Cours de mathématique ..

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V

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•CZ.VI

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j

i COURS

f DE

' MATHÉMATIQUE.
Première Partie.

ÉLÉMENS

D'ARITHMÉTIQUE.

De t Académie Rtyale dts Scttncts, ExamimUttr dkj Inginuurti

Preftjftur &• Secrétaire Perpètuil de 1^ Académie Royale

éCArehiteSuret Benoraire de V Académie de Marine,

TKOISIiSME ÉDITION.

^

A TARIS,

l)«Hi«prii»eneae BilIlRD, Sml Imrrmsut Ju Roi pmii la Muliqo!,
S Noieui ie la Chiptlle de Sa M.ieIK , me des Noyers.

M. D. ce. LXIV.
Axec Approbetian tt Priyi/fge dit R«>

a"",'"a monseigneur

'\ LE CO MTE

D'ARGENSON.

MINISTRE,

SECRÉTAIRE D'ÉTAT,

ajrant le Dépanemenc de la Guerre.

ONSEIGNEVR,

Le "Traitl que j'ai Vhonnaa de vous
fréfenter ejl la frenùire Faràe d'un Cours
deMoMmaùque, où vous m'avei^ ordonné

èe féiiér ies Èlémns des Sciences ffàprei
à un tttgémeuT. Jt m*eJiinuTai hemeux,
MONSEIGNEUR, fi cet EJfai ejl
conforme caix vues ope vous nous commu-
nique^ âàns îts Ajpmibléés âe VAcadénàe
RoyaU des Sciences s Ù fi, par mon v^éle
pour la connnuanon de V Ouvrage, je puis
fèpoiidfe kux foifts guSe vous dciine\ à foWt
ce qui ifitiéreffe rÈtiu M.iïâîre daRoyaiànè ,
& paràcvUéremeM lûi Gorps ^Officiers dans
lefquels le Service du Roi demande des Talent
dont votis itv&( toujours 'été te Ffot0eyT},

Je fias avec un profimd refpeB»

mONSEitsNEUR^

Votre ttès-lroa4i(k 0^. tr(9-<ilbéi{Suic
Serviteur^ CAMUS.

L

PRÉFACE.

Orsque M. le Comte d*Argenfon a bien
voulu me charger de Fexamen des fujets

de la p^ des afpiratis : il a même eu k bonté
d'entrer dans tous les détails qui regardent leu£
inftruâiop : & pour leur épargner la leâure d'ua
trop gr^nd nopibre de livres avant l'examen ; il
m'a ordonné de réunir dans un même ouvrage
traité fynthétiquement toute la théorie dont un
ingénieur peut savoir befoin.

Cefl dans cet e ibrit ^ue ^ pour exécuter les
oirdres de ce Mininre ^ )'ai compofé un Cours
de Mathématique élémentaire qui comprend
TArithmétique • la Géométrie y la Méchanique
Statique & l'Hydraulique. Les Leçons que
)'ai données auy Écoles de PAcadémie royale
d'Axchiteftyre, m'ont fourni le moyen de rem-
plir mon objet plutôt qu'il ne m'auroit été pof-
fible de le faijre'^ (i je li'avois trouvé des maté-:
xiaux dans mes traités.

Quoiqu'avec le fecours des différens l^lvies
d'Arithmétique que npus avons ^ l'on puiflfe
appliquer le calcul numérique à tout ce qui a
Tapport aux fondions d'un ingénieur^ j'ai cepen-
dant jugé convenable d'en faire un nouveau*
Les applications qu^on trouvera dans la fuite
de l'ouvrage, de plufieurs principes généraux
qui , dans Pordre naturel , doivent être établis

en parlant du «alcul nuxnérique , feront voix

•••

«I»

vj PRÉFACE.

.(jue je n*aî pu m'en difpenfer. D'ailleurs on
remarquera que je me fuis attaché à déveloper
des méthodes qui jufqu'ici n'ont été expliquées
que fort fuperliciellement.

Le Traité d'Arithmétique, par lequel je com-
pience le Cours de Mathématique que j'entre-
prends de donner, eft partagé ou neuf livres.

Dans le premier , j'expofe la nature des nom-
bres en général, des parties décimales, Tart
<le la numération & les principes généraux fur
lefquels l'Arithmétique eft fondée.

Toutes les opérations de l'Arithmétique pou-
vant être réduites à l'Addition, laSouftraéiion,
la Multiplication & la Divifion ; j'explique dans
le fécond livre les méthodes pour faire ces
quatre opérations fur les nombres incomplexes
qui font les plus fimples ; & je les applique ta
même temps aux nombres qui contiennent des
parties décimales.

Comme les opérations que j*enfeîgne dans le
fécond livre , ne peuvent pas fuivant l'ordre na-
turel ttvc appliquées aux grandeurs complexes^'
fans donner une idée des fraâîons ; je traite dans
le troifiéme des fradions, de leurs réduâions^
des différentes préparations qui les rendent
fufceptibles de l'Addition & de laSouflraâion^
de la manière de les ajouter , de les fouftraire ^
de les multiplier Ôc de les divifer.

J'applique enfuite dans le quatrième livre
les opérations de l'Arithmétique aux nombres
complexes. Quoique les furfaces , les folides Ôc
la manière dont ces étendues font engendrées
& décompofées , appartiennent proprement à
la Géométrie > j'ai cependant expliqué dans les

«av.

'\

PRÉFACE. vij

chapitres de la Multiplication & de la Divîfion
des nombres complexes , comment ces deux
cfpéces d'étendue font produites par la Multi-»
plication & décompofées par la Dîvifîon des
nombres fubftitués aux lignes ; & je me fuis
particulièrement attaché à déterminer les vraies
dénominations des différentes unités dont les
produits & les quotiens font compofés.

Dans le cinquième livre, je traite des Rap-
ports & des Proportions en général, des Règles
de Trois , de Compagnie, de Fauffes pofitions,
& je me borne, en parlant des Proportions, à ce
cui eft néceffaire pour Tintelligence de ces dif-
férentes régies ôc des autres matières comprifes
dans la fuite de ce traité.

Dans le fixiéme , j'explique les Règles d* Al-
liage; & je m'attache noo- feulement à diftin-
guer entr^ les difFérentes queftions qui peuvent
être propofées , celles qui font déterminées ,
de celles qui font indéterminées ; mais encore à
£airc connoître comment ces dernières peuvent
être réduites, par des circonftances particu-
liéires, à un certain nombre de folutîons..

Dans le feptiéme , après avoir démontré Com-
ment & de quelles parties les Quarrèâ 6c les
Cubes font compofés , je donne les méthodes
pour en extraire les Racines exaâes; ou pour
en approcher autant qu^on peut -le délirer >
torfque les nombres propofés ne font pas des:
quarrés ou des cubes parfaits^.

Dans le huitième , je traite des Proportions
& Progreflions arithmétiques , des Progreffiwis
géométriques & des Logarithmes aufquels ces
progreflions fervent de préparation. L ufage

yUf PRÉFACE;

qu'on pâlit (ntre des logaxithmes tpoûr càJki^eX
de grands nombres y me .perfuade qu'on ne ks
trouvera point déplacés aans une Arkhmédqwe
deftinée à des perfonnes qui s'en ferviront né^,
cefTaîrement dans la fuite de leurs 4tudes.

Enfin je termine ce traité par un neuvième
livre qui contient une doârine abrégée des
Changemens d'ordre ou Permutations^ &c des
Combinaifons dans trois diâférences hypo^r
théfes.

On pourra être Turpris de ce qu^ayant à
compQler un Cours de Mathématique élé«
•mentaire ^ je n'ai .pas donné le calcul littéral
en même -temps que le calcul 'Bumésique^ à
l'exemple de quelques Auteucs. Mais ayant
^ traiter par Ja feule fynthàfe les piincipâles
.prties dont un «Ingénieur doit ^êtve inâruit^
;)'ai crû devoir jtéfeuver le Calcul iittétal pouc
l'Analyfe.

Je .préviens donc ici que }e ae .^parlerai du

•'calcul littéral & de «KaiKdyf^^ qu'^pràs avok

.«empli mesceng^gemens.^ & donné les traités

que ie viens d'-annoacerian ne .Êiifant >ui9ge

.que de la fynthâfe. Je travaillerai avec la plus

grande afllduité à contribuer au progrès que

T^slfigénieurs défirent de faire dans Wicieaces.

Ma plus graade latisfaéïion fera de panagec

par i nies veilles l'ardeur que témoignent ces

MeiReufs de.foutenir la réputation que leur

corps s'eft acquife, & de faire valoir iesibios

rdont4e Minière : eft occupé pour rendre leurs

^taleos Utiles À rÉcat:^ agré^bks au j&ûi«

EXTRAIT DES REGISTRES

de f Académie rcyth da Seienees,

MElSeiixs Nicoix Zc Claxiiauit qui avoîcnc M nomma
pour examiner un Ouvrage de M. Camus intitulé Ccttrt
tUmstipte éUmeniahv à tufitgê i$$ Inghiêurs, avant fait leut
xaiipon &t la partie àt et Cours qui concicnt 1* Arithmraque , & qui
çn doit compofer le premier volume^ TAcadémie a jujgé cette partie
de Touvrage digne de rimprellion. En foi de quoi j*ai ^né le préfênt
Ccrtificst. AParisle ix Mai X74^.

G&ANfEAN DE FOURCHY, Sécifoire perpétuel
de iAcadànie Royaie des Sciences.

EXTRAIT DES REGISTRES

de TAcaUnât royale ^ArMteSure.

MOnfieur Caatavd ^ vrwthi diat^ par l'Académie royjdc
tfAfdiîceâife , ë'esaminet des Simêns £AntbmMfm ,
t partie ^mtk Cows 4t MadiématiqQe oompoCë par M. CamuSt
i^ofelTeor de Mathémaugoe le Secrétaite de 1* Académie > en ayant
^t^Mi capport àla Oonipa|ttie, EUea ^d'avis que ce Tratcé»
fmnmati éire tcét^vcife a« Fdilk ^ éiok digne èe rimpreliom
il Bam 'Ce ao Mai t7i9«

CAIRIEL.

1^—— — — — ^' ■' I ■ iw

EKTRAIT DES REGISTRES

de ïAcêiimie de Marine.

Dtt 15 Février 1755.

MOnfieur Dichieac le M. Sort qui avoîent ésé noomés pat
l'Académie de Marine poux eaaminer les quatre premières
aartks du Comrs di M^émaiifàt 4k M. Camus • en ayant fais
Imir rup^rt. La ConM>agnie a jugé que le Public versoit avec
flai£r k tcimpreffioo aun Ouvrage auquel H a déjà accordé foa
eppsobatioA , & ^pn ne fem pas moins utile à la Marine qu'au
Corps en faveur duquel il a été cempofé. A Bisft lefdics jours êc aa
ci^cffiis*

CUOQUET^Séaétaircie l'Académie de Marine.

PRIVILEGE DU ROL

LOUIS, PAR LA GiCace de Disu « Roi de Francs et dk
Navarre : â. nos amés Se féaux Coofeillers ,. les Geas-tenaas
nos Cours de Parlemeuc , Maures des Requêtes ordinaires de notre
Hôtel, Grand-Conreil» Prévôt de Paris , Baillifs , Sénéchaux ^ leurs
LieutenansCivils, & autres nos Jufticiers qu*il appartiendra ^ Salut.
Notre Académie Royale des Sciences Nous a crès-huniblemenc faic
cxpofer que depuis qu'il Nous a plu lui donner, par un Règlement
nouveau, de nouvelles inarques de notre afFedion, elle s*e/l appliquée
avec plus de foin à cultiver les Sciences qui font Tobjec de (es exercices;
en forte qu*outre les Ouvrages qu'elle a déjà donnés au public « elle
foit en état d'eo produire encore d'autres : S'il Nous plaifoic lui
accorder de nouvelles Lettres de Privilège , attendu que celles que
Nous lui avons accordées en date du 6 Avril 1^9) j n ayant point
eu de terme limité , ont été déclarées nulles par un Arrêt de notre
Confeil d'Etat du 1 5 Août 1704 , celles de 171) & celles de 1716 étant
aulfi expirées, 5c defirant donner à notredite Académie en corps & en
particulier, & à chacun de ceux qui la compofent, toutes les tacilités
& les moyens qui peuvent contribuer à rendre leurs travaux utiles
«a Public^ Nous avons permisse permettons par ces préfentes»à
notredite Académie , de faire vendre ou débiter par tous les lieux
de notre obéiffance , par tel Imprimeur ou Libraire qu'elle voudra
cboidr, toutes les Recherches ou Ohfervatiêns jeurnalieres^ eu Relations
annuelles de tout ce qui aura été fait dans les Âffemblies de notredite
Académie Royale des Sciences ; comme atefi les Ouvrages , Mémoires
ou Trait es de chacun des farticutiers qui la compofent (y* généralement
tout ce que ladite Académie voudra faire ftroitre , afrts avoir fait
examiner Ufdits Ouvrages ($• jugé quils font dignes de timfrejpon ;
& ce pendant le tems de quinze années confécutives , à compter da
fovLt de la date defdites préfentes : Faifons défenfes à toutes fortes
de perfonnes de quelque qualité Sc condition qu'elles (oient , d'en
introduire d'impredîouétrangerejdans aucun lieu de notre obéifiance;^
Comme aufC à toas Imprimeurs , Libraires Se. autres d'imprimer ,
faire imprimsr , vendre , faire vendre , débiter , ni contrefaire
aucun defdits Ouvrages cl^dclFas fpécifiés , en tout ni en parties ,
ni d'en faire aucuns extraits fous quelque prétexte que ce foit
d^augmentatioQ , correélion , changement de titte 9 ièuilles même
réparés ou autrement fans la pernîindon exprelTe Se par écrit de
notredite Académie ou de ceux qui auront droit d'elle Se de Cet
ayans caufe ^ à peine de confifcacion des exemplaires contrefaits ,
de dix mille livres d'amende contre chacun des contrevenans , dont
un tiers à Nous, un tiers à l'HotcUDieu de Paris , l'autre tiers aa.
Dinonciatcur, Se de tous dépens, dommages Se intérêts : A la charge
que ces pré entes feront enregKtrées tout au long fur le Rcgillre de
la Comax la^uté d:s Imprimeurs 8c Libraires de Paris, dans crois mail

it la date <l*icdles; que rimpreflion dcfdits Oa^rages (èra faite
<lans notre Royaame & non ailleurs « & que nocredice Académie (ô
conformera en tout aux Règlement de la Librairie , & notamment
à celai du lo Avril 1715 ; & qu'ayant de les ezpofer en vente , les
Manufcrits ou Imprimés qui auront fervi de copie à Timpreffion
defdits Ouvrages , feront remis dans le même eut , avec les
^approbations 8c Certificats qui en auront été donnés es mains de
notre très-cher 5c féal Chevalier , Garde des Sceaux de France , le
Sieur Chauvelin ; 5c qu'il en fera enfuite remis deux exemjplaircs
dans notre Bibliothèque publique , un dans celle de notre Château
du Louvre , un dans celle de notredit très-cher 5c féal Chevalier
Garde des Sceaux de France , le Sieur Chauvelin , le tout i. peine
àc nullité des préfentes : Du contenu defquelles vous mandons 3c
enjoignons de faire jouir notredite Académie ou ceux qui aurons
droit d'elle 5c fes ayans caufe , pleinement 5c paifîblement , fans
fouftrir qu'il leur foit fait aucun trouble ou empêchement. Voulons
que la copie defditcs préfentes qui fera Imprimée tout au long au
commencement ou à la fin dcfdits Ouvrages (bit tenue pour dament
fignifiéC) 5c qu'aux copies collationnées par l'un de nos amés 5c féaux
Confeillers 5c Sécreuires , foi foit ajoutée comme à l'Original.
Commandons au premier notre Huimer ou Sergent de faire pour
l'exécution d'icellcs, tous Aâes requis 5c néccflaires , fans demandée
autre permiffion , 5c nonobftant Clameur de Haro , Charte
Normande , 5c Lettres à ce contraires. Car tel eft notre plaifir.
^oMNi à Fontainebleau le douzième jour du mois de Novembre^
Tan de grâce mil fept cent trente-quatre > 5c de notre Rcgac le
trente-huitième. Par le Roi en fon ConfeiL S A I N SON.

^igiftré fitr U Repfire VIIL de U Chétmhn Riyé$U & SyndUédê
des lÀhrmrts it Imfrimmrs d§ Paris, N* 791. fol, 77 f . conformément
MU Règlement de 1714. qui fuit défenfe Art. IV, à tontes ferfonnes dé
^pulfne (fmsliti qu* elles fiient j ésntre qne les Lshmiret ér Insfrimeurs^
de vendre , débiter , (ji* faire afficher ^ncnns Livres , ponr Us vendra
an lents noms « foit qu'ils s'en défont les Auteurs ou asstrement; &Àis
ifharp de fournit les Exemplaires prefcrits par l Article 10%, du mem%
^^ghmem* A tarit le ij Novembre 1734. Gt Martim j Sjudic.

^K

EXPLICATION

DES NOMS DES PROPOSmONS

Qui compofent ce Traité;

CE Traité efi emfofi de Jut fartis di PrêpofinMSi
de Définitions , de Théorèmes , de Problêmes ,
ib Corollaires , de Remarque;; (jr de Scholies.

Une DéfiDÎcîon ejl CexpUeatUn de ee quen entend fa,
^n mot dent on veut faire ufi^e.

Le Théorème efi une propoption dont il faut prouyef,
la vérité.

JLe Problème efi une propoptim dans laquelle il s'agit,
*ie faire une opération^ ou de découvrir une vérité inconnue.

Le Corollaire efi une eoitfequence tirée £un Théorimt
démontré au d'un Problème réfolu.

Les Remarques/ont des réflexions fur une eu plufieurs
propofetions précédentes. '

Le Scholie efi auffi une remarqué qui Und à faire voit
t utilité £unepropofiiton^ ou V accord de plufieurs propoption^
précédantes dont on fait la récapitulation^

EL£MENS

E L E M E N s

D'A R ITHM É TI^ UE.

LIVRE PREMIER.

Des Nombres 6" des Principes généraux
de l'Arithmétique,

CHAPltKE PREMIER.

Do Ntmhnt tn général Çy de l'Uniié.

Définitions.

'Arithmétique eAla Science des
I Nombres.

On appelle Nombre l'alTemblâge de

plu Heurs Unitifs.

On nomme Unité xom ce qui eft contïdiïré comme

indivifiblè, quoiqu'il puilTe être véritablement divifé.

On prend pour unité, non feulement chaque chofe

Doo cfivifée ou naturellement indivilible, comme un

homnfie , un oiouton , une écoi'e , &c ; mais encore la

colI'*ftion de plufieurs chofes de la même cfpéce, en

les conlîdérant comme un tout I pac exemple, uae

jirithmétiqut, Â

JE Lip.L pAfNCIPES oinÎKAVTt

armée, un troupeau, une conflellacion ; Ton prend
même pour unité raflemblage de plufieurs chofes de
diâférentes efpéces , comme un équipage, un habille*
ment, un meuble.

On cft convenu pour la facilité du commerce »
d'eipployer différentes efpéces d'unités qui font con-
nues de tout le monde. Dans les monnoies Ton a
établi pour unités, la livre, le fol & le denier. Pour
mefurer les diftances & les longueurs, Tufage & les
loix ont établi la toife , le pied , le pouce , & la ligne,
Taune, la perche, & plufieurs autres mefures donc
rétendue efl fixée par la coutume Se par l'autorité du
Prince. Dans la mefure des aires ou des fuperficies.
Ton prend pour unités , la toife quarrée, le pied quatre,
le pouce quarré , l'aune quarrée, la perche quarrée,
l'arpent : & pour rendre les calculs plus faciles ; Torf*
que l'on a befoin de différentes unités, l'on prend
pour unités diâférentes mefures qui ont toutes la mê-
me longueur fur différentes largeurs , Se qui prennent
leurs dénominations diflinâives de leurs largeurs.
Nous parlerons plus amplement de ces différentes
unités de fuperficies, l'orfque nous traiterons du toifé
des furfaces. Dans le toifé des folides^ on prend pour
unités, la toife cube , le pied cube, le pouce cube ,
la ligne cube, & différens folidesqui ont tous pour
bafe une toife quarrée fur différentes hauteurs dont
ils prennent leurs dénominations diftinâives, fans
compter quantité d'autres mefures telles que la pinte ^
leboiffeau, le fetier,le muid, &c, qui ne font pas
partout les mêmes. Enfin chaque efpéce de chofe a^
une unité particulière de même nature qu'elle , Se
dont la grandeur efl autorifée par l'ufage.

Les unités dont on vient de parler i & toutes les
autres qui font relatives à des chofes de quelque cft
péce qu'elles puiffenc ccre, s'appellent unités çoncnus.

II y a une autre unité qui ne déGgne aucune efpéce
àt chofe en particulier , & qui eft applicable à toutes
fortes d'efpéces : cette unité s'appelle unité vague ou
ébfiratu ou iUjfrUit » & s'exprime par le mot un ou
une Jois.

I r

CHAPITRE II.

Des Nombres & ^le U Numération.

^T^TOus avons dît, dans le Chapitre précédent;
x^ qu'un nombre étoit Taffemblage de pluCeurs
unités, âc nous avons fufiîfamment expliqué ce qu'on
entend par unité*

En ajoiitant une unité à une autre unité, Ton fait
un nombre que Ton nomme deux ; en joignant à ce.
nombre une nouvelle unité, il en refaite le nombre
que l'on appelle trois i de en continuant ainfi d'ajoûtec
de nouvelles unités aux nombres déjà faits , Ton for«
me les nombres fuivants que Ton nomme quatre , cinq^
fix , fept y huit , neufj &c. Comme l'unité pourra tou-
jours erré ajoutée aux nombres qu^ Ton aura faits »
quelque grands qu'ils putfTent être ; eft évident que
fa fuite des nombres n'a point de bornes.

Si l'on vouloir exprimer chaque nombre par uti
mot ou par un caraâêre particulier, il faudroit donc
employer une infinité de mots ou de caraâeres, 3c
la vie d'un .homme ne fuffiroit pas pour apprendre
à compter jufqu'à cinquante mille qui eft- un fore
petit nombre, non feulement entre les nombres poffi-
bles, mais encore entre ceux que l'on eft dans lufage
de compter : mais les hommes & principalement les
Sdathématiciens obligés de faire ufage de très-grands -
nombres I ont imaginé l'arc de compter avec un

Ai). ^

4 IiV: L Paikci^bs GÎHéKAuS

très petit nombre de mots Se de caraâeres répétés

pluHeurs fois; cet art fe nomme la Numération.

L'on conûdére en général deux fortes de nombres»
Us nombres concrets , 8c les nombres abftraits ou abfolus.

Lorfque les nombres font appliqués à compter
plufieurs unités de quelque efpéce particulière ; on
les appelle nombres concrets ; par exemple deux livres f
trois toifesy quatre chevaux j font des nombres con-
crets , qui ont pour unités des livres , des toifes , des
ehevaux.

Les nombres qui ne font appliqués qu^à nombrer
des unités vagues, ou abftraices, tels que ceux-ci ^
deux, trois y quatre j Sec: ou plutôt deux fois ^ trois fois ^
quatre fois f 5cc» qui ne comptent aucune efpéce de
chofes particulières , mais qui font propres à nom-
brer des unités de toutes les efpéces» s'appellent
nombres abftraits , ou nombres abfolus.

Comme Ton ne connoit de véritables nombres ,
que relativement aux chofes nombrées ; les nombres
concrets font les feuls qui exiftent véritablement par
eux-mêmes; Se Ton peut dire que les nombres abftraits
ou abfolus n'exifient que dans Tefprit, ou par la ma«
ciere dont on confidére les chofes nombrées.

La confidération des nombres abftraits n'eft pouf'*
tant point inutile pour plufieurs raifons. Premièrement
les nombres ne font pas moins nombres, pour avoir
des unités différentes : ainli il eft indifierent à l'Arith-
métique > qui eft proprement lafcience des nombres»
d'avoir telle ou telle efpéce d'unités à nombrer: enforte
que lunité vague ou abftraite, une fois j peut être prife
auf& bien que toutes les unités concrètes, pour le prin-
cipe de compofition des nombres qui font Tobjet de
l'Arithmétique ; c'cft même cette efpéce d'unité que
l'Arithmétique confidére véritablement. Secondement
il y a ç^s quefiioos arithmétiques , donc les réponfes

1>S L'AKITHMiTÎQUÏ. J

le ridutCtnt i des nombres abftraits , comme celle-
ci : Combitn de fois huit écus contiennent- ils quatre écusf
dont la réponfe eft deux fois , qui eft un nombre vé-
ritablement abftrait. La confidération des nombres
abftraîts ne doit donc point être négligée : elle tft
même abfolument néceflaire » comme nous le verrons
encore dans la fuite.

Quoiqu'il Y aie une infinité de nombres difFérenSt
Ton a trouvé le moyen de les repréfenter tous avec
dix caraderes feulement diffëremment combinés 3c
répétés ; & en écrivant à la droite des caraderes qui
repréfentent un nombre quel qu il foit , le nom de
Tunité» ou le caradere qui marque Tefpéce de Tunité
dont ce nombre eft compofé , Ton repréfentera telle
efpéce de nombre concret que Ton voudra.

Lts dix caraâeres par lefquels on repréfente tous
les nombres ^ Se que l'on appelle chiffres^

Sont ^ ^ ^ On les nomine

7
8

Avec ces dix cafajfteres f on peut , fans aucun art i
compter depuis rien jufqu'à neuf inclulivement ; te
Ton ne pourroic point compter au-delà , fi Toa
n'avoitf point d'autre unité que celle de Tefpéce que:
Von doit nombrer. Par exemple , fi les unités dons
un aombre doit être compoie écoicnt des toiiies ^

6 Liii.L PmiKciPEs GÎvinAvx
dont rcfpécc de Tunité cft rcpréfentée par T, on
pourroit îeulemenc compter depuis rien jufqu'à neaf
toifes» en écrivant

frien ou zéro toifc
une toife
a"^ deux toifes

5^ j trois toifes

4^ l iT^ • r •!? I quatre toifes
*, f Ce qm Cgnifie j ^j^^ ^^.^^^

fix toifes
fept toifes
huit toifes

6^

7"

neuf toifes

Ôc Ton ne pourroit pas compter au-delà de p toifes^
fi Ton n'avoir point d'autre unité que la toife.

Mais outre Tunîtc de Tefpéce que l'on doit compter^
8c que nous nommerons unité principale^ ou unité de
Vefpéce^ ou unité Jîmplei par exemple, outre la toife
qui fert d'unité principale dans les nombtes que nous
venons de donner , Ton a imaginé d'autres unités «
que nous nommerons unités eoUeSiyes , qui peuvent
être comptées depuis rien jufqu'à neuf inclufi veinent ;
& moyennant ces unités colleâives y on ell en état
de repréfenter tous les nombres poffibles compofés
de la répétition deTunité principale» comme on va
l'expliquer.

Des Unités.

Lorfque les unités principales ne paiTeront pas le
nombre de neuf, & que Ton pourra par conféquenc
lus écrire avec un feui chiffre; le chiffre qui en repré^
fentera le nombre » fera nommé nombn des unités du
premier degré , de la place que ce chiffre occupera fera
nommée la premwe pkcc.

DK l'AeITH ^éTlQUX4

Des Dixaines,

De dix unités du premier degré , Ton fait une unîtc
colleâive que Ton nomme ii^ra me, ou unité du Jecond
degré ; Se l'on en peut compter depuis rien jufqu'à
xieuf , par le moyen de quelqu'un des mêmes chiâres
G, 1,2, î, 4, 5, 6, 7, 8, p.

Pour diftinguer le chiffre qui compte ces nou-^
Telles unités iu fécond degré , de celui qui compte le
nombre des unités du premier degré i on le mec à la
féconde place immédiatement à gauche de celui qui
compte les unités du premier degré , Se qui occupe
la première place, en obfervant toujours de remplie
la première place par un chiffre qui puifTe repré-
fenter le nombre dts unités du premier degré , comme
on va le voir dans les exemples fuivans.

I ^. Lorfque le nombre des unités que Ton compte t
fe réduit à des dixaines ou unités du fécond degré fans
refle, & que le nombre de dixaines que Ion a, ne fur«
pafle pas neuf; on met à la première place le carac«
tere (o) qui ne compte rien , & qui en fignifîant qu'il
n'y a point d'unités du premier degré , fait tenir la fe^
conde place au chiffre qui marque le nombre des uni-
tés du fécond degré , & le détermine à compter cette
cfpéce d'unité colledive plutôt qu'une autre*

une dixaine ou dix»
deux dixaines ou vingt.
trois dixaines ou trente.
quatre dixaines ou quarante^
cinq dixaines ou cinquante.

I' fix dixaines oufoixante.
fcpt dixaines ou feptante.
^ huit dixaines ou huilante.

tneuf dixaines ou nonante.

A» •••
iiij

AIiifi{^

101
ao
30
40
o

\6o

70
«o.

Signifient^

s Xhf^J.. FHXKCIBESL QÛvizAvit

Four exprimer la fuite des nombres de dlxaîne^^
on dic^ ou du raoips oa peut dire en nombrant , dix ^
vingt , trente y quarante , cinquante , Jpïxante , feptante ^
hutiante ^ nonante ; mais hors du calcul on dit Se Von
écrit pour les troîs detnîcrs nombres de dixaines»
foixante & dix, quatre-vingts quatre-vingt-dix. ^

2^. Puîfqu'en mettant quelqu'un des dix chîflFres
o > i%^9 $9 ^rS'x^iJySf 9 , à la féconde place»,
l'^on peut compter les dixaines depuis rien jufqu'à
neuf, Se qu'en mettant quelqu'un d^ mêmes chifirea
è la première place ^ on peut compter les unités Jtmptes:
eu du premier Jegr^ depuis rien juîqu'à. neuf; on peut
par le moyen de deux chiffres qui occupent les deux
premières places, compter depuis rien jufqu'à no-
nante- neuf; c'eft- à-dire j^ jufiq^u'à quatre-vingt-dix*
neuF;

Les chiffres quï font à h ftcondie place » doivent
garder hs noms des nombres de dixaines qu'ils exprij^
xTispt ; & ceux qui font à h première place , doivent
pareillement garder les noms des nombres des unités;,
fimples qu'ils repréfentent. Cependant il en f^ut exf
cçpter quelques nombres dont la prononciation fait
Hpçirrégularité^ Se une ex^reptron à la règle géncralci.

12

l II

|dîx-un: I jOnzç

j dix-deux ! | douze

quatorsQ

quinzQ

feizç

le. 'M.^^!r!di»-trois I ^^]r.„ 1 "<^i?'
Iiç^nil?rçs> x4 > * fc < dix-quatic f prononqç S quato

7 ! prononcer ' -, ', T •

IJ I 1 dix-cmq

17*) fui vent la legle généra^ r dix-&pl}

00 les écrit < dix-hu«

4 Qft k^ OQmœQ ^^it-ixeiil

bE r'ÂAITHllÉTKÎUK Jf

Pour les nombres fuivans, depuis vingt rcpré-
fenté par 20, jufqu'à foixanre & neuf repréfenté
par 6p y on fuit la règle générale en les écrivant
& en les nommant.

•■»*

3

30

ai

! 27

2&

30
31

3^
33
34
3Î

3«
37
38

3?

Nêms

vingt

vingt & un
[vingt- deux
: vingt-trois

vingt-quatre

vingt-cinq

vîngt-fîx
jvingt-fept

viqgt-huit

vingr-neuf

■

trente
trente & un

trente -deux
trentç-troîs
trente-*quatrQ
trente-rcinq
trente^ fix
trente' fepc

treme-huk
Ucnte-peuf

I.

40
41
42

43

44

45

47
48

4P

y»

J3
54
5Î

n

iVtfiiu

quarante

quarante & un

quarante-deux

quarante-trois

quarante-quatre

quarante-cinq

quarante-fix

quarante-fepc

quaraote<huijt

quarante-neuf

,

^gmnvmvmrmim

Cinquante
cinquante & uq
cinquante-deux
cinquante-trois
cinquante-quatre
cinquante-cinq
cinquante- fix
cinquante- fepc
cinquante-huit
cinquante -neuf

m^i^mmmmmÊlimmkM

'i»BW»

^^

\o Lîy.L PaiirciPKs Givà^AVt

60
61
62,

64

foixantc
foixante & un
foixance âc deux
foixante & trois
foixante Se quatre

foixante de cinq
foixante Se fîx
foixante Se fept
foixante Se huit
foixante Se neuf

A regard des trente nombres fuivans, que Ton
repréfente par deux chiffres : on peut fuivre la règle
générale dans les calculs , en retenant les noms de
feptantti huitante^ nonanu^ pour exprimer fept dixaines ^
huit dixaines y neuf dixaines ; mais hors les calculs, on
fuit Firrégularité que Tufage a introduite 5 en difant
foixante & dix pour feptante ^ quatre-vingt pour huitante^
fuatre-yingt'dîx pour nonante .• Se comme pour les fîx
nombres au-deifus de dix, on ne dit pas dix un, dix
deux j dix trois, dix quatre ^ dix cinq^ dix (îx; mais qu6
Ton dit Se que Ton écrit on^e , dou^e , treize , quatorze p
quinie Sefei^t ; on ne dit pas non p\us foixante & dix un ,
foixante & dix deux , foixante & dix trois , foixante & dix
quatre , Joixante & dix cinq , foixante & dix fix , ni
quatre-vingt-dix un , quatre-vingt-dix deux , quatre-vingt'
dix trou y quatre-vingt-dix quatre, quatre-vingt-dix cinq^
quatre-vingt-dix fîx ; mais on dit Se Ton écrit foixante
6* on^e , foixante & dou^e , Joixante & treize , Joixante
6* quatorze y foixante & quinie , Joixante ùr fei^e , quatre-
pingt-on^e^ quatre-vingt-douie, quatre-vingt-treize, quatre^
vingt- quatorze , quatre-vinp-quinie , quatre-vingt-fei^e.

On voit dans la table fuivante les deux noms que
Ton peut donner à chacun des trente nombres qui
fuivent 6^.

Ht L'Â&1TBUi6tI<2VX.

tl

1 ^

Nomi dont on peut

Noms

1

Jaire ufage

dont Vufagt

§

dans le calcuU

tft plus ùrdindîn.

7©

feptantc

foixante & dix j

71

fcptante-un

foixante & onze

72

fcptante-deux

foixante & douze

73

fcftante- trois

foixante & treize

' 7S

fcptame-quatrc

foixante 8c quatorze

fcptanTc-cinq

foixante ôc quinze

76

reptante-Hx

foixante & fcize

77

feptantc- fcpt

foixante de dix- fept

78

fcptantc-huîc

foixante & dix-huic

7P

fcptantc-ncuf

foixante & dix-neuf

80

huitante

quatre-vingt

81

hukante-un

quatre-vingt-un

82

huitante -deux

quatre vingt- deux

83 1

huitante-trois

quatre-vingt-trois

84

huitante-quatre

quatre-vingt-quatre

8y

huîtante-cinq

quatre-vingt-cinq

S6

huitante- Gx

quatre-vingt-lSx

87

huitante-fept

quatre-vingt-fept

88

hujtante-huic

quatre-vingt-huit

89

huitante-neuf

quatre-vingt-neuf

90

nouante

quatre-vingt-dix

P'

nonante-un

quat re -vingt -onze

pa

nonante-deux

quatre-vingt-douze

93

nonante-trois

quatre-vingt-treize

54

Donanre-quatre

quatre*vingt-quatorze

9S

nonante-cinq

quatre-vingt-quinze

96

nonante-fix

quatre- vingt- feize

91

nouante- fept .

quatre -vingt-dix-fept

9%

nonante-buic

quatre-vingt-dix- huit

\ 99

nonante-neuf

1 quatre-vingt-dix-neuf

dft Li». L PrIKCIPHS GÛKiBiAVX

Des Ctntaines.

De même (pjcla fomme de dix unités du premiindégfê
compofe une unité du fécond degré ^ raflemblage de dix
unités dujuond degrés faîc une unité du troijiéme degré ^
que Ton nomme centaine ou ceizr; & Ton donne la troî*
fiéme place vers la gauche^ aiuc chiffres qui expriment
les nombres de ces nouvelles unités.

On peut encore compter ces nouvelles unités de
centaines depuis rien jufqu'à neuf, avec les mêmes,
caraâeres o» i ,^2, 3>4>59<^, 7» 8,9:& comme
Ton peut aufli compter avec les mêmes chiffres les
dixaines depuis rien jufqu^à neuf, & les unités (impies,
depuis rien jufqu'à neuf; il efl clair que Ton e(l ea
état de compter tous les nombres depuis rien jpufqu'à
neuf cents nonante-neuf, que Tufage oblige de nommer
neuf cents quatre-^vingt^dix-neuf

Les différens nombres de centaîjnes n'ont point de
noms particuliers : on les défigne par le nom centp^
précédé du mot qui en exprime le nombjce y
on le voit dans cet exemple*

fiool fcent

200 [ I deux cents

}00 I j trois cents

400 I I quatre cents

Nombres J ^00 iNoms J cinq cents

doo 1 fix cents

700 [
. 800 {
1900}

fept cents
huit cents
neuf cents

L^énoncé d'ua nombre repréfenté par trois chiffres^
n^a aucune nouvelle difficulté. On commence pa^
énoncer le nombre des cents, exprimé par le chiffre
qui eft à la tioiûéme place â enfuite on prononce le

iDOm iifu nombre exprimé par les deux chiffres qui
occupent la féconde & la première place , en fuivant
la règle générale ou Tufage^ Se ayant égard aux
exceptions que nous avons fait remarquer, comme
dans ces exemples. *

'3^4! ftroîs cents foixante-quatre

^j6 I ' cinq cents feptaute-fix ,

ou cinq cents foixante trfti\e

Kombres^

^93

cent nonante-trois ,

9i6\
807

J

f NomsJ ou cent quatrc'-'vingt'treiie

I neuf cents feize

huit cents fept

deux cents nouante,

ou deux cents quatre^yingt-dix

Nous ferons feulement remarquer que fi Ion trou-
ve (g) qui ne marque rien, à la place des dixaines, 8c
qui fignifîe que l'on n'a point de dixaines à compter;
il faudra exprimer le nombre des unités fimples auffi-*
tôt après celui des cents qui font à la troifiéme place»
comme dans le cinquième exemple : & fi le caraâere
(o) fe trouve à la première place , il marquera qu'il
n'y a point d'unités fimples ; ainfi il faudra feulement
ex primer le nombre des centaines Ôc celui des dixainei^
comme on le voit dans le dernier exemple.

Des Unités coUeSives qui font de degrés fupérîeurs

au troifiéme.

De dix unités du troifiéme degré nommées centaines i
l'on fait une unité du quatrième degrés que l'on nomme
mille.Cts nouvelles unités fe peuvent compter comme
les autres unités coljeftives dont nous avons parlé»
depuis rien jufqu a neuf, & le chiflFre qui en repré-
fente le nombre fe met toujours à la quatrième place^
à la gauche de celui des cents.

£a concûiuant aiaû de faire de nouvelles Xinîté»
colleélives, dont chacune foie compoféededîx unités
du degré précédent ; on aura une progreffion d'unités
décuples les unes des autres , qui n'aura point de
bornas, 5c Ton pourra par fon moyen repréfemec
tous les nombres poffiblesi, quelque grands qu'ils
fbientji en fe fcrvant feulement des dix cara^Seres
0,1, 2, 5,4, J, 5, 7, g, p.

Les trois chiffres qui occupent les trois premières
places , ont des noms particuliers. On appelle nombre
Jimple^ celui de la première place ; dixaïney celui de la
féconde place; & cenraîne , celui de la troifiéme place.
On auroit pu de la même manière donner des noms
particuliers aux unités des degrés Supérieurs: mais
comme ces nouveaux nomsauroient chargé la mé*
moire inutilement, Se qu'il auroit été trop difficile de
prononcer un grand nombre de mots diiSféreos dan?
^B ordre précis ; Ton a donné aux trois chiffres fui vans
qui occupent la quaitiéme^ la cinquième & la fîxiéme
place, les mêmes noms de nomhrtj dixalne^ ctntaintf
^ ainfi des autres: enfone que les chiâfres qui repré-
IsQtent un grand nombre, étant partagés en tranches
de trois chiffres en trois chiffres , en commençant par
U droite > chaque tranche aura un nombre d'unirés
dans fa première place à droite, un nombre de di«
saines dans fa féconde place , & un nombre de cen-
taines dans fa troifiéme place. Il en faut pourtant ex-
cepter la dernière tranche vers la gauche, qui n efl pas
toujours compofée de trois chiffres , & qui n'en con-
tient fouvent qu Wou deux ; fa voir un nombre d*uni-«
tés, ou un nombre d'unités avec des dixaines.

Pour ne point confondre toutes ces tranches, 8c
pour les diflinguer les unes des autres ; Ton a donné
au premier chiffre de chacune d'elles , nn nom partir
ciilier qui eft aufll le nom de cette tranche.

Ï)B L-ARIfHKÊTIQTTK. l^

Le premier chiffre de la première tranche, s'appelle
le nombre des unités Gmpics; & la première tranche
qui contient auflTi les dixaines & les centaines d'unités
£mpies, fe nomme la tranche des unités /impies.

Le premier chiflfre de la deuxième tranche, fe nom-
me miUe ; & cette féconde tranche qui contient auffi
les dixaines & les centaines de mille, s'appelle la tran^^
che des mille.

Le premier chiâfre de la troîGéme tranche, s'appelle
million ; & cette tranche qui contient aufli les dixaines
Se les centaines de millions, s'appelle la tranche des
miU'wns.

Après la tranche des millions, viennent celles des
billions^ des trilU^ns y des quatrillonsy des quintilUons ,
des J'extillions , desJeptiUions , des oâUllions^ des nonillions^
d':s decillions , <Scc, qui contiennent chacune leurs unir
tés , leurs dixaines , Se leurs centaines.

Les chiffres écrits pour repréfenter un grand
nombre, étant ainG partagés en tranches compofées
de trois chiffres, excepté la dernière ou la phis à
gauche, qui peut n'avoir qu'un ou deux chiffres; il
cft extrêmement facile d'énoncer ce nombre : puif-
qu'il fuffit d'exprimer les uns après les autres, en
commençant par la gauche, les nombres repréfentés
par ces tranches, comme fi chaque tranche étoit
unique ; maïs il faut avoir attention, après l'expreffion
du nombre de chaque tranche , d'exprimer le nom
de cette tranche.

Pour faire voir d'un coup d'ϔl les' noms des
différentes tranches d'un grand nombre repréfenté
par beaucoup de chiffres , avec les noms des chiffres
de chaque tranche ; nous prendrons pour exemple le
Bombre des grains de fable qu'Archimede a trouvé
Su'il falloit pour compofer une maffe égale à celle de
la terre > en fuppofant qu'il faut mettre dix grains de

fable bouc à bout, pour faire le diamètre d'un graîn éé^
coriandre ; qu'il faut dix grains de coriandre, pour url
pouce ; douze pouces, pour un pied ; cinq pieds, pouf
un pas géométrique; trois mille pas, pour une lieue $
que le diamètre de la terre eft dt deux mille huit cents
foixailte & quatre lieues l & que la circonférence d'un
cercle vaut trois fois fon diamètre ^ avec la feptiéme
partie de ce diamètre.

Voici ce nombre de graitis de fable» avec les noms de
fes trancbes & les noms des places de chaque tranche^

<

Noms
ides places «
de chaque \
tranche.

t

dinine
nombre

ctncaioc

dixaine

nombre

centaine

dixAÎne

nombre

centaine

dtxaiiie

nombre

centaine

dixaine

non.bre

certaine

dixaine

nombre

centaine

dixaine

nombre

centaine

dixaine

nombre

centaine

dixaine

nombre

centaine

tlixfline

nombic

centaine
dix.nne
nombre ■

ï I

^

►T

1^
ON

00
G

G

Donillions
caillions

feptillions
fextillions

7

}

> quintillions
^ > quatrillioûs

U

00

trillions

billions
millions

mille
unités fimples

V Noms det
' tranches*

3

Ce prodigieux nombre s'exprime aînfî : feptante de
un nonillionsf fept cents foixante & quatre oSiUions^ cinq
cents quaraatc-iix/e/7riUioni| huit ccms qcu^s fextillions,

deux

toK L'AaiTHMl&ttQÙB. fj'

iieuz cents feptante ^ntiûioni, huit cents cinquante «
fcpt quatrilli&nsi cent quarante-deux trilliomt huit centi
cmquante-fept liUions , cent quarante-deux miUiàns ,
imit cents cinquante- fept mille » cent quarante-dcut
animes ou grains de fiAU*

Nous avons fuffifamment expliqué eoinment il faut
exprimer un nombre repréfemé par trois chiffrt!^^
foitquily ait des zéros, foit qu'il n'y en ait points
Ainfi l'on eft en état d'exprimer la valeur de chaquft
tranche d'un nombre quelquonque > lorfque chaqUa
tranche fera véritablement un nombre ^ maiié il peut
arriver qu^une où plufieUrs tranches foieut rempliei
de zéros: dans ce cas , il faudra fupprimer les noms dé
ces tranches. Far exemple ,

I trïUions \ bimàHs j mUÏioih \ miÙe | unîtéi \
a 800 000 Off 003

ft^exprîme aînô , deux trUBons huit cents hilliôm quM
rante-cinq mille trois unités i ou l'on voit que noUs
fupprimt>ns le mot de mUlims > dont la traiiche entière
eft occupée ]pat des zéros*

Puifque fulvânt Ja loi de la prôgreAlon des unlt^l
coUeâives » que nous Vêtions d'expliquer, il faut dît
unités du premier degré oU de celles qui fpnt à là
première place ^ pour en compofer \xut du fécond dé**
gré ou de celles qui font à la féconde place, 3c qii^U
€n faut dix de celles qui font à liai féconde placé» ]p6itt
en compofer une de celles qui font à là troiûéind
place ; il eft clair que toutes les fois qu'on avinceirii
«m chiffre d'une place , il deviendra décuplé de et
qu'il étoit; parce que chacune de fes ùtiités en VàUdrii
dix de celles dont le chiffre étolt coitipofé àvatit
d'avoir changé de place. Et réciproquement fi rôii
f recule un chiffre d'une place, il âe VAudrA plus qu^ U
Arithmitique^^ $

ti IiV.IpRIKCIPSf ^ÛJXitikVt

dixième partie de ce qu'il valoît avant d'avoir changé
de place. Cela eft trop évideoc pour mériter une plus
ample explication*

Puifqu'un chiflFre devient décuple de ce qu'il valoir^
toutes les fois qu'on l'avance d'une place; il deviendra
dix fois décuple ou centuple » en l'avançant de deux
places ; il deviendra dix fois centuple ou mille fois
plus grand, en l'avançant de trois places; &c. Et ré*
ciproquement 9 un chiâFre reculé de deux places ^ ne
vaudra plus que la dixième partie de la dixième partie»
ou la centième partie de ce qu'il valoir ; & en le recu-
lant de trois places, il ne vaudra plus que la dixième
partie de la centième partie, ou la millième partie de
ce qu'il valoit auparavant.

CHAPITRE IIL

Des Parties Décimales.

'% y^ Ovs avons vu dans le Chapitre précédent j;
jL\ comment les unités deviennent continuelle-^
fnent décuples les unes des autres» à mefure qu'oit
avance leur chiffre d'un rang vers la gauche; de
nous avons fuffifamment expliqué comment par les
différentes combinaifons & répétitions des mêmes
chiâFres 0| i, a» 3» 4» 5» ^9 7> S, p, l'on peut
exprimer tous les nombres poiCbles compofés d'uni-
tés (impies de quelque efpéce qu'elles puifTent être;
Nous allons maintenant expliquer comment on peut,
par le moyen des mêmes caraAeres , exprimer tous
les nombres dont les unités ne font que des dixièmes
ou des centièmes ou des millièmes parties , ftc. de
l'unité fîmple que Ton regarde comme runitè pnorL
pipale»

t^uîfque fuivant les principes établis dans le Cha-
|)ître précédent, dix unités d'un certain degré corn-
pofcnt une unité du degré fupérieur, ôc du rang
îm médiatcment à gauche ; il eft évident que fi Ton
partage une unité d'un degré quelconque en dix
parties égales , ces parties feront dix unités du degré
inférieur , & du rang immédiatement à droite. Pai:
exemple, fi Ton partage une centaine qui eft une
unité du troifiéme degré & du troifiéme rang , en dix
parties égales ; Ton aura des dixaines ou des unités
du fécond degré , qui ne doivent avoir que la fécond»
place : fi Ton partage encore une de ces nouvelles
unités en dix parties égales ; Ton aura des unités
Jimples^ ou du premier degré , qui doivent occuper la
première place. Âinfi en divifant continuellement Itg
unités en dix parties égales ; Ton trouve toujours de
nouvelles unités fous-décuples ou dix fois plus petites»
dont les chiffres qui repréfentent leurs nombres» doi«
vent occuper des places reculées de plu^ en plus vers
la droice, jufqu'à ce qu'on foit arrivé aux unités
lîmples qui occupent la première place ; mais riea
n'empêche qu'on ne puiiTe pouffer plus loin la même
divifion.

Les chiffres placés cfams des rangs continuellement
reculés vers la droite , ayant des unités continuelle-
ment fous- décuples de celles des chiff'res précédens:
fi Ton place une virgule à la droite du chiffre des
unités fimples ou principales ^ pour faire reconnoître
la place de ces unités, & que Ton écrive tant de chif^
frcs qu'on voudra à la droite de cette virgule, comme
on le voit dans ce nombre (^7^,347892); on diftin-
gucra facilement que le nombre repréfenté par les
chiffres 57^ qui feront à la gauche de la virgule,
ïiombrera des unités fimples ou principales ; & que
les autres chiffres 3^78^2 qui feront à la droite dq

Bij

aLO tîv.î. Pbikcipks cîAif'ixicf

la virgule , nombreronc des unités qui feront d'autant
plus fous-décuples de luoité fimpfe, qu'ils feront plus
reculés fur la droite de la même virgule.

Car fui vaut les principes de la numération ^ le chif*
bc 5 qui fera immédiatement à la droite de la virgule
ou du chiffre 6 des unités (impies , aura des unités fous-
décuples ou dix fois plus petites que celles du chiffre 6
qui font des unités Gmples; ainfi les unités de ce chif-
Ùc 3 feront des dixièmes parties de l'unicé Cmple^ A:
feront par conféquent nonnnées des dixièmes. Il en fera
de même du chiffre 4 qui fera à la droite du chiffre 3 :
fes unités feront des dixièmes parties de celles du chif«
ire 3 j & feront par conféquent des dixièmes parties de
dixième, ou des centièmes de Tuniré (impie» Se feront
h, caufe de cela nommées des centièmes. Enfin Icsunicéf
des chiffres fui vans 7 8 p 2 qui feront à droite, de«
venant continuellement fous- décuples , feront des
millièmes , des dix-millièmes , des cent-millièmesy
des millionièmes parties, &c. de Tunitè principale,
& feront pour cette raifon nommées millièmes, dix^
millièmes , cent-millièmes, millionièméi , Sec comme danf
l'exemple fuivant.

Chiffres iécimausÊ.

^7^, 34785>a

g £ 2. S. a £ »^ S a

ff* •** îj «fc_ •^» ■^« fc. I •*•

g. D«o 333 s. asi

S

Tous les chiffres qui feront placés a la cîroîte An
jchiffre des uoiccs iimpies > dont la place eft marquée

par une virgule , feront nommés ekiffrts décimaux ,
& leurs aiiités feront appelées parties décirmlts ou
fraSions décimales.

Avant d'expliquer comment il faut énoncer un
nombre qui contient des panies décimales ; il faut
remarquer que dans les chiffres décimaux , de même
que dans les autres, dix unités d'un degré quelcon-
que compofent une unité du degré fupérieur Se du
rang immédiatemen^-à gauche. Par exemple » dix
millionièmes compofent un cent^milliéme ^ dix cent"
jniUiimes valent un dix^^milliéme • • . • dix dixièmes font
Qnc unité Jimple ; en forte que les chiffres décimaux
ont la même propriété que les autres chiffres dont
nous avons expliqué la numération. Cela pofé, on
concevra aiféirent comment on peut s'énoncer dans
la numération des nombres dont Texpreffion contient
des chiffres décimaux. Nous prendrons pour exempte
le même nombre (j 75^547 85^ î).

1^. On peut confîdérer (57^1 H7^P^) comme un
nombre compofé de deux parties, dont la prenriiere
xepréfentée par les chiffres 57^ qui font à la gauche
de la virgule, ne compte que des unités fimples ou
principales, Se dont la féconde repréfeniée par les
chlffires 347892 qui font à la droite de la virgule ^
a pour unités d^s millionièmes, de même que fou
chiffi-e :l le plus reculé vers la droite de la virgule ;
en un mot on peut regarder (J76j?4789^) comme
fi ce nombre étoit écrit de cette manière , 576 unités
fimples & 547^^2 millionièmes.

La première partie du nombre (j7<î>347892)
pouvant évidemment s'écrire ainfî, J76 unités\\\ eft
clair que , fuivant les principes établis dans le Cha-
pitre précédent , on peut renoncer de cette manière,
tinq cents Joixante b'feije unités fimples , ou de Tefpéco
principsdle que Ton veut nombren

S21 lïV. I. PkîNCIPIS GâMiSBÀVX

A regard de la féconde partie du même nombre
(S7^>M7'5^^) » laquelle ne contient que des chiffres
décimaux : fi Ton démontre qu'on peut Técrire ainG,^
^^T $9 2 millionièmes 'j il eft évident que , fuivant les
mêmes principes établis , Ton pourra l'énoncer de
cette manière ^ trois cents quarantt-fept mille huit cents
quatre-yingt'douie millionièmes. Ainfi nous devons
nous attacher à prouver que la féconde partie du
nombre Cj7^,3478p2) donné pour exemple, peut
être écrite ainfi, 347892 millionièmes.

Le chiffre le plus à droite du nombre (î7<?» 3478^1)
tR compofé de deux unités , qui relativement à la
place de ce chiffre, ont été nommées millionièmes.

Suivant ce que nous avons dit des chiffres déci-
maux , dont les unités deviennent continuellement
fous-décuples ou dix fois moindres à mefure que
leur chiffre eft reculé vers la droite : dix des unitéa
nommées millionièmes ^ valent une unité du chiffre
fuivant (9) qui eft immédiatement à gauche ; ainfi
ce 9 vaut nouante ou quatre-vingt-dix millionièmes.

Par la mêrçe raifon dix unités femblables à celles
du 9 , c'eft-à-dire » dix dixaines de millionièmes com-«
poferont une unité du chiffre 8 qui fuit à gauche : les
unités du chiffre 8 feront donc des dixaines de dixai-*
nts, ou des centaines de millionièmes; ôc ainfi des autres^
chiffres décimaux qui compofent la féconde partie du
nombre propofé.

On pourra donc confidérer les millionièmes comme
êcs unités fimples ou principales qui compofent la
féconde partie du nombre propofé ; & cette fecondo
partie pourra être regardée comme un nombre ordî-^
naire appliqué à nombrer des miUionîèmes. Ainfi la.
féconde partie du nombre propofé (57^1347892]^
peut être écrite dç cette manière, 347892 milLio^

«iw«, Dpnc cufîu k npmbxc towl tepréfenté pat

bs l'AeithmIy iQUîf. aj

XiT^f Î478p2) peut être énoncé de cette manière,
tinq cents foixante ù'feî^t unités, & trois cents quarante^
fept mille huit cents quatre^vingt-douie millionièmes.

s^. En confidérant encore qUe les unités des chiffres
du nombre propofé(j76, 347892) font contiauclle-
ment décuples les unes des autres» en allant de la
idroite à la gauche i 8c que les unités de la plus baffe
efpéce font des millionièmes ; on fentira aifément que le
nombre entier propofé peut être regardé comme ua
nombre ordinaire de la nature de ceux dont nous
avons parlé dans le Chapitre précédent » mais dont
les unités propres ou principales font des millionièmes»
Zn fe repréfentant ainfi le nombre propofé, on pourra
renoncer de ceçte manière , cinq cents joixanze fr fei^t
millions trois cents quarante-fept mille huit cents quatrtz
wingt^Aou^e millionièmes.

Il e(l aifé de voir maintenant qu^un nombre quel-^
conque qui contient des chiffres décimaux, n'eft dif«
férent d'un autre nombre qui n'en contient point,
qu'en ce qu'ils ont des unités différentes* Le nombre
qui ne contient point de chiffres décimaux a pour
unité principale , f unité abfolue entière une /aii , ou
l'unité entière de Kefpéce que Ton veut nombrer. Le
nombre qui contient dts chiflfres dédmaux n'a pour
unités principales , que àt% parties de l'unité abfolue
une fois , ou de Tunité de l'efpéce que l'on veut nom-
brer; Se c'eft la place de la virgule qui décide quelles
font les parties de l'unité entière, qui fervent d'unités
principales à ce nombre. Par exemple , fi la virgule a
unjou deux, ou trois •*..» ou fix chiffres décimaux
après el^e ; les unités principales feront des dixièmes^
ou dts centièmes^ ou des millièmes *...^* ou d^s,
millionièmes de l'unité entière*.

Cette féconde manière de confîdercr les nombre*

qui coûtiepoenc des cbi£Etet décimaux, eff fouveot 1»

Bxu|

^4 ly. t PB,tMCI]PKS oiÎNdBAUX

«tus commode , $c nous aurons occafion dç nous ai
fervir dans la fuite.

)^. EAfin lorfque les nombres contiennent des
chifires décimaux > Ton peut commencer f énoncé de
la numération par celte de la partie qui eft à ta gauche
de la virgule , fuivant les principes ci«devant expli-
qués, & énoncer enfuite les valeurs de tous les chifires
décimaux les unes après les autres , avec les nooaft
particuliers de leurs unités. Par exemple > pour énon«^
cçr le nombre (n^s ^^7^9^) Ton peut dire: cinq
cents foixante Ôc feize unités entières , Se trois dixièmes »
quatre centièmes ^ fept milliénus^ huit iix^miUiimes ^
neuf cent-millièmes f Se deux milUoniémes, Mais il faut
avouer ^uç cet énoncé > quoiqaauffi bon Se prefque
a^ifi court que les autres , n'efl guère en ufage ; il
faut cependant le connoître , quand ce ne feroit que
pour &vo2r qu^il fignifîe la même çhofe que les au«
(res : on atnême befoin de confîdérer ainfi les chifires
décimaux dans plufîcurs occafipns.

Soii que Ton confidere tes chiffres qui font à lai
gauche de la virgule • foit que l'on confidere ceux qui
iont 4 fa droite ; la place occupée par le chiffre dts
unités, ^ qui efi marquée par une. virgule, fera iour*
\oms nommée la première place. Les places des chifires
^ui feront fur la gauche de la virgule ^ feront nom-
V)kittfeconàe^i troifUme^ quatrième place en montaiit } au
lieu que les places des chiffres qui feront à ht droite
4ç la i;nême virgule, feront nommées/è^nie , trolfième
^ quatrième ^ce en defcendaot : ainfi les dixain/est
auront la ficondt plac^ en montant» &i les dixièmes aur
fOnt ta ftconde^ place en de(ccndant.

Un aojAbrç n'a fouvent ni unités principales,, dl
Viieûcés çolleâives , mais feulement des çhi#es déçi-^
i^\^\i^ : (Se coaîsn^e on ne peut difiinguer la nsiture dç«

DK L'ÀRtTHMâTIQlTV. Stf

il faut marquer la place des unités fimples ou prm«
cipales par un zéro fuivi d'une virgule , afin de faire
connoicre qu'il n'y a point d'unités fimples, 8c que
tous les chiffies qui font à la droite , font des chiflBres
dëdmaux. Par exemple , (0,874^^5) %Qific 8c
repréfente 874^65 mUUonîémes.

Il arrive encore fouvent qu'un nombre manque,
non feulement d'unités fimples ou principales y mais
qu'il manque encore de dixièmes ^ de centièmes ^ de
mUliémay Sec* & qu il a des chiâres décimaux d'efp^
ces inférieures. Dans ce cas , pour donner à chaque
chi£fre décimal la place qui lui convient, il faut non
feulement remplir la place des unités fimples par ua
zéro fuiyi d'une virgule ; mais il faut encore remplir
par des zéros , les places des chiffres décimaux qui
manquent; enforte qu'un nombre qui n^auroit ni unités
fimples, ni dixièmes, ni centièmes, ni millièmes, auroic
quatre zéros à fa gauche Par exemple, (o^ oco^Sp)
sepréfentera s8p millionièmes.

Comme la virgule placée à la droite d'un chijBTre
fignifie que ce chiffre eft à la première place , 8c le
détermine par conféquent à compter des unités fim-
ples; on pourra toujours placer à la droite de la vir«
gule autant de zéros qu'on voudra, fans qu'il en
arrive aucun changement au nombre à la droite diH
^uelonaura mis ces zéros. Par exemple, le nombre
58p ne fera pas changé, en l'écrivant ainfî (3 85), 000)
8c figni fiera toujours trois cents huitante-neuf unités
fimples ; parce que les zéros placés après la virgule ,
marqueront qull n'y a ni dixièmes, ni centièmes, ni
millièmes, ni aucune efpéce de nombre décimal.

Quelquefois l'on met des zéros à la droite de la
▼irgule d'un nombre 5 pour changer la dénomination
de f unité principale, ou pour la réduire en unités,
pius pcuie$. Par exemple ^ £i loa veut réduire tes.

06 tiv.l. PmHCIPSf eÏHÂKAUX, &C.

unités da nombre jSpcncenri^/neijon l'écrira ainû j
(589,00)4: HCgnifiera 38900 ctmïémes. Sionvou-
lok réduire les unités en iix-miUiimes, on récriroic dot
cette manière (589,0000), &tl Cgnifîeroit 389000Q
dix-milliéma ; de aiolî des autres changemeos.

ELEMENS

D'A R ITHMÉ TI^ UE^

LIVRE SECOND.

Des Opérations de. V Arithmétique fur le%
Nombres incomplexes,

IES Opérations de l'Anthmétique fe ré-
duifent à ces quatre problêmes; ajeikerf
fouftraire , muïtiplitr , diviftr. Toutes les
autres opérations plus compofées ne font
que des combtnairoas de celles-ci.

Les quatre Opérations de l'Arithmétique Te font
fur des nombres incomplextst ou f}ir des nombres
tompUxts,

4 Les nmnbret ineompUxts font ceux qui n'ont qu'une
unité principale , comme la livre tournois , la toife Se
toute autre unité qui feroit ou arbitraire ou établiq
par l'ufage.

Les nombres complexes font ceux qu! ont plufîeurs
unités principales différentes , & qui devroient plutôt
itre appelles /ommei que nombres', parce qu'un nombre
«A la colleâion de pluûeuts unités égales.

ï8 Liy.IL Chap.L ï>t r^Ao dit loir

Par exemple, la fomme comporée de 8 livseSi de
8 fols & de 8 deniers, eft un nombre complexe;
celle de ^o toiCe^ & de ; pieds, eft paretUement aa
nombre complexe ; parce que ces deux fommes font
compofëes de nombres qui ont différentes unités prin-
cipales^

Noos ne parlerons dans ce Livre que de rAddition»
Ac laSoudraâion, de la Mulciplication & delà Di vîGoo
des nombres incomplexes; & nous réfervcrons poux
le Livre quatrième, les mêmes opérations fur les non&r
bres complexes*

^

CHAPITRE PREMIER

De l* Addition des Nombres imomplkxe$^
Défi MITIONS.

r T 'ApDiTroM eft une opération par laquelle oa
J^ trouve UD nombre égal à la fomme de pluûeurs
autres nombres.

Comme toutes les unités d*un même nombre doi-
vent être de la même efpéce ; il faut que tous les
nombres que Ton propofera d'ajouter enfemble, pour
ne faire qu^un même nombre, ayent des unités de la
même efpéce, ou qui puiffent être réduites à la même
efpéce. Par exemple, fi Ton propofoit d'ajouter en-
femble ao livres toiTrnoîs, 50 chevaux & 60 toifcs,
qui font tros no.nbres dont les tiiiiiés principales ne
font pas vie la même efpéce, & ne font pas même
réduftibles à la même efpéce d'unité, on ne s'avifcroît
pas de chercher un nombre égal à la fomme de ces
trois nombres ; 5c pour les a;oarer en emble, on fe
conienteroi: d*en faire un mémoire qui rcprcfenrefoic
leur foai.ii * Si Ton pro£)ofoit d'ajoûcer cnfemble

totS NcMBRIf IKeOMflïlXXi. âlf

ji toifes, ^ pieds & 8 pouces» on ne s'aviferoit pas
non plus d'ajoater (idipleinent enfemble les trois nocom
bres a , ^ & 8 , leurs unités étant différentes. Cepen-
dant comme ces unités différentes font réduftibcs 1&
la même efpéce , puifque deux toiiês valent 1 44 pou^
cesj que 5 pieds valent €0 pouces, & qu'on peut
faire un feul nombre des trois nombres 1 44 pouces,
60 pouces & 8 pouces ; Ton pourra ajouter enfem-
ble 2 toifes 5 pieds 8 pouces , & n'en faire qu'un feul
nombre en réduifant toutes les unités à la même
efpéce; mais comme ce n'eft point ici le lieu de
parler des nombres dont les unités ont différences
dénominations j il faut reve.ir aux nombres Incom*
plexes dont les unités font de la même efpéce.

Le nombre qui ré fuite de raHemblage ou de Tad^i
dkioo de plufîeuis autres» fe nomme Sommt.

PROBLÊME.

V Ajfiùîtr enfemhle plufitisn nombres repréftntis par ttaU
de chiffres ^ue Von voudra^

Pour faire cette opération commodément: l'on écrira
les uns fous les autres les nombres que Ton doit ajouter
enfemble j de manière que les chiffres du même degré
foîent exaâement dans une même colonne verticale;
ic Ton tirera une ligne au-deflbus de tous ces nombres^
pour les réparer de celui qui en doit être la fomme.

Enfuite on ajoutera enfemble tous les chiffres du
plus bas degré qui font dans la pren)iere colonne à
droite. Si la fomme de ces chiffres eft moindre que lo^
te qu'elle puifle par conféquent erre repréfentée par ua
feul chiffre ; on écrira ce chiffre dans cette première
colonne au-deflbus de la barre : mais fi cette fomme
furpaflcp, & ne peut être repréfentée que pa plufieurs
chiffres ; on éaîra au^dcITous de la barre le chiffre des

3Ô Lîv.ILChap.t Dk L^AbDtTtoii '
unités de cette fomtné , & l'autre chiffre étant de Pc A
péce de ceux de la féconde colonne , fera retenu pout
être ajouté avec eux.

On fera la même opération pour toutes les colonnes
jufqu'à la dernière qui contient les chiffres du plus
haut degré: & lorfqu'on aura ajouté enfemble les
chiffres de cette dernière colonne , avec celui ou ceux
' qu'on aura retenus de la colonne précédente; on écrira
dans cette colonne» au-deflbus de la barre, le nombro
q[ue l'on aura trouvé.

Cette opération étant faite ; tous les chiffres qui fe
trouveront au-deffous de la barre , repréfenteront la
fomme de tous les nombres que l'on a propofé d'ajoûr
ter enfemble.

Comme des Exemples frappent davantage que des
préceptes généraux , nous allons détailles Topératioa
de l'addition dans les exemples fuivans.

RxEM PZM PRSMISX.

On propofe Rajouter enfemble les deux nombres 34 jtf

8 88 8

S 2 2* 5*
B 2 o o
5 2 =5 c>

tft o o r»

Ces deux nombres étant aînfî difpofés< l 27 x

■ ■■— — ^
On trouvera pour leur fomme 7 6 S 7

Pour déterminer les uns après les autres, les chiffres
'de cette fomme, on opérera comme il fuit,
^ 1®. On ajoutera enfemble les deux chiffres 6 8c t
qui compofent la première colonne : & comme leur
fomme cft fcpt , quç Ton peut écrire par le fcul chiffirç

Dis Nombres îKCbMfLxxss; |t

7 ; on écrira 7 au-dedous de la barre , dans cette pre-^
xniere colonne«

20.0n ajoutera enfuiteles chiffres ^ &: 3 do fécond
degré , qui compofent la féconde colonne : Se comme
leur fomme eft huit , que Ton peut repréfenter pat le
feul chiffre 8 ; on écrira 8 au-deflous de la bane dans
cette féconde colonne.

3^. On ajoutera de même enfemble les chlfires 4
& 2 de la troifiéme colonne : Se leur fomme pouvant
être repréfcntée par le feul chiffre 5 ; on écrira 6 au^
dedous de la barre , dans cette trolGéme colonne.

40. Enfin Ton ajoutera enfemble les chiffres 3 & 4
de la quatrième Se dernière colonne : & leur fomme
étant repréfentée par le feul chiffre 7; Ton écrira 7
au-deffous de la barre , dans cette dernière colonne.

L'opération étant conduite comme on vient d^
l'expliquer; Ton trouve au-deffous de la barre h$
quatre chiffres 7^87 , qui repréfentent le nombre
fept mille (ix cents huitante^fept , auquel montent
les deux nombres ^^$6 Se 423 x que Ton a propofé
d'ajouter enfemble»

E X s M P L M IL

On ^ofoft J^ ajouter enfemble les quatre nombres 5 874^'

C î^^'74

Les chiffres du même degré étant mis les 1 99$ S

uns fous les autres, comme ici a 4^9

On trouvera que la fomme eft 1^304

Pour déterminer fuivant la règle les chiflfres de
cette fomme les uns après les autres 1 on opérera
comme il fuit.

10. On aio&tera enfemble les nombres repréfent^l
par les chiffres qui comporent la première colonne t
en difanc : 4 & 6 font 10 » & p font ip , & 5 font 24e
Comme cette fomme 124 ne peut être repréfentée
que par deux cfaifires favoîr par 4 qui repréfente
4. unités, & par % qui repréfente 2 dixaines, on écrira
4 dans la première colonne au-deflbus de la barre ^
& Ton retiendra le a ou plutôt les deux dixainesi pout
les ajouter avec les quatre nombres de dixaines » qui
compofent la féconde colonne.

a^. Paflant à l'addition des nombres de la deuxième
colonne» dont les chiffres font compofés d'unités du
fécond degré » Ton dira : t que Ton a retenu de la pre«
miere colonne & 7 font 99 ê^ $ font 14, & 5 font
ip , & I font 20. Comme cette fomme 20 d'unités
du fécond degré , ne peut être écrite que par deux
chiffres , dont celui 2 fignifie qu'il y a deux dixaines
d'unités du fécond degré, qui ne font que deux unités
de la troifiéme colonne ou du troifiéme degré, 8c dont
oelui o marque qu'il n'y a point d'unités du degré de
celles qu'on a ajoutées ; Ton écrira o au-deffous de
la féconde colonne , & Ton retiendra le 2 pour l'ajoû*-
ter avec les chiffres de la troifiéme colonne.

30. Pour la troifiéme colonne dont les chiffires re^
préfentent des nombres compofés d'unités du troifié«
me degré, l'on dira: 2 que l'on a retenu de la fe^
conde colonne & 8 font 10, & p font ip> & 4 font 2^.
Comme ce nombre 2 3 s'écrit par deux chiffres, favoir
par un f qui fignifie trois unités de la colonne que l'on
vient d'ajouter , & par un 2 qui repréfente deux dixai«
nés d'unités de la même colonne , ou deux unités d'un
degré fupéricur, ou femblables à celles de la quatrième
colonne ; on écrira 5 fous la barre dans la troifiéme
coIonne,& l'on retiendra a pou^r Tajoûter avec la qua^
triéme colonne qui fuit*

4^. Enfia

' .4^* £nfîn pour Taddicion de la quacriéme colonne
avec ce qu'on a retenu , Ton dira r 2 que l'on a retenu
Se ^ font 7 » & 9 font 1 6. Cette fomme étant compo**
fée de 6 unités femblables à celles de la quatrième
colonne 8c d'une unité d'un degré fupérieur, on écrira

6 fous la barre dans la quacriéme colonne. A Tégard
de Tunité d'un degré fupérieutf on la retiendroit| fi
Ton avoic encore une colonne à ajouter ; mais comme
on n'en a point , on avancera le i à la gauche d\l6^
c'elt^*dire qne l'on écrira 16 tout iimplemenc

Ex SM PLM IIL

7 On prâpofe d'ajoâttr enftmblt Us quatre mmbrei

0*74; 4^5'» 75^ î ^872, 44; 9797 9 s) demies
trçU derniers contiennent des chiffres décimaux.
* On écrira tous ces nombres les uns fous les autres;
de manière que les chifires des unités (impies foient
dans une même colonne, 8c que tous les autres chiâTres
de même dénomination fe trouvent pareillement dans
une même colonne les uns ibus les autres. Les chîflQres
éunt aiafi difpofés,

5874
4tfji,7ja

^872,44

9797^$

1^. On ajoutera enfemble les chlffiret du plus bas
lâegré qui font des millièmes ; 8c comme il nV a qud
2 miUîémeSi on écrira 2 au^deflbus de la barre dan^ la
colonne des millièmes»

2^. On ajoutera les chiffres ^ & 4 de la colonne
fuivante qui eft celle des centièmes ^ 8c comme leuc
ibmme 9 s'écrit par un feul chiffre , on écrha ce chif^
fire 9 dans cette colonne au^deflbus de la barre.
Arithmitifie. Q

14 Lhr.J/. C%/rf, J. De l'Addition

3^. On ajoutera enfemble les cbifires de la colonne
desdixiém€Sytndi(dtït: 7&4foot il, 8c ^ fonci6;
& comme cette fomme i6 ttt. compofée de 6 unkét
du degré de cette colonne , & d'une dixaine qui vaut
une unité de la colonne fuivante; Ton écrira 6 fous
cette colonne, & l'on retiendra i pour l'ajouter aveo
la colonne fuivante.

40. Ajoutant Tuuité qu'on vient de retenir avec lei
chiffres de la colonne des utiités (impUs ou principaltSf
on trouvera i f , c'eft-à-dire, 5 unités de cette colon-^
ne , & I dixaine qui vaut une unité de la colonne fui-
vante ; ainO Ton écrira 5 au-defTous de cette colonne^
& Ton retiendra i pour la colonne fuivante,

50, Ajoutant de même Tunité qu'on vient de reter
nir avec la colonne des dixaines, on trouvera 27»
c'eft à-dire, 7 unités de cette colonne, & z dixaines
qui valent deqx unités de la colonne fuivante; ainfi
Ton écrira 7 fous cette colonne , de Von retiendra s
pour la colonne fuivante.

On fera la même opération pour les autres coIod^
nés, 8c Ton trouvera (27175,^^^) pour laibmme
des quatre nombres propofés.

REMARQUE.

o Les nombres (^874; 4^31» 7^2; ^871, 44 «»
j)7P7, y ) que Ton a propofés dans le dernier exemple
pour en faire l'addition, auroient pu être changé^, gc
féduits à avoir des unités principales de même déoa-
inination ; 8c comme l'un de ces nombres (46) i j|7j^ a}
repréfente 45} i unités iimples & 752 nuUiémeSf 01^
4^317^3 mU/iemcj, on auroit pu réduire let autres à
Hvoir des mîUiému pour unités princip^tle^ : alors lo
nombre 5874 qui repréfente 5874 unités fmphsp
ieroit devenu 587^09 miiiiému^ celui (^87^1^^

ï

fjroît cjpvepu ^8724^0 millièmes y & celui (^797,5)
fisrpit (ieycnq p7a75PO milUéma. Tqus le$ qQmbrpj
propofcfs étant ainfi rédiaifs à ?vpir des unîtes de mên^e
dcnbmip^tion , letir addition agroît pu être faîtp (uir
vant les précpptès que Tion a donnés pour ajouter Jcs
t^ombres cmi n'ont point de chiffres décimaux; & 1|S
total auroit été 2jij^6^z mUiétnes; cnfuitp pput
lîippriiper le mot de nt\Uiém^ » on ^qroit pu écrire la

même fofniQe fous cctje forme ^717 J>4p2). {N9.}*)é

•

DEMONSTRATION

Des Op,iratlûns aue ton a faites pour tAdiitîop*

Par ces opér^tiqns Ton 9 ajouté enfemblc toutci(
l^s parties des npfp(>rcs qui étoient propofés ; & p^t
conféquent les réfultats que Ion ^ trpuvcs font lei
fpmmes 4^ ce; nombr(!f» ^

■ «• «» r » ■-»*««» » ^^"^i

CHAPÎTRg îh
Ve k SaufiraSkm des Nombra intùxàpUmi

P J& F I N 1 1 1 Q K.

«^ T 'O 9 i R A J[r 1 6 M p9r laquelle on retranche Uflê
^ JLi quantité d^junc autre , s^appelle SouftraSiçn.

Il faut donc gu^ la quantité qui doit être rettanchée
foit contenue dtsis celle dont on propofera de ta re-
trancher ; Se pfir conféquent ces deux quantités doi-
vent être dfi même efpéce , ou réduâibles à la même
cfpéce.

PROBLÊME.

SO Sôuftraîre un nombre Jtun autre nombfCé

Popr fajre ijne fouftr*âîon , Ton écrit le nombt;^
cp'on veijt fettancher aurdeffous de celui donj on veue
It retrancher, & l'on difpofe les chiffres de cqs dcu*

^6 Liv. IL Chap. Il De la SoirrrâicTioïT

nombres de manière que les unités fuient fous les unî-
tes , les dixaines fous les dixaines ^ les centaines fous
les centaines , &c ; & s'il y a des chiffres décimaux »
ceux qui font de même efpécc doivent aufli être les
uns fous les autres. Les deux nombres étant ainfi dif-
pofésy Ton tire une barre au-deflbus de laquelle doit
être écrk le refte de la fouftraâion.

Four faire la fouftraâion par parties , on retranche
chaque chiffre inférieur de fon correfpondant fupé-
rieur , en commençant par la droite, & en allant tou-
jours des chiffres du plus bas degré vers ceux qui font
de degrés plus élevés. Mais dans cette opération , il
Ipeut arriver trois cas ; ou le chiffre inférieur eft plus
petit que le chiffre fupérieur qui lui répond, ou il lui
eft égal , ou il efl plus grand.

Si' le chiffre inférieur efl plus petit que le fupérieur^
il en pourra être retranché fans difficulté , & Ton aura
un refte que Ton écrira au-deffous

Si le chiffre inférieur efl égal au fupérieur, il pourra
encore en être retranché ; & comme il ne reliera rien^
on mettra un zéro au-deffous pour le relie.

Enfin , fi le chiffre inférieur ell plus grand que le
Supérieur , il n'en pourra point être retranché fans
une préparation qui confille à emprunter une unité
fur le chiffre d'un degré fupérieur, pour Tajoûter
avec le chiffre trop petit : alors le chiffre fur lequel
on a emprunté une unité , devient plus petit qu'il
ii'étoit d'une unité, & cette unité étant portée dans
un rang inférieur d'un degré, y doit être comptée pour
une dixaine; enforte que le chiffre trop petit auquel
on l'ajoute , eft toujours augmenté de dix , & devient
par conféquent toujours affez grand pour qu'on en
puiffe retrancher le chiffre inférieur qui ne fauroit
paffer p. Des exemples feront beaucoup mieux en^
tendre cette opération»

ï)zs Nombres incomflexbs. ^7

Exemple peemime*

Si du nombre ^66

On ntranche 3 2 f. •

Le reftefem 142

Le nombre que Ton veut retrancher étant écrit au-
ciefrousde celui dont il faut le retrancher» de manière
que les chiffres de même dénomination foient les uns
fous les autres» & la barre étant tirée comme on le
voit dans cet exemple , on déterminera les chiffres
du relie les uns après les autres ^ en opérant comme
il fuît.

10. Commençant par retrancher le chiffre du plus
las degré qui eft le plus à droite , du chiffre qui eft au«
deffus de lui , Ton dira : fi de d Ton ôte 4 , il reliera 2
que Ton écrira au-deflbus de la barre dans le premier
rang » où font les chifiires fur lefquels on opère.

û^. Paflant au rang fuivant » Ton dira : fi de (^ Ton
été 2 ^ il reftera 4 que Ton écrira dans le fécond rang
où Ton opère.

3^. Enfin étant parvenu au dernier rang où font
les chififres de la plus haute dénomination, Ton dira :
fi de 4 on ôte 3 » il reliera i que Ton écrira au-
deflbus de la barre dans le troifîéme rang ; & Topér
ration fera faite.

Le reile de la fouffradion fera donc 142.

ExempzeIL

Si du nombre $$2

On retranche y i .

Il reftera jo l

Les chiffres étant difpofés comme on le Toît , & do
la manière dont on vieuc de l'expliquerl,

Cîi)

5 8 ti'ù. lî. Vh'âp. ÎL De la Sou5tractï6n

lo. CommenQaotpar les chiffres du plus bas degré,
l'on dira : fi de a Ton ôtc i, il rcftcra i que 1 on écrira
QU'^deflbus.

2*^. Paffant au fang fuivant, Ton dira: fi de y Ton
6te ]f 9 il ne reftera rien ; ainfi Ton ébrira un zéro qui
marquera que les chiffres des dixaines étant fouftraits
l'un de Tautre, ne donnent point de reftc,

3^. Enfin paflant au troifiéme rang bu il n'y à point
de chiâfre à retrancher, i^on dira: fi dé y oh ri ô'te riéh ,
il reliera ^ ; âinfi i^on écrira j; pour lé rèttë àu-deiroûs
de la barre dans ce troifiéme rang.

L^éipératioh étant achevée , Ton àiira 50 x pour U
Tçile quç Ton dema^ide.

X g M P £S

lït

« «

Si au nûinbn 7 5 $

Vvn pp&pofc de retrancher .5P5!.
. UcA triufftrk pour ic r^t 159

L,es chiffres de même dénominatioil etaht VÏiifpât^st
les uni au-deflbus des autres , cm Ôpcte'rà cârfailie i)
fuit.

1^. Commençant par les chîfrrei du plus bas ôKdrê»
Vàn prbpbftra dé fctirahGhér p de 8, Corhmç fcelâ ne
fe peut pas; Ton prendra fur le chiflFre fiiivant ( j) dU
nombre fupcrîcu'r une unité, pour en jblrfdrfe U valeur-
>vec le 8 qui eft ifop petit ; & comme cette unisé tranf-
portée dans le rang du 8 y vaudra lo, elle augmenter^
8 de I o , & l'oQ aura 1 8 dont on pourra retrancher p.«
JLç rcfie fi:ra 9 que l'on écrira àu-délTous de la barre
4ans le premie^ rang

a^ Paffant 91) rang fuivant où le y ne vaut plus
Cji^Ç 4» ^ çaule de Tunite qu'on i, prîfe filr lui, & qu'oa

fell NOMBKBS IKCOMPLXZBf. .^p

Ton propofera d'ôter 9 de 4. Comme cela ne fe peuc
pas , Ton prendra une unité fur le chiffre fuivaot (7)
du nombre fupérieur , pour en joindre la Taleur avec
le 4 donc on doit ôter 9 ; ic comme cette unité du
troiiiéme degré portée dans le rang inférieur y vaudra
10 ; en la joignant avec 4 reftant de f > Ton atira 14
dont on pourra retrancher 9, & il reftera 5 que Ton
écrira au-deifous. ^

3^. PafTant au rang des centaines où le 7 ne vaut
^his tfjk6jà cauffc de ïnhké <{vtoa a prift fur lui. Se
que Ton a pu marquer par iln point ; od ptopofera
d'6ter $ àt 6^ Se il reftera i que Ton écrira aur
deflbui^ Aiafi le relie demandé fera 159.

ît î 11 arrire fôuvtnt qm It chiffn fur kquel il faut em-
pmnter une unké tjl un \éro ^ lequzl nt npriftntMt rien ,
ne peut rien prêter. Dans ce tas ^ il fouira emprunter fur
2e chiffre qui fera A h gauche du liro eu it tous les ^eros f
%ily en a plujîeurs ; 6* laîjfant 9 au-dtjfas de tkicun dû
\iros au-delà iefquels on aura emprunté , Vm ne réferrera
qu^une dixairte pour la joindre au chiffre duquel on redt
foujlraîre. Pour mieux faire entendre cette opîrlitiin , nota
fropi^ntms Vextmpk Juiyant.

^XEMPXM IV.

Si 4u n&mbre 7004
Ju9k rttrmtckt le nombre %^9,tS

Le rtfteferu 15 lÔ

L'on propoferâ d'ôter 6 de 4. Comine cela «fi Im^^
^offifalc, (Se qu'on né peut pai emprunter fur le chiffre
tjpi eft îfûmédiàteitaéQt à gauche du 4» ni for le fuivant;^
^ce que ce font deux zérps ; on «mprumcra une
mmé fur le 7 qui cil au-delà de ces zéros. Mais com-
me Tuoité empruntée fur le 7 vaut 100 dixaincs» Se

* — . - ~ ^-% • • • •

C m}

^.o Ih II Chap. IL De la SomrtiXcnon
qu'on n'a befoin que d'une dixaine pour joindre avec
le 4 dont on doit retrancher 6 » on laiiTera aù-deiTus
des zéros qui font à la troiGéme êc à la féconde place
les deux chiffres 9 9 qui vaudront ^ç dizaines : en-
forte que des 100 dixaines empruntées fur le chiffre
7, on ne prendra qu une dixaine qui étant jointe avec
4 fera 1 4 dont on retranchera 6 ^ 8c il reliera 8 que
Ton écrira au-deffous pour le premier chiâre du refte
que Ton cherche.

: Le nombre fupérieur étant aînfî préparé » le 7 fur
lequel on a emprunté i ne vaudra plus que 5 ^ A: les
deux zéros fur lefquels on a laiffé des 9 , m feront
plus regardés comme des riens, mais comme des 9»
Ain G pour continuer la fouffraélion »* on retranchera
8 de 9, & il reliera i qu'on écrira au^delTous* Puis on
retranchera 4 de 9, & il reliera ^ qu^on écrira pareille-
ment au-deffous. Enfin on ôtera ç de d, & il reflera i
qu'on écrira de même au-deffous.

L'opération étant entièrement faite, comme oti
vient de l'expliquer , l'on aura 1^18 pour le reftç
qu'on demande.

J 2 Lor/quily a des chîffrts décimaux dans le nombre qu€
ton doit retrancher^ ou dans celui duquel il faut retrancher ^
eu dans tous les det^xion dijpoje d* abord les chiffres de mime
degré les uns fous les autres; & lafouJlraSion fefait enfuito
de la mime manière que la précédente, en retranchant chaquo
chiffre detun de chaque chiffre correfpondant de Vautre.
Pour navér point de difficulté dans cette opération ^
hrfque Vun des deux nombres naura pas autant de chiffres
décimaux que ï autre ; Von mettra à la droite de celui qui
en aura le moinsy autant de léros quil en faudra pour qu'Us
^yent tous ks deux un nombre égal de chiffres décimaux ;
ce qui ne changera rkn à la valeur do ce nombre, pu\fqu9
U virgule eonjervera à cha^ chiffre U rang quil avok

^vant Vaiditioa du léroit

DES NoMB&ks IKCCMPLBXXs; 4I

c ; Les deux nombres étant ainfi préparés^ & leur plus haffe
unité étant de la mime efpéce^ on pourra la prendre pour
ïunité principale j &r regarder les deux nombres comme s'ils
navottnt point de chiffres décimaux. Pour mieux faire
entendre cette règle, en voici un exemple.

Ex £MPZM V.

t

On propofe k nombre 230009 » 5
Pour en retrancher le nombre 87KJ1 ay7

. Comme ces deux nombres n'ont pas la mèm^
quantité de chifires décimaux 1 le fécond en ayant
deux plus que le premier ; on mettra deux zéros à la
droite. du premier» & les deux nombres propofés de«]
viendront ceux-ci

871^,257

dont les unités du plus bas degré feront des millièmes;
cbforte qu'on pourra les regarder comme des nom^
bres fans chiffres décimaux , deftinés à Compter des
unités qui font des millièmes. On pourroit même no
point employer de virgules » en écrivant après eux le
nom de millième comme ci-deflbus ; 8c faifant la fouf-;
tradion comme dans les exemples précédens »

23 ooop 3 00 mîUi^mei >
8 7 1 52 J7 millièmes

On auroit pour refie 22125)30^5 millièmes

Mais comme les virgules n'ont point d'autre efFec
que de déterminer le degré de chaque chiffre , & dç
£xer la dénomination des unités du plus bas degré ^
on aime mieux fupprimer le mot de millième, & placer

'^i Liv. U. Ckap. II. Dk tk Sot/f TRAciTOir
une virgule après le trolliéme chiâre de chaque oomr
bte. Suivant cela, l'on aura

Nmbre i^nt il faut fiaftraîre ^50009, 300

JVmnbre â Jtn^aire 87x^,357 ^

D iMONITRATlOH

De iOpératUn iz la Sou/lraSiêu.

Par les opëratious que Ton a faites , toutes les par-
ties du nombre que Yoh devoit fouftraire , ont été rc**
tranchées dés parties Correfpondames de l'autre nôm<'
bre , Se chaque relie a été écrit ; on a donc retranché
le nôfnbre prcfpofé, comme on le devoit ; 0c les chiF^
fres qui fe trouvent écrits, compofeût un nombre égal
au reile que Ton demandoic

REMARQUE.

X3 ^f^ ttttàtc (ituGeurs méthodes ditférentes cfo
eeHe que nous avons expliquée f pour faire la fôu(^
trà Jlioti *, iti^is nobs h^en propoferohs que deut : le
première, jpafce qu^on en fait ailfeE communément
frfage $ la féconde , parce qu'eUe nous fervira à fair d
la preuve tle l'addition ; nous n'en parlerons mèmtf
que par rapport à cette preuve.

La première des deux méthodes que nous nous
propoions d^expliquer, ne diâfere de celle dont nous
avèn^ parlé ^ qu'en ce que Ton n'ôte point dc^ chiffires
fupérieurs les unités qu'on a empruntées fur eux»
avant d'en fouftraire lei thiâfres qui font au-deffous
d'eux ) âcque l'unité qu'on a empruntée fur un chiffre
fupérieur s'ajoute avec le chiffre inférieur ; enfMtd
^'on 6te tout à la fois du chiffre fupcrieui l'unité

tju'bn a cmpruhtéfe fut luî, * te chi9^éiàfi{Hëur.(}te^oa
tn doit rètranclkt. Vt)ici uil èjl:éhi^lfe dt étttft op^Ar
lion.

EtÉJiPXÈ.

Si iu Mmtrrt foù^

Ofe foufiriiitU itôihbtk ^48^

i?oilr trouver tous les chiÔieis cîu xcfté fuîVâW k
ihëchodê donc nous venons de dbtihér une idée»

i^ On propoferà d*ôtcr 5 de 4 ; fe cômmt cela êtt
impoflible» on ajoutera une dixaine à 4^ ce qui fera
14 ; puis on ôtera 5 de 14, & il re(iera 8 qu'on écrira
au-deilous,

2,^. La dixaine que Ton ajoutée avec 4 aurolt dft
être une ùhicé énipriihtéé fur le zéro qui fuit 4. Âinfi
cette unîré devant être ôtée de ce zéro, & k cfaififreS
qui elt au-delTous du ifaême zéroi devant aiilïi eA êtCb
retranché, on ajoutera Tunité empruntée ai^ec le S » 4c
Ton propoJTeta dé retrancher leur fomme p du zéro^:
mais comme cela efl impoflible $ on empruntera une
unité d^un degré fu^érieur , qui étant apportée dans le
rang du zéro vaudra 10; puis on retranchera p àt lo»
8c il reftera i qu'on écrira au-deiTous.

3 ®. L'unité qu'on a empruntée, devant être. retran-^
cbée du fécond zéro, auffi bien que le 4 <)ui efl an-
defTous de lui : on ajoi^tera l^unité empruntée avec
4, puis oupropoiera de rfetrancher leur fomme c uji
f:éro qui eu au-deitus; & comme cela eÛ împotCDle^
i'on eniprùntera uhe unité du rang Supérieur, qui étant
apportée dans le rang où td le zéro pour la joindre
nvec lui, vaudra lo; enifuite on retranchera .5 de ic^
^ U (çilera | (ju on écrirai aurdelTom.

\^ Llv. IL Chef. U. De LA SotrrrRACTioMr '
; 40. Enfin Tunicé emprontée devant être ôtée
Jdu 79 auffi bien que le $ qui eft au^deflbus de lui»
Ton ajoutera cette unité avec y, Se ayant retran-
ché leur fomme <^ de 7 , il refiera i qn on écrira au*-
deiTous.

L'opération étant faite comme on vient de Texpli-
quer , Ton trouve i y 1 8 pour le refte demandé.

Nous avons cholft un exemple fur lequel il auroit fallu
emprunter au-delà de plufieurs \éros en fuivant la méthodt
^qûi a été premièrement expliquée ^ pour faire voir que cette
dernière méthode eft générale , tfqvLon opère toujours dt la
même manière dans tous les cas qui peuvent Je préfenter.

DE LA PREUVE
x>£ l'Addition et di là Soustraction»

ON n'entend point ici par preuve une démonfira-
tien , mais feulement une opération qui puifle
faire connottre û Ton a commis quelque erreur en
opérant.

L'Addition Se la Souftraétion peuvent fe fervir mu-
tuellement de preuve » comme on va le faire voir.

Preuve de V Addition.

14 ^^ femme de TAddition doit contenir exaâe-
ment tous les nombres qu on a ajoutés enfemble';
c'eft pourquoi fi de la fomme de l'addition Ton re-
tranche toutes les parties qu'on a ajoutées, il ne doic
rien refier. Nous propoferons donc pour preuve de
l'addition de retranche^ de la fomme toutes les
parties des nombres ajoutés ; & fi après cette fouf-
uaâionil ne refte rien, l'addition fera répuiée bonne.

Voîcî Tordre qu on fuit dans cette opération.

{475
567
9M
Et qu'on M trouvé que Uurfomme ejl z^fT^

ixo

Sx cette fomme 19(^4 eft exafte ic contient toutes
les parties des nombres ajoutés ; il eft évident que G,
Ton en retranche toutes les centaines, toutes les dixai*-
nes & toutes les unités des nombres ajoutés « il ne
reftera rien.

On pourroit faire cette fouflraâion en commen<s
çant par les unités » de même que nous l'avons faite
dans tous les exemples qu'on vient de voir ; mais
comme il faudroic aflembler les unités, lesdixaines
& les centaines dans le même ordre qu'on les a ajoû^
tées pour trouver leur fomme , Ton courroie rifque de
retomber dans les mêmes erreurs qu'on pourroit avoic
commifes en faifant l'addition. Nous nous pfopofe-
rons donc de faire la fouflraâion, en commençant par
les chiffres dont les unités font du plus haut degré ; ce
qui fera une troifiéme méthode de fouflradion.

1 ®. Pour retrancher les centaines des nombres ajou-
tés , de la fomme de ces nombres, nous ajouterons ces
centaines , en difant : 4 & J* font p > & p font 1 8 ; &
retranchant ces 18 centaines des ip centaines de la
fomme , il refiera i que nous écrirons au-defïous de p»
après avoir barré \ts deux chiffres ip.

a^. Pour retrancher les dixaines, nous les ajoute--
rons, en difant : j & 6 font 1 3 , & 2 font i ç ; puis
ayant retranché ces i f dixaines des 1 6 dixaines qui
reff ent dans la fomme , & qui font compofées du
premier refle i écrit au-dclTous du p , & du chiffre
4 dîxaints de la fomme 1 il refléra 1 que nous écri^

tons av-çlçATou^ 4e ^ , ^pfè^ avpjr b?wé le3 4c^x chîf^

. 3,0. Epfîo opHç ^ioutCfQqs les unîtes, pn difant ; j
J^ 7 fqm 1 o , & 4 font 14 ; & ayant retranché ces 14
tjMJtjîf dç î^ unirés qui fopt encore danç la fomme^
il PC reftera rien : on écrira donc un zéro au-deflbus
de 4» après avoir barré 14.

Çpmmc il nç rçfte rîpp ^ç cettç Ipurtrsftîon * IV*
«Jiticm des trpi? ppmhrc5^73> 5571 5)24, fera repu*

Preuifi dt la SoufirdSioHm

.X^ Pour prouver qu^une fouftraâion a été hîeu,
hke , nous propoferons d'ajouter fon refie avec I4
Quantité retranchée ; 4c fi la foinme eft égale à la
^uamit^ donc on a retranché, la fouflraâiQa fera
réputée bonne. En voici un exemple.

laêffq^ue d'un nombre tel que 7004
V^H M retranché un autre nombre tel que ^48 tf

' ■ ■ ■ ■*
Si k r^Jk ffi ^X^^mm U nombre i y i ^

Ai^Wt I J I S W^Ç ^^8^, on 4ura cette fomme 7004

La fommc étant la niçrqç aije le nombre dont on
^ fpqftrait , prPHVC« gyç la fpuftriàion a été bien
faite*

Il eft évident que h quantité feîrsmchée étoît dani
celle 4opt elle a étç fouftraitp, ^ qije le refte étoit
jiufli dans cette même quantité ; e^forte que 1^ quan-
tit^ retranchée Se le ^efte font toptcs ks parties de la
^a^tité dont on a fou (Irait : >1 eft donc clair que
Taflemblage de la quantité fpullraite & du refle, doit
itre égal à la qus^ncicé dont on a fouftràit.

P9S Nombres iKcoMPtixis; ^^

CHAPITRE IIL

De la MttUiplicaiion da Nombres insomple^u.

DiriMITIONS.

l(^ T A Multiplication eft une opération par la-
Jp^ quelle on répète une quantité un certain
nombre de fois.

Il faut donc deux nombres pour une multiplica-^
tien ; premièrement le nombre qui doit être multi-.
plié ou répété, qu'on appelle multiplicande; fecon-
dement celui qui indique par le nombre de fes unités
combien de fois il faut répéter le mulciplicandci âc
igue Ton nomn^e mutiplicateur.

Le multiplicande ôc le multiplicateur fe nomment
auffi faSeurs de la multiplication ; & le nombre qui
féfulte de la multiplication » ou qui contient le mut
tiplicande autant de fois que le mutiplicateur conr
tient Tunlté , fe nomme produit.

Par exemple^ fi Ton propofe de multiplier 8 par 4,
ces deux nombres 8 & 4 feront les dtux faSeurs de la
multiplication ; le premier (8) que Ton doit répétée
fera le muhipUcande;lc fécond (4) dont les quatre uni-
tés marquent qu'il fagt répéter 4 fois le multiplican-
de, fera le midtipUcateuri enfin le nombre 32 que Ton
trouvera en répétant 8 quatre fois > fera It produit.

: 27 Pou^ indiquer que deux nombres doivent être
jnultipliés l'un par l'autre, Ton met entr'eux cette
jnarque x qui fignifie multiplié par. Ainfi 8x4 figoifie
que Ton multiplie 8 par 4 ; & comme le produit de
œrce multiplication êll 3 2i Too peut dire que 8x4
i«Aégali32.

'

îjS Lîy." fICfctfp. 771. T5k LÀ MotTitLicATtoK

Si Ton vouloit encore multiplier ce produit 8x4
ou 5 2 par un nouveau multiplicateur 2 ; Ton éairoit
8x4x2 ou 32x2, dont le produit efi; 64 ; c'eft-
à-dire que Ton écriroit les uns après les autres tous
les ftiâeurs dont la multiplication doit compofer ua
produit » en les féparant par la marque x. Nous ver-
rons dans la fuite qu'on peut prendre ces fadeurs
dans tel ordre quon voudra ^ pour les multiplier ea-
femble.

On pourroit encore faire la multiplication ^ par
exemple » celle de 3 2 par 4 , en la réduifant à unô
addition dans laquelle on écriroit le multiplicande 32
quatre fois ôc dans Tordre où Ton écrit les quantités
que Ton veut ajouter ; parce que la fomme de cette
addition contiendroit 3 2 quatre fois , âc feroit par
conféquent le produit de 32 multiplié par 4.

Cette façon de faire la multîplicatim peut être mift en
ufage lorjque le multiplicateur na que tris^peu d'unités;
mais elle ne feroit pas praticable Jî le multiplicateur itoit u/i
nombre un peu grand, Ainji il faudra avoir recours à des

règles particulières & fimpla , pour abréger les opérations.

»

CoaOLLji ï RM PMMMISM*

I o Donc le produit d'une multiplication aura dc^
unités de même efpéce que celles du multiplicande ;
car ce produit étant fait de l'addition répétée du
multiplicande 9 il ne peut pas avoir d'autres unités
que lui.

I o. Il fuit de là que fi lès unités du plus bas ordre da
multiplicande^ font des unités (impies, ou des dixainest
ou des centaines , âcc. les unités du plus bas ordre du
produit feront aufÇ des unités fimples , ou des dixai*.
nesy ou des centaines, &c Âinfi le produit doit aveif
à fa droite autant de rangs qu il y en a à la droite du

m^ltiplicandc#

Multiplicande. Par exemple , fi Ton multiplie 8 ou
80 ou 800 par ^) ce que Ton fera en répétant quatre
fois le chiffre fignificatif 8 du multiplicande ^ le pro^
duit 3 2 aura à fa droite autant de zéros ou de places
qu^il y en a après le chiffre 8 multiplié, & fera 52 ou

320, OU 3206i

2^. La conféquebcè que Ton vient de tirer , iup-
pofe que les unités du multiplicateur font dés unités
fimples ; mais fi les unités du multiplicateur étoient
des unités coUeâives ^ comme des dixaines ^ ou des
centaines j ou des milles ^ &c« chacune de ces unités
coUeAives marqueroit qu'il faut répéter le multipli-
cande dix fois , ou cent fois , ou mille fois : entorté
que le produit feroit dix fois > ou cent fois , ou mille
fois plus grand que fi Ton avoit multiplié par uu
nombre d'unités fimples; & parconféquent ce prôduie
auroit encore à fa droite autant de places qu'il 7 en
auroit à la droite du chiffre multiplicateur.

Par exemple, fi l'on multiplie 8 par 4, ou par 40 #
ou par 400 f ou par 4000 , &c ; ce que Ton fera ea
répétant 8 quatre fois ; le produit 3 2 aura dans tous
ces cas autant de zéros ou de places à fa droite qu'il
y en aura à la droite du chiffre 4 multipliant , Se fera
pat conféquent 3 2 1 ou 320, ou 3200^ ou 320004

3^. £t joignant enfemble ces deux conféquences» od
conclurra que le produit de deux chiffres multipliéi
l'un par l'autre doit avoir à fa droite autant de zéros ou
de rangs , qu'il y en aura en tout à la droite du chiffre
multiplié Se à la droite du chiffre multipliant-
Pat exemple, fi l'on multiplie 800 par 4 , ou par
40 9 ou par 400 , ou par 4000 , &c ; ce qu'on fera ea
répétant le chiffre fignificatif 8 du multiplicande au-
tant de fois qu'il y a d'unités dans le chiffre fignifi-
catif 4 âvL multiplcateur ; le produit 32 aura pre-
mièrement à fa droite les deux zéros qui font à U

jo ty. Il Chàp. ni Db la MoLTiPticjtiiw-*
droite de 8 , & aura de plus à fa droite tous les zérof
qui feront à la droite du chiffre 4 multipliant ; Se fera
par conféqaent 3200, ou 32000, ou 320000900
3 200000 > &c.

CoROLLAI RE IL

jp Un nombre , quelle que foit la nature de Tes uni*
tés 9 peut être répété autant de fois qu'on le voudra ;
ainfi le multiplicande d'une multiplication peut être
un nombre abftrait , ou un nombre concret compoftf
d'unités de telle efpece qu'on voudra

Il n'en eft pas de même du multiplicateur qui doit
marquer combien de fois le multiplicande doit être
répété. Chacune de fes unités (impies ou coUeâives
ce doit repréfenter qu'un nombre de fois ; ainfi Ton
doit néceffairement le confîdérer comme un nombre
abllrait ou abfolu , Se jamais il ne peut être regardé
comme un nombre concret

On propofe cependant quelquefois de multiplie!
fin nombre concret par un autre nombre concret. En
fuppofant, par exemple, qu'une pièce de bois coûte
5 liyreSf 8c qu'on veut favoir le prix de 20 pièces de
hois, l'on propofe de multiplier 5 livres par 20 pièces
de bois i mais il eft évident que cette propofîtion ell
contre les règles de la multiplication & qu'il ne faut
pas multiplier ^ livres par le nombre concret 20 piecet
de boîSf mais feulement par le nombre abfolu 20 fois ^
puifque pour avoir le prix de 20 pièces de bois dont
chacune coûte 5 livres , il fuffit de répéter 5 Uyra
20 Jois.

Lorjque nous dîfons que le rnubipUcateur eft un nombre
ahfolu compojé ^unités vagues ou abftraites , npus ne par»
Ions que de la multiplication des nombres , & nous ne pri-^
iendons point toucher à la multiplication géométrique, dans

]»BS ISlolCBEXS JKtOUVLEtMU yj

léfuette tun iesfaStwrs étant unt ligne^ P autre faSeur peut
être une ligne où une/iirface, €r dans laquelle le produit n'a
jamais des unités de mime efpice que celle de fis faSeurs.
Ce fiefi point ici U lieu d'expliquer cette efpice de mulû^
fiication^ m la nature des unités de /on produit.

Comûzljêimm llh

!&<> Donc, le multiplicande reftaot le même» fi It
multiplîcateat devient double ou triple ou quadruple ,
&c de ce qu il étoit ; le produit deviendra aufli double
ou triple ou quadruple , &c de ce qu'il étoit ; parce
^ue le nouveau produit condendra le même multi-
plicande deux fois ou trois fois ou quatre £ois> &c»
plus que Tancien produit ne le contenoit.

Le multiplicateur refiant le même , £ le multipll«
cande devient double ou triplé ou quadruple , ècc ^
de ce qu'il étoit ; le produit deviendra aufll double
ou triple ou quadruple Sec , de ce qu'il étoit : parce
que le riouveau produit contiendra un multiplicande
double ou triple ou quadruple, &:c, autant de fois que
le premier produit contenoic le multiplicande (impie ;
& qu'if eff évident qu'un tout doit doubler ou triplée
ou quadrupler, lorfque Its parties qui le cdmpofent
deviennent doubles ou triples ou quadruples &c» de
ce qu'elles étoient.

I ^. Il fuit de là que l'on mulripliera par 2» ou par 5»
ou par 4, &c rie produit de deux fadeurs tel que 7x^9
en multipliant un feul de ces faâeurs^ favoir le multi-
plicande 7 ou le mulriplicateur ^ , par le nouveau
multiplicateur 2| ou :; , ou 4», &c ; parce qu'en multi-
pliant ainiî l'un des deux fafteurs, on rend leur produic
double ou triple ou quadruple , &c , de ce qu'il étoit*

fl^. Il fuit encore de là que G deux nombres quel-
if par exemple 3^7 doivent être multipliés

ja Iiy. n. Châp. III. Ds Lk MutTltLTiCATÎoiî
Tun par l'autre , on aura toujours le même produit f
foit qu'on multiplie } par 7 , ou que Ton multiplie 7
par 3 ; & par conféquent foit que l'on écrive 3x7,
ou 7x3.

Car tout nombre peut être regardé comme un
produit de lui-même & de l'unité. AinG i x 7 eft la
même chofe que 7 ; & par conféquent l'on aura le
même produit foit qu'on multiplie 1x7 par 4 , foit
^u'on multiplie 7 par 3 .

Mais pour multiplier 1x7 par 3, il fuffira de tripler
le multiplicande i, ce qui donnera 3 x 7 ; & l'on mul-
pliera 7 par 3 en écrivant 7x3»

Donc 3x7 eft la même chofe que 7x3 ; c*eft-à-dîrc
que de deux nombres qui doivent être multipliés l'un
par l'autre , il n'importe pas lequel on prenne pour
multiplicande ou pour multiplicateur.

50. Il fuit de Tarticle précédent que fi l'on a trois
nombres tels que 2 ^ 3^ 7, à multiplier enfemble ; leur
produit fera toujours le même» quel que foit l'ordre
qu'on fuivra pour les multiplier : en forte que fi Ton
écrit de fuite ces trois fadeurs. Se qu'on les fépare par
la marque x ; l^on pourra les écrire de ces fix manières^

ax3X7, 3x2x7, 3X7xa, 7x3x2, 7x1^x3,
ax7X3.

Car nous venons de voir que les deux produits 3 xj^
7x3» font égaux ; ainfi en les multipliant par un même
nombre 2 , les deux produits qui en réfultcront, feront
encore égaux : ôc comme les deux produits 3 x 7 ,;
7x3, peuvent être multipliés par 2, foit en multipliant
le faâeur 3 , foit en multipliant le faâeur 7 , Se qu'oa
peut écrire le nouveau faàeur 2 devant ou après le
chiffre qu'on multipliera , il en réfultera fix arrange-^
mens différens des trois faâeurs 2,3,7,

Si l'on avoir un plus grand nombre de faâeurs à
«ittltiplier enfemble a * l'on prouveroit de la

bSS NOHBEXS IKCOMfLEXES. ^3

manière » qu'en les arrangeant de toutes les façons
poiCbles , le produit feroit toujours le même.

4?. Donc Q Ton a un nombre quelconque de
fafteurs à multiplier enfemble ; Ton pourra ne mul-
tiplier réellement enfemble que hs fadeurs qu'on
voudra , & écrire devant ou après le produit les au«
très faâeurs, en fe fervant de la marque x pour les
fcparer les uns des autres Se du produit de ceux qu'on
a multipliés.

Par exemple au lieu d'écrire 2x3x5x7, l'on
pourra mettre tfxy xy, ou 30x7, ou 2x3 X35,
ou 2 X 105 , ou 2x15 X 7 , Sec y Se changer comme
on voudra l'ordre de ces faéteurs , fans qu'il en réfulto
aucun changement dans la valeur du produit.

PROBLÊME.

^ft I Mubîplier Vun par Vautre deux nombres repréfentls
thacunpar un ftul chiffre ^ cefl-à-dire deux nombres dont
chacun eft moindre que lo.

lïous propoferons deux moyens faciles pour trou-
ver le produit de la multiplication de deux nombres
dont chacun eft moindre que lO.

Le premier moyen eft une Table qu'on attribue à
Pythagore , & qui contient les produits de tous les
nombres qu'on peut écrire par un feul chiffre. Ceux
qui ne font pas encore exercés dans la multiplicatioi^
doivent avoir cette table devant les yeux lorfqp'ils;
ont une multiplication à faire..

Diij

54 Lh* IL Chap. Ul. Db la MuiTifiicATioil

TabU de Pythagort.

I

2

3

4

î

tf

7

8

>

a

4

6

8

lO

12

«4

16

18

5

6

9

12 i ly

18

21

24

27

4

8

12

i^

20

«4

28

32

3^

S

lO

>;

20

3Î

30

35

40

4J

6

13

i8

«4

30

3<5

42

48

54

7

14

21

28

3Î

42

4P

S^

<î3

8

lé

«4

3a

40

48

î<5

64 72

P

i8

27

3<^

4Î

74

<f3

72 81

Pour compofer cette table qui contient neuf ban**
des chacune de neuf cafés, on écrit dans la première
bande horifontale la fuite naturelle des nombres > de*
puis I jufqu'à p. On met dans la féconde bande ho«
rifontale la fuite des nombres que Ton a , en comment*
çant par 2 , & en ajoutant continuellement a* La troi«
fiéme bande commence par 3 , & en ajoutant conti-*
nuellement 3, on forme tous les nombres qui en rem<«
pli/fent les caiës : & ainfi dçs autres bandes qui corn*
menççnt par ^^Jt^jy^Syp^âc dont toutes les cafés
font remplies dç h même manière par les nombres
que Ton trouve , en ajoutant continuellement le nom:
^e ^ui eft dam la piemicco cafcs

bXS NOMB&BS INCOMPLSXBS. f^

Pour faire ufage de cette table dans la multjplica- ,
tioo des nombres moindres que lo, Ton cherche
dans la première bande hocifontale le multiplicande ,
& defcendant jufqu'à la bande horifontale qui com«
mence par un nombre égal au multiplicateur, on
trouve le produit qu'on demande. Par exemple » fi
Ton veut multiplier 8 par 7 , on cherchera 8 dans la
première bande horifontale , & defcendant jufqu'à la
bande horifontale qui commence par 7 > on trouvera
5^ pour le produit de 8 par 7.

Le fécond moyen pour multiplier enfemble deux
nombres moindres que 1O9 eft d'opérer par fes doigts;
mais pour cela il faut favoir multiplier Tun par l'autre
deux nombres moindres que 6. Voici comment on fait
cette opération.

On ferme les deux mains , Se attribuant un nombre
à chaque main , on levé autant de doigts de chacune^
qu'il 7 a d unités depuis le nombre qu on lui attribue ^
jufqu'à dix ; puis ayant multiplié le nombre des doigts
qu'on a levés d'une main » par le nombre des doigts
qu'on a levés de l'autre, on ajoute au produit autant
de dixaines qu^l y a de doigts qui n'ont pas été levés
dans les deux mains.

Suppofons, par exemple , qu'on veut multiplier ft
par 7. Ayant attribué 8 à la main droite > on en lèvera
deux doigts, par ce qu'il y a deux unités depuis 8 juf-
qu'à 10 5 & il reliera trois doigts couchés dans cette
main ; attribuant le 7 à la main gauche , on en lèvera-
trois doigts , parce qu'il y a trois unités depuis 7 juf-
qu'à 10 9 & il reliera deux doigts couchés dans cette:
main. Comme on a trois doigts de levés dans une^
main , & deux doigts de levés dans l'autre^ Ton mul-
tipliera 3 par a 9 ce qui donnera 6 unités pqur le pro*
duit ; de parce qu'il y a Q\n<\ doigts en tout de couchés»,
deux dans une maia». & trois dans l'autre y qa

Diiit

'j 6 Liv. II. Chaf. lit Db t a MultÎflÎc AïfON
prendra ces cinq doigts couchés pour 5 dîxaines ou:
pour $0 > que Ton ajoutera avec les ($^ unités du pro-
disiit qu'on a trouvé » & l'on aura ^6 pour le produit
^8 par 7,

PROBLÈME.

^ 1 Af uUipUer un nombn quelconque qui n'a point ia
jfartiet décimaUs ^ par un aut^e qui non a point non plus^
Ô* qui ejl repréfenté par un feul chifire»

Ayant placé le chiffre multiplicateur feus le mulr
plicande, 5c ayant tiré une barre au-deflbus pour fé^
parer les deux fadeurs de la multiplication^ du produit
que Ton doit écrire au-deiïbus} l'on multipliera cha-
que chiffre du multiplicande , en commençant par ce«
lui du plus bas degré , par le chiffre multiplicateur. Si
chaque produit peut être écrit par un feul chiffre, on
^ récrira au*deffous du chiffre multiplié. Mais fi quel^
ques produits ne peuvent être repréfentés que par
deux chiffres , on n'écrira que le premier , qui eff du
plus bas degré , au deffous du chiffre multiplié , 3c Ton
retiendra loutre pour le joindre avec le produit fup-
vant. Lorfque tous les chiffres du multiplicande feront
arnfi multipliés, & que tous les produits particuliers^
fcr4>nt écrits , Ton trouvera au- deffous de la bairç hf.
]^t9fh\it (je la multiplication.

^ X £ M PLM J^M£MZ£Jt.

» • • • »

^3f ^r k*P^. multiplît 5X^4. mulilplieande,

tnur 4. muliiplicat^wt^

\tonitouver& 3856 produit
l^our trouver les chiffres de ce produit les uns aptè^

BEs Nom BRSS ikcomflsxxs. ^'f

1 •. L^on commencera la mukiplicatîoa par cellp
«Jes unités ou du premier chiffre 4 du multiplicande»
en difant : quatre fois 4 font 1 6 ; & comme ce premier
produit efl repréfenté par deux chiffres dont le pre-
mier (6) n'exprime que des unités y &, dont le fécond
( I ) eft une dixaine ou une unité du fécond degré ; l'on
écrira 6 au rang des unités au-deffous du chiffre mul-
tiplié , Se Ton retiendra i pour le joindre avec le pro-
duit fuivant dont les unités feront du fécond degré«

2^. Paffant à la multiplication du fécond chiffre {6y
du multiplicande qui repréfenté fix dixaines ou ^
unités du fécond degré; Ton dira : 4 fois 6 font ^4;
& I qu^on a retenu du produit précédent font 2^ , ou
plutôt 25 dixaines ou unités du fécond degré, dont
on écrira le premier chiffre (^) au fécond rang; So.
Ton retiendra le fécond chiffre (2) qui repréfenté
deux dixaines 4^ dixaines , ou deux unités du troifié^
me degré , pour le joindre au produit fuivant dont
)es unités feront auffi du troiliéme degré.

50. Continuant la multiplication , Ton dira: 4 fois
^ font ^6j Sç2, qu'on a retenu du produit précédent;
font 38 , c'eft-à-dire 38 centaines ou unités du troi-«
jiéme degré» dont on écrira le premier chiffre (8) au
troifiéme rang. A l'égard du fécond chiffre (3) qu<
repréfenté trois unités du quatrième degré 9 on le re^
pendroit pour le joindre au produit fuivant , £ Ton
^voit encore qtielque chiffre à multiplier ; mais com-,
nie tout eft multiplié , on placera ce chiffre 3 auqua-f
triéme rang à la gauche du chiffre 8 que Ton vient;
^'écrire.

Tous les chiffres du multiplicande 964 étant mul^
ffpli^s par 4» & les chiffres des produits particuliers;
çAint écrits les uns après les autres , comme on vient
de l'expliquer ; Ton trouvera au deffous de la bvre iq
ftgmj^iç 38^5. pouf le prpdwc dlçift^ûdés

fS Liv. il Châp. UL De la MvLTimck'doa

La démonftration de cette opération ejijîmple. L'on a
multiplié par 4 les unités Jimples , Us dixaines^ les centaines^
m un mot toutes Us parties du multiplicande^ & Von a placé
fuivant Uur ordre tous Us ekiffires des produits partUuUers
à mefure qu'on les a trouyés.; ainjî tout U muUipUeande a
éié multiplié par J^^tf tous les chiffres, dont k produit eft
tompoféi ont été écrits dam Us rangs qui leur conyenoient
donc ^8$6 eJlU produit de ^64 par 4.

E X £ M P ZM IL

24 ^^ ^^ muUiplîe . 9(^4 multiplicande

Par 60 mubiplicateur

I L'on aura 5 7 S40 produit

Si Ton avoît à multiplier le nombre p^4 par (?
unités» Ton trouvcroit, en fuivant la règle que l'on
vient d'expliquer 5 57^4 pour le produit; mais le
nombre ^o , par lequel il faut multiplier , efl décuple
de 6 : ainiî le produit que Ton demande doit être dé^
cuple du produit 5784 que Ton trou ver oit en mul-
tipliant par 6.

Or nous avons vu dans les règles de la numératioa
que chaque chiffre d'un nombre étant avancé d'ua
rang vers la gauche 3 ce qui fe lait en mettant un zéra
à la droite de ce nombre ; il devient décuple de ce
qu'il étoit. Donc en mettant un zéro à la droite du
nombre 5784» on aura $7840 pour le produit der
mandé de ^64 multiplié par 60%

^ r

DSS NOMBISS IKCOMPLSXIS S$k

Ex MM P LE III.

3L^ Si ïm muUîplie 9^4 muhipUcandt

Par 200 multiplicateur

L'on aura ^ipaSoo produit

En multipliant 96^ par 2 unités , Ton trouverok
1928 pour le produit; mais le nombre 200 par lequel
il faut multiplier eft centuple de 2 : ainfi le produit
que Ton demande doit être centuple de 192$^ & par
conféquent les unités fimples de ce nombre doivent
être des centaines ou des unités du troifiéme degré ,
comme celles du multiplicateur a centaines par lequel
Ofi doit multiplier.

Donc le nombre 1928 doit avoir à fa droite deux
zéros ou deux places, pour être le produit de $6^
par 200.

On prouvera de la même manière que fi Ton doit
multiplier par un chiffre dont les unités foient du qua-
trième ou du cinquième degré , il faudra multiplier
le multiplicande p«r ce chiffre» comme s^il ne repré-
fentoit que des unités dlu ptemler degré 9 Se mettre à
la droite du produit autant de zéros qu'il 7 a de places
à la droite du chiffre multipliant.

PROBLÈME.

A^ Multiplier un nombre quelconque qui tta point do
parties décimales par un autre nombfe qui na point d»
décimales f & qui efi repréfenti par plujîeurs chiffres.

On multipliera tout le multiplicande par chaque
chiffFre du multiplicateur comme on vient de le voir ;
& comme on aura autant de produits qu^il 7 aura de
chiffres ffgnifîcatifs dans le multiplicateur , on ajou-
tera tous ces produits çnfemblc 1 & leur fomme fera
le produit demandé*

l(h Liy. n. Ckap. IIL Dn la Mcltiplicàtic^

Si fûn propo/è de multiplif ç6^ multiplicaniê

Par 2 (^4 multipUcauur

SS$6 I*'. proiuÎÊ

J7840 2^ produit

ipaSoo 3®* produit

Von trouyva 2544^(5 produit total

Le multiplicateur 2(^4 eft compofé de quatre unî-^
tés> de iix dixaines & de deux centaines > c'eft*à-dire
de 4, de 60, & de 200 ; il faudra donc multiplier te
multiplicande ^6^ par ces trois nombres 4> <(o»
iAc 200.

1 o. En multipliant par te premier chîflEre 4. , qui re*
J)réfente 4 unités , on aura pour le premier produit
3 8 ^(î unités, dont on écrira les chiflfrea ks uns après
les autres fous les chiffres multipliés à mefure qu on
les trouvera comme itaété expliqué {No. 23.) dans
le premier exemple du Problème précédent.

20. En multipliant par le fécond chiflFre (6) du mnl-
tîplicateur, c'eft-à-dire par 60, on aura Ç^N^. 24.)
pour fécond produit y 7 840 qu'on écrira au-deffous
du premier produit , en obfervant de mettre les uns
fous les autres les chiffres du même degré ; mais com-
mt les chiffres de ce fécond produit doivent être mis
à mefure qu'on les trouve , aux places qui leur con-^
viennent, on conxmencera par mettre un zéro à la prer
miere place.

30. Pour multiplier par le troifiéme chiffre (2) qui
fignifie 200 , & qui donnera des centaines pour les
unités du produit ; on placera d^abord deux zéros po iÇ
rçmplir la placç des unités & celle des dixainesî &

bis NoMB&ss ilïëSMpïxsii 'Sti
taulnpliam enfuite par 2 tous les chiSFres dii mulci^;
plîcande les uns après les autres , on placera vers li
gauche des deux zéros les chiffres du produit, à mefu*
rc qu'on les trouvera ; & Ton aura (N<\ 25.) ipiSoo
pour le troifiéme produit.

Le multiplicande 5^64 étant multiplié par les trois
chiffres du multiplicateur, & les trois produits parti-
culiers étant ainfi écrits; on les ajoutera enfemble fui*
vant les règles qu'on a données pour l'addition ; & l'oQ
aura 2 5 ^^p 6 pour le produit de p ^4 par a 6j^.

R E M A RQV E.

Comme les zéros qu'on a écrits avant de faire là
fécond & le troifiéme produits, n'ont point d'autre
propriété que celle de déterminer les chiffres du pro->
duic de la multiplication par 6 à compter des dixaine^
& ceux du produit de la multiplication par a à comp-;
ter des centaines ; on auroit pu s'épargner la peine
cTécrire ces premiers zéros dans les deux derniers pn>^
duits , parce que les places des unités de tous les de-j
grés font marquées par les chiffres du premier pro-
duit : âc Von auroit écrit les trois produits particulier^
comme on le voit.

9^4 multiplicunde
St6j^ multiplicateur

3 8 J 6 1 ^'^. produit

5784 n^. produit

1928 ^^. produit

fi S ^^9 6 produit ma

;^2 liy. Il Chap» in, Ds ia Molt» ucatiom

E X M M P LM IL

SlVanpropo/edemuUipUer 4^2i($ muUiplieandé

Par 50070 multiplicateur

a I do8oo 1 ^^. produit

129648 2^ produit

r ■

L'on trouvera 12^8640800 produit total

Le multiplicateur n'étant cotnpofé que de deux
chifires fignifîcatifs f & 5> dont le premier (îgnifîe yo
ou 7 dixainesy Se le fécond 30000 ou 3 dixaines de
mille 9 on n'aura que deux produits particuliers à
trouver,

La première multiplication par ^ dixaines , don^
liera des dixaines. Ainfi Ton pofera d'abord un zéro
à la place des unités : puis on multipliera le multi-
plicande 432 16 par ]f ; & Ton écrira vers la gauche
du zéro premièrement pofé , les chiffres du produit
à mefure qu'on les trouvera. On dira donc : 5 fois 6
font 3 o , dont on mettra le premier caraâere (o) à la
féconde place , & Ton retiendra 3 • On continuera de
multiplier les autres chiffres du multiplicande par ^^
comme on Ta ci -devant expliqué ; Se l'on aura
2160800 pour le premier produit particulier.

La féconde multiplication par 3 dixaines de mille
produira des dixaines de mille , qui doivent avoir qua-
tre places à leur droite. Âinfi Ton pofera d'abord qua*
tre zéros aux quatre premières places, ou bien on
laiffera ces places vuides : puis on multiplie^-a le muU
tiplicande 43216 par 3 ; 8c l'on écrira vers la gauche
des quatre zéros ou des quatre premières places les
chiffres du produit 225^6481 à mefure qu'on les
trouvera.

0Y3 1!ToMBRSs îNeoMvtizis; 7^

Enfin Ton ajoutera enfemble les deux produits

particuliers qu'on vient de trouver , & ils donneront

125^8^40800 pour le produit total de 43216 multir

plié par 30050.

ExMUPZS llh

Si Vcn propofe de multiplier 700800 multiplicande

Par 40^00 multiplicateur

420480000 1 ^ produit
2803 200 • • • • 2^. produit

L'on aura 28452480000 produit total

i^ Avant de multiplier le multiplicande par le
premier chiffre fignifîcatif (6) qui a deux zéros ou
deux places à fa droite ^ & qui doit par conféquent
produire des unités du troifiéme degré 1 Ton commen-
cera par écrire deux zéros dans les deux premières
places ; enfuite on dira : 6 fois o eft zéro y & Ton
écrira un zéro à la troifiéme place, c'eA-à*dire, à la
gauche de ceux qu'on a premièrement pofés. Faffanfi
à la multîpUcatîon du fécond chiffre du multiplicande
on dira encore : 6 fois o eft zéro , & Ton écrira auffî
un zéro à la quatrième place. Continuant la multiplia
cation, Ton dira : 6 fois 8 font 48 , pour lequel pro-
duit Ton écrira 8 à la cinquième place^ & Ton retien-
dra 4. Enfuite on dira 6 fois o eft zéro , & 4 qu on
a retenu font 4 qu on écrira à la fixiéme place; puis
on dira : 6 fois o eft zéro, Se l'on écrira zéro à la
feptiéme place. Enfin Ton dira , pour finir la première
multiplication : 6 fois 7 font 42 , & Ton écrira 2 à la
huitième place , & 4 à la neuvième. En opérant ainfi.
Ton aura 420480000 pour le premier produit,

a®. Avant cie multiplier le multiplicande par le
deaxiéme chiffre fignifîcatif (4) qui a 4 places à fa

€^ Liy. II Chap. Ill Dfi la MitltiplicatioW
dxoke , oû jremplira par 4 zéros les quatre premierei
places du fécond produit qu'on doit écrire ; ou bien ,
comme ces quatre premières places font déjà mar-
quées par les chifires du premier produit, on laiflera
ces quatre premières places vuides & Ton multipliera
enfuîte 700800 par 4, de la même manière qu'on
vient de le multiplier par 6, ce qui donnera pour le
fécond produit 28052000000.

Enfin Ton ajoutera les deux produits particuliers 9
de Ton aura 284^480000 pour le produit totale

p ko BLÉ Me.

^y MuUiplier un nombre qui contient des parties déci'*
maks^ par un autre nombre qui contient ou qui ne con^
tient point de parties décimales.

On multipliera le multiplicande par le multiplica<^
•ceur, comme fi aucun d'eux ne contenoit de parties
décimales* Le produit total de la multiplication étant
trouvé 5 fuivant les règles que nous avons expliquées^,
on y mettra une^ virgule qui en féparera vers la droite
■autant de chifires décimaux, qu'il y en aura entouç
dans U multiplicande & dans le multiplicateur*

IL X £ M P ZM P R M M I S Ré

Si Von propofe de multiplier 74>P^4 multiplicanâe

Par !i6^ multiplicateur

■I 11

25^9,855 I*'. proiuit

^^97>^^ ^^- produit
14992,8 3^ produit

U on aura 'P 790,49^ produit total

Le multiplicande (74, 9^4) CgniSe 7496^ millier
mesy Se peut être regardé comme un nombre ordinaire
dont les unités principales font des millièmes. Cela
pofé 9 les unités du produit feront des milUémes , & ce

produit

I

tos» NoMBftss iNGOMPtkirst. €f

)nrodukfera 19790^96 miffi^me/; parce que (N^. 18.)
les unités du produit font toujours de même efpece
que celles du multiplicande, lorfqu^on multiplie pac
un nombre ordinaire fans décimales»

Il faut donc faire connoitre que les unités du pro«
duit 197904^6 font des millièmes^ de même que celles
du multiplicande. Pour cela il faut placer dans ce pro-^
duit,une virgule qui en fépare trois chiffres décimauir^
ou en général, qui en fépare autant de chiffres dcci-*
maux , qu'il y en a dans le multiplicande.

Donc pour multiplier un nombre qui contient des
décimales par un autre qui n^en contient point; il faut
faire la multiplication comme fi le multiplicande n'a*
voit point de décimales , Se mettre enfuite dans4e pro«
duit une virgule qui en fépare autant de décimalesi
^'il 7 en a dans le multiplicande.

Comme le multiplicateur na point de décimâtes dans
t exemple propofi^ les chiffres décimaux qui je trouvent dans
le multiplicande jjont tout ce qu'il y en a dans le mubzpli-
canie & le multiplicateur enfemble^ Ainfi la régit générale ^
qui veut que ton Jépare du produit autant de chiffres déci*
maux quily en a en tout dans le multiplicande & U mulsiz
flicateuTy eft appUcable à ce premier exempU*

X M H P LM

IL

Si ton propoje de multiplier ^^9 6^ fnultîplkandê

par 2^6^ multiplicateur

299$f$é 1 ^'. produit

445>78>4 2^. produit

I4P928 3*. produit

Von aura ^9790^^96 produit total

£n eoûfidérant le multiplicateur comme un nom**
bte d'unités , ou fuppiimanc fa virgule ; on trouvera
Arithmétique. fi

1

€6 Lip. IL Chap. in. De la VluLtmtCkrwii

pour le produit 1979049^ unités JimpUs. Mais lé
snultiplicateur propofé (2,64) qui fignifie 264 ctn^
ûémes , n'cfl que la centième partie de 26 j^ unités :
ainCi le produit ne doit être que la centième partie du
produit ip7p0495 qu'on a trouvé en multipliant pat
264. Il faut donc changer les unités de ce produit en
centièmes ; ce qu'on fera en 7 plaçant une virgule qui
en fèparera autant de chiffires décimaux » qu'il y en a
dans le multiplicateur.

Comme le multiplicande na poim de ehifra décimaux i
teux du multiplicateur font ce qu'il y en a en tout dans le
multiplicande & dans le multiplicateur. Ainfi la règle quon
a donnée dans le problème ^ ejl encore applicable â cejeconà
exemple.

EXSMPLM IIL

Si Von propofe de multiplier 74,9 ^4 multiplicande

Par 2,6^ muUiplicatewr

2,pp8$5 i^^ produiê

4^91^^ 2^ produit
149,5^28 j^. produit

Von aura 1^79904^5 produit totai

En multipliant le multiplicande (74>9<^4) qui a
trois chiffres décimaux , par le multiplicateur confî-
derc comme un nombre d'unii^iyzmpki ; c'eft à- dire
en multipliant (749P64) par ^64; on trouvera^
comme dans le premier exemple, (1^7.90,496) pouf
le produit.

Mais ce produit (19790,496) eft cenruî>!c de ce-
lui qu'on demande; parce qu'on a multiplié par 2,6^
qui cft centuple du multiplicateur donné (2,64.) :
ainfi ce produit doit devenir cent fois pli s petit j &
par conféqucnt il faut encore avancer la virgule vers
la gauche d'autant «(e places qu'il y en a après la vir-

bsf NoiriiRSs ikcoMPLticss. ^y
jgule du multiplicateur. Et cothmc il y avbît déjà au-
tant de places à la droite de la virgule du produit, qu'il
y en a dans le multiplicande j il y aura néceffairemcnc
à la droite de la virgule du produit, autant de placés ou
de chiffres décimaux, qu'il y en à en tout dans le muki-
iplîcande & dans le multiplicateur. AinG (i^JjpOj^^C)
fera le produit de (74,^^4) par (2,^4) conformément
à la règle générale (No. ^7.).

Ex SMJPZM IV^

Si Vtm fropa^ de multiplier G, 1 2 y multiplîeandt

Par 0,062^ multiplicateur

tf2j i^^.proiuU

250 a^ produit

7yo 3*. produit

Von aura 0,06 j9' 12; produit total

Lorfque I« multipUcàode fera multiplié par le mul«
èiplicateur, comme û les deux faâeurs se contenoienc
point de chiffres décimaux y & que tous les produits
paniculiers auront été ajoutés enfemble ; on placera
dans le produit total uiic virgule, de manière qu'elle
ait à fa droite autant de chiffres décimaux qu'il y en
a en tout dans le multiplicande & le multiplicateur.
Et comme l'on trouvera fept chifires décimaux en
tout dans les deux fadeurs , Se qu'il n'y a que cinq
chiffres dans le produit ; il faudra mettre encore deux
zéros à la gauche de ce produit, pour avoir fept figu-
res décimales, & placer enfutte une virgule à la gauchs
de ces fept figures, afin qu'elles foicnt réputées déci'-
maies : on mettra même aufli un zéro à la gauche de
la virgule , pour tenir la place des unités ; & Ton aura
(©,©078125) pour le produit de (0,125) multiplia
par (o,o^2j).

£ i j

68 Ity.7I.Qa/. IT. Dx LA Divisioil

CHAPITRE IV.

De la Dîy\jîon des Nombres îneomplexai

Définitions.

^g "TXlvFSBR un nombre par un autre , c'cft chefw
JL/cber un ttoiCiémt nombre qui multiplié par
le fécond, donne un produit égal au premier nombre*
Le nombre qu'on divife s'appelle dividende; celui
par lequel on divife s'appelle divijeur ; & Ton donne
le nom de quotient au troiCéme nombre qui réfuke de

ia divifion.

Lorfqu'on veut feulement marquer que deux nom«
fcres font ou doivent être divifésTun par l'autre, on
écrie le divifeur au-deflbus du dividende avec une
barre horifontale entre les deux. Par exemple ^ (i Ton
ireut marquer que le nombre ^ 2 toifes eft , ou doit txim
(divife par le nomme 8 toifes , l'on écrie

32 toifes
S toifes

OttOLlA t RM P itMM i kH

âp II faut donc que le divifeur ou le quotient fbii
tm nombre abftrait j & que Tun des deux ait àzt
unirés de même efpece que celles du dividende ;
fans quoi le divifeur & le quotient multipliés l'un par
l'autre, né produiroicnt pas une quantité égale au
dividende ; or fuivant que le divifeur fera un nombre
abdrait, ou un nombre de même efpece q \t le di«
vidende, on pourra fe former deux idées diâiéienies
de la divi£on.

toBS NOMB&VS IKCOMPL2XS9. 6^,

10. Lorfque le divîfeur fera un nombre de même
éfpece que le dividende ; le quotient qu'on trouvera
fera néceflairement un nombre abdrait, qui marquera
combien de fois le divifeur doit être répété pour pro-.
duire le dividende. Dans ce cas , Ton pourra dire que
la iivijîon ejl um opération par laquelle on trouve combkn
de fois le divifeur ejl contenu dans le dividende: Se ce comr-
bien de fois que Ton trouve ^ étant exprimé en latin pac
le mot Quoties , on lui a donné le nom de quotient*

Par exemple, fi l'on propofe de dîvifcr 32 toifes
par 8 toiJeSf ou de trouver un troifiéme nombre qui
multipliant 8 toifes produife le premier nombre 32
toifes ; le nombre 4 que Ton trouvera fera un nombre
abfolu qui fîgnifîera qu'il faut prendre 8 toifes 4 fois^
pour produire 3 2 toifes , Se que 8 toifes font par coa«
îéquent contenues 4 fois dans le dividende 3 2 toijesm
Ainfiladivifion du dividende 32 toifes , parledivifcuc
8 toijes de même efpece y fe réduira à trouver com-
bien de fois le divîfeur 8 toifes eft contenu dans le di*"
vîdcnde 32 toifes; Se le nombre abfolu 4 que Ton
trouvera , 8c qui fignifiera 4 fois» fera le quotient pro-.
prement dit de cette divîfion.

20. Lorfque le divîfeur fera compofé d'unités abfo-
lues; il marquera combien de fois le quotient que l'on
cherche doit être répété, pour produire le divi Jende.
Ainfi pour avoir ce quotient , il faudra partager lo
dividende en autant de parties égales que le divifeuc.
aura d'unités abfolues. Dans ce fécond cas, l'on pourra
dire que la divifion efi une opération par la:fuelle on par*
tage le dividende en autant de parties égales , quil y a
d^ unités abfolues dans le divifeur ^ pour avoir une de ces
parties qui fera nécejfairement de même efpece que le di--
indende. ^

Par exempte, fi l'on propofe de divi fer ^2 toijes
par le nombre abfolu 4> ou de trouver un nombre

Ë UJ

70 Liy. H, Ckap. IF. De la DitisioW
qui répété quatre fois produifc 32 toîfesi il eft clak
que le nombre qu'on trouvera fera la quatrième partie
de 5 2 toifes , & fera par conféquent un nombre do
tôijts. Ainfi la divifion fe réduira à partager J2 toijes^
en quatre parties égales, pour avoir une de ces partie^
qui fera 8 toijes ; mais ces 8 toifes qu'on trouvera ne
feront nommées Quotient qu'improprement, puifque
ne fignifîant pas 8 fols , elles ne répondent pas au moa
Quoties , qui iignifie eombim de fois.

3^ Lorfque le dividende & le divifeur feront tou»
deux des nombres abfolus, le quotient fera aufS ui^
nombre abfolu ; & l'on pourra appliquer à la dlvifions
les deu?z définitions particulières que nous venons de
donner de cette opération.

Par exemple, fi Ton propo.fe de divifer k nombre
^bfolu 3 2 , par le nombre abfolu 8 ; la divifion fe rén
duira, fuivant la première des deux définitions parti'
çulieres , à trouver combien de fois le divifeur 8 eft
contenu dans le dividende 3 2 qui eft de même efpece
que lui. En confidérant ainfi la divifion, le nombre ^
que l'on trouvera, & qui fignifiera 4/0M., fera le quor,
^lent proprement dit de 32 divifé par 8.

Maille divifeur 8 étant un nombre abfohi , peut
9ufli indiquer qu'il faut prendre la huitième partie du,
dividende 3 2 ; & cette façon de confidérer la divi-
fion, eft conforme à l'idée que nous en avons donnée
^ans la deuxième définition particulière.

Lorjqtu nous difans quil Jaut que le divijeuit oh le quo^,
%ien$, f(ât un nombre abflraitj & que Vun des deux doit^
^voii des unités, de même efpeçe que U. dividende , cela ne.
4oît sentevidre que d% la divifion arithmétique , & nous nt,
prétendons, point toucher à la divifion gi(tniétri§te^ > dpnt^

toBs KoMBBis iKCoaPLixii. 71

COJtOLLJLI RM II.

30 Nous avons afTez expliqué les différentes ma*
sûeres de confiderer la divi(îon, pour qu'on voye clai-
fement que le nombre des unités du quotient fera le
même 9 lorfque le dividende & le divifeur auront des
unités de même efpece^ que quand le divifeur fera un
sombre abftrait, & que les quociens ne feront différ
f ens que par la nature de leurs unités.

Far exemple, fi Ton propofe ces deux divîGons»
^2 toifes à divifer par 8 toijis, & 32 toîfes à divifec
par 8 ; les quotiens feront compofés Pun 8c Tautre de
^ unités, & ne différeront qu'en ce que les unités du
premier feront abfolues ^ de que les unités du fécond
feront des toifes.

On pourra donc, lorfqu'on aura une divifion à
laire, ne confidérer d'abord que les nombres des uni-
tés du dividende êc du divifeur , fans faire attention à
la nature de ces unités ; & chercher pour le quotient
un nombre abfolu qui indique combien de fois le
nombre des unités du divifeur eft contenu dans le
lÉiombre des unités du dividende , comme H le divi«
dende ôc le divifeur avoient des unités de même ef-
pece. Enfuite on pourra déterminer de quelle efpece
doivent être les unités de ce quotient, en obfervant^
comme nous l'avons prouvé, q'^e ces unités feront
abftraites lorfque le dividende & le divifeur feront
véritablement de même efpece, & qu'elles feront de
même nature que celles du dividende, lorfque le divî*
fcur fera un nombre abfofu. En confidérant ainfi la
divifion, U fera facile d'en déduire les corollaires
^vans,.

m)

COROLLAIRKZ III.

3 r t*. Si Ton multîpKe le dividende d'une dîvî-5
iion par un nombre quelconque, fans rien changer à
fon divifcur ; le quorîcnr de la nouvelle divifion fera
égal au quotient de la première multiplié par le même
Bombre.

Far exemple fî Ton a )2 à divifer par 85 ce qui
s'exprime aînfi^, le quotient fera 4. : ôc fi Kon mulh
tiiplie le dividende 52 par a ou par 3 > &c, fans rien
changer au divifeur 8; on aura ces nouvelles divi*
$OR5 X9 T'9^^9 ^^^^ lesquotiens 8, 12, &c feront
^aux au. premier, quotient 4 multiplié par 2 ou par j^
4sc« Car il eft évident qu'un divifeur confiant eft con-
tenu deux fois davantage dans un dividende double ^
jiroisr fois davantage dans un dividende triple, âcc.

2°. Et réciproquemment fi Ton divife le dividende
£'une divifion par un nombre quelconque , ûinsriea
changer à fon premier divifeur; le quotient de la
aDouvelIc divifion fera égal au quotient de la pc&^
jpîiere, divifé par le même nombre. '

Par exemple, G Tonap^ à divifer par 8 , c'eft-à-
iîiic X dont le quotient eft 12 , & qu'on divife le
4ivideode $6 par 2 ou par 5 ^ &c ; Ton aura v^es nou'-
velles divifions x> t» *^» ^^^^ ^^s quotiens 5, 4, &c,.
feroqt égaux au premier quotient 1 2 divifé par 2 ou^
par J ji &c; car en^divifant le dividende par 2 ou par
^ , ^c, on te rend deux fois ou trois fois, &c, plust
petit q^i'il n'étoit: ainfî le divifeur conftant 8 doit y
écra conrenu deux fois, ou trois fois, &c> moins qu au-^
paravant ; Sç par conféquent le quotient doit être deux
fois ou trois fois, ScCy moindre que le premier quotient^

«çft-à^dirç égale au ptçmier quQtiew divifé p« a oi^
par i I ^Ci

.K.'-T.

>IIS NOMB&ES IMCOMYLIZSi; 7|

CoMOZZJt ZM M IV.

52 1^ Si Ton multiplie le divlfeor d'une divifioff
par un nombre quelconque , fans rien changer à foQ
dividende ; le quotient de la nouvelle divifîon fera égal
à celui de la première , divifé par le même nombre qui
a multiplié le divifeur.

Far exemple , fi Ton a p($ à divifer par 8, c'eft-àr
'dire -y dont le quotient eft 12 ; & que fans rien chan«
ger au dividende p 6,on multiplie le divifeur 8 par 2 on
par 3 , &c ; on aura ces nouvelles diviGons f| $ H » &c
dont lesqootiens tf ^ 4, âcc feront égaux au premier
quotient 2 2 divifé par les nombres 2 9 3 , &:c qui ont
multiplié le divifeur. Car il eft évident qu'un divifeur
devenu double ou triple &c , eft contenu deux fois ou
trois fois moins &c dans un même dividende: ainfi
le quotient doit être deux fois ou trois fois &c plus
petit qu'il n'auroit été » fi Ton n'avoit point multiplié
le divifeur par 2 ou par 3 &c.

2^. Et réciproquement, fi Ton divife par un nombre
quelconque le divifeur d'une divifion^ fans rien chan-
ger au dividende ; le quotient de la nouvelle divifioa
fera égal k celui de la première , multiplié par le nom*-
bre qui a divifé fon divifeur.

Par exemple, fi l'on a p(S à dîvîfcr par 24 1 c'eft-à-
dire ^ dont le quotient eft 4 ; & que fans changer le
dividende ^6 , on divifé le divifeur 24 , par 2 ou par
3 &c; l'on aura ces nouvelles divi fions fi» -r» *c
dont les quotiens 8 » 1 2 , &c feront égaux au premier
quotient 4 multiplié par les nombres 2 , 3 ^ &c qui
ont divifé le divifeur; parce qu en divifant un divifeur
par 2 ou par 3 &€ , on le rend deux fois ou trois (à\%
&c plus petit; & qu'il cft évident qu'un divifeur 2 fois
ou 3 fois &c plus petir^ cft contenu 2 fois ou j foi^&ç
ddY«atage dans un mcm^ dividende^

jj. LtK^ Il Qup, W, Db la DiTidoMb

3^ i^ Donc & Ton multiplie le dividende & ^
divifeur d'une dividon par une même quantité ; le
ijuotienc de la diviiion du nouveau dividende par Iç
nouveau divifeur, fera le même que le quotient de
la première divifioiK

Par exemple^ fi on a ^2 à dîvifer par 8| c'eft-à^
dire ^' dont le quotient eft 4, âc qu'on multiplie le di-
vidende & le divifeur par 2 ou par 3 ou par une même
quantité; Ton aura ces nouvelles divifions fj, f|^i &o
qui auront le même quotient 4 que la première divi«
fion. Car en multipliant le dividende & le divifeur
d'une divifion par une même quantité ^ le quotient de
la première divifion eft en même temps multiplié Se.
divifé par cetce même quantité (No. 3 1 & j 2.) & ne
change par conféquenr point de valeur.

2. Si Ton divife le dividende & le divifeur d'une
divifion par une même quantité , Te quotient de la
nouvelle divifion fera encore le même que celui de
la première divifion ; puifque par cette opération Ton-
divife & Ton multiplie également le quotient de la
première divifion (No. 3 i & 3 2.).

Par exemple , fi Ton a p(5 à divifer par 24^, c'eft-à-^
dire f|^dont le quotient eft^, & qu'on divife le di-
vidende p (S & le divifeur 24 par 2 ou par 3. ou par une
même quantité quelconque ; Ton aura ces nouvellesL
divifions ^f , -y» &c qui auront toutes le même quQpr
(icpt 4 , comme la première divifion ||«

Co RazLjii^Rs y h

5 4 Lorfqu'un dividende doit être divîfé par u» divt-
ieur çompofé de plufieuis faâcuts mulcij^liés eafeugj}^^

9JiS NOMBRKS IKCOMFLiXlir. ^f

•u lieu de dlvifer le dividende par le divifeur compofé,
on pourra le divifer par un faâeur du divifeur ; puis,
divifer le quotient de cette divifion par un fécond fac«
leur du divifeur i & continuer toujours de divifer le
pouveau quotient par un nouveau fadeur du divifeur^
jufqu'à ce que Ton ait divifé par tous les fadeurs. La
dernière diviGon étant faite , le dernier quotient fera
le quotient de la divifion du dividende par le divifeuc
Compofé«

Par exemple , fi Ton doit divifer $40 par le di«
Tifeur compofé 3x5x7; ce qu'on peut exprimer
ainG j^^ i au lieu de faire le produit des trois fac--
teurs 3 , 5 1 7» & de divifer enfuite par leur produit
105 , le dividende 840 ; on pourra divifer d'abord
840 par $1 ce qui donnera 280 pour un premier
quotient; puis divifer ce quotient 280 par 5 , ce
qm donnera $6 pour un fécond quotient ; Se divifer
çnfin ce quotient 5 d par 7 « ce qui donnera 8 pour le
dernier quotient qui ne différera pas de celui qu'on
auroit eu en divifant 840 par le produit 1 05 dea
Q:ois f afteurs 3 » $9 7*

Car ^ *^x7 ' îcpréfentant la divifion de 840 par
3 X 5 X 7, fi l'on divife le dividende 840 & le divi-
feur 3x5x7 par le même nombre 3 jt la nouvelle
diviGon ~ aura le même quotient (N^. jj.). Si Toa
divife encore le nouveau dividende 280 & le nou-«
veau divileur 5x7^ par le nombre 5 ; la divifion ^ qui
feflera à faire, aura encore le même quotient (N0.3 3.)«
Donc en divifant 840 par 3^ de le quotient de cette
4ivifion par 5, & divifant encore le nouveau quotient
par 7, on aura le même qupiient que Ton auroit e^
^Xifm 9iO par îç ti^yi^cm compofé i^^i^l^

Averûffement.

3 y Nous fuppofcrons dans la fuite , qu'on fçaît
divifer roue nombre moindre que ço par tout aucre
Dombre moindre que io« Ceux qui ne font pa^ alTez
exercés; dans la diviGon pour trouver aifément lesquo-
tiens & les reftes de toutes ces divifions , pourront
avoir recours à la Table de Pythagore (N®. 21.) donir
Toici Tufage.

On cherchera au haut de la table le nombre par
lequel on doit divifer; puis on defcendra vertica^c-
xnent îufqu'à ce qu'on trouve le nombre que Ton doit
divifer, ou un nombre plus petit qui en approche le
plus ; & allant de ce nombre vers> la gauche de la ca«
jble» on trouvera vis-à-vis dans la première colonnfr
verticale , le quotient delà divi£on.

Suppofons qu'on veut d»vifer 72 par 8. On pren^
'dra 8' au haut de la table, & Ton defcendra verticale--^
ment jufqu'à 72 ; puis allant de 72 vers la gauche d»
la table, on trouvera vis-à vis dans la première celoQ"*^
lie le quotient p que Ton demande.

Suppofons maintenant qu*on veut dîvîfcr 64 par 7*#
L'on prendra 7 au haut de la table, & defcendant ver-
ticalement au-defTous de 7, on ne trouvera pas 64».
mais <>3 qui ell plus petit &qui en approche le plus;,
on s'arrêtera donc au nombre 63 ; cSc allant de 6 5 vers
la gauche de la table, on trouvera vis-à-vis dans la.
première colonne, le nombre ^ qui ne fera que le quo-
tient de 6 j divi é par 7 : & comme c'eft 64 & non 6}
qu'on a propofé de divifer par 7^ la diviUon auraua
lelle i. qui ne fera pas divifiL

S^IS NOMBIIKS IKCOM»X.lZlf; j'^

PROBLÈME.

^u Divifer un nornbnpar un autre nombre repréfinti
far un ftul chiffre.

On divifera toutes les parties du dividende par le
divifeur, en commençant la divifîon par celle des
chiffres dont les unités font du plus haut degré. Sup«
pofant, par exemple, que le dividende eftcompofé
de trois chiffres» d'unités JîmpUsj de dixaines &, de
etntaints ; on commencera par divifer la partie def
centaines qui pourra être partagée en autant de parties
égales que le di vifeur aura d'unités-Enfuite on réduira
le reffe dts centaines en dixaines , & les avant ajoû«
tées avec les dixaines du dividende , on divifera en«^
core la partie des dixaines qui pourra être partagée ea
autant de parties égales que le divifeur aura d'unités.
Enfin Ton réduira le refte des dixaines en unités Jim^i
pies j pour les ajouter avec les unités Jimples du divi--
dende & divifer le tout par le divifeur.

On voit par cet expofé qu'on aura autant de dîvî-
£ons particulières à faire, que de parties différentes
du dividende à divifer ; & qu'il faudra par confé-
quent écrire autant de quotiens particuliers^ qu'oa
aura de di vidons à faire.

Pour rendre plus fenGbles les opérations que nous
venons dVxpofer en général, nous allons les détaillée
dans quelques exemples.

Ex M M F LM jPXSMIMR.

On propofe de divijer 5 ja par 4.

On écrira le divifeur à la droite du dividende, 8t
les ayant féparés par une btrre verticale ou par un
fcrochet ; on tirera fous le divifeur une bacre au-deiTous

•7? Lîy. IL Chap. IV. Db t a tJivisiôif

de laquelle feront écrits les chiffres du quotient à mé^

fure qu'on les trouvera*

8 1^ juorîent it là

ttfit it u i^n i:mfionr *'''• ^'^î^^«

Le dividende & le dîvifear étant ainfi difpofés, on
commencera à divifer les p centaines par 4; en difant i
la quatrième partie de p centaina eft a centaines ; ou
plus Amplement, la quatrième partie de 5) eft 2 qu'otl
écrira au quotient dans une place qui fera celle des
centaines.

Pour détermmer la partie de ^ qu^on a divifée Si
trouver le refte de la divifion ; Ton multipliera le divi-
seur 4 par le quotient 2, ce qui produira 8 que Ton
écrira au-deflbus de p ; puis on retranchera 8 de 9 , &
le refte 1 que Ton écrira au-defTous fera la partie dtsp
centaines qui n'a pas été divifée par 4.

AbaiiTant à la droite du refte i des centaines les
^5 iixaines du dividende , on aura i f iixaines à divi«
fer par 4; ainfi Ton prendra la quatrième partie de
ces 1 ^ iixaines^ qui ne peut être que 3 iixaines avec
im refte.

DivUenie s^p (_L *^'^«"'

8 I23 quotient ies deuM

~ premières divijioiu

12
tiefie ie la 2\ iivifion 3

On écrira donc 3 au quotient à la place des
'iixaines^ c'cft-à-dire à la droite des 2 centaines
qu'on a èaiies pour le quotient de la première di^
vilîon.

efl NOMBKCS tVCOMPZ.lXXft ff

Il faut maintenant déterminer la partie des 15
iiîxames qui n'a pas été divifée. Pour cela, on mul-
tipliera le divifcur 4 par le quotient 3 , ce qui pro«
duira 1 2 ; & ayant écrit ce produit 1 2 au-deflbus des
15 dïxaints fur lefquelles on opère aâuellement, on
le retranchera de 1 ^, ce qui donnera 3 dixaints pour
le refle de la dividon^ ou pour la partie des i^ àixaU
nés qui n'a pas été comprife dans la divifion.

Le refte 3 de la divifion des i $ dixaints j étant écrîl
au-defious des dixaints , on abaiflera à fa droite les
2 unités du dividende, Ôc Ton aura 32 unités Jim^
plts à divifer par le même divifeur 4. On prendra donc
la quatrième partie de 32 ; &'c^mme on fçait qu'elle
cft 8 > on écrira 8 au quotient dans le rang des unîtéi,
JimpUs, c'eft-à-dire à la droite des 3 ^xaints.

8 \a38 fiotUnt cnîiHi

3a

IPour connoftre fi cette dernière divifion n'a point
de refte, on multipliera le divifeur 4 par le quotient 8
que Ton vient de trouver, ce qui produira 32 pour la
partie des unités qu'on vient de divifer : ainfi écrivant »
fi on juge à propos, ce produit 32 au defTous des 3 a
unités qu'on avoit encore à divifer, & ôtant l'un de
Tautre , il ne refiera rien ; ce qui affure que la divifion
n'a point de refle , & que le divifeur ^ eft contenu 23 8
fois dans 5^52*

jtô Ziif,U.Chap.iy.Ds t.A.Djvttioif

ExmmpzmIL ,

On propofe de divijer 726^ par p.

Le diTidende âc le divlfeur étant difpofés comme
dans le premier exemple ; on divifera les unes après
les autres toutes les parties du dividende , en com-
mençant par les mille ^ de paflant enfuite aux antaines^
puis aux ilxaines 6c aux unités.

Diviiinie 726^ T J^^^'f"^

72 i- 8 quotient

Premier rejle o

1 ^. Comme le premier chiffre 7 ne peut pas être
'divifé par 9 , on le joindra au chiffre fuivant, & l'on
aura 7a à divifer par 9 ; & comme p y eft contenu
buit fois, on écrira 8 au quotient dans une place qui
fera celle des centaines.

Pour avoir le refte de cette première divifion , Ton
multipliera le divifeur p par le quotient 8 ; & ayant
écrit leur produit 72 au-deffous de 72 qu'on vient
de divifer , on retranchera Tun de l'autre ; Se comme
il ne rcftera rien , on écrira au-deffous un zéro qui
marquera que la diviiion de 72 centaines par p , doimo
exadement 8 centaines pour quotient, fans aucun
reAe.

Dividende 7264^^ *"'>«''

72 ^ 80 quoticns

Second refte, o€

20. On abaiffera à la droite du zérOj \t^6dixames
du dividende pour les diviser auiE par p ^ & comme

cela

ytti NOHBRXS iyCOJIPLBxES. 9i

a'eft pas poffible , on écrira au quotient un zéro
à la place des dixaines, pour marquer que le quotient
ne contiendra point de dixaines : & le <» que Ton vient
d'abaifler, &qui n'a pas pu être divifé, reftera pour la
divifion fuivautct

Dividende 72^4/-^ ^'''">'"

72 \^^7 fuotienê

064.

Dentier ufli de la divifion i

5». On abaîflcra les 4 unîtes du dividende à la droite
des 6 dixaines que l'on a de reftc, ce qui fera 64 unités
qu'on di vifera par p ; & comme on trouvera que p y
cft contenu 7 fois , on écrira 7 au quotient à la place
des unités : Se la divîfion fera faite , relativement au
quotient que l'on demande ; puîfqu'on aura trouvé
tous \ts chiffres qui le compofent : mais il fau-
dra encore déterminer le refte de la divîfion. Pour
cela on multipliera le divifeur p , par le dernier quo-
tient 7 ; & le produit 6^ étant écrit au-deffous de ^4 ,
& cnfuitc retranché de 6^ ; on aura i pour le reftè
de la divîfion.

Le dividende 72^4 étant dîvîfé par le dîvîfeur p ,
donne donc 807 pour le quotient, avec un refte i qui
n'a pas été divifé ; enfone que 807 n'eft le quoticnî
cxad que de 72^3 divifé par p,

P RO BLÉ ME.

37 Dîyî/er un ncmhn far un âutn n^mlre twnfofi
dt pUifieurs chiffres.

La divîfion d'un nombre par un autre compofé dt
plufieurs chiffres, fefait delà même manière que celle
Arithmitîq^UÊ^ . £

ta Ij^.U.Chip.iy. Pb li Divtsiotf

doot le dtvifeur n'a qu'un chiffre* L'on divife par 14
divifisur chaque partie du dividende» qui peut être par*
tagée en autant de parties égales que le divifeur con*
ttf^nt d'unités. Puis ayant écrit au quotient le nombre
de fois que chaque partie du dividende contient le dit
vifeur ; on multiplie le divifeur par les chiffres du quo-
tient à mefure qu'on les trouve , de Ton écrit les pro*
duits fous les parties du dividende que Ton divife ac-
tuellement. Enfuite on retranche ces produits des pax«
lies du dividende , Se Ton écrit les reftes pour les divi«
fer conjointement avec les parties fuivantes du divi*»
dende. On va faire l'application de cette règle dans

les eicmples futvans.

EXM MPLJP PXMMIMM.

On propofi iê divifer 1728 par a88«

DiyidtfuU I7a8(^ ^'''«^•^''

1728 1 ^ fuatiinê

Refit o

Le dividende Se le divifeur étant difpofés comme
dans les exemples du problème précédent ; on propo-
fera d'abord de divifer les trois premiers chiffres du
dividende qui valent 172 dixaintSy par les trois chif-
fres 288 du divifeur ; & comme cela n'eft pas poffible,
on prendra tous les quatre chiffres 1728 du dividen-»
de, pour les divifer par 288. Mais n'étant pas facile
de voir tout d'un coup combien de fois 288 eff con«
tenu dans 1728 ; on abandonnera pour un moment
les unités Se les dixaines du dividende âcdu divifeur»
te Ion cherchera combien de fois ks 2 centaines
du divifeur font contenues dans les 1 7 centaines du
dividende, c'eft*-à*dire CQmiMen de fois 2 efi contenu
llans ij.

On trouvera d'abord qu'il y cft 8 fois j mais cOmin«
les dixaines & le3 unités ^u divifeurne font pas conte-*
nues huit fois dans les dixaines & les unités du divi-
dende ) oa n'écrira pas pour quotient ce tK)mbre 8 qui
marque le nombre de fois que les 2 centaines du divi-
feur font dans les 17 centaines du dividende, 8c Voa
prendra mu nombre plus petit, afin qu'il refte quelques
centaines qui jointes aux dixaines du dividende , puif-
fent contenir les dixaines du diviieur, le nombre de foii
.^'on aura écrit au quotient.

Comme il eft difficile de voir d'abord au jufte le
vrai quotient que l'on doit écrire ; on commencera
par prendre , fans les écrire , différens quotiens coa-
xinuellement plus petits d'une unité que celui qui
exprime combien de fois les a untaines du diviieuc
Xbnt contenues dans les 17 centaines du dividende^
jufqu a ce que l'on foit parvenu à un nombre dom le
produit par le divifeur entier» ne foie pas plus ,gran(|
^ne le dividende»

En diminuant atnfî continuellement le premicfi
^otient d'une unité « l'on trouvera enfin le nom«
bre 6 ^ui n étant pas trop grand pour le quotient,,
fera mis à la place que l'on defiine au quotient*
Enfuite on multipliera le divifeur entier 2SS par Ip
4)uotient 5 ; & les chiffres du produit étant écrits 4
mefurequ on les trouvera.» fous les çhifires correfpon*
dans du dividende^ l'on xetranchera ce produit du
dividende.

Comme dans le préfent exemple ^ la fouftraftion
ne donne point de relie; ct& une marque que lo
divifeur 288 eft coi^tepn 6 fois cxaâemem dans 1^
dividende i7a8«

Fî|

S^ Lw.Il.Chat. IV. De £▲ Ditmiôv

E X M M PIS IL

On propo/e de iiviftr 4571 1 12 /^ar 8^7.

448? *-S «««"<"*

Premier refit 86

!•. Le dividende & ledivifedr étant difpofés corn-
fne nous l'avons déjà^dic^ & les trois chiffres du dîvi-
feur^ faifant un nombre plus grand que les trois pre-
miers chiflFres de la gauche du dividende ; on prendra
un chiffre de plus dans le dividende, c'eft-à-dire qu'ion
prendra d'abord 4-571 ^Ult pour les divîfer par 8p7,
fans faire aucune attention aux centaines, aux dixaines
8c aux unités du dividende, qu'on divifera enfuite avec
ce qui reffera de la divifîon des milU.

Comme on prendra dans le dividende un chiffre de
plus qu^il n'y eh a dans le divifeur ; les 8 centaines
du divifeur répondront aux 4J centaines de miUt du
dividende : ainfî l'on cherchera combien de fois 8
centaines font contenues dans 45 centaines. Comme
on trouvera qu'elles y font contenues y fois avec un
reffe 5 centaines dem/Uf , qui étant joint aux dixaines
de milU^ donnera un nombre fuffîfant pour contenir
auff] y fois les dixaines du divifeur; on écrira aaquo«
tient ce premier chiffre y qui repréfentera y mille.

Pour avoir le rcfte de cette première divifion, foa
multipliera le divifeur 897 par le quotient 5 ; & ayant
écrit les chiffres de leur produit 448 y, à mefure qu'oa
les aura trouvés, fous les chiffres correfpondans 457 c
du dividende ; on retranchera ce produit du divi*
dende , & Ton aura le premier relie 8 6 qu'on écrira
au-deffbus.

DBS NOMBESS INCOMPLBXBS. Sf

U?. L^on abaidera la centaine du dividende, ie.
l'ayant pointée pour marquer qu'elle cft abaiflee, on
la placera à la droite de 86 reftanc de lopération pré-
cédente ; ce qui fera 85 1 ctntaints^ ou plus fimplc-,
ment 86 1 > (i Ton ne fait point attention aux dixaines .
& aux unités du dividende, dont il n'eft point encoro
iqucfiion.

448 c <50 quotUrU

Second rejle 861

On fe propofera donc de dîvifer S6i par 857 ; âc
comnie cela ne fe peut pas, on écrira au quotienc
un zéro qui marquera que le quotient ne doit point
contenir de centaines.

3^. Le nombre S6t xpi fîgniiîe 861 centaines y
n'ayant pu être divîfé par 897 dans l'opération pré-
cédente, eft rcflé tout entier pour être divifé con-
jointement avec les dixaines du dividende ; on poin«
fera donc \didixaine du dividende & on Tabaiiïera à
la droite de 86 1 , ce qui donnera 8611 dixaines que
Ton divifera par 8^7.

n- -j j * ' J 897 dtvijiur

Vmdende 4<iiii2] — - —

448 j ^509 ««^^««^

8611
807?

TrûlJIéme rejle 538

Comme il y a un chiffre de plus au nouveau rfivî-
«lende 861 1 qu'au divifcur 897 ; le chiffre 8 du divi-
fcur répondra aux deux chiflFres 86, & fera contenu

10 fois dans leur valeur avec un reflc. Mais ou ne

F* • •
iij

«^ LW. It Châp. IV. Ds lA Utritt^K
pCQt jàinaîs mettre qa^une figuœ à kr fek- dsns le qm>^
tient : emfî Ton ne prcncfra que p pour îe nombre dte
fOfs qtit 85 H contient 85^7, & Ton écrira aa quoficnt
ce nombre p à la pface ét$ dixaine*, c'cft à-dkeà ta
cHrotte dtes jo cfnwwrei^ q« ji y font déjà.

Pouf aroir le relie dfe cette dîvifio», on muirrpîîera
le divifeur 897 par le nouveau quotient p ; & tes cWf*
fres du produit 807^^ étant écrits fous le dividende
86 n "a mefure qu*on les aura trouvés , on retranche-
ra ce produit du dividende qui fera au-deflus ; Se il ^
refiera ^38 dixuAnts pou^ la divifion fvivantd

4^. Enfin Ton abaiiïera les deux unités du dividen*
de à ta droite de 5 3 8 di^amts qui relient de dopera-
tibn pféeéefente, ce qui (tM f^92 uhMè qu'il laieidk»
dWiier par 857^

X » *n

8075

mm

5j8a

Vtrmer refit oooa

Comme le iiouxfeats dividende (3 S'il âunchifire
de plus que le divifeur 8p7 ^^t chif&e 8 des centaines
du divifeur répondra aux ^3 ctmaïnts du dividende»
ic y fera contenu 6 fois avec un refle fufilfant ; on
écrira donc 6 au quotient à la place des unités ^ c^eft*»
à* dire à la droite de 509 qui fe trouve déià écrit ; &;
Ton a:ura 5 Qp 5 pour le quotient dl( 457x11^» diviiQ
par 8p7,

Four favoir fl cette dernière divifion ne douM
point de reftc i «n multipliera le divikw ^^^x pac kl

«kfBÎer quotient é qu'on vient de trouver, et Ton
écrira les chiffres du produk ^jSaa mefure qu'on
les trouvera « foils les diiffres conrefpondans du divi-
dende 5 3 8^ : pui^ on retranchera ce produit du cBvf-
<}ende ; Sc comme il ne reftera rien , Ton fera afiîué
que le dividende 457 1 1 la eft exaftement divifé par
le dirifeuf Sjf^^ te que ^op^ eft le quotient de cetca
diviiioa*

Ex s M ^LM IlL

On pr'ùpèfe dr divifcr â.39200 far 52»

DiyUendi o^jonnf 5^ ^^ÏÏ^^r

ao8 ^4 imim

Pnmîer ufie 3 1

1^. Le dividende Se le divlfeur étant difpofés com-
!me il a été dit , Se les deux chifires qui compofent le di-
vifeur 52 ne pouvant pas être contenus dans les deux
premiers chiffres de la gauche du dividende ; on pren«
dra dans le dividende les trois chiffres 235^ pour les di-
vifer par J2 fans faire aucune attention au rcftc d«s
chiffres du dividende qu'on réfervc pcmr les divifiofts
fuivantcs. Or en divifant 23P par 52, on trouYcra ^
pour le quotient^ avec le relie 31*

» •

Dividende a^oaooS .^i é^ -^

208 ^4<S! î"""*»*

ao. A^sM abàifTé le tbiffre 2 da dividende, à la droit»
«la refte % t de k diTiûon ptécédence; on aura le nom^

Fluj

1

88 LivJlCkap. IT Dm la Divisiok

bre 312 qui étaût divifé par 5a, donnera 6 pottr

quotient fans aucun refte.

50. Pour continuer la divifion fui^ant les règles
précédemment expliquées , il faudra abaifler fuccef-
£vemcnt les deux jéros du dividende ; mais comme
chacun de ces léros abaiffî à la droite du refte liny,
étant divjfé par 5 a donnera léro pour quotient ; il
faudra placer deux léros k la droite du quotient qu'oQ
vient de trouver.

Dmdende a^caoo f T^ ^^^J^^^

208 (4;6oo quotient

ooo

Ainfi le quotient total de la divilîon de 255^2041
par 52 » fera j^6oo^

PROBLÊME.

^o Divîftr un nomlre quelconque par un Mire, lor/qu^
U diyîiende ou le divîjeur contient des parties décimaUi ,
«u qu'ils en contiennent tous les deux.

La règle générale pour divifer des nombres qtti
eontiennent des parties décimales , eft de rendre les
unités du dividende & celles du divifeur de la même
€fpece» en mettant après la virgule, ou après les dé«
cimales du terme qui a moins de chiiTres décimaux
que Tautte^ autant de zéros qu^it en faut pour que le
dividende de le divifeur ayent le même nombre de
caraâéres après leurs virgules. Le dividende ôc ledi-
yifeur étant ainlî préparés , on les divifera. Tun pax

DS5 NoMBRXf INCOM?LlXlS. Sj>

Tautre fans faire aucune attention aux virgules qu'on
pourroic fupprimer & que Ton ne conferve que pour
ne point changer les valeurs du dividende Se du divi-^
feur.

Far exemple 9 fi Ton veut divifer (172^8) par
(1,44.) c'eâ-à-dire 1728 dixièmes pdLt 144 eentiéma;
comme le divifeur a un chifiFre décimal de plus que
le dividende» on écrira un zéro à la droite du divi-
dende. Ce dividende étant devenu (172,80) qui
fignifîe 17280 centièmes y aura des unités de même
efpece que celles du divifeur (I144) fignifie 144
centièmes.

Le dividende & le divifeur ainfî préparés 8c deve«
BUs(i72^8o)& (1,44) n'auront point changé de va-
leur. Le quotient de (173,80) divifé par (1,44)
fera donc le même que fi Ton divifoit (172,8) pac
(1,44).

Supprimons maintenant la virgule du dividende
(172,80) & celle du divifeur (1,44). Tous les
chifires du dividende Se du divifeur avanceront cha-
cun de deux places , Se deviendront par-là centuples
de ce qu'ils étoient, c'eft-à-dire qu'ils feront mul^
ti plies Tun Se l'autre par loo. Le quotient fera donc
(N^. 33.) encore le même que fi Ton divifoit le
dividende (172.80) par (i,44).

Donc , fi l'on écrit à la droite du dividende ou
du divifeur autant de zéros qu'il en faut pourvue
ces deux termes ayent un même nombre de figures
décimales, Se qu'après avoir fupprimé la virgule du
dividende Se celle du divifeur, on divife le nouveau
dividende par le nouveau divifeur ; on aura le quor
tient demandé.

Puifque la divifion des quantités qui contiennent des
parties décimales par des quantités qui en contiennent au£t.
Je réduit à la diyîfion £un dividende qui na point de déci^

^(9 Liy.IL CkAf.lV,ï>n isk DiiTMioir

mali9 pÉT un iiwifeur qui nen m point mn plus, fir qu€ imBI
avom donné uffi\ à'txemfitsie otttt Myifioni nouspowom
mus d^pd^et d^eh doitmt de se dernier ProbUme.

RE MARQUE.

Lorfqu'on a réduit le dividende & le divîfear à det
UDÎtés et la même eipcfcie ^ en leoi donnant à châcuik
le mimé nombre de figures dicitùalisy de qud Ton fah
la AriGtàn comme fi le dividende Su le divifenr nV
voient point dt parties décimales i on trouve des qao^
tiens qui font compofés d'unités fimples ; maïs H n'ai^
five pa^ toujours qùt le divifeur foh c'omemi dans le
dividende an certain nombre de fois fan^ refle : àt
dans ce cas » Ton peot être obligé de réduire en dé^
cimales la partie de fois que le divifeur eft dans ït
dividende. Souvent cette partie de fois fe peur ezprî-
Bler exftftemenc par des chiffres décrmaupc ; maii le
plus ordinairement i) faudrbit des cbiffres décimaot
à l'infini pour donncii une expreffioû exafke du vrai
^uiodiem* Ton» eesdifierens cas vont être éclaircis
dàa$ le Problâme fuivant > ôh Ton Aappo^fera que le
dividende a Coujout s des parties diciitiales âc que le
ëivifeur n en à poisc ; Sç dans le cas on >e divMetm
aura des parties décimales , on le réduira à un divi«
feur fan^ décimales y en dôniiant toujours au divîden«
de autant de déciteales qu^on voudr»^

PROBLÈME.

»

39 J^ivifir un nombre qui a des parties déeîfhaleSf pa9

un divijeur qui nen a point.

On dtvifera le dividende par lef diviftfur, comme
fi le dividende i^'avoit point de parties décimales : âc
lorfque le quotient fera trouvé ^ on en fépaicia» par

vue vlrgirfe ^ lutMt ât €iàSkt^ cfiédmau qu il j ^^
aura dans le divkledck.

Sf Vm ptôpâji i§ Mpifir (7p>59> pat û^.

Dmdendt 7^,58/^ ^^'^

^9 ^3>1^ î'^^'

10 î

J?JL

1 2 38

t3«
oôo

Oadmfera (7^95)8) par 23 » comme fi Too avoFc
à ilivîicr7p58 par 23 : & ayant trouvé 346 pour le
qjuocicDt; on plaoera dans ce quotient une virgule qui
eaféparera deux chîâres décimaux; êc Ton aura (3i4<$)
pour le quotient de (7p»(8) divifé par 23.

La rai/oQ de cette opération eA facile à cohoe^^
voir: car le nombre (75)958) qu^on propofé dedi-
vifer» figmfie 7p 5.8 centièmes^ Se le divifeur a } ligni-
ne qu'il faut prendre la vingt-troiiîéme partie de ce
dividende 75) 5 8 centièmes. Mais une partie d'un nom-
bre dont les unités font des centièmes , ne peut avoir
pour unités que des umiémes : ainii le quotient ^^6,
qu'on trouve en divifant 7958 centièmes , par 23 »
ne peut avoir pour unités que des centièmes 9 & ne
doit iignifier qoe 34^ cmtîémes ; d'où il fuit que cha«
que chiffre de C9 quotient dote erre reculé de detut
ptaces I ce que Voa fsit par uns virgule qui en iépare
és^ai décimales^

Il eft pcuc-êtrc plus Gmplc de démontrer le Pro-
blême & fon exemple comme il fuit.

Lorfqu on ne fait point attention à la virgule da
dividende (7p,ç8) fiç qu'on divifc 7958 par le divi-
feur propofé 23 ; Ton divife un nombre centuple du
dividende propofé : ainC le quotient qu'on trouve eft
centuple de celui qu'on doit trouver Ce quotient doit
donc être réduit à valoir cent fois moins; 8c c'cft
ce qu'on fait (No. 3.) en y plaçant une virgule qui a
deux chifires à fa droite.

PROBLÈME.

4® Dîpîfer un nombre quelemjuef par un iiviftur qui
na peint de décimales; & pouffer la dipifion jufquâ ce que
le quotient ne dJjfere pas du vrai quotient exaS, d'une unité
décimale de tel ordre quon voudra.

Ayant placé une virgule à la droite du chiffre des
unités fimplesdu dividende propofé; on mettra à la
droite de cette virgule des zéros > jufqu'à ce que la
place des décimales du dernier ordre de celles qu'on
veut avoif au quotient, foit remplie.

Le dividendr: étant aînfi préparé, on ledivîferapar
lèdivifeur, comme s'il ne contenoit point de déci^
maies; & l'on mettra enfuite dans le quotient une
virgule qui en féparera autant de décimalesi qu'il y en
aura dans le dividende préparé.

E X MM PZM,

On propofé de dtpi^r (10^,2) par ) 3 & ^f trouver un
quotient qui ne dfjfcre pas d'un millième , du quotient exaS
qu'on trouveront , fi la divf/îon poupoit Je faire Jans rejle.

Comme le dividende propofé ne contient en dé-
cimales; que des dixièmes ; on écrira de faite à fa droite

DES NoitBBXS IKCOM?LlSXVS. >f

deuT zéros pour remplir la place des centièmes 8c des
millièmes ; parce que Terreur du quotient devant erre
moindre que i mUiéme , la divifion doit être poufféc
jufqu^aux mUUémesm

Le dividende ainfi préparé^ Ton aura (10^,200)
àdivifer par 3^ ; de faifant la divifion comme il a
été dit dans le Problème précédent , en ne confîdé-
rant point la virgule du dividende ; on trouvera le
quotient }127 qui ne doit rcpréfenter que dtsmilUé^
mesi puifque Ton a divifé des milhimes : ainfi ce quo«
lient doit être (5iia7>

DiriÀenii

99 ^^*

33
lay

dîvt/èur
qu9tUni

4.2

3?

5>o
66

A40

m

2^1

9

Comme H n'étoît pas poffible de mettre une unité
<fe plus dans le quotient JI27, fans le rendre trop
grand ; Se que cette unité ne feroit que i millième ; il
cft évident que le quotient (3*127) qu'on trouve ,
quoiqu'il ne (bit pas exaft , ne diffère pas du vrai quor
dent, de la millième partie d'une unité.

III Lb.IZ.<%4p. ir. De LA DivistciT

PROBLÈME.

é^ I Diyifer un n&mhre quelcmque par un dipifeur plut
grand que le dividende ^ & poujfer la dipijîonjujqui ce que
te quotient ne iîffirepasdu quotient exaS^ dîune unité dici^
malt dt tel ordre quon poudra.

Si le divifeur . n'a point de parties décimales ; on
écrira à la droite du dividende^ autant de zéros qu'il en
faudra pour que la place des décimales du dernier or-
dre de celles qu'on veut avoir au quotient^ foit remplie.

Mais fi le divifeur contient des parties décimales;
on fupprimera fa virgule , Se Ton reculera celle du
dividende vers la droite , d'autant de places qu'il 7
avoit de chiffres décimaux dans le divifeur : enfuite
on écrira à la droite du dividende autant de zéros qu'il
en faudra , pour qu'il 7 ait à la droite de la nouvelle
virgule autant de décimales <pion veut en avoir au
quotient.

Le dividende & le divifeur étant ainfî préparés, on les
diviferalun par l'autre > comme s'ils n'avoient point
' de décimales.

Comme le quotient doit avoir autant de décimales
que le dividende; & qu'il pourra arriver que ce quo-
tient aura moins de figures que le dividende n'aura de
décimales ; l'on fera obligé , dans ce cas de mettre
aflez de zéros à la gaqçbe du quotient qu'on trouvera^
pour qu'il ait autant de figures décimales qu'il 7 en
aura dans le dividende préparé ; Se a7ant placé uae
virgule à la gauche de ces zéros qui compléteront le
nombre des figures décimales du quotient, l'on mettra
encore à la gauche de cette vigule un nouveau zéro »
pour tenir la place des unités.

Exemple p r e m i ek.

Onpropofe dt dîvifer le nombre 2 par 1 8p, & de poujfer.

l

la àmfion jufquà et aue le quotient ne diffère pas du quotîeni
exaS^ de la cenc-fnilliéme partie Jtune unité.

Ayanc placé une vitgaXt à la droite du nombre 2
qu'on doit di vifer i Ton écrira cinq zéros à la droitir
de cette virgule , afin que la place des ^ent-^mlliém^
foit occupée ; & l'oo aur« (2,00000) à dîvi£er pac
le divîfeyc 1 89.

Dijfidende a,ooQOoJ 1 ,.. , ^ . •'

I 89 iO|OiOj8 quotient

IIOO

P4Î

lyjo

Refle 38

Le dividende étant aînfi préparé tans toucher aa
divifeur 1 89 , parce qu'il ne contient point de dé-
cimales; on divifera le dividende (i^ooooo) pat
189, comme fi ce dividende ne cont^noit point do
décimales» êc Ton trouvera 10^8 pour le quotient*
Mais comme on n'avoit que des cent-millièmes à divifer
par iSp, le quotient 1058 n'aura pour unités que
des cent-miUiémes : ainfi il faudra que fon chiffre 8
de la droite tienne le rang des eent^milliémes ^ âc foic
par conféquent à la cinquième place à la droite de fa
virgule. On mettra donc un zéro à la gauche du quo-
tient 1058, avec une virgule à la gauche de ce zéro;
afin que ce quotient ait cinq figures décimales comme
le dividende. Enfin Ton mettra encore un zéro à la
gauche de la virgule, pour tenir la place des unités ; 8c
Ton aura (0,01058) pour le quotient de 2 divifé pac
189. En opérant ainfi , la divifion fera pouffée jufqu'à
ce que le quotient ne diffère pas du quotient exaâ de
^ eent^miUiéme.

1^^ Lh.IL Chap.IF. Dé la Ditisiox

E X M M P ZM IL

On propoji de iivifer (0,02 y) par (l jSp) & de pouffer
Ul diyiftonjufquà ce que le quotient ne diffère pas du qu<H
tient exaS d*un millionième.

Supprimant la virgule du divifeur » on reculera de
deux places vers la droite la virgule du dividende ,
parce qu'il n'y a que deux chiâFres décimaux au divi-
feur. Le dividende & le divifeur feront ainli multi*
plies par 100 (N^. ^0»^ ^^ quotient ne changera
point de valeur (N^. 3 3.)* ^^ divifion fera donc ré«
duite à celle de (002,; ou 2,^) , par iSp.

Comme il faut pouffer la diviûon jufqu'aux mUio'
mimes qui font des décioMiles du ûxiéme ordre , lef-
quelles doivent occuper la (ixiéme place à la droite
de la virgule ; & que le dividende (2» 5) a déji une
décimale à la droite de fa virgule ; on écrira encore
cinq zéros à la droite de ce dividende» pour lui
donner (îx chifires décimaux ; & Ton aura

1 89 10,013227 qitotiaa

$67

37«

520

li(20

Refie 5*7

La divifion étant faite, on aura 15227 pour le
quotient : Se comme on a divifé des millioniému , ce

quoticQC

bXf MOXBRVS IKCOHlPLEtSt; p7

tjuotîenc comptera des millioniémis ; ainfi fa dernière
figure 7 doit être la fixiéme à la droite de la virgule*
On mettra donc un zéro à la gauche de ce quotient»
avec uue virgule à la gauche de ce zéro, & encore un
nouveau zéro a la gauche de la virgule pour tenir la
place des unités; enforte que Ton aura (0,0x5227)
pour le quotient de (2,500000) divifé par i8p , oà
pour celui de (0,025) divifé par (i,8p).

Comme le dividende (2,500000) qui fîgnifîe
2500000 miUîom^mes 5 n^eftpas exaâement divifible
par 189 ; on trouve après là divilion p7 millioniémet
de refte , qui né peuvenr plus être divifés par 189 , à
moins qu'on ne veuille avoir au quotient des décima*»
Us inférieures aux millionièmes.

Si Ton avoit voulu poufler la divifîon jufqu^auK
ctnt'miUionîémes qui font des décimales du huitième
ordre; il auroit fallu mettre encore deux zéros à la
droite du dividende ; c'eft-à- dire qu'il auroit fallu di vi-i
fer (2,50000000) par 189 : & Ton auroit eu pour lo
quotient 1 5 2275 ^ cent-milliomémes ou (0,0132275 1)
avec un refte 61 cent^mîUionîémes^

Enfin a Ton vouloit poufler la divifion à rinfîni i
on auroit (0,01 îa275i 322751 322751 GrcOpout
le quotient ; c*eft-à-dire qu'après (0,0 1 ) Ton répète^
roit continuellement les mêmes chiffres 52275 1.

Avertijfemem.

Outre la méthode qu'on vient d'explîqtJer pour !a
divîGon , & que les Arithméticiens appellent Métkoit
Italienne : Il y en a trois autres principales dont Tufage
parott plus ordinaire; quoiqu'on foit plus expofé à 7
faire des erreurs , à caufe de la plus grande attention
qu'il y faut apporter , 8c qu'il foit plus difficile d'y
trouver 8c corriger lec fautes qu'oa a faites ea Ofé^
Arithmétique. Q

.f

pÈ Ih.nChap.W T>n £A DiTisioiT

laot. Ces trois Méthodes que nous allons expC<^
quer fuccinâement, pour en donner une idée , font
làMithoit Itêliennt abrégée ^ VEfpagnole âc la Frdnçoifc^

Dm la MiTHODB Italienne abrégés.

4^ I^a Méthode Italienne abrégrée ne diffère de
celle qu'on vient d'expliquer, qu'en ce que pour renr
dire les opérations plus courtes » Ton n'écrit point les
{produits de la multiplication du divifeur par les chif-
hes du quotient, & qu'on retranche du dividende les
èhiffres de ces produits à mefure qu'on les trouve*
Uo exemple fufBra pour expliquer cette Méthode ^
ic pour faire voir en quoi elle diâFere de la Méthodq
]kalienne ordinaire.

ooo

on écrira comme on a toujours fait le divifeur à Ia[
ilroite du dividende, Se commençant la divifion par
celle des chiflFres de la plus haute dénomination ; Toti
divifera d'abord jp centaines y par le divifeur a 3 ; ce
qui donnera 3 centaines pour le quotient : ainfi I'cq
écrira 3 au quotient , dans une place qui fera celle des
centaines.

Pour avoir le refte de cette première divifion par-
ticulière des centaines; on multipliera le divifeur a»
par le quotient 3 , & le produit fera retranché du di-
«vidende aâuel 79 ; mais l'on n'écrira point ce produit;
comme nous avons fait dans la méthode précédente »
& l'on fe contentera de retrancher de 79 centainfes ^ les
chiffires de ce produit à mefure qu on les trouvera. Oii

ilîira donc : ) fois 3 font 9 ; & comme ea reciraochdnc
ce produit p, du chiJSfrep du dividende , il ne reftera
tien ; l'on écrira un sséro au-de0bus du y, Enfuice oa
dira : 3 fois 2 font 6 qu'on retranchera du chiiFre 7 du
dividende; Se comme il reliera 1 , Ton écrira i aa^
deffous du 7» Ainû en divifanc 79 ccntainu jpar dj^
Ton aura 5 cenrai^ei pour le ijuotient^ avec 10 tM'^
Uints de rede » qui n'ont pas pâ être diviféei par ^23»

Pour continuer la divilion, Ton abaiflera les f iixair
tof 5 du dividende à la droite des i o centaines rtfhntct
de la première divifion : tSc ayant 1 05 dixalnes à dtvif^.
fer par 23, le quotient fera 4 diMi/iei qu'il faudra écrî^
ie à la droite des 3 centaines que Kon a déjà. Puis pont
avoir le refte de cette féconde di vifion des dixaiaes ;
Ton multipliera 23 par 4 ; & à mefure qu'on trouvem
les chi6Frës du produit, On les retranchera du dividen«
de 105 fur lequel on opère. L'on dira donc i 4 fois 3
font 12 qu'on propofera de retrancher de ^ ; Je com-
ttie cela ell impoffiblei on empruntera i dix aine ou
Une iinicé d'un degré fupériieur 1 qui écatit ajoutée à ^
fera i $ ; & retranchant 1 2 de 1 5 , il refter a 3 qu oa
écrira fous le 5. Enfuite on dira : 4^fois 2 font 8» & t
que l'on a emprunté & qu'il faut retrancher foM <p; 6c
retranchant 5) de i o, il reftera 1 qu'on écrira au-defTous;
de forte que le reAe de cette féconde divilion fera 13*

Pour achever la divifion l'on abaiilêra les 8 unités
du dividende à la droite des 1 3 dixaines reliantes de la
diviGon précédente , & l'on aura 1 3 8 unités à divifet
par 23 ; ce qui ctonnera pour le quotient 6 tmttés que
1 on écrira à la droite des deux chiffres 34 qui 7 font
<)éjà placés* Puis pcnv avoir le reile de la diviiioo, l'on
mukipliera le cBvifeur 23 par é; de à meftirt qu*oa
tronvera \ts chifires du produit ^ on les retranchera du
dividende aâuel 138. Pour cela l'on dira 6 fois 3 font
189 qu'on propofera de retrancher de 8 ; âc comme

Cij

lod Lw.lt Ckaf.ÏÏ^.Dt Zk Di^isioîf
cela ne (e peut pas , on empruntera i iixalne ou une
unité du degré fupérieur, qui jointe à 8 fera 1 8 > & re--
tranchant 1 8 de 1 8 , il ne reftera rien ; ainfi Ton écri-
ra o fous le 8. Enfuite on dira : 6 fois 2 font 12> &
1 unité empruntée qu'il faut retrancher, font 1 3 ; ainfi
Ton retranchera 1 3 de 1 3, <Sc comçie il ne reliera rien.
Ton écrira o au-deiïbus.

Ladivifion étant faite ^ on trouvera j^6 poutl€
quotient exad de 7958 divifé par 23.

Cette Méthode efl un peu plus courte que celle quon a
précédemment expliquée ; mais eUe expoje plus que la pre^
miere à tomber dans V erreur ; parce qu'il faut fe Jouvenir
de ce quon a emprunté, pour le joindre avec le produit fui^
yant ; & quil y a deux opérations entre Vemprunt fjfr U
compte que Von en tient»

De la Méthode Espagnols.

43 ^^ Méthode Efpagnole eft afTez femblable à la
Méthode Italienne abrégée : elle en diffère cependant,
en ce que dans chaque divifîon particulière , l'on écrit
le di vifeur au-deflbus du dividende 8c le relte au-deflus.
.Un exemple fufEra pour la faire connoltre.

10
On propoje de diyifer ^^58 (3 quotient

Par zjf

«

On prendra autant de chiffres de la gauche du divi-
dende, qu'il en faudra pour que le divifeur y puiffe être
contenu : & comme dans l'exemple propofé les deux
chiffres 7p du dividende contiennent le divifeur 23 ;
on fc propolera de divifer feulement 75^ par 23.

Ayant écrit 23 fous 7P ; on cherchera combien de
fois 23 eft contenu dans 79 1 ou combien de fois 2 efl

bSf NoMB&tS INCOHPLXxli. lOX

ieontenu dans 7; Se comme on trouvera qu'il y efl coor
tenu 3 fois on écrira 3 au quotient.

Pour connoltrc le rcfte de cette première dîvifîoû.
Ton multipliera le divifeur 23 par le quotient 3 ; & à
mefure qu'on trouvera les chiffres du produit, on les
fouftraira des chinVes fupérieurs en écrivant les reftes
au-deiTus de ces chiffres fupérieurs. On dira donc : ^
fois 3 font p, qu'on ôtera du 9 fbpérieur ; Se comme il
ne reftera rien, Ton écrira un zéro au-deflus de ce p
que Ton barrera^ auffî bien que le chiffre 3 multiplié*
Ênfuite on dira : 3 fois 2 font 63 que Ton fouftraira du
chiffre fupérieur 7 , & il rcftera 1 que Ton écrira au-
deâus du 7, en barrant ce 7 & le chiffre 2 multiplié.

Par cette première opération , les 79 centaines du
i£vidende feront divifées par 23 ; le quotient fera j
centaines , Se il reliera i o centaines qui n'ont pas pâ
être divifées par 23.

Pour continuer la dîviGon, l'on prendra les J dixaî-
nés du dividende avec les 10 centaines reftantes de la
première divifion; Se l'on aura 10^ dizaines à divifec
par 25.

1
zj^3

Dividende ^^|S (3^4; quotiem

Pour faire cette dîvîfîon ; Ton écrira de nouveau îe-
divifeur 25 au-deffous du dividende lOf dixaines , de
manière que le 3 foit fous le ^ , âr le 2 fous le zéro;
c eft-à-dire que l'on reculera les chiffres du divifeur
d'un rang vers la droite. Puis on cherchera combieck
de fois 2,3 eft contenu dans loy ; & ayant trouvé qu'il
y eft 4 fois , l'on écrira 4 au quotient à la dr^te dur
chiffre 3 premièrement trouvé»

G 11)

tel lîp. Il €hâp. IF. Dh la Divisiow

Pour avoir le reftc de cette feeônde divifion, Pd«(
dira : 4 fois 3 font i d ; ft comme ce premier produit
particulier ne peut pas être retranché du chiffre fupé--
fieur 5 , on empruntera i dixaine laquelle jointe à ^
fiera i j dont on ôtera 1 2 ; & il reftera 3 que Ton écrira
jU'deffus de 5^, après avoir barré ce ^ & le 3 muttiplié.
puis on dira : 4 fois 2 font 8 » & i que Ton a emprunté
font 5^9 que Ton retranchera de 10 ; & il refiera 1 que
Ion écrira au-deflus du zéroi après avoir barré 10 As
)e 2 multiplié.

Par cette féconde opération , les 105 dixaines fc-ï
font divifées par 23 ; le quotient fera 4 dixaines , Si
il refiera encore 1 3 dixaines qui n^o^it pas pu ètro
^ivifées par aj.

Pour achever la divîfioo propofée, Ton joindra le*
1 ) dixaines réftantes avec les 9 unit^j 9^ Ton nxxt%
,î 3 8 unités à divifçr par 2 j.

Pour jfaîre cette dernière divifîon , Ion écrira con^
ine on a déjà fait, k divilêur 23 au^deâbus du nou*^
Tçau dividende 1 3 8| en reculant fes chiffres d'un raj^ig^
vers la droite, enforte que le } foit fous le 8. Puis ayant
^rpuvé que 23 efi ^ fois dans 1 3 8 , & ayant écrit 6 au
quotient à la droite d^ 34; Ton muttlpliera le divijfeuc
9 3 par fi : & à tuefure qu on fera le produit de la mu^
^Ipliçatioa d'un çhi^o du divifeur par 6 , on le re^.
fr|ncbera^ du chiffre fupérieur, comme dans les dçuif^
ç^ératipos précédentes* hts produits particuliers qui
çptnpofent celui <te 5^3 par <>, étant ôtés de 138 J^
%\ Vie rçltera tlea^ Mw 3,^6 fet% Iç Ouçti^^ ç^g,^

Celte Méthode a le mime ÎRcowesirRr qut là prM^
dente ; & comme elle 4 ife f In j un tmhanûs de ekfires
difpofés fyramidaUment ; il tfi difficile {y reeonnoUre df,
de corriger Us fautes quon peut avoir faites.

Dm la Métkobx Faançoisb.

44 ^ Méthode Françoife reflemblc i la Méthode
Éfpagnole , pac la difpofition du dividende & du di-
vifeur > & paf la façon d'écrire les reftes des divifiam
particulières au-deflus du dividende ; mais elle oa
diffère en ce que l'on n emprunte point. Un exemple
£affiia pour faire connoitre cette Méthode.

i

On propùjt de divifer X^ï62 (S fuotieni

Par i%

Comme le divifeur 98 n'eft pas contenu dans les
deux chifires 84 de la gauche du dividende, on fe
propofera d'abord de divifer \ts trois chiffres 841 de
la gauche du dividende, c'eft-à-dire 841 centaines
j)ar p8. Pouf cela Ton écrira le divifeur 98 au-deffoos
de 41 , & dierchaot combien' de fois 98 eft contenu
dans 841 , Ton trouvera qu'il 7 eft 8 fois : ainfi Ton
écrira 8 au quotient dans une place qui fera celle des
centaines , puifque Ton dîvife des centaines.

Pour avoir le reftc de cette première divifion , Ton
multipliera fucceiTivement les deux chiffres de $8
par 8 1 en commençant par le chifire p du plus haut
degré ; & à mefure qu on trouvera les produits, on les
^tera des chiffres fopérieurs. On dira donc : 8 fois 9
font 7a qu'on retranchera de 84 , en ôtant le a du 4
& le 7 du 8 ; &; il refiera i a qu'on écrira au^deffus ^
après avoir barré 84 ôc le chiffre p qu'on vient dq

Guij

1^4 Lh^^ Il Chap: Jff^. V>i[ LA Diviiioir

Biukiplicr. Enfuice on dira : 8 fois 8 font 6^ que Tofl
retranchera de I2i ; & il reftcra 57 qu'on écrira aù-
deflus, après avoir barré 121 & le chiffre 8 qu^on
vient de mulciplier*

Par cette première opératioh, les 84.1 centaines
feront dlvifées par 5^ ; le quotient fera 8 , de il refiera
<7 centaines qui n'ont pas pu être divifèes par 5^8.

Pour continuer la diviûon , l'on reculera le divifetdt
p8 d'un rang, en l'écrivant au-deflbus de j6f9Ûn do
divifer les 57 centaines reftantes avec les ddixaineSi^
> ç eftr:à*dire afin de divifer 576 dixames par ^8t

X»

Le dîvtfeur p 8 étant contenu y fois dans k di vîden*
'de aâuel 57^^ & ayant écrit 5 au quotient à la droite
du 8 qu^on y a déjà placé; Ton multipliera 9 8 par ^^
en commençant par le chiffre du plus haut degré; Si
à mefure qu'on fera le produit d'un chiffre par ^ , oa
le retranchera àt% chiffres fupérieurs. L'on dira donc:
^'5 fois p font 4f qu'on retranchera de 57 ; & il refte^
ra 12 qu'on écrira au-deffus de ^7, après avoir barré
!57 &le chiffre 9 multiplié. Enfuite on dira : ^ fois 8
font 40 qu'on retranchera de i2(S; & il reliera %6
qu'on écrira au-^deffus de 12&, ou plutôt au-deffus de
a^, après avoir barré I2d & le chiffre 8 multiplié.

Par cette féconde opération ^ le nombre 57^ dixai*
nés fera diviié par p8 ; le quotient fera 5 dixaines ^ ft
il rcftera 86 duaincs qui n'ont pas pu être divlfoea
par ^8.

DES NbMl&j:S ÎNCOMf LBXKf. lO^

Pour finir la diviûon piûpofée, Ton reculera encore
le dîvifeur d'un rang^ afin de divifer les 86 dizaines
reAances avec les deux unités, c'eft à-dire afin de di-:;
TÎfer 862 unités par p8«

X

Dmiendt !(^x0z (858 quotum

Ayant trouvé quepS eft contenu 8 fois dans le di-
vidende aâuel 852 , & ayant écrit 8 au quotient à la
droite de 8y ; Ton cherchera le refle de cette divifion,
en difant comme ci-devant : 8 fois p font 72 » qu'on
retranchera des chififres fupérieurs 85; de il reftera i^
que Ton écrira au-deflus de ces clii£Fres , après avoîc
barré 85 &: le chifïre p qu'on vient de multiplier. Puis
on dira : 8 fois 8 font 64. » qu'on retranchera de 14a y
& il refiera 78 unités qu'on écrira au-deflus de 42.

Par cette dernière opération , les 852 unités feront
divifées par 528 ; le quotient fera 8 unités, & il reliera
78 unités qui ne peuvent point être divifées par le di<*
vi/eur p8.

Le quotient de 84 1 52 divifé par p8 fera donc 8 y 9,
& il reflcra 78 unités qu'on ne peut plus divifer par
p8, à moins qu'on ne les transforme en d'autres unités
f lus petites ; mais ce n'efl; point ici le lieu de parler
des unités plus petites que les unités fimples.

Cette dernière Méthode a cela d^ avantageux , qu'on n*efi
foin^ obligé d*emprunter ; mais d^un autre coté 9 elle a cela
d'incommode y quilfautjavair retrancher un nombre e^pri*
méfar deux chiffres^ d'un aiure nombre exprimé far deu»

toi Lxf. Il Outp. IF. Ds tA Dînstoir

cm mu tkigrts. D*aiU€urs dit aie mimt m§anvcmeni fue
la Méthode précédente , en ce que les refits des dhi fions étant
iiffcfés pyramidakment aU'àtffus du dwidende^ il eft diffi^
elle de nconnoître & corriger les endroits ou Von peut asfâlr
fait quelque erreur.

Des suites DiCIMALES composées de PiRIODEI
ÉGALES QUI SE SUCCÈDENT A L^IMFIMI.

4^ JLorfqu'oQ veut aTok le quotient d^une dîvî-
fion en parties décimales de qa'on poufle le calcul
affez loin ; après avoir trouvé un certain nombre do
chiffres pour le quotient , on parvient à retrouver les
mêmes chiffres pour b ùme de ce quotient. En voici
des exemples.

i^. Si l'on divife i par 3 » on trouvera pour lequel
tient (o,))3}&c); c'eftà-dirc que le quotient fera
•ompofé de trois dixièmes f trois centièmes 9 trois mUai'^,
nusj de toujours ainfi de fuite jufqu^i Tinfini.

^« S Ton divife i par 69 on trouvera pour quotient
{Of 16666 6*6) ; c eft-à-dîre que le premier diiffire dm.
quotient fera 1 dSueUme^ de que tous les autres chiffra
décifliauz feront des 6.

3^. Si l'on veut divifer i par 7, on trouvera pour le
(quotient (o>2428^7 i428f7&c); c'cft-à-dire qu'a^
près avoir trouvé 1428 ^7 pour les fîx premiers chi^
1res décimaux du quotient ^ on tA)Uvera les memesi
chiffres 1428^7 pour les fix chiffres fuivans , 8e toft-i
^ours la même chofe à l'infini.

4« * Si l'on divife z par 9 , on trouvera pour le quo*
tient (o» 1 1 1 1 fjtc) ; c'eff-à-dire <fxc tous les chiffrea
décimaux feront des unités.

5^* Si l'on divife i par 24, Ton. trouvera pour le
quotient (0,041 656&C); c'eff-à*dire que les troia
premiers chiffres décimaux feront q41 qui fienifient

1DXS NOMBEXS IHCOIIfLXlXf« Yê)f

41 mWiénusjdc que tous ios chifies décimaux fiilfaïuî
^ rinfini ^ feront des 6.

Lof fque les mêmes chiffres revieockent amfî dans
DO quotient; Ton n'écrit que deux périodes de chifires
femblables, êc ïon met enfoite &cpoQr marquée qu«
ces périodes reviendront toujours à Tinfîni.

THÉORÈME.

'40 i^. Tout iiyiiend€ momdrt fit p , qtdfira ib^é
par 9 y imnera pour le quptknt^ unefmn infinie iê chiffires
. ticimauK égmur à celm du dipiiemde.

2^. Tout dividende moindre que pp , qui ferd dipifi f&t
pp y donnera pour le quotienif une fuite infinie de périodes
déeimales de deux figures égales à eéUes du ^iàmde.

3 \ Tout dividende moindre que ppp, qiùjkru £v3fé par
999 » donnera pour le quotient^ une fuite u^tnàede périodes
décimales de trois figures égales à celles du dividende.

il enfira de mime de tous les divi/htrs qui feront itwnm
unité moindres que les ternus de la pragrejfion décuple f
10, 100, 1000» 1 0000, ï ooooOi ùfe^ fy fd Mi^\fermt$
4ts nombres plus puks queux^tnémes.

Péjioksxxatiov.

1^. Tout nombre moindre que p ne pouvant pai
être divifé par p , doit êite réduit en dixièmes , êc vauv
dra autant de dixaines de dixièmes qu'il aura d'unités.
Or chaque dixaine de dixièmes donnera i dixième pour
le quotient, 6c il refiera i dixième. Donc toutes les
^ixaines de dixièmes qui compoferont la valeur du
dividende 9 donneront autant de dixièmes au quodent
fc au refte, que le dividende aura d unités ; & par con-
féquentle premier cbifi[Te décimal du quotient >& le
premier chiffrç décimal tçftant j^ feront les mêmes; que

«lui 4^ 4wdçn4c ^^'q(n fuppoft moiadîç ^ç ^

BbS Uv. IL Chap. IV. D E tÀ Dirisioif

Le chiâFre reftaDt de la première divifion étant égal
à celui du dividende , & devant ècre divifé par p» fera
réduit en centièmes ^ & donnera par les mêmes raifons
autant de centièmes au quotient & au refte, que le di«
▼idende aiua d'unités i de toujours de même à Tin*
fini.

Par exemple, fi Ton dîvîfe 7 par p ; Ton fera du
dividende 7, 7 dixaines de dixièmes. Or chaque dixai-
ne de dixièmes étant divifée par p , donnera i dixième
pour le quotient, & il reliera i dixième. Donc les. 7
dixaines de dixièmes étant divifées par p , donneront 7
dixièmes pour le quotient, & donneront au(fi 7 dixièmes.
pour le refte.

Ces 7 dixièmes reftansde la première divifion ne
pouvant pas être divifés par p ; Ton en fera 7 dixaines
de centièmes ; & comme chaque dixaine de centièmes ^
étant divifée par p, donnera 1 centième pour le quo-
tient & 1 centième de relie ; les 7 dixaines de centièmes
donneront 7 centièmes pour le quotient Se 7 centièmes de
telle. Il en fera de même des millièmes &c; c'e(l-à-dire
^oe chaque chiffre décinial du quotient Se du reflc
fera le même que le chiffre du dividende.

âP.Tout nombre moindre que pp, ne pouvant point
être divifé par ç^, fera réduit en autant de centaine»
de centièmes qu'il a d'unités. Ox chaque centairie. de
centièmes étant divifée par ^(f , donnera i centième
pour le quotient , & il reliera i centième. Donc tou-
tes les unités du dividende donneront pour le quo-
tient un nombre de centiènus exprimé par les mêmes
chiffres que le dividende» & il reliera le même nombre
de centièmes. Il en fera de même des autres chiffres du
quotient.

Par exemple, fi l'on veut dîvifer 42 par ^^^^ on fcr^
42 centaines de centièmes^ du dividende 42 ; & chaque
centaine de centièmes divifée par pp , donnant 1 ceit:^

DES NokBRSS IKCOMPLIZIS. lO^

ttimt pour le quotient & i centième de reff e; les 42 cen-
taines de centièmes donneront 42 centièmes pour le quo^'
tient, avec 4a centièmes de TtRc. Âinfi le nombre des
centièmes du quotient , & le nombre des centièmes du
refte, feront exprimés par les mêmes chiffres que le
dividende 42.

Les 42 centièmes reflans ne pouvant plus être diviffs
par 99 , Ton en fera 42 centaines de centièmes de ceii<-
tièmesj c'eft-à-dire 42 centaines de dix-millièmeu
Mais chaque centaine de dix'miltièmts^ étant divifée
par 99 > donnera 1 dix-millième pour le quotient avec
X dix-millième de refte : ainH 42 centaines de dix^
millièmes^ donneront 42 dix-millièmes pour le quotient^
avec 42 dix-millièmes de refte. Donc le nombre des
dix-millièmes du quotient & le nombre des dix^mil^
Uémes du reftc , feront exprimés par les mêmes chif-
fres que le dividende 4:2.

En fuivant le même raifonnement, Ton feravok
que tous les autres chiffres du quotient feront égaux
deux à deux à ceux du dividende qu'on fuppofe moin-*
dre que 99. Ainfi en divifant 42 par 95;, on aura podr
le quotient (0,42 42 42 Grc),

Si le nombre à divifer par çç étoît exprimé par un
feul chiffre, par exemple, fi Ton avoir j ou oj à dt-
vifer par ^^ ; on changeroit j en joo centièmes qu'on
diviferoit par 99, & l'on auroii pour le quotient (0,0 j)
c'eftà dire j centièmes avec (0,0 j") de reftc; puis on
transformeroit ce refte en 300 dix-millièmes qu'on
diviferoit par 99, & Ton auroit $ dix-milUèmet ou
(0,000 j) avec j dix-millièmes ou (o,oooç) de refte;
cnforte que le quotient feroit compofé de périodes
décimales fembtables, qui toutes auroient les deux
carafteres oy égaux à ceux du dividende; c'eft-à dire
que $ ou o^ , érant divifé par 99» donneroit pour le
quotient (0,0; 05 OJ (fc).

^ro Lh.ïî.Chaf.if^.t>n tA biViiiôS

Enfin toutes les fois qu on divifera un nombre quet«
conque, par un nombre plus grand que lui , dont touji
les chiffres feront des 5); on aura pour le quotient une
fuite infinie de périodes décimales compofées d'autant
de caraâeres que le divifeur aura de chiffires; & cha<t>
cune de ces périodes aura les mêmes chififîres fignifica-
tîfs que le dividende ; enforte que fi le dividende avoit
moins de cbifires que le divifeur il fe trouveroit dani
chaque période > des places remplies par des zéros
écrits à la gauche du cfaifiFre ou des chiffres fignificatifs
légaux à ceux du dividendeé

ORÙLtjttMM PMMMISRh

'47 ^^ réciproquement, (1 Ton à une fuite infinie de
périodes décimales compofées des mêmes chiffres; la
îbmme de cette fuite fera égale au quotient d'une pé^
tïoàQ divifée par un nombre compofé d'autant de p
jqu'il y aura de figures dans la période.

Par exemples, la fuite (0,35; &c) dont chaque
période n'a qu'un chiffre J > eff égale au quotient de
la divifion de 3 par 9 ou de i par 3.

La fuite (0,23 2323 &c) dont chaque période (23)
a deux chiffres > ell le quotient de la divifion de 23^
par 9p.

La fuite (0,087 087 087 &c) dont chaque période
(087) a trois figures , efl le quotient de la divifion de
087 ou de 87, par ^pp.

La fuite (0^001 001 001 &c) dont chaque pério-
de (001) a trais figures, eft le quotient de la divifioq
de 002 ou de i» par $^^ : Se ainfi des autres.

COKOLLAI R£ IL

î^o A mefure qu'on avance la virgule d'une place
Ters la gauche ^ les chiffres décimaux qu'on avoîC|

Blf NoMBlMf tXCOlif LkXVf. ttt

Talent dix fois moins qu'ils ne valoient. Par exemple
fi Ton a une fuite (o,2p8 2p8 ù'c)^ Se quon avaor
ce la virgule d'un rang vers la gauche ; on aura
(0,0298 298 &c) qui vaudra dix fois moins que
(0,298 298 6rc). Si Ton avance encore la vigule
d'un rang vers la gauche; on aura (0^00298 298 &c)
qui vaudra dix fois moins que (0,0298 298 ô'c), ou
cent fois moins que (0,298 298 &c): & ainfi IcB
autres.

Mais la fuite (0,298 298 &(f} compofée de pé*
xiodes égales , dont la première commence immédiat
tement après la virgule, eft le quotient de la divifioa
de 298 par ^j^p.

Donc cette fuite (0,0298 298 298 &c) qui vaut dix
fois moins que la première , eft le quotient de la divi*
fion de 298 par 9990 ; & lafuite (0^00298 289 ùre)
qui vaut cent fois moins que la première eft le quo-
tient de la diviGon de 298 par 99900 : & ainû des
autres; c'e(t-à-dire que quand une fuite de périodes
décimales ne commence pas précifément après ta vir-
gule ; elle repréfcnte le quotient d'une divifion dont
le dividende eft égal à une période , & dont le divi-
feur eft compofé , non feulement d'autant de 9 que la
période a de chiffres, mais encore d'autant de zéros
qu'il y a de places entre la virgule âc le premier chif-
fre de la première période*

Comme nous traheronj plus ginéralement la même ma^
titre dans le Ckapnre 111 du VHI Livre j & que mus ne
pouvons pas nous difpenfer dt parier encore des parties déci^
maies dans le Livre desJraSions .- nous n'en dirons pas da^*
fuattage pour le préfent ; dsr nous rijtrverons la réduSion
des fuites infinies de périodes décimales en fraSions finies ,
pour en traiter lorfque nous expUfwarons Us opérations de
tAriàméti^ fur Us jtaSkns.

112 W.lh Chap. IV. Dk jla Drrisioir

DE LA PREUVE
BB LA Multiplication et de la Diyisiok.

LA multiplication Se la clivi(ion fe fenreot mutuelle*
ment de preuve ; c'eft-à-dire que Ton connoic pac
la divîûon , s'il n'y a point de fautes dans la multipli*
cation ; & que Ton trouve par la multiplication ^ Q.
Ton n'a point commis d'eneurs dans la divilion.

Preuve de la MuhipUcdtion.

49 ^" divifant un nombre par un autre , Ton trouve
un troiûéme nombre nommé quotient lequel multiplié
par le fécond donne un produit égal au premier nom-
bre : ainfî en divifant le produit d'une multiplication
par fon multiplicande , l'on doit trouver pour le quo-
tient » un nombre égal au multiplicateur : ou bien en
divifant le produit par le multiplicateur, on doit avoir
un quotient égal au multiplicande ; puifque de la
multiplication du multiplicande ic de ce quotient »
il doit réfulter un nombre égal au produit qu'on a
divifé.

Nous propoferons donc pour preuve de la multipli-
cation , de divifer le produit par le multiplicande , ou
par le multiplicateur ; & fi le quotient que l'on trouve
eft égal au multiplicateur ou au multiplicande, ce fera
une marque que la multiplication a été bien faite :
iinon la multiplication fera réputée mal faite , & il
faudra la recommencer*

Par exemple, fi après avoir multiplié 9^4 par 264 i
on trouve que le produit eft 2 $^^96 ; l'on divifera ce
produit 25^45^69 parle multiplicande 5)64; & comme

k

le quotient qu on trouvera fera égal au multipticateul:
2^4 y la multiplication fera réputée bonne : ou bien
Ton divifera le produit 2^449^ par le multiplicateur
21(^4 ; & comme on trouvera pour le quotient un nom*
bre égal au multiplicande 5^54, on en conclura que la
multiplication a été bien faite.

Lorfqu'un multiplicateur eft compofé de pluCeurs
chi£Fres , Ton eft obligé de multiplier le multiplicande
par chacun des chifires particuliers du multiplicateur;
ce qui donne autant de produits particuliers qu'il 7 a
de chiffres dans le multiplicande : enfuitè en ajoûtanc
enfemble tous ces produits particuliers , ou trouve ùa
total qui eft le produit de la multiplication.

Four faire la preuve de la multiplication, l'on peué
attendre que le produit total foit trouvé , de divlfer ce
produit total par le multiplicande ou par le multiplir
cateur , comme nous Tavons dit. Mais il eft plus à pror
pos d'examiner chaque produit ^particulier , en le dî«
vifant par le chiffre du multiplicateur , qui a multiplié
le multiplicande ; parce que ii le quotient fe trouve
égal au multiplicande » ce fera une marque que ce pro-
duit particulier eft bon ; & fi le quotient n'eft pas égal
au multiplicande» on fera sûr qu'il y a une faute danf
ce produit, Se Von ne fera pas obligé de la cherche^
ailleurs* Far éxeipple,

En multipliant $6^

far 2 54

Le multipUcanie multiplié pat 4 donne 3^$^.

Le multiplicande multiplié par 6 donne 5784
Le multiplicande multiplié par 2 donne 1928

Ça trois produits particuliers donnent enfemhle 2 5 44P 5

Or fans attendre qu'on ait trouvé le produit total
^S^9^ de la multiplication , pour eu faire la preuve;
Arithmétique. H

1 14 Liy. IL Chap. IF. Dk la DitisIom

on peut éprouver par la dîviCoo les produits parties^

liers à mefure qu'on les a trouvés.

Comme le premier produit particulier ) 8 $ 5 réfutée
de la multiplication de p 64 par le feul chifl&e 4 ; on di«
yifera ce produit par 4 c eft-à*dire qu on en prendra
le quart 9 en difant : le quart 38 centaines eft p cen*
taines qui, fe trouvent multiplicande. Mais comme
pefl le quart de 3 6; il reftera 2 centaines qui vaudront
ao dixaines, lefquelles étant jointes a ^ dizaines fe-
ront 2$ dixaines, dont le quart eft 6 dixaines qui ft
trouvent au multiplicande. Enfin comme 6 eft le quart
de 24 & non pas de 25 ; il reftera t dixaine que Ton.
convertira en 10 unités Se que Ton joindra avec le 6^
ce qui fera 1 6 dont le quart eft juftement 4 unités qui
fe uouvent au multiplicande. Comme ce premier pro-
duit 3856 donne exadement pour le quotient les mê-
mes chiàires que ceux du multiplicande; c'eft une preur
ye que ce premier produit 3856 eft bon.

Le fécond produit particulier 5784 venant de la
muUipIication de 964 par 6; on le divifera par ^, A:
Ton trouvera pour le quotient les mêmes chiffres que
ceux du multiplicande ; ce qui prouvera que ce fécond
produit eft bon.

Enfin le troiûéme produit 1928 étant fait de 9(^4
multiplié par 2 ; on le divifera par 2 , & Toa trouvera
pour le quotient 964 ; ce qui fera voir que ce troifié*
me produit eft fans erreur.

Tous les produits particuliers d'une multiplication;
dont le multiplicateur eft compofé de plufieurs chif-
fres , étant éprouvés par des divifions ; on les ajoutera
cnfemble pour avoir un produis total ; & Ton éprou-
vera enfuite ce total en ie fervant de la preuve de lad^
dition (N^. 14.) : & fi Ton ne vouloir pas fe fervir do
cette preuve on poorioit encore divifer le produit to-
tal par le multiplicande ou par le multiplicateur» pour

Voir fi le quocienc tft égal au multiplicateur oii au
inûitipiicande ; ce qui alTureroic daVaucage ^ue la
multiplication eft bien faite.

Preuve de la Dmjitm^

Ij O i ^. Puîfquc (N®. 28.) divîfer un nombre par un
autre , c'ell chercher un troifiéme nombre qui multi-
plié par le fécond , donne uu produit égal au premiec
sombre ; nous pouvons propofer pour preuve de la
idivifion y de multiplier le quotient par le diviftur ^ te
de regarder une divifion comme bonne ou mauvaife,
fuivant que le produit de la multiplication du quo«
tient par le divifeur fera ou ne fera pas égal au divi-
idende.

Par escemple, C en divifant 2^449^ par 2^4, on a
trouvé 9^4 pour le quotient; l'on multipliera le quo-
tient 964 par le divifeur 16^ ; & comme on trouvera
pour le produit le nombre 25449^ qui eft égal au di-
vidende; Ton dira que la divifion a été bien faite ; Se
que 9(^4 eft le quotient exaft de ^^^^96 divifé par
^^4 : fi au contraire on a voit trouvé pour le quotienc
de la divifion un nombre plus ou moins grand que
^64, ce qui auroit pu arriver par quelque erreur de
calcul ; en multipliant ce quotient trop grand ou trop
jpetic par le divifeur ^6^ , Ton trouveroit que le pro-
duit ferolt plus grand ou plus petit que le dividende
^54496^ Se Ton jugeroic par là qu'il y a quelqub
[erreur dans la divifion.

Pour prévenir la multiplicité des erreurs & les dé-
couvrir dans le cours de la divifion , i mefure qu^on les
fait ; il efl bon de védfier chaque chiffre du quotient
a mefure qu'on le trouve. Voici un exemple de cette
opération.

X H ij

11^ LW.U.Chaf.lF. Djz la DivisibMf

Suppofons qu'on aie à divifer 2 $^^$6 par 26^ .

Dividenie 254496/?^ ^''^'>'
l^'. produit 2376 19^1: juoneni

1". rejle 16S9
^^. produit 1584

a^ refle 10^6
^^. produit 10^6

Dernier refit 0000

Commençant la divifion par les chiffres de la plus
haute efpéce, l'on divifera d'abord 2 $4.4 centaines pac
a 54, & Ton trouvera p centaines pour le quotient ; Toa
écrira donc 9 au quotient dans un rang qui fe trouvera
celui des centaines. Pour voir û le chiffre 9 placé au
quotient eft bon, ou fi le divireur-2é4€(l 9 fois dans
le dividende 2^44 qu'on a premièrement divifé ; Ton
multipliera 2^4 par p ; ce qui donnera un premier pro-
duit 237^, que l'on écrira au-deffousdu dividende ac-
tuel 2544 : puis on retranchera ce produit 2316 de
2544, & Ton trouvera 168 , pour le premier refte.

Pour connoître fi ce premier refte 1 68 qui vaut 1 69
centaines efl bon ; il faut s'afitirer de deux chofes. i o. I!
faut prouver que 2376 eft exaftement le produit de
25f par p; ce qu'on fera en prenant la neuvième
partie de ce produit : & comme cette neuvième partie
fera égale au divifetir 264 qu'on a regardé comme un
multiplicande, en faifant le produit 2 376 ; on fera sur
que ce produit eft bon. 2<>. II faut s'affurer que la fouf-
traâion eft bonne ; ce qu'on fera en ajoutant le refte
'1 68 avec le produit 2376 qu'on a retranché : & com-
me on trouvera que la fomme eft parfaitement égale
à celle 25 44 dont elle a été fouftraite ; on fera sûr que le

bCS NOHERES IKCOMPLSXBf. II7

refte 168 qui ed moindre que le divifeur 26^^ eA
bon.

Pour continuer la divifion, Ton abaifTe les 9 dixants
du dividende , à la droite des 1 58 centaines refiantes
de la dîvifion qu'on vient de faire ; & l'on a 1 58p
dixaines à divifer par 264 ; ce qui donne 6 dixaines
pour le quotient. Enfuite on multiplie 2(^4 par 5, ce
qui donne 1584 pour un fécond produit que Ton re-
tranche de 1585; ; & l'on trouve 105 pour un fécond
refte. On éprouvera cette féconde divifion comme la
première, i^. En prenant la (ixiéme partie de 1584
qu'on trouvera égale au divifeur 264, ce qui mar-
quera que le produit 1^84 eft bon. 2^. En ajoutant
' îo^ avec 1 584, ce qui fera une fomme égale au divi-
dende aâuel 1 589 , & prouvera que le refte 105 qui
cfl moindre que le divifeur 264, eft bon.

On éprouvera de la même manière les opérations
qu'on fera pour les 4 unités du quotient.

On doit remarquer ici que chaque refte de dîviGon
particulière, doit toujours être moindre que le divifeur;
fans quoi le divifeur feroit contenu dans ce refte ; âc ce
feroit une marque que Ton n'auroit pas écrit un nom-,
bre aftez grand au quotient.

Lorfqu'on dit que le divifeur multiplié par le quo-
tient j doit produire une quantité égale au dividende »
on fappofe que te dividende eft divifé fans aucun
refte: mais (i la divifion a un refte, on ajoutera ce
refte au produit de la multiplication du divifeur par
le quotient; Se la fomme qui en réfultera , fera égale
au dividende, ft l'on a bien opéré.

20. On peut encore éprouver la dîvifîon.par la divi-
fion elle-même, en divifant le dividende par le quo-
tient : car fi l'on trouve , pour le nouveau quotient, une
quantité égale au premier divifeur; ce fera une mar^^
que que la première divifion a été bien faite.

H iij

H& Lîy. IL Cbap, ly. Di la Dimsioii

REMARQUE.

^ X Avant d'éprouver (i uoe dlvifion eft bonne, pu
ik mukiplîcation du divifeur par le quotient ; il efi boiv
ff examiner fi le quotient a autant cie cbiâres qu'il doit
en avoir; ce qui eft facile à reconnoitre.

lo* Si pour trouver le premier chiffre , c'eû-à-dira
le chifite du plus haut degré du quotient , il a fallo,
prendre un chiffce de plus dans le dividende qu'il n y;
c;n as dans le divifeur; le nombre des chiffres du 9K>ti«i(i
fera égal à la différence qu'il y aura entre le nombre des^
chiffres du dividende Ôc celui des chiffres du divifeur^^

Par exemple, (i Ton propofe de divifer 17528 pai;
?4c, dont le quotient fçra 7212 : comme les dcuxchif-
i&es du divifeur 24^ ne font pas contenus dans les deux
chiffres 17 de la gauche du dividende; il faudra pren-^.
dre les trois chiffres 17 5 du dividende & les cÛvifec
par 24, pour trouver Iç premier chiffre 7 du quotient.
Dans ce cas, pour un chiffre qu'il 7 a de plus dans le.
dividende particulier 173 dans que le divifeur 24,11
vient un chiffre pour le quotient : mais comme il y a
ercore dans le dividende deux chiffres 28 aufquelii
on n'a point touché, qu'il faut divifer fucceflivemenc
ces deux chiffres avec les reftes des divifioas précé-*
dentés , âc que chaque divifion particulière donne ua
chiffre pour le quotient ; il eft clair qu'on aura pour Iç
quotient un nombre de chiffres égal à la différence
qu'il y aura entre le nombre des chiffres du dividende
^ le nombre des chiffres du divifeur.

2^. Si pour trouver le premier chiffre du quotient^
\\ fuffe de prçnckç autant de chiffres dans le dividendç^
^'îl y en a dans le divifeur ; le nombre des chiffres dxk
quotient fçra plus grand d'une unité , que la différenc<^
^'il y aura çntrç Iç nombre des chiffres du, diYid,qfli4ç
^ le norp^b^jç des çhiipf^çs du 4ÀYÂ(ç ^K^

i>ss Nombre» tKcotJtPLSxss* 1131

Par exemple, fi Ton propofede divifcr 34 J 5 par
S4 , dont le quotient cft 144; comme les deux chîf-
ftes du divifeuf 24,font contenus dans les deux chiffres
34- du dividende; cette première divîGon , où îi n'y
a point de différence entre le nombre des chiffres du
dividende Se le nombre des chiffres du divifeur, don-
nera un chiffre pour le quotient. Chacun des chiffres
56 qui font de plus dans le dividende que dans le di^
Vifear, Se que Ton divifcra fucceffivement avec les
reftes des divifîons, donnera encore un chiffre pouc
lé quotient. Il j aura donc au quotient un nombre de
chiffres plus grand d'une unité , que la différence qu'il
y aura eiïtre le nombre des chiffres du dividende & le
nombre des chiffres du divifeur.

AutAE PREUVE DE LA MULTIPLICATION ET T>K

LA Division appellée Preuve par ^.

On feiit encore éprouver la muldplieatîon & la dtvîjîoni
far une opération tris-Jimple appellée Preuve par p.

Suppofons quon ah multiplié 4S72 par 863 ^ & quon
ëit troupe 4204 ; 3 (S pour le produit.
Pour en avoir la preupe^on additionnera les chijfrei 4, 8 ,7, 2,
du multiplicande f eonuhe s'ils ne comptoïent que des unités
Jhnples ; fr àtant torts les 9 , on conjervera le rejle j .

On additionnera de même les chiures 8,6, ), du multiplU
tanur; & rejettant tous les <^ on ne gardera que lerejle &•

Enfuite on multipliera le refte j du multiplicande par iè
wefie 8 du muleipUeateur ; ce qui produira 24 dont les deUxf
Mjfres additionnés ne font que 6.

& te refte tft égal au refte de V addition de tous les chîj^reslk
4, 2, 0, 4, ( , 3 > 6, du produit , après avoir Jupprimé toui
Us p ; on pourra préfumer que la multiplication eft jufte >
^non ce fera une preuve quelle contient quelque erreur.

On éprouvera de mime la dipifîon , en la regardant com^^
ne UM multiplication qui a le divijeut pour multiplicande «.

H iiij^

'120 Lîy. IL Chap. IV: D E tk I>ivïsioif, Gr:

le quotUnt pourmuUiplicateurf & le dividende pour produit ;
cefi à-dire que fuppofant ï addition faite fr tous les 9 re^^
jettéSf on multipliera le rejle dm divifeur par le rejle du quo-^
tient.* (kji, après avoir ajoàté au produit les chiffres du rejle
de la divifîon lorjquily ena%^ avoir âté tous les p, le refit
tft égal au rejle du dividende ; on pré fumera que la divifion
^Jljufie ; autrement^ on fera sûr quelle ejl malfaite*
Cette preuve efi fondée fur les ob ferv axions fuivanteu
Si l*on retranche les p contenus dans un nombre exprimé
par un chiffre jignificatif fuivi de plujîeurs j^roi, le tefle
Jera repréjenté par un chiffre égal au chiffre Jîgnificatîf de
Cf nombre.

Par exemple j fi des nombres 400Q9 800 j 70,*
on rejette les 9 , les reftes feront 4, 8 , 7.

Ainfi en rejettant les 9 d'un nombre quelconque j tel
gue 4872 qui vaut 4000 plus 800 plus 70 plus 2 y te
rejle fera 4 plus S plus 7 plus 2 ; ù'fupprîmant encore les 9
contenus dans ces quatre chiffres qui valent 2 1 ; il refiem
Zplus I , ou 3.

Donc fi Von regarde tous les chiffres Sun nombre comme
ies chiffres d'unités (impies , ùr quen tes affemblant onjup'*
prime tous les 9 ; le rejle fera égal à celui quonauroit ea
^tant tous les 9 du nombre propofé.

Donc fi Von veut multiplier Vun par Vautue deux fac'^
teurs tels que 4872 Cp^ 86^, & que Von veuille rejetter
iéus les 9 4e leur produit , Jans le jaire ; on pourra r^
txMcher tous les 9 desfaSleurs^ (parce que la multiptîca^
lion de ces 9 par un nombre quelconque y ne produira que de9
ç quon veut rejetter) fy ne prendre que leurs reftes 3 &* &
^uon multipliera enfemble, Êr dont le produit 2^Jer^ tédMt

é $ » par k fuppre^on des 9.

S«î,

^

ELEMENS

D'A R ITHMÉ TI^ UE

LIVRE I IL

D» FraSims,

■^^■"— ^^^

CHAPITRE PREMIER.

Des Frayions en général fir de leur RéduSion,

Ous avons, dit que Tunité eft une quantité
arbitraire que Ton prend pour fervir de
mefure à d^autres grandeurs de même ef-
péce^ & que la coUeftion de plufîeurs
unités s'appelle nombre.

Jufqu'ici nous n'avons parlé que des nombres qui
font compofés de plufieurs unités entières , Se que
nous avons nommés par cette raifon nombres entiers;
mais il arrive fouvent que l'unité qu'on a choifie »
ou qui eft établie par Tufage , eft trop grande pour
être contenue exactement une ou plufieurs fois dans
Ja grandeur qu'on veut mefurer. Dans ce cas , loa
fait de nouvelles unités plus petites , qui puiflent me-
furer exaftement la grandeur propofée , c'eft-à-dirc
qui puiflent être contenues en elle juftement uuq
{gis :i ou un certain nombre de faisu

ISS li9»lU,Chaf.I. Dbi FKAèTioirl

DéVIMITIOMS.

y 2 Pour avoir des unités convenables à la graiï^
dcur qu'on veut mefurer ; Ton partage Tunité princi-
pale qu on a choifîe » es phifieurs parties égaler que
l'on nomme en général unités fraSionnaîres^ & qui ont
encore des noms particuliers dérivés du nombre des.
parties dans lefqueiles Tuoité principale a été divifée»
Par exemple ù l on partage Tiinité principale en 2 oa.
en 3 ou en 4 ou en ^ parties égales ; chaque partie fe
fK)mme 1 ^emî ou i tiers ou i ^uarr ou l cinquième^ âc
ces parties font dés unités fraSionnairts.

Une unité itaâionnaire ou la colleâion de pluCeurs.
unités fraâionnaires égales» fe nomme une fraSion ou:
un nombre rompu.

Il faut donc deux nombres pour repréfenter un nom-^
bre rompu; fa voir un nombre pour marquer Tefpéce^
de l'unité fraâionnaire^ c'eft-à-dire pour faire voir en
combien de parties égales Tunité principale a été rom-
pue; & un autre nombre pour faire voir combien dot
fois ces nouvelles unités font prifcs.

Pour d^inguer ces deux nombres, on les écrit Tur»
fous Tautre, avec une barre entre deux. L'on met au*
deffous de la barre celui qui mar<jue en combien dcf-
panies égales l'unité principale a été rompue, Se qui
défigne par conféquent l'efpécede V unité fraSiionnairei
Se l'on écrit au-deflus de la barre, le nombre qui moft*^
tre combien de fois Ton prend Y unité fraSlionnalre.

Par exemple, l eft un nombre rompu ou une frac-
tion dont le nombre inférieur (8) fignifie que l'unitd
princij^^ale a été divifc en 8 panies égales , & que cha-
que partie eft par conféquent 1 kuhiémedc Tunité prin-
ci, alc;& le nombre fupérieur (7) marque que l'oa»
f rend 7 de ces nouvelles unités ; en forte que la frac-
tion l fignifie 7 huitièmes de l'uniié OU de U quîuidtjS

c^ue ïosx a prile pour TualcQ..

CoiBEne le nombre infécieur d'aune fcadtoci dooiie
la.déDommacîon à Yumé fn^onnâkt ^ on le oonmo
dénominateur ; de parce que le nombre fupérieur mar^*
que le nombre que Ton prend de ces nouvelles uni-
tés 5 on rappelle nwmrattm. Ainli dans la fraâion \ ^
le nombre inférieur (8) qui fignifîe Auirî^mei , eft le
4énomnattwr; de le nombre fupérieur (7) qui marque^
que Ton prend 7 de ces unités nommées hmtiémeSf
rft le numérdieur.

Le numérateur & le dénominateur d'une fradion,
fe nomment les deux termes de cette fraâion ; le nu-
mérateur s'appelle le premier terme ^ & le dénomina-
teur s'appelle le fécond terme.

. On diffingue deux fortes de nombres rompus ; les
l^cmhres rompm ahflraitSj & les nombres rompus concrets.

Les nombres rompus tels que ^, j, |, qui fignifienc
I quart de fois ^ s cmquiémes de fois y ^flxîèmts de fois ^
font nommés oèfiraits^ ou abjhlus^ ou vagues^ tant qu'ils
ne font appliqués à nombrer aucune efpéce dechofe»

Les nombres rompus que l'on applique à nombrer
tes parties de quelque chofe, font nommés â&s nombres^
rompus comrets. Par exemple ^ecu, j toife^ { heure ^ qui
fignifient un quart d^écu ^ deux cinquièmes de toife , cinf
fixiémes d'heure, font d^s nombres rompus concrets*

Puitque les nombres rompus abAlra-ks ^, j, ^j qui
<Hit pour unités propres de» pardesde l'unité aBftraitef
figni€ent i quart de fois ^ 2 cinquièmes die fols y ^ Jixiémeé
dèfois^i Se que les concrets ^ éeuy ^ toife , | heure , qui
ont pour unités propres des parties d'unités concrètes-,
£gnifîent l quart d*écuy 2 cinquièmes de- toife ^ ^fixiémes.
é^hcure : il pafoît évident que tous les nombres ronv-
pus »foit abAraits» foit concrets, peuvent être regar*
dés comme des efpéces de nombres entiers concrets
qui ont pour unités principales de fpécifiques > leurs
^tçs firs^^ionnaires ^ routes. Cette fa^on de çQAâ4^

'is4 Lîy.HL Chap.L Des FmACTiaks
rer les fraâions, foie abftraites, font concrètes » peut
être très-commode & très propre à faciliter rintcili-
gence de la théorie des fraâioos*

CoRaLLjt I RM PRMM T MR*

^3 On peut encore conOdérer une fraftion comme
le quotient d'une diviGon, en prenant fon numérateuc
pour le dividende Se fon dénominateur pour le divi-
feur. Par exemple, la fraélion \ peut être regardé
comme le quotient de 7 divifé par 8.

Car divlfer 7 par 8, c'eft prendre la huitième partie
de 7. Mais pour prendre la huitième partie de 7, il faut
prendre la huitième partie de chacune des unités qui
compofent 7 : & comme chaque unité donnera i hui-«
tième, pour fa huitième partie ; 7 unités donneront 7
huitièmes, c'eft^à-direla fradion |, pour leur huitième
partie. Ainû la fraâion \ eft le quotient de 7 divifé
par 8.

Cqkollai ^E IL

^4r Comme il eft évident que Ton ne change point
un nombre en le multipliant & le divifant par une mè*
me quantité ; puifqu*on le rend d'autant moindre par
la divifîon, qu'on le rend plus grand par la multiplica-
tion ; il eft clair que Ton pourra toujours convertir ua
nombre entier en une fraâion, en le multipliant par
un nombre quelconque pour en faire un numérateur»
& en lui donnant ce même nombre pour dèaomi«
nateur.

Co RaLLA I R M IIL

5 J Puifqu'unc fradion eft égale au quotient de la
divifion de fon numérateur par fon dénominateur;,
il eft clair qu'elle eft égale à l'unité entière, lorfque
fon numérateur eft égal à fon dénominateur j car le
dénominateur fera cootenu une fois dans Ibo iiumé«
^rateur.

X7 BB IXUR EÏDXTCTkOlf. t^f

CoKOLZjê X KM IV^

^o Une fradion eflle quotient de la divIGoûdc
fon numérateur par fon dénominateur (No. 53.)*
Mais (No. 33«) €Q multipliant ou en divifant par une
même quantité le dividende & le divifeur d'une divî*
iion, l'on ne change rien à la valeur du quotient. Donc
fi Ton multiplie ou fi Ton divife par une même quan-,
tité le numérateur & le dénominateur d'une fraâioui
la fradion ne changera point de valeur.

Si Ton a, par exemple » une fraâion |, & qu'oa
mulplie le numérateur 4 & le dénominateur $ par 3
ou par 4.^ on aura une nouvelle fradtion fjou j| qui
vaudra autant que la première |.

£t réciproquement , fi Ton divife par un même
nombre par exemple par 5 , le numérateur 3c le dé«
Dominateur d^une fradion 77, Ton aura une nouvelle
fradion | qui fera égale à la première |j.

57 En divifant le numérateur & le dénominateur £unt
fraSion par une mime quantité ^ on la rend plus Jimple &
J^ autant plus Jimple que la quantité par laquelle on divife
ejl plus grande. Enfin lorfque les deux termes d'une fraSion
font divifés par le plus grand divijeur commun , on dit que
lafraSion dont les deux termes ne peuvent plus être divifés
par une mime quantité , efi réduite àfes moindres termes.

PROBLÈME.

ji o Réduire unefraSion à Jes moindres termes ^ fans en
changer la valeur.

On divifera le plus grand terme par le moindre; âc

. fi la dîvifiion fe fait fans refte, le moindre terme fera

évidemment le plus grand divifeur commun des deux

termes de la fraftion , donc le moindre terme fera

réduit à Tunité.

«2^ Lw.llI.Chof.t t>is,^ ?RAètidtTi

Si la divifion ne fe fait pas (aos refte ; on divirefâ
k moindre terme , par le refle ; & fi cette divifion fe
fait fans refte , le rcfie de la première dîvifion fera le

J:>Iu$ grand divifeur commun des deux termes de la
raâlon.

Si cette féconde dîvîfion ne fe èsiît pas fans reftc t
Ton divifera le premier rcfte par le deuxième ; pui^oa
divifera le fécond refte par le trolfiéme , 8c toujours
de même jufqu'à ce que Ton parvienne à une divifion
fans refle : & alors le dernier divifeur fera le plus grand
divifeur commun des deux termes de la fraftion. Ainfî
en divifant les deux termes par ce dernier divifeur ,
l'on réduira la frafiion à fes moindres termes. Mais fî
Ton ne parvient point à faire une divifion fans refte ^
ou fî Ton parvient à un refte qui foit l'unité ; ce fera
vne marque que la fraâion eft exprimée par fes plu^
fimples termes , & qu elle n'efl pas réduâible à de^
termes plus fimples.

Par exemple, fî Ton propofe de réduire à fes moifli
drcs termes la fradîon f^.

10. L'on divifera le plus grand terme Ç7p(Jparte
moindre 20itf. La divifion étant faite,ilreftera 1754e

2^. L'on divifera aoi6 par le refle 17^4; & fans
faire aucune attention au quotient, Ton ne prendra que
le refle 2J2.

5®. L'on divifera le premier refte 17(^4 par le fé-
cond refte 2^1 ; & comme la divifion fe fera exaâe-
ment, ce dernier divifeur 252 fera le plus grand divi-
feur commun des deux ternies de la fraâion 7^. Ainft
divifant les deux termes de cette fraftion par 252^
l'on aura une nouvelle fraâion ^ qui ne pourra pas
avoir de plus fimples termes , & qui aura la même va-
leur que la fraôion propofée ~|. Voici la démonflrar
tion de cette opération.

i^£n divifant par 201 5 le dénominateur de la

£raâ!on|f^ ; oa trouve que le divifeur y eft contenu
a fois avec un reftc 1754. Aînfi le dénominateur
5796 eft compofé de deux parties 40^2 & 1764 , Se
la fradion ffif peut avoir cette forme rx .c^'wu.iy^v
Donc tout nombre qui fera le plus grand divifeut
cxad des deux termes de la fraftion ~, doit être auffi
le plus grand divifeur commun de 2x20 1 6 & de j 764
qui font les deux parties du dénominateur, & doit par
conféquent être aufli le plus grand divifeur de 201^
âc de 17^4.

a^, Divifant 2016 par 17(^4, on trouvera qu'il y
cft contenu une fois avec 2^2 de refte^ c'eft* à-dire
que 2016 eft compofé de deux parties, de 1764 A:
de 252. Ainfi le tK>mt>re qui fera le plus grand divi-
feur de 201 6 & de 17^4 fera aufti un divifeur de 252.
Mais 2Ç 2 eft le plus grand divifeur de 2 f 2, & il divife
exaâement 1764 : donc i\ divifera àuffi 20 16 qui eft
la fomme de 2 ^2 & de 1 764 , & fera auffi un divifeur
de 2 fois 2016 , c'eft-à-dîrc de 2x20 1^«

Le nombre 252 étant un divifeur de 2x2016 Se
'de 1754, fera auffi un divifeur de leur fomme ^796»
Se divifera par conféquent le numérateur & le déno-
minateur de la fraftion j|||.

De plus, 272 eft le plus grand divifeur commun
de 201 5 & de 57p^ ; puifque le divifeur commun de
ces deux nombres doit être un divifeur de 2 5 2 , & que
05 a eft le plus grand divifeur de 2 5 2.

REMARQUE.

Il 7 a encore une manière de réduire une fraftîon à
te9 moindres termes 9 qui eft plus facile Se fouvent plus
commode que la précédente.

10. Si le numérateur Se le dénominateur d'une
fraftion font des nombres pairs ^ on les divifera tous

22S LÏ9*Uh Chap.L Des Fractions
les deux par 2 1 îufqu'à ce que Tun de ces deux termes
foie devenu impair. Si les deux termes fiDlflent par ç ,
on pourra aufli les divifer par ^ ^ jufqu à ce que Tua
des deux ne finifle plus par 5 • Les deux termes de la
fraâion n'étant point pairs Ôc ne fîniflant point par ^ f
on tentera de les divifer par 3 , jufqu'à ce que Tun des
deux ne foit plus divilible par 3* Eafuite on tentera
de divifer les deux nouveaux termes par 7» puis
par II » puis par 13, par 17^ ip» 23; Se toujours
ainfi de fuite par tous les nombres qui n'ont point
d'autres divifeurs qu'eux-mêmes & l'unité. Enfin lorf*
que l'un des termes ne fera plus divifible^ ou que les
deux termes ne pourront plus être divifés par une
même quantité , la fradion fera réduite à fes moinr
dres termes.

Far exemple, fi l'on propofe de réduire la frac*
tîon jjll à fes moindres termes.

On divifera les deux termes qui font pairs par 2 1
& l'on aura }f||.

On divifera encore par 2 les deux nouveaux termes
qui font pairs , & l'on aura ^.

Puis divifant ces deux termes par 3 , l'on aura |ff.'

Divifant encore par 3 , l'on aura •^.

Divifant enfuite par 7 , on trouvera ^.

Et cette fraâion ^ fera enfin la fraâion réduite 9
parce que fon numérateur 8 ne peut être divifé que
par 2 , ou par un multiple de 2 , & que fon dénomina-
teur I $ ne peut pas être divifé par 2.

Si les deux termes de la fraâion ont des zéros à leuc
droite , il eft évident qu'on pourra en effacer un pareil
nombre dans ces deux termes ; parce que chaque ter-
me fe trouvera divifé par 10 chaque fois que Ton fup«
primera un zéro.

Suppofons qu'on veut réduire à fes moindres termes
la fraûion .Lîi^.

On

On divifera d'abord les deux termes par lo» ea
lupprimanc dans chacun d'eux le zéro qui occupe U
place des unités (impies; Ôc Ton aura {j^.

Puis, comme le nouveau numérateur finit par ; ;
ft qu'il eft par conféquent divifible par ^ , auili biea
que le nouveau dénominateur qui finit par un zéro »
Ton divifera par 5 ; & Ton aura

Z2S

. Enfuite on divifera par 3 ; & Ton aura ^.

Et cette fraâion ^ fera réduite à fes moindres
termts ; parce que le numérateur s i n'eft divifible
que par 7 & par j , & que le dénominateur 76 n e3
divifible ni par Tun ni par l'autre..

PROBLÈME.

59 Réduire deux fraSions au mime dénominateur f
fans rien changer à la valeur de ces fraSions.

On multipliera le numérateur & le dénominateuc
de la première fraâion par le dénominateur de la {eJ
conde ^ âc l'on multipliera le numérateur Se le déno-^
œinateuf de la féconde par le dénominateur de la pre«^
fnîére. Par cette opération l'on aura (No. ^6J) deux
autres fraftions de même valeur que les deux premié-*
res, âc qui auront un même dénominateur; puifquç
le dénominateur de chacune d'elles ^ fera le produit
des dénominateurs des deux premières fraâions.

Par exemple , fi Ton veut réduire à U même dé-*
nomination les deux fraâions | & 7 •

1^. L'on multipliera les deux termes 2 de ^ dé la
1^^ fraftion ^ , par le dénominateur 7 de la i^i 6c VojX
aura une nouvelle fraâion ^ égale à la i^'^ f •

2^. L*on multipliera les deux termes ^ & 7 de la
a^ fradion ^ , par le dénominateur 3 de la 1 *'^; âc l'oa
aura une nouvelle fraftion xf égale à la 2^ ^.

Par ce moyen les deuxfradions propofées j8c ]f
|ans changer de valeur 1 feront réduites aux deux^
Arlfhméti^ut^ I

Ijo Ih.îllï^ap.l Dis FHlèfîèHÏ

ftaâioifsjf * Ti I qoi oot chacune pour dénomioateiiQ
1^ produit dts dénominateurs 3 & 7 dbs deux fraâiooi
propofées*

PROBLÈME.

00 Rédmn à im même déncmînatétr tmi dtfrgSictii
fuon voudra.

^ I ?. On multipliera enfembîe tous \ts dénominateurs
4es fraâionsy oc le produit fera le dénominateur quo
doivent avoir toutes les fraftions réduites à la même
^nomihation.

2?. Pour avoir îe numérateur de lâ 1 ^^ dt% fraÔionï

Su^OB veut réduire à la même dénomination ; Ton
vmltipliera enfembîe les dénominateurs de toutes les
(&aâions, excepté celui de la première ; puis on mul«
lâpliera le produit par le numérateur de la x*'^ & Y<sa
gura le numérateur de cette 1^'^ fraétion.
^ Si l^on vouloit avoir le numérateur de la 1^ firadiotf
Induite; Ton multiplieroit enfembîe tous les dénomi*
ioateurs , excepté celui de la â^ ; puis on multiplieroit
le produit par te numérateur de Ist même 2^ fraâibn $
^ le nouveau produit feroit le numérateur de la a^
£^aâion réduite : & ainlî des âucre^.

Par exemple , fi Ton prôpofe de réduire à la tnttat
dénomination les quatre fradions 1 1 1 1 f 9 1 ; Ton mul-
tiptiera enfembîe tous leurs dénominateurs 2, 3» 5, 7;
^ le produit 2 10 fera le nouveau dénominateur iqoi
doit être commun à toutes les fràâions.

Pour avoir le numérateur de là i*'® dt^ nouvelles
Sraâions ; on multipliera enfembîe tous \t^ dénomi-^*
i^ateurs, excepté le premier (2), c'eft-à-dire qu'on mul«;
cipliera enfembîe les trois dénominateurs 3, 5, 7 ; puii
on multipliera leur produit 10^ par le numérateur t
cle la 1^'* fraftion , & le produit lOy fera le numér^r
teur de |a iff^ ïraâlon qui détiendra

121

ST. I^X \tVJk lléPUCTIOKé IJI

Pow avoir le DOmérateur de la 2^. nouyelle fradion;
Voû multipliera enfemble tous les dénominateurs ^ eie-
€epté le fécond (3) » c'tft«à-dire qu'on multipliera en«-
Amble les trois dénominateurs 2, ^,7, qui produis
IHMK 70 } puis on multipliera 70 par le numérateur a
de la 2^ fraction propofée, Se le produit 140 fera
le nutnérateur de la nouvelle féconde fraftion -^^
Ofi trouvera de mteie les numérateurs des detiz

aotfes fraftions qui feront ^l^ ^ ttI* ^^^^ ^^^ quatre
fraâîons |, |» ^ , j, étant réduites à la même déno-
«iBatfon> devi^nchonc celles-ci 7tI> îrl» Ml > îîl*

REMARQUÉ.

tji Par ces deux Problèmes on donnera même dé«
Dominateur à tant de fradions qu'on voudra, fa&s en
cfaangèi: la valeur; mais ces fraâion^ ne feront pas
toûjburs réduites aux moindres termes qu'elles peuvent
avoir j en confervant un dénominateur commun.

I^. Si parmi les fraftions réduites à leurs moia-
dres termes , telles que celles-ci }, |, |, yj il ne s^ea
crotive pas pluGeurs dont les dénominateurs ajeût
un divifeur commun : lorque ces fraâions feront ré-
duites à la même dénomination; les nouvelles frac-

^^^ïw Tié' T^> p» nB»5"'<^n aura, ne pourront point
être réduites à de moindres terihes, en coniervant lAi
dénominateiir coitimun.

20. Si parmi les fraâions qu^on fuppofe réduites à
leurs moindres termes, il sVn trouve plujfiours dont
les dénominateurs ayeat des diyifeurs comn>uns : lorll^

3ue toutes ces fraâions auront été réduites à la niêoie
énominatioii ; on pdurra les réduire à de moindres
.termes. Se leur conferver un dénominateur commun »
en divifant leurs numérateurs Se le dénominateur com •
fiiun, par les cooomuns divifeurs autant de fois moins
juie^ qu il y aura daos les preouéres frayions, de déao«

In

132 Ib.JJI. CAtfp-I. Dsf FrActioSÎ

minatcurs auxquels ces dîvifeurs feront commuai
Mais on doit remarquer que s'il y avoit des dirifeurs
compofés, il faudroit leur préférer, pour divifcr, leurs
fafteurs communs plus fimples, dans le cas où ils fe«
roîent communs à un plus grand nombre de dénomî-.
Dateurs. .En voici des exemples.

Si Ton a ces quatre fraftions -*, 5, |, j réduites à leun
plus fimples termes , parmi lefqucllcs il yen trois dont
les dénominateurs 2, 4, (5, font divifibles par 2 : lorf*
que toutes ces fradions feront réduites à la même dé-
nomination , & feront devenues jfl.-nV' ^» 1^ î ^^
pourra divifer le numérateur de chacune d'elles & le
dénominateur commun, deux fois de fuite par 2, ce
qui les réduira à celles-ci l?» îï> |^i "B*

Si Ton propofe ces quatre fraftions ^, ^, |, ^ que
Ton peut mettre fous cette forme it iji» i"3c7> I3<Txî •
-^quoique les dénominateurs 2x2, 2x2x3 de deux
d'entr'elles foient divifibles par le divifcur compoHS
2x2 ; on ne fera point ufage de ce divifeur compofé ;
parce que le divifeur fimple 2 eft commun à un plus
grand nombre de dénominateurs, que le compoGS
2 X 2 : & Ton remarquera que

lo. Les quatre dénominateurs 2, 2x2, 2x5, 2x2x3
peuvent être divifés par 2, & réduits à i, 2, 3, 2x3.
- 2®. Ces quatre termes réduits par la divifion , eil
contiennent encore deux favoir 2 & 2x3 qui peuvent
encore être divifés par 2 ; enforte que ces quatre ter-
mes font réduâiblesà i, i, 3, 3.

30. Enfin ces quatre nouveaux termes, en ren-
ferment encore deux , favoir 5 & 3 qui font divifi-
bles par 3*

Ainfi lorfquc les quatre fraftions propofécs ^,^, |, ^
feront réduites à la même dénomination, & feront
devenues -fH^l^^» ^» i^î ©" ^^^ réduira à leurs
moindres termes & on lour confervera un dénomi*

XT DB LEUB El&DUCTloy. fj)

mteur commun , en divifant leurs numérateurs 3c
dénominateurs , trois fois de fuite par 2 » ou uud
fois feulement par 8 , enfuite une fois par 2 , & en-
fin une fois par 5 , ce qui réduira ces quatre frac-
tions à ceHes-ci n> w» rr» "^ ^^ ^'®° ^^ V^^^ p'^*
réduire à de moindres termes , en leur confervant
an dénominateur commun.

LtsfraSions qu'on a propofé de réduire à la mimt déntH
wiruition , étotent toutes réduites à leurs moindres termes»
Lorjquon en propofera qui ne feront pas réduites à leurs
moindres termes , il fera toujours à propos de les y réduire
misant de leur dormir un mime dénominateur.

PROBLÈME.

62 Trouver les entiers qui Jont dans les fraSions.

Les opérations qu'on fera fur les fraâions, en feront
fourent réfulter d'autres fraâions dont les numérateurs
feront plus grands que leurs dénominateurs. Et comme
unefiraâion efl égaleà Tunité entière, lorfque Tes deux
termes font égaux; les fraâions contiendront autant
d'unités entières , que les numérateurs comiendront
de fois leurs dénominateurs.

Donc pour trouver le nombre des unités entières
contenues dans une fraâion ; il: faudra divifer vérita-
blement le numérateur parle dénominateur, 3c te quo«-
tient de cette divifion fera le nombre des unités entier
res contenues dans la fraâion, Â Tégard du refte de la
divifion s'il 7 en a, on en fera le numérateur dune
fraAion qui aura le divifeur pour dénominateur.

Par exemple -~ étant une fraâion propofée ; l'on
divifera le numérateur 18 par le dénominateur 4,
Se l'on aura pour quotient 4 unités entières avec un
refte 2; 3c ce refte étant divifé par le dénominateur 4,
donnera la fraâion | qu'on réduira à l ; enforte qua
la fraâioA ^ fera comyertie en 4 unités 8c ^ .

lu;

154 lh.lILChûp.n.DB £^ÂBBi7ioM

' . ' ... t.l ' M ^

CHAPITRE II.

Vi tJddiiion Sr 4^ k Sêujka9m des Ff^SSonu

NOvs renfermons dans ce Chapitre r^ddkion ^
la fpqftraâîon dt$ ff^âiaas ; parcQ que çe^ dçux**
fifpérations detBi^ndent If s mêmes prépaFatiqqs*

On ne pepc f^jouter enCemble, ou fouftf^it^ y^ril^
ipiewenc les unes des autres, que de^ qq^nii (es qui (qbM
compofées d'unités de U même efpéce. Ain^C ^s fr«c«>
tions ne peuvent erre ajoutées enfemble ou fouftraitec
les unes des autres, que quand leurs unkés fraftionnai-*
res font les mêmes ; & ppui? ce U il faut qu'elles ayciU
le môme dénominateur.

PROBLÈME.

03 -^i^^r tnfcmbU plufi^wrs Fra&onu

1 ®. Si les fraâions propofccs ont un même déno*
ininateur} on aura leur fomme, en faifant une nouvetl»
fiaâion de même dénominateur , qui aura pour numé-
rateur, la fomme de leurs numérateurs.
' Par exemple , fi Ton veut ajouter enfemble leff
fira^Kon» f > f , * qui ont le même dénominateur 7 }
on les regardera comme des nombres concrets , dont
ks unités propres font des fiptîimes; & Ton dira j
fipiîémes dg ^ Jêptîémes font j fiptiémes qui avec 6fep*
ùémn font 1 3 fiptiémes que l*on écrira ainfi , ^ : c*eft»
à-dirc qu'on ajoutera enfemble les trois numérateurs
^9^:9^9 & qoc Irar fomme 13 fera prife pour I0
Smmérateuf d'une fraâion à laquelle ou donnera te
dénominateur 7 commun à toutes 1^ fraftions
•i^ûrées ; & l'on aura l^ fiaftion ^ F^^? ^* fonjmç
demandée.

tZDEI.XSoU51ttACTI9NlarB&FftACTI0W« %^f

z^. Si les fcadioas qu'il faut ajouter cnfemble n'oa(

SAS le même dénominateur : on les réduira à la ipêm^
énominatioa (N^ $^& 60.); puisois additionnent
ces nouvelles fraâions ^ comme il vient d'ècre di(.

Par exemple (î Ton propofe d additionnor les
{radions t"» f"» "f" > "F î ^^^ ^^^ convertira en celles»
<4 îj?» ni » îll » îîl» qui on^ ^ «ïême dénominateuis,
Emuite on i^joûtera enfemble leurs numérateurs lo^^
i40,i(S8,fSoj& ayant appliqué à leur fomme $9 f
te dénominateur a 10, an aura une feule fraâion|f|
ég^lc à la fommc des fraftions Hi, lî|, if|, ^, c^uî
i(jpnt égales auiç quatre propofées.

De Vaddition de plujieurs fraSions , il réfultf fiumfif
^nefr48m dont k numératàir tji plus grand gue U dino^
mnatcuTé Un^ tdU fr^Sion étant plus grande que V unité
jfineipaley dût être réduite (N^. 62.) aux entiers %ueH§
i^nûent , & à une fraSion qu*elle peut conunir dt glus^

Par exemple nous venons de trouver que la femme i#f
trois jraSions -f » 7-» 7 1 ^^^î^ ^ dont le numéfdim i ]
€ontient le dénominateur 7 une fois avec un refte 6 ; atnji
uttefraSUon 7- peut être partagée en eu d$ux outra J 6r | j|
Sr vaut par conféquent i & | .

PROBLÈME.
04 S^flrmrt une fra&on ÔLune autre firoBiaîu

1^. Si les fraâions ont un même dénominateuf^
en les regardera comme des nombres concrets donr
les unités propres font égales ; & pour retrancher'
l'une de Tautrc , il n^y aura qu'à retrancher le nombre:
des unités propres de Tune 9 du nombre des unités
propres dé Tautre.

Or les mjmérateurs dt% fraéKons expitmcnt fesr,
nombres des unités propres qu'elles contiennent*.
Donc on aura le refte de la fouftraâioa , en* cctrao^
chant le numérateuc de Tune du numérateur die Tao^

1 111)

I ^^ Lty. III. Chap. IIL De lA McTLTiPLieATioK
tre ) & en appliquant au refte , le dénomioateur coni'^
mun aux deux firaâions ; parce que les unités reliante»
de la fouftraftion doivent être de même efpéce que
celles du nombre donc on a fondrait.

Par exemple fi Ton veut retrancher | de | ; on re-
tranchera 2 de 8 , & il reftera 6 qu'on prendra pour un
numérateur auquel on appliquera le même dénomina-
teur p ; âc Ton aura , pour le refte de la fouftraâioo »
la fradion | qui peut être réduite à la fradion j.

2?. Si les fraâions propofées ont dijQFérens déno«
tmnateurs ; on les réduira à la même dénomination;
Ettfuite on fouftraira Tune de Tautre » comme il a
été dit dans raxticle premier.

Par exemple fi Ton veut fouftraîre | de |; on réduira
d'abord ces deux fraâions à la même dénomination ,
& elles deviendront ^ & i! • Alors foudrayant le nu-
mérateur 1 4 du numérateur 1 8 ^ il reftera 4 ; Se appli«
quant à ce refte^le dénominateur 21; Ton aura ^ pour
le refle de la fouftraâioiu

mtmm

9'

CHAPITRE IIL

J?e la MuhiplicéUion Cxde la Dipifion des FraSions^

LEs multiplications Se divifions des fraâions par des
fraâions, ne font pas de fimples multiplications ni
de fimples divifions: ce font des opérations compofées
de la multiplication Se de la divifion des fraâions par
des nombres entiers , comme on le verra dans la fuite
de ce Chapitre. Ainfi avant de traiter de la multiplica*
tion & de la divifion des fraâions par des fraâions;
nous devons expliquer la multiplication & la divifioa
des fraâions , par des nombres entiers.

DSI FEACTidHÎ. V37

PROBLÊME.

6^ Multiplier une fraSion par un nombre entier.

Multiplier une fraftion par un nombre entier, par
exemple par 2, ou par 3, ou par 4, &c, c eft la répéter
a foisi ou 3 fois, ou 4 fois, &c, ou en général autant de
fois que le multiplicateur contient Tunité : ainfî c'eft
Jaire une fraftion a fois ou 3 fois ou 4 fois dcc auffi
grande que la fraâion propofée. Or on peut faire cette
opération en deux manières ; favoir en opérant fur le
numérateur feulement ^ ou en opérant fur le dénomi*!
Dateur feviemenr.

i^. Si Ton veut opérer fur le numérateur feule*
ment ; il faudra multiplier le numérateur de la frac-
tion propofée , par le nombre entier qui doit fervic
de multiplicateur ; Se appliquant à ce produit le dé«
nominateur de la fraâion propofée, on aura une nou-
velle fraâion qui fera le produit demandé : ce que Ton
comprendra aifément par Texemple fuivant.

Pour multiplier la fraftion |- par 4 ; on regar^-^
dera le multiplicande -^ comme un nombre concret
(2 neuvièmes) qu'on doit répéter 4 fois ; ainfi Ton dira
4 fois 2 neuyiimes font 8 neuvièmes , que 1 on écrira
ainfi -|- : c'eft-à-dire que l'on multipliera le numé-
rateur 2 par 4, éicque Ton aura le nombre 8 auquel
on appliquera le même dénominateur p ; ce qui don-;
nera \ pour le produit demandé.

ù?. Si Ton ne veut opérer que fur le dénominateur;
on divifera ce dénominateur par le multiplicateur pro-^
pofé ; & prenant le quotient pour le dénominateur
d'une nouvelle fraâion à laquelle on donnera le numé«
lateur de ia fraâion qui doit être multipliée ; la nou«
Telle Êraâion qui réfultera de cette opération, fera en«!
core le produit demandé 1 comme on va le prouver, .

1

ri^$ Vw.ïll Cksp.^ ï>MiAlliviTTfticÂnejK

Par exemple fi Ton doit multiplier -^ par 2 ; on
dÎTifera le dénominaceur 12 pas 2 ^ Se 1 on aura uno
nouvelle fsaâion j- pour le produit de -^ mulciplîÉ^
par 2.

Car l'unira principale étant diviftfe en deui fois
plus de parties dans la fraâion ^ que dans la £rae-*
tfon -|-9 les unités fraftionnaires de la fta^ion -|- ic«
font doubles de celles de la fraâîon -^ • Et comme ces
fraftions ont le même nombre de parties , celle | dont
les parties font doubles, fera double de Tautre-^.

Comme il eji toujours paffibU dt multiplier un nombre
fûT un autrey & quon ne peut pas toujours divifer un nomkrê
far un autre fans refte; iljera toàjours pofj^le défaite U^
multiplication (tune fraSion par un nombre entier y en mul*
tipliant fon numérateur par ee nombre entier ; mais on ne
pourra pas toujours multiplier une fraSion par u;n t^ombrs
Mtier, en divifantjon dénominateur par ce wmbu e$aia:^^

PROBLÈME.

Oq Piyifer ifne fraSion p^r ^n nombre entier.

IHvifer une fraâioa par qn nonbce entier, pat
•xemple par 2 , ou par 3 , ou par 4 , &c ; c'efi iàiro
«ne nouvelle fi*aâion qui foit 2 fois ou j fois ou ^
fois Aie plus petite que la fraâion qu^on veut divifec»
Or on peut faire cette opération en deux maniéret
diâSirentes ; en opérant fur te numérateur feulement »
ou en opérant fur le feul dénominateur.

le. Si Ton veut opérer fur te numérateur feulement t
H faudra divifer le numérateur de )a fraââon propoféc^
par le nombre entier qui doit fervir de divifeur ; Si
donnant au quotient le dénominateur de la firaâioa
propofée , Ton aura une nouvelle fraâion qui fera le
quotient demandé. Un exemple fufiira pour démoar
trec cette, opératioji.

Suppofoos qu^oQ ait la fraftion j- k dîvifer par 4 ,
on regardera te dividende -|-y comme un nombre con«
crée qui repréfente 8 imMi4mH 9f povi^ lo dîvifer par 4»
on dira le quar( de Q fuuviimîty çft évidemment 2 nc\im
viémes que Ton écrit ainfi y-. Donc la fraâion |- que
rpi) trouve» en divifent par 4 le numérateur de -|-, eft
^ideinment le quotient de la fraâion -y diviféé* ps^c
k nombre entier 4.

ao. Si Ton ne veut opérer ^ue fiis le feul dénomi-*'
nateuf ; op multiplier^ le dénominateur c)e la fraftion
par le divifeur prppofé : de prenapt 1^ produit pour le
dénomini^teur d'qne nouvcHç fr^^iqu à laquelle on
donnera le nuipérapeur de la fraftion propofée ; la
nouvelle fraftjoQ ^u on (ormçra fer^ encpre le quor
tiept demaqd^.

Par exemple fi rt>n propofe de divife^ la fraftion|
par 4 ; on ne touchera point à fon numérateur 69 as
Von multipliera feulement fon dénominateur 7 par 4;
ce qui donnera la fraftion ^ | pour le quotient de la
fraftton -^ divifée par 4»

Car Tunité principale étant divifife en quatre foli
flkis de parties dans la fraftioa ^ que dans la firac^
lioa f-; les unités fraftioamaUe; de U iraâion ^ n»
ftioat que des quatrièmes parties de celles do la
iHidion |-. £t comme cfs deux frayions ont le m£-
»f noipbre de parties ; celle ^ donc les parties fona
quatre lois plus petites, fera contpnue quatre fpis dans
Tautre 7-9 c'e^-à-dii» aptam; de fois qu'il f a d^unités
dans le divifeur 4.

Comme on peut toujours mubipfief» le iénomînatiur d'une
fraaionjfiif un mmbre emUr^ £f qw^ fowntat il u^eft poj
fofpjbk de divifer exaSem^ntJon numérateur funs rejlç: il
tfi clair qu*^on pourra toàjours dinfir une fraSion en mul^
$ipliant fin dénominateur , & qm*il ne JeM pai toii^ouri
foJlibU de la diyifer en diifijani fin num^ateur^

'14^ Lw. m Chaf. lit DX LA MuLTIFLICÂTIOir

? RO EL È ME.

6y Multiplier par une fraSïon.

. Multiplier par une fradiou , c^cfl multiplier par foa
numérateuTy & divifer enfuite par Ton dénominateur.

Pour le démontrer, fuppofons qu'on ait à multi-
plier une grandeur quelconque par la fraâion y- • St
au lieu de multiplier par la fraftion -p, on multiplie
par fon numérateur 2 ; Ton aura un produit triple de
celui qu'on doit avoir, parce qu'on aura multiplié par
un nombre triple de celui \ par lequel on deToic
inukiplier. AinG il faudra prendre le tiers de ce pro-
duit , c'e(l-à-dire le divifer par le dénominateur 5 ^
pour le réduire à la jufte valeur qu'il doit avoir.

Donc multiplier par une fraâion , c'eft multiplier
par fon numérateur > & divifer enfuite par fon déno-*
minateur.

O o Donc la multiplrcation par une fraAion dont le
Dumérateur eft l'unité , eft une véritable diviGon par
le dénominateur de cette fraftion. Par exemple^ les
multiplications par | , }, ^ &c , font de véritables divi-
lions, par les dénominateurs 2, 5, 4 &c de cesfraâions.
Car pour multiplier par -^ ou par -- ou par ^y if
faut (N^ 67.) multiplier d'abord par l'unité, ce qui
oe change rien à la quantité multipliée ; & il faut di*
srifer enfuite par a ou par 3 ou par 4.

VKOBLtMZ.

vp MuUïplhr une fraSion par une fraSion.

Ce problême peut être réfoiu en quatre manières
dont les trois premières peuvent avoir lieu en cercaiiu
cas ^ & donc la dcrmére eâ toujours poûible^

Dei FAACTioirsé 141

i^. On peut multiplier une fraâion par une firaç-»
f ion y en opérant feulement fur le numérateur de la
fradion multiplicande , Se par conféquent fans tiea
changer au dénominateur de cette fraâion.

2^. On peut multiplier une fraâion par une fraç«
tion ) en opérant feulement fur le dénominateur de
la première , ce qui ne change rien au numérateur
de cette fraâion.

3Û. On peut multiplier une fraâion par unefraq-^
tion » en opérant fur les deux termes de la fraâion
multiplicande , par voie de diviûon.

40. On peut multiplier une fraâion par une frac-
tion ) en opérant fur les deux termes de la première i
par iroie de multiplication.

Ces quatre manières de mtdtipUer une fraSion par una
fraSion , vont être espliquéeê & démontrées dans les quatre
Articles juivans.

L

Multiplier une fraSion par une fraSion^ en opérant
fiukment fur le numérateur da la fraâiùu que ton coii«
fidére xomme multiplicande.

On multipliera le numérateur de la fraâion mul-i
tiplicande par le numérateur de la fraâion multi«
pUcateur ; âc ayant diyifé ce produit par le dénomi«
nateur de la fraâion multiplicateur, on donnera au
quotient réfultantj le dénominateur du multiplicande |
Se Ton aura une fraâion égale au produit demandé»
ce que Ton peut aifément expliquer & démontrer
dans un exemple.

Suppofons qu'on ait ^à multiplier par j,

La fraâion pétant confidérée comme un.nombrt

concret 9 dixièmes^ on la multipliera d'abord par le nvh

roérateur 2 de la fraâion multiplicateur f-, en difaat

a fois 9 dixièmes font 1 8 dixièmes ou ^. Mais ayanc

.multiplié par 2 , on a multiplié par un nombre 3 fois

i^2 Ih. m. Ch4. ni Pi tA MlrÉtiPLicATloir

Itbp grand ; puitît^ Vàiï hé tfè¥ttit ifittltiplier qutf
par f-qUi éftte tiéi&aè ±. Dbfaé te ptOdUit i8 ^«HtAlli
iqu'ot) h trouve , feft brïffi 3 foii ttôp gràtad } aitifi il èh
faudra prttïdrt le tiers » cd le diVilèt ^i ^\ te féà
ktirâ tSéh^Hhe^s bb ^^ pour le véHtàMé prbdUic de ^
taultîplîé par I i

Si ron «xainiM léi ôpértitîôDi t|ti'6ti â faites poM
trouver le produit ^ réfulcant de lu ihtsIdpUticàtlÔh
de -^ par f ; àh MHhatqti<er« qute te dénôtoitiirtur du
Induit ^ elt lé toême que celui db multiplicàtidfe ^ ;
& que pour a voit te numértttfcuir 6 âttè produit t
Ton à ttaultiplië te immétâtebr àt te frafiion Aitilti-*
pliciEinde -^ par te numérateur 2 de te firàâiôci multi«
plicateur -f-, ce qui a produit 1 8 } & qâ'od à divifiS
te prodbît tS pat te débOihinateur i) de là teème
firaâf on tnuhiplicateut ^ ce qui à dcmnS 6 foM h
pumérateur du produit -^ • C. Q. F. D.

II.

Muitif^ knè fraSion pàt «m fraHitm en cpérëhi
feulement far le iénominateWt Jk là fraSim }iie Vân
^HhfiMrè t&fttnte fâultiplkatlde.

Oh ditritena te âéùéinihàxcat de la fraâ:iof) coo-^
fidérée comme mulriplkadde , pat le numérateur de
la fraftion confidérée eottime fniïltipltciate!ur ; puis (m
liiultiplieta le (Quotient pàt te dénominateur du mvA"
dpticatetrr ; Se prenant te produit pout te dénominé«
keur d'une fta&ion à làquelte on donûcraJe numé-
rateur du multiplicande ; cette fraâion fera le produit
des deux fraftions qu'on avoir à multiplier Tune par
l'autre; comme on va te prouver.

Suppofons qu'ont ait à mukipliér h fraâidn ^ pat
celle ^: en divifant le dénominateur i o de là pre-
tniére par le mimérateur 2 de la féconde > te première
fraâion ^ fera multipliée per 2 s (N^ ^5*) ; ainfi la

£raâ!oD réfultante f- fera triple de celle qu^oo de*
mande » puifqu'on aura multiplié par a qui éft triple
de la fraâion -p par laquelle on devoit hiultiplier ;
îl falidra donc divifer ce produit^- pair 3 qui tH là
dénominateur de la fraâion — . Or en tnuliiplfaut
ar 3 le dénominateur du produit -f-» c6 produit fera
ivifépar 3 (N^ j(5.). t)ônc la fradion réfultantef^
fera le véritable produit de la fraâioû ^ multipliée
par f-. C.Q.F.D.

I

s

Mibiplifr mejra0on par une fraHiony en dpérM
pMT voie de iiyîfion , fur les deux termes de laftàSion quê
ïcn eonfidére comrhe multiplicande.

On divifera le dénominateur d6 la premréfe pat

. le numérateur de la 2^. & le numérateur de la jpttt^

siiérè par le dénominateur de la ièconde ; &dt Cté

deux opérations, il réfukera une fraâion égale au

produit qu'on demande.

Pour le prouver , fuppofons qu'on ait ^ i multipe
plier par ~: on divifera d'abord le dénominateur 10
de la i^'S par le numérateur a de la 2^ âc par cttté
opération la fraâion -^ fera multipliée par 2 (N^.tfj.)*
JMais le projduit |-fera triple de celui qu'on demande ;
puifque le nombre 2 par lequel on aura multiplié , tft
triple de celui j- par lequel on de Voit multiplier.
Ce produit |- que Ton regardera côilime un nombrb
concret p eirtquîémes doit donc être divifé par ) ;
ainfi l'on dira le tiers de p cinquièmes e&. 3 cinquiéffièt
ou -y 9 Se cette fraâion y- fera le produit demandé.
Or il eft clair que par les opéràtiohs qu'ôû a faitet
pour avoir le produit j-, on a divifé le dénomina-
teur de la fraâion multiplicande par le numérateuc
de la fraâion multiplicateur , & le numérateur de
la i^'^9 par le dénominateur de la 2^ CQ^F.Dm^

^

144 IxV. UL Ckap. m. De la Multiflicàtiov

IV.

AluliîpUer une fraSlon par une fraSien , en opérant
par voie de multiplication ^ Jur les deux termes de lafracr
tion conjîdérée comme multiplicande.

Oq multipliera le numérateur de la première par
celui de la féconde, & le dénominateur de la première
par celui de la féconde : & la fraâion réfultante qui
aura pour numérateur, le produit dts deux numéra*
teurs^ Se pour dénominateur le produit des deux dé-
nominateurs , fera le produit demandé. En voici la
preuve.

Suppofons qu'on ait l^ à multiplier par j- : ii Ton
conûdére la fraâion multiplicande ';^ comme un nom-
bre concret p dixièmes , & qu'on la multiplie d'abord
par le numérateur 2 de la fraâion multiplicateur j-^
en difant 2 fois 9 dixièmes font 1 8 dixièmes ou y| ; ce
produit fera triple de celui qu'on demande , parce que
le nombre 2 par lequel on aura multiplié , eft triple
de la fraétion | par laquelle on devoir multiplier.

Il faudra donc divifer le produit 73 par le dénomîr
nateur 3 du multiplicateur -|-, pour le réduire à £1
juftc valeur : de c'eft ce qu'on fera (No. 66.) , eà
multipliant le dénominateur 10 par 3, ce qui donnera
la fraâion j| pour le produit demandé. Or il eft aifé
'de remarquer dans les opérations qu'on a faites , que
le numérateur 1 8 du produit j| , eft compofé de la
multiplication des numérateurs des deux fraftions pro-'
pofées; & que le dénominateur de ce produit ^ eft le
réfultat de la multiplication des dénominateurs des
mêmes fraftions. C Q. F. £>.

Corollaire.

yo 1 •. Puîfque (art. iv. de la multiplication d'une
iradion par une fraâion) , il réfulte pour le produit
une fraâion donc le numérateur eft le produit des

numérateurs

linmérateurs des deux fraftions qu'on multîpiie en-
fembfe , Se donc le dénominateur eft le produit de$
deux dénominateurs des mêmes fractions ; il eft claii:
qu'on pourra prendre pour multiplicande celle des
deux fraâions qu^dn voudra '; car les deux numéra-
teurs Tnuftipliés enfembie y Se les deux dénothinatèurs
multipliés Tun par l'autre , comme on Voudra ^ dorh\
i>eront toujours les mêmes produits.

a^. Un nombre entier pouvant être cônfideré éom->
me une fraftion dont il eft le numérateur, & dont le
dénominateur feft Tunité : lorfqu'on aura un entier à
multiplier par une fraâion, on pourra rapporter cette
opération à la multiplicatioii d'une firaétion par une
fraâion. Par exemple fi Ton doit multiplier 3 par f ;
on rapportera cette multiplication à celle de \ par |;
et l'on aura pour le produit — ou 2 & y.

30. Donc la multiplication d'tin entier paf une
fraéKon, par exemple de 3 par ^, eft la même
chofe que la tnùltiplication de la fraâion 7- par le
nombre entier j. Car 3 x f-ou |- x -y- eft égal
à -|- X -f- ou f- X 3.

PROBLÊME.

*

*7 1 Divijer par une fraSion.

Pour divifer par une fraftîon, îlfâut divifer par
fon numérateur , Se multiplier enfuite par fon déno-
minateur.

Pour le démontrer fuppofons qu'on ait une quan-
tité quelconque à divifer par la fraâion -^j Se que
Ton divife d'abord par le numérateur 3 de cette
fraâion : ce divifeur étant 4 fois trop grand » puif-
qo'on ne doit divifer que par le quart de 3 , donnera
• un quotient 4 fois trop petit ; ainû il faudra multi*-
. plier ce quotient par le dénominateur 4 de la même
fraâion, pour qu'il devienne tel qu^il doit être. Donc
Arithmitiqui. K

14^ Lit. m. Chef, ut T>E tk Divmoîr

pour diyifer par une fradion , il faut divifer par foU
numérateur 9 Se multiplier enfuite pat fon dénomi;
nateur. Ce qu'il fallait démontrer.

y 3 ' !•• Donc la divifion par une fraftion, paf
«exemple par -^, fe réduit à uo^ mulciplieation par
la fraftîon invcrfe ■*-•

Car on vi^nt de voir que pour divifer par la
fraâton ~, il faut divifer par | & multiplier enfuite
par 4 : or pour multiplier par la fraâion inverfe f-^
il faut faire précifément les mêmes opérations; c'e(V
è-dif e que (No. 6j il faut multiplier par 4 Se divi-
fer par 3.

a^. Il fuit delà que la divifion par une fraâion dcmt
le numérateur eft l'unité, eft une véritable multx-
jplicaiion par le dénominateur de cette fraâion. Car
pour divifer p^r les fraâions f» -f-» ~- &c» il faut
multiplier par les inverfes -|^, -f-> "î" ^c, c'cft-à-dirc
pat les nombres entiers a , 3 » 4 , &c.

PROBLÊME.
73 Diyifer une Jra3ion par une fraSion.

PBEMliijaB SOI.UT10N.

Puîfque (N^. 72.) la divifion par une fraAion fe
réduit à une multiplication par la fraftioa inverfe ;
lorfque Ton aura une fraâion à divifer par une frac-
tion ; par exemple ^ à divifer par ^ , & que l'on
aura bien diftingué la fraâion dividende ^ , de la
fraâion divifeur -|-; on renverfera les termes de cette
dernière, pour avoir fon invcrfe |-: enfuite on mul-
tipliera la fraftion dividende ^ , par celle |- inverfe
du divifeur, en opérant fuivant quelqu'une des qua-
tre méthodes expliquées au (N<». 5p.) de le prodttit

I
I
I •

^'oâ trouttra , fera le quotient de la fraftioti ^ <Ji«
vjfée par celle ^. Amfi le proHêtne fera rSCotia.

Dans la Jolution de ce problème^ on a choifi un txem^
fit où les quatre méthodes expliquées au {No. 6p.) peu*
tent avoir Heu pour multiplier la fraSion dMdende ^ par
lufraBlon inyerfe dudmjeur ."^ tes quatre méthodes ayant
été fuffifamment détaUUes^ il tfi inutile de ks explifuer iU
de nouveau.

Seconds Solution/

1^. Si la fraâion dividende & la fraSion dirijeur Mi
h mime dénominateur ; on divifera U numérateur du dwv^
dende parle numérateur dudivifvur ; ou bien on fera une
nouvelle fraStion qui aura pour numérateur^ It numéra^
teur de la première^ Sr pour dénomiHauur^ le numéru'^
teur de la féconde : ùr U quotient^ ou lafraBion qui réJuU
tera de cette opération , fera U quotient de la divifion de
ta fraShn dividende par la fraSion divijeur.

a^. Si la froBion dividende Gr UfraBlon divifeur n*ont pas
k nÊêmtdénominaitur;t>n les réduira (iV^. 59.)^ '^ mimé
éién9mînaiion^ & Von dhifera enjuîte lu première par Im
Joc9fide comme il vient dtitre dit. Aînfi ce jt^» cas fe
rapporte au i*^

Pour le démoatrtr fuppofô(i$ 1 ^. i^^on aît la frac«*
don ~k cfivker par la fraftion |-qui à mette déao^
tninateor que la première; & confidérons {N®. ja.)
ces deux fradious comme des nombres concrets
€ neuvièmes , 4 neuvièmes qui ont tous deux pour
unités propres éts neuvièmes ; la divifion de y- par -^
fc réduira (N«. 29.) à cherdher combien de fois le
^vidende 8 neuvhtnes contient le divifeur 4 neuvié^
mot , ce que 1 on trouirera (N^. ^9 & J o.) , en dîv'ifkii^
It sombre 8 des unités propres du dividende , par le
nombre 4 des unités propres du divifeur ; c'eft à-dim
en diWfaat le numérateur 8 de la fraâion dJYide.1-

148 IiV. III. Chdp.iy. DES Fkactions;

de ^, par le numérateur 4 de la fraftion divifcur fi
ce qui dbnncra le nombre entier 2 , pour le quotient

demandé.

a^. Si Ton avoit propofé la fraftion -f- à divilcr
par la fraftion -f , où le nombre concret 4 neupiémes
à divifcr par le concret de même efpéce 8 ntunémts ;
il auroit fallut divifer le nombre 4 des unités propres
du dividende , par le nombre 8 des unités propres
du divifeur, ce qui (No. 28.) auroit donné pour le
quotient, la fraÛion -f qui à pour numérateur, le
numérateur de la fraftion dividende |-, & pour dé-
nominateur le numérateur de la fraftion divifcur f-*
Ce quil falloit démontrer.

CHAPITRE IV.

Des FraSions de FraSîons*

„4 l^Ous avons vu dans le chapitre précédent
■ X^ qu'une fraftion eft une unité fraftionnaire

ou la colleftion de plulieurs unités fraftionnaires.
Soit qu'une fraftion contienne une ou pluGeurs uni-
tés fraftionnaires ) on peut la confidérer comme une
unité coUeftive ; & de même que l'unité principa-
le fe partage en plufieurs unités fraftionnaires , la
fraftion cônûdérée comme unité coUeftive, peut
être partagée en pluGeurs autres parties égales que
nous appellerons unités fraSionnaires de fraSion.

Une quantité qui vaut une ou plufieurs unités frac-
tionnaires de fraftion s'appelle /rafiion defraSion.

Par exemple fi Ton a une fraftion |, & qu'en la con-
jidérant comme une unité , on la partage en trois par-
ties égales ; chaque partie qui ne fera que le tiers de la
fraftion |, fera une unité fraftionnaire de fraftion >
& la quantité qui vaudra une ou plufieurs de ces unU
tés fraftionnaires fe nommera /raâion dejraSioru

DB Fractions. 149

Poar exprimer une fradion de fraâion y il faut deux
f radions entre lefquelles ont met Tarticle de. Aînfi
pour repréfencer les deux tiers de la fra Aion 4 9 Ton
écrit j ie I , & Ton dit , 2 tiers de $ fîxîémes.

Le dénominateur 3 de la première fraâion fait voie
en combien de parties la féconde fraâion eft divifée;
& le numérateur de la première fraâion marque conif-
bien on prend de ces parties de fraâion. •

De même que Ton partage une fraâion en plu-
fieurs parties égales , de que d'une ou de pluGcurs de
ces parties Ton fait une jraQion de fraSion ; de même
auflS Ton partage une fraâion de fraâion en plu-
fieurs parties égales » 8c Ton prend une ou plùûeurs
de ces nouvelles parties pour faire une fraâion de
fraâion defraSîon : Se ainô de fuite à Tinfîni.

Toutes ces efpéces différentes de fraâions de frac*^
lions s'écrivent les unes après les autres , en les fé-
parant par Tarticle de.

Par exemple C Ton a une fraâion |& qu'on en
prenne les 1, l'on dira^ deux tiers de cinq (ixiémes»
de l'on écrira \de^y qui eft une fraâion de fraâion.

Si l'on veut avoir les trois quarts de cette frao-
tîon de fraâion , Ton dira , trois quarts des deux tiers
de cinq fîxiémes» Se l'on écrira , | ie ^ iie |.

THÉORÈME.

yy UnefraSlion defraSion ejl égak au produit de la muh
tiplication des deux fraSions par lefquelles elle efi exprimée.

Prenons pour exemple la fraâion de fraâion | de |^
<]ui repréfente deux fois le tiers de cinq Gxiémes.

Nous avons dit y dans le Chapitre précédent , que
pour prendre le tiers |, il faut dtvîfer cette fraâion pac
3 : ainfi pour prendre deux fois (e tiers de la fraâion |„
il faudra la divifer par 3 , & multiplier le quotient par 24.
C eft à-dire multiplier Tun par ^a^tre, les deux dé&o^

K 11]

1(0 lii^* Ul ChéLf. W. D«s Fractions dv Fbac.

ininatciirs & tes dc8x numérateurs des frajfticxns | & | î
ce quidonncifa (fuivanc les regksde la multiplication
des fraâions ) le produit de ces mêmes frayions.

Donc une fraâion de fraâioa e{l égale au produit
de la mutûpHcacion des deux fraâions par lefquelles
eile efl exprimée.

7(S Donc là Êraâion de fra^Uon ^ ie ^ cft égale ft
!a ftaâion defraâioa \it\. Car une fraâion de fiac«
tion eft le produit àtt deux fraâions par iefqueUes
elle eft exprimée ; & ce produit fera toujours le mèoi^
Quel que foit l^arrangemem des deux fraâions.

COKO LLAlKE IL

77 Donc une fraâioQ de fraâioa de fraâion \ic\de^^^
0(1 égale à une fraâioa qui ^ pour numérateur le pro-»'
duit des numérateurs de toutes les frayions par lef-
quelles elle eft exprimée ^ & pour dénominateur le
IKoduit des dénomioateurs des mêmes fra£Uons«

Car la fraâion de fraâioo de fraâion \ie\it^^^^
les uois quarts de la fraâion de fraâion \it^ Ot
.cette fraâioo de fraâion eft égale à la fraâion -^^
eu H : donc la fraâion de fraâion de fraâion id^jd^^
eft égale à la fraâion de fraâion \ ifc|^ <w| rfei5.

Mais cette fraâion de fraâion | ^ jf J eft égale à la
fraâion ^^j^. Dow ta fraâion de fraâion de frac-
4100 1 4e^ 4f 1 eft duOi égale à ht fraâion ^^|^ qui a
pour numérateur, le produit des numérateurs de toutes
les fraâions par lesquelles la fraâion de fraâion de
fraâion eft exprimée, Se pour dénominateur, lo prch
doit des dénominateurs des mêmes fraâions.

On peut J4^r€ voir d€ la mime mamér$ qm toutes lu
fiêSimt dz fraMiom de fraSionx dt fraHions &c. quelqw
fpin quom Us pouffe , font égales à dêsJraQtians qui ont potst

nHïï^rgtiitJti ksfrQd0u 4c tons U^ ttumérateuf^ dtsfraSmt

Liv. m Chef. V. Dis Fft actioms 6£ci»alv9. 151

wmpofanus » & pour dénominateurs , kspr^4Ms dt foi^ Us
dénominateurs des mimes fraSions.

Comme tous Us numérateurs de ces fraSions donr^tont
toujours U mime produit , en quelqu ordre quon Us muUiptiê
(N^. 20. ), & qu'il en fera de nîime_,du prpduk de ipus U$
dénominateurs 3 U ejl elair que toutes Iss fraStiom dejjrae*
tions defraSions &c. â Cinfifû^ qui Jêr^nt eoMpefées de$
mimes fraSioris arrangées comme on vpudr^^fyr^t égaU$
entrelUs , puifqu elles Je réduiront à la mimeJiraSion.

r f
> ■ ■ ti 11 ^1 / ^ k

C H A P I T !t E V.

Df la RéduBioh des FraSions décimales qui font composées
Jtunejuite infinie de Périodes égales^ ^ ,\

^3 ]^r O U s avons déià va (N®* 47*) qu'use fuk^
L\ inûïiic de périodes décimales égales , eft jlf
quotient d'une diviûon dont le dividende eft ésal a
nombre repréiencé par les chiflTfei d'une péiit^tf
dont le divifeur eft eKpr Une pat. une futte de 9 en misir
me nombre que ks ^uresde la péciodê. Par eaàetfxple,
C,iiii6'c ^ tfiU Ç ipar^ . } f-y^.
0*2626 frc I quotient l z6par^ff. . . î .:. ï.'^ljr

o,4î04JO&'c y delà \^SOpar99^. HJ'i^
0|04f45 ffc idivifiori

0,0052? saâ&cj de iSiipar^pQdj . \^'^,^
& ainfi des autres.

Mais outre ces fradions décimalef qui font uni-
quement compofées de périodes égales ^ »L y en. a
d'autres qui indépendamment d'uM fuite infinie de
périodes égales > ooc encore un certain jûombre de
chiffres décimaux après lefquels Commencent les
pé;iodes^ égi^Ifts^ telles que celles-ci 0,1666 &r;
0,083 3 } Cri ; o>004 629 629 Ç^c

Le i®'^ Ojf 6(^6 (srs^ de ces fradions eft compoliSe
de O; i ou ^ , & d'une infinité de périodes de 6.

Kiiij

1 j 2 Xfv. IIL OiAf.'K. De la Réouctiow fro.

La 2^ o,o8 5 } 3 &c eft compofée d'une partie 0,08
qui vant -—^j & d'une iofiniré de périodes de 5.

La 3^. 0,604. 629 629 Crc eft compofée d'une
partie 0,004 qui fignific ^^, & d'une infinité de
l^ériodes de 629 : aînfi des autref. .
-' Or tous eesf nombre décimaux, & leurs femblables
Cuvent être réduits à de Amples fraâions, comme
&n va le voir dans le Problême fuivant.

<

PROBLÈME.

^9 Trouver uw^raQicnfimpUi iga^e à un nombre décimât
td aue QiOO/^.62^.62^ &ç compofi die quelques chij^ft
décimaux oui précèdent ifne fiiiu infinie de périodes égales^
1 ®. On rcpàreralâ fùire. infinie de périodes, d'avec les
'chiffres décitBaOx qûr tes précédent, pour faire dcu^
ïK>mbres décimaux de celui qui eil propoie; & Toxi aura

Jcs deux nombres décimaqx ^ ' ^ ^ ^ -,

' i o, 000 -oap 029 &c

-contenus ^laos^ tê nombre donné o, 004 62<f 629 &e.
. - Or-la piemiére partie (0,004) 9^^* fignifie 4 mil-
licmçs , eft égak à la fraflioR.^ .
' Là fecôude partie o^-ooo ($29 ^29 &c qui eft unr«
qucment compofée d'une fuite infinc de périodes
^galçs, eft égale à la fraftion^^(N^48,>

ponc^ fct forçmç dcs^ deux parties o, 004 Se
o, 000 ^29 <Î29 Grc, ou la fuite décimale propofée
-o , 004 ($29 (S 29 6r^V^ft égale à la fomme des dcu:^
iraâions ;j;4-^ 4 5-iiU .

roqo 999000 •,

2>«^ £nfUiteon donnera la même dénomination à ces^

jdi^ux fiaâions » en multipliant les deux termes de ta^

1*^^ par 999 ; & 1 on aura les deux ftaâions ^1^

^ 99ikô^ dont lia fomme -^{^ ( qu on réduiia^

^iTst ^n divifanç (es deux termes par k numérateu]:^
462 j ) fera la valeur dç la fradion' décimale propo-,
leç. 0,004 ^?> ^^9 ^^9 ^f*. - * *

ELEMENS

D'A R ITHMÉ TI^ UE.

L I V R E I V.

Des Opérations de V Arithmétique fur les
Nombres complexes.

'So ^ N fait fur les nombres complexes les

I mcmesopérationsquenousavonsfaites
I dans le Livre fécond fut les nombres in-
I complexes j c'eft-à-dire qu'on les ajou-
te , on les fouftrait , on les inultiplie , & on les divifc,
■' Si foo n'avott qu'une fone d^]ni[é pour toutes les
"grandeurs d'une m£me efpéce ; on ne pourroic pas ex-

Îirimer avec affei de jufteffe routes ces grandeurs par
es nombres, à moins que l'unité ne fut très-petite ;
mais alors il faudroh des nombres fort grands pour
exprimer ks grandeurs tes plus communes, ce qui
iieroic extrêmement incommode dans le commerce.
Par exemple fi l'on prenoic toujours le denier pouc
VQÏtc dans le compte des monnoles; les nombrcjs
pat lefquel^ on repréfénteroit les diSërentes femmes,
Kro^ent ^ 2 fois çltis gcandj ^u'çn |ireiiaai; le fol poi^-

ijf^ Liv. IF. Des Ofi^ÂTlùvs
FuDfrë y II ferolent 240 fois plus grands que il Toor
jprf nôic pcHir unité ta livre tournois.

Si Ton prenoit la livre pour runité & qu'on n'co
tut point d autres ; on ne pourroic pas compter tou*
les les fommes poflibles fans négliger quelque chofg
moindre à la vérité que la livre, mais cependant
aOee cor^iîdéraUe pour méritée qtron y iQt égards 8c
Yon de poufroit point j avoir égard fans ronipfe la
livre en différentes parties, ce qui demanderoft une
connoiflance particulière des fraâions donc TuCige
B*t(t pas familier à tout le 0U>nde.

Pour éviter ces deux inconvéniens, Ton eft con«
venu d'employer des unités de dijflférentes gràbdêurs>
pour une même efpéce.

Dans les. calculs des monnoies; on*fe fert ordi-
nairement de trois fortes d'unités, de la livre, du fol ^
Ik du denier. L'on prend aiifli pour tttiité ïétu qui vaut
3 lirre^, la piJloU qui vaut ho livres, le louis qui
vaut aujourd'hui 24. livres, & toutes les différentes
pièces de monnoie^ quf ont cours dans le'Conif*
flierce*

Dans les calculs de l'étendue des lignes ; l'ufage
A tes loix ont établi pour unités > la rof/è, )e inid^ le
pouC€9 la Ugne, Vaune^ h perche, & plufîeurs autres xnpr
iures dont l'étendue efl fixée relativement à .la toife*
Nous parlerons plus particulièrement de <:es meCu-
fta de de celles qui en réfultent, dans l'Article du
iToifé.

Dans les calculs des poids ; on prend pour unités
la livre ^ le marc , l'once , legra^j lejerupule ou iemerydc
le grain. Dans les grands poids « l'on prend pour unité
It quintal çpxi péfe 100 livres, & même le milUer qui
péfe ] 000 livres.

Dans les calculs du temps ; on prend pour unités
Vannée i le mois ^ le jour ^ V heure ^ la minute^ h féconde^

la tierce , &c. On prend auffi pour unités la femMie
qui eft de 7 |ourS| & h^fiétk ()ut oft de 100 an-;

nées.

Datis les e^ateuls des angles Se des arcs de cercles ;
on prend poar unités le 4e^r/, la mimuiet la fécondé^
Iztknty &c« L'on prend auffi poâr unités lesjigrtês
qui contiennent chacun trente degrés. • • •

Enfin pour le oatcul de chaque efpéce de cho/e$
on prend pour utiités les grandeurs de quelques par-,
ties connues de la même efpéce.

Lorfqu'on a des nombres compofés de différentes
unités, la coUeâion de ces nommes s'appelle nombre
complexe. Par exemple la collection des trois nombres
fuivans» 12 livres, ij /ois 8 deniers ^ eft un nombre
complexe. Ces quatre autres nombres» 2^ toifes
4 pieds ^ pouces 10 lignes ^ çompofenc au$ 1)0 npA*
bre complexe.

%

V^kHTS de différentes uniiés de fulqnéi e/péçes^ & ciU'ai^^

teres par le/queU m ^ftmgm ces diJféfonte$

M^nkis Us ^nes àts aHtre$.

POUA LMS MONMOISS*

' ^goi^e • . • livre |i livre va^^ ^ofisiis

^ • é . folji iol vant 14 dénie»

f^ ••••••, dénier}

Pour les Poids.

tk figrûfie « é . llvresiïbpc^sdeA^ifaifeimaios
M ^ « • * • . « maiclx marc vaut S onces
O #11 â ..«••. aoce 1 1 once • . • • • 8 gros
G oa^ . . . ^ ^ gros 1 1 gros» 3 den. ou 5 fcrupulos
X> ou ^ denier cufcrupule 1 denieiE • • ^ a^graim
g « • grain

If ^ W. IV* Chap. L Db l'A dd it I o h

l'Étendu! pbs Lignes.

I toife vaut 6 pieds
I pied vaut 1 2 pouces
i pouce • • • 12 lignes
1 ligne • • • 12 points
I aune vaut ^^ jp lo lignes
^ 5 fixiémesi de ligne*.

:T Jignifa toife

P ..«•«• pied

p •••••• pouce

L ...... ligne

v4 • • « ^ • • aune

•^mmm^mmmm-m^m^f.mt^^^

CHAPITRE PREMIER-

De VAddtthn dei Namhres complexesi

NOus avons déjà dit » en parlant de Tadditibn des
nombres incomplexes, que l'addition eft une
opération par laquelle on trouve un nombre égal à
la fomme de plufieurs autres nombres. Nous avons
fait voir enfulte que les nombres additionnés doivent
avoir des unités de la même efpéce , Se que de leur
addition il réfulte une fomme dont les unités foas
encore de la même efpéce.

Il en eft de même des nombres complexes. Car
quoique les unités de toutes Teurs parties , ne foieqc
^ point abfolument les mêmes, elles doivent être ré-
duâibles à des unités femblab^es ; c'eft*à dire qu'un,
certain nombre d'unités de Tefoéce la moins confît
dérable ^ doit compofer une unité d'une autre partie
dont Tefpéce cÛ plus grande. Nous en avons vu
affez d'exemples dans Texpolition que nous venons
de faire des valeurs des différentes unités de quelques
efpéces , & des caraâere$ pv lefquels on les diAiaguct
les upes des autres..

P RO B L Ê M E.

o I Ajoàter enjembli plujîeurs nombres complexes.

On écrira les uns fous les autres tous les nombres
complexes qu'on doit ajouter ; de manière que toutes
les parties dont les unités font femblables, foient dans
une même colonne verticale ; & que tous les chiffres
de même degré dans la progreffion décuple 9 foienc
auffi les uns fous les autres.

Tous les nombres complexes étant atnfi difpofés,
& ayant tiré une barre horifontale au-deffous y pour
les féparer de leur fommc; on commencera pat
ajouter enfemble toutes les parties dont les unités
font de la plus bafle efpéce : Se dit nombre de ces
unités affemblées eft aifez grand pour valoir une ou
plufieurs unités de Tefpéce fupérieure ; on retiendra
ces unités fupérieures pour les ajouter avec celles de
la colonne fuivante ; & Ton écrira au-defTous de la
colonne dont on a fait Taddition , le nombre des
unités qui ne pourront point compofer une unité de
rcfpéce fupérieure.

On fera la même opération pour chaque colonne ;
& lorfque toutes les colonnes feront ajoutées > on
trouvera au delTous de la barre » la fomme des quan-<
tirés complexes qu'on devoit addirionner.

Pour faciliter l'application de ce Problême , on en
va donner diâFérens exemples; fur los monnoies , en
prennant pour unités la liyre flefolâc le denier ; fuc
j'étendue, en prenant pour unités la toife^ le pied 9 le
pouce Se la ligne ; & fur les poids , en prenant pour unL«
tés le marc f Tonce, le graj, le denier 8c le graîn. On
déduira aifément de ces exemples Tapplication du
même Problême à des nombres complexes compofés
d'unités de toute autre efpéce.

t^$ Lij^. IV. Ckap.Z Dé VAr^BiTioti

EXJS MFZM ^MMMÏMX.

^ On propofe défaire V addition des quatre nombres com^
puâtes Jiiùyam » ot$ pUiiéi des fMirtjommeêfuivtaUes , dùiu
^hatunt efi nmpofée de lirres » fob & deniers.

387»

«p.

Scmmtî iii^(Attr\ ^^^

la^

%^

^9

XX

«7

10

'P

9

106

a*

Somme totale 66oS^

i\ Les deniers étant les unîtes de la plus balld
éfpéce , on commeneera par les ajouter enfemble ;
êc comme les dixaines de deniers ne font pas des
tinités particulières, 8c qu'il faut 12^ pour i fol ; on
ajoutera enfemble non-feulement tous les deniers »
mais encore ks diMines de deniers 9 pour ne Aire

tout qu'aune même fomme de deniers. On dira
: 8 deniers Se 11^ font ip*^, & 10^ font 29^,
& $^ font 3 8^ : & comme dans 38^ il y a 5 fois
12 deniers qui font 3 fols, avec 1 deniers de plus ;
on écrira 2 deniers au -de/Tous de la barre dans la
colonne des deniers , 8c Ton retiendra 3 fols pour les
ajouter avec la colonne fuivante.

2^. Comme 2 dixaines de fols font une livre , 8c
que nous avons des unités de fols dont raflemblagé
peut faire des dizaines de fols ; nous ajouterons la
colonne des fols en deux fois, 8c nous commence-
rons par Taddition des nombres (impies de fols.
Nous dirons donc : 3 fols que nous avons retenus
do h colonne âts deniers, 8c 2 fols font y^, 8c 9^,
font 14*, 8c 7^ font ai*^, & p^ font 30^^, ou j
dixaines de fols & lien déplus. Ainfi nous poferons

un zéro dans la colonne des nombres fimples de
fols 9 Se nous retiendrons 3 pour le joindre avec les
dizaines de fols que nous devons additionner. Nous
dirons donc : ^ dixaines de fols que nous avons iq^
tenues, 8c 1 dixaine font 4 dixaines, de 1 dixaine
font ^ dixaines, Se i dixaine font 6 dixaines, & i
dixaine font 7 dixaines de fols ; Se comme 2 dixaines
de fols valent 1 livre , les 7 dixaines de fols feront 3
livres & i dixaine de fols. Nous poferons donc i
dans la colonne des dixaines de fols, & nous retiens
drons 3 livres peur les ajouter avec les livres.

:) ^. Paffant à la colonne des livres fimples , on
dira : j> qu'on a retenues de la colonne des dixaines
de fols, & 7* font 10*, & p*font ip», Se 6* font
^5*, & 5* font ^8*, danslefquellesilya 2 dixaines
de livres, Se S' de plus : ainfi Ton écrira les 8^ dans
Ja colonne des livres fimples, & Ton retiendra 2
dixaines pour les ajouter avec celles de la colonne
fuivante.

Le refte de l'opération fe fera comme nous Ta*
Vons expliqué pour l'addition des nombres incom-*
plexes} & l'on trouvera pour la fomme totale

Ex MM P ZS IL

On propofe ttajoûter enfemhle ces cinq Jommes de
monnaies.

itfp* p^^ 10**
48 7 II

57 8 8

S^6 %6 7

Somma totale 441* 07" jf^

En opérant comme dans Texemple précédent, Ton
trouvera pour la fomme totale 44 1* 07^^ p*".

,1 6o Lîy. IF. Chap. LDe l'A dd i y i o k

E X M M p z s 1 1 L

Pour rÉtendue.
On propofc d^ajouter tnfimbU ces quatre fommeiê

14* J 9 9

6j 2 10 S

78 3 II II

Somme totale 323^ J-P 3/^ a-t

Comme les lignes font les unités de la plus bafle
efpéce, on additionnera d'abord la colonne des lignes»
endifant: loI» & pL font ip^, & SL font 27 J^,
de 11-^ font 38^» dans lefquelles il y a 36 lignes»
c'eft-à-dire 3 douzaines de lignes qui font 3 pouces,
avec 2L de plus : ainfi Ton écrira 2^ dans la colonne
des lignes, & Ton retiendra 3p pour les ajouter avec
la Colonne des pouces.

Paflant à la colonne des pouces » Ton dira : jp
qu'on a retenus de la colonne des lignes j & 6p
font 9p, & pp font iSp^ de lop font 28/?, <k 1 ip
font 3p/^, dans lefquels il y a 3 douzaines de pouces
qui valent 3 pieds, avec 3 pouces de plus : ainfi Ton
écrira 3 pouces dans la colonne des pouces, Se
Ton retiendra 3 pieds pour les ajouter avec la colonne
des pieds.

Paflant à la colonne des pieds , Ton dira : 3 pieds
qu'on a retenus & 4 pieds font 7 pieds ^ 6c $P font
12P, & 2P font 14P, & 3P font 17P, dani lefquels
il 7 a 2 fois 6 pieds qui valent 2 toifes, & 5 pieds
de plus : ainfi l'on retiendra 2 toifes pour les joindre
à la colonne des toifes, ôc Ton écrira 5P dans U

colonne des pi«ds.

Paflant

l>Sf NottB&Bt COKFtKXHS/ iSl

iPafTant à raddition de la colonne des toifes, Tor
dira : 2 toifes qu'on a retenues âc tX font ^"^^ Se 4I*
font Sr, Se 7T font 1 yT", c& 8^ font 2 3^, dans Ict
quelles il y a 2 dixaines de toifes Se 3 toifes de plus :
ainG Ton écrira 3 toifes dans la colonne des toifes,
Se Ton retiendra 2 dixaines de toifes pour les join-
dre à la colonne des dixaines de toifes qui fuit.

On achèvera l'addition comme il a été dit dans
l'addition des quantités incomplexes » Se l'on trouvera
pour la fomme totale 9 323^ $P ^p 2K

E X s M P Z £ IV*

Pour les Poids.
Onpropofe i'ajoâier tnfimbU ces quatre fomtnes iePoiism

3yM 2O 4G 2D AOg

168 3 7 a a3

944 7 6 I 10

47P tf 4 r 9

Sèmme Malt i^aSM 4O 7G 2D 14g

Les grains étant les unités de la plus balfe efpece^
on commencera par l'addition de la colonne dea
grains I & l'on dira : 20g Se 23g font 4^g, Se log
font 5 3g 9 & Pg font 62g ^ dans lefquels il y a 2 fois
a ^g qui valent 2 fcrupules ou 2 deniers , avec 1 4g de
plus: ainfi l'on écrira 14g dans la colonne des grains.
Se l'on réfervera les 2 deniers ou fcrupules pour les
joindre avec la colonne des deniers ou fcrupules.

Païïant à la colonne des deniers , on y trouvera 6D^
qui avec les 2D qu'on a retenus de celle des grains ,
font 8D dans lefquels il y a 2 fois 3 deniers qui va«
lent 2 gros avec 2 deniers de relie : aiafi l'on écrira
a deniers ou 2 fcrupules dans la «aloane des deniers
^mhmitifie. L

11?! Lîi^. ly. Chap. IL Ds zk Soun'&Acnoir

ou fcrupules 9 Se l'on redecidra 2 pour la coioanci
des gros.

Paflant à la colonne des gros, ic ajoutant avec elle
les 2 gros qu'on a retenus, on y trouvera 23 G dans
lefquels on aura 2 fois 8 gros qui valent 2 onces»
avec 7 gros de plus : ainfi Ion placera jG dans la
colonne des gros, & Ton retiendra 2 onces pour
les joindre à la colonne des onces.

Paflant à la colonne des onces, 8c ajoutant avee
elle les 2 onces qu'on vient de retenir^ on trouvera
SLO onces , ou 2 fois S onces qui font 2 marcs ou
u unités de la colonne fuivante, avec 4 onces de
plus : ainfi Ton écrira 4 onces dans la' colonne des
onces. Se Ton retiendra 2 marcs pour Its joindre
avec celle des marcs.

PafTant à la colonne des (impies marcs , Se ajou-
tant avec elle les 2 marcs qu^on vient de retenir, on
aura 28 marcs, c'efl-à-dire 2 dixaines de marcs & 8
marcs de plus : ainfi Ton écrira 8 marcs dans la colon-
ne des fimples marcs, & Ton retiendra 2 dixaines de
marcs pour les ajouter avec la colonne des dixaines
de marcs. Le refte de Topération fe réduit i l'addi-
tion des nombres incomplexes.

L'opération étant entièrement faite , on trouvera
que la fooune totale eft i6a8M 4O jG 2D 14g;

CHAPITRE IL

De U Soujhraâion des nombres complexes.

Ous avons déjà dît, en parlant des nombres
incomplexes, que la foufl^raâion eft une opéra^
tion par laquelle on retranche une quantité d'une au*
tre. Il faut donc que la quantité que l'on propofera
de retrancher foie contenue dans celle donc on vou-«^

N

étt la fou/lraife ; Se par conféqueot ces deux quan*
cités doivent être de la même efpecc , ou être léduc-»
ûbles à la même efpece.

11 eo e(l de même des nombres complexes. L'on
fie poorrok pas fbuftraire une quantité d'une autre f
û lune & l'autre n'écoiant pas de la même efpece»
ou fi elles ne pouvoient pas être réduites toutes les
deux à la même efpece. Par exemple on ne pourroic
point retrancher une quantité compofée de differeni
poids 9 d'une autre quantité qui ne contiendroic que
des toifes & des parties de la toife ; mais on pourra
toujours fouftraire des toifes ou des parties connues
de la toife, d'une autre quantité qui ne fêta compofée
ique de toîfts & de parties de la toife»

PROBLÈME.

o2 Sduftraire un nombre complexe £un autre nombre
complexe ou încompkxe»

On difpofera les parties de la quantité qu'on vent
fouftraire, au-deffous des parties fembiables de U
quantité dont on doit fouftraire, en obfervant de
mettre les unités 9 dixaînesy centaines, ftC| des par*^
ties d'une efpece, fous les unités, dixaines, centai*
nés, &c , de la même efpece { puis on tirera une barre
au-deflbus de ces nombres pour les féparer du refte.
Enfuite on retranchera chaque partie de la quantité
qui doit être fouftraite, de chaque partie correfpon^
dante de l'autre quantité , en commençant par Us
parties de la plus baffe efpece , & en paflfant de celles-
ci à celles qui font d'une efpece immédiateaiem plus
grande ; âc de celles-ci l'on paiTera à d'autres d'une es-
pèce encore immédiatement plus grande ; êc toujours
ainû de fuite , jufqu'i ce que toutes les parties de la
cuantitS qu'on doit retranchi^^ foicnt foufttaiees^

Si le nombra des parties que Ton doit retranche^
cft moindre que le nombre des parties corrcfpon-
dantes de l'autre quantité ; il n'y aura aucune diflS^-
cultépour les retrancher, & l'on écrira k reftc au-
deiTous de la barre dans la même colonne où font

ces parties.

Mais G l'on rencontre dans le nombre inférieur
qu'on doit retrancher, des parties dont le nombre
foit plus grand que celui des parties correfpondantes
du nombre fupéricur; on empruntera, dans le nom-
bre fupérieur , une unité fur les parties fuivantes qui
font d'une efpece immédiatement plus grande : puis
ayant réduit cette unité en parties de même efpece
que celles dont il faut fouftraire , on les ajoutera à
ces dernières, qui par cette addition feront en afTes
grand nombre y pour qu'on en puiflc fouftraire le
nombre des parties qu'on ne pouvoit point retra»?
cher auparavant.

On fera la même opération pour toutes les efpe-^
ces de parties qui feront en plus grand nombre que
les correfpondantes de l'autre quantité dont on doit
fouftraire , en obfervant que le nombre fur lequel oa
aura emprunté une unité , fera diminué de la même
unité.

Exemple exemisk»

Nombre complexe dont il faut fouftraire I P9* I 6^
Nombre complexe qu il faut Joujlr aire 98 14 lO

Différence ou refie de la SouJlraSion 100* d" 8*^

Pour trouver le refte de cette fouftraâion, loa
commencera par fouftraire les deniers qui font les
parties de la plus bafle efpece. Mais comme les 10 de*
ciers qu'il faut fouftraire, ne font pas contenus dans
les 6 deniers corrpfpondans du nombre fupérieur.

i>i$ Nombres complexes. i^^
on empruntera i fol fur ce qu'il y a de fols dans le
nombre fupérîeur ; & ayant converti ce fol en 1 2 de-
niers, on l'ajoutera avec les 6 deniers que Ton a dé à^
ce qui fera 18 deniers dont on retranchera facilemenc
1*0 deniers ; 3c il reftera 8 deniers qu'on écrira au-
deffous pour le refte des deniers.

Paffant à la colonne des fols, on aura 14 fols à
retrancher de rien y parce que le fol qui fe trouvoît
dans le nombre fupérieur, a été emprunté Se employé
dans les deniers : ainfi on empruntera 1 livre fur le
nombre fupérieur des livres ; 3c ayant converti cette
livre en 20", on en retranchera 14.* ; & il reftera 6^
qu'on écrira au-deflbus pour le refte des fols.

Paftant aux unités (impies des livres, on aura 8 livres
à foudraire de 8 livres, (à caufc que Tunité qui a été
empruntée fur le chiffre 9 y pour la porter à la colonne
des fols, a réduit ce chiffre à 8) ; & il reftera zéro.

Continuant la fouftraâion comme on a fait pour
les grandeurs incomplexes, Toa trouvera pour le refte
demande loo* 6^^ 8^.

E X £ M p zà IL

Nombre complexe dont il faut Joujhraire 40* o" 8^
Nombre complexe qu*il jaut foujiraire p 16 II

Différence ou refte de la SouftraSion 30* 3^ 5^*^

Les 1 1 deniers qu'il faut fouftraîre, ne pouvant pas
être retranchés de 8 deniers qui font au-deflus , & les
fols & unités Gmples des livres ne pouvant rien prê-
ter, puifque ce font des zéros; Ton empruntera une
dixaine de livres, dont on laiffera p livres au rang des
livres, & ip fols au rang des fols ; ôc le fol reftanc
converti en 12 deniers, étant ajouté aux 8 deniers >
en aura 20 d: d ers dont on fouftraira 1 1 deniers j 5c
il Swftera p deniers qu'on écrira au-defTous*

L lij

i66 Lîp. IV. Chap. Il Djs la SoastRicnoy

Le refte de Topération fe réduira à foudraire y
livres i6 fob de 3P livres 19 fols ; ce que l'on fera
en fuivanc les règles ci*devanc expliquées

r

E X MMP LM IlL

Nombre compUxi dont il faut fouftrain lOoX yP op^
Nombre complexe quil faut fouftraire 91 ^ 1 1

DiJ^érence ou rtfie de la SouJlraSion a^ jP ijp

Ayant dîfpofé les deux nombres comme il a été
dît, Ion aura 1 tp à retrancher de op. Comme cela ne
fe peut pas, on empruntera une unité fur les pieds »
Se l'ayant convertie en 12 pouces, on en retranchera
les 1 1 pouces ; & il reftera 1 pouce qu*on écrira
au-deffous.

Paflant aux pieds, l'on y trouvera jP à retrancher
de 4P , parce que les 5P du nombre fupérieur ont
prêté I P. Comme cela eft impoffible, on empruntera
1 toife qui étant convertie en 6 pieds fera ajoâtéc
aux 4 pieds, ce qui fera 10 pieds dont on retran«
chera j pieds; & il reftera j pieds qu'on écrira aur
deiTous pour le refte des pieds.

On achèvera l'opération fuivant les règles pré-
cédemment expliquées pour les nombres iocomr
pkxes*

Ex £M PLS IV.

T

Nombre dont il faut foujiraire \6th 12O jG jg
Nombre quil faut fouftraire 8 15 7 40

Rejh de la Souflradion 'jXb 1 aO 7G 3^5^

Como^nçant par les grains qui {ont les poids de
la moindre elpecc » Ton aura 40 graias à iouftrairc

Z>ZS NOMB&BS COMPLBXSS. '167

de 7 graim, ce qui ne fc peut pas : ainfi Ton emprun*
tera 1 gros qui vaut 72 grains lefquels étant joints
à 7 grains donneront 79 grains dont on retranchera
40 grains ; & il refiera 59 grains que Ton écrira au«
deHbus.

PafTant à la colonne des gros, Ton aura 7 gros à
retrancher de 6 gros> parce que les 7 gros du nom-*
bre fupérieur en ont prêté un» Comme cela ne fe peuC
pas» on emprunterai once qui vaut 8 gros,& joi-]
gnant ces 8 gros aux 6 gros. Ton aura 14 gros donc
on retranchera les 7 gros du nombre inférieur ; & il
reftera 7 gros que Ton écrira au-deflbus.

Pa{!anc a la colonne des onces, l'on aura 1 5 onces
à fouftraire des 1 1 onees , parce que les 1 2 d'en haut
en ont prêté une. Comme cela ne fe peut pas , on em«
prUDtera i livre qui vaut 1^ onces, & qui étant join-
te à 1 1 onces fera 37 onces dont on pourra retran-
cher les I ^ onces du nombre inférieur ; & il refte^
la 1 2 onces qu^on écrira au^defTous pour le reile des
oDces.

Enfin pafTant à la colonne des livret, on aura 8
Kvres à fouftraire de 1 5 livres, parce que les 6 livres
tn ont prêté une ; & il reftera 7 livres qu'on écrirai
M'^defTous pour le refte des livres.

Comme il n'y a plus rien à fouftraire, Sc que tout te
ï>ombre fupérieur a été employé , la fooftraftion eft
faire, Se fon rcftc eft de jVb 12O 7O 59g.

On â, détûillé àATLs ces 4 excmplei toutes les petites dif^
JisuUés quon peut trouver dans la fouJlraSiort des nombres
4omplex4s , fait dans U paffage d'une colonne à Vautre ;
fâi pêur les emprunts f dans le cas où les parties à fouf^
êrairefont en plus grand nombre que celles dont il faut les
fôujtraire. Comme les taifonnemens qu il faudra faire^ lorj^
fttil so^ra de fouftraire d^ autres quantités complexes com-^ *
pojées de parties dij^érentes de cfUes que .nous avons prifei

ir • • • •

Liuj

'i68 Liv.lKChAp.ULT>E hx Multiplicatioit

pour exempUs , feront (emblablts à ceux que nous avont
faits s nous avpns lieu it croire que ces exemples font fuffi^
Jans pour Ken faire ennnàre la règle générale de la fouf^
traShn des nombres complexes , Gr qu'il nejl. pas bejcim
d'en donner un plus grand nombre^

CHAPITRE IIL

De la Multiplication des Nombres complexes^

8> T A muîtîplîcatîon par cïcs nombres complexes^
1^ fe fait en mulripliaot 1% multiplicande pac
toutes les parties du multiplicateur: mais comme le
multiplicateur, lorfqu'il eft complexe, a des parties
moindres que fon unité principale ; & que chacune
de fes unités principales ^ marque qu'il faut prendre
le multiplicande une fois , les parties du multiplica-
teur, qui feront moindres que Tunité principale, mar-
queront qu'il ne faut prendre le multiplicande qu'une
partie de fois. Pour rendre les règles de la multipli-
cation des nombres complexes plus intelligibles, nous
les expliquerons par différens exemples aufquels nous
en ferons Tapplication.

La multiplication étant une opération par laquelle
on répète le multiplicande un certain nombre de fois
exprimé par le nombre des unkés principales du mul-
tiplicateur ; on doit regarder le multiplicateur comme
«in nombre abfolu, lors même qu'il eft appliqué à
la numération d'une efpece particulière d'unités,
comme nous l'avons expliqué dans la multiplicatioa
des nombres incomplexes ; & les unités du produit
doivçnt par coniéquem être de la même efpece ^ue
«cUcs du oaultipUcaudc*

DIS NOMBEES COMPLEXES. l6^

PROBLÊME.

S4 Onpropofe de multipUer 5 1 8* 1 4^^ 8^ muhtpUeandt

Par 74 -^ multipLUattur

4 a07a*

70 ^626

Produits par- Jio^ 37

ikuUmpowr 1 4^ 14 16^^

8^ a 9 4«^

4

I2P 1} 8

Produit total 38515*1^^^.

Pour multiplier dans un ordre convenable & régu^
lier toutes les parties du multiplicande propofé , par
toutes les parties du multiplicateur ; on commencera
par multiplier tout le multiplicande par 74, enfuite oa
multipliera le même multiplicande par la fraâion \.

Mais le multiplicande j 1 8^ 14^^ 8*^ étant compofé
de trois parties , il faudra multiplier ces trois parties
les unes après les autres par 74.

1 ®. Pour multiplier y 1 8* par 74, Ton opérera com-
me on a fait pour les nombres incomplexes ; c'efi-à-
dire qu'on multipliera d'abord 518^ par 4 unités, 3c
qu'on multipliera enfuite le même nombre 518^ par
7 dixaines ; ce qui donnera ces deux produits particu*
liers a07a unités de livre , & ^626 dixaines de livre,
qi|i feront placés comme on le voit dans l'exemple.

fl^. Pour multiplier 14*^ par 74, on partagera 14^
en ps^rties qui putÎTent être contenues chacune un cer«
tain nombre de fois dans la livre qui eft l'unité princi*
pale du multiplicande. Ces parties feront lof^ & ^^
qu'on multipliera fcparément par 74%

i7o Liv. jy. Ckap. IIL Di ta M0LTiPLicâTioiT

Pour mulciplior i o" par 74 » on remarquera que
10^ eft la moitié d'une livre, de qu'une livre entière
étant multipliée par 74 donneroît 74 livres; d'où l'oa
conclura que la mouié d'une livre ou 10^ ne doit
donner que la moitié de 74*, c'eft-à-dîre 37*.

Pour multiplier 4" par 74 , on remarquera que 4"
ZïtR que la cinquième partie d'une livre, & que i
livre multipliée par 74 donnant 74' ^ la cinquième
partie de 1* ou 4" multipliés par 74, ne doivent
donner que la cinquième partie de 74^ qui eft 14^
1 6^^ : car la cinquième partie de 74^ eft 1 4^^ & il refte
4* qui valent 80^^ dont la cinquième partie eft 1 6^.

3®, Pour multiplier 8 deniers par 74, on pourra
remarquer que 8 deniers ne font que la trentième par-
tie d'une livre ^ & que 8 deniers multipliés par 74 ne
doivent par conféquent produire que la trentième
partie de 74^ : ainfi l'on pourroit prendre la trenciéme
partie do multiplicateur 74, confidéré comme oû
nombre de livres-
Mais au lieu de prendre tout d'un coup la trentième
partie de 74^, il fera plus commode de faire ufage du
fyroduit 14* 16" qu'on â trouvé ponc 4^ : car en con-
fidèrant que 8 deniers font la fixiéme partie de 4^, te
produit de 8^ par 74 ne doit être que fe fixième du
produit 14* lé^ qu'on a trouvé en mokipliam 4^
par 74. Aififi l'opération fe rédtiira à prendre le RxiS^
me de 1 4* 1 6" qui fera 2* 5>*' 4* ; parce que la fixié^
une partie de 14* eft 2* ; & il refte 2* qui valent 40^
lefquels avec 1 6^ font 5 6^ dont la 6^. partie eft p^^ ;
& il refte 2 fols qui valent 24 deniers dont la 6\
partie eft 4 deniers.

Jufqu'îci le mulriptlcande Ji8* 14^ 8^ n'a èréjf
multiplié que par 74. Il refte donc encore à le multi^ ^ ^
plier par la fraction ^ . * '

Si Ton avoit 518* 14 8*- à multiplier par î , il

^»

DIS MoMfiRSS COMfLtXtS. tjf

faudroic le prendre i fob, & l'on auroît pour le produit
le multiplicande entier Ji8* t.\fi^ 8^, Ainfi pour mul-
tiplier ce même nombre par ^ , il faut prendre le quart
de p 8* 14^^ 8*^, que Ion trouvera être i ap* 1 3^ 8«^,
parce que le quart de 5 1 8^ eft i2j)^ ; 6c il relie 2^^
c'eft-à-dire 40^^ qui ajoutés k 14^^ font 54^ dont
le 5 eft 1 3^; & il refte encore sfi ou 24*^ qui avec 8**
font j2^ dont le quart eft 8^.

Toutes les parties du multiplicande étant ainfi mul-
tipliées par toutes les parties du multiplicateur, & tous
les produits particuliers étant écrits ; on additionnera
tous ces produits, âc la fomme 38^$^ ip^ fera le
produit total du nombre complexe 5 18^ 14^ 8^ rmil^
tipliépar 74 1.

Leî Rigks de la multiplication its grandeurs complexes
font ajfej bien établies dans cet exemple de multiplication
des mouHoies, pour faire appercevoir ce fuily aura À ob^
ferver dans tt autres exemples. Il eft donc inutile d'en don-*
ner davantage; & ilfuffit d'expofer quelles parties il faU"
dra prendre du multiplicateur eonfideré comme un nombra
d$ Uvres , pour Us différens nombres de fils & de deniers fuî
Jeront dans le multiplicandam

R E MAR Q UE.

8;

Lorfque le nombre âts ùAs ou des deniers, 00 qui
les ibis Se \t% deniers enfemble font cootenus exafte-
ment un cenain nombre de fois dans 20^, c'eft-à-djpr
dans une livre ; on dit que les fols ou les deniers, ou
que les fols & les deniers ensemble, font des parties ali^
quotes de la livre. Ainfi les parties aliquotes ée la livre
font toujours une £caâk>n dé la livre, qot a Funité pour
numérateur , de qui a pour dénominateur le noti^bre
de fois que les fob ou les deniers , ou les fols & kt
deniers eoiemble , fout contenus daos ia livre»

:i72 Liy. in Chof. m. De la Mvltiplicatiov
Parti-bs aliquotes db la Livre.

1 o^ font la moitié de ao^ ou de la livre : aînfî pour
lo^^ Ton prend la moicié du mulûplicateur conGderd
comme un nombre de livres»

5^^ font le quart de la livre ; Ton prend donc le quart
du multiplicateur pour ^ fols*

Pour 4", qui font le cinquième de la livre , on prend
le cinquième du multiplicateur»

Pour 2", qui font le dixième de ta livre , on prend
le dixième du multiplicateur.

Pour i", qui eft la vingtième partie de la livre p
on prend le vingtième du multiplicateur.

Pour 6^ 8^, qui font le tiers de la livre | on prend
le tiers du multiplicateur.

Pour î^4^> qui font Icfixième de la livre, on prend
le (ixième du multiplicareur.

• Pour i " 8^, qui font le douzième de la livre, on prend
le douzième du multiplicateur.

Pour 2^^ 6^, qui font le huitième de la livre, on prend
le huitième du multiplicateur.

Pour 6^, qui font la quarantième partie de la livre y
on prend la quarantième f artie du multiplicateur.

Pour 3^,qui font la quatre^vingtième partie de la livrej^.
on prend la quatre vingtième partie du multiplicateur.

P)ur %^, qui font la trentième partie de la livre ^
on prend la trentième parcie du multiplicateur.

Pour 4*^, qui font la foixantiéme partie de la livre ^
on prend la foixantiéme partie du multiplicateur.

Pour 2*^, qui font la cent-vingtième partie de la livre»
on prend la cent-vingtième partie du multiplicateur.

Pour 1^, qui eft là deux- cent quarantième p^ûc de
la livre , on prend la dcux-cent-quaraniième parue
du multiplicateur.

DES NOMIRBS COMPtlXlS. I7|

Lorfqu'uQ nombre de fols n'eft pas exadement
contenu dans la livre un nombre de fois entier fans
refte » on le nomme partit alîquantt de la lirre. On
nomme auffi partie aliquante de la livre un nombre
de deniers qui n'eft pas contenu dans la livre un
nombre de fois entier fans refte,

Lorfqu'on trouve dans le multiplicande un nom-
bre de fols ou de deniers qui n^eft point partie aliquoce
de la livre ^ & qui n'en eft que. partie aliquante ; on le
parcage en deux ou trois parties dont chacune foit
une partie allquote de la livre.

MiTHODE ABnéG^X

oO Pour muUîplier les fols par its nomires entiers i
& pour avoir au produit les livres que ce produit peuê
contenir.

On multipliera le nombre des fols par le chifiré
des unités (impies du multiplicateur; & ii ce pror
duit eft moindre que 20 , on Técrira dans la colon-
ne des fols ; mais fi ce produit eft plus grand que 20 »
Ton retiendra 1^ pQur chaque vingtaine de fols qu'il
contiendra, & Ion écrira le refte dans la colonne
des fols.

Enfuite pour avoir les livres du produit , on multi-
pliera la moitié du nombre des fols par tous les autres
chiffres du multiplicateur, en reculant dune place
vers la droite chaque chiffre de ce produit, Se en
ajoutant à la première partie du produit le nombre
des livres qu'on aura retenues. Par ce moyen l'on aura
tout d'un, coup en livres Se en fols le produit de la
multiplication des fo's du multiplicande, par le uOQV^
bre entier qui fera donné pour multiplicateur.

I7i ^iV. iy. Chap. in. Di LA Multiplication

Ex MMPtM PMMMIS^.

On propoli de multiplier o^ vz

Par 4n

PrUuit aa* i^*

1^ Pour avoir les fols du produit on muklpllert
le chiâfre i^ par le chiffre 7 des unités du multipli-
cateur ; & comme le produit 7^ efl moindre que 20^9
on récrira dans la colonne des fols.

2?. Pour avoir les livres du produit ^ on multiplie^
ra I qui eft la moitié du nombre des fols par les au«
très chiffres 4 5 du multiplicateur , c'eft-à-dire qu'on

E rendra la moitié de 4^ , en reculant d'une place vers
\ droite chaque chiffre du produit qui fera 22* 10^
dont on placera la première partie 22^ dans le rang
des livres » comme on vient de l'indiquer; Se pour les
10^ on placera 1 dixaine à la gauche de 7^ que
l'on a premièrement écrit.

Par cette opération. Ton trouvera 22^ 17^^ pow
le produit de i^^ multiplié par 457.

E X X M P ZM IL

On propofe de multiplier o* 18"

Par 4$j

Produit 411* 6^

1^. On multipliera 18^ par le chiffre 7 des unîtes
du multiplicateur. Mais comme il feroit trop difficile
de faire cette multiplication en une feule fois: on mul*
lîplicra d'abord 8" par 7 , ce qui donnera j 5" dont on
écrira le chiffre 6 au rang des fols, & Ton retiendra
les y dixaines de fols. Enfuite on multif)licra la dixai*
ne de fols par 7, & Ton aura pour le produit 7 dixaines

BX8 NOMBASS COMFLEXXS IJf

de fols que Ton joindra avec les 5 dixaines qu'on a
retenues, ce qui fera 1 2 dixaines de fols qui valent 6^:
ainC Ton n'aura rien à écrire au rang des dixaines de
fols » & Ton retiendra 6^ pour les joindre avec les
livres qu^on va trouver.

20. On multipliera la moitié du nombre des ùAs}
c eft-à-dire ^" par les deux autres chiffres 45 du mul^-
tiplicatear , en reculant d'un rang vers la droite les
chiffres du produit; Se ajoutant à ce produit, eu le
faifant, les 6* qu'on a retenues, on aura 411^: enfor-
te que 4 1 1^ ($^^ fera le produit total de 1 8^^ multipliés
par 4; 7.

Exemple IIL

On profofe di muhiplier o* 17*

Par 4^7

23 10

388» 5»^

1**. On multipliera 17^ par le chiffre 7 des unkét
du multiplicateur, ce qui donnera j* 19 dont la par-
tie 1 9^^ fera mife dans le rang des fols > en retenant
k partie 5*.

2^. On multipliera par les deux autres chiffres 4^
du multiplicateur , la moitié du nombre des fols »
c'eft-à-dire 8 \ ; mais on ne pourra faire cette opé-
ration qu'en deux fois » & Ton commencera par mul*
tîpKer 8 par 4^ 9 en reculant d'un rang les chiffires
du produit, ce qui , avec les 5* qu'on a retenues» dott*
nera 565*.

Pour achever de multiplier la moitié de I7,c*eft-
à*dirc 8 5 par 4^ , il faut encore multiplier i par 4^^
c^^ft- à-dire qu'il faut prendre la moitié de 45 coa^

^7<f Ly^n^* Chap.IlL Db la Multiplicatioît
£deré comme un nombre de livres > ce qui donnera

Par cette opération , Ton trouve le produit de 17^
multipliés par 457» en deux panies dont la fomme c&
388» pf\

REMARQUE.

m

Pour peu que Ton fafle attention aux trois exem-
ples que nous venons de propofer , Ton remarquera
aifément que fi le nombre des fols qu'on doit multi-
plier par un nombre entier efl pair, on aura toûjoun
le produit en livres 8c fols^ fans être obligé de faire
aucune addition ; au lieu que fi le nombre des fols eft
impair & plus grand que l'unité , on ne pourra avoir
les livres & les fols du produit qu'en deux parties
qu'il faudra additionner ; car dans ce cas la moitié
du nombre des fols fera compofée de deux partiesj
d'un nombre entier & de la fraâion | •

La Méthode quon vitnt £ expliquer pour multiplier Us
fols par un nombre entier , peut aifément s^ appliquer à la
multiplication des deniers par un nombre entier^ lorfque le
nombre des deniers ejl une partie aUquote dujol^ ou de iz
deniers. Quoique cette application ne foit quun corollaire
naturel de la règle que nous venons £ expliquer^ nous la pro^
poferons comme une Méthode particulière à la multiplication
des deniers.

Méthode

07^ Pour multiplier les deniers par des nombres entiersi
& pour avoir tout Jtun coup Us livra 9 les fils & Us deniers
que U produit peut contenir.

On divifera le chifiire des unités du multipli-
cateur confideré comme un nombre de livres » par
le nombre de fois que les deniers font contenus

dans

Ï)BS NOMBRSS CÔMPtIXKl. t^f

'dans uo fol » & l'on mettra le quotient au rang àt& fola
ic des deniers s'il y en a^ Enfuite on divifera les autres
chiffircs du multiplicateur par le double du nombre de
ibis que les deniers du multiplicande foûc contenus
dans le fol ; & le quotient étant reculé d'un rang vers
la droite, exprimera des livres > & des parties dp livre
silyena.

Si Von vuit mMplkt o^ o^ 3*^

On aura pour U produit 5* 14" 3*

^ La i deniers qui font au multiplicande étant fe
quart de i ^, il faudra prendre le quart du chifire deâ
unités du multiplicateur confidéré comme un nombre
de livres , & prendre la moitié du quart , ou le huitié*>
me des autres chiffres du multiplicateur ; c'cft-à-dire
qu'il faudra divifer le chiffre 7 des unités par 41 A»
divifer les autres par 8. Mais comme dans la divH
fion , il faut commencer par divifer les chiffires dvk
degré le plus élevé , afin que les rdles puiffent être
réduits 8c joints aux chiffres fuivans ; nous Commen<«
cerons par prendre le huitième des chiffres du muiti-»

Î>licateur qui précédent celui des unités ; & nous ïecui
erons d'un rang vers la droite les chiffres du quotient,
pour exprimer le nombre des livres»

On prendra donc la huitième partie de 4^ dixaines
qui cff S dixaines : 8c comme il faut reculer ce quotienc
d'un rang vers la droite» on l'écrira au rang des livres ;
H reftera $ qui avec le chiffre fuivant 7, fera 57 dons
on prendra la quatrième partie qui eft 1 4^ qu on écrira
aux rangs des fols 8c deniers fous cette forme 1 4^ 3 ^•
. On aura donc 5* 14^^ 5^ pour le produit de j^
piulûpliés par 4^7.

^rithmétijuo^ f^

/

%^% W. ir. Chap. m Dff LÀ Mtn[.Tt?£ieAtloi|

Ex MM P zs IL

On propofi de multipUer O* o*^ 8*

Par 4J7

Produit ij» ^fi 8*^

Les 8 deniers qui font au mulciplicaode , éeant lei
3cux tiers d'un fol ; on prendra les deux tiers du chif-
fre 7 des unités du multiplicateur, ou le tiers de 14
double de ce chiflfrc 7 , & Ton ne prendra que le tiers
des autres chiffres du multiplicateur ; mais comme
cette opération eft une divifion , on commencera par
les chiffres du degré le plus élevé , & Ton n'en pren?
dra que le tiers en reculant le quotient d'un rang.

Il faudra donc prendre le tiers de 4^ dixaines, qui
eft 1 5 dixaines : & comme ces i $ dixaines qui font
compofées de i centaine & de ^ dixaines, doivent
être reculées d'un rang ; l'on écrira 1 au rang des
dixaines , & 5 au rang des unités de livre. Enfuite
on prendra les deux tiers des 7 unités , ou le tiers
de 14 unités ; ce qui donnera 4 1 que l'on écrira aux
j:angs des fols & des deniers fous cette forme 4^^ SK

Ainii 15^ 4^^ 8^ fera le produit de 8^ multipliés
par 457.

Ex M MPZM IIL

On propo/i de multiplier o* o" il*

Par 4J7

*m

Pour 8* '5 4 8

ppur^^ y 14 5

«m4

Produit total 20* 18^ 11*^

Comme les 1 1 deniers du multiplicande ne {but
pas une partie aliquote du fol ; l'dn partagera 1 1 dcf

D» NOMBAIS C0MPX.1XS9. 17^

nlen en deux parties qui foienc des parties aliquotes
ou du moins des fraâions commodes du fol. Ces
deux parties feront 8 deniers Se 3 deniers , que Ton
iDultipliera féparément par 4.77.

1®. En multipliant 8* par 4J75 on trouvera
comme dans le fécond exemple 15* 4" 8^ pour
le produit.

2^. En multipliant 5 deniers par 477, on trouvera
comme dans le premier exemple 5* 14^^ 3^.

3^« Àioûtant enfemble ces deux produits, Ton
aura 20^ iS'^ 11^ pour le produit de 11 deniers
multipliés par 457.

REMARQUE.

Qo Lorfqu'on aura un nombre complexe corn-
pôfié de livres, fols & deniers » tel que celui-ci
igpft 18^ iiS à multiplier par un nombre entier^
par exemple par 4^7 ; les règles que nous avons
expliquées pour la multiplication des nombres in-
complexes , donneront le produit du nombre entier
185^^ multiplié par 4^7 ; la Méthode qne nous avons
expliquée pour la multiplication des fols, nous fera
txouver le produit de 18^^ multipliés par 4p : eniSo
la Méthode que nous venons de donner pour la mul-
tiplication des deniers, nous fera trouver le produis
de 1 1^ multipliés par 4^7* Nous avons donc affez
de méthodes pour multiplier un nombre complexe
Gompofé de livres , fols Se deniers , par un nombre
entier.

Si le multiplicateur contenoit encore une fraâion,.
par exemple fi lemultiplicateur étoit 4^7}; après
avoir multiplié le multiplicande entier 185)1* 1 8^ 1 1^
T^^ 4$7 » îl faudroit encore le multiplier par ^ , c'eft-
à-dixe Qu il faudroit prendre encore 3 fois le cia«

M 1 j

I

l80 Uv.W. Chap.IlLDE LU MULTIFLICATION

quiéme du multiplicande, ce qui dooneroic de nou^
vellcs parties au produit.

iLnfin toutes les parties du produit étant trouvées »
on Its ajoutera enfemble pour avoir le produit total
de la muluplication.

DéMONSTEATlON

Des deux Méthodes que Von a propofies pour muhîpUir

les fols & Us deniers,

10 En multipliant le nombre dts fols par le der-
nier chiffre du multiplicateur, on a évidemment un
nombre de fols : ainfi le produit qu'on trouve doit
être mis au rang dts fols , lorfqu'il ne furpafle pas
Sto^lSc lorfqu il furpaffe 20^ il faut retenir une li-
vre pour chaque vingtaine de fols , de écrire le refte
au rang des fols. Cette première opération eft évi-
dente, de celle qu'on fait fur les autres chiffres du
multiplicateur n'eft guère plus difficile à comprend
dre , comme on va le voir.

On multiplie tous les autres chiffires du multipli-
cateur par la moitié du nombre des fols, 8c Von
recule d'une place chaque chiffre du produit. Mais
lo. en multipliant par la moitié du nombre dts
fols I Ton a un produit qui n'eft que la moitié de
celui qu'on auroit en multipliant par tous les fols»
2^* En reculant d'un rang vers la droite chaque
chiffre de ce produit , l'on n'a que la dixième par«
tie de ce produit , & par conféquent l'on n'a que la
dixième partie de la moitié du produit qu'on auroic
en multipliant à l'ordinaire ces chiffres par tout le
nombre des fols ; mais la dixième partie de la moi-
tié de ce produit , c'eft-à- dire la vingtième partie
de ce produit eft égale au nombre de livres qu'il
contient.

DIS NoMBBBS COMPLBXKS. l8f

Donc en multipliant par la moitié du nombre des
fols, tous les chiffres du multiplicateur, excepté celui
des unités , & en reculant d'une place chaque chif-
fre du produit; l'on a un produit égal au nombre de
livres contenues dans le produit de fols qu'on auroit
en multipliant ces chiffres à l'ordinaire par le nom*
bre de fols.

d®. Suivant cette règle, fi le multiplicande ne con-
tient que i^ , l'on ne prendra que i fois le chiffre des
unités du multiplicateur pour en faire des fols , & l'on
ne prendra que la moitié des autres chiffres du mul-
tiplicateur conGdérés comme livres, en reculant d'un
rang chaque chiffre du produit : Se comme pour
la moitié ^ le quart , le tiers , le fixiéme , ou le dou*
ziéme de i^^ l'on ne doit prendre que la moitié,
le quart , le tiers , le fixiéme , ou le douzième de ce
que l'on prendroit pour i^; il eft cl^ir que pour la
moitié , le quart , le tiers , le fixiéme , ou le douzié*
me de i^, l'on ne doit prendre que la moitié, le
quart, le tiers*, le fixiéme ou le douzième du chiffre
des unités du multiplicateur, pour le porter aux fols ;
ic que Ton ne doit prendre que la moitié de la moi-
dé f ou du quart , ou du tiers , ou du fixiéme , ou du
douzième des autres chiffres du multiplicateur con-
fidérés comme livres, en reculant d'un rang chaque
chiffre du produit ; c eft-à-dire qu'on doit divifer le
chiffre des unités du multiplicateur par le nombre
de fois que les deniers du multiplicande font conte-
nus dans i^. Se divifer les autres chiffres du même
multiplicateur confidérés comme livres , par le dou-
ble du nombre de fois que les deniers du multipli-
cande font contenus dans un fol , en reculant d'un
rang chaque chiffre du produit : & c'eft ce que nous
avons fait dans la Méthode que nous avons propo«
fée pour mulciplier les deniers.

mm •••

1 82 Liv. IF. Chap. III. Db la Multiplicatiom

PROBLÈME,

8p MuUipUtr des Poids ttls que âfJW 7O d'O

Par yi

120

Produits particuliers pour ^ aO 12 6

^ 3

1 4 ^

i«»

Produit total 127 3 M 5O 2 G

1^ On mulûpUera 24 m^rc par çi , fuîvant les.
règles qu'ptt'è^xApliquées pour la multiplication des
quantités inàomplexes : ce qui donnera deux produite
particuliers, favoir 24*^ & 1200M.

2®. Pour multiplier 7 onces par 5 1 , Ton partage-
ra 7 onces en crois parties, 4 onces, 2 onces , i once
aliquotes du marc qui contient 8 onces : & parce que
fi Ton multiplioir t marc par ,J l , l'on auroit un nom^
bre de marcs égal aq multiplicateur j"! ; lorfqu'on
mutipllera 4 onces qui n'eft que la moitié d'un marcj
l'on n'aura qu'un nombre de marcs égal à la moicié
du multiplicateur ;i.

Pour 4 ancts^ l'on prendra donc la moite de 51
marcs y fa voir, 2J m^rçs 5 ou 25 marcs 4 onces.

Pour 2 onces qui ne font que le quart d'un marc
eu la moitié de 4 onces , Ton ne prendra que le quart
du multiplicateur conlidéré comme ^ i marcs , ou la
moitié du produit 2^ marcs 4 onces qu'on a trouvi:
pour 4 onces; & Ton aura 12 mates 6 onces.

Pour 1 once qui n'eft que le huitième d'un marc,

1bîi$ NoiriBlSS COM?LSXBS. 1^5

CMI le quart 4q 4> 9^^^ i ou la moitié de 2 once$^
OQ prendra le huûiéipe du multiplicateur confidér^
comme 51 maff^s^ pu le quart du produit 25M ^0
^u on a trouvé pour 4 oncts^ ou la moitié du produk
« 2M 60 qu Qu a.tfouvé pour 2 ùnçui Si Ton aura
6^ }0.

|o, Coqoime nQu$ avons le produit de 1 once
9i9kiplié par f I , rous partageror>$ en parties ali-
quotes de ronce* les 6 gros que nous devons mut-
fiplier ; & çei par^içs aliquotes feront 4. groi Se
SL gros.

Pour 4 gros qui font la moitié de i crue 9 nous
prendrons la moitié du produit 6 marcs ^ meu
ique nous avon$ trouvé pour i once; Se nous aurons
jM lO 4C?.

Four 2 gros 9 nous prendrons la moitié du produit
précédent ^M lO ^Q que nous venons de trouver
pour 4 gros^ Se nous aurons iM j^ 6G»

Toutes les parties du produit étant ainfi trouvées,
OB les ajoutera enfemble ; & Ton aura 1273M jO j»<2
pour le produit demandé*

AverdJJemem.

lufqirici nous n'avons parlé que de ta multiplica-
tion Arithmétique dont le multiplicateur doit être un
iK>mbre ablhait, Se dont le produit doit par confé--
Âfoeni avoir des unités de même efpece que celles du
multiplicande. Nous allons maintenant traiter de la
multiplication Géométrique que nous (nommons ain-»
fi, parce qu'elle eil relative à l'étendue qui eft l'ob-
jet de la Géométrie

L'un des faâeiKs de la multiplication géométri-
que » peut être une ligne ou une furface ; Tautre fao«

M iiij

1 84 Uv. IV. Chap. ni. Db la MuLTïPLicAT*oir
teur doit toujours être une ligne ; Se Tcfpece du pro^
duit, eft toujours difFérente de celles de fes fafteurs. '

Si les deux fadeurs de la multiplication font des
lignes, leur produit fera une furface; & Tun des faâeun
étant une ligne, fi Tautre faveur eft une furface ^ le
produit fera un folide.

Les deux fadeurs étendus que Ton doit multiplier
Tun par Tautre , fe réduifent en mefures de même
çfpece que ces étendues } de Ton donne à leur multi*
plieacion > des noms dérivés de ceux des mefures qui
fervent d'unités à ces étendues.

Si tes deux fadeurs étendus de la multiplication
font réduits en toi fes, ou en pieds, ou en pouces, Sec,
qui ne font que des parties de la toife , on donne k
la multiplication le nom de Toifé.

Si les deux fadeurs de la multiplication étoient des
aunes ou des parties relatives à l'aune , on donneroijt
à la multiplication le nom d'Aunagt.

Si les deux fadeurs de la multiplication étoient
des perches ou d'autres mefures relatives à Tarpent
qui contient cent perches quarrées , on donnerok à
la multiplication le noni ^'Atftntagt.

Comme Taunc 9 ^^ perche , & les autres mefures
dont nous faifons ufage , font relatives à la toife qui
tient le premier rang parmi nos mefares ; & qu'il
fera facile d'appliquer à d'autres mefures ce que nous
allons dire de la toife , ou de la multiplication des
lign^ Se des fuffaces mefurée; en toifes i nouis qoik
coaKKtcçons d'cxjpUquer le toif4.

*îî?

DES Nombres complbxis. xS^

DU TOISÉ.

90 On appelle Toîfé Tart de mefurer les étendues
des lignes, des fuperficies , & des folides , par le moyen
de la toife ou des autres œefures qui oat rapport k
la toife.

Mefurer à la toife ^ c'eft chercher combien de fois
la toife Se fes parties font contenues dans Tétenduc
qu'on veut mefurer.

Comme les mefures contenues dans une étendue»
Ibnt des parties de cette étendue » & font par con-
féquent de même efpece qu'elle ; on eft obligé de
conlidérer trois efpeces de totfes , pour mefurer les
trois différentes efpeces d'étendue* On confidere des
toifes linéaires pour mefurer les dlHadces & toutes
les lignes ; des toifes faperficielles.i pour mefurer
les fupsrficies ; &; des toifes folidés j pour mefuret
lesfolides.

On démontre en Géométrie qu'un paralIélogram«
me eft égal au produit de fa bafe multipliée par ùl
largeur ou hauteur ; par exemple qu'un parallélo--
'gramme dont la bafe a 6 toifes de long , Se dont la
largeur ou hauteur eft de $ toifes » contient 5 fois
6 toifes quarrées , ou 30 toifes quarrées dans fa fu->
pcrficie. On démontre aufli qu'un parallélépipède eft
égal au produit de la fuperficie de fa bafe multipliée
par fa hauteur ; par exemple qu'un folide dont la
bafe eft un parallélogramme de 6 toifes de long fur

5 toifes de large , & dont la hauteur eft de 4 toifes ,
contient i ao toifes cubes , parce que la bafe ayant

6 toifes de long fur 7 toifes de large^ contient 3 o toifes
x)uarrées de fuperficie » Se que 30 toifes quarrées de
fupeificîe, multîjplicos par ^toifes, produifent iz^
toiles aibcs«

iS^ Livs ly. Chap. UL Db la Mui^tipliç^tioit

Comme ces deux propoGcioDS font le fondement
du toifé I Ton ne peut, pn) fç ditpfnfçt d'en faire voir
la vérité, du moins dans les parallélogrammes reftan*

S les qu'pn appelle communément quarrés Ipngs» H
w$ les parallélépipèdes irieâangles*

Fig. X. P ' Soît un quarré long APÇD , rfont la bafç BC it
la hauteur AB foient mefurées avec la coife Uaé^iFe^
qu^on appelle ûmplement tpifii que £G, G^ IL^ LIV,
^P^ PCf foient les toifes contenues dans la bafe BCi
Si: que AQ9 Qfi, RS^ ST, TB^ foient les tojfes coni-
tenues dans la largeur ou hauteur AB. Si par Icf
points G, J| J^N^Pf de la bafe » on mené à la haa^*
teur AB des parallèles GF, IH, LK, NM, PO; l'oa
divifera le quarré long ABCD en autaat de reâangles
ABGF, FGlH.BlLKy KLNM, MNPO, OPCV^
qu'il 7 aura de toifes dans la bafe BC.

Chacun de oss rectangles ayant une coife de lar-
ffft^ Sç ayant de longueur autant de toifes qu^il y en e
dans la hauteor AB du quarré long, contiendra évtii
demment autant de toifes quarr^es qu'il y a de teifea
linéaires dans U hauteur AB. Aiofi pour avoir le nomr
bre des toifes quarrées contenues daos le qiiarré long
ABCDf il faudra prendre le nombre des reftanglef
ABGF, FGIH, HILK . &c qui font apuyés fur la bafe
BCf ou le nombre des toîîips; liinéaires BG^ Gif &f
contenues dans la bafe BQ autant de fois qu'il y aurt
(de toifes quarréesdans chacuade ces reélangles, c'eft^
à*dire autant de fois qu il y aura de toifes linéaires dans^
la hauteur AB^

Mais prendre le nombre des toifes linéaires qui font
dans la bafe £Cdu re^angie , autant de fois qu'il y a,
de toifes linéaires dans la hauteur AB de ce reâangie^

I

I
I

DKS NoMBBSS COMPl.lXXf. 187

cVft YnuIupKer le nombre des toife^ linéaires de la
bafe BCj par tk nombre des toiies linéaires de la hai^
teor ou largeur AB.

Donc on aura le nombre dès toiles quarrées cont^«
nues dans un quarré long , en multipliant le nombre
des toifes linéaires de fa bafe par le nombre des toifiis
linéaires de fa hauteur ou largeur.

Par exemples fi la bafe BC du quarré long ABCD
a 6 de toifes long » & fi la hauteur AB eft de ^ toi^
itSj le quarré long ABCD contiendra 6 reâangles
ABGF, FGIH, HILK , KLNM, MNPO , OPÇ/5,
qui auront chacun 5 toifes de long fur une toife dp
^^^S^ 9 A qui contiendront par conféquent chacun f
toifes quarrées. AinO le quarré long contiendra 6 fois
5 toifes quarrées, qui font 30 toifes quarrées.

Il eft évident que fi Ton avoit mefuré en pied$ lir
néaires la bafe BC Se la hauteur AB du quarré long^
on auroit autant de bandes d^un pied de large qu'oji
trouveroit de pieds dans la bafe £C> & que chaque
bande contiendroit autant de pieds quarrés qu'il y
auroit de pieds linéaires dans la hauteur AB d«
quairé long ABCD. Ainfi en multipliant le nombre
dtÈ pieds linéaires contenus dans la bafe BC d'ua
qnarré long ABCD^pzi le nombre des pieds canteii|#^
dans fa hauteur AB^ Von aura le nombre des pi^cj^
quarrés contenus dans la fuperficie du quarré lopf
ABCD.

Par exemple la toife quarrée ayant une tçife de Fig. tj
long fur une toife de large , fa bafe Se fa hauteur
auront chacune 6 pieds linéaires de longueur. Ainfi
fa fuperficie contiendra 6 bandes de 6 pieds quarré
chacune, c'eft- à-dire 6 fois 6 pieds quarrés ou 3 6^ piec^
quarrés.

Sx le quarré ABCD repcéfen(oit. un pied quarrés

*^ 88 Lip. IF. Châf. ni. Ds LA McTLf LioÀTioir
fa bafe BC feroic de 12 poucas linéaires, & fa faati^
leur AB feroit pareillement de 1 2 pouces linéaires*
Ainfî fa furface feroit de 12 fois 12 pouces quarréSf
ou de 144 pouces qûarrés.

Par la même raifon , un pouce quarré dont la bafe
êc la hauteur ont chacune 1 2 lignes linéaires, cox>-
tient 1 2 fois 1 2 lignes quarrées : de ainfi des autres.

Il arrive fou vent qu'on ne prend pas les mêmes me-
fures pour mefurer la bafe & la hauteur du quarré Icxig*
Dans ce cas, les mefures fuperficielles contenues dans
la furface du quarré long, ne font pas des mefures quar-
rées , mais des mefures qui ont pour longueur la mefu-
re qu'on a prife pour mefurer la bafe , 8c pour largeur
la mefure qui a fervi à mefurer la hauteur.
fig: ), Par exemple fi Ton veut favoir le nombre des briques
pofées à plat qui font contenues dans un quarré long:
comme une brique a 8 pouces de long fur 4 pouces de
large; on mefurera la longueur BQ avec une mefure
qui aura 8 pouces de long ; & Ton mefurera la hauteur
ou largeur AB du quarré long , avec une mefure qui
n'aura que 4 pouces ; puis on multipliera le nonabrc
des mefures de 8 pouces contenues dans la bafe BQ
f»r le nombre des mefures de 4 pouces contenues dans
la hauteur AB ; & le produit fera le nombre des brir
ques , ou des mefures fuperficielles de 8 pouces de
long & de 4 pouces de large , contenues dans l'aire du
quarré long ABCD.

Lorfqu'on mefure à la toife la longueur & la lar-
geur d'un quarré long , l'on ne trouve pas toujours
que la toife y foit contenue un certain nombre de fois
fans refte ; & l'on eft obligé de mefurer ce refte en
parties de la toife, favoir en pieds» pouces, lignes, &c.:
& comme les produits de ces mefures ne donnent par
eonféquent pas toujours des toifes quarrées fans refte»

DBS NOMBBBS COMPEBXBs; 280

on eft aufli obligé cTéTaluer ce relie en parties de la
loife quarrée.

Qaoique les parties les plus régulières de la toife
quarrée, foient des pieds quarrés , des pouces quarrés^
éc des lignes quarrées ; ce ne font point cependant ces
parties que Ton emploie le plus ordinairement ^ & Toa
aime mieux partager la toife quarrée en parties analo-
gues à la toife linéaire. Ainfi de même que la toife li-
néaire eft partagé en 6 pieds linéaires, que le pied li-
néaire eft partagé en 1 2 pouces linéaires, & le pouce
linéaire en 12 lignes linéaires; Ton partage la toife.
quarrée en 6 reâangles de i pied de large & de i toife
de long , qu'on devroit nommer des ptti^to^t ou des
tûife-pUd à caafe de leurs deux dimenfions ; l'on par-
tage le redangle t'oijt^pitd en douze parties égales qui
ont chacune i toife de long 6c 1 pouce de large ^ 9c
que Ton devroit nommer des roi/è-pouce ; enfin Ton dî-
vife chacun de ces nouveaux reâangles en 1 2 parties
égales qui ont chacune i toife de long & i ligne de
large , Se qu'on devroit appdler des nnjtAîgnt à caufe
des deux dimenfions qu'elles ont : 8c ainfi des autres
snefures dont la toife eft la dimenfîon principale.

Lorfqu'on mefurera les côtés d'up quarré long au
pied linéaire 5 on ne trouvera pas toujours que le pieci
y foit contenu un certain nombre de fois fans refte ;
& Ton mefurera ce refte en pouces Se en lignes. Dans
ce cas, le produit des deux dimenfions mefurées ne
donnera pas toujours un nombre jufte de pieds quar-
rés fans refte ; & il faudra avoir recours aux parties du
pied quarré pour mefurer ce refte.

Les parties du pied quarré les plus régulières rela*^
tivement à la divifion du pied en pouces & lignes »
iQnt |e pouce quarré 8c la ligne quarrée* Mais comme
il faut 1 ^4. pouces quarrés pour un pied quarré ^ Se
.1 f^ lignes quarrées pour un pouce quarré ; 8c que le

15>0 Liy. ly. OiéLf.Hl. Dk LA MuLtî?Lf CATIOK

{(icd linéaire n'eft divifif qu'eu 1 2, pouces & le pouce
linéaire en 12 lignes ; on aime mieux renoncer à la
i^gularité des parties quarrées du pied ^ & divifer le
pied quatre en 1 2 panks égaies qui ont chacune
1 pied de long fur 1 pouce de large , de qu'on devroic
nommer des fiei-pouu à caufe des deux dimeniions
qu'elles ont.

On dirife pareillement le pied-pouee^ comme le
pouce linéaire » en 1 2 parties égales , qui ont chacune
1 pied de long fur i ligne de Inrgc , & que pour cette
raifon Vàn devroit appeller des pUd-Ugm.

Il ell évident > par ce qui vient d'être dit » que deux
nombres de mefures linéaires égales 9 multipliés Tun
par l'autre , produifent un nombre de mefures fuper-
ficielles quarrées, qui ont pour c6tés les mefures li«
jtéaires qui font au mukipitcateur âc au multiplicande.
Par exemple un nombre de toîfes linéaires » multiplié
par un nombre de toifes linéaires , produit toujours
un nombre de toifes quarrées ; un nombre de pieds
finéaires , multiplié pir un nombre de pieds linéai-
res) produit un nombre de pieds quacrés : A; aîaû des
autres.

II eft clair aufli qu^un nombre de mefures linéaires
égales entr'elles, multiplié par un nombre d'autres
mefures linéaires aùffi égales entr'elles , mais diffé-
rentes des premières » produit un nombre de mefures
fuperficielles qui ont pour côtés contigus les deux
fortes de mefures du multiplicande de du multiplica-
teur. Par exemple un nombre de toifes linéaires,
multiplié par un nombre de pieds linéaires , produira
un nombre de mefures fuperficielles qui auront une
toife de long fur 1 pied de large ; un nombre de
toifes linéaires, multiplié par un nombre de pouces
ou de lignes linéaires, produira un nombre de me-
fures fuperficielles qui auront chacune i toife de

BSs Nombres 'coH»ttxx«; i^i^
fông fur I pouce , ou fur i ligne de large ; un nom-
bre de pieds linéaires i multiplié par un nombre de
pouces ou de lignes linéaires, produira un nombre de
mefures fuperficielles qui auront chacune i pied de
long fur I pouce » ou fur i ligne de large : âc ainfi
des autres.

IL
72 Soît on parallélépipède reftangle ^BCDE, Pjg,^
dont la longueur AD , la largeur AB ou DC^ & Té-
paifTeur DE , foient mefurées à la toife linéaire ; âc
fuppofons que ce folide foit refendu par des plan$
parallèles ii FF , KGHj en autant de folides égaut
<fune toife d^épaifleur, qu'il 7 a de toifes dans fon
^paiâeur DE.

Chaque folide tel que ABCDF contenu entre
deux plans parallèles ABCDyHFI^ ayant une toife
d'épaiflfeur fuivant DF, contiendra autant de toifes
cubes qu'il y aura de toifes quarrées dans la face reftan*
gle ABCD ; parce qu'on pourra placer une toife cube
fur chacune des toifes quarrées de cette face ; de que
toutes les toifes cubes qu'on placera fur toutes ces toi-
fes quarrées , feront exadement contenues entre les
deux plans parallèles ABCD^ HFI9 entre lefqucls il y
a une toife d'intervalle.

Mais nous venons de voir que la face ABCD con«
tient un nombre de toifes quarrées égal au produit
de fa longueur AD multipliée par fa largeur AB
àtxDC. Donc chacun des folides d'une toife d'épaif-
feur , dans lefquels on a divifé le parallélépipède
ABCDE^ contient un nombre de toifes cubes,
égal au produit de fa longueur AD multipliée par fa
largeur DC. £t comme it y a dans le parallélépipède
ABCDE autant de ces folides d'une toife d'épaiflcurt
qu'il y a de toifes dans fon épaifTeur DE; on aura
le nombre des toifes cubes contenues dans ce parai*

1^1 Liv. jy. Chap. IIL Dfi la MatTiPLiCATioir
lélépjpcdc. reâaDgIe ABCDE^ en multipliant le pro^
duit de fa longueur AD Se de fa largeur DC^ mefurées
en toifes linéaires» par le nombre des toifes contenues
dans fon épaifleur DE.

Par exemple fi Ton fuppofe que la longueur AD
foit de 6 toifes ;

Que la largeur DC foît de j toifes ;

Que TépaifTeur Ï)E foit de 3 toifes ;

Le nombre des toifes cubes contenues dans le Cj^
lide ABCDE y fera égal au produit des trois nom*
bres ^ > 5 9 3 ; & fera par conféquent de po toifes
cubes.

Si au lieu de mefurer en toifes linéaires ^ la 1oq«
gueur ADf la largeur DC^ & TépaifTeur DE du pa-
rallélépipède ABCDE y Ion avoir mefuré ces trois
dimenfions en pieds ou pouces ou lignes linéaires ;
il efl évident qu'au lieu des toifes cubes que Ton a
trouvées daus ce parallélépipède , on auroit trouvé
des pieds cubes » ou des pouces cubes, ou des lignes
cubes.

La démonfiration de cette propofitîon efl précifé-
ment la même que celle que nous venons de donner,
& peut lui être appliquée, en mettant fimplement le.
nom de pied y ou de pouce , ou de ligne » au lieu de
celui de toife.

Une toife cube efl un parallélépipède redangle
qui a 6 pieds de long , 6 pieds de large , & 6 pieds
d'épaifTeur. Ainfi le nombre des pieds cubes contenus
dans une toife cube efl égal au produit des trois nom-
bres 6^ 6y 6^ multipliés enfemble ; c'efl-à-dire que
la toife cube contient 216 pieds cubes.

Un pied cube efl un parallélépipède redangle qui
a 1 2 pouces de long, 1 2 pouces de large, & 1 2 pouces
d'épaiffeur. Ainfi le pied cube contient un nombre de
pouces cubes repréfenté par 12x12x12» dont le

produit

bis HonBRHS COMPLIXS^ ip^

{^îôduît eft 1728 ; c'cft-à-dirc que le pied cube con»
tient 1728 pouces cubes.

Par la même raifon , i pouce cube qui a 12 lignes

long, 12 lignes de large, & 12 lignes d'épaifTeurt
contient 1 728 lignes cubes : âc ainH des autres.

Lorfquon mefure à la toife les dimenCons d'ua
parallélépipède reftangle ^ on ne trouve que raremenc
un nombre exaâ de toifcs linéaires dans fa longueur^
ia largeur, Ôc fon épaifleur; & il faut , pour mefurec
le relie, qui eft moindre qu'une toife, avoir recours
aux parties de la toifes , qui font le pied , le pouce , la
Ijgne : ainfi le produit de ces trois dimenfions ne fera
pas ordinairement un nombre exaâ de toifes cubes
fans refle j & il faudra évaluer ce refle en partie^
de la toife cube.

Quoique le pied cube, le pouce cube 9 Se la ligne
cube, foiènt les parties les plus régulières de la toife
cube , relativement à la diviûon de la toife linéaire en
pieds , pouces , lignes ; ce n'eft point en parties de ces
cfpeces qu'on évalue le plus ordinairement les parties
cfes folîdes qui font moindres que la toife cube , lorC^
ique la plus grande partie du folide eft eftimée en toi**
fes cubes; & Ton aime mieux j pour la comoditédu
calcul, divifèr la toife cube en parties proponioa*^
celles à celles de la toife linéaire.

Ondivife donc la toife cube en fix parallélépipèdes
égaux qui ont chacun i toife de long, i toife de lar«
ge , & 1 pied de haut , & qui à caufe de leurs trois di"^
menfions devroient s'appeller des loift-toife-pUd*

On divife une toife-toiJt-fUi ^ ou la fixiéme partie
de la toife cube , en 1 2 parties égales qui ont chacune
I toife quarrée de bafe , c*eft-a-dire i toife de long
& I toife de large, fur i pouce d'épaiflcur, & qui
à caufe de cela devroient fc pommw dc5 toift-toïfî^

fOUCi.

On divife auflfi la teifetoife-pouee ^ ou la douzième
partie de la fixiéme partie de la toife cube , en 1 2 paru
fies égales qui ont chacune 1 toife quarrée de bafo
fur I ligne d'épaifleur , Se qui a caufe de leurs trois di«
menfions devroient être nommées des tmfe-toife-lignf :
Ce ainfi des autres.

Lorfqu'on mefure les trois dimenfions d'un paral«
iélépîpede au pied linéaire 1 & que le pied d'y eft pat
tontenu un cenain nombre de fois fans riefie ; on me-
fure le refte en pouces & lignes qui font panies ali«
^uotes du pied qu'on a pris pour la mefure principale.
Dans ce cas, le folide du parallélépipède contient un
certain nombre de pieds cubes , avec un refte qu'on
évalue en parties du pied cube. Pour cela » on divife
le pied cube en 1 2 parties égales , comme le pied II-
tléaire; & ces parties qui ont i pied de long, i pied
de large 9 Se i pouce d'épaiffcur , devroient s'appellef
des pied ' pîed ^ pôuce s c'eft-à-dire qu'elles devroient
forcer le nom des trois dimenGons qu'elles ont. Cn
ibus-divife tnCuitelc pted-pkà-pouce en 1 2 panies éga-
les qui ont chacune i pied de long, i pied de large ,
& I ligne d'épaifleur , Se qui devroient fe nommée
des pied-pied'lignt ^ pour les dillinguer par leurs trois
dimenfions.

Enfin lorfqu'on mefure un fôlide avec xits tatfxxrci
quelconque, Tufage eft de prendre des mefures cubi-
iques pour les melures prindpâles du ft>lide ; Se poot
mefurer la partie qui eft plus petîre qu'une mefure fo^
lide principale, on prend d'autres mefures ptes petio-
tes, en fous-divifant la mefure cubique principale ea
autant de parties égales, que la mefure linéaire en a:
cnfone que toutes les mefures foliées qui rcfultent
die ces divifions , ont deu^ dimenfions égales à celle»
de là mefure principale.

On peut donc conclure de ce ^ui vient d'être dît»

ffa'un nombre de mefures fuperficiellés égales êntr'el-*
les» de longueur & de largeur quelconques , multiplié
]par un nombre de mefures linéaires de longueur queU
conque, produit un nombnî de mefures folides, qui ont

Jour leurs trois dimenfions la longueur & la largeut
'une mefure fuperfîcielle du itiulciplicande » & U
longueur d'une mefufe du multiplicateur; ou qui
OQt pour bafes des mefures ilu multiplicande j Se pouA
hauteur des mefures du multiplicateur.

Par exemple fi Ton multiplie un nombre de tôi(es
quarrées, qui ont i toife 9e long fur i toife de large ^
par un nombre de toifes linéaires » le produit fçrA
compofé d'un nombre de nïefurei^ folides qui auront
1 toife de long, i toife de large, & i toife d'^aiffeur ;
e'ell-à-dire qui auront i toife quarrée de bafe fur i|
loife de hauteur ^ & qui feront par conféquen( dis
toifes cube&

Si Ton multiplie âti nombre de toifes quarrées par
ftin nombre de pieds , ou de pouces ^ ou de lignés
linéaires, le produit contiendra un nombre de mefures
folides qui auront chacune i toife quarrée de bafe »
fur I pied ou i pouce ou i ligne de hauteur ; c'eil-
à-dire qui auront i toife de long, i toife deUrge,
fk I pied ou I pouce ou l ligne d'épaiffeuré

Si Tûn muitiplioit on nombre de mefures fuper-**
ifidelles qui enflent deux dimenfions difiTérentes , pac
des mefures linéaires encore différentes de ces dimen<*
lions ; par exemple fî l'on muitiplioit un nombro
de mefures fuperbcidles de 8 pouces de long fuc
4 pouces dé large» par un nombre de mefures linéat^
res de 2 pouces; on auroît pour le produit un nombro
de mefures folides chacune de 8 pouces de long »
4 pouces de large 9 & a pouces d'épaifleuX| fembla^
bl« à des bci^uei ; X ainfi dts «ptres*

'tp'C Lîp. IV. Châp. IIL De la MuiTifxiCÂTioy

Valeur des ài^ir entes unités relatives à la Têîjè linéaire f-

à la Toife quarrée ^^ àla Toife cubique , avec lu

caraSéres difiinâifs de ces différentes unités.

p

OUR LIS MesUHXS

Z.INâAIRE9;

T

fignifie toîfeliT

9AII$

6P

P

pied

iP

12P

P

pouce

IP

12^

L

ligne

iL

w

il

point 0u prime

1

POUA LES MSSU&£S SUrEAFICISLLS$^

TT

toife quarrée

iTT

S6PP

PP

pied quarré

xPP

l^pp

PF

pouce quarré

ipp

l^j^L

LL

ligne quarrée

.

\TT

6TP

TP

toife-pied

iTP

isXp

ou

£PP

Tp

toife-pouce

iTp

12TL

ou

iPP

TL

toife-Iigne

iTL

laT'

ou

6pp

T

toife-prime i^^

12T"

ou

iPP

JlX

toife* féconde

iTii

laT*'"

ou

6LL

toife-tierce

iPP

laPp

iLL

PP

pied -pouce

iPp

12PL

ou

12PP

PL

pied-ligne

tPL

laP»

ou

ipp

P^

pied prime

tPi

12P"

ou

13IX

f;

pîed-feconde ! i i^"

iix,

ipp

xipL

pL

• pouce-ligne

tpL

• I^P'

ou

laLZ^

t"

jpoucc-primc

'PJ

.iXX

BIS NoMBSSr COMTX.SXSS.
FoUa I.BS MSSUKBS solidbs.

*J?7

TTT ^Bj/fe toife cube ïï^^r yaôt

PPP

LLL

TTP
JTp
TTL
TT

TTl

TPp

PPL
ppi

ppii

ppiu

pied cube 1^^^

pouce cube ^PPP

ligne cube

iTTT

iTTP

ai6PPP,
i728ppp
IJ2BLLL

toife-toUe-pied
toife-toife pouce i'*'/»
toife-toife-ljgne l"^"^^
toife-toifc-primc i* jP*
toife-toifc féconde i'*'*" lal'^T'"
toile-toifc-ticrce «Tï*'" laTTiT
toife-toife-quarte »'''*'^ «^rr^
toife-toife -quinte i''''^ la^'î'^»
toife-toife-fixte i^^^*

tPPR

pied- pied-pouce ' ' ^^p
pied-piediigne iPPL
pied-picd-prime ï^^*
pied-pied- féconde i^P"
picd-picd-tierce i^^'"
pied-pied-quarte i^^'^

STTP'

ittXTp tu i6PPP^^
12XTL
12TT1

3 PPP

iPPi^

4

Upp

ILLL

ippp

pouce-pouce-irgne ipp^
pouce- pouce-prime, ipp^
pp^^ pouee-pouce-fecondè ipf ".

laPPp
i-aPPL
tiPP^
laPP"

laPP'"
laPP^^

lappL

TPP toife-picd-pîed; iTPP

TP^ toife-picd-pouce , i "^Pp

TPL toife- pied- ligne i^PI.

Tpp toife- poBce-pouce ■ • "^pp

TpL toifc-pouce-Iigne i^p^

^UL loifc-ligoe-lignc ' \XLL

aTTp

aTTL

aTTi

aTT»

aTT»»
Niij

I44PPP-

I2ppp^

ippp

12LLL

vLLU

iPPP

IPPP

* ■'

•J2pp^
12ppp
épppr

1^8 Uy* IV. Chap^ lU. De la Mqz.TiPLiCATiQii

PROBLÈME,

P3 Multiplier

Par

PourST
Pour 3?
^our 6p

Prûiuk total ^pjTT jTP 6Tp STL

Quoiqu^on puKTe regarder comme muItipKcateut
le fafteur qu'on voudra ; nous prenons , pour la plusi
grande facilité 5 celui qui a le moins déchiffres aut
nombre àes toifes. ^

Lorfque le nombre des toifes du multiplicateur» ei|
exprimé par un feul chiffre , comme dans cet exem-^.
pie ; on multiplie d'abord chaque partie du multi-*
plicande » en commençant par les parties dont le^
unités font les plus petites » par le nombre des toifes
du multiplicateur, comme on va rexpliquen Enfuite
pour multiplier le multiplicande par les autres parties
du multiplicateur, on prend des parties dq multiplia
candie prepordonnelles à ce que les parties du multî«
plicateur font relativement à la toife^ Voici le détait
des opérations,

1 ^. On multipliera 8 pâuces par 8 toifix f ce qui pro«
duira ô^joife-pouce. Comme ce nombre de toîfe-poucm
contient 5 toifi-pied & 4 tôtfi-pouce , Ton écrira 4^/11
nu-deffous des pouces , & Ton retiendra yTP pouç ksi
joîndrç avec les toife-pied que Ton va trouver*

On multipliera 4P par 8^ , ce qui produira 5^^^»
qui avec les y'TP qu'on a retenues , feront 57'*^^
Comme ce nombre 4e toife-pied contient ^6TP qui

fow itoifff fiam^ , 4veç \^? de plus, on écrira \^?é

ntS NOMSRSS COMPLEXES. ipf

tons les pieck» & Ton retiendra 6 toïfts quarrées pour
les joindre avec les autres tcîjes quarrées que Ton va
Crouver.

Enfîa Ton multipliera ^7 toîfes par 9 toifit , fui-
ent les règles qui ont été expliquées pour multiplier
les nombres incomplexes par des nombres entiers, 8c
l'on joindra au produit les 6 tdjes quérries qu'on a
retenues; ce qui produira en tout 462 toîfes quarrées.
Ainfi çyï* 4P 8p étant multipliés par 8^, produi£ént

ao. Pour multiplier le même multiplicande pî^i
4^ 8/^, par la partie ^P du multiplicateur ^ on remar-
<]uera que fi ce multiplicande étoit multiplié par une.
toi/Cf il produiroit 57^^ ^'^P S^p, c'eft-à-dire qu'on
auroit un produit égal au multiplicande , avec cette
feule différence que chaque partie acquéreroit une
dimenfion de i totje : ainfi en multipliant par 3 piedt
qui ne font que la moitié d^une toifey on ne doit avoir
pour le produit^ que la moitié du multiplicande, ea
donnant à chaque partie une féconde dimenfion de
X toift.Ot cette moitié fera ^8 toife-toiftjj^ toije-piei
'êc J^toife-fouct ; parce que la moitié de K 7^1 eft aS^^j,
<& il rcfte I î'ï' qui vaut 6 TP, lefquels avec 4 ^^
font îoTP^ dont la moitié cfk^TP^gc que la md-r
tiéde82'Peft4r/^.

50. Pour multiplier le multiplicande par les tf /w»-'
tes qui font au multiplicateur ; on remarquera que
6 pouces font la fixiéme partie de ^ pieds. Se qu'ils doi-
vent par conféquent donner la fixéme partie du pro-
duit 28^^ j^TP ^T|7, qu'on vient de trouver pour
5 pieds. Or prenant la fixiéme partie de ce produit,,
on aura ^TT ^TP loTp S^TL; parce que le fixié-
me de 281^ cft 4Tr, avec un reftc de ^TT qui
iraient z^TP dont le fixiéme cd^TP ; que ^TP va^

Niii)

*oo Lîv. W. Chdp, m. De ha MotTiPiiCATioN
îent6oî>, dont le fixiémcfera ioT>; qu'enfin
^Tp valant ^SI'L , leur fixiéme fera 8^1..

Ajoutant enfcmblc les trois produits particulicra
qu-op vient de trouver, leur fomme ^^jTT cTf>
^Tp $TL fera le produit demandé.

PROBLÈME.

P4 Muktplkr ^-jT ^ 2p

Far 6$T jP

«« 4

7 3 4

^8 5 4^

Produit Mal ^^S'jl'T ^TP iTp

la partie 6tT du multiplicateur, par laquelle il faut
commencer la multiplication, étant compoféedc plu-
Heurs chiffres; l'on ne pourra pas multiplier djrcde-
mcnt, comme on a fait dans le Problême précédent,
toutes les parties du multiplicateur par cette première
partie du multiplicateur : mais après avoir multiplié la
partie 57 r«J« du multiplicande par 6S toifes comme il
« eïc dit pour les nombres incomplexes , l'on prendra
pour les produits des autres parties du multipKcande
par 68 , des parties de 6B proportionnelles à ce que
lont les parties 4 pieds 8 pouces du multiplicande re-
lativement à la toîfi. Cela fait , on aura plufieura
produits particuliers , dont la fomme fera le produit
de 57^ 4P g^paj ^g ^^^y^^^ Enfuite oir multipliera,
Çomoie il a été dit dans le Problème précédçw , If
.même roultif Ijçand* 57T 4P ^ par 3 pUit,

DES Nombres complexes. »ot

'!*• En multipliant la partie y 7 î* du multiplicande

par 58^^ Ton aura ces deux produits particuliers ^

2^. Pour multiplier 4 j?ieif par 68 toijts^ Ton re^
marquera que i toijt multipliée par 6%'^ donneroiti
^8 toija quarrées, c'eft-à-dire un nombre de toifes
quarrées égal au multiplicateur. Ainfî ^ pieds ^ qui n«
font que les deux tiers d'une toijè^ ne doivent donner
que les deux tiers de 6S toifts quarrées ; & chaque tiers
fêtant aaïT /^TP , on écrira deux fois aa^r ^TP,

3®. Pour multiplier 8 pouces par 63 toijesi Ton re-
marquera que 8 pouces font le tiers de 2 pieds qui ont
produit 22^^ 4 ^i'. Ainfi pour 8 pouces l'on prendra
le tiers de %2TT^TP , qui fera ^j^T i^TP ^Tp.

Jufqu'ici Ton a feulement multiplié S'j'^ 4P Sp pat
éi*^. Ainiî il nous refte à multiplier le même multi-
plicande par 5 pieds qui donneront » comme dans
l'exemple précèdent, aST ^TP 4!^.

Ajoutant enfemble tous ces produits particuliers t^
on aura 39 57*^^ 4^^ S^p pour le produit demandén

PROBLÈME.

S$ MttbipUer 39S7T^'^ 47? $Tp
Par 22T 2P 6p

7 xrrp

7 ^

2 fl srrp

Ï319 1 6 2XTL

329 4 10 8

FrodMitmd SSyaoîTr iTTP iTTp ^TTL

jkoi t\¥. iy. Chûf. m Dm la McftTif Lf einoif

On fc propofera d'abord de multiplier tout le mviU
tiplicande par ii^iA comme il n^efl pas facile d'en
multiplier diredement toutes les parties par 22?]
fiiivant la méthode du N^. p 3 ; on commencera pat
multiplier le nombre des îdje^nife du multiplicande
par 227*, & Ton prendra enfuite pour les produits de»
autres parties du multiplicande par a tX , des parties
de 32TTT, qui feront proportionnelles à ce que font
les parties ^l'P 8^p du multiplicande relativement à
la toife qudrrée ; comme on a fait (N«. 94.) .

1*. En multipliant la partie Jp J?*^^ du multiplia
eande par 2 2^^ on aura ces deux produits particu-*
liers 79i4rrr & jgi^oTTT.

2<>. Pour multiplier 4^^ par 222*, on remarquem
que fi Ton avoir eu i^T à multiplier par' 22^, oik
auroit eu 22TTT pour le produit. Ainfi puifque
les 4^P qu'on doit multiplier par 227* ne font que
les deux tiers de l'^'T, on ne doit avoir que deux
fois le tiers de 22^T'r au produit. Or le tiers de
aiTTT étant -jTTT ^TTP^ on écrira deux fois ce
tiers au produit.

30. Commç les S^^p du multiplicande ne font que
le tiers de 2^ ^ dont le produit par 22^ a été trouvé
de 'jTTT 2TTP^ le produit de S^p par 22^ ne doit
être que le tiers de ^TTT ^TTP^ qu'on trouvera
de 12XTT 2TTP sTTp.

Jufqu'ici le multiplicande n^a été multiplié que pat
ai^ : ainO il nous refte à le multiplier par 2P 6p.

40. Si le multîplicarîde dcvoît être multiplié par i^,'
on auroit pour le produit 3PJ7^^'^ ^TP ^TTp^
Donc, puifqu'il doit être multiplié par 2P qui ne
font que le tiers de i^, on n'aura pour le pro-
duit que le tiers de 39^7'^^'' 4*^''' ^'^^Pt i^-^

Yoir ijxprrr iTTp 6TTp grri,

*•. Comme 6p ne font que le quart de a^*, on ne
Hoit trouver pour le produit de la multiplication pac
épj que le quart du produit 13 ip''^^ i^^'P 6T'2>
jïTL , qu'on a trouvé pour 2^ ; & ce quart fer»

japTiT 43TP loïTp «rn.

-Ajoutant enfemble tous ces produits parriculiers,'
on aura 88720^^1- zTTP iTTp ^TTL pour lepro-

fluit demandé.

PROBLÈME,

^6 MiMpUer enfemble Us trois nmhes emplexei

Imvanu

Sl'^ 4P 8/

On multipliera d*abord les deux premlen nombrei
Complexes l'un par l'autre. Enfuite on multipliera
leur produit I pas le troîfiéme nombre complexe
popofé.

i». En muItîpUant J7^ 4P «f

par ^81* jP

On.auta(ï^*.94.)

le produit SPH^^ 4" ^Tp

H ■ .1 «Il ■ I ■ "■

a». Ce produit jpj?^^ 4^^ ^"^P

multiplié par aa^ a^ 6p

Donnera (N^.pj.) 8872orr?: iTTP iXrp ^T^'^L

pour le produit de la multiplication des trois nombres
complexes propofé^

so) Lîy. IK Chaih. m. T>E la. MuLTifUCATioit

R E M A RQU E.

p7 Jufqu'icî nous n'avons employé dans les^ pro-
duits des multiplications que destoifes quarréesâc
cubiques 9 avec des parties de ces toifes divifées en 6
& fous-divifées continuellement en 1 2. Mais il arrive
fouvent que , lorfqu'on a trouvé la valeur d'une fur-«
face en toifes quarrées & eti mefures plus petites qui
ont toutes une toife de long fur des largeurs égales
aux parties dans lefquelles on divife ordinairement Ift
Jtoife linéairei on veut réduire toutes ces mefures moia-
dres que la toife quarrée , en mefures quarrées y c'eft-
à* dire en pieds quarrés, eo pouces quarrés, Se en lignes
quarrées. Il peut au (11 arriver qu'après avoir trouvé la.
folidité d'un corps en toifes cubes, Se en d'autres me-»
fures folides qui ont toutes une toife quarrée de bafe^
fur des épaiifeurs égales aux parties dans lefquelles oa
divife la toife linéaire , on veuille réduire toutes les
mefures moindres que la toife cube, en mefures cubes»
fa voir en pieds cubes , en pouces cubes & en lignes
cubes. Ain(i il faut avoic des règles pour réduire les
mefures fuperficielles moindres que la toife quarrée »
en pieds quarrés , pouces qnarrés Se lignes quarrées; 8c
pour réduire les mefures folides moindres que la toifo
cube , en pieds cubes , pouces cubes & lignes cubes.

Pour réduire en pieds quarrés, pouces^quarrés &
lignes quarrées , les mefures fuperficielles moindres
que la toife quarrée.

1 ^. On multipliera par 6 le nombre des TP, & le
produit fera des pieds quarrés.

u^. Chaque toife-pouce ayant 72 pouces de long
fur I pouG€ de large , vaut 7 2 pouces ^narrés , ou la

1)19 Nombres coMPCskif. iso^
moitié d'un pied quarré. AinG Ton prendra la mokié
du nombre des tcifi^pouce qu'on aura , Se cette moitié
donnera des pieds quarrés ; & fi en prenant la moitié il
refte i , on mettra j 2 pouces quarrés pour la toije^pouce
leftame.

3^. Chaque toife-ligne vaut la douzième partie d'unti
toye-pouce , te la toije-pouct vaut 72 pouces quarrés : ainfi
la tolft -ligne vaut (pouces quarrés. On multipliera don9
le nombre des toife-ligne par (^9 & Ton ponera le pro^
duit aux pouces quarrés.

4^. Chaque unité des mefures affeftées de la mar-^
que P vaut la douzième partie d'une toije-l^ne qui
vaut 6 pouces quarrés : ainfi chaque 7^ vaut f pouc^
quarré f ou 7 2 lignes quarrées. Donc en prenant la moi-î
tié du nombre des 'P > on aura des pouces quarrés ; Se
s'il refté i y l'on mettra 72 Ugnes quarrées pour cette
unité reliante.

S^ Chaque T' vaut (fii, parce que i^" eft \%
'douzième partie de i^' qui vaut 72 Ugnes quarrées^
Donc en multiph'ant le nombre des P* par 6 ^ on les
réduira en lignes quarrées.

6®, On fera voir de même que chaque P" vaut|^£
Donc en prenant la moitié du nombre dcsT"S on les
réduira en lignes quarrées : & ainfi des autres parties
continuellement 1 2 fois plus petites , qu'on pourra
réduire en primes quarrées ^ qui font des cent-quarante-^
quatrièmes parti^ de ligne quarrée.

Lorfque les deux faveurs de la multiplication nauroni
pas des parties moindres queleslignes^ & que les toifes feront
les parties principales^ on naura jamais au produit des partie»
moindres que les T^^' dom deux valent une ligne quarrée :
tarfi l'on réduifoit les deux faveurs de la multiplication en
lignes y le proélit ne comiendroit que des Ugnes quarrées»

moS Liy. W^ Chap. ÏÎI. 1l>e tA tivviitLitkinon

E X M M P LM.

On propoje de riduirt en pieds quarrés, pouces quaN
tés Se lignes quarrées^ Its mefwres qui /ont moindres que
la toife quarrée dans et produit.

m

30PP 7api» 34^
* 54 4

^W<^— I m I »*■

HaoJpT'i' jaP? i26pf aSXi

La première partie étant cômpcâSede toîfes quarréet
fejui font les mefures principales, on n'y changera ries.'
Pour réduire les autres parties , Ton écrira 6 fous lei
TP, I fous les Tp,5fous les Tt,-£ fous lesP^dfouf
les T" 9 & I fous les 7^"* Enfuice on multipliera char
que partie du produit par le nombre qu'on aura écrie
âu-deifous de lui > favoir la première 9 la troisième 6c
la cinquième parties après les t^Jis quarrées par 61 St
la foconde , la quatrième S: la fixiéme parties après le^
toijes quarrées par { : en obfervant que la première ft
la féconde parties après les toi/es » qu'on multipliera
par 6 8c par | , donneront des pieds quarrés ; que la
troilSéme & la quatrième p multipliés par ^ & par ^ t
donneront des pouces quarrés ; 3c que la cinquième & là
fixiéme parties , multipliées par 6 Scpztly donneront
des lignes quarrées.

On dira donc : 6 fois j^P font jo^P, qu'on écrira
au deffous avec le caraderePP qui (ignifîe/»etff }iuirre.
Puis on dira : la moitié de jT'p eft aPP{^ c'eft-à-dire
a pieds quarrés , Se 72 pouces quarrés .* ainfî l'on écrira

aPP au-deffou$ de 30PP, Se japp dans la colonnf
iui?antc«

DBS Nombres comfcbxes: slù^

Enfuite oo multipliera p^'C. par 6^ ce qui produira
54?? qu'on écrira dans la colonne des pouces quârréê
au-deflbus de japp ; & Ton multipliera o^' par i , ce
qui ne produira rien de plus pour les poucu quarrés.

Enfin Ton multipliera 4T" par 6,^e qui produira
ia^ lignes quarréesi de Ton multipliera 8^'^ P^i$ ce
^ui produira encore 4 lignes quarrées.

Ajoutant enfemble Ids nouvelles mefures quarrées
de même efpece> on trouvera que le produit propofi^
€ao85iTr jTP ^Tp ^TL oTi ^T" 8^1" fe réduit

aux mefures quarrées 120851^^ 32PP i%6pp a8^#

IL

Pour réduire txipitds cubes^ pùoees aées & lignes eiiesi
les mefures folides qui ont une toife quarrée de bafe ^
fur une épaifTeur égale aux parties dans lefquelles oa
divift ordinairement la toife linéaire.

I ^. Comme la toi^e quarrie contient J € pieds quarrési
i& que I TTP cft le produit de i toife quarrée ou de 3 S
pieds quarrésy multipliés par 1 pied , ce qui fait j6piedi
0iéa ; il eft clair qu'en multipliant le nombre des 7TP,
par 5 5 , oti les con veitira en pieds cubes.

ùP. Chaque TTp eft la douzième partie de iTTP
qui vaut 3 6 pieds cubes. Ainfi chaque TTp vaut } piedx
mbèSi A par conféquent, fi Ton multiplie par 3 le
nombre des TTp, on les convertira en pieds cubes*

5^. Chaque TTL eft la douzième partie de iTTp
qui vaut 3 pieds cubes. Ainfi chaque TTL eft ^ de pied
tubei & comme itpkd cube vaut 1728 pouces ciû^s^
diaque TTL vaudra 432 poucescubes. Donc en divîfanc
lé nombre des TTL par 4 , on aura encore des piede
cubes ; Se s'il refte quelques unités qui ne puifient paa
être divifées par 4 , oa les mukipliera par 432 ^ le lo

^o8 Lip. IF. Chef. 111. Di LA M0LTÏPI.TCATTOÎ?
produit fera des fouets cubes; c'eft- à-dire que pour vTTtî
on mettra 4.3 2ppp ; pour a'^'TL oii mettra 8 6^ppp ; Se
pour ^l'TL on mettra i2^6ppp.

40. Chaque TT^ eft la douzième partie de iTr£
qui vaut 4.32 j^oucei cu^e5. Ainfî iTT^ vaut 3 5 jpouccj
cubes : donc en multipliant le nombre des TT^ par ^6^
on les convertira en pouces cubes.

jo. iTT" cft la douzième partie de i^Ti qui vaut
^6 p^tfcei cuiei. Ainfî iTTi^ vaut 3 jpoucei cui^ei : donc
en multipliant le nombre des 77^^ par 3 ,on les con*
yertira en pouces cubes.

50^ irrr"t eft ladouziémepartîedeiî"r"quîvaut
^ pouces cubes. Ainfi iTT^" vaut ~ de pouce cube ou
'432 lignes cubes : donc fi l'on prend le quart du nom*-
bre des TP" , on les convertira en pouces cubes ; Se s'il
refte i ou 2 ou 3 unités , on prendra pour elles 432 ,
ou 8(^4» ou 1 2p5 ifgRei cubes.

70. i^riv ç(j |j^ douzième partie de iTTi" q^j
vaut 432 lignes cubes. Ainfî 1 TT^v y^yf ^ 5 lignes cubes :
donc en multipliant le nombre des TT^"^ par 3<^ , oa
les convertira en lignes cubes.

go. |TTv cft la douzième partie de iTT^v qui vau«
^6 lignes cubes. AinCi iTT^ vaut 3 lignes cubes: donc
en multipliant le nombre des ^^v p^ 3 , on les cour
yertira en lignes cubes.

f. Enfin i rrvi eft le douzième de iTTv q^î vaut
'3 iign« cufiej. Ainfî iTT^i vaut ^ de ligne cube : & pac
confèquent , fi Ton dîvife le nombre des TT^^ par 4»
on les convertira en lignes cubes.

On doit remarquer ici que le nombre des T7^*
fera toujours divifible par 4, & fera par confèquent
toujours o , ou 4 , ou 8 , toutes les fois ques les trois
nombres complexes qu'on aura multipliés enfemble»
n'auront point d'unités moindres que la ligne. Car

a

j6 le nombre des TT^i étant divifé par 4 , Ton avoit i
€m 2 on ^ unités de refte , ces unités reflantes yau^
droient enfemble quelque chofede moins que la ligne
cube ; ce qui n'efl paspoŒble ; puifque trois nombres
qui ne renferment point d'unités moindres que la ligne^
étant multipliés enfemble , ne peuvent pas produira
des unités nu>indres que la ligne cube,

E X M M P ZS,

On propofe it réduire eA^icds cubes f pouces cubes;
& lignes cubes » Us nombres Juivans de mefures Jolidet
qui ont toutes une toîfe quarrée de baje , fur différentes
épatjfeurs ^aUs aux parties dans Ujquelles on diyije or-
dinahraneni la toife linéaire.

qPPP S6^PPP 452iii

108 7a

ly 6

I 2

Sous les trois premiers nombres qui donneront des
pieds cubes, on écrira ces trois nombres abfolus
3 ^ f S 9 V ^^^ ^^ trois nombres fui vans, qui donne*-;
ront des pouces cubes, on écrira les mêmes nombres
^6 f 3, !• Enfin fous les trois derniers nombres
qui peuvent donner des lignes cubes , on écrira en^
core les mêmes nombres 365 3^ ^.

Enfuite on multipliera chaque nombre de mefures,'
par le nombre abfolu qu'on aura écrie au-deflbus de
lui ; & comme les trois premiers ne pourront pas don-
ner une unité , la réduâion ne donnera point de pieds
cubes. Mais comme il reftera 2 toife^toife-lignes qui
multipliées par^ oudivifées par 4;, donneront | pied ^
uirklmétîque^ O

ito Lîu.iF. Chap. IF. Dn là DiYttioH

cube» ou la moitié de 1728 pouces cubes; on écniA
pour cette moitié , 8^4. au rang deftiné pour les
pouces cubes.

Multipliant les trois nombres fuivaos jTT^ ^TTn
eTT^^^ qui doivent donner des pouces cubes, par les
nombres 36 ^ J 9 ^ q\n font au-de(fous d'eux ; mt
aura ces trois produits 108 pouces cukes^ 15 pouces
cubes & 1 ^ pouce cube : ainfî l'on écrira 108, 1 5 & i
9u-deâous des 8 ^4 pouces cubes qu'on a déjà trou*
yç$ : Se comme ^ pou^e cube vaut 43a lignes cubes^
otx écrira 432 lignes cubes au lieu t^u'on a defUné aux
lignes cub^»

Enfin multipliant les trois, derniers nombres de me^
fures^qui doivent donner des lignes cubes, pas les trois
nombres 3 <î, 3 , ^, qui font au-deflbus d'eux; le pre-
mier produit fera 72 lignes cubes, le fecond fera 6.
lignes cubes, & le troifîéme fera 2 lignes cubes.

Toutes les parties du produit propofé étant ainfi
transformées en mefures cubiques , on en fera Taddiii
don, & Ion aura oP-P-P ^SSppp ^iT.l^LL.

- » ■ HT -f I M

ss

CHAPITRE IV.

De la Dmjîon des nombres compUxeu

08 jp E divifeur donné pour dîvifer un nombfé
J— 'Complexe, eft ou incomplexe ou complexe.
Lorfque le divifeur donné eft incomplexe , là divtr
fion des nombres complexes ne diflFere pas de la dSvî*-
lîon des nombres incomplexes. On la feit en dîvifant
chaque partie du nombre complexe par le divifeur
incomplexe donné, & en commençant par la dîvî*
lion de la partie dont les unités font de la plus grande
efpéce. Par exemple fi Ton veut divifer un nombre
complexe compofé de livres, de fols 5c de deniers*
on cpnamencepar divifer la partie des livres; ciuuite

DBS HoMBRCSr COtfFBXLXs; Ûït

bn di vife la partie des fols , en y ajoutant la valeur des
.livres qui n'ont pans pu être divifées ; enfin Ton finit
par la divifion de la partie des deniersj en y joignant
la valeur de la partie des fols qui n a pas pu être di«*
.vifée dans la divifion précédente*

Lorfque le divifeur donné eft complexe^ on le rend
incomplexe en le multipliant par des nombres conve*
nables, jufqu'à ce que toutes les parties qui ont des
unités moindres que Tunité principale, foiem éva-^
couies. Et pour que le quotient fbit le même qu'il fe«-
îoit, fi Ton divlfoit par le divifeur donné fans le multi-
plier ; on multiplie le dividende par les mêmes nonv*
bres qui ont fervi à multiplier le divifeur, pour le rendre
sncompleze; la raifon de cette opération eft que, un
dividende & un divifeur multipliés également, don-
nent le même quotient qu'ils au; oient donné s'ils nV,
yoient pas été multipliés.

Lorfque le divifeur eft un nombre abjirtiit , les unî«
tés du quotient font de même efpéce que celles du di-
vidende ; parce que le divifeur abftrait marque par le
nombre de fes unit^, que le dividende doit être par-
tagé dans un certain nombre de parties égales ; Se
qu'il eft évident que les panies d'un dividende font de
même efpéce que ce dividende.

Lorfque le divifeur eft un nombre concret , fes unn
tés doivent toujours être de même efpéce que celles
du dividende 9 à moins que le dividende ne foitun
nombre de mefures iuperficiellesi ou folides : car dans
ce cas, le divifeur concret peut être un nombre con-
cret de mefures qui ont urrC ou deux dimenûons de
snoins que les unités du dividende.

Si le dividende Ôc le divifeur font compofés des

mêmes efpéces d unités, le quotient eft toujours un

nombre abfirait ; puifqu'il doit exprimer combicD de

fois le divi&ur eft CQP{f ua datm le dividende.

Oij

^ift Uv. iy. Ckap. iy. Di LA DifistoU

Si le dividende contient des unités ou mefuresqnar^
rées. Se que le divifeur contienne des mefures ou unités
gui foient les côtés de ces mefures quarrées; le quotient
contiendra des unités qui feront des côtés des mêmes
mefures quarrées.

Et pour donner une règle générale : lorfque le d!«-
vidende fera compofé d'un nombre de mefures quel*
conques qui auront un cenain nombre de dimenfions^
Se que le divifeur fera compofé d'unités qui auront
quelques dimenCons des unités du dividende; les unités
du quotient auront toujours les dimenCons des unités
du dividende , qui ne font point aux unités du divifeur.

Tout ce qu'on vient de dire au fujet des différentes
lunités des quotiens ^ s'éclaircira dans des exemples.

JÙX M M F LM PRX M I MK.

Onpropofe de diyifer le nombre concret eompkxejS^ 8S^
5^ 4*"» P^^ ^ nombre abjlrait incomplexe 74.

iîvifeif

T38

74

VîyideruU iS iS6* <^ 4*^î -^ ^r

64.6

Reftedei lîfrts Joint aoz/a/j j /^^ c^ oii I08 C^.

20 7^

34y

Re/?e des fols joint aux deniers 4.9^ 4*^ ou J92*

12 592

000
On écrira le divifeur à la droite du dividende, com
nie il a été ditpour la diviCon des nombres incomr

bis NOMS&IS eoMPLixis. Stlf
plezesi & Ton tirera fous. le divifeur une barre au-de/^
îbus de laquelle on écrka les chiffires du quotient à me«-
fure qu'on les trouvera. Le dividende & le divifeuc
étant ainfi difpofés , on opérera dans Tordre qui fuit.
p i^. On commencera par divifer la partie ^2^86^
du dividende par le divifeur donné 7^, comme (i
cette partit de livres étôit la feule cbofe qulDh eut à
divifer ; & l'on trouvera y en fuivant les règles de la di«
viCon des nombres incomplexes, 518^ pour le quo-*
tient , avec 54* de reffe qui ne peuvent plus être
divifées par 74 fous la forme de livres*

^o. Cette première diviGon étant faite , on réduira
en fols les ^4^ reliantes ^ en les multipliant par 20 :
ce qui produira 1080^ aufquels on ajoutera les ^^
qui font au dividende ; & l'on aura 1085^^ pour une
féconde partie du dividendci qu'il faudra encore divi-
fer par le divifeur donné 74. Comme le dividende &
le divifeur de cette féconde divifion font encore in-
complexes, on la fera fuivant lés règles expliquées
au N^* 57, & Ton trouvera 14" pour le quotient , avec
'^^" de refte qui ne peuvent plus ètredivifés par 74.

5^. Ce fécond quotient 14" étant écrit à la droite
des f 1 8^ qu'on a déjà trouvées : on réduira en de-*
niers les 4p" qui refient, en les multipliant par 12 ; ce
qui avec les 4 deniers qui font au dividende, produi-
ra ^p2 deniers pour le dividende d'une troifiéme di-
vifion, par le divifeur donné 74. Comme ce dividende
5p2 deniers Se le divifeur 74 font des nombres in-
complexes; Ion trouvera, en fuivant les règles pour
la divilion des nombres incomplexes, 8 deniers pour
le quotient, fans aucun refte.

Ces trois diviûons étant £aites. Ton aura pour le
quotient du nombre complexe, 3 &3 8d** 5^ 4S divifé
par le nombre abftrait incomplexe 74 > le nombre
complexe y 18* 14^^ 8*^ compofé de livres, fols Si
deniers comme le dividende. Oiiij

'!ii4 <^* ^* C^P* ^^ ^' ^A Divmeir

Il eft étridenc qu« dans les crois divtfîons qu^OQ
â faites, on a divifé roures les parties du dividende paf
le divifeur 74* AinO Ton a fait ce qui étoic propcfé.

Exemple IL

On propofeiedivijtr U nombre concret complexe 1 280M
§0 i^ 2D 17g qui a pour unités des poids^ par ^i^.

'";.ï;^> 1280M 30 iG aD ng{siX. ^^y^^ ^v^^

^ ■ ■ 9 ' ■■

Knuv^Mu^ %jr r\ r- T\ f^oç Nouveau iivïfeuT

102i

Bif^f dit
«»x onces

'^20t^ 4O0U i6l2 oncef
8 I4K

Rcjle des onces joint aux graias lyjOjGou 1423 gros

8 I2JO

Refte des gtos joint aux deniers ISfS^ iDou 580D

3 4^Q

Jle/Ze iici deniers jVn^ 41C1: grains iToD^o^

4iopg
4100

coco
Le dîvîfeur étant complexe , puîfqu'il contient une
partie de j i unités avec une autre ^ dont l'unité eft
différente ; on le multipliera par 4 pour faire éva-
nouir la fi aâion ^ , ce qui donnera 205 pour un nou-
veau divifeur quadruple de celui qui eft propofé : &:
alin que le quotient foit le même que û Ton divifoit
par le divifeur propofé 51^, l'on moicipliera auffi le
dividende propofé pat 4; ce qui donnera j i5iiM ^O

7G lU aoj pour un nouvcji divUçndç Ie<juçl étan^

DIS NOMBEB» COMPLEXES. àff^

divlfé par le nouveau divifeur aoy, donnera le mém^
quotient que fi Ton di vifoit le dividende propofé par le
divifeur donné; comme nous l'avons prouvé (N<>. j ^ .}.

Le nouveau divifeur étant placé à la droite du nou^
veau dividende» on fera la diviGon comme il fuit

i^. On commencera par divlfer la partie yiaiAf
qui a les unités les plus grandes, par le divifeur 20 ^^
comme il a été expliqué dans la diviiion des nom-
bres incomplexes ; & Ton trouvera A4 marcs pour le
premier quotient , avec un refte de 20 1 marcs qui ne
|>eut plus être divifé par 20;.

20. On convenira en onces le relie 20 1 marcs de
la première divifion» en le multipliant par 8 , &: on lui
ajoutera les 4 onces qui font au dividende ; ce qui don-
nera 1612 onces pour un nouveau dividende qu'on di-
vifera par le divifeur 20 ^ . Comme le dividende & le
divifeur de cette nouvelle diviiion font incomplexes,
on trouvera 7 onces pour le quotient de cette féconde
divifion , avec un refte de 177 onces qui ne peut plus
être divifé par 20 $.

3 ®. On réduira en gros les 1 77 onces reftantes de
la divifion précédente, en les multipliant par 8^ Se Ton
y ajoutera les 7 gros qui font au dividende; ce qui
donnera 1423 gros pour un nouveau dividende in«
complexe qu'on divifera par le divifeur incomplexe
20 p & Ton aura 6 gros pour le quotient, avec un refte
de ipj gros qui ne peut plus être divifé par 2oy.

40. On convertira le relie 193 gros en deniers, en le
multipliant par 5 ; & ajoutant au produit i deniet qui
fe trouve au dividende on aura un dividende ^So de*
niers qu'on divifera par 205 $ ce qui donnera 2 de»
niers pour lé quotient, avec un refte de 170 deniers
çui ne peut plus être divifé par 20 f»
5^. Enfin Ion réduira en grains ce refte 170 denier^

ca le multipliant par 24 > de Ton ajoutera au pcoduiir

O** ••
ui|

si^ Uv.W.Chaf.W. Dk la Divisioiir

les 20 grains qui font au dividende; ce qui donnera'
4 1 00g pour un dernier dividende qu'il faudra di vi«
fer comme les autres par 20^ ; 6c Ton trouvera pouc
le quotient ao grains fans aucun telle.

Toutes ces divifions étant faites; lei cînq quo-
tiens qu'on aura trouvés , compoferont le quotient
complexe 24W 7O 6G 2D 20g.

Comme on a diviTé toutes les parties du nouveaa
•dividende par le nouveau divifeur, & que le quotient
qu'on a trouvé efl: évidemment le même que fi Ton
a voit divifé le dividende propofé par le divifeui
donné ; il ell clair qu'on a trouvé le quotient que
l'on demandoit*

Si au lieu de marcs qu'on a pris dans cet exemple pour
les unités principales de poids ^ on avait employé des livres
qui valent deux marcs chacune , on aurm eu 6^o\h 3 O
,iG 2D ijg â diviferpar yi-^; & Von aurM trouvé
i2Îb 7O 6G 2D 20g pour le quotient. Vopération nawr
voit été différente quen ce que^ pour réduire le rejle des livre;^
en onces , U aur oit fallu multiplier ce rejle par 16 •

X M M P LE

ÎIL

On propoje de dxvïftr U nombre complexe 3 8 J 1 5* ip*
pur Ji8» H^8*.

Dividende | 38 J I J» . nfi Q ^ ^* '4^ ^'^ H vifeUT propofi
Kawem /.if C^iS tn^) ^'i%^* 4 nOUVCOH iivïftUt

'ÏK 1^7739» î^rZlil!-^ i^v^eu.prép<uà
31124

i5>45« 5^

BBS NOMBRKS COMPLlXBs; Sif

Le divifeur étant complexe , on le multipliera par
ides nombres convenables pour faire évanouir les de-
niers de les fols qu'il contient. Four trouver ces nom^
bres convenables ^ on remarquera que 8^ font le tiers
de 2^^ : ainfî en multipliant le dividende Se le divifeut
par 3 , Ton aura un nouveau dividende 1 1 y 547* 1 7 t
êc un nouveau divifeur i$$6^ 4" qui ne contiendra
plus de deniers. Enfuite on remarquera que les 4^
qui font au nouveau divifeur, étant le cinquième
de I*, fi Ton multiplie le dividende & le divifeur par ç»
on aura un nouveau dividende J77739* J^S ^ ^^
nouveau divifeur 7781^ qui ne contiendra plus ni fols
ni deniers.

Le dividende Se le divifeur étant ainfî préparés ;
on les divifera l'un par l'autre. Or divifant 5777 5P*f
première partie du dividende préparé, par le divifeuc
préparé 778 1*, on trouvera pour le quotient le nom-
bre abfîrait 74 qui lignifie que le divifeur 7781* eft
contenu 74 fois dans le dividende J7773P* ; Se il ref-
tera ip45* J" qui ne peuvent point êtredivifés pat
778 1*; mais comme ce refte eft précifément le quart
du divifeur 778 1*, Ton mettra encore ^ au quotient»
Se Ton aura 74 ^ pour le quotient exaâ demandé.

Autrement : lorfque le dividende Se le divifeur ont
des unités de même efpéce ; ( comme dans cet exem-
ple, où Ton a des livres Se des parties de livre à divi-
îer par livres , fols & deniers ) on réduit le dividende
Se le divifeur à des unités d'une même efpéce qui foie
la plus bafle de celles qu'on trouve dans le dividende
Se le divifeur ; c'eft-à-dire que dans l'exemple pro-
pofé, où le divifeur contient des deniers, on réduit
lo dividende Se le divifeur en deniers, en multipliant
les livres par 240, & les fols par 12 ; & qu'on ne fait
qu'un feul terme de toutes les parties du dividende

»i9 Liw. IF. Ctmp.iy. De la Division

dont les livres & les fols ont été convertis en deniers^
de même que de tontes les parties du divifeur dont les
livres 5c les (bis ont été pareillement convertis es
deniers. Enfuîte on divife le dividende réduit en on
ieul terme , par le divifeur réduit auflî à un feul ter»
me ; Se Ton trouve le quotient par les règles que noua
avons expliquées pour les nombres incomplexes;
mais il faut remarquer que le dividende Se le divifeur
étant compofés des mêmes efféces d unités, le divi-
feur fera un nombre abftrait qui exprimera combiea
de fois le quotient eft contenu dans le dividende»

E X E M p Lx ly.

Dividende propojé

^ç^TT ^TP 6Tp STL jyT 4P Sp

diyifeur propofé

Nouveau dividende | nouveau divifeur
î^SjTT ^TP sTp I ij^T 2P

Dividende préparé f 5 2 o^ divifeur préparé
446 iTT aXP \ gr ^P 6p quùtimt

41^0

f^i^^ïS^^^ ^^^ ou 1 8aôTP
6 1560

Rejie its toîfe-pieds 26qT^P eu ^ï IcXp

12 3120

0000

Comme îl faut rendre le divifeur incomplexe , 6n
le multipliera par 3 pour faire évanouir les 8 pouces»
& Ton multipliera pareillement le dividende par 3 ;
ce qui donnera 14.87^^* ^P 8^p pour un nouveau
dividende , & 173?' 2^ pour un nouveau divifeur.

Comme il faut encore faire évanouir dans le nou-
veau divifeurj les a pieds qui font le tiers d'une toife^

BIS Nombres convttxnn: st^
en nmkipliera encore par 3 le nouveau dividende 8c
le. nouveau divjfeur; ce qui donnera 44<f37'T ^'^P,
pour le dividende 9 8c ^2çX pour le divi&ur entière-*
ment préparé.

Ledivifeur étant rendu incomplexe, & ayant niul-<
tiplié également le dividende 8c le divifeur, commo
nous venons de faire ; le quotient de la divifion de
ces deux nouveaux termes fera le même, que fi Ton
divifoit le dividende propofé, par le divifeur com*
plexe donné fans aucune préparation. Ainfi en divi^
îant le dividende préparé par le divifeur incom-
plexe préparé, Ton trouvera le quotient quon de*
mande.

LcMrfqu^on multiplie une quantité complexe com«-
pofée de toifes, pieds, pouces, par un nombre de
toi(es, Ton trouve pour le produit un nombre de
toifes quarrées qui peuvent être accompagnées de
plufieurs panies de la toife quarrée divifée en 6 ^ 8c
ibus-divifée continuellement en 12 : & comme on
défait par la divifion ce qu'on a fait par la multipli-
cation ; il efl clair t]ue fi Ion divife par des toifes»
un nombre complexe compofé de toifes quarréec
8c de parties de toife quarrée ^ comme dans l'exem-
ple propofé 9 Kon aura un quotient compofé de toifes
linéaires , 8c quelquefois de parties de toife linéaire ,
comme on va le voir dans le détail de cette d»r
vifion.

En divifant la partie 44^37^ du dividende préU
paré, par le divifeur préparé 520^, Ton trouvera pour
le quotient 8 toifes ; Se il reliera 505 toifes quarrées
qui ne pourront point être divifées par le divifeur
52^^'^, tant qu'elles feront foos la forme de toifes
quarrées.

Pour continuer la divifion, 1 on réduira en toife*
pieds les 301 toifes quarrées reftaoces, en'les molûr

I

3i# ÏÀv^W.Omp.lV'. Ds LA DiTisiotf

pliant par 6 ; ce qui produira 1 8 1 8 toife-pieds qui
avec a^i'que l'on a au dividende feront iSaoTP.
Enfuite on divifera ce nombre de toife-pieds» par le
divifeur préparé f 207* ; & l'on aura 3 pieds pour le
quotient ; parce que les toife-pieds font des produits
de multiplication de pieds, par des toifes, & doivent
par conféquent donner des pieds lorfqu'on les divife
par des toifes. Cette diviGon étant faite » on aura un
refie dea^oTPquî ne pourra plus être divifépar le
divifeur préparé ^2cX.

Pour continuer la diviGon , Ton convenira en toi-
fe-pouces le refte 2,60*^ P de la diviGon précédente ,
en le multipliant par 1 2 ; ce qui donnera 3 i loXp
<)u'on divifera encore par le divifeur préparé 5 20T;
éc Ton aura pour le quotient 6 pouces ; parce que des
toife^pouces divifées par des toifes doivent donner
des pouces.

Cette diviGon étant faite fans aucun refte, le quo-
tîcnt demandé fera 8^ 3P 6p.

Dans ce dernier exemple , la toife étant la principale
iîmenjion des mejures du dividende , nous avons été obligés
de réduire le divifeur complexe en toijes ; & nous avons
trouvé pour U quotient un nombre compofé de tôijes , pieds,
pouces y Crc.

Si le pied étoit la principale dîmenjîon des parties du di*
vidende , il faudroit convertir le divifeur en un nombre m«
complexe de pieds ; & Von auroit pour le quotient un roui-
hre compofé de pieds , pouces , lignes , &c.

Par exemple Ji Von avoit à divijer 60PP iPp loPL
par 2P 6p 6^1 on rendroit le divifeur incomplexe , en mul-
tipliant le dividende & le divifeur par 24 ; & Von auroit
14.4 3 PP %Pp J divifer par 6lP dont le quotient Jer oit
23P 8p.

On ne croit pas devoir entrer dans le détail de cate
opération ; parce quelle eft femblable à la précédente.

»SS M»HlKKt C0II1I.1XIS; S2|

Ex MM P tM y.

Onpropofe de iivifer SSyaoTlT xTTP iTTp ^.TTJi
fw ait aP 6p,

Dividende propo/ë 1 Dîvifeurpropofi

887aorrr iTTP iIT^ ^TTL I aal* aP 6p

Nouveau dividende

i7744orrT 2TTP 2TTp grrr

Nouveau divifeue^

Dividende préparé
I o646^2J^TT iTTP ^TTp

807

ay76
2411

Divifew préparé

quotient

»jy4

aopa
1885

jîSîiiîSaoprTr iTTPou laîs'rrp

5 i07(J

lî«/ïe da TTP joint aux TTp l'j^TTP ^TTp m ai jaTTj»

la aija

0000

Pour faire évanouir les 2P 6p du divifeur , on mul-
tipliera le dividende & le divifeur fucceffivement par
a Se par (^; ce qui donnera pour nouveau dividende
préparé io6^642TTT iTTP ^TTp^gc 26 ^'^ pou?
nouveau divifeur préparé.

Comme on a vu dans le chapitre précédent» que la
nulciplicadon d'un nombre complexe compoîé de
toifes quarrées & de parties de la toife quarrée divifée
en 6 Se fous-divifée continuellemenc en 1 2 » par UQ

jiâi& Lîr. ÎV. Ch&p. IV. Ds la DivtstMc

nombre de toifes fitnples ^ donne pour le produit un
nombre complexe compofé de toifes cubes , de toife-
toife pieds» de toife^toife pouces &c ; Se qu^il eft évi-
dent que Ton défait par la divifion y ce que Ton a fait
par la multiplication, il efl clair que la divifion que
Ton doit faire du dividende complexe io(J4542rTT
iTTP é^T^f compofé de toifes cubes & de parties de

*]a toife cube divifée en ^, & fous-divifée en 12 , pai
le divifeur 26p^ compofé de toifes fimples, donnera
pour le quotient un nombre complexe compofé de
toifes quarrées, & de Toife-pieds, Toift-pouces, tcz.
iqui font des parties de la toife quarrée divifée en 5^
& fous*divifée continuellement en 1 2. Cela pofé«

V i^. O» divifcra loS^ô^aTTT par a^^r* ^l^
quotient fera jpjT^^r avec un refte de aopTrr.

ao. On réduira ce refle en toife- toife-pieds, en le
multipliant par 6 , Se Ton 7 ajoutera une toife* toife-
pied qui fe trouve au dividende préparé ; ce qui don-
nera 125 jTTP qu'il faudra aufli diviferpar 7.6^*^1 Se
le quotient fera ^P^ avec un refte lyp'TrP,

30. On réduira ce refte en toife*toife«pouces , en
le multipliant par 12, & Ton ajoutera au produit
477^ qui font au dividende préparé ; ce qui donneca
2 lysT^Tp qu'il faudra encore divifer par le divifeur
préparé aôsii^i Se le quotient fera S^jp fans aucun refte.
Donc 3p j7rr ^rp 8Tp fera le quotient total de 1<
divifion propofée.

Em X M F ZM VL

On propoft de divîftf le nombre comfUxe TJYI^fP^
. |Pfp ^ff pur le nombre incompkxe T2pp.

On a vu (M^. 53.) que fi Kon divi fe le dividende Se
le^divifeur d^un« cfi vifion , par une même quantité f le
(quotient de la divifion du nouveau dividende par le

nouveau dÎTifeor fera le même qoe celui du preoûec
dividende divîié par le premier divifeur.

Or le dividende propofé ^747^^/ i^pp ^ppp étant
le produit de . . . «747'' i' 4p par i/p, peut être di«
vifé par ipp & fe réduire à 2747^ iP 4pj &le divi<-
feur 7 3pp étant le produit de ip/Mnulcipfié par lenom*
breabftrait 72, peut être auifi divifé par ipp Se fe ié«
ckrire au nombre abfotu 72.

Donc le quotient de ta divifion fera le même, foît
que Ton divife le dividende propofif , par le divifetir
propofé ; fbit que Ton divife le dividende abiegé
2747^ il^ 4j[^ par le divifeur abr^é J2. Et comme
ces nouveaux dividende & divjfear font plus iîmplee
que les premiers 1 on les préférera aux premiers poux
la divifion.

72 àivtiitur préparé^
DipiitftAi prépari 2747*" 1^4p/ fuotient

187

iUfit dit tolfes joîiir «iwpîcAs llT iPoU é'jfj,

6 1%

■ '> • mm

JllUmt rtft joint aux pouces du ^pîdendi SoSp

• « * _

7^

7a

Rejie êupoucu i6pm tpaiC

ta 144

Refit des Uffut ^SL 9U ^J^^

,ia S7^

000

i«. En âivi&iQt 2747'' par 73, 9Q aura pour fe
codent 3 Sf^ avec ua refte 1 1^.

524 Lir.iy. Chaf.V. Du Toiti

2^. On réduira le refte 1 1^ en pieds en le maltî^
pliant par 6» 8c on lui ajoutera iP qui eft au divi*-
dende , ce qui donnera 6^P qu'on ne pourra pas divî-
fer par 7 2 ; ainfi Ton écrira oP au quotient , Se les 6^P,
qui n'ont pas pu être di vifés , refteront»

3®, On réduira le refte 67^ en pouces, en le mult!«
pliant par 1 2 , & on lui ajoutera les 4 pouces qui font
au dividende, ce qui donnera 808/1 qu'il faudra diyi«
fer par 72 : Se Ton aura 1 1 pouces pour le quotient ,
avec 1 6 pouces de refte.

4^. On réduira le refte 1 6 pouces en lignes , en le
multipliant par 12 : & l'on aura ip2 lignes qu'on di-*
vifera par 72; ce qui donnera 2 lignes au quotient ,
& 48 lignes de refte.

50. Enfin l'on réduira le refte 48 lignes en points
ou primes > en le multipliant par 1 2 ; Se l'on aura ^^6\
qu'on divifera par 72 , ce qui donnera 8S fans refte.

Ainfi 38^ oP 1 1^ 2i 8' fera le quotient cxaû de
la divifion propofée.

CHAPITRE V.
Du Toïfi des Bois.

ip«/^N appelle en général SoCve , toute pièce dé
V^ bois qui contient 3 pieds cubes.

Comme une pièce de bois quarrée de grofieur uni-
forme , qui a 2 t'oifes de longueur, fur 6 pouces de lar-
geur 8c 6 pouces d'épaiffeur ^ contient ) pieds cubes,
on donne ordinairement le nom de folive à une pièce
qui a ces trois dimenfîons.

Mais parce que la toife eft la principale mefure dans
les toifés, Ton réduit la folive en un parallélépipède
qui a I toife de Jong fur une bafe de 72 pouces quar-
rés , ou égale à la moitié d'un pied quatre.

£0

_J

En conGdérant aÎDfi la folive, on la divife côMmé
)a toife en 6 parties égales qu'on appelle pieii dt/olhrié
Ainfi chaque pied defolive ell un parallélépipède qui
a 1 pied de haut fur 72 pouces quartés de bafb.

Le (Hed de folive ft dîvife comme le pied linéàir^^
J)remierement en 12 pouces ; enfwite le pouce fc di^

pouces quartés > ou a la moitié d'un pied quatre^

PROBLÈME,

ibO Toîfer une pièce de bois quatre ^ & la réduite eà
Pièces w Solipes.

L

On mefurêrà la longueur de la pièce en toîfbs, fâ
largeur Ôc fon épaiflfeur en pouces : puis ayant multi'^
plié le nombre des pouces de la largeur par le nombre
des pouces de TépaifTeur ; on multipliera le produit qui
fera compofé de pouces quarrés par le nomt:)re de^
toifes contenues dans la longueur de la pièce , ce qui
donnera un fécond produit dont les Unités propres fe-
ront des toife-pouce-paucey on des baguettes quarréesqui
auront chacune une toife de long fur un |)oUce quarré
de bafe. Et comme la folive qui a i toife de long fu^
72 poUces quarrés de bafe ^ contient 7 2 de ces baguer*
tes ; il faudra divîfer le dernier produit par 72 , pôUi!
avoir le nombre des folives qu'il contient ; ou bien di-
vifer ce produit par 72/>p, ce qui donnera autant dé fo«
lîves Se de pàrties'de folive qu'on trouvera de toifes
& de partiel dé la toife pour le quotient.

. Soit par exemple propofé de trouver le nombre de £

folives 8c des parties de folive contenues dans un pa*»

iallélépipéde de 28 pieds 8 pouces de long fur 1 pied

Il pouces de large >& z pieds i pouce depaifleur.

Arithmétique. 1^

2t$ Liv.W. Chap. V. Du Toisi;

La longueur de la pièce n'ayant point été meftirée
en toifes, & les dimeolions de fa grofleur n'ayant point
été évaluées en pouces ; on commencera par réduire en
toifes la partie de a 8 pieds 8 pouces qui pourra s'y rér
duire » le furplus reftant évalué en pieds iSc polices ; 8c
Ton convertira en pouces les deux dimenfions de la
grofleur*

La longueur a8P 8/^1 f 4T ^P Sp

la largeur iP iip \fe réduiront à^ ^p

Vipa^eur ^P ipj (^ a^p

Von multipliera donc la largeur 23 pouces
Par tipaïffewr 2 y pouces

Ce ftti produira

Que Von multipliera f or la longueur

"5

45

57 J pouces quarrés

4^

4^

8p

a^oeTpp

ipi

^fP

ipi

4r

<?3

S

éPPP

Ce qui donnera ce nouveau p'oduit 2747 Tpp l^PP 4:Pff
que Ton divifera par '72pp comme il a été expliqué dan^
le 6^ exemple du chapitre précédent ; Se Ton aura
!e Quotient 3 8^ oP i ij? ai 8^ qui reprçfentera 3 8 fon
lives qP iip 2^8^ contenus dans la pièce propofée.

IL

II y a des Toifeurs qui , après avoir multiplié Tune
par 1 autre la largeur & TépaifTeur de la pièce rnefu*
rées en pouces , divifent ce produit par 72 j de qui
multiplient enfuite le nombre des toifes contenue^
dans la longueur de la pièce , pa^r le quotient de cettc^
diviiîon , pour avoir le nombre des folives contenuies
dans la pièce.

DE 9 Bois.

Par exemple fi la longueur de la pièce eft de 4^4^8f ,

& que les dimenlÎQns de fa groiTeur foient 2^p & 23);;

»*■ ■ ■
75

57ÎPP r2£EP

I2i_l 7
71PP

Ils multiplient ijp par ajp, ce qui produit J7J
pouces quarrés ; enfuite ils divifent ce produit par 72,
ce qui donne 7 bafes de ibiive pour le quotient ^ avçc
UD refte de 7 1 pouces quarrés : enfin ils multiplient la
longueur 4^ ^P 8p de la pièce par le quotient 7 que
Ton vient de trouver 9 8c par fon refle 7 ipp.

^r 4^ 8p

J7 7 1PP

7 itf/ei ie folipe 3}^°'*'" 2P 8p
^6 pouces quarrés 224
p ) i9 pouces quarrés 1 12

^l 2 pouces quarrés o ^ P 4^

4 pouces quarrés q i 7 ' 4^.

1 poi^ce jMarr^ o o 4 :? 4

Ce qui à^weU produit 38^^*"" oP iip 2i 8^

Pour faire cette opération, on multipliera d'abord
4*ï* 4P 8p par 7, ce qui pçoduira 3 5 foli ves 2P 8p.

Pour multiplier par 7 1 pp , on les partagera en par-
ties aliquotes de 72pp , qui feront 36,18,12,4, i,
pouces quarrés ; & l'on opérera comme il fuir.

Si Ton avoit 4^ 4P 8p à multiplier par 72 pouces
quarrés , on auroît pour le produit 4 folives 4P 8p. Ainfî
n'ayant à multiplier que par 36pp , Ton ne doit avoir
que la moitié de 4 folives 4P 8p, favoîr 2 folives 2P4P
que l'on écrira. P U

aaS Ly.IF. Chaf.V. Du Ton*

Eq multipliant par 1 8pp , on ne doit avoir que la
moitié de 7, folivcs 2? 4p qu'on a trouvés pour 3 iSfp ;
on n'aura donc que 1 folive i P ap.

£n multipliant par 12 pouces quarrés; on ne doic
avoir que le tiers du produit 2^°* 2P ^p qu'on a trou-
vé pour 3 (( pouces quarrés, fa voir o folive 4P ^p ^^

En multipliant par 4. pouces quarrés , on ne doic
avoir que le tiers de o^"'*"" 4P ^p 4^ qu'on a trouva
pour 1 2 pouces quarrés , favoir o^'"*'' 1 P 7p 1 i 4^

Enfin multipliant par i pouce quarré 9 l'on n'aura
que le quart de o^^^*'' iPjf 1^4^ qu'on a trouvés pour
4 pouces quarrés , favoir o^*'"" o^ 4p 9^ 4^

Ajoutant enfemble tous ces produitS|On trouvera pour
la valeur de la pièce propofée 3 8^^**^ o^ i ip 2^ 8^*

IIL

On a tâché de diminuer le travail du toifé des bols
quarrés 1 en opérant comme il fuit.

On regarde le nombre des pouces d'une dimenfioa
de la grofleur comme dts pieds. Se le nombre des
pouces de l'autre dimenfionde la groiTeur comme des
demi-pieds;& ayant réduit ces pieds & demi pieds en
toifes > on multiplie fucceffivement par ces nouveaux
nombres , le nombre des toifes & parties de toife con-
tenues dans la longueur de la pièce : ce qui donne un
produit compofé de toifes cubes & de parties de la toife
cube divlfée en 5 , & fous-divifée continuellement
en 12.

Par exemple , fi Ton propofe de réduire en folive^
une pièce de bois dont la longueur eft de 4^ 4^* 8p ,
Se dont la groficur eft de 25P & 23p.
On regardera 2 y pouces comme 2 5P que Ton réduira
k^TiP^gc pour 2 3 pouces on prendra 23 demi-pieds,
ou \iP 6p qu'on réduira à i^ jP 5p,

Les dimeafions de la grofieur de la pièce étant ainS
préparées, on multipliera enfemble dans tel ordre

DES Bois. a2p

qu'on voudra les trois faftcurs ^ 4P 8p , ^ï* 1 P o/^ ,
& iT* 5P tfp.

1^. On multipliera j^ 4P Zf

Par 4. I

R r.« .«r. ;,.«r (4^ 'i»^^ °" «^P

TL

mtrMp0ur

Produit total i^TT ^TP jTp j^TL

a^. On multipliera ce produit des deux premiers fac^-
tèurs y ffapoir ipTT ^TP jTp ^TL

iT fP 6p

iprrr ^ttp ^TTp j^ttl

5 3 9 p 4TT1

> 3 >t y 4

Pwduîworil 38rrr orrpurrp aîTL grri

Mais au lieu de confidérer ce produit des trois di^
menfioos de la pièce ^ comme un nombre de toifes
cubes & de parties de la toife cube divifée en 6, & fous
di vifée continuellement en 12, on le regardera com«
me un nombre de folives Se de parties de folive divi-
fée en 6 , 4c fous-divifée continuelic^ment en 1 2 > en-
forte qu'au Heu d'écrire» comme on a fait» ^9XT^T
oTTP I itTp 2TTL sTTi pour le produit, on écri-
ra 38 folives qP I If 2^ Sf ; ce qui lignifiera 38 fo^
lives , avec 1 1 pouces 2 lignes Se 8 points de folive.

Pour démontrer cette méthode , on remarquera
qu'en regardant , comme on a fait „ les pouces d'une
dimenûon de la groffeur de la pièce comme despied^
Se les pouces de l'autre dimenfion comme des demi-
pieds , on a rendu une dimenfion 12 fois trop grande»
Se l'autre dimenfion € fois trop grande ; eDforce.que
le produit folide 38rrr oTTP i iTTy ^rHL tTT\
dans lequel entrent ces deux dimenfions , eQ 12 foin

Piii

'ajô Liy. IV. Chap. V. De; Toisé ©es Bom.
6 fois, bu 72 fois trop grand. Ainfî Ton réduira ce
produit à la jufte valeur qu il doit avoir, en le rendant
72 fois moins grand. Mais la folive étant de ) pieds
cubes I ne vaut que la foixante-douxiéme partie de la
toife cube qui contient 216 pieds cubes ; & les parties
de la folive divifée en 5 & fous-divifée bontihuelle-
inent en 12 , ne font que des foixante- douzièmes des
parties correfpondantes de la toife cube divifée en 6
âc fods-divifée continuellement en 12. On rendira
donc le produit ^STTT qTTP i iTTf oXri %TT^,

7 2 fois moins grand, en écrivant folives, ^ pieds»
pouces &c , de la folive , à la place de toifes cubes Se
de pieds, pouces &c de la tdife cube»

IV.

D'autres toifeurs opertnt de la manière fuivànte, qui
ell fondée fur les inêmes principes que la précédente*
Ils rendent une dts dimenfîons de la groffeur de la
pièce 9 72 fois piuS gfà'ûde, en regardant côittme au-
tant de toifes le nombre des pouces qu'elle contient :
enfuite ils la multiplient fucceflivementpar lesdeat
autres dimenfiôns de la pièce évaluées en toifes * par-
ties de la toife , ce qui dohtie êâ toifes cubes & parties
de la toife cube, Un produit 72 fois trop grand ; fettfin
ils réduîfent ce produit à fa jufte Valeur , eta écrivant
folives (Se pieds, pouces, Sec deft>live^ i ia place de
toifes cubes & pieds , poUces , &c db la tôife cube.

Par exemple pour réduire en folives àne jpiéce de
4T ^ Sp de longueur , dont la groflTeur eft cïfc ± jp fur

2^3)^; ils prennent 25^* pour 2çp; enfuite îlsmult-
plient 2 jTpar ajp, ou plutôt paro^ iP 1 tp, & mu-
tîplicnt encore le produit réfultant ^^^T ^TP i iTP,
par la longueur 4^ 4P 8p , ce qui donne ce produc
38rrT orrp ^ iTTp ^TTL %TT[ pour lequel ils

écrfvent 38 folives oP np 2I 8'.

ELEMENS

D'A n ITHMÉ TISl VE^

LIVRE V.

Des Proportions & des principales Règles
^ en dépendent.

CHAPItRE PREMIEB,

Dts ptifortîoru en général.
Définit io»s.

jQj !î appelle Rapport ou Raîfah la conj^

paraifon d'une grandfeur avec une
aùti-e.

Dans la comparai fûll que l'on
fait âc deux grandeurs , fî l'on
hé conlldérê que leur différeoce , c'6ft-à-dire lï
quantité donc l'une rurpaiïe^ l'àuîre ou êfl furpalTée
par l'autre , cette dîffiîrencê fe nommera, Rappott.
orhhmétique ou Raifon arithmétique. Far exemple eli,
comparant 12 avec 3,Gt'onconIidércreuleineîit^iib.
F iil ■

f 3^ ^iV. y. Chap. h Dis Paofortioks
I A furpafic 3 , ou que 3 eft fupaffé par 1 2 de p unk
f es i ees ^ unités qui font la différence de. 1 2 à 3 oa
^ft 5 à 12 j^ feront le Fappon arthtnétique de 12 à ^«
Mais fi en comparant deux grandeurs , on confidére
combien de fois Tune contient Tautre ^ ou eft conte-
nue dans Tautre ; ce nombre de fois fera nommé Rap"
fort géométrique ou Raifon géométrique f ou fimplement
Kapjjort ou Raifon des deux grandeurs comparées. Pa^
çxemple en copiparant 12 avec jy fi Ton confîdétc
qup 1 z contient 4. fois } 1 ou que :; eft contenu 4 fois
•dans 1 2 ; ce nombre 4 s'appellera le Rapport géomé'
trique pu la Rai/on géométrique de 1 9 à 5 , ou fimplç-
ment Rapport ou Raijon de 12a 3 ,

On voit par ces défîpitions des Rapports ^ qu'il n j
a <^e rapport arithmétique ou géométrique qu'entre
|ef quantités dé même efpécç,

|o. Le Rapport arithmétique étant la diiïérence de
deux grandeurs» pn ne peut avoir ce rapport ou cette
différence , qu'çn retranchant h plus petite quantité
de la plus grande. Ainfi la plus petite quantité doit
faire partie de la plus grande , Se doit par cpnféquen(
^tre de même efpéce qu'elle.

2^. Le Rapport géométrique de deux grandeurs, étan^
Iç nombre de fois que l'une contient l'autre, fuppo*
fe évidemment que la plus petite eft une partie de la
ply; grande, Sç eft par conféquent de même efpéce
Qu'elle. Ainfi dans le Rapport géométrique comme dans,
le Rapport arithmétique , les dçux grandeurs CQmparée^
doivent être de l^ même efpéce.

Il fuit encore de ce qu'on vient de dire, que le
f apport arithmétique de deux grandeurs, eft une
grandeur c^e même efpécç que celles qu^ font comr
parées; c^r le rapport arithmétique étant la diffé^
çet\cç dçs^ deux grandeur comparées , du l'excç* dç
k plus grande fur la plus petite , eft néceffairemenc

une partie de la plus grande , Se ell par conféquent de
même efpéce qu'elle.

Il n'en eft pas de même du rapport géométrique;
Ce rapport èft toujours un nombre abilrait, puisqu'il
ne repréfente qu*un nombre des fois, c'eft-à-dire lo
nombre de fois que Tune des deux grandeur^ compar

rées contient l'autre.

• • •

Puifque le rapport géométrique de deux g^andeur^
cft le nombre de fois que Tune contient Tautre ; &
ou'on trouve ce nombre de fois, en divifant Tune par
1 autre ; il eft évident que le rapport géométrique de
deux grandeurs , eft le quotient de la di viûon de Tqne
de ces grandeurs par l'autre. Par exemple le rapport
qu'il 7 ^ entre 1 2 & 3 , eft le quotiQnç dç la divifîoa
de 12 par 3.

Lorfque l'on compare deux grandeurs, par exen^-
pie 1 2 & 3 , la grandeur 1 2 qu'on nomme ou que
Ton écrit la première, s'appelle Antécédent ^ 8c Tau*
tre 3 fe nomme Conjéquent : & fi l'on comparoit 5
9vec 1 2 , la grandeur 3 qui feroit écrite la première,
ferojt l'antécédent du rappQrt J^ Se 1 autre grandeur i z
en feroit le conféquent.

Puifque le rapport géométrique de deux gran-
deurs eft le quotient de la diviiiop de Tune par l'au-
f re , on peut écrire les deux termes d'un rapport en
forme de fraâion ou de divifîon indiquée ; c'eft-à-
dire qu Qn peut écrire l'antécédent au-de0us du cou"*^
féquent, avec une barre entre deux. Par exemple
pour écrire le rapport de 12 à 6, on le met fous
cette forme f^ qui fignifîe 12 divifé par 69 ou plu-
tôt le quotient de 1 2 divifé par 5 ; & pour écrire
le rapport de 5 a 1 2 ^ on le met fous cette formef
de fraftion -^ ^ui fignifte \c ^UQtîeat. de ^ divif^

ïoi Deux ra(>pôrts égaux , par exemple lerap-^
port de 2 à 3 & celui de 4. à d , font uae Proportion
géométrique. Ainfî bue Proportion géométrique eft
Côitiboféë de 4 termes dont le premier contient le fe-
tt)hd autant dfe fois que le troiGéme contient le qua-
trième; bu de quatre termes, dont le premier eft con-
tenu dans le fécond autant de fois que le troiûéme eft
tôntetiu dans le quatrième.

Pour fepréfenter une proportion géométrique ^
par exemple celle qui feroit compofée des deux rap-
ports égaux y & i, on l'écrit ordinairement ainfî,
i : 3 : : 4: 5 ; ce qui fîgniiîe que 2 eft à 3 comme 4.
éft à 5 , ou que 2 eft contenu dans 3 comme 4 eît
contenu dans ff ; c'eft-à-dirè qu'on met deux points
entre les deux termes de chaque rapport ^ & qu'où
iépare le^ deux rapports égaux , par quatre points.
Le premier & le quatrième termes d une Propor^-
tîon géométrique fe nomment les Extrima ; 8c le fe^
cond avec le troiûéme s'appfeUent les Mcyenu

THÉOkÈM E.

î Ô 3 ^^ ^"^^ ^^ quatrième terme à* une Pràporiiongéo^
métrique , en multipliant le troijîéme terme par le quotient
du fécond divifépàr le premier.

Il peut arriver deux cas ; ou le premier terme fera
Icâhtenu dans le fécond, où le fécond fera contenu
dans le premier. On va faire voir là vérité dû Théo-
terne dans ces deux hypothèfes.

Premier eau II eft évident qu'on aura le quatrième
terme d'une proportion géométrique , en multipliant
le troiGéme terme par Te nombre de fois qu'il eft
contenu dans le quatrième.

Mais par la nature de la proportion , le tfdifîénle
terme eft contenu dans le quatrième autant de fois

que le premier efl contenu dans le fécond (N'^. ici.)»
éc ce nombre de fois que le premier terme eil conte-
nu dans le fécond ^ eft égal au quotient du fécond
terme divifé par le premier.

Donc on aura le quatrième terme d'une propor-
tion géométrique, en multipliant fon troiCéme ter-
me par le quotient du fécond terme divifé par le
premier.

Par exemple (i une proportion géométrique com-
mence par ces trois termes 2: 3 : : 7 : , & qu'on veuil-
le avoir le quatrième terme^* ondivifera le fécond ter-»
me 3 par le premier terme 2 ; & Ton aura pour le quo*
tient la fraâion | qui fera le nombre de fois que le
premier terme 2 eft contenu dans le fécond 3 , ou
que le troifiéme terme 7 êft contenu dans le quatriè-
me qu'on cherche. Ainfi en multipliant 7 parf^^ Ife
produit ^ ou 10 ^ fera le quatrième terme demabdè;
& la proportion entière fera 2:3 : : 7 : i o | •

Second cas. Il eft claît qu'on aura le quatrième
terme' d'une proportion, en divifant le troisième
terme par le nombre de fois que le quatrième y eft
contenu.

Mais par la nature de la proportion^ le quatrième
terme eft contenu dans te troifiétae autatit de fois que
le fécond eft contenu dans le premier; & ce nombre
de fois eft égal au quotient de la divifion du premieç
terme par le fécond.

Donc on aura le quatrième terme d'tane propor«
tion géométrique ^ en divifant le troifiéme terme
pat le quotietit de la divîfion du pf^iâibr ferme par
le fécond, c'eft- à-dire par une fràdion qui aura Ib
premier terme pour numérateur » ôc le fécond pouc
dénominateur.

Mais (No. 72.) divifer par une fraétion qui a pour
numérateur le premier terme & pour dénominateur

sl^6 Liy. V. Chap. I. Dfs PnopoKTidfKs
le fécond terme , c*eft multiplier par la fraâîon m«
verfe qui a pour numérateur lé fécond terme Se pour
dénominateur le premier* & qui eft parconféquent le
quotient de la divifîon du fécond terme par le premier.

Donc on aura le quatrième terme d une proportion
géométrique , en multipliant fon troifiéme terme par
le quotient du fécond terme divifé par le premier»
comme dans le premier cas.

. Par exemple fi une proportion géométrique com-
mence par ces trois termes 12 : 8 : : 20 :» & qu'on
veuille avoir le quatrième terme; on divîfera le pre*
mier terme 12 par le fécond 8 ; âc Ton aura pour le
quotient la fraâion ^ qui fera le nombre de fois que
le fécond terme 8 eft contenu dans le premier 1 2 , ou
que le quatrième terme qu'on cherche , eft contenu
dans le troifiéme 20.

Ainfi endivifant 20 par ^» on doit évidemment
avoir le quatrième terme.

Mais divifer 20 par la fradion ^^ c^iefl muttipliet
20 par la fraâion inverfe -^ ( N^. 72.).

On aura donc le quatrième terme de la proportion
dont les trois premiers font 12:8 : : 20 :, en multi^
pliant le troifiéme terme 20 par la fraâion ^^"^ ^^
le quotient du fécond terme divifé par le premier; Se
ce quatrième terme étant 13 j, la proportion entiers
fera 12- 8:: 20: 13 j.

■

104 Multiplier un nombre par une fraâion» ctit
le multiplier par le numérateur de la fraftion» Se di-
vifer le produit pat le dénominateur de la même
fraction (N^^ 67.). Donc puifqu'on trouve le qua-
trième terme d'une perportion » en multiplianc for^
UçtiGémo téime p%t une fraâion qui a le fécond terme

pour numérateur 8c le premier pour dénommateur ;
on aura ce quatrième terme en multipliant le troifié-
me par le fécond, Se en divifant le produit par le
premier terme ; c'eft-à-dire que le quatrième terme
fera égal au produit des moyens de la proportion »
divifé par le premier terme.

Par exemple fi une porportion géométrique com«
mence par ces trois termes 2:3 : : 7 : , & qu'il faille
en trouver le quatrième terme; il faudra multiplier le
troifiéme terme 7 par la fradion { (No. 103 ) ; c'cft-
à-dire qu'il faudra multiplier 7 par ^ , & divifer le
produit par 2 (No, 6j)i ce qui donnera ^ ou 10 ^
pour le quatrième terme. Ainfî la proportion fera
a: 3 :: 7: 10 £•

Corollaire IL

105 Donc fi les trois premiers termes d'une pro-
portion géométrique font donnés , par exemple ces
■ trois nombres 2: 3 : ; 7 : , on pourra toujours mettre
le troifiéme 7 à la place du fécond 3 9 & le fécond 3
à la place du troifiéme 7 9 comme ici 1 : 7 : : 5 : , fans
qu'il en arrive aucun changement dans le quatrième
terme qu'on doit trouver.

Car (No. 1 04 ) le quatrième terme eft égal au pro-
duit des moyens divifé par le premier , & dans ces

deux arrangemens \ ! . \ . p I^s moyens étant

les mêmes aufli bien que le premier terme, il n'y aura
point de changement dans le quotient de la divifion
du produit des moyens par le premier terme.

Il nous arrivera fouyent de changer £ ordre , le fécond &
le troifiéme termes d'une porportion dont nous aurons le
quatrième terme à trouver par le moyen des trois premursw

stfi Liy. V. Chap. L Dis Baopotioks

COROLLAIRS ///•

106 Puifqu'on trouve le quatrième terme de tou*^
te proportion géométrique , par exemple de celle-
ci 2 : j : : 4 : <5 , en multipliant le troifiéme terme par
le fécond , & en divifant le produit par le premier ;
il en réfulte que le produit des externes d'une pro-
portion géométrique eft égal au produit des moyens
de la même proportion , c eft-à-dire que 4x2 & 4x5
font des produits égaux. .

Pour le prouver , il fuffic de remarquer que le qu^i-
triéme terme confîdéré (No. 1 04) comme le produit
des moyens divifé par le premier teraie , étant multi-
plié par le premier terme , pour faire le produit des
cxrêmes , il en réfultera formellement le produit des
moyens.

Car la divîGon du produit des moyens par le pre-
mier terme fera détruite par la multiplication qu'oa
fera enfuite par ce premier terme ; enforte que le ré^
fultat fe réduira au produit des moyens

Donc le produit des extrêmes d'une proportion
géométrique 1 eft égal au produit des moyens de la
même proportion.

CoROZZjtl RM IV.

107 Le produit des extrêmes d'une proportion
géométrique , étant égal au produit des moyens ; fî
Ton divife ces deux produits par un extrême ou pat
un moyen , Ton trouvera que chaque terme extrême
d'une proportion eft égal au procjluit des moyens di-
vifé par l'autre extrême , & que chaque terme moyen
eft égal au produit des extrêmes divifé par l'autre
moyen.

IN GiniRAt; 33>

Ainfi lorfque trois termes d'uae proportlofl géo«
métrique feront donnés, Se que Ton connottra l'ordre
fuivant lequel ces trois termes font difpofés dans la
proportion , Ton fera en état de trouver le terme qui
manque dans cette proportion; parce qu'on faura
(i ce terme à troiiver eft on extrême ou un moyen ,
& que nous ayons appris à trouver un extrême oui
va moyen , en en^ploy ant les trgis autres termes d«
la proportion.

^^^^C^^3S^EZS3^mSSC!3S53QESC33E^^3ESSSB

^mi*mSm

CHAPITRE IL

De la R^le de Tr^U & défis dig^emes e/péees.

Définit ions.

Io8T. O&squb Ton connoît trois termes d'une
J^ proportion géométrique , Topération qu'on
fait pour trouver le terme qui manque 4 cette pro-
portion , s'appelle R^le de Trois. On la nomme
^u{^l Règle de Proportion ; de quelques-uns l'appellent
Règle d'Or 9 à caufe de l'utilité dont elle eft dans le
commerce.

Nous avons va dans le Chapitre précédent ^ com«
inent on découvre le terme qui manque dans un6
proportion dont on connoit trois termes. Dans ce-*
llii-ci nous verrons diiférens exemples de cette opé^
ration , de comment les termes connus doivent être
confidérés.

Les Arithméticiens diftinguent deux fortes de Règles
de Trois { la R^U de Trois direSe^ de la Règle de Trois
iwerjfe ^ qui fQnt toutes deux ou Jimples ou compo/ées.

'â4d ^'^^^ V. Chap. IL Dé t a Bcglc ds Thoîs
Ainfi Ton compte quatre, fortes de Règles de Trois i
la Règle de Trois AireSe (impie & la Règle de Trois inyerji
fimple ; la Règle de Trois direSe compofée Sa la Régit de
Trois inverfe compofée»

La Règle de Trois dlrefte fimple, eft celle dont les
trois termes connus font les trois premiers d'une pro-
portion géométrique. Ainfi l'objet de cette Règle
eft de faire trouver le quatrième terme d'une propor-
tion géométrique dont on connoit les trois |)remier$
termes.

La Règle de Trois înverfe fîmple, eft celle où Ton
connoît trois termes dont deux font les extrêmes d'une
proportion géométrique ^ & l'autre un moyen de la
même proportion : enforte que l'objet de cette Règle
eft de faire découvrir un tertoe moyen d'une propor-
tion dont trois termes font donnés. Mais par ce quô
les Arithméticiens ne s'aflujetiflent point à mettre
dans fa place le terme inconnu qu'ils cherchent , de
qu'ils écrivent de fuite les trois termes qu'ils fcoh-
noifteot , comme fi ces trois termes étoient les trois
premiers d'une proportion ; le dernier rapport de la
proportion fe trouve ren verfé , lorfque le terme ia^
connu que l'on demande eft véritabletneùt un mayeii
de la proportion; & c'eft par cette raifon que l'opéra^,
tion qu'on fait pour trouver le terme moyen inconnu,
s'appelle Règle de Trois inyerfe.

La Règle de Trois compofée eft celle dont l'énon-
cé renferme plus de trois termes connus. Mais nous
verrons que tous fes termes connus fe réduifent tou-
jours à trois entièrement connus; & que le. terme
qu'on cherche eft toujours le quatrième terme, ou
un fadeur du quatrième terme d'une proportion »
lofque la règle eft direfte. Enfin nous verrons que
le terme demandé eft toujours un terme moyen , ou

le

le fadeut d'un terme moyea » lorfgue la Règle eA
învetfe,

Df la R£GLS DS T&OIS DIRECTE SIMPLE.

lOp Nous venons de dire que Tobjet d'une Régît
dt Trois dinSe Jîmple y eft de faire découvrir le qua-
trième terme d'une proportion géométrique dont lei}
crois premiers termes font (impies Se connus»
Far exemple I dans cette queflion:

Si 37 toifesd'un ceruin bois coâtent 148*;
j^m^ien coâurônt 30 toijes du même bois}

Il eft évident que le prix de 30 toîfes de boîs, qui
'doit fervir de réponfc À cette queflion , eft le qua*
triéme terme d'une proportion géométrique don
37 toifes , 30 toifes , & 148*, font les trois premiers
termes; parce qu'il eft clair que 37 toifes de bois
«loivent contenir 30 toifes du même bois, comme le
prix 148^ des 37 toifes» contient le prix demandé des
^o toifes.

Il en fera de même de cette autre queftion qui n'efl
igue le réciproque dé la précédente^

Si pour 148* Von a 37 toîfes de boîs ;
$ombien pour 1 20* aura^>on de toîfes du même bôîs ?

Il eft clair que le nombre de toîfes de bois , qui
Hoit fervir de téponfe à cette queftion , eft le qua-
trième terme d une. proportion géométrique , dorit les
trois premiers termes font 148*, lao» & 37 toifes;
parce que les deux nombres de toifes du même bois»
doivent être proportionnés aux deux fommes d'aï-
gent 148» & .120* qui font dcftinées à les payer ^
c eft à-dire que

148* dejiînées à payer 37 toifes de bois 9 Jont à 12O*
dejlinées à payer le nombre cherché de toifes du même bois. J
arithmétique. Q

*4» in'- ^- Chap.ïl TtK tAÎlEGtB M Taoi»

Comme 37 totfes âtioU^jont au nombre cherché Si

Pour faire ces Règles de Trois, ceft-à-dife poM
découvrir les quatrièmes termes de ces deux pro^
oortions dont nous connoiffons les trois premicrt
termes, nous avons vû(N«. 104.) qu'il feot mid-
tiplier le fécond terme par le troifiéme , «o le troi-
sième par le fécond, ce qui donne le même prodmt^
& divifer ce produit par le premier terme ; mais
ceci préfente une difficulté, qu'il cft cependant fecUa

de lever. ,.,..• "i

Si l'on ne confîdéroit que les -multiplications qu il

feut faire pour trouver les quatrièmes termes des pro-
portions données pour exemples ; on auroit des nom-
bres de livres & de toifes à multiplier les uns par le»
autres, ce qui feroit contre la règle de la multiplica-
tion , où nous avons fait voir que les fadeurs d'un«
multiplication , ne peuvent pas être tous deux des

nombres concrets.

Mais û l'on fait attention que les deux premiers
termes dont les unités font de la même efpece , n'ia-
fluent fur le quatrième terme que par le nombre do
fois que l'un contient l'autre, ( puifque (N®. lO},)
pour avoir le quatrième terme , il faffit de multipliée
le troifiéme par le quotient du fécond divifé par le
premier, & que ce quotient eft un nombre abftrait
femblable à celui qu'on auroit en divifant un nom-;
bre abftrait par un autre nombre abftrait ) l'on fendra
aifèmcnt que ces deux termes concrets peuvent être
regardés comme des nombres abftraits.

En effet, puifque 37 toiles contiennent 30 toifes
de là même manière que 37 unités abftraites contien-
nent 30 unités abftraites , & que 14S» coniiennenc
1 20» de la même façon q- e 1 48 unités abftraites
coniienncnt 1 ao unités abfliaiies j il eft évid.ui qtlc

Ws ocÙKpropordoBs données poar exemples pëavcoe
tttt rééjitcs aux futvantes , donc Its deux ptemie»
termes ibnt des nombres afoftraits :

■

!j^j font à )6 9 comme i^S^Jontau quatrlém terme
^êottêindi i

Et 148 font i 1 20 > comme 37 toîft$ de boUfont àU
iftatrîéme terme itmanii.

A regard de là nature des unîtâ du quatrième
terme qui eft celui qu'on demande ; il eft clair quô
Ces unités feront de la même efpéce que celles du
terme moyen qui n'eft pas confidéré comme abj[lraic«
Car pour ttou ver le quatrième terme » il faudra mulr
tiplier le moyen concret par Tàutre moyen abdrait^
& divifer enfuîte le produit par le premier terme qui
ttft abftrait ; Bc Ton a vu que les unités d'un terme conr
cret , ne changent pobt de nature , foit qu'on mul-^
tiplie ou qu'on dîvife leur nombre par un nombtjÇ
iabftrait.

On voit pat tout ce (jui vient d*étredit, que fi les
trois premiers termes d'une Aegle de Trois font des
nombres abfîraits , le dernier terme qu'on cherche
fera aufli un nombre ab(lrait«

Pour faire enforte que les deux premiers termes dé
diaque proportion fôient de même efpéce , Se compo-*
fent un rapport géométrique ^ nous avons été obligés
de renverfer Tordre du fécond Se du troifiéme termes
des énoncés des deux Règles de Trois prifes pouc
exemples ; mais il eft clair que ce renveffement ne
change rien à la valeur du quatrième terme demandé;
ainfi qu'il a été prouvé (N^ 105).

Comme le rmptrfement tordttÀujccond & du trotJUmM
termes , ntjl pas nécejfaire pour découvrir le quatrième ; il
nous arrivera Jouvent dam la fuite de laîffer Us termes des
ReeUs de Trois dans l'ordre de leur énoncé , lors mimi que

Us deux premiers ne feront pas de la même efpécei & danf
ee cas 9 îl Jaudm confidérer le premier & le troijiéme tervut
qui feront de mime ejpéee^ comme des nombra abjlraîtsm

Ex£MrZM PMJSMiMMm

Si ^7 toifes de bois coûtera 1^8^ ; combien coûter onk
^O toifes du mime bois ?

Pour faire cette Kegle, on n'aura aucune attentioii
aux toifes qui caraâérifent les unités du premier & da
troifiéme termes» & l'on confidérera ces termes com-
me des nombres abfiraits , c'cft «à-dire comme û la
^ueflion étoit :

Si 37 coûtent 148^; combien coûteront 30 ?

Second terme 148^ à multipUer par le

troifiéme terme 3 o

Produit 4440^5 37 ^^nt erme^parlefuelondipifê
37 Cl ao^ quotient ou quatrième terme

74
74

On multipliera donc le fécond terme 148' par 30 $
ce qui donnera 4440* pour le produit, qu'on divifera
par le premier terme 37 ; & Ton aura 120 * pour le
guotienc , ou pçur la valeur demandée des'50 toifes. «

E X £ M P L M IL

Si pour 148* on a ^7 toîjes de bois ; combien pour 1 20*
cura- t'On de toijes du mimt bois f

Oii regardera le premier & le troifiéme termes gui

DIUSCTX SIMPLS. ' a^f

font de même efpéce, comme des nombres abflraics,
6c comme fi- la quefHoo étoit ainfi propofée :

Si pour 148 unités ona ^J toifes de bois ; combien pour
;l 20 aura-t'On de toifes du mime bois f

Setond terme 37^ i. multiplier par le

troîfiime terme 1 20

740
37

Produit 4440*^ f 148 i*". termepar lequel ondîyijê
444 t ^ol' quotient ou quatrième termt

Ex MMPZM IlL

Si 7* 1 5^^ 4* ontgâgni 20* 6^ 9* J
ambien 30* 1 3" 4^ gagneront'ils l

Od regardera les livres du premier Se du trotfîéme
termes comme des unités abftraites, & Ton confi défera
leurs fols & leurs deniers comme des fraâipns d*uni(és
abftraices ; en forte que i?^^ 4*^ étant les deux tiers.
d'une livre , on fera comme fi la queftion étoit énoo?)
çée ainfi.

Si 7f ont gagné 20* 6^ .5,^ ; ,

âombien 30 j gagneront-ils i

La queftion étant ainfi réduite à de plus fîmples
termes, on multipliera le fecond terme 20^ 6z 9^

3^4^^ ^y- ^' Cht^. Ih Di ik Rsei^i si T&oi«

l-dkç pour la réponfe à la quvfi^n ptoppiiîe^

?o

ï

mmm»

9

7 «

» ij 7
^ <y 7
62i» IJ^ 8*^{ ''

9

a

(i

3«
8

!t arnve foayeat qo» les Ibli êc l«t «fcolef» î&^
premier Sç du troîG^me termes fooc embarraââos. Ij
réduire ea fraâions. Dans ce cas, on a plutôt ùàt
^e réduire ces deux termes en deniers. Far ezemr;
pie dans la quefiion propofée , on auroit pu réduire
fa deniers le premier terme 7* 1 ^» 4*^ , & k troi^j^î

tlKXCTS SIMPE.X. a^j

termes en ceux-ci 184©^ & 73^0*^ , & la queftioo
propofée en celle-ci :

Si 1 S^o deniers ont gagné 20^ d" p^ j comUtn 73 (îo
îlenien gagneront- ili l

Conlidérant dans cette* queftlon le premier & le
troiGéme termes comme des nombres abflraits » oa
inultiplieroic le fécond 20* 6" 9^ , par le troifiéme
7)6o;;Cequiproduitoic i4p(?84^« Enfuite on divi-
feroit ce produit par le premier terme i8fo: & lot^
auroit comme ci-devant 8 1* 7" pour le quotient, &
pour la réponfe à la quelUon propofée.

On fourrait convertit en deniers Us trois premiers termes.
it la proportbn ; & après avoir trouvé le quatrième en de-^
niers , on U réduirait aux livres (ffals quU contiendrait^
^JMais cette manière d'opérer abîmerait à deux, réduSionsi^
inutiles.

CoMOZZjtlMSm

S 10 Puîfque (N®. 1 09^ pour trouver ffe quatrième
terme d'une Règle de Trois , il faut multiplier le fe-»
cond terme par le troifiéme , & divifer leur produit
par le premier , de qu'un nombre quelconque divif^
par rtinité, donne un quotient égal à ce nombre ;:il eft
clair que fi Tunitë eft le premier terme d'une Régla
de Trois, on trouvera le quatrième terme qu'on de«
mande , en multipliant feulement le fécond terme pafi.^
te troifiéme , ou le troifiéme par le fécond

Quoiqu'une Règle deTrois qui a tunité pour premier ter^
me , Je réduife à. la multiplication des deux autres- termem
donnés , il faut pourtant remarquer fue quand U premiers
Urme eji une unité concrète , an ne doit point le fupprimetr
aomme inutile ^ Qr quan ne peut pas propofet hRegUeom^
me unefimple multiplication ; parce que V unité canci^eu dm,
jfrtmier terme fert à fixer U nature des unités^ dit ptùdmte
éa de/ix auttu utmts ^ etk détermînanL celui du ntajjffia»

Qiiii

i48 lîv. V. Çhap. IL Dh la Règle dk Tbois

dont les unités font dt même ejpéce quelle^ à d^yenir luf
vambrc abflraii.

Par exemple Ji l'on propofe ces deux Règles de Trois :

Si I toîfe de bois coûte 4* 10*^ 6^; combien coû^
teront 27 toifes du même bois ?

Si pour 1^ on a 27 toifes de bois; combien pouç
^ft 1 o^ 6^ aura-t-on de toifes du même bois ?

V unité étant le premier terme ^ù^ les deux autres ter^^
mes donnés , dont on peut changer V ordre fans inconvénient^
étant les mêmes dans ces deux Règles y J avoir 27 toifes de
bois , &* 4^ 1 o" 6^ ; on aura également le quatrième ter^
me de chacune d'elles, en multipliant uj toifes par 4* 10^
6\ Mais Us quatrièmes termes de ces deux Règles de Trois,,
quoique produits par, la multiplication des mêmes termes ,
ne font pas compojés des mêmes unités; parce que le premier
Cr le troî/îéme termes concrets » étant eompofés de toifes
dans la première Règle , & de livres dans la féconde » on
fourra (No. lop.) les rendre abjlraits y en fupprimant la
dénomination de toifes dans la première ^(fla dénomina-^
tion de livres dans la féconde. Dans la première Règle , k
produit de 27 toifes par 4* içS^ è^^fe réduira donc à 4*
jo*^ 6^ répétés 27 fois; ce qui donnera 122* 3" 6^ pour
le quatrième terme de cette Règle: au lieu que dans laje^
tonde , le produit de 27 toifes par 4^ 10" 6^ , fe réduira
4 27 toifes répétées un nombre de fois exprimé par ^ |Cr —
eu par 4~^; ce qui donnera 1 22 toijes ^ pour le quatrième
terme de cette Jeconde règle.

Donc dans une Règle de Trois qui a f unité pour pre-^
tnier terme y & dont on aura par conféquent le quatrième
terme en multipliant Jeulement le fécond par le troifiéme ,
W ne doit point négliger de confîdérer la nature de turùtd
^uifaif le premier terme ; puijquil n'y a que Vefpèce d§
wu unité qui pu^ Je j aire connoUre de quelle nature Jeront

DinECTE composât. ^0

les unités du quatrième. Ainfi unt Règle de Trois dont lé
premier terme eft une unité concrète^ ne peut pas être regar-^^
dée comme une fimple multiplication.

Nous avons dit en parlant de la multiplication , que h

multiplicande peut être eompofé d'unités de telle efpece quon

voudra ; mais que le multiplicateur ne peut être eompofé

que d*unités ahftraites ^ dont chacune fignifie fimpUment

une fois & ne difigne aucune ejpéce de cho/è. On propojè

cependant tous les jours des multiplications , dont lesfaSeurs

font tous deux énoncés comme des nombres concrets. On pro^

pqfe^par exemple y de multiplier 27 toifespar ^ 10" 6^p

fans rien dite de plus pour fixer Vejpéce des unités du produite

Or la multiplication de ces deux nombres pouvant donner

des produits compofés d'unités différentes , comme on vient

de le voir dans deux Règles de Trois ; il efi clair quon ne

pourra pas déterminer tes unités du produit £une Jemblable

multiplication ; & par conféquent le multiplicande & le

multiplicateur Hune multiplication ne fauroient être tous

deux des nombres concrets.

De la Règle de Teois directe composée;

m Une Règle de Trois eft compofée, lorfqud
fon énoncé contient plus de trois nombres connus; ic
quoiqu'elle ait plus de trois termes » on la nomme
toujours Règle de Trois ; parce qu'on peut la réduire
à une Règle de trois termes réfultans de la multiplia
cation de ceux que Ténoncé renferme.

Une Règle de Trois eft d'autant plus compofée
qu'elle contient un plus grand nombre de termes.
Pour la réduire à trois termes , il faut y confidérer
deux caufes & deux effets; écrire Its uns fous les au-
tres tous les termes q«i appartiennent à la première
caufe ; écrire aufll les uns fous les autres tous ceux
gui conipofent le premier effet 3 placer de même les

ï

â^o liv. y. Chap. IL Df LA RiGLB Di Taoïf
termes qui appartiennent à la féconde caufe» atnl}
que ceux qui cempofent k fécond effet : en obfer«
vant de difpofer alternativement les caufes & leuiai
effets I & de commencée par la première caufe ou par
le premier effet, fuivant que le terme qu'on cherche
appartient au fécond effet ou à la féconde caufe. En-
faite il faut multiplier enfemble toutes les quantités,
qui compofent chaque terme; & Ton aura une Règle
de Trois (impie , dont les trois premiers termes fe«^
ront connus, enforte qu oo.eo pQurra trouver le qua^
triémc terme (N«. 109.)*

Mais après avoir ainfi réduit les termes d'une Re-^
le de Trois composée , il peut arriver deux cas ; oit
a quantité que Pon cherche fera le quatrième terme
entier de la proportion , ou elle ne fera qu'un faâeuc
de ce quatrième terme. Dans le premier cas , la réfolu^.
tion de la Règle de Trois (N<'. lOp) donnera évidem--
ment la quantité qu'on demande. Dan$nle fécond cas^,
lorfque le quatrième terme fera trouvé, on fera obli->
gé de le divifer par les faâeurs connus qui entrent
dans fa compofirion, pour avoir la quantité qu'on de-«
mande. On va prouver tout ce qu'on vient de dirQ-
jjans les einemples fuivans,

ExSMFZM FMMMfMIt*

Si ao per/onnts dépendent pp* en 1^ j^urs;
Combien dépen/tront 60 perjonnes en 2$ joursî

Pans cette queftion, il 7 a ^ termes connus; & Tofi
cherche un fixiéme terme , qui efi la dépenfe incon«
nue de 60 perfonnes en 2^ jours. De ces lix termes ^
il y en a deux (20 perfonoesâc ij jours) qui font la.
caufe d'un premier effet, ou de la première dépenfe
^py»; & deux autres (60 perfonnes & 2j jours) qui

iom la caufe d'un fecoad. cffet^i^gu de h fQcoadle dc^

J

^ûfe Inconnue. On mettra donc Tun fous l'autre
poux un premier terme » 20 perfonnes & 15 jours qui
acompofent la première caufe ; puis on écrira pour
'deuxième terme le premier effet pp>. Enfuite on écri-
ça Tun fous l'autre pour un troifiéme terme » les deux
quantités 60 perfonnes A: 25 jours qui compofent la
deuxième caufe ; 8c Ton aura pour quatrième termo
le fécond effet ^ qui eft la dèpenfe inconnue de (^q
perfonnes en 25 jours.

i^caujè i^.effu ù^.ioujè a^.iffeê

120 perfonnes
H; jours

99^

60 perfonnes

' I inconntt

2^ joues

Comme les caufes font proportionnelles à lears
effets ^ ces quatre termes dont le dernier efl inconnu ,
compofent une proportion géométrique. Ainfi Toa
laura Ije quatrième terme inconnu 9 fa voir la dèpenfo
de €0 perfonnes en a 5 jours » en multipliant le fe^
çond terme paf le troifiéme 1 & divifant le produit pac
|e premier.

Mais avant de faire cette Règle de Trois, il Êiutdè^
terminer en quoi confiftent» ou à quoi fe rédnifent lo
premier âc le crpifiéçoe termes de la proportion. Poue
cela^ on remarquçra que 20 perfonnes dépenferone
en 15^ jours, ajutant que 15; fois 20 perfonnes en ui^
jour; Se que 60 perfonnes dépenferont en 2^ jours »
autant que 2f fois 60 perfonnes en un jour : enforte
que le premier & le troifiéme termes fe réduiront ^
ces deux produits, 15 fois 2Q perfonnes, & 25 fols^
60 perfonnes. On aura donc pour réfoudre la quefis
j|ion propofée, cette Règle de Trois.
Si 1$ fois 20 perj0nnu,dépin/ènt ^^^ ;
ConJfien dépen/oiont ^$ fois. 60 p^rfonnts f"
4-^ Rcçle è(j|pt akû i;èdiHj:e , çri trouvera le qu%l

s $2 LW. V. Chsp. IL Dk X.A f^ÉGLM DS

triéme terme qu'on demande , en fuivant les précep^
tes que nous avons donnés dans Tarticle précédent»
après avoir réduit i ^ fois 20 perfonnes ou 15 fois 20
en un feul terme 300 » & 2 5 fois ^o perfonnes ou 2^
fois 60 en un feui terme i ^oo. Enfin la Règle étant
faite, on aura 45) ^^ pour le quatrième terme , c eft-à««
dire pour la dépenfe de 60 perfonnes en 2 ^ fours.

Si Ton fait attention à la folution que nous avons
donnée de la queilion propofée, Ton reconnoîtra aifé«
ment que dans toutes les Règles de Trois compoféesv
il faut démêler les termes qui compofent les deux
eaufes 1 d'avec les effets ; mettre l'un fous l'autre les
termes de la première caufe , Se les multiplierrun par
l'autre ; écrire enfuite le premier effet ; puis mettre
l'un fous lautre les termes qui compofent la deuxiémo
caufe & les multiplier enfemble , Se regarder ces trois
termes comme les trois premiers termes d une Règle
de Trois.

.1

l^'^c4ll«

1 *^ effet a,^. eaufè SL^. effet

20 perfonnes
1 5 jours

do perfonnes
2 y jours

inconnu

300

^9 :: ijoo

^^9S

s

Dans eet exemple la quantité demandée ièjl trouvée le
quatrième terme entier de la proportion. Dans ï exemple fui^
vant, la quantité cherchée ne fera quun faSeur du quatrié^
me terme.

Exemple IL

Si 20 perConnes dépendent pj* en ij jours f
En combien de jours 60 perfonnes dépenjeront-eUesà^^^^?,

Dans cet exemple > la caufe de la première dépenfe
^p* eft compofée de 20 perfonnes & de 1 5 jours^ & la

caufe de la féconde dépenfe 4^5" efl compofée de
^o perfonnes Se d'un certain nombre inconnu de
jouis.

Le nombre Inconnu de jours qu'on cherche , étant
«dans la caufe de la deuxième dépenfe , on ne pourra
ifaire trouver ce nombre de jours dans le quatrième
ferme de la proportion ^ qu^en mettant la caufe de la
dépenfe après T^ffet. Ainfi conformément à ce que
jpous avons dit dans l'exemple précédent , & à ce que
nous venons de remarquer , Ton écrira comme il fuit
les termes donnés de la queftion.

ii^. effet i^^^. caufe SL^.e^et ±^.eaufe

5pi

4PÎ

ff

60 perfonnes

nombre inconnu
de jours

20 perfonnes
15 jours

Comme les deux quantités qui produifent chaque'
lerme compofé, doivent être multipliées Tune pat
Vautre ^ A: que 60 perfonnes font dans le même qua-.
irîéme terme avec le nombre de jours qu^on deman-'
de; on cherchera ce quatrième terme tout entier:
& quand il fera trouvé, on le divifera par 60 y pouf
avoir le nombre inconnu de jours demandé ; parce
que ce quatrième terme eft compofé de ce nombre
de jours multiplié par 5o«

Pour découvrir ce quatrième terme compofé, on
regardera tous les autres termes , excepté 1 ^ jours ,
comme des nombres abftraits : & après avoir multi-
plié 1 5 jours par 20, ce qui donnera 300 jours pour
le fécond terme compofé ; Ton multipliera ce fécond
terme ^00 jours par le troiGcme 4j^y ; & l'on aura
148 s 00 iours pour le produit. Enfin ce produit étant
divilé parle premier terme 99 , Ton trouvera 1500
)ours pour le quotient , Se pour le quauiéme terme
entier Je la proportion.

ftj^^ Liy.V. Chap.il. bs LÀ ^mgzè ds tabii

Comme ce nombre i po jours efi fait du nombrd
demandé de jours^ multiplié par 5o, on divifera 1 500
)ours par 60; 3c Ton aura au quotient 25 jour$ pout
le nombre de jour^ qu'on demande.

On peut remarquer ici , qu'on auroît rendu la fo^
lution plus (irople ^ en décoinpofant les deux dépenfei
de la queiHou » comme il fuit.

i^ Vhypotkèfe de Vextmple propâféj tft fie 20 perjômei
dépenfent pp^ en i$ jours. Ainfi en div^mt 99^ par 20 i
ton auroit eu dj^ ip^pour la dépenfe d^une perfonne en 1 e
jours ; ce qui auroit rendu thypothife plusJimpU.

2^. On demande en ccmbieh de jours 60 perfihnes dé4
ptnfiront 4P5*. Or 49^^ ne dureront pas plus de temps à
60 perjonnes^ que lajoiseantiéme partie i[e 495^, qidefi
S^ 5^9 durera à une per/bnnei Ainfi la queJHon prvpojH
fejeroit réduite à ceÛe-cu

Si une perfonne dépenfe 4* ip*^ en ly jours;
En combien de temps la même perfonne dépend
fera-t-elle 8» y^^ t

La Règle de Trois fefiroit trôUvéè dite&ejlmple , Êr 2*011
0uroit eu 25 jours pour la réponfe à Ut quefiioné

E X M M P L M 11 L

Si 60 hommes en travaillant 8 heures par jours ^ fora
tn 12 jours unfojfé long de 10 toi/es, large de 5 pieds^ &;
profond de 7 pieds ;

On demande quelle (era la lof^ueur d^un joffey large de
¥^pieds, profond de ôpieds^que jo hommes feront en 1 ^ jours
dans le mime terrein , en travaillant 6 heures par jours.

lo. II eft clair que 60 hommes, 12 jours pendant
lefquels ils travaillent, & 8 heures qu'ils emploient
par jour, compofent par leur multiplication la caufe
du premier foffé; parce que 60 hommes font 1 2 fois
autant d'ouvrage en 12 jours > qu ils ta f croient en

lun jonr. Ceft pourquoi les 60 hommes doivent être
multipliés par 1 a : & comme il y aura encore 8 fois
autant d'ouvrage de fait » en travaillant 8 heures pai
]ouTy qu'on en feroit en travaillant i heure ; il faut
encore multiplier par 8 le premier produit de 60,
hommes multiplié par 12.

2^. Le foffé long de 10 toîfes, large de j pîedsj
& profond de 7 pieds , étant confidéré comme un pa-«
rallélépipede, eft un effet compofé de la multiplicatioq
>le fes trois dimenfions , 10 toîfes , j pieds & 7 pieds^

i^. $0 hommes, i $ jours pendant lefquels ils tra^
vaillent, & les 6 heures qu'ils emploient par jourj
compofent par leur multiplication la caufe du deuxié^
ine foffé , par les raifons que nous avons données ei|
examinant la caufe du premier foffé.

40. Enfin le fécond foffé, compofé de la multiplS^
twtion de fa longueur inconnue par (a largeur & pat
Ca profondeur , eft l'effet de la deuxième caufe.

AinO l'on difpofera les uns fous les autres les fac-^
tcurs de chaque caufe , Se Ton rangera pareillement
les uns fous les autres les faâeurs de chaque efiet

comme ici.

rere

cau/e

60 hommes
1 2 jours
8 heures

a* eau/è a^ effeê

jo hommes SSSS

6P

ij jours
6 heures

(57^

3joT :: 4^00

4* terme

Enfuîte on multipliera enfemble les fafteurs dej
trois premiers termes, pour avoir des termes Gmplesj
& l'on confidérera tous ces fafteurs comme des nom-
bres abftraits, excepté celui 10 toifes du premiet
effet, pour pouvoir trouver en toifes la longueur du
folTc, Enfin Ton multipliera le fécond terme réduit:

^^6 Liv. V. Cpap. IL Dx la Rcgli »k Tecu

3^0 toifes , par le troifiéme réduit 4^00 > ce qui pro^
duira i $ 7 ^000 toifes ; & ayant divlfé ce produit par
le premier terme réduit $760 Ton aura au quotient
275 toifes 2 pieds 7 pouces, à peu de choîeprèsi
pour le quatrième terme compofé.

Mais ce quatrième terme efî le produit de la Ion-
gueur du fofTé , multipliée par le produit 4 x ^ ou 24
de fa largeur 8c de fa profondeur. Ainfi en divifans
^7 3 toifes 2 pieds 7 pouces^par 24 , on aura au quo^
dent 1 1 toifes 2 pieds 4 pouces , à peu de chofc
près > pour la longueur demandée du foITé.

Exemple IV.

On occupt trois ouvriers pour faire un fojfé^ Cr Ui
forces de ces trois ouvriers font telles ^ que le premier peut
faire lefojfé en 1 1 jours ; te/econdpeut le faire en 22 joursi
le troifiéme peut le faire en 3 3 jours.

On demande quel temps il faudra à ces trois hommes
en/imble pour faire le fojji.

Suivant Ténoncé du Problême, le premier ou^J
vrîer fera jj du foffé en i jour ; le fécond ouvrier
fera -^ du même fofTé en i jour ; 4c le troiGéme oui
vrier fera ^ du fofTé aufli en i jour. Aiofî les trois
ouvriers feront ^, ~ & ^^ du foflé en un jour.
Ajoutant enfemble ces trois fraftions ou parties dé

fofTé » Tî , rr > n > ^P^^^ '^* ^^^^' réduites à la même
dénomination , Ton trouvera que leur fomme eft ^
ou I ; c'eft-à-dire que les trois ouvriers travaillant en^
femble , feront \ du fofTé en un jour.

Comme ces ouvriers feront d'autant plus d'ou«
Vrage qu'il travailleront plus de temps ^ les quantités
d'ouvrage feront direftement proportionnelles aux
tems employés à les faire* Ainfi prenant le fofTé pouç
l'unité , on fera cette proportion.
. Comme \ dujof[é^ eft ài qui rtpréfente lejojfé entier;

Ainfi

IMTBRSB SIMPLX* 2^7

Ainfi 1 J0ur ^ temps emplcyé â faire ^ du fojfé^
Efi au nombre déjtmn que Us trois ouvrïtrs emploieront
à faire lefcjfé entier.

Donc pour trouver le nombre de jours que les
crois ouvriers emploieront à faire le fofle , il faudra
multiplier le troifiéme terme i jour par le deuxième
I qui repréfeme le fofTé , ce qui produira i jour ; Se
divifer ce produit i jour, par le premier terme , c'eft-
.à-dire par la fradion ^1 ou le multiplier par d; ce qui
donnera 6 jours pour le temps demandé.

Db la Règle db Tbois imvebsb simple.

X 1 2 Nous avons dit qu^une Règle de Trois eft m«
verfe, lorfque des trois termes donnés, il y en a deux
qui font les extrêmes d'une proportion ; enforte que
le terme qu'on demande, efl un moyen de la même
proportion. Et comme les termes de la Règle de
Trois font donnés de fuite ; on eft obligé pour avoir
ce moyen > de multiplier le premier terme par le fe-*
cond qui dans le fond n'efl que le quatrième de la
proportion » & de divifer le produit par le troifiéme
terme.

E X M M P L M.

Si 30 hommes emploient 40 jours â faire un ouvrage t
Combien de jours i o hommes emploitrontAlsj pour faire
le mime ouvrage ?

Comme les 3 o hommes & les 10 hommes ont le
même ouvrage à faire; il faudra d'autant plus de
éemps , qu'il y aura moins d'hommes } c'e(l-à-dire que
deux fois moins d'hommes feront deux fois plus de
temps ; trois fois moins d'hommes feront trois fois
plus de temps &c. A infi 3 o qui eft le premier nom-
bre d'hommes, fera au fécond 10; comme le tem^ç.
Arithmétique. ^

2 ç8 Lîv. y. Chap. n. De la Règle de Teots
inconnu employé par le fécond nombre d^ommeSy
fera au temps 40 jours employé par le premier nom-
bre d'hommes.

La proportion étant ainfî énoncée^ 1« temps de-
mandé fe trouve le troifîéme terme. On aura donc
(No. 107.) lavaleurde ce terme j en multipliant Tun
par Tautre les extrêmes 30 de 40 jours» & en divifant
le produit par le terme moyen 10 qui eft donné ; c^eft-
à-dire que le temps demandé fera ^''^/J '""'% ce qui
fe réduit à 1 20 jours.

Mais les deux termes 3 o & 40 jours qu'on a mulci«
plies, font le premier & le fécond termes de la Begle de
Trois inverfe propofée dont trois termes» 30 hommes,
40 jours & I o hommes font écrits de fuite. Donc pour
avoir le terme inconnu d'une Règle de Trois inverf(^
il faut multiplier le premier terme par le deuxième^
& divifer le produit par le troifiéme.

REMARQUE.

113 Comme les inverfioQs font embarraflântes;
il elt à propos de faire remarquer que la Règle de
Trois inverfe fc réduit à une Règle de Trois compo-
fée dont les termes font égaux deux à deux.

Par exemple dans la queftion propofée» 1^. 30
hommes & .40 jours compofent la caufe de l'ouvrage.
s^. I o hommes & le nombre demandé de jours qu'ils
emploient à travailler , font la caufe du même ouvra-
ge. AinCi 9 nommant l'ouvrage ij Ton aura :

JO fois 40 jours, efi â l *y

Comme 10 fois le nombre de jours cherché , e/?i i.

Donc 3 o fois 40 jours font égaux à i o fois le
nombre de jours demandé , puifqu'ils contiennent
également l'unité.

D'où il fuit que la dixième partie de 30 fois 40
jours» c'e(l-à-dire 120 jours, cil le temps demandé.

ÏMVBESB composée; ^^p

Db la BbGLB I>^ T&OIS IMVBBSB COMPOSéB.

114 ^^ B^glc de Trois inverfe compofée ne dif«
fere de ta Règle de Trois inverfe fimple , qu'en ce que
les termes connus de celle-ci font fimples , âc que les
termes connus de celle-là font faits delà multiplica*
tîon deplufieurs autres; en forte qu'après avoir réduit
la règle de Trois inverfe compofée 1 à trois termes
entièrement connus, elle eft femblable a la Règle de
Trois inverfe fimple.

Si 30 hommes en trayaiUant 8 heures par jour y font un
ûuvrage en 40 jours ;

En combien de jours 10 hommes ferùnvïLs le mlmeou--
vrage , en travaillant 6 heures par jourl

Comme les 30 hommes & les 10 hommes doivent
faire le même ouvrage; les 10 hommes emploieronc
d'autant plus de jours que leur nombre eft moindre »
& qu'ils travailleront moins d'heures par jour. Âinû
l'on aura cette proportion.

Comme 30 hommes trayaillans pendant 8 heures^

Sont 1) I o hommes travaillans pendant 6 heures:

Ainfi le nombre inconnu de jours que les 10 homma
emploieront y

Sera à ^o jours que Us 30 hommes emploient.

Le premier terme de cette proportion fe réduira à
8 fois 30 hommes I ou 240 hommes; & le fécond fe
réduira à 6 fois 10 hommes > ou 60 hommes; parce
que 30 hommes travaillans pendant 8 heures font le
même ouvrage, que 8 fois 30 hommes travaillans
pendant i heure; A: que 10 hommes travaillans pen^
dant 6 heures , font le même ouvrage que 6 fois i o
hommes travaillans pendant i heure. AinG la propor-
tion fe réduira à celle-ci.

a6o Liv. y. Chap. IL Db la Rcoli db Teom

240 hommes 9 font à €0 hommes; comme le mombn
inconnu de jours , ejl à ^o jours*

Et en conGdéranc les deux nombres dliomraes,
comme des nombres abftraits^ cette proportion fe
réduira encore à celle-ci :

aj^oifont à 60} comme le nombre de jours cherché ^
ejiâ 40 jours.

On aura donc le nombre de {ours demandé* en
multipliant 40 jours par 240 , Se divifant le produic
p6oo jours, par 60 ; ce qui donnera i5o jours.

REMARQUE.

J I ^ L'ordre dans lequel il faut prendre les deux
Qombres de jours donc Tun cft inconnu , étant oppo-
fé à celui fuivant lequel on a pris les deux nombres
de travailleurs ; on peut être expofé à fe tromper,
quand on ne fait point aflez d'attention à ce reaver*
fement d'ordre. Âinii Ton fera toujours bien d'éviter
les inverûons ^ en confîdérant dans la queflion deux
caufes & deux effets ^ & en comparant direâemeni
les caufes avec leurs effets.
Dans la queftion propofée :
Àî 30 hommes y en trêvailUtnt 8 heures par jour^ font
un ouvrage en ^o jours ; en combien de jours 10 hommes
feront ils le mime ouvrage , en trayaillant 6 heures par
jour ?

On remarquera aifément que 30 hommes, 8 heu-
res Ôc 40 jours compofent par leur multiplication
la première caufe de l'ouvrage qu'ils font; & que 10
hommes, 6 heures de le nombie de jours que Ton
cherche, compofent auffi par leur multiplication It
caufe du même ouvrage que ces 10 hommes doivent
faire. Or les deux effets ou les deux ouvrages étant
égaux , leurs caufes font égales. Donc en regardant

tKVBmsE coM pcsîîe; 261,

comme nombres abftraics cous les nombres donnés»
czcepré celui des jours ; on trouvera que 3 0x8x40
jours, ou 9600 jours, font égaux à lo fois 6 fois
ou à 60 fois le nombre de jours qu'on cherche. Ainfi
la foixantiéme pairie de pdoo jours, c^efl-àdire 1 60
jours, fera le nombre de jours demandé. *

Ainfi lorfque tous les termes d une Règle de trois
compofée inverfe^ peuvent fe réduire à deux caufes
qui produifent un même effet ; on peut propofec
pour Règle générale de multiplier enfemble tous les
nombres qui compofent la première caufe, en ne re-
gardant comme concret que celui qui a des unités
femblables à celles du nombre que Ton cherche ; de
divifer enfuite le produit , par le produit des termes
qui font donnes dans la féconde caufe , en regardant
ces termes comme des nombres abftraits » Se de prenr
dre le quotient , pour le terme demandé.

CHAPITRE III.

Des Riglis de Compagnie.

116 T Oksqu'on fc propofe de partager un
Xi^ nombre donné, en parties proport ionneN
les à celles d'un autre nombre divîfé comme on vou-
dra ; l'opération qu'on fait pour réfoudre ce Problê-
me, s'appelle une Règle de Compagnie.

On voit par cette définition, que pour trouver cha-
cune des parties du nombre qu'on doit partager, il
faut faire cette Règle de Trois.

Comme le nombre déjà dîviféj efi à l'une de Jes parties :
Ainfi le nombre qu'il faut divifer^ eji à une défis parties^
€orrefpondante à celle qu'on a prifi pourficond terme.

Riij

sl62 Lw. V. Chap. IIL Des Reglss

Il faut donc» pour une Règle de Compagme, faite
autant de Règles de Trois moins une > qu'il faut trou-
ver de parties différentes dans le nombre qu'on doit
divifer. Nous difons autant de Règles de Trois moins une i
parce qu'après avoir trouvé toutes les parties qui pré-
cédent la dernière» Se avoir retranché ces parties de
la totalité du nombre, le refte fera pour la dernière
partie du même nombre. Ainfi Ton peut fe difpenfer
de faire une Règle de Trois pour trouver cette der«
niere partie.

Une Règle de Compagnie peut être fimple ou com-
pofée. Elle eft fimple » lorfque les termes des Règles
de Trois qu'il faut faire , font (impies; & elle eft corn-
pofée, lorfque les termes des Règles de Trois dont
dépend la folution, font compofés. Comme nous nous
fommes aflez étendus fur les différentes Règles de
Trois ; quelques exemples fuffiront pour montrer
comment on peut faire toutes les Règles de Compa*
gnie (impies ou compofées, qui fe rapportent à des
Règles de Trois.

Ex£J4 PXS PMEMIMM.

Yrois marchands de blé fe font ajfocîés :

Le premier pour ^oofacsdeHéi

Le fécond pour 2 50 facs ;

Le troipéme pour 4 5 O facs.

La totalité de leurs grains a été vendue 1 2700't

Oit demande combien il revient à chacun.

Il eft clair que pour réfoudre cette quefiion » il faut
partager 1:^700^ en parties proportionnelles à celles
300 facs, 250 facs, 450 facs que les marchands
ont mis en commun ; & que la totalité des facs^ doit
êire à la totalité du prix , comme chaque nombre

DU COM^AGVIS. S(?5

|>afticulier de facs, eft à leur yaleut ou à ce qui revieuc
à chaque marchand

On ajoutera donc enfemble les croîs nombres de
facs de blé mis en fociété ; ce qui donnera looo facs
de blé donc le prix eft 1 2700*^ : puis on fera ce; crois
proportions*

1^. Si lOOO facs vahnt 12700*,

Combien 500 facs valent ils i ft. 3810*.

a^. Si looo facs valent 12700*,

Combien 250 facs valent-ils î Jjt. 317s*.

3®. Si iooo facs valent 12700*,

Combien ^^o facs valent^ilsf Hu y7ij*.

On aurolc pu fe difpenfer de faire la dernière Begle
de Trois , pour trouver le prix du blé du croiûéme
marchand. Car en ajoûcant les premières parcies
38io*&3i75*, & fouftrayant leur fomme (5p 8 5 *, du
prix total 1 2700*, on auroit eu J7 1 y* de rcftc , pour
ce qui revient au troiCéme marchand.

Si Ton avoir à trouver un grand nombre de parties
proportionnelles ; il vaudroic mieux chercher la par-
tie du nombre à divifer, qui répond à une unicé du
nombre tocal déjà divifé; Se multiplier enfuite par
cette partie , chaque partie du nombre divifé. Oa
auroit par ce moyen toutes les parcies proportion-
* nelles qu'on demande , fans faire autant de Règles
de Trois qu'on a de nombres à trouver ; ce qui épar«
gneroit autant de diviGons qu'il faudroic faire de Rè-
gles de Trois.

Par exemple , dans la queftion propofée , il fau-
droic chercher le prix d'un fac de blé par cette pro-
portion.

Ai 1000 facs vaUnt 12700^; eombien vaut ifacl-

iiij

'si64 I-'V. V. Chap. IIL Dts RffGLSs

Et Ton trouvcrojt 12* 14^, en divifanc têfecôtuf
terme 12700* par le premier looo.

Ayant trouvé 12* 14^ pour le prix d'un fac, on
multiplicroit 12* 14^ par 300; âc l'on auroit 3810*
pour 300 Tacs.

On multiplîeroit 12* 14^ par 250; & Tonauroic
3175* pour 250 facs.

Enfin Ton muki^ieroit 12* 14^^ par 450; & l'oQ
auroii 57x5* pour 4J0 facs.

E X E M P L M IL

Un négociant a mis 1 00000^ dans le commtrct. Au
lout de 6 mois, un fécond négociant s'affocie avec le pre^
mier pour 2 ^ 000^ dans les 1 ooooo* ; & au bout de deux
autres mois , le premier négociant a cédé à un troifiémt
une part de 50000* dans la portion qui lui rejloit du
7 00000*. Enfin au bout de 6 autres mois » les looooo*
ont gagné 18000*.

Les conditions de lafoctété étant <pie chacun aura part au
profit à raifon de fa mife y & du temps quelle aura été dans
le commerce i fans avoir égard à Vintérit de rmtértti un
demandé combien chaque négociant a gagné»

Suivant renoncé de la queflion » il y a toujours eu
pendant 14 mois 1 00000* dans le commerce, qui
font cenfées avoir gagné pendant ces 1 4 mois, autant
que 14 fois looooo* ou 1400000* auroient gagné
pendant un mois. Ainfi au lieu Je prendre lOOOOO*
pendant 14 mois pour ta caufe du gain 18000*, on
peut prendre 1400000* pour la caufe de ce gain.

Le fccond négociant ayant pris au bout de 6 mois
une part de 2 j 000* dans les 1 00000*, les 25000*
de ce négociant ont é:é 8 mois dans le commerce , Se
auront gagné pendant- 8 mois p autant que 8 fois

SL^oocfif OU amant que 200000^ auroient gagné dans
linroois. Ainû au lieu de prendre 2^000^ pendant
8 mois pour la caufe du gain que doit faire le deuxiè-
me D^gocianty nous prefadrons aooooo^ pour la caufç
itiDple de ce gain.

Le troiliéme négociant ajrant pris au bout de deux
autres mois une part de 30000^ dans les 1 00000^;
les 3 0000" de ce négociant auront été encore 6 mois
dans le commerce, 3c auront gagné pendant ces 6 mois,
autant que 6 fois 30000^ ou i Sqooo^ auroient gagné
pendant un mois. Ainfî au lieu de prendre 30000^
pendant 6 mois pour la caufe du gain de ce troifiéme
négociant» nous prendroiv 1 80000^ pour la caufe
£mple de fon gain.

Mais les caufes des galas font proportionnelles aux
gains.

On trouvera donc le gain du fécond uégociant par
cette Règle de Trois.

CojRine 1400000^ caufi réduite du gain total f

Eft au gain total 18 000^.

Ainfî âOOOOO* caufe réduite du gain du fécond ni*
gocîant f

Eft au gain de ce fécond négociant.

Or cette règle étant faîte , comme nous l'avons
expliqué, Ton trouvera 2ty7 1* 8^ 7S à peu de chofe
près , pour le gain du fécond négociant.

Pour trouver le gain du troifiëme négociant, qui
a eu 50090^ dans le commerce pendant 6 mois , on
fera cette féconde proportion.

Comme 1400000^ caufe réduite du gain totale

Eft au gain total 18000^.

Ainfi 180000^ caufe réduite du gain du troifiémt
I négociant^

Eft au gain de ce négociant*

La rcg^e étant faite, on trouvera à peu près

•

'^66 Liy. V. Chap.iy. Dks Reclbs
•2314* 5 ^ 8*^; pour le gain du troifiémc négociant.

Pour avoir le gain dix premier négociant , il n f
aura point de Règle de Trois à faire ; parce que le
deuxième ayant gagné aj7i* 8" 7^

Et le troifiéme ayant gagné ^ î 1 4* 5^^ 8*-

La fommedeces deux gains fera 4885* 14^ 3*^

Et fi du gain total 1 8000»

On ôte la fomme de ces deux gains 4885* 14^^ 3*^

Il reftera pour le gain du premier
négociant IJ^H*^ î^^ 9^

CHAPITRE IV.
Des R^Us de Faujfes pofitîont,

«

I irr T ES Règles de Faufles portions reflemblent
JL^ à des Règles de Compagnie , en ce que par
leur moyen Ton partage un nombre donné , ou une
partie d'un nombre donné» en parties proportionnelles
à celles d'un autre nombre que Ton prend à volonté»
en fuivant cependant les conditions de là queftion.

On diftingue deux fortes de Régla de Faujfe pa^
fition : fa voir les Rtglts ai Une Faujfe pefitiorL âc les Réglés
de Deux Faujfes pojitions.

Dans les Règles d'une Faufle pofîtion. Ton ne fait
qu'une fuppofition de parties proportionnelles à celles
dans lefquelles il faut partager le nombre propofé.

Dans les Règles de deux Faufles polirions ^ l'on fait
réellement deux fuppoCtions qui font toutes deux
f au (Tes , 6c l'on en conclud les véritables parties du
nombre propofé à divifer.

ÎDK Faussss positioks; 2^7[

Des Règles d'Unb Fausse position.

1 1 o Les Règles d'Une FaufTe pofirion conGflent,
comme nous Tavons dit, à fuppofer des parties pro*
porcionnelles à celles du nombre qu'on doit divifer.
Ces parties fuppofées font une faufle poGtion , en ce
qu'elles ne font pas égales aux parties dans lefquelles
le nombre propofé doit être divifé. Mais comme ces
mêmes parties fuppofées font proportionnelles à celles
qu'on demande ; la totalité de ces parties fuppofées »
cft à chacune d'elles en particulier ; comme le nombre
donné à divifer, eft à chacune des parties que Ion de-
mande. Ainfi lorfqu'on a une fois îuppofé des parties
proporcionnelleç à celles que l'on demande, & qu'on
en a fait la fomme^ le refle de l'opération fe faic
comme la règle de Compagnie , par des Règles de
Trois,

E X £ MPLS P R M M I M M.

Trouyer un nombre dont la moitié, le tiers (r le quarts
fajfent enfemble 5 a.

On choifira un nombre dont on puifle prendre
aifémenr la moitié , le tiers & le quart; & pour avoir
ce nombre > on multipliera enfemble les dénomina*
teurs des fraâions |, f > ^> ou plus amplement les dé«
Dominateurs 4 & 3 » parce que le dénominateur 2 eft
contenu dans 4; ce qui donnera 12. On prendra
donc la moitié de 1 2 qui eft 6 ; le tiers de 1 2 qui
eft 4; & le quart de 12 qui eft 3. Ajoutant enfem-
ble toutes ces parties de 1 2 , on aura 1 3 •

Enfuite on fera cette Règle de Trois lîmple dircde.

Si 13 contient la moitié, le tiers & le quart de i2;

De quel nombre ^2 contiendra- t-il la moitié ^ le tiers p
Cr le quart î

fe^S lÀy. V. Chap. W. Dis Rxglis

On aura donc le nombre demandé » en multipliant
le fécond terme 12 par le troifîéme 5a, âcendivi-
fant le produit (^24 par le premier nombre 1 5 > oe
qui donnera éfi.

Aînfî 48 eft le nombre demandé dont la moitié ,
le tiers & le quart font enfemble 52.

Un père en partageant fin bien à trois enfans^ m a laîfé
la moitié à V aîné y le tiers auficondy & 20000* au troi^
Jîéme. On demande le bien que ce père de famille a^oit.

Suppofons que le bien du père de famille foit i»
La moitié qu'il a laifliée à l'aîné de fes enfans fera \ ;
& le tiers qu'il a laiiïé au fécond fera y Ces deuK
parties réduites à la même dénomination feront | & |
dont la fomme eft |. Ces deux parts ou leur fomme |
étant retranchée du bien total i , il redera \ pour la
part du troifiéme enfant: & comme les parties font
proportionnelles aux totalités , on fera cette Règle de
iTrois.

Comme | , part du troîjîéme enfant; efi au bienfuppcféi ;

Ainji 20000*, véritable part du troifîéme enfant i efi au
véritable bien que le père de famille avoit*

La Règle de Trois étant faite, en multipliant feiH
lement le troifiéme terme par 6 ; parce que le fécond
terme i ne multiplie point» & que la divifion par ^ eft
une multiplication par d ; on trouvera 120000^ pour
le bien que le père de famille avoir.

Ex MM PLM lîL

Trois perfonnes ont partagé loo*, de manière (pUf
La féconde a eu 2 fois autant que la première,
La troijîéme a eu autant que la première Or la féconde
enfemble.

On demande combien chacune a eu.

ÎDB FaUSSSS POSITlOKf» ^^6^

Si la part du premier avoir été i

La part du fécond qui a eu deux fols autant

que le premier, auroit été * 2

La part du troifiéme qui a eu autant que les

deux premiers enfemble , auroit été 3

Et la totalité des parts ou du bien partagé ,
auroit été 6

La queftion fe réduit donc à partager ico* en par«
cies proportionnelles à celles i » 2 9 3 1 dans lefquelles
6 auroit été partagé. Ainli. Ton trouvera les parries
de 100^ par les proportions fuivantes, c^eft-à^dire pat
trois Règles de Trois.

Comme le nombre total fuppofé

EJl à fes parties

Ainfi le nombre 1 00* fion a partagé

Eft à fes parties

fi6» 13» 4«

}yo* o^ o**

Des Règles de Dex7x Fausses positions.

1 19 Dans une Règle de Deux FautTes portions > il
s'agit de partager un nombre en deux parties, & de
partager encore une de ces parties en parties propor*
tionnelles à d'autres parties fuppofées.

Pour faire ces deux partages » on fait deux feuflês
fuppofitions I comme nous allons le voir dans Texem-
pie fuivant.

'M^o Liy.V* Chap.IF. Des Règles

X s M P L E.

Trois ftrfonnes ont partagé 120*, de manière que
La féconde a eu deux fois autant que la première 9 & 3^
de plus.

L a troijîéme a eu autant que les deux autres, &4^ de plus.
On demande combien chacun des partageans a eu.
Si la part du premier avoir été 1^

La parc du fécond qui a eu deux fois autant
que le première 3^ de plus, auroic été 2^ plus
3* ou 5*

La part du troifiéme qfii a eu autant que
les deux autres de 4* de plus, auroit été 6^
plus 4* ou 1 o*

Enfin la totalité des parts auroit été 1 G^

Voilà la première fuppofition qui efl faufle » non*
feulement en ce que les parties fuppofées ne font pas
les véritables ; mais encore en ce que ces parties ne
font pas proportionnelles à celles dans leîquelles il
faut divifer 120^. Car les deux dernières parties
fuppofées renferment chacune deux autres parties ,
dont une eft relative à la première part i^, &doat
Tautre efl déterminée. La féconde part y^, par exem*
pie, eft compofée de deux parties a^ & 3*^, donc Tune
â^doit être double de la première part fuppofée. Se
changeroit de valeur proportionnellement aux varia-
tions qui arriveroient à la première part 1^; au lieu que
la deuxième partie 3^ eft une grandeur déterminée
qui ne changeroit point , en changeant la valeur de la
première part i*.

En conCdérant que chaque part eft ainfi compo-
fée de deux parties dont Tune eft relative à la pre-
mière part fuppofée , & donc Tautre eft une gran-

i^s Fausses positiohi; 2jf
deur dét^minée qui feroit toujours la même , quelle
que fut la première part; on examinera quelle eft la
portion du nombre 1 20^, qui contient les parties des
parts proportionnelles à la première part fuppo-
îee; 5c quelle eft la portion du même nombre
120^, qui contient les parties déterminées de ces
parts : & lorfque cette dernière portion de 120^ fera
découverte , on la retranchera de 1 20^1 pour n^avoic
que la première portion qui contient les premières
parries des parts.

Pour déterminer cette féconde portion de 120*,
on fera une féconde fuppoiition dans laquelle n^en*
treront point les parties déterminées 5^ & 4^ qui ac-
croi/Tent les parts; Ton fera, dis-je, comme £ la quef«
tion étoit ainG propofée.

Trois perfonnes ont partagé 1 20*.
lajeconde a eu deux fois autant que la première.
JLa trnîftéme a eu autant que les deux autres •
On fuppofera , comme on a déjà fait , que
la part du premier partageant eft l*

La part du fécond fera 2*

La part du troifiéme fera )^

Et la fomme de ces trois parts fera 6'

Cette féconde fuppofition fera encore fauffc, non-
feulement parce que les parties fuppofées ne feront
.pas les véritables, mais encore parce qu'elles ne fe-
ront pas proportionnelles aux véritables parts des par?
tageants.

Comme les parts qu'on a prifes dans cette féconde
fuppofition y ne contiennent point les parties déter-
minées 3^* & 4* dont les parties proportionnelles des
parts font accrues ; leur totalité 6* ne contiendra pas
non plus le réfukat de ces parties déterminées; au

\

472 Ltp. V. Cbâp. IV. Des Règles tfc:
lieu que la totalité 16" des parts de la première fàuflb
pcfîtion, cotitenoit le réfuUat de ces parties déter-
toinécs.

Dodc fi Ton retranche la fomme 6* des trois parts
de la deuxième fuppofition, de la fomme 16^ des
trois parts de la première fuppofition; le refte lo*
fera la portion pour laquelle les parties déterminées
5* & 4» entrent dans la fomme 1 20* qu'il faut parta-
ger : d où il fuît qu'en retranchant 10* de lio*, le
reAe 110^ fera la portion qui contient les parties
des parts, relatives à la première part.

Après cet expofé , il ne fera pas difficile de trouver
la part du premier partageant , par la féconde fauflfe
fuppofition où les parts font' fuppofées i , 2 , J
dont la totalité eft ^ ; on trouvera dis-je la part da
jpremier partageant, fur laquelle font fondées les deux
autres , par cette Règle de Trois.

Comme la fomme 6^ des trois parts Juppofées f
EJî à la première part i*;
Atnji iio*,
Eft à la part du premier.

La Règle de Trois étant faite » en regardant les
deux premiers termes comme des nombres abfolus»
on trouvera que

La part du premier partageant eft 1 8* 6^ SK
A l'égard des deux autres parts, on les trouvera en
fuivantles conditions de la queftion , comme il fuit.

Le fécond doit avoir deux fois autant que le pre*
mîer & 3* de plus : ainfl il aura 36* 13*4*^ & 3* de
plus, c'eft-à-dire qu'il aura 35* 13^4^.

Le troifiéme doit avoir autant que les deux premiers
& 4* de plus : il aura donc d'abord y 8* & cnfuitc 4* :
ainfi il aura en tout 62^.

Les trois parts demandées font donc i8* 6^ 8S
jp» i^ft ^êv^ 3c 62^9 qui font enfemble 1 20*.

ÉLÉMENS

ELEMENS

D'A R ITHMÈTI^ UE.

LIVRE VI.

De la Règle d'Alliage,

i20 IHMB A Kegle d'Alliage cft une opira-
^T^B non par laquelle on mêle enfembla
I^^^H pluiJeurs quantités de différenies
^^^^™ valeurs, pour en compofcr d'au-
tres d'une valeur moyenne.

Lorfque I'od connoîc le nombre & la valeur des
parties qui entrent dans l'alliage, & qu'il faut trouver
la valeur des parties nouvelles de la chofe alliée ; le
problême n'a aucune difficulté, & il eft toujours dé-
terminé ; c'eft-à-dtre qu'il n'a qu'une folution. ;
Mais lorfque la valeur des unités ou parties nou-
▼elles du corps compofé , eft donnée , & qu'il faoB
trouver combien on doit prendre de parties de cha-
cune des chofès qu'il faut mêler enfemble ; le pro-
blême eft plus difficile, Su il n'eft déterminé que
dans le cas oîi les chofes qui doivent entrer dans
le mélange , ne font que de deux efpéces > ou peu-
vent être réduites à deux efpéciB|.

iay^ Lhf. VI. De la Regls

PROBLÊME.

r2l Lorfque Von eonnoit la valeur & It nombre ia
différentes chofes qui entrent dans la ccmpofition Jtun corps
allié i trouver la valeur des unités du corps aJiié.

On multipliera la valeur de lunité de chaque ef*
péce de chofe , par le nombre des unités de cette ef-
pëce ; ce qui donnera autant de produits particuIierSf
qu'on aura de chofes à faire entrer dans le mélange.
Énfuite on additionnera tous ces produits ; & ayanC
cjivifé leur lomme , par la fomme des unités de toutes
les chofes qui compofent le mélange; le quotient feca
la valeur de l'unité du corps allié.

E X £ M P ZJS P RMM I XM.

On a mile enfembU trois fortes de grains de diff^rem
frix ; /avoir ,

10 focs de blé 4 I2*,
8/acs de blé à 14^,
6 lacs dejeigleà 8*r
£x Von demande combien vaut le /ae du mélangCm

Multipliant 12^ par 10 9 on aura pour
^o f^cs de blé à 12* 120*

Muhipliant 14^ par 8, on aura pour
S facs de blé à 14* lia*

Muhipliant S'^ par 6 y on aura pour
<5 facs de feigle à 8* 48*

Ainfi les 24 facs mêlés enfemble vaudront
en tout ' 280*

Divifant cette fomme 280* par 2 4. qui eft le nom-
bre des facs, le quotient il* 43^ 4^ fera la vaicuç
d'un fac du mélange.

EXMMPZM IL

Un marthtni a mêlé enfimik 288 pinta de Mfférens
pins; /avoir 9

1^6 pkues àt vin à 8^ 1% finit ^

X ^2 pintes de vin à 6^^ la pinte.

On demande à quel prix il doit vendre la pime de ce
mélange , pour n'y rien perdrt.

Multipliant 8^^ par i f^ ^ on aura pour
156 pintes de vin à 8^^ 12^8^

Multipliant 6^ pan 32 ^on aura pour
;i 3 a pintes de vin à 5^^, 792^

Ainfi les 288 pintes vaudront en tout 2040^

Donc en divifant ce prix total 2040* de 288
pintes, par ^88 ; le quotient 7^ i ^ fera le prix auquel
le marchand doit vendre la pinte du mélange de fes
Vu^y pour nj rien perdre.

Ex MMPZM IIL

Un orfèvre a fondu en/imbU 60 nurcs J^ argent à dij^
ferens titres ; /avoir,

52 marcs i 11 deniers de fin^

ao marcs à 11 deniers 12 gréUns defin^
8 marcs à 10 deniers 12 grains de fin.

On demande â quel titre efi le miUuige.

On divife le marc d'argent en 12 parties égales
^u*OQ nomme deniers j de l'on partage le denier en 2^
graine.

Si Targeiu eft pur âc fans mélange d'aucun autre
métat, c'eft-à-dire fi les 12 parties du marc d'argents
font fines; on dit que Targent efi à 12 deniers. Si le
snàrc eft compofii de 1 1 parties d'argent pur fc dQ

Iii6 Liv.VL DelaBegl^

X partie d un autre métal ; on dit que l'argent eft à i f
deniers. Si le marc d'argent eflcompofé de lo parties
& demie d'argent fin & de i partie & demie d'un
autre métal ; on dit que le tirre de l'argent cRkio de-
niers & demi , ou à i o deniers 1 2 grains : & ainfi des
autres. Cela pofé, voici comment on réfoudra la
^uefiion.

Comme on a 3 2 marcs à 1 1 deniers, 20 marcs ait
deniers 12 grains, 8 marcs à 10 deniers 12 grains;
On multipliera iiDpar 32 & Ton aura 3f2D
Oa multipliera 1 iD 12g par 20, & Ton aura 230D
On multipliera loD 12g par 8, Se Ton aura 84D

Les 60 marcs contiendront donc en tout 66 6D

Ainfî en divifant ces 666 deniers de fin , par 60 ; le
l]UOtient 1 1 D 2g f fera la quantité d'argent fin conte«
nu dans un marc du mélange , & fera par conféqueni
le titre de ce mélange.

Jujquici Von a donné le nombre €r la valeur de choqué
tfpéce de parties quon a propofé dt mêler y & il a feulement
été quejlion de trouver la valeur d'une partie du mélangem
Dans les deux problèmes fuivans & leurs exemples^ on ne
fuppofera connu , que le nombre total des parties du mélan^
ge, avec la valeur de chaque efpéce départies & la valeur
totale de ce mélange ; & il faudra déterminer le nombre doi,
parties de chaque efpéce , dont le mélange fera compo/i.

P RO BLÊME.

il 22 Deux unités de différentes valeurs étant dmnéeti
trouver quelles parties il en faudra prendre , pour compofer
une unité d^une valeur moyenne donnée»

On fera deux fradions qui auront pour dénomina-
teur commun, la différence de la plus hautt vale ur à la
moindre. L'une de ces fraâions aura pour numérateur»

b^ A L L I À 6 <• ^77

la différence de la valeur moyenne à la phts baffe , &
fera la portion qu'il faudra prendre de Tunité de la
plus grande valeur. L'autre fraftion aura pour numé-
rateur ) la différence de la valeur moyenne à la plus
haute , & fera la portion qu'il faudra prendre de l'unir
té qui vaudra le moins.

On va démontrer cette règle dans le premiei
exemple qui fuit.

Ex £ MPLJS P RJS M I MM.

On veut faire unfac de blé à 12*^ en mêlant enjemhle
'du blé à 10» Ufac, & du^bU à 13» le/ac.

Imaginons que les trois facs > celui de 10^ qui eft
le moins cher, celui de i j^qui eft le plus cher , Se ce*-
lui que l'on veut compoîer pour le donner au prix
moyen 1 2^ font partagés en parties égales.; il n'imr
porte en combien pGur le préfent.

La différence 1^ du plus bas prix 1 o^ au prix moyen
■1 2^, étant double de la différence 1^ du plus haut prix
au même prix moyen ; il eft clair que chaque partie
qu'on prendra du blé le moins cher, pour faire le mé-
lange , diminuera le prix moyen d'une quantité dou-
ble de celle dont chaque partie du blé le plus cher
augmentera le prix moyen. Ainû pour augmenter le
prix moyen du fac par le blé le plus cher, de la mê-
me quantité dont il fera diminué par le blé le moins
cher, afin que le prix moyen foit tel qu'on le deman-
de ; il faudra prendre deux parcies du blé le plus cher,
contre une partie du blé le moins cher ; c'eft-à-dire
que , de trois parties qu'on prendra en tout pour corn-
pofer un fac au prix moyen, il faudra prendre deux
.parties du blé le plus cher. Se une partie du blé lo
moins cher. Ainfi le fac de blé à 1 2^, fera compo£S
de I de fac à ij^ A; de \ de fac à lO».

Pour ramener cette opératioa à la règle du probIè«
me ; on remarquera que le dénominateur 3 commun
aux deux fradîons j" & j qui repréfentent les deux por-
tions de fac dont on compofe le mélange, vient de la
différence 3^ qu'il y a encre le blé le plus cher éc 1«
blé le moins cher ; & que les numérateurs 2 & i de
CCS fraôions ^ & fi viennent des différences 2* & i*
qu^'l y a du prix moyen 1 2* aux deux prix i o* & 1 3*
des deux fa es dont les parties compofent le mélange :
en forte que les deux fraâions y& -|- viennent de cclr

ICS-CÎ — z & — .

3R 3»

E X £ M P LE IL

On van f dire un marc d'argent à il deniers de fin , en
mêlant enjemble de V argent âllD iSgy(f de forgent à
I oD 1 2g ; & l*t>n demande C9mbien il faut prendre dt
vhaeune de ces deux ejpeces d*argent.

Le titre le plus bas étant de loD i^

Le titre le plus haut étant de 1 1 D x 8g

Le titre moyen étant de 1 iD

La différence du titre le plus bas au plus haut , fera
[iD ^g ou 30 grains.

La différence du titre moyen au plus bas , fera de
12 grains.

La différence du titre moyen au plus haut, fera de
18 grains.

Ainfî {fP. 122.) deux fraôîons qui auront jog,
ou fimplement 3 o pour dénominateur commun , de
qui auront 1 2g & 1 8g, ou (împlement r2 & 18 pour
numérateurs j feront les portions de marc, qu'il fau-
dra prendre des deux argents dont les titres font à
iiD 1 8g & à I oD 1 2g ; c'cfl-à-dire que ,

1^. 75 ou j fera la portion qu'il faudra prendre du
marc à iiD i8g.

2^. jl ou j- fera la portion qu'il faudra prendre du
marc à loD 12g.

;i

«

ExiSM PZJS IIL

Faire un pïei cube de matière du poids de Jootfe, en
milanî deux matières dont tune péfe djOÎb CrT^iar»
^Sotb le pied cube.

Le pîed cube le plus pefant étant de (f jot6'

Le pied cube le mpins pefant étant de 4.80%

I-c pied cube du poids moyen étant de yootb
La différence du moindre poids au plus grand, fera

La différence du poids moyen au moindre ^ fera
SLôYb.

La différence du poids moyen au plus grand , fera
i5otb.

Ainfi (No. 122.) deux fraâions qui auront i70Îb»

où Amplement lyopour commun dénominateur, &

qui auront 2oîb & 1 ;otb, ou (Implement 20 & 1 ;a

^ pour leurs numérateurs, feront les portions qu'il fau«-

^ dra prendre des deux pieds cubes donnés , pour corn-

pofer le pied cube demandé du poids de 5 oott» ; c'eftr

^ à-dire que,

1^. Y^ ou-^ fera la partie qu'il faudra prendre du
pied cube qui péfe 6 5 oîb.

2^ tJt ou I7 fera la partie qu'il faudra prendre du
pied cube qui péXc 48oîb«

On dit quHiéron Prince de Siraeufe , Jou^çmnant quil
f.^ y avoit de V alliage dans une couronne £ot quon lui avoit

faite^ eut recours à Arckimede pour decouyri , Jans endom-^
f mager la couronne , de combien d'argent Aie pou^oit itr0

lif milée; & qu Archimede y par une règle ftmblable à celie

^^ que nous ayons appliquée au dernier exemple , trouva la

quantité d^argent qui étoit dins la couronne.
lî' Le problème qu Archimede avoit à rijoudre^ confifloii

à faire un yolume égal à celui d$ la couronne » & du iMuiie

ai

5

aSo IiV. VI. Ds LA RsGLV

foiàs que la couronne , en mêlant enfembli de l'or & de tar^
gent purs. Mais pour faire cet alliage , il avoit hejoin de
connoUre le poids d'un volume £or pur , égal à celui de la
couronne , & celui d'un volume d'argent pur , égal à celui
de la couronne; ce quifaijoît le fujet d'un autre problème ,
quArchimede eut premièrement à réfoudre.

Un corps pefant plongé dans l'eau , y perd une partie de
fon poidsj égale au poids du volume d'eau quil déplace. Ainfi
les corps qui perdent dans l'eau des parties égales de leurs
poids f déplacent des volumes d'eau égaux ^ & ont par coït*
féquent eux-mêmes dts volumes égaux.

Suivant ce principe^ Archimede , après avoir pejé la coU'»
ronne dans l'air^ la pefa dans l'eau pour connoître combiém
Me y perdoit de fon poids. On peut préjumer qu'il pefa en-
fuite dans l'air une quantité d'or pur qu'il augmenta ou dà^
minua yjufquà ce qu'en la pefant dans l'eau , elle y perdît
une partie de fon poids égale à celle que la couronne y avoit
perdue. Par ce moyen, dont nous fuppcfons quArchimede fi
Jervit^ U parvint à Jaire un volume d'or pur j égal à cebà
de la couronne. En fuppofant quArchimede trouva de la
même manière un volume d^ argent pur, égal à celui de la cm*
ronne , il fut en état de découvrir l'alliage de la couronne y
t'èjl'à'dire de déterminer combien ilfalloit d'or pur 6r d'or"
gent purj pour compofer un volume égal à celui de la cou-
ronne & du mime poids que la couronne.

Nous ne nous occuperons point des différentes façons
dont Archimede pouvoit découvrir le poids d'un volume
£or ou d'argent égal à celui de la couronne , en pefant fuc^
eeffîvement dans l'air & dans teau un lingot quelconque
d'or ou d'argent; parce que ces problèmes appartiennent à
l'HydroJîatique , où nous aurons occafion de les expliquer
plus particulièrement ^ & de remarquer Vinfufpfance de
cette méthode , pour détermina l'aÛiage des métaux mi
des liqueurs^

PROBLÈME.

1^3 P^i'^^ ^^ Jômme propofée avec deux Jortes de
pièces^ de chacune dejquelles la valeur fera donnée, & dont
le nombre total Jera aujji déterminé. '

lo On multipliera la valeur d'une des moindres
pièces » par le nombre total des pièces ; & l'on retran-
chera ce produit de la fomme totale qu'on doit corn-
pofer par l'alliage des deux efpéces de pièces. Puis
on dtvifera le refte de cette fouftraâion , par la diâfé-
rence d'une grande pièce à une petite pièce; & le
quotient de cette diviiion fera le nombre qu'on pren-*
dra des plus grandes pièces , pour faire l'alliage pror
pofé. . ' ^

a^. Si Ton vouloir avoir le nombre des petites piè--
ces qui doivent entrer «dans l'alliage propofè ; l'on
multiplieroit la valeur d'une des plus grandes pièces »
par le nombre total des pièces ; âc de ce produit , l'on
retrancberoie la fomme propofée. Enfuite on divife-
roit le refte de cette fouftradion^ par la difiFèrence de
la plus grande pièce à la plus petite ; & le quotient
de cette divifion feroit le nombre des petites pièces
qui doivent entrer dans l'alliage propofè.

On va donner la dèmonflration de cette Règle dans
Texemple fuivant.

Ex £M PZX Ptt£MlER.

On na que des pièces de a fols & ie i8 deniers , Gr
ton veut faire 40 fols en 24 pièces.

1 ^. Si toutes les 24 pièces ètoient de 1 8 deniers »
elles ne produiroient que 36 fols, & donneroient pat
confèquent 4 fols de moins que les 40 fois qu'on
demande, Aïoii il faudroit augmenter de 4 fols cq

produit ^6 fols, fans augmenter le nombre des 24
pièces. Or il eft évident que c'eft cette augmencation
de 4 fols, que la première partie de la folutîoa du
problème fait trouver, en multipliant une petite pié«
ce par le nombre total des pièces , Se en retranchant
le produit de la fomme proporée.

Comme une pièce de 2 fols furpaffe une pièce de
18 deniers de| fol; chaque pièce de 2 fols quoo
mettra à la place d'une pièce de 1 8 deniers » aug-
mentera le produit 3 6 fols de ~ fol , fans augmenter
le nombre des pièces. Âinfî pour augmenter de 4 fols
le produit ^6 fols des 24 pièces de 18 deniers, il
faudra prendre à la place de pièces de 18 deniers»
autant de pièces de 2 fols , que \ fol eft contenu de
fois dans 4 fols ; c'eflà dire qu*il faudra prendre 8
pièces de 2 fols. Or c'cft ce nombre de 8 pièces, que
la même partie de la folurion du |>roblème fait trou-
ver, en divifant le relie de la fouftraétion par la
différence de la plus grande pièce à la plus petite.
On n'aura donc plus que 16 pièces de 18 deniers»
avec 8 pièces de 2 fols, qui font enftmble 24
pièces , âc compoferont la fomme . 4a fols qu'on
demande.

20. Si toutes les 24 pièces étoîent de 2 fols, elles
produiroient 48 fols , & donneroient par confèquene
8 fols de plus que les 40 fols qu'on demande. ÂinG il
faudroit diminuer de 8 fols ce produit 48 fols , fans
diminuer le nombre des 24 pièces. Or c^'eft cette di-
minution de 8 fols, que la féconde partie du problè-
me fait trouver, en multipliant une grande pièce pat
le nombre total des pièces. Se en retranchant dtt
produit, la fomme qu'on fe propofe de faire.

Chaque pièce de i 8 deniers qu'on mettra à la pla-*^
ce d'une pièce de 2 fols, diminuera de i fol le pro-
duit 48 fols, fans augmenter ni dimiauei le nombro

T)'AXZ.ÎA6S; '^if

total des pièces. Ainfi pour diminuer ce produit de 8
folS) il faudra prendre autant de pièces de i8 de-
niers , que f foi différence des deux efpéces de pièces»
eft contenu de fois dans 8 fols ; c'eft-à-dire que le
quotient i6 de la divifîon de 8 fols> par la (fiffèrence
I fol des deux efpèces de pièces, fera le nombre
des pièces de i8 deniers qui doivent faire partie
de Talliage demandé. On aura donc i6 pièces
de i8 deniers, & 8 pièces de 2 fols, qui font en-
fembles 24. pièces 8c compofent les 40 fois qu'on
demande.

Lorjquon a trouvé It nombre des pièces de Vune des
deux efpéces , il nejl pas néceffaire de chercher par les pré'*
teptes du problême , le nombre des pièces de Vautre efpéce %
puifquejl Von retranche le nombre des pièces qu'on aura
trouvé , du nombre total des pièces qui efi donné ; le refit
de la fouftraSion fera évidemment te nombre des pièces de
Vautre efpéce.

Ex s M P Z M IL

30 Officiers tant Capitaines que lAeutenans ^ ont
payé en tout 2000^ pour leur rançon : chaque Capitaine
a payé 1 00^ , & chaque Lieutenant 60^. On demande
combienîly avoit de Capitaines ^tf combien il y avoit dâ
Lieutenans.

Il cft évident que cette queftion revient à la pré-
cédente ; & que dans celle-ci , il s^agit de faire 2000*
en 3 o pièces dont les unes foient de 100^ & les au*
très de ^o**.

Ainfi pour avoir le nombre des Capitaines qui
payent la plus forte rançon 100^; on multipliera
la plus petite rançon 6q\ par le nombre 30 des Of-
ficiers ;& ayant retranché le produit 1800*, de la
totalité 2000*^ des rançons, il refiera aoo'* qu'on

^fi^ ttv.VL D< tk Rscts
divi£era , par la diâPérence 40^ de la plus forte ratî^
çon à la plus foible; Se le quotient 5 fera le nom-
bre des Capitaines qui ont payé la plus forte rançon.

Comme il n'y a que 30 Officiers, tant Capitaines
que Lieutenans , Se qu'on a trouvé ^ Capitaines \ il
eft clair qu'il n 7 aura que 2^ Lieutenans.

E X £ M F ZJS 11 h

On a loué un ouvrïtr four ^o jours ^ à condition de M
donner 40 fols pour chaque jour quil tra aillera y & dt
lui retenir fur ce quil aura gagné » 6 Jols pour chaque
jour qu^il ne travaillera pas. Au bout des ^o jours V ouvrier
a reçu 3 7*. On demande combien de jours cet ouvrier lia
pas travaillé.

, Il s'agit dans cet exemple de faire 37* efiedives,
avec 50 chofes de deux efpéces oppofées, favoic
avec des gains de 40 fols chacun , & avec des pertes
de 6 fols chacune, AinG la queftion fe réduit à une
Begle d'Alliage qu'on fera fuivant le dernier pror
blême.

1^. On multipliera 40 fols, par 30 nombre des
jours ;& du produit 1200^^ ou 60*, on retranchera la
ibmme 37^; ce qui donnera un reftede 23^, ou de

a^. La diflKrcnce d'un gain de 40^ à une perte
de 6^, eft 46^^ Ainfi l'on divifcra le refte 460^ qu'on
IL trouvé, par 46^^; Se le quotient 10 fera le nombre
de jours que l'ouvrier n'a point travaillé.

Car fi l'ouvrier n'avoir manqué aucun jour à tra-
vailler, il auroit gagné éo^en 30 jours, au lieu de
37* feulement qu'il a reçues: ainfi les 23^ qu'il a
manqué de gagner , font pour les jours qu'il a man-*

?ué de travailler. Mais par les conditions du marché,
ouvrier perd ^6^ chaque joui qu'il ne travaille

b'ÀLtfAGB; i8j

point, fa voir 40^^ qu*il manque Je gagner, & 6"
qu'on lui retient fur ce qu'il a précédemment gagné.
Donc en divifant les 23* de perte totale, par la perte
46^ d'un jour; le quotient 10 qu'on trouve ^ eft le
nombre des jours de perte.

On rapportt aux deux derniers prâbUmes tous les
alliages déplus de deux chofes différentes ^ lor/que par Ui
conditions des quejlions , les dijférentes chofes quon veut al"
lier peuvent e réduire à deux efpècesfeulement. On va dorir
ner des exemples de ces alliages*

E X s M P zs IV.

On veut faire 30 livres dz poudre à 20*^ la livre ^ en
mtlant enfemhle de la poudre 4 28"^ de la poudre à 18^
& de la poudre i 8^^ ; ï condition que la poudre à 18^ &i
ttHe à ^^"^ feront en parties égales.

Puifquela poudre à 18^^ & la poudre à 8^ la lî-^
vre, doivent être en parties égales dans le mélan-^
ge ; & que i livre de poudre à 1 8^^ avec i livre de
poudre à 8^, feront 2 livres de poudre valant en-
iemble 26^, Se compoferont par conféquent de la
poudre à i3^Ma livre: il évident que la queffion
fe réduira premièrement à faire 30 livres de pou-
dre à 20^, ou la fomme de <^og", avec de la poudro
à 20^^ jc de la poudre à 13^^ la livre, ou bien avec
30 pièces dont les unes feront de 28^^ & les autres
de 1 3'\ Or cène queflion fe rapportera au dernier
problême.

En réfolvant la queftion , Ton couvera qu'il faut
14 livres de poudre à 28^, & 16 livres de poudre
à I 3 ". Et comme la poudre à 1 8^^ & la poudre à
8^\ font en parties égales dans la poudre à 13";
il efl évident que l'alliage demandé fera compofé
de ) 4 livres de poudre à 28^, de 8 livres de poudre
à i&f^ <fc de 8 livres de poudre à 8^\

fig^ Liv. VU JDb X.À Rbglb

Si pour fake les jotb de poudre à 20^ k livre ^
avec de la poudre à 28^, de la poudre à 18^^, &
de la poudre à 8" la livre; oti impofe la coodi«
tioa de prendre deux fois autant de poudre à 1 8^
que de poudre à 8^^ : comme 2 livres de poudre
à iS^ & I livre de poudre à 8^, fout 3 livres
de poudre valant enfemble 44^ ; la livre de ce pre-
mier mélange vaudra i^^^ 8^. Ainfi la quefiion fe
réduira à faire 3otb de poudre à ao^ la livre » avec
de la poudre à 28^^ & de la poudre à 14^ 8^ la
livre ; & Ton trouvera qu'il faut prendre 12Tb de
poudre à 28^, avec i8tb de poudre à 14.^ 8^ la
kvre. Et comme les i8tb de poudre à 14^ 8^, font
compofées de deux ps^es de poudre à 18^» &
^une partie de poudre à 8^^; Talliage demandé
fera compofé de I2tb de poudre à 18^» de 6îb
de poudre à 8^\ mêlées avec i2tb de poudre à
^^^ la livre.

Comme en pourra taâjows fdire de la peuire i 20^
la Uvrûy{f»€o dû hpûuirt à 28^\ d£ la poudre à 18^
Cr i&i Ia poudre à 8^^ la Uure ^ quel que fait le rapport
pLon voudra mettre entre la qmmité de poudre i 18^
& la- quantîté de poudre i 8" , & quon pourra Varier ce
rapport à l'infini ; il eft évident quily a une infinité de c^m-
binaifons différentes , par Iffquelles on pourra faire de la
fouihre à 7.0^ la livre ^ avec de la poudre à 28^, de la pou*
ère à 18^^ & de la poudre à 8^^ la Uvr$. Ainfi Upro*
Héme où ton propoferoit feulement défaire de la poudre â
WO^f avec àe lanouire à 28^, de la poudre à iS^ Gr
et la poudre à^la livre ^ auroituae infinité dejolutionu
^feroit ce quon appelle un Problâne indéterminé.

il en fera de même de tous les outra problèmes , lorjquil
Jera queftion de oompojer un nombre donné de chojes d^une
valeur donnée , en alliant trois e/péces de chofes de différent
M valeurs données , & quil ny aura point de condition

1>*A L L I A 6 K 'fkSj

fut iétirmne m fitl rapport feront Us fuuiàtis de deux
des trois chojes données.

Quoique ces problèmes d^allidge de trois chofes , ( lorfqui
rien ne détermine à réduire à deux efpéces les ehofes quon
doit allier) /oient par eux-mêmes fuJceptihlesJtune infinité
dejolutionst cefi-à-dire de combinaifons des chofes alliées i
il y a néanmoins des conditions qui réduifent toutes les Jôluh
tions pojjibles à un certain nombre de combinaifons i comb-
ine nous U verrons dans un problème particulier quifiivrm
Sextàifle cinquU,mt quon va donner.

E X MMPLM V.

On pfopoji de faire 40tt> de poudre âao/ilsla Upre^
€» mêlant tn/emble de la poudre à i a^, de la poudre à 1 6^,
àt la poudre à 1 8^ ^ delà poudre à 2%r la livre ; en ob'^er^
want d'employer trias fois autant de poudre ^12^^ que de
4elle i 1 6^, & de meure deux f m autant de poudre à ai^
que de poudre 4 1 8^.

1^. Pour remplir une première condition de là
quefiîon; il faudra prendre ^th de poudre à 12^
concre i\hk 1 6^, qui feront 4 livres de poudre va-
lant enfemble ^2% Se compoferont par conféqueat
de la poudre à i )" la livre.

20. Par une autre condition de la queftion , il faut
prendre atb de poudre à 28^^ contre itb de poudre
à »8^, qui feront jtk de poudre valant enfemble
74.^\ & compoferont par conféquent de la poudre à
a^ft 8*^ la livre.

Les quatre efpéces de poudre qu'il faudra allier ^
fe réduiront donc à deux efpéces ; & il s'agira de
faire ^otts de poudre à 20^^ avec de la poudre à 13^9
& de la poudre à 24^^ 8^ là livre.

£a réiolvanc la queilion , Ton trouvera qu il faut

^88 Liy. VL De làReges

1 6Vb de poudre à 1 3^, & a^tb de poudre à 24^ 8^

la livre.

i^« Comme les i6Vb de poudre à 15" cootjien-
dronc trois parties de poudre à 1 2", contre une^par*
tie de poudre à 16^^; il eft clair qu'il faudra prendre
latb de poudre à 12" & 4*tb de poudre à i5^, pour
faire l'alliage demandé.

a®. Et comme les 2^Vb de poudre à 24" 8*^, contien*
.dront deux parties de poudre à 28", contre une partie
de poudre à 1 8^^ ; il faudra néceilairement prendre
I dît de poudre à 28^^ & 8tb de poudre à 1 8^\

Il tfi vi/îble que fi ton ûvoit fixé un autre rapport fii«
trt Us quantités de poudre à 12^ & i 16^^ ou entre les
quantités de poudre i 28" & i 18^^; Von auroit trou^
vé une autre eombinaifon pour le mélange demandé^ &
quon auroit toujours fait 40Îb de poudre à ior la Utnre^
avec Us quatre efpéces données c & comme ces rapports
peuvent être variés à tinfini ; il s enfuit que Us probU-*
mes d'alliée de 4 chofes , peuvent avoir une infinité dt
combinaifons » lorfque Us quatre chofes données ne peuvent
pas être réduites à deux* Nous verrons cependant dans U
problème fuivant &Jes exemples , que certaines circonfianr
ces , telles que celles où il faut prendre des nombres entiers p
réduifent toutes les folutions poffibles 9 à quelques fombinair^
Jons feuUmeru.

PROBLÈME.

12^ Faire une fomme propofie apec trois Jàrtes de-
pièces , dont U nombre total Joit donné avec la valeur de
chacune en particulier.

On multipliera la valeur de la plus petite pièce »
par le nombre des pièces qu'on doit employer dans
Falliage^ & Ton retranchera ce produit de la fomme

totale

totale qu^on te propofera de faire ; ce qui donnera
un refte dont il faudra augmenter le produit , pous
faire la fomme demandée.

On partagera ce refte en deux parties dont Tune
foit diviûble par l'excès de la plus grande pièce fuc
la plus petite , & dont l'autre foit divifible par Tex^;
ces de la moyenne pièce fur la plus petite.

Si Ton ne peut faire ce partage que d'une ma-
nière » le problème n'aura qu'une folution; mais û
l'on peut faire ce partage en pluGeurs manières » Se
que les deux parties étant divifées^ l'une par l'excès
de la plus grande pièce fur la plus petite , l'autre par
Texcès de ki moyenne pièce fur la plus petite » don-
nent des quotiens dont la Tomme ne foit pas plus
grande que le nombre des pièces qu'on doit em«*^
ployer; le problême aura autant de folutions, qu'il
y aura de manières de partager le relie en deux par-;
tics de cette efpèce.

Le refte étant ainfî partagé en deux parties de ton*
tes les façons poffibles; on divifera les premières par-
pies par l'excès de la plus grande pièce fur la plus pe^
tittf ; 8c les quotiens de ces divifions feront les diâFé-
rens nombres qu'on pourra prendre des pièces de kl
plus grande valeur ^ pour faire l'alliage demandé.

On divifera de la même manière les fécondes
parties du refte» par l'excès de la moyenne pièce
fur la plus petite ; Se les quotiens de ces divifions
feront les différens nombres qu on pourra prendre
des pièces de la moyenne valeur^ pour faire Talliage
propofé.

Les deux parties correfpondantes dû refte, divir
fées comme on vient de le dire , ayant donné le nom«*
bre des pièces de la plus grande valeur & le nombre
des pièces de la moyenne valeur ; la fomme de ces
deux nombres de pièces fera retranchée du nombre
Arithmétique. X

ïpO Liv.VL DV LÀ RCGLV

total des pièces qui eft donné ; & le reftc fera lè noiiH
bre des pièces de la moindre valeur. Or il eft évident
qu'on aura autant de diâférens nombres de ces moin-
dres pièces , qu'on aura trouvé de nombres diâférens
pour les autres pièces.

On va donner la démonfiration de ce procédé
dans le premier exemple qui fuit.

Exemple peemiem.

n propofe de faire 1 8* a» 3 <> o" , efi 2 2 pièces de trois
èfpects ^ /avoir de 24.", de 12^^ Gr de 6".

Si les 22 pièces ètoient toutes de 6^, elles ne
produiroient que 1^2^,, Se feroient 228^Me moins
^ue la fomme 360^ qu'on demande, Ainfi le pro-
duit 132" qu'on aura» en multipliant par 22 la
valeur de la plus petite pièce qui eft de 6^ , doit
être augmenté de 228'^, fans que le nombre des
al pièces folt changé. Or cette augmentation de
^28^^ 9 qu'on trouvera en retranchant le produit
1132^^ de la fomme propofée 360^, rie peut être
faite que par l'échange de quelques pièces de 24^
& de 12^9 contre un pareil nombre de pièces
de 6^

i^« Chaque pièce de 24^ qu'on mettra à la place
(d'une pièce de 6" » donnera une augmentation de
Il 8^> égale à la différence de la plus grande pièce à kl
plus petite. Ainû la partie d'augmentation qu'on pro»
duira» en changeant quelques pièces de 6^» conti^
tin pareil nombre de pièces de 24^» fera un nombf^
de fols multiple de iS^^, & par conféquent di via-
ble par 18^^ différence de la plus grande pièce à lâ
plus petite*

2^. Chaque pièce de 1 2^ qu'on mettra pour une
pièce de 6^^ , produira une augmentation de 6^^ qui

i>*ALtiA6v; ipi;

èft là différoDce d^nne moyenne pièce à la plus pcr
tice. Ainfila partie d'augmentation qu'on produira y
en fubllituant des pièces de i a^ à des pièces de 6^^ y
fera un nombre de fols multiple de 6^\ Ôc par con«
féquent divifible par 6^ dififâence de la moyenne
pièce à la plus petite.

Il faudra donc partager l'augmentation 228" en
deux parties, dont Tune foit divifible par la diffè*
rence 18^ de ta plus grande pièce à la plus petite,
& dont l'autre foit divifible par la différence 6^ da
la moyenne pièce à la plus petite.

90

Premières parties
de 2a8^, qui font
divifibles par i8^>
Adqiii peuvent être t 108
produites en ftib-^ ] 126
iHtoant des pièces | 1 44
de 24^' à d«s pié« tSz
cesdet5^. 1 180

I «98
{^216

f2loft

Secondes parties | ip2
correfpondantes ' 174
de 228^^ qui font i^è
divifibles par tf^^» 158
& qui peûvenr être 12a
produites en chan*i loii

84
66

4«
30
12

géant àts pièces
de 1 2^\ contre un
pareil nombre de
pièces de 6^9

!

Chaque pièce de 24^ fubftituèe à une pièce de
é^ f ne produifant que 1 8^ dans les premières par-
ties de 228^9 & chaque pièce de 12^ mife à la pla<«
ce d'une pièce de 6^\ ne produifant que 6^^ dans les
fécondes parties de 228^; il eft clair que fi l'on divi-
fe les premières parties par 1 8^\ on aura les difi^rena
nombres de pièces de 24^^ qui produifent les pre-
mières parties , ou qui peuvent entrer dans l'alliage ;
& qu'en divifant les fécondes parties par 6^\ on aura
les diffèrens nombres de pièce;;! de 1 2^^ qui pegveac

3i9i Liv.VLDt tA RitGLS

entrer tn même temps dans Talliage. Ces divisions'
étant faites , on aura les nombres fuivaos de pièces de
2^ & de pièces de i zK

. Différens nombres
de pièces de 24" qui 1
peuvent entrer dans 1
l'alliage.

I

a

3

4

S

6

7
8

9

10

II
I12

Nombres
correfpondans
de pièces de
la" qui peu-
vent entrer dans
l'alliage.

fit

3^
29
26

^3

J ao

I17

14!

If

8

S

Comme il ne faut que 22 pièces en tout dans Tal-
lijage qu'on demande ;.il eft évident que les fept prer
miers nombres de pièces de 24^ ^ qui , avec les nom^^
bres correfpondans de pièces de 12^9 font plus de
â2 pièces » doivent être rejettes avec leurs correfpon*
dans ; de que le huitième nombre 8 des pièces de 24^^
qui. avec le nombre correfpondant 14 de pièces de
1 2" , fait juflement 22 pièces, doit pareillement être
rejette de Talliage propofè avec ion correfpondant
1 4 » fi Ton veut que cet alliage contienne des pièces
tle 6^\ comme on le demande dans la queftion qui
fait le fujet de l'exemple.

Les huit premiers nombres de pièces de ^4^ , ic
les huit nombres correfpondans de pièces de 1 2^
ctant fupprimès ; il ne reftera plus que quatre nom**
bres difFèrcns de pièces de 24^^, avec quatre nom-
bres correfpondans de pièces de 1 2^^ : èc comme il
ne faut que 22 pièces en tput j fi de 2X l'on rctran*

V

•\

b^ A t L I A G E. '25^5

che chaque fomme faite d'ûo nombre de pièces de
d4^^ 8c du nombre correfpondant de pièces de 1 2^^ ;
chaque refte fera le nombre correfpondant de pièces
de 6^K

Il y aura donc quatre combinaîTons différentes de
pièces de 24", de 12^^ & de 6^^i pour faire 18* ou
3do^^>en 22 pièces de ces trois efpèces. Voici ces
quatre combinaifons.

Nombres |» 1 1
correfpon- \ 8
dansdepiè-'i y
ces de i2^^C ^

Nombres ç 2
correfpon- j 4.
dansdepiè- 1 6
ces de 6^. C 8

Les /ept premiers nombres de pièces de 24^^ & lesjèpt
nombres eorre/pondans de pièces de 12^ qu'on a rejettes ,
éuwoient pâ réfoudre cette queftion.

Une perfonne s'étant intèreflfèe à trois différens
jeux , a gagné des pièces de 24^^ au premier , des
pièces de 12" au fécond, & a perdu des pièces de 6^
au troifième : 8c ayant gagné 22 pièces de plus de
celles de 24^^ 8c de celles de 1 2^, qu'elle n'a perdu
de celles de 6"; fon gain a été de 18* ou de 360^^
On demande combien cette perfonne peut avoiv
gagné de pièces de 24^^ & de pièces de 1 2^, & com-
bien elle peut avoir perdu de pièces de 6^.

Cette quejliqn aura Jept Jolutions , fi Von fuppofe que
la perfonne a réellement perdu au jeu de 6"; ù^ ily aura
une huitième folution y fi ton fiippofe quelle na rien perdu
au jeu de 6"« Les huit premiers nombres de pièces de 24'^
€r les huit nombres correfpondans de pièces de 1 2^1 quon
a rejettes dam la quejlion de l'exemple , fiiront les nombres
de pièces de 24^ & de 12^ gagnées. Et comme on fuppofe

que le joueur a gagné 22 pièces de plus de ces deux efpèces^

T..»

ap^ ^^^* ^^* ^^ ^^ Rbglb

^u'îl n^eii 41 f eri{tt de celies de ô'^iji l'on retranche as ;
de chaque fomme jatte d^un nombre de pièces ife 24.^ Gr d^iat
nombre correfiondant de pièces (fe 12"; chaque reftefera k
nombre correfpondant des pièces de 6" qu^onfuppofe avoir
été perdues. Voici Us huit combinaifons qui fervent de re«
ponfe a la quejlion»

Nombres f i

des I a

pièces I 3

de U

^4» qui j S

peuvent j 6

avoir écéj 7

gagnées. ^8

Nombres
corrcfpon-

dans des

pièces J
de 12^^ qui

peuvent
avoir été
gagnées.

26
23
ao

L»4

Nombres ri4
correfpon- 12

dans des 10

pièces J S

de 6"- qui 6

peuvent 4
avoir été a
perdues. ^ o

Ex X M P LM IL

On propofe défaire ^oVh de poudre â 2cfila lipre^ en
mêlant enjemble des nombres entiers de livres de poudre à
aS^\ à iS^ ù^ â S^ la livre ; & Von demande combien
il faut employer de livres de poudre de chaque efpèce.

Les 3otS de poudre à ao^ vaudront 600^^ ; 3c les
livres de poudre à a8^^ à 1 8^ & à 8^^ que Ton pren-
dra I pouvant être regardées comme des pièces de
a8Û, de 18^ & de 8^- ; la queftion fe réduira à faire
une fomme de 600*-, en jo pièces de trois efpéccs,
dont les plus grandes feront de 28^, les moyennes de
18^^ Se les plus petites de 8^« On pourra donc la
léfoudre comme la précédente.

On multipliera 8^^ valeur de la plus petite pièce
par 50; ce qui produira 240^^ qu'on retranchera de
la fomme donnée doo^^; 8c il reftera 360^ donc le
produit 240^ doit être augmenté par la fubftitutioa
de quelques pièces de 28^ & de 18^9 à un pareil
nombre de pièces de 8*^

La différence de la plus grande pièce qui vauc
a8^, à la plus petite qui vaut 8^, fera 20^\

La différence de la moyenne pièce qui vauc i8^,
à la plus petite qui vauc 8^^ fera lo^.

On partagera donc j6o^ en deux parties qui foient
divifibles Tune par 20^ & l'autre par 10"; & l'on re-
jettera les fix premières parties diviûbles par 20" avec
leurs correfpondances qui fe trouveront divifibles par
1 o" ; parce qu'elles produiroienc un nombre total de
pièces plus grand que 30.

Premières par-
ties de 3 6o^y di-
vifibles par 20^,
lefquelles pea-
vent être pro-
duites en fubfti-
tuanc des pièces
de28^àdespiè*
CCS de 8^*

160
180

2QO

220

260
280
1300
320

1340

Secondes parties
correfpondantes
de 3^0^, divifi-
bles par 1 o^, lef-
quelles peuvent
être produites en
fubftituanc des
pièces de 18^ à
des pièces de 8^.

Divifant les premières parties par 20, 8c les fé-
condes parties correfpondantes par 10 > lesquotiens
correfpondans feront les nombres de pièces de 28^^
& de 1 S"; c'eft-à-dire les nombres de livres de poudre
à 28" & à 18", qui doivent entrer dans l'alliage de-
mandé. Et comme » par les conditions du problème,
il ne faut que 30 pièces ou 30 livres de poudre; fi de
30 on retranche chaque fomme faite d'un nombre de
livres de poudre à 28^, & du nombre correfpondanc
<le livres de poudre à 1 8^; chaque refte fera le nombre
correfpondanc des troifièmes pièces , ou des livres de
poudre à 8^«

T iiij

L

aptf Liv.Vh De LA Règle

En faifant ces opérations, Ton trouvera Xcè il cota^
binaifons fuivantes, pour faire jotb de poudre à ao^,
en mêlant enfemble des livres entières de poudre à

Nonibres

de livres I lo

de pou- I 1 1

dreàa8^^,J 12

ou de » 13

pièces I 14

de agû. I j

U7

Nombres
correfpon-
da'ns de
livres de
poudre à
1 8^^ ou de
pièces de

J

22
20
18

14

12

10

8

6

4

Nombres
eorrefpon-
dans de
livres de
poudre à
8^, ou de
pièces de

<

<

5

4

S
6

7
g

9
10

. Cette quejlîcn na que onie jolutions y parce qu'on a îm«
fofi la condition de prendre des Uyres entières de poudre des
dfois ejpéces.

Si par les conditions de la quejlion y Von avoit permis de
prendre des demi 'livres de poudre des trois ej fèces ; la quef"
tionjeferoit réduite à faire 60 demi-^Uvres de poudre à 10^
la demi'Uvrej avec de la poudre à 14^» i p^ & i 4" /a
demi'Uvre* Alors le problème auroit eu 23 combînaifons f
eu le double des combinaifons précédentes & une déplus^

Et Jî Von eut permis de prendre la poudre par quarterom;
le problême auroit eu ^j combinaijbns ; c'ejl à-dire le double
de eâUes quil auroit eues en prenant la poudre à la demi'^
livre y & encore une déplus.

Si Von permettoit de pefer la poudre 2 onces à 2 onces ;
le problUme auroit ^^ combinaijons oufolutions différentes^
& Ji Von prenoit la poudre par onces ^ H en auroit ip i &c>

Ainji Von pourra multiplie t à V infini le nombre du
€ombinaifons ou fouUitions , en prenant Ut poudre par parties

1^ êôntimidUment plus petites , & le problime aura réelle-^

^ wntnt une infinité de eombinaîfons , lorfque Us parties quou

i pourra prendre de chaque efpéce de poudre^feront arbitrairam

\ PROBLÈME.

I2j^ Faire une femme propofée^ en quatre Jortes de
pièces dont le nombre total foit donné avec la valeur de
chacune en particulier»

On multipliera la valeur de la plus petite pièce, par
le nombre total des pièces > & le produit fera retran*
ché de la fomme qu'on doit faire par l'alliage de toutes
les pièces; ce qui donnera un refle.

On partagera ce réfte en 3 parties qui foîent dîvî-
£bles par les 3 différences qu'il 7 aura entre la plus
petite pièce ôc les trois autres. Si ce partage ne peut
être fait que d'une manière, le problême n'aura qu'une
folution : mais fl on peut le faire de plufieurs façons ,
& que les trois parties étant divifées par les trois dif«
fèrencesi la fomme des trois quotiens foit moindre
que le nombre total des pièces ; le problême aura au-
tant de folutions , qu'il y aura de manières de partager
la différence trouvée , en trois parties de cette efpéce.

Enfin les quotiens des trois divi fions feront les trois
nombres des trois* efpèco( de pièces fupèrieures à la
plus petite I qui entreront dans l'alliage.

E X X M F Z s»

On veut faire 10" ou 120*^, en 9 pièces de quatre tjpér
cej. Us premières de 2" ou 24^, les fécondes de 1 8*^, les troi^
Jiémes de i" ou 1 2,\ les quatrièmes de 6^; 6* l^on demande
combien il faudra prendre de pièces de chacune de ces quatre
efpèces y & toutes les manières dont le problime p(Ut itri
réjolu p en prenant tcujours^des pièces entières.

ïpg Liv. yi Hm £ a R s g l s

On multipliera 6^ valeur de la plus petite pi^^
par p nombre total des pièces ; & le produit 54^
étant retranché de la fomme 1 20^ qu'on doit f^lire »
îl refiera 66^*

Les trois dijFérencc$ de la plus petite pièce qui
ell de 6^9 aux trois autres qui font de 24S de 1 8S
de i2^,^tant 18*^, la^, 6*; on partagera le rcfte
66^ en trois parties diviiibles par 18^ i^^ Sc6K
Pour faire commodément ce partage » voici Tordre
^u'on fuivra.

On prendra d'abord les parties de 66^ qui font
diviiibles par 1 8^. Ces parties feront 18^, 3^^, 54^.

i^ La partie 18^ qu'on prendra dans 66^y laif*
fera 48^, pour les deux autres parties qui doivent être
divifiblespar la^ & par 6K AinC ces deux dernières
parties feront 12^ & ^6^9 ou 24*^ & 24*^, ou 36*
& 12^; d'où Ton tirera trois combinaifoos diffé^
ventes des trois parties de 66^^ qui font divifiblea
par 1 8S 1 2*^ & 6^ : favoir ,

Première cômbinaifon 18*, 12*, ^6K
Seconde eombinatfon 18*^, 24^, 24^.
Trolfiéme cômbinaifon iZ\ }î^, 12*^.

Divifant refpeâivement les 3 termes de chaque
cômbinaifon, par i 8S 12^ & 6^ ; on aura trois com-»
binaifens de pièces de 24^^ de 1 8^ âc de 1 2^ qui
doivent entrer dans Talliage demandé; favoir»

I pièce de 24*^, i pièce de 18*^, 8c 6 pièces de I2.^*
I pièce de 24S 2 pièces de 18S & 4 pièces de 12^.
I pièce de 24S 3 pièces de 18S & 2 pièces de 12^.

2^. Si Ton prend 3 6 deniersi pour la partie du refte
66^ qui efl diviûble par 18^; il refiera 30 deniers
pour les deux autres parties qui doivent être divifibles
par 12^ & par 6^« Ainfi ces deux dernières parties

feront 12^ & 18^, ou 24*^ Se 6^*, <foù Ton tirera
encore deux combinaifons différentes des trois parties
-de 66^f qui font divifibies par 1 8*^, la^ & 6*^; favoif.

Quatrième combinai fôn ^6\ la^, l8^.
Cinquième combinai/on 36^, a^S ô*".

. IMvifant les trois ternies de ces deux combioaifon^
par les trois différences 1 8*^, 1 2*^, 6*^; on aura encore
tieux combinaîfons de pièces de 24^, de 1 8^ & de 1 2^,
qui peuvent entrer dans Talliage demandé; fa voir »

2 pièces de 24^; l pièce de 18*^; 3 pièces de 12^.
a pièces de 24^ ; 2 pièces de 1 8*^ ; i pièce de 1 2\

3 ^. Si Ton prend 54*^ pour la partie de 66^^ qui
peut être divifée par 18^; cette partie ne laiffera que
loS pour les deux autres parties divifibies par i i^Sc
|>ar 6^: & comnae 10*^ ne peuvent pas fournir à ces
deux parties ; il ell clair que la partie ^4^ doit ètro
rejet tèe, & ne peut pas donner de nouvelles combi*
naifons de pièces qu'on puiffe allier.

Comme on a èpqifè toutes les parties de 66^iqnî
peuvent être divifées par 1 8^, Se qu'on en a lire toutes
les combinaîfons poffibles des pièces de 24S de i i\
& de 1 2^, dont Talliage demandé peut être compofé;
il eft évident que la folution de la queftion fe rèduk
aux cinq combinaifons qu'on a trouvées ; fa voir »

I pièce de 24*^ ; 1 pîéce de 1 8^ ; 6 pièces de 1 2^.
I pièce de 24^ ; 2 pièces de 1 8*^ ; 4 pièces de 12^.

1 pièce de 24^ ; 3 pièces de i8^ j 2 pièces de 12^* -

2 pièces de 24^ ; i pièce de 1 8*^ ; 3 pièces de 12*-.
a pièces dfe 24^ ; 2 pièces de 1 8^ j i pièce de 1 2*^.

^nfio , puifque Talliage ne doit contenir que p pié«
ces en tout ; fi de p Ton retranche le nombre total des

§oo Uy. VL Dv la Règle d'Alliage.

pièces de chacune des cinqcornbinaiTons qu'où vient
d'expofer; les cinq relies feront les cinq nombres de
pièces de 6^, qui doivent encrer dans ces cinq corn-
binaifons , pour faire Falliage demandé.

On fera donc i o" ou i ao*- avec p pièces de quatre
efpèces, dont les premières feront de 24*^, les fécondes
de 1 8*^. les troifiémes de 1 2*^, & les dernières de 6\
en cinq manières diâférentes^ & Ion ne pourra le faire
d'aucune autre façon, en prenant des pièces entières»
yoici ces cinq combinaifons.

• 9

pièces
de

12*^.

ï 2 O Sî Von avait un plus grand nombre de pièces â aUîerf
en fuivroit la même méthode ; cejl^à-dire quon commence^
roit par multiplier la valeur de la plus petite pièce, par le
nombre total des pièces; & le produit étant retranché de la
fomme total quon doit compofer par V alliage de toutes les
pièces j oif auroit un rejle quon partagerait en autant de
parties moins une^ quon auroit d*ejpèces de pièces â allier ^
avec cette condition que les parties du rejle fujfent divifibles
€r divijèes par les différences de la plus petite pièce à toutes
les autres. Les divijîons des parties du rejle étant faites, par
la différences ; les quotiens feraient les nombres des pièces
fupérieures aux plus petites»

Comme on a déjà trop infijlè fur ce problème qui nefi
pas d'une grande utilité ; on fe difpenfera d'en donner de
nouveaux exemples dont la longueur Jeroit plus capable
d'ennyuerque JCamufer, : on n auroit pas mîme parlé de ces
Jones de règle ialixage f fi tous Us Ûvres d'Ar'uhmétique
nen étoient remplis^

g >i

ELEMENS

UA R ITHMÊ TI^ UE^

LIVRE VIL

Ve la Compojîdon des Quarrés & des Cuhesj
& de VExtra/iion de leurs Racines*

CHAPITRE FREMI ER"

Dt la CompoJUïm des Quartés & de VExtraStoii
des Racines quarrées.

D^T INITIONS.

lOKSQtr'oN multiplie un nombre
rr^l par lui-même, le produit qui réfulce
^ -^1 de cette multiplication , fe nomme .
' Quarré du nombre qu'on a multiplié
par lui-même; Se le nombre multiplié, s'appelle Rn-
eine quarré de ce Quarré.

Par exemple, fi l'on multiplie j par y , le produic
a y fera nommé le Quarré de 5 ; & le nombre J s'ap'
pellera la liacine quarrét de 35.

362 lÀP.VÎLOu^.LT>ES QUARRÏS

Si Ton multiplie i par i , le produit qui fera auflî i^*
fera le quarté de 1 j & 1 fera la racine qua^rée de et
quatre t.

Il faut bien remarquer cette propriété de l'unité dont U
quarré tft égal à fa racine^ N0»s verras dans U Chapitre
Juivant que le cube di Vunité efl auffi tunité.

L'extraftîon de la racine quarrée eft une opération
par laquelle on trouve un nombre qui multiplié par
lui-même , produit un nombre égal à celui qui efi pror
po(é pour en extraire la racine quarrée,

Lôffque le nombre propofé vient réellement de
la multiplieation d'un nombre par lui-même , il eft
toujours pôfîible d'en extraire ht racine quarrée. Mais
l\ airivc fouvent que des nombres dont on prepole
fl*cxtraire la racine quarrée, ne font pas le jufte pro-'
duit de }a mokiplîctttion d'un nombre par lui-n^ême.
Dans ce cas , on ne peut extraire la racine quarrée que
du plus gr&nd nombre quarré contenu dans le nombre
propofé.

I2o Lorfque le nombre propofé, pour en extraire
la Aicine quarrée , iera exprimé par un ou deux chif-
fres feulemenr , fa tdcine quarrée n'aura qu'un feul
chiffre. Car le plus petit npmbre repréfenté par trois
chiffres , eft 100 ; & la racine Carrée de 100 efl 10
qui €& exprimé par deux chiâres. Ainfî im nombre
qui n'eft exprimé que par un ou deux chiffres » 3c qui
cil par conféquent moindre que J 00 , doit avoir un
nombre moindre que i o pour ùl jracine quarrée , ou
pour celle du plus grand quarré qu'il contient. Os
un nombre moindre que 10 s'exprime par un feut
chfffre.

lap Si le nombre propofé, pour en extraire la ra-
ne quarrée, avoit plus de deux chifirçs, fa racine auroit

kT BS tKVRs Racines; ^&f
plus d'an chifire ; paifque le moindre des nombres qui
ont plus de deux chiffres ^ eft loo , de que la racine
quarrée de i oo eft i o qui a plus d'un chiffre.

Les règles pour extraire la racine quar)rée d'un
nombre exprimé par plus de deux chifires , fuppo-
fenc qu'on fçait tirer celle d'un nombre qui n'a
qu un ou deux chiffres : Se comme une méthode
pour tirer la racine quarrée d'un nombre exprimé
par un ou deux chifires» feroit Aiperflue; on fe con«
tente de donner une table qui renferme les neuf
nombres quârrés qui n'ont qu'un ou deux chiffres»
avec les racines de ces nombres, au-deffus. On y joint
le quarré i oo qui eft le plus petit des quarrés expri-
més par plus de deux chiffres, avec fa racine ip
au-deffus.

Racines quaréts l, fti 3, 4, $9 6^ 7, 8, p» îO:
Quarrés 1, 4., p, 16» ^$0^6^^^, 6^9iy 100#

1^0 Lorfqu'on ne connoîtra pas la racine quarrée
d'un nombre exprimé par un ou deux chifires, oa
cherchera ce nombre dans la bande des quarrées de
cette table. Si on Vj trouve ^ le nombre qu'on verra
au-deffus dans la bande des racines ^ fera exadement
la racine quarrée de ce nombre. Mais fi le nombre
propofé ne fe trouve pas dans la bande dts quarrés ,
on prendra le quarré plus petit qui en approchera le
plus ; & le nombre qu'on trouvera au-defius de ce
quarré» fera la racine quarrée du plus grand quarré
contenu dans le nombre propofé.

Par exemple û l'on demande la racine quarrée Sx
nombre 72 , qu'on ne trouve point dans la bande
des quarrés ; on prendra dans cette bande le quarré
6j^ qui eft plus petit que le nombre propoié 72 , *

^04 ^i^' VIL Chûp. L De tk CoHPosmoif

qui en approche le plus ; Se I on trouvera au-defloi
de ce quarré le nombre 8 qui fera la racine quarrée
du plus grand quarré contenu dans le nombre pro-
pofé 7 a,

Lorfqaon dit qu'un nombre eft le plus grand
quarré contenu dans un nombre propofé , Ton en-
tend que c'eft le plus grand quarré exprimé par un
nombre entier ; de Ton ne prétend pas parler du plus
grand quarré qui peut avoir une £raâion à fa racine
quarrée.

La petite table qu'on vient de donner» étant fuffi«
faute pour Textraâion des racines quarées des nom«
bres qui n'ont pas plus de deux chiâfres ; nous n'in«
lifterons pas davantage fur les racines quarrées de
ces nombres. Mais lorfque les nombres ont plus de
deux chiffres , il faut de l'art pour en extraire les
racines ; Se c'eft cet art que nous nous propofons
d'expliquer dans ce Chapitre.

Pour préparer aux opérations que demande i ex«
traâton des racines quarrées^ nous commencerons
par examiner comment Se de quelles parties eil
formé un quarré dont la racine eft compofée de
deux parties. Nous ferons d'abord cet examen fur
une figure : enfuite nous obferverons comment les
parties d'un nombre quarré font difpofées dans ce
nombre ; Se de-là nous paierons à Fextraâion des
racines quarrées.

Db X.A Composition des QvAMsit^

I.

rig.'j. 131 Si Ton augmente les cêtés contîgus 'ABi
AD y d'un quarré ABCDy de deux quantics égales
jB£, DF^ Se qu'on faflc un fécond quarré ^£Gf qui

DBS QUAEEÏS. |}0f

lit pour c6t& contigus les lignes totales AE^ AFi
ce fécond quatre qu^on aura en multipliant AE par
AT (N^. p 1 f ou en multipliant fon côté AE par
lui-même » fera compofé des quatre parties ABCD^
BEHC, DCIF, CHGl que Ion va faire connoî-
tre relativement aux deux parties AB, BE de fon
côté AE.

1^ On trouvera la première partie ABCD^ en
multipliant AB par BC (N^. p i •) > ou en multipliant
AB par lui-même; parce que ABCD étant un
quarré, fes deux côtés AB^ BC font égaux. Ainfi
(A^. i 27.) cette première partie ABCD fera nom-
mée le quarré de la première partie AB du côté
AE.

2^. On aura la féconde partie BEHd en multi-
pliant BC parfiC, ou en multipliant AB par BE;
puifque les deux côtés AB , BC du quarré ABCD
font égaux. Ainfi cette féconde partie BEHC fera le
produit des deux panies AB^BE du côté AE.

^^. On déterminera la troifiéme partie DC/F, en
multipliant DC . par PF, ou en multipliant AB par
BE ; puifque les deux côtés AB^ DC font égaux ^ de
que leurs alongemens fi£ , DF font aufli égaux*
Ainfi cette troifiéme panie DCIF fera , comme la
féconde , le produit des deux parties AB , BE du
côté AE.

4^. On trouvera la quatrième partie CHGIf en
multipliant CH par CI^ oaBE par DF^ ou BE par
lui -même. Ainfi cette quatrième partie fera le quarré
de la féconde partie BE du côté AE.

Donc un quarré AEGF^ ou le produit fait d'une
ligne' ^£ compofée de deux parties AB^ BE^
multipliée par elle-tnème » contient le quarré de la
première panie^B, plus deux fois le produit de la
première partie AB multipliée gdï la fecçnde BE »
Arithmétique. y

'^o6 Ltv. VIL Chap. L De la CoMPosinoif
plus le quarré de la féconde partie ££; ou hiCfS
le quarré de la première partie AB-j plus le pro*
duit du double de la première partie AB multi*
pliée par la féconde BE , plus le quarré de la féconde
partie BE.

IL

13^ Si Ton repréfente un nombre compofé de
deux parties 9 par les deux parties d'une ligne, A; |
que Ton conçoive bien dans la Figure cinquième ^
toutes les parties d'un quarré conflruit fur une ligne
compofée de deux parties ; Ton fentira aifément que
le quarré du nombre entier compofé de deux parties^
contiendra

I ^. Le quarré de la première partie ;

si^. Deux fois le produit de la première pafde
multipliée par la féconde ^ ou bien le produit fait
du double de la première partie multipliée par U
féconde ;

3^. Le quarré de la féconde partie.

Par exemple fi le nombre 6 eft partagé en deux
parties ^Scz; le quarré de 6 , favoir 3 6 , contieo-
dra le quarré de la prepiiere partie 4, favoir 16 i
plus le produit du double de la première partie 4,
favoir 8 y multiplié par la féconde partie 2 , ce qui
fera 1 6 ; plus le quarié de la féconde partie a , far
yoir 4. .

IIL

133 Quoiqu'on puîffc partager un nombre quel-
conque en deux parties de telle grandeur qu'on
voudra; nous partagerons toujours les racines de»
quarrés en deux parties , dont l'une fera compofée
d'un nombre dedixaines, & dont l'autre ne contien-
dra qu'un nombre d'unités (impies j qui ne paiTera
jamais P* .

DES QUARRés. ^07

Le quarré d'un nombre quelconque aînO partagé
en un nombre de dixaines & en un nombre d'unités ^
contiendra donc le quarré du nombre des dixaines $
plus le produit fait du double du nombre des dixaines^
multiplié par le nombre des unités ; plus le quarré
du nombre des unités* Voyons maintenant commenti
toutes ces parties du quarré d'un nombre font arran*
gées dans ce quatre.

Un nombre de dixaines qui a une place à fa droi^
te , étant multiplié par un nombre de dixaines , lequel
a aufli une place à fa droite » produira un nombre
dont les unités feront des centaines» Se qui aura pas
conféquent deux places à fa droite (N^. i8.) Ainfi
le quarré d'un nombre de dixaines aura deux placer
à fa droite.

Un nombre de dixaines , qui a une place à fa droite* .
étant multiplié par un nombre d'unités | qui n'a riea
à fa droite , produira un nombre dont les unités fe-
ront des dixaines , & qui n'aura par conféquent qu'une
place à fa droite. Ainfi le produit fait du double d'ua
nombre de dixaines multiplié par un nombre d'uni-s
tés » n'aura qu'une place à fa droite.

Un nombre dunités (impies multiplié par un nom^
bre d'unités (impies » qui n'a rien à fa droite , donnera
un produit compofé d'unités (impies , lequel n'aura
rien à fa droite. AinG le quarré d'un nombre d'unités
fimples n'aura rien à fa droite.

Par exemple (i l'on fait le quarré du nombre 39
compo£é de 3 dixaines & de 9 unités 9 ce quarré con-
tiendra le quarré de 3 dizaines» plus le produit fait dé
6 dixaines multipliées par p unités ,. plus k quatre de
p unités.

10. Le quarré de 3 étant p , le quarré de 3 dixaines

fera p centaines, ou p avec deux places à fa droite.

2^. Le produit du double de 3 par p , ou le produit

^o8 Lh. VU. Qiap. L De la ConposiTion
de 6 multiplié par p , fera 54. Âinfi le produit fait de
6 dixaines multipliées par p unités, fera y^ dixaines^
pu 54 avec une place à fa droite.

30. Le quarré de la partie p unités qui n'a rien à (a
'droite ^ fera 8 1 qui n'aura rien à fa droite.

TA •

les trois parties du quarré de 3p feront

Ec le quarré de 39 fera 15 21

IV.

!ï 34 ConnoKTant par la compolition d'un quarré ^
Tarrangemenc des différentes panies quil contient ;
lorfqu*on viendra à décompofer ce quarré, il ne fera
pas difficile dy connottre toutes les parties qui le
forment* Far exemple fi Ton veut décompofer le
«quarré lysi qu'on vient de faire , en parties relarives
au nombre de dixaines & at) nombre d'unités de fa ra-
cine; 00 y procédera de cette manière.

i^. Le quarré du nombre des dixaines, ayant deux
places ou deux chiffres à fa droite ; fi dans le quané
total I f 21 Ton tire une barre qui en fépare les deux
chiffres 2 1 de la droite > comme ici 1 j]2 1 ; le quarré
du nombre dts dixaines fe trouvera dans la partie 1 5
fituée à la gauche de la barre , & fera le plus grand
iquarré contenu dans cette partie 15.

Si du quarré total ^$\^^

On retranche le plus grand quarré
jcontenu dans la partie 1 5 , favoir p

Le refle du quarré fera d|2 x

■

Or ce refle 62 1 doit contenir deux fois le produit
du nombre des dixaines multiplié par le nombre des
unités ; plus le quarré du nombre des unités.

st^. Maïs deux fois le produit fait du nombre des
dixaines murxiplié par le nombre des unités , doit
avoir ttne place à fa droite : ainfi il doit êtte dans 6a
qui n^a qu'un chiffre à fa droite*

30. Lorfque de 62 , on aura retranché deux foî^Ie
produit fait du nombre des dixaines multiph'é par le
nombre des unités ; il eft évident que le refie de 62 ,
fuivi du chifire i des unités du nombre propofé , con-*
tiendra le quarrc du nombre des unités de la racine
totale.

Quoiqu'on puifle trouver de la même manière Tar^
rangement de toutes les parties d'un quarré dont la
racine a plus de deux chiffres; on ne parlera point ici
de la (ituation des parties de ces quarrés » attendu que
ce qu'on vient de dire au fujet des quarrés dont les
racines font compoféesde deux parties ^ favoir d'un
nombres de dixaines âc d'un nombre d'unités ^ fuffic
pour faire entendre ce qu'on va dire de Textradion
des racines quarrées de tous les nombres qu on ^eutt
propofen

Dr l'Extraction x>bs Racinrs quarr^rs

Nous avons dit que l'extraftion des racines quar-
rées eft une opération par laquelle ont trouve un
nombre qui multiplié par lui-même , produit un nom-
bre égal à celui qui eft propofé, ou égal au plus graad
quarré contenu dans ce nombre propofc*.

PROBLÈME.

Extraire U racine quarrée £un nombre propofé quét-^^
€onque , ou du plus grand quarré contenu dans ce nombre;,

Comme des préceptes généraux feroient trop abf-
tiaits pour être entendus facilement > nous n'explique**

yiij

^ i6 Liy. VU. Chap. h Db l'ExtractîoN
Tons la méthode d extraire les racines quarrées , qne
dans des exemples. Et parce que les opérations qu'ail
faut. faire pour extraire les racines quarrées qui ont
plus de deux chiffres , ne différent en rien de celles
qui font néceflaires pour trouver les racines quarrées
compofées de deux chiffres; Tordre demande que
nous commencions par un exemple où la racine quar-
rée qu'on tirera > n'ait que deux chiffres ; 8c que nous
faffipns voir dans les exemples fuivans, comment on
peut appliquer ce premier exemple à Textradion des
racines quarrées qui ont plus de deux chiffres.

tsX EM rLE PM£MIEM.

ï ^ J On demande la Racine quarrée du plus grand
fuarré contenu dans le nombre i j 5 1 •

Nombre proppfépour en\^ r 3 9 Èaeine quarrée

txtrain la Racine quarrée J >5[<fi \j- ^^^^^ ^^^

I dixaines

6\6i ^

On mettra, comme on a fait pour la dîvifion^uo
crocheta la droite du nombre propofé, & Ton tirera
dans ce crochet une barre horifontale , au-deffus de
laquelle on écrira les chiffres de la racine demandée ,
à mefure qu'on les trouvera , & au-dcffous de laquelle
on écrira les nombres dont aura befoîn pour parve-
nir à découvrir les chiffres de la racine. Tout étant
ainfî préparé, on opérera comme il fuit.

On confidérera dans la racine quarrée inconnue
que Ton demande » deux parties, Tune compofée de
dixaines, Tautre compofée d'unités fîmplcs ; & regar-
dant CCS deux parties comme celles d'une ligne, on

Dss Racines quârrI&ss. 3.1?
liera fur (iV^« 133O que le plus grand quarré qui fe
trouvera dans le nombre propofé 1 561 , contiendra
le quané du nombre inconnu des dixaines , plus deux
fois le produit fait de ce nombre inconnu de dixaines
multiplié par le nombre inconnu des unités , plus le
quarré de ce nombre d'unités.

lo. Or le quarré du nombre des dixaines de la ra-
cine quarrée, aura deux chiffres à fa droite (A/^. 1 34.)*
Âinfien féparant, comme nous avons fait, par une
barre, les deux cliiffres 61 de la droite du nombre
propofé ; le quarré inconnu du nombrq^ des dixaines
fera le plus grand quarré contenu dans la partie i ^
fituéeà la gauche de la barre : Se comme cette partie
1$ n'eft compofée que de deux chiffres; Ton verra
aifément (A/o. 1 3 o.) que p efl le plus grand quarré
^'elle contient : d où il fuit que 3 qui eft la racine
quarrée de p , eft le nombre des dixaines de la racine
qu'on demande. On écrira donc 3 dans le crochet,
pour le chiffre des dixaines de la racine.

Ayant placé fous i^ le plus grand quarré 9 que
cette partie contient ; Ton retranchera p de i ^ , & le
nombre propofé fe réduira à 6 1 6 1 qui doit contenir
encore deux fois le produit fait du nombre des dixai-
nes multiplié par le nombre inconnu des unités, plus
le quarré du nombre des unités.

:lo. Mais deux fois le produit fait du nombre des
dixaines multiplié par le nombre des unités, doit
avoir une place ou un chiffre à fa droite. Ainfi ce dou*-
ble produit fera dans la partie 66 du reffe 6 1 61 , Se
fera par conféquent une partie de 66 diviGble par 6»
c'eifl-à dire par le double du nombre 3 des dixaines
qu'on vient de trouver.

Or le produit fait du double du nombre des di-
xaines multiplié par le nombre des unités, étant divi-
fé pat le double du nombre des dixaines , donnera

V iii ;

5 1 2 lîy. VIL Chap. l Db if)
^videmmcûcpour quotient te nombre des unités. Aînfi
pour trouver régulièrement le nombre des utiités cte
la racine quarrée , on doublera le premier chiflfre ^
qu'on a écrit à ta racine; & ayant écrit au-deflbus dé
lui fon double 69 on divifera 66 par ce double 6,êC
Ton ne prendra pas tout te quotient qu'on peut cq
avoir , mais feulement une portion convenable de
ce quotient.

Pour choifir la partie convenable de ce quodent i
Ion remarquera que le nombre des dixaines de la ra-
cine étant connu» le nombre des unités qui refte à
trouver ne doit pas furpafler'p. Ainfî au lieu db
prendre tout le quotient 1 1 qu'on pourroit avoir en
divrfant 66 par 6 i on ne prendra que 5 qu'on écrira
pour le cbiiFre des unités de la racine, à la droite des |
dixaines qui font déjà écrites : enforte que 3p fera
la racine du plus grand quarré contenu dans Icnombrt
propofé iftfi.

La racine 3p qu'on demandoit, étant trouvée ; il
faut connoître le refte de ropcration ; c'eff-à-rfir^e de
combien le nombre propofé i^^i furpaflc le plus
grand quarré qu'il contient, de dont on a extrait là
racine ; & pour le connoître 1 on a deux moyens.

Nombre propqfë 1 5

6

6

6i

2%

^^ RAone quaniê

69

Refie de tofératîon ^o

Le premier moyen efl: d'écrire k chiffre ^ des
unicés de la racine , à la droite du double 6 de fes

1>xs Ragikxs QUÀRmécs; ^if
Ssaînes ; ce qui compofera le nombre 6jf qu'on
multipliera par les p unités de la racine , Se Ton
écrira les chiffires du produit 62 1 au-defTous de 661,
à mefure qu^on les trouvera. Puis on retranchera le
produit 621 de 66 li 8c il reflera 40 pour la quantité
dont le nombre propofé 1^61 furpafle le plus grand
quarré qu'il contient,

La raifon de cette opération efl iimple. Nous avons
dit que le nombre 66 1 auquel le nombre propofé fe
réduifoit » après en avoir retranché le quarré du nom«
bre des dixaines , contenoijt deux fois le produit faic
du nombre des dixaines multiplié par le nombre des
unités» plus le quarré du nombre des unités. Or i ^. ea
multipliant le chiffre p de 6ç par p , on produit le
quarré du nombre des unités. 2^« En multipliant le
chiffre 6 de 6^ par p > on fait le produit du double
des dixaines multiplié parle nombre des unités» Ainfi
en multipliant 6^ par p , le produit 62 1 qu on trou-
ve 9 eft précifément deux fois le produit fait du nom-
bre des dixaines multiplié par le nombre des unités y
avec le quarré du nombre des unités : & comme on
retranche ce produit de 66 1 qui refle de i ^ 6 1 » après
en avoir ôté le quarré du nombre des dixaines ; il eft
évident que le dernier refle 40 que Ton trouve , eft
Texcès du nombre propofé 1551 » fur le plus grand
quarré qu'il contient.

Le fécond moyen pour trouver la quantité dont lo
nombre propofé 1561 furpafle le plus grand quarré
qu'il contient , quoique plus (impie dans la théorie »
efl plus long dans la pratique. Il conûfte à multiplier
la racine totale 3P par elle-même ; & le quarré qui
vient de cette multiplication, étant retranche du nomr
bre entier propofé 1561 s le relie 40 que l'on trou:;

)i4 Iap. Vîh Chap. l Ds L'ErrRAcno*

ve , eft l'excès du nombre propofé fut le plus grand

quané qu'il contient.

3P Racine fitarrée
Nmhe propofé ^S\6i<^YJDoubU des JUxahm

\ delà Rjociiu.

6\6i

Qusarri de jp 15I21
Rtjle it V opération 4.0

X M M P ZM

t^6 On prôpofe d^ extrain la Racine qaarrée du phii
grand Quarré contenu dans le nombre 15 61 83.

Nombre propofé^ fîPJ Racine quarréc

dont il faut extraire f^Sl^^l^slT^

-I78

la racine quarrée j

40I83

Tout étant dlfpofé comme dans Pexcmplc premier;
Ton conlidérera feulement deux parties dans la racine
inconnue qu'on demande, favoîr un nombre de dixaî-
nes qui. peut avoir plufîeurs chiffres^ & un nombre
d'unités exprimé par un feul chiflfre.

On fçait (N®. 1 3 3O que !e nombre propofé con-
tiendra le quarré du nombre desdixaines, plus deux
fois le produit fait du nombre des dixaines multiplié

i)Es Racines auAn&âfes. ^i$
far le nombre des unités » plus le quairé du nombre
des unités.

I ^. Le quarré du nombre des dixaines ayant deux
chiffres à fa droite ; fi Ion fépare par une barre les
deux chiffres 83 de la droite du nombre propofé, le
quarré du nombre des dixaines fera dans la partie ï$6i
fituée à la gauche de cette première barre« Ainfi Ton
ne pourra connoltre le nombre de ces dixaines j qu'en
tirant la racine du plus grand quarré contenu dans la
partie 1 5S1 » comme nous avons fait dans Texemple
précédent auquel nous renvoyons pour cette pre-
mière opération.

Ayant découvert (N^. ' 3 jO que jp eft la racine du
plus grand quarté contenu dans 1^61 y de ayant trouvé
40 pour le rcftc de cette opération; le nombre propo-
fé I5(^i83»'diminuépar la fouflraâion du plus grand
quarré contenu dans 156 1, fera réduit à 4085 qui
contiendra encore deux fois le produit de la première
partie 3 9 dixaines multipliée par le nombre des unités
qui eft encore inconnu , plus le quarré du nombre des
unités.

a^. Or deux fois le produit fait du nombre jp dixai-
nes multiplié parle nombre des unités» doit avoir
un chiffre à fa droite (N^. 1 33.) Ainfi ce double pro-
duit fera dans la partie 408 du refie auquel fe réduit le
nombre propofé; âc comme deux fois le produit fait
du nombre des dixaines multiplié par le nombre des
unités , étant divifé par deux fois le nombre des di-
xaines, donnera au quotient le nombre des unités;
on doublera le nombre 39 des dixaines ; puis on di-
vifera 408 par ce double 78 des dixaines , & le quo-
tient y qu'on trouvera fera le nombre des unités de
la racine qu'on demande. On écrira donc 5 à la droite
des 3p dixaines déjà trouvées pour la première partie;

51^ Lh. VIL Chap. L Ds L^ErrRÀerïMr

Se Ton aura 3:^^ pour la racine du plus grand quanS
contenu dans le nombre propofé i$6iS^.

La Racine 3pf qu'on demandok étant trouvée; ooi
cherchera de combien le nombre propofé 15618)
furpafle le quarré de la racine 3pf • Le moyen le plot
fimple eft de multiplier 395 par lui-même, Se de
fouftraire de 1 561 83 » le produit quarré que Ion
trouvera; ce qui donnera 158 pour le refte de Topé-
ration. Mais quoique ce procédé foie le plas fimple »
il n'eft pas le plus court ; Se Ton aime mieux opérer
comme il fuit.

Nombre propofé^ f}9i Racine quarréê

iûnt il faut extraire >i jT l ^i 1 83 J T^ —
la racine quarrée J ^j j _ «^ ^

1781

Refte de Vopératton

fi

fil

fi

zx

40

8?

39

2;

ilS8

Le chiâFre f des unités de la racine étant trouvé Se
écrit à la racine , on l'écrira audi à la droite des 78
dixaines, qui font le double de la première partie 39
dixainesde la racine ; ce qui compofera 785 unités
qu'on multipliera par les 5 unités de la racine ; Se l'on
aura le produit S9^S ^^"^ ^^ écrira les chiffres, à
mefure qu'on les trouvera, fous 4083. Enfin l'on
ôtera ce produit^ de 4083 , Se le refte 1^8 qu'on
trouvera', fera l'excès du nombre propofé 156183
fur le quarré dont on a trouvé la racine. Nous avons
donné la raifon de ceue opération, à la fin He l'exem-
ple précédent*

Dbs Râcikbs QUAREiss; .'317
Comme le refte 1 5 8 de 1 opération ne furpaÛe pas
le double de la racine qu'on a trouvée > on verra
(iV®. 1 39. art. 2.) qu'on ne peut pas mettre une unité
de plus à cette racine. Ainfi le nombre 3^5 eft la
racine du plus grand quarré contenu dans le nom|l)re *
propofé 1 55183.

ExMMPZJi IIL

^V7 On propofe Jt extraire la Racine quarrée du fbtii
grand V^^^ contenu dans U nombre %^Sl$^

Nombre dont^ C 508 Racine quarréi

il faut extrairela f«jj8l|54^70
fMne fuarrit J^il /

1008

Re^e de fopiraùon ^o

On a vu dans Texemple précédent que , pour tiret
la racine quanée du plus grand quatre contenu dans
le nombre propofé 2581 ^4 ^ il faut retrancher , pat
une barre » les deux chiffres 54 de la droite de ce
nombre , Se commencer par extraire la racine du plus
grand quarré contenu dans la partie refiante aySi»
comme fi la tranche 54^ qu'on a retranchée ^ nexif-.
toit point.

Ayant à tirer la racine du plus grand quarré con-
tenu dans ^581 » & conûdérant dans cette racine t
deux parties , Êivoir un nombre de dixaines » & un
nombre d'unités fimples repréfenté par un feul chif-
fre ; on remarquera que le nombre 2581 doit conte-

^ 1 8 Liy. VU. Chap. I. Dh t'ExtRACTloH
lïh le quarré du nombre des dixaines de fa racine ,'
plus le produit fait du double de ces dixaines multi^
plié par le noitibre des unités (impies » plus le quarré
. de ce nombre d'unités.

^ Le quatre du nombre des dîxaines ayant (N^. i J 3 •)
deux chiffres à fa droite ; û Ton retranche encore» par
une barre , les deux chiffres 81 de la droite du nom-
bre 3581 ; le qu^ré des dixaines fera le plus grand
quarré contenu dans la tranche ^^fSc fera par con-
séquent 2$ qu'on écrira au-de0eus de cette tranche:
enforte que la racine 5 du quarré 2^, fera le nombre
des dixaines de la racine du plus grand quarré con*
tenu dans 2581. On écrira donc ^ dans le crochet,
^our le premier chiffre de la racine; et comme fon
quarré 25 étant retranché de la première tranche 2^9
ne donnera point de refte ; on n'aura rien à écrire atH
deffbus pour le refte de la fouflraâion , 3c Ton ab?
baiiTera la deuxième tranche 81 clu nombre 2581.

Le produit fait de deux fois le nombre ^ des dixai-
nes qu'on a trouvées , multiplié par le nombre des
unités 9 devant avoir un chiffre à fa droite, ne peut
être contenu que dans le chiffre 8 de la tranche
81 qui reffe du nombre 2^8r : ainfî divifant 8 par
I o, le quotient fera le nombre des unités de la racine
du plus grand quarré contenu dans 2581. Mais 8 ne
pouvant pas être divifé par 10 , la racine n'aura point
d'unités : on mettra donc un zéro dans le crochet
a la droite du ^ , pour marquer que le plus grand quar«
ré contenu dans 2(81 , n'a peint d'unités fîmples, âc
que cette racine eft $ dixaines ou 50.

Le chijpre 8 du rejie 81^ notant pas dxvijïblt par to»
quelques Commençans font tentés de diylfer par i o le
rejle entier 81 du nombte 2(8 1 .* mais en cela Us
Je trompent ; parce que x étant le double éCun nombre

i>Bs Raciivbs QUABaiis. ^i^

de Hxaints » & par conjéquent un nombre de dixaines luU
mime^ doit diviftr un nombre de dixaines ^ & non pasii
qui efi un nombre d'unités » puîjquon na point Regard à
la tranche ^4 quon a retranchée la première.

La racine du plus grand quarré contenu dans 2 ^8 1,-
n^ayant point d'unités (impies » le produit fait du dou-
ble du nombre àts dixaines multiplié par le nombre
des unités (impies , & le quarré de ces unités feront
nuls : ainG il n'y aura rien à retrancher de 8 1 , pour
ce produit & ce quarré ; & par conféquent le refte
81 fera Texcès de 2581 fur le plus grand quarré
qu'il contient.

Pour trouver la racine du plus grand quarré con^
tenu dans le nombre propofé 2581 ^4, Ton abbaif-
fera fa dernière tranche 54» à côté' du refte 81 de
l'opération qu'on vient de faire , & ayant écrit au*
deflfous des deux chiffres 50 qui font à la racine,
leur double 100 ; on divifera (comme il a été ex^
pljqué dans l'exemple précédent) par ce double 100
les chiffres 81^ qui précédent le dernier de 81^4,
& le quotient 8 qu'on écrira à la racine » fera le der«
nier chiffre de cette racine.

Pour trouver le refte de l'opération, ou l'excès
du nombre propofé 2^8 1 ^4 fur le plus grand quarré
qu'il contient ; l'on écrira aufli le dernier chiffre 8
de la racine à la droite de 100 ; ce qui fera 1008 :
puis on multipliera 1008 par le dernier chiffre 8 de
la racine, & l'on écrira le produit 8064 stu^deffous du
reffe 8154 du nombre propofé : enfin Ton retran-
chera ce produit 8064 de 8 1 54 , & le reffe po qu'on
trouvera, fera l'excès du nombre propofé ^5815^
fur le plus grand quarré qu'il renferme.

320 Dw. Vn. Chaf. l Djb l'ExT&actioîI

Ex EU P LE IFl

13^ On demande U Racine quarrée du nombre
15^1850^

Nombre dont îTk 'f39S^ Racine fuarréi

faut extraire U\i s ^ ^mOé\ Jf^'^-^^Opéraûon
racine quarrée ) ^ \1 /"**«*'«

i/gfl 2^ Opéraâm
7^02 3^ OpératîM

fi
fi

fil
zz

«1

I 58

1 y8

04
04

O 00 00

Tout étant dîfpofé comme dans les ezemplet
précédens ; on regardera la radine qu'on demande »
comme fi elle n'avoit que deux parties , Tune compo-
fée de dixaines , l'autre compofée d'unités. Âinfî
(A^o. 1 5 3 •) le nombre propofé contiendra le quarré
du nombre inconnu des dixaines , plus deux fois le
produit fait de ce nombre de dixaines multiplié par le
nombre inconnu des unités, plus le quarré de ce nom«
bre d'unités.

i^ Le quarré du nombre des dixaines ayant deux
chiffres à fa droite ; fi Ion fépare 5 par une barre» les
deux chiffres 04 de la droite du nombre propofé , le
quarré du nombre des dixaines fera le plus grand
quarré contenu dans la partie i^6iS^ fîtuée à la gau«
che de la barre qui fépare 04. Ainfi Ton ne pourra
çonnottre le nombre des dixaines 9 qu'en tirant la

racine

oss Racimis QUAa&£E5; 921
racine quarrée du plus grand quarré contenu dans la
partie 1 56183, comme nous avons fait dans le fer
cond exemple auquel nous renvoyons.

Ayant trouvé (Â^o. 1 3 6.) que 3 c; ^ eft la racine du
plus grand quarré contenu dans 156183 ; ce nom^
bre 3P5 fera celui des dixaines de la racine ;
ainfi on Técrlra à la place deflinée à la racine
quarrée.

Comme on a trouvé auflî (iVo. 136.) que le quarré
de 3P5 étant ôcé de 1 56 1 8 3, il relie i j 8 ; il eft clair
que le nombre propofé 1 5618304 fera réduit à
15804 qui contiendra encore deux fois le produit
fait de la première partie 3p5 dixaines, multipliée pat
le nombre des unités qui eft encore inconnu , plus lo
quarré du nombre des unités.

2^. Deux fois le produit fait du nombre des dî«
zaincs de la racine , multiplié par le nombre de fes
unités , devant avoir un chiffre à fa droite, fe trou-
vera dans 1580: d'ailleurs ce double produit étant
divifé par deux fois le nombre des dixaines, donnera
pour quotient le nombre des unités. On doublera
donc les 395 dixaines qui compofent la première
partie de la racine ; ce qui donnera 7po qu'on écrira
au-deffous. Puis on divifera 1580 par 7po ; & le
quotient ± qu'on trouvera , & qu'on écrira à la droite
des 395 dixaines de la racine, fera le nombre des
unités de cette racine : enforte que la racine quarrée
entière demandée fera 3952.

Le dernier chiffre 2 de la racine étant trouvé , on
récrira aufli à la droite des 790 dixaines qui ont été
produites en doublant les 3 y 5 dixaines de la racine ;
ce qui fera 7902 qu'on multipliera par le même
chiffre 2 des unités de la racine ; & l'on aura le pro^
duit 15804 dont on écrira les chiffres fous 15804,
à mefurc qu'on les trouvera. Puis on retranchera le
Ari$hmé$iqu€. )^

^21 Lip. VU. Chip. I. De LlïTRAéTlOlf

{)rcduit 1 5804. de 1 5:804 qui fera audcflus ; &: com^
me il ttt reftera rien, Ton conclora qae le iiombrt
propofé I ^d 18 304 eft un quarré parfait^ Se que i^^t
feft exaftement fa racine quartée.

Il eft clair que le produit i J804 qu'on vient de re-
trancher , eft deux fois le produit fait du nomtn'e des
dîxaine^ , multiplié par le nombre des unités, plus le
quarré du nombre des unités: car dans la multiplica-
tion de 7po2 par a , lorfqu'on a multiplié 2 par s , on
à fait le quarré du nombre 2 des unités ; 8c lorfqu'on
» multiplié 75)opar 2, on a fait le produit du double
4u nombre dt^ dixaines & du nombre des unités*

REMAR<IUES.

I.

139 ^^* P^^f ^î^c^ ^^ racine quarréc du nombrtf
i ^ 6 1 8304, nous avons féparé par une barre les deuit
chiffres 04 de la droite de ce nombre, comme ici,
î ^6 1 8 3 1 04 ; & nous avons fait voir qu'en confidé**
rant fa racine partagée feulement en deux parties,
fa voir en un nombre de dixaines & en un nombre
d'unités, il falloir , pour avoir le nombre de dixaines
de la racine, tirer la racine du plus grand quarré
contenu dans la partie 1^6183 fituée à la gauche de
la barre, comme fi la partie 04 qui eft à la droite de
la barre, nexiftoit point.

2^. Dans le fécond exemple (iVo. ijtf.)> nous
avons tiré la racine du plus grand quarré contenu
dans le nombre 1 c6i 8 3 ; & pour cela , nous avons
encore féparé deux chiffres de la droite de ce
nombre, comme ici 1 561 j 83 ; parce qu'en con*
fidérânt fa racine partagée en deux panies. Tune
compofée de dixaines > l'autre compofée d unités,

SIS RACIlfBS QUARAiSs. Ji^^

en nt peut avoir le nombre des dixaines ^ qu^cn tf-
ranc la racine du plus grand quarré contenu daos
la partie i$6i fituée à la gauche de la barre , comme
fi la partie (ituée à la droite de cettte barre n'exilloic
point,

3**. Dans le premier exemple (A^o. 13JO» ^ous
avons tiré la racine du plus grand quatre contenu
dans le nombre 1^61 : & pour cela nous avons en-
core féparé par une barre les deux chiffres 6 1 de la
droite de ce nombre, comme ici i j 1 5i ; parce que ,
confîdérant encore deux parties dans la racine 9 un
nombre de dixaines êc un nombre d^unités, on ne peun
«voir le nombre dts dixaines, qu'en prenant la racînie
«lu plus grand quarré contenu dans la panie i ^ placée
à la gauche de la barre , comme fi la partie 61 fituée
à la droite de cette barre , n'exrftoit point.

Il réfultede toutes ces opérations, que pour avoîc
la racine quarré d'un nombre quelconque» tel que
1^518304, il faut réparer deux à deux tous les chif-
fres de ce nombre , en commençant par ceux de la
droite , comme ici 1 5 1 6 1 1 8 3 1 04. ; & qu'il faut pro^
^éder à l'opération de l'extraAion de la racine qu'on
deAiande dam Tordre fuivant

i^« Il faut prendre la racine quarrée du plusgranc!
^arré contenu dans la première tranche i ^ de la
gauche, laquelle tranche peut avoir un ou deux
chiàres«

no EnAiite il faut tirer !a racine du plus grand
quarré contenu dans les deux premières tranches
•1 ^ I tf 1 de la gauche , en prenant pour le nombre de^
dixaifies de cette racine , la racine qu'on a trouvée
pour le plus grand quarté contenu dans la première
tranche 15.

1^. Après cela , il faut extraire la racme du plus
grand quatre contenu dans les trois premières uau*

\

3 24 Lîy. VIL Chap. L Di l'Extr actio»

ches 1 5 1 61 1 83 de la gauche, comme fî le rede dtf
nombre propofé n'exifloit point ; en prenant pour
le nombre des dixaines de cette racine j la racine
qu'on a trouvée pour le plus grand quarré contenu
dans les deux premières tranches 1 5 1 6i«

4^. Enfin il faut chercher la racine quarré des
quatre tranches qui compofent le nombre propofé
I ^ 1 61 1 8 3 1 04 , en prenant pour le nombre des dixai-
nes de cette racine , la racine qu'on a trouvée pour les
' trois tranches précédentes 1 ^ | ^ 1 1 8 3.

En procédant de cette manière à Textraftion des
racines quarrées; c'eft-àdire en prenant toujours la
racine quarrée précédemment trouvée, pour le nom-
bre des dixaines de la racine d'un nombre qui aura
une tranche de plus que le nombre précédent ; Ton
parviendra à tirer la racine quarrée d'un nombre »
quelque quantité de tranches qu'il puiâe avoir.

IL

Lorfqu'on trouve un grand nombre j pour l'excès
d'un nombre propofé fur le plus grand quarré dont
on a extrait la racine , & que l'on craint d'aroir mis
à la racine une unité de moins qu'il ne faut ; on peut
reconnoitre fi la racine efl afiez grande, par la Règle
fui vante.

Si le refte de ^opération ne furpajfe pas U douhle de
la racine quon a trouvée^ la racine trouvée efi affèi
grande.

Si le refte de V opération furpaJIe d'une unité eu pluSf
le double de la racine qu'on a trouvée ; on peut ajoûttr
une unité à cette racine , fans la rendre trop grande.

AinC dans l'exemple qu on donne C^®« 15 îO oh
le refte 40 de l'opération, eft moindre que 78 dou*
ble de la racine quarrée 3^ qu'on a trouvée; on eft

vus Racines quarbjks. ^2'^
lûr que la racine 3^ eft aflez grande , ou qu'on ne
peut pas lui ajouter une unité y fans la rendre trop
grande. En voici la démon ftration.

Conûdérons jp , âc lunité qu'on voudroit y ajou-
ter , comme les deux parties d'une ligne. Il efl claie
(iV^. 132.) que le quarré de la fomme de ces deux
panies , contiendra le quarré de la première partie
3P, favoir 1521 ; plus deux fois le produit de 3p
multiplié par la féconde partie i , favoir 78 ; plus le
quarré de la féconde partie i^ lequel fera 1 (iVo.i 27.).
Ainfi le quarré de 39 plus i, furpaffera le quarré de
39» de 78 plus I, c'efl-à-dire de deux fois 39 plus i.
D'où il fuit que fi après avoir trouvé 3 9 pour la
racine du plus grand quarré contenu dans un nombre»
il ne refie pas deux fois 59 plus i , c'eft-à-dire 79 ;
on ne pourra pas mettre une unité de plus à la
racine 39. il eft évident qu'il en fera de même des .
autres racines qui ne pourront pas être augmentées »
lorfque le refte de l'opération ne furpafTera pas le
double de la racine qu'on aura trouvée,

Jufquici nous n'avons parlé que de VextraShn de la
Racine du plus grand quarré contenu daru un nombre
propofé ; & nous n avons fait aucun ufage du refte de
topération. Nous allons voir maintenant comment on
peut approcher de plus en plus de la ratine d'un nombre
qui neft point quarré^ & comment on tire la racine
quarree d'une fraSion.

PROBLÈME.

1 4© Approcher fi près qu'on voudra de la racine jietfr-5
fée d'un nombre qui neft pas un quarré parfait.

Nous avons vu (N^. 27.) qu'un nombre qui con-^
tient des parties décimales ^ étant multiplié par ua

32<? Lîp.VlL Chàp.L Dï l'ExtractioiC

Jiombre qui contient auffi des parties décimales ; U
en réfulte un produit qui a autant de rangs de décima-*
les 5 qu'il y en a dans les deux fafteurs de la multipli-
cation. Ainfî quand un nombre qui aura des décima*-
les, fera multiplié par lui même, pour avoir fon qaar«
ré ; ce quarré aura deux fois autant de chiffres déci-
maux que fa racine. Par exemple, le quarré d'un nom-
bre qui contiendra des dixièmes , aura des ctntiénus ;
celui d'un nombre qui contiendra des centièmes y aura
des dix-milliému , & ainfi des autres : en forte que le
nombre des rangs décimaux d'un quarré, fera tott«
jours un nombre pair.

Et réciproquement , lorfqu'on tirera la racine quar-
rée d'un nombre qui aura des parties décimales ; la
racine aura moitié moins de chiffres décimaux que*
le quarré : c'eft-à-dire que la racine quarrée d'un
nombre qui contiendra des centiémei , n'aura que des
dixièmes ; celle d'un nombre qui contiendra des iffx-
milliémes^ n'aura pas des unités d'un plu$ bas or«
dre que les centièmes ; & ainfi des autres : en forte
qu'on ne pourra tirer la racine quarrée, que des
nombres qui auront un nombre pair de rangs dé-
cimaux*

Cela pofé, lorfqu'un nombre propofé ne fera pas
un quarré parfait , & qu'on voudra approcher de fa
racine, de manière que la racine qu'on trouvera ne
diffère pas d'un dixième , ou d'un centième , ou d'un
millième , ou d'une unité décimale d'un ordre quel-
conque , de la véritable racine de ce nombre ; on
cherchera fa racine en dixièmes , ou en centièmes &c.
Pour cela, on réduira le nombre propôfé en décima-*
les , dont la dernière foit d'un ordre double de cebî
de la dernière partie décimale qu'on veut avoir à la
racine ; ce qui ne fera pas bien difficile , puifqu'on
n'aura qu'à mettre à la droite du nombre propofé

iDBs Bacinbs QuàkrÏbs. ^27
deux fols autant de zéros qu'on veut avoir de chiffres
décimaux à la racine , & féparer ces zéros du nombre
propofé par une virgule qui» en faifant diftinguer les
chiffres de la progreflion décuple , fera voir en quelles
efpéces de décimales le noinbre propofé aura été
réduit.

Le nombre propofé étant ainfî préparé, Ton en
tirera la racine quarrée^ comme s'il n'étoit point ré->
duit en décimales ; & lorfque la racine fera trouvée »
on y mettra une virgule qui en féparera vers la droite ,
un nombre de chiffres, égal à la moitié du nombre des
zéros qu'où aura mis à la droite du nombre propofé»

Ex M Mi PIM.

141 Or propofé de tirer la racine quarrée du nomhn
^Yl 9 ^ iPapprocher de fa racine exaSe y jufquâ la ctn^
tiéme partie d'une unité.

Comme le dernier chiffre de la racine qu'on trou*
vera , repréfentera des centièmes , & qu'il y aura par
conféqiient deux figures décimales dans la racine; il
faudra mettre 4 zéros à la droite du nombre propos
£é ^47$ après lequel on aura premièrement mis uno
virgule ; & Ion aura (647 , 0000) dont on extraira
la racine quarré, de la même manière que fî ce nom-
bre étoit 5470000.

En tirant la racine quarrée de ce nombre fuivant
les règles ci-devant expliquées (N^. i^SO» on la
trouvera égale à 2^43 ; âc le quarré de cette racine
fera moindre que 6470000, de 31 je*

Mais le nombre (647 , 0000) dont il falloît ex-
traire la racine, ayant quatre figures décimales, fa
lacine doit en avoir deux. On mettra donc dans la
racine 2^43 qu'on a trouvée, une virgule qui fépa«
rera les deux chiffres 43 des autres ; Se l'on aura

Xiiij

3 28 Liy. VIL Chap. I. Dk t^ExTRAcrroK

(^y»43)^^ ^J 1^» P^"' ^* racine du nombre
(^47 > oooo) ou 6<t7 , approchée de la racine exaâe
autant qu'on le demandoit.

PROBLÊME.

î

Ii^2 Trwvtr ht racine quarrée d^une fraShn.

On tirera la racine quarrée du numérateur, de celle
du dénominateur de la fraftion propofée ; 5cla frac-
tion qui aura pour numérateur la première racine 8c
pour dénominateur la féconde , fera la racine quarrée*
de la fraftion propofée.

Car la racine quarrée d'une fraétion propofée , eft
une fraâion qui multipliée par elle-même, donne un
produit égal à la fraâion propofée. Or une fradion
qui a pour numérateur Se pour dénominateur ^ les
racines quarrécs du numérateur Se du dénominateur
de la firaâion propofée , étant multipliée par elle-mê-
me, donne un produit égal à la fraâion propofée;
Donc la fraâion qui a pour numérateur & pour dé*
Dominateur , les racines du numérateur Se du déno-
minateur de la fraâion propofée , eft la racine quar-
rée de cette fraâion propofée.

Quoique la Règle qu'on vient de propofer foit
générale » fon application demande qu'on fafle plu-
£eurs remarques fur les différens cas qui peuvenc
arriver.

I.

^43 l^orfque le numérateur Se le dénominateur
d'une fraâion feront des quarrés parfaits , on aura
exaâement les racines de ces quarrés; Se Ton aura
par conféquent exaâement la racine quarrée de la
fraâion*

#•

Bss Racikxs quàrrî&jis. 32P

Par exemple fi Ton propofe de tirer la racine
quarrée dé la fradion -^ dont le numérateur & le
dénominateur font des quarrés parfaits; on tirera
cxaâement les racines de 6^ 5c de 22^, qui feront
8 de 1 5 ; & la fraâion yt ^^^ ^^ racine quarrée
^^Tis» ^^^^ aucun relie.

IL

144 ^^ ^^ dénominateur de la fraâion eft un nom-
bre quarré , & que le numérateur ne foit pas un nom*
bre quarré; Ton ne pourra pas tirer exaâement la
racine du numérateur; mais le défaut de la racine
fera moindre qu'une unité fra£lionnaire d une déno-
mination pareille à celle de la racine du dénomi-
nateur.

Par exemple fi Ton propofe de tirer la racine
quarrée de la fraâlon ^ dont le dénominateur eft un
nombre quarré qui a 9 pour racino , & dont le nu-
mérateur ^o neft pas un nombre quarré; Ton pren-'
dra la racine du plus grand quarré contenu dans le
numérateur $0; 8c cette racine étant 7, on aura|
pour la racine de la fraâion propofée {f, à peu de
chofes près.

Si Ton veut approcher davantage de la racine de
la fraâion^-l; on pourra multiplier le numérateur ^o
âc le dénominateur 8 1 par un nombre quarré quel-»
conque, par exemple par 100 ou par loooo, ou
par 1 000000 &c. en mettant un nombre pair égal
de zéros à la droite du numérateur & du dénomina-
teur ; ce qui n empêchera pas le dénominateur dé
refter un quarré parfait. Enfuite on tirera les racines
quarrées des deux termes de la fraâion ainfi prépa<<
rée. Par exemple fi Ion multiplie les deux termes de
la fraftion If- par 10000, on aura 7?^; & tirant

^^o Lip.VIÏ.Chap.LDM l'Exteactiok

les racines quarrées de deux ter mes de cette fraâîoFo,
Ton aura , à peu de cbofe près , 707 pour celle da
Dumérateur, Se exaâement poo pour celle du dé^
nominateur. AinG la racine quarrée de ^ loooy ^^
de |p, fera -^à peu de chofe près.

III.

I4y Si aucun des termes de la fraâion dont on
veut tirer la racine quarrée , h'étoit un quarré par«
fait ; on mulciplieroit fes deux termes par fon déno-
minateur ; ce qui feroit une nouvelle fraâion égale à
la première , 5c dont le dénominateur feroit un quarré.
Ainfi Ion pourroit en tirer la racine, comme on vient
de le dire.

Par exemple (i Ton propofe de tirer la racine de
cette fraâion | ; on en multipliera les deux termes
5 & 6 , par 5 ; & Ton aura cette nouvelle fraâion f^
égale à la première, dont la racine efl | à quelque
chofe près.

Mais fi Ton ne trouve point cette racine afies
exaâe ; on mettra un nombre pair égal de zéros ,
par exemple 4 zéros ^ à la droite des deux termes
de la fraâion ||^ ce qui donnera cette nouvelle
fraâion |-^S égale à la première ||-ou |: & tirant
la racine des deux termes de cette nouvelle fraâion ;
Ton aura cette autre fraâion -|^ , qui fera la racine
approchée de la fraâion |-|~, ou de la fraâion pro-
pofée I .

IV.

140 On peut encore extraire la racine quarrée
d'une fraâion , en réduifant la fraâion propofée en
tine fuite de parties décimales , qu'on arrête où Ton
yeuti plus ou moins loin^ fuivant qu'on defire avoir

une rteino plus ou moins exafte. Eqfuite on tire la
racine qoarrée de cette fuite , âc la racine qu'on trouva
eft celle de la fraâion propofée.

Suppofons qu'on veuille avoir la racine quarrée
de la fradion j. On divifera i par 7, 5c Ton aura
(iV^. 45 <) la fuite de décimales (0, 1418 57 &c.) dont
les chiffres décimaux » à compter depuis la virgule 9
doivent être en nombre pair. Puis on extraira la ra-
cine quarrée de cette fuite; & Ton trouvera pour cette
racine, un peu moins que (0,378.). Mais il faut re*
marquer qu'on doit avoir trois chiffres décimaux
après la virgule ; parce qu'il y a fix chiffres décimaux
a la droite de la virgule du nombre dont on a tiré
la racine.

P RO B L É ME.

X47 Trouver la racine quarrée JCun nombre complexe
compojé de toîfes ^rrées^ de toifes-pieds ^ de toifes-pour
ces &c* tel que

r^T jP 6p

a^TT iTP oTp 6TL^^f—p

i5

8

7

2,

4^? loXp

si

^TP loTp (5TL

^TT a^P 6Tp
258

jTT 2XP oXp

6p

^TP loTp e'^L

I ^. On commencera par extraire la racine quarrée
du nombre des toifcs quarrées , contenu dans le nom-
bre complexe propofé. Comme cette opération a été

3^a Lîy. VIL Chef, l D# l'Extractioit

fuffifamment expliquée, elle ne foufiirira aucune dif-
ficulté ; âc Ton trouvera 4 toifes pour la première
partie de la racine, Se 8 toifes quarréespour le lefte
de cette première opération.

£0. Pour trouver le nombre de pieds de la racine,
on réduira, pour un moment feulement, en toife-
pied, les S^T reliantes de Topération précédente;
ce qui donnera ^îS^P, lefquelles arec l'^P qui f«
trouve dans le nombre complexe propofé , feront
^gTP qu'on écrira auffi pour un moment feulement ,
éc qu'on eflfacera lorfqu'on n'en aura plus befoin.
On doublera enfuite les 4^ qu'on a trouvées pour
la racine j ce qui donnera 8^. Puis on divifera 49*^?
par 8^; ce qui donnera yP pour le quotient , & pour
le nombre des pieds de la racine. On écrira donc 5'
à la racine, & Ton mettra auffi ces $P k la droite de
8^: puis on effacera les 49^^ dont on n'a plus be-
foin; parce que les 8^^ i^P, à la place defquelles on
avoir pris 49^^, feront plus commodes pour le refte
de l'opération.

Pour avoir le refte de cette féconde opération ^
l'on multipliera par le nouveau terme ^Pde la ra-
cine, les Sî* jP qu'on a écrits au deflbus; ce qui , en
fuivant les Règles du Toifé, donnera y^T 2XP sXp
qu'on écrira en partie au defTous des 8TT qui reftent
de l'opération précédente, & en partie au-deflbus
de i^P oTp qui fc trouvent dans le nombre com-
plexe propofé, & qui n'ont point encore été em-
ployées. Enfuité on fouftraira ce produit, de S'^'^i'^P
oTp; & Ton aura 4^P id^p pour le refte de cetta
opération.

jo. Pour trouver le nombre des pouces de la ra-
cine, on multipliera par 12 les ^l'P reftantes de
l'opération précédente , pour les réduire en toifc-
pouces, ce qui produira ^S^Vj^^fs^cUesavcc lO^p

bSS RàCIKXS QUÀEEéss; ^Jf

iqu'on a auffi de refte, feront 58*^^ qu'on écrira à
part pour un moment feulement. Ènfuice on dou-*
blera les 4^ 5P qu on a trouvés pour la racine ; ce
qui fera ^T 4^ : puis on divifera j S'^p par p^ 4P,
ou par la première partie 9^ ; ce qui donnera 6p
pour le quotient Se pour le nombre des pouces de
la racine demandée. Ainfi Ton écrira 6p à la racine ;
& Ton mettra aufli ces 6p i la droite du double pT
4?- des deux premières parties de la racine : après
quoi Ton effacera 5 $Tp dont on n'aplus befoin; parce
que les 4^^ icXp qui font au-deffus, en tiendront
lieu f âc feront plus commodes.

Pour avoir le refie de cette troifiéme opération |
Ton multipliera par le nouveau terme 6p de la ra-
cine, les 9^^ 4^P 6p qui font au-deflbus; ce qui, en
fuivant les règles du Toifé , donnera é^'^P i o^p C^L:
& ayant écrit les termes de ce produit, en partie au-
deiTous des 4^^ loXp qui reftent des opérations pré-
cédentes, âc en partie au-deffous des 6'1'L qui fe
trouve dans le nombre complexe propofé f Se
dont on n'a point encore fsiit ufage , on les fouftraî-
ra des termes fupérieurs. Comme il ne refiera rien ,
ce fera une marque que le nombre propofé 247'3*j
iTP oTp 6TL,tfï un quarré parfait; & que le nom-
bre complexe 4^ 5P 6p qu'on a trouvé 9 eft fa ra?
dne exaàe.

sSz

5)4 tlv.VlL Chàp.ll Dfit Cntti

i

'

*aM*

CHAPITRE IL

iDt lé Cùmpofition des CvAti^ & et CExtraSiM in

Ra$ine$ cubiqua^

Définitions.

jj,g T OrsquVi* nombre eft itïultîplîé par luî-
JLj tnéttit , & que le quatre produit par cette
i)iultipUtacion ^ eft encore multiplié par le même
nombre; le produit de cette féconde multiplication
fc nomme Cubt de ce nombre ; & le nombre prc-
niréfement multiplré, s'àp^pelle la Racine cubique de ce
Cube,

Par exemple fi Ton mnkîplie j par y , * que le
ijuarré a y produit pat cette multiplication, foit en*
tûtt multîpHé pat j ; le produit i^y de cette fecotï»
de multiplication fera nommé le Ctibt du nombre f
pîemîéremeiit multiplié ; & ce nombre J s'appellera
la Racine cubique du Cube 12^.

Si Ton multiplie ! par 1 , & que le quatre i prodinÉ
par cette multiplication , foit encore multiplié par i î
îe noureau produit qui fera auffi i^ fera le cube de t
premièrement multiplTé; en fOrte^qut le quarré 8c le
cube de i feront égaux à leur racine i : & commtf
tous les nouveaux produits qu'on aura, en multi-
pliant continuellement par i , ne donneront jamais
que I ; Ton conclura que tous ces produits qu'on ap-
pelle Pur^ncei de Vunité, £ovt égaux à leur racine pre<;
miérement multipliée.

L'Extraâion de la Racine cubique eft une opéra-
tion par laquelle on trouve un nombre qui multiplié
par fon quarré, produit un nombre égal à celui qui cft
propofé pour en extraire la racine cubique.

ST BS LSUtS RAClKfiS. J^f

Lorfque le nombre propofé eft produit par la mul-
tiplication d'un quarré par fa racine, c'eft-à-dire lorf-
qu'il efl véritablement un Cube ; on peut toujours
en tirer la racine cubique ; mais lorfque le nombre
propofé n'eft pas le jufte produit de la multiplication
d un quarré par fa racine y il n'efl pas poifible d'en
avoir exadement la racine cubique ; & il faut fe
contenter d'extraire la racine cubique du plus grand
cube contenu dans ce nombre propofé.

Î49 Lorfqu'un nombre n'a pas plus de trois chif-
fres» fa racine cubique ne peut avoir quun chiffre.
Car le plus petit nombre repréfenté par plus de trois
chifires eft 1 000 , & la racine cubique de 1 000 eft
10; puifque 10 multiplié par 10 produit le quarré
100 9 & que le quarré 100 multiplié par 10 produit
le cube looo. Ainfî un nombre qui n'a pas plus de
trois chifires, ou qui efl moindre que looo, doit
avoir un nombre moindre que 10 pour fa racine cu-
bique, ou pour la racine du plus grand cube qu'il
contient. Or un nombre moindre que 10 s'exprime
par un feul chitfre.

150 Si le nombre avoir plus de trois chiffres» fa
mcîne cubique auroit plus d'un chiffre ; puifque le
moindre des nombres qui ont plus de trois chiffres^ cft
1000, & que la racine cubique de 1000 eft JO qui
a plus d'un chiffre.

Lts règles pour extraire la racine cubique d'un
nombre qui a plus de trois chiffres , fuppofent qu'on
fait tirer celle d'un nombre qui n'a pas plus de trois
diiffres. AinG nous allons donner une petite Table 9
dans laquelle on trouvera les neuf cubes qui n'onc
qu un cHiffre à leur racine cubique , avec leurs raci-
nes cubiques au-deffus. Nous y joindrons le cube
loooi avec fa racine cubique 10 au-deffus.

^ 3 ^ ^"^ VIL pup. IL Des Cubes ;
^^s\'*^* î' 4. S* ^* 7. 8, 9* lo;

Cubes 1, 8, 27, ((49 1 25, 2 1 ^» 343, 5 X 2, 72p, lOOO*

t

151 Lorfqu'on pe connoitra pas la raciae cubique
d un nombre qui n'aura pas plus db trois chiâfres, on
cherchera ce nombre dans la bande des cubes: fi on
Ty trouve, le nombre qu on verra au-dclTus, fera exac-
tement la racine cubique de ce nombre. Mais fi le
nombre propofé ne fe trouve pas dans la bande des
Cubes; Ton prendra dans cette bande un tube plus
petit que lui, & qui en approchera le plus ; de le nom-
bre qu'on trouvera au-deflus de ce cube 5 ferait ra«
çine cubique du plus grand cube contenu dans le
nombre propofé.

Par exemple ii Ton demande la racine cubique du
nombre p 50 qui n'eft point dans la bande iit% cubes ;
Ton prendra dans cette bande le cube 729 plus pe-
tit que p j^o I & qui en approche le plus ; U Ton trou-
vera au-deffus de ce cube le nombre 9 qui fera la
racine cubique du plus grand cube contenu dans le
nombre propofé pjo.

Pour préparer aux opérations de Textraâion de la
racine cubique d'un nombre compofé de plus de trois
'Chifires ; nous examinerons d'abord, comment & de
quelles parties efl formé un cube dont la racine eft
une ligne compofée de deux parties : & conlidéranc
enfuitç dans une racine numérique deux parties que
nous repréfenterons par les deux parties d'une ligne;
Texamen que nous aurons fait de la compofîtion de
la figure d un cube , nous conduira à trouver les pac^
tie$ dont un cube numérique fera compofé*

Db

Dl LÀ COMFOSITIOH DSS CUBBS. Jjf

Ds LA Composition des Cubis.

!•

15^ Nous avons vÛ {N^. pa.) qu'un Parallélépi-
pède reâangle eft égal au produit de fa longueur ic
de fa largeur , multiplié par fon épaiffeur ; c'efl à-dire
^ue pour avoir le nombre des mefures folides conte**
nues dans uo parallélépipède, il faut multiplier fa
longueur par fa largeur» Se multiplier encore le pror
duit par TépaifTeur du parallélépipède.

Donc un Cube dont les trois dimenfions^ la lon-^
gueur, la largeur Se Tépaifleur, font de même gran«
deur , eft égal au produit fait d'un de fes côtés, multi*
plié par le quarré du même côté ; c'efl à-dire que
pour avoir le nombre des mefures cubiques contenues
dans ce cube , il faut multiplier un de fes côtés par
lui-même 1 & multiplier encore le quarré réfultant de
cette multiplication 9 par le même côté.

1^3 ^^^ "° premier Cube ABHCDLKI dont Fig. ti
la longueur ^B^ la largeur ^C Se TépaiiTeur \/ID
foient les côtés contigus à un même angle A. Si Ton
ajoute à ces côtés égaux , que nous nommerons aufli
Racines du Cube 9 des parties égales AE^ AF^AG^
afin de faire un fécond cube plus grand qui ait pour
côtés ou Racines, les lignes totales BE , CF^ DG ; il
faudra premièrement mettre fur les trois faces quar«
rées égales ACID^ ABLD^ ABHC du cube
propofé, trois parallélépipèdes ACIDEPQR^
ABLDFMNO9ABHCGFTS quizuTontdes
bafes égales à ces faces quarrëes» & qui auront pouc
ëpaiffeurs les parties égales AE^ AF^ A G qu'oa
a ajoutées aux racines du cube ABHCDLK L
Eofuite il faudra mettre dans les angles ou efpeces
Afuhmétiquî. X

5 g« lÀp. VIX. Chàp. n. Dé t a OoMPtosIttoif
de marches , que laifleront encr'eux ces trois pi^
rallélé^ipede^ ) ttoii iuctes patâilélépipedes égaux
AfYGBMV, AEXGCPS, AFZEDOR
qui auront tous trois pour bafes les quarrés AFYG,
jiEXGf AFZE égaux à ceux des parties égalas
qu'on a ajoutées aux racines du premier cube. Enfin
pour rehdre complet le nouveau cube , il faudra en*
core ajouter le cube yirZ-EVGXquîa pour racî*
nés les parties égales AE , AF^ AG dont on a au^«
inenté les racines ou côtés du premier cube : en forte
que le nouveau cube, dont chaque côté fera compofê
de deux parties , contiendra le cube de la premiera
partie cTun de fes côtés ; plus trois parallélépipèdes
égaux qui auront chacun pour bafe le quatre de la
première partie , & pour hauteur ou épaiflfeur la Se-
conde partie ; plus trois autres parallélépipèdes égaut
qui auront pour bafes des quarrés égaux à celui de la
feconde partie , ic pour hauteur la première partie j
plus enfin le cube de la féconde partie.

!I.

1^4 Si f on repréfertté un nombre pàt les deux
parties d'une ligne, & que Tûn conçoive bien fur ta
igurc iîxiéme toutes les patries folrdes qui compt)-
feht un Cube dont le côté efl de deux parties; Tcm
femîtà aifétnent que le Cube du nombre ctmtiendrà*

1^- le Cube de fa première panie, qu'on trouvera
«1 toùkipHant cette première partie pareïfe-mêmfe,
A em multipliant encore par la miême première partit,
le quarné que produira cette muhipKcâtîoh.

Â^. Trois produits égaux à trois parâHélépipedes
qui auront pour bafes des quarrés égaux à teltri de fa
premiôre partie, & pourépaiffeur la féconde partie;
tcïquds produits on trtmvera, en multipliant la pre-

miere partie du nombre par elle-même » & en mulci-
pliant encore le triple du quarré que produira cette
multiplication , par la féconde partie du nombre.

3^« Trois autres produits égaux à .trois parallèle-^
pipedes qui auront pour bafes des quarr^s égaux à
celui de la féconde partie , & pour épaifleur la pra-
mier partie ; lefquels on trouvera, en multipliant la
féconde partie par elle-même i 8c en multipliant en??
core le triple du quarré que produira cette multipli-*
cation , par la première partie du nombre*

40. Un produit égal au cube de la féconde partie 9
lequel on aura en multipliant la féconde partie pac
elle-même » & en multipliant encore le quarré que
produira cette multiplication ^ par la même féconde
partie.

IIL

155 ^^^ ^^^^ parties dans lefquellos nens parta^
gérons la racine d'un Cube numérique quelconque^
feront toujours , l'une un nombre de dixaines qui

{>ourra être exprimé par tant de chiffres qu'on voudra;
'autre un nombre d'unités qui n'aura jamais qu'un
fetil chiffre. Ainfi le cube d'un nombre compofé do
ces deux efpéces de parties , contiendra le cube dti
nombre des dixaines de la racine ; plus le produit fait
de trois fois le quarré du nombre des dixaines , mul-
tiplié par le nombre des nnhés ; plus le produit faie
4e trpis fois le quarré du nombre des unités, multipli6
par le nombre des dixaines ; plus le cube du nombre
des unités. Mais pour connottre l'arrangement de ceis
quatre différentes panies dans un Cube numérique ; Il
étut xappeller quelques propriétés des nombres , qub
BOUS avons déjà expliquées.

Nous avons vu (A^^. 1 S. 5c dans le cours du Chah
pitre de la multiplication des nombres incomplexes')

Yii

I

3 40 ^'l^- ^'* Cf^P • ît t)B £ A CoMMSITTOir

que le produit de deux nombres multipliés Yvn par
l'autre , a toujours à fa droite autant de zéros ou de
rangs , qu'il y en a en tout à la droite du nombre
multiplié &; à la droite du nombre par lequel on
multiplie

Il fuit delà que le produit de trois nombres multi-
pliés en femble, aura toujours à fa droite autant de
rangs, qu'il y en aura en tout à la droite des trois nom-
bres multipliés enfembte. Par exemple fi Ton multi-
plie un nombre de dixaines, qui a une place à fa droite^
par un tx)mbre de dixaines ; & qu'on multiplie encore
le produit de cette multiplication, par un nombre de di«
saines^ le nouveau produit aura trois places à fa droite;
parce que le produit des deux premiers nombres dedi*
saines multipliés lun par l'autre, aura deux places à fa
droite (N<>. 1 8.) 9 & que ce produit étant encore mul«
tipliépar un nombre de dixaines, qui a une place i
ia droite^ acquerera une troiûéme place à fa droite.

ï 5 O Donc le cube d'un nombre de dixaines aura
crois places à fa droite, puifque ce cube e(l fait par
la multiplication d'un nombre de dixaines par un
Nombre de dixaines, dont le produit eil encore multi»
plié par un nombre de dixaines.

Le quarré d'un nombre de dixaines qui a deux pla-
ces à fa droite , éraLt multiplié par un nombre d'uni-
tés fimplcs , qui n'a point de place à la droite; le pro-
duit aura dçux places à fa droite.

Le quarré d'un nombre d'unités^ qui n'a point de
place à fa droite , étant multiplié par un nombre de
dixaines qui a une place à fa droite; le produit n'aura
qu'une place à fa droite.

Enfin le cube d'un nombre d'nnirés n'aura point de
place à fa droite ; parce que fes trois faâeurs n ont
point de place à leur droice.

• • •

Pour donner une idée de Tarrangeisent des par-
ties d'an Cube, fuppofons qu'on veut avoir le Cube da
nombre 39 compofé de 3 dizaines & de p unités. Il eft
prouvé (A^o. 1^50 que le cube qu'on demande con«
tiendra le cube de 3 dixaines^ plus 3 fois le quarré de
3 dixaines multiplié par 9 unités, plus 3 fois le quar*
fé de 9 unités multiplié par 3 dixaines , plus le cube
de 9 unités.

i*. Le cube de 3 étant ay (A^o. i Jo.)f le cube
de 3 dixaines fera 27 fuivi de trois places à fa
droite.

a^. Le quarré de 3 fera 9:3 fois le quarré de 3
fera 27 ; enfin 3 fois le quarré de 3 multiplié par 9
fera 243. Ainfi 3 fois le quarré de 3 dixaines multi-
plié par 9 unités f fera 245 avec deux places à fa
tiroite.

30. Le quarré de 9 unités eft 81 ; trois fois le
quarré de 9 unités eft 243 ; enfin 3 fois le quarré
de 9 unités multiplié par 3 , eft 729. Ainfi 3 fois le
quarré de 9 unités multiplié par 3 dixaines > fera 729
avec une place à fa droite*

40. Le cube de 9 unités; fera 729 fans aucune
place à fa droite.

^latie parties daCube
de 39 feront ^ . 729

Et le Cube de 39 fera S9i^9

Connoiflânt par la compoGtioB d'un Cube, Tarran^
gement des différentes panies qu'il contient ; lorf-
qu'on voudra décompofer ce Cube^ il ne fera pas dif-
ficile d'y connoitre toutes les parties dont il eft for-
mé. Far exemple û Ton veut décompofer le cube

Yiij

^é^^Liv.FILChap.IL De iàComtositton des Cums*'
5P3 ip qu'on vient de faire, en parties relatives à qq
nombre de dixaines âc à un nombre d'unités, dont on
fuppofera que fa racine efl compofée ; on y prooédeni
comme il fuit.

lo. Comme le cube du nombre des dixaines doit
tvoir trois places à fa droite ; on féparera par une
barre les trois chiffres de la droite du cube propofé
5P 3 1 9 , comme ici , ^9 1 3 ip ; & le cube des dixaines
de la racine fe trouvera dans la partie (9 fituée à la
gauche de la barre , & fera le plus grand cube conter
nu dans ;p 9 fa voir 27*

Sî du cube 'total donné S9\i^9,

On retranche le plus grand cube
icontenu dans la partie ^p, favoir S7I

i««aw

hc cube total fe réduira au lefte 3^13 'P

Or ce refle J^^tp doit contenir 3 fois lequarré
(du nombre des dixaines , mulciplié par le nofnbre des
unités ; plus 3 fois le quarré du nombre dts unités,
multiplié par le nombre des dixaines; plus le cube
du nombre des unités.

2^. Trois fois le quarré du nombre des dixaines
multiplié par le nombre des unités, devant avoir deux
places à fa droite, ne peut être que dans 325 qui a
deux chiffres à fa droite.

Quoiqu'on puifle trouver de la même manière la
£tuation dts deux autres parties du cube ; comaie il
importe peu de connoitre ces deux autres parties, pour
trouver la racine d'un cube , ou du plus grand cube
contenu dans un nombre propofé ; nous n'in/iflerons
pas davaniajge fur Tarrangement des parties d'un
cube ; & nous paierons à la méthode pour cxtcaice
la racine cubique d'un nombre quelconque*

Dk l'Extbactiqn des Racines cubiques,

PROBLÈME.

Trouver la Racine cubique d'un nowikrepr^fé fictçenm
que ^ ou du plus grand Cube contenu dans ce nombre.

' Comme des exemples feront mieux entendre la
folution de ce problême, que des préceptes géné-
taux qui pourroient être trop abffraits ; nous applique^
rons à difSérens exemples les règles que nous devons
expliquer : 8c parce que les opérations qu'il faudra
laire pour extraire les racines cubiques qui auront un
grand nombre de chiffres, ne différent en rien de ceU
les qui font néceffaires pour trouver les racines cubi-
ques compofées de deux chifires ; nous commence-
rons par un exemple où la racine cubique n'aura que
deux chiffres; Se nous ferons voir dans les exemples
fiiivans » comment on applique les règles du premier
exemple , à Textraftion des racines cubiques qui on|
plus de deux chiffres.

1^7 ^^ demande la Racine cuhifie du plus grand
Cube contenu dans le noinbre 6iJ2^*

Ç^p Raelne cubique

Nombre prepojd tf l ' 7^3 < "~f Tripte du quarri

^i (^^7j^ des gaines

34|72î

59\V9
ttefie de f opération ^{404

On mettra > comnie Ton a vu ci-^effus, un crochet
& la droite da nombre propofé ; & Ton tirera dans

Y ni)

ce crochet une barre horifoncale, au-deflfus dela^
quelle on écrira les chiffres de la racine cubique de-
mandée , à mefure qa oa les trouvera, & au-defTous
de laquelle on écrira les nombres dont on aura be*-
foin pour découvrir les chiffres de la racine* Tout
écant ainfî dîfpofé , voici ce qu'on fera.

On confidérera daiis la racine cubique inconnue»
deux parties, Tune compofée de dixaines, l'autre com-
pofée d'unités (Impies ; 8c Ton fera affîiré {No. 1 5 ^.}
que le plus grand cube contenu dans le nombre pro-
pofé 61723 , renfermera le cube du nombre iocoo'^
nu des dixaines ^ plus le produit fait de trois fois le
quarré du nombre dts dixaines multiplié par le nom-
bre des unités^ plus trois fois le quarré du nombre des
unités multiplié par le nombre des dixaines , plus le
cube du nombre dc% unités.

Or le cube du nombre des dixainesde la racine cti<^
bique qu'on demande, aura trois chiffres à fa droite
(^N^. 1 5 6.). Ainfi en féparant , comme nous avons
fait par une barre verticale , les trois chiffres 72 ; de
la droite du nombre propofé ; le cube du nombre in«
connu des dixaines de la radne cubique , fe trouvera
idans la partie 6 1 ûtuée à la gauche de la barre , 4c fe-
ra le plus grand cube contenu dans cette partie tfi.
Or cette partie 61 n'étant compofôe que de deux
chiflSres , Ton trouvera {No. i jo.) que 27 eft le plus
grand cube qu'elle renferme ; de que 3 , qui eft la ra«
cîne cubique de 27, eft par conféquent le nombre des
dixaines de la racine cubique qu'on demande. On
écrira donc 3 dans le crochet , pour le chiffre àts di«
3caines de la racine cubique. ^

Ayant placé fous 6i le plus grand cube '27 que
cette partie contient, l'on retranchera 27 dt6i ;8c
par cette fouftraftion , le nombre propofé fe réduira
à 3l]723 qui doit contenir encore trois fois le

t>SS BacIKBS CUBIQUES. ^^f

tjuarrîE du nombre trouvé (3) des dixaÎDes multiplié
par le nombre inconnu des unités » plus trois fois le
quarré du nombre des unités multiplié par le nombre
des dizaines» plus le cube du nombre des unités.
Mais nous n'avons befoin que de la première de ces
trois parties.

Or trois fois le quarré du nombre des dixaines,
multiplié par le nombre des unités » doit avoir deux
places à fa droite (No. i ^ 5,)« Ainfi ce produit fera
dans la partie 34*17 qui a deux chiffres à fa droite*
Mais le produit fait de trois fois le quarré du nom-
bre des dixaines multiplié par le nombre des unités,
étant divifé par trois fois le quarré du nombre des di«
saines , donnera évidemment pour quotient le nom-
bre des unités. Donc pour trouver le nombre des uni-
tés j on fera d'abord le quarré du nombre 3 des dixai-
nes, qui fera p ; puis on triplera ce quarré p^ & Ton
écrira le produit 27 fous la racine ; enfin Ton divife»
ra. 34I 7 par 27 ^ & le quotient qu'on trouvera fera le
nombre des unités qu'on cherche. Sur quoi il faut re-
marquer qu on ne doit pas toujours prendre le quo»-
tient entier que cette divifion peut donner, mais fcu«
lement une partie convenable de ce quotient. Ainfi
quoique le divifeur 27 puifle être contenu plus de 1 o
fois dans le nombre 3 47 qu'on divife ; on ne prendra
que p pour le quotient , ou pour le nombre des uni*-
tés de la racine cubique ; en forte que la racine cubi-
que du plus grand cube contenu dans le nombre pro«
pofé 61723, fera 3p.

La racine cubique 3p qu'on demandoit étant troci«>
vée, il faut chercher le refte de l'opération ; c'eft^à-
dire de combien le nombre propofé 61723 furpa/Tc
le plus grand cube qu'il renferme , Se dont on a tiré
la racine cubique 3 p. Or le moyen le plus lîmple pour
faire cette opération eft de cuber 3p; c'cft^à«ditc

de muinptier cf abord j^ par jp; ce qui produira le
quarré 1^21, Ce de multiplier encore ce quarr^
1521 par 39 ; ce qui produira le cube S9i^9 qu'on
écrira au-defibus du nombre pf opofé 61723, ft qui
étant retranché de ce nombre propofé, donnera
2404 pour le refte de l'opération , ou pour la quanri**
té dont le nombre propofé 61723 forpaâie le cube
dont on a eitraic la racioe cubique 39.

Ex M M P XM IL

15^ ^^ àmumit Ul Raçw cubique dykphu grand QA$
wmtuu dans 13 1096»

{^6 Racine cubique
~7TripU du qumi

RtJU de topératkm 4î|op6

Ayant retranché par une barré verticale , le^ tioif
i^ffres 096 de la droite du nombre propofé; parce
qu'on prévoit qu'il aura deux chiffres à fa racine cu^*
bique y fa voir un nombre de dixaines & un nombre
d'unités fimples , & tout étant préparé comme dani
l'exemple premier ; on remarquera que le nombre
propofé renferme quatre parties 'dont nous ne cou?
fidérons que les deux premières» favoir.

1^ Le cube du nombre des dixaines de la racine
demandée , qui doit avoir trots chiffres à fa droite » &
^ui doit par con(équent être le plus grand cube 12;
contenu dans la première tranche 1 3 1 du nombre
propofé : ainfi la racine cubique $ de ce plus grand
cube, fera le nombre des dixaines de la racine deman-
dée 5 Se fera écrit dans Id crochet dfiftiaé à cecevoîf
cette racine^

iDBs Racines cubvqtjhs; . J47

'âô. le produit fait de 3 fois le quatre du nombre
Hes dixaines de h tacine, multiplié par le nombre des
unités (impies de cette racine, lequel produit doit avoir
deux chiffres à fa droite , & doit par couféquent fe
trouver dans fe nombre 60 que Ton trouve après avoir
retranché de la première tranche 1 5 1 , le plus grand
cube 12^ qu'il contient, ôç après avoir abbaifTé à la
droite du refte de cette fouftraâion le zéro par lequel
la féconde tranche commence. Ainfi en divifant 60
par le triple du quané des 5 dixaines de la racine » fa-
voir par 75 » on aura le oombie des unités de la racir
ne qu'on demande.

Mais 60 ne peut pas être divifé par 7^ ainfi Ion
Abattra point d^uniuîs fimples à joindre aux 5 dixai-
nes qu'on a trouvées pour la racine ; & Ton mettra
par conféquent un xéro à la droite du ^ qu'on a écrie
à la racine , pour reir ptir la place des unités & faire
tenir au premier chiffre 5 5 la place des dixaines.

Lié eêmm$nçans qui ne raaêfquênt pas avtc ajfe^ d'at"
Untion que le produit fsùt de 3 fêis U quatre du nombre des
dixaines de la racine y muhipliépar le nombre des unités
fimples de cette racine , 4mi néeejfairnnent avoir deux chif^
fres à fa droite i & qui trouvent^ comme dans eu e^cempli^
que le refte 6 de la première tranche fum du premier chif'
fies o de la féconde j ne peut pas être divifé par U tripU du
quarré des dixaines ^favoir par 75 ;foHt tentés de prendre
encore un chiffre de la deuxième tranche , 6* de divifer
609 par 7 J. Mais ceft une faute quon évite aifément en
faifant attention aux préceptes quon a donnés dans ce
dernier exemple.

La racine cubique du plus grand cube contenu dans
1 3 1 096 fe réduifant à | dixaines faos unités fimples;
le produit fait de 3 fois le quatre du nombre des di-
xaines multiplié par celui des unités fimples , le pro-
4uit fait de 5 fois le quané du nombre des uniiés |

^4^ lîr. m. Chap. îl Djt iTExTâAcnoir
multiplié par celai desdîxaines, & le cube des uïi?^
tés, feront nuls. Ainfî toute la féconde tnuiche optf
du nombre propofé, reliera avec le refte 6 de la pre-
mière tranche j 4c ces deux sellaos comp«feioat en-
femble le refte de l'opération ou l'excès 6096 dont
le nombre propofé furpaOè le plus grand cube qu'il
cenferme. ^

ExxMPtx m,

^)9 On imanie la Racine cubime du plus grani
Cube eamenu dans ^1713^37.

AT i ^ - 1 f^S9S Raànt aétaue

Nombre pnpofi ^i 7231^37^^^

— n '~ I I Triple du

tiU*^ l dixaJaus

Refle de Upiratten 5^3 1 C$2

Tout étant dîfpofé comme dans l'exemple précé-
dent, & comme on le voit ci-dcflus; on confidérera
leulcment deux parties dans la racine cubique in-
connue quon demande, favoir un nombre de di-
xamesqui peut avoir plufîeurs chiffres, & un nombre
d unités qui n aura jamais qu'un chiffre. En confé-
qaence de ce partage , le nombre propofé contiendra
le cube du nombre dts dixaincs de fa racine cubi-
que; plus trois fois le quarré de ce nombre de di-
zaines, multiplié par le nombre des unités; plus
trois fou le quatre du nombre des unités, multiplié

i^Bs Racikbs CUBIQUZS. ^4^

par le nombce des dizaines ; plus le cube du nombre
des unités.

Le cube du nopibre des dizaines ayant trois chif-
fres à fa droite (iVo. 1 5 tf .) ; fi Ton fépare par une
barre les trois chiffres ^{7 de la droite du nombre
propofé» ce cube fera dans la partie ^1725 fituée
à la gauche de la barre. Âinfi Ton ne pourra connoltre
le nombre des dizaines , qu'en tirant la racine du plus
grand cube contenu dans la partie 6172^ du nom*
bre propofé , comme fi la partie ^37 n'eziftoit point»

Comme dans Tezemple précédent nous avons
trouvé 5p pour la racine cubique du plus grand cube
contenu dans 5-17259 & 2404 pour le refte; nous
renvoyons à cet ezemple pour le détail des opérations
qu'il hm faire ; de nous nous contentons de les reprtfr
fenter dans celui-ci en chiffres barrés^

Ayant donc écrit jp pour le nombre des dizaines
'de la racine ^ ou pour la racine du plus grand cube
contenu dans la partie 6 1 725 » & 2404 étant le reflc
de lopération; le nombre propofé 61723 1^37^ di«
minué par la (buflradion du plus grand cube renfer-
mé dans 61723» fera réduit à 2404I537 qui con-
tiendra encore trois fois le quarré des 39 dizaines»
multiplié par le nombre inconnu des unités, plus trois
fois le quarré du nombre des unités multiplié par le
nombre des dizaines , plus le cube du nombre des uni-
tés ; mais nous ne ferons ufage qne de la première de
ces trois parties.

Or 3 fois le quarré des 59 dizaines» multiplié pat
le nombre des unités » devant avoir deuz chiffires à fa
droite » fera dans la partie 2404 1 5 qui a deuz chif-^
fresàfa droite. Ainfi divifant 2404 1 5 par 5 fois le
quarré de 3p» c'eft-à-dire par 4563 ; le quotient y
que Ton trouvera 9 fera le nombre des unités de la ra-^

I p Lîy, VU. Chap. ÎL Ds l'Extractiok
ci ne. On mettra donc ^ à la droite âts 3^ dixaîbes
déjà troublées ; Se Voa aura jp ^ pour la radne cubî«
que demandée du plus grand cube contenu dans le

nombre proposé <îi72S^J7«

La racine cubique ^çf étant trouvée j oo aura
le refte de Topération , en faifant le cube de 3P 5 » &
en retrancbant Ce cube 6f 62^87^4 du nombre pro«
pofé 51723^7 y c^ 9^i donnera 9^662 pour Ip
relie « c'eft-à-dire pour la quantité dont le nombre
propofé ^1723 { 37 furpafie le plus grand cube qu^il
xeoierme.

JOO On danjmJi la Racine cubi^ du nonAn
6i72iS57^o8.

Nmûbft'% ti9S^ RacÏM oc^n»

V

«|»0#l»Jt

♦l#r

^^ ^^fc ^^ ^ a^a^^^^^^w*^

#^— ^

^i\662\^S

co 000 000 000

Tout étant pnîparé comme dans les deux exemples
précédens, 8c conGdérant dans la racine cubique un
nombre dedixames&nn nombre d'unités; on trou-
vera dans le nombre propofé | le cube du nombre des

toiB Raciks» oirsiatnst^ ^^t

dixâines de la racine cubique » plus croîs fois le quar«
ré des dîxâînes âcc ; plus &c (N^. i j y.)*

Le cube du nombre des dizaines devant avoir trots
chiffres à fa droite ; fi Ton fépare par une barre trois
chiffre de la droite du nombre propofé» cecube fera
dans la partie 61723 ^ 37 fituée à la gauche de la bat-
re^ êc fera le plus grand cube contenu dans cette partie»
Àinfî l'on ne pourra connottre le nombre des dizai-
nes > qu'en tirant la racine cubique du plus grand cube
contenu dans la partie 6172} 557 du nombre prt>-
pofé i comme fi la partie 406 fituée à la droite de
la barre n'ezifloit point. Comme nous avt>ns trouva
dans Tezemple précédent , que la racine cubique de
ce plus grand cube eft 3py , & que le refte de l'opéra*
tion eft p 3 5(^2; nous écrirons 3P5 pour le nombre
des dizaines de la racine cubique qu^on demande ; 8c
nous renvoyons à Tezemple précédent» pour le détail
des opérations qu'il faut faire. Nous avons cependant
écrit ici en chiffres barrés tous les nombres qui ap-
parttennetit aux opérmons faites dans les tzemplês
précédens I êc IIL

AyaAt trouvé que )9]^ eft le nombre des dixaînec
de la racine > o«i la racine cubitjy e du plus grand cube
contenu dans tfi723î37> & que 93(^62 eft le refte
<ie l'opération ; le nombre propofé fera réduit à celui-
ci 9)6^1409 qui contiendra encore 3 fois le quarré
dès tpf ^i]tai?>es qo\Mi vittic de trouver» multiplié
)>ar le nombre des unités ; plus deux autres parties»
^'îl eft inutile de confidérer ici.

Or 3 fois le quarré des 39^ dizaines n^kiplië pat
le noiiibre des unités, devant avoir deux chiffres à
ia droite , fera dans 9^661 14 qui a deux chiffres à fil
dtoite. Ainfi en divifent 9^662]^^ par 5 fois le
timné dt «6 c , c'eft-jhdirc par 4(8o7f > ie quodeni

3 J 2 lîv. yil Chap. Il De l'Exteactiow
2 de la divinon fera le nombre des unités qui reftoît
à trouver. On écrira donc 2 à la droite des }9 j dt«
saines qui font déjà écrites à la racine cubique ; âc
Ton aura )p^2 pour la racine cubique entière da
plus grand cube contenu dans le nombre propofiS

La racine cubique entière i^$2 étant trouvée t
on aura le refte de l'opération en faifant le cube de
3P5;2y Se en retranchant ce cube du nombre entier
propofé: 8c comme le cube de 39^2 fera égal au
nombre [Propofé , il ne reftera rien. Ainfî le nombre
propofé eft an cube parfait qui a 3952 pour fa ia«
cine cubique ezaâe.

RBMA RQUE S.

I.

m

loi I ^ Pour extraire la racine cubique du nom«
bre propofé 61723 ^74^^» ^^^ avons féparé par
une barre les trois chiffres de la droite de ce nom*
bre, comme ici (11723^371408; Se nous avons fait
voir que la racine cubique de ce nombre étant parta-
|rée en deux parties , Tune compofée de dixaines ,
l'autre compofée d'unités ; il falloit , pour avoir la par-
tie des dixaines» tirer la racine cubique du plus grand
cube contenu dans la partie 61723^37 fituée à. la
gauche de la barre , comme fi l'autre partie 408
n'exiftoir point.

2®. Dans le troifiéme exemple ( Nà. i ^9* ) • oo*"*
avons tiré la racine cubique du plus grand cube ren-
ferme dans le nombre 61723J37: & pour avoir cet-
te racine^ nous avons encore féparé trois chiffres

Î37

f )7 de la droite du nombre propofé , comme ici^
^n^^lSili p^rce que la racine cubique étant fup^
pofée partagée en deux parties i Tune compofée de
dixaines^ l'autre compofée d'unicés; on ne peut ayoit .
le nombre des dixaines^ qu'en tirant là racine cubi«
x]ue du plus grand cube contenu dans la partie 5 172)
iituée à la gauche de la barre, comme û l'autre partie
537 n'exiftoit point.

30. Dans le premier exemple (A^^. ij7.)f ^ou*
avons extrait la racine cubique du plus grand cube
trontenu dans le nombre 61723 : & pour avoir cette
racine, nous avons féparé les trois chiffres 723 de la
droite du nombre 61723 , comme ici 6^1723^
parce que la racine cubique étant encore fuppofée
partagée en deux parties ^ Tune compofée de dixainés)^
Tâutre compofée d'unités ; on ne peut avoir la par^
tie des dixaines^ qu'en tirant la racine cubique de
plus grand cube contenu dans la partie 61 fituée à
la. gauche de la barre, comme fi l'autre partie 72j(
n'exiftoit ^ointi

Il eil donc évident , par toutes ces opérations , que
pour trouver la racine cubique d'un nombre quét-
tconque tel que 61723 ^37408 ; il faut féparer trois à
trois> tous les chiffres de ce nombre, en commençant
par ceux de la droite, comme ici, 6117231^37408$
Se qu'enfuite il faut procéder à l'opération de Tex-
traâion de la racine cubique qu'oa demande » dabs
Tordre fuivant.

î®. Il faut prendre la racine cubique du plus grand
cube contenu dans la première tranche 6 x de la gau*.
.cfae; ce qui fera toujours facile, puifque (No. 1^^.
cette racine n'aura jamais qu'un feul chiffre.

20. Puis il faudra tirer la racine cubique du pli^s
grand cube contenu dans les deux premières tranches
Arithmétl^ui. ^ •

•

5^4- Liy.yiLChap.il Dm LTiTiACTioif
^ i ) 72 3 de la gaudie » en prenant pour le liotnbre <!ef
tlixainès de cette racine , la racine qu on vient de troU^
Ter pour le plus grand cube contenu dans 6 1.

' )*. Enfuite il faudra extraire la racine cubique do
plqs grand cube contenu dans les trois premières tran«
ches 61 I723I ]; 3 7 de la gauche y comme fi le rçfteda
nombre propofé n'exidoit point ; en prenant pour le
Dombre des dixainesde cette racine» la racine cubique
|>récédente , qu'on a trouvée pour le plus grand cube
f enfermé dans 611723.

4.^. Enfin il faudra extraire la racine cubique des
quatre tranches 6i|725|j^7l 408 , en prenant pour
le nombre des dixaines de cette racine, la racine
cubique précédemment trouvée pour les trois tran-
ches 61I723I J37.

En procédant de cette manière à Textraftion des
tacines cubiques , c'eA*à*dire en continuant toujours
ide prendre la racine cubique précédemment trouvée »
pour le nombre dés dixaines de la racine cubique d'un
nombre qui aura une tranche de plus; oiAparviendra
a tirer la racine cubique d'un nombre compofé de
tant de tranches qu'on voudra*

IL

Lorfqu'oh trouve un grand nombre pour Texcis
ïlu nombre propofé fur le cube dont on a extrait
la racine cubique ; il efl bon d'examiner fi la racine
•cubique qu'on a trouvée ne pourroit point avoir une
imité de plus.

Le moyen le plus fîmple pour faire cette épreuve»

cil d'ajouter i à la racine trouvée , Se de cuber cette

racine ainfi augmentée de l'unité. Si l'on trouve un

* iKHiveau cube plus grand que le nombre propofé »

Cd fera une marque évidente que la racine cubic^ft
uouvée n'e(l pas trop petite..
. Par exemple» ayant troitkvé' ^p pour la racine eu**
bique ^U0c\ibe contenu dans^ivaj.^ & ayant eu
0^04 pour le relie de Topération, ce qui eA un grand
nombre ; on ajoutera x à la racine jp^ : puis on cu-
bera la fommc 40 , en la multipliant par elle* même j,
& en multipliant encore-par 40 le produit idoo; CQ
qui donnera ^^4000* Comme ce cube (64Ô00) cfe
40 efl plus grand que le nombre propose 61723 ;î
ç eft une preuve que 40 ne peut pas être la racine^
cubique d'un cube contenu dans ^1723 ; & que la^
racine cubique 3p qu'on a trouvée , n'eâ pac conic;^
quent pas trop peûce.

PROBLÈME.

Ï62 Apfrochtrjï preifu'on vouJjm de la Racine çuil^^
^lu à' un nombre qui ntjlfas un Cub^ p^rjait.

. ■
Nous avons vu (N^. 27.) qu'un rwMnbre quia dâ|
paxties décimales,, étam meliiplië par un autre qui a
auflldes parties décimales, il en refaite uq produit quf
a autant de figures. décimales, qu'il y en a en tout dans
les deux fadeurs de la mulcipltcationi. Ain£ lorfque ce
produit fera encore multiplié par un troiâéme nombrt
qui aura d^s parties décimales; le n<H|voau produit
contiendra autapt de figures décimales, qu'il y en aura
(n tout dans les .trois facteurs de la mukipUcation. -
. Par exemple, fi Ton multiplie (4, 2^4) qui a trois
déçif^esi par (}, 36) qui a deux décimales^ lé pro^
duit(i4,29344) aura cinq figures décimaïes; & Q.
l'on multiplie encore ce produit par (2, 6) qui a une

fiffure décimale j le n9^e»u pro^qit til*.i62^^^i)

Zij

5 j^ Liv. FIL Chap. Il Dk l'Extractîow

aura fix figures décimales » c'efl-à-dire autant de

chifFres décimaux qu'il y en a dans les trois fafteurs

Donc le cube d'un nombre qui contiendra des
dixièmes ou une figure décimale , aura trois figures
décimales ; puifque les trois Fafteurs de ce cube au-
ront chacun.une figure décimale: le cube d'un nom-
bre qui aura deux figures décimales, contiendra fîz
chiffres décimaux j puifque chaque fadeur de ce cube
aura deux chiffres décimaux: & en général , le cube
â'un nombre quelconque qui aura des chiffres dé«
èimaux, contiendra trois fois autant de chiffres déci-
ftiaux , que ce nombre en aiura.

Il fuit delà que le nombre des figures décimales
d'un cube 5 ne peut être que j ou un multiple de 5 ;
en forte que fi l'on propofoit d'extraire la racine cu-
bique d'un nombre qui n'auroit que deux ou quatre
ou cinq ou fept ou huit &c figures décimales; il
faudroit mettre à fa droite un nombe de zéros fuffi^
fant , pour lui donner trois ou fix ou neuf ou douze &c
figures décimales.

Enfin il eft clair que la racine cubique d'un nom-
bre aura autant de figures décimales, qu'il 7 aura de
fois trois figures décimales dans ce nombre.

Cela pofé , lor fqu'un nombre ne fera pas on cube
parfait; on pourra toujours approcher de fa racine
cubique > de manière que celle qu'on trouvera ne fera
pas différente de la véritable, d'une quantité égale à
un dixième ou à un centième ou à une quantité dé'-
cimale de tel ordre qu'on voudra , en cherchant la
tacine cubique de ce nombre en dixièmes ou en cen-
tièmes ou en parties décimales de tel ordre qu'on
'voudra. Pour cela, on réduira le nombre propoïé en
décimales dont la dernière foît d'un ordre triple de

DES RaCIKBS CUBlQUBf. J^J

celui de la dernière partie décimale qu'on veut avoir
à la racine ; ce qui fera toujours fort aifé , puifqu'oa
n'aura qu'à mettre à la droite du nombre propofé trois
fois autant de zéros qu'on veut avoir de chiflFres déci«
maux à ^a racine cubique qu'on demande , & féparer
ces zéros du nombre propofé par une virgule qui,
en faifant diftinguer les chiffres de la progreflion dé-
cuple , fera voir en quelle efpéce de parties décimales
le nombre propofé aura été réduit*

Le nombre propofé , qurl n'efl point un cube par«
fait, étant ainfi préparé; on en tirera la racine cu«
bique , comme s'il n'étoit point réduit en décimales :
ft lorfque la racine du plus grand cube contenu dans
ce nombre fera trouvée ; on en féparera^ par une vir*
gule , autant de chiffres de la droite , qu'on aura mis
de fois trois zéro& à la droite de la virgule du nombre
propofé. Par cette opération , Ton aura, une racine
cubique qui, moyennant fes parties décimales, ap-
prochera autant qu'oa voudra de la racine cubique
du nombre propofé»

E X M M ^.Z M^

s

On propofé étapprûthtr de la Racint cubique du nombre
12, ^une quéouué plus petite que U miUiimt partie £une
unité.

m

Puifqu'on veut approcher de la racine cubique du
nombre 1 2, d'une quantité plus petite que la millième
partie d'une unité ; il faudra que la racbe qu'on dc«
mande ait des millièmes pour fes parties décimales de
la plus baffe efpéce , c'eft-à-dire qu'elle ait trois figu-
res décimales. Il faudra donc mettre trois fois trois
zéfos à la droite du aombre 12 propofé , après k y^d

^çl IiV. FK Chap. IL T)n if^mtcnov

t>n aura prctnicrcmcnt mis une virgule , comme jci ,'
i( 1 ayooooooooo) ; ce qui ne changera pas la valeur de
1 2. Enfuke'On tirera la racine cubique du plus grand
tube contenu xfens ce nom b re , comme ^'il ne conte-
noit point de décimales. Lorfqu'on aura trouvé , par
les méthodes ci-devant expliquées, qae cette racine
cufcîque eft 2289 ; on eh (épatera trois figures deia
tlroite par une virgule ; ce qui donnera (2, 285^)
pour la racine .cufbique demandée. Car ie nombre
([12,000000000) ayant neuf figures décimales « fa
racine cubique ,2289 doit en avoir trois, &fe ré-
duire à (2, 289) qui ifignîfie 2289 millièmes.

Comme on ne pourroit pas ajourer i millième an
nombre 2269 millièmes, fans rendre cfctte racine
trop grande 5 il eft clair qu'on a approché de la ra-
trine cubique de 1 2 , dtine- quantité plus petite que fat
tniUiéme parcie d'tme unité»

P RO B L Ê M E.
103 Trouver U Racine cubique £une FraSion^

On extraira la racine cubique du numérateur, 9c
celte du dénominateur de la iîaâion propofée ; A la
fraAion qui aura la première racine ponr Duméramir,
& la féconde pour dénominateur, fera la racine cubi*-
que de la fraÂion propofée.

Car la racine cubique d'une firaftion , eft une
<}uanctté quimultipliée parfon quarré, donne un pro-
duir égal à lafraftron propofée. Or one fraftion qw
9 pour numérateur Se dénominateur, les racines cu-
biques do numérateur 6c du dénominateur de la frac*
'tion propofée, -étant mùltipKéepar fon quarré, donne
«a produit égal à cetee fraâtoa. Donc la iaS&oa

bis Racimbs gubiquxs. ~ 3^9
^i.a pour numérateur 8c poqr déDominateur les
racines cubiques du numérateur & du dénominateur
d'une fradion propofée, eft la racine cubique de cettç
£raâion propofée.

Quoique cette règle folt générale > il frroit difficile
d'en faire l'application à tous les cas, fans faure quet<
^ues remarques.

I.

104 Lorfqtie le numérateur & le dériomînateut
d'une fradUon, font des cubes parfaits; on tire exac-^
tement les racines cubiques de fon numérateur 8c de
fofi dénominateur ; 8c par conféquent Ton trouve
^xaâement la racine cubique de cette fraâion.

Par exemple û Ton propofe de cirer la racine
cubique de la fraâion -^ dont le numérateur 8c le
.dénominateur font des cubes parfaits qui ont 4 & ^
pour racines cubiques ; la fraâion j fera fa racinp
cubique exaâe.

IL

1 ^ Lorfque le numérateur de la fraâion propofée
n'eft pas un nombre cube , 8c que fon dénominateur
eft un nombre cube ; fi après avoir^ tiré la racine du
plus grand cube contenu' dans le numérateur, 8c la
racine cubique exàâe du dénominateur , on fait un^
fraâion qui ait pour numérateur 8c dénominateur ces
deux racines cubiques ; cette fraâion ne fera pas la
racine exaâe de la fraâion propofée ; mais la diffé-
rence fera moindre qu'une unité fraâiônnairede.la
fraâion qu'on prendra pour racine cubique.

Suppofons qu'on ait à extraire la racine cubique
de ^ dont le numérateur ne contient point de

Zmj

^€o liy.VîL Chap. IL Dfi l*Extractm)»
nombre entier cube plus grand que (^4 qui a 4 poBg^
Racine cubique, & dont le dénominateur eft un cube-
parfait qui a f pour racine cubique. Si Kon prend f
pour la racine cubique de la fraâion propofée -^fs ^ ^^
n^ura pas exaâement ht racine cubique de cette
fradîoo } mais Terreur 'fera moindre que j .

S\ Von veut approcher davantage de la racine ca-i
bique d'une fraâioii dont le dénominateur feul eft
un cube parfait ; il faudra multiplier le numérateur
ôç le dénominateur de la fraâion propofée , par un
cube pacfait plus ou moins grand, fuivant qu'oq
Toudrs^ approcher plus( ou moins prçs de la véri-
tablç grandeur de la racine : & comme cette opé-
ration ne changera point la valeur de la fra^ion pro-
pofée , ç'eft-à-dirc que la nouvelle fraftion fera égale
|i la fraâion prqpofée i on aura la racine cubique de
la fraâion prpppfée avec le degré de précifion qu'on
voudra, en tirant les racines cubiques du numérateur
'^ du dénominateur de Cette nouvelle fradion.

par çxemple fi fon veut approcher de la racine*
cubique de la fradion rh^ ^^ manière que Terreuc-
(bit moindre que la centième partie de -j ; on multipliera
le numérateiir & le dénominateur de la fraâion -^^ par
$e cube de XO0., c'eil-à dire par 1000000; ce qqi
donnera cette fraâion i^j^oio - ^ prenant les racines;
cubiques des^ deux termes de cette nouvelle fraâiôD,^
pour en £aireune autre fraâion. Ton aura ^ qui ne
$ éloigoerii pas de la vérital^le racine cubiquç de ^,
^iiç quantité égale à ~.

m.

bBS Racikxs cuviqiiss; '^St
parfaits; on multipliera les deux termes de la fraftioa
propofôe par lequarré.de fon dénominateur, ce qui
convertira cette fradion en une autre fraâion qui .
lui fera égale , Se dont le dénominateur fera un cubé
parfait. Alors on tirera la racine cubique de cette nou*
velle fraftion, comme il a été dit pour lés fraâioo^
dont les dénominateurs font des cubes parfaits, *

107 On* peut encore extraire la racine cubique
d'une fraâion quelconque de la manière fuivante.

On commencera par divifer le numérateur dé la
fraâion par fon dénominateur, en cherchant un quo-
tient compofé de parties décimales qu'on pouffera
plus ou moins loin , fuivant que Ton voudra extraire
plus ou moins exaâement la racine cubique de la
fraâion propofée. Enfuite on extraira la racine cubi-
que de ce quotient ; & cette racine fera celle de la
fraâion propofée, aufli exaâe qu'on laura de«
inandée.

Par exemple fi Ton veut extraire la racine cubi«
que de I , on cherchera le quotient de j en parties dé-
cimales; Se l'on trouvera (p, 14.28^7 14.28^7 &c.)
pour ce quotient dans, lequel on aura foin de mettre
pu nombre de figure^ di^cimales multiple de )• En«*
jfuite on extraira la racine cubique de ce nombre ; Se
Yon trouvera (o, 5 227) qui fera , à peu de chofc prçs^
la jçaciaç cybiq^uc de |^

^"éa lô'* yo, Outp, It Df t.'Bmkcnoit

PROBLÊME,

• _

1 60 Trtuver U Rtàne cubique étun nombre eomfiktt
eompofé de ttifet cubiqua Cr de parties de U uAfe eubiq»
£yijèe en 6^ fyfiut-itiyifie eontinatlUmatt eniz,tel^

^T rP 6p

1 1 gTTT. ^TTP, iTTp.^Tn.6m i^ff

f± '. l

l

J4 y**

,'joTT,oTP,(,Tf

• »»

il I arrr . jTTP. ^rTp.%rTL

wmi-m^mm.m^m

jTrr. ^TTP.-jTTp.fTTL.^Tl

1 1 STTTy.TTP.iTTp,^TTL,6TTi

00000

io« On commencera par extraire la racine cabn '
que du nombre des toifes cubes contenues d^ns }e
nombre complexe propofé. Commue cette opératioa
a été fuffifamment expliquée » nous ne la détaille-
rons point ; & nous dirons feulement que cette ra-
pine cubique fera ^T' qu'on écrira au lieu deftiné
pour la racine ; & qu'on aura Jf 'T^^'' pour le reftc
des liS^^r fqr lefquelles la première opération
aura été faite.

2^. Pour trouver le nombre des pieds de la racine»
on réduira, pour un moment feulement, en toife-
toife-pied les ^^'^'^ qu'on a de refte, en les multi-
pliant par 6\ ce qui produira 324*^^? lefquelles avec
les ^T^T^P qui fe trouvent dans le nombre propofé »
coropoferont ^2^TTP qu'on écrira pour un momeoc

ïexxltmtmt^ Bc JCfioa effacen lorr^u'on n'en aura p[n$
faeibtn. Puis on prendra 3 fois le qoarré des 4 ioifes
qu oa vient de trouirer pour Ja première ^xutie de la
racine ; & l'on aura 48^^ par lefqiseUies 00 dWî&m
les ^ 29^7'i' qu'on vient de pcéparer ; ce qaâ donnera
5P pour le quotieot , ic pour ia facoode partie de la
caciae demandée. Ainfi ayant écrie 5P après Jes^f.
t}u Ofn a trouvées ; on aura 4^ ^P pour les dw«
premiers itermes de la radoe oabiqoe xlemandée. La
iêconde pafitie de lafàcîne étant aînii trouvée» on
effacera les ^29^1^' qu'on avoir préparées ; parce
que les 54^2^r ^TTP à ia place deÀ|uelks on k$
avoit prifes » feront pl^is commodes pour le tdk^ de
t'-opéraoïon.

Pour avoir le refte de cette féconde opération <y
Ton cubera 4^ J^ qu'on a trouvés pour la racine ;
c'eft-à-dire qu'après avoir multiplié 4^* jP par 4^
yP, Ton multipliera encore le produit quarré 2 3*^'^*
2TP 2Tp qui en péfultera, par 4T yP; ce qui produira
le cube 112TTT çTTP ^TTf gTTL. Enfuîte on
retranchera ce cube du la^nfare complexe propofé ;
& le refte fera ^TTT fTTP -fTTp ^TTL 6TT1.

3 Q. Pov tronvir le aombfte êcs pouces de la raci-
ne , on rédcrira ^eo toîfe^oi&'pauce les toifes cubi-
ques & les to4fe'4at(b*f)ifid qa4^n a de refle» en
multipliant les ^TTT par 7^ ic les ^TTP par 12 ;
ce qui produira ^6o1'1'f & (îo^Tp, lefquels deux
nombres de toife-toife-pouce étant joints aux ^'^'^p
qu'on a déjà, compoferont 427*rrp. Enfuite on
prendra 3 fois le quarré de 4T y P qu'on a trouvés
pour la racine ; ce qui donnera 'jo^'^ oTP 6'^p.
Enfin Ton divifera ^2'jTTp par 70*rr qTP 6^/»,
ou par fa première partie 70^*^; ce qui donnera ^
pouces pour le quotient ^ & pour le nombre dcr

1^4 ^V> ^i' Cha^ n. Db l'Exïhàctiok Gre:
mandé des pouces de la racine. ÂinG Ton éakt
6 pouces à la droite des 4"^ 5^ qu'on a déjà trouvés;
& l'on aura ^T ^P 6p pour la racine oibit^ac da '
Dombre complexe propofé.

Pour avoir le tefte de cette opéradoo , l'on cobeia
47" ^f 6p qu'on a ttouvés; c'eft-à -dire qu'on mul-
tipliera 4r yP 6p par 4^ yi* 5p , ce qui donnera la
produit quarré 34ÎT i^P oTj» 6TL ; & qu'on Dinl<
tipliera encore ce quarré par ia racine ^ $P 6p ^ ce
qui donnera le cube iiS^TT yTrp iTTp ^TTL
5TT1. Knfuite on retranchera ce cube du oombra
complexe propofé; & comme il ae refléta rien, es
fera une marque que le nombre con^^plexe propolif
cft un cube parfait , & que fa ladne cubique dl
exactement 4^' jP Sp*

ELEMENS

D'A R ITHMÊ TI^ UE-

LIVRE VIII.

Des Proportions arithmétiques , des Progreffïont.

arithmétiques, des Pr(^reJ/ïons géométriques

éC des Logarithmes,

CHAPITRE PREMIER.
Def Frapvnhm arUhmétiques.

i Oos avons dît (iV». loi.) qae dam
IIIIQ^IH '^ comparaifoD de deux grandeurs,
"■ '"^ telles que la & 5 00 3 & 12, fi Ton
' ne coDlîdére que la quantité p dont
l'une furpalTe l'autre on eft furpafliîe pai l'autre ; cène
quantité 5 fe nomme Différtnce, on Rapport arithmé-
tique , ou Raifhn arithmétique des deux grandeurs con>
parées. Nous avons dît audi que eelledes deux gran-
deurs comparées > qu'on nomme ou qu'on écrit la pro-
mlero, s'appelle Antécédent; Se que celle qu'on écrit
•u que l'on uonjine la fccoode^ s'appelle Conféquint.

3^^ ^^' ^^* CJâp. I. Des Proportions

Lorfque le premier terme d'un Rapport ariihmctî-
que eft moindre que le fécond ; Ton die que la DiffB^
renct eft aiàitm^ parce que pour avoir le fécond terme
<fu rapport par le moyen du premier , il faut ajodcer
au premier la différence , c'e(l*à dise la quantité donc il
eft furptffé par le feconA

Au cc^ncrairç» Vorfque le premier terme d'un rapport
arihtmétlque eft plus grand que le fécond, Ton die que
U Différente t^fèînfiraSm ; parce qOT pour avoir fe fc-
cônd terme du rapport par îc moyen dn premier, ri
faut fouftraire du premier terme, la différence ^ c'cft-à-
. dire la quantité dont il furpafie le fécond.

I yo Quatre tef mes dont le premier efl (urpaiTé pat
le fécond, de la même quantité dont le troiGéme eft
lurpadë par le qtiatrîéme, ou dont le premier furpafb
le fécond, de la même quantité que te troifiéme fur-
pafte le quatrième^ fe nommetic emfemble une Pro^
portion urithmétique. Par exemple ces quatre termes
5, 12, ^f 149 ou 12,39 14, 5*, font en proportion
arithmétique»

Une proportion arithmétique eft donc compofée
de deux rapports arithmétiques égaux ; & les diffé-
rences égales des termes de ces rapports font toutes
fleiix addttives', ou toutes deux fouftraftives.

Lôrrqii'on écrit quatre termes d'une proportion
arithmétique, on fépare par un point les deux termes
de chaque rapport , & Ton met deux points l'un fur
l'autre après le fécond terme , pour féparer le premiet
-i^apport du fécond. Par exemple pour rèpréfenter une
•firoportion arithmétique compofée de ces quatre cer-
-mcs ^y 12»^, 14, on écrira ces quatres termes de
cette manierre 3.12:^.14.

Four énoncer une proportuni arithmétique ^ telle
que oellp-ci 3.12: 5 • 14» on dit: ^tjlà 12 comme

\

5 tfià 14. Nous avons vu qu'on peut énoncer de. la
même manière une proportion géomftrique»

Les quatre termes d'une proportion arithmétique
ont les mêmes noms que ceux d'une proportion géo-
métrique.

Le premier terme s'appelle jintécédent du premier
rapport j ou premier Annécéient.

Le fécond terme k nomme Conféquent du premier
rapport 9 ou premier Conféquent.

Le troifiéme terme s'appelle Antécédent du fécond
rapport , ou fécond Antécédent.

Le quatrième terme fe nomme Conféquent du fécond
rapport^ ou fécond Confiquent*

Le premier & le quatrième termes s'appellent les
Extrêmes y parce qu'il font aux extrémités de la pror
|>ortion«

Le fécond de le troifiéme termes qui font au milieu
4ie la proportion , fe nomment: les Moyenu

171 Lorfque les antécédens d'une proportion
arithmétique, telle qufe celle-ci 12. 5 : 14. f , feront
plus grands que leurs conféquens ; il cft évident qu'en
rcnverfant Tordre des termes de la proportion & en •
écrivant ^. 14 : 3 • 12 , on aura encore une nouvelle
proportion dont les antécédents feront moindres que
leurs conféquens , & qui aura les mêmes extrêmes de

les mênics moyens que la première.

•

l'JlL Une propottioti arithmétique comme celle-
ci 5# 7:. 7. II dont les deux termes moyens font
égaux, s'appelle Prdportim arithmétique continue. Ordi-
nairement on n'écrie qu'un des deux moyens ; enforte
que la proportion continue n'a que trois termes, à la
gauche def()uels on met une barre horifontale entre
•deux points dont l'un e(t au-delfus & Tautie au^
deÛbus , comme ici -7- ^ • 7 . i !•

) a Lîy. Vlïl. Chap. L Des PAoroRTtoK»

THÉORÈME,

(

I

^73 '-^^^ ^^"^^ Proportion nrithmétiqiU'^ la fommê

des extrêmes Régale à lafomme des mtfftru. \

. DÉMÔN^T&ÀXIOKi'

Nous avons vu (iV^. 171.) qu'une proportioa
arithmétique dont le^ antécédens font plus grands que
leurs conféquensi peut être réduite à une autre pro*
portion qUi a les mêmes extrêmes ic les mêmes
moyens y âc dont les antécédens font moindres que
leurs coûféquens : en forte que fi Ton prouve que la
fomme des extrêmes eft égale à la fomme des mbyensp
dans une proponion dont les antécédens feront
Tnoindres que les conféquens ; la propoficion fera auiîl
démontrée pour les proportions dont les antécédens
feront glus grands que leu;s conféquens*

Suppofons donc que les deux antécédens d'une
proportion arithmétique font fufpaHés également par
leur coniéquens* Il cA évident qu'à la place du fé-
cond terme , on pourra prendre le premier, plus la
différence de ces deux termes ; en forte que la îbmme
des moyens ; c'eft-à-dire la fomme du fécond terme
êc du troiiiéme , contiendra le premier terme avec la
dijBFérence , plus le troifiéme terme*

Il n'eft pas moins clair qu'à la place du quatrième
terme, on pourra prendre le troifiéme avec la diffé-
rence de ces deux termes^ laquelle (A^. 170.) cft la
même que celle du premier terme au fécond; en forte
que là fomme des extrêmes ; c'efl-à-dlre la fomme du
premier de du quatrième termes , contiendra le premief j

terme » plus le troisième avec la même diffifrence cou*
tenue dans la fomme des moyens*

La

AKITHWl&TIQUXS. J^p

La fomme des moyens ôc celle d€$ extrêmes fe-
ront donc compofées des trois mêmes parties, favoir
du premier terme , du troinéme terme Ôc de la dxffi^
rence d'un antécédent à fon conféquenc : ainfi ces
deux fommes feront égales.

OMO ZZjil ÂX PRXMIMR.

Ï74 S^ 1^ premier terme d une proportion arîthmé*
tique étoitzéro, lafonmie des extrêmes fe réduiroic
au quatrième terme de la proportion ; & comme la
fomme des extrêmes feroit toujours égale à la fomme
des moyens » le quatrième terme feroit égal à la fom^
me des moyens.

On prouvera de même que iî le quatrième terme
d'une proportion étoit zéro , le premier terme feroit
égal à la fomme des moyens.

Enfin Ton démontrera , de la même manierei que fi
Tun des moyens étoit zéro , Tautre moyen feroit égal
à la fomme des extrêmes de la propordon.

Co RO LIAI RS IL

3 7^ I^^ns une proportion arithmétique continue ^
telle que celle-ci 3 . 7 : 7. 1 1, dont les deux moyens
font toujours égaux (iVo. 172)» la fommé des moyens
fera le double de l'un des moyens : 8c comme
CN\ 173.) la fomme des extrêmes fera toujours
^ale à la fomme des moyens ; il eft évident que la
fomme des extrêmes fera double de l'un des moyens.
Lorfque la proportion arithmétique continue elt
écrite de cette manière -f 3 • 7 • < > t ^^ eft clair que.
la fomme des extrêmes c(i égale au double du teis
snt moyen.

ArUhmétiqui^ A 9

370 lîy. VUl. Chûp. 1. Dk Pboportiojij

Coko zzJiÀ s IlL

t'^6 Puifquc (No t^j.) dans tonte propoitioâ
arithmétique la femme dts extrêmes e(t égale k ceiffe
des moyens » âc qu'il eft érident qu'en rètrancbaixt
une même quantité de ces deux fommes égales » les
reftes feront égaux; il fuie ()ue

p. Si Ton retranche un extrême j de ces deux (bm«
fnes ; TauTre extrême qui reHérà d'une part , fera égal
â ce qui reRera de f autre pan, (àtoir à ta fômtne dti
moyens moini l'exttême retranché. Ainfi Ton aura
telui des deux extrêmes qu'on voudra ^ eh ajoutant
ctifembte tes deux mayem, Se en recranbhant raiitré
extrême de leur fomme.

ù,\ Si l'on retranche un moyen , de la fomme des
tfnoyenis âc de la fômme des extrêmes qui font éga<*
les ; le moyen qui reliera d'une part , fera égal à ce qtA
leftera de l'autre part, favoir à la fomme des extrè-
tties moins le moyen retranché. Ainfi Ton trouvera
celui des deux moyens qu'&n voudra , en ajoutant
cnfemble les extrêmes 9 & en retranchant l'autre
moyen de leur fomme.

Par exemple fi une proportion arithmétique com-
fticnce par ces trois termes 1 li . 5 : 14. * , Se qu'où
veuille avoir te quatrième qui cft le fécond extrême ;
on afôtftera enfembte les deux moyens 5 & 14 ; & de
Icnr fortnme 17 ayant retranché le premier terme lif
fa Quantité y qui reftcta, fera te quatrième terme
demandé : en foite que la proportion entière fen
1:2. 3 : 14. 5.

Si une proponion avoir potn* fes trois derniers tcr-
Ittes ♦ . 3 : 14 . j /& qu'on voulût avoir te premier ; il
ftudroit encore additronner tes deu>: mt)yens 3 & 14»
puis de leur fomme 17 retrancher le fecorrd extrême
5 S & le relie 1 2 feroic le premier cerme demandé :

Kft forte <|W» la proportion entière ferott i a. 3 1 14 ^ .

Sa I9 fécond fcnxie minqucit dan$ une proportion
ilf tfhm^tîqve f & qu'on a>ii £ut que ces cr<Hs termes
I a» * ; 1 4. 5 ; on cr ouveroît le fécond terme , en ajoû-
ttm enfembliP les deux ei^trêmes la & ^, &: en re-
KrftnchaiK de leur fomme i 7 ie moyen 1 4 que Ton a;
ce qui donneroit 3 .pour le fécond terme qui manque :
«n lofce que 1» proportion entière feroîc 12.3: 14.5.

Enfin fi le troiii^me terme manquoit dans une pro-
|)Onioo arîdunétiqiie^ ic que 1 on n'en connût que c^
«roi^ tennet ta. 3 : "^ 5 ; on tcouverok le troifiéme
jterme qi^i manque » en ajoutant enfemble les deux
<<jeytDêines 1 2 & ^ « & en retianchant d^ leur fomme
1 7 le premier moyen 3 que Ton a ; ce qui donnerota
9 4 pour le feoond tooftia demandé : êc la prc^ortion
cjittere feroit t2« 3 : 14. $.

CHAPITRE a.

Des Progreffiçns arithmétiques.

DéFIVlTIONS.

ty? T T NE f^*^c ^^ termes qui croîflent ou qqî
^J décr€4fient tous également , Rappelle une
Progffffigtft omkmétiqm.

Si tous les termes de ia progreffion arithmétique
iroat en augmentacit ^ on la nomme Progrtffion arihmé-'
êi^ amffkntî ; ft iG toustes termes vont en diminuant >
on l'appelle Pr&greJJion arithmétique déeroîjfanfe. Par
«femple cette fwte 3, 5, 7, 9, 1 19 ijt &c ^ eft une
fW^rcfBoo aritlHnétîqiie ccoiffante; âc cène autrp
éuite i39iX9P>7>^»3»&C9eft une progreflion
arithmétique décroiflame.

AaiJ /

37^ ^'V. FUI. Chap. IL Des Phogreshovs

Pour marquer que tous les termes d'une fuite telle
que celle-ci Sj^tTi^iîi» 13» &c, font en pro«
grefljon arithmécique ; on place à la gauche du pre-
mier terme , deux points Tun fur Taucre avec une
barre horifontale entre deux ôc Ton met un point
après chaque terme de la progrefSon » comme ici
-^3. y. 7. 9. I !• I3.&C»

La quantité confiante dont les termes d'une pro*
grefTion arithmétique croifTent ou décroifTent s'ap-
pelle Raifon ou Differtnce de la progreffion ; 6c cette
différence qui eft la même entre tous les termes con-
fécutifs,^ft adduive ou foufti aSive ^ fuivant que les
termes de la progreffion vont en Augmentant ou en
diminuant.

Le premier & le dernier termes d'ime progreffion
arithmétique , fe nomment les Etrêmes de la progref-
iion ; & tous les autres termes s'appellent les Moytnu

CoÂOZZjilMS P RMM 1 s X.

1 7^ Puifque (No. 177.) les termes d'une progref-
fion arithmétique croifTent ou décroifTent tous , d'une
quantité confiante égale à la différence de la progref-
fion; il eft évident qu'on peutrepréfenter tous les ter-
mes d'une progreffion arithmétique , en employant
feulement le premier avec la différence confiante de
la progreffion ; & que chaque terme contiendra le
premier, plus ou moins la différence multipliée par le
nombre des termes qui feront avant lui.

Le premier terme qui n'a rien avant lui , fc con-
tiendra lui-même fans addition ni fouftraâion delà
d^erence

Le fécond terme qui a uii terme avant lui, & qiû
doit être plus grand ou plus petit d'une différence que
le précédent, contiendra le premier terme une fois^
plus ou moins la différence yne fois*

ARITHffliTIQUBS. 375

Le troîfiéme terme qui a deux termes avant lui , Se
qui doit être plus grand ou plus petit d'une dïffénnc^
que le fécond, contiendra le premier terme, plus ou
moins la dîfférenet deux fois.

Le quatrième terme qui a trois termes avant lui »
êc qui doit être plus grand ou plus petit que le troi-
fiéme d'une iijférence ; contiendra le premier terme ,
plus ou moins la dijférence trois fois.

Enfin chaque terme augmentant ou diminuant
toujours d'une différence^ contiendra le premier ter-
me, plus ou moins autant de différences qu'il aura
de termes avant lui. Par exemple le centième terme
qui a pp termes avant lui , contiendra le premier ter-
me, plus ou moins pp fois la différence de la pro-;
greffion.

Âinfî connoîiTant le premier terme & la différence
tonftante de la progreflion; Ton déterminera quel
terme on voudra de cette progreiïion, en multipliant
la différence par le nombre des termes qui précédent
celui qu'on veut avoir, &en ajoutant ce produit a.u
premier terme , G la progreflion efl: croiflfante ; ou ea
retranchant ce produit du premier terme ^ û la pro-.
gïcSîon ell décroiflante.

*

Co MO LLjt 2 RM IL

179 Puîfque (iV^. 178.) chaque terme d'une pro-
greflion arithmétique contient le premier, plus ou
moins la différence propre de la progreflTion , multi-
pliée par le nombre des termes qui font avant lui ; il
efl: évident que chaque terme différera du premier,
d'une quantité égale à la dffaence propre de la pro*
*grefl[ion , multipliée par le nombre des termes qui fe-
ront avant lui. Par exemple le fécond terme différera
du premier, d une quantité égale à la ûmple différence

A a 11)

374 Liv. V f IL Chêp* IL Jya PftOGftitssT&iT»
e la progreffion } le trc^ifiéme fera diScrétk du
xnîer > d'une quamké égale à deux fois b àiJfèrtHct de
la progrei&on ; • , ^< le centième dififérera du premier^
d'une quantité égale à 99 fois la diffcrtrut propre dm
la progreffion : Se ai n G des autres.

De lûême que nous avons comparé cbaqoe terme
d'une progreffion arkbniétique avec le premier , oft
pourra comparer c^hâque terme avec tout autre terme
que le premier ; & Ton verra clairement que deux ter^
mes qui fe fuivi'ont immédiatement, auront pour dif<^
féreûde » la différence propre de la progiefliott ; qo^
deux termes qui auront un terme entt'etix , aufottt
pour différence deux fois celle de la pr^reflîofi ; q»
deux termes qui en aurorit deux autres emrVtux , au^*
ront une différence égale à trois fois celle de la pro««
gTtfRôn ; €nQn que deuk termek qui avrom un nèm*
' bre quekonque d'autiVs termes entr'eux , auront çoat
différence celle de ia ptogre^a^ miakîpliée parut
sioitobre plus grand d'une unité , que cebi des ti^rHocl
iqui furoet cotre les deux termes comparés^

JoO II fuît delà que les termes d une même pre*
greflion arithmétique , ont emr^eux k même différent
ce, lorfqu^ils ont entr'eux le même nombre de ter-i
mes : car alors les différences de ce^ termes fontcocà-i
f)ofées de la même différence propre de laprogseflioo^
liiulûpUée par le même nombre^

loi Donc G Toa prend dans «n* pregreffioii
arithmétique quatre termes tels, qu'il y ^ît autant do

termes encre k precïki <S; Iç fçcond-^ -qu ewtt le tnorè*

Ûémt 8c le quacrîéfne i ces c|u»fe veÊmas (e^nt ta
proportion arichmétique ; puifque {No. i^p.) 1^ dîf«
f éreoce du premier 4e ces quacre termes 9^1 fécond »
fera é|;ale à la difféçeflce du troifiéme au quatrième*

RSMARQUB.

^Ç% L'ilfaige que nous feriins des pfcgceffiocbs
arithmétiques, pour expliquer la aacure des Log^rithr
Cies domuous paplcr<î»iis daus le Cbiipitre quatrième »
«ous oblige de hw remarquer qu'une même pro^
greffion arichmétique peut avoir pour teroves dea
«ombres vrais , âç d^s nombres faux. On en. verra dea
f «eoiplesj après <|u'oa aura expliqué ce qu'on entend
ipv nombres vrais & par nombres faux.

On appelle Nomirt$ vrais ou Nmibra pofitifi , tpuj
^U4E qui font plus grands que zéro ; ft l'on nomm»
f^$nAT4i f4^H9f ou Nombns négatifs, tous ceux qui font
iiMHndpes que zéro.

Comme zéfso n^eS rien , & qu^n a de la peine à fe
s^éfenter quelque ehofe nraindre que rien ; la plû«
jpart de ceux qui entendent parler pour la première
fois de nonobres faux » de nombres moindres que zéiOf
ma que rien, ne manquent guère de les confondue avec
:E»écp ou rîeu : mais it eft ailé de bire vxsôr que ces
nombres font très* différent de zéra

On aur$ une idée jufte des nombres «wais Se des
«ofnbres faux , ^ de la différence des nombioc^ faux
à SBéco, en (e repcéfemant les j>remiers coran^e de vrais
|>îens, & les demîei^ comme des dettes.

$i un homme poiféde i oo^, & qu'il ait en même
4en)ps iHie decia de lop^; cet homme fera dans te mâ->
flfie état ^ue s'il ae poCSédoît rien , 4c qu il n'eue rien à
ipayer; parce que les lop^ qu'il poflede feront anéaa«
ûes pour lui 9 par la dette de loo^ qu'il doit payer^

A- a 111^

57^ Lîv. Vllh Chap. IL Dss Progressioks
Ainfi Ton pourra dire que l'état de cet homme eft
prédfémeDt zéro.

Si un homme ne poilëde rien , Se qu'il ait une dette
de 1 oo^ on ne pourra pas dire que l'état de cet hom*
me efl précifément zéro; parce qu'il faut qu'il gagne
loo^ pour pajer ce qull doit, & pour être dans l'étac
d'un autre qui n'a précifément rien. Il faudra donc
convenir que l'état de cet homme eft de i oo^ moin-
dre que zéro ou que rien.

. Lés nombres faux font le contraire des nombres
vrais , comme les dettes le font des biens vrais : âc de
même que les dettes anéantiûleot pour celui qui les a»,
autant de bien qu'il en faut pour les payer ; de même
audi , fi l'on met des nombres faux avec des nombres
vrais, on détruira dans les derniers autant d'unités que
les premiers en contiendront. Et réciproquement 9
comme des biens vrais détruifent des dettes, parce
qu'ils peuvent les payer : en mettant des nombres
vrais avec des nombres faux, on détruira dans ceux-
ci autant d'unités qu'il y en aura dans tes premiers^

Pour diftinguer les nombres vrais d'avec les nom-
bres faux, on met au-devant des derniers cette petite
barre horifontale— qu'on appelle Moins.

Par exemple -1,-2,-5, -* > *c repréfentent
des nombres faux ou négatifs, c*eft-à-dire des nom-
bres moindres que zéro, de i, 2, 5, 4, &c unités:
au lieu que i, 2, 5, 4, &c repréfentent des nom-
bres pofîtifsou vrais, c'eft- à-dire des nombres plus
grands que zéro de 1, 2, j, 4, &c unités. Ainfi
pour rcpréfenter au jufte l'état d'un homme qui pof-
féderoit 100*, Se qui auroit une dette de 40*, on
ccriroit 100*— 40*; ce qu'on pourroit abréger^ en
écrivant Amplement 60» qui relient de 100* après
avoir payé la dette de 40*; mais en écrivant <îo*> l'état
» de cet homme ne feroit pas auffi-bicn détaillé qu'en
écrivant iocH^ao»

ARTTHMéTlQUS9« 377^

La barre horifontale *— par laquelle on marque
qu'un nombre eft faux , ou moindre que zéro d'une
quantité égale à ce nombre 1 étant appellée Moins ^ les
quantités fauiTes -11-2,-3, -4 ,&€ feront nommées
ntoins i y moins 2 , moins 3 , moins 4 ^ Sec; Scies quan-
tités mêlées I 100 — 40, 100— 5o, qui peuvent re-
préfenter un vrai bien de 100 avec une dette de 40
ou de 60 , feront nommées 1 00 moins 40 , 9c 1 00
moins 60 : en forte que pour repréfenter l'état d'un
bomme qui pofTéderoit 100^, 8c qui auroit une dette
de 40^ ou de 60^ ; on pourroit dire que fon état eft
100^ moins 40^1 ou 100^ mùins 6d^.

La barre horifontale — (ignifiant proprement
Moins ^ elle eft la marque d'une fouftraâion & (îgni*
fie que la grandeur qui la fuit ^ doit être retranchée de
celle qui la précède. Par exemple 100 — 40 figni-
fie qu'il faut retrancher 40 de 1 00 ; ce qui réduit
100 — 40 à 60.

Lorfqu^un nombre pofitif qu'il faut retrancher, eft
moindre qu'un autre nombre pofitif dont on doit le
retrancher, il eft évident que le refte de la fouftraâioa
cft toujours pofitif. Par exemple 100—40 qui figni*
£e qu'on retranche le nombre vrai 40 du nombre
vrai 1 00 , fe réduit au nombre vrai 60.

Mais lorfqu'un nombre vrai qu'il faut retrancher »
eft plus grand que le nombre vrai dont il faut le re«
trancher, te qu'il n'y a pas d'autre nombre fur lequel
on puifle emprunter ; le refte de la fouftraâion eft
toujours un nombre faux égal , pour le nombre de fes
unités, à la différence des deux nombres* Par exem-
ple fi l'on doit retrancher 1 00 de 40 , ce qu'on écrie
ainfi 40-^100; le refte delà foudraâion fera le nom«
bre faux —60 ; parce que le nombre 100 qu'il faut
retrancher eft compofé de 40 & de 60 , Se qu'après
avoir retranché 40 de 40, ce qui donne un refte ég^

^8 Liy.VllLCkâp.H. Dis PftoaMssioNs^

k zéro , U fwt encore en retrancher 5o, ce qui doubà

un f efte moimlre que iséro de do unitd3*

Lortqu'uii nombre vrai doit être retranché d'ui»
nombre fanxi le refte eft un nombre faux dont te
nombre ét$ unités cil égal à la /bmme dc$ deux nom-
bres coofidéf éis comme faux. Par exemple fi Ton doit
retrancher le nombre vrai 60 du nombre faux ~40«
le refte fiera «^100 : car fi Ton confidere le^ nombres
faux comme des dettes , mx reconnoitm facilement
que retrancher un nombre vrai 60 d^in aooibfe faur
—40» eil la même chofe que faire concra3:er une <letce
de 60 à un homme qui en a déjà une de 40 ; ce qut
fait une dette de 100 » qu'on repréfeotera par le norn^
bre faux -^100.

La nature des nombres vrais Se des nombres hwc
étant bien connue » on n'aura pas de peine à coace<-
voir comment une même progreffion aridimécique
peut avoir parmi fes termes des nombres vrais & det^
nombres faux.

Si l'on confidere une progreffion arithmétique dé^
crotflante, comme -4- 1 1* 8. ^ • 2. &c» dont la ifi^
nnce efi 3 ; & qu'on veuille fouftraire cootimieUe*»
ment la d^értnce $ , pour conânuer cette progreffioa
à l'infini ; on parviendra bientôt à trouver un terme
d qui fera moindre que la différence 3 : de fi Ton con-
tinue de fouftraire la différence » de ce terme a plut
petit qu'elle» pour avoir les termes fuivans de la pio*
greffion; on ne trouvera pour ces termes que des nom«^
bres faux -1 , -4» -7 y -lo^ &c : en forte que la pro^
greffion étant continuée audelà du tprme a plus per
tit que la différence 3 , fera

~ n. 8. y. 2. -I. -4. -7. -10. &c

Tout et que nous avons dit en général des pio^
greffions arithméciques dont tous les termes font vcai%

A It 1 1 1! M i^ T 1 Q U s 9. )7^

convient auffi à celles qui ont pour termes des nom-
bres vrais $c des nombres faux , telles que celle-ci
-rii- 5» $• 2. -1. -4». &c: & comme pour ap-
pliqtier à ces nouvelles progrcfiions les principes ci-
devant établis , il fuffiroit de répéter ce que nous
avons déjà dit , nous n'en parlerons pas davantage*
Nous nous contenterons d'avertir que tout ce qui fuie
convient également au progrefEons dont les termes
font tous vrais ou tous fiàuz^ de à celles dont quelques
termes font faux.

THÊOREM E.

Ï03 La fomme des deux extrêmes £une Progrejfion
arithmétique tfi égale à la fommt de deux moyens qyeU
$9fifus fris à é&fiante égale àts esarimei.

Pémonstbatiok.

Comme les deux moyens feront a diftance é|;a!e
^ extrêmes de la progreffion , il 7 aura autant de
termes entre le premier terme de la progreifion & le
f)remier moyen, qu'il y en aura entre le fécond moyen
•^ le dernier terme. Ainfi (N^. 1 8 1 .) le premier ter-
fnC) le premier moyen^ le fécond moyen & le dernier
terme de la progreffion » feront quatre termes en pA>^
portion arithmétique & par conféquent ( A^^. I75.)
la fomme des deux extrêmes fera égale à la fomme
4jes deux moyens.

Par exemple fi Ton a cette progreffion arîtbmétî*
que -7- 3. 5. 7. p. 1 1. 1 j. ly, dont la fomme des ex-
trêmes 5 Â: I j[ vaut 1 8 ; la fomme de deux moyens
quelconques également éloignés des extrêmes, tels
qye 5 &i5,ou7&U|Ou S&S> vaudra auffi i?^

|8o Uv.VlU. Chap. n. Des PaoGKEssioiif

CoXOZZjtIif£w

184 Si le nombre des termes de la progreflion eff
impair) le terme du milieu fera égal à la moitié de la
fomme des extrêmes. Car comme il 7 aura même dif-
férence du premier terme à celui du milieu , que de ce-
lui du milieu au dernier ; il eft clair que le premier
terme , celui du milieu & le dernier feront en propor-
tîon continue. Ainfi la fomme des extrêmes fera dou-
ble du terme du milieu (iV®. I7î0 ; & par conféquent
le terme du milieu ne vaudra que la moitié de la fom*
me des extrêmes.

THÉORÈME.

loy. La fomme de tous les termes éCune Progreffion
arithmétique tft égale à la moitié de la fimme des extrér
meSf multipliée par le nombre des termes de la progreffioru

«

DéMONSTaATIOK.

Nous avons vu (AT^. 183.) que la fomme de& ex-
trêmes eft égale à la fomme de deux termes moyens
quelconques également éloignés des extrêmes; 9c
nous avons prouvé (A^. 184*) que quand le nombre

- des termes de la progreflion eft impair, le terme du
milieu eft égal à la moitié de la fomme des extrêmes.
Ainfi tous les termes d'une progreflion arithmétique^
font enfemble égaux à un pareil nombre de termes
dont chacun feroic égal à la moitié de la fomme des
extrêmes ; d'où il fuit qu'on aura la fomme de tous
les termes d'une progreflion arithmétique, en pre-
nant la moitié de la fomme des extrêmes , autant de
fols qu'il y a de termes dans la progreflion, c'eft-à-
dire en multipliant la moitié de la fomme des extrêr

. mes, par le nombre des termes de la progreflion.

'A&ITHHéTIQUJSS; ^Sf

Far exemple fi Ton a cettte progreflîon anthméd-

que-r5- 5»7« P* ''* '3* '5* ^^^^ ^^ fomme des
extrêmes 3 & i y eft 1 8 , & dont le nombre des ter-
mes eft 7; OD multipliera p qui efl la moitié de 1 8, pac
7 } ce qui donnera ^3 pour la fomme de tous les ter-
mes de la progreifion propofée.

CoitOZZjiIMM.

loO Donc on aura au(E la fomme de tous let
termes d'une progrefiion arithmétique 1 en multipliant
la ibmme des extrêmes par la moitié du nombre des
termes de cette progrefijon.

Par exemple fi Ton a cette progreflion arithméti-
que -r 3* 5- !• 9* itp 13. 15. dont la fomme des
ext]:êmes eft 18 & dont le nombre des termes eft 7;
on multipliera 1 8 par 3 § qui eft la moitié de 7 ; ^
Ton aura 63 pour la fomme de tous les termes de la
progrefijon propoféc«

Pour mieux faire entendre les^rîncipes des progrejjjîoni
arithmétiques que Von vient d'expliquer ,^ on en va faire,
^age dans la réfolution de quelques queftioru*

Qu SST I ON PRMM2SMS.

On a payé une certaine fomme en 28 femaines. Au bout
de la première femaine on a payé i^^au bout de la féconde
on a payé ^^ •* & les payemens fuivans ayant toujours été
ainfi augmentés de 3^; on demande de combien a été le
payement de la vingt-huitième femaine.

Puifque les payemens ont toujours été augmentés
de 3*, les 28 payemens font une progreflion arithmé-
tique croiflante de 28 termes dont le premier eft 1" ^
& dont la différence additive eft 3*. Âinfi (iV^. 178.)
en multipliant la différence 3* par 27 nombre des
termes qui précédent le dernier , âc en ajoutant le pro«
duit 81* au premier terme i^; on aura 82^ pour le

1 8 a Lîy. VlllCkâf^ U. Di$ PiLoaitessiôm
dernier payeAicnc ifàotx a fait au beat de la vifigC*
iuiiti^me femaîoe*

Q^V M s T t O N IL

Ofi uf^^nnt eertùtne femme en aifemaines^ Au bout

de la vingt-kuniémejernsineion a faji S2*} Id femaim

précédente on avait payé 3* de moins ^ & toutes les autres

femaines on avait toujours payé ^^ de moins que la préct"

éenttiOn demande tombhn ton a payé la première femaine^

11 cft daîr que tons les payetnensi à commeDcer
par le ^inîer 82"^ pris dans un ordre oppofé à celui
clans lequel ils ont été faits , compofcnt une progref*
fiofl arithmétique décroHIànte de 28 termes dont le
premier eft 82^^» et dont la dififërence foufiraâiye eft
5*. Aînfi {N^. 178.) en multipliant la différence 3*
par le nombre 27 des.termes qui précédent le dernier;
^ retranchant le produit 81^» du plus grand terme
82^^; le reAe i^« fera le premier payement que Toa
deniafide.

QuMSTZO^ ï IL

On a fait différent payemens qui ont toujours augmenté •
de 3*. Le premier a été aie 1*, 6; le dernier a été de 82*»
On demandé aêmtkn Vsn sjéit de payement.

Les payemeoi ayant toujours été augmentés ^gale*
ooeat de 3^^ iTonic uoe pno^refiJoB acitèmédque croif-
faate dont le firomer cermê eft 1^, le decnicc Sa^, (fc
la différence 3^.

Or<M. 17p0 le dernier terme 82* doit forpaffcr
le premier i*, d'utie quaoticé égak à la dtffîreoQe 3^
fmdtfpliée par le nombre des xtnocs qui font avaaf
le dernier. Âinfi retranchant le premier tecme 1' da
dernier 8a^, le refte Si*^ fera égal à la cSfférenoe 3^
de la pFOgfGffion> multipliée par le inombie des teants
^ui ptécédent k dcroiect D'où il fuit i^ue fi l'ondrvife

S t* par 3*^ le quotient 27 fera le nombre des termes
^ui font avant le dernier de la progreflion; 8c par coi>-
féquent la progreffion aura iS termes > c eft-i-dir«
^n'on a fak a8 payemeas.

Ç^a ssTioM IV.

On a fàh ±t pajemeHs fui ont toujours été êugmentét
èft progrtjjîon arlthmétiqut. Le premier pnytment a été de
1^ ùt k yingt^-huméfnt m été dt 82^ On demande de
^inhkn tea payemens ont toujours été augmentés*

Le pren^ter payetAent ayant ét^ de 1*9 & le dernier
de 3ft^; la dîfiërence de ces payemens extrêmes a été
de 81*. Mais (N^. 17p.) cette difl^rence 81* doit
cbntenir la diffiirence propre de la progreffion , au-
tant de fois qu^ily a de termes avant le dernier (qui
cft ici le vîngt-httîtiéme) ; c'eft-à-dire qu'elle doit
Êomenir 27 fois la différence propre de la progreffion*
Donc en divifant 8t* par 27, le quotient 3>* fera la
différence propre de la progreffion , ou la quantité
dont les payemens ont toujours été augmentés.

Un mtmeâu dt terre étunt à ^ toifes du premier étune
fit de 100 athrts élmgnés les uns des autres de 3 toifes :
Von 4t mené une brouettée de terre du monceau ttu pied dw
chaque arbre f & ton a ramené ia brouette au monceau.
On demande conUAen de ckemin k hroûetteur a fait.

Le monceau de terre étant à ^ toifes du premier
arbre dek fïle , le brouetteur a fait ^ toifes de chemin
pour y mener fa brouette, & il a fait ^ autres toiies
pour ramener (êl brouette au monceau ; ainfi il a fait
10 toifes de chemin pour le pttmier arbre.

Le fécond arbre étant de 5 toHes plus éloigné du

584 Liv.yilL Chef. IL Des Paogrbssioot
moDcead que le premier ; le brouecteur a faic trois
toire6 de plus pour y conduire fa brouette , & trois
coifes de plus pour la reconduire au monceau* Ainfî
]e brouetteur a faic ûx toifes de plus pour le fécond
arbre que pour le premier.

Par la même raifon , le brouetteur a fait 6 toifes tfc
plus pour le troifiéme arbre que pour le fécond; 8c il
a faic continuellement 6 toifes de plus pour chaque
arbre , à mefure qu'il a été plus éloigné du monceau
où il a pris la terre. Ainfi les 100 chemins que le
brouetteur a faits en allant & en revenant , pour les
100 arbres, font une progreflion arithmétique croif-
fante de 1 00 termes dont le premier eft i o toifes i de
donc la diâPérence propre eft 6 toifes.

Donc (No. 178.) en multipliant la différence 6
toifes, par le nombre pp des termes qui précédent le
centième, & ajoutant le produit 594 toifes au pre*
mier terme 10 toifes, la fomme ^04 toifes fera le
centième terme de la progreflion , ou le chemin que
]e brouetteur a fait pour mener fa brouette au cea« .
tiénle arbre âc pour la reconduire au monceau.

Les deux extrêmes de la progreilion étant i o toi*
fes Se 60^ toifes; û. Ton multiplie leur fomme (S 14
toifes , par la moitié 5 o du nombre des termes , le
produit 30700 toifes fera (N^. iS6.) la fomme de
tous les termes de la progreflion ; c'eft*à-dire la
fomme des chemins que le brouetteur a faits.

Qtr jKSTioj^ VL

On doit remettre 1 1 62^ en plujîeurs payemens qui id*
vent augmenter en progrejjion arithmétique. Le premier
payement doit être de i^ fy le dernier de 82^. On de^
mande combien on fera de payemens.

Le premier terme de la progreflion étant i^i 8c le

dernier

ÂRITHMiTIQUVS. 38 J

iâernier étant 82^, on aura 83^ pour la fomme des
exrêmes.

Mais 1 1 62^ étant la fomme de tous les termes de
la progreifion, efi compofé (N^. 1 8 6.) de la moitié du
nombre des termes, multipliée par la fomme 83^ des
extrêmes.

Donc en divifant 11(^2* par 83^1 le quotient 14
iera la moitié du nombre des termes. Ainfi la pro«
greflion aura 28 termes, ceft- à-dire qu'on fêta 28.
pajeniens.

Q^O SST io N VIL

On A remis 1 1 62* en plufieurs payemens qui ont aug^
menti en progrejjion arithmétique^ Lt premier payement
m été de i^dr le dernier de S 2^. On demande de combien
les payemens ont augmenté ; ttft-â'iUre^uonJemandi la
différenu propre de la progrejjîon»

On cherchera d'abord le nombre des termes de la
progreffion, comme dans la quefiion précédente; de
l'on trouvera qu'il faut faire 28 payemens. Et com-
me on fait que le premier payement eft de i^Sc que
le dernier eft de 82^; on trouvera de combien les
payemens ont augmenté, comme dans la quatrième
quefiion.

Question VIIL

On a payé 1 1 62^ en 28 payemens qui ont augmenté
en progrejjion arithmétique^ & dont U premier a été de
1 \ On demande de combien a été U dernier payement ^
€r de combien les payemens ont augmenté.

Puifque 1162* eft la fomme des 28 payemens »
ou de tous les termes de la progreffion ; cette fomme
totale doit contenir la fomme des extrêmes 14 fois,
c eft à-dire autant d« fois qu'il y a d unités dans la
moitié du nombre 28 dts termes {/^. i 8j5.). Aipfi en
Arithmétique. B b

^i6 Vi9. Vllî. Chap. IL Dés Progiissions ARiTHir.
divifant 1162^ par 1 4 , le quotient 8 j * fera la fomme
des extrêmes de la progreflion : & comme on fak que
k premier terme cft 1*, le dernier terme fera 8^*5
c'eil-à- dire qu'on a donné 82^ au dernier payement*
Puifque l'on fait qu'on a fait 28 payemens en pro-
greflion arithmétique, que le premiji payement a été
de i^ & le dernier de 82^; on trouvera comme dans
la quatrième queflion , que les payemeos ont aug«
Henté continuellement de 3^«

On n acquitté unt dette de 1 1^2^ en 28 payemcns qui
ênt augmenté continuellement de 3^; & Von demande et
tomhkn cnt été le premier Cr k dernier paytmens.

On a vu (A^^ 186) que la fomme 1 1 62* de tous
les termes de la progreflion » contient la fomme des
eJetrêmes autant de fois qu'il y a d'unités dans la moi-
tié du nombre des termes. Ainfi cette fomme totale
1162^ contiendra 14 fois la fomme des extrêmes;
d'où il fuit qu'en divifant 1 162^ par 14, le quotient
63^ fera la fomme des extrêmes.

Puifqu'il y a 28 termesdans la progrefl[ion9 de que
la diflférence eft 3*; le dernier terme contiendra 27
fois 3*, c'eft-à-dire 8 1*, plus le premier terme : ainfi
la fomme des extrêmes contiendra 81*, plus deux
-fois le premier terme. Mais nous avons trouvé que la
ibmme des otrémes eft 83*^. Dorx: en retranchaiH
8 1^ de 8 3 H, le refte 2* fera le double clti premier ter*
me ; & par conféqucnt ce premier terme fera t^ : ft
comme le dernier terme doit contenir le premier i*
•avec 8 1", le dernier terme fera 8>2*.

Le premier Se le dernier payecûcos fecooc donc 6t

5

1^ Ly. V^IIL (m^. UL bes P aogaessions gâomet. 3 87^

t

CHAPITRE III.

Vis ProgreJJîons géométriques.

Définitions.

t

xS'y T T ^^ ^^^^ ^^ termes dont diacun contient
V^ également celui qui le fuit , ou dont cha^-
€un efl également contenu dans le fuivant, s^appel(o
Progrtffîon géométrique^ ou iimplement ProgreJJîon.

Lorfquc Jts t€rm6s d'une progrefliQA géométri-
que vont en augmentant > on la nomme ProgreJ^ion
^ûffaatei &lorfque fés termes vont en diminuant»
4>n rappelle Pregreffion iécrotffante.

Le nombre entier ou rompu qui exprime combien
<le fois chaque terme d'une progrefllan contient celui ,
^ui le fuit y ou celui qui le précède , fe nomme RâJfon
de la progreffion*

Pour marquer que tous les termes d'une fuite (091
.«n progreiTion géométrique , on- met à la gauche du
premier terme quatre points , avec une bacre horifoa-
taie qui fépare les deux points fupérieurs At% deux
points inférieurs , & Ton met deux points l'un Aie
l'autre après chaque terme de la progreffion.

Par exemple ^ 3 : 6 : 12 : 24: 46 : p6, donc les
termes vont en augmentant , eft une pfogieffion géo-
métrique croisante dont la raîfon eft 2 ; paixre que
tjiaque terme eft contenu deux fois dans celui qui le
fuit. Cène autre fuite ^ 9^ : 48 : ^4 ^ 12 : 5 : 5 ,
dont les termes vont en diminuant, eft une progref--
* iion géométrique décroisante dont la raifon eft 2 ;
parce que chaque terme contient deux fois celui qui
le iîiic.

Bbii

5S8 Lîv. Vni. Ckap. III Des Progbessiom

Une progreflTion géométrique qui n'a que trois tcr-
incs , comme ^ ^ :S: 12 ; ou-^i2:5:j, s'ap-
pelle une Proportion géométrique continue. Ainfi dans
une proportion géométrique continue, le premier
terme e(î contenu dans le fécond , ou contient le fé-
cond , de la même manière que le fécond eft contena
dans le troiûéme , ou contient le troifîéme : & par
conféquent , fî Ton écrit deux fois le terme du milieu »
4es' proportions continues -^^lôiliôc— 121 6 : j
•feront converties en ces (impies proportions
^ : d : : 6 : 12 9 & 12:6:16:^.

OMO LLA Z RM P M M M I M M.

180 Donc i^« Si un nombre quelconque eft con-
tinuellement multiplié par un même nombre plus
grand que Tunité ; les termes qui réfulteront de ces
multiplications , formeront une progreflion géomé-
:trique croiflante. Car chaque terme fera contenu éga-
lement dans celui qui le fuivra, & il y fera contena
plus dVne fois.

Ainû la fuite 3^3x2: ^X2X2: )X2X2X2:
5x2x2x2x2: &c réfultante du nombre 5 multi-
plié continuellement par 2 » eft une progrefQon géo-
métrique croifTante.

La fuite 2:2x|: 2X^x| : 2>^\x\x\t &c
réfultante du nombre 2 multiplié continuellement
par \ plus grand que l'unité ^ eft aufti une progrelBoa
géométrique croifTante.

2^. Au contraire lorfqu'un nombre quelconque
conGderé comme premier terme , fera continuelle-
ment multiplié par une même fraftion moindre que
Tunit^ ; les termes qui réfulteront de ces multiplica-
tions» compoferont une progreflion géométrique
déaoiOante, qui fera la même que celle qu on aucoic

OÉOMÉTRIQUKS. jÔp

en divifant continuellement le premier terme, par la
fraâion inverfe qui fera plus grande que l'unité.

Par exemple la fuite : 48 : 48 x 5 : 48 x 5 : x 5 :
48X fxixî : &c, qu'on trouve en multipliant le
premier terme 48 contiuuellement par la fradion |
moindre que Tunîté, eft une progreffion géoaié-
trique décroisante qui eil la même que celle«cl

48 • ^ ' Ixl • IxTxl • *^ ' qu'on auroit en divi-
fant 48 continuellement par | ou par 2. Car multi«
plier par 2 eft la même chofe que divifer par 2.

Cette fuite i:|:7Xf:fx|x|: |xfx|x|!&c
ou I : j- : f : ifijj: Sec réfultante de l'unité multipliée
continuellement par la fraâion j moindre que Tunitét
eft une progreftion géométrique décroiÛanre qui eft la

A If • * « ' ' -.

même que celle-ci i : j : 3 v * • i v * v ' • 1 v^ v i v i • *c

qu^on auroit en divifant Tunité , continuellement
par l qui eft la fraftion inverfe de j. Car (A^. 72. ) t
diviler par | eft la même chofe que multiplier par la
fraâion inverfe f •

Quoique tous Us tcrmts £unt progrejfion géométrique
eroijjante ou décroîffante ^ puiffent être produits par la mul^
tîpUcatîon continuelle de fon premier terme par un mime
nombre plus grand ou plus petit que Vunité ; & que le nombre
confiant par lequel on midtipliera continuellement y foit pro-^
pre à exprimer comment chaque terme fera contenu dans le
Juivant , & puiffe éire par conféquent regardé comme la rar«
Jon de laprogre£ion : ce multiplicateur continuel neJWapris,
dans le refie de ce chapitre y pour la r-aifon delà progrejfiort ^
que dans le cas où II fera plus grand que Vunité^ & que la
progrejjion fera par conféquent croijfante. Et dans le cas où
ce multiplicateur continuel fera une fraSion moindre que
t unité J ceft^à'dire que la progrtffion fera décroisante; on
prendra pour raifon de la progrejfion , la fraâion- inverfe quk

Bbii)

3 ço Liv. Vllh Chaf. llh Dss Progressions

fera toujours plus grande que l'unité ; & l'on eon^dérira lem
termes de la progrejjîon^ comme s'ils étoient compofes du pre*
mier terme âiyifi continuellement par cette fraSion inverje^

Co MO LLA I R E IL

lop Si deux termes de fuite quelconques d^une
progreflion y font donnés ; on pourra continuer cette-
progre(Eon autant qu'on voudra, foit en montant
foit en defcendant. Car en divifant le plus grand des
deux termes qui fe fiiivent, par le plus petit; le quo-
tient qui furpaffera Tunité, fera le nôrhbre de fois que
lun contiendra l'autre ; & ce nombre de fois fera \à
raifon de la progrelTioti (N^. 187. & 188.). Ainfi
^A^o. i88,) etf multipliant concinuellement pôf ce
quotient, le plus grand des deux termes donnés ; oa
trouvera de fuite tant de termes qu'on voudra de la
progreffion en montant : & en divifant continuclle-
menc par ce quotient , le plus petît des deux termes
donnes ; on trouvera autant de termes qu'où voudra
de la progreflion en defcendant.

1

Co MO X à,jt I KM I IL

190 Donc un ferme quelconque d'uoc progredtoa
géométrique, eft compofé du premier terme multi-
plié ou divifé autant de fois de fuite par la raifea
de la progreflion , qu'il y a de termes avant lui.

Par exemple le premier terme qui n'en a point
d'autre avant lui , eft compfé de lui-même, fans être
multiplié ni divifé par la raifon de la progreflion : te
fécond terme qui a un terme avant lui , eft compofé
du premier multiplié ou divifé une fois par la raifon
de la progreflion {N\ 188) : le troifiémc terme qui
tn a deux avant lui > eft compofé du premier moitié

GéoMéTSIQUSS. 59 1

plié ou divifé deux fois de fuite par la raifon de la
progreflion : & ainC des autres.

O RO LL ji Z R M

ir.

Xp ' ^^ même que Ton a comparé tous les termes
d'une progreffion géométrique, avec le premier ;
on pourra les comparer avec tel autre terme qu'oa
voudra de la même progreflion ; & Ton verra aifé*
snent que ,

lo. Quand deux termes fe fuivront Jmmédîate«
ment , ou n'auront point d'autres termes entr'eux ; le
fécond de ces deux termes fera compofé du premier
multiplié ou divifé une fois par la raifon de la pro
greffion.

2^. Lorfque deux termes auront un terme en-
tr'eux; le fécond fera compofé du premier multi-
plié ou divifé deux fois de fuite par la raifon de la
progreflion*

3^, Lorfqu'il y aura deux termes entre ceux que
fon comparera ; le fécond des deux termes com-
parés, fera compofé du premier multiplié ou di«*
vifé trois fois de fuite par la raifon de la progref-
fion.

Enfin quel que foit le nombre des termes qui fc
trouveront entre k s deux termes que Ion comparera;
le fécond fera toujours compofé du premier multiplié
ou divifé par la raifon de la progreflion^ autant de fois
de fuite plus une fois, qu'il y aura de termes entr^
ceux que l'on comparera On concevra aifément tout
oeci, pour peu qu'on examine la compofltion des
fermes àt^ deyx progreflaons qui ooc fervi d'exemple
dans \& coroUaiie premier.

Bb Ilij

3^2 Liy. FIXA Ckap. IIL Des PROGasssioKS

CoRO LLjtl R M F»

Ip2 Donc fi, dans une progreilion géométrique^
on prend quatre tcf mes tels qu'il y ait autant de ter-
mes entre fe premier & le fécond, qu'entre le troîfiéme
& le quatrième ; ces quatre termes feront en propor«
tion géométrique.

Car (A^«. ipi.) en comparant le premier & le
troiûéme termes, avec le fécond & le quatrième;
le fécond fera compofé du premier multiplié ou di«
vifc par la raifon de la progreffion , autant de fois
plus une fois qu'il y aura de termes entre le premier
-& le fécond que Ton comparera ; & le quatrième fera
compofé du troifiéme mutiplié ou divifé par la mê-
me raifon de la progreflion , autant de fois plus une
fois qu'il y aura de termes entre ces deux termes
comparée : & comme on fuppofe qu'il y a autant
de termes entre le premier & le fécond , qu'entre le
troiiiéme de le quatrième ; il eft évident que le fe*
cond & le quatrième feront compofés du premier St
du troifiéme multipliés ou divifés le même nombre
de fois par la raifon de la progreHjon* D'où il fuit
que le premier de ces quatre termes , fera contenu
dans le fécond, ou contiendra le fécond, autant de
fois que le troifiéme fera contenu dans le quatrième ,
ou contiendra le quatrième ; c'eft-à-dire {N^. 102.)
que ces quatre termes feront en proportion géomé-
Crique«

Et réciproquement , fi dans une progreffion géo-
D^èrrique on prend quatre termes en proportion géo-
métrique ; il y aura autant de termes entre le premier
& le fecond,qu*entre le troifiéme & le quatriémcCette
propofition eft une fuite fi naturelle de la précédent^
qu'elle n'a pas befoin de dcmonllration.

••V

G 1& O M1Ê T E I Q U E s. )pf

Il eft donc évident que quatre termes pris dans une
progreiCon géométrique, de manière que le fécond
fuive immédiatement le premier^ & que le quatrième
fuive immédiatement le croifiéme » feront audi en
proportion géométrique. Car (A^o« i88.) le fécond
fera compofé du premier multiplié ou divifé une fois
par la raifon de la progreilion , & le quatrième fera
compofé du troifiéme multiplié ou divifé pareille-
ment une fors par la même raifon*

Enfin il efl aifé de voir par tout ce que nous
avons dit, que fi dans une progreflion géométrique,
on prend trois termes quelconques de fuice » ou trois
termes tels qu'il j ait autant de termes entre le pre-
mier 8c le fécond, qu'entre le fécond & le troifiéme;
ces trois termes feront une proportion géométrique
continue ; c'eft-à-dire que le premier fera au fécond
comme le fécond efl au troifiéme.

Car (A/^. 191 & 192.) pour connpofer le fécond
terme y il faudra multiplier ou divifer autant de fois
le premier par la raifon de la progreflion, qu'il fau«
dra multiplier ou divifer de fois le fécond terme pac
la même raifon de la progreflion , pour avoir le troi*
fiéme»

THEOREME.

15? 3 Larfqut trois termes font en proportion continue^
le quarré du terme moyen eji égal au produit des deux
extrêmes.

Prenons pour exemple cette proportion conti-
nue -jf 3 : 6 : 12. Si Ton écrit deux fois de fuitç
le terme du milieu, on la convertira (A^^, 187.) en
cette fimple proportion j : 6 : : 6 : lu.

Mais (N^. io5.) le produit des moyens d'une
proportion , efl égal au produit des extrêmes ; âc les
moyens de cette proportion étant égaux 1 leproduiç

des moyens eft égal au quarré de Tun de ces moyens^
c^eft'à-dire au quarré du moyen de la proportion coa^
tinue ^ 3 : 5 ; 1 2,

Donc dans une pr(^>Oftion continue, le quarré da
terme moyen e(l égal au produit des extrêmes.

Co MO ZZ A l'Â Mm

194 Puîfque dans une proportion continue, tequarré
du terme moyen eft égal au produit des extrêmes, &
que des quantités égales ont des racines quarrées éga«
les ; il eft clair que le terme moyen qui eft la racine
quarrée de Ton quarré, eft égal à la racine quarréc da
produit des extrêmes*

THÉORÈME.

lïpy Lt quotient d'une diyifton dont le dividende efi
plus grand d'une unité que le divifeur , ejl égal à lajbmme
de tous les termes d'une progrejjion géométrique déeroijfante
composée Hune infinité de termes dont le premier ejl Vuniti^
6* dont la ratfon ejl égale au dividende.

Par exemple. Le quotient de la divifion de 1% far

II, efl t^gal à la fomme de tous les termes de cette

progrejpon géométrique décroijfante poujfée à Vinfini

^— ¥*• * • A*!*/*

• . * •• 1. • 12 X li • 12X I2X i* • ^*'*

Démoksteotiok.

Pour fixer l'imagination & pour rendre fenfîble la
idémonftration de ce théorème, fuppofpns qu'on aie
12 a divifer par 11.

1^. Le dividende 1 2 étant plus grand d'une unité
que le divifeur 1 1, le divifeur y fera contenu une fois:
ainû le premier terme du quotient fera i^ & le rcftc de
la diviûon fera aufli 1 •

OÉaMÉTHIQUHS, 59y

StP. Le reftc i ne pouvant pas être dîvîfé par 1 1 ,
on le réduira en douzièmes p dont le dénominateur eiî
égal au dividende propofé ; & Ton aura(A^o. J4.) ii à
divifer par 1 1 , ce qui donnera (N^. 66*^) ji pour la fo
conde partie du quotient , & ^ pour le relie de cette
opération.

30. Le refle yï ^^^^ conveni en iouiUnns de douzième
en multipliant fon numérateur & fon dénominateur
par 12^ ce qui ne changera point la valeur de ce refte
(A^. 56.); & 1 on aura yt^ ^ divifer par 1 1 , ce qui
donnera (iV°.6(î.) Tj^fTi P^^' '* troifiéme partie du
quotient , & -jT^ pour le refte de cette opération.
40. Le refte rrkTi n'étant qu'une unité fraftion-
paire, fi Ton continue de multiplier fon numéra«
teur I & fon dénominateur la x 12 > par le nom-
bre 12 plus grand d'une unité que le nombre 1 1 par
lequel on doit divifer; la nouvelle partie qu'on trou-
vera pour le quotient, fera encore une unité fraftion-
nsîre 12 x l'ix 12 ^^nt le dénominateur fera 12 fois
plus grand que celui de la partie précédente du quo-
tient ; & le refte de l'opération fera égal à la nouvelle

pw^îc nirrnrn du quotient.

Enfin comme il faudra toujours multiplier par 1 2
le numérateur & le dénominateur du refte qui ne
fera jamais qu'une unité fraâionnaire ; on aura tou-
jours à l'infini pour le quotient & pour le refte, de
nouvelles unités fraftionnaires continuellement 12
fois plus petites , fans jamais parvenir à faire la divi-
iion fans refte.

Donc en divifant le nombre 12 par 1 1 , on trou-
vera pour le quotient cette fuite infinie de termes

TT I • iT'TTÎTr • ^lxx^xl^ ' *c, cu progreffion
géométrique décroiflante dont le premier eft l'unité ^
& dont la raifon eft égale au dividende i z.

'3p^ Lty. VIÎÎ. Chap. 111. Des PKOGREssioirf

En appliquant le même raîfonnemcnc à toute aùtrtf
diviûon dont le dividende fera plus grand d'une uniré
que le divifeur, Se en multipliant continuellement l6
numérateur Se le dénominateur du refle de chaque
opération par le dividende , c'eft-à*dire par un nom-
bre plus grand d'une unité que le divifeur; on trouvera
toujours pour le quotient, une progreflion géométri-
que décroi0ante compofée d'une infinité de termes
dont le premier fera x , & dont la raîfon fera égale aa
dividende.

On peut donc conclurre tn général , que le quo-
tient d'une divifion dont le dividende eft plus grand
d'une unité que le divifeur ». eft égal à la fomme de
tous les termes d'une progrcfBon géométrique dé-
croiflante à l'infini , dont le premier terme eft i » dt
dont la raifon eft égale au dividende.

THÉORÈME.

190 On aura la fommt de tous les termes d^une pra^
grejjîon géométrique décroîjfante à t infini ^ quelque foit
fon premier terme , en diyijant la raifon de cette prot*
greffton par un nombre plus petit quelle d'une unité ^ Cf
en multipliant le quotient de cette diyifionf par le premier
terme de la progrejfion.

Démonstration.

Pour mieux faire entendre la démonftration de
ce théorème, prenons un exemple, Se fuppofons
qu'on veut avoir la fomme de tous les termes de
la progreflion géométrique décroiflante à l'infini
-ff J4^ : 1Z1612: |:&c,qui(M. 188) eft la même

que celle-ci -' C4 • ii-^^ • — ^^ ». . ^^ • &c

dont la raifon eft 3 •

Comme le premier terme de cette progrejQSon n'cft
pas Tunité , on en divifera tous les termes par le pre-
mier 54 ; ce qui donnera cette nouvelle progreffioa

-H- ^- f • bTT • î>^ • Txàït^ • *c, qui aura l'unité
pour premier terme , & dont la raifon fera 3 , comme
celle de la progreffion propofée ; parce qu'en divifant
tous les termes de la première progreffion par 549 on
n'a divifé que leurs numérateurs j & qu on n'a poinc
touché aux dénominateurs ^ ou à la raifon 3 par la-
quelle ces termes font continuellement divifés.
La fomme de tous les termes de cette nouvelle

progreffion^ i rj: Hhl'IxîxT- 3x1x1x3 :&c,nefera
que la cinquante-quatrième partie de la fomme des
termes de la première ; puifque tous les termes nou-
veaux font j4 fois plus petits que les anciens. Ainfi
quand on aura trouvé la valeur de la fomme de tous
les termes de la nouvelle progreffion ; il faudra
multiplier cette valeur par J4 , pour avoir la fom-
me de tous les termes de la première progreffion
JI. -^ . Lt . jjL . 54 . 54 . ^

. .. ÏT • 3 • 3x3 • 3X3X3 • 3X3X3X3 * ^^'

Mais (A^o. ip^.) on aura la fomme des termes de la
nouvelle progreffion ~ i : } : 7^, : nôk ' 1x7^ • *c
dont le premier terme eft i , & dont la raifon eft 3 9
en divifant la raifon 5 de cette progreffion» par 2*

Donc on aura la fomme de tous les termes de la
première progreffion, qui ell ^4 fois plus grande
que la nouvelle, en multipliant par ^4 le quotient
qu'on a trouvé pour la valeur de la nouvelle : c'eft-
à-dire en divifant la raifon 3 de la progreffion par
le nombre 2 plus petit d'une unité que cette raifon.
Se en multipliant le quotient de cette diviiion par le
premier terme J4 de h progreffion.

^j}8 Liv. Vin. Chip, m Dis FftOGUssioHt

CoMLOLLjil KJt F KMM I * M,

197 ^* ""^g'* qu'on vient cf(5tablîr pour trouver
la fotnmc de tous les termes d'une progredion géo-
métrique décroiffante à l'inBni, efl générale; tnais
elle eft réiaiivc à une progredJon réfultante de la di-
vilîon continuelle d'un premier terme par un mÊmc
nombre plus grand que l'unité.

AinG lorfqa'on propofera de trouver la fommede
tous les termes d'une progrcdîon réfultante de la mul-
tiplication continuelle d'un premier terme, par une
même fraAion moindre quefunité; il faudra cbaoget
la forme de cette progreffion, & regarder tous fcs
termes , comme s'ils venoient de la divifion conti-
nuelle d'un même terme, par une même fraâion inc
vcrfe de la première, & par cotiféqucnt plus grande
'que l'unité. Alors la progredion fera en état d'être
fommée par la règle qu'on vient de donner.

Par exemple G l'on propofe de trouver la fommc de
tous les termes de cette progreflion 77 v-\:%:^'^-icc,

O^ TT ^ '• \ '- \^\ ' \'>^\'^\ • ï>^|'*f^î- ^*^>

réfultante de la multiplication continuelle du pre-
mier terme i , par la même fraftion \ moindre
~^uc l'unité 'j il faudra lui donner cette forme

■ff ' • T • \y~ï '• {^{^{ • ixixixf ■ *c î
-c'«A-à-dire (A?". 188.) qu'on la regardera comme

£ tous fc* f^rm^r r^fiAtni^nt i-In nrrmi^r t-Ann* i H!-

.vifé coni

iiraâion \

Laprc

a l'unité

raifon ; c

divifant i

que 4-* O^ c*^ divifant -f par ^, ou (No. «ya.), en
multipliant 4" P^' ^ t le nombre 3 qu'on trouvera fcr^
cgal à la fomme de tous les termes de la piogreflîoa

décroiiTante à Tinfini , & par conféquent de la pro^
pofée -^ 1 : f : 5 î ^ : î! • &c <jui lui cû égale.

RO LLjiZ R M

II

ipo Donc 1^. la fomme de tous les termes
poffibles de cette progreffion décroiflante à Tin--
finî-^{: ^: I : &c, eft égale à lunîté.

2®. La fomme de tous les termes de celle-
ci -ff j •• !• ^ : &c,'eft pareillement égale à Tunîté.

5^. La fomme de tous les termes de celle*

ci -77 i* ïV- Tf • *^ > ^^ cflcore égale à runité.

Enfin la fomme de tous les termes d'une progref-
fion géométrique décroiffante à l'infini , qui aura
pour premier terme une fraftion dont le dénomina-
teur furpaffera le numérateur d'une unité , & qui
aura pour raifon le dénominateur du premier tet-
me , fera égale à l'unité : & comme on peut faire
une infinité de progreffions géométriques diflférea-
tes, qui auront toutes ces deux conditions ; il eft clair
Qu'on peut auffi avoir une infinité de différentes
progreffions géométriques décroiffantes à l'infini »
îdont chacune aura une fomme égale à l'unité , A:
dont toutes les fommes feront par conféquent égalos
fntr'eUes.

PROBLÊME.

«15^ ^ ^^^^ ^ fommt d'un nombre quelcanque it
iermes pris de faut (Uns une progreffion géométrique , en
évifam la raifon >4^ U progreffion par un nombre plus

400 Lîy. Fin. Ckâp. IL Des

petit quelU (tune unité ^ en multipliant le quotient par
la dijférence du plus grand terme au plus petit ,(sr en ajou^
tant le plus petit terme au produit de cette multipUeatiùru

w

Démon STEATioN.

Pour faciliter rintelligence de la dëmonftration,
fuppofoos qu'on veut avoir la fomme d'un nombre
de termes en progreflion géométrique t dont le plus
^rand eft i ^62; , le plus petit 2; , & dont la raifoa
eft 5 ; ôc le plus pc^it terme excepté , regardons les
autres termes dont on demande la fomme , comme la
différence de deux progreffions décroiffantes à rinfini,
qui ont toutes deux 5 pour leur raifon. Que la pre**
miere de ces progreflîons ait pour premier terme le
plus grand terme i $62^ ^ & que la féconde ait pour
premier terme le nombre 2$ qui eft le plus petit de
ceux dont ont demande la fomme.

1^. On aura (N^. 196.) la fomme de tous le ter-
mes de la progreflion décroiffante à l'infini , dont le
premier eft 1 $62^ Se dont la raifon eft ; , en divi«
fant la raifon j par 4, & en multipliant le quotient
I ~ par le premier terme i$62^ ; ce qui produira
.19^51 ^ pour la fomme du nombre infini des termes
de cette progreffion.

20, On aura (N^ i<fpO la fomme de tous les ter-
mes de la progreffion décroiffante à l'infini , qui a 2f
pour premier terme . & j pour fa raifon , en divifanfi
la raifon 5 par 4, a en multipliant le quotient 1 \
par le premier terme 2 ^ ; ce qui donnera ^ i ^ pour
la fomme du nombre infini de termes de cette pro-
greffion.

Retranchant la fomme 31 ^ de la féconde pro-
greffion, de la fomme 19^31 ^ de la première»
le refte 19500 contiendra évidemment la fomme

de

<Ie tous les termes qu'on demande , excepté le plus
petit 2 j ; parce que ce plus petit terme eft compris
dans la fomme des termes de la féconde progreffion
qu^on a retranchée. Ainfi en ajoutant 25 au refte
19^00 qu'on vient de trouver , le total ip^2^ fera
la fomme demandée de tous les termes dont le pfus
grand eft 1 5^2 ^ & le plus petit 2^ , pris de fuite dans
là progreflfion géométrique dont la raifon eft ^.

Si Ton examine cette opération , ic qu'on httk
attention qu'en ôtant jî^ de is^jî^ 4*> ^^ * rê^-
tranché le produit de i -^ multiplié par 2^ , du pro--^
^itde i-^ multiplié par 1^625; on concevra aifé«
ment qu'on aufoit eu la même cbofe , en multipliann
1-^ ou -i- par ij^oo différence cfc 15(^25* à 2f«
Ainfi lerefte ipjoo qu'on a trouvé, n'eft rien autre
chore que le quotient -^ de la raifon 5: divifée par ^ ,
tfaTon a muttiplié par la différence 15^00 du plus
grand terme au plus petit terme: Se comme il eft
évident que ce produit 19J00 ne contient point le
plus petit terme 2^ , on ajoute ce terme au produit
ipjoo, comme il eft prefcrit par le théorème; &
Yen trouve 19 52 y pour la fomme cîcmandée des
termes dont le plus grand eft 1^62$ Stte plus petit
2 y > pris de foke dans une progreÉoa dont la rai«
foA eft j.

S${

ArUhmétt^Uii C tf

!^02 LiV. Vlll. Chap. IV. Des t0ffÀRTTHBIS&

CHAPITRE IV.

Da Logarithmes & de leur ufage dans V Arithmétique,

Définition 9«

>lOO C I ï'o^ imagine que tous les nombres font
i3 contenus dans uhe même progreffion géo-
métrique dont Tun des termes foit l'unité ; la diftan-
ce qu'il y aura d'un terme quelconque de cette pro-
greflfion à l'unité , fera nommée le Logarithme de ce
terme.

On entend par Dîjlance d'un terme à Vunîté le nom-^
bre de termes qu'il y a depuis l'unité exclufivemeDty
.jufqu'à ce terme inclulîvement.

CoitOLLjtXR£ PRMM IX Ml

2 O I La progreffion géométrique , dans laquelle oo
imaginera que tous les nombres font contenus, ne
pouvant avoir qu'un feul terme égal à Tunité que
l'on regarde comme l'origine de la progreffion ; la
di (lance de l'unité à l'origine fera zéro ; & par confor
quent zéro fera le logarithme de l'imité.

CORO ZZA ï MM IL

9

202 Si Ton a cette progreffion géométrique
~ I : lo : loo : looo : loooo : &c , dont l'unité eft
le premier .terme ou l'origine , & dont la raifon eft
xo, c'efl-à^dire dont les termes font les produits de

Des Logarithhcs; 40}'

runîté multipliée continuellomenc par 10; le premier
terme 10 qui fuit rorlgine^ 8c qui eftcompofé de Tu*
nîté multipliée fimplement une fois par 10 9 fera à
la première diftance de Tunité ; Se par conféqueitt le
logarithme de ce terme 10 fera i. Le nombre 100
qu'on trouve en multipliant Tunicé deux fois de fuite
par I o , fera à la féconde diftance de lunité : ainfî le
logarithme de ce nombre 100 fera 2. Il en fera de
même des autres termes looOj loooo, 1 00000, &c
de la même progreflîon qui étant produits en multi-
pliant Tunité 3 fois , 4 fois» $ fois de fuite &c par la
raifon 10 ^ feront à la troiOéme , quatrième, cinquième
diflances &c de l'unité , & auront ^ar conféquent lef
nombres 5 , 4, ^ , &c pour logarithmes.

Si Ton avoit pris la progreffion géométrique
•ff-i :2:4:8: 16:^2: &c dont le premier terme
eft I , dont la raifon eft 2 , & dont tûu$ les termes font
par conféquent les produits de Tunité multipliée con«
tînucUement par 2 ; le premier terme 2 après Tunité
auroîc eu l'unité pour fon logarithme , & les loga-
rithmes des termes fuivans, 4^8|i5 32^&c au«i
roieat été 2, 3, 4, 5» &c.

Cô MO IZji I MJP IIL

203 Puîfque (No. 202.) les mêmes nombres î, if
5> 4» Si &c peuvent fervir de logarithmes à différent
nombres confîdérés dans différentes progrefDons géo-
métriques ; il e(l clair qu on aura autant de fyftêmes
différens de logarithmes, qu'on voudra confidércr de
progreiEons géométriques différentes ; mais il faut re*
marquer que dans toutes ces progreflions géométri-
ques, l'unité , qui fera toujours à l'origine $ aura zécQ
pour logarithme*

Ccii

404 I-ïV. VÏIl. Chap. JV. Des Logarithmes;

Comme la progreffion géomécrique décuple
-^ I : 10: loo: 1000: 10000: &c>c(l le fondement
de la numération ; c'eft à cette progreifion que Ton a
rapporté tous les nombres dont on trouve les loga«
rithmes dans les Tables : c'cft-à-dîre que dans toutes
les Tables de logarithmes, qni ont été publiées jus-
qu'à préfent, on trouve que les nombres en progref-
fion géométrique -^ 1 : 10: 100: looo: loooor&c,
ont pour logarithmes o , i, 2, 5, 4>&c

Corolljêirm. IV.

!l 04 Quand on ne confidére point d'autres termes
que ceux de la progreiïion géométrique croiflTame
4;- I • 10 : 100 : 1000 : 10000 : &c, qui a l'unité pour
premier terme : on voit bien que leurs logarithmes
font les termes correfpondans d'une progreflioa
arithmétique croifTante ^ o. i • 2. 5 • 4.. &c, qui
à zéro pour premier terme ou pour logarithme
de Tunité. On voit bien auilî que les logarithmes
-^ o • I • 2 • 3 • 4 . &c des termes de la progreflîon
géométrique , expriment par le nombre de leurs uni-
tés , le nombre de fois qu'il a fallu multiplier le pre-
mier terme de la progreâion par fa raifon 10, pour
compofer tous les termes de cette progrei&on; en forte
qu'on peut dire que le logarithme d*un nombre ^eft
le nombre desraifons de la progreffîon , qui compo*
fent ce nombre par leur multiplication. Par exem«
pie , on peut dire que i , 2 , 5 » 4 5 &c font les loga-
rithmes des nombres io> 100, looo^ loooo , &c ;
parce qu'il faut 1,2^314, &c, raifons 10 de laprogref-
uon, mukipliées enfemble, pour compofer les nom*;;
Ibres 10» 100, 1000, loooo, &c.

Il fwit delà que le logarithme d'une quantité

'bis LoGÀRITHMXf. 40^

lue 9 eft un nombre infini. Car un terme infini de la
progreffion géométrique ^i : 10: 100: 1000: &c>
contiendra la raifon 10 de cette progref&oa uqq
infinité de fois.

C MO LZji I X s V*

*

20 J Puîfque les termes de la progrefiSon géomé-
trique croi fiante -77 I • 10 : 100: 1000: loooo: &c^
ont pour logarithmes les termes correfpondans de la
progrefiTion arithmétique croiflante -70. i.s.j^.&c;
il eft évident que la même progrefilion géométrique
étant confidérée en décroifiant ou fous cette forme
-^loooo: 1000: 100: 10: 1 ; &c ; fcs termes
auront pour logarithmes , les termes correfpon-«
dans de la progrefiion arithmétique décroiiTante
:7- 4 • 5 • a . 1 • o . &c.

Si Ton continue la même. progrefiQlon géométrique
au*defibus de Tunité , en divifant continuellement
par 10 les termes de cette progrefiion; Ton aura
~ loooo: 1000: 100: 10: 1: ^: ife: t^: &c*
Et comme les termes de la progrefiion arithmétique
' qui fervent de logarithmes à ceux de cette progreA-
fioA géométrique , doivent décroître continuelle-
ment d'une unité , à mefure que les termes corref-
pondans de la progrellion géométrique deviennent
10 fois plus petits; en continuant au-delà de zéro
la progrefiion arithmétique décroifiante, on trou-
vera des termes négatifs ou faux,-i»-2r3» Sec, pour
répondre à ceux^» 73^, ~, &c, qui font moindres
que Tunité dans la progrefiion géométrique; en
forte que les termes de la progreffion géométrique
-^:- loooo: looo: 100, 10: i: -^r 75^: 7-5: &c,
auront pour termes correfpondansi & par conféquent

Çcuj

40^* I{v% VIIL Chap. IV. Des Logarithmes. .
pour logarithmes 5 les termes de cette progreffion
arithmétique -*- 4. 3. 2. i. o.-i, -2.-3. &c,
compofée de nombre pofitifs & de nombres négatifs^

ÇOMOZZ^IMS Vh

206 II c(l donc évident par le corollaire précé-
dent) que

1 ^. Les nombres plus petits que Tunité , ont pour
logarithmes des nombres faux ou moindres que
zéro.

20« Deux nombres tels que 10 & ^9 ou loo
& xÔq > o" 1 <^oo * ToVo ^c, qui font à diftances égales
de Tunité, ou dont le plus petit eft égal à une frac-
tion qui a Tuniié pour numérateur, & le phis grand
pour dénominateur, ont pour logarithmes fe même
nombre 1 ou 2 ou 3 &c ; avec cette différence ce-
pendant, que le logarithme du nombre plus grand
que l'unité, eft gn nombre vrai ; & que le logarithme
du nombre plus petit que Tunité, eil un nombre faux:
ç'cft-à-dirc qne les nombres

plus grands que l'unité ^ |o, 100 9 looo, &c«

ont pour logarithmes les

nombres vrais i, 2» 3, &c«

^ que les nombres moitié

dres que l'unité i, -^L., ^^^^^ &c^

ont pour logarithmes les

nombres faux -i, -2, -3» &c«

Car il faut multiplier Tuni*

té, le mêtne nombre de fois par 10, pour avoir lei
premiers nombres 10, 100, 1000, &c, qu'il faut
divifer de fois la même unité par 10 1 pour avoir les
fraftions ^,, r^ir^^» &c,

^""s LiQ logaxiclimc de zéro cil un nombre iafiDÎ

Dbs Logarithmes. 4^7

h^atif ; car zéro peut êcie confidéré comme un^
£raâion infîniment pecice qui auroic Tunité pour nu«
snéraceur , & un nombre infini pour dénominateur :
ainfi zéro doit avoir le même logarithme > qu'ui
nombre infini , avec cette différence que; le loga-
rithme de zéro, doit être un nombre faux, 3c que
le logarithme du nombre infini doit être un nombre
vrai ; & nous avons vu (A^o. 204.) que le logarithme
d'un nombre infiniment grand , e(l infini.

Avertiffement.

Jufqu'icî nous n'avons parlé que des nombres qui
font les termes de la progreffion géométrique décuple

"H""Tô5ôô-T^-T5ô-i^-i2io:ioo:iooo:ioooo:&c,

idont la raifon eft i o » & de leurs logarithmes ou des
termes correfpondans de la progreffion arithmétique

donc la raifon eft i* Ainfi il nous refte à faire voie
comment les nombres intermédiaires aux termes de
la progreffion géométrique peuvent être placés dans
cette progredion, & comment on peut avoir leurs
logarithmes ou leurs diflances à Torigine.

5^07 Comme (N^. 206.) un nombre plus petit que
l'unité , a le même logarithme qu'un nombre plus
grand que l'unité , pris à la même diflance de l'origine
de la progrefi[ion dans laquelle on fuppoie que ces
deux nombres font compris, avec cette différence
cependant, que le logarithme du premier eft un
nombre faux , & que le logarithme du fécond eft un
liombre vrai ; il fuffira pour expliquer en général la
çonftruâioa des Tables des logaritîmies, de faire voie

Ç c luj

I

.t •

4o8 Liy. Vlîh Chdp. /K Des Logàrithmh^
comment tous les nombres plus granck que l'unité ^
& qui font différens des termes de laprogreflion décu-
ple-^ i: lo: loo.: looo: loooo: &Cj peuvent être
placés dans cette progreffion.

£t comme la progreffion géométrique décuple
•^ I : lo: lOo: looo: loooo: &c, dont les termes
ont pour logarithmes -7 o • i • a • 3 • 4 . &c, paflfe tout
d'un coup de 1 à 10, de 10 à loo^de looà iooo>&c;
fi Ton avoir une Table de logarithmes à compofer, il
faudroit trouver les logarithmes des huit nombres

^> 5t 4» ^> ^> 7> ^> 9^ pl^^ grands que Tunité, & plus
petits que 10 ; & pour continuer la Table jufqu'à 1 00»
ït faudroit pareillement trouver les logarithmes des
8p nombres plus grands que 10 & moindres que 100;
enfin il faudroit diercher les logarithmes de tous les
nombres entiers qui font intermédiaires à ceux de la
progrefllon décuple.

Pour trouver les logarithmes de tous ces termes
intermédiaires, le Baron de N^p^t^ Ecpflbi^» inven*
tcur des logarithmes , & fon affocié Henri Brigge ,
Profeflcur à Oxford, ont pris i & 10 pour les ex-
trêmes d^une progreffion géométrique compofée de
100000000000000 termes ; & o & 1 logarithmes
de 1 & 10, pour les extrêmes d'un pareil nombre
de termes d une progreffion arithmétique ; & ils ont
regardé les termes de cette féconde progreffion com-
me les logarithmes des termes correfpondans de la
première.

Ils ont pareillement confidéré^ dans ta progreffion
géométrique décuple, deux termes quelconques pris
de fuite, tels que 10 & 100, 100 & 1000^ 1000 Se
10000 &c, comme les extrêmes d'autant de progref-
fions géométriques de 1 00000000000000 termes ; &
ont segardé les termes correfpondans 1 4c 2 » 1 ft 3»

Des LoCARITHMES. 40^*

'f^Sc /^êcCj de la progreilion arithmétique 5 comme
les extrêmes d'uo pareil nombre de progreilions arith-»
métiques de 1 00000000000000 termes (ervant de
logarithmes aux termes des progreffions géométriques
correfpondantes.

Les termes de ces nouvelles progreifîons géomé-
triques, inférés encre ceux de la progreffion géomé*
crique décuple -ff 1 : 10: 100: 1000: &c,croîffenc
d'une quantité fi petite , que deux termes de fuite'
-peuvent être pris Tun pour l'autre , fans qu'on ait
à craindre une erreur fenfible. Et comme les nom-
bres enriers pris entre i & 10 » & tous ceux qui fe-
ront en:re les autres termes de la progreilion décu-
ple ^7 I • 10 : loo : 1000 : &c, feront moyens entre
deux termes des nouvelles progreffions, ou feront pré-
cifément quelques-uns de leurs termes; on pourra ,
fans craindre aucune erreur qui mérite qu'on y faffc
attention, prendre pour les nombres entiers inter-
médiaires aux termes de la progreffion décuple, les
termes des progreffionS intermédiaires , qui en appro-
cheront le plus ; en forte que les logarithmes des nom-
bres entiers intermédiaires aux termes de la progref-
fion décuple , feront égaux aux logarithmes des ter-
mes dont ils approcheront le plus dans les progref*
fions géométriques intermédiaires.

Pour repréfenter les logarithmes de tous les nom^
bres entiers , en fuppofant qu'ils font termes des nou*
velles progreffions géométrique^ intermédiaires com-
pofées chacune de j 00000000000000 termes , en y
comprenant les termes de la progreffion décuple qui
leur fervent d'extrêmes , Neper & Brigge ont em«
ployé des fraftions décimales , qu'ils ont été obligés
de pouiTer jufqu'à 14 chiffres décimaux. Mais le
Baron de Neper étant mort peu de temps après le

410 liV. VIIL Chap. IV. Des Logarithmes;
commencement de Touvrage ; Brigge fut chargé de
tout le travail» <Sc publia à Londres en 162^}., une
Table de logarithmes pouilee jufqu'à 14. chiffres dé-
cimaux, pour tous les nombres entiers depuis 1 jus-
qu'à 20000 & depuis 90000 jufqu'^à loiooo» en lai^
fant une lacune depuis 20000 jufqu'à poooo.

Adrien Vlacq ayant rempli la lacune que Brigge
avoitlaiflee dans fes Tables; c'eil-à-dire ayant cal-
culé les logarithmes de tous les nombres entiers de-
puis 20000 jufqu'à poooo ^ publia en 1 628 à Gouda
en Hollande , une Table de logarithmes pour tous
les nombres entiers depuis i jufqu'à 100000 : mais
ayant confidéré qu'on pouvoit fans inconvénient
fupprimer les quatre derniers chiffres décimaux de
Brigge, il n'a pouffé les logarithmes de fes Tables
que jufqu'à dix chiffres décimaux.

Enfin, comme les Tables de logarithmes ont été
principalement faites en faveur des Aftronomes qui
n'ont befoin pour leur ufage que des fept premières
décimales des logarithmes ; dans toutes les Tables qui
ont été publiées depuis Vlacq , les logarithmes de la
plus grande partie des nombres ont été réduits à fepc
figures décimales.

2O0 Nous donnons une petite Table àts logarithmes
des nombres entiers depuis 1 jufqu'à 200 feulement.
Elle nous fer vira pour montrer l'ufage qu'on peut faire
des logarithmes dans TArithmétique.

Comme nous nous bornons à fept chiffres déci*
maux, nous négligeons tous les autres, lorfquils ne
valent pas la moitié d'une unité décimale du feptiéme
ordre ; mais lorfqu'ils excédent la moitié de cette uni«
té, nous ajoutons i à la feptiéme figure. Il fuit de là
que deux logarithmes de la Table , é^ant ajoutés en-
femble ou fouftiaits Tuu de l'autre , donneront fou^s

I

)•

K

Des Logarithmss. 2(ii

vent une fomme ou une différence plus grande ou
plus peiie de près d'une unité décimale du feptiéme
ordre , que la femme ou la différence qu'ils auroieac
donnée I s'ils avoient été exads.

Dans cetce Table, les colonnes qui ont à la tête la
lettre N, contiennent les nombres naturels; âc celles
qui ont en tète Logarithmes , contiennent les logarith-
mes de ces nombres. On remarquera quelle premier
chiffre de la gauche de chaque logarithme, efl féparé
des autres par une virgule qui marque que les chiffres
de ia droite ne font que des chiffres décimaux.

Le premier chiffre de la gauche fe nomme Gtroâe-
rijliqut du logarithme ; parce qu'il marque dans la*
quelle des progreffions géométriques intermédiaires
aux termes de la progreffion décuple ^f i - t-o': loo:
looo: loooo: Jcc, le nombre eft place-
Les logarithmes de tous les nombres moindres que
lo, & qui font compris dans la première progrellioa
géométrique intermédiaire dont i & it> font les ex-
trêmes, ont zéro, c'eft-à-dire le logarithme du pre-
mier terme de cette progreffion, pour caraâériftique,
ou pour premier chiffre de la gauche.

Les logarithmes de tous les nombres moindres que
lOO, compris dans la féconde progreffion géométri-
que intermédiaire dont lo & loo font les extrêmes»
ont pour caraâériflique le logarithme i du premier
terme de cette progreffion.

Enfin les logarithmes de tous les nombres moin-
dres que le dernier extrême de la progreffion intermé-
diaire, dans laquelle ils feront compris, auront pour
caraâériflique le logarithme du premier terme de
Mtte progtcffion«

A^.

t

Logarithmes.

0,0000000
0,3010500
0,4771213
0,^020^00

o,6p8p70o

I

S
4
S

6 0,7781 SI i

7 0,84.^05)80,'

8 o,po 305)00

9 0,95424.2;
,0000000

10

II
12

M
14

17
18

20

AI

22
23

a*

25

27
28

2p

3»
32
33

,0413927*

,0791812

,1139434

,i4<ff28o

,17^0913

, 204 1 200
,2304489

,2JJ272y

,2787736

,3010300

,3222193

,3424227

,3617278

,3802112

,3979400

,414973 3
,4313638
,447ij8o
,4623980
,4771213

,4913617
.jojtjoo

,îi8î»39|

N.

34

11

36
37
38

40

4»
4*
43
44
4Î

46

47
48

4P
12

53

y*

57
î8

59

60

Logarithmes,

.5314789

,5440^80

61
62

<^3
64

1^

561

,jj6302j
,5682017

,57P783<f
,5910646

, 6020600

,6127839
,6232493
,6334685
,6434527
,6532125

,6627578
,6720979
,6812412
,6901961
,6989700

i*^

,7075702
,7160033
,7242759
,7323938
,7403627

,7481880

.755874P
,7634280

,7708520
»778i5i3

,7853298
,7923917
,7993405

,8061800
,8129134

.8195439

M

"^7
68

69
_70

71
72

73

74

_75

76

77
78

7P
80

81
82

83
84

II

86

87

88

89

_Po

92

P3
94

11
96

91
P8

PP
100

Logarithmes.

,8260748
,8325089
,8388491

,8450980

,8512585

.85733*5
>8633229

,8692317

,8750^13

,8808136
,8864907
,892094e»
,8976271
,9030900

,9084850

,9138139

,9190781

,9242793

,9294189

.P344P85

.P3P5»P3

,944<j.827

,9493900
,9542425

,9590414

,9637878

,9684829
,9731279

,9777«3^

,9822712
,9867717

,9912261
,9956352
2,0000000

Logarhh$M$.

2,0043214

â,oo86oo2
2,0128572
2,0170353
2,0211893

06 2,02530^9

07 2,0293838

08 2,0334238

09 2,OJ742(Jj

10 2^0413927

M

CI

02

05

04

2,0473230
2,0492180
2,0530784
2,0^69049
2,0606978

ri
12

14

}6 2,0644580
*7 1:^,0681859
18:2,0718820

20 2^0791812

21.2,0827854

22 2,0863598

23 2,0899051

24 2,0934217

25 2,0969100

26

27
28

29

2,1003705
2,1058057
2, 1072100
2,1105897
2|ii}9454

a,ii727ij
a,i20573p
2,ia38yitf

/V.

Jî

37

35>
40

1

41

42

43

44
45

4*^

47
48

4P
50

I

2

5

4
l

6

2,1371048
2,1303)38

3,

a,
a,

a»

2,
a,
a,

2,
a,

< - -.

a,
a,
a,
a,
a,

a,

2,

a,
a,
2,

a,
a.

7

8!2,

3îî38p
367206
5p87pi
430148
4<7i28o

4921pl

522883
ÎJî3<îo
58362;
615680

643 5 2^
673173
702617
731863
7609 I 3

78p7^p

818436
846P I 4
875207
P05317

P31246
95895)7
986571
9!a,aoi397i
60! 2^2041200

Tt

6t
64

66

2,2058259

2,2095150:

2,2121876

2,2148438

2 ,2174839

2,2201081

iVl [li0j;<rrttAmef.

67 2,222716;

68 2,2255093

69 2,2278867

70 2,2304489

71 2,2329951
7a|2,2355284
7312,2380461
7412,240549a
7? 1 3,2430380

76 2,2455127

77 a,2479733

78 2,250420a

79 «,«528550

80 2,2552725

81 2,2576786

82 2,2600714

83 2,2624511

84 2,2648178

85
86

2,2671 71 •;

2,269$ 125
87 2,27 1841 <

88,a,274M7î
89 2,276461 î

9o'2,278753<

9112,281033^
92 2,283 3pia
9312,3855573
94 2,2878017
9512,2900346

96)2,2922551
P71 3,3944552
9812,2955652
9912,2988531
200 j 2,3010300

:j^r4 tïV, nil. Cfctfp. IP^ Dés Logaritme*.

Comme la quantité de chiffres de chaque nombre t
indiquera toujours dans quelle progrefGon intermé-
diaire tt nombre fera contenu ; la caraAériftique du
logarithme de chaque nombre, contiendra autant d'u-
nités moins une qu'il y aura de chiffres dans ce nom-
bre. Par exemple tous les nombres depuis i jufqu'à 9,
qui font exprimés par un feul chiffre , auront o pour
caraâériftique ; tous les nombres depuis i o jufqu'à pp^
qui font compofés de deux chiffres, auront i pour ca-
raétériftique; tous les nombres depuis 100 jufqu'à 999,
auront 2 pour caraâériftique : & ainfi des autres.

Il fuit delà que, dans une Table de logarithmes, ca
peut fans aucun inconvénient fupprimer la caraâé^
riftique; puifqu'on peutaifément y fupplécr en met-
tant pour elle un chiffre qui ait une unité de moins
que la quantité des chiffres du nombre dont on veut
avoir .Iç logarithme.

Les chiffres décimaux, qui font à la droite de la vir-
gule dans les logarithmes , indiquent les places que les
nombres naturels^ aufqucls ces logarithmes appartien-
nent, occupent dans les progreflîons géométriques
intermédiaires aux termes de la progrefDon décuple:
en forte que les nombres qui occupent des places fcm-
blables dans les progreffions intermédiaires, ont les
mêmes chiâfres décimaux dans leurs logarithmes.

Par exemple les nombres i , 10, 100, looo^
10000, &c qui font aux origines des progreflîons
intermédiaires , n ont que des zéros pour chiffres dé-
cimaux de leurs logarithmes.

Les nombres 2^ 20, 200, 2000, 20000, &c qui
occupent les 3010300^""" places après les origin^rs,
ont tous 3010300 pour chiffres décimaux de leurs
logarithmes.

Les nombres 3 » 30, 300 3000, 30000, &c qui
occupent les 477 laij^"'" places après les origines

t)ss Logarithmes. 4x5^

dans les progreffions géométriques intermédiaires •
ont tous 477 1 2 1 5 pour chiffres décimaux de leurs
logarithmes : de ainfi des autres.

THÉORÈME.

51 Op Lcrfque quatre nombres font en proportion giomé^
trique , leurs logarithmes font en proportion arithmétique.

D'iMOKSTE ATION.

Quatre nombres en proportion géométrique , tels
<]ue 2 : 6 : : 1 2 : 36 , étant fuppofés contenus dans une
même progrcffion géométrique qui a l'unité pour
origine ; il 7 aura (No. 1^2.) autant de termes de la
progrtrffion géométrique entre le premier nombre 2
& le fécond 6 , qu'entre le troîficme 12 & le qua-
trième -^6. Ainfi la différence des logarithmes ou
des diftanccs des deux premiers nombres 2 <Sc 6 à
Vorîgme de la progreffion géométrique, fera égale
à la différence des logarithmes ou des diftances
des deux derniers nombres à la même origine : de
par conféqucnt les logarithmes des quatre nombres
2:6 : : 12 : j6 en proportion géométrique , feroat
en proportion arithmétique.

Si l'on confulte la petite Table que nous avons donnée f
on trouvera que les logarithmes des quatre nombres
2:6:: 12 : j6y font 0,3010300. 0,7781^15 :
1,0791812 . i,55<53025, qui Je trouvent en propor^^
tion arithmétique.

CoROZZjÊ I RM F RM M ZXR.

210 Si quatre nombres n'étoîent point en pro3
portion géométrique , leurs logarithmes ne feroient
pas en proportion arithmétique^

i^ i^ Lty. Fin. Ckêf. W. Des LoGAmTHMSs;

Cal cQ conûdéram que ces quatre nombres font
:eoi>cenus dains une même progreflTion géomérriqup
qui a Tunité pour origine ; il y aura plus ou moins de
termes de cette progrellîon entre les deux premiers
nombres 5 qu'entre les deux derniers. Ain fi la diffé-
rence des logarithmes ou des diflances des deux pre«
.fniefs nombres à Torigiae , ne fera pas égale à la
difëreiKe des logarithmes ou des diftances cfes deux
derniers nombres à l'origine : d'où il fuit que les lo-
garithmes de ces quatre nombres ta feront pas en
proportion arithmétique*

Ce tiOLLAl RS IL

A 1 1 Donc fî quatre logarithmes font en propor^
tion arithmétique , les quatre nombres aufquels ils
appartiendront feront en proportion géométrique.

Car (A^o. 2IO.) fî ces quatre nombres n'écoient
point en proportion géométrique , leurs logarithmes
ne feraient pas en proportion arithmétique.

CoAO LLAI RM IIL

212 Lorfque quatre nombres (éront en propor-^
tion géométrique ; la fomme des logarithmes des
extrêmes ) fera égale à la fomme des logarithmes
des moyens*

Car lorfque quatre nombres feront en proportion
géométrique , leurs logarithmes feront en proportion
arithmétique (No. 20p. )• Mais (iV«. 173.) dans toute
proportion arithmétique la fomme des extrêmes eft
égale à la fomme des moyens* Donc G. quatre nom-
bres font en proportion géom^étrique, la (bmme des
logarithmes des extrêmes fêta égale à la fomme des
logarithmes des moyens*

CoRÛLLjilRS IF*

t>XS tôGÂEtTHMBS; ^ty

Corollaire IK

213 II iult du dernier Corollaire, que fi runhé eft
le premier terme d'une proportion géométrique, le
logarithme du quatrième terme fera égal à la fomme
des logarithmes des deux termes moyens.

Car le premier terme de la proportion géométri-
que étant Tunîtc, fon logarithme fera o (N^, aoi.).
Ainfi la fomme des logarithmes des extrêmes, qui
eft égale à la fomme des logarithmes des moyens
(No. 212.)» fe réduira au logarithme du quatrième
terme.

CORO LLÂIRM F^

2 14 Lorfqué trois nombres font en proportïotf
géométrique continue; la fomme des logarithmes
des extrêmes > e(t égale au double du logarithme da
terme moyen»

Car fi Ton écrit deux fois de fuite le terme rooyea
d'une proportion géométrique continue , pour en
faire une proportion géométrique dont \tt deux
moyens foient égaux ; les logarithmes des quatre
termes de cette proportion, feront une proportion
arithmétique dont les deux moyens feront auffi
égaux/ Ainfi la fomme des logarithmes extrêmes,
étant égale (No. 2 1 2.) à la fomme des logarithmes
moyens qui font égaux, fera double de Tun de ces
logarithmes moyens ; & par conféquent Ton aura
le logarithme du terme moyen dune proportion
géométrique continue, en prenant la moitié de la
fomme des logarithmes d^% extrêmes.

Comme o eft le logarithme de l'unité; lorfque

Tunité fera l'un des extrêmes d'une proportion gécH

métrique continue y la fomme des logarithmes des

extrêmes fe réduira au logarithme de l'extrênv:

Arithmétique. D d

)i8 Lîy.FlllCAdp.N^.Dn ifVskct

qui ne fera pas TuDité. AioG le logarithme de cet
extrême fera double du logarithme du terme moyen;
JBc par conféquent Ton aura le logarithme du terme
hioyen d'une proportion géométrique continue donc
Tunité eft le premier terme, en prenant la moitié du
logarithme du troifiéme terme.

De l'Usa<g8 bss LogahithmKs

DANS l'A &ITHMéTlQUS.

Par le moyen des logarithmes, on peut abrégef
confîdérablement les opérations de T Arithmétique ,
lorfqu'on a des Tables aflez étendues.

10. On réduit la Multiplication à une AddîtîoQ#

^o.On réduit la Divifion à une (impie Souflraftioo;

30. La Règle de trois, qui demande une multipli-
tation Se une divifion , fe fait par une addition & une
fouftraftion.

4^. L'Elévation d'un nombre au Quarré ou au
Cube , ou à d'autres Puiflances , fe réduit à une fim«
plç multiplication par 2 ou par 3 > ou par un autre
nombre.

50. L'Extraâion des Racines quarrées ou cubique^
Se celle des Racines de toute autre efpéce ^ fe réduit
à une Gmple divifion par 2 ou par 3» ou par un autre
nombre»

Nous allons expliquer toutes ces opérations ; &
la Table qu'on vient de voir , quoique très-boriiée»
nous fuffira pour en donner des exemples.

L

AT y à Von Viut avoir U proiuît de dtux Tumbru

On ajoutera le logarithme du multiplicande av6c
celui du multiplicateur ; & la fomn^e fera le Ioga«

îrîthmc Al produit. Ainfi en cherchant ce dernier
logarithme dans la Table» on uouvcra à £à gauchf
le produit demandié.

Car (N^ i€.) le produit d'une multiplkaiîon étan«
compofé du multiplicande répété autanc de (ois,
^'il f a d'unités dans le multiplicateur ; il cft clait
(H®. 162) que Tunicé» le multiplicateur, le multi-
plicande & le produit, font en proponion géomé-
criqte, Ainfi (N^ 213.) le logarithme du produit qui
cft le quatrième terme , eft égal à la femme des loga-
rithmes des deux moyens qui font le multiplicande âc
le multiplicateur.

Par exemple fi Ton veut avoir le produit de i J
multiplié par 1 3 5
On prendra dans la Table le lo-
garithme de I j, favoir 1, îy^opi }

Et le logarithme de 13 , favoîr l' ^ ^?9454

Additionnant ces deux logarithmes^
on aura pour logarkbme du produit la
fomme ^, ^900347

Cherchant enfuîtè ce logarithme dans la Table ,
en trouvera à fa gauche ipy poui le produit deman^
dé de 15 multiplié par 13.

n

m

On fouftraira le logarithme du divifeur > dû loga*»
tithme du dividende ; & le refie fera le k>gafifhni9
du quotient.

Ainfi en cherchant dans la Table ce dernier lo«
garithme , on trouvera i fa gauche le quotîeoc vie*
mandé.

Dd ij

4ao U^. Vm. CkMp. IV. Dfi lV^lgH ^

Car (No. 28-) le divifcur muhipUé par le quotient
donnant un produit égal au dividende ; la fommctfcs
logarithmes du divifeur & du quotient , fera égale au
logaritlime du dividende (N©. 2 1 y .)• AinC en retran-
chant de part * d'autre le logarithme du divifeur , le
logarithme du quotient fera égal à ce qui reftera du
logarithme du dividende, après en avoir retranché le
logarithme du divifeur.

Pat exemple fi Ton veut avoir le quotient de 15^ J

divifé par 1 3 9

On prendra le logarithme de ipj,
favoir 2,25)0034^

Et le logarithme de 1 3 , favoir ift i?943^

Retranchant le fécond du premier,
on aura pour logarithme du quotient j
Icreftc 1,17^0^15

Cherchant enfuîtc ce logarithme dans la Table,
on trouvera à fa gauche i y pour le quotient de ipf
divifé par 13.

IIL

ii 17 Si Von veut avoir le quatrième terme £ufït RegU
de Trois f

On ajoutera le logarithme du fécond terme avec
celui du troiGéme; & de leu\ fomme ayant retranché
le logarithme du premier terme , le refte fera le loga-
rithme du quatrième terme. Aînfî en cherchant ce
logarithme dans la Table , on trouvera à côté le qua-
trième terme demandé.

Car les trois premiers termes donnés de la Règle
de Trois , & le quatrième terme qu^on cherche , étant
en proportion géométrique , leurs logarithmes font
en propoition arithmétique. Ainû (N^. 176.) û de la

DBS LCGÀKITHMXS; 42I

fomme des moyens qui font les logarithmes du fé-
cond âc du troifiéme terînes de fa Régie de Trois»
on retranche le premier extrême qui efl le logan
rithme du premier ternie de la même règle ; le rede
fera le fécond extrême ou le logarithme du quatrié*
me terme de la Begle de Trois.

Par exemple fi l'on veut avoir le quatrième terme
de cette Règle de Trots 12 j : 1 jo : : 165 : *,

On prendra le logarithme de i yo,
favoir 2, 1 7^op 1 5

Et celui de i6y, favoir 252 1748 jp

Puis de leur fomme ^f39iS7S^

Retranchant le logarithme de la^»
lavoir 2,05;KÎpioo

On aura pou r logarithme du qua*
trîéme terme, le refte 2929666^2,

Enfin cherchant ce logarithme dans la Table , oa
trouvera à fa gauche ip8 pour le quatrième terme
demandé.

IV.

2 1 o I ^.. S l'un veut avoir le Quarré d'un nomht

quelconque ^

On multipliera te logarithme de ce nombre par 2 y
& le produit fera le^ logarithine du quarrc demandé,.
Ainfi en cherchant dans la Table ce dernier loga-
rithme y on trouvera i fa gauche le quarré qu'on veut
avoir.

Car (No. X 27.) pour quarrer un nombre , il faut le
multiplier par lui-même. Ainfî (N^. 21 5.) il faut ajou-
ter fon logarithme à lui-même, ou le doubler^ pou(

avQxr le. lo^j^arithme. de ion quarré»

Ddîi|

4a a IiV. rni Gkap. IF. Dm tVtAeni
Par exemple fi l'on veut avoir le tjuarré dk 1 1 ,[
On prendra le iogaridime de 1 1 ^

(avoir ^$o^'f39'2f

El multipliant ce logarithn» par a

On aura pour le logarithme du
quarré, Icproduit ^,08278^4

Cherchant enlîiite ce Ibgarithme dana la Table »
on trouvera à fa gauche 121 pour le quarré du nom-;
bre II.

»^. Si Vw veut avôîr It ÇuIk tCun Mnére fuelcôHque^

On m^ukipliera le logarithmes de ce noitibre fmc j ;
êc le produit fera le logarithme du cube ^leirMindd.
Ainfi en Cherchant dans la Table ce dernier loga-
rithme, on ubuvexa à ^a gauche le cube çu'on vcui
avoir.

Car pour cuber un nombre, il faut le multipliée
jjar fon quarré. Ainfi (N^ 2} JO pour avoir le loga-
riihme de fon Cube , il faut ajouter le logarithme de
ce nombre à celui de foo jquarrc.

Mais le logarithme du quarré d'un nombre eft dovt%
bic du logarithme de ce nombre.

Donc pour avoir le logarithme du cube d'un
nombre , il faut ajouter le logarithme de ce nombre
avec le double de ce logarithme; c'eft-à-dircjqu'il
faut tripjçr ou multiplier pv J le logarithme de co
poxribre.

Par exemple fi Ion veut avoir le cube de 5 »
On prendra le logarithme de j ^
«voir *^S/$j?70^

£t iQultipliant ce lo^arlthmepar 3

On auf^ pour le Içigai^ithme d«

cube ^u Qa ç)Aii^ ^ le (>t;Q4wt ^i^^$^<i^

bfiS ^OGAlIT9WV9« 4.21

Cherchant cnfuite ce Jqgjtnthiqe dan$ U Tahle ,
on trouvera à fa gauche 125 pour le cpbf de y «

U ejl évident queji Von vouloît le produit de qu4tre cf«
9inq oujix ou fept &c nombres égaux muhfpUéf enfepitle^
il fauèroit multiplier par ^ ou ^ pu 6 ou j &c y le loga^
rithme de tun des faSturs égaux; & que le logarithme
réjultant de cette multiplication feroit le logarithme du
produit demandée Ainji en cherchant ce logarithme dans
Us Taises p on trouyercit àfr droite ie prpduif 4f tou^ ces
nomhru égnuf multipliés f^feaile.

Le produit de plufieurs nombres égaux multipliés fn-
fartfkt^ sapp4U engéadral P^iiflance ie l'un. de eu Aom-
bres ; & pour déjigner quun produif efl covipofi de deux
eu trois ou-quatre ou cinq cufix fyc faSturs é^aux , on le
nomme Puiflance 2^ ou 3^ ou 4^ ou 5^ ou 6^ $cc de l'un
defesfaSeurs égaux: en forte qjiun Qyarré & un Cube
font la féconde & la troifiéme Pui/fançe de leurs raciaef.

V.

2Ip i^. Si ton veut avoir U JRacine quarrée fun
nombre ,

On divifera le logarithfrxe de ce nopibre par 2»
le quotient fera le logarithme de la racine quarrée
demandée. Âinfi en cherchant dans la Table ce der-
nier logarithme , on trouvera à fa gauche la racine
quarrée qu'on yeuc .^yjçif*

Car il eft évident qu qn pombre efi IctQ^ré de Cf.
xacine quacrée. Ainfi (N^. 218.) le logarithme d'u|x
nombre eft double du logarithme de fa racine quar-
te ; te parconféquenc fi Ton prend la^noitié du lo»
^arithmeile 4ce «ombre ^ Qp ^aura le logarithme de £t
racine quarzée*.

Dd iiî|

Par exemple fi Too veut avoir la racine cjuarrée âxi
nombre 1 1 1 ^

On prendra le logarithme de lai»
lavoir 2,08278^-1

. Et divifant ce logarithme par 2

On aura pour le logarithme de la
racine qua^éc que Top cherche 1 1q
quotient ï> 04 "39^7

Cherchant enfuîtc ce îogarîthme dans la Table,
on trouvera à fa gauche 1 1 pour la racine quarréc

de 121.

2^. Si Von. veut avoir Ia Racine cubique Jt un nombre ^

On dlvlfera le logarithme de ce nombre par i »
& le quotient fera h logarithme de la racine cubique
demandée.

Car un nombre e(l le cube de fa racin,e cubique*
'AinG (No, a 18.) le logarithme d'un nombre eft tripU
et celui de fa racine cubique ; & par conféquenc fi
Ton divife par 3 le logarithme de ce nombre, on aum
Je logarithme de fa racine cubique-

Par exemple fi Ton veut avoir la racine cubiquo

de J 2.Î ,

Onptendra lo logarithn^c de |23[»
fa voir 2»09^plOQ^

fit divifant cç Iqgarijchme par ^

"*fi,

Qn aura pour le logarithme de la
racine cubique que Ion cherche , Iç
quotient O, tf^Spyoa

Cberchaot enfuice ce logarithme dans la Tahle^
on irguvcra à fa gauche ^ pqut k racue cubique dia
nombxç propofé 125%

DES LoGAmiTHMKt 41]*

Comme les racines quarrées font deux fois faSeurs dans
leurs quarréi^ b que les racines cubiques font trois fois fac*
teurs dans leurs cubes; ces deux efpeces de racines Je nomment
uujjî Racines fécondes & Racines troiGémes.

4

Par la même raifon^ lorfquun nombre eft compofé par
la multiplication de ^ou ç ou 6 owj ù'cfaBeurs égaux ^
un des jaEleurs s appelle Racine quatrième ou cinquième-
#tt iixiéme ou feptiéme &c de ce nombre.

Si ton veut avoir la racine quatrième ou cinquième , cU
Jixiéme ou feptiéme &c £un nombre propofé quelconque^
il fuit évidemment de ce que nous avons dit des racines
quarries & cubiques , quen divifant le logarithme de a^
-nombre par 4., ou par ^ y ou par 69 ou par 7 b'Cj on aura
le logarithme de la racine demandée du nombre propofé. >

Dji I.A Construction i>xs Tables

PB Logarithmes.

2L20 Lorfqu'on a une Table de logarithmes à conf*

bruire , il faut commencer par choifir le fyftême félon

lequel on veut qu'elle foit compofée. Pour donner

vne idée de la méthode qu'on peut fuivre p our cal«

culer ces fortes de Tables, nous choifirons le fyflême

*du Baron de Neper Sç de Brigge qui ont pris les termes

•de la progreflion arithmétique -r O • i • 2 • ^ • 4 • âcc»

pour les logarithmes des termes, correfpondans delà

progreflion géométrique décuple 77-1 : 10 : 100 :

- lOûo: 10000: &c.

La progrefl)on-f|- 1:10:100:1 000 : 1 0000 : &C
• dans laquelle on veut renfermer tous \ts nombres»
étant choifie avec les logarithmes ^o. i. 2. 3 4. âac
de fes termes ; on procède au calcul ^s nombres
intermédiaires aux termes de la progreflion géomé^
{ri.^ue i maij on ne calcule f oigt ia^^ÎDâcmepc par

"i^ii Llv. VîU. Ch<f. U^. Db i^i CoîjrfTRircTioK
la incme méthode les logarithmes de tous ces nom**
bres ; & Ton dxftingue Içs nombres 0mples des nomr
bres compplés*

On appelle mmhw JimpUs tous cçqx qui ne peur
Tent pas ètrç compofés de la multiplication de deux
autres nombres. Il faut une méthode particulière Sç
un calcul long 8c pénible poyr trouver les logarith-
mes de ces efpéces de nombres. Il y a quatre de ces
nombres (impies entre les deux premiers termes i &
•lo de h progreflip» géomiJtrlquç, lavoir a , 5 , j , 7;
)1 7 en Z2i çqtre le fecood tervie ^ de le troifiémc
100 de la QAcme progrfffiop ; ^ il|jr en a beaucoup
iplus entre les ai^triçs teonçs.

On appelle fifcmbre^ wnpçfé^ çmx ^i /ToAt le pcQp
duii; de la ii)wltjpliçatii^ de denrx ou d^ pkifîews au-
tres nombres. Les logarithmes de ces nombres font
«ifésà tsouver (N<^. ai^Ot quand on a £eux des
nombres dont ils font compofés.

Il eft quelquefois plus commode de chercher des
logarithmes de ambres compofés , pour en déduire
.ceux des nombres fiooples qu'ik renferment. Par eMm-
|)le au ilîeu de choccbor direâiement les logarichmos
des iQombres fimples $ , 2 , &c , on cherche les log»-
fithmesde leurs quarrés.oudeleurs cubes; & au lien
dt cfaerefaer le logarithme de ^ , on cherche le loga-
rithme de A jqu'on retranche de celui de i o ; ce qui
donne Ç^^.tii6.)\e. logarithme de 5.

Il 7 a dâux méthodes pour calculer ^eftemeqt
les logarithmes des nombres La première, .qut coJI-^
£lle dans des extradions de racines quarrées ^ eft fa-
cile à entendre, & porte avec elle fadémonfiratioDî
«mais elle eA très-diftcik dans la pratiqtie , & demaii4fr
de longs calculs qui expofent à de fréquentes ce-
scttos« La féconde, qtîi xonfifte dans de fimples divl^
&Q^ cil beaucoup p b? expéditlve 1 & exiige pw

tois Tablbs i»s Logarithh«. ^ay

d'opérations ; mais la démonftration en étant difficile,
A fuppofant des connoiflances qu'on ne peut pas don«
iser dans des Elémens d'Arithmétique , nous la réfer*
vons pour un autre Traité. Nous allons expliquer ces
deux méthodes dans les Problèmes fuivam.

PROBLÈME.

Stll Trouver le logarithme du nombre ^^'Oudu moins
en approcher jufqu^à 7 chiffres décimaux , de manière f ii#
le logarithme quon aura , ne diffère pas du logarithme de J »
d'une unité décimale du feptiéme ordre.

lo. Le nombre ; dont on demande le logarkhme»
fera quelqu'un des termes d'une progreflion géomé-
trique dont I & I o font Its extrêmes Quelle qîie foie
«cette progr^on géométrique» la diftance de fou
«origine 1 à fon terme du milieu , ne fera que la moi*
tié de la diftance de la même origine à l'extrême 10^
Jk comme on a pris i pour la diflance de i à fo^
(OU pour le logarithme de jo« la diflance de l'origine
au terme du milieu , c'efi-à-dire le logarithme du
"terme du milieu , ne fera que | qu'on repréfonter^
par o, ^.

Le terme du milieu de la .prqgrefljon géométrique
étant également éloigné des extrêmes 1 & i o ; œs
tfois termes » le ,premior i ^ le terme du milieu iç Jk
dernier 1 o , feront une proportion géométrique coo-»
tinue ; çn forte que (N^« 19^.) le terme du milieu fei:a
la racine quarrée du produit i x i o ou ) O des extrè--
mes. On prendra donc la racine quar/ée de 10; &
çouifant ce^e racine quarrécjufiyu'au huitième chif^
|fe décimal , pour être plus sûr du feptiéme ; on auca
le nombre 3,1694776^ dotai hi ioga^ithmc ou U

)^2Z Lip. Vîîl. Chap.IV. De la CoMSTRUCTipir

2^. Le nombre 3,1622776^ qu'on vient de tro^-^
ver y étant plus grand que le nombre 3 dont on vent
avoir le logarithme , Se Ton logarithme o, 5 étant par
conféquent plus grand que celui qu'on demande ; cQ
cherchera un nouveau nombre qui foit le moyen
d'une proportion géométrique continue ;i6nc Torigi-
ne I ^ jf%6227'j66 foient les extrêmes ; Se comme
la diftance de Torigine i à ce terme moyen ^ ne fera
que la moitié de la diftance o^ ^ de la même origine
à l'extrême 3,1 èifjjôi ; le logarithme de ce terme
moyen fera o,2y.

Le terme mojen de la proportion géométrique
continue qui aura i Se ^fi622jj66 pour extrêmes,
fera la racine quarrée de i x 3,1522776^ produit
des extrêmes. Ainfi on prendra la racine quarrée de
^9i622jj66 i Se pouffant 4 opération jufqu'au hui-
tième chifire décimal , on trouvera pour le terme
moyen 1977827941 dont[elogarithmeouladiflance
à l'origine , fera o,2y.

3^. Comme le nombre 3 dont on veut avoir Je
logarithme , eft plus grand que le fécond moyen
1,77^27941 qu'on vient de trouver, & plus petit
que te moyen précédent 3,15227765; on cherchera
un nouveau nombre qui foit moyen géométrique en-
tre ces deux premiers moyens: Se comme la diftance
de l'origine à ce troifiéme moyen, fera la moitié de
la fomme des diftances o, 5 Se o> 2 ^ de l'origine aux
d'eux premiers moyens ; le logarithme de ce troifiéme
moyen fera 0,3 7 j.

Le terme moyen géométrique entre les deux pre-
miers moyens 3,15227765 Se 1,77827941 » fera
la racine quarrée du produit de ces deux nombres»
On multipliera donc ces deux nombres, l'un par
l'autre, Se de leur produit 5,62341327 14809806 »
on extraira la racine quarrée ^u on trouvera dft

bcs Tablss ds Iogàhîthhes; ^29

d»37iJ7370 dont la diftaDce à rorlgine î ou It
logarithme , fera 0,37 y.

4^. Comme le nombre 3 eft encore plus grand quô
ce nouveau terme 2>37i}7370 donc le logarithme eft
0,375', &pluspcticque le premier moyen 3, 1622776^
dont le logarithme eft 0,5 ; on cherchera un quatriè-
me moyen géométrique entre ces deux nombres, en
faifant leur produit 7,49 894207 J02 1 J420 , puis ea
tirant de ce produit la racine quarrée qu^on trouvera
de 2,73841962.

Enfuite on prendra un moyen arithmétique entre
les logarithmes 0,375 & o,y ; & ce moyen 0,437 J
fera la diftance de Toriginc de la progreflîon géomé-
trique, au terme 2,7 3 84 19 62, & fera par conféquenc
fon logarithme.

50. Comme le nombre 3 eft encore plus grand
que le nouveau terme 2,73841962 dont le loga-
rithme eft 0,437 j, & plus petit que le premier moyea
.3,16227755 dont le logarithme eft o,j; on fera le
produit 8,659643 18803 16892 de ces deux termes^
.& Ion en tirera la racine quarrée 2,94272717 qui
aura pour logarithme 0,46875 moyen arithmétique
entre 0,4375 & 0,5,

6^. Le nombre 3 étant encore plus grand que le
dernier terme 2,94272717 qu'on vient de trouver,
dont le logarithme eft 0,46875 , & plus petit que le
premier moyen 3,16227766 dont le logarithme
eft 0,5 ; on multipliera ces deux termes Tun par
l'autre, & du produit 9,3057203891660222, on
tirera la racine quarrée 5,05052789 qui aura pour
logarithme 0,484375 moyen arithmétique entre
0,46875 & 0,5.

On continuera de chercher de la même manière
de nouveaux termes moyens proportionnels géomé-
triques cnitfi deux nombres dont Tun fera plus gran4

1^^6 tiV.VlîtCfutp.W. De la CôlTsTUtTCTlOll

ic l'autre plus petit que 3, favoir entre le deruier nom^
bre trouvé & l'un des précédens que Ton choiGra te
plus approchant au-deflfus ou au-deflbus de 3, fuîvant
que le dernier nombre trouvé fera au contraire au*dc£-
fous ou au-deflus de 3 ; & pour avoir les logarithmes
de ces moyens géométriques, Ton prendra en mèma
temps des logarithmes moyens arithmétiques entre les
logarithmes éts nombres entre lefquels on aura pris
des termes moyens géométriques.

Lorfqu'on aura fait %6 de ces opérations, l'off
trouvera un terme moyen géométrique égal à 3 , ou
qui n'en différera pas d'une unité décimale du hui-*
tiéme ordre ; & le 26^ terme moyen arithmétique
correfpondant à ce a 6* terme moyen géométrique »
fera le logarithme de 5*

On verra dans la Table fuivante les vingt-Cx moyens
géométriques 9 8c les vingt-(ix moyens arithmétiques
correfpondans , avec les extrêmes entre lefquels ces
moyens font pris. Chaque moyen s'y trouve placé en-
tre fes extrêmes ; & pour indiquer l'ordre des opéra-
tions, on a cotté A & B les deux premiers extrémts
X & 10 entre lefquels on a pris le premier moyen
qu'on a cotté C : les autres moyens fonc déCgnéi
par lès lettres fuivantes de TAlphabet.

On pourra trouver par cette méthode les logarkhma
de tous Us mmhresy en cherchant des moyens géométrtqua
entre i & i o , pour les nombres moindres que 10; entrt
10 & 1 00 , pour les nombres moindres que ï oo & pUss
grands que 10; entre 100 & lOOO, pour les nombres
moindres que 1 000 & plus grands que 1 00 j &c.- €r en
prenant en mime temps des moyens arithmétiques correfponz
dans entre d & 1 1 entre 1 ér 2 , entre 3 & 3 » &^s

tUs TABtts es LooA&iTHins: ^jt;

Ntmièrts tn fnpùrtion
géamétrlfue continue.

A
C

D

A

D
C

D

E
G

1
F
C

F
G

C

G
H
C

H

I

G

I

K
H

K
L
I

L

M

I

M
N

1

N

O
M

1

O
N

Logtarkbmêt,

Nûmères en Frofortiên
géêmétrifuê eentinue.

i.oooeoooo

1,1^x17766

10,00000000

o,oooooeeo
0,50000000
1 ,00000000

P

Q
N

5,00035655
t,9>>5«J34

1,00000000

t.778x794t
)»i 6117766

0,00000000

0,15000000
0,50000000

K l},oooi457&
P |3,ooo35<J5

1,77817941

»,37i5737o
3,16217766

0,15000000
o»3 7 500000
0,50000000

R
S

Q

».l7il737o
i,7384i9<»
3,16117766

0,37500000

O|437 5ooo»
0,50000000

S

T

»*7384i9«»

x,94i7X7«7
3,16117766

•.43750000
0,4^875000
0,50000000

T
V

S

»i94i7»7»7
3,05051789

3,ini7766

0,46875000

Oi484375<»
0,50000000

i

U

X

T

3,05051789
»,996i4i86

1.94*7*717

0.48437500
0.47656x50

0,4^875000

X
Y

T

ft,99^i4*86
3,0x311308
3,0505x789

0,47656x50 Y
0,48046875 II z
0.48437J00 11 X

3,0x3x1308

3.oo9tf47J3
*i996x42>86

0,48046875

o,4785i5<3
0,47^56*50

3,00964753
3,oox8876x
*.996x4i86

0,478515*3
0.477 5 3 9o<
0,47656x50

3,oox8876x '0.47753906
*.9995» 3 J4. 0,47705078
1,99614*86:0,47656x50

BB

ce

.X

*»9995«334
3,ro 1x0000
3,00188761

0,47705078

0.477*949*
0.47753906

ce

DD
BB

3,00110000
3.00035655
*,9995'334

0,477x949*
0,47717*85
0,47705078

DD
EE

BB

3,oooi457x
3 ,0000403 1

*i9999349X

3,00004031
*.999987îi
*.9999349i

*,9999875i
3.00001390
3,0000403 1

3,00001390
3,00000070

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1 ,00000070
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*.9999875i

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*.999994io

*.99999739
3,00000070

*. 99999739
*.999999o8
3,00000070

*. 99999908

*.99999989
3,00000070

*»99999989
3,000000x9

3.00000070

3,00000019
3.00000009
*.99999989

3.'
3,00000000

*i99999989

tognrîthnmu

0,47717*85
0,4771 tx 81
0,47705078

f

0,47711181
0,47714133

0,477x7*85

o,477t4*33
0,4771x708
0,47611x81

o>477»*7o8

0,4771x945
0,477x1x81

0,477x1945
0,4771x3x6

o,477x»7o8

0,477 x*3*6

0,477x1135
0,477» X94Î

o,477«*x3 5
0,4771x040

M77IX945

0,4771x040

0,4771*088

o,477«*x35

0,477x1088
o,477»*« I*
o,477x*x35

0,4771x1x1
0,4771*1x3

o,477x*x35

0.4771x1x3
o,477ixtt9

0.4771*135

0,4771*1x9

o,477«»xx6

o,477i*i*î

o,477xxrx6
o,477xxix5
0,4771x1x3

#3 1 Ily. yiU. Chap, IT. fil LA CoNST»trcTion

PROBLÊME.

223 Trouver le logarithme d'une fraSion dont le numi^
rateur furpajfe le dénominateur d'une unité y Gr pouffer le
calcul jufquà ce que le logarithme contienne dix chiffra
décimaux.

t^. Ondîvifcra le nombre OyS62 ^$896^9 par h
fomme du numérateur Se du dénominateur de la frao
tion dont on veut avoir le logarithme ; puis on dîvi-
fera ce premier quotient par le quarré.de la fomme
du numérateur 8c du dénominateur ; & Ton contî'-
nuera de divifer le nouveau quotient par ce mèn^e
quarré, jufqu à ce qu on ait un quotient moindre que
le quarré par lequel on divife.

ao.Enfuite on ajoutera en femble le premhr quo-
tient, le tiers du fecond> le cinquième du troifiéme, le
fcptiéme du quatrième» le neuviéme,du cinquième &c;
ic la fomme fêta le logarithme de la fraftion.

E X s M P LE PREMIER.

323 On demande le logarithme de Ul fraBion^^.

i^Ondivîfera le nombre 0,858588^^38 par la
fomme 2 1 du numérateur & du dénominateur de la
fraftion propofée ^; ce qui donnera ce premier quo-,
tient 0,04.1 36137^2.

2^. Enfuîtc on dîvîfera le premier quotient
0,0413^13792 par le quarré 441 de la fommo
21 ; ce qui donnera pour le fécond quotient
0,0000937899 dont le tiers eft 0^000031 2(^3;.

3®, On diviferale fécond quotient 0,0000937899
parle même quarré 441 ; ce qui donnera pour le
troiHéme quotient 0,0000002 ia5 dont la cinquiè-
me partie fera 09000000042^.

4^*011

DIS TaBUS de LOGAEITHMKS: 43 J

4^. On divifera le 3^ quotient 0,0000002 126, par
le même quatre ^41 ; ce qui donnera 0,0000000905
pour le ttoîGéme quotient qui fera le dernier , parce
qu il eft moindre que le divifeur 441 : & le feptiéme
de ce dernier quotient fera 0,0000000001.

;^« Additionnant enfemble le premier quotient
0^041 3<^i 3792 , le tiers 0*00003 1263 3 ^^ fécond»
le cinquième 0,000000042 5 du troiGéme, le feptié-
me o>ooooooooo I du 4^; la fomme 0)04X 392(^85 x»
fera le logarithme de la fraâion propofée f*.

Exemple IL
5134 On demande le logarithme de la fraSion •^;

1^ On divifera le nombre 0^8685889638 > par
ip fomme du numérateur & du dénominateur de la
fraftion propofée ^; & Ton aura 0,0457 15 208 (S
pour le premier quotient.

2^. On divifera ce premier quotient 0,04(7 1 52086
par 361 quarré de 19 ; âcTon aura 0,000 1266;345>
pour le 2^ quotient 9 dont le tiers fera 0,000042^1 16
Se un peu plus.

3^ On divifera le fécond quotient 0,0001 2663 45^
par le même quarré 3 6 1 ; 5c Ton aura 0,000000 3^08
pour le troifiéme quotient , dont le cinquième fera

O|O000000702.

4^ On divifera le 3^ quotient 0,0000003^08
par le même quarré 3 6 1 ; & Ton aura 0,00000000 i o
pour le quatrième quotient, dont le feptiéme fera
xnoindre que 0,0000000002.

. 5^. Enfin on ajoutera enfemble le premier quo*
tient I le tiers du fécond , le cinquième du troifiéme t
le feptiéme du quatrième ; & la fomme un peu moia^
dre que 0,04575749069 fera le logarithme de la
firaâion propofée ^t

^iihmdtifiêk £ f

^) 4 Liy. VIU. Chap. IV. Dell CoHsnucTiotf

Exemple IIL
^2 J Ofi demande le logarithme de lafraUiùn -f-«

i^ On divifcra le nombre 0,8585889^38^ pat
17 fomme du numérateur & du dénominateur de la
fraâion -f* ; & i'on aura 0,05 1 op 3468 5 pour le pre-
mier quotient.

s^. On divifera ce premier quotient par 289
quarréde 17 ; & Ton aura 0,0001767940 pour le
fécond quotient, dont le tiers fera 0,0000589313
& un peu plus.

30, On divifera le fécond quotient 0,000 1 7^7940
par le même quatre 289; & Ion aura o,oooooo(Si 17
pour le troifiéme quotient ^ dont la cinquième partie
îera 0,0000001223 êc un peu plus.

4^ On divifera le 3^ quotient O,oooooo5ii7y
parle même quarré 289 ; & Ton aura 0,000000002 1
pour le quatrième quotient , dont la feptiéme partie
fera 0^0000000003.

5^« Enfin Ton ajoutera enfemble le premier quo-
tient, le tiers du fécond , la cinquième partie du troî»
fiéme , la feptiéme partie du quatrième ; & la fomme
0,05 1 1 52 5224 fera le logarithme de la fradion pro-
pofèe -f .

Exemple IV»

226 On demande le logarithme de la fraâipn y.

i^ On divifera le nombre 0,8685889538, par
1 5 fomme du numérateur & du dénominateur de la
fraftion —; & Ton aura 0,0579059309 Se un peu
plus pour le premier quotient.

•2®. On divifera ce i^*" quotient 0,0579059309,
par le quarré 225 de 15 ; ce qui donnera pour le
fécond quotient 0^0002573597, dont le tiers fera
9,0000857865.

. X>KS TaBUS t>B LOGÀRITHMK» 43]^

1^. On divifera par le même quarré 22 ^, le fécond
!q[Uocient 0*0002573597; ce qui donnera pour le
troiGéme quotient o»ooooo 11438, dont la cinquième
partie fera 0,0000002288 ou un peu moins.

40. On divifera ce 3^ quotient O5OOOOO11438V
par le même quarré 225 ; & Ton aura ce dernier
quotient 0,000000005 1 , donc la feptiéme partie fera
o»oooooooo07 (Se un peu plus.

50. Enfin on ajoutera enfemble le premier quo«
tient, le tiers du fécond, la cinquième partie da
troifiéme, la feptiéme partie du quatrième; âç la
iomme 0,0579919470 fera le logarithme de la
iraâioQ propofée y.

PROBLÈME.

^Vj Cànnoijfant le logarithme JCune fràSion , & etlA
dé Van defes termes ; trûuper le logarithme de Vautre terme.

1 ^. Le logarithme de la fraâion étant donné : fi
Ton connott le logarithme do dénominateur, oh
ajoutera ce dernier logarithme avec celui de Ik
fraftion ; & la fomme fera le logarithme du numé-^
rateur.

a^. Le logarithme d'une fradion étant donné : fi
Ton connoit le logarithme du numérateur ; on re-
tranchera le logarithme de la fraftion de celui de
fon numérateur » âc le réfte fera lé logarithme du
dénominateur.

Car (iV^. 53.) une fradion eft le qubtîeût de la
divifîon de fon numérateur par fon dénominateur.
Ain G (A^o. 21^.) le logarithme d'une fraftion, eft
égal au logarithme de fon noméraiteur moins celui
de fon dénominateur ; âc par conféquent 10. fi Ton
ajoute le logarithme du dénominateur à celui de la

£e ij

43^ Ltv.'Vni. Ckap. VI. De la CoNSTmircTioi*^

fraâioD , la fomme fera égale au logarithme du ira«
mérateur de la même fraftion. Ce qu^il falloit picr
mieremenc prouver.

Pour démontrer 7?. qu'on trouve le logarîdime
du dénominateur d'une fraâion , en retranchant le
logarithme de cette fradion , de celui de fon numé-
rateur ; il fuffic {tP. % 1 5.) de faire voir que fi Ton
divife le numérateur d une fraâion » par cette firac*
rion j le quotient fera égal au dénominateur de la
même fraâion. Or pour divifer le numérateur d'une
fraftion par cette fraftion ; on fait ( A^o. 7 1 .) qu il
faut d'abord le divifer par le numérateur de la frac-
tion, c'eft- à-dire le divifer par lui-même, ce qui
donne i pour quotient ; &: qu'enfuite il faut multipliée
ce premier quotient i par le dénominateur ; ce qui
produit le dénominateur lui-même. Ce qu'il âdloit
iecondement prouver.

Ex s M p zàs.

228 10. On fait que le loga-
rithme de 10 ell I, ou 1,0000000000

Et (N^. ^^îO qne le loga-
rithme de yI eft 0,04 139 a(8 5 1

Le logarithme de 1 1^ fera donc
égal à la fomme 1,041592(^8^1

a^. On fait que le logarithme

de 10 eft I, ou 1,0000000000

Et {No. 224.) que le loga-

rithme de ^ eft 0,04 y 7 ^7490^

Betranchant le logarithme de ^ ,
du logarithme de i o ; le logarithme
de 9 ^ fera égal au rcftc ^99S^^^^S^9^

Bcs Tablbs DB LoGARITHnSS; ï|37

5*. On vient de voir que le lo-
garitlftne de p ttt o,p 54242 $og^

Et Ton fait (M. 225.) que le
logarithme de | efl 0,05 1 1^25224

Retranchant le logarithme def»
du logarithme de 9; le logarithme
de 8 » fera égal au refie 0,9030899870

40. On vient de trouver que le
logarithme de 8 efl 0,903089987a

Et (iVo. 226.) celui de ^ eft o>OÎ79P iP470

Retranchant le logarithme de *,
du logarithme de 8; le logarithme
de 7 fera égal au refle 0,8450980400

PROBLÊME.

ASp Conflruirt unt Table de h^arîthmes , en Çuppo»
faut que Us U^aruhmes des termes de la progrejfion géo^
métrique décuple [[ i : 10 : 100 : 1000 : 10000 : &e^
fine -f o • I • 2 • 3 • 4 . &c^

i^. On cherchera , comme nous avons falc
(A^o. 224. 225, 226.)^ les logarithmes dts ùac^
tions -j* f> 7«

Comme on fçait que Tunité eft le logarithme du
numérateur delà première de cesfraâions, on trou-
vera d'abord (N^. a28.) que le logarithme de 9 eft
0,9542425094.

Ayant trouvé le logarithme de 9 & celui de la frac*
tîon f ; on aura (iV®. 228,) 0,9030899870 pour le
logarithme de 8.

Le logarithme de 8 & celui de la fraâion ' étant
trouvés ; on aura (A^o. 228.) , 0,8450980400 pour le
logarithme de 7.

£ e iij

4^8 Lîp. Vïll. Chap. IV. De la Coksteuctiok

2?. Le nombre 2 étant la racine cubique (ie 9
dont on a le logarithme ; en divifant le logarithme
de 8 par 3, le quotient 0,3 0102^^5^5 7 fera (N^.2,1^
le logatichme de 2.

Le nombre 4. étant le quatre de 2 dont 00 vient
de trouver le logajithme: en mukipliant le log^
lichme de 2 par a, le produit o^6o20^^^^i^ fêta
(^o. 2 1 8.) le logarithme de 4.

3^ Le nombre 9 dont on a le logarithme» étant
le quatre de 3 ; fi Ton divifele logarithme de p par
2, le quotient 0,4771212547 fera (Ml 215.) le
logarithme de 3.

4.^. Le nombre $ étant le quotient de W divifion
de 10 par 2, dont on a les logarithmes; en retrao-
chant le logarithme de 2, du logarithme de 10»
on aura (A^- 24 d.) 0,69897000^3 pour le Ioga«
rîchme de J.

5^. Le nombre 6 étant le produit de 3 roukipNé
par 2, dont on a les logarithmes ; en ajoutant le loga^
rithmede 2 à celui de 3 , la fomme 0,77815^2504
fera {N^. 215.) le logarithme de 6t

f

Aînfi les
nombres ^

I

X

a,

y

6

7
8

( ont pour

r 0,0000000000

0,3010299957

0,477 iaiay4T
1 o,<îoaoj999ij

j o,(Î9897ooof j

} logarithipes 1 0,778 1 5 1 a 5 04^

I

01845098040a
0,9030899870
0,9542425094

lyQOOQOOOOOO

Les logarithmes de tous les nombres^, depuis i yxt^
qu a i o j étant trouvés j on cherchera les logarithmes
des nombres qui font entre lo ôc loo^

mis TlBLHS BBS lOGAtlTHMES. 4^^

Le premier de ces nombres» 1 1 , étant un nombre
iimple; on cherchera (N^ 223.) le logarithme de la
fraftion ^ : de ajoutant à ce logarithme le logarith-
me de 10, on trouvera (N^. 228.) i,04i3p268ji
pour le logarithme de 1 1 •

Le nombre fuivant la étant le produit de la mul-
tiplication de 6 par 2 , ou de 4 par j ; en ajourant
enfemble les logarithmes de 5 & de 2 , ou ceux de
^ & de 3:, la fomme fera le logarithme de I2.

On trouvera de la même manière les logarithmes
de tous les autres nombres » foit en additionnant les
logarithmes des nombres dont il font compofés»
foit en prenant le logarithme d une fraâion qui aura
pour numérateur le nombre dont on voudra avoir le
logarithme, Se qui aura pour dénominateur un nom- '
bre plus petit d^une unité » dont on fuppofe le loga«
dthme trouvé.

On a pouffé le calcul des logarithmes juffuâ éàx chiffre»

àédmaux dans les articles 223 Gr/ùivani; parce que la

méthode quon a fuivie dans ces articles eft fi prompte , qiîil

nen coûte guère plus de peine pour Us calculer jufqu à dix

décimales f quejufqu^àjept. Au rejie quoique les lagarithmet

quon a donnés foient Affe\jufies^ pour quon ne puiffe point

y ajouter ni en retrancher une unité décimale ta dixième-

ùfdfe , fans Us rendre trop grands ou trop petits ; il nefau'- .

droit pas fe flatter que tous les dix chiures décimaux ^ Je*

toient toujours bons y fi Ion continuoit la Table commencée^

Ainfi lorfqu^on auroit trouvé tous Us logarithmes dont on

auroit bejoin , il faudroit fupprimer le dixième chijfre dé-^

eimaly & ajoàter une unité au neuvième^ lorfque le dixième

firoit ^ ou plus grand que ^.

On demandera fans doute à quoi répond , 8c corn*
sient on trouve le nombre conftant 0,868 j 88p(^38 y
qui ferc de bafe aux logarithmes que nous avons
trouvés. Mais comme la féconde méthode dans la«

euij

^O Liv. Vlîh OuLf. IV. QofiSTTONS VtzOLXTES

quelle nous avons fakufage de ce nombre, ne peuC
pas être démontrée fans fuppofer des principes qu'oo
ne peut point expliquer dans ces Élémens ; on n'ea
feroit pas plus avancé quand nous dirions que chaque
fyfième de logarithmes à fon module particulier ^ èc
que le nombre 0,868^889638 eft le double du mo-
dule du fyfième dans lequel Tunité eft le logarithme
de 10.

Powr donner une idée de VutUhé dont peuyent être les
logarithmes , duns la réfolution des problinus qu'on profofe
affej communément aux Arithméticiens ; on en va fairt
ufage dans Us quejiions f tapantes.

QtrXTT'ION PMtEMIMMM.

230 he premier terme & la raîfon d'une progreffîon géo^
métrique étant donnés ; trouver le numéro Jtun terme égal
à un nombre propofé.

Nous avons vu {No. 188.) que tous les termes
d'une progre(fion géométrique, peuvent être rcpré-
fentes par le premier terme multiplié ou divifé con-
tinuellement de fuite par la raifon de la progreflion ;
& {No. ipo.) qu'un terme quelconque eft par con-
féquent compofé du premier , multiplié ou divifé
.autant de fois de fuite par la raifon de la progreflion»
qu'il a de termes avant lui. Âinfî puifque dans la pro*
grefGon géométrique propofée , le premier terme,
la raifon & le terme dont on demande le numéro»
font donnés ; on pourra trouver le numéro qui pré-
cède celui qu'on cherche, en multipliant condnuel*
lement de fuite le premier terme par la raifon delà
progreflion , jufqu a ce qu'on foit parvenu à un ter-
me égal à celui dont on demande le numéro , & en
marquant le nombre des multiplications que l'on fait :
car ce nombre de multiplications fera évidemmeut

I »Am LES LCGÀEITHMIS. 44f

|i 2gail au nombre des termes qui précédent celui qui eft

i donné ; Se par conféquent en ajoutant i à ce Aombre,^

t on aura le numéro qu'on demande.

t Comme cette opération exigt fouvent beaucoup

^ ide multiplications qui conduifent à des fraâions em-

I baralTantes , lorfque la raifon de la progreflion n'eft

pas un nombre entier ; & que dans le cas où le nom-
bre dont on veut avoir le numéro , n'eft pas un terme
)ufte de la progreffion » elle ne peut faire trouver ce
Dtfméro que par des .tâtonnemens qu'on n'oferoic
confeiller; nous allons propofer une autre méthode
dans laquelle nous ferons ufage de la petite Table de
logarithmes que nous avons donnée.

Puifque (No^ 188.) chaque terme de la progreffion
eft compofé du premier multiplié ou divifé conti-
nuellement par la raifon de la progreflion ; il eft clair
(^^. 2 1 ^ ou 2 1 6.) que les logarithmes des termes de
cette progreflion , feront compofés du logarithme du
premier, en lui ajourant, ou en retranchant con«
tinuellement le logarithme de la raifon. Ainfl les lo*
' garithmes des termes de la progreflion géométrique*
formeront une progreflion arithmétique qui aura pour
premier terme le logarithme du premier terme de la
progreflion géométrique, pour différence propre additive
ou fruftraBive le logarithme de la raifon de la progref*
lion géométrique, & pour dernier terme le logarith-
me du terme ou du nombre donné dont on demande
le numéro. Et comme le premier terme, la raifon 8c
le terme ou nombre dont on demande le numéro t
font connus dans la progrefljon géométrique ; il eft
clair que les logarithmes de ces quantités^ qui font le
premier terme ^ la différence 8c le dernier terme de
la progreffion arithmétique correfpondante , font aufli
connus.
Comme la progreffion géométrique & la progreffion

:442 Liv. VUt Chap^ IV. Question» kê$olue9
drichmécique correfpoDdante ooc le même nombre'cfe
tetmea; le numéro du nombre que Ton confidére com-
me dernier terme dans la progrefllon géométrique p.
fera le même que celui de fon logar khme confidéré
comme dernier terme dans la progreilion arithméti*
qne. Âînfi la queftion dont l'objet eft de trouver ce
numéro , fe réduira à trouver le nombre des termes
d'une pcogreflion arithmétique dont les extrêmes Se
la différence propre font donnés»

Quoique le problème auquel la queftion piéfeote
fe réduit » foie femblable à la queftion III propofée
page ^82 fur les progreffions arithmétiques;, nous ne
nous difpenferons point d'en continuer la réfohition.

Comme le dernier terme de la progreflk>n arith*
métique , ou le logarithme du nombre donc on de-
mande le numéro» contient le premier terme de la
même progrefllon, (ou le logarithme du i^ terme de
la progrefCon géométrique) avec la différence additî-
ve ou fouftraâive prife autant de fois qu'il y a de ter-
mes avant lui : fi l'on retranche le logarithme du i^
temie de laprogreffion géométrique, du logarithme
du terme dont on cherche 1^ numéro , ou que Ton ôte
ce dernier logarithme du premier ; le refte fera égal
au produit de la différence propre multipliée par le
' sombre des termes qui précédent celui dont on veuf
avoir le numéro. Âinfi en divifant ce refte par la dif-
férence, c'eft«à*dire par le logarithme de la raifon de
la progreffion géométrique ; le quotient fera le nom-
bre des termes qui précédent celui dont on demande
le nuYnéro ; & par conféquent en ajoutant 1 à ce quo«
tient , on aura le numéro demandé.

La règle pour réfoudre la queflion propofée, coq-
fifte donc à prendre la différence du logarithme do;
premier terme , au logarithme du nombre ou terme
dont on demande le numéro ; ce qu'on fera en te*

I

«

1»AR LBS LOGARITHMIS^ 44)

tranchant le plus petit de ces deux logarithmes , da
plus grand; à divifer en fuite le refte» par le loga-
rithme de la raifon de la progreffion ; & à mettre une
unité dq plus au ^otient , pour le rendre égal au
numéro demandé.

3^3 X Lt primer Urmt imt pr0griffion giomépriqi»
troiff^nu étant 7, & /« wfm àant %; on d$man(U U
nHm^<^ du terme qid ^ égal à 9^6.

Oq prendm le logarithme de S^r
(avoir d)952^o8i^

£t le logarithme de 71 {avoir oÎS^^o^Sq

Fuis retranchant le fécond logs^-
rithme du. premier » il reliera 2, 1 072 t 00

Enfuîte on prendra le logamhrae^ de a , fàvoîr
0^30103001 6b Ton diviféra par ce logarithme le
refte 2, 1072 loo ; & le quotient 7 qi^'on trouvera,
fera le nombre des termes qui précédent le terme
9^6 1 en forte que ce terme 8p 6 fera le huitéme de
la progreifion.

EXMMJ^ZM IL

2^2 'Le premier terme d'une grogrejfian géomitriqM
étant I » & /a raîfon étant |f ; on demande le, numéro dm
terme égal i 3.

On prendra le logarithme de 3» favoîr 0,477 1 *i 3t
& comme le logarithme du premier terme i , cft zéroj
on n'aura rien à retrancher du logarithme de 5 ; ainfi
ce logarithme reftera en entier.

On prendra enfuite le logarithme de la raifon f|- ,
qu'on trouvera (A^. 216.) de o>o2ii8p5: & divi-.
fant par ce logarithme, le logarithme de 5 ; le quo-»

444 ^^^- ^^^^* Chap. jy. QoEsTf ovs mïsoLUBs

tient 22, 51 qu'on trouvera, fera le nombre des ter-*
mes qui précédent 3 : en forte que 25,51 fera le nu«
inéro du terme 3 ; c*eft-à-dîre que ce terme fera entre
le vingt-troiGéme & le vingt-quatrième , à peu près
à égale diftance des deux.

REMARQUE.

&3 3 ^° P^^^ remarquer dans ce dernier exemple»
que dans le cas où Tunicé eft le premier terme d'une
progreffion géométrique dont onconnoit laraifon;
la règle pour trouver le numéro d'un terme connu
de cette progrefljon , fe réduit à divifer par le loga*
rithme de la raifon , le logarithme du terme donné
dont on demande le numéro, & à augmenter d'une
unité le quotient de cette divilîon.

On peut encore remarquer en général que fi la
progreffion efl décroisante » c'efi-à-dire fi le terme
dont on demande le numéro eft moindre que le pre-
mier ; on pourra regarder le terme dont on demande
le numéro, comme le premier terme de la progreffion^
Se confidérer le premier comme celui dont on de*
mande le numéro. Par ce moyen les deux exemples que
nous avons donnés pour des progreffions croiffitntes»

feront applicables à des progreffions décroiffantes.

>
Qir s sT 10 N IL

234 Unefomme d* argent ayant été placée au demer
âo , ctft'à'dire à condition £en retirer un intérêt annuel
égal au vingtième de cette fomme ; au bout de la première
année on ajoâte Vintérit à la fomme principale , pour retirer
du tout un nouvel intérêt au denier vingt ^ & Von continue
défaire la même chofe tous les ans^jufquà ce que le fonds
fait triplé. On demande au bout de quel temps la fomme
premièrement mife à intérêt ^Jera triplée.

' Puîfque le fonds produit un intérêt au denier ao»
Se qu^on ajoute toujours Tintérêt avec le fonds ; il eft
clair qu'au bout de la première année , ou au com-
mencement de la féconde I le fonds fera augmenté
d'un vingtième, & que le fécond fonds qui réfultera
de cette augmentation, fera par.conféquent égal aa
premier multiplié par i & -^i c'eft-à*dire par f|.

Au bout de la féconde année» ou au commence-
ment de la troifiéme, le fécond fonds fera pareille-
ment augmenté d'un vingtième ; ce qui fera un troi«
(iéme fonds égal au fécond multiplié par l Se ^^
c'eft-à-dire par ||.

Enfin comme à la fin de chaque année l'intérêt fera
toujours ajouté au fonds précédent , de fera par confé-
quent compofé du fonds précédent multiplié par i
éc ^, c'eft-à-dire par H ; il eft évident que les dififé-
rens fonds qui réfulteront de l'addition continuelle
de l'intérêt au fonds précédent , feront une progref»
fion géométrique croifTante dont la raifon fera ||»
Se dont le premier Se le dernier terme , feront la fom^
me premièrement placée, Se le triple de cette fomme»
Ainfi en fuppofant que le premier terme de cette pro«
greffion eft x , & que le dernier terme ou le fonds
devenu triple eft 3 ; on trouvera comme on a hk
{N^. 232.)» que le numéro du terme qui précède
le dernier 3 eft 22,^1, Se que le numéro duderniec
terme 3 eft par conféquent 23,51.

Comme le premier terme de la progreflion géo-
métrique que nous confidérons j eft le fonds qui ré-
pond au commencement de la première année ; St
que chacun des autres termes répond au commence**
ment d'une année ; il eft évident que le numéro
2ji$ I du nombre 3 qui repréfente le fonds triplé »
répondra à peu de chofe près au milieu de la vingt-
troifiéme années ç'eft-à-dire que le fonds mis pre*

miareiMnc à intérêt i fera triplé aptes Viogt-^iut
ans & demi.

Qvmstion I ÎL

235 I^'^^ ^^^^^ ^^ ' 00 pinHi 'de vin ^ M tire t&us Zet
jours une pinte ^ue tàn remplûee à mèfure pur une pitue
iteau i & l'en demande combien il faut tirer de pintes,
pour réduire le 9in du hâril à là mokU.

La première pinte qu'on tire du baril ) en réduit le
vki aux 99 cenciéitaes : ainfi re()réfentant k totalité du
vin du baril par i , le premier refle du vin eft ^ •

La première pinte de vin tirée du baril pétant rem-
placée par une pinte d'eau ^ & le mélange contenant
par conféquent 99 parties de vin & une partie d'eau ;
la féconde pinte qu'on en tire^ en réduifant le mélan-
ge aut p9 centièmes^ réduit aufli le vin de ce mélan»
ge à ks 99 centièmes ; c'eft-à-dire qu'après avoir tiré
mie féconde pinte du baril , il n'y refte en vin que les
99 centièmes de ce qu il contenoit avant d'avoir tiré
la féconde pintis.

La féconde pinte tirée étant enccKe remplacée par
tine pinte d'eau ; la troiliéme pince que Ton tire , ré-
thiit encore ce nouveau mélange à fes st^ centièmes :
ainii la quantité de vin de ce mélaûge » eft au(& rédat-
te à fes 99 centièmes ; c'eft-à-dire qu'il ne refte en vin
dans le baril, que les 99 centièmes de ce qu'il y avoic
avant d'avoir tiré la troifiéme pinte»

Comme on continue toujours de remplir le baril
avec une pinte d'eau » Se qu'à mefure qu'on tire une
pinte du mélange , on tire la centième partie du via
qu'il contient ; il eft évident que chaque quantité de
tin qui refte dans le baril » après avoir tiré chaque
pinte > efl: toujours les $^ centièmes de la quantité
de vin qu il y avoit auparavant.

fkK 1.11 LoOAEItRMlf. 4^7

Les difFérentcs qua&tités de vin qui reftent dans le
baril formeDt dotîc uoe progreilion géomécrique dé-
croifTante , dont la totalité du baril , qu'on repréfente
par Tunité , eft le premier terme , & dont cette frac-
tion ^ eft la raifon ; c'eft-à-dire que ehaque terme
de cette progreflion efi le produit du terme précé-*
dent multiplié par f^ , ou le quotient de la divifioti
du terme précédent, par ^ : Ôc comme par les con-
ditions du problême , on tire du baril jufqu'à ce que
le vin foit réduit à la moitié de ce qu'il y en «voit ,
la queftion fe réduira à trouver le nombre des termes
d'une progreflion géométrique, dont le premier terme
efl I , le dernier 2 , & la raifon ^ .

On prendra donc le logarithme de |, fevoir
—0,3010300, & celui de -^^ favoir --0,0043548,
qui font les mêmes que ceux de 2 & de ^, avec cette
diâférence qu'ils font négatifs : & divifant le premier
logarithme <— o, 30 1 0500 par le fécond —0,0043 548,
le quotient fera le nombre des termes qui précédent le
dernier de laprogreflion, ou le nombre de pintes qu'on
a tirées du baril ; parce que le fécond terme -^ venant
après avoir tiré la première pinte, la progreflion doit
avoir un terme de plus qu'on n'a tiré de pintes.

Les deux termes -*o,30i030o &— 0,0043^48 de
la divilion qu'on doit faire ^ étant des nombres faux ;
on ne peut pas fe difpenfer de faire remarquer , que
deux nombres faux divifés l'un par l'autre , ne don-
nent pas un quotient différent de celui qu'on auroit fi
le dividende Se le divifeur étoient des nombres vrais ;
parce qu'un nombre faux eft contenu dans un autre
nombre faux , de la même manière qu'un nombre vrai
cft contenu dans un nombre vrai. Par exemple y une
dette de i ocfiy qu'on peut regarder comme un nombre
faux — 100*, eft contenue 10 fois dans une dette de
1000^ qui peut eue aufli conlidérée comme un nom-

bre faux — iooo>, de même qu'un bien de loo' eff
-contenu lofois dans un bleu de loo^.

Il efl donc évident que pour dîvîfer — 0*3010500
-pat— 0,00435481 afin de trouver le nombre des pis-
tes qu'on tire du baril pour réduire le vio à la moitié
avec les conditions propofées » on peut regarder le
dividende Se le divifeur comme des nombres vrais
(0,3010300 8c i,oo43<?48). Se divifet eofuite le pte-
mier pat le fécond ; ce qui donnera pour quotient
le nombre vrai 6S ^^ » lequel marquera qu'il fauc
tirer près de 6^ pintes » Se remplir k mefurc qu'on tire
une pinte, pour léduiieàlamoitléles loopiatesde
vin du baciU

ÉLÉMENS

ELEMENS

D'A RITHMÉ TI^ U£.

LIVRE IX.

Des ÙiangemeiU ^Ordtc & du Combinaifonti

'33^ '■ ^ tTittndpiiCkaneaiuntd'Ordrt

ou Permutation la raanieie d'ar*
ranger plufieurs chofes de toutes
les façons poflibles , en fone que
les Téfultats de tous les firrân-
gemcDs conùeooe^t pt^cirémeot les in&m es choJcJ
différemment arrangées.

Quoique le mot de Combbiaifon M paroifle con-
venir qu'à une méthode pour trouver toutes les fa-*
çons dont oti petit prendre pluCeurs chofes deux i
deux 1 00 entend cependant par ce terme la manière
de trouver les réfultacs de ptuGctars chofes prifes une
à une , trois à trots , quatre à quatre , cinq à daq,
ou en aulli grand nombre qu'on peut les prendre ,
avec toutes les conditions dont uae queAîoa eft
liifccptible.

4^0 Ltv. IX, Clup. L Dis ChAmgbmbms

CHAPITRE PRËMIËtU

t

SL^'JT^ O u r découvrir touce» les fafons poffibles
XT ije changer Tondire de plufieurs cfaofet > par
exeAipIe,eil coMbien dhe niaQielriîis oo peut varier Tor^
dre de fix perfonnes aflifes à une même table ; il £mt
commencer par trouver tous hes lirrtngemens dW
petit nombre de chofes ; Se palTant aux arrangemens
tlifférens que peuvent recevoir un plus grand ùonàxt
de chofes , on parviendra à trouver la loi que fui vent
les dénombremens de tous les irrangemens poffibles»
que peuvent recevoir différentes chofes quel qu'en foil
le nombre.

l?oùr défigner les chofes dont on voudra trouver
tous les arrangemens poi&bles ^ rien M |AïOtt phu
convenable que les lettres de Talphabet. Mcoit repré-*
Tenterons donc une feule chofe par A ; deuit chofes
diÔerentes par ^ , B ; trois chofes par A , By'C; &c ;
3c nous chercherons tous les arrangemens que peuvent
recevoir les lettres que nous prendrons, comme fi
nous voulions trobver tous tes mots poffibles qu'on
peut faire avec elles en les employant toutes.

I ®. Une feule lettre A n'eft pas fufceptible de plu-
fieurs arrangemens , tant qu on ne prend point d'au*
tres lettres > à Fégard defquelles elle puiïTe être ^ifiS-
remment placée. Ainfi une feule lettre ^A ne peoC
faire qu'un feul mot» ic par conféquent ne peut avoît
^u'un arrangement.

2^. Si avec la lettre A Ton prend une féconde let^
tre B ; on voit clairement que cette nouvelle lettre
pourra être placée ^ d'abQrd à la droite , Se enfuite à

I)* O R D R ip« 4y 1

)a gàudhè ctc i4 ; & que deux lettres^, B pcuVérit par
conféquent avoir ces deux arrangcmens AB^BA.

5®. Lorfqu'on à ies deux àrrangcmens /fB, B^^
de deux lettres; fi fon prend une troifiémc lettre C,
i\ cft évident qu'elle pourri occuper fucccffivcmenç
trois places différentes» dans chacun des deux mots
AB , BA ; lavoir une place au commencement , une
place QU milieu » 8c tine place à ta fin de chaque mot ;
enforte que les trois leares AjB^ C feront fufcepti-
bles de trois fois autant d'arrangemens que deux tec-
ttes A^B^ic pourront par conféquent avoir j fois i
ou fix arrangemêns di£Kreni CABy ACB^ ABC, CBA^
BCA, BAC.

40. Cohnoîflànt que trois lettres AjB^C pcuventf
être écrits dans &% Ordres différens ; fi l'on prend
ttne qùatriéttiè lettre D , on verra fans peine qu'oâ
peut lui donner 4 places différentes dans chacun des
6 mots qu'on peut compofer avec les j lettres A, B^C^
favoîr une place au commencement» une place à la
droue de la première lettre , une place à la droite de
h féconde » & une place 4 la droite de la troiifîéme 8c
dernière lettre ; 6c que les 4 leares A^B^C^D pour*
font par conféquent être arrangées en quatre fols
autant de manières que \ts trois lettres A^B^C, ots
changer d'ordre en 4 fois 6 , où 24 manières diffé-^^
fectcs.

Enfin , fi l'on continue de prendre de nouvelles
lettres avec celles dont on connoit le nombre des
arrangemêns poflfiblts ; on recànnt)ltra aifément que
5; lettres pourront recevoir j fois 24 ou 120 arran-
gemêns drflférens ;que^ lettres pourront avoir 6 fois
t20 ou 720 arrangemêns différens ; que 7 lettres tû
peuvent avoir 7 fois 720 ou 5040 ; 8 lettres , 8 fois
5040 ou 40320; p lettres , 362S80 ; 10 Ijcttres^
j5288oQ : & ainû des autres nombres de lettres.

Ff ij

45 a Liy. IX. Chap. I. Des CHAireEMBKs d'Oidif»

On aura donc tous les arrangemens que pourront
recevoir tant de lettres qu'on voudra, en écrivant tons
les nombres de fuite 1^2» 3^4» f9^9 7>8>j)« lo» ii»Acc.
& multipliant enfemble autant de ces nombres de
fuite, qu'on voudra avoir de lettres à changer d'ordre.
Par exemple pour 3 lettres , on prendra le produit
I X 2 X 3 ; pour 4 lettres , le produit 1x2x3x4;
pour 8 lettres , le produit 1x2x3x4x5x6x7x8:
& ainfi des autres.

Les difiPérens arrangemens poffibles que peuvenC
recevoir plufieurs chofes, ne font pas toujours utiles;
êc les conditions d'une queftion peuvent en faire re«
Jetter un grand nombre. Par exemple fi Ton propo*
foit de trouver en combien de manières on peut va«
fier l'ordre des mots de ce Vers latin compofé à la
louange de la Vierge par le R. P. Bernard BauhuTe
Jéfuite de Louvain ,

Tôt tibi funt dotes , yirgê , quatjidera céb^ *

de forte que de tous les changemens , il réfulte toA-'
jours un vers hexamètre , dont le cinquième pied doit
être un daftyle & le fixiéme un fpondée ; on ne pour-
roit pas faire ufage delà dixième panie des 40320
changemens d'ordre que les huit mots de ce vers
. peuvent recevoir.

Henry Dupuy ou Erycius Putéanus, en faifant Ténu-
mèration des changemens d'ordre de ce vers j compte
autant de variations , que d'étoiles au ciel , dont il
fixe le nombre à 1022 feulement.

Le P Prefiet dans la première édition de fes élé«
mens de mathématiques , compte 2 196 variations du
même vers ; & dans la féconde édition , il en compte
5275. Wallîs en compte 3096; & M. Jacques Ber-
coulli en compte 53 12 dans lesquelles la mefure do
vers eft obfervée.

r

tf.Ms Combinais OMS. ^4^5

■■■M

CHAPITRE IL

i

JDci Cùmbinaifonu

NOus avons déjà dit que les comBioaifons cot>^
ûftent à prendre une à une , deux à deux , trois à
trois, quatre à quatre A:C| toutes Içs grandeurs qui fonc
données à combiner» avec toutes les conditions dooM
un problème eft fufceptible.

1 ^« On peut propofer » par exempte, de combiner
îes cinq voyelles a, e, lyo 9 tt^, de de trouver combiea
de mots d'une lettre , de deux lettres &c» on peut faiie
avec elles; fans impofer d'autre condition que celle
de ne point faire des mots de plus^decinq lettres.' Oq
peut propofer de m&ne de trouver tous les mots poÇ&m
bies qu'on peut faire avec toutes les lettres de Talpha*
bet , à condition de ne point faire de mots qui ayent
tin plus grand nombre de lettres qu'il n'y en a dans
Talphabec : enforte qu'on pourra faire d^s mots qui
. contiendront la mime lettre une fois» deux fois» trois
fois , & en général autant de fois qu'on aura de lettre»
à combiner ; de des mots qui feront compQfés des mê*r
mes lettres diflféremment arrangées.

u9^ Oa pourroit propofer de faire des combinai^-
foos d'un certaia nombre de lettres » en défendant
feulement d'employer plufieurs^ fois la. même lettse:
djtns le même mot.

3^. On peut propofer de combmep diffêrêntes;
chofes » fans pouvoir prendre la même choTe pli^
fi^urs foin en mêmeL temps j^ & fans avoir égard, ans

Ffiii

çhangemens d'ordre que ces chofes prifcs dçux i
deux» ou trois à trois &c^ peuvent recevoir. Fv
exempte on peut propofer de combiner de toutes l^
façons poflTibles dix ouvriers, pour les faire travailles
un à un , deux à deux, trois à trois 8cc. Dans ce cas »
le nombre des combinaifons feroit très-différent de
celui des mots qu^on pourrpit fiaiie avec dix lettres^
parce que le même ouvrier ne peut pas être corn*
l^iné avec lui-même comme, la même lettre, & qiio
deux ou trois &c ouvriers différemment arrangés ne
pàfferont pas dans le cas préfent pour différentes com^
^inaiibtis.

On ppurroit ajpûrer d autres condkk>p9 , ^i , aa
lieu de diminuer le nombre des çoi?ibinairons , rau£-
tnenteroient ; par exemple oq pourroit perQietire oe
faire â^% mots de 6 lettres , de 7 lettres dcc, en eoh
ployant les cinq voyeHes ftuiemeçt. Mais nous ne
parlerons point dç ces différentes combinaif<ins , où
^'on peut employer phis de lettres qu'il n y a iTerpécea

^ caractères à combiner.

• • •• ^ • < t. • • ■

I.

* .

^3^ ^ ('00 propofok de fiaire fOQsI^s mots po0l^
l>Ies qui peuvent réfulrer des 25 lettres de Talphabet

prifes unç à une , deux à deux , trois à trots 9çc 9 eâ
exigeant feulement qu'il n'y ajt point de mot de
pins de 2,^ lettres; on trouveroit unfigrand nom-
l^re dç combinaifons à faire , que perfonne ne
pourrpit fe flatter de les écrirç toutes. Mais fim^
exécuter ces cpmbin^ifonai , on peut tifémeat ea
trouver le nombre, en examinant la loi iuîvant la-
quelle le nombre à!t% combinaifons eu^menee % k

i

Dxs CoMBiKAhoys. 4^;

mtfure qu'on emploie un plus grand nombre de
letues* V

10. En ne prenant qu'une lettre pour chaque mot» \
on compqfera 25 mots, c'efl-à-dke autant de mots
qVL^on aura de lettres. Le nombre die ces premières
cooibinaifons fe réduira doue à a^.

. %^. Pour compofer tous les mots de deux lettres >
on remarquera qu^on peut mettre chaque lettte avec ''
chacune de celles qui compofent les 2f premières
combioaifons.

Premièrement on peut mettre la lettre a à la gau«
che de chacune des z^ lettres;' ce qui donnera ces
a$ combin^ifons de deux lettres a^ 4ib, aÇf aA% 4e> aj^
fgf 4A1 ai, a/) akf «I, am^ an^ ao^ ap^ aq^ar, as^ €tf aUf^AV^
ûXf ay^ 47, dont la piemiere lettre fera Om

Secondement on peut mettre h lettre fi à U gau-
che de chacune des 2$ lettres; ce qui donnera en-*
GOre ces 4$ combiaaifoots de deux. lettres ba, hhy hc^
H htj hft bgt bh^ b'h bjj bkt bli bm, bn^ bo^ bp, bq^ br^ bi,bt^
hUt bv, bxj fiy, tf , dont la première lettre fera b.

Enfin le( a 5 lettres pouvant être mifes fucceflive*
snent à la gauche de chacune des lettres de Talpha*
bet ; il eft évident qu'on aura 95 fois 2$ oa^a j mots
de dtfux lettres feulement.

^0. En combinant de la. même mantere chacune
des 25 lettres, avec les 62$ combinaifons de deux
lettres; c'eft-à*dire en mettant d abord a., puis h^ *
^nfuttec^ &càlag«ucbedeees 62^ combinaifons;:
chaque troifidme leure donnera 625 mots dîâféreus ^
4c les 2} lettres, mifes fucce(fivement à la gauche der
62s tmM et deuK lettres >. donneront en tout 25: foia
6z$ mots.de trois lettres, ou 1562^5 coinbiaaifQaa
des 2^ leares. prifes trois à trois^

Poux peu que I oa faûjs auention à h- ra£thQ(^

F f u^i

• »

4f^ Lh. IX. Chûf. II. Des Combinaisons
qu'on a fui vie pour trouver les combinaifons des 2f
lettres prifes d'abord une à une , puis deux à deux »
cnfuite trois à trpis ; l^'on reconnoitra aiféinent que
tous les différens nombres de combioaifons des 2^
lettres 9 prifes une à une , deux à deux > trois à trois »
quatre à qyacre &c , font les termes de cette progref*
fion géométrique croiflanto dont le premier terme
c(l 2,^ s ^ dont la raifon eft auifi a^.

-^ aj :ajX25 ; ajxajxaj: 25x2 5x2 jxiyt&c;

Il fuit évidemment de ce qu'on vient de dire , que
It i^on combinoit feulement les cinq vojBelles a, e, î, a^Uf
une à une, puis deux à deux, enfuite trois à trois &c;
les difierens nombres de combinaifons feroient ex-
primés par les termes de la progreffion géométrique
croîffante -^ y : yxf : 5X jxj : yxyxjxy: 5x^x5x5x1
qui a ^ pour premier terme & pour raifon*

Eq un mot, il eft aifé de voir que les di£Pérens nom-
bres de combinaifons d\in nombre quelconque de let«-
très 9 piifes d'abord une à une» puis deux à deux, en-
fuite trois à trois &c, font répréfentés par les termes
eorrefpondans d'une progreffion géométrique, done
le prenaier terme cft égal au nombre des lettres propo«

féf $1 dç dont la raifon eft égale au même nombrç^

IL

339 ^^tis tes combinaifons dont on vient 4û parter»
font compris tous les mots qu'on peut faire en répè»
tant plufieurs fois la même lettre , 3c tous les mots qui
contiennent préçifémenc les même$ lettres diBfércmr
ment arrangées

SI Ton vouloir exclurre du nombre de; combinaî*

Ibofi des 4t j lettre 1 tous les »qi ou la m^me leuie

Dxs Combinaisons; 4^7

tft répétée , comme il faudroic faire fi les 2 ^ lettres
€h *f c,4i e,/,g, &, î, j, ^,/, m, ïi,o,>,}, r,/,r,M,y,jr,;r,f,
repréfentoienc 2^ perfonnes qui duflent être à une
même table dans tous les ordres poffibles ; première*
ment une à une, puis deux à deux» enfuite trois i
trois &c; les différens* nombres de combinaifons des
a$ lettres prifes une à une^ deux à deux, trois à
trois 8cc t fe réduiroient aux termes correfpondans de
cette fuite 25 ; 2^x24; 25x24x23 ; 25x24x23x22 ;
25x24x23x22x21 &c 9 dont le premier terme 25 eft
égal au nombre total des lettres qu'il faut combiner^
& dont chaque terme eft compofé du précédent mul-
tiplié par un nouveau faâeur décroiflant continùelr
lement d'une unité.

Car 10. puifqu'ou n^a que 25 lettres pour compo«
fer des mots , il eft évident qu'on n'aura que 2 5 mots
d'une feule lettre.

2^. Pour compofer tous les mots de deux lettres
fans en répéter aucune deux fois dans le même mot ;
on remarquera que chacune des 25 lettres ne peut
être combinée qu avec les 24 autres» âc que chaque
lettre qu'on voudra écrire la première ne donnera
par conféquent que 24 mots. La lettre 4, pa^ exem-
ple, écrite la première & combinée fucceffivement
avec les 24 autres » ne donnera que ces 24 mots ah^
« Cj ai^€f af^ agf éh, ait aj, ak, aly am^ sn^ ao^ apt aq% ar^
aft et, au, Mf axt ay^ a^,. La lettre h^ écrite la première
^ combinée fucceffivement avec les 24 autres let*^
très» ne donnera que ces 24 mots fttf» te» hà^ ht^ hf^c:
êc ainfi des autres; en foi te que les 25 lettres don-
neront en tout 25 fois 24 mots de deux lettres» c'eft-
à-xlire un nombre de mots exprimé par ^5x24 qui
eft le fécond terme de la fuite propofée.

3^ £q compofant les mois de trois lettres 1 fans

^f Ilv. IX C^JN U P«S COHBIVAÏSOKS;

en réf4tf f «ucunt ci^ui fot9 dans le mèin<^ mot ; oà
oK^rvc(9 <y]« IQVS los mots do deux lettres^ ne poor-^
r^Qi pas #tie combiq^ avec les deux lettres qu ib
cofitîeoMBt d4)^ » mais fmlemeat airec les 29 autres.
Par mffimfh ^ orats ^^» ^«s corQpofés des deux

]«ttre$ a 1 ^ > 94 pourront plus être combioiés avec
cas deux lettres » v^U i^vdUment avec lâs a ; autres

{^es dçuic roots H, cff , composés des deux lettres iSce,
ne po$)rrocN( plw dir^ coinbiaéa avec ces deux lettres ,
spais foulein^nt avec Iqs 93 autres e, i, c, e,/^g^ €rc : 4:
ain0 des autres;, en forre que chaque mot de deux
lettres np ppurra plus ^re combiné qu'avec un nom^
bre de lettres de deux unités moindre que le nombro'
total a f des letueâ doonées. Or chaque mot de deux
litres écrit le premielt» âc combiné fucceffivemena
avec les 23 autres lettres donnant vingt- trois mort
de trois lettres; il eft clair que le nombre 25x24 des
9)0ia d$ d$ux lettres combinés fucceflivenent avec
hs a) autses Ijsttres, doooera un nombre de mots
de trois lettres eiiprimé par a^X2^9^ quiefi le troir
iéme terme de la fuite propofée.

4^. Chacun dts mots 4e trois^ lettres qu'on vient
fie trouver ne pouvant phis être combiné avec au-
cune des trois lettres qu'il contient » mais feulement
Ikveçles ta au^es ; on aura 22 fois autant d% mot&
de quatre lettres , qu'il 7 a de mots de trois lettres^
AinG le nombre des mots de quatre lettres fera repré«-
Centé par 2 5x24x2 3x:(a qui eft le quaixiéme termQ
de la fuite.

Les mots c^jà compofifs de plufieucs- lettres net
|>euvent plus être combinés qu'avec les lettres qu'ilit
lie contiennent point, c'eft-à-dire avec un nombres

d« lettres égal à la diâscençQ qu'il j a enuc le noms^'

PM^ CoKBIHAISOKf. 4fjpi

\ftfi total cie« lettres données , & le oombie des lec^
tfef des mets c)é)a compofils^ Or b nombre des lec-v
très avec lefqueU les mots hm peurenc être com**
Kioés» <^a)uwanc coptinuellemeQC d'une unités à me-
fiKe <im le nombre des lettres des mois précédem*
ment faits , augmente d'une uoité ; il eft évident quo
la fuke des nombres de mots qu'on peut faire avto
un nombre de lettres données t prîfias d'abord une li
une , piiis deux à deux , enfuifie trois à trois 9(c » fans
répètes la m^^inc kuce deux fois dans le même mot*
doit commencer par un terme égal au nombre total
^ lettres données ; âç que chacun des autres termes
. doit toe compofé cfe celui qui le (^recède » multiplia
far un oouveaa ffifteur conûnueUemeac décroîffiint
d^une unité.

Les nombres de mots qu'on peut faire avec a ^ let-
tres prifes d abord une à une » puis deux à deux ,
enfuite trois à trois &c , fans qu'aucune foit répétée
deux fois daM le même mot , font donc lepréfentés pat
ks term^ correifondans de cette âii^e 15/25x24;
35x94x21; a5Xd4xa}xa2;25xa4xa3xaaxai ;••«
.... st5xa4xa5X««..;.Xi.

Les dtfl^ens noapères de nota qu^on peut ùité
avec les cinq. vcTelles « » e» i, , 1^» en les ptenanc une
iuae» pois deux à deux » enfuite tiaoîs à troj s , ians r^
péter deux fois la m^me voyelle dans le m6me mot «
font cbnc expri«bés par les termes cofiefpondans de
cette fuite 5; 5x4$ 5X4XJ; 5x4x3x2 ;5X4Xjxaxi«

Oo voit bien que la iy ite dont les termes ocps imene

les difiétens nombœs de mots d'une lettise. de deux

lettres , d|e trois lettres &c , qu'on peut faire avec 25;

kttres, fe termine nécefiTaircsneait au'vingt-cinq^^

, terme ; que celle dont la teroaies repréfcntent les dif*

!f (çrçQS ^ipmbxçs de sxuxs d'tmç lettre » de deuy le|ise%^

V

jfiSo Ifv. IX. Chap. U. T>Es CovAniiuàits;
de trois lettres dcc, qu on peut faire dTec les cio^
voyelles « fe termine au cinquième terme; & que cba*
que fuite dont les termes donneront les nombres des
mots d'une lettre » de deux lettres » de trois lettres àcc »
aura toujours autant de tetmes qu'il y aura de lettres
à coi^biner ; parce que dans toutes ces fuites , le
terme qui exprimera le nombre des mots compofés
de toutes les kttres données , aura l'unité pour der«>
nier fadeur , & que chacun des autres termes qu'oa
voudroit ajouter à ces fuites , contietidroit un fac«
teur plus petit d'une unité que le dernier fadeur. Or
ce nouveau fadeur étant plus petit d'une unité que
Timité , feroit zéro ; & il eft évident que tous les
ternies qui conttend^oient zéro. multiplié par tout ce
iqu'on voudra , feroient nuls*.

I I L

SL^O Les combînaîfons que nous avons troavéer
dans l'article précédent » contiennent tous les mots
CQUipofés de lettres données j prifes d'abord une-à
une , enfuire deux à deux , puis trois à trois Scc^ fans
qu'aucune lettre foit répétée dans le même mot; mais
ces combinaifons renferment encore tous les mots
que l'on peut faire avec les mêmes lettres différem»
ment arrangées.

Si dans ces combinaifoiis , l'on ne vouloir confer-
ver qu'un feul mot de tous ceux qui contiennent pré*
cifémenc les mêmes lettres; il eil clair qu il faudroic
divifer le nombre des mcKs de deux lettres^ par fte
nombre des arrangemens que peuvent recevoir deux
lettres. Il faudroic auflî divifer le nombre des mots de
trois lettres par le nombre des arrangemens que peu.'r
vent recevoir uois lettres ; & aiuUdes autres»

Des CoMBiKAisoKf; é^Si

Or MUS avons vu ( N®. 2^7.) que deux lettres
c^arrangent de deux mauieres ; trois lettres de 3 fois
a manières ; quatre Jetcres » de 4 fois 3 fois 2 ma-
nières » &c.

On divifera donc le nombre des. combinaifons de
deux lettres par 2 » le nombre des combinaifons de
trois lettres par 2 x 3 » le nombre des combinaifons de
quatre lettres par 2x3x49 le nombre des combinaifons
de cinq lettres par 2X3X4X j : & ainfî des autres.

Il fuit de là que li l'on veut avoir le nombre de tous
tes mots qu'on peut compofer avec les 25 lettres

Don feulement fans répéter aucune lettre dans le
même mot^ mais encore fans faire plufieurs mots qui
contiennent précifément les mêmes lettres quoique
différemment arrangées ; il faudra prendre la fuice
qu'on a trouvée dans Tarticle précédent pour la
combinaifon de 2^ lettres ; Se divifer le fécond
terme de cette fuite par 2 , le troifiéme terme pac
d X 3 » le quatrième par 2x3x4 : & ainfi d%s autres;»
ce qui donnera pour les nombres des différentes com-«-
binaifotis qu'on demande , les termes de cette fuite

^ r • il2i^^ • » JX24XH , 25X24X73X12 . «

*5> 1 > 2X1 > 2X3X4 *••••••••••••••••»

afxi4.xnxi 2X ** *• '• •• *• yi

1X1X4 • 'X»! •

$1 l'on vouloir avoir \t% nombres des mots qu'on
peut compofer avec les cinq voyelles, non-feulement
fans répéter deux fois la même voyelle dans le même
snot j mais encore fans faire aucun mot qui contienne
les mêmes voyelles quoique différemment arran-
gées , on les trouveroit dans les termes de cette fuite

- • J^ . 5X4Xi . X4X?Xl . 5X4XJX1X1
J 9 % y jxj ^ X3X4 ^ 2Xl;<4X5 *

Enfin l'on aura tous les différens mots ^ ou tous les
différens nombres de combinaifons d un nombre

^'^2 tty. ÏX.4^!!lutp. IL Des Co]iff6mAKdMS«

quelconque de lettres > prifes une & une , deux à deux^
ttois k tmis , &c» fans répéter aucune lettre d^ns le
même mot » êc ùlM faire tie mots qui contiennetit
piécifément les mêmes lettres 5 en prenant les termes
correfpôiîdans dWe fuite , dont le premier terme
fera égal au nombre total des lettres données ; donc
diâcun des auttes termes fera compofé da précédent
mukipfié par un nouveau fêâùur^décroiflant conti-
nuellement d'une unité; & dont le fécond terme ifera
divifé par 2 , le troifiéme pat l x 3 , It quatrième pac

F I Ni

u '^

A F lî K M n 1»

_

_

—

—

^ a

I

. N 1

F

6

i'

i

t '

TABLE. ^5|

TA B L E

«MM*

LIVRE PREMIER.

Des Nombres & des Ptîtiâipes ginéraot
de rAiithmétique»

CHAPITRE L Da Nomire ttt général

& ie fUniti, Page I

CHAPITRE il DtsNmbmtr4t là

Numération. ' ■ ' ^

£iîAPirkE ni Dtt JP«rtfef Hàmêku i S

-UpA.

LIVRE It

Dcsppératiûûs de rAritbmétiquft fur les Koibbres

itacomplezes.

X:HAPITRE I. De VAddkioniiiNombr*Ê

* incomplexes. àS.

Les toombrés qa*on Vtift a^oût^r éfi'f^mbîe, doivent avoir tts

unités de la même efpéce ou rédaâibîe^ a la taéttit ftfpécè. iUit
ProlAène, Ajouter enfemble pluiieurs nombres cepréioités

par tant de cbiâres qu*oii Voladra rp

Exemples» |0 & )l:

Exemple pour les noiAbres qui oht d6s dhSffitt dédmaûk. f i
ilemarguf fur cet exemple* |4

DémonllràtTon des opératiûâs quN)û atàit6s potxt PAdlrtiôn. |jr

CUAPJTRE IlDeiaSoufirûaicndis

Nwibres incêmpUxes. 3^^

La quantité qu*on veut retrancher doit être cpntenue iniB
celle dont on veut la retrancher,& elles doivent être toutes
deux de la même efpéce ou réduâiblcs i la m&oBe efpéce» ibiJL

'4^4 TABLE.

Problime. Souftnire an nombre d'un autre nombre. $f

Exemples. de ^7 â 40

Réflexion fur la Souilraâion des nombres qui ont des chmic»

décimaux. 49

Exemple. 41

Démonftracjon de l'opération de la Souftnftion. 4s

Remarque. DiflSrentes méthodes pour fiûrc la SoofiiaâioA. Hid
Exemple. 4f

Treuve de la P Addition. 44

Preuve de la SoufiraAion* ^ . . ' 4<

CHAPITRE m De ht Muldplieatîon

des Nombres ineompUxes^ . ^y

Corollaire I. Lu produit d*unê multiplication aura des unités
de même efpéce que celles du multiplicande, & aura i &
droite autant de place » qu*il y eu auta à la dtoite do multî^
plicande de du mulciplicateur. •

Corollaire II. Le maltiplicande peut être un nombre concret
ou abllcait ; mais le multiplicateur nepeut jamais être coa-
fidéré que comme un nombre abilrait. - ja

Corollaire III. 1^. On multipliera le produit de deux fic«
teurs en multipliant un feul de fes nâeurs. i^. Dans quel-

?[u*ordre qu*on prenne les deux fiiâeurs d*une multiphca*
ion; l*on aura toujours le même produit. %^. Il en fera de
même de trois ou a*ua plus grand nombre de faâeurs, ôcc fi
Probllne. Multiplier Tun par l'autre deux nombres repré-

fencés chacun par un feul chiffre. ^ H

Table de Pythazore pour la multiplication de ces nombres. 54
Manieic de roultiplier par les doigts. 5{

Froblime. Multiplier un nombre quelcon(|ue qui n*a point
de décimales, par un autre qui n*ea a point non plus Se qui
efî repréfenté par un feul chiffre. fS

Exemples. de f6 i j^

Problème . Multiplier un nombre quelconqueiqui n*a point
de décimales , par un autre qui n'eu a point non plus 3c
qui efl repréfenté par plufieuts chiffies. f^

Exemple I. de

Remarque fur la manière de placer les chifircs de chaque

produit. 61

Exemole IL te IIL i& & tf{

Problême. Multiplier un nombre qui contient des parties

deci nales , par un autre nombre qui en contient auffi ou

qiu n*en contient point* 64

Exemples. ' de 64 à 67

CHAPITRE ir.

f

tABLE. 4^j

Chapitre W.DzU Divlfion des Nojnhrek

incoittfUxjei, 6$

Cotollaire L Le divlfèur où le ijuotienc doit être un liombrë
abilraic , A: l'un des deux doit avoir des unités de mèmt
. efpéce <jue le dividende; ^ lbU(

io. Si le divifeur a des unités de même efbéce que \t divi*
dende , le quotient icra un nombre abitrait qui marquera
combien de fois le divifeur doit être répété pour produire
^le dividende, a^* Si le divifeur efl compofé d'unités abs-
traites^ il marquera combien de fois le quotient doit être
répété pour produire le dividende. H

Corollaire tl. Lé nombre des unités du quotient fera le mè^
me, foit que le dividende de le divifeur ayent des unités
de même efpéce» ou que le divifeur foit un nombre abfltait. ^1 *

Corollaire III. [ ^^^ % J- ^^^ le dividende d'ur.e

divifion par un nombre auelconque,ians toucher au divifeur^
le quotient de la nouvelle di vifio;i fera égal à celui de la pre-

Corollaire IV. [ ^o', si l^n diVile *^ J ^ ilvifeut d*unè
divifion par un nombre quelconque, lâns toucher au divi*
dendè, le quotient de la nouvelle divifion fera égal à celui

de la piemiése j] multiplié J P^ ^^ "^^*°® nombre. j? %

Corollaire V. Si Ton oiultiplie ou fi Pon divife le dividende
& le divifeur d'une divifion par uile même quantité, lequô^
tient de la nouvelle divifion fera le même que celui de la
première. 7f

Corollaire Vt. Lorfqué le divifeur efl compofé de plufîeurs
faâeurs multipliés enfemblé, on peut divifer le dividende
pai Pun des faâeurs,puis le quotient de cette divifion pat
un autre fàâeur, 6c continuer ainfi de divifer par un nou-
veau "âûeur le quotient de la divifioii qu'on vient de faire ^
îufqu'à ce qu^on ait di vifé par tous les faâeurs du divifeur. ihïi
'^vertij[hnent fur Ihilàge de la Table de Py thagore pour la

divilion. 7tf

ProbUme. Divifer ua nombre pat un autre repréfenté par un

•^feul chiffrée 73

exemples. . de7Tià2t

iProblime* Divifer un nombre par un autre compofé de plu-

fieurs chiffi:es« 9t

Exemples. deti à 88

jTQblime. Divifer un nombre quelconque par un autre, loifque

^(SS TABLE.

le dividende ou ^e divifeur contient des pâmes dédmalet
ou qu'ils en con iennent tous les deux. M

Remarque fur le problême précédent. ^ ^ 5H)

Problème. Divifer un nombre quia des parties décimales, pat

un divifeur qui n*ena point. ibii

Exemple. . ^'

Problême. Divifer un nombre quelconque par un divifeur qui
n*a point de décimales, Se pouffer la divihon jufqu*à ce que
le quotient ne diffère pas du vrai quotient qu'ondoie trou*
▼er , d'une unité décimale de tel ordre qu'on veudra. 9*

Exemple où .ia 4i vifion ed pouifée jufqu'aux millièmes. ibid

Problime. Divifer un nombre quelconque par un divifeur plus
grand que le dividende , & poufler la divifion jufqu'à ce
que le quotient ne diffère pas du quotient eza^ , d'une
unité décimale de tel ordre qu*on voudra. 5^4

Exemple L où la divifion cfl pouffée jufqu'aux cent*milltémes. ibid
Exemple IL où la divifion eil pouffée jufqu'aux millionièmes. 5^
Averxijpement. Différentes méthodes de &ire la divifion. 97

De la méthode Italienne abrégée. pS

De la méthode Efpagnole. tco

l)e la méthode rfançoif Cm ^ io|

Des fiâtes décimales compofées de périodes égales quifefucci'

dent à Vinfini. ^ Iq6

Théorême,Touz dividende moindre ç|ue 9»qui fera divifé par p,
donnera pour le (quotient une fuite intinie déchiffres déci*
mau% égaux i celui du dividende. Tout dividende «oindre
que Ç9 ou 9^9 ou fp^^ &c , qui fera divifé par ç9 ou 999
ou 9999 &c , donnera pour quotient une fuite infinie de
périodes décimales de aeux ou de uois ou de quatre &c
figures égales à celles du dividende. 107

Corollaire!. La fomme d'une fuite infmie de périodes déd*
maies compofées des mêmes chiffres, feraégaleau quotient
d'une période divifé par un nombre <!t)mpofé d'autant de
9 qu'il y aura de figures dans le période. ^ iioi

Corollaire IL Une fuite de périodes décimales qui ne com-
mence 9 pas après la virgule , repréfente le quotient d'une
divifion dont le dividende ell égal à une période , & donc
le divifeur cil compofé non feulement d'autant de 9 que la
période a de chiffres , mais encore d'autant de zéros qu'il
y a de places entre la virgule 6c le premier chiffre de la ^
première période. ilH

Preuve de la multiplication» 11%

Preuve de la Divifion. ^ uf

Remarque fur le nombre des chiffres que doit avoir le quotient

par rapport au dividende & au divifeur. i iC

Preuve de la multiplication de de la divifioui appelée Preuve
parj* ' II»

1^ I

• T A B L Fi 4$f

LIVRE III.

Des Fraâions;

CHAFITRE l Des fraShns en général ér

de leur réduSion. titl

Définitions des fraâipns ^ d69 termes qui les cofflpôrenc. t li

Corollaire I. Une fraâion eil le quotient d'une divifion qui a
pour dividende le numérateur de cette fraâion > & pour
divifeur le dénominateur de la même fraâion. ^ 114

Corollaire II On peut toujours convertir un nombre entier
en une frââion^en le multipliant par un nombre quelcon^
que pour en aire un numérateur , & en lui donnant ce

, même nombre pour dénominateur. iUi

Cofoilaite III. une fraâion e<l égale à l*unité entière lor&

. que fes deux termes font égaux; ibià

Corollaire IV. Si l'on multiplie ou fi l*oil divifepar tiné
mène quantité les deux termea d'une ftaâioii y (a valeur
ne changera point. iif

Ce qpe c'eil que réduire une fraâion à fes moiitdtés temes ibii
' Problème Réduire une fiaâion à fes moindres tersies fans

en changer la valeur» ibid

llemarque. Autre manière de réduire nae fraâion & festtoin*
dres termes. . . il?

Probtême» Réduire deux ft^iâions au même dénbmixiateur ^
fans changer leur valeur. 1x5^

Problême Réduire à un même dénominateur aitc de fiaâions
qu'on voudra. Ijd

flcmàrque* Dès fraâions réduites à la même dénomination
peuvent fouvent être réduites à de moindres termes» fiins
celTer d'avoir un commun dénominateur. ^ è)i

Trolléme^ Trouver les entiers qui font dans des fraâions» tu

CHAPITRE IL De V Addition & de U

SouJlraSion des FraSions» 1 341

.Problême* Ajouter enfemble plufîcurs fraâioxu. ^ ibii

Probiiàe. Souftraire une fraâion d'une autre fraâioii. Sjf

<mAPnRÈ ÎIL De U Multiplication .& dé

U Divifion des FraSions. i}6

Problême, Multiplier une fraâion par un nombre entier. i j?

Problême. Oivifer ine fraâion par un nombre entier. 138

Problême. Multiplier par une fraâion. tp
fCoroUaiie. La multiplication par une fraâion dont le numé«

^6B TABLE. '

racear etl Panlté , eft une véritable divifion par le déiio«
mînateur de cette fraâîon. ibià

Problime. Multiplier une fraâion par une {raâioh. ibid

I0 En opérant feulemenc fur le numérateur 'de la fraâioa
. confiaérée comme multiplicande* 141

IL Eh opérant feulement fur le dénominateur de la fraâion

confédérée comme multiplicande. 143

IIL En opérant par voie de divifion fur les deux termes de

la fraâion confidérée comme multiplicande^ 1 4I

IV. Eu opérant par voie de multiplication fur les deux
termes de la fraâion multiplicande. 14I

, Corollaire. I^. On peut choiur celle des deux fraâions que
Ton veuttpour multiplicande ou pour muItipHcateur.a^.La
mulplication d'un entier par une fraâion , peut être rap«
portée i celle d'une fraâion par une fraâion. 3*. La multi-
plication d'un entier par une rraâion» eil la même chofe que
la multiplication dp cette fraâion par le nombre entier. itii
. Problème, Divifer par une fraâion. 14J

Coi-ollaire. !<>• La civifion par une fraâion fe réduit à une
multiplication par la fraâion inverfe. a^. La divifion par
une fraâion dont le numérateur eH l'unité, efl une vérianle
multiplication par le dénominateur de cette fraâion» 146

Problime. Divifer une fraâion par une fraâion. ^ jt^j

Première folution. ^

Seconde folution. 14^

CHAPITRE IF, Dts FraSiMs de Framùnu i^

Théorème. Une fraâion de fraâion efl égale au produit de la
multiplication des deux fraâions par lefquelles elle efl
exprimée. 14^

Corollaire L Une fraâion de fraâion efl toujours la même»
quel que foit l'arrangement des fiaâions par lefquelles
elle efl exprimée. sj^

Corollaire IL Une fraâion de fraâion de fraâion &c > quel
que foit le nombre des fraâions qui la compofent, efl éga-
le à une fraâion qui a pour numérateur le produit des
numérateurs de toutes les fraâions par lefquelles eUe ci!
exprimée, & pour dénominateur le produit des dénomina-
teurs des mêmes fraâions jJl^

CHAPITRE r.De U RHuSion des FraSicm décU

maies compofées d'une fuite infinie de périodes égalet. i|f

Problème. Trouver une fraâion fimple égale i un nombre
décimal compoié de quelaues chiffres décimaux qui pré-
cèdent une fuite infinie ae périodes égales» i^%

T A B LE; '^69

LIVRE IV.

4

Des Opérations de rArithmétique fur les Mpm«
bres cot3Qplexes« 153

Valeur de difll^rentes unités de quelques efpéces» 8c anâér-
res diftinâifs de ces unités. < iff

CHA^tTRE h de V^ddUion du nomhra com^
jltxtu i$6

Problème. Ajouter eafemble ptufieurs nombres complexes. 157
Exemples pour les monnoies. , ijèic ij9

Exemple pour Técendue» \6o

Exemple pour les poids. Itfi.

CHAPITRE U. De la SoufiraSion des nmhret

comjltxes. \6z

froHime. Souihaire un nombre complexe d*un autre nom-
bre complexe ou incomplexe» i^l
Exemples pour les monnoies* 154 & 16^
Exemple pour l*étendu9« . msS
Exemple pour les poids. ibii

CBAPnREULDeUMidtîpUcâtîondanombres
complexes. 2 6St

J^roU^me.MultiplIer un nombre complexe compofé de livres

fols & deniers « par un autre nombre complexe. j^p

Remaraue fur les parties aliquotes de la livre. 171 & i^%

Méthode abrégée pour multiplier par les fols des nombres
entiers, Se pour avoir au produit les livres que ce produit
peut contenir. 17}

Exemples. 174 & 17 f

Remaraue. ifS

Méchoie pour multiplier les deniers par des nombres entiers»
& pour avoir tout d*un coup les livres , les Ibis 8c les dé-
niées que le produit peuc contenir* ibii
Exemples. ' 177 &• 178
Remarque* 27f
Dcfflonibation des deux méthodes~qu*on a propofées pour

multiplier les fols & les deniers* 180

ProiJAne.Multiplier un nombre complexe compofé demarcs»

onces , dcc , par un nombre incomplexe. i^s

Avertijfement fur la multiplication géométrique» t4 }

Cguj

j|7cl ÎF A B L E^;

Du Toifi. jtf

).Un parallélogramme ell égal au produit de (àbafc multipliée
par fa largeur ou hauteur. ^ -^ \ZS

Di vifioQ dç la toife quarrée & des parties de la toife quarrée
en partÎQS analogues à la toifelinéairc ^ aSu

IL Un parallélépipède ell égal au produit de la fUpeificie de

' ' fa bafe multipliée par (à hauteur. ^ ip|

pivifion de la toife cube ôc des parties de la toife cube en
parties proportionnelles à celles de la toife linéaire. l$y

Valeur des diflërentès unités relatives à la toifç Un^ire.)
à la toife quairée & à la toife cubique» avec les caraâeres
difl nâifs de ces différentes unités. i^

Problème. Multiplier l'un par l'autre deux nombres compofés
de toiies linéaires & de parties de toife linéaire* xpS

frobU.ne. Second exemple delà multiplication précédente. 200

probLème. Multiplier un nombre compofé de toifes quiarrées
& de parties oie la toife quarrée t par un nombre compofé
de toiles lu:^i:es& de pariléf d^ la toifèi linéaire* lOf

Frqàline. Multiplier ènfemble trois nombres compofts de
toiles linéaires Ôc de parties de la toife linéaire.^ xo^

l^emarque. Règle pour réduire les méfuresfuperficielles non

quarrées 6c moindres que la toi fe quarrée > en pieds, pouces

ce lignes quarrés , & pour réduire les mefures foliées noa

. cubiques de moindres que la toife (rube^ en pieds^ pouces,

& lienes cubes. to^

BxëmpTe pour les mefures quartées. ao^

]^xemplc pour lç§ VQfurep cubiqù^ %op

CHAPITRE IV. De la Dmfion des nombm

^omjfUxeu llli

l^i^mple I. Divifer un. nombte compofé de livrer , (bis tc>
deniars , par un nombre abilrait incomplexe. iil(

J^xemple II. Pififej un nombre comppfé de macçs» onc^ ,
gros 9 &c > par un nombre abflrait complexe. X14

Çxemple ^L Divifer un nombre compofé de livres» fols Ac
deniers» par un autre compofé de livre», fols de deniers, xil^

Çxèmple I V. Divifer ui\ nombre, compofé <k toiles quarrée»
& dé parties 4e là çoife quarrée , par un nombre compofé
4e toifes linéaires 5c de part;ie dé ta toife.linéâire« ill^

l^xèmplç V^ Divifer un nombre compofé de toifes cubiques
5c de parties de la toife cubique , par un nombre compofé
dç toiles linéaires Ôç 4e. parties de lâk toife linciiire* ' 11^

Çxèmplè VU Divifer un nombre complexe dont les diffé-
rentes unités font des tçj.fe'pouce'poucetpied''poucempouce9
ligné pêt^cf-poHçe , par un nombre incomplexÇ dont les
Wiii^ hat d^s louces'pouces* * • ' '* • ^ "" " *x»

TABLE. 471

€HAPrrRE y.DuTolJédesBoîu 224

Proàlime. Toifer une pièce de bois quarré , flc la réduire en

pièces ou folives. <% af

L Première manière d'opérer* ibid

IL Seconde manière. 2t5

m. Troifiéme iBaniere* ai8

IV. Quatrième manière* 250

LIVRE V.

Des Proportions te des principales Règles qui en

dépendent.

CHAPURE l Des Proportions en général. 231,

Il n'y a de rapport adthmètique ou géométrique, qu'entre les
quantités de même efpéce. Le rapport arithmétique cil tou-
jours une grandeur de même efpéce que celle» qui font
comparées. Le rapport géométrique au contraire eft toû-
• jours un nombre abfbait, Ac ce nombre ell le quotient de

la divifion de l'une de ces grandeurs par l'autre. ^l %

Deux rapports égaux font une proportion géométrique. ^34

ThéorêmemOn aura le quatrième terme d'une proportion géo*
métrique, en multipliant le troifiéme- terme par le quotient
du fécond divifépar le premier. ibii

Corollaire L On aura le .quatrième terme d'une proportion
T en multipliant le troifiéme pai Iç fécond ^ & diyifant le
^ produit par le premier. S}<

Corollaire IL On pourra changer d*ordre le fécond Sç le
^ troifiéme termes, fans qu'il en arrive aucun changement.

dans le quatrième. 237

Corollaire III Le produit des extrêmes efl égal au produit

des moyens. 2i&

Corollaire IV. Chaque extrême efl égal au produit des
moyens divifé par rautre extrême , & chaque moyen eil
égal au produit des extrêmes divifé par l'autre moyen. ibià

CHAPITRE IL De U RegU de TroU & difcs

différentes ejpéees» a}5^

Pf la Règle de Trois DîreSe Jmple^ 24

Exemples. te 144 à 24^

Corollaire. L'unité étant le premier tetme d\ine Règle de
Trois , on trouve le quatrième cermc en multipliant feu*
lemeat le fécond terme par le troifiéme y ou le troifiéme
par le féconde Hf

GgiiJj

S

*74 tablé;

jpbreryatîoD. On ne doit cependant pas fupprimer ce pieaiiet
tenne lorfqu*!! eft ufie upicé concreie > ptrc^e qu'il fcrc à
fixer la nacare des unités du quatrième ; & ces fortes do
Régies de Tt ois ne. peu vent pas être regardées comme
de (impies muItipUcatioas. . iiî4

jpe la Régie de Trois iireSe cêmpofiu , 249

j^xemples, dc%foàtjdt

Ve la Régie de Trois innrJefiwjU» 15T

Exemple- ^ ibii

j^marqueX^ Régie de Trois inverfe fe réduit à une Régie de
' Trois compofée dont les termes font égaux 4euz 4 deux sjS
Ve la Régk ie Trois inverje compofée. %f9

Exemple. iîii

"Remarquem %S^

CHAPITRE m. Des RegUs de Compagme^ 9^%

Exemples. de %€% à 2^

CHAPITRE ly. Des Règles (îe Eiej^es Portions. 266

Df-s Heg:Ie8 d'Une fauflc f oûiion. 267

Exemples. de 267 à 26%

Des Règles de Dcu^ faufles poGcioins* xô'jjf

Çxemple. 270

■■■'' ■ »■■ mÊmÊ^mt

IIVKE VI.

De la flegle d'AIIîage« a7|

Ifrohléme. Lorfqu^on connok la valeur & le nombredesdi&
férentes chofes qui entrent dans la oonypofition du corps
allié , trouver la valeur des unités du corps allié. 1^4

IxGitiples. ie2'j4à2ji

hoblême.Deux unités de diSTérences valeurs étant données,
trouver quelles prties il en faudra prendre , pour com-
pofer une unité d'-une valeur moyenne donmée. xy^

exemples, de2^à2t%

\robl(me' 'Faire une fomme propofée avec deux fortes de
pièces , de chacune dcfquclles la valeur fera donnée , 6c
dont le noqibre total fera aufli déterminé. 29%

Çxcmples. deiSiditSj

l^çoi/ew. Faire une fomme projpofée a^rec trois fortes de /
pièces , dont le nombre total ipit donné avec la valeur de
chacune en particuliet^i aiJ(

H^xenrp^es. 4ei^à2^

JpVç^.^TZtf. Faire une fomme propofée en quatre fortes de
picççs, dont le nombre total foit donné avec la valeur
de chacune en particulier. ^ ..>...... v.. ^

■r* ^, '. ..vv.*-...^--... •I*J

TABLE. ^7f^

LI.VRE VIL **"

l^e la compondon des Quarrés & des Cubes i & dl^

rExtraâion de leurs BacÎDes.

^HAPTTRE I. De la compoption des Quarrét

fy de rExtraSion des Kacints Quarrées, . S^H

La racine quarrée d'un hombre compofé d'un ou deux

diiffrcs n'aura qu'un feul chiflfre. ' J0#

Celle d*un nombre compofé de plus de deux chiffres aura

plus d'un chiffre. ihi^,

T'tfi/f dçs quarrés depuis i lufqu'à loo avec leurs racineSt 30$

De la composition des Quartiu 3^i

î. 0n quarré pu \t produit d'une ligne compofée de deux
parties multipliée par elle-même , contient letjuarré de la
première partie , plus deux fois le produit de la première
partie multipliée par la féconde > plus le quarré de la fé-
conde partie. ^ 304I

II* Le quarré d'un nombre entier compofé de deux parties
contient pareillement lo* l4e quarré de la première partie*
2o« Deux fois le produit de la première partie multipliée
par la féconde, jo. Le quarré de la féconde partie. }04|

)IL \ét quarré d'un nombre quelconque partagé en un nom-i
nombre de dixaines Ac en un nombre d'nnitâ , contient le
quarré du nombre des dixaines , plus le produit du double
du nombre des dixaines multiplié par le nombre désunie
tés , plus le quarré du nombre des unités. Arrangement
de CCS parties du quatre dans ce quarré. 30$

|V* Décompofition du quatre en parties relatives ^u nombre ,
dç dixaiiies & au nombre d'unités de fa racine. JoS

Pe tjP^traBion des Ratines quarrées^ JOji

^roKime, Extraire la racine quarrée d'un nombre propofé
quelconque , ou du plus grand quarré contenu dans ce
nombre. joil

Exemple I. IL 1\L & IV. 3ie« 314, ai7& î»

|lemarfuf . L Récapitulation des opérations qu'il faut faire .
pour l'extraâion de la racine quarrée d'un nombre queW
conque. IL Reglç^pour s^fl&rçx fi la racine trouvée efl
affez grande^ de 322 à 32 j

Froblime. Approcher fi près qu'on voudra de h racine
quarrée d'un noçibre qui n'eit p^ i^n quarré parfait. 3 x f

i^' TABLE

^^^tme. Trouver la racine quariée d'une fraftioiÇ %%%

Application de la Régie pour rélbudre ce Problème,

' aux différent cas qui peuvent arriver. de ]a8 i 33]

Probiime* Trouver la racine quarrée d'un nombre complexe
compofé de toifesquanées ôc de parties de la toife quarrée. ut

CHAPITRE 11 De la Compofition dei Cuba &

de VExtraSion des Racines cubiqueu 53^

Lorsqu'un nombre n*a pas plus de | chiffres ^ ùl racioc cu«<
bique ne peut avoir qu'un chiffre. ^ ^ jjy

ItfOrfqu'un nombre a plus de 3 chiffres , ùl, racine cubique a
plus d'un chiffre. ibii

Table des cubes depuis i jufqu^à 1000 avec leurs racines» 13^

I)e la C0mpoJîtiQn des Cubes. ^if

L Un cube> ou le quarré d'une lig[ne compofée de deux

Sartie y multipUé par cette même ligne , contient le cube
e la première partie d'un de- iès càcés ; plus | parallélé-
pipèdes égaux qui auront pour bafe le quarré de la
première partie , de pour hauteur ou épaideur la féconde
partie; plus 3 autres parallélépipèdes égaux qui auront

Sour baie des quarrés égaux à celui de la féconde partie >
c pour hauteur la premiére^ partie; plus enfin le cube de
la féconde partie* ^ Ift

IL Le cube d^un nombre çompofé de deux parties , contient
pareillement lo. Le cube de fa première partie. %^. Le
triple du quarré de la première panie multiplié par la fé-
conde. . ^. Le triple du quarré ae la féconde partie multi-
plié par la première* 40. Le cube de la féconde panie. j^S
lit. Le cube d'un nombre quelconque parta^ en un nombre
de dixaines & un nombre d'unités contient le cube du-
nombre des dixaines de la raisiné ; plus, le produit de trois
fois le quarré du nombre des dixaÎTics multiplié par le nom-
bre des unités ^ plus le produit de trois fois le ouarrè d\i.
nombre des unités multiplié par le nombre des dixaines ;

5 lus le cube du nombre des unisés. Arrangement de ces
ifférentes parties dans un cube. S3^

I>écompontion du cube en parties relatives au npmbre de
dixaines & au nombre d'unités de la racine. 34s

ïh tExtraâion des Racines cubijues^ i^\

Ifroblime. Trouver la racine cubique d'un.nombre , ou du

plus grand cube contenu dins un nombre quekonquc. ^43
Rcemple L IL IIl^ & IV,. \^i , 34(5 , y.8 * U<^

TABLÉ. '47t

nmoTQut. l. Récapitulation des opérations qtfon a faites
pour i'extraaion de la racine cubique.Il Régie pour rccon-
Boîcrefi la racine cubiquetrouvéecftaflez grande, de |)i(i $JJ

Problème. Approcher fi près qu'on voudra de la racine cu-
bique d'un nombre qui n'eft pas un cube partait. J r r

Exemple. ,. ' ^ ^. f^J

ProLlne. Trouver la racine cubique d'une fra«^ion. 3 j l

Application de la régie pour refondre ce problême f
aux différens cas qui peuvent arriver. de ^S9 à ^"l

Probltme. Trouver la racîire cubique d'un nombre complexe
çorapofé de toifes cubiques & de parties de la toifc cu-
bique- >^^

LIVRE VIIL

Pes Proportions arithmétiques , des l^rogrcffions
arithmétiques , des Progreffions géométriques ,

Ôc des Logarithmes*

CHAPITRE L Des Frofortions i^rUhmétiques. ^6f

Une proportion arithmétiquç eft compofée de deux rapports
arithmétiques égaux. . . , *^*

En renverfant l'ordre des termes d'une proportion arithmé-
tique , on a une nouvelle proportion dont les extrêmes oc
les moyens font les mêmes que ceux de la première. |^r

Ce que c'cft qu'une proportion arithmétique continue. ma.

Théortme. Dans toute proportion arithmétique la lomme de$
extrêmes eil égaïé à celle des moyens. ^ J^*

Corollaire I. Si l'un des extrêmes de la proportion eft o, 1 au-
tre extrême eft égal à la fomme des moyens. \P9

Cetollaire II. Dans une proportion arithmétique continue ,
la fomme des extrêmes eft double du terme moyen. ipH

Corollaire III. On aura celui qu'on voudra des deux

{?xtîêmes }*une propoiiioii,enajoûtant enfen?ble les

^-«1 Semées i&retranchantPautrel SSjtr ^

4c IÇur iqfflae* V^

\

^7^ T A B L E;

CHAPITRE 11 Des Progrejfions oMmêàfoiti

Déjinuicns ^J^

Corollaire I. Chaque terme d^une progref&on arithmétique
contienara le premier plus ou moins la différence adci-
pliée par le nombre des termes qui feront avant lui. 174

C)rolIaire IL Cbaauc terme différera du premier d'une

^ c^uantité égale à la différence propre de la progrefGon, mul-
tiplié f par le nombre d^ termes qui feront avant lui. 37g

Deux termes qyi auront d'autres termes entr*eux , auront
pour difiîrence celle ^e la progref&on , mutipliée par un
nombre plus grand d'une unité que celui des termes ^oi
feront entr'eux. I74

Corollaire III. Les termes d*nne même progrefiîon arithméd»
que » ont entr*eux la même différence^ lofqu*ils ont en-
tre*ux le même nombre de rennes , if§

Corollaire IV. Quatre termes d'une progreffion arithmétique,
tels quil y ait autant de termes entre le premier de le
deuxième 9 qu'entre le uoifiéme 8c le quatrième, {bat en
proportion arithmétique ^74

Remarque fur les nombres vrais 8c les nombres fiiux. 375

Thioriàie. La fooune des deux extrêmes d'une progreffion
arithmétique, td égale à la fomme de deux moyens pris
i di fiances égales des extrêmes. STJf

Corollaire. Si le nombre des ternes de la pro^effion e(l im-
pair y le terme du milieu fera égal à la moitié de la ibmme
des extrêmes. 3 ta

Tkéorime. La fomme de tous les termes d*une progreffion
anthmétique> efl égale à la moitié de la fomme des extrê-
mes multipliée par le nombre des termes de la progreffion. ibH

Corollaiie. On aura auffi la fomme de tous les termes d'une
progreffion arithmétique , en multipliant la fomme des ex«
trêmes par la moitié du nombre des termes. 384

Différentes ^uejlions dans la réfolution defquelles ont fait u(à-
ge des principes qu'on vient d'établir. ie iSi à |M

CHAPITRE Ul Des Progreffions géométrîqua. 587

Une progreffion géométrique qui n'a que trois" termes s'ap-
pelle une proportion géométrique continue ' )S4

Corollaire I. On peut repréfenter tous les termes d'une pro-
greffion géoménique croiffitnte ou décroifTante» en multî*
pliant continuellement le premier rerme par un même
nombre plus grand ou plus petit que l'unité. ibià

Corollaire IL Ayant deux termes de fuite d'une progreffion,
011 pourra la coutinuet autant qu'on voudra foit en mon-
tant ou en defcendant. ^ l^a

Corollaire III. Un terme quelconque" d'une progreffion
^éomécrique , eilcompofé du picaicr terme multiplié oa

4f

TABLE. ^7^

dÎTÎfé autant it (bis de fuite par la raifon de la progref- .
fion , qu'il y a de termes avant lui. iijj

Corollaire IV. Quel que foit le nombre des termes qui fe
trouvent entre les deux ternes que l'un comi)are > le fé-
cond eil toujours compofé du premier multiplié ou divifé
par la raifon de la progreiSon aucant de fois de fuite plus
une fois^qu'il y a deter tses entre ces deux termes comparés, jjl

Corollaire V. Quatre termes d'une progreilion géométrique
dont le premier fli le fécond ont autant de termes entr'eux
que k troifiéme àc le quatrième^ font en proportion géo-
métrique > k récioroquement &c. ^ )9i

Trois termes pris de fuite dans une progreflion géométri-
que 9 font en porportion géométrique continue 3p)

Thiêrime. Lorfque trois termes font en proportion continue,
le quarré du moyen efl égal au produit des deux extrêmes. Uni

Corollaire. Le moyen d'une proportion continue eii égal
à la racine quartée du produit des extrêmes i^J^

Thiortme. Le quotient d'une divifion dont le dividende efl
plus grand d'une unité que le divifeur , eft égal à la fom-
ne de tous les termes d'une progtef&on géométrique dé*
croiilànte compofée d'une infinité de termes dont le pre-
mier efl l'unité , & dont la raifon efl égale au dividende. iUf

Théorème, On aura la fomme de tous ^e^ termes d'une pro-

Jrreflîon çéeinétrique décroiflànte à l'infini , quel que foie
on premier terme , en divifaac la raifon de cette progrel-
fion par un nombre plus petit qu'elle d'une unité , oc en
multipliant le quotient de cette divifion par le premier
terme de la progref&on. 399

Corollaire I. Où l'on fiiit voir que le théorème efl applica*
ble à toutes les progrei&ons arithmétiques décroiflàntes
à l'infini. 19^

Corollaire IL la fomme de tous les termes d'une progref-
fion géométrique décroiflànte à l'infini » qui aura pour pre-

«^ mier terme nue fraéiion dont le dénominateur furpaflêra
le numérateur d'une unité » de qui aura ce dénominateur
pour raifon > fera égaie à l'unité» ipj

Théortme. On aura la fomme d'un nombre quelconque dé
termes pris de fuite daps une progreffion géométrique , en
divifant la raifon de la progreflion fzt un nombre plus pe-
tit qu'elle d'une unité » en multipliant le quotient par la
différence du plus grand terme au plus petit, & en ajourant
le plus petit terme au produit de cette multiplication. ibi4

CHAPITRE IV. Des Logarithmes (^ dekur ufage
dans V Arithmétique.

Définitions. 40S

CoroUaire I. Zéro cft le logarithme de Puni(é^ ibii

■i

^

'478 TABLÉ*

Corolltire IL Les nombres 1 9 s , ) » 4» f > &c Toni lé»
Logtrithmes des le, je, 4e, 5% 6e , 6cc termes de la pro«
greffion décuple 9 ou de telle autre pregrefiîon dans la-
quelle on imaginera que tous les nombres font contenus, itii

Corollaire IIL On aura donc autant de fyftémes de Loga-
rithmes , qu'on voudra ccnlîdérer de progrefizons géomé»
triques différences; mais dans toutes ces progredions l^i-
nité qui fera toujours à Torigine, aura zéro pour logarichn e- 4C3:

Corollaire IV« Le logarithme d'un nombre, eft le nombre des
raifons de la progreffion , qui compofcnt ce bombre par
îeur multiplication ; d'où l'on conciud que le logarithme
d*un nombre oui feroit infini feroit auifi un nombre infini. 404

Corollaire V. Les termes de la progreffion géométrique
I » 10, loo» 1000, &C) ayant pour logarithmes les termes
correfpondans de la progreffion arithméthique o>i>3» ^
Stc s n l'on confîdére la même progreffion géométrique en
âécroiflànt , fes termes auront pour logarithmes les termes
correfpondans de la progreffion arithmétique décroiflânte
} y > > X y o > &c : âc (i l'on continue la progreffion géomé-
trique au-deflous de l'unité, fes termes |L, .^, ^2^^

&c auront pour logarithme? les termes correfpondans ae
la progreffion arithmétique, qui feront des nombres nigz^-
tifs,-t,-i,-j, &c. 40/

Corollaire VL 1°. Les noinbres plus petits que l'unité
ont pour logarithmes des nombies moindes que zéro.

%^. Deux termes delà même progreffion, qui font à difhnces
égalés de l'unité » mais l'un eft plus grand &c l'autre
plus petit que l'unité , ont le même nombre pour loga»
rithme ; avec cette dinérencc que lé logàrithiné dû ter-
me plus grand que l'unité» ôft un nombre vrai, & que celui
du terme plus petit que l'unité cil un nombre faux.

3 9. Le logarithme de zéro eH un nombre infini nég^atif. 4^6

AvetiJJemtnt. Des logarithmes des termes intermédiaires i
ceux de la progreffion décuple* 407

CaraâérifHquc du logarithme. 41 1

Les logarithmes de tous les nombres moindres (]ué le der«
nier extrême de la progreffion intermédaire dans laquelle
^Is feront compris , auront pour caraâériflique le logarith-
me du premier terme de cette progreffion. • iiH

Table des logarithmes de tous les nombres depuis i jufqu'i ^
léD. . 4ix de 4x1

La caraâériiliqué du logarithme de chaque nombre contien-
dra autant d'unités moins une , qu'il j aura de chiffiesdans
ce nombre. On peut donc dans une table de logarithmes
fupprimcr la caraâériilique* 414

Les loprichmes des nombres qui occupent des places fem-
blablcs dans les différentes progrclfions intermédiaires 9
gnc les mêmes chif&es décimaux» ibii