Curiosités géométriques

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CURIOSITES GEOMETRIQUES

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CURIOSITES

GEOMETRIQUES

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1^

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AVANT-PROPOS

L'ouvrage que nous publions aujourd'luii est couqu

dans le meme esprit que nos Uecreations arithmetiques

S? et concourt au m6me objet: Instruire en pr^sentant la

OT science par ses cotes curieux. Nous lui avons donnd

une forme aussi elemenlaire que possible.
^ II nous a paru indispensable de d^buter par un re-
sume de rilisloire de la Geometrie. Dans le cours de
notre travail, en effet, nous avons utilis6 un assez
grand nombre de documents anciens. Nous avons voulu
•^ que le lecteur put facilement associer ces documents a
w leur milieu, ti la periode qui les a vus naitre, et pour
^ cela, qu'il lui fut possible de trouver surcette periode,
sur ce milieu, quelques dclaircissements dans notre
livre meme. II n'existe d'ailleurs en France aucun
ouvrage donnant, 5, ce point de vue, les renseignements
n^cessaires; si, en effet, nous meltons h part les impor-
lants travaux critiques de Paul Tannery, nous en som-
mes encore, pour I'histoire des Mathemaliques, i\
Montucla (179*0 et h. Ghasles (1837).

26S153

VIII AVANT-PnOPOS

Certcs, les ccuvres de ces savanls liistoricns ont line
valciir considerable, mais el les ont vieilli ; depuis Icur
publication, nombre de d^couverlcs out modilie, au
point de la translormer, la physionomie de I'Anliquile
et du Moyen age.

En revanche, les remarqiiables Lrgona siir I'Histoire
des MatJiematiques de M. Cantor ont ete pour nous un
^uide prdcieux, au cours des recherches enlreprises
pour la preparation de cct ouvrag-c.

E. F.

Notre ami M. Bojot a bien voulu s'imposer la lAclie incrrate
de revoJv noire inanuscrit ; uous iui adressons ici uos bien
"vifs reuiercieuienls.

.«».

^■■3

CURIOSITES GE03IETRIQUES

t

INTRODUCTION

Esquisse tie riiistoire de la geometric eleiiieiitaire.

On concoit que du jour ou le Lesoin Je commodile ou d'eni-
bellissement nous a conduits a construire les edifices, du jour ou
]e sentiment de la propriete a amene la limitation, la mesure et
la division des champs, ia geometrie pratique devait naitre. Des
documents remontant a I'antiquite la plus reculee confirment
celte hypothese.

Mais il ne s'agit encore la que de procedes, sans lien entre eux,
constituant un art et non une science. Pour arriver a I'etude des
proprietes des figures considerees en elles-m6mes, independam-
ment de toute relation avec le monde exterieur, il restait un pas
difficile a franchir. Get immense progres, qui a cu d'incalcula-
Lles consequences dans toutes les branches de I'activite humaine,
n, ete realise par le genie philosophique des Grecs; la constitu-
tion de la geometrie theorique est un des principaux merites de
ce peuple, si remarquable a bien des points de vue.

11 appartenait enfin aux Modernes de realiser I'union intime dc
la geometrie et du calcul, union qui devait conduire aux impor-
tantes decouvertes qui se sont succeJe dopuis le 4G- siecle dans
le domaine mathematique.

BIBLIOGRAPHIC

NoNTUCLA. — Histoire des Mathematiques. Paris, 2» ^dit., 1793-1302

4 vol, in-4<>, ^

Chasles. — Aperpu hislorique sur I'orlgim et le deoeloppement des me-

thodes en geometrie. Briixelles, 1837 ; Paris, 187a, iii-4».
Hankel. — Zur Geschic'ite der Mathematik in AHerlhum und Miltelalter.

Leipzig, 1874, gr. in-S".

FouRn::v, — Cuiios. (rdom, 1

2 INTRODUCTION

Cantor. — Vorlesungen uber Gesehichte der Matherrmtik. Leipzig,; 2° edit.^

1894-1901, 3 vol. gr. in-8».
Zeuthen (Trad, franeaise de J. Mascart). — IHstoire des Mathemaliques^

dans I'aniiquitc et le moi/en age. Paris, 1902, in-8".

§ 1. ^ L'ORIENT ANTIQUE
Gcomctrie pratique.

ifegyptiens. — S'il fallait en croire les historiens grecs, la geo-
metrie aurait pris naissance en Egypte. En pariiculier, Herodote
(5« 3. av. J.-C.) rapporte (Livre II, 109) que Sesostris « fit le
partage des terres, assignant h. chaque Egyptien une porlion de
terre, et carree, qu'on tirait au sort, a la charge neanmoins de
lui payer tous les ans une certaine redevance qui composait
son revenu. Si le fleuve [le Nil] enlevait a quelqu'un une parlie
de sa portion, il allait trouverle roi et lui exposait ce'qui lui etait
arrive. Ge prince envoyait sur les lieux des arpenteurs pour voir
de combien I'heritage etait diminue, afln de ne faire payer la
redevance qu'a la proportion du fonds qui restait. Voila, je crois,
I'origine de la geometrie qui a passe de ce pays en Grece ». La
version de Diodore de Sieile (i""" s. av. J -G.) et de Proclus (3« s.)
est un peu differente : on aurait ete oblige de recourir aux arpen-
teurs a chaque crue du Nil pour tracer a nouveau les limites dis-
parues des proprietes.

Si Ton entend le mot geometrie dans son sens etymologique
arpentage, il est hors de doute, en effet, d'apres 'es documents qui
nous sont parvenus, que les Egyptiens ont 6te relativement ha-
biles dans cette voie. D'autre part, leurs harpedonaptes (tendeurs
de cordeau), qui etaient charges, d'apres un mode rituel fixe a
I'avance, de proceder a I'orientation des temples suivant le me-
ridien, employaient certains traces pratiques que nous ignorons,.
mais qui etaient sans doute analogues a ceux que nous ont trans-
mis les QulvasiUras hindous(lNTROD., §,4). Gependant, rien jusqu'a
present ne permet de penser qu'ils aient constilue une geometrie
speculative ; on pent conjectiirer tout au plus qu'ils en possedaient
les premiers elements sous forme intuitive.

Parmi les documents certains permettant de se faire une opi-
nion sur le degre de culture mathematique des Egyptiens, on
peut citer au premier rang le celebre papyrus de Rhind, qui fait

ESQUISSE DE L'HISTOIRE DE LA GEO.METfilE '6

partie des collections du British Museum a Londres et qui a etc
dechifl're en 4879 par regyplologue allemand Eisenlohr. C'est un
Manuel du Calculateur a I'usage des marchands et des arpenteurs,
compose par un scribe nomme Ahmes, environ 4700 a 2000 ans
avant notre ere, d'apres des ecrits plus anciens encore. La partie
geometrique comprend la resolution generalement approxima-
tive de problemes pratiques concernant le calcul de quelques
aires planes et de quelques volumes simples ; on y rencontre ega-
lement des notions sur la similitude (voir 2« Partie).

Le second document que nous ayons a citer est constitue par
I'inscription hieroglyphique du temple de Ilorus a Edlou (Haute
Egypte), qui a ete signalee en IbSo par I'egyptologue allemand
Lepsius. Gette inscription, qui date d'environ 400 ans av. J.-C,
enumere les mesures des diilerentes terres qui formaient la pro-
priele ionciere du temple. Un y trouve des regies approximatives
pour le calcul du triangle et du quadriiatere (2« Partie, Chap. 2).

ISous signalerons enlin, en dehors des ligui'es geometriques
qu'on rencontre frequemment sur ies monuments, la connais-
sance que possedaient les Egyptiens du procede dit des carres
pour agrandir ou diminuer une ligure dans un rapport donnti.

BIBLIOGRAPHIE

Eisenlohr. — Ein maihematisfhes Handbuch der alten Aegijpter. Leipzig,

1877, 1 vol. in-i" et 1 atlas in-fol.
Lepsius. — Ueber eine hieroglyphische Insrkrift am Tempel von Edfti.

Mem. de I'Acad. de Berlin, 18oo.

Chald^ens. — Pendant longtemps, I'Egypte fut regardee comme
le seul berceau des sciences; mais les decouvertes faites vers le
milieu du siecle dernier, et qui se sont poursuivies depuis d'une
faQon ininterrompue, ont prouve que les nations habitant la re-
gion du Tigre et de I'Euphrate etaient parvenues a un degre de
culture au moins egal.

Dien qu'on n'ait rencontre aucun ouvrage systematique de
malhematiques dans les etranges bibliotheques qu'on a retrouvees
et ou les livres sont constitues par des tableltes et des cylindres
d'argile reconverts de caracteres cuneiformes, il n'en est pas
moins vrai que les Chaldeens furent, comme les Egyptiens, d'ha-
biles architectes et arpenteurs; les plans d'edifices et de terrains,
ainsi que les innombrables textes traitant de la vente des champs,
qui nous ont ete conserves, ne laissent aucun doute a cet egard.

Leur systeme de poids et mesures reposait comme le ndtre sur •

4 INTBODUCTION

des bases scientifiques. Toulefois, la verilable composition de ce
systeine et les valeurs de ses diverses unites ne sent pas encore
completeinent elucidees ; celle question a fait et fait encore I'ob-
jet de vives discussions entre les assyriuloyues.

Nous Savons peu de chose sur les connaissances geomelriques
des Giialdeens en dehors des questions pratiques de dessin et
d'arpentage; nous signalerons toutelois qu'ils avaient une cer-
taine notion de la similitude et que c'est' a eux qu'il convient de
laire remonter la division sexagesimale de la circonlerence. Les
ligures geometriques paraissent avoir ete pour ce peuple des>yni-
boles divinatoires.

BIBLIOGRAPHIE

Lenormant, — Essai sur un document mathematique chaldc'cn. Paris,

1868.
J. Oppert. — Travaux divers, notamment dans les Comptes rendus des

stiauces de I'Academie des inscriptions et Uelles-Lettres.
Sayge. — Babylonian augury by means of geometrical figures. — Tiansact.

of the Soc. oi' hihlicai Archaeology, vol. IV. Londres, 1876.
Heuzey. — Uecouvertes en Chaldee. l^aris, 1884, in-l'ol.
AuRES, — Theone de I'arpentage chez les Assyriens. S. 1. n. d., in-i".
AuhES. — Determination des mesures agraires de longueur et de super ficie

autrefois en usage chez les Assyriens. iNimes, 1891, in-8».

Cliinois. — Le plus ancien document authentique qui ne porte
pas trace de I'intluence etrangere et qui nous soit parvenu est
" le livre sacredu calcul », dit Tchcou-pei, divise en deux parties.
La preuiiei'e, tres courte et qui doit avoir ete composee vers dlOO
av. J.-C , contient a peu pres le seul resultat suivant: le triangle
de cutes 3, 4, o est rectangle, et dans ce triangle on a

d'' + P = ^\

La deuxieme partie, qui daterait au moins de I'an 213 av. J.-C,
a trait a i'astronomie. Ea somme, quoi qu en pensent les Chinois,
qui regardent cet ouvrage comme la base I'ondainentale des con-
naissances malhematiques de tous les peuples, le Tcheou-pei
donne une pauvre idee de la science antique en Chine.

Les Iraitesplus recents, ecrits a une epoque oul'influence hin-
doue et arabe avail pu se faire sentir, maisnon celle des mission-
naires europeens, sont le Su-schou-kiu-tschang ou les Neuf sections
de i'art numerique (vers 4240) et le Souan-fa-tong-tsong ou Traite
complet de I'art de compter (1593) ; ils ne contiennent que des
questions simples de geometrie pratique.

ESQUISSE DE L HISTOIUE DE LA GEOMETRIE 5

BIBLIOGKAPIIIE
En.PioT. — Tradiiclinn el exavien du Tcheou-pei. J=' Asiat., 1" scm. 18il.
Ei). I'lOT. — Table f;cnera!e du Sciimi-Ja-tomj-tsong. J'' Asiat., 1'^^' scni.

HiKitNATZKi. — Die ArUlimc.tik der Chivcxen. J'' fiir d. loinc mi 1 i\w^.
MalliL'iii. (C.rolie;, lame TiS. lieilin, ISiiG.

§ 2. — LES GRIiCS
Geometrie tlioorique.

Tout ce f[ue nous savons dc precis sur les origines de la geo-
nielrie en Grece est a pen prts exclusivement eniprunle a des
passages succincls d'un coinmenlaire de Proclus (5*= s.) sur le
Livre I des Elements d'Euclidc ; ces passages ont ete composes
d'apres I'Hisloire de la Geomelrie d'Eudeme (4" s. av. ,1. C).

Pour le surplus, on en est reduit a des conjectures basecs sur
des citations isolees de divers auteurs grecs ou latins.

BIBLIOGRAnilE

Bretschneider. — Die Geomelrie und die Geomcler vor Euldides. Leipzig,

1870, gr. in-S".
Paul Tannery. — La Geome'trie grecqne. Paris, 1887, p;r. in-8".
GiNO LoRiA, — Le Scienze esatte neW antica Grecia. Modene, i895, in-fol.
Zeuthen (Trad, frangaise de J. Mascaut). — Hisloire des Malhemaliques

dans I'antiquite et le moyen age. Paris, di;02, in-8".

Un pr^curseur. — Le premier geometre et philosophe grec
connu est Tiiales de Milet (entre 627 et 547 av. J.-C ). Les rensei-
gnements qu'on possedesur sa vie sont vagues et contradictoires;
on sait cependant d'une faQon a peu pres certaine qu'il voyagea
en Egypte.

D'apres Proclus, Thales aurait enonce les propositions sui-
vantes :

1° Si deux droites se coupent, les angles opposes par le sommet
sont egaux ;

2° Dans tout triangle isocele, les angles a la base sont
egaux ;

3" Un triangle est determine par un cote et ses deux angles
adiaceiits.

b INTBQDUCTION

Eud^me fait reinonler ce dernier theoreme k Thales, car « il
devait necessaireinent s'en servir, d'apres la maniere dont on
rapporte qu'il determinait la dislance des vaisseaux en mer »;

4° Le diametre d'un cercle le divise en deux parlies.

11 est Ires contestable que Thales ait demontre cette derniere
.proposition, comme I'affirme Proclus, car les notions geomelri-
ques n'etaient pas encore assez avancees a cetle epoque pour qu'on
sentitlanecessite d'une demonstration. Euclide lui-meme se con-
tente d'enoncer le fait dans une definition.

D'apres Pamphila, compilatrice de la lin du i"" a., Thal^s
aurait « inscrit le triangle rectangle dans le demi-cercle». On
conclut frequemment de ce temoignage que le Milesien de-
vait connaitre la propri6te pour les angles d'un triangle d'avoir
une somme egale a deux droits. Mais cette conclusion est peu
vraisemblable, car Proclus altribue formellement ce theoj'cme
aux Pythagoriciens ; il est plus probable que Thales avait deduit
praliquement la propriete rappelee du triangle rectangle du fait
qu'un rectangle peut etre inscrit dans un cercle.

Enfin Plutarque (I^"' s.) nous rapporte que Thales ravit le roi
d'Egypte par la maniere dont il mesura la hauteur d'une pyra-
mide sans aucun instrument ; il aurait efTectue celle mesure par
la comparaison de I'ombre de lapyramide et de celle d'un baton
de longueur connue dresse verticalement, au inoyen de deux
triangles semblables. Or, on a tout lieu de croire que la Iheorie
de la similitude est posterieure a Thales ; liieronyme de Rhodes
(4" s. av, J.-C.) nous apprend d'ailleurs que I'operation dont il
s'agit fut effectuee au moment de la journee <f ou I'ombre nous
est egale » : il n'y a plus la qu'une notion intuitive de la propor-
tionnalite, analogue a cello qu'on rencontre chez les Egyptiens.

En resume — c'est I'opinion de Paul Tannery — Thales appa-
rait plutot comme un chercheur de problemes pratiques, qui
a pu posseder quelques notions theoriques, mais sans les deVe-
lopper.

]^cole pythagoricienne. — Apres Thalfes, le premier nom re-
marquableque nous ayons a signaler est celui de Pythagore. Bieri
que ce fameux philosophe ait eu de nombreux biographes, nouS
ne Savons k peu pres rien de precis sursa vie, car ses actions ont
ete deformees par la legende. 11 est ne a Samos vers 580 et est
mort vers 500. Tous les auteurs s'accordent a dire qu'il voyagea
en Egypte, Vers 536, il aborda en Italic, a Crotone, oii il fonda la
c^lebre dcole qui porte son nom. 11 aurait alors exerce une grande

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LA CtoM^TRIE 7

influence politique etsociale dans la Grande'-Gr^ce, maisses doc-
trines devaient en faire le partisan de TaTistacratie, et ii dut fuir
-devant Topposition democratique; il se serait laiss^ mourir de
fajrn dans le temple des Muses a Metaponte, Quant aux associa-
tions pythagoriciennes, elles furent dissoutes et leurs membres
•disperses.

C'est incontestablement a Pythagore et a son ecole que I'on
•doit la premiere impulsion veritable donnee a la geometric, ainsi
•que la decouverte des propositions fondamentalesde cetle science.
Mais il est difficile de discerner ce qui revient en propre au
maltre et a ses disciples immediats, car les Pythagoriciens
avaient coutume de faire remonter leurs decouvcrtes a leur chef
d'ecole.

En premier lieu,, c'est a Pythagore qu'on devrait le fameux
theoreme du carre de I'hypotenuse (1" Partie, Chap. 2). D'apr6s
Proclus, il aurait demonlre les propositions suivantes :

4" La somme des angles d'un triangle est egale a deux droits ;

2" [/assemblage de 6 triangles equilat^raux, ou de 4 carr^s, ou
de 3 hexagones, remplit exactement I'espace autour d'un point.

Ge dernier theoreme implique chez Pythagore la connaissance
•de certaines proprietes des polygenes r^guliers. On sait d'autre
part, d'apres des passages d'un auteur grec, Lucien (2« s.), et d'un
scoliaste d'Aristophane, que le pentagoue regulier etoile servait
-designe de ralliement aux Pythagoriciens. Comme la determina-
tion du odte de ce polygene depend comme on sait de la section
■du rayon en moyenne et extreme raison — Ik section d'or ainsi
qu'on I'appelait alors — on en a conclu que les Pythagoriciens
devaient avoir resolu ce dernier probleme.

Dans le meme ordre d'idees, Proclus rapporte qu'on doit k
Pythagore la construction des figures du cosmos. On appelait ainsi
les cinq polyedres reguliers que les Pythagoriciens et les ecoles
■qui en .sent issues suppo.saient devoir etre en rapport necessaire
avec le monde qui nous environne. Chez le Pythagoricien Timee
HE LocBBs (4<"- s. av. J.-C), parexemple, leletraedre representait le
feu; le cube, la terre; I'octaedre, le vent ; I'icosaedre, I'eau ; et le
dodecaedre, I'enveloppe du monde.

La theoriede la similitude tut egalementetudiee avec succes dans
I'icole pythagoricien ne, car Plutarque signale que Pythagore
d-onna la solution du probleme suivant : « Construire une figur©
■equivalente a une figure donnee et serablable k una seeond«i »

' 8 . INTRODUCTIOX

Nous Savons encore par Proclus que Ion doit a Pylhagore I'im-
portante decouverte des irralionnelles : il demonlra que le rap-
port entre I'hypotenuse et le cote d'un triangle rectangle isocele,
ou, ce qui revient au meme, entre la diagonale et le cote du
carre, ne pouvait etre exprime par aucun nonibre connu (entier
ou fractionnaire ; on sait que ce iap|K»rt est represenle avec nos
notations actuelles par I'expression sj"! ).

Afm de s'afTrancliir de la consideration des irralionnelles dans
les raisonnements mathemaliques, les Pythagoriciens, et apres
eux les geometres.grecs, irnaginercnl de represenler les grandeurs
par des segments de droite. Ces segments, dont la valeur nume-
rique pouvait etre quelconque, puisqu'elle dependait de Tunite
de longueur choisie, jouaient ainsi le meme role que les letlres en
algebre ; c'est la I'origine de ce qu'on a appele I'algebre geome-
Irique.

En resume, on voit qu'au moment de la dispersion des Pytha-
goriciens, laplupart des theories qui font lobjet de la geometrie
elementaire se trouvaient ebauchees.

• Parmi les geometres independants qui ne se ratlachent pas a
I'ecole pythagoricienne, nous avons a ciler (JEnopide de Cinos
(3e s. av. J.-C), HipPOCRATE DE Chios (milieu du S« s. av. J.-C.) et
Df.mocrite (460-3o7).

Selon Proclus, CEnopide aurait resolu les deux problemes sui-
vants : 4° Abaisser d'un point donne une perpendiculaire sur une
droite donnee; 2° Construire un angle egal a un angle donne, le
sommet et un cote de Tangle etant donnes.

Aucun des ouvrages du celebre philosophe Democrite ne nous
est parvenu, mais nous savons quMl avait ecril un Traite de Geo-
metrie. Dans un passage qui nous a ete conserve, il se vante de
n'avoir ele depasse par personne, meme par les harpedonaples
egyptiens, dans la demonstration math^malique.

Hippocrate de Chios est un des plus illuslres geometres grecs.
11 commen^a par pratiquer le commerce maritime; mais ayant
ete dupe par la douane athenienne u. Byzance, il vint a Athenes
pour reclamer justice. Afin d'occuper ses loisirs, il aurait alors
suivi les lemons des philosophes, puis fonde lui-meme une ecole.

Proclus nous apprend qullipjjocrate lut le premier qui com-
posa des Elements (de mathematiqiics). Mais il s'est surtout rendu

ESQUISSE DE L illSTOir.E DE L.V GEOMETRIE 9

celebre parses etudes sur les lunulcs qui portent son nom (3'= Partie,
Cliap. 4); I'analyse de son travail sur ce sujet par I'historien
Euderne nous a ete conservee par un ecrivain du S<= s., Simpli-
cius. G est vraisemblablement a notre geometre que Ton doit Je
theorjme relatif a la proportionnalile des aires des cercles et dos
Carres de leurs diametres.

Trois problemes I'ameux, dont I'etude fut exlremement feconde
pour la science, furent poses vers le lemjts d'Hippocrate : la qua-
drature du cercle, la duplication du cube et la Irisection de
Tangle.

L'Academie. — Nous arrivons a la periode la plus brillante
de la philosophie grecque, dont I'laton (427-348 av. J.-C.) fut un
des plus illustres represenlants. Apres un voyage en llalie et en
Sicile ou il recueillit les doctrines pythagoriciennes, il fonda a
Athenes la celebre Academie, ecole qui devint bientot et qui
resta. jusqu'a la fin de la vie de son fondateur, extremement llo-
rissante.

Platon etaitloin de partager pour les mathemaliques le dedain
de son maitre Socrate, qui eslimait suffisant de « savoir assez de
geometrie pour mesurer son champ ». Proclus nous rapporte en
efTet que Platon « fit prendre aux mathematiques en general, a la
geometrie en particulier, un essor immense, grace au zele qu'il
deploya pour elles et dont temoignent assez ses ecrits remplis de
discours maliiematiques el qui, a chaque instant, eveilient I'ar-
deur pources sciences chezceuxqui s'adonnent a la philosophie ».
La tradition recueillie par un auteur byzantin du 41° siecle de
notre ere, Pseilus, nous fait connaitre encore que Platon aurait
ecrit au fronton de i'Academie : « Que nul n'entre ici s'il n'est
geometre ».

Personnellement, il ne s'occupe pas de reclierches mathema-
tiques, mais il encourage ses disciples dans cette voie. 11 se serait
surtout attache aux methodes, si Ton en croit Ja tradition; Proclus
nous rapporte quil a invente lanalyse, qui cousiste, com me on
sait, a ramener par une suite de propositions un theoreme donne
a une proposition connue. Mais on est certain que cette methode
a ete employee avant lui, tout au moins sous forme rudimenlaire,
notamment par Hippocrate de Chios ; peut-6tre lui a-t-il seule-
ment donne une forme scienlifique inaltaquable.

D'apres ce qu'il est possible de conjecturer, les geometres de
I'Academie ont precise les definitions, reduit le nombre des
axiomes, ameliore les demonstrations des propositions connues

iO INTRODUCTION

•et mis au jourdenombreux theoremesnouveaux, Cerlainsd'entre '
eux composcrenl des Elements qui ne devaient pas diff^rer sensi-
hlement de ceuxecrits poslerieurement par Euclide.

G'est le lieu de ciler Aristote (384-322 av. J.-C), le grand philo-
sophe grec, disciple de Platon ; il avait compost un Traite de Ma-
thematiques qui ne nous est point parvenu. Ses eleves Theophraste
(374-287) et Eudkme (3S0-290) ont ecrit chacun une Histoire de la
Geometric qui n'a pas ete conservee.

En dehors des geometres de I'Academie, nous avons k signaler
Archytas de Tarente (vers 430-vers 348 av. J.-C), philosophe et
homme d'Etat, ami de Platon; surtout celebre pour diverses in-
ventions mecaniques qu'on lui attribue, il s'occupa 6galement
-avec succes de la geometric.

EunoxE DE CmnE (407-354 av. J.-G.), qui se posa en rival de
Platon, fut le fondateur de I'Ecole de Cyzique. 11 est surtout
connu comme astronome, mais il a egalement produit de remar-
quables travaux geometriques. On lui doit notamment une theo-
rie rigoureusedes proportions et noussavons par Archimedequ'il
est I'auteurde demonstrations exactes de I'expression du volume
•de la pyramide et du c6ne.

D'apres Proclus, Menechmb (4" s. av. J.-G.), h. la fois disciple de
Platon et d'Eudoxe, passe pour avoir decouvert les sections
coniques (ellipse, parabole, hyperbole).

L'EcoIe d'Alexandrie. — /" Periode. — Fondee en 334 par
le grand conquerant dont elle porte le nom, Alexandrie devint
rapidement, sous la protection eclairee des Ptolemees, le centre
intellectuel du monde antique. Les mathematiques y furent en
particulier cultivees avec ardeur. G'est lage d'or de la geometrie
grecque ; dans I'espace d'un siecle environ, nous voyons se succe-
der ses trois plus brillants representants : Euclide, Archimede
etApoUonius.

Euclide enseignait k Alexandrie vers le commencetnent du
3° s. av. J.-G., sousle regne de Ptolemee l""" ; il y fondala plus ce-
lebre ecole mathematique grecque. 11 est surtout reste fameux
pour avoir compose des Elements oh « il mit en ordre les travaux
•de ses devanciers et ou il donna des demonstrations irrefutable'

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LA CtoMETRIE 11

pour ce que ses predecesseurs n'avaientpas suffisamment prouve »
(Proclus). On ne sail rien de precis sur sa vie. Un geometre du
4<' si^cle de noire ere, Pappus, nous le peint comme etant d'un
naturel doux et inodeste. Proclus nous rapporte d'autre part que
Ptolemee, demandant un jour a Euclide s'il n'y avait pas en geo-
metrie de route plus courle que celle des Elements, s'attira cetle
reponse : « U n'y a pas en geometric de chemin fait pour les
rois. » (Suivant une version moins repandue, cette reponse aurait
€te faite par Menechme a Alexandre le Grand.)

Independamment des Elements, Euclide avait ecrit diverses
<BUA^res de geometrie eldmentaire et superieure qui, pour la plu-
part, ne nous sont pas parvenues. Parmi les ouvrages qui nous
ont ete conserves, nous citerons le livre des Donnees, recueil
destine a faciliter la resolution des problemes. Quant au livre
sur le Partage des figures, on en connait seulement un abrege pu-
blic et traduit par Woepcke en 1851. Un ecrit arabe de m6me
litre, portant comme nom d'auteur Mahomet de Bagdad, a ete de-
couvert en 1563 par John Dee et considere par lui comme eucli-
dien ; 11 en fit une traduction latine qui tut inseree dans I'edilion
d'Euclide de Gregory en 1703. Mais ce travail ne parait pas avoir
6te directement compose sur le grec et n'est sans doute qu'une
imitation de I'cEuvre du geometre alexandrin,

Enfin nous savons qu'Euclide avait encore compost les Fseu-
daria; il y avait « enonce separement et en ordre les divers gen-
res de faux raisonnements, exergant pour chacun notre intelli-
gence par des th^oremes de toute sorte, ou il oppose le vrai au
faux, et 0X1 avec la preuve il fait concorder la refutation de I'er-
reur» (Proclus),

£a raison de I'lmportance historique des Elements, nous aliens
examiner cette ceuvre un peu en detail. Tels qu'ils nous ont et6
Iransmis, les Elements comprennent 15 Livres. Les treize premiers
seulement sont d'Euclide ; quant aux deux autres, qui traitent des
polyfedres reguhers, leXlVeestd'Hypsiclesquiappartient au siecle
suivant, et le XV^ serait du, d'apres M. Paul Tannery, a un geo-
metre byzantin du 6« s.

Le Livre 1 traite des constructions elementaires, des cas d'ega-
lite et des proprietes des triangles, des paralleles, de I'equiva-
lence sous certaines conditions des triangles et des parallelo-
gvammes, du theoreme du carre de I'hypolenuse.

Dans le Livre 11 sont exposees les demonstrations geometriques
de certaines relations algebriques analogues h celle qui donne le

12 INTnODUCTION

Carre de la sonime de deux nombres, ainsi que la resolution du
probleaie de la division d'unedroile eninoyenneet extreme raison.

Le Livre HI renferme la theorie du cercle et des diverses lignes
qu'on jicut y considerer; e'est apeu pres I'equivalcnt du Livre 11
de nos geometries actuelles.

I .Dans le Livre IV, on etudie les figures inscriles cl circonscriles
a la circon Terence.

! Le Livre V est entierement consacro a la tlieorie des propor-
tions.

La similitude est presentee dans le Livre VI a I'aide des theo-
remes du Livre precedent. Un certain nombro de fjueslions reso-
lues aujourd'hui par la consideration de triangles semblables
sont traitees dans les quatre premiers Livres, sans avoir recoursu
cette consideration, par le moyen d'arlifices qui reposent souvent
sur le theorome du carre de I'hypotenuse et sur les propositions
du Livre 11.

Les Livres VII, VIII et IX traitent de la tbeorie des nombres et
le Livre X des incommensurables.

Avec le Livre XI, nous revenons a la geometric ; on y expose
les proprietes des droites et des plans dans I'espace, des paralle-
lepipedes.

Enfin, le Livre XII s'occupe de la pyramide, duc6ne et du cy-
lindre, et le Livre Xlll des polygenes et des polyedres reguliers.

Chacune des propositions geometriques des Elements comprend
en general cinq parties : 4° I'enonce ; 2° I'expose, qui est une repe-
tition de lenonce ou sont utilisees les lettres de la figure ; 3" la
construction des lignes necessaires a la demonstration ; 4° la de-
monstration; 5° la conclusion, qui est encore une repetition de
Tenoned (3" Partie, Chap. 4). Dans le cours de la demonstra-
tion, les idees s'enchainent suivant une logique rigoureuse et on
se rel'ore toujours pour chaque construction ou chaque chose
avancee a une definition ou a une proposition anterieure.

Mais il resulte pour le lecteur de cette solennelle taQon de pro-
c«5der une fatigue qui rend I'etude d'Euclide peu attrayanle et
qui est encore aggravee par ce fait que les Anciens, comme nous
I'avons vu, raisonnaient sur les grandeurs elles-memes represen-
tees geomelriquement et non sur les nombres qui les mesurent.
lis conservaient ainsi aux raisonnements toute leur generalite,
mais la lecture en etait penible par suite de la necessite desuivre
k la fois le texte et la figure ; ils se privaient en outre du bene-
fice de la concision que procure le calcul.

Pour la mSme raison, on ne rencontre pas dans Ilo Elements,

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LV GEOMEIUIC 13

comme dans les ouvrages acluels de geomelrie, des propositions
donnant dune manieie explicitc I'aire des surfaces ou le volume
des corps, comme par exemple cello ci : «L'aire d'un parallelo-
gramme a pour mcsure le produit du nombre qui mesure sa base
par le nombre qui mesure sa hauLeur, lorsqu'on prend pour unite
d'aire le carre conslruit sur I'unile de longueur >>. On y trouve
seulementcelenonce: «Deux parallelogrammes demcme hauteur
sont entre eux comme leurs bases j). Les calculs dr're et de vo-
lume I'aisaient partie chez les Grecs de la geomelrie pralique,
completement distincte de la geomelrie Iheorique.

Quoi qu'ilen soil, les Elements d'Euclide constilaent un mo-
dele de rigueur scientifique alteint par bien peu d'ouvrages mo-
dernes. lis ont ete pendant vingt siecies, dans tout le monde civi-
lise, I'ouvrage classique par excellence pour I'enseignement de la
geomelrie; on constate d'ailleurs acluellement une tendance
generale a reveniraux melhodes d'Euclide.

Les Elements nous ont ete transmis par les Arabes. Adelard de
Bath, puis Gerard de Cremone et enlinGampanus ont donne aux
12= et IS** siecles les premieres traductions lalines d'apres I'arabe.
La version de Campanus — la premiere qui ait ete imprimee —
fut publiee a V'enise en 4182 par Erhard lialdolt et souvent reim-
primee depuis. La premiere traduction sur le grcc parut a Venise
en 1503 paries soins de Zamberti. L'edition la plus recente est
celle d'tleiberg, parue a Leipzig en 1883-1888. La derniere traduc-
tion en frauQais, avec texle grec et latin, est celle de Peyiard :
elle dale de 1814-1818.

Le plus grand mathematicien de I'anliquite, Arciumede (vers
287-212 av. J.-C), est ne a Syracuse ; il elait parent du roi Hieron,
si nous en croyons Plutarque. 11 est probable qu'il fit ses eludes a
Alexandrie.

Sa defense de Syracuse conlre les Romains commandes par
Marccllus est reslee legendaire. Polybe, Tile-Live et Plutarque ne
tarissent pas sur les merveilleux engins dus a son genie invenlif
et qui lui pcrmirent de tenir I'armee romaine en echec pendant
trois annees conseculives. Marcellus reussit enfm a s'emparer de
la ville par surprise et, pendant la prise de possession, Archiml'de
fut tue par un soldat. On grava sur son tombeau, comme 11
I'avait demande, un dessin rcpresenlant une sphere inscritedans
un cylindre, pour rappeler une de ses plus belles decouvertes.
En 73 av. J.-C., CicJron, alors questeur en Sicile, retrouva ce
tombeau enfoui sous les ronces et les epines (Tusculanes, V),

14 INTRODUCTION

Esprit profondement original, Archimede dedaigne les sen-
tiers battus ; les sujets qu'il traite n'ont jamais ete eludies avant
lui et il emploie pour arriver a son but des methodes qui lui sont
propres. Ses travaux sur la geometrie elementaire qui nous sont
parvenus sont les suivants.

Dans le livre De la mesure du cercle, il etablit que le rapport de

la circonfci'ence au diametre est compris entre 3 — et 3 —

71 7

(2" Partie, Chap. 3). Le traite Sur la sphere et le cylindrc comprend.

deux livres. Archimede y demontre en parliculier: 4° que la

surface d'une sphere est quadruple de celle d'un de ses grands

cercles ; 2° que les surfaces et les volumes de la sphere et du cy-

lindre circonscrit sont entre eux comme 2 et 3. Un recueil de

Lemmes, dont nous possedons seulement la version arabe, con-

tient plusieurs propositions interessantes. Enfin le grand geome-

tre grec est encore I'auteur d'un jeu geometrique connu sous le

nom de loculus Archimedius (I'o Partie, Chap. 3),

Avec Archimede, la geometrie elementaire, telle que nous la
concevons aujourd'hui, est deQnitivement constiluee. Elle com-
prend, en efTet, la matiere des Elements d'Euclide, les mesures
du cercle et de la sphere, ainsique lesproprietes des figures sphe-
riques qui, chez les Anciens, etaient considerees comme faisant
partie de I'astronomie et etaient assurement connues au temps
du geometre syracusain.

Ne h Perge, en Pamphilie, Apollomus, auquel les Grecs ont
decerne le titre de « grand geometre », vecut a Alexandrie vers
la fin du 3° et au commencement du 2" siecle avant Jesus-Christ.
Pappus nous depeint son caractfere sous des traits peu favorables.

L'ouvrage capital d'Apollonius est un grand traite des Coniqucs-
en 8 livres dont 7 seulement nous ont ete conserves. II y rassem-
ble les travaux de ses devancierspour en faire un touthomogene,
puisil expose ses propres recherches avecune profondeurde vues
qui excita I'admiration des geomfetres de la Renaissance, epoque
a laquelle on publia les premieres traductions de ses oeuvres. In-
dependamment des Coniques, ApoUonius avail compose sur la
geometric divers autres ouvrages dontlaplupart ne nous sont pas
parvenus. II avail notarament dcrit deux livres perdus sur les
Contacts ; il y exposait la serie des problemes ou ils'agit de mener
des circonferences tangentes a des droites oua des circonferences
donn^es. Ce dernier ouvrage a ete reconstitue par Viete en IGOO^

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LA GEOMETRIE 15-

Nous Savons enfin, par divers passages de Proclus sur lesquels
Paul Tannery a appele raltention, qu'il avail entrepris une revi-
gion des Elements d'Euclide, notamtnent en ce qui concjrne les
.definitions et les axiomes.

^« Piriode. — Apres cette phase si brillante de la geometrie
grecque, les savants vont se tourner de preference vers les ma-
thematiques appliquees, vers I'astronomie surtout. Nous n'aurons-
plus a signaler que quelques noms remarquables

Theodose ('i<"" s. av. J.-C. ?) et Menelas (fin du l""" s.) ecrivent
des ouvrages intitules Spheriques ou ils exposent les proprietes
des figures tracees sur la sphere, proprietes dont les plus el^inen-
taires etaient certainement connues avant eux.

On ne sait pas exactement a quelle epoque a vecu Heron
d'Alexandrie. Cette question, qui a donne lieu a de nombreuses
discussions, n'est pas encore elucidee ; neanmoins, d' apres des
recherches recentes, on est fonde a penser que le savant alexan-
drin est posterieur a noire ere.

Heron a ecrit sur les Elements d'Euclide un commentaire dont
il ne nous reste que des fragments, mais il s'est surtout cree una
place a part dans le domaine de la geomelrie pratique. Dans le
Traitede la Dioptre, il decritun instrument perl'ectionne analogue
a notre theodolite, qui servait a la fois au nivellement et au leve
de plans ;il y indique en outre la solution des problemes techni-
ques qu'on pent avoir aresoudre sur le terrain (:2«Partie, Chap. 4).

On savail d' autre part par Eutocius, mathematicien du 6" sie-
cle, que Heron avail compose un ouvrage intitule Metriques ; on
avail fail sur sa composition les hypotheses les plus diverses que
la decouverte du manuscrit a Constantinople en 1896 est venue
detruire. Les Metriques comprennenl trois livres : le premier est
consacre a la mesure des surfaces planes ou rondes, le second a
la mesure des volumes et le troisieme k des problemes de divi-
sions de surfaces et de volumes ; les demonstrations de Heron
sont bien conduites, et elles sonl concises, contrairement a I'ha-
bitude des grands savants de la premiere periode.

On a enfin conserve sous la denomination de Collection hero-
nienne divers recueils composes probablement au 40= siecle de
notre ere a Constantinople, contenanl surtout des regies prati-
ques relatives a la mesure des surfaces et des volumes, el qui
ont ete publics par Hullsch en 4864. Jusque vers le milieu da

16 INTRODUCTION

19" siecle, ces ecrits, ou les erreurs sont nombreuses, avaienl
bien ete consideres comme byzantins, mais a la suite de la publi-
calion, en 4854, d'un remarquable memoire de Th.-H. Martin,
dont les conclusions ontete reprises et developpees par M. Cantor
dans ses Legons sur I'Histoire des Malliemaliques, on pensait qu'il
ne fallait voir la que des compilations nialadroites faitcs sur les
Mt'triques memes et qu'ellcs constituaient le fond de ce dernier
ouvrage : comme on y relrouvait la trace de I'influence egyp-
lienne, on admettait des lors que Heron n"avait fait que recueillir
et ameliorer les procedes pratiques en usage sur les bordsdu Nil.
La publication du manuscrit de Constantinople a permis de
constater que ces conclusions etaient inexactes : les Metriques
constituent bien une oeuvre originale et de source entierement
grecque.

Assurement, les geodetes byzantins ont utilise I'ouvrage de He-
ron, mais il se trouve aussi dans la collection pseudo-heronienne
bon nombre de regies qui n'ont pas ete indiquees parte guomelre
alexandrin. On est done amene a penser, contraireinent a ce
que Ton croyait, que les Byzantins ne se sont pas contentes de
copier servilement les oeuvres des mathematiciens de I'antiquite.

Un des plus grands astronomes grecs, Ptolemee (2° s.}, est I'au-
teur de la Composition mathematique, plus connue sous le nom
d'Almagcste ; ce remarquable ouvrage, oil sont exposees methodi-
quement toutes les connaissances aslronomiques de I'antiquite,
conlient quelques resullats geometriques interessants, et en par-
ticulier le theoreme qui exprime la relation existant entre les dia-
gonales et les cotes du quadrilatere inscrit. Nous savons en outre
que Ptolemee avait compose un livre, qui n'a pas ete conserve,
sur les fondements de la geometric.

II nous reste de Pappus, qui vecut vraisemblablement vers le
commencement du 4'' s., une CEuvre importante, les Collections
matheinatiques en 8 livres, dont le l""" et une partie du 2' sont
perdus. Indepeudamment de quelques questions originates, il
expose certains Iravaux des geometras qui I'ont precede ; a cet
egard, les Collections de Pappus sont precieuses pourse fairo une
idee de ceux de ces travaux qui ne nous sont pas parvenus.

Theon d"Alex.v:(drie (fin du4= siecle), pere de lacelebreHypatia,
donne une edition d'Euclide qui est la plus courante dans les ma-
nuscrits ; ila egalement commente I'Almageste.

ESfjUISSE DE l'hISTOIUE DE LA GEOMETRIE 17

Le celehre philosoplie neo-plalonicien Proclus (442-485) est I'au-
leur d'unprolixe commenlaire sur les Elements d'Euclide dontil
ne nous resle guere cfue ce qui a trait au Livre 1. Ce travail ne
presente d'interet qu'en ce qu'il a fourni la plus grande parlie
des renseignements que nous possedons sur I'histoire de lageo-
nietrie grecque.

Enfin EuToriL'S (6<= s.) a compose sur les llvres d'Archimede
relatifs a la mesure du cercle, a la sphere et au cylindre et sur
les Goniques d'ApoUonius des commentaires sans grande valeur
propre, m^is precieux au point de vue historique.

BIlil.IOr.FSAPIIIE

F. Peyrard. — Les CEiivres d'Euclide en grec, en latin et en franfais.

Paris, 1814-1818. 3 vol. iii-4«.
l.-L. Heiberg et H. Menge. — Euclidis opera omnia. Tomes I a Vll.

Leipzig, 1883-96, in-8».
F. Peyrard. — (Euvres d'Archimede (Iraduites par). Paris, 1807, in-i".
I.-L, Heiberg. — Archimedis opera omnia cum commenlariis Eutocii.

Leipzig, 1880-81, 3 vol. in-S'.
I.-L. Heibfrg. — Apollonii Pergwi quce Grmce exstant cum commentariix

antiquis. Leipzig, 1890-93, 2 vol. in-S".
A.-J.-ll. Vincent. — Traitd de la Dioptre par Heron d'Alexandrie. Not. el

E.xt. des iMss. d. I. BibL Nat., lome 19, 2« p'% 1858.
Th. H. Warti.n. — Recherches sur la vie et les ouvrages d' Heron d'Alexan-
drie. Mem. d. I'Ac. d. Inscr. et Bell.-Lett., 1™ serie, tome IV, ISfii.
Paul Tannery. — Etudes nombreuses sur Huron et la Collection liero-

nienne dans divers recueils.
H. ScHoNE. — Herons von Alexandria Vermessungslehre und Vioptra.

Leipzig, 1903, in-8».
F. HuLTscH. — Heronis Alexandrini geomeiricorum et slereomelricor^im

reliquiw. Berlin, 18(Ji, in-8",
Abb4 Halma. — Composilion malhemalique de Claude Ptolemee. Paris,

1813-16, 2 vol. in-4''.

F. HuLTSCH. — Pappi Alexandrini Colleclionis quce supersunt e libris manu
scriptis... Berlin, 1873-78, 3 vol. in-8".

G. Friedlein. — Prodi Diadochi in primum Euclidis elementorum librum
commentarii. Leipzig, 1873, in-S",

Fourrey. — CAivios. ge'om.

18 INTKODUCTION

§ 3. — LES ROMATNS
Les Agrimenseurs.

« La geometrie fut chez les Grecs dans le plus grand honneur;"
aussi rien n'elait plus brillant que leurs malhemaliques. Mais chez
les Roinains, I'importance de cet art a ele limilee a rulilil(5 du
calcul etdela mesure. »(Giceron. — Tusculanes, Liv. I, Chap. II.)

Chez ce peuple utilitaire, en elFet, la geomelrie ne pouvait guere
6tre cuJtivee que pour les besoins de la vie couranle: Irace des
camps militaires, delimitation et division des contrees conquises,
mesure des champs, etc. ; elle se reduisait done a I'arpentage.
Mais pour cette meme raison,les arpenleurs romains, qu'onappe-
]a.\lagrimensoresonencoregromatici,ioahreni un role considerable.
D'abord arbitres et experts dans les contestations cadastrales, ils
constituerent.sousl'empire un corps de fonctionnaires nombreux
et importants qui se recruterent dans des ecoles regulieres ouvertes
a cet effet. Vers la fin de I'empire d'Occident, leur savoir se res-
sentit de la decadence generate; neanmoins leurs pratiques sur-
vecurent et on en retrouve la trace dans tout le moyen age.

Avant les recentes recherchessur I'age de Heron et la publica-
tion de ses Metriques, on pensaitavec M. Cantor que les arpenteurs
romains avaient surtout puise leurs connaissances dans les ou-
vrages du savant alexandrin. Actuellement, on doit rejeter cette
co\)clusion, « non seulement parce que la tradition des agrimen-
seurs est anterieure a Heron, mais encore parce qu'elle est net-
tement ditl'erente des Metriques » (P. Tannery). Leurs precedes
proviendraient des lors d'une part de source etrusque et, d'autre
part, des m^mes sources grecques que celles d'ou a ete extraite
la collection pseudo-heronienne.

Les principaux ecrits des agrimenseurs Frontinus, Nipsus, Bal-
BL's, etc., composes entre le l^"" et le 6« siecle de notre ere, furent
reunis pour I'enseignement dans les ecoles et se conserverent en
partie intacts, mais en grande partie aussi alteres. Le recueil
ainsi forme a ete editeen dernier lieu a Berlin en 4848 ; en outre,
on a publie depuis en Allemagne et en France le Traite d'arpen-.
tage d'EpApHRODiTUS et de Vnauvius Rufus, qui ne figurait pas dansi
la precedente collection.

Ces divers Merits renferment surtout des regies se rapportant &
deux questions principales : calcul de I'aire ou du volume des
figures les plus simples et traces sur le terrain. Leur etude donne

ESQUISSE DK l'hISTOIRE DE LA CtoMETRIE 19

tine pieire idee de la science de leurs auteurs et ne presente guere
d'int^rfit qu'au point de vue de I'histoire de la geometric pratique.
Cependant, vers la fin de I'einpire remain, quelques personna-
lites s'adonnerent aux mathematiques th^oriques. Parmi elles,
nous avons un seul nom remarquable a citer, celui de Boece
(470-524). Illuslre homme d'Etat, conseiller de Theodoric qui le
laissa condamner et perir au milieu d'horribles supplices, il pos-
sedait un savoir encyclopedique et ses ecrits lui ont assure une
grande influence pendant le moyen age. On lui attribue en parti-
■culier un Ars Geometrix qui conlient la traduction des enonces
des 4 premiers Livres- des Elements d'Euclide, ainsi que des
extraits des agrimenseurs. L'authenticite de cet ouvrage, qui
■contient un celebre passage relatif a I'origine de nos chiffres, a
«le et est encore vivement discutee.

BIBMOGRAPHIE

F. B(.UME, K. Lachmann und A. Rudorfp. — Die Schriflen der liomischen

Feldmesser... Berlin, 1848, inS".
•Cantor (I)' Moritz). — Die riimischen Agrimensoren... Leipzig, 187o, in-8<>.
Victor Mortet et Paul Tannery. — Un nouveau texle des trailes d'arpen-

lage el de geomelrie d'Epaphrodilus et de Vilruvius Rufus... Not. et

Extr. des Mss. de la Bibl. Nat., tome 3.5, 2« p«, 1897.
•G. Friedlein. — Boetii, Anicii Manlii Torquati Severini... Accedil geo-

metria quae ferlur Boelii. Leipzig, 1867, in-8'.

1} 4. _ LES HINDOUS
Gcoinctrie versifiee.

.lusqu'au commencement du 49° siecle, la science des Hindous
■etait restee ignoree. Ce fut done une veritable revelation
lorsqu'a cette epoque plusieurs orientalistes anglais publierent
la traduction de certains ouvrages mathematiques sanserifs. On
reconnut alors que les Hindous avaient ete vraisemblablement
nos maitres dans les theories numeriques : leur algebre notam-
ment etait assez avancee pour qu'ils aient pu resoudre des ques-
tions dont la solution ne lut relrouvee par les Europeens que dix
siecles plus tard.

Leur geometric est loin de presenter la nieme valeur scienti-
fiquc que leur algebre ; elle porte en divers points la trace evi-
donle de riniluence grecque. Les enonces sont rediges en vers
<l'une fagon tres concise, pour pouvoir etre sans doute retenus

20 INTRODUCTION

plus facilemenl par les thieves dans les ecoles; on n'y rencontre
ni definitions, ni axiomes, ni demonstrations regulieres. Si une
preuveestjugee indispensable, I'auleur trace les lignesauxiliaires
■^necessaires, dispose sa figure de telle sorte que la proposition
apparaisse comme evidente et il se contente de dii'e : « Voyez ! » :
si certains problemes relativenient compliques sont resolus, c'est
•en realite par I'emploi de I'algebre. Signalons cependant qu'il est
parfois fait usage du principe de similitude.

Les plus anciens ouvrages traitant de la geometric, qui nous
aient ete conserves, ont un caractere theologique. Les autels hin-
dous devaient avoir une orientation, devaientposseder une forme
prescrites al'avance. Les regies geomelriques qui permettaient de
remplir ces prescriptions etaient contenues dans les Qulvasutras
(^Regies du cordeau) ; plusieurs de ces recueils sont parvenus
jusqu'a nous. L'auleur de fun d'eux, Baudiiavana, parait avoir
vecu aux environs de noire ere (2" siede d'apres M. Cantor); il
enseigne d'interessanles constructions geometriques executees
au moyen du cordeau (2« Partie, Chap. 1).

La periode classique des mathematiciens hindous commence
avec Aryabhatta, ne en 476 a Pataliputra. Son oeuvre, VAryabhdt-
tjyam, est divisee en quatre sections, dont la seconde est intilulee
« Elements de Calcul » ; les trois autres sections ont trait al'astro-
nomie. Get ouvrage est redige d'une fagon tres laconique ; on y
trouve quelques regies de planimetrie et de stereometrie dont
plusieurs sont inexactes,

Braiimegupta, ne en 598, ecrit vers 628 un traite d'aslronomie
intitule Brdhma-Sphilta-Siddhdnta (Systeme de Brahma corrige)
dont les 42"-* et '13« chapitres sont relatifs aux mathematiques
pures : le l^"" est consacre a farithmetique (Gdnitdd'hydya) et le
2« a I'algebre (Cuttacad'hyaya). La geomeLrie y est consideree
comme formant une division de farithmetique ; elle consiste
surtout en questions numeriques concernant la mesure des sur-
faces et des volumes, sans demonstrations. On y trouve entre
autres choses la formule donnant la surface du quadrilatere

inscrit en fonclion des cotes v/(p— «)(p— ^) (P—<^)iP — ^0 ; Braiime-
gupta n'a d'ailleurs envisage que le cas particulier ou les diago-
nales de ce quadrilatere sont perpendiculaires entre elles.

Nous n'avons ensuite a citer aucun mathematicien hindou avant

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LA GEOMETRIE 21

BhIskara, dit AcARYA ou le Savant, ne en i414 ; il est I'auteur
du Siddhdntagiromani (Couronnement du systeme), grand traite
d'astronomie qui renferme deux sections portant com me litres
parliculiers Lildvati (la charmante — nom de la fille de Bhas-
kara a laquelle ce livrc est dedie) et Vija-ganita ou Calcul des
racines. Le Lllavati traite de I'arithmetique et le Vija-ganita est
consacre plus particulierement a lalgebre. La geometrie est sur-
tout exposee dans la premiere section, avec plus de prolixite que
chez Brahmegupta ; independamment des problemes sur la me-
sure des surfaces et des volumes, on y rencontre d'assez nom-
breuses questions sur les triangles rectangles, avec quelques de-
monstrations.

Apres Bhaskara, on ne trouve plus que descommentateurs qui,
jusqu'au 17*= siecle, annotent ses ccuvres sans toujours les bien
comprendre ; la science hindoue s'eteint rapidenient.

BIBLIOGRAPHIE

TuicAHLT, — The Su'casiUras. Calcutta, 1875.
RouET. — Lefons da ca'.cul d'Aryab/iata. J"' Asiat., 1" scm. 1879.
<^OLEBROOKE. — AUjehva with Arithmetic and Mensuration from the Sans-
crit oj Brahmc^aiita a)iti£/t.r/«cara (translated by). Londies, 1817, in-i*.

§ I). — LES ARABES
Transmission des ccuvres grecques.

La civilisation des Arabes fut plus brillante que profonde; en
mathemaliques, notaininent, ils n'ont ajoute rien d'essentiel aux
decouvertes anterieuresetont puise leurs connaissances aux sour-
ces hindoue et grecque. D'ailleurs, leurs savants appartinrent
pour la plupart aux races conquises (Syriens, Persans, etc.) ou a
celles dites infideles (Chretiens et Juifs).

Les Arabes ont cultive de preference la trigonomelrie et I'al-
gebre, oii ils faisaient usage de considerations geometriques ; ils
so sent a jjcu pres bornes, en geometrie pure, atraduire et acom-
menterles oeuvres grecques. Ces traductions furent surtout entre-
prises a Bagdad, qui fut de beaucoup le centre scientifique leplus
important, sous la dynastie des Abassides (?\^\ 9" el iO" siecles) ;
Almamoun (813 833) instilua mfime k ccl ellet un college special

22 INTRODUCTION

de Chretiens. Au premier rang des ouvrages ainsi transcrits,
faut citer les Elements d'Euclide.

Cette periode est la plus remarquabledelaniathematiquearabe.
Mohammed ben Moussa Al Khaijzmi public vers I'an 820 le premier
ouvrage connu sur I'algebre et dont le litre, corrompu, a donne
son nom a cette science (Abrege pourle calcul par djebrei mokd-
balah). Get ouvrage, d'une importance capitate au point de vue
historique, fut compose a la demande d'Almamoun pour les be-
soins de la vie courante ; il conlient un chapitre sur la geometric-
de mesure. Mohammed avait aussi compose, vraisemblablement
avec ses deux freres, Ahmed et Alhasan, un ecrit geomelrique
qui nous est parvenu en latin sous le tilre Liber trium fratncm
de geomelria.

Un des plus celebres astronomes arabes, Aboul Wafa (9i0-998),
est Tauteur d'un excellent Rccueilde constructions geometriqucs, que
nous aurons a citer dans le cours du present ouvrage (1''= Partie,.
Chap. 3 et 2" Partie, Chap. 4). Mahomet de Bagdad (10" siecle) com-
pose un Traite sur la division des surfaces, caique sur I'o^uvre
d'Euclide traitant du m6me sujet, et Hassan ben Haithem ecrit
(vers I'an 4009) un Traite des connues geometriqucs analogue aux
Donneesdu geometre grec. Enfin Nassih-ed-Din (1201-4274) nous a.
laisse un interessant commentaire des Elements d'Euclide.

A partir du 43" siecle, les mathematiques sont en pleine deca-
dence en Orient. Dans I'ecole espagnole, dont I'importance est
loin d'atteindre celle del'EcoIe de Bagdad, nous n'avons a signa-
ler aucun nom remarquable.

En resume, en dehors du traite d' Aboul Wafd, les Arabes n'ont
pas produit de Iravaux originaux en geometrie.

ItlBLIOGRAPUIE

Mohammed ben MuijA. — Algebra. Edition Rosen. Londres, 183i, in-S".

A. Marre, — Le Messdhat de Mohammed ben Moussa Al Khdrizmi extraii
de son Algebre (traduit et annote par). — Annali di Matematica,
tome 7. Rome, 1863.

M. CuRTZE. — Der liber irium fratrum de geomeiria. Nova Acta Acad.
Gap's. Leop.-Garol.-Geim. naturae Guriosoium, tome 49. Halle, 1887.

F. WoEPCKE. — Analyse et exirails d'un recucil de constructions geome-
triqucs d'Aboul Wafd. J"' Asiat., 1" sem. 183o.

David Gregory. — Euclidis quw supersunt omnia. Oxford, 1703, in-fol.
(Gontient la traduction latine du Traite sur la dicision des surfaces de-
Idahomet de Bagdad).

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LA Gl^OM^TRIB 23

§ G. — L'OCCIDENT LATIN AU MOYEN AGE

4'e Periode (5«-42« s.).
Ignorance scientifique.

Depuis la chute tie I'empire romain jusqu'au debut du 12e sie-
cle, rOccident latin est plonge dans une profonde ignorance. Les
ouvrages grecs sont inconnus, et les ecrits des agrimenseurs
meme sont tres peu repandus. La geometrie en particulier est
completement delaissee ; classee dans le quadrivium (*) avec
I'arithmelique, la musique et I'astronomie, ce qu'on en salt se
reduit a quelques definitions et enonces sans demonstration.

Les notions scientifiques tout a fait rudimentaires qu'on possede
sont conservees dans les monasleres. Les trois esprits les plus
remarquables de cette periode de tenebres, les Anglo-Saxons Bede
et Alcuin, et le Fran^ais Gerbert, sont des ecclesiastiques.

Bede (672-735) a compose un grand nombre d'ecrits, dent
quelques-uns relatifs a I'arithmetique, a la geometrie et a I'as-
tronomie. On lui a atlribue des Propositiones ad acuendos juvenes
(Propositions pour aiguiser la perspicacite desjeunes gens), recueil
de problemes qui a probablement ete le germe des ouvrages pos-
terieurs sur les recreations mathemaliques et qui conlient quel-
ques questions de geometrie pratique ; mais certains indices font
supposer que I'auteur de cet ouvrage est plus vraisemblablement
Alcuin.

Le precepteur et I'ami de Charlemagne, Alcuin (735-804), qui
fut aussi disciple de Bede, eut une influence considerable sur ses
conlemporains. 11 s'efTorga de developper le gout de I'etude chez
les moines et crea de nombreuses ecoles aupresdes cloitres etdes
calhedrales.

Mais celui qui pent veritablement pretendre au titre de restau-
rateur des sciences en Occident est Gerbert (vers 930-1003). Origi-
naire d'Auvergne, il enlra dans les ordres, alia s'instruire en Es-
pagne, devinlpar la suite archeveque de Reims, puis de Ravenne
et enfin pape sous le nom de Sylvestre 11. Ses connaissances, bien
que Ires elementaires, depassaient tellement celles de ses conlem-
porains que ceux-ci laccuserent de magie. 11 consacra a I'ensei-
gnement une notable partie de son existence et acquit de ce fait

(') Par opposition au irivium, qui coniprenait la grammaire, la dia-
lectique et la rhetorique.

24 INTRODUCTION

une grande reputation. On lui doit en outre d'avoir rassemble les
ffuelques documents legues paries Romains et que son autorite
lit repandre.

Gerbert composa divers ecrits mathematiques, notamment un
Libellus Gcomctrix qui ne nous est pas parvenu. On possede sous
son noin, bien qu'il ne paraisse pas en etre I'auteur, une Gcomc-
tria qui comprend trois parties distinctes dues vraisemblablemcnt
a des ecrivains dilTerents. La premiere partie, la plus originale,
est un essai inacheve d'une exposition melhodique de la geome-
trie ; dans la deuxieme sont resoliis divei's problemes d'aiithme-
tique ; la troisieme enfin a pour objet lecab'ul des longueurs, des
surfaces et des volumes. Le noyau decette derni ere partie apeut-
etre ete forme par le Libellus mentionne ci-dessus.

Pendant le 41'^ siccle, I'impulsion imprimee par Gerbert subit
un temps d'arret, et il faut arriver au coirunencemeiit du 12e
siecle pour voir un veritable courantscientifique se dessiner sous
I'inlluence des Sarrasins d'Espagne. Adelard de Bath (vers 11 13)
et Gerard de Cremone (1114-1187) traduisent les Elements d'Eu-
clide d'apres les versions arabes.

Qe Periode (Ad^-miUcu du 15" s.).
Inlluence arabe.

Vers le debut du 13" siecle apparaissent les ojuvrcs du grand
matheinaticien du moyeri age, Leonard de Pise dit Fibonacci. Apres
avoir vecu a Bougie oii son pere etait facteur au comptoir pisan,
il voyage en Oi'ient et revient a Pise. 11 y ecrit en 1202 son tameux
Liber Abaci, qui contient une exposition originale des connais-
sances arabes en arithmetique et en algebre, et qui constiluera
le fond des ecrits des mathemaliciens de la Renaissance.

Independamment du Liber Abaci et de travaux algebriques im-
portants, Fibonacci compose encore une Pnictica Gcometria publiee
en 1220. Get ouvrage renferipe lout ce qui est contenu dans Eu-
clide et Archimede sur la mesure des surfaces et des volumes;
on y trouve en outre la division des figures planes dans un rap-
port dohne, divers precedes d'arpentage et la partie elementaire
de la trigonometric. Les donnees des problemes sont numerl-
ques; les demonstrations, ou il est fait usage de I'algebre, sont
rigoureuses et presentees d'une fa(;on tres claire. En resume,
Leonard de Pise est un veritaJjle inathematicien, superieur a.

EsnuissE DE l'histoire de la geometrie 25

lous ceux qui I'ont precede et suivi dans le moyen age. Ses tra-
vaux ne se propagerent neanmoins qu'avec une extreme len-
teur.

Apres lui, on constate une nouvelle decadence. Nous n'aurons
plus a signaler que quelques esprits eininents qui, dans un milieu
plus propice, eussent assurement pu fournir des productions:
presentant plus d'interet.

Un des hommes qui eurent le plus d'influence sur le develop-
penient intellectuel a la fin du moyen age fut JoRnANUs Nemoiu-
Rius ou JoRDANus HE Saxe, qui fut clu eu 4222 general des Dorni-
nicains, ordre se consacrant a I'enseignement. Les divers ecrits
mathematiques, nonsans valeur, qu'il composase repandirenl ra-
pidement dans les ecoles et lurent longtemps reedites et com-
mentes ; I'autorite quil exerga sur ses conteinporains fut d'ail-
leurs une des causes qui rendirent difficile la diffusion des
ouvrages de Fibonacci dans les Universites. Ondoit notamment a
Jordanus un ouvrage estimable, De Triangulis, divise en quatre
livres. Dans les deux premiers, 11 traite des figures rectilignes »
dans les deux derniers, du cercle et des lignes qui sont avec lui
en rapport etroit; le second livre est en particulier consacre a la
division des figures.

Pen apres, nous devons placer Campanus de Novare (fin du i3«
siecle), surtout connu pour etre I'auteur de la premiere traduc-
tion latine des Elements d'Euclide qui ait ete imprimee. Signalons
aussi en passant un Traite de Geomefne anonyme, compose sous le
regne de Philippe le Hardi (1270-4285) et qui a ete retrouve par
M. Ch. Henry. Le merite essentiel de cet opuscule est d'etre le
premier travail de ce genre ecrit en frangais ; on y donne quel-
ques regies de planimetrie et de stereometric. Citons enfin dans
le meme ordre d'idees que ce dernier traite, I'interessante Prac-
tica Gcometria de Domimcus de Clavasio (ou Dominicus Parisiensis),
mathematicien eminent pour son temps, qui fut astrologue a la
cour de France dans la seconde moilie du 44" siecle.

Nous revenons mainlenant au monde ecclesiastique. Bradwar-
DiN (4290 4348), qui fut archeveque de Canterbury, a laisse une
Geometria speculafiva qui conlient d'interessantes propositions
sur les polygones etoiles et les figures isoperimetriques. Le plus
remarquable des successeurs de Fibonacci, Nicole Oresme, dont
les decouvertes ont ete signalees par un erudit allemand,
M. Curlze, mourut ev^que de Lisieux en 4382; il a notamment
expose, dans son Tractatus de latiludinibus format um, leprincipe

26 INTRODUCTION

du procede retrouv^ plus tard par Descartes pour reprSsenter gra-
phiqueinent la relation existant entre deux quantites variables
au moyen d'une ordonnee (latitudo) et d'une abscisse (longitudo).
Enfin, le cardinal Nicolas de Cusa (1401-4464), qui encouragea les
mathematiques, est reste celebre pour ses nonibreux essuis de
quadrature du cercle.

BIBLIOGRAPHIE

Bede. — De Arithmelieis propositionibus. Patrologie latine de Migne,

lome 90, col 66S. Paris, 18o0,
Alcuin. — Propositiones Alcuini... adacuendos juvenes. Patrologie laline

de Migne, tome 101, col. 1143. Paris, 1851.
Gekbekt. — Opera maihemalica. Edition Bubnov. Berlin, 1899, in-8''.
B. BoNcoMPAGNi. — Scritti di Leonardo Pisano... Bome, 18o7-()2.
JoRUANus Nemokarius. — DeTuanguUs. Edition Curlze. Mitteil. des Cop-

pernicusvereins fiir Wissensch. u. Kunst. Thorn, 1887.
Ch. Henry. — Sur les deux plus anciens trailes franpais d'alyorisme cl de

geometrie. Bulletino di Bibliografia... (Boncompagni). Rome, 1882.
Bradwardin. — Geometria speculaliva. Paris, 1495 ou 1305, in-fol.
Oresme. — De latitudine formarum. fiditioa Gurtze. Zeilsch. fiir Math.

u. Physik. Leipzig, 1868.
CusANus. — Opera.- Belle, 1565, in-fol.

§ 7. — LES MODERNES

4re Periode: La Renaissance (milieu du i^^-fin du 16= siccle).
Uaion de I'algebre et de la geometrie.

AprSs la stagnation du moyen &ge, nous assistons k une reprise
generale de I'activite intellectuelle. Les Byzantins, chasses de
Constantinople par les Turcs, se refugient en Occident oii iis font
connaltre les travaux des geometres alexandrins dans leur forme
originale. En particulier, les ceuvres d'Archimede(1543) et d'Apol-
lonius (1537), traduites d'apres le grec, paraissent pour la pre-
miere fois. Ces publications donnent une vive impulsion aux
etudes mathematiques.

Parmi les traducteurs les plus celebres, nous citerons I'astro-
nome allemand Muller dit Regiomontanus (1436-1476), qui dirigeait
lui-meme a Nuremberg I'imprimerie ou furent executees de tres
belles editions des math^maticiens grecs. Le Sicilien Maurolico

ESQUISSE DE l'hISTOIRE DE LA GEOM^TRIE 27

(4494-i57S) a laisse, independamment de ses propres recherches,
une traduction des Coniq^ues d'ApolIonius et une interessante
paraphrase d'Archimede. Mais c'est surtout a I'ltalien Comman.
DiNO (4509-1575) que I'Europe est redevable de precieuses tra.
ductions des geonietresalexandrins,eclaireespar de reniarquables
commentaires.

Toutefois, la veritable caracteristiqne de cette periode reside
en ce fait que I'union entre la geometrie et I'algebre, ebauchee
par les iiindous, les Arabes et les savants du moyen age, va
devenir de plus en plus intime et aboutir au i7« siecle a la crea-
tion de la geometrie analytique et du calcul infinitesimal.

En i494, parait la Summa de Aritkmetica, Geometria, Propor-
tioni et Pioportionalita du franciscain italien Lua\ Paciuolo,
connu encore sous le nom de Lucas de Burgo (4445-mort apres
i514). Cet ouvrage se divise en deux sections, I'une relative a
Tarithmetiqueet a I'algebre, I'autre a la geometrie. La derniere
comprend huit parties, traitant de la mesure des surfaces et des
volumes, de la division des figures et de diverses questions d'ar-
pentage ; les problemes geometriques sont souvent resolus avec
le secours de I'algebre, sur des donnees numeriques. On con-
state dans la Sunima de nombreux emprunts aux ecrits de Leo-
nard de Pise, dont les travaux se trouverent ainsi portes a la con-
naissance des geometres ; mais la copie est inferieure au modele
tant par la forme que par le fond. Tel quel, cet ouvrage a nean-
moins contribue puissammenl au progres des mathematiques au
46*^ siecle. Paciuolo est encore I'auteur d'un curieux ouvrage in-
titule De divina proportione (4509), ou 11. expose de nombreuses
applications aux arts de la division d'une droite en moyenne et
extreme raison.

De meme que Paciuolo, les mathematiciens de la Renaissance
font constamment usage de I'algebre en geometrie, et inverse-
ment. On le constate en particulier chez les savants italiens Car-
DANo (4504-1576) et Tartaglia (4505-4557), auxquels I'algebre doiti
de notables progres el dont les demeles sont restes celebres.
L'oeuvreprincipalede Tartaglia, General TraUatodinumcrietnusure
(4556-4560), est divisee en six parties dont les quatre dernieres,
consacrees a la geometrie, renlerment d'interessants problemes;
on lui reproche toutefois de conlenir beaucoup d'incorrections.

Nous arrivons ainsi au Frangais Frangois Viete (4540-4603),
qui cree I'algebre litterale et va permettre ainsi de realiser

28 INTRODUCTION

I'union complete de la geometrie et de I'algebre. Jusque-la, en
eflel, comine nous avons eu occasion de le signaler, les demons-
Irations geomelriques presentees sous forme algebrique elaient
basees sur les donnees numeriques, et 11 ne pouvait en etre au-
Iremenl puisque I'algebre etait une science exclusivement nu-
merique. Le raisonnement gagnait en commodite et en rapidite,
niais il perdait en meme temps la generality que nous avons ren-
conlree chez les Grecs. L'emploi de symboles permetlait de con-
server a la geomelrie ce dernier caract(Me, tout en lui gardant
les avantages du calcul.

Viele ne se contente pas de creer Talgebre moderne; il Tap-
plique a la geometrie. 11 entreprendd'une maniere systematique,
notamment dans ses Effcctiones geometricx (-1393) et dans son Sup-
plementum Geomctrise (io9di), la resolution algebrique des proble-
mes geometriques en meme temps que la construction geome-
trique des i'ormules algebriques. (Jn doit encore a Viete, dans un
ordre d'idees ditlerent, la reconstitution de louvrage perdu d'Apol-
lonius, Des Contacts, qu'il publie en iOOO sous le pseudonyme
d'ApoLLO.MUS Gallus ; il y resout le problcme, ditiicile pour .son
temps, de mener une circonlerence tangente a trois circonleren-
ces donnees,

Signalons encore comme travaux d'application de I'algebre a la
geomelrie les remarquables apergusde Keplkr ('lo7'l-i6i}i)sur les
polygones etoiles dans son immortel ouvrage Harmonices Muiidi
(1619).

Durant la Renaissance, les mathematiciens italiens se passion-
nent litleralenient au sujet des constructions geometriques exe-
cutees avec une ouverture de compas conslante.

On s'occupe egalement des traces geometriques approches.
Nous citerons sur ce point: le grand artiste italien Lionardo da
ViNci (i43'2-1519), qui a indique dans ses manuscrils nombre de
constructions approximatives mais paraij^sant avoir ete tenues
par lui pour exactes ; un opuscule anonyme de la fin du lo« sie-
cle, la Geomctria dcutsch ; et un inleressant ouvrage du celebre
peintre et graveur allemand Alurecut Dlker (1471-10*28), intitule
Underweysung der mcssung mit dem zirlicl luid richschcyt (Instruc-
tion sur le mesurage avec le compas et la regie) (13'23). Mais a la
dillerence de Vinci, Durer sail que ses traces ne sont pas rigou-
reux.

Enfin, on publie a la meme epoque de nombreux ecrils sur la
geomelrie pratique, parmi lesquels nous signalerons lexcellent

ESQUlSSi: Dli l'hISTOIRE DE L.\ GKOMhTlUE 29

ouvrage du j^suite allemand Clavius (4S37-1612), connu aussi pour
une bonne edition des Elements d'Euclide, et celui du Hollandais
Simon Stevin (15'i8-16i20).

BIBLIOGRAPHIE

Lucas de Burgo. — Summa de Arithmetica, Geometria, Proporlioni et

Prnportinnalita. Venise, 1494, in-foU
LtiCAS DE BuRGO. — De divina prnportione. Venise, 1509, in-fol.
Ch. Ravaisson-Mollien. — Les Manuscrits de Leonard de Vinci (Trad.

franc, par). Paris, 1881-1891, <5 in-fol.
Geometria deutsch. — Edition Giinther. Zeilseh. fur Math. u. Pliys.

Leipzig, 187f>.
Albrecht DiJRER. — Underweysung der messung mil dem zirkel und rich-

scheyt. Nuremberg, 1525.
Nrr.oj.0 Tartaglia. — General Traltato di numeri et misure. Venise, l.iliQ-

1560, in-fol.
Francois Viete. — Opera mathemaliea. ^fedilion Schooten. Leyde, 1646,

in-fol.
Clavius. — Opera mathemaliea. Mayence, 1612, in-fol.
Simon Stevin. — OEuvrei mathdmatiques. Edition Albert Girard. Leyde,

1634, in-fol.
Kepler. — Harmoniees mundi, libri V. Linz, 1619, in-foL

2" Piriode (du 17« au Ifl" xieclc).
Cliangement de forme de la g6om6trie grecqne.

Avec le il^ siecle, commence une ere nouvelle dans Thistoire
des mathematlques. Descartes, par la creation de la geometric
analytique (i6H7), Newton et Leibniz par I'invention du calcul
infmilesimal (2" nioitie du IT*-' siecle) ouvrent un vaste champ de
speculations, fecond en importantes decouvertes.

Pendant pres de deux siecles, la geometric pure est a peu pres
delaissee. Toutefois, quelques savants comme Pascal, Desargues,
Huyghens, La Hire en font encore i'objet de leurs travaux ; ils
preparent I'avenemenl au debut du lO" siecle de ce qu'on a ap-
pele la geometric superieure et ou devaient s'illustrer entre au-
tres Monge, Carnot, Poncelet et Chasles.

En ce qui concerne plus particulierement la geometrle ele-
mentaire, nous n'avons rlen d'important a signaler jusqu'a la fin
d.u 18" siecle. Les seuls travaux originaux composes durant cette
periode et dont il merite d'etre parle sont le Cours mathematique

30 INTRODUCTION

de Pierre Herigone (l""" moilie du 17= siecle), publie en 1644, et la
Charactcristica Geometria du grand savant et philosophe allemand
LEiBMz(i646-'17i6), composee en 1()79, niaisnon publiee al'epoque.
Cesdeux ouvrages,ousont exposees des notations deslinees a sim-
pliiier le langage et a faciliter le raisonnernent en geoinelrie,
sent les premiers essais connus de ce quon nomnie aujourd'hui
la « Logique inathemalique » (i""^ Partie, Chap. 2, § 5).

Dans le cours du 19« siecle, on s'est livre a d'interessantes
recherches, on s'est en particulier beaucoup occupe des construc-
tions geomelriques. Les Anciens s'imposaient la condition, dans
leurs operations graphiques, de ne se servir que de la regie et du
compas. Un s'est done ingenie a rechercher comment on devrait
s'y prendre pour effectuer ces operations avec la regie seule ou
avec le compas seul ou encore par d'autres procedes, puis on a
etudie le degre de simplicite et d'exactitude de ces construc-
tions.

Dans le siecle qui vient de finir, les mathematiciens ont egale-
ment porte leurs elForts sur I'examen des axiomes qui servent
de base a la geometric.

Enfin, depuis 4873, la « geometric du triangle » a ete Tobjet
d'importants travaux de la part de nombreux geometres, au premier
rang desquels il convient de citer : en France MM. E. Lemoine et
H. Brocard, en Belgique M. J. Neuberg.

Nous nous contenterons, pour terminer, de dire quelques mots
sur les modifications de forme subies en France paries traites de
geometrie elemenlaire du i7« siecle a nos jours. ;

Jusqu'au milieu du il^ siecle, la geometrie theorique est ex-
clusivement enseignee au moyen des Elements^d'Euclide sous
leur forme primitive, c'est-a-dire par I'emploi de demonstrations
exclusivement geomelriques. Parallelement aux editions de I'ceu-
vre du savant grec, on publie de nombreux ouvrages dits de
geometric pratique, ou, a cote de certaines questions qui ne se
trouvent pas dans les Elements, comme par exemple la mesure
du cercle, sont exposes des problerhes numeriques sur la plani-
metrie et la stereometric.

Ce fut le celebre Amoine Arnauld (1612-1692), Tun des auteurs
de la Logique de Port-Royal, qui, en France, porta le premier
coup a I'autorite jusque-la incontestee d'Euclide, en publiant en
1667 ses Nouveaux Elemens de Geometrie. « 11 n'estoit pas fort diffi-
cile a I'Auteur de la nouvelle Logique ou Art de penser, dit Nicole

ESQUISSE DK LHISTOIRE DE LA G^METRIE 31

qui a ecrit la preface de I'ouvrage, de remarquer... les defauts de
la methode d'Euclide et d'avancer qu'on pourroit digerer la geo-
metrie dans un meilleur ordre. » Arnauld expose done les ma-
tieres de la geometrie plane des Elements dans un ordre different
de celui du geometre grec, mais a peupres pareil a celui qui est
suivi de nos jours ; il faut bien dire qu'il n'est pas toujours heu-
reux en essayant de reformer Euclide. Son ouvrage est surlout
caracterise par I'introduction des demonstrations algebriques
partout ou cela est possible ; en outre, on n'y trouve plus ces
fatigantes repetitions de I'enonce que nous avons signalees chez
lesAnciens; il est ainsi beaucoup plus facile a lire que les Ele-
ments et restera longtemps le modele suivi par les auteurs pos-
terieurs.

En 1685, le R.-P. Bernard Lamy (4640-1715), pretre de I'Ora-
toire, publie des Elemcns de Geometrie congus d'apres le meme
plan que ceux d'Arnauld ; ils contiennent en outre ce que nous
appelons aujourd'hui la geometrie de I'espace, ainsi que la me-
sure du cercle, sauf toutefois la determination de ::. Ce petit ou-
vrage, clair et concis, a ete tres estime en son temps.

Vers la fin du 17<= siecle, nous avons a mentionnerla Geometrie
elementaire et pratique de Sauveur (1633-1716), reeditee en 1753
par Le Blond. La disposition est encore calquee sur celle d'Ar-
nauld, mais nous voyons apparailre pour la premiere fois des
enonces pratiques pour la mesure des surfaces et des volumes,
com me celui-ci : « L'aire d'un cercle est egale a la moitie du produit
desa circonference par son rayon ». Toutefois, les demonstrations
qu'il donne des propositions correspondant a ces enonces, et qu'il
base sur la doctrine des indivisibles, sont loin d'etre rigoureuses.

Nous signalerons en passant la partie geometrique des Elemcns
de Mathematiques de Varignon (1634-1722), publies en 1731, qui
contient quelques interessantes constructions approchees, et les
Elemens de Geometrie de Clairaut (1713-1765), parus en 1741, ou
I'auteur, sous une forme excellente, cherche a rendre I'etude de
cette science plus attrayante en faisant decouler les verites geo-
metriques des faits sensibles.

Entin, en 1794, paraissent les remarquables Eletnents de Geomd-
/rte de Legendre (1752-1833) qui, des leur apparition, eurent un
succes considerable ; ils sont restes classiques pendant plus d'un
siecle et forment encore aujourd'hui en France la base des ouvra-
ges de geometrie elementaire. Legendre y expose dans le meme
ordre qu'aujourd'hui la matiere des Elements d'Euclide, la plani-
metrie et la stereometrie avec des enonces pratiques, la mesure

32 INTRODUCTION

du r.ercle avec la determination de :: ; il y introduit enfin les pro-
prieles des triangles spheriques. Fl se montre beaucoup plus rigod-
reux que ses devanciers, bien qu'il ne reussisse pas toujours dans
ses essais de reduction du nombre desprincipes admis paries geo-
metres grecs. On lui a reproche d'avoir eu trop souvent recours
aux demonstrations par I'absurde, mais c'etait une consequence
meme de la condition qu'il s'etait imposee de ne pas employer,
la methode des limites, jugee par lui comme n'etant pas assez
simple pour etre introduite dans un ouvrage de cette nature.

Avec Legendre, la geometrie elementaire est definitivement
constituee sous sa forme actuelle; ses successeurs ne feront que
modifier certains points de detail. Nous devons cependant signa-
ler, en terminant, qu'une tendance commence a se manifester
dans I'enseignement, en France et en divers pays etrangers, en
Italie surtout : mener de front I'exposition de la geometrie plane
et celle de la geometrie de I'espace qui sont actuellement, comme
chez Euclide, absolument distinctes. Cette idee, emise en i82(> par
Gergone, a ete mise en pratique par Mauistre en 48iiet reprise
en 1874 par M. Ch. Meray.

IBLIOCRAPHIE

Pierre Herigong. — Cours malhemalique , tome I. Paris, 1634, in-8».
Antoine Arnauld. — Nouveaux Etemens de Geometrie. Paris, 1667, in-i».
R. P. Bernard Lamt. — Les Elemens de Geometrie. Paris, 1683, in-i2.
Sauveur, revu par Le Blond. — Geometrie elementaire el pratique. Paris,

1733, in-4».
Varignon. — Elemens de mathematique. Paris, 1731, in-4».
Clairaut. — Elemens de geometrie. Paris, 1741, in-S".
Adrien-Marie Legendre. — Elements de Geometrie. Paris, 1794, in-S".
A. Mahistre. — Les Analogies de la Geometrie elementaire ou la Geometrie

dans I'espace ramenie a la Geometrie plane. 2« edit., Paris, 1&44.
Ch. Meray. — Nouveaux EUments de Geometrie. Dijon, 1874 et 1903,

iii-8».

PREMIERE PARTIE

DES DEFINITIONS & DEMONSTRATIONS
GEOMETRIQUES

CIIAPITRE I

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS

§ I. — Definitions.

G6ometrie. — a) La geora6trie est la science des
proprietes de Fetendue figuree (d'Alembert, 1739).

b) La j^eometi'ie est une science qui a pour objet la
mesiire de I'etendue (Legendre, 1794).

c) La g^omalrio a pour but I'elude de la grandeur et
de la forme des objets materiels, abstraction faite de
leur essence (Paul Tannery, 1894 et Faifofer, 1903).

d) On donne le nom de figure h. un ensemble quel-
conque de surfaces, de lignes ou de points.

La geometric a pour but Tetude des proprietes des
figures et, en particulier, comme son nom I'indique, la
mesure de I'elendue (Rouciie et de Comberousse, 1891).

e) La geometric est la science des corps materiels en-
visages seulement au point de vue de leurs formes, de
leurs etendiies et de leurs positions relatives.

FouRREY. — Curios, ge'om. 3

34 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

Une figure est ce a quoi I'esprit reduit un corps qaand
il en fait I'etude au point de vue purement geome-
trique (Ch. Meray, 1903).

Point. — a) Ce qui est indivisible en tons sens, mais
qui a une position (Aristote, 4* s. av. J.-C).

U) Le point est ce qui n'a aucune partie.
Les extremites d'une ligne sont des poiiits (Euclide,
3* s. av. J.-C).

c) he point exprime ce qui est le plus limiteen exten-
sion, par suite la position simple.

Tons les points sont superposables (Leibniz, 1679).

6?) Les extremites d'une ligne se nommeni poi?ils
(Legendre, 1794).

e) L'exislenced'unatome suffitpour r^aliser un^om^
maHiematique (Calchy, 1832).

/} Le point mathematique est une forme sans gran-
deur.

Le point est ce qui est determine par soi-m6me
(Delbceuf, 1860).

g') On donne le nom de points aux limites ou extre-
mites d'une ligne, aux intersections mutuelles des lignes
(RouciiiS et DE Comberousse, 1866-91).

h) Un point correspond a I'idee abstraite que nous
nous faisons d'un corps extremement petit dont nous
ne considerons que la position dans I'espace, d'une
r.';gion pen etendue, mais nettement d6limitee dun
corps quelconque (Ch. Meray, 1903).

Ligne, surface, volume. — a) Parmi les grandeurs
[j^eometriques], I'une n'est divisible qu'en un sens uni-
que, c'est la ligne; I'aulre en deux, c'est la surface;
Tautre Test en trois, c'est le volume. II n'y a pas de

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS 35

grandeurs aulres que celles-la, parce que trois est tout
et que trois renferme toutes les dimensions possibles.
En effet, ainsi que le disent les Pylhagoriciens, I'uni-
vers entier et toutes les choses dont ii est forme sont
d(6termines par le nombre trois. A les entendre, la fin,
le milieu et le commencement forment Je nombre de
Tunivers (Aristote, 4" s. av. J.-C).

6) Une ligne est une longueur sans largeur.

line surface est ce qui a longueur et largeur seulc-
ment.

Les exiremites d'une surface sont des lignes.

Un solide est ce qui a longueur, largeur et epaisscur.

Un solide est termine par des surfaces (Euclide,
3" s. av. J.-C).

c) Nous avons la notion de la ligne lorsque nous di-
sons de mesurer seulement la longueur d'une route ou
d'un mur, car alors nous ne pensons pas en plus a la
largeur, mais nous ne tenons compte que de la distance
dans un seul sens ; tandis que si nous mesurons une
aire, nous considerons Id^ surface ; si un puits, le solide.
Dans ce dernier cas, nous reunissons ensemble toutes
les distances pour dire que le puits est de tant, en lon-
gueur, en largeur et en profondeur. Les sens peuvent
d'ailleurs nous donner une perception de ligne lorsque
nous regardons les separations des endroits eclaires et
de ceux qui sont dans i'ombre, soit sur la Lune, soil sur
la Terre. Car il y a la un intermediaire sans dimension
suivant la largeur, mais qui s'dlend en longueur enlre
la lumiere et I'ombre (Apollomus, 3* s. av. J.-C. ;
d'api^o Proclus).

d) Le chemin suivi par un point se deplagant.vers un
autre est une ligne. Ce chemin est continu, car cha-
cune de ses parties a des extremites qui sont com-
munes avec une precedente et une suivante.

36 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS CtoMETRIQUES

Le deplacementd'une ligne dontles points ne se rem-
placent pas sans cesse donne une surface.

Le d^placcment d'une surface dont les points ne se
rcinplacent pas sans cesse donne un corps.

Mais le corps ne pent se ddplacer sans que tons ses
points ne se remplacent continuellemcnt ; c'est pour-
quoi ii ne produit pas de nouvelle dimension (Leibniz,
1G79).

e) L'etendue a trols dimensions: longueur, largeur
et hauteur.

La ligne est une longueur sans largeur.

Surface est ce qui a longueur et largeur sans hauteur
ou epaisseur.

Solide ou corps, ce qui reunit les trois dimensions dc
l'etendue (Legendre, 1794).

/) La consideration des corps matdriels nous sugg^re
ridee d'e'tendueou de volume, he volume d'un corps est
essentiellement limite; sa limite, qui lesepare de Tes-
pace environnant, prendle nomde.s7<r/«ce. Les diverses
faces d'un corps sont autant de surfaces dont les limites
ou les intersections s'appellent lignes (Rouche et de
COMBEROUSSE, 1866-91).

g^ L'idee de ligne nous vient des corps allonges,
mais extrfimsment dclies autrement,

Des corps extr6mement reduits en epaisseur nous
donnent l'idee do, surface (Gii. Meray, 1903).

Ligne droite. — I. Definitions reposant sur 1? notion de
mouvement. — «) La droite est la ligne telle que si I'on
nnmobilise deux de ses points, tousles autres sont immo-
i'ilises par cela sew/ (Leibniz, 1679).

b) La ligne droite est celle qui peut tourner autourde
ses extremites immobiles sans changer c/ejo/ace (Pevrard,
1809).

UEFIMTIONS ET DENOMINATIONS 37

c) // peiit nrriver que le mouvement d'ltne figure inva-
riable soil tcl que tons les points d'une ligne apparlc-
nant a cette figure restent immobile^ pendant que tons
les poifils situes en dehors de cette ligne se meuvent. line
pareille ligne s'appellera ligne droite (PotncariS, 18MI).

Cos Irois definitions, qui sont d'ailleurs au fond ideii-
tiqnes, impliquentdeux axiomes: la possibilitodumoii-
vomcntd'une figure invariable et colle do I'immobili.sa-
tiondes points d'une ligno dans nn mouvement pa rticii I ier
de laOgure. Le dernier axiome est dnonce explicilemenl
dans la troisieme definition.

d) Le chemin le plus simple d'un point se deplarant
vers un autre est une droite (LeibiMz, 1679).

Definition vague.

II. Definitionsreposantsur la notion de distance. — La no-
lion de distance de deux points pent 6tre oonsideroe
commo une notion premiere revelee par rexperienc(! :
CO sera par exemple un nombre mesurant Fintervalle
de cos deux points.

a) La ligne droite est le plus court chemin d'un point
a tm autre (Ant. Arnauld, 1667. — Varignon, 1731. —
Legrndre, 1794).

On a beaucoup critique cette definition oii se trou-
venl confondues les notions de ligne et de distance,
essentiellement distinctes ; de plus, on pent la consi-
derer comme une proposition demontrable, en partaiit
d'une definition plus simple de la ligne droilo.

On dit souvent, mais a tort, que la definition ci-dos-
sus a 6te employee pour la premiere fois par Ancm-
m6de, Le savant grec s'en sert seulement a titre d' axiome
sous la forme suivanle : La ligne droite est la plus
coxirte des lignes qui ont memes extremites.

b) La ligne droile est une serie de points dont chacun

26G152

38 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GltOMETRIQUES

est d dgale distance de trois points donnes (Fourier,

1795).

i Soient A, B, G les trois points donnas qui, on le sait,

determinent un plan, et 0 le centre du cercle passant

par ces trois points. Le lieu des points situes a egale

distance de A, B, C est effectivement la droite perpon-

diculaire an plan ABC passant par 0.

Mais, ainsi qucle faisait observer Mongc dans la dis-
cussion oij Fourier caracterisait ainsi
la ligne droite, « les definitions doi-
vent etre simples » ; et il est difficile
de so fairc une idee de la droite avec
la definition donnee ci-dessus.

Cclle-ci implique d'ailleurs deux

axiomes, d'abord qu'il exisfe bien un

lieu geomdtriquc de points satisfaisant aux conditions

enonc^es, et ensuite que ce lieu comprend seulement

une droite.

c) La ligne droite AB est le lieu geometrique des points
M tcls qu'il n'y a aucun autre point D de I'espace pour
lequel on ait en meme temps MA=DA et MB = DB
(d'apres Cauchy, 4832). •

Cette definition qui, comme la prec^dente, implique
deux axiomes, est aisee a justifier.

Gonsiderons, en eff"et, un point M' situd hors de AB.
II existe une infinite de points D tels
JP qu'on ait M'A = DA et M'B r= DB ;

^z'' \ il suffit pour les obtenir de faire

y^ \ mouvoir M' autour de A et B sup-

^^^^^ ^ / poses immobiles, les distances M'A
"^v^ / et M'B restant invariables. Ges

jVl' points D n'existent plus si M' est

siir la droite en M, car M est im-
mobilise dans le mouvement.

On voit que la definition de Gauchy est ^quivalente

DKFfNiriONS ET DI^NOMINATIONS 39

^ celle de Leibniz, puisqu(3 parlant de Tune on relombe
sur I'aiitre.

III. La droiteindividualisee par deux points. — a) La ligne
droite est celle qui est egalement placee entre ses points
{EucLiDE, 3" s. av. J.-C; d'apres Peyrard).

La ligne droite est celle qui repose egalement sur ses
points (EucLiDE, d'apres Duhamel).

La ligne droite est celle qui est ex sequo en tous ses
points (EucLiDE, d'apres Paul Tannery).

La definition d'Euclide « p^che un pen par la clarte
at a pu donner lieu a des interpretations diverses. La
ligne droite est, dit-il, celle qui repose egalement sur
ses points. Que faut-il entendre par la? Veut-il dire que
si Ton considere deux quelconques de ses points, elle
ne pourrait etre posee sur eux de plusieurs manieres
<lifl'erentes, de sorle que, par deux de ses points, on ne
pent concevoir une seconde ligne droite? Supposera-
t-on, au contraire, que cette similitude entre ses points
se rapporte aux differentes parties de la ligne droite ?
Gela n'est pas vraisemblable ; car cette identite de
forme dans toute I'etendue d'une ligne s'appliquerait
aussi bien au cercle eta I'helice qu'a la ligne droite...
Nous sommes porte a admettre la premiere explication
€t nous croirons etre d'accord avec Euclide en appe-
lant

b) ligne droite une ligne indefinie telle que par deux
points donnes on n' en pent fairs passer quune seulen
(Dlhamel).

c) La plus simple de toutes leslignes est la ligne droite,
dont la notion est familiere a tout le monde et dont un
fil tendu off re I' image.

Cette ligne est caracterisee par la,propriete suivante:

40 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

deux points detei-miiient une droite (RouCHfi et de Com-

BEROUSSE, 1891).

d) La iigne droite est la ligne entierement definie par
deux de ses points A et B (Babijarin, 1902).

IV. Definitions diverses. — a) La droite est la Iigne dont
les extremites sont otnbragees par les points intermediaires
(Platon, 4* s. av. J.-C).

Considerons un point lumineux L place sur une
droite enlre ses extremites A etli. La lumiere (dans le
vide)setransmettant en iigne droite, les pointscompris
^ ontre L et A d'une part, entre

^ T ^ L et B d'aiitre part, etant sup-

poses opaques, formeront une
ombre recliligne passant respeclivement par A et BI

Mais celte definition, lout exacte qu'elie soil, repose
sur des donnees entierement experimenluies.

b) La Iigne droite est une ligiie de direction con-
stante. La Iigne courbe est une ligne dont la direction
change en chaqiie point (Ueberwkg, d'aprcs De]b(X'uf,
1860).

Cette definition implique la notion de direclion dont
nous n'avons qu'une idee vague.

c) La ligne droite est celle qui, etant menee d'un
point a un autre, ne se detourne ni d droite ni d gauche
et qui est la plus courte que L'on puisse mencr entre ccs
deux points (Simpson, 1766).

Definition surabondanle ; elle implique a la fois la
notion de direction et celle de distance.

c?) La trace a'un point qui serait mu de mawerc a
tendre toujours vers un seui et menie poini est ce qu'on
appelte une ligne droite.

On appelle au contraire ligne courbe la trace d'un
point qui, dans son mouvement, se detourne in/iniment
peu a chaque pas (BEZouTf 1768).

DI^FIMTIONS ET DENOMINATIONS 41

Definition vague ; on ne voit pas avec precision
comment iin point tend vers un autre.

e) La ligne droite est la limite quisepare en deux parties
egales le plan infini et homoijene (Bertraind de Geneve,
1812).

Definition manquant de precision.

/) La droite est line ligne homogene, c'est-d-dire dont
les parties, prises indifferemment , sont semblables entre
elles et ne different qu'en longueur (Delbceuf, 1860).

Cette definition est insuffisante pour caracteriser la
ligne droite, car elle s'appliqiie egalement a la circon-
ference et a Fhellce.

Plan. — I. Definitions reposant sur la notion de distance.
— a) Le plan est le lieu des points egalement disposes
par rapport a deux points A e^ B (Leibniz, 1679).

Le plan est une serie de points dont chacun est a egale
distance de deux points donnes (Fourieb, 1795).

On sait, en efl'et, que le lieu des points de Tespace h
^gale distance de deux points donnes A et B est un
plan perpendiculaire au milieu de la droite AB.

A) Le plan ABC est la surface lieu des points M tels
qu'il n'y a aucun autre point D
de I'espace pour lequel on puisse
avoir MA = DA, MB = DB et
MG = DG; les points A, B, G
etant supposes non en ligne droite
(Gauchy, 1832).

Pour tout point M' situe en
dehors du plan ABG, il y a en
efl'et un point D, sym^trique de M'
par rapport a ABG, pour lequel
on a M'A = DA, MB = DB et M'G = DG.

II. Le plan individualise par deux droites. — a) La surface

42 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

plane est cells qui est egalement placee entre ses droites
(EucLiDE, 3* s. av. J.-C; d'apr^s Peyrard).

Le plan est la surface qui est ex sequo pour toutes
les droites qui y sont situees (Euclide, d'aprcs Paul
Tannery).

« Si la definition d'Euclide no parait pas au premier
abord absolument elaire, voici comment tons les geo-
melres sont neanmoins d'accord pour I'entendre:

b) Le plan est la surface entierement definie par deux
droites determinees et sicantes AB et AC quelle ren-
ferme » (Barbarin, 1902).

Cette definition est la generalisation de ceJle de la
droite.

III. Definitions diverses, — a) Leplan est une surface que
tons les points d'une ligne droite peuvent toucher (Vari-
GNON, 1731).

Le plan est une surface dans laquelle, prenant deux
points a volonte et joignant ces deux points par une
droite, cette ligne est tout entiere dans la surface (Le-
GEXDRE, 1794; Roughs et de Gomberousse, 1866-91). !
On a beaucoup critique celte definition, qui parait
inspiree de celle d'Euclide. Elle renferme plus de con-
ditions qu'il n'en faut pour determiner le plan : deux
droites suffisent, et la definition
preeedente en admet un nombre in-
determine.

On pent d'ailleurs demontrer, en
partant de la definition II, b, que
toute droite MN aijant deux points M
et N dans un plan defmi par les
droites AB et AC est contenue tout
entiere dans le plan.

En efi"ef, le plan (AB, AC), etant
idenlique aux plans (AB, AiAJ) et (AB, AN), renferme

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS 43

les droites AM et AN ; mais le plan (AM, AN), etant
enti^rement cldfini par ces droites, est identique k la
fois aux plans (AM, MN) et (AB, AC); done ce dernier
renferme la droile MN.

b) Le plan est la limite qui scpare en deux parties igales
I'espace infini et homogene (Bertrand de Geneve, 1812).

La definition manque de precision.

c) Le plan est nne surface Aomo9'(?/ie(DELBCEUF, 1860).
Cette de'finition, generalisation de celle donnee pour

la droite par le m6me auteur, est insuffisante pour
caracteriser le plan, car elle s'applique egalement k la
surface de la sphere.

(f) Le plan est le lieu des perpendiculaires menees par
un point a une droite quelconqtie de I'espace (Duhamel,
1866).

Angle. — a) Un angle plan est i'inclinaisonmutuelle
de deux lignes qui se touchent dans iin plan et qui ne
sont point place es dans la nieme direction (Euclide, 3* s.
av. J.-C ).

II resterait k definir leterme «inclinaison », amoins
de I'admettre comme notion premiere.

11 y a lieu d'observer que le lerme « lignes » est mis ici
pour « droites » ; les mots « dans un plan » sont super-
tlus puisque les deux droites se rencontrent.

U) L' angle est la contraction en unseul point d'une
surface sous une ligne brisee (Apollonius, 3* s. av. J.-C. ;
d'apr^s Proclus).

Ainsi Tangle rectiligne plan serait formd par la con-
traction du plan entre deux droites.

Cette definition est moins claire que celle d'Euclide, et
on ne pent savoir, d'apres les seules citationsde Proclus,
pour quelles raisons elle a ete adoptee par Apollonius.

c) Lorsque deux droites- se rencontrent, la quantity

44 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUF.S

plus ou mains grande dont elles sont ecartees i'line de
I' autre sappelie angle (Legendke, 1794).

11 y aurait ^ definirle terme « ecartement ■>•>.

d) La considei^ation de deux droites AB et AC qui se
rencontrent conduit a une idee nouvelle qui est celle
d'inclinaison muiuelle ou d' angle et qui ne saurait etre
definie, c' est-a-dire ramenee a une idee plus simple
(DuHAMEL, 1866; Rouch6 et de Comberousse, 1866-91).

e) On appelle angle la partie d'un plan limitee par
deux droites partant d'un m^me point (Bertrand de
Geneve, 1812 ; Faifofer, 1903).

Ainsi Tangle serait un espace plan, contrairement
au 6* postulat du Livre I des Elements d'EucIide : qiiil
soil demanae que deux droites ne contiennent pas d' es-
pace. La notion d'angle dveille plut6t en noire esprit
une idee d'inclinaison inutuelle qu'une idee d'espace.

Mais on a surtoul critique I'emploi abusif qui a ete
fait de cette definition par Bertrand de Geneve.

/) On appelle angle la figure forniee par deux droites
qui se rencontrent en un point ou on les suppose toutes
deux limitees (De Tilly, 1880).

Cette definition n'eveilie pas en nous une idee precise
de Tangle ; elle ne caracterise que sa forme.

Carr6 et rectangle. — a) Panni les figures quadri-
lateres, celle qui a ses cdte's egaux el ses angles droits
se nomine carre.

Celle qui a ses angles droits, mnis qui n'a pas ses
cdtes egaux, se nomme rectangle (Euclide, Definitions
en t6te du Livre 1, 3'^ s. av. J.-C).

Ces definitions d'Euclide onteteconserveesparLegen-
dre dans ses El(5ments de G^om^trie de 1794 ; mais le
savant frangais fait a ce sujet les reflexions suivantes :
ft Dans la definition ordinaire du parallelo gramme rcc-

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS 45

tangle et du quarre on dit que les angles dc ces figures
sont droits ; il seroit plus exact dedire que leurs angles
sont eg-aux. Car supposer que les quatre angles d'un
quadrilatere peuvent 6tre droits, et meme que les angles
droits sont egaux entre eux, c'est supposer dcs propo-
sitions qui ontbesoin d'etre demontrees. Oneviteroit cet
inconvenient et plusieurs auires du meme genre, si, au
lieu de placer les definitions, suivant I'usage, a la tete d'un
livre, on les distribuoit dans le courant du livre, cha-
cune a la place oii ce qu'elle suppose est deja demontre ».

Nous ajouterons qu'Euclide admet bien un peu plus
loin, comme axiome, au debut du Livre 1, que les
angles droits sont egaux entre eux, mais il demontre
en revanche (Livre I, 32) que la somnie des angles
d'un triangle est 6gale a deux droits ; cette derniere pro-
position sert, comme on salt, k prouver que la somme des
angles d'un quadrilatere est egale h. 4 droits, et par suite
que les 4 angles d'un quadrilatere peuvent etre droits.

b) Parmi les quadrilateres convexes, on distingue :
... ierectangle, qui a tons ses angles egaux entre eux;...
lecarre, qui a ses cotes egaux et ses angles egaux;...
(Roughs et de Gomberousse, 1866-91).

Ces definitions ne donnent plus lieu a critique, si Ton
admet que les cotes et les angles d'un polygone peu-
vent 6tre tons egaux.

Parall^logramme. — a) Parmi les figures quadrila-
teres,... celle dont les cdtes et les angles opposes sont
egaux, mais dont tous les cotes ne sont pas egaux et dont
les angles ne sont pas droits, se nomme rhombolde
(EucLiDE, 3* s. av. J.-C).

Robert Simpson (18* s.) a fait observer que cette
definition renferme une condition superfine, car si les
c6t6s opposes d'un quadrilatere sont egaux, les angles
opposes sont n6cessairement ^gaux.

46 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQOES

b) Parmi les quadrilaleres , on distingue... le paral-
lelogramme, qui a les cdtes opposes paralleles (Legen-
DRE, 1794).

Circonf ^rence et cercle. — a) Un cercle est une
figure plane comprise par une settle ligne qu'on appeile
circonference , et telle que toules les droites menees a la
circonference d'un des points places dans cetle figure
sent egales entre elles (Euclide, 3* s. av. J.-C).

U) Une ligne en mouvement etant placee de telle sorte
que deux de ses points A et B
restent immobiles, un autre point
quelconque C de cette ligne decrit
une circonference (Leibniz, 1679).

c) La circonference du cercle est
une ligne coiirbe dont tons les
points sont egalement distants a'un
point interieur qu'on appeile cen-
tre (Legendre, 1794. — Rouche et de Comberolsse,
1866-91).

d) La circonference est un assemblage de points dont

chacun est a une distance donnee de

. deux points donnes (Fourier, 1795).

{ La circonference ainsi d^finie est

I contenue dans le plan perpendiculaire

meii4 par le milieu 0 de la droite qui

joint les points donnes A et B, et son

centre est en 0.

I e) Prenons dans un plan un segment

B OA et sur ce segment un point M ; ima-

ginons que le segment tournc autour du

point 0, tout en restant dans le plan et jusqua ce qu'il

ait repris sa position primitive. Par ce mouvement, le

segment OM decrit une portion de plan qui s'appelle-

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS 47

cercle. Le point M, dans le mouvement consideri, decrit
le contour du cercle; cette ligne s'appelle circonference
(Faifofer, 1903).

Figures 6gales. — Deux figures sont egales quand
on pent les superposer ; pour les superposer, ilfautdepla-
cer I'une d'elles jusqu'd ce qu'elte coincide avec Cautre;
mais comment faut-illa diplacer ? Si nous le demandions,
on nous repondrait sans doute qu'on doit le faire sans la
deformer et d la facon d'un solide invariable ; le cercle
vicieux serait alors evident.

En fait, cette definition ne definit rien : elle n'aurait
aucunsens pour un etre qui habiterait un monde oil il n'y
aurait quedes flutdes. Si elle nous semble claire, c'est
que nous sommes habitues aux proprietes des solides
naturets qui ne different pas beaucoup de celles des
solides ideaux dont toutes les dimensions sont invariables.

Cependant, tout imparfaite qu'elle soit, cette defini-
tion implique un axiome, la possibilite du mouvement
d'une figure invariable (Poingar^, 1891).

Polygenes semblables. — a) Les figures rectilignes
semhlables sont cedes dont les angles sont egaux chacun
d chacun et dont les cdtes places autour des angles egaux
sont proportionnels (Euclide, 3* s. av. J.-C).

Cette definition a ete conservee, sous une forme
un peu ditlereute, par les auteurs modernes. Legen-
dre, qui lui-meme I'a adoptee dans ses Elements de
geometric (1794), fait observer qu'elle contient trois
conditions detrop ; mais c'est precisement la ditiiculte
de faire rentrer le nombre strictement necessaire de
conditions dans une definition simple qui a fait qu'on
n'a [jas modifie celle d'Euclide, en France tout au
raoins.

Dans d'excellents Elements de G^ome'trie dont la 13*

48 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS CtoM^TRIQUES

edition italienne a 616 traduite en frangais en 1903,
M, Faifofer suppose line corrospondance etablie entre
les points de deux lij^ures, d'ou le noin de sef/mejils cor-
respondants et d'an^/ics correspondaiits ; il donne alors
la definition suivanle :

tj) Si Con pent ctabdr, cntrc les points de deux figu-
res, line correspondance univoque telle que deux angles
corresponiants quelconques soient egaux, on dit que les
deux fir/wes sont semhlahle^.

Mais, avcc cette definition, Fexpositionde la Iheorie
de la similitude se trouve compliquee.

§ 2. — Denominations.

Trianr|le. — Dansle Manuel egyptiend'Ahm&s (2000
av. J.-C), la base d'un triangle isocele porte Ic nom
de tcpro (bouche) et le c6te celui de merit (le large).

Les Grecs appellent le triangle trigone (3 angles) ou
triplnire (3 cot^s) ; il est isocele (jambes egales) si
deux de ses cotes sont egaux, isopleure (cotes egaux)
si les trois cdtes sont ^gaux, scalene (inegal) si les trois
coles sont inegaux, orthogone si un angle est droit,
ambligone si un angle est obtus et oxigone si les trois
angles sont aigus.

Les Romains emploient divers termes pour designer
le triangle : triangu mn, trigonum, triquetrum. II est
orthogone ou rectanlge, isocele, equilateral ou isopleure,
scalenf, obtusangle, acutangle.

' Les qualilicatifs grecs isopleure, orthogone, ambligone
Qi oxigone se retrouvent au Moyen age et h la Renais-
sance chez la plupart des auteurs.

Chez les Hindous, Vavant-char est un triangle isocele
dont la hauteur est egale a la base.

La hauteur d'un triangle est designee chez les Grecs

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS 49

paries mois /ntpsos (signifiant hauteur dans le sens ge-
neral) ou cathete ; co dernier terme est employe chez
les Latins en meme temps que altitude. Les Arabes se^
servent du mot colonne, et dans un manuscrit frangais-
de la fin du 13" siecle on trouve le terme tioel ou. liviax
(niveau, verticale).

Les agrimenseurs remains designent I'hypotenuso
d'un triangle rectangle par le mot podismus.

Chez les Hindous, I'un des c6tes d'un triangle etant
pris pour base, les deux aulres sont les jambes ; la
hauteur relative a la base est la perpendicutaire ; les
deux portions de base determinees par le pied dc la hau-
teur sont les segments. Dans le triangle rectangle, I'un
des coles de Tangle droit est le cdte, I'autre le droit.

Quadrilatere. — On le dcnomme tetrapleure (4 co-
tes) chez les Grecs, et en particulier trapeze (4 pieds)
si ses quatre cotes sont inegaux.

C'est le tetragonr des llindous ; ceux-ci donnent au
plus grand cole le nom de base ; le cote oppose a la
base estle sommet, etlesdeuxautrescdtessont \es/la?2cs.

Les Latins lui donnent des noms divers : quadrila-
tere, quadrangle chez Alcuin (8" s.), tetragonc dans la
Geometric de Gerbert (10"-! 1" s.), helmuariphe clie/
Campanus (13" s.) et a la Renaissance; on reconnait
I'origine arabe de ce dernier mot. Le cote oppose a la
base est la coraaste dans la Geometric de Gerbert.

Dans un mannscrit frangals de la fin du 13* si5cle,
c'est la combe (') non equitatere ; pour Errard de Bar-
le-Duc (16" s.), le quadrilalere est un trapezo'ide,

Chez les Grecs un quadrilatere ayant un angle ren-
trantestun7<;oy/oyo/7e(de ko'ilos, creux, et gonia, angle);

(') Combe, vallce etroite.

FouRREV, — Curios, gc'om.

50 DES DEFINITIONS F.T DEMONSTRATIONS GEOMI;TIUQUES

pour Leonard de Pise (13* s.), c'est Id, figure barbue (ou

en forme de barbe).

En Anglelerre, on donne actiiellemenl le nom do/a'/e

(ccrf- volant) a un quadri latere convexe ayant deux
cotes consecutifs egaux, ainsi que les
deux autres. C'est un spear-head (fer
de lance) si ce quadrilatere possede
un angle rentrant.

Carr^. — C'est le tetragons cliez les

Grecs, II est parfois appele, dans

la Collection heronienne, telragone

equilateral rectangle', cette derniere

denomination est en m6me temps, comme on voit, une

definition precise.

Pour les Romains, c'est le quadratum dont, par
corruption, on a fait car re.

Losange. — Les Grecs I'appcllent rliombe ; dans les
ecrits lieroniens, on le designe aussi sous la denomi-
nalion de tilragone equilateral non rectangle.

Le nom de rhombe lui a ete conserve a peu pres ex-
clusivement jusqu'^ la Renaissance. Toutefois, Vincent
deBeauvais (13* s.)rappellec/zmmm, Campanus(13*s.)
helmuayn, et le manuscrit frangais du 13* siecle combe
equilatere .

Le terme losange hq seralt autre que I'ancien mot
francais « losange » (louange) et proviendrait de ce que
les armoiries destinees k rappeler les hauls faits des
seigneurs feodaux, a faire leur lauange, etaient jadis
cncadrces dans un rhombe.

Parall^lojiramme. — Les Grecs Tappellent rhom-
hoide, Vincent de Bcauvais (13* s.) simile climiam et
Campanus (13* s.) similis helmuayn.

DEFINITIONS liT DENOMINATIONS 51

« Le moi pai^allelogramme, suivant son ^tymologie,
signifie lignes paralleles\ il ne convient pas plus a la
figure de quatre cotes, qu'a celles de six, de hiiit,
etc. dont les opposes seroient paralleles. Le mot
parallelipipede signifie de meme plans paralleles, il ne
designe pas plus le solide a six faces que ceux qui en
auroient huit, dix, etc. dont les opposees seroient pa-
ralleles. II paroit done que les denominations de paral-
lelogramme et parallelipipede, qui d'ailleurs ont I'in-
•convenient d'etre fort tongues, devroienl etre hannies de
la geometric. On pourroit leur subslituer celles de rhombe
et rhombo'ide qui sont beaucoup plus commodes et
conserver, si Ton vouloit, le nom de lozange au quadri-
latere dont les cotes sont egaux » (Legendre, 1794).

Rectangle. — On le denomme heteromeque, paralle-
lofframme orlhogone, ou simplement orthogone chez les
Grecs, rectangle et tetragone plus long par un autre cote
ctiez les Latins, oblong cliez les Hindous, tetragonelong
et barlong vers la fin du Moyen age et a la Renaissance.

Trapeze. — Dansle Manuel dgyptien d'Ahmes (2000
av. .l.-C.) on voit figure un trapeze isocele dont la
grande base porte le nom de tepro (bouche), la petite
base celui de troncature ou sectionnante , les cotes celui
<le merit (le large).

Le trapeze actuel est appele mensa (table) ou mensult
par les Latins. Cbez Vilruvius llufus (2* s.) un tra-
peze rectangle a&i enoncti sous la meme denomination
qu'aujourd'hui ; la petite base est le sonnnet et le coLr.
perpendiculaire aux deux bases est la cathete. Dans la
Geometric de Gerbert (iO"-ll'' s.) figure de meme un
trapeze rectangle denomme simplement trapeze ; on y
distingue la base, la. corauste ou petite base et la crtMe/e.

Leonard de Pise (43" s.) considere le trapeze commc

52 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS G^OMETRIQUES

line sorte de qnadrllatere ayant la tele enlevee. Stevin
(16* s.) I'appelle hache parce que, dit-il, il ressemble
mieux a une hache qu'a una table.

C'est vers le milieu du 18" siecle que le terme ti'a-
j(he a ete applique en France au quadrilatere ayant
■Joux cotes paralleles ; il avait dej&. eu celte signihca-
lion particuliere chez quelques auteurs grecs de la dd-
cadence, notamment ciiez Pappus (4* s.).

Cercle. — Chez les Grecs le cerclo est de'signd par
le mot kuklos, dont nous avons fait cycle, elchez les Re-
mains parle mot circulus (diminutif de circus, cirque),
dont nous avons fait cercle.

Le mot diametre est d'origine grecque ; les Romains
s"en servent egalement, en m6me temps que de la
denomination ligne pour mesurer.

Les Grecs n'ont pas de terme special pour designer
le rayon ; ils I'appellent ligne qui part du centre. Les
Latins emploient les mois semi- dia?netre et radius, dont
nous avons fait rayon. Les Ilindous ddsignent ce der-
nier parle meme mot que louverture de compas, c'est-
a-dire parle mot carcata (litteralement ecrevisse^. Chez
les Arabes c'est le semi-diametre.

Les termes arc, fleche et corde on t etc empruntds a Tart
le la guerre ; le dernier seul est d'origine grecque.

Lc secteurest appele chez les Grecs ^omeM5(coupeur),
chez les Latins sector, chez les Arabes echancrure.

Le Grec Proclus (5" s.) appelle angle en forme de
cor/ie Tangle mixtiligne que font entre cux
un arc de cercle et la tangente a une extre-
mite de cet arc.
La partie AB de la ligne des centres
comprise dans la surface commune a deux cercles se-
cants 0 et 0' est la mofsure chez les Hindous. Ce seg-
ment intervenait dans le calcul des eclipses ; dans la

DEFINITIONS £T DENOMINATIONS 33

mylhologie aryenne, celles-ci etaient causees par la
morsure d'un dragon nomme
Rahu. C'est egalement la raison
pour laquelle le fuseau AMBN
commun aux deux spheres en
gendrees par les cercles 0 et 0'
en pivotant aulour de'leurs cen-
tres etait appele par les astro-

nomes hindous la bouc.'ie'e ou ie morceau.

Surfaces limitees par des arcs de cercle. — La

surface ombree ci-contre comprise en-
tre trois demi-circonft^rences langentes
deux a deux est designee chez Archi-
nifede (3* s. av. J.-C.) parte mot «;'6e/o5
(tranchet de cordonnier).

La surface ombree de la figure ci-contrecompriseentre
quatre demi-circonferences tangentes
deux a deux est appelee salinon (figure
de la houle) par Archim^de ; d'apres
Heiberg, il faudraitlire selinon (lierre).

Chez les Hindous, la surface formee par deux arcs
de cercle dont les convexites sont tour-
nees du meme cote et par la droite qui
les coupe est une dent d'elephant ; la
surface formee par deux arcs de cercle
egaux dont les convexites sont tour-
nees en sens contraires est un grain
d'orge] celle constituee par un seg-
ment de couronne circulaire est une
jante de roue.

Chez les Arabes, la surface limitee
par deux arcs de cercle dont les con-
vexites sont tournees du meme cote, et
tous deux plus petils que la demi-circonference, est

54 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUEs'

une lune (croissant chez les Hindous) ; si les arcs sont
plus grands qu'une demi-circonfe-
rence, c'est un/ier a chcval. La surface
limit^e par deux arcs circulaires dont
les convexites sont tournc'cs en sens'
contraircsestappelee myroholan^A Fun '
des arcs est egal et I'autre infericur a
une demi-circonierence ; c'est un vavet
si les deux arcs sont plus grands
qu'une demi-circonierence.

Sol ides. — Les mots pris7iie, paral-
Iclepipede, tetraedre, octaedre, cube,
cylindre, cone, sphere sont d'origine
grecque ; en particulier, prisme signifie
dans son sens general « chose sciee »,
et cylindre d<!rive d'un verbe signifiant « faire rouler ».
Le terme pyramide, qu'on faisait deriver aulrefois
de mots grecs, soit de pur (feu) parce que le feu se ter-
mine naturellement en pointe, soit de pu?'amis (gateau
conique qu'on oflrait aux morts), se rattache sim-
plement, d'apr^s MM. Revillout, a V 6gypiien pir-em-iis
qui designait la hauteur abaissee du sommet de la
pyramide sur la base.

Les Grecs appellent plinthide (carreau) un parallele-
.pipede rectangle, dont I'une des dimensions est infe-
rieure aux deux autres supposees egales ; c'est un do-
^OA(solive) si cette dimension est superieure aux deux
autres Egales. Un bomisque (autel) est le polj5dre en
forme de tas de sable.

Chez les Hindous, le tetraedre est un solide a six
ardies, la pyramide et le cone sont des aiguilles ou des
solides aigus.

Figures Egales et 6quivaleiites. — Chez Euclide, ce

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS

55

terme s'entend aussi bien des figures pouvant coinci-
der par superposition que de celles ayant mSme surface
ou meme volume.

Logeiidre (1794) introduit le qualificatif eqiiivalentes
pour designer les figures ayant des aires 6gales.

Dans certains pays etrangers, en Allemagne notam-
ment, ces dernieres figures sont encore appelees eott/es ;
les figures supi'rposables sont dites congruenles (du la-
tin congnio, ere, coincider).

B F

0

/

/

^^^w

Divers. — Les Pylhagoriciens (6®-5* s. av. .T.-C.)
appellent gnomon la figure
oblenue en retrahchant d'un
carre ABGD un carre EFCG.
« Lorsqu'on place un gnomon
autour d'un carre, la grandeur
varie, mais la forme ne change
pas )) (Aristote).

On trouve dans les Ele-

.^ menls d'Euclide (3* s. av. J.-

C), la notion du gnomon

etendue a un parallelogramme

quelconque.

Le probl^me du partage d'un
segment de droite en moyenne
et extreme raison porte chez les Grecs la denomination de
segment d'or; et k la Renaissance, de proportion divine.
Les polyedres reguliers sont les figures du cosmos
pour les Pylhagoriciens. En particulier, ceux-ci don-
nent au cube, dont lestrois dimensions sont egales entre
elles, le nom d'/iarmonie.

Les polygones etoiles sont, au Moyen ^ge, d(5sign^s
par le qualificatif A' egredienis (h. angles saillants). Ka-
pler (IT" s.) parait leur avoir donne la denomination
qu'ils ont conservee depuis ; il appelle les polygones

56 DKS DEFINITIONS F.T DEMONSTRATIONS GEO.MErniOIJKS

regiiliers ordinal res figures regit hcres primaires ou ra-
dicates.

Dans un manuscrit frangais du 13* siecle, I'airo plane
est designee par le moi planeces \ \?i superficie de la
sphere est appelee orneure du cercle (lerme qui corres-
pond probablement a orniere).

Pour Albert Diirer (16* s.), Tellipse est la Ugi^e de
I'aeuf, I'hyperbole la ligne de la fourchc, la parabole la
ligne du feu, et la spirale la ligne de i'cscargot.

§ 3. — Curieuses definitionG.

La Geometiie pratique composee par le noble philo-
sopbe maistre Charles de Bovelles (2e ed. Paris, 4oG(j).

Au LECTEUR.

Amy lecteur, qui cherches les mesuros,
Et quanlitez des lignes et figures,
Et de tous corps, par art de Geomelrie
Et plusieurs poincts et secrets d'induslrie
Qui en cest art sont trouvez plus notables,
Et pour les gens d'esperit profitables,
Qui leur scavoir redigent en effect :
Avoir te fault ce livre, qui fut faict
Dedans Noyon, par Ciiarles de Bovelles,
Qui n'est jamais sans faire reuvres nouvelles.
Entens le done, et si n'oublie pas
L'esquiere droict, la Reigie et le Compas :
Car de ces trois despend I'art et praclique,
Et le profit du scavoir geometrique.

Dupoinct. — Le poind ressemble h Tunile en A rillime-
tique ; car comme unite n'est pas nombre, mais est
le commencement et principe detous nombres : aussi le
poinct est commencement de toute longueur, et de toute
corporelle dimension, n'ayant en soy ne longueur, ne
largeur, ne profondite.

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS

57

De la ligne. — La ligne est semblablo et proportion-
nee au nonibre de deux. Car a tout

, , le moins deux poinds sont neces-

^ ^ saires a pioduiro el tirer une ligne

de I'un jusques a I'autre: comme il
appert par la ligne AB. La ligne tient une seule di-
mension, car elle est seulemenl longue, sans largeur
et sans profondile.

De la plaine, aiUrement dicle super ficie. — Ressemble
par juste proportion au nombre de
trois : car pour le moins sont neces-
sairos 3 points pour clone et fermer
une plaine. Au moindie cliamp de
lerre, quel qu'il soit, faut 3 lisieres
pour le fermer : comme il appert au
triangle ABC. La plaine est longue, et
large, sans profonditc.

Du corps. — Le corps se prend en Geometrie non
par la substance du corps humain
subject et servant a I'^me, mais
pour toute mesure corporelle ayant
trois dimensions, c'est 5. sgavoir,
longueur, largeur et profonditc. Et
ressemble le corps au nombre de
qualre. Car pour le moins faut quatre
poinds pour clorre et constituer un
corps. Comme il appert au corps
triangulaire ou pyramidal ABCD, ayant longueur, lar-
geur et haulteur.

De I' angle droict. — L'angle oroict est le plus noble,
et principal des angles.

Du cercle. — Le cercle est la plus belle et la plus
noble figure de toutesles aulres superficies.;

58 DES DEFINITIONS lilT* DEMONSTIIAIIONS GKOMETUIQIJKS

Elemens de geometrie, par Louis IkKmANu
(Paris- Geneve, XWl).

Du plan, de la ligne droite. — Jadis, un chasseur
ayarit tue dans la plaine un daim d'un coup de flcche,
voulut savoir a quelle distance il avoit atleint sa proie ;
et ji cet effet, posant successivement son arc sur cettc
distance, il trouva dans le nombre de fois qu'il put I'y
poser, la longueur qu'il avoit intention de mesurer.
Puis retlechissant a cette circonstance que lorsqu'il
posoit son arc sur le terrain, il fesoit une singuliere
attention a ne le poser que selon une certaine direction,
exclusive de loute autre ; cette direction, dit-il, qu'on
nomme ligne droite, et dont j'ai une idee si claire, si
Ton me demandoit en quoi elle consiste et ce qui la
distingue de toute autre, comment repondrois-je ?
Dirois-je que c'est la direction que suit une fleche au
sortir de Fare, ou celle que prend un fd charge d'un
plomb quand il est retenu par son autre extremite ;
ou mieux encore celle d'un rayon de luuiicre qui pene-
tre dans un lieu obscur ? Mais aucune de ces images ne
mettroit sous les yeux les proprietes par lesquelles la
ligne droite se distingue de toute autre; ilen I'audroitune
qui les fit au moins entrevoir ; on tacheroit ensuite de
s'en faire des idees distinctes. Or cette image a desirer,
ne seroit-elle pas celle que presente une ligne Iracee au
cordeau sur une plaine? Abstraction faite des bornes
de la plaine, cette ligne ne la partageroit-elle pas en
deux parties egales, sans se porter vers Tune plus que
vers I'autre? Ces idees ne se rapprocheroient-elles pas
encore plus des idees abstraites si Ton subslituoit a la
plaine la surface d'un lac parfaitement calme, et ^ la
ligne tiree au cordeau sur cette plaine, le trait subtil
que I'imagination trace de droit lil sur la surface dece

f DKFIMTIO.NS KT DENOiMFNATlONS 59

lac? Par rapport ensuile a celte surface, qu'on qualifie-
roit de plane, no diviseroil-elle pas I'espace en deux par-
lies egales sans se porter vers Tune plus que vers I'aulre
et ne seroit-ce pas en cela que consisteroit son carac-
t6re distinctif?...

Le dessin explique par la nature, pavM™e Marie Pape-
Carpe.miek (i*-' cd. I'aris, 1873).

Point et lignes. — Le point est a la fois I'^tofle dont
se coinpose la ligne et le but qui Tattire sans relache.
Chaque point exisle jusqu'au moment oii la ligne
I'atteint et I'absorbe. Puis elle passe outre, et continue
sa marche vers des points plus eloignes qu'elle atlein-
dra et depassera successivement.

Cette extension perpetuelle de la ligne alimentee par
les points sans cesse renaissanls, c'est I'extension per-
petuelle de Factivite humaine, alimentee par les desirs
incessants, marchant de celui qui est realise a celuiqui
ne lest pas encore ; les atteignant Fun apres Tautre ;
et les voyant se succeder jusques aussi loin que se pro-
longent cette activite humaine et cette ligne geometri-
que : jusque dans I'inepuisable infmi...

Lecaractere moral auquel se rapporle la /^^;^e coi^^'Zie,
c'est la douceur ; le caractere auquel correspond la
ligne droile, cost la rigueur.

L'unc represenle le cours de la vie pratique, toute

de necessites, de rapports
avec nos proches, nos
semblables, vie pleine de
menagements pour au-
trui, de concessions reci-
proques, de condescen-
dance mutuelle.
L'autrc represenle la vie theorique, I'id^al, I'lDEE

60 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIOIIES

hardie, independante, absojiie! A nsi que I'idee, la
ligne droite part, s'elance comme une fleche sans frein
dans une carri^re'sans terme. Nulle clrconstancene
modifie son inflexible trace, nulle complaisance ne la
fait devier dans son elan superbe... )

La ligne courbe represente la douceur, labienveil-
lance, la charite. Appuyee sur la ligne droite de I'axe,
elle la suit dans sa carriere, mais en I'enveloppant pour
en voiler la rigueur. C'estla cldmatite etlecbevrefouille
vetissantrormeau severe deleursonlacements parfumes.

Comme la charity, la ligne courbe se dcveloppe con-
ciliante, sympatbique. Elle condescend a loutes les
n^cessites de noire vie, se prete a toules les creations
arlistiques de notre imagination et se diversifie de
mille manieres pour la satisfaction de nos besoins et
le plaisir de nos yeux. A la gr^ce elle joint la force et
lafecondite. Ses revolutions produisent des solidesqui
la rappellent. Elle s'avance vers un but indique par sa
propre courbure et s'etaye de tons les rayons qu'clle
embrasse. Elle est forte de sa mesure, de son harmonic
et de sa variete ; et porte vaillamment sur ses arcsgran-
dioses les tabliers de nos ponts, les voutes de nos tun-
nels, comme elle soutient depuis des sifecles les aque-
ducs des vieilles cites romaines et les contreforls denos
antiques calhedrales.

Cdne. — Dans Tordre moral, le c6ne indique une
des meilleurcs formes quepuisse emprunter leprogres.
II ps^netre, mais sans lutte, sans dechirement. Un seul
point de contact lui suliit, une idee, une verite, il ne
lui en faut pas davantage. Le marteau ecrase, la lorche
incendie, la violence revolte et fait crier vengeance
aux pierres m6mes. Le c6ne fait tranquillementetsure-
ment sa route a travers le bois et le fer, comme le
progres fait la sienne k travers le monde.

DEFINITIONS ET DENOMINATIONS 61

Cylindre. — Le cylindre, modele sur la base du cone,
vient apres lui comme pour soutenir ce qui a eteetabli
et perfectionner ce qui a besoin de I'etre. Debout, le
cylindre fournit les colonnes aux edifices, le piedestal
aux morts, la vis d'Arcliimede aux vivanls.

Couche, tanlOt il lamine les metaux, empierre les
routes, broie le cacao, glace le papier, lustre lesetoITes;
tan tot, canal sur et economique, il se prolonge sous le
pavedes rues pour distrlbueraux habitations, la lumierc,
I'eau, la chaleur ; ou se dresse dans les airs pour con-
duire et porter loin de nous les gaz infects, la fumee
noire.

Le cylindre, c'est encore lefifre aux notes agiles, la
flute aux doux sons,, la flute de Pan, les cordes de la
harpe, les tuyaux de I'orgue majestueux.

La geometrie a FAcademie frangaise (Dictionnaire

de TAcademie, 7^ ed., 1877).

On va voir que le dictionnaire de I'Academie ne brille, en ce qui
concerne les termes de geometrie, ni par la precision ni par la
rigueur.

Ligne. — Trait simple, consider(5 comme n'ayant ni
largeur ni profondeur.

Trait. — Ligne qu'on trace avec la plume.

Surface. — Superficie, I'exterieur, le dehors d'un
corps.

Superficie. — La surface ou I'etendue d'un corps
solide, considere quant a sa longueur et a sa largeur,
sans egard a sa profondeur, a son epaisseur.

Volume. — L'etendue, la grosseurd'une masse, d'un
corps, d'un paquet.

Angle. — Ouverture de deux lignes qui se rencon-
trent en un point, inclinaison qu'elles ont Tune sur
I'autre.

62 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

Inclinaison. — Exprime en mathematiques la relation
d'obliquite (?)

OhliquiU. — Inclinaison d'une ligne ou d'une sur-
face sur I'aulre.

Convexe. — Se dit, par opposition a concave, d'une
surface bombee sph^riquenient.

On ne voit pas pourquoi la surface doit 6tre spherique.

Bomber. — Rendre convexe.

Concave. — Se dit, par opposition a convexe, d'une
surface creus^e spheriquement.

Paratlelogramme. — Quadrilatere dont les c6tds
opposes sont egaux et paralleles.

Definition surabondante ; il sufiit que deux c6tes opposes soient
egaux et paralleles.

La 6« edition du dictionnaire definissait ainsi le parallelo-
gramme : Figure plane dont les cotes opposes sont paralleles. Tous
les polygenes reguliers d'un nombre pair de cotes sont compris
■dans cette derniere definition.

Carre'. — Se dit d'une surface plane qui a quatre
cotes et quatre angles droits.

« Surface plane » et « polygone » sont synonymes en langage
academique. 11 en resulte aussi que tous les rectangles seraient
en meme temps des carres, car on a omis de dire que les quatre
cotes doivent etre egaux.

Arc. — En termes de geometrie, signifie une portion
quelconque du cercle lorsqu'elle est moindre que sa
moilie.

On confond ici les mots « cercle » et « circonference » ; la
restriction « lorsqu'elle est moindre que sa moitie » est d'ailleurs
"contraire a ce qui est admis en geometrie.

Cylindre. — Corps de figure longue et ronde et
d'egale grosseur partout.

Celte definition se passe de commentaiies.

Geometrie Nouvelle humoristico-intuitive,
par H. Baron (Angers, 1893).

Figures 4gales. Figures semblables. Figures ^quivalentes.

Triangle Polygenes

scalane, convexe. concave

CHAPITRE II

THEOREME DE PYTHAGORE

Le carr6 de I'hvpot^nnse •
Est egal, si je ue m'abuse
A la somme des carr6s
CoDstruits sur les autres cbtis-
Fr. NoHAiN.

Celle fampuse proposition a requ les denominations
les plus diverses : tMoreme de la maridc chez les Grecs,
chaise de lamariee chez les Hindous, figure de I'epou-
se'e chez les Persans('), invention dignc d'une hecatombe
et maitre de la mathematique au Moyen age, pont aux
dnes chez les collegiens d'aujourdliui, theoreme ducarre
de I'hypotenuse et enfin theoreme de Pythagore.

C'est aussi la proposition dont on a donn6 le plus
de demonstrations; ces dernieres se reduisentd'ailleurs
^ un nombre assez reslreint de types reelleraent dis-
tincts, si Ton ne tient pas compte des cas de figure
differents, ce que nous ferons en general. La solu-
tion etant donnee pour un cas de figure determind,.
on Tadapteia sans dilliculte aux autres cas, comme
nous le montrerons pour la solution d'Euclide. Nous
rejetterons d'ailleurs les d(§monstrations detournees
dont on trouve quelques exemples dans les auteurs qui
se sont occup^s specialement de la question. Enfin

(*) Le theoreme reciproque porte chez les Persans le nom de « soeur
de r^pousee ». .

TllEOr.liMli DE PYTHAGORE

nous indiquerons, pour cliaque solution, Fouvrage le
plus ancien ou nous I'avons rencontree.

Notations. — Dans ce qui va suivre nous designe-
rons par ABC le triangle considere, rectangle en A.
Afin de simplifier I'ecriture, nous representerons par
«^, b^ etcMes carres construitssur Thypotenuse aet sur
les c6tes b e,i c (b <Cc), par lesigne = I'egalite dedeux
figures superposables, c'est-a-dire non seulement egales
en aire, mais encore en elements, et enfin par le signe
:s I'equivalence de deux figures ayant meme aire.

§ i. — Historique.

Sur le triangle 3, 4, 5. — On sait que le triangle
dont les cotes sont egaux respectivementa 3, 4, Suniles
de longueur est rectangle, car 3^+4^= 5^ Ce triangle
a joue un grand role dans I'antiquite, oii on lui allri-
buait un caractere en quel que sorte sacre. Chez les
Grecs, il parait avoir etc considere commele symbole
du mariage ; Platon Ta fait entrer dans la composition
de son celebre nomhre nuptial.

Plutarque (Sur Isis et Osiris, l'^'' s.)le denomme « le
plus beau des triangles » et rapporte que c'est & lui
que lesEgyptiensassirnllaicnt « la nature de Funivers '^.
Parmi les proprieles enuincreos par Fecrivain grec, il
nous su!Iira de citer les sulvantes : « 3 est le premier
nombre impair (Funite n'etait pas alors considerec
comme un nombre), 4 est le carre du premier nombro
pair 2, et 5 est la sommc de 3 et de 2 ; Ic carre de o
donne le nombre des lettres de I'alphabet egyptien et
cului des annees que vivait le boeuf Apis. » On pent
ajouler que Fairc de ce triangle est 6, nombre enticr
qui suit 5, et que le cube do cette aire est egal a la
somme des cubes des cote's : 6^ = 3^-1- 4'M-Sl

FouRREY. — Curios, ae'om. o

66 DBS DEFINITIONS ET DtlMONSTlUTIONS GEOiMETUlQUES

Nous avons vu (Introd. , §§ 1 et 4) que les harpedonaptes
^gypliens el les pr6tres hindous se servaient du trian-
gle 3, 4, 5 pourelever sur le terrain uneperpendiculaire
a une droile. Celle propriety elait egaleinent connue
des Chinois, car elle est signak'e dans le Tclieuu-pei
(Lmuod., ^1).

L'aulenr du theoreiiie general est-il Pythadone? —

Maisde cello remaique que dans le triangle 3, 4, 5 la
somrae des canes des deux coUls eslegale aucarre de
I'hypotenuse, il leslait un pas considerable a Iranchir
pour decouvrir et prouver que celle propridle s'elend
k un triangle reclangle quelconque. 11 parait hers
de conteste que celle conception est due a Pylhagore,
car elleconstilue la base de sesreclierchesgeoiuetriques
et arilhnietiques.

Toulefois, celle question d'attribution au c^lebre
philosophe grec a ele Tobjet de nombreuses discus-
sions; sur la decouverte du thdoreme iui-menie est
venue en effet se grelTer une legende relative a un sacri-
fice de Pylhagore a ce sujet,et celle legende a ele fort
controversee.

La premiere mention qui en ait ete faite se trouve
dans rArchiteclure de Vitruve (1" s.), oia Tauteur latin,
apres avoir rappelelapiopri6tedu triangle 3, 4, 5 d'etre
reclangle, conclut ainsi : « Quand Pylhagore eut fait
cette decouverte, ii ne doula pas qu'elle ne lui eut ^16
inspiree par les Muses, etTondit qu'en action de graces
il leur fit un sacrifice. »

PiutarqUe(l"s.)rapporte les vers suivantsd'un logis-
licien du nom d'Apollodore, vers qui sont peul-elre
Toriginc de la version de Yilruve :

Pylhagore inventant la celebre figure

Offrit une victime et rendit grdce aux dieux.

Cependant, on ne reconnait pas dans ces vers, d'une.

THEOREME DE PYTHAGORE &7

fagon precise, le theoreme qui nous occupe. Diog^ne
Laerce (3* s.) reproduit les vers d'Apollodore, en
mentionnant non plus une seule victime, mais une
hecatombe.

Citons mainlenant Proclus (5* s.) : « Si Ton dcoule
ceux qui veulentraconterrhistoire des anciens lemps, on
peut en trouver qui attribuenlce theoreme a Pythagore
et lui font sacritier unba3uf apres sa decouverte. »

Mais d'un autre cote, les auteurs antiques sont a pen
pres unaniines a reconnaitre que les Pjthagoricicns se
refusaient a repandre le sang, ce qui conduit Ciceron a
douter de la veracile de la legende.

Un ecrivain grec du 3* s., Porphyre, va nous per-
mettre de concilier ces temoignages contradictoires.
Apres avoir rappele que Fusage etait chez les i*ylliago-
riciens de donner en offrande des pains, des gattuuix,
de Tencens, de la myrrlie, mais jamais d'aniniaux, il
ajoute : « Les auteurs les plus dignes de foi disent
qu'il (Pytliagore) offril un boeuf de pate de frouw.iU
apres avoir deeouvert que le carre de I'hypotenuse est
egal a ceux des deux aulres cote's. »

En resume, comme Fa dit A. J. H. Vincent, celle
lauieuse hecatombe sur laquelle on a fait lant de

commenlaires se reduirait a un boiuf de pain

d'epice

Quelle a et6 la demonstration de Pytliagore? —

La demonstration la plus ancienne qui soit connue du
theoreme du carre de I'hypotenuse, et qui est encore
la plus repandue, est celle qui est contenue dans les
Elements d'Euclide ; mais suivant le rapport formel de
Proclus, die est due au geometre alcxandrin.

11 est assez difficile de conjecturer quelle a pu elre
la demonstration employee par Pythagore. Nwis don-
nons plus loin (§ 3, X) Fessai de restitution qui en a.

68 DES nf^FINITlONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIOHES

€le fait par Hretschneider et qui repose siir la reprd-
scnlalion geometrique do la formule

(/) -h cf = //^ -I- 2/;r -h c\

Selon M. Paul Tannery, la g-eometrie de Pythagore
elait assez avancee pour qu'il put faire ceile denions-
Iration au moyen des triangles semhlabies. D'apres

M. Cantor enfin, on de-
vait, pour etablir la
proposition, dislinguer
un grand nombre de cas
particuliers, comme on
le faisait a la meme
epoque pour d'autres
theoremes iraportanls ;
on partait vraisembla-
blement du triangle rec-
tangle isocele. Dans ce
dernier cas, la demons-
tration est immediate;
■on voit en effet, en menant les diagonales indiquees
sur la figure ci-dessus, que le carre de I'hypotenuse
pent 6tre partage en 4 triangles rectangles egaux au
triangle donne ABC, et les carres des cot^s chacun en
2 de ces niemes triangles.

BIBLIOGRAPHIE.

J. J. I. Hoffmann. — Der Pythagordische Lekrsatz mil 32 thrils hcknnnten,

Ihei's neuen Beweisen. Mayence, 1821.
A. J. H. Vincent. — Lettre sur le theoreme de Pylhafjore. Nouv. Ann.

Matliem., 1832.
BiiETscHNEiDEn. — Die Geometric nnd die Geometer vor Euklides. Leipzig,

1870, gr. in-8».
J. WippER. — Sechsundvierzig Beweisc des Pytkagordischen Lehrsalzet.

Leipzig, 1880, brocl). in-8».

TIllvOllKMK DE inTHACOaE 69

§ 2. — Demonstrations bas6es sur I'^quivalence
des figures.

I

Elements d'KcnunE. Livre I, 47 (3« s. av. .I.-C).

On pout envisager huit cas de figure, selon que les
Carres construils sur les cotes du triangle ABC recou-
vrent on non ce triangle, ce que nous exprimerons,
pour abreger, en disant que ces carres sonl inl^rieurs
on ext«jrieurs a ABC :

1" f/\ If et c} extdrieurs;

2" a^ et // oxterieurs, c^ interieur;

3" "Tz'^et <?^ exlerieurs, ^Mnterieur;

4" or extei'ieur, h^ et c^ inferieurs ;

5" a' interieur, />' etc- exterieurs ;

6" d^ et // intericurs, c^ exlerieur ;

7" d^ et c' intericurs, h^ ext^rieur ;

8" rt^ b- el c^ interieurs.

1" Cas {fi(j. ci). — C'est le cas de figure envisage? par
Euclidc ; nous ne ferons qu'esquisser la demonslration
d'aillcurs classique.

Menons AK parallele h CD, tracons AD, IB. On a
iri. ACD = Iri. ICB comme ayant CI = CA, CB = CD
ct lCBrtrA(^L). On voit aiseraent d'autre part que
tri. ICB = 1/2 carre: b- et tri. CAD = 1/2 rcct. Civ;
done reel. Civ =: 6*. De meme rect. BIv=:c^, et enfin,
puisijue reel. ClvH-rect. BK =: a', «- = />- -f-c^

2" Cas Qhf. li). — On a encore rect. CK =: b^.
Pour monlrer que rcct. BIv=:6% remarquons d'a-
bord que OF passe par E, car si Ton joint F k E,
tri. BFE = tri. ABC comme ayant un angle egal (cutes

70 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS CtoM^RIQUES

pcrpendiculaij:es) conipris entre c6tes egaux; doncBFE

G

est rectangle en F et (IFE est unc droite. On a
rect. BK=:2 Iri. ABE = c\

3* Cas (Jiq. c). — La demons! ration est tout a fait
analogue a la precedente : b- y remplace c^, et inverse-
men t.

THEOIiEME DE PYTHAGORE

71

4* Cas (/?^. cl). — HI passe par 13 et GF par E (voir
2" cas). Pour monlrer que rect. CK :^6^ et rect. BK:=:c*,
on procedera comme on Ta fait pour la secoude deces
relations dans Ic 2'' cas.

Fi''. e.

Fig. f.

5" Cas (Jig. e). — III passe par D et GF par E (voir
2* cas). On a rect. CK=:2 tn.CAD=:6'^; de meme,
rect. BK ^2 tri.BAE=:c%

D K

Fig- ^•

6*CAs(y?^./).— Onatri. CAD =tri. GIB comme ayant
un angle (cotes perpendiculaires) compris entre cot^s
6gaux; mais tri. CAD = 1/2 rect. GK, tri. CIB=:l/2^»;

72 DES DEFINITIONS ET DlllMONSTKATlONS CEOMI^.THIQUES

done rect. CK:^b^. La relation reel. BK^ic" se piouve
comme au o" cas.

7* Cas (/((7. ff). — HI passe par D (voir 4" cas) ;
rect. CK=:2 tri.CAD^/>^ U'uiitre part, tri.AEB =
tri.FCB ; rnais Iri. AEB:= 1/2 rect. BK, tri. FCB^ 1/26-;
done rect. Blv =:c^

8" Cas {/i(j. A). — On ddmonlre comme aux 6* et
7* cas les relations rect. CK :^b^ et rect. BK:^c^

II

Nassir El) Din. — Edition arabe des Elements d'Euclide.

Rome, 4594, in fol.
Demonstration souvenl reproduite, a quelques changements pres;

on la trouve nolaminent dans la Qeometrie d'AMior, Paris,

4850, in S-'.

Nassir-ed-Din considere huit cas de figure; nous

nous contenlerons de
traiter le cas ou aiicun
des Carres ne recouvre
le triangle.

Soit L le point de
rencontre de FG et
HI; |Oignons A a L et
abaissons AK perpen-
diciilaire sur DE. On a
tri. LGA = tri. ABC
comme ay ant les deux
cotes de Tangle droit
egaux ; done LA = BC,
CAL=ABC==CAJet
L.V.I K. est une ligne
droile.
Piolongeons DC juc-
qu'a sa rencontre D' avecIH. On a parall. ACD'L=:6-,
comme ayant mejne baseCA et meme hauteur CI. On

TH#.0I5H:MK de pytiiagoue

73

aaussi parall. ACD'L:3:recl.CK comme ayant m^me

baseLA = BC = CDet
meme hauteur CJ;
douc rect. CK=:l'>^ De
nicrne, si Ton pro-
longe EB jiisqu'en E' h
sa renconlre avec FG,
on aparall. ABE'L=:a"
et, parall. ABE'L:-
rect. BK; par suite rect.
BKz=a',etc^=:«'^4-^'.
On peut remarquer
qncCD'r=BE'=CB,
puisque Iri. ID'C =
trj. ABCrrrtri.FBE'; par suite le rectangle BCD'E' est
le carre construit sur I'hypotenuse, si Ton suppose que
a' recouvre ABC; oji a done la figure 6 un peu plus
simple que la precedente.

Variante (J. .1. I. Hoffmann, 1821). — Les lignes Ira-
c6es 6tant les memes que dans la demonstration pre-
cedente {/ig. a et h), on prolonge CD jusqu'a sa ren-
conlre en M avec FG. On a commc ci-dessus parall.
AGD'L = fr et parall. ANML:= parall. ACD'L -: /r;
d'aulre part parall. ABE'L=:c'. Ainsi parall. BNME'
:^b^-{-c^, el puisque parall. BNME'r^a^ comme ayant
des bases egales LA = BG = GD et meme hauteur BG,
on en deduit a^ =:: b'^ -\- c\

III

TicMPEMioFF. — Anfangsgriinden der Geomeirie. Herlin,

176!).
Teuqueim. — Nouveau manuel de geometrie (Collection

Roret). Paris, 4838, in-lS.

On construit sur DE un triangle rectangle ZDE egal

14

DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS CtoMETRIQUES

H.^'-

ces
lignes

k ABC, mais dans une position renversee. On mene

AZ, HG, Al et AF;
deux dernieres
forment une
droite continue, car la
somme des angles en
A silues d'un meme
cAtc de lAF est egale a
2 droits. D'autre part,
le triangle AGH est
egal a ABC.

Les hexagones

CIHGFB et CABEZD

sont egaiix, car ils

sontconstitues par des

\^ \ / quadrilalores egaux,

"^^' IHGF et ACDZ, ICBF

et ZEBA ; on a en efFet,

parexem pie, quad r. IHGF=qiiadr. ACDZ, car 1H = AG,

HG=:CD, GF=DZ, IHG^ACD, HGF=:CDZ.

Or si de chacun des hexagones consideres plus haul,
nous retranchons deux fois la surface du triangle ABC,
nous obtenons respectivement A'-f-i" et a\ On a done

a- :h: 0' -{- c\

^. ,

IV

J.J. I. Hoffmann. — "Der Pythagoraische Lebrsatz.

Mayence, \SM.

Menons les perpendiculaires BF = AB a BA en B,
CI = AC ^CAen C, BE = BCaBC en B : lAF est une
•droite. Les deux quadrilatSres IFBC et ABEC sont dqui-

THEOKEME DF. PVTHAGORE

75

valents ; en eflet, en decomposant par ^ne diag-orwile

chacun en deux tri-
angles, on a d'abord

tri. CBF = tri. AHE

com me ayant un an-
gle (>gal en B com-
pris enlre c6tes
Ǥgaux.

On pent ecrire en-
suite

tri. ICF-rtrl. ACE,

car ces deux triangles
ont d( s bases dgales
IC=rCA ct des hauleursegales BF + CA et G'F' + F'E.
Par suite

quadr. IFBC-:quadr. ABEC.

Si Ton retranche de chacun de ces deux quadn'lat^
resle triangle ABC, les restes obtenus sent Equivalents,
c'est-a-dire qu'on a

i/2a^=1/2A^-|-l/2c«,

d'ovi (T =: b- -\- cK

Oscar Werner. — Archiv d. Math, und Pbysik

(Grunerl), 1855.

Menons IZ parallelc a BC et les perpendiculaires
CX et AJ a BC. On a

6^' = parall.IZBC = BCxCX.

76 DES DEFIMTIOXS ET DEMONSXnATIOXS GEOMETP.IOUES

Mais I'egalite des triangles IGX et CJA donne

a CX=CJ;

done

On a de meme

c-i-BCxBJ. ■
Ajoulant membre a raem-
bre, il vient

h'-hc"-^ BC (CJ -!- BJ) = BC >< BC = a\

VI

P. Fadre. — Journal de Math. elem. (Viiilcr(), 4888.

Par A menons AQ dgale et parallele a DC. Dans le
parallelogrammc ABEQ, la hau-
teur BZ est egale a la base QE,
car les deux triangles rectangles
QED et ZBE sont egaux. Done

c--:parall.ABEQ;
de m6me

6-=:parall. ACDQ;
d'oii

<^- + c2=:pcntag.CBEQD

4- In. ABC
:= pen lag. CBEQD -'- Iri. QED,

car les triangles ABC et QED sont egaux.
On a enlin

A--+-c--:carreCBED=«-.

THEOHEME DE PYTHAGORE

77

VII

Renan. — Revue scientiflque, 1880.

Menons IB et CF ; abaissons de C et de B sur IB et

CF des perpendicu-
laires ; elles se rencon-
trent en uu point de la
peipendiculaire AJ a
CB. En ellct, R etant
par t;xen»ple le point
ou la perpendiculaire
en C rencontre AJ, on
voit que les triangles
ICB et CAR sont
egaux, comme etant
equiangles et ayant
10 = AC; par suite AR^BC. De la raeme fagon, si R'
est le point oii la perpendiculaire en B rencontre AJ,
les triangles FBC et BAR' sont egaux et AR' = BC.
Les deux points R et R' se confondent done.

Celapose, on a

Iri. CAR = Iri. ICB - ~ b\ tri. BAR = tri. FBC - ^ c\

done tri. CAR -[- lii. BAR ^-{b'-\- c') .

D'autre part,
tri. CAR H- tri. BAR

3:'^-(JC-I-JB) = ^XBC=^.

On a done

a--:6--hc2.

78

DES DEFUSITIOMS ET DEMONSTRATIONS GiOMCTRlQUES

VlII

Demonstration inedite communfquee par M. Piton-
JBressant, a Villeneuve-Saint-Georges.

Soient Z, Y et X les centres des carres a-, b- et c^

* AX est une ligne droite, car

les angles en A situds au-dessous

de celte ligne ont une somme

egale a deux droits.

De plus, AZ est parallele a
BX, car le quadrilatere ABZG est
inscriptible,etcomme BZ = CZ,
AZ est bissectrice de A ; par suite
BAZ r:= 45" et

XAZ = ldr. =AXB.

On a maintenant AZ = BX-f-CY. Abaissons en efTet
les perpendiculaires BV et CU sur AZ ; on obtient ainsi
les carres AUCY et AVBX. Les triangles rectangles
^gaux VBZ et UZG donnent UZ = BV = BX, et comme
AU = CY, AZ = UZ + AU==BX + CY.

Enfm, les quadrilateres ABZG et YXBG sont dquiva-^
lents, car on a

quadr. ABZG = ^ X (GU + BY) =. ^ x YX ,

quadr. YXBG:

BX

±CY^YX.= ^XYX.

2 2

Si Ton retranche de chacun de ces quadrilateres leur
partie commune ABG, les restes obtenus seront encore
equivalents, c'esl-a-dire qu'on aura

tri. BGZ -: tri. AYG + tri. AXB,
4 tri. BGZ -: 4 tri. AYG + 4 tri. AXB.

TH^OREME DE PYTHAGORE

79

Remarque. — On a done cette proprietd remarquable
qui, a notre connaissance, n'a pas encore ete signaller
La droite joignant le sommet de I'angle droit d'un
triangle rectangle au centre du carre de I'hypotenuse
es' la somme des droites qui joignent chacun des deux
aulres sommels au centre du carve adjacent.

IX

Autre demonstration
communiquee par M. Piton-Bressant.

La figure a la mSme disposition que dans la solu-
tion piecedente; on mene AJ perpendiculaire sur CB,
puis YJ, YZ. AZ est parallele a YC ; done

tri.AYC = tri.ZYG.

(1)

D'autre part, dans le quadrilatere inscriptible AYCJ,
on a Ji = J2 = 45" puisque YA = YC ; par suile Jj rr= Ci
et YJ est parallele a CZ ; done

tri.ZYC=:tri. CJZ. (2)

Rapprochant (1) de (2), on en
tire

tri. AYG=:tri.CJZ.

On Irouverait de meme que

tri. AXB=:tri.BJZ,

d'ou

et enfin

tri. AYC + tri. AXB -: Iri. BCZ

80

DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOME'tRIQUES

^ 3. — Demonstrations par transposition
d'elements.

Demonstration de Pythagore, d'apres Dretsccneider.

Simpson (trad, de I'anglais). - Elements de Geometrie.
Pans, 1766.

Considerons le carr^ construit sur 5 + c : 11 surpasse
la somme d- et c- de deux rectangles ayant chacun pour
aire be (fit/, a).

\

\

\

\

\

)!)^

c

\

\

\

\

\

\

A.

s

\

N. ,

b^

^d^

N

•^

S

X

V

li

c

Fig. a.

0 U

z

B

Y

be

2 /

be

\ 2

hi

2

\/

2

D

FiK. 6.

X

Ces deux rectangles, partages cliacim au moyen
d'unediagonale, donnent4 triangles egaux d'aire — ; ces

4 triangles, disposes comme I'indique la fig. />, ferment
avec leurs cotes un carre de cole 6 + c, et avoc leur
hypotenuse un autre carre de cdte a : le premier sur-
passe le second de I'aire des 4 triangles consideres, et il
en resulle qu'on a bien

b--\-e-^a\

THliORtME DE PYTIIAGORE 81

Variantes : 1° J. Wipper. d'apres lIuBEnx (1762), — Sechs.
Be^Ar. d. JPytb. Lehrs. Leipzig, 1880.

• En admettant coniiue la foiTiiiile

• (A + ,)^_4.|^.6-'+c% (1)

on pent employer la fig. <6^seulement ; cette dernierc
doune en eff'et

oil, d'apres (1), b-~r-c- = a-.

[La fig, a donne d'ailleurs uue demonstration geo-
metrique de la formulc (1).J

2° (fig. c) H. BoAD. — Geometry. Lnndres, 1733.

J. Delboeuf. — JProlegomeiies philoscpbiques de la

geometrie. Liege ct I*aris, ISGO, in-8°.

Cette variante revient h. reunir les fig. a et 6 en une
seule ; la demonstration est la meme que celle dc
Bretschneider. On pounait d'ailleurs considerer 8 cas
de figure commepoiir la .solution d'Euclide.

3" (Ji.q. d). — Pbilosophieal Transactions. Londres, 1683

La demonstration est au fond la meme que la prece-
dente, mais la disposition de la figure est un pen ditfe-
renlc.

L'aire du pentagone CBFLI surpasse b^-\-c- de 3
triangles egaux a. ABC; Taire du pentagone DEYAU,
cgal au precedent, surpasse or de la meme quantile.
Done /»■ 4- c" :^ «-.

FouuREY. — Curios, geom. <>

82 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOME'tIUQUES

On pourrait dc ineme considerer 7 aiitres cas. Celui

Fig. c.

Fig. d.

donnantla figure la plus simple correspondrait a 6' et c*
exlerieurs et a a^ inlerieur.

XI

Bhassara. — Vija Ganita (42" s).

L'auleur hindoii juxtapose 4 triangles egaux a ABC,
f) J. com me Tindique la figure a ; leurs hy-

potenuses forment ainsi le carr^ CE de
cote a et leurs longs c6t6s donnent le
carre interieur AY de c6te c — b.
Bhaskara se contente ensuite de dire :
« Voyez ! »
11 admet implicitement la formule

, (^c-Oy-h^^-^O'-hcK (1)

Fi^. a.

THEOREME DE PYTHAGORE

83

A^-^-c >G

[II ddmonlre geometriquemenl, un pen plus loin, la
foi mule (c — by = (c-\- bf — 46c, qui se ramene iinin6-
dialement a la preccdenlc]

La figure a monlranl que

{c-by-^',^^:^a\
on a bicn en efTet b'^-\-c^:^a^.

Variantes: 1" On pout se dispenser de I'usage de la

formu]e(l), en employant un procddd analogue l\ celui

de Brctsclmeider, ce qui reviendra en somme a demon-

Irer gcomdtriquement celle forraule.

Considerons le carre BZ construit sur c — 6; si nous

lui accolons, ainsi qu'il est

indique sur la lig. 6, les car-

I'es I A ou b- et BG ou c^ nous

voyons qu'on pent considdrer

la somme des carres b^ et c^

comrne equivalente a celle du

carr6 BZ d'aire (c — by et

des deux rectangles IX et XF

ayant chacun pour aire be,

c'est le resultat traduit par la formule (1).

Ces deux rectangles partages chacun par une diago-

be
nale donnent 4 Iriangies rectangles egaux d'aire — ;

ceux-ci, disposes aulour du carre BZ ou (c — 6)^comme
le montre la figure a, i'ormenl iin carre de cote a. On a
done bien

6- + c- =: d\

2° Sauveur, rcvu par Le Blond. — Geometrie elementaire et
pratique. Paris, 1753, in- 4".

b -F

Fig. 6.

Cette demonstration est la memeau fond que la pre-

84 DBS D^FENITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOM^TRIQUES

cedente, mais elle est presentee d'une maniere plus
simple : la fig. c est la reunion des fig. a et h.

A I'aide do 4 triangles egaux a ABC, construisons

les Carres CE ou c^ et AY
on (Ji — cy et placons deux
do ces memes triangles en
CUD et DSE ; supposons en-
lin Ali prolonge jusqu'i\ sa
re neon tic en T avec UD.
UDS est une ligne droile,
IIA le carr6 6' et TE le
carre c'-.

On voit immediatement
que le carrd d^ d'une part, la
somme des carres W et c- d'autre part, se composent
du carre AY et de 4 triangles egaux a ABC.

Fie. e.

3" On pent encore proceder comme suit: UV est le
rectangle construit sur c-f-i et c — b\ achevons le rec-
tangle UG de cotes c-{-l) etc.

Si Ton ajoute au rectangle UV Ics carres lA et ZG

d'aire//', on obticnt la parlie
ombree de la fig. d qui
est equivalente a b^-{-c-\
car si Ton transporte le rec-
tangle UC en CX, on ob-
lient une ligure formee tie 2
carres lA ou h- et BG ou c"..
[C'esl la traduction geo-
melrique de la ioimule

Decomposons maintenant par une diagonale les deux
rectangles UA et YG de la parlie ombree el disposons-
Ics autour du carre BZ comme dans la iig. a\ on
obticnt precisement a\

THEOREME DE PYTHAGORE

85

AInsi la partie ombree est equivalente d'une part ^
d^'-\-c\ et d'aulrc part a a^.

XH

A Marre, d'apres I'ouvrago Sanscrit « Youcti Bacna ». —
Buhetino di hihliog. (Pioncompagni), lome XX, 1S87.

RouciiE et HE CoMBERoussE. — Traite de Geometrie, (>« edit.,
Paris, 1891, 2 vol. in-8".

On construit les carres CE et AF sur BC et AB; on
sait (§ 2, I, o" Cas) que E se Irouve sur GF. Menons

par D les paralleles DP a
GF et DH a AG ; DH ren-
contre le prolongement de
GF en H. La figure DHGP
est un carre de cote h, car
les deux triangles PCD et
II ED, egaux a ABC, don-
nentDP=:DH = A.

Deslors, si Ton enleve les
deux triangles ABC et PCD
qui, avcc le pentagone om-
bre APDEB, consllluent a^, pour les disposer en HED
et FBE, on forme avee ces deux triangles et le penta-
gone un polygone Al'DllFB qui est la somme des
carres 6- el C',

XIII

P. J. N. P>Eir.iiENnERr.ER. — Philosophia et mathesis uni-
versa. Ilatisbonne, 1774.

Supposons a' exterieur, h- et c^ int^rieurs h ABC ;
prolongeons les c6tes de c- et A* concourant en I et F

86 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS G^OM^TRIQUES

jusqu'a leur rencontre avec le pourtour de a^. On sait
(§2,1, 4* Gas) que HI passe par D
et GF par E.

On a, en ayant egard aux nota-
tions de la ligure,

a-:~iko-\-lp-\-q. (t)

Mais 6- + c- = 2m 4- 2o

+ 2/i + 2/? + |7.

D'autre part, le triangle ABC
forme de m-\-n est egul au
triangle GBX forme de o -\-p ; on a done

2/72 -\-2n:^2o-\-2p,

et b'- -h c^ ^0 -h ^p -h q • (2)

Rapprochant (1) et (2), il vient a-:^ b--'r c^.

Variante : Du m6me auteur.

La disposition des carr^s est la meme que ci-dessus ;
seules les droites trac6es diffe-
rent. On a

a^:=:p-\- 3o-\-r-\-s,

6- + c- = 2w + 2n + 2o + r .

Or les triangles ^gaux ABC,
FBE et QED donnent

m + n:= 5 =: jt? + 0 .

II en r^sulto

d^ + C^ = (.5) + 0 + 0)

+ (2o^-r)-:a^

THEORfeME DE PYTHAGORE

87

XIV

OzANAM revu par M. de C. G. F. (Mo.mucla). — Recreations ma-
thematiques et physiques, tome I. Paris, 4778, in-8°.

J. WippER, d'apres R. Wolf (1869). — Secbs. Bew. des
rytb. Lehrs. Leipzig, 1880.

Prolongeons EB jusqu'^sa rencontre en E' avec GF,

puis DC jusqu'a son
point de concours N
avec AH et menons
E'O parall6le a BC :
on determine ainsi
5 elements m, n, o, p,
qj qui disposes d'une
autre fagon, forment le
carre a^

A cet effet, prenons
DX = DY=CN; me-
nons CX et de Y, D et
B abaissons des per-
pendiculaires YR, DT
et BS sur CX. Les
S elements ainsi constifues sont egaux aux precedents
ehacun a chacun, ainsi qu'il est facile de le montrer.

XV

Perigvl. — Messenger of Mathematics, 1873.

J. WirpER, d'apres Serebrovvsky (1877). — Secbs. Bew. des

JPyth. Lehrs. Leipzig, 1880.

Soit U le centre du carre c^. Menons par U les droites
ZVet YX, I'une parall^le etl'autreperpendiculaire^CB.

H

88 DES D^FLMTIONS liT DhMONSTRATIO.'S GtOMliTUIQLES

On pailage ainsi le carre c- en 4 quadrilaleres egaux

clont les cotes egaux
0. LZ, UX, UV et UY

ont pour valeur — ; il

suffit en cfTct cle re-
marquer que CYXB
etant lui parallelo-
giamme, YX r= CB et
UY^YX^GB,
2 2

On pent done dispo-
ser ces quadrilaleres
dans le carre a^ ou les
points III, A(,... sont
les milieux des cotes.
Xousn'avons plus mainlenant qu'a monlrer que le
rcc'angle rH'A'C' est un carre ^gal a IllAG. On a en
elTet, parexeniple,

U

\

../

/

A.

/

nJa

'/

Hk

\a'

B

<

\^

/

A'l

ci

ll'A' = ha: — A'A; = BX — AY

:Y — AY = CA.

XVI

J. Wii'PER. — Secbs. Bewr. des Pyth. Lehrs. Leipzig, 1880.

Conslniisons les deux triangles rectangles LTS et
AT'^'. On a LS= AS'. En effet, menons LA et pro!on-
gcons DC jusqu'a sa rencontre D' avec 111. On sait
(§ 2, II) que ACD'L est un parallelograinme et que
lii. lD'C = lri. ABC; par suite CD' = CB = CD.

Les triangles egaux CD'S et DCS' donnent alors
D'S = CS', et comme D'L =: CA, on en deduit LS = AS'.
Les triangles LTS et AT'S' sont done egaux. Or, si Ton

THEOREME DE PYTHAGORE 89

retranche du premier b^ et c' et du second a-, il reste
respeclivement

tri.ICS-'-tri.HLA + tn.GLA + tri.FBTH-tn.ABC

et Iri. DCS' + lri.EBT'-I-lri. ABC.

Pour demonlrer le'theoreme. il nous suffit de mon-
Irer qu'on si

tri. ICS + tri. HLA = tii. DCS',
ct Iri. GLA -h tri. FBT = tri. EBT'.

En CO qui concerne la premiere relation, par exem-
plc, juxtaposons le triangle HLA au triangle ICS de
maniere a former le triangle CD'S ; nous avons vu que
le triangle CD'S etait egal a DCS',

XVII

Demonstration inedite
comuiuiiiquee par M. Rojot, ii Lille.

Supposons a- exterieur, 6- et c- interieurs a ABC.

90

DES DEFINITIONS ET D|6mONSTRATIONS GEOMETRIQL'ES

On salt que HI passe par D et GF par E (§ 2, 1,4" Gas),
On a d'abord

c'-:rect. BK.

En effet, c- se compose du quadn'latere ombre JBFM

€l des triangles AGM et AJI3; en transportant AGM sur

son ^gal liFE, AJB sur son egal

MKE on forme, avec le quadri-

latere JBFM, le rectangle BK.

On a ensuite

^»^-:rect.CK.

11 suffit, pour le prouver, de

remarquer que (j^ est constitu6

par le triangle ombre CJiN, le

triangle AJG et le quadrilatere

AHIN. En portant AJG sur son

egal MKD, AHIN en GUN' et

enfin NIM sur son egal NTD, on forme avec le

triangle GJN le rectangle GK.

11 eu resulte

§ 4. — Demonstrations alg6briques.

XVIU

BHJtsKARA. — Vija Ganita (il" s.).
Wallis. — A Treatise of Algebra. Oxlord, 4685, in fol.

Abaissons la perpendiculaire AJ sur GB. Les Irl-

THEOREME DE PYTHAGOliE

9t

angles rectangles JAC et JBA ainsi determines, qui sont

semblables a ABC, donnent
A

CJ _AC
AC~BC

oil

AC r=CJxBC,

et

BJ AB

ou AB =rBJxBC.

(0

, (2)

AB BC ^ '

Ajoutons les relations (1) et(2) membre a membre :
AC'' -H AB' = (C J 4- B J ) BC = BC'.

Variante: R. P. Lamy. — L,es Elemens de Geometrie.
Paris, l(i85, iri-lri.

On a comme ci-dessus

Ar; = C.TxBC,
AB'=:BJxBC.

G

H

Mais
done

D K E

GJxBC-rairerect.CK,
BJxBCi-airerect. BK-
AC' + AB' -: rect. CK 4- red. BK = BC'

92

DES DtriMTlONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETUIQUES

XIX

A. Marre, d'apres le malhemalirien aveugle Saunderson (1682-
47:W). — BuUetino di Bibliog. (Boncompagni), loine XX,
1887.

CvXVo. demonslratlon tient alafois de celle de Pylha-
gore (§ 3, X) et de celle de BhAskara (§ 3, XI). On

forme les carres AZYX on
(c—b)\ DEBC ou fl^ RSTU
ou {c-\-by au moyen de
8 triangles egaux a ABC.
On a

a'-'-rCc + ^y— itri. ABC,

«-=(c — 6)--f-ilri. ABC,

d'ou

2a-:~:{c + by+{c — by.

Mais le second membre est Equivalent a 2b--\-2c^\
done

et a- b-::^-\-cK

_Z Y

A

X

XX

Bezout. — Cours de mathematiques, 2* Partie.
Paris, 1768, in-S".

Abaissons de A la perpendiculaire AJ sur BC. Les
triangles semblables JAC, JBA et ABC donnent

in. JAC _ tTK JBA _ tri . A BG
AC ~" AB' "" BC'

THEOREiME DE PYTHAfiORE 93

Une propri^t^ connue des proportions permetd'^crire
tri. JAi:4-tri. JRA tri. ABC
A ACVAIT ~~ BC'

/[ \. et comme

^— -I — ^ Iri. JAC -h Iri. JBA = tri. ABC,

AC'-|-Alr=:BC'.

XXI

J. J. [. Hoffmann. — Der Pythagoraiscbe Lebrsatz.
Alayence, 1821.

Decrlvons de C comme centre, avecCA comme rayon,
une demi-circonf^rence qui rencontre CB en Y et Z.
Une propriete bien connuc de la tangente AB h la
demi-circonference nous permet d'ecrire

•AB'=rrBYxBZ, ou
AB'^ (BC + AC) (BC — AC) ,
AB' = BC' — AG',

\ d'oii

bg'=ab'+ag'.

• XXII

J. J. I. Hoffmann. — Der Pythagoraiscbe Lebrsatz.
Mayence, 1821.

On porte sur AB, AZ = AG ; on dccril de G comme
centre, avec CZ comme rayon, une demi-circonference
qui rencontre AB en Y, CB en X et en U. La propriete

:-^- A

"94 • DES DEFINITIONS ET DEMONSTIiATIONS G^OM^TRIQUES

connue d'un couple de s^cantes a une circonference
donne ici

BZxBY = BUxBX,

ou, en ayant (Tgard aux notations dc la figure,

»i(iw + 2/y) =r «(/?. -h 2/?),

,-^r — - ^^

nr + 21)711 r=. n--{-2pn .

Or, onadansletriangle
cla
u » B (§ 0

2lr=p\

Done b--^m^-+- 2hm -}- i^ = iv -f- 2pn -f- p^^
■on b- H- (/y -h m)- — (n -|- ;?)-,

•et enfin ^- -{- c^ = a-.

XXIH

MSllmann. — Aichiv d. Math. u. PA. (Cruneil), 1831.

SoientZle centre du cercle inscrit a ABC ct ZX,
ZY, ZU les perpendicuiaires aux coles abaiissoes de Z,

tautes egales au rayon r. La
figure AUZX est un ciirre
de cote r\ on a d'aulre part,
comme on sail, BX = BY et
CY = CU.

On Irouve aisement

b-^c — a = 2r.
Par suite

(b-{-c +a) (b-hc — a) = (b-hc-i-n)2r

= 2br + 2c3' -h 2ar = 4 surf. ABC = 2<^c.

THEOREME DE PYTHAGORE

Mais on a aussi

done (J) -if- cy — (f = 2bc ,

x'est-a-dire b' -}- c" = a-.

95

XXIV

Garfielti C). — Ihe mathematical Magazine, 4882.

Elevons CD =r CB perpentliculaire a CB et abaissons

de D la perpendiculaire DZ

sur le prolongement de AC.

L'aire de chacun des tri-

,B angles egaux ABC et ZDC

be ,,
a pour expression — , cello

du triangle BCD, ^. Or,
ces trois triangles forment-

onadonc
d'ou

un trapeze d'aire

{b^cf

(b-hcy _a

2 2 2

§ 5. — Vari6tes.

Ciii'ienses propriet6s de la figure da carr^ de I'liy-
pot^nuse. — Designons par Z, X et Y les centres des

(') President des Etats-Unis, assassine en 1881.

96 DES Df,FINITlONS ET D^MONSTfJATlONS GKOMKTr.lOIIKS

Carres conslruils sur los coles du triangle rectan-
gle AliC. YAX est
une li^Mie droite
(§2,VIJl).

1" (//V/. ,/). _ AZ
est la somm.e ac BX et
tie CY. — On en
trouvera la preuve
§ 2, VIIJ.

2" (//«7. n). — Le
triangic. JiZS est
(ujtiinaient. d la som-
me des triangles CYR
et BXS (.!="' de Vui-
Fi,,„. berf, 1891).

En efiet, nous Sa-
vons (§ 2, YIII) qnc AZ csl parallele a BX et CY. On a
alors tri.CZY-rlri.CYA et tri. BZX^ Iri. BXA.

Mais tri.CZB-itri.CYA-htri.BXA;

done tri. CZB ^ Irl. CZY + tri. BZX.

Si Ton retranche de part et d'autrc la sommo
tri. CZR + trl. BZS, on obllent enlin

tri.RZS-rtri. CYR + lri. BXS.

3° (^fig. a). — Le triangle YZX est equivalent a cha-
cun des quadrilateres YXBC et ABZC. — Nous avons
vu en eflet (§ 2, VIII) que chacun de ces quadrilateres

a pour aire — xYX; c'est precisement I'aire du

triangle YZX, puisque AZ est perpendiculaire a YX
(§ 2, VIII).

4" (fig. a). — Le triangle YZX est equivalent au carre
construit sur la demi-somme des cotes de C angle droit.

THEORKME DE PYTHAGORE

AZ

97

Car Texpresslon -f^ x YX de I'aire de YZX peut
s'ecrire (1")

BX

±^xYX=r^=l/2

it'^Mr)

50 (^fig, a). —

sont equivalents.
On a en ellet

==l/4(/>+0'-
Lcs quadrilateres ABEC, ABDC, IFliC

quad. ABEG trJ. -ABC + 1/2 ft^-: quad. ABDC,
quad. IFBC-tri. ABC + l/2/^^-4-l/2c^

^"(Jlg.b).^ Les droit es AZ, BY et CX sont ks ban-

teursii u trimujleX Z X .
(Archives dedrunort,
2" serie, XIV)

On sail deja (§ 2,
Vlll) que AZ est la
hauleur relative au
sominet A.

D'autre part, les
triangles rectangles
AZX et XYB sont
eganx, car AZ ■=. XY
(§ 2, Vlll) et
XA — XB; done
AZX =: XYli. Mais
AZX =: ZXB com me

^Hernes internes; par suite, XYB =: ZXB, et comme
YX est perpendiculaire a XB, il en resulte que Y'B est
perpendiculaire sur XZ.

On montrerait de meme que CX est perpendiculaire
sur YZ.

FouRREY. — Curios, gtom. , 7

Fig. b.

98

DES DKHNITIONS KT DKMONSTHATIONS UEOMEllUgUES

On peul remarquer que «Je I'^galilodes triangles AZK
et XYH resulle IJY = ZX ; de meine CX = YZ.

7" (^^. c). — Le point dfi concnws dca medianes est le
mcmc pour les triam/tes AHC ct YZX.

Abaissons deZ sur Cli une perpeiidiciilaire qui len-
conlre Cli en R. Mcnons les medianes AH du triangle

AUGet ZT du triangle
YZX; il sutlit de
montrer que AR et
ZT sccoupent respec-
livement aux 2/3 de
leur longueur, en un
certain point U.

En ellel, la circon-
ference decrite de R
comme centre avec
RC=:RZconirne rayon
passe par A puisque
CAR est droit ; elle
rencontre YX en un
second point S. Com-
me ZAS est droit (§ 2,.
VIII), ZRS est un diametre de la circonlerence tracee qui
est perpendiculaire sur le diametre CR ; le quadrilatere
CSRZ est par suite un carre qui donne SG =: SR
Or, les deux triangles rectangles SYC et SXR sont

egaux, car SG = SR et YSC, XSR sont complemen-
taires ; done CY = AY = SX et T, milieu de YX, est aussi
milieu de AS. Ainsi AR et ZT sont deux medianes du
triangle AZS qui se coupe nt en un point U aux 2/3 de
leur longueur.'

Le triangle AZS a done aussi meme point de con-
cours des medianes que ARC et YZX.

Vh

TUEOUtMK DE I'VTllAGOliE

99

Fig. d.

^"{fig. d). —Lcsdruitcs dc la figure d'Euclide HI,

CF et la perpendicii-
laii^e A.1 concourent en
un im'nie point (.)"' dc-
Vuibort. 1879-80).

II suffit do prouver
que les perpendicu-
lairos BU et CV a CF
et BI so coupent en
un mcme point R de
A.T, car alors les droi-
tes CU, BY et \U se-
ront les hauteurs du
triangle RBC. Or, nous
avons fait cclle preuve anlerieurement (§2, YIl).

9" (Jig. e). — Les triangles AGH, BEF, GDI sont equi-
valents enlre eux eta ABG (F. J.— Exercices de geo-

melrie. Paris, 1891))-
On voitaisementque
tri. HAG=lTi.ABG
comme ayanl les co-
tes de Tangle droit
egaux.

En second lien,
DU designant la hau-
teur du triangle GDI
relative a D, on a
Iri. GLD^tri.ABG
comme ay ant GD =
. GB et les angles
en G egaux ; mais
tri.. GUD-rtri. GDI
comme ayant meme hauteur DU et des bases egales
GU=GA3=GI. Done tri. GDI- tri. ABG.

Fii

100 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

On verrait de m6me que tri. BEFznIri. ABC.

10" (Jig. e). — La somrrip. des cartes construits sur
les cdtes de I'hexagone IHGFEDI equivaul a 8 fois le carri
de fhypolenuse.

Deslgnons par e ^id les (;6les ID et FE.
Le triangle rectangle DUl donne

e- = W -+- c\

De m^me, d-=ic--{-h^.

La somme don I il s'agit a done pour expression

// + a' -\-c'-h (4c^ H- b') 4- «- -}- (4A^ -f- c')

-:2a^-f-6(6^-f-c^) 8a^\

Generalisations. — \" Si I' on construit sur les cotes
d'un triangle rectangle comme cotes homologues, des po-
lygones semhlables, le poly gone correspondant a lliypo-
lennse est la somme des polygones correspondant aux
mitres cotes (Euclide. — Elements, VI, 31. 3* s. av. J.-C).

DJsignons parM, N, P les aires des polygones sem-
hlables dont il s'agit. line pro-
position bien connue donne
M N P Nh-P

BC. AC AB AC+AB

Mais on salt, d'apres le th^orS-
me de Pythagore, que

BC'-:AGVab'.
Done M-:N-f-P.

2' Sur deuxcdies AB c^ AC d'un triangle quelconque
ABC, on construit des paralielo grammes quelconques
ABFG et ACIH ; on prolonye les cdtes FG et IH jusqu'd

THtoBEME DE PYTHAGORE 101

leur rencontre en L, on mene la droite AL et on la pro-
lom/e au de'd de BC d'line longueur Mi. = LA. Le pai^al-
leloqramme BCDE ayaw//?o?«' coth, en grandeur et en
direction, BC et JK, est equivalent a la somme des deux
precedents (Pappls. — Collections, IV. 4" siecle).

Menons par B et C des paralleles E'BE et D'CD a LK.
On a

parall. ABFG -: parall. ABEL,
parall.ACIH -ipaiall. ACD'L.

Mais on a aiissi, puisque JK = AL,

parall. ABE'L =: parall. BE KJ,
parall. ACD'L = parall. CDKJ.

Done parall. ABFG + parall. ACIIT = parall. BCDE.

Remarqles. — L'enonce de Pappus est en realite un
pen moins simple que celni que nous avons adopte. Le
geometre grec indique qu'on doit construire le paralld-
logramme BCDE sur les sefjments BC et CD faisant entre
eux en C Tangle ABC-I-ALG ; ce qui revient d'ailleurs

102 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

an m^me puisque, d'apr(is notre construction,

Si I'on applique lo procede de ddmonstralion ci-des-
sus au theor^me de Pythagore, on retombe sur la solu-
tion de Nassir-ed-Din (§ 2, II).

3" Le carre de la diagonale d'lin paralle.lepipe.de rec-
tangle est equivalent a la sotnme ctes canoes des arUtes.
(Euc.LiDE. — Elements).

Nous ne croyons pas utile de donner la d^-monstra-
tion tr^s simple de cette proposition bien connue.

4" Dans tonte ptjramide triangulaire oil trois faces sont

perpenciiculaires entre dies, le carre de la quatriemc face

est equivalent a la somme des

carres des trois premieres (D e G u a .

— Hist. Ac. desSc, 1783).

Solent S le sommet du triedre
trirecf angle, ABC la base corres-
pondanle de la pyramide. Abais-
sons la perpendiculaire SU sur
AB et menons CD.

CS elant perpendiculaire au
plan ASB, CD Test k AB d'apres letheoreme des trois
perpendiculaires.

On a alors, en appliquant le theor6me de Pythagore
aux triangles rectangles de la ligure,

Ab' X DC' = Ab' X (SdV SC')

= ab'xSd'+ab'xSg'

r= Ab' X SD V ( SA + Sb') SC';

=ab'xsd'+sa'xSg'-hsb'+scI

On a done ABC = ASB -t- ASG + BSC .

THEORf'ME DE PYTHAGORE 103

La demonstration d'Euclide par Pierre Herigone.

— Nousavons signale (Introd., § 7, 2*Periode) la tenta-
tive faite par Pierre Herigone (17* s.) pour simplilier
le langage et i'aciliter le raisonnement en geometrie a
I'aide d un mode special de notations.

Les symboles qii'il emploie a cet effet sont entre
aiitres : est, snt (sont), FT (a), Li (ou), — (droite),
=: (2 droites paralleles), < (angle quelconque), L (angle
droit), □ (carre), <> (parall^logramme quelconque),
A (triangle), 2|2 (signe de I'egalile), + (signe de I'addi-
tion), commun add. (indication de I'operation d'ajouter
une meme quantite aux deux membres d'une egalit6).

Ce proc(!'de lui a permis de reunir dans son Cours ma-
thematifjKc (1644), sous un tr^s petit volume, une grande
quantite de matiere, notamment les 15 Livres d'Euclide
en frangais et en latin.

A litre d'exemple, nous extrayonsdu tome I la demons-
tration du theoreme de Pythagore d'apr5s Euclide.

La co.onne de gauche de la demonstration indiqueles
references aux propositions, postulats et axiomes ant^-
rieurs.

Liv. I, PftOPOsiT. XLVII

Aux triangles rectangles, le quarre du coste qui sous-
tient Tangle droict, est dgal aux quarrez des costez qui
contiennent Tangle droict.

104 DES DEFIMTIOKS ET D£M0^STRAT10^S GE'oME'tKIQUES

Req. n demonstr.
D />c2;2 D (7i -I- Q ac

/■<:

\

'lyp-

< hac est J,

V^-^^ \

const]'.

< hdcf est J,

W^'

U, I CO

qac est — ,

-^^7^

y^

29d.I(')
29 (].!(•)

a6 2|2 ^/;

If

/ ^

c

W 212 be.

/

12a.l('')

< dhc 212 < fhrr.

< a/>c commun add.

/

2a.IC)

< a/W 22 < //>c,

/

4, !(«)

A ahd 2i2 A //^^, -^-

d me

41, ICO

O hlmd2 22 A ohd.

Proepar.

41, ICO

n af 2\2 2a fhc,

46, I (')

he est Q he,

6a.IC")

O himd 2:2 0 a/, [i

46, I (0

af est U «^^

f].a

A oce 2|2 A "^"Z',

46, 1 C)

ai est D ac,

cl. p

O t/»it' 2; 2 Q ai,

31, I C)

am — bd U. ce,

concl.

I, p. t C)

ad, ac, hi, cfsnt —

2a. I C)

Uhc'2\2Ui'f-\-Qac

(*) Propos. 46 du Livre I. — Decrirc un carre snr une droite donnee.

(2) — 31 — I. — Par un point donnc, conduiie une droite
parallele a une droite donnee.

(') Postulat I du Livre I. — On demande qu'on puisse conduire une
droite d'un point quelconque a un point quclconque.

(^) Propos. 14 du Livre 1. — Si a un point d'une droite, deux droites
placees de cotes diderents font avec elle deux angles consecutil's egaux
k deux droits, ces deux droites n'en ferment qu'une scule.

(») Definition 29 du Livre I. — Parmi les figures quadrilateres, celle
qui a ses cotes egaux et ses angles droits se nomme carre.

(*) Axiome 12 du Livre I. — Tous les angles droits sont egaux entre
eux.

C) Axiome 2 du Livre I. — Si a des grandeurs egales on ajoute des
grandeurs egales, les totaux seront egaux.

(8) Propos. 4 du Livre L — Deux triangles qui ontun angle egal com-
pris entre deux cotes egaux chacun a cliacun sont egaux.

(9) Propos. 41 du Livre L — Si un parallelogramme et un triangle ont
la meme base et sont compris entre les memcs paralleles, le parallelo-
gramme est double du triangle.

(10) Axiome 6 du Livre 1. — Les grandeurs qui sont doubles d'une
meme grandeur, sont Egales entre elles.

THEOKKMIi Dl' I'VIIIAGORE

105

Relations entre les polyqoties r^guliers. — Nous
supposerons les polygenes reguliers consideres inscrils
dans un m6rae cercle.

On forme un triangle rectangle :

I. En prenant comnie cotosde Tangle droit les demi-
cole's du triangle e'qnilateral et de I'hexagone regulier,
et cornme hypotenuse lecote de I'hexagone (/?y. a) ;

II. En prenant comme cotes de i'angle droit le c6te de
i'hexagone regulier et comnie hypotenuse le cote du

III. En prenant comme cotes de Tangle droit les cotes
de Thexfigone el du decagone reguliers et comme hypo-
tenuse le cote dupentagone regulier (/^(7. c) ;

lY. En prenant : 1" comme c6tes de Tangle droit le
demi-cole AH du triangle equilateral et une longueur
AC i'ormee du demi-cole AD de Thexagone regulier et
du c6te DC du decagone regulier ; 2" comme hypotenuse
le c6te du carre {fiq. d).
Toutes ces relations se demontreront aisement, parTap-
plication du thdor^me du carre de Thypolenuse, au
moyen des formules suivantes quidonnent les cotes des
polygenes reguliers inscrils dans le cercle de rayon r :

t = r y/3 , c-=zr y/2 , h = /•_,

/)=:f \/lO — 2v/o, </=rf (v/5-l).

CHAPITRE III

casse-tEte geometriques

On peut definir comme suit le casse-tete g^om^tri-
que dans son sens le pJus general : il s'agit, etant donni
un certain nombre de figures geometriques, de les de-
couper de maniere a constituer, par I'assemblage des
elements ainsi obtenus^ des figures de forme doniiee.

Comme on le verra, ce genre de questions est tr^s
ancien, mais ce n'est qu'au 19* si^cle qu'on en a trouv6
la solution generale. ^ous suivrons autant que possible
i'ordre chronologique dans notre exposition.

§ 1. — Loculus d'Archim^de (3= s. av. J.-C).

On savait, par des passages de deux auteurs latins,
Marius A ictorinus (4* s.) et Atilius Fortunatianus (6* s.),
<ju'Archimede devait avoir compose un jeu gdom6tri-
que. lis rapportent que dans ce jeu, d^nomme par eux
Loculus Arcliimedius, it s'agit, etant donne un carre
d'lvoire decoupe en \i morceaux de formes polygonales
ires differentes, de reproduire avec ces morceaux non
seulement le carre primitif^ mais aussid'autres figures.

Ausone (4* s.), dans une lettre h Paulus, mentionne
aussi ce jeu, sans cependant I'attribuer a Archimede.

CASSE-TETE GEOMETRIQUES 107

On etait toutefois sans renseignements precis a ce su-
jet lorsqu'en 1899, M. Henri Siiler, de Zurich, retrouva
une version arabe d'un livre d'Archimede sur la ques-
tion. Dans ce livre, le grand geomelre se propose de
decouper itn carre en 14 elements qui soient dans iin
rapport rationnel avec la figure enliere, qu'il appelle
« syntemachion » (assemblage de rognures). Le but
d'Archimede est done inverse de celui indique par les au-
teurs latins et, comme on pouvait s'y attendre, plus
scientifique aussi ; mais le jeu dont ils font mention
avait assurement ete inspird par le travail du savant
syracusain.

11 faut done voir la, vraisembiablement, I'origine des
casse-tete geometriques.

Le probleme comporle une infinite de solutions ;
nous ne donnerons que celle d'Archimede.

Construction. — Soient ABGD le carre
E, N, Z les milieux des cote's GB, GD et DA.

ZE, ZB, ZG et AG.

donne,

Menons

AG est

coupe respectivemen* en L et

F par ZB et ZE. Joignons B

au milieu M de AL, E au

milieu C de ZG et C ^ N. Enfin,

faisons passer par le milieu H

de BE et par A une droite

HK limitee a ZB, par H et par

le milieu T de BZ une droite

HT, par G et B une droite CO

limitee a ZG et DG.

Le carr^ ABGD est ainsi divise en 14 elements, dont

7pourlerectangleZBet7pourlerectangleZG,satisfaisant

k la coiidition imposee, ainsi que nous allons le montrer.

Valeur des elements. — Ddsignons par S I'aire du
carr^ entier.

108 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUEj

l.Rec(ang/eZG. — i°T:n.GNC:=\/^i[n.DGZ^\/iQS.

2°PiiisqueBG = 4CN, on aOCT = 40N, NG=30N;
par suite, tri. CNO = 1/3 iri. GNC = i/^S S.

3" Quad. DOCZ=:lri.DGZ~(tri. GNC + lri. CNO)

-:1/4S — (1/16 + 1/48)8=1/6 S.

4°, 5», 6° On a tri. EFQ = 1/24 S, tri. GCQ = 1/24 S
et tri. EGQ=: 1/12 S. En eflet, les triangles semblables

FCQ et GEQ donnent ^, = i/2 = ^ = l^: done

tjG E(J GQ

tri. EFQ -: 1/2 tri. EGQ -: tri. GCQ, tri. EFQ = 1/3 EFG.

Mais tri. EFG =: 1/2 tri. ZEG = 1/8 S ; done

tri. EFQ = tri. GCQ -: 1/24 S et tri. EGQ = 1/12 S.

7"Quad.FQCZ = tri.ZEC — tri. EFQih: 1/8 S — 1/24 S

=:1/12S.

II. Rectangle ZB. — 1° Tri. FZL = iri. EFQ = 1/24 S.
2° Tri. KHT-:1/48S. En effet, les triangles sem-
blables KHT et KBA donnenl — =1/2=^ — ; done

BA ' BK'

tri. KHT = 1/2 iri. BHK= 1/3 iri. BHT= 1/12 tri. ZEB

-: 1/48 S.

3" Tri. BIIK =: 2 tri. KHT = 1/21 S.

4° Tri. ALZ-:1/12 S, car les Iritrngles ALZ et EGQ
sont egaux.

5% 6" Tri. ABM = tri. LBM=:1/12S; en circt, commc
BG=:2AZ, on a BL = 2LZ et tri. LAB = 2 tri. ALZ

=: 1/6 S; done tri. ABM = tri. LBM :^\J2 tri. LAB

= 1/12 8.

7° Pentag. LFEHT = trap. ZEHT — iri. FZL
= 3/4 BEZ — iri. FZL = 3/16 S — 1/24 S = 7/48 S.

CASSE-TETE G:5vJMETmQUt.J 109

La figure ci-dessous indiqiie, en quaranle-huiliemes
de I'aire lotale, la valour des aires
partielJes.

Remahque. — La construction
et les resultats qui precedent sont
valablesponrunparallelograrame
quelconque.

Applications. — On pent se

proposer diverses questions sur

les elements de la figure du « loculus ». En voici un

exemple a titre d'indication : nous supposons les aires

^valuees en quarante-huitiemes du carre total.

Grouper les elements de cette figure de telle sorte que
les aires des nouveaux fragments obtenus soient repre-
sentees par trois nombres entiers igaux (fig. a), ou par
trois nombres entiers conscciitifs (fig. b), ou par les huit
premiers nombres entiers et le nombre 12 (fig. c).

\
\

N

1

1 /
1 /

l/\

7

\ "
6 \ ^

V\\^

/^ \^

Fig. a.

Fi-. 6.

Fig. e.

BIBLIOGRAPIIIE

H. SiJTER. — Der Loculus Archimedius Oder das Syntemachion des Archi-
medes. — Zeitschr. fiir Math. u. Phys. Leipzig, 1899.

§ 2. — Composition d'un carr6 au moyen de carr6s
6gaux. — Decomposition d'un carr6 en carr6s
6gaux.

Gdom6triquemenl, le probleme qui consists h con-

no DES DEFINITIONS KT DKMONSTUATIOiNS GKOMETUIQIJKS

stniirc Ic c6le d'un carre equivalent h pluslcurs caries
egaux est tres simple: il siiflit d'appliquer successive-
ment , autant de fois qu'il est necessaire, la construc-
tion resultant du theoreme de Pythagore.

Mais la question devient plus diflicile si Ton clierohe^
coniine nous allons le faire, a composer mate tie llement
un carre an moyen de carres elemenlaires egaux (que
constitueraient, par exemple, des carreaux ceramiques),
ceux-ci pouvant d'ailleurs elre divises en fragments.

La decomposition d'un carr^ en plusieurs carres
6gaux appelle des observations analogues.

I. Solution d'Aboul Wafa (lO-^ s.). — Ce probleme
devait etre un de ceux qui se presentaient dans les
travaux architecturaux des Arab(;s ; o'estce besoin pra-
tique qui a fourni a Auoll Wafa I'occasion de trailer
tlieoriquement la question dans son liecueil de Con-
siructio7is yeomeirique.s. 11 est en effet dit dans ce der-
nier ouvrage que le but de I'auteur est de remplacerles
proc^des defectueux des praliciens par une metbode
basee sur des principes scientifiques.

Aboul Wafa ionde sa solution sur une propridle arilb-
metique du nombre enlier n indiquant combien on con-
sid6re de carres egaux. II distingue deux cas principaux
suivant: 1" que n est un carre ou une somme de deux
carres ; 2" qu'il n'esl ni Tun ni I'autre.

1" Cas : Le nombue entier n est un

CAHKfi d- ou UNE SOiMME DE DEUX CARRES
d^ ET />-.

Composer un carre de «* carres. — Lc

cote AB du carre cher'che est egal a « ; la
Ad

figure d donne la construction pour

Fig. d. ^2^3,^

^6composer un carri en cl- carres. — II sufTit de divi-

D'

C

\

\

\

D'

CASSE-TtTb GEOMETIUQL'ES HI

ser deux c6Ms consecutifs AB et BCdu carreen a parties

cg^ales et de mener des pa-
ralleles a ces cotes par les
points de division ; on
voit {/uj. d) la construc-
tion pour «' = 3'.

Composer un carre de 2a*
carrcs. — Al'aidedu pro-
bleme pre'cedcnl, on com-
pose d'abord deux car-
res ABCD et A'B'C'D' con-
stitues chacun par «- car-
res eiemenlalres (fig. e).
On partaj^e en suite
chacun des deux carres
ainsi formes au moyen
d'une diagonale, et on assemble les cjuatre triangles
B c B' c' rectangles ainsi obtenus de

telle sorle queleurs sonimets
d'angle droit soient reunis
enun mSme point 0 : ils don-
nent alors un carre EFGH.

Decomposer un carre en
'^d^ carrcs cgaux. — Solution
inverse de la precedente;
les triangles rectangles iso-
c6les formes le long du ponr-
tour du carre EFGH etant
assembles deux par deux,
donneront des elements car-
res (ficj, e).

Composer un carre dc
d^-\-b^ carres egaiix (a^ b)^
— On forme (fig. /) deux rectangles ABGD et A'B'G'D'

Fig. A

112 UES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GtoMETRIQUES

(lont les cdtes sont egaiix k a et f) fois le c6t^ du carr^
elemenlaire, pais on divise chacun d'eux par une
diagonale en deux triangles reclang^les dont Thypotenuse
est le c6te du carrd cherch^.

En disposant ces triangles comme il est indiqu^,
on obtient le carre EFGH ; nous avons suppose sur la
figure a = ^, 6 = 3. Ce procede est base sur la relation

Le carre entier a^-\-h^ (EFGH) est formd do 4 trian-
gles d'aire — (EE'F, FF'G, ...) etd'un carre cenlral de

c6l6 a — b (E'F'G'H').

Decomposer iin carre en a^-^b^ carres ^.qaux (a'>h).
— La construction est inverse de la precedenle ; elle

est basee sur ce fait que
dans la figure /, les lignes
de division partagent les
cotes du carre en « =: 5
parties egales ; car EE', par
exemple, se trouvant di-
vise en 5 parties egales,
il en est de mt^me de EF.
Soil done un carre IJKL
(fig. fj) ; on divise ses c6les
en a parties egales. Desi-
gnons par L", F,J",K"
le {fi — i)'' point de division
de chacun des cotes a parlir
dos sommets I, J, K,L;
en joignant I a F', J k
J", k a K", L a L", on
ll'J, JJ'K,... et un carre

L".

■/ >^\ -

J"

N

P

\

\(

I

\

\

V

\

N'

p

\

V

V

\

\

k

\

M'

Q'

obtient quatre triangles

central FJ'K'L'. On dispose ces triangles deux par deux

CASSK-TCTK CEOMKTtUQllES

113

de faQon a former deux rectangles egaux MNPQ et
M'NT'Q'; on divise les cotes MN et M'N', NP et NT'
de ces rectangles respectivement en a et A parties egales,
et des parallelcs aux antres cotes menees par les points
de division decornposent chacun des rectangles en ab
Carres. 11 ne reste plus qu'a partager le carre central
rj'K'L'en(rt — 6)- carres.

2« Cas : Le nombre entier n n*kst ni un carriS ni une

SOMME DE DEUX CARRES.

Nous resoudrons d'abord les deux questions suivan-
tes, auxquelles se ramcne le problerne propose, ainsi
que nous le montrerons plus loin.

Composer un carre de deux carres don,t les cdles c etd
sont quelconques {c'>d). — Superposons lecarr^AEFG
de cote d au carre ABCD de c6td c
de soile que ces deux carres aient
un angle etun cote communs, et
prolongeons EF, GF jusqu'a leur
rencontre avec CD et BC en I
el II.

Le carrt^ ABCD decoup(? par GH
et FI donne : 1" le carre FHCI de
cotd c — d\ 2" le reclangle ABHG
d'aire cd, qu'on pent diviser en
deux triangles rectangles egaux
par la diagonale AH ; 3" le rec-
tangle GFJD. Ce dernier forme
avec le carre AEFG un rectangle
AEID (J'aire cd, qu'on peul diviser
par la diagonale AI en deux tri-
angles rectangles egaux entre
eux et a ceiix d'hyjotcnuse AH.

En disposant le carre FHCI en I'J'K'L' et les qualre

FouBREY. — Curios, geom. 8

/
/
/
/

F

/
/
/ ^-^

/ ^^'

l^-- -

114 DES DEFINITIOVS ET DEMONSTRATIONS GEOM^TRIQUES

triangles rectangles obtenus sur son pourlour comme
il est indique, on obtient bien un carre JKLM.

Diviser tin carre en deux autres, le cote c de Vun de
ces derniers clant donne. — Sur les quatre cotes dii
carre propose JKLM com mo
diametre, on dccril des demi-
circonferences sur lesquelles on
porle a parlir des sonimets J,
K, L, M des cordes Jl', KJ',
LK', ML' egales a c.

On demontre sans difficulle
que ces cordes dessinent un
carre I'J'K'L' et quaire triangles
rectangles cgaux Jl'K,... au
moyeu desquels on forme les
donx Carres dcmandes en suivant en sens inverse la
construction du probleme precedent.

Composer iin carre de n carres egdux, lenombre en-
tier n etant quelconque. — On salt, d'apres un c6l6bre
thcorenie du mathdmaticien fran^ais Fermat (1601-
1665), que tout nombre entier est soit un carr6, soit
unc sorame de 2, de 3 ou de 4 carrds au plus. Nous
laisserons de cdt6 les deux premieres hypotheses, qui
ont ete consider^es precedemment (1" cas).

Si n est de la forme a^ ■^~ b- -\- c- -\- d^ ^ on reunira
c^ -\- t)^ carrds elementaires en un seul carre k^ (1" cas),
puis c^'-hd^ carres en un autre carre P (1" cas) et en-
fin on assemblera A' etP au moyen de la premiere con-
struction pr^liminaire (2* cas).

Si n est de la forme rt'+^^-f-c*, P se rdduira a c*
carrds elementaires.

Diviser un carre' en n carres egaux, le nombre entier
n etant quelconque. — Soient n = a^ -\- b'^ -\- c^ -\- d^ et e
le cote du carre donne : ce dernier doit 6tre divise en

CASSE-TKTE GEOMETRIQUES 115

n Carres de cote —zz . On peut grouper c^ -\- 6 - de ces carrds
pour former un carre A'^ I A- = (a^ + 6^) — j,etlesc^+c^^
carr^srestants pour former uncarrc/^ L^ ^={c^-\-d}')— 1.

D'autre part, la longueur A' 5=\ / — — — c peut etre

y n

de'termlnde par une construction geomctrique connue.
Ayant trouve k, on decomposera le carre propose e- en
deux autres /r et /- dont I'un k^ est donne (2* prop"" prel™),
ct il nc restera plus qu'a diviser A^ et /- respectivement
en a- -4- 6- et c'-^-d^ carres egaux, probleme resolu an-
terleurement (l" cas).

Cas particuliers. — La melhodc generale que nous ve-
nous d'exposer peut eirc assez compliquee dansl'appli-
cation, surtout lorsque n est quelconque ; on peut trou-
ver dans certains cas particuliers des solutions directes
plus rapides.

Composer un carre de 3 carres egaux. — Com me
3:= l^ + l^-f-l^, on voit qu'on aurait ici a utiliser la
construction du 2" cas si Ton employait lamethode ge-
nirale. JVIais on peut donner de ce probleme une ele-
gante solution qui lut indiquee par Aboul WafS. dans
une reunion degeometres et depraticiens. Leprobl6me
pose dans cette reunion avait pour objet de cUcouper
mate rie 'dement trois briques carrees de maniere d former
un carre avec les fragments obtenns.

Soicnt ABGD, AiB,CiD,, AaB^CiDjles 3 carres e'gaux ;
divisons c'lacun des deux derniers en deux parlies
egales par une diagonale etdisposons les triangles ob-
tenus le long du contour du premier comme nous
I'avors indique sur la fig. ci-apres en AEB', BFC, ...
En joignant maintenant les points E, F, G, H, on ob-

116

DES DEFINITIONS ET DEMONSTKATIONS GEOMETfilQUES

tienl un quadrilal^re EFGH qui, ainsi qu'on le demon-
Ire aisement, est un carr6. Or les triangles A"A'H et
A"AE, B'B'E etB'BF, ... sonl ogaux enlie eux, desorle

Lc' h. £i h 9t

A. D. A

qu'en decoupant les triangles A"A'H, B"B'E, ... et les
metlant a la place de A"AE, IV'BF, . . . , on forme bien mate-
riellemcnt le carre El^GH au moycn des 3 caires donnes.

Composer un carre de 5 carres egaiix. — La solution
que nous aliens donner, inspirc^e de la pre'cedente, est

plus rapide que celle resultant
de la methode generale (l*""
cas: o = l'-f-2').

Disposons autour d'lin des
carres, ABCD, les 4 aiitres en
AEB'B, BFC'C, ... etjoignons
EaF, FaG, ...: EFGH est un

c'

tJ B"/

B C

C'

llfffffW

G

f

J

A D

F'D- 1

tt'

carre. Commc les triangles

A

A" AH et A"AE, B'B'E et

B'BF, ... sontegaux entre eux,

on voit qu'en decoupant les

triangles A"A'H, B"B'E, ... et les portant en A"AE,

1> BF, ..., on obticnt bien le carre EFGH au moyen

des 0 carres donne's.

CASSE-TETE GEOMETRIQUES 117

II. — Solution (Ic iMoiitucla (1778). — Composer tin
carre de n cari-es egaux, c etant le cote commun des n
Carres donnes.

On peut loujours formar un rectangle au moyen de
ces n Carres, par exemple on les jnxlaposant : le rec-
tangle dont il s'agit aura aloi's pour base nc ct pour
hauteur c. Le probleme se trouve ainsi ramene au
suivaut :

Convertir un rectangle en iin carre equivalent par une
transposit to n d 'elcmen ts.

Soit AHGD le rectangle donne, de cotes ABr=:« et
BC = h {a<^lj) ; du point A, avecune ouverture de com-
pas 6gale a la moyenne proportionnelle cntre AB et
BC, decrivons un arc de cercle qui coupe BC en un cer-
tain point E. Elevens en E sur AE une perpendiculaire
qui rencontre AD en un certain point I. On peut faire
les deux hypotheses suivantes : l" I est situe en dehors
du segment AD ; 2" I est situe entre A et D. Le caspar-
ticulier oii I se con fond avec D se deduit aisement des
deux autres cas gen^raux.

l" Cas : I en dehors de AD. — Cette hypoth§se peut se
Iraduire par I'inegalite b <^2a. On doit en effet avoir

AI > AD ou - - — = >6; en simplifiant, on trouve

yad — ci^
/y<2«.

Menons par D une parallele a AE qui rencontre BC
en H, ct les perpendiculaires elevees en A et E a AE,
respectivement en G et F.

' Les rectangles ABCD et AEFG, equivalents separe-
ment auparallelogramme AEIID, sont equivalents entre
eux. Or, aire ABCD = ABx BC = AE ; le rectangle
AEFG est done un carre, puisque sa base etant AE, sa
hauteur est aussi AE.

Prenons maintenant a parlir de A, sur AE, AM = DF,

Its DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS gEomEtRIQUES

et sur AD, AL = EC ; 6levons en M et L des perpon-

diculaires Ji AE ot AD,
et designons pour sim-
plifier par des chillres
les di lie rents frag-
ments obtenus, ainsi
que nous I'avons indi-
que sur la ilg. ci-
contre.

Les triang^Ies ABE
et CDH 6tant egaux,
ainsi que 2 et2', il en
est de meme de <i et
3". Les triangles EFH et AGD etant egaux, ainsi que 4
et 4', il en est de meme de 3" et 3' et par suite de 3 et 3'.
Les fragments 1, 2, 3, 4 du rectangle donne ABCD
donneront done par leurnouvel arrangement 1,2', 3', 4'
le carre AEFG.

20 Cas : I entre A e/ D. — On a ici A> 2«. Menons
par D une parallele ^ AE qui rencontre BC en II et les
perpendiculaires 6levees en A et E a AE, respective-
menten G et F. On d^montrerait comme pour le 1"
cas que AEFG est un carre.

Porlons surBC des longueurs EE', E'E", F'E'", ... ega-
les entre elleset a AI, jusqu'a cequ on arrive h. depasser

CASSE-TtTE GEOMETKIQUES 119

le point C, et par les points E', E",E'",...nienonsdespa-
rall6les a EF ; puis prenons sur EA, EK=:UF'" et au
point K elevens une perpendiculaire KJ. Le rectangle
AliCDestainsi partage en des fragments 1, 2, 3, 4,5,6, ...
qui par un nouvel arrangement 1,2, 3', 4', 5', 6', ...
I'ormeront le carre AEFG.

En elFet, on pent passer du rectangle AHCD au paral-
lelogramme AEHI) en Iransportant le triangle AHE sur
son egal DCH. On p(Mit ensuite passer du parallelo-
gramme AEHI) au carre equivalent AEFG de la ma-
niere suivanle. Remarquons d'abord que, dans le cas
de figure conside're, YD = AD — 3AI r=E'"H ; les trian-
gles rectangles EVH et l"F"D sont done egaux et on a
E"T'"— FF"; on voit dememequeE'T" = I'F', E'F' = IF.
Nous pouvonsdonc faire glissersuccessivementle trian-
gle E'"F'"H en 1"F"D, puis le trapeze F"E"E'"F'" (forme de
I"E"E'"F'" et de FF"D) sur son egal FITF", puis le tra-
peze F'E'E'T" (forme de I'E'ET et de F'lTT'O sur son
egal FIFE', et enlin le trapeze FEET' (forme de lEE'F
et de FIFF') sur son egal AIFG.

On obtient de cette faQon, pour ainsi dire m6canique-
ment, la position que doivent occuper les fragments
du rectangle donne pour constituer le carre AEFG.

Remarque. — La solution de Montucla que nous
avons d'ailleurs completee et sensiblement modiliee en
ce qui concerne le 2" cas, n'est au fond qu'un cas parti-
culier de la methode generate de M. Guitel pour la de-
composition des polygenes equivalents en elements
superposables, methode que nous exposerons dans le
paragraphe suivant.

Decomposer un carre de cole G en n carres egaux.

' — Le cote c d'un des n carres 6lementaires est donn^

G
par I'expression-^. On pourra done former un rec-

\'n

420

UtS UtFLMIlOiNS liT DEMO^S■|•|lAI■|ONS (iliOiMETlUQUES

tangle contenant n carres et equivalent au carrddonne;
on se Irouve ainsi raniene a la consliuclion pr^c^deule.

llltant donne, parexcmple, lecarre AEFG qu'il s'a^it
de decomposer en 3 carres dgaux, on determine, soit
numeriquement, soit graphiquement, la valeur de Tex-

AF

pression — A, qui donne la hauteur du reclan"^le ABCD

formd dc 3 carres egaux et dquivalent a AEFG,

En procedant comme il a etc indique au 2" cas, on
est conduit a sectionner le rectangle ABCD suivant les
droiles AE', E'l et JK : on obtient ainsi 8 ele'ments qui,
disposes autrement, forment un carre AE'F'G'. Nous
avons reporle sur le carre AEFG la position de ces ele-
ments qui, inverscment, peuvent reproduire le reclan-
gle ADCD formd de.3 carres.

III. Solution tie M. Porlgal (1875). — M. Perigal
n'a en realite tiaite que la question suivanle : Convertir
un carre en un rectangle equivalent donl un cote' est
donne. Mais on peut aisement adapter sa tres simple
solution au probleme ci-apres auquel, nous venons de
le voir, on peut ramener la question de composition et
de decomposition des carres. '

CASSE-TI-TE GEOMETRIOUES

121

Convertir tin rectangle en iin carre iquivdlent par une
transposition d'e/ements. — Soient ABCD le rectangle
do cotes AB = ff, BC=:^ («</>) et EAFG lo carre
Equivalent de cote c=:\/ab que nous juxlaposons a
ABCD de facon que le sommet A soitcommun et que
lescoles AD et AF se trouvent surunemfimedroite. Me-
nons DE ; nous dislinguerons deux cas, selon quelapa-
rall^le h DE menee par C rencontre AD en un certain
point L situe sur le segment AF ou sur le segment FD.

1"^ Cas : L sur AF, — Par A, C, F faisons passer des
paralleles AI, CL et FP a DE.
Divisons maintenant le pa-
rallelogramme AICL en deux
trapezes par une paraliele quel-
coiique JK k AB ; prenons
ensuite sur FP, FN = AJ et
par N menons NO parallole
a EG. Le rectangle el le carre
considerds sont alois divises
chacun en 4 elements super-
posables.

En effet, les triangles scm-
blables EAD et PAF donnent

— ■=—', d ou
AP c '

AP

= a = AB.

On monlrerait de la m6me faQon que MG=«=CD;
les triangles rectangles 1 et 1', 4 et4' sont doncegaux.
On voit aisement que les trapezes 2 et 2', 3 et 3' sont
respectivemenl cgaux.

La construction comporte une infinite de solutions,
puisque la position de la droiteJK est arbitraire.

Le cas de figure que nous venons de consirlerer cor-
respond a I'inegalite b < 4«. En efTet, L etant sur AF,

122 DES DEFINITIONS ET DEMONSTHATIONS GEOMETRIC 'J ES

on doit avoir AL < AF; il enresulte ALH- AF < 2AFy
ou, puisque AF = EG = LD, AD < 2AF, c'est-^-dire
b < 2\/ab et enfin b < 4a.

2eCas: Ij siir FD. — On a ici h'>ka. On ne pcut
plus alors menerla droite JK entre les deux paralleles
AI el LC, et la construclion pyecedente n'a plus lieu.

M. I'erigal n'a pas envisage cette hypothese, en sorte
que la demonstration est incomplete, mais on pent la
parfairc comme suit.

On porte le c6te AF du carrc sur FD autant de fois
qu'il est possible sans toutefois depasser le point L. Par
les points A, F, X..., L on mene a DE des paralleles
qu'on prolonge de maniere h traverser le rectangle
ABGD et le carreEAFG, puis par F, X... des paralleles
a AB.

0 c

J'-'D

Enfin on fait p-sser paralleloment a AB une droite
arbitraire JK qui divise en deux trapezes le paralielo-
gramme XQGL; on p.rend SN==GK, et on mene NO
parallele a EG.

Dans le cas de figure repr^sent^, on a ainsi divis6 le
rectangle ABGD et le carre' EAFG en 6 triangles rec-
tangles %aux entre eux et en 2 trapezes ; chacun des
triangles du rectangle est d'ailleurs ^gal a chacun des
triangles du carrd co. -ne ayant les angles egaux et un

CASSE-TETE GtOMF.TRIQUES

123:

c6te €ga.\ ABr=IF = ... = AP = PR... D'autre part,
les trapezes 7 et 7', par oxemple,sonl dgaiix, car ils ont
les angles egaux, mcme hauteur el une base egale.

REMAfxQUE. — La solution que nous venons d'expo-
ser conduit a une construction plus rapide que celle de
Monlucla. Elle est aussi plus simple, car ici la con-
struction du !*"■ cas est utilisee lant qu'on a A < 4«, lan-
dis qu'avec la solution de Montucla on ne se trouve-
dans le 1" cas que si b<,2a.

Application.

1

3/"

s

1 ^^

^

y^l

'>

6

8

1'

5'

r

^

8'

A

U- gr

Composer tin carre de 3 carrr.s egaiix,
' — Nous n'avons qu'a
appliquer ici la regie
relative au 1" cas. La
figureestsutiisammont
claire pour nous dis-
penser d'explications.
Nous signalerons tou-
tefois que nous avons
iait passer la droitc de
division du parallelo-
grammeAlCLparlafin
d'obtenir un plus petit
nombre d'elements.

IV. Solution de M. de Coalpont (1877). — Decompo-
ser un carre de cote Q, en n canoes egaux. — Soil
n = 3; sur le c6t^ BC du carre donne ABCD, portons
une longueur BK egale au cote c d'un des 3 carr^s, soit

C / C \

€gale a -- / — — pour n carr^s ).

\jl \sfn j

D^crivons une circonference ayant m6mc centre que
le carr6 ABCD et un diamfetre egal a c et menons les
tangentes suivantes a cette circonference : IP passant

124 DtS DEFINITIONS KT DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

par I milieu de KC, RS et TU perpendiculaires a IP,

ct NV parallele h la

F memc droile JP. Pic-

nons enfin NR = IG
•

ct elevons les perpen-'
diculaires KL et RQ a
BG et AD : le carre
propose se trouvc alors
decompose en Irag-
menls qui, assembles
d'une autre maniere,
donneront im rec-
tangle EFGH forme de
3 Carres egaux juxtaposc's, Ic carre RTUS trace en pre-
mier lieu elant le carre ceniial.

On voit en cfTct aisement que les triangles 4 et 4',
5 et 5', les trapezes 6 et 6', 7 et 7' sont respectivement
egaux ; les elements 1, 2, 3 sont communs aux deux
figures.

Si n etait superieur a 3, on obtlendrait de la meme
facon la position du rectangle EFGIl et on efTecluerait
sans difficulte la decomposition du carre.

On pent obtenir une infinite de solutions autres que
celle rfSsultant de la construction precedente, en faisant
glisser le rectangle EFGH parallSlement a lui-meme
de faQon que le sonimet E reste sur la droite BE ; les
triangles et trapezes qui no sont pas communs aucarr^
et au rectangle restent egaux entre eux.

Composer un carre de n carres egaux 'de coti c. —
On determine le cute G du carre cherche au moycn de
la relation G = cy//i, et on opere comme au probleme
prdcedent.

BIBUOORAPHIE

F. WoEPCKE. — Analyse el exit ails d'uti reciieil de construclions giomi-
triques d'AboCd Wa[d. J»' Asiat., "1" scm. Iboo.

CASSE-TETE GEOMETIUQUES 123

OzANAM, revu par M. de C G. F. (Montucla). ^- Recvdulions mathe'ma-

tiques et physiques, tome 1. Paris 1778, in-S».
Henry Peuigal. — Gcomeirical dissections and transformations. Messenger

of Mutliem., 187o.
Paul Bussciiop. — Probleme de Geometric. N'« Corresp. Matli., 1876.
DE CoATi'oi-ix. — Sar un probleme de M. Busschop. N"" Corresp. Matli.,

1877.

§ 3. — Decomposition de polygones equivalents en
Elements superposables.

L'objet de cette question est le suivant : Etant don-
nee line figure polygonale A, il s'agit de la decomposer
en elements qui, assembles a'une autre facon, donnent
une figure polygonale'^ de forme donnee et equivalente
a la premiere.

La possibilite de cette operation parait avoir ete de-
montree pour la premiere fois par le savant hongrois
BoLYAi (1832-33); la decomposition effeclive (pour les
polygones plans et spheriques) a ete indiquee par un
officier allemand, Gkrwien, en 1833, puis par divers
auteurs. En nous limilant a ceux d'entre ces derniers
dont nous avons pu consulter les travaux, nous cite-
rons MM. Sevene (1867), Guitel, S. de la Campa, de
Ceuta,GERARD(1895),ELLiNGHoLST,deChrisliania(1896).

Nous suivrons a peu pres textuellement, sauf avis
contraire, la methode de M. Guitel qui nous parait elre
la plus pratique dans Tapplication,

I. Les figures A et B sont des paralleloyranimes

ayant une base eoiiiniuiie
et nienie hauteur. — Soient
les parallelogrammes ABGD
et AB'G'D ; on pent distin-
guer deux cas, suivant que
B'G' empiete ou non sur BG.

l^"" Cas. — On passe alors de la premiere figure a la se-
conde en transportant le triangle ABB' sur son egal DGG'.

i26

DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMEmiOUES

2« Cas. — On porte success! vement sur le cole op-
pose a la base commune AD, et a partir de B', des seg-
ments egaux h B'C autant de fois qu'il est n6cessaire
pour que le dernier empicte sur le segment BG. Par

Fi". a.

Fig. h.

Fix. c.

Fill. d.

les points ainsi obtenus E, F,.,., on mhnc des paiallcles
h. CD. Le parallelogramme ABCD est alors decompose
•en polygones qui peuvent reproduire AB'C'D.

Portons en effet I'^lement 1 {/ig. a) en CGE (/?y. b) ;
puis le trapeze JIFE (/?<7. A), compose des elements 1
et 2, enOEB'H (/ig. c);et en fin le trapeze A JEB'(/?^. c),
compose des elements 1, 2, 3, en DHB'C (Jig. cl): on
•obtient ainsi le parallelogramme AB'C'D.

CASSE-TETE GEOM^TRIQUES 127

La construclion des figures successives, que nous
avons donnees simplement pour plus de clarte, serait
bien enlendu inutile dans la pratique ; la premiere,
completee, suffirait.

Voici, pour Ic 2* cas, la construction de M. Elling
Hoist. Soit E le point de rencontre des c6tes CD et AB';
on porle DE sur AB et AE sur DC autant de fois qu'il
€st possible. Paries points ainsi obtenus, II, G, ... sur AB
et II', F', ... sur DC, on menedes parallelesrespective-
ment aux cotes de AB'CD et aux cotes de ABCD ; les
polygones ainsi determines dans chaque parall6lo-
gramme sont egaux cliacun achacun.

Avec la premiere construction, le nombre d'elements
est moindre, mais 11 y a lieu de remarquer qu'en grou-
panl convenablement les elements que nous obtenons
ici, 1, 2 et3, 4 et 5, 6, on retombe pr^cisement sur les
fragments donnes par Tautre solution.

II. I.es figures A et B sont des parall^logram-
mes equivalents. — Soient les parallelogrammes equi-
valents ABCD et A'B'CD'. II est Evident que le plus
grand cote A'B' du second est plus grand que la plus
petite hauteur du premier et pent etre inscrit en AB'
cntre les deux bases AD et BC relatives k cette hauteur.

Supposons done A'B'CD' placd en AB'CD' et soient
C", D" les points d'intersection de CD' avec BG et AD.

128 DES DEFINiTlOiNS ET DEMO.WSThATIONS CEOMETRIOIES

Le parallelogramme AB'C'D", qui est equivalent h
A'JJ'C'D', est par consequent aussi equivalent a AliCD.

c" .V B'

Fr?. a.

ABCD et AB'C'D" ayant memo haulenr, ont aussi m^me
base et AD" = AD ; ainsi WC passe par D.

Nous avons done pu inscrire les deux parallelo-
grammes donnes i'un dans I'autre de sorle qu'ils aient
un sommet commun A et que, pour cliacun d'eux, un
des cdtes passant par A soil inscrit entre deux cotes
opposes de Taulre parallelogramrae.

Cela etant, nous allons montrer comment on pent
efTectivement decomposer ABCD de manicre a obtenir
A'B'G'D' par un nouvel arrangement des elements.
Pour simplifier les figures, nous supposerons que nous
nous trouvons dans les conditions du l*''cas, I.

On passe d'abord de ABCD a AB'C'D en decou-
pant ABB' et le portant en DCC" (/?^. 6). On passe en-
suite de A'B'G'D' (ou de AB'C'D')a AB'C'D en decou-
pant ADD' etle portant en B'C'C (/tg. c).

Superposons maintenant ces deux compositions de
AB'C'D (/?«y. d) el decoupons cette derniere figure sui-
vant B'C et CD : on obtient ainsi 4 fragments qui per-
meltent de passer directement de ABCD a A'B'C'D'.
Les fig. e et/ donnent la disposition presentee par ces

CASSE-TETE GEOM^TRIQUES

129

fragments pour former respectivement ABCD et
A'B'G'D'.

Fig. d.

Rkmabques. — 1° Onvoit siir
la iig. a que les parallelo-
}-rammes AB'C'D' et AB'C'D"
ont line base commune AW et
que les bases opposees CD'
et CD" sont dirigees suivant
une meme droite. Ce resultat
subsisle evidemment si A' se Irouve en un point de AD

different de A :
^ ^' ^ ^'" Je parallelo-

gramme qui sert
de comparaison
enlre ABCD et
A'B'G'D' se Irou-
ve alors reporte
en A'B'C'D"

On etendrait

Fi?- 9-

sans difficulty a ce cas de figure la decomposilion que

FounaEY. — Curios, reom. 9

130 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS CtoM^RIQUES

nous avons donnee sur les fig. b kf\ nous en Irouve-
rons (I'ailleurs une application dans la suite.

2" Ainsi que nous I'avlons annonce, on voit que la
solution de Monlucla (§ 2) pour convertir un rectangle
en un carr^ equivalent n'est qu'un cas particulier de
la construction que nous venons d'exposer pour trans-
former un parallelogramme en un parallelogramme
Equivalent.

III. Les figures A et B sent un triangle et un paral-

lelogramme equivalents ayant
memebase. — Soient ABC et ADEG
le triangle et le parallelogramme
considerds. ParB, menonsBGparal-
lele a AD : BG = AD = EG. Les tri-
angles BGF et ADF, BGH et CEH
sont respectivement egaux.

On passera done du triangle
ABG au parallelogramme ADEG
en porlant BGF en ADF et BGH en CEH.

IV. Les figures A et Bsontun polygene quelcon-
que et un parallelogramme Equivalents. — Soit un

poylgoneABCDE... X. Me-
nons la diagonale AG. On
peut convertir le triangle
ABGen un parallelogramme
equivalent IHGA (Hi) ayant
un de ses coles lA sur AX,
puis ce dernier parallelo-
gramme en un triangle JGA
ayant Egalement un cote J A
sur AX ; pour cette derniere
construction, si J est tel que IJ = AI et si K estle point
de rencontre de HI et CJ, il suffira de transporter le
triangle KHG en KIJ.

CASSE-TftTE GEOMETRIQUES 131

On a done ainsi obtenu par une transposition d'ele-
ments ua polygone AJCDE... X equivalent au propose
et ayant un c6te de moins.

En operant de proche en proche de la meme fagon,
on finira par obtenir un triangle que Ton pourra de-
composer en elements reproduisant le parallelogram me
doun6 B.

V. Les figures A et B sont des polygones equi-
valents. — On de'compose les polygones A etB de maniere
a obtenir des parallelogram mes equivalents C et D ;
on decompose ensuite C et D de maniere a pouvoir
passer de Tun h I'autre de ces parallelogrammes. Ces
deux decompositions, superposees, determinent les ele-
ments qui per.metlent de passer directement de A a B.

Applications. — En s'appuyant sur les principes pre-
cedents, M. GuiTEL a imagine plusieurs scries de cassc-
l^te dont I'objet peut 6tre enonce ainsi : Etant donnc
line figure pohjgonale, former ie carre cqiiivatent par inie
transposition a'ilements.

On commence par convertir la figure donnee en un

paralleiogramme ABCD,

puis celui-ci en un second

' " A B'C'D dont un cote scrait

celui du carre equivalent ;

on decompose ensuite cc

carre AB'C'D' en fragments

qui puissent reproduirc

AB'C'D. En superposant

ces deux compositions du

paralleiogramme AB'C'D,

on le divisc ainsi en un certain nombre d'dlemenis qui

permettent do passer directement de la figure donnee

au carre AB'C'D'.

132 DBS DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GtoMETRIQUES

On pourra avoir avantage, dans certains cas, k utili-
ser la remarque 1° de II, pour diminuer le nombre de
ces elements.

Nous donnons ci-apr6s trois applications de la r^gle
prec^denle, choisies parmi celles qui nous ont^t^obli-
geamment communiqudes par M. Guitel.

Sur nos figures, nous distinguons les lignes du po-
lygone donne par des traits forts, celles du carre equi-
valent par des traits fins, et enfin celles du parallelo-
gramme de comparaison pardes traits fins interrompus.

Composer tin carri au mo gen de 3 c arris donn6s. —
Juxtaposons les 3 carres donnas de maniere k former
un rectangle ABCD (Jig. a) ; inscrivons ensuite dans ce
rectangle le c6t^ A'B' du carre Equivalent de telle sorte

Fig. B.

que B' coincide avec le sommet supdrieur de droite du
second carre, afin d'avoir le nombre minimum d'El6-

CASSE-TETE GEOMETRIQUES 133

ments (Si A' se trouvait en A, la construction donne-
rail 8 elements au lieu de 7. Voir, § 2, solution de la
K€me question par le proc^d^ de Montucla).

On passe du rectangle ABCD au parallelogramme de
comparaison A'B'C'D" (Jig. a) en transportant ABB'A'
en DGC'D". On passe du carre A'B'C'D' au parallelo-
gramme A'B'C'D" {ficj. b) en portant (I, 2" cas) G"D" de
D" enF', menaat la parallele F'E' a A'D", transporlant
le triangle D^E'F' en G'DD", puis le trapeze E'A'D"F'
en DB'C'D" ; D'E' (ou DC') vient se placer en GH.

B'

r\ ^y

Fig. e.

y

7

1" fX

y^

b

fi

\

y y

y^

\

/ y

A'
B

D"

\ '*/ \

t IX \ '

Fij. J.

En superposant les deux compositions ainsi oMennes
pour A'B'C'D" {fig. c), on oblient 7 ele'mcnts qui pcr-
mettent de passer directement de ABCD h A'B'G'D'.

On yo\t(/ig. d et e) quelle disposition il convienl de
donner a ces elements pour former ABCD et A'B'C'D'.

Convertir unhexagone rigulier en un carri. — Dlvi-
sons riiexagone donne ABEFGH en deux trapezes iso-
celes que nous juxtaposons de maniere a former ua
parallelogramme ABGD (Jig. a).

134 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQUES

On opere ensuite comme^dans la question pr(5cedente

BE G

/

/

^

A' A\

/ D"

Fig. a.

H ' G

H G

Fig, d. Fig. e.

Les figures ci-dessus nous paraissent suffisamment d^-
taillees pour que des explications soient inutiles.

CASSE-TETE GtoM^TRIQUES 435

Vo?ivertir en un carre la figure form^e par deux car-

B' F C" ^^^ inegaux juxta-

A 1

S/

poses. — Soient les

A'

B'

M S

A

1 /

deux Carres inegaux
A'MON et NBTQ
juxtapose's comme
I'indique la fig. «. On
sail, d'apres le iheo-
reme de Pythagore,
que A'B' est le c6te
du carre equivalent
a la figure formee
par les deux carr^s.
S etant le point de
rencontre de MO et
de A'B' (^fig. a), on
porte sur le prolon-
gement de B'P
PC" = MS, et par C
on mene CD" paral-
l6le a B' A' ; on voit ai-

sementque le parallclogramme A'B'C'D" est Equivalent
k la figure formee par les deux carrds : A'B'C'D" est

136 DliS DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GEOMETRIQURS

(lone le parallelogram me de comparaison. On achcve
comme precedemment.

Remarque. — La comparaison des figures d ei e con-
duit & une demonstration du theoreme de Pythagore
peu diflerente de celle donnee sous le n° XII au Cha-
pilre II (1"= Partu:).

Questions diverses. — On a plusieurs trianglpn ABC,

CBD, DRE, ...
B aijnnt un sommet
commun et des
baies 4gales AC,
CD, DE en ligne
a'roite ; si l^on
77iene parC,D, ...
des parade esaux
CO ^s passant par
le sommet com-
mun, on decnm-
jjose chacun des
triangles en elements sitpcrposab.es (Gekvvien),

Nous avons designe sur la figure ci-dessus les paral-
lelcs a un cote et ce cole lui-mcme par un memc chif-
fre romain, et les dlemenls superposablcs par le m6me
chiffre arabe. Ces elements sont tous egaux entre eux
comme ayant leurs angles egaux et leurs c6t6s 6gaux
(paralleles comprises entre paralleles equidistantes).

Deux triangles ABC, ADC ont une base commune AC
et aes hauteurs egales ; on pent les decomposer en ele-
ments superposablcs (Gerwien).

Cette proposition est la basedu procede Gerwien pour
la decomposition des polygenes equivalents en elements
superposables. On distingue trois cas, suivanl que BD

CASSE-TETE GEOMETRIQUES 137

coupe AC entre A et C, oii au point C, ou extcrleurement

a AC. Nous ne trailerons ici
que le 1" cas, dont le 2" est
un cas limite ; quant au 3*,
nous le laisserons de cote en
raison de la complication de
la figure.

Soit E le point de renconlre
do BD et de AC ; on m^ne par
ce point dans chaque triangle
dcs paralleles aux cotes de
Taulre triangle. Les triangles
donrw.'s se trouvent ainsi de-
composes en ('Yemenis snp(;rposables chacun h chacun.

BIBLlOr.RAPHIE

Gkrwikv. — Zemchimldunri jeder heliehujen Anzahl von gleichen gerad-

hnujen Fiijuren in dicselbiiu Stiicke. •1='' liir d. reine n. an^'. Mathem.

(Crclle). Berlin, i833.
11. S^vJNE. — Note SUV un probleme de ge'ometrie elementaire. Nouv.

Ann. Alatli., lS(i7.
E. GuiTEL. —,1'i'opriiil.e's rclal.ivcs aux'pnli/gones equivalents. Assoc, fr.

p. I'av. (les Sciences, 189-).
L. S. D3 UA (>AMrA. — Sur leu poli/i/oncx equionlenls. Revista cientifico-

militar. [iarceionn, IH'J.'i.
Elling Holst. — iJc'compo.sition de po!,ijgones equivalents en parties stt-

Vc-Tpiisablcs. Inlunued. des inatlieinaticiens, 181)0.

s I. — Proolfeme de Hart.

Hart ;i pos(; en 1877 lo probleme siiivant, qu'il n'a
rc>olu que dans les cas parliculiers de polygones cir-
conscriplibles el inscriptibles :

Etant donni t^'eiix po'yrfones semblablea, dicomposer
le pais qrana do. tcUe sorte qiien disposant convenable-
men. ics Elements obtenus, on obtiennc iin troisieme

138 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GtoM^TRIQOES

polygone semblable aux deux autres et qui contienne le
plus petit dans son interieur.

I. Polygones circonscriptibles. — Solent ABCD..
{fig. a) et A'B'C'D'... {fig. h) les deux polygones sem-'
blables, E,F,0,H,... etE',F',G', H', ... les points de
contact des cercles inscrits dans ces polygones. Abais-
sons de 0 les perpendiculaires OE, OF, OG, OH, ... sur
les c6les de ABCD... et designons par m, n, /?, q, ... les
distancesdessommetsA'jB', C',D', ... aux points de con-
tact E', F',G',U',...

Fig. 4.

Prenonsmaintenant sur OEcxtdrieurementJi ABCD...
et sur OH interieurcment au m6me polygone (le qua-
drilatere AEOH est Thomologue de A'E'O'H' ou
A'E' =A'll' = m) des longueurs Ea' et H« ^gales km.
Faisons de meme E^ = Fb' = n, Fc = Gc' = p,
Gd= [Id' =qi ... Les triangles rectangles AH-« et AEa',
BEb et BF/>', ... sont respect ivement egaux ; il en resulte
que la somme des aires des quadrilatcres ombres de la
fig. a equivaut a I'aire ABCD... Nous allons monlrcr
que ces quadrilaleres disposes comme I'indique la fig. c
forment un polygone AiBjCiDj..., semblable aux poly-
gones donnes, et laisseat entre eux un vide A"B"G"D"...
^gaU A'B'C'D'...

CASSE-TETE GEOMETRIQUES 139

En effet, en premier lieu AiE,Bi, BiEi^^n ••• {fiu- ^)
sont des lignes droites, car Jes triangles AE«' ct BEA
par excmple (Jig. a) sont semblables comme ayant un
angle ^gal en E compris entre c6tes proportion-

nels — = — ; il en resulle que les ang-Jes A«'0 et

B60 sont supplemenlaires, et que AjE, et EjBj {fig. c)
formcnt une ligne droile.

En second lieu, le polygone AiB,CiDi... est sembla-

ble aux deuxautres, car on ad6jaAi = A, B, =:B, ...
et on trouve aisement par. des considerations de simili-
tude, que

Xo'^B()_Bh'-\-Cc_ A,B, _B,C,__

AB BG " ■ ^" AB ~ BC ~"

Enfm A"B"C"n"... est egal h A'B'C'D'..., car on a par

exeraple A" = A comme supplementaires du meme an-
gle EiA"H, (fig. c) ou EOII (fig. «), et on voit que A"B''
{fig. c) est egal (fig. o) a a'b = ?n-{-n = A'B' (Jig. b).

Le polygone AiBjCiDi... est aussi circonscriptible, et
les points E,, Fj, Gj, Hi, ... sont les poinis de contact
du cercle inscrit.

La construction n'est possible que si le-plus grand
A'E' ou A'H' des segments determines sur les c6tes de
A'B'G'D'... paries points de contact du cercle inscrit
h. ce polygone est inferieur au rayon du cercle inscrit
au polygone ABGD... .

' n. Polygones inscriplibles. — Soient ABGD... et
A'B'G'D'... les deux polygones donne's, E, F, G, H, ... et
E',F',G',H',... les milieuxdes cotes, Ole centre du cercle
circonscrit a ABGD... : les droites OE, OF, OG, OH, ...
sont, comme on sait, perpendiculaires sur les c6t^s de
ABGi).... Prenons sur ces perpendiculaires, de part et

HO DES DI^FINITIONS ET DEMONSTKATIONS GJEDMETRIQUliS

d'aulredeE.F, ...,des longueurs Ea'=Ea, Fb = Fd',...
t'gales respeclivement ^ la moitie de A'B', de b'C, ...

B' f'

F:!?. b.

Les triangles rectangles AE'?' et JiEa, BF6' et GFb,
... sont respectivement egaux, et les quadrilateres om-
bres de la lig. «, disposescommeilest indiqud alalig. c,
forment un polygene AiBjCjOi... semblable aux poly-
gones donnas, et laissent entre eux un vide A"B"G"D"...
egal au polygene A'B'G'D'...Lepolygone AiBiGiD,... est
inscriptible et Ej, Fj, Gj, Hj, ... sont les milieux de ses
cotes. La demonstration est absolument analogue a
celle de la question pr^cedente.

La construction n'est possible que si la longueur de
cliaque perpendiculaire abaissee de 0 sur les milieux
des c6tes de ABGD... est supcrieuraa lamoitie du cote
correspondant de A'B'G'D'..,

BIBLIOCnAPIlIE

Harry Hai\t. — Geoimlrical dissections and Iransposilions. Messenger of
Matlicni., 1877.

CHAPITRE IV
PARALOGISMES GEOMETRIQUES

Nousavonsvu(lNTROD., §2)quelegrandgeom&tre grec
EucLiDE (3* s. av. J.-C.) avail compose un ouvrage inti-
tule les Pseudaria, ou 11 avail expose les divers genres
de faux raisonnements auxquels pent 6tre conduit un
debutant en geometrie. Get ouvrage ne nous est pas
parvenu.

Les questions qui suivent, etqui sont vraisemblable-
ment de meme nature que celles traitees par le savant
alexandrin, ont pour but de montrer que celle oeuvre
d'Euclide n'etait pas sans utilite el qu'il estbon de met-
tre les commenQants en garde centre des constructions
ou des raisonnement halifs.

§ 1. — Fautes de construction.

On a souvenl d6fini la geomdtrie d'une manifere hu-
moristique en disant qu'elle etait « I'art de raisojiner
sur des figures inexactes y). Les paralogismes suivants
vont nous prouver qu'il ne convient pas de prendre
cette definition k la leltre el qu'une demonstration dont
les deductions successives sont rigoureuses, mais qui
est etablie en utilisantune figure erron^e, pent conduire
a une conclusion absurde.

142 DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GI-OMLI I'.KJUliS

II est done avantageux, dans la recherche de la solu-
tion d'une question, d'executer aussi exactemenl que
possible les traces geometriques ; cette fagon de proce-
der presente encore cet interet qu'elle permet sou vent
de decouvrir entre les lignes de la figure des relations
restees sans cela inapergues.

1. Par nn point pris hoi's d'une droite, on pent
mener deux perpendiculaires u cette droite. — Soient

en eflet deux circonfe-

rences 0 et 0' qui sc

coupent en B et G et que

nous supposons tracees

a la main, de meme que

toutes les lignes de la

fig. ci-conlre. Tirons les

droites BO et BO' et pro-

longeons-les jusqu'aux

points de rencontre A et A' avec les circonferences.

Menons enfin la droite A A' qui rencontre respectivement

en C, et C[ les arcs BDC et BD'C.

Or les angles BCjA et BCIA' sont inscrits chacun
dans une derni-circonference et sont par consequent
droits. Nous avons ainsi men^ par B deux perpendicu-
laires BCj' et BCj a la droite AA'.

Refutation. — L'erreur coramise provient de ce qufr

la droite AA' passe en rea-
litd par le point d'inter-
seclion G des deux circon-
ferences, comme il estaise
de le constater en tracant
la figure avec la regie et
le compas. Nous allons
montrer par le raisonne-
me»/ qu'il doit bien en 6lre ainsi. II en re'sultera que BC.

PARALOGISMES G^OM^TRIQUES 143-

est I'linique perpendiculaire pouvant etre abaiss^e de B
sur A A'.

j Joignons en eflet A et A' ^ C ; Ics angles ACB et
A'Cn sont droils comme inscrits dans une demi-circon-
ference et leur somme est egale a deux droits. l*ar suite
ACA' est une ligne droite. Ainsi la droite determinde
par les points A et A', et qui est unique, passe par C.

II. Uii angle obtiis est egal a un angle droit

(JMathesis, 1892, p. 161. — Education mathematique
des l"octobre 1898 etl5juillet
1906). — Considerons un qua-
drilatere ABCD dont un angle
C est droit, un angle D obtu&
et dont les cotes opposes BC et
ADsontegaux. Elevons des per-
pendiculaires sur les milieux E.
et F de AB et CD ; ces perpen-
diculaires ne peuvent 6tre pa-
ralleles, car si elles I'etaient, AB et CD le seraient aussi,
B serait droit et AD = BC devrait se confondre avec
la perpendiculaire abaisseo de D sur AB : D serait alors
droit, contrairement a I'hypothese. Les perpendiculaires
en E et F se rencontrent par suite en un certain point I.
On ne peut faire que les deux hypotheses suivantes :
I est interieur ou I est exterieur a ABCD.

1° Supposons d'abord I interieur a ABCD (Jig. a).
Joignons ce point aux qualre sommets. Les triangles
AID etBIC sont egaux comme ayant les trois cotes
egaux chacun a chacun ; done

ADl = BCr.

Si h chacun de ces deux angles on ajoute un meme-
angle FDI = FC1, on a

angle obtus D = angle droit G.

144 DKS DEFINITIONS ET DI^MONSTRATIONS CtoW^TRlQUES

2" Supposoiis maiulenant 1 exterieur h AliCD

(Jig. h). Joi-
B „ gnons de

niume I aiix
qualre som-
mets.Onvoit
comme ci-
dessus que

,, ^ ADi^BClr

iMg. ft.

Si de cha~
cun de cc.s angles on retranche un meine angle

FDl = FC1, on a encore

D = C.

Refutation. — II nous suffit de montrer que le point
I, iJitersection des perpendiculaires en E et F, est du c6t6
de AD ou ne se trouve pas BG. Nous aurons ainsi
prouve : pour le cas 1°, qu'il est impossible que I soit
place a I'interieur de ABCD ; et pour le cas 2", que I
doit se trouver sur la perpendiculaire en F, non pas
enlre F el le point G oij AD rencontre cette perpendi-
culaire comme le suppose implicitement la iig. A, mais
au deltl de G.En ce qui concerne plus particulierement
ce dernier cas, le triangle AID se trouve alors retourne
par rapport h la droite AD, et lefait de retrancher FDl
de ADI, qui a servi de base au raisonnemenl, n'a plus
aucune signification.

Pour demonlrer la proposition annoncee, portons
(Jig. c).sur la perpendiculaire en D a AD, du cote op-
pose a BG, une longueur DG' = DG ; soit 0 le point de
rencontre des perpendiculaires elevees sur les milieux
F et F' de DG et DG' : 0 est le centre du cercle passant
par G, D et G'. Si Ton fait tourner la figure BGD au-

PARALOGISMES GEOM^TRIQUES 145

lour de 0 de fa(;:on que C vienne en D, BCD viendra

en ADC/ (par
u Q hvpoth^sc

Ab = BC).B
venant en A,
OB=:OA,ct
la perpendi-
culaire elc-
vee sur le
milieu E de
p,v c. AB passe par

0. Ainsi le
point 0, intersection dos perpendiculaircs elevees sur
les milieux de AB et CD, n'est autre que le point I dcs
fig. a et 0. Or, le point 0 sc trouvant sur la perpendi-
culaire au milieu F' do DC, OF' est parallele a AD et
se trouvc du cole de AD ou n'est pas C. Done 0 ct C
sont de part el d'autre de AD.

Remarque. — La conslruction qui fait I'objet de la
question precedenle est parfois
presentee comme suit. Soil A'BCD
un rectangle ; on mene par un
des sommets D une droite ar-
bilrairc sur laquellc on porle
DA = DA'. On el6ve ensuile des
perpendiculaircs sur les milieux
EetFde ABetDC.

Les deux proce'des sont done
au'fond absolument identiques,

mais i'hypotliLSC donl nous iommes parlis est un peu

plus simple.

Fijr. d

III. Tous les Iriaiujles sont isoceles (^Mathcsis,
1893), — Soil ABC un triangle quelconque. Menons

FouKREY. — Curios, ream, 10

146 DES DEFINITIONS ET DEMOffSTRATlONS G^OM^TRIQUES

la bisseclpice Bl de Tangle B et elevens una perpen-
diculaire sur le milieu D du c6te oppose AG.

Si les deux droites ne se rencontrent pas, elles
sont paro,lleles, la bissectrice BI est
perpondiculaiie a AC et le triangle
esl isocele.

Si elles se rbx~:rontrent en nn
certain point 1, on ne pent faire
que deux hypotheses: I est inle-
rieur ou I est exterieur au triangle
ABC. Nous allons montrer que
dans ces deux cas le triangle est encore isocele.

1" Supposons d'abord I interieur h ABC ct abaissons
de I les perpendiculaires IE, IF k AB et BC (fig. ay,
tirons lA, IC. Les deux triangles rectangles BIE et BIF
sonl egaux comme ayant le cote BI commun et les
angles en B egaux ; done BE:=:BF. Los deux triangles
rectangles AIE, CIF sont aussi egaux comme ayant les
hypotenuses egales lA = IC et les cotes IE =rir egaux ;
done AE = CF. Par suite, en ajoutant aux longueurs

egales BE et BF des segments
egaux AE etCF, on obtient des
sommes egales BA etBC. Le
triangle ABC est done iso-
cele;.

2" Supposons maintenant

I exterieur au triangle

(ftg. /)); abaissons IE, IF

perpendiculaires sur AB et

Fig. b. BG et tirons AI, IC. On

verrait comme ci-dessus que

les triangles BIE et BIF, AIE et CIF sont respective-

raent egaux ; d'ou BE = BF ct AE =:CF. Par suite, en

retranchant fife BE et de^¥ des segments igaiix AE et

PARALOGISMES GliOMKTRIQUES 147

CF, les restes obtenus BA et BG seront encore egaux ;
ainsi BA= BC et le Iriangle ABC est. isocele.

Refatation. — L'erreur commise provient: pour lecas
1°, de ce que le point 1 ne pent etre situe a Finterieur
de ABC; pour le cas 2", de ce que, en supposant F
place sur le prolongement de BG {fig. d), E doit se trou-
ver entre A et B et non pas sur le prolongement de
BA ; la demonstration precede nte est alors en defaut.

1" Le point I ne peat se Irouver h I'interieur de
ABG. Girconscrivons en effet
{fi^. c) un cercle au triangle
ABC ; la bissectrlce de B et la
perpendiculaire elevee sur le
milieu D de AG se rencontrent
au point I, milieu del'arc AIG ;
ce point I est done necessai-
rement exterieur au triangle.

Fig- «• 2" F etant sur le pro-

longement de BG, E doit se
trouver eMre A et B. En effet, ii-resulte de I'hypothese
faite que BCTest obtus. Or BGl et BAl etant supple'men-
taires, BAlest aigu ; des lors, le pied E de la perpendi-
culaire abaissee de I sur AB doit tomber entre A et B.

§ 2. — Fautes de raisonnement.

Les demonstrations ne doivent etre bashes que sur
des definitions precises. Pascal nous enseigne (Del'Es-
pritg^oraetrique) a « subslituer toujours menlalemenl
les definitions a la place des defmis, pour ne pas se
tromper par I'equivoque des tcrmes que les definitions
ont restreinls ».

II convient d'autre part de n'executer sur les nom-

148 DES UEFJNITIONS tlT DliMOiNSTC.ATIOiNS GEOM^TUIQUES

bres que dcs op^ralions pcrmises, et k eel egard on doit
savoir relrouver, sous les apparcnces d'urie lo'j^ique
inallaquablc, le point faible d'un calcul qui a conduit a
un resultat absurde.

Lcs cxemples qui vont suivre metlront en evidence
toule limporlance de ccs rcniarques.

I. Dans un triangle quelconque, I'un des c6los
est ei|ul a la sonime <Ies deux
B aiilres. — Soient AUG le triangle

considere et D, E, F les nnilieux
D.^ \e desescotcs. TironslesdroitesDF.

FE. On sait que DF = -^ =r= BK,

FEr=^i*=rDB. Ainsi la lon-
2

gueur de la ligne brisee ABC est la meme que celle

de la ligne brisee ADFEC.

Si Ton prend maintenanl les milieux G, II, I et J, K, I>

des cotes des deux triangles ADF et FEG, on moutie de

la meme fugon que

lig. bris. AGlIIFJKLGrrrlig. br. ADFEG= lig. br. ABC.

En continuant ainsi indefiniment, on voit que les
lignes biisees successivoment forniees out toules pour
l()ngu(!ur AB-f-BC. Or la longueur des segments con-
sliluant les lignes va conslamment en dimiriuant, leurs
somniets se rapprocbent de plus en plus de AC et a
1(1. limite, Ic pdrimetrc des lijjncs hrisi'cs flnil par sc con-
/on(<re avcc AC. Done ABh-HC --^ AC.

Refutation. — La conclusion precedentc est bas6e sur
une fausse interpretation dy lerme « limite », dont la
delinilion precise est la suivanle: Line giandeur variable
L a pour limite une grandeur lixe A lorsque la difte-
rence enlre L et A peut devenir et rester moindre que

PARALOGISMES GliOMETRIQUES 149

loiite quantity donnee h Tavance, aussi petite qu'elle
solt.

Les grandeurs L ct A sont ici respecllvement le pe-
ilinrilre dcs lii^nes brisees et la .longueur du cote AC.
^lais L est constant et iion variable, et la difl'erenci;
cntre L et A est egalemciil coiislante. On ne se Irouve
done plus du lout dans les condilions de la definition
prdcedente, ct il n'cst alors pas surprenanl que nous
soyons arrivc'S a un resullal absurde.

Ixkuarquf:. — On peul elre lenle de voir quelqueana-
logi(i enlre le paralogisinc precedent et la definition de
la longueur d'un arc de cercle. « La longueur d'un arc
de cercle est la limite vers laquelle tend le perim^tre
d'une ligne brisee inscrite dans cet arc lorsqu#les c6-
tes de cette ligne tendent vers zero», ce qu'on ex-
prime encore en disant d'une facon abregee « qu'a la
liniile, la ligne brisee et Tare se confondent».

Mais dans ce dernier cas, le peri metre de la ligne bri-
s(^.e est une quantite variable lelle que sa dill'erence
avec la longueur de Tare devient aussi petite qu'on
veut; on se trouve done dans les condilions requises
par la definition de la limite.

II. La circonference d'un cercle est 6gale h son

diametre. — Soil un cercle
de centre 0 et de diametre
AB = D. Decrivons sur OA
et OB comme diametres
deux circonferences de cen-
tres C et D ; la somme des
longueurs des circonferences

sera - — \- '■^^— = "D , c'est-a-
2 2

dire egale a la longueur de la circonference primllive.

15G DES DEFINITIONS ET DEMONSTIJATIONS GEOMETIilQUES

Decrivons de meme sur AG, GO, DO et DB, qualre

circonferences dont le diametresera — etdontlasomme

4

des longueurs sera 4x^ — c'est-^-dire encore zD.

Si Ton continue ainsi indefiniment, les longueurs des
circonferences de chaque groupe ont loujours pour
somme la longueur de la circonference 0 ; mais leur
diaraetre diminuant constamment, ces circonferences
se confondront a la limite avec AB et on aura

circonf. 0=diam. AB.

Refutation. — On prouverala fausscle dece raisonne-
ment comme dans la question precedenle.

III. — Une portion de segment rectiligneest^gale

au segment entier, ou en-
core : Ij3l partie estegale au
y^^^^ tout (G' Goccoz. Illustration

/ |\ ^\^ du 12 Janvier 1895). — Soit

/ i\ ^\ ABC un triangle quelconque

/:! lj _::^ ou B cst suppose §tre le

\ F D C

,plus grand angle. Menons

la droile BD de telle sorte

que CBD = A et abaissons sur AC la perpendicu-

laire BE. Les deux triangles cquiangles ABC et BDG

donncnt

abc^xb'

BDG BD^

En outre, les deux triangles, ayantm^mc hauteur BE,
sont entre eux comme leurs bases AG et DG ; on a
done

ABG^AG

BDG DG*

PARALOGISMES GEOMETRIQUES 15t

On (leduit dcs deux relations precedenles

ab' bd' ,,.

AC=DC* (*>

D'autre part, iin th^oremeconnu nous permet d'ecrire

Ali' = AC' + BC' — 2ACxEC, (tri. ABC)
bI)' = DC' -}- BC' — 2DC X EC. (tri. BDC)
Portant ces valeurs dans (1), il vient

AC'+BC' — 2ACxEC ^ Dc' + BC' — 2DCxEC
AC DC

En simplifiant, on trouve successivement
et en fin

(bc'— acxdc)dc=(bc'— xVCxDC)aC. (2)

En divisant lea deux membres par BC — AC X DC^
il vient DC = AC, c'est-a-dire que la portion DC du
segment AC est egale au segment entier.

Refutation. — 11 suffil d'observer que dans la rela-
tion (2), la quantite BG — ACx DC est nuUe, puisque
les triangles semblables consideres precedemment don-

L^f BC AC

nent — = .

, DC BC

Or, on sait qu'on peut diviser les deux membres
d'une egalite par une meme quantite, mais sous la con-
dition expresse que celte derniere soit differente de

1")2 DF.S DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS CKOMKTr.lOUES

zero. L'ubsurJite a laquelle nous sommes arrives pro-
vient done de ce fait que nous avons diviseJcs deux
mcmbres de (2) par une quanlilo nulle. '

On pent encore ramarquer que (2) peul sc mellrc sous
la forme

(mf' — AC >< r> c) (A c — D c) r^ o .

Qnnls qun soienl Kil et DC, la rolalion (2) esl loiijours
salisfailc puisque le premier facleur esl. (;onslamm(nit
egal a zero. II ne suil done nullement de eelle relation
qu'on dolve avoir AG — DC = 0 ou AC =: DC.

DKUXJliiVlE PARTIE
LA GKOMKTRIE DE MESUUE

en API! RE I

LES ANCllFRKS DI-] ^()S lASTHIJMENTS DE DESSIN
ET DE TOPOGKAPillE

§ 1. — Dessin.

I.:i I'ojie. — L'eiriploi de la regie dans les traces
loaiontL! a un temps immemorial. Les dessins qui
ligiiient ail Manuel egyplien d'AHMES (Introd., § 1)
sont traces a la r^gle par une main, il est vrai, inhabilc.

Au temps de Vitruve (1" s.), les charpentiers em-
ployaient d^ja un cordeau enduit de rouge, de blanc
ou de noir pour le trace des lignes droites.

«

Le conipas. — Dans les productions de Tart primi-
tif qui nous sont parvenues, les cercles sont toujours
traces a la main ; le Manuel egyptien d'AHMES nous
niontre un cercle inscrit dans un carre ; mais la figure
est grossi^rement faite et on reconnaitrait plut6t un
henlagone qu'un cercle sans le texte qui accompagne
ie dessin.

Cependant, la division de la cir conference en 4, 6,

454

LA GEOMtTUIE DE MESURE

8 ou 12 parties egales, qu'on rencontre assez frequem-
ment clans rornementation chez les Egyptiens; la divi-
sion sexagesimale de la circonfeience, vraisemblable-
ment imaginee par les Chaldeens, laissent siipposer
que ces anciens peuples ont connu unc sortc de compas.
D 'autre part, si nous en croyons divers auteurs de
I'anliquite, Tinvention du compas seraitdue a un neveu
de D^dale, Perdix. « Le premier, il unit Tune al'autre
par un lien commun deux branches d'acier, de sorte
que, loujours separees par la mcme distance, I'une
resle immobile et I'autre decrit un cercle » (Ov'.de,
Metamorphoses). Jaloux de son neveu, Dedale lepreci-
pite du haut de la citadelle consacree a Minerve, mais
la deesse change I'enfanten perdrix. line autre version
attribue Finvention a Dedale lui-meme,

Quoi qu'il en soit, les Grecs et les Romains sc sont

certainementservisdeno-
^re compas, qu"on Irouve
represents sur les tom-
beaux et dont certains
echantillons sont parve-
nus jusqu'a nous. Les
fig. a et 6 en donnent des
exemples. Le premier
type est identique a notre compas actuel de charpen-
tier; le second, qui ne pouvait servir que pour prendre
une mesure souvent repelce, est
forme de deux branches montees
sur un axe et dont les tfites se su-
perposent; les deux branches etant
plac6es dans la position corrcspon-
dant h la mesure prise, on venait
les y fixer par la pression d'une
clieville de bronze engagee dans
une ouverture de Taxe.

Fig. a.

Fig. 6.

Compas.

Fig. e.
Compas de calibre.

ANCfiTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET l)E TOl'OGHAl'lUE 155

La figure c monlre descompas de calibre : ie premier^
represente sur un monument funeraire, servait
plus particulierement h. la mesure des
distances sur les surfaces courbes ; le se-
cond, 5. extremites courbees de maniere a
pouvoir penetrer dans les creux, a ete re-
trouve dans une maison de Pompei que

Fig. i. I'on suppose avoir ete celle d'un sculpteur.

Compas Dans cette dernierc maison, on a egale-

de reduction. . . ' i'- < i. j i •

ment trouve 1 mslrument reproduit ci-
contre {fig. rf) etqui n'est autre chose que notre cpmpas
acluel de reduction.

L'equerre. — S'il faut en croire Pline rAncien(Livre
YIl, Chap. LYl), l'equerre aurait ete inventee par Theo-
dore DE Samos, architecte du temple d'Ephese. II est plus
vraisemblable d'admettre que son emploi remonte 2l
ranliquile la [)lus reculde.

Ghez les Egyptiens, l'equerre se designait par le terme

kxipt, qui est le sens primitif du syllabique ou hap

ayant la forme de l'equerre. Aussi leurs documents
la nomment-ils assez souvent et on y voit les rois eux-
memes tenirrequerre en main. On a conserve un tableau
mural representantun atelier de menuisier oil l'equerre
figure sous forme de deux branches a angle droit.

Les Grecs et les Remains ont d'autre part connu
l'equerre sous la forme triangulaire employee aujour-
d'hui pour le dossin.

Le rapporteur. — Get instrument ne parait pas
avoir 6te connu dans I'Anliquite et au Moyen age, ctce
fait n'a rien qui doive surprendre. Jusqu'a la Renais-
sance, en effet, les arpenteurs ne semblent pas s'etre
servis des angles d'une fa^on reguliere dans Lars rele-

mo

LA GEOiMETUli; UK MHSUIU'

vessurlc lerrain; le besoindu rapporleur, qui pormct
prccisJinent le report des angles sur papier, no se faisait
done pas senlir.

On Irouve le nom et Tappareil inenlionries d'une|
fagon explicilo, pour la premiere fois sans doule, dans,
un ouvrage de Philute Da.nfrie (1507) oii I'auleur
docrit un inslrurnont dont il est rinvcalcur. C'esl le
(jraphornelrc , auriuel (,'st adjoint un rapporleur pour le
report des angles; ce rapporteur, en forme de dcimi-
couronneoirculaire,est muni d'une regie giaduec mobile
autour du centre.

f-,'ecliolle de rt^diiclion des Clialdt^eiis^. — L'emploi
des dclielles de reJuclion elait familier aiix Clialdeens.

A.

^

B

\

1

"T ""

/

?

"■ \

E F

Regie de GouJca. — Reslilulion (tiers de la grandeur).

Les fouilles que M. de Sarzec a execulces a Telle
(Mesopolamie), de 1881 a 1888, ont mis a jour deux
statues de diorite poli du palest Goi dea, un des chefs
de la classe sacerdolale de laChaldee auxqucis on doit
la construction d'admirabics monumcnls. Ces slalues,
qui sont au museedu Louvre, remonteraient ^ 3 000 ans
avant noire hvc. Sur Tunc d'elles, connue sous le nom
d'archileclc an plan, Goudea tient sur sfs genoux une
tablette oii liguie le plan d'une forlilication accompagnd
d'une regie divisee en parlie detruite. Sur I'autre,
qu'on designc sous le nom d'architecle a Id regie, le
chefchaldeen tient une iablelle ou se trouvcnt repr(§-
senlds un styl6 a dessiner ou a ccrire et une regie divi-
see a pcu prcs complete ; celle-ci a une seclion

ANCLTIIKS l)i:S INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGKAI'IIIE 157

transversale triangiilaire et sa forme rcippellc cello do
nos doubles decimelres.

Sa longueur, do 265 millimetres pour la parlie gra-
diiee, correspond h la demi-coude'e assyrienno ; cello
longueur est divisee en 16 parlies egales. Sur I'lin dcs
bords, AB, c'nq des divisions primitives prises do deux
en deux, sans doule pour eviter la confusion, sont par-
tagees successivement en 6, 5, 4, 3 et 2 parties egalos ;
sur I'aulre bord, DC, les tiers de division sont subdi-
vises en 3 parties (E) et en 4 (F).

On pouvait ainsi obtenir les fractions suivanles de la
demi-coudee :

_1^__ 1 __1 _J_ i_ _ 1_ 1_ _J^

r6x2~32' 16x3~48' 16x4~G4' 16x5~'8l)'

i _± 1 _j 1 1

IGxO 96' 16x3x3~"l44' 16x 3 X 4~ 192*

II etait done possible d'eirectuer des mosures de lon-
gueurs reelles au moyen do cette regie, comnie nous
le faisons aujourd'liui avcc le double decimetre. Mais il
estegalemontlres probable que, do mfimequece dernier,
elle elait surtout employee comme echelle de reduction.
Son voisinagc sur la slatue de Goudea avec le plan a
petite ecbelle d'un edifice ne pout elre en cffet fortuit
et il doit exister una relation entie la graduation et le
rapport des dimensions reelles aux dimensions figurees
de Tedilice. M. Dieulafoy a etabli que le coefficient de
reduction de cette regie est 1/2304 et que ses divisions
et subdivisions sont proporlionnelles 5. des multiples
du pied et de la coudee, mesures lindaircs employees
par les Chaldeens.

Le conipas de proporlion. — Get instrument ce-
lebre, quit ne faut pas confondre avec notre compas
actuel de reduction, parait avoir ete imagine vers la fin

158

LA GEOM^TRIE DE MESURE

du 1 6* si^cle par Guidalbo del Monte, qui en fit construire
un exemplaire Sl Urbain.

II fut ensuite perfectionne par Galilee, qui publia en

1606 un opuscule
sp^cialen italien sur
ce sujet : Le Opera-
zioni del Compasso
geometrico e mili-
tare. Un ennemi du
grand savant, qui
se caehait sous le
pseudony me de Bal-
thasarCapra, faisait
parailre un an plus
tard, en latin, un
ouvrage sur le com-
pas de proportion
qui n'otait qu'une
mauvaise copie de
Toeuvre de Galilee;
celui-ci, dans une
replique reslee fa-
meuse, n'eut pas de
peine a confondre
son ig-iMNrani ad ver-
sa! re.

Quoiqu'ilensoit,
Tinstrument acquit
en peu de temps
une tresgrande vo-
gue; les nombreuses traductions ou imitations de I'ou-
vrage de Galilee parues dans le cours du 17* si^cle ne
laissent aucun doute sur ce point. Des methodes de
calcul plus rapides ou plus precises en firent ensuite
<iesser I'emploi, et le compas de proportion est tombe

Gompas de proportion.

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOl>OGR\PHIE 159

de nos jours dans un oubli complet : h notre avis, on
pourrait cependant s'en servir encore avec avantage
pour le dessin.

Le com pas de proportion se compose essentiellement
•de deux branches aplalies en cuivre sur les faces des-
quelles sont traces divers rayons egaux ou lignes divi-
sees OA et OA', OBet OB', OC et OC',... qui sontiden-
tiques deux a deux. Dans unedescombinaisons les plus
adoptees, on faisait figurer la hgue des parties egales
{OA et OA'), la ligne des plans (OB et OB'), la ligne des
solides (OC et OC) sur une face du compas (celle
representee ci-contre), ^m^Xdi ligjie des cordes(OYS etOD')
«l la hgne des pohjgones (OE et OE') surFautre face (').

Le compas de Guidalbo del Monte ne devait com-
prendre que les lignes des parties egales et des poly-
genes.

Le compas de Galilee com portait, en plus des S lignes
mentionnees ci-dessus, la ligne des metaux qui per-
mettait de re'soudre divers problemes relatifs aladensite
des metaux, et une ligne particuliere pour determiner
le c6te d'un carre egal a un segment de cercle. 11
pouvait elre aussi employe a la resolution des problemes
d'arpentage ; a cet effet, Galilee avait adjoint a Tins-
trument des pinnules, un quadrant divisd et ua fil a
plomb afin de pouvoir op^rer comme avec le quadrant
georaetrique(Yoir§ 5). Mais cette extension des usages
du compas de proportion ne s'est pas generalisee,

Signalons cnfin que le savant italien appelait respec-
tivement lignes arithmetiqiie, geometrique et stereome-
■trique les lignes des parties egales, des plans et des, so-
lides.

(') II nous a paru inutile de representer I'autre face du compas avec
les deux lignes des cordes et des polygones. Enfin, pour plus de clart^,
nous avons, sur la figure ci-contre, supprime les subdivisions des
iignes.

IGO

LA GEOMETniE DE MESHRE

Nous allons maintcnant indiquer le mode de division
des cinq lignes enum(5reGS precedemmenl et I'emploi
qu'on peut en faire dans la consliuction des problenies
de georaetrie.

Ligne des parties egales (OA, OA'). — Les rajons OA
et OA' sont divises en un meme nombre de parlies
egales, 200 par exemple ; pour plus de commodite, la
longueur OA est prise egale a une mesure lineaire (siir
la figure 10 cenlimetres).

S'il s'agit de diviser line droile MM' en lui certain
nombre de itarties egales, 5 par exem-
ple, on prend la distance MM' a I'aide
du compas a poinles seches, on place
Tune des pointes du compas sur la
tranche OA en une division qui soit
un mulliple de 5, par exemple 200, et
on rapproche la branche OA' jusqu'a
ce que Faulre pointe du compas tombe
sur la m(!ime division 200 de OA'. II
ne reste plus qu'a mesurer I'inler-

valle NN' existant enlre los divisions = 40 de OA

5

et OA' pour avoir la 5* partie de MM'.

Supposons maintenant qu'on ait a diviser une droile

}iiW en segments proportionneis a deux nomhres donnes,.

5 cf 9 par exemple. On ouvre le compas de proportion

de sorte que la distance entre les points 50-f-90 = HO

de OA et OA' soit egale a MM' ; la distance NN' des

points 50 de OA et OA' est un des segments clierches,

MM'^OM_U0
~"0N~

car on a

d'oii

NN'

MM' — NN'.
NN'

liO

50
-50

50

ANCfiTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 161

Si Ton avail k diviscr la droite en segments propor-
tionnels a dcs droiles p et q, on por-
terait /) de 0 en N et N', puis y de N
en M et de N' en M' ; on ouviirait le
compas jusqu'^ ce que la distance
entre M et M' fut egale a la droite
donnee et ou acheverait comme ci-
dessus.

Ligne des plans (OB, OB'). — Sup-
posons qu'un nombre enlier, de pre-
ference Carre parfait, 64 = 8^ par

exemple, soitinscrit en B. Posons d= — , et ecrivons

8

les nombres S, 10, 20, 30, . . . , 60 a des distance-s de 0
'^gales ^ flfV^, d\/ib, d\/20, d\/Jd,..., d\/6{}-
les subdivisions soat faciles a determiner, puisque le
nombre n correspond a la distance d\/n,

• Soil a trouver un triangle semhiable a iin triangle
donne et dont t'aire en soil ies 3/o.

On ouvre le compas de proportion
de sorte que la distance entre les
points 50 de OB et OB' soit egale a
un cote MM' du triangle donne; le
c6te homologue NN' du triangle
cherche est egal a la distance des
points 30 de OB et OB'. Le rapport
des aires des di
bien en effet de

des aires des deux triangles serait

NiN''_ON ^^X30_3
MM'' (ySi'~~ d^xo^~"^*

Soil malntenant a trouver la moyenne proportionnelle
entre deux segments donnes p et q.

FouRRET. — Curios, gdom. 4£

162

LA GEOMETRIE DE MESURE

On porle /? et q sur Ja ligne des parties ^gales et on
trouve par exemple que ces deux seg-
ments correspondent respectivement
a 34 et 45 divisions ; on a done
£^__34
q 45'
On ouvre mainlenant le compas
de proportion de sorte que la distance
MM' entre les points 45 des lignes
des plans OB et OB' soil ej^ale a q\
la moyenne proporlionnclie cherchde
est alors la distance NN' existant entre les points 34 des
mern(;s lignes. On a on eflet successivement

]NN'^ON_^V/34.
MM'"~OM~^^^'

Mais MM' = 9, -^i=-^;
45 q

d'ou NN'' = MM''x — .
45

done NN' =zq'-xl^=pq.
9

Ligne des solides (OC, OC). — Supposons qu'un
nombre enlier, de prdference cube parfait, 64 = 4* par

exemple, soit inscrit en C. Posons c?==:-— et dcrivons

lesnombres5, 10, 20, . . ., 60 ^ des distances de 0 dgales
a</v/^, d\/i^, «?\/20, ..., d\/m. ■

On se servira de cette ligne comme de celle des plans ;
ainsi, on Irouverasansdifficulte un telraedre semblable

h. un telraedre donne et dont le volume en soit les — •

n

Ligne des cordes (OD, OD'). — Les divisions decette
ligne OD donnent les longueurs des cordes degre par
degre du demi-cercle qui a pour diamMre OD,

Soil par exemple h. dciertmner la corde d'un arc de
n" dont le rayon r est ao?ind.

ANCfiTRES DES INSfRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 163

On ouvre le compas de proportion de sorle que la dis-
tance MM' existant entre les divi-
sions 60 de OD et OD' soit egale au
rayon donne ; le point M correspon-
dant a la division 60 est le milieu
de OD et OM est le rayon du demi-
cercle de la graduation. La distance
NN' exislant entre les divisions n
de OD et OD' est la corde cherchee,

car le rapport M des rayons est
i ^ MM' ^

0^

^eal a celui —^—, des cordes de n° correspondantes.

& INN' ^

Pour resoudre le probl6me inverse, c'est-^-dire pour
trouverlenombre de degres d'lmarc dont la corde c et le
rayon r sont donnes, on dispose le compas de sorte que ia
distance MM' entre les divisions 60 de OD et OD' soit
^gale a r ; puis, ayant pris la corde c h. I'aidedu compas
h. pointes s^ches, on pose les deux pointes de telle sorte
qu'elles se trouvent cliacune sur une ligne des cordes
et au meme point de division ; la lecture de la division
donne le nombre de degres de Tare.

Ligne des polygenes (OE, OE'). — Les divisions de
cette ligne OE donnent les longueurs
des cotes d'un certain nombre de po-
lygones reguliers dans un cercle dont

le rayon est

V3

Le cote du triangle

Equilateral inscrit dans ce cercle est
done ^gal a OE.

Soit a inscrire un pentagone dans im
cercle de rayon r.
On ouvre le compas de proportion de sorte que la
distance MM' existant entre les divisions 6 de OE et OE^

i64 LA GEOMETRIE Dt MESLRE

«oitdgale^r: MM' estle cdt^ de I'hexagone inscrit dans
lecercle de rayon r ; la distance NN'entreles divisions 5
•deOE en OE' est alorslec6t6dupontagone inscrit dans

OM

le meme cercle, car le rapport - ~ est egal des rayons

. ON

a celui — ~ des c6tes des pentagones correspondants.

Si Ton a maintenant a decrire un pentagone regidier
sur un segment donne c comme cdte, on ouvre le com-
pas de fagon que la distance NN' existant entre les di-
visions 5 de OE et OE' soit egale k c. Le rayon du
cercle circonscrit au pentagone est alors 6gal a la dis-
tance MM' entre les divisions 6 de OE et OE', et le pro-
blcme s'acheve aisement.

BIBLIOGRAPUIE

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Lome 11. Paris, 1887, 10-4°.
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Marcel Dieulafoy. — L'Acropole de Susc. Paris, 1890-92, in-/ol.
Galileo Galilei. — Le Operazioni del Compasso geomelrico e militare,

PaJoue, liJOC, in-fol.

§ 2. — Traces sur le terrain,

Le cordeau chez les figyptiens. — Les harpedo'
naptes ou teiideurs de cordeau egyptiens (Lntrod., § 1) de-
vaient connaitre certains procedes geom^triques pour
la construction de Tangle droit; les temples et les py-
ramides d'Egypte sont en effet exactement orientes aux
qualre points cardinaux. Leur nom grec, que I'oncroit
etre la traduction d'un terme ^gyptien, fait supposer
d'autre part qu'ils se servaient d'un cordeau dans leurs
constructions geom^triques. On sail enfin, grace aux

ANCfiTRI-S DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 165-

inscriptions relevees sur les temples qui ont etd con-
serves, que dans la cdremonie riluelle d'implantalion^
de la piorre de base des edifices, on employait un cor-
deau et des piquets de Lois; cette pratique remonterail
au moins a Ian 2300 av. J.-C. Mais les rlocuments
dgyptiens sonl muets sur la description des procedes
des harpedonaples et il est facile d'en com prendre la
raison ; ceux-ci lenaient, en effet, h ne pas initicr le
Yulgaire a leurs mystcrieux traces.
II nous parait neanmoins vraisemblable d'admettre,
avec M. Cantor, que les Egyptiens
connaissaient la propridte du triangle
de cotds 3, 4, 5 d'etre rectangle. Des
lors, ayant deux piquets A et K pla-
ces dans la direction du meridien et
distants de 4 unites de longueur,
avec un cordeau de longueur 12 por-
tant des noeuds a des distances 3 et
o de ses extremiles, il sutiisait de
faire coincider ces noeuds avec A et B ;
tendant alors les deux brins libres jusqu'a se toucher,
on obleiiaiten G un point de la perpendiculaire elcv^e
en A sur AB. Ge procede s'est conserve dans la pra-
tique jusqu'a nos jours.

Peul-elre aussi les Egyptiens employaient-ils la m6-
thode que nous allons rencontrer chez les Hindous.

\ Le cordeau chez les Grecs. — On retrouve chez
Heron (Trmte de la Dioptre, XXV, 1" s. ?) une trace de
cet empioi du cordeau, probablement inspire de la tra-
dition egyptienne.

Dans le probleme traite par le savant alexandrin, il
s'agit de reconstituer les limites d'une propriete de
forme polygonale oii les bornes placdes aux sommets
ont disparu, a i'exception de deux ; la position de toules

166

LA GEOM^TRIE DE MESURE

les bornes est reperee au moyen d'un plan par rapport
h deux directions principales normales entre elles. II

suffit de relrouver sur le

terrain ces deux directions,

5. I'aide des deux bornes

existantes, et le problome

s'achfivera ensuite sans dif-

licult^.

F Soient A et B ces deux

, bornes. Le plan de la pro-

^ D E priete indique la distance

BC de B a une cerlaine
droite AF, el en meme temps la distance AC; il s'agit
de tracer sur le terrain les droiles AF et BC qui sont
les directions cherchees.

On marque un point E quelconque sur AB, on mesure
AE et AB. Si Ton suppose abaissee une perpendiculaire
ED sur AF, les triangles semblables AED, ABC donnent

AD = AC.— ^ et ED=rBC.'^. On porte les lon-
AB AB

gueurs AD' et ED, calculees a i'aide de ces relations, a

la suite I'une de I'autre sur un cordeau, respeclivement

en A'D' et D'E', on fixe A' en A, E' en E et on tend

les deux brins A'D' et E'D' du cordeau. La position de

D' determine alors celle de D : AD est Tune dcs

directions cherchees.

Le cordeau chez les Hlntlous. — Nous avons vu
(Introd., § 4) que la description des precedes geome-
triques employes par les Ilindous pour la construction
des autels etaitcontenue dans les QulvasiUras oU Regies
du cordeau; nous allons indiquer quelques-unes de ces
regies d'apr^s Baudhayana (2* s.?).

Les autels pouvaient affecter les formes les plus di-
verses et les plus bizarres: ils dtaient carres, reclan-

ANCETRES DES INSTUUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGMPHIE 167

gulaires, circulaires, en forme de tortue, de faucon, de
roue de voilure, etc. L'axe de la figure etait toujours -
orients suivant la direction Est-Ouest et on I'appelait
« la ligne'du dos » ; la t6te de I'animal represenle etait
placde au levant et sa queue au couchant; les c6t^s
parallclesaraxe etaient les « flancs » ou les « handles »,
€t leur distance h cet axe « I'epaule ».

Yoyons d'abord comment Baudhayana opSre pour

tracer une perpendiculaire a
l'axe EO, celui-ci etant sup-
pose prealablement orients
et des piquets etant places
en E et 0. II prend un cor-
deau 0"E' ayant une bou-
clette k chaque extr^mit^
0" N' 0' E' et de longueur double de

OE; soit 0' son milieu; il
prend ensuite le quart O'N' de O'O" en repliant la lon-
gueur O'O" deux fois sur elle-mdme : on a 0"N' = 3/4
€t J\'E'=:5/4, si OE est prise comme unite de lon-
gueur. En passant les boucleltes dans les piquets 0
et E et on tendant le cordeau vers le point marque N',
on obtient la pnrpendiculairc ON a OE. L'auteur hin-
dou indique un precede analogue en se basant sur la
propriete du triangle 5, 12 et 13 d'etre rectangle.*

Voici maintenant la solution de Baudhayana pour
tracer un carre de cote donne a. On prend un cordeau
de longueur a ayant une bouclette a chacune de ses
extremites et une marque en son milieu. En un point X
de la ligne d'orientation OE on plante un piquet dans
lequel on engage les deux bouclettes, et avec la marque

on decrit une circonference ( de rayon — ); a chacune

des extremites 0 et .E du diametre intercepte sur la
ligne d'orientation, on plante un piquet. Passant une

168; LA GEOMETRIE DE MESURE

des bouclelles au piquet 0, on trace une circonference
avec I'autre boiiclette (rayon a) et on fait de m^me au
piquet E. Ccs deux circonferences se rencontrent en

des points F et G qu'on joint
par une droite ; celle-ci, per-
pendiculaire k OE, coupe la
circonference de centre X
aux points N et S oii Ton
plante a nouveau des pi-
quets. On place les deux
Louclettes en 0 et on decrit
une circonference avec la
marque ; on fait de mcme
enN,E,S. Les points d'in-
tersection de ces quatre circonferences sont les sommets
du carre cherche, ainsi qu'on le prouverait aisement.

Puis Baudhayana enseigne le moyen de transformer
une figure d'autel en une autre semblable et qui soit
dans un rapport donne avec la premiere. Par exemple,
pour obienir un carre B d'aire double d'lin carre donne A^
11 indique que le c6te de B est represente par la lon-
gueur du cordeau tendu suivant la diagonale de A.
Enfin, I'auleur liindou se propose encore de transfor-
mer une figure d'autel en une
autre en lui conservant une aire
constante. II donne a ce sujet
diverses regies parmi lesquelies
nous ne retiendrons que celle
relative h la question suivanle:
Transformer un carre en un
triangle isocele de meme aire et
dans lequel la hauteur soit erjale
d la base (avant-char).
Soient ABGD le carrd donne, OE Taxe de I'autel paral-
I61e k BG et passant par le milieu E de GD. On deter-

B' '

f

0

B

^^\

^^

\

a:

D'

ANCLTRES DES INSTRUMEMS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 169

mine d'abord, commc nous venons de le dire, un carr^
A'Ji'C'D' double du propose et ayant m6me axe, puis on
place un piquet en E. On dispose les bouclettes de
deux cordeaux en E, et ces cordeaux tendus suivant
EAA', EBB' donnerjt le triangle AEB, qui est le triangle
isocele demande ; son aire est en effet egalealamoitie
de celle de A'B'G'D' ou a celle de ABCD.

Le cordeau au Moyen Age et it la Renaissance. —

Le procede suivant est indique par
Li^ONABD DE Pise dans sa Geometric
ioratigiie ^1220j \)Our abaisser par un
point P donne sur le terrain une
perpenfticnlaire siir une droitc tracee
L. On iixe en P une exiremile d'un
cordeau et on tend celui-ci de ma-
nlere que I'aulre extremite Q passe
au delu de L; on marque le point
de renconire A du cordeau et de L,
puis on determine sur L avec PA un point A' tei que
PA' = PA. II sutfit alors de prendre avec le cordeau la

distance AA' et par pliage on
obtient le milieu B de AA' ;
les poinis P et B determi-
nen t la perpend iculaire cher-
chee.

Yoici maintenant un pro-
bleme tire de la S*" ed"" de
la Geometric d'EuRARD de
Bar-le-Duc (1619). 11 s'agit
de determiner la distance AB de deiix points dont t'un
A est inaccessible. On prend un cordeau qu'on divise
par un pliage en deux parties egales. Getant pris sur
AB ou sur son prolongenient, on place les extremites
du cordeau respectivement en B et C et on tend ses

i70 LA GtoM^TRIE DE MESllRE

•deux moilies de fagon a obtenir le triangle isoc^le BDC.
On porte au moyen du cordeau deux longueurs ^gales
DE et DF suivant les coles DB et DC du triangle BDC
et on determine I'intersection G des deux alignements
AD et EF, a I'aide de jalons. Si DE a 6i6 pris le tiers
-de DB, par exemple (ou EF le tiers de BC), GE qu'on
mesure direclement est le tiers de AB.

En resume, le cordeau, dans ce dernier probleme, a
servi k mener une parall^le EF h une droite BG.

La groma des Remains. — L'instrumont qui rem-
plissait dansl'antiquitele mfime oilice que noire ^querre
d'arpenteur portait dilT6renls noms : e'tot/e ou astc-
risque chez les Grecs, ferramentum ou groma chez les
Remains, d'oii le noni de gromatici souvent donne aux
arpenteurs latins.

Son emploi parait remonter a une epoque tres rccu-
l^e. Les Etrusques nolammont sc servaienl d'un pareil
instrument : enElrurie commc en Egypte, les temples
etaient orientes aux quatre points cardinaux.

La groma futk peu pr6s exclusivement employee chez
les agrimenseurs remains. Ceux-ci, lors de la fondation
d'une colonie, par exemple, commengaient par tracer
«ur le terrain concede par I'Etat deux axes rectangu-
laires : I'un, le « cardo maximus » , allant du sud au nord ;
I'aulre, le « decumanus maximus », allant de Testa I'ouesl;
les parts des colons elaient detcrminees au moyen de
parallMes^ ces deux directions principales. On voit que
pour toutes ces operations tr6s simples, a peu pr^s les
seules connues des agrimenseurs, il sullisait d'avoir i:n
instrument permettant d'obtenir deux visees reclan-
^ulaires : c'est 1^ I'objet principal de la groma.

On a ete longtemps sans connaitre quelle avait <St^
la forme exactedecette derniere ; on avait fait les hypo-
Ih^ses les plus diverses a cesujct, jusqu*aujour (1852)

^ ANCLTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 171

ou un arch^ologue ilalien, Gazzera, en retrouva le des-
sin a Ivrde sur le tombeau d'an arpenteur romain. La
groma sc composait d'une lige portant h son extremite ^
infdrieure une douille; dans celle-ci pouvait s'engagert
iin pied ferre appel^ ferram.en-\
tum^ d'ou le nom souvent donn^
a rinstrument toutentier. Deux
regies se croisant a angle droit
etaient fixees h. la tige dans un
plan perpendiculaire a celle-ci.
Un lil a plomb etait suspendu
^ I'une des extr^mites de cha-
cune des reglettes ; I'autre extre-
mite porlait un trait de repere
ou une cheville proeminente
{corniciduni) od I'arpenteur fai-
sait passer un fil a plomb mobile
qu'il tenait a la main et dont
les degauchissements successifs
avec les deux fils fixes donnaienl deux plans de vis^e
perpendiculaires I'un sur I'autre. Les visees e'taient
facilitees par la presence d'une ouverture (Jumen) me-
nagee au point de rencontre de la tige et des deux regies,
et qui est indiquee sur la figure ci-dessus. Sur certains
instruments, les reglettes portaient chacune deux che-
villes a leurs extrcmit6s, avec un fil a plomb fixe h
chaque cheville.

Pourobtenirdes resultats exacts avec la groma, ilfal-
laitque leplan des deux regies tutbien horizontal, ainsi
que Heron en fait la remarque; comme la tige devait
etre perpendiculaire k ce plan par construction, il suf-
fisait done a cet effet de la disposer verticalement dans
deux directions au moyen du fil a plomb.

Afin de donner un exemple de I'emploi de la groma,
nous aliens r^sumerun passage de I'agrimenseurNiPsus.

La groma des Remains

(d'apres I'inscription decou-

verte par Gazzera).

172

LA G^OMETRIE DE MESURE

II s'agit de determiner la largeur iVB d'une riviere, Tex-
tremite A (5lant inaccessible. On eleve en B sur AB, au
moyen de lagroma, une perpen-
diciilaire sur laquelle on prend
deux longueurs egales quelcon-
ques BG=:GB'; en B' on elcve
une nouvelle perpendiculaire
sur BB', On place I'instrument
en G et on le dispose de sorte
que le plan de visde d'une des
deux regies passe par A ; puis
on se retourne et on fait mar-
quer par un jalon le point A' oii
cette direclion rencontre la per-
pendiculaire B'A' ; le segment
B'A' est egal a la largeur clierc!:ee de la riviere, car les
deux triangles ABC et A'B'G' sont egaux.

L'^querre d'Elie Vinet (1383). — Elle se com-
pose d'un plateau de bois de forme
carree ou circulaire d'un demi-
pied de cole ou de diametre et de
3 doigts d'epaisseur, sur lequel
sont tracees deux rainures rectan-
gulaires. Sur sa face inferieure est
menagee une ouverture qui per-
met de faire reposerle plateau sur
un pied.

Lacroix arpentique de Simon Steviii(fin du 16®s.).
— Elle comporte un plateau de cuivre avec deux traits
rectangulaires, reposant sur un pied ferre divis6 en
pieds et pouces afin de pouvoir s'en servir le cas echeant
pour mesurer. Aux extrdmites dcs trails graves sur
le plateau sont disposdes des pinnules, soil pleines, soil

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DfiSSIN ET DE TOPOGRAPHIE 173

munies d'ouvertures, qui permetlent de faire les
vJsees.

On voit qu'apres Simon Stevin, il
reste peu de chose a faire pour arriver
h notre equerre acluelle.

La dioptre de Heron. — Les Grecs
ont employe dans leurs operations geo-
desiquesun instrument appele dioptre, du nom de I'or-

gane servant ^ viser,
organe que Ton a de-
nomme plus tard chez
les Latins mediclinium
et chez les Arabes al-
hidhdt, dont les Fran-
Qais ont fait alidade.

On sait d'apr^s un
passage de Theon de
Srayrne qu'un disci-
ple d'Aristote, Dicear-

QUE DE MeSSINE, SB SCF-

vaitd'une dioptre pour
mesurerla hauteurdes
montagnes; Ptolemde
nous apprend ^gale-
ment queHippARQUE(2*
s. av. J.-C.)employait
un instrument de ce
nom dans ses obser-
vations astronomiques
(Voir § 4, Baton de
Jacob). Mais la dioptre
restee celebre est celle
d^crite par H^ron d'Alexandrie (1" s. ?) dans le traits
qu'illuiaconsacr(^, et qui^taitsurloutdestinee aux ope-

Dioptre de Heron.

Restitution de M. Hermann SchSne

(1903).

174 LA GtoM^TRIE DE MESURE

rations sur le terrain ; on pent la considerer comme
le germe de notre theodolite actuel.

Autant qu'on pent en juger par la description in-
complete qui nous en est parvenue, la dioptre de Heron
se composait essentiellement d'une alidade mobile sur
un plateau circulaire; ce dernier ^tait fixd a un arc
dente qui permettait de lul donner une inclinaison
quelconque au moyen d'une vis sans fin. Le plateau
€\a\t d'autre part mobile autour d'uh axe vertical,
grace h une roue dentee FA ^galement mue par une
vis sans fin EZ.

On pouvait resoudre avec cette dioptre lous les pro-
blemes usuels d'arpentage et de lever de plans, sans
jamais mesurei' d'angles, car elle permettait d'oblenir
des lignes de visde dans tous les sens et d'elever des
perpendiculaires. Pour ce dernier probleme, on devait
se servir de deux diam^tres rectangulaires traces sur le
plateau circulaire.

La dioptre pouvait encore 6tre utilisee dans le
nivellement, comme nous le verrons plus loin (§ 7) ;
enfin lorsqu'on s'en servait dans les observations as-
Ironomiques, on tragait sur le plateau une circon-
ference divisee en 360°.

Yoici deuxexemples de I'emploi de cet instrument,
ex traits du Traite de la Dioptre.

Elant donne deux points A e^ B tels que de I'un on ne
puisse apercevoir I'autre, les joindre j)ar une ligne droite,
quelle que soit la distance qui les separe.

On fait en A un alignement quelconque AG ; puis au
moyen de la dioptre on eleve a AG, en un certain
point G, une perpendiculaire GD de longueur arbitraire,
puis en D une nouvelle perpendiculaire a GD, et ainsi
de suite jusqu'a ce qu'on apergoive B dun point L.

ANCfeTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 175-

En mesurant les diverses longueurs, on a Irouv^

AG= 20coudees GD=:22

DE= 16 EZ=30

— ZH== — 14 flC=rl2
CKz= 60 KL=^

— LB==— ^0 72

32

En faisant l.i somme des longueurs do direction AG

A 20 G

N:

9i\

.'8i \

• L AQ

F 8 \

\

\

\

X'

22
D 16

30

\

..V.

60

M

Sft B P

et relranchant celles de direction opposee, on trouve que

la valeur de MB est de 32 coudees ; faisant de meme la

somme des longueurs de direction GTJ, on trouve que

AM Yaut72 coudees. Le point M se determine ais^ment

sur le terrain.

On prend alors sur AM une longueur arbitraire AT,

de 9 coudees par exemple ; si Ton mene par T la pe.r-

pendiculaire TV St AT, le point V 6tant suppose

sur la droite AB, la longueur TV sera donn^e par la

TV MB
proportion ——==——-. En continuant ainsi, on obtien-
*^ AT AM

176

LA GEOMETRIE DE MESURE

dra aiitant de points que Ton voiidra de Talignement
AB.

Mesiirer im champ [poli/gonal] ou Von ne pent peni'
trer, soil a cause d'lme plantation epaisse, soit a cause
d'embarras provenant de constructions, soit enfin parce
qn'il n' est pas permis d'y entrer.

Soit ABG . . . C le champ polygonal consldere qu'on

divise en trian-
gles par des dta
gonales partant
du sommetC. Au
moyen deladiop-
g tre, prolongeons
CH et ZH hors
du champ, de
quantites IlL et
HK qui soient
une meme irac-

tion — ou un m^mo multiple de CH et ZH. Le tiiano;le
n °

LHK est semhlable au triangle GHZ et on a
aire GHZ = n^ x aire LHK.

On procede de memo pour le triangle GAB.

On determine I'aire des triangles restants comme

I nous allons le monlrer pour CZE. On prolonge HZ

! d'une quantite ZM^rHK; puis au moyen d'un cordeau

' sur lequel on porle succcssivement les longueurs HL,

LK, on determine a partir de Mies segments MN et NZ

tels que MN = HL et NZ = LK. Les deux triangles

ZMN et KHL sont egaux et on a iNZM=LKH = HZG ;
ainsi ZN est dans le prolongement de ZG.

On prolonge ensuite EZ d'une longueur XZ = — EZ

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 177

et sur ZN on prend ZO = — • LK = — • wLK = — ZC.

m m m

Les triangles ZCK et ZOX sont semblables et on a
aire ZCE=m«xaire ZOX.

BIBLIOr.RAPIIlE

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§ 3. — Mesure directe des distances.

La chaine d'arpenteur dans I'Antiquite. — - Chez

les Egyptiens, la mesure directe des distances s'effec-
tuait en particulier au pas par des operateurs speciaux
nommes bimatistes.

Les Grecs employaient un roseau (kalamos) ou une
corde de jonc tresse {scho'inion). « Pour meltre la corde
hors d'etat de s'allonger et de se raccoureir, dit Heron,
on la tend fortement entre deux pieux et apr^s I'avoir
ainsi tendue pendant quelque temps, on la tire de nou-
veau ; apr^s avoir repete plusieurs fols la m^me ma-
noeuvre, on frotte la corde avec un melange de cire et
de r^sine. II vaudra mieux encore la tendre verticale-

FocRREY. — Curios, qiom. i2

178 LA GEOM^TRIE DE MESURE

ment ety laisser pendant assez longtemps un poids sus-
pendu. »

Les arpenteiirs remains se servaient d'une perche
longue de dix pieds ou decempeda, d'ou le nom de de-
cempedatores qu'on leur donnait parfois.

On Irouve menlionn^e pour la premiere fois notre
chaine d'arpenleur actuelle dans un ouvrage de Stevin
paru en 1605.

L'odometre de H6ron (ler s. ?.) — Get instrument
avail pour but la mesure directe des distances en em-
ployant une voiture. Une tige fix^e sur le moyeu d'une
des roues mettait en mouvement une roue k palettes,
et celle-ci, par un systeme d'engrenages& roues dent^es
et vis sans fin, faisait mouvoirun index sur une circon-
fdrencegraduee. Le chemin parcouru se lisait directe-
ment sur la circonference.

ViTRUVE (1" sO, dans son Architecture (livre X), dd-
crit un instrument analogue.

§ 4. — Mesure indirecte des distances.

L'ombre. — Nous avons vii (Introd., § 2) queTuALi^s

(6* s. av. J.-G.) s'etait servi

de l'ombre pour mesurer la

hauteur d'une pyramide.

Gomme iloperaita I'instant

de la journ^e « ou l'ombre

nous est ^gale », il lui suffi-

sait de mesurer la longueur

de l'ombre de la pyramide.

II est probable qu'il employait un proc6de analogue pour

d(5terminer la distance des vaisseaux en mer.

Edclide(3' s. av. J.-C.) dans son Optique d6crit, pour

ANCfiTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 179

la mesure d'une hauteur par I'ombre, un precede qui.
utilise les propriet6s des triangles semblables.

Soient ABla hauteur amesurer, AE son ombre surle
sol suppose horizontal, CD une autre hauteur [un bd-
lon par exemple] dont Textremite superieure affleure la
droite BE. On a

AB = AE.^.
CE

Le procede indique par Euclide a ^le reproduit fre-
quemment apres lui, notamment dans les Geometries
pratiques du Moyen age et de la Renaissance.

Voici comment le grand peintre Leonard de Vinci

(15-16* s.) resout
le meme proble-
me : « Si tu voux
mesurer une
hauteur [d'une
tour] avec I'om-
bre dusoleil,prendsunbMon qui soit d'une brasse, fixe-
le et attends que le soleil lui fasse faire deux brasses
d'ombre ; et aussitdt mesure I'ombre de la tour, et si
elle est de 100 brasses, la [hauteur de la] lour sera de
oO ; c'est une bonne regie. » On voit que le procede
de I'artiste italien a une grande analogic avec celui de
Thal^s. II ajoute d'ailleurs : « Autant be entre en ac,
autant la hauteur de la tour entre en an » ; on retombe
ici sur la solution d'Euclide.

Le b4ton. — Nous venons de renconlrer I'emploi
accessoire du baton dans la mesure par I'ombre. Nous
allons maintenant donner des exeraples de son usage
direct, d'apres divers auteurs du Moyen age et de la
-Renaissance.

Mesurer la largeur AB d'line riviere, ou plus genera-

180

LA CtoM^TRIE DE MESURE

lement, mesiirer une distance horizontale AB dont une
extremile B est inaccessible.

1" Solution {Geometric de Gerbert, 10*-11's .). — On
plaute k rextrdinite accessible A {fig. a) un baton AG
un pen plus court que la hauteur de Top^rateur. Celui-ci
se recule en arri6rc jusqu'a ce qu'il apergoive les points
C et B en coincidence appurcnte : soil a ce moment
DE sa position.

On a alors

DB AB ,, , DB

zzz , U OU

DE AC DIv

AB
AC

AB
AC'

et

AB = AC.

AU

DE — AC

Lcs longueurs AC, AD, DE (hauteur de I'aiil de
rop6rateur au-dessus du sol) peuvenl etre iacilenien'^
deterniinees.

On pourrait aussi employer deux batons AC et DE,
ce (fui dispenserait de faire enlrer dans le calcul la
hauleui'de ropcrateur.

Fig. a. Fig. b.

2' Solution {Geomctrie de Gerbert). On plante verti-
palement en A {fig. b) un ba,ton AC de hauteur un pen
moindre que celle de I'opt^rateur ; sur ce baton s'en
Irouve fixe un second EG perpendiculairement au pre-
mier. On note le point F oii le rayon visuel CB ren-
contre EG. On a

GA

AB = EFx

CE

ANCETRliS DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 18!

[II serait plus commode de se reculeren arriere de A
jusqu'en un certain point A' tel que le rayon visuel
C'B passe par Textremite G du baton horizontal ; il suf-
lirait alors de retrancher A'A de la distance A'B cal-
culee comme ci-dessus, pour obtenir AB.]

3* Solution (Leonard de Vinci, IS^-lB^s.). — L'opera-
teur emploie un biton liche en lerre en AC (//'y. c) el dont
la hauteur est egale a la distance de roeil au sol. Ou vise
le point B apres s'etre recule au dela de A et on mar-
que le point E ou le rayon visuel rencontre le bflton
AC. Pour mesurer la longueur DC avec precision, on
pent se servir dun lil ou d'une baguette dont une ex-
tremite est en C et dont I'autre est ^Foiil. On a

AB = CDx

AE
EC

Fig. c. Fig. d.

4* Solution (fieometrie d'ERRARo, 3*ed., 1619). — On
place verticalement un baton AC en A, puis on en fixe
un second CD en un point du premier, de sorte que sa
direction passe par B. Un tail pivoler le syst^me de 180"
aulour de AC ; la direction CD' du baton auxiliaire
venant rencontrer en B' le sol suppose horizontal, la
distance AB' est egale a la longueur cherchee et il ne
resle plus qu'a la mesurer directement.

Si I'operateur est muni d'un chapeau k larges bords,
il peut se dispenser de I'emploi dii baton CD. Ap-
puyant le menton sur le baton AC, il dispose son cha-
peau de telle sorte que le rayon visuel allleurant le

i82

LA GEOMETRIE DE MESURE

bord passe par B ; se relournant et repetant la m^me
operation, il determine le point B'.

Mesurer une hauteur AB dont le pied A est accessible,
le sol dans un certain rayon etanl suppose horizontal.

l""' Solution (Geometrie de Gerbert, 10*-H* s.). — On
cmploic un instrument (Jig. a) compose de deux batons

CD

CD et EF = -— , le second, de longueur a pen pr^s ^gale

{i la hauteur de I'operateur, etant dispose perpendiculai-
rement et au milieu du premier; ces bS,tons « sont des
objets que jamais le geomMre ne doit oublier de pren-
dre avec lui ».

L'opcrateur cherche dans la plaine une position EG
telle que le b^lon CD etant place verticalement au
moyen du 111 a plomb, le rayon visuel ED passe par B.
On aalors, si 11 est le point de AB oii la direction EF
coupe cctle droite, BII = HE, et il suffit pour obtenir
AB d'ajouter la longueur CF a la longueur HE = AG,
qu'on pent mesurer directement.

2* Solution (Souan-fa-tong-tsong, traits malliem.
chinois, 1593). — On plante en CD (fig. b) un baton plus
haut que I'operateur ; celui se recule en une position EF
telle que son rayon visuel FD passe par B. Si G et H

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 183

sont les points oil les horizontales en D et F coupent
respcctivement AB et CD, on a

HD

GB = GD-

HF

II n'y a plus qu'^ ajouter CD = AG k celte valeur
dc GB.

3« Solution (Gcometrie cI'Errard, S" M., 1619). —
Un premier b^ton etant place
verticalement en CD, on en
dispose un second plus court
EP dc telle sorte qu(; le rayon
vi.suel FD passe par B; puis
on determine le point I oil la
di reaction I)F rencontre le sol
liorizonlul. On a alors

ABrrrAl.

CD
CI

Mesw^er unc hauleur AB dont le pied A est inacces-
sible.

1'* Solution (Souan-fa-tong-tsonfj, 1S93). — On op^re
g comme au probleme

precedent (2" Sol.),
mais en faisant deux
stations enEF, E'F' et
en employant le meme
baton dans les deux
operations. On a alors
successivement :

a \s,^

N^"""^"

H

II 1

II 1
II 1

E C

GB
Dli
GB
DH

GD
HF

GB ^ GD^
DH' HF'

ou, comme D'H' = DH,
GD' — GD DD'

GD GD' ,, , GB

— = ; d ou =

HF HF" DH HF'— -HF

H'F' — HF

184
et

GB = DH

LA GEOM^TRIE DE MESURE

DD'

DII.

cr/

Il'F— IIF C'E'

On ajoulera CD a GB pour obtenir AB.

CE

2' Solution {Geometric ,
d'ERRARD,3''cd.,1619).—
On opero com me an pro-
bleme piec(5dent(3''Sol,),
on faisant deux stations
ct en se servants cliaque
fois des m6mcs batons.
On a alors

AB
CD

AI
CI

d'ou

Al'
C?

AB=rCD-

Al' — AT

Cl

II'

cr

Cl — CI

II'

cr— CI

Le miroir. — L'cmploi — au moins Iheori'que — du
miroir pour la mcsure indirecle
des distances parait remonter
h une Ires haute anliquild.

EucLiDii (3" s. av. J.-C), dans
son Oplique, indlquc le moyen
de meuirer unc Jiauteiir AB par
ce procede. Lc miroir elanl dis-
pose sur lo sol horizontal en C,
I'observateur se ddplace jusqu'a
ce qu'il aperQoivo I'image du point B dans lo miroir.
Lcs angles d'incidence et de reflexion etant c'^vaux, dc
meme que les angles BGA et ECD qui sont complc-
mentaires des premiers, les triangles BAG et EDG sont
semblables et on a

An AT ^R

AB = AC.--^.

ANCETRES DES INSTIUIMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 185

DE est la hautour de Void do I'observateur au-dessus
du sol, AC ol DCsont mcsures directement.
Voici maintcnaiit le procede donnc dans la Geome-

^r/e deGERBERT(10''-
H" s.) pour mes7(rfir
une hauteur hJS dont
le pied est inacces-
sible. Dans une pre-
miere position du
mlroir, roperaleur
place en DE aper-
Qoiten C Timagc de
B ; et dans une se-
conde position du miroir, I'opdrateur D'E' apergoit
I'image do B en C'. La similitude des triangles BAG et
EDO, BAG' ct E'D'C' donwe

[AB
DE

CD

et en fin

G'A AB

Ciy' °" DE

AB = DE

C/A — CA
CD— CD

CG'

CG'

G'D' — CD

CD'— CD

La niesure de la profondeiir d'un puits par Eiiclide

•i^ {Optique, 3" s. av. J.-C). — L'ob-
sorvaleur so deplace jusqu'a ce que
Ic rayon visiiel, rasant le bord D du
puils, passe par le point B de I'ar^te
rentrante du fond qui est diamd-
Iralcment opposd h D. Les deux
triangles semblables BCD et DEF
donnent alors

DCrrBC.^^AD.^.
DE DE

La lyclinia des Ancieiis. — On s'est servi, dans

486

LA GEOMETfilE DE MESURB

I'Antiquite, d'un instrument qui se composait d'une
r^gle formant alidade mobile en son milieu au sommet
d'un baton vertical ; I'ensemble portait le nom de
lychnia (chandelier). On I'employait a la mesure
des hauteurs, dans les Iravaux militaires surtout.
Yoici le precede indique par Jules l'Africain (2' s.)
dans ses Cestes pour evaliier la
hauteur AB d'une muraille a
I'aide de cet instrument. On
place le pied de la lychnia ver-
ticalement en CD, puis on dis-
pose I'alidade de maniere h
apercevoir le sommet A du
mur; on passe de I'autre cote
de rinstrument et on deter-
mine par une visee le point E ou la direction de I'alidade
vient rencontrerle sol suppose horizontal. On a alors

BE

AB 3= CD.

CE

Les Heches de Gerbert (10"-! 1* s.). — « Si tu veux
trouver la hauteur d'un ob-
jet, lu pourras le faire par
le procede mililaire que
voici. Prends un arc avec
une fleche et du fil ; un
bout de fil etant fixe a I'ex-
Iremite de la fleche, I'autre
reslant dans la main, fais
que la fleche lanc^e par Tare frappe le sommet de la
hauteur a mesurer. Ensuitc, I'extremit^ d'un autre
fil est attachee de la m6me faQon a une autre fleche
ou a quelque trait, et que I'un de ces projectiles
frappe le pied de la hauteur, commc precedemment
le sommet. Gela fait, tu rameneras les deux fits et

ANCfcTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 18T

regarderas combien I'un et I'autre, mesurds rapide-

ment, contiennent de coudces » {Geometric de Gerhert).

Si AB est la hauteur a mesurer el si I'observaleur est

en C, on a AB = \/ac' — BC' .

Le fil a plomb (Leonard de Vinci, ir)"-1()'' s.). — « II
y a un baton qui est appuye conlre
un mur qui est haul do fi brasses,
ct le baloii est de meme haut(.'ur;
je Teloigne jjur le pied et je ne
sais pas de combien; il descend
aussi par la tele et je ne sais pas
de combien ; je deinande le nioyen
de le mesurer. »

Par un point quelconque a du ba-
ton be, on fait passer le fil k plomb ac\ la distance bd
dont on a dearie du mur le pied du baton est donu^e par
I'expression

bd=: be. — .
ha

La hauteur dont est descendue la t6lc s'obliendra ei*
retrancliant de 6 brasses la longueur

bd
be'

La dioptre. — Deux points etant donnes dont I'un A
£ pres de nous et lautre B au
loin, mesurer leur distance rc-
duile a I'horizon, sans s'appro-
cher de cehiiqiii est eloigne(llt-
RON, Traite de la Dioptre, l*'s. ?).
Avec la dioptre, on pio-
Jonge I'alignement BA cl on
prend un point G sur ce prolongement. On 61cve en A

de = ac

188 LA GtoM^TRIE DE MESURE

et G des perpendiculaires AD et GE et on prend un
point quelconqueE sur cette derniSre pcrpondiculaire-j
on cherche entin I'intersection D de EB et de la per;!
pendiculaire en A. On a alors

GH^GE
Ali ad'
GB — AH GE — AD

d'ou
et enfin

AB
AB = AD.

AD

A(i

GE — AD

b^iu

Etant donn6 deux points A ef B vns de loin[ou inac-
cessibles\^ trouver la longueur de la droile qui les separe
reduite a I'horizon, ainsi que la [direction de la\ droite
qui les joint (H6ron, Traite de la Diuptre).

Au moyen de la dioptre, en un point G d'ou Ton

voit le point A, on dleve la
perpendiculaire GD a AG,
puis la perpendiculaire BE
a la meme droite. On de-
termine les longueurs GA
ct EB comme il est dit au
probleme precedent, Soit
EB > GA ; on porte sur EB
a partirde E une longueur
EZ = EB — GA. La droite GZ est egale et parallele a AB :
elle donne done la longueur et la direction de AB.

L'6querre. — Mesurer la largeur AB d'une riviere.

1" Solution (^Agrinienseurs romains). — Nous avons
indique antdrieurement cette solution, supposant I'em-
ploi de la groma qui n'est au fond qu'une dquerre.

2* Solution (Cestes de Jules TAfricain, 2' s.). — L'au-
teur latin se sert d'une equerre ordinaire a deux bran-

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 189

ches disposde sur un pied dans un plan horizontal et
munie d'une alidade. On prend sur le piolongement de
AB un point D tel que la distance BD
soit superieure a AB, ce qu'il est
facile d'obtenir par des tatonnements
s'il est necessaire, et on m6ne par ce
point une perpendiculaire k AD sur
laquelle on porte deux longueurs
egales DE ot EF. On eleve en E sur DF
une perpendiculaire dont on cherclie
I'interseclion G avec raligneinent FA
et on mene eniin par G la perpendi-
culaire GO ^ AD. II resulte decette construction que G
est le milieu de AD ; par suite AG = GD, et on obtien-
dra AB en relranchant BC de GD.

3* Solution (fieometrie d'ERRARD, 3* (5d., 1019). — Sur

le soinmet G d'un bS^ton
plac6 verticalementen A, on
dispose une equerre de telle
sorte que la direction de
Tune des branches passe
par B. Soit D le point oii la
direction de I'aulre branche
rencontre le sol horizontal.
Le triangle rectangle DGB donne

AB =

AG

ad'

Mesurer une hauteur AB dont le pied A est accessible.

l" Solution (fieometrie de Gerbert^ 10*-11*s.). — On
se sert d'une equerre a branches egales DE--=EF.
L'observateur se place dans une position GD telle que
la branche £F e'tant verlicale, le rayon visuel DF passe

190

LA G^OM^TRIE DE MESURE

par B. On a dors BG==GD = AG, G ^tant le point oii'
la direction DE coupe AB ; on mesure AC, et eny ajou-
tant DG = AG, on obtient la iiauteur clierch^e.

2* SonjTioiN (Geomclrie de Gerrert). — On opere
comme dans la solution prec(§dente avec une equorre
•en forme de triang^lc rectangle de coles 3, 4, 3. EFelant
les 3/4 de ED, BG sera les 3/4 de GD ou AC.

3* Solution (GcWz<?7n<?d'ERRyVRi), 3* ed., 1619). — Sur

le somrnet D d'un btHlon CD
pose verticalemenl en un
point quelconque, on dis-
pose une equerre de telle
sorte que la direction d'une
deses branches passe parB;
soit E le point oii la direc-
tion de raulrebranche ren-
contre le sol.

Si Ton m5ne DF parall^le a CA, les triangles BFD
et DCE sonl semblables comme ayant les c6tes perpen-

FD

diculaires et Ton a BFir^EC-— • II suffit d'aiouter a

CD •'

BF la hauteur du baton CD.

L'astrolabe. — Get instrument parait avoir dte in-
vents par les Arabes; ceux-ci en ont, en tout cas, faitun
usage conlinu dans leurs observations aslronomiques.

ANCferilES DES INSTFUJMr.NTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 191

/astrolabe comportait une face et un dos qui seul

fut utilise en topographic
au Moyen age, dii 12" au
to* siecle. Le dos formait
iin cercle plein dont la cir-
confcronce (Halt divis('e en
3(10 degres (et fractions de
d(!gre), et an centre duquel
lournaitune alidade KL mu-
ni(^ de deux pinnules. Un
anneau correspondant a I'un
des diametres 90" — 90"ou
0 — 0 permeltait de le sus-
pendre.

Un carre EFGII inscrit dans lacirconf^rence et por-
tant le nom de carte des ombres avail ses cotes paral-
l^lcs a ces deux diametres ; chacun de ses denii-cot^s
etait partag6 en 12 parties egales ou points. Les lon-
gueurs determinces par I'alidade suivant les cotes hori-
zontaux etaient designees sous le nom d! ombres droites,
et suivant les coles verticaux sous le nom A'ombres
verses (').

Dos (I'un astrolabe.

\

(') Soient S le centre dn Soleil, 01' et 01 deux styles de longueur
egale a I'unite, I'un horizontal, I'autre vertical, et
situes a la surface de la terre dans un meme plan
vertical P passant par S. P coupe I'horizon suivant
une droite dont la longueur IJ comprise entre le
style vertical et le rayou lumineux SO est I'ombre
de 01 sur I'horizon ; de meme, I'ombre de 01' sur
la verticale menee par 1' est le segment I'J' com-
pris sur cette verticale entre le style 01' et le rayon
solaire SO.

Les Arabes ont appele les longueurs IJ et I'J'
ombre droile et ombre verse de Tangle lOJ = I'J'O
qui mesure Tangle de la verticale et du rayon

solaire SO. C'est ce que nous appelons aujourd'hui la tangente et la cd-

iangente du meme angle.

192 LA GtoMETRlE DE MESIJRE

Yoici comment on se servait de cet instrument, no-
tamment d'apr^s la Geometric de
Gerbert (10-11* s.), pour la mesure

P des distances terrestres.

Evaliier une hauteur MP. — Te-
nant I'instruQient suspendu par une
main, I'opdrateur place en N sur le
sol horizontal dirige Talidade de
sorte que celle-ci passe par le som-
metPde la hauteur a mesurer. Sup-
posons que la ligne de visee coupe
la ligne d'ombre droite en J et que
I'horizontale passant par Tceil L de
I'observateur rencontre MP en Q.
Les deux triangles semblahles PQL et OIJ donnent

alors QP = QL.Vr ou QP = MN

IJ etant dans

ff ou QP = MN.1|,

cette derni^re relation lvalue en points. II suffit done
de mesurer MN et on obtient QP par un calcul tres sim-
ple ; en ajoutant a QP la hauteur LN de I'observateur
au-dessus du sol, on a la hauteur cherchee.

Si Ton se place avec I'instrument de fagon que I'ali-

dade passe par un des sommets du carre des ombres, la

hauteur MP s'obtient sans calcul,

car elle est alors juste ^gale a la

distance MN.

Dans le cas on I'alidade coupe
la ligne d'ombre verse, en J' par
exemple, il est facile de transfor-
mer les points d'ombre verse lus
sur Tastrolabe en points d'ombre droite. Les deux
triangles semblables OIJ et OI'J' donnent en effet

U = Y7T, » ajant lu I'J', cetle relation donnera la valour

ANCftTRES DBS INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPRIE 193

correspondante de IJ (en points d'ombre droite), ce qui
pcrrnettra d'cmployer la m^me
formule que precede mment
pour calculer QP.

St le pied M de. la hauteur est
inacceasiblfi, on fait deux stations
N et N,. On a alors

QP_MN^MN,_ JJJN^
12 I J ij, IJ. — IJ'

d'oCi QI» = NN,

12

U. — IJ

Mesurer une longueur harizontnle NM. — L'optfra-
teur, so plagant au-dessus d'une des
exlreniiles N do la longueur ^ mosu-
rer, dirige I'alidado do inani^rea viser
I'autre extrdmite M. On a alors

7- ou

NM = ON
NM = ON

IJ

01

IJ

12'

IJ otant 6valu^ en poinls.
On a done ici i\ m-'surer la distance ON du centre de
I'astrolabe au-cicssus du sol.

Le quarrel gdomf^lrlque. — Pendant tout Ic Moyon
ago et la llenaissance, cot instrument a eu beaucoup
de vogue pour la mesure dos distances. On le voit appa-
raitre pour la premitire fois dans la Geometrie de Gi:r-
BERT (lO'-ll's.), puischez DoMiNicus deClovasio(14's.).

Mais c'est surtout a Tastronome Peurbach (lo" s.)
que le quarre geometrique doit sa renommee ; ce der-
nier I'a employd dans ses observations aslronomiqncs,

FocRRET. — Curiot. giom. Vi

194

LA GEOMETRIE DE MESURE

Get instruiiiervt so

apres lui avoir donne tous les perfectionnements dont
il 6tait swsceplible.

Composait ossenliellement d'un
carre ABGD, soit massif, soit
constitue par quatre regies
de bois ou de metal (on en
trouve parfois une ciriqui6me
dirigee suivant une diagonale
et destinee h consolider le
cadre). Deux colds adjacents
BG et GD etaient divisi'js en
parties egales; le nombre des
divisions pour chaque cote etait Ires variable : il attei--
gnait 1 200 cliez Peurbach. En Fun des sommets, A, ^lait
lixee une alidade munie de deux pinnules. Gertains
quarres comporlaient sur Fun des cotes pris comme
base deux autres pinnules qui facilitaient la mise en
station horizon tale de cette base ; enfm beaucoup etaient
munis d'un quart de cercle allant de B en D, divise en
degres et fractions de degres, et qui permettait la lec-
ture directe des angles.

Peurbacli determinait les angles EAD au moyen

DE
d'une table contenant, en regard des rapports (')

DE

AE

la valeur des angles correspondants.

N/XD'-f-DE'
Enfm Fastronome allemand obtenait la mise en station:
du quarrd au moyen d'un fil a plomb suspendu a la
rfegle superieure et venant battre un repere trace sur. la
regie inferieurc : celle-ci se trouvait ainsi: parfaitement
horizontale.

Passons maintenant au mode d'emploi du quarrd.
Soit kmesurer une distance horizontale GH. L'oporateur

(0 Sinui de I'angle EAD.

ANCiintES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGIUPHIK 195

se place (ie telle sorle que rarticulation A de Talidade

se Irouve au-dessus d'uiie des

D A. extreinites G de la distance a

mesurer ; il vise le point 11 avec

B Talidade, et note le point E

ou celle-ci rencontre DC. Les

deux triangles semblables AGil

et KDA dojiuent alors

GH = AG.

DC

DC

On mesure )a longneur AG; le rapport — 4 ^^' '^'

quotient des nonibres de divisions cont«!nues dans DC
et DE. En posant UC sur le sol, on evite la mesure de
AG. Pour oblenir des resultats d'une exactitude sufti-
sante, il J'allait evidemment (jue le ccMe AD cut de
grandes dimensions : il avait souvent deux pieds.
Pour eoaluer une hauteur FII,on commence par me-
surer la distance GU, G etant le point
oil la direction horizontale AB coupe
FH, absolument comme on vient de le
faire pour une distance horizontale, II
sullit ensuite d'ajoutera Gil la longueur
AI = GF mesurec directement. En po-
sant le cote BC le long de FH, on evite
la mesure de AG et de AI.

L'usage du quarre geometrique est
done analogue a celui du carre des om-
bres de Tastrolabe. Nous devons signaler toutefois
qu'on nc rencontre pas avant Peurbach les designa-
tions umbra recta et umbra versa sur les cotes du
quarre, designations- qui, nous le savons, existent sur
I'astrolabe.

On est done conduit a pcaser que le quarre n'est pas

.19() LA GEOMETIilE DE MESORE

derivd de I'astrolabe et constitue une invention ind6-
pendante.

Le quadrant geometrique. — Get instrument, d'ori-
ginc vruisemblablemcnt arabe, est deja decrit dans la
-Geufnelrie pratique de Leonard de Pise (1220) ; un cer-
tain Robert Angles, de JMontpel-
lier, a compose a son sujet dans
le cours du 13* siecle un traile
special, qui a joui d'une giande
vogue.

Le quadrant geometrique se
composait d'un quart de cercle
BOA dont le limbe elait divis6
en 90 degres ; sur le rayon
joignant le centre 0 a la divi-
sion 90 etaient disposees deux
pinnules suivant lesquelles on pouvait diriger une
ligne de visee ; un fil k plomb ^tait fixe en 0. Un
carre EOGD, dont deux cotes OC et OE se confon-
daient avec les rayons extremes et dont les deux aulres
•cdtes etaient divis^s en un meme nombre de parties
egales, etait trace sur le quadrant. Le limbe n'etait
pas utilise dans I'arpentage : on aurait
done pu le supprimer ot le reduire au
carre des ombres. Un quadrant de cette
derniere forme a ete decrit dans un Traiid
de gkomelrie 'pratique redige en anglais
au 13* siecle.

Nous nous contenterons d'indiquer le

procedd employe pour evaluer une hau-

teurM^ au uioyon du quadrant ordinaire.

Le rayon superieur OG de Tinstrument

(laiit (lirige vers lesommet P, on lit sur GD la distance

GF, F etant la division de GD battue par le fil a plomb,

A.NCKTRES DKS INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGIiAIMIIE 197"

el 0:1 ?nrsiir(!Mi\. Lasimililude dcsdcux Iriangles PMN
et OCF donne idors

MP

CD
CF

Lc quLulrant repose sur un principe differe-nt do cehii
de raslmlabc, nmis on voit que I'usage des deux inslru-

menls est absolumcnl analogue.

Fig. n. — « Sccrotorum rcvcl.itor « de Levi ben
Gerson (14' siecle). (D'apres M. Gurtze),

Le baton de Jacob. — Get instrument a Tcqu Ics
nomsles plus divers: baton de Jacob, batongeomelriqiie,

crosse de Saint-
E Jacques, batis-
te, rayon asLro-
nomiqiie, puis
arbalele ou or-
bnlestrille .WixiX.
surement con-
nu des Arabes ;
mais la pre-
miere descrip-
tion qu'on on Irouve est donnee par un certain Levi ben
Gerson, denalionalitejuive, morl^ Avignon en 1344, qui
le dcsigne sous le nom de secretorwn revelator. Ghez cet
auleur, ilse compose n'une regledivisee sur laquelle pent
se mouvoir une labletleA (Jig. d)\ a Tunc desextremites
dc ccUc regie est fixee une seconde tablette D {tabula
cornutd) disposee de maniere ^pouvoir s'adnpler a Tceil
et munic vers son centre d'oiivorturcs permetlant les
visees. 0 est le centre optiquc du crislallin de Foeil de
Tobservatcur (centrum visus) ; les divisions marquees
sur la regie out lour point de depart en 0.

Vers le lo^sicclc, Tinstrumentest unpeu simplilie ;la
tablette D est remplacoe par des regies transversales AC,
A'G',... (Jig.b'), appelees curseurs ou marteaiix, glissant

198 LA GEOMETRIE DE MESURE

surlatige ou myow a section carree. Cettelige portesur

ses faces des divisions differentes correspondant respecti-

vementachacundescurseurs. Sous cettederniere forme

€t sous le nom d'arbalestrille, le baton de Jacob a et6

longtemps employe par les marins.

.Le principe dc rinstrnment se trouve d'ailleurs deja

dans la dioptre que Ptolemee

attribue au grand astronome

grec UipPABQUE (2* s. av. J.-C),

et qui est constituee par une

n>gle graduee niunie de deux

pinnules. L'une de celles-ci est

iixe et correspond a la tablette

D ; I'autre est mobile et tient

Fig. b. — Arbalestrille. lieu de la tablette A ; enfin les

fentes des pinnules se trouvent

a ditferentes hauteurs pour faciliter les visees.

Le baton de Jacob elait surtout employe en astrono-
mic a la mesuredes distances angulaires dedeux astres ;
mais il fut vraisemblablement aussi utilise en topogra-
phic a la mesure des longueurs et peut-etre a celle des
angles.

Ayant par exemple a mesurer la hauteur FE(/?^. a),
I'operateur se place defaQon a 6tre a peupres a mi-hau-
teur de EF [Si cette derniere condition ne peut 6tre
remplie, il suflit a I'operateur de se reculer suffisam-
ment au loin pour que I'erreur commise devienne ne-
gligoable]. Puis il adapte la tablette D a son ceil et fait
mouvoir la tablette A jusqu'^ ce que les rayons visuels
OA et OC passent par E et F. Soit G le point oii la di-
rection de la r^gle supposee sensiblement horizonlale
rencontre EF ; on a

EF = AC— .
OB

ANCfiTRES DES INSTIiDMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 199

On a mesur6 AC une fois pour toutes, on lit la lon-
gueur OB sur la regie et on mesure en fin la distance
horizontale OG.

Les operations avec le baton de Jacob etaient rela^
tivement rapides, car on voit que cet instrument per-
meltait de viser a la fois dans deux directions ditf^-
rentes.

Les t^lemetres a <a Renaissance. — On voit appa-

railre ala Renaissance,
dans les geometries
pratiques, des instru-
ments portatifs servant
a evaluer direclement
les distances, sans cal-
cul. Nous decrirons ce-
lui d'ERBARD de Bar-
LE-Duc (r^ed., 1594),
dont on trou ve le germe
dans la Geometrie de
Gerbekt(10''-11''s.).

Deux regies de lai-
ton AB, AC sont arli-
•culees en A ; une troisleme regie EF glissant le long de
AB est munie dune vis D permettant de la iixer. Cha-
cune d'eilescst divisee en un meme nombre de parties
egales. Enfin, un pied pent etre adapte h I'instrument
au moyen d'une articulation analogue au genou h co-
quilles de nos graphometres actuels.

Soit h 6 valuer la largeur d'une riviere ou plus ge-
neralement la distance d'un point accessible M a un
point inaccessible N. On dispose la r^gle AB verti-
calement, puis la regie EFde telle sorte que la distance
AEcomporteautantdedivisionsqu'il Y ade piedsdeAen
M. Onlaitensuite mouvoirla regie AG jusqu'a ce que le

Telemetre d'Errard de Bar-lc-Duc
(1594)

200

L\ GEOMETIUE DE MESURE

rayon visucl AG longeant cette rhgle passe par le point
N. La distance MN a mesurer contient autantde pieds
que la distance EG contient de divisions.

Mesure de la largenr d'une riviere
(D'apres Errard de Bar-le-Duc).

On pent par un procede analogue evaluerles hauteurs
et les profondeurs.

BIBLIOGRAPIIIE

I, L. Heiberg. — Euclidis opera omnia, tome VII (Optica). Leipzig, 189S,
in-8».

A. J. H. Vincent. — Exiraits des manuscrits relalifs & la Geometric pra-
tique des Grecs. Not. et Extr, des Mss. de la Bibl. Nut., tome 19, 2-= p'«,
18o8.

Gerbert. — Opera mathematica. Edition Bnbnow. Berlin, 1899, in-8».

Ch. Ravaisson-Mollien. — Les manuscrits de Leonard de Vinci (Traduc-
tion franc, par). Paris, 1881-1891, 6 vol. in-fol.

Ed. Biot. — Table gdnirale du Souan-fa-tong-tsong. J"' Asiat.,l«""sem.l839.

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l" ed., Paris, 1594. 3« ed. revue par Ilanrion, Paris, 1619.

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Ar.'CETKES DES INSTIUIMENTS lit DESSIN ET DE TOPOGUAPHIE 201

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Exlr. dcs Mss. de la Bibl. Nat., lonie .'15, S" p'«.
G. Peurbach. — Libellus M. Gvorijii I'urbuchii de quadralo geometrico .

Nuremberg, l.'>44, in-i" ,
S. GiJNTHER. • — Die ersle Anwendung des Jakobsslabes zur geographischen

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M. CuRTZE. — Uie Abhandtung dcs Levi ban Gerson uber Trigonomelrie

und den Jacob slab. BiblioLbeca malljematica, 1898.

§ 5. — Mesure des angles.

Les instruments precedents, astrolabe, quarr^, qua-
drant, baton de Jacob, n'ont pas dt^ utilises en topo-
graphic, au moins d'une maniere suivie, pour la mesure
des angles. It faut arrlver a la Renaissance pour con-
slater I'usag^e efl'eclif d'un instrument permettant cette
operation. Get instrument est le graphomeitre.

Le graphometre. — Philippe Danfrie en a public la
description en 1097. Le nom de cet instrument indique
qu'il devait servir a la fois au dessin et au mesurage ;
nous avons vu precedemment(§ 1) qu'il comportait un
rapporteur comme appareil accessoire pour le report des
angles. II a conserve le nom de grapbometre, bien qu'il
ne soil plus employe aujourd'hui qu'a la mesure exclu-
sive des angles.

Le grapbometre de Danfrie est h peu pres identique
a I'instrument actuel ; il est constitue par un demi-
cercle divise, unc alidade fixe et une alidade mobile,
un pied a trois brancbes et un genou arlicule.

Le germe du grapbometre se retrouve dans Vliolo-
metre, instrument assez complique decrit par Abel
FcLLONE en 1364.

BIBLIOGRAPIHE

Abel Fullone. — Descritliom c.l uso dcW Holomelro... Venise, 1564, in-^'.
Philippe Danfrie. — Declaration de I'usage du graphometre. ..Pixris, 1597.

202

LA GEOM^FRIB DE MESURB

Giaphomt'lrc de Pljilippe Uanfrie (loi»7).

§ 6. — Mesure des petits segments lin6aires
et circulaires.

Lcs instruments destines a la mesure des angles n'ont
donne de veritable precision que du jour oii Ton est
•arrive a evaluer les petits arcs avec suffisamment d'exac-

ANC£TRES DES instruments DE DESSIN F.T DE TOPOGRAPHIE 203

litude. L'invcntion du vernier a donnd la solution de
la question ; mais, ainsi qu'on va Je voii-, les lalonne-*'
ments ont etd nombreux avant d'arrivcr a cette inge-
nieuse conception.

JJEchellede transversalesde Levi ben Gerson (ll^s.).
— Laregledusecre^orwmreye/flfordecritanterieuremont •
(§ 4) est divisee en 4 parties egales dont les extr(!;mites
sont marquees I, II, III et IV sur la ligurc correspon-
dante ; toutefois, la premiere est de 1/20 phis coiirte
que les aulres pour tenir cornpte de ce que le centrum
visits est distinct de I'extremite de la regie. Les deux
dernieres sont divisees chacune en 18 [)arties egales
nomuiees degres ; chaque degre est a son tour divise
en HO minutes dela maniere suivante:

Soil ABCD la purlie de la lace superieure de la r^gle
correspondanl a un degre ; la
face laterale projetee en AB
est divisee en 6 parties egales,
et celle projetee en DC en
12 parlies; des Iransversales
i23*s67|89|mn2 ^_^^ |_^^ l_3^ 3.2^... joigncnt

f H les points de division comme

il est indique sur la figure.
EnRn, la r^g^e est encore partagee en 5 parties
egales dans le sens de sa largeur au moyen de paral-
leles dquidistantes. La longueur de regie interceptee
par une transversaie, 1-1 par exemple, equivalant h.
1/12 de degre, la longueur interceptee sur une trans-
versaie par deux paralleles consdcutives correspondra

1 1

Ji — - — = — de degre ou a une minute.

42x5 60 ^

De sorte que si la tabletle mobile se trouve enEF par
exemple, on lira, de A en E, 3 x 10 -|- 5 + 2 = 37'
ou, de D en F, 7 X 5 4- 2 = 37'. Si la tablette lorabe

204

LA GEOMETUIE DE MESURE

comme en GH, eutre deux intersections de transver-
sales et de parall^les, on eslime la fraction complemen-
taire : dans le cas de la figure, on a, de A en G,
4 X 10 + D 4- 3 -h 1/2 == 48M/2.

L'echelle <lo transversales de Homniel (16e s.).
' — Le ceiehre astronome Tycho-I3hah6, qui a exp^ri-
mente les divers systemes en usage de son temps
pour la mesure des petits arcs, s'est servi en parlicu-
lier de Xe.chelle de transversales, dont I'emploi lui avait
^te enseigne a Leipzig par un professcur du nom de
HoMMEL (1318-1562) ; celui-ci n'en est pas toutefois
I'invonteur, car elle parait avoir ele connue avant lui.
Soit BC la longueur dont il s'agit d'evaluer les frac-
tions ; on conslruit sur
BC un carre ABCD dont
on divise chacun des cdtes
en un certain nombre de
pai'ties ^gales, 10 par
exemple. On joint les
points de division de AB
et DC par des droiles pa-
ralleles, etceux de BG et
AD par des transversales
B-10, 10-20, 20-30,...,
90-D ; cliaque portion de
transversale comprise entre deux parallcles consecutives
intercepte ainsi, parallMement a BG, une longueur
^gale h 1/10 de chacune des divisions de BC, c'est-^-
dire h 1/100 de BG.

On IranspOfle la petite longueur BE h mesurer, h. I'aide
du compas h pointes seches, de telle sorle que I'une des
pointes du compas glissant sur AB, Taulre decrive une
parallele k la m^me droile ; le moiivement sc continue
jusqu'a ce que la secondc pointe du compos rencontre

10 20 30 40 50 60 70 80 SO D

ANCfeTRES DES INSTRUMENTS DE DKSSIN ET DE TOPOGKAIMIIE 205

une transversale. Si cettc icnconlre a lieu a rintcrseclion
d'une transversale et d'une parallele a BC, la lecture est
immediale ; c'est le cas de la figure, oii la longueur h.

mesurer BE a pour valeur 7-F

100 100 100

40 «

BC. Dans le cas contraire, on estime Ics milliemes de
la fraction decimale complementaire.

On salt que cette echelle est encore employee dans
le dessin. Elle repose d'ailleurs absolumentsurlemfime
principe que celle de Levi ben Gerson.

L'^chelle de transvers.ales dans le cercle (16*' s.). —
Christoph PiJHLER, daus sa Geometrie
(1563), indique le moyen d'etendre
I'emploi des Iransversales a la mesure
directe des arcs ; mais on a du utiliser
ce procede avant lui.

Soient 7' quadrants concentriques
6quidistants et numerot^s de 1 ^ 7
(sur la fig. ci-contre, nous ne don-
nons que la partie de ces quadrants
comprise entre 40 et 50") ; les qua-
drants n"' 1 et 7 sont divises chacun
en 90 parties egales et on joint chaque
point de division du quadrant n° 1,
non pas au point correspondant du
quadrant n° 7, mais au point suivant.
Considerons par exemple le rayon joignant le centre
commun G a la division 40° du quadrant exterieur et la
transversale suivante mn] les arcs interceptds par ces
deux droites sur les quadrants successifs ont tres sen-
siblement pour valeurs respectives 0,10', 20', 30', 40',
50', 1", en procedant de I'interieur vers Fexterieur. De
sorte que si Ton suppose qu'une alidade est fixce en
G et est mobile autour de ce point, la ligne de visee de

206

LA GEOMETKIE DE MESUHE

cette alidade passant par A, on lira un arc de 40*'40';
si ello passe par B, on aura un arc de 46" 40' ; si elle
passe entre deux intersections de quadrants et de trans-^
versales, on estimera les minutes.

Le nonius (t6e s.). — Un savant portugais, Pedro
NoiSEZ, ea latin iNoNius (1492-1577), a public en 1542

dans son De crepiis-
culis la descriplion
d'un procedd per-
mcttantde mesurer
les petits ar(;s avec
une approximation
sutfisante. Ce pro-
cede consiste dans
le trace, surle quart
de cercle hubituel-
lement employ^ k.
cette epoque dans
les observations as-
tronomiques, de 45 quadrants concenlriques.

Le plus grand, place a I'exlerieur, est divis6 en 90
parties 6gales, le suivant en 89, puis les autres succes-
sivement en 88, 87, . . ., 47, 4t> parties egales. Chacune

des divisions equivaut pour le premier quadrant a - —

90" 1"
= 1", pour le second a — =:1"H = 1°40", pour le

^ 89 89 ^

. . 90° 2°

troisieme a — = 1" -H — = l"r22", pour le qualrieme
88 88

QAo Oo

ii — = l»-f-_=:l»2'4"
87 ^87 '•••

On cherche, pour une position d^terminee de Tall-
dade mobile, avec laquelle de toutes les divisions mar-
quees sur les quadrants coincide exactement la ligne

ANCfiTRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 20T

de visee. Supposons que cette coincidence ait lieu k la
10* division du 4* quadrant, Tare niosure aura pour va-
leur 1» 2'4"X 10 = 10"20'40". line t^ble dressee a cet effet
evite d'ailleurs d'ettectuer les calculs.

On a donne a cette ing^nieuse disposition le nom de
nonius, rappelant celui de son inventeur. Son emploi
ne s'est pas propage, par suite de la dilficulte de pou-
voir determiner exactenient la division correspondant a
la ligne de visee.

En outre, la division d'un arc en un nombre pre-
mier de parties egales, comme 89, 83 etait pour-Tepo-

que difficile a r^aliser
d'une mani^re pre-
cise. Clavius, dans sa
Geometria practica
(1604), nous rapportfr
que Jacob Curtius
trouva le moyen de
remedier a cet incon-
venient par le pro-
c^d6 suivant. On pro-
longe le 2" quadrant
de 1" (arc de 91°), le
3* de 2" (arc de 92°),
le 4*de 3" (arc de 93°), etc., et chacun des arcs ainsi
obtenus est divise en 90 parties Egales; il est d'ailleurs
aussi facile que precedemment de trouver la valeur
d'une de ces parties.

Clavius fait reraarquer k ce sujet que la division de
chacun des arcs de 91°, 92°, 93°,... serait encore plus
facile a realiser si Ton adoptait le diviseur 128 = 2' au
lieu de 90, car on n'aurait alors qu'^ effectuer des par-
tages successifs d'arcs en deux parties Egales.

Le vernier (17^ s.) — L'Allemand Clavius en a ea

208

L\ GtoMETRIE DE MESURB

la premiere idde (1604 et 1612), mais c'est le Frangais
Pierre Vernier qui lui a donn6 (1631) la forme ing6-
nieuse et pratique que nous lui connaissons. Le vernier
porteen France le noin de son inventeur; dans cer-
tains pays, en Allemagne notamment, on le ddsigne,
improprement a notre avis, sous le nom de nonius.
Voici d'abord la disposition imagin^e par Clavlus
pour la mesure de petites longueurs
rectilignes. Une premiere ^chelle AB,
de longueur 6gale a I'unitd, ^lant divi-
see en 100 parties egales entre elles et
k I, il s'agit d'evaluer les dixiemes de
chacune de ces parties, soit les mil-
li^mes de AB. A cet effet, Clavius {GeO'
metria practicd) preconise remploi
d'une echelle auxiliaire fixe CD de
longueur egale a 11 parties de AB ou
a 11/ et divise'e en 10; chacune des
parlies de CD a done pour valeur

10 / 7 1 1 7 J

•— - / ou encore surpasse /do — /, de
11 ^10

5-

lOj

Y

1-30

E:
G-

L40

1.5[

L

sorte que 6 parties de CD, par exem-
ple, surpassent 6 / de — - /.

Soit done h. determiner la longueur ayant pour va-
leur 34,6/ (tel est le genre de question envisage par
Clavius) ; la division 34 est donnee immedialement en
E. Pour trouver la fraction compldmentairo 0,6 /, on
prend h. I'aidedu compasa pointess^ches 6 divisions de
CD et on pose une des pointes h la division 34 — 6 = 28,
en F ; I'autre pdinte donne I'extremit^ cherchde G de
la longueur a determiner, qui est alors AG : FG, qui
estdgal k 6 parties de CD, surpasse en effetla longueur
FE ou 6/de0,6/.

Au lieu de considerer I'f^chelle auxiliaire comme fixe.

a

1_30

G E:

I_50

a

ANCETRRS DBS INSTHUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 209

Pierre Vernier la suppose mobile et la fait g-lisser le
long de I'echelh! piineipale. Cherchons, par exemple,
combien d'unifes / sont conlenues dans nne longueur
donnde, I'une des extremiles do celle der-
niure 6tant k zero, en A, I'autre cxtremite
lombant par exemple en G entre les divi-
sions 34 et 35 ; on amene le zero de I'echelle
mobile CD en coincidence avec G et Ton
constate que les divisions 39 de AB et 4 de
CD se correspondent exaclement. La divi-
sion 38 de AB est en avance de 1/10/ sur
la division 3 de CD ,37 de AB est en avance
de 2/10/ sur 2 de CD, 36 de AB est en
avance de 3/10/ sur 1 de CD et 35 de AB
est en avance de 4/10/ sur 0 de CD ; ainsi
la distance comprise entre G et la division
35 de AB est egale a 4/10/, et la longueur
mesuree est ^gale k (35 — 0,4) /r=34,6/.

Dans la disposition adoptee aujourd'hui, I'echelle
auxiliaire a pour longueur 9/ et est encore divisee en
10 parties egales, mais elle permet la lecture directe,
sans avoir besoin d'ellectuer une soustraction comme
nous venons de le faire.

Clavius, dans son Astrolabium (1612), ^tend sa con-
ception a la mesure des pelits arcs sur un quadrant di-
vise en degrds. II se sert a cet elTet d'un arc auxi-
liaire fixe de 61" divise en 60 parties Egales; chacune
de ces parties conticnt done 1" et 1/60 de degre, soit
1" 1', 2 parties contiennent 2" 2' etc., ce qui permet
d'obtenir un arc avec une approximation d'une minute.

Pierre Vernier suppose le quadrant divise en demi-
degres et il emploie, pour ^valuer les arcs a une mi-
nute pres, un secteur auxiliaire mobile dont Tare est
de 31 demi-degrds et est divise en 30 parties egales ; cha-

FouRUEY. — Curios, geom. 14

210 LA G^OM^TRIE DE MESITRE

cune de ces parties a pour valeur ~1', deux par-

ties Equivalent a 1" 2', etc. Le secteur auxiliaire est fixe
^ I'alidade mobile de sorte quo le /dro du premier cor-
responde a la ligne de visee de la scconde ; la lecture
d'un arc se fait directement commc nous I'avons indi-
que pour la mesure des segments lindaires, en cher-
chant quelles sont les divisions du quadrant et du secteur
qui sont en coincidence.

A vrai dire, Pierre Vernier n'avait appliqud son in-
vention qu'5. la mesure des arcs, mats son extension a
la mesure des segments de droile en decoule natu-
rellement.

BIBlIOORArmE

M. CuRTZE. — Die Abhandlung des Levi ben Gerson iiber Trigonomelrie

und den Jacobslab. Bibliollieca malliemalica, 1898
Nonius. — De crepusculis. Lisbonne, io42, in-i".
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PiEHRE Vernier. — La consiruclion, I'usaje el les propriiles du quadrant

nouveau de mallie'maliques. Bnixelles, 1031, in-8".
Breusino. — Nonius uder Vernier ? Aslronomisclie Nacliriclilen, 1880.
Wolf. — Handbucfi der Aslronomie. Zurich, 1891-93, 2 vol. in-S",

§ 7. — Nivellement.

1° Niveaux a perpendicide.

I^e niveau de maQon. — Si nous en croyons Pline
rAncien(Liv. VII, Chap. LVI), le niveau de magon aurait
4t6 invente par Theodore deSamos, architecte du temple
d'Eph^se. L'emploi de cet instrument remonte assure-
ment a une tr^s haute antiquity. On le trouve figurd en
particulier sur une pierre tomb/ile du cimetiere remain
des Aliscamps (pr5s d'Arles).

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 211

Sa forme afTectait generalement, dans I'Antiquit^^ et
le Moyen ago, celle d'un trian-
gle equilateral ; c'est ainsi
qu'on le trou ve represents dans
un traite arabo du 13* siecle
relatif aux instruments astro-
nomiques et rddigd par Aboul
.Hhassan. On sait qu'aujour-
d'hui le niveau de magon a la

. Plan horizontal
Niveau de maron.

forme d'un triangle rectangle isocele.

La dioptre de Vitruve (l^ps.). — D'apres M. Cantor,
celte dioptre serait la meme que celle de Hdron ; mais
un passage de Tauteur allcniand Dubravius (ir)45),

signale recemincnt j)ar M. Ku-
charzewski, laissesup[)Oserque
cet instrument est constitu6
com me suit.

Uno plaque rnetallique AA

est recourbee a scs extrdmiles ;

les relours H sont munis de

pinnules dans la direction de

laJignede foi r/tn tracee sur A.

Un support C muni d'une poi-

gnee D permet de tenir I'ins-

trument suspendu. Enfin, un

lil a plomb E a son point d'at-

tache un peu au-dessous de la

poignee et vient battre le re-

pere/> sur mn quand celte der-

niere droite est horizontale ; un second repere est gravS

en q sur le support C pour permettre la verification de

I'atlache du fii a plomb.

L'instrument est portatif, la plaque A n'ayant que 7
ou 8 doigts de longueur (O^.IS a 0'",20).

Dioptre de Dubravius

(et de Vitruve?)

21 2

LA GEOMETRIE DE MESL'RE

Niveau a Lalancier d'Aboul-Hliassan.

L« niveau k balancier d'Aboul-Hhassan (13e s.) —

Cc niveau, decrit par Tauteur arabe Aboul Huassan
dans uii traite relatif aux instruments astronomiques,

sert a verifier, com-
me le niveau de nia-
Qon (ou de poseur),
riiorizontalite d'un
plan.

II est conslituft
par une regie de cui-
vre ou de bois dur
AB, fixe'eausommet
de deux pieds pyra-
midaux idenliques,
et faisantdes angles
dgaux avec les aretes correspondanlesdeces deux pieds.
Une languelte COQ, en forme de triangle isoccle, est
fixee a la parlle inferieure de la regie AB de telle sorle
que son sommet C se trouve sur la perpendiculaire elc-
vee au centre S de la face superieure de AB.

On place en cc point S la pointe Z du perpendicule
ou balancier represente a droite de la figure et dont un
plomb Y assure la stability. Les deux branches du
perpendicule se trouvent ainsi disposees de part et

d'autre de la regie AB ; si Ic
plan sur lequcl on fail re-
poser le niveau est horizon-
tal, le plan vertical forme
par ces deux branches passe
par le sommet C de la lan-
guette.

La Synwaya de Stru-

Synwaya de Strumienskl. mienski (16« S.) — L'au-

-cur polonais Strumienski indique (1573) un procede

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOORAPIIIE 213

rudinientaire de nivellement qu'on retrouve encore un
siccle plus tard.

Deux jalons J et J' dtant places aux points A et B
dent il s'agit d'obtenir la diffe'rence de niveau, deux
aides viennent tenir contre les jalons des couleaux C et
C ; on dispose par dessusune long-ue regie de bois DE
(synwaya) sur laquelle est fixe un niveau de poseur. On
deplace Fun des couteaux jusqu'a cc que le fil a plomb
batte son rep(!jre : la regie DE est alors horizontale. On
mesure les longueurs AD et DE dont la soustraction
donne la difference de niveau cherchee.

I.e terazi(') ou niveau a cordeau de Beha-Eddin
(1G« s.)- — Dans son Essence de calcnl, I'auleur syrien
Beha-Eddin (1547-1622) decrit un niveau a cordeau

ou t^razi, qui 6tait
egalement connu du
polonais Strlmienski
(1573); cet instrument
etait encore le niveau
prefe'r^ des fontainiers
de Constantinople au
commencement du 19*
siecle.

Soient deux points A
et B dont il s'agit d'cvaluer la difference de niveau. On
plante en A et B deux jalons AI et BJ de longueur (5gale
etdont on verifie la verticalile au moyen du fil h plomb.
Entre I et J on tend un cordeau au milieu duquel on
suspend par deux crocbels G et H un triangle isoccle
CDE en mdtal ajoure; au milieu F de la base de ce
triangle est fixe un fil a plomb FL.

Si le fil passe par le sommet E de CDE, le cordeau

Le terazi.

(*) Terazi, mot persan et tuic qui signifie balance, equilibre.

214 LA GEOMETRIE UE MESURE

IJ est horizontal et les points A et B sont au meme ni-
veau ; s'il coupe au contraire Tun des c6tes, CE par
exemple, on baisse rextremite J du cordeau jusqu'en
un point J' pour lequel FL passe par E: on n'a plus
qu'aniesurer JJ', qui represente la difference de niveau
cherchee.

Quand il s'agit du nivellcment compost, c'est-^-dire
d'une operation ayanl pour hut de trouverla difference
d'allilude de deux points eloignes en procedant de pro-
chc en proche a I'aide de nivelleraents intermediaires
simples, lesfontainiersde Constantinople operentcomme
suit. Au lieu d'ecrire les differences successives ohte-
nues, ils « les portent sur une petile ficelle qulls rou-
lent aulour des quatre derniers doigts de la main gau-
che, serrant forlement entrele pouce etl'index I'endroit
de celte ficelle qui marque la derniere difference de
niveau ; on developpe ensuite la licelle, on mesure et
on a la difference de niveau totale » (iVndre'ossy).

2" Niveaux a eau.

La dioptre de Heron (le*- s.)- — Pour ctre em-
ployee dans le nivellement, la dioptre (§ 2) etait dis-
posee de mani^re a recevoir un niveau d'eau, mobile
autour de J axe de I'inslrument dans un plan horizon-
tal. M. U. Schone pense (1903), contrairement k I'avis
de Venturi (1814) et de Vincent (1858), que pour cet
objet on substituait a Falidade une r^gle speciale donl
il a donne une restitution.

H^RON, dans son Traite de la Dioptre, enseigne la
construction d'une mire analogue a notre mire a voyant
et deslince a etre employee avec la dioptre. EUe est
constituee par une piece de bois equarri le long de la-

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 2i5

quelle peut se mouvoir un disque D partage par un
diamelre horizontal LL' en deux demi-cercles, I'un blanc
et I'autre noir; ce disque porte un te-
non qui peut glisser dans une rainure
en queue d'aronde pratiquee au milieu
d'une des grandes faces de la pi^ce de
bois. Le disque est nianumvre au moyen
dune corde passant sur une poulie P
fixee a la partie superieure de la mire.
Celle-ci peut 6tre rendue verticale au
moyen d'un fil a plomb F place le long
de I'une des faces laterales. Enfm, la
face laterale opposee a cette derniere,
celle de droile sur la figure, porte une
echolle divisee sur laquelle se meut un
index fixe a la face posterieure du
disque.

Heron decrit tres clairement, avec
figure a I'appui, le precede de nivelle-
mcnt, que nous appelons aujourd'hui compose, pour de-
terminer la dilferencede niveau de deux points donnes.

Mire dc Heron
(Restitution).

Le chorobate et la balance a eau de Vitruve

(!"»• s.). — Dans son Architecture (Livre VIII), YrrRUVE
indiquc que pour prendre le niveau de I'eau « on se sert
des dioptres, des balances a eau ou du chorobate. Le
chorobate est le plus exact, les autres peuvent induire
en erreur. »

Seule, la description du c//o/o/-a/e nous est.parvenue,
sans ligure louleiois. Nousavons donne precedemment
la constitution probable de [^dioptre ; quant a la 6a/a/ice
a eau, il s'agissait peut-elre du niveau d'eau.

D'apres la restitution qu'en a donnee I'architecte an-
glais Newton et qui nous parait la plus vraisemblable,
le choioLate se compose d'une regie aa longue de 20

2i6 LA GEOMETRIE DE MESURE

pieds, supporlee a ses extremitt^s par les pieds e, e ; la.
liaison de ceux-ci avec la regie est assuree au moyen
de traverses «, «. Des fils a plomb r, r viennent battie
(les reperes places sur //, u lorsque aa est horizon-
talc.

(jlioroliMte de Vilrnve
(Kestiluliou de iScvvlon, 1771).

Enfin, pour le cas ou le ventempfu;lierait de seservir
des fils a plomb /•, /•, un canal nn long de 5 pieds, large
d'un doigt et profond d'un doigt el demi est creuse sur
la face superieure de la regie ; on y verse de I'eau pour
verifier si cetle face est bien horizontale.

Un nivellement chez les Hindous. — Uncommen-
tateur d'Aryabhatta, PARAMAoigvARA, indiquele procede
suivant pour reconnaitre si un sol est horizontal: « Ayant
fait a Toeil le sol d'egal niveau, on y dessinc un cercle,
puis en dehors un espace annulaire large de 2 ou 3
doigts et Ton creuse I'intervalle enlre les deux circon-
ferences pour se procurer une rigole. Si tout aulour
I'eau est k fleur de terre, le sol est de niveau; 1^ oii
Ton voit un abaissement de I'eau, il y a surelevation
du sol ; la ou il y a surele'vation de I'eau, il y a depres-
sion du sol. Voil^. »

Les Hindous ont d'ailleurs connu le niveau d'eau.

Le niveau a auget de Struniienski (16" s.). — II se
compose d'une auge en fer AA remplie d'eau, ayant ses

ANCKTIiKS Di;S INSTIIUMEM'S DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 217

bonis roloves iiux nxtremites E, et supporteo par un
pied li vi'uisemblablement parrintermediaire d'une ar-
ticulation en C; des
ouvertures P for-
mant pinnules sont
inenagees dans les
plaques E des extre-
mites. Enfin des vis
V traversant una
plaque D disposee
perpendiculaiie.
ment au pied, pcr-
meltent de regler la position de Fauge. Si les bords
supericurs de celle-ci et la surface de Teau sonl parai-
leles, la ligne de visce des pinnules est horizonlale.

Le procede adople par Strumienski pour regler la po-
sition de lauget se retrouve dans certains de nos ni-
veaux acluels.

V B V

Niveau a -.ui'^vl dc Slrumicnski
(Kcbliliilioii).

Le niveau u bulle d'air (17* s.). — Libri avance,
dans son Ilistoire des Mathematiques, d'apres un recueil
anglais (/Vsiatic Researches, tomes V, p. 87, et IX, p.
326-328), que les Ilindous connaissaient le niveau k
bulle d'air ; nous croyons a un lapsus de cet historien,
car nous voyons seulenient mentionne le niveau d'eau
dans le deuxi^nie passage signale. II n'est d'autre part
guere admissible que I'emploi de cet instrument si pra-
tique ne se soil pas propage d'abord chez les Arabes et
de Ici chez les Europeans.

Nous considererons done, jusqu'a preuve du contraire,
le niveau a bulle d'air comme una invention moderne ;
elle est duo a un savant franQais, Th^venot, qui la de-
crivit dans un ecrit anonyme paru en 1666. Restee ina-
perQue en France, cette invention eut plus de succes
en Angleterre et en Italie, d'od elle regagna son pays

218 LA GEOMETRIE Db MESURE

d'origine ; en 1681, Thdvenot la decrivait a nouveau et
en reclamait la paternite dans son Recueil de voyages.
« On choisit unluyaude quelque matiere transparanle,
un canon de verre par exeinple, dont les costez boicnt

Niveau a biille d'air
de Tlievenot.

paralleles ; d'un diametlro qui puisse recevoir le petit
doigt, et qui soit environ sept ou huit fois plus long que
large. On le ferme par un bout, et on y met quelque
liqueur. L'esprit de vin y est I'ort propre, parce qu'il
ne fait point de sediment et qu'il ne gele jamais. On
laissedu tuyau environ un peu nioinsde vuide qu'il n'a
de diametre ; on le bonclicapros, ou on le scelle par
le leu.

« Lors qu'on son serl et qu'on I'applique sur le plan
que Ton veut examiner, I'air qui y est enlerm^ monte
aussi-lost vers la parlie du plan la plus elevee, et de-
meure sans mouvement lorsque le plan est horizontal,
et cela toujours avec la mesme juslesse, quelque temps
qu'il iasse. »

L'ingenieur frauQais Chezy enseignait un si^cle plus
tard le moyen de rendre reguliere la surface interieure
du tube en larodant au moyen dun mandrin recouvert
d'emeri.

L'emploi de cet instrument si simple qu'est le niveau
h bulle d'air a produit une veritable revolution dans
I'art du nivellemenU

BIBLIOGRAPniE

EucHARZEwsKi. — Suv Quclques niveaux du XV b siccle. Bibliotheca matlie-
matica, 1900.

ANCETRES DES INSTRUMENTS DE DESSIN ET DE TOPOGRAPHIE 21^

DuBRAVius. — De ptscinis. Breslau, 154S.

Strumienski. — Sur I'art d'etablir, de mesurer et d'empoissonner les

Hangs (en polonais). Cracovie, l.'STS.
J. J. Sedillot. — Trails des instruments astronomiques des Arabes. Paris,

1834-33, 2 vol. in-4».
Beha-Eddin. — Khelasat al liissab (Essence de calcul). Trad. A. Marre.
Rome, 1864.
- Andreossy. — Constanlinop'e et le Bosphore de Thrace. Paris, 1828, 1 vol.
i iu-8°, 1 atlas in-fol.

sHeujiann Schone. — Herons von Alexandria Vermessungslehre und
} Dioplra. Leipzig, 1903, in-S",
ViTRuvE. — Architecture. Traduction Perrault, Paris, 1684, in-fol. Tra-
duction Maulras, Paris, 1847, 2 vol. in-S".
Anonyme (Thevenot). — Machine noucel'.e pour conduire les eaux... Paris^

1666.
Thevenot. — Recueil de voyages (de M.). Paris, 1681, in-S".
Chezy. — Memoire sur quelques instruments propres a niveler, nomniis
niveaux. Memoires de I'Acadcuiie des Sciences, tome V, Paris, 1708

CHAPITRE II

MESURE DES POLIGONES

§ 1. — Triangles.

Triangle isocele. — Manuel egyptien d'Ahmes (2 000 ans '
av. J.-C). — « S'il t'est donne un triangle [isocele] de
10 perches k son c6te, 4 perches a sa base, quelle ^
est sa superficie? »

Lauteur multiplie la demi-hase par le cote, ce qui

donne 20 perches carrees.
La superficie exacte se-
rait l^jfi, soit une difie-
rcnce de 2 "/o environ.
D'une maniere gene-

Fac-simile du Manuel egyptien ^ale, si b esl la base et c
Q Alimes. '

le c6te, ce precede re-
vlent h. remplacer la formule exacte

lv/^'-!=^v/^-aJ

par la formule approximative

d'autant plus pr^s de la verite que h est plus petit par
rapport h. c

MESUnE DES I'Or.VGONES 221

La seconde formule nVxige pas, comme la premiere,
une extraction de racine carrco, operation que le cal-
ciilateur egyptien ne savait probablement pas effectuer.

Ahm^s g^n^ralise cette regie dans la recherche de
I'aire du trapeze isoceic (§ 2).

Inscription hieroglyphique du temple d'Edfou (100 av. J.-C).
— Cette inscription donne une enumeration, avec plan
a I'appui, des differents terrains formant la propriete
fonciere du temple.

Nous verrons plus loin (§ 2) quo sur cette m6me ins-
cription, I'aire du trapeze isocele est obtenue en fai-
sant le produit des demi-sommes des cotes opposes;
Taire du triangle isocele se deduit de cette formule en
supposant la petite base nulle. Ainsi les cotes du tri-
angle isocMe de base 2 el de cole 3 sont ainsi denom-
mes

« 0 sur 2, 3 sur 3 »

et I'aire est ainsi calculee

0 + 2 ''-^•'^-3
2 ^ 2 -'^-

Le resultat exact serait 2,83.

D'une maniere generate, I'aire d'un triangle isocele
de base b et de cot^ c serait

O^f, c-hc_ h
2 ^~2"-2^'*

Cette regie est done au fond la meme que celle d'Ahmes,
mais la marche suivie pour y arriver est essentielle-
ment differente.

Metriques de Heron (l'^-' s. ?). — « Soit ABG un triangle
isocele dans lequel AB = AG = 10, BG=i2. Trou-
ver son aire. »

222 I.A GEOMKTRIE DE MESURE

HfiRON calciilo la hauUnir

AD=^\/An— \n) - \/\ 00 — ;if) = 8

ol ilonionlre que I'aire du triangle
ABG est la mollis de celle du rec-
tangle BEZG, c'est-a-dire qu'elle est

, , , 12x8 ,Q
osralc a — — — = 48.

ficrits heroniens. Geometria (10« s.?). —
L'aire du triangle isocele se calcule conime dans les
Metriques ; mais alors que Heron n'emploie que des
nombres abslraits, on opere dans la Geometria sur des
quantites concrMes, mesures effectives de longueur et
de superficie.

Commc unite de longueur on voit figurer en parlicu-
lier le scho'inion, valant environ 20 metres. Parmi Ics
unites de superficie se trouvent le scho'inion car re et le
/«o^//h.s, valant 2 schoinions ; ce dernier repr^sente la
surface de terrain sur laquelle on employait comme
quantite de semence une mesure de capacite appelee
pr^cisement modius.

Ayant done a calculer un triangle isocMe dont la
base a 6 schoinions et le cote 5, le redacteur de la Geo-
metria evalue la hauteur relative a la base. Cette hau-
teur ^tant de 4 schoinions, la superficie du triangle est

de — - — = 12 schoinions carres; il fallait done 6 mo-
dius de grain pour ensemencer le terrain correspondant.

Traite d'arpentage d'Epaphroditus et de Vitruvius Rufus
(l«'--2« s. ?). — Dans la premiere partie de ce recueil ro.
main, due vraisemblablement a Epaphroditus qui serait
un arpen(eur, on calcule l'aire du triangle isocMe a la
maniere egyptienne.

MESURE DES POLYGONES

223

Dans la seconde partie, dont I'auteur serait I'architecte
ViTRUvius RuFus, le calcul est dirigd comme dans
Texcmple ci-dessus cite des ecrits h^roniens.

Arithmetique de Brahmegupta (628). — « Quelle est I'aire
d'lin trianofle isoc^lc de base 10 et de cotes 13?

O

Les moilies do la somme des c6tes opposes sont 5
et 13; leur produit 6o est Tairo grossicre. »

II est remarquable que celte regie soit la ra6me que
€elle de Tinscription egyptienne d'Edfou, mais IJrah-
megupta ne la considero que comnie approximative;
il donne en outre une regie exacle reposant sur le cal-
■cul de la hauteur.

Propositions d'Alcuin (S" s.). — « Probl6me du champ
triangulaire. — Un champ triangulaire a 30 perches
d'un cote, 30 perches do I'autre et 18 de base. Dire,
<jui le pent, combien il doit contenir d'arpents? »

La regie pour calculer I'aire en perches carrees est la

30

. „ J.., . 18 30 4-

meme qu a hdtou — . ~

^ 2 2

2701"=: I'auteur

transforme ensuite ce resultat en arpenls.

Triangle Equilateral. — Metriquesde Heron (l«''s.?). —
« Soit un triangle Equilateral dont
chaque cote est egal a 10. Trouver
son aire. »

L'auteur precede ainsi. AD etant
la hauteur relative au cote BC et
T I'aire du triangle, on a successi-
vement

BC =4BD:

AD =AB' — BD=3BD,

224 ' LA GEOMlilTRIE DE MliSURE

BC 4

ad'

•d'ofi

■r.r2 3

ou encore
On cii lire

BC' BC' _ 4 _ 16

ad' bc'xad' ^ ^^

(2T)^ 12"

p — l-BC= — x 10000 = 1873.
16 16

T pst alors donnc par la racine carr^e dc 1875, qui
est approximalivement 43 1/3.

Remarque. — On a ignore pendant longtcmps com-
ment les anciens Grecs extrayaieni les racines carrees.
Paul Tanne.ry a mis au jour en 1894 un passage inedit
indiquant le procede suivi par Heron et qui fut vrai-
semblablement le seul classique chez les Grecs. La d^-
couverle du manuscrit des Metriques est venue confirmer
le fait.

Appliquons ce procede h. I'exemple ci-dessus. Le carre
le plus voisin de 1875 etant 1849, dont la racine est 43^

on divise 1875 par 43 ; le quotient est 43 H , soit en-

43
2 • . . 2

viron 43 -. On y ajoute 43, il vient 86 -; on en prcnd

o o

la moitie,cequi donne43 1/3 : c''est la racine approchee.
Si Ton voulait obtenir une plus grande approximation,
on op^rerait sur 43 1/3 commo on I'a fait sur 43.

A vec les notations actuclles, si A est un nombre non
carrd parfait, a une valeur approcbee de saj^acinc, la
methode de Heron revient a prendre pour \J A. la nou-
velle valeur approcbee

MESURE HES POLYGENES 225

puis ^2~2( ^^"'

£crits heroniens. Geometria (10^ s.?) — On calcule Falre.
du Irianglo equilalcnil on faisant le produil du carre d«

' 11 111'^

c6le a par la somme — I * Comme — -}-—- = ■—»

' 3 10 3 10 30

cela revicnt a employer la formule «-X -'- ou a prendre

30

V 3 = -— == 1,733... (On arriverait 5 celle expression
In

dc y/3 aumoyende lamelhoded'approximaliondeUeron

5
en ado plant —com me premiere valeur approchee).

o

Cettememe rej^le so retrouve chez qiielques aiileurs
latins, nolammenl chez Collumelle et J. S. Frontimus
(1" s.), dans la Gcometrie do Gerbebt (lO^-ll* s.)
et dans diverses Geometries pratiques de la Renais-
sance.

Traite d'?irpentage d'Epaphroditus et de Vitruvius Rufus
(2'- s. ? ). — « On a un triangle iso-
celc tel que chacun des deux cotes
a/ Va soit egal k la base qui a 28 pieds.

S/^ \% Jecherche combien de pieds [carresl

' SuperBcie \ ■ \ c

ccccwipieds \ contient la surface.

Je mulliplie un cote par lui-

m6me 28 X 28 = 784, puis j'a-

joute la valeur d'un cote 784 + 28=^:812, je divise

81 2
par 2, = 406. Telle est la surface du triangle. »

Autrement dit, si a est le c6te du triangle evalud en
unites de longueur, le proc6d6 de I'auteur revient a

n^^i-a _ a (ci-\-{)
2 "~ 2

FouRREY. I Curios, reom, IS

employer la formule -' — '— - = — ^ ^, c'est-^-dirc

^ ^ 2 2

22 Q LA GEOMETRIE DB MESURB

que I'aire numerique du triangle equilateral de cote a
et le nombre triangutaire (') de meme cote sont conside-
res coriime equivalents. Cette erreur bizarre se repro-
duit plus loin pour les autres polygenes reguliers dont
I'aire numerique est consideree comme equivalenle au
nombre polygonal (*) correspondant; on la retrouve
chez d'aulres agrimenseurs et compilateurs latins,
notamment chez Boece (6* s.).

Kn ce qui concerne le triangle equilateral, la diffe-
rence enlre la lormule fausse et la forniule exacte serait,
dans Texomple numerique considere ci-dessus, de 66,53
pour une aire exacte de 339,47, soit d'environ 20 "j„.

La solution de I'auleur romain est suivie d'une pre-
tendue demonstration qui n'est qu'une petition de prin-
cipe. Etant donn6 I'aire 406 d'un triangle equilateral,
il s'agitde determiner le cote de ce triangle. Vitruvius

Rufus se sert a c(!l effel de laformule a = ^- — ^^-~ ,

ou S designe I'aire du triangle, pour calculer le cole;
il relombe ainsi sur la valeur 28 donnee ci-dessus, ce
qui prouverait I'exactitude du calcul de I'aire. II est
aise de trouver le defaut de ce raisonnement ; la formule

V/SS-f-l — 1 , rt- X r • c «^ + «

a=*^ est en etiet 1 expression » = — ^ —

^crite sous une autre forme, ainsi qu'il est facile de le
veriiier; partant de Tune, on doit d^s lors necessaire-
ment retomber sur I'autre, et si I'une est fausse, I'autre
Test egalement.

Lettre de Gerbert a Adelbold (vers 997). — Dans une
lettre k son ami Adelbold d'Utrecht, Gerbert montre

clairement I'inexaclitude de la formule S = ^^ ~T ^

(') Voir pour les Nomhres polygonaux le Gbap. lY (i" Partie) de no&
Bicriatiom arilhvidliqucs.

MESUBE DES POLYGONES 227

donnee par les agrimenseurs romains pour le ealcul de

I'airc du triangle equilateral de c6t^ a, formule qu'il

appelle arithmetique, par opposition a la formule exacle

qu'il qualifie de geotnetrique,

II donne d'abord la regie suivante pour le ealcul de

4
la hauteur dans le triangle equilateral: « rctrancher —

du c6te et accorder les - restantsa la hauteur », ce qui

7 ^

,- \2
revient a faire \/\\z=z-—=: 1 ,714 . . .

II considere ensuile un triangle Equilateral ayant 7
pieds de cote; sa Jiaiitcuir aura 6 pieds, d'apres ce qui
a Ete admis ci-dessus. La r6gle arilhrndtique donne pour

I'aire du triangle ^ 7~ ^=^ ^^ ' ^^ ^'^ regie geome-
trique ^ = 2\. Gerbert explique les causes decette

difference. Soient disposc'jes : sur la base, une bande de 7
pieds Carres ; etau-dessus, des bandes
contenant successivoinent 6, 5, 4, 3,
2, 1 pieds carres. Le nombre de ces
Carres est le nombre triangulaire de

cote 7, soit ^±i^ =r 28 ; et leur
2

aire totale, 28 pieds carres, est celle
donnee par la Ibrmule arithmetique.
Or, celle-ci comple comme incorporecs au triangle de
base 7 et de hauteur 6 les porL^ons ombrees des
carres lateraux qui se trouvent pr^cisdmenl en dehors
de ce triangle; I'aire resultant de la formule arithme-
tique est done trop forte.

Dans un autre passage de la m6me lettre, Gerbert
indique qu'on pent aussi prendre comme hauteur du

13
triangle equilateral les — du cote, ce qui revient a.

228 LA GEOMETRIE DE MESURB

adopter pour y3 la valeur 7^= 1,733 . . . , plus appro-

12
ch^e de la valeur exacts que — •

Triangle rectangle. — H^ron, dans ses Metriques,
considere I'aire du triangle rectangle comme equivalente
a la moitie de celle d'un rectangle de m^me base et de
meme hauteur.

Les agrimenseurs remains et les auleurs hindous
eniploient la regie actuelle.

Triangle scalene. — Metriques de Heron (l^r s.) —
Heron suppose les trois cotes connus ; ii calcule une

hauteur, puis Taire par la
regie ordinaire. II distingue
a cet effet deux cas, celui oil
les angles B et C a la base
sont aigus et celui oii Tun
C des angles est oblus ; on
^ ^ ^ BCD pgy(. reconnaitre immedia-

tement a quel cas correspond
un triangle donn^, car on a dans la premiere hypolhese

AB <B(f-hAG%t Ac'<AJj'H-BC',etdanslaseconde

AB > BC -+-AC . Le procede de determination de la
hauteur est un peu diflerent dans les deux cas.

Nous nous contenterons d'indiquer succinctcment le
calcul de Heron pour un triangle acutangle de coles

AB = 13, BC=14, AC==15. (T3'< U-hlS''

15 < 13 -f-14). AD ^tant la hauteur, on a, d'apres
un theor^me des Elements d'Euclide, r

AC' = AB' -f- BC^ — 2BC X BD.

Remplagant les c6t6s AC, AB et BC par leurs valeurs

MESURE DES POLYGONES 22^

num6riqucs,on frouveBD==:5, d'ou AD = y AB^ — BD^

= 12;otralre est ^^ ^ ^^ rri84.
2

On rctrouve la m6me rfegle dans les ecrits heron ions,

dans le Trait6 d'arpentage d'EpAPHRODiTus et de Vitru-

viijs RiiFUs, chez les Hindous et dans les Geometries

pratiques du Moyen age et de la Renaissance.

Arithmetique de Brahmegupta (628). — L'aul(Mir hindou
donne, sans demonstration, la r6gle suivante pour le
calcul de la hauteur; elle est reproduite dans le Lild-
vati de Bhaskara (12* s.). « La difference des carr^s des
cotes 6tant divisee par la base, le quotient est ajoute a
la base, puis soustrait d'elle : la somme et la difldrence
divisees par 2 sont les segments (determines par la
hauteur sur la base). La racine carree de la difl"eronce
des carres du cole et du segment de la base qui lui
correspond est la hauteur. »

Soient, en eff'et, a, b, c les coles, s
Vv et /• les segments, h la hauteur.

/i\ ^n a

/ L \ r^-=b^ — h\ (2)

B s

d'ou r- — s"^ = b- — C-,

(3)

c'esl-a-dire

(r + .s)(>

s)=b^-

— C-.

Mais

r

+

s = a;

on deduit

done de(3)

r

_ —^''

a

Posons

//

—

r-

il

vicnt

a

— — Q \

r

-f-

s=za,

r

—

s = q.

■230 LA GEOMKTRIE DE MESURB

On en lire en fin

= -' + '?
2

a — q
s = - ' •
2

-

/

\ '^

E

H/

/
G

V F

1

1

\ 1

Ces valeurs des sogmcuits sunt bion la Iraductlon
algebrique de la r^-gle donnee ci-dessus.

On determine ensuite la hauteur commea I'ordinaire,
au moyen de Tune dos formulcs (1) et (2).

Commentaires de Bhaskara par Ganesa (16« s.). — Ganesa
mono par le milieu G de la hauteur AD
une parallelo HI h la base HC, qui
determine deux triangles rectangles
AGH et AGI. Ces deux triangles, placds
respectivementen BKHetGFI,donncnt
un rectangle BKFG de base HC, de

hauteur et dont I'aire est la mome

2

que celle du triangle propose. — « Voyez », ajoute I'au-

teur hindou, et il en deduit la regie actuelle donnant

I'aire d'un triangle.

Algebre d'Al Kharizmi (820). — Dansla partiegeometrique
de son Algebre, I'aulcur arabe enseigne
le calcul algebrique d'une hauteur
d'un triangle dont on connait les trois
cotes 13, 14, 15.

En designant par x le plus petit seg-
ment determine par la hauteur AD sur
la base BC, on a dans les triangles
rectangles ADD et ADC

AB' — BD' z:= ad' = AC' — Cd',

ou

13'-~(14~ar)'rr=13^ — ^^

Mi;suaE Di:.s polvgones

En effectuant et sitri|>li(iant, il vient
28 a; =140,

On en (U'dult la hauteur v/l3- — x- rrr 12 et la surface

14
du triangle 12 x — = 8/

Aire du trian(jle en fonetlon des trois coles. — La

premiere mention de la regie donnant Tairedu triangle
€n fonction des trois coles se trouve dans H^ron
d'Alexandrie(1"'' s.?). Toutel'ois, cetle regie parait antd-
rieure an savant grec, qui en donne la demonstration
dans deux dc ses ouvrages : les Metriques et le Traite de
la Dioptre.

Dans le Lwre des trois freres arabes, Mouammed,
Ahmed et Aluasan (9* s.), on rencontn; une nouvelle
d(5raonstration, la premiere que nous ayons connueen
Europe; elle est reproduite par Leonard de 1*ise dans
sa Geometrie pratique (1220), puis par Jorda.nus Nemo-
RARuis (13* s.) etpar la plupart des g^ometres dc la Re-
naissance.

II est remarquablc que chez Heron, chez les Hindous,
conime chez tous les auteurs que nous venons de citer,
on fait application de la regie au triangle de c6tes
13, 14 et 15 dont I'aire est 84. On est done conduit a se
demander si ces trois nombres n'ont pas une origine
commune ; mais ainsi que Chasles I'a fait observer, les
Grecs, les Hindous et les Arabes ont ires bien pu par-
venir s^parement a reconnaitre que 13, 14 etl5 sont
les moindres nombres qui donnent une aire rationnelle {
pour les triangles acutangles.

On trouve encore posterieurement d'autres demons- i
trations nouvelles par Newton dans son Arithmetique
unipersellc (^nOl), Hauler dans les Nouveaux Commen-

232

LA GEUMbtKIE DE MRSURE

taires de Petershourg (tome I, 1747-48), Boscovich dans
le tome V de ses CEuvres, conccrnant I'oplique et Tas-
tronomie (1785); cette dernii^re demonslralion est ob-
lenue par des considerations trigonometriqiies.

Dans ce qui suit, nous reprosenterons pour simpli-
fier par a, b, c les cotes du triangU; AHG respective-
ment opposes aux angles A, H, C, par p le demi-peri-
metre, par r le rayon du cerde inscrit, par D, E, F les
points de contact de ce dernier avec les cotes r, a, h
et par S Taire du triangle.

Demonotration de Heron (1" s.). — On prolonge AC d'une

longueur CJ = BE ; il en
resulte que A.l=/^ et que

AJxOF=/^r3r:S.

EI(;vons maintcmant detix
perpendiculaires, I'une en O
sur AO, I'autre en C sur AC :
elles se rencontrent en L.
AOL et A(X 6tant droits,
les quatrc points A, 0, (>, L
sont sur une mome circon-
ference et Ton a A0(^-|- ALC
=r:2 dr. Mais OA, OB, OC etant bisscclrices des angl(;s
DOF, DOE, EOF dont la sommeest 4 dr., AOC-f-BOE
=^2 dr. et on a ALC = BOE. Les deux triangles rec-
tangles ACL et BEG sont semblables et donnent

AC ^ BE ^ C J
CL""OE OF'

AC^CL^CK
CJ OF KF'

d'oii

On en deduit

ACj+CJ_
CJ

CK4-KF
KF

ou

A.T
CJ

CF
KF

MESURE DES I'OLVGONES

Par suite, lo triangle AOK etant rectangle,
AJ' AFxCF AFxGF

23a

AJ X CJ

11 vient alors

AF X KF

OF

AJ xOF =rAJxAFxCJxCF;

mais 'kfxOF^=S\ A.] =p, AF=p — a,

a=JiE=:p — b, CF=p — c,
On a done

S = \/p (p — a){p — b){p — c).

Demonstration des trois freres arabes (9« s.) — Prolongeons
BA (Ic AG — CF, IJC d(; CI = AF ; on a BG = BI = ;?.
Menons en G une perpondiculairc jusqu'^ sa rencontre

en 0' avec la bissectrice BO de AlK^. O'l est perpendi-
culaire sur BC et egal k O'G, car les deux triangles
BGO'et BlO'sont egaux. Prenonssur AC, AH = AG

et tirons O'A, O'H, O'C. Ona (yc'' = Ol' + IC',

(ta'^cvg'h-ag', d'ou cFc' — (Fa' = ic' — ag'.

Cornme AH = AG = /j — c, CHrrr 5 — AH = 6 — AG

z=.p — a = IC, on en deduit

O'C — cva' = cti' — ahI

Or dans un triangle AO'C
cette derniere relation n'a
lieu que si H est le pied de
la perpend iculaire abaiss^e
de 0' sur AC 0) ; done les
angles en H sont droits et il
en resulte que O'A est bissec-
trice de Gtm.

(') Voir plus haul le calcui de la hauteur dans uu triangle scalene
(Regie de lirulinic^mpla).

234 LA GEOMETRIE DE MESURE

D'autre part, an a dans le quadrilat^re birectangle

GAHO', GAH + (iO'H=:2 dr. ; comme GAH-{-lSB

=:2dr., on en deduit GO'It = HAU et, en prenant les

moities, (jO'A=:DAO, Les deux triangles rectangles
AGO' et ADO sont alors semblables ol donnent

^^- = ^, d'ou ODxO'G=:Al)xAG.
AG O G

Mais

OD off OD'

O'G 01) X O'G AD X AG

D'ailleurs, a cause des parallolos OD et O'G, on a

OD ^ m

0'G~liG'

J, , ob' MD

■a ou :::=■; — .

ADxAG UG

On en deduit off X BG = AD x HD x AG

-t OD' X Og' = IJG X AD X 13D x AG.

OnaODxBG = S, \U\=p, AD=p — a,
BD = ;> — /), AVf^p — c,

•et enfin S^=\/p(p — a){p — l>){p — c).

Demonstration classique. — Le fond de celte demonstra--
tion parait emprunle a la precedente, mais I'exposilion
«n est beaucoup plus simple et repose sur la conside-
ration d'un des cercles exinscrits au triangle. Nous
n'avons pu retrouver k quel auleur est due cette sim-
plification.

Solent done 0' le centre du ccrcic exinscrit, de rayon

MESURE DES POLYGONES

235

r', corresponclant k Tangle B ; G, H et I les points de
contact dece cercle avec les coles du triangle.

On a d'abord S =p)\ (1)

puis S = O'AB -h O'CB — O'AC = (c-]-a — h) ~

= {p-hy. (2)

Multiplions (i) et (2)
membre a merabre :

S'=p{p — b)rr'. (3)

Nous allons, commedans
la demonstration arabe,
transformer le produit rr'
ou OD X O'G par la consi-
d(?ration des triangles AGO'
et ADO, qui sont sembla-
es cotes perpendiculaires.

bles comma ayant
On a

ODxO'G ou r/ = AD X AG =(;?—«)(/'— 0-

En portant cette valeur de rr' dans (3), on obtient

S'=pip-aXp^dXp-c).

Demonstration de Newton (1707). — Soit Pie milieu de AC.

PcrtonssurAC,de
g chaque c6te de A,

AJ=:AK=c,puis
de chaque c6te de
C, CL=CM = a,
^ etmenonsBJ, BK
puis BN perpen-
diculaire sur AG.

On a

AB — CB =AN — CN' = (AN + CN)(AN — CN)

= AGx2PN,

236 LA GEOMETRIE DE MESURE

d'oii PN =

2AC 26

De PK =zc — — retranclions PN, il resle

JNK:

2bc — h^- — e -ha^_a^ — (b — cf

__(a-\-b — c){a—h-\-c)__^{p — c){p — h)
26 b '

Retranchons ensuile NK de JK = 2c, il vient

jTVT^2c 2bc — b''- — e--^a^^{b-\-cf — a^
tb 2b

~ ' 26 ~ b '

Or, puisque AB = AJ = AK, le triangle JBC est
inscriplible dans une demi-circonference ; il est par
consequent rectangle en B. On a done

et ^^^-><^=.sjp^p-a){p-b){p-^c).

Remarque. — On a JM = 2/), JL = c-}-6 — «,

¥M = a-\-b — c, KL = c — b + a,

d'ou JN^JMXJL ^^^^KMxKL

26 26

fiXT ^ y/JM X JL X KL X KM

26

et S = y y/JM X JL X KL x KiVI.

On a ainsi une expression de I'aire eri fonction des
segments de la figure ; c'est d'ailleurs la forme a laquelle
arrive New Ion.

II 0.

237

, MESUIIE DES POLYGONES

Demonstration d'Euler (1747-48). — Abaissonsde AsurCO
une perpendiculaire AJ qui rencontre FO en K. On a

AOJ

Ibac

2

1

BCA = DOB. Les triangles rec-
tangles AJO et BDO sont done'
semblables et on en tire

AJ
JO

BD

r

(0

De raeme, CJA, KFA, OJK sont
semblables el donnent

AJ

JO

AC

ok'

Rapprochani (1) de (2), il vient - - = — ^ ,

d'ou BD X OK = AC X r.

Mais OK = FK — r ; la relation (3) de vient alors
BDxFK=:BDx^'-f-ACxr = (BD+AC>,
a'ou BDxFK=;?r.

(2)

(3)

(4)

D'autre part, les triangles semblables CFO et KAF

donnent

FK^CF

AF r

d'ou FK.r = AF.CF

€l BD.FK.r=:AF.BD.CF.

Rapprochant (4) de (5), il vient
jor« = AF.BD.CF = (/) — «)(;? — 6)(/) — c);
par suite joV- ou S^ = p(yO — a){p — 6)(/> — c).

(5)

BIBLIOGRAPHIB

Voir & la fin da chapitre.

238 LA GEOMEXaiE DE UESURE

§ 2. — Quadrangles.

Reclangle. — Les arpenleurs ont connu cl6s la plus
haute antiquity le procedd exact pour calculer I'aire du
reclangle. On poss^de des documents chald^ens re-
montant a 3 000 ans avant noire ere, qui ne laissent
pas de doute a ce sujet.

Metn(][aes de Heron (l^-^s.?). — On y voit figurer, proba-

blenient pour la premiere fois, la demonstration ele-

mentaire de la regie donnant la superlicie du rectangle.

Le rectangle ABCD ayant pour colds AH el AD dont

les mesures sonl respectivemenl 5 el 3

unites de longueur, Heron parlage AH

et CD en 5 el 3 parties dgales el mene

des paralleles par les points de division ;

il obtient ainsi 5x3 = lo carres con-

struits sur I'unile de longueur et repre-

scntant chacun Tunite de superlicie,

Carr6. -^ De memo que pour le rectangle, on a su
calculer I'aire du carre a une dpoque Ires reculee.

Dans le Manuel egyptien d'AHM^s (2000 av. J.-C), un
carrd de 9 perches de c6td a pour aire 9 x 9 = 81 per-
ches carries.

L'auteur hindou Aryabhatta, dans ses Lecons de Cal-
cul (6* s.), donne la r6gle sous la forme laconique que
voici : « Un carrd est un equi-quadrilalere ; sa surface
est le produit de deux nombres egaux ».

Parall^logramme et losange. — Ces deux figures
ne sont pas mentionnees dans les lextes antiques anld-
rieurs aux Grecs.

Chez Hi^BON et les agrimenseurs romains, on suppose^

A

B

MESURE DES POLYGONES 23^

connus les cotes et une diagonale. On peutalors diviser
la iigure en deux triangles dont on connait les trois
cotes. Pour le losange, Vitruvius Rufus (2* s. ?) calcuifr
la moitid de la seconde diagonale dont le produit avec
la diagonale donnee determine la surface.

L'hindou Bhaskara (12* s.) enonce la regie suivante
pour le losange : « Le produit des diagonales, etant
divise par deux, est I'aire du telragone eq^uilateral »;.
c'est la regit! actuelle.

Trapeze. — On a toulcs raisons de supposer que les
Chaldeens, tres habiles en arpentage, savaient calculer
I'aire d'un trapeze, bien que les documents qu'on pos-
sede actuellement ne permettent pas de se faire une
certitude a cet egard.

Manuel egyptien d'Ahmes (2000 av. J.-C). — « S'il t'est
donne une section de champ (trapeze isocMe) de 20
perches en sa rive (cote), dfr
6 perches en sa bouche (grande
base), de 4 perches en sa tron-
cature (petite base), quelle est sa
superficie? »

Ahmes fait le produit de la demi-somme des bases
par le cdte ; ii trouve ainsi 100 perches carrees au lieu
de 99p%87o que donnerait la regie exacte,soit une erreur
d'un peu plus de 1/1000.

Si Ton designe les bases par B et b at le cote par c,.
la regie d'Ahmes revient h. remplacer la formule exacte-

B±b
' 2

par la formule approximative
B + 6

2 ''

240

LA GEOMETRIE DE MESURE

C'est done la generalisation de la formule donnde
pour le triangle isocfele (§ 1).

Inscription hieroglyphique du temple d'Edfou (100 av. J.-C).
— On y trouve de nombreux exemples de calciils d'aires
de trapezes isoceles : celles-ci sont oblenues en I'aisant
le produit des domi-sommes des c6t6s opposes, Ainsi le
trapeze « 22 sur 21, 4 sur 4 » a pour aire

2_2 + 21 4H-i^g
2 2

Le resultat exact serait 85,33.

La rhgle employee revient d'ailleurs a celle d'AhmSs.

On a en effet — ^ >< — — = — ' c.

dt ^ ^

Metriques de Heron (1" s.?). — IIehon distingue le tra-
peze rectangle, le trapeze isocele et le trapeze quelcon-
que ; il suppose connus Ics c6t6s, il determine la hau-
teur et obtient I'aire par la memo regie que celle
employee aujourd'hui, c'est-a-dire en faisant le prodnit
de la demi-sorame des bases par la hauteur. Nous nous
contenterons d'indiquer son proccde pour le trapeze
quelconque ABCD ou AB = 13, CD =20, AD =: 6,
BC = 27.

On mene par les milieux H el 0 des coles AB et DC des
perpendiculaires aux bases : on forme ainsi un rectangle
KLNM equivalent au trapeze propose et dont la base

LN=:^-i^ (car AD-f-BC
2 ^

= AD4-KA4-LN4-DMr=:2LN),

et dont la hauteur est la men.e
que celle du Inipeze donne. Si
B L z jTe c mainlenant on mene AE parallele

^ DC, on forme un triangle ABE
dont on connatt les trois cdles AB = 13, BE = 27 — 6

KA D W

1/

h/

/i
/ 1

MESURE DCS POLYGONES 241

= 21 ct AE = CD = 20 ; * on peut ainsi calculer la
haiileur AZ=r: 12.

L'airo c lion; I ice est alors (^gale a

LNxAZ=:--^Xl2 = 198.

Legons de calcul d'Aryabhatta (6<' s.). — Voici la traduc-
tion de la strophe dans laquelle I'auteur liindou donne
la regie pour trouver I'aire du trapeze quelconque : « En
mnllipliant par la denii-soninie des bases leur distance,
on a Taire de la iigure. »

Auteurs divers. — Ch(!Z les agrimenseurs remains,
ctiez Gerbert, dans les g^omelries pratiques du Moyen
age et memo de la Renaissance, on ne donne que I'aire
des trapezes rectangle et isocole, par la regie generate
employee aujourd'iiui : la hauteur est supposee connue.
Nous signalerons toulefois une varianle originate in-
diquee par Errard de 15ar-le-Duc dans sa Geometrie
pratique (1"^*= 6dit., 1594) pour le tra-

D Y p6ze isocele ABCD. Si de A on

\ ; abaisse la perpendiculaire AZ sur BC,

\i I'aire du trap6ze est egale au produit

^ AZxZG : car si CY est la perpendi-
culaire abaissee de C sur AD, le rec-
tangle AZCY est equivalent au trapeze propose.

Quadrilat^re. — Dans TAntiquitc, on calculait en
general I'aire du quadri latere en faisant le produit des
demi-sommes des cotes opposds. Ce procede de la
moyenne a ete aussi applique, commc nous Tavons vu,
an triangle et au trapeze ; il s'est conserve dans la pra-
tique de I'arpentage chez les Grecs, les Romains, les
Hindous et au Moyen age. Mais il est a remarquer que
seuls lesEgyptiens paraissent avoir appli<jue cette r^gle

FouRREY. — Curios, fjdom. 16

242 LA GKOMKTRIE DE MUSURE

avec discernement ; ils nc s'cnservent en cfFol que pour
des figures ou son emploi conduit a une erreur negli-
gcable.

Chaldeens. — II est impossible de se fairc une idee
precise des procedes employ<!S par les Chalddens pour
evaluer les aires, au milieu des renseignements con-
tradictoires donnes par les assyriologuos. Ceux-ci, inal-
gre les nombreux documents rctrouves, n'ont encore
pu se mettre d'accord sur ce sujet, le syst5niedes poids
et mesures des r4haldeens n'etant pas acluellement re-
constitue d'une maniere complete et irrefutable. Toute-
fois il est probableque les Chaldeens employaient la regie
dc la moyenne pour calculer I'aire du (juadrilatere.

A litre d'indicalion, nous citerons un procede signale
(Comptes reridusde I'Ac. des Insc. et lie!. Let., 1899)
par Tassyriologue Jules Oppert, d'apres des textes du
Musde britannique remontant a 5 000 ans av. J.-C:

« Dans tous les ages, on mesurait les teri-es par des
quadrilateres separe's en lots ; dans les temps les plus
rapproch^s de nous, on lesdeterrainait en divisant les
tetragones en deux triangles, dont on determinait les
diagonales comnmnes etles bauteurs diflerentes quand
les cdtes etaient inegaux. Dans la haute Antiquite, le
mode etait plus complique ; quelque peu croyable que
puisse paraitre de prime abord la disposition suivie,
elle se trouve confirmee par des centaines d'exemples.

On etablissait une base, toujours en longueur, qu'on
appelail sud, terme auquel on joignait lemot hi, «beau-
coup, plein » ; ce qui voulait dire qu'on le comptail
pour les deux cotds. On formaitavec ia hauteur que Ton
nommait est un rectangle ; ce qui etait en dehors et en
plus, s'appelait au-dessus ; ce qui en manquait se nom-
mait « en dessous », en moins. La difference de ces va-
lours, soit positives, soil negatives, ^tait ajout^e au

MESURE DES POLYGONES

243

produit des doAix niesures de longueur, a ce rectangle
iictif, et donnait le resultat de la surface... »

Voici, a litre d'exemple, un extrait d'un texte Inice
sur un plat rond : c'est le document cadastral d'un bien
fondsimproductifdiviseen 11 \o\% ,iiidds sans plan annexe:

« II. 8f)0 loises en long des deux cotes, 14 toiscs 5 '
empans en large des deux cotes, 1/2 arpent en plus, 7 '
en moins, champ de 117 1/2 arpents improductifs.

Ble : neant. Urbabi, possesseur. »

La toise valant 12 empans et I'arpent 100 toises car-
rces, le calcul se presentaiten effet comme suit

,t5.

860' X 14'
1

12

12398 1/3"^ = 124'

+t-^

_ — () 1/2
~ 1171/2'

Ainsi, d'apres Jules Oppert, pour eWaluer I'aire d'un
•quadrilatere AIJCD (Jig. a), on I'auralt transform^ en un
rectangle EFGII ; cela semble bien invraisemblable. II
nous parait plus simple et plus conforme aux trad i'. ions
•de I'arpentage d'admettre que le texte cite se rapporlc a
un champ limits par une lignc iire-
guliere. On le divise alors (//y. />),
suivant deux directions nornialcs
sans doute orienteesau sud eta Test,
en lots analogues k GEFBCD ayant
trois de leurs cotes BC, CD et DC rcc-
tilignes et perpendiculaires Fun sar
Tautre ; on remplace la limite curviligne GEFB par
une perpendiculaire AB k GD et BC,
et I'aire propos^e est alors egulc a
celle du rectangle ABCD augmcntee
des surfaces saillantes comme en E
ct diminuee des surfaces rcntrantcs
Fig. 6. comme en F.

AE

H D

Fig. a.

A G

244 LA GEOMETRIE DE MESURE

Inscription egyptienne d'Edfou (100 av. J.-C). — Celte in-
scription contient plusieurs exemples de calcul de I'aire
d'un quadrilatere par le precede des moycnnes.

Ainsi le quadrilalere « 16 sur 15 et 4 sur 31/2 » a

pour aire ilili' xi±iL^2 = 38 1/8.

Metriques de Heron (1" s.?). — L'autcur grcc donne seu_
lemcnt un exemple de calcul dc I'aire d'un quadrilatere
dont un des angles est droit; \\ est probable que pour
un quadrilatere absolument quelconque, il le divisait
en deux triangles dont il evaluait separemont I'aire.

Soit un quadrilatere AIJCD, dont
Tangle C est droit, mais ou aucun
C(Me n'est parallelo a un autre ; on
connait les longueurs des cotes
indiquees sur la figure ci-contre.
Heron divise le quadrilatere en deux
triangles par une diagonale BD.

L'aire de BCD est egale ^ — ^- = 100. On a en-

suite BD' = BG + CD' = oOO ; on connait done les trols
coles du triangle ABD et on pent en determiner la
hauteur AE comme nous I'avons indique ant6rieure-
ment; le carre de cette hauteur est 96 1/2 l/o 1/10 et

r • 111 vnn v/'^X-"' 1/^~V-> Vl'^ \kck
1 aire du tiianc;le ABD ^ ^ ' — = 110.

^ 2

L'aire du quadiilal^re est par suite 100-1-110 = 210.

Signalons ici qu'en Grecc — comme en Egypte d'ail-
leurs — on n'employait que des fractions ayant pour
numcrateurl'unite : la fraction 2/3 seule faisait exception.
Cette tradition s'est perpeluee chez les Byzantins jus-
qu'au 14* si^cle.

Auteurs latins. — Dansle Traile d'arpentage (^'l^fAVVi^O'

MESURIJ I)i:S POLVGONES 245

DiTus (1™ Pai'tie, 1" s. ?), I'aire dii quadrilatcre de c6t^s

40, 30, 20 el Gcstobtonue par Ic proced6 de la moyenne:

40-h30 20-f-6_
"~2 X— ^-_4oo.

, Chez les agrimenseurs remains, ce procedd parait
avoir ele applique sans discernernent, a des quadrila-
leres absolumenl qnelconques, contrairement h ce qui
se faisait en Egypte, ainsi que nous Tavons vu ci-
dessus.

La meme regie se rencontre dans la Geometrie de
BoRCE (f)" s.), dans les Proposiiions d'ALCuiN (8" s.)
pour un quadrilalere de coles 30 et 32, 34 et 32 ;
Tapplicalion au meme quadrilatcre se retrouve dans la
Geometric de Geiujert (lO'-ll" s.).

Arithmetique de Brahmegupta (628). — L'auteur hin-
dou donne la regie de la moyenne pour le quadri-
lalere, en ajoutant qu'on oblient ainsi Vaire grossiere.

Son commenlaleur Ciiatuuveda en fait I'application
au quadrilalere de coles 00 et 2o, 52 et 39 ettrou vapour
I'aire 1933 3/4.

BnAHMEGijPTA douuc cnsuitc la regie suivante : « La
demi-somme des cotes est ecrite qualre fois ; on
en relranche successivement les cotes ; on fait le pro-
duil des restes : la racine carree de ce produit est I'aire
exacte [du quadrilalere]. »

On sail que cette regie, generalisation de celle rela-
tive au triangle et qui se traduit par la formule
\/(/; — a)(/; — /^)(/; — r)(/>i — (f) ou /; deslgne le demi-peri-
m^treet (7,/>>,f',/'/ les c6tes, n'est applicablequ'au quadri-
lalere inscriptible. OrRrahmegupta neparattavoirconsi-
dere que cinq classes de quadrilatcres : carrd, rectangle,
trapeze isocfele, trapeze a trois cdtds dgaux, quadrila-
lere Sidiagonales perpendiculaires remplissant certaines
conditions. Tous ces polygones sont inscriptibles (ce.

24G

LA GEOMETRIE DE MESUKE

quo savait le mathemalicien hindou) et on peul leur
appJiquer la r5glc precedente : il est done probable que
c'est a Bralimegupla qu'oii doit cetle regie.

Son coiiimcntateur Chalurveda en fait Tapplication
au quadrilatore dejk considere dont
Ics coles sont 60 et 25, 52 et 39, dont
les diagonales sont perpendiculaires
et qui satisfait aux conditions voulues
pour etrc inscriptible (diam^tre du
cercle 65); il trouve 1764 pour I'aire
exacte. La regie approximative avait
donne 1 933 3/4 ; on voit que les resultats different
nolablcment.

Variet^s. — Brahmegupta dans la Section IV de son
Arithmetique, et Bhaskara dans le Chapitre IX de sa
Lilavati, indiquent le calcul de la surface lavee par
jla scie dans une piSce de bois qui doit etre debitee en
pieces plus minces. II est probable quece calcul repon-
dait k un besoin pratique : les scieurs de long 6taient
peut-6tre payes proporlionnellement a la surface sciee.
Nous suivrons ici Bhaskara.

Par exemple, une piece de bois a la forme d'un
prisme dont la base est un trapeze isocMe ; les cotes paral-
lels de celui-ci ont 16 et
20 doigts, et sa hauteur
est de 100 dgigts. La pi^ce
doit etre debitee h. la scie
en 5 morceaux dans le
sens de sa longueur; quelle sera la surface lavee par
la scie en coud^es carrees (la coudee vaut 24 doigls) ?
On doit faire 4 sections pour obtenir 5 morceaux.
« La demi-somme de F^paisseur aux extremites, qui est
20-hl6 = 18, mullipliee par la longueur, donne 1 800^

MESURE DES POLYGONES 247

et par le nombre de sections, 7 200; le r^sultat divis6
par 24' = 576 donne le quotient en coudees car-

rees

25
2

BIBLIOGRAPHIE

Voir a la fin clu clianitre.

§ 3. — Surfaces planes quelconques.

tgyptiens. — Pour evaluer la surface des terrains
formant la propriete fonciere du temple d'Edfou, on
les avail divises en triangles, trapezes etquadrilateres ;
nous avons vu comment on avait cuicule I'aire de ces
polygenes.

Chaldeens. — Suivant unc tradition qui parait avoir
6te universelle dans I'Antiquite, les Chaldeens eva-
luaient les aires de deux mani6res : au moyen de mesures
agraires, ou au moyen d'une mesure de capacite, appel^e
cor d'ensemencement, representant le volume de grain
necessaire pour ensemencer un terrain d'une ^tendue
determin^e ; d'apres Jules Oppert. le cor equivaudrait
h O^^^^S 1)225.

En ce qui concerne revaluation par les mesures
agraires, les Chaldeens ont ele veritablement originaux
et leurs precedes ne paraissent pas avoir ele employes
apres eux. D'apres Aures, les trois plus petites unites
agraires dont ils se servaient etaient les suivantes :

Uban. . . .

Ij

Canne superfi
cielle. . . .

LONGUEUR

LARGEUR

VALEUR
ea

METRES CARHES

Valeur

de la

coudee :

0"s54.

15 coudees
45 —

45 —

4/42 coudee
2 coudees

45 —

0,3645
8,748

65,64

248. LA GEOMETaiE DE MESURE

Ainsi les arpenteurs chaldeens avaient donn^ la
forme rectangulaire aiix deux premieres mesures,
Tuban et FU (lunite agraire* desig^nee par U est repre-
sentee par cette leltre sur lous les texles assyriens).
Dans les textes cuneiformes traitant d'arpentage, on
enonce I'aire par la base seule ; on sous-entend une
hauteur constante, qui est celle d' une canne lineaire ou
15 coudees (S^jlO).

Voici d6s lors, d'aprfes Aures, le precede pratique que
devaient employer les arpenteurs pour evuluer I'aire
d'un terrain quelconque. lis parliigeaient ce terrain
en zones trapezoidales analogues a CAA'C, ECC'E',, de

15 coudees de hauteur,

_.,,-— V et 11 leur suifisait pour

^-"""^ \ determiner la superlicie

^(_^ / de ces zones en cannes,

L. ^V -/i' \j et ubans, de mesurcr

15c '^l y^ les longueurs des bases

^""z ^ moyennes BB' et DD' :

chaque longueur de 13
coude'es correspondait a une canne superlicielle ; le
reste des distances CC et DD' conlenait autant d'U que
de doubles coudees (au maximum 7) ; le dernier reste
contenait enfin autant d'ubans que de douziemes de
coudees (au maximum 23 1/2.)

II est meme probable que les Chalde'ens operaient
d'une manifere encore plus simple. Lorsqu'ils avaient
divisd la surface a arpenter en zones de 15 coudees de
large, il leur sutiisait pour avoir I'aire de I'ensemble
EAA'E' forme par deux zones conligues, au lieud'eva-
luer BB' et DD', de mesurer la base moyonne CC et
d'en prendre le double.

Traite de la Dioptre de Heron (1" s. ?). — HenoN indique
deux precedes. Dans le premier (surface a cbnlour cur-

MESURE DES POLYGONES

249

viligne), il inscrit un rectangle GBE"F' dans la figure
a mesurer, puis il parlage la surface reslant le long

H' r' t^ A

T' B'

du contour en trapezes et en triangles rectangles.
Dans le second (surlacc a contour polygonal), il

choisit une base d'ope-
M \ g y ration AB sur laquelle

K/ 1 A il abaisse des perpen-

diciilaires a parlir des
sommets du polygone
dont il s'agit d'evaluer
Faire. Celui-ci se trouve
ainsi partagd en trian-
gles et trapezes dont les
hauteurs sc mesurent tres simplement sur la base
d'operation.

niBl.lOGRAPIIIE

EiNSENLOHR. — Eiti mcilliemalisches Handbuch der alien Aegypler.\^e\^z\g^

1877, 1 vol. ia-i" ct 1 atlas in-fol.
Lepsius. — Ueber cine hierogbjplUsche Inschtifl am Tempel von Edfu,

Alum, de I'Acad. de Berlin, 1836.
AunES. — Theorie de I'arpenlage chez les Assyriens. S. 1. n. d., in-4\
H. ScHiiiNE, — Herons von Alexandria Yerniessungslehre und Dioptra.

Leipzig, 1903, in-8».

250 LA GEOMETRIE DB MESURB

F. HuLT.sca. — Heroiiis Alexandrini geometricorum el slereometriconun r»-
liquia, Berlin, i864, in-8».

V. MoRTET et P. Tanneky. — Un uouvcau texle des Iraites d'arpentage et
dc yeoinelric d'EpaphrodUus et de Vilruvius Rufus. Not. et Extr. des
Mss. de la Bibl. iNat., lome 35, 2« p*", 1897.

L. lUiiiET. — Lefons de culcul d'Aryabhata. J*' Asiat., 1" sem. 1879.

CoLEuiiooKE. — Algebra willi AriUmielic and Mensuralion from the Sans-
crit of Brahmeguplu and Hhuscnru (translated Ly). Londres, 1817, in-i"».

MoHAAiMEii UEN MusA. — Algebra. Edition Rosen. Londres, 1831, in-S",

JI. (>iJUTZE. — l)er liber Irium fratrum de yeumelria. Nova Acta Acad.
(ja;.s. Lcop.-Carol.-(jorm. naturae Guriosoruui, tome 49. Halle, 1887.

Alcuin. — Proposiliones Alcuini... ad acuendos juvenes. Patrologie latine
dc Mii^ne, tome 101, col. 1143, Paris, 1831.

GEULiiUT. — Opera malttemalica. Edition iJubnov. Berlin, 1899, in-8».

CHAPITRE III
MESURE Dl] CERCLEC)

§ 1. — P6riode ant6rieure a Archim^de.

, figyptiens. — Manuel d'Ahmes (2000 av. J. -C). — « Re-
gie pour calculer un champ rond do 9 perches. Quelle
est sa contenance ?

Prends le 1/9, c'ost 1. [Retranche de 9], reste 8.
JMultiplie Ic nombre 8 liuit "ois, ccla donne 64. Sa con-
tenance est 04 [perches carrees]. »

Ce proccde revient a prendre/—^) ou ('—^]

(^f,\2 . \ ^^ . \ • /

— J r^ pour aire d'uri cercle de diamelre d ou de

rayon r. Les Egypliens avaienl done adopte pour ■:: la

valeur/— j r=—= 3,1605; elle est comme on voit

trcs approchee de la valeur reelle,

(*) A'ous nous contenterons dans co Chapitre de montrer comment ou a
effcctivcment calcule la longueur de la circonference et I'aire du cercle
aux dlverses epoqucs, de I'Antiquite au Moyen age, et comment Arclii-
mede a determine le rapport constant de la circonference au diamitre,
rapport qui, on le sait, est represente universellement au moyen de la
lettre grecque tt.

Nous laisscrous de cote les recljcrc'ies modernes sur la determination
de TT et tout cc qui a trait a la qu.idrature du cercle. Ge dernier pro-
Llcme, impossible ii resoudre tcl qu'il etait pose, consistait ii trouver,.
nar Tcraploi exclusif de la regie ct du compas, le cote d'un carre d'air&
egale a celle d'un cercle donne.

252 LA GEOMETRIE DE MESURE

La grande pyramide. — Un auteur anglais, John Tay-
lor, aemis, vers 1860, I'opinion originale que la plus
grande des pyramides deGizeh (Gli(5o[)s, 12" s. av. J.-G.)
avail, eteelevee pour transmcttre h la poslerite le rap-!
port de la circonference au rayon. i

Cette pyramide est reguliere, h base carree, et on
sait par Herodote que I'aire de chaque face laterale est
egale au carre de la hauteur. A I'aide de ces donndes,
il est facile de determiner le rapport du perimc^lre de la
base a la hauteur : c'est un tres simple problome gdo-
m^trique que nous laissons le soin de resoudre a nos
lecteurs. On trouve 6,290 pour resultat ; cclui-ci didere
pen du veritable rapport de la circonference au rayon
(6,283). Mais cela sufTit-il pour admeltre la veracity
de I'opinion de John Taylor ? Nous ne le croyons pas;
nous avons fait cette citation h titre seulement de curio-
sit6 : il y a la un(! simple coincidence.

Dans les dimensions de la grande pyramide, on peut
d'ailleurs ddcouvrir beaucoup de chosos auxquelles ses
constructeurs n'ontassurement jamais songe. Ainsi un
astronome ecossais, Piazzi Smyth, avait trouve qu'elle
renfermait tout un systcme de mssurcs de longueurs et
de poids fonde sur les dimensions du globe terres Ire et
sur des observations astronomiques ; dans les dimen-
sions relatives des differentes parlies de Tedifice, il
rencontrait la longueur de I'axe de la terre, la distance
de la terre au soleil, la duree de I'annee, etc. L'exa-
men particulier des dimensions de la chambre int6-
rieure lui fournissait des donnees chronologiques sur
les principaux fails de Tbistoire de Thumanite et il en
deduisait des predictions qui, est-il besoin de le dire,
ne se sont jamais realisees.

Ghald^ens et H6breux. — Les Chaldeens devaient

MESURE DU CERCLE 2^)'.^

connaitre la proprlete du rayon de pouvoir 6tre porte
6 fois exactement sur la circonferonce. lis avaient en
effet partage i'annee en 360 jours et, comme conse-
quence, le cerdc suppose comme oif)ile apparenle du
soleil en 360 parlies egales ; d'auire part, dans la
haute Antiquite, on ne trouve figuree la division de la
circonference en 6 parties egales que dans les produc-
tions de I'art chaldecn.

Comme consequences de la propriele du rayon rap-
pelee ci-dessus, les peuples de la region du Tigreet de
I'Euphrate admettaient probablement que I'hexagone
regulier se confond sensiblement avec la circonference
et devaieni se servir par suite de la valeur 7: = 3. On
trouve une confirmation de ce fait dans les livres sa-
cres des Hebreux, dont on connait les relations avec les
Assyriens et les Babyloniens.

La Bible. — On y trouve deux passages relatifs aux
dimensions d'un grand bassin d'airainqui ornaitle tem-
ple construit a Jerusalem par Salomon de 1014 k 1007
av. J.-G. « Ensuite le roi fit la mer d'airain de 10 cou-
dees d'un bord h I'autre bord. Elle etait ronde, mesu-
rait 5 coudees de haut. Une corde de 30 coudees en
faisait le tour. » (Les Rois,Viv. I, chap. Wll ou les Chro-

30
niques, liv. I, chap. IV). On a done ici-^^ — = 3.

Dans le Talmud, recueil de traditions rabbiniques
posterieur k la Bible, on rencontre cette proposition :
« Ce qui a trois palmes de tour est large d'un palme »;
on est encore conduit a la meme valeur de r.

BIBLIOGRAPHIE

Voir a la fin du cliapitre.

254 LA Ul'.O.MUTRIE DE MESURB

§ 2. — Les travaux d'Archimfede.

Nous ignorons quel elait le precede employe dans la
pratique par les anciens grecs, anterieurement k Archi-
MEDE, pour calculer la circonference oul'aire du cercle.

C'est au grand savant syracusain qu'il appartenait de
determiner, d'apr^sdes bases scienliliques, les premieres
approximations de la valeur du rapport de la circonfd-
rence au diamctre. Nous nous proposonsde resumerici
ses remarquables travaux sur ce sujct, contenus dans un
livre De la mesure du Cercle, (\\\\ n'est pr^ablement
qu'un exlrait d'un ouvrage plus etendusur les proprie-
tds du cercle. Nous emploierons les notations modernes
et designerons par /• le rayon, d le diamelrc, c la cir-
conference, C I'aire du cercle, /;„ le perimetre du poly-
gone regulier circonscrit de n cOtes,y;'. le perimetre du
polygone regulier inscril du meme nombre de cotes.

Proposilion I. — Un cercle quelconnue est equivalent
a un triangle rectangle dont un des cotes de I'angle droit
est egal au rayon du cercle et dont I' autre cote de I'angle
droit est egal a la circonference du mcine cercle.

Ddsignons par T I'aire du triangle rectangle et suppo-
sons qu'on puisse avoir C>T; soit C — T = A. In-
scrivons dans le cerce un polygone regulier d'apo-
theme in\ de perimetre p' et d'aire P' tel que Ton ait
C — P' < A, ce qui est toujours possible (Elements d'Eu-

clide, prop. 2, liv. 12). On a alors P' > T ou ^^ > — ,

ce qui est absurde, puisqu'on a p' <^c [principe admis
par Archimede] et m' < r.

Supposons maintenant G<Tet T — C = A. Circon-
scrivons au cercle un polygone regulier d'apoth^me r.

MESUnC DU CERCLE

255

■de p^rimetre ;; et d'aire P tel que P — C < A. On a alors
P < T 011^- < — , ce qui est impossible puisque p > c.
On en deduit necessairement C = T.

Proposition IT. — • Un cercleest an carre construit siir
le diametre a tres pen de chose pres comme 11 est a 14.

G'est une consequence de la proposition prec6dente
€t de la suivante ; il semble done que la presente pro-
position devrait Ctre plac6e plus loin.

(i)

cr

On a, d'apres (I), C = —

22

D'apres (HI), on a approximativenient c = — d,

1 1

Rempla^ant clans (1), ilvient C=:f/-X — •

14

Proposition III. — La civ conference d'lin cercJe est

■egale au triple du diametre reuni a une certaine portion

du diametre qui est plus petite que le ijl de ce diametre

10
^t plus "rande que les — de ce meine diametre.

^ " ^ 71

10 1

Autrement dit, on doit avoir 3 -^/< f < 3 — </.

71 7

I'-o Partie : c < 3 — of. — Soient un cerclc de centre E et

7

de rayon CE, et le triangle ECB rectangle en C ou CEB

= 30°. On mene succes-
sivement les bisscctrices

ED de CEb, EH de CED,

EK de CEH, EL de CEK.

En designant par «„ le de-

\fni-c6te du polygone regu-

lier circonscrit de n cotes,

on a CB = a^^ CD = a^^j

CL ==: fiTgg.

€H=^,,. CK=^.

'24>

256 LA GEOMETRIE DE MESURE

Archim^de donne, sans la justifier, I'indgalite

CE. 265 L^^ m

[Le triangle rectangle ECB ou BE = 2CB permet en

«.,,,, . Cir B>f - CB^ _ ^ . ^,. / 205 y- _ 70225
effet d ecrire = :^ — -^ > oi — — I — ^

CB' • CB' ^^^^^ 153

o 2 1'^ -.^^V /265V I- •♦ 1

= 3 : — ; on en deduil. ■ — - > / -— ) et par suite la

I'SS' CB" \^^^/

relation (1). ]

La bissectrice ED de CEB donne ensuile

BE^CE BE + CE ^ BE , CE^CE.

BD CD ^ BD + CD CB CB CD'

tenant compte de la relation (1) et de BE = 2CB, on a

CE^ 571 r ^ 571 ,^.

CD>T^3 ^" ;;;;>i53- ^'>

En considerant le triangle rectangle CED et en utili-
sant I'in^alite (2), on pent ecrire

DE'^CE' ^ 340 450^

cd' cd' 153'

d'ou, en prenant la racine carree par d^faut de 349 450
(au moyen de la mdthode indiquee par Heron, Chap. 2,

§i),

DE^ 5911/8

^CD^ 153

Les propri^tds de la bissectrice EH de CED nous per-

mettent alors d'ecrire

DE_CE . DE + CE DE CE^CE

DH CH DH-f-CH ^" CD"'~CD CH*

DE CE

Rempla^ant j— et — - par leurs valeurs par d^'faut

trouvdes prdcedemment, il vient

MESUUF I>LI CKIiCLK

2r)7

CE^ 1 162 1/8 r . 1 1B21/8 .on

CH^ 153 a.,, 153 ^ ^

On passo succcssivcmonl dc —— a --— et a — —

CI I CK CL

commc nous avons pa«sc de -— - a --.-• Un oblient amsi
^ CD Cll

CE^ 233i1/i r . 2 3341/4

\ _ L_ oil — ^— —

CK-^ 153 r^, 153

CE^ 4 0731/2
CL li)3

_/;_ ^ 4fi731/2
«.6^ 153
On deduit do colic dcrnlcrc inc'riilile

r . 4 1)73 1 /2 _ et /^96 < /• ^^ ^''^^

;)ge^l53xC.i(>x2) ^' (/ ^4 073 1//
i4 fortiori,

1

"2
1335

4<3i.

10

111 • • •

2« Partie: 6'>3 — d. — Soicnl imc domi circonfcrence
71

de dianielrc AC, Ic Lrlangle inscrit CHA leclanglc en B

ct ou CAB = 30^ On
menc succcssivenient
Ics ])isscclrices AD de

CAB, AH de CAD, AK

de CAUetALdcCAK.
En dcsignant par a], le
cole du poly gone rc-

gnlicr inscrit de n culcs, on a CB = «'6, CD = «'i:,

Cll = a\^ , CK --= a\s , CL =-- ft'so.
Arcliimede pose rincgalile

AB \m

CB ^ '780 *
[Lc Iriangle reclangle CBA pcrract en ciTcl d'ccrlrc

FoLui'.iiY. — Curios, ficom. 17

258

LA GEOMETRIE DB MESUBB

ab' ca'— cb'

cir

cb'

.0 ,

V78()

ddduit

AB
CB^

<(

,780

)■•■

par suit

On J

a d'aillcurs

CA

CB

1 SfiO

780

ou

^ = 2.

V 780 ) ^^^

par suite la relation ci-dessus.]

on en

780 ■

(0

" 6

D'autre part, si Ton designe par F le point de ren-
contre de AD et de CB, Ics triangles rectangles CD A et

FDC sonl semblables, car BAD = DCB = JJAC ;

'^"'^ DC~FD~CF'

Ml k- \ • KVA ^^ AB C\-{-AB

Mais la bisscctrice At donne -— = — — = ^.^ =

CF BF CF + BF

CA + AB. , AD__CA-f-AB__CA AB 2911

CB ' ^"^ CD~" CB ""CB CB^ 780 ^

II en resulle

AD.' 8473921 AD ' -f- CD ' _ oT 9082321^

CD' 78o' ' CD' Cd' 78o'

et

CA/3013I d .3013! ^o\

CD /80 « 12 ^80

On trouverali de mSme

d . 1838ti /o\

A<2om. (s)

a'„ ^66 ^ '

MESURE DU CERCLE 259

On d^duit de cette derniere inegalite

d_ 20174

p\^^ m X %

a ^ 80U9 7i__il_ '^^

1137

Remarque. — On a beaiicoup discule sur le procdde
employ6 par Akchimede pour la determination des

2(jf) 1351 —

approximations — ^ et dey/3. Nous nous conten-

terons de faire observer ici qu'en prenant — - comme

o

premiere approximation de cette expression et, en sui-

vant la m^thode employee par Heron pour i'extraclion

1 351
des racines, on arrive precisement a — — .

^ 780

Les extractions de racine qu'on rencontre dans la
demonstration precedente paraissent d'ailleurs avoir
dt^ effectuees par cclte methode.

Autres approximations d'Archimede. — Heron, dans scs

Metriques rapporle qu'ARCHiMEDE a indique des limitcs

plus etroites pour Ic nombre r^. « Le meme Archimede

montre dans son ecrit Sur la Plinthide et le Cylindrc que

le rapport de la circonference de chaque cercle au dia-

211 S7^)
metre est plus grand que — et plus petit que

7.r."TT7rr .» Ces nombres sont manifestemenl corrompus ;
G2o51 ^.

Paul Tannery propose de lire

195882 _ 211872
62351 ^'^ 67441'

ou 3,141606 > - > 3,1415904.

Ainsi la valeur ■:::= 3,1416 employee aujourd'hui.

260 LA GEOMHTftlE DE MESURE

(rune fagon a, peu pres exclusive clans la pratique est
elle-meme clue a Aichiinede.

BIBLtOGRAPHIE
Voir a la fin du chapitre.

§ 3. — P6riode post6rieure a Archimede.

Grecs. — D'apres Eutocius, Apollonu]s(2* s. av. .T.-C.)
^urait pousse encore plus loin qu'Archimedc I'approxi-
malion de la valeur de x, mais nous ne savons ricn de
precis h cet egard.

Le grand astronome Ptol^m^e (2* s.) a dte ^galement

■conduit, en construisant une table de longueurs de

cordes, a calculer une expression de tc. II divise la cir-

conference en 360 degres, chaque degre en 60 minutes, ...

II divise de m6me le rayon suppose ^gal h I'unitd de

longueur en 60 parties egales aussi appelees degres ;

chacune de ces parties est partagde k son tour en 60

parties dgales aussi nommees minutes, ... II trouve que

4 2
la corde de Tare d'un degre a pour longueur— --|-—-

60 60

-~\-- — ou, avec la notation de Plolemee, 1°2'50". Si Ton
60=*

admet que cet arc ne dilTcre pas sensibleracnt de sa

2 TjO
•corde, Tare de 60" a pour longueur 1 +"^ + ^ on

l,2''o0'. La demi-circonference a done pour va-
leur 3~\ h^ ou 3,8" 30', c'est-a-dire qu'on a

60 60'

IIebon, dans ses Metriqnes (I" s. ?), tout en citant,
•comme nous I'avons dit ci-dessus (§ 1), les valeurs
plus resserrees obtenues par le geomMre de Syracuse,

MESURE DU CERCLE 26 f

92

sesert dc - = -"^(=3, 142...) dans ses calculs pratiques:

K Archimede a montre que W fois le carr^ du diamelre
etait equivalent a 14 fois le cercle. Si le diametre du
cercle est egal a 10

100x11=1100,
1100

14

78 1/2 1/14, c'est I'aire de cercle. »

Dans les ecrils lidroniens (10® siecle?), on se sert de
la limite superieure d'Archinfiede, soit sous la forme

t: = — , soit sous celle-ci7: = 4(1 V (^elle

7 \ 7 2x7/

derniere valeur est assez commode pour le calcul: pour

trouver par exemple I'aire d'un cercle dont le diametre

est connu, il sutfit de retrancher du carre du diamelre

le septieme de ce carre, puis la moitie du sepliemc.

Cliiuois. — Dans la deuxieme partie du Tcheou-pei

ou ft Livre sacre du calcul », qui remonte a la fin du

3* siecle avant notre ere et qui Iraite de I'astronoraie,

on fait usctge de la valeur z = 3. Le cercle et le nombr3

3 symbolisent le ciel, le carre et le nombre 4 symboli-

sentla lerre. Yoici un extrait de ce recueil: « Prends

75
un diametre de 121 — ^ pieds, mulliplie-le par 3, tu
100 ^ i F '

obliens 36o 1/4 pieds. » La circonference est divlsee

non plus en 300 parlies egales com me cbezlcsChaldeens,

mais en 363 1/4, de meme que Fannee solaire est par-

lagee en 363 1/4 jours.

A une epoque posterleure, Tecrlvain Tsu xsciUNrT

TSCHE, qui vivait au 6® siecle de noire ere, mcntionne

22
le rapport arcliimedien — , dont la connaissancesemble

indiquer qu'a un moment donn6 les decouvertes mathe-

262 LA GEOMETBIE OE MESURE

matiques des Grecs ont p6netr6 jusqu'en Chine. A peu
pr6s vers la mSme epoque, Liu hwuy «e servail du rap-'

port singulier --, — = 3,14.

Remains. — En general, les agrimenseurs emploient

22
la valeur archimedienne -= — • Yoici un exemple lir6

7

du Traite d'avpenla'^e Je YriRUVius Rlfus (2" s. ?) >« Soil
un cercle de 14 pieds de diametre, je cherche son aire
comme suit: je raultiplie le diametre par lui-nieme,
ce qui donne 196, puis par 11, il vient 2156; divisant
par 14 j'aurai 154. Aulant de pieds (carr^s) contient
I'aire du cercle. »
Toutefois Tarchitecte Vitruve (1" siecle) utilise la

relation r.=.Z — , moins exacte que la precedente ( ^ -r- )»

mais se pretant mieux au calcul par fractions duod^ci-

males dont se servaient les Remains.

Signalons encore qu'on rencontre dans Epaphroditus

. ■ . 22

(l*"" s. ?), ^ c6td de Tapproximalion 7: = -;^, la valeur

erron^e z = 4 qui se retrouve dans les Propositions
d'ALcuiN (7' s.), e^ qui est employee a determiner la
surface d'un cercle dont on connait la circonfdrence.
Celle-ci etant c, on en prend le quart et on dleve au

carre — : c'est I'aire cherchee. L'aire exacte serait, ainsi

, ^' . . ' e

qu'on peut le voir aisement — ; la formule pr^c6dente
suppose done t: = 4.

Hindous. — Culvasutras (Regies du cordeau). — Les
auteurs de ces anciens recueils de theologie gdomdtrique
indiquent le proced6 suivant pour trouver le c6te du
carre de mcme aire qu'un cercle donne: « Partage le

AtESUBE DU CERCLE 263

diametre en 15 parties et ote 2, le reste est h peu pr^s
le cote du carre. » On en deduit que la valeur corres-

i 9A-

pondanle de z est — , c'est-a-dire sensiblement 3 ; nous
, 15^

pouvons observer a ce sujet que la valeur approxi-
mative — de \/3 a deia ete rencontree dans les Merits
15 ^ ^

heroniens et chez les agrirncnseursa propos del'airedu
triangle equilateral (Chap. 2, § 1).

L'auteur de I'un des recueils, Baudhayana (2" s.), donne
en outre la regie ci aprcs. « Pour faire d'un cercle un
carre, on fait 8 parts du diametre ; une de ces parts
dout il restera 7 intactes sera divis6e en 29 parties dont

on retirera 28 / et il restera — • — j ainsi que 1/6 d'une
\ 29 8/ H /

portion diminue de son propre huitifeme. » Le c6le du
carr^ a ainsi pour expression, d designant le diametre,

^n . J /j_ L__i i_\i

L 8 8.29 \29.8 6 8 29. 8. 6/ J

\8 8.29 8.29.6 8.29.6.8/

= r/x 0,87868.

On en dddult la valeur correspondante de %t
4 X (0,87868)- = 3,0883.

Aryabhatta (1" s.). — La r^gle ci-apr6s est extraite de
ses Lecons de calcul. « Ajoutez 4 k 100, multipliez
par 8, ajoutez encore 62 000, voilSi pour un diametre de
deux myriades la valeur approximative de la circonfe-
rence du cercle. »

On a ici r. = ^^ = ^Mi&,

20 000

Un commenlateur de Bhdskara, Ganesa(16' s.) nous
apprend comment celte derni5re valeur de z a 6te cal«

264 LA GEOMETRIE DE MESIJRE

cul^e : c'est. au moyen de la methode dite des perimetres,
imag-in^e par Arohimede, mais oxactcment developp^e
dans la forme que nous lui donnons aujourd'hui et qui
est difl"('rente de celle employee par le g^om^tre grec.

Le diametre d (^.tant suppose egal a 100, on part de
I'hexagone regulier inscrit dont le Q,6i€ c est egal h 50 ;
on calcule le cote c' du dodecagone au moyen d'une
regie qui s'exprime par la formule connue

^|(rf-\/,/'-c')

On passe ensuite successivement, al'aide delameme
regie, aux polygones reguliers inscrits de 24, 48, ...
c6les. On trouve ainsi que les perimetres des polygones
reguliers de 0, 12, 24, 48, 96, 192, 384 c6tes peuvent
6tre representds par la suite

V/9F6b0, v/96 461, \/98133, v^^^^^
V/9866T, v/98687, \/98"6y4.
Les Hindous prennent le perimetre du polygene de
384 c6tes comme longueur approchee de la circonference

et obtiennenl ainsi

.^VM69_4^ ^^6_
100 '

Brahmegupta (7<^ s.). — D'apres lui, « le diametre et le
carre du rayon etant separemcnt multiplies par 3 sont
la circonference et I'aire pratiques ; les racines carrees
de 10 fois les carres des memes quantites sont les va-
leurs exactes. »

Suivant cette derniere r^gle, la circonference et I'aire
du cercle ont respectivement pour expression v/lO^
= G?\/lO et y/lOr* = r*y/lO. Ainsi Brahmegupta consi-
d6rey/l0 =3,162 comme la valeur exacte de tc. L'his-
torien allemand. Hankel donne au sujet de Fadopiion de
cette valeur par les Hindous I'explication suivaule.

MESURE DU CERCLE 265

A une dpoque reculee ou les calculs numeriques et
en particiilier les extractions de racine elaient difficiles
et surtout incommodes, on obscrva que les perimetres
des polygenes reguliers de 6, 12, 24, 48, 96,... c6t^s,
inscrils dans un cercle de diametre lOj 6lalent repre-
senles par la suite

v/900, x/'im, \/m, \/^, \/m,...

Les termes de celle siiile paraissaient lendre vers le
nomhre \/l 000 qui avait alors ele considere comme
egal a la longueur de lacirconft5rence ; lavaleur corres-

pondante de zest ^ =z\/\{S.

Bhaskara (12'^ s.). — Voici un extrait du Lildvati : « Si

le diametre d'un cercle est multiplie par 3 927 et di-

vise par 1250, le quotient est a peu pres la circonfe-

rence ; ou multiplie par 22 et divise par. 7, celaestla

circonferencc grossiere adoptee dans la pratique, »

3 927 3 927 x 16
La premiere regie donne -=~ = ; 230x16

62 832

= : c'est la valeur deia indiquee par Aryabhatta.

20 000 J 1 1

Quant a la seconde, ou se trouve employee Fapproxi-
malion d'Archimcde, elle monlre que les travaux des
Grecs elaient connus des ilindous 5, cette epoque.

Bhaskara emploie encore 1 expression t::^^—— , qui

^4u

377 1 7
est egale a ^- — , ou 3 : c'est la valeur trouvee par

^ 120 120' '

PtoliSm^r, ce qui vient encore k I'appui de ce que nous
signalions plus haut au sujet des relations de la Grece
et de rinde.

Arabes. — On rctrouve ici une trace indcniable de
riiitluence hindoue sur les oeuvres mathematiques des

266 LA GEOMETRIE DE MESDRR .,

Arabes. MoHAMAfEo ben Modssa, dans la partie g^orae-'
trique deson Algehre (820), donne los regies suivantes :
« Dans un cercle, le produil do sou diainelre par 3

^t — sera ^gal a la circonference. C'est la rtgle g^nera-

lement suivie dans la vie pratique, quoiqu'elle ne soit
pas lout h. fait exacte.

Les g^ometres ont deux antres methodes. L'une
■d'elles consiste en ceci, que vous multipliez le diaraetre
par lui-meme, puis par 40 et qu'enfin vous prenez la
racine du produit ; la racine sera la peripheric. Les
astronomes, parmi les geomStres, se servent de I'autre
methode ; la voici : vous multipliez le diametre par
62 832 et divisez le produit par 20 000, le quotient est
la circonference. »

Nous reconnaissons id unc des limites ( — ) indl-

qu^cs par Archiniede, la valeur y/lO regardce comme
exacte par Brahniegupta et I'appioximation d'Arya-

bhatca (II^IV

• \20 000/

Mohammed se sert encore de la formule heronienne

i:= 4 I 1 )• Unauteur svrinn, Beha-Eddin

V 7. 2x7/ ^

(16' s.), emploie dans son Essence de calciil la valeur
equi valente ::=:4M — —J.

Citons enfin une methode scienlifiquc de determina-
tion de x dite des « astronomes arabes », signalee en
1860 par Woepcke et qui remonte au moins au 13*
siecle. En supposant le rayon egal a I'unite de longueur
et divis^ en 60 parties egales, AboOl WafA (10" s.)
avaittrouve, parun calcul fonde surdes principes dilTc-
rents de celui de Ploldmde que la corde de Tare d'un
demi-degre avait pour valeur

MRSURE DU CERCLB 267

( ) du rayon.

V60^ 6(F 60* 60^ 60V

A Taide de co resultal, les continuateurs d'AbouI
Waf^ calculerent, sans ditliculte autre que Ja longueur
des calculs numeriques, d'abord le perim^tre du poly-
gone regulier inscrit de 720 coles, puis celui du poly-
gone regulier circonscrit d'un m6me nombre de c6tes.
lis trouv^rent ainsi que la circonf^rence depasse le
triple du diam^re d'une quantity approximativement
egale a

10

70 + 3? + ii + ^
60^60^^60^

= 0,141568,

ce qui donne 3,141568 pour valeur correspondante
de z.

Si Ton prend comme longueur de Tare d'un dcmi-
degre celle de la corde du meme arc calculee par About
Wafdy on trouve aisement que la longueur de Tare de
180" est egale a 3,14155 ; le nombre ainsi obtenu est la
valeur correspondante de ::, piiisque nous avons sup-
pose le rayon egal a I'unile.

rrBHor.nAPiiiE

Voir a la fin dn chapitre precedent. . --

F. Kddio. — Geschichte des Problems von der Quadralur des ZiilceU^

Leipzig, 1892, gr. in-8».
F. Petrard. — QEuvres d' Archimide (traduites par). Paris, 1807, in-4».
Abbe Halma. — Composition mal/iematique de Claude Plolemee (tradnite

par), Paris, 1813-1816. 2 vol. in-4».
Ed. BiOT. — Traduction et examen du Tcheou-pei. J»' Asiat., 1" sem. 1841.
ViTRUVE. — Architecture. Traduction Maufras. Paris, 1847, 2 vol. in-8". ,
Thibault. — The Sulvasiitras. Calcutta, 1873.
WoEPCKE. — Sur une mesure de la circonference du cercle due aux astro-

nomet arabes. J»' Asiat., I" sem. 1860.

CHAPITRE IV

DIVISION Dt:S FIGURES PLANES

EN PARTIES PROPOUTIONNELLES A DES GRANDEURS DONN£eS

La question dc la division des figures en parties pro-
portionnelles a du se poser lors des premieres operations
d'arpentage que I'liomme ait eu h efTectuer ; les docu-
ments chaideens que nous posseilons ne nous laissent
gu6re de doule sur ce point. Mais il ne s'agit encore la
que de precedes pratiques.

Le probleme a 6ie traite geome'lriquement par les
Grecs. Nous savons (Lntrod., § 2) qu'EucuDE (3* s. a v.
J.-G.) avail ecrit sur ce sujet un ouviage special dont
il ne nous est parvenu qu'un abrege et une imitation.
HiiuOiN d'Alexandrie (1'"'s. ?), dans son Traite de /a Dioptre
et surtout dans ses Meiriques, s'est egalement occupe
de la question, mais il suppose le plus souvent que les
surfaces sontevaluees numeriqucment.

L'esprit utilitaire des Arabes les conduisit h. dcrire
sur la division des figures pkisieurs ouvrages, mani-
festement inspires du travail d'Euclide, parmi lesquels
le traite special de Mahomet de Bagdad (10® s.) et une
partie du Liicaeii de Constructions ^eomelriqnes d'Aso^L
Wafa (10" s.).

Le sujet est reprispar Icsmathematiciensdu Moycn
&ge : Leonard DE Pise dans sa Practica Geometria (1220)
et JoRDAM's INemorarius dans son Dc Trian^ulis (13* s .^

DIVISION DES FIGURES PLANES 269

Mais il fnt surlout en honneur pendant la Renaissance,
et on le tiouve Iraite dans la pluparl des nonibieuses
geometries pratiques de celte epoque.

Aujourd'hui, on rencontre a peine dans les recueils
do problemes, siir la division des ligures, la resolution
de quelques cas simples. 11 ne nous parait done pas
inutile d'exposcr dans ses grandes lignes cette interes-
sanle question. Nousy trouverons I'occasion de renieltre
au jour quelques curieuses solutions remontant a I'An-
liquite ou au Moycn uge.

§ 1. — Problemes pr61iminaires.

I. Transformer un triangle donne ABC en iin autre
equivalent el de hauteur donnee li,

Soit DE la parallele a AC monce a la distance A, D
etant le point ou cette pa-
rallele rencontre liC. Menons
ensuilc par IJ a DA une pa-
rallele qui rencontre AC en
A'. Les triangles AliD et
A'DA sont equivalents; il en
est done de meme des tri-
angles AJiC et A'DC.

Tout triangle dontla base est A'C et dont le sommet
est sur DE repond a la question.

II. Transformer un polygone en un triangle equivnJent.

Nous emploierons I'elegant precede du a Euzet (1 854)
etque M. d'Ocagne a retrouve en 1878.

Soit A1A2A3A4A5 le polygone qu'il s'agit de trans-
former en un triangle dont le sommet devra etre un
point Ositue dansrinlerieurdu polygone el dontlabase,

270 <A GEOMBTRIB VE MESL'RE

plac^e sur le cdt^ A, A, aura une extr^mit^ en un point
donne P; en sorte que OP sera un descdt^s du triangle
cherch^.

Joignons le point 0 aux dififerents sommets du poly-
gone, puis menons par P une parall^le a OA,, quiren^
contre en B, le prolongement de AjAj, par B, une paral-
IMea OAj qui rencontre enBj le prolongement de AgAj...

et enfin par B^ une parallele a OA- qui rencontre en Bj
le prolongement de AjA^. Le triangle OPBg est equiva-
lent au polygene propose.

En effet, on a successivement, par la consideration
de triangles d'aire egale comme ayant une base com-
mune et meme hauteur,

tri.OB.A,=tri.OPA,,
tri.0B2A2=:tri.0BiA2=tri.0B,A,4-tri.0A,A,

= tri.0PA, + lri.0A,A2,
tri. OBaAj^tri. OBoA3=tri. OBoA^-f-tri. OAoA,

• ^tri.OPAi + tri.OAiAo-j-tri.OAjAg,

tri.OBsAs^tri.OB^As

= tri.OB4A4-+-tri.OA;A, = tri.OPA,-f-tri.OA,Aa,
H-lri. OAaAj+tri. OAaA^+tri. OAA,

DIVISION DES FIGURES PLANES

271

Iri. OPBsrr: tri. OA5B5-I- tri. 0A5P = Iri. OPAj

H-lri. OAiA,+ H- Iri. 0 A A H- tri . 0 A5P .

La construction subsiste, mais se trouve simplifies
dans le cas oil le point 0 est donne sur un c6te ou en
un sommet du polygene.

III. Par un point 0 du plan, mener une droits EF qui
determine sur les cotes d'un angle XAY un triangle AEF
equivalent a un triangle donneT,

1" Cas : le point 0 est situe a I'interieur de Tangle.

Construisons le paral-
lelogrammc ABCD,. equi-
valent a T, dont deux
coles adjacents sont for-
mes par les coles de Tan-
gle, Tun des deuxautres
coles passant par 0.

On ppurra, a cet effet,
chei cher d'abord (Prob . I)
un triangle T' e'quivalent
a T et dont la hauteur h sera la distance de 0 a AB ; si

b est la base de T', on a AB = — .

2

Le parallelogramme ABCD devant 6tre equivalent au

triangle cherche AEF, on a

d'oii

tri . CGO = tri. EBG -{- tri. ODF ,

tri. EBG = tri. CGO — tri. ODF.

(0

Lestrois triangles EBG, CGO etODFctanlsemblables,
sont proportion nels aux carres de leurs coles homologues
et la relation (l)permet d'ecrire

BE = GO —DO".

(2)

272 LA GEOMliTRIE DE MESURE

Ainsi BE est le cote d'un triangle rectangle dont CO
estl'hypotenuseetDO I'uutrecole. Betantdonneen posi-
tion, on peut determiner E, et joignaut E a 0 on a la
droite cherchee.

Pour que le probleme soit possible, il est necessaire
d'apres (2) qu'on ait C0> DO.

Un second point E' repond egalement h la question.

Remarque. — L'aircdu parallelogramme ABGD dimi-
nue en meme temps que OG ou, d'apres (2), en meme
temps que BE. Le minimum de ABGD et par suite du
triangle AEF, correspond au cas ou BE est nul, c'est-
a-dire au cas ou CO = DO ; le segment EF est alors
divis6 en deux parties egales par le point 0.

2* Cas : Le point 0 est situe ^ I'exti^rleur de Tangle.

La solution est analo-
gue. On construit le pa-
rallelogramme ABGD
equivalent k T et dont
uu des coles passe par 0.

On a

tri. EBG=r:quaar.GFDG,

ou

t.i. EBG^lri.GOC

— hi.FOD.

On en dcduit

Be' = GC^ — DO^

Le point E el la Jrolle EF so h'ouvent ainsi deter-
mines.

IV. Mener, paralieleinenl a n.'i3 :lirec:ion donnce, nne

DIVISION DES FIGURES PLANES

273

droite EF qui determine sur les cotes d'un angle -XAY un
triangle AEF equivalent a un triangle donne T.

Menons une droite quelconque BG parallele a la direc-
tion donnee. Soit ATiD un triangle de mume aire queT

Fifr. a.

I'^ij. h.

oUyantsonsommeten A etsabascBD surBC (Prob.I) :
D pent etre entre B et G (Jig. a) ou en deliors de BG
(Jig. b).

On a

tri. AEF
tri. ABC

tri. ABD
tri. ABG

On en ddduit
d'oij

ou

ou

AF

iri. T

AF

tri. ABG
tri.T

AG
BD

AG

tri. ABG BG

_BD.
-BG'

af'-^(|^xac)ag.

Si Ton pose AG = ^^xAG, le point G est deter-
mine'sur AY par une paralleled AX menee par D. AF,
moyenne proportionnelle entre AG et AG, s'obtient au
moyen de la construction indiqu^e sur les figures ci-
dessus. •

FouRREY. — Curios, reoni. 18

274

LA GEOMETRIE DE MESURB

§ 2. — Les droites de division passent par un
point donn6.

I. Le point DONNE 0 EST A l'iNT^RIEUR DU POLYGONE
CONSIDERE.

l""^ Solution (Euzet, 1854). — Nousadmeltrons qii'une
ligne de division OP est donnee. Soil A1A2...A5 le
polygone qu'il s'agit de diviser en parties proportion-

Btjk

V-::^

nelles a w, n, p, q. On determine d'abord, comme
nous I'avons indique (§ 1,1.1), la base PBg du triangle
equivalent au polygone donne, puis on partage cette
base en parties proportionnelles a m, n, p, q.

Un des points do division, E3, se trouve ici entre P
ci A3; il sut'fit de le joindre h 0 pour obtenir le triangle

partie

OPE5 qui est Equivalent a laZ-

du polygone, puisque les triangles OPE^ et OPBg sont
entre eux comme leurs bases.

DIVISION DES FIGURES PLANES 275

Par les autres points de division, on mene des pa-
ralMes a B5B4 limitees a A5A4 ou a son prolongement,
c'est-^-dire aiix points C4, D4. Par ces derniers points,
on m^ne des paralleles h B4B3 limitees a A4A3 ou a son
prolongement. et on continue ainsi jusqu'a ce que les
paralleles successives rencontrentles cot^s du polygone
€n des points D3 et Gi- En joignant 0 a D3 et Ci, on
oblient les autres droites de division.

II sufEt, pour le prouver, de montrer qu'une portion
OE3A5A4D3 du polygone equivaut a la portion corres-
pondante OEjOs du triangle OPB3. En effet, en ayant
egard aux equivalences des triangles de bases et de
hauteurs dgales,

tri. OEgDg = tri. OE5 A5 + tri. OAJ)^
= tri. OEsAs+tri. 0A5D4= quad. 0EsAsA4-f tri. OA4D,
= quad. OESA5A4+ tri. OA4D3 = pent. OE3A5A4D3.

La construction subsiste dans le cas oii le point 0 se
trouve sur un cote ou en un sommet du polygone.

2" Solution, — Les donn^es sont les memes. Joi-
gnons 0 aux sommels du polygone ; nous obtenons
ainsi des triangles OPAj, OA1A2, ... qu'on pent transfor-
mer (§ 1 , I) en triangles ayant une hauteur commune
Ji, celle par exemple du triangle OPAj. Portons sur
u:ie droite indefmie des segments P'A,', A'Ai, ..., A^P"
representant les bases des triangles ainsi transformes ;
€n a par exemple aire OAjAg = AIA2 X /'. Le triangle
de base P'P" et de hauteur h est equivalent au polygone
donne.

Partageons maintenant le segment P'P'^ en parties
proportionnelles a m, n, p, q : les points de division
sont C, D',E'. Les aires partielles cherchees sont res-
pectivement representees par

P'C'xh, C'D'xh, D'E'xh et ET"x//.

276 LA GEOMETRIE DE MESURE

Or, considdrous par exemple la premiere
. P'C xhz=z (P'A{ + A{C') h = P'A; X a + AIC x A
= aireOPAi + A;G'xA.
Nous devons ainsi detacher du triangle OAjA, d'aire
Aj'A^xA un triangle OAjC d'aire A{C'xA. On a
tri.OA.C^A{C\ ^^^^^ tri. OA,C ^ A.C ^
tri.OAiAa A[A'/ tri. OA^A, A^A^

a:c' _ A.C

on en deduit

AIA; AiA,

E P'

On obtlendra done la position du point C sur AiAj en
partageant ce dernier segment proportionnellement h
\[C' et h. C'Ai. On dcterminera D et E d'une maniere
analogue.

La construction d'Euzet (l'* Solution) est plus ^16-

\ gante et plus rapide que cclle que nous venons d'expo-

ser, mais elleest aussi moinsexacte, car avec la premiere

les erreurs commises dans le trace des parall^Ies vont

en s'accumulant.

Le principe du procMe de division des surfaces poly-
gonales au moyen de segments de droite repr^sentatiis
sc rencontre ddj^ chez les Grecs.

DIVISION DES FIGURES PLANES 277

3c Solution. — Nous nous contenterons d'exposer
cette solution dans le cas de la division d'un polygone
en deux parlies proportionnelles a /« eta ti\ elledevient
assez compliqu^e dans Fapplication pour un plus grand
nombre de parties. Cette solution est interessante en
ce sens qu'elle pent s'etendre au cas ou le point donne
0 est a I'cxlerieur du polygone.

La division cherchee s'elleetue ici au moyen d'une
seiile droite, alors que remploi des solutions prece-
denles conduit en general a une ligne brisee forniee de
deux droiles concouranten 0.

Triangle. — Soil le triangle ABC d'airc S ; en gene-
ral, une droite passant par
0 le partageraen un triangle
eL un quadrilalere que nous
ferons correspondrc res-
pcctivement a m ct n. Di-
visons Tun des cotes, BC par
cxemple, parle point F, pro-
portionnellement a m et n ;
le triangle A.BF a pour aire celle du triangle cherche,

soit Sx .

ni-\-n

Le probleme revient done a mener par 0 dans
Tangle ABC une droite DE qui determine un triangle
DBE equivalent k ABF (§ 1, III, 1" Cas). II y a deux
solutions, comme nous I'avons vu.

Si Fun des points D et E iombe sur les prolonge-
ments des cotes ABetBC, la construction est impossible
avec Tangle ABC. On Tessaie alors avec Tun des deux
autres angles du triangle ABC.

Voici pour le meme probleme la solution d'Euclide:

278

LA GBOMETRIE DE HESURB

Menons OF parall^lo k BC et ddterminons sur AB le
point G tel que

BG^yt.M:-??, (1)
FO ^''

en posant

m

m-{-n

Dcterminons dc me me
le point D, et par suite la
droite DOE, au moycn de
la relation

BDxDG = BGxBF. (2>

DOE est bicn la droite chcrchee.
En effet, on tire de (2)

BG BD BG BD

DG BF

ou

BG — DG BD — BF

ou encore

BG_BD
BD DF

(3)

Mais les triangles semblables DBE et DFO donnenl

BD_BE
DF FO'

Rapprocliant (3) et (4), il vient

BG_BE.
BD""FO'

d'ou BGxFO = BDxBE.

(4)

(5)

On peut done ecrire, en ayant egard a (1),

BDxBE^,
ABxBG

Mais les aires des triangles DBE et ABC qui out un

DIVISION DES FIGURES PLANES

279

ang-le commiin sont entre elles comme les produits
BD X BE ct AB X BC. On a done

tri. DBE

k

tri. ABC
et le triangle DBE repond bien k la question.

Remarques. — 1" On pent determiner le point D
[relation (2)] en observant que BD et DG sont les seg-
ments determines sur Thypotenuse BG d'un triangle
rectangle dont H = v/BGxBFest la hauteur relative
h. Tangle droit.

La construction indiquee n'est done possible que si

H<I|^, ouBGxBF</?|^

2" Le point G ne pent se trouver entre B et D, car
d'apres (3), puisque BD > DF, on a aussi BG > BD.

ou encore BG > 4BF.

Quadrilatere. — Prolongeons deux c6tds opposes
AD, BG du quadrilatere jusqu'^ leur rencontre en G

et portons sur une droite
indefinie des longueurs
HJ, IJ proporlionnelles
aux aires des triangles
ABG et DGG : par exem-
ple, on prendra pour re-
presenter I'aire de ABG
sa base AG et pour re-
presenter I'aire de DGG
la base d'un triangle equi-
valent a DGG et ayant
meme hauteur que ABG.
HI represente ainsi I'aire du quadrilatere donne.

Parlageons mainlcnant le segment HI au point K
proportionnellement h. in et a n, Le probl^me sera

#.

LA GEOMliTRIE DE MESURE

280

rarnen^ h diviser le triangle, ABTr en parlies proportion-
nelles a UK et KJ (prohl. precedent). La construction
comporle, cornme nous Tavons vu, plusieurs solutions.
On Irouverait une autre s6rie de solutions en prolon-
geant les deux autres coles opposes AB et DC du qua-
drilalere propose.

Polygone (juelconque. — Decomposons le polygone
donne ABCDEFG en triangles et quadrilaleres au
moyen de diagonales ; portons en HI, IJ, JK, sur une
droite indefmie, des segments proportionnels aux ai-
res des surfaces par-
tielles ainsi obtenues
et divisons HK au
point L dans le rapport

— -. Le point L loni-
n

bant entre I ot J, le
problem e est ramene a
diviser le quadrilatere
SL GBCF en deux parties
proporlionnelles a IL
et LJ.

Pour que le proble-
me soil possible avec la decomposition adoptee, il est
necessaire que la droite de division MN rencontre les
cotes exterieurs BC, GF du quadrilatere GBCF ; s'il
n'en etait pas ainsi, on essaierait d'autres decomposi-
tions du polygone.

11 y a d'ailleurs en general plusieurs solutions qu'on
obliendra en consid6rant toutes les decornposiiions
possibles du polygone donne.

Cas particuliers. — Par un point 0 du cote AC d'un
triani^le ABC, mener des droites qui divisent I'aire de ce
triangle en parties proporlionnelles a in, n, p, ...

n,^--'

jn ^--

DIVISION JDES FIGURES PLANES 281

Divisons Iccdte AG proporlionnellement a /w, n,^, ...,
et par les points dc division F, G, ..., menons des paral-
leles a BO qui renconlrent les deux autres c6tes en

D, E, ... En joignant ces der-
niers points a 0, on a les
droites de division cher-
chces.

II suffit de montrer que
le triangle ADO, par exeni-
ple, est equivalent au tri-
angle ABF. Or ADF est com-
mnn a ces deux triangles et
FDrJetFDOsonteqiiivalcnfscommeayantmemebaseFD
et des hauteurs egales.

Dwiser nn triangle ABC en trois parties proportionnelles
a m, n, p, par des droites concourantes passant chacune
par un sominet (^fig. a).

Divisons un des coles AC en parties proportionnelles
a m, n, p. Par les points de division D, E, menons k

AB et BG des paralleles qui
se rencontrent en 0. En joi-
gnant 0 a A, B, G, on a les
droites de division cherch^es.
On voit, en effet, par exem-
ple, que les triangles AOB et
ABD sont equivalents comme
ayant meme base AB et des
'*'»• "• hauteurs egales.

. Gelte construction est donneedans leZ)e Trianguiis de
JoRDANUs Nemorarius (13* s.). Voici la simplification in-
diquee par le meme auteur pour le cas ou il s'agit de
diviserle triangle en trois parties equivalentes(^^. b).On
prcnd le tiers EG de AG ; par E on mene h GB une pa-
rallele qui coupe AB en F. Le milieu 0 de EF est le

282

LA GEOMETRIE DE MESURE

'point de rencontre des trois droites cherchees qui^
comme on salt, sont les trois medianes du triangle. ,

Diviser un triangle en un noinhre quelconque de par-
ties equivalentes, ^ par exeniple, par des droites concourant
en un point inlerieur 0 non donne (fg. c).

Divisons d6ja ie triangle ABC en trois parlies 6qui-
valenles, suivant le procede indiqueau probleme prece-
dent, par les medianes qui concourent en 0 ; puis parta-
goons cliacun descot^s du triangle en 5 parties egales.
Si Ton joint les points de division au point 0, les 3x5
triangles obtenus sont Equivalents, puisque les triangles
c [uivalents AOH, BOG el AOC sont eux -menies divisEs
chacun en 5 triangles d'aire egale.

II suffira done de grouper les 3 >< ^i triangles 3 par 3
d'une maniere quelconque pour resoudre le probleme.

Par un point 0 interieur (ou extcrieur) a un trapeze
ABCD, mener une droile qui divise ce trapeze en deux

parties proportionnelles it
^.-■^^ m et n.

Yoici la solution
d'Euclide restitute par
Woepcke.

Divisons AD et BG
aux points G et H en par-
ties proportionnelles a
/w et ^ n. Soil I le mi-
lieu de la droite GH ; en joignant I a 0, on obtient

^Sl^'—r' "

m

DIVISION DES FIGURliS PLANES 28.*^

la droite cherchee EF. En eflet, le trapeze ABHG est
evidemment la ( — '- — ) partie du trapeze total ; or, les

triangles EIG et IHF etant egaux, les trapezes ABHG
et AHFE sont equivalents.

On obtlent une seconde solution en intervertissant
les longueurs m et n.

La construction precedente n'est possible que si la
transversale rencontre les deux cotes paralleles.

Par un point 0 da cole BC d'un qiiadrilatere ABCD,

mener une droite quidivise ce qiiadrilatere en deux parties

vroportionnelles a in et n.

Construisons le triangle FOG Equivalent au quadrl-

latere propose, ayant son somniet en 0 et sa base FG

sur le cdteop-

B Q poseAD. Puis

^y 3^^^"*^^^^ ^ divisons FG

y" J^^^yi ^N^^A\ proportion-

y'l^^ / X / ^v-'ctn nellementawz

p^~ ^ Jr ^i^--^p et n au point

\ J _-V- n E : OE est la

\ - — —

' ^ droite cher-

chee, car ell&
divise h la fols le triangle FOG et le quadrilatere qui
lui est equivalent en parties proportionnelles.

Sile point E tombait en dehors de AD, la conclusion
precedente serait en defaut ; on construirait alors le
triangle F"OG sur AB ou CD.

Par un point 0 du cote BG d'un quadrilatere ABCD,
mener une droite qui divise ce quadrilatere en parties pro-
portionnelles a BO et OC.

Voici la solution donnee par H^ron dans ses Meiri--
ques (1" s. ?).

284

LA GliOMETUlE DK MISUHE

On mene AG et OD, puis par A uno parallolo k BG
qui rencontre CD en E, et par E une paralhMe a OD qui

rencontre AD en F. Soit
G le point qui determine
surAFdes sog^ments pro-
portionnels k IK) et OC :
OG estla droite cherchi^e.
En effet, les triangles
FOD et EOD sont equi-
valents comrne ayant
m^me base OD et des hauteurs egales ; il en est done
de meme du quadrilatere FOCD et du triangle EOC.
On a d'ailleurs

-~-^~:i

et

tri. ABO in. ABO

tri. EOC °^ quad. FOCD

tri. AOG^BO
tri. GOF~OC*

BO
OC*

Done

quad. ABOG
quad. GOCD

BO
OC

B m

Heron utilise cette conslruclion dans le cas oil il
s'agit de diviser le quadrilalere en un rapport donne

- , 0 etant quelconque
n

sur BG.

On divise BG en 0' dans

le rapport — ; on construit

la droite O'G' qui divise le

BO' m , r^n/

—-- ou — ; on mene OG
0 C n

A G'G 0

quadrilatere dans le rapport

puis O'G parallele a OG': OG est la droite cherch^e,
car on a ainsi remplac6 le triangle GOO' par son equi-
valent G'OG,

DIVJSION DES FIGURES PLANES

285

Partager iin quadrilatere AB(]D en deux parties equi-
valentes par nne droite partant
d'un sommet B.

Yoici la solution indiquee par
JoRDANLs Nemorarius dans son De
Triangniis (13* S.).

On m6ne les diagonales AC
ct BD qui se coupent en G; en
supposant GC > GA , on pent
prendre CE = GA et mener EL
parallele a BD. La droite qui
joint D au milieu T de BL est la droite cherchee.
En ellet, on a

Or

Done

tri.

BDC

BC_
LC

_GC
EC

. GC

tri.

LDC

GA

trr

tri,

BDC
BDA

GC
GA

tri. BDC

tri. BDC

tri. LDC tri. BDA

II resulte de cette derniere relation que les triangles
BDA et LDC sont equivalents ; en ajoulant a BDA et
LDC respectivement les triangles de meme aire BDT
ct LDT, on obtient le quadrilatere ABTD et le triangle
TDC qui sont par suite equivalents.

IL Le point donn^ 0 est a l'exti5rieur du polygone

CONSIDERE.

On suivra la meme marche que dans la 3* Solution
du cas oil le point 0 est situe a I'interieur du polygone.

La construction relative au triangle se ram^nera de
m6me h un probleme dejil Iraite (§ 1, III, 1" Cas).

286

LA GEOMETRIE DE MESURB

§ 3. — Les droites de division sont paralleles
a une direction donnee.

I. Triniifjlc. — Diviser un triangle WiCen deux parties
jjropuriionne/les a m et n par une paraLlele EF a I'un des

cotes AG.

.F'

On a

tri. BEF
tri. BAG

m.

w

II en r(?siilte
BF^=' m

m

-.bc\bc.

n J

BF est done une moyenne

proporlionncUe cnlre BG

ni

BC et BC. On en

m-\-n
deduit la conslriiclion indiquee ci-contre.

On etcnd sans difficult^ cette conslruction au cas de
la division d'un triangle en un nombre quelconque de
parlies proportionnelles a/w, w, /?, ...

Dwiser un triangle KBC en deux parties proportionnelles
a, m et a n par une droite EF parallele a une direction

donnee MN
^ Soit AD une droi-

te menee par A pa-
ralielement a MN.
Si G est le point
qui divise GB en
parties proportion-
nelles k m eX d. n,
il suffit, en ulilisant un probl^me resolu ant^rieurement
(§1, IV), de determiner dans Tangle G un triangle EFG

DIVISION DES figure's PLANES 287

^qiiivalentgi AGG etdontla base EFsoit paralleled AD.
Mais onpeut donner une solution directe plus rapide.

^ tri. EFG m . tri. ABG BG

Una = — ct =: — .

tri. ABG rn^7i tri. AUG DG

Mulliplions ces deux relations membrc a membre, il
vient

tri. EFG m BC

tri.ADG m-hn DG
On a d'autre part

tjl- EFG _ Gf"
tri ADG — —2*

Rapprochant (1) et (2), on en deduit

CF =/—-—. BG\xGD.

(0
(2)

^m -\- n
Ainsi GF est une moyenne proportlonnelle enlre

00= ^^-.BG etGD.
m -\-n

•>. Gomme la question precedente, dont elle est d*ail-
leurs une generalisation, la question que nous venons
de trailer peut 6tre etendue ^ la division du triangle
en un nombre quelconque de parties proporlionnelles.

II. Trapfeze. — Dwiser un trapeze ABGD en deux par^

ties proporlionnelles a m et n
^^ — ;^~--- pcir une parallele aux bases.

'/ / I \ Soient I le point de ren-

\^ / ^1^ centre des cotes non paral-

b/ ^^.-n /\

.g// /'

~^7 70

-'I leles AB, GD et IG'F'D la

/ demi-circonference ddcrite

sur ID comme diametre.

^\ / De I comme centre, avec le

rayon IG, rabatlons G en G'
€t projelons G' en II. Diyisons HD en parties propor-

288 LA GEOMETRIE DE MESURE

tionnelles a m et n au point G. Projetons G en F' et
rabattons F' en F avec le rayon IF' : la parallele EF a
AD menee par F est la droite cherchee.

En eflet, on a par des considerations de similitude

trap. AEFD tri. IAD — tri. lEF _ ID ' — !f' .^.

trap.ABCD " tri. IAD —tri. IBC ID'— IC'

ou encore, puisque par construction IF =IGxID,

CI^^IHxID,

trap. AEFD ^ ID — IG ^ GD ^ m
trap.ABCD ID — IH HD m-i-?i'

III. Quadrilatere. — Diviser nn qiiadrilatere ABCD

en deux parties profjortionnelles a

J m et n par line droite EF parallele

/ \ a line direction donnee MN.

_ / \ En se referant au cas du tri-

a angle (I), on pourrait suivre
absolument la mSme marche
qu'au § 2 (3" Solution),
jj On peut aussi employer un

^ procede imite de celui qui a
servi k la resolution du pro-
bleme precedent, boit J le point
de rencontre des cotes AB et DC. On a

quad. AEFD tri. JAD — tri. JEF
quad. ABCD ^" tri. JAD — tri. JBC

JAxJD — JExJF ^^^ P — X^

(2)

JAxJD — JBxJC P^ — Q
en posant

JAxJD = P, JBxJCrr:Q"- et JExJF=X^ (3)

On peut remarquer que I'expression (2) a la ml^me
forme que I'expression (1) du probleme precedent ou

DIVISION DES FIGURES PLANES 289

Ton ferait ID = P, IC = Q et IFr=X; X peut done
^tre construit comme il a ete indiqu^ pour IF.
Menons maintenant AK parallele h Mi\ ; on a

JE^JA
JF JK'
ou

TA

(4)

,E = JF.f|

Multiplions (3) et (4) membre a membre,

X a ete determine prec^demment, on connait J A ot JK.
On peut done conslruire JE, ce qui donne le point E,
et il ne reste plus qu'^ mener par E la droite EF pa-
rallele a MN.

IV. Polygone quelconque. — Dwiser un poJygone
ABCDEFG en deux parties proportionnelles a in el n par
une droite parallele a une direction donnee MN.

En se basant sur les rdsultats trouves pour Ic tri-
angle et le quadrilatere,
on pourrait suivre abso-
lument la mome marche
qu'au § 2 (3* Solution).
Mais il nous parait
plus simple d'employer
leprocede suivant, quia
Tavantage de s'appliquer
lies facilement a la divi-

, , , s'on en unnombre quel-
F E E . ^

conque de parlies pro-
portionnelles.

Par chacun des sora-
mets du polygone, on mene des paralleies BH, GI,

FouRREY. — Curios, ge'om. i9

a' h' g' l' Q'

.--''»

290 LA GEOMETRIE DE MESURE

CL, ... k MN; on ddcompose ainsi ce polygene en ui>
certain nombre de triangles et de trapezes. On porte
surune droite indefinie en A'H', H'G', ..., K'E', des seg-
ments representatifs des aires de ces dernieres figures,
et on divise A'E' proporlionnellement k m et n. Le
point de division Q' tombant sur le segment L'F' repre-
sentant I'aire du trapeze LCJF, la question revient k
diviser le trapeze, par une parallele PQ a la base, en
deux parties proportionnelles a L'Q' et Q'F' (II).

§4. — Questions diverses.

Dwiser le carre ABCD de cote a en deux parties cqiii-
valentes, de sorte quilyait encore iin chemin d'une lar-
geur donnee c conduisant aux deux parties (JRecueil

d'AoB&L-WAFA, 10* S.).

Sur CD prcnons GHr=c, prolongeons DA de la
quantite AM^DH = rt — r, et
prolongeons de meme BA jus-
qu'a sa rencontre en L avec Tare
ddcrit de D com me centre et
ayantDM comme rayon. Prcnons
sur LD, LKr^DH, et par K
menons KZ parallSle a LB ; une
parallele a BC menee par II com-
plete le trac6.

Nous allons montrer que les
deux rectangles xVBZl'^ et ETHD

sont (Equivalents. En elfet, les paralleles ^VL et EK

donnent

LK X AD {a — c)a

M^_«-£i

AE

On en d^duit

LD
aire ABZE

2a

la — c

DIVISION DES FIGURES PLANES

On a d'autre part

2at

aireETHD=DHxDE = (a — c)(«— AE) = ^^^^^:i^.

Dii>iser le carre ABCD de cote a en trois parties equi-

valentes, de sorte qu'il y ait encore un chemin d'line

largeur donnee c conduisant aux

trois parties ( Recueil (I'Aboul Wafa,

10" s.).

La construction est indiqu^e sur
la figure ci-contre. On enprouverait
I'exactitude comme pour le pro-
bleme precedent.

Dans un carre ABCD, on Joint le
milieu dechaque cote aux extremites du
c6te oppose; Voctogone inlerieur convexeainsi forme a pour
aire le sixieme de celle du carre (/"' de Vuibert 1891).

Pour prouver que les aires de I'octogone A'E'... H' et

du carre ABCD sont dans le rapport de 1 a 6, il sufEt

de montrer qu'il en est de memo

B p c des aires des triangles A'OH' et

AOH, 0 designant le centre du

carre.

Or puisque OH' = H'H, on a
aussi

tri. A'OH' = 1/2 tri. A'OH.

D'autre part, dans le triangle
AEG, les medianes AO et EU'

se coupent au tiers de leur longueur a partir de la base ;

on a done 0A' = 1/3 0A.

ct tri. A'OH =: 1/3 tri. AOH.

\^

^

^

\

^

.-^v

<^/

<^

\/e'_

0

7T-

_gV^

/

\\ /

Ih'

Z-^

/

/'y^\

^^

/d' \

/ /

: 1 1

v.^^^^ \

/ / ^

V

^\\

Par suite

tri.A*0H' = l/6tri. AOH.

:292 LA OEOMETRIE OE MESURB

En projetant la figure ci-dessus sur un plan quelcon-
que, on verrait que cette proposilion s'elend au cas
d'un parallelogramme.

Si dans un quadrilatere ABCD, on mene par les mi-
lieux I et K de chacune des diagonales une parallele a
X autre el qu'on joigne le point de concours 0 aux milieux
E, F, G, H des cotes du quadrilatere, ce dernier sera
partage en quatre quadrilaleres equivalents (Bhlne, /"'
.de Crelle, 1841).

En effet, menons la droite FG qui, commc on le sait,
■ est parallMe h. BD et, par suite, h 10. Le quadrilatere

IFCG est le quart du
quadrilatere total, car il
est la moilie du quadri-
latere rentrant IBCD,qui
estlui-m^me la moiti^ de
ABCD.

Mais les quadrilat^res
OFCG et IFCG sonl
'Equivalents, car ils out une partie commune FCG et
les triangles OFG, IFG sont equivalents ; done

quad. OFCG = 1/4 quad. ABCD.

La demonstration serait analogue pour chacune des
• aulres parties.

Partager un cercle donne en un nombre quelconque de
parties equii>alentes entre elles tant en aire quen contour
(LiiLiLLiER, Ann. de Gergonne, tome I, 1810).

Soit AA/ le diam^tre du cercle a diviser en un cer-
tain nombre de parlies 6quivalentes, S par exemple.
PorlageonsAA' en 5x2 = 10 parties egales entre elles,
aux points C, D, ..., D',C'; soit /-I'unedeces parties. Des
points C, D, E, F, avec les rayons respectifs /•, 2r, 3r,

DIVISION DES FIGURES PLANES 29^

4/-, ddcrivons dcs demi-circonferences au-dessus de

AA' ; decrivons ensuite avec les memes rayons, des

points C, D', E', F', des
demi - circonf^rences au-
dessous de AA'. Nous ob-
tenons ainsi 5 surfaces fi
contour rectiligne qui re-
pondent a la question.

En efTet, les long^ueurs des
demi-circonferences supe-
rieures (y compris celle de
centre A ayant un layon nul

et celle de centre 0 ayant pour rayon 5r) forment la

progression arilhmetique

0, Trr, 2xr, dzr, 4'::r, ^r.r;

la somme de deux demi-circonferences k (?galc disl.mcc
des extrfimcs, comme G et J — ou ce qui revient au
mfime, comme G et J' ou J et G' — est dgale a la somme
des extremes, soit h S^r. Ainsi, chacune des lignes
courbes analogues a AGJ'A' a pour longueur la demi-
circonference du cercle donne ; de sorte que le perimetre
d'une des surfaces divisionnaires est precisement egal a
la circonference enliSre et est, par suite, constant.

D'autre part, les valeurs des aires des surfaces situeos
au-dessus de AA' forment la progression arithmetique

T.r

Sr.r'

Ox/"
2

2

2 '

la somme des aires St egaledisfnnce des extremes comme
G.H et I.J (ou, ce qui revient au meme, comme
G.H et r.J' ou I.J et li'.G') est dgale a lasomme
des extremes, soit a Sx/-^. On en d^duit que I'aire
des surfaces divisionnaires est conslanleet egale au 1/5
de ceHe du cercle donnd.

294 LA GEOMETRIE DE MESURB

Dii>iser en cletix parties equwalentes au moyen d'une droite
la figure ACZB limitee par an arc de cercle CZB et par
deux droites AG et AB {Traite d'EucLiDK, 3" s. av. J.-C).
Menons BG et par son milieu E 6ievons une perpen-
diculaire qui rencontre Tare de cercle en Z. On a
surf. GEZ== surf. BEZettri.AGE =
tri. ABE; done surf. AGZE =
surf. ABZE. Par suite, si AEZ est'
une droite, et alors le triangle AGB
estisocele, leprobleme est r^solu.
Dans le cas oii AEZ est une
ligno brisee, menons par E une
parallelea AZqui rencontre AC en
T: TZ est la droite cherchee. On a en effet tri. TZA =
tri.EZA; si Ton ajoute a chacun de ccs triangles la sur-
face ABZ, on aura surf. ABZT = surf. ABZE. Or,
cotte derni^re surface a pour aire la moitid de celle de la
figure donnee, qui est par suite divisee en deux parties
equivalentes par la droite TZ.

Mener dans un cercle donne deux parnUelcs qui coupent
une partie determinee d'lin cercle
D, le tiers par exemple {Traite

d'EuCLlDK).

Soit AG le c6t(5 du triangle

equilateral inscrit dans le cercle

D. Menons AD et DG, puis DB

parallele h AG. Joignons G a B

et par le milieu E de Tare AG

menons la parallele EZ a GB :

EGBZ est la surface cherchee.

En effet, on a tri. AGD=:tri. AGB: si Ton ajoute

h. chacun de ces triangles le segment AEG, on a

surf. AEGD = surf. AEGB. Mais surf. AEGD = 1/3 cercle ;

done surf. AEGB = 1/3 cercle.

DIVISION DKS FIGURES PLANES

295

D'autre part, EZ etant parallele k CB, E^==B2,
•et comme Etl = EA, EA = BZ; si Ton ajoute EB a
chacun de ces derniers arcs, on a AB = E^. Done
corde AB = corde EZ et segm. AECFB == segm. ECFBZ ;
si Ton retranche de part et d'autre le segment conimun
BFG, on a

surf. AECB = surf. ECBZ= 1/3 cercle.

S'il s'agissait de couper le quart, le cinquieme, le
sixieme, ... du ccrclc, la solution serait analogue eh
p Tenant pour AG le cote du carre, du pentagone rdgu-
lier, de I'hexagone regulier, ...

Decomposer un cercle donne A en trois parties equwa-
■lenles par trois droites (^Metriques de H^RON, l*"" S.?).
Ge probleme est impossible a resoudre exactement
au moyen de la regie et du
compas; mais Heron en a
donne une solution approxi-
mative (a 1/90 pr6s environ)
que nous allons exposer.

Soit GB le cote du triangle
equilateral inscrit dans le
cercle A; on menc le diamMre
ED parallele k GB. La droite
GD determine un segment
•circulaire GZBXD dont I'aire est sensiblement egale au
tiers de celle du cercle.

En effet, I'aire du secteur AGZB est exactement egale
a ce tiers. Si nous remplagons le triangle GAB par son
equivalent GBD, nousobliendrons la surface mixtiligne
GZBD equivalente au secteur; en ajoutant a cette sur-
face le petit segment BXD dont I'aire est environ 1/90
de celle du secteur AGZB, nous obtenons le segment
CZBXD.

296 LA GEOMETRIE DE HESURE

La seconde droile cheichuc CD' est symetrique de
CD pur rapport a CA.

BIBLIOGRAPIIIE

F. WoEPCKE. — Notice sur des traductions arabes de deux ouvrages perdus

d'Euclide. J>" Asiat., 2« sem. 18S1.
H. ScHiiNE. — Herons von Alexandria Vermessungslehre und Dioptra.

Leipzig, 1903, in-8".
Gregoky. — Euclidis qua- supersunt omnia. Oxford, 1703, in-fol.
F. WoEPCKE. — Analyse et exlraits d'un reciicil de conslructiuns geome-

triques d'AboAl Wafd. h^ Asiat., 1" sem. ISjS.
B. BoNcoMPAGNi. — Scritli di Leonardo Pisano... Rome, 18.')7-62.
JoRDANUs Nemorarius. — Le Triangulis. Edition Curtze, Tlioin, 1887.
Ldcas de Burgo. — Summa de Arilhmclica, Gcumetria, Proporlioni et

Proporlionalita. Venise, 1494, in-fol.
NicoLO Tartaglia. — General Irallalo di numcri et misure. Venise, 1556-

1560, in-fol.
Clavius. — Opera matkematica. Mayencc, 1612, in-fol.
Errard de Bar-le-Duc, revu par Hanrion. — La Geometric et practique

generalle d'icelle, 3« ed. Paris, 1619, in-8».
Simon Stevin. — OEuvres mathimatiques. Edition Albert Girard. Leyde,

1634, in-fol.
Abb6 Deidier. — La Science des gdometres. Paris, 1739, in-4».
EuzET. — Nouvelle methode pour divisor un pobjgone en parlies propor-

Uonnelks. Nouv. Ann. de Math., 1854.

CHAPITRE V

STEKCOMETRIE

§ 1. — Corps polyedraux.

Prisnie. — On a cerlainement su determiner le vo-
lume duparallelepipede droit etvraisemblablementcelu
du prisme droit des la plus haute Antiquite. La con-
naissance de la mesure du prisme oblique est sans doute
plus recente. Euclide(3'' s. av. J.-C), dans ses Elements,
ne traite que Ic cas particulier du parall^lepip^de obli-
que ; on ne trouve I'etude du cas general que dans les
Metriques de Eeron (1" s. ?).

Pyramide. — figyptiens. — Les Egyptiens connais-
saioiit probublenient la mosure exacte de la pyramide,
cai' <;tant donne le j^rand nombre de monuments de
celle forme edifies par eux, ces grands constructeurs
out du noccssairemcnt se rendre compte des volumes
de matdriaux ([u'ils employaient.

Un second argument vient a I'appui de ce que nous
venons de dire. Nous Irouvons dans le Manuel ^' \.\mts
(2 000 av. J.-C.) diverses questions relatives au calcul
de i'un des trois elements suivanls d'une pyramide r^-
gulierc a base carrce SARCD lorsqu'on connait les
deux aulres : lu dcmi-diagonale AO de la base, I'arfite

-298

SA et Ic rapport

LA GliOMlJTIUE OR MISL'ltK

SA

ou sef/i(') (io I.i (iomi-diagonale k

I'arfiU;. Voici par cxomple la pre-
iTiicre tie ces questions.

« R5gle pour calculer une pyra-
jnide de 360 coudees h la diagonale
(1(5 la base, 250 coudees a rarele.
Donne-raoi son rap})ort.

Fais la moitio de 300, ce qui
<lonne 180 [AO] ; divise 180 par 2o0

ISA], cela faitii— .»
'- -" 2 5 50

Lc rapport cherche est done — — — : il est donne, con-

formement k I'lisage dgyptien et grec, sous forme de
fractions ayantl'unite pournumerateur; on ad'ailleurs

1^ !_ _1__36_180

2 5 50 ~" 50 250'*
Les probl^mes dont nous venons dc donner un sp(5-
cimen se posaient lors de la construcLion des tombeaux ;
leur connaissance est surprenante pour I'epoque et
montre bien que les Egyptiens avaient pousse assez loin
I'etude des proprietes de la pyramide.

Grecs. — Nous savons par un passage d'ArcbimSde
que EuDOXE (4* s. av. J.-C. ) est le premier qui ait demon-
tre la proposition suivante: « Une pyramide est le tiers
d'un prisme qui a la meme base et la m6me hauteur. »
On reirouve cctte proposition dans les Elements d'Eu-
CLiDE (3* s. av. J.-C).

H^RON, dans ses Metriques (1" s. ?)_, donne comme
exemple lc calcul d'une pyramide oblique dont la base
est un pentagone regulier.

(*) Ce que noas appclons uujourd'liui lc sinus de Tangle ASO.

STtREOMETRIE 29{)

N Dans la Collection heronienne, -on trouvc plusieurs
probl6mes ou il s'agit de determiner le volume d'une
pyramide isocele a base carree ou triangulaire connais-
sant I'arete et les cotes de la base.

Hindous. — Aryabhatta (6* s.) donne une rhgle
inexacte : «Le demi-produit de la base par la bauteur
est le solide a six aretes. »

En revanche, Brahmegupta (7" s.) et Bhaskara (12* s.)
savent calculer exaclement le volume de la pyramide.
Voici par exemple le precepte du premier relatif k cette
question : « L'aire de la figure plane mullipliee par la
profondeur donne le contenu de I'excavation (') regu-
liere [prismej ; et celui-ci, divise par 3, est le contenu
de I'aiguille [pyramide]. »

Arabes. — Mohammed ben Moussa, dans la partie geo-
metrique de son Algehre (vers 820), donne la regie sui-
vante : « Pour la pyramide, qu'elle soit triangulaire,
quadrangulaire, circulaire, tu multiplies un tiers de la
superficie de sa base par sa colonne (hauteur), c'est \k
sa mesure. »

A noter que Mohammeh, comme d'aillenrs les Hin-
dous, ne fait pas de distinction entre la pyramide et le
c6ne.

Tronc de pyramide. — figyptiens. — Le Manuel
d'AHMEs (2 000 av. J.-C.) contient la question ci-apr^s:
« R6gle pour calculer un grenier quadrangulaire de
10 coud^es de longueur, 10 de largeur et 10 de hauteur.
Combien contient-il de ble? »

L'auteur, apres avoir fait le produit de la base par la
bauteur, ajoute a ce produit sa moilie, ce qui donne

(1) Dans la section des ouvrages hindous qui traite de la determina-
tion des volumes, il est toajours question de trouver le contenu d'une
excavation. Gctte section portc d'ailleurs le titre : « Excavations ».

300 LA GKOMKTRIE I)E MESl'RE

1500: c'est ce qu'il considere comme le volume; puis
il prend 1/20 de 1500, afin d'obtenir le resullat en
mesures de capacite pour les grains.

Eisenlohr, le Iraducteur du celebrc papyrus Rhindqui
renferme le Manuel^ pense qu'il s'agit d'un volume py-
ramidal tronqu^ a bases carrees, et que la longueur et
la largeurdonneesse rapporlent a la petite base ; le rap-
port entre les cotes des deux bases etait sans doute tou-
jours le meme dans les greniers t'gypliens, ce qui
expliquerait I'absence d'indicalions du papyrus sur les
dimensions de la grande base.

Voici comment on pent determiner ce rapport enlrc

les c6tds a et a' des grande et petite bases. La hauteur

etant designee par h, le volume calcule par la regie ci.

3
dessusest —a'^h. Or, la Colleclion lieroniennecontient
2

pour la determination du volume du Ironc de pyramide
la formule approchee h | — ^-- | , qui pent tres bien^tre

d'origine egyptienne ; on peut done ecrire, en consi-
derant cetle derniere liypothese comme fondee,

d'oii

et

h'"'-

-f-t

{a+aj:

= Q>a'\

a-^a':

= 2,45«'

a
a'

= 1,43.

-'^y

En admetlant m6me que les Egypliens aient connu
la r^gle exacte, qui so traduit comme on sail par la ioT-

mule -(fZ-j-a'^-l-aa'), on arriverait en procddant
comme ci-dessus ^la valeur-- =: l,44,quicoiLncidcsen-
siblemcnt avec la precedente.

STEREOMETRIE

301

Eisenlohr a d'ailleurs releve sur un document %yp-
tien I'image d'un reservoir a bid dont les dimensions
s'accordenl avec le r^sultat que nous venons d'obtenir.

Grecs. — Euclide ne traite pas, dans ses Elements
(3* s. av. J.-C), de la mesure du tronc de pyramide.
H6R0N, dans ses Metrifjues {{" s.T), donne une regie ele-
gante et curieuse qui peut se traduire ainsi : Le volume
du tronc de pyramide triangulaire a bases paralleles est
equivalent a deux prismes ayant pour hauteur cells du
tronc et pour bases, le premier un triangle dont les cotes
sont les demi-sommes des cotes homologues des bases du
tronc, et le second le tiers d^un triangle dont les cotes sont
les demi-differences des mimes cotes homologues.

En effet, soit letroncdepyramideABCDEZde hauteur
h ; menons par Eun plan parallele a DACZ qui coupe
ABC suivant HT ; on a AH= DE, CT = ZE. Soit N le

milieu de HT ; les plans
DEN,ZENcoupentABC
suivant les droites XNL
et MNK. XN est egale et
parallele a DE et AH ;
MN est egale et paral-
lele a CT et ZE ; par
suite, N dtant le milieu
de HT, K et L sont res-
peclivement les milieux
de BH et BT. De plus, AXNH et MCTN sont des paral-
lelogrammes equivalents, car ils ont meme hauteur et
■des bases dgales HN et NT.

On peut alors decomposer le tronc de pyramide don-
ii6 comme suit:

Vol. pr. XMNEDZ 3= tri. XMN X A,

Vol. pr. AXNHED = 1/2 parall. AXNH x h

= l/2parall.MGTNxA,

302 LA GEOMETRIE DE MESURE

Vol. pr. MCTNEZ = 1/2 parall. MCTN x h.
Vol. pyr. EHTB = 1/3 tri. HTB x h

= (tri.NTL-f-l/3tri.NTL)x^.

On en ddduit, en faisant la somme de ces relations--
membra a membre,

Vol. tr. depyr. =/i(tri. XMN-f- parall. MCTN+tri. NTL
+ 1/3 Iri. JNTL) = A (tri. XGL-h 1/3 tri. JNTL).

Or, si Ton d^signe par a, 6, c les c6l6s de la grande

base, par a' , b', c', les cotes homologues de la petite base,

les c6t6s du triangle NTL ont respectivement pour

1 r rr a — a' ^,„, b — b' tat c — c'

valeur LT=— ^, ^i^ — —^, LN = — ^;

ceux du triangle XCL ont pour valeur CL = CT+LT
= a' -h ^^~ = ^±^ , XC = XM + MG

= XM + NT=^4^, LX=3AK=^^t£'.
2 2

On a done bien la proposition annoncee.

Dans une autre question, H6ron dtend son proc^dd
kla recherche du volume d'untronc de pyramide a bases
carr(?es. Si Ton designe par a et a' les cotes des bases,
la regie de Heron revient a appliquer la formule

Ilsuffit, eneffet, de diviser le tronc de pyramide en
deux parties egales par un plan diagonal et d'appliquer
la r^gle donnee ci-dessus a chacun des troncs de pyra-
mide triangulaires ainsi obtenus. On determine de cotle
faQon sur la grande base du solide considere deux
groupes de deux triangles rectangles isocelesdgaux, I'un,

STEREOMETRIE 305-

de ces triangles de c6te ^—~- correspondant a XCL,

I'autre de cole -^ — , correspondant a NTL;le premier

groupe forme un carre d'aire riztif \ et I'autre un

, . fa—a'Y \ 2 y

carre d aire ( | .

Cette regie seretrouve dans la Collection heronienne.

Hindous. — Brahmegupta (7* s.) donni; les trois regies
suivantcs, dans son Arithm&lique, pour le calcul d'une
excavation en forme de tronc de pyramide a bases car-
rees.

« L'aire, deduite des moities des sommes des c6tes
au sommet et au fond, etant mullipliee par la profon-
deur, est la mesure pratique du contenu.

La moitie de la somme des aires au sommet et au
fond, multipiice par la profondeur, donne le contenu
grossier.

Soustrayant le contenu pratique de I'autre, divisant
la difference par 3 et ajoutant le quotient au contenu
pratique, la somme est le contenu exact. »

Si Ton represente par a et a' les cotes des bases su-
p^rieure et inferieure, par h la hauteur, les formules
traduisant les regies ci-dessus sont les suivantes :

h ( -~ — J (formule pratique), (4)

/i — IT — (formule grossiere), (2)^

2

(formule exacte). (3)

On constate, en elTet, que cette derniere formule,

simplifiee, se rdduit a — (a^ -f- a'^ -j- aa'), expression qui
o

304

LA GEOMETRIE DE MESL'RB

represente bien le volume du Ironc de pyramide a bases
carries.

Un commentatenr de Brahmej^upta applique ces re-
gies au cas ou a = 10, a' = 6, h r= 30 et Irouve :
avec (1), 1920 ; avec (2), 2040; et avoc (3), 1960.

Dans I'article suivant, quia pour objet la determina-
tion du volume d'un solide h bases paralleles, nous in-
diquerons le precede remarquable employ^ par Bhas-
KARA pour le calcul du contenu d'une excavation en
forme de ironc de pyramide.

Arabes. — Dans la partie geometrique de son Alge-
hre, Mohammed ben Moussa (9* s.) calcule commc suitle
volume d'un pilier en forme de pyramide tronquee
dont les bases carrees ont respectiveraent
2 et 4 de cdte et dont la hauteur est 10.

On peut considerer ce volume comme
la difference de deux pyramides ayant
respectivement pour bases les grande ct
petite bases du ironc. Le c6te de la grande
base etant le double de celui de la petite,
la hauteur H de la pyramide eniidre est
le double de cellc de la pyramide a retran-
chcr et par suite de celle du ironc : on a
done Hrz=10x2 = 20. Le volume du tronc de pyra-
mide est en consequence egal a

4^X20 2^x10

3

93 1/3.

Solide t\ bases paralleles. — On salt que le volume V
d'un solide compris cntre deux plans paralleles et une
surface engendr^e par une droitc est donnee par la re-
lation suivante, qu'on appelle sou vent formule des Irois
j niveaux ; ,

Y = v(B4-B'-4-4B"), (1)

STEKliUMliTKIE

305

oil h, B, B' el B" representent respeclivement la dis-
tance des deux bases, la base inferieure, la base supe-
rieure et la section faile a ^gale distance des bases.

Cetle fornnule s'ef.end an cas ou la surface laterale est
une surface courbe remplissant certaines conditions.
Elle s'applique h. un grand nombre de volumes usuels,
a telle enseigne que M. Casimir Rey, qui en a fait
I'etude en 1886, I'a denommee « Omniformule de cu-
balure ». M. Baillarge, de Quebec, sous le titre : « Le
Slereomctricon — Nouveau systeme de toiser tous les
corps par une seule et meme regie », a public en 1884
une brochure oii setrouvent reunis deux cents des so-
liiies dent la formulc (1) permet de determiner le vo-
lume.

Grecs. — HiSrox, dans ses Metriques (1" s. ?), traite le
cas particulier oii le solide ABCDGKZII a pour bases-
extremes des rectangles semblables ou non entre eux ;
le solide correspondant etait appele « bomisque »
(autel) chez les Grecs : c'est, comme on le sait, la forme
du tas de sable, dans le cas oh les centres des deux rec-
tangles se trouvent sur une memo perpendiculaire aux
bases.

Voici le proccde employe par le savant Alexandrin

pour determiner le vo-
lume d'un pareil solide,
procede qui le conduit h
une regie differcntc de
cello resultant de la for-
mulc (1).

Menons les plans KZHU
el LIIGN respeclivement
paranoics a AEGD et
BZEA;ilscoupentABCD
suivant les droites KU el LN et sc coupent enlre eux

FouuREY. — Curios, geom. 20

306 LA GKOMJiTRIE DE MESURE

suivant RH. Tirons enfin par les milieux F de KB et

Y de LG des paralleles FM et YT k AD et A I?.

On peut alors de'composer comme suit le solide con-
sidere, de hauteur /i.

Vol. paralleldp. All = reel. KANR x h,
Vol. pr. KH = 1/2 r(M:t. BKRL x h

= roct.FKRPx-'i,
Vol.pr. DH = 1/2rect. RNDUx/^

= Roct. RNTOx/',
Vol. pyr. HLRUG = 1/3 rect. LRUC x h

= 4/3roct. PROXx>^.

On en d^duit, en faisantlasomme membre a inerabre,

V = A (reel. FATX -|- 1/3 rect. PROX).

Or, si Ton designe par a et A, a' et 0' les cotes des
deux bases, cette relation devient

Y ^ ;, /« + «; . t±K ^i/3 ^—£L . L-I'X (2)

V 2 2 ' 2 2 / ^ ^

Cette formnle, traduction de la r^gle de Heron et qui
est d'ailleurs equivalente a la formule (1), est, comme
on le voit, donnee sous une autre forme que la suivante :

V = I [/>(2a -}- a') + h' (2a' -f- «)],

0

habitucUement indiqude dans nos traites actuels de
geomelrie pour le volume du tas de sable.

Heron en fait I'application ci-apres: a = 20, «'= 16,
/.' = i2, 6' = 3, /i=:10; il donne le r^sultat exact

V = 1380.

On retrouve celte regie dans la Collection hdronienne.

Remarquons enfin que si les rectangles de base de-
viennent des carrds, autrement dit si « = i, «' = b\ le
solide consid^re devient un tronc de pyramide ; la for-

STEREOMETRIE - 307

Tiiulc (2) se transforme en une relation d^j^ donn^e k
I'urticle precedent, et egalement indiqu(5e par Heron,
pour le calcul du volume du tronc de pyrainide a bases
-carr(Ses.

Hindous, — Nous avons ete veritablement surpris —
car nous ne croyons pas que le fait ait ete signale —
de trouver dans la LUd^>ati de Bhaskara (12' s.) une
application incontestable de la formule des trois niveaux.
L'auteur hindou indique pour le calcul du contenu
d'une excavation en forme de tronc de pyramide k bases
paralleles rectangulaires la regie ci-apres :

c< La somme des aires au sommet et au fond et de Taire
resultant de la somme [des cotes au sommet et au fond],
etant divisee par 6, le quotient est Taire moyenne :
celle-ci, multipliee par la profondeur, est le volume
moyen. »

II utilise ensuite cette regie pour c^alculer le contenu
d'une excavation dont la bautcur est de 7 coudees, dont
le rectangle du sommet a pour dimensions 12 et 10
coudees et le rectangle du fond, 6 et S. L'aire du pre-
mier est 12x10 = 120, celle du second 6x3 = 30;
Taire du rectangle ayant pour cotes la somme des cotes
correspondants des deux bases est
(1 2 4- 6) (1 0 -H 3) = 270 : cette aire
est precisement quadruple de la
section equidistante des bases,
comme le fait remarquer Ganesa,
un commentateur de Bha,skara. Le
sixiemedela somme 1204-30-|-270
= 420, soil 70, est l'aire moyenne;
le produit par 7 donne pour volume 490. G'est bien
exactement le calcul auquel on aurait ^te conduit en
■appliquant la formule (1).

£poque moderne. — Nous ne nous arreterons pas k d(5-

308 LA GliOMliTRIE DE MESUBE

montrer I'exactilude do la formule des trois niveaux
dans le cas simple oil ies faces laterales sont des trian-
gles ou des trapezes : on tiouvera cette demonstration
dans la plupart des traites de gdometrie. Nous nous
contenterons d'on donner un rapida historique.

C'est au savant italicnToRRicKLLi (1644)qu'on doit Ies
premieres applications de cette formule. Newton au
17* siecle, MACLAURiN.et Sbipson au 18'', Sieiner au 19*
en ont generalise Temploi.

EUe a et«^ retrouvec par le professeur fran^ais Sarrus,
vers le milieu du 19* siecle, dans Ies circonstances sui-
vantes(Tli. Sclineidcr, Pe/?/r^^^2^.sdul5novembrcl895):
« Le savant Sarrus qui enseignait, il y a qnarante ans,
le calcul dilTerentiel et int^-gral a la Faculte des Sciences
de Strasbourg, se trouvait un jour dans une brasserie
oil il allait parfois se desalterer. La, il fut sollicite par
un tonnelier de vouloir bien'lui indiquer une formule
de jaugeage des tonneaux 5. la fois sijnple et exacte.
Sarrus y consentit avec sa bienveillancc accouluraee ;
mais craignant peut-filre que le procede qu'il indiquait
a son inlerlocuteur ne parut a celui-ci un pen trop
complique, il promit pour le Icndcmain la formule la
plus simple qu'il fut possible d'etablir. II tint parole,
en effet, et apres avoir decouvert le tlicorcme general
[exprime par la formule (1)], il s'emprcssa de le traduire
au tonnelier par la regie suivante : « Elevez Ies deux
diametres au carrd ; ajoutez au carre du grand la moi-
lie du carre du petit ; mullipliez la somme oblenuc par
la longueur du tonneau et enfin le nouveau produil par
0,5236. » II est facile de verifier que si dans la formule

'(l)onfaitB:=B' = — , B" = ^\f/et D ddsignant

4 4

Ies diamMres du fond et de la section mediane, on a
cffeclivcraent V = (^D^ + ^^A x | , ou ^ = 0,5236.

STEREOMliTRlE 309

Enfin, M. Nievvknglowski a determine en 189i a
qiielles conditions doit satisfaire un solide pour que la
formule des trois niveaux lui soil applicable.

Mur. — • Dans la 3^ partie (1560) de son Tmite gene-
ral des Nombres et des Mesures, Je mathematicien
italien Tartaglia donne une regie simple pour le
calcul du volume d'un mur limitant un espace rec-
tangulaire. Si Ton designe par A la hauleur du mur,
par e son epaisseur constante, par /-^ et /;,• les peri-
metres exterieur et inlerieur, cette regie se traduit
par la formule

y = h.eP^±^. (1)

2 ^ ^

I-

En represenlant par a' et // Jes

'%/A^m^yyym/7w/mmM cotcs du rectangle intericur, la

surface du mur en plan a en
effet pour expression

e(2«'H-26'-H40 = e[(</'H-2e-h^/-f-2e) + («' + <J')]

\2 2

On en ddduit immedialemenl la formule (1).

On pent etendre cette formule au cas d'un mur limi-
tant >une surface polygonale quel-
conque. Si nous prolongeons les
coles intcrieurs, commc I'indique
la figure ci-contre, nous obtenons
deslosanges aux sommets, puisque
les c6t^s intcrieurs et exterieurs
sont des parallelcs equidistantes ;
en ayant egard aux notations de la
figure, on a pour la surface du mur en plan

310 LA UEOMl^TItlH OE MKSURE

'a-\-a' _^h -\-h' c-\-c! d-\- d'

1 . [ _ —

2 2 2 2

_^ /p-i-d^i/\ ^ /q-t-f-{-r\ _|_ /„'+/,' + , -hd'+fyt

Tartaglia clcnd sa r&gle au cas d'un mur de tour
ronde. En designant par / ot /' les rayons. exleiicur et
inlericur, on a en eflet comine surface en plan

BIBLIUCRAPUIE
Voir a la fin du cliapitre.

§ 2. — Corps ronds.

Cylindrc. — On peut faire ici les memes rcmarques
qu'a projios du prisme. Euclide ne traile que le cas du
cylindrc droit ; ild;KON, dans ses Metriques, etudie lecas
general d'un cylindrc oblique* abase quelconque.

Cone. — Grecs, — Une citation d'Archim^de nous
montre que c'est h. Eldoxe (4* s. av. J.-C.) qu'on est
dgalement redevable de la proposition suivante qu'on
retrouve dans les Elements d'EucLiDE : « Un cone est le
tiers d'un cylindre qui a la meme base et la meme
hauteur ». Mais il ne s'agit ici que du c6ne circulaire
droit.

STEBEOUETRIE

311

H6R0N, dans ses Meiriques^i" s. ?) calculo le volume
d'un cone oblique dont la base
est un cercle de diametre 10 et
dont la hauteur est 8. 11 trouve
H

21'

en pre-

comme resultat 209

nant tc=--. Sa regie, qui re-

vient a appliquer la formule

Fig. extraite Acs Melriques

dans la Collection heron ienne sous la forme

V = — X — X - » est reproduiLe

4 7 3 ^

Hinrloiis et Arabes. — Les regies donn^es pour la pyra-
mi(l(> s up[)li(|uent egalement au cone, les llindous et
les Arabes ne iaisant pas de distinction enlre les deux
solides.

Tas de rjrains. — Les ouvrages math^maliques hin-
dous renferment des regies pratiques pour determiner
la contenance des tas de grains. Nous suivrons lei la
Lilai>ati6ii Bhaskara (12" s.).

Lorsque sur une aire plane, on verse en tas des grains
de ble, ceux-ci se disposent en forme de cone circu-
laire droit ; suivant I'espece du grain, la hauteur de ce
cone est plus ou moins grande. Bha,skara admet que
cette hauteur est le 1/10 de la circonference de base
pour le « grain grossier », le 1/11 pour le « grain fin »
et le 1/9 pour le « ble barbu ».

Ayant alors ^ calculer la contenance d'un tas de ble
grossier dont la circonference c est donnee en coud6es,

I'auteur hindou prend le 1/6 de la circonference ( -^

312 LA UEOM^TUIE DE MESUHB

qu'il el5ve au curre ( -7^ ), ol il mulllplie le r^sultal par

la hauteur/— I, cenuidonne uueconlenance de

\10/ ^ 0^X10

coud^es cubiques ou mieux de-— —-c/iaris. le c'liari

^ 36x10 -

elant la mesure de capacile de la coiitenaiice d'une

coudce cubiquc.

Le rayon de base etant — et la liauleur -— - , la

2- 10

contenance exacle du las serait de —(7—) X - -

6 \2tJ 10

= . Le rapport de la contenance indinuce [;ar

12zXlO *^ • * ^

BhtisUara et de la contenance exacle seiait done egal h.

— ou h 1,0472; la premiere, qui est un peu su|;crieure
o

h la seconde, revient ci prendre 'r: = '3.

Appliquant cette regie h c=GO, le matliematicion
hindou trouve comme resullat GOO c'haris; la conte-
nance exacle serait 1572, D58.

' Bhaskara fait en outre

ol)Scrver que si le las est
applique soil le long dun
mur, soil h Tangle intericur
de deux murs a angle droit,
soit a Tangle exterieur de
ces deux murs, la circonfe-
renca entiere doitelre mullipliee par 1/2, 1/4 ou 3/4.

Tronc dc cone. — figyptiens, — Le Marine! d'AiiMfis
(2 000av. J.-C.)donne un precede pour calculer la con-
Icnance d'un grenier rond de 9 coudecs de dianietrc et
de 10 coudees de hauteur.

L'auleur procedc comme pour le cas du grenier qua-

dran^ruluire : en uliiisant /— ') comme valeur de z, il

STERUOMKTRIE

313

calculo la base, puis il la multiplie par 3/2 pour oblenir
le volume.

On peut d'ailleurs Id faire les m^mes remarques
qu'au § 1. Le grenier dont il s'agit est vraisemblable-
mcnt, en forme de ironc de cone " le diamotre donne est
celui do la petite base et le rapport des diametres des
deux bases est d'environ 1,45.

Grecs. — Euclide (3* s. av. J.-C.) ne traite pas de la
mesure du tronc de cone. H^ron, dans ses Metrirjues
(1" s. ?), donne une regie qui revient a appliquer la for-
mule

Y = T

4

+ 1/3

-)1

0)

ou h, r etr' representent respectivementla hauteur du
tronc, les rayons des grande et petite bases.

Cette formule, qui est I'analogue de celle ddja ren-
contrt^e (§ 1) pour le tronc de pyramideabases carrees,
est preferable ci la formule equivalente

V = ::~(r^-|-r'--hrr')

employee de nos jours, car elle
exige une multiplication de
mo ins.

Voici, en substance, le procM^
de Heron pour demontrer I'exac-
titude de cette regie. Soit le tronc
de c6ne circulaire droit EZ de
volume C, diff(5rence des c6nes
de hauteurs HZ et HE et de vo-
lumes V et v. On lui circonscrit
nn Irene de pyramide SK h bases
carrees, de volume P, difference des pyramides d'ardtes

314 LA GEOMliTRIE 1)E MESUHE

HK et HS el de volumes V, et V{. On a

X— M'-Xi d' ' \ _\' ^y—y c

Mais

C__ V_1/3Kr\HZ_x
P "~ V, ~ ip 4r^ . HZ ~ 4

Onendeduit C = P.^. (2)

4

En appli quant la r^gle Ironvt'c (§ 1) pour le tronc de
pyramidea bases cairees, on peut eciire

P = h [(r + rj -h i /3 (r — rj].

Remplagant dans (2), on en deduit ais6ment la for-
mule (1).

Cette formule (1) est egalement appliquee dans la
Collection heroniemie, en meme temps que la formule
acluelle.

Sphere. — Archinede, — Chez aucun peuple,
anterieuiement a Archimede (3^ s. av. J.-C), on ne
trouve de document ou la mesure de la sphere soil
traitee, meme simplemenl au point de vue pratique.
L'illustre geometresyracusain a montre une fois de plus
I'originalile de son genie en dtablissant dans son ou-
vrage Sur la sphere et le cylindre les propositions sui-
vanles :

« La surface d'nne sphere quelconque est quadruple
d'un de ses grands cercles.

Une sphere quelconque est quadruple d'un cone qui
a une base ^gale a un grand cercle de cette sphere et
une hauteur dgale au rayon de cette m6me sphere.

Le cylindre qui a une base egale 5, un grand cercle
d'une sphere et une hauteur egale au diametre de celte
sphere est egal a trois fois la moilie de cette sphere,

STEREOMETRIE 315-

et la surface du cylindre, les bases etant comprises, est
aussi c^ale a trois fois la moitie de la surface de cetle
monic sphere. »

Ccst de cette derniere decouverte qu'Archimede parait
avoir elele plus fier. IMutarque (l*"" s.) (Vie des hommei
illustres) nous apprend en etfet que le savant grec avail
prie « ses amis et ses parents de placer sur son tombeau,
apres sa mort, un cylindre renfermant une sphere et,
pour suscription, le rapport du solide contenant au
soJide contenu ».

Ciceron (l*"" s. av. J.-C.) mcntionnc egalemcnt le fail,
dans un passage des Tnsculanes reste celebre. « Pen-
dant que j'clais questeur en Sicile, dit-il, je fus curieux
de m'informer du tombeau d'Archimedea Syracuse ou
je trouvai qu'on le connaissail si peu, ([u'on disait qu'il
n'en reslait aucun vestige ; maisje cherchai avec tant
de soin que je le delerrai eniin sous des ronces et des
epincs. Je lis cotle decouverte a la faveur de quelques^
vers que je savais avoir ete graves sur son monument
et qui portaient qu'on avait place au-dessus une sphere
et un cylindre. M'etant done transports hors de Tune
des portes de Syracuse, dans une campagne couverle
d'un grand nombre de tombeaux, et regardant de toutcs
parts avec attention, je decouvris sur une petite colonne
qui s'elevait par-dcssus les buissons le cylindre et la
sphere que je cherchais. Je dis aussitot aux Syracusains
qui m'accompagnaient que c'etait sans doute le monu-
ment d'Archimcde. En etfet, sitot qu'on eut fait venir
des gens pour couper les buissons et nous faire un
passage, nous nous approchames de la colonne etliimes
sur la base Tinscription dont les vers etaient encore h
demi-lisibles, le reste ayant et(5 efface par le temps. »

Au sujet de cette decouverte d'Archimede, nous cite-
rons une inscription grecque, trouvee dans les ruines
de Pergame, qui donne les nombres 42, 33 et 22 comme

316 LA GliOMETRTE DE MESURR

represenlant les volumes relalifs et les surfaces tolales

relatives du cube, du cylindre et de la sphere inscrits

dans le cube. Si Ton suppose en efTet le cole du cube

22
egal h 2 el z = ^ , les volumes de ces Irois corps sont

respeclivomentrenrescnles par 8=-— , zz^=l2A ^^
^ * ^ '2i 1 21 ai'i

ou encore sont proportionnels a i2, 33 et 22. Dans !a

m6me hypothese, les surfaces scront representees res-

168 1.S2 SS
pectivement par 24 = — — , -^ , ^ , ouseionlpropor-

lionnelles a 42, 33 et 22.

Enfin, a propos de la propriete du cylindre circonscrit
a la sphere, Montucla sig-nale que le probleme suivant
fut pose en 1773 dans un num^ro du Mercure de
France :

Reponds-moi, d'Alembcrt, qui decouvre les traces

Des plus sublimes veriles,

Quels sont les corps dont les surfaces
Sont en mfime rapport que leurs solidiles?

Comma bien on pense, d'Alembert ne se b^ta pas
de repondre ; le numero suivant du Mercure conlcnait
une des solutions du probleme, celle correspondant a
la sphere et au cylindre circonscrit.

La question comporte en effet une infinite de solu-
tions; en particulier, tous les corps r^guliers ou non
circonscrits k la sphere repondent a la question. Soient
par exemple deux polyedres regulicrs circonscrits a la
sphere. Chacun d'eux pent ^tre decompose en py-
ramides ayant pour bases les faces du polyedre con-
sid6re et pour sommet le centre de la sphere : Ic
volume de chacun des polyedres sera done le produit
de sa surface par le tiers du rayon. Par suite, en dcsi-
gnant par Y et V, S et S' les volumes ct les surfaces

STl';i!l':OMliTKIE 317

dcs polyedres, par r le rayon de la sphere, on a bien

V 1/3 SV S'*

£poque posterieure a Archimede. — Heron, dans ses
Meiriques (l*"" s.), doniic pour le calcul du volume de la
s;)here deux regies qui so Iraduisent par la formule
suivante, ou d rcpresenle le dianitilre :

22
Cette formule, qui suppose z = -;:r , se rencontre

(^galcment dans les ecrils des agrimenseurs romains et
dans la Collection herpnienne.

Les Hindous — Bhaskara lout au molns — savent
que I'aire de la sphere est egale a celle de quatre
grands cercles et que son volume est le produit de
cette aire par le sixieme du diametre.

Voici comment GA^ESA (1 6^ s.) demontre cette dernif^re
proposition. La surface dela sphere etant supposcedivi-
see en autant d'elcments e'gaux qu'il y a d'unites dans
I'expression numcrique A de I'aire (le nombre A etant
suppose entier), chacun de ces elements est pris (ap-
proximati vemenl) comme base d'une pyramide ayant son
sommet au centre de la sphere. (r/repr(5sentant le diame-
tre, le volume d'une de ces pyramides a pour expression

numdrique 1/3x1 X- = -; le volume de la sphere
est par suite -^ • II est probable que ce mode de demons-
tration, parfois employe encore aujourd'hui, est bien
dorigine hindoue.

BiiASKARA donne enfin, dans sa Lil(h>a(i(\2'' s.), celtc

22
rSgle simple qui suppose z = — • « La moitie du cube

318 LA GEOMETRIE DE MESURE

du diamelrc ajoul^c a la 21" parlie de celte mditie est
le volume conlenu dans la spli5re. » Ge volume a en
effet pour cKprossion

2 2i\-2j \ ^2ij2 7 6

Voici en fin, a litre de curiositc, comment Edouard
Lagout, dans ses legons de « tachymetrie » (1876)
arrive 5 determiner Ic volume de la sphere : son prece-
de est inspire do celui de Bhaskara. « Une graine de
platane est formde d'une grande quantite de pyramides
heriss6es autour du noyau central. De la realite a la
science on doit supposer ce noyau tr5s petit, se redui-
sant k un point invisible dans lequel se joindraient tons
les sommels dcs pyramides.

L'enveloppc de la sphere, dtant cgale A 4 cercles
fails sur le rayon, sera uniformisee par un plateau for-
me de 4 planches jointives egales chacune k I'aire
d'un cercle. II ne restcra plus qu'a uniformiser toutes
les pyramides en herisson, et pour cela je les implante
sur le plateau. Elles scront jointes par les bases et ne
laisseront aucun vide.

Ainsi implantces, elles presentent I'aspect d'une
machoire do crocodile sur laquelle il faul hardiment
mettre la main (de I'esprit) pour les aplatir uniforme-
ment au tiers de la hauteur. Alors la machoire, c'est-a-
dire la sphere, est chang^e en un plateau, etce plateau
a pour hauteur le tiers du rayon. On aura done par les
operations de V Algebra tachymetrique :

( =r plateau X 1/3 du rayon
Sphere, volume ] = 4 aires de cercle x 1/^ rayon

{ = 1/3 X (4 aires de cercle x rayon).

N*oubliez pas les 4 planches faisant chacune I'aire du

STEREOMKTRIE

319

cercle ; la machoire do crocodile vous fera souvenir des
pointes que Ton uniformise en les aplatissanl au tiers. »

BIBLIOGRAPfllE

Voir a la fin du cliapitre.

§ 3. — G6om6trie Hugodomoi'dale.

B LVquidomolde, dompteur de spheres. »

« L'6quidomoide, est comme le soleil : aveuglo
qui ne le voit pasl »

« L'licole hugodomoldale est vraiment I'Ecola
roniiintiqiie de la G6om6trie. »

« L;i s}3here n'a plus qu'a se dfgonfler... on i
se rosiL'iicr au r61e d'Equidomoide limito. »

« Arialysle ! rends hommage a la V^rit6, sinon
I'Equidomoide vengeur viendra poser, la nuit,
sur la poitrine anxieuse. »

Projel d'afjlche :

« Jeunes 6l6ves!
N'Acoutez pas ce farceur d'EquidomoIde
Lequel pretend d6molir notro sphere ot veut
[dc^gommer Arcliimedel
Sanscraindre sesonglets.couronssusS I'Equido...
[g6om6trique.
Tombons tous snr i'excentrique
A coups de trique!
Muera! »

G" LSopold Hugo.

Le comte Leopold Huoo, ncvou denotre grand poete
a, public dans plusieurs brochures, de 1867 a 1875,
diverses recherchcs sur une categoric de solides qu'il
avail ele amene a etudicr par des considerations de min§-
ralogic et qu'il a en consequence dfSnommes « cristal-
loides ». Bien que ces recherches presentent uncertain
iiiteret th6orique et pratique, elles n'ont ete signalees
dans aucun ouvragede geometric, du moins anolrecon-
naissance. II convient de dire d'ailleurs que I'originalitc
— pour ne pas dire pis — du style de I'auleur, dont
nous avons donne en epigraphe quelques echantillons,
•at qui dans son esprit devait attirer Tattention sur ses
etudes, a plut6t nui h leur diffusion.

Contrairement a ce qu'il pensait, Leopold Hugo n'est

320

LA r.i:n.vn:TriiK de mesure

pas le premier qui se soit occupy de cettc nature de
solides ; hii, qui, en apparence lout au moins, avail
declare la guerre a la geoniotrie dile « arcliimedienne »,
eut sansdoute (^le fort marri d'apprcndre qu'un malhe-
maticien — non des moindres — s'en elait dej^occupc
avant lui, et que ee mathematicien elait preciscmcnt...
Archim]3;de. La publication recenle des Metriques de
Heron d'Alexandrie a en effet permis de constater que
le gdometre syracusain s'etait occupe au moins d'un
cas particulior de la question dans scs Eijliodiques.

6quidomoides. — Considerons un cube GHIJ...;
soit APB une demi-circonference dont le diametre est
la droite AB joignant ios centres des deux bases ducubc
et dontlc plan estperpendiculairc a raretcKL. Ad mel-
tons maintenant qu'unc
droite CP so deplacc pa-
rallelcment a KL do lelle
sorle que son extrcniile P
reslc sur la demi-circon-
ference APB. Dans son
mouvcraent, cette droite
engendre une surface cy-
- — Jm lindriquequi, limitceaux
plans APB et ACB, est un
onglet. Si Ton reunit 8
onglels identiques, on
forme le solide de la figure,
qui est un equidomoidc a base carree CDEF ; ce solide
coupe par le plan CDEF donne le contenu d'une.voCite
dite en « arc de cloitre ».

On pent obtenir d'une maniere analogue un equido-,
moiide ayant pour base un polygone regulierquelconquc.
Nous donnons ci-apres la seric des equidomoides ayant
pour base un triang'e Equilateral, un carre, un penla-

STEREOMETRIE 321

gone, ..., et iin cercle ayant meme rayon que la demi-
circonf^rencc directrice ; dans ce dernier cas, le solide
engendre devicnt une sphere. On peut done considerer
la sphere commc un equidomoide limite.

Lusc trianiriilasrc.

Dasc carree.

BHse pentagonale. Base circulairc (sphere).

Equidomoides reguliers.

]6qiiitr^moTdes. — On peut imaginer une autre espSce
de solides engendres comme les equidomoides par une
droite se d^plagant parall^lement a elle-meme en sui-

FouRREY. — Curios, gc'om. Si

322 LA GEOHETRIE DG MESURE

vant line demi-circonference, mais celle-ci 4tant tan-
gente en 0 a I'axe AB : ce sont les equitremoides.

R I.

Base carrde. Base circulaire.

Equitremoides reguliers.

L'equIlr(5moiide limite, a base circulaire, correspon-
dant a la sphere des equidomoides, a, conime on le
voit, la forme d'un sablier.

Des crista lloides en g^n^ral. — Si la directrice est
une courbe quelconque au lieu d'etre une demi-circonfe-
rence, le solide form6 par la reunion des onglets ainsi
engendrds porte dans ce cas g^n^ral le nom de cristal-
lolde.

En particulier, si la directrice est une demi-ellipse,
on aura un ellidmoide ou un ellilremo'ide suivant que
cette demi-ellipse aura ou non sa concavite tourn^e vers
I'axe.

Onaura, au contraire, %o'\i\xnhyperdomoideo\i\iQ.hyper-
tremolde, soil un paradomo'ide ou un paratremo'ide selon
que cette directrice sera une branche d' hyperbole ou
una parabole.

Tous ces solides sont caract^ris^s par la simplicite

STEREOMETRIE 325

des expressions de leur surface etde leur volume lorsque
leur base B et leur hauteur H sont connues ; ces expres-
sions sont en effet une fraction numerique du produit
BH. Nous nous contenterons dele montrcr pour le cas-
de I'equidonioide.

Volume de Tequidomoide. — L'equidomoide etant form^
par I'assemblage d'onglets cylindriques ^gaux, nous
allons d'abord chercher le volume d'un de ces onglets.

I. — Soil d'abord un onglet ABGD dont la base est un
demi-cercle de rayon r et de centre 0, et dont la hauteur
CD est egale a la circonference du cercle de meme
rayon, soit a 2-r.

Menons un plan qiiclconque EFG perpendiculaire ^
AB; il coupe I'onglet suivantun triangle rectangle EFG
semblable a OCD puisque les angles en E et en 0 sont
egaux. On a

GF^DC
EF UG

d'ou

GF = 27:EF.

II en resulte que la surface du triangle EFG est equl-
valente a celle du cercle de rayon EF.

Supposonsmaintenant qu'on divise AB
en un certain nombre de parties egales^
et qu'on mene par les points de division
des plans perpendiculaires a AB. Nous
parlageons ainsi I'onglet en volumes ele-
mentaires que nous pourrons assimiler a
des prismes si nous faisons croitre inde-
liniment le nombre des divisions de AB,
et dont les bases seront des triangles ana-
logues a EFG. Ces prismes, d'apr^s la
remarque faite ci-dessus, seront equiva-
lents a des cylindres de m6me hauteur et
dont les rayons de base seront les segments EF. La.

324 LA GEOHETRIE DE MESURE

somme de ces cylindres donnant une sphere de rayon r,

le volume de Tonglet sera equivalent a celui de cette

• 4 1
sphere, soit i- w .
o

II. — Soit a present un onglet de volume y, dont le
rayon de base est/- et doiit la hauteur h est quclconque.
Nous allons le comparer a I'onglet de memo base, de
hauteur 2rj' et de volume V. Les triangles de section
ayant m§me base, sont entre euxcomme leurs hauteurs,

c'est-a-dire dans le rapport — — • il en est de mume des

cylindres elementaires et par suite des volumes des
onglets. On a done

^=A_, d'ou ?; = V — = 4/3-r'X— =2/3r5A.

Ainsi le volume de I'onglet cylindrique a pour expres-
sion 2/3r-h.

HI. — Soit enfin un equidomoide regulier dont la
base a n c6tes de longueur 2h ; designons par r le
rayon du cercle inscrit ci cette base. L'cquidomoide se
compose alors de 2n onglets ayant /• pour rayon de base
et h pour hauteur, et dont le volume est, d'apres ce
qu'on vient de voir,

2n X 2/3 r'-h = 2/3 Xnhrx 2r.

Mais nhr represente la surface B de la base et 2r la
hauteur H de I'dquidomoide ; le volume de ce dernier
est par suite exprim^ par la formule tr^s simple

2/3 BH.

Ce volume est done, comme pour la sphere, les 2/3
de celui du cylindre circonscrit.

Surface de I'equidomoide. — Cherchohs d'abord a ddtcr-

STEREOMETRIB 325

miner Texpression de la surface lat^rale d'un onglet,
dans les memes cas qu'au n" precedent.

I. — La surface laterale de I'onglet (fig. de la p. 323)
pent 6tre consideree comme formee d'une infinite de
rectangles ayant pour bases les droitcs GF^StcEF;
chacun de ces rectangles est equivalent a la surface late-
rale d'un cylindre circulaire de meme hauteur et dont
le rayon de base est une longueur EF. La somme des
surfaces de ces cylindres dtant 6quivalente a ceile
d'une sphere de rayon OG ou /•, soit 5. i-^r^, la surface
cherchee a la m6me valeur.

IL — On a, comme dans le cas du volume, s etSd^si-
gnant respectivement les surfaces laterales d'un onglet
quelconque et d'un onglet de hauteur 2zr,

- = -— , dou 5 = -— = 2M.
S 2r.r 2TCr

in. — La surface de I'^quidomoide r^gulier compost
de 2n onglets a done pour expression

2/1 X 2M = 2nh X 2r = PH ,

si Ton d^signe par P le perimetre de la base et par H
la hauteur du solide.

Cette surface est done, comme pour la sphere, dqui-
valente a la surface laterale ou aux 2/3 dc la surface
totale du cylindre circonscrit.

L'equidomoide chez Archimede. — Dans ses Ephodiquesj
Arghimede a determine, assurement pour la premiere
fois, le volume del'onglct cylindrique, mais on ne sait
quel procede il a employe. Comme application, il a
montr6 dans le m6me ouvrage que le solide commun h.
deux cylindres circulaires penetrant Fun dans I'autre et
dont les bases sont inscrites dans deux faces opposees

326 LA GEOMETRIE DE MESURE

■d'un cube a pour valeur les 2/3 du volume du cube. Ce
solide commun est ce que nous avons appeld I'equido-
moide a base carrde et la valeur trouvee par Archim^de
est bien cclle qui resulte de rapplication de laformule
2/3 BH donnee plus haut.

BIBLIOGRAPHIE

Voir a la fin dn cliapitre ii (2« Parlie).

Baillargk. — Le Stereometricon. QueLec, 1884, in-4*.

CiAsiMiii Key. — Otrmilormute de cubature. J»' de Longcliamps, 1886.

Goulard. — Sur la formule des trois niveaux. Matbesis, 1897.

JsicoLO Taktaolia. — General irallato di numeri et misure. Venise, 1S56-

1560, in-fol.
F. Peybard. — (Euvres d'Archimede (traduites par), Paris, 1807, in-4'.
Edouahu Lacout. — Cahier d'un soldat du genie. Paris, 1876, in-8''.
€«• L^oi'OLD Hugo. — Tlieorie des Crislalloides elementaires. Paris, 1867,
gr. in-S".

— Les Cristalloides a directrice circulaire. Paris, 1867,

gr. in-S".

— Les Cristalloides complexes a sommet etoile. Paris,

1873, gr. in-S".

— Essai sur la Geometric des Cristalloides. Paris, 1873,

gr, in-S".

— La question de rEquidomoTde et des Cristalloides

— geometriques. Paris, 1873, gr. in-8». '

F. 1. G. — Appcndice aux Exercices de Geometrie. Tours, 1877, in-I2.

TROISIEME PARTIE
APPLICATIONS DIVERSES

CHAPITRE I

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

Nous avons eii occasion de signaler dans I'lntroduc-
lion le parti qu'avaient tire les Grecs, puis Ics Arahes
ctles savants de la Renaissance, de I'application de la
Geometrie au Calcul.

Le 19* siecle a vu se constituerle Calcul graphique,
qui permet d'arriver rapidement h. des resultats ditficiles
a obtenir par toute autre voie.

Nous nous contenterons de trailer ici certaines ques-
tions dont la resolution pr^sente quelque inter6t de
curiosity. On en trouvera d'autres exemples dans nos
Recreations arithmeti^ues.

§ 1. — Execution des operations arithmetiques.

Nous ne ferons que menlionner I'addition et la sous-
traction grophiqucs, en raison de leur simplicity.

328

APPLICATIONS DIVERSES

Multiplication. — Soit h trouver leproduit des seg-
ments /j, 4, 4, ... representant a une cerlaine dchellc
des nombres donnes. On portc sur une droite OX un

segment 01 ^gal a i'unite
de longueur, on 6leve en 1
une perpendiculaire a OX
sur laquelle on porle des seg-
ments 1/j , 1/2 , 1/3, ... egaux
aux segments donnes et on
mene O/j, 04, 04,... On
porte 14 en 02 et on el6ve en
2 une perpendiculaire qui
rencontre O4 en 2' ; on porle
22' de 0 en 3 sur OX et on eleve en 3 uue perpendicu-
laire qui rencontre 04 on 3'» etc. Les segments 22',.
33', ... representent respectivement les produiis 4>< 4>

]n effct, on a

22' 02

14 01

d'ou

22' = 4x4.

On a, d'une facon analogue,

d'ou

33;^ 03
1/3 01'

33' = 22'x4 = 4x4x4^

Division. — Soit a trou-
ver le quotient des segments
a et b. On porte sur une
droite OX, a parlir de 0, I'unite de longueur en 01 et
le segments en Ob; en b, on elfeve une perpendiculaire
ba ^gale a a. On tire Oa, et la longueur 1<7 de la perpen-

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL 329

diculaire en 1 a OX, comprise entre OX et Oa, est le
quotient cherch^. On a en efifet

\q ha

01 ~~ Ob '

d'ou

. ha a

Remarque. — Une fraction — pouvant Mre, d'apr^s

ce que nous venons de voir, reprdsentee par un seg-
ment 1<7, les operations sur les fractions peuvent 6tre
ramene'es aux operations sur les nombres entiers.

Elevatiou aux puissances. — Soient / le segment

y

k

y

X

i\

\

t-

/

\

X

\

\

Y'

0

K

h

/^Z,

representant le nombre donne qu'Il s'agit d'elever \ ime
certainc puissance, X'X et Y'Y deux droites perpendi-
culaires se coupant en 0. On porte I'unite de longueur
sur OX en O/q, et le segment / sur OY en O/j ; on joint
/fl/j et on 6l6ve sur cette droite en Z^ une perpendicu-
laire qui rencontre OX' en Zj? puis surcelle-ci en 4 une
nouvelle perpendiculaire qui coupe OY' en ^3,... O/j,

330 APPLICATIONS DIVERSES

04, 0/3,... representent respeclivcment les 1", 2',
3", ... puissances du nombrc donne.

En effet, iino propriete bien conniie du triangle rec-
tang-le pcrmct. d'ecrire

0/0X04= O/I ou 04 = /^.

04x04=04 ou /x 04=/* ou encore 04=^',...

On pourrait aussi pour ce probleme, soit appiiquer la
r^gle de la multiplication 5. ce cas particulier, soit uti-
liser les precedes que nous indiquerons au § 3 pour
determiner les termes d'une progression g^ometrique
dont on connait les deux premiers (ici 1 et /).

Extraction de la racine carree. — On pent indiquer
plusieurs procedes pour cette operation (ia recherche
graphique des racines d'un degre superieur au second
n'est pas possible, si Ton n'emploie que la regie et le
compas).

1° Construction d'une moyenne proportionnelle. —II suffit
de construire uue moyenne pro-
portionnelle !/• entre le segment
unit6 01 et le segment 1/ repr^-
sentant le nombre donn^ N dont
11 s'agit de determiner la racine
carree.
Lorsque N est un pen 61ev^, ceproc^de n'est pas su-
sceptible d'une grande exactitude. Toutefois, si N est
decomposable en deux facteurs a et b dont le rapport
soit dans des limites acceptables, \/N s'obtient encore
avec assez de precision par la construction d'une moyenne
proportionnelle entre a et b.

2° Emploi du theoreme de Pythagore. — Nous avons d^ja
rappeld (!'* Partib, Chap. 3, § 2) le theoreme suivant

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

331

de Fermat : Tout nombre entier est soit carre, soil com-
pose de 2, 3 ou 4 carres au plus.

Etant donne un nombre entier quelconque, il est done
toujours possible de le decomposer en carres ; il en r6-
sulte qu'on pourra determiner sa racine par Tapplica-
tion successive du thdoreme de Pythagore. On a, par
exemple, 33 = 1- -f- 3- -|- o- ; on en deduit la construction

ci-dessous (JUj. a) qui donne grapliiquenient y/33.

o 1 '«•

0 1

Fie

Fis. b.

II pent etre, dans certains cas, plus pratique de con-
siderer le nombre comme une difl'drence ou une somme
algebrique de carres. Ainsi, on a

28 = 12-h3'--f-3^-f-3^

2^ + 2^-f-2^ + 4*

= l^-l-r-4-l*-|-5«

et aussi 28 = 8-— 6- ; il est pre'f^rable ici d'employer la
derni^re decomposition: v/28 est ainsi le c6t6 d'un
triangle rectangle dont 8 est I'hypotenuse et 6 I'autre
c6td. On pent mftme donner, pour un nombre impair
quelconque 2rt+l, une solution generale : on a en
effet, dans ce cas, 2a+l = («+l)^ — a^.

Enfin, I'emploi du theor^me de Pythagore permet de
dresser une sorte de table graphique des racines carries
de la suite naturelle des nombres ; les racines des nom-
bres 4, 9, 16,... fournissent une verification facile. La

332

APPLICATIONS DIVERSES

figure b donne les premiers (Elements d'une pareille
table.

BIBLIOGRAPHIE

Descartes. — Giomitrie. Ed. franc. Paris, 1726, in-12,

Maurice Levt. — La Siaiique grap/iique. Paris, 1874, 2 vol. in-8».

§ 2. — Resolution des problemes num^riques.

Proc6d6s arabes. — Nous aliens donner quelques
exemples, d'apres Mohammed ben Moussa Al KhArizmi,
de I'application de la Geometric au Calcul algebrique
chez les Arabes (*). Lesproced6s de I'auteur musulman
ddcoulent en partio des solutions g(^nerales donn^es
par Euclide en raisonnant non pas sur des nombres,
mais sur des grandeurs geom(5triqucs.

I. Trouver iin noinhre dont le carre, plus le decuple,
fasse 39. — Al Kharizmi d^signe
par radix on res le nombre in-
connu, par census son carr^.
Nous simplifierons cette termi-
nologie en represenlant, confor-
mement k I'usage actuel, le
nombre par j:, de sorte que nous
au rons a' -f- 1 0.r = 39.

K

"A

— %-

M*" ~ N

J

L

Fig, a. 1" PR0cfiD6 (Al KhArizmi).

— Supposons x"- represents par

le carre ABGD; prenons sur les prolongements de

ses c6tes les segments BJ, CO, ... egaux entre eux et a

(') II s'agit en somme de determiner gcomctriquement les solutions
positives de requation du second degrc dans les trois sciils cas possibles
x^ + px = q, x^ ■+ q = px, x^ = p» -}- g, p et g etant des nombres posi-

tifs.

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

333

10

-7-' puis construisons les rectangles BJLC, GOND,....

La figure entiere represenlera x'-hiOx d.ont la valeur
est 39; si Ton y ajoutc les 4 pelits carres en pointille

valant ensemble 4 x( — ) =25, on obticnt le grand

€arr6 EHPM dont la valeur est 39 + 25 = 64, et dont
le cote est par consequent 8. AinsI AB ou a: = 1.1 — 2BJ

;r=8 2x — = 3. Le nornbre cberche est done 3.

2" PROCiiDi!; (Al Khauizmi. — Caique sur Euclidk. Elc-

niojiis. Li V res II, G ct
* '^ B...X....D

FiK. 6.

YI, 29). — Soiont
ABHK un rectangle de
cotes 10et./etBDMH
un carre de C(jte ,r :
le rectangle ADMK a
ainsi pour valenr

^--f-lO^ou 39.

G 6tant le milieu de
10

AB, nous construisons le carre GDFE sur GD = j;-}-
Ona

2

carre GF = carr6 LG -f- rect. HF -\- reel. GM

:=: carre LG -f- rect. AM,

car les deux rectangles AL et HFsont equivalents. Par
suite,

carre GF := (^' + 39 = 64.

10

BD oua; = 8 — — = 3.
2

Done GD = 8 et

En rdsum^, on voitque les deux procedes ci dessus

334 APPLICATIONS DIVERSES

reviennent, pour le cas general ou Vonsix^-i-px^=q,
kconstruire un carre EHPM (fig. a) ou GDFE (fig. b)

d'aire (x-h^\ =s--f-5'; on n'a plus ensuite pour

Ki)='

trouver x q\ik retrancher — du c6te du carr^ ainsi
conslruit.

II. Trouver un nomhre dont le carre au^nente de 1\
soil egal a 10 fois ce nonibre. — Nous nous contenterons
d'indiquer le precede qui resultcrait de I'application a
ce cas parliculier de la solution generale donn^e par

EucLiDE {Elements^ Livrcs-
II, 5 et VI, 28) ; la construc-
tion d'AL Kharizmi, bien
qu'un peu plus compliquec,.
est au fond la m6me.

On a ici .r'-l-21 =10r.
Soit ABHK un rectangle
de coles 10 et x et BDMll
un carre de c6t^ x : le rec-
tangle ADMK a ainsi pour valeur 21. C 6tant le milieu
de AB, nous construisons le carre CBGE sur GB ; on

10
forme ainsi le caiT<5 LMFE, de cdte LM = — x. On a

carre LF =: carr^ GG — rect. GM — rect. DG

s: carre GG — rect. AM,.

carles deux rectangles AL et DG sont equivalents. Par
suite,

carrdLF-l^yV — 21=4.
Done LM = 2 et BD ou a: = ^ — 2 = 3.

Nous avons implicitementadmis dans la construction

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

33^

iO

pr6c^denle a;< — ; en faisant I'hypoth^se contraire,

a:> — , qui n'a pas ele consideree par Al Khflrizmi,

nous allons montrer quo
le probleme admet une se-
conde solution. La con-
slriiclion est analogue u
la precedenle : on obtient
le carre' FELM de c6t6

mL = x — —. On a

carr^ FL -: reef . GL — rect. GM -: reel. DE — rect. GM

=: carre AE — rect. AM.
II en r^sulte

carre I L = ( —
2

Done ML = 2 et BD ou x

21=4.
10

2

+ 2 = 7.

Le procede indiqud revient done, dans le cas general
x--{-q=px, a former un carre LMFE dont I'alre ait

pour expression dans la premiere hypotii(^se | -^ — x

= ^ fj, et dans la seconde (x — ^

^— ^. On
4

volt aisement que pour que la construction soit possible il

faut qu'on ait ^- ^Q-

4

in. Troiive/' tm notnbre dont le carri soit igal au
triple de ce nomhre plus 4. — On a ici a:' = 3x-}-4 et
necessairement a;>3. La construction est toujours la
m^me ; elle est encore cette fois un peu plus simple que

336 APPLICATIONS DIVERSES

3elle d'AL Kharizmi. On obtientle carre FELM de cole
ML = 2: — 3/2. On a

carre FL :-: reel. FK + red. GL = reel. FK + rect. DE

:=: caire AE 4- rect. AM,

B d'ou

carreFL==f|y-f-4 = ^

Done

ML=r:i

^ ct BD oil x = — \-

Dans ]e cas general x"- = px -\- (j , le precede revient

a former un carre FELM d'aire Ix — ^-\ =:J^-~\-q

V 2/ 4 ^

Precedes japonais. — Les Japonais, avanl I'mlro-
duction dans leur pays de la science europeenne, se
servaient frequemment de figures g'eometriques pour
resoudre les problenies numeriques. Ces derniers 6taient
partages en trois types : problemes correspondant a
notre regie de trois, partages, problemes des cxces ct
des d^fauls. Nous allons donner un exemple dechacun
<le ces types.

L 3 personnes T'ecoivent ensemble 36 hous d'argent^
coinhien de bous recei>ront\^ personnes ?

Admeltons que les 36 bous des 3 personnes soient
rcprescntes par le rectangle ABGD(/?^. a). Si Ton prend

AH :=——, le rectangle ABGH sera la part d'une per-

sonne. De m6me si Ton prend AE=: lOAB, le rectangle
AEFII rcprcsentera la part de 10 personnes. Or AEFH

APPLICATIONS DE LA GKOMETRIE AU CALCUL

337

est le tiers de AEID qui est equivalent a 10 ABGD,
c'est-a-dire a 10 x 36 bous. Le nombre cherche est done
le 1/3 de 10x30 : c'est 120.

D c

A B

Nombre
de coqs

Fig. 0. Fig. h.

II. On a un certain nomhre de lief res et de coqs; le
nombre de lews teles est egal a 100 et le nombre de leiirs
pieds a 284. On demande le nombre des liwres et le
nombre des coqs.

Le nombre total de pieds, 284,est]asomme des pro-

duits du nombre de li^vres par 4 (rectangle ABGD)

(fig. b) et du nombre do coqs par 2 (rectangle BEFG) :

284 peut done etre represente par la figure form ee des

rectangles ABGD et BEFG. Si nous retranchons de cette

figure le rectangle haclmre AEFH representant le pro-

duit du nombre total de tStes par le nombre des pieds

d'un coq (100x2 = 200), le rectangle non hachure

HGGD (284 — 200 = 84) designera le produit du nombre

de lievres par la difference 2 entre les nombres des pieds

d'un li^vre et d'un coq. On aura done le nombre de

S4
lievres en divisant 84 par 2: il y a par suite ^ = 42

lievres et 1 00 — 42 = S8 coqs.

III. Un ojicier de police passant sur un pont entend
line bande de voleurs quij sous lepont, prochde an partage
de quelques pieces de soie voices^ « Si nous donnons a
chacun 1 pieces, il en restera 6, et si nous voulions en

FouRRET. — Curioi. g^om, 22

338

APPLICATIONS DIVER SES

rectangle A'H'G'D' tel que A'D'

prendre chacun 8, Hen manquerait 9. » Uofficier peui-il
deviner le nom bre des voleurs et le nomhre des pieces volees P

Soit ABGD un rectangle dont le c6td AD reprdsente

le nombre inconnu des
voleurs et dont le c6t6
AU est egal a 7 ; ac-
colons-lui le rectangle
IJIIEF de coles BH = 1
et HE = 6. La figure
AHEFCD represente
alors le nomhre total
de pieces de sole dans
la premiere hypothese.
Soit main tenant le
=:AD, Air = AH =±8;
si nous en retranchons le rectangle F'E'G'C de c6t6s
F'E' = 1 et E'G' = 9, le polygone A'H'E'F'G'D' figure
encore le nombre total de pieces de sole, dans la se-
conde hypothese.

Les figures AHEFCD et A'H'E'F'G'D', qui representent
le meme nombre et dans lesquelles on a AHr=A'H',
FE = F'E'. GD = C'D' et AD=:A'D', sont necessaire-
ment dgales ; par suite

FC = F'C' = 9 et AD = HE-}-FC = 6+9=15.

Ainsi le nombre des voleurs est 15 et le nombre de
pieces voices 15x74-6=111.

Proc6des divers. — I. Extraire la racine carree de
4500 (Th^on, Commentaire sur VAlmageste de Plolemee,
4*8.). — Nous supposerons comme Thdon que les unites
de4500appartiennent ausyst^me sexagesimal. Chacune
de ces unites ou degres ^tant divis^e en 60 unites se-
condaires ou minutes, chacune de celles-ci sera h. son
tour divis^e en 60 secondes, etc.

APPMCATIONS DE LA GKOMETRIE AU CALCUL

339

€7'

^0
I

G I.QI)

Le carre entier le plus rapproche par dt^faut de 4500
est 4489, doiit la lacine est 67. Soient ABGD et AEFG
deux carr^s reprdsentaiit respectiveracnt 4500 et 4489.
Si Ton retranchele second du premier, la figure restante
a pour valeur 11 unites ou 660'; celte figure, appelee
par les Grecs gnomon, se compose de deux rectangles
egauxESelGK etd'un carre FC. La hauteur communede

ces rectangles (qui estaussi
g s r celle du gnomon et le c6t6

du carre) s'obtiendra ap-
proximalivement en divi-
sant660'parle double de la
baseAEou 67»x 2 = 134":
on obtient ainsi 4' pour
quotient. Les deux rectan-
gles correspondant a cette
valeur approchee de la
hauteur du gnomon sont
EI, GK ; I'aire de chacun
d'eux est 67" x 4' = 268', soil ensemble 536', etle carre
comple'mentaire FJ a pour valeur 4'x4' = 16". Done
si Ton adoptait pour valeur approchee de la racine cher-
ch^e le cote AH du grand carr^ AJ, le reste serai t
660' — 536' — 1 6" = 7424'.

Si Ton admet a nouveau que 7424' represente un
gnomon, on obtiendra approximativement sa hauteur
en divisant 7424' par le double de AH ou par 2 x 67° 4'
= 134° 8': le quotient est 55". L'aire de chacun des
deux rectangles correspondants HN et LP est 67" 4'
X 55" = 3688" 40"', soit ensemble 7377" 20'"; celle du carre
compl^mentaire JO est 55"x55" = 302o'\ Si I'on adop-
tait pour valeur approchee de la racine le c6t^ AM du
grand carre' AO, le reste serait 7424" — 7377" 20"
— 3025'^ = 45"49"'35'\
On pourrait raisonner sur ce dernier reste comme

340

APPMCATIONS DIVRRSES

sur les pr^c^dents et obtenir unt; plus grande approxi-
mation. Si I'on s'en tient au rosuJLal acLucl, la racine

4^ 55

60 6(f'

est 67»4'55" = 67

19

11. Les — d'un nombre sont eqaux a sa racine carrde :

quel est ce nombre? (Leonard de Pise, Libo^ Abaci,
1202).

Soienl ab le nombre donne, at I'unite de longueur;
construisons le rectangle abdt sur
ab et at, et le carr^ aekz sur

ae = — ab com me cote. On doit
20 _

avoir d'apr6s I'enonce ae = \/ab

2

ou ae = ab ; on en deduit
carr^ aekz :=: rect. abdt^ ou en
retranchant de part et d'au-
tre le rectangle commun aeit,
rect. tikz =: rect. ebdi\ cette dcr-

niere relation donne ti x ki = ei x di ou — . = f- On

di ki

ddduit de cette proportion-; -=z > c'est Si-diie

ti -h di ei H- ki

ti ei ae 1 .

-^ = — ou encore — - = — • ;
td ek ab ek

Ci^ = -— et I'aire du carre aekz qui represente le nom-
19

t X

. ae 19 J

mais — -r=-— , done

ab 20

bre cherche est

20

400

^19/ 361

Comme le remarque Leonard de Pise, puisque ah > ae^
on doit avoir ae>l ou az"^ at et par consequent /
se trouve entre a et z,

III. Trouver trois nomhres tels que la somme des deux
premiers soil SO, celle des deux derniers 70, celle du der-

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AV CALCUL

:ui

B ^

nier et dn premier 60 (D'apres BeiNedetti, Speculationes

diversx, 1585).

Soil ABC le triangle do
coles 50, 70 et 00; si nous
Iraqons le cercle 0 inscrit
a ABC, les distances des
sommets du triangle aux
points de contact represen-
teront les nombres cher-
clies X, J, z.

On voit immediatement
sur la figure ci-contre que

2x

d'ou

x =

AB

50^

AC — BC,

^0 — 70 ^5Q
2

De meme

rjO -f- 70 — fiO

Z r=

60

2
70

= 30,

i^ = 40.

Les problfemes que nous allons maintenant presenter
ont ete resolus algebriqucment par leurs auteurs. Nous
allons exposer une solution geometrique du premier ;
quant aux autres, nous nous contenterons d'en donner
r^nonc^, laissant h nos lecteurs le soin d'en trouver la
solution, tout a fait analogue a celle qui suitQ.

I. Un bambou mesurant 32 coudees et s'elevant sur un
terrain plat est brise en un point par la force du vent ; son

(') La simplicile de la resolution geometrique de ces problemes
s'explique par ce fait que I'equation du second degre i laquelle on est
conduit se reduit a une equation du premier degre*

342 APPLICATIONS DIVERSES

extremite vient rencontrer la terre a 16 condees [de son
pied] ; dis^ mathematicien, a conihien de coudees du pied
il a ete brise ? (Bhaskara, Lilduati et Vija Ganita, 12* S.).
Soient AR la hauteur du bambou, C le pointou il aete
brise. Afin de simplifier le langage, nous designerons
par X la distance cherchee AC. Le triangle rectangle
ACB' donne (/?^'. a)

ou

CH— AC -f-AIV

(32 — :t)- = ^--f-lfi'.

(0

Conslruisons mainleiiant (Jig. b) un carre MNOP de

32

32- X

'^<'.

.:f

'^/}wwwfffr^fm^{(^/ M ■ S,......r ...,*?' x, i 32 .

Fig. a. Fi','. h. V\z. e.

c6t^ 32 — X, dans lequel nous inscrivonsle carrdSNQR
de c6te x. D'apres la relation (1), lapartie non ombr^e
du carre MNOP repr^sente 16'; or celte surface se
compose des rectangles MSRT et TQOP de m6me base
MS = QO = 32 — 2x et dont les hauteurs sont x et
32 — X. Ces deux rectangles places bout h bout ont done
pour base 32 — 2x et pour hauteur 32. Ainsi le rectan-
gle (32 — 2^)x32 a. m6me aire que le carr6 16xl&
ou que le rectangle 8 X 32 ; les bases 32 — 2x et 8 sont
done n^cessairement dgales et on voit imm^diatement
sur la fig. c que la longueur 2x est egale a 32 — 8 = 24^
c'est-a-dire qu'on a ^ = 12.

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

343

II. A la surface d'un lac oh des flamants et des grues se
montrent en grand nombre, emerge
Vextremite d'une tige de lotus qu'on
■xpercoit a une main au-dessus de
I'eau, Sous V action du venty la tige
se penche graduellement et est sub-
mergee a la distance de 2 coudees.
Calcule vivement, mathematicieHf la
profondeur de I'eau [une main equi—
vaut a une demi-coudee] (Bhas-
KARA, Ltldvati et Vija Ganita^.

13

R^ponse:—*

III. D'un arhre haut de 100 coudees un sin^e est des-
cendu et se rend a un elang distant de 200 coudees, pen-
dant quun autre singe, sautant d'une certaine hauteur au-
dessus de Varbre, se rend rapidement au meme point par
la diagonale. Si Vespace parcouru par les deux singes
est le meme, dis-moi (>ii>ement, homme savant, la hauteur
du saut, si tu as appris a calculer rapidement (Bhaskara^
Lildvati et Vija GanitcL) {fig. e)

Reponse:SO. [a; = 150.]

Fij'. e.

Fig. t-

IV. Deux tours elecees I'uhe de 30 pas, V autre de 40,
sont distantes de 50 pas ; entre les deux se troupe une fon-
taine vers le centre de taquelle deux oiseaux descendant

344 APPu85jIONS DIVERSES

des sommels des deux tours se dirisent du mime vol et
parviennent dansle meme lemps ; quellessont les distances
horizontales du centre de la fontaine aux deux tours?
(L:fiONAiU) DE Pise, Liher Abaci, 1202) (Jig. /).

R^ponse:32etl8.

BIBLIOGRAPIIIE

Mohammed ben Musa. — Algebra. Edition Rosen. Londrcs, !831, in-8*.
Berson. — Sur I'emploi des figures geomelriqxies par les Japonais pour la

resolution des problemes d'ariihmelique. Mt'ni. de I'Ac. des Inscr. et

Bel. Let. de Toulouse, 1891.

§ 3. — Sommation des progressions g^om^triques.

Cas general. — Problenie. — Les deux premiers ter-
mes d'une progression geometrique quelconque etant don-
nes, determiner les ternies suivants :

l''^Solution(ToRiucELLT, ^««r//Y7////vT^fl'/-^Z>oAT?. Florence,

1644).

Inscrivons le premier

Fig. a.

On a en effet, par exemple,

terms AB' entre les cotes d'un angle
quelconque ZOY ; puis sur B'A por-
tons une longueur B'l egale au se-
cond terms et menons par I une
paraliele a OY qui rencontre OZ en
B. Menons enfin successivement les
paralleles BC a AB', CG'a BB', CD'
a BC et ainsi ds suits. BC r= IB'
reprdsente Is second terms, et CD',
DE', ... les termes suivants de la
progression.

BC

OB

OC

OC CD'

Ali

t.A

yju

OiJ JiC

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

345

Alnsi

AB' BC*

Autrement dit, le rapport de deux segments paral-
leles consecutifs est constant : ces segments foi ment

done une progression georaetrlque de raison —— -.

2« Solution (D'apres G. Darzens, /*'' de Longchamps,
1893). — Portons sur une droite AR {fig^h) un segment
AB' representant le premier terme, puis dans une direc-
tion quelconque tragons un segment B'B egal au second
terme ; par B menons BC parallele ci AB' et egal a
B'B. Menons enfin les droites AB et B'C et inscrivons
entre elles des segments C'C, CD', D'D,... successive-
ment parallelesa B'B etBC: les longueurs CD':=CG',
DE' = DD',... representent les termes suivants de la
progression. On a en effet, par exemple,

BB'^CC;
AB' BC'

ou

BC; ^ CD'
AB'^BC'

S. T/

B' R

Fig. e.

3« Solution. — Portons sur une droite AR (fig, c) ua
segment AB' representant le premier lerme; en B' ele-

346 APPLICATIONS DIVERSES

vons sur AR une perpendiculaire B'T et du mt^me point
comme centre, avecun rayon B'B egal au second terme,
ddcrivons un arc de cercle auquel nous menons par A la
tangente AS. Par le point de tangence B abaissons BC
perpendiculaire sur B'T, puis C'G perpendiculaire sur
AS, CD' perpendiculaire sur B'T, et ainsi de suite. Les
segments consdcutifs AB', B'B, BC, G'C, CD',... forment
une progression g^ometrique.

Les triangles rectangles semblables ABB', B'C'B,
BCC, C'D'C,... donnent en effet

BB' BC CC CD'

AB' BB' BC CC

Sommalion. — La resolution du probI§me prece-
dent va nous permeltre de determiner immediatement
la somme d'un nombre quelconque de termes d'une
progression geometrique quelconque.

l«e et 2« Solutions (Torricelli et G. Darzens). — Les

termes de la progression geometrique etanl representes
par les segments parall^les AB', BC, CD',... inscrits
entreles c6tes d'un certain angle YOZ, si nous prolon-
geons les droites CC, DD', EE', ... jusqu'^ leur ren-

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

347

contre avecAB'en C^ D", E", ..., il est evident que AC",
AD , AE", ... donnent lasomme des2, 3, 4, ... premiers
termes de la progression.

Si Ton suppose maintenant la progression decrois-
sante et illimitee, les points B, C, D, E, ... et B', C,
D', E', ... tendent vers le sommet 0 et la sonime des
termes a pour limite le segment AO" determine par la
parallele 00" h. BB' menee par 0. On peut d^duire fa-
cilement de ce trace I'expression numerique de la
somme cherchee S dans le cas consid^re, connaissant
le premier terme a et la raison q de la progression:

d'ou

BC
AB'

_0B_
OA

S — -

O'B'
0"A

a

_S

— a

S

i-q

S"- Solution. — D'apr^s le trace indique au probl^me
precedent, AB' etant le premier terme de la progression,
AB'O dtant droit et AO mene de telle sorle que la per-

pendiculaire B'B abais-
see de B' sur cette droite
soit ^gale au 2* terme,
les segments BC, G'C,
CD', D'D, DE', E'E, ...
perpendiculaires suc-
cessivement a B'O et AO
sont les termes suivants
de la progression. Soit
maintenant 0" le point de rencontre de AB' et de la
perpendiculaire en 0 ^ AO.

Les sommes successives des termes repr^sent^s par
les segments paralleles a AO" sonl donn^es sur AO" en
AB', AG", AD", AE", ... ; celles des termes reprdsent^s

D" E" 0"

348

Al'PLICATIONS DIVERSES

D,

par les segments parallelcs a OO'sontdonn^es siir 00'
en 0"G", 0"D", 0"E", ...

Si la progression est decroissante et illimit^e, la
somme de tous los termes est ainsi representee par
celle de riiypoteniise AO" et du c6t6 00" du triangle
rectangle AOO".

Cas parliciiliers. — Sommatlon de la progression

111

indefinie — • — . — Nous nous contenterons d'in-

2 4 8

diquer des solutions differentos de cclles qui resulte-

raient de I'application des proctsdes donnt's ci-dessus

pour une progression geometrique quelconque.

Ire Solution (EucLiDE, 3" s. av. J.-C). — Le geo-

nielrc grec a resolu cclte question

dans ses Elements (1, liv. X) sous la

forme suivante : Si d'une i^randeur

donnee AB on retranche tine partic

HB e^ale a la moilie de AB, si du

reste AH on retranche une partie KH

egale a la moitie de AH, et ainsi de

suite, on finira par trouver un reste

qui sera inferieur a une grandeur

donnee C,

ci Ei EnefTet, en portant sur une droite

indefinie la grandeur G un nombrc

suffisant de fois en DF, FG, GE, on finit par obtenir

une grandeur DE >• AB ; supposons maintenant AB

divise conformement h. I'enonee. On a

AH = ^^j^<^<DG.

AH DG^C.

2 2

A,

K.

H..

Bi

G-

Ainsi

AK < G.

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL

349

Cette proposition pcut encore s'enoncer ainsi: La

AB AB

difference entre la grandeur AB et la somme ~^ + -t~

\B

-^- f-- • • est infcrieure a toute qitantite' donnee C.

8
EUe s'exprimerait aiijourd'hui dc la maniere suivante:

• est AB.

r r : J J AB , AB

La limite de la somme - - + — —
2 4

8

Si nous supposons AB egale k I'unite de longueur^
on voit que la somme des termes de la progression

— . — . — est 1.

2 4 8

2e Solution. — Soit ABCD un carrerepresenfantrunit6
de surface. Construisons le
carre A'B'C'D' d aire 1/2 dont
les sommets sont les milieux
des cotes de ABCD; puis de
la merae maniere, le carre
A"B C"D", dont Faire est la
moifie de celle de A'B'C'D' ou
1/4 ; puis le carre A'"B'"G'"D"'
d'aire 1/8, ...

Le premier terme 1/2 de la
progression consid6ree peut
6tre reprosento par les 4 triangles hachures du pour-
tour de ABCD, le second terme 1/4 par les 4 trian-
gles pointilles du pourtour de A'B'C'D', le troisi^me
terme 1/8 par les 4 triangles a hachures croisees du
pourtour de A"B"C"D"... En continuant cette construc-
tion, on voit que la partie ombree aboutit au point 0,
centre de ABCD, c'est-a-dire qu'elle a pour limite I'aire
de ABCD ou 1. On a done bien

1 + 1/24-1/4+1/8 + ... = !.

350 APPLICATIONS DIVERSES

3« Solution. — Soit ABC un triangle rectangle isocele
dont nous prendrons I'aire pour unite. Abaissons du

sommet A de Tangle droit
une perpendiculaire AD
surl'hypot^nusc BG, puis
de D une perpendiculaire
sur AFi, et ainsi de suite.
Le.s triangles DAG, EAD,
FED, ... successivement
obtenus represententres-
pectivement i/2, 1/4,
i/8, ... ; la somme des aires de tous ccs triangles a evi-
demment pour limite I'aire de ABC, c'est-Si-dire 1.

Sommation de la progression indefiiiie 1 • -r * it:

16

l""* Solution. — ARCUiAiftDE (^Quadrature de laparabole,
prop. 23, 3*s. av. J.-G.)ra pre-
sentee sous la forme ci-apres :
Etant donne un nombre quel-
conque de grandeurs A, B, C,
D, E telles que chacune d'elles
contient 4 fois celle qui la suit
immediatement ^ la somme de ces
grandeurs augmentee du 1/3 de
la plus petite E est egale aux i/3
de la plus grande A.
Soient U, X, Y, Z d'autres grandeurs qui soient res-
pectivement le 1/3 de B, C, D, E.

On a B-f-U = |A + lAx- = l/3A;

4 4 3

de meme G-f-X = l/3B,
Dh-Y=1/3C,
E-|-Z=1/3D.

A

B

C |d[E

APPLICATIONS DE LA GEOMliTRIE AU CALCUL

35 i

Par suite

(B-+-C-hD-4-E)H-(U-t-X-f-Y-hZ)

= i/3(A-f-B-f-C + D).

Mais U-l-X-hY==l/3(B + C + D);

done B-|-C-hD4-E + Z = l/3A.

F

Ajoulant A de part ct d'aulro «'l romplagant Z par-^,

o

A + B-i-C + D-{-E + l^ = 4/3 A. C.q.f.d.

o

Aujoiird'hui, on conclurait de cc qui precede que si
le noinbre des grandeurs donnees A, B, C, ... augmente in'
defininient, la derniere et son tiers tendent vers zero et la
somme de ces grandeurs tend vers 4/3 A. Si I'on prend
A pour unit^, on a done

1+1-+4+

= V3.

II serait d'ailleurs facile de generalisercclte demons-
tration et de I'appliquer h. une progression decroissante
quelconque.

2* Solution. — Solent ABC un triangle d'aire ^gale a

Tunite, D et E les milieux
de ACetAB, etBD lam6-
diane relative au sommet
B. Joignons D et E, me-
nons EF parallMe h. AC
jusqu'a sa rencontre en
F avec BD, puis GF pa-
rallele a BC jusqu'^ sa ren-
contre en G avec AB, et
ainsi de suite.

On voit immddiatement que les aires des triangles
ombres ADE, EFG, GHI ont respectivenient pour valeur

352 APPLICATIONS DIVERSKS

111

T ' 7;r ' TTT » • • • ; leur somme est c'^ale a 1/3, car ADE
4 16 64

est le 1/3 du trap&ze AEKC, EFG est le 1/3 du trapeze

EKLG . . . et par suite ADE -h EFG H est le 1/3 de

ABC, c'est-a-dire de 1.

On a done t + IT + ft
4 1() 64

et

1

16 64

= 1/3

= 4/3.

Probleme. — Une cir conference est difise'e en un cer-
tain nombre de parties egales. Par les points de division
A, M, N, P, Q, ... on mens des rayons et par I'un de ces
points, A par exeniple, on abaisse une perpendiculaire AB'

sur le rayon OM le
plus proche, puis t/eB'
on abaisse une nou-
velle perpendiculaire
B'Z* sur le rayon sui-
vant, et ainsi de suite
in defin im ent. On de-
ma nde quelle est la
somme de toutes ces
per pendicul aires (D'a-
pres le 7°' de Vuibert,
1878-79).

Abaissons B'B per-
pendiculaire sur AO^
puis BC perpendiculaire sur OM, et ainsi de suite ; on voit
immediatement que B'B^rB'Z*, BG' = ^c', G'G=c'r,...
Ainsi le probl^me revient a trouver la somme des per-
pendiculaires AB', B'B, BC', C'C, ... aux cdtes d'un angle
connu AOB'. Nous allons voir quel resultat on obtient
dans les cas les plus simples en appliquant U 3* Solution

Fij

AI'l'LICATlONS J)E LA GKOMKTKIE AU CALCUL 353

donnce pour la sommation d'une progression geom6-
Irique quclconque et en supposaril qu(; le rayon AG soit
pris pour unite de longueur.

AOB' = 60" (Hcxaf/ortc, fiq. b.) — Dans le triangle
AGO" on a AG = 1 et comme (?— . GO", A = 30" et

AG" = 2G0". GnendeduitAO" = ^et 00" = ^.

3 3

La somme clierche'e a ainsi pour expression OG" -|- AG"

= V3: elle est done egale au cole du triangle equila-
te'ral inscrit.

De plus, comme AB' = ^-, BB' = ^, BC'=:^...,

2 4 8 '

B' 0"

Fi«. b.

cette construction fournll un procdde geometrique pour
sommer la progression indclinimenl decroissante

s/l v5 Vl

2 • 4 * 8 •••

de raison t/2 on, ce qui rcvienl au meme, pour sommer
la progression

i i ^

2 * 4 ' 8 ' * '

AGB' = 45'> {Octogone, fig. c). — Gn a AG = GG'
= \ , AG" = v/2 . La somme cherchde GG" + AG"
= 1 +\/2 est done ^gale au rayon augmente du cote
du carre inscrit.

FocuiiEY, — Curios, geom. 23

354

APPLICATIONS DIVERSES

' = ^, BB' = i, BC' = V^...,

Comme AB = ^ , aii' = — , aw = ^ — ■ . , ce pro-

^ ^ 4-

cdde revient a la sommation geometrique de la progres-
sion

^ i v/1

2 * 2 ' 4 •

de raison ^ — .
2

AOB' = 30" (Dodecagnne, fig. oT). — On a AO == 1 et
commeA = 60% AO" = 2AO = 2; d'ou 00" = \/'6. La

sommc cherch6e AO" + 00" = 2 H- y/S est done egale au

diametre augmenle
dii cold dii triangle
equiiatdral inscrit.
On somme ainsi
geometriquementla
progression

Fig. d.

4

de raison

2

§4.

Sommation de series.

I. Sonime des n premiers nonibres. — Considd-
rons la figure AEFD (^/ig. a) formee par Fadjonclion de
rectangles composes eux-memes de 1 ou 2 ou 3... ou n
carrds egaux, chacun de ces carres representant une
unitd. Cette figure AEFD repr^sentera alors la somme
cherchde S ; si nous lui accolons la figure dgalc EBCF,
nous obtiendrons le rectangle ABCD qui conliendra

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AV CALCUL 355

/?(//-hl) canes et qui aura pour valeur 2S. On en
ddduit

2 '

■*■

J
•4-

■2

1

■n-

•n-

"3

•2-

1

"Pi

7i\

Fi" a.

AGIO' A G C G" D

Fk'. 6. Fi- c.

II. Somnie ties n premiers nombres impairs. —

Considerons les carres AEFG et AE'F'G' dont les cdt^s
representent respectivement AetA:-f-l unites (fig. /»).
La diffdrence entre ces deux carres est donnee par la
figure ombr^e EE'F'G'GF qui, nous le savons (§ 2),
(§tait appelee gnomon chez les Grecs ; cette figure est
formee de deux rectangles d'aire 2A- et d'un carrd d'aire
1. Onpassera done du carr6 k^ au carre suivant {k-\-\y
en ajoulant au premier un gnomon repr^senlant le
nombre impair 2/t-|-l.

On en deduit qu'en ajoutant au carre AEFG de va-
leur 1 (Jig. c) [gnomon se reduisant a un carr6] un gno-
mon de valeur 2-f-l ou 3, on obtient le carre AE'F'G'
de valeur (l-f-l)- ou 2^; en ajoutant a AE'F'G' un gno-
mon de valeur 2x2 + 1 ou 5, on obtient le carre
AE"F"G" de valeur (2 + 1)' ou 3^.. La somme des «
premiers gnomons ainsi accoles ou, ce qui revient au
meme, la somme des n premiers nombres impairs est
done representee par un carre de c6t^ n dont la va-
leur est, par suite, «*. Ainsi la somme des n premiers
nombres impairs est egale au carre de leur nombre..

356

APPLICATIONS DIVERSES

Ce procedc g(5ometrique pour determiner la somme
des n premiers nombres impairs est dti aux Pytiiago-
riciens (Aristote, Physi<jue).

III. Soninie des n premiers produits des nombres
pris deux a deux dans leur ordre naturel (A. Rigour).
On a ici, S designant la somme cherchee,

S = 1.2 + 2. 34-3. 4 H [-<n-hl),

<l'oij

S_1.2 2.3 3. A

2~" 2 2 2

n{n-\-\)
2

Coltc dcrniere relation pent s'ecrirc, d'apres I,

-^=l-f-(l+2) + (l+2-f-3)-f-
+ (l-H2H-.3-

71).

(1)

Considcions lo rectangle ABCD dont les cotes

B

C

2 ; 3 i 1 n

F

2 13!

nin-^\j

2 : 3

2

E

1.2

2.3

3.4

A

\

2

3

It

D

AH ct AD representcnt respccHvement ?2-f-2 et
1 4- 2 -(- o 4- • • • 4- ;i = ^ — ^ unite;

<langle a pour valeur K' ' + 0 (^ ±2) .

1 4-2 4-3 4- ••• 4- ;i=:-^^-lt-J unites; I'aire du rec-

Laligne brisee EF parlage ABCD en deux series de
rectangles : Tune (AEFD divise en bandes verticales)
-a pour expression 1.2 4- 2. 3 4- 3 .44-... 4-«(/i4-l)=:S

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL 35T

et I'aulre (KUCF divlse en banJes horizon lales)^

H-(H-2)-h('l-f-2-h3) + ...

H-(1+2H H/?) = | d'apres (1).

On a done

d'ou

S-f-^ ou 3S^r<n-HL(rM-2)
2 2 2 '

IV. Somnie des carres des n premiers noiiibres.

— Soitle rectangle ABCU dont
les coles AB et AD represen-
tent respecHvement A- et /:-f- I
unites : on pent le considerer
commc forme du carre ABEF
d'airc /r et du rectangle FEGD
d'aire k. On a done

k^ = k{k-]-\) — L

Si dans celte relation on
remplace succcssivement k par 1, 2, 3,... «, ct qu'on
ajoule les resultats obtenus, on a, en d^signant par S la
somme chcrchee et enayant dgard aux resultats I et III

.3

ou encore

g_n(n4-l)(2y?4-l)
~~ 6

V. Soinnic des cubes des n premiers nomhres. —

Soil un carre ABCD de cote 1 -l-2-{-3 -|-- H-/t dans le-
qucl on conslruit d'autrescarrds ayant unsomraet A et

358 APPLICATIONS DIVERSES

deux c6tes AB et AD communs et dont les c6tes res-
pectifs sont 1, 1 + 2, 1 + 2+3.,., Un gnomon quel-
conque B'BGDD'C ainsi determine, de largeur A-, a
pour aire

2 reel. B'BCF — carre' C'ECF = 2k x AD — k\

^(A- + l).

Mais AD = 1+2 + 3 H \-k =

2

B'

I'aire dont il s'agit a done encore pour expression
kXk-{-i) — k^ = k\

Ainsi le gnomon consider^, de largeur k, a pour

valeur k^.

On en ddduit que les gnomons de la figure ci-contre

ont, successivemeiit, pour
valenr 1^ 2^ 3^.. n^ et que
leur somme est represen-
tee par un carre de cote
1 + 2+ 3 + ... +/Z. On
a done cetle proposition re-
marquable : La somme des
cubes des n premiers nom-
bres est egale an carre de la
somme de ces nombres.
A D I^ La demonstration que

nous venons de donner est

due h. un algebriste arabe du commencement du

11* siede, AlkharkhI (Woepgke, Extraits du Fakhri^

Paris, 1853).

Ill
VI. Sommation de la s6rie - — -A 1 f- —

1.2 2.3 3.4

!■•« Solution (BAEHR,^S50C./r«nc.j9./'au«/2c. des sciences,
1877). — ConsideronsunparalieiogrammeABGD dontles
diagonales se coupent en E. Menons par E une paral-
l6le a AB qui coupe BG en E' ; la droite E'D rencontre

B

I

\ C

*
1

c

...Ar....,

3

3

2

Tl2

APPLICATIONS DE LA GEOMETRIE AU CALCUL 359

AG en F ; menons FF' parall^le k AB, joignons F' et

D,etainsidesuite.On

. ^ d'abord ^ = 1/2.

GB
Les triangles sem-
blables E'FG et DFA
donnent ensuite

GF^GE'^,w2
Af AU '

Par suite,

CF' CF ,,„
GB = AG = ^/^-

CC TFT'

On a de meme --— =; 1/4, — — =rl/o, etc. Ainsi
GB ' ' GB ^

.. CE' CF' CG' GH' ,

es rapports successifs —, _, — , .^_...repr^-

sentent les inverses de la suite naturelle des nombres.
On a aussi

ET'
GB

CE' — CF'
GB

FG' CF' — CG'

GB

GB

1
2.3*

J

s'.l'

CP F'F' F'P'
La sommeS des rapports --^, -— -, 77^, ...repr^-

CB LiB Lr>

sente done celle des termes do la serie consideree. On a

e— BE'-f-E'F' + F'G'H _,

^ - GB -^'

Ainsi la somme cherchee est I'unild.

2e Solution (SuNDARA Row, Geometrical exercises in

360 APPLICATIONS DIVEHSES

paper folding . Madras, 1898). — Soitune droite AB aux

extremities de laquelle
nous elevens deux per-
pendiculaires AC et BX
en sens conlraires, la
premiere dtant limitee
en un point quelconque

C. Portons sur BX, en
BD,BE,BF,...1,2,3,...
longueurs egales a AC;
les droiles joignant C a

D, E, F,... rencontrent
ABen D', E', F',... Ona

AD' ,,. AE' ,,,

AF
AB

1/4,...

On achevera comme a la precedente solution.

BIBLIOGRAPHIE

A. RicouR. — Application de la geomdlrie e'lcmentairc a I'arithme'iique.
Mem. d. 1. Soc. d'Agric , Sc. et Arts du Nord. Douai, 1870-72.

§ 5. — Application au calcul des probabilit^s.

Rappelons la definition de la probability d'un evene-
ment.

Si Ton considers une urne contenant S boules dont
2 blanches et 3 noires et si Ton exlrait une boule au
hasard, personnen'h^sitera ^direquil ya2chancessurS
pour que la boule soit blanche, cost a-dire que sur 5 cas
qui peuvent se presenter et qui sont ei^a/e/nent possibles,
ily en a2 favorables a lasortied'une boule blanche. La

APPLICATIONS DE LA GKOMETRIE AU CALCUL

361

prohabilite &Q cet evenementpourradoiic elre representee

2
par-.

D'une faQOn g^nerale, la probabilite d'un evenement
est le rapport du nombre des cas favorables k I'arrivee
de cet ev^nemei)t an nombre tolal des cas qui peuvent
se realiser, tous ies cas etant supposes dgalemenl pos-
sibles.

Problenie I. — On prend an hasard un point M dans
I'interieur d'un triangle et^ni' a teral ABC; quelle est la

pi obabiUle pour que, si de
ce point on abaisse des per-
pendiculaires MAj , MBj ,
MCj sur Ies trois cotes, on
puisse former un triangle
a^ec MAi, MB,, MC, (E. Le-
moine).

Soient A'B'C le triangle
forme enjoignantlesmilieux
des cote's et DE une paral-
lele a AC passant par M, ce
dernier point etant suppose a Finterieur de A'B'C.
D'apres une propriete connue, la somme MAj + MC,
est egale h une hauteur du triangle equilateral BDE,
hauteur qui est necessairement superieure a MBj. On a
done

MB, <MAi + MCi;

de mSme, MA, < MB, + Md,

MC, <MAi-f-MB,.

On remarquera d'ailleurs que si M est situe hors de
A'B'C, par exemple dans BCA',

MB,>MAi-|-MCi.

362 APPLICATIONS DIVERSES

Ainsi la condition necessaire et suflisante pour que
MAi, MBj et MCi puissent former iin triangle est que M
soil situ6 a I'interieur de A'B'C

L'ensemble des cas favorables pent done Hve repr^-

senle par I'aire du triangle A'B'C; Tensenible des cas

possibles, par I'aire du triangle ABC; et la probability

, , , 1 , aire A'B'C . ,,

<;herchee, par le rapport — -. — -—-— = 1/4.

aire ABt<

On peut etendre cette solution a un triangle quel-

<;onque ; c'est d'ailleurs sous cette derniere forme que

M. E. Lemoine a prdsente la question.

Probl^me II. — On donne une barre que l'o?i casse en
5 fragments. ProhahUite j,onr que Con puisse former un
triangle avec ces 3 fragments (E. Lemoine).

Les 3 fragments peuvent 6tre representes par les 3
perpendiculaires abaissees d'un point M situe a I'intd-
rieurd'un triangle equilateralsur les cotes de ce triangle;
on sait en effet que la somme de ces 3 perpendiculaires
est constante et 6gale a la hauteur du triangle.

On est ainsi ramen^ auprobleme precedent etla pro-

babilite cberchee est 1/4.
I

DiBuor.n\piiiE

E. Lemoine. — Bullet, de la Soc, mathem. de France, 1872-73 et 1883.

L. Lalannk. — Assoc, fiane. p. I'avanc. des sciences, 1878.

Rev. T. C. Simmons M. A — Assoc, frang. p. Tavanc. des sciences, 1894.

CHAPITRE II

LE JEU DE CARRELAGE

§ I. — Pr61iminaires.

Le probl&me consiste h recouvrir un plan au jnoyen de
pofygones reguliers convexes, sans ^ides^ duplicatures ou
einpietements.

On peut envisager deux cas correspondant respective-
ment : 1° h des assemblages de polygenes reguliers de
menae type; 2° a des assemblages depolygones reguliers
de types diflfd rents.

La solution du premier cas a die donnee paries Pytha-
goriciens (Introd., § 2), L'dtude du second cas a dt6
ebauch^e dans I'immortel ouvrage de Kepler, VHar-
monique du Monde (1619), oil Ton rencontre la plupart
des figures du present chapitre. La solution de ce der-
nier cas a et6 indiqu^e par M. Badoureau (1881) dans
Fhypothese oil les assemblages sont isoceles; ce sent
ceux dont tous les sommets sont le point de concours
des memes angles et dont on peut obtenir la superposi-
tion par retournement en appliquant dans une certaine
position un polygone sur un polygone egal quelconque.

L'etude des assemblages non isoceles n'a pas encore
etd entreprise, a notre connaissance, d'une mani^re
melhodiquc.

364 APPLICATIONS DIVERSES

Nonibre de polygenes reguliers autour d'un point,

— On ne peut avoir autoiir d'un point plus de 6 poly-
gones reguliers convexes, car le plus petit angle qui
puisse 6trechoisi pourformerun assemblage est celui de
60°= 1/3 dr., correspondant au triangle equilaleral ; or
la somme des angles autour d'un point etant de 4 droits,
on voit qu'on ne peut placer au plus que 6 de ces
triangles equilateraux.

On ne peut evidemment placer mains de 3 polygones
reguliers.

Nous aurons done au plus des assemblages ternaires,
quaternaires, quinaires et senaircs.

Somme des angles au centre. — Soicnt Oj, Og, O3,...

les centres des polygones reguliers assembles autour
d'un point M (/^^^ a)\ les cotes MA,
I c MB, MC... etant communs chacun a
~\-^l/^ deux polygones adjacents sont n<5ces-

1/ ^\ sairement eg-aux.

V Jl,n joignant consecutivement les

,'-'' ^p points Oj, O2, O3,... entre eux, on
obtient un polygene O1O2O3... dont
* les angles au sommet sont precisd-

pj„ ^ ment les angles au centre des poly-

gones reguliers considcres
Suivant qu'il s'agira d'un assemblage ternaire, qua-
ternaire, quinaire ou senaire, le polygene O1O2O3... sera
un triangle, un quadrilatcrc, un pentagone ouun liexa-
gone, et la somme des angles au centre 0^, O2, O3,...
sera suivant le cas de 2 dr., 4 dr., G dr. ou 8 dr.

§ 2. — Assemblage de polygones de meme type.
Si Ton designe par n le nombre dc cotes de ces 1 oly-

LE JEU DE CARRELAGE

gones, Tangle au centre a pour valeur ~

done, d'apres ce qui precede (§1): '*

pour I'assemblage ternaire,

365

On aura

n

2, d'ou n = 6;

pour I'assemblage quaternaire,

4 X — = 4 , d'ou n = 4 ;

pour Tassemblage senaire,

6x- = 8, d'ou
n

n = 6.

La meme relation appliquec a I'assemblage quinaire
conduit pour n a une valeur fraclionnaire ; ce cas ne
fournit done pas de solution.

En resume, les seuls carrelages possibles de poly-
genes reguliers de m6me type sont formes par 3 hexa-
gones {fig. ^), 4 carres (fig. c), ou 6 triangles equilat^-
raux (Jig. d').

Fig. b. — 6, 6, 6. Fig. c. - 4, 4, 4, 4. Fig. d. — 3, 3, 3, 3, 3, 3.

§ 3. — Assemblages de polygones de types diff6rents.

Soient n,,?72,/?3, ..., (n^^n.^n^ . . . ) les nom-
i)res de cotes des polygones assembles.

3G6 APPLICATIONS DIVEKSliS

Assemblages ternaires. — Les angles en 0, , O2, 0,

{Jig. a) correspondunL a chacun des poly^ajiies ont vi\s-

, i i i
pcctivement pour vaJeur — , — ' — ct on doit avoir (§1)

Wj ^2 n-i

4 4 4

-H h - = 2,

w, Wj n.,

1111

?ll W2 71.^ 2 ^ '^

En observant que 3^7i, ^6 (§ 1) «;( f.iisnnt succes-
sivemont n, = 3, w, = 4, n^ = ^o et w, = G , on Irouvc
les solutions ci-apres:

1. 3, 7,42 fi. 4,5,20

2. 3, 8,24 7. 4,0,12

3. 3, 9,18 8. 4,8, 8

4. 3,10,15 9. 5,5,10

5. 3,12,12 10. 6,6, 6.

Assemblages qualernaires. — On a ici (§1)

4444

_ _l 1 h - - 4 ,

??, 7*2 n:i n^

ou 1 1 1-- = 1. (2)

Wj 712 fh ^U

On ne pcut avoir que les solutions suivantes :

11. 3,3,4,12 13. 3,4,4,6

12. 3,3,6, 6 14. 4,4,4,4.

Assemblages quiuaires. — On doit avoir (§ 1)

Til Wj ris 7i^ 71z

1 1 1 1 1 3
ou l + A+W =|-. (3)^

n* Wo n, Hu n. 2

LB JEU DE CARRELAGB 36T

Celle relation n'est satisfaitc que pour les valeurs ci-
apres :

15. 3,3,3,3,6 16. 3,3,3,4,4.

Asseinl)Iages senaires. — '■ On a (§ 1)

on

4

1111

-H 1 h-

Ui rii ^3 n^

On a ici la seule solution

- H h -f- + - =r 8 ,

», Ui V. 7U /ta

(4)

Solutions satisfaisant au probleme. — Les solu-
tions n°' 10, 14 et 17 trouv^es ci-dessus correspondent
k des assemblag-cs de polygones de m6me type (§ 2) ct
sont par conse'quent a rejeter. II en est de mftme des
solutions n°' 1, 2, 3, 4, 6, 9, qui ne salisfont pas au pro-
bleme posd.

En etfet, consid^rons par exemple la solution n" 9
5, 5, 10.

On pout bien assembler autour d'un point N un deca-
gone r6gulicr A ct deux penlagones
reguliers C et D (Jif/. e), mais cotte
disposition ne pent etre reproduile
indefiniment de facon k constituer
un carrelage. Car Tangle RST ayant
pour valeur 360" — 2 x 108" = 144%
le seul polygone regulicr qu'on puisse
placer en S est un decagone B ; des
lors, puisque UTX = 108", on ne pent
disposer en T qu'un pentagone E. II
est impossible de pousser plus loin
I'assemblage, car Tangle VXP 6tant

de 144", si Ton place un decagone en X, il recou-

Fig. e.

3G8 APPLICATIONS DIVERSES

vrira en partie le decagone A, puisque XFQ est de 108*
seulement.

On raontrerait d'une mani^re analogue que les solu-
tions enurnerees ci-dcssus nc sont pas acceptables.

En resume, les seules solutions k reteuir sont Ics
suivantes:

I. 3,12,12(^7./). V. 3, 4, 4, 6 (A'?. 7").

II. 4, 6, 12 (firj. g). VI. 3, 3, 3, 4, 4 (/?</. /.).

III. 4, 8, 8(/?^./^). VII. 3,3, 4,12 (/^•^.0.

IV. 3, 3, 6, G(/?^. ^•). VIII. 3, 3, 3, 3, G(/?y.m).

Assemblages isoccles. — Parmi ces huit assem-
blages, les six pi-euiieis seulement sont isoceles. Pour
verifier la condition de superposition parretournement,
on pourra se servir d'un transparent sur lequel on de-
calquera chacun de ces carrelages. On fera coincider
apr^s retournement un polygene du dessin initial avcc
un polygone egal quelconque du transparent ; on verra,
en faisant pivoter ce dernier, si dans toutes les coinci-
dences possibles des deux polygenes il s'en trouvc uu
moins une qui donne une supr^rposition parfaite pour
tout I'assemblage suppose indefini.

Assemblages non isoceles. — Les solutions VII el
VIII donnees par Tanalyse precodento ne sonl pas iso-
celes. On le reconnaitra pour I'assemblage VIII (/fV^. ///)
au moyen du procede du transparent indique prece-
derament, et pour Tassemblago n" VII (Jig. /) par une
simple inspection de la figure ; on voit en eflet, pour ce
dernier, que les angles concourant aux sommets A et
B ne sont pas les memes, puisque autour de A sont
groupes deux triangles e'quilatcraux, un carre et un
dod6cagone, et autour de B six triangles equilat(5raux.

LE JEU DE CARRELAGE

369

Fig. f. — I. 3, 12, 12.

Fig. g. — II. 4, 6, 12.

Fig. h. — III. 4, 8, 8.

Fig. i. — IV. 3, 3, 6, 6.

Fig. j. - V. 3, 4, 4, 6.

Fig. k. — VI. 3, 3, 3, 4, 4.

Carrelages isoceles.
FouRREY. — Curios, giom.

24

370 APPLICATIONS DIVERSES

L'asscmblagc n" VII revient d'ailleurs, au fond, au
Mais on pent obtenir une infinltd d'assemblages non

Fig. I. — VII. 3, 3, 4, 12.

Fig. m. — VIII. 3, 3, 3, 3, 6.

isoceles: a) soil par une autre disposition des elements
de certains assemblages isoceles; U) soil par des com-
binaisons d'assemblages de types differents.

a) Les fig. n et odonnent, h. titre d'exemple, deux des
carrelages non isoceles qu'on peut obtenir en plaQant
autrementFassemblage n^V: chaque sommet comporte
bien un triangle equilateral, deux carres et un hexa-
gone, mais I'ordre dans lequel se succ^dent ces poly-
gones n'est pas le m6me pour tous les sommets et la
superposition de Tasscmblagc h lui-meme, telle qu'elle
a 6te definie anterieurement, est impossible.

Fi-. n. Fig. «•

3, 4, 4, 6. — Carrelages non isoceles.

LE JEU DE CARRELAGE

371

^) Les fig. /; et q donnent comme exemple deux com-
binaisons obteniics en reunissant les assemblages V
(3, 4, 4, 6) et VI (3, 3, 3, 4, 4) : les sommets A realisent
le premier, et les sommels B le second.

Fig. p.

Ff?. q.

Gombinaison ties assemblages 3, 4, 4, 6 et 3, 3, 3, 4, 4.
Garrelai'es non isocelcs.

BIBLIOGRAPHIE

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Badoureau. — Mc'moire sur les figures isosceles. — J"' do I'Ecole poly-
technique, 1881.

LuciEN Levy, -t- Sur les pnvages a I'aide de poli/gones rigulicrs. Bullet, de
la Soc. philom. de Paris, 1890-91.

Paul Robin. — Carrelagcs illimile's en pohjgones rdguUers. La Nature,
2« sem., 1887.

D' W. AiiriENs. — Malhor.alisclie Unlerhallungen und Spiele. Leipzig,
1901, gr. ia-8»

CHAPITRE III
ALVEOLES DES ABEILLES

% \. — Forme et disposition.

Description. — Lorsqu'on. examine un g&teaii de
cire construit par les abeilles pour yd^poser leur miel,
on constate qu'il est constiluepar des alveoles juxtapo-
ses dont I'axe est horizontal el dont I'ouverture a la
forme d'un hexagone regulier (/?^. a). II existe deux
series de ces cellules qui se rejoignent par leurs fonds
au milieu dn gateau et dont les ouvertures se trouvenL
sur les faces opposees de ce dernier.

Fig. a. — Dis;)osition des ouvertures. Fig. b. — .Disposition des fonds

Le corps de I'alvdole se compose d'un prisme hexa-
gonal droit. Le fond n'est pas un plan, mais une sur-
face concave form^e par 3 losanges egaux SABC, SCDE
et SEFA ayant un sommet commun S (Jiff, c); a

ALVl'iOLES DES ABEILLES 373

chaqiie cellule peuvent ainsi etre adossees Irois cellules
de la serie opposee ayant chacune avcc la premiere un
losange commun (fig. b et c/). Los angles ABC et SCB
deslosanges ont rcspccLivcment pour valeur 109" 28' et

rijr. c. — Alveole isole.

1" d. — Adossemcnt dcs fonds.

70" 32'; le cole de rhoxagone mesurant en moyenne

1 ligne 1/5 (2""", 71) et la profondeur de I'alveole

23
5 lignes (11""", 3), le rapport — — est de — -. Quant a

j I'epaisseur des parois et du fond, elle est a peine le
tiers de celle d'une feuille de papier ordinaire ; I'ou-
vcrture de la cellule est d'ailleurs renforcee par un re-
bord dc cire. Cclto ouverture est enlin fermee au moyen
d'une plaque hexagonale de meme nature pour empe-
chcr le miel de couler.

Avantage de ces dispositions. — Nous savons (3* Par
Tu:, Chap. 2, § 2) que le triangle equilateral, le carre
et L'hexagone sont les seuls polygones rcguliers qui puis-
sent se juxtaposer sans vides. Les deux premiers pre-
senteraient trop d'espaces angulaires non utilises pour
les larves ; l'hexagone, au conlraire, se rapproche da-
vantage du cercle et olTre a cet egard plus de commo-
dity.

Mais le but de Fabcillo parait etre surtout de cher-
cher a epaigner la cire, qui est un produit perdu pour
I'insecte. L'adossement des cellules permet d^ja de
supprimcr un lond: d2 plus l'hexagone, comme nous

374 .PPLICATIONS OIVERSES

Ic demontrerons bientdt, est, des Irois polygenes r^gu-
liers qui peuvent sc jiixtaposer sans laisser de vides,
celui qui pour une surface donnee a le plus petit peri-
metre et qui par consequent exige le moins de cire
pour les parois. Enfin, la section liexagonalo etant ad-
mise pour les raisons qui precedent, les dimensions
adoptees par les abeilles pour le fond rhomboidal cor-
respondent a la plus petite surface totale pour I'alveole
et par suite a la plus petite quantite de cire, ainsi que
nous le montrerons dans le prochain paragraphe.L'ins-
tinct des abeilles les conduit done h. resoudre deux in-
tcressants problemes de minimum,

Historique. — On avait remarqud dans TAntiquilela
forme liexagonale des alveoles des abeilles. Aristote
(4''s. av. J.-C.) dans son Histoire desAnimaux(ljiv. IX,
Chap. XXVll)etPLiNE l'Ancien (l" s.) dans son Histoire
Naturelle (Liv. XI, Chap. XII) en font mention.

Pappus (4* s.) parait avoir ete le premier a trailer
geometriquement la question. Au debut du livre V de
ses Collections, 11 considere cette forme de la section des
alveoles comme etant motivee par la double condition
de recouvrir le plan et de correspondre au pdrimetre
minimum pour une surface donnee.

Mais il ne semble pas qu'on ait remarqu^ la forme
rhomboidale du fond avant le 18* si^cle. Un neveu de
Cassini, Maraldi, astronome k I'Observaloire de Paris,
determinaexperimentalement avec precision les angles
des losanges ; il trou va 1 09" 28' et 70° 32' pour les valeurs
de ces angles (1712). Reaumur, soupgonnant que les
abeilles devaient etre guid^es dans la construction du
fond par la raison d'economie, proposa au geometre-
allemand Kcenig, sans lui faire connaitre au pr^alable '
les r^sultats de Maraldi, la resolution du probl^me
suivant : a Entre toutes les cellules hexagonales ^ fond

ALVEOLES DES ABEILLES 375

compose dc trois rhombes egaux, determiner celle qui
peut etre construite avec le moins de mali^re. » Koenig
traita la question par le calcul differentiel et trouvaque
les angles des losanges dc la cellule minimum devaient
etre 409''26'et 70"34'(1739).

La concordance avec les mesurcs de Maraldi 6tait
dcja surprenante ; mais il y a . mieux. Mac Laurin
prouva en 1743 que Koenig avail commis une erreur
dans scs calculs et que les veritables valeurs des angles
auxquelles on etait conduit en resohant ce probleme etaient
precise nient celles indiquees par Maraldi, soit 109° 28' et
70'' 32'. ^

La question a et^ reprise depuis au point de vuf
geometrique par divers maliienialicicns, parmi lesquels
LuuiLLiER (1781), Lalanne (1840), Brougham (1858),
Hennessy (1885-86) qui ont conlirme ou complete les
resultats anterieurs.

§ 2. — Propri6t6s g6om6triques.

Seclion.droite de I'alv^ole. — I. L'hexagone regulier
peut recouvrir le plan indefiniment par juxtaposition. — Nous
avons vu en ellct que l'hexagone regulier jouit de cette
propriele en meme temps quo le triangle Equilateral et
le carre.

II. L'hexagone regulier est, de tous les polygones qui peuvent
recouvrir le plan par juxtaposition, celui qui presente le peri-
metre minimum pour une surface donnee (Pappus, 4® s.).

Lemjie (restitue par Cojjmandin, 16" s.). — Soient OG
et AG deux droites perpendiculaires, OH et OA deux

,;. AG^AOG.

ookques ; on a 7—7 > ■— ^:—

AA^ HOG

En elTet, decrivons dc 0 comme centre avec OH

376

Al'l'LICATlONS DIVERSES

comme rayon un arc de cercle KHJ. On a 6viJem-
ment

tri. OAH > sect. OKH,
tri. OHG < sect. OHJ,

d'ou

tri. OAH sect. OKII
Iri. OHG sect. OHJ "

En remplagant les rapports de
chacun des membres de cetle inc-
galitd par des rapporls (^gaux, on a

on en deduit

AH-f-HG
HG

>

AH A OH
Al^ HOG

AOH + HOG

, ou

HOG

AG AOG
il^ HOG

Arrivons malntenant h la proposition que nous avons
en vue; nous suivrons de pres la demonstration de
Pappus. Nous allons d'abord prouver que de deux poly-
fjones reguliers 0 et 0' dont le perinietre p est le meme
ct dont les nombres de cotes sont difjerents, le poly gone 0'
dont le nombre de cotes est le plus grand a la plus grande
aire.

En effet, G et G' etant les milieux des cote's AF et
AT' des polygenes 0 et 0' et puisque AF > A'F' bu
AG > A'G', nous pouvons prendre sur AG, GH=A'G'
jl joindre H a 0. On a

AF ^ A05 , A'F' ^ AW'
4dr. '

P

i'ou

AF

A'F'

p 4 dr.

Km

AW' *

ALViiOLiJS ur;s abeilles
on en deduit

Mais d'aprcs le icmriie precedent,

done

AG /UHt

1*^ mn}

AOG_ AOG

axTg' hog

Par suite, A'O'G' < HOG

et G'A'O' > GHO.

Si Ton fait mainlcnant GlTl = G'A'O', I se trouve
sur OGau dela dc 0; done IG> OG, ou 0'G'> OG.

D'aiitre part, aire 0 = ^-^-^, aire 0'=^-^^-—;
done aire 0' > aire 0.

Inverscment, si les aires de 0 et de 0' sont les
niomes, le pcrimetre de 0' sera infcricur a celui de 0.

Pour une surface donnce, le pdrim^tre de I'hexagone
reg-ulier est done plus pclit que celui du carr6 et du
triangle equilateral.

378

APPLICATIONS DIVERSES

Fond de Talveole, — III. Les losanges du fond rhom-
boidal correspondent a la plus petite surface totale pour une
cellule de section et de hauteur donnees.

Nous emploierons ici la methode de MacLaurin, qui
a traite la question par la geometrie ancieniie, comme
exemple des ressources qu'elie peut offrii'.

Soit un alveole dent le fond est forme des losanges
6gaux SABC, SCDE, ..., de cote c. Menons la section
droilo passant pur le sommet A; nous obtenons

ainsi I'hexagone r6-
gulier AKCL... de
cOLe a et dont le cen-
Iro 0 est la projection
du sommet S.

Joignons K a 0, A
a G et menons par
AG un plan quel-
conquequi determine
par son intersection
avecles plans TABU,
IJBGV, CSO et ASO,
un losange AG'GG ;
designons enlin par I
I'arete AT, par d la
demi-diagonale AP.
En cons iderant seu-
lement un tiers de
ralveole,nousdevons cherchera quelle position du plan
AG'GG correspond le minimum de la surface formee par
les trapezes TAG U, UGGV et parle losange AG'GG, soit do

(/-f-GL> + 2^xGP = (;4-/— GK>-|-2rfxGP
= 2/« — a X GK H- 2^ X GP.

Le produit IJa dtant constant, la question revient a dd-
terminer le minimum de I'expression

Fig. A.

ALVEOLES DES A13EILLES 379

2dxGP — axGli. (4)

Siipposons que B ait ete pris sur KU de telle sorle
que

Bp-25" ^^>

jDc P comrne centre, avec le rayon PG, decrlvons dans
le plan BKP un arc de cercle qui rencontre PB, pro-
longe s'il est necessaire, en J ; menons KH et GI per-
pendiculaires a PB. La similitude des triangles rectan-
gles GIB, KUB et BKP, ainsi que la relation (2), nous
permeltent d'ecrire

BI_BH^BK^^
BG BK BP 2d'

Cette suite de rapports nons donne

Bil — BI IH_A

BK — BG' "^^ GK~2d*

d'ou I'on de'duit axGK = 2dx Hi.

L'expression (1) devient alors successivement, en
remplacant a X GK par la valeur que nous venous de
trouver,

2/xGP — 2f/xIH = 2^(GP — IH) = 2rf(JH-HP).

Mais d et HP etant constants, la question revient a
chercher quel est le minimum de JI. Ce minimum a
lieu pour JI = 0, c'est-^-dire quand les points J et I se
confondent, ou quand G se trouve en B.

Ainsi le minimum cherc/ie correspond a I'hypothese ait
le plan secant passe par le point B determind au moycn de
la relation (2).

Cette position du plan secant est pr^cisement celle
qui existe dans les alveoles.

Remarql'es. — 1° Dans ce qui prec&de, nous n'avons
pas lenu compte dc la plaque hexagonale qui Louche

380 APPLICATIONS DIVERSES

le tuyau ; mais la surface de cello plaque dtant con-
stante, les resultats que nous venous d'obtenir sub-
sistent.

2''Le prisme droit qui a pour base I'hexagone AKCL... i
et Talveole lui-meme onl un egal contenu, car en con-
siderant seulement le tiers de leurs volumes, on voit
que les pyramides B.VKG et S.VOG sont egales. Nous
venons de montrer qu'ii n'en est pas de'memepour les
surfaces.

IV. Les angles d'un losange sont respectivement egaux a
109°28'16'et 10"3i'U'. — Le triangle rectangle BKP doiine

S 2 ■ 2

BP =BK 4-KP.

RemplaQanl BK par sa valeur BP -- tiree de (2),
KP par— , et simplifiant, on Irouve

Comme kV =.d, on en dcdnit

k\^ _\lkd-

BP a

Mais d est la moitie' du c6t6 AC du triangle Equila-
teral inscrit dans le cercle de rayon a : sa valeur est

ainsi-^.Le rapport precedent devient done, apres

reductions,

^-v/2

Bp-r*

Ainsi, la grande diagonale d'un lomnge dit fond est la
diagonale du carre conslruil siir la petite ; ccllc-ei a

d'ailleurs pour expression -^— •

ALVEOLES DES ABEILLES 381

AP

D'autre part, le rapport — - est ce qu'on appelle la

tangente trigonometrique de Tangle ABP. Au moyen de
tables donnant la valeur de la tangente correspondant
^ chaque angle et inversement, on trouve que v/2 corres-
pond a nn angle de 54" 44' 8" ; d'ou ABC = 109° 28' 16''

et Tangle BCS, supplementairc du premier, est ^gal a
70° 31' 44".

V. Le cote d'un losange est egal au triple de la distance BK
ouSO. — Les triangles rcckiDgles BPC et BKP donnent

2 2 2 fH 0/72

BC =BP -i-PC =f-hr/^=:^^-,
2 8

d'ou BC=:— ^;

4

bk'=bp'—kp'= -—- = -,

2 4 8

d'ou • BK-'^Y--

4

Ainsi on a bien BC = 3BK ; on voit de plus que la
distance BK est le quart du cote du carre inscril dans
le cercle de rayon a.

Remarque. — Les carres des segments rectilignes
ci-apres de la figure h

BK KP BP AP AK AB

ont pour valeurs respcctives

^ o}_ 3«- 3a^ ^2 %^-

8 4 8~ 4 " "S '

ou encore, si Ton prend BK pour unite,

1 2 3 6 8 9

382

APJM.ICATIONS niVERSKS

VI. Les faces de chacun des angles polyedres A, R, C, D, ...,
sont egales. — En ellel, prenons sur BU, BIN = B(] et
abaissons BM perpemJiculaire sur la droito GN. Le
triangle loclangle INKG donne, en observant que
JNK = 4BK = aV'2,

CN ' = NK ' + KC' = 3a' ; d'ou CN=za\/3 = AC.

Les deux triangles NBC et ABC sont done egaux

comme ayant les trois cotes 6gaux; par suite NBC = ABC ;

de meme NJiA = ABC.

Les faces de Tangle polyedre C sont aussi Egales,
comme elant les supplements des faces du triedre B.

VII. La pyramide triangulaire SAGE qui termine I'alveole
«st inscriptible dans une sphere dont le diametre est le triple du
cote d'un losange. — La base de cette
pyramide est (Jig. h^ un triangle
Equilateral ACE inscriptible dans
le cercle de centre 0, de rayon
OA = a, et qui pent 6tre consider^
comme un petit cercle de p6le S
appartenant a la sphere dont le
centre est sur SO (fig. i) en un
certain point Q.
Le triangle rectangle ASS' donne

,,_AS'

AS =SS'xSO,

AS

etcomme S0 = '

3

d'ou SS'

SS' = 3AS.

SO

Comparaison avec une cellule a iond plat. — Nous
avons vu (III, Remarque 2") qu'un alveole et une
cellule a fond plat ayant mSme cote de section et m6me
arete avaient des volumes equivalents, mais que la sur-

ALVEOLES DES ABEILLES 383

face de I'alvcolc etait im minimum. Cherchons a eva-
luer I'dconomie de surface realisee par I'abeille.

En designant par a le cote de la section droite com-
mune aux deux sortes de cellules, la longueur de Farete

25
«st, comme nous savons, — a. Par un calcul facile et

6

presentant peu d'inter6t, on trouve que les surfaces lo-

tales de I'alvdolc et de la cellule a fond plat sont expri mees

respectivement par ^(50 + 3\/2) et ^- (50 + 3 v/3).

€n faisant toujours abstraction de la plaque de fer-
meture; la premiere surface est done ^ la seconde
comme 50 -f- 3y/2 est a 50 -f- 3v/3 , soit a peu pres comme
54 est k 55. Ainsi, en faisant usage du fond rhomboidal,
les abeilles economisentla maliere d'une cellule sur 55.

§ 3. — Construction d'un alv6ole.

Trapfezes du pourlour. — Soit TU le c6t^ de Thexa-

gone de section droite ; le long c6te AT du trapeze est,

25
nous le savons (§ 1), mesure par "t TU.

c La difference AR = BK des deux bases du
trapeze ABUT est, nous I'avons vu, egale h.

K

\/2

^^—. TU ; on I'obtiendra done ais^ment, soit
4

numeriquemcnt, soit graphiquement, et on

deduira Ja position du point B.

Si Ton connaissait le c6t6 AB d'un des

losanges dufond, determine comme nous le

verrons ci-apres, il ne serait pas necessaire de chercher

la valeur de AR; il suffirait, de A comme centre, de

decrire un arc de rayon AB qui couperait UK en B.

384

APPLICATIONS UIVERSES

Losanges dii fond. — Si Ton a construit prealable-
ment un trapeze du pourtour, la longueur AB est Ic
cote d'un des losanges que le rapporteur permet de
tracer compl^tement puisque I'un des angles a pour va-
leurl09''28'.

Supposons maintenant qu'on veuille construire un
des losanges, SABC par exemple, independamment du
trace prealable d'un des trapezes du pour-
tour, en connaissant seulement le cote a
de I'hexagone de section droite. La dis-
tance BW (lu sommet B a AS est egale a
AK ou a. Car si nous menons BR paral-
lele h. AK, les deux triangles rectangles
AWB et ARB sont egaux comme ayant
I'hypotenuse commune et les angles en
A 6gaux (§2, VII). Rappelons enfin que AW = AR

=:BK = ^^(§2, V).

Cela etant, voici comment on pent construire le lo-
sange. Soient deux droites rectan-
gulaires WX et WY ; on portc sur
la premiere une longueur quel-
conque WA', puis, de A' comme
centre avec une cuverture de
compas egale a 3WA', on decrit
un arc de cercle qui coupe WY en
B'. On porte ensuite sur WB' une
longueur WB e'gale au c6te AK .
ou a de I'hexagone; la parallfele;
BA a B'A' menee par B est le cote

A' AW S

r\,

et Tangle BAW est un des angles du losange cherchd
dont on acheve ais^ment la construction.

V

D6veloppement d'un alveole. — Les deux construc-
tions elementaires qui precedent permettcnt d'obtenir

ALVICOLES DES ABEILLKS 385

2e developpemcnt d'nii alveole. La ligure ci-contre

donnecedeveloppementa

r^chellede-; ellepermet-

Ira de construire une cel-
lule en papier ou en car-
ton, etnos lecleurs pour-
ront ainsi se representer
sa lorme plus aisement.

D^veloppement d'lm alveole. Constructions par les

(2 fois 1/2 la veritable grandeur), abeilles. — BuFFON {DiS'

cours sur la Nature des
Aniniaux)^ comparant les abeilles k des automates
depourvus de toute connaissance et de tout raisonne-
ment, avait emis I'opinion que la forme hexagonale
des alveoles 6tait due a une cause simplement mt^ca-
nique: elle devait etre obtenue par la compression
muluelle des corps des abeilles creusant en groupe
des cavites dans un massif de cire : « Qu'on remplisse,
dit-il, un vaisseau do pois ou phitot de quelque autre
graine cylindrique, et qu'on le ferme exactement apres y
avoir vers6 aulant d'eau que les intervalles qui rerstent
•entre ces graincs peuventen recevoir ; qu'on fasse bouillir
cette eau, tous ces cylindrcs deviendront des colonnes
k 6 pans. On en voit clairement la raison, qui est pure-
ment mecanique ; chaquc graine, dont la figure est cylin-
drique, tend par son rentlement a occuperle plus d'es-
pace possible dans un espacc donn^, elles deviennent
done toutes necessairement hexagonales par la com-
pression r^ciproque. Chaque abeille cherclie a occuper de
memo le plus d'espace possible dans un espace donne ;
il est done n^cessaire aussi, puisque le corps des abeilles
est cylindrique, que leurs cellules soient hexagones,
par la m^me raison des obstacles reciproques. »

FounuEY. — Curios, ge'om. 23

386 APPLICATIONS DIVERSES

Mais cette assertion a 6i€ depuis reconnue faussc, no-
tammentpar Huber de Geneve, qui, malgre sa excite, a
fait d'interessanles observations sur les abeilles paries
yeux de son lidele domestique Burnens. Le mode de
construction des cellules est en realite tout autre que
celui imagine par liullon. Huber a observe que les in-
sectes commencent a former une trbs miiice cloison
dans laquelle ils sculptentles fondsrhomboidaux; c'est
sur les bords do cesfonds qu'ilsviennentensuiteetablir
les parois de cire formant le pourtour de I'alveole. Cette
premiere cloison, d'abord de tres petite etendue, est
ensuite agrandie au fur et a mesure que I'avancement
du travail Texige ; les cellules s'executent une a une ei
non toutes ensemble comme I'avait pense Buffon.

Par quels moyens I'abeille arrive-t-elle a executer,
avec la precision que nous avons signalee, les construc-
tions geoiiietriques necessaires il I'etablissement de
Talveole ? Nous n'avons pas connaissance que cette ob-
servation ait etc faite. Toutefois, Lalanne a fait remar-
quer que I'insecte possede en lui tons les instruments
necessaires. En vertu de la symetrie de son corps par
rapport a son axe longitudinal, les exlremit^s des an-
tennes et des pattes d'une meme pairesont en ellet sur
une perpendiculaire k cet axe ; d'oii possibilite pour
elle d'elever unenormale a une droite, comme on pour-
rait le faire au moyen du T des dessinateurs. De plus,
les antennes peuvent servir de compas ; et le corps
entier, en prenant un mouvement de rotation autour
d'un point auquel se fixeraient les deux pattes dune
meme paire d^crirait un arc de eercle en chacun de
ses points. Le trace de la ligne droite est aussi une con-
sequence immediate de la possibilite de tracer une per-
pendiculaire ; et quant au plan il pent se rdgler sur deux
droites qui se coupent, par un precede analogue a celui
suivi dans la taille des pierrcs.

ALVEOLES DBS ABEILLES 387

L'abeille domestique n'est d'ailleurs pas la seule qui
execute de pareilles constructions g^ometriques. RifiAU-
MUR a signals, dans le tome VI de son Histoire des In-
sectesy une autre espece, l'abeille empileuse, dont les
cellules creusees dans la terre sont tapissees et obturees
par des fragments en forme de cercle parfait ou de por-
tion d'ellipse qu'elle decowpedans desfeuilles de rosier.

L'alv^ole base d'un systeme de mesures fixes. —

Reaumur a propose de prendre I'alveole comme base d'un
systeme de mesures invariables. « La longueur du pen-
dule determinee dansun pays dont la latitude est bien
connue donne une mesure fixe qui a ete long-temps de-
siree des Scavants, une mesure a laquelle toutes celles
dont on veut avoir une connoissance precise et sure doi-
vent etre rapportees. Nous ne serious pas aussi embar-
rasses que nous le sommes souvent surles mesures des
Anciens s'ils eussent connu cette mesure fixe. Nous en
aurions une autre, qui, quoique moins exacte, suffiroit
pour bien des cas, s'ils nous eussent donnd les mesures
des cellules des abeilles ; car il est plus que probable
que les abeilles d'aujourd'hui des environs d'Athenes
et de Rome sont de la m6me espece que celles qui y
etoient autrefois ; que celles d'aujourd'hui ne font pas
des alveoles plus grands ou plus petils que ceux que
faisoient les abeilles qui travailloient dans les temps
ou les Grecs el les Romains ont ete le plus ceiebres.
M. Thevenot avoit pens6 aussi, comme nous le rap-
porte Swammerdam, a prendre une mesure fixe d'apr^s
les cellules des abeilles » (^Histoire des Insectes, tome Y).

BIBMOCRAPHIG

F. HuLTSCH. — Pappi Alexandrini CoUedionis quw supersunl e librismanu
tcriptis. Berlin, 1875-78. 3 vol. in-8» (Livre V).

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des abeilles. Comples Rend, de I'Ac. des Sc, (Paris), annue 1838,

1" sem.
H. Hennessy. — On the Geometrical Construction of the Cell of the Honey

Bee. Proceedings of the Royal Society of London. Annecs 188S ct 1886.

CUAPITRE IV
VARIETES

§ 1. — Melanges historiques.
A. - DEMONSTRATIONS

SOMME DES ANGLES D'UN TRIANGI.E

La sommc des angles d'ltn triangle est egale a deux
droits. — I. On sait, d'aprSs un auteur grec du
1" s. av. J.-C, Geminus, que la premiere demonstra-
tion qui ait ete donnee de ce Iheoreme chez les Grecs

comprenait trois cas, s'ap-
pliquant d'abord au triangle
Equilateral, puis au triangle
isocele et enlin au triangle
scalene.

Voici, d'apr^s Hankel , com-
ment devait etre congue cette
demonstration.

Fig. a.

Triangle equilateral(/?^.«)

— Les anciens Grecs connaissaient assuremcnt lespro-

prietes les plus simples de Thexagone regulier inscrit

ct celle du cercle d'etre divise en deux parties egales

par un diam^tre. Or la surface d'un hexagone pent 6tre

d^composde en 6 triangles Equilateraux Egaux ; les

trois angles d'un de ces triangles ABO etant tous egaux

R^

,^-

-^r

AA

W

F^

■^ —

-^ t

390

APPLICATIONS DIVERSES

«ntre eux, on pent done les supposer places successivc-
ment en AOB, HOC ct COD; comme ADD est une
droite, la somnie de ces Irois angles est ainsi egale a la
moitie des quatrc angles droits qu'on pent disposer

autour de 0, soil a deux angles

droits.

Triangle isocELE (/?^. ^). — On a
du reconnaitre intuitivement que
le triangle isocele ABC pouvait
se partager en deux triangles rec-
tangles egaux ABD et DBG qui,
disposes autrement, formaient le
rectangle DBEC. La somme des
deux angles droits DBE et DCE donnait precisement

celle des angles du trian-
gle ABC.

•Triangle scalIine {fig. c).
— On devait parlager le
triangle ABC au rnoyen
de la perpendiculairc BD
en deux triangles rectan-
gles ABD et DBG qui
^talent les moities des rectangles AEBD et DBFG. La
somme des angles en B, egale a 2 dr., etait aussi celle
des angles de ABC.

IL II semble resulter d'un passage de la Collection
heronienne {Geometria, 10* s.), que les Grecs ont connu
une autre de'monslration, de nature intuitive comme
la pr^cedentc.

Rectangle. — La somme des angles interieurs
d'un rectangle est 6gale h. 4 dr.

Paball6logramme (Jig. cT). — Cette somme est encore

Fig. e.

VABIETES 391

egale ici a 4 dr. Car si des sommets A ct D du parallelo-
g g FT gramme ABCD on abaisse

des perpcndiculaires AE

et DF sur BC, on forme

deux triangles dvidem-

ment egaux AEB ct DFC;

par suite B3 = C et si Ton

porte C en Jl, , comme

iMg. d. Tf -f- bT = 2 dr. , il en rd-

sullc C-f-Br = 2dr. De

meme, Aj = 1),, et si Ton porle Dj en Aj on forme

deux angles droits A, et 1>2 ; les angles A et B du pa-

jj rallelogramme out bien
pour somme 2 dr.

Triangle (fig. e). —
Etant donn^ le triangle
ABC, si on lui accole le
triangle egal DCB, on
forme un parallelo-
gramme oii la somme des
angles int^rieurs est, d'apr^sce que nous venons devoir,
egale k 4 dr. Cette somme est done 2 dr. pour chacun

des triangles dgaux ABC
et DCB.

III. Voici mainlenant,
d'apres Proclus (5* s.),
la demonstration gene-
rale du theoreme qui se-
rait due aux Pythagori-
ciens.

Soit ABC {fig. / ) un tri-
angle quelconque. Onmene parC uneparalleleDEa AB.
Les angles BAC et ACD, ABC et BCE sont respective-

Fijr. e.

Fig. f.

392 APPLICATIONS DIVERSES

ment ^gaux comme alternes-internes. La somme des
trois angles ayant leur sommet en C, et qui est egale k
2 dr., est aussi celle des angles dii triangle donne.

La demonstration actuelle, qui nous a ete laiss(5e par
Euclide, difFere pen de celle des Pytliiigoriciens ; la pa-
rallMe k Ali ne traverse pas AG et on prolonge ce der-
nier c6t6.

IV. Nous terminerons par I'expose d'nne preuve, en

quelque sorte ma-
nuelle, du meme
tlieoreme.

Soicnt ABC
(A.;^ A') nn triangle
suppose docoupe
dans du papier,
D et E les milieux
des cotes ABetBC.
riions le papier
suivant la paral-
lele DE a AG de man i ere a amener le sommet B en B'
sur AG. Si Ton failmaintonant coin-
cider AD avec son egal B'D (ligne
de pliagc: FD perpend iciilairc sur
AG) et GE avec son (^gal B'E
(ligne de pliagc: GE perpondicu-
laire sur AG), les points A et C
vicnnent en B' (^/ir/. /<),

Les trois angles du triangle se
trouvent reiinis en B' d'un meme cole de la droile FG
et leur somme est bien egale a 2 dr.

Fig. g.

LES TROIS HAUTEURS D'UN TRIANGLE

Les trois hauteurs d'un triangle concourcnt au mSme
point. — Gc theoreme bien connu parait avoir etd con-

VARIETlis 39.^

sid^M et demontr^ pour la premiere fois par Archuiede
(3* s. av. J.-C). II en fait usage dans la proposition V

de ses Lemmes. Nous ne con-
naissons pas la demonstration
dugrand mathematician grec;
en voici une restitution par
Peyrard.

Soit ABD un triangle ayant
un angle aigu en D. Menons
AI, BF perpendiculaires sur
BD et AD ; elles se coupent
en E ; puis par D, E condui-
sons ladroIteDG : la hauteur
relative au sommet D etant unique, il suffit de montrer
que DC est perpendiculaire sur AB.

En effet, les angles droits AFB et AIB sont inscrlp-
tibles dans une meme demi-circonference de diam^tre
AB; pareillement, les 4 points F,D,I, E sont sur une
meme circonference de diam^tre DE. Les angles EFI
et EDI ou CDB sont egaux comme ayant meme mesure ;
de meme EFI = BAT. Par suite, CDB =: BAI ; les trian-
gles CDB et BAI ayant en outre un angle commun en
B sont semblables, et BCD = BIA = 1 dr.

DEUX DtMONSTRATIONS DE LEONARD DE VmCI

I. « Le cercle s entre 9 fois
dans le cercle f; la preuve en est
que le carre mn entre 9 fois dans
le carre ar » (Leonard de Vinci^
15M6* s., Maniiscrit k).

Si Ton deslgne par d et d' les

diametres des cercles s et /, dla-

mMres qui sent aussi les cote's des carres mn et ar,

les aires des deux cercles sont en effet dans le

"\

1 n

•f

m

'5

y

394

APPLICATIONS DIVERSES

>

V

-— ^

X

/

r

\./

•u

u

S^

Fig. a.

rapport — , c'est-a- dire dans le meme rapport que les
aires des deux carres.

II. « Si til tires la liqne ah (fig. «) aitx points
d' intersection du grand cercle
par les diagonales du carre {cir^
conscrit^ et que Id oil cette ligne
/»[ T-n \s/ \m 1 ah est coupee "par le diametre ef,

au point n, tu commences et tu
finisses un cercle, celui-ci con-
tiendra autant d'etendue que
celle qui s'enferme entre I'un et
I'autre cercle et sera une fois

pluspetit que le grand » (Leonard de Vinci, Manuscrit A).
Voici a quelques details pres, la demonstralioii de

I'artisle italien.

La dcmi-diagonale sa du carre circonscrit au cercle
mn (fig. «) est egale a sf,
demi-cote du carre circonscrit
au cercle ef. Or {fig. h) le
carre /ce/ qui joint les milieux
des cotes du carre hgij a pr6-
cisement pour demi-diagonale
sf: feel est done le carre cir-
conscrit au cercle mn. Mais le
carre /ce/ est la moitie du carre
hgij, puisque le premier con-
tient 4 triangles egaux hfgc et

que le second en contientS; done le cercle mn est la

moitid du cercle ef.

B. - CONSTRUCTIONS

lA PREMIERE PROPOSITION DES Elements D'EDCLIDE (3* S. AV. J.-C),

Afin de permettre de se faire une idee de la mani^re

<r c <

^

y 7n\\

%-

^k

J

Fig. h.

VARIETES 393

d'EucLiDE, nous donnons ci-apr^s textuellement la pre-
miere proposition des Elements. Avant cette proposi-
tion sont enumeres les definitions, demandes et axiomes
necessaires a I'exposition du Livre I.

Problerae. — Stir une droite donnie et finie, construire
un triangle equilateral (1 , Liv. I).

Soit AB une droite donnee et finie : il faut construire
sur la droite AB un triangle Equilateral.

Du centre A et avec un intervalle AB, decrivez la
circonference BCD [dcmande 3(')] ; ensuite du centre B

et avec I'intervalle BA decri-
vez la circonference ACE ; et
du point C, oil les circonfe-
rences se coupent mutuelle-
ment, condiiisez aux points
A, B, les droiles CA, CB [de-
mande 1 Q].

Car puisque le point A est
le centre du cercle CDB, la droite AG sera egale a la
droite AB [definition 15 QJ ; de plus, puisque le point B
est le centre du cercle CAE, la droite BC sera egale a
la droite BA ; mais on a demontre que la droite CA etait
egale h la droite AB : done chacune des droites CA, CB
est egale ^ la droite AB ; or les quantites, qui sont 6gales
a une meme quantite, sont egales entre elles ; done la
droite CA est egale a la droite CB: done les trois droites
CA, ABjBC sont egales entre elles.

(•)0n dcmande :... 3° Que d'un point quelconque, et avec un inter-
valle quelconque, on puisse decrire une circonference de cercle.

(2) On demande : 1" Qu'on puisse conduire une droite d'un point
quelconque ii un point quelconque.

(3) Un cercle est une figure plane comprise par une seule ligne qu'on
appelle circonference, et qui est telle que toutcs les droites menees ii
la circonference d'un des points places dans cette figure, sont egales
entre elles.

396

APPLICATIONS DIVERSES

Done le triangle ABC [d6L 24 Q] est equilateral, et
de plus il est construit sur la ligne donnee et linie AB;
ce qu'il fallait faire.

Reconnattre si un angle A d'lin triangle ABC est droit,
obtus ou aigu.

I. Procede de Gerbert (10* s.). — Soit D le milieu

A

de BC. Si D est a egale distance de A, B et G (autre-
ment dit, si AD = — ), Tangle A est droit ; si D est
plus pr^s de A que de B et C / ou si AD < -^ ), Tangle
A est obtus ; enfin si D est plus eloigne de A que de B
et G I ou si AD > — ), Tangle A est aigu.

n. Paoc^DiS d' Abdul Huassan (13® s.). — Sur BG

A

B D CB D CB D

comme diametre, on decrit unc dcmi-circonferencc ;.

(*) Parmi les figures trilateres, celle qui est terminee par trois cotes
^gauz se nomme triangle equilateral.

VARIETES 397

suivant que le sommet A se trouve sur cette derni^re,
ou a son interieur ou h son exterieur, Tangle A est
droit, obtus ou aigu.

C'est en somme le procede de Gerbert prdsente sous
une autre forme.

CONSTRUCTIONS ARABES

Trouver le centre d'un cercle fl'onwe (Abofl TTirAssAN,
13" s.). — De deux points quolconques A et B pris sur

la circonference, on decrit
deux couples d'arcs de meme
rayon qui se coupent respec-
tivement en G ct D. La droite
CD rencontrant la circonfe-
rence en E et F, le milieu 0
de EF est le centre cherche.

Trouver un angle qui soit
la 2", la 4% la 8" partie d'un
a^iy/e «fonwe(ABODL-IInASSAN).
Soit BAG Tangle donne ; on
porte a partir de A sur AB et sur le prolongement de AG

des longueurs ^gales AD et AE , on a DEA = 1/2 BAG.
Puis, toujours avec la meme ouverlure de conipas,

on porte sur ED et sur Ic prolongement de AE, ED'
= EE' ; on a lTe'E = 1/2 DE7v = 1/4 BAG, etc.

398

APPLICATIONS DIVERSES

-C

—ID

• PODR REDDIRE UN OUADRANGLE OU RECTANGLE LONGDET A SON VRAY ODARRE »

« Les Aiemans ont acconstume de boire et manger sur
tables quarrees, et les Frangois sur tables plus longues
d'un coste que d' autre. 11 est doncqucs propos de reduirc
la table Francoise a la table d' Alemaigne et reduire tout
quadrangle et rectangle longuet a son way quarre »
(Ch. de Bovelles, 1566).

Soit, par cxemple, a transformer en carr6 le rectangle

ABCD dont les cdtes AD el
AB ont respectivement pour
valour 9 et 4. La question
est, on le salt, tres simple:
elle revient a chercher la
moyenne geometrique AG
de "aD et AB = AE.

La ligure ci-conlre, don-
nee par I'autcur du pro-
bl^me est suflisamment
explicite ; on peut ainsi
tracer le carre JHID equivalent au rectangle ABCD.

ONE CONSTRUCTION DE LEONARD DE VINCI

« J'ai un triangle abc avec un angle tres
aigu et je veiix en enlever vers la pointe
line partie equivalente a un triangle donne
omp avec un angle obtus » (Leonard de
Vinci, 15" s. Manuscrit K).

II suffit de placer omp en fga, a 6tant
Tangle aigu du tri-
angle abc, et de me-
ner par / une pa-
rallMe ed h. ac qui
coupe ab en n. Si
I'on joint les poinis g ct n, la parlie enlev6e est repre-

B

-

E A

J

r

L

F

^

/

/

)

VARIETES 399

sentee par le triangle agn^ ce triangle est, en effet,
Equivalent a agf comme ayant meme base ag et des
hauteurs egales.

C. — QUESTIONS DIVERSES

lES TRIANGLES RECTANGLES ELflMENTAIRES DE PLATON

Nous avons signale clans I'lntroduction que les Pythr-
goriciens supposaient que les 5 poly^dres reguliers
devaient etre en rapport necessaire avec le monde qui
nous environne. Platon (4* s. av. J.-C), dans son
Timee^ considere I'enveloppe (la surface exterieure)
de ces polyedres reguliers et recherche de qaelles sur-
faces elementaires elle est form^e. Ces elements sont
le triangle rectangle isocele (ou de 1'* espece) et le tri-
angle rectangle scalene dans lequel le carre du grand
c6t6 est le triple du carre du petit (ou de 2* espece). 11
est facile devoir que dans ce dernier^ regarde par Platon
comme le plus beau des triangles rectangles scalenes,
I'hypotenuse est le double du petit cote ou encore
I'un des angles aigus est Egal h. 30".

Cela etant, on pent decomposer le triangle equilate-
ral soit en 2 {fig. a),
soit en 6 elements
(fig. b) de secondc
espece, et le carre soit
en 2 (fig. c) soit en 4
Elements (fig. d) de
premiere espece. Le
pentagone est le pre-
mier des polygones re-
guliers qui ne puissc
6tre d6composd en de
pareils triangles, et il
est probable que le choix du pentagone regulier comme

Fig. e.

Fig. d.

400 APPLICATIONS DIVERSES

signe de reconnaissance par les Pythagoriciens a du
^Ire amene par les essais infruclucux de cette decora-
position. L'hexagone regiilier, forme de G triangles
^qailateraux, pent au contraire etre considere comme
form^soit de 12, soit de 36 elements de seconde espece.
Les surfaces des polyedres reguliers se formaient
alors de la faQon suivante :

Tetraedre : 4 triangles cquilaleraux ou 24 elements

de seconde espece.
Cube : 4 carres ou 16 elements de premiere

espece.
Octa^dre : 8 triangles equilaterauxou 48 6l6ments

de seconde espece.
Icosaedre : 20 triangles dquilaleiauxou 120 elements

de seconde espece.

Qnanl k la surface du dodeca5dre, formee comme on
sait de 12 penlagones reguliers et qui ne pent par suite
<itre decomposee en elements de premiere oude seconde
espece, Plalon dit k son sujet : « Comme il restait une
cinquieme combinaison, Dieu s'en servit pour tracer le
plan de I'univers. »

Les Pythagoriciens connaissaient la propridte duplan
de pouvoir etre reconvert par des assemblages ou de
triangles equilat^raux, ou de carres, ou d'hexugones
reguliers; il est done probable qu'ils avaient observe
que le plan est decomposable en elements, soit de pre-
miere, soit de seconde espece.

LES LnNULES D'HIPPOCRATE

Voici le cas le plus simple envisage par Hippocratede
Chios (o* s. av. J.-C), un des plus grands goometresgrecs,
dans ses etudes sur les lunules qui portent son nom Q.

(>) La couslruclion donnce dans les ouvragcs dc gi-omutrie actucis

VARIETES 401

Soit un demi-cercle de centre 0 dans lequel est inscrit

nn triangle rectangle iso-
ci'.le AIJC. On elcve en A
et C, a AB et BG, deux
perpcndiculaires qui se
coupent en P et on decrit
de P comme centre, avec
AP comme rayon, I'arc
AQC. L'aire de la surface
curviligne ombree ABCQ
{lunule^ est equivalente a,
celle du triangle ABC.
On a
aire liinule =r aire triangle APC4-airel/2 cercle ABC

— aire 1/4 cercle PAQC.
Mais 1/2 cercle ABC et 1/4 cercle PAQC ont memo

aire, puisque A0' = l/2 AP ; d'autre part,
triangle ABC = triangle APC.

Par suite, aire lunule

aire triangle ABC.

L'ARBELON ET LE SALINON (') D'ARCHIMEDE

Soit un demi-cercle ABC. Sur son diametre AC con-

struisons deux demi-cer-
cles dont I'lin soit AD et
I'autre DC. Que DB soit
perpendicidaire sur AC.
La figure resultant de
cette construction et qui
est comprise entre fare
du demi-grand cercle et
entre les arcs des plus
petits demi-eercles se nomme arbelon [partie ombree

sous le nom de lunules d'Hippocrate et relative a un triangle rec-
tangle quelconque, n'a pas et6 etudi(5e explicitement par ce geometre.
(1) Voir i" Partie, Chap, i, § 2, la signification de ces termes.

FoORREY. — Curios. g4om. 26

402 APPLICATIONS DIVERSES

(le la fig.]. Je dis que I'arbelon est egal mi cercle qui a
pour diametre la perpendiculaire DB (Akchdiede, 3" s. av.
J.-C, Lemmes).

On a

AC' = (AD -l-DCy = AdV l3C'-h2AD X DC.
Mais 01;' = AD X DC. Par suite,

AC"=:AD -f-DC"-j-2DB .

On en lire
AC'

AD' Dr/\ _ Dir

8 V 8 8 / '■. 4

Colte relation, on le premier mombre repr^sentc
I'airc <le rarhelon, et le stu'-orul celU; du cercle de dia-
metre HM^ prouve I'exaclitude de la proposition.

Soil un demi-cercte AB. De son diametre AB retran-
chons les parties egales AC, BD. Sur les droites AC, CD,

BD decrivons des
clem i-c irco nfi-
rences; que E soit
le centre des dem i-
circonferences
AB, CD. Que EF
soit perpcndicu'
laire sur AB et
prolongeons EF
vers G. Je dis que
le cercle qui a FG
jDOur diametre est
igal a la surface comprise par la demi-circonference du
grand demi-cercle, par la demi-cir conference des deux
demi-cercles qui sent places dans le grand demi-cercle et

VARIETES 403

enfin par la demi-circonference du demi-cercle qui est
hors du grand demi-cercle [partie ombree de la fig.]. La
figure comprise entre les quatre demi-circonferences des
quatre demi-cercles AB, CD, DB, AG s'appelle salinon
(Archimede, Lemmes).

On a successivement, en observant que AC = BD,
AD=:FG = BC:

AD' = (AB — AC)^ = AB' + AC'" — 2ABxAC, (1)
AD" = (AC-4-CDy' = AGVcDV2ACxCD. (2)

Ajoutant (1) et(2) membre a membre, il vient
2 AD ' = AB' + Cd'' -f- 2 AC' — 2 AG (AB — CD),
2 AB %= Ab' + CD ' — 2 AC \

On en deduit

FG" ab\ cn' / Ac' bd'

ce qui demdntre Texactilude de la proposition.

LES ABBRES ET LES BREBIS (PROBLEMES LATINS)

Quel est le nomhre des arbres contenus dans un champ

[rectangiilaire^ de 120
pieds de long et 70 pieds
de large, ces arbres etant
disposes \suivant deux
series de files perpendi-
cuiaires'] rfe 5 en 5 pieds?
(Traite a'arpentage d'E-

I'APIIRODITUS, 1*"" S.).

L'auteur suppose que
des arbres sont plantes le long des limites du champ.
« Tu prends le l/o de la longueur, ce qui donne 24;

cxx

Arbres GCCLXXV

It

404 APPLICATIONS DIVERSES

de m6me pour la largeur, ce qui donne 14. Tu ajoutes
1, ce qui fait 25 et 15. Puis, lu multiplies 25 par 15,
le produit est 375. C'est le nombre d'arbres conlonus
dans le champ. »

Un champ \rectangidaire\ a 200 pieds de long et 100
de large. Je veiix y placer des brebis, de telle sorte que
chacune d'elles ait im espace de 5 pieds de long et 4 de
large.'Qu'il disc, je le demande, celiii qui lepourra, com-
bien on pent y mettre de brebis? (^Propositions p)our
aiguiser la perspicacite des jeunes gens d'ALcuiN, 8" s.).
II suffit de decomposer le champ en elements rcctan-

gulaires obtenus,

5 5 . d'une part au

moycn de paral-
leles menees de 5
en 5 pieds dans
le sens de la lon-
gueur et d'autre
part au moyen de
paralleles menees
de 4 en 4 pieds dans le sens de la largeur. Le grand

cdt^ du rectangle est ainsi divise en -^ = 40, le

petit c6te en = 25 parties egales. Le champ est par

4

consequent partag^ en 40 x 25 = 1 000 t^ldments rec-
tangulaires dans chacun desquels on peut placer une
brebis.

LE CHAT £T LE RAT (PBOBLtME HINDOIT)

Un chat grimpe sur un mur haul de 4 coudees vit un
rat rddant a 8 coudees du pied du mur. Le rat apergut
aussi le chat et se precipita vers sa demeure, au pied du
mur\ mais il fut atlrape par le chat qui avait parcouru
diagonalement une egale distance. En quel point des 8

VARIETES 405

coudees le rat a-t-il ete attrape el quelle distance ont-ils
parcourue?

Dis-moi, si le calcul des cercles t'est familier?

(Chatlrveda, posterieur au 6* s.)
Soicnt A ct G les positions primitives du chat et du rat,

AB le miir vertical, BG le
'"' ""^•v sol horizontal, 0 le point de

•-^ \ la capture tel que AO = OG.

\ ^"^N.^ \ Le point 0 dont il s'agit

\ Q ^--^ i de determiner la position
Q ' Q est le centre d'uncercle pas-

sant par A et G; soit D le
point oil BC coupe la circonference de ce cercle. Le trian-
gle rectangle DAG donne

AB'=:BDxBG,

On en deduit

DG = 2H-8=:10, 0G = 5 et 0B = 3.

Le chat ct le rat ont done parcouru chacun 5 coudees
avant leur rencontre.

PROPRIETE MYSTICO-GEOMETRIQUE DO CERCLE

Geltc propridte est indiquec d'une maniere tr^s obs-
cure dans le Traite hebreu d'arithmetique du rabbin
Ibn-Esra, qui vivait au 12* si6cle ; Tenigme a 6te devi-
nee en 1839 par M. Eichenbaum d'Odessa.

Soient un cercle 0 et BE un de ses diamMres. Inscri-
vonsdans le cercle le^ triangle isocele ABG dont la base
AG, perpondiculaire au diametre BE, coupe ce dernier
en D, au tiers du rayon a parlir do 0.

406

APPLICATIONS DIVERSES

Le triangle rectangle EAB donne

AD — y/liO X DE = sjij^r x 2/3r = - r \/2 .

Par suite,

8./:^

aire ARC =r AD x T5D = ~ \/2 r\

Le rapport de cette aire au perimetrc 2r.r de la circon-

lerence est

A est tres sensiblement egal
a 4/5r. En sorte que si le
diametre du cercle a pour
valeurl0(r = 5), onaA=:l
et I'aire du triangle inscrit
ABC est exprimee par le
meme nombre que le p^ri-
metre de la circonference ;
cette propriety n'a lieu que pour le diametre 10. Or 10
est la valeur numerale de la lettre initiale du mot Jeho-
vah ('); il existe done une relation mystique cntro ce
motet les propriet^s du cercle.

SDR LES AIRES DES POLTGONES RtGULIERS

, Du Fat {Hist, de I' Ac. des Sc. de Paris, 1727) a ^tabli
entre les aires des polygones reguliers inscrit et cir-
conscrit a unmSme cercle, ou entre les aires des cercles
inscrit et circonscrit a un mcmc polygene, de curieuses
relations qui nous paraissent etre restees completement
dans I'oubli.

(1) LesH^breux avaient empiunte leurs chiflfres a I'alphabet litterairc.

VARIETES 407

I. La difference entre les aires de deux polygones^
reguliers de n cdtes, L'un P circonscrit, I' autre P' in-
scrit a un meme cei^cle, est egale a I'aire d'un polygone
regulier de n cotes P" inscrit dans un cercle dont le dia-
metre est le cote du polygone P {pu circonscrit a un
cercle dont le diametre est le c6t6 du polygone P').

Soient, pour fixer les
idees, deux pentagones
reguliers ABODE et
A'B'G'D'E', Fun circon-
scrit, I'autre inscrit h un
cercle de centre 0. L'un
des triangles formant la
difference entre les aires
des deux polygenes regu-
liers, C'CD' parexemple,
peut etre partag^ en deux triangles rectangles egaux
CNC et GND' ; ceux-ci, accoles dans un autre sens, peu-
vent former un triangle isocele PD'G dont Tangle au
somniet PD'G est Tangle au centre d'un pentagone
regulier inscrit dans un cercle de rayon GD' ou de dia-
metre GD (ou bien circonscrit k un cercle de rayon D'N

ou de diametre C'D').

II. Si Ton elevepar chaque
sommet du polygone inscrit
P' une perpendiculaire au
cote, on forme au centime wi
polygone regulier egal a P.
Le polygone obtesu
GHIJ... est regulier; il a
le meme nombre de cotes
que P et P', et son centre 0 est le meme que celui de ces
deux polygenes.

Si Ton abaisse des perpendiculaires OS et ON sur GH

408

APPLICATIONS DIVERSES

et C'D', on a OS = C'N =

CD'

Ainsi le rayon du

cercle inscrit a GHIJ... est egal au rayon du cercle in-
scrit h P" (I); il en resulte que GHIJ... est dgal 5, P".
Lorsque le nombre des cotes de P' est pair, il suffit pour
obtenir les perpendiculaires aux c6tes donnant GHIJ...
de joindre les extremites des c6t(5s paralleles de P'.

III. Si deux cercles sont I'lm inscrit^ I'aulre circonscrit
a un polygone regiilier, I' aire de la couronne qii'ils com-
prennent est 6gale a I'aire dii cercle dont le diametre est
le cdt6 du polygone regulier.

En efTct, soient ABODE le poly-
gone donne de centre 0, OA le
rayon du cercle circonscrit, OF le
rayon du cercle inscrit. Le triangle
vectangle OFA donne

OA' — OF=AF

On en deduit

ou

ab;

4

z(OA' — 0F") = -
ce qui d^montre la proposition.

AB'-

POLYGONE SPIRAt

Solt ABC ... un polygone re-
gulier inscrit dans un cercle
de centre 0. Par le point 0,
menons les rayons relatifs aux
sommels et abaissons des per-
pendiculaires sur les milieux
E,F, G,... des cote's. Du milieu
F de AB, abaissons ensuite une
pcrpendiculaire FI sur BO, puis de I une pcrpendicu-

VARIETES 409

Laire IJ sur GO et ainsi de suite jusqu'a ce qu'on ren-
contre AO. Le polygone AFI... P ainsi obtenu a et6
denomme par Du Fay {Hist, de I' Ac. des Sc. de Paris,
1727) polygone spiral.

Aire du polygone spiral. — Designonspar a, d\ «", «'", ...
Jes longueurs OA, OF, 01, OJ, . . . Les triangles AFO,
FIO, IJO, ... sont semblabies et donnent

_« a^__d'- ,

~a:~'d'~'d" '

k d^signant une constante.

Mais on a aussi

aire AFO
aire FIO

a} ,2

aire FIO d^ ,2

aire IJO d'-

Ainsi les aires des triangles AFO, FIO, IJO, ...
forment une progression geometrique de raison

a""
II est des lors facile de determiner I'aire d'un poly-
gone spiral quelconque (3* Partie, Chap. 1, § 3) lors-
qu'on a evaluele rapport constant k et I'aire du premier
triangle.

Crochet. — ABC... ou P estle polygone regulier cir-
conscrit au cercle de rayon OF, et EFG... ou P' estle
polygone regulier inscrit au m^rae cercle. Prenons sur
OA, 0A'= OF, puis menons par A' h. AF une parallelc
qui coupe OF en F', puis par F' une parall^le FT k FI
et ainsi de suite jusqu'a ce qu'on rencontre OA. On
obtient ainsi un polygone spiral interieur A'FT... ou
S' qui correspond au polygone P' (rayon du cercle cir-

410

APPLICATIONS DIVERSES

conscrit OF = OA') corame le polygene spiral exterieur

AFI... ou S correspond au
polygone P (rayon du cercle
circonscrit OA),

La surface ombree comprise
enlre les contours de S ct de
S' a dte appelee par Du Fay
un crochet; et ce crochet G
joue dans les polygones spi-
raux le meme role que le
polygone P" de la question

prec^dente dans les polygones reguliers.
On a

aire S _ aire AFO _ aire AFO _ aire P
aire S' ~ aire A/Fl) ~" IdleTlO ~ aire P'

(1)

Ainsi le rapport des polygones spiraux S et S' est
egal au rapport des aires des polygones reguliers cor-
respondants P et P'.

D'autre part, on deduit de la relation (1)

aire S — aire S'

aire S'

ou

aire G aire P — aire P'

aire S'

aire P'

Au moyen de cctlc derniere relation, on trouvera

par exemple que dans le triangle Equilateral oii

aire P — aireP' or- j ut ii^-ij

: — -r- = 3, 1 aire du crochet est le triple de

aire P

celle du polygone spiral int^rleur; dans le carrd, oii

. ^, = 1, I'aire du crochet est egale h. celle

aireP

du polygone spiral int^rieur.

MESURE D'UN ANGLE SANS RAPPORTEU

Mesurer unangle^kQAsansraiyi)orlciir QilQ^TX.QX.k^ill'S),

VARIIiTES 411

Du soramct A dc cet angle comme centre, avec le plus

grand rayon possible, on d6-
crit une circonference qui cou-
pe les c6t6s AB et AG en D et
E. On divise ensuite la circon-
ference en 2, 3, 4, 5, 6, 8, 12,
13 parties egales en prenant
comme origine le point D ;
puis on porte Tare DE sur la
circonference autant do fois
qu'il est neccssairc pour lomber sur I'un des points do
division.

Supposons par excmple qu'apres avoir porte DE
43 fois de suite, on ait lait un peu plus de 3 revolu-
tions completes et qu'on iombe sur la 2" division F
de la circonference partagee en 5 ; le cinquieme de
la circonference 6tant de 72", Tare total parcouru a
pour valeur 3 x 360 + 2 x 72 =: 1224", et Tare DF,

i2M" = 94»A-.
13 13

iGkint OU SYMETRIE?

Tout le monde sait que nos pieds sont egaux pai'
symetrie et non egaux par superposition. Gependant, on
a longtemps fait les deux souliers, de droite et de gau-
che, sur une meme forme; autrement dit, on les fai-
sait (5gaux par superposition.

L'anatomiste .hollandais Pierre Gamper (1722-1789)
parait etre le premier qui ait signale I'inconvenient de
cette fagon de proc^der, dans une curieuse Dissertation
sur la meilleure forme des souliers (Xl^i). Voici le debuL
de son Avanl-propos : « Une plaisanteric a donne lieu
a ce petit Trailc sur la meilleure forme des souliers :
j'ai voulu prouvcr a mes anciens elcves, qui me soutc-

-412 APPLICATIONS DIVERSES

noient que les mati^res a dissertation ^toient ^puisees,
■que le sujet le moins important, fiit-ce un Soulier, un
Sabot, etc. pouvoit devenir interessant entre les mains
de quelqu'un qui le possederoit a fond et qui parleroit
4ivec connaissance de cause. On me fit un defi : on crut
du moins que je n'oserois jamais le publier sous mon
nom. Je me pretai a la plaisanterie, et j'ecrivis... »

UN COLIMAQON GEOMETRIQOE

Voici une curieuse construction indiqu^e dans le
Dictionnaire de Mathematiques de Klugel (tome VI,
Leipzig, 1833).

Solent un triangle ABC, D le milieu de AC, D' le point
de BG silue au quart de ce cote h. parlir de G. On joint

les points D et D' et on prolongc DD'-d'unc longueur
D'C'=:DD'. On prend D" au quart de BG' a partir de
C', on joint D' et D' et on prolonge D'D' de D"G" = D'D'.
En continuant ainsi, on arrive a construire les 12 tri-
angles ombres de la figure ci dessus dont il s'agit d'eva-
luer I'airo totale.

VARIETES i\^

Remarquons d'abord que si E et F sont les milieux
de AB et GB, on demontre sans difficulle que les angles
marques 1, 2, 3, 4, 5, 6 dans le triangle ABC se retrou-
vent deux fois successives dans cet ordre autour du
point B; de sorte que BC^ est dans le prolongementde-
BD, que C^ tombe sur AB et C''' sur BD.

D'autre part, I'aire de BD'C est les 3/4 de I'aire S' de
BDG, I'aire de BD"C" est les 3/4 de celle de BD'C. et
ainsi de suite. Les aires des triangles ombrds ferment
done une progression geometrique dont le premier
terme est S et dont la raison est q = 3/4. Si nous suppo-
sons que la conslruction indiquee est poursuivie indc-
finiment, la somme des aires deces triangles est (3* Par-
tie, Chap. 1, § 3)

■ S S

y-9 i_i

4

= 4S.

Elle est done egalc au double de I'aire de ABC.

La somme des aires de ces triangles, a parlir du

312

5*

treizieme, dont I'aire est Sx— r , est de meme

I Mia '

Q12

4»-

= 4sYi

1—^

\4

4

La somme des aires des 12 premiers triangles, c*esU
a-dire I'aire de la partic ombree, est done egale a

4S-4s(|)" = 4S[l-(|y].

AIRE D'UN TRIANGLE A SOMMET INACCESSIBLE

Precede pour evaluer I'aire d'un triangle ABC dont

414 APPLICATIONS DI VERSES

iin sommet B est inaccessible (Bailly, Comptes Rend, de
I'Ac. desSc, 4855).

Au moyen d'une equerre d'arpenteur donnant Tangle

de 60", Iragons deux obliques pas-

,B sant par B et inclinees de 60° sur

vV^ AC: le triangle DBE est equi-

/ \\ lateral.

/ \

-^j. Les deux triangles ABC et DBE,

qui ont menie hauteur, sont entre
cux com me lours bases. On a done

aire ABC = aire DBE. -?.
DE

INIais aire DBE z=De'^;

4 '

ddi aire ABC =:^. AC. DE.

4

II suffit done de mesurer AC et DE pour obtenir
Taire de ABC par une simple rnulliplicalion.

§ 2. — Simples problemes.

Au f/rand soleil jc viens de mellre

La lance de mon clendard.

ISa longueur vaul irois fois le nietrCf

i>on ombre a cinq metres un quart,

*
n( *

Eh bien ! la tour de cette er/lise

Far son ombre nous marque cent.

Dis-nous la hauteur precise

De ce docher retentissant.

(ViTRET, Contes et Comptes, I860.)

VARIETES 415

On trouve sans dlfficulte la solution de ce probl^me:
Si™, 143.

LE BASSm FLE0BI

7*00^ aulour d'un rond-point je plante nne hordare
De buis el de gazon, de fleurs et de verdure
Ainsi que de fraisierSj d'arhusles differenls.
Ce travail, iermine par le jardinier Blaise,
Pour an metre de long me coute 6 francs 16
Etje dois pour le tout soixante-douze francs.

Combien le diametre
De mon bassin fleuri que j'aime tant a voir,
Et qu'en ete j'ai soin d'arroser vers le soir,
Doit, selon Melius Q) porter de fois le metre?

(ViTREY, Conies et Comples, 1860.)

Le p^rlmetre est csral a — =^ et le diam^lre h
'^ =3,72.

LIS DEUX FORTERESSES

Legendre avec Blanchel prouvent qu*nne surface
Observe en grandissanl le rapport des carres
Que donnent les contours ensemble compares.
Pour nier ce principe il faadrail de I'audace,
Paisque fai pour garanls deux auteurs reveres
Qu'on n'accusa jamais d'erreur ou de systeme
Et dont le monde instruit admet les theoremes.

En deux heures fai fait le tour de Besangon
A pied d'abord, ensuite en montant une barque
Oil je me prelassais comme un petit monarque,

(») Adriacn Anthonisz (15^7-1607) surnomnie Melius (originaire de Metz),

355
culebre pour sa decouverte de la valeur approchee -rrz du rapport de la

circonference au diametre.

416 APPLICATIONS DIVEBSES

Trois quarts me suffiraient aufour de BriauQon

Qui des Alpes aa loin domine les monlagnes

El du vert Dauphine protege les campagnes,

Au pays du calcul, savant exploratevr,

Comparez avec soin ces villes en grandeur

Et puis determinez que de fois la premiere

Pourrait en itendue egaler la derniere.

Dans ce but supposons que les remparts, les tours

Qui ceignent de leurs contours

Le rocher cisalpin, vrai nid inexpugnable

Par des brouillards epais conslamment visile.

Pendent son polygone en tons les points semblahle

A I'antique rempart de la Franche-Comte.

(ViTREY, Conies et Comptes, 1860.)

Le rapport des perimetres est ogal a 2: 3/4, celiii de

1 , , , 9 , 64 - 1 J . ,

leurs Carres a 4 : — ou a — =7 — ; ce dernier nombre
16 9 9

est le rapport des elendues des deux villes.

L'AIRE ET LE CONTOUR

Pierre a un champ de 500 7netres de con lour qui est
carre ; Jean en a un rcctangidaire de nihne contour et
propose a Pierre d'echanger les deux champs. Pierre doit"-
il accepter ?

Non, car de tous les rectangles dent le pcrlmotrc est
le m6me, le carre est celui dont I'aire est maximum.

Un gourmet paie un franc une botle d'asperges entourr'"
d'une ficelle ; le lendemain, il demande pour deux francs
une botte des mhnes asperges qui soil entouree dune
ficelle de longueur double. Est-ce equitable?

Non, car un cercle ayant un contour double d'un
autre a une aire quadruple ; la seconde botte contien-
drait done 4 fols plus d'asperges que la premiere.

VARUiTliS 417

Un jardinier a droit a I'e.au que hiiapporte im conduit '
circulaire. II pay e pour avoir le double d'eau et il double
a cet cffet le diametre du conduit. On lui fait un jjro-
ces.

Observation analogue a celle du problcrrie precedent.

Un particulier a emprunte un sac de grain de 4 pieds
de haul et de 6 pieds de tour et il rend, pour se liherer,
deux sacs de 4 pieds de haul et de 3 pieds de contour
chacun. On demande s'il a rendu la quant ite de grain
emprunte'.

II n'en rend que la moitie. Car deux cylindres de
meme hauteur sont entre cux comme leurs bases ; or
la base du gros cylindre ayant un contour double de
cliacune des bases des petits cylindres, a aussi un dia-
metre double et par suite une aire quadruple.

AO SPECTACLE

Tracer Fenceinte d'une salle de spectacle de maniere
que tes spectaleurs places dans le pourtour voient tous la
scene sous le meme angle (Mau]5chal-Duplessis, 1829).

Soient ABlc devantde la scene, 53° la valeurde Tangle
que nous supposons le plus convenable
C . ^ la vue et sous lequel on veut que la

scene soit apergue. On fait avec AB en
A un angle BAG egal a 53°; le point
d'interscction 0 des perpendiculaires
elevecs a AC en A et ^ AB en son mi-
lieu K est le centre d'un cercle passant
par A et B et tangent en A a AC,
L'arc ADB repond a la question, car tous les angles
ayant leur sommet sur cet arc et dont les cotes passcnt
par A et B sont egaux a BAG comme ayant meme
mcsLire.

FounuEY. — Curios, gcom. 27

4-18 APPLICATIONS DIVEaSES

aUESTIONS D'ARPENTAGE

Un rhamp rectangulaire a ete inesure avec tin deca-
metre trop long de 0'°,02. On a trouvc 22"% 1^ pour
sa surface ; on demande sa surface reelle.

Ainsi a chaqiie mesure effectu^e de 10 metres corres-
pond une mesure reelle de 10™, 02 ; les longueurs mesu-
rees sont done aux longueurs reelles dans le rapport
de 1 000 a 1 002. Les surfaces semblables etant entre
elles comme les carres des c6tes homologues, la surface
calcuMe sera a la surface reelle dans le rapport do
1 000" a 1 002^, c'est-a-dire que cette derniere aura pour
valeur

22,75 X ^-^, = 22 "", 841 .

1 ooa"

Vourquoi en arpentage 7nesure-t-on horizon'alement
les longueurs?

Les plantes poussent verticalement, de sorte qu'un
terrain inclind ne produit pas davantage qu'un terrain
d'aire egale a la projection du premier surun plan hori-
zontal.

11 en est de meme si Ton veut (^difier une construc-
tion : le premier terrain ne donne
pas plus d'emplacement que le
second.

Deux villages k. et ^ occupent
des positions connues des deux
cotes d'une riviere. Etablir un
pont equidistant de chacun d'e-ux.

II suffit d'elever une perpen-
diculaire DE sur le milieu (ie
a droite AB qui joint les deux villages ; I'intersection G

VARIETES 419

dc DE ct de I'axe du cours d'eau determine I'emplace-
mcnt du pont.

Tracer une route equidistante dc qiiatre points.

Soit 0 le centre de la

.9- ,.p circonference passant par

trois des points B, C, D
par exemple. Joignons OB,
OA, et soit E le point de
rencontre de OA et de la
circonference BCD. Si F
est le milieu de AE, 0 est
le centre et OF le rayon
d'une circonference equi-
distante de A, B, C, D.
1,1 y a plusieurs solutions.

LA PIE INGENIEUSE

Un. jnur d'ete, une pie apergoit de I'eau dans un trou
tronconiquc de Spouces de diametre aufond. EUe accourt
&t constate que I'eau a une surface de 6 ponces de din-
metre ets'elev.e
^ ^ ^ ^ a une hauteur

de 2 pouces.
Lapietiepour-
rait atteindre
i'eau que si sa
surface avait
C fouces et 1 iigne de diametre. EUe vole vers un tresor
qu'elle a accouvert. • conibien faudra-t-il quelle y prenne
de pieces de monnaie d'une ligne d'epaisseur et de iQ liqnes
de diametre., pour qu'en les portant dans I'eau eile puisse
boire a son aise (D'apres Rebikre, Mathematiques et
Mathemaltciens^.

420

AFI'LICATIONS DIVERSES

Solent BG le niveau de I'eau au debut, DF cc niveau
lorsquc lo diamfetre atteint 6 pouces 1 ligne et AIJ la
perpendiculaire abaissee de A sur BG et DF. Menons
ACE parallele ^ HGF.

Sachant qu'un pouce dquivaut a 12 lignes, on a suc-
cessivement AH ==36', BG = 72', DF = 73', AI = 24',
BG = BG — AH = 36', DE = DF — AH = 37'. On pent
ccrire

M^I^E; d"ou AJ = — et IJ = AJ — AIrr.2/3'.

AI BG' a '

Pour resoudre le probleme, il nous suffit maintcnant
d'cxprimer que le volume den pieces de monnaie cylin-
driques equivaut au volume du tronc de cone BDFG,
cc qui donne

„><, . 8-^ |-T-2+75+72><13j_

(I'oii w = 13,7.

II faudra done 14 pieces dc monnaie.

§ 3. — Casse-t6te divers.

I. Un pere laisse a sa morl un champ carri dont on
V, c

V

I

I

doitdonner le quart aux pauires et dont le reste doit Sire

VARIETES 421

divise pour les quatre enfants en par ties de meme surface
et de meme forme.

La 2° %. ci-dessus donne la solution.

II. Etant donne la figure BGDEFG (I, page 420) la
decomposer en elements qui, assem-
bles, forment un carre.

En operant la meme de'eompo-
silion qu'au probleme precedent
et assemblant les quatre dlements
obtenus comnie il est indique ci-
contre, on obtient un carre 6gal
a ABCD ct dont la partie ccntrale,
qui est vide, est (?gale au carre AGFE.

III. Un proprietaire possede une maison disposce,
comme le montre la figure, dans un jardin de forme carree
contenant 45 arbres plantes reguiierement. Comment

'

m

..

o
o
o
o

o
o

o

o o o o
O O o o

o

o

o

o

o

°

o

o
o

o

M

o

o

o

o

o

devra-t-il diviser le jardin pour que les cinq locataires
de la maison aient chacun des portions egales avec le meme
nombre d' arbres?

La seconde figure ci-dessus donne la solution,

IV. Un pere en mourant laisse a ses quatre enfants
un champ carre contenant 12 arbres disposes comme
il est indique ci-apres et une fontaine en son centre.
Comment doit s'effectuer le partage pour que chacun
des enfants ait une parcelle d'aire egale, de meme

422 APPLICATIONS DIVERSES

forme, aboutissant a la fontaine et rcnfcrmant le mhne

iiomhre d'arbres? (Solution: 2" lig. ci-dcssus).

V. Decomposer un carre AB CD envingt triangles erjaux .

La fiorure ci-
/ ^^^ centre est sufii-

samment expli-
cite; nous nous
coatenterons do
faire reraarquer
que E, F, G, II
sont Ics milieux
des cotes dii
carre.

Onpeulformer
une croix de Ge-
neve avec ces
vingt triang-les ;
il siiffit de porter le triangle AIE en BJE, et de menie
pour les trois Iriangles disposes comine AIE.

YI. Assembler qiiatre de cha-
cun des j)oiygones A, B, G, de

mower e a constHuer un octonnnc
r^'Qtiltcr. (Solution ci-conlre).

VAKIliTliS

423

VII. Avec quatre figures
iden.iques a celle represeii'

tie ci-contre, former iin car^
re. (Solution ci-contrc).

■

m

^

1

B

1

__

1

VIII. A ssemhler douze
figures identiqites a cellc
representee ci-
contre dc ma~
niere a former
deux croix
concentriqiccs. (Solution
ci-contie).

IX. Un charpcntier posffede tine planchc dc O^jSO dc
longueur et de 0™,30 de largeur. Suwant quelle Itgne
doit-il la scier pour constiluer avec Ics rnorceaux obtenus
une planche de I'", 20 de longueur sur 0"',20 de largeur?

B 0,80 c Le charpcntier

aura la solution
H en faisant passer
la scic suivant
la ligne briseo
EFGH (/i,g. a) ou
J.. E et 11 sont res-

Ing. a.

pcctivcment au

tiVrs de AB ct CD a partir de A el C, la droilc GF so

trouvanl au milieu de la lonsrucur.

424

APrLICATIONS DI VERSES

B'

1,20 C'

H'

C'

11'

T/

■F'A"

Fiir. b.

II poiirra ensiilte disposer les deux morceaux comme
I'indique la figure d.

§ 4. — Subtilit6s.

I. Etant donne line feuillc de jmpicrrectangtilaire, qtie
faiil-il faire pour passer a i? avers en la laissant d'une
teule piece ?

II suflit de decouper cette fcnillc comrac il est indique

sur la figure ci-conlre de
maniere aformerunelaniere
ininterrompue.

On pourrait qualifier ce
problemc de « problem e de
Didon » , car la legende nous
apprcnd que c'est Temploi
d'un avlifice analogue qui

permit a la fondalrice de Carthago de s'etablir sur la

c6te d'Afrique.

II. Etant donn^ un triangle forme avec trnis allvmettcs,

construire, avec trois h-itresatlum ci-
tes, trois triangles egaux ait premier.

II suffit de terminer la construction
du tetra^dre r^gulier dont le trian-
gle donnc est la base. Pour lairc
tenir le systcme en place, on n'aura
qu'a entlammer le phosphore des
allumettes et a Teleindrc aussitot.

VAKIKTKS

42 r»

III. Diviser tin triangle equilateral en 9 parties egalea
par iin trait continu sajis repasxer
sur line ligne deja, tracee et sani
traverser une telle ligne.

La solution est indiqu^e sur la
figure ci-contre ou les chifTres indi-
qucnl I'ordre des points succes-
sivcmcnt renconLres dans le trace du Irait.

IV. Tracer un rectangle et ses diagonales sans passer
par line ligne dejd tracee.

Co probleme est impossible a resoudre sans employer
un artifice.

Soil ABGD (Jig. a) la feuille de papier oil Ton doit effec-

4

1

1

3
C

1

3

A V

Fig. b.

B C

7

A D

Fig. e.

tuer lo trace. On rabat la partie sup^rieure BC de cette
feuille en GH (pli suivantEF).

On trace alors (fig. b) le c6t^ 1 du rectangle sur le
recto et on prolonge ce cote sur le verso ; puis on trace
2, 3 sur le verso et on prolonge 3 sur le recto.

Rabattant alors la partie sup^rieure de la feuille
(Jig. c), on trace successivement sur le recto 4, 5, 6, 7.
On obtient ainsi par un trait continu un rectangle et
ses diagonales.

426

APPI.JCATFONS DIVERSES

V. Construire un dodecagone equilateral et rectangle.
Cost le dodecagone represents par la
croix do Geneve.

VI. Un elang a la forme d'un carrc;
a chacim des sommets et exterieurement
est plante un arbre. Donner a I'etanq
line surface double sans changer sa
forme et sans deplacer les arbres qui
dowent toufours rester en. dehors de I'etanq.

11 suflit de tracer un second carre EFGH dont les
c6tes passent par les sommols
du premier ABCD et soient
puralleles aux diagonales de
^.C celui-ci.

F

VII. Un carton est perce de

trois ouveriures A, B, C ayant

respectivement la forme d'un

*^^ triangle equilateral, d'un carre

et d 'un cercle, les cotes des deux

premiers et le diametre du troi-

sieme etant egaux. Trouver la forme d'une cheville qui

puisse passer par les trois ouveriures.

C est le cercle
inscrit dans le carre
B. II suffit detainer
un cylindre — un
Louchon, par
exemple — ayant G
pour section droitcj
de telle sorte que sa
hauteur soit 6gale h celle de A, puis on coupe lat^ra-
lement ce cylindre par deux plans inclines symelriques
se rejoignant suivant un diametre MN de la base
infdrieurc.

A

B

0

VAIUETES

427

On pourra alors fairo passer cetic cheville dans les
ouverlures B et C en placant les genera-
trices PM normalcjneiit au carton. Pour
I'introduire dans I'ouverlure A, on fait
glisser la droile MN en un sommet du tri-
angle et la surface du cercle le long du cote
oppose.

VIII. Avec line mSme oimerture de compas, d^crire des
cercies de rayons differents.

Mg. a. — On d^crit un cercle sur un plan.
Fig. b. — L'une des pointes du compas repose sur une
cale dont on peut faire varier I'epaisseur, ce qui fait
varier en meme temps la grandeur du cercle.

Fig. c. — L'une des pointes du compas reposant sur le
sommet d'un cone circulaire droit, I'autre pointe decrit

Fig, a.

Fig. &.

Fig. e.

Fisr. d.

line circonference sur la surface de ce cone. L'ouverture
du c6ne variant, il en sera de meme du rayon de la cir-
conference.

Fig. d. — On trace un cercle a la surface d'une sphere;
en modifiant le rayon de la sphere, on modifie aussi le
rayon du cercle.

On peut done obtenir une infinite de cercies avec
une m6me ouverturc de compas ; celui correspondant
au cas ou les deux pointes du compas sont dans le plan
du cercle decrit est de grandeur maximum.

TABLE DES MATJERES

P»ges.

Introduction. — Esqnisse de I'Histoire dc la g^om6trie ^l^men-

taire 1

§ 1. — L'Orient antique : G^ometrie pratique 2

§ 2. — Les Grecs : Gdometrie theorique 5

§ 3. — Les Remains : Les Agrimenseurs 18

§ 4. — Les Hindous : G^ometrie versifi^e 19

§ 5. — Les Arabes : Transmission des oeuvres grecques. . 21

§ 6. — L'Occident latin au Moyen age 23

§ 7. — Les Modernes 26

PREMIERE PARTIE

DES DEFINITIONS ET DEMONSTRATIONS GlilOMfeTRIQUES

Chapitre premier. — Definitions et denominations 33

§ 1. — Definitions. . . 33

§ 2. — Denominations 48

§ 3. — Gurieuses definitions S6

^'

,€hamtre II, — Theoreme de Pythagore 64

§ 1. — Historique 6o

« I § 2. — Demonslrationsbaseessurl'dquivalencedesfigures. C9

.^ i. § 3. — Demonstrations par transposition d'elements. . . 80

. § 4. — Demonstrations algebriqucs 90

§ 5. — Varidtes 93

Chapitre III. — Casse-tete geometriques 106

§ 1. — Loculus d'Archimede 106

§ 2. — Composition d'un carrd au moyen de carres egaux.

Decomposition d'un carre en carres egaux. , . 109

430

TABLE DES MATIIiRES

§ 3. — Decomposition de polygones equivalents en ele-
ments siiperposubles 125

§ 4. — Probleme de Hart 137

Chapitre IV. — Paralogismes geometriques 141

§ 1. — Fautes de construction 141

§ 2. — Fautes de raisonnement 147

DEHXIEME PARTIB

LA GEOMETRIE DE MESURE

Chapitre premier. — Les ancetres de nos instruments de dessin

et de topographie lo3

§ 1. — Dessin ^ 133

§ 2. — Traces sur le terrain IM

§ 3. — Mesure directe des distances 177

§ 4. — Mesure indirecte des distances 178

§ 5. — Mesure des angles 201

§ 6. — Mesure des petits segments linuaires et circulaires. 202

§ 7. — Nivellement 210

Chapitre II. — Mesure des polygones 220

§ i. — Triangles 220

§ 2, — Quadrangles 2:i8

§ 3. — Surfaces planes quclcontiucs 247

Chapitre III. — Mesure dix cercle 2ol

§ 1. — Periode anterieure a* Arcliimcde 231

§ 2. — Les travaux d'Arcliimcde 234

^ § 3, — Periode posterieure a Archimude 2G0

Chapitre IV. — Division des figures planes 208

§ 1. — Problemes preliminaires 2G9

§ 2. — Les droitesde division passent par un point donn^. 274
§ 3. — Les droites de division sont paralleles a une di-
rection donnee 280

§ 4. — Questions diverses 290

Chapftre Y. — St6r6ometrie 297

§ 1. — Corps polyedraux 297

§ 2. — Corps ronds 310

§ 3. — Geometric hugodomoidalc 319

TABLE DES MATIEKE3 431
TBOTSlflME TAnTIE

APPLICATIONS DIVERSES

CHAPiTnE rnEHTER. — Applications de la g^ometrie an calcnl. . 327

§ 1. — Execution des operations arithmetiques .... 327

§ 2. — Resolution des problemes numeriques 332

■§'3." — Sommation des progressions geometriques. . . . 344

"^4. — Sommations de series 354

§ 5. — Application au calcul des probabilites 360

Chapitre II. — Le jeu de carrelage 3G3

§ 1. — Preliminaires 363

§ 2. — Assemblages dc polygones de meme type. . . . 364

§ 3. — Assemblages de polygones de types differents.. . 363

Chapitre 111. — Alveoles des abeilles 372

§ 1. — Forme et disposition 372

§ 2. — Proprietes geometriques 373

§ 3. — Construction d'un alveole 383

Chapitre IV. — Varietcs 389

§ 1. — Melanges historiqnes 389.

§ 2. — Simples problomes 414

§ 3. — Gassc-tcte divers 420

§ 4, — Subtilites 424

CHARTRES. — IMPRIMERIE DURAND, RUE FULBERT.

IVERSITY OF CALIFORNIA AT LOS ANGELES

THE UNIVERSITY LIBf^PV