COURS D'ANALYSE INFINITÉSIMALE
COURS
d'Analyse Infinitésimale
PAR
Ch.-J. de la Vallée Poussin
Professeur b. l'Université de Louvain
Membre de l'Académie Royale de Belgique
TOME I
Troisième édition
Considérablement remaniée
LOUVAIN
A. Uystpruyst-Dieudonné
ÉDITEUR
10, rue de la Monnaie, 10.
PARIS
Gauthier-Villars
ÉDITEUR
55, Quai des Grands Augustins, 55.
1914
lllf
JXa ^ ÎU«4 f^ t^^WjJJIis^^^^^d^ Sif^.
Avertissement de la troisième édition.
Le texte de cette troisième édition a été revu avec le plus
grand soin et nous lui avons apporté un grand nombre d'amé-
liorations de détail. Toutefois nous ne signalerons ici que les
modifications les plus importantes.
En ce qui concerne la partie élémentaire ou le grand texte,
nous avons abandonné l'ancienne définition de la différentielle
totale et adopté celle de Stolz (*). La supériorité de cette défi-
nition a été mise en lumière par les travaux de MM. S. Pier-
PONT (**), Fréchet (***) et surtout W. H. Young (****). Elle est
indiscutable ; les théorèmes découlant plus directement des
principes, la théorie de la différentiation des fonctions explicites
et implicites devient plus serrée et, par le fait, plus satisfai-
sante. Signalons encore que nous avons précisé les démonstra-
tions relatives aux applications géométriques en introduisant
les hypothèses de continuité ou de dérivabilité au fur et à
mesure de leur nécessité seulement.
Passons maintenant aux théories plus élevées données dans
le petit texte. Nous avons rejeté dans l'introduction et simplifié
la théorie de la mesure des ensembles qui embarrassait précé-
demment le chapitre relatif aux intégrales définies. Nous avons
refondu tout entière la théorie de l'intégrale de Lebesgue, mais
nous avons conservé le procédé que nous avions introduit précé-
demment pour remonter de la dérivée à sa primitive. Plusieurs
(*) Stolz. Grunzuge der Differeniiaî und Integral-Rechnung, 1. 1, Leipzig ;
I893.
(") J. PlERPONT. Theory of fonctions ofreal variables, t. I, Bos'on ; igoS.
(•") M. Fréchet. Sur la Notion de différentielle totale. Nouvelles aiiuales
de mathématiques, 4*^ série, t. XII ; 191a.
(****) W. H. Young. The fundamental theorems of Differeniiaî Calculas,
Cambridge, 1910.
VI AVERTISSEMENT DE LA TROISIEME EDITION
années d'expérience et nos recherches personnelles nous ont
suffisamment montré ses avantages et sa fécondité. Aussi bien
son utilité apparaîtra-t-elle dans deux paragraphes nouveaux,
l'un consacré au problème du changement de variable dans une
intégrale définie, problème qui paraît recevoir ici sa solution
définitive, l'autre consacré à la recherche de la primitive d'une
dérivée seconde généralisée, question fondamentale dans la
théorie des séries de Fourier.
Nous avions donné, dès notre première édition, une démon-
stration très intuitive du théorème de Jordan sur les courbes
fermées. On lui a reproché de n'être qu'indiquée (*). Parmi d'au-
tres, ce reproche est le seul qui nous ait paru réellement fondé.
C'est pourquoi l'on trouvera dans cette édition la démonstration
développée dans tous ses détails. Pour éviter toute équivoque,
il convient d'ajouter que nous considérons tous les termes de
cette démonstration comme susceptibles d'un sens purement
arithmétique.
Puisse ce livre inspirer le goût de la réflexion et rendre ser-
vice aux jeunes gens qui désirent approfondir les principes de
l'Analyse.
Louvain, le 12 septembre igiS.
(*) Encyclopédie des sciences mathématiques, t. II, v. I, p. loo.
TABLE DES MATIÈRES
INTRODUCTION
§ I. Nombres réels i
§ 2. Variables réelles. Théorie des limites 8
§ 3. Des fonctions d'une variable réelle 20
§ 4, Fonctions de plusieurs variables réelles .... 27
§ 5. Fonctions élémentaires 3o
§ 6. Nombres complexes Sy
§ 7. Variables complexes et fonctions rationnelles d'une variable
complexe 42
§ 8. Des ensembles en général. Leur puissance . . -. . 44
§ g. Ensembles de points 49
§ 10. Fonctions considérées dans un ensemble .... 56
§11. Mesures des ensembles linéaires 5g
§ 12. Fonctions mesurables d'une variable 67
§ i3. Fonctions (d'une variable) à variation bornée. Fonctions
absolument continues 72
CHAPITRE I.
Dérivation des fonctions explicites d'une variable.
§ I. Dérivées et différentielles 77
§ 2. Propriétés de la dérivée. Nombres dérivés .... 92
§ 3. Dérivées et différentielles successives . . . . . 102
CHAPITRE II.
Formule de Taylor. Applications diverses.
î^ I. Formules de Taylor et de Maclaurin . . . . . 108
§ 2. Vraies valeurs des expressions indéterminées . . . 121
§ 3. Maximes et minimes des fonctions d'une seule variable . 120
§ 4. Décomposition d'une fraction rationnelle en fractions simples i34
CHAPITRE III.
Fonctions explicites de plusieurs variables.
§ 1. Dérivées partielles et différentielles partielles ou totales des
fonctions de deux variables 139
VIII TABLE DES MATIERES
§ 2. Extension à un nombre quelconque de variables . . i5o
§ 3. Extension de la formule de Taylor aux fonctions de plu-
sieurs variables iSj
§ 4. Maximes et minimes (extrêmes) libres des fonctions de plu-
sieurs variables iSg
CHAPITRE IV.
Fonctions implicites. Changement de variables.
§ I. Théorèmes d'existences 167
§ 2. Différentiations des fonctions implicites . . . .171
§ 3. Extrêmes liés i?^
§ 4. Changement de variables 180
CHAPITRE V.
Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.
§ I . Procédés généraux d'intégration 190
§ 2. Intégration des fractions rationnelles 200
§ 3. Intégration des irrationnelles algébriques .... 207
§ 4. Intégration des fonctions transcendantes .... 217
CHAPITRE VI.
Théorie élémentaire des intégrales définies.
Intégrale de Riemann. ,
§ I. Intégrales définies considérées comme limites de sommes . 229
§ 2. Relation entre les intégrales définies et indéfinies. Calcul
des intégrales définies 237
§ 3. Intégrale de Riemann 25o
CHAPITRE VIL
Intégrale de Lebesgue.
§ I. Définition et propriétés de l'intégrale de Lebesgue . . 257
§ 2. Recherche des fonctions primitives 268
§ 3. Intégration par substitution 280
§ 4, Théorèmes sur la dérivée seconde généralisée. Recherche
de sa fonction primitive» 285
CHAPITRE VIII.
Formules fondamentales de la théorie des courbes planes.
§ I. Tangente et normale aux courbes planes .... 292
TABLE DES MATIERES IX
§ 2. Longueur d'un arc de courbe plane. Inclinaison de la tan-
gente 3o3
§ 3. Sens de la concavité. Points d'inflexion des courbes planes 3o6
§ 4. Courbure et développée d'une courbe plane. . . . 3o8
CHAPITRE IX.
Formules fondamentales de la théorie des surfaces
et des courbes gauches.
§ I. Tangente à une courbe. Longueur d'un arc. Plan tangent
à une surface 324
§ 2. Plan osculateur. Courbure et torsion des courbes gauches. 335
CHAPITRE X.
Calcul des aires, des arcs et des volumes.
Evaluation approchée des intégrales définies.
§ I . Quadrature des aires planes 357
§ 2. Rectification des courbes 368
§ 3. Courbes continues. Courbes fermées 374
§ 4. Courbes rectiiiables et quarrables. Intégrales curvilignes . 38o
§ 5. Vclurne d'un solide. Aire d'une surface de révolution. . 386
§ 6. Calcul des intégrales définies par approximation. . . 392
CHAPITRE XI.
Des séries.
§ I . Généralités sur les séries à termes constants. Séries positives Sgg
§ 2. Séries numériques quelconques. Opérations sur les séries . 409
§ 3. Séries de fonctions 417
§ 4. Séries potentielles 426
§ 5. Développement des fonctions réelles en séries potentielles.
Discussion du reste 4.33
§ 6. Fonctions entières élémentaires. Exponentielles imaginaires 441
COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE
INTRODUCTION
§ 1. Nombres réels
1. Nombres rationnels. — Les nombres entiers et les nombres
fractionnaires positifs ou négatifs, y compris le nombre zéro,
forment l'ensemble des nombres rationnels. Nous supposerons
que l'on connaît les propriétés les plus élémentaires de ces
nombres et que l'on sait effectuer sur eux les quatre opérations
fondamentales de l'arithmétique. Toutefois il y a lieu de rap-
peler ici les propriétés suivantes :
1° L'ensemble des nombres rationnels est ordonné, c'est-à-
dire que de deux nombres rationnels différents a et b l'un est
plus grand que l'autre, par exemple b est plus grand que a, ce
qu'on écrit
a < b ou. b > a.
La notion d'ordre exprimée par cette relation se réduit d'ail-
leurs à cette seule propriété du signe d'inégalité que si a est <
b et b < c, on a, aussi a < c.
2!^ Entre deux nombres rationnels différents a et b, on peut
toujours en intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que
l'autre. On dit qu'un ensemble de nombres qui jouit de cette
propriété est un ensemble dense et cette propriété s'appelle la
densité.
2. Nombres irrationnels. — L'introduction des nombres irra-
tionnels repose sur les considérations suivantes :
Supposons que par un procédé quelconque, et nous allons en
indiquer plusieurs, on ait partagé tous les nombres rationnels
en deux classes, une classe iiiféri<'ui-e A et une classe supérieure
INTRODUCTION
B, telles que tout nombre a de la première soit < que tout
nombre b de la seconde. Un tel partage s'appelle une coupure.
D'abord il est clair, ce partage étant fait, que, si le nombre a
est de la classe A, il en sera de même j)Our tout nombre < a et
que, si b est de la classe B, il en sera encore de même pour
tout nombre > b. Ce premier point admis, je dis que trois cas
pourront se présenter :
1° La classe inférieure A renferme un nombre m plus grand
que tous les autres de la même classe, de sorte que tout nom-
bre < m est de la classe A et tout nombre > m de la classe B.
Le nombre m sépare donc la classe A de la classe B et nous
l'appelons le nombre frontière des deux classes.
2° La classe supérieure B renferme un nombre m plus petit
que tous les autres de la même classe. Dans ce cas encore, m
est la frontière des deux classes : tout nombre < m est de la
classe A et tout nombre > m de la classe B.
Ces deux premiers cas s'excluent l'un l'autre, car, s'il y
avait deux nombres frontières différents m et m', tous les
nombres compris entre m et m' seraient à la fois de la classe A
et de la classe B, ce qui est en contradiction avec la définition
de ces classes. Donc, s'il y a un plus grand nombre dans la
classe A, il n'y en a pas de plus petit dans la classe B, et réci-
proquement.
Ces deux premiers cas sont faciles à réaliser. Il suffit de se
donner un nombre quelconque m, on range les nombres < m
dans la classe A, les nombres > m dans la classe B. Le nom-
bre m peut encore se ranger dans l'une ou dans l'autre. On
obtient ainsi, à son choix, le premier ou le second des deux cas
que nous venons d'examiner. Nous disons, dans l'un et dans
l'autre, que le nombre m détermine la coupure (A, B) et que
cette coupure est rationnelle.
3*^ Enfin il peut se faire qu'il n'y ait pas de plus grand nombre
dans la classe A ni de plus petit nombre dans la classe B. Des
considérations très simples conduisent à une semblable coupure.
Soit, par exemple, m un nombre > non carré parfait ; tous
les nombres rationnels pourront se ranger en deux classes A et
B, la classe A contenant tous les nombres négatifs et les nom-
bres positifs dont le carré est < m, la classe B les nombres
NOMBRES REELS
positifs dont le carré est > m. Il n'y aura pas de plus grand
nombre dans la classe A, car, étant donné un nombre quel-
conque a dont le carré est < m, on peut en trouver un autre
plus grand en extrayant la racine carrée de m par défaut avec
un nombre suffisant de décimales pour que le carré de cette
racine soit plus rapproché de m que ne l'est de a*. Pour une
raison analogue, il n'y aura pas de plus petit nombre dans la
classe B.
Lorsque cette circonstance se présente, nous disons que la
coupure est irrationnelle. Il n'y a plus de nombre frontière
séparant les deux classes, car ce nombre ne pourrait être que
le plus grand de A ou le plus petit de B. Nous créons alors un
nouveau symbole, par exemple \/2, 7t,..., défini par la condition
d'être plus grand que tous les nombres de A et plus petit que
tous ceux de B, et nous disons que ce nouvel élément, qui s'in-
tercale entre les nombres rationnels, est un nombre irrationnel.
L'ensemble des nombres irrationnels correspond à toutes les
coupures possibles. Chaque nombre irrationnel est défini par
la coupure (A, B) qui lui correspond, et nous pouvons désormais
le représenter par une lettre tout comme un nombre rationnel.
Lorsqu'un nombre irrationnel a est compris entre deux nom-
bres rationnels a et 6 dont la différence est égale ou inférieure
à une fraction positive e, on dit que a et 5 sont des valeurs ap-
prochées par défaut ou par excès de a à moins de e près. Un
nombre irrationnel a étant défini, on peut toujours en trouver
des valeurs aussi rapprochées que l'on veut, ainsi qu'il résulte
du théorème suivant :
Soit a le nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ;
quelque petite que soit la fraction positive e, on })eut trouver
respectivement dans les classes A et B deux nombres a et b dont
la différence soit é^-ale à e.
En effet, soit a, un nombre de A, la progression
a,, a, -f e, a, + 2e, a, -}- 3e,...
croissant indéfiniment, renfermera un premier terme de la
classe B, par exemple a, + ne == t. Alors le nom.bre précédent
a -= a, 4- (/? — i) e sera de la classe A et ces deux nombres a et b
satisferont aux conditions du théorème.
4 INTRODUCTION
3. Nombres réels. — L'ensemble des nombres rationnels et des
nombres irrationnels forme Vensemble des nombres réels.
Pour l'ordonner, il faut indiquer les relations de grandeur
entre ses éléments. Pour cela, il ne reste plus à définir que
celles entre nombres irrationnels.
Soit a un nombre irrationnel défini par la coupure (A, B) ;
un nombre irrationnel a' sera égal à a, s'il est défini par la même
coupure, c'est-à-dire s'il est aussi supérieur à tous les nombres
de A et inférieur à tous ceux de B ; mais a' sera différent de a
s'il existe un nombre rationnel compris entre eux. Ainsi a' sera
> a s'il est > qu'un nombre de B, il sera < a s'il est < qu'un
nombre de A.
Le théorème suivant prouve que la densité est aussi une
propriété de l'ensemble des nombres réels :
Entre deux nombres réels différents, on peut toujours inter-
caler un nombre rationnel et, par suite, une infinité.
Si les deux nombres sont irrationnels, le théorème se confond
avec la définition même de l'inégalité. Si l'un des nombres est
irrationnel et défini par la coupure (A, B), tandis que l'autre
est rationnel, celui-ci sera de la classe A ou de la classe B et
ne pourra être ni le plus grand de A ni le plus petit de B, la
conclusion est donc la môme. Enfin le théorème est supposé
connu (n** i, 2°) si les deux nombres sont rationnels.
L'ensemble des nombres réels jouit d'une propriété que ne
possédait pas l'ensemble des nombres rationnels et que l'on peut
exprimer par le théorème suivant :
Si, par un procédé quelconque, on fait une coupure (A, B)
dans l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire si l'on partage ces
nombres en deux classes A et B, telles que tout nombre de la
première soit < que tout nombre de la seconde, il existe néces-
sairement un nombre frontière, rationnel ou non, m, qui déter-
mine la coupure, c'est-à-dire tel que tout nombre < m soit de la
classe A et tout nombre > m de la classe li.
Kn effet, soit m le nombre rationnel ou irrationnel qui fait la
frontière des deux classes de nombres rationnels respective-
ment comprises dans A et dans B. Tout nombre rationnel > m
est de la classe B et tout nombre rationnel < m de la classe A.
llcste à montrer que ces conclusions subsistent pour un nombre
irrationnel.
NOMBUKS REELS
Mais cela s'aperçoit de suite, car un nombre irrationnel > m
est > qu'une infinité de nombres rationnels > m, lesquels sont
de la classe B, donc il est de la classe B ; un nombre irrationnel
< m est < qu'une infinité de nomlires rationnels < ni et est
avec eux de la classe A.
Les considérations i)récé(lentes laissent eucore incomplète la
définition mathématique des nombres irrationnels, il reste à y
ajouter les définitions des quatre opérations fondamentales
de l'arithmétique.
4. Symétrique d'un nombre réel. — Nous appelons symétrique
d'un nombre rationnel ce nombre changé de signe. La définition
peut s'étendre aux nombres irrationnels. Soit a un nombre
irrationnel défini par la coupure (A, li) ; désignons par — B la
classe formée parles symétriques des nombr(^s de B et par — A
la classe formée par les symétriques des nombres de A ; tout
nombre rationnel étant le symétrique d'un autre et tout nombre
de lu classe — B < que tout nombre, de la classe — A, la cou-
pure ( — B. — A) définit un nombre irrationnel que nous dési-
gnerons par — a et que nous appellerons le symétritpie de a. On
aura encore d'après cette définition — ( — a) -- a,
5. Nombres positifs et négatifs. Valeur absolue. — Les nombres
positifs sont ceux qui sont > et ils sont > qu'une infinité de
nombres rationnels également jjositifs. Les nombres négatifs
sont ceux qui sont < et ils sont < (qu'une infinité de nombres
rationnels négatifs. Si un nombre est négatif, son symétrique
est positif. Celui des deux nombres a ou — a (]ui est positif
s'appelle la valeur absolue de a et se désigne par |ai.
6. Inverse d'un nombre réel. — Soit a un nombre différent de
zéro ; s'il est rationnel son inverse est - ou i : a. Supposons a
a
irrationnel ; alors a partage tous les nombres rationnels de
même signe que lui en deux classes A et B, dont la connaissance
suffit évidemment pour le définir. Désignons par B""' la classe
formée par les inverses des nombres de B et par A-' la
classe formée par les inverses des nombres de A. Tout nombre
rationnel autre que zéro étant l'inverse d'un autre, la coupure
(B-'j A') de tous les nombres rationnels de même signe que a
INTRODUCTION
en deux classes définit un nombre irrationnel de même signe,
que nous désignerons par i : a et que nous appellerons encore
l'inverse de a.
7. Addition. — Soient a et a' deux nombres réels quelconques.
Désignons par a et a', b et b' , des nombres rationnels quel-
conques satisfaisant aux conditions :
n< a. <b, a' < a' < 6'.
Tous les nombres de la forme a -\- a' seront < que ceux de la
forme 6 + //. D'ailleurs on pourra supposer (n° 2) les valeurs
de a et de [) suffisamment rapprochées de a, celles de a' et de b'
suffisamment rapprochées de a', pour que les différences b — a,
b' — a' et par suite (b -{- b') — (a -f- a') deviennent aussi petites
que l'on veut.
Je dis qu'il existe un nombre réel a" et un seul > que tout
nombre de la forme a -{- a' et < que tout nombre de la forme
b + b' et dont ces deux sommes représentent des valeurs aussi
rapprochées que l'on veut par excès ou par défaut, Ce nombre
a" s'appelle la somme de a et de a' et se désigne par a -\- 7.'.
En effet, considérons la coupure (A, B) de l'ensemble des
nombres réels, la classe B contenant ceux qui surpassent tous
les nombres de la forme a -}- a' et la classe A lès autres nombres.
En particulier, tous les nombres de la forme a -\- a' sont de la
classe A et tous ceux de la forme b -{- b' de la classe B. Comme
il n'y a pas de plus grand nombre de la forme a -f- a' ni de plus
petit de la forme b + b' , le nombre frontière a" entre les deux
classes A et B sera plus grand que tous les premiers et plus
l>etit que tous les seconds. Il reste donc seulement à montrer
que le nombre qui jouit de cette propriété est unique. A cet
effet, remarquons que, s'il existait deux nombres fixes toujours
supérieurs aux nombres a -j- a' et inférieurs aux nombres b + b',
on pourrait trouver deux nombres rationnels r et r' compris
entre ces nombres fixes et qui jouiraient de la même propriété.
Or ceci est impossible, car on peut supposer la différence
{b + b') — (a + a') inférieure à r — ;•'.
Cette définition, qui contient comme cas particulier celle de
l'addition des nombres rationnels, permet de vérifier immé-
NOMBRES REELS
diatement que l'on a conservé les propriétés commutative et
associative de l'addition, exprimées par les équations :
a -{- a' = a.' -\- et.,
(a 4- a') + a" = a -j- (a' + a"),
que l'on a encore
a + - a, a + (— a) = 0,
enfin que la valeur absolue d'une somme ne peut surpasser la
somme des valeurs absolues de tous ses termes.
8. Multiplication, — Soient a et a' deux nombres réels positifs :
désignons encore par a et b, a' et b' des nombres rationnels et
positifs quelconques assujettis à vérifier les inégalités :
a < a. < b, a' < a.' < b' .
Tous les produits de la forme aa' sci'ont < que ceux de la
forme bb' et l'on pourra supposer les différences b — a, // — a
et bb' — aa' aussi petites que l'on voudra. On montrera, en
raisonnant comme dans le cas de l'addition, qu'il existe un
nombre réel positif et un seul a" > que tout produit de la forme
aa' et < que tout produit de la forme bb'. Ces produits peuvent
être supposés aussi rapprochés (ju'on veut du nombre a". Celui-
ci se nomme le produit des nombres a et a' et se désigne pur aa'.
Si l'un des deux nombres a, a' ou tous les deux sont négatifs,
la définition du produit se ramène à la précédente par la règle
des signes, c'est-à-dire par les relations
aa' = — a (— a') = (— a) (— a').
Ces définitions permettent de vérifier immédiatement que l'on
a conservé les propriétés commutative, associative et distribu-
tive de la multiplication, exprimées par les relations générales :
aa' = a'a, (aa') a" = a (a'a"), a (a' + a") = aa' -\- aa".
On a encoi'c
a. ^ = I . a. 1 - a, | aa' | - | a | | a' | .
Enfin un produit de plusieurs facteurs ne peut être nul que
si l'un des facteurs est nul et est toujours nul dans ce cas.
9. La soustraction est l'opération inverse de l'addition. Sous-
8 INTRODUCTION
traire a' de a c'est déterminer le nombre qu'il faut ajouter à a'
pour obtenir a. Ce nombre s'appelle la différence de a et a' et on
le désigne par a — a'. Pour le déterminer, posons x = n — a' ;
on aura la condition a' -|- a' -^ a, et, en ajoutant — a' aux deux
membres, on obtient, par les propriétés de l'addition, x = a. -\-
( — a'). Donc la différence a — a' s'obtient en ajoutant à a le sy-
métrique de a'. Cette règle ramène la soustraction à l'addition
et prouve que cette opération a toujours une solution et une
seule.
10, La division est l'opération inverse de la multiplication.
Diviser a par a' c'est déterminer un nombre dont le produit par
a' reproduise a. Ce nombre s'appelle le quotient de a par a' et se
représente par a : a'. Pour le déterminer, posons x = a : a' ; on
aura la condition x a' == a. Si a n'est pas nul, on peut multiplier
les deux membres de cette égalité par i : a', et on en tire, jjar les
propriétés de la multiplication, a: ^ a (i : a'). Donc le quotient de
a par a' est égal au produit de a par l'inverse de a'. Cette règle
ramène la division à la multiplication et prouve que cette
opération a toujours une solution et une seule, pourvu que le
diviseur soit différent de zéro.
11 est maintenant facile de montrer que toutes les règles de
l'algèbre élémentaire pour la transformation et la combinaison
des égalités et des inégalités, subsistent avec les quantités
généralisées. Nous ne nous y arrêterons pas davantage.
§ 2. Variables réelles. Théorie des limites
1 1 . Continuité de l'ensemble des nombres réels. — Les nombres
réels, c'est-à-dire les nombres tant rationnels qu'irrationnels,
servent à exprimer la mesure des grandeurs continues, lon-
gueurs, aires, volumes, etc. On dit aussi que l'ensemble des
nombres réels est un ensemble continu et l'on peut, au point de
vue mathématique, définir la continuité de cet ensemble par les
deux propriétés suivantes :
1" Entre deux nombres réels différents on peut toujours en
intercaler une infinité d'autres > que l'un et < que l'autre.
2." Si l'on partage tous les nombres réels en deux classes A et
B, telles que tout nombre de A soit < que tout nombre de B,
THEORIE DES LIMITES
ces deux classes seront séparées par un nombre frontière m
qui sera le plus grand de A ou le plus petit de B, mais tout
nombre < m sera de la classe A et tout nombre > m de la
classe B.
Nous avons montré dans un paragraphe précédent (n'^ 3)
comment on peut démontrer ces propriétés en toute rigueur,
en les faisant reposer sur des définitions purement arithmé-
tiques. Mais, quand on applique les nombres réels à la mesure
des grandeurs concrètes, on admet comme un postulat qu'à
toute grandeur correspond un nombre et réciproquement.
12. Bornes d'un ensemble de nombres. — Souvent on considère
l'ensemble fini ou infini de tous les nombres qui satisfont à
certaines conditions précises. Par exemple, on peut considérer
l'ensemble deâ restes d'une division, celui des réduites d'une
fraction continue (limitée ou non), celui des nombres ration-
nels, celui des fractions proprement dites comprises entre
et I, etc. La notion des bornes d'un ensemble est alors fonda-
mentale.
Un ensemble est borné supérieurement si l'on peut assigner
un nombre A plus grand que tous ceux de l'ensemble ; il sera
borné inférieurement si l'on peut assigner un nombre a plus
petit que tous ceux de l'ensemble. S'il est borné dans les deux
sens, on dira simplement qu'il est borné.
Quand un ensemble est borné supérieurement, il existe un
plus petit nombre qui n'est inférieur à aucun de ceux de l'en-
semble : c'est la frontière des deux classes de nombres A et B,
A contenant les nombres inférieurs à un nombre au moins de
l'ensemble, et B les autres nombres. Cette frontière s'appelle la
borne supérieure de l'ensemble. C'est le plus petit nombre de
la classe B, car il ne peut y en avoir de plus grand dans la
classe A. L'ensemble d'un nombre limité de nombres est évi-
demment borné par le plus grand d'entre eux, mais un ensemble
infini peut ne pas renfermer un nombre plus grand que tous les
autres (égalité non exclue). Dans ce dernier cas, la borne
supérieure n'est pas un nombre de l'ensemble et l'on dit qu'elle
est inaccessible. C'est ainsi que la borne supérieure des frac-
tions comprises entre et i est i et n'appartient pas à l'ensem-
ble (car I n'est pas une fraction).
10 INTKODtJCTION
De même, un ensemble borné inférieurement admet une borne
inférieure : c'est le plus grand nombre qui n'est supérieur à
aucun de ceux de l'ensemble.
En résumé, on voit (jne si m et M sont les bornes inférieure
et supérieure d'un ensemble l)orné, l'ensemble ne contient
aucun nombre < m ni > M, mais il en contient certainement
de < m + e et de > M — e quelque petit que soit le nombre
positif e.
La différence entre les bornes supérieure et inférieure s'ap-
pelle Voscillaton de l'ensemble.
13. Variables réelles en général. — Soit ;v une variable réelle,
c'est-à-dire une quantité qui passe par une infinité de valeurs
réelles. Considérons l'ensemble de toutes les valeurs que peut
recevoir x. Si cet ensemble est borné supérieurement ou infé-
rieurement, la variable x est aussi bornée supérieurement ou
inférieurement et les bornes de l'ensemble sont les bornes supé-
rieure ou inférieure de x.
On dit que la variable x varie dans r intervalle (a, b), lorsqu'elle
peut recevoir toutes les valeurs comprises entre a et b, y com-
pris ces valeurs extrêmes. Nous supposons toujours, sauf indi-
cation contraire, que l'on a a < 6. Ces nombres sont donc les
bornes inférieure et supérieure de x et elles sont accessibles.
Si X reçoit toutes ces mêmes valeurs sauf la seule valeur a,
ou bien sauf la seul valeur b, ou bien encore sauf les deux seules
valeurs a et 6, on écrit respectivement, pour indiquer que ces
bornes sont alors inaccessibles, que ;x; varie dans les intervalles
(a + 0, b). ou bien (a, b — 0), ou enfin (a ~\- 0, b — 0).
Quand x peut prendre toutes les valeurs comprises entre a
et b et ces deux valeurs elles-mêmes, on dit que x varie dans
(;et intervalle au sens large. Au contraire, x varie dans l'inter-
valle (a, b) au sens étroit si x ne peut pas prendre les valeurs
a et /).
Les valeurs de x qui sont > a et < fc sont dites intérieures k
l'intervalle (a, b). Quand x varie dans l'intervalle (a, b) au sens
étroit, x ne prend donc que les valeurs intérieures à l'inter-
valle (a. b).
La variation de x se représente géométriquement par le
déplacement d'un point sur une droite indéfinie 00' ; on porte
THEORIE DES LIMITES II
sur 00' une longueur OX = x dans un sens déterminé par le
signe de ;x;. Sauf indication contraire, on suppose la droite
horizontale et les segments positifs comptés de gauche à droite.
Par allusion à cette représentation, une valeur particulière de
X s'appelle un point, la valeur x ^ aie point a, etc.
14. Limite d'une variable. — Soit x une variable réelle qui
passe successivement par une infinité de Valeurs suivant une
loi quelconque, de telle sorte qu'à chaque valeur prise par x,
on puisse distinguer les valeurs qui précèdent de celles qui
suivent et qu'aucune valeur de x ne soit la dernière. On dit
que X tend vers une limite déterminée, si les valeurs succes-
sives de X se rapprochent d'un nombre déterminé a, de telle
sorte que la différence .v — a finisse par décroître en valeur
absolue en dessous de tout nombre positif donné e si petit
qu'il soit. On dit alors que .v a pour limite a et l'on écrit
lim X = a.
Suivant cette définition, une même variable ne peut pas
tendre simultanément vers deux limites différentes a et b
{b > a), car {x — a) et {x — b) ne peuvent être simultanément
inférieurs en valeur absolue à la moitié de (6 — a).
Si les valeurs de x finissent par surpasser définitivement tout
nombre assignable, on dit, par extension, que .v a une limite
infinie et tend vers -\- ce.
De même, si x décroît définitivement en dessous de tout
nombre négatif assignable, on dira que x a pour limite — oo.
15. Plus grande et plus petite limite. — Considérons encore une
variable x qui passe successivement par une infinité de valeurs
finies. Si oc est bornée supérieurement, il y a des nombres
auxquels x finit par rester définitivement inférieur. Si ceux-ci
ont une borne inférieure A, on l'appelle la plus grande limite
de X ; et on écrit
lim X = K.
De même, si x est bornée inférieurement, il y a des nombres
auxquels x finit par rester définitivement supérieur. Si ceux-ci
12 INTRODUCTION
ont une borne supérieure a, on l'appelle la plus petite limite de x
et l'on écrit
lim .V =^ a.
Les plus gi'ande et plus petite liinites s'appellent aussi les
limites d' indétermination, de .v.
Si la variable .y est bornée supérieurement et intérieurement,
ces deux limites existeront toujours et seront comprises entre
les bornes supérieure et inférieure de x, la coïncidence avec
ces bornes étant également possible.
La plus grande limite A est donc définie par cette propriété
que, quelque petit que soit le nombre positif e, la variable a*
finit par rester < A + e, tandis qu'elle n'est jamais définitive-
ment < A — e. — Pareillement, la ])lus petite limite a est définie
par cette propriété (jue la variable ,v finit ])ar rester > h — e,
tandis ([u'elle n'est jamais définitivement > a + e. D'api-ès cela.
A est supérieur ou égal à a.
Si les deux limites a et A sont différentes, on peut prendre e
assez petit jjour que A — e soit encore > a 4- e ; dans ce cas,
a; oscille indéfiniment dans tout l'intervalle de a + e à A — e et
en sort : jc ne peut avoir de limite déterminée. Au contraire, si
\ — a, X finit par rester dans un intervalle (a — e, a + e) aussi
resserré qu'on le voudra et .v a pour limite a. De là. le théo-
rème suivant :
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une uariable x
ait une limite finie et déterminée est qu'elle soit bornée et que
l'on ait
lim .V = lim .v.
Lorsque a* n'est pas borné supérieurement, on dit, par exten-
sion, que sa plus grande limite est 4- x : si x n'est pas borné
ini'érieurement, on dit encore que sa plus })etite limite est — go.
Si la variable x a une limite infinie, soit + ^o soit — x>, on dit
encore que les plus grande et plus petite limites coïnc dent et
sont égales à cette limite infinie.
Avec (îette extension, la relation
lim .Y = lim x
expi-ime la condition nécessaire et suffisante pour que v ait une
limite (finie ou infinie).
TIIÉORIK DEK JilMITKS 13
16. Critère de convergence (Cauchy). — La condition nécessaire
cl su/flsiintc pour (jaune variable x qui passe par une succeft-
sion illimitée de valeurs, ait une limite finie et déterminée est
que, à tout nombre positif si petit <ju'il soit z. corresponde au
moins une valeur de x qui diffère de moins de e de toutes les
suivantes.
Il est clair que, dans ce cas, la variable a- est bornée et je dis
que ses plus grande et plus petite limites A et a ne peuvent
différer.
Sinon, en effet, on pourrait choisir un nombre positif e' assez
petit pour que a -\- e' fût encore < A — e', la variable x oscille-
rait indéfiniment d'un de ces deux nombres à l'autre (même en
les dépassant), aucune valeur de x ne pourrait donc différer de
toutes les suivantes d'une quantité inférieure à la moitié de cet
intervalle, ni, par suite, inférieure à e (si e est supposé moindre
que cette moitié).
La condition est donc suffisante. Il est évident qu'elle est
nécessaire, car, si les valeurs de a: se rapprochent indéfiniment
d'un nombre a, elles finissent ])ar différer aussi peu qu'on veut
les unes des autres. Le théorème est démontré.
Le critère de convergence est plus simple si la variable x est
monotone, c'est-à-dire si elle est : soit constamment croissante
(ou stationnaire), soit constamment décroissante (ou station-
naire). On l'énonce comme il suit :
Si la variable x varie toujours dans le même sens (est mono-
tone), la condition nécessaire et suffisante pour qu'elle ait une
limite finie est qu'elle soit bornée.
En effet, si la variable est croissante, elle tendra vers sa
borne supérieure A, car elle ne peut surpasser A, tandis qu'elle
surpasse définitivement tout nombre moindre. De même, si elle
décroit, elle a sa borne inférieure pour limite.
On énonce souvent cette i-ègle en disant qn une variable qui
varie toujours dans le même sens a une limite finie ou infinie.
Les critères de convergence sont généraux et s'appliquent
quel que soit le mode de variation de a*.
Ces modes sont très variés. Tantôt x tendra vers sa limite
d'une manière continue en passant par toutes les valeurs inter-
médiaires, tantôt d'une manière discontinue en passant par une
i4
INTRODUCTION
suite illimitée de valeurs isolées. Dans ce dernier cas, il arrive
le plus souvent que les valeurs successives de x peuvent être
toutes numérotées dans l'ordre de leur succession :
X = Xi, X2, X^,... Xn ,... X„+p,...
Tel est le cas pour les sommes successives des termes d'une
série, les réduites successives d'une fraction continue, etc..
Le critère de Cauchy peut alors s'énoncer comme il suit :
La condition nécessaire et suffisante pour que la suite x^, x.^,
Xa,... Xn,... azï une limite finie et déterminée est qu'à tout nom-
bre positif s si petit qu'il soit, corresponde un indice n tel que
la condition
I ^n+p — ^n i *-- ^
ait lieu pour tous les indices n + P supérieurs à n.
17. Limite d'une fonction. — Quand les valeurs d'une variable
y sont déterminées par celles que reçoit une autre variable x,
on dit que y est une fonction de x.
Il peut alors se faire que, quand on donne à x une suite de
valeurs ayant pour limite a (la valeur a elle-même étant généra-
lement exclue), la suite des valeurs correspondantes de y ait
pour limite b. On écrit alors ,
lim y = b.
x=a
La condition nécessaire et suffisante pour que y ait une limite
finie b quand x tend vers a est donc qu'à tout nombre positifs
corresponde un nombre positif l, tel que l'inégalité | :v — a ] <
entraîne \ y — b \ < e.
Si l'on observe qu'une valeur de y suffisamment éloignée dans
la suite correspond à une valeur de .v suffisamment voisine de a,
on voit que le critère de convergence de Cauchy prend la forme
suivante :
La condition nécessaire et sufpsante pour que y ait une limite
finie quand x tend vers a est qu'à tout nombre positif e corres-
ponde un nombre positif à tel que, à deux valeurs de x qui dif-
fèrent de a de moins de 8, correspondent deux valeurs de y qui
diffèrent entre elles de moins de e.
Il est important de remarquer que y peut avoir une limite
THÉORIE DES LIMITES l5
quand on fait tendre x vers a par une suite de valeurs soumises
à certaines restrictions, par exemple toutes > a, ou toutes
rationnelles, etc. Ce sont alors ces A^aleurs seulement que l'on
doit considérer dans la condition de convergence.
On représente souvent par
lim y. Uni y,
x=a-\-o x=a—o
les limites de y quand x tend vers a en restant soit > a, soit < a.
Si y a une plus grande ou une plus petite limite quand x
tend vers a, on pourra aussi les représenter par
iim y ou lim y.
x=a x=a
Si y a une limite b quand x tend vers T'infini, c'est à dire si,
y diffère aussi peu qu'on veut de 5 à condition que x soit suffi-
samment grand, les notations seront analogues aux précédentes
en faisant a = oo.
Ces considérations s'étendent aux fonctions de plusieurs
variables. Si la valeur de ii dépend des valeurs de x, y,... on
dira que u a pour limite m quand ;x:, y,... tendent respectivement
vers a, b,... d'une manière quelconque, si à tout e positif cor-
respond un 8 positif tel que la différence | w — m \ soit < e
sous la condition que \ x — a \ , \ y — b \ ,,.. soient < 8.
Il est souvent utile d'observer que, si u et ly dépendent des
mêmes variables, on a évidemment
iim (u -f y) <C lim u -\- lim v.
Cette relation est susceptible d'un grand nombre de formes
équivalentes, en vertu de l'identité
lim u = — lim (— //).
En changeant d'abord le signe de v, ensuite u en u -f v, on a
lim (u — v) ^ lim u — lim v,
lim (« -f /)) > lim u + lim v,
lim (m — y) ^ lim u — ïim v
et, en changeant les signes des deux membres, puis ceux de u, v,
lim {u — y) > lim u — Uni «
lim (a -\- v) ^ lim u -f lïm v, etc.
l6 INTRODUCTION
Toutes ces relations s'a^jerçoiveiit d'ailleurs directement
comme la première.
1 8 . Principes de la théorie des limites. — I. La limite d'une somme,
d'une différence, d'un produit de variables qui tendent vers des
limites finies et déterminées, est égale à la somme, à la différence,
au produit de ces limites. La limite d'un quotient de varia-
bles qui tendent vers des limites finies et déterminées, est égale
au quotient de ces limites, pourvu que la limite du dénumi-
nsbteur soit différente de zéro.
Ces propositions se démontrent toutes de la même façon,
choisissons la dernière comme exemple. Soient deux variables x
et r ayant respectivement pour limites a et 6 ; on pourra poser
X = a -\- oL, y ^ b -{-p,
a et p ayant pour limite zéro. On en tire
X a a + a a cb — ^a
Si b est différent de zéro, cette dernière quantité peut être
rendue aussi petite que l'on veut avec a et (3, donc -~ a pour li-
mite r •
De la combinaison des propositions précédentes, on déduit
le théorème suivant :
II. Soit K(a% r,...) une expression rationnelle quelconque des
variables x, y,..., c'est-à-dire une expression dont le calcul ne
comporte que les quatre opérations fondamentales, si les varia-
bles x, y... ont respectivement pour limites a, b,..., R (x, y...)
aura pour limite R (a, b,...).
Ce théorème est soumis toutefois à cette restriction que, si
parmi les opérations à effectuer sur les nombres a, b,... figure
une division, le diviseur ne soit pas nul.
III. Si deux variables restent constamment égales et si l'une
tend vers une limite déterminée, finie ou infinie, l'autre tend
vers la même limite.
En effet, si u a pour limite a, u — a décroit indéfiniment ;
ëi u = V, V — a -= u — a décroît aussi indéfiniment et y a aussi
pour limite a. La démonstration est analogue si la limite est
infinie.
THEORIE DES LIMITES
^7
IV. Une quantité variable qui reste constamment comprise
entre deux autres qui ont la même limite finie ou infinie, tend
aussi vers la même limite.
En effet, si w est compris entre deux variables u et /; qui
tendent vers a fini, w — a sera compris entre u—aetv~a qui
décroissent indéfiniment et décroîtra lui-même indéfiniment.
Donc w a pour limite a. Le raisonnement est analogue si la
limite est infinie.
19, Méthode des limites. —Lorsqu'on a obtenu une relation
entre des variables qui subsiste pour une infinité de valeurs des
variables, on peut, en s'appuyant sur les principes précédents,
y remplacer les variables par leurs limites. Cette opération
porte le nom de passage à la limite. Cette nouvelle opération
qui s'ajoute aux quatre opérations fondamentales de l'arithmé-
tique, caractérise Vanalyse infinitésimale.
La méthode des limites consiste à trouver des relations entre
les quantités ])ar passage à la limite.
La méthode des limites se décompose en plusieurs branches
suivant la nature des variables que l'on considère dans ce pas-
sage à la limite (séries, produits infinis, fractions continues,
calcul différentiel, calcul intégral).
20. Méthode infinitésimale. — Lorsqu'une quantité variable a
pour limite zéro, on dit que c'est une quantité infiniment petite
ou un infiniment petit. Au contraire, une quantité in liniment
grande est une quantité variable qui augmente au-delà de toute
limite assignable.
La méthode infinitésimale est celle où l'on se sert de la con-
sidération des infiniment petits. Dans le calcul différentiel, on
considère les quantités comme limites du rapport de deux
infiniment petits. Dans le calcul intégral, on les considère
comme limites d'une somme d'un nombre indéfiniment croissant
d'infiniment petits.
Dans les questions où on les considère, on établit le plus
souvent, entre les divers infiniment petits que l'on rencontre,
une classification très importante, qui s'appuie sur les défini-
tions suivantes :
On dit qu'une quantité a est infiniment petite par rapport à une
2
l8 INTRODUCTION
autre ^, lorsque le rapport ^ a pour limite 0. Au contraire, les
deux infiniment petits sont du même ordre si leur rapport a une
limite finie et différente de zéro.
Dans beaucoup de questions, on est amené à choisir un
infiniment' petit particulier a, que l'on appelle infiniment petit
principal, et qui sert à classer tous les autres. Un infiniment
petit du même ordre que a s'appelle alors du premier ordre et
un infiniment petit de l'ordre de ol^ est de l'ordre r.
Lorsqu'une quantité est décomposée en une somme de termes
qui sont des infiniment petits d'ordres différents, on donne le
nom de terme principal à celui qui est de l'ordre le moins élevé.
On appelle expression asymptotique d'une quantité une ex-
pression qui n'en diffère que par un infiniment petit d'un ordre
assigné.
21. Principes de substitution des infiniment petits. — Les avan-
tages de la méthode infinitésimale résultent des deux principes
fondamentaux connus sous ce nom.
I. La limite du rapport de deux infiniment petits a. et ^ n'est
pas changée quand on leur substitue respectivement deux
autres infiniment petits a' et (3', pourvu que -^et-^y «len^ pour
limite l'unité.
En effet, de l'identité
a' _a _a^ J_
on conclut, par les principes de la méthode des limites,
lim ^7- = lim yr hm — lim -^ = lim ^ -
La remarque suivante sert souvent à reconnaître que le rap-
port de deux infiniment petits tend vers l'anité :
Si (3 reste compris entre deux infiniment petits « et a' dont le
rapport tend vers l'unité, il en sera de même des rapports p : a
et ^ : a'.
En effet, en divisant les inégalités
a > ^ > a'
par a supposé positif, il vient
S a
I >-^> —
a a
THKORIE DES LIMITES I9
et, comme a': a est suppose tendre vers ruiiité, il suit du prin-
cipe TV (n" 18) {[ue ^ -/i tend vers l'unité. La même démonstra-
tion s'applique au rapport (B : a'.
]I. La limite d'une somme d'infiniment petits de même signe
a,, ajj, (x„, dont le nombre n augmente indéfiniment, n'est
pas changée quand on remplace ces infiniment petits par d'au-
tres [3,, ^2,.,,, [tn> pourvu que les rapports ^z : o-i tendent unifor-
mément vers l'unité.
Le mot uniformément doit être entendu en ce sens que, (juel-
que petit que soit e positif, on peut prendre n assez grand
pour qu'on ait, quel que soit l'indice /,
I— e < -^ < I -f e.
«e
S'il en est ainsi, on aura, en supposant les a positifs,
(i— e) a^ < Pi < (i -t-e)»,;
puis, en additionnant toutes les inégalités semblables,
(i-e)i:a,< S(ï,< (i +e)Xa,
et, par conséquent,
I — e < ^ < I -he.
La,
D'ailleurs, e étant aussi petit qu'on le veut avec — , on en
conclut
«1 + «2 -h + «u
ce qui exige que pi + P^ 4- pn et «i + «^ -i- + a„ aient la
même limite finie, nulle ou infinie.
Ces deux principes généraux peuvent revêtir un autre énoncé
moyennant la remarque suivante :
Quand deux infiniment petits a et ol' ont pour limite de leur
rapport l'unité, leur différence 8 est infiniment petite par rap-
port à chacun d'eux, et réciproquement.
En effet, l'équation Ô = a — a' peut s'écrire
L-1 _
a' ~ a' ^*
J.e second membre ayant pour limite zéro, il en est de même
20 INTRODUCTION
du premier et S est infiniment petit par rapport à a'. Récipro-
quement, si est infiniment petit par rapport à a', B : a' tend
vers zéro, et, par conséquent, a : a' tend vers l'unité,
Les principes de substitution peuvent donc aussi s'énoncer
comme il suit :
On peut, sans changer la limite d'un rapport ou d'une somme
d'infiniment petits, négliger dans chaque terme une quantité
infiniment petite par rapport à lui.
Toutefois l'énoncé de ce principe doit être complété, dans le
cas d'une somme, par la condition contenue sous le mot unifor-
mément dans l'énoncé primitif.
L'utilité de ces principes consiste en ce qu'ils permettent de
négliger dans bien des cas précisément les parties des infini-
ment petits qui font la difficulté du problème.
§ 3. Des fonctions d'une variable réelle.
22. Fonctions d'une variable. — Etant données deux variables
X et y, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre dans le
sens le plus général, s'il existe une dépendance quelconque entre
les valeurs que l'on peut attribuer à ces deux variables. En géné-
ral, on considère une des deux variables comme indépendante,
par exemple x. La valeur de x peut être choisie à volonté,
mais, x étant donnée, y n'est plus arbitraire. On dit alors que y
est fonction de ;x; et cette dépendance s'exprime par la notation
y = f{x)-
On étudie dans les éléments des mathématiques un certain
nombre de fonctions relativement simples, dont les propriétés
sont bien connues et que l'on représente par des symboles par-
ticuliers. Ce sont les fonctions élémentaires :
x'^, A^ , sin X, etc.
On dit que la fonction f{x) est uniforme, ou univoque, ou à
détermination simple, si elle n'est susceptible que d'une seule
valeur pour chaque valeur de x, telles sont A^ , sin x,... Au con-
traire, la fonction est multiforme, ou. plurivoque, ou à détermi-
nations multiples, si elle est susceptible de plusieurs valeurs
pour chaque valeur de x. Telle est la fonction \Jx qui peut rece-
voir deux valeurs de signes contraires pour chaque valeur de x.
FONCTIONS I) UNE VARIABLE REELLE 21
On classe les fonctions en fonctions explicites ou implicites
suivant que la relation entre y et x est donnée par une équa-
tion résolue par rapport à la fonction y ou non résolue par
rapport à cette fonction ; en fonctions algébriques ou transcen-
dantes suivant que la relation entre y et x peut ou ne peut pas
être exprimée par une équation dont les deux membres sont
des polynômes entiers en x et en y, Les fonctions algébriques
se partagent elles-mêmes en rationnelles ou irrationnelles, sui-
vant que l'équation qui lie y à x est du premier degré par rap-
port à y ou ne l'est pas. Une fonction rationnelle s'exprime
donc par le quotient de deux polynômes en x ; en particulier, si
elle se réduit à un polynôme, on dit qu'elle est rationnelle et
entière.
Lorsque la relation y = f{x) qui lie y à .v peut être résolue
par rapporta a', de telle sorte qu'on en tire A' = 'f(3'), la fonc-
tion (p(y) s'appelle la fonction inverse de f{x). C'est ainsi que
les fonctions x^, A^, sin a, tgx,... ont respectivement pour
inverses x"^, Log x, arc sin x, arc tg x, etc.
La variation d'une fonction se représente géométriquement
en utilisant les principes de la géométrie analytique. On trace
généralement deux axes rectangulaires OX et OY, par rapport
auxquels on détermine les coordonnées x et y d'un point.
L'équation y -= f{x) sera généralement celle d'une courbe plane,
que l'on considère comme une représentation géométrique de
la fonction f{x).
Remarque. — 11 arrive souvent que l'on est amené à consi-
dérer une constante ou bien la variable indépendante elle-même
comme des cas particuliers d'une fonction. Il n'y a là rien qui
doive surprendre, car ces cas particuliers se rencontrent déjà
dans les fonctions élémentaires et ce sont même les plus sim-
ples. Ainsi, la fonction x*^ se réduit à i pour m = et à a pour
m =^ I. Dans la représentation géométrique correspondante,
la courbe se réduit à une droite, parallèle à l'axe des x ou bis-
sectrice de l'angle des axes.
23. Oscillation d'une fonction dans un intervalle. — Si la fonction
/"(a-) est bornée dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire quand x
varie dans (a, b), elle a, comme on le sait (i3), une borne infé-
22 INTRODUCTION
rieure m et une borne supérieure M. La différence M — m entre
les bornes supérieure et inférieure de /(^v) dans l'intervalle (a, b)
s'appelle Voscillation de la fonction dans cet intervalle. Si la
fonction n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b), on dit que son
oscillation est infinie dans cet intervalle.
Suivant ces définitions, si l'oscillation de f{x) est finie et
égale à M — m dans l'intervalle {a, b) et que l'on partage, cet
intervalle en plusieurs autres consécutifs par des points inter-
médiaires : I" la borne supérieure de la fonction sera encore M
dans un au moins des intervalles partiels et ne pourra surpas-
ser M dans aucun ; a° la borne inférieure sera m dans un au
moins des intervalles partiels et ne sera inférieure à m dans
aucun ; 3" la somme des oscillations dans les intervalles par-
tiels sera au moins égale à M — m et l'oscillation ne sera supé-
rieure à M — m dans aucun de ces intervalles. Enfin, si l'oscilla-
tion de f{x) est infinie dans l'intervalle (a, b), elle le sera
encore dans un au moins des intervalles partiels.
24. Oscillation en un point. Définitions relatives à la continuité. — Si
la fonction f{x) n'est bornée dans l'intervalle (a — 8, a -f 5) pour
aucune valeur positive si petite qu'elle soit de 8, on dit que
Voscillation de f{x) est infinie au point a. Sinon l'oscillation
de f{x) dans l'intervalle (a — 5, a -f 8), qui est constante ou
décroissante quand 8 diminue, tend vers une limite déterminée
quand 8 tend vers 0. Cette limite est Voscillation de f{x) au
point a.
Si l'oscillation est nulle en ce point, la fonction est continue
au point a, ou pour x — a. — La fonction f{x) est donc conti-
nue au point a, si f{x) a pour limite f{a) quand x tend vers a
d'une manière quelconque.
L'oscillation définie ci-dessus est Voscillation totale âu point a,
par opposition avec les oscillations à gauche et à droite du point a
qui se définissent comme la première, mais en considérant les
limites des oscillations dans les deux intervalles (a — 8, a) et
(a, a + o). D'après ces définitions, toutes les oscillations sont
des quantités essentiellement positives ou nulles.
La fonction f{x) est continue à droite du point a si son oscil-
lation est nulle à droite du point a. Elle est continue ù gauche
PONCTIONS n'UNK VARIABLE REELLE 2,3
du point a si son oscillation est nulle à gauche du point a. Si les
deux oscillations sont nulles, la fonction est continue au
point a.
La fonction f'{x) est continue dans l'intervalle (a, b) si elle
est continue pour toutes les valeurs de x comprises entre a et h.
à droite du point a et à gauche du point b.
Elle est continue dans le voisinage du point a, si elle l'est
dans l'intervalle (a — s, a + e) à partir d'une valeur positive
suffisamment petite de e.
Si la fonction /"(a) n'est pas continue pour jc = a ou dans
l'intervalle (a, b), elle est discontinue au point a ou dans l'inter-
valle (a, b). — Si elle est discontinue au point a, celui-ci est un
point de discontinuité.
25. Continuité des fonctions composées. — 1. La somme, le pro-
duit le quotient de deux fonctions continues au point a ou dans
l'intervalle (a, b), sont des fonctions continues en ce point ou
dans cet intervalle, à moins qu'une fonction prise comme divi-
seur ne s'annule.
Ces théorèmes résultent immédiatement des principes cor-
respondants de la théorie des limites (n** i8). Démontrons, par
exemple, le dernier. Soient /(.v) et F{x) deux fonctions conti-
nues au point a ; si F (a) n'est pas nul et si .v tend vers a.
la limite du quotient f{x) : F (.y) sera égale au quotient des
limites f{a) : F (a). Donc f{x) est continue au point a. En second
lieu, si f{x) et F(.y) sont continues dans l'intervalle (a, b) et que
y{x) ne s'annule pas dans cet intervalle, le quotient /(.v) : F(jc)
sera continu pour toutes les valeurs de .\', donc dans l'inter-
valle (a, b).
II. Soient u = f{x) et y = F(u); si f{x) est continue pour
X = a et F{u) continue pour u =- f{a), y sera fonction continue
de X au point de a.
On a, en effet, x tendant vers a.
lim V[f{x) = F[lim f{x)] = K[/(a)].
Nous concluons de là que les fonctions composées par addi-
tion, multiplication, division ou superposition du signe fonc-
tionnel ne peuvent être discontinues que si l'une des fonctions
composantes est discontinue ou si l'une des fonctions prises
comme diviseur s'annule.
24 INTRODUCTION
26. Théorème. — Soit e un nombre positif ; s'il est impossible,
en intercalant un nombre convenable de points de subdivision
entre a et b, de partager l'intervalle (a, b) en intervalles consé-
cutifs, de telle sorte que l'oscillation de f{x) soit < e dans cha-
cune de ces parties consécutives, il existe dans l' intervalle (a, b)
un point au moins où l'oscillation de f{x) est ^ e. Ce point peut
être a ou b, mais c'est alors l'oscillation à droite du point a ou
celle à gauche du point b qui sera ^ e.
Admettons que l'impossibilité supposée dans cet énoncé ait
lieu pour l'intervalle (a, b) et partageons cet intervalle en
deux autres par son point milieu. L'impossibilité subsistera
dans l'une au moins de ces deux parties, sinon elle n'existerait
pas dans l'intervalle total. Soit (a^, 6,) celle des deux moitiés
dans laquelle l'impossibilité subsiste, ou l'une quelconque des
deux moitiés si l'impossibilité subsiste dans toutes les deux.
Partageons de même (ai, b^ en deux parties égales et désignons
par (aj, b^) l'une des deux moitiés dans laquelle l'impossibilité
subsiste encore. Partageons {a^, b.^) en parties égales et conti-
nuons ainsi de suite. Nous formerons deux suites de nombres
aj, âg,.. an,., et b^, b^,.. b,i,.. l'une stationnaire ou croissante,
l'autre stationnaire ou décroissante, et tendant vers la même
limite c, puisque bn — an -= (6 — a) : 2" a ppur limite 0. Le
point c appartient donc à un intervalle (a„ , bn ) aussi petit que
l'on veut et intérieur à (a, b) dans lequel l'oscillation de f(x)
est ^ e. Donc l'oscillation au point c est ^ e. Enfin, si c coïn-
cide avec a ou avec b, l'oscillation se détermine en ne tenant
compte que des valeurs de f{x) à droite de a ou à gauche de b,
ce qui achève la démonstration du théorème.
27. Propriétés des fonctions continues d'une variable. — 1. Si la
fonction f{x) est continue au point a et ne s'annule pas en ce
point, elle sera de même signe que f{a) dans l' intervalle (a — 5,
a -f- 8), pourvu qu'on choisisse B suffisamment petit.
En effet, f{x) ayant pour limite f{a) quand x tend vers a, on
peut choisir 8 assez petitpour que f{x) soit plus rapproché de f{a)
que ne l'est 0, sous la condition \ x — a \ < 8. Cela fait, f{x)
aura le signe de f[a) dans l'intervalle (a — 8, a + 8).
II. Si f{x) est continue dans l'intervalle {a, b), elle est bornée
supérieurement el inférieurement dans cet intervalle.
PONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE 25
Ce théorème est une conséquence immédiate de celui du
n° 26. Puisque f{x) n'a pas de discontinuité dans l'intervalle
(a, b), on peut, le nombre positif e étant donné, trouver un mode
de division de cet intervalle en parties telles que l'oscillation
de f{x) soit ^ e dans chacune d'elles. Soit n le nombre de ces
parties ; la fonction f{x) restera comprise entre f{a} — n e et
/•(a) + /ie.
ni. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b),
ses bornes supérieure et inférieure sont toujours accessibles,
c'est-à-dire qu'il existe toujours au moins deux valeurs de x
dans l'intervalle (a, b) qui donnent respectivement à f{x) ses
plus grande et plus petite valeurs M et m (Weierstrass).
Faisons la démonstration pour la borne M. A cet effet, con-
sidérons la fonction continue, non négative, M — f[x). Cette
fonction peut décroître en dessous de tout nombre positif e,
puisque f{x) peut surpasser tout nombre inférieur à M . Donc la
fonction i : [M — /(-^)1 peut surpasser tout nombre assignable
et elle n'est pas bornée dans l'intervalle (a, b). Par conséquent,
cette nouvelle fonction est discontinue (II), ce qui n'a lieu
(n" 25) que si M — f{x) s'annule dans l'intervalle (a, b).
IV. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) et
qu'on divise cet intervalle en intervalles partiels consécutifs, à
tout nombre positif 2z, si petit qu'il soit, correspond un nombre
S tel que l'oscillation de f{x) dans chaque intervalle partiel soit
inférieure à 2£, pourvu que l'amplitude de chaque intervalle
partiel soit inférieure à S. (Cantoh),
En effet, on peut trouver un premier mode de décomposition,
tel que l'oscillation de f{x) soit inférieure à e dans chaque inter-
valle partiel, sinon la fonction aurait une oscillation > e en un
point de l'intervalle (a, b) et ne serait pas continue (n° 26). Soit 8
l'étendue du plus petit de ces intervalles. Si l'on considère un
autre mode de subdivision en intervalles < 8, un intervalle de
ce second mode de subdivision ne pourra empiéter sur plus de
deux intervalles du premier mode. Donc l'oscillation de la fonc-
tion dans cet intervalle ne supassera pas la somme des oscilla-
tions de f{x) dans deux intervalles du premier mode. Elle res-
tera, par conséquent, inférieure à e -{- e = 2e.
26 INTRODUCTION
On énonce souvent ce théorème en disant qu'une fonction
continue dans un intervalle (a, h) l'est uniformément dans cet
intervalle.
V. Si la fonction /(a) est continue dans l'intervalle (a, b) et
si f{a) et f{b) sont de signes contraires, f{x) s'annule pour une
valeur ^ de x comprise entre a et b.
Marquons entre a et b une suite de points consécutifs assez
rapprochés pour que la variation de f{x) soit < e d'un point au
suivant, ce qui est possible quelque petit que soit e (IV). Si la
fonction ne s'annule pas en l'un de ces points, elle change de
signe entre deux points consécutifs où sa valeur absolue sera
< £. Donc I : f{x) surpasse i : e en valeur absolue quelque petit
que soit e, et cette fonction n'est pas bornée ni continue, ce qui
n'a lieu (25) que si f{x) s'annule dans l'intervalle (a, b).
VI. Si la fonction f{x) est continue dans (a, b), elle prend,
dans cet intervalle, toute valeur comprise entre f{a) et f{b).
En effet, soit A une quantité comprise entre ces deux valeurs ;
la fonction continue f{x) — A, prenant des valeurs de signes
contraires pour x = a et x = b, s'annule en un point intermé-
diaire Ç et l'on a, par conséquent, f{^) = A.
On énonce cette propriété en disant qu'une, fonction continue
dans un intervalle (a, b) ne peut passer d'une valeur à une autre
sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
Exercices.
1. Soit X une valeur positive et [x] le plus grand entier contenu
dans X. On considère la fonction x — [x]. Prouver : 1°) qu'elle est dis-
continue pour les valeurs entières de x et continue pour les autres
valeurs; 2°) que sa borne inférieure est et sa borne supérieure i,
dans tout intervalle comprenant un nombre entier; 3°) que cette borne
inférieure est accessible et cette borne supérieure inaccessible.
2. La fonction sin -~ est définie, sauf pour ;t = ; on lui donne, pour
compléter sa définition, la valeur pour a; = 0. Prouver : i») que cette
fonction est discontinue pour a; ^ et que son oscillation en chaque
point est égale à 2 ; 2°) que cependant, dans tout intervalle compre-
nant le point 0, la fonction ne peut passer d'une valeur à une autre
sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.
3. On définit la fonction ?? [x) en posant <p {x) ^ - quand x est
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES 27
rationnel et égal à une fraction irréductible ± p : q et 'f (x) ^= quand
X est irrationnel. Prouver : i») que o (x) est continue pour toute valeur
irrationnelle de x ; 2°) discontinue pour toute valeur rationnelle ;
3") que l'oscillation est égale à la fonction elle-même.
Cet exemple prouve qu'il existe des fonctions telles qu'il y ait,
dans tout intervalle si petit qu'il soit, une infinité de points où elles
sont continues et une infinité d'autres où elles sont discontinues.
4. On peut définir la continuité en un point et dans un intervalle
(a, b) comme au n» 24, mais en ne donnant à la variable indépendante
X que des valeurs rationnelles. Ceci posé, soit/(;»;) une fonction définie
pour les valeurs rationnelles de x seulement, et continue pour toutes
ces valeurs dans l'intervalle (a, b). Existe-t-il une fonction F{x), conti-
nue pour toutes les valeurs réelles de x dans l'intervalle (a, b) et qui
coïncide avec /(a;) pour x rationnel?
R. Oui, si la continuité de/{x) est uniforme [c'est à dire si la pro-
priété IV du n» 27 s'applique kf{x)] ; non dans le cas contraire. On le
prouvera en montrant que, dans le cas de l'affirmative, /(;t) tend vers
une limite déterminée F (a) quand x tend vers une valeur irration-
nelle a.
§. 4. Fonctions de plusieurs variables réelles.
28. Des variables, des fonctions et de leurs limites. — Si les valeurs
que reçoit la variable u dépendent des valeurs qu'on attribue à
plusieurs autres variables x, y,... on dit que u est une fonction
de ces variables et l'on écrit u -^ f{x, y,.--)* ^^ fonction est
uniforme, ou univoque, oxik détermination simple, — multiforme,
ou plurivoque, ou à déterminations multiples, selon qu'elle est
susceptible d'une seule ou bien de plusieurs valeurs pour
chaque système de valeurs de x. y,... La fonction est algébrique
ou transcendante, rationnelle ou irrationnelle, implicite ou e.v-
plicite comme dans le cas des fonctions d'une seule variable.
On dit que les variables x, y,... varient dans le domaine rec-
tangulaire D limité par les valeurs ai et ag de x, b^ et b^^ de y.-..
lorsqu'on peut donner à x, y,... respectivement toutes les va-
leurs comprises entre ces limites et, de plus, ces valeurs-limites
elles-mêmes. Les points où l'une des variables au moins prend
une de ses valeurs-limites forment la frontière du domaine D.
Les autres points sont intérieurs au domaine D.
Plus généralement, les variables x, y,... peuvent prendre
tous les systèmes de valeurs qui satisfont à certaines inégalités
de la forme F {x, y,...) > où F est continue. On dit encore,
a8 INTRODUCTION
dans ce cas, qu'elles varient dans un domaine D, défini par ces
conditions. Sur la frontière du domaine une des inégalités se
change en égalité.
Lorsque les variables (.v, y,...) varient dans un domaine D, la
fonction f{x, y,...) peut être bornée supérieurement et infé-
rieurement. Dans ce cas, ses bornes supérieure et inférieure
et son oscillation se définissent comme dans le cas des fonctions
d'une seule variable.
Ce que nous avons dit (n° 22) de ces divers éléments, dans le
cas où l'on considère le partage d'un intervalle en plusieurs
autres, peut évidemment se répéter si l'on considère le partage
en plusieurs autres d'un domaine D.
29. Représentation géométrique. — Quand on considère deux
variables x et y seulement, leur variation simultanée se repré-
sente géométriquement par le déplacement d'un point M du plan
qui a pour coordonnées rectangulaires x et y. Le domaine D
limité par les valeurs a, et aj de x, fe, et b^ de y est alors figuré
par le rectangle dont les côtés ont pour équations x = ai,
X — a^ et y ^ by, y =^ b2. Quand x et y varient dans ce domaine,
le point représentatif du système peut prendre toutes les posi-
tions comprises dans l'intérieur et sur le contour du rectangle.
Par allusion à cette représentation, un système de valeurs de
X et y s'appelle un point, le système a, b le point (a, b), etc. La
représentation géométrique s'étend au cas de trois variables à
condition de considérer le déplacement du point M dans l'es-
pace. Dans ce cas, un domaine rectangulaire est figuré par un
prisme rectangle.
Plus généralement, dans le cas de deux variables, on peut
faire varier le point x, y dans la portion du plan limité par un
contour fermé. Le domaine D comprend alors tous les points
de la courbe frontière et de la région intérieure.
Dans le cas de trois variables, le point x, y, z peut varier
dans un domaine I) limité par une surface fermée. Cette surface
est la frontière du domaine.
Au delà, la représentation géométrique fait défaut, mais il
est commode d'étendre la terminologie au cas général, le point
variant alors dans l'hyperespace.
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES REELLES 29
30. Définitions relatives à la continuité. — Une fonction f{x, y,...)
est continue au point (a, b,...) si f{x,y,...) a pour limite f(a, l),...)
quand x, y,... tendent respectivement vers a, b... d'une manière
quelconque, c'est-à-dire quand \ x — a \ -{- \ y — b \ ~{- ... tend
vers ; ou, ce qui revient encore au même, si l'oscillation de
f{x, y,...) dans le domaine infiniment petit limité par les
valeurs a ± t de x, b zk 'r\ de y,... a pour limite quand t, yj,...
tendent vers 0.
La fonction f{x, y,...) est continue dans un domaine 1) si elle
est continue en tout point intérieur à ce domaine et en tout
point de sa frontière. Seulement, sur la frontière du domaine D,
la condition de continuité, exprimée par l'équation
lim f{x, y,...) = /"(lim x, lim y,...),
est seulement relative au cas où les variables tendent vers leurs
limites sans sortir du domaine D.
La fonction est continue dans le voisinage d'un point {a, b,...)
lorsqu'elle est continue dans un domaine suffisamment petit
comprenant ce point dans son intérieur (au sens étroit).
Lorsqu'une fonction n'est pas continue au point (a, b,...), elle
est discontinue en ce point.
D'après ces définitions, une fonction peut être continue par
rapport à chaque variable x, y,... variant seule, sans l'être par
rapport à l'ensemble de ces variables.
31. Continuité des fonctions composées. — 1. La somme, le pro-
duit, le quotient de deux fonctions continues sont des fonctions
continues, sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.
La démonstration est la même que pour les fonctions d'une
seule variable (n° 25).
II. Si u, V..., sont des fonctions continues de x, y..., et si
F (u, V,...) est une fonction continue de u, v,..., F sera aussi
fonction continue de x, y....
Faisons tendre x, y,... vers .Yq, yo,--- et soient u^, Vç,.... les
valeurs de u, v,... en ce point. Les fonctions étant continues,
on aura effectivement :
lim F {u, V,...) = F (lim u, lim v,...) = F (uo, Vo,...).
De là, nous concluons encore que les fonctions composées de
plusieurs variables ne peuvent devenir discontinues que si l'une
30 INTRODUCTION
des lonctioiis composantes devient diseontiniie ou si l'on doit
faire une division pai" zéro. Ce résultat généralise eelui obtenu
au n° 23 et le renferme eomme cas particuliei*.
32. Convergence uniforme. — Soit f{x, y, z,...) une fonction de
plusieurs variables. Il se peut qu'elle tende vers une limite
déterminée 'f {y, z,...) quand on fait tendre a' vers une valeur
particulière a. On dit que f{x, y, z,...) converge uniformément
vers sa limite dans un domaine déterminé y, 3,... si, à tout
nombre ])ositif e, correspond un nombre 8, iNOÉPENnAN'i m-: y,
z,..., tel qu'on ait
(1) \f{x,y,z,...)-f(y,z,...)\ <e,
sous la seule condition | a- — a | < 8, et cela dans tout le domaine
y, z,... considéré.
La fonction f{x, y, z,...) peut aussi converger vers une limite
© {y, z,...) quand x tend vers l'infini. Pour que la convergence
soit uniforme, il faut qu'à tout nombre e corresponde un nom-
bre N INDÉPENDANT DE y, Z,..., tel quc la relation (1) ait lieu sous
la seule condition a > N dans tout le domaine y, z,... considéré.
Ainsi, par exemple, la l'onction
I
x—y
a pour limite quand x tend vers l'infini, et cela pour chaque
valeur de y, mais la convergence n'est pas uniforme si y peut
varier d'une manière quelconque, car, quelque grand que soit
X, on peut encore choisir y de manière à rendre la fonction
aussi grande qu'on veut.
§ 5. Fonctions élémentaires*.
33. Exposants fractionnaires. — Dans sa signification primitive,
un exposant indique le nombre des facteurs égaux d'un produit :
(*) Les déliuitions des fonctions exponentielle et logarithme appar-
tiennent aux éléments de l'algèbre. Ces définitions et les propriétés fon-
damentales de ces fonctions sont déjà familières à ceux qni abordent
l'étude de l'analyse infinitésimale. Kn les rai)pelant brièvement ci-des-
sous, notre but est de les rattacher aux principes généraux et de faire
saisir dans sou ensemble la chaîne des déductions qui y conduisent.
FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES 3l
.V" désigne le produit de îu facteurs égaux à .v. On généralise
déjà en algèbre élémentaire la notion des exposants par la défi-
nition des exposants fractionnaires et négatifs. Si a désigne un
nombre positif quelconque, l'équation a:" = h, où n est un entier
positif, a une racine positive et une seule que l'on appelle la
racine arithmétique n^"^'^ de a. On la représente par "\/a ou a".
m.
On pose ensuite, par définition, a" = ^^\la^, a:" =■ i, a- « = —,
a désignant une fraction quelconque. Ces définitions suffisent
pour établir, sans aucune difficulté, toutes les règles du calcul
des exposants rationnels positifs et négatifs. Nous supposerons
ces résultats acquis dans les éléments.
34. Fonction exponentielle. — Soit a un nombre positif, la défi-
nition de la fonction a^ résulte de celle des exposants fraction-
naires pour toutes les valeurs rationnelles de .v. Lorsque x
varie sans cesser d'être rationnel, la fonction a^ est continue
pour chaque valeur de x et elle varie en croissant de à i et de
I à 00 quand a: lui-même varie dans le même sens de — x à et
de à 00. Cette i^ropriété permet de définir, par un passage à la
limite, la fonction a^ pour les valeurs irrationnelles de .v et de
donner, par conséquent, la définition des exposants irration-
nels. Si a est irrationnel, a'=^ est la limite de a^ quand x tend
vers a sans cesser d'être rationnel. La fonction a^ se trouve
maintenant définie pour toutes les valeurs réelles de x, elle est
encore constamment croissante avec .v et continue pour toutes
les valeurs de cette variable.
Les propriétés essentielles de la fonction exponentielle sont
exprimées par les équations
a^ a'^ = a^ + î', (a^ "') -= a"»^.
(yelles-ci se démontrent directement dans le cas des exposants
fractionnaires et elles s'étendent, par un passage à la limite,
au cas des exposants irrationnels. Nous supposerons encore ces
résultats acquis dans les éléments.
35. Fonction log-arithme. Puissance quelconque. — Soit a un nom-
bre > 1 ; le logarithme d'un nombre positif/», dans le système
de logarithmes dont la base est a, est l'exposant auquel il faut
32 INTRODUCTION
élever a pour reproduire m. Tout nombre positif m a un loga-
rithme et un seul dans la base a, car, a^ croissant de à x
quand x croît de — oo à 4- co» l'équation a^ = m a une racine et
une seule. înTous représenterons cette racine par LogaA*.
La fonction JjOgaX est définie par là pour toutes les valeurs
réelles et positives de .v sauf x = ; elle croît successivement
de — GO à 0, de à I et de I à l'infini, quand x lui-même croît
de à I de I à a et de a à l'infini. Elle est continue pour toutes
les valeurs de x sauf x = 0.
Les propriétés fondamentales du logarithme correspondent à
celles de l'exponentielle a^, elles sont exprimées par les équa-
tions :
Log« A- -h Loga y = Loga xy, Loga x"^ =- m Log« x.
Lorsque la variable x est positive, une puissance, x*^ , est dé-
finie par ce qui précède pour toutes les valeurs réelles de a.
On a, en effet, le logarithme étant pris dans la base A,
Cette fonction s'exprime donc par les fonctions exponentielle
et logarithme. Elle est continue pour toutes les valeurs posi-
tives de X.
36. Logarithmes naturels. Nombre e. — Les logarithmes naturels
sont ceux qui ont pour base le nombre e que nous allons défi-
nir. Comme on le verra, ce sont ceux qui se présentent le plus
naturellement dans le calcul différentiel et nous n'en aurons
guère d'autre à considérer. Nous conviendrons de désigner par
LogA a; le logarithme de a dans la base A, et par LogA (sans in-
dice) son logarithme naturel.
On définit d'abord le nombre e comme limite de l'expression
'+^
quand n est un entier qui tend vers l'infini, et cette limite est
finie et déterminée, car nous allons montrer (juc cette expres-
sion est croissante et bornée.
Elle est croissante, car elle se développe par la formule du
binôme dans une somme de n 4- i termes :
INTRODUCTION 33
i.2...pV Wv ny V /i y
Or le nombre des termes augmente avec n et chaque terme
aussi.
Ensuite l'expression est bornée, car le terme de rang {p -4- i) •
(écrit en dernier lieu) est moindre que
I I
<
1.2.,. p 2P-'^'
et la somme entière, moindre que
Donc le nombre e est compris entre 2 et 3. Nous apprendrons
plus tard le moyen de le calculer. Sa valeur approchée est
e = 2,7 1828 1828 459045 ...
Théorème. — Plus généralement, a tendant vers d'une ma-
nière quelconque, on a
i_
lim (i 4- a)« = e.
En effet, si a est positif, i : a est compris entre deux entiers
consécutifs n et n + i qui augmentent à l'infini, et l'on a
r\n+i
I A" * / T\'
1
Donc (I + a)=' est compris entre deux quantités qui ont pour
limite e :
^+.^T :ri4-^-.^ et ri+^T.r. -
Si a est négatif et > — i, on pose i + a = i : (i + p), de sorte
que (3 tend vers en restant positif, et l'on a
(l+a)a=(H-{3) ? =(i+|3).(i4.p)P,
ce qui ran)ène au cas précédent.
3
34 FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES.
37. Fonctions circulaires directes. — Les fonctions trigonomé-
triques sont définies dans les éléments par des considérations
géométriques. Nous supposerons connues leurs propriétés les
plus élémentaires.
Toutes les fonctions trigonom étriqués peuvent se définir au
moyen de l'une d'elles, considérée comme fondamentale, par
exemple sin^x, au moyen des formules :
cosa; = sin ( a* ), tg^; = —, cotA' = tg( -—x ),
sec A' = , cosec a —
cosA sinx
Dans toute l'étendue de ce cours, les angles sont supposés
mesurés par la longueur de l'arc qu'ils interceptent sur la cir-
conférence de rayon un. Dans les formules précédentes, x dé-
signe donc un arc de cercle.
38. Fonctions circulaires inverses. — Les fonctions circulaires
étant périodiques, reprennent la même valeur pour une infinité
de valeurs de la variable. Donc leurs inverses, ayant une infinité
de valeurs pour chaque valeur de la variable, sont des fonctions
à déterminations multiples. Nous allons montrer toutefois que
l'on peut associer ces valeurs entre elles, de manière à définir
une infinité de fonctions distinctes, dont chacune sera uniforme
et continue et constituera une branche de la fonction.
1^ La fonction y =- arc sin x est la fonction inverse du sinus,
c'est la fonction implicite y. définie par l'équation
X = sin y.
Quand y croît de — - à + -, x passe une seule fois par cha-
cune des valeurs comprises entre — i + i. Donc, à chaque va-
leur de X dans l'intervalle (— i, + i), ne correspond qu'une
seule valeur de y dans l'intervalle (^— -, + -j. Nous dirons
que cette valeur est la valeur principale de arc sin x.
La valeur principale de arc sin x varie d'une manière conti-
nue avec X et elle croît de — - à -f - quand x croît de — i à
+ I ; elle d^éfinit la branche principale de la fonction et nous
considérerons celle-là chaque fois que le contraire ne sera pas
dit expressément.
INTRODUCTION 35
La fonction arc sin x a une infinité d'autres branches. Mais
il est facile de les ramener à la princiipale. En effet, les seules
valeurs qui laissent sin y invariable s'obtiennent en changeant
y en Tc — y ou en ajoutant à ces deux arcs un nombre k entier
(positif ou négatif) de circonférences. Donc toutes les autres
valeurs de l'arc sinus s'expriment au moyen de la principale
par les deux formules :
y = arc sin x + 2kr., y = {i^ — arc sin x) + a/c-,
où l'on donne à arc sin x sa valeur principale. En même temps,
chacune de ces formules définit, pour chaque valeur de k, une
branche distincte de la fonction.
La fonction arc sin x n'a de sens jusqu'ici que si x est com-
pris dans l'intervalle ( — i, -f i) ; en dehors de cet intervalle,
l'expression arc sin x ne représente plus rien.
2° La fonction y =- arc cos x se ramène à la précédente par
les relations :
X ^ cos y ^ sin ( ; y
y = ai'c sm x,
arc cos x = arc sm x.
2
La valeur principale de arc cos x s'obtient par cette formule
en donnant la sienne à arc sin x. C'est une fonction uniforme
et continue de x, qui varie de tt à quand x varie de — i à 4- i.
et c'est la branche principale de la fonction. Les autres branches
s'obtiennent en fonction de la principale par les formules '.
y = 2/f TT 4- arc cos x, y = a/c tt — arc cos .v.
Comme l'arc sinus, l'arc cosinus n'a de sens qiie si la variable
est comprise dans l'intervalle ( — i, -f i).
3"^ La fonction y = arc tg x a, pour chaque valeur de .v, une
valeur et une seule satisfaisant aux conditions :
< arc tg A' < - .
2 ^2
C'est sa valeur principale, qui définit la branche principale
de la fonction. Elle croît de -' à + - quand x croit de — oc à
2 2 ^
36 FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES
4- 00 . Les valeurs de l'arc pour lesquelles la tangente reprend
la même valeur diffèrent entre elles d'un multiple de n ; donc
les autres branches de la fonction arc tg x s'expriment, au
moyen de la première, par la seule formule
y = arc tg ^ + kn.
4° Les autres fonctions inverses se ramènent aux précédentes
par les formules, correspondant aux trois dernières du ii2_37 :
arc cot X = arc tg x,
1
arc sec x == arc cos —,
X
. I
arc cosec x = arc sm - .
X
Exercices.
1. Toute fonction f{x) gui reste bornée dans l'intervalle (0, e) et qui satis-
fait, pour toutes valeurs réelles de x et de y, à la relation
f{x+y)=^f{x)+Ay)
est de la forme f{x) = ax, a constant (e peut être aussi petit 'qu'on veut).
En raisonnant de proche en proche, on déduit d'abord de la relation
donnée que l'on a , w et « étant des entiers quelconques,
f{mx + «) = mf(x) + «/ (i).
Prenons w > i : e ; faisons varier x d'une manière quelconque dans
l'intervalle (0, — ) et faisons tendre l'entier n vers l'infini. La variable
\ m J
mx -{-n = ^ tendra vers l'infini d'une manière arbitraire et l'on déduira
de l'équation précédente, puisque /(a;) reste bornée par hypothèse,
lim /(?) .. rnf{x) + nf {i)_
— = lim . j{i) — a.
ç==oo^ mx -\- n
Prenons ensuite m = et faisons tendre m vers l'infini ; on déduira
de la même équation, en tenant compte du résultat précédent,
f{x) ^Vim f^A=.f(^^) = a.
X m =^ <X) mx
2. La seule fonction qui reste bornée dans V intervalle (0, e), qui n'est pas
constamment nulle et qui satisfait pour toute valeur de x à l'égalité
f{x+y)=^f{x)f{y)
est la fonction f{x^ =- A^ , A constant. (Quelque petit que soit s).
INTRODUCTION 3^
On déduit d'abord de cette relation /(2;tr) -^f{xYJ[z) ■=. f(^x)f{z-~x) ;
donc : i° f{x) est toujours positif; 2° s\ f{t) n'est pas nul, la limite
inférieure àef{x) est > dans l'intervalle (0, e).
On posera donc Log/W = tp {x), tf {x) sera borné dans l'intervalle
(0, e) et on appliquera la propriété de l'exercice précédent.
On remarquera : lo que, dans ces théorèmes, on ne postule pas la
continuité de la fonction ; 2° que, si l'on ne considérait que les valeurs
rationnelles de x, il serait inutile de supposer d'avance /(at) borné.
§ 6. Nombres complexes.
39. Notation du nombre complexe, — On donne le nom de nom-
bre complexe ou imaginaire à l'ensemble de deux nombres réels
a et b, rangés dans un certain ordre, et l'on représente et
ensemble par la notation
a + bi.
Les expressions de cette forme sont soumises à des règles de
calcul conventionnelles. C'est dans l'énoncé de ces règles que
consiste la définition mathématique des quantités complexes.
Le symbole / n'a aucun sens par lui-même, il sert seulement à
maintenir séparés l'un de l'autre les deux nombres a et 6 qui
jouent un rôle différent dans les opérations que nous allons
définir. Le signe + sert à marquer la connexion des deux nom-
bres a et 6 et son emploi se justifiera de lui-même un peu plus
loin.
Le calcul des quantités complexes repose sur les huit conven-
tions suivantes que nous indiquerons en les numérotant :
40. Premières conventions. — La première convention est rela-
tive à l'égalité. On écrit
(1) a + 6/ = a' 4- bi',
si l'on a séparément a =- a' et 6 =- b'. de sorte qu'une équation
entre quantités complexes revient à deux équations entre quan-
tités réelles.
Les trois conventions suivantes, où la notation elle-même
joue un rôle essentiel, sont exprimées par les trois équations :
(II) a-hOi = a,
(III) 0-\-bi = bi,
(IV) -fi/ = /.
38 NOMBRES COMPLEXES
Elles font rentrer respectivement dans l'ensemble des quan-
tités complexes les quantités réelles, les expressions de la
forme bi que l'on appelle purement imaginaires et enfin le sym-
bole i lui-même que l'on appelle Yunité imaginaire.
Les quantités réelles rentrant maintenant dans les quantités
complexes, il faudra prendre soin, dans les définitions sui-
vantes, de n'introduire aucune règle qui contredise celles déjà
établies pour les quantités réelles.
La règle II montre qu'une quantité imaginaire n'est nulle ou
égale à zéro que si l'on a séparément :
a = 0, 6 = 0.
La quantité réelle et positive sja^ -\- b^ s'appelle le module de
la quantité (a \- bi) et se représente par \ a + bi \ . Un nombre
complexe est nul si son module est nul et seulement dans ce cas.
4 1 . L'addition et la multiplication sont définies par les équations
(V) (a + bi) -i- (a' + b'i) == (a + a') + (6 + b'}i,
(VI) (a + bi) (a' + b'i) - {aa' — bb') -|- {ab' + a'b)i,
que l'on est en droit de poser, car elles se réduisentàdes identités
quand leurs termes sont réels. Donc la somme et le produit de
deux nombres complexes sont de nouveaux nombres complexes
entièrement déterminés. Il est à peine nécessaire de faire re-
marquer que ces définitions sont faites de manière à conserver
les propriétés commutative, associative et distributive, qui
correspondent aux relations :
a + P = P 4- a,
(a + i3) + Y = a + (P -f y),
aux relations analogues dans la multiplication et à l'équation
a([3 + y) = a§ + aY.
Les équations Y et VI donnent lieu à des cas particuliers
remarquables ;
1° Eu égard à II et III, l'équation V montre que a + bi est la
somme des deux nombres a et bi. Le nombre a est la partie
réelle de a -f bi et le nombre bi est sa partie imaginaire.
2° Eu égard à IV, l'équation VI montre aussi que bi est le
produit des deux nombres b et i.
Il résulte de là que l'emploi des signes d'opération dans la
INTRODUCTION Sg
notation du nombre complexe a 4- bi ne peut prêter à aucune
confusion.
3° Si l'on fait, dans l'équation VI, a -^ a' — et b = b' = i,
elle se réduit à
i' = — i.
Donc tous les calculs relatifs à l'addition et à la multiplica-
tion des quantités complexes pourront se faire par l'application
des règles du calcul algébrique habituel, à condition de traiter
le symbole i comme une quantité dont le carré serait égal
à — I. Cette propriété explique comment il se fait que le nom-
bre i se soit introduit en algèbre sous la forme \/ — i. L'usage
que l'on a fait de cette notation sans la définir a fait considérer
parfois l'existence des quantités complexes comme une sorte de
paradoxe.
4° Si l'on fait, dans l'équation VI, a' = a et b' = — b, elle
donne
(a + bi) (a — bi) =^a^ -\- b^.
Deux quantités complexes qui ne diffèrent que par le sig-ne
de la partie imaginaire sont dites conjuguées. On voit que le
produit des deux quantités conjuguées est réel et positif et égal
au carré du module de chacune de ces deux quantités. La quan-
tité a^ + ^^ s'appelle aussi la norme de la quantité complexe
a ± bi.
42. La soustraction et la division sont, par définition, les opéra-
tions inverses de l'addition et de la multiplication.
Soustraire (a' + bi) de (a -|- bi) c'est déterminer le nombre
X -\- yi qui vérifie la condition
(a + bi) = (a' + b'i) + (x 4- yi) = (a' -f x) -{- {b' -j- y)i.
Ce nombre x -\- yi se représente par (a + bi) — (a' 4- b'i). On
aura doilc, par la définition de l'égalité,
(VII) (a -h bi) — (a' -f b'i) = (a — a') -h {b — b')i
et cette équation définit la soustraction.
Diviser (a 4- ^0 par (a' -\-Lb')i c'est trouver un nombre x -|- yi
appelé quotient qui vérife la condition
(a 4- bi) - (a' + b'i) {x -\- yi),
ou, en multipliant les deux membres par a' — b'i,
4o NOMBRES COMPLEXES
(a + M) (a' - b'i) = (a'^ + b'') {x + yi).
Le quotient se représente par , , ,,. et l'on a
a + b i
/VTTT\ a + bi _ f aa' + bb' ^ fba' — aô'
Cette équation définit la division. Elle montre que la division
est toujours possible et conduit à un résultat unique et bien
déterminé pourvu que le diviseur ne soit pas nul.
43, Théorème. — Si, dans une somme, un produit, une diffé-
rence, un quotient de nombres complexées, on remplace chaque
terme par son conjugué, les résultats seront aussi remplacés par
leurs conjugués. C'est ce qui résulte immédiatement des for-
mules précédentes. Donc, dans toute relation entre quantités
complexes qui ne comporte que les quatre opérations ration-
nelles, il est permis de remplacer i par — i.
Soit, par exemple, l'équation
(a + bi) (a' + b'i) = {aa' — hb') + / (a// + hsi') ;
en la multipliant membre à membre avec sa conjuguée, on trouve
(a2 + 62) (a'2 + 6'2) =. (aa' — bb'y + {ab' + ba'f
Donc le module (la norme) d'un produit est égal au produit
des modules (des normes) de chaque facteur.
On conclut de là qu'un produit de plusieurs facteurs s'annule
seulement si l'un des facteurs est nul.
44. Théorème. — Le module d'une somme ne peut pas surpas-
ser la somme des modules de chaque terme.
Ce théorème se vérifie d'abord pour les deux nombres i et
(a + bi), c'est-à-dire que l'on a
I -r \Ja' + Z>2 ^ V(i + a)' + bK
En effet, élevée au carré, cette relation revient à la suivante
2 sja^ + b^ ^ 2a,
qui est apparente et dans laquelle l'égalité ne peut avoir lieu
que si b est nul et a positif, donc a + bi réel et positif.
Ensuite la démonstration s'étend au cas général. En effet,
soient a et a' deux nombres différents de zéro, et p leur quotient
a' : a : ou a
INTRODUCTION ^i
I a 1 + I a' I = I a I (1 + 1 M )
I a + a' I - I a I | i + M •
Donc I a -f- a' | sera inférieur à | a | + | a' | sauf si ^ est réel
et positif.
D'autre part, le module d'une somme est au moins égal à la
difjféi-encc des modules de ses deux termes, car les deux relations
ia±a' I < |a| + |a' I ,
I a ± a' I > I a I - I a' I ,
se ramènent Tune à l'autre par le changement de a en a =F a'.
45. Représentation géométrique des quantités complexes. — La
quantité complexe (a -f bi) se représente géométriquement par
une droite de longueur et de direction déterminée, menée à
partir d'une origine arbitraire, et ayant comme projections
suivant deux axes rectangulaires les quantités a et b.
Si cette droite est menée à partir de l'origine des coordon-
nées, son extrémité M s pour coordonnées rectangulaires a et b.
Le point M s'appelle Vaffixe (Cauchy) de la quantité complexe
et peut aussi lui servir de représentation géométrique.
Les coordonnées polaires r et 9 de l'affixe M jouent un rôle
important dans l'étude de la quantité complexe. Elle sont défi-
nies par les relations a^ r cos ^, b = r sin G ; d'où
a . . b
r = yJa^ -i- b^, cos9=-, sin 9 =-
r /•
Le rayon vecteur r est le module de la quantité complexe.
L'angle 9 s'appelle son argument, il n'est déterminé qu'à un
multiple près de 2tt quand a et b sont donnés.
Cette représentation géométrique et la considération du mo-
dule et de l'argument ont un intérêt particulier dans les diverses
opérations précédemment définies.
La somme de plusieurs nombres complexes est représentée
géométriquement par la résultante des droites représentatives
de ses termes.
Si l'on fait le produit et le quotient de deux nombres com-
plexes
a -}- bi =- r (cos 9 -|- i sin 9)
a' + b'i =-- r' (cos 9' -f i sin 9'),
42 VARIABLES COMPLEXES
on trouve, par les propriétés connues des fonctions trigonomé-
triques,
(a + bi) (a' + b'i) = rr' [cos (9 +■ 0') + i sin (ô + 6')],
l+|| = ^[eOB(e_e') + ,-Bin(e-9')
Donc le module d'un produit est égal au produit des modules
de ses facteurs et son argument à la somme de leurs arguments ;
le module d'un quotient est égal au quotient des modules de ses
deux termes et son argument à la différence de leurs arguments.
§ 7. Variables complexes et fonctions rationnelles
d^une variable complexe.
46. Variables complexes. — Si a; et y sont deux variables
réelles, x -f yi est une variable complexe.
Si X et y ont respectivement pour limites a et b, on dit que
X -\- yi 3b pour limite a -f bi et l'on écrit
lim (x 4- yi) = a 4- bi.
La condition nécessaire et suffisante pour que x + yi ait pour
limite a -\- bi est que la quantité
I (x + yi) - (a + bi) I =-- \{x - af 4- (y — bf
ait pour limite 0.
Cette condition est suffisante, car, si ce radical tend vers
zéro, chacune des quantités de valeur absolue moindre {x — a)
et {y — b) aura pour limite 0. Elle est nécessaire, car ce radical
tend aussi vers avec (;x" — a) et {y — b).
Le critère de convergence de Caucliy (n^ i6) s'étend de lui-
même aux variables complexes.
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une variable
complexe z qui passe par une succession illimitée de valeurs ait
une limite finie, est qu'à tout nombre i)Ositif' donné s, corres-
ponde une valeur de z qui diffère de moins de e de toutes les
suivantes.
Les principes généraux relatifs à la limite d'une somme, d'un
produit, d'un quotient de variables réelles (n° i8) s'appliquent
évidemment aussi aux variables complexes.
Une variable complexe qui a pour limite est dite infiniment
INTRODUCTION 4^
petite. Pour qu'une variable complexe soit infiniment petite, il
est nécessaire et suffisant que son module soit infiniment petit.
47. Polynôme entier. — Soit z une variable complexe, et
f(z) = Ao z" + A,2"-^ + ... + A„
un polynôme de degré n à coefficients réels ou complexes. A
chaque valeur de z correspond une valeur bien déterminée de
ce polynôme. On peut donc dire que ce polynôme est une fonc-
tion de la variable complexe z. De plus, c'est une fonction con-
tinue pour toute valeur de z, ce qui veut dire que, si l'on fait
tendre z vers une valeur particulière a d'une manière quel-
conque, on aura la condition
lim f{z) = fia).
On démontre, en algèbre, que le polynôme f(z) peut toujours
se décomposer en un produit de facteurs linéaires
f{z) = Ao{z-a)\z-^r ...,
les lettres a, p,... désignant des quantités réelles ou complexes
et A, [ji,... des entiers positifs. Le polynôme ne peut s'annuler
que pour les valeurs 2 = a, 2 =- p,... que l'on appelle ses racines.
Celles-ci sont simples ou multiples : les nombres "k, p.,... sont
les degrés de multiplicité des racines respectives a, ^,... La
somme X + [J^ + ••• est égale à n. On énonce cette propriété en
disant qu'un polynôme de degré n a toujours n racines.
48. Fonction rationnelle. — Le quotient de deux polynômes,
est ce qu'on appelle une fonction rationnelle de z. Sa valeur est
bien déterminée pour toute valeur de z qui n'annule pas le
dénominateur. On a, d'après les principes rappelés plus haut
(no 46),
lim f{z) = fia),
sauf si a annale le dénominateur. Donc une fonction ration-
nelle est continue, sauf pour les valeurs de 2 qui sont racines
du dénominateur et qui rendent la fraction infinie.
44 PUISSAJÏCE DES ENSEMBLES
Quand le dénominateur se réduit à une constante, la fraction
se réduit à un polynôme entier. On dit aussi qu'un polynôme
est une fonction rationnelle et entière de z.
L'expression P (z) : Q {z) est une fraction proprement dite
lorsque le degré du numérateur est moindre que celui du déno-
minateur. Si P était du même degré ou de degré plus élevé que
Q, en effectuant la division, on décomposerait P : Q en un
quotient entier et une fraction proprement dite.
§ 8. Des ensembles en général. Leur puissance.
49. Puissance d'un ensemble. — Un ensemble est une collection
d'objets ou d'éléments quelconques en nombre fini ou infini. Nous
avons déjà parlé de l'ensemble des nombres entiers, de celui des
nombres rationnels, réels... Mais on peut aussi considérer l'ensemble
des polygones inscrits dans une courbe, l'ensemble des fonctions de x,
l'ensemble des équations algébriques, etc.
On dit que deux ensembles E et Ei ont même puissance (Cantor) si
l'on peut établir une correspondance parfaite ou uniforme entre les
éléments des deux ensembles, de sorte qu'à chaque élément de l'un
corresponde un élément de l'autre et réciproquement.
Si les deux ensembles soni finis, c'est-à-dire composés d'un nombre
limité d'objets, l'idée de puissance se confond avec celle du nombre
des objets. Une collection finie ne peut avoir le même nombre qu'une
de ses parties ; au contraire, on peut établir une correspondance par-
faite entre une collection infinie et l'une de ses parties. C'est ainsi, par
exemple, que l'on peut établir une correspondance parfaite entre tous
les nombres entiers et tous les nombres pairs, chaque nombre entier
correspondant au nombre double : l'ensemble des nombres pairs a
même puissance que celui de tous les entiers.
Après les ensembles finis, les plus simples sont les ensembles
dénombrables.
50. Ensembles dénombrables. — a) Un ensemble qui a la même
puissance que celui des nombres entiers i, 2, 3,... «,... est un ensemble
dénombrable. C'est donc un ensemble dont on peut numéroter tous
les éléments, car, à chaque élément, correspond un entier qui sera son
numéro. Par conséquent, les éléments peuvent être distingués par un
indice et rangés dans une suite illimitée
«1, %,... Un....,
analogue à la suite des entiers où chaque terme est précédé et suivi
d'un autre.
INTRODUCTION 4^
b) Tout ensemble d'éléments u {r, s,... t) qui se distinguent par les valeurs
d'un nombre limité de paramètres ou d'indices r, s,... t susceptibles de toutes les
valeurs entières i, 2,... «,..., est un ensemble dénombrable.
Soit, en effet, r-\-s-\-...-\-t^n la somme de ces indices ; il n'y
a qu'un nombre limité d'éléments pour chaque valeur de n et on peut
les numéroter ; on peut donc numéroter tous les éléments en commen
çant par la plus petite valeur de n et en passant successivement aux
valeurs plus grandes.
En particulier , l'ensemble des nombres rationnels positifs est dénombrable, car
ces nombres peuvent se mettre sous forme de fraction irréductible
p : q = u {p, q) et ils se distinguent par deux indices. D'ailleurs, l'en-
semble de tous les nombres rationnels est aussi dénombrable, en vertu du
théorème suivant :
c) L'ensemble formé par la réunion d'un nombre limité d^ ensembles dénom-
brables est dénombrable, car on peut numéroter d'abord tous les premiers
éléments, puis tous les seconds, etc. — Plus généralement, l'ensemble
formé par la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables est
dénombrable, car on peut désigner par u (m, n) le w'«'"* élément du «'<*»««
ensemble, de sorte que les éléments de l'ensemble total se distinguent
par deux indices : celui-ci est dénombrable.
dj Toute infinité d'éléments comprise dans un ensemble dénombrable est
dénombrable.
En effet, on peut ranger les éléments de l'ensemble partiel dans
l'ordre où ils se rencontrent dans l'ensemble total (supposé dénombré).
e) On ne change pas la puissance d'un ensemble non dénombrable, si Von
supprime une partie de ses éléments formant un ensemble dénombrable.
Partageons un ensemble E non dénombrable en deux autres D et
E' dont D soit dénombrable : nous écrirons
E = D + E'.
L'ensemble E' ne sera pas dénombrable, sinon E le serait aussi (c).
Partageons arbitrairement E' en deux ensembles D' et E" dont D' soit
dénombrable ; nous pouvons encore écrire
E' =- D' 4- E".
Soit (D + D') l'ensemble dénombrable (c) formé par la réunion de D
et D' ; il vient
E = (D + D') + E", E' = D' + E"
Donc E a même puissance que E', car on peut établir une corres-
pondance uniforme entre les deux ensembles D -f- D' et D'.
fj Réciproquement, on ne change pas la puissance d'un ememble non dénom-
brable en lui ajoutant un ensemble dénombrable.
En effet, l'ensemble somme n'est pas dénombrable, donc sa puis-
sance ne change pas quand on en retranche l'ensemble ajouté {ei.
46 PUISSANCE DBS ENSEMBLES
51. Ensembles qui ont la pui8Sâ.nce du continu. — a) Un ensemble
qui a la même puissance que celui des nombres réels compris entre
et 1, est un ensemble qui a la puissance du continu.
L'ensemble des nombres compris dans un intervalle {a. b) quel-
conque a la puissance du continu, car la relation a; = a + (è — a) y fait
correspondre à tout nombre x de l'intervalle {a, b) un nombre jv com-
pris entre et i et réciproquement.
b) V ensemble des nombres irrationnels de V intervalle Oi a aussi la puissance
du continu.
En effet, la suppression de l'ensemble dénombrable des nombres
rationnels ne change pas la puissance de l'ensemble des nombres entre
et I ( n" 5o, d et e).
c) Un ensemble qui a la puissance du continu n'est pas dénombrable.
Considérons l'ensemble des nombres irrationnels de l'intervalle ôi.
Ils se développent chacun d'une seule manière en fraction continue
illimitée (sans partie entière). Supposons, par impossible, que ces
nombres puissent se ranger dans une suite dénombrable Xx, x^,... Xn ,...
et soit, en général,
l n n n \
x„ = [a^, a^,... a«,...j
le développement de Xn. On peut écrire immédiatement une fraction
continue, de valeur irrationnelle < i,
x = {bx,bi,...b„,...),
non comprise dans la suite, en prenant bi différent de a[, è^ différent
de a^,... &„ différent de a",... Donc le dénombrement n'est pas com-
plet : l'ensemble considéré n'est pas dénombrable.
d) En réunissant deux ensembles (sans éléments communs) E £^ Ei qui ont la
puissance du continu, on forme un ensemble E + Ei qui a la puissance du
continu.
En effet, on peut faire correspondre E aux nombres compris entre
et I, El aux nombres compris entre i et 2 (i exclu), alors E + Ei
correspond aux nombres de l'intervalle (0,2) : sa puissance est celle
du continu.
e) Plus généralement, l'ensemble formé par la réunion d'une infinité dénom-
brable d'ensembles (sans éléments communs) qui ont la puissance du continu, a
encore la même puissance.
En effet, soient Ei, E2,... E„ ,... ces ensembles; choisissons une suite
de nombres croissants a^, a^,,... an,... ayant une limite b. Faisons cor-
respondre El aux nombres compris entre ai et a-i, E^ aux nombres
compris entre «2 et ^3 («o exclu), et ainsi de suite ; l'ensemble somme
correspondra aux nombres compris entre aetb {b exclu) ; il aura donc
la puissance du continu.
En particulier, l'ensemble de tous les nombres réels a la puissance du
continu, puisqu'ils appartiennent à une infinité dénombrable d'm-
tervalles consécutifs.
INTRODUCTION 4?
f) Tout ensemble d'éléments ufai, a^,... an,...) gai se distinguent par les
valeurs d'une infinité dénombrable de paramètres, a, susceptibles des deux
valeurs et i, a la puissauce du continu.
On fait correspondre les éléments u aux nombres de l'intervalle
(0,i) en écrivant ceux-ci dans le système binaire, lequel n'emploie que
les deux chiffres et i.
L'ensemble de toutes les fractions illimitées écrites avec et i,
0, «1 «2... On ...
correspond bien uniformément à celui des éléments u, mais pas à
celui des nombres de l'intervalle (o,i), car un même nombre rationnel
dont le dénominateur est une puissance de 2 admet deux représen-
tations différentes en fraction illimitée (l'une avec une infinité de 0,
l'autre avec une infinité de i). Par exemple,
I
^0,100 ... =0,0111 ...
2
L'ensemble des fractions illimitées correspond donc à l'ensemble
des nombres de l'intervalle (0,1) avec, en plus, celui des nombres
rationnels précédents. Mais celui-ci est dénombrable, de sorte que la
puissance de l'ensemble des fractions, donc de l'ensemble des u, reste
celle du continu (n» 5o,f).
g) Tout ensemble d'éléments u (xi, x-i,... Xr,...) qui se distinguent par les
valeurs d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable de paramètres x
susceptibles d'un ensemble de valeurs ayant la puissance du continu, a encore
la puissance du continu.
En effet, en vertu de/, la valeur de A;r peut se définir par celles (0 ou i)
d'une infinité dénombrable de paramètres correspondants :
flri, ari,... ars,... (uu iudice variable).
Mais alors l'élément u (x^, x.,,... Xr,...) est défini par les valeurs
(0 ou i) de l'infinité dénombrable {n° 5o, c) des paramètres ars (deux
indices variables), ce qui ramène au théorème précédent.
52. Critérium d'égalité pour les puissances (*). — Soient AetB deux
ensembles ; si l'on peut faire correspondre à tous les éléments de A des éléments
différents de B et à tous ceux de B des éléments différents de A, les deux
ensembles ont même puissance. Autrement dit, 5^ A a même puissance qu'une
partie de B et B même puissance qu'une partie de A, les deux ensembles h et B
ont même puissance.
Désignons par ôA la partie de A qui a même puissance que B et par
rA l'ensemble restant ; par aB la partie de B qui a même puissance
que A et par pB l'ensemble restant. Nous pourrons écrire
A = èA-f-rA, B = aB + pB,
(*) Les résultats des 11° 52 et 53 ne seront pas utilisés dans la suite du cours.
^8 PUISSANCE DES ENSEMBLES
et, bK ayant la puissance de B, il suffit d'établir que A et 6A ont même
puissance.
Remarquons que tout ensemble Ai qui a la puissance de A admet
un partage qui correspond à celui de A, car, après avoir établi la
correspondance entre A et Ai on peut réunir dans un ensemble èAi
les éléments de Ai qui correspondent à ceux de 6Aet dans un ensemble
rBi les éléments de Ai qui correspondent à ceux de rh. En parti-
culier, l'ensemble aB peut ainsi se partager en deux autres, baB et
roB. A ce point de vue, on peut donc considérer b eir comme des
symboles d'opération, applicables à tout ensemble de même puissance
que A, et destinés à le partager en deux autres de mêmes puissances
que 6A et rh. Entre ces deux opérations, on aura donc les relations
symboliques :
[■=b-\-r, r =1 — b.
De même, on peut interpréter les lettres a et p comme deux signes
d'opération, applicables à tout ensemble de même puissance que B,
par exemple ôA, et fournissant respectivement deux ensembles abA
et pèA de mêmes puissances que aB et pB respectivement. On aura
encore
I = fl + p, p =- I — fl,
Ceci entendu, la démonstration est très simple.
Nous pouvons former une suite illimitée d'ensembles ayant alterna-
tivement mêmes puissances que A ou que B comme c'est indiqué
ci-dessous :
A, bPi., abA., obabA,...
Chaque ensemble contient tous les suivants. Désignons par D
l'ensemble (infini, fini ou nul) des éléments communs à toute la suite.
On peut obtenir D, en supprimant dans A : d'abord les éléments
étrangers à bA, puis les éléments de bA qui sont étrangers à abA, etc.
Il vient
D = A — (A — èA) — (*A — flèA) — ...
Ces parenthèses sont alternativement des ensembles des types r
et p ; on peut donc écrire
A = D -j- yA + p*A + rabA + ^babA + ...
Supprimons rA de part et d'autre et intervertissons les termes en r
et en p, il viendra, en observant que A — rA est bA,
6A = D + rabA + p6A + rababA + pbabA -\- ...
On voit ainsi que A et bA sont décomposés en une infinité dénom-
brable d'ensembles ayant deux à deux même puissance. On établira
la correspondance entre A et bA en faisant correspondre les éléments
des ensembles de même rang dans les deux sommes écrites ci-dessus.
Tous les éléments auront leurs correspondants.
ENSEMBLES DE POINTS 49
53. Puissance de l'ensemble des fonctions. — Comme application du
théorème précédent, montrons que l'ensemble des fonctions continues d'une
variable a la puissance du continu.
Une fonction continue de x est définie par les valeurs qu'elle prend
aux points rationnels, donc par un ensemble dénombrable de para-
mètres (soumis encore à certaines restrictions). La puissance de l'en-
semble est donc au plus égal à celle du continu (n^ 5i, g). Elle ne peut
être moindre, car, à chaque nombre différent N, on peut faire corres-
pondre une fonction continue différente, prenant la valeur N pour
x=^ a. Donc cette puissance est égale à celle du continu.
D'après cela, l'ensemble de toutes les fonctions continues d'une variable peut
être compris dans une famille F (x, c) à un seul paramètre arbitraire (chaque
fonction correspondant à une valeur particulière du paramètre).
Toutefois ¥{x, c) ne sera pas fonction continue des variables x, c,
car alors V{x, x) -\- 1 serait une fonction continue non comprise dans
la famille (elle diffère de chaque ¥{x, c) pour x = c).
Par contre, l'ensemble de toutes les fonctions discontinues de x a une puissance
supérieure à celle du continu. En effet, il est impossible de les comprendre
toutes dans une famille F{x, c) dépendant d'un paramètre c qui varie
de à I, puisque F(.r, x) -|- i n'est pas comprise dans la famille.
§ 9. Ensembles de points.
54. Dimensions. Puissance des ensembles de points. — Soient x, y,...
des variables réelles. Chaque système de valeurs particulières de ces
variables s'appelle un point : les valeurs àe x,y,... sont ses coordonnées.
Un ensemble de points a autant de dimensions qu'il entre de variables dans
la définition de ses points. L'ensemble est linéaire s'il n'y a qu'une
variable, et les points sont alors situés sur une droite. Les points sont
dans un plan s'il y a deux variables ; dans l'espace, s'il y en a trois ;
dans un espace à « dimensions, s'il y en a n.
On peut considérer l'ensemble des points d'un carré dans le plan,
celui des pomts d'un cube dans l'espace et, plus généralement encore,
celui des points d'un cube dans l'hyperespace à n dimensions. On
pourrait penser que la puissance de l'ensemble augmente avec ses
dimensions, mais il n'en est rien. Tous ces ensembles ont la puissance
du continu (n» 5i, g), parce qu'ils sont définis par un certain nombre
de paramètres (leurs coordonnées) qui varient dans un intervalle, par
exemple entre et i. Donc le nombre des dimensions est sans influence sur la
puissance (Cantor).
55. Bornes d'un ensemble de points. Point-limite. Ensemble dérivé.
— Un ensemble est borné si chacune des coordonnées variables est
bornée et les bornes des variables sont les bornes de. l'ensemble. En par-
ticulier, un ensemble linéaire est borné par deux valeurs a et è de x.
50 INTRODUCTION
Soient (a, b,...) et {a', b',...) deux points/» et^' ; on appelle distance
des deux points la quantité
Si l'ensemble est borné, la distance de deux de ses points l'est aussi
et elle a une borne supérieure que l'on appelle le diamètre de l'ensemble.
Etant donnée une suite illimitée de points différents pi, pi.... pn ,...
on dit qu'un point /> est la limite de cette suite, si la distance ^^« a pour
limite quand n tend vers l'infini.
On nomme point-limite d'un ensemble E tout point p (appartenant ou
non à E) qui est la limite d'une suite de points de E. Donc, si/> est un
point-limite, on peut, quelque petit que soit 8 positif, trouver un point
de E dont la distance à p soit <û. Réciproquement, tout point p jouis-
sant de cette propriété est un point-limite.
Observons que, si l'on peut trouver un point de E dont la distance à p
soit < 8 quel que soit 8, on peut en trouver une infinité. C'est pourquoi
on donne aussi aux points-limites le nom de points d'accumulation de
l'ensemble. Les points de E qui ne sont pas des points-limites sont
des points isolés.
L'ensemble des points-limites de E est un nouvel ensemble que l'on
désigne par E' et que l'on appelle le dérivé de E.
56. Ensembles complémentaires. Points-frontières. Distance d'un
point à un ensemble. — Soit E un ensemble. Si cet ensemble ne con-
tient pas tous les points possibles (dans l'espace considéré), les points
qui n'appartiennent pas à E forment un nouvel ensemble Ei. Les
deux ensembles E et Ei sont appelés complémentaires.
Soit p un point de E, on dit qu'il est intérieur à E et extérieur à Ei
si l'on peut assigner un nombre positif o, tel que tout point p' dont la
distance à p est <8 soit aussi un point de E.
Tout point qui n'est ni intérieur ni extérieur à E ne l'est pas non
plus à El et s'appelle un point-frontière de chacun des deux ensembles.
Soit q un point non compris dans l'ensemble E ; la distance du
point ^ à un point quelconque ^ de E a une borne inférieure (qui peut
être nulle). Cette borne c'est la distance du point q à l'ensemble E.
Si E et H sont deux ensembles sans points communs, la distance des
deux ensembles est la borne inférieure de la distance entre un point de
l'un et un point de l'autre.
D'après cela, un point extérieur à E est un point dont la distance à E
n'est pas nulle ; un point intérieur, un point dont la distance au complé-
mentaire El n'est pas nulle ; un point-frontière, un point de E ou de Ei
dont la distance à l'autre ensemble est nulle. Un point de Ei dont la
distance à E est nulle est un point-limite de E. Définissons une fonction
ENSEMBLES DE POINTS 5l
t {x,y...) égale à i en tout point de E, et à en tout autre point : les
points-frontières seront évidemment les points de discontinuité de
cette fonction.
Tout ensemble compris dans un domaine rectajigulaire R et qui ne contient
pas tous les points de ce domaine admet au moins un point- frontière.
En effet, soient p et /»' deux points du domaine dont le premier seul
appartienne à E. Faisons varier le point {x,y,...) en ligne droite de
p k P' 'Aa. fonction e{x, y,...), qui ne dépend que d'une variable sur
cette droite, passera de i à 0. Comme elle ne passe pas par les valeurs
intermédiaires, elle est discontinue en un point au moins de cette
droite : celui-ci sera un point-frontière.
57. Ensembles fermés. — On dit qu'un ensemble E esi fermé s'il
contient tous les points de son dérivé E'.
Tout ensemble E' dérivé d'un autre E est fermé.
En effet, soient 28 un nombre positif arbitraire et p" un point-limite
de E'. Je dis que p" est aussi un point-limite de E. En effet p" est à
une distance <ô d'un point p' de E', qui est lui-même à une distance
<8 d'un point de E. Donc p" est à une distance <28 d'un point de E
et est un point-limite de E. Donc E', contenant ses points-limites, est
fermé.
58. Principe de Bolzano-Weierstrass. — Tout ensemble borné E qui
contient une infinité de points, renferme au moins un point-limite.
Considérons, pour fixer les idées, un ensemble borné E à deux dimen-
sions. On peut l'enfermer dans un rectangle R. Divisons ce rectangle
en morceaux par des transversales : il y aura au moins un morceau Ri
contenant une infinité de points. Divisons, de même, Ri en morceaux
plus petits: il y aura encore un morceau Rg contenant une infinité de
points. Poursuivons indéfinitivement cette subdivision, de manière à
former une suite illimitée de régions Ri, Rg, R3,... contenant toutes une
infinité de points, chacune intérieure à toutes les précédentes et décrois-
sant indéfiniment dans tous les sens. Ces régions auront évidemment
un point p pour limite. Ce point p sera à l'intérieur de toutes les
régions R ou sur leur contour et ce sera un point-limite, puisqu'il y a
une infinité de points de E aussi rapprochés de lui qu'on le voudra.
59. Points de condensation d'un ensemble. — On appelle point de
condensation (Lindelof) un point p tel qu'il y ait une infinité non dénom-
brable de points de E à une distance du point p inférieure à S, quelque
petit que soit le nombre positif S.
Tout ensemble de points E qui nest pas dénombrable, admet au moins un
point de condensation, qu'il soit borné ou non.
Considérons, pour fixer les idées, un ensemble E à deux dimensions.
On peut toujours supposer R assez grand pour que l'ensemble des
52 INTRODUCTION
points de E compris dans un cercle de rayon R autour de l'origine ne
soit pas dénombrable. Sinon, en donnant à R une suite dénombrable
de valeurs Ri, R^,... R« ,,.. croissante l'infini, on pourrait décomposer
E dans une infinité dénombrable d'ensembles dénombrables, formés
respectivement : le premier des points compris dans le cercle de
rayon Ri ; le second, des points compris entre les cercles de rayons
Ri et R^ ; le troisième, des points compris entre les cercles R2 et R3,
et ainsi de suite : l'ensemble E serait dénombrable.
On est ainsi ramené à démontrer le théorème pour un ensemble
borné. Il suffit, pour cela, de répéter la démonstration du théorème
de Bolzano Weierstrass (n» 58) en remplaçant les mots : infinité de points
par infinité non dénombrable de points et point- limite par point de condensation.
60. Ensembles parfaits. — On appelle ensemble par/ait un ensemble
qui coïncide avec son dérivé E'. D'après cela, un ensemble parfait est
un ensemble fermé qui ne contient pas de point isolé.
L'ensemble K des points de condensation d'un ensemble E non dénombrable,
est un ensemble parfait.
Il faut prouver : 1°) que K est fermé ; 2°) que K ne contient pas de
point isolé :
D'abord tout point-limite, p/, de K appartient à K, car il y a des
points de K aussi voisins qu'on veut de p', donc aussi une infinité non
dénombrable de points de E, et p' est un point de condensation. Donc
K est fermé.
2° Il faut montrer que tout point p de K n'est pas un point isolé.
Soient Si, Bo,... S„,... une suite de quantités positives décroissantes
ayant pour limite ; supposons, par impossible, qu'il n'y ait pas
d'autre point de condensation que p dans un rayon Sj autour de ce
point. L'ensemble des points de E situés à une distance <8i du point
p se partagera dans une infinité dénombrable d'ensembles dénom-
brables, formés respectivement des points dont la distance à p est
comprise entre o^ et S^, entre So et 03, etc. Donc cet ensemble serait
dénombrable et p ne serait pas un point de condensation de E.
61. Théorème de Cantor-Bendixson. — Tout ensemble fermé F est dénom-
brable ou peut se décomposer en un ensemble par/ait P et un ensemble dénom-
brable D.
J'observe d'abord que F (supposé non dénombrable) contient tous
ses points de condensation. En effet, tout point de condensation de F
est évidemment un point-limite de F", donc un point de F (car F,
étant fermé, contient ses points-limites).
Soient donc P l'ensemble des points de F" qui sont des points de
condensation, et D l'ensemble des autres pomts de F ; P est parfait
(n" 60) ; reste à montrer que D est dénombrable.
KNSKMBLKS PARFAITS LINEAIRES 53
A cet effet, je remarque que, quelque petit que l'on se donne le
nombre positif S, l'ensemble des points de E dont la distance àP
(no 56) surpasse 8, est dénombrable ; sinon cet ensemble admettrait un
point de condensation {n° 5q), il renfermerait des points infiniment
voisins de ce point de condensation (qui est un point de P) et sa
distance à P ne serait pas > o.
Ceci posé, D peut se décomposer dans une infinité dénombrable
d'ensembles dénombrables formés respectivement : le premier des
points dont la distance à P surpasse S ; le second des points restants
dont la distance à P surpasse o : 2 ;... le «'«"'« des points restants dont
la distance à P surpasse 8:2", etc. On atteindra bien ainsi tous les
points de D, car un point déterminé qui ne serait pas à distance finie
de P serait un point-limite de P et appartiendrait non à D mais à P
qui est parfait. Donc D est dénombrable.
62. Structure d'un ensemble parfait linéaire. — Un ensemble linéaire
est un ensemble de points sur une droite, ou un ensemble de valeurs
d'une seule variable. Nous nous contenterons de considérer les
ensembles bornés, ce qui ne porte pas atteinte à la généralité des
conclusions.
Soit P un ensemble borné et parfait, il sera borné par deux points
a et b {a <^b) qui lui appartiennent (car un ensemble parfait contient
ses points-limites). Si P comprend tous les points de l'intervalle ab ou,
plus généralement, d'un nombre, fini et déterminé, d'intervalles com-
pris entre a et b, l'ensemble est complètement défini par la connais-
sance de ces intervalles. C'est l'hypothèse la plus simple. Supposons
que ce ne soit pas le cas.
Soit q un point de l'intervalle ab qui n'appartient pas à P ; ce point
partage l'ensemble P en deux autres : un ensemble Pi formé des points
de P qui sont à gauche de q et un ensemble P2 formé de ceux qui
sont à droite de q. Les deux ensembles sont parfaits. L'ensemble Ps
a pour borne supérieure un point M de P et l'ensemble Po, pour
borne inférieure un point N de P. Donc ni M ni N ne coïncide avec q ;
et q tombe dans un intervalle MN dont les extrémités seules appar-
tiennent à P. On dit que l'intervalle MN ainsi défini est un intervalle
coniigu à l'ensemble P (Baire). Tout point de l'intervalle ab qui n'appar-
tient pas à P est donc intérieur au sens étroit à un intervalle contigu
à l'ensemble P.
Ceci posé, l'ensemble des intervalles contigus à l'ensemble P est
nécessairement dénombrable, car, comme ces intervalles n'empiètent
pas, il n'y en a qu'un nombre limité dont l'amplitude surpasse un
nombre donné. On s'en assure en remarquant que la somme de ces
amplitudes ne peut surpasser celle de l'intervalle ab qui contient tous
ces intervalles. Donc ces intervalles peuvent se dénombrer en les
rangeant par ordre de grandeur décroissante.
54 INTRODUCTION
De là le théorème de Cantor : ^
Un ensemble parfait P s'obtient en supprimant de V intervalle ab qui le con-
tient tous les points intérieurs à un ensemble dénombrable d'intervalles MN
sans points communs, et même sans extrémités communes (car P, étant parfait,
ne peut contenir de point isolé).
Réciproquement, si l'on supprime de Vititervalle ah tous les points intérieurs
à une infinité dénombrable d'intervalles sans points communs ni extrémités
communes, l'ensemble P restant sera parfait.
D'abord il reste un ensemble de points P, puisque les extrémités
des intervalles ne sont pas enlevées ; d'oîi il suit encore qu'un inter-
valle qui ne renferme plus de points de P a été enlevé en une fois.
Montrons que P est : i» fermé ; 2" sans points isolés :
lo Tout point étranger à P est intérieur (au sens étroit) à un inter-
valle enlevé et ne peut être un point-limite de P. Donc P est fermé.
2" Un point isolé de P ne pourrait être que l'extrémité commune de
deux intervalles enlevés. Donc P est sans points isolés.
63. Ensembles parfaits linéaires qui ne sont denses dans aucun inter-
valle. — On dit qu'un ensemble est dense lorsque, entre deux points de
l'ensemble, on peut toujours en trouver un troisième et, par suite, une
infinité. On peut, par le procédé de suppressions indiqué ci-dessus,
construire des ensembles parfaits qui ne sont denses dans aucun inter-
valle. En voici d'ailleurs un exemple très simple. Nous nous bornons,
pour simplifier, à l'intervalle 01.
L'ensemble P de toutes les fractions décimales (limitées ou non) qui s' écrivent
avec les chiffres et 1, est parfait et nest dense dans aucun intervalle (*).
En effet, cet ensemble est fermé, car une fraction étrangère à l'en-
semble n'est pas limite de fractions de l'ensemble. Il ne contient pas
de point isolé, car on peut, en modifiant des décimales très éloignées,
altérer aussi peu qu'on veut une fraction de l'ensemble. Il est donc
parfait. Enfin il n'est dense dans aucun intervalle, car il y a, dans tout
intervalle, des fractions qui s'écrivent avec d'autres chiffres que et i
et appartiennent, par conséquent, à des intervalles contigus à P.
64. Ensembles ordonnés et semblables. Application de deux ensembles
l'un sur l'autre. — Un ensemble E est ordonné, lorsque ses éléments
(*) Plus généralement, est dans ce cas l'ensemble de toutes les fractions
illimUées dans la base de numération B qui prennent une partie seulement
des chiffres 0, i, 2,...B — i (au moins deux et le chiffre B — i ne peut
être pris sans 0). — Est encore dans ce cas l'ensemble de toutes les frac-
tions continues illimitées qui s'écrivent avec un nombre hmite de quotients
incomplets différents. — La démonstration se fait comme celle du texte. —
Il serait facile de générahser encore bien davantage ces modes de généra-
tion.
ENSEMBLES PARFAITS LINÉAIRES 55
sont rangés dans un ordre déterminé, de telle sorte que, étant donnés
deux éléments quelconques a et è de l'ensemble, l'un précède l'autre.
Cette notion comporte que, si a précède 6 et si è précède c, a précède c.
Les ensembles de nombres ou de points sur une droite peuvent tou-
jours être ordonnés en rangeant les nombres par ordre de grandeur.
Lorsque deux ensembles sont ordonnés et de même puissance et que
l'on peut établir, entre leurs éléments, une correspondance uniforme
dans laquelle l'ordre relatif des éléments est conservé, on dit que les
deux ensembles sont semblables.
La loi qui définit la correspondance s'appelle une application d'un
des ensembles sur l'autre.
65. Similitudes de tous les ensembles parfaits linéaires non denses. —
Soient P et P' deux ensembles parfaits linéaires non denses, compris
sur les segments ab et a'b'. On peut les appliquer l'un sur l'autre de
manière que l'ordre de grandeur entre les éléments correspondants soit
conservé. Nous allons réaliser cette application en faisant correspondre
les intervalles S contigus à P à ceux S' contigus à P', de manière que
les intervalles correspondants soient disposés dans le même ordre sur
les deux segments ab et a'V.
Pour cela, faisons correspondre un intervalle Sj de P à un intervalle
oi de P' (ces deux intervalles étant le plus grand possible) ; puis un
intervalle ^2 entre a et Si à un intervalle Sg entre a' et Sj, et un inter-
valle ^3 entre Sj et 6 à un intervalle 83 entre 8^ et b' (tous quatre le plus
grand possible). Continuons ainsi indéfiniment à prendre dans chaque
ensemble un intervalle (le plus grand possible) entre chacun de ceux
déjà choisis et à faire correspondre ceux qui tombent entre les inter-
valles déjà correspondants ; nous rencontrerons tous les intervalles et
nous les disposerons dans le même ordre.
L'application de P' sur P en résulte, car, les extrémités des inter-
valles se correspondent uniformément dans le même ordre et, avec
elles, tous leurs points-limites, puisque les ensembles sont fermés. Or
ce sont là tous les points de P et P' ; donc la correspondance entre P
et P' est parfaite.
Deux ensembles parfaits non denses quelconques sont donc applicables l'un sur
l'autre avec conservation des points-limites.
66. Application (incomplète) d'un ensemble parfait non dense sur le
continu. Puissance des ensembles parfaits. — Une application rigou-
reuse d'un ensemble P parfait et non dense sur le segment 01 est
impossible, parce que les extrémités d'un intervalle contigu à P sont
deux points de P entre lesquels il n'y en a pas d'autre, tandis qu'entre
deux nombres, il y en a toujours une infinité. Mais l'application peut
être réalisée, sauf pour l'infinité dénombrable de ces extrémités. Nous
allons, en effet, démontrer le théorème suivant ;
56 INTRODUCTION
Si P est un ensemble parfait no7i dense, on peut faire correspondre uniformé-
ment et DANS LE MÊME ORDRE DE GRANDEUR ks nombres de r ensemble P et
ceux de l'ititervalle oi, sauf que les deux extrémités d'un intervalle contigu à P
correspondront au même nombre du segment oi.
Comme deux ensembles parfaits non denses sont applicables l'un
sur l'autre, il suffit d'établir le théorème pour un ensemble particulier.
Considérons donc l'ensemble de toutes les fractions décimales, limi-
tées ou non, dont le développement ne contient que les deux chiffres
différents et i. C'est un ensemble parfait non dense (no 63). Pour
réaliser la correspondance par ordre de grandeur avec le segment oi,
il suffit de faire correspondre chaque fraction décimale à celle qui
s'écrit de la même manière dans la base de numération 2. Chaque
nombre du segment oi s'obtient ainsi une fois, sauf les nombres ra-
tionnels dont le dénominateur est une puissance de 2. Chacun de ceux-
ci admet deux expressions différentes dans la base 2, l'une finie et
l'autre pas (par exemple, o.i et o,oiii...). Ces deux expressions repré-
sentent dans la base lo deux nombres différents, entre lesquels ne
peut donc exister aucun autre nombre de l'ensemble P. Ces deux
nombres différents sont, par conséquent, les extrémités d'un intervalle
contigu à P et ils ont le même correspondant sur le segment oi.
Un ensemble dénombrable pouvant être négligé, on conclut de là
que tout ensemble parfait a la puissance du continu. (Le théorème est évi-
dent pour un ensemble parfait dense, celui-ci contenant un intervalle
entier).
67. Fonctions définies par la correspondance précédente. — La corres
pondance par ordre de grandeur entre les nombres jv d'un ensemble
parfait non dense P et tous ceux x du segment oi, définit une fonction
y --= cp {%) discontinue et croissante dans toute portion du segment oi. La
fonction est ambiguë en chaque point de discontinuité, où j peut
désigner les deux extrémités de l'intervalle contigu correspondant,
mais on lève l'ambiguité en choisissant toujours l'extrémité de gauche.
D'autre part, si l'on considère a; comme fonction dey, on obtient
une fonction continue x = '^ {y), stationnaire ou croissante, mais qui pos-
sède des intervalles de stationnement entre deux valeurs quelconques
de X. On suppose, en effet, x stationnaire chaque fois que y parcourt
un intervalle contigu à P.
§ 10. Fonctions considérées dans un ensemble.
68. Définitions. — Une fonction /d'une ou plusieurs variables est
définie sur un ensemble E de points (chaque point ayant les valeurs
des variables pour coordonnées) si l'on donne la valeur de cette fonc-
tion en chaque point de l'ensemble.
Les bornes supérieure ou inférieure et V oscillation de la fonction/ dans E
se définissent comme dans le cas d'un intervalle (n» 23).
FONCTIONS CONSIDEREES DANS UN ENSEMBLE 57
Soit p un point-limite de E. Si E est fermé, ce sera un point de E non
isolé ; mais nous ne supposons pas que E soit fermé, de sorte que p
peut être hors de E. Considérons l'ensemble des points de E dont la
distance au point j!» ne surpasse pas un nombre positif donné ô. L'os-
cillation de /dans cet ensemble partiel tend vers une limite déterminée
(ou reste infinie) quand S tend vers 0, cette limite (ou l'infini) est
\' oscillation {relative à E) de f au point-limite p .
Si cette oscillation est nulle, on dit que f est continue {relativement à E)
au point p. — En particulier donc, la fonction/ est continue en un
point/» de E non isolé, quand la valeur de /en un point de E qui tend
vers/» a pour limite la valeur de /au point ^.
Si la fonction /est continue (relativement à E) en chaque point non
isolé de E, on dit qu'elle est continue sur E.
Il résulte de ces définitions, comme au n» 25, que la somme, le pro-
duit, le quotient de fonctions continues sont encore continues {en un point ou sur
E), sauf si une fonction prise comme diviseur s'annule.
Lorsqu'une fonction n'est pas continue (en un point ou sur E), on dit
qu'elle est discontinue (en ce point ou sur E, toujours relativement à E).
69. Fonctions discontinues sur un ensemble parfait, — Considérons
maintenant un ensemble parfait P, auquel cas les points-limites se
confondent avec ceux de l'ensemble.
Pour faciliter le langage, appelons portion de P la partie de P com-
prise dans un domaine (d'autant de dimensions que P) contenant
intérieurement un point au moins de P. Cette portion de P (contenue
dans un intervalle, une aire,...) sera encore un ensemble parfait.
Quand la fonction/ est discontinue sur P, deux cas seulement sont
possibles :
1°) Quelque petit que soit e positif, il y a, dans toute portion de P,
des points de P où l'oscillation de /(relativement à P) est < e. On dit,
dans ce cas (Dmi), que f est ponctuellement discontinue sur P.
2°) Il existe une valeur positive de e et une portion de P, telles que,
dans cette portion, l'oscillation de/ soit > e en chaque point de P. On
dit alors que /est totalement discontinue sur P.
Il y a lieu de remarquer le théorème suivant :
Si la fonction f est ponctuellement discontinue sur un ensemble parfait P,
il y a dans toute portion de P des points où f est continue.
Pour fixer les idées, considérons un ensemble à deux dimensions.
Soit Si, e^, s„ ,... une suite positive convergeant vers 0. Quand l'oscil-
lation de /est < e en un point p, on peut décrire autour de p un cercle,
tel que l'oscillation de /dans la portion de P comprise dans ce cercle
soit < e. Donc, puisqu'on peut, par hypothèse, trouver, dans l'intérieur
de tout cercle, un point ^ satisfaisant à cette condition, on peut former
5Ô INTRODUCTION
une suite illimitée de cercles Ci, C;^,... C« ,..., chacun intérieur à tous
les précédents et tels que l'oscillation de/ sur la portion de P comprise
dans C« soit < £« . Les centres de ces cercles ont au moins un point-
limite p intérieur à tous les cerclas, l'oscillation en ce point sera infé-
rieure à tous les £« (donc nulle) et / sera continue en ce point de P.
Comme le même raisonnement s'applique dans toute portion de P, le
théorème est démontré.
70. Propriétés des fonctions. — I. Soit F un ensemble fermé ; l'ensemble
E des points de F où, V oscillation (relative à ¥ ) de la fonction f est ^ s,
est un ensemble fermé.
En effet, si p est la limite d'une suite de points pi, p^,... où l'oscilla-
tion de /est ^ e. /> est un point de F où l'oscillation sera évidemment
^ e. Ce point-limite appartient donc à l'ensemble E.
II. Soit F un ensemble borné et fermé. Si, étant donné un nombre positif z,
on ne peut pas lui faire correspondre un nombre S, tel que l'oscillation de la
fonction f dans toute partie de F de diamètre < S, soit < e, il y a au moins
un point de ¥ où, l'oscillation [relative, à ¥) de f sera ^ e.
En effet, étant donnée une suite de nombres positifs Sj, S2,... tendant
vers 0, on peut lui faire correspondre une suite de portions de F de
diamètres < 81, < «î,... où l'oscillation est toujours ^ e. Soient pi,
pi,... des points de F pris dans ces portions successives ; F" étant borné,
ils ont au moins un point-limite p (appartenant à l'ensemble fermé F).
Ce point est intérieur à un domaine aussi petit qu'on veut contenant
une infinité de portions successives de F où l'oscillation est ^ e. Elle
est donc aussi "5= £ au point p.
71. Fonctions continues. — I. Une fonction, continue sur un ensemble
borné et fermé ¥, est uniformément continue sur l'ensemble.
Cela veut dire qu'à tout nombre positif e correspond un nombre 8,
tel que l'oscillation de la fonction soit < e dans toute portion de F de
diamètre < 8, ce qui est un cas particulier du théorème précédent
(70, II).
II. Une fonction qui est continue sur un ensemble borné et fermé F, est
aussi bornée.
C'est une conséquence de la propriété précédente.
Soit A le diamètre de l'ensemble F ; prenons 8 assez petit pour que
l'oscillation de la fonction soit < t dans toute portion de F'' de diamètre
< 8, puis l'entier n assez grand pour que «0 soit > A ; l'oscillation de
la fonction dans ¥ sera < m.
III. Une fonction continue sur un ensemble borné et fermé atteint ses
bornes inférieure et supérieure dans l'ensemble. (Même démonstration qu'au
n» 27, III).
MESURE DES ENSEMBLES LINEAIRES 5g
72. Ensemble d'un seul tenant. — Un ensemble parfait est d'un seul
tenant, si, étant donnés arbitrairement deux points petq de l'ensemble
et un nombre positif o, on peut former une suite de points de l'ensemble
Pi Piy p2,--- pH, q, allant de /> à jet telle que la distance de deux points
consécutifs soit < S (*).
Avec cette définition, les deux propriétés suivantes s'établissent
comme celles V et VI du n» 27 :
Si une fonction continue prend deux valeurs de signes contraires dans un
ensemble parfait d'un seul tenant, elle s'annule en un point de T ensemble.
Une fonction, continue dans un ensemble parfait d'un seul tenant, ne peut
passer d'une valeur à une autre dans Pensemble sans passer aussi par toutes
les valeurs intermédiaires.
73. Remarque. — Les définitions et les théorèmes précédents s'ap-
pliquent, en particulier, au cas où l'ensemble considéré devient le
continu, soit un intervalle, soit une aire, un volume, etc. Les limites
de l'intervalle, de l'aire, etc. sont comprises dans l'ensemble s'il est
fermé (et, par suite, parfait).
§11. Mesure des ensembles linéaires.
La question de la mesure des ensembles de points a été posée de
diverses manières. MM. Borel et Lebesgue lui ont donné une solu-
tion complètement satisfaisante, que nous allons exposer. Mais nous
nous bornerons ici aux ensembles linéaires, renvoyant au tome II
pour l'extension aux ensembles de plusieurs dimensions.
74. Lemmes préliminaires. — Définitions. Nous dirons qu'un en
semble de points E est enfermé au sens étroit dans un ensemble d'in-
tervalles a, si tout point de E est intérieur au sens étroit à l'un au
moins des intervalles a, ou bien s'il existe au moins deux intervalles a
contigus dont ce point soit la frontière commune. Dans ce second cas,
le point est donc intérieur au sens étroit à l'ensemble de deux inter-
valles a réunis.
Par contre, les points de E sont enfermés au sens large dans l'ensem-
ble des intervalles a, si tout point de E est intérieur, au sens large
seulement, à l'un au moins des intervalles a.
Nous commencerons par un lemme fondamental qui, à part une
légère variante dans l'énoncé, est dû à M. Rorei.. Cette variante n'a
aucune importance en elle-même, mais elle facilite l'exposition de ce
qui suivra.
(*) Un ensemble fermé doué de cette propriété serait parfait.
6o INTRODUCTION
Lemme I. — Si les points de l'intervalle {a, h) sont enfermés au sens étroit
dans un ensemble d'intervalles a en nombre infini, on peut extraire de cet en-
semble un système d'intervalles a en nombre fini jouissant de la même pro-
priété {Tout point de {a, b) est iniirieur au sens étroit à un intervalle a ou
à l'ensemble de deux d'entre eux).
Supposons, par impossible, aue la proposition ne s'applique pas à
l'intervalle {a, b). Divisons cet intervalle en deux autres par son point
milieu ; il y aura au moins une des deux moitiés à laquelle le théo-
rème ne s'appliquera pas non plus. Partageons celle-ci en deux autres
parties égales et continuons ainsi de suite. Nous formerons une suite
illimitée d'intervalles auxquels le théorème ne s'appliquera pas. Ces
intervalles successifs de plus en plus petits, chacun contenu dans les
précédents, ont pour limite un point X de l'intervalle {a, b). Ce point
X appartiendrait donc à un intervalle aussi petit qu'on veut auquel le
théorème ne s'appliquerait pas. Mais ceci est impossible, car X est
intérieur (au sens étroit) à un intervalle formé d'un ou de deux a et le
théorème s'applique évidemment à tout intervalle intérieur (au sens
étroit) à celui-ci et contenant X.
Lemme IL — Si tous les points d'un intervalle {a, b) sont enfermés au
sens étroit dans une infinité dénombrable d'intervalles a,i ag,... la somme Sa
des longueurs des intervalles ol sera supérieure à la longueur de l'intervalle {a,b).
En effet, tous les points de {a, b) étant intérieurs à un nombre limité
des intervalles a en vertu du lemme précédent, la somme de ces inter-
valles en nombre fini vaut au moins b — a, donc la somme de tous les
intervalles dépasse b — a.
Lemme IIL — Si tous les points d'un intervalle {a, b) sont contenus dans
une infinité dénombrable d'intervalles d'amplitudes aj, a^,... qui n'empiètent
PAS LES UNS SUR LES AUTRES {mais peuvent avoir une extrémité commune)
et qui sont eux-mêmes compris dans l'intervalle {a, b), on a
Sa = è — a.
D'une part, quel que soit n, on a évidemment ai -f- «2 + — \-'^n <
b — a \ donc, à la limite. Sa ^ 6 — a.
D'autre part, soit £1, z^,... s» ,... une suite de quantités positives ayant
une somme infiniment petite e ; désignons par Pi, Pa.--- la suite des
intervalles ai, a2,.., respectivement élargis de Si, êg,... de chaque côté.
Tous les points de {a, b) étant intérieurs aux |3, on a, par le lemme pré-
cédent, Sp ^ è — a. Mais Sp = Sa -[- 2£ ; il vient donc Sa > ô — a — 2e.
Comparons les deux inégalités obtenues, nous en concluons, puis-
que t est infiniment petit, que Sa = è — a.
Lemme IV. — Si tous les points d'un ensemble E peuvent être enfermés-
au sens étroit dans un ensemble dénombrable d'intervalles ai, ag,... ils peuvent
l'être au même sens dans un ensemble d'intervalles Pi, P2,... n'empiétant
PAS et contenus dans les a.
MESURE DES ENSEMBLES LINÉAIRES 6l
On forme, en effet, la suite des intervalles ,3, en retranchant de
l'intervalle a„, pour « == 2, 3,..., les parties communes avec les inter-
valles précédents «i, «g,... a„_i. On remplace ainsi a„ par un nombre
limité d'intervalles (3 ou bien on le supprime entièrement. Ainsi un
point contenu dans a« au sens étroit, l'est aussi dans l'ensemble limité
des P formés avec «j, a^,... <x„.
Remarque. — Si les longueurs des intervalles a ont une somme finie
Sa, il est clair que l'on aura Sp ^ Sa.
Lemme V. — Si tous les points d'un ensemble E sont enfermés dans un
ensemble composé de deux infinités dénombrables d'intervalles a,, a.^,... ,3i Pg.---
{les a n empiétant pas les uns sur les autres, ni les ,3 non plus), si de plus
les sommes Sa, S8 des longueurs de ces intervalles ont des valeurs finies, on
peut enfermer l'ensemble E dam un système d'intervalles y {n'empiétant pas)'
contenus dans les a, p de telle sorte que l'on ait
Sa + Sp = Sv + S (ap).
On désigne par S (a[3) la somme des longueurs des parties (ap) communes
aux a et aux ,3, On aperçoit d'ailleurs immédiatemment que les (aj3) forment
une suite dénombrable d'intervalles n'empiétant pas.
Pour former une suite d'intervalles y satisfaisant à l'énoncé, rangeons
les a, [3, dans une suite unique
«1) Pi. ='2. Pe.--- ««, ?«.•••
et supprimons, comme plus haut, dans chaque intervalle de cette
suite les parties communes avec les intervalles qui précèdent. Chaque
intervalle a„ ou P« sera ainsi (s'il n'est pas supprimé) remplacé par un
nombre limité d'intervalles y. En procédant ainsi, nous rencontrerons
successivement et une seule fois chaque partie commune (a^) qui sera
retranchée. On aura donc
. Sy = Sa + S|3— S(aj3).
Lemme VI. — Si tous les points de l'intervalle {a, b) sont enfermés dans
deux infinités dénombrables d'intervalles ai, a,,... pi, '^^■z,... contenus dans
{a, b), les et n'empiétant pas ni les p non plus ; on a
Sa + S3 = (è-a) + S(aP),
la somme S (alB) s' étendant à l'ensemble dénombrable des intervalles communs
aux a et aux P, lesquels n'empiètent pas non plus.
C'est la conséquence du lemme précédent, où il faut remplacer Sy
par b — a, en vertu du lemme III [tous les points de {a, b) étant con-
tenus dans les y et tous les y dans {a, b)].
75. Mesures extérieure et intérieure d'un ensemble. Ensembles mesu-
rables. — Dans ce qui suit, nous ne considérons que des ensembles
bornés et contenus dans un même intervalle {a, b). Un ensemble étant
désigné par E, nous appelons CE son complémentaire relativement
à l'intervalle (a, b), c'est-à-dire que CE sera formé des points de (a, b)
non contenus dans E.
62 INTRODUCTION
Soit E un ensemble ; nous pouvons enfermer ses points dans un
ensemble fini ou une infinité dénombrable d'intervalles a^ «j,,... Soit
Sa la somme des longueurs de ces intervalles. Par définition, la mesure
extérieure nie E est la borne inférteure de toutes les sommes Sa pos-
sibles. D'après cela, quelque petit que soit le nombre positif s, pour
tout ensemble E, on peut trouver un système d'intervalles aj, ol^,...
contenant tous les points de E et tel qu'on ait
Wg E ^ Sa < »î«. E + 2-
Dans cette définition de la mesure extérieure, il est d'ailleurs indif-
férent de dire que l'ensemble est enfermé au sens étroit ou bien aîi sens
large, que les intervalles empiètent ou n'empiètent pas (Lemme IV).
Soient maintenant CE le complémentaire de E (relativement à l'in-
tervalle (a, h) et me (CE) la mesure extérieure de cet ensemble. Par
définition, la mesure intérieure de E est la quantité
mi E — {b — a) — me (CE).
Cette quantité ne peut être négative, car l'intervalle {a, b) contient
CE et, par suite, b — a est au moins égal à me (CE).
D'autre part, la mesure intérieure de E ne peut surpasser sa mesure
extérieure. En effet, enfermons (au sens étroit) E dans un système
d'intervalles a et CE dans un système d'intervalles §, les points de
(a, b) seront enfermés au même sens dans les a, p. Donc, par le
lemme II.
Sa + S{3^(è-a);
et, en faisant tendre Sa et Sp vers leurs limites inférieures,
We E + »ï« (CE) ^ i — a,
w<, E ^ mi E.
Ces définitions sont évidemment telles qu'un ensemble ne peut être
de mesure (intérieure ou extérieure) moindre qu'une de ses parties.
Lorsque les mesures extérieure et intérieure d'un ensemble E sont
égales, cet ensemble est mesurable et sa mesure, wE, est la valeur
commune de me E et mt E. Il résulte immédiatement de là que, si un
ensemble E est mesurable, son complémentaire l'est aussi.
76. Opérations sur les ensembles. — On peut effectuer sur des
ensembles donnés diverses opérations :
1°) On peut réunir tous les points qui appartiennent à plusieurs ou à
une infinité dénombrable d'ensembles Ei. E;.,... Cette opération peut
être considérée comme une addition et V ensemble-somme se désigne par
E1 + E2+...
2") On peut retrancher d'un ensemble Ei ceux de ces points qui
appartiennent à un ensemble E2. Cette opération peut être considérée
comme une soustraction et V ensemble- différence se désigne par
El — Eg.
MESURE DES ENSEMBLES LINEAIRES 63
3°) On peut prendre la partie commune à plusieurs ou à une infinité
dénombrable d'ensembles Ei, Ej.,... Cette opération correspond à
certains égards à la multiplication. Nous représenterons l'ensemble
commun par
El E2...
L'addition et la multiplication ainsi définies sont des opérations
associatives et commutatives et la multiplication est distributive vis-à-vis de
l'addition et de la soustraction, c'est-à-dire que
(Ei±E2)E3 = Ei EaiE^E^.
La vérification est immédiate.
Par contre, les propriétés générales des opérations ne s'étendent
pas à la soustraction. En particulier, on peut bien poser
(E - E,) + (E, - E3) = (E + E,) - E',
mais E' ne contient qu'une partie de (Ei -|- E3), à savoir les points de
El contenus dans E sans l'être dans (E.< — E3) et ceux de E^ contenus
dans E; sans l'être dans (E — Ei). Cette remarque nous servira tout
à l'heure (no 78, 1).
Nous allons montrer que les opérations précédentes, étant etiec-
tuées sur des ensembles mesurables, conduisent a de nouveaux
ensembles mesurables. A cet effet, nous allons faire connaître au
no suivant un caractère distinctif des ensembles mesurables. Mais
nous avons d'abord une remarque à faire :
Si deux ensembles Ei et Eg sont de mesure (extérieure) < e, l'en-
semble El + Eo sera de mesure (extérieure) < 2£. D'autre part, quel
que soit E3, les ensembles E, — E3 et Ei E3 contenus dans Ei seront
a fortiori àe mesure (extérieure) <£.
77. Théorème. — La condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble
E soit mesurable, est que, quelque petit que soit t positif, l'ensemble E puisse se
décomposer comme il suit
E==è-\-e' — e",
S désignant l'ensemble d'un nombre limité d'intervalles, e' et e" deux ensembles
de mesures (extérieures) < t. Alors la mesure de E est comprise entre
les deux limites «ê i e.
La condition est nécessaire. Montrons, en effet, que si E est mesu-
rable, il admet la décomposition indiquée. Pour cela, enfermons E
(mesurable) dans une infinité dénombrable d'intervalles a n'empiétant
pas et CE dans des intervalles ^ n'empiétant pas de manière que l'on ait
la 4- 2,3 < w E + w CE -f e -= b—a + e.
On a, d'autre part, par le lemme VI (n» 74),
Sa -f Sp - è— a + S ^afl),
d'où, en comparant, 1' (a^) < e.
64 INTRODUCTION
Soit maintenant S l'ensemble d'un nombre suffisant d'intervalles a
pour que l'ensemble e des intervalles restants soit de mesure < e. On a
E = ê + tfE — Ô(CE).
Mais ^E est un ensemble e' de mesure < e et ê(CE) est un ensemble
e" contenu dans les (a^) donc aussi de mesure < e, ce qui prouve la
proposition.
En second lieu, la condition est suffisante, car, si elle est remplie,
E et CE étant respectivement contenus dans &-\-e' et Cê + «", on a
les inégalités :
nie E < mê -{- B, nie CE < mCQ> -\- t,
et, en retranchant la seconde de b — a = b — a,
ntiKy mê — £.
Donc les mesures intérieure et extérieure de E sont comprises entre
les deux limites mê ± t aussi rapprochées qu'on veut et, par consé-
quent, sont égales. On voit, en même temps, que wE est compris
entre ces mêmes limites.
On peut caractériser la décomposition requise dans le théorème
précédent en disant que tout ensemble mesurable se compose, à deux
infiniment petits près, d'un nombre fini d'intervalles.
78. Théorèmes relatifs aux opérations sur les ensembles mesurables.
— Théorème I. — Si les ensembles Ei et E^> sont mesurables, il en est de
même pour les ensembles :
El + Ei, El E2, El — Eo.
Mettons, en effet, E, et E.^ sous la forme indiquée dans le théorème
précédent :
El ^ êi + «1 — «1 , E2 = êo -[- h — «2 )
on aura
El + E2 = (Si + &,) + {A + 4) - e",
où «" est contenu (n» 76) dans («[' + 4')- Or (^i + ^2) -st formé d'un
nombre limité d'intervalles, tandis que {e^ + e^ et {e^ + e^ ) sont de
mesures < 2£, donc Ei -\- Eo est mesurable par le théorème précédent.
Les deux autres résultats se ramènent au précédent par la considé-
ration du complémentaire. On a, en effet,
C(E,E2) = CEi + CE2, C(Ei - E2) ^ CEi + E2.
Théorème II. — Si les deux ensembles Ei et E-, sont mesurables et
sans point commun, on a
m (El + E2) = w El + w Eg.
INTRODUCTION 65
La décomposition de Ei + E2 indiquée dans la démonstration pré-
cédente prouve {n° 77) que la mesure de Ei + E2 est la limite, pour e
infiniment petit, de w (S, +^2)- Mais, pour un nombre limité d'inter-
valles, on a, sans difficulté,
m (êi -|- ê2) = w êi -\- m ê2 — "* (®l ^2)'
Comme mêi et m §2 tendent vers /» Ei et w E2, il reste à montrer que
m{&i §2) tend vers 0. Or êy et S2 sont respectivement contenus dans
El + ^1 et E2 + «2 > donc S1S2 l'est dans
(El + .;') (E2 + 4') = El E2 + El e'J + (E2 + 4') 4',
et a fortiori dans {el + ^i ) puisque Ei E2 est nul. Donc m$i &2 < 2e.
Corollaire. — Si Ei ei E2 sont mesurables et E2 contenu dans Ki, on a
m (El — E2) = w El — m E2.
Cette équation revient, en effet, à^ celle que nous venons d'établir,
en écrivant
w(Ei — E2) + wEg = wEi.
Théorème III. — Soit Ei, E2,... une infinité dénombrable d'ensembles
mesurables contenus dans l'intervalle (a, b) ; soit ensuite E l' ensemble-somme
El -|-E2+... ; l'ensemble E est mesurable. De plus, si les ensembles sont
sans points communs, on a
wE = wEi+ȔE2 + ...
Supposons d'abord les ensembles sans points communs.
Posons
S„^Ei+E2+- + E« .. < T, c , T^
On aura, en observant d'abord que E contient S„ , puis en appli-
quant le théorème I,
w,- E > w S„ = w El + w E2 H h ^» E« ,
ce qui prouve que la série positive 2wE„ est convergente. Prenons
donc n assez grand pour qu'on ait, t positif étant donné,
m, E„+i + m E«+2 + ••• < e,
et enfermons, pour^ = i, 2, 3,... l'emsemble E„+p dans un système
d'intervalles a dont la somme soil< »»E„+> + -V- Alors l'ensemble
^« ^=E«-|-i -|- E«-(-2 -f ••• est enfermé dans un système d'intervalles a,
dont la somme est moindre que
m E».-)-i + - j + im E«+2 -\ — i" ) + •" < 2e.
On en conclut
nte'E <mSn-\- 2e.
66 MESURE DES ENSEMBLES
Comparons avec l'inégalité relative à ;»/E et passons à la limite
pour e = ; on en conclut le résultat énoncé :
me E -^ niiE = w E ^ lim (w S« ) = w Ei + w Eo -\ —
Si, en second lieu, les ensembles E« ont des points communs, l'en-
semble E sera encore mesurable, car on peut écrire
E --- E, -f (Eo — El) + (E3 - E, - E,) + -,
ce qui ramène au cas précédent, en vertu du théorème II.
Théorème IV. — Si d'un ensemble mesurable E on retranche tous les
points qui appartiennent à une infinité dénombrable d'ensembles mesurables
El, E.; ..., tous les ensembles E, Ei, E^,... étant contenus dans un intervalle
(a, b), l'ensemble restant E — Ei — E.^ — ...est encore mesurable. De plus,
si El, Eo,... sont sans points communs et tous contenus dans E, on a
»ï(E — El — E ) = wE — wEi -wE-,
D'abord l'ensemble E' = E, + Eo + ••• est mesurable par le théo-
rème III, donc E — El — E2 ou E — E' l'est par le théorème II.
Ensuite, si Ej, E,,... sont sans points communs, on a, par le théo-
rème III,
m E' ^ m E, + w E.^ + ••••
et, par le corollaire du théorème I,
m (E — E, - E, ) -- w (E — E') = w E - w E',
ce qui prouve la seconde partie du théorème énoncé.
Théorème V. — Soit Ei, E.»,... une infinité dénombrable d'ensembles
mesurables, leur partie commune E = Ej E.^... est mesurable.
Ce théorème se ramène au théorème IV en observant que
CE = CE, +CE. + •••
Théorème VI. —Soit E^ E.^... une infinité dénombrable d'ensembles
mesurables dont chacun contient tous les précédents et qui sont tous contenus
dans un intervalle (a, b), on a
»»(Ei+Eo + -)-j[i^ (»îE„).
On peut, en effet, poser, dans cette hypothèse,
El + E. + - - El + (E, - El) -)- (E3 - E,) + -
et il vient, par les théorèmes III et I (corollaire),
w (El + E. + •••) = m El + m (E, — El) + m (E3 — E^) + -
-= w El + {m E. — m Ei) + (w E3 — w E^) + -
^^lim {m E«).
INTRODUCTION 6y
Théorème VII. — Inversement, soit Ei, Eo,,.. une infinité dénombrable
d'ensembles mesurables dont chacun est contenu dans tous les précédents et qui
sont tous contenus dans un intervalle [a, b), on a
w(Ei E2....) = lini w(E« ).
On a, en effet, dans cette hypothèse,
C(EiE, ...)=-CEi+CE, 4 ■■•
Donc il vient, par le théorème précédent,
m C (El E2 ...) = lim m (C E„ )
et, en retranchant les deux membres de {b — a),
m (El Eo...) ^ lim {m E« ).
79. Constrnctioii d'ensembles mesurables. Ensembles mesurables B. —
Un ensemble qui se réduit à un seul point est évidemment mesu-
rable et a pour mesure zéro. D'autre part, un ensemble qui se réduit
à un intervalle (avec ou sans les extrémités) est évidemment mesurable
et a pour mesure la longueur de l'intervalle.
En combinant entre eux les points et les intervalles par addition et
soustraction ou en prenant l'ensemble commun à une suite d'ensem-
bles donnés, on obtient des ensembles de plus en plus complexes et
qui sont encore mesurables en vertu des théorèmes du n» précédent.
Ce sont ceux-là qui ont été particulièrement considérés par M. Borel.
C'est pourquoi on les appelle les ensembles mesurables B.
Les ensembles mesurables B sont les plus importants des ensembles
mesurables. Quand on connaît leur mode de construction, on peut en
même temps déterminer leur mesure en utilisant, à chaque opération
consécutive, le théorème correspondant du numéro précédent.
Un ensemble dénombrable s'obtient par l'addition d'une infinité dénom-
brable de points. C'est donc un ensemble mesurable B et sa mesure
est nulle, en vertu du théorème III.
Un ensemble par/ait s'obtient en soustrayant d'un intervalle {a, b) une
infinité dénombrable d'intervalles distincts a,, a^, C'est donc un
ensemble mesurable B et sa mesure est {b — a) — a^ — (x.> — ...., en
vertu du théorème IV.
Un ensemble fermé est la somme d'un ensemble parfait et d'un ensem
ble dénombrable. C'est donc un ensemble mesurable B et sa mesure
est celle de l'ensemble parfait qu'il contient, en vertu du théorème I.
80. Théorème. — Si la mesure extérieure de V ensemble E est égale à k,
E est contenu dans un ensemble E' mesurable B et de même mesure k. --
Réciproquement, si m, E -^ A, E contient un ensemble E" mesurable B et de
mime mesure k.
Les deux théorèmes se ramènent l'un à l'autre par la considération
des ensembles complémentaires. Démontrons donc le théorème direct.
68 MESURE DES ENSEMBLES
Soit ei,e2....e„ ,... une suite de quantités positives ayant pour limite 0.
Nous pouvons enfermer E dans un ensemble E (e« ), mesurable B,
formé d'intervalles aj, ag,... n'empiétant pas et tel que
»t E (e„ ) = Sa < A + £«.
Alors E est aussi enfermé dans l'ensemble mesurable B :
p:' = E(ei)E(e2)...E(e«)...
et l'on a
w E' < w E (e« ) < ^ + e«.
Donc (e« étant infiniment petit) mR' ^k (donc = k).
Remarque. — En particulier, si E est mesurable, il est contenu dans
un ensemble E' et contient un ensemble E", tous deux mesurables B
et de même mesure que lui.
81. Emsembles-limites (Complets ou restreints). — Soit Ei, Eg,...
une infinité dénombrable d'ensembles. M. Borel appelle ensemble-limite
complet de cette suite, l'ensemble E formé des points qui appartiennent
à une infinité d'entre eux. Il appelle ensemble-limite restreint de la même
suite, l'ensemble R des points qui appartiennent à tous les ensembles
Ek à partir d'une valeur suffisamment grande de n (qui peut d'ailleurs
dépendre du point considéré).
Les ensembles-limites peuvent s'exprimer à l'aide des opérations
étudiées précédemment. On a, en effet,
R = (El E2 E3....) + (E2 E3..) + (E3 ...) + ...
car un point de R appartient à tous les termes du second membre à
partir d'un certain rang ; et, réciproquement, un point qui appartient
au second membre appartient à l'un de ses termes, donc aussi à R.
D'autre part, on a
E = (El + E, + Es + ■••) (E2 + E3 + •••) (E3 + •••) -,
car un point de E appartient à tous les facteurs du second membre ;
et, réciproquement, un point qui appartient à tous les facteurs du
second membre appartient à une infinité de E« , donc à E.
Ces relations prouvent d'abord que, si les ensembles de la suite sont
mesurables, il en est de même des ensembles-limites E et R. Mais
elles fournissent des renseignements sur les mesures de E et de R. On
peut, en effet, énoncer les théorèmes suivants, qui s'en déduisent :
TiLÉoRÈME I. — Si, parmi les ensembles mesurables Ei, E2,..., tous
compris dans un intervalle fini {a, b), il y en a une infinité de mesure ^ k,
r ensemble-limite complet E aura une mesure 5> k-
En effet, en retranchant de la suite une partie des ensembles E«, on
ne peut que réduire l'ensemble-limite complet E. On peut donc sup-
INTRODUCTION 69
poser dans la démonstration tous les ensembles de mesure ^ k.
Appliquant alors le théorème VII du no 78 à l'expression de E ci-des-
sus, on obtient
m E = lim m (E« + E«+i -| — ) ^ lim w E« > A.
Théorème II. — Si, parmi les ensembles mesurables Ej, E2,." tous
compris dans {a, b), il y en a une infinité de mesure ^ k... l'ensemble-limite
restreint R aura une mesure ^ k.
En effet, en retranchant de la suite une partie des ensembles E«, on
ne peut qu'augmenter l'ensemble-limite restreint R. On peut donc
supposer dans la démonstaation tous les ensembles de mesures ^ k.
Appliquant alors le théorème Vil du no 77 à l'expression de R, on
obtient
w R = lim m (E« E«+i ■••) ^ lim m^„^k.
§ 12. Fonctions mesurables d'une variable (*).
82. Fonctions mesurables. — Soit/(;t?) une fonction univoque de ;i;
dans un ensemble F, sa valeur peut être infinie mais de signe déter-
miné. Soient ensuite A et B deux nombres fixes (A < B). Nous dési-
gnerons respectivement par les notations :
E(A</<B), E(/>A), E{/=A),
E(A</^B), E(/^A), etc.
les ensembles des points de F où la fonction/(;t) satisfait à la condi-
tion indiquée entre parenthèses. Ainsi le premier ensemble est celui
des points de F oùf{x) est > A mais < B.
Ceci posé, nous dirons, avec M. Lebesgue, que cette fonction est
mesurable dans l'ensemble F, si l'ensemble
E(/>A)
est mesurable quel que soit A. — Si, de plus, cet ensemble est mesu-
rable B, nous dirons que la fonction est mesurable B.
Il suit évidemment de cette définition que si une fonction est mesu-
rable dans deux ensembles Fi et Fg, elle est mesurable dans l'ensem-
ble-somme Fi + Eg.
Si la fonction /(;r) est mesurable, l'ensemble E (/< A) est mesu-
rable, l'ensemble E (A </< B) également (comme différence de deux
ensembles mesurables) ; enfin l'ensemble E (/= A) est aussi mesura-
ble, car c'est la partie commune à l'infinité dénombrable des ensembles
e(^A-^</<A+^^, « = i, 2, 3
Donc les ensembles E (/> A), E (A ^/< B), E (A </ < B), qui
(*) Pour celles de plusieurs variables, voir le tome II.
70 P^ONCTIONK MESURABLES
ne diffèrent d'autres qui précèdent que par l'addition ou la soustrac-
tion d'un ensemble mesurable, sont mesurables aussi.
Remarque. — On peut aussi bien définir une fonction mesurable
par la condition que l'un, toujours le même, des deux ensembles :
E(/>A), E(/<A),
soit mesurable quelque soit A, car un raisonnement calqué sur le
précédent montrerait que tous les ensembles rencontrés ci-dessus
sont encore mesurables. Il en résulte évidemment que, si / est
mesurable, — /l'est aussi.
Toute fonction continue dans un ensemble fermé F, est mesurable (B) dans
cet ensemble, car l'ensemble E (/> A) étant fermé, est mesurable (B).
83. Opérations sur les fonctions mesurables. — l. La somme et la
différence de deux fonctions finies et mesurables dans un ensemble F, sont
des fonctions mesurables dans F.
En effet, soient/ et cf deux fonctions mesurables. Je dis que/+ o
est mesurable, c'est-à-dire que l'ensemble E = E (/-f «p > A) est me-
surable. En effet, cet ensemble est la somme de l'infimté dénombrable
des ensembles mesurables :
E(/>r). E(cp > A-;'),
formés des points communs à E (/ > r) et E («p > A — r), quand on
donne à r toutes les valeurs rationnelles positives et négatives (car,
si /+ 'f est > A, on peut trouver un nombre rationnel r </tel qu'on
ait encore y + œ > A). Donc E est mesurable (no 78, III).
Le théorème se démontre pour une différence en remplaçant o par
— cp qui est mesurable avec «• (n» précédent).
II. Le produit de deux fonctions finies et mesurables dans F est mesurable
dans F.
Toute fonction mesurable / est la différence /i — fz de deux
fonctions mesurables jamais négatives (/i étant égal à / aux points
où / est positif et à ailleurs, — /a égal à / aux points où / est
négatif et à ailleurs). Donc, en vertu de la propriété précédente,
il suffit de faire la démonstration pour deux fonctions / et cp jamais
négatives. Le raisonnement est alors analogue au précédent. Il faut
prouver que, si K > 0, l'ensemble E = E (/œ > A) est mesurable, ce
qui résulte de ce que cet ensemble est la somme de tous les ensembles
E (/ > r) E( tp > — j quand on donne à r toutes les valeurs ration-
nelles positives.
III. L'inverse d'une fonction mesurable dans F et qui ne s'annule pas est
mesurable. On a, en effet,
E (^> P^i =- E (f< ^A, si /et A sont positifs ;
E (^0 > ^v > A ^ -- E ( >/ > -^ J, si /et A sont négatifs.
INTRODUCTION "Jl
IV. Le quotient des deux fonctions finies et mesurables dans F est mesu-
rable dans F, pourvu que le diviseur ne s'annule pas.
Cette propriété est la conséquence des deux précédentes.
84. Limites de fonctions mesurables, — Théorème I. Si une suite
de fonctions tnesurables f^, f.>,... fn ,-.■ converge vers une limite finie ou infi-
nie-dans un ensemble F, la fonction-limite f est mesurable dans F.
Donnons-nous un nombre positif t. Tout point de l'ensemble
E=E(/>A)
appartient évidement, pour n suffisamment grand, à l'ensemble me-
surable
E («, e) = E (/« > A — £).
Donc tout point de E appartient à V ensemble-limite restreint Ee de la
suite E(i, t), E(2, e), E(3, t) , lequel est mesurable; et cela,
quelque petit que soit e.
Réciproquement, tout point exclu de E est exclu de E (/> A — s)
pour £ assez petit ; il est alors exclu de Ee, car il l'est de E {n, z) pour
n assez grand.
Donc l'ensemble E est V ensemble-limite restreint de la suite des en-
sembles Es, obtenue en donnant à s une suite de valeurs £], t.,,...
e»,... tendant vers : E est mesurable.
Théorème II. — Les limites d'indétermination (plus grande et plus petite
limites) d'une suite de fonctions mesurables f^, f.,,... fn ,... sont mesurables
dans F.
En effet, soit, pour chaque valeur de x, '^m,7t {x) la fonction égale
à la plus grande des m-\- n-{ i fonctions :
fm, fm^i,-'- fm+n •
C'est une fonction mesurable dans F, car on a
E (<}/,«.« > A) ----- S E ( fm+k > A).
Or la plus grande limite de la suite /i,/o,... est la limite de '^m.n^
quand n d'abord et m ensuite tendent vers l'infini : elle est donc
mesurable par le théorème I. (Démonstration analogue pour la plus
petite limite).
Remarque. — Les fonctions continues étant mesurables {n^ 82), les
limites et les limites d'indétermination de fonctions continues le
seront aussi.
85. Théorème sur la convergence. — Soit f, fi,--- fn ,... une suite
de fonctions mesurables qui converge vers une limite finie f{x) dans un en-
semble mesurable M ; soient ensuite z un nombre positif arbitraire et E« l'en-
sembU des points de E où, l'on a
\/-fn\>t.
72 FONCTIONS A VARIATION BORNÉE
Je dis qu'à tout nombre positif si petit quil soit, on peut faire corres-
pondre un nombre positif N, tet que Von ait
m E„ < 0, SI « ^ N.
En effet, si par impossible cette condition ne se réalisait pas, il y
aurait une infinité de E« de mesures ^ ô. Alors l'ensemble-limite
complet des E« aurait une mesure ^ ô (no 81, I) : il renfermerait
donc certainement des points. Soit x l'un d'eux, il y aurait une
infinité de valeurs de n pour lesquelles
auquel cas, /«(at) n'aurait pas pour limite /(;tr).
§ 13. Fonctions (d'une variable) à variation bornée.
Fonctions absolument continues.
86. Définition des fonctions à variation bornée. — Soient jv ==f{x) une
fonction de x, univoque et bornée dans un intervalle fini [a, b), et X un
point de cet intervalle. Donnons à x une suite de valeurs croissantes
Xi = a, X2, Xs,... Xn , x„+i = X ; soient yi, Vi,... y„+i = Y les valeurs
correspondantes de j'. P'aisons la somme des différences successives
de y ; nous aurons
n
(1) ^{y^+i—yi) = y—yi=P — n,
1
p désignant la somme des différences positives et — n celle des diffé-
rences négatives. Désignons encore par t la somme des différences
absolues ; nous aurons
(2) t=î\yi+,-y, \=P + n.
Les valeurs extrêmes a et X restant fixes, les trois sommes^, n, t
dépendent encore du nombre et de la position des valeurs inter-
médiaires. Faisons varier ces deux éléments de toutes les manières
possibleg ; si l'une des trois sommes est bornée, les deux autres
sommes le seront aussi, en vertu des équations (i) et (2). Quand
il en sera ainsi, nous dirons que y est une fonction à variation bornée
entre a et X (C. Jordan).
Dans cette hypothèse, on peut choisir successivement les points
intermédiaires de manière que p s'approche indéfiniment de sa borne
supérieure P. Les équations (i) et (2) montrent que n et ^ tendront
en même temps vers leurs bornes supérieures N et, T et ces équa-
tions elles-mêmes deviendront, à la limite,
Y— _yi-=P — N, T = P + N. ,
Cette dernière quantité T s'appelle la variation totale de _y dans l'inter-
valle (a, X).
INTRODUCTION ^3
Nous allons faire connaître maintenant quelques propriétés impor-
tantes des sommes p, n, i et de leurs bornes supérieures P, N et T.
87. Théorèmes sur les fonctions à variation bornée. — Lemme. — Si
Von ajoute une nouvelle valeur intermédiaire \ entre Xk et Xk^i, la somme t
peut augmenter mais non décroître ; elle augmente d'ailleurs tout au plus du
double de r oscillation de y dans l'intervalle {x/c, x/c+i).
Soit T, la valeur dey au point ^ ; l'adjonction de ce pomt remplace
dans t le terme unique | y^+i —yk \ par deux autres, dont la somme
est au moins égale, | yk^i — ^j i -}- | ti —yk \ . D'autre paît, chacun de
ces nouveaux termes est au plus égal à l'oscillation de j/ entre ;ir;{. et
Xk^i. Donc t ne peut croître de plus du double de cette limite.
Théorème I. — Si y est continue et a variation bornée, les sommes p, n, t
ont respectivement P, N et T pour limites quand les valeurs intermédiaires
de X se rapprochent indéfiniment les unes des autres.
Le théorème, vrai pour une des trois sommes, le sera pour les deux
autres. Démontrons-le pour t seulement.
Pour cela, il faut montrer que la somme /relative à un système S de
points intermédiaires surpasse T — 2e, quelque petit que soit le nombre
positif donné 2£, pourvu que les intervalles de ces points soient assez
petits.
On peut d'abord, par définition de T, trouver un système de points
S' tel que la somme correspondante t' vérifie la condition ^' > T — e.
Soit V le nombre des pomts de S'. Je dis que le système de points S
fournira une somme / > T — 2e, pourvu que ses intervalles soient
assez petits pour que l'oscillation dey soit < e : v dans chacun d'eux.
Considérons, en elïet, un troisième système de points S", formé de
la réunion de ceux de S et S', et soit t" la somme correspondante.
Comme il faut ajouter v points au plus pour passer de S à S", il faut v
accroissements au plus, tous moindres que a : v (Lemme précédent),
pour passer de t à /". On a donc /+ e > t". Mais, d'autre part, S" se
forme aussi par l'adjonction de nouveaux points à S'. Donc t" > t' et
<r fortiori /" > T — e. Nous obtenons donc l'inégalité à démontrer
t+z>T-e.
Théorème IL — Si y est à variation bornée dans l'intervalle {a, b), elle
est de même nature dans toute portion {a, X) de {a, b) et les quantités P,
N, T sont des fonctions stationnaires ou croissantes de X.
Donnons à x une suite de valeurs intermédiaires entre a et è et pre-
nons X au nombre de ces valeurs. Considérons la suite des valeurs
correspondantes de y. La somme des différences absolues de ces va-
leurs entre a et X sera moindre que la somme analogue entre a eib.
Donc, si cette derrière est bornée, la première l'est aussi et y est à
variation bornée dans l'intervalle (a, X). Le même raisonnement
74 FONCTIONS A VABLA.TION BORNÉE
prouve que T, qui est la borne de la somme précédente, ne peut pas
diminuer quand X augmente. La démonstration est analogue pour
P et N.
Théorème III. — Si y est à variation bornée dans F intervalle {a, X) et
qu'on partage cet intervalle en deux autres par un point c, la variation
totale T de y dans l'intervalle (a,_X) est la somme des variations totales Ti
et T2 dans (a, c) et dans {c, X).
En effet, on peut former une somme t relative à l'intervalle [a, X)
et infiniment voisine de T ; d'ailleurs on peut supposer que c soit pris
comme point de subdivision, car on augmente ^ en l'ajoutant. Mais
alors t est la somme de deux sommes analogues ^i et t^ relatives aux
intervalles (a, c) et {c, X) donc t est < Ti + Tg et sa limite T ^ Ti + T2.
Inversement, on peut former deux sommes ti et t^ infiniment voi-
sines de Ti et de T2 respectivement, alors ti + t^ est une somme ^ < T,
donc Ti + T2 < T.
Comparant, on voit que T ^ Ti + T2.
Théorème IV. — Si la fonction y =f{x), supposée à variation bornée,
est continue en un point X, les sommes-limites P, N ^^ T sont des fonctions
continues de X en ce point.
La continuité d'une des trois sommes entraine celle des deux autres.
Il suffit donc de prouver celle de T,
Montrons d'abord que l'oscillation w de T à droite du point X est
nulle.
Soit T la variation totale àey dans l'intervalle (X, X + S) ; eu égard
au théorème précédent, w est la limite de t quand tend vers ; par
suite, on a w ^ T.
Donnons-nous maintenant un nombre positif arbitraire e et divisons
l'intervalle (X, X + ô) pai les points $1 = Xi, ^2. U,--- de manière que
l'on ait
\f{U) -/(X) I + I f{U) -f{U) I + - > T - s.
Soient tj et -z^, les variations totales àey dans les intervalles (X, Ço)
et ($0, X + S) respectivement ; on aura
^2 > I /(^S) -f{l,)-+ ■■■■ > -,- ^ - I /($2) -/(X) I ,
en vertu de la relation précédente. Donc a fortiori, puisque w est aussi
^-ci lequel = x — x.,,
<o<x-T2<e+i/(y-/(X)l
Mais on peut faire tendre e vers et $2 vers X, donc, /étant continue
au point X, on a oj = 0.
On montre d'une manière analogue que l'oscillation de T est nulle
à gauche du point X, ce qui achève la démonstration.
INTRODUCTION 7^
Corollaire. — Si la fonction à variation bornée, y, est continue dans
rintervalh {a, b), P, N et T sont fonctions continues de X dans {a, b).
88. Propriétés des fonctions à variation bornée. — I. Une fonction à
variation bornée, y, est la différence de deux fonctions bornées, positives et non
décroissantes dans l'intervalle {a, b) et, de plus, continues en tout point où y
est continue. Réciproquement, la différence de deux fonctions bornées et non
décroissantes est une fonction à variation bornée.
Nous avons vu (n» 86) que, Y étant la valeur de y au point X, on a
Y==(vi -fP)-N.
Donc Y est la différence de deux fonctions de X bornées et non dé-
croissantes. Ces fonctions sont, de plus, continues si y est continue
(no 87). On peut faire en sorte que ces deux fonctions soient positives
et même essentiellement croissantes si l'on veut ; il suffît, en effet, d'ajou-
ter aux deux termes de cette différence une même quantité croissante
et suffisamment grande, par exemple
i_V, I +(X-a).
Réciproquement, si ^ et m sont deux fonctions de x bornées et non
décroissantes, la fonction z — uestk variation bornée. En effet, la
différence des valeurs àe z — u pour deux valeurs Xk et XkJ^i de x est
au plus égale à la somme des accroissements de ^ et de « dans cet
intervalle. Donc la somme de toutes ces différences entre deux valeurs
extrêmes de x ne peut surpasser la somme des accroissements de z et
de u entre les mêmes valeurs, et 2 — m est à variation bornée.
II. La somme, la différence et le produit de deux fonctions à variation
bornée sont des fonctions de même nature. U inverse i :y d'une fonction à
variation bornée sera aussi de même nature, pourvu que \ y | reste supérieur
à un nombre positif fixe.
La première partie se démontre immédiatement en considérant les
deux fonctions y et y' comme les différences z — ueiz' — u'àe deux
fonctions positives non décroissantes. On a en effet,
y -j- v' = {z + z') — (m + «'), y —y' = (•^ + «') — (" + ^')y
yy' ^ (zz' -H uu') — (zu' -f- uz').
La dernière partie se vérifie aussi facilement, en observant que, si
I y ! est > [J., la somme :
t = I
yk+i yk
= 2
yk^-i—yk
yAy*+i
^jj^\yi+i-y^
reste toujours inférieure à un nombre fixe.
89. Fonctions absolument continues. — Définition. — Une fonction
f{x) est absolument continue (Vitali) dans un intervalle {a, b), si la somme
des différences {ou aussi bien des oscillations) de f{x) dans un nombre fini
76 FONCTIONS A VARIATION BORNEE
OU dans une infinité dénombrablc d'intervalles contenus dans {a, h), tend
vers avec la somme des amplitudes de ces intervalles.
Il est effectivement indifférent de dire différence ou oscillation dans
cette définition, car, si la somme des différences àe f(x) est en valeur
absolue < S dans tout ensemble d'intervalles a tel que Sa < e, la
somme des oscillations àef{x) dans ces a sera, comme nous allons le
montrer, ^ 2S.
En effet, de chaque intervalle a, on peut extraire un intervalle P tel
que la différence absolue àe f{x) dans ce [3 diffère aussi peu qu'on veut
de l'oscillation de f{x) dans cet a. Pour l'ensemble des P, les sommes
des différences positives et des différences négatives sont respective-
ment < S en valeur absolue, car S^ < e ; celle des différences absolues
est donc < 2S et, par conséquent, la somme des oscillations de f{x)
dans les a esl; aussi :^ 2S.
Théorème I. — Une fonction absolument continue dans un intervalle
{a, b) est à variation bornée dans cet intervalle.
En effet, supposons le contraire et divisons (a, b) en parties infini-
ment petites. Il y aura au moins une de ces parties où ia variation
totale de/(;»^) sera infinie. On peut donc faire croître indéfiniment la
somme des différences àef{x) dans un ensemble d'intervalles extraits
eux-mêmes de cette partie infiniment petite et/{;i;) n'est pas absolu-
ment continue.
Théorème II. — Si f{x) est absolument continue dans {a, b), sa varia-
tion totale dans {a, x) est aussi une fonction absolument continue T{x).
En effet, si T n'est pas absolument continue, on peut trouver une
suite d'intervalles a, de somme Sa aussi petite qu'on veut, où la somme
des différences de T, c'est-à-dire des variations totales de /, surpasse
un nombre positif fixe 8. Or on peut décomposer chaque « en parties
consécutives assez petites pour que la somme des différences absolues
de / dans l'ensemble des parties d'un même a, diftere aussi peu qu'on
veut de la variation totale de / dans cet a, donc aussi pour que la
même somme étendue à tous les a surpasse S. Donc f{x) n'est pas
absolument continue, ce qui est contre l'hypothèse.
COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE
CHAPITRE I,
Dérivation des fonctions explicites d'une variable.
§ 1 . Dérivées et difiFérentielles.
90. Dérivée, Fonctions dérivables. — Soit y =■- f{x) une fonction
univoque dans un interv^alle (a, b) et x un point de cet inter-
valle ; donnons à x un accroissement positif ou négatif ^x ^= h,
que nous appellerons aussi différence de x, l'accroissement ou
la différence correspondante Aj de la fonction sera f{x -\- h) —
f{x) et le rapport de ces accroissements,
^y ^ f(x + h)-f(x)
^x h
Si ce rapport tend vers une limite finie ou infinie lorsque h
tend vers zéro d'une manière quelconque, cette limite s'appelle
la dérivée de f{x) au point x et elle se représente par f{x)
(Lagrange), par D f{x) (Arbogast) ou Dxf(x) (Cauchy).
Si ce rapport tend vers une limite quand h tend vers par
des valeurs positives, cette limite est la dérivée à droite au
point X. De même, la dérivée à gauche est la limite du rapport
quand h reste négatif. Quand ces deux dérivées sont égales, la
fonction a une dérivée unique au point a', ou tout simplement
une dérivée : celle que nous avons définie tout d'abord.
Si la fonction f{x) admet une dérivée (unique) en tout point
intérieur de l'intervalle (a, b) et, de plus, une dérivée à droite
en a et une dérivée à g-uuche en b, elle est dérivable dans (a, b).
Il est d'abord évident qu'une fonction ne peut être dérivable
dans un intervalle (a, b) qu'à la condition d'être finie en tout
78
CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE
point intérieur à cet intervalle, car une fonction n'a pas de dé-
rivée (unique) en un point où elle est infinie (*). Mais nous
avons aussi le théorème suivant :
Toute fonction qui a une dérivée finie pour une valeur don-
née de X est continue en ce point.
E]n effet, soit e une quantité qui tend vers avec h, on a
lim [f\x + h) — f{x)] - lim h [f (x) + e) = o.
91. Cas particuliers. — 1. Si f{x) se réduit à une constante, sa
dérivée est nulle. En effet,
lim /•(■>■• + ^)-Ax) „ ,i„ 0.
h h
11. Si f{x) = x, sa dérivée est égale à l'unité. En effet,
, . (x-\- h) — X , . h
lim ^— — ,— = hm r ==■ ^^
h h
92. Signification géométrique de la dérivée. — C'est le problème
des tangentes aux courbes planes qui a conduit à la considéra-
tion des rapports d'infiniment petits et à la définition de la
dérivée. Nous allons montrer, en effet, que la détermination
d'une tangente à une courbe i)]ane revient à celle de la. dérivée
d'une fonction.
Considérons une courbe rapportée à des axes rectangulaires
ou obliques, et soient x et y les coor-
données d'un point M de la courbe
(fig. i), celle-ci ayant pour équation
y = fi^^)-
Pour définir la tangente à la courbe
au point M, considérons une sécante
' MM' menée par ce point ; si, lorsque
le point M ' se rapproche indéfiniment
Fig. i.
(*) Par exemple, si la fouctiou f{x) était liuie de part et d'autre d'un
point a; où elle égale à -(- oc, ses dérivées à droite et à gauche existeraient
au point a- mais seraient différentes, à savoir respectivement — x et 4-*-
INTRODUCTION 79
du point M, la sécante MM' tend vers une position limite MT,
cette droite-limite est la tangente à la courbe au point M.
Le point M étant donné, la détermination de la tangente
revient à celle de son coefficient angulaire t. Appelons a le
coefficient angulaire de la sécante MM' et désignons par x 4- àx
et y -\- Aj les coordonnées du point M'. Menons MP parallèle
à OX : on aura
_ PM'^Ay
° ~~ MV ^x'
Quand M' se rapproche indéfiniment de M, a tend vers t ;
donc
■ • ^.V 1- f{x-\- ^x) — f{x) ,,
^x àx ' ^
La dérivée de la fonction f{x) est égale au coefficient angu-
laire de la tangente à la courbe qui a pour équation y = f'(x),
cette tangente étant menée au point de coordonnées x, y.
93. Différentielle. — Nous dirons qu'une fonction y — f{x) est
diff'érentiable en un point x si elle est finie et déterminée aux
environs de ce point, et si, donnant à x un accroissement arbi-
traire Aoc, la différence A/'(-v) correspondante peut se décom-
poser en une somme de deux termes :
(1) ^f'{x) = A A A- + &^x,
A étant indépendant de A.v, et e tendant vers avec A.v. Alors
le premier terme qui est simplement proportionnel à ^x prend
le nom de différentielle de y et se désigne par dy ou df{x)
(Leibniz). On a donc
df(x) = AAa:.
Mais, quand Aa: tend vers 0, on tire de l'équation (1)
Hm ^^ ^ f'{x) = A,
ce qui prouve que, si f{x) est différentiable, f'{x) a une valeur
finie et déterminée. Kécii)r()([uenient, si f'{x) a une valeur finie
A, l'équation (1) a lien par définition de la dérivée. Donc la
condition nécessaire et suffisante pour que la fonction fix)
soit différentiable au point x est qu'elle ait, en ce point, une
dérivée finie et déterminée, ce f/i// exige quelle soit continue, et
alors on a
(2) df{x) = f'{x) ^x.
8o CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
Lr différentielle d'une fonction est donc le produit de sa déri-
vée, supposée existante et finie, par une différence arbitraire
^x attribuée à la variable indépendante oc.
Il est à remarquer que l'équation (1) prend ainsi la forme
Aj = dy -\- î. ^x.
Dans le cas particulier où f{x) se réduit à x, on sait que
f{x) = I, et l'équation précédente se réduit à
dx ~ Ax.
Donc la différentielle de la variable indépendante se confond
avec la différence généralement arbitraire de cette variable.
La formule (1) peut ainsi être remplacée dans le cas général
par
(3) df{x) = f'{x) dx.
Donc la différentielle d'une fonction est le produit de sa déri-
vée par la différentielle de la variable indépendante.
Si l'on divise par dx, on trouve
df{x)
(4) /'(^)
dx
Donc la dérivée d'une fonction est égale au rapport de la diffé-
rentielle de la variable à la différentielle de la fonction, ce qui
fournit une nouvelle expression de la dérivée (Leibniz) et celle
qui est le plus employée.
Remarque. — La substitution de dx à ^x dans l'équation (1)
n'a rien de nécessaire, mais elle est consacrée par l'usage et cet
usage est justifié. Nous verrons en effet (n° gS, V) que l'équa-
tion (3) est plus générale que (1) : celle-ci suppose que ;x; soit la
variable indépendante, tandis que l'équation (3) n'est pas sou-
mise à cette restriction.
94. Sigfnifleation g-éométrique des différentielles. — La différentielle
aussi est susceptible d'une interprétation géométrique qui se
rattache à celle de la dérivée. Considérons encore la courbe
(fig. i) qui a pour équation
y = f (^)-
Menons la tangente au point M de coordonnées x et y. Don-
DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES 8l
lions ensuite à x un accroissement arbitraire Ajc et soit M" le
point de la tangente qui a pour abscisse x -\- i^x. On a ^x = MP
et l'accroisseinent correspondant de l'ordonnée de la tangente
est PM". Or PM" : MP est le coefficient angulaire f{x) de la
tangente ; il vient donc
M"P = (MP) f (x) = ^x /"(tv) = df{x).
Donc la différentielle de f{x) est égale à l'accroissement de
l'ordonnée de la tangente à la courbe y = f{x), lorsque l'on
passe de l'abscisse x du point de contact à une autre abscisse
X + A.x\
95. Règ-les de dérivation. — L'opération par laquelle on déter-
mine la dérivée d'une fonction s'appelle dérivation ; celle par
laquelle on détermine la différentielle, différentiation. Le pre-
mier objet du calcul différentiel est d'établir les règles de ces
opérations.
Nous examinerons d'abord le cas où la fonction proposée est
composée au moyen d'un certain nombre de fonctions plus
simples, dont la dérivée sera toujours supposée déterminée et
finie.
1. DÉRIVÉE d'une SOMME. — Soit y ^ u -\- V — «; 4- ... une
somme algébrique de fonctions ayant des dérivées connues
u', v' w' ,... Donnons à x un accroissement ^x et désignons i^ar
Ay, Az/, ^v, \w,... les accroissements correspondants des fonc-
tions : on a :
A>-_ Au Al» Afy
Aa'~~Aa: Aa; Âa;
d'où, en faisant tendre Aa vers zéro et en passant à la limite,
r' = u' -f v' — »/ -f • ■
En multipliant les deux membres par dx, il vient
dy = du + dv — dw + ■••
Donc la dérivée (ou la différentielle) d'une somme algébrique
de fonctions est la somme des dérivées (des différentielles) de
chacune de ces fonctions.
II. DÉRIVÉE d'un produit. — Soit y = uv un produit de deux
fonctions ajant des dérivées u' et v . On a :
6
82 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
Ay^ (» + A»)(» + Au)-m, ^|u ^ ^^A»
A.Y Aa- ^x ^ ' àx
et , en faisant tendre Aa- vers zéro,
V = lim -r— lim (v 4- Au) 4- ii lini -r— = ii'u 4- v'ii.
Aa- \ 1 / f ^^
En multipliant par dx, on trouve
dy = udv ^ V du.
Donc la dérivée (ou la différentielle) d'un produit de deux
facteurs est égale à la somme de chacun des facteurs, multipliés
respectivement par la dérivée (ou la différentielle) de l'autre.
Si u se réduit à une constante a, sa dérivée et sa différentielle
sont nulles, donc
l).ai7 =--- a. Du, d.au = a du.
On voit que la dérivée (ou la différentielle) du produit d'une
fonction par une constante est égale au produit de la constante
par la dérivée (ou la différentielle) de la fonction. On exprime
cette propriété en disant qu'un facteur constant peut sortir du
signe de dérivation (ou de différentiation).
On aura, par la même règle,
D.uvw = vwDu 4- uD.vio = vwDu + uwDv + uuTfw
et, en généi'al, quel que soit le nombre des facteurs,
/Dw , Dy Bw ,
D.uvw... = uvw... -A 1 \-
\ u V w
si l'on fait « = y = w = ••• et si l'on suppose le nombre des
facteurs égal à m, il vient (m entier)
Dii^ -= mW^-^ Du.
En particulier, ai u = x,
Da:^" = mx'^-K
Si l'on multiplie les deux dernières équations par dx, il vient
fdu dv dw \
\u V w J
du"^ = mu^'^-^du.
TII. Dkrivke d'un QUOTIENT. — Soit r = - ; on a
-'y
DÉRIVÉES ET J)IFFKRENTIELLES 83
u 4- Aw II A« Ay
ùkX ^x y (f + Aw)
d'où, en passant à la limite,
, vu' — u v'
y -
v^
Si l'on multiplie par dx, il vient
, , H V du — u dv
dy = (/ - = 5 .
V v^
Dans le cas particulier où u se réduit à une constante a, sa
dérivée est nulle et il vient
a
Di)
rfï =
du
— :=rr
— a -- 7>
= — a — ^
V
y2 '
V
«2
IV. DÉRIVÉE d'une fonction INVERSE. — Soit y = f{x) une
fonction admettant une fonction inverse, de telle sorte qu'on ait
X = (j) (y). Si l'une de ces fonctions admet une dérivée différente
de zéro, l'autre fonction aura aussi une dérivée et celle-ci s'ob-
tiendra immédiatement.
Supposons connue la dérivée de f par exemple. On a
Ay I . ,. Aa- , , ,
il viendra donc, à la limite, si ç'(y) n'est pas nul.
Donc la dérivée de y considérée comme fonction de x csl
l'inverse de la dérivée de x considérée comme fonction de y.
Si l'on reijrésente par un indice la variable considérée comme
indépendante dans la dérivation, en d'autres termes, celle par
rapport à laquelle on dérive, la règle précédente peut s'écrire
D„A-
V. DÉRIVÉE d'une fonction DE FONCTION. — SoiCllt V* = F (il)
et II =■ f{x), de sorte ([ue y s'exprime eu fonction de u, u étant
lui-même fonction de a\ Sui)posons toujours (pie F (») et /'(a)
84 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
aient des dérivées finies et déterminées V (u) et f (x). Ou a
AyAy Au
A3c~Aw'Âa-
et, à la limite, Au tendant vers zéro avee Aa",
v'==F'(n)/-'(.v).
Donc la dérivée de y pur rapport à x est le produit des déri-
vées, supposées existantes et finies, de y par rapport à u et de u
par rapport à x. Si ces darnières dérivées n'existaient pas, la
règle ne serait plus applicable, mais il n'en résulterait pas
nécessairement que y n'admît pas de dérivée par rapport à .v.
Si l'on multiplie l'équation précédente par dx, on obtient
dy = F' {u)du.
Donc, si y -= F (u), dy s'exprime au moyen de du comme si u
était la variable indépendante. Toutefois cette règle suppose
F {u) et u dil'férentiables.
Cette règle fondamentale montre que la différentielle d'une
fonction de x se calcule toujours par les mêmes règles, qu'elle
soit exprimée directement en fonction de x ou au moyen de
variables auxiliaires.
96. Dérivées des fonctions élémentaires. — I. Exponentielle. Ou
a, par définition de la dérivée,
, . px+h _ pT f pfi T
B er .-. lim _f ^_ _ g.r h m ^ ^ .
/î^d Ji h—o II
Posons e'^ — i == a, d'où h = Log(i -|- a) ; a aura pour limite
avec h. Donc (n" 36)
,. e'^ — I ,. a I I
lim - , = Iim = -, 7- = = =: — I.
h Log(i4-a) ^. ^ / , x^ ^^8'^
lim Log (i + a)«
Il vient ainsi
D e^ -= e^ .
Donc la fonction e'^ se reproduit par dérivation,
La dérivée d'une autre exponentielle quelconque s'obtient par
la règle des fonctions de fonctions. On a
D A^ = D e' L"gA -^ f>^LogA D (^y. Log ^) _ A^^Log A.
II. Logarithme. — Considérons d'abord les logarithmes pris
dans la base A et soit
y = LogA X.
DÉRIVÉES KT DIFFÉRRNTIELLES 85
Cette fonction est l'inverse de l'exponentielle x = A^ et sa
dérivée se calcule par la règle des fonctions inverses. On a
jy ^ I ^ I ^ I
^^ DyX À^'LogA" A-LogA'
En particulier, si les logarithmes sont naturels, on a
D Log X = — .
III. Puissance. — Soit a un nombre donné, et x une variable
positive. On a, par les propriétés des logarithmes,
^o __ ga Log X
On en tire, par les propriétés des logarithmes,
D x« = e^^ogx j) (^^ Log x) ■= x(^- = ax«-*.
Donc, la règle établie précédemment (n» 95, II) pour a entier,
est générale.
En particulier, si a ^^^ -, on a
jysjx
2\Jx
IV. Fonctions trigonométriques. — 1'' Soit d'abord y = sin .v.
On a, par définition,
• / , L\ • sm - cos X -] I
I)y ^ lim ^ -jf ■ — = 2 lim p^ --.
Or cos ix-\ — j a pour limite cos a*, il vient donc, en rem-
plaçant h : 2 par a,
Dr = cos A' ^^"^ .
•^ a=o a
On sait, par les éléments de trigonométrie, qu'un are moin-
dre qu'un quadrant est compris entre son sinus et sa tangente.
Donc, si a est positif, on a
sin a < a < tg a, d ou i < —r — - <
sin a cos a
Ainsi, si a tend vers zéro en restant positif, -v — reste com-
^ sm a
86 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VAKIABLE
pris entre deux quantités qui ont pour limite l'unité et l'on a
aussi (n» i8, TV)
lim —. ^ I.
SI 11 a
D'ailleurs, comme a : siii a ne change pas quand a change de
signe, cette limite subsiste pour a négatif, et on peut la substi-
tuer dans la valeur de Dy, ce qui donne
D y == D sin a- = cos x.
u" On a ensuite, par la règle des fonctions de fonctions,
1) cos X ^- D sin f ""*^* j "^ ^'^^ ( "^ ] -^ ( "^ j'
D cos A' = — sin X.
3" La règle pour dériver un quotient donne
sin X cos X D sin x — sin x D cos a;
D tg A = D
cos A COS'' X
I
I) tg A =
COS*^ A
4" On trouve, de mémo.
I) sec A =:= D == 5 — = ts «V sec a.
Vcos A / cos^ A
5" Enfin, en changeant a en ( a j dans les deux dernières
fonctions, on obtient, par la règle des fonctions de fonctions,
D cot A = r-o — . J^ cosec A = — cot a cosec a.
sm'^ A
V. Fonctions trigonométriques inverses. — i"^ Soit, en j)re-
mier lieu, y = arc sin a ; la branche principale est définie (n" 38)
par les conditions
< y < .
Pour en trouver la dérivée, appliquons la règle des fonctions
inverses. On a a = sin y, donc
DyX = cos y = \Ji — sin^ y = \/i — a^.
Ce radical doit être pris avec le signe +, car cos y est positif
quand y varie de — _- à + -. On a don**
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES 87
BpX = + Vi — ^^
I
D^y = D arc sm x =
Les autres branches de arc sin x se partagent en deux classes,
liées à la principale par les deux formules (n° 38) :
y ~ arc sin ;x: -\- ikv:,
y = (k — arc sin x) + 2/cTr.
Les premières auront donc même dérivée que la branche
principale et les secondes, une dérivée de signe contraire.
2° La dérivée de y = arc tg x s'obtient aussi par la règle des
fonctions inverses. On a ;x; ^ tg y ; donc
Dy X 5 — == I + tg2 y = I + A'^
" cos^ y ' o ^
On en conclut
Da?y = D arc tg 5C =
I + X-'
et le résultat est le même pour toutes les branches de la fonction.
3° Les dérivées des autres fonctions circulaires inverses se
calculent au moyen des dérivées précédentes par les formules :
D arc cos a; = D f arc sin 5C j ---^ — D arc sin x,
f-TZ ^
D arc cot a — D I arc tg ^ i = — D arc tg x,
D arc sec ^v = D arc cos -
^ V'-^
x sjx^'- — 1 '
D arc cosec Jc = D arc sin — = —
^ X sjx^ — I
97. Différentielles des fonctions élémentaires. — Ces différentielles
s'obtiennent en multipliant les dérivées par dx. On obtient
ainsi le tableau suivant, qu'il est indispensable de connaître
par cœur :
88 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE
d x^ = a x^ ^ dx d \Jx = — ^ —
2\Jx
dx
rf A* = A^ Log Adx d LogA a* =
x Log A
d\
d e^ = e^dx d Log x
d sin .V = cos x dx d arc sin .v = —
V
^ *8- ^^^ = t;^^— d arc tg x
X
dx
1+^2
dx
cos- X
d sec a; == tg x sec a- dx d arc sec a;
xsjx^ — I
d cos a; - — sin a r/A (/ arc cos x =^ — d arc sin a
dx
d cot A = — g -^^2 ^. cZ arc cot a = — rf arc tg a
d cosec A = — cot A cosec a dx d arc cosec a = — d arc sec x
Il est essentiel de remarquer que les formules de ce tableau
subsistent encore quand on y remplace la variable a par une
fonction quelconque ii de a. Ainsi
(/ A" == A" Log A du, etc.
98. Différentiation des fonctions composées. — Les règles géné-
rales du 11° 96 et les formules du tableau précédent suffisent
pour déterminer la différentielle d'une fonction explicite quel-
conque y, pourvu qu'elle soit exclusivement composée par
addition, soustraction, multiplication, division ou superposition
du signe fonctionnel au moyen des fonctions élémentaires. En
effet, par l'introduction de variables auxiliaires, on ramènera
la fonction y à des sommes, produits,... de simples lettres ou à
des fonctions élémentaires d'une seule lettre. La différentielle
s'exprimera par les règles des n*^^ 95 et 97 au moyen des diffé-
rentielles des variables auxiliaires. On recommencera la même
opération pour calculer les différentielles des variables auxi-
liaires et l'on continuera ainsi de suite jusqu'à ce que les diffé-
rentielles puissent s'exprimer en fonction de a et de dx seule-
ment. En éliminant alors les variables auxiliaires et leurs
différentielles, on obtiendra dy en fonction de a et de dx. Pour
trouver la dérivée Dy, il suffira de diviser par dx.
Avec un peu d'exercice, ces calculs se font très rapidement.
DÉRIVÉES KT DIFFÉRENTIELLES 89
On peut même se dispenser d'introduire de nouvelles lettres et
la série des substitutions se fait mentalement. Soit, par exemple,
à trouver la différentielle de e^'"^ cos .y ; on a successivement
fi^e^inx coj. ^y ^ cos X (/.e»'"^ + esin^ d.cos X
= cos X fiSina? (/.gin x — e^'"^ sin x dx
_ esina; (cos^ X — sill x) dx.
Remarques. — Certaines fonctions de fonctions revêtent par-
fois une forme sous laquelle le mode de composition n'est pas
immédiatement apparent, et il faut alors les transformer avant
de les différentier.
C'est le cas pour les fonctions u^ et Log„u, dans lesquelles ii
et V désignent des fonctions de x. On commencera par les
exprimer au moyen d'une base constante, par exemple e ; on
aura ainsi
^ Log-u'
et les différentielles s'obtiennent alors par les règles précédentes.
La dérivée logarithmique de y est la dérivée, y' : y, de son
logarithme. La dérivée y' s'en déduit en multipliant celle-ci
par y. Soit, par exemple, y = u^'v^; on aura
Log y = V Log u -\~ u Log u,
y' • T , ( T , *^"' , w*^'
^ — V Log u -4- «' Log u -\ 1
Cet exemple montre qu'il est souvent commode de passer par
la dérivée logarithmique pour calculer la dérivée de y.
99. Exception aux règles précédentes. — Les règles de dérivation
des fonctions composées supposent l'existence des fonctions
composantes et de leurs dérivées. Si cette condition vient à
manquer en certains points exceptionnels, les règles ordinaires
ne s'appliqueront plus en ces points-là, et il faudra un calcul
direct pour s'assurer de l'existence de la dérivée et pour la dé-
terminer.
Considérons l'exemple classique
f{x) = x'^ sin .
Sauf au point x --= 0, cette fon(rtion est bien définie, continue
et elle a pour dérivée
90 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE
/■' (x) = 2x sin COS - .
^ ' X X
Achevons de définir f{x) en faisant f{0) = 0, de sorte que f{x)
est encore continué au point 0. Comme sinus de i : n'a pas de
sens, les règles de dérivation ne s'appliquent pas au point 0.
Cependant f (0) existe et se calcule directement. Puisque
/■(O) = 0, on a, par définition.
/'(0)=.^''^o^ = liniAsin^ = 0.
^ ' /i = h h
Il faut remarquer que f'{x) ne tend ici vers aucune limite
quand x tend vers 0, auquel cas cos (i : x) oscille indéfiniment
entre — i et 4- i. Cet exemple prouve donc que f{a) peut avoir
une valeur déterminée, sans être la limite de f{x) quand x tend
vers a.
100. Extension des définitions au cas d'une variable complexe. —
Soit z = X -{- yi une variable complexe ; la dérivée d'un polj'--
nome ou d'une fraction rationnelle f{z) se définit comme dans
le cas d'une variable réelle. C'est la limite, f (z), vers laquelle
tend le rapport
f{z-]-h )-f{z)
h
des accroissements (réels ou complexes) correspondants de la
l'onction et de la variable quand celui-ci tend vers zéro d'une
manière quelconque. Lorsque cette limite n'existe pas, la fonc-
tion n'a pas de dérivée pour la valeur considérée de z.
Les différentielles se définissent en multipliant les dérivées
par la différentielle dz de la variable indépendante. Cette der-
nière différentielle n'est autre chose que l'accroisssment arbi-
traire h = ùix -\- f Aj que l'on attribue à cette variable.
Les règles qui ont été établies (n*' gS) pour dériver une somme,
un produit, un quotient de deux fonctions, une puissance entière
de la variable indépendante, règles qui résultent immédiatement
de la définition de la dérivée comme limite d'un quotient,
subsistent intégralement dans le cas où la variable est complexe.
Ces règles suffisent pour dériver un polynôme et une fraction
rationnelle.
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES 9I
I. Si f{z) est un polynôme entier,
on a
/•' (z) = 7îA„2"-i + (n - I) A,z»-'- 4- ... + An-i .
Donc la dérivée d'un polynôme est finie et déterminée pour
toutes les valeurs de z sans exception.
II. Si f{z) est une fraction rationnelle, ses deux termes sont
des polynômes A (ît B ; et la règle pour dériver nn (|uotieut
donne
A BA' — AB'
riz)^i)
B B^
Donc une fraction rationnelle a une dérivée déterminée pour
toutes les valeurs de z sauf les racines du dénominateur B.
III. Lorsqu'un pol3'nome est décomposé en facteurs linéaires,
sa dérivée s'obtient aussi par la règle de dérivation d'un ])ro-
duit. Soit
f{z.) ^- (z — a)"'{z — h)^ ... :
on aura
/'{z) = (z-a)m{z-br..,
ni . " 1
...1
_z — a z — h j
La dérivée logarithmique serait, plus simplement.
/■' (^ _ _"L^ 4_ __? u
/•(s) z — a'^z — b "^ "■■
Remarque. — Comme nous le verrons, on se sert souvent de
la considération des variables complexes pour obtenir plus
facilement des résultats relatifs aux variables réelles. Ceux-ci
en effet, se déduisent comme cas particuliei's des premiers en
supposant (|ue la variable devienne réelle.
Exercices.
1. Démontrer les formules suivantes :
, , bx ah dx , , a-\-bx -zabdx
d. rue tg — == „ , .„ , (i. Log
a^ -f b^x- ' a — bx a^ — h- x^
dx X dx
i. r.og (r 4- \la^ -f X') = -- d. arc sin - =
d. Log sin x = coix dx d. Log ces x = — igx dx
92 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
rf. Logtg- = -. — d.Logigi =
2 sin ;»? V2 47 cos ;»;
a-{-btgx 2ab dx
/" b \ ahdx . ^
rt.arc tg -tgAT ]=—„ ; — 1 ,„ . „ d.Log
i
tg;i; + ^tg3;ir
a — bigx a-cos^x — b^sin^x
dx
cos^;t^
d h ( — CCS X + cos% 1 sin a; = 4 cos'*;i; dx.
2. Déterminer les dérivées à droite et à gauche au point des deux
fonctions (supposées nulles au point 0) :
I X
f{x)=xaTctg-, <p(^) =
1 + /*
R. On a
i+«A
lim -^— — =: arc tg — y- = , lim ^ ^ ' — — -
k \ hj 2' —h 1'
Ces deux dérivées sont donc différentes.
3. Montrer que f{x) = x sin ~ (supposé nul pour ;»; = 0) n'a pas de
X
dérivée au point ;»r = 0.
E. Le rapport /(Â) : A est égal à sin (1 -.h) et ne tend vers aucune
limite quand h tend vers 0.
§ 2. Propriétés de la dérivée. Nombres dérivés.
101. Théorème — Soit y = f{x) ; si l'on suppose ^x infiniment
petit, et /■' (x) fini et différent de au point donné x, Ay et dy
sont deux infiniment petits dont le rapport a pour limite
runité.
En effet, on a, par définition de la dérivée,
^ = r(x) + e.
e ayant pour limite avec A.v. D'où, en divisant par f [x) qui
n'est pas nul par hypothèse, et en observant que dy = f {x) ^x,
^ - I +
dy ■ f'ix)'
Le théorème résulte de cette égalité, dans laquelle e : /' {x)
a pour limite O avec ^x.
PROPRIÉTÉS VF. LA DÉUIVÉE ()3
Donc, quand Ajc est infiniment petit, Ay et dy sont deux
infiniment petits, susceptibles d'être substitués l'un à l'autre
sous les conditions exposées plus haut (n" 21). On doit se garder
toutefois de les confondre entre eux (*).
102. Fonction croissante, décroissante en un point, — Si /' (x) est
positif au point x, le quotient ùiy : Aa: a une limite positive,
donc A>" est différent de () et de même signe que àx pour les
valeurs suffisament petites de | A.v | . On dit, dans ce cas, que
la fonction est croissante au point x.
Si, au contraire, f(x) est négatif, A y- et A.v sont de signes
contraires pour les valeurs suffisamment petites de ^x. Dans
ce cas, la fonction est décroissante au j)oint x.
Il résulte de là que, si i''[x) n'est pas nul, la fonction [{x)
admet toujours, dans le voisinage immédiat du point .v, des
valeurs supérieures et inférieures à celle qu'elle acquiert au
point A'. Les valeurs supérieures, par exemple, s'obtiendront à
droite du point a- si la fonction est croissante, cl à gauche si
elle est décroissante. Cette simple remar([ue sert de base à la
proposition suivante, connue sous le nom de théorème de liolle,
quoique Kolle ne l'ait énoncée que pour un polynôme.
103. Théorème de Rolle. — Si la fonction f(x), continue dans
l'intervalle (a, b), s'annule pour x = a et pour x = b et admet
une dérivée unique (finie ou infinie) en tout point intermédiaire
(a, b pouvant être exclus), cette dérivée s'annulera en l'un des
poin ts in termédiaires .
En effet, f{x) a une plus grande valeur M et une plus petite
valeur m dans l'intervalle (a, b) (n" 27, 111). Si M et m sont nuls
tous deux, f{x), étant égale à zéro dans tout l'intei-vallc, est une
constante et sa dérivée sera nulle dans tout l'intervalle. Dans
ce cas, le théorème est dénu^ntré. Si, au contraire, M (ou m) est
différent de zéro, la fonction f\x) atteindra cette plus grande
(ou plus petite) valeur (n" 27, 111), pour une valeur ; de .v com-
prise entre a et b. On aura /''(^) = ; car, s'il en était autrement.
(*) Dans les ouvrages (l'upplicalious, on a souvent le tort de les confon-
dre, au moins dans le langaf^e.
94 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE
la fonction f{x) serait croissante ou décroissante au point Ç et
accxuerrait dans le voisinage immédiat de ce point des valeurs
supérieures et inférieures à f{^), comme on l'a montré au
n*^ précédent. Donc /'(^) ne serait pas la plus grande (ou plus
petite) valeur supposée.
(k)ROLLAiRE. — Si f{x) rcprcud la même valeur aux points a et
b, sa dérivée s'annule en un point intermédiaire, car la fonction
f{x) — /(a), qui a la même dérivée, s'annule pour 5C == a et pour
.V = 6.
104. Formule des accroissements finis (Lagrange). — Soit f{x)
une fonction continue dans l'intervalle (a, b) tout entier, ayant
une dérivée unique (finie ou non) en tout point intérieur (au
sens étroit) à cet intervalle, il en sera de tnême pour la fonction
(D (x), définie par l'équation
cp (.V) = {b-a) [f{x) - /(a)] - {X - a) U{b) - f{a)].
Mais cette fonction s'annule pour x ^ a et pour x == b, donc,
en vertu du théorème de Eolle, sa dérivée,
<^'{x) = {b-a)r{x)-[m-f{a)l
s'annule pour une valeur ^ de x entre a et b, d'où
f(b)-f{a)^{b-a)f>{^).
Telle est la formule des accroissements finis. On la met le
plus souvent sous une autre forme. Remplaçons a par a- et b
par X + h, alors i (qui est compris entre x et ;>c -I- h) peut être
remplacé par x -f 6/t, 9 désignant un nombre généralement
inconnu > et < i. On trouve ainsi
f{x \^h)-f{x) = hf'{x + ^li)
(0 < 6 < i).
La formule antérieure ne supposait pas et < b et, par suite,
h est, dans celle-ci, de signe quelconque.
La formule des accroissements finis est une des formules fon-
damentales du calcul différentiel. Elle est d'un usage continuel.
On en déduit le théorème suivant :
105. Théorème. — Toute fonction f'{x), dont /a dérivée est
constamment nulle dans un intervalle (a, b), se réduit à une
constante dans cet intervalle.
PROPRIÉTÉS UE LA DÉRIVÉE q5
Soient, ou effet, a; et x -[- h deux valeurs de a* appartenant à
l'intervalle (a, b), on aura, par la formule précédente, en obser-
vant que f{x) est continue (n" 90),
f{x 4- /î) - f{x) ^= 0. d'où l\x + h) - /(a),
c'est-à-dire que la fonction est une constante.
CoHOLLAiiiE. — Deux fonctions f{x) et cp (a) dont les dérivées
sont finies et égales dans un intervalle (a, b) ne diffèrent que
par une constante dans cet intervalle.
En effet, la fonction /'(a) — <p (a;), ayant une dérivée constam-
ment nulle, se réduit à une constante C et l'on a
/•(A-) = =p(A-) + C.
Ce théorème est le théorème fondamental du calcul intégral.
Dans celui-ci, on se propose de trouver toutes les fonctions
ayant une dérivée connue. On voit que le problème sera résolu
si l'on peut en trouver une, car les autres s'en déduisent par
l'addition d'une constante.
106. Théorème, — Si f{x) a une dérivée f {x) et tend vers
l'infini quand x tend vers une valeur finie a, il est impossible
que /■' (a") conserve une valeur finie quand x tend vers a.
En effet, si | f'{x) \ avait une borne supérieure finie M dans
l'intervalle (a, b), la formule des accroissements finis donnerait,
pour X compris entre a et b,
\f{x)-f{b)\ <U\x-b\
et, comme on peut faire tendre a; vers a dans cette formule, on
voit que f{x) ne croîtrait pas indéfiniment quand a- tend vers a.
107. Fonction croissante ou décroissante dans un intervalle. — Si la
dérivée f (x) est positive ou nulle dans V intervalle (a, b), sans
toutefois être constamment nulle, la fonction f(x) est croissante
dans l'intervalle (a, b). c'est-à-dire que (6 étant > a) on a f{b)
En effet, quel ([uc soit ,v entre a et b, la formule des accrois-
sement finis s'applique aux deux intervalles aA* et xb et donne
f{b)-t\x)^{b-x)r{\):^o,
/•(.v)-A«) = (.v-a)r(O>0,
96 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE
d'où f{b) ^ f{x) > /(â) ; et j'en conclus f{b) > /"(a), car l'égalité
entraînerait la constante de f{x) et l'on aurait partout f {x] = 0,
contrairement à l'hypothèse.
De même, si f {x) est négatif ou nul dans l'intervalle (a, b),
sans toutefois être constamment nul, la fonction f{x) décroît
dans cet intervalle : on a f{b) < /(a).
108. Formule de Cauchy. — Soient f{x) et V{x) deux fonctions
continues dans l'intervalle (a, b)et admettant des dérivées bien
déterminées et finies en tout point intermédiaire. Supposons :
i'' que les deux dérivées f (x) et F'{x) ne s'annulent pas simul-
tanément entre ces limites et 2'^ que F{b) soit différent de F(a).
On aura (Cauchy)
F(&)-F(a)~F'(0 W^ 'î^-^;
En effet, observons que la fonction de x
/•(.v) [F(6) - F(a)] - F(A-) [f{b) - f{a)]
prend la même valeur aux points a et b ; il vient, par le théo-
rème de Rolle,
r(i) [¥{b) - F(a)] - F'(i) [f{b) - fia)] = 0.
Mais F'(Ç) n'est pas nul, sinon les deux dérivées f'{^) et F'(0
s'annuleraient simultanément en vertu de cette relation (puis-
que F{b) — F(a) n'est pas nul). Donc on peut diviser l'équation
par F{b) — F(a) et F'(^), ce qui donne la formuie de Cauchy.
Remarque. — Si F'(x) ne s'annule pas pour x > a et < b, la
condition i" est évidemment vérifiée, mais la condition a» le
sera aussi, car, si F{b) était égal à F(a), la dérivée s'annulerait
en un point intermédiaire.
La formule des accroissements finis n'est qu'un cas particu-
lier de celle de Cauchy. 11 faut faire F(a') = x, ce qui est per-
mis, puisque la dérivée, F'(x) = i, ne s'annule pas.
109. Théorème. — Si f(x) est continue dans l'intervalle (a, b),
à tout nombre positif z correspond un nombre S tel qu'on ait
! f{x + h)-f{x)
h
f'{x)
< e si I /i I < ô.
pourvu que x et x ~\- h appartiennent à l'intervalle (a, b).
PROPRIETES DE LA DERIVEE y 7
Par la formule des accroissements finis, le premier membre
se met sous la forme
\f'{x + (ih)-f'{x)\ .
Mais on peut supposer l'oscillation de la fonction continue f
moindre que e dans tout intervalle < 6 (n" 27, IV), auquel cas
cette différence est a fortiori < e.
Réciproquement, si A/*: àx converge uniformément vers sa
limite f'{x), celle-ci sera fonction continue de x dans l'intervalle
(a, b).
Montrons, en effet, que l'accroissement de /' (x) peut être
rendu inférieur à tout nombre donné 3 e, à condition de rendre
celui de ;x: suffisamment petit.
Prenons d'abord h assez petit pour qu'on ait, quel que soit x,
Donnons ensuite à x un accroissement (positif ou négatif)
suffisamment petit pour que le rapport [f{x -\' h) — f{x)'] : h, qui
est fonction continue de x, varie de moins que e ; comme r,
varie de moins que 2 e, f'{x) variera de moins que 3 e.
110. Théorème. — Si f{x) est continue et dérivable dans l'inter-
valle (a, b), f'{x) ne peut passer d'une valeur à une autre dans
cet intervalle sans passer par toutes les valeurs intermédiaires
(Darboux).
Considérons d'abord le cas où f'{a) et f'{b) sont de signes
contraires ; je dis que f'{x) s'annule entre a et b. En effet, soit,
pour fixer les idées, f'{a) > et f'{b) < 0, la plus grande valeur
de f{x), ne pouvant être atteinte ni en a ni en b, le sera en un
point intermédiaire 5, où l'on aura donc /"'(i) -- 0.
Passons au cas général. Soit A un nombre compris entre f'(a)
et f'{b) ; la fonction f{x) — Aa: aura ses dérivées de signes con-
traires en a et en b, Donc il existe un point intermédiaire où
r(5)-A=.Oet/-(5) = A.
Il est à remarquer que la propriété énoncée dans ce théorème
appartient aux fonctions continues (n° 27, VI) mais ne les carac-
térise pas.
98 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
111. Nombres dérivés. — Soit f{x) une fonction univoque de x ;
considérons le rapport
f{x-^h)-f{x)
h
Quand h tend vers zéro en restant positif, ce rapport a une plus grande
limite et une plus petite limite qui peuvent être finies ou infinies (n" i5),
La première est le nombre dérivé supérieur à droite, la seconde le nombre
dérivé inférieur à droite. On les représente par les symboles (Dini) :
Si ces deux nombres sont égaux, leur valeur commune sera celle de
la dérivée à droite au point x (n» 90).
De même, la plus grande et la plus petite limite du rapport précé-
dent quand h tend vers en restant négatif, sont les nombres dérivés
supérieur et inférieur à gauche. On les représente par aL et X^ et, s'ils
sont égaux, leur valeur commune est celle de la dérivée à gauche.
Au lieu de nombres dérivés, nous dirons aussi bien dérivées supé-
rieures ou inférieures à droite ou à gauche.
Si l'on change ;ir en — x,\es dérivées à droite se permutent avec
celles de gauche ; si l'on remplace f{x) par — f{x), les supérieures se
permutent avec les inférieures en changeant de signe.
Cette simple remarque permet, dans bien des cas, d'étendre immé-
diatement aux quatre nombres dérivés un théorème établi pour l'un
d'eux.
112. Propriétés des nombres dérivés d'une fonction continue. —
\. Si L et l sont les bornes supérieure et inférieure de Vun des quatre nom-
bres dérivés dans l'intervalle ab {b > a) (*), et si la fonction f{x) est continue
dans cet intervalle, on aura
b — a
Supposons qu'il s'agisse de la dérivée supérieure à droite A et pro-
posons-nous d'établir la seconde inégalité. 11 suffira de montrer que,
quelque petit que soit e positif, il est impossible que l'on ait
f{b)-f{a)-{L + t){b-a)>0.
En effet, si cette inégalité avait lieu, la fonction continue
? (^) -/M -f{a) - (L + t){x- a),
(*) Pour déterminer ces bornes, on ne doit pas tenir compte de la dérivée
à droite du point i ou à gauche du point a, la définition de ces nombres se
faisant en dehors de l'intervalle ab.
NOMBRES DERIVES
99
qui est certainement négative pour x suffisamment voisin de a (puisque
Aa < L + s), changerait de signe et s'annulerait, par conséquent, entre
a et h. Soitc sa plus grande racine inférieure à h ; pour x > c, on aura
? {x) > 0, donc cp (at) — cp (c) > 0, c'est-à-dire
/W -/(C) - (L + e) (;»; - C) X).
donc hc serait ^ L + e, ce qui est contraire à la définition de L,
II. Les quatre nombres dérivés ont la mime borne supérieure et la même
borne inférieure finie ou infinie dans tout intervalle (*) (Dini),
Pour fixer les idées, considérons les deux bornes supérieures L et
L' des deux dérivées supérieures A et A'. Si x' et x" sont deux valeurs
quelconques de x, le théorème précédent s'applique à l'intervalle x'x"
et donne
f{x")-f{x') ^^
xK — x' <LetqueL'.
Donc aucun nombre dérivé ne peut surpasser ni L ni L' donc L
et L', ne pouvant se surpasser l'un l'autre, sont égaux.
En particulier, si F un des quatre nombres dérivés est continu en un point
ou dans un intervalle, ils le sont tous, et la fonction (supposée continue) a
une dérivée unique en ce point ou dans cet intervalle.
Donc encore, si Fun des nombres dérivés est constamment nul, la fonction
f{x) a une dérivée unique nulle et se réduit à une constante.
113. Fonction croissante, décroissante dans un intervalle. — Si l'un
des nombres dérivés d'une fonction continue f{x) est constamment positif ou nul
(sans l'être constamment) dans l'intervalle ab, la Jonction est croissante dans
cet intervalle, c'est-à-dire que f{b) > f{a).
En effet, le théorème I du n» précédent s'applique aux intervalles
(a, x) et {x, b) et, la borne inférieure l étant > 0, on en conclut
/W— /(a)>0, /(è) _/(;^) ^ 0.
Donc f{b) > f{x) > f{a) et j'en conclus/(è) > f{a), car l'égalité en-
traînerait la -constante de/(,r), et/'(,r) serait constamment nul.
De même, si l'un des nombres dérivés est constamment négatif ou nul
(sans Vitre constamment) dans l'intervalle ab, la fonction continue f{x) est
décroissante dans l'intervalle ab, c'est-à-dire que f{b) < /(a).
114. Théorème. — Soitf{x) une fonction continue dans l'intervalle {a, b) ;
sif{b) est plus petit {plus grand) que f{a), l'ensemble des points de cet in-
tervalle où un même nombre dérivé de f{x), par exemple A, est négatif (posi-
tif) a la puissance du continu et contient un ensemble parfait.
(*) Voir la note de la page précédente.
lOO CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES D UNE VARIABLE
Soit/(è) < f{a). Prenons e positif assez petit pour que la fonction
?W=/W-/(«) + e(^-a),
nulle pour x = a, soit négative pour x^=^b. Soit ensuite c un paramètre
négatif supérieur à cp (6). Considérons la courbe j/ =^ i({x) et l'horizon-
tale ^1^=^ ; la courbe est au-dessus de l'horizontale au point a et en
dessous au point b. Donc l'horizontale coupe la courbe entre les deux.
Soit M le point d'intersection dont l'abscisse X est la plus grande : la
courbe sera sous l'horizontale à droite du point X, de telle sorte qu'on
a, pour h positif assez petit,
<p(X + ^)-y(X) _^ /(X + A)-/(X) , _.,
h ~ h -t-^^"-
Donc, quand h tend vers 0, il vient, à la limite, au point X,
A + e < 0, d'où A < — e < 0.
A chaque valeur du paramètre c entre et <f {h) correspond un
point X différent où A est négatif. On voit déjà que l'ensemble E de
ces points X a la puissance du continu.
Je dis que l'on a aussi A < — e aux points-limites de l'ensemble E.
Observons, en effet, que M se déplace vers la gauche quand l'hori-
zontale s'élève, c'est-à-dire que X varie en sens contraire de c. Consi-
dérons donc une suite de points X tendant vers un point-limite Xi (de
gauche à droite par exemple) et la droite variable y ^^ c correspon-
dante. Celle-ci descend alors constamment et tend vers une position-
limite y = Cl ; mais à droite du point X, elle était toujours au-dessus de
la courbe, donc, dans sa position-limite, elle l'est encore (le contact
étant possible). Le même raisonnement que tout à l'heure s'applique
donc encore au point-limite Xi et prouve que l'on a A + e ^ en ce
point.
En définitive, on a A < 0, dans l'ensemble E et son dérivé, c'est-à-
dire dans un ensemble fermé ayant la puissance du continu, donc
dans un ensemble parfait {n^ 6i et 6g).
Remarque. — Si l'ensemble E des points où la dérivée supérieure A est
négative était de mesure nulle, l'ensemble Ei des poitits où cette dérivée est
infinie négative contiendrait aussi un ensemble parfait.
Prenons, en effet, e assez petit pour que f{b) — f{a) + e soit encore
négatif, et donnons-nous une suite illimitée positive ej, e,, £3,... telle
que l'on ait
£1 -f £2 + 83 +... < e.
Enfermons successivement E (au sens étroit) dans une infinité d'm-
tervalles a, puis d'intervalles p, puis d'intervalles y,--- tels que
2a<Si, SP<S2, 2y<£3,...
NOMBRES DERIVES 101
Désignons par ^{x) la somme, fonction de x, des longueurs de tous
les intervalles a, ,3, y,..- et portions de ces intervalles entre a etx. Cette
fonction positive cp(.v) est < £ dans (a, b) ; elle est essentiellement crois-
sante (ou constante) ; ses nombres dérivés sont positifs (ou nuls) par-
tout, mais, de plus, infinis en chaque point de l'ensemble E, lesquels
sont intérieurs à une infinité d'intervalles a, p, y,..., auquel cas 'f(.r)
croît plus rapidement que tout multiple de x.
Ceci fait, la fonction
/(^) + ?(^) , ::
ne peut avoir sa dérivée supérieure A négative qu'aux points de l'en-
semble El contenu dans E oi^i celle de/(.r) est infinie négative. Comme
on a d'ailleurs /(è) + 'f(6) </(fl) + 'f(a), on est ramené au théorème
précédent.
115. Théorème. — Si nu nombre dérivé d'une fonction continue f{x)
change de signe dam un intervalle {a, b), l'ensemble E de tous les points où
ce nombre a le même signe contient un ensemble parfait. Si, de plus, E est
de mesure nulle, la partie de E oîi le nombre dérivé est infini contient aussi
un ensemble parfait.
Supposons, pour fixer les idées, que E soit l'ensemble des points où
A < 0. Si A est < au point x,f{x -j- h.) sera < f{x) à condition que h
soit positif assez petit, ce qui ramène au théorème précédent.
116. Théorème généralisé de Scheeffer. — Si, dans un intervalle (a, b),
deux fonctions f\{x) et fi{x) ont leurs nombres dérivés supérieurs à droite :
1° finis en chaque point sauf peut être dans un ensemble ^i, et 2^ égaux sauf
peut-être dans un ensemble de mesure nulle, les deux fonctions ne diffèrent que
par une constante dans l'ijitervalle {a, b), à moins que Ei ne contienne un
ensemble parfait.
En effet, les dérivées supérieures à droite étant de plus grandes
limites, on a, en considérant A comme un symbole opératoire,
A(/i-/2)>A/.-A/..
Donc/i — /^ a son nombre dérivé A nul ou positif sauf dans un
ensemble de mesure nulle, et il ne peut être infini négatif que si A/i
ou A/2 est infini, donc dans Ei. Par conséquent, si Ei ne contient pas
d'ensemble parfait, ce nombre dérivé ne peut être négatif en vertu du
théorème précédent, et la fonction/i — /^ est constante ou croissante
dans {a, b). Pour les mêmes raisons, /a — /i l'est aussi. Ces deux fonc-
tions ne pouvant être en même temps croissantes, elles sont constantes.
Un ensemble parfait n'étant pas dénombrable, le théorème précé-
dent renferme comme cas particulier l'énoncé de ScHEEFbEK :
Deux fonctions continues qui, dans un intervalle [a, h), ont la même dérivée
supérieure à droite finie, sauf pour un ensemble dénombrable de points, ne
peuvent différer que par une constante dans cet intervalle.
Remarque. — Le théorème précédent admet une sorte de réci-
proque :
102 CHAPITRE I, FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE
Une fonction dont les nombres dérivés peuvent être infinis sur un ensemble
parfait E de mesure nulle, mais sont donnés et finis partout ailleurs, demeure
cependant arbitraire.
En effet, la correspondance entre les points ;t de E et ceux y du
segment O-i, définit (n° 66) une fonction continue croissante x = f(jv),
dort l'inverse V ^ "l'W est une fonction continue de x, croissante pour
les points de E et constante dans les intervalles contigus à E. Soit
F(j') une fonction continue arbitraire ; la fonction ¥{'^x) aura sa dérivée
huHe" satif au point de E : elle demeure cependant arbitraire avec F.
§ 3. Dérivées et différentielles successives.
117. Définitions. — Soit y = f(x) une fonction univoque d'une
variable réelle x, ayant une dérivée dans un intervalle. Si cette
nouvelle fonction, y' ■= f'{x), admet une dérivée en un point x
de cet intervalle, on la représente par y", f"{x) ou D*y et on
l'appelle la dérivée seconde de y.
De même, la dérivée troisième est la dérivée de y". Elle se
désigne par y'", f"'{x), B^y. On continue ainsi de suite, de sorte
que la dérivée d'ordre n est la dérivée de celle d'ordre n — i.
Elle se représente par yC", /'^"'(y) ou D*^y.
Si, pour définir les dérivées successsives au point a, on ne
tient compte que des valeurs de x qui sont > a, on obtient les
dérivées successives à droite au point a ; on obtient celles
à gauche si jc < a.
11 faut observer que, d'après ces définitions, l'existence d'une
dérivée finie D" y au point x exige celle d'une dérivée D"-*y
finie et déterminée aux environs de x, donc la continuité des
dérivées d'ordre moindre aux environs du même point.
Les dérivées successives des fonctions rationnelles d'une
variable complexe se définissent comme quand la variable est
réelle. Il n'y a pas lieu de nous y arrêter. Revenons aux va-
riables réelles.
Si dy est différentiable, sa différentielle est la différentielle
seconde de y et se désigne par d'^y. Cette nouvelle différentielle
dépend de la relation que l'on veut établir entre la variable x
et sa différence ^x ou dx. Si cette différence est la même pour
toutes les valeurs de x et la même encore dans les différentia-
tions successives, elle doit être traitée comme une constante
et l'on a
d*y = d.f{x) dx = f\x) dxK
DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES Io3
De même, la différentielle troisième d^y est celle de cl^y, on a
d^ = d.f"{x) dx^ = f"'{x) dx\
et ainsi de suite. En général,
rfn y = f(n) {^x) d^C" .
On tire de là
, dy ,, d'y ,„ d"r
•^ d5c' ^ dx^' ^ ^ dx^
Donc la dérivée n^^>^^ d'une fonction est le quotient de la
différentielle n^éme de la fonction par la puissance n^ème de la
différentielle de la variable prise constante par rapport à x, ce
qui fournit une nouvelle manière de représenter cette dérivée et
celle qui est le plus généralement employée.
Remarque. — La condition que dx soit constant par rapport
à x n'empèclie pas que dx puisse varier à un autre point d.e
vue. Ainsi on peut faire tendre dx vers 0, pourvu que ce soit
pour toutes les valeurs de x en même temps et de la même
manière.
118. Des différences finies, — Si l'on donne à .x; un accroisse-
ment A.\% la fonction continue f{x) prendra un accroissement
^f{x) = f{x + ^x)-f{x),
que nous appellerons différence première de f{x).
La différence de la différence première est la différence se-
conde, elle se représente par ^^f{x), et ainsi de suite. On prend
la différence Ix indépendante de x, de sorte que
^•f{x) = f{x -\- 2^x) — 2fix 4- ^x) + f{x),
^^f(x) = f{x + 3^x) - 3/"(.x + olx) 4- 3/'(^ + A.v) — f{x),
et ainsi de suite.
Il existe, entre ces différences successives et les dérivées
successives de f{x), une relation importante que voici :
(1) A'V'(^) = Aoc"/'(«Xa; + ^n^x) (0 < 9 < i).
Elle suppose f^^\x) déterminée entre .v et a' + n\x (limites
exclues) et /i"-* (a;) continue dans cet intervalle entier. Nous
appellerons cela les conditions d'ordre n. Pour /i = i, la for-
mule est exacte : c'est celle des accroissements finis. Pour
I04 CHAPITRE I. FONCTIONS EXPLICITES d'uNE VARIABLE
l'établir en général, il suffit donc de l'étendre de l'ordre n — i à
n. A cet effet, remarquons que les conditions d'ordre n pour f{x)
entraînent celles d'ordre n — i pour la fonction
^f{x) = f{x + ^x) - f{x).
Appliquons-lui donc la formule (1) pour l'ordre n — i, nous
trouvons
(2) ^''f{x) - ^x''-' [f^^-^Xx + ^x 4- e[n— ijax-) —
fin-i^x + 8[n — iJAx)]
Transformons enfin la différence entre crochets par la for-
mule des accroissements finis (dont l'emploi est légitimé par
les conditions d'ordre n), nous obtiendrons la formule (1).
La formule (2) conduit à un autre résultat important. Les
conditions d'ordre ir — i qu'elle suppose auront lieu pour | ^x \
suffisamment petit, si /"^"^(a;) a une valeur déterminée et finie.
On a, dans ce cas, par définition de /'(")(.v), les e tendant vers
avec A.x,
P»-%x f ^x -h e [/) — i] ^x) — /■("-i)(a-)
= (i 4- 6n — 0) ^xf%x) + ^'^x,
/i«-»)(.v 4- 9 [71 — i] Aa') - f(^-%x)
= (9n — 0) ^xf^Xx) 4- e'^x,
et, en substituant dans (2) la différence de ces deux quantités,
A"/-(x) -= ^x"[f''\x) 4- e], d'où lim — -^ == /(«)(a:).
Donc la dérivée n^^'"^, supposée finie et déterminée en un point,
est la limite du rapport de la différence n^é>ne (Jq /^ fonction par
la puissance n'^"^'^ de la différence de la variable, quand cette
différence, supposée indépendante de x, tend vers zéro.
119. Dérivées /i«^'»es ^gg fonctions élémentaires. — La détermina-
tion d'une dérivée d'ordre quelconque pour une fonction élé-
mentaire ou composée, ne peut présenter d'autre difficulté que
la longueur des calculs, si cet ordre est donné numériquement.
Mais, si l'on veut exprimer la dérivée n^^"i(' en fonction de n,
n restant arbitraire, le problème est plus difficile. Toutefois,
pour quelques fonctions élèment^/ires, la solution est simple.
DÉRIVÉES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES lo5
I. On a trouvé Dx" = ax*^-^ ; on en tire successivement
B^x" = a (a — i) a:«-«.
D";x;« = a (a — i)...(a — n -f i) a:«-".
Si a est entier et > 0, cette dérivée se réduira à la con-
stante a ! i)our n = a, et sera nulle pour n > a. Donc la dérivée
jiième d'un polynoiJie de degré < n est identiquement nulle.
II. De DLog.x = x-\ on tire, par la règle précédente,
D"Log X = D«-' 5C-* = (— i) (— 2)...(— n + i) x-^
D« Log x = {— i)«-i ^^ ~^^^ ' .
in. La formule DA^= A^Log A donne
DnA^= A*(Log A)«, D"e^=-p»^.
TV. On a trouvé
D sin X = cos 5C = sin ( x -}-
7C
On dérive en ajoutant - à l'argument, donc
D" sin X = sin (x'^n-j.
V. On a, de même,
D cos .-v = cos Ix + -J, D" cos x = cos fx -\- n'f) .
VI . On a trouvé
D arc tg X = -x ~2 ' ^^^^ ^" ^^^ tg x = D»^-' — - — - .
Mais on a, en introduisant les imaginaires,
I + x^ '2i \x — i X -\- i
^'"''v-r—2 = (— ^y-'in- i) ! -^r^ — ^-^ __^__1
i-i-x^ ^ ^ ^ ^ 2il(x — i)n (3C4-0"J
On se débarrasse des imaginaires en posant
I Q -__ \ /j _L. v2
.V — / = p (cos cp — I sin cp) { " V -r '
' ( <P - arc cot X ;
il vient, par la formule de Moivre,
I ^ cos n y + t sin n y £_ cos n y — is'm n
{x — /)« p« "' (;c -f /)«" "" p« "~
I06 CHAPITRE 1. FONCTIONS EXPLICITES d'UNE VARIABLE
Par conséquent,
D"-* — - — - = (— i)^-' -^'^-,— sin n cp,
D"arc tg A' = (— i)" * — ^ sin {n arc cot x).
(i + a;2)^
Remarque. — Le calcul des dérivées ri^èmes peut être rattaché
à la formule de Taylor. On en trouvera des exemples dans le
chapitre suivant.
120. Dérivée n'^'"^^ d'un produit. Formule de Leibniz. — Soit iiv
le produit de deux fonctions de a; ; on a
D.«u ^ V Du + u T>v.
Dérivons ; il vient, par la règle précédente,
D^uy = yD^u + 2 Du.Dw + u D^y.
Chaque terme de ces deux premières dérivées et aussi des
suivantes, est le produit d'une dérivée de u par une dérivée
de V, en regardant w et u eux-mêmes comme des dérivées
d'ordre 0.
Mais, dans la dérivée première Duv, la somme des indices de
dérivation est égale à i dans chaque terme ; dans la dérivée
seconde, elle est égale à a ; on voit de suite qu'elle sera égale
à n dans la dérivée n""'"''. On peut donc poser
(1) D" uv = A^u D« i) -1- A, Dm D^-^y f A2 D'u D"--u -f ••••,
les lettres A désignent des coefficients numériques à détermi-
ner. Faisons, pour cela, a étant une constante,
u = e't^, y = e^, d'où uv = e(*+*)^,
D»«y = (1 + a)«e(i+="^.
Substituons ces valeurs dans l'équation (1) ; elle devient,
après suppression du facteur commun e('+°')^ ,
(I -f a)« = Ao + Aia + A^a^ + •-
Donc, a étant une indéterminée, les coefficients Ao, A^, A2,...
sont ceux du binôme. On peut ainsi donner à l'équation (1) la
forme symbolique suivante :
D"uy - (Dh -f Dy)".
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES SUCCESSIVES I07
Mais on convient d'observer les conditions suivantes dans le
développement du second membre : i° on écrira Du et Dy dans
tous les termes, même dans les termes extrêmes où l'un d'eux
reçoit l'exposant ; 2*^ on remplacera ensuite D«p par 1)pii,
Dy9 par D« v et enfin, D^u par u et D^w par v.
121. Propriétés des dérivées d'une fonction rationnelle. — Soit z
une variable complexe ; une fonction rationnelle de z
est le quotient de deux polynômes P et Q sans racine commune.
Soit a une racine de degré m de P, nous disons que c'est une
racine de degré m de f{z). Nous avons alors
fiz)^(z-a)^f{z),
et(f>(3) est une fonction rationnelle, finie et non nulle pour
z = a. Dérivons ; il vient
f (z) = {z- ar-i[mf{z) + (2 - a) cp'fz)].
La quantité entre crochets est une fraction rationnelle qui ne
s'annule plus pour z = a ; d'où le théorème suivant :
I. Toute racine de degré m d'une fonction rationnelle f{z) est
une racine de degré (m — i) de sa dérivée ; en particulier, une
racine simple de f(z) ne sera plus racine de sa dérivée.
Si l'on applique ce théorème, de proche en proche, aux déri-
vées successives de f{z), on est conduit au suivant :
II. Toute racine de degré m de f(z) est commune à f{z) et à
ses m — I premières dérivées. Réciproquement, toute racine
commune à f{z) et à ses {m — i) premières dérivées et qui n'an-
nule pas la dérivée d'ordre m, est une racine de degré m de f{z).
Ces théorèmes jouent un rôle important en algèbre, dans le
cas particulier où f{z) se réduit à un polynôme.
CHAPITRE IT.
Formule de Taylor. Applications diverses.
§ 1 . Formules de Taylor et de Maclaurin.
122. Formule de Taylor. — Soit f{x) une fonction continue et
univoque d'une variable réelle x. La formule de Taylor a pour
objet de développer /"(a + h) suivant les puissances successives
de h jusqu'à un certain ordre. Pour l'ordre n, cette formule est
la suivante :
(' fia + h) = fia) + -~ fia) + ^-f'ia) +•..
Il faut supposer les dérivées de fix) finies et déterminées au
point a jusqu'à l'ordre n — i, alors cette formule définit la
quantité M en fonction de h supposé différent de 0.
Le plus souvent h peut avoir un signe quelconque dans la
formule (1) et les dérivées successives de fix) sont supposées
uniques au jjoint a. Mais, si h est exclusivement positif, la for-
mule ne su]3pose que l'existence des dérivées successives à droite
au point a, et il doit être entendu que /'(a), fia),... sont alors
des dérivées à droite. Ce seraient, par contre, des dérivées
à gauche si h était exclusivement négatif.
Le développement de Taylor se caractérise par la propriété
suivante, dont l'énoncé se précise en tenant compte de l'obser-
vation précédente.
Théorème. — Quand h positif tend vers 0. la quantité M tend
vers la dérivée à droite /"^"^(a), finie ou infinie, mais supposée
existante.
FORMULE DE TAYLOB IO9
1° Si /^"'(^) ®^^ finie, soit e un nombre positif et formons la
fonction de h :
<p(A) ^ f{a) + 4 /"'(a) + - + ^[/^"'(a) 4- e] - f{a + h).
Cette fonction et ses n — i premières dérivées (à droite) sont
nulles au point /ï = 0, tandis que l'on a, pour sa dérivée n^"^*"^
(à droite), ^("'(0) = e > 0. Donc, pour h positif et suffisamment
petit, ^("— *)(/i) est > !^(»-*)(0) et, par conséquent, positif ; auquel
cas ^("~*^(/i), étant croissant, est positif aussi, et ainsi de
suite de proche en proche jusque <f{h) > 0. Au contraire, tout
cela devient négatif si l'on remplace e par — e. D'où il suit que,
pour h positif assez petit, f{a -\- h) est compris entre les deux
expressions :
f{a) + A f^a) + ... + ^-^ [f n)(a) =t e]
et par suite, M est compris entre P'^\a) ± e. Donc, e étant aussi
petit qu'on veut, M a pour limite f^"\a) quand h positif tend
vers 0.
2° Si /"'"'(â) = — ^> ^oit ^ iiii nombre négatif arbitraire et
formons la fonction :
^{h) - f{a) + A r(a) + • + 1^ A - l\a \- h).
Nous aurons encore <^'"^(0) ^= A — P'^\a) > 0, de sorte que les
dérivées d'ordre moindre et o(/î) lui-même sont de nouveaux
positifs pour h positif et suffisamment petit, auquel cas M
est < A. Donc M devenant inférieur à tout nombre assignable
quand h positif tend vers 0, M tend vers — c». De même, M
tendrait vers + oo si telle était la valeur de la dérivée à droite
/"(^'(a), ce cas se ramenant d'ailleurs au précédent par le simple
changement de signe de f'{x).
Si l'on remplace h par — h dans la lormule (1), le théorème
précédent est évidemment remplacé par le suivant :
Quand h négatif tend vers 0, la quantité M tend vers la déri-
vée à gauche f'"\a), finie ou infinie, mais supposée existante.
Unicité du développement'. — (^uand /"^"'(a) est finie, la for-
mule de Taylor exprime /'(a 4 h) par un développement
A^ 4- Al /i + Aa/i" -f ... -f An-ili"-' + M/i",
IIO CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
OÙ les A sont des constantes par rapport à A et où M est borné
quand h tend vers 0.
Un tel développement n'est possible que d'une seule manière,
donc par la formule de Taylor.
Supposons, en effet, qu'il y en ait deux :
Ao 4- A,/i 4- - -i- Mh^ = ao + ai/i H \- mh'' .
Nous allons montrer qu'ils sont identiques termes pour
termes.
Faisant tendre h vers et observant que M et m sont bornés,
il vient d'abord Ao — «o- Supprimant ces termes, divisant par h
et faisant encore tendre h vers 0, il vient A, = aj, etc.
123. Reste de la formule de Taylor. — Le dernier terme de la
formule (1), lequel en a n avant lui, s'appelle le terme complé-
mentaire ou le reste de la formule et il se désigne par R,j . La
formule (1) devient ainsi
(2) f{a + A) = /-(a) + A /•-(«) + .. -f J}^^ fXn~^)(a) -|- R,
et nous avons une première expression de lin
h"
Nous savons seulement que M tend vers f^^\à) quand h tend
vers 0, et ceci ne suppose aucune autre condition que la seule
existence de f("){a). Mais cette première expression ne nous
donne aucun renseignement sur la grandeur de R„ pour les va-
leurs finies de h. Il y a donc lieu de chercher de nouvelles
expressions de R„ , capables de rendre ce service.
Il faut, pour cela, introduire de nouvelles conditions plus
restrictives. Nous supposerons que /"("~*)(a') est continue dans
l'intervalle de a k a -\- h (limites comprises) et que f('^){x) est
seulement déterminée dans cet intervalle (limites exclues).
Avec ces conditions, on peut, comme nous allons le démon-
trer, donner à Rn l'expression suivante, connue sous le nom de
reste de Schlômilch :
<«> K»=-iïr^? /'"'(« + «'')
FORMULE DE TAYLOR III
Dans celle-ci, p est un nombre positif arbitraire mais < n, et
un nombre compris entre et i.
Pour établir cette formule, on définit un nombre P par la
condition
APP = R„,
où R„ est défini par l'équation (2). On fait a -\- h = b q\> l'on
considère la fonction de x :
/■(^) + ^- / W + - + ^tJt ^^"~'^(^> + {b-x)p^.
Celle-ci (qui est continue) prend la même valeur f{b) ou
/■(a -f h) pour x = a&tx = b. Donc sa dérivée (qui est existante) :
s'annule au point intermédiaire ç = a + 6/i, en vertu du théo-
rème de Rolle. De là, la valeur de P :
^ (n-i)lp' ^^^ {n-i)\p ' ^^^'''^^'
qui substituée dans h^V, fournit la valeur (3) de Rri'
On considère surtout deux cas particuliers :
Si /> « n, on obtient le reste de Lagrange :
n
I^n=;7j/^")(a + e/l).
Si p =^ I, on obtient le reste de Caiichy :
^»-- (n_i)! /"^^Ka + eA).
Lorsque f{x) est indéfiniment dérivable, on peut se donner n
à volonté et, par conséquent, reculer R^ aussi loin qu'on veut.
Lorsque ce terme peut être rendu suffisamment petit à condition
de prendre n assez grand, la formule de Taylor donne un pro-
cédé commode pour évaluer approximativement les fonctions.
Nous allons en voir des exemples un peu plus loin comme appli-
cations de la formule de Maclaurin.
Lorsque le terme complémentaire tend vers zéro quand n
tend vers l'infini, on peut prolonger la formule indéfiniment ;
le dernier terme disparaissant à la limite, on obtient l'expres-
sion de f{a -f h) en série convergente. La question du dévelop-
112 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
pement des fonctions en série illimitée de Taylor est d'une
extrême importance, mais nous ne possédons pas encore les
ressources analytiques nécessaires pour la traiter commodé-
ment. Nous y reviendrons, à la fin du volume, quand nous
aurons exposé la théorie des séries.
124. Expressions diverses de la formule de Taylor. — i° On peut
remplacer dans la formule (2) la variable h par ;v — a ; l'équa-
tion devient ainsi, en écrivant le reste de Lagrange,
( t\x) = fia) + "^ fia) -\- ^^^fî^ fia) + ...
(4) _ ' ^•
( + ^JH^^ f'""-' («) + ^nT^ /"^"^ [a -h e (;x - a)].
Cette formule suppose fi'^-^x) continue de a à 5C et /"(")(«;)
déterminée entre a et a; seulement.
2^ On peut aussi remplacer a par x dans la formule (2), puis
faire passer /"(«;) dans le premier membre. On trouve, avec le
reste de Lagrange,
fix -1- h) - fix) = ^ f'ix)-h- -h ^^ /■<'^-^)(^)+^ m^ + ^h).
Supposons qu'on prenne dx = h ; les termes successifs du
second membre ne différeront que par les factorielles des diffé-
rentielles successives de fix). Quant au premier membre, c'est
l'accroissement ^fix) qui correspond à l'accroissement arbi-
traire dx de la variable x. La formule précédente peut donc
s'écrire comme il suit :
(5) A«.).''û-J + <'|p)4-... + ^':^ +
d'^fix)
n
x+ bdx.
Seulement, dans le dernier terme, on doit remplacer, ainsi
que la notation l'indique, la variable ^c par x 4- ^dx. La formule
(5) donne l'expression la plus condensée du développement de
Taylor et, comme on le verra, la plus générale.
125. Formule de Maclaurin. — C'est un cas particulier de
celle de Taylor. On pose a = et A = ^c dans la formule (2) ;
il vient
-1
fix) = /•(o)+ ;- /-'(o) + ^ f '(0) + - + j^^^:^^ f^--%o) + R„ .
FORMULE DE TAYLOR Il3
Le reste Rn peut recevoir la forme de Schlbmilch :
(/i — i)\ p ' ^ '
ou les formes particulières de Lag-rang-e et de Cauchy :
K,. = ^, /■<»)(6.v), R„ ,. il^; _iL_ /-(..^ex).
Cette formule suppose /(" 0(.v) continue de à a; et t'W{x) dé-
terminée entre et x. Le nombre est compris entre et i.
Lorsque les dérivées de /"(x) sont déterminées et continues
jusqu'à un ordre quelconque, il arrive souvent que le dernier
terme, qui est seul inconnu, peut être rendu aussi petit qu'on
veut en donnant à n une valeur assez grande. Dans ce cas, la
formule de Maclaurin fournit un piocédé d'évaluation commode
de la fonction f{x). Nous allons en montrer des exemples.
126, Application de la formule de Maclaurin à quelques fonctions
simples. — I. Exponentielle e^. Faisons /(.v) =- e^ dans la for-
mule de Maclaurin : les dérivées reproduisant la fonction,
/■W(0) = I et nous obtenons, avec le reste de J^agrange,
Quel que soit .v, ce reste tend vers quand n tend vers l'in-
fini, car x" : n! a pour limite 0, en vertu de l'inégalité (*)
n\ > (Vn)'S qui montre que la faetorielle /»! croit infiniment plus
vite que la puissance x^ .
Pour .V = I, on trouve la formule propre au calcul de e :
ù
"-'+f+n^ i-(7rirî)T+:^r
Le dernier terme est < 3 : /, ! (puisque e est < 3) et devient,
aussi petit que l'on veut, à condition de prendre n assez grand.
{*) Multiplions entre elles, lacteur par l'acteur, les deux faetorielles n\
où les facteurs seront rangés dans l'ordre inverse ; {n\)^ sera le produit de
n facteurs de la forme
p[n ~p-\' i):^n—p-\-p = n
Donc (/i!)2 est > «n .
8
Il4 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
Donc la forninle ])erinet de calculer le nombre e au degi'é
d'approximation que l'on désire.
Remarque. — On tire de la formule précédente, en multipliant
ses deux membres par {n — i) !,
{n — r) ! e = nombre entier -\ .
Cette relation prouve que p est irvalionnel, car, si e était
rationnel, il serait le quotient p : q de deux entiers et le pre-
mier membre de la relation serait entier pour n > q, tandis que
le second est fractionnaire pour n > 3 (donc a fortiori > e^).
II. Exponentielle A^. En changeant x en x Log A dans la
formule précédente, on a
I (n — i)! ^!
m. Fonction sin x. Si f{x) = sin x, on a (n° iiy)
/•(«)(5c)= sin^x + ii-Y-
Pour X = 0, les valeurs de f{x) et de ses dérivées successives
forment la suite périodique à quatre termes : 0, i,0, — i ; 0, 1,
0, — i ;... Donc, si l'on suppose n = 2A: 4- i dans la formule de
Maclaurin et qu'on y substitue
f{^^+%hx) = sin 9.V + (2/f -I- 1) ^ = (— i)* cos Sa-,
on trouve, en écrivant le reste de Lagrange,
Le reste a pour limite quand k augmente indéfiniment.
IV. Fonction cos x. Si f{x) = cos x, on a (n° iry)
fW{x) = (iOsix.-{- n-\
Pour X = 0, les valeurs de f{x) et de ses dérivées successives
forment la suite périodique à quatre termes : i, 0, — i, 0, etc.
Prenons donc n = ik dans la formule de Maclaurin, et faisons
la substitution
FORMULE DE TAYLOR Il5
/•2A(6^) = cos ( G.\--f-2A:- j =.(~ i)''c'0s9^,
il vient, avec le reste de Lagrange,
cos^=i-
/v2 /v* yyih — 2 /v2/t
2! 4! ^ ' {2k — 2)! ^ ^ (2A:)!
Le reste a pour limite qnaiid k augmente indéfiniment.
V. Fonction Log (i + x). Prenant f{x) = Log (i -\- x), on a
(n" 119)
f'ix) = — — , /•(»)(x) = (- I)"-* j^-^— ^.
Log(r + X) = X _:- + __... + (_ i)'^-*-^^^ + Kn.
Par la formule de Lagrange,
et, par celle de Caucliy,
i^n - (- I) ^ _^ Q^ (^^ _^ Q^ j
Ces formules supposent toutefois x > — i, sinon les dérivées
cesseraient d'être déterminées dans l'intervalle {x, 0) et la for-
mule de Maclaurin ne serait plus applicable. Si x est positif et
^ I, la formule de Lagrange montre que | E-n | est < i : /i ; si
X est négatif mais qu'on ait x > — r>— i, la formule de Cauchy
montre que | R„ | est < r": (i — r). Donc, dans ces deux cas,
Rn peut être rendu aussi petit qu'on veut en prenant n assez
grand, et le dévelopj)ement peut servir à calculer la fonction.
VI. Fonction (i + x)"^. Formule du binôme. On a, dans ce cas,
/■(«)(x) = m (m — i) ... (m — n -f i) (i + 5c)"»-" ;
il vient donc
(I + «)»• = I + mx + "'(";-') x'+ "'<"-'^<3"'- ^x3 + ...
n,(m-l)...(m-n+2) ^„..
1.2 ... (n — i)
Par la formule de Lagrange,
^ m(m-i)...(m-n+i )^.„(^ q^,),„_„
i.2...n ^ '^
et, par celle de Cauchy,
n—i
Il6 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIOMS
1.2... (n — i) ^ ' ^ Vi + 9a-
Si m est entier et positii" et si l'on suppose n = m -|- i, le der-
nier terme disparait, car le facteur {m — n + i) s'annule. On
retrouve ainsi la formule du binôme de Newton. Si m est frac-
tionnaire ou négatif, le développement peut être poursuivi
aussi loin qu'on veut, pourvu que x soit > — i. Cette condition
est nécessaire pour que la dérivée fW{x) soit déterminée dans
l'intervalle (0, x) quand n est > m, de sorte que, si elle n'était
pas remplie, la formule ne serait plus légitime.
On voit, par la formule de Lagrange si x > 0, et par celle de
Caucliy si A" < 0, que R„ tend vers avec le facteur
m{ni — i)...{m — ii-^ ^n
1.2... (71 — l)
quand ii tend vers l'infini, pourvu que la valeur absolue de x
soit < I. Kn effet, quand on change n en n -\- i, ce facteur est
multiplié par la quantité
m — n / m\
— X = — I ]x,
dont la valeur absolue a pour limite I x | et devient, par consé-
quent, inférieure à un nombre positif k < i à, partir d'une va-
leur suffisamment grande de n. Dès ce moment, la valeur
absolue du facteur considéré décroît plus rapidement que les
puissances successives de k et tend a fortiori vers 0.
127. Extension de la formule de Taylor aux fonctions rationnelles
d'une variable complexe. — Considérons une fonction rationnelle
P et Q désignant deux polynômes sans racine commune. Si a
n'est pas racine de Q, la différence
/•(-)-
■/•(a) H- ^--^r (a) -f ... + ^1^^^ p-^Ka)
est une fonction rationnelle de z ; elle s'annule ainsi que ses
(n — i) premières dérivées pour z = a ; donc elle admet z = a
comme racine de degré n {n° 121) et elle peut se mettre sous la
forme
(z_-a)-
n
^^M,
FORMULE DE TAYLOR II'
M désignant une fraction rationnelle finie pour z = a (n° 121).
Il vient ainsi
(6) A2)=^/'(a)+^r(a)+- ^7^")^/"^"-%) + --^^^ M
et la formule de Taylor se trouve étendue au cas où la variable
est complexe.
De plus, pour ;2 = a, on a encore lim M = /(")(«), car, en com-
parant la formule (6) avec la formule analogue pour l'ordre
n -f- I, où Mj sera l'analogue de M, on a
M = /*(")(a) + ?^M,.
Remarques. — i° Dans la formule (6), le dénominateur de la
fraction M est le même que celui de f{z), car il n'y a pas d'autre
terme fractionnaire dans la formule.
2") Si f{z) ou, plus généralement, si f{z) : {z — a)" est une
fraction proprement dite, M est aussi une fraction proprement
dite. En effet, divisons tous les termes de la formule (6) par
{z — a)"; M sera égal à une somme de termes qui ont pour
limite zéro et aura lui-même pour limite zéro pour 2 = 00, ce
qui ne peut avoir lieu que si M est une fraction proprement dite.
3°) Le développement de f{z) suivant les puissances de {z — a)
ne peut se faire que par la formule (6), moyennant la condition
relative à M, car la démonstration faite au n° 122 s'applique
aussi bien au cas actuel.
128. Emploi de la méthode des coefficients indéterminés. Développe-
ment d'une fonction de fonction. — Dans bien des cas, on se propose
seulement de connaître la loi de formation des termes succes-
sifs de la formule de Taylor et l'on ne s'inquiète pas de l'expres-
sion du dernier terme. Le théorème du n° 122 qui établit l'unicité
du développement permet alors de se servir avec avantage de
la méthode des coefficients indéterminés. Proposons-nous, par
exemple, de trouver le développement d'une fonction de fonction.
Soit II = f{x), puis F(u) une fonction composée de x ; suppo-
sons connus les développements :
F(u + /f) — ¥{u) = A,k-{- A2 k^ -\ h A„_, /f"-* -f M k" ,
f{x + h) — f{x) -= a, /i -f a, h^ -| h a»-» A"" ' -\- m h" j
Il8 CHAPITaE II. FOEMUIiE DE TAYI,OR. APPLICATIOIÏS
nous allons en déduire celui de F (w -|- A) suivant les puissances
de h dans l'hypothèse où Ar = f{x -\- h) — f{x). Pour cela, rem-
plaçons, dans le premier développement, k par sa valeur tirée
du second, il vient
F \f{x + h)]-¥ [f{x)] = Aj {a,h + a,h'- + -^O
4 A2 (a,/i + a,h^ + ..-y
+ A3 {a,h + a^A^ + ...y
-f
Il suffit d'ordonner par rapport aux puissances de h jusqu'à
la {n — i)iéme pour obtenir le résultat demandé. Le dernier
terme est un polynôme en M et m qui ne présente aucun intérêt
particulier. .
129. Détermination des dérivées n^èmes Dérivée ni«i"« d'une fonction
de fonction. — Le développement de f{x + h) suivant les puis-
sances de h et le calcul de f"\x) sont deux problèmes équiva-
lents. En effet, cette dérivée s'obtient comme coefficient de
7i": ni dans ce développement.
Comme exemple, appliquons le calcul du numéro précédent
à la détermination de la dérivée /i*®""® d'une fonction de fonction
F(u), u étant égal à f{x).
Le coefficient de h" dans le second membre de la formule
qui termine le numéro précédent, peut se mettre sous la forme
n
en désignant par ^a le coefficient de /i" dans l'expression
(ai/i + a^/i-^ + ...)''.
La quantité §k se calculera donc par la formule suivante :
dans laquelle la sommation s'étend à toutes les décompositions
de A' en une somme d'entiers positifs
a -f- p + Y -f ... = A-,
satisfaisant, en même temps, à la condition
a -f 2.8 -f Sv H- ... = n.
FORMULE DE TAYLOR 1 19
La dérivée DS F(iz) s'obtiendra donc en multipliant par n\ le
coefficient de /i". On trouve ainsi, après avoir remplacé les
quantités A et a par leurs expressions sous forme de dérivées,
la formule de Faa di Bruno ;
Donc Pyj est un polynôme en Du, D^u,... de dejçré k et de
poids n, c'est-à-dire que la somme des indices de dérivation est
n dans chaque terme. On n'obtient ce polynôme sous forme
explicite que dans des cas particuliers. (Voir les exercices qui
suivent).
Exercices,
1 . Dérivée w'^""* de f{e^ ) — Soient ^^ = « et
k == ^^+'4 — e^ = e^ {e^ —i) = e''fh-\ 1- - V
il faut chercher le coefficient de h" : n\ dans
I 1.2
Comme k renferme k en facteur, h"^ ne se trouvera que dans les n
premiers termes. Le coefficient de à" : «! dans
V 1.2 y
s'obtient en développant séparément ces exponentielles. 11 sera de la
forme hme"'^' , où A,n est un coefficient numérique :
Am = W* — m(m — iP -] ^ " (m — 2)'"
1.2
Donc le coefficient de h" : n\ dans/(M -f k)— f{u) sera :
w,=i m !
2. Dérivée «'*""• de «"•**. — On a
, ah{2X+h) , a^h^2X-]rhY ,
I 1.2
120 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
Cherchant le coefficient de h" : n\, on trouve
. «(« — l)(» — 2)(« — 3) , , ^
1.2.
3. Dérivée «'^""^ de e^ . — On a
É ^+/î — e^ ==,
g, X{X-\-h] — I
= c^
ah
I r( I
X'
+r+K^To+r+--
On développe les puissances négatives par la formule du binôme.
Alors, cherchant le coefficient de h" : n\, on trouve
£)« ^a:- ^ J: — ^ ^;^ a« _|_ _ („ _ I Wa«-i
;»;2« L 1
4. Dérivée «'^""^ de/(;t;2). — Soit at^ = m ; on aura
• D''/(a;2) = (2;»:)«/('') («) +^^^^ {zxy-^-f^-^ {u) + -
Cette dérivée s'obtient en remplaçant dans celle de <?«^^ (Exercice 2)
les puissances de a par les dérivées successives de f{u) et en y suppri-
mant le facteur e"^". On le justifie en observant que l'on a (n» 129)
1
Comme Vk est indépendant de /, on le détermine en choisissant
/(m) = ef", auquel cas P>i sera le coefficient de a'^ e<^".
5. Dérivée «'*""" de/( — ). — Méthode analogue. Soit— =«; on obtient
la dérivée demandée au moyen de celle de e^ . Il faut supprimer dans
a
celle-ci (Exercice 3) le facteur e^ et remplacer les puissances succes-
sives de a par les dérivées successives de/(«).
6. Dérivée «'^""^ de/(Log x). — Soit u = Log ;t ; si la lettre D désigne
des dérivées par rapport à m et si l'on convient d'effectuer les multipli-
cations algébriquement, on a la formule symbolique :
r^n/a ^ mD-i)...(D-« + i)/(«)
D"/(Log;t.') =
x*^
En effet, on a d'abord (no 129)
VRAIES VALEURS 121
(1) D»/{Logx) = llFi/{^){u).
Faisant, en particulier, /(m) = e'"*, ce qui ne change pas Pk ,
(2) D''e«L'>8a' = SP,6 a* <?<»".
Mais on a, d'autre part,
(3) D"e^^°e^= D"x'' = a{a—i)... {a — n-\- 1) x^-"
= a(a — i)...(a — M+i)— .
Le second nombre de (i) se déduit de celui de (2), en supprimant
le facteur à"" et en remplaçant a^ par D^/{u). Si, au lieu de faire ce
changement dans (2), on le fait dans (3), on obtient la formule à
démontrer,
§ 2. Vraies valeurs des expressions indéterminées.
130. Définition. — Soit f{x) une fonction de variable réelle qui
devient indéterminée pour x =^ a ; on nomme vraie valeur de
cette expression pour ;x: = a la limite vers laquelle elle tend
quand x tend vers a. On devra d'ailleurs spécifier dans la défi-
nition si X tend vers a d'une manière quelconque, ou bien
seulement par des valeurs > a, ou bien par des valeurs < a.
Ainsi, par exemple, la vraie valeur de sin x : x pour x =
est I, et .X tend alors vers d'une manière quelconque. La vraie
valeur de xLog .v pour .y = est 0, mais alors x tend vers
en restant positif (la fonction n'existant plus pour x négatif).
La définition de la vraie valeur s'applique aussi aux fonctions
rationnelles d'une variable complexe. Mais, sauf le cas particu-
lier qui va être indiqué, nous supposerons dans tout ce qui suit
que la variable est réelle.
131. Forme ^. — Cette forme se rencontre quand les deux
termes d'une fraction f{x) : F{x) sont des fonctions continues
qui s'annulent simultanément pour x = a. La vraie valeur se
détermine par l'application d'une règle importante, connue sous
le nom de règle de l'Hospital (*), et qui consiste à substituer au
(*) Le Marciuis de l'IIospitiil n'a énoncé cette règle que sous forme géo-
métrique et dans le cas le plus simple et il l'avait empruntée à Jeau
BernouUi.
122 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
rapport des fonctions celui de leurs dérivées. Mais cette règle
peut être présentée sous deux formes différentes ; la première
est plus simple, mais la seconde se prête à des extensions que
ne permet pas la première.
Première règle. — Si les deux fonctions f{x) et F (a;) s'an-
nulent au point a ainsi que toutes leurs dérivées successives
jusqu'à l'ordre n — i, si, de plus, les dérivées d'ordre n existent
au point a mais n'y sont ni toutes deux nulles ni toutes deux
infinies, la vraie valeur (finie ou infinie) de f{x) : F{x) au point
a sera f^^^a) : F(")(a), c'est-à-dire que
™F(a;)" F(«)(a)-
Cette règle résulte de la formule de Taylor et s'applique, par
suite, aussi aux fonctions rationnelles d'une variable complexe.
Si l'on pose x = a + /i et qu'on développe /"(a + /i) et F(a + /i)
jusqu'à l'ordre n, les développements (n° 122) se réduisent à
f{a + /i) =^ M, F(a + A) = ^ M',
où M et M' ont respectivement pour limites les dérivées f'^^){a)
et F (")(a) supposées existantes quand h tend vers 0. Il s'ensuit
lim/i^-^l=lim^=i^«i
™F(a+A) M' FW(a)-
Dans le cas des variables réelles, la formule précédente con-
serve un sens, même si les dérivées d'ordre n sont différentes à
droite et à gauche. Elle demeure vraie pour les dérivées à
droite si h est positif, et pour les dérivées à gauche si h est
négatif.
Cette règle ne suppose aucune autre condition que celles
contenues dans son énoncé. Mais elle suppose a fini et ne s'étend
pas au cas où a = oo. D'autre part, si F i^){a) = 0^ elle montre
que la vraie valeur est infinie, mais le signe reste inconnu.
Enfin elle ne donne rien si les dérivées n'existent pas au
point a.
La seconde règle exige des conditions plus délicates et s'ap-
puie sur la formule de Cauchy (n° 108),
VRAIES VALEURS I«3
Deuxième règle. — Si f{x) et F{x), nuls au point a, ont des
dérivées f'(x) et F '(.y) dans le voisinage du point a, la vraie
valeur de f(x):F{x) au point a sera la limite du quotient
f'{x) : F'{x) pour x = a^ pourvu que cette limite soit déterminée.
En particulier, si f'{a) : F'(a) est encore de la forme : 0, /a
vraie valeur de f{x) : F{x) sera la même que celle de f'{x) : F'{x)
supposée déterminée.
Cette règle subsiste quand on considère seulement les valeurs
de X qui sont > a, ou bien celles qui sont < a.
Cette seconde règle est plus utile que la première, parce
qu'elle laisse libre le choix du procédé à suivre pour trouver la
limite du quotient des dérivées : suppression de facteurs com-
muns, emploi de la première règle, application répétée de la
seconde, etc.
Elle résulte immédiatement de la formule de Cauchy (n° 108),
qui, /"(a) et F(a) étant nuls, se réduit à
F(a-h/ï) F'(a + e/i) ^" ^ ^ "^ ^)
et il suffit d'observer que 6/i est une même quantité dans les
deux termes de la fraction, qu'elle a le signe de h et qu'elle
tend vers avec lui.
Mais cette règle est soumise aux mêmes conditions que la
formule de Cauchy : i*> Les dérivées doivent être déterminées
et finies au voisinage du point a (celui-ci pouvant faire excep-
tion) ; 2° le quotient f'{x) : F'{x) ne prend, quand x tend vers a,
qu'un nombre limité de fois la forme : et, par conséquent,
ne la prend plus à partir d'une valeur de x suffisamment voisine
de a.
Si le quotient f'{x) : F'{x) n'avait pas de limite déterminée
quand x tend vers a, il ne faudrait pas en conclure que la frac-
tion proposée n'en a pas, parce que OA tend vers suivant une
loi inconnue dans la dernière équation, et cette loi peut être
telle que le second membre ait une limite.
Cas où a = 00. — Lorsque l'existence des dérivées et les con-
ditions précédentes subsistent quand x augmente indéfiniment,
la seconde règle reste applicable au cas où a = + <3o et au cas
où a = — 00. Ainsi, dans le premier cas par exemple, ou a
124 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
lim-M^lim ^^^
a^=+ooF(^) x==+o^fl
X
On est ramené au cas où a est fini. La règle s'applique et
donne
^W ,. ^c^^'w
lim — ^-^=- lim --^— - = hm ',) [ .
\xj X^' \xJ
132. Forme -g^. — La règle de l'Hospital (deuxième règle)
s'applique aussi à la détermination de la vraie valeur des frac-
tions f{x) : F{x) dont les deux termes croissent indéfiniment
en valeur absolue, pour une valeur particulière a de x.
Cette règle, qui suppose l'existence des dérivées (sauf au
point a) reste toujours soumise aux mêmes restrictions : i° elle
conduit à un résultat déterminé, fini ou infini ; 2° les dérivées
des deux fonctions sont finies et ne s'annulent pas simulta-
nément dans le voisinage de x ^ a.
Pour démontrer la règle, donnons-nous deux valeurs Xo et x
suffisamment rapprochées de a, pour que les deux dérivées
f'{x) et F' {x) soient déterminées dans leur intervalle et n'aient
pas de racines communes (les deux valeurs Xo et x seront donc
du même côté du point a). Nous pourrons appliquer la formule
de Cauchy, et il viendra (^ étant intermédiaire entre Xo et x)
f{x)-f{Xo) _ f{^ i-f{Xo):f{x ) _/-'(0
F(a-) - F(5Co) F (5C) I - F (Xo) : F (x) F' (i) *
On tire de là
f(x) _ f (i) I - F(Xo) ; F(^)
F{x) F'{^)i-f{Xo):f{x)-
Supposons, en premier lieu, que /"'(^c) : F' (^c) ait une limite
finie, A, pour x = a. Nous allons montrer que le second mem-
bre de cette équation peut être rendu aussi voisin qu'on veut
de A, à condition que x soit suffisamment voisin de a. En effet,
il se compose d'un produit de deux fractions dont la première
est aussi voisine qu'on veut de A, et la seconde aussi voisine
qu'on veut de i. C'est ce que nous allons montrer.
VKAIES VAliEUKS ia5
D'abord on peut rendre ^ aussi voisin qu'on veut de a, à con-
dition de prendre a*o et x suffisamment voisins de a ; alors la
première fraction f'{^) : F'(ç) est aussi voisine qu'on veut de sa
limite A. Par exemple, on peut rendre la différence < s.
Knsuite, on peut, sans cesser de satisfaire à cette condition,
laisser Xo fixe et faire tendre x vers a, alors la seconde fraction
a ses deux termes qui tendent vei-s l'unité, car /(a'o) et V (Xo)
sont fixes tandis que f{x) et F (x) sont infinis. Donc la seconde
fraction est aussi voisine qu'on veut de l'unité.
11 résulte de là que f{x) : F (x) a pour limite A quand x tend
vers a.
En second lieu, si le rapport des dérivées tend vers l'infini,
la formule que nous venons de discuter montre que /(x) : F(x)
est aussi grand qu'on veut avec f'{^) : F'(^). La règle est encore
justifiée.
Hemarques. — i") La règle de l'Hospital (deuxième règle)
reste applicable au cas où a = oo, dans les mêmes conditions
que pour la forme : et la démonstration est la même (n° i3i).
2'') L'application de la règle de l'Hospital au cas oo : x peut
paraître illusoire, car, si une fonction f{x) devient infinie poui"
une valeur finie a de x, on sait que sa dérivée ne peut pas con-
server une valeur finie quand x tend vers a (n'' io6). Cependant
cette règle est souvent utile, parce que le rapport des dérivées
peut se prêter à des transfoi'mations qui mettent sa vraie valeur
en évidence, tandis qu'elles ne s'appliquent pas au rapport des
fonctions.
133. Cas où la seconde règle est en défaut. — LTne des conditions
stipulées peut venir à manquer et l'application inconsidérée de
la seconde règle conduire à des résultats faux.
1°) Le rapport des fonctions peut avoir une limite quand x
tend vers a, sans que celui des dérivées en ait une. Tel est le
cas pour les deux rapports suivants, le premier de la forme :
et le second de la forme oo : oo :
.V* sm -
, . -v „ ,. X — sinx
lim — - ^ ^ 0, lira == I.
x:^> sm X x^" ^
126 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
Les rapports des dérivées ne tendent vers rien, ce sont res-
pectivement :
.II
2x sin ces -
X X I — COS X
COS X I
Toutefois, si les conditions de la seconde règle n'ont pas lieu,
celles de la première sont satisfaites pour le premier rapport :
les dérivées des deux termes sont et i pour .x; — (n" 99) et
leur quotient donne la vraie valeur, 0, de la fraction.
2") Réciproquement, le rapport des dérivées peut avoir une
limite sans que celui des fonctions en ait une. Le cas est plus
rare, mais en voici un exemple. Le rapport
Q-2X ^Qos X -\- 2 sin x) _ _^i -\- '2tg X
e-^(eos X -|- sin x) i -f tg 5C
prend la forme : quand ;x; tend vers l'infini. Sa vraie valeur
est indéterminée, car (i -f- 2 tg ^c) : (i -f tg a:) varie indéfiniment
de 4- 00 à — 00. Au contraire, le rapport des deux dérivées :
— 5 e-^ sin x 5 ^
= — e~"^
— 2 e~^sin X 2
a pour limite 0. La règle est en défaut, parce que les deux déri-
vées ont un facteur commun, sin x, qui s'annule une infinité de
fois quand x tend vers oo.
134. Autres formes d'indétermination. — Les autres formes d'in-
détermination les plus importantes sont :
00 — 00, 0.00 et 0«, 00", 1°°.
La première se présente lorsque les deux termes de la diffé-
rence f{x) — F{x) augmentent indéfiniment pour a; = a ; la seconde,
lorsque des deux facteurs du produit f{x). F (:x:) l'un tend vers
zéro et l'autre vers l'infini. Ces deux formes se ramènent im-
médiatement à la forme : ou 00 : co, par de simples transfor-
mations algébriques, en écrivant ces expressions sous forme de
fraction. Dans le premier cas, on pourra toujours poser, par
exemple,
Ax)-F(.x-) = (-L_^.):(-J^).
Quant aux trois dernières formes d'indétermination, on cher-
VRAIES VALEURS I27
chera la vraie valeur de leur logarithme, lequel sera de l'une
des formes déjà examinées. On sera donc conduit, dans tous les
cas, à appliquer le règle de riIos])ital.
135. Utilisation de la formule de Taylor. — Dans la plupart des
cas où l'indétermination ne disparaît (ju'après un usage répété
de la règle de l'Hospital, une application judicieuse de la for-
mule de Taylor conduira plus rapidement au résultat que la
règle en question. Ainsi, quand la fonction <p (a -h /ï) qui devient
indéterminée pour h = est composée au moyen de fonctions
développables par la formule de Taylor, en substituant à ces
fonctions ou à quelques-unes d'entre elles leur développement
suivant les puissances de h et en poussant ce développement
suffisament loin, il pourra se faire, en supprimant les puissances
de h qui se détiuisent, que l'indétermination disparaisse et l'on
obtiendra la vraie valeur cherchée. C'est précisément ce que
nous avons fait (n" i3i) pour établir la première règle.
Voici un exemple. Si l'on remplace sina: par
et supprime le facteur (îommun x^, on trouve
,. X — sin.v ,. / 1 x^ , \ i
Exercices.
I. Forme-. — On a, x tendant vers zéro,
.. ^sin(sin;t;) — sin- ;r i
lim —
lim
^-
^sina:
I
X —
sin;ir
lim
tgx
— X
2
X —
s\nx
i;m
X —
tg-r
i8
,. e — {^-^xY e
lim - — ^^ — = -
X 2
— „ 3 lim ; = -
x^ 5 x^ a
.. Lo g{i + x-\-x^) + Log {1—X+ x^)
lim 7— r = I
x{e^— i)
2. F^orme oo — co. — On a, x tendant vers 0,
lim
— — cet- -^ 1 = r lim — — —- T — — 1 =
\x^ 7 3 \.x{i -\- x) x^ j 1
128 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
f I cota;\ I . fT.x — I , n \ -n
3. Forme :oo.
lim ^Log — , — ^ — 2a „ 1 ^ ^ 1
lim \iS2x cotgl — h ^ ) = -• Hm log (2 ] cotg — =
4
4. Formes d'indétermination exponentielles
0° lim ;jr^=i i* lim (cos rt;i;)'=''««<=^«'a^= g 26.2
lim — arc tg^r -=::. i lim (tg;r)'e2^ = -
X——
4
cxo lim (i + ;f)i = 1 lim f^-^^ ^' _
a;=4-=o .T=o V ;r y ~
lim (— Log;t;)^=i lim (cos aA;) '"^^ = (
f=+o -r=o v^y
lim (tg;i?)''"'=-^=i lim /^-arctg;^'
5. Discuter l'application de la règle de l'Hospital (deuxième règle)
aux exemples suivants, dans lesquels F' [x), dérivée du dénomina-
teur, a une infinité de racines :
lim : = — = 4-00
x=«o X — sin;i; 00
jj^^ ej^ _2=^i+°o (0<a<i)
^=00 ^-^(2 — sin;tr — cos;ir) /O (a > i)
;tr + sin ;ir cos ;r ^ ■ ^,
lim -7 — , — -. r — r — = — = indet.
x=<c{x -\- s\n X cos x) e^^'^ ^ 00
R. La règle s'applique au premier rapport, au second (seulement si
a > i). Elle ne s'applique pas au troisième (elle conduirait cependant
à un résultat déterminé, 0).
6. Montrer que, si les limites existent au second membre, on a
(Cauchy)
<iix^
lim = lim [(f(A' + i) — t(^)1
lim '^{x)è^ liml^).
MAXIMES ET MINIMES I29
§ 3. Maximes et minimes (*) des fonctions
d'une seule variable.
136. Définitions. — Si f{x) atteint sa pins grande valeur dans
l'intervalle (A, B) en un point a de cet intervalle, /'(a) s'appelle
LE maxime de f{x) dans l'intervalle (A, B). De même, la plus
petite valeur, f\b), serait le minime.
Si la valeur de f{x) est plus grande au point a qu'en tout
autre point suffisamment voisin, c'est-à-dire si l'on a, quel que
soit le signe de h, sous la seule condition que | h \ soit suffi-
samment petit,
f{a + h)-f{a)<0,
f{a) s'appelle un maxime de la fonction, la fonction est maximée
au point a et a est un maximant.
Si f{x) est plus petite au point a qu'en tout autre point suffi-
samment voisin, c'est-à-dire si l'on a, quel que soit le signe de
77 et sous la seule condition que | h \ soit suffisamment petit,
/(a-f/ï)-/-(a)>0,
f{a) est UN minime de la fonction, celle-ci est minimée au point
a et a est un minimant.
Géométriquement, si l'on construit la courbe y = f{x). les
maximes et minimes correspondront aux v
points tels que M et M' de la courbe (fig. 2),
où l'ordonnée MP est plus grande et l'or-
donnée M'Q plus petite que les ordonnées
suffisamment voisines.
Il importe de remarquer que, suivant
ces définitions, un maxime ou un minime pjg^ 2.
n'est pas nécessairement la plus grande ou la plus petite valeur
de la fonction dans tout l'intervalle où ^c varie, mais seulement
une plus grande ou une plus petite valeur dans un intervalle
suffisamment petit, quel que réduit qu'il faille le supposer.
Rien n'empêche donc qu'une fonction ait plusieurs maximes ou
plusieurs minimes dans un intervalle donné.
(•) On dit aussi Alaxima et Minima. Nous suivons ici la terminologie de
V Encylopédie des Sciences mathénintiques.
l3o CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
On conjugue les verbes maximer et minimer. On dit extrémer
pour l'un et pour l'autre. Une fonction est extrémée si elle est
maximée ou minimée. Un maxime ou un minime est un ex-
trême, etc.
137. Théorème. — Les seuls points où f{x) puisse être extrêmêe
sont ceux où sa dérivée s'annule ou cesse d'exister.
C'est une conséquence immédiate des remarques du n" 102.
Si f'{x) existe et n'est pas nul, la fonction f{x) est croissante
ou décroissante au point x et acquiert au voisinage de ce point
des valeurs plus grandes et des valeurs plus petites qu'en ce
point : elle ne peut donc y être extrémée.
On remarquera que les points où f'{x) s'annule sont ceux où la
tangente à la courbe y = f{x) est parallèle à l'axe des x, comme
on l'a représenté dans la figure 2.
Supposons maintenant qu'il s'agisse de trouver les extrêmes
d'une fonction f{x) dans un intervalle où sa dérivée première
existe. Les seules valeurs de x capables d'extrémer la fonction
seront les racines de l'équation f'{x) = 0. Soit a l'une d'elles.
Nous aurons par la formule des accroissements finis (0<6<i)
Aa + /.) - m ^ /./(a + m) - e,.x (« + ^^;;)-/»
Supposons que f'{a) existe et soit différent de 0.
Ca quotient tend vers f '(a), quand h, donc ^7?, tend vers ; il
aura donc le signe de /""(a) pourvu que h | soit suffisamment
petit, même si /"'(a) est infini. Donc, et h^ étant positifs,
/(a + h) f{a) sera du signe de f"{a). Il y aura :
un maxime si f"(a) < 0, un minime si /""(a) > 0.
Plus généralement, supposons que la dérivée d'ordre n exis-
te au point a et soit la première qui ne s'annule pas en ce point.
Développons f{a -\- h) - /'(a) par la formule de Taylor jusqu'à
l'ordre n. Tous les termes sont nuls sauf le dernier, et il
reste seulement
n\
f(a + A)-Aa) = ^M,
où, comme on le sait (n° 122), M tend vers f(^){a) quand h tend
MAXrWKS ET MINIMES ï3l
vers 0, et, par suite, a le signe de cette dérivée pour | h \ assez
petit, môme si cette dérivée est infinie. Alors /*(a -\-h) — /'(a) a le
signe de h" fW{u), signe variable avec celui de h si ii est impair
(pas d'extréraé), invariable et le même que celui de f'-"){a) si n
est pair (minime ou maxime selon que ce signe est -|- ou — ).
De là, la règle suivante :
138. Première règle. — Pour trouver les extrêmes d'une fonc-
tion continue f{x) dans un intervalle où sa dérivée reste finie,
on cherche les racines de cette dérivée. Soit a l'une d'elles. On
substitue cette racine dans les dérivées successives de f{x) sup-
posées existantes Jusqu'à ce qu'on en trouve une qui ne s'annule
pas pour X = a. Si cette dérivée est d'ordre impair, il n'y a pas
d'extrémé ; si elle est d'ordre pair, il y a maxime si elle est
négative, et minime si elle est positive.
11 n'est pas toujours nécessaire de calculer les dérivées se-
conde, troisième, etc.. de f{x) pour décider s'il y a maxime ou
minime. D'autre part, la régie précédente ne s'applique pas aux
points où la dérivée cesse d'exister. Voici une autre règle, dont
l'emploi s'impose pour la discussion des cas où la dérivée est
discontinue pour a- = a.
139. Deuxième règle. — Soit /'{x) une fonction ayant une dé-
rivée déterminée f'{x) dans le voisinage du point a (le point a
lui-même pouvant faire exception). Supposons que f'{x) ait,
dans le voisinage du point a, un signe unique pour x < a, et
un signe unique pour x > a. Faisons passer x par la valeur a
en croissant ; il y aura : r" minime au point a si f'{x) passe du
négatif au positif ; 2" maxime si f'{x) passe du positif au néga-
tif ; 5" ni maxime ni minime si f'(x) ne change pas de signe.
En effet, f{x) est croissant ou décroissaut selon le signe de
f'{x). Dans le premier cas, f{x) diminue jusqu'à ce que x ait
atteint la valeur a pour augmenter ensuite ; dans le second,
f{x) augmente, tant que x est < a, pour décroître ensuite ;
enfin, dans le troisième, f{.x) continue à croître ou bien continue
à décroître après que a: a passé par la valeur a.
Kemarque. — En principe, la première règle est plus simple
que la seconde, car elle n'exige que le calcul de valeurs parti-
l32
CHAPITRE II. PORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
culières de certaines fonctions, tandis qae la seconde demande
l'étude de la manière dont varie une fonction, Cependant, en
pratique, on rencontre le plus souvent des fonctions bien con-
nues dont le mode de variation est familier. Aussi, dans bien
des cas où la première règle est applicable, la seconde est
encore plus expéditive.
140. Maximes et minimes correspondant aux points de discontinuité
de la dérivée. — Si f'{x) devient discontinue pour ;x; ^ a, la se-
conde règle indique qu'il peut y avoir extrême de la fonction.
Cela peut se présenter surtout de deux manières différentes :
i^' La dérivée f'{x) change de signe en passant par l'infini quand
X passe par la valeur de a. Supposons,
par exemple, que f'(x) passe du positif au
négatif ; la courbe y = f{x) affecte, dans
le voisinage de x = a, l'allure de la courbe
AB dans le voisinage du point M (fig. 3).
Le point M s'appelle un point de rebrous-
sement et l'on voit sur la figure que l'or-
J^^ë- "J" donné MP est un maxime. 2" La dérivée
saute brusquement d'une valeur à une autre valeur de signe
contraire. Supposons que ce soit d'une valeur négative à une
valeur positive ; la courbe y = f{x) affecte alors, dans le voi-
sinage de ;x; = a, l'allure de la courbe AB au point M' (fig. 3).
En ce point la tangente passe brusquement d'une inclinaison à
une autre, de sorte qu'en réalité deux courbes viennent se réu-
nir en M' sous une inclinaison différente. Le point M' est ce
qu'on appelle un point saillant et l'on reconnaît sur la figure
que l'ordonnée M'Q est effectivement minimée.
Exercices.
I. Maximes et minimes d'un polynôme. Soit le polynôme
f{x) = Ao^'"+ Al x""-^ + •••
On trouve ses extrêmes en étudiant les changements de signes de
sa dérivée (règle II). Soient a^, a^,... les racines réelles de degré impair
àe f {x) rangées par ordre de grandeur décroissante. On aura
f {x) = m Aox'--' + ■■ = P^o{x-a,t' {x-a^i\., ^{x) ;
les lettres X désigneront des entiers impairs et i^{x) sera nul ou positif.
MAXIMES ET MINIMES l33
Supposons Ao > ; pour x = +<», /'(;»;) est égal à -|- oo, ensuite /'(;r)
change de signe chaque fois que x passe en décroissant par i\ne des
valeurs «i, a^,... Donc/(ai) est un minime, /(ag) un maxime, et ainsi
de suite alternativement. Si Ao était négatif, l'ordre serait inverse.
2. Maximes et minimes d'une fraction rationnelle. Soit /(;*;) = P : Q. Il faut
étudier les changements de signes de la dérivée (P'Q — PQ') : Q^ ou, ce
qui revient au même, ceux du polynôme P'Q — PQ'. On opère donc
comme dans l'exercice (i). Les racines réelles d'ordre impair de ce
polynôme rangées par ordre de grandeur décroissante donneront
alternativement : 1° des minimes et des maximes si ce polynôme a son
premier terme affecté d'un coefficient positif ; 2° des maximes et des
minimes si ce coefficient est négatif. 11 peut arriver qu'une racine de
degré impair de P'Q — PQ' soit en même temps racine de Q. Dans
ce cas, c'est une racine de degré pair de Q et elle rend/(Ar) infinie
positive ou infinie négative, mais il n'y a pas d'inconvénient à consi-
dérer, par extension, une valeur semblable comme un maxime ou
comme un minime de la fonction.
3. Maxime et minime de x'^ — 2x^ + i-
R. La dérivée a deux racines simples : |^(minimant)etO(maximant).
4. Maxime et minime de — — — .
x'^ -Y X — I
R. L'expression P'Q — PQ' a deux racines simples : 2 (minimant)
et (maximant).
5. Maxime de (a + xf {a — xY , <t q,^ '^ > 0.
6. Maxime de ^^ (R. x = e) ; à^ x^n ,-x''-(vi, ^ ^ \/—\
7. Maximes et minimes de e^ sin x.
R. ;ir = 2^7r (minimant), Ar= (2^ + i)u (maximant).
4 4
8. Montrer que la fonction (4 cos x -}- cos 2x) est maximée ou mini-
mée en même temps que cos x.
R. On a /'(;!;) = — 4 sin ;tr (i + cos ;v). Les changements de signes
de/'{x) sont les mêmes que ceux de — sin x = D cos x.
g. Avec trois côtés égaux former un trapèze d'aire maximée.
R. Soit (f l'angle à la base du trapèze. Il faut maximer la fonction
sin !f (i + cos f ) = 4 sin - cos^ -, d'où <f = ôo». Le trapèze est formé
par trois côtés et la diagonale d'un hexagone inscrit.
ïo. Trouver sur une droite donnée OX un point P tel que la somme
de ses distances à deux points donnés A et B soit minimée.
l34 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
R. Les deux droites AP et BP doivent être également inclinées
sur OX.
11. Etant donné un cône droit, on demande de le couper, parallèle-
ment à la génératrice, par un plan tel que le segment parabolique
résultant soit le plus grand possible.
R. Soient a le rayon de la base du cône, x la portion de ce rayon
entre la génératrice et le plan sécant. On trouve x = a : 2.
12. Dans un levier du second genre, pesant et homogène, quel doit
être le bras de levier x de la puissance Q, pour que celle-ci soit mini-
mée, le moment M de la résistance étant donné ?
R. Soit g le poids de l'unité de longueur du levier. On trouve gx^=^
i3. Dans quel système de logarithmes peut-il exister un nombre
égal à son logarithme ?
R. Soit a le base du système. Il faut que x — loga x puisse s'annuler
et, pour cela, que son minime soit négatif. Ce minime a lieu pour
X ■= Loga e. La condition que le minime soit négatif donne
i_
a < e^ < 1,444667...
§ 4. Décomposition d'une fraction rationnelle
en fractions simples.
141. Objet de cette décomposition. — On appelle fraction simple
une fraction dont le numérateur est une constante, et le déno-
minateur une simple puissance d'un binôme telle que (2 — a)".
Nous allons montrer, en nous servant du développement d'une
fraction rationnelle par la formule de Taylor, que toute frac-
tion rationnelle peut se décomposer en un jpolynome entier et
une somme de fractions simples. Nous verrons i^lus tard, dans
le calcul intégral, toute l'importance de cette décomposition.
142. Formule de décomposition. — Soit à décomposer la frac-
tion rationnelle
Si ce n'était pas une fraction proprement dite, en effectuant
la division, on la décomposerait en un polynôme entier et une
fraction proprement dite. Nous admettrons donc que cette
oi^ération ait été faite et que f{z) soit de degré moindre que F(s).
Soient a,b,... l les racines réelles ou complexes de F(2); o.,^,..,
)> leurs degrés de multiplicité respectifs. On a
DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES l35
Fi(2) ayant toutes les mêmes racines que F(s) sauf la .racine a.
La fraction f{z) : Fi(s), n'étant plus infinie pour z -^ a, peut se
développer par la formule de Taylor (n" 127) sous la forme
(1) -M. ^ Ao-i-A, (z-a)+-.+Aa_,(z-a)«-^+M,(^-a)«,
d'où, en divisant par {z — a)" ,
^^> F{z)-{z-ay^{z-ay-'^ ^z-a^''^'
Le dernier terme Mj est, comme on le sait (n° 127), une frac-
tion proprement dite ayant pour dénominateur F 1(2). Les ter-
mes précédents sont des fractions simples. On est ainsi ramené
à décomposer la fraction
M ^AM.
Pour cela, on recommence la même opération. On pose
F,{z) = (z-bYF,{z),
de sorte que F^iz) admet les mêmes racines que F (s) sauf les
deux racines a et b. En développant /, : F, suivant les puis
sauces de {z — b) et en divisant par (2 — b)" , il vient
et on est amené à décomposer la fraction rationnelle Mg, qui a
pour dénominateur Fo{z).
On continue ainsi de suite de manière à épuiser toutes les
racines de F (2). Quand on arrive à la dernière, il n'y a plus
qu'à décomposer une fraction proprement dite de la forme
(2 - /)
et l'opération s'arrête, car, après avoir développé le polynôme
cp (2) de degré < À suivant les puissances de 2 — /, on trouve
sans nouveau terme complémentaire.
l36 CHAPITRE TI. FORMULE DE TAYLOIl. APPLICATIONS
Substituons maintenant, de proche en proche, dans l'équa-
tion (1) les développements de Mj, Mg,... M, nous trouverons la
formule de décomposition de f{z) : F(z) en fractions simples :
f(z) _ Aq a, , Aa_,
F (z) {z - a)« "*" {z - ay-^ ^"" ^ ^^=1^
Bo , B, Bs-i
^ (^z-b)^ ^ {z-bf'' ^ ' ^ z-b
+ •••
(^z — lf^{z — l)^-' ^z — l
143. Unicité du développement. Valeurs des coefficients. — Le déve-
loppement que nous venons d'écrire n'est possible que d'une
seule manière, et ses coefficients peuvent se déterminer sous
forme de dérivées.
Pour le montrer, définissons la fonction A{z) comme il suit :
Mz) = (z — aY^^
et multiplions la formule de décomposition par (0 — a)« ; elle
prend la forme
A(2) = Ao + Al (s — a) H 1- Aa_i {z — a)*-^ + M (0 — a)« ,
M gardant une valeur finie pour z = a. Donc les coefficients
sont ceux de la formule de Taylor et nous avons
I ! 2 ! * (a — i) !
De même, en posant B{z) ^ {z — b)^-^^ , nous avons
et ainsi de suite.
Ces formules peuvent servir à la détermination pratique des
coefficients. On peut employer aussi d'autres méthodes que nous
allons indiquer.
144. Autres méthodes pour calculer les coefficients. — i" Méthode
des coefficients indéterminés. On pose a priori la formule de
décomposition, dont la forme est connue, en laissant les numé-
DÉCOMPOSITION EN FRACTIONS SIMPLES iSy
rateurs indéterminés. On chasse ensuite les dénominateurs en
multipliant les deux membres par F{z). En égalant les coeffi-
cients des mêmes puissances de z, on forme un système d'équa-
tions linéaires qui détermine les coefficients inconnus.
2° Méthode de dérivations successives. Soit, par exemple, à dé-
terminer les coefficients A. Si l'on multiplie l'équation (1) du
n° 142 par F 1(2), qui est égal à F (z) : (2 — a)"' , il vient
A2)-Fj(2)[Ao-fAi(z-a)+... + A^_^(2-a)='-*J=(2-a)«M,F,(2),
d'où l'on conclut que le polynôme du premier membre admet la
racine a au degré a. Donc il s'annule pour 2 = a ainsi que ses
(a — i) premières dérivées. En le dérivant (a — i) fois et en ex-
primant que ces conditions sont satisfaites, on obtient suc-
cessivement
/•(a)-F, (a)Ao = 0,
/•'(a)-F:(a)Ao-F,(a)Ai = 0,
f"{a) - F['{a) Ao - 2F;(a)A, — 2F,(a)A2 = 0,
et ainsi de suite. C'est un système d'équations récurrentes qui
déterminent de proche en proche Ao, A,, Ag,.,.
3° On peut arriver autrement au même système d'équations.
On remplace z par a + A dans le polynôme que l'on vient de
dériver successivement, ce qui donne
f(a + h)-¥,{a-\-h)
Ao -f- A,h + ... + A h" '
<X—i
puis on ordonne suivant les puissances de h jusque h'^-^. Eu
exprimant alors que les coefficients de toutes ces puissances
sont nuls, on retrouve le système d'équations qui précède. Ce
sont ces derniers calculs qui seront ordinairement les plus
rapides. Ils reviennent à effectuer la division de f{a-\-h) par
F, (a + A) en ordonnant suivant les puissances croissantes de h.
145. Cas des racines simples. Formule de Lagrange. — Lorsque
toutes les racines de F{z) sont simples, le développement en
fractions simples se réduit à
f{z) A . _B__^ _^ L
F{z) z-a^z-b^'"^j^:rr
l38 CHAPITRE II. FORMULE DE TAYLOR. APPLICATIONS
Les coefficients A, B..., se déterminent alors par les formules
*-'™ F(2) F (a)' '^ F'(b)'-
que l'on trouve par la règle de l'Hospital dans le cas où elle
s'applique aux variables complexes. La fornuile de décomposi-
sition est donc la suivante :
f{z) /'(a) I ,/(_^l_i ,
1 T,T(/K\ * ;,!•••
F(^) ' F (a) 2 — a ' F'{b) z — b
La formule de Lagrange n'est qu'une transfonnation de la
précédente. On fait les substitutions :
Y{z)=={z-ii){z-b).^.{z-l),
F'(a) = (a-6)(a-c)...(a-/),
Y'{b)=^{b-ii){b-c)...{b-l),
et l'on multiplie par F (2) ; il vient
ÎK-) - î^à) ^^_^^ ^^_^^ (a_/)-^-M^; (f,_a)-("5_c) ... (6-/) ^
Cette formule s'appelle la formule d'interpolation de La-
grange. On s'en sert pour construire la fonction f{z), entière, de
degré < n, qui prend n valeurs données /(a), f{b),... pour n
valeurs données a, b,... l de z.
CHAPITRE III.
Fonctions explicites de plusieurs variables.
§ 1 . Dérivées partielles et différentielles partielles
ou totales des fonctions de deux variables.
146. Dérivées et différentielles partielles. — Soit u == f{x, y) une
fonction continue et univoque de deux variables indépendantes
.V et y. Si l'on attribue à y une valeur constante et qu'on fasse
varier x, ii devient ane fonction continue de a' seul. Si elle
admet une dérivée, celle-ci se nomme la dérivée partielle de u
par rapport à x. Cette dérivée partielle est ainsi, par définition,
la limite du rapport
f{x + ^x, y) — f(x, y)
^x
quand la différence ^x tend vers 0. On la représente par l'une
ou l'autre des notations suivantes :
Ux,y), Jyœf{x,y) ou D,«, ^fl^ou^.
ox ax
De même, en regardant x comme constant et y comme va-
riable, on forme le rapport
f{x, y -f Ay) — f{x, y)
Si celui-ci tend vers une limite quand ^y tend vers zéro,
cette limite est la dérivée partielle de u par rapport à y et se
représente par les symboles, analogues aux précédents :
f'vix, y), I),f{x, y), ^^^^.
Les différentielles partielles d^u, dyii sont, par définition,
les produits :
da:U =^;^^. dyU =^^r.
l4o CHAPITRE m. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
des dérivées iDartielles en a- et en y par les différences arbi-
traires Ax et Ay des variables correspondantes.
147. Différentielle totale, — Rappelons d'abord les définitions
qui ont été données pour une fonction u d'une seule variable x.
Cette fonction est différentmble si son accroissement Au peut se
mettre sous la forme
Au = A Ax + e Aoc,
où A est indépendant de Aa; et e infiniment petit avec Aa%
auquel cas sa différentielle, du, est la partie, A Ax, de Au qui est
simplement proportionnelle à \x.
Ces définitions s'étendent tout naturellement aux fonctions
de plusieurs variables.
Considérons une fonction u de deux variables qui reçoivent
respectivement les accroissemenls Aoc et Ay, et posons, pour
abréger l'écriture,
p == I A.X I + I Ay 1 .
Nous dirons que u est différentiable au point x, y si u est
bien déterminée aux environs de ce point et si son accroissement
Au peut se décomposer en deux parties comme il suit :
(1) Au = (A Ajc + B Ay) + ep,
A, B étant indépendants de ^x et Ay, et e infiniment petit avec p.
Il est clair d'ailleurs qu'il est indifférent d'écrire ep ou
e'Ajc 4- e"Ay,
pourvu que e' et e" tendent vers quand ^x et Ay tendent vers
d'une manière quelconque.
Quand u est différentiable, la partie de Au qui est simplement
linéaire en iix et Ay s'appelle la différentielle totale de u et se
représente par du. On a donc
du = A Aat 4- B Ay.
Théorème. — La différentielle totale d'une fonction différen-
tiable de deucc variables est la somme de ses deux différentielles
partielles.
En effet, posant Ay = dans (1), puis faisant tendre ^x
vers 0, on en conclut
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIET.LES ET TOTALES l4l
.. ^u du . , -. du -,
lim -r — = ^r-=A; de même, -^-~=B.
Ax ax oy
Par conséquent,
(2) du = ^^ Aa: + ^^ Ay = d^ w + ^/j, u.
Ceci montre que les dérivées partielles de u sont finies et dé-
terminées en tout point où u est différentiable, mais la réci-
proque n'est pas toujours vraie.
Si l'on fait u = x, ow. u = y, dans (2), il vient
dx = Ax, dy = Ay,
et, en substituant ces valeurs dans (2), il vient
(3) du=^ldx-\-^^^dy.
La comparaison des équations (2) et (3) appelle une remarque
analogue à celle qui a été faite dans le cas des fonctions d'une
seule variable (n° 98). L'équation (3) est, comme nous le verrons,
plus générale que (2). Celle-ci suppose les variables x et y
indépendantes, tandis que l'équation (3) n'est pas soumise à
cette restriction.
Il est essentiel de remarquer que, la fonction u étant diffé-
rentiable au point (x, y), l'expression (1) de l'accroissement Au
prend maintenant la forme *
^^^ ^" = ^ ^^ + ^ ^r + ep - c?« + ep.
Les équations (1) ou (4) mettent d'ailleurs en évidence que
A« tend vers avec p (donc avec A^c et A3') ; d'où la proposition
importante : Une fonction est continue en tout point où elle est
différentiable.
148. Théorème. — Une fonction ne peut cesser d'être différen-
tiable que si ses dérivées partielles cessent d'être continues.
Sous une forme plus précise :
La fonction u = f{x, y) sera différentiable au point M {x, y), si
f'y est finie et déterminée au point M, fx déterminée dans les
environs du point et, déplus, continue au point M (ou vice-
versaj.
1^2 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
Décomposons la différence A/" en une somme de deux autres
différences :
L/'{A- + àx, y 4- Ay) - f{x, y + ^y)] + [f{x, y + ^y) - f{x, y)]
Désignons par e', e" des quantités cxui tendent vers avec les A.
Nous avons d'abord
f{x, y + ày) — f{x, y) = f^x, y)^y -h e'Ay,
parce que f,j{x, y) existe et est finie ; ensuite, par la formule
des accroissements finis,
f{x -I- ^x, y 4- Ay) — f{x, y + Ay) = ^xtUx + 9A.r, y + ^y)
= /"k^. y)^x + ^"^x,
parce que f^ est déterminée aux environs de M et continue en
ce point. Substituant cela dans l'expression de A/', elle devient
A/^ f'a,^x -f flAy -f e"A.v + B'^y.
Comme e"AA' + e'Aj* est de la forme ep, car ] ^x \ et | Ay |
sont <: p, cette relation est de la forme (1), ce qui prouve la
proposition .
149. Remarque, — Les conditions énoncées dans le théorème
précédent et, en particulier, l'existence des dérivées aux envi-
rons du point M, ne sont nullement nécessaires pour que la
fonction soit différentlable en ce point. On peut d'ailleurs donner
une expression assez simple de la condition nécessaire et suffi-
sante pour cela. A cet effet, désignons, en général, par Aa^cp et
Ayco les accroissements d'une fonction 'f{x, y) provenant respec-
tivement des accroissements A.x seul et Ay seul. Si l'on donne
successivement ces accroissements à x puis à y, f{x, y) devient
successivement
(i + A^)/; puis (i + A,,) (1 -h A^)/-^ (I + A)/'.
D'où la relation
Mais, si /'est différentiable, les dérivées partielles sont exis-
tantes et finies, on a donc
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES 1^3
Dona la comlitioli nécessaire et suffisante pour que f'{x, y)
soit différent iable en un point (x, y) où ses deux dérivées jtar-
tielles sont finies et déterminées, est que la différence seconde
A.r Ay/*sot7 infiniment petite par rapport à p.
150. Dérivée et différentielle d'une fonction composée d'une seule
variable indépendante. — Soit u == f(x, y) une fonction différen-
tiable an point ^c, y. Remplaçons-y x et y par deux fonctions
d'une variable indépendante unique t, différent iables au point t.
Nous obtenons ainsi une fonction composée de t. Pour calculer
sa dérivée au point t, remarquons que la formule (4) subsiste
indépendamment de toute hypothèse sur les accroissements ùix
et Ay, de sorte que nous pouvons admettre qu'ils correspondent
à l'accroissement ^t. Divisons alors la formule (4) par A/, il
vient (en écrivant f au lieu de u)
^f{x,y)_^f ^x , âf ^y ^^ ?
M âx M ' ây M ' Af
Faisons tendre Af et avec lui ^x, Ar, e et p vers ; il vient,
à la limite, vu nos hypothèses au point t, en vertu desquelles
A.v : Af, Ar : Af et p : Af ont des limites finies,
dfix,y) ^ df dx df dy
dt ' dx dt '^ dy df
Donc, si f{x, y) est différent iable, et si x, y sont des fondions
différentiables de t, la dérivée de f par rapport à t est la somme
des dérivées partielles de f par rapport à x et y respectivement
multipliées par les déi-ivées de x et y par rapport à t. C'est la
règle de dérivation des fonctions composées.
En multipliant cette formule par dt, on obtient la différen-
tielle de f{x, y), à savoir
D'où le théorème suivant :
Si f{x, y) est différentiable et si x et y sont deux fonctions
différentiables d'une même variable i, la différentielle de f{x, y)
considérée comme fonctions de f, s'exprime au moyen de x, y,
dx et dy, par la différentielle totale de f(x, y) comme si les va-
riables x et y étaient indépendantes.
l44 CHAPITRE m. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
Remarque. — Le théorème général que nous venons d'énon-
cer renferme, comme cas particuliers, les règles de dérivation
d'une somme, d'un produit et d'un quotient que nous avons
démontrées séparément au chapitre P'" (n° 96). On vérifie, en
effet, immédiatement que les seconds membres des formules :
d{u -\-v) = du + dv, d uv ■-= udv -\-v du,
,u V du — udv
d- = 5 ,
V v^
représentent respectivement la somme des différentielles par-
tielles des premiers membres par rapport à u et à y.
151. Calcul pratique des différentielles totales. — I^e théorème
précédent revient à dire que les différentielles totales se cal-
culent par les mêmes règles que les différentielles des fonctions
composées d'une seule variable. Si les différents modes de com-
position de la fonction f{x, y) sont de ceux qui ont été prévus
au chapitre I, et c'est ordinairement le cas, il suffira d'appliquer
les règles établies dans ce chapitre pour obtenir la différentielle
totale.
C'est ainsi que les règles de différentiation d'une fonction de
fonction, d'un quotient et d'une somme (n'' 96) conduisent aux
résultats suivants :
y X X dy — y dx
d arc tg — = s= — „ . ., — ;
X^
— — _ ds/x^' + y 2 xdx-\- 3 y'dy
d Log Va- + y^ ^ -^j^^jT —^W~+¥y~'
On voit que les différentielles totales s'obtiennent sans cal-
culer séparément les dérivées partielles et l'on évite ainsi la
répétition inutile de certains calculs.
D'autre part, si l'on connaît la différentielle totale de f{x, y),
on peut en déduire à simple lecture ses deux dérivées partielles.
En effet, dx et dy étant des coefficients indéterminés, la déri-
vée partielle par rapport à x sera le coefficient de dx, et la
dérivée partielle par rapport à y celui de dy, dans l'expression
de la différentielle totale. C'est ainsi que l'on tire immédiate-
ment du calcul fait plus haut :
d ^ y X à . y y
DÉRIVÉES ET DIFî^ÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l45
152. Dérivées partielles du second ordre. — Soit u — f{x, y) une
fonction de deux variables indépendantes ;x; et y ; ses dérivées
partielles fx et fy seront, en général, des fonctions de x et de
y et pourront admettre elles-mêmes des dérivées partielles.
Nous désignerons la dérivée partielle de fx par rapport à x par
fs!:x{X,y) ou D^xf ou -^y
et sa dérivée partielle par rapport à y par
fxy {pc, y) ou T>l-yf ou
dxdy
De même, les dérivées partielles de fy par rapport à x et à y
seront respectivement
ÎVX - ^yxî - j^' îvv - i)vvT - -^'
Voici, concernant ces dérivées, un théorème fondamental, en
Ttu duquel fyx = focy, ce qui réduit à trois
bre des dérivées partielles du second ordre.
vertu duquel fyx = focy, ce qui réduit à trois seulement le nom
153. Interversion des dérivations. — Théorème I (Young). —
Si fx et fy sont déterminés aux environs du point x, y et diffé-
rentiables en ce point, on a, au point x, y,
' xy — ' yx
On obtient ce théorème en calculant de deux manières diffé-
rentes la différence seconde :
AY= f{x f A, y 4- /i) _ f(x -i-h,y)~ f(x, y + h) -f f{x, y).
D'abord A^est l'accroissement éprouvé par
? (-v) = f{x, y-\-h) — f{x, y)
quand .v augmente de h, d'où, en appliquant à '^(.y) la formule
des accroissements finis,
^'f = Kf'x (a* 4- 6A, r + h) - /•; {x + 0/î, r)].
Mais, comme fx est différentiable au point .y, r, on a, par la
formule (4) du n° 147, e' et e" tendant vers avec h,
f'x{x + ^h,y + h)-f'x (x, y) ^ Hhfxx + hfxy + e'/i,
f'x {x -f- e/i, y) - /•; {x, y) = ^hf^x 4- t"h.
10
l46 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
Portant la différence de ces deux quantités dans le crochet,
on trouve
où e désigne encore une quantité, e' — e", qui tend vers avec h.
D'autre part, A^fest raecroissement de la fonction
^ (y) = f{x-\-h,y) — f{x, y)
quand y augmente de h, en sorte que l'on trouve, par un calcul
symétrique du précédent.
Faisant tendre h vers 0, il vient donc
lllïl -^^ — Jxv — Jyx'
Le théorème de Young postule l'existence de toutes les dé-
rivées secondes au point x, y, mais non leur continuité. Le
théorème suivant de Schwarz ne postule l'existence que de fxy
(mais aussi sa continuité) et il peut être plus utile dans cer-
tains cas :
Théorème II (Schwarz). — Si fer, fy et f'.ly existent dans le
voisinage du point {x, y), et si fxy est continue au point {x, y),
l'autre dérivée fyx existe aussi en ce point et est identique à fxy
Posons, pour simplifier,
cp (x) ^ f{x,y 4 k) - f{x, y) ;
on aura, par la formule des accroissements finis, qai s'applique
deux fois de suite,
<f{x + /ï) - f(x) = h[r^{x-h^h,y + k)-fl{x-\-^h,y)]
^hkf';^{x 4-QA,j4-9». ■
Cette dérivée seconde est continue ; donc, en désignant par e
une quantité qui tend vers avec h et k, on peut écrire
cp (^ + A) - <p (x) = hk[f'^^ {x, y) -\- e].
Divisons d'abord par k et faisons tendre k vers ; les deux
rapports cp : Te au premier membre ont pour limites des dérivées
f supposées existantes et l'on trouve
fl {X + h, y) - fl {X, y) = hir;^ {X, y) + e].
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I^"]
Divisons maintenant par h et faisons tendre h vers ; e tend
vers 0, et il vient, par définition de la dérivée seconde, f' = f'J
Donc, si les dérivées considérées sont continues, les caracté-
ristiques ï)x et I),/ peuvent toujours être interverties.
Les quatre dérivées partielles du second ordre de la fonction
u = f{x, y) se réduisent donc en général à trois distinctes :
ô'^u d'^u d^u d^u
dx^' dxdy dydx' dy^ '
Cette notation a l'avantage de mettre l'égalité des deux déri-
vées partielles en évidence et, quand on l'emploie, on suppose
toujours implicitement que les conditions nécessaires pour
assurer cette égalité sont remplies :
154. Différentielles partielles du second ordre. — Aux dérivées
partielles du second ordre correspondent les différentielles
partielles, définies par les équations :
,2 d~u , „ , , d^u , j ,2 d^u , ,
".r u = -r-- dx-, d,r diy u = -, — r-- dxdy, dj, u = -r— „ dy^.
dx" ■' ùx ây * ^ dy- -
L'équation DrD^u ■=-■ D^D^u entraîne donc aussi l'égalité
dojdi^u = d>,docU,
de telle sorte que l'ordre de deux différentiations partielles
successives par rapport à x et à y peut aussi être interverti.
155. Dérivées et différentielles partielles d'ordre quelconque. — Le
théorème du n" i53 se généralise de lui-même. Concevons que
l'on effectue sur une fonction u = f\x. y) un nombre quelconque
de dérivations partielles successives, les unes par rapport à x,
les autres par rapport à y, dans un ordre arbitraire. 11 suit de ce
théorème que l'ordre de deux opérations consécutives peut être
interverti quand elles se rapportent à deux variables diffé-
rentes, pourvu que toutes les dérivées que l'on considère restent
continues ou, plus généralement, que l'on ne dérive que des
fonctions différentiables. Moyennant cette restriction, on peut,
par la répétition de ces permutations, ranger les dérivations
dans l'ordre que l'on veut ; on peut faire, par exemple, d'abord
toutes les dérivations par rapport à x et ensuite toutes celles
l48 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
par rapport à y. Le résultat de m dérivations par rapport à x et
de n dérivations par rapport à y, opérées consécutivement sur
la fonction u, est indépendant de l'ordre suivi et peut se dési-
gner par un seul et même symbole
dx^dy^ '
Cette quantité est une dérivée partielle de l'ordre (m -\- n). En
la multipliant par dx^dy^, on obtient la différentielle partielle
du même ordre
156. Difiérentielles totales successives. — Soit ii = f{x, y) une
fonction différentiable des deux variables indépendantes x et y.
Si sa différentielle totale
est différentiable, dx et dy étant considérés comme des para-
mètres constants, c'est-à-dire si ^- et -.— sont déterminés aux
ox ay
environs du point considéré et différentiables en ce point, on
dira que ii est différentiable jusqu'au second ordre et la diffé-
tielle de du sera sa différentielle seconde d^u.
Cette différentielle se calcule de la même façon que la précé-
dente. Mais on observe que l'on a, en v'ertu du théorème de
Youug (u° i53) qui s'applique quand du est différentiabl ,
c^u _ d^u
dxdy dydx
De plus, on convient d'introduire les mêmes différentielles
dx et dy dans les deux différentiations consécutives. On trouve
ainsi
Les différentielles successives d^u, d*u,... se définissent
ainsi de proche en proche. On dit que u est différentiable jus-
qu'à l'ordre n si d"-^u est différentiable, donc si toutes les
dérivées d'ordre {n — i) sont déterminées autour du point con-
sidéré et différentiables en ce point. Cette condition assure la
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I^Q
légitimité do l'interversion des dérivations en x et en y et le
calcul se fait sans difficulté.
On peut former une expression symbolique très commode de
d"«en remarquant que, pour former la différentielle totale
d'une fonction, il suffit de la multiplier par le facteur symbolique
et d'effectuer la multiplication comme si -r— ,-^-, d^c et frétaient
dx Oy ''
des facteurs algébriques. On trouve ainsi, en interprétant les
puissances de d comme des indices de dérivation.
Ceci suppose que x et y soient des variables indépendantes ou,
plus généralement, que dx et dy puissent être traitées comme
des constantes dans les différentiations successives.
Si «; et y sont des fonctions différentiables d'autres variables
indépendantes, dx et dy ont des différentielles successives d^x,
d^x,... d^y, d^y,... qui s'introduisent dans les différentielles
de u. Dans ce cas, on trouve, en faisant les calculs,
et ainsi de suite.
157. Méthode pratique de calcul. — Pratiquement, les différen-
tielles totales se calculent, non par l'addition des différeutieiles
partielles, mais par la simple application des régies générales
du chapitre I. Le calcul est même si simple qu'il y a souvent
avantage à se servir de ces différentielles pour calculer les
dérivées partielles de u. On traite alors x et y comme des
variables indépendantes dont les différentielles dx et dy sont
des constantes arbitraires. On obtient ainsi des résultats de la
forme
da = pdx 4- qdy, d-ii = rdx^ + 2sdxdy -\- tdy^ ,...
où p, q , r, s, t sont des fonctions explicites de x et y. La com-
paraison avec les formules générales montre que l'on a, puisque
dx et dy sont des indéterminées,
^du du _ d^ii _ d^u d^ii
^ dx' ^~dy' ''~dx'' ^~âxd^'' dy^""
l5o CHAPITRE ni. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
(Jette méthode de calcul est surtout avantageuse lorsque l'on
doit connaître toutes les dérivées partielles d'un même ordre.
C'est généralement le cas dans les applications géométriques.
§ 2. Extension à un nombre quelconque de variables.
158. Définitions des dérivées et des diflPérentielles premières. — Soit
Il = f(x, y, :■ ) une fonction de plusieurs variables indépen-
dantes ; la dérivée partielle de ii par i-apport à l'une d'elles,
X par exemple, est la dérivée de a considérée comme fonction
de X seule, toutes les autres variables étant traitées comme des
constantes. On la représente par les symboles ;
^ ^^ ^' ^^ ^^' ^'' ^'■••^' ^^f(^' y' ^'•••)-
Les différentielles partielles d^u, dyU,... s'obtiennent en mul-
tipliant les dérivées partielles par les accroissements ^x, Ay,...
des variables correspondantes, de sorte que
d^u^-^^x, d,u=^_t,y,...
La fonction u est différentiable au point x, y,... si elle est
déterminée aux environs de ce point et si l'accroissement Azz
correspondant aux accroissements Arv, Ay,... peut se décompo-
ser dans la somme de deux parties :
^u = {A^x + B^y + •••) 4- ep,
P = I Aiv I + 1 Ar I + ...
dont la première est simplement linéaire en ^x, Ay,... et où e
tend vers avec Ax, Ay,... c'est-à-dire avec p (*). Dans ce cas,
la première partie (AA.x;, -f BAj' + ...) se représente par du
et s'appelle la différentielle totale de u. Comme d'ailleurs A, B,...
sont les dérivées partielles de u en ;x;, en y,..., il vient
, du . , du . ,
du = 3- Aa; + 3— Ay -\ —
dx dy -^
'Donc la, différentielle totale est la somme des différentielles
partielles.
(*) La définition ne sei-ait donc pas changée si l'on posait
p = \/A;i;2 4- A_y2 -]-...
DÉRIVÉES ET DIFFÉIIENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l5l
En particulier, pour u ==^ x, pour u = y,... on a respective-
ment
dx = ^x, dy = tiy,...
et du peut s'écrire sous une nouvelle forme
, du , , du , ,
Cette nouvelle forme a sur la première l'avanta^ge d'une plus
grande généralité comme nous le montrerons tout à l'heure
(n» 159).
Si u est differentiable au point x, y, nous pouvons écrire
maintenant
. du . , du .
^""-d^^^'^d^^y^-^'?'
e tendant vers zéro en même temps que les accroissements A. Il
suit de là qu'une fonction est continue en tout point où elle est
differentiable.
La démonstration du n° 148 se généralise d'elle-même, de
sorte qu'une fonction ne peut cesser d'être differentiable que si
ses dérivées partielles cessent d'être continues.
159. DiflFérentiation des fonctions de fonctions. — Soit u une
fonction differentiable des variables x, y,..., celles-ci étant
elles-mêmes des fonctions différentiables des variables indé-
pendantes 5, T,,..., de sorte que u est une fonction composée de
\, T),... Je dis que u, considérée comme fonction de ^, r,,..., est
differentiable et que sa différentielle totale s'exprime à l'aide de
Xf y,... dx, dy,... par la même formule
, du , , du , ,
que si les variables x, y,... étaient indépendantes.
Pour simplifier l'écriture, nous supposerons dans la démon-
stration qu'il n'y ait que deux fonctions intermédiaires x, y et
deux variables indépendantes Ç, ri. Posons
p = I A;x; I + I Ay I , p' = I Ai I -f I At^ I .
Nous aurons, puisque ^c, y sont différentiables,
^^-l^^ + l^^ + ^'f-
l52 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
OÙ les quantités e tendent vers avec p'. Soit w la valeur abso-
lue de la plus grande de ces quantités e, et M la valeur absolue
de la plus grande en valeur absolue des quatres dérivées par-
tielles de X et y. Nous aurons, par les équations (1),
I /ix I < (M + w) p', I Ay I < (M + to) p'
et, par conséquent,
4 = ^ïJ^^2ll < ,(M + co).
P P V ' /
Donc le rapport p : p' reste fini et p tend vers avec p'.
Ceci posé, la fonction f{x, y) étant différentiable, nous avons
. du . , du . ,
^" = ^^^ + ^^^^-'-^P'
et, en substituant dans ceci les valeurs (1), qui peuvent s'écrire
Aa; = dx -\- e'p', A3^ =^ dy -\- e"p',
il vient
^" = (5^<'- + |''r) + P'Gi + . + 4
Mais ceci prouve la proposition, car la dernière parenthèse
est infiniment petite avec p' et la précédente est, en même temps
que dx et dy, linéaire et homogène en A^ et Avj. On a donc
, du , , du ,
OM = -r— «a; + ^r— dy.
dx dy
Donc, tant que les fonctions considérées sont différentiables,
les différentielles totales se calculent toujours de la même
façon, que les variables soient indépendantes ou ne le soient pas.
160. Dérivation des fonctions composées. — Si 5C, y,... sont des
fonctions différentiables d'une variable unique t, la dérivée de
u = f{x, y,...) par rapport à t s'obtient en divisant la différen-
tielle du par dt. 11 vient ainsi
du_dudx dudy
'dt'dxlt'^dy'dt'^'"
ce qui généralise la règle du n° i5o.
Si X, y,... sont des fonctions différentiables de plusieurs
variables ^, 7\,..., les dérivées partielles de f{x, y,...) par rap-
port à ces variables se calculent par la formule précédente.
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES I 53
sauf que les dérivées de x, y,... sont des dérivées partielles.
Par exemple, on a
du _ du dx du dy
^~~dx~^^dyd^'^'
161. DifFérentiation des équations. — Soient x, y,... des variables
indépendantes. Si une fonction u = f{x, y,...) se réduit à une
constante, on a
Au = 0, donc (par définition) du = 0.
Réciproquement, si
du , . du
comme dx, dy,.,. sont arbitraires, chacune des dérivées par-
tielles doit être nulle, u ne dépend d'aucune des variables et se
réduit à une constante. Donc la condition nécessaire et suffisante
pour que u se réduise à une constante est que l'on ait du =^ 0.
Considérons maintenant des variables x, y,... indépendantes
ou non, satisfaisant à l'équation
f{x,y,...) = 0.
Nous disons que cette équation est différentiable si la fonction
f{x, y,...) est différentiable. Donc, si x, y,... sont différen-
tiables, d/"se calculant toujours de la même façon, on aura,
puisque f est constant et df nul,
Différentier totalement une équation, c'est égaler les diffé-
rentielles totales de ses deux membres. Le résultat que nous
venons d'obtenir se formule dans le principe suivant, qui est
fondamental :
Étant donnée une équation différentiable entre un certain
nombre de variables, indépendantes ou non, mais différentiables,
il est toujours permis de différentier totalement l'équation.
162. Dérivées et différentielles successives, — Les considérations
émises dans le paragraphe précédent se généralisent d'elles-
mêmes et il suffit d'énoncer les résultats.
Si l'on effectue un nombre quelconque de dérivations succès-
l54 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIAULES
sives par rapport à des variables difféioutes ;x:, y, z,.,., l'ordre
de deux dérivations successives par rapport à deux variables
différentes peut toujours être interverti, moyennant l'hypotlièse
de la continuité des dérivées ou celle de la différentiabilité des
fonctions. De la sorte, le résultat de m dérivations par rapport
à A", n dérivations par rapport à y, p dérivations par rapport
à z,... effectuées dans un ordre quelconque sur une fonction
u = f(x, y-, z,...), peut être représenté par le sj'^mbole unique
dx'^dy^dzPTT,'
Une différentielle sera dite différentiable si elle est formée
de dérivées partielles différentiables. Dans ce cas, les différen-
tielles totales successives se calculent en appliquant successi-
vement les règles établies pour les différentielles premières.
Si les variables x, y, z,.., sont indépendantes, la différentielle
jiième ^q f^y^^ y^ Z,...) admet la forme symbolique
dnax.r.z,...)={±^d=c+^dy + l^dz + ..)y.
163. Théorème d'Euler sur les fonctions homogènes. — Une fonc-
tion f{x, y, z,...) est homogène par rapport aux variables
X, y, z,..., lorsqu'elle vérifie l'identité
(1) f{tx,ty,tz,...) = t^f{x,y,z,...),
t désignant une indéterminée. L'exposant m est le degré d'ho-
mogénéité de la fonction.
Si l'on fait t = -, l'identité devient
X
fix,y,z,...) = x-^f(i,^,l,...y
(2) f{x, y, z„..) = x»^^Ç^, -,-.•).
c'est-à-dire
Donc, si l'on divise une fonction homogène de degré m par
la m^^^^ puissance de l'une des variables, elle ne dépend plus
que des seuls rapports des variables.
On s'assure immédiatement qu'une fonction qui vérifie la con-
dition (2) vérifie la condition (1). Donc l'équation (2) peut aussi
servir de définition des fonctions homogènes.
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES l55
Dérivons l'équation (1) par rapport à t, il vient identiqueuieni
xf'^itx, ty,...) + yflitx, ty,...) + - = mt^-^f{x, y,...)
ou, en faisant f = i,
(3) xf'^ix, r,...) + yflix, y,...) + ... = mf{x. y,...).
C'est dans cette identité que consiste le théorème d'Euler :
La somme des produits des dérivées partielles d'une fonction
homogène par les variables correspondantes est égale à la fonc-
tion elle-même multipliée par le degré d'homogénéité.
Plus généralement, si l'on dérivait l'équation (1) n fois de
suite par rapport à t avant de faire f = i, on trouverait, par la
formule symbolique du numéro précédent,
{x-^ + y^-]--Jfix,y,...)==m{m-i)...{m-n-hi)f{x,y„..).
Exercices.
i. Dérivées partielles et différentielles totales successives des
fonctions :
2. Dérivées partielles d'ordre quelconque àe/{ax -\-by -j- c).
^- dx^dr ^ <^'"h« /["'+») {ax +by-\rc).
3. Appliquer le calcul de l'exercice précédent en supposant que/(M)
soit une des fonctions :
C* , sin M, cosu; Log «, etc..
4. Différentielle «'^'"» de m = e<^ f{y).
R. On applique la formule symbolique du n° i56. On trouve, en
interprétant les puissances de /comme des indices de dérivation,
i" «"* f{y) = c«^ Ifiy) dy-\-a dx]" .
! résultat à la fonction e^ <
6. Différentielle totale m''"" de u = arc tg'
une première f
xdy — ydx 1
5. Appliquer ce résultat à la fonction e^ cos by.
X '
R. Difïérentions une première fois, il viendra
~dx + idy dx — idy
du =
xi -l-jj/2 2»
x+yi x—yi _
puis, en différentiant encore (h — i) fois,
l56 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
fl'«î^ = (— l)«-l-
— T^!
(dx + idy)" {dx — idyY
21 |_ {x-{-yiY {x — yiy*
Pour se débarrasser des imaginaires, on pose
X -\-yi = r (cos 6 + » sin 6) dx -\-idy = ds (cos f -\-i sin cp).
On a alors
^« « = (— i)n-i (;j _ i) ! / — j sin n{f — C).
On peut aussi calculer d'une manière analogue les dérivées partielles.
y. Différentielle totale «'«""* de « = Log V^^ +3'^-
R. On trouve d'abord
du =
xdx-\-ydy i
dx -\-idy dx — i dy
x^-\-y^ 2 |_ x-{-yt X — yt
ensuite, par les substitutions de l'exercice précédent,
/ ds \^
d'*u = {— i)«-i(« — i) ! ( — j cos « (cp — 6).
Remarque. Les résultats des exercices 6 et 7 dérivent immédiatement
du calcul de d" Log z dans la théorie des fonctions d'une variable
complexe.
8. Sif'^{x + ^- y, •2')---) iend vers une limite déterminée quand h tend
vers 0, on a
/i (x, y,z,...) = lim/^ {x + h,y,z...).
R. Ce théorème se démontre en faisant tendre h vers dans la rela-
tion
/(;. + h,y, z,...)-f(x, y, z,...) _^,^^ ^ ^^^ ^^ ^^^^^^^
h
C'est donc une propriété de la dérivée des fonctions d'une seule
variable.
9. Si le point x, y,,., est un point de discontinuité isolé de la dérivée
seconde f xy {x , y,...), c'est-à-dire s'il n'y a pas d'autre point de discontinuité
dans un domaine suffisamment petit enveloppant ce point, on aura, pourvu
que ces limites existent,
f';^{x,y,..,) = \xmr{x,y^k,...) = \imf^^{x,y + k,...),
f';^{x,y,.,.)^Xxmf'nx^h,y,.,.) = \xvcvfl{x-^h,y,...Y
R. C'est l'application du théorème précédent.
10. Déterminer, en appliquant le principe précédent, les dérivées
partielles du second ordre au point x =y = de la fonction.
FORMULE DE TAYLOR POUR PLUSIEURS VABIABLES l57
f{x, y) = ;p2 arc tg-^ —y^ arc tg -,
R. On trouve en général
f:M,y) =
x^ — y
On en conclut
/" (0, 0) = lim/" (;»:, 0) = i
/" (0, 0) = lim/" (0,>') = — I.
11. Déterminer les dérivées partielles à l'origine de
/(^,J'.^) = (^ + ^)'arctg^^-(j'-2)2arctg^-~.
12. Déterminer directement les dérivées partielles des deux exercices
précédents en recourant à la définition générale de la dérivée.
§ 3. Extension de la formule de Taylor
aux fonctions de plusieurs variables.
164. Formule de Taylor. — Considérons une fonction f{x, y,...)
de plusieurs variables. La formule de Taylor a pour but de
développer la différence /"(a 4 /i, 6 + A:,...) — /(a, h,...) sous
forme d'une somme de polynômes homogènes et de degrés res-
pectifs I, 2,... (n — i) par rapport aux accroissements h, k,...
des variables.
Le problème de trouver ce développement se ramène à celui
qui a été résolu pour les fonctions d'une seule variable. Pour
abréger l'écriture, considérons seulement une fonction de deux
variables.
Soit u = f{x, y) une fonction différentiable jusqu'à l'ordre n
pour toutes les valeurs de x entre a et a -4- /i et toutes celles de
y entre b Qib -\- k. Soit ensuite t une nouvelle variable indé-
pendante ; posons
De la sorte, u est une fonction composée de t dont les déri-
vées seront déterminées jusqu'à l'ordre n et continues jusqu'à
l'ordre n — i inclusivement dans l'intervalle (0, i). On a donc,
par la formule de Maclaurin (n" i25) pour une seule variable
t (prise égale à i) et avec le reste de Lagrange,
l58 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
( (0 < e < i).
Les différentielles dx =- hdf et dy = kdt étant constantes, les
différentielles successives de f{x, y) se calculent par la formule
symbolique du n° i56 et l'on a
d'où
Pour / = 0, on a X -= a, y = b, et la formule (2) prend la forme
Pour t -=- 6, on a a; = a + QA, y = b -{- 9â- et la formule (2)
devient
r ^'(9) = (^^ + A- ^^Jf{a + 8/1,6 4- 0A-).
Portons ces valeurs dans (1), nous trouvons la formule de
Tiiylor :
f{a + h,b + k)- f{a, b) = (a^ ^^ k ^ ) Aa, (>)
Cette formule ne suppose pas la continuité des dérivées de
l'ordre n.
Lorsque x et 3' sont des variables indépendantes, on x>cut
écrire h — dx, k = dy ; si l'on remplace alors a par x et b par
y dans la formule (3), elle devient
(3)
d^f d'^-^f
(0 < < i)
seulement, ces différentielles sont maintenant des différen-
tielles totales, La notation employée pour le dernier terme
FORMULE DE TAYLOR POUR PLUSIEURS VARLABLES iSq
signifie qu'il faut remplacer, dans les dérivées /iièmes q^i entrent
dans ce terme, x par x i- ^ dx et y par y -{- ^ dy.
Ces résultats s'étendent d'eux-mêmes aux fonctions d'un
nombre quelconque de variables. Ainsi, pour trois variables,
f(a + h,b + k,c + l) = /-(a, b, c) 4- (h^ + ''^ + '^)Aa, b, c)
et ainsi de suite.
165. Formule de Maclaurin. — Celle-ci se déduit de la formule
(3) en y faisant a==h— 0, h=xetk = y. Nous écrirons le
résultat comme il suit :
n.. y) = fm + (4 + y I) r... + ^(«^ + y !;)>.,.+•••
Ces indices signifient qu'après avoir calculé les dérivées par-
tielles, il faut y remplacer x et y par 0. La formule de Maclau-
rin développe donc la fonction en une somme de termes homo-
gènes et de degrés croissants en x, y.
§ 4. Maximes et minimes (extrêmes) libres des fonctions
de plusieurs variables.
166. Fonctions de deux variables. — On dit qu'une fonction
f{x, y) de deux variables indépendantes est extrémée au point
(a, b), lorsque la différence
f{a + h,b + k)-f{a,b)
garde le même signe pour toutes les valeurs de h et de k infé-
rieures en valeur absolue à un nombre positif suffisamment
petit. La fonction est maximée si cette différence est négative
et minimée si elle est positive. Les extrêmes des fonctions de
plusieurs variables indépendantes sont appelés libres. S'il y
avait des relations entre les variables, les extrêmes seraient
liés. Nous étudierons ce cas plus loin.
Tout d'abord la fonction, pour être extrémée, doit l'être quand
on ne fait varier que :c seul ou y seul ; de là, le théorème sui-
vant :
l6o CHAPITRE TII. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
Les seuls points où la fonction f{x, y) puisse être extrémée
sont ceux où chacune de ses deux dérivées partielles f'^ et f
s'annule ou cesse d'exister.
Supposons f{x, y) différentiable ; pour trouver ses extrêmes,
il faudra donc poser les deux équations simultanées :
ôx ' dy
En résolvant ces équations par rapport à ic et à j, on trouve
généralement un certain nombre de solutions. Soit x ^a, y = b
l'une d'elles. Il reste à examiner s'il y a réellement maxime ou
minime en ce point. Voici la méthode à suivre pour trancher
cette question.
Supposons les dérivées partielles premières différentiables
au point (a, b). Développons la différence /"(a -f A, 6 + k) — f{a, b)
par la formule de Taylor en nous arrêtant au premier ordre,
ce qui est légitime si | A | et | /c | sont assez petits (n° 164). Il
viendra
/•(a -f A, 6 + k)-f{a, b) = hfj^a -f 9/i, b -f 9A:) -f- kf[{a +e/i, 6-f 9/c).
Posons
r --= sjh"^ -\- k-, h — r sin a, k — r cos a,
de sorte que r est une quantité positive infiniment petite et a
un angle arbitraire avec h et k. Ecrivons encore, en abrégé,
_ d'f{a, b) _ d'aria, b) _ d'aria, b)
da^ ' dadb ' db^
et désignons par e', t" des quantités infiniment petites avec r.
Les dérivées partielles premières étant différentiables au point
(a, b) et nulles en ce point, on a
/;(a + 9A, fr + e/c) - %Ah + B/f -f e'r),
/•^(a -h e/i, 5 + e/c) = 9(B/i + Ck -\- e"r).
Substituant ces valeurs, la différence f{a -\- h, b -\- k) — f{a, b)
prend la forme
(1) 9r2[A sin'^a -f 2 B sin a cos a -[- C cos^a + e],
où e ^ e' cos a + e" sin a et tend encore vers avec r.
La considération de cette expression conduit, 9 étant positif,
aux conclusions suivantes :
1°) Si le trinôme
EXTRÊMES LIBRES l6l
A sin* a -|- 2 B sin a cos a 4- C cos- a
ne peut s'annuler, comme il est fonction continue de a, il con-
servera un signe invariable et sa valeur absolue restera supé-
rieure à un nombre positif m. C'est donc ce trinôme qui donnera
son signe à l'expression (1) dès que l'on aura | e | < m, donc à
partir d'une valeur suffisamment petite de r, quel que soit a. Il
y aura maxime ou minime selon que le trinôme sera négatif ou
positif.
2**) Si le trinôme peut changer de signe, comme il donne
encore son signe à l'expression (1), pour chaque valeur de a qui
ne l'annule pas, à partir d'une valeur suffisamment petite de r,
il n'y aura ni maxime ni minime.
3°) Enfin, si le trinôme, sans pouvoir changer de signe, peut
cependant s'annuler pour certaines valeurs de a, pour ces va-
leurs, le signe de l'expression (1) dépend de celui de e qui reste
inconnu et l'on ne peut rien conclure.
Les caractères analytiques particuliers à ces trois cas sont
faciles à indiquer :
Supposons A différent de zéro. Le trinôme peut se mettre
sous forme de fraction, comme il suit :
(A sin g + B cos a)^ + (AC — B'') cos'^ a
A
1°) Si AC — B* > 0, le numérateur de cette fraction est une
somme de deux carrés qui ne peuvent s'annuler ensemble et il
est toujours positif. Donc le trinôme ne peut s'annuler et a le
signe de A. Il y a maxime si A < et minime si A > 0.
2") Si AC — B^ < 0, le numérateur a des signes différents dans
les hypothèses cos a ^ et tg a =- — B : A, le trinôme change
de signe et il n'y a ni maxime ni minime.
3°) Si AC — B* = 0, le numérateur se réduit à un seul carré,
le trinôme, sans changer de signe, peut s'annuler. C'est le cas
douteux.
Supposons encore que A soit nul. Le trinôme se réduit à
cosa (2B sin a -j- C cos a).
Si B n'est pas nul, cette expression change de signe avec
cosa supposé infiniment petit, et il n'y a ni maxime ni minime.
Enfin, si A et B sont nuls tous les deux, le trinôme se réduit
11
l62 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
à C cos-^a, qui peut s'annuler mais ne peut changer de signe.
C'est encore une fois le cas douteux.
Cette théorie ne suppose pas la continuité des dérivées se-
condes ni même leur existence aux environs du point (a, b).
Remarque. — C'est uniquement pour rendre la discussion
plus claire qu'on a remplacé h et k par rsina et rcosa, mais
cette substitution n'est pas nécessaire. Le raisonnement peut
se faire directement sur le trinôme
A A^ + 2 B hk -\- C A•^
c'est-à-dire sur l'ensemble des termes du second ordre de la
formule de Taylor, et les résultats obtenus peuvent se résumer
comme il suit :
1° Il n'y a ni maxime ni minime si les racines de ce trinôme
sont réelles et inégales ;
2° Il y a extrême si les racines sont imaginaires : maxime si
A est < 0, minime si A est > ;
3" Doute, si les racines sont égales.
Pour trancher le cas douteux, il faut faire intervenir des
termes d'ordre plus élevé, mais la discussion générale est assez
dfficile et ne peut trouver place ici.
167. Fonctions de plusieurs variables. — Une méthode semblable
s'applique aux fonctions de trois et d'un plus grand nombre de
variables. Pour que f{x, y, z) soit extrémée au point (a, b, c), il
faut, dans l'hypotlièse la différentiabilité, que ses t^ois dérivées
partielles f'^, f , f'^ s'annulent en ce point, ou, ce qui revient
au même, que sa différentielle totale df soit identiquement
nulle. En exprimant que ces conditions sont satisfaites, on ob-
tient un système d'équations simultanées dont les solutions
peuvent fournir des extrêmes. Pour s'en assurer, on remplace
X, y, z par a-{- h, b -\- k, c -\- l et l'on calcule d^f, c'est-à-dire
l'ensemble des termes du 2'' ordre en h, k, L Ce sera un poly-
nôme homogène du second degré, qui devra avoir un signe
unique. On le transforme donc en une somme algébrique de
carrés : i'' Si tous ces carrés ne sont pas de même signe, il n'y
a pas d'extrémé ; 2° s'ils sont tous de même signe, il y a
minime s'ils sont positifs et maxime s'ils sont négatifs, pourvu
qu'ils ne puissent s'annuler en môme temps que pour /? -^ A* = / = ;
EXTREMES LIBRES l63
3° si tous les carrés sont de même signe mais peuvent s'annuler
ensemble, le doute subsiste.
168. Problème. — Trouver la plus courte distance de deux
droites A et B de l'espace.
Soient a,, a^, a^ les coordonnées d'un point a de la droite A,
et a,, ^j, tta les cosinus directeurs de cette droite ; les coordon-
nées X, y, z d'un point quelconque de cette même droite peu-
vent s'exprimer au moyen d'une variable indépendante u par
les formules :
/ A \ ^ — ^1 _ y ^2 __ ^ ^3 _
a, ag ag *
De mêmes, les coordonnées ^, t\, ^ d'un point quelconque de
la droite B s'exprimeront en fonction d'une seconde variable
indépendante v par les formules :
où b^, b^, 63 sont les coordonnées d'un point b et p,, ^2» ?3 1^^
cosinus directeurs de la droite B.
Soit 8 la distance de deux points {x, y, z) et (^, yj, t) pris sur
chacune des droites A et B. On a
(1) ^'=-{1- xy + (n - yf + (2; - z)\
C'est une fonction de u et de y en vertu des équations (A) et
(B) et il faut en chercher le minime. Pour cela, il faut annuler
ses deux dérivées partielles. En se servant des relations :
/ l — x = p,j; — ajW 4- (^1 — a,),
(8) j ^ — y- PîP — «2" +-(^2 — «2),
et en appliquant la règle de dérivation des fonctions de fonc-
tions, on trouve ainsi
( -~|J-=(^-^0«. +(^-y)a2 + (J;-c)a3-^0,
(3) \ .J.2
Ces équations sont susceptibles d'une interprétation géomé-
trique immédiate. En effet, désignons par t,, Tj, t., les cosinus
l64 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
directeurs de la plus courte distance q des deux droites ; on a
(4) ç — X == St„ ri — y = hr^, ^ — z^ 8x3,
et les équations (3) peuvent s'écrire
/5\ j 'i^i + ^2^2 + Tgag -= 0,
Elles expriment donc que la plus courte distance est une per-
pendiculaire commune aux deux droites A et B. Les cosinus
directeurs de la plus courte distance sont fournis par ces der-
nières équations. En effet, si l'on pose, en abrégé,
il vient
(7)
'■2
Ti T, T3 yrp2_^rp2_^rp2
La valeur de la plus courte distance elle-même s'en déduit
aussi ; car, en additionnant les équations (4) multipliées respec-
tivement par T], T,, Tj, il vient
puis, en remplaçant^ les parenthèses par leurs valeurs (2) et en
tenant compte des équations (5) et (7), on trouve
(8) = T, {bi — a,) + T2 (^2 — a,) + ^3 (^3 — a,)
_ Ti {b, - aQ + T, {b,-a,)±T, (h -a,)
Enfin, il reste encore à trouver les valeurs de 11 et de v cor-
respondant aux extrémités de la plus courte distance. Pour
cela, on remplace dans les équations (3) les parenthèses par les
valeurs (2) et l'on trouve, par les propriétés des cosinus direc-
teurs d'une droite, les deux équations suivantes :
o7hr ^ " "" '' ^^^ (^' K) — p = 0,
( ~ ^y" ^ " ^^^ ^^' ^^ ~~ " ~ ^ ^ ^'
où l'on a posé, en abrégé,
j /> = (^1— a,)a, +(f;2 — a,)a2 + (i-3 — a3)a3,
( q = {b, - a,) i3, -f {b, - a,) i^, + (^3 - «3) §3.
EXTRÊMES LIBRES l65
On en tire
(\r\\ „ = /> — q^ cos (A, B) _ p cos (A, B) — g
^^"^ sin2(A,B) ' "~ sin2(A,B) '
ce qui achève la solution du problème.
Remarque. — On vérifie facilement que la solution précé-
dente satisfait aux conditions analytiques d'un minime. En
effet, on tire des équations (9)
. g ^ 2, -■ -. = — 2 cos (A, B), , „ = 2
Donc la quantité représentée par AC — B^ dans la théorie
générale est égale à 4 sin^ (A, B). Elle est positive, et il y a
minime parce que la quantité A est positive.
Exercices.
I • f^x, y) = x^ +J/3 — (jxy + 27.
R. Une solution : x^'i,y = 1 (minime).
2- /(^, y) = x^-\-y^ — 2x^ -\-4xy — 2y^
R.Trois solutions : x = ~^\/2, y = — \/2 (minime) ;x = — \/2,y =
+ \/2 (minime) ;x = 0,y = o (pas d'extrémé).
3- A^, y)^'X^ — 2xy^ +y — j5.
R. Une solution : ;ir = 0, ji/ = (cas douteux). Comme la fonction
peut se mettre sous la forme {x—y^)^—y^, on voit facilement qu'il
n'y a pas d'extrémé.
On remarquera que cependant la fonction /{ht, kt) de t seul est
maximée pour t = quels que soient les coefficients h et k. Cet exemple
prouve donc, contrairement à l'affirmation de certains auteurs, que
l'existence d'un extrême de /(a -{-ht,b-[- kt) pour t = Oquels que soient
h et k, n'entraîne pas l'existence d'un extrême àef{x,y) au point {a, b).
4. Etant donné un triangle, trouver dans le plan du triangle un
point O tel que la somme des carrés de ses distances aux trois som-
mets soit minimée,
R. Soient (ai, b^), {a.,, bo), {a-s, b-s) les coordonnées rectangulaires des
trois sommets, (x, y) celles du point O. On trouve
S X == ai -i- 02 + Ua, ^ y = bi -{- bo -\- ba.
Le point O est le centre de gravité du triangle.
5. Etant donné un triangle, trouver dans le plan de ce triangle un
pomt O tel que la somme de ses distances aux trois sommets soit
minimée.
R. Conservant les notations précédentes, il faut minimer
l66 CHAPITRE III. FONCTIONS EXPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES
/(AT, j) - S V (^ - a,r + ( V - b,) (î = 1 , 2, 3).
Soient ri, r^, r^ les droites joignant le point O aux trois sommets,
et Oi, 62, O3 leurs angles avec l'axe des x. On a, si les dérivées partielles
s'annulent,
Y~ = cos ^i + cos 0^ -\- cos O;) = 0.
L'axe des v étant quelconque, on en conclut que les trois droites
fi, r.^, y,) font entre elles le même angle. Le minime a lieu au point oîi
les trois côtés du. triangle sont vus sous le même angle (120°). Ce
point est facile à construire si les trois angles du triangle sont < 120".
Mais si l'un des angles, A par exemple, est > 120°, ce point n'existe
plus. On montrera que, dans ce cas, le minime a lieu quand le point O
vient coïncider avec le sommet A du triangle. C'est un exemple remar-
quable où l'extrémé correspond à un point de discontinuité des
dérivées.
CHAPITRE I\5.
Fonctions implicites. Changement de variables.
§ 1 . Théorèmes d'existences.
Les fonctions implicites sont celles qui sont définies par des
équations non résolues. Nous commencerons par démontrer les
théorèmes fondamentaux sur les conditions d'existence de ces
fonctions. Il en résultera que les équations différentiables ne
définissent que des fonctions différentiables.
169. Théorème I. — Soit ¥{u, x, y,...) une fonction continue
des variables u, x, y,... Supposons qu'en un point particulier
M(Uo, a, b,...), la fonction F soit : i" nulle, 2*^ différentiable,
3"» douée d'une dérivée F^ non nulle. Alors il existe au moins
une fonction u = ^ {x, y,...) qui se réduit à Uq au point
{a, b,...) et qui, dans son voisinage, satisfait identiquement à
l'équation
¥{u, X, y,...) = ;
enfin toute fonction u qui possède ces deux propriétés est diffé-
rentiable (donc continue) en ce même point (Young).
Il suffira de considérer trois variables u, x, y. Puisque F est
nulle au point M et que F[^ ne l'est pas, ou peut d'abord se
donner un S positif assez petit pour que
F (Wo — 8, a, b) et F (Ho + S, a, b)
soient de signes contraires, car F est une fonction croissante ou
décroissante de u au point Uq. Ensuite, puisque F est continue,
on peut se donner un 8' positif assez petit pour que les quantités,
aussi voisines qu'on veut des précédentes,
F («„ — 0, .V, y) i'i. F (//., — ô, A-, y)
soient aussi «le signes contraires sous la condition que \ x — a |
et 1 y — b \ .soient < 8'.
l68 CHAPITRE IV. FON CTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
Ceci fait, donnons nous un système quelconque x, y entre
ces limites ; ¥{u, x, y) est une fonction continue de u qui
change de signe entre zïo — S et Uo + 8 et s'annule, p^r consé-
quent, dans cet intervalle. Soit ii ^^ (f> {x, y) la racine (la plus
grande s'il y en a plusieurs) : ce sera une solution de F =\0 se
réduisant à Uq au point (a, b).
Soient maintenant Aw, ^x, ^y les accroissements correspon-
dants d'une telle fonction u et de x, y à partir du point (a, b).
Puisque F est différentiable au point («o, a, b), on a
^ I' = (Ko + ^" + {F'„ -r e') àx + (F; + e".)Ay = 0,
où les e tendent vers avec les A et peuvent donc être supposés
aussi petits qu'on veut avec o et B'. Nous supposerons 8 et 8' assez
petits pour que les e soient < i F' 1 qui n'est pas nul. Alors
l'équation précédente montre que A« tend vers avec A^c et Ay,
donc que la fonction u est continue au point (a, b).
Cette équation montre, de plus, que la fonction est différen-
tiable au point (a, b), car on en tire
A« = - ( F;-|-e')AA; + (F ; + e")Ar
c'est-à-dire
f' f'
A" =■ - -f ^^ - -7^ Ay + e'" Ax + e'^Ay,
où les s tendent encore vers avec les A, donc avec ùix et Ay.
Remarques. — Si F^ ejc/sfe ef «e s'annule pas au voisinage
du point (uo, a, b), la solution u de l'équation F = est unique.
En effet, s'il y en avait deux m et u', on aurait, contrairement
à l'hypothèse, pour une valeur U comprise entre u et u',
= F («, X, y) - F(u', X, y) = {u- u') f; (U, x, y)
¥u{T],x,y)^Q.
Si, déplus, F est différentiable aux environs du point {uo> a, b),
la fonction u est différentiable au voisinage de (a, b), car la dé-
monstration précédente s'applique en chaque point (u, x, y).
170. Théorème II. — Soient n fonctions F,, Fg,... Fn des
m -}- n variables x, y,... u, v, w,... Supposons qu'en un point
THEOREMES d'eXISTENCE
169
M (a, b,... Uq, Wo> ^0,-"), f^s fonctions F soient : 1° nulles,
2" différentiables, 3° telles que le déterminant
dF, d¥\ dF.^
du do dw
dFj dYj dF^
J = du dv dw
dFn dFn dFn
du dv dw "
ne s'annule pas au point M. Alors il existe au moins un sys-
tème de fonctions u, v, w,... des m variables x, y,... se réduisant
à Uo, Vo, u?o,... au point a, b,... et satisfaisant identiquement aux
équations Fj ^^ 0, Fj = 0,... F^ = aux environs de ce point.
Ensuite tout système de fonctions de x, y,... possédant ces deux
propriétés est différentiable au point (a, b,...). Enfin, si les déri-
vées partielles qui composent le déterminant J sont des fonctions
continues de x, y,... u, v, w,... au point M, J ne 'annule pas
au voisinage de M et le système de ces solutions u, v, w,... est
unique (Joung).
Ce théorème se réduit au précédent quand il n'y a qu'une
seule équation. Pour l'établir en général, admettons qu'il ait
été déjà établi pour n — i équations et montrons qu'il subsiste
pour n.
Désignons par J,, Jg,... J„ les mineurs relatifs aux éléments
de la première colonne de J ; on aura
(1)
dF,
'^'~dû
4- Js
dF,
+ - + Jn
dF„
' du ' ' "" du
Comme J ne s'annule pas au point M, il faut que l'un au
moins des mineurs ne s'annule pas en ce point et nous pouvons
supposer que ce soit Jj. Dans l'hypothèse où les dérivées sont
continues au point M, J, ne s'annulera pas non plus dans les
environs de ce point.
Or le théorème est supposé s'appliquer pour {n — i) équa-
tions. Donc, Ji étant différent de zéro, il existe un système
(unique dans la dernière hypothèse) de (n — i) fonctions :
(2) v = Y {x, y,... u), w - W {x. y,,., u),...
de m 4- I variables indépendantes x, y,... u, se réduisant à
170 CHAPITRE IV. PONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
Vo, Woy... au point (a, 6,... u^), différentiables en ce point et satis-
faisant identiquement aux n — i équations :
(3) F2(;x;,y,...«,V,W,...) = 0,...,Fn(^,r.-«.V,W,...)^0.
Si l'on substitue ces fonctions dans la relation Fi =» qui
reste seule à vérifier, elle devient
(4) Fi {x, y,... u, V, W,...) - <ï> {x, y,... u) = 0.
En vertu du théorème I, il existe au moins une fonction u des
m variables x, y,... se réduisant à Uo au point a, b,... satisfai-
sant à l'équation précédente dans le voisinage de ce point et
différentiable, pourvu que -v- ne s'annule pas en ce point.
Mais cette condition est réalisée. En effet, on a
du du dv du dw du
Multiplions cette relation par Ji et ajoutons membre à mem-
bre avec les identités ci-dessous, multipliées respectivement
par Jg, Js,..., identités qui s'obtiennent en dérivant par rapport
à u les relations (3) :
=
àF\ àF^âV âF\dW^
du dv du dw du
dF^ , dF., d\ dF^ dW
= ^^ +
du dv du dw du '
Il viendra, par l'équation (1) et les propriétés des mineurs
d'un déterminant,
d^ d^
J, 3— = J, d'où -— ^J:J,.
du du ^
d^
Donc, puisque J et Jj sont différents de zéro, ^- l'est aussi.
Enfin, si les dérivées partielles sont continues au point M,
d^
la solution u est unique, puisque -r- ne s'annulera pas non plus
dans le voisinage du point (a, b,...).
Si l'on substitue dans les équations (2) la fonction u dont
l'existence vient d'être établie, on obtient pour u, v, w,... un
système de fonctions de x, y,... qui satisfont à toutes les con-
ditions requises dans l'énoncé du théorème.
DIFKÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES I71
§ 2. Différentiation des fonctions implicites.
171. Les fonctions implicites sont celles qui sont définies
par des équations non résolues. Dans le paragraphe précédent,
ou a indiqué sous quelles conditions on peut s'assurer de l'exis-
tence de ces fonctions et l'on a montré que les équations diffé-
rentiables définissent des fonctions défférentiables. Ceci admis,
la détermination des dérivées et des différentielles des fonctions
implicites se fait, sans aucune difficulté et par une méthode
uniforme, en différentiant totalement les équations qui définis-
sent les fonctions.
172. Dérivées et différentielles du 1" ordre. — i'' Considérons
d'abord la fonction implicite y d'une seule variable x, définie
par une équation différentiable unique
F {x, y) = 0.
Différentions totalement cette équation (n° i6i), il vient
.-dx -\- v-dr = 0,
ax ôy '
d'où nous tirons, pourvu que F,, ne soit pas nul,
f'oj dy V'a,
F^ dx f;
ce qui fait connaître la dérivée et la différentielle de y au moyen
des dérivées partielles de F.
On peut aussi obtenir la dérivée de y sans passer par la diffé-
rentielle. On observe que F {x, y) est une fonction composée
de X qui demeure constante quand on y remplace y par sa valeur
o(x) tirée de l'équation F ^^^ 0. Donc sa dérivée sera nulle, et il
vient, pai- la règle du a" i6o,
dx dy dx '
équation d'où l'on tire aussi ^K Quand on opère ainsi, on dit
souvent que l'on dérive totalement l'équation proposée par rap-
port à X.
2" Soit maintenant u une fonction implicite des variables
indé])endantes x, y,..., définie par l'équation différentiable
F{x,y,...u) = 0.
T72 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABL^Eg
Il vient, eu différeutiant,
-^ dx + ^— dy + ... + r- du = ;
dx dy * du '
et l'on en tire l'expression de la différentielle totale
du
= _ f!. dx 4- f;, dy 4-
F,.
pourvu que ¥[^ ne soit pas nul.
Les déi-ivées partielles de u sont les coefficients de dx, de
dy,...
^ _ _ F^ du F,'
dx Fl'
dy
V
D'ailleurs ces valeurs s'obtiennent par le même calcul que
dans le premier cas, en considérant toutes les variables indé-
pendantes sauf une comme constantes, et u comme fonction
d'une seule variable.
3" Considérons maintenant m fonctions implicites u, v,.,.
d'une seule variable indépendante x, définies par m équations :
, ( Vi{x, u,v,...) =
\ {i = I, 2,... m)
, Il vient, en différeutiant totalement ces m équations,
(1)
(2)
f dFi , , ^F, , , JF» , ,
~^—dx-\--^du-\-^-^dv-\--'
dx du dv
(ï = I, 2,... m)
Soit J le déterminant des coefficients de du, dv;..., à savoir
I ^ ^
du dv
J = dF\âF\
du dv
Si J n'est pas nul, on tire des équations (2) les valeurs de du,
de dv,... sous forme de fractions ayant pour dénominateur com-
mun J. En divisant par dx, on trouve les dérivées. D'ailleurs
ces dérivées peuvent aussi s'obtenir, sans passer par les diffé-
rentielles, en dérivant totalement les équations (1) par rapport
à x, ce qui revient à diviser les équations (2) par dx.
4° Passons enfin au cas général. Soient m fonctions implicites
DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES 178
II, u,.... (le n variables iudépeiidaiites x, y,..., définies par m
équations simultanées:
I Vi{x, y,..., u, V,...) =
( (' = I, 2,... m)
En diflérontiant totalement ces équations, il vient
(2) ^ dx dy -^ du ôv ^
\ {i = 1, '2,... m)
Soit, connue dans le cas précédent, J le déterminant des
coefficients de du, dv,... Si .) n'est pas nul, on résout les équa-
tions (2) par rapport à du, dv,... On obtient ces différentielles
sous forme de fractions ayant J pour dénominateur commun et
dont les numérateurs sont linéaires par rapport à dx, dy,...
Les dérivées partielles d'une des fonctions sont respectivement
les coefficients de dx, de dy,... dans sa différentielle. Elles
s'expriment donc rationnellement au moyen des dérivées par-
tielles des fonctions Fj par rapport aux variables .y, y,... u, v,...
et elles ont J pour dénominateur commun. On peut aussi les
obtenir directement, comme dans le cas précédent, en considé-
rant u, u,... comme fonction de A' seul, de y seul, etc.
173. Dérivées et différentielles successives. — Les dérivées et les
différentielles du deuxième ordre, du troisième, etc.. s'obtien-
nent par l'application des mêmes principes, eu différentiant ou
en dérivant totalement deux fois, trois fois... l'équation ou les
équations proposées toujours'supposées différentiables. Aucune
notion nouvelle ne s'introduit, mais il faut observer que, dans
ces différentiations successives, les différentielles premières des
variables indépendantes doivent être traitées comme des con-
stantes, tandis que les différentielles des fonctions sont elles
mômes des fonctions ayant des différentielles successives que
l'on désigne par les caractéristiques d, d^... d" et qui sont
précisément les inconnues que l'on cherche.
Soit d'abord à déterminer les dérivées successives d'une fonc-
tion y de .y, définie par une seule équation F (.y, y) ^ 0. On a,
en dérivant successivement,
174 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
dx dy dx '
dW , ô^¥ dy , df'Y ^dyV , ÔF d^r .
L 2 — ( — ^ I 4- — =
dx^ dxdydx dy\dx/ dy dx-
La première équation donne Dy, la deuxième D^y après
qu'on a remplacé Dy par sa valeur, la troisième D^y après
avoir remplacé Dy et D^y par leurs valeurs, et ainsi de suite.
Pasons enfin au cas général où m fonctions u, v,... des n
variables indépendantes x, y,... sont définies par le système de
m équations :
Fi{x, y,... u, y,...) = 0, (i = i, 2,... m).
En différentiant de proche en proche, on en tire les systèmes
successifs :
â''«+|<'>- + -+^''" + |r <'" + •••)''' = »'
Le premier système donne du, dv,... Portant ces valeurs dans
le système suivant, on en déduit d^u, d^v,... et ainsi de suite.
On a chaque fois à résoudre un système d'équations linéaires :
les inconnues sont du, dv,... dans le premier ; d^u, d^v,... dans
le second, etc.. On remarquera que le déterminant des coeffi-
cients des inconnues est, dans tous ces systèmes, le même dé-
terminant J supposé différent de 0.
Les dérivées partielles d'ordre/? des fonctions m,... s'obtien-
nent encore, par le principe du n° iSy, en identifiant la valeur
obtenue pour d^u avec l'expression générale de cette différen-
tielle
/' d d ^^
"""-C^*^-^ + 5^"^ + ■•■)"•
On peut aussi déterminer ces dérivées par des dérivations
totales successives effectuées sur les équations proposées par
rapport à chacune des variables indépendantes, mais le procédé
par différentiations totales successives sera généralement plus
pratique.
EXTRÊMES LIÉS I75
Exercices.
I. Calculer les dérivées successives de la fonction j' de x définie par
l'équation
Log V^' + J'^ ^ arc tg - •
dy x-\-y d'^y _ x- -\- y^
dx X — y' dx^ {x — y)'
2. Dérivées successives des fonctions jv et z àe x définies par les deux
équations
x-\-y -\- z=^ a, x'^ -]- y'^ -[- z"^ = b'~ .
dy z — x d^y 5b'^ — d^
ti.. ' — —
dx y — 2' dx^ {2 — yy*"
3. Différentielles totales et dérivées partielles de la fonction 2 des
variables x eiy définie par l'équation
R. d2 = — — (^ dx + 4^dy
z \a^ b-
d-^2
, z^ \ dx-^ . 2xy r y^ z^ \ dy''
4. Différentielles totales et dérivées partielles des fonctions ^ et m de ;»;
et j définies par deux équations
' x-\-y-\-z-\-u = a, X- -\~y- -{- z' -\-u' = b.
iu — x)dx + {u — y) dv , {z — x)dx-\- (z — y)dy
K. dz = ' — —,du= ,.••
z—u u—z
5. Etant données deux équations entre quatre variables x. y. u, v, on
peut considérer u, v comme fonctions de x, y ou x, y comme fonctions
de u, V. Les dérivées partielles de u, v dans la première hypothèse,
celles de x, y dans la seconde, vérifient les équations
du dx ,àvdx_ ^ ÉZ _i_ ^ É^ - -
dx du dx dv ~ ' dx du dx dv '
et deux autres analogues qu'on obtient en permutant ;r et r dans les
précédentes.
§ 3. Extrêmes liés.
174. Extrêmes liés d'une fonction explicite de deux variables. —
Soit f{x, y) une fonction différentiable de deux variables .v et 3'
liées entre elles par une équation différentiable
K(v. y) - <t.
176 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
en sorte que f ne dépend en réalité que d'une seule variable,
par exemple ^c. Il s'agit de déterminer ses maximes et ses mi-
nimes. Ceux-ci sont ce qu'on appelle des maximes ou des mi-
nimes liés.
En supposant toujours satisfaites les conditions d'existence
et de continuité, on est donc conduit à annuler la dérivée totale
de f{x, y), y étant considérée comme fonction de x. D'autre
part, j' s'obtient en dérivant l'équation F {x, y) = 0. On trouve
ainsi les deux équations :
dx^dy^~ ' ôx'^dy^~ '
d'où l'on tire, en éliminant y',
dxdy dydx
Cette équation, combinée avec F = 0, donnera les systèmes
de valeurs de x, y pour lesquels /"peut être extrémée. La véri-
fication pourra se faire au moyen du signe d^f.
175. Cas général. — Supposons que l'on cherche les maximes
et les minimes d'une fonction différentiable, f{x, y,.., u, v,...),
de m -h 71 variables liées entre elles par n équations indépen-
dantes et différentiables :
(1) Yi{x,y,...;u,v,...) = Q, (f - i, 2,... n),
de sorte que f ne dépend en réalité que de m variables indépen-
dantes, par exemple ;x;, y,... Laissant de côté les cas de discon-
tinuité, tout système de valeurs de ces m variables qui extrèmera
/"devra annuler sa différentielle totale (n*» 167). D'autre part,
les équations (1) peuvent être différentiées totalement. On est
donc conduit à poser le système de (n -h i) équations :
/■ |tdx + |?^dy + ... + ^d« + ...=0,
i dx dy "^ du
(2) { d¥i . , d^i . . . dFi , . „
-^^^ + ^^^ + -+^^" + - = ^-
{i = I, 2,... n)
Entre celles-ci, on peut éliminer les différentielles du, dv,...
des n variables indépendantes. L'équation résultante sera de la
forme
Mdx + Ndy + ... = ;
EXTREMES LIES I77
et, comme elle ne renferme plus que les m différentielles arbi-
traires, elle se décompose en m autres :
M = 0, N = 0,...
qui, jointes aux n équations (1), constituent un système de
(m + n) équations simultanées entre les (m + n) inconnues
oc, y,... u, V... En résolvant ces équations, on trouve les sys-
tèmes de valeurs des inconnues qui peuvent extrémer /'. 11
restera à discuter ces valeurs au moyen du signe de d^f ou
par toute autre méthode, cette discussion étant généralement
très compliquée.
176. Méthode des multiplicateurs de Lagrange. — L'élimination
des différentielles entre les équations (2) du numéro précédent
se fait généralement de la manière la plus commode par la
méthode des multiplicateurs, qui introduit plus de symétrie
dans les calculs. On multiplie respectivement les équations (2),
hormis la première, par des facteurs à déterminer \, \,... Xrn,
puis on additionne toutes ces équations (2) membre à membre.
On trouve un résultat de la forme
Adx + Mdy + ... -f Vdii }-... = 0.
On imagine que l'on dispose des m facteurs arbitrairs \ de
manière à faire évanouir dans cette équation les coefficients P,...
des m différentielles du,... qui ne sont pas indépendantes. Alors
il ne reste plus dans l'équation que les différentielles arbitraires,
de sorte que les autres coefficients doivent également s'annuler.
On est ainsi conduit à annuler les coefficients A, B,... P,... de
toutes les différentielles, ce qui fournit m + n équations :
dx^""' dx
4- V^^ + ... = (
àf , . dV\
du'^^' du
+ Vt+... = c
(3)
JjCS systèmes (1) et (3) renferment en tout um + n équations,
qui serviront à déterminer les valeurs des m -\- n variables x,
y,... u,... et des m facteurs inconnus Xj, ).2,... "k^.
llEMAuquE I. Le système (3) est le même que celui que l'on
V2
178 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
forme en chercliant les extrêmes libres de la fonction $, définie
par l'équation
<D = /•+ A, Fi + Ag F„ + ... \m Fm,
et dans laquelle on considère x, y,... u,... comme des variables
indépendantes et \, \,... 'km comme des constantes.
Remarque II. — La considération de la fonction <ï> est aussi
commode pour la discussion du signe de d^f. En effet, l'équation
$ = /"est une conséquence des équations (1) ; on a, en vertu
des mêmes équations, d^f = d^<ï> et aussi
d^d» =. d2/-+ \ d^¥, + ... + \md^Ym.
Remplaçons dans le second membre les différentielles se-
condes de /', F,,... par leurs expressions générales telles que
"^•*' - ii ". + ... + lclu + ...)' F + ^d'u + ...
IjCS termes en d^u, d-v,... disparaîtront en vertu des équa-
tions (3) et il restera
,2
rfY=d=<i. = (|^dx + ... + Adu + ...)'
<I>.
On peut donc remplacer d^f^dbV d^^, qui se calcule comme si
les variables étaient indépendantes et les X constants. Bien en-
tendu, pour la discution du signe de d^f, il faudra peut-être
encore éliminer les différentielles premières du,... des variables
dépendantes, mais l'introduction de <I> a eu pour avantage
d'éliminer immédiatement leurs différentielles secondes.
Exercices.
I. Trouver la route que doit suivre un rayon lumineux pour aller
d'un point A à un point B dans le moindre temps possible. Ces points
sont situés dans deux milieux distincts où les vitesses de la lumière
sont respectivement u et v. On suppose plane la surface de séparation
des deux milieux.
R. On voit de suite que cette route est dans le plan mené par A et
B normalement à la surface de séparation. Soient a et é les distances
de A et de B au plan de séparation, ;t; et v les angles respectifs du
rayon incident et du rayon réfracté avec la normale à ce plan. La
fonction qui doit être minimée est
a b
/(;V, VO- -\ —
// cos J' V cos y
EXTREMES LIES 179
avec la condition
a tg X -f h X^g y -= const.
On trouve sin x : sin_y == u : v.
2. Plus courte distance d'un point à un plan.
3. Triangle de périmètre minime inscrit dans un triangle donné.
R. C'est le triangle formé en joignant les pieds des trois hauteurs.
4. Déterminer les axes de la section faite dans un ellipsoïde par un
plan.
R. Soient, en coordonnées rectangulaires,
X'^ 1/2 2^
;^ + ïi- + 7r=^' Ix -]- my + nz = 0,
les équations de l'ellipsoïde et du plan. On doit extrémer la fonction
ri^x'^+y^-^-z-,
les variables étant liées par les équations précédentes.
La méthode des multiplicateurs donne
x + l,—-{-hl=^0, y+h — + hm=^0, z-^-y^iAr + Kn^O.
«2 O2 C-
On en tire
"■' ^%(J^X + f "■
hi — r^J ' W2 — r
Les carrés r^ des demi-axes de la section sont les deux racines de
l'équation
a^l^ b^m^ c^n^
5. Même problème pour la sur/ace d'élasticité
R. On trouve, pour déterminer les extrêmes de r, l'équation
y'i _l,'i^rz — c^
= 0.
6. Déterminer les axes de la conique qui a pour équation en coor-
données obliques
Ax2-\-2Bxy-\-Cy'^ = H.
R. Soit l'angle des axes. Il faut extrémer
r'^ =^ x^ -{- y'^ -\- 2 xy cos 0.
La méthode des multiplicateurs donne
A;t 4- By = ). {x + y cos 0), B.v + Qv = À {y -f x cos 0).
l8o CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
D'où Xy2 =^ H et les valeurs de X sont les racines de l'équation
(A — À) (C — À) = (B — X cos 6)2.
7. Problème analogue pour une surface du second degré.
8. Partager le nombre positif a en trois parties x, y, z, telles que
f =^x"*y" z^ soit maximée {m, n, p étant positifs).
R. On trouve facilement --- = - = -- = — t— n— , • Le caractère d'un
m n p m-\- n-\- p
maxime se vérifie immédiatement car on a, pour ces valeurs de x,y, z,
\ x~ y^ z~ J
§ 4. Changement de variables.
Il arrive fréquemment que l'on doive transformer les expres-
sions différentielles en substituant de nouvelles variables aux
anciennes. Ces calculs se font par l'application des régies géné-
rales de différentiation. Mais il peut être utile d'indiquer un
procédé systématique pour effectuer les transformations les
plus usuelles. Nous commencerons par résoudre une question
préalable.
177. Dérivées successives d'une fonction par rapporta une autre
fonction. — Jusqu'ici, pour calculer les dérivées successives de
y par rapport à x, on a considéré x comme la variable indé-
pendante et supposé dx constant, auquel cas,
La première formule subsiste, même si x est une fonction
{i\° 95, V), mais il n'en est plus ainsi des suivantes qui suppo-
sent dx constant (n" 117). Pour calculer les dérivées succes-
sives de y par rapport à ;x; au moyen des différentielles succes-
sives de ces deux variables, sans choisir x comme variable
indépendante, il suffit d'appliquer successivement la première
formule en observant les règles générales de différentiation.
On trouve de proche en proche
CHANGEMENT DE VARIABLES iSl
-^y-%
d^
(^)\ T)S. _ d-Bg^y dy ^ dxd^y — dy d^x
""-^ dx ^ dx dx^"
3 _d. D%y _ dx{dxd^y — dyd^x) — 3d^x(dxd^y — dyd^x)
et ainsi de suite. La loi générale est assez compliquée.
Soit maintenant t la variable indépendante. Proposons-nous
d'exprimer les dérivées successives de y par rapport à 5C au
moyen des dérivées successives de x et de y par rapport à t.
En désignant par des accents les dérivées par rapport à ^, on a
dx = x'dt, dKx = x"dt^, d^x = x"'dt\...
dy=^y'dt, dy = y"dt', d^y = y'"dt\...
Substituons ces valeurs dans les formules (1), dt disparait
du résultat, car les seconds membres sont homogènes et de
degré par rapport aux indices de différentiation. Il vient donc
•^ x"
(2) . Diy = "'y"
3 ,. _ «' (x'y" < - y x'") - 3x" (x-y" - .r'x")
\ ^xy — — — — • -ji , etc.
178. Fonctions d'une seule variable. — Soient 3^ une fonction de
la variable indépendante x, et
une expression renfermant ^c, y et les dérivées de y par rapport
à ;x; jusqu'à un certain ordre. La transformation de cette expres-
sion par un changement de variable donne lieu à deux: pro-
blèmes principaux :
1° Changement de la variable indépendante. Etant donnée
une relation
(4) ^-^{t)
entre x et une nouvelle variable i, on choisit t comme variable
indépendante au lieu de ;x;. Il s'agit d'introduire t au lieu de x
l82 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
dans V ot, par suite, les cl«?rivées de r ])ar rapport à t au lieu
ies dérivées par rapport à a*.
(>e problème peut être résolu au moyen des formules (2), où
l'on trouve les valeurs des dérivées de y par rapport à a* en
fonctions des dérivées x', x"..., y', y"... de x et de y par rapport
à ^ Ou substitue ces valeurs dans V, et l'on remplace x, x',
x"... par leurs expressions ^{t), ^' (t), (p"(f),... tirées de (4), le
problème sera résolu.
2*' Le deuxième problème est celui du changement de toutes
les variablest. Etant données deux équations
F {x, y, t, u) = 0, F, {x, y, t, u) = 0,
entre x, y et deux nouvelles variables t, u, on demande d'ex-
primer V au moyen de t, u et des dérivées de u par rapport à t.
Dérivons totalement les équations données par rapport à t, en
considérant x, y, u comme des fonctions de t prise comme
variable indépendante. Nous en tirons de proche en proche
(n° 178) les valeurs des dérivées x',y',x",y",... de x et j par rap-
port à f en fonction de x, y, u, u', «",... Substituons ces valeurs
dans les équations (2), nous obtenons des expressions de D^. j,
J)%y,... que nous porterons dans V. II ne restera plus qu'à
éliminer x, y au moyen des équations F == et F^ = 0. Le pro-
blème sera résolu.
Ce cas se présente lorsque, une grandeur géométrique étant
exprimée en coordonnées rectangulaires x et y par une expres-
sion telle que V, on veut la transformer en coordonnées polaires
r et ô par les relations
X ~ r cos 0, y == ^' sin 6.
Les accents désignant des dérivées par rapport à 9, on a
x' = r' cos 9 — r sin 9, y' = r' sin 9 + r cos 9,
^"=.= r"cos9 — 2r'sin9 — rcos9, y" = r" sin 9 4- 2r'cos9 — 7'sin9
et les relations (2) deviennent
_ ^ ®"^ 9 -h r cos 9 2 _ r- -\- ar'^ — rr"
''^'"r'cos9-r"sl]^' ^^'^" ~ (r'cos9-rsin9)=^'
Substituant ces valeurs de x, y, Da^r,... dans V, on aura
résolu la question.
CHANGEMENT DE VARIABLES l83
179. Fonctions de plusieurs variables. — Nous supposerons,
pour abréger, qu'il n'y ait que deux variables indépendantes,
mais la méthode sera générale. Soit H une fonction des deux
variables indépendantes x et y, et
une expression renfermant les variables et les dérivées par-
tielles de H jusqu'à un certain ordre. Comme dans le cas pré-
cédent, la transformation de cette ex-pression par un changement
de variables donne lieu à deux problèmes principaux :
1° Changement des variables indépendantes. On donne deux
relations entre x, y et deux nouvelles variables u, v :
(6) Fi {x, y, u, v) = 0, F2 {x, y, u, v) = 0.
On choisit u, v comme variables indépendantes au lieu de x, y
et l'on demande d'introduire u, v au lieu de x, y dans V et,
par suite, les dérivées de H par rapport à u, v, au lieu de celles
par rapport à x, y.
Il faut d'abord exprimer les dérivées partielles de H par rap-
port èb X, y en fonction des dérivées par rapport à, u, v. On y
arrive comme il suit : Prenant x, y comme variables indépen-
dantes, on différentie successivement les équations données
Fi = et Fg = 0. On en déduit, de proche en proche (n" 178),
les valeurs de du, dv, d^u, d^v,.,. en fonction de ^c, y, u, v, dx
et dy. Portant ces valeurs dans les expressions suivantes des
différentielles de H (n°* i56) :
dH = -^ — du A — T— dv,
du dv
d^H = \^—du -\- ^—dv pH -\ — K — d^u -j- — , — d^v,
\du dv J du dv
on trouve, en réduisant,
/ dH — p dx + q dy,
(8) ! dm =^rdx^ -{--2s dx dy (- t dy-,
où p, q, r, s, t,.., renferment x, y, u, v et les dérivées de H par
rapport h, u, v. Les variables x, y étant indépendantes, on en
conclut (n<* iS^)
l84 CHAPITRTÎ IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
du dn dm
ôx—^'^ ây—'' dx^-'' ^*«-
Ce sont les expressions des déi-ivées partielles qu'on se pro-
posait d'obtenir. On porte ces valeurs dans V et on élimine, s'il
y a lieu, x, y par les équations (6). Le problème sera résolu.
2° Changement de toutes les variables. On donne trois rela-
tions :
(9) Fi {x. y, H, u, V, K) - 0, F„ = 0, F^ -^ 0,
entre x, y, H et trois nouvelles variables ii, v, K. On demande
d'exprimer A^ en fonction de u, v, K et des dérivées partielles
de K considérée comme fonction de u, v.
Choisissant x, y comme variables indépendantes, on diffé-
rentie totalement les trois équations données et on en tire, de
proche en proche, les valeurs des différentielles successives de
u, V, K en fonctions des différentielles de x, y, H. Les diffé-
rentielles de K en particulier, sont de la forme
/ f/K -- A (Ix + B dy -{-CdJi,
(10) I r?2K = Dr/.\-2-f ...+ ErfH^ 4-Fr/2H,
\ , .
où A, B, C, D,... sont des fonctions connues de x, y, H, u, v, K.
D'autre part, portons les valeurs analogues trouvées pour
du, dv, d^u, d^v,... dans les formules générales :
rtK = -3 — du -f -3 — du,
\ du dv '
^^^^ \ \i2jr f ^ A , <^ ^ ^21.^ , à\< ,, , dK ,,
I d^K = ^- du -{--^dv rK-\ — r— dhi 4- — - d^v,
I \du dv J 'du ov
\ , .
il viendra, en réduisant,
/iK = M c?5c + N dy + P dH,
(12) ] d^K = Q dx-' + ... -f R dW -f S d^H,
où M, N, P, Q,... contiennent linéairement les dérivées par
tielles de K par rapport à u,v.
En égalant les valeurs (10) et (12) de dK, d^K,... il vient
(M _ A) dA; + (N — B) dy -f (P _ C) dH = 0,
(Q — D) d^c2 4- ... 4- (R _ E) dH^ H- (S — F) d^l = 0,
CHANGEMENT DE VARIABLES l85
La première équation donne dH. Portant cette valeur dans
la suivante, on en tire rf^H, et ainsi de suite. Les résultats sont
de la Forme
r/H ^- p (Ix -\- q dy,
dm = r dx' + 2 .s- dx dy -\- l dy'^,
où }>, (], r,... sont des fonctions rationnelles connues des déri-
vées de K par rapport à ii et v. On conclut de ces relations
- 'h ÀZTi = ^' etc.
^i _ dH _ dm
dx ~''' ôy "' ''' dx'
On portera ces valeurs dans V . On éliminera, s'il y a lieu, x, y,
H par les relations F, = Ko ^^ Kg — 0. Le problème sera résolu.
180. Premier exemple. — Soit H une fonction de deux variables, x, y.
On demande de transformer l'expression
par les formules de transformation des coordonnées rectangulaires en coordon-
nées polaires dans le plan :
(14) X = ucos V, i' = «sinî'.
C'est le premier des deux problèmes résolus au numéro précédent.
Suivant la méthode générale, on différentie les équations données et
il vient
dx ^^ (cos v) du — (sin v) u dv,
dy = (sin v) du -f (cos v) u dv.
On en tire
/JE» I du — COS V dx -}- sin V dy
( n dv - — sin v dx -f- cos v dy
et. en différentiant de nouveau,
d'-u = ( — sin V dx -f- cos v dy) dv — u dv-
du dv -\' u d^v — — (cos v dx-\- sinv dy) dv -= — du dv.
On a donc
d'^u = udv^, d-v = — 2 .
u .
Portant ces valeurs dans le seconde formule (7), elle devient
d^H = ^7 du' - - 2 ;r— r — )dudv-\-[ -r- - + «-V- dH.
du- \du dv u dv J \ dv- du J
Il reste à remplacer du et dv par leurs valeurs (15) et à ordonner par
rapport à dx et dy. La quantité V sera la somme des coefficients de
l86 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
dx^ et dy^. Or la somme de ces coefficients est égale à i dans le déve-
loppement de du^, à dans celui de du dv et à i : u^ dans celui de dv^.
On a donc immédiatement
na\ d^H I dm idH
^^^^ du^ '^ u^ d v^ u du'
181. Deuxième exemple. — Soit H une fonction de trois variables
x,y, z. Transformer l'expression
(17) v=^-^^+^^:m+^!5
^ *^ dx^ ^ dy^ ^ dz^
par les formules de transformation des coordonnées rectangulaires en coordon-
7iées polaires dans l'espace :
(18) X = usmw cosv, y ^^usinwsinv, z = ucosw.
On simplifie le problème en faisant la transformation en deux fois.
Posons d'abord u sin w = u\ et éliminons x, y par les relations
(19) x = UxCO&v, y = Uismv.
On aura, par la solution du problème précédent,
^ ^ âx^ ^ ây^ âu\ "^ ul dv^ "^ «i du,'
Eliminons ensuite z et Ui par les relations
(21) z = ucosw, Ui ^'usinw.
On aura
^ ^ dz^ '^ dul du^"^~n^ dw^'^u du'
Ajoutant membre à membre les équations (20) et (22), il vient
^ ^ dx-^ oy^ ^ dz^ du^ u^ dw^ u du
u\ dv^ ui dui
Il faut encore exprimer -r— au moyen de u, w par les relations (21) .
dui
Pour cela, on forme les valeurs suivantes, analogues aux valeurs (15):
du == cos w dz -]- sin w du\ , udw = — sin w dz -{- cos w du,;
on les substitue dans l'expression
dn dB.
dH=-^du + -^dw
CHAMGEMJÎNT DE VABIABLES 1B7
et, en cherchant le coefficient de dui. on trouve
dU àH . , ifJH
— = — - sin w H — 3— CCS w.
du\ Ou u Ow
Portant cette valeur dans (23), on a finalement
^ ' c)w-^ M (?M «• V dît/- sin a^ t^y^; y w^sin"'??' âv- '
18. Transformation de Legendre. — Dans certains cas, les rela-
tions qui lient les nouvelles variables aux anciennes renferment aussi
leurs dérivées. La transformation de Legendre en est un exemple
remarquable. Soit z une fonction de deux variables indépendantes
X, y. On pose
. _dz _dz
dx' ày'
On suppose qu'il n'y ait pas de relation entre /> et ^ et l'on se pro-
pose d'exprimer les dérivées secondes de ^ par rapport à ,r et à j/ en
prenant p, q comme nouvelles variables indépendantes, et, comme
nouvelle fonction, la variable u définie par l'équation
(1) u^px-\-qy — z.
En différentiant cette relation et en observant que l'on a
(2) dz = pdx^ q dy,
il vient
du = xdp -\-y dq.
On en conclut, p g\ q étant indépendants par hypothèse,
du du
dp"- rr''
puis, en diftérentiant ces deux relations,
d^u d^u d^u d^u
(3) V- dp + 3—- - dq -= dx, dp-\- ^—dq^ dy.
^ ' dp-' ^ ôpdq ^ âpdq dq^ -^
Les différentielles dx et dy étant arbitraires dans ces deux équations,
on en conclut que le déterminant
(5) K^p^-^-f^'"'
dp^dq^ \dpdq
est différent de zéro par hypothèse. Par suite, ces deux équations
peuvent se résoudre par rapport à dp et dq et il vient
,. I fd'u d'H \ I fd^u^ d'u . \
'^==H[dq-^''-d^dq'''J' ''=H[àp^''-lpdç'V-
l88 CHAPITRE IV. FONCTIONS IMPLICITES. CHANGEMENT DE VARIABLES
Portant ces valeurs dans la différentielle totale
d^z =dp dx -\- dq dy,
obtenue en différentiant l'équation (2) et en considérant x, y comme
les variables indépendantes, dx et dy comme constants, on trouve enfin
'' = H Ui ''' - ' ôpôç'''^+àf^ 'y'
Cette formule résout la question. On en conclut
^__L^ _^j!__ L ^^^ d'^u _ I d'^u
dx^~ H dq^' dxdy~~ U âpdq' d^^^lîdp^-
Exercices.
1. Exprimer les dérivées dey par rapport à a^ en fonction des déri-
vées x', x",... de X par rapport à. y.
2. Transformer, en prenant j/ comme variable indépendante, l'équa-
tion
dx dx^ \dx^J
R. On trouve x'" = 0.
3. Transformer, par la relation ;tr = cos t, l'équation
4. Transformer, par la relation x^Sji — t^, l'équation
R. L'équation conserve la même forme, t prenant seulement la
place de x. Donc, si_y = f {x) est une première solution de l'équation,
y = 'f {\Ji — x^) en est une autre.
5. Montrer que l'on a, par les relations x = r cos 6, ^ == y sin Ô,
, dy^^-i r dr^
3
CHANGEMENT DE VARIABLES 189
6. Transformer, par les relations m = xy, v = i :y, l'équation
^-~ + 2 xv^ -^ -1-- {y — j-0 -V" + xyz = U.
Ox- Ox Oy
R. L'équation conserve la même forme, « prenant seulement la
place de a: et î; celle de v'. Donc, s\ z=-<^ {x,y) est une première solu-
tion, ■3' = «p ( xy.- \ en est une autre.
7. Soit H une fonction des trois variables x, v, z. Transformer les
deux expressions
' \dx)^\dyj ^\
il,, = 1-
dz y ' ' dx- ' dy- dz^
par la substitution orthogonale
x = au-\^hv^civ, fl- + è'^ -l-c2 = 1, aa' + ii' -f ce' = 0,
V -^ a'« + Vv + c'zê', fl'^ + V-^ + c'2 = I , aa" + hV^ + <^<;" = 0.
z =^ a"u -f è"v + c"7i>, a"-' + ^"- + c"' = i , a' a" + è'è" + c'c" =- 0.
R. Les expressions A, et A.,, conservent la même forme, u, v, w rem-
plaçant x, y, z.
CHAPITRE V.
Intégrales indéfinies. Méthodes classiques d'intégration.
§ 1. Procédés généraux d'intégration.
183. Problème des quadratures. — Le calcul intégral est l'in-
verse du calcul différentiel. Il a pour objet de remonter des
relations données entre les variables et leurs différentielles
aux relations qui existent entre les variables seulement.
La première question traitée dans le calcul différentiel était
de trouver la dérivée ou la différentielle d'une fonction donnée
f{x). Le calcul intégral doit débuter par la question inverse :
Une fonction f{x) étant donnée, trouver toutes les fonctions
qui ont f{x) pour dérivée ou, ce qui revient au même, f{x) dx
pour différentielle.
Ce problème a reçu le nom de Problème des quadratures,
d'après le problème de géométrie auquel il est étroitement lié
et que nous étudierons plus loin. On doit d'abord se demander
s'il existe toujours une fonction ayant pour dérivée f{x), ou si
le produit de f{x) par dx constitue toujours une différentielle.
Nous prouverons bientôt, en exposant la théorie des intégrales
définies, qu'il en est bien ainsi dans tout intervalle où la fonc-
tion f{x) est continue. Nous admettrons provisoirement ce
résultat dans le chapitre actuel et nous supposerons une fois
pour toutes que la condition de continuité est réalisée dans les
théorèmes généraux que nous allons énoncer.
184. Fonction primitive. Intégrale indéfinie. — Une fonction F (x)
qui a f(x) pour dérivée ou f(x) dx pour différentielle s'appelle
une fonction primitive de f{x) ou une intégrale de f{x) dx. On
dit aussi une intégrale de f{x).
La connaissance d'une seule fonction primitive de f{x) four-
PROCEDES GENERAUX D INTEGRATION I9I
uit la solution complète du problème des quadratures. Ou a,
en effet, le théorème suivant :
Soit f{x) une fonction continue ; si F (a-) a pour dérivée f(x)
dans un intervalle (a, b), l'expression
F(a:)4-C,
où C est une constante arbitraire, représente, dans cet inter-
valle, toutes les fonctions qui ont pour dérivée f{x).
En effet F{x) + C a pour dérivée f{x) ; et, réciproquement,
toute fonction qui a f{x) pour dérivée, ayant la même dérivée
que F{x), ne diffère de F{x) que par une constante (n" io5).
D'après cela, la fonction F(a:) + CoùC est une constante
arbitraire, est la fonction la plus générale qui ait f{x) pour
dérivée et f{x) dx pour différentielle. Cette fonction se nomme
Vintégrale indéfinie ou générale de f{x) dx et se représente par
la notation
J f{x)dx,
qui comprend implicitement la constante arbitraire.
185. Propriétés des intégrales indéfinies qui résultent immédiatement
de leur définition. — i*^ Par définition de l'intégrale indéfinie, on
a la relation
d I f{x) dx ^ f{x) dx.
Donc les signes d et J se détruisent quand le signe d est placé
devant le second.
Pareillement, par définition,
D (f{x) dx =-- f{x).
2° F (x) étant une intégrale de d F (x), on a
j*dF(.v) =F(a:) + C.
Donc les signes (/ et J se détruis nt encore devant F{x) quand
le signe d est le second, mais il faut ajouter une constante arbi-
traire à la fonction F (x).
3° Un facteur constant peut être mis hors du sig^ne d'intégra-
tion, c'est-à-dire que, si a est constant,
I a f{x) dx = H \ f(x) dx.
192 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
En effet, les deux membres out af{x) pour dérivée. Donc ils
ne peuvent différer que par une constante. Mais, comme ils com-
prennent tous deux une constante arbitraire, ils ont le même
sens.
4° L' intégrale indéfinie d'une somme de différentielles est égale
à la somme des intégrales de chacune des différentielles. Ce
théorème est exprimé par la formule
(h + y — m -f- •••) dx = udx -\- I vdx — wdx ^- •••
En effet, les deux membres, ayant la même dérivée (u -[- v —
IV + •••), ne pourraient différer que par une constante ; mais,
comme leur définition comporte une constante arbitraire, ils
)nt la même signification. 11 est vrai qu'il y a en apparence
plusieurs constantes arbitraires dans le second membre, car
chaque terme en comporte une à lui seul, mais, comme ces
constantes s'ajoutent entre elles, elles se réduisent en réalité à
une seule distincte.
186. Intégration immédiate. — Les résultats trouvés dans le
calcul différentiel permettent d'écrire immédiatement les inté-
grales de quelques différentielles simples. En effet, lorsque,
dans l'expression à intégrer, on reconnaît la différentielle d'une
fonction connue F (oc), il suffit d'ajouter à celle-ci une constante
arbitraire pour obtenir l'intégrale. Cette remarque, appliquée
au tableau des différentielles des fonctions élémentaires, con-
duit à former le tableau suivant, qu'il importe de bien posséder
par cœur :
J'a- dx = -^l^ + C, je- rf.v = e- + C,
I sin ;x; dx = — cos a- + C, cos x dx = sin x + C,
C dx ,. Ç dx ^ , t.
-^- =■ tgA; + C, -7-^ = — eot X + C,
Jcos^a: ^ jsm^A:
dx
^ — arc tg a: -f C = — arc cot a* -\- C,
I + a;
dx
= arc sin a -f- C = — arc cos a 4- C,
Vi — X''-
dx
— -== arc sec x -\- C =^ — arc cosec a -f C.
av'a^'- — I
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATION igS
Nous allons indiquer maintenant les principaux artifices à
l'aide desquels on peut ramener l'intégration des différentielles
plus compliquées aux formules du tableau précédent. Ces arti-
fices sont au nombre de trois : i*> Décomposition en éléments
simples ; 2° changement de variables ; S*' intégration par parties.
187. Intégration par décomposition. — C'est l'application de la
propriété énoncée au n° i85 (4°). Si l'on peut décomposer la
différentielle f{x) dx en une somme de termes que l'on sait
intégrer, en faisant la somme des intégrales de chaque terme,
on obtiendra l'intégrale de f{x) dx.
Cette méthode s'applique à un polynôme ;
f
X^ 5C"+*
(ao + ai5c + ... + a„5C")d«; = aoX-\- a^ 1 h a„ — r— + C.
Elle s'applique aussi à d'autres fonctions, par exemple,
r dx ^ r (sin' X H- co s^ x) dx Ç dx Ç dx
J sin* X cos* X J sin* x cos'' x ~ J cos^"^ "^ J sin'-'"^'
I
dx
= tg ;>C — COt 5C -f- C.
sm^ ;x; cos* x
188. Intégration par substitution. — Cette méthode résulte de
la règle de différentiation des fonctions de fonctions. Propo-
sons-nous d'exprimer J f(x) dx à l'aide d'une nouvelle variable t,
liée à X par l'équation
X =^ <f) (t).
Je dis qu'il suffit de faire la substitution sous le signe f,
c'est-à-dire que l'on a, f (t) ayant une dérivée continue (f'{t),
jf{x)dx=jf[:f{t)]<^'{t)dt,
En effet, les deux membres, ayant la même différentielle
f{x)dx = f[<f{t)]^'{t)dt,
ne peuvent différer que par une constante, mais, comme ils
comportent une constante arbitraire, ils ont le même sens.
On voit que, si l'on choisit la substitution de manière à rame-
ner f{x) dx à une forme que l'on sait intégrer, on obtiendra
l'intégrale en fonction de t. Pour l'exprimer en fonction de x,
il suffira d'y remplacer t par sa valeur tirée de .v = cp(/).
i3
Iq4 chapitre V. INTÉGRALES INDEFINIES
, . . t ^ at
On obtient ainsi, par les substitutions x = -et x = -^,
J aj a a
û-^^^— ^ A f--7^ = A- arc tgt+C^^avctg^ + C.
Ja'-\-bKx' abji + t- ab ^ ^ ab ''a
De même, par substitution x— p == qt, on obtient l'intégrale,
que nous rencontrons bientôt (n° 196) :
Remarque. — Dans les cas simples, il est inutile d'introduire
de nouvelles lettres et la substitution se fait mentalement.
Ainsi on écrit, sans passer tout au long par la substitution
P
c.
<f{x)
En particulier,
Ja + bx b) a + bx b ^^ ^ ^
i 2{x-p)d x ^ rd[{x-py + q^ _ -j^ ^(^ _ y ^ ,^ _|_
189. Intégration par parties. — Cette méthode est une consé-
quence de la règle pour différentier un produit. Soient m et u
deux fonctions de «;, on a
duv = udv -\-vdu, d'où udv =- d.uv — v du.
Il vient donc
\udv= (d.uv— \vdu.
Mais le premier terme du second membre est égal k uv + C ;
et, comme cette constante C peat être comprise dans le second
terme, il reste simplement
iudv -=uv — \vdu.
Cette formule renferme la règle d'intégration par parties.
Elle ramène l'intégration de 11 dv à celle de y du, qui peut être
plus facile.
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATION IqS
Soit, par exemple, à intégrer xe^dx. On pose x = u et e^^ v
(d'où e^dx ^ dv). Il vient alors
jjce^d^x; = xe^ — e^cf^c = xe^— e^4- C.
190. Combinaison de diverses méthodes. — On doit souvent em-
ployer successivement plusieurs des méthodes précédentes
pour effectuer complètement l'intégration. En voici quelques
exemples :
i**) En intégrant d'abord par parties et ensuite par substitu-
tion, on trouve
larctgica^c == ocarctgac — \~ZL — 1~ ^^^^&^ ^^^ — — -■\-C
2°) On trouve, en intégrant d'abord par décomposition et en-
suite par substitution,
} a^ — b^x"^ Q.aja^bx 2a J a — bx 2ab a — bx
3°) Par la substitution .v = a sin (p, il vient d'abord
1 dx\Ja^ — x^ = a* I cos^cpdip.
Ensuite, en effectuant la décomposition par la formule
, I + cos 2<p
COS^CD = î-,
2
il vient
a^ I cos*(pd(p = — 1 ^<p H 1 cos 2fd<f
aV . sin2^\ ^^
-—[ 9 +
2 V ' 2
Enfin, en revenant à la variable x, on trouve
I
a^ . X xsja^ — x^
dx\/a* — x"= — arc sin- -1 \- C.
^ 2 a 2
191. Formules de réduction. — Pour fixer les idées,. considérons
un exemple. Soit à intégrer ^c^e*"^ dx. Appliquons la formule
d'intégration par parties, en regardant e^^dx comme une diffé-
rentielle dv (n° 189) ; il vient
[x'^e^-^dx = .v" \x^-U'"^dx.
196 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES
Cette formule ramène l'intégrale du premier membre à une
intégrale de même forme, mais où l'exposant n est abaissé d'une
unité. Si n est entier et positif, cette formule s'aj)plique de
proche en proche et change successivement n en {n — i),
(n — 2),... jusqu'à ce que l'exposant de x soit abaissé à zéro. Il
n'y a plus alors qu'à intégrer e^^dx, ce qui est immédiat. Une
formule telle que la précédente, qui s'applique de proche en
proche et permet de simplifier de plus en plus l'intégrale pro-
posée jusqu'à ce qu'on sache l'intégrer, est une formule de ré-
duction. Nous en rencontrerons de nombreux exemples.
192. Dérivation par rapport à un paramètre. — Soit f{x, a) une
fonction de la variable x et du paramètre a ; supposons qu'on
ait obtenu, en considérant a comme une constante indéterminée,
(1) jf{x,a)dx = F{x,a) + C.
.le dis que l'on peut en déduire, en dérivant par rapport à a
sous le signe J ,
(2) Jd„ f{x, a) dx = I)aF{x,a) + C.
Cette règle suppose seulement que les conditions de continuité
des dérivées partielles de F qui assurent l'égalité F" = F"
soient vérifiées (n° i53).
En effet, les dérivées par rapport à la variable x des deux
membres de l'équation (2) sont respectivement
J)af{x,a) et D^DaF(«;,a).
Ces deux dérivées sont égales, car on peut intervertir par
hypothèse D^; et D^ , et l'on a
Ba:.DaF{x, a) = Da.D^F(.Y, â) = Baf{x, a).
Les deux membres de l'équation (2), ayant même dérivée, ne
diffèrent que par une constante par rapport à x. Mais, comme
ils comprennent tous deux une constante arbitraire, ils ont
exactement le même sens.
Le résultat précédent peut être généralisé. En dérivant suc-
cessivement l'équation (2) par rapport à a et en admettant
toujours que les conditions de continuité des dérivées partielles
PROCKDKS GKNKRAUX d'iNTÉGRATION jq-r
cousidérées restent vérifiées, on peut aussi conclure de l'équa-
tion (1) à la suivante
(8) Jl>2 f{x, a) dx = B^F{x, a) + C.
La règle précédente fournit un procédé commode d'intégra-
tion. En voici quelques exemples :
1° On a, pour a différent de 0,
J
cl
Les conditions de continuité sont remplies. Dérivons n fois
par rapport à a et observons que
nous obtiendrons, par la règle précédente,
(4) \x^e^^dx = D»~4-C.
J "a
Cette intégrale a été obtenue autrement au n" 191.
2" Soit a > ; on a, comme cas particulier d'un résultat pré-
cédent {n° 188),
h
dx I , .Y
; = — ^arctg— ^ f C.
X -^a ya \ja
Les conditions de continuité ont lieu. Dérivons n— i fois
par rapport à a et observons que
D«-l ^— ^(—,\n-i (^ — i)-'
« x^ + a ^ '^ T^^-T^'
nous obtiendrons, après division par (— i^-i (n _ i) !,
Les formules (4) et (5) ramènent le calcul des intégrales pro-
posées dans les premiers membres à des déterminations de
dérivées et fournissent pour ces intégrales des expressions très
condensées. Elles s'appliquent aussi bien au cas où l'on donne
à a des valeurs particj^Jières. La formule (5), par exemple, four-
nit un procédé pour calculer l'intégrale classique
dx
/(
198 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES
Mais il faut effectuer les dérivations par rapport à a avant
de faire a = i. Toutefois le procédé le plus pratique pour cal-
culer cette intégrale consiste dans l'emploi d'une formule de
réduction indiquée plus loin (n° 206).
193. Variabilité de forme de l'intégrale. — i" L'intégrale d'une
même fonction peut s'écrire sous des formes en apparence
différentes. Cela provient de ce que l'on peut séparer de la con-
stante arbitraire une constante déterminée pour la réunir à la
fonction intégrale. Ainsi, au lieu de l'expression habituelle
arc tg :>c + C, on peut donner à l'intégrale les formes équiva-
lentes :
(J^ -V* T
j qr^ = (arc tg a; — arc tg i) 4- C = arc tg j-^-^ -f C.
(arc tgx -\- arc tg i) -|- C = arc tg —^ — \- C.
2** L'intégrale d'une même fonction peut se présenter sous des
formes analytiques nécessairement différentes lorsque x varie
dans des intervalles différents. Cette remarque s'applique à
l'intégrale
dx
/
x — a
= Log (x — a) -h C.
Les quantités négatives n'ayant pas de logarithme réel, cette
formule suppose 5c > a. Si «; < a, on a
La forme de cette intégrale change donc suivant que x est > a
ou que ;x; est < a. Afin de ne pas revenir à chaque instant sur
cette distinction, nous conviendrons, une fois pour toutes, que,
lorsque la valeur d'une intégrale renferme un logarithme, la
quantité sous le signe logarithme sera prise en valeur absolue.
ExERCici;s.
1° Par substitution :
sm axdx = 1- C. ~. — Log tg ;p + C,
a j sm X cos x
( dx ■ ^ , n r xdx .— -•
I ^=1== = arc sm— + C. ______ == _ y^2 — x^-\-C.
J\Ja^—x^ « J\Ja^ — x^
PROCÉDÉS GÉNÉRAUX d'iNTÉGRATTON 199
f ( xdx I f ^L _L r
r _i-_=-L arctgr-^tg.)+C. r^^ = tg^ + C. .
)i-\rCOS^x ^2 W2 ^ ji+cos;»; 2
2° Par décomposition :
(tg^xdx=^tgx-x + C. jdx^^^^ = 3.vcsmx-\/i-x''+C.
C 1 j i/^ sin6;i; sin4;>^ sina;»^ \ ^
CCS ;rcos2;vcos 3 ;»?«;»; =-1—^ 1 r ^ ^^^t^*^-
I.
'^^ ' ■ -^— +2Logtg;r+C.
sin^ ;r cos^ x 2 cos^ ;>; 2 sin^. ,r
30 Par parties :
I
<i;p arc sin ;i; = AT arc sin a; + Vi — •*^''' + C.
J=
AfiA;
arr.sin^ = ;y — Vl — x^ arc sin^r+C.
I
J
Vi — *
xdx
COS* AT
= ;t tg a; + Log cos/; + C.
/?«* (sin AT + « ces at)
40 Combinaison de diverses méthodes :
"* dx^ V^ —a^ —a arc cos - + C.
I'
X
I:
i;t: _ flAT 4- è Log {a cos a; + ô si n a;) ^
a-\-btgx^ a^ + b^
j X tg^AT dx = x\.gx -\- Log cos AT h c.
(7 ^^-^. v^ = tg ( A? + arc tg ;J ) + C.
j{xcosx — sm a;)- \ xj
/
I
1+ cos AT 2
arcsinA^iAT a? arc sin at i 9\ i /-
^3-= — ^ z-l — Log (I — a;2) + c.
/• ^arctg:r^;y <« "« *g ^ (fl + A;)
Af* arc tg xdx i . i
/-
= arc tg AT (;ir arc \gx) Log (i + x'^) + C.
X + a;2 "^^ ' 2 2
N. B. Les trois derniers exercices se ramènent à d'autres qui pré-
cèdent, le premier par la substitution x = sin «p, et les deux autres par
la substitution a; =^ tg f .
I>()0
CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES
§ 2. Intégration des fractions rationnelles.
194. Décomposition de la fraction à intégrer. — Soit à calculer
l'intégrale
/:
dx,
Fix)
où f{x) et F(x) sont des polynômes entiers à coefficients réels.
Quand f{x) n'est pas de degré moindre que F(;x:), on commence
par effectuer la division. Le quotient f{x) : F(;x;) se décompose
en une partie entière et une fraction proprement dite. L'inté-
grale de la partie entière s'obtient immédiatement (n» 187) et
l'on est ramené à intégrer une fraction proprement dite.
Supposons donc que l'expression à intégrer ait été débar-
rassée de sa partie entière et que f{x) : F{x) soit une fraction
proprement dite. Décomposons F{x) en ses facteurs linéaires
et soit
F(x) = {x — a)^(x — bf ...
On sait en déduire (n° 144) la formule de décomposition de
f{x) : F{x) en fractions simples. Soit :
/ f(x) _ A, ^2____, , Ag
k F{x) x-a^{x — ay^""^(x-'a)^
Sous cette forme, la fonction est préparée pour l'intégration.
Nous rangeons les termes de la décomposition en deux caté-
gories, comprenant ; la première, les termes de la première
colonne où le dénominateur est du premier degré ; la seconde,
les autres termes où le dénominateur est de degré supérieur au
premier. Il n'y a donc de termes de la seconde catégorie que si
F {x) Sb des racines multiples.
195. Intégration dans le cas des racines réelles. — Si toutes les
racines a, b,... sont réelles, tous les termes de la décomposi-
tion sont immédiatement intégrables et l'on obtient la formule
d'intégration
INTEGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 20I
^^ ^ {x-b) ^-^x-b)P-
+ •••
L'intégrale se compose d'une partie logarithmique et d'une
partie rationnelle. La partie logarithmique est la somme des
intégrales des termes de la première catégorie et la partie
rationnelle la somme des intégrales des termes de la seconde.
196. Intégration dans le cas des racines imaginaires. — Si toutes
les racines ne sont pas réelles, si, par exemple, les racines a,
b,... sont imaginaires, les logarithmes qui figurent dans la for-
mule (2) n'ont plus de sens, au moins jusqu'à présent, et nous
verrons dans un instant par quoi il faut les remplacer. Mais il
n'y a rien à changer aux autres termes qui sont rationnels. En
effet, ce sont bien des fonctions primitives des termes corres-
pondants de la formule (1), à condition de se placer au point de
vue plus général de la différentiation des fonctions d'une va-
riable complexe. D'ailleurs les imaginaires ne jouent qu'un
rôle transitoire. Il suffit de faire la somme de ces termes pour
rendre à l'intégrale la forme réelle. Nous allons montrer, en
effet, que, x étant réel, les imaginaires se détruisent.
Les coefficients de F{x) étant réels, à toute racine imaginaire
a correspond une racine conjuguée b du même degré de multi-
plicité. La loi de formation des numérateurs de la formule de
décomposition montre ensuite (n'^ 143) que les nombres complexes
Al et Bj, Ag et B2,... sont conjugués deux à deux. Donc les
fractions écrites sur la première ligne dans la formule (2), sont
conjuguées des fractions écrites en dessous dans la seconde et,
par conséquent, leur somme sera réelle.
Les termes de la seconde catégorie s'intègrent donc de la
même façon que les racines a, b,... soient réelles ou imaginaires.
Il n'en est plus ainsi pour les termes de la première catégorie.
Lorsqu'il y en a d'imaginaires, il faut, avant d'intégrer, com-
mencer par ajouter deux à deux les termes conjugués. Après
quoi, l'intégration se fait de suite. Soient, en effet, a. /; deux
racines imaginaires conjuguées. On peut poser
^ = p-\- qi, b ^p — qi \ , .-:. M I- X/\ IJ, = M _ x/.
202 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
p, q, M, N étant réels. Il vient alors, en ajoutant les termes
conjugués, ce qui donne une somme réelle,
A, Bi _ M + Nt M — Nt ^^ M(jc — p) — gN
x — ax — b~ X — p — qi x — p + qi {x — pf -\- q^
KAi , Bi ^ _ r a {x — p) dx Ç qdx
^^ZI-a^^c::Zb) «f«^ - J^ J (^_;,)2^g2 2P^ J {x-pf + q^-
Ces intégrations ont été effectuées au n° i88. On trouve donc
(3) J(^ + ^Zh) ^^=^ ^«^ t(^ -pY 4- g*] - 2 N arc tg^.
Remarque. — Si l'on observe que l'on a
, x — p Tt .X — p
arc tff ~ --= arc cot
q 2 q
et que — {x — p) : q est la cotangente de l'argument de a; — p — qi
ou 5C — a, on voit que
arc tg ==■ - 4- arg. {x — a).
Comme on peut négliger le terme constant, on obtient pour
l'intégration des termes conjugués la formule pratique suivante :
-+■ conj. ] dx = 2M Log \ x — a | — 2N arg {x — a)
/
X — a
= Log. \ X — a \ ^^ — arg. {x — a)^^
Sous cette dernière forme, la formule a l'avantage de se prê-
ter immédiatement à la réduction des termes semblables (une
somme d'arguments étant égale à l'argument du produit des
nombres).
De là, le théorème fondamental suivant :
197. Théorème. — Toute fonction rationnelle s'intègre par
les fonctions élémentaires. L' intégrale se compose généralement
d'une partie transcendante et d'une partie rationnelle. La frac-
tion à intégrer étant débarrassée de sa partie entière, la partie
rationnelle provient de l'intégration des fractions simples de la
seconde catégorie ; elle n'existe que si le dénominateur, ¥{x), a
des racines multiples. La partie transcendante provient de l'in-
tégration des fractions simples de la première catégorie ; elle se
compose exclusivement de logarithmes si F{x) a tontes ses
racines réelles ; elle peut, en outre, comprendre des arcs tan-
gents (ou des arguments) s'il y a des racines imaginaires.
INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 203
198. Calcul direct de la partie rationnelle de l'intégrale. — La mé-
thode exposée dans les numéros précédents suffit déjà pour
effectuer en pratique l'intégration des fractions rationnelles.
Mais, dans le cas où l'intégrale a une partie rationnelle, elle ne
conduit pas aux calculs les plus simples. En effet, la détermi-
nation des numérateurs de la formule de décomposition est
laborieuse dans le cas des racines multiples, surtout si elles
sont imaginaires. La méthode que nous allons indiquer et dont
le principe est dû à Hermite, permet de trouver directement
la partie rationnelle de l'intégrale et d'achever le calcul par
l'intégration d'une fraction rationnelle dont le dénominateur
n'a plus que des racines simples. La décomposition se fait alors
très simplement par la formule de Lagrange (n° i45)- Cette mé-
thode repose sur les considérations suivantes :
La somme des termes de la première catégorie dans la for-
mule de décomposition (l) est une fraction proprement dite
X : P, où
(4) V = {x — a){x — b)...
D'autre part, la somme des termes rationnels dans le second
membre de la formule d'intégration (2) est une fraction propre-
ment dite Y : Q, où
(6) Q. = {x — a)«-i {x — b)P-'-
La formule d'intégration (2) devient ainsi
w jl^^^-l+l^"-
Dans cette formule, Y : Q et X : P sont des fractions propre-
ment dites et le polynôme P n'a que des racines simples. Je
dis qu'une décomposition qui possède ces caractères n'est pos-
sible que d'une seule manière.
En effet, si l'on avait deux décompositions semblables, à
savoir
on en déduirait, par dérivation, la relation équivalente
>^Q qJ p, p-
2o4 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES
Supposons qu'on remplace chacune de ces quatre fractions par
une somme de fractions simples ; ces fractions simples se
détruiront dans chaque membre séparément. En effet, comme
la dérivée d'une fraction simple est une fraction de la seconde
catégorie, le premier membre ne contient plus après la dériva-
tion que des fractions de la seconde catégorie, tandis que le
second n'en contient, par hypothèse, que de la première. Ces
fractions doivent donc se détruire, car la décomposition en
fractions simples est unique. On en conclut
Q Qi' P P/
c'est-à-dire que les deux décompositions sont les mêmes.
D'après cela, on peut déterminer directement Y : Q et X : P
par la méthode des coefficients indéterminés. En effet, dérivons
la formule (6) ; il vient
Le polynôme Q, défini par la formule (5), est le plus grand
commun diviseur entre F et sa dérivée et s'obtient par des cal-
culs rationnels. Le polynôme P, défini par la formule (4), est
le quotient de F par Q et s'obtient aussi par des calculs ration-
nels. Les deux polynômes P et Q étant connus, on remplacera
dans la formule (7) X et Y par des polynômes à coefficients
indéterminés, de degré immédiatement inférieurs à ceux de P
et de Q respectivement. En effectuant la dérivation indiquée et
en multipliant la formule (7) par F -- PQ, il viendra
/•(«:) = PY'-Y^ 4- QX.
On voit de suite, Q'P étant multiple de Q, que le second
membre est un polynôme de degré immédiatement inférieur à
celui de F. En égalant les coefficients des mêmes puissances
de X dans les deux membres, on aura le nombre d'équations
linéaires nécessaire et suffisant pour déterminer les coefficients
inconnus de X et de Y .
Remarque. — La méthode précédente permet de trouver la
partie rationnelle de l'intégrale sans résoudre l'équation F(.v)=-0.
INTÉGRATION DES FRACTIONS RATIONNELLES 2o5
Elle met immédiatement eu lumière un fait important. ( ''est
que la partie rationnelle de l'intégrale est rationnelle non seule-
ment par rapport à la variable x, mais aussi par rapport aux
coefficients de f{x) et F(^). Cette même remarque s'applique à
la fraction X : P, qui reste à intégrer pour obtenir la partie
transcendante de l'intégrale.
199. Exemple. — Soit à intégrer
/(^) I
F(Ar) ^3 — 1)2
Puisque ¥{x) a des racines multiples, l'intégrale a une partie ration-
nelle. On la détermine par la méthode du numéro précédent. Le po-
lynôme Q de la théorie générale s'obtient en diminuant d'une unité
l'exposant des facteurs simples de F(;»;) ; il est égal à x^ — i. Donc P
est aussi égal à. x^ — i. Les polynômes inconnus X et Y sont, par
suite, du second degré. On pose donc
r dx ^ ax^ +bx- \-c Ç ex^+fx -
on dérive et on chasse les dénominateurs. Il vient
i = {x^ — i) {2ax + b) — 3x^ {ax^ -^hx-\-c)-\- {x^ — i){ex^ +/x + g).
L'identification des deux membres fournit le système d'équations ;
e = 0. /—a = 0, g — 2b = 0,
e + 3c=0, /+2a = 0, g + 2è = — i,
d'où l'on tire les valeurs des coefficients inconnus :
e = 0, a = {), b^ — i:3.
c = 0, /— 0, g = — 2:3.
On a donc
/gv C dx ^ _ £ X _ 2 r dx
^^ J(«3 — l)^ 3 ;r3 — I 3J x^ —
Le calcul de la partie transcendante de l'intégrale exige la détermi-
nation des racines de x^ — i, qui n'a plus que des racines simples
a, b, c, ayant pour valeurs :
-i+»V3 . -i-i\/3
a = 0= , c=i.
2 2
Les coefficients de la formule de décomposition :
X' — I x — a X — b X — I
206
CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES
se calculent par la règle du no 145. La dérivée de x^ — i étant 3x^,
et a^ étant égal à i, on a de suite
I a
-i+»V3
= M + Nt, B = M — Ni, C = j.
On trouve, par la formule (3),
I
-^- = — ^ Log {x^ + x+ i)-
x^ — I 6
+ jLog(;^-i) + C.
V3 ^ 2;t+i
^-arc tg p~
3 \/3
Portant cette valeur dans (8), il vient enfin
i
dx
{x^ — 1)2
3 x^—i
2 V3 , 2 ;»; + I
arc tg
+ -Log
9
9 V3
L i^-^r J
+ C.
Exercices.
I. Démontrer les formules suivantes :
{x^ — X -{- 2) dx _i ^ (^ + i)M^ — a) , r
;r2rfAr
I
I
;t;V3
i_ a; — i,V2 , ^ 1/-
-=-Log— 7— :+-^arctg-— ^ + C.
^* + ,i;2 — 2 6 ° x + i 3 ^2
J
Sat — 6
I-X^" 12 ^ (l-^)Hl-^ + ^') 2^3
arc tg
i—x'
+ C.
2. Soit /(;*;) un polynôme de degré < n ; démontrer la formule
'/{x)dx I
/
D«-i
(;i; — a)" (k— i)! "
fia) Log (;\? — a)
+ C.
R. C'est une application de la méthode de dérivation (n» 192). On
intègre par rapport à x, puis dérive n — i fois par rapport à a la formule
X— a ■ X— a
où P (;*;, a) est un polynôme en a de degré < n.
3. Soit f{x) un polynôme de degré < 2 w. On le met sous la forme
^^;j;2) -\-x'^ {x'^) où «p et 4> sont des polynômes en x'^. Soit a > ; on a
{x''-\-aY («-I)! « L V« V'ï '^ -•
R. Solution analogue à la précédente.
I
INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 207
§ 3. Intégration des irrationnelles algébriques.
200. Rationalisation et réduction. — On a vu, dans le paragraphe
précédent, que les différentiell^.s rationnelles s'intègrent par
les fonctions élémentaires. Il n'en est plus ainsi pour les diffé-
rentielles irrationnelles que dans des cas particuliers. Lorsque
cette intégration est possible, elle se fait généralement par l'un
des deux procédés suivants : i° ou bien on rend la différentielle
rationnelle par une substitution, ce qui ramène au cas précé-
dent ; 2° ou bien on établit une formule de réduction qui fait
dépendre l'intégrale cherchée d'une autre plus simple, celle-ci
d'une autre plus simple encore, et ainsi de suite jusqu'à ce que
l'on arrive à une intégrale connue. Nous rencontrerons d'abord
des applications de la première méthode.
201. Différentielles où figfiirent des exposants fractionnaires. —
Théorème. Si a, b, c, f sont des constantes quelconques ; a, p,...
des exposants rationnels et R (x, y, z,...) une fonction ration-
nelle de X, y, z,..., l'intégrale
j R \x,
fax -h fc Y r?^±^v
\cx + f) ' \cx + fj ■
dx
est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une
différentielle rationnelle.
Soit m le plus petit commun dénominateur des fractions
a, p,... et f une nouvelle variable ; la substitution
ax+b , „ . ft^—b
^±-L-„=t"', d'où x=^' -^ = p(0
ex -{- f a — ct"^ ^ ^ '
rendra la différentielle rationnelle. En effet, l'intégrale devient
ainsi
'' 9\t)dt
Jr \^{t), t^^, t^^,...
et la différentielle sous le signe f est rationnelle, car p (^) et,
par suite, p'(f) sont des fonctions rationnelles de t et les expo-
sants ma, m^,... sont entiers. On intègre par les procédés du
paragraphe précédent et l'on revient, s'il y a lieu, à la variable
X par la substitution
~ ex 4- f
2o8 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES
Dans les applications, on rencontre souvent le cas où la frac-
tion {ax + b) : {ex -\- f) se réduit à la variable x elle-même ou
à une fonction linéaire de x, comme dans les exemples suivants :
Exemples. Par la substitution x = t^, il vient
X 'i -j-X 3
= 6t—3t^ + 2i^ — 6Log{i-{-t) + C
1 ± i. i_
^6x^—3x^ + 2x^—6Log{i+x^) + C.
Par la substitution x — i ^^t^, il vient
r x^ dx r
(^2 + 1)3^^=^2^
/6 U
+ 3— +^2 + i
\Jx—i J L7 5
+ c
= 2\Jx — I
Mi + |(,_,). + ,
202. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un trinôme du
second degfré. — Soit R (:x;, y) une fonction rationnelle de x et de
y ; si l'on y fait
y =\/a -\- bx -\- cx^,
l'intégrale
/
Il {x, y) dx
est réductible par une substitution rationnelle à celle d'une
différentielle rationnelle.
La transformation doit être choisie de manière à éviter l'in-
troduction des imaginaires quand les données sont réelles. On
y arrive par l'une des deux substitutions suivantes :
1° Si les racines a et ^ de (a -\- bx -\- cx'^) sont réelles, la sub-
stitution est fournie par le théorème précédent. En effet,
y =v^ç^^^(^ - P) = {X - ^)y^j^Z^-
Donc y et, par suite, E {x, y) sont des fonctions rationnelles
de X et de ce dernier radical. La rationalisation se fera par la
substitution
ç{x-^^^,
X — a
2° Si les racines de (a -h bx + cx^) sont imaginaires, c doit
être positif pour que le radical soit réel, sinon le trinôme.
INTEGRATION DES IRRATIONNELLES ALGEBRIQUES 209
ayant le signe de c, serait négatif et sa racine imaginaire. Donc,
quand les racines sont imaginaires et, plus généralement, quand
c est positif, on peut faire la substitution
\Ja-{-bx + ex* = ^ ± x\/c,
d'où, en élevant au carré,
a-\- bx = f^ d= 2tx\/c.
Cette relation est linéaire en x. On en tire donc, p(^) dési-
gnant une fonction rationnelle,
x = p{t), dx=^p'{t)dt r-^±p(OVc~
On substitue ces trois valeurs dans l'intégrale et la différen-
tielle à intégrer est rendue rationnelle. Après l'avoir intégrée,
on remplace t par sa valeur
t =\Ja -\- bx +• cx^ ± xsjc.
Autre substitution. — Lorsque a est positif, la seconde sub-
stitution s'appliquera, après avoir remplacé ^c par —, car
\Ja -\- bx -f- cx^ ■=
Sjaz'^ -\- bz -{- c
z
et le coefficient de z^ sera positif. La différentielle devient
donc rationnelle par la substitution
Vaz* + 62 -f c = f ± z\Ja,
ce qui revient à poser directement
V'a -\-bx -\- cx^ = ±\/a + tx.
Quand a est positif, cette dernière formule définit une troi-
sième substitution rendant la différentielle rationnelle.
Remarque. — Un autre procédé d'intégration consiste à
transformer R {x, y) dx dans une différentielle rationnelle en
sin t et ces t. Nous y reviendrons au n<* 2i5.
203. Applications. —I. Considérons d'abord l'intégrale
dx
/,
On applique la seconde substitution :
Va + 6jc H- .\:* = / — x, d'où a + bx = t- — a/.v.
^4
210 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
Différentiant la dernière relation, il vient
dx _ 2dt
et, par conséquent,
( I' ^^~ C-^^ = Log C^ + t) + C.
(l) ) Jyja + bx + x' Jt — x =V2 J
/ = IjOg(^-\-x+s/a + bx + x^j+C.
On rencontre souvent le cas où 6 = ; il vient alors
J \Jx^ + a
II. Considérons ensuite l'intégrale
I,
dx
\Ja-\-bx — x^
On pourrait utiliser la première substitution, mais le calcul
se fait plus facilement en observant que
a-\- bx — x^ = [ a~\-
iH-iy-
On pose, a étant une constante et t la nouvelle variable,
4 2
et il vient
dx f dt
(3)
/
sJa-\-bx — x^ J\/
Vi — ^"^ ~
arc sin t -\- C
. 2x — b^
arc sm ^ =- + C.
Vfc'+4a
m. On rencontre aussi fréquemment les intégrales
r dx
J x\Jax^ -i[- bx ± I
Elles se ramènent aux deux précédentes par la substitution.
X =^ 1 : z, déjà signalée au n° 202 :
/ r dx _. Ç dz
\ I .^» l'^TZ^ i ÛZ. i T ' ) V /o J_ /^
(4)
( =_Log('? + L±y«£î
X
Log (I + L ± V«^±^^^±i) + C
INTEGRATION DES IRRATIONNELLES ALGEBRIQUES 211
r dx _r
J xsjax^ + bx — I j Va -f- 52 — 2*
dx C dz
(6)
. f bx — '2\.^
= arc sin — =^ I + C.
\x\Jb^ + 4a>'
Voici deux cas particuliers fréquents :
( { ^^ = — Lo ( ^ +Vi— Jc« >| ç
(6) Jx\lT^~x^ ^^V X J
(7) I — =^1 = — arc sin — h C = arc sec x -\- Q.
J XSjx^ — I ^
IV. Les deux intégrales suivantes :
f ''* f
J \la -\- bx A- cx^ J (x —
dx
\Ja -[- bx -\- cx^ ' J (x — m)\/a -f- fe^c -j- cx^ '
se ramènent à celles qui précèdent en prenant respectivement
comme nouvelle variable
z =\J ± c X ou z^\/±c{x — m).
On choisit le signe ambigu de manière que ± c soit positif.
204. Cas d'intégrrabilité des différentielles binômes. — Les inté-
grales des différentielles binômes sont de la forme
i
x*^{a-\-bx^)Pdx,
où a et & sont des constantes quelconques, différentes de zéro,
et m, n, p des exposants rationnels.
Faisons la substitution
x^ = t d'où 5C = f" dx=^- e" dt ;
n
l'intégrale devient
m + i
-y » {a^bt)Pdt.
Désignons par q l'exposant de t, de sorte que q = (^^^-i)
L'intégrale prend la forme simplifiée
f{P>fl)= ({a->-bt)Pt<idt.
212 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
Théorème. — L'intégrale o{p, q) est réductible à celle d'une
différentielle rationnelle par le théorème du n" 201, si l'un des
trois nombres p, qou p -\- q est un entier, positif, nul ou négatif.
En effet, soit R une composante rationnelle ; on met ^ ( p, q)
sous la forme prévue au n° 201 en écrivant : si p est entier,
si q est entier,
? (p» <Ù - |r [(a + ^0^, ^] dt ;
et, si p + 9 est entier.
Remontons maintenant à l'intégrale primitive, et observons
que q = ^^7^^— *• nous obtenons l'énoncé suivant :
Théorème. — L'intégrale d'une différentielle binôme est ré-
ductible à celle d'une différentielle rationnelle et, par suite, l'in-
tégration se fait par les fonctions algébriques, logarithmiques
et circulaires, si l'un des trois nombres ou p ou |-P
n ^ n ^
est entier.
Tchebichef a démontré (*) que, en dehors de ces trois cas
d'intégrabilité pratique, l'intégrale ne peut pas s'exprimer au
moyeu des fonctions élémentaires. On devra donc alors se bor-
ner à la ramener à la forme la plus simple en se servant des
met] iodes de réduction que nous allons indiquer.
205. Formules de réduction des intégrales de différentielles binômes. —
Supposons l'intégrale préalablement ramenée à sa forme sim-
plifiée :
^{p,q)-- ^{a-\ ht)Pt<idt.
Théorèmk. — Sauf les cas d'intégrabilité pratique, cp(p, q) est
réductible à des fonctions algébriq ues et à une autre intégrale
de même forme où chacun des exposants p et q est augmenté ou
diminué d'autant d'unités qu'on le veut.
(*) Sur l'intégration «les différentielles ii*ra{ionnelles. Jouiiial de Liou-
ville T. XVIII. i«r,:{.
INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 2l3
Considérons, en effet, les deux identités :
(a + bt) {a-{-bt)Pt9 = a{a + bt)P t<i -\- b{a + bt)P <«+*,
D.(a+ 6f)*H-i i9+i = (p-l- 1) 6 (a -h bt)P ^'+^ -j- {q+ 1) (34-60**+* t^ •
En les intégrant (ce qui revient à une intégration par décom-
position et une autre par parties) on obtient respectivement :
<p(p -h I, g) = a cp(p, g) + 6 <p(p g + i),
(a -f W)ïH-i i^+i _ (p + I) fc ^(p, g ^_ i) 4. (g 4. i) ^(p ^ .1, g).
Entre ces deux équations, on peut éliminer cp(/ï -f- i, 7) ou
bien cp (p, q + i)- En résolvant alors par rapport à <j>(p, q), on
trouve les deux formules :
(1) a<p(p,g) = -^^^ ^^-^ + p4_i ?(Pfi>g)>
(S) a<p(p, g) ^-^ ^Jj~^ 5/l__X__,p(p, g + i).
Ces formules font dépendre çp(p, q) d'une intégrale de même
forme, mais où p ou q est augmenté d'une unité. Les deux for-
mules suivantes, qu'on en déduit en résolvant les précédentes par
rapport aux intégfrales des seconds membres, mais en rempla-
çant p par p — I dans la première et q par q — i dans la seconde,
à savoir :
fA\ T. r X (a + bt)P+'t<i aq
font dépendre (p(p, q) d'une intégrale de même forme, mais où
p ou g est diminué d'une unité. Aucune des quatre dernières
formules ne peut devenir illusoire, car, aucun des nombres
p, g, p + g n'étant entier, aucun des dénominateurs p + i, g 4- i,
p + g + I ne peut être nul.
L'emploi des formules (1), (2), (3), (4) permet donc d'augmen-
ter ou de diminuer d'autant d'unités qu'on le vent un des deux
exposants p ou g, sans toucher à l'autre. On pourra donc, de
proche en proche, faire dépendre ©(p, g) d'une autre intégrale
de même forme, mais où p et g seront compris entre deux
entiers consécutifs choisis à volonté, par exemple et i.
Comme celle-ci n'est plus susceptible de réduction ultérieure,
on la considérera comme une nouvelle transcendante.
2l4 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES
206. Usages des formules de rédaction dans les cas d'intégrabilité
pratique. — Dans les cas d'intégrabilité pratique, les formules
de réduction peuvent devenir illusoires. Mais cette éventualité
ne se présente que pour des valeurs exceptionnelles de p, q et
les formules peuvent servir à l'intégration. Nous allons en
donner des exemples.
Nous pouvons toujours supposer, dans les cas d'intégrabilité,
que ce soit l'un des exposants p on q qui est entier. En effet,
si p -\- q était entier, on ferait la substitution ^ =^ i : 2 et l'on
aurait
(p (p, q)--=— \z-P-9-^ {b + az)Pdz,
ce qui ramène au cas précédent.
Supposons, en premier lieu, que p et q soient entiers tous les
deux : je dis qu'on pourra les réduire tous les deux à l'une des
valeurs ou — i. En effet, sip, q sont négatifs tous les deux,
on les ramène à — i par l'emploi des formules (1) ou (2), qui ne
deviennent illusoires que si /; + i = ou si g + i -= 0. Si un
seul des exposants p, q est négatif, on commence par le réduire
à — I ; après quoi on abaisse l'autre à zéro par les formules (3)
ou (4), Celles-ci ne seront pas illusoires, car p -\~ q -\- i ne s'an-
nule pas au cours de la réduction. Enfin, si p, q sont tous deux
positifs, les formules (3) et (4) permettent de les réduire tous
deux à zéro. Dans ces divers cas, le calcul de l'intégrale réduite
sera devenu immédiat.
Supposons, en second lieu, qu'un seul des exposants p, q soit
entier. Les formules ne deviennent illusoires que pour réduire
l'exposant entier de — i à 0. Elles pourront donc servir à le
réduire à s'il est positif, et à — i s'il est négatif. Dans le pre-
mier cas, l'intégration sera immédiate. Dans le second, elle
sera simplifiée, mais devi*a s'achever par rationalisation.
Exemples : I. Considérons l'intégrale de différentielle binôme
r dx
où p est entier et positif. Par la substitution x = \Jt, il vient
INTÉGRATION DES IRRATIONNELLES ALGÉBRIQUES 2l5
Donc l'emploi de la formule de réduction (1) permet de réduire
l'exposant^ à i. Il vient ensuite, ce qui termine le calcul,
i_
( t '^dt ^ Ç dx
2arc tg;»r+C.
Il est clair d'ailleurs que la formule (1) peut s'exprimer directement
au moyen de ;*:. On trouve, en y remplaçant t par x^ et divisant par 2,
la formule de réduction suivante, qu'il est facile d'établir directement :
dx I X 2p —2>( dx
y{l-\-X^)P 2p-2 {l-\-X^)P-^ ' 2p — 2j{l+X^)^^'
IL Considérons l'intégrale de différentielle binôme
i' x*"dx
J\ji—x^
dans laquelle m désigne un entier positif ou négatif. Par la substitu-
tion x^ = t,ondi
r x^dx \Ç, ^.-l.i^'rL,, 1 ( i m — i\
)\ji-x^ ^j 2^v 2 2 ;
Suivant que m est positif ou négatif, on se sert de la formule (4) ou
de (2). Elles permettent de ramener l'exposant — - — à la valeur — —
si m est pair, et à l'une des valeurs ou — i selon que m est impair
positif ou négatif. Alors m a une des valeurs 0, i et — i. En revenant
à la variable x, on aura à calculer une des trois intégrales :
r ^^ Ç _x_dx__ Ç dx
J \li — x^ J Sjï'^x^ J x\jV—x^'
qui ont pour valeurs (n» 2o3), à une constante près,
arc sin x, — Sji — x^, Log-
X
III. Dans la théorie du pendule, on rencontre l'intégrale
x^dx
I;
\jax — X-
Ce n'est plus une intégrale de différentielle binôme, mais on la ra-
mène, à son choix, à l'une ou à l'autre des deux intégrales de diffé-
rentielle binôme (I) ou (II) par les substitutions :
X = at^ ou \/ax — x^ = xz.
On trouve, après quelques réductions faciles,
r xf^dx C f^'^dt C dz
C t^'^di r dz
2 a"* I —=. = — 2a"'\ -, — j — Tx— TT'
J yJi—i^ j (i + ■^')'"+*
J\lax~x^ J\l-i
ce qui ramène aussi l'une à l'autre les intégrales (I) et (II).
2l6 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDEFINIES
207. Cas particuliers simples des intégrales de diflEerentielles binômes.
— Parmi les oas d'intégrabilité pratique de l'intégrale o(p, q),
il y en a trois que l'on peut considérer comme des cas d'inté-
grabilité facile. Ce sont ceux où l'un des nombres p, q ou
— (i^ + 9 + 2) est entier positif.
En effet : i" Si /> est entier positif, on développe (a + bt) p par
la formule du binôme et l'intégrale
J'
(a 4- Ifi)P t9 dt
se calcule par décomposition. 2° Si q est entier, on prend a -\~ bt
pour variable, ce qui ramène au cas précédent. 3° Si p -j- qr + 2
est entier négatif, la substitution t = 1 : z ramène au cas que
nous venons d'examiner. Dans ces divers cas, l'emploi de la
formule de réduction sera donc rarement avantageux (*).
Exercices.
I. Intégrales à calculer par le théorème du no 201 :
r x^dx Ç dx Ç i -\- x^
JSjx — ï J x\la-\-bx " T -4- ^"i
f — — [{a + x) ^xHx \
J x^\lx — I J J ,
^ ï-\-x^
dx
'V^-i ^ {i+x)^-{i-\-xy
2. Intégrales à calculer par le théorème du n» 202 :
J
dx I X\l2 , ^
= -—= arc tg , ^ . + C
(i + x^)\li — x^ Va Vi — x^
dx I _ Vi+^'+Wa , n
— Log , . h C
(I — x^)\Ji + x^ V2 \Jï+x^
dx ^ Mi+x — x^-{ï+ x)
■ == — 2 arc tg h C.
(i-|-;i^)Vi+^ — ^^ ^
3. Différentielles binômes à intégrer :
x^dx X {x^ — 3) 3
3 — , arc sin x-\-C
\xi [a + ,1^2)^' dx-^ — (a+ x^yfx^ ~ —^ + C
(l_;,2)a Wi-^ 2
(*) L'exemple II du numéro précédent rentre dans le troisième cas d'in-
tégrabilité facile si m est pair et négatif.
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES Ûl'J
4. Montrer que toute difFérentielle binôme x'* {a -\- hx' ydx peut, à
part un facteur constant, se ramener à la forme (fi et v rationnels)
sinf^ipcos^ fd<f.
R. On y anive par les trois substitutions suivantes, dont l'une au
moins est réelle :
a -j- bx^ „ I
^ cos^ <p ou r— ou — tfir*<J>.
a cos^ip ° '
§ 4. Inté^ation des fonctions transcendantes.
208. Bationalisation. — Un grand nombre de différentielles,
qui renferment des fonctions exponentielles et circulaires ou
leurs inverses, peuvent être rendues rationnelles par nne sub-
stitution de variables, c'est-à-dire qu'elles prennent la forme
R («) du,
où R désigne une fonction rationnelle. Les substitutions qui
conduisent à ce résultat sont immédiatement apparentes dans
les différentielles suivantes :
Jl{e^)e^dx, R(Log^)^, R(arctgx)-^;
ce sont respectivement :
e^ = u, Logar = u, arctg3C = w.
Mais on peut rendre rationnelles des différentielles pour les-
quelles la substitution convenable est moins facile à apercevoir
et nous allons en examiner quelques types généraux.
209. Intégration de R (sin ;x;, cos .x) d;x. — Suivant le cas,
quatre substitutions principales rendent rationnelles les diffé-
rentielles de cette forme où R désigne une composante ration-
nelle :
I. Si R est une fonction impaire de cos x, c*est-à-dire une
fonction qui ne fait que changer de signe quand on y remplace
cos X par — cos x, on rend Udx rationnelle par la substitution
sin X = z.
En effet, le quotient R : cos x, ne changeant plus de signe,
ne contiendra plus le cosinus qu'au carré et sera, par consé-
2l8 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
quent, une fonction rationnelle, Kj, du sinus seul. On aura donc
R = Ri (sin x) cos x,
et, par la substitution proposée,
R dx == Ri (z) dz.
II. Si R est une fonction, impaire de sin x, on rend Rd^
rationnelle par la substitution
cos oc = z.
On a, en effet, par le raisonnement analogue au précédent,
R = Ri (cos x) sin x, R d;x; = — Ri {z) dz.
TII. Si R (sin x, cos x) ne change pas quand on remplace à la
fois sin x par — sin x et cos ;x; par — cos x, on rend "Rdx ration-
nelle par la substitution
tgx ^ z.
En effet, remplaçons, dans R, sin x par cos x tg ;x;. Nous
formons une fonction du cosinus et de la tangente que le chan-
gement de signe du cosinus n'altère plus, qui ne contient donc
le cosinus qu'au carré. C'est donc une fonction rationnelle, R,,
de la tangente seule, car cos'^oc peut se remplacer pan : (i+tg^;x;),
et l'on a
dz
R doc - Ri (tg x) dA; = Ri (2) j-p^.
IV. Dans tous les cas, on rend R (sin x, cos x) dx rationnelle
par la substitution
. x
^ = tg-.
On a, en effet, en fonction rationnelle de z,
2Z 1—Z^ , 2dz
sm X = — : — :r, cos X = ; — 5-, dx =
1+22' -"-*- 1+22' l-\-Z^
Remarques. — La dernière substitution peut toujours être
évitée. En effet, si l'on décompose R comme il suit :
2 R dA; = [R (sin x, cos x) -f R (— sin x, — cos x)] dx
+ [R (sin X, cos «;) — R ( — sin x, cos x)] dx
+ [R (— sin 5c cos «;) — R ( — sin x, — cos x)] dx,
chacun des termes écrit sur une ligne peut être rendu rationnel
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 21Ç)
par une des trois premières substitutions : le premier par la
substitution III ; le deuxième par la substitution II ; le troisième
par la substitution I.
On rencontre souvent des différentielles renfermant d'autres
lignes trigonométriques que sin A" et cos x, comme tg x, sec .v,
etc.. On commence par exprimer rationnellement ces nouvelles
lignes au moyen de sin x et de cos x, après quoi les théorèmes
généraux s'appliquent.
Dans d'autres cas, la différentielle renferme, outre sin x et
cos X, des sinus et des cosinus de multiples entiers de x comme
sin 2X, sin 3x, cos '2X, etc. On les exprime par des polynômes
en sin x et cos x et les méthodes générales s'appliquent.
Enfin, si la différentielle renferme sin ctx, sin ^^c, cos yx, etc.,
a, (3, y... désignant des nombres rationnels dont m sera le plus
petit commun dénominateur, on pose x = mz, on prend z comme
nouvelle variable et on est ramené au cas précédent.
Applications. — I. On trouve, par les substitutions (I) ou (II),
l'coHxdx , . , „ fsinxdx . , ^,
r = Log sin .v -f C, = — Log cos x ■+- C,
j sin x ° J cos ;x: » i »
1 sin X cos X dx = — sin^^c + C = cos^^c 4- C;
j 2 2
par la substitution III,
C dx
J sin X cos X
par la substitution (IV),
Log tg 5C + C ;
/
= Logtg- +C,
sm X ° "^ 2
7C
et, en remplaçant x par x +
2
/H^s^-^°«»<i-:")+--
II. Passons à l'exemple plus compliqué
dx
cos a:
Aucune des trois premières substitutions n'est applicable
isolément, employons la dernière :
220 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES
4. ^
COS3C =
^-^" d^
I + z«' "^^
L
'intégrale
proposée devient
r
zdz
adz
I + z^
J{a + b)-\-{a—b)z-'
En changeant au besoin le signe de l'intégrale, nous pouvons
admettre que (a + b) est positif, alors (a — 6) est positif ou
négatif.
Si a — b est > 0, posons a -|- 6 = a*, a — 6 = p* ; nous aurons
Si a — 6 est < 0, posons a + 6 = a*, a — 6 = _ p* ; nous
aurons
Ja-h6cos5c"'J a2-P*z*~^ ^^a — §2 "^
yô+^ + VÂ^^tg^
= -==. Log ^ + C
T 6 + a cos X -f- \Jb^ — a* sin x , „
y6« — a^ a H- 6 cos a;
III. On ramène à la précédente l'intégrale
dx
/.
a-\-b cos 5C + c sin oc'
en déterminant deux quantités r et (f> par les relations
b ■= r cos ip, c ^^ r sin <p ;
l'intégrale devient
dx
/^
a -|- '' cos (5C — <p)'
et sa valeur s'obtient en remplaçant b par r et :x; par x — œ dans
la précédente.
210. Intégration de sin "^x cos **^xdx. — Si m et /i sont entiers,
cette différentielle est un cas particulier de celle du n° précé-
dent. Elle peut donc être rationalisée par les substitutions
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 221
indiquées. Nous allons d'abord attirer l'attention sur cinq cas
dans lesquels l'intégration est facile par ces substitutions. Les
trois premiers ne supposent pas que m et n soient entiers tous
les deux.
Cas d'intégrabilité facile. — Voici d'abord quatre cas où
l'intégration est immédiate par décomposition en développant
la puissance d'un binôme tel que (i — 2*). On suppose k entier
et positif :
i" m -= 2/c 4- 1, on pose ces x = z, d'où
J sin *"x cos "X dx = — J(i — z-y^z*^dz ;
2* il = 2^ -h I, on pose sin x = z, d'où
j sin "*x cos **jc dx = (z*^ (i — z^)'^dz;
3** m -4- n = — 2k, on pose tgx ^ t ou cot x =^ u, d'où
J sin "^x cos ^xdx = j t"^ (i f f*)*-* d^ -= — J w«(i + m«)^-» du ;
X
4** /i =^ et m = — 2A* — I, on pose tg - = 2, d'où
(* dx I i*(i 4-2*)'*rf2 I Çf . iY*d2
: {T+z^)^dz I ff . iV
j sin2*+* oc 2«* j z«*+i 2** J V 2y z "
Considérons encore un 5® cas où la décomposition se fait
autrement :
5** Si m + n = (m entier) les substitutions du cas S** donnent
ïts'^xdx = \ — --— = — I ;.
Si c'est m qui est positif, on effectue la division de t"' par
I -h ^^ et chaque terme est immédiatement intégrable. Dans le
cas contraire, c'est u" qu'on divisera par (i -j- u*).
Formules de réduction (*). — On a
J sin'»» X cos**5C dx = ( sin»"-*5c (cos** x sin x dx) ;
(*) La différentielle siu *>*x cos nx dx se transforme à an factear numé-
rique près dans la différentielle binôme
m + i n—i
t 2 (i— #) 2 d/
par la substitution sin x =^t. Les formules de réduction établies ici ne
sont que les transformées de celles relatives aux différentielles binômes.
222 CHAPITRE V. INTEGRALES INDEFINIES
d'où, en intégrant par parties, la formule (1)
/
• y» « j sin»"-*a;eos"+*5c , m- ^ i . _ , , , ,
sin^xcos** xdx= ; , — f:i\n"^-^xcoë^^+'xdx
i
D'autre part, si l'on fait porter l'intégration sur le sinus après
avoir isolé un facteur cos x, on a la formule (2) :
r . ^ ^ j sin*"+*A'cos"-* .x; n — i /* ,„ „ ,
sm^xcos^ xdx -=- 1 — sm'^+^xcos^^-^xdx
j m + I m + ij
Dans l'intégrale qui est au second membre de la formule (1),
remplaçons un facteur cos^^c par i — sin^^c. Cette intégrale se
décompose en deux autres, dont celle du premier membre. En
résolvant par rapport à celle-ci, nous obtenons la formule (3) :
• «. « j sin'«-*5ccos*»+*«; , m — i , . _ ,
sin"^cos« 5cax= — sm^^-^^ccos" jc dA;.
m + n m-f-/ij
Opérons de même sur l'équation (2), mais en remplaçant un
facteur sin^iv par i — cos*5C, nous obtenons la formule (4) :
r • ». « j sin'«+*.\;cos"-*5c , n—i ( . ^ », , _,
I sin"»5c cos** xdx= \ — I sin"*:x: cos^-^^cd^c
j m -\- n m-{-nj
Enfin, changeons m en m H 2 dans la formule (3) et n en
n + 2 dans la formule (4) et résolvons chacune des deux formules
par rapport àl'intégr-ale du second membre. Nous obtenons les
formules (5) et (6) :
r • », « J siD"^+';x;cos"-^*«; . m+n-f2 C . ^,^ „ ,
\ sin*"JCC0S";x;d5c= — , ■ — - — I sin*^'+''xcos"«;a;x:
J m -\- ï m + 1 J
r • «. « T sin*"+*:x;cos'»+^A; m-hn+2 f . ^ „ , „ j
I sin*"5ccos'*5ca5C= , 1 ; 1 sm^xcos^-^^xdx
J n-{-i /i + ij
Si m et n sont entiers, l'emploi combiné des quatre dernières
formules permet d'effectuer l'intégration dans les diverses
hypothèses possibles.
En effet, ces formules permettent de diminuer ou d'augmen-
ter de deux unités un des deux exposants sans toucher à l'autre.
Par la répétition de cette opération, on peut donc ramener les
deux exposants à l'un des trois nombres — i, ou i. Seul le
passage de — i à -j- i ne peut se faire, le dénominateur des for-
mules s'annulant dans ce cas. Quand la réduction des exposants
est faite, l'intégration est immédiate ou très facile.
Les deux premières formules serviront aussi avec avantage si
les deux exposants m et n sont de signes contraires, car elles
INTÉGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 22.3
permettent de réduire les deux exposants à la fois jusqu'à ce que
l'un d'eux soit ramené à — i, ou i. Après cela, la réduction
doit se continuer par les autres formules.
Intégration par décomposition. — La méthode que nous
allons indiquer est applicable chaque fois que les deux expo-
sants m et n sont entiers nuls ou positifs. Mais la méthode de
rationalisation est plus expéditive, sauf peut-être si m et n sont
pairs tous les deux.
Cette méthode consiste à décomposer, par les formules de la
trigonométrie, cos";x; en une somme de cosinus de multiples de
X et sin^'ac en une somme de sinus ou de cosinus de multiples
de X (*). En effectuant la multiplication, on trouve des produits
partiels, qui se décomposeront eux-mêmes par les formules :
sin "kx cos [i.x= - sin Q. -{- ^)x -\- sin (k — p.) «;
cos "kx cos fx ic = - cos (X -f fji) a; -|- cos (k — u) x
et ces nouveaux termes s'intègrent immédiatement.
(*) Ces formules se déduisent facilement de celle de Moivre. On part de
l'identité
2 cos X = (cos X -\- i sin x) -f- (cos x — / sin x).
On élève à la puissance n par la formule du binôme, mais en ayant égard
aux relations
(cos X + i sin x)P = cos px -f- i sin px.
(cos X -f- / sin x) (cos x — i sin x) = i.
Il vient facilement
an cosw X = (cos nx + i sin nx) -\- n [cos (n — a) .v -f- / sin (« - 2) x]
-|- " [cos(n — 4) ^ + ' sifl(" — 4)-^] + •••
En négligeant les termes imaginaires, qui se détruisent, on trouve l'ex-
pression cherchée pour cos" x :
2" cos"^ X = cos nx -\- n cos(n — 2) x-\ ^ cos(n — 4)+ •■■>
Les coefficients sont ceux du binôme, de sorte que les termes à égale
distance des extrêmes sont égaux dans cette formule.
Le développement analogue de sin" jc se déduit du précédent, en y chan-
geant X en .V -f TT : 2. Il est de l'une des deux formes suivantes, suivant que
n est pair ou impair :
2" sin" X = (— i)^ [cos XIX — n cos {n — 2) x -f- — ^ — - cos (n — 4) « — ,• •
w-t-i ,
2"sin"x = ( — 1) 2 [sin /ijc — n sin (/t — 2) .v -j ^ sin(n — 4)'*'" — •••
Dans les deux cas, les termes à égale distance des extrêmes seront
encore égaux.
224 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES
Lorsque m et n sont pairs tous deux, le procédé de décompo-
sition suivant, qui ne demande aucun effort de mémoire, est
commode en pratique. Soit m = 2p, n ^ ^q :
1° Si p est ^ q, on écrit
sin^P 5ccos«<? X - sin^P x(sin5ccos5c)=« = /'£IzCOS2.•^c^ ^«^ sin25c \^<i
■-) [f^)
_ (i — cos 2oc)^^'-«sin*9 2A;
2*» Si p est < q, on écrit
/'sin23C^*^ /I + COS25CV~^
sin*Paccos*9 5c=(sinjccos.x)*^cos*«-*Px= i i i i
_ (sin 23c)«^(i + cos 2xY~P
On développe par la formule du binôme en une somme de
termes de la forme sin 2a: cos'^25c, mais où X + jji ne peut sur-
passer p -\- q. Ceux où l'un des exposants X ou {/. est impair
rentrent dans un cas d'intégrabilité facile. Les- autres termes
se décomposent par le même procédé en éléments de la forme
sin ^XGO^^ ^. On continue ainsi de suite jusqu'à ce que tous
les termes s'intègrent. La réduction marche rapidement, puis-
que la somme X 4- f*^ des exposants est réduite au moins de
moitié à chaque nouvelle décomposition.
211. Intégration de B(x)e^'^dx. — Cette différentielle, dans
laquelle E (x) désigne un polynôme, s'intègre le plus facilement
par la formule d'intégration par parties. On a
JE {x) e^dx=- E(5c) e«^ — - (e'{x) e''^ dx.
Cette formule fait dépendre l'intégrale proposée d'une autre
de même forme, mais où le degré du polynôme est abaissé d'une
unité. C'est une formule de réduction. En l'appliquant de proche
en proche, il vient
^E{x)e^dx = ^]^E{x) A_!+_A^_...J
Cette formule s'arrête d'elle-même quand les dérivées de-
viennent identiquement nulles.
Remarque 1. — Il existe une expression symbolique utile de
l'intégrale précédente. Décomposons-la en une somme d'autres.
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES
225
ne renfermant qu'un seul terme du polynôme E(a;). Chacune de
celles-ci s'intègre par la formule symbolique (4) du n° (192) ; on
a ainsi, pour /i = 0, i, 2, 3....,
I
xn eax dx = D« h C.
a
Si l'on multiplie chacune de ces formules par le coefficient
de X" dans E (x) et si l'on fait leur somme, on trouve l'équation
suivante, remarquable par sa concision :
/
Qaa
E (x) e«^ c?5c = E (D„ ) \- C
Remarque II. — On ramènerait à la précédente les différen-
tielles des n°^ 212, 2i3 et 214 en remplaçant les lignes trigono-
métriques par des exponentielles imaginaires, au moyen des
formules d'Euler données à la fin du volume, mais nous écar-
tons cette méthode pour le moment. Elle serait cependant la
plus simple.
212. Intégration de E (x) sin ax dx et de E {x) cos axdx. — Ces
différentielles, dans lesquelles E (x) désigne encore un poly-
nôme, s'intègrent par parties et s'obtiennent par un calcul
analogue au précédent. Une première intégration par parties
donne
cos ax dx --= E (x) — ^ E ' («;) sin ax dx,
Je(x)
j E(5c) sin axdx = — E(;x;)
a
Gosax
a
^/e'W
cos axdx.
Ces deux formules ensemble fournissent une méthode de ré-
duction. En les employant alternativement, il vient ;
I E (x) cos ax dx = E (x) ^^-^-\ ^— ^ — ••
J a L a- a*
+
a
cos ax
jE(x)
sin ax dx =-
a
sin ax
a
cos ax
E'(x) _^{xl W{x)
a a^ a^
F'{x) E"'(jc) , EV(a:)
4-c
E(.)-^-;;i^4-^-^)-...i^c.
i5
226 CHAPITRE V. INTÉGRALES INDÉFINIES
213. Intégration de jc" e<^^ cos bx dx et de x^ ef^^ sin hx dx. —
On a
d(e^^ cos bx) = ef^ (a cos bx — b sin bx) dx,
d{e"^ sin bx) = e*^*^ (è cos bx -{- a sin feoc) dsc.
On en tire
a d (e«^ sin bx) — bd (e«^ cos bx) = (a^ + fr^j gaa? gijj ^^^ j/^^
Z? d (e«^ sin i?5c) + a d {e^ cos 6a;) == (a" + b^) e"^ cos èoc dx.
11 vient donc, en intégrant,
Ç . , T e«^(asin65c — fc cos t^c) , ^
J e«^ sin bx dx = 5^ ^^^-ç^, '- + C,
/' , , e^ (b sin bx + a cos bx) . ™
e^^'cosfoicdA;^ ^^ ^ , ^ ^ + C.
Les intégrales plus générales proposées dans le titre, se dé-
duisent des précédentes par la méthode de dérivation. En déri-
vant n fois par rapport à a, il vient
. ^ - ^ne^^(asin ;6a' — j&cos;6a;) , „
a'' + O''
r 7 ,^„e«^(6 sin;65C+acos6A;) , ^
jc« e«^ cos Z>5C rf5C = Da ^^ ^2 1 ^g ^ + C .
214. Différentielles réductibles aux précédentes. — 1. On peut
réduire aux précédentes et, par conséquent, intégrer les diffé-
rentielles de la forme générale
^{x, e^^, sin bx, sin ex,... cos ex, cos fx,...) dx
où E(x, 3',...) désigne un polynôme en x, y,... ci a, b, c,... des
constantes quelconques.
En effet, chaque terme du polynôme E contient eu facteur
un produit de sinus et de cosinus à certaines puissances. On le
décomposera en une somme de sinus ou de cosinus par les for-
mules indiquées au n^' 210 pour la décomposition des puissances
ou des produits de sinus ou de cosinus, formules auxquelles il
faut ajouter
sin Xx sin [xx =- cos (). — p.) 5C — cos (k -f jx)a; | ,
et qui permettent de décomposer de proche eu proche des pro-
duits de deux, trois, quatre,... facteurs. Après ces décomposi-
tions, la différentielle proposée se partagera en une somme
d'autres des divers types déjà intégrés :
INTEGRATION DES FONCTIONS TRANSCENDANTES 227
x"^e^"^ dx, x"^e^"^ sin px dx, x^e^^^ cos px dx.
II. On peut ramener aux précédentes et, par conséquent,
intégrer les différentielles :
E {x, Log x) dx, E (x, arc sin x) dx, E (x, arc cos x) dx
où E {x, y) est un polynôme en x, y.
En effet, par les substitutions respectives
Log X ^ z, arc sin x = z, arc cos x = z,
ces différentielles deviennent
E (e^, z) e^ dz, E (sin z, z) cos z dz, — E (cos z, z) sin z dz
et elles rentrent dans celles du théorème précédent.
215. Différentielles qui renferment la racine carrée d'un polynôme du
second degré. — Les différentielles qui ne renferment pas d'autre
irrationalité que la racine carrée d'un polynôme du second
degré peuvent, comme nous allons le montrer, se ramener par
substitution à des différentielles rationnelles en sin t et cos t.
C'est un nouveau procédé d'intégration à ajouter à ceux du 11^202.
1° Si le radical est de la forme \/a^ — x^, on pose
X = a sin t, d'où
dx = a cos t dt,
\ja^ — «;2 = a cos t.
C'est la méthode déjà rencontrée au n° 190, 3".
2° Si le radical est de la forme \Ja^ -\- x-, on pose
adt
dx = r-T,
, , j, . T cos^r
5c = a tg r, d ou
Va'^ + oc2 = -~.
cos t
3° Si le radical est de la forme sjx'^ — a*, on pose
, ■,, . ( dx =' atgt9>iiQ.tdt,
X = a sec t, d ou { ^
{ \!x^ — a2 = a tg t.
Dans tous les cas, on peut ramener, par une substitution
linéaire, le radical (supposé réel) à l'une de ces trois formes.
Exercices.
I. Cas d'intégrabilité facile du n° 210 :
1 sin^ X dx = —{ cos 'i' — x cos'^ *' ~l~ c" ^^^^ -^ ) i C.
228 CHAPITRE V. INTÉGRALE S INDEFINIES
sin" xdx = — (cosx — cos=' ^ + t cos^ x—- cos' xj-\-C.
2. On trouve par les formules de réduction du n» 210 :
dx cos X 2
sin* ;tr 3 sin^ x 3
cot;«r+C.
Jcos5;r 4 Vcos*;tr ^2 cos2.ry^8 ^^U 27 ^
fsin^ ;»? , sin^AT 2 , ^
7-'^^ = ô 5 5 hC.
j cos* X 3 cos^AT 3 cos;t
f . . , sin;»; cos ;»?/^ . „ , 3\ , 3;tr , ^
I sin*;tr dx = f sin^ ;i;+ -- ) + — + C.
3. On trouve par décomposition (n» 210)
i • i 2 j I Z' sin 4;»; sin3 2;t;^ , „
I sm*Ar cos^ ;V' dx = — - ;i; — + C.
J 2*\ 4 3 7'
4. Démontrer les formules suivantes :
| a^ cos^/+^^sin^;. =^ "^" *^ G *^ ^^ + ^^
I — ; dx = Log (2 + cos x) +-^ arc tg ( —z-^ tg— ) + C.
J2 + cos;t; ''' ' y3 ''VV3 27
T— i = - + arctgl tg - + C.
J I — 2ycos;»; + y^ 2 Vi — r 2/
1 ;»;* cos xdx = sin ;»; (;»;* — 12 ^^ + 24) + cos x{^x^ — 2/^) + C.
I
^* cos^ ;tr <^;y= , , , — ^ (a^ cos^ X -\- 2a sin ;r cos x-\-2)-\-C.
« (<» + 4)
^^sin^ Ari;i?==— —r— — r- (a^ sin^ ;i; — 2a sin ;v COS ;tr + 2) + C.
a («2 + 4)
\x*'Logxdx= — ; — ( Log;ir j — ) + C.
j ° » + i\ » + 1 7
\{Logx)''dx=x[Logx)'' — n{Logx)"-^ + n{n — i){Logx)*t-^ l+C.
j (arc sin xy dx == x [(arc sin xY — 2] + 2 (arc sin x)\Ji — x^-\-C.
CHAPITRE VI.
Théorie élémentaire des intégrales définies.
Intégrale de Eiemann.
§ 1. Intégrales définies considérées comme
limites de sommes.
216. Fonctions intégrables au sens élémentaire. Première définition
de l'intégrale définie. — Nous nous proposons ici de faire la théo-
rie des intégrales définies sous la forme la plus élémentaire et
non la plus générale. Nous dirons donc, quitte à généraliser
cette définition plus tard, qu'une fonction f(x) est intégrable
(au sens élémentaire) dans un intervalle (a, b) si elle est continue
dans cet intervalle et, plus généralement, si, n'étant pas con-
tinue, elle est bornée et ne possède qu'un nombre limité de
points de discontinuité dans l'intervalle (a, b).
Ceci posé, soit f{x) une fonction intégrable dans un intervalle
(a, b) et ayant pour bornes supérieure et inférieure les nombres
M et m, c'est-à-dire (n° 12) que ce sont les deux nombres les
plus rapprochés entre lesquels la fonction demeure comprise
quand x varie dans (a, b). Décomposons l'intervalle (a, b) en
éléments consécutifs par les points x^ = a, x^, .Vg,... Xn-iri = b.
Soient, en général, Sj = Xi^i — Xt l'amplitude d'un des inter-
valles élémentaires et nii la borne inférieure de f{x) dans cet
intervalle 8,. Formons la somme, étendue à tous les intervalles
Si depuis a jusque b,
n
S == ^ ITLi Bj.
i=l
On peut former une infinité de sommes analogues en faisant
varier le mode de subdivision de l'intervalle (a, b). Mais, puis-
que nxi est compris entre m et M, toutes ces sommes sont com-
prises entre /nES^ = m (6 — a) et MIS* == M (fc — a). Elles ont
23o CHAPITRE VI. THEORIE ELEMENTAIRE DES INTEGRALES DEFINIES
donc en ])articulier une borne supérieure, c'est-à-dire qu'il
existe un plus petit nombre qu'elles ne peuvent surpasser
(n° 12). Cette borne est une intégrale définie ; elle se désigne
par la notation
(1) Çf{x)dx.
Les quantités a et b, valeurs extrêmes de x entre lesquelles
se fait la sommation, sont les limites de l'intégrale : a est sa
limite inférieure, b sa limite supérieure.
L'expression (1) se prononce intégrale ou somme deakb f{x)dx.
La lettre x sous le signe d'intégration est la variable d'intégra-
tion et elle peut être remplacée par toute autre lettre, l'expres-
sion
est identique à la précédente.
L'intégrale définie jouit des deux propriétés suivantes, qui
vont nous servir à en transformer la définition.
217. Théorème de la moyenne (Cas particulier). — De même que
les sommes s dont elle est la limite, l'intégrale (1) est comprise
entre les deux quantités m {b — a) et M {b — a). On exprime ce
théorème, connu sous le nom de théorème de la moyenne, par
la relation
l{x)dx = ij.{b — a),
Ja
où tj. désigne une certaine moyenne entre les valeurs de f{x)
dans l'intervalle (a, b), c'est-à-dire une quantité comprise entre
m et M.
Quand f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), cette fonction
prend la valeur pi en un point l de l'intervalle (n° 27, VI) et l'on
peut aussi écrire
Çf{x)dx = m{b-a).
Ja
218. Partage de l'intervalle d'intégration. — Théorème. Si l'on
partage l'intervalle (a, b) en deux autres par un point intermé-
diaire c, on a la relation
jj{x) dx =jj{x)dx + JV(^) dx.
INTÉGRALES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES 23 1
Observons d'abord que si l'on partage un des intervalles
8„ 82,—» par exemple 8/, en deux autres Sj et 8^' par l'addition
d'un nouveau point de subdivision, la somme Sm^S,- augmentera
(si elle change), car le terme /n,8i sera remplacé par une somme
m'iù'i + ml' 8i' au moins égale (puisque nii et nii sont > mi).
Ceci entendu, montrons que les deux membres de l'équation (2)
ont la même définition.
Le premier membre est la borne supérieure de toutes les
sommes 2/n8 étendues de a à 6 (n° 2i6) ; le second est la borne
supérieure des sommes analogues quand on s'astreint à pren-
dre c comme point de subdivision. Mais cette restriction est
sans conséquence, car toute somme SmS étendue de a à t ne
surpasse pas celle qu'on en déduit en prenant en plus c comme
point de subdivision.
Remarque. — Le théorème précédent se généralise de proche
en proche : Si l'on partage l'intervalle (a, b) en plusieurs autres,
l'intégrale dans l'intervalle entier est la somme des intégrales
dans chaque partie.
219. Déflnition usuelle de l'intégrale définie. —Partageons l'in*
tervalle (a, b) en intervalles consécutifs d'amplitudes o^, dési-
gnons par Mi et m» les bornes supérieure et inférieure de f{x)
dans l'intervalle 8, et formons les deux sommes :
S m.Â, 2 Mi8j,
étendues à tous les intervalles 8^. Nous allons démontrer le théo-
rème suivant, qui fournit la définition usuelle de l'intégrale
définie :
Théorème. — L'intégrale
•b
f{x) dx
est comprise entre les deux sommes I,miti et SMjSi et est leur
limite commune quand tous les intervalles 8^ tendent vers zéro.
En effet, en vertu du théorème précédent (n"^ 218), l'intégrale
dans (a, b) est la somme des intégrales dans chaque intervalle
8i, c'est-à-dire la somme des intégrales prises entre deux points
de subdivision consécutifs oc, et Xf+i. On a donc
Çf{x)dx = j: p^'f{x)dx.
Ja >»
232 CHAPITRE VI, THEORIE ELEMENTAIRE DES INTEGRALES DÉFINIES
Le second membre est compris entre S/7ï,8, et SM^Oj, car le
théorème de la moyenne (n» 217) s'applique à chaque intégrale,
ce qui prouve la première partie du théorème.
Pour établir la seconde, il reste à montrer que la différence
de ces deux sommes, à savoir
S (Mi ~ nii) Oi,
i
tend vers zéro avec tous les intervalles 8»-. La conclusion est
immédiate si f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), car les
oscillations M^ — nu deviennent toutes inférieures à tout nom-
bre donné e quand les intervalles S, deviennent tous suffisam-
ment petits (n° 27, IV), et la somme 2 (M^ — m,) 8» est alors
moindre que eSS» ou e (6 — a), quantité aussi petite que l'on veut
avec e. Cette somme tend donc vers zéro.
Cette conclusion subsiste, si f{x), restant bornée, possède un
nombre limité de points de discontinuité entre a et b. En effet,
donnons-nous un nombre positif w arbitrairement petit. Les
oscillations M^ — lUt deviendront, comme ci-dessus, inférieures
à e dans tous les intervalles 0, qui restent à une distance > w
des points de discontinuité, et sont, par suite, intérieurs à des
intervalles fixes où la fonction est continue. La partie corres-
pondante de la somme 2 (M» — nii) 8» aura donc pour limite zéro.
La somme des autres intervalles 8/ et, avec elle, l'autre partie
de la somme 2 (Mj — m,) 8/ peuvent être supposées aussi petites
que l'on veut avec w, puisqu'il n'y a qu'un nombre limité de
points de discontinuité. La limite de la somme complète ne peut
donc encore être que zéro.
220. Autres limites de sommes qui peuvent servir de déftnition à
l'intégrale définie. -^ Il est souvent utile de considérer l'intégrale
définie comme limite d'expressions différentes des précédentes.
Supposons f{x) iutégrable dans l'intervalle (a, b) et partageons
encore cet intervalle par les points x^ = a, x^, ... Xi, ... Xn^i = b
en parties d'amplitudes 8^. On aura
I
'f{x)dx = \imîf{l,)oi,
i=l
le point li étant choisi arbitrairement dans l'intervalle 8j et tous
les intervalles 8, tendant vers zéro. En effet, f{\^ étant compris
INTÉGRALES CONSIDKRÉBS COMME LIMITES DE SOMMES 233
entre les bornes M» et nu, la somme précédente est comprise
entre les deux expressions SM^ et ^mS,, qui ont toutes deux
pour limite l'intégrale définie, donc elle a la même limite.
On peut choisir, en particulier, ^i = Xi et écrire Of ^- dxf ; il
vient alors
i
'b n
f(x) dx = lim i: f{xi)dxi.
i=i
Ainsi l'intégrale définie peut être considérée comme la limite
d'une somme de différentielles. C'est même là le premier point
de vue auquel on s'est placé pour la définir. Aussi c'est dans la
relation précédente que l'on trouve l'origine de la notation de
l'intégrale définie et, en particulier, du signe J qui représente
une limite de sommes.
221. Cas où a est > b. — Nous avons supposé jusqu'ici a < b,
mais la définition de l'intégrale
I f{x) dx
comme limite de sommes et ses conséquences subsistent pour
a > b. Seulement, comme les points de subdivision .v,- sont sup-
posés numérotés dans le sens de a vers b, toutes les différences
Xi^i — Xi = 8j deviennent maintenant négatives et les ampli-
tudes des intervalles élémentaires sont — Sj. Ecrivons donc
J f{x)dx = lim S MA = — lim 2 M^ (— 8^) ;
nous avons, par la définition antérieure, b étant < a,
lim 2 M, (— Si) == rf{x) dx ;
par conséquent,
Cfix) dx == - (y^x) dx.
Jft Jb
Donc intervertir les limites d'une intégrale définie revient à
changer son signe.
Remarque. — Ce théorème permet d'écrire l'équation (2) du
n** 2i8 sous la forme suivante :
(" f{x) dx + Cfix) dx + f/X.Y) dx = 0.
Ja Jb Je
234 CHAPITRE VI, THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DÉS INTEGRALES DÉFINIES
comme on a en géométrie ab + ^'c -\- ca = en vertu du prin-
cipe des signes. Sous cette forme, l'équation est symétrique en
a, b, c. Par conséquent, elle subsiste quelle que soit la situation
respective de ces trois points. Elle suppose seulement la fonc-
tion intégrable (n° 216) dans tous les intervalles considérés.
222. Signification géométrique de l'intégrale définie. — L'intégrale
définie est susceptible d'une interprétation géométrique. Soit
f{x) une fonction continue dans l'intervalle (a, b) ; considérons
la courbe qui a pour équation en coordonnées rectangulaires
y -= f{x)
et supposons, pour fixer les idées, que son ordonnée soit posi-
tive. Proposons-nous de définir et d'évaluer l'aire comprise
entre la courbe, l'axe des x et les deux droites x ^ a et x = b.
Partageons cette aire en segments élémentaires par des paral-
lèles à l'axe des y d'abscisses successives x^, x^,... Xn menées
entre les droites extrêmes x = a (ou x^) et x = b (ou Xn+i). Un
segment quelconque de base Xt+i — Xi (ou 81) est compris entre
deux rectangles, l'un inscrit dans le segment et l'autre circons-
crit. Le premier a pour hauteur le minime nii de f(x) entre
Xi et Xi^i, l'autre le maxime M^ entre les mêmes points. Leurs
mesures sont mSi et M^Sj. Donc l'aire à évaluer est comprise
entre la somme llm^i des rectangles inscrits et celle 2M<8i des
rectangles circonscrits. Comme ces deux sommes tendent vers
la même limite quand tous les segments tendent vers 0, cette
limite commune peut servir de définition et de mesure à l'aire
que nous nous sommes proposés d'évaluer. Cette aire est donc
égale à l'intégrale définie
•b
f{x)dx.
Ja
Telle est l'interprétation géométrique annoncée : Une intégrale
définie représente une aire plane.
223. Intégrale considérée comme fonction de sa limite supérieure ;
sa dérivée. — Remplaçons la limite supérieure b de l'intégrale
définie par une variable X, nous formons une fonction de X :
r(X) = r f(x)dx.
'(X) = r/-(^)
Ja
INTÉGRALES CONSIDÉRÉES COMME LIMITES DE SOMMES 235
Cette fonction jouit des propriétés fondamentales suivantes :
La fonction F(X) est continue dans tout intervalle où /"(X)
est intégrable.
En effet, pour un accroissement h de signe quelconque donné
à X, on a (n'^ 221)
1 A«^)<^^-( +1 f{x)dx;
donc, par le théorème de la moj'^enne (n° 217),
F (X + /i) — F (X) = r^ /■(«:) d5C = [x/i,
où (i. est une valeur moyenne de f{x) dans l'intervalle de X à
X + /i. Cette relation prouve que F(X + h) — F(X) tend vers
zéro avec h, donc F(X) est fonction continue de X,
Supposons maintenant que /"(X) soit continue au point X ; la
valeur moyenne pi tendra vers /"(X) quand h tendra vers zéro,
et l'on tirera de la dernière équation
F'(X)= lim^^i^tJ^ZM ^ lim f, ^ /-(X).
71=0 n
De là, le théorème fondamental suivant :
La dérivée d'une intégrale définie par rapport à sa limite su-
périeure est égale à la valeur de la fonction sous le signe d'inté-
gration à cette limite, pourvu que cette fonction soit continue en
ce point.
224. Autres propriétés des intégrales définies. — I. Si f{x) se dé-
compose en une somme de fonctions intégrables (n° 216), à savoir
f{x) -\- '^{x) -\- •••, la fonction f{x) est intégrable et l'on a
(1) I f{x)dx= 1 (f{x)dx-{-{ '\'{x)dx
Ja Ja Ja
+
C'est la règle d' intégration par décomposition pour les inté-
grales définies. Elle se démontre facilement au moyen de la
définition de l'intégrale donnée au n° 220. En effet, on a
Faisons tendre les 8/ vers zéro et passons à la limite ; par défi-
nition, l'équation précédente sera remplacée par l'équation (1).
II. Un facteur constant peut être mis hors du signe d'intégra-
tion.
236 CHAPITRE Vi. THEORIE ELEMENTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIES
Soit, en effet, A constant ; on a, par définition (n" 220),
Ca f{x) dx ^ lim 2 A f{^i) S, = A lim 11 f{lf) 5« ;
(2) r A f{x) dx = A Çf{x) dx.
Ja Ja
225. Théorème de la moyenne. — Considérons l'intégrale
f{x) <p (;x;) dx
f
Ja
et supposons que la fonction à intégrer soit le produit de deux
fonctions intégrables, l'une (f>{x) constamment positive dans
l'intervalle (a, b) et l'autre f{x) comprise entre m et M. On
aura, si b est > a,
{ [M — f\x)] f(x) dx > 0, Cifix) — m] cp {x) dx > 0.
Ja Ja
car, les fonctions à intégrer étant positives, ces intégrales sont
des limites de sommes positives. On peut décomposer ces inté-
grales en deux autres et faire sortir les constantes M et m du
signe d'intégration (n» 224) ; il vient ainsi, sans difficulté,
M <û{x)dx > f{x)(D{x)dx > m (D{x)dx.
Ja Ja ' Ja'
Donc, en désignant par \t. une moyenne convenable entre les
valeurs de f{x) dans l'intervalle (a, b), on peut écrire
(3) /"(oc) <p (.x) dx -= p. j <û{x)dx.
Ja Ja
C'est dans cette relation que consiste le théorème de la
moyenne. Nous l'avons établie en supposant 6 > a et co (x) posi-
tif, mais elle subsiste évidemment pourvu que (f{x) ne change
pas de signe dans l'intervalle (a, b).
Quand f{x) est une fonction continue dans l'intervalle (a, b),
on peut remplacer jx par /'(^), où ^ est une valeur convenable
de X dans cet intervalle, et écrire l'équation (3) sous la forme
suivante :
(4) Cf{x) <^{x) dx = Ai) C?{x) dx.
Ja Ja
En faisant «p(.x;) = i dans les formules (3) et (4), on retrouve
celles du n** 217 :
RELATION ENTRE LES INTÉGRALES DEFINIES ET INDEFINIES '20"]
j f{x) dx = [li dx =^ [i-ib — a),
Ja Ja
Cf{x) dx = /(O ('dx = m (b - a).
Ja Ja
§ 2. Relation entre les intégrales définies et indéfinies.
Calcul des intégrales définies.
226. Retour sur le chapitre précédent : Existence d'une fonction
ayant pour dérivées f{x). Remarques sur les notations. — Dans tout le
chapitre V, on a admis provisoirement le résultat suivant,
énoncé au n** i83 : Si f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), il
existe une fonction ayant f{x) pour dérivée dans cet intervalle.
Ce théorème se trouve maintenant rigoureusement établi. En
effet, l'intégrale
rf{y)dy
Ja
est une fonction particulière qui jouit de cette propriété (n° 228).
Lorsqu'il n'en résulte aucune confusion, on remplace habituel-
lement la variable y par oc dans la notation de l'intégrale pré-
cédente, qui devient
rx
I f{x) dx.
Cette expression a donc pour dérivée la fonction f{x) écrite
sous le signe d'intégration. Cette propriété commune des inté-
grales indéfinie et définie :
{f{x)dx, rf{x)dx,
explique l'origine du signe f dans la notation de la première.
227. Relation fondamentale pour le calcul des intégrales définies. —
Lorsque, par un procédé quelconque, on a trouvé une fonction
continue F{x) qui admet f(x) pour dérivée clans l'intervalle
(a, b), cette fonction ne peut différer que par une constante de
l'intégrale définie considérée ci-dessus, car ces deux fonctions
ont la même dérivée. 11 vient donc, C désignant une constante
à déterminer,
rf{x)dx = F(A;)-fC.
Ja
238 CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIBE DES INTÉGRA1,ES DÉFINIES
En particulier, si x = a, on trouve ==^ F (a) -f C, d'où l'on
tire C = — F (a) ; par conséquent,
f
Ja
f{x)dx = F(x) — F{a) ;
et, si l'on fait x = b,
(1) Çj{x)dx = F{b)-F{a).
C'est la formule fondamentale pour le calcul des intégrales
définies. On la met souvent sous la forme plus condensée
(2) Cf{x)dx=[F{x)].
Ja a
Le second membre se prononce en abrégé : F {x) aux limites
a et b. Il représente l'accroissement éprouvé par la fonction
continue F.{x) quand x passe de a à ^, ce que nous appellerons
la différence de F{x) dans l'intervalle (a, b). De là, le théorème
suivant :
L'intégrale définie f{x) dx, prise entre deux limites entre
Ja
lesquelles f{x) est continue, est égale à l' accroissement d'une
fonction continue F{x) ayant f{x) pour dérivée, quand x passe
de a à b.
228. Sur la manière d'employer le théorème précédent. — Le théo-
rème précédent est fondamental. Il ramène le calcul de l'inté-
grale définie à celui de l'intégrale indéfinie, auquel s'appliquent
toutes les méthodes exposées dans le chapitre V.
En effet, l'intégrale indéfinie a pour dérivée f{x) par défini-
tion, et l'équation (2) peut s'écrire
(3) Çf{x)dx=^\^(f{x)dx
L'intégrale indéfinie comporte une constante arbitraire, mais
on peut la négliger pour le calcul de l'intégrale définie, car le
théorème précédent s'applique à toute fonction aj^ant pour dé-
rivée f{x).
Lorsque la fonction F (5c) est à déterminations multiples, le
choix des valeurs à attribuer à F (a) et F (6) dans la formule (1)
résulte de la condition de continuité imposée à F{x). En gêné-
CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 289
rai, on pourra choisir arbitrairement la détermination de F (a),
mais alors celle de F{b) est imposée, car il faut que F{x) varie
d'une manière continue de F (a) à F{b) quand .y varie de a à, b.
Cette remarque s'applique, en particulier, aux inverses des
fonctions circulaires. On a, par exemple,
^* dx
i
= arc tgb — arc tg a ;
mais les valeurs arc tg a et arc tg b doivent appartenir à la
même branche de la fonction. Le plus simple est donc de con-
sidérer la branche principale. Si l'on fait a = et 6 = i, il vient
ainsi
Jo I + X' Uy 4
229. Remarque sur la définition de l'intégrale définie. — Certains
auteurs prennent la relation (3),
Ja
f{x) dx
\f{x)
dx
comme définition de l'intégrale définie, et considèrent comme
une propriété l'égalité de cette expression avec une limite de
sommes. Ce mode d'exposition peut paraître plus simple à pre-
mière vue, mais cette simplicité est plus apparente que réelle.
En effet, cette définition postule l'existence d'une fonction ayant
pour dérivée f{x), et celle-ci ne peut être établie d'une manière
générale que par la considération d'une limite de sommes.
230. Intégration par décomposition et par parties. — Les règles
d'intégration par décomposition, par parties et par substitution
s'étendent aux intégrales définies, mais avec des modifications
tenant aux limites.
Si II, V, IV,... sont des fonctions intégrables de x (n^ 216), on a
{il + V - w i- .-) dx = \ udx ^ \ udx— \ iv dx -\- ■-
C'est la règle d'intégration par décomposition, déjà démon-
trée (n" 1224).
Si u et y sont des fonctions de x ayant des dérivées intégra
blés II' et v' dans l'intervalle (a, b), uy a pour dérivée uv' -\- u'u ;
on a donc
24© CHAPITRE VI. THÉORIE ELEMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES
I {uu' -{- u'v)dx = uv
a L Ja
et, par la règle précédente,
(6) uv' dx = uv\ — 1 vu' dx.
Ja L Ja Ja
C'est la règle d'intégration par parties. On peut l'écrire, en
abrégé,
I udv -= uv\ — V du,
Ja L Ja Ja
en sous-en tendant que les limites sont relatives à x.
231. Intégration par substitution. — Cette règle exige un peu
plus d'attention. Soit f{x) une fonction continue de x dans
l'intervalle (a, b) ; posons
X = <p(0
et supposons : i° que, quand t varie de t^ à T, cp(f) varie d'une
manière continue de a à 6 ; 2° que cp(^) ait une dérivée continue
cp'(f) dans l'intervalle (^i, T) ; 3° que /[f(0] soit aussi continue
dans cet intervalle. Cette dernière condition résultera d'ailleurs
des précédentes si f{t) reste compris entre a et b, mais nous ne
faisons pas cette hypothèse. Je dis qu'on aura
(6) Cf{x)dx^- rf[<,{t)]<o'{t)dt.
Ja Jt^
C'est la formule d'intégration par substitution. Pour la dé-
montrer, considérons les deux fonctions de t :
('~^''^f{x)dx et Çf[^{t)]<i.'{t)dt.
J^{t^) Jti
Elles ont même dérivée. La dérivée de la seconde est la fonc-
tion sous le signe d'intégration (n° 228). Celle de la première
s'obtient par la règle des fonctions de fonctions : on calcule
d'abord la dérivée de cette iatégrale par rapport à sa limite
supérieure (f{t), ce qui donne f[^{t)], puis on multiplie ce résultat
par la dérivée de (f{t). On trouve dans les deux cas f['f{t)] ^'{t).
Les deux intégrales, ayant même dérivée, ne diffèrent que par
une constante ; elle s'annulent toutes deux pour 1^=1^, donc
elles sont égales. En particulier, si f = T, il vient
CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 2^1
(7) ('^'^^^f(x) dx = CfW)] ^'(t) dt
Cette équation revient à (6), car <^{t{) == a, œ(T) = b.
Cas où il y a des discontinuités. — Plus généralement, la
formule (6) subsiste si la fonction <p(?) est continue et si les
fonctions f[^{t)\ et -^'{t) sont bornées dans l'intervalle de ^j à T
et n'ont, dans cet intervalle, qu'un nombre limité de points de
discontinuité.
En effet, on peut partager l'intervalle (^i, T) en parties con-
sécutives dans lesquelles il n'y ait de discontinuités qu'à l'une
des limites, et il suffit de démontrer que la formule (7) s'applique
dans chaque partie, car, en additionnant les résultats, elle
s'étend à l'intervalle entier.
Nous pouvons donc admettre qu'il n'y ait de discontinuité qu'à
la limite supérieure T, auquel cas nous avons (sans difficulté,
quelque petit que soit e positif)
y f{x)dx= fW)]<?'(t)dt;
'f(ti) -'h
et, à la limite pour e = 0, cette équation revient à (7) et, par
suite, à (6).
232. Intégrales définies généralisées. — La définition de l'inté-
grale définie suppose les limites a et 6 finies et la fonction f{x)
bornée dans l'intervalle (a, b). Si ces conditions n'ont pas lieu,
il faut de nouvelles définitions.
I** Soit f{x) une fonction bornée et intégrable (n° 216) dans
l'intervalle (a, x'), quel que soit x', pourvu que x' soit > a.
L'intégrale de f{x) dx prise entre les limites a et 00 est, par
définition, la limite, si elle existe, de l'intégrale prise entre a
et x' quand x' tend vers l'infini et c'est une intégrale générali-
sée. On a donc
(8) f f{x)dx='\imr'f{x)dx.
Si cette limite n'existait pas, l'intégrale à limite infinie
n'existerait pas non plus. L'existence de l'intégrale à limite
infinie n'est pas assurée, même quand f{x) est continue. Cer-
16
242 CHAPITRE VI. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES
taines règles permettent, dans des cas étendus, de constater si
l'intégrale à limite infinie est déterminée ou non. Nous nous en
occuperons dans une autre partie du cours. Pour le moment,
contentons-nous de remarquer que, si l'intégration indéfinie
peut être effectuée, la définition de l'intégrale généralisée suffit
pour s'assurer de son existence et la calculer. Par exemple,
e~^dx = lim e^^ dx = lim i — e~^ ^ i.
X'=:aaJo xl=x\_ Jo
Les intégrales prises entre les limites — œ et b, ou entre
— 00 et + 00 s'interprètent d'une manière analogue.
2° Soit maintenant f(x) une fonction qai croît à l'infini quand
X tend vers b, mais est bornée et intégrable dans l'intervalle
(a, b — e), quelque petit que soit e. On pose par définition, a
étant donc supposé < b,
(9) Çf{x)dx--^\im( y{x)dx.
)a 6=0 Ja
L'existence de l'intégrale généralisée est liée à celle de cette
limite. Lorsque l'intégration indéfinie peut être effectuée, cette
définition suffit pour le calcul, on a, par exemple,
f
dx .. . , \ '^
= lim arc sm (i — e)
.2 ^ ' 2
h \Ji — x^
3° Si f{x) augmentait indéfiniment quand x tend vers a, mais
était bornée et intégrable dans l'intervalle (a -f e, b) quelque
petit que fût e, on poserait d'une manière analogue
(10) {^f{x) dx = lim I f{x) dx,
Ja £=0 Ja-k-z
et l'existence de l'intégrale serait liée à celle de cette limite.
4° Supposons enfin que f{x) devienne infinie pour un nombre
limité de valeurs de x dans l'intervalle (a, b). Partageons cet
intervalle en parties consécutives où f{x) n'est infinie qu'à l'une
des limites. L'intégrale de f{x)dx dans (a, b) sera, par définition,
la somme des intégrales dans chaque partie. Pour que V intégrale
généralisée existe dans l'intervalle (a, b), il faut donc qu'elle
existe dans chaque partie, ce qui ramène aux définitions précé-
dentes.
CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 243
233. Extension de la formule fondamentale (1) au calcul des inté-
grales généralisées. — I. Lorsque la fonction f{x) est continue
pour toutes les valeurs de ;x: dans l'intervalle (a, b), sauf pour
un nombre limité de valeurs exceptionnelles qui peuvent la
rendre infinie, l'équation fondamentale (1) pour le calcul des
intégrales définies (n" 227), à savoir
i
f{x)dx = F{b)-F{a),
subsiste pour l'intégrale généralisée, pourvu que la fonction
F {x) soit continue dans tout l'intervalle (a, b) sans exception,
et qu elle ait f{x) pour dérivée sauf pour les valeurs exception-
nelles.
En effet, si b est la seule valeur exceptionnelle, l'équation (9)
donne
f f{x) dx = lim [F{b — e) — F (a)] = F(fe) — F (a).
./a
Lia, conclusion est analogue, si a est la seule valeur exception-
nelle. S'il y a une valeur exceptionnelle c intermédiaire entre
a et b, il vient
f f{x) dx = T-f ( V(^) dx=^F (c) — F (a) -\-F{b) — F (c).
m'a Ja Je
Comme F(c) disparaît, on retrouve encore la même équation.
Enfin la démonstration s'étend de proche en proche au cas où
il y aurait plusieurs valeurs exceptionnelles intermédiaires.
II. Si les fonctions /(ic) et F (a;) sont continues pour toutes
les valeurs de x supérieures à a, et si F{x) tend vers une limite
déterminée F.(oo ) quand .v tend vers l'infini, l'équation fonda-
mentale,
rf{x)dx = F{œ)-F{a),
Ja
subsiste encore, car, en appliquant l'équation (8), il vient
f{x) dx = lim [F{x') — F(a)] = F(oo ) — F(a).
Ja
234. Application au calcul de quelques intégrales définies. — Indi-
quons quelques applications de la formule fondamentale
jj-{x)dx=^jf(x)dx']\
244 CHAPITRE VI. THÉORIE ELEMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES
I. Si a est différent de 0, on a
'sin ax
Jo
a Jo"
sm âTz
a
Jo
cos ax dx =
donc, si a est entier et différent de 0,
COS ax dx = 0.
On conclut de là que, si m et ii sont des entiers différents,
l GOsmxcosnxdx=-\ cos {m -f n)xdx-\ — I cos(m — n)xdx=0;
tandis que, si m = n,
C^ I rit ^
I cos^ mx dx = -\ {i-{-cos2mx)dx~-.
Jo 2^0 2
II. De la relation du n** i88 :
on déduit
I:
dx
a^ + b^x^ ab
I . bx . ^,
--^arctg^+C,
j:
dx
arc tg 00 — arc tg
,0 a^ 4- b^x^ ab [_
III. De la relation du même numéro :
7t
2a-6'
h
dx
I , a — bx.^
Log „ , ^„ + C,
a^ — fc^^:^ 2a6 """^ a -\- bx
on déduit (a, 6 étant positifs et a > 6)
r
dx
/oa'' — b^x^ 2ab ""a — 6
IV. Si (a -f- -6) et (a — 6) sont positifs, on a (n° 209)
dx
J:
f-
Jo a
a-\- b cos a; y/az 5?
dx 2
~ arc tg
V
tg?l + c,
a + '^ 2y
arc tg 00 — arc tgO
I
Jo a-\- b cos 5c \/a2 b^
Si, au contraire, a-\- b est > et a — 6 < 0, on a
dx I
Va2 — b^ '
a + ^ cos a; w^2
f
_ /^/>-hacosx4-\/'&^ — a^ sin x\ , ^
Log I —^ + C,
^ V a -\- b cos X J
Log
f b^SJb'^-a^ \
a-\-b cos X y'£,2 32 """*' V a y
CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 245
V. Des deux relations du n'' 2i3, à savoir
r ^ r j e"^ la cos bx -\- b sin bx) , ^
e^ cos bx dx = ^^ , . ^„ ^ + C,
Ç „„ . r , e^^ (a sin bx — b cos fijc) , „
Je«^sin bx dx = î^ â'-^fT' -^^'
on déduit, a étant positif,
1 e-''^ cos -6^; dx = „ . .„ , j e-«^ sin ôjc Ja; = — ^^ -r^r.
^ a^ + 6^ jo a^ + 62
235. Intégrales obtenues par des formules de réduction. — I. Les
formules de réduction se simplifient souvent quand on les ap-
plique aux intégrales définies. Ainsi, de la formule
j x^ e-^ dx = — x^ e-^ + n j x"-^ e-^ dx,
on conclut, si n est positif,
x^ g-* dx = n x^-^ e-^ dx.
Si, de plus, n est entier, cette formule donne, de proche en
proche,
j 5c"e-^ dx --= II! I e-^ dx = n
Jo Jo
II. Lorsque m et n sont des entiers positifs, les formules de
réduction (3) et (4) du n'' 210 donnent les deux suivantes :
rsin*"5C cos" X dx = ; — 1 sin^-^ cos" x dx,
m + njo
I sin'w^v cos"«; d^c =- 1 sin'"^cos"~*5ccf.ic.
jo m + njo
La première subsiste pour n = et la seconde pour /n -= 0,
auxquels cas il vient
fm — I /* *
sin"* xdx = sin"»-* x dx,
m Jo
1 cos"5C dx = 1 cos"-2 X dx.
Jo n Jo
Ces quatre formules permettent de réduire de pioche en
246 CHAPITRE VI. THEORIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DEFINIES
proche les exposants m et n à ou à i, donc les intégrales à
l'une des quatre suivantes :
7t 7t IT t:
rdx, 1 sin X dx, j cos x dx, sin x cos x dx,
Jo Jo Jo
7t ^ I
ayant respectivement pour valeurs -, i, i et -.
Pour abréger l'écriture, convenons de représenter par m 1! le
produit de tous les entiers non supérieurs à m mais de même
parité que m (ce que nous pouvons appeler une semi-factorielle).
Il viendra
r- r- l ^ rf^-(^ pair),
I sin*" X dx = \ cos*" xdx= {
Jo Jo 1 (m — ï)\l , . . .
f ^^ rr— (m impair).
\ m 11 ^ r- /
/ (m — i)!!(n — i)ll7t , ^ . ,
Tc l ^^ , ' , . ,, — (m et n pairs),
sin*" X cos" ;x: dix; = {
Jo j (m — i) II (n — i) !! //n ou /i ou tous>i
\ (m + Ji) !! Vdeux impairs.y
Lorsque metn sont impairs, soit m = 2/) -f- i, n = 2q + i, la
formule précédente se simplifie,
IL
f * sin2p+* X cos2«+* xdx = - , ^,^^\ , , .
jo • 2(/) + g + l)!
236. Exemples de changements de variables. — I. Par la substitu-
tion 5C = tg 2, il vient, eu égard aux résultats précédents (m en-
tier et positif),
r dx f? ,„, o J (2m — 3)!!7r
7 Sv- = COS^'W-S zdz = 7 r-rr "•
Jo (i + x")»" jo (2m — 2) !! 2
II. Par la substitution x = sin z, il vient (m entier positif)
I (i - ^^)- d;x = I cos^-+* z dz = (^^^^^;^-
III. Par la substitution x = sin z, il vient (m entier positif)
i(m — i) 11 7t . . ,
^^ ry^ (m pair),
ml! 2
('"-•,^>" (m impair).
CALCUL DES INTEGRALES DEFINIES
247
IV. Par la substitution \Jax — x^ =^ xz, d'où x^ a:{i -{- z^),
il vient (m entier positif)
ça xmdx r dz (2m-l)!!
Jo Vi^^^=^ ~ Jo (1 + ^'r^' (2m) 1 !
V. Par la substitution x = sin^ z, il vient (/), q entiers positifs)
1 xP(i—xYdx =2! %in2i'+i2cos2«+izd2 = , ^ ' ^ . — x-
Jo ^ ^ Jo (P + g' + i)
VI. Par la substitution oc = 2 : (i 4- 2), la même intégrale se
transforme dans
zvdz P ! 9 î
I
lo (i+2)P+«+- (p4-g + i)!
237. Formule de Wallis. — Soient n un nombre entier positif
et X une variable comprise entre et tt : 2 ; on a
gin2n+i X < sin*" x < sin^"-* x,
par conséquent,
^sin2"+i 5C doc < 1 *sin-" x dx < 1 ^sin^"-! oc dx
Jo Jo .0
et, en remplaçant les intégrales par leurs valeurs numériques,
(2n) !! (2/1 — i)!!7r (2/1—2)!!
(2n+i)!I^ (2n)!! 2'^(2n — i)!!'
On déduit de ces inégalités
(2/1)!
I -«
_(2n — i) !!J 2n + i 2
donc, ô étant compris entre et i.
(2n) !!
(2/1-1)1!.
2n
(2/1)
M l!
2 L(2/i — i)!!j 2n 4-9*
Faisant tendre n vers l'infini, et observant que (2n) : (2/1 4- 9)
tend vers l'unité, on obtient la formule de Wallis
,. r (2n)!! 1^1
it =^ lim ' ^ '
n-«L(2/i — 1) l!j ri'
238. Intégrales obtenues par des artifices de calcul. Exemples. —
L'intégration indéfinie est le procédé le plus important pour
24 8 CHAPITRE VI. THEO RIE ÉLÉMENTAIRE DES INTÉGRALES DÉFINIES
calculer les intégrales définies, mais ce n'est pas le seul. Cer-
taines intégrales définies se déterminent par des artifices de
calcul, sans qu'il soit possible d'obtenir sous forme finie les
intégrales indéfinies correspondantes.
I. Un des exemples les plus remarquables est fourni par
l'intégrale généralisée
I e-^* dx,
,0
qui joue un rôle important en calcul des probabilités. Pour la
calculer, établissons d'abord quelques inégalités.
La fonction (i + a)e-« , ayant sa dérivée — ae-a de signe
contraire à a, atteint son maxime (qui est i) pour a =^ 0. Nous
avons donc, en remplaçant a par ± x^,
(i + x^)e-^- < I, {i—x^)e^'<i;
d'où les deux inégalités
I — x^ < e-^' < — - — .
i-\- x^
Elevons-les à la puissance positive n, en supposant i — x^
positif dans la première, nous trouverons
(l — .X2)n <- g-nxi ^ ^ ^ .
Comme nous avons
f e-*-» dx =-- \/n j e-«^^ dx >\/n C e-»^^ dx,
nous tirons des inégalités précédentes, pour n entier (n« 236),
f e-^^ dx > \/n (\i—x^)» dx = v'^ . ^^"^'!.. .
jo Jo (2n + i)!!
Ces deux résultats peuvent aussi s'écrire comme il suit :
^1 _r_(2n)!!_^1 r , 71 2n [- (2n-i)!! -"l
2n + iL(2/i-i)!!VnJ Jo ^22/i-iL (an)!! ^ _
Faisons tendre n vers l'infini ; ces deux crochets tendent
respectivement vers \/- et i : y- par la formule de Wallis, donC
les deux membres extrêmes vers y-n : 2, et il vient
/:
2
CALCUL DES INTÉGRALES DEFINIES 249
II. Comme second exemple, considérons l'intégrale suivante
C^ X sin xdx (^ x sin x dx , C^ x sin x dx
r^ X sin xdx _ Ç^x sin xdx Ç"^ xi
Jq 1 4- cos*;>c ~ Jo I + cos*;>c J it i -
4- cos*«;
2
Par la substitulion x = - — z, la dernière intégrale devient
7C
ro (tî — z) sin z dz T s sin z dz Ci z sin z dz^
jii I + cos-z ~ jo I -f cos'^z Jo I + cos^z •
1
Portons cette valeur dans l'équation précédente, nous trou-
vons
Ç"^ X sin xdx _ T 2 i
Jo I 4- cos* X ~ ' Jo I
sin X dx
= 7t
Tt
..2
arc tg (cos x)
+ COS^ X
III. Considérons, en dernier lieu, l'intégrale suivante :
TT
1 Log (sin x)dx =^ Log (sin x) d^ + Log (sin x) dx.
Jo Jo J-iz
T
Nous avons, d'une part,
Log (sin x)dx = 2\ Log (sin :x;) dx,
Jo Jo
car, par la substitution x = tz — z, l'intégrale aux limites tz : 2
et 7î se transforme dans celle aux limites et tt : 2.
X X
D'autre part, sin x =^ 2 sin - cos-, donc, en prenant les loga-
rithmes et intégrant, nous avons
j Log(sin3c)diV = 7îLog2 4- Logf sin- jd^c-f I Logf cos- jd^c
= 7tLog2-|-2) Log(8in5c)d5c-4-2 1 Log(cos:x;)djc
Jo Jo
TZ
= ir Log2 4- 4 r * Log (sin 5c) d^;,
car les deux intégrales aux limites et tc : 2 se ramènent l'une
à l'autre par la substitution «; = (~ : 2) — 2 et sont, par consé-
quent, égales.
De la comparaison des valeurs obtenues de part et d'autre,
nous tirons, en réduisant, la valeur de l'intégrale cherchée
(Euler) :
i
TC
Log (sin x)dx *= Log 2.
G 2
2^0 CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN
§ 3. Intégrale de Riemann.
L'intégrale de Riemann fournit la généralisation la plus directe de
la théorie élémentaire des intégrales définies, mais elle n'a plus guère
qu'une importance historique, car elle rentre comme cas particulier
dans celle de Lebesgue, qui sera étudiée dans le chapitre suivant.
239. Théorème de M. Darboux. — Soient /(.r) une fonction univoque
et bornée dans un intervalle {a, b), M et m ses bornes supérieure et
inférieure. Partageons l'intervalle {a, b) en n parties consécutives par
les points :
xi = a, Xi, Xs,... Xi,... x„, x„+i = b.
Désignons, en général, par S,- = Xi+i — Xi l'amplitude d'un de ces
intervalles, par Mi et nu les bornes supérieure et inférieure de f{x)
dans l'intervalle S,-. Formons les deux sommes :
S = SM,S,-, s = 'kfni8i.
i i
Ces deux sommes sont comprises entre m{b — a) et M{b — a). Voici
maintenant le théorème de M. Darboux :
Théorème. — Si l'on multiplie indéfiniment le nombre des points de sub-
division, de manière que tous les intervalles ô/ tendent vers 0, les deux sommes
S et s tendront respectivement vers des limites déterminées, L et l, indépen-
dantes du mode de subdivision adopté.
Il suffit de faire la démonstration pour S, car S est remplacé par — s
quand / est remplacé par — /. Ensuite on peut supposer/ > 0; en
effet, si A est une constante, les sommes S relatives à/ ne diffèrent
des sommes correspondantes relatives à/+ A que par une constante
A(è — a), de sorte que le théorème sera vrai pour/ s'il est vrai pour
/+ A et on peut prendre A assez grand pour que/+ A soit positif.
Supposant/ positif, faisons encore une observation préliminaire :
si l'on partage un intervalle S,- en sous-éléments S^, S,- ,... où les bornes
supérieures de/ sont M,-, M^ ,... le produit M,-8, ne sera pas inférieur à
la somme MA- + M, 8, + ... étendue aux sous-éléments de S,, ni à
fortiori (les termes étant positifs) à toute somme analogue qui ne
s'étendrait qu'à une partie seulement de ces sous-éléments.
Démontrons maintenant le théorème de M. Darboux.
Toute somme S est > m{b — a) ; l'ensemble des sommes possibles
admet donc une borne inférieure L. Je dis que S a pour limite L quand
les éléments 5,- tendent vers 0.
En effet, soit t un nombre positif arbitraire. Par définition de L, il
existe une somme fixe S', fournie par un certain mode de partage en
éléments déterminés o^, telle qu'on ait S' < L + e. Considérons main-
INTÉGRALE DE RIEMANN sSl
tenant les éléments décroissants h relatifs à la somme variable S, et
partageons-les en deux classes : i» ceux qui sont intérieurs à l'un des
éléments fixes 8' ; 2° ceux qui empiètent sur plusieurs éléments ô'. En
même temps, S est partagé en deux parties Si + S2 où Si se rapporte
aux éléments de la première classe et S2 à ceux de la seconde. Si est
< S', car, par notre observation préliminaire, chaque terme de S' est
remplacé par une somme moindre dans Si ; ensuite S2 tend yersj)
avec les intervalles S,-, car les éléments S,- de la seconde classe sont en
nombre limité (comme les intervalles fixes 8') et leur somme tend
vers en même temps qu'eux tous. On a donc
limS=limSi^ S'< L + e.
Donc, e étant arbitraire et S au moins égal à L, la limite de S est L.
On prouve d'une manière analogue que 5 tend vers sa borne supé-
rieure /.
240. Ditéçrales par excès et par défaut. — Fonctions intégrables au
sens de Riemann. — Les deux limites L et / des sommes
S MA, Sw,S,-.
limites dont le théorème de M. Darboux établit l'existence, s'appellent
les intégrales par excès et par défaut (Jordan) de /{x) dans l'intervalle
{a, h). On les représente par les notations
C'f{x)dx, jy{x)dx.
(R)
Si elles sont égales, leur valeur commune est, par définition, l'inté-
grale définie de /(;*;) ^^r au sens de Riemann. Celle-ci se représente
par la notation
j f{x) dx ou simplement 1 /{x) dx.
On dit, dans ce cas, que la fonction /(;»?) est intégrable au sens de
Riemann, ou, en abrégé, est intégrable (R) dans l'intervalle (a, h).
La condition nécessaire et suffisante pour que/(;r) soit intégrable (R)
est donc que la différence L — / soit nulle, ou que l'on ait
L — / = lim 2 (M.- — mi% — 0.
Lorsque la fonction /(at) est intégrable (R) dans l'intervalle {a, b), on
peut évidemment définir l'intégrale par la formule
Cf{x)dx = \\mïf{\i)h,
les points $, étant choisis d une manière arbitraire dans les intervalles
8, de même indice.
252 CHAPITRE VI. INTEGRALE DE RIEMANN
Lorsque J{x) n'est pas intégrable (R), cette limite n'existe plus,
mais S^^{) § a pour limites d'indétermination (plus grande et plus
petite limites) les intégrales par excès et par défaut. Nous conserverons
donc un sens à l'expression
{K)\'nx)dx,
même au cas o\\.f{x) n'est pas intégrable (R), en lui attribuant une
valeur indéterminée dans l'intervalle des intégrales par excès et par
défaut.
Nous avons supposé jusqu'ici la fonction /(;tr)univoque. Rien n'em-
pêche de former des sommes analogues quand /(;»r) est indéterminée
pour certaines valeurs de x, pourvu que ses limites d'indétermination
soient connues pour chacune de ces valeurs. On conçoit, en effet, que
la fonction puisse prendre, pour chacune des valeurs de x, toutes les
valeurs comprises entre ces limites. La connaissance de ces limites
permet donc d'assigner aussi les bornes supérieure et inférieure àef{x)
dans un intervalle quelconque, donc de former les deux sommes S et 5
considérées au n» aSg. D'ailleurs le fait de l'indétermination n'altère
en rien les raisonnements, de sorte que ces deux sommes tendent
encore vers des limites, qui sont les intégrables par défaut et par excès
de la fonction considérée.
Si ces deux limites sont égales, la fonction /(;v) est intégrable (R) et
cette limite commune se représente comme précédemment. Cette
extension permet de simplifier la théorie de la réduction des intégrales
multiples (Voir t. II).
241. Propriétés des fonctions intégrables (R). — I. Soient /{x) une
fonction intégrable (R) dans l'intervalle {a, b) et c une constante ; la fonction
cf{x) est intégrable (R) dans le même intervalle.
En effet, soient mi et M,- les bornes àef{x) dans l'intervalle ^i, celles
de cf{x) seront cmi et cM,-. Or on a, puisque/ est intégrable,
lim S {cUi — cmi) ^i = <; lim S (M,- — m^) S,- = 0,
donc ç/est intégrable aussi.
II. La somme de plusieurs fonctions intégrables (R) dans (a, b) est intégrable
(R) dans le même intervalle.
Soient/=y' +/" + ... la somme de plusieurs fonctions intégrables,
mi et M,-, mi et M,-, % et M, ,... leurs bornes respectives dans S,. On a
M,- — mi < (M; — m\) + (M,'' — m'!) + ...
Mais,/',/",... étant intégrables dans (a, b),
lim S (M; — m% + lim S (mJ-' — m'l)^i + . . . = ;
donc a fortiori
lim2(M,— w,)S,=0.
INTÉGRALE DE RLEMANN 253
III. Le produit de deux fonctions intégrables (R) dans {a, b), est intégrable
(R) dans le mime intervalle.
So\tf =/'/", le produit de deux fonctions intégrables et positives.
On a, avec les notations précédentes,
M,- — mi ^ M'iM'i — fn[m'i < M'J(Mi — w|) + m'^iMJ' — m'/)
et, en désignant par M' et M" les bornes supérieures de /' et de /"
dans tout intervalle d'intégration,
M, — Mi < M"(M; — m'i) + M'(M;' — m'/).
Donc
lim S (M, — w.)S,- < M" lim S (U', — m]) h + M' lim S (M'' - m'-) o/.
Le second membre a pour limite 0, puisque/' et/" sont intégrables,
donc le premieT a fortiori a pour limite 0, ce qui prouve que /est
intégrable.
Le cas où/' et/" sont de signes quelconques se ramène au précé-
dent. On a, en effet,
/'/" - (/' — m') (/" — m") + mf" + m"f> — m'm".
Or le second membre est une somme de fonctions intégrables, car
les deux facteurs (/' — m') et (/" — m") sont positifs et leur produit
intégrable. Donc/'/" est intégrable (propriété II).
IV. Si la fonction f est intégrable (R) dans l'intervalle {a, b) et si ses bornes
supérieure et inférieure M et m sont de même signe, la fonction i : / est
intégrable (R) dans le même intervalle.
Supposons, pour fixer les idées, M et w positifs. L'oscillation de
I :/dans l'intervalle S,- sera
I I Mt —mi ^ I ,-,
T7- = — ^TVT < - "o (M,- — mi).
mi Mi Mt-nii m-
Par conséquent,
lim S ( -- - ~] 8i ^ JL lim S (M.- — mi) 8,- = 0.
242. Expression par une intégrale de la diflference entre les inté-
grales par excès et par défaut. — Soit f{x) une fonction bornée dans
l'intervalle (a, b). Représentons par
Osc./(;>r)
l'oscillation def{x) au point x (n» 24). La relation que nous voulons
établir est la suivante :
r / W dx — Ç f{x) dx = f Osc.fix) dx.
Ja Ja Ja
254 CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN
Décomposons l'intervalle {a, b) en parties consécutives S^ et dési-
gnons par Mî et nu les bornes supérieure et inférieure de f{x) et par
At la borne supérieure de Osc.f{x) dans chaque intervalle o,. La dé-
monstration repose sur le lemme suivant :
Quelque petit que soit s positif, on peut trouver un mode de décomposition
de {a, b) en parties o/ aussi petites que Von veut, tel quon ait dans chacune
d'elles
M, — mi < A,- + e.
En effet, si, e étant donné, aucun mode de décomposition de l'inter-
valle (a, b) ne vérifiait la condition précédente, en raisonnant comme
dans la démonstration du théorème du n» 26, on prouverait qu'il existe
au moins un point c dans l'intervalle {a, b), tel qu'une décomposition
de l'intervalle {c — S, c + ^) vérifiant la même condition fût impossible
pour des valeurs aussi petites qu'on veut de 0. Or cette conclusio n est
inexacte, car, à partir d'une valeur suffisamment petite de S, l'oscil-
lation àef{x) dans l'intervalle (c — S, c + S) sera inférieure à Osc./(c)+e.
En second lieu, on peut vérifier la condition proposée par un mode
de décomposition en parties aussi petites que l'on veut. En effet,
après avoir préalablement décomposé (a, h) en parties aussi petites que
l'on veut, on peut encore, en vertu du raisonnement précédent, subdi-
viser chacune de ces parties de manière à réaliser la condition pro-
posée.
Le lemme précédent conduit facilement à la relation à démontrer.
En effet, considérons un mode de subdivision en parties o,- vérifiant la
condition de ce lemme, à savoir
A/ < Mî — Mi < A/ -\- £.
Multiplions par S^ et sommons pour toutes les parties, il vient
S lA < S MA- - S mA <. S AA + £ (è — a).
Faisons tendre à la fois 8, et t vers zéro ; les deux membres extrêmes
de ces inégalités tendent vers la même limite, qui est, par définition,
le second membre de l'équation à démontrer. Donc la limite de l'ex-
pression du milieu, qui en est le premier membre, est la même.
243. Longueur des ensembles linéaires (Jordan) (*). — Soient E un
ensemble linéaire, e{x) une fonction égale à i en tout point de E et à
en tout autre point, aetb{b> a) deux nombres quelconques ; for-
mons les deux intégrales :
7* r* ■
/«E = l e{x) dx, liK = I e{x) dx.
(*) Ces notions ont perdu de leur importance depuis que MM. Borel et
Lebesgue ont donné une définition plus satisfaisante de la mesure des
ensembles (Introduction § 11).
INTÉGRALE DE RIEMANN 255
La première est la longueur extérieure de E dans l'intervalle (a, b), la
seconde sa longueur intérieure (au sens de M. Jordan). Quand ces deux
intégrales sont égales, leur valeur commune est la longueur de l'en-
semble dans l'intervalle [a, b) et l'ensemble est mesurable dans cet inter-
valle au sens de M. Jordan ou, en abrégé, mesurable (J). Lorsque l'en-
semble E est borné par les points a et b, on dit que les expressions
précédentes sont les longueurs de E, sans désignation d'intervalle.
Supposons que l'on décompose l'intervalle (a, b) en parties consécu-
tives, infiniment petites, o» et rappelons-nous la signification des deux
intégrales précédentes, nous pourrons énoncer les propositions sui-
vantes, qui ont été prises comme définition par M. C. Jordan :
La longueur extérieure de l'ensemble E dans l'intervalle (a, b) est la limite
de la somme des parties S, qui contiennent un point au moins de E ; la lon-
gueur intérienre la limite de la somme des parties qui ne renferment que des
points de E. Ces limites sont indépendantes du mode de subdivision de {a, b)
en intervalles 8i,
Il suit évidemment de ces nouvelles définitions que, si /,(CE) dé-
signe la longueur intérieure du complémentaire de Edans l'intervalle
(a, b), on aura
leE^-li{CE)-=b-a.
Appliquons aux deux intégrales qui mesurent les longueurs exté-
rieure et intérieure de E la relation du no 242. Il vient
( e{x) dx — l e{x) dx = \ Ose. e{x) dx.
Or Ose. e(x) est égal à i en tout point frontière de E et à partout
ailleurs. D'où les propositions suivantes :
La différence entre les longueurs extérieure et intérieure d'un ensemble est
égale à la longueur extérieure de l'ensemble de ses points frontières.
Pour qu'un ensemble soit mesurable (J), il est nécessaire et suffisant que
l'ensemble de ses points frontières soit de longueur nulle, ou que l'on ait
6 {x) dx = 0.
1:
244. Formes diverses de la condition d'intégrabilité (R). — La con-
dition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction bornée, /(.r), soit
intégrable (R) dans l'intervalle (a, b), est que les deux sommes S et 5
(no 239) aient la même limite, ou que la somme essentiellement posi-
tive :
S — s = 2 (M.- — mi)h
i—i
ait pour limite avec tous les intervalles S,. Or, quand les 5, tendent
vers 0, S tend vers sa borne inférieure, 5 vers sa borne supérieure, donc
S — 5 vers sa borne inférieure. La condition d'intégrabilité (R) est que
cette borne soit nulle. Donc :
256 CHAPITRE VI. INTÉGRALE DE RIEMANN
I. Pour que f{x) soit intégrable (R) dans V intervalle (a, b), il faut et il
suffit qu'à tout nombre positif t, si petit qu'il soit, corresponde un mode de
subdivision pour lequel on ait S — 5 < e.
La formule du n» 242 fournit une autre régie :
II. La condition d'intégrabiliié (R) d'une fonction bornée f{x) dans t in-
tervalle {a, b) est
r Osc.f{x)dx=-Q.
Ja
Telle est, en effet, la condition d'égalité des intégrales par excès et
par défaut. Elle peut être présentée sous une forme d'une vérification
plus commode. A cet effet, soit e un nombre positif quelconque. Dé-
signons par Es l'ensemble des points de l'intervalle {a, b) où l'oscilla-
tion de f{x) est ^ e. Cet ensemble dépend généralement de e. La
considération de l'ensemble Eç conduit à la règle suivante :
III. La condition d'iniégrabilité (K) d'une fonction bornée dans l'intervalle
{a, b) est que Es soit de longueur nulle, quel que soit t.
En effet, soit e{x) une fonction égale à i en tout point de Es et à
partout ailleurs, soit M — m l'oscillation de f{x) dans (a, b) ; on a. évi-
demment, pour toute valeur de x dans cet intervalle,
Be{x)<Osc.f{x) <e + iM — m)e{x).
Multiplions par dx et intégrons par excès entre a et è ; il vient, E^ dé-
signant aussi la longueur extérieure de l'ensemble Ee,
eE. < COsc.fix) dx^t{b — a) + {M — m) Et.
Ces inégalités prouvent que l'intégrale ne peut être nulle que si
Es est nul et que, réciproquement, l'intégrale sera nulle si Ee est nul
quel que soit e.
Théorème. — Toute fonction f{x) monotone et bornée dans l'intervalle
{a, b) est intégrable (R) dans cet intervalle.
En effet, la somme des oscillations de f{x) en tous les points de
(a, b) ne pouvant surpasser la valeur absolue def{b) — f{a), le nombre
de celles qui surpassent une quantité donnée £ est nécessairement
limité et l'ensemble Es de la règle précédente est de longueur nulle.
CHAPITRE VII.
Intégrale de Lebesgue.
§ 1 . Définition et propriétés de rintégrale de Lebesgue.
245. Définition de l'intégrale d'une fonction bornée. — Pour obtenir
l'intégrale de Riemann, on commence par partager l'intervalle d'inté-
gration et l'on multiplie la longueur de chaque partie par une ordon-
née correspondante. M. Lebesgue suit une marche inverse ; il
commence par diviser l'intervalle de variation de la fonction.
Soient E un ensemble borné de mesure mE, f{x) une fonction mesu-
rable dans E (n» 82) et y admettant une borne inférieure (jl et une
borne supérieure M. Donnons-nous un intervalle (A, B) débordant
((X, M) et décomposons-le en parties consécutives par une Uhelk de
nombres croissants :
^0 ^= A, Ixy hf' h, ... In = B.
Désignons par a l'ensemble des points de E pour lesquels on a h-i
</ < /, et aussi la mesure de cet ensemble. Formons alors les deux
sommes
S == S (ili^ 5 = 2 dli—i
i=i 1
Théorème. — Si tous les degrés, h — /,_i, de V échelle tendent vers 0,
les deux sommes S et s tendent vers une limite commune, indépendante du choix
dés échelons l,-.
Cette limite est l'intégrale de Lebesgue et elle se désigne par les
notations :
(L) \/{x) dx ou (L) \f{x) dx (si E est un intervalle).
On supprime l'indice L quand il n'y a pas de confusion possible,
ce qui est le cas ordinaire.
La démonstration résulte des trois propriétés suivantes :
10 S et 5 sont bornés et compris entre [x(wE) et M(«E).
2° La différence S — s tend vers avec les degrés de l'échelle.
En effet, S étant le plus grand de ces degrés /, — /,_i, on a
(X S — 5 = ï ei{li — h-i) ^ SS<r,- =- S(»»E).
^7
258 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE
3° Si l'on intercale de nouveaux échelons entre les U, S est station-
naire ou décroissant, s stationnaire ou croissant.
Il suit de là que S et s, étant bornés, ont une limite commune quand
les degrés de l'échelle tendent vers par intercalation de nouveaux
échelons. Ensuite cette limite est indépendante du mode de subdivi-
sion. En effet, soient S et 5 deux sommes relatives à une première
échelle et différant de s au plus, S' et 5' deux sommes relatives à une
seconde échelle et différant de e au plus. Les quatre sommes différe-
ront au plus de 2e, car les unes et les autres comprennent entre elles
les deux sommes S" et s" relatives à une tioisième échelle formée
avec les échelons combinés des deux autres.
246. Propriétés des intégrales de fonctions bornées. — I. Théorème
PE LA MOYENNE. — Si / {x) a pouv bomes [X et M, on a immédiatement
[x (wE) ^ ( fdx < M(ȕE).
II. Si un ensemble borné E est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité
dénombrable d'ensembles Ei, E^,... sans points communs, ou bien n'ayant en
commun que des ensembles de mesure nulle, l'intégrale dans E est la somme
de celles dans Ei, E2,...
Il n'y a lieu à démonstration que s'il y a une infinité d'ensembles
Soit S« l'ensemble Ei + E2 + ... + E« et soit Mi le maxime de | / 1 .
On a, sans difficulté,
I {fdx— { fdx \ = \{ fdx\ <Miw(E — S«).
Mais m (E — S« ) = w E — mSn et tend vers pour n infini ; il vient
donc, la décomposition s'appliquant à Sh ,
(fdx = lim r fdx = (-{-( +
m. Lemme. — Si deux fonctions mesurables f et cp diffèrent au plus de t
dans E, leurs intégrales dans E diffèrent au plus de £(wE).
Donnons-nous une échelle de nombres li et définissons les ensem-
bles e,; par rapport à/, comme au no précédent. Comme E est l'ensem-
ble-somme des ei, on a, par la propriété précédente.
I"f '"=?!-
(f dx.
Mais, dans et, œ est compris entre li-i — e et li+i + £. Il vient donc,
par le théorème de la moyenne,
S li—i ei — eS^ï < I f dx <^ It-ei + eS«,-
L
DÉFINITION ET PROPRIETES 250
et, à la limite, les échelons tendant vers 0,
j f dx — e(wE)^ j ^dx^Xfdx-^tiniK).
JE. j& Jb
\V . U intégrale de la somme d'un nombre limité de fonctions mesurables
est égale à la somme des intégrales de ces fonctions.
Il suffit de considérer la somme/4-? de deux fonctions. Si elles
sont toutes deux constantes dans E, le théorème est immédiat. Si elles
ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs, E se partage
en plusieurs parties sur lesquelles les deux fonctions sont constantes
et pour lesquelles le théorème est déjà démontré : il suffit alors d'ap-
pliquer la propriété II. Passons au cas général. Soient/« et «p« les
fractions de dénominateur « approchées de /et de «p par défaut à moins
de I : « près. Ces fonctions ne sont susceptibles que d'un nombre limité
de valeurs, donc l'intégrale de (/« + ? « ) est la somme de celles de
/« et de tf« ; mais, quand n tend vers l'infini, ces trois intégrales tendent
respectivement vers celles de (/+ «p), de /et de f, en vertu du lemme
précédent, ce qui démontre la proposition.
247. Comparaison avec l'intégrale de Riemann. ~ Pour que l'inté-
grale de Lebesgue soit une généralisation utile, il faut qu'elle renferme
celle de Riemann comme cas particulier. Nous allons montrer qu'il
en est ainsi, à l'aide des propositions suivantes :
1° Si f est intégrahle (R) dans {a, b), l'ensemble E de ses points de dis-
continuité est de mesure nulle.
En effet, soit sj, t^,... e»,... une suite positive décroissante tendant
vers 0. Désignons pat Ej l'ensemble des points où l'oscillation de/
est > El et, en général, par E» celui où cette oscillation est > t„ mais
^ t„—i. Chacun de ces ensembles est de longueur nulle (n" 244), donc
aussi de mesure nulle, et l'ensemble E qui est leur somme est de me-
sure nulle (no 78).
2° Une fonction f est mesurable dans tout intervalle {a, b) oti V ensemble
de ses points de discontinuité est de mesure nulle.
En effet, les seuls points-limites qui manquent à l'ensemble E (/>A)
sont des points de discontinuté de/, dont l'ensemble est de mesure
nulle. Donc l'ensemble E(/> A), différence d'un ensemble fermé et
d'un ensemble de mesure nulle, est mesurable (n^ 78) et / est mesu-
rable (no 82).
30 Toute fonction f intégrable (R) dans {a, b) est donc aussi intégrabk (L)
et, de plus, ses intégrales (R) et (L) sont égales.
Décomposons (a, b) en intervalles élémentaires S, par des points
intermédiaires Xi. Soient M,- et mi les bornes de/ dans S,- = Xi — Xi—i.
On a, par le théorème de la moyenne pour l'intégrale de Lebesgue,
«.•8,<(L)r' fdxCMt^i
260 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE
et, en sommant par rapport à »,
Donc l'intégrale de Lebesgue, comprise entre les deux sommes qui
ont pour limite commune celle de Riemann, est égale à cette dernière.
248. Intégrales de fonctions non bornées. Fonctions sommables. —
jo Soit d'abord f{x) une fonction non négative. Supposons-la me-
surable, mais non bornée, dans l'ensemble mesurable et borné E.
Définissons la fonction /« comme égale à/si/< m, et à «si/>«.
L'intégrale de /dans E est, par définition, la limite (finie ou infinie)
de celle de/« quand n tend vers l'infini.
Si cette intégrale est finie, la fonction/est sommable dans V ensemble^ (^).
Si la fonction/n'est pas sommable, son intégrale dans E est infinie
positive.
Si une fonction est sommable dans un ensemble E, elle n'y devient
infinie que dans un ensemble de mesure nulle. En effet, dans le cas
contraire, /« serait > n dans l'ensemble, de mesure a, où / est infinie,
son intégrale serait donc > «« et croîtrait à l'infini avec n.
Ces définitions s'étendent aux fonctions non négatives par un simple
changement de signe.
2" Considérons maintenant une fonction/ de signe quelconque.
C'est la différence /i — /2 de deux fonctions non négatives, /i étant
égal à /ou à selon que/ est > ou < et /2 égal à /ou à selon
que f <i on > 0. La fonction / sera dite sommable dans rensemble E
(borné), si/i et/2 sont tous deux sommables dans E et alors l'intégrale
dans/ est, par définition, la différence de celles de /i et de /a. Nous
ne nous occuperons pas, dans ce chapitre, du cas où l'ensemble E ne
serait pas borné.
Si les fonctions/i ou/2 n'étaient pas sommables, nous n'attribuerions
à /aucune intégrale.
Il suit évidemment des définitions que nous venons de donner que,
si une fonction est sommable, sa valeur absolue l'est aussi, et réciproquement.
249. Propriétés des intégrales de fonctions sommables. — 1. Si f est
sommable dans un ensemble E, à tout nombre positif 2e correspond un nom-
bre S- tel que l'intégrale de f soit de valenr absolue < 2s dans toute portion
de E de mesure < S.
Il suffit de faire la preuve pour une fonction /non négative. Défi-
(*) M. Lebesgue n'appelle sommables que les ionciions partout finies. Nous
ne faisons pas cette restriction,
DÉFINITION ET PROPRIETES 26l
nissons/« comme dans le no précédent et prenons n assez grand pour
que l'on ait, ce qui est possible par hypothèse,
Je m
fn dx < e.
Cette relation subsiste a fortiori si l'on y remplace E par l'une de
ses parties Ei. Il s'ensuit que le nombre 8 du théorème peut-être fait
égal à e : «, cai on aura, dans toute portion Ei de mesure < 8 = e : «,
j f„dx<n^<t, d'où fdx<2t,
II. Soit E V ensemble-somme d'un nombre fini d'ensembles Ei, Eo,... sans
points communs et dans lesquels f est sommable, f sera encore sommable dans
E, et Von aura
(1) {fdx^[+{ fdx +
JE JE^ Jb^
Il suffit encore de faire la preuve pour /non négatif. Dans ce cas,
on a, quelque grand que soit « {n° 246, II),
(2)
{/„dx=^ [+ { fndx-i-
Quand « tend vers l'infini, le second membre de (2) a pour limite le
second membre de (1) donc le premier membre de. (2) a une limite
finie, et celle-ci est par définition le premier membre de (1), ce qui
prouve les deux parties du théorème.
m. Si E (borné) est la somme d'une infinité d'ensembles sans points com-
muns El, E2,..., la formule (1) subsiste encore pourvu que f soit sommable
dans E.
Posons, en effet,
E = Ei + E2+...+ E«+R«.
Quand « tend vers l'infini, la mesure de R„ tend vers 0. Donc, par la
propriété I,
lim ( fdx = 0.
Ceci entendu, on a, par la propriété II,
[fdx=^ (+(+...+ ( +[ fdx.
Faisons tendre n vers l'infini, le dernier terme tend vers et la
somme embrasse tous les ensembles E«, ce qui prouve le théorème.
IV. La somme f d'un nombre limité de fonctions fi,f 2,..., sommabhs dans
un ensemble E, est sommable aussi et l'on a
(8) (fdx =- [a dx + (f, dx -f ....
JE Je Je
262 CHAPITRE VII. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Soit (/)x\ une fonction égale à /ou à N selon que /est ^ ou > N,
Définissons (/a )n de la même façon par rapport à/«. ; nous avons
(/)n<(/i)n+(/2)n+-</
d'où, en intégrant {n° 246, IV),
(ifhdx^ ( {A)Ndx+ ({Ahdx+...^ {fdx.
Je Je Je Je
Faisons tendre N vers l'infini. Par définition (no 248), la somme du
milieu dans ces dernières inégalités a pour limite le second membre
de l'équation (3), tandis que les deux membres extrêmes (qui com-
prennent cette somme) deviennent tous deux égaux (à la limite) au
premier membre de la même équation (3). Celle-ci est donc démontrée.
V. Si f est sommahle dans E, on peut encore, comme on Va fait (n» 246)
pour définir tintégrale d'une fonction bornée, construire, au moyen d'une
échelle de nombres h, deux sommes :
s = 'Stli-i ei, S = ^liCi,
Vune inférieure. Vautre supérieure à l'intégrale de f dans E, et aussi voisines
que l'on veut l'une de l'autre.
Pour simplifier, considérons seulement une fonction/ non négative.
Soit e un nombre positif aussi petit qu'on voudra. Formons une
éjchelle croissant de à 00 par degrés < z :
'0 = 0< 11) *2v li. ...
Soit e, l'ensemble (ou la mesure de l'ensemble) des points où l'on a
//_! ^ / < //. Abstraction faite d'un ensemble éventuel de mesure
nulle où /serait infini et que nous pouvons négliger pour l'intégration,
nous avons E, = ei-\-ez -{-... ; par conséquent (par la propriété III),
{fdx= S { fdx;
h i Jei
puis, en appliquant dans chaque ei le théorème de la moyenne,
5 = 2/j_i «/ ^ I /rf;»r < ^hei = S.
Enfin vS — s est aussi petit qu'on veut avec £, puisque, les degrés
étant < £, nous avons
S — s = 2 (// — h-i) et < z^ei = e(wE).
VI. Inégalité de Schwarz. — Si f^ et 'f^ sont sommables dans E, /f
l'est aussi, car il est de valeur absolue moindre que J^ + ?^j ^^ ^on a
(//'"^j^d'^'^odj^'*^
DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS 263
Si/ et 'f sont constants dans E, les deux membres sont identiques.
Si/et cp ne sont susceptibles que d'un nombre limité de valeurs finies,
l'ensemble E se partage en un nombre limité d'ensembles de mesures
(Ti, <!2,... où/et cp prennent les valeurs constantes ai, bi ; a^, bi ; ... et
l'inégalité précédente revient à
(«1 61 «1 + «2 h «2 + -Y < («1 «1 +alei+ •••) {b\ t\ + ^2^2 + -)
ou, en posant «i = Ai : V^i. ^i = Bi : V'Ji» etc.
(AÏ + A| + -)(B? + B| + -)-(AiB, + A2B2+-)'^:>^0,
ce qui est exact, car le premier membre est une somme de carrés :
(AiB2-A2Bi)2 + -
On passe ensuite au cas oi^i/et » sont bornés quelconques, puis
sommables, par de simples passages à la limite comme précédem-
ment (nos 246, TV et 249, I).
250. Passage à la limite sous le signe J. — Considérons une suite
de f onctions /i,/2,.../w,... sommables dans un ensemble E et tendant
vers une limite (finie ou infinie)/. Cherchons sous quelles conditions
nous aurons
(1) lim \fndx== \fdx.
n=^cc Je Je
Voici le théorème fondamental :
Théorème I. — L'équation (1) est légitime si les fonctions fn sont bor-
nées dans leur ensemble, c'est-à dire quels que soient n et x (Lebesgue).
En effet, dans ce cas, la fonction-limite/, étant bornée aussi, a une
intégrale finie et déterminée. Il suffit donc de montrer que l'intégrale
i
{f-fn)dx
a pour limite avec i : n, c'est-à-dire qu'elle peut être rendue aussi
petite que l'on veut à condition de prendre « assez grand.
Soit £ un nombre positif, ensuite E» l'ensemble des points où
1/ — f„ I > e. Faisons la décomposition en deux intégrales :
[(/-/» )dx^{ {/-fn)dx+( (/-/« ) dx.
Je Je-e„ Je„
La première est aussi petite qu'on veut avec s, en vertu du théorème
de la moyenne (/— /» étant de valeur absolue < s.), il suffit donc
maintenant de démontrer que l'intégrale
w iy-f
fn)dx
tend vers avec i : ».
264 CHAPITRE VII. INTEGRALE DE LEBESGUE
C'est ce qui résulte, dans ce cas-ci, du théorème connu (no 85) sur la
convergence, en vertu duquel wE« tend vers avec i '■ n. La fonction
sous le signe étant bornée, l'intégrale tend vers 0.
Théorème. II. — Plus généralement, l'équation (1) est légitime si les
fondions f„ sont toutes de module inférieur à une fonction positive sommable 'f .
En effet, la valeur absolue de la fonction-limite /ne surpasse pas cp,
donc/ est sommable. Comme on peut négliger l'ensemble de mesure
nulle des points oîi l'une des fonctions serait infinie, tout revient,
comme dans la démonstration précédente, à prouver que l'intégrale (2)
tend vers avec mK Ceci résulte immédiatement de ce qu'elle est
inférieure en valeur absolue à l'intégrale
I
2^ dx,
laquelle tend vers avec mEn {n° 249, I).
Théorème III. —Lorsque la suite fi,fz,...f„,... est positive et non dé-
croissante, on a toujours
lim \ fndx = 1 fdx,
«= «Je Je
mais les deux membres peuvent être infinis en même temps.
Ce théorème est un cas particulier du précédent si /est sommable,
puisque /« ne surpasse pas la fonction positive sommable tp =/. Il
reste seulement à montrer que, si /n'est pas sommable, le premier
membre de l'équation est infini.
Soit (/)n une fonction égale à/ ou à N selon que/ est < ou > N ;
définissons (/«)n de la même manière relativement à/«. Ainsi la suite
bornée (/i)n, (/2)n,... tend vers la fonction bornée (/)n et il vient,
par le théorème I,
lim \ fndx^ lim {fn)„dx= {fLdx.
La dernière intégrale est infinie avec N, donc la première (qui est
indépendante de N) est infinie.
Théorème IV. L'équation (1) est légitime, si à tout w positif correspond
un 8 positif tel qu'on ait, quel que soit n,
(3) I f/«
dx
<^o.
sous la condition que F soit une portion de E de mesure < 8. Cela étant,
f est sommable dans E.
Montrons d'abord que /sera sommable dans E. La condition (3)
est de telle nature que si elle a lieu pour fn elle a aussi lieu pour
DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS 265
|/« I (car on peut prendre pour F les ensembles où fn ne change
pas de signe). D'ailleurs |/« | a pour limite \f\ . Il suffit donc de
raisonner sur les modules. Autant admettre que les fonctions sont
positives. Dans ce cas, on a, avec les notations de la démonstration
précédente,
f (/)/;«; = lim [ <^fn\dx ^\xx^ [fndx.
JE n=<»j¥, «=» Je
Mais la mesure de E ne surpasse pas 
