  son  sommet  au  centre  de  la  sphère,  les  focales 
du  cône  coupent  la  sphère  en  quatre  points,  deux,  à  deux  diamétralement 
opposés,  et  les  plans  directeurs,  lieux  des  directrices,  la  coupent  suivant 
deux  arcs  de  grand  cercle;  le  plan  des  deux  focales  coupe  la  sphère  suivant 
un  grand  cercle;  en  considérant  l'une  des  ellipses  sphériques  déterminées  on 
obtient  deux  foyers  intérieurs  et  deux  directrices  correspondantes. 

Démontrer  les  théorèmes  suivants  : 

%\.  Le  rapport  des  sinus  des  distances  sphériques  d'un  point  d'une  ellipse 
sphérique  à  un  foyer  et  à  la  directrice  correspondante  est  constant. 

22.  La  somme  des  rayons  vecteurs  sphériques  qui  joignent  un  point  quel- 
conque d'une  ellipse  sphérique  à  ses  deux  foyers  intérieurs  est  constante. 


448  CHAPITRE    XXIX.   —    FOCALES. 

23.  La  tangente  à  l'ellipse  sphérique  fait  des  angles  égaux  avec  les  rayons 
vecteurs. 

24.  La  somme  des  angles  qu'une  tangente  quelconque  à  l'ellipse  sphérique 
fait  avec  les  arcs  cycliques  (intersection  de  la  sphère  avec  les  plans  cycliques 
du  cône  supplémentaire  au  premier,  menés  par  le  centre)  est  constante. 

2o.  Les  portions  d'une  tangente  à  l'ellipse  sphérique  comprises  entre  le 
point  de  contact  et  les  arcs  cycliques  sont  égales. 

26.  Les  deux  tangentes  sphériques  que  l'on  peut  mener  d'un  point  de  la 
sphère  à  une  ellipse  sphérique  font  des  angles  égaux  avec  les  rayons  vecteurs 
qui  joignent  ce  point  aux  deux  foyers. 

27.  Le  rayon  vecteur  mené  d'un  foyer  à  un  point  quelconque  partage  en 
deux  parties  égales  l'angle  des  rayons  vecteurs  menés  du  même  foyer  aux 
points  de  contact  des  tangentes  à  l'ellipse  menées  par  ce  point. 

28.  Si  l'on  mène  un  grand  cercle  sécant  quelconque,  les  portions  de  ce 
grand  cercle  comprises  entre  l'ellipse  sphérique  et  les  deux  arcs  cycliques 
sont  égales. 

29.  Si  par  deux  points  d'un  arc  cyclique  on  mène  des  tangentes  à  une  el- 
lipse sphérique,  la  corde  de  contact  divise  cet  arc  cyclique  en  deux  parties 
égales. 

30.  Le  produit  des  sinus  des  perpendiculaires  sphériques  abaissées  d'un 
point  d'une  ellipse  sphérique  sur  les  deux  arcs  cycliques  est  constant. 

31.  Le  produit  des  sinus  des  perpendiculaires  menées  des  deux  foyers  sur 
une  tangente  à  l'ellipse  sphérique  est  constant. 

32.  Les  quatre  points  où  les  deux  arcs  cycliques  sont  rencontrés  par  deux 
tangentes  sont  sur  uu  même  petit  cercle. 

33    Le  quadrilatère  ayant  pour  côtés  les  rayons  vecteurs  menés  des  foyers 
à  deux  points  de  l'ellipse  sphérique  est  circonscriptible  à  un  petit  cercle. 
(Voir  Briot  et  Bouquet,  Complément  de  la  Géométrie  analytique.) 

34.  Lieu  des  centres  des  ellipsoïdes  de  révolution  dont  les  extrémités  de 
trois  diamètres  conjugués  sont  trois  points  donnés  A,  B,  C. 

—  La  section  du  cône  asymptote  par  le  plan  ABC  est  une  conique  déter- 
minée. Le  lieu  se  compose  des  focales  de  cette  conique. 


SECTION   PLANE    D  UNE   QUADRIQUE. 


449 


CHAPITRE  XXX. 

ÉLÉMENTS  D'UNE  SECTION  PLANE  D'UNE  QUADRIQUE. 


478.  Soient 


Détermination  des  axes  de  la  section. 


Premier  cas  :  conique  à  centre. 


/{x,y,z)  =  o,         ux -^  vy -\- wz -^  h  =  o 


les  équations  d'une  section  plane  d'une  quadrique;  désignons  par  Xo,  yo,  Sq 
les  coordonnées  du  centre  w  de  cette  section;  on  a 


(0 


U  V  w 

Appelons  — aX  la  valeur  commune  de  ces  rapports;  on  obtient,  en  développant, 
(  A  a-Q  -+-  B"jo  -+-  B'zo  -1-  G  -*-  X  a  =  o, 


(•^) 

l    WXç^-\- 

A'yo  -+-  B  ^0  +  G'-H  X  p  =  0, 

[  Wxq  h-  B  j'o  +  ^"-so  ■+■  G"-f-  X  w  =  0, 

(3) 

uxq  -\-vy(i  -^  wzq  -\-  h  =  o. 

Nous  poserons 

u 

—  *(m,  v,w)  = 

A 

w 

,         —F{u,v,w,h)  = 

u    V    w 

o 

H 


u 

V 

w 

h 

u   V   w   h   o 

Le  premier  de  ces  déterminants,  égalé  à  zéro,  donne  la  condition  pour  que 
le  plan  {u,  v,  (v,  o)  soit  tangent  au  cône  des  directions  asymptotiques  de  la 
quadrique/",  ayant  son  sommet  à  l'origine,  c'est-à-dire  pour  que  la  section 
soit  du  genre  parabole.  Nous  supposerons  d'abord  ce  déterminant  différent 
de  zéro;  dans  ce  cas,  les  équations    (2)  et  (3)  déterminent  le  centre  w. 

Nous  aurons  besoin  encore  de  calculer /"(arc^oj  ^o)»  que  nous  désignerons, 
pour  abréger,  par  k.  On  a 

a  A:  =  Xq/j,-^  -f-  yof'y,  -4-  Zo/^o  +  //»(  ^0  =  «  ); 

donc,  en  vertu  des  équations  (2)  et  (3), 


(  \  )  k  =  Cxq-^  G>o  +  G'^u  H-  D  +  X  /*. 

NiEWKNGLOWSKI.  —  G.  an.,  III. 


af) 


450  CHAPITRE    XXX. 

L'élimination  de  Xo,yo,  ^o,  ^  entre  les  équations  (2),  (3),  (4)  donne 
A      B"    B'     G      u 


B" 

A' 

B      G'      v 

B' 

B 

A"     G"     IV 

G 

G' 

G"  D-k  h 

u 

p 

iv       h      0 

d'où,  à  l'aide  des  notations  adoptées, 


5) 


<i>{u,  ^>,  w) 


Gela  posé,  si,  sans  changer  la  direction  des  axes  de  coordonnées,  nous  pre- 
nons 0)  pour  origine,  les  équations  de  la  section  deviennent 

ux  -h  vy  -^  wz  =  o  ; 
mais,  en  remarquant  que 

^fk  +  yfy-o-^  zfl^  =  —  i\{ux-\-vy-\-wz), 

on  peut  écrire  ainsi  les  équations  de  cette  courbe  : 

(6)  <s>{x,y,z)-^k=o, 

( 7 )  ux  -\-  vy  -\-  wz  =  o. 

Soit  wA  un  axe  de  la  section.  La  tangente  AT  au  sommet  A  est  perpendi- 
culaire à  w  A  ;  elle  est  donc  dans  le  plan  tangent  en  A  à  la  sphère  de  centre  w 
et  de  rayon  coA,  et  comme  elle  appartient  aussi  au  plan  tangent  en  A  à  la 
quadrique,  c'est  la  tangente  au  même  point  à  la  courbe  commune  à  ces  deux 
surfaces.  Il  résulte  de  là  que  le  plan  sécant  est  tangent  au  cône  ayant  pour 
sommet  le  point  w  et  pour  directrice  cette  courbe  commune.  Réciproque- 
ment, si  le  plan  sécant  est  tangent  à  ce  cône,  la  droite  AT  tangente  en  A  à 
la  courbe  commune  à  la  sphère  de  rayon  w  A  et  à  la  quadrique  est  dans  le 
plan  sécant;  c'est  donc  la  tangente  en  A  à  la  conique  et,  comme  elle  est 
perpendiculaire  au  rayon  de  la  sphère,  wA  est  un  axe  de  la  conique, 

Or,  si  l'on  appelle  r  la  longueur  toA,  l'équation  du  cône  que  nous  venons 
de  définir  est 

/■2cp(a7,  J,  Z)  -+-  /C(a72  4- j2_f-^2)  =  O. 

La  condition  pour  que  le  plan  (m,  v,  w,  h)  soit  tangent  à  ce  cône  est 


(8) 


A  -H  — 


B" 
B' 


B" 


,•2 


B' 


SECTION   PLANE   d'uNE   QUÀDRIQUE.  /}5i 

Telle  est  l'équation  aux  carrés  des  demi-longueurs  d'axes  de  la   section. 

Si  les  coordonnées  étaient  obliques,  il  faudrait  remplacer  x^ -h y'^ -\-  z^  par 

a^î  _l_^2  _|_  -2  _f_  2j'5  cosX -4- 2  50^  cosfjL -H  2ay  cosv    et,   par  suite,   B,    B',   B' 

par  B  H — ^  cosX,  B'h cos  u,  B"  -+-  -^  cosv. 

Pour  obtenir  la  direction  de  l'axe  correspondant  à  une  racine  de  cette 
équation,  il  suffit  de  remarquer  que  cet  axe  est  la  polaire  du  plan  sécant  par 
rapport  au  cône,  puisque  ce  plan  est  tangent  au  cône;  les  équations  de  ojA 
sont  donc 

r-<f'j;  •+-  9.kx       '''?/  ■+-  ''-^T  _  '"^  ?3  -H  aArz 
u  V  w 


(9) 


Le  problème  est  entièrement  résolu;  mais  on  peut  disposer  les  calculs  de 
la  manière  suivante.  Eu  introduisant  un  paramètre  S' et  posant  —  =  — S, 
on  peut  remplacer  les  équations  précédentes  par  celles-ci  : 


(lo) 

On  a  donc 

d'où 

(12) 


o\.  —  2  S  a:*  -H  2  S'  «  =  o , 
Oy  —  iSy  -\-  1^'  V  =  o, 
'5-  —  2  S 4;  -f-  2  S'  <p  =  o , 


(A  — S)a7-hB'>H-B'--+-S'tf  =0, 
B"arH-(A'— S)_x  +  B^-f-  S'f'  =  o, 
B'a;  +  BJ-^(A"— S)^  +  S'(v  =  o, 
ux  -ir  vy  -\-  wz  =  o  ^ 


A  — s 

B" 

B' 

II 

B" 

A'- S 

B 

V 

B' 

B 

A"  —  S 

iV 

u 

V 

w 

0 

Cette  équation   se  déduit  d'ailleurs  de  l'équation  (8),  en  y  remplaçant  — 

par  —  S.  On  démontre  aisément  que  l'équation  (12)  a  ses  deux  racines  réelles; 
en  effet,  le  déterminant  (12)  est  le  discriminant  de  la  forme 

o{x,y,  z)  -H  it{ux  H-  (•/  -+-  wz)  —  S(.r2  -i-y2  -4-  z"-). 

Si  l'équation  (12)  avait  une  racine  imaginaire  a  -+-  bi,  on  aurait 

(  o{x,y,  z)  -+-  it{ux  -H  vy  -+-  wz)  —  (a  -4-  bi)  (x-  -h y^  -+-  z-) 


(i3) 


/       s  (P  ^  P'02  +  (Q  -h  q'I)^  +  (R  -^  R'iP, 


P,  P',  ...,  R'  désignant  des  polynômes  linéaires  à  coefficients  réels.  Le  sys- 
tème P'=o,  Q' =  o,  R'=o  admet  des  solutions  dans  lesquelles  toutes  les 
inconnues  ne  sont  pas  nulles.  Soit  x',  y' ,  z',  t'  une  de  ces  solutions.  On  ne 


452 


CHAPITRE   XXX. 


peut  pas  supposer  x'  =  y' ^  z'  =  o,  car  l'identité  précédente  donnerait,  pour 
a;  =  o,  y  =  o,  z  =  o,  t  =  t'  :  P^  +  Q^ -^  R^  —  o ,  c'est-à-dire  P  =  o,  Q  =  o, 
R  =  o;  ce  qui  est  impossible,  car  l'un  au  moins  de  ces  polynômes  doit  con- 
tenir un  terme  en  t,  puisque  s'il  en  était  autrement,  en  appelant/)',  q',  r'  les 
coefficients  de  t  dans  P',  Q',  R',  le  coefficient  de  t^  dans  le  second  membre  de 
l'identité  (i3)  serait  égal  à  —  (p'^  -H  q'^  -r-  r'^),  ce  qu'on  ne  saurait  admettre, 
le  premier  membre  ne  contenant  pas  de  terme  en  t^.  Il  résulte  de  là  que  le 
coefficient  de  i,  qui  est  égal  à  —  b(x'^  -4- j'^  -+-  -s'^  )j  devant  être  nul,  on  a  è  =  o. 
En  remplaçant  S  par  une  racine  de  l'équation  (12),  les  équations  (11)  se  ré- 
duiront à  trois  et  détermineront  les  rapports  cp'.y'.z'.S',  et,  par  suite, 
donneront  la  direction  de  l'axe  correspondant. 
On  peut  remarquer  que  les  équations  (10)  donnent 


(>,4) 


c'y    y    V  \=^o. 
es',      z     w 


Si  l'on  revient  aux  axes  primitifs  et  si  l'on  remarque  que 

<o'jr-.r„  ^fx  —/.'•„  =  /^  +  2  X  «/., 

l'équation  précédente  devient 

àf 


(i5) 


dx 

M. 
dy 

àf 
àz 


X  —  Vo       u 

y—yo    V 


Les  axes  de  la  section  sont  les  droites  communes  au  plan  sécant  et  au 
cône  représenté  par  l'équation  (i5).  La  forme  de  cette  équation  montre  que 
ce  cône  est  le  cône  des  normales  à  la  quadrique  issues  du  point  co.  On  voit 
que  ce  cône  contient  la  normale  au  plan  sécant  mené  par  w,  puisque  pour 
tous  les  points  de  cette  normale  deux  colonnes  du  déterminant  sont  propor- 
tionnelles; donc  le  cône  des  normales  contient  la  normale  au  plan  qui 
coupe  la  quadrique  suivant  une  conique  dont  le  point  d^ émission  des 
normales  est  le  centre. 

On  peut  déterminer  autrement  les  axes.  En  effet,  soit  S  une  racine  de 
l'équation  (12)  et  soient  a,  p,  y  les  paramètres  directeurs  de  l'axe  correspon- 
dant; le  second  axe  étant  dans  le  plan  diamétral  conjugué  à  la  direction 
a,  p,  Y,  les  coordonnées  d'un  point  de  cet  axe  vérifient  l'équation 

a/i+P/;  +  T/^  =0; 

(A  — S)a-hB"P  M-B'Y-(-S'a  =  o, 
B"a+(A'— S)P  +  By  -h  SV  =  o, 
B'a-f-Bp-i-  (A" —  S)Y-+-S'Hf=o. 


d'ailleurs 


SECTION    PLANE   D  UNE   QUXDRIQIJE. 
Les  équations  de  cet  axe  sont  donc 


453 


(16) 


A  — S  B"  B'        u 

B"        A'— S  B         i> 

B'  B        A"— S     iv 

f'x  S'y  f'z  " 

ux  -^  vy  -^  wz  -\-  h  =  o. 


479.  Cas  particulier.  —  Supposons  que  la  quadrique  soit  un  ellipsoïde 
rapporté  à  ses  axes  de  symétrie  et  que  le  plan  sécant  soit  un  plan  diamétral. 

L'équation  du  cône  passant  par  l'intersection  de  l'ellipsoïde  et  de  la  sphère 
concentrique  de  rayon  /•  étant 


■y 


Q^-i^ 


I      I 


la  condition  pour  que  le  plan  («,  i^,  w)  soit  tangent  à  ce  cône  est 
a^u^  b^v^  c^w"^ 


(17) 


b-^ 


c'est  l'équation  aux  carrés  des  demi-longueurs  d'axes  de  la  section. 

Si  r  désigne  une   racine   de  cette   équation,  l'axe  correspondant   a  pour 

équations 

T(r^--a^)        yUi-b^-)        z{r'--c^-) 

(10)  ■ =  j— = • 

a-ii  b-v  c^w 

Supposons  maintenant  que  le  plan  sécant  soit  défini  par  l'équation 

ux  -{-  vy  -f-  «'  5  -f-  A  =  o  ; 

les  coordonnées  du  centre  de  la  section  sont  déterminées  par  le  système 


^0 


ro 


—  h 


et,  j)ar  suite, 


/j2 


k  —  ji^o,yoi  ^0)  — 


a^u^^b^v^-{-c^w'^ 


L'équation  du  cône  devient 

l'équation  aux  carrés  des  demi-axes  est  donc 

rt*«s  b^v*  c"-  «'^      _ 


o; 


454  CHAPITRE   XXX. 

el  les  équations   de  l'axe  deviennent,  par  rapport   aux  axes  de   symétrie   de 
J'ellipsoïde, 


(20) 


a^u  b'^v  c^w 


Si  A  =  o,  on  a  ^  =  —  I  ;  les  équations  (rg)  et  (20)  se  réduisent  aux  équa- 
tions (17)  et  (18). 

480.  Problème.  —  Sur  chaque  diamètre  d'un  ellipsoïde  on  porte  une 
longueur  OM  égale  à  Vun  des  demi-axes  de  la  section  diamétrale  per- 
pendiculaire à  ce  diamètre;  trouver  le  lieu  de  M. 

Soient  x,  y,  z  les  coordonnées  de  M;  le  plan  perpendiculaire  à  OM  a  pour 

équation 

Xa?  +  Y  y  -H  Z^  =  o, 

en  outre 

a72-4-J)/2_)_   -2  —  ,.2 

et 

a^x'^  b^-y"^  c^'z"-     _ 

/•2  —  a2  "^  r^'—b"-  "*"  r^'—c"-  ~  °' 
L'équation  du  lieu  est  donc 

«2^2  hlyl  c'^z^  ^ 

^      '  a^2-^j2-H22_rt2    "+"   ip2_^^2  4_   -2_^2    "^    .r  2 -H  _/2  ^1  ^2  _  c^    ~  ^  ' 

c'est  la  surface  d'onde  de  l'ellipsoïde  ayant  pour  équation 

«2^72-1-  fj^yl-^  c-Z^ —  I   =0, 

dont  nous  avons  trouvé  une  autre  définition  (203). 

Les  deux  ellipsoïdes  que  nous  venons  de  considérer  sont  polaires  réci- 
proques par  rapport  à  la  sphère  concentrique  de  rayon  un.  Leurs  surfaces 
d'onde  sont  aussi  polaires  réciproques  par  rapport  à  la  même  sphère. 

En  effet,  considérons  un  plan  tangent  en  M  à  la  surface  d'onde  S;  le 
point  de  contact  M'  du  plan  polaire  de  M  est  sur  la  perpendiculaire  OP 
abaissée  du  centre  de  la  sphère  sur  le  premier  plan,  et,  si  x' ,  y',  z'  sont  les 
coordonnées  de  M'  et  /-'  sa  distance  au  centre,  l'équat,ion  du  premier  plan 
étant  (203) 

ax  -h  ^y  -i-  Y-5  =  V, 
on  a 

x'  _  y'        -2'  _    '  _   î 

_JC2_  p  f- 

V2—  «2   +    V2—  62    "^   Y2_ 

donc  le  lieu  de  M'  a  pour  équation 

a-2  y1 


=  0; 


rt2(a;-2-|_j/2_L_;;2^_[  (^2(^2_^j>^2^_^2j_i  c2(a72-i- JK'" -h  5^)  —  I 


SECTION    PLANE   D  UNE   QUADRIQUE. 
I       I       r 


455 


On  passe  de  S  à  S'  en  changeant  «,  6,  c  en  ->  t  >  -;  ce  qui  démontre  la 

abc 

proposition. 

Pour  plus  de  détails  sur  la  surface  d'onde  voir  Traité  de  Géométrie  de 
Bouché  et  de  Comberousse  (Paris,  Gauthier-Villars). 


Deuxième  cas:  Section  parabolique. 

481.  Nous  regarderons  une  section  parabolique  comme  limite  d'une  section 
elliptique  ou  hyperbolique;  il  suffit  de  supposer  qu'une  racine  de  l'équa- 
tion (12)  tende  vers  zéro  :  l'axe  qui  lui  correspond  grandit  indéfiniment. 
L'autre  axe  a  pour  équations 


A  B"  B'  u 

B*  A'  B  V 

B'  B  A'  iv 

f'x  f'y  f'z  O 


=  o,         UT-hVy-hWZ-i-h^O. 


Il  reste  à  déterminer  le  paramètre/)  de  la  parabole.  Soient  S,  S'  les  deux 
racines  de  l'équation  (12),  on  a 


lim  —  =  lim  — ^T7 — 


kSS' 


S'3 


Or  l'équation  (12)  développée  s'écrit 

[u^-i-  p2-i-  (^2)  S2  —  [(A  -+- A'-l- A")(«f2-h  f 2-H  tv2)  —  cp(M,  if,  w)]  S  "+-  *(^^,  v,  w)  =  o, 

donc 

ASS'  _  F(M;  V,  w,  h) 

S'a"    ~   ~~   (M2-h<^2_j_  ,v2)S'3  " 

La  racine  S  tend  vers  zéro,  S'  a  pour  limite 

A  -H  A  -f-  A 1^ — —^ — —,  ; 

on  a  donc  enfin 


_  (Ml-K;«-f-n»ï)[—  F(t/,o,  w,h)Y 

P  i^' 

[(A-l-  A'-H  A")(i<2H-p2-+-«'2)  —  ç(«,  V,  w)Y 

J'ai  emprunté  ce  calcul  à  M.  G.  Kœnigs  {Leçons  de   l'Agrégation  clas- 
sique). 

482.  Autre  méthode.  —   Nous  indiquerons   rapidement  la   méthode   sui- 
vante, qui  nous  a  été  communiquée  par  M.  E.  Borel.  Cette  méthode  ne  sup- 


456  CHAPITRE    XXX. 

pose  connue  aucune  propriété  des  quadriques  et  pourrait  servir  à  établir  l'é- 
quation tangentielle,  la  théorie  du  centre,  celle  des  diamètres,  des  axes,  etc. 
Faisons  un  changement  de  coordonnées  et  prenons  deux    axes   rectangu- 
laires dans  le  plan  sécant;  nous  poserons 

X  =  X(,-\- aX-h  a'Y,        jk  =  JKo  +  ^X  +  6'Y,         z  =  Zq -h  cX  —  c'Y, 

avec  les  conditions 

(i)  uXo-^^yo+  wzq-]-  h  =  o, 

(2)  ua -\- cb -h  vcc  =  o, 

(3)  ua'-h  i>b'~h  wc' =  o, 

(4)  a2^_62  +  c2=  I, 

(5)  .  a'2  +  è'2 -^  c'2  =  I, 

(6)  aa' -\- bb' -\- cd  —  o . 

L'équation  donnée  /(a?,  y.  ;s)  =  o  devient 

X2 cp(a,  è,  c)  +  Y2cp(a',  b' ,  c')  +  XY  (a  ^,  +  b  ||,  -+-  c  ^, 

^x(af  +  b^-^cPl-^Y(a'^+b'f-^c'f)+fi..,y,..,)  =  o. 
V     dxo  djo         àzj  \     dxo  dyo  àz^J 

Pour  que  la  section  soit  rapportée  à  ses  axes,  il  faut  poser 

^'^'                                         "' àxo  dyo  dzo          ' 

,  df  ,,  df  ,df 

'                                           axa  dyo  dz^ 

des  d^  (Jcp 

^"^                                              da'  db'  de' 

Les  carrés  des  longueurs  des  axes  sont 

cp(a,  è,c)  cp(a',  6',c') 

Les  équations  (2),  (3),  (7),  (8)  donnent 

El         El         Èf 

àxQ    _    dyo    _    dzp  ^ 
U  V  w 

Ces  équations  et  l'équation  (i)  permettent  de  calculer  aisément  x^,  yoi  ^0  et 

Les  équations  (2),  (6),  (9)  donnent 

^    d<S)         o     ,       1  ^    d^         c  ,t       y  I    ^?         c    '    ,    •> 

-   -r-s  =  Sa'-i- Xm,  - -f,  =  S//-1- àp,  -  -i-,  —Se' -i-Aw, 

2  da  1  db  2  de 


SECTION   PLANE   d'l'NE    QUADRIQUE.  4^7 

S  et  X  étant  douv  indéterminées;  d'où  l'on  tire 

On  aura  S  en  éliminant  a',  b' ,  c' ,  X  entre  les  équations 

-  T-^  —  ba  —  /  M, 
2  da 

-  —S  —  bc  —  Kw, 
1  de 

lia' -i-  vb'-h  wc'  —  o. 
On  retrouve  ainsi  l'équation  en  S  déjà  obtenue,  etc. 


Foyers  de  la  section. 

483.  Pour  trouver  les  foyers  de  la  section,  on  remarque  que  l'on  peut  cal- 
culer les  carrés  a-,  b^  des  demi-axes  de  la  section,  et,  comme  on  sait  for- 
mer les  équations  des  deux  axes,  il  suffira  de  déterminer  l'intersection  de  ces 
deux  droites  avec  la  sphère  ayant  pour  centre  w  et  pour  rayon  /a'^ —  6*. 

Voici  une  autre  méthode.  Soit  F  un  foyer  de  la  section;  les  tangentes  FM, 
FM'  à  la  section,  issues  de  ce  point,  sont  des  droites  isotropes.  D'autre  part, 
ces  droites  appartiennent  au  cône  de  sommet  F  circonscrit  à  la  quadrique; 
par  conséquent,  le  plan  de  la  section  est  un  plan  cyclique  de  ce  cône.  Réci- 
proquement, si  le  plan  sécant  est  un  plan  cyclique  du  cône  circonscrit  à  la 
quadrique  et  ayant  son  sommet  en  un  point  F  de  ce  plan,  les  tangentes  à  la 
section  issues  de  F  sont  isotropes,  F  est  un  foyer  de  cette  section.  Il  s'agit 
d'exprimer  ces  conditions.  Soient  .^i,  yi,  z^  les  coordonnées  d'un  foyer  F; 
nous  poserons,  pour  abréger, 

^  T.  ^/  df  df  ùf 

Q  ^  ux  -+-  vy  -\-  wz  -+-  h. 
Le  cône  de  sommet  F,  circonscrit  à  la  quadrique,  a  pour  équation 

Si  le  plan  Q  est  un  plan  cyclique  de  ce  cône,  on  pourra  déterminer  S  de  façon 
que 

//i-P^-Xt^QR, 

R  z=  o  représentant  un  plan  passant  par  F  et  a  étant  le   premier  membre  de 
l'équation  d'une  sphère  de  rayon  nul  ayant  son  centre  au  point  F. 


458  CHAPITRE    XXX. 

L'équation  précédente  peut  s'écrire  ainsi 

Or  P^-t-  QR  =  o  représente  un  cône  ayant  son  sommet  en  F  et  tangent  au 
plan  Q;  toute  la  question  revient  à  déterminer  cci,  jki,  ^i,  S,  de  façon  que 
l'équation 

représente  un  cône  tangent  au  plan  sécant,  le  point  {cci,  yi,  Zi)  étant  assu- 
jetti à  être  dans  ce  plan. 
On  doit  d'abord  poser 
(i)  uxi-h  i>yi-h  wzi+  h  —  o. 

La  condition  pour  que  l'équation  précédente  représente  un  cône  est 


C  +  Sa^i     C'+SjK,     G"+Szi     D  — S(^|+jf-i-^?) 

Mais  ce  déterminant  peut  prendre  une  autre  forme;  en  ajoutant  aux  élé- 
ments de  la  dernière  colonne  ceux  des  trois  autres  multipliés  respective- 
ment par  Xi,  jKi,  -Si,  puis  cela  fait,  en  traitant  de  la  même  façon  les  lignes, 
on  obtient 


A  — S 

B" 

B' 

G  -+-  Sxt 

B" 

A'- S 

B 

C'-h  S^i 

B' 

B 

A"—  S 

C"-+-S^i 

(a)' 


A  —  s       B" 

2  0x1 

B"       A'-  S 

2   àyi 

B'            B 

A"- S     '-f 

2   OZi 

14/      I    ^/ 
2  dxi     2  dyi 

I       àf                   r 

Les  coordonnées  du    sommet  du   cône  doivent  vérifier  les  équations  sui- 
vantes : 

(A  —  S)a7  -I-  B"jK  -+-  B'z  +  G  -H  S^i  =  o, 

B"a7  +  (A'—  S)jK  +  B^4-G'-i-Sji  =  o, 
B'^  +  By -4- (  A"— S).s  +  G"-)- S^i  =  o, 
ux  -^  vy  -\-  wz  -\-  h  —  o\ 
ce  qui  donne  une  deuxième  équation 

A  — S  B"  B'  G  +  S:ri 

B"  A'— S  B  G'h-Sji 

B'  B  A"— S  G"+Sz, 

u  V  w               h 


(3) 


SECTION    PLANE    d'uNE   QUADRIQUE.  4^9 

En  ajoutant  aux  éléments  de  la  quatrième  colonne  ceux  des  trois  autres, 
multipliés  respectivement  par  Xi,  yi,  Zi,  on  obtient,  en  tenant  compte  dq 
l'équation  (i), 

lî' 


l  ' ,' 


A  — S 
B" 
B' 


B" 

A'— S 
B 


B 

A'- S 
w 


•i.  dxi 
•i.  dz\ 


Pour  exprimer  que  le  plan  de  la  conique  est  tangent  au  cône,  il  suffit  d'ex- 
primer maintenant  que  le  plan  («,  v^  ip,  o)  est  tangent  au  cône  parallèle  ayant 
son  sommet  à  l'origine,  ce  qui  donne 


(4) 


L'équation  (4)  est  l'équation  que  nous  avons  déjà  obtenue  en  cherchant 
les  axes  de  la  section.  Considérons  l'une  des  racines  de  cette  équation;  en 
remplaçant  dans  les  autres  équations  S  par  cette  racine,  les  équations  (i) 
et  (3)  représentent  une  droite,  si  l'on  regarde  x^^  yx,  Z\  comme  des  coor- 
données courantes;  l'équation  (2)  représente  une  quadrique,  les  points  de 
rencontre  de  cette  droite  et  de  cette  quadrique  sont  deux  foyers;  on  aura  les 
deux  autres  en  remplaçant  S  par  l'autre  racine  de  l'équation  (4). 


—  S 

B" 

B' 

u 

B" 

A'- S 

B 

V 

B' 

B 

A"- S 

w 

u 

V 

w 

0 

484.  Cas  particulier  :  /(x,  y,  z)s=  —  -+-  •— 


I,  et  le  plan  sécant 


passe  par  l'origine.  Appliquons  la  méthode  précédente  à  l'équation 
Les  coordonnées  du  centre  sont  données  par  les  équations 

X  X  —  Xi  .T| 


a^ 


(1  ou  1  on  tire 


IL  -S(x-xiy=       ' 

a--- 


(5) 


La  surface  sera  donc  un  cône  si 

Sx]  Svf 


a"- S  —  I        ù'^S  —  I        c^S  —  I 


46o  CHAPITRE   XXX. 

Le  sommet  de  ce  cône  sera  dans  le  plan  {u,  v,  w,o)  si 
,„.  a^uxx  b'^vYi  c^wzi 

La  condition  de  contact  est 

,     ,  0.2j^2  ^,îpî  c2w2 

enfin 

(8)  uxi-{-  \>yi-h  wzi  =  o. 

Les  foyers  de  la  section  sont  déterminés  par  les  équations  (5),  (6), 
(7),  (8). 

Les  directrices  correspondant  aux  foyers  sont  les  intersections  du  plan 
sécant  et  des  plans  polaires  des  foyers  par  rapport  à  la  quadrique. 


EXERCICES. 

1.  Discuter  l'équation  (17)  du  n"  479;  en  déduire  les  plans  cycliques. 
Même  question  pour  l'équation  (8)  du  n"  478. 

2.  Si  l'on  nomme  /-j  et  r^  les  axes  d'une  section  diamétrale  d'un  ellip- 
soïde et  6,  G'  les  angles  que  le  plan  de  cette  section  fait  avec  les  plans  cy- 
cliques diamétraux,  on  a 


I         f         t         I 

/  I 

T  ^ 

—  H ,-  =  -T  H ;  -f 

■  i  ~,  - 

1 cosG. 

.  cosO'. 

ri        ri        c'        a- 

Vc2 

a' 

3.  Trouver  les  axes  et  les  foyers  de  la  section  par  le  plan  (u,  v,  w,  h)  de  la 
quadrique  dont  l'équation  tangentielle  est  F(m,  v,  w,  h)  =  o. 

4.  Trouver  les  longueurs  des  axes  d'une  section  plane  d'une  quadrique  en 
exprimant  qu'un  axe  est  un  rayon  vecteur,  maximum  ou  minimum,  issu  du 
centre  de  la  section  (voir  G.  Kcbnigs,  Leçons  de  l'Agrégation  classique). 

5.  Trouver  les  axes  et  les  foyers  d'une  section  plane  en  regardant  cette  co- 
nique comme  la  section  droite  d'un  cylindre. 

6.  Trouver  les  axes  et  les  foyers  d'une  section  plane  d'une  quadrique  en 
considérant  une  quadrique  circonscrite  à  la  première  le  long  de  cette  section 
et  en  supposant  que  l'axe  perpendiculaire  au  plan  de  la  section  tende  vers 
zéro. 

7.  Montrer  que  les  directions  des  axes  de  la  section  faite  par  le  plan 

X  cosa  -^  y  cos^  -l-  z  cosy  =  À 
dans  la  quadrique  Aar^-f-.  .  .^-  D  =0  sont  données  par  l'intersection  du  plan 


•y  cos^ 


SECTION    PLANE    D  UNE    QUADRIQUE. 

cosy  —  o  et  du  cûnc 


46  f 


V(A  cos^p  —  A'cos^a  -h  -i  \i"  cos  ol  cos^){x^  sin^^— j2  sin2a)  =  o 

(Matuieu). 

8.  Les  axes  Bi,  R2  de  la  section  (mêmes  notations  qu'au  n"  7)  sont  donnés 
par  les  équations 


I 


I 
Ri 


H 


[A  cos^a  -1-  A'  cos^p  -i- A''cos2y  -h  9.B  cos,3  cosy 
4-  2  B'  cosy  cosa  -t-  2B"  cosa  cos^  —  A  —  A' —  A"], 


II 


/duy 

I 

[éD) 

RJR^^  - 

Hi 

A          B" 

B'         G 

B"         A' 

B         G' 

B'           B 

A"        G" 

G          G' 

G"        D 

cosa 
cos^ 
cosy 
—  X 
o 


cosa     cos^     cosy     —  X 
1).   Un  cùne  dont  le  sommet  est  un  point  de  l'hyperbole 

est  circonscrit  à  l'ellipsoïde 


(Painvin). 


21 


^  — 1  =  0, 

C2 


a  >  6  >  C, 


en  outre 


b.-C'^  _ ^  _ , 

prouver  que  les  directrices  des  sections  faites  dans  l'ellipsoïde  par  les  plans 
de  contact  de  ces  cônes  sont  dans  un  système  de  deux  plans  fixes.       (T.) 

10.  Le  lieu  des  foyers  des  sections  faites  dans  un  ellipsoïde  de  révolution 
par  un  faisceau  de  plans  passant  par  une  môme  droite  parallèle  à  l'axe  de 
révolution  est  une  podaire  d'ellipse.  (Fouret.) 

11.  Le  lieu  des  foyers  des  sections  faites  dans  un  cylindre  parabolique  par 

un  faisceau  de   plans  passant  par  une  même  droite  perpendiculaire  au  plan 
diamétral  principal  du  cylindre  est  une  podaire  de  parabole.  (Fouret.) 

1:2.  Par  tous  les  points  d'une  conique  on  mène,  dans  une  direction  donnée, 
des  droites  parallèles  et  égales  au  rayon  focal  correspondant  :  le  lieu  des  ex- 
trémités est  une  conique.  Trouver  le  lieu  des  centres  et  des  foyers  de  cette 


462  CHAPITRE    XXX.  —    SECTION   PLANE    d'uNE    QUADRIQUE. 

conique  lorsqu'on  fait  vai'ier  la  direction  donnée,  dans  le  plan  ou  dans  l'es- 
pace. 

13.  On  coupe  un  ellipsoïde  par  des  plans  parallèles  à  un  plan  donné,  ou 
passant  par  une  droite  donnée,  ou  passant  par  un  point  donné.  Lieu  des 
foyers  des  sections. 

14.  Le  lieu  des  foyers  des  sections  diamétrales  de  l'ellipsoïde 
a  pour  équation 

P24_j^2_|_^2)(i_(5j2-p2_^,2j.2_c2;î2)  _         (ç  —  ^,)2^2  ^2  _)_  (q^  _  ç  )2  j2  a?2  _|- (^)  _  a)2  a;2 -^2 

ax^'-^by^-h  cz^  ~  a(c  —  bfj^  z"^  -\-  b^a  —  cf  z^x^  -h  c  {b  —  ay-  x^y^ 

15.  On  donne  un  paraboloïde  ayant  pour  équation  en  coordonnées  rectan- 
gulaires 

X'  =y^  -h  9.pz  : 

i"  Lieu  des  foyers  des  sections  parallèles  à  son  axe;  i°  lieu  de  foyers  des 
sections  dont  les  plans  sont  tangents  à  un  cylindre  parallèle  à  l'axe;  cas  où  ce 

cylindre  a  pour  équation  —  -f-  j-j  —  i  ou  ajK^  =  x^;  3°  que  doit  être  ce  cy- 
lindre pour  que  la  courbe,  lieu  des  foyers,  soit  sur  un  autre  cylindre  ayant 
pour  équation 

(x^  +yy  =  a^y+  b^x^  (  Amigues). 

16.  On  fait  une  section  droite  dans  un  cylindre  parabolique.  Par  le  foyer 
de  cette  section  on  mène,  dans  le  plan  de  la  courbe,  une  perpendiculaire  à 
l'axe,  qui  coupe  la  courbe  en  deux  points  A  et  B.  Au  point  A  on  mène,  dans 
le  plan  de  la  parabole,  la  normale  AM  à  cette  courbe;  puis  par  AM  on  fait 
passer  des  plans  variables.  Lieu  des  foyers  des  paraboles  suivant  lesquelles 
ces  plans  coupent  le  cylindre.  Ce  lieu  est  une  courbe  plane.      (Amigues.) 

17.  On  considère  l'une  des  quadriques  qui  passent  par  les  quatre  côtés 
d'un  quadrilatère  gauche,  et  un  plan.  La  section  par  ce  plan  est  une  conique 
dont  on  demande  les  foyers.  Lieu  de  ces  foyers  quand  la  quadrique  varie; 
lie,u  des  foyers  quand  la  quadrique  restant  la  même,  le  plan  se  déplace  paral- 
lèlement à  lui-même.  (Amigues.) 

18.  Lieu  des  foyers  des  quadriques  de  révolution  circonscrites  à  une  qua- 
drique donnée,  pour  lesquelles  la  distance  des  deux  foyers  est  constante. 

19.  Prouver  que  la  surface  d'onde  est  la  surface  apsidale  d'un  ellip- 
soïde, relative  à  son  centre. 

—  Par  un  point  fixe  0,  et  dans  le  plan  passant  par  la  normale  PN  en  un 
point  quelconque  P  d'une  surface,  on  mène  OM  égale  et  perpendiculaire  à  OP. 
Le  lieu  de  M  est  la  surface  apsidale  de  la  surface  donnée  relative  au  point  O. 
Montrer  qu'il  y  a  réciprocité. 

20.  Trouver  la  podaire   de   la   surface   d'onde  par  rapport  à  son  centre. 


APPLICATION   DES   IMAGINAIRES   A   LA   GÉOMÉTRIE   A    TROIS    DIMENSIONS.      /\63 

Montrer  que  c'est  la  surface  apsidale  de  la  podaire  du  centre  de  l'ellipsoïde 
ou  sur/ace  d'élasticité. 

21.  Trouver  la  surface  inverse  de  la  surface  d'onde,  le  pùlc  d'inversion 
étant  le  centre. 

22.  Si  un  cône  du  second  degré,  ayant  son  sommet  au  centre,  coupe  la 
surface  d'onde  suivant  une  courbe  sphérique,  le  cône  supplémentaire  coupe 
aussi  l'ellipsoïde  correspondant  suivant  une  courbe  sphérique. 


CHAPITRE  XXXI. 

APPLICATION   DES  IMAGINAIRES   A  LA   GÉOMÉTRIE  ANALYTIQUE 
A  TROIS   DIMENSIONS. 


48o.  Si  l'on  trace  dans  un  plan  deux  axes  rectangulaires  Ox,  Oy,  on  saitquc 
si  l'on  fait  correspondre  à  l'imaginaire  a  -+■  bi  un  vecteur  OM  dont  l'extré- 
mité M  a  pour  coordonnées  a,  6;  au  produit  (a -t- 6t)p  (cosa  +  t  sina)  cor- 
respond un  vecteur  que  l'on  obtient  en  faisant  tourner  OM  d'un  angle  a  dans 
un  sens  déterminé  et  en  multipliant  la  longueur  du  vecteur  par  p.  Pour  ap- 
pliquer la  théorie  des  imaginaires  à  la  rotation  d'un  vecteur  autour  d'un  axe 
quelconque  on  a  été  conduit  à  des  régies  d'opérations  qui  constituent  ce 
qu'on  appelle  le  calcul  des  quaternions  et  dont  nous  allons  essayer  de  don- 
ner une  idée  très  sommaire. 

Considérons  trois  axes  rectangulaires  Ox,  Oy,  Oz,  mais  disposés  de  façon 
qu'une  rotation  de  go°  autour  de  O^,  de  droite  à  gauche,  amène  Ox  sur 
O^;  une  rotation  de  90"  autour  de  Ox,  de  droite  à  gauche,  amène  Oy  sur 
O^,  etc.  Prenons  sur  chacun  de  ces  axes  des  vecteurs  de  longueur  un,  que 
nous  nommerons  des  vecteurs  unitaires  et  que  nous  représenterons  par  les 
lettres  i,  j,  k. 

Nous  regarderons  aussi  i  comme  un  symbole  définissant  une  rotation  de 
90"  autour  de  Ox  dans  le  sens  de  droite  à  gauche.  Cela  étant,  si  l'on  fait 
tourner  OB  de  90°  autour  de  Ox,  de  droite  à  gauche,  OB  vient  coïncider 
avec  OC,  ce  que  nous  exprimerons  par  l'égalité  symbolique 

ji  =  k. 

D'autre  part,  si  nous  faisons  tourner  OA  de  90"  autour  de  Oy,  de  droite  à 
gauche,  OA  viendra,  non  pas  en  OC,  mais  en  OC,  C  étant  le  symétrique 
de  C  par  rapport  à  O  ;  ce  que  nous  exprimerons  par  l'égalité  symbolique 

ij=-k. 


464  CHAPITRE   XXXI. 

Nous  aurons  ainsi  les  formules  fondamentales  suivantes 
ij  =  —  A-,        jk  =  —  i,        kl  =  —j,        j'i  =  k,        kj  =  i,         ik=j. 

Ainsi,  dans  ce  calcul  symbolique  on  n'a  pas  le  droit  d'intervertir  l'ordre 
des  facteurs. 

Un  vecteur  OM,  tracé  dans  le  plan  jOz,  sera  représenté  par  aj  -+- bk,  les 
coordonnées  de  son  extrémité  M  étant  x  =^  o,  y  =  a,  z  =  b.  Si  nous  multi- 
plions à  droite  par  i,  nous  trouverons 

(  bj  -+-  bk  )  i  —  aji  -+-  bki  =  ak  —  bj  =  {—  b  )j  -f-  ak  ; 

l'opération  multiplier  à  droite  par  i  correspond  bien  à  la  rotation  de  go" 
de  droite  à  gauche  du  vecteur  OM. 

On  verrait  aussi  que  la  multiplication  à  gauche  par  i  correspond  à  la  rota- 
tion du  même  vecteur  de  gauche  à  droite,  de  90". 

Multiplions  maintenant  par  cosa-^  l'sina;  on  trouve 

{aj  -+•  6A-)(cosa  -t-  i  sina)  =  (a  cosa  —  b  sina)/  -)-  {a  sina  -f-  b  coscc)k. 

L'expression  précédente  représente  le  vecteur  OM'  obtenu  en  faisant  tour- 
ner OM  de  l'angle  a,  de  droite  à  gauche,  autour  de  Ox;  cela  est  très  facile  à 
vérifier.  

Il  s'agit  maintenant  de  faire  tourner  d'un  angle  donné  un  vecteur  OM 
autour  d'un  axe  perpendiculaire  à  OM ,  le  vecteur  n'étant  plus  dans  un  des 
plans  de  coordonnées.  Nous  nous  bornerons  ici  à  la  vérification  d'une  règle 
à  laquelle  on  se  trouve  conduit  par  analogie. 

On  convient  d'abord  de  poser  i^  =  J^  =  k^  —  —  i  ;  cela  étant,  soient  a;, y,  s 
les  coordonnées  de  M  ;  nous  représenterons  le  vecteur  031  par  xi-]- y j  -\-zk, 
et  nous  poserons  symboliquement 

OM  =  xi-hyj  -+-  z k. 

La  rotation  de  90°  autour  d'un  axe  perpendiculaire  à  OM  sera  représentée 
par  un  vecteur  unitaire  OA  dont  les  angles  avec  les  axes  sont  a,  3,  Y-  Pour 
faire  tourner  OM  d'un  angle  8  autour  de  OA,  0  étant  positif  de  droite  à 
gauche,  il  suffit  de  multiplier  OM  à  droite,  par  le  quaternion 

cos6  -H  (t  cosa  -t-y  cos^  +  A-  cosy)  sinO, 

en  appliquant  les  règles  convenues  plus  haut  et  tenant  compte  de  la  condi- 
tion X  cosa  -^ y  cos  ^  -^  z  cosy  =  o,  on  trouve,  pour  produit, 

{x  cos6  -f-  {z  cos^  — y  cosy)  sinO]t -i-  [y  cosô  -^{x  cosy — y  cosa)  sin6]y 
■+-  [z  cos  6  -i-(_;Kcosa  —  x  cos  P)  sin6]  A. 

Donc,  les  coordonnées  x' ,  y',  z'  du  point  M,  après  la  rotation,  sont  données 
par  les  formules 

x' =  X  cos^ -\- (z  cos^ — jKcosY)sin6, 

y'  =z y  cos6  -+-  (x  cosy  — y  cosa)  sin6, 

z'  =  z  cosô  -+-  {y cosa,  —  a^cos^)  sin6. 


QUESTIONS    PROPOSÉES    DANS    LES  CONCOURS   EN    1895.  4^5 

Ce  sont  les  formules  obtenues  par  une  autre  voie  (127). 

Ce  qui  précède  suffit,  nous  le  pensons,  pour  montrer  l'usage  qu'on  peut 
faire  de  ce  calcul.  Nous  renverrons  le  lecteur  qui  désirerait  se  familiariser 
avec  la  théorie  des  quaternions,  aux  Notions  sur  la  théorie  des  quater- 
nions  de  M.  E.  Sarrau  (Paris,  Gauthier- Villars). 


QUESTIONS  PROPOSÉES  DANS  LES  CONCOURS  EN  1895. 

Agrégation  des  Sciences  mathématiques.  —  On  donne  un  ellipsoïde  E 
qui,  rapporté  à  ses  plans  principaux,  a  pour  équation 

xi  yt  z^ 

a*        62        c- 

et  une  sphère  de  rayon  r  et  de  centre  Pk.{X(i,  y^^  z^). 

On  considère  les  quadriques  S  qui  sont  tangentes  à  tous  les  plans  tangents 
communs  à  la  sphère  et  à  l'ellipsoïde  E;  du  point  A  on  abaisse  une  normale 
AP  sur  l'une  des  quadriques  S,  et  au  pied  de  cette  normale  on  mène  le  plan 
tangent  II  à  cette  quadrique. 

i"  Prouver  que  le  plan  II  est  le  plan  polaire  du  point  A  par  rapport  à  une 
surface  Hp,  homofocale  à  l'ellipsoïde  E,  représentée  par  l'équation 


Ho=  -„ 


a?2  y-i 


«2 p  b-  p  C2 p 

2°  Prouver  que  le  plan  n  est  le  plan  polaire  du  point  A  par  rapport  à 
l'une  des  quadriques  S;  prouver  qu'il  est  aussi  un  plan  principal  pour  une 
autre  de  ces  quadriques.  Les  réciproques  de  ces  propositions  sont-elles 
vraies? 

3°  Par  un  point  M  de  l'espace  il  passe  trois  plans  n  polaires  du  point  A 
par  rapport  à  trois  quadriques  \l\,  Hjj,,  Hv  du  système  homofocal.  Exprimer 
les  coordonnées  du  point  M  en  fonctions  des  paramètres  X,  [Ji,  v.  Déduire  des 
expressions  ainsi  obtenues  le  lieu  des  points  M  pour  lesquels  les  trois  plans  II 
sont  rectangulaires. 

4°  Trouver  ce  que  deviennent  les  expressions  des  coordonnées  du  point  M, 
soit  quand  ce  point  est  sur  la  dcveloppable  enveloppée  par  le  plan  n,  soit 
quand  il  se  trouve  sur  l'arête  de  rebroussement  de  cette  développable.  En 
conclure  le  degré  de  la  développable  et  la  nature  de  son  arête  de  rebrousse- 
ment. 

5"  Tout  plan  n  coupe  la  développable  suivant  la  génératrice  de  contact  et 
suivant  une  conique.  De  quelle  espèce  est  cette  conique?  En  connaît-on  des 
tangentes  remarquables? 

6°  Trouver  le  lieu  des  foyers  de  ces  diverses  coniques. 

NiEWENGLOwsKi.  —  G.  an.,  III.  3o 


466  CHAPITRE    XXXI. 

Concours  général  {classe  de  Mathématiques  spéciales).  —  On  donne 
une  courbe  du  troisième  degré  C3  définie  par  les  équations 

a7=6X2[JL.  J'=6X[Jl2,  -^X3+[Jt3,  ■ 

où  X,  [x  désignent  deux  variables  indépendantes  que,  pour  abréger,  nous 
appellerons  les  coordonnées  du  point  a  de  la  courbe  G3. 

1°  Trouver  la  relation  qui  doit  lier  les  coordonnées  de  trois  points  aj,  «2»  <^3 
de  la  courbe  G3  pour  que  ces  points  soient  en  ligne  droite; 

2°  Trouver  la  relation  qui  doit  lier  six.  points  «i,  a^,  «3,  a^,  a^,  «e  de  cette 
courbe,  pour  que  ces  points  soient  sur  une  conique. 

Déduire  de  là  les  conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  que,  par  trois 
points  «1,  «2)  «3  de  la  courbe  C3,  on  puisse  faire  passer  une  conique  G2  tou- 
chant C3  aux  points  a^,  «j;  «s- 

Les  côtés  du  triangle  axa^a^  coupent  C3  en  des  points  b^,  b^,  63  situés  sur 
une  droite  D. 

Les  droites  qui  touchent  G3  aux  points  ai,  a^,  «3  la  coupent  en  des  points 
Cl,  C2,  C3  situés  sur  une  droite  A. 

La  droite  D  étant  donnée,  quel  est  le  nombre  des  coniques  G2  qui  lui  cor- 
respondent? 

La  droite  A  étant  donnée,  quel  est  le  nombre  des  coniques  G2  qui  lui  cor- 
respondent? 

École  Normale  supérieure.  —  Un  cercle  (G)  et  une  parabole  (P)  sont  re- 
présentés, en  coordonnées  rectangulaires,  par  les  deux  équations 

(G)  a72-u-j-2— 4a2  =  o, 

(P)  jK^— aaa;  — 4^2  =  o; 

d'un  point  A  pris  sur  l'axe  Oy,  on  mène  les  tangentes  au  cercle,  dont  les 
points  de  contact  sont  M  et  M',  et  les  tangentes  à  la  parabole,  dont  les 
points  de  contact  sont  N  et  N'. 

i**  Démontrer  que  chacune  des  droites  MN,  MN',  M'N,  M'N'  passe  par  un 
point  fixe  lorsque  A  décrit  l'axe  O^^. 

1°  Par  les  quatre  points  M,  M',  N,  N'  on  peut  faire  passer  une  conique 
admettant  l'axe  des  ^  pour  axe  de  symétrie;  former  l'équation  de  cette  co- 
nique (E), 

3°  Trouver  le  nombre  et  la  nature  des  coniques  (E)  qui  passent  par  un 
point  donné  du  plan,  d'après  la  position  de  ce  point  dans  le  plan. 

4°  Gonstruire  la  courbe  décrite  par  les  points  de  contact  des  coniques  (E) 
avec  les  tangentes  parallèles  à  la  droite  qui  a  pour  équation 

■y  =  X. 


QUESTIONS    PROPOSÉES   DANS    LES    CONCOURS    DE    189o.  /jÔy 

Distinguer  les  parties  du  lieu  qui  conviennent  à  des  ellipses  de  celles  qui 
conviennent  à  des  hyperboles. 

Ecole  Polytechnique.  —  On  donne,  d'une  part,  deux  droites  D,  D'  ne  se 
coupant  pas;  d'autre  part,  deux  autres  droites  A,  A'  ne  se  coupant  pas.  On 
considère  une  droite  OA  passant  par  l'origine  0  et  située  dans  le  plan  de 
coordonnées  XOY. 

i"  Former  l'équation  de  la  surface  du  deuxième  degré  S,  qui  contient  D, 
D'  et  OA. 

a"  La  surface  S  et  la  surface  analogue  S,  qui  contient  A,  A'  et  OA,  se 
coupent,  en  dehors  de  OA,  suivant  une  certaine  courbe.  Trouver  la  surface 
lieu  géométrique  de  cette  courbe,  lorsque  OA  décrit  le  plan  XOY. 

3°  Déterminer  les  droites  situées  sur  cette  surface  (*). 

4°  Etudier  complètement  cette  surface  dans  le  cas  particulier  où  les  quatre 
droites  D,  D',  A,  A'  sont  quatre  génératrices  d'un  même  système  d'un  hyper- 
boloïde  qui  passe  au  point  O,  et  montrer  que,  dans  ce  cas,  le  lieu  com- 
prend un  plan  qui  demeure  invariable  lorsque  les  quatre  droites  décrivent 
respectivement  des  plans  qui  passent  par  le  point  0  (et  que  le  plan  tangent 
en  0  à  l'hyperboloïde  demeure  invariable)  (2). 

Bourses  de  licence.  —  i°  On  considère  dans  le  plan  la  droite  U  d'équation 

(i)  u^{x  —  a)-{-Zux  —  iy  ^=  o  , 

où  a  est  une  quantité  fixe  et  u  un  paramètre  variable. 

Cette  droite,  quand  u  varie,  enveloppe  une  courbe  G  dont  on  formera 
l'équation.  U  touche  G  en  un  point  A  et  la  coupe  en  B  :  calculer  les  coor- 
données d'un  point  de  G  en  fonction  de  u.  On  montrera  que  les  coordonnées 

de  B  se  déduisent  de  celles  de  A  en  changeant  m  en 

1°  Parmi  les  droites  U,  on  considérera  la  droite  particulière  V,  dont  on  a 
l'équation,  en  supposant  dans  (i)  u  =  i.  Par  chaque  point  P  de  V,  on  peut 
mener  à  G  deux  tangentes  autres  que  V;  soient  Q,  Q'  les  contacts.  On  de- 
mande, connaissant  l'abscisse  de  P,  de  former  l'équation  de  QQ';  de  déter- 
miner la  courbe  E,  enveloppée  par  cette  droite,  quand  P  décrit  V;  enfin,  de 
limiter  la  portion  de  E  que  touchent  les  droites  QQ',  qui  joignent  des  points 
réels  Q,  Q'. 

Ecole  cen^ra/e  (Première  session).  —  On  donne  deux  axes  rectangulaires 
OiP,  Oy,   sur  l'axe  des  x  un  point  A  d'abscisse  x=p,  sur  l'axe  des  y  un 


(')  Voir  une  Solution  de  M.  Maurick  d'Ocagne  (^Nouvelles  Annales,  août  iSgS). 
Voir  aussi  G.  FounET,  Nouvelles  Annales,  décembre  i8()5. 

(')  Celle  parlic  de  l'énoncé  avait  été  omise  par  erreur.  {Voir  Lucien  Lévy,  Nou- 
velles Annales,  août  iSgS.) 


468  CHAPITRE   XXXI. 

point  B  d'ordonnée  y  =  q-  Ecrire  l'équation  générale  des  coniques  passant 
par  le  point  A,  tangentes  à  l'axe  des  y  en  B,  et  admettant  pour  diamètre 
conjugué  de  O^  une  droite  dont  le  coefficient  angulaire  est  m. 

1°  Faisant  varier  m,  on  cherchera  le  lieu  des  centres  des  hyperboles  équi- 
latères  qui  font  partie  du  faisceau  des  coniques  représentées  par  l'équation 
générale  trouvée,  et  le  lieu  du  point  de  rencontre  du  diamètre  conjugué  de 
Oy  dans  ces  hyperboles,  avec  la  tangente  en  A. 

On  distinguera  sur  ces  deux  lieux  les  régions  qui  répondent  à  des  hyper- 
boles pour  lesquelles  les  points  A  et  B  sont  sur  une  même  branche  de  celles 
pour  lesquelles  ces  deux  points  sont  sur  des  branches  différentes. 

1°  Faisant  encore  varier  m  et  considérant  les  paraboles  qui  font  partie  du 
faisceau  de  coniques  représentées  par  l'équation  générale,  on  démontrera  que, 
par  un  point  du  plan,  on  peut  faire  passer  trois  axes  de  ces  paraboles.  On 
considérera  les  points  du  plan  pour  lesquels  un  des  axes  est  parallèle  à  Oy, 
et  l'on  cherchera  le  lieu  des  points  d'intersection  des  deux  paraboles  qui  cor- 
respondent aux  axes  non  parallèles  à  Oy. 

3°  On  formera  l'équation  de  la  corde  commune  AG  de  ces  deux  paraboles 
et  l'on  cherchera  le  lieu  de  l'intersection  d'une  parallèle  à  cette  corde,  menée 
par  l'origine  des  coordonnées  avec  les  diamètres  conjugués  de  Oy  dans  ces 
mêmes  paraboles. 

École  centrale  (Deuxième  session).  —  Les  axes  de  coordonnées  étant 
supposés  rectangulaires ,  on  demande  l'équation  générale  des  hyperboles 
équilatères  admettant  une  asymptote  passant  par  un  point  fixe  B  de  l'axe 
Ae?)  y  et  dont  le  coefficient  angulaire  soit  m;  telles,  en  outre,  que  le  produit 
des  abscisses  à  l'origine  des  asymptotes  soit  constant  et  que  le  carré  du  demi- 
axe  transverse  soit  2«^.  Faisant  varier  m  qX,  a  : 

10  Démontrer  que  les  axes  de  symétrie  de  ces  hyperboles  forment  un 
faisceau  passant  par  deux  points  fixes,  et  prouver  géométriquement  que  le 
lieu  des  sommets  de  celles  de  ces  hyperboles,  dont  les  axes  transverses  sont 
égaux,  est  un  limaçon  de  Pascal. 

a°  On  considère  les  hyperboles  du  faisceau  telles  que,  l'origine  des  coor- 
données se  trouvant  avec  la  courbe  dans  un  même  angle  des  asymptotes,  le 
produit  de  m  et  des  abscisses  à  l'origine  des  asymptotes  sont  de  signe  con- 
traire à  celui  du  produit  des  distances  de  l'origine  aux  asymptotes.  On 
démontrera  que,  par  un  point  du  plan,  on  peut  mener  deux  hyperboles  de 
ce  système,  ayant  un  axe  transverse  donné. 

3"  Trouver  le  lieu  A  des  points  pour  lesquels  on  peut  mener  deux  de  ces 
hyperboles  telles  qu'une  asymptote,  passant  par  B,  ait  pour  coefficient  angu- 
laire-t- i  pour  l'une,  et — i  pour  l'autre. 

4°  On  considérera,  pour  chaque  point  du  lieu  A,  les  hyperboles  qui  répon- 
dent, l'une  à  la  valeur  maximum,  l'autre  à  la  valeur  minimum  de  l'axe 
transverse;  on  lui  mènera  une  tangente  commune  et  l'on  cherchera  le  lieu  du 
milieu  de  la  distance  des  points  de  contact. 


ADDITIONS.  469 

École  navale.  —  Ox  et  Oy  étant  deux  axes  rectangulaires,  A  et  B  deux 
points  pris  respectivement  sur  ces  axes,  M  et  N  les  milieux  respectifs  de  OA 
et  BA,  on  considère  : 

1°  L'hyperbole  équilatère  de  centre  M,  tangente  en  O  à  Oy., 
7°  L'hyperbole  équilatère  de  centre  N,  tangente  en  B  à  O^. 

Construire  les  asymptotes  de  ces  hyperboles;  elles  se  coupent  deux  à  deux 
en  quatre  points,  qui  sont  les  centres  des  cercles  inscrit  et  exinscrits  au 
triangle  AMN. 

Les  points  d'intersection  de  ces  hyperboles,  autres  que  le  point  A,  sont  à 
l'intersection  de  la  circonférence  circonscrite  au  triangle  OAB  et  de  la  paral- 
lèle à  l'axe  des  x  menée  par  N. 

Lieu  des  points  de  rencontre  de  ces  hyperboles;  lieu  des  points  de  ren- 
contre des  asymptotes,  lorsque,  A  et  B  se  déplaçant  respectivement  sur  l'axe 
■des  X  et  sur  l'axe  dcs^,  la  longueur  AB  reste  constante. 


ADDITIONS '> 


Conditions  pour  que  six  points  d'un  plan  soient  sur  une  conique 
ou  dix  points  sur  une  quadrique. 

M.  Paul  Serret  a  démontré  le  théorème  suivant  : 

Pour  que  six  points  d'un  plan  soient  sur  une  conique,  il  faut  et  il  suf- 
Jit  qu'il  existe  six  constantes  Xi,  X2,  ...,  Xg  non  toutes  nulles  et  telles  que 

(I)  X,P2+X2Pi-+-...+  X6Pi=0, 

1*1,  Po,  ...,  Pe  désignant  ce  que  devient  une  forme  linéaire  quelconque 
V^ux-k-vy-^wZf  quand  on  y  remplace  les  coordonnées  courantes 
successivement  par  celles  des  six  points  donnés. 

Ce  théorème  peut  être  remplacé  par  celui-ci  : 

Pour  que  six  points  d'un  plan  soient  sur  une  conique,  il  faut  et  il  suf- 


(')  Les  Notes  suivantes  sont  empruntées,  presque  totalement,  au  Cours  de  M.  G. 
Darboux  (Sorbonne,  1895-1896). 


[\']0  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE. 

Jit  quHl  existe  six  constantes  non  toutes  nulles  Xi,  X2,  .  • .,  Xg  telles  qu'on 
ait 

(2)  XiF(a7i,  jKi,  zx)  -]-  I1Y {X2,  yi,  z^_)  '\- .  .  .^\^V {xq,  y^,  zç,)  =  0, 

quelle  que  soit  la  forme  quad?'atique¥(x, y, z);  (xi,yi,zi),  {x.2,y%,  z.2),  •••, 
(xg,  ye,  Zq)  désignant  les  coordonnées  des  points  donnés. 

Effectivement,  toute  foi'me  quadratique  pouvant  être  mise  sous  forme  d'une 
somme  de  carrés,  on  peut  poser 

F(a7,  j,  z)  =  A(aa;  +  vy  -^  wzy--\-  k' {u' x  -f-  v'y  -h  w' zY 

-+■  A" (  u"x  -4-  v"y  H-  w" zy-, 

et,  par  suite,  la  relation  (1)  étant  vraie  pour  les  trois  formes  indépendantes 
P,  P',  P",  elle  sera  vraie  pour  une  forme  quadratique  quelconque. 

Mais  on  peut  établir  l'identité  (2)  directement,  ainsi  que  le  fait  M.  G.  Dar- 
boux. 

Pour  que  six  points  (xi,  yi,  Zi)  soient  sur  une  conique,  il  faut  et  II  suffit 
que  leurs  coordonnées  vérifient  une  même  équation  quadratique 

ax~-^  a' y'^-^-  a" z^-h  ibyz  ■+-  ih' zx  H-  "xh" xy  =  o. 

Pour  qu'il  en  soit  ainsi,  il  faut  et  il  suffit  que  le  déterminant  dont  les 
lignes  se  déduisent  de 

(3)  I  07?    y\     z]    ytZi     ztxt    xtyi  |, 

en  donnant  à  l'indice  t  les  valeurs  i,  2,  3,  4;  5,  6,  soit  nul.  Or,  pour  que  le 
déterminant  (3)  soit  nul,  il  faut  et  il  suffit  qu'il  y  ait  une  même  relation  li- 
néaire entre  les  éléments  de  ses  colonnes,  c'est-à-dire  qu'il  existe  des  con- 
stantes X,-  non  toutes  nulles  et  telles  que 

6  6  6  6  6  6 

Y^XixI—o,      I1X,-jk|=^o,      2Xj^|  =  o,      SXi7j3j  =  o,      Y?^iZi^i=^-i      IlXf^r;jKj  =  o: 
1  1  1  1  i  1 

d'oîi  l'on  tire,  A,  A',  A",  B,  B',  B"  étant  six  coefficients  absolument  arbi- 
traires, 

6  6  6  6  6  G 

h-Y^^iX-l^  k!Y,^iy\+  hl'^\iz\-\-o.^^\iyiZi  +  'i^'Yi^iZiXi^'iWY?^iXiyi=  O, 
1111  1  1 

c'est-à-dire,  précisément,  la  relation  (2). 

On  voit  ainsi  que  cette  relation  est  nécessaire;  il  reste  à  prouver  qu'elle 
est  suffisante  :  supposons  par  exemple  Xg  jz^  o  et  prenons  pour  F(a7,  jk,  2)  le 
premier  membre  y(^,  jK» -s)  de  l'équation  d'une  conique  passant  par  les  cinq 
premiers  points;  la  relation  (2)  se  réduira  à  X8y(a-6,  jKb, -Se)  =  O;  ou,  plus 
simplement,  y (o^e,  j'e,  ^e)  =  o;  ce  qui  prouve  que  le  sixième  point  est  sur  la 
conique  y. 


<l'où  l'on  tire 


ADDITIONS.  471 

Application.  —  Prenons  pour  forme  F  successivement  les  premiers  mem- 
bres des  équations  de  deux  coniques  passant  parles  quatre  premiers  points; 
on  obtient  ainsi 

/(a^5,r5^^3)  ^  /(are.JKc, -Se)  ^ 

Par  conséquent,  si  f{x,  y,  z)  =^  o,  g{x,  y,  z)  =  o  sont  les  équations  de 
deux,  coniques,  et  si  l'on  considère  sur  une  conique  passant  par  les  quatre 
points  communs  aux  deux  premières,  deux  points,  l'un  fixe  (^s./ôj-Ss)  et 
l'autre  variable  {x^y,z),  on  aura 

f{x,y,z)  ^  f{x^,yt,  gg) , 

rr(^,r>-s)        g{3ri,yi,z-^y 

en  d'autres  termes,  l'équation  de  celte  conique  est  de  la  forme 

f{x,  y,  z)  ^  ^ 

k  étant  une  constante. 

On  voit  ainsi  que  l'équation  générale  des  coniques,  passant  par  les  points 
communs  aux  deux  premières,  est 

f{x,y,  -s)  —  f^'gix,  jK,  ^)  =  o, 

où  A"  désigne  un  paramètre  arbitraire,  car  l'équation  d'une  conique  passant 
par  les  points  communs  aux  deux  premières  est  de  cette  forme,  et  récipro- 
quement: quelle  que  soit  la  valeur  attribuée  à  A-,  l'équation  précédente  re- 
présente évidemment  une  conique  passant  par  les  points  communs  aux  deux 
premières. 

Cette  belle  démonstration  est  due  à  M.  Darboux. 

Les  considérations  précédentes  s'étendent  tout  naturellement  à  l'espace  et 
l'on  démontre  de  la  même  manière  ce  théorème  : 

Pour  que  dix  points  {Xi,  yt,  zi,  ti)  soient  sur  une  quadrique,  il  faut  et 
il  sujffit  qu'il  existe  dix  constantes  non  toutes  nulles  \\,  X2,  ...,  Xio,  et 
telles  que,  quelle  que  soit  la  forme  quadratique  F{x,  y,  z,  t),  on  ait 

10 

(  -i  )  2  ^'  ^  ^ ^i^yh  -M  ^-  )  =  o. 

1 

On  trouvera  encore  l'équation  générale  des  quadriques  passant  par  les 
points  communs  à  deux  quadriques  données  ;  soient  en  effet  f(x,y,  z,  t)  =  o, 
g(x.y,z,t)  =  o  les   équations  de  deux  quadriques;    considérons   une   qua- 


472  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE. 

drique  Q  passant  par  l'intersection  des  deux  premières  et  prenons  huit  points 
sur  cette  intersection  et  deux  autres  points  sur  la  quadrique  Q;  on  aura 

^9/(-'^9)  JKg,  -59,  ^9)  -+-  Xio/(a;io,  jKio,  -10,  «)o)  =  o, 
'^'èg{x^,  yg,  Z2,  tg)  -h  Xio^(a7io,  jKio,  -Zio,  ^10)  =  o,     etc. 

En  lisant  les  équations  précédentes  en  coordonnées  tangentielles,  on  trouve 
les  conditions  pour  que  six  droites  d'un  plan  soient  tangentes  à  une  conique 
ou  pour  que  dix  plans  soient  tangents  à  une  quadrique. 


Nouvelle  démonstration  du  théorème  de  Pascal. 


.Fig.  42. 


Dans  son  Cours,  M.  Darboux  a  déduit  le  théorème  de  Mac-Laurin  et  Brai- 
kenridge  du  théorème  de  Désargues.  En   modifiant   la  rédaction  on  obtient 

directement  le  théorème  relatif  à  l'hexa- 
gone de  Pascal. 

Considérons  l'hexagone  ABCDEF  in- 
scrit à  une  conique.  Soient  (./î"^.  4^) 
L  le  point  de  rencontre  des  droites  AB, 
DE  et  M  celui  des  droites  BG,  EF.  Appe- 
lons P  le  point  de  rencontre  de  LM  et 
CD,  et  soit  A'  le  point  où  FP  rencontre 
AB;  il  s'agit  de  prouver  que  A'  coïncide 
avec  A. 

La  conique  est  circonscrite  au  quadri- 
latère CDEF.  Désignons  par  L'  le  point 
où  le  côté  CF  de  ce  quadrilatère  ren- 
contre AB,  et  par  K,  K'  ceux  où  les  deux 
autres  côtés  CD,  EF  rencontrent  AB. 

D'après  le  théorème  de  Désargues,  les 
six  points  K,  K';  L,  L';  B,  A  sont  en  in- 
volution. 

D'autre  part,   les  points  K,  K';  L,  L'; 

B,  A'  sont  les  points  de   rencontre  des 

côtés  et  des  diagonales  du  quadrilatère  CMFP  et  de  la  sécante  AB;  ces  six 

points  sont  donc  aussi  en  involution,  ce  qui  prouve  que  A'  coïncide  avec  A. 


Sur  la  définition  de  l'angle  de  deux  demi-droites. 


Nous  avons  démontré  (II,  78)  que,  si  les  coordonnées  de  deux  points  A,  A', 
situés  à  une  distance  de  l'origine  O,  égale  à  un,  sont  a,  b,  c  et  a',  b',  c',  les 


ADDITIONS.  473 

coordonnées  de  rcMn-iniLi;  ilc  la  perpendiculaire  OM  aux  droites  OA,  OA', 
en  supposant  OM  =  i,  sont  données  par  les  formules 

tsin\=z{bc' — cl/),        l  sin\  =  z{ca'— ac'),        l  sinY  =  z{ab' — ba'), 

V  désij^nant  l'angle  AOA',  et  nous  avons  montré  qu'en  prenant  e  = -1- i  le 
point  M  est  tel  que  tout  observateur,  placé  les  pieds  en  0  et  la  tête  en  M, 
verrait  OA  à  sa  gauche   et  OA'  à  sa  droite  en   regardant   l'angle  AOA'. 

M.  G.  Darboux  se  sert  de  ces  équations  pour  introduire  le  principe  des  signes 
dans  la  définition  des  angles  dans  l'espace. 

Les  points  A,  A',  M  sont  sur  la  sphère  de  rayon  i  ayant  pour  centre  l'ori- 
gine des  coordonnées,  et  le  point  M  est  l'un  des  pôles  du  grand  cercle  passant 
par  A  et  A'.  On  peut  définir,  à  un  multiple  près  de  iiz,  l'angle  que  OA'  fait 
avec  OA,  en  convenant  de  choisir  l'un  des  deux  pôles  du  grand  cercle  AA'; 
soit  M  ce  pôle.  Il  suffit  de  convenir  qu'une  rotation  effectuée  autour  de  OM 
de  gauche  à  droite  est  affectée  du  signe  +,  les  rotations  en  sens  contraire 
étant  affectées  du  signe  — .  S'il  en  est  ainsi,  en    supposant  le  trièdre   Oxyz 

des  coordonnées  disposé  de  façon  qu'une  rotation  positive  de  -  autour  de  O5 
amène  Ox  en  Oy,  les  formules 

/sinV  =  ic' — cb',         /sinV=ca' — ac',         l  sin\  =  ab' — ba', 
avec 

cos  V  =  aa'-{-  bb'-h  ce', 

définiront,  à  un  multiple  près  de  271,  l'angle  V,  en  grandeur  et  en  signe. 

Soit  ABC  un  triangle  sphérique;  on  peut  attribuer  un  signe  à  chacun  des 
arcs  de  grands  cercles  BG,  GA,  AB;  cela  revient  à  se  donner  les  pôles  A', 
B',  G' de  ces  arcs.  Désignons  par  a7,,  ^T'i,  zi  ;  x^,  yz,  z^;  3^3,  ^^3,  Z3  les  coor- 
données de  A,  B,  G,  l'origine  étant  le  centre  de  la  sphère,  et  par  x'^,  y'^,  z'^•, 
^25  y'îi  -s^  j  ^'zi  y'zi  '^'i  celles  de  A',  B',  G'.  On  aura,  en  vertu  de  ce  qui  pré- 
cède, 

a?', sinBG  =^2 -33—^2.73,     y'ySm'QC  =  ZiX^— XiZ^,     z\s\x\BC  =^  x^y^— y^x^ 

et 

Xx sinB'G'=: /^ z\  —  z\y'^,yi  sin  B'C'—z',  x'^  — x'^_ z\,  Zy  sin B'G'=  ^^'^y'-^—yi^'i, 

ainsi  que  les  formules  qu'on  en  déduit  par  permutations  circulaires. 

En  multipliant  les  deux  membres  des  premières  équations  par  xi,  y\,  Z\ 
respectivement  et  ajoutant,  on  obtient 


cos  AA'  sinBG 


^\     Ji     -5j 

Xi      J2       -=2 

^3    73     -S3 


8. 


On  a,  par  suite, 

cosAA'  sinBG  =  cosBB'  sinGA  =  cosGG'  sin  AB  =  8. 


474  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE. 

On  trouvera  de  même 

cosA'Â.  sinB'C'=  cosB'B  sinG'A'=  cosG'G  sinA'B'=  S', 

et,  en  divisant  membre  à  membre,  on  retrouve  la  proportion  des  sinus,  etc. 


Homologie.  —  Tétraèdres  homologiques. 

Uhojnologie  est  une  transformation  homographique,  due  à  Poncelet,  et 
définie  par  les  formules  suivantes,  dans  lesquelles  x,  y,  z,  t  et  x' ,  y' ,  z\  t' 
sont  les  coordonnées  de  deux  points  correspondants  M,  M'  : 

x'      y'       z'  t' 


X       y        z        ax  -^  by  -T-  cz  ^  dt 

On  voit  qu'à  un  point  M  correspond  un  seul  point  M'  et  réciproquement, 
car  les  formules  précédentes  peuvent  aussi  s'écrire 

37   _  JK   _  -5    _  dt 


x'       y'        z'       t' — ax' —  by' — cz' 

Soit  ABGD  le  tétraèdre  de  référence,  a;  =  o,  ^  =  o,  ^  =  o,  ^  =  o  étant 
respectivement  les  équations  des  faces  BGD,  GDA,  DAG,  AGB.  On  voit  que 
deux  points  correspondants  M,  M'  sont  sur  une  même  droite  passant  par  le 
sommet  D,  que  l'on  nomme  le  centre  d'homologie. 

Gherchons  s'il  y  a  des  points  qui  se  conservent  après  la  transformation.  Si 
l'on  pose 

^  =  -2^  =  ^  =  - 

x'       y'       z'        t' 
on  trouve 

ax -\- by -^  cz -^  {d — i)«  =  o. 

Tous  les  points  du  plan  défini  par  l'équation  précédente  se  correspondent 
à  eux-mêmes;  on  nomme  ce  plan  \e, plan  d' homologie. 

L'homologie  est  définie  quand  on  connaît  le  centre,  le  plan  d'homologie  et 
un  couple  de  points  correspondants.  En  effet,  soient  N,  N'  deux  points  cor- 
respondants et  M  un  point  quelconque;  le  point  M'  est  sur  la  droite  DM. 
D'autre  part,  soit  R  le  point  de  rencontre  de  la  droite  MN  et  du  plan  d'ho- 
mologie  ;  à  une  droite  correspond  une  droite  ;  donc  à  NR  correspond  la  droite 
N'R  et,  par  suite.  M'  est  le  point  d'intersection  de  DM  et  de  N'R. 

On  voit  ainsi  que  les  rapports  anharmoniques  (DMM'Mo)  et  (DNN'No) 
sont  égaux,  Mo  et  No  étant  les  traces  de  DM  et  DN  sur  le  plan  d'homologie. 


ADDITIONS.  47& 

On  peut  donc  définir  une  transformation  homologique  en  donnant  le  centre, 
le  plan  d'homologie  et  le  rapport  anharmonique  (DM  M'Mo). 

On  peut  encore  définir  une  transformation  homologique  en  donnant  quatre 
couples  de  points  correspondants.  Soient,  en  effet,  (A,  A'),  (B,  B')  (G,  G'), 
(D,  D')  les  quatre  couples  donnés,  situés  sur  quatre  droites  issues  d'un 
point  O. 

Si  nous  prenons  le  point  O  pour  l'un  des  sommets  du  tétraèdre  de  réfé- 
rence, on  aura,  pour  déterminer  les  constantes  a,  b,  c,  d,  quatre  équations 
telles  que 

,  ,    X\ 

axi  -r-  oyi  -+-  czi  ■+-  dti  =  ^^  — ^  , 

ax-i  -f-  by<i  -H  czi  -f-  at<i  =  ^,  — p  ,      ...  ; 

X  ^ 

le  déterminant 

1  ^1   y\    ^1    i\  I 

est  différent  de  zéro,  si  l'on  suppose  que  les  quatre  points  A,  B,  G,  D 
forment  un  tétraèdre;  on  pourra  donc,  dans  cette  hypothèse,  déterminer 
a,  6,  c,  d. 

Application.  —  Si  les  droites  passant  par  les  sommets  convenablement 
associés  de  deux  tétraèdres  sont  concourantes,  les  intersections  des  faces 
opposées  aux  sommets  correspondants  sont  dans  un  même  plan. 

En  effet,  si  les  droites  A  A',  BB',  GG',  DD'  passent  par  un  même  point  0, 
les  quatre  couples  (A,  A'),  (B,  B'),  (G,  G'),  (D,  D')  définissent  une  homo- 
logie.  Au  plan  BGD  correspond  le  plan  B'G'D';  l'intersection  de  ces  deux 
plans  se  correspond  à  elle-même  et,  par  suite,  est  dans  le  plan  d'homologie. 
Il  en  est  de  même  des  intersections  des  plans  GOA,  G'O'A',  etc.  Les  deux 
tétraèdres  sont  homologiques. 


Une  application  de  la  théorie  des  génératrices  rectilignes. 

Nous  avons  vu  (363)  qu'en  appelant  X  et  fx  les  paramètres  qui  définissent 
les  génératrices  rectilignes  d'une  quadrique,  les  coordonnées  homogènes  d'un 
point  quelconque  de  cette  quadrique  s'expriment  au  moyen  de  ces  paramètres 
par  les  équations 

X  =  a\\L  ->r-  b\  -h  c \i.  -^  d  , 

y  =  a'  \]j.  -J^  b'  X  ^  c'  \i.  -i-  d' , 

z  =  a''lii-i-b''l-+-c"ii^d', 

t  =  a"lii-h  b'" X  -H  c'>  -f-  d'". 


(1) 


476  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE. 

Réciproquement,  ces  équations  définissent   une  quadrique,  pourvu  que  le 
déterminant 

a       h       c       d 
a'      h'      c'      d! 

a"     h"     c"     d!' 
a"     h'"    c"    d" 

soit  différent  de  zéro.  En  effet,  dans  cette  hypothèse,  le  système 


(2) 


i  a~-  b  {j-t-c  ^[  -^  d  ù  r=  X , 
:'  oc  -h  b'  p  -;-  c'  Y  -+-  (5?'  0  =^  y, 

a"  a  -t-  6"  p  -h  c"  Y  -+-  ^"  8  =  ^ , 
a"'a-i-b"'^-^c"'y-^d"'o  =  t 


admet  une  solution  unique 

a-P,         ii  =  S,         Y  =  R>         S  =  Q; 

P,  Q,  R,  S  étant  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  de^,jK)^,  t.  Mais 
le  système  (2)  n'ayant  qu'une  seule  solution,  on  a,  en  vertu  des  équa- 
tions (i), 

P  =  X;jL,         S  =  X,         R=fx,         Q  =  i\ 
donc 

PQ  =  RS. 

Ce  qui  démontre  la  proposition. 

On  voit,  de  plus,  que  X  et  [jl  sont  les  paramètres  des  génératrices  recti- 
lignes,  car  on  peut  écrire 

P  =  XR,         S  =  XQ 

et 

P  =  [jiS,         R={xQ. 

Ces  équations  définissent  précisément  les  génératrices  de  la  quadrique 
obtenue. 

On  reconnaît  aisément  que,  si  l'on  fait  subir  à  chacun  des  paramètres  X 
et  \j.  une  transformation  homographique,  on  fera  correspondre  à  un  point 
M(X,  fx)  de  la  quadrique  un  point  M'(X',  jjl')  de  la  même  surface,  ces  deux 
points  M  et  M'  se  correspondant  homographiquement;  ce  qui  revient  à  dire 
que  les  coordonnées  homogènes  de  l'un  quelconque  de  ces  points  sont  des 
fonctions  linéaires  et  homogènes  des  coordonnées  de  l'autre.  On  obtient 
ainsi  la  transformation  homographique  la  plus  générale,  qui  transforme  la 
quadrique  proposée  en  elle-même.  Deux,  génératrices  de  chaque  système 
se  conserveront.  Nous  laissons  au  lecteur  le  soin  de  développer  cette 
question. 

En  remplaçant  X  et  \x  par  —  et  —  >   on  peut,   au  lieu  des  équations  (i), 


ADDITIONS.  477 


(  X  =  a  X|ji  -4-  6  Xv  -f-  c  iv/  -{-  d  v2, 
\  y  =  a'  "k^i  -•-  b'  Xv  -t-  c'  [jlv  -4-  ti'  v^, 
^  '  xî  =  a"  Xfi  -H  6"  Xv  -^  c"  p  -H  </"v2, 


^  =  a"'X[jL  -f-  6"'Xv  -T-  c'"  (Jiv  -f-  d'\^. 
Si,  d'une  manière  plus  générale,  on  pose 

(4)       ^=/(>^,   [^,  V),  r  =/l(X,   |X,  V),  ^  =/2(X,   [a,v),  «=/3(X,  1^,  V), 

fjfijfzffs  étant  des  fonctions  homogènes  de  degré  /n  ;  ces  équations  défi- 
nissent une  surface  du  degré  m^  au  plus.  On  voit,  en  effet,  que  les  points 
communs  à  la  surface  et  à  une  droite  correspondent  aux  solutions  d'un 
système  de  deux  équations  homogènes  de  degré  m  en  X,  [i,  v.  Ces  équations 
définissent  deux  courbes  planes  de  degré  w,  si  l'on  regarde  X,  |jl,  v  comme 
des  coordonnées  trilinéaires  ;  il  en  résulte  que  si  les  courbes  définies  par  les 
équations  /  =  o,  /i  =  o,  /z  =  o,  fi  =  o  ont  p  points  communs,  ces  points 
appartiendront  à  toute  courbe  dont  l'équation  sera  de  la  forme 

A/-^-  Ai/i  -4-  A2/2  ■+■  A3/3  ^  o  ; 

mais  ces  points,  étant  fixes,  ne  peuvent  correspondre  à  des  points  d'inter- 
section de  la  surface  et  d'une  droite  arbitraire;  le  degré  de  la  surface  est 
donc  m^ — p.  Ainsi  les  équations  (3)  définissent  une  quadrique,  car  les  co- 
niques, définies  en  coordonnées  trilinéaires  par  les  équations 

aX|j.-i-6  Xv4-c  [i.v-i-f/v2  =  o, 

a'X[jt.  4- 6'Xv -t- c'fjiv -+- <^'v2  =  o,       etc., 

ont  en  commun  deux  points  définis  par  les  équations  X  =  o,  v  =  o  et  jjl  =  o, 
V  =  o;  la  surface  est  donc  de  degré  4  —  2  ou  2. 

Dans  le  cas  où  «1  =  2,  les  équations  (4)  définissent  une  surface  du  qua- 
trième degré,  qu'on  nomme  sur/ace  de  Steiner.  On  vérifie  aisément  que 
chacun  de  ses  plans  tangents  la  coupe  suivant  deux  coniques  ;  pour  démon- 
trer ce  théorème,  il  suffit  de  remarquer  que  si  l'on  pose  v  =  aX4-[i[JL,  ou 
aura 


X  = 

m 

X2 

-7-  2« 

Xf. 

-f-/> 

l^- 

y^ 

m' 

X« 

-t-  'in' 

X{X 

-hp' 

1^^ 

z  = 

m" 

X2 

-+-  T.n" 

Xh. 

-^P' 

K= 

t  = 

m" 

■X2 

-f-  2 n" 

'X.a 

-r-p" 

>' 

Ces  équations  représentent  une  conique,  car  en  éliminant  X^,  Xijt,  ^^,  on  a 
une  équation  linéaire  en  a:,  ^,  ^,  <;  ce  qui  prouve  que  le  lieu  est  plan,  et, 
en  outre,  un  plan  quelconque  coupe  ce  lieu  en  deux  points.  Or,  la  section 
de  la  surface  de  Steiner  par  un  plan  tangent  ayant  un  point  double,  qui  est 
le  point  de  contact,  la  courbe  correspondant  à  cette  section^  dans  le  système 


478  GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE. 

(X,  11,  v),  est  une  courbe  du  second  degré  qui  a  un  point  double,  c'est-à-dire 
un  système  de  deux  droites,  auxquelles  correspondent  deux  coniques,  en 
vertu  de  ce  qui  précède. 


Étude  de  la  cubique  lieu  des  foyers  des  coniques  inscrites  à  un 
quadrilatère.  —  Emploi  des  coordonnées  symétriques. 

Soient  x,  y  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point  M.  Les  coordonnées 
symétriques  de  ce  point  sont  u  =  x  -+- yi  et  v  ^=  x  —  yi.  Si  l'on  considère 
deux  points  A  et  B  définis  par  leurs  coordonnées  symétriques  «,  b  et  a',  b' , 
les  droites  isotropes  menées  par  A  et  B  ont  pour  équations  u  =  a,  v  =  b 
et  a  =  a',  v'  =  b'.  Ces  quatre  droites  forment  un  quadrilatère  complet,  dont 
deux  sommets  sont  les  points  A,  B  et  deux  autres,  deux  points  A',  B'  ayant 
pour  coordonnées  symétriques  (a,  b')  et  (a',  b).  On  dit  que  A  et  B  forment 
un  couple  de  points  associés  aux  points  A',  B'.  Quand  l'un  de  ces  deux  couples 
est  formé  de  deux  points  réels,  l'autre  est  formé  de  deux  points  imaginaires. 
Les  quatre  foyers  d'une  conique  forment  deux  couples  de  points  associés. 
M.  Darboux  a  tiré  un  très  grand  parti  de  la  considération  des  points  asso- 
ciés. Nous  renverrons  le  lecteur  au  livre  important  de  l'éminent  géomètre  : 
Sur  une  classe  remarquable  de  courbes  et  de  surfaces  algébriques,  etc., 
2*  tirage,  Paris,  Hermann. 

En  se  servant  des  coordonnées  symétriques,  M.  Darboux  a  fait  une  étude 
approfondie  de  la  cubique  lieu  des  foyers  des  coniques  inscrites  à  un  quadri- 
latère. Nous  allons  en  indiquer  rapidement  les  principaux  résultats;  leur  vé- 
rification sera  un  excellent  exercice  pour  les  élèves. 

Nous  avons  déjà  donné  l'équation  de  cette  cubique  (t.  II,  p.  219).  On 
reconnaît  immédiatement  que  le  lieu  passe  par  les  sommets  du  quadrilatère 
ABA'B'  donné,  et  que  les  tangentes  en  A  et  A',  par  exemple,  se  coupent  en 
un  point  F  appartenant  au  lieu,  et,  de  plus,  en  appliquant  le  théorème  de 
Poncelet,  on  voit  qu'il  existe  une  conique  inscrite  au  quadrilatère,  dont  un 
foyer  est  en  F  et  l'autre  sur  AA',  au  troisième  point  où  celte  droite  rencontre 
la  cubique. 

Voici  comment  M.  Darboux  trouve  l'équation  du  lieu  :  un  foyer  M  d'une 
conique  inscrite  au  quadrilatère  est  un  point  tel  que  les  angles  AM  A'  et  BMB' 
aient  les  mêmes  bissectrices,  A  et  A'  étant,  ainsi  que  B  et  B',  deux  sommets 
opposés  du  quadrilatère.  En  appliquant  les  formules  (38),  (89),  (4o)  de 
l'Ouvrage  cité  plus  haut,  on  obtient  immédiatement  l'équation  du  lieu  sous 
la  forme 

(u—  a)(u  —  a')  _  (v  —  aj)(v  —  a\) 
{u  — b){u—b')~  {v  —  bi){v  — b\y 

les  coordonnées  symétriques  des  points  A  et  A' étant  a,  «i  et  a',  a\,  et  celles 
de  B,  B'  :  b,  b^  et  b',  b\. 


ADDITIONS.  479 

Or,  si  h  et  k  désignent  deux  constantes  arbitraires,  l'équation  précédente 
peut  s'écrire 

(m  —  a){u  —  a')  —  h{u  —  b)(u  —  b')  _  (t^  —  ai)(v  —  a\)  —  /i(p  — 6,)(t> — b\) 
(u  —  a){u~a')  —  k{u  —  b){u  —  b')  ~  {v  —  at){v—a\)  —  k{v  —  bi)(v  —  b\)' 

Si  l'on  remarque  que  les  coefficients  de  u^  et  de  v^  sont  égaux  à  i  —  h  dans 
chacun  des  numérateurs,  et  à  i  —  k  dans  chacun  des  dénominateurs,  on  voit 
que  l'équation  a  conservé  la  même  forme;  seulement  elle  correspond  main- 
tenant à  une  infinité  de  quadrilatères.  On  a  obtenu  ce  résultat  remarquable: 
le  lieu  ne  change  pas  quand  on  substitue  au  quadrilatère  donné  un  quel- 
conque des  quadrilatères  dont  les  couples  de  sommets  opposés  sont  définis 
par  les  équations 

(u —  a  ){u —  a')  —  X(m —  b  )(u —  b' )  =  o, 

{v  —  ai)  (v  —  a\)  —  l{v  —  bi)  (v  —  b\)  =  o, 

où  X  désigne  un  paramètre  arbitraire.  La  cubique  passe  par  les  sommets  de 
tous  ces  quadrilatères  et  par  les  points  qui  sont  associés  aux  couples  de  som- 
mets opposés.  D'autre  part,  si  l'on  remarque  que  les  tangentes  menées  d'un 
point  cyclique  I,  par  exemple  aux  coniques  inscrites  au  quadrilatère  A  A'BB', 
forment  un  faisceau  involutif  défini  par  les  couples  (lA,  lA'),  (IB,  IB'),  de 
telle  sorte  que  ce  faisceau  est  défini  par  l'équation 

(m  —  a){u  —  a')  —  ^{u  —  b)  (u  —  6')  =  o, 

on  arrive  à  ce  résultat  :  il  y  a  sur  la  cubique  une  infinité  de  couples  de 
points  (11,  li.')  et  (v,v')  pouvant  remplacer  les  couples  (A,  A')  et  (B,B"),  et 
en  outre  [i,  [i',  par  exemple,  sont  deux  foyers  conjugués  d'une  certaine  co- 
nique inscrite  au  quadrilatère  AA'BB'.  De  là  une  première  définition  du  lieu  : 
Le  lieu  des  points  de  concours  des  tangentes  menées  de  B  et  B'  aux  coni- 
ques ayant  pour  foyers  A,  A'  coïncide  avec  le  lieu  des  foyers  des  coniques 
inscrites  au  quadrilatère  AA'BB'. 

Si  l'on  considère  l'un  des  quadrilatères  formé  par  les  tangentes  issues  de 
B  et  B',  soient  [i.,  \i  et  v,  v'  deux  couples  de  sommets  opposés  de  ce  qua- 
drilatère; si  la  conique  est  tangente  à  BB',  deux  côtés  Bv',  Bv'  se  confondent, 
le  point  de  rencontre  \i'  de  ces  côtés  devient  le  point  de  contact  de  BB'  avec 
la  conique,  et  Bv,  B'v'  deviennent  les  tangentes  en  B  et  B'  à  la  cubique;  on  u 
donc  ce  résultat  :  les  tangentes  en  deux  points  conjugués  de  la  cubique  se 
coupent  en  un  point  de  cette  cubique  auquel  correspond  le  troisième  point 
d'intersection  de  la  cubique  et  de  la  droite  passant  par  les  deux  premiers 
points.  Ce  résultat  se  déduirait  d'ailleurs  de  la  remarque,  faite  au  début,  sur 
la  construction  des  tangentes  en  B  et  B'. 

En  remarquant  que  la  droite  de  Newton  est  une  direction  asymptotique  de 
la  cubique,  on  construit  facilement  l'asymptote  correspondante. 

Pour  arriver  à  une  nouvelle  définition  de  la  cubique,  nous  allons  étudier 
un  autre  lieu.  On  démontre  bien  facilement  que  le  lieu  des  points  de  contact 


48o  GÉOMÉTRIE   ANALYTIQUE.  —    ADDITIONS. 

des  tangentes  menées  d'un  point  P  à  toutes  les  coniques  circonscrites  à  un 
quadrilatère  ABCD  est  une  cubique  passant  par  les  sommets  de  ce  quadrila- 
tère et  par  le  point  P,  et  tangente  en  P  à  la  conique  définie  par  ces  cinq 
points.  On  vérifie  ensuite  qu'une  cubique  donnée  peut  être  considérée  comme 
le  lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  menées  par  l'un  de  ses  points  P 
aux  coniques  passant  par  les  points  de  contact  des  quatre  tangentes  autres 
que  la  tangente  en  P,  qu'on  peut  lui  mener  par  ce  point.  Nous  remarquerons, 
en  passant,  que  ce  mode  de  définition  permet  de  démontrer  ce  théorème 
de  Mac-Laurin  :  Le  rapport  an  harmonique  des  quatre  tangentes  menéex 
d'un  point  dhme  cubique  à  cette  courbe  {autres  que  la  tangente  au  point 
considéré)  est  constant. 

Voici  la  démonstration  de  M.  Darboux  :  Si  l'on  passe  d'un  point  P  de  la 
cnbique  à  un  point  P'  infiniment  voisin,  la  distance  PP'  étant  du  premier 
ordre,  le  rapport  (P'.  ABCD)  diffère  de  (P'.  A'B'G'D')  d'un  infiniment  petit 
du  second  ordre,  et  si  P"  est  un  point  de  la  conique  passant  par  P  et  les 
points  de  contact  A,  B,  G,  D,  la  distance  PP"  étant  du  premier  ordre,  P'P" 
sera  du  second  ordre,  de  sorte  que  la  différence  (P'.ABGD)  —  (P".ABGD) 
sera  aussi  du  second  ordre;  mais  (P.  ABGD)  =  (P".  ABCD),  donc  enfin 
(P.ABGD)  —  (P'. A'B'G'D')  est  du  second  ordre,  ce  qui  démontre  que 
(P. ABGD)  demeure  invariable  quand  P  se  déplace  sur  la  cubique.  On  dé- 
montre encore  que  les  points  de  concours  des  diagonales  du  quadrilatère 
ABGD  sont  sur  la  cubique  et  que  les  tangentes  en  ces  points  et  la  tangente 
en  P  se  coupent  en  un  môme  point  situé  également  sur  cette  courbe.  Mais 
revenons  au  premier  lieu. 

Parmi  les  coniques  inscrites  au  quadrilatère  AA'BB',  il  y  en  a  une  dont  la 
droite  de  Newton  est  un  axe;  soient  F,  F' ses  foyers  conjugués  situés  sur  cet 
axe.  Les  tangentes  en  F  et  F'  à  la  cubique,  lieu  des  foyers,  se  coupent  au 
point  G;  le  troisième  point  de  rencontre  G'  de  la  cubique  avec  FF'  est  à 
l'infini;  donc  G  est  le  foyer  de  la  parabole  du  faisceau  de  coniques  considéré. 
Les  quatre  tangentes  menées  de  G  à  la  cubique  sont  GF,  GF'  et  les  droites 
isotropes  GI,  GJ.  Les  coniques  passant  par  F,  F',  I,  J  sont  des  cercles;  donc 
la  cubique  lieu  des  foyers  des  coniques  inscrites  au  quadrilatère  AA'BB' 
est  le  lieu  des  points  de  contact  des  tangentes  menées  par  G  aux  cercles 
passant  par  F  et  F'. 

Si  F  et  F'  sont  imaginaires,  les  deux  autres  foyers,  qui  sont  les  points 
associés  <p  et  cp',  sont  réels;  il  suffira  de  joindre  G  à  un  poi-nt  quelconque  Q 
de  la  droite  de  Newton  FF'  et  de  porter  sur  GQ,  à  partir  de  Q,  des  segments 
QM  et  QM'  égaux  à  Qç  (car  le  produit  QF.QF'=  Qç.Q?')  et  le  lieu  des 
points  M,  M'  sera  la  cubique  considérée. 


NOTE 


LES  TRANSFORMATIONS  EN  GÉOMÉTRIE, 

Par  M.  Emile  BOREL, 

Maître  de  Conférences  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Lille. 


SUR  LES  TRANSFORMATIONS  EN  GÉOMÉTRIE  (>). 

1.  Galois  (2),  en  montrant,  l'importance  qu'a  en  Algèbre  la  Théorie  des 
groupes  de  substitutions,  a  ouvert  une  voie  nouvelle  à  la  Science.  C'est  un 
géomètre  norvégien  déjà  illustre,  M.  Sophus  Lie,  qui,  en  créant  sa  théorie 
des  groupes  de  transformations,  a  introduit  dans  le  domaine  de  l'Analyse  et 
de  la  Géométrie  l'idée  de  groupe  convenablement  modifiée  et  étendue  {^). 

Le  but  de  cette  Note  n'est  pas  d'exposer  les  idées  de  M.  Lie;  l'importance 
et  l'étendue  du  mouvement  scientifique  auquel  elles  ont  donné  naissance 
rendraient  cette  tâche  trop  lourde,  si  d'ailleurs  c'en  était  ici  le  lieu.  Notre 
but,  bien  plus  modeste,  est  de  nous  en  inspirer  le  plus  possible  dans  une 
étude  élémentaire  des  transformations  les  plus  simples  de  la  Géométrie;  c'est 
pourquoi  nous  avons  tenu  à  rappeler  au  début  de  cette  Note  les  noms  des 
deux  géomètres  qui  ont  jusqu'ici  le  plus  contribué  à  mettre  en  évidence  l'u- 
tilité de  la  notion  de  groupe. 

(')  Cette  Note  est  à  peu  prés  la  reproduction  de  Conférences  faites  à  la  Faculté 
des  Sciences  de  Lille  pendant  l'hiver  1894-1895;  j'ai  simplement  introduit  les  modi- 
fications nécessaires  pour  ne  pas  quitter  le  domaine  des  Mathématiques  spéciales. 
J'avais  déjà  traité  en  partie  les  mômes  sujets  dans  un  Cours  libre  que  j'ai  eu  l'hon- 
neur de  professer  en  i8g3  à  la  Faculté  des  Sciences  de  Montpellier. 

(')  Évariste  Galois,  né  en  181 1,  mort  en  1882,  étant  élève  à  l'École  Normale,  a 
laissé  des  Notes  dont  la  publication,  faite  en  1846  par  les  soins  de  Liouvillc,  a  eu  la 
plus  grande  influence  sur  l'évolution  de  la  pensée  mathématique. 

(')  On  lira,  avec  le  plus  grand  intérêt,  dans  le  Livre  du  Centenaire  de  l'École 
Normale  (Hachette  et  C"),  quelques  pages  de  M.  Sophus  Lie  sur  V Influence  de  Galois 
sur  le  développement  des  Mathématiques. 

NiKWENQLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  3ï 


482  NOIK 

Le  nombre  et  l'importance  des  travaux  faits  dans  notre  siècle  sur  les 
transformations  en  Géométrie  ne  nous  permet  pas  en  effet  d'en  seulement 
esquisser  un  historique  un  peu  complet.  Contentons-nous  de  citer  les  noms, 
de  Poncelet,  Cliasles,  Laguerre,  Halphen,  Darboux  en  France;  de  PliJcker, 
Mobius  et  Klein  en  Allemagne,  de  Cayley  en  Angleterre,  de  Cremona  en 
Italie,  pour  nous  borner  à  ceux  dont  les  travaux  se  rattachent  le  plus  direc- 
tement aux  sujets  ici  traités. 

Nous  tenons  cependant  à  faire  une  remarque  importante;  nous  venons  de 
dire  que,  dans  l'exposition  qui  va  suivre,  nous  nous  inspirerions  le  plus  pos- 
sible des  idées  et  des  méthodes  de  M.  Lie;  il  serait  regrettable  que  ce  pro- 
cédé d'exposition  conduisît  le  lecteur  à  méconnaître  l'importance  des  travaux 
des  autres  illustres  géomètres  dont  nous  venons  de  citer  les  noms.  En  réalité, 
ce  sont  eux  qui  ont  trouvé  à  peu  près  tout  ce  qui  est  essentiel  dans  les  théories 
élémentaires  que  nous  exposons  ici;  ils  ont  le  plus  souvent  appliqué  aux  cas 
particuliers  les  plus  intéressants  les  méthodes  générales  de  la  théorie  des 
groupes  de  transformations  avant  que  ces  méthodes  aient  été  systématique- 
ment exposées  par  M.  Lie.  Parmi  les  exemples  les  plus  caractéristiques  de  ce 
fait,  des  plus  intéressants  au  point  de  vue  de  l'historique  du  développement 
de  la  pensée,  nous  signalerons  les  recherches  de  M.  Darboux  sur  l'inversion 
{voir  plus  loin,  notamment  n°  20)  et  celles  d'Halphen  sur  les  invariants  dif- 
férentiels qu'Ampère  avait  déjà  considérés  dans  des  cas  particuliers. 

Nous  n'insisterons  pas  davantage  sur  ces  considérations  historiques;  dans 
les  courts  renseignements  bibliographiques  que  nous  donnerons  parfois  en 
passant,  nous  aurons  uniquement  en  A'ue  de  signaler  à  nos  lecteurs  des 
Ouvrages  pouvant  leur  être  utiles,  et  nullement  la  prétention  d'être  complet. 
Enfin  nous  répétons  une  dernière  fois  que,  par  nos  lecteurs,  nous  entendons 
essentiellement  des  élèves  de  Mathématiques  spéciales;  la  modestie  de  notre 
but  est  seule  une  excuse  suffisante  aux  grandes  lacunes  de  cette  Note;  nous 
ne  prétendons  pas  apprendre  grand'chose  aux  jeunes  gens  qui  nous  liront, 
mais  seulement  leur  faire  connaître  l'existence  d'un  vaste  champ  de  belles 
connaissances  et  leur  donner  le  désir  de  l'explorer. 


I.  —  Généralités  sur  les  transformations. 

2.  Transformer  une  figure,  c'est  la  remplacer  par  une  autre  figure  qui  lui 
corresponde  suivant  une  loi  déterminée.  Si  cette  loi  est  convenablement  choi- 
sie, il  existe  entre  les  deux  figures  des  rapports  simples  qui  permettent  par- 
fois d'en  découvrir  des  propriétés  nouvelles.  Un  exemple  bien  connu  de 
transformations  nous  est  fourni  par  les  divers  systèmes  de  projections  grâce 
auxquels  les  géographes  représentent  sur  un  plan  la  surface  de  la  Terre.  Ces 
transformations  ont  ce  caractère  spécial  d'être  seulement  définies  pour  une 
figure  particulière  (la  Terre  supposée  sphérique)  qui  est  transformée  en  un 
plan  ou  en  une  portion  de  plan,  suivant  une  certaine  loi.  C'est  à  ce  point 
de  vue  qu'on  a  d'abord  considéré  une  de  ces  projections  les  plus  usitées  :  la 


Sl]R   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  483 

projection  stéréographique;  on  a  remarqué  ensuite  qu'on  pouvait  la  regarder 
comme  cas  particulier  d'une  transformation  plus  générale,  l'inversion,  la- 
quelle s'applique  à  tous  les  points  de  l'espace.  Cette  considération  permet 
de  démontrer  plus  simplement  bien  des  propriétés  de  la  projection  stéréo- 
graphique. 

Nous  sommes  ainsi  amené  à  distinguer  deux  grandes  classes  de  transfor- 
mations :  1°  celles  qui  sont  définies  seulement  pour  une  surface  ou  pour  une- 
courbe  :  telle  la  projection  de  Mercalor;  nous  les  laisserons  de  côté  (*); 
>°  les  transformations  définies  pour  tout  l'espace,  pour  tout  le  plan  ou  pour 
toute  la  droite  (suivant  que  l'on  fait  de  la  Géométrie  à  trois,  deux,  ou  une 
dimension)  et  que  nous  considérerons,  par  suite,  non  comme  des  transfor- 
mations d'une  figure  particulière,  mais  comme  des  transformations  de  l'es- 
pace {du  plan  ou  de  la  droite)  considéré  dans  son  ensemble.  Pour  arriver 
à  cette  conception  d'une  transformation  de  l'espace,  grâce  à  laquelle  sont 
transformées  les  diverses  figures  sises  dans  cet  espace,  il  est  nécessaire  de 
regarder  ces  figures  comme  formées  d'éléments  infiniment  petits  dont  l'en- 
semble constitue  l'espace  entier  et  sur  lesquels  porte  la  transformation.  Le 
point  de  vue  le  plus  habituel  et  celui  auquel  nous  nous  placerons  tout  d'a- 
bord consiste  à  regarder  l'espace  comme  formé  de  points  qui,  associés  suivant 
des  lois  déterminées,  engendrent  les  figures.  Dès  lors,  une  transformation  de 
l'espace  est  une  transformation  de  tous  les  points  de  cet  espace  et  la  trans- 
formée d'une  figure  F  est  la  figure  formée  des  points  transformés  des  points 
de  F.  Les  transformations  ainsi  définies  sont  dites  transformations  ponc- 
tuelles; nous  les  étudierons  d'abord  et  verrons  ensuite  comment  on  peut 
arriver  à  concevoir  des  transformations  plus  générales. 

3.  Avant  de  passer  à  l'étude  de  transformations  particulières,  il  est  indis- 
pensable de  présenter  quelques  remarques  générales. 

Pour  la  commodité  du  langage,  nous  désignerons  souvent  une  transforma- 
tion par  une  seule  lettre,  par  exemple  T;  si  une  figure  F'  est  obtenue  en  ap- 
pliquant à  une  figure  F  la  transformation  T,  nous  dirons  que  F'  est  la  trans- 
formée de  F  par  T  et  nous  écrirons 

F'=FT. 

Soient  S  une  autre  transformation,  et  F"  la  transformée  de  F'  par  S;  on  a 

F"  =  F'S  =(FT)S. 

La  figure  F"  est  déterminée  quand  on  donne  F;  elle  s'en  déduit  par  une 
certaine  transformation  que  nous  conviendrons  d'appeler  jororfaiV  rfe  T/jarS 


(')  Les  plus  intéressantes  parmi  ces  transformations  sont  les  transformations  bi- 
rationnelles  de  courbe  à  courbe  ou  de  surface  à  surface,  qui  jouent  le  plus  grand 
rôle  dans  la  théorie  des  fonctions  algébriques.  Le  problème  si  important  en  Analyse 
de  la  déformation  des  surfaces  se  rattache  aussi  à  ce  genre  de  transformations. 


484  NOTE 

et  de  désigner  par  TS.  Le  symbole  TS  est  ainsi  défini  par  l'égalité 

(i)  (FT)S  =  F(TS). 

Nous  vérifierons  plus  tard  sur  des  exemples  que  l'on  n'a  pas,  en  général, 
TS  =  ST,  c'est-à-dire  que  la  multiplication  des  transformations  n'est  pas 
comrnutatwe.  Il  est  facile  de  voir  qu'elle  est  associative,  c'est-à-dire  que 
l'on  a 

(TS)U  =  T(SU); 

on  peut  alors  désigner  chacun  de  ces  produits  par  TSU.  En  effet,  soit  F'"  la 
transformée  de  F"  par  U;  on  a,  en  appliquant  deux  fois  la  définition  (i), 

F'"  =  F"U  =  (F'  S)  U  =  F'(SU)  -  (FT)(  SU)  =  F[T(SU)]. 

D'autre  part,  d'après  la  même  définition, 

F'"  =  F"U  =  [F(TS)]  U  =  F[(TS)U]. 

Les  deux  transformations  T(SU)  et  (TS)U,  appliquées  à  une  même  figure 
quelconque  F  donnant  la  même  figure  F'",  sont  identiques.  c.  Q.  F.  d. 

4.  Si  F'  est  la  transformée  de  F  par  T,  nous  désignerons  par  T-*  la  trans- 
formation qui  remplace  F'  par  F;  par  définition,  les  égalités 

F'=FT,         F  =  F'T-i 

sont  équivalentes;  la  transformation  T~"i  est  dite  la  transformation  inverse 
de  T. 

Considérons,  dans  un  espace  E,  une  figure  F  et  sa  transformée  F'  par  une 
transformation  S.  Appliquons  à  l'espace  E  une  transformation  T  qui  rem- 
place F  et  F'  respectivement  par  cp  et  «p';  la  substitution  a  qui  remplace  o 
par  cp'est  dite  la  transformée  de  S  par  T.  Cherchons  son  expression  symbo- 
lique au  moyen  de  S  et  de  T.  Pour  passer  de  o  à  <p',  on  peut  passer  de  cp  à  F, 
ce  qui  exige  la  transformation  T-i,  puis  de  F  à  F'  à  l'aide  de  S,  puis  de  F' à 

9'  à  l'aide  de  T;  on  a  donc 

a  =  T-iST. 

On  peut  remarquer  qu'il  est  possible  démultiplier  les  deux  membres  d'une 
telle  égalité  symbolique  par  une  même  transformation  à  condition  de  faire 
les  deux  multiplications  à  droite,  ou  toutes  deux  à  gauche.  On  a  d'ailleurs 

TT-i  =  T-iT  =  i, 

en  désignant  par  i  la  transformation  identique,  c'est-à-dire  la  transforma- 
tion qui  remplace  chaque  figure  par  elle-même  (').  On  a  donc 

S  =  TaT-i, 


('  )  On  désigne  une  telle  transformation   par  i  parce  que   ce  symbole  peut  être 
supprimé  dans  un  produit. 


SUR   LES    TRANSFORMATIONS  EN   GÉOMÉTRIE.  485 

c'est-à-dire  que  S  est  la  transformée  de  a  par  la  transformation  T-*  inverse 
de  T.  Nous  aurions  pu  obtenir  ce  résultat  directement  en  observant  que  T-* 
remplace  ^  et  ç'  respectivement  par  F  et  F'. 

5,  On  dit  qu'un  ensemble  de  transformations  forme  un  groupe  lorsque 
le  produit  de  deux  transformations  quelconques  de  l'ensemble  appar- 
tient à  l'ensemble.  Nous  supposerons  toujours  de  plus,  quoique  cette  hypo- 
thèse ne  soit  pas  indispensable,  qu'un  groupe  renferme  les  transformations 
inverses  de  toutes  les  transformations  qui  y  figurent.  Il  en  résulte  qu'il 
existe  toujours  une  transformation  d'un  groupe  qui,  multipliée  par  une 
transformation  quelconque  S  du  groupe,  en  reproduit  une  transformation  éga- 
lement quelconque  T;  c'est  la  transformation  S-*  T  ou  la  transformation  TS~* 
qui  appartiennent  chacune  au  groupe,  puisque  T  et  S~*  lui  appartiennent. 

Il  est  clair  que  l'ensemble  des  transformations  qui  laissent  invariable  un 
élément  donné  forme  un  groupe;  car  le  produit  de  deux  de  ces  transforma- 
tions laisse  aussi  cet  élément  invariable  et  appartient  par  suite  à  l'ensemble. 
Il  en  est  de  même  pour  la  transformation  inverse  d'une  transformation  de  l'en- 
semble. L'élément  ainsi  invariable  est  dit  un  invariant  du  groupe;  nous  au- 
rons à  revenir  sur  cette  définition  pour  l'éclaircir  par  des  exemples. 

Nous  terminons  ici  ces  généralités,  peut-être  un  peu  abstraites;  on  pourra 
utilement  les  revoir  et  les  mieux  comprendre  après  avoir  achevé  la  lecture 
de  la  Note. 


II.  —  Transformations  homographiques. 

Avant  d'étudier,  en  général,  les  transformations  ponctuelles,  nous  allons  en 
approfondir  un  cas  particulier  des  plus  importants,  celui  des  transformations 
homographiques,  que  nous  considérerons  successivement  sur  la  droite,  dans 
le  plan  et  dans  l'espace. 

Transformations  de  la  droite. 

6.  Nous  fixerons  les  positions  d'un  point  M  sur  une  droite  par  deux  coor- 
données homogènes  Xi  et  x^,  proportionnelles  aux  distances  de  M  à  deux 
points  fixes  Ai  et  A2  de  la  droite,  appelés  points  fondamentaux.  Nous  po- 
serons 

pa7i=a|.MAi,         pj72  =  32.^1  A2; 

p  est  un  facteur  arbitraire,  a,  et  7.%  des  facteurs  déterminés  appelés  para- 
mètres de  référence  ;  les  coordonnées  sont  normales  si  ai  =  «j. 

X\ 

Au  lieu  de  donner  Xi  et  x^^  on  peut  donner  leur  rapport  —  =  x,  qui  ne  dé- 

x^ 

pend  pas  de  l'arbitraire  p. 


486  NOTE 

On  appelle  transformation  homo graphique  celle  qui  est  définie  par  une 
relation  de  la  forme 

,       ax-\-h  j      7      X 

X  = >  j  ad  —  oc  ^  o, 

ex  -\-  d 

ou,  ce  qui  revient  au  même,  par  les  deux  relations 

x\  =  axi  ■+■  bxi, 
x'^  =  cxi  -H  dxi. 

L'ensemble  des  transformations  homographiques  forme  un  groupe,  car  il 
est  clair  qu'en  effectuant  successivement  deux  transformations  homogra- 
phiques on  obtient  une  transformation  homographique.  Ce  groupe  est  dit  à 
trois  paramètres,  car  l'ensemble  des  transformations  qui  le  composent  dépend 
de  trois  paramètres  arbitraires,  à  savoir  les  rapports  a'.b'.c'.d.  Nous  l'appel- 
lerons souvent,  pour  abréger,  groupe  projectif. 

On  voit  aisément  que  de  l'équation 

/c\  '       ax-k-h 


on  déduit,  a,  [3,  y»  "^  étant  des  nombres  quelconques, 

a  .r '  -f-  8        /??.  x  -\-  n 
(l)  ; ^  =  5 

Y  37-1-0  pX  -\-  CJ 

et  que,  si  ao  —  ^y  n'est  pas  nul,  il  en  est  de  même  de  mq  —  np.  Il  en  résulte 
immédiatement  qu  au  point  y  =  correspond  Je  point  y  —  — -  et  au 

point -S  = le  point  s'=  ;    d'ailleurs,  j^  et  z  sont  différents  %\  y' tl  z' 

le  sont,  et  réciproquement. 

L'équation  (i)  peut  dés  lors  s'écrire,  en  posant  A- =  — ij 

X  —  Z  X  —  z 

Nous  avons  supposé  a,  p,  y»  S  assujettis  à  la  seule  condition  que  ao  —  Py 
ne  soit  pas  nul  ;  donc  /'  et  z'  sont  les  coordonnées  de  deux  points  quelconques 
distincts,  et,  par  suite,  y,  y'  et  z,  z'  sont  les  coordonnées  de  deux  couples 
quelconques  de  points  correspondants.  Donc,  l'équation  (2)  a  lieu  sous 
cette  seule  condition;  la  constante  k  dépend  du  choix  des  deux  couples. 

Il  est  aisé  de  la  déterminer,  si  l'on  connaît  un  troisième  couple  t,  t'  de  points 
correspondants;  on  doit  avoir 

t' —  z'  t  —  3' 

on  en  déduit  la  valeur  de  k\  l'équation  de  la  transformation  homographique 


SUR   LES    TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  ^87 

peut  alors  être  mise  sous  la  forme 

X  —  y    t  — y       x'  — y'  ^  t'  — y' 
X  —  z'  t  —  z  ~  x'  —  z'  '  t'  —  z' 

Sous  cette  forme,  elle  est  susceptible  d'une  interprétation  géométrique  très 
simple  :  elle  exprime  que  le  rapport  anharmonique  de  quatre  points  quel- 
conques est  égal  au  rapport  anharmonique  des  quatre  points  transformés. 

Nous  voyons  ainsi  que,  pour  déterminer  une  transformation  homogra- 
phique,  il  est  nécessaire  et  suffisant  de  donner  trois  couples  de  points 
correspondants;  il  existe  toujours  une  transformation  ho mo graphique 
transformant  trois  points,  distincts,  donnés,  en  trois  autres  points,  égale- 
ment distincts,  choisis  arbitrairement. 

7.  Nous  appellerons  invariants  d'une  figure  F  par  rapport  à  un  groupe 
de  transformations  ponctuelles  une  fonction  des  coordonnées  des  points 
de  F  qui  a  la  même  valeur  pour  la  figure  F  et  pour  les  diverses  figures 
qui  s'en  déduisent  par  les  transformations  du  groupe.  Il  est  clair 
que  si  I,  I',  ...  sont  des  invariants,  toute  fonction  de  I,  I',  ...  sera  aussi  un 
invariant.  Nous  appellerons  système  d'invariants  fondamentaux  de  F  un 
ensemble  d'invariants  distincts  tels  que  tous  les  invariants  s'expriment  au 
moyen  de  ceux-là. 

Nous  allons  rechercher  un  système  d'invariants  fondamentaux,  par  rapport 
au  groupe  projectif,  de  la  figure  F  formée  de  n  points  en  ligne  droite.  Je  dis 
qu'un  tel  système  est  donné  par  les  n  —  3  rapports  anharmoniques  de  «  —  3 
de  ces  points  x,,,  x^,  . . ,,  x,i  avec  les  trois  autres  Xx,  arj,  x^.  Il  est  bien  clair 
d'abord  que  ces  rapports  anharmoniques  sont  des  invariants;  car  si  x\, 
x'^,  . . . ,  x'„  sont  les  points  transformés  de  a?i,  x^,  ...,x,i  par  une  transfor- 
mation homographique  quelconque,  on  a,  par  exemple. 


**•  i.  «27  4j        "^  'A  ~~*  '■^  9  Oui^ *^2       ^3 ^2 

Je  dis  maintenant  que  tout  invariant  s'exprime  au  moyen  de  ceux-là;  soit 

f{OCi,  Xi,  . . .,  x,i) 

un  invariant;  on  a,  par  hypothèse, 

(1)  f{0Ci,  Xi,  ...,  a?„)—f{x\,  x'j,  .  ..,Xn). 

Posons 

{Xi,Xi,X3,.T!,)  =  p^,  (Xi,Xi,X3,Xi)  =  p5,  ...,         {cCx,Xi,X3,Xn)  =  p„; 

on  aura  aussi 

(x\,  x'i,  x\,  a?;)  =  p4,         . . .,        {x\,  x\,  rr'3,  x'n)  —  p„. 

Si  nous  tirons  de  ces  relations  x^,  x-^.  .  . . ,  x  n',  sc\,  . . . ,  x'^  et  si  nous  por- 


488  NOTE 

tons  ces  valeurs  dans  l'expression  de  l'invariant 

y  (  Xi,  x^,  . .  . ,  Xn); 
nous  obtenons 

f(xu  Xi,  .  .  .,x,i)==  F(a7i,a72,  X3,  p^,  ...,  p„), 
J  {x  i  ,  X  2 ,  ••.,  x^)  =  r  {x^,  X^,  X^,  P'^,  ...,  pnj- 

Je  dis  que  F  ne  dépend  pas  de  xi,  x^,  x^;  en  effet,  on  peut  trouver  une 
transformation  homographique  qui  donne  à  Xi,  X2,  x^  des  valeurs  constantes 
quelconques  a,  b,  c;  et  l'on  a,  par  hypothèse, 

f(xi,X2,  ...,Xn)  =  F(XiXi,  X3,  p4,  ...,  p„)  =  F(a,  b,c,  pi,  ...,  p„); 

mais  F  (a,  6,  c,  p4,  . . .,  p,i)  est  une  fonction  o(p4,  . . .,  p„),  puisque  a,  6,  c 
sont  des  constantes;  on  a  donc 

f{Xi,Xi,  ...,X„)  =  o(p!„    ...,   pn),  C.Q.F.D. 

En  particulier,  un  système  de  trois  points  n'a  pas  d'invariant;  un  système 
de  quatre  points  a  un  seul  invariant  fondamental  :  le  rapport  anharmonique 
des  quatre  points. 

8.  Nous  avons  ainsi  complètement  défini  les  invariants  d'un  système  fini 
quelconque  de  points;  mais  on  peut  considérer  aussi  un  système  continu  de 
points  :  par  exemple,  les  positions  successives  d'un  mobile  qui  parcourt  la 
droite  suivant  une  loi  donnée;  x  est  alors  une  fonction  d'une  variable  indé- 
pendante t  (qu'on  peut  supposer  représenter  le  temps).  Si  l'on  fait  la  trans- 
formation 

,  .  ax-^b 

y  sera  aussi  une  fonction  de  t,  et  il  est  aisé  de  constater  qu'il  y  a  des  fonc- 
tions de  j'  et  de  ses  dérivées  qui  sont  égales  aux  fonctions  correspondantes 
de  X  et  de  ses  dérivées.  De  telles  fonctions  sont  dites  invariants  différen- 
tiels du  gronpe  projectif.  En  désignant  les  dérivées  par  des  accents,  la  rela- 
tion (i)  donne 

,       (arf — bc)x' 
^  ~     (cx^dy    ' 
d'où 

'x' 


^  ad  —  bc       \y 


(7)" 


y  —y 

\/ad  —  bc      \y'J  y'^ 


SUE    LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  ^Si) 

Knfin,  prenant  la  dérivée  logarithmique  des  deux  membres, 


a: 

I 

\y       x' ) 

_  2J 

y 

-   -4 

X  y  — 

y 

X 

x' 

x"y — 

y 

x' 

■î\x         y 

)= 

x'" 
x' 

X 

_  y\ 

y 
y 

x'" 
x' 

1\X/ 

7' 

— 

m- 

et  enfin 


Chacun  des  deux,  membres  de  cette  égalité  est  V invariant  différentiel  le  plus 
simple  du  groupe  projectif  ;  il  joue  un  grand  rôle  dans  d'importantes  ques- 
tions d'Analyse. 

Il  était  bien  clair  qu'en  différentiant  plusieurs  fois  l'équation  (i)  on  devait 
finir  par  avoir  assez  d'équations  pour  éliminer  les  constantes  a  :  6  :  c  :  c?  et, 
par  suite,  obtenir  une  relation  où  ne  figurent  que  x^  y  et  leurs  dérivées.  Mais 
ce  qui  est  remarquable,  c'est  que,  grâce  au  fait  que  l'ensemble  des  trans- 
formations (i)  forme  un  groupe,  cette  relation  entre  x,  y  et  leurs 
dérivées  peut  être  écrite  sous  une  forme  telle  que,  dans  le  premier 
membre,  ne  figurent  que  x  et  ses  dérivées  et,  dans  le  second  membre, 
que  y  et  ses  dérivées. 

Nous  devons  nous  contenter  de  signaler  sans  démonstration  ce  fait  impor- 
tant, ainsi  que  le  suivant  : 

Tous  les  invariants  différentiels  du  groupe  projectif  s'obtiennent  en 
dérivant  indéfiniment,  par  rapport  à  t,  l'invariant  précédent,  ou  en 
combinant  entre  eux  les  divers  résultats  ainsi  obtenus. 

Transformations  du  plan. 

9.  Dans  le  plan,  en  désignant  par  Xi,  x^,  X3  les  coordonnées  trilinéaires 
(t.  I,  n°  171),  les  formules  de  la  transformation  homographique  sont 


I  x\  =  axi  -+-  bx-i  -4-  cx^, 
(i)  '   rr'j  =  a' Xx  -4-  b' x-i  -4-  c'a^n,  A  — 

(  x'^  =  a" Xi  -T-  b"xi  -4-  c"  j-3, 


a 

b 

c 

a' 

b' 

c 

a" 

b" 

c" 

^o. 


Ces  transformations  dépendent  de  huit  constantes,  les  rapports  des  neuf 
quantités  a,  b,  ...,  c".  Elles  engendrent  un  groupe  à  huit  paramètres,  le 
groupe  projectif.  En  posant  Xi'.Xi'.x^—  x'.y'.  i ,  les  équations  de  la  transfor- 
mation peuvent  s'écrire 

,         ax  -¥-  by  -4-  c 

^  ^  a'x-^-Oy-hc"' 

,       a'  X  -h  b' y  -t-  c' 
'    ""  a'x  -¥-  b"y  -¥■  c"  ' 


490  NOTE 

nous   emploierons  indifféremment,  suivant  les   cas,  l'une   ou   l'autre  de  ces 
notations. 

La  transformation  homographique  remplace  des  points  en  ligne  droite  par 
des  points  en  ligne  droile  ;  on  peut  donc  dire  qu'elle  remplace  des  droites 
par  des  droites;  soient 

UiX^  -+-  u^x^^  u^x^—  o 

l'équation  d'une  droite  et 


l'équation  de  la  droite  transformée.  En  supposant  les  u  multipliés  par  un  fac- 
teur convenable,  on  doit  avoir  identiquement 

Ui  Xi  -h  U<iX-i  -+-  llzX-i  =  u\  x\  -+-  u\  x\  +  Jt'j  x'.^ . 

Remplaçant  les  x'  par  leurs  valeurs  tirées  des  formules  de  transformations 
et  égalant  les  coefficients  de  Xi,  x^,  x^  dans  les  deux  membres,  on  obtient  les 
formules 

(   i<i  —  a  u\  -H  a'  «2  -h  a"  ii\ , 

(  2  )  l  U2=:  bu\  -h  b'  «2  -+-  b"  u'^ , 

[    Us—  C  u\  H-  C'  «2  +  C"  «3  , 

qui  font  connaître  comment  se  transforment  les  coordonnées  des  droites.  On 
peut  les  résoudre  par  rapport  à  u\,u'^,u'^',  en  supprimant  le  facteur  A, 
puisque  les  rapports  seuls  des  u'  importent,  on  obtient 

u\  =  Amj  -!-  Bu2  -+-  Gui, 
«2  =  A'  ui  -h  B'  Ui  -T-  C  Us, 

Mj  =  A."Ui-+-  B"  U2  -+-  C"  «3 . 

On  aurait  de  même 

Xi  =  A  x'i  -+-  A'x'^  ■+■  A"x'.^ , 

X2  =  B  x\ -h  B' x'^ -h  B" x'^ , 

Xs=  Cx\-i- Cx'^-h  G"x'.^, 

en  désignant  les  mineurs  de  A  relatifs  à  ses  divers  éléments  par  les  grandes 
lettres  correspondantes. 

La  composition  de  ces  divers  systèmes  de  formules  est  remarquable  et  inté- 
ressante. Ajoutons-y  les  remarques  suivantes.  Soit,  identiquement,  en  vertu 
de  (i), 

f{Xi,X2,X3)=F(x\,X:^,x'^), 

on  a 

df   _  dF    dx\         dF   dx\         dF    dx'-^ 
dxi        ôx\   dxi         dx'2  dxi         dx\  dxi 

àF  ,  dF  „  dF 

=  a  -— T-  -f-  a   -— r  -t-  «  t-t' 
ox^  ox^  ox.^ 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  49' 

.     r  àf       df       df  ,,,    .  ,      c)F       d¥       dV  ,        . 

cest-a-diic  que  -i—t  -7=—»  -r-  se  déduisent  de  -7—7»  -r—n  t—f  P»''  <^'es  for- 
oxx     0x2     0x3  OXi     dx^     ox'^  '^ 

mules  semblables   aux  formules  (2)  donnant    «f,    Ui,  «3  en   fonction  de  u\, 

«j,  «3  (').  Si,  empruntant  une  locution  à  la  théorie  des  formes  algébriques, 

nous  dénommons  les  x  variables  covariantes  et  les  u  variables  contrava- 

riantes,  nous   pourrons  dire  que   les  dérivées  partielles  d'une  fonction,  par 

rapport  aux   variables  covariantes,   sont  transformées  comme   les  variables 

conlravariantes.  La  réciproque  est  également  vraie. 

10.  On  appelle  sous-groupe  d'un  f:^roupe  donné  un  groupe  comprenant  une 
partie  des  transformations  du  groupe  donné.  Il  est  clair,  par  exemple,  que 
celles  des  transformations  du  groupe  projectif  dans  lesquelles  les  paramètres 
ont  des  valeurs  rationnelles  en  forment  un  sous-groupe.  Mais  un  tel  sous-groupe 
ne  peut  être  représenté  explicitement  par  des  équations  renfermant  des  para- 
mètres arbitraires;  nous  exclurons  complètement  de  nos  considérations  les 
groupes  de  ce  genre,  quelle  que  puisse  être  leur  importance  dans  les  recher- 
ches algébriques  et  arithmétiques.  Mais  il  est  facile  d'indiquer  d'autres  sous- 
groupes  du  groupe  projectif.  Par  exemple,  il  est  manifeste  que  les  transfor- 
mations qui  laissent  invariante  une  droite  donnée  forment  un  groupe; 
supposons  les  coordonnées  choisies  de  telle  sorte  que  cette  droite  soit  373  =  0; 
les  équations  de  ce  groupe  seront 

x\  =  axi  -r-  bx-i  -f-  CX3, 
x\  =  a! Xi-\-  b' x-i-^  c'xs, 
x'-i  =  c"x^. 

Puisque  c"^o,  on  peut  supposer  0"=!  et  écrire,  en  changeant  les  nota- 
tions, 

x'  =  ax  -f-  by  -+-  e, 

y'  =  a' X  -f-  b' y  -+-  c'. 

Ce  sous-groupe,  que  nous  appellerons  groupe  linéaire  général,  est  à  six 
paramètres. 

Désignons  par  la  lettre  L,  avec  un  indice  quelconque,  une  transformation 
de  ce  groupe,  et  par  P  une  transformation  déterminée  du  groupe  projectif. 

Je  dis  que  les  transformations  de  la  forme  P-^LP  forment  un  groupe,  qui 
est  précisément  le  groupe  laissant  invariante  la  droite  D  transformée  de 
a?3=o  par  la  transformation  P.  Il  est  clair  en  effet  que  la  transformation 
P-'LP  laisse  invariante  la  droite  D,  car  la  transformation  P-'  remplace  D 


(')  Ce  fait  analytique  correspond  à  celle  propriété  géométrique  :  la  transforma- 
tion homographique  remplace  la  tangente  à  une  courbe  par  la  tangente  à  la 
courbe  transformée.  Par  suite,  elle  remplace  deux  courbes  tangentes  par  deux 
courbes  tangentes;  nous  verrons  que  cette  propriété  appartient  à  toutes  les  trans- 
formations ponctuelles. 


492  NOTE 

par>3=  o,  L  laisse  invariante  373  =  o  et  enfin  P  la  remplace  par  D.  Inverse- 
ment si  S  laisse  invariante  D,  par  le  même  raisonnement  on  voit  que  PSP~* 
laisse  invariante  373=  o;  on  a  donc 

PSP-i  =  L, 

et  par  suite 

S  =  P-iL,P. 

Donc  l'ensemble  des  transformations  P-^LP  est  identique  avec  l'ensemble 
des  transformations  laissant  invariante  D,  ensemble  qui  forme  manifestement 
un  groupe. 

On  peut  voir  autrement  que  les  transformations  P-'LP  forment  un  groupe 
en  même  temps  que  les  transformations  L;  on  a  en  effet 

(P->L,P)(P-iL/,P)  =  P-iL,(P-*P)LaP  =  P-'(L.La)P  =  P-»LyP, 

si  LjL/^=  Ly.  Cette  démonstration  montre  en  outre  qu'on  peut  faire  corres- 
pondre deux  à  deux  les  transformations  de  ces  deux  groupes,  de  manière  que 
les  produits  de  transformations  correspondantes  soient  deux  transformations 
correspondantes.  Deux  tels  groupes  sont  dits  isomorphes.  De  plus  le  groupe 
P-iLP  est  dit  transformé  du  groupe  L  par  la  transformation  P,  et  dans 
le  cas  oîi  le  groupe  L  est  un  sous-groupe  d'un  groupe  G  auquel  appartient 
P,  les  sous-groupes  L  et  P-"  LP  sont  dits  homologues  dans  G.  Lorsque  tous 
les  sous-groupes  homologues  dans  G  à  un  sous-groupe  L  de  G  sont  iden- 
tiques à  L,  L  est  dit  sous-groupe  invariant  de  G.  Le  groupe  projectif  n'a  pas 
de  sous-groupe  invariant;  le  groupe  linéaire  L,  par  contre,  en  possède  un. 
Pour  nous  en  rendre  compte  remarquons  que  les  deux  transformations 

(S)  ■ 

>  y' =  a'x -\- b' y -\- c' , 

et 

x"  =  aix'  -+■  biy'  4-  Cy, 

y"  =  a\x'-^b\y'^c\, 
effectuées  successivement,  donnent  une  transformation  de  la  forme 


et  que  l'on  a 


X   =  nx  -+■  [j/  -4-  Y, 
t^' —  pa'  =  {ab' —  ba)  («1  b\  —  by  a\  ). 


D'après  cela,  appelant  ab' — 6a' déterminant  de  la  transformation  (S), 
considérons  celles  des  transformations  du  groupe  L  dont  le  déterminant  est 
égal  à  4-1;  elles  forment  visiblement  un  sous-groupe  2  (à  cinq  paramètres)  du 
groupe  L;  car  le  produit  de  deux  d'entre  elles  a  encore  un  déterminant  égal 
à  -hi;  de  plus,  si  S  est  l'une  d'elles,  et  L  une  transformation  quelconque  du 
groupe  L,  la  transformation  L-' SL  a  un  déterminant   égal  à  H-i,  car  le  dé- 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  493 

terminant  de  L-i  est  l'inverse  du  déterminant  de  L  puisque  leur  produit 
L-*Lest  la  transformation  identique 

a?'  =  ar,        y'  =  y 
de  déterminant  -h  i. 

Le  sous-groupe  i,  formé  des  substitutions  de  L  de  déterminant  -+-1,  est 
<lonc  invariant  dans  L;  c'est  aussi  un  sous-groupe  de  G,  mais  il  n'est  pas  in- 
variant dans  G.  En  considérant  les  transformations  de  déterminant -i- i  et — i, 
on  obtiendrait  un  sous-groupe  invariant  de  L  d'une  nature  particulière, 
analogue  au  groupe  Y  dont  il  sera  question  tout  à  l'heure. 

On  peut  expliquer  par  la  Géométrie  les  résultats  précédents;  l'effet  d'une 
transformation  de  L  est,  comme  on  le  voit  par  la  formule  donnant  l'aire  d'un 
triangle,  de  multiplier  les  aires  par  ab' —  ba'. 

Si  ab' —  ba'  =:  i,  les  aires  restent  invariables;  les  transformations  satisfai- 
sant à  cette  condition  forment  donc  un  groupe. 

M.  Un  sous-groupe  des  plus  intéressants  de  L  et  par  suite  de  G  est  le 
f^roupe  des  mouvements  que  nous  désignerons  par  F.  Supposons  les  axes  rec- 
tangulaires; chacune  des  deux  transformations 

(  a7'  =  arcoso  —  ysino-f-a, 

(0  '  .       ^         .  ' 

^  y'  —  X  sincp  -hy  cos©  -i-  b, 

(  ar' =  37  coscp -f- y  sino  H- a, 
(^  y  =  X  sinç  — y  coscp  -t-  b 

remplace  manifestement  une  figure  par  une  figure  égale,  avec  cette  diffé- 
rence que  la  transformation  (i)  donne  une  figure  qui  peut  s'obtenir  en  faisant 
simplement  glisser  la  première  sur  son  plan,  tandis  que  la  transformation  (2) 
exige  un  retournement.  L'enseAble  Fi  des  transformations  (i)  forme  un 
groupe  (à  trois  paramètres)  comme  la  Géométrie  et  le  calcul  le  montrent  ai- 
sément. L'ensemble  Fj  des  transformations  (2)  ne  forme  pas  un  groupe;  il 
est,  en  effet,  aisé  de  voir  que  le  produit  de  deux  transformations  F2  est  une 
transformation  Fj.  Mais  l'ensemble  Fj  -h  r2  où  F  forme  un  groupe,  dit  groupe 
complexe,  parce  qu'il  offre  cette  curieuse  particularité  de  ne  pouvoir  être 
représenté  par  un  seul  système  d'équations,  mais  seulement  par  l'ensemble 
des  systèmes  (i)  et  (2).  C'est  le  groupe  des  mouvements;  nous  allons  dire 
un  mot  de  ses  invariants,  ne  pouvant,  sans  excéder  les  limites  que  nous  nous 
sommes  tracées,  parler  des  invariants  du  groupe  projectif  général. 

Les  transformations  de  F  remplacent  toute  figure  par  une  figure  égale, 
mais  située  différemment;  ses  invariants  sont  donc  évidemment  les  fonctions 
des  coordonnées  dont  la  valeur  ne  dépend  que  de  Xa  Jigure  elle-même  et  non 
de  sa  situation  dans  le  plan  ou,  ce  qui  revient  au  même,  du  choix  des  axes 
rectangulaires.  La  plus  simple  et  en  même  temps  la  plus  importante  de  ces 
fonctions  est  le  carré  de  la  distance  de  deux  points 

{Xi-XiY  +  iyi  —  yiY. 


494  NOTE 

Il  est  évident  géométriquement  que  cette  expression  est  invariante  lorsqu'on 
transforme  respectivement  xi,  yi  ;  x.2,  y<^.  par  une  même  transformation  de  F. 
La  Géométrie  nous  montre  de  plus  que  l'invariance  de  cette  expression  ca- 
ractérise ce  groupe  F,  car  deux  figures,  dans  lesquelles  toutes  les  distances 
sont  égales,  sont  évidemment  égales,  comme  pouvant  être  décomposées  en 
triangles  égaux.  Il  en  résulte  qu'on  pourrait  de  la  connaissance  de  cet  invariant 
déduire  par  le  calcul  tous  les  autres  invariants  de  F;  nous  nous  contenterons 
de  cette  indication,  qu'il  serait  trop  long  de  développer  et  rechercherons  di- 
rectement les  invariants  différentiels  de  F.  Nous  pouvons,  soit  supposer  x 
Ql y  fonctions  d'une  même  variable  /,  soit  regarder^  comme  fonction  de  x] 
nous  nous  en  tiendrons  à  ce  dernier  point  de  vue,  laissant  le  premier  à  dé- 
velopper à  nos  lecteurs;  de  plus,  pour  plus  de  netteté,  nous  nous  borne- 
rons à  la  considération  des  transformations  de  Fj,  que  nous  écrirons 

X  =  X.  cos  <y  —  Y  sin  cp  -1-  a, 

y  =  X  sincp  -I-  Y  coscp  -\-  b, 

réservant  les  accents  pour  indiquer  les  dérivées  respectives  de  _^  et  Y  par 
rapport  à  x  et  X.  On  a  les  relations,  évidentes  par  la  Géométrie  et  aisément 
vérifiables  par  le  calcul, 

dx^-hdy^  =  {i-hy^)dx^  =  dX^+dY^  =  (i-hY'^)dX\ 
arc  tang^y'  =  arc  tangY'-h  o  ; 

la  seconde  relation  donne,  en  tenant  compte  de  la  première, 

d  ,       I  d  ,„\  dX 

ine  V  =     - 


^^arctangy=^^arctangY'j^, 

y"  Y-      /TTy^ 

i-+-y2      n-Y'^v  i  +  Y'2' 

y»  Y" 

(,_(_y2)l  (i_J_Y'2)2 

Nous  obtenons  ainsi  l'invariant  différentiel  le   plus  simple  du  groupe  Fi  ;   il 

est  du  second  ordre;  sa  propriété  d'invariance  est  d'ailleurs  évidente,  si  l'on 

se  reporte  à  sa  signification  géométrique;  on  sait,  en  effet  (t.   II,  §  23)  qu'il 

n'est  autre  chose  que  la  courbure  de  la  courbe  donnée.  On  obtiendra  d'autres 

invariants  en  dérivant  de  nouveau  par  rapport  à  iP  et  X  les  deux  membres  de 

.     ,       .,       ,         •  I  .  1-  dX  ,     . 

la  dernière  équation  et  en  multipliant  par  -y—;  on  peut  écrire 


I       d_  r    y    1  ^      I      _d_  r     y-    i 

/,  +y2  dx  [^^  _^^,^^|J       /i  +  Y'2  ^^  L(i  +  Y'2)tJ  * 


En  posant 


ds  =  \/i-^y^dx,        ^S  =  y/i -H  Y'2(/X, 


SUR    LES    TRANSFORMATIONS   BN    GÉOMÉTRIE. 

on  peut  dire  que  le  nouvel  invariant 


495 


/i 


y 


~i  dx 


„J  ds\\\) 


s'obtient  en  dérivant  le  préeédent  par  rapport  à  s.  On  démontrerait  aisément 
([ue  tous  les  invariants  difl'érentiels  de  Fj  s'expriment  au  moyen  du  rayon  de 
courbure  R  et  de  ses  dérivées  par  rapport  à  l'arc  s\  il  est  d'ailleurs  évident 
^géométriquement  que  ces  diverses  expressions  sont  des  invariants  de  Fj  puis- 
qu'elles ne  dépendent  que  de  la  courbe  donnée  et  non  de  sa  situation  dans  le 
plan. 

Pour  une  conique,  il  est  clair  que  l'on  peut  prendre  comme  invariants  fon- 
damentaux les  carrés  des  longueurs  des  demi-axes  ou  de  leurs  inverses,  ou 
mieux  leur  somme  et  leur  produit,  qui  sont  des  fonctions  rationnelles  des 
coefficients.  En  adoptant  les  notations  habituelles,  les  invariants  d'une  co- 
nique par  rapport  au  groupe  Fi  sont,  en  axes  rectangulaires. 


(A— G)S 


A2 


La  considération  des  invariants  du  groupe  Fi  est  le  fondement  des  im- 
portantes recherches  de  M.  Lie  sur  les  hypothèses  fondamentales  de  la  Géo- 
inotrie. 

Transformations  de  l'espace. 


12.  Nous  bornerons  là  pour  le  moment  nos  remarques  sur  le  groupe  pro- 
jectif  dans  le  plan;  nous  y  reviendrons  et  en  signalerons  de  nouveaux  sous- 
Liroupes  en  le  considérant  à  un  autre  point  de  vue;  mais,  auparavant,  nous 
allons  dire  quelques  mots  du  groupe  projectif  dans  l'espace;  c'est  un  groupe 
à  quinze  paramètres,  formé  des  transformations  (homographiques)  représen- 
tées par  les  formules  générales 


x\  =  aXi  -t-  bXi  -+-  cx-i  -r-  dxi, 
x'^  —  a' Xi  -\-  b'xi  -+-  c'Xi  -t-  d'xif, 
.-r,  =  a'xi-i-  b"Xi  -f-  c"x3  -h  d"xi,, 
x\  =  a" Xi  -+-  b'" Xi  H- c"'xz  -i-  d"'xi„ 


A  = 


b 
b' 

b" 


c      d 

c'      d' 
c"     d" 


7^0. 


En  posant  Xi'.Xi'.Xz'.Xt,=^x'.y'.z'.\^  on  peut  les  écrire  sous  la  forme 
_       ax  -\-  by  -^cz  -\-  d 


o!"x^b"'y-^c"'z-^d" 


a^i,  ar2,  Xz,  x,,  désignent  des  coordonnées  tétraédriques  quelconques.  On  for- 
merait,  de   même  que  dans  la  Géométrie  à  deux  dimensions  pour  la  droite, 


496  NOTE 

les  équations  de  transformation  des  coordonnées  d'un  plan  dont  nous  écrirons 
l'équation  sous  l'une  des  deux  formes 

uiXi  -+-  «2^2 •+■  ^3^3  +  «4374  =  G, 

UX      -f-  Vf        -+-  WZ      -\-    i  =0. 

On  a,  par  exemple, 


et  des  équations  analogues. 

Supposons,  d'autre  part,  qu'en  vertu  des  formules  de  la  transformation  on 
ait  identiquement 

/(^i,^2,^3,a?4)  =  ¥{x\,x'^,x'.i,xl); 
on  en  conclut 

àf  àY  ,  dY  „  d¥  ,„  d¥ 

r~  =  ^  T-r  -+-  «  T-r  +  a  -T-T  H-  a'"  -r— 7-; 
oxi  oxi  ax.2  ox.^  dx\ 

c'est-à-dire  que  les  dérivées  partielles  d'une  fonction  des  variables  cova- 
riantes  sont  transformées  comme  variables  contravariantes ;  la  réciproque 
est  également  vraie. 

Pour  faire  une  application  de  ce  principe,  prenons  la  formule  qui  donne  en 
axes  rectangulaires  le  cosinus  de  l'angle  de  deux  surfaces 


On  a 


en  posant 


cosV  = 


AfJ)is.s) 


^J'^  '       dx  dx        dy  dy       âz  dz 

Supposons  que  l'on  effectue  une  transformation  homographique  quel- 
conque; il  s'agit  de  savoir  ce  que  devient  l'expression  de  cosV.  Il  nous  suffit 
pour  cela  de  rechercher  ce  que  devient  l'expression 


car,  en  vertu  des  propriétés   des  formes  quadratiques,  on  saura  facilement 
alors  ce  que  devient  l'expression 

dans  laquelle  u,  v,  w,  U,  V,  W  sont  les  coordonnées  de  deux  plans. 
Or  l'équation 

«2-4-  (;2_|-  (.pi  =  o 

représente  le  cercle  imaginaire  à  l'infini;  ce  cercle  devient  une  conique  qui  a 
une  équation  de  la  forme 

cp(ai,  Ui,  «3,  Ui)  =  0, 


SUR  LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE, 
et  l'on  a  évidemment 

«2-+-  Ç.2-+-  (p2  =  Xç(M|,  U-x,  «3,  M4); 

on  en  conclut  immédiatement  qu'en  posant 

fi^^y^  il)  =  F  {Xi,Xi,  373,  374), 

on  a 

\(JvF/         Voix/         V^^^  /              \àxi     0x2    OXi    Oxi, 
df  dg    ,    df  dg    ,    df  d.     _^_ 

dxi 


497 


_  l  /oF      do 
dx  dx    '    dy  (Jy    '    ùz  dz        a  |  Ox^       dG 


H-. 


, .  .  ào     ,      , ,  .    ,  .  ,,  ,  <^G    , 

en  désignant  par  — ^  la  dérivée  partielle  par  rapport  a  , —  de 

dxi 

/dG     dG     dG     dG\ 


On  a  donc 


cosV  = 


'  \dx    dx  / 


iM 


"^[dx)  "^[dx) 


en  posant 


Cp(X)  =  Cp(Xi,X2,X3,  X4), 

,CXiY)=i(x,i^....). 


Nous  indiquons  à  la  fin  du  paragraphe  comment  on  peut  se  servir  de  cette 
formule  en  considérant  les  transformations  homographiques  comme  des  chan- 
gements de  coordonnées. 

13.  Disons  maintenant  quelques  mots  des  sous-groupes  du  groupe  pro- 
jectif. 

Le  plus  simple  est  le  groupe  linéaire  général;  c'est  un  groupe  à  douze  pa- 
ramètres, formé  des  transformations 


x'  =  ax  -h  by  -\-  cz  -ir  d, 
y  =  a'x-¥-b'y-\-c'  z-^-d"^ 
z'  =a"x-v-  h" y  4-  c"  ^  -f-  d\ 


a      h      c    \ 

a!     b'     c'     , 
a"     b"    c" 


qui  laissent  invariant  le  plan  3:4=  0.  Ce   groupe  admet  comme  sous-grouj>e 

invariant  le  groupe  formé  des  transformations  pour  lesquelles  A=±i;on 

pourrait  répéter  ici  pour  les  volumes,  en   supposant  les   coordonnées   carlé- 

NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  32 


^gS  NOTE 

siennes,  ce  que  nous  avons  dit  dans  le  plan  pour  les  surfaces.  Ce  groupe  ad- 
met des  sous-groupes  homologues  auxquels  on  peut  appliquer  ce  qui  a  été 
dit  dans  le  cas  de  deux  variables. 

Enfin,  le  groupe  des  mouvements,  en  coordonnées  rectangulaires,  est  formé 
des  transformations  du  groupe  linéaire  pour  lesquelles  chaque  élément  du 
déterminant  A  est  égal  au  mineur  correspondant.  Ces  transformations  dépen- 
dent de  six  paramètres;  les  a,  b,  c,  a',  b' ,  c',  a",  6",  c"  sont  liées  par  six  re- 
lations indépendantes  {voir  l.  III,  n°36);  on  peut  les  exprimer  au  moyeu 
des  trois  angles  d'Euler,  ou  au  moyen  de  trois  paramètres  (ou  quatre  para- 
mètres figurant  d'une  manière  homogène)  par  les  formules  d'Olinde  Ro- 
drigues  (voir  aux  Exercices). 

Si  chaque  mineur  de  A  était  égal  et  de  signe  opposé  au  mineur  corres- 
pondant, la  transformation  remplacerait  chaque  figure  par  une  figure  symé- 
trique (non  superposable). 

Les  invariants  du  groupe  des  mouvements  jouent,  dans  la  théorie  des  pro- 
priétés géométriques  des  groupes  et  des  surfaces,  un  rôle  très  important  que 
peut  faire  pressentir  l'étude  sommaire  faite  en  Géométrie  plane,  mais  qu'il 
serait  trop  long  de  développer. 

Emploi  des  transformations  de  coordonnées. 

lA.  Nous  allons  terminer  ce  qui  concerne  les  transformations  projectives 
du  plan  et  de  l'espace  en  indiquant  de  quelle  utilité  peut  être  pour  leur  étude 
l'emploi  des  transformations  de  coordonnées.  Si  nous  n'avons  pas  placé  au 
début  ce  point  de  vue  des  plus  importants,  c'est  parce  qu'il  est  spécial  à  la 
transformation  homographique  et  ne  peut  s'étendre  à  toutes  les  transforma- 
tions; or  nous  nous  sommes  surtout  attaché  à  signaler,  à  propos  de  cette 
transformation  particulière,  les  idées  générales  susceptibles  d'extension. 

Remarquons  d'abord  que  les  formules  les  plus  générales  de  transformations 
des  coordonnées  ayant  la  même  forme  que  la  transformation  homographique, 
on  peut  écrire  toute  transformation  homographique  : 

en  supposant  que  Xi,  x^,  x%,  Xi^  d'une  part,  Xi,  Xj,  X3,  X4  d'autre  part,  dé- 
signent des  coordonnées  tétraédriques  par  rapport  à  deux  tétraèdres  dijffé- 
rents.  On  en  conclut  qu'étudier  les  transformées  homographiques  d'une 
surface,  par  exemple,  représentée  par  l'équation 

f{Xx,X2,Xz,X^)  =  G, 

revient  à  étudier  les  diverses  surfaces  que  représente  cette  même  équation, 
lorsque  le  tétraèdre  de  référence  varie  de  toutes  les  manières  possibles. 

Par  exemple,  dans  l'application  que  nous  avons  faite  au  n"  12,  nous  pour- 
rions, au  lieu  de  supposer  que  nous  transformons  les  surfaces  en  d'autres 


SUR   LES    TRANSFORMATIONS   EN    GÉOMÉTRIE.  499 

surfaces,  supposer  que  les  surfaces  restent  les  mêmes,  mais  que  nous  prenons 
des  coordonnées  quelconques.  L'équation 

tp(«l,  «2,  «3,   «4)   =0 

représente  alors  le  cercle  de  l'infini  par  rapport  à  ce  nouveau  système  de 
coordonnées  et,  sous  cette  seule  hypothèse,  l'angle  de  deux  surfaces  en 
coordonnées  tétraédriques  est  donné  par  la  formule 


cosV 


ùxi/  '  \dXi 


15.  Il  est  souvent  commode  d'utiliser  ce  rapprochement  entre  les  transfor- 
mations homographiques  et  les  changements  de  coordonnées,  lorsqu'on  a  à 
composer  deux  ou  plusieurs  transformations  homographiques. 

Nous  allons  d'abord  résoudre  la  question  suivante  :  Quelle  relation  y  a-t-il 
entre  les  deux  transformations 

l  x\  —  a  xi  -i-  bxi  -h  CX3  -+-  dxi, , 
(s)  {  x'.  =  a'xi  -f-  . . . , 


et 

[  X't  =aXi-hbX2 
(S)  !  X'^  =  a'Xi-+-  .... 


dans  lesquelles  les  coefficients  sont  les  mêmes,  mais  où  les  x  et  les  x'  dési- 
gnent les  coordonnées  par  rapport  à  un  certain  tétraèdre,  tandis  que  les  X 
et  les  X'  désignent  les  coordonnées  par  rapport  à  un  autre  tétraèdre?  II  est 
clair  qu'en  désignant  par  H  la  transformation 

a7i  =  Xi,        X2  =  Xi,        373  =  X3,         3-4  =  X4, 
on  a 

S  =  II-«5H. 

En  effet,  la  transformation  H-*  remplace  les  X'  par  les  x',  la  transforma- 
tion s  remplace  les  x\  par  les  x  et  la  transformation  H,  enfin,  les  x  par  les  X. 
Il  en  résulte  que  si  l'on  effectue,  dans  les  formules  d'une  transformation 
homographique,  un  changement  de  coordonnées,  cela  revient  à  transformer 
la  transformation  homographique  par  la  transformation  homographique 
correspondant  à  ce  changement  de  coordonnées. 

Les  propriétés  des  transformations  S,  transformées  de  certaines  transfor- 
mations 5,  étant,  au  point  de  vue  de  leur  composition  entre  elles,  les  mêmes 
que  celles  des  transformations  s,  il  en  résulte  que  lorsqu'on  aura  à  composer 
plusieurs  transformations  homographiques  on  pourra  toujours,  au  moyen  d'un 


000 


NOTE 


changement  de  coordonnées,  les  ramener  à  une  forme  plus  simple.  Ce  rai- 
sonnement s'appliquerait  d'ailleurs,  sous  une  forme  à  peine  modifiée,  à  des 
transformations  non  homographiques  ;  effectuer,  dans  les  formules  d'une 
transformation  quelconque,  un  changement  de  coordonnées,  c'est  toujours 
transformer  la  transformation  donnée  par  une  transformation  homogra- 
phique;  mais  ici,  le  fait  que  toutes  les  transformations  considérées  sont  ho- 
mographiques donne  des  résultats  particulièrement  simples. 


16.  Considérons,  par  exemple,  la  transformation 

x\  =  a  Xi  -\-  b  Xi  -i-  c  x^  -+-  dxi, , 


a  X\ 


et  cherchons  les  points  qu'elle  laisse  invariants;  on  doit  avoir 

x\  =  <sxi,         x'^  =  '^'^i,         ar'j  =  (JXs,         x\  =  <sxi^. 

On  en  conclut  sans  peine  que  a  est  racine  de  l'équation  du  quatrième 
degré 


(T 

h 

c 

d 

a' 

b'—<j 

c' 

d' 

a 

b" 

c' —  J 

d" 

a'" 

b'" 

c'" 

d'"— 

Nous  n'étudierons  que  le  cas,  évidemment  le  plus  général,  où  cette  équa- 
tion a  ses  racines  distinctes;  nous  les  désignerons  par  ai,  c^,  as,  a4.  On  voit 
aisément  alors  que  quatre  points  distincts  formant  un  véritable  tétraèdre 
restent  invariables  par  la  transformation.  Dès  lors,  si  l'on  prend  ce  tétraèdre 
comme  tétraèdre  de  référence,  les  équations  de  la  transformation  deviendront 


X'i    =  CTiXi, 


x; 


<^2  ^2 ,         X'a  =  aa  X3  ,  X'^  =  a4  X4 , 


comme  il  est  aisé  de  s'en  rendre  compte. 

Il  importe  de  ne  pas  confondre  ce  résultat  avec  le  fait,  beaucoup  moins 
important,  signalé  au  début  du  n"  14:  (la  forme  x^  =  Xi,  x^  =  X2,  x^  =  X3, 
xi,  =  X4);  ici  les  X  et  les  X'  désignent  les  coordonnées  par  rapport  à  un 
même  tétraèdre. 

Recherchons,  par  exemple,  en  nous  bornant  toujours  au  cas  où  les  a 
sont  distincts,  si,  en  répétant  /n  fois  une  transformation  homographique, 
on  peut  obtenir  la  transformation  identique 


X'i  =  Xi,         X2  =  X2J         Xj  —  X3 


X',.  =  Xi, 


Il  est  clair  que  l'on  doit  avoir  pour  cela 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  5oi 

Comme  on  peut,   en  multipliant  tous  les  X'  par  un  facteur  constant,  multi- 
plier les  (j  par  un  facteur  constant,  nous  pourrons  supposer  que  l'on  a 


Comme  les  c  sont  distincts,  on  devra  prendre  m  au  moins  égal  à  quatre,  et 
pour  les  (T  quatre  racines  m'™*"  distinctes  de  l'unité.  Il  ne  faudrait  pas  se  hâter 
d'en  conclure  que  la  transformation  est  imaginaire,  car  rien  ne  suppose  le 
tétraèdre  de  référence  réel.  Par  exemple,  soit  m  =  4;  on  pourra  prendre 

x;  =  /Xi,      x;=-^x„      x;=:-X3,      x;  =  x, 

et  en  posant 

X^  —  x-+-iy^         \i  — X — ij,         X3  =  z,         Xi  =  ;  =  i, 
on  aura 

x' -^- iy  =  i{x -^  iy),        x' —  iy' =  — i{x  —  iy),        z'  =  —  z,         t'=zt  =  i, 

c'est-à-dire 

x'  =  —  y,       y'=3^,        z'  =  —  z. 

III.  —  Transformations  ponctuelles  (  '  ). 

17.  Une  transformation  ponctuelle  dans  l'espace  est  représentée  par  des 
équations  de  la  forme 

y  =  g{x,y,z), 
z'  =  h(x,y,z). 

On  suppose  que  ce  système  d'équations  peut  être  résolu  par  rapport  à  x, 
y,  z;  on  démontre  qu'il  est  pour  cela  nécessaire  et  suffisant  que  le  détermi- 
nant fonctionnel -r-r^^-î-^-^ — ^  ne  soit  pas  identiguement  nul;   les   points  pour 
à{x,yyZ)  r  n  f  f 

lesquels  il  est  nul  sont  les  points  singuliers  de  la   transformation.  En  un 

point  non  singulier,  on  voit  que  si  l'on  regarde  ce,  y,  z  comme  fonctions  d'un 

^    dx'    dy'       dz'  ,       /.        .         i-    .   •        .  .         ,    dx 

paramètre  t:  —7-»  -t-  et  -7-  sont  des  fonctions  linéaires  homogènes  de  —r  5 
^  dt      dt        dt  °  dt 

-T"  >  -7-  à  déterminant  non  nul.  On  en  conclut  qu'à  deux  courbes  ou  deux 
dt     dt  ^ 

surfaces  tangentes  correspondent  deux  courbes  ou  deux  surfaces  tangentes, 

et  de  plus  que  l'ensemble  des  tangentes  et  des  plans  tangents  en  deux  points 

(')  Dans  ce  paragraphe,  sauf  indication  expresse  du  contraire,  nous  supposerons, 
pour  plus  de  netteté,  les  coordonnées  cartésiennes  rectangulaires.  Nos  lecteurs  ver- 
ront aisément  quels  calculs  et  raisonnements  s'étendraient  à  des  coordonnées  quel- 
conques. 


5o2  NOTE 

correspondants  sont  en  correspondance  homographique  ;  d'où  l'on  peut  tirer 
plusieurs  conséquences  intéressantes  {voir  aux  Exercices). 

En  général,  si/,  g,  h  sont  des  fonctions  rationnelles  de  en, y,  z,k  un  point 
{Xjy,z)  correspond  un  seul  point  {x',y,z')',  mais  à  un  T^oinl{x',y',z')  corres- 
pondent plusieurs  points  {x,y,z).  On  appelle  birationnelles  les  transforma- 
tions telles  qu'à  un  point  (a?',^',  5')  ne  corresponde  aussi  qu'un  t^oi\\1{x,  y,z){}). 
En  nous  bornant,  pour  plus  de  simplicité,  au  cas  de  deux  variables,  consi- 
dérons donc  la  transformation 

Ua    —    — }  y    ; J 

Tn{x,y)  •"         rn{x,y) 

cp,  ij;  et  rn  étant  des  polynômes  en  x,  y  de  degré  au  plus  égal  à  n.  Il  est  clair 
qu'à  un  point  {x',y')  correspondent,  en  général,  n^  points  x,y,  intersections 
des  deux  courbes 

tp  —  x'w  =  o,         ■^ — y  m  =^  o. 

On  peut  présenter  ce  résultat  d'une  manière  plus  symétrique.  Soit 

(i)  ux' ■+■  vy' -\- w  —  o 

l'équation  d'une  droite;  il  lui  correspond  la  courbe 

(2)  u<^{x,y)  +  v^{x,y)+ww{x,y)  =  o. 

Si  la  droite  (i)  passe  par  un  point  fixe  P',  u,  v,  w  sont  liés  par  une  relation 
linéaire;  la  courbe  (2),  de  degré  n,  dépendant  d'un  paramètre  au  premier 
degré  passe,  en  général,  par  n'^  points  fixes,  qui  correspondent  au  point  P'. 
Cette  conclusion  est  en  défaut,  si,  quels  que  soient  u,  c,  w,  la  courbe  (2) 
passe  par  r  points  fixes,  qui  sont  alors  communs  aux  trois  courbes, 

cp  =  o,         <|^  =  o,         m  =  o. 

En  dehors  de  ces  r  points,  n- — ;'  seulement  correspondent  au  point  P'. 
Les  r  points  sont  d'ailleurs  singuliers  et  correspondent,  si  l'on  veut,  à  un 
point  quelconque  {x',y').  Car  cp,  (|;,  m  étant  nuls,  x'  et  j/'  sont  indéterminés; 
mais  on  peut  en  faire  abstraction,  et  à  un  point  {x',  y')  correspondent  alors 
n2 — /■  points  a?,  ^.  Si,  en  particulier,  r  = /i^— i  (2),  un  seul  point  {x',  y') 
correspond  au  point  {x,  y)  :  la  transformation  est  hirationnelle ;  l'Algèbre 
nous  apprend,  en  effet,  que,  dans  ce  cas,  on  peut  déterminera:,  y  en  fonction 
rationnelle  de  x\  y'.  Un  exemple  particulièrement  simple  nous  est  fourni  par 
les  relations 

(T) 

(')  Dans  l'espace  il  y  aurait  à  distinguer  entre  les  transformations  biunis^oques  et 
les  transformations  birationnelles  ;  ce  n'en  est  point  ici  le  lieu. 

(')  On  ne  peut  avoir  r  =  n'',  sinon  les  trois  courbes  9  =  0,  4'  =  o>  c3  =  o  coïnci- 
deraient. 


,       I 

,        I 

X    =   —■> 

y  =  - 

X 

y 

SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  5o3 

OU 

xjr         ^         xy 

M.Cremona,  qui  a  étudié  particulièrement  les  transformations  birationnelles 
auxquelles  on  donne  quelquefois  son  nom,  a  montré  que  toute  transforma- 
tion birationnelle  à  deux  variables  pouvait  être  ramenée  à  un  produit  de 
transformations  (T)  et  de  transformations  homographiques.  Ce  théorème, 
que  nous  ne  démontrerons  pas,  donne  un  intérêt  particulier  à  l'étude  de  la 
transformation  (T)  qu'on  appelle  transformation  quadratique.  Par  des 
raisonnements  analogues  à  ceux  du  n°  lo,  on  montrerait  aisément  que  la  trans- 
formée de  (T)  par  une  transformation  homographique  est  de  la  forme 

ou,  ce  qui  revient  au  même, 

X'=YZ,        Y'  =  ZX,        Z'  =  XY, 

les  coordonnées  étant  maintenant  des  coordonnées  trilinéaires  transformées 
des  coordonnées  primitives  par  la  transformation  homographique  (*). 

18.  Dans  le  cas  où  le  triangle  de  référence  admet  pour  sommets  les  deux 
points  cycliques,  cette  transformation  devient 


X  -\-  ly  =  T—  »  X  —  ly  = 


X  -\-  iy 


et  enfin 


I 

x-^iy 

x  —  iy 

^2_t-j2 

X 

X—  ly 


X^-fry^ 


y'=  -y 

En  y  ajoutant  une  symétrie  par  rapport  à  Ox  : 


X  ,  y 


formule  de  la  transformation  par  rayons  vecteurs  réciproques  ou  inversion. 
La  théorie  générale  des  transformations  ponctuelles  planes  nous  conduit  ainsi 


(')  Pour  une  étude  sommaire  de  cette  transformation  et  son  application  à  un  pro- 
blème intéressant,  on  pourra  lire:  Solution  géométrique  de  la  question  posée  en 
1874  à  l'École  Polytechnique  (^Nouvelles  Annales  de  Mathématiques,  1889). 


5o4  NOTE 

naturellement  à  cette  importante  transformation.  Dans  l'espace,  son  impor- 
tance est  due  surtout  à  ce  remarquable  théorème  de  Liouville,  que  c'est,  avec 
les  déplacements,  la  seule  transformation  conservant  les  angles.  Nous  allons 
étudier  tout  particulièrement  l'inversion  dans  l'espace;  nos  lecteurs  verront 
aisément  ce  qui,  dans  cette  théorie,  peut  être  transporté  au  plan,  mutatis 
niutandis. 

Inversion. 

19.  L'inversion  (*),  par  rapport  à  un /»d^e  pris  pour  origine,  avec  une />ai5- 
sance  positive  R^,  est  représentée  par  les  formules 


y 


x'^ -^ y- -^  z''- 
auxquelles  on  peut  joindre  la  suivante 


v^r-x 

X^ 

+  jK2-f-^2 

R2jr 

x"*- 

-\- y-' -\-  z"- 

R2^ 

R* 


x^  ■+■  y''-  +  -s^ 


qui  est,  comme  nous  le  verrons  d'après  M.  Darboux,  de  la  plus  grande  im- 
portance dans  cette  théorie. 

Cette  inversion  est  géométriquement  définie  par  la  sphère  S  de  rayon  R; 
on  peut  dire  que  deux  points  correspondants  M  et  M'  sont  sur  un  même  dia- 
mètre de  cette  sphère  et  divisés  harmoniquement  par  ses  extrémités;  ou  que 
M  et  M'  sont  des  sphères  de  rayon  nul  coupant  la  sphère  S  suivant  un  même 
cercle  (imaginaire);  ou  que  tous  les  cercles  passant  par  M  et  M'  coupent  S 
orthogonalement. 

Un  avantage  important  de  cette  définition  géométrique  est  de  rendre  in- 
tuitif le  résultat  suivant  : 

Transformons  la  sphère  S  par  une  inversion  ou  un  déplacement,  de  ma- 
nière qu'elle  devienne  une  sphère  S;  les  deux  points  M  et  M'  deviennent  jx 
et  [jl';  ce&  deux  points  sont  inverses  par  rapport  à  S.  En  effet,  les  cercles 
passant  par  \l  et  [x'  coupent  orthogonalement  2.  Si  nous  désignons  par  T  la 
transformation  qui  remplace  S  par  S  et  S  et  S' les  inversions  par  rapport  aux 
sphères  de  même  nom,  on  a 

S  =  T-iST, 

(')  Sur  tout  ce  qui  concerne  l'inversion,  on  lira  avec  le  plus  grand  fruit  l'Ouvrage 
classique  de  M.  Darboux,  Sur  une  classe  remarquable  de  courbes  et  de  surfaces, 
Ouvrage  (l'ailleurs  important  à  bien  d'autres  titres  et  auquel  nous  avons  fait  de  nom- 
breux emprunts.  On  pourra  consulter  aussi  Kœnigs,  Leçons  de  l'Agre'gation  clas- 
sique de  Mathématiques. 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE. 


5o5 


c'est-à-dire  que  la  transformée  d'une  inversion  par  une  transformation  T 
(Test  une  inversion  ou  un  déplacement)  admet  pour  sphère  fondamentale  la 
transformée  de  la  sphère  fondamentale  de  l'inversion  considérée. 

20.  Supposons  maintenant  que  T  soit  une  inversion  dont  le  pôle  soit  sur  S; 
ii  est  alors  un  plan  et  les  points  (x  et  jx'  sont  tels  que  ces  cercles,  passant 
par  (i.  et  [jl',  sont  orthogonaux  à  I.  :  [i.  et  \i'  sont  symétriques  par  rapport 
au  plan.  La  symétrie  par  rapport  à  un  plan  (ou  inversion  plane)  apparaît 
ainsi  comme  un  cas  particulier  de  l'inversion  (ou  symétrie  par  rapport  à 
une  sphère). 

Ceci  posé,  considérons  deux  sphères  S  et  S'  se  coupant  suivant  un  cercle 
réel  (1),  et  soit  M  un  point  de  ce  cercle.  En  le  prenant  pour  pôle  de  l'inver- 
sion T,  S  et  S'  deviendront  deux  plans  P  et  P',  se  coupant  suivant  une  droite 
D  qui  ne  passe  pas  par  M.  En  continuant  à  désigner  une  symétrie  par  rap- 
port à  une  sphère  ou  un  plan  par  la  même  lettre  que  celte  sphère  ou  ce  plan, 
nous  avons 

P  =  T-«ST,        P'=T-«S'T 
et,  par  suite, 

PP'=  T-iSS'T',        SS'=TPP'T-i. 

Or,  le  produit  PP'  (yig'.  43)  de  deux  symétries  planes  peut  être  étudié  très 
simplement  par  la  Géométrie.  Figurons  les  plans  P  et  P'  par  leurs  traces  sur 
un  plan  perpendiculaire  à  leur  intersection  D; 
soit  fi.'  le  symétrique  de  [i  par  rapport  à  P,  jx"  le 
symétrique  de  jx'  par  rapport  à  P';  fx"  est  trans- 
formé de  {X  par  la  transformation  PP'.  On  voit  im- 
médiatement que  l'angle  (xD[x"  est  égal,  en  gran- 
deur et  en  signe,  au  double  de  l'angle  PDP  .11  en 
résulte  que  si  Pi  et  Pj  sont  deux  plans  passant 
par  D  et  faisant  le  môme  angle  que  P  et  P'et  dans  "'-•-]„ 

le  même  sens,  on  a 

PjP;  =PP'. 

Désignons  par  Sj  et  S\  les  transformées  de  Pi  et  P'j  par  la  transformation 
inverse  de  T  {-);  ces  sphères  passent  par  l'intersection  de  S  et  S';  on  a 

Si  s;  =  TPi  p;  T-'  =  TPP'T-»  =  SS'. 


Fig.  43. 


0-€i 


(')  Le  cas  où  ce  cercle  serait  imaginaire  n'est  pas  distinct  de  celui-ci  et  peut  se 
traiter  de  même;  si  l'on  veut  éviter  d'introduire  une  inversion  à  un  pôle  imaginaire, 
on  peut  transformer  les  deux  sphères  en  sphères  concentriques  S  et  S'  et  l'on  voit 
aisément  qu'on  peut  remplacer  S  et  S'  par  des  sphères  concentriques  S,  et  'Z[dont 
les  rayons  aient  le  même  rapport.  En  faisant  passer  S,,  par  exemple,  par  le  pôle, 
le  raisonnement  s'achève  aisément. 

(')  L'inversion  étant  une  transformation  involutive,  c'est-à-dire  telle  que  si  M  cor- 
respond à  M',  M'  correspond  à  M,  elle  coïncide  toujours  avec  la  transformation  in- 
verse. Il  est  cependant  préférable  de  les  distinguer  pour  la  clarté  et  la  généralité 
du  raisonnement. 


5o6  NOTE 

D'ailleurs,  l'une  des  sphères  Si  ou  S\  peut  être  prise  arbitrairement  (de 
même  que  l'un  des  plans  Pi  ou  P',  ).  Ainsi  l'on  peut  remplacer  deux  inver- 
sions successives  par  deux  autres  inversions  successives  par  rapport  à  deux 
sphères  passant  par  l'intersection  des  deux  premières,  et  dont  l'une  peut  être 
choisie  arbitrairement.  En  particulier,  on  peut  supposer  que  l'une  des  sphères 
Si  ou  S'i  se  réduit  à  un  plan;  il  suffit  que  le  plan  Pi  ou  F\  passe  en  M.  Donc, 
étant  données  deux  inversions  S  et  S',  on  peut  déterminer  deux  sphères  S2  et 
S3  et  deux  plans  P2  et  P3  passant  par  leur  intersection,  tels  que  l'on  ait 

bS     =  ^2  P2  ^^  P3  ^3- 

Cette  détermination  n'est  d'ailleurs  possible  que  d'une  seule  manière  (•). 

Nous  avons  exclu  le  cas  où  ces  deux  sphères  S  et  S' seraient  concentriques; 
dans  ce  cas,  il  est  clair  que  le  produit  SS'  équivaut  à  une  transformation 
homothétique.  Remarquons,  d'autre  part  :  1°  que  deux  symétries  planes  P 
équivalent  à  un  déplacement  (2);  2"  qu'une  transformation  homothétique  et  un 
déplacement  ou  une  symétrie  plane  équivalent  à  une  transformation  homothé- 
tique de  pôle  arbitraire  et  un  déplacement;  3°  qu'une  inversion  et  une  homo- 
thétie  de  même  pôle,  effectuées  dans  un  ordre  quelconque,  équivalent  à  une 
inversion  de  même  pôle;  4"  que  deux  homothéties  équivalent  à  une  inversion. 


Définition  géométrique  du  groupe  G. 

21.  Désignons  maintenant  par  S  les  inversions  sphériques,  par  P  les  inver- 
sions planes,  par  D  les  déplacements  et  par  H  les  homothéties;  je  dis  que 
l'ensemble  des  transformations 

S,     P,     D,     H,     SP,     SD,     HD 

forme  un  groupe  que  j'appellerai  G. 

On  vérifie  en  effet  aisément  que  le  produit  de  deux  transformations  de  l'un 
de  ces  types  est  encore  une  transformation  de  l'un  de  ces  types.  Pour  abré- 
ger la  démonstration,  nous  pouvons  réduire  le  nombre  des  types  à  trois, 

SP,     SD,     HD, 

en  supposant  que  l'une  des  lettres  S,  P,  D,  H  puisse  désigner  la  transforma- 
tion identique.  Or  on  a,  par  exemple, 

S«P„.S,Prf=Sa(P6S,)Prf. 


(')  Les  considérations  précédentes  s'appliquent  sans  modification  et  en  n'intro- 
duisant que  des  éléments  réels,  pour  le  cas  où  l'intersection  est  imaginaire;  dans 
ce  qui  suit,  pour  ce  qui  concerne  l'angle  de  deux  sphères,  il  y  aurait  lieu  d'ajouter 
quelques  remarques  nouvelles. 

(")  Plus  généralement,  un  nombre  pair  de  symétries  équivalent  à  un  déplacement 
et  un  nombre  impair  à  une  symétrie. 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  5o7 

Mais 

P6Sc=SeP/ 

et 

donc 

S«P^ScPrf  =  S^PAP/P,/=  S^,?/. 
De  même 

SP.HD  =  S(PH)D  =  SH'P'D, 

H'  étant  une  homothétie  de  même  pôle  que  S;  donc 

SP.HD  =  S' P". 

Les  autres  vérifications  se  feraient  de  même  ;  en  permutant,  ce  que  l'on  peut 
faire,  les  lettres  S  et  H  avec  les  lettres  P  et  D,  on  amènera  les  lettres  S  et  H 
à  occuper  les  premiers  rangs  et  les  lettres  P  et  D  à  occuper  les  derniers;  de 
plus,  on  pourra  toujours  supposer  que  l'homothétie  et  l'inversion  ont  même 
centre.  Pour  ce  dernier  point,  le  cas  le  plus  difficile  est  le  suivant  :  on  a 

nS  =  PH'.S  =  PS'=  S"P' 

en  désignant  par  H'  une  homothétie  de  même  centre  que  S  et  telle  que  PH 

soit  équivalente  à  H. 

Les  transformations 

SP,     SD,     HD 

ne  sont  pas  toutes  distinctes;  laissons  démontrer  à  nos  lecteurs  qu'on  les  ob- 
ti  endra  toutes  en  combinant  de  toutes  les  manières  possibles  : 

I*  Une  seule  inversion  ; 

1°  Toutes  les  homothéties  directes  ou  inverses  ayant  un  pôle  donné; 

3°  Les  rotations  autour  de  trois  axes  non  situés  dans  un  même  plan; 

4"  Les  translations  parallèles  à  trois  axes  non  situés  dans  un  même  plan; 

En  supprimant  l'inversion,  on  aurait  un  groupe  plus  simple,  sous-groupe 
du  groupe  G. 

22.  Revenons  à  la  composition  de  deux  inversions  S  et  S';  en  se  reportant 
à  la  démonstration  donnée  plus  haut,  on  voit  qu'on  peut  les  remplacer  par 
deux  inversions  Sj  et  S\,  telles  que  Si  et  S\,  passant  par  l'intersection  de  S 
et  de  S',  fassent  le  même  angle  et  dans  le  même  sens.  On  conclut  aisément 
de  cela,  ou  de  la  considération  des  plans  P  et  P',  que  l'on  a 

SS'  =  S'S, 

dans  le  cas  et  seulement  dans  le  cas  oà  les  sphères  S  et  S'  sont  orthogo- 
nales. 

Si  les  sphères  F  et  F'  se  coupent  sous  un  angle  a  qui  soit  une  partie  ali- 
quote  de  tt,  il  en  est  de  même  des  plans  P  et  P'  en  lesquels  on  peut  les  trans- 
former. On  voit  dès  lors  aisément  qu'en  combinant  de  toutes  les  manières 


5o8  NOTE 

possibles  les  inversions  S  et  S',  on  obtient  un  nombre  limité  d'inversions 
par  rapport  à  des  sphères  faisant  entre  elles  des  angles  égaux  à  la  plus  grande 
commune  mesure  entre  a  et  tc.  Si,  au  contraire,  a  et  tt  étaient  incommensu- 
rables entre  eux,  on  obtiendrait  en  combinant  S  et  S'  une  infinité  de  trans- 
formations. 

Ces  remarques  sont  fort  importantes  pour  la  recherche  des  sous-groupes 
du  groupe  G  renfermant  un  nombre  limité  de  transformations,  ou  sous- 
groupes  yi/ii5  discontinus,  suivant  la  terminologie  en  usage  (i).  Nous  voyons 
que  les  sphères  ou  plans  fondamentaux  des  diverses  symétries  figurant  dans 
ces  groupes  doivent  nécessairement  se  couper  suivant  des  angles  commensu- 
rables  avec  ii.  Ce  théorème  simplifie  beaucoup  les  recherches  de  ces  sous- 
groupes;  nous  ne  nous  occuperons  cependant  pas  du  cas  général  (2)  et  nous 
nous  bornerons  à  celui  où  le  groupe  ne  renferme  pas  de  mouvements  non  dé- 
composables  en  symétries  faisant  elles-mêmes  partie  du  groupe  et  où  il  ne 
passe  pas  plus  de  deux  sphères  ou  plans  fondamentaux  par  un  même  cercle; 
ces  éléments  fondamentaux  se  coupent  alors  nécessairement  à  angle  droit. 

Nous  pouvons  avoir  deux  sphères  orthogonales,  qu'une  inversion  transforme 
en  deux  plans  rectangulaires,  ou  trois  sphères  orthogonales  deux  à  deux 
qu'une  inversion  convenable  transforme  en  un  trièdre  trirectangle.  Une  qua- 
trième sphère  peut  être  orthogonale  aux  trois  faces  du  trièdre  ou,  par  trans- 
formation, à  trois  sphères  orthogonales  deux  à  deux.  Peut-on  avoir  une  cin- 
quième sphère  orthogonale  à  ces  quatre-là?  Il  est  aisé  de  le  constater  par  le 
calcul  dans  le  cas  du  trièdre  trirectangle;  si 

(i)  a;2-HjK2-f-z2— R2=  o 

est  une  sphère  orthogonale  aux  plans  x  =  o^  y  =  o,  z  =  o,  la  sphère 

(2)  a;2-j_j2_,_22-4-  R2^  O 

est  orthogonale  aux  mêmes  plans  et  à  la  sphère  (i).  C'est  d'ailleurs  la  seule 
sphère  remplissant  ces  conditions;  elle  est  imaginaire,  mais  définit  une  in- 
version réelle  (3).  Nous  obtenons  ainsi  un  cas  particulier  du  système  de  cinq 

(')  11  semble  regrettable  que  M.  Lie  ait  employé  le  mot  fini  (endlicli)  pour  dé- 
signer des  groupes  (continus)  renfermant  une  infinité  de  transformations  (à  un 
nomhvQ  fini  de  paramètres);  de  sorte  que  nous  soyons  obligé  d'employer  deux  épi- 
ihètes  pour  éviter  toute  confusion.  Pour  cette  terminologie,  Cf.  :  Poincaré,  Théorie 
des  groupes  fuchsiens  {Acta  Mathematica,  t.  I);  Lie,  Théorie  der  Transforma- 
tionsgruppen,  t.  L 

(^)  On  peut  consulter  :  Jordan,  Sur  les  groupes  de  mouvements  (Annali  di  Ma- 
tematica,  1868)  :  Klein,  Vorlesungen  ûber  das  Icosaeder ;  Goursat,  Sur  les  sur- 
faces admettant  les  plans  de  symétrie  d'un  polyèdre  régulier  {Annales  de  l'École 
Normale,  1887). 

(')  En  combinant  cette  inversion  avec  celle  que  définit  la  sphère  (1),  on  obtient 
une  homothétie  dans  laquelle  le  rapport  d'homolhétie  est  — i,  c'est-à-dire  une  sy- 
métrie par  rapport  à  l'origine;  c'est  la  seule  homothétie  pouvant  figurer  dans  un 
groupe  fini  discontinu  de  transformations  réelles,  car  on  voit  aisément  que  le  rap- 
port d'homothétie  doit  être  une  racine  de  l'unité,  Cf  n°  16. 


SUR    LES    TUANSFOnMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  OOg 

sphères  orthogonales;  on  obtiendrait  le  plus  général  en  faisant  varier  R-  et 
en  transformant  par  inversion. 

Relativement  aux  groupes  que  forment  ces  diverses  inversions,  on  voit 
aisément  que  les  symétries  par  rapport  à  deux,  ou  trois  plans  rectangulaires, 
forment  un  groupe,  de  même  que  les  inversions  par  rapport  aux  cinq 
sphères.  En  combinant  convenablement  les  inversions  par  rapport  à  quatre 
sphères  orthogonales,  par  exemple 

37=0,        y  ~  o,        s  =  o,        x"^ -^ y"^ -\- z- — R2=o, 

on  retrouve  \di  cinquième.  Nous  obtenons  ainsi  des  groupes  renfermant  deux, 
trois  ou  cinq  inversions.  Il  existe  des  figures  invariables  par  rapport  à  cha- 
cun de  ces  groupes;  il  est  aisé  de  former  l'équation  générale  des  figures  sy- 
métriques par  rapport  à  deux  ou  trois  plans  rectangulaires  et  de  la  transfor- 
mer par  inversion.  Pour  les  figures  invariables  par  rapport  à  cinq  inversions, 
ou  anal  lag  ma  tiques  de  cinq  manières  différentes,  nous  renverrons  à 
l'Ouvrage  cité  de  M.  Darboux;  en  appelant  l'attention  de  nos  lecteurs  sur  la 
théorie  des  pôles  secondaires,  où  ils  trouveront  une  intéressante  application 
des  considérations  précédentes. 


IV.  —  Coordonnées  pentasphériques. 

23.  Nous  allons  revenir  au  groupe  G  déjà  signalé  et  chercher  une  expres- 
sion analytique  de  ses  transformations.  Les  formules  déjà  rappelées  de  l'in- 
version peuvent  s'écrire 

,_R2£              '_  1^  -'_  5!i              '_  ^ 

M    '                     a    '  '"  ~     a   '                    u  ^ 
eu  posant 

x^ -^ y'^ -\- z^- =  u,  a7'2-f-j''2-f- ^'2=  m'. 

D'autre  part,  pour  une  rotation  autour  de  l'origine,  on  a 

x' —  ax   -\- by   -k-  cz, 

y  z=  a  X  ■+•  b' y  -r-  c'^, 

z'  =  a"x  -+-  b" y  -+-  d' z^ 

u=  u, 
pour  une  translation 

x'=zX-\-Xo,  y'—y-i-yo,  z'=Z-hZo, 

m'=  m  -f-  iXfiX  -h  ly^y  -\-  izoZ-irxl-\-yl-^  zl, 
et  enfin,  pour  une  homothétie, 

x'—kx,        y'=ky,        z'=kz,         u'=k-u. 
Nous  voyons  que  ces  diverses  transformations  peuvent  être  considérées 


5lO  NOTE 

comme  des  transformations  homographiques  aux  quatre  variables  x,y.,z^  u. 
Ces  transformations  homographiques  ont  la  propriété  commune  que  la  relation 

entraîne 

x'^-h  y^-i- z'^  =  u'. 

Autrement  dit,  ces  transformations  laissent  invariante  l'équation 

x"^ -\- y"^ -\-  z^ —  u  —  o. 
Pour  plus  de  symétrie,  nous  rendrons  cette  équation  homogène  et  écrirons 
x^-{-y-i-z^=  ui>; 
les  formules  de  l'inversion  pourront  alors  s'écrire 

(i)  x'=x,        y  =  y,        z'=z,         u'=K^v,        v'-—u. 

D'ailleurs  x\y',  z\  u',  v'  peuvent  être  multipliés  par  un  facteur  constant  ;  les 
coordonnées  rectangulaires  du  point  sont  — ,  >  — , ,  — ,  •  Les  formules  relatives 

"  ^  V         V        V 

à  une  translation  s'écrivent  alors 

x'=zx-]rXQV,        y'=y+yç^v,         z'=z  +  ZqV, 


(2)  .      , 

(  u  ~  u-^iX()X  -JriyQY  -\-iZoZ-^  {xl-{-yl-\-zl)v,        v'=v, 

et  les  formules  relatives  à  une  rotation  autour  de  l'origine 

x'  =  ax  -+-  by  -T-  cz, 

y'  =  a'  x-\-  b'  Y  -^  c'  z, 

(3)  "^  ^  ' 

z=ax-\-oy^cz, 

u'  =  u,         v'  =  V. 


Définition  analytique  du  groupe  G. 

2-4.  Je  dis  que  toute  transformation  homographique  aux  cinq  variables  x, 
y,  z,  u,  V,  ayant  la  propriété  de  laisser  invariante  la  forme  quadratique 

xi-i-y^-{-Z-—  UV 

peuvent  s'obtenir  en  combinant  entre  elles  des  transformations  des  types 
(i),  (2),  (3),  Remarquons  que  les  x',  y\  z',  u',  v'  n'étant  définis  qu'à  un 
facteur  près,  on  peut  supposer  ce  facteur  choisi  de  manière  que  l'on  ait  iden- 
tiquement 

x^  +  y^-hz^—  ui>  =  x'^-hy'^+z'^—u'ç', 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  5 II 

en  vertu  des  formules  de  la  transformation  donnée 

y'  —  aux-^ 


(T)  


«62j>'+---  -l-assP, 


dont  le  déterminant  est  nécessairement  différent  de  zéro. 

Supposons  d'abord  ags^o  et  considérons  la  transformation  appartenant 
au  type  (2) 

(T,)  j  a,,        '  ^  -^  «3Ô        '  «65        ' 

(  u"=  «'-+-, . .,  v"  =  v'. 

Nous. obtiendrons  TTj  =  S,  la  transformation  (S)  étant  la  suivante 
3?'=  biix-i-  bny  -+■  biiZ  +  bi,^u, 

JK"  =  621  a?  -H  ^'227  H-  ^23-S  -t-  ^24  ", 
(S)  \    5"=  631^+  6327  4-  633^4-  634  M, 

U"  =  641  37  -+-  6427  +  ^43  2  -t-  *4i  "  4-  645  t', 
V"  =  bsiX  H-  6527  +  ^53-3  -+-  654  «  ^-  ^SSt^- 

D'ailleurs  655=  «55  est  différent  de  zéro.  Nous  avons,  par  hypothèse,  iden- 
tiquement 

a»"2  -4- y  2  +  z"^  —  u"  v"=  x^-+-y^  +  z^—  uv. 

En  écrivant  que  le  coefficient  de  p^  est  nul  dans  le  premier  membre  comme 
dans  le  second,  nous  obtenons  645655=0  et,  par  suite,  645  =  0. 

En  écrivant  maintenant  que  les  coefficients  de  vx^  vy,  vz  sont  nuls,  nous 
obtiendrons  641  =  642  =  643  =  o. 

D'ailleurs,  en  égalant  les  coefficients  de  uv,  on  a  644635=  1;  donc  644  pé  o. 

Soit  Tj  la  transformation  du  type  (i)  : 

(T2)     x"'=x\       y"'  =  y,        z"'=z\        u"=b,,y,        v"=b,,u\ 

On  aura  ST2=S'  et  la  transformation  S' s'écrira,  en  tenant  compte  des 
relations  précédentes, 

/   a7"'=6|,^-i- -t-6i4î/, 

(S') 

'  M'"  =  C41 07  +  C42  j  +  C43  5 -t- C44  a  +  (>, 

t'"'  = M, 

Nous  considérons  maintenant  la  transformation  T3  du  type  (2)  : 

\  x,  =  x"'-by,v"',       yt  =  y'"-br.v"',        z^  =  z"'-b,,v'% 
(  «1=  a  -h...,  Vi^v  , 


5l2  NOTE 

et  nous  aurons  S'T3=  S"  : 

Xi  =  ax   -\-by  -\-  cz, 
yi  =  a'x-^b'y-^c'  z, 
(S")  -;  Zi=a"x-\-b"y^c"z, 

I  Ui=  ax   -f-  '^y  -h  ^(Z  -i-  ou  ■+■  V, 

\     V^r=  U. 

D'ailleurs  l'identité 

x\-^ y\-\-  z\ —  uiVi  =  Xi  +  y^-\- z^—  uv 


montre  que  l'on  a 


P  =  Y  =  0  =  o, 


de  sorte  que  la  transformation  S"  s'obtient  en  combinant  une  transformation 
du  type  (3)  avec  une  transformation  du  type  (i). 

Nous  avons  donc  prouvé  que  la  transformation  donnée  (T)  était,  avec 
l'hypothèse  a^^^  o,  un  produit  de  transformations  des  types  (i),  (?.)  et  (3). 
Dans  le  cas  ofi  «55  serait  nul  et  O45  différent  de  zéro,  on  ferait,  au  préalable, 
une  transformation  (i);  enfin,  si  «45  était  nul  en  même  temps  que  «55,  la 
transformation 

a?  =  X,        y  =  \^        z  =  Z,        u  =  \,         p  =  U, 

faite  avant  la  transformation  (S),  ramènerait  à  considérer  «44  et  «54;  enfin, 
si  l'on  avait  aussi  «44=^54  =  0,  il  suffirait  de  faire  une  transformation  du 
type  (2)  pour  les  rendre  différents  de  zéro,  à  moins  que  l'on  n'ait  aussi 

ce  qui  serait  absurde. 

La  discussion  précédente  serait  d'ailleurs  considérablement  simplifiée  si  l'on 
supposait  les  transformations  réelles;  car  il  suffirait  de  considérer  le  coeffi- 
cieijt  de  v^  pour  montrer  que,  si  l'on  a  «45=  «55=  o,  il  en  résulte 

«!5+«l5-^«35=o 
et,  par  suite, 

«16  =  «25  =  «35  =  «45  =  «55  =  o> 
ce  qui  est  absurde. 

Nous  avons  ainsi  défini,  pour  déterminer  la  position  d'un  point  dans  l'es- 
pace, un  système  de  cinq  coordonnées  homogènes  x,y,  z,  u,  v  qui  ont  la  pro- 
priété fondamentale  suivante  :  elles  sont  liées  par  la  relation  quadratique 

x^-\-y^-+-  z^=  uv, 

et  toute  transformation  homographique  qui  laisse  invariante  cette  relation 
équivaut  à  une  combinaison  d'inversions  et  de  déplacements,  en  un  mot,  à  une 
transformation  du  groupe  que  nous  ayons  appelé  G.  Cette  dernière  propriété 
est  très  importante  dans  l'étude  des  propriétés  anallagmatiques  des  figures. 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  5x3 

c'cst-à-diic  des  propriétés  qui  se  conservent  par  l'inversion  et  par  le  déplace- 
ment; en  effet,  quand  on  emploie  ces  coordonnées  particulières,  on  est 
ramené  à  étudier  les  propriétés  des  fonctions  de  x,  j,  z,  u,  v  qui  se  conservent 
par  certaines  transformations  homographiques. 


Formules  fondamentales  en  coordonnées  pentasphériques. 

2;).  On  peut  généraliser  cette  définition  des  coordonnées  et  obtenir  la  no- 
tion la  plus  générale  des  coordonnées  pentasphériques,  due  aussi  à  M.  Dar- 
boux.  Posons 


.js  ;JK  =  «213^1 


I    V  =  a^iXi-^-. 


les  a  étant  des  quantités  réelles  ou  imaginaires  quelconques,  dont  le  déter- 
minant n'est  pas  nul  clXi^x^,  ...,x^  étant  les  nouvelles  coordonnées. 
On  a  identiquement 

x'^ -i-y'^-r-  Z^ —  UV  =  O  (Xi,  X-î,  . . .,  a^ô), 

ç  étant  une  forme  quadratique  aux  cinq  variables  ari,  a^j,  ...,  vTg  que  nous 
appellerons  ybrme /o/ic^ame«to^e.  En  effet,  les  cinq  coordonnées  homogènes 
d'un  point  sont  nécessairement  liées  par  la  relation 


D'autre  part,  il  est  clair  que  si  une  transformation  S  effectuée  sur  x,  y,z, 
u,  V  laisse  invariante  la  forme  x^-^y^-^z^ — uv,  la  transformation  T-'ST 
effectuée  sur  arj,  ...,x^  laissera  invariante  la  forme  tp.  Une  telle  transforma- 
tion équivaut  à  une  composition  d'inversions  et  de  déplacements.  Pour  établir 
les  formules  relatives  au  système  de  coordonnées  x^yX^,  ..  -,^75,  il  suffira  de 
>e  servir  des  formules,  aisées  à  établir  directement,  relatives  au  système  x,y, 
z,  u,  v  et  des  propriétés  d'invariance  des  formes  quadratiques.  Cherchons,  par 
exemple,  la  formule  donnant  l'angle  de  deux  surfaces  représentées  par  les 

équations 

f(x,y,z,u,v)  =  o,        g(x,y,  z,u,v)^o. 

Si  l'on  suppose  p  =  i,  ce  qui  est  permis,  puisque  les  équation?  sont  homo- 
gènes, on  aura 

/(x,y,z,  x-'-i-yi-i-z'-,  i)^.  /x{x,y,z), 

et  l'angle  des  deux  surfaces  fi—  o,  ffi  =  o  est  donné  par  la  formule,  déjà  écrite 
au  n»  12, 

cos6  =  ^-^"^'^         . 

NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  33 


5l4  NOTE 

Or  on  a 


dx        dx        du  Ox        dx  du 


Donc 


vyiiéW       \J  dx    dx        ïj  dx  dx  du  ij     dx        ^  du  ij 


le  signe  V  de  Lamé  indiquant  une  sommation   étendue   aux   trois   axes  de 

coordonnées. 

Les  fonctions  f  et  g  étant  homogènes  en  x,  y,  z,  m,  t^,  on  a,  en  vertu  des 
équationsy  =  0,^  =  0, 


S 

s 


àf  df  df 

dx  du  dv 

x'f  +  u'^/^.^-f=o 
dx  du  dv 


et,  de  plus, 

x^ -h  j'^ -h-  z'^  =  Mp; 
il  en  résulte 

dx    dx         \J  dx  dx  du\     du~^     dv 

à  g  l     àf  df\        ,        df  dg 

du  \     du  dv  I  du  du 

ou,  en  faisant  p  =  i, 

Oàf^dg,  ^dld^  ^d£dj-  ^d£d^__^d£d_g^_Jfà_g^ 
l3  dx    dx        dx  dx       dy  dy        dz    dz  du   dv         '  dv   du 

On  trouverait  de  même 

o(àAy  (ify^i^iy--(iLy^A^i^x 

0\dxj        \dxj        \dyj        \dz  J        ^  du  dv 

Or,  si  nous  désignons  par 

W(X,  Y,  Z,  U,  V) 

la  forme  quadratique 

X2-t- Y2H-Z2— 4UV, 
adjointe  de  la  forme 

x^-^ y^-^  z-  —  uv, 

ces  formules  peuvent  s'écrire 

dx  j  \dx    dy    dz     du    dv  } 


SUR    LES    TRANSFORMATIONS    EN    GÉOMÉTRIE. 

et 


O  dsp    dx         'i       \dx    dx I 


en  posant 

Or  nous   avons  vu  que  si  l'on  a  identiquement,  en  vertu  de  ces  transfor- 
mations liomogiapIiif[U('s  (T), 

,ir(>.  y,  -,  «,  f^)  —  0(3^1,  .rj,  . . .,  3^5), 

les  dérivées  -"^  j  •••>  -2-  sont  transformées  comme  variables  coAt//-ara/-/a«/es. 
Or.  si  la  transformation  T  remplace 

PHI- 

O  (j-l.   Xi.    .  .  .,   3^5  ), 

la  I  raiisformation  adjointe  remplace 

H'  =  X2       V2-^  Z2— 4UV 

|tiii-  l;i  fonction  adjointe  de  ci  : 

'l><\,,  \,,  ...,  \,). 

Il  on  résulte  que  l'angle  des  deux  surfaces  F  =  o,  G  =  o  est   donné  par  la 
formule 


:20.  Cette  formule  va  nous  permettre  d'étudier  de  plus  près  la  signification 
géométrique  de  notre  système  de  coordonnées.  Remarquons  qu'en  résolvant 
les  formules  T,  et  faisant  «^  =  i,  on  trouve,  par  exemple, 

Xx  —    a(  a-2  -i- j2  _^    -2  )  _i^    f^y  _|_  Y^y  _^   5  -    _|_    £. 

Nous  voyons  que  j"i  =  o  représente  une  sphère  Si  et  que  la  coordonnée  .r, 
«l'un  point  est  proportionnelle  à  la  puissance  de  ce  point  par  rapport  à  la 
-phére  Sj  ;  on  a 

.r,—  oKiSi.  r.,  =  ,oK.>S.,.  r„—  îK,S,, 


5l6  XOTE 

p  étant  un  facteur  arbitraire,  les  K  des  constantes  données  et  Si,  .  .  .,  S5  les 
puissances  d'un  point  par  rapport  aux  cinq  sphères  Sj,  . .  .,  S5  (i). 
Une  équation  linéaire 

ai  a^i -f-  a2  iC2 -t- •  •  • -i-  as  ^5  =  G 

représente   évidemment   une   sphère  (ou  un  plan);  cherchons  l'angle  qu'elle 
fait  avec  la  sphère  coordonnée 

Xi  =  o. 
Nous  aurons 

cos6i 


/*(«!,  ...,a;)<i>(i,o,  ...,o) 
En  particulier,  si  l'on  pose 

^(Xi,  ...,X5)—'LkikXiXk  (Aa==  ^Ai); 

on  a,  pour  l'angle  des  sphères  coordonnées  Xi  =  o,  x^  =  o,  l'expression 

A12 


cosOis 


V^AiiA22 


Les  sphères  coordonnées  seront  donc  orthogonales  deux  à  deux  quand  on 
aura 

A/A-  =  o, 


et,  par  suite, 

on  a  d'ailleurs  alors 


c'est-à-dire  que  les  puissances  d'un  point  par  rapport  à  cinq  sphères  ortho- 
gonales deux  à  deux  sont  liées  par  une  relation  quadratique  ne  contenant  pas 
les  rectangles  des  variables. 
Dans  le  cas  de  ces  coordonnées  pentasphériques  rectangulaires,  on  a 


i 

^V>^; 

* 

A 

,x\ 

-4-. . . 

-^ 

Asa?!; 

? 

= 

x\ 
Al 

-+-... 

-f- 

n  /a,  ai 

cosOi  — 


v/A  laf -»-... -H- A^af 
et,  par  suite, 

cosOi  COSO2  COSO5 


/Aiai        /A2a2  /A 


5*5 


(')  On  a  des  relations  géométriques  particulièrement  simples  en  supposant  K,.  =  jr- 
R.  étant  le  rayon  de  la  sphère  S-.  {Voir  Darboux,  loc.  cit.) 


SUR    LES   TRANSFOnMATIONS   EN   GÉOMÉIIUK.  5lJ 

D'ailleurs  on  aperçoit  immédiatement  la  relation 

COS^Oi  -4-  cos-0.>--  .  .  .-^  oos^Os  =  • 

<[ui  lie  les  cosinus  des  angles  d'une  splièic  arbitraire  avec  cinq  splu-rcs  dcu\ 
à  deu\  orthogonales. 

On  obtient  les  formules  les  plus  symétriques  et  les  plus  simples  en  suppo- 
ii«ant  que  l'on  ait 

Al  =  A2  =  . . .  =  A5  =  I , 
■cl,  par  suite, 

^  =  xl  -^  xl  -+-...  -h  xl. 
On  obtient  par  exemple  un  tel  système  de  coordonnées  en  posant 

Xi  =  X, 

^2  =  y, 
.ra  =  z, 

a?2  -4-  y2  -4-  ^2  —  I  a  —  (' 


X^: 


_  .x^-hy^-h  z--h  i        .  M  H- (' 


Les  équations 

371  =  O,  d"2=0,  .r-,  =  0,  X!,=  0,  Xi=  o 

représentent  alors  le  système  particulier  de  sphères  orthogonales  qui  com- 
prend trois  plans  rectangulaires  et  dont  nous  avons  parlé  plus  haut.  On  ob- 
tiendra tous  les  systèmes  de  coordonnées  pentasphériques  rectangulaires  en 
soumettant  a^i,  X2,  . . .,  3*5  à  une  transformation  homographique  orthogonale, 
c'est-à-dire  laissant  invariante  la  forme 

O  =  xl  -\-  Xl  -i-  Xl  -r-  Xl  -\-  Xl. 

Nous  avons  alors,  pour  les  angles  que  fait,  avec  les  sphères  coordonnées,  la 
sphère 

aia^i-f-  «2^2-1--  •  .-T-  «ô-Z"»  =  o, 
les  formules 

cosGi  =  — ^ — ^  •  •  •  • 

On  voit  de  plus  aisément  que  l'angle  de  deux  sphères 
I.oLiXi  =  o,         -a'iXi  =  o 
est  donné  par  la  formule 

cosO=     /^   '    '    -  =  ScosQ,cose;, 


5i8 


>'OTE 


tout  à  fait  analogue  à  celle  qui  donne  l'angle  de  deux  directions  en    fonction 
des  angles  qu'elles  font  avec  trois  directions  rectangulaires. 


Coordonnées  de  la  sphère. 

27.  De  même  que  l'on  a  appelé  les  coefficients  de  l'équation  d'un  plan  coor- 
données du  plan,  de  même  nous  appellerons  coordonnées  de  la  sphère  les 
coefficients  de  l'équation  de  la  sphère,  «i,  a,,  ...,  as.  Nous  voyons  que  ces 
coordonnées  sont  proportionnelles  aux  cinq  cosinus  des  angles  de  la  sphère 
avec  les  cinq  sphères  coordonnées  ;  on  peut  prendre  pour  coordonnées  ces 
cosinus  eux-mêmes  en  divisant  «i,  a2,  . .  . ,  a^  par 


Il  se  présente  une  exception  dans  le  cas  où  l'on  a  , 

a  1  H- a| -t- .  .  . -f- a?  =  o  ; 

il    est  aisé   de  voir  que  dans  ces  cas  la  sphère  se  réduit  à  un  point  dont  les 
coordonnées  homogènes  sont  précisément  (J) 

ai,        «2,         ...,        a.;;. 

En  effet,  nous  avons  vu  qu'en  posant 

F  —  aj a?i -I-  a.2 a"2  H- .  .  . -i-  agrrg  =fi{x.,y,  z), 
on  a 


SS  -2 


Donc  l'équation /i  =  o  représente  une  surface  dont  tous  les  plans  tangents 
sont  isotropes  et  qui,  étant  du  second  degré,  est  un  cône  isotrope  ou  sphère- 
point.  On  peut  remarquer  qu'une  telle  sphère  fait  en  général  un  angle  infini 
avec  une  autre  sphère  quelconque 

(S)  sp,-^,=  o, 


('  )  Il  y  a  ici  une  simplification  due  à  ce  que  la  forme  fondamentale  est  identique 
avec  son  adjointe;  dans  le  cas  général  le  point  j:,,  x^,  . . .,  a;,  est  représenté  par  l'é- 
({uation 

et  l'on  a  d'ailleurs 

\dx^  '     dxj  ~ 


SIR    LKS    TRANSFORMATIONS    EN    GÉOMÉTRIE.  SlQ 

car  on  a 

cosO  =  -—        '^       ) 

f't  l'on  a 

FI  y  a  exception  dans  le  cas  où 

2a,-p,.-o: 

l'angle   est  alors  indéterminé;   la  sphère  S  passe  alors  par  le  centre  P  de  la 
sphère-point;  ces  résultats  sont  évidents  par  la  Géométrie. 
Cherchons  le  rayon  R  de  la  sphère 

2  iXiiCi  =  o. 
Si  l'on  a  identiquement 

I.oiiXi=  Aix^-r-y^'-v  z^)-i-  ?.Bx^2.Cy-^-2Dzi-  H; 
on  sait  que 

B2^G2-f-D2— AH 
^  =  A^ 

Or  A,  B,  G,  D,  H  sont  des  fonctions  linéaires  des  a;  on  a  donc 

j^2  ^   ?(gi,a8,  ....as)  ^ 
tl;2(a,,a2,  ..  .,^5)' 

'f  étant  une  forme  quadratique  et  t!;  une  forme  linéaire.  D'ailleurs  le  rayon  est 
nul  si  ©  =  o  et  infini  si  4^  =  o;  donc  l'équation  <p  ==  o  exprime  que  la  sphère 
se  réduit  à  un  point  et  il»  =  o  qu'elle  se  réduit  à  un  plan;  donc  o  en  particu- 
lier est  ici  la  forme  fondamentale 

o  =  a^-l-a|H-a§-T-a|-t-a|, 
et  nous  avons 

~2  _L  „2     ,_  «2     I     -2     i_  /.î  * 

R2 


(^ia,H-  lzoi.2-\-  /3OC3-I-  4aiH-  ^«5)^ 


Dans  bien  des  théories,  il  y  a  avantage  à  pouvoir  donner  un  signe  au  rayon 
d'une  sphère,  c'est-à-dire  à  pouvoir  considérer  comme  distinctes  deux,  sphères 
de  même  centre  et  de  rayons  égaux,  en  supposant  ces  rayons  de  signes  con- 
traires; on  peut  ainsi  distinguer  plus  aisément  les  centres  d'homothétie,  etc. 
(  Voir  plus  loin,  n"  40.)  On  y  parvient  aisément  ici  en  posant 

C.2_L_«2_:~2_.~2_.~2  —  ~2 

et  l'on  a 


R  = 


ICti 


(7, ai -+-...  -t-  /sŒs) 


Le  signe  de  a^  est  déterminé   par  le  signe  du  rayon  de   la   sphère;  deux 
"phères  qui  coïncident  et  ont  leurs  rayons  de  signes  contraires  ont  toutes 


520 


NOTE 


leurs  coordonnées  égales,  sauf  «e;  une  sphère  a  ainsi  six  coordonnées  homo- 
gènes liées  par  la  relation  symétrique 

Sa?  =  o. 

On  a  pour  l'angle  de  deux  sphères 

s 

Nous  conviendrons  de  prendre  le  signe —  de  manière  que  deux  sphères  qui 
coïncident  fassent  un  angle  nul;  on  a  alors 


(0 


COSe  =    -(°'lt^l+«2^2  +  ---+°t5p5) 


afiS 


6  |-*8 


On  a,  entre  la  distance  des  centres,  les  rayons  et  l'angle  des  sphères,  la 
relation 

rf?r=  R2-f-R'2=h2RR'cosG, 

relation  dans  laquelle  on  doit  prendre  le  signe  -+-  ou  le  signe  —  suivant  la 
convention  que  l'on  fait  pour  définir  l'angle.  Ici,  dans  le  cas  de  deux  sphères 
coïncidentes,  nous  devons  prendre  le  signe  —  ;  donc,  par  raison  de  continuité, 
l'angle  6  défini  par  la  formule  (i)  satisfait  à  la  relation 

dî=  R2  4-R'2_2RR'cosO, 
les  rayons  ayant  leur  signe  d'après  les  formules 

Dans  le  cas  où  R  et  R'  sont  nuls,  c'est-à-dire  où  les  sphères  sont  des  points, 
on  a 

■^^  =  -.RR'cosO=  =i:ii^iI^,l±Mi). 

Comme  d'ailleurs,  dans  ce  cas, 

Sa2..o,         Sj3f  =  o, 
on  peut  écrire  aussi 

et  la  distance  de  deux  points  infiniment  voisins  est  donnée  par  la  formule  (  ^  ) 


(S/,a,-)- 


('  )  Si  a,,  a^,  . . . ,  Oj  satisfaisaient  aux  deux  relations  £a^  =  o,  SZ,a;  =  o,  ce  ne  se- 
raient pas  les  coordonnées  d'un  point,  mais  d'un  plan  isotrope.  Nous  laisserons  de 


SLR    LES    TRANSFORMATIONS    EN    GÉOMÉTRIE.  521 

î28.  La  condition  pour  que  deux  sphères  soient  tangentes  est  donnée  par 
la  formule 

cos  V  =  I 
ou 

«1  Pi  -I-  «2  p2  -*-  •  •  •  ~  «5  p5  -t-  «G  Pg  ~  O  ; 

on  exclut  le  cas  où  cosV  —  —  i;  les  sjjhères  ne  sont  pas  alors  considérées 
comme  tangentes;   quand  cosV  — i,  on   a  d  —  ±(l{  —  R');  si  cosV  —  —  i, 

Si  l'on  elï'ectue  sur  les  a  une  transformation  homographique  II  qui  laisse 
invariante  l'équation 

af-f-a|-r-...-4-a?-i-ag  =  o, 

tieux  cas  peuvent  se  présenter.  Si  la  transformation  n'altère  pas  a^,  la  trans- 
formation sur  ai,  aj,  ...,  «^  devant  donner  lieu  à  l'identité 

aj  -f-  a;  -H .  .  .  -+-  a|  =  a'j-  -(-...-)-  a'--, 

nous  savons  qu'elle  se  réduit  à  une  combinaison  d'inversions  et  de  déplace- 
ments. Nous  pouvons  d'ailleurs  prendre,  lorsque  les  signes  de  a',,  . . .,  ^'5  sont 
choisis,  soit 

soit 

«G  =  —  a'g . 

Cela  revient  à  changer  le  signe  des  rayons  des  sphères  après  l'inversion. 
Or,  c'est  un  fait  remarquable,  depuis  longtemps  mis  en  évidence  par  M.  Dar- 
houx,  que  dans  une  inversion,  le  rayon  de  la  sphère  transformée  s'exprime 
rationnellement  au  moyen  du  rayon  de  la  sphère  donnée.  Si  a,  b,  c,  p  sont 
les  coordonnées  du  centre  et  le  rayon  d'une  sphère,  on  trouve  aisément  pour 
la  sphère  transformée, 

'  _  ^i^ 

h'-  '^^^ 

,_ K2^ 

K2£_ 

c'est  en  vertu  d'une  convention  que  nous  prenons  le  signe  -1-  dans  celte  der- 
nière formule;  on  aurait  pu  aussi  bien  prendre  le  signe  — ;  d'ailleurs,  on  a 
aussi 

«'2  +  b'i  ^  c'î  —  p'!  =    -    -       ,—  -  ,^        ,  . 


côté  ce  cas  d'exception  où  l'on  n'a  pas  K  =  o,  ainsi  que  celui  où  le  point  est  dans  le 
plan  de  l'infini,  au  sujet  duquel  on  peut  consulter  l'Ouvrage  cité  de  M.  Darboux. 


022 


NOTE 


On  pourrait  déduire  de  ces  formules  la  théorie  des  coordonnées  de  la 
sphère  en  procédant  comme  nous  l'avons  fait  plus  haut  pour  les  coordonnées 
des  points.  On  poserait 


R 


U 


«2 -4-  62 -4-  ci 


et  l'on  aurait  les  formules  de  transformation 

X'^^X,         Y'=Y,         Z'=Z,         R'=R,         U' 
qui  laisseraient  invariable  la  relation  fondamentale 

X2 -4-  Y2 -+-  Z2  —  R2  —  UV  =  o. 


K2V, 


K2 


En  posant 
la  forme  fondamentale  s'écrit 


U— V  =  2,ri,     f(UH^V)  :=  2:^5,     R 


iXa, 


et  le  rayon  p  d'une  sphère  est  donné  par  la  formule 

_  R  _     —  ixf, 
'         V       x<^-T-  ixs 

Revenons  aux  transformations  homographiques  H,  conservant  la  forme 

a|-+-a?-h...-(-a|  =  o. 

Nous  venons  de  voir  que,  dans  le  cas  où  ag  reste  invariable,  elles  équi- 
valent à  une  inversion,  au  signe  près  pour  le  rayon,  mais  que  ce  signe  est 
parfaitement  déterminé  dans  chaque  cas;  nous  reviendrons  plus  loin  sur  ce 
point.  On  déduit  aisément  des  formules  précédentes  que  toutes  les  transfor- 
mations H  s'obtiennent  en  combinant  les  inversions  et  déplacements  avec  les 
dilatations,  transformations  qui  consistent  à  augmenter  d'une  quantité  con- 
stante le  rayon  de  chaque  sphère.  Il  suffit  de  combiner  les  transformations 
qui  laissent  x^  invariable  avec  la  transformation  particulière 


(T) 


On  voit,  en  effet,  aisément  que  l'on  a  identiquement,  en  conservant  les  no- 
tations précédentes, 

2^  OC  ;      - — '■    ^^  ^  i  j 

a' =^  a,         b'=^b,         c' ^  c,         p' =  p -f- /i. 


x\  =  xx, 

X  2  =  x^, 

X\  =  X3, 

OC  [^  ~~r'  1/OC  K  —  CCt^  ~T~  tCC^^ 

x'q  =  x^-h  ih{Xi -+-  ix^ ), 

x\  —  ix'^  =  a?4  —  ix^ -+-  h-{xi^-+-  ix^ )  - 

-  ihx^ 

SLR    LES    TRA>SF0RMATIONS    EN    GÉOMÉTRIE.  523 

D'ailleurs  toute  transformation  H  s'obtient  en  combinant  la  transforma- 
tion (T)  avec  les  transformations  qui  laissent  x^  invariable.  Nous  nous  con- 
tenterons, pour  le  moment,  de  ces  indications,  nous  réservant  de  revenir 
sur  les  transformations  (T)  après  avoir  parlé  des  transformations  de  contact 
(voir  n"  41). 


V.  —  Transformations  corrélatives. 

29.  On  sait  que,  au  lieu  de  regarder  une  figure  comme  formée  de  points,  on 
peut  la  considérer  comme  enveloppe  de  plans  (n°  200).  Se  placer  à  ce  dernier 
point  de  vue  revient  à  considérer  l'espace  comme  formé  de  plans,  tandis  que 
d'babitudc  on  le  considère  comme  formé  de  points.  Dès  lors,  au  lieu  de  con- 
sidérer des  transformations  ponctuelles  par  lesquelles  à  un  point  correspond 
un  point,  on  peut  considérer  des  transformations  tangcntielles  par  lesquelles 
à  un  plan  correspond  un  plan.  Pour  avoir  la  transformée  d'une  figure  par 
une  telle  transformation  il  suffit  de  prendre  l'enveloppe  des  plans  transformés 
de  ses  plans  tungents.  On  peut  aussi  considérer  des  transformations  mixtes 
faisant  correspondre  aux  points  d'un  espace  les  plans  d'un  autre  espace.  Mais 
il  n'y  a  pas  lieu  d'étudier,  en  général,  les  transformations  que  nous  venons 
de  signaler,  bien  que  certaines  d'entre  elles  soient  intéressantes  et  méritent 
à  ce  titre  une  étude  particulière;  en  effet,  ces  transformations  tangentielles 
ou  mixtes  peuvent  s'obtenir  en  combinant  avec  les  transformations  ponctuelles 
la  transformation  simple  : 

U\  =  Xi,  u\  =  X.2,  «3    —  X3,  U\   =  Xi,. 

C'est  cette  transformation  que  nous  allons  étudier  tout  d'abord. 
Nous  désignons  par  Xi,  x^,  x^,  x^  les  coordonnées  ponctuelles  et  par  «j, 
Ui,  Uz,  «4  les  coordonnées  tangentielles  de  sorte  que  l'équation  d'un  plan  est 

«1  Xi  -T-  l<2  X-i-^  U^X^  —  U<^X'^  =  o. 

D'ailleurs,  les  lettres  non  accentuées  se  rapportent  à  la  figure  primitive  et 
les  lettres  accentuées  à  la  figure  transformée. 
Aux  divers  points  du  plan 

UiXi  -T-  «2^2  -i-  "3-^3  -^  U!,X,^  =  o 

correspondent  des  plans  dont  les    coordonnées  u\,  u'^,   u\,  u\  satisfont  à  la 
relation 

Ul  u\     -  «2  "2  "^  "i  "'3   "*~  "*  "»   =  O, 

c'est-à-dire  les  plans  passant  par  le  point  : 

x\  =  Ul,  X^  =  «2,  x\  =  W3,  x',^  =  u.,. 

On  voit  que  la  transformation  précédente  est  involutive,  c'est-à-dire  rcslc 
la  même  si  l'on  permute  les  lettres  accentuées  et  les  lettres  non  accentuées. 


024  NOTK 

On  peut  remarquer  qu'un  point  et  le  point  correspondant  sont  pôle  et  polaire 
par  rapport  à  la  quadrique 

xl  -{-  xl  -+-  xl  -+-  xl  =  o, 

d'où  le  nom  de  transformation  par  polaires  réciproques  que  Poncelet  a 
donné  à  la  transformation  considérée.  Il  est  facile  de  constater  que,  si  un 
point  X  décrit  une  surface  S.  le  plan  correspondant  u'  enveloppe  une  sur- 
face S'  et  que  le  point  de  contact  x'  de  u'  avec  S'  correspond  au  plan  u  tan- 
gent à  S  en  X.  Le  plan  u'  a,  en  effet,  pour  équation 

(i)  XiXi -h  XiXi^  X3X-i^Xi,Xi  =  o, 

Xi,  Xi,  373,  x^  coordonnées  d'un  point  de  S  étant  liés  par  la  relation  homo- 
gène 

(2)  J\xx,  X2,X3,  x,,)  —  o. 

Le  point  de  contacta?'  du  plan  (1)  avec  son  enveloppe  est  défini  par  les 
équations  (n°  201) 

x\     ^     x',     ^     x'.,     _     x\ 

C     K      M^      EL' 

dxi  dx-i  dx-i  dx'^ 

<"est  bien  le  point  correspondant  au  plan  u  tangent  à  la  surface  (2). 

En  éliminant  x^,  x^,  x^,  x,^  entre  les  équations  homogènes  (2)  et  (3),  on 
obtiendra  l'enveloppe  du  plan  (i)  qui  sera,  en  général,  une  surface.  Dans  le 
cas  où  les  rapports 

EL  ^  EL  =  1^1  =  AL 

dxi        dx^        dXs        àxi^ 

qui  figurent  dans  les  équations  (3)  ne  dépendraient  que  à'un  paramètre  au 
lieu  de  deux,  ce  qui  a  lieu  quand  la  surface  (2)  est  développable  (*),  on  ob- 
tiendrait, par  l'élimination  de  cet  unique  paramètre,  deux,  relations  entre 
x\,  x'^y  ar'j,  x\,  c'est-à-dire  une  courbe.  Réciproquement,  si  l'on  part  d'une 
courbe  définie  comme  lieu  de  points,  il  lui  correspondra  un  plan  dépendant 
d'un  paramètre,  lequel  enveloppera  une  développable. 

Nous  reviendrons  sur  cette  transformation  d'une  courbe  en  une  dévelop- 
pable après  avoir  étudié  à  fond  la  transformation  des  lignes  droites;  mais 
auparavant  nous  désirons  dire  quelques  mots  de  la  transformation  corré- 
lative générale,  représentée  par  les  formules 

U\  =  «11  a?!  -H  «12^72 
Ua  ^=  a^\X\  H—  6^22 '■^2 
«3   =  asi^^i   -f-  «32^72 

"4  =  ai^\X\  -i-  a<^<iX^_ 


«13 

Xz 

-t- 

«n 

.oc^, 

«23 

,xz 

+ 

«24 

.374, 

«33 

Xz 

-1- 

«34 

,Xi_,, 

a  Vf. 

X-x 

_;- 

«V, 

,X', 

(')  On  lient  compte  toujours,  bien  entendu,  de  l'équation 

f{X^,X^,X^,X^)=0. 


SL'U    LES    TRANSFORMATIONS    KN    GÉOMÉTRIE.  ")  >.  » 

le  déterminant  des  Uik  étant  essentiellement  supposé  différent  de  zéro.  On 
voit  qiio  ^i  If  plan  u\,  u'^,  1*3,  u\  passe  par  le  point  x\,  x\^  x'^,  x\.  nn  ;i 

./•',  (ai).r,  -+-.  .  .-H  «iv-r.,)  -4-  a?',(a2i-i'i  -+-...)-'-•••  =  o, 

ou,  en  abrégé, 

:ùai/,xj.x'i  —  o, 
ce  qui  équivaut  à 

Za/^iXiX%  =  o, 

(II'  sorle  que  le  point  Xi,  x^,  X3,  Xi,  est  situé  dans  le  plan 

«,  —  (iiix'i  -+-  a.2ix[y  -f-  a:iix'^  -f-  «iiar'j, 

«^  :=  anx',  -f-. . .  . 

On  voit  que  la  transformation  n'est  pas,  en  général,  involutive  ;  pour  qu'elle 
le  soit,  il  faut  que  les  relations 

xi  :  xo  '.  X3  :  X-,  =  x\  :  .r',  :  x'^  :  x\ 

entraînent 

ii'i  :  «2  •  "'3  •  "i  =  "1  *  "2  •  "3  *  "v- 

On  reconnaît  aisément  que  pour  cela  on  doit  avoir 

La  valeur  commune  de  ces  rapports  peut  être  l'unité;  le  déterminant  de« 
a//,  est  alors  symétrique;  c'est  le  discriminant  d'une  certaine  forme  quadra- 
tique 

/{xi,  .r,,  X3,  x^)  —  'E.aikXiXk, 
et  l'on  a 

»'   -'     "^-f  a'   -'     ^-^ 

Il  i     -     -—      )  U.,    —    -     -T—    '  .... 

•>,  ax^  •>.  ox-i 

La  transfornmtioti  est  une  transformation  par  polaires  réciproques 
par  rapport  à  la  quadrique  y  =  o. 

Mais  on  peut  satisfaire  d'une  autre  manière  aux  équations  (1).  en  suppo- 
sant la  valeur  commune  des  rapports  égale  à  —  i;  on  a  alors 

a\\  =  «22  =  ^33  =^  ^\\  =  O1         ^12  "+"  ^2i  =0,         .... 

Le  déterminant  des  a  est  un  déterminant  symétrique  gauche;  comme  il 
est  de  degré  pair,  il  n'est  pas  nul  en  général;  en  Géométrie  plane,  la  solu- 
tion correspondante  à  celle-ci  serait  à  rejeter,  car  tout  déterminant  symé- 
trique gauche  de  degré  impair  est  nul.  Si  nous  restons  dans  l'espace,  nous 
pouvons,  en  changeant  les  notations,  écrire  les  équations  de  la  transforma- 
tion 

u'  =  bz  —  cy  -+-  a, 

v'  =  ex  —  az  -^'^, 
w'  —  ay  —  bx  ~-  '(, 

s'  ==  —  (ax -i- ^y-hyz). 


526  NOTE 

l'équation  d'un  plan  étant  mise  sous  la  forme 

u' x'  H-  v' y  -f-  w' z'  -+-  s'  =  o. 

Cette  équation  devient 

a{yz' —  zy')  -\-  b{zy' —  xz')  h-  c{xy' — yx') 

-^- a.{x'  ~  x)  '\-  ^{y'  —y)  -+-y(-3' — z)  —  ç,. 

On  voit  que  ce  plan,  qui  correspond  au  point  x,y,  z,   passe   par  ce  point; 

en  posant 

yz'  —  zy'  =  ax,  ...,         z'  —  z—Ci, 

on  peut  écrire  la  relation  précédente  : 

«a.  H-  6^1  -i-CYi-i-  2cai  -+•  ^b^-^  ^Cy  =  o. 

On  voit  que  la  droite  de  coordonnées  aj,  Pi,  yi,  ai,  bi,  Ci  appartient  à  un 
«certain  complexe  linéaire;  le  plan  correspondant  d'un  point  donné  est  son 
pian  polaire  dans  ce  complexe  et  la  transformation  est  dite  :  transforma- 
tion par  polaires  réciproques  par  rapport  au  complexe.  Le  déterminant 
de  la  transformation  est 


o 

—  c 

h 

a 

c 

o 

—  a 

P 

-b 

a 

o 

Y 

—  a 

-P 

—  Y 

o 

—  (aa-T-  Z»^  -H  cy  j'^- 


Le  fait  qu'il  est  différent  de  zéro  exprime  que  a,  6,  c,  a,  p,  y  ne  sont  pas 
les  coordonnées  d'une  droite,  ou  que  le  complexe  n'est  pas  spécial,  c'est- 
à-dire  n'est  pas  formé  des  droites  rencontrant  une  droite  donnée.  On  aura  le 
cas  le  plus  simple  en  supposant  c  =  y  =  i  ;  les  équations  de  la  transformation 
sont  alors 


-r, 


X, 


u  y X^  , 

«2  =  Xi, 


U 


X^, 


s     = z,  U,^  = X3. 

Il  est  intéressant  de  récrire  à  côté  de  ces  formules  celles  de  la  transforma- 
tion par  polaires  réciproques  par  rapport  à  une  quadrique,  dans  le  cas  le  plus 
simple 

\    U.,   =  Xo, 

(P)  , 

"'-3    =  ^3, 


On  verrait  aisément  que  toute  transformation  corrélative  peut  s'obtenir  en 


SUR    LES    TRANSFORMATIONS     EN    GÉOMÉTRIE.  527 

effectuant  successivement  une  transformation  homograpluque  convenable- 
ment choisie  et  une  de  ces  transformations  particulières;  cette  proposition 
est  un  cas  particulier  de  la  suivante  qui  est  évidente  :  la  transformation 

1*4   =/4(-^l)  ^if  ^35  -^i) 

est  le  produit  de  la  transformation 

et  de  la  transformation 

u'i  :=  .r'[,  11.^  —  .r", .         «3  =  x^,         u\  =  x'I. 

30.  Recherchons  maintenant  quelle  est  la  transformée  n  de  la  transforma- 
tion P  par  une  transformation  homographiquc  H 

11^  II-' PII. 

Appelons  (c)  la  conique  qui  a  pour  équation 

.r\  -r-  xl  -T-  xl  -h  xl  =  o 

et  r  la  transformée  de  c  par  H  ;  je  dis  que  la  transformation  FI  est  une  trans- 
formation par  polaires  réciproques  par  rapport  à  T.  Soit  en  effet  a  un  point 
et  X  son  plan  polaire  par  rapport  à  F;  la  transformation  H-*  remplace  Y 
par  G,  a  et  e,l>  respectivement  par  un  point  a  et  un  plan  A,  qui  sont  pôle  et 
|)olaire  par  rapport  à  C.  Nous  voyons  donc  que  H-*  remplace  a  par  a,  P  rem- 
place a  par  A  et  H  remplace  A  par  A.,  ;  donc  FI  =  H-'PH  remplace  a  par  A. 

c.  Q.   F.   D. 

La  démonstration  par  le  calcul  ne  présente  pas  non  plus  de  difficultés  (*). 

Ces  propositions  ont  une  grande  importance  au  point  de  vue  de  l'emploi 
de  la  transformation  par  polaires  réciproques  pour  la  démonstration  de  pro- 
priétés des  figures.  Nous  voyons  que,  si  Von  se  place  au  point  de  vue  pro- 
jectif,  le  choix  de  la  quadrique  directrice  (ou  de  la  conique  directrice  dans 
le  plan)  est  complètement  indifférent. 

On  peut  transformer  par  rapport  à  une  quadrique  particulière  et  effectuer 


(';  Un  vcrraiL  de  mcuic  que  la  LranslormaLiua  1'  m;  U  aii-iui  mr  jjar  une  transfor- 
mation homographiquc  eu  une  transformation  par  polaires  réciproques  par  rapport 
au  complexe  linéaire  transformé  du  complexe 

xy'  —  yx'  -'■-  z  —  z'  ~  o. 


528  NOTE 

ensuite  une  transformation  homographique  générale.  Lorsqu'il  s'agit  de  trans- 
former des  propriétés  métriques,  il  semble  que  le  choix  de  la  surface  di- 
rectrice influe  et,  effectivement,  la  transformation  de  certaines  de  ces 
propriétés  acquiert  un  énoncé  particulièrement  simple  lorsque  cette  surface 
est  une  sphère  (dans  le  plan  on  choisit  un  cercle  et  quelquefois  une  para- 
bole). En  réalité,  la  simplification  ainsi  obtenue  est  plus  apparente  que 
réelle,  et  l'on  aura  souvent  avantage  à  procéder  autrement  :  on  énoncera  la 
propriété  métrique  sous  une  forme  projective;  on  transformera  par  rapport 
à  une  conique  quelconque,  par  exemple,  et  ensuite  on  choisira  dans  la  nou- 
velle figure  la  droite  de  l'infini  et  les  points  cycliques  parmi  les  éléments 
qui  jouent  un  rôle  important,  de  manière  à  avoir  un  énoncé  métrique. 

31.  Il  résulte  des  remarques  précédemment  faites,  que  l'ensemble  des 
transformations  corrélatives  et  des  transformations  homographiques  forme 
un  groupe,  que  nous  appellerons,  dans  ce  qui  suit,  groupe  (j". 


Coordonnées  de  la  droite.  —  Groupe  (j*. 

Ce  groupe  est  représenté  par  des  équations  de  deux  natures  très  difi"érentes  : 
les  équations  de  la  transformation  homographique  et  celles  de  la  transfor- 
mation corrélative;  il  y  a  avantage  à  simplifier  cette  représentation,  notam- 
ment si  l'on  désire  étudier  les  propriétés  invariantes  par  ce  groupe;  nous 
obtiendrons  ce  résultat  par  l'emploi  des  coordonnées  de  la  droite,  en  même 
temps  que  nous  rendrons  intuitive  l'existence  du  groupe  (J". 

On  sait  que  l'on  peut  attribuer  à  une  droite  six  coordonnées  homogènes 

liées  par  la  relation 

a  a  -^  6  p  -i-  c  Y  =  o  ; 

les  coordonnées  de  la  droite  qui  joint  deux  points  :  x^,  x^,  x^,  x^  et  j'i,  y^^ 
Yi  yu,  sont  données  par  les  relations 


Xiy\  —  X'.y\        x^y<^  —  a74jK2        ^3  /i  —  ^tjs 

^  ^  _  P    ____  _  _  ï 

xiy^  —  x-iji        xsyi  —  xtys        Xiy^  —  x-^ji 

et  les  coordonnées  de  la  droite  intersection  des  deux  plans  Mj,  Ui,  u^,  «v  et 
^1,  ^2;  ^3}  ^i  P^i"  les  formules 

=  «  =  _.  _L^  ^  ^ T 

UiVi «4^1  U^Vi^ «4*^2  Ihi'i  —  U!,V3 

Cherchons  comment  les  coordonnées   de  la  droite  sont  transformées  par 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE, 
une  transformation  homographiquc  : 

1    X\    —  aiiXi  -{-  Uii^i  -r-  aisXi  -f-  Un^X;, 


529 


(H) 


I    a"^   =  a;  ja^i  -4-  042^72  -t- «43^:3  -f-  a44  3^4 

On  a,  par  exemple, 


«11 

«41 


«14 
«4  4 


«44^4)- 


^l74— ^'471 

=  («11^1    -+-  ai2Xi-h  «13a73-+-«14^4)(«4l7l-^  «4272-H  «43/3 
=  («U«44  —  «14«4l)  (•2^174— iP47l)  -+-••• 
-^-  («1  1  «42  —  «12«41  )  (^172  —  ^271)  ; 

c'est-à-dire 

en  désignant  par  A//'  le  mineur  de  0,  qui  s'obtient  en  supprimant  les  lignes 
de  rangs  i  et  k  et  les  colonnes  de  rangs  i'  et  k'.  En  se  servant  de  la  règle 
de  Laplace  pour  le  développement  des  déterminants,  on  voit  aisément  que 
l'on  a 


(■^) 


a'a'-i-  b"^'  -^  c'y'  =  A(aa  -)-  6^  H-  CY)• 


Lediscriminantdea'a'^-6'  ^'-f-  c'y'  est  égal  par  suite  àcelui  de  aa-+-6^-4-cv 
multiplié  par  A^,  d'où  l'on  conclut  que  le  module  de  la  substitution  qui  rem- 
place les  a  par  les  a'  est  A'. 

On  trouverait  de  même,  pour  la  transformation  corrélative, 


les  formules 

(0' 


«,    =  «1)3^1  -t-  «12^72  -i-.  ..  , 

!  a'  =  A|3a^..,+ A||y> 

{    î 

(  c'=  Ana-^...-f-A^jY, 


donnant  lieu  encore  à  l'identité  (-i).  Je  dis  que  si,  réciproquement,  on  trans- 
forme des  droites  de  l'espace  par  des  formules  linéaires  et  homogènes 

(3)  a'=/(a,  ^>,  c,  a,  |3,  y)  .  ..,         y' =  o  («> '^^  c,  a,  p,  y), 

donnant  lieu  à  l'identité 

(i)  a' a!  -+-  6'P'  -i-  c'y'  =  A(aa  -h  6[i  -+-  cy); 

la  transformation  (3)  appartient  au  groupe  (j',  c'est-à-dire  est  une  transfor- 
mation homographiquc  ou  une  transformation  corrélative.  Cette  proposition 
supposée  démontrée  met  bien  en  évidence  la  propriété  des  transformations 
horaographiques  et  corrélatives  de  former  un  groupe,  car  il  est  évident  que 
NiEWENGLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  3j 


53o  NOTE 

l'ensemble  des  transformations  (3),  qui  donnent  lieu  à  l'identité  (4),  forme 
un  groupe. 

32.  Pour  démontrer  cette  proposition,  nous  pouvons  observer  qu'une  forme 
quadratique  à  6  variables  ayant  21  coefficients,  l'identité  (4)  établit  20  rela- 
tions entre  les  36  coefficients  des  relations  (3);  ces  relations  sont  précisé- 
ment celles  qui  existent  identiquement  entre  les  36  coefficients  des  relations 
(i)  et  (i)',  lesquels  s'expriment  au  moyen  des  16  coefficients  at^.  Si  l'on  ad- 
met, ce  qui  est  à  peu  près  évident,  que  ces  20  relations  sont  indépendantes, 
on  peut  en  conclure  réciproquement  que,  lorsqu'elles  sont  vérifiées,  les  36 
coefficients  des  relations  (3)  peuvent  être  identifiés  avec  les  36  Af/'  qui  figu- 
rent dans  (i)  ou  dans  (i)',  et  qui  dépendent  seulement  des  16  paramètres  a,/,. 
Cette  démonstration  a  l'avantage  d'être  très  simple,  mais  il  faut  convenir 
qu'elle  n'a  pas  toute  la  rigueur  désirable  et,  de  plus,  elle  ne  fait  pas  bien 
comprendre  pourquoi  le  système  (3)  se  ramène  tantôt  à  la  forme  (1)  et  tantôt 
à  la  forme  (1)'. 

Pour  abréger,  nous  ne  nous  étendrons  pas  ici  sur  ces  explications  complé- 
mentaires, qui  seront  inutiles  après  la  lecture  du  paragraphe  qui  concerne 
les  transformations  dans  l'espace  à  plusieurs  dimensions  (n°48).  Signalons  seu- 
lement le  fait  capital  sur  lequel  elles  s'appuient  :  l'identité  (4)  et  la  forme 
linéaire  des  formules  (3)  permettent  d'écrire 

S(a'  -H  a'i)  (a'-t-  a',  )  =  A-S(a  -1-  «j  )  (a  -|-  aj  ), 

en  supposant  que  l'indice  i  se  rapporte  à  une  seconde  droite;  on  en  conclut, 

à  cause  de  (4), 

S(a'a\  -I-  a'i  a')  =  A-S(aai  4-  ai»), 

c'est-à-dire  que  la  transformation  (3)  considérée  remplace  deux  droites  qui 
se  coupent  par  deux  droites  qui  se  coupent.  Un  ensemble  de  droites  dépen- 
dant de  deux  paramètres  et  tel  que  chacune  de  ses  droites  rencontre  toutes 
les  autres,  c'est-à-dire  un  hyperfaisceau,  sera  donc  remplacé  par  un  hyperfais- 
ceau;  seulement  deux  cas  peuvent  se  présenter  :  la  transformation  remplace 
une  gerbe  par  une  gerbe  et  un  système  plan  par  un  système  plan,  ou  bien  elle 
remplace  la  gerbe  parle  système  plan  et  le  système  plan  par  la  gerbe.  Dans 
le  premier  cas,  elle  est  homographique  et,  dans  le  second  cas,  corrélative. 

On  voit  que  le  groupe  (J*  est  ici  représenté  par  un  seul  système  d'équa- 
tions; mais  il  faut  ajouter  que  les  coefficients  sont  assujettis  à  certaines 
conditions,  et  que,  si  l'on  voulait  les  expliciter,  le  système  se  décomposerait 
en  deux;  c'est  ce  que  feront  apparaître  plus  clairement  les  remarques  sui- 
vantes. 

33.  Posons 

(0  ' 

(  Y  =/6(^i,^2,  •••Je), 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS    EN   GÉOMÉTRIE.  53 1 

les  f  étant   les  symboles  de  formes  linéaires  à  déterminant  non  nul;  on  a 
idenli<|iitMii<Mit 

<o(^;)   élant   une   forme    quadratique  au\   variables  ^i,  ^q»  •••7  ;6  dont  le  dé- 
terminant n'est  pas  nul. 

Il  est  clair  que  six  quantités 

[^Ij       [^2î       •  •  •  >       \H 

satisfaisant  à  la  relation 

W  (  [i.  )  =  o 

peuvent  être  considérées  comme  les  coordonnées  homogènes  d'une  droite, 
laquelle  aura  pour  coordonnées  ordinaires 

D'ailleurs  la  condition  pour  que  deux  droites  (Ji  et  v  se  rencontrent  est,  en 
vertu  de  l'identité  (2)  et  de  la  forme  linéaire  des  équations  (i),  que  le  coeffi- 
cient de  X  dans 

5oit  nul,  c'est-à-dire  que  l'on  ait 

vi f-  V2  T h. .  .-^v6  - —  =0. 

Oiii  d[iî  â^a 

Il  est  clair  qu'en  choisissant  convenablement  la  transformation  (i),  on  pourra 
supposer  que  ti)(^)  est  une  forme  quadratique  quelconque  à  discriminant 
non  nul.  Nous  pourrons  supposer  par  exemple 

Il  est  évident  que  lorsqu'on  lemplace  les  variables  a,  b,  . . .,  y  par  les  va- 
riables ;,  le  groupe  (J  devient  le  groupe  des  transformations  homographiques 
donnant  lieu  à  l'identité 

D'ailleurs,  on  peut  toujours  supposer  le  coefficient  de  proportionnalité  par 
lequel  il  est  permis  de  multiplier  les  Ç'  choisi  de  manière  que  l'on  ait 

co(ï')-w(0. 

La  transformation  est  alors,  dans  le  cas  où  co  a  la  forme  particulière  (3), 
une  transformation  orthogonale  à  six  variables;  écrivons-la 

(T)  '    • •> 


532  NOTE 

La  relation 


k?  +  --.-^^7  =  ll 


?G 


donne 


«11+  «f.2  +  ---+  «ÏG=J> 

«11  «21    "^  «12  «22    ~^  •  •  •  "t~  «16  «2  fi    ^^  O) 


et  les  relations  analogues;  on  démontre,  de  même  que  dans  le  cas  de  trois 
variables  (p.  3i),  que  le  déterminant  des  aïk  est  égal  à  ±  i,  de  sorte  que  les 
transformations  (F)  se  divisent  en  deux  classes  suivant  que  le  déterminant  est 
-1- I  ou  est  — I.  D'ailleurs  le  produit  de  deux  transformations  a  un  détermi- 
nant égal  au  produit  des  deux  déterminants;  on  peut  en  induire,  et  cette  in- 
duction sera  pleinement  justifiée  plus  loin  (n°  48)  que  les  transformations  de 
déterminant  -t- i  sont  des  transformations  homographiques  et  les  transforma- 
tions de  déterminant  — i  des  transformations  corrélatives,  car  le  produit  de 
deux  transformations  de  même  espèce  (homographiques  ou  corrélatives)  est 
une  transformation  homographique,  tandis  que  le  produit  de  deux  transfor- 
mations d'espèces  différentes  est  une  transformation  corrélative. 

34.  On  voit  que  les  transformations  du  groupe  Ç  ont  ce  caractère  commun 
de  remplacer  par  lui-même  l'ensemble  des  droites  de  l'espace;  seulement 
une  distinction  s'établit  immédiatement  entre  les  transformations  homogra- 
phiques et  les  transformations  corrélatives.  Les  premières  sont  des  trans- 
formations ponctuelles  et  font  correspondre  aux  divers  points  d'une  droite 
les  divers  points  de  la  droite  transformée;  mais  les  secondes  font  corres- 
pondre aux  points  d'une  droite  les  plans  qui  contiennent  la  droite  transfor- 
mée, et  réciproquement. 

Considérons  une  droite  qui  soit  tangente  à  une  surface  S  ou  qui  coupe  une 
courbe  G;  on  peut  dire  dans  ces  deux  cas  qu'il  y  a  sur  cette  droite  un  point 
M  et  qu'il  passe  par  cette  droite  un  plan  P,  tels  que  P  soit  tangent  en  M  à 
S  ouàC.  Gela  posé,  soit  d'abord  une  surface  non  développable  S;  une  trans- 
formation homographique  ou  corrélative  lui  fait  correspondre  une  surface 
non  développable  S'  et  de  manière  qu'à  l'ensemble  d'un  point  et  d'un  plan 
tangents  de  S  correspondra  l'ensemble  d'un  point  et  d'un  plan  tangents  de  S'. 
Donc  aux  tangentes  de  S  correspondent  les  tangentes  de  S'.  Dans  le  cas  où 
la  surface  S  serait  développable,  le  raisonnement  subsiste  pour  la  transfor- 
mation homographique;  la  transformation  corrélative  lui  fait  correspondre 
une  courbe  et  à  l'ensemble  de  ses  tangentes  l'ensemble  des  droites  qui  ren- 
contrent cette  courbe.  D'ailleurs,  aux  génératrices  de  la  développable,  c'est- 
à-dire  aux  droites  telles  que  tous  leurs  points  soient  sur  la  surface,  corres- 
pondent les  tangentes  de  la  courbe,  c'est-à-dire  des  droites  telles  que  tous 
leurs  plans  soient  tangents  à  la  courbe.  Les  quelques  dérails  que  nous  allons 
donner  sur  les  transformations  de  contact  éclairciront  encore  ces  considéra- 
tions. 


SUR   LES    TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  533 


VI.  —  Transformations  de  contact. 

Le  moment  est,  en  effet,  venu  d'exposer  aussi  complètement  que  le  permet 
l'exiguïté  de  notre  cadre,  la  notion  fondamentale  à' élément  de  contact,  due 
à  M.  Lie. 

Éléments  de  contact. 

3o.  On  appelle  élément  de  contact  l'ensemble  d'un  point  x,  y,  z  et  d'un 
plan 

Z-z=pa-x)-^q{Y-y) 

passant  par  ce  point.  Les  cinq  quantités  x,y^  z,  p,  q  sont  les  cinq  coordon- 
nées de  l'élément  de  contact;  on  voit  que  l'ensemble  des  éléments  de  contact 
de  l'espace  dépend  de  Cing  paramètres;  on  dit  quelquefois  qu'un  tel  ensemble 
forme  une  infinité  quintuple,  ce  que  l'on  exprime  par  le  symbole  oos. 

Un  élément  de  contact  est  dit  appartenir  à  une  surface,  s'il  est  formé  d'un 
point  de  cette  surface  et  du  plan  tangent  en  ce  point  à  la  surface  ;  à  une 
courbe,  s'il  est  formé  d'un  point  de  cette  courbe  et  d'un  des  plans  tangents  à 
cette  courbe  en  ce  point;  à  un  point  s'il  est  formé  de  ce  point  et  d'un  plan 
quelconque  passant  parce  point.  Avec  ces  conventions  de  langage,  les  divers 
faits  géométriques  suivants  : 

Deux  surfaces  sont  tangentes; 

Une  surface  et  une  courbe  sont  tangentes; 

Deux  courbes  se  coupent; 

Une  surface  passe  par  un  point; 

Une  courbe  passe  par  un  point; 

Deux  points  coïncident, 

peuvent  être  exprimés  de  la  môme  manière. 

Les  deux  êtres  géométriques  considérés  (surface,  courbe  ou  point)  ont 
un  élément  de  contact  commun. 

Nous  désignerons  sous  le  nom  de  multiplicité  l'ensemble  doublement  infini 
des  éléments  de  contact  qui  appartiennent  à  une  même  surface,  à  une  même 
courbe  ou  à  un  même  point,  et  deux  multiplicités  ayant  un  élément  de  con- 
tact commun  seront  dites  tangentes. 

Si  l'une  des  multiplicités  est  une  courbe  et  l'autre  un  point,  par  exemple, 
dire  qu'elles  sont  tangentes  signifiera  que  la  courbe  passe  par  le  point. 

Avec  ce  langage  abrégé,  diverses  propriétés  de  la  transformation  corré- 
lative peuvent  être  réunies  en  un  seul  énoncé  :  cette  transformation  rem- 
place deux  multiplicités  tangentes  par  deux  multiplicités  tangentes. 
Toute  transformation  ayant  cette  propriété  fondamentale  s'appelle  transfor- 
mation de  contact;  r^ous  allons  nous  proposer  de  rechercher  la  forme  gêné- 


004  NOTE 

raie  de  toutes  les  transformations  de  contact;  nous  retrouverons  en  particulier 
toutes  les  transformations  déjà  étudiées  dans  les  Chapitres  précédents. 

Une  transformation  de  contact  doit  remplacer  toutes  les  multiplicités  ayant 
un  élément  de  contact  commun  E  par  des  multiplicités  ayant  en  commun  un 
autre  élément  de  contact  commun  E'.  Il  est  bien  clair  que  l'on  peut  consi- 
dérer une  telle  transformation  comme  faisant  correspondre  E'  à  E,  c'est- 
à-dire  que  les  coordonnées  x' ,  y' ,  z\ p,  q'  de  E'  sont  certaines  fonctions 
des  coordonnées  x,  y,  z,  /?,  ^r  de  E  : 

/  x'  =  f{x,y,z,p,q), 
(0  \  -'=  h{x,y,z,p,q), 

I  p'=  k{^,y,^,p,'q)r 

^    q'=  l  (x,y,z,p,q). 

D'ailleurs,  ces  équations  (i)  doivent  pouvoir  être  résolues  par  rapport 
à  X,  y,  z,p,  q  {n°  il,]).  Soi),  c'est-à-dire  établissent,  entre  ces  cinq  variables, 
cinq  relations  distinctes.  En  particulier,  les  trois  premières  de  ces  équations 
sont  distinctes  et,  par  suite,  si  l'on  élimine  entre  ces  trois  équations  distinctes 
les  deux  variables  p  et  q,  on  obtiendra  au  moins  (i)  une  relation  entre  x, 
y,z,  x',y',z'.  D'après  cela,  trois  cas  peuvent  se  présenter  : 

1°  L'élimination  de  p  et  de  q  entre  les  équations 


(2) 


donne  trois  relations  distinctes  entre  x,  y,  z,  x' ,  y',  z'  ;  cela  revient  à  dire  que 
ces  trois  équations  ne  renferment  pas/»  et  ^;  la  transformation  est  donc  une 
transformation  ponctuelle  et  il  n'y  a  pas  lieu  de  s'y  arrêter  plus  longuement. 
1°  L'élimination  de/?  et  de  q  entre  les  équations  (a)  donne  deux  relations 
distinctes  : 

1  G(ar,jK,  ^,  x',y',z')  =  o. 


x' 

=  f, 

y' 

=  ^> 

JZ 

=  h 

(3) 


3°  L'éliminination    de  p   et   de  q  donne  une  seule  relation  entre  x,  y,  z, 

x\  y',  z'  : 

(4)  (ji(x,y,z,x',y',z')  =  o. 

Nous  allons  parler  d'abord  de  ce  dernier  cas;   nous  étudierons  ensuite  le 
précédent. 


(')  Ces  trois  équations  sont  distinctes  par  rapport  aux  cinq  variables  x,  y,  z,p,  q, 
mais  ne  le  sont  pas  nécessairement  par  rapport  aux  deux  variables  p  et  q. 


SUR   LES    TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE. 


Transformations  de  contact  de  la  première  classe. 

36.  Nous  partons  donc  de  riiypothèse  suivante  :  une  certaine  transforma- 
tion T  fait  toujours  correspondre  à  deux  multiplicités  tangentes  deux  mul- 
tiplicités tangentes;  de  plus,  entre  les  coordonnées  x^  y,  z,p,q\  x',y',z\ 
p',  q'  de  deux  éléments  de  contact  correspondants  existe  la  seule  relation 
indépendante  de  p,  q,p\q' 

iM{x,y,z,  x',y\z')  =  0. 

Nous  allons  voir  que  ces  conditions  suffisent  pour  déterminer  la  transfor- 
mation (T).  Considérons,  en  effet,  un  point 

X  ^^  a,        y  ^=  b,         z  =  c. 

Les  éléments  de  contact  de  ce  point  ont  pour  coordonnées  a,  b,  c,p,  q  et 
l'on  doit  supposer  p  t\.  q  quelconques.  D'après  cela,  les  coordonnées  J^,y', 
z',p',  q'  des  éléments  de  contact  correspondant  aux  éléments  de  contact  du 
|)oint  (a,  b,  c)  seront  liées  par  la  seule  relation  indépendante  de  p'  et  q' 

(5)  io{a,  b,  c,  x',  y',z')  =  o. 

En    d'autres    termes,    la   transformation  considérée  fait    correspondre    au 
point  a,  b,  c  la  surface  représentée  par  l'équation  (  j). 
Considérons  maintenant  une  surface  S 

(6)  <f(x,y,z)  =  o 

et  soit  (a,  b,  c)  un  point  de  cette  surface. 

La  surface  S  et  le  point  {a,  b,  c)  sont  deux  multiplicités  tangentes;  il  doit 
donc  leur  correspondre  deux  multiplicités  tangentes,  c'est-à-dire  que  la  mul- 
tiplicité S'  qui  correspond  à  S  est  tangente  à  la  surface  (5);  comme  le  même 
raisonnement  peut  être  répété  pour  tout  point  (a,  b,  c)  de  S,  l'on  en  conclut 
que  l'on  obtient  S'  en  cherchant  l'enveloppe  de  la  surface 

(4)  w(ar,  ^,z,  a7',y,  z')  =  o, 

x,y,z  étant  des  paramètres  liés  par  la  relation  (S).  On  sait  que  l'on  obtient 
cette  enveloppe  en  éliminant  x,y,z  entre  les  relations  (6),  (4)  et  les  sui- 
vantes : 


(7^ 

Si  l'on  pose 

P  = 


ddi 

dio 

diù 

dx 

àl 

dz 

do    ~ 

do 

d«p 

dx 

dp 

dz 

do 

do 

dx 

9 

=  — 

ày 

d^ 

à'z 

dz 

536  NOTE 

les  équations  (7)  s'écriront 

d(jL)  du> 

â^  -*-^  .}?  =  "' 

do)  d(x) 

oj^       ^  az 

On  peut  remarquer  que  p  Ql  q  sont  les  coefficients  de  l'équation  du  plan 
tangent  à  (S),  écrite  sous  la  forme 

Z-z=p{li-x)  +  q{Y~y). 

En  d'autres  termes,  x^  y,  z,  /),  g  sont  les  coordonnées  d'un  élément  de 
contact  de  S  et  l'on  obtient  les  coordonnées  x',  y',  z'  de  l'élément  corres- 
pondant en  résolvant  les  équations  (4)  et  (7)'.  On  A'oit  que  ces  coordonnées 
ne  dépendent  que  des  coordonnées  de  l'élément  de  contact  et  non  de  la  sur- 
face (S). 

Il  en  résulte  qu'à  une  surface  (S)  correspond  généralement  une  surface  (S') 
définie  par  les  équations 

M(x,y,z,x',y,  z')  =  0, 

(8)  {âi'^-Pdl^^' 

■d]r-^^Tz    =^' 

dans  lesquelles  x^y,  z,  p^  q  sont  les  coordonnées  dépendant  de  deux  para- 
mètres d'un  élément  de  contact  de  S.  Il  est  aisé  de  calculer  les  coordonnées 
d'un  élément  de  contact  de  S';  nous  pouvons  regarder  les  équations  (7) 
comme  définissant  x',  y',  z'  comme  fonctions  de  a;  et  jk,  ^  y  étant  considéré 
comme  fonction  de  x  et  y,  dont  les  dérivées  partielles  sont /»  et  q.  En  diffé- 
rentiant  la  première  des  équations  (8),  successivement  par  rapport  à  x  et  y, 
on  obtient  (i) 

diù  du)  dtjy   dx'  ôm    dy'  ôm  dz' 

dx  '    dz  dx'   dx  dy'   dx  '    dz'  àx           ' 

d(i>  d(xi  dio   dx'  dui   dy'  doi  dz'  _ 

dy  dz  dx'  dy  dy'   dy  dz'  dy 

En  tenant  compte  des  équations  (8),  on  voit  que  l'on  a 

dfx)     àu>  ^  doi        dy'  dz'        dy'  dz'    dz'  dx'        dz'  dx'    dx'  dy'        dx'  dy' 
dx'  '  dy'  '  dz'         dx   dy         dy   dx  '  dx    dy        dy    dx  '  dx    dy         dy   dx 

Or  les  trois  quantités  écrites  dans  le  second  membre  sont  proportionnelles 


('  )  Le  calcul  se  fait  plus  simplement  par  l'emploi  des  différentielles  totales,  emploi 
que  j'ai  tenu  à  éviter  dans  tout  ce  Chapitre. 


SLR    LES    TRANSFORMATIO.NS    EN    GÉOMÉTRIE.  687 

aux  coefficients  de  l'cquation  du  plan  tangent  écrit  sous  la  forme 

A(X'-^') -t- B(Y'-y)  +  C(Z'- s')  =  0. 
On  en  conclut 

do)    d(o    ()u)  ,      , 


c'est-à-dire 


dx'    df    Oz        '      ^ 


-r—,     -f-a— ,   =   O. 

ay         ■*  dz 

Ces  équations  montrent  que/>'  et  q',  de  même  que  x',y,z',  ne  dépendent 
que  de  x,  y,  z^  p,q\  d'ailleurs  leur  analogie  avec  les  équations  (7)'  montrent 
bien  que  la  transformation  est  définie  d'une  manière  symétrique  par  rapport 
aux  lettres  accentuées  et  non  accentuées,  ce  qui  devait  être  puisque  l'on 
peut,  en  parlant  de  l'équation  (4),  raisonner  d'une  manière  analogue  sur  ces 
deux  systèmes  de  variables. 


37.  Nous  avons  fait  une  seule  hypothèse  restrictive,  mais  elle  est  essentielle; 
les  équations  (8)  sont  des  équations  distinctes  en  x\  y' ,  z',  c'est-à-dire 
peuvent  être  résolues  par  rapport  à  ces  trois  variables,  et  donnent  en  géné- 
ral, c'est-à-dire  si  la  surface  S  est  quelconque,  pour  x',  y',  z',  des  fonctions 
de  deux  variables;  d'ailleurs  pour  des  surfaces  S  particulières,  x',  y',  z' 
peuvent  être  des  fonctions  d'une  seule  variable  ou  même  des  constantes;  à 
ces  surfaces  il  correspond  une  courbe  ou  un  point. 

Inversement,  nous  aurions  pu  partir  d'une  courbe  C;  x,  y,  z  auraient  alors 
été  des  fonctions  d'un  seul  paramètre  et  nous  aurions  été  amené  à  chercher 
dans  ces  conditions  l'enveloppe  de  la  surface  (4);  en  désignant  par  a,  p,  y 
les  cosinus  directeurs  de  la  tangente  à  G,  nous  aurions  eu  à  éliminer  le  para- 
mètre qui  définit  G  entre  l'équation  (4)  et  l'équation 

dx  ày        '  dz 

obtenue  en  dérivant  (4)  par  rapport  à  ce  paramètre.  Gette  dernière  équa- 
tion est  une  conséquence  des  équations  (6')  et  de  l'équation 

/>a-^^P-Y=^o 

qui  exprime  que  le  plan  de  tout  élément  de  contact  de  G,  c'est-à-dire  tout 
plan  tangent  à  G,  contient  la  tangente  à  G;  nous  pouvons  donc  conserver  les 
équations  (7)'  dans  tous  les  cas. 

Nous  arrivons  ainsi  au  résultat  suivant  :  une  première  classe  de  transfor- 


538  NOTE 

mations  de  contact  est  définie  par  les  formules 

ox  oz 


=  o, 

=  0, 

que  l'on  suppose  essentiellement  pouvoir  être  résolues,  soit  par  rapport  à 
X,  y,  z,  p,  q,  soit  par  rapport  à  x',  y',  z\  p',  q' .  Il  faut  pour  cela  que  la 
fonction  caractéristique  tu  soit  convenablement  choisie.  L'interprétation 
géométrique  de  ces  formules  est  facile. 

38.  Des  exemples  éclairciront  cette  proposition  générale;  dans  le  cas  où  a> 
est  bilinéaire, 

w  =  ax\xx' -\-  a\ixy' -k-  a^iyx'  -h . .  .-+-  «34-3  -f-  «43 s' -t-  a,^!^, 

on  retrouve  la  transformation  corrélative;  nous  n'y  reviendrons  pas. 
Supposons  maintenant 

co  =  372  -1-  ^2  _|_  ^2  —  rpx'  —  yy'  —  zz'. 
Si  l'on  regarde  x,  y,  z  comme  fixes,  l'équation 


représente  un  plan  P  passant  par  le  point  {x,y^  z)  et  perpendiculaire  à  la 
droite  qui  joint  ce  point  à  l'origine.  Au  lieu  du  point  (a;,  y,  z)  correspond 
l'enveloppe  de  ce  plan;  si  le  point  {x,y,z)  décrit  une  surface  S,  le  plan  P 
enveloppe  une  surface  S',  et  S  est  la  podaire  de  S'  par  rapport  au  point  O. 
Si  M'  est  un  point  {x' ,  y',  z')  de  S',  S  est  l'enveloppe  de  la  sphère 

x^ -^ y^ -h  z^ —  (xx'  -h yy' -{-  zz')  —  o 

décrite  sur  OM'  comme  diamètre.  Cette  proposition  est  aisée  à  démontrer 
géométriquement;  on  examinera  aussi  aisément  les  cas  particuliers  oii  S  ou 
S'  se  réduit  à  une  courbe. 

On  peut  remarquer  que  la  transformation  que  nous  venons  d'étudier  rentre 
dans  la  classe  de  celles  que  nous  avons  appelées  mixtes;  en  mettant  l'équa- 
tion d'un  plan  sous  la  forme 

u'x'  -h  v'y'  -\-  w' z'  -\-  I  =  o, 


SUR    LES    TRANSFORMATIONS    EN    IJÉOMÉTRIE.  539 

on  pourrait  l'ccrire 


u  = 


p'  = 


X- 

^yi^Z-i 

-y 

x^ 

4_^2_|_^î 

—  Z 

Elle  est  le  produit  de  l'inversion 
X 


Y 


Z  = 


x^-^y^-r-  z' 

y 

Z 

x'^-i-y'^-+-  z'^ 


et  de  la  transformation  corrélative 

«'-  —  X,         i>'=---Y,         w'  =  — Z. 

Cette  proposition  est  d'ailleurs  connue  et  peut  se  démontrer  aisément  par 
la  Géométrie. 

On  obtient  une  autre  transformation  de  contact  très  intéressante  en  prenant 

co  =  (37  —  x'y-i-  (y  — y')--^  (z  —  z')-—  a^. 

Cette  transformation  est  involutive  puisque  x  et  x'  figurent  symétrique- 
ment dans  to;  à  une  surface  S  elle  fait  correspondre  l'enveloppe  des  sphères 
de  rayon  a  ayant  leurs  centres  sur  S;  c'est  la  surface  parallèle  à  S  à  une  dis- 
tance ±  a,  c'est-à-dire  la  surface  obtenue  en  prenant  sur  les  normales  à  S 
une  longueur  égale  àdta.  Nous  reviendrons  plus  loin  sur  cette  transformation 
pour  l'étudier  d'une  manière  plus  approfondie  (n"  41). 


Transformations  de  contact  de  la  deuxième  classe. 

39.  Nous  allons  maintenant  étudier  le  cas  où  il  y  a  entre  x,  y,  z,  x\  y',  z' 
deux  relations  distinctes 

(  'P{x,y,z,  x',y',z')  ^-o, 

(  G(^,y,^,  ^',y',-z')  =  o. 

On  verrait,  par  un  raisonnement  analogue  à  celui  qui  a  été  fait  plus  haut, 

qu'à  un  point  M  (a;  =  a,  y  =  b,  z  =  c)  correspond  la  courbe  C  représentée 

par  les  équations 

^,  i  F(a,b,c,  x',y',z')  =  o, 

\  G{a,b,c,  x',y',z')  =  o, 


54o  NOTE 

et  à  un  point  M'(x'  —  a',  y'  =  b\  z'  —  c')  correspond  la  courbe  (C)  représen- 
tée par  les  équations 

(  ^{x,y,z,  a',  h\  c')  =  o, 

I  G{x,y,z,  a',  b',c')  =  o. 


(C 


Si  le  point  M  décrit  une  courbe  A,  la  courbe  G'  engendre  une  surface  A' 
qui  correspond  à  A  ;  si  le  point  M'  décrit  une  courbe  B',  la  courbe  G  engendre 
une  surface  B  qui  correspond  à  B'.  Si  le  point  M  décrit  une  surface  S,  on  peut 
considérer  cette  surface  comme  formée  de  courbes  A  et  prendre  l'enveloppe 
des  surfaces  correspondantes  A';  c'est  une  surface  S'  qui  correspond  à  S.  On 
peut  aussi  raisonner  de  la  manière  suivante  :  soit  S'  la  surface  qui  correspond 
à  S  et  M'  un  point  de  S';  la  courbe  (G)  qui  correspond  à  M'  doit  être  tan- 
gente à  S;  on  obtiendra  donc  le  lieu  de  M'  en  exprimant  que  la  courbe  (G) 
est  tangente  à  S  ;  on  aura  ainsi,  en  général,  une  relation  entre  a',  b',  c'.  Nous 
n'insistons  pas  sur  ces  généralités,  car  nous  allons,  dans  le  paragraphe  sui- 
vant, étudier  une  transformation  particulière  très  importante,  qui  appartient 
précisément  à  la  seconde  classe. 


VII.  —  Transformation  de  M.  Lie. 

40.  Nous  possédons  maintenant  les  éléments  nécessaires  pour  faire  une 
étude  sommaire  de  la  belle  transformation  due  à  M.  Lie  et  qui  est,  selon  l'ex- 
pression de  M.  Darboux,  l'une  des  plus  belles  découvertes  de  la  Géométrie 
moderne.  Rappelons  d'abord  certains  résultats  obtenus. 

Éléments  de  contact  en  coordonnées  pentasphériques . 

Nous  avons  vu  que  les  sphères  de  l'espace  dépendent  de  quatre  paramètres 
et  qu'on  peut  les  déterminer  par  six  coordonnées  homogènes  liées  par  une 
relation  quadratique  fondamentale 

(i)  cp(ari,^2,  ...,x^)  =  o. 

D'ailleurs,  le  rayon  d'une  sphère  est  donné  par  une  relation   de  la  forme 

m\Xi  -r-. .  .-^  m^x^ 


R  = 


/ja^i  +.  .  .-h  /e^G    ' 


deux  sphères  qui  coïncident,  mais  dont  les  rayons  sont  considérés  comme  de 
signes  contraires,  ont  des  coordonnées  différentes;  enfin,  on  a  un  point  dans 
le  cas  où  les  coordonnées  satisfont  à  la  relation 

On  peut  d'ailleurs  effectuer  sur  les  x  une  transformation  linéaire  quel- 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS  EN   GÉOMÉTRIE.  0^1 

conque,   et  simplifier   ainsi   les   relations  (i)  et  (u)  ;   par  exemple,  on  peut 
prendre 

La  condition  pour  que  deux  spiières  Xi,  x-i,  .  . .,  Xq  et  jKit^î»  •  •  •>  JKe  soient 
tangentes,  est 

do 


<^>  S-^'5|;.  =  °- 


Si  l'une  des  deux  sphères  se  réduit  à  un  point,  cela  revient  à  dire  que  l'autre 
sphère  passe  par  ce  point. 

Deux  sphères  tangentes  définissent  un  élément  de  contact,  et  toutes  les 
sphères  ayant  pour  coordonnées 

Zi  =  lxi-i-iiyi 

ont  en  commun  cet  clément  de  contact.  Je  dis  d'abord  que  les  quantités  Zi 
sont  les  coordonnées  d'une  sphère,  si  Xi  el  j'i  sont  les  coordonnées  de  deux 
sphères  tangentes.  En  effet,  on  a 

^(Zi)  =  l^oixi)  +  X[x  ^yi  ^  -+-  [x2cp(j,.), 

et  chacun  des  termes  du  second  membre  est  nul.  De  plus,  deux  sphères  quel- 
conques zi  et  z'i  sont  tangentes;  en  posant 

z'i  =  l'xi-h-  ^'yi, 
on  a 

et  chacun  des  termes  du  second  membre  est  nul. 

Or,  il  est  bien  clair  que  des  sphères  dépendant  d'un  paramètre  ne  peuvent 
être  tangentes  deux  à  deux  que  si  elles  ont  un  élément  de  contact  commun. 
Quand  on  emploie  des  coordonnées  pentasphériques,  on  ne  regarde  deux 
sphères  comme  tangentes  que  si  le  carré  de  la  distance  des  centres  est  égal 
au  carré  de  la  différence  des  rayons,  chacun  des  rayons  ayant  un  signe;  il  en 
résulte  qu'un  élément  de  contact  définit  deux  séries  de  sphères,  telles  que  les 
sphères  de  chaque  série  soient  tangentes  entre  elles,  mais  non  avec  celles  de 
l'autre  série.  Prenons,  par  exemple,  x,  y,  z  étant  les  coordonnées  cartésiennes 
du  centre  et  R  le  rayon, 

,,  Xy^_X2_X2^_Xi_   Xi _   £6, 

■^  x~y'~z~R~'  x^^y^'-^z^  —  Ri  ~    i  ' 

de  sorte  que 

(f  =  Xl  -i-  Xl  -h  Xl   —Xl—  XiXs. 


042  NOTE 

Il  est  clair  que  les  sphères  tangentes  à  l'origine  au  plan  des  xy  sont  définies 
par  les  relations 

^1   =  ^2  =  ■^'5  =  O  >  0:3   =  ±  574  , 

et  deux  d'entre  elles  ne  sont  tangentes  que  si  l'on  prend  le  même  signe  dans 
le  second  membre  de  la  dernière  égalité.  Les  relations 

(i)  ^1=^2  =  25  =  0,         ^53  =  ^4  =  Xa -T- |ji6,         ^6  =  X -<- [Ji- 

définissent  un  des  deux  systèmes  de  sphères  tangentes  entre  elles  deux  à  deux 
et  les  relations 

(2)  ;3i  =  z,  =  sj  :=  o,         23  =  —  z<^-=\a-\- \xb ,        Zg  =  X -+- [JL 

en  définissent  un  autre.  Nous  pouvons  convenir  de  considérer  les  rela- 
tions (i)  et  in)  comme  définissant  deux  éléments  de  contact  différents, 
que  nous  appellerons  opposés,  pour  indiquer  qu'ils  ne  diffèrent  que  par  le 
sens.  Les  relations  (1)  définissent  un  élément  de  contact  appartenant  aux 
sphères  de  rayon  positif,  ayant  leurs  centres  sur  la  partie  positive  de  O^; 
nous  regarderons  la  partie  convexe  de  ces  sphères  comme  leur  endroit,  de 
sorte  que  les  relations  (i)  définissent  un  élément  de  contact  dont  l'endroit 
est  au-dessous  et  l'envers  au-dessus  du  plan  des  xy.  C'est  le  contraire  pour 
les  équations  (2).  Il  est  à  peine  besoin  d'ajouter  que  pour  une  sphère  de 
rayon  négatif,  l'endroit  sera  la  |)artie  concave  et  l'envers  la  partie  convexe  (  '  ). 
Lorsqu'on  peut  distinguer  analytiquement  les  deux  côtés  d'une  surface,  on 
regardera  de  même  l'un  comme  l'endroit,  l'autre  comme  l'envers,  et  l'on 
fixera  ainsi  les  éléments  de  contact  de  la  surface.  Au  point  de  vue  auquel 
nous  nous  plaçons  ici,  il  y  aura  lieu  de  regarder  les  points  et  les  courbes 
comme  possédant  à  la  fois  les  éléments  de  contact  opposés;  pour  une  courbe 
on  pourrait  être  amené,  dans  certaines  théories,  à  donner  un  signe  au  rayon 
de  courbure  et  à  regarder  comme  appartenant  à  la  courbe  les  éléments  de 
contact  qu'elle  a  en  commun  avec  les  sphères  passant  par  le  cercle  oscula- 
teur  et  dont  le  rayon  a  même  signe  que  le  rayon  de  courbure;  l'élément  de 
contact  correspondant  au  plan  osculateur  serait  seul  double. 

41.  Avec  ces  notions,  on  peut  étudier  avec  plus  de  détails  la  transforma- 
tion de  contact  dont  nous  avons  déjà  parlé  et  qui  correspond  à  la  fonction 

W  =  (  37 X'  f  -\-{y y  )2  -i-  (  5  —  ^'  )2 «2—0. 

(')  M.  Darboux  a  souvent  insisté  sur  l'importance  de  la  distinction  des  signes  des 
rayons  des  sphères  dans  l'étude  des  problèmes  de  contact;  la  théorie  des  cycles  de 
Laguerre  se  rattache  au  même  ordre  d'idées  ;  les  coordonnées  pentasphériques  ne  sont 
pas  les  seules  qui  permettent  cette  distinction,  comme  on  le  verra  en  lisant,  dans 
le  premier  Volume  de  la  Théorie  des  surfaces  de  M.  Darboux,  les  développements 
consacrés  aux  systèmes  de  coordonnées  a,  p,  \  et  m,  v,  w,  p  et  notamment  leur 
application  aux  surfaces  minima.  Les  idées  que  nous  exposons  sont  donc  loin  d'être 
nouvelles  dans  le  fond;  ce  qui  est  peut-être  nouveau,  c'est  la  forme  que  nous  leur 
donnons  en  introduisant  la  notion  d'élément  de  contact  ayant  un  côté. 


SUR   LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  543 

Kllc  f'ail  corii'spondre  à  un  clément  de  contact,  formé  d'un  point  A  et  d'un 
plan  P,  deux  cléments  de  contact  dont  les  plans  P'  et  P"  sont  parallèles  à  P 
et  les  points  A'  et  A"  situés  sur  la  normale  à  P  en  A,  à  la  même  dislance  a, 
mais  de  côtés  opposés.  Il  est  bien  clair  que  si  rien  ne  distingue  les  deux 
côtés  du  plan  P,  rien  ne  distinguera  non  plus  les  deux  éléments  A',  />'  et 
A",/?*,  et  l'on  ne  pourra  pas  les  considérer  indépendamment  l'un  de  l'autre. 
Si,  au  contraire,  l'élément  de  contact  (A,  P)  a  un  endroit  et  un  envers,  on 
pourra  attribuer  un  signe  à  la  longueur  «  et  la  porter  positivement,  par 
exemple,  du  côté  de  l'endroit,  négativement  du  côté  de  l'envers. 

Pour  plus  de  clarté,  prenons  le  système  particulier  de  coordonnées  penta- 
sphériques  défini  par  les  formules  (a);  notre  transformation  de  contact  se 
décomposera  en  les  deux  transformations 

a^j  =  a\  .         ./ .,  -     .'o ,         x-^  — -  x^^ 

x\  =  Xi±  ax^ , 

37^  =  a:-;  zp  2  a  3^i  —  «-  ^6 , 

X  ^  =r.  .rg , 

qui  remplacent  toute  sphère  par  une  sphère  concentrique  et  dont  le  rayon 
est  augmenté  ou  diminué  de  a.  [Cf.  les  formules  (T)  page  Saa  en  ayant 
égard  à  la  différence  des  notations.] 

Si  l'on  applique  cette  transformation  à  une  surface  dont  on  distingue  les 
deux  côtés,  on  obtiendra  deux  surfaces  différentes,  suivant  le  côté  que  l'on 
aura  choisi,  et  chacune  de  ces  deux  surfaces  aura  elle-même  un  côté.  Si  l'on 
|)art,  au  contraire,  d'une  surface  dont  on  ne  distingue  pas  les  deux  côtés,  on 
obtiendra  deux  surfaces  ou,  plus  exactement,  deux  nappes  formant  analyti- 
quement  une  seule  surface,  mais  chaque  nappe  ayant  un  côté. 

Par  exemple,  à  une  sphère  de  rayon  ±  R  correspondront  deux  sphères 
concentriques  de  rayons  parfaitement  déterminés,  à  savoir  :  R -+- a  et 
—  R -H  «.  A  un  point  correspond  une  seule  sphère  de  rayon -ha;  à  deux 
éléments  opposés  du  point  correspondent  deux  éléments  de  contact  diamé- 
tralement opposés  de  la  sphère,  ayant  chacun  son  côté. 

Ces  remarques  permettraient  une  étude  plus  approfondie  du  groupe  dont 
il  a  été  question  à  la  fin  du  paragraphe  IV. 

•42.  D'autre  part,  nous  avons  vu  que  les  droites  de  l'espace  dépendent  de 
quatre  paramètres,  et  qu'on  peut  les  déterminer  par  six  coordonnées  homo- 
gènes liées  par  une  relation  quadratique 

cp(a;i,  a:,,  . . .,  x^)  =  o. 

La  condition  pour  que  deux  droites  jk  et  5  se  rencontrent  est 


S 


do 


et  si  cette  relation  est  vérifiée,  de  même  que  les  relations 

?(7)^o.        o{z)=o, 


544  NOTE 

les  droites  ayant  pour  coordonnées  Xyi-hiiZi  forment  un  faisceau  plan, 
c'est-à-dire  passent  par  un  même  point  dans  un  même  plan.  Nous  pouvons 
dire  qu'elles  définissent  un  élément  de  contact. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que,  si  l'on  s'arrange  pour  que  les  formes 
fondamentales  de  la  sphère  et  de  la  droite  soient  identiques,  et  si  l'on  fait 
correspondre  les  droites  et  les  sphères  de  mêmes  coordonnées,  on  aura  dé- 
fini une  transformation  de  contact;  car  à  des  droites  qui  se  coupent  cor- 
l'cspondront  des  sphères  tangentes  ,  et  réciproquement  ;  à  une  surface 
considérée  comme  enveloppe  de  sphères  correspondra  une  surface  enveloppe 
de  droites  et  réciproquement.  Il  est  d'ailleurs  facile  de  ramener  cette  trans- 
formation de  contact  à  l'un  des  types  considérés  au  paragraphe  précédent. 

Équations  de  la  transformation  de  M.  Lie. 

-43.  Nous  devons  pourcela  chercher  le  lieu  des  pointsdes  élémentsdecontact 
qui  correspondent  aux  éléments  de  contact  ayant  en  commun  un  point  {x,y,z). 

Supposons  que  le  point  {x,y,  z)  soit  dans  l'espace  des  droites;  les  droites 
passant  par  ce  point  forment  un  hyperfaisceau;  elles  rencontrent,  en  parti- 
culier, toutes  les  droites  issues  de  ce  point  A  dans  un  certain  plan  P.  Or,  à 
ce  faisceau  plan  correspondent  des  sphères  S  tangentes  entre  elles  en  un 
même  point;  aux  autres  droites  de  l'hyperfaisceau  doivent  correspondre  des 
sphères  tangentes  à  toutes  les  sphères  S.  Or,  il  est  clair  qu'une  sphère  ne 
peut  être  tangente  à  toutes  les  sphères  S  que  si  elle  contient  l'une  des  deux 
génératrices  rectilignes  qui  leur  sont  communes.  Réciproquement,  soit  S  une 
sphère  renfermant  une  des  deux  génératrices  rectilignes  D  et  Dj  communes 
aux  sphères  S;  il  lui  correspond  une  droite  qui  rencontre  toutes  les  droites 
du  faisceau  plan  correspondant  aux  sphères  S;  c'est  donc  une  droite  passant 
par  A  ou  située  dans  le  plan  P. 

Une  raison  évidente  de  continuité  prouve  qu'aux  sphères  2  renfermant 
l'une  des  génératrices,  que  nous  pouvons  appeler  D,  correspondent  les  droites 
passant  par  A  et  aux  sphères  S  renfermant  Dj  les  droites  situées  dans  le 
plan  P.  En  résumé,  au  point  A  correspond  une  génératrice  rectiligne  D  d'une 
sphère,  c'est-à-dire  une  droite  isotrope. 

Prenons  maintenant  un  point  A',  (x', y',  z'),  dans  l'espace  des  sphères; 
nous  pouvons  le  regarder  comme  une  sphère  de  rayon  nul,  c'est-à-dire  dont 
les  coordonnées  satisfont  à  la  relation 

'<miX£  =  o; 

il  lui  correspond  une  droite  dont  les   coordonnées  satisfont  à  la  même  rela- 
tion, c'est-à-dire  une  droite  d'un  certain  complexe  linéaire  non  spécial. 

Ainsi  notre  transformation  de  contact  est  nécessairement  définie  par  un 
système  de  deux  équations 

i  ^i(^,y,z,  x',y,z')  =  0, 
(i)  {  ,    ,    , 


SUR    LES    TRANSFORMATIONS   E.N   GÉOMÉTRIE.  545 

représentant,  si  l'on  regarde  x,y,  z  comme  des  constantes,  une  droite  iso- 
trope, et,  si  l'on  regarde  x' ,  y',  z'  comme  des  constantes,  une  droite  appar- 
tenant à  un  certain  complexe  linéaire. 

M.  Lie,  dans  un  Mémoire  fondamental,  à  bien  des  titres  {Math.  Anna/en. 
t.  V),  a  étudié  le  cas  plus  général  où  l'on  suppose  seulement  que  les  équa- 
tions (i)  représentent  toujours  une  droite,  c'est-à-dire  sont  bilinéaires.  Dans 
le  cas  particulier  qui  nous  occupe,  on  voit  aisément  que,  par  un  choix  conve- 
nable des  notations  et  des  axes,  on  peut  donner  aux  équations  (i)  la  forme 

(       X-f-t'Y   —  Zz  —  X  —  o, 
(2) 

Il  est  d'ailleurs  facile  de  voir  que  cette  transformation  a  bien  la  propriété 
de  transformer  les  droites  en  sphères;  soient 

(  X  =  az  -~- p, 
\  y  =  bz^q, 

les  équations  d'une  droite;  nous  savons  qu'on  obtient  la  surface  correspon- 
dante en  éliminant  ar,  j',  z  entre  les  équations  (2)  et  (3),  ce  qui  donne 

(X-+-  i\  —  p)  {\  —  i\  —  b)  -^  {'L  ^  a  )  {Z  —  q)  =  0. 
c'est-à-dire 

\--HY--f-Z-  —  {b'r-p)\  —  i{b— p)Y-\-(a  —  (/)Z  -{-  bp  —  ag  =  o  , 

sphère  ayant  pour  coordonnées 

Xi  —  b  -h  p, 
x^  =  i{b  — p), 
X3  =  a  —  q, 
a-4  =±:{a-i-q), 
X5  =  bp  —  aq, 

3-6=1, 

avec  la  forme  fondamentale 

xi  -^  xl  -\-  xl  —  xl  —  ix^xs  =  o. 

On  pourrait  d'ailleurs  prendre  les  mêmes  coordonnées  pour  la  droite  con- 
sidérée. 

Nous  voyons  que  la  transformation  définie  par  les  formules  (2)  est  un  peu 

moins   précise   que    celle  dont   il  était  question   auparavant,  puisqu'elle  ne 

détermine  pas  le  signe  du  rayon  de  la  sphère   correspondant  à  une  droite 

donnée;  nous  pouvons  choisir  ce  signe  arbitrairement,  une  fois  pour  taules, 

en  prenant,  par  exemple, 

Xl,  —  l\x6  r=  a  ~{-  q. 

NlEWENGLOWSKI.  —  G.  an.,  III.  35 


546  NOTE 

La  transformation  obtenue  offre  alors  cette  particularité  remarquable  de 
faire  correspondre  à  un  espace  non  orienté,  c'est-à-dire  où  les  éléments  de 
contact  n'ont  pas  de  sens,  un  espace  orienté,  c'est-à-dire  où  chaque  élé- 
ment de  contact  a  un  endroit  et  un  envers.  A  cet  endroit  et  à  cet  envers 
correspondent  deux  éléments  de  contact  différents  du  premier  espace. 

Considérons  deux  éléments  de  contact  opposés  dans  l'espace  des  sphères  ; 
la  seule  sphère  à  laquelle  ils  appartiennent  tous  deux  est  la  sphère  de  rayon 
nul  ayant  son  centre  en  leur  point;  donc  la  seule  droite  qui  renferme  les  deux 
éléments  de  contact  qui  leur  correspondent  est  la  droite  renfermant  l'un 
d'eux  et  dont  les  coordonnées  vérifient  la  relation 


S 


miXi  —  o, 

c'est-à-dire  qui  appartient  au  complexe  linéaire  fondamental. 

On  en  conclut  que  les  figures  qui  correspondent  à  deux  figures  formées  de 
sphères,  deux  à  deux  égales,  mais  de  rayons  contraires,  sont  polaires  réci- 
proques par  rapport  à  ce  complexe  linéaire. 

Nous  pouvons  exprimer  ceci  de  la  manière  suivante  :  La  transformation 
de  M.  Lie  transforme  la  transformation  par  polaires  réciproques,  par 
rapport  au  complexe  linéaire  fondamental,  en  la  transformation  de 
contact  consistant  à  remplacer  chaque  élément  de  contact  par  l'élé- 
ment opposé. 

Le  cadre  restreint  de  cette  Note  ne  nous  permet  pas  de  donner  ici  des  ap- 
plications de  cette  belle  transformation;  nous  en  indiquons  quelques-unes 
dans  les  exercices. 


VIII.    —  Transformations   dans   l'espace   à   plus   de   trois 
dimensions . 


4i.  Nous  allons,  dans  ce  dernier  paragraphe,  étudier  sommairement  des 
transformations  dont  la  nature  particulière  va  être  éclaircie  par  un  exemple 
simple. 

Nous  avons  vu  que  l'on  peut  prendre  pour  éléments  de  l'espace  les  sphères 
ou  les  droites,  c'est-à-dire  représenter  une  surface  ou  une  courbe  par  une 
relation  entre  les  coordonnées  des  sphères  ou  des  droites  qui  ont  avec  elle 
un  élément  de  contact  commun,  tandis  qu'en  coordonnées  ponctuelles  ou 
langentielles  on  écrit  une  ou  deux  relations  entre  les  coordonnées  des  points 
ou  des  plans  qui  ont  un  élément  de  contact  commun  avec  la  courbe  ou  la 
surface  considérée. 

De  même,  on  pourrait  regarder  les  cercles  comme  éléments  du  plan  et  in- 
troduire des  coordonnées  tétracjcliques  analogues  aux  coordonnées  penta- 
sphériques.  Un  point  aurait  quatre  coordonnées  et  un  cercle  en  aurait  cinq. 
Mais,  sans  passer  par  ces  coordonnées   particulières,  il  est  aisé  de   montrer 


SLR    LES    TRANSFORMATIONS    EN    GÉOMÉTRIE.  547 

qu'on  peut  établir  une  correspondance  très  simple  entre  les  cercles  du  plan 
et  les  points  de  l'espace;  soient 

(x  —  ay  -i-  (y  —  b)-  =  /•',         z  —  o 

les  équations  d'un  cercle;  nous  lui  ferons  correspondre  le  point 

X  =  a,         y  =  b,         z  =  ri. 

On  peut  remarquer  que,  si  l'on  change  le  signe  du  rayon,  le  point  repré- 
sentatif est  remplacé  par  son  symétrique  par  rapport  au  plan  des  xy.  Cette 
représentation  permet  d'étudier  bien  des  problèmes  sur  les  cercles,  comme 
l'a  montré  M.  Darboux,  si  l'on  a  soin  de  remarquer  que  deux  cercles  sont 
tangents  lorsque  la  dislance  des  points  qui  les  représentent  est  nulle,  et  ré- 
ciproquement. D'ailleurs,  on  peut  remarquer  que  le  point  qui  correspond 
à  un  cercle  est  le  centre  d'une  des  deux  sphères  de  rayon  nul  contenant  ce 
cercle. 

On  voit  de  quelle  nature  particulière  est  la  transformation  qui  remplace 
les  cercles  du  plan  par  les  points  de  l'espace;  il  est  manifeste  qu'une  trans- 
formation de  celte  nature  ne  peut  être  une  transformation  de  contact,  car 
les  éléments  de  contact  du  plan  dépendent  de  trois  paramètres,  et  ceux  de 
l'espace  de  cinq  paramètres.  Aux  cercles  tangents  à  une  courbe  plane,  en 
un  point  A,  correspondent  les  divers  points  d'une  droite  isotrope  menée  par 
A  dans  le  plan  normal  en  A  à  la  courbe;  les  deux  droites  isotropes  se  dis- 
tinguent l'une  de  l'autre  dans  le  cas  où  l'on  peut  distinguer  le  signe  des 
rayons  des  cercles,  ou,  ce  qui  revient  au  même,  un  sens  sur  la  normale.  Ces 
droites  isotropes  sont  les  génératrices  de  la  développable  (isotrope)  circon- 
scrite à  la  courbe  et  au  cercle  de  l'infini. 

Malgré  l'intérêt  que  présenteraient  ces  questions,  nous  allons  laisser  cet 
exemple,  pour  aborder  le  sujet  que  nous  avons  en  vue. 

Il  est  d'abord  nécessaire  de  définir  succinctement  ce  qu'on  appelle  un  es- 
pace à  plus  de  trois  dimensions. 

Une  lecture,  même  superficielle,  des  premiers  chapitres  d'une  Géométrie 
analytique  plane  et  d'une  Géométrie  analytique  de  l'espace,  ne  peut  manquer 
de  frapper  l'esprit  par  un  certain  nombre  d'analogies  de  raisonnements  et 
de  calculs.  Si  l'on  regarde  d'un  peu  plus  près,  on  remarque  que  bien  de  ces 
raisonnements  et  de  ces  calculs,  qui  sont  les  mêmes  pour  deux  et  trois  va- 
riables, seraient  encore  les  mêmes  s'il  y  avait  n  variables.  Le  langage 
géométrique  permettant,  d'ailleurs,  d'énoncer  très  simplement  des  faits  ana- 
lytiques parfois  compliqués,  on  a  été  conduit  à  introduire  ce  langage  dans  le 
cas  d'un  plus  grand  nombre  de  variables. 

Prenons,  par  exemple,  quatre  variables,  et,  pour  plus  de  netteté,  bornons- 
nous  tout  d'abord  à  la  considération  d'axes  rectangulaires.  Quatre  longueurs 
X,  y,  z,  t  seront  dites  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point  ;  une 
équation  telle  que 

\x-^By-hCz-hlit-^E  =  o 


548  NOTE 

sera  dite  représenter  un  plan  ;  la  distance  des  deux  points  sera,  par  défi- 
nition, 

{x  -  a7')2+  0'  — y  )2+  {z  —  z'f  -hit-  t'Y, 

et  l'angle  V  de  deux  directions  sera  donné  par  la  formule 
cosV  =  aa'+  pp'+  Yï'~'~  ^^'' 

en  désignant  par  a,  j3,  y,  o,  a',  P',  y',  3'  les  cosinus  directeurs  de  ces  direc- 
tions. La  distance  d'un  point  à  un  plan  sera 

,    A^-h  Bv-HC^î-f-D^-t-E 

d  =  ±. -^  — , 

/A2-HB2+G2+D2 

et  ainsi  de  suite. 

Ces  définitions  étant  posées,  on  verra  aisément  (si  l'on  ne  le  considère 
comme  évident  par  l'analogie  des  calculs)  qu'elles  ne  sont  pas  contradictoires 
entre  elles  et  permettent  de  généraliser  divers  théorèmes  de  Géométrie  :  une 
droite  sera  normale  à  un  plan  si  elle  est  perpendiculaire  à  trois  droites  du 
plan;  deux  plans  seront  rectangulaires  si  chacun  d'eux  renferme  la  normale 
à  l'autre  ;  les  équations  37  =  0,^  =  0,^  =  0,  t  =  o  représentent  quatre  plans 
rectangulaires  deux  à  deux,  etc.  On  pourra,  d'ailleurs,  définir  des  coordon- 
nées obliques  et  tétraédriques  sans  aucune  difficulté. 

Notre  but  n'est  pas  d'insister  sur  ces  préliminaires  évidents  et  auxquels 
divers  auteurs  ont  donné  plus  de  développements  qu'ils  ne  paraissent  en  mé- 
riter; nous  espérons  que  ce  qui  précède  suffira  pour  l'usage  que  nous  avons 
à  faire  de  l'espace  à  plus  de  trois  dimensions. 

43.  Considérons  un  espace  k  n  —  i  dimensions  et  n  coordonnées  homogènes 
quelconques  (on  pourrait  les  supposer  tétraédriques;  le  lecteur  peut  les  re- 
garder comme  rectangulaires  si  cela  lui  paraît  plus  net).  Soient  k  équations 
linéaires  indépendantes 

«11  .ri -h,.  .+  ai„a?„  =  o, 


«Al  •X'i  -h  ...  -h  «Avi  ^/J  =  o  ; 


nous  dirons  que  ces  équations  représentent  un  plan  à  n  —  k  —  i  dimensions 
que  nous  désignerons  par  Yn-k-\',  d'après  cela,  dans  l'espace  ordinaire  où 
/i  =  4î  un  plan  est  représenté  par  Pg,  une  droite  par  Pj.  Si  k=  n  —  i, 
les  équations  définissent  un  point  unique  Pq;  enfin,  si  k^n,  les  équations 
n'admettent  pas  de  solutions  non  toutes  nulles,  de  sorte  que  n  —  k  —  i  est 
négatif,  nous  sommes  amenés  à  regarder  dans  ce  cas  P„_;t-i  comme  symboli- 
sant l'absence  de  tout  point. 

Pour  faire  comprendre  les  avantages  de  cette  notation,  considérons  k'  autres 
équations  linéaires  indépendantes,  représentant  par  suite  un  plan  P„_/^.'_i  ;  si 
elles  sont  indépendantes  des  précédentes  (ce  qui  est  le  cas  général)  leur  en- 
semble représente  un  plan  Pn-k-k'-i'  Nous  pouvons  donc  dire  que  dans  un 


SUU    LES    TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE.  5^9 

espace  an —  i  dimensions  V  intersection  de  deux  plans  P»  et  Pg  est  en  gé- 
néral un  plan  Va-^^-{n-i)-  H  su ffilde  prendre  a  =  /i  —  k  —  i  et  p  =  n  —  A'  —  i. 
Par  exemple  dans  l'espace  ordinaire,  n  —  i  =  3;  l'intersection  de  deux  plans 
P2  est  P2-t-2-3  =  Pj)  c'est-à-dire  une  droite;  l'intersection  de  deux  plans  Pi, 
c'est-à-dire  de  deux  droites,  estPi+j-s  =  P_,,  c'est-à-dire,  en  général,  l'ab- 
sence de  tout  point. 

Considérons  une  surface  du  second  degré,  c'est-à-dire  le  lieu  des  points 
dont  les  coordonnées  satisfont  à  une  équation  quadratique  homogène 

?(^l,  ^2,    •••,   OCn)  —  O. 

Nous  disons  que  la  surface  n'est  pas  dégénérée  si  le  discriminant  de  o  n'est 
pas  nul,  et  alors  on  peut  ramener  cp  à  une  somme  de  n  carrés.  Nous  allons  nous 
borner  au  cas  où  n  est  pair  et  poser  n  =  im\  nous  pourrons  alors  supposer 
que  l'on  a 

?  =  a-,r,„-^,-H  X2X,n+,_-\-..  .^XmXim. 

Il  est  aisé  de  voir  qu'il  y  a  des  plans  P/„-i  situés  tout  entiers  sur  la  surface  ; 
ces  plans  sont  analogues  aux  génératrices  rectilignes  des  quadriques;  posons 

^ni+ 1  =  <^  1 1  ^1    -I-  rt  1 2  ^2  "+~  •  •  •  ~T~  <^  1  w  ^ni  ) 

I ■ 

\    ^irn     —  ^/nl^l~r- -I-  Clinm-^nf 

Pour  que  l'on  ait  identiquement  9  =  0,  en  vertu  de  ces  équations,  il  suffit 
de  poser 

an  =  o,         aïk  -+-  aui  =  o, 

c'est-à-dire  de  supposer  que  le  déterminant  des  a  est  un  déterminant  symé- 
trique gauche.  On  n'obtient  d'ailleurs  pas  ainsi  tous  les  plans  générateurs 
P,„_j  ;  une  discussion  approfondie,  dont  ce  n'est  point  ici  le  lieu,  montre  que 
ces  plans  forment  deux  familles  dont  les  équations  (1)  représentent  une  seule; 
deux  plans  générateurs  d'une  même  famille  ont  en  commun  un  plan 
V m-i-tk  ^t  deux  plans  de  familles  différentes,  un  plan  V,n-ik-  D'ailleurs 
Je  cas  le  plus  général  est  celui  où  m  —  ik  et  jn  — 2^ —  i  sont  égaux  à  zéro 
ou  à  moins  un,  c'est-à-dire  où  les 'plans  Vm-\  ont  :un  seul  point  commun  ou 
n'en  ont  pas;  d'où  une  distinction  importante  suivant  que  m  est  pair  ou  im- 
pair(i).  Rappelons  que  l'espace  considéré  a  im  —  i  dimensions. 

(')  Je  suis  en  possession  de  ces  résultats  depuis  1891;  j'en  ai  publié  une  partie  dans 
un  Mémoire  Sur  l'équation  adjointe,  etc.  {Annales  de  l'École  Normale,  1892).  Le 
dernier  résultat  énoncé  a  pour  fondement  ce  tliéorème  d'Algèbre  : 

Dans  un  déterminant  symétrique  gauchele  déterminant  principal  {au  sens  qu'on 
attache  d'habitude  à  ce  mot  dans  la  théorie  des  équations  linéaires  )  est  de  degré 
pair. 

J'ai  démontré  ce  théorème  dans  la  Revue  de  Mathématiques  spéciales  de  M.  Nic- 
wenglowski  (avril  1891). 


55 O  NOTE 

1°  nit^nih:  espace  à  4/1  —  i  dimensions;  c'est  le  cas  de  l'espace  ordinaire 
pour  h  =  i;  deux  plans  générateurs  P2/i-i  d'un  même  système  ont  en  com- 
mun un  plan  PgfA— ;i-)-i  !  le  cas  général  est^=  k;  en  général  ils  ne  se  ren- 
contrent pas;  deux  plans  de  systèmes  différents,  au  contraire,  ont  en  commun 
un  plan  P^ih-^),  c'est-à-dire  (pour  h  =  k)  au  moins  unpoint  unique. 

1°  m^=  ih-\-\:  espace  à  4  /'  ■+- 1  dimensions  ;  pour  A  =  i  c'est  le  cas  de  l'es- 
pace à  cinq  dimensions  dont  nous  nous  occuperons  tout  à  l'heure;  les  con- 
clusions sont  opposées  :  deux  plans  générateurs  d'un  même  système  ont  au 
moins  un  point  commun,  et  deux  plans  de  systèmes  différents  n'en  ont,  en  gé- 
néral, aucun.  Pour  A.  =  i,  on  a  des  plans  générateurs  P2;  deux  plans  d'un 
même  système  ont  en  commun  P2  ou  Pq,  c'est-à-dire  coïncident  ou  ont  un 
seul  point  commun;  deux  plans  de  systèmes  différents  ont  en  commun  un 
plan  Pj  ou  P_i,  c'est-à-dire  ont  une  droite  commune  ou  ne  se  coupent  pas. 
Nous  établirons  directement  ces  résultats.  Les  considérations  précédentes 
étaient  destinées  à  montrer  qu'ils  ne  sont  qu'en  contradiction  apparente  avec 
les  propriétés  connues  des  génératrices  rectilignes  des  quadriques,  et  que,  si 
l'on  regarde  au  fond  des  choses,  ils  sont  la  conséquence  d'une  même  loi  gé- 
nérale. 

46.  Écrivons  les  équations  d'une  droite  sous  la  forme  : 

3^3  X 371  Z    =  375, 

X\\ 072  X  =  374, 

de  sorte  que  les  coordonnées  homogènes  de  la  droite  soient  les  quantités 
a7i,  372,  373,  37^,  375,  376,  Hécs  par  la  relation  fondamentale 

cp  =  37i  374  -t-  3--2  375  -I-  373  376  =  O. 

Nous  regarderons  cette  équation  comme  représentant  une  surface  du  se- 
cond degré  dans  l'espace  à  cinq  dimensions,  de  sorte  qu'à  toute  droite  cor- 
respond un  point  de  cette  surface,  et  réciproquement. 

Considérons  deux  droites  37  et  y.  Nous  savons  déjà  que  pour  qu'elles  se 
coupent  il  est  nécessaire  et  suffisant  que,  en  posant  Zi=^\xi-^]j.yi,  les  z 
soient  les  coordonnées  d'une  droite  D.  Or,  dans  l'espace  à  cinq  dimensions, 

les  équations 

Zi  =  X37/-H  \^yi 

représentent  manifestement  la  droite  d  qui  joint  les  points  37  et  j^;  si  les  z 
sont  les  coordonnées  d'une  droite  D  (*),  la  droite  d  est  située  tout  entière 
sur  la  quadrique    fondamentale    cp  =  o.    C'est,    d'ailleurs,   ce  que  le   calcul 

(')  Pour  éviter  toute  confusion,  nous  réservons  les  grandes  lettres  pour  l'espace 
ordinaire  et  les  petites  lettres  pour  l'espace  à  cinq  dimensions;  les  coordonnées  d'une 
droite  de  l'espace  ordinaire,  étant  les  coordonnées  d'un  point  de  l'espace  à  cinq  di- 
mensions, sont  figurées  par  de  petites  lettres. 


SUR    I-tS    TRANSFORMATIONS   EN    GÉOMÉTRIK.  55  J 

montre  immédiatement.  Donc,  pour  que  deux  droites  se  rencontrent,  il  est 
nécessaire  et  suffisant  que  la  droite  qui  joint  leurs  points  représentatifs  soit 
située  tout  entière  sur  la  quadrique  fondamentale. 

Considérons  maintenant  toutes  les  droites  D  issues  d'un  point  :  cliacuuc 
d'elles  coupe  toutes  les  autres;  donc  les  points  qui  leur  correspondent  sont 
tels  que  les  droites  d,  les  joignant  deux  à  deux,  sont  toutes  situées  sur  la 
quadrique  fondamentale;  ces  points  dépendent  de  deux  paramètres,  ils  ne 
sont  donc  pas  tous  sur  une  même  droite  d.  D'après  cela,  soient  a,  6,  c  trois 
«l'entre  eux,  non  en  ligne  droite,  et  û?la  droite  6c;  leg  droites  joignant  a  aux 
<livers  points  de  d  sont  situées  tout  entières  sur  la  quadrique  fondamentale  : 
elles  engendrent  un  plan  générateur  p^  de  cette  quadrique.  C'est,  d'ailleurs, 
ce  qui  résulte  des  équations  (i). 

On  peut  encore  le  prouver  ainsi;  si  x,  y,  z  sont  trois  droites  formant  un 
véritable  trièdre,  on  a 

?(a^)  =  o,  cp(7)  =  o,  ç(5)  =  o, 

l'I  l'on  en  conclut 

<5(Xa7  -h  [ly  -H  vz)  =0, 

quels  que  soient  X,  fz,  v. 

Réciproquement,  considérons  un  plan  générateur  />2  de  o;  à  ses  divers 
points  correspondent  des  droites  dépendant  de  deux  paramètres,  et  telles 
que  chacune  d'elles  rencontre  toutes  les  autres,  c'est-à-dire  un  hyperfais- 
ceau;  mais  on  peut  avoir  une  gerbe  ou  un  système  plan,  d'où  la  distinction 
des  plans  générateurs  de  tp  en  deux  systèmes.  Nous  nommerons  jp/ans  géné- 
rateurs du  premier  système  ceux  qui  correspondent  aux  gerbes  et  plans 
générateurs  du  second  système  ceux  qui  correspondent  aux  systèmes  plans. 
II  est  clair  que  deux  plans  du  premier  système  ont  un  point  commun  et  un 
seul,  à  moins  qu'ils  ne  coïncident  :  car  deux  gerbes  ne  coïncidant  pas  ont  une 
droite  commune  et  une  seule.  Il  en  est  de  même  pour  deux  plans  du  second 
système.  Au  contraire,  à  deux  plans  de  systèmes  différents  correspondent 
une  gerbe  et  un  système  plan  :  si  le  point  de  la  gerbe  est  dans  le  plan  du 
système  plan,  ils  ont  en  commun  toutes  les  droites  D  passant  par  ce  point 
dans  ce  plan,  et  les  plans  p^  considérés  ont  en  commun  une  droite /)i;  au 
contraire,  dans  le  cas  général  où  le  point  de  la  gerbe  n'est  pas  dans  le  plan 
du  système  plan,  les  plans /?2  n'ont  aucun  point  commun. 

Il  est  aisé  de  vérifier  ces  résultats  par  le  calcul;  les  équations  (i)  repré- 
sentent les  plans  générateurs  du  premier  système;  nous  obtiendrons  les  équa- 
tions des  plans  du  second  système  en  écrivant  que  la  droite  D(a7i,a:2,  ...jXs) 

est  dans  le  plan 

UX  -f-  VY  -+-  \VZ  -t- 1  =  o. 

L'équation  générale  d'un  plan  passant  par  D  peut  s'écrire 

1{X2Z  —  X3Y  —  Xf,)  -\-  [ji(a73X  — XiZ  — a'5)-f-v(xiY  — arjX  —  a-g)  =  0. 


55-2  NOTE 

On  doit  donc  avoir 

(  X  27 1^  H-   [JL  iFs  -<-  V  a"G  )  U     =    V  3^2 {J-  CC3 , 

{\xi  -+-  [xx^  -+-  'iX(,)W  =  [xxi  —  Xa?,. 
On  déduit  des  deux  dernières  équations 

(X.T;,  +  [Jl.ar5  H-  va'6)(  Va?6  Wa-j)  =  ^{x-iXc,  -h  X<i,X-i)  —  Xj  ('IX^  +   \>.X'a)- 


Or 
donc 


X  (  373  X(,  -4-  X.2  a"5  )  =  —  \X\  X'^\ 
CkX'^-k-  \l.X-^  -\-  ^  X  q)  (\'  X  (,  Wa^g  -+-  X\)  ^  O. 


On  écartera  aisément  le  cas  oîi  \x,_^-\-  [xx^-^  vxq^=  o,  et  l'on  aura  les  rela- 
tions 

[  Wirj—  Va7g  =  Xi, 

(2)  ',    Uxe  —  W^4  =  3^2, 

(   \' Xi^  —  Ua^s  =  a7:j, 

qui  représentent  les  plans  générateurs /)2  du  second  système.  Le  système  des 
équations  (i)  et  (2)  permet  de  vérifier  analytiquement  toutes  les  propriétés 
que  nous  avons  démontrées  par  la  Géométrie;  on  peut  aussi  vérifier  analy- 
tiquement que  les  équations  de  tout  plan  générateur  JO2  ont  l'une  des  formes 
(i)ou  (2). 

Tout  ce  qui  vient  d'être  dit  s'applique  aux  sphères.  On  peut  faire  corres- 
pondre à  toute  sphère  un  point  de  la  quadrique  fondamentale  0:^0;  ce 
point  dépend  d'ailleurs  du  signe  du  rayon.  Nous  avons  vu  que,  si  la  rela- 
tion entre  les  coordonnées  d'une  sphère  de  rayon  nul  a  été  mise  sous  la 
forme  simple 

^6  =  0, 

deux  sphères  concentriques,  ayant  des  rayons  égaux  et  de  signes  contraires, 
ont  toutes  leurs  coordonnées  égales  et  de  même  signe,  sauf  leurs  coordon- 
nées x^,  qui  sont  égales  et  de  signes  contraires.  On  en  conclut  que,  plus  gé- 
néralement, si  les  coordonnées  d'une  sphère  de  rayon  nul  vérifient  la  relation 

lUyXi  -f-  ni^iXi  -^. .  .-\-  ni^xç,  =0, 

qui  représente  un  plan  ro;  les  points  représentant  deux  sphères  opposées 
sont  en  ligne  droite  avec  le  pôle  du  plan  w. 

47.  Pour  indiquer  une  première  application  des  considérations  précédentes, 
nous  allons  tout  d'abord  généraliser  un  théorème  important  de  la  théorie 
des  quadriques  (n"  434).    L'équation  quadratique  homogène  à  six  variables, 

tp  (371,372,    ...,3-6)  =  O, 


SUR    LES    TIIANSFORMATIONS   EN    GÉOMÉTRIE.  553 

renforme  vingt  et  un  coefficients;  la  quadrique  Q^  qu'elle  représente  est 
donc  définie  en  général  par  vingt  points.  D'autre  part,  d'après  le  théorème 
de  Bézout,  cinq  quadriques  Q4  ont  en  général  2^  =  32  points  communs.  Le 
théorème  dont  il  s'agit  est  le  suivant  : 

Toutes  les  quadriques  Q^  passant  par  seize  points  ont,  en  général,  en 
commun  seize  autres  points. 

En  effet,  supposons  les  seize  points  choisis  de  telle  manière  que  les  seize 
équations  linéaires,  que  l'on  obtient  en  écrivant  que  leurs  coordonnées  véri- 
fient l'équation  cp  =  o,  soient  indépendantes.  L'équation  générale  des  qua- 
driques passant  par  les  seize  points  sera  alors  de  la  forme 

XiÇi  ■+-  Xjicp,  -I-  X3Ç3  -f-  X^Çi  -f-  X5Ç;  =  o 

et  ces  quadriques  ont  manifestement  en  communies  trente-deux  points  com- 
muns aux  cinq  quadriques 

o,  =  o  . . .,         Ç5  =  o. 

Considérons  maintenant  deux  groupes  de  cinq  plans,  dont  nous  écrirons 
les  équations 

Al  =0,         Bj  =  o, 

Ao  =  o,  B2  =  o, 

A3  =  o,  63  =  0, 

Ai  =  o,  B-,  =  o, 

A5  =0,  B5  =  o, 

et  appelons  décaèdre  la  figure  formée  par  les  trente-deux  points  que  l'on 
obtient  en  prenant  le  point  commun  à  cinq  plans  quelconques  d'indices  dif- 
férents, ou,  ce  qui  revient  au  même,  en  prenant  de  toutes  les  manières 
possibles  un  plan  sur  chaque  ligne;  nous  supposerons  qu'on  obtient  bien  ainsi 
trente-deux  points  distincts. 

Dans  le  cas  où  les  deux  plans  de  même  indice  sont  parallèles,  ce  décaèdre 
est  une  généralisation  du  parallélépipède.  Nous  dirons  que  seize  de  ces 
trente-deux  points  sont  convenablement  choisis  si  les  équations  qu'on  ob- 
tient en  exprimant  qu'une  quadrique  passe  par  ces  seize  points  sont  indé- 
pendantes. 

Il  est  manifestement  nécessaire  pour  cela  qu'il  n'y  ait  pas  plus  de  onze  de 
ces  seize  points  dans  chacun  des  plans  donnés,  et,  par  suite,  qu'il  y  en  ait 
au  moins  cinq  dans  chacun  d'eux,  puisque  chaque  point  est  «itiié,  par 
exemple,  ou  dans  le  plan  Aj  =  o,  ou  dans  le  plan  B,  =  o. 

Nous  laisserons  à  nos  lecteurs  le  soin  de  rechercher  si  cette  condition  est 
suffisante;  en  prenant 

A,-  =  Ti  —  xz ,         Bj  =  Xi  -t-  x^, 

on   constate   aisément   que,   pour  que    seize   points   soient  convenablement 


554  NOTE 

choisis,  il  est  nécessaire  et  suffisant  qu'un  certain  déterminant  du  seizième 
ordre,  aisé  à  former  et  dont  les  éléments  sont  égaux  à  ±  i,  soit  différent 
de  zéro. 

Or,  par  seize  sommets  quelconques  d'un  décaèdre  passent  les  cinq  qua- 
driques 

AiBi  =  o,         AoB2  =  o,         ...,         A5B5  =  o, 

qui  ont  en  commun  les  seize  autres  sommets.  Donc,  si  une  quadrique  passe 
par  seize  sommets  convenablement  choisis  d'un  décaèdre,  elle  passe  par 
les  seize  autres. 

Regardons  maintenant  x^,  x-2,  . . .,  x^  comme  les  coordonnées  d'une  sphère 
ou  d'une  droite;  une  relation 

Al  =  «1371-+-  a-ix^  -+■  a^x-i  -4-  ar^x^  -f-  «3.^5  -+■  a^x^  =  o 

exprime  que  la  droite  appartient  à  un  certain  complexe  linéaire  Ai,  ou  que 
la  sphère  coupe  une  certaine  sphère  Ai  sous  un  angle  constant  «i.  Si  cinq 
équations 

Al  =  o.         A,  =  o,         ...,         As  =  0 

ont  une  solution  commune  satisfaisant  à  l'équation  cp  =  o,  cela  veut  dire  que 
les  cinq  complexes  linéaires  Ai,  A2,  ...,  A5  ont  une  droite  commune,  ou 
qu'il  existe  une  sphère  S  coupant  les  cinq  sphères  Ai,  A2,  .  ..,  As  sous  les 
angles  ai,  a^,  ..  .,  ag. 

Ceci  posé,  donnons-nous  deux  systèmes  de  cinq  complexes  linéaires, 
Al,  A2,  . . . ,  As,  Bi,  . . . ,  Bs,  ou  deux  systèmes  de  cinq  sphères  Ai,  Aj,  . . . ,  A5, 
Bi,  . . . ,  Bs  auxquels  correspondent  deux  systèmes  de  cinq  angles  «i,  .  . . ,  as, 
Pi,  ...,  Ps,  nous  avons  les  théorèmes  suivants,  en  désignant  par  G  une  lettre 
qui  peut  être  A  ou  B,  et  par  y  une  lettre  qui  peut  être  a  ou  p. 

Si  parmi  les  trente-deux  systèmes  de  cinq  complexes  linéaires  C|,  C2,  •..,  G5, 
seize  convenablement  choisis  ont  une  droite  commune,  il  en  est  de  même  des 
seize  autres. 

S'il  existe  seize  sphères  coupant  respectivement  seize  des  trente-deux  sys- 
tèmes de  cinq  sphères  Gj,  G2,  ...,  C5,  sous  les  angles  yi,  Y2)  •••,  Ys>  i'  ^" 
existe  seize  autres  pour  les  seize  autres  systèmes. 

Il  est  bon  de  remarquer  que  les  angles  ai,  a2,  . .  .,^5  sont  supposés  diffé- 
rents de  zéro,  car  à  deux  sphères  tangentes  correspondent  deux  points  de  ç 
situés  dans  un  même  plan  générateur;  on  voit  alors  que  les  plans  A  et  B 
seraient  tangents  à  cp,  ce  qui  modifie  la  question.  Mais  on  peut  supposer 
ces  angles  égaux  à  tt,  ce  qui  donne  des  sphères  effectivement  tangentes, 
mais  qu'on  ne  doit  pas  regarder  comme  telles  en  coordonnées  pentasphé- 
riques. 

48.  Une  application  plus  importante  est  relative  à  l'étude  du  groupe  Ç 
(n°*  32,  33).  On  est  amené  à  rechercher  les  transformations  homographiques 
à  six  variables  qui  laissent  invariante   l'équation   9  =  0,  c'est-à-dire  trans- 


SUR    LES   TRANSFORMATIONS   EN   GÉOMÉTRIE  555 

forment  en  elle-même  la  quadrique  fondamentale.  Or  (ceci  est  vrai  quelque 
soit  le  nombre  de  dimensions)  une  transformation  homographique  qui  trans- 
forme une  quadrique  en  elle-même  remplace  évidemment  les  plans  généra- 
teurs par  des  plans  générateurs.  Donc,  s'il  y  a  deux  systèmes  de  tels  plans, 
deux  cas  sont  possibles  :  les  plans  générateurs  de  l'un  des  systèmes  sont  rem- 
placés par  les  plans  générateurs  du  même  système  ou  par  ceux  de  l'autre 
système;  ces  deux  cas  correspondent  respectivement  aux  transformations 
homographiques  et  corrélatives.  Dans  le  cas  où  la  forme  «p  est  réduite  à  une 
somme  de  carrés  Sa??,  on  voit  aisément  que  ce  sont  les  transformations  or- 
thogonales de  déterminant  -f- 1  qui  conservent  les  systèmes  de  plans  généra- 
teurs, et  celles  de  déterminant  —  i  qui  les  échangent;  on  comparera  utile- 
ment ces  indications  avec  l'Exercice  13. 


EXERCICES. 

1.  Étant  donnés  quatre  points  définis  par  une  équation  de  la  forme 

(i)  «o^^i  ■+•  \aix\Xi-\-  Çia^x^xl  -\-  ^aiXiXl-\-  a!,x\  =  o, 

démontrer  que  les  six  valeurs  du   rapport  anharmonique  des  quatre  points 
sont  données  par  l'équation 

(l  —  p  +  p^?  _    S3_ 

^'       (l+p)2(2_py2(,_p)2    -   T2' 

en  posant 

S  =  «0*^4  —  4<^i«3-+-  3a|, 

«0       ^l        ^2 

T  =:         «1        «2       <^3 

«2       «3        «V 

En  conclure  que  le  rapport  =q  est  un  invariant  absolu  de  la  forme  bi- 
naire (i),  c'est-à-dire  conserve  exactement  la  même  valeur  quand  on  ef- 
fectue sur  (i)  une  transformation  homographique  (page  486). 

2.  Déterminer  les  sous-groupes  de  G  (n"  10)  qui  laissent  invariants  une 
droite  donnée  et  un  point  donné  non  situé  sur  cette  droite  (transformations 
homologiques).  Cas  où  la  droite  est  à  l'infini  (transformations  homothé- 
tiques).  Cas  où  le  point  est  situé  sur  la  droite. 

3.  On  dit  qu'une  équation  est  invariante  par  les  transformations  d'un 
groupe  lorsque  celles-ci  reproduisent  son  premier  membre  à  un  facteur  près, 
en  général  différent  de  zéro. 

D'après  cela,  démontrer  analytiquement  et  géométriquement  que  l'équation 
différentielle  la  plus  simple,  invariante  par  les  transformations  de  G  (n"  10) 
(écrites  en  coordonnées  non  homogènes),  est  l'équation  différentielle  des 
droites 


aa  =  X2-I-  [x2_  v2_p2^ 

aô    : 

=  2(Xv  +  lip), 

aa'=  —  2(Xv  —  [jLp), 

aft': 

=  X2H-p2—  [Jl2 

cra"=  2(Xp  -F-  |jiv), 

CTC'  : 

=   2(vp  —  X[a), 

556  NOTE 

Vient  ensuite  l'équation  différentielle  des  coniques 

(j."-t)"'=o. 

4.  Montrer  que  les  coefficients  des  transformations  du  groupe  des  mouve- 
ments dans  l'espace  peuvent  s'exprimer  au  moyen  de  quatre  variables  par  les 
formules  homogènes  et  de  degré  zéro,  dues  à  Olinde  Rodrigues, 

(TC  =  —  2(^?  —  H^'')) 

[Jl2 v2,  ac'=:  2(X[Jl, vp), 

(7C"=  X2-4-V?—  pL2_p2^ 

où  l'on  a  posé 

a  =  X2+   [Jl2  4-v2+p2. 

Relations  entre  les  variables  d'Olinde  Rodrigues  et  les  angles  d'Euler. 

5.  Rechercher,  en  employant  la  méthode  indiquée  au  n"  16,  toutes  les 
transformations  homographiques  réelles,  telles  qu'en  les  répétant  m  fois  on 
obtienne  la  transformation  identique. 

6.  Étudier  le  groupe  des  mouvements  qui  transforment  en  lui-même  un  ico- 
saèdre  régulier,  en  indiquant  les  relations  qu'il  y  a  entre  ses  diverses  trans- 
formations. 

On  désignera,  par  exemple,  par  S  une  rotation  de  ~  autour  d'un  diamètre 

joignant  deux  sommets  opposés  de  l'icosaèdre  A  et  A',  et  par  T  la  même  ro- 
tation autour  du  diamètre  BB',  AB  étant  une  arête  de  l'icosaèdre,  et  l'on 
prouvera  que  tous  les  mouvements  possibles  s'obtiennent  en  combinant  les 
transformations  S  et  T.  On  pourra  ainsi  former,  au  moyen  de  S  et  T,  les 
soixante  transformations  distinctes  du  groupe  de  l'icosaèdre.  Leur  nombre 
est  soixante,  car  on  peut  faire  coïncider  l'icosaèdre  avec  lui-même  de  soixante 
manières  différentes,  puisqu'un  sommet  déterminé  peut  occuper  douze  posi- 
tions différentes,  et,  lorsque  ce  sommet  est  fixé,  l'icosaèdre  peut  encore  avoir 
cinq  positions  distinctes  autour  de  ce  sommet. 

7.  Démontrer  que  dans  une  transformation  ponctuelle  quelconque,  M  et  M' 
étant  deux  points  correspondants,  il  existe  en  général  deux  droites  rectan- 
gulaires passant  en  M,  auxquelles  correspondent  deux  courbes  orthogonales 
passant  en  M'.  S'il  en  existe  plus  de  deux,  il  en  existe  une  infinité,  et  deux 
courbes  quelconques  passant  en  M  sont  transformées  en  deux  courbes  se 
coupant  sous  le  même  angle  en  M'. 

Même  énoncé  dans  l'espace  en  remplaçant  deux  droites  rectangulaires 
par  un  trièdre  trirectangle. 

Cas  de  la  transformation  homographique  :  Démontrer  que,  dans  toute 
transformation  homographique,  un  certain  système  de  coniques  (ou  de  qua- 
driques)  homofocales  est  transformé  en  un  système  de  même  nature  et  en 
conclure  immédiatement  quelles  directions  rectangulaires  sont  transformées 
en  directions  rectangulaires. 


SUR    LES    TRANSFORMATIONS    EN    GÉOMÉTRIE.  oSy 

8.  Reciierchcr  les  coordonnées  pentasphériques  des  points  situes  dans  le 
plan  de  l'infini  et  des  points  du  cercle  imaginaire  à  l'infini. 

9.  Trouver  les  sphères  tangentes  à  quatre  sphères  données;  montrer  que, 
si  l'on  tient  compte  des  signes  des  rayons,  le  problème  revient  à  trouver  les 
droites  rencontrant  quatre  droites  et  admet  deux  solutions  ou  une  infinité. 
ÎVombre  total  des  solutions  lorsqu'on  donne  aux  signes  des  rayons  toutes  les 
valeurs  possibles. 

10.  Démontrer  que,  si  l'on  considère  toutes  les  sphères  S  tangentes  à  trois 
sphères  données,  il  existe  une  infinité  de  sphères  S'  tangentes  à  toutes  les 
sphères  S.  Enveloppe  des  sphères  S  et  S'.  Lieux  de  leurs  centres. 

11.  On  considère  un  tétraèdre  et  l'on  remarque  un  point  sur  chacune  de 
ses  arêtes.  Par  chacun  des  sommets  du  tétraèdre  et  les  trois  points  situés 
sur  les  arêtes  aboutissant  à  ce  sommet,  on  fait  passer  une  sphère.  Démontrer 
que  les  quatre  sphères  ainsi  obtenues  ont  un  point  commun. 

12.  Trouver  la  condition  pour  qu'une  droite  soit  tangente  à  une  qua- 
drique.  Soit 

o(a,  b,  c,  a,  ^,  y)  =  o 

cette  condition.  Montrer  que  les  relations 

o  =  o,  «a -t- i  ^ -}- cy  :=  o 
entraînent 

do  do  do  do        do  dtf 

da  dx  db  d'^        de  d-( 

On  peut  remplacer  la  relation  0  =  0  par  la  relation  >\i  =  o,  en  posant 

t|i  =  ç-r-K(aa-4-6  3-i-CY), 

et  choisir  convenablement  la  constante  K  de  manière  que  la  relation 

aa-i-6^-(-CY  =  o 
entraîne 

d'\>  d^        d-b  di»        d<\i  d'\>  _ 
da  d%         db  d'^        de   d^( 

c'est-à-dire  que  ai  =  -^ ,  3,  =  -J  ,  .  . . ,  c  =  —  soient  les  coordonnées  d'une 

^  da  db  yy 

droite  Dj  lorsque  a,  b,  . . .,  y  sont  les  coordonnées  d'une  droite  D.  Quelle  re- 
lation géométrique  y  a-t-il  entre  ces  deux  droites  et  la  quadrique? 

13.  Rechercher  les  transformations  de  contact  dans  le  plan;  on  trouvera 
des  transformations  analogues  aux  transformations  de  la  première  classe  dans 
l'espace. 

IL  On  fait  correspondre  les  cercles  du  plan  aux  points  de  l'espace,  comme 
il  a  été  expliqué  page  547,  ^^  ^'^^  considère  les  coordonnées  pentasphériques 


558  NOTE    SUR    LES    TRANSFORMATIONS    EN   GÉOMÉTRIE. 

du  point  comme  étant  les  coordonnées  du  cercle.  Démontrer  que  le  groupe  G 
des  transformations  homographiques,  défini  page  5io,  est  alors  dans  le  plan 
l'analogue  du  groupe  défini  dans  l'espace  par  les  formules  (T)  (page  522). 
On  pourra  donner  une  démonstration  analytique  ou  bien  une  démonstration 
géométrique  s'appuyant  sur  les  remarques  suivantes  ;  quand  on  établit  la 
correspondance  indiquée  entre  les  points  de  l'espace  et  les  cercles  du  plan,  à 
tout  mouvement,  homothétie  ou  inversion  de  l'espace  laissant  invariable  le 
plan  des  x,  y.,  correspond  pour  les  cercles  du  plan  une  transformation  de  même 
nature  et,  à  une  translation  parallèle  k  O z,  correspond  dans  le  plan  la  trans- 
formation de  contact  qui  augmente  les  rayons  des  cercles  d'une  quantité 
constante. 

15.  On  a  vu  que  la  surface 

admet  les  plans  générateurs 

x^  =  cxs—  bxs, 

Xi  =  ax^ —  cx<^^ 

Xz=  bxi, —  ax^. 

Il  est  bien  clair  que  l'on  peut  échanger  dans  ces  formules  Xi  avec  Xt^,  ou 
bien  x^  avec  x^,  ou  bien  x^  avec  x^,  ou  faire  simultanément  deux  de  ces 
échanges,  ou  faire  les  trois.  On  obtient  ainsi  huit  systèmes  de  formules 
d'aspects  différents.  Vérifier  qu'il  n'y  a  néanmoins  que  deux  systèmes  de 
plans  générateurs,  ou,  si  l'on  préfère,  rechercher  parmi  ces  systèmes  de 
formules  ceux  qui  sont  équivalents  enti'e  eux. 

Etendre  au  cas  où  il  y  a  in  variables  au  lieu  de  six. 


FIN   DU   TOME   III   ET   DERNIER. 


TABLE  DES  MATIERES 

DU  TOME  III. 


CHAPITRE    I. 

COORDONNÉES. 

Pages. 

Définition  d'un  système  de  coordonnées  rectilignes i 

Représentation  d'une  surface > 

Représentation  d'une  ligne 5 

Cylindres  projetants  d'une  ligne 5 

Angles  d'une  demi-droite  avec  les  axes  de  coordonnées 7 

Premier  cas  :  Axes  rectangulaires.  Cosinus  directeurs 8 

Trouver  une  demi-droite  dont  les  cosinus  directeurs  soient  proportionnels  à  des 

nombres  donnés () 

Carré  de  la  dislance  d'un  point  à  l'origine 9 

Angles  de  deux  demi-droites 9 

Condition  d'orthogonalité 10 

Applications  :  projection  d'un  angle  droit.  Formule  fondamentale  de  la  Trigo- 
nométrie sphérique 13 

Deuxième  cas  :  Axes  obliques.  Relation  fondamentale  entre   les  cosinus  direc- 
teurs   1 3 

Carré  de  la  distance  d'un  point  à  l'origine i3 

Fonction  '^{x,y,  z) i4 

Sinus  de  l'angle  trièdre i5 

Angle  de  deux  demi-droites 16 

Trouver  une  demi-droite  dont  les  cosinus  directeurs  soient  proportionnels  à  trois 

nombres  donnés 19 

Extension  à  des  segments  quelconques 20 

Coordonnées  du  point  qui  partage  un  segment  dans  un  rapport  donné 21 

Projection  d'une  aire  plane aS 

Coordonnées  polaires 24 

Coordonnées  sphériques.  Coordonnées  cylindriques 20 

Exercices 20 


CHAPITRE  II. 

TRANSFORMATION  DES   COORDONNÉES  RECTILIGNES. 

Premier  cas  :  Translation  des  axes 28 

Deuxième  cas  :  Changement  de  direction  des  axes,  sans  changement  d'origine.      28 


560  TABLE    DES    MATIÈRES 

Troisième  cas  :  Transformation  générale "3o 

Relations  entre  les  cosinus  directeurs  d'un  triédre  trirectangle 3i 

Conditions  nécessaires  et  suffisantes  pour  que  deux  trièdres  soient  trirectangles.  34 

Invariance  de  la  fonction  '\i{x,y,  z) 35 

Formules  d'Euler 35 

Rapporter  la  section  d'une  surface  par  un  plan  à  deux  axes  tracés  dans  ce  plan.  37 

Classification  des  surfaces 37 

Exercices ^o 

CHAPITRE  III. 

PLAN   ET   LIGNE   DROITE. 

L'équation  du  plan  est  du  premier  degré 4  ' 

Réciproquement,  l'équation  du  premier  degré  représente  un  plan 4^ 

Résolution  de  l'inégalité  Ax  +  By  +  C^  +  D>o 44 

Distance  d'un  point  à  un  plan 4^ 

Plans  bissecteurs  d'un  triédre 4^ 

Condition  pour  que  deux  plans  soient  parallèles 4^ 

Angle  de  deux  plans 4? 

Condition  d'orthogonalité 4^ 

Équation  du  plan  passant  par  trois  points 4^ 

Équation  générale  des  plans  passant  par  l'intersection  de  deux  plans 4& 

Intersection  de  trois  plans 5o 

Conditions  pour  que  trois  plans  aient  une  droite  commune 5i 

Exprimer  que  quatre  plans  ont  un  point  commun 53 

Coordonnées  télraédriques 54 

Volume  d'un  tétraèdre 54 

Équations  de  la  ligne  droite 56 

Angle  de  deux  droites  :  Condition  d'orthogonalité,  conditions  de  parallélisme.  59 

Déterminer  la  direction  d'une  droite  orthogonale  à  deux  droites  données 60 

Bissectrices  d'un  angle 61 

Coordonnées  de  Pliicker 61 

Coordonnées  tétraédriques  d'une  droite 63 

Moment  d'un  vecteur  par  rapport  à  un  point 64 

Coordonnées  vectoi-ielles  d'une  droite 65 

Intersection  de  deux  droites;  conditions  pour  que  deux  droites  soient  dans  un 

même  plan 66 

Mener  pai'allèlement  à  une  droite  donnée  une  droite  qui  renconti'e  deux  droites 

données 67 

Mener  par  un  point  une  droite  qui  rencontre  deux  droites  données 68 

Intersection  d'une  droite  et  d'un  plan  ;  condition  de  parallélisme 68 

Exprimer  que  trois  droites  partant  d'un  même  point  sont  dans  un  plan 69 

Mener  par  un  point  une  droite  parallèle  à  deux  plans  donnés 70 

Mener  par  un  point  un  plan  parallèle  à  deux  droites  données 70 

Angle  d'une  droite  et  d'un  plan.  Conditions  d'orthogonalité 71 

Équations  de  la  perpendiculaire  à  un  plan  menée  par  un  point  donné 71 

Équations  du  plan  perpendiculaire  à  une  droite  et  passant  par  un  point 72 

Equations  de  la  perpendiculaire  menée  à  une  droite  par  un  point  pris  hors  de 

cette  droite 72^ 


TABLE    DES    MATlf:UES.  56l 

,,.  ,,  .        ,  ,      .  Pagei. 

Distance  d  un  point  a  une  droite ^a 

Perpendiculaire  commune  à  deux  droites nf. 

Exercices  relatifs  aux  distances r,^ 

Rapport  anharmonique  d'un  faisceau  de  quatre  plans -jS 


Exercices. 


79 


CHAPITRE  IV. 

POINTS,   DROITES,   PLANS  IMAGINAIRES. 

Points  imaginaires 83 

Plans  imaginaires,  droites  imaginaires 83 

CHAPITRE  V. 

SPHÈRE. 

Equation  de  la  sphère 86 

Conditions  pour  que  l'équation  du  second  degré  représente  une  sphère 87 

Équations  d'un  cercle 89 

Puissance  d'un  point  par  rapport  à  une  sphère 8q 

Plan  radical.  Intersection  de  deux  sphères 90 

Cercle  de  l'infini 91 

Exprimer  que  deux  sphères  sont  orthogonales 94 

Équation  de  la  sphère  circonscrite  à  un  tétraèdre,  en  coordonnées  tétraédriques.  gS 

Inversion .* 97 

Exercices 98 


CHAPITRE  Vf. 

COURBES  gauches;   TANGENTE,    PLAN   0SCUL.4TEUR,    COURBURES. 

Équations  de  la  tangente  à  une  courbe 100 

Plan  normal 102 

Longueur  d'un  arc  de  courbe 102 

On  fait  tourner  un  point  autour  d'une   droite,  d'un    angle  donné,    trouver  les 

coordonnées  du  point  obtenu io5 

Plan  osculateur 106 

Courbures 1 09 

Normale  principale,  binormale 112 

Torsion 1 14 

Exercices 116 


CHAPITRE  Vn. 

PLANS   TANGENTS. 

Définition.  Équation 120 

Plan  tangent  à  l'origine 124 

NiEWENQLOWSKi.  —  G.  an.,  III.  36 


562  TABLE   DES   MATIÈRES. 

Pages. 

Intersection  d'une  surface  par  ses  plans  tangents 124 

Rayons  de  courbure  principaux 126 

Application  au  second  degré 127 

Exprimer  qu'un  plan  est  tangent  à  une  surface  donnée 127 

Équation  tangentielle 129 

Exprimer  qu'une  droite  est  tangente  à  une  quadrique 129 

Mener  par  une  droite  un  plan  tangent  à  une  quadrique 129 

Cône  circonscrit i3o 

Cylindre  circonscrit i3i 

Normale  à  une  surface 182 

Plan  tangent  à  une  surface  définie  à  l'aide  de  deux  paramètres 182 

Exercices 1 3^ 


CHAPITRE  VIII. 

LIEUX  GÉOMÉTRIQUES.   —   GÉNÉRATION    DES   SURFACES   OU    DES   LIGNES. 

Méthode  générale i35 

Cas  de  plusieurs  paramètres i36 

Génération  d'une  ligne 187 

Exemples i38 

Cylindres i4i 

Cônes i44 

Surfaces  conoïdes  à  plan  directeur i48 

Surfaces  de  révolution i5o 

Équation  générale  des  quadriques  de  révolution i53 

Propriétés  générales  des  surfaces  de  révolution i56 

Plan  bitangent  au  tore i58 

Surfaces  de  translation 169 

Exercices ifio 


CHAPITRE  IX. 

NOTIONS   SUR    LES   SURFACES   RÉGLÉES. 

Définition 164 

Surfaces  développables i65 

Arête  de  rebroussement iGG 

Théorème  de  Chasles.  Point  central,  ligne  de  striction,  etc 167 

Exercices 178 

CHAPITRE  X. 

ENVELOPPES. 

Définition.  Enveloppes  à  un  paramètre 173 

Propriété 1 76 

Enveloppes  à  deux  paramètres.  Propriété 177 

Flxemples 178 


TABLE    DES    MATIÈRES.  563 

l'aites. 
Cas  de  plusieurs  paramètres  lies  par  des  équations i8i 

Surface  d'onde 18^ 

Kqualions  tangentielles 186 

Exercices iSy 


CHAPITRE  XI. 

NOTIONS   SUR   LES   SYSTÈMES  DE   DROITES.  —   COMPLEXES.  —   CONGRUENCES. 

Complexe kj.. 

Congruence 19,3 

Étude  sommaire  du  complexe  linéaire 194 

Exemple  de  complexe  du  second  ordre 195 

Exercices tijG 

CHAPITRE  XII. 

FIGURES   HOMOTHÉTIQUES. 

Définitions 198 

Equation  des  surfaces  homothétiques  à  une  surface  donnée 199 

Cylindres  homothétiques 200 

Application  aux  sections  planes  d'une  surface 201 

Exercices 2o4 

CHAPITRE  XHI. 

CLASSIFICATION    DES   QUADRIQUES    RAPPORTÉES   A    DES   COORDONNÉES    PONCTUELLES. 

Préliminaires 204 

Classification  par  les  directions  asyniptotiques 20G 

Classification  par  la  décomposition  en  carrés 208 

Résumé  (  Tableau  ) 219 

Exercices 220 


CHAPITRE  XIV. 

THÉORIE   DU    CENTRE. 

Définition aa<» 

Condition  pour  que  l'origine  soit  centre 220 

Recherche  du  centre  dans  les  quadriques.  Discussion 221 

Cône  asymptote aaS 

Quadriques  conjuguées aaS 

Asymptotes  d'une  quadrique  à  centre 226 

Recherche  des  points  doubles  d'une  quadrique 327 

Exercices '^!!> 


564  TABLE    DES    MATIÈPES. 


CHAPITRE  XV. 

PLANS   DIAMÉTRAUX.  —   DIAMÈTRES. 

Pagps. 

Définition 280 

Cas  du  second  degré 2.80 

Diamètres 286 

Exercices 289 

CHAPITRE  XVI. 

PLANS   PRINCIPAUX.   —    CORDES    PRINCIPALES.  —   AXES.  —   ÉQUATION   EN    S. 

Définitions.  Équation  en  S 240 

Discussion  de  l'équation  en  S.  Méthode  de  MM.  Kronecker  et  Waiecki 2'|i 

»                       »                Application  de  l'équation  en  )i 248 

»                       »                 Méthode  de  Caucliy 244 

»                        »                 Méthode  de  Jacobi 247 

»                        »                 Méthode  de  M.  Laurent 248 

Les  coefficients  de  l'équation  en  S  sont  des  invariants 249 

Détermination  des  cordes  principales 25o 

L'équation  en  S  ne  peut  avoir  ses  trois  racines  nulles 262 

Conditions  pour  que  l'équation  du  second  degré  représente  une  quadrique  de 

révolution  (  axes  rectangulaires ) 255 

Axes 257 

Équations  des  axes '. 269 

Exprimer  qu'une  droite  est  un  axe  d'une  quadrique 261 

Exprimer  qu'un  plan  donné  est  un  plan  principal 262 

Exercices 2()i 

CHAPITRE  XVII. 

RÉDUCTION   DE   l'ÉQUATION   DU    SECOND    DEGRÉ. 

(AXES    RECTANGULAIRES.) 

Première  méthode  :  Tansformation  des  coordonnées 268 

Deuxième  méthode  :  Usage  des  invariants 269 

Sommets.  Longueurs  des  axes  d'une  quadrique  de  la  première  classe 275 

Exercices 278 

CHAPITRE  XVIII. 

PÔLES   ET    PLANS    POLAIRES. 

Définition 279 

Plan  polaire  d'un  point 279 

Pôle  d'un  plan 280 

Positions  relatives  du  pôle  et  du  plan  polaire 288 

Propriétés  des  pôles  et  des  plans  polaires 280 

Droites  conj  uguées 285 

Exercices 288 


TABLE    DKS    MATIÈRES.  565 


CHAPITRE  XIX. 

POLAIRES    RÉCIPROQUES. 

ce  I    •  •*""• 

surfaces  polaires  réciproques 2ijo 

Polaire  d'une  surface  développable agi 

Polaire  d'une  courbe 292 

Interprétation  des  équations  en  coordonnées  tangenticllos 29^ 

Exercices 295 

CHAPITRE  XX. 

PROPRIÉTÉS   DES   DLVMÈTRES   CONJUGUÉS    DANS   LES   QUADRIQUES   A    CENTRE. 

Ellipsoïde 29G 

Théorèmes  d'.VpolIonius 297 

Lieu  des  sommets  des  parallélépipèdes  construits  sur  trois  diamètres  conjugués 

d'un  ellipsoïde 299 

Variation  de  la  longueur  d'un  diamètre  de  l'ellipsoïde 3oo 

Systèmes  de  diamètres  conjugués  égaux  d'un  ellipsoïde 3oi 

Relations  entre  les  longueurs  et  les  directions  de  trois  diamètres  conjugués  d'un 

ellipsoïde 3o2 

Relations  entre  les  paramètres  directeurs  de  trois  pians  diamétraux  conjugués 

d'un  ellipsoïde 3o4 

Hypcrboloïdes 3o5 

Théorèmes  d'Apollonius 3o5 

Lieu  des  sommets  des  parallélépipèdes  construits  sur  trois  diamètres  conjugués 

d'un  hypcrboloïde 3o6 

Variation  de  la  longueur  d'un  diamètre  d'un  hyperboloïde 3o6 

Trouver  trois  diamètres  conjugués  égaux  d'un  hyperboloïde 307 

Relations  entre   les  longueurs  et  les  directions  de  trois  diamètres  conjugués 

d'un  hyperboloïde 3o8 

Relations  entre  les  paramètres  directeurs  de  trois  plans  diamétraux  conjugués 

d'un  hyperboloïde 809 

Exercices 309 


CHAPITRE  XXI. 

CÔNES   DU   SECOND    DEGRÉ. 

Relations  entre  la  théorie  des  cônes  et  celle  des  coniques 3i i 

Cônes  supplémentaires 3i4 

Cône  équilatère 3i5 

Cône  capable  d'un  trièdre  trirectangle  circonscrit 317 

Conditions  pour  qu'un  cône  du  second  degré  contienne  trois  diamètres  conju- 
gués d'un  deuxième  cône  du  second  degré 319 

Théorème  de  Frégier 32o 

Exercices 32 1 


566  TABLE   DES   MATIÈRES. 


CHAPITRE  XXII. 

PLANS   TANGENTS   (FORMES   RÉDUITES);    SPHÈRE    DE   MONGE  ;    LIEU   DES   SOMMETS 

DES   CÔNES   DE   RÉVOLUTION   CIRCONSCRITS   A   UNE   QUADRIQUE. 

Paees' 

Ellipsoïde.  Plan  tangent  en  un  point.  Plans  tangents  issus  d'un  point 822 

Plans  tangents  parallèles  à  un  plan  donné 824 

Sphère  de  Monge 824 

Lieu  des  sommets  des  cônes  de  révolution  circonscrits  à  un  ellipsoïde 826 

Hyperboloïdes.  Pian  tangent  en  un  point.  Plans  tangents  issus  d'un  point 827 

Plans  tangents  parallèles  à  un  plan  donné 829 

Sphère  de  Monge 38o 

Paraboloïdes.  Plan  tangent  à  un  point.  Plans  tangents  issus  d'un  point 33i 

Plans  tangents  parallèles  à  un  plan  donné 882 

Plan  de  Monge 882 

Lieu  des  sommets  des  cônes  de  révolution  circonscrits 838 

Exercices 883 


CHAPITRE  XXIII. 

NORMALES. 

Ellipsoïdes.  Normales  Issues  d'un  point 835 

Cubique  des  normales 336 

Pôle  normal  et  pôle  tangentiel.  Surface  normopolaire.  Formules  de  Desboves..  338 

Cas  des  hyperboloïdes  et  des  paraboloïdes 34o 

Exercices 343 

CHAPITRE  XXIV. 

GÉNÉRATRICES   RECTILIGNES. 

Propriétés  des  génératrices  rectilignes  d'une  quadrique 847 

Génératrices  rectilignes  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe 352 

Génération  d'un  hyperboloïde  à  une  nappe 855 

Génératrices  rectilignes  d'un  paraboloïde  hyperbolique 358 

Génération  d'un  paraboloïde  hyperbolique 36i 

Hyperboloïde  et  paraboloïde  de  raccordement 363 

Méthode  générale  pour  trouver  les  droites  situées  sur  une  surface 364 

Asymptotes  d'un  paraboloïde  hyperbolique 867 

Lieu  des  points  par  lesquels  passent  deux  génératrices  rectangulaires  d'une  qua- 
drique   369 

Exercices 871 

CHAPITRE  XXV. 

SECTIONS   CIRCULAIRES. 

Théorème  préliminaire ^75 

Plans  cycliques ^77 


TABLE    DES    MATIÈRES.  $67 

Théorème  de  Hachette 3-0 

Application  aux  formes  réduites 38o 

Exercices 38/j 


CHAPITRE  XXVI. 

DISCUSSION   d'une   ÉQUATION   NUSIÉRIQUE   DU   SECOND   DEGRÉ. 

Méthode  des  contours  apparents 388 

Equation  résolue  par  rapport  à  l'une  des  variables 391 

Discussion  d'une  équation  tangentielle  du  second  degré 395 

Exercices 3g8 

CHAPITRE  XXVII. 

DÉTERMINATION   DES   QUADRIQUES. 

Nombre  de  conditions  nécessaires  pour  déterminer  une  quadrique.  Conditions 

linéaires 4oo 

Théorème  fondamental 4oi 

Théorème  corrélatif 4o3 

Conditions  multiples.  Éléments  remarquables 4o5 

Paramètres  de  grandeur.  Paramètres  de  position 409 

Conditions  pour  qu'une  équation  du  second  degré  représente  une  quadrique 

d'espèce  déterminée 4io 

Exercices 4i2 


CHAPITRE  XXVIII. 

INTERSECTION    DE   DEUX  QUADRIQUES. 

Théorèmes  généraux ^l'i 

Quadriques  bitangentes 4i7 

Quadriques  inscrites  ou  circonscrites 420 

Quadriques  ayant  une  droite  commune 425 

Quadriques  ayant  deux  droites  communes 429 

Faisceau  ponctuel  de  quadriques !\3i 

Faisceau  tangentiel  de  quadriques 435 

Exercices 43^ 


CHAPITRE  XXIX. 

FOCALES.  —   QUADRIQUES   HOMOFOCALES. 

Définition.  Foyers  d'un  ellipsoïde 4^9 

Foyers  d'un  paraboloïde 44 ' 

Foyers  d'un  cône 442 

Il  y  a  deux  espèces  de  foyers 443 

Nouvelle  définition  des  foyers  (G.  Darboux) 444 


568  TABLE    DES    MATIÈRES. 

Quadrîques  homofocales 4^^ 

Exercices ^/j6 


CHAPITRE  XXX. 

ÉLÉMENTS   d'une   SECTION    PLANE    d'uNE   QUADRIQUE. 

Détermination  des  axes  de  la  section /J4g 

Section  parabolique /J55 

Méthode  de  M.  E.  Bore! . .  455 

Foyers  de  la  section ^5^ 

Exercices ^60 

CHAPITRE  XXXI. 

APPLICATION   DES   IMAGINAIRES  A  LA   GÉOMÉTRIE    ANALYTIQUE   A   TROIS   DIMENSIONS. 

Notions  élémentaires  sur  les  qualernions 463 

Questions  proposées  dans  les  Concours  en  1895 465 

Additions 4-1 

Note  sur  les  Transformations  en  Géométrie,  par  M.  E.  Borel 481 

But  de  la  Note  et  remarques  historiques 48i 

I.  —  Généralités  sur  les  transformations 4^2 

II.  —  Transformations  homographiques 4^5 

Transformations  de  la  droite 48^ 

Transformations  du  plan 4^9 

Transformations  de  l'espace 49^ 

Emploi  des  transformations  de  coordonnées  pour  l'étude  des  trans- 
formations homographiques 49^ 

III.  —  Transformations  ponctuelles.  —  Généralités 5oi 

Inversion 5o4 

Définition  géométrique  du  groupe  G 5o6 

IV.  —  Coordonnées  pentasphériques 009 

Définition  analytique  du  groupe  G 5io 

Formules  fondamentales  en  coordonnées  pentasphériques 5i3 

Coordonnées  de  la  sphère 5i8 

V.  —  Transformations  corrélatives 628 

Coordonnées  de  la  droite;  groupe  ^ 528 

VI.  —  Transformations  de  contact 533 

Éléments  de  contact 533 

Transformations  de  contact  de  la  première  classe 535 

Transformations  de  contact  de  la  deuxième  classe 53() 


KRRATA.  069 

Page» 

V  II.  —  Transformation  de  M.  Lie 540 

Éléments  de  contact  en  coordonnées  pentasphériques  et  en  coor- 
données de  droites ô^o 

Équations  de  la  transformation  de  M.  Lie 544 

VIIL—  Transformations  dans  l'espace  à  plus  de  trois  dimensions S'iS 

Exercices .x'i.') 


FIN   DE   LA  TABLE   DES  MATIERES  DU   TOME    III    ET    DERNIEll. 


ER  RATA, 

Tome  F'. 


rages.  Lignes. 


i>        8  en  remontant 


jéii  lien  de 


Z^. 


Lisez 


Supprimez  : 

i  ■' 

(  en 

reinontant 

comme  pour  l'ellipse 
Lisez  : 

43 

3  en 

remontant 

M 

cos  — 

.     M 

sin  — 
3 

48 

16 

^. 

x' 

48 

•7 

r, 

y' 

58 

9  en 

remontant 

BC 

CD 

m 

<■) 

a 

— ^ 

7  1 

i(i 

indépendants 

linéairement  indépendants 

7^ 

I 

indépendants 

linéairement  indépendants 

103 

9  en 

remontant 

OD' 

O'IV 

125 

1 1  en 

remontant 

distinctes  de  x,  y,  z\ 

distinctes,  de  X,  y,  z; 
ajoutez  : 
l  si   les   coordonnées   sont  rcc- 

.44 

20 

]      tangulaires,  et  un  réseau  de 
J       rectangles  quand  elles  sont 
\       obliques. 

Lisez  : 

1  '|5 

7  en 

remontant 

ab'-ba 

ab'  —  ba' 

14» 

10 

aux  droites 

aux  droites  X  =  0 

i58 

iG 

A' 

.\. 

570 

Pages.  Lignes. 

171        8 


182    6  et  7  en  remont. 

i83      21 
187        3 


193    2  et  3  en  remont. 


>94 


295        4 

29G      19 

297        6  en  remontant 


ERRATA. 

Au  lieu  de  : 


retranchant 
243 


208 

9  en  remontant 

OB 

218 

i3 

h 

224 

5  en  remontant 

situés 

227 

5 

2 

B  a;  +  !•: 

227 

8 

h  = 

G 

m  —  — 

D 
H 

a7(sincp  —  sin»') 
—  y  (cos  9  —  cos  ç') 
+  Rsin(cp'— 9)  =  o 

+  (Y-ro)0--ro)-'^'  =  « 
+  (V-r.)(r-r.)-H'^=c» 

ajoutant 

244 

ia'  cos<  -  /V  +  ?'  cos*  \^+V  «'OS'  -  G 
—  2  Sycos'-Bcos'-C 
2  2 

1      — 2  ya  cos" -G  cos"- A 
122 

—  2a3cos"-Acos'^-B  =  0. 
2  2 

j  a"cos'- A  +  3"sin'- B  +  ^^sin' '  G 
l  2  '  2  '  2 

I      — aSy  sin^-Bsin'-G 

/  2  2 

1  •   ,  i/^       -I  . 

j      —  2Yasin"-Ccos-- A 

I       — 2a|3cos'-Asin"- B  =  0. 

0B„ 

2  A 

situe 


23l 

i5 

A  : 

=  £(aE  — jîD)» 

238 

10  en  remontant 

g 

247 

3 

^=.0 

265 

12  en  remontant 

B  =  A' cos  9 

275 

16 

?(«.?) 

283 

8  en  remontant 

sin»e 

288 

dernière 

a\ 

-¥{b\  ~a^-) 

293 

G 

I               I 

     ^^      G 

m  =  0      h  — 


r 

M  N 


A  =  —£(«!-:  —  |5D)» 

/. 

5  =  0,    A  7^0,    AE  — BD  =  o. 

B  =  AcosO 

sin*9 
«',  —  6"     ou     6%  —  «-. 

A    et    G 

Ajoutez  en  exercice  : 

I       5.  Rapporter  une  hyperbole 

(  à  ses  asymptotes. 

Lisez  : 

F 

M.N' 


ERRATA. 

l'/igcs. 

Lignes. 

An  lieu  de  : 

/w^eï  ; 

297 

3  en 

rcnionlanl 

S'N 

S'N" 

299 

7 

—  a;'sina  +y+sin(6  —  a) 

—  aj'sina  +_;''sin(6  — 

299 

8  en 

remontant 

/{a  -h  A vr,  a  -h  ky) 

/(a  +  kx,  b-\-  ky) 

3oo 

18 

BE, 

bK, 

3i8 

12  en 

remontant 

Ou  ■+■  l/'v  +  a"w 

b'  u  -+-  bv  ■+-  a"  iv 

3i8 

9  i*" 

remontant 

b,  b',  a" 

b',  b,  a". 

3,9 

i5 

y 

X 

3,9 

8  en 

remontant 

Y 

X 

329 

6  en 

remontant 

fc{x,y) 

f^/i^,r) 

333 

7  en 

remontant 

l'équation  (6) 

les  équations  (6) 

334 

II  en 

remontant 

{x  —  ay—  R' 

(x-ay—R'' 

33(, 

1 

/'(O 
?'(0 

.fin 

340 

12  en 

remontant 

-(^y 

'-m 

35a 

i4 

de 

du 

302 

16 

X  — 

...           ,    ■   a  —  b 
(a  — ojsins-t-ôsm — - —  cp 

y  =  {a  —  b)s\i\:p  —  bs\n  — 

373 

6 

a'tv" 

a"  W 

37.3 

dernière 

Il    et 

u    et    V 

378 

2 

' 

MF 

NK 

387 


57. 


a) 


10  en  remontant 


Au  lieu  de  : 

387 

i4  en  remontant 

y  ^  b' 

394 

i5 

P' 

39.5 

6 

e'd' 

395 

7 

c's' 

429 

i4  en  remontant 

celle 

43. 

i 

a 

433 

i3 

a -A-.? 

438 

8 

polynôme 

438 

9 

polynômes 

44  > 

7 

direction 

Siippi-imez  . 
aussi 
Lisez  : 

y  =  -  *' 

I" 

c'd' 

cette 

a" 

a  — Afl 

polygone 

polygones 

directrice 


Tome  II. 


»7 

4 

143 

•il 

143 

22 

143 

23 

143 

25 

4  en  remontant 


1 

A  =  0 

B  =  0 

OY 

B 

A 


■iq 


0\ 
_  A 


072 

P.iges. 

Lignes. 

i46 

10  en  remontant 

i5i 

i3  en  remontant 

ï84 

II  en  remontant 

i86 

5 

190 

5  en  remontant 

i3 

190 

'91 

18 

20J 

)  1 

281 

5 

ERRATA. 

y1)i  lien  de  : 

<;  —  O 

/(",) 
que,  c 

par  le  pied 
(0 
6' 


les  asymptotes 


C  —  O 

/K) 

/'(<^,) 

que  c, 

par  le  point  diamétralement 

oppose  au  pied. . . 

yl 

b 

xy'  —  yx' 

x^--y 
une  asymptote. 


Tome  III, 

Le  n"  59  a  été  imprime  par  erreur  en  petits  caractères. 


KIN  DES  ERRATA  DES  TOMES  I,  II  ET  III. 


218V7      Paris.  —  Imprimerie  GAL'THIER-VILLARS  ET  FILS   (luai  des  Granils-AugusUns 


O 


«HNÙIMU  UttI 


QA  Niewenglowski ,   Boleslas 

551  Alexandre 
N54.  Cours  de  géométrie 

t,3  analytique 


Phjrsîcal  A 
Applied  Sci. 


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