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Full text of "Das rechnen in der technik und seine hilfsmittel, rechenschieber, rechentafeln, rechenmaschinen usw"

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Sammlung Göschen 



Das 

Rechnen in der Technik 

und seine Hilfsmittel 

(Rechenschieber, Rechentafeln, 
Rechenmaschinen usw.) 

Von 

Job. Engen Mayer 



Mit 30 Abbildungen 





^Infer fieutige^ '^ifTen \7j Vy vi/vll 

in fur§en, flaren, 

aUgcmcint)erftänb(id)en 
^ingelbarftelluncjen 

Sebe 9^ummer in e(eg. ßeinmanbbanb O^ t^P 



3 med unb 3ie( ber „6ainin(ung @öfd)en" ift, in ©n- 
jelbarfteÜungen eine !(are, leid)ti)crftänb(id)e unb 
überftcl;tnd)e (^{nfüf)rung in fämtHcl^e Oebiete ber 
^iffenfcl)aft unb ^ed)nif 5U geben; in engem 9vaf)men, 
auf ftrcng tt)iffenfd)aft(ic()er ©runblage unb unter 93e-- 
rü(ffid)t{gung beö neueften 6tanbeö ber '5orfd)un9 be- 
arbeitet, foU jebe^ ^änbcl)en 5ut>erläffige Q3e(e^rung 
bieten. 3ebe^ einzelne ©ebiet ift in fid) gefd)Icffen bar-- 
gefteltt, aber bennod} ftc(;cn alle ^änbd)en m innerem 
3ufammenl;ancje mitetnanbcr, fo baj^ \>(x^ ©anje, n?cnn 
eö üoUenbet üorliecjt, eine ein(;citlic^e, fi;[tematifd)e 
©arftcUung unfereö gcfamten ^iffen^ bilben bürfte. 

(i'in auöfüf)r(id)eö Q3er5eid)niö ber bisher erfd;icnenen 
9cummern befinbet fid) am 6d)(u§ biefeö ^änbd)en^ 



Bibliothek 
zu den Ingenieurwissenschaften 

aus der Sammlung Göschen. 
Jedes Bändchen eleg. in Leinwand gebunden 80 Pfennig. 

Teohnisches ^Wörterbuch, enthaltend die wichtigsten Aus- 
drücke des jMaschinenbaues, Schiffsbaues und der Elektrotechnik 
von Erich Krebs in Berlin. 1: Deutsch-Englisch. Nr. 395. 

Dasselbe. II: Englisch-Deutsch. Nr. 396. 

Geometriscbes Zeichnen von H. Becl/er, Architekt und Lehrer 
an der Baugewcrkschule in Magdeburg, neu bearbeitet von Pro- 
fessor J.Vonderlinn in Münster. Mit 290 Figuren und 23 Tafeln im 
Text. Nr. 58. 

Perspektive nebst einem Anhang über Schattenkonstruktion und 
Parallelperspektive von Architekt Hans Freyberger, Oberlehrer 
an der Baugewerkschule Köln. Mit 88 Abbildungen. Nr. 57, 

Schattenkonstruktionen von Professor J.Vonderlinn in Mün- 
ster. Mit 114 Figuren. Nr. 236. 

Parallelperspektive. Rechtwinklige und schiefwinklige Axono- 
metrie von Professor J.Vonderlinn in Münster. Mit 121 Figuren. 
Nr. 260. 

Statik. I: Die Grundlehren der Statik starrer Körper von W. Hauber, 
Diplom-Ingenieur. Mit 82 Figuren. Nr. 178. 

Dasselbe. II: Angewandte Statik. Mit 61 Figuren. Nr. 179. 

Festigkeitslehre von W. Hauber, Diplom -Ingenieur. Mit 56 Fi- 
guren. Nr. 288. 

Hydraulik von Diplom-Ingenieur W. Hauber. Mit 44 Figuren. Nr. 397. 

Technische IVärmelehre (Thermodynamik) von K. Wal- 
ther und M. Rottinger, Diplom-Ingenieuren. Mit 54 Figuren. Nr. 242. 

Materialprüfungs-wesen. Einführung in die moderne Technik 
der Materialprüfung von K. Memmler, Diplom-Ingenieur. I: Ma- 
terialeigenschaften.— Festigkeitsversuche.— Hilfsmittel für Festig- 
keitsversuche. Mit 58 Figuren. Nr. 311. 

Dasselbe. II: Metallprüfung und Prüfung von Hilfsmaterialien 
des iMaschinenbaues. — Baumaterialprüfung. — Papierprüfung. — 
Schmiermittelprüfung. — Einiges über Metallographie. Mit 31 Fi- 
guren. Nr. 312. 

Die Maschinenelemente. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Bei- 
spielen für das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von 
Friedrich Barth, Oberingenieur in Nürnberg. Mit 86 Figuren. 
Nr. 3. 

Die Dampfmaschine. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen 
für i;l,is Selbststudium und den pr.iktischen Gebrauch von Fried- 
rich Barth, Oberingenieur in Nürnberg. Mit 48 Figuren. Nr. & 

Die Dampfkessel. Kurzgefaßtes Lehrbuch mit Beispielen für 
das Selbststudium und den praktischen Gebrauch von Friedrich 
Barth, ObC/'ingenieur in Nürnberg. Mit 67 Figuren. Nr. 9. 

Wendenl 



Pumpen, hydraulische und pneumatisolie Anlagen. 

Ein kurzer Überblick von Regierungsbaumeister Rudolf Vogdt, 
Oberlehrer an der Königlichen höheren Maschinenbauschule in 
Posen. Mit 59 Abbildungen. Nr. 290. 

Die Gaskraftmaschinen. Kurzgefaßte Darstellung der wich- 
tigsten Gasmaschinen-Bauarten von Ingenieur Alfred Kirschke. Mit 
55 Figuren. Nr. 316. 

Die Dampfturbinen, ihre Wirkungsweise und Konstruktion von 
Ingenieur Hermann Wilda in Bremen. Mit 89 Abbildungen. Nr. 274. 

Die zvreokmäßigste Betriebskraft von Friedrich Barth, 
Oberingenieur in Nürnberg. I: Die mit Dampf betriebenen Motoren 
nebst 22 Tabellen über ihre Anschaffungs- und Betriebskosten. Mit 
14 Abbildungen. Nr. 224. 

Dasselbe. II: Verschiedene Motoren nebst 22 Tabellen über ihre 
Anschaffungs- und Betriebskosten. Mit 29 Abbildungen. Nr. 225. 

Elektrotecbnik. Einführung in die moderne Gleich- und Wecli- 
selstromtechnik von J. Herrmann, Professor an der Königlich 
Technischen Hochschule Stuttgart. I: Die physikalischen Grund- 
lagen. Mit 47 Figuren. Nr. 196. 

Dasselbe. II: Die Gleichstromtechnik. Mit 74 Figuren. Nr. 197. 

Dasselbe. III: Die Wechselstromtechnik. Mit 109 Figuren. Nr. 198. 

Die Gleicbstrommaseliine von C. Kinzbrunner, Ingenieur und 
Dozent für Elektrotechnik an der Municipal School of Technology 
in Manchester. Mit 78 Figuren. Nr. 257. 

Das Fernsprechwesen von Dr. Ludwig Rellstab in Berlin. Mit 
47 Figuren und 1 Tafel. Nr. 155. 

Die elektrische Telegraphie von Dr. Ludwig Rellstab. Mit 
19 Figuren. Nr. 172. 

£isenkonstruktionen im Hochbau. Kurzgefaßtes Handbuch 
mit Beispielen von Ingenieur Karl Schindler. Mit 115 Figuren. 
Nr. 322. 

Der Eisenbetonbau von Regierungsbaumeister Karl Rößle. Mit 
75 Abbildungen. Nr. 349. 

Das Veranschlagen im Hochbau. Kurzgefaßtes Handbuch 
über das Wesen des Kostenanschlages von Emil Beutinger, Archi- 
tekt B.D.A., Assistent an der Technischen Hochschule in Darmstadt. 
Mit 16 Figuren. Nr. 385. 

Bauführung von Emil Beutinger, Architekt B D.A., Assistent an 

der Techn. Hochschule in Darmstadt. Mit 20 Figuren. Nr. 399. 
Heizung und Lüftung von Ingenieur Johannes Körting. I: Das 

Wesen und die Berechnung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. 

Mit 34 Figuren. Nr. 342. 
Dasselbe. II: Ausführung der Heizungs- und Lüftungsanlagen. 

Mit 191 Figuren. Nr. 343. 

Öffentliche Bade- und Schwimmanstalten von Dr. Carl 
Wolff, Stadt- Oberbaurat in Hannover. Mit 50 Figuren. Nr. 380. 

Nautik. Kurzer Abriß des täglich an Bord von Handelsschiffen an- 
gewandten Teils der Schiflahrtskunde. Von Dr. Franz Schulze, 
Direktor der Navigationsschule zu Lübeck. Mit 56 Abbildungen. 
Nr. 84. 

Bisenhüttenkunde von A. Krauß, diplomierter Hütteningenieur. 

I: Das Roheisen. Mit 17 Figuren und 4 Tafeln. Nr. 152. 
Dasselbe. II: Das Schmiedeisen. Mit 25 Figuren und 5 Tafeln. 

Nr. 153. 



Sammlung Göschen 



Das 

Rechnen in der Technik 

und seine Hilfsmittel 

Rechenschieber, Rechentafeln, Rechenmaschinen usw. 

Von 



Joh. Eugen Mayer 

Ingenieur 



Mit 30 Abbildungen 




Leipzig 

G. J. Göschen'sche Verlagshaiidlung 
1908 



GIFT OF 
R. l'racY Growford 




Inhaltsyerzeichnis. 






Seite 
Kapitel 1. Der logarithmische Rechenschieber. 

§ 1. Allgemeines. Geschichtliches 5 

§ 2. Beschreibung des gewöhnlichen Rechenschiebers 11 

§ 3. Das Rechnen mit dem gewöhnlichen Rechenschieber 18 

§ 4. Genauigkeit der Rechenschieberrechnung .... 31 

1 5. Spezielle Rechenschieber 34 

§ 6. Kreisrechenschieber 42 

Kapitel II. Numerische Tafeln. 

A) Genaues Rechnen. 

§ 1. Produktentafeln 44 

§ 2. Tafeln der Yiertelquadrate 53 

B) Genähertes Rechnen. 

Logarithmentafeln 64 

Kapitel III. Rechenmaschinen 67 

§ 1. Geschichtliches 67 

§ 2. Hauptteile einer Rechenmaschine 74 

§ 3. Die Thomassche Rechenmaschine 77 

§ 4. Einige moderne Rechenmaschinen 79 

§ 5. Multiplikationsmaschine von Steiger-Egli .... 83 

Kapitel IV. Grundoperationen des graphischen Rech- 
nens 87 

A) Gleichmäßig geteilter Maßstab. 

§ 1. Graphische Addition 87 

1 2. Gj-aphische Subtraktion 91 

§ 3. Graphische Addition und Subtraktion von Brtichen 91 

§ 4. Graphische Multiplikation 93 

§5. Gi-aphische Division 96 

1 6. Graphisches Potenzieren 97 

§ 7. Graphisches Radizieren 100 

B) Logarithmischer Maßstab 101 

Kapitel V. Graphisch -mechanische Flächenbestim- 
mung 103 

Kapitel VI. Graphische Darstellung Ton Funktionen 
und graphische Tafeln. 

§ 1. Funktionsskalen. Rechentafeln mit vereinigten 

Skalen 107 

§ 2. Graphische Darstellung der Funktion y=f{x) . Gra- 
phische Tafeln mit Koordinatennetz 111 

§ 3. Graphische Darstellung von Funktionen mit zwei 

unabhängigen Variabein 113 

§ 4. Kartesische Rechentafeln 115 

§ 5. Kollineare Rechentafeln 124 

§ 6. Graphische Lösung numerischer Gleichungen . . 124 



1* 



M5e98819 



Literaturverzeichnis, 



Biermann, Vorlesungen über mathematische Xäherungsmethoden 

(Braunschweig 1905). 
Blater, Jos., Tafel der Viertel quadrate (Wien 1887). 
Brauer, E. A., Springende Logarithmen (Karlsruhe 1901). 
Cremona, Elemente des graphischen Kalküls (Leipzig 1875). 
Dingler, Polytechnisches Journal, Bd. 300. 
V. Dyck, Katalog math. und math. -phys. Modelle, Apparate und 

Instrumente (München 1892). 
— , Nachtrag hierzu (München 1893). 

Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. I, 2. 
E s e r s k y , Ausgeführte Multiplikationen und Divisionen (Leipzig 1874). 
Hammer, Der Jogarithmische Rechenschieber und sein Gebrauch 

(1898, 3. Aull. 1904). 
Herrmann, Das graphische Einmaleins (Braunschweig 1875). 
Jordan, Handbuch der Vermessungskunde (II. Band, 1904). 
Lüroth, Numerisches Rechnen (Leipzig 1900). 
Mayer, Mechanisches Rechnen des Ingenieurs (Hannover 1907). 
d'Ocagne, Calculs usuels effectues en moven des Abaques 

(Paris 1891). 
Ott, Das graphische Rechnen (Prag 1879). 

Schilling, Über die Nomographie von M. d'Ocagne (Leipzig 1900). 
Tichy, Graphische Logarithmentafeln (Wien 1897). 
Vogler, Anleitung zum Entvrerfen graphischer Tafeln (Berlin 1877). 
Zeitschrift für Vermessungswesen (Jahrg. jeweils im Text). 
Zimmermann, H., Rechentafel (Berlin 1907). 
Zivilingenieur (Bd. 35, 



Kapitel I. 
Der logarithmisehe Rechenscliieber. 

§ 1. Allgemeines. Geschichtliches. 

Der Rechenschieber oder Rechenstab ist ein 
Instrument zur mechanischen Ausführung kleinerer nu- 
merischer Rechnungen; er gibt die Resultate im allge- 
meinen angenähert, Avomit jedoch nicht gesagt ist, daß 
er zu genauen Rechnungen überhaupt unbrauchbar ist. 

In der Technik sind Aveitaus die meisten Rechnungen 
angenäherte; fast stets ist ein oder der andere Faktor 
durch einen Versuchs- oder Erfahrungswert gegeben, also 
durch einen Zahlenwert, der auf streng mathematische 
Genauigkeit keinen Anspruch erhebt. Hat man beispiels- 
halber in einer Wärme- Transmissionsberechnung die 
AVäi'memenge zu berechnen, die durch eine Außenmauer 
Ton gegebenen Abmessungen Yerloren geht, so wird, selbst 
wenn man einen mathematisch genau ermittelten Inhalt 
der Mauerfläche zugibt, doch stets der sogenannte Trans- 
missionskoeffizient einen Näherungswert — von Material 
und Dicke der Mauer abhängig — darstellen; das Resultat 
wird also immer mehr oder weniger, mathematisch ge- 
nommen, ungenau sein. 

Gerade aber weil in der Technik solche angenäherte 
Rechnungen überaus häufig sind und weil zu deren Aus- 
führung der Rechenschieber sich in hervorragendem 
Maße eignet, hat er für den Techniker eine große 
Bedeutimg erlangt. AVie wichtig es ist, daß der angehende 
Techniker sich mit dem Rechenschieber vertraut macht, 



6 Der logarithmische Rechenschieber. 

dürfte am besten aus den Worten hervorgehen, die der 
Direktor einer großen Maschinenfabrik an den Ingenieur und 
Schriftsteller Hader richtete. Er schrieb: „Sicherheit im 
Rechnen mit dem Rechenschieber und Grewandtheit in 
Benützung von Tabellen muß bei uns jeder über 18 Jahre 
alte technische Beamte besitzen, andernfalls sofortige Ent- 
lassung." 

Um die Einrichtung eines Rechenschiebers zu ver- 
stehen, ist es nötig, zuerst die logarithmische Skala kennen 
zu lernen. Aus der Logarithmentafel erhalten wir: 



log 


1 : 


= 0,00 000 


log 


2 


= 0,30 103 


log 


3 


= 0,47 712 


log 


4 


= 0,60 206 


log 


5 


= 0,69 897 


log 


6 


= 0,77 815 


log 


7 


= 0,84 510 


log 


8 


= 0,90 309 


log 


9 


- 0,95 424 



log 10 = 1,00 000 . 

Tragen wir nun auf einer Geraden (Paxoier- oder Karton- 
streifen) Strecken ab, so zwar, daß die einzelnen Teil- 
strecken 1 — 2, 1 — 3, 1 — 4, 1 — 5 usf. den Logarithmen 
der Zahlen 2, 3, 4, 5 usf. proportional sind, daß mit 
anderen Worten 

(1—2) : (1—3) : (1—4) : (1—5) usf. 

= log2 : log 3 : log 4 : log 5 usf., 

so heißt die auf diese Weise geteilte Gerade eine logarith- 
mische Skala. Schreiben wir nun an die einzehien Teil- 



Allgemeines. 7 

punkte nicht die Logarithmen dieser Zahlen, sondern die 
Zahlen selbst, so ergibt sich nach den Regeln der Loga- 
rithmenrechnung folgendes. Um ein Produkt a'b zu 
bilden, habe ich offenbar zu der Strecke 1 — a , d. h. zu 
der Strecke, deren Länge proportional dem Logarithmus der 
Zahl a ist, die Strecke 1 — b zu addieren. Nelime ich also 
die Strecke 1 — b in den Zirkel, setze die eine Spitze 
im Teilpimkt a ein, so steht die andere Spitze über dem 
Logaiithmus des Produktes. Da aber nicht die Loga- 
rithmen, sondern die Numeri angeschrieben sind, so läßt 
sich das Produkt selbst direkt ablesen. Nehme ich z. B. 
die Länge der ganzen Skala von 1 — 10 zu 250 mm an, 
so ergeben sich: 

2 = 250 . 0,30 103 = 75,26 mm 

250.0,47 712 = 119,28 „ 

0,60 206 = 150,52 „ 

0,69 897 = 174,74 „ 

0,77 815 = 194,54 „ 

0,84 510 = 211,28 „ 

0,90 309 = 225,78 ,, 

0,95 424 = 238,56 „ 

1—10 = 250 . 1,00 000 = 250,00 „ 

AVollte ich also z. B. mittels dieser Skala 2 • 3 rechnen, 
so hätte ich die Sti-ecke 119,28 in den Zirkel zu nehmen 
und am Ende der Strecke 75,26 einzusetzen; die andere 
Zirkelspitze steht dann über 

75,26 -f 119,28 = 194,54 = log(2 • 3) . 

An diesem Teilpunkt steht aber der Numerus von (2 • 3) , 
nämlich 6, so daß man das Produkt also direkt ablesen kann. 



Strecke 1 — 


2 = 250 




1 — 


3 = 250 




1 — 


4= 250 




1 — 


5 = 250 




1 — 


6 = 250 




1 — 


7 = 250 




1 — 


8 = 250 




1 — 


9 = 250 



8 Der log-arithmische Rechenschieber. 

Zum praktischen Rechnen ist diese Skala in dieser 
Form noch nicht brauchbar. Vor allem muß die Teilung 
noch weiter geführt werden, und zwar führt man diese 
so weit, daß man zwischen zwei benachbarte Teilstriche 
bequem weitere Teile hineinschätzen kann. Die nächsten 
Teilstriche werden sein: 1,1; 1,2 usw. Man erhält für 
die Strecken: 

1—1,1 : 250 . 0,04 139 = 10,34 mm 
1—1,2: 250.0,07 918 = 19,80 „ 
1—1,3: 250.0,11394 = 28,48 „ 



usf. 

Hat man diese Teilungen durchgeführt, so wird man auch 
die Teilpunkte 1,11; 1,12 usw. einrechnen und eintragen. 
So wird man fortfahren, bis die Teilung eng genug ist, 
um bequem weitere Teile nach Augenmaß hineinzu- 
schätzen, weit genug, um noch eine bequeme Ablesung 
zu ermöglichen. 

Ferner leuchtet ein, daß, wenn man die ganze Strecke 
1 — 10 an dem Endpunkt 10 nochmals ansetzt mitsamt 
der Teilung, diese zweite Hälfte dann den Numeri 10 — 100 
entspricht; denn es ist: 

log 1 = 0,00 000 
log 10 = 1,00 000 
loglOO = 2,00 000. 

Die Strecke von 10 — 100 umfaßt also ebenfalls eine 
Einheitsstrecke wie die Strecke 1 — 10. An den Teil- 
strich von 2 ist jetzt 20 zu setzen, denn es ist: 

log20 = log2 . 10 == loglO -f log2 = 1 + log2 . 



Allgemeines. 9 

Es steht also der Teilstrich von 20 ebenso Aveit vom End- 
strich 10 ab, als der Teilstrich 2 vom Anfangsstrich 1. 
Bringt man an den Endstrich dieser zweiten logarith- 
mischen Einheitsstrecke noch eine dritte Einheitsstrecke 
mit ihren Teilungen an, so enthält diese offenbar die 
Zahlen von 100 bis 1000 usf. 

Wählt man die Länge der Einheitsstrecke nicht 
250 mm, sondern etwa nur 125 mm oder aber 360 mm, 
so sind obige Zahlen mit dem Proportionalitätsfaktor 125 
bzw. 360 zu multiplizieren. 

Außerdem aber leuchtet sofort ein, daß bei einer 
solchen Skala, die man nach ihrem Erfinder, dem eng- 
lischen Geodäten und Astronomen Edmond Gunter 
(1620), eine Gunterskala nennt, die Charakteristik der 
Logarithmen gar nicht in Betracht kommt, sondern 
lediglich die Mantisse. Es ist also vollständig gleich- 
gültig, ob ich die Teilstriche auf der zweiten Einheits- 
strecke mit 20, 30, 40 usf. oder mit 2,3,4 usf. be- 
zeichne. Der Teilstrich 3 irgend einer Teilstrecke kann 
also ebenso — 3 , wie 3 , wie 3 — , wie 3 — — usw. 
gelesen werden. Man gewöhne sich also gleich von vorn- 
herein daran, auf einer solchen Skala, deren selbständige 
Aufzeichnung dem Schüler dringend empfohlen wird, die 
Zahlen nur in ilirer Ziffernfolge abzulesen; das Konrnia 
wird nachher entweder durch Überschlagen oder durch 
später zu besprechende Regeln festgelegt. 

Diese Gunterskala wurde auf vielen Recheninstru- 
menten des 17. und 18. Jahrhunderts verwendet. Sie 
erforderte aber immer die Anwendung eines Zirkels zur 
mechanischen Ausführimg der für Multiplikation und 
Division notwendigen Addition und Subtraktion, was als 
umständlich bezeichnet werden muß. Es war also eine 
äußerst fruchtbare Idee, als der Mathematiker E. Win- 



10 Der logarithmische Rechenschieber. 

gate 1627 den Vorschlag machte, den Zirkel dadurch 
überflüssig zu machen, daß man zwei genau miteinander 
übereinstimmende Gunterskalen so anordnet, daß sie an- 
einander verschoben werden können. Hierdurch ist man 
in der Lage, die zur Multiplikation notwendige Addition 
einfach durch Yerschieben der einen Skala an der andern 
mechanisch zu bewerkstelligen. Mit der Zeit wurden dann 
am Rechenschieber — einIS'ame, den man ihm jetzt schon 
beilegen kann — weitere Yerbesserungen, ' insbesondere 
vom Engländer Seth Partridge (1657), angebracht, bis er- 
seine heutige Gestalt erhielt. Eine äußerst wichtige Ver- 
vollständigung war die Anbringung des sogenannten 
Läufers (courseur) durch den damaligen Artillerieleut- 
nant Mannheim in Metz. Durch ihn ist man in der 
angenehmen Lage, auch zusammengesetzte Multiplikationen 
und Divisionen ohne Zwischenablesung auszuführen. 

Der Rechenschieber in seiner heutigen Gestalt stammt 
aus Paris. Li den letzten Jahrzehnten aber wurde dieser 
Fabrikation auch in Deutschland größere Aufmerksamkeit 
geschenkt, und wir haben einige Fabriken mit ganz her- 
vorragenden Erzeugnissen. Bei fast allen deutschen Fabri- 
katen wird die Teilung nicht mehr auf das Holz aufge- 
tragen, sondern auf weiße Zelluloidstreifen, die dann auf 
dem Holze befestigt werden. Diese Neuerung wurde von 
dem mathematisch-mechanischen Institut Donnert und 
Pape in Altena eingeführt. 

Im folgenden Avird nun der Leser zuerst mit dem 
gewöhnlichen Rechenschieber bekannt gemacht, indem 
ilim die Teilungen desselben eingehend erläutert werden; 
sodann wird entwickelt, wie die verschiedenen Rechen- 
operationen mittels des Rechenschiebers auszuführen sind. 
Hierauf werden verschiedene Spezialrechenschieber, soweit 
sie für den Techniker in Betracht kommen, erwähnt, um 



Beschreibung des gewöhnlichen Rechenschiebers. 1 1 

dann noch auf Eechenscheiben oder Kreisrechenschieber 
kurz zu sprechen zu kommen. 

Originalrechenschieber in bester Ausfülirung liefern 
in Deutschland liaui^tsächlicli A. W. Faber in Stein bei 
Nüi-nberg und Donnert und Pape in Altena. 

Die Rechenschieber werden in verschiedenen Längen 
geliefert; die verbreitetste ist die von 27 cm, weil hierbei 
meist genügende Genauigkeit bei bequemer Form erreicht 
wii'd. Wir werden diese Länge bei der Beschreibung des 
gewöhnlichen Rechenschiebers zugrunde legen. Verfasser 
benutzt seit langer Zeit für die Bureauarbeiten einen 
Rechenschieber von 38 cm Länge, ohne daß dieser ihm 
je unhandhch vorkam, wobei er den Yorteil gi'ößerer 
Genauigkeit bietet. Die Preise der Rechenschieber richten 
sich nach Länge und Material; bei 27 cm Länge in 
Mahagoni- oder Buchsbaumholz und Zelluloidstreifen kostet 
ein Schieber durchschnittlich 10 M. 

§ 2. Beschreibimg des gewöhnlichen Rechenschiebers. 

Der gewöhnliche Rechenschieber (siehe Abb. 1) be- 
steht aus dem Lineal oder dem Stabe, dem in einer 



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Abb. 1. 



Nut verschiebbaren Teile, gewöhnlich Schieber oder 
Zunge genannt, und dem für viele Fälle notwendigen 



12 Der logarithmische Rechenschieber, 

Läufer. Stab und Zunge bestehen meist aus Holz, be- 
sonders aus Mahagoni- oder Biichsbaumholz; ab und zu 
auch aus Elfenbein oder aus Neusilber. Die Teilungen sind 
durch Teilmaschinen in feinen, meist schwarzen Strichen 
auf Zelluloidstreifen aufgetragen; die Firma Faber wählt 
bei ihren neuen Erzeugnissen eine schöne blaue Farbe, 
die besonders woliltuend auf die Augen Avirkt. Der Läufer 
ist heute fast allgemein ein in Metallrahmen gefaßtes Glas- 
blättchen, dessen ünterfläche sich unmittelbar über den 
Teilungen von Stab und Zunge bewegt und einen soge- 
nannten Indexstrich in Form einer schwarzen Linie trägt. 
Die Teilung Ä auf der oberen Hälfte der Stabober- 
fläche ist eine logarithmische Teilung genau von der oben 
beschriebenen Einrichtung. Die Längeneinheit beträgt 
125 mm, d. h. die Entfernung von 1 — 1(10) beträgt 
125 mm; hieraus ergeben sich für die Strecken: 



1 — 2 eine 


Länge 


von 


125-0,30 103 = 


37,63 mm 


1-3 „ 


V 


55 


125.0,47 712 = 


59,64 „ 


1-4 „ 


5? 


51 


125-0,60 206 = 


75,26 „ 


1 — 5 „ 


T) 


55 


125-0,69 897 = 


87,37 „ 


1—6 „ 


55 


55 


125-0,77 815 = 


97,27 „ 


1—7 „ 


55 


55 


125-0,84 510 = 


105,64 „ 


1-8 „ 


:■) 


55 


125-0,90 309 = 


112,89 „ 


1—9 „ 


55 


55 


125-0,95 424 = 


119,28 ., 


1—1(10),, 


55 


55 


125-1,00 000 = 


125,00 „ 



Die rechte Hälfte ist genau die WiederholuDg der linken 
und ist häufig auch nur mit 1 , 2 , 3, . . . und nicht mit 
10, 20, 30,. . . beziffert. DasKommagibtder Rechen- 
schieber nicht, und es kann z. B. der Strich 3 in der 
linken Hälfte oder in der rechten die Bedeutungen 0, 
03, 0,003, 3, 30, 300 usf. haben. Welche Bedeutung 



Beschreibung des gewöhnlichen Rechenschiebers. 13 

zu nehmen ist, ergibt sich durch Überschlagen oder be- 
sondere Eegeln. 

Die Teilung B auf der oberen Hälfte der Zunge, die 
sich an der Stabteilung Ä entlang verscliieben läßt, stimmt 
vollständig mit dieser letzteren überein. Es lassen sich 
also mittels dieser beiden Skalen logarithmische Strecken 
addieren imd subtrahieren, und zwar lediglich dui'ch mecha- 
nisches Verschieben der einen gegen die andere. Die 
Skalen Ä und B stellen also die Xultiplikations- und 
Divisionsskalen des Rechenschiebers dar. 

Die Teilungen C und D stimmen imter sich genau 
übereiu, sind aber von Ä und B im Maßstab verschieden. 
C und D sind ^\\q A und B logarithmische Skalen, haben 
aber den dopx^elten Maßstab \\\q A und B. Genau die- 
selben Strecken, welche die beiden gleichen Hälften von 
A imd B einnehmen, nimmt bei C und D die einfache 
Teilung ein. Genau über 2, 3, ... der D- Teilung be- 
finden sich 4, 9, ... der ^4 -Teilung. Die Skala ^4 ist 
die Quadratteilung im Vergleich mit Z>, oder D ist 
die Quadratwurzelskala im Vergleich mit ^4. Zur 
genauen Ablesung bedarf man des Läufers mit seinem 
Indexstrich. AVie leicht einzusehen, bilden aber auch C und 
D für sich wieder Multiplikations- und Divisions- 
skalen. 

Jede Skala hat außer den erwähnten Hauptteilungen 
noch ihre Unterteilungen, und zwai' wird die Unterteilimg 
so weit getrieben, daß man zwischen zwei benachbarte 
Striche hinein bequem noch Zehntel schätzen kann; bei 
scharf gezogenen Strichen ist dies der Fall, wenn die Ent- 
fernung zweier benachbarter Striche nicht größer als 
1 — 1^4 mm und nicht kleiner als ^ 2 ^^ ist. Zwischen 
die Hauptstriche 1 und 2 der Skalen A und B wird man 
also jedenfalls die Striche für 1,1; 1,2; 1,3 : ... ; 1,9 



14 Der logarithmische Rechenschieber. 

ziehen. Man findet als Entfernungen vom Anfangspunkt 1 
der Skalen Ä und B folgende Strecken: 

1—1,1 ... 125 . 0,04 139 = 5,17 mm 
1— 1,2 ... 125-0,07918 = 9,90 „ 
1—1,3 ... 125.0,11394 = 14,24 ,, 



1—1,9 ... 125 . 0,27 875 = 34,84 
1—2,0 ... 125 . 0,30 103 = 37,63 



)■> 



Der Abstand der Striche 1 und 1,1 am Anfang der Skala J. 
beträgt also noch, rund 5,2 mm, die Entfernung der 
Striche 1,9 und 2 noch 2,8 mm. Man wird also in der 
Unterteilung noch weiter gehen, und man hat noch Teil- 
striche eingezeichnet für 

1,02 ; 1,04 , 1,06 , . . . , 1,92, 1,94 ; 1,96 ; 1,98 . 

Die Entfernungen dieser Teilstriche vom Anfangspunkte 
sind ganz ebenso berechnet, wie oben angegeben. Yon 
dem Hanptstrich 2 an würden die Striche für das Inter- 
vall 0,02 rasch zu eng aneinander zu stehen kommen, 
man hat daher zwischen 2 und 5 nur noch das Intervall 
0,05 gewählt, man hat also Striche für 2,05 ; 2,10 ; 2,15 usf. 
A"on 5 — 10 würden die Teilstriche auch für dieses Intervall 
zu eng aneiuanderkommen, und man hat hier nur noch ein 
Intervall von 0,1 , also Striche für 5,1 ; 5,2 ; 5,3 usf. 
Genau nach demselben Prinzip sind die Unterteilungen 
der Skalen C imd D vorgenommen. Man hat: 

zwischen 1 und 2 das Intervall 0,01 
2 „ 4 „ „ 0,02 

4 „ 10 „ „ 0,05. 



Beschreibung des gewöhnlichen Rechenschiebers, 15 

Die Beziffenmg der Striche auf den vier Skalen ist der 
Übersichtlichkeit halber mit möglichst wenig Zahlen be- 
werkstelligt. Auf A und B stehen meist nur die Zahlen 
1,2,3,..., 9 , 1 bei den Hauptstrichen , ebenso auf G 
und D von 2 ab; zwischen 1 und 2 der Skalen Cund D 
stehen noch die kleineren Ziffern 1,2,3,..., 9 , die als 
1 — 1 , 1 — 2 , 1 — 3 usf. zu lesen sind. In der linken 
Hälfte der A- und 5-TeiluDff ist bei ti = 3.142 und m 



'O 



der rechten Hälfte bei -~ = 0,7854 ein Sti'ich. Diese 
4 

Striche erleichtern die Kreis- und Kugelrechnung. 

Die Rückseite der Zunge enthält drei weitere Teüimgen. 
Die mittlere Teilung ist eine vollständig gleichförmige, 
die in zehn Hauptteile, beziffert mit 1 , 2, 3 , . . . , 8, 9, 10 
(10 nicht angeschrieben), eingeteilt ist. Jeder Hauptteil 
ist, da die ganze Skala 250 mm lang ist, 25 mm lang. 
Die Striche der Unterteilung sind 0,5 mm voneinander ent- 
fernt, so daß jeder Hauptteil in 50 gleiche Teile geteilt 
ist. Die Striche vom Anfangsstrich aus bedeuten also 
der Reihe nach 002, 004, 006, 008, 010, 012, 
014,. .., 100,102,104,..., 202,204,206,..., 990, 
998, 1000. Die Mittelstriche zwischen zwei bezifferten 
Hauptstrichen, die F (Inf er striche , sind durch kleine 
Haken an den Sti^ichen kenntlich gemacht. Die Teilung 
ist die sogenannte X-Teilung, sie ist die Gegenteilung 
zu D. Mit diesön beiden Skalen kann man nämlich zu 
gegebenen Zahlen die Logarithmen aufsuchen oder zu 
gegebenen Logaiithmen die Numeri, so daß man mit 
dem Schieber auch in der Lage ist, behebige Potenzen 
und Wurzeln auszurechnen, allerdings nicht direkt wie 
Quadrate und Quadratwurzeln. 

Die beiden äußeren Skalen der Rückseite der Zunge, 
die mit S und T bezeichnet sind, lassen die Sinus und 



16 Der logarithmische Rechenschieber. 

Tangenten gegebener "Winkel bestimmen und sind daher 
mit Winkelgrad zahlen beziffert. Die Einrichtung dieser 
beiden Skalen ist im allgemeinen folgende : Die Teilung S 
beginnt links mit dem Anfangsstrich, der 0*^34^,4 ent- 
spricht (= yq-q ' Q^ = To • 2^^^) 5 ^^^' ^^^^^ wirkliche 
Teilstrich ist daher zu lesen: 0^40', dann kommt 0^50% 
10 0' (beziffert mit 1), dann 1» 10^ 10 20' , 1« 30' (etwas 
längerer Strich) ... 2^0' (beziffert mit 2), 2n0', 
2^20', . . . , 300, 400, . . . , 900 (Endstrich). Auf der 
T- Teilung, die gegen S umgekehrt am andern Eande der 
Zunge liegt, entspricht dem Anfangsstrich ebenfalls die 
Ablesung O0 34',4; dann folgen die Teilstriche O04O', 
0050' (beide nicht beziffert), loo' (mit 1 beziffert), loiO', 
10 20', . . . , 20, . . . , 100; bis hierher ist das Intervall 
10', von da bis 200 ist es 20'; von hier bis 450 aber 
30'. Der Eadstrich der T-Teilung ist als 450 zu lesen. 

An der abgeschrägten Seitenfläche des Stabes, neben 
der ^-Teilung, befindet sich an der scharfen Kante ein 
Millimetermaßstab von 250 mm Länge. An der anderen 
Seitenfläche des Stabes, also neben der D-Teilung, liegt 
ein w^eiterer Millimetermaßstab. Dessen Anfangspunkt 
liegt aber genau an der linken Ecke, am anderen End- 
punkt liegt bei einer genauen Länge des Stabes von 
270 mm der Teilstrich von Zentimeter 27. Dieser Maß- 
stab setzt sich nun auf dem nach Ausziehen der Zunge 
nach rechts sichtbar werdenden Grund des Stabes mit 
271, 272, ... mm bis 54 cm fort. In unserer Abb. 1 
sind die Zentimeter 28,29 und 30 auf dem Grund sicht- 
bar, da die Zunge um 3 cm nach rechts herausgezogen 
wurde. 

Auf der Rückseite des Stabes ist ein Blatt aufgeklebt 
(oder neuerdings aucli dem Rechenschieber in Form eines 
starken Kartonstreif CDS beigegeben), das je nach der Fach- 



Beschreibung des gewöhnlichen Eechenschiebers. 



17 



richtung des Technikers in verschiedenen Ausfertigungen 
zu haben ist. Das Blatt enthält mathematisch-physika- 
lische und technische Zahlenwerte. 

Gegen Krumm werden des Stabes und zur Erreichung 
eines gleichmäßigen G-anges der Zunge verwenden die ver- 
schiedenen Firmen verschiedene Mittel, die ihnen geschützt 
sind. Um die fortwährenden Veränderungen infolge Wit- 
terungswechsels im Gange der Zunge zu beheben, hat z. B. 
die Firma Dennert und Pape in Altena auf der Unter- 
seite des Hauptkörpers eine leicht federnde Platte ange- 
bracht und den Hauptkörper im Grunde in seiner ganzen 
Länge aufgeschnitten. Ferner ist an der geraden Seite 
an jedem Ende imd in der Mitte des Hauptkörpers eine 
Justierschraube vorgesehen, Avelche durch A"or- und 





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Abb. 2. 



Eückwärtsschrauben denselben auseinanderpreßt oder zu- 
sammenzieht. Infolge dieser TervoUkommnung ist jeder 
in der Lage, sich die Bew^eglichkeit der Zunge nach 
Wunsch einstellen zu können. Unsere Abb. 2 bringt 
die Anordnung zur Darstellung. Die Rechenstäbe der 
Firma A. W. Faber in Stein bei Nürnberg, die 
durchweg aus Buchsbaumholz hergestellt w^erden, weisen 
dm-ch zweckmäßige Behandlung des Holzes vor der Be- 
Mayer, Das Rechnen in der Technik. 2 



18 Der logarithmische Rechenschieber. 

arbeitung und sachdienliche Federung der Zunge einen 
außerordentlich gleichmäßigen sanften Gang auf und 
genügen allen billigen Anforderungen in dieser Richtung. 
AVenn man einen Rechenschieber kauft, so bringe 
man die linke 1 der Zunge mit der linken 1 von Ä und 
D zur Deckung und prüfe, ob die rechten Endstriche von 
Ä^ B, G und D scharf zusammenfallen. Dadurch ist die 
Teilung meist genügend geprüft, da diese mit Teilmaschinen 
hergestellt wird; immerhin kommt es vor, daß auch die 
Teilungen zu wünschen lassen ; solche Fabrikate sind als 
minderwertig zurückzuweisen. Dann prüfe man den Läufer, 
ob sein Indexstrich genau die Linie der Anfangs- oder 
Endstriche von Ä, B, G und D deckt ; verbogene Exem- 
plare, zu schwache Federn usw. lehne man ab. 

§ 3. Das Rechnen mit dem gewöhnlichen 
Rechenschieber. 

Als Vorübungen stelle der Schüler bestimmte Striche 
von B auf bestimmte Zahlen von Ä ein und umgekehrt. 
Man stelle z. B. den Teilstrich 1 von B auf folgende 
Zahlen ein: 

1,7 14,4 1,86 19,6 265 0,860 . 

Alle diese Zahlen sind auf Ä durch einen Strich bezeichnet, 
das Komma kommt nicht in Betracht; man gewöhne sich 
jetzt schon daran, alle Zahlen ohne Komma in ihrer Ziffern- 
folge zu lesen; also: 

1—7 ; 1—4—4 ; 1—8—6 ; 1—9—6 ; 

2—6—5 ; 8— 6— (0) . 

Ferner stelle man ein: 

6,98 0,813 79,9 91,1 956 . 



Das Rechnen mit dem g-ewöhnlichen Rechenschieber. 19 

Bei diesen Zahlen ist die letzte Stelle einzuschätzen, indem 
man sich den Zwischenraum zwischen den beiden in Be- 
tracht kommenden Teilstrichen in 10 Teile geteilt gedenkt 
und auf den so vielten gedachten Teilstrich einstellt, als 
die letzte Stelle angibt. Hat man ferner z. B. einzustellen 
19.65114, so kürze man auf 1 — 9 — 6 — 5 und stelle 
dieses ein. Weitere zahlreiche Beispiele bilde sich der 
Schüler selbst. 

Die Anwendung des Rechenschiebers zur Ausführung 
von ^lultiplikationen und Divisionen zweier Zahlen 
beruht auf den logarithmischen Sätzen: 

logab = \oga -{-logb 
log- = loga — iogb . 



Für die Bereclmung des Produktes 

a'b = P 

mittels Rechenschiebers gilt die Rechen schieberregel: 

Um das Produkt a'b = P zu finden, stelle 
man den Anfangsstrich der Skala B unter die 
Zahl a auf der Skala A, suche auf der Skala B 
die Zahl b, und die Zahl über b auf der Skala A 
stellt das gesuchte Produkt dar. 

Hierbei ist es ganz gleichgültig, ob man in der linken 
oder rechten Hälfte von A oder B einstellt und abKest. 
Beispiel: Man reclme: 

11,2.2,7 = ? 

Man stelle den Aufangsstrich von B imter 1 — 1 — 2 
auf A ; suche auf B den Strich für 2 — 7 und lese dar- 
über auf A ab. Man findet: 

11.2.2.7 = 30,2. 

2* 



20 Der logarithmische Rechenschieber. 

Führt man Multiplikationen mittels der Skalen C und D 
aus, so hat man nach folgender Rechenschieberregel zu 
verfahren: 

um das Produkt a^h = P mittels der Skalen 
Cund D zu bilden, stelle man den Anfangsstrich, 
und wenn für diese Stellung die Zahl h rechts 
außerhalb des Stabes fällt, den Endstrich von G 
über die Zahl a der Teilung D und suche auf G 
die Zahl h^ und die Zahl unter h auf der Skala B 
gibt das gesuchte Produkt P an. 

Einen schnellen Überblick, ob man den Anfangs- oder 
den Endstrich von C einzustellen hat, gewinnt man dadurch, 
daß man die Zahlen auf einstellige abrundet und ihr 
Produkt bildet; ist dieses Produkt kleiner als 10, so hat 
man den Anfangsstrich einzustellen, ist es größer als 10 , 
den Endstrich. Muß der Anfangsstrich eingestellt werden, 
so ist die Ablesung rechts der Einstellung, muß der End- 
strich eingestellt werden, so ist die Ablesung links der 
Einstellung vorzunehmen. 

Beispiel: Man rechne: 

5,7 . 3,8 = ? 

Auf einstellige Zalüen abgerundet erhält man: 

6-4 > 10 , 

also ist der Endstrich einzustellen und links der Ein- 
stellung abzulesen. Man erhält: 

5,7-3,8 = 21,64 . 

Hat man Produkte zu bilden, in denen ein Faktor konstant 
bleibt, hat man also AVerte der Funktion: 

y = C'X 

zu berechnen, so hat man den Anfangsstrich von 5, resp. 



Das Rechnen mit dem gewöhnlichen Rechenschieber. 21 

den Anfangs- oder End strich von C stets auf den kon- 
stanten Faktor auf A resp. auf D einzustellen und liest mit 
dieser einzigen Einstellung alle die verlangten Werte ab. 

Beispiel: Wieviel Meter sind: 

11,5' 12' 15' 20', 
Avenn 1' = 0,3139 m sind? 

Man stelle den Anfangsstrich von Cauf 3 — 1 — 3 — 9 
auf D und suche auf G die Zahlen 1 — 1 — 5, 1 — 2, 
1 — 5, 2 — und lese darunter auf D die gesuchten 
Werte ab. Man findet: 

11,5'= 3,61 m , 12'= 3,765 m , 
15' =4,71 m, 20'= 6,28 m . 

Für die Division zweier Zahlen haben wir die 
Rechenschieberregel : 

Einen beliebigen Quotienten a berechnet man, 
wenn man die Trennungslinien zwischen den 
Skalen Ä und B^ resp. zwischen D und G als 
Bruchstrich ansieht, den Bruch herstellt und 
über dem Anfangsstrich von B auf Ä oder unter 
dem Anfangs- oder Endstrich von G den Quo- 
tienten auf D abliest. 

Beispiel: Man rechne: 

4.075 _^ 
0,182 
Man stellt 1—8—2 auf der Skala B unter 4—0—7—5 
auf der Skala A und lese über dem Anfangsstrich von B 
auf A ab, oder aber man stelle den Teilstrich 1 — 8 — 2 
der Skala G über 4 — — 7 — 5 der Skala D und lese 
unter dem Anfangsstrich von C auf D ab. Man findet: 

0,182 



22 



Der log-arithmische Rechenschieber. 



t^ 






i 



r-\ 



Die Bestimmung der St eilen - 
zahl der Resultate könnte 
außer durch. Überschlagen auch 
mit Hilfe der Charakteristik der 
Logarithmen vorgenommen wer- 
den. Wir vermeiden jedoch diesen 
Umweg und benützen die Stellen- 
zahl der Zahlen selbst. Wir be- 
zeichnen eine Za]il,welche n Stellen 
vor dem Komma hat, als w-stellig 
und eine Zahl, welche 7i Nullen 
nach dem Komma hat, als 
— w-stelhg. Ist der Faktor a dann 
^??-stellig und der Faktor 6 ?i-stellig, 
so ist die Stellen zahl des Pro^ 
duktes: 

P = m -J- n 
oder: 

P = w + n — 1 . 

Erfolgt die Ablesung von P 
links, oder muß der End- 
strich eingestelltwerden, so 
gilt die erste Formel; erfolgt 
aber die Ablesung rechts, 
dann gilt die zweite Formel. 
Um hier Yerwechslungen vor- 
zubeugen, ist am rechten Ende des 
Rechenschiebers — siehe unsere 
Abb. 3, welche die Draufsicht auf 
einen gewöhnlichen logarith- 
mischen Rechenschieber zeigt — 
angeschrieben : „Produkt" ; dies 



Das Rechnen mit dem gewöhnlichen Rechenschieber. 23 

besagt also, Avenn rechts das Produkt abgelesen Avird, 
dann ist seine Stellenzalü m -\- n — 1 . Ist m die Stellen- 
zalil des Zählers a und n die des Nenners h , dann ist 
die Stellen zahl des Quotienten Q : 

Q = 771 — 71 

oder: 

^ = m — ?i + 1 . 



Die zweite Formel gilt, wenn Q links abgelesen wird, und 

es ist deshalb am linken Ende — siehe Abb. 3 — 

Tom Rechenstab angeschrieben: „Quotient". 

■^^ . . . 
Die einfachste Verbindung von ]\Iultiplikation und 

Division bietet die Proportionsrechnung. Sie erfordert die 

Berechnung von Ausdrücken der Form: 

a 

Die Ausrechnung solcher Ausdrücke büdet eigentlich die 
wichtigste Anwendung des Rechenschiebers. 

Beispiel: Eine Straße hat eine Steigung von 4^/q. 
AVelches sind die Höhendifferenzen in einer Entfernung 
von 10,25; 31,40; 42,75; 62,35; 78,10; 89,50; 92,56 m 
vom Anfangspimkt der Steigung? 

Das Steigungsverhältnis der Straße ist : y^^ . Man 
stelle nun den Strich 4 der Teilimg C über den Anfangs- 
oder Endstrich von D, dann stellen die Zahlen auf D 
die Horizontaldistanz^verte dar, während darüber auf C 
die gesuchten AVerte der Höhendifferenzen stehen. Man 
findet die Höhendifferenzen: 

bei 10,25 m 0,401 m 

„ 31,40 m 1,256 m 



24 Der logarithmische Rechenschieber. 

bei 42,75 m 1,710 m 

„ 62,35 m 2,490 m 

„ 78,10 m 3,125 m 

„ 89,50 m 3,580 m 

,, 92,56 m 3,70(3?) in. 

Hat man Produkte zu berechnen von der Form: 

P =z a 'b ' C' d- ... ' n , 

so hat man die Multiplikationsregel einfach wiederholt in 
Anwendung zu bringen. Dabei liest man aber die 
Zwischenprodukte nicht ab, sondern hält ihre 
Stelle jeweils mit dem Läufer fest. Kommt man 
mit einem Faktor über den Schieber rechts hinaus, so 
stelle man den Läufer auf das zuletzt eingestellte Produkt 
und bringe von der Teilung B die mittlere 1 unter den 
Läufer und lese dann weiter ab. 

Beispiel: Wie groß ist der stündliche Wärmeverlust 
einer nach Norden gelegenen 64 cm starken Außenmauer 
aus Backstein von 7 m Länge und 3,8 m Höhe, wenn als 
Transmissionskoeffizient bei dieser Stärke 0,87 (siehe 
H. Recknagel, Kalender für Gesundheitstechniker) ge- 
setzt, als Zuschlag für die Himmelsrichtung 15^/q gerechnet 
w^erden und ferner die Temperaturdifferenz zu beiden 
Seiten der Mauer 40^/o betragen soll? 

Der gesuchte Wärmeverlust beträgt: 

(7,0 . 3,8 . 0,87 . 40 + 7,0 • 3,8 • 0,87 • 40 • 0,15) WE. 
Wir erhalten: 

925 + 138,7 = rot. 1065 AVE. 



Das Rechnen mit dem g-ewöhnlichen Rechenschieber. 25 
Beispiel: Man berechne ferner: 

7370.46,8.0,923 _ .^ 
565.87 ~~" ' 

Man stellt, um einmal mit C und D zu rechnen, das 
Produkt des Zählers in bekannter Weise auf D ein nnd 
hält das Resultat Dach Einstellung des letzten Faktors mit 
dem Läufer fest. Dann stelle man 5 — 6 — 5 der Skala C 
unter den Indexstrich des Läufers und verschiebe den 
Läufer so, daß er über Anfangs- oder Endstrich von C, 
in unserem Fall über dem Endstrich von C steht. Darauf 
stelle man 8 — 7 auf C unter den Lidexstrich des Läufers 
und lese unter dem Endstrich von C auf D ab. Man erhält : 

6—4—8 . 
Also: 

7370-46.8.0.923 
565787—=^'^^- 

Die Stellenzalil des Resultats erhält man, indem man die 
algebraische Simime der Stellenzahlen der Nennerfaktoren 
algebraisch subtraliiert von der algebraischen Summe der 
Stellenzahlen der Zählerfaktoren, d. h. indem man die 
Gesamtstellenzahl des Xenners von der Gesamtstellenzahl 
des Zählers subtrahiert. Zu diesem Ergebnis sind dann 
noch die während der Rechnung zu vermerkenden -f 1 
imd — 1 bei Di^ision imd Multiplikation hinzuzusclilagen, 
um die richtige Stellenzalil des Resultates zu erhalten. 
In obigem Beispiel lesen ^^'lr im Zähler immer links der 
Einstellung ab, der Zähler hat also ausgerechnet 6 Stellen. 
Bei beiden Divisionen erfolgte die Ablesung rechts der Ein- 
stellung, also ist: 

Q = m — n = Q — b = l. 



26 



Der log-arithmische Rechenschieber. 



T'^T' 


= H-|fo Tz 


-K, 


""" \^' - 


"?*flB^ 


I- 


r« J^IÜl 


^JwmhSis^^ 


^ ™BiMii!iii{i^^lliliiii 


- lij|5*^I: 


^O^w 


Inl 


T |m :^ - = 


f rj - ^gP £ 


2- 00 ili 


Mfr K-^^ 


r£- rt - = 




-süi *^ "" 


~ Jt- — 


- Bü 


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= = F 


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z|||'| -: 


-E ^ ~E 


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i™, : 


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-' ^ ili 


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JBjJI^ 


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- E- .- — 


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:E" IE 


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- ii: ~ 


i-ür- «nl-t: 


= h 


^^ -U,,. '\ 


E 


- J 


- ' : 


E 


r- "<; 


- " - 


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= 


-- t\> 


— ■ : 


1 — 


z. 


•— - 


i::^ ~ 


- 


= ~ ' 1 


;o — 


E 


f 1 1 


o_^ 


z 


E i ': 




E 








— r^ '-'- 




-»-'r' 






H 


E- 1(1 1 -F 










EH + 


-o ll+^l 




O 




> 


(3 



Zur Bestimmung der Stellen- 
zahl wurden auch „Rechen- 
stabuhren" konstruiert; 
vom Standpunkt des Tech- 
nikers, der täglich mit dem 
Rechenschieber rechnen muß, 
kann ich sagen, daß diese 
Uhren mehr oder weniger 
zeitraubende Spielereien sind ; 
zur Markierung der -{- 1 oder 
— 1 ist höchstens eine Vor- 
richtung zu empfelüen, Avie 
sie die Firma A. W. Faber in 
den Handel bringt und wie 
sie unsere Abb. 4 zeigt. Meist 
ist der Techniker über seine 
Stellenzahl nicht im Zweifel. 
Nach den Sätzen der Loga- 
rithmenrechnung ist: 

log «2 = 2 log« 



log/« = -l-loga . 

Trägt man also Strecken auf, 

die den Logarithmen ihrer 

Maßzahlen proportional sind, 

so hat man die Strecken für 

«2 doppelt so groß zu machen 

wie die von a, und die von 

y a halb so groß wie die von a . 

Hieraus ergibt sich, daß A die Quadrate der Zahlen von D 

und D die Quadratwurzeln der Zahlen von Ä enthält. 

Will man also auf dem Rechenschieber das 



Das Rechnen mit dem gewöhnlichen Rechenschieber. 27 

Quadrat einer Zahlabestiminen, so stelle man den 
Anfangsstrich von B und C auf die betreffende 
Zahl a auf D und lese über diesem Anfangs- 
strich auf A ab, oder man benütze statt dieses 
Anfangsstriches den Indexstrich des Läufers. 

Um ]'a aufzusuchen, hat man umgekehrt den 
Teilstrich a der Skala A auf die Skala D zu über- 
tragen und dort abzulesen. 

Hierbei ist jedoch zu merken, daß jetzt die beiden 
Hälften von A nicht mehr gleichwertig sind ; die gegebene 
Zahl ist in der linken Hälfte aufzusuchen, wenn sie 
zwischen 1 und 10 liegt, in der rechten, wenn sie zwischen 
10 und 100 liegt. Ist die gegebene Zahl ein echter Dezi- 
malbruch, so zerlegt man sie vom Komma aus in Gruppen 
von je zwei Stellen; ist die erste Gruppe, die nicht aus 
zwei Stellen besteht, kleiner als 10, so ist die Zahl in 
der linken Hälfte einzustellen, liegt sie aber zwischen 10 
und 100, dann ist sie in der rechten Hälfte von A ein- 
zustellen. Die Zahlen, die größer als 100 sind, behandelt 
man ebenso und zwar, wenn kein Komma da ist, von den 
Einern aus, und wenn ein solches da ist, von diesem aus. 

Beispiel: Man berechne: 



y0,0851 = ? 

Man hat links einzustellen, weil die erste Gruppe 08 
kleiner ist als 10. Man erhält: 



y0,0851 = 0,292 . 

Auch den Kubus einer Zahl kann man mit dem gewöhn- 
lichen Rechenschieber bestimmen, indem man a^ bestimmt 
und noch mit a multipliziert. Dieses Verfaliren ist jedoch 
bereits etwas umständlich, und wer viel mit 3 und -J-Po- 



28 Der logarithmische Rechenschieber. 

tenzen zu schaffen hat, greift zu einem Rechenschieber, 
der diese direkt gibt (siehe § 5). 

Die mittlere Teilung auf der Rückseite der Zunge, die 
sogenannte L-Teilung, beginnt rechts mit (nicht ange- 
schrieben) und endet links mit 10 (nicht angeschrieben); 
die Zwischenziffern sind angeschrieben. Jeder solche 
Hauptteil ist in 10 Teile und jeder solche Teil nochmals 
in 5 Teile geteilt; im ganzen sind 500 Teile vorhanden, 
die eine Strecke von 250 mm einnehmen; die Teile sind 
also 0,500 mm breit. Die Striche sind von rechts nach 
links zu lesen: 002, 004, 006, 008, 010, 012 usf. 
Führt man die Zunge in ihrer gewöhnlichen Lage wieder 
ein, bringt den Anfangsstrich der Skala C z. B. über 2 der 
Teilung D , lässt die Zunge in ihrer Lage und wendet den 
Schieber um, so liest man auf der Rückseite der Zunge 
an dem unteren Indexstrich im Ausschnitt unter dem End- 
strich von D an der L-Teilung den Logarithmus von 2 ab. 
Man findet: 

3—0—1 
Also: 

log 2 .= 0,301 . 

Dadurch daß der Rechenschieber also auch die Logarithmen 
der natürlichen Zahlen gibt, ist man auch, imstande, mit 
ihm die Aufgaben zu lösen : " 

allerdings nicht direkt. Bestehen doch zur Lösung die 
Gleichungen : 

logft" = n • loga 

n 1 

logj/a = ~ «loga . 



Das Rechnen mit dem gewöhnlichen Rechenschieber. 29 

Außer der L-Teilimg trägt die Rückseite der Zunge 
noch die Teilungen S und T, vermittels welcher die 
numerischen Werte der trigonometrischen Funktionen sin (x 
und coS(X der angeschriebenen Winkel sich bestimmen 
lassen. Die /S-Teilung korrespondiert mit der Teilung A , 
d. h. zu den auf der Skala S befindlichen Winkeln ge- 
hören die Sinuswerte der Skala A und umgekehrt. Die 
Teilung T korrespondiert mit der Skala D, d. h. zu den 
Winkeln auf Teilung ^werden die zugehörigen Tangenten- 
werte auf D abgelesen und umgekehrt. Die Tangentenwerte 
Ideinerer Winkel als 5^40' können vermittels der Sinus- 
teilimg abgelesen werden, d. h. man setzt für diese Winkel : 

ig(X = sinöc , 

was bei der mit einem Rechenschieber erreichbaren Ge- 
nauigkeit genügend genau ist. Da die Teilung A zwei 
logarithmische Einheitsstrecken enthält, so liegen auch 
die numerischen Werte für die korrespondierenden Sinus 
der Winkel auf Teilung *? in zwei logarithmischen Ein- 
heiten. Die Werte der Sinus, welche auf der linksseitigen 
Teilung von A resp. B abgelesen werden, liegen zwischen 
0,01 bis 0,1 und entsprechen den Sinus der Winkel von 
34' bis 5*^44^ Die Werte, welche auf der rechtsseitigen 
Teilung von A resp. B abgelesen werden, liegen zwischen 
0,1 bis 1,0 und entsprechen den Sinus der Winkel von 
5^44' bis 90^. Die Tangenten werte werden immer auf 
Teilung D resp. C abgelesen; sie liegen zwischen 0,1 bis 
1,0 und entsprechen den Tangenten der Winkel von 
5^44' bis 45*^. Die trigonometrischen Funktionen sinoc 
imd tg(x für kleinere Winkel oc als 34' sind für Rechen- 
schieberreclmungen mit genügender Genauigkeit durch den 
arcus des Winkels zu ersetzen. Es ist also für a: <34': 

s'moc = tff« =.arc^ . 



30 Der logarithmische Rechenschieber. 

Die Konstanten: 

3600 (360.60)' (360-60.60)' 



. 271 ' 271 ' 271 

bezeichnet man bekanntlich mit q^ ^ q' und q" , 
Die Marken 

q' =. 3438' 

o'' = 206 265'' 

sind, auf den Teilungen C und D vermerkt. Nach neuer 

Teilung ist: 

400. 100. 100 ^ ^^^^ 
Qn- ^ =636 620,, 

(^„ gelesen: „^ Neasekunden"). Auch diese Marke ist 
auf C und B angebracht. Ist nun h der zu oc gehörige 
Bogen, so ist: 

, 1 

= arc o: = — a 

Q 

oc = Q -b , 
also : 

smoc = igoc = arc{% = — . 
Q 

Für technische Rechnungen ist oft der Umfang und 
der Inhalt eines Kreises zu berechnen aus dem ge- 
gebenen Durchmesser und umgekehrt aus Umfang oder 
Flächeninhalt der Durchmesser. Hierfür dienen die Marken 
jT, c und die Marken bei der Ziffer 784 auf A und B. 
Die Marke c entspricht der Zahl: 



|/|-r1=- 



Genauig-keit der Rechenschieberrechnimg. 31 

Die AlarlvG bei 784 entspricht der Zahl: 



Es ist nun: 



oder 



^ = 0,784 . 



U=nd 



4 



(4)' 



TT 



d= ]J-C . 

§ 4. Genauigkeit der RechenscMeberrechnimg. 

Es ist außerordentlich wichtig, daß derjenige, der mit 
dem Eechenschieber rechnet, sich Auf Schluß darüber geben 
kann, mit welcher Genauigkeit er in den verschiedenen 
Stadien seiner Übung rechnet. AVir bescliränken uns hier- 
bei auf die wichtigsten Anwendungen des Rechenschiebers, 
auf einfache und zusammengesetzte Multiplikation und 
Division. AVir nehmen an, daß bei unseren Ablesungen 
mittlere Genauigkeit angestrebt werde, daß also nicht 
durch flüchtige Ablesungen einerseits ein Teil der Ge- 
nauigkeit eingebüßt werde, andrerseits nicht diu-ch äußerst 
vorsichtiges Einstellen imd Ablesen der höchstmögliche 
Genauigkeitsgrad erreicht werde. "VVir legen die An- 
wendung der Skalen A imd B zugrunde und schließen 
den Gebrauch einer Lupe aus. 

Die Stelle für eine bestimmte gegebene Zahl schätzt 
man zwischen zwei Teilstriche, die nicht weiter als 1 mm 



32 Der logarithmische Rechenschieber. 

voneinander entfernt sind (wie es für Ä und B , mit Aus- 
nahme zwischen 2 und 3, der Fall ist), mit einer Grenauig- 
keit von -ji^- mm hinein. Hat man nun zu bilden : 

P=a'b 

oder 

so kommt diese Schätzungsgenauigkeit dreimal in Frage, 
bei Einstellung von a, bei Einstellung von b und bei Ab- 
lesung von P oder Q. Ist nun eine beliebige Strecke 
der Teilung Ä oder i?, z. B. die Strecke 1 — 2, 1 — 5 
oder 1 — 10, um -^V^^^^^ = ^fi^ ^ ^^^ ^^^S aufgetragen, 
so daß statt der Strecken: 

37,629 87,371 125,000 mm 

37,679 87,421 125,050 „ 

aufgetragen Avurden, so hätten richtigerweise an Stelle 

10,0000 

10,0093 

zu stehen. Die an den Strichen stehenden Zahlen würden 
also um rund 0,093^/o oder um yöVö dieser Zahlen falsch 
liegen. 

In der Ausgleichungsrechnung wird nun gezeigt, daß, 
wenn +m den mittleren Fehler bezeichnet, dem irgend 
ein Messungsvorgang ausgesetzt ist, der mittlere Fehler 
eines Ergebnisses, das aus Summierung oder Subtraktion 
der Einzelergebnisse des nmal ausgeführten Messungs- 
vorganges resultiert: 

-j-m ']^ 



der Zahlen: 




2,0000 


5,0000 


die Zahlen: 




2,0019 


5,0046 



Genauigkeit der RecheDSchieberrechnimg. 33 

beträgt. Für die einfache Multiplikation oder Division 
erhält man daher als mittleren Fehler: 

tuVt • }'3 = 7*7 = 0,16»/„ 

des Ergebnisses mit Rechenschieberskalen von 125 mm 
als Einheit der Teilungslänge. 

Dieses Ergebnis entspricht der wirklichen Ge- 
nauigkeit, die man bei mittlerer Geschwindigkeit der 
Eechuung erzielt. 

Eigene Genauigkeits versuche lassen sich folgen- 
dermaßen anstellen: Man rechne eine größere Anzahl von 
zweigliedrigen Produkten und Quotienten mit dem Rechen- 
sclüeber aus. Dann rechne man dieselben Produkte und 
Quotienten so genau, etwa mit einer fünfstelhgen Loga- 
rithmentafel, daß diese logarithmische Rechnung der 
Schieberrechnung gegenüber als fehlerfrei gelten kann. 
Hierauf bilde man die Abweichimgen zwischen dem Rechen- 
schieberresultat für die Produkte und Quotienten und deren 
richtigen Werten, drücke jede dieser Differenzen als Yer- 
hältniszahl oder in Prozentform aus und nehme schließ- 
lich aus diesen Yerhältniszahlen oder Prozentzahlen den 
quadratischen Mittelwert, d. h. man erhebe diese Zahlen 
ins Quadrat, addiere sie und dividiere die Summe mit n , 
wenn w Versuche gemacht worden sind; hierauf ziehe man 
aus diesem Quotienten die zweite Wurzel, und man hat 
in dieser Zahl die mittlere Unsicherheit eines mit 
dem Rechenschieber gerechneten einfachen Produktes oder 
Quotienten in Brucliform oder als Prozentzahl des Ergeb- 
nisses. Bei mehr als zwei Faktoren ist der mittlere Fehler 
des Produkts, wenn zusammen It Faktoren und Divisoren 
vorhanden sind: 



^Vt . ^^R + 1 oder (0,093 • \li + l) % 

Mayer, Das Rechnen in der Technik. 3 



34 Der log-arithmische Rechenschieber. 

des Resultats. Bei großer Übung und langsamerem Rechnen 
lassen sich die Genauigkeitsergebnisse selbstredend be- 
deutend steigern. Es lassen sich Genauigkeiten von 
0,120/0, 0,100/,, selbst 0,08 0/, oder ^lö, _^_^i__^ j^ selbst 
ttVit ^^s Resultats erzielen. Andrerseits muß sich der 
weniger Geübte mit schlechteren Resultaten begnügen. 



§ 5. Spezielle Rechenschieber. 

Es seien im folgenden einige Spezialkonstruktionen 
von Rechenschiebern erwähnt, soweit solclie für den 
Techniker in Betracht kommen; auf eingehende Beschrei- 
bungen können wir uns hier nicht einlassen; ich verweise 
auf die Anleitungen der betreffenden Firmen. 

Ein Rechenschieber, der die dritten Potenzen und 
dritten Wurzeln, die gebrochenen Potenzen a* direkt gibt, 
ist z. B. der Rechenschieber System Rietz. Dieser 
Schieber unterscheidet sich von dem gewöhnlichen Rechen- 
schieber nur dadurch, daß er auf dem Stab zwei Aveitere 
Teilungen aufweist. Die eine, die über J., enthält auf der 
Länge von 250 mm die logarithmische Einheit dreimal 
abgetragen. Diese Skala enthält also offenbar die dritten 
Potenzen zu den Zahlen der einfachen Teilung D und die 
zwei Drittel Potenzen zu den Zahlen der zweifachen 
Teilung Ä . Stellen Avir also den Läuferstrich auf die 
Zahl a der Teilung D, so zeigt dieser auf Ä den AVert a^ 
und auf der genannten obersten Teilung a^ . Stellen wir 
dagegen den Läuferstrich auf die Zahl a auf der Teilung 

tr- 
über A^ so zeigt der Läuferstrich auf D den Wert ]/a 

3, — 

an und auf A den Wert \a^ . 



Die zweite weitere Teilung ist die logarithmische 
Teilung in der bekannten Ausführung. Diese ist direkt 



Spezielle Rechenschieber. 35 

unter D angeordnet und bildet mit ihr eine logarith- 
mische Tabelle, d. h. unter den Zalüen auf D stehen ihre 
Logarithmen auf dieser Teilung (Läufer mit Feder ein- 
schieben I). 

Der mittlere Fehler beim gewöhnlichen Rechenschieber 
von 250 mm Teilungslänge beträgt für ein einfaches Pro- 
dukt etwa -^J-jj bis y^Vo" ^^^ Resultates. Die letztere 
Genauigkeit ist indes nur bei großer Gewandtheit erreich- 
bar. Für viele Zwecke ist es nun erwünscht, genauere 
Resultate zu erhalten, z. B. bei Ausgleichungsrechnungen. 
Diesem Bedürfnis kommen die sogenannten Präzisions- 
schieber entgegen. Die gTößere Genauigkeit dieses 
Schiebers wird dadurch erreicht, daß die logarithmisclie 
Einheitsstrecke nicht 12,5 oder 25 cm, sondern 50 cm 
beträgt: um dem Scliieber aber keine unhandliche Form 
zu geben, ihn durch Ziehen und AVerfen nicht zu schä- 
digen, ist die Strecke nicht in einer Länge von 50 cm, 
sondern in zwei Strecken von je 25 cm Länge abgesetzt. 
Der Rechenschieber ist somit auch nur 27 cm lang. Alle 
übrigen Teilimgen, auch die auf der Rückseite der Zunge, 
gründen sich auf diese Teilungslänge; «omit erhalten alle 
Rechnungen mit diesem Scliieber einen bedeutend höheren, 
übereinstimmenden Grad von Genauigkeit. Bei mittlerer 
Rechnungsgeschwindigkeit und bei Yertrautsein mit dem 
Schieberläßt sich leicht ein Genauigkeitsgrad von 0,03 ^/q 
oder -g-gVu ^^^ Resultats erreichen. Hergestellt wird 
z. B. ein Präzisionsschieber von der Firma A. Nestler 
in Lahr i. B., deren Anleitung das Weitere besagt. 

Exponentialrechenstäbe sind die Rechenstäbe 
System Perrv, System Peter und Marke AYilhelm Schw^eth. 
Letzterer wird von der Firma Donnert und Pape in Altena 
zum Preis von 1 5 AI. geliefert. Xach System Perry ent- 
hält der Schieber außer den gew- öhnlichen Teilimgen noch 



36 Der logarithmische Rechenschieber. 

zwei weitere Teilungen, nennen wir sie O3 und U^ . Man 
nennt diese Teilungen die Potenzteilungen. Mit Hilfe 
dieser Teilungen gestattet der Schieber, mit einer Ein- 
stellung der Zunge Potenzen und Wurzeln mit beliebigen 
ganzen, gebrochenen, positiven und negativen Exponenten 
zu bestimmen. Doch ist diese einfache Bestimmung nm- 
für Grundzahlen möglich, die nicht über 10* und nicht 
unter 10"* und nicht zwischen 0,95 und 1,1 liegen; für 
solche Zahlen sind umständliche Operationen nötig. 

Die Potenzteilungen sind von folgender Einrichtung. 
Die einzelnen Teilstrecken sind proportional den Werten 
log log a aufgetragen; die Teilstriche erhalten nicht den 
Logarithmen wert bei geschri eben , sondern den Numerus. 
Die Teilung O3 enthält die Zahlen a> 1 , die Teilung U^ 
die Zahlen a<l. Bei der genannten Anordnung ergibt 
sich die Eigentümlichkeit, daß die Zahlen von O3 und U^ , 
so wie sie übereinanderstehen, reziprok sind. Zum Ver- 
ständnis des Rechnens mit solchen Schiebern dienen 
folgende mathematische Beziehungen. Es sei 



dann ist: 



und 



loga; = n • loga 
log log a; = logw 4- log log a 

loglogic = logloga — log?i . 



Addiert oder subtrahiert man also zu irgend 
einer Strecke log loga der Potenzteilung mit 
Hilfe der Zunge eine beliebige Strecke log?^, 
so stellt der Numerus der Summen- oder Dif- 



Spezielle Rechenschieber. 37 

ferenzenstrecke auf der entsprechenden Potenz- 

}i — 
teilung die Potenz «" oder die ^Vurzel \a dar. 

Der Exponentialreehen Schieber von AVilhelni Schweth 
(Donnert und Pape in Altona) weist folgende Anordnung 
der Skalen auf. Die beiden Teilungen der Zimge und 
die hieran anstoßenden beiden Skalen des Stabes stimmen 
mit den Teilungen des gewöhnlichen Rechenschiebers 
überein und es wird mit ihnen also gerechnet, wie dort er- 
läutert. Die Potenzteilungen sind am untersten und 
obersten Stabrande angebracht. Der erste Teil dieser 
Skala befindet sich am untersten Rande des Stabes und 
umfaßt die log log einer Reihe von Zahlen, deren größte 
10 ist. Da nun log 10 gleich 1 ist, daher log log 1 = Xull, 
so folgt, daß der rechte Endpunkt dieser Skala deren 
Nullpunkt ist. Die log log der Zahlen unter 10 haben 
negatives Vorzeichen; denn log einer Zalil unter 10 ist 
ein echter Dezimalbruch. Infolgedessen ist der log log 
einer in der imtersten Skala stehenden Zahl dem absoluten 
Wert nach dargestellt dm^cli eine Sti-ecke, Avelche vom 
Index dieser Zahl bis zum rechten Endindex reicht. Am 
linken Endpunkt dieser Teilung ist, weil die Skalenlänge 
des Rechenschiebers der Einheit entspricht, diejenige Zahl 
zu notieren, deren log log = ( — 1) , oder deren log =0,1 
ist. Aus den Tabellen ergibt sich num log 0,1 = 1,2589. . . 
Die imtere Skala enthält also die log log aller Zahlen 
zwischen 1,2589... und 10. Die Fortsetzung dieser 
Skala ist am obersten Stabrand angebracht. Sie beginnt 
mit 10 und hat daher ihren Anfangspunkt am linken 
Ende der Teilung. Da mm die log log aller Zahlen über 
10 positiv sind, so ist der log log einer dort verzeichneten 
Zahl dargestellt durch die Strecke vom linken Index 10 
bis zum Index der betreffenden Zahl. Hier ti'itt am rechten 



38 Der log-arithmische Reclienschieber. 

Ende der Skala die Zahl auf, deren log log = -j- 1 , deren 
log = 10 ist, d. i. die Zahl lO^o = 10 000 000 000 . Die 
obere Teilung enthält also die log log aller Zahlen von 10 
bis 1010. 

Zur Ausführung tachy metrischer Rechnungen kommen 
sog. Tachymeterrechen Stäbe in Anwendung. Die 
Firma Dennert und Pape in Altena konstruiert einen 
Tachymeterrechen Stab System C. "Werner; leider konnte 
ich kein Musterexemplar hiervon erhalten. Zu den tachy- 
metrischen Rechenstäben gehört ferner der Universal- 
rechenschieber der Maß Stab fabrik A. Nestler in Lahr i. B. 
Der Stab hat vier Teilungen 0^ und 0^ , U^ und U2 , die 
Zunge 3. Die oberste Teilung 0^ ist eine L-Teilung, 0^ 
eine gewöhnliche logarithmische Teilung mit den Pro- 
portionalitätskonstanten 250. Oj enthält also die Loga- 
rithmen der Zahlen von 0^ . Die Teilung U^ ist gleich 
O2, U2 enthält zwei logarithmische Einheiten, der Pro- 
portionalitätsfaktor ist also 125. U^ enthält also die 
Quadrate der Zahlen von ü^ . Der sich an U^ anschließende 
Seitenstreifen enthält 3 log-Einheiten ; dieser enthält also 
die Kuben der Zahlen von U^ . Auf der Zunge befinden 
sich drei Teilungen, von denen die zwei oberen für tachy- 
metrische Rechnungen dienen, welche mit Hilfe dieser 
Teilungen und der Teilung Og ausgeführt werden. Es 
sind dies die „tachymetrischen" oder „topographi- 
schen" Teilungen; sie enthalten „sin7^•cosw" und 
„cos^w". Die untere Teilung der Zunge ist gleich O.2 und 
U^^ dient also zur Multiplikation und Division. Auf der 
Rückseite der Zunge befinden sich die drei trigono- 
metrischen Teilungen S^ S und T, T. Da die trigono- 
metrischen Funktion s werte sin und tg für AVinkel von 
34' bis 50 44' nur wenig voneinander abweichen und ihre 
AVerte zwischen 0,01 und 0,1 liegen, also beim Auf- 



Spezielle Rechenschieber. 39 

tragen eine logarithniische Einheitsstrecke einnehmen, so 
sind die entsprechenden Teilungen für sin und tg in der 
mittleren Skala derart miteinander vereinigt worden, daß 
man für jeden Winkel den Sinus- und Tangentenwert 
ausmittelte. Die Funktionswerte für diese Teilung sind 
— 1 -stellig, die für die Winkel der Teilungen S und T 
sind 0- stellig. 

Bei Meßtisch- und tachymetrischen Terrainaufnahmen 
kommen die Formeln zur A^erwendung: 

d = C -a- cos-n + ^^- 

h = C' a- s\n7i • cos n = ^Ca sin 2 ?i . 

Hierin bedeutet C die Fadenkonstante, welche gewöhn- 
lich 100 ist, k eine Konstante, welche vom Instrument 
abhängl. um nun die ziffernmäßige Ausrechnimg obiger 
Formeln für alle praktisch vorkommenden Fälle zu er- 
leichtern, ist auf der obersten Zungenteilung die Teilung 
cos-)i von rechts nach links aufgetragen und mnfaßt die 
Funktionswerte 1,0 bis 0,5. Die Teilung smii-cosn ist 
von links nach rechts aufgetragen und von 64' bis 50^ 
in zwei Teile zerlegt. Der erste Teil umfaßt die mittlere 
Zungenteilung füi- Winkel von 64' bis 6^41' und ent- 
hält die Funktionswerte von 0,01 bis 0,1. Der zweite 
Teil von sin ?i cos?? liegi: in der obersten Zungenteilung, 
umfaßt die Winkel m = 6^41' bis 50 ^ und entspricht 
den Fimktionswerten von 0,1 bis 0,5. Bei den letzten 
Winkelangaben wurde „neue Teilung" (li?= 100^ usf.) 
vorausgesetzt. 

Einen speziell für Maschinen- und Elektro- 
ingenieure bestimmten Rechenschieber brachte kürzlich 
die Firma A. W. Faber in Stein bei Nürnberg auf 
den Markt. Der Stab hat vier Teilungen, die mit denen 
des gewöhnlichen Rechenschiebers vollständig überein- 



40 Der logarithmische Rechenschieber. 

stimmen. Auf der einen abgeschrägten Seite befinden 
sich zwei Teilungen, von denen jedoch die untere die 
Fortsetzung der oberen ist. Die Teilung ist eine log log- 
Teilung, wie wir sie bereits kennen lernten. Die obere 
Teilung geht von 1,1 bis 2,9 ; die untere von 2,9 bis 
100 000 . Der Läufer trägt an dieser Seite eine Metall- 
zunge, deren Ende als Marke genau mit dem Striche am 
Läuferglas übereinstimmt. Mit Hilfe dieser Teilung und 
der Schieberteilung D lassen sich beliebige Potenzierungen 
und Radizierungen vornehmen. Der Boden des Stabes, 
der sogenannte Grrund, hat bei diesem Schieber zwei 
weitere logarithmische Teilungen erhalten. Das linke 
Zungenende hat einen Metallbelag, der schneid enförmig 
abgeschrägt ist, damit eine scharfe Einstellung ermöglicht 
ist. Die obere der beiden Teilungen dient zur Bestimmung 
der Wirkungsgrade von Djmamomaschinen und Elektro- 
motoren oder zur Ermittelung der dynamischen Leistung 
in KW, resp. der effektiven Leistung in HP bei ge- 
gebenem Wirkungsgrad. Mit Hilfe der unteren Teilung 
kann aus der Stromstärke in einer elektrischen Leitung, 
Leitungslänge und Leitungsquerschnitt der Spannungs- 
verlust ermittelt werden. Indes gilt die Teilung nur für 
Gleichstrom und induktionsfreien Wechselstrom. Die 
obere Stabteilung trägt ein KW, was Kilowatt bedeutet, 
die obere Zungenteilung trägt ein HP, dies bedeutet: 
Pferdekraft (Horse power). Die obere Teilung auf dem 
Grund, die Teilung der Wirkungsgrade, gibt von 
100 nach links die Wirkungsgrade der Dynamomaschinen, 
von 100 nach rechts die der Elektromotoren. Die untere 
Teilung auf dem Grund möge die Span nun gsverlust- 
oder die Voltteilung heißen. Auf der Zunge ist am 
rechten Ende ein W angeschrieben; die Länge 1 — W 
gibt die Länge der unteren loglog-Teilung. Ist die Potenz 



Spezielle Rechenschieber. 41 

großer als 2,9, dann wird dieses Indexzeichen TT' an 
Stelle von 1 gebraucht 

Der Spanniings Verlust einer einfachen KupferleiUmg 
rechnet sich für Gleichstrom oder induktionsfreien Wechsel- 
strom nach der Formel: 

_ /./ 

worin J die Stromstarke in Ampere, / die Leitungslänge 
in Metern, q der Draht querschnitt imd c eine Kupfer- 
konstante ist, die auf imserem Eechenschieber zu 28,7 
angenommen ist. 

Einen neuen nautischen Rechenstab bringt die 
durch ihre soliden Rechen scliieber hinlänglich bekannte 
Firma Donnert und Pape in Altona auf den Markt (System 
Dr. Maiu-er). 

Die oberste Stab- imd Zungenteilung stimmen über- 
ein : sie sind die gewohnlichen Divisions- imd Multipli- 
kationsskaien. Die unterste Stabskala ist eine L- Teilung, 
sie enthält die Logarithmen der Zahlen auf den beiden 
genannten obersten Teilungen ; mit ihrer Hilfe lassen sich 

nach der Formel logrt" = 7i • loga Aufgal»en von der 

1 

Form X = a" oder X = a** lösen (wenn auch nicht direkt, 
wie bei den Exponentialrechenschiebem). 

Die Skalen 3 und 4, also die unterste Zungen- und 
die unterste Stabteilung, losen die Aufgabe, den Quer- 
abstand ^1 eines Objektes von einem geradlinigen Kurs 
aus zwei Peüungswinkeln a. und ß und der Yersegelimg D 
zwischen beiden Peilungen nach der Formel: 



ctga — ctgß 
zu bestimmen. 



42 Der logarithmische Rechenschieber. 

Die Rückseite der Zunge trägt eine Kosinus- und 
dabei in Klammern eine Sinussteilung und eine Tangenten- 
resp. in Klammern eine Kotangententeilung. 

Die Firma Dennert und Pape in Altena bringt 
noch Rechenschieber zur schnellen Berechnung der Ge- 
wichte von Eisen- und Stahlstücken (Marke: „Schiffbau- 
Ingenieur Stockhusen") und Rechenschieber zur schnellen 
Berechnung der T- Trägerprofile zum Verkauf. Inter- 
essenten erhalten von der Firma nähere Aufschlüsse. 

Bemerken will ich iioch, daß auch Rechenschieber 
aus Karton hergestellt werden und diese dementsprechend 
billig sind. Für die Textilindustrie empfiehlt Ingenieur 
Ullrich einen solchen Rechenstab der Firma AVichmann, 
Berlin NW 6, in seiner Schrift: ,, Der Rechenstab in der 
Textilindustrie", Leipzig 1907. 

§ 6. Kreisrechenschieber. 

Da auf dem geraden Rechenschieber zwei Teilungen 
hintereinander nötig sind, ist es naheliegend, die logarith- 
mische Teilung auf einem Kreis aufzutragen, so zwar, daß 
das Ende wieder in den Anfang übergeht. Ein solcher 
Rechenschieber wurde erstmals 1816 von Jomard aus- 
geführt. 

Einen neueren Kreisrechenschieber fand ich in jüngster 
Zeit vielfach in Süddeutschland verbreitet; es ist dies der 
Kreisrechenschieber System Boucher, verbessert 
von H. Chätelain in Paris. Unsere Abb. 5 gibt denselben 
in der Ansicht wieder. 

Dieses Instrument, das die Form einer Remontoiruhr 
von 5 cm Durchmesser hat, besitzt zwei Teilungsscheiben, 
von denen die eine um eine Achse drehbar, die andere 
fest ist. Die bewegliche Scheibe wird vermittels des 



KreisrechenscMeber. 



43 



Knopfes gedreht; die Nadeln werden ebenfalls mittels des 
Knopfes bewegt, jedoch so, daß man zugleich den seit- 
lichen Drücker benutzt. Da die zwei Zeiger an derselben 



Achse befestigt sind, 



bedingt die Stelluno- des einen 



Zeigers diejenige des anderen. Ein dritter Zeiger, der 




Abb. 



Index, ist auf der beweglichen Scheibe oben an der 
Peripherie befestigt. Jede der zwei Scheiben hat vier 
konzentrische, geteilte Kreise ; auf der beweglichen Scheibe 
befinden sich drei Einteilungsskalen, auf der festen Scheibe 
zwei. Mittels des Knopfes wird die Scheibe gedreht, so 



44 Kumerische Rechentafeln. 

daß die Nadel oder der Index auf die gewünschte Zahl 
zu stehen kommt; mittels des seitKchen Drückers dagegen, 
der wie bei einer Eemontoiruhr gehandhabt wird, stellt 
man die Nadeln der einen und anderen Scheibe je nach 
Wunsch. Aus der Kombination der Stellungen der Nadeln 
einerseits und der beweglichen Scheibe andererseits ergeben 
sich die Regeln zum Gebrauch des Kreisrechenschiebers. 
Die bewegliche Scheibe enthält in ihrem innersten Kreis 
die Skala der gewöhnlichen Zahlen; die beiden folgenden 
Kreise enthalten die Quadrate hierzu, der äußerste Kreis 
enthält die Sinusskala. Die feste Scheibe enthält auf den 
drei inneren Kreisen die Kubikskala, auf dem äußeren 
Kreis die Logarithmenskala. 

Bezogen kann dieser Kreisrechenschieber werden von 
der Firma Gebrüder Knauß, Karlsruhe i. B., Kaiserstr. 63, 
zum Preise von 15 M. 

Auf weitere hierher gehörige Konstruktionen, auf 
Rechenrad usw. wollen Avir hier der beschränkten An- 
w^endung halber nicht eingehen. 



Kapitel II. 

Numerische Rechentafeln. 

A. Genaues Rechnen. 

§ 1. Produktentafeln. 

Die Produktentafeln, auch Pythagoreische Tafeln ge- 
nannt, bilden das verbreitetste Erleichterungsmittel zur 
Ausführung von Zahlenrechnungen. Sie haben zwei Ein- 
gänge für die Zahlen x und y^ deren Produkte xy sie 
enthalten. Außer den Einmaleinstafeln hatte man schon 



Produktentafeln. 45 

frühzeitig Tafeln, deren einer Faktor einstellig war, während 
der andere Faktor bis 100 ging. Bis 10 • 10 000 reichten 
die Tabellen von J.Dodson (1747); auf denselben Bereich 
erstreckt sich die neuere Tafel (Anleitung in vier Sprachen) 
von Theodor von Esersky. Am weitesten geht die 
Erleichterungstafel von A. L. Grelle, sie erstreckt 
sich über einen Bereich bis zu 10 »10 000 000. Die 
weiteste Verbreitung erlangten die Rechentafeln von 
A. L. Grelle, die alle Produkte bis 1000 • 1000 in zweck- 
mäßiger Anordnung geben. Auf einer Seite stehen die 
Produkte einer Zahl x mit sämtlichen Zahlen ?/, die 
<1000 sind. In einer Zeile stehen die Produkte von x 
mit den Zahlen y , welche die gleichen beiden Endziffern 
haben. Die für diese zehn Produkte identischen Endziffern 
stehen abgetrennt am Ende der Zeile. Es ist hier von fol- 
gender arithmetischer Betrachtung Gebrauch gemacht. Ist 

X = 100 »m -f- ?i , 
worin n ^ 99 , dann hat 

xy = 100m •2/ + ^* 2/ 
die nämlichen Ziffern nullten und ersten Eanges wie 
ny ^ so daß diese von w unabhängig sind. Geht x bis 
zu 1000, so haben je zehn Produkte für m = bis 
m = 9 die nämlichen beiden Endziffern. So werden 
z. B. 52/, 1052/, 205?/, 3052/, ^0^2/, 5052/, 6052/, 
7052/, 8052/ ^"^^ 905 2/ stets die beiden gleichen End- 
ziffern haben; diese sind z. B. für y = 2\ stets 05. 
Diese beiden Endziffern schreibt man nur einmal und setzt 
sie an besondere Stelle. 

Läßt man in einer Produktentafel die beiden Faktoren 
zu gleicher Höhe ansteigen, so kommt, wie leicht einzu- 
sehen, jedes Produkt zweimal vor; die Tafel nimmt daher 
nur halb so viel Raum ein, wenn man jedes Produkt nur 



46 



Kumerisclie Rechentafeln. 







T-H (M CO 
lO lO lO 


-^ LO CD 
iO lO lO 


t-GC c:2 

lO lO LO 


§ 


T-H CS CO 

CO CO CO 


■Tti lO CO 

CO CO CD 


t-OOC^ 

CD CO CD 


? 


.— ' CS CO 
c- c- t- 






44 829 

45 708 

46 587 


47 466 

48 345 

49 224 


CO (M T— 1 ; o ^ 02 00 t- 

C> CO CO KH -h Oi t- 
T— 1 02 00 t- : CO -^ CO 

O O T— 1 j (M j CO -^ LO 

LO LO LO LO j LO LO LO 


56 256 

57 135 

58 014 


58 893 

59 772 

60 651 


LO 

CD 


62 409 

63 288 
64167 




00 


44 778 

45 656 

46 534 


47 412 

48 290 
49168 


CO ^ CM lo 
■^ CM O iOO 

o cr2 00 jco 

oo r-l !CM 
LO lO lO lO 


53 558 

54 436 

55 314 


56192 

57 070 
57 948 


58 826 

59 704 

60 582 


O ioo CO^ 

CO jCO T— 1 02 
'^ |CO CM O 
T— 1 CS CO ^ 
CO CO CD CO 




QO 


44 727 

45 604 

46 481 


47 358 

48 235 

49 112 


02 CO CO 1 o 1 C- ^ .-1 

00 CD ^ c^^ Ot) t- lO 

02 CX) t- 1 CO 1 -^ CO CS 
02 O T— 1 ! C<1 1 CO ^ lO 
■^ lO lO ; lO j lO lO lO 


56 128 

57 005 

57 882 


02 CD CO |0 
LO CO T— 1 02 
C- CO LO CO 
00 Cf2 O r-l 
lO lO CD CO 


62 267 

63 144 

64 021 




i 


44 676 

45 552 

46 428 


47 304 
48180 
49 056 


CM 00 -+I ! O ! CO (M oo 

CO O 00 CO i CO ^ CX) 

c::2 oo CO lO : ^ CO 1— 1 

Cl O T-I j (M 1 CO -^ lO 
"^ lO lO' ILO ,iO lO lO 


56 064 

56 940 

57 816 


58 692 

59 568 

60 444 

61 320 


62196 
63 072 
63 948 




i 


44 625 

45 500 

46 375 


47 250 

48 125 

49 000 


49875 

50 750 

51 625 


CS 


53 375 

54 250 

55 125 


56 000 

56 875 

57 750 


58 625 

59 500 
60375 


o 

LO 

:: 

CO 


62 125 

63 000 
63 875 




5 


44 574 

45 448 

46 322 


47 196 

48 070 
48 944 


00 CS CO ' O ' ^ oo o^ 
T-H cr2 CO : ^ 1 T-I 00 CD 
00 CO LO : ^ : CO T— 1 o 

02 O T-I 1 CS ! CO '^ lO 
^ LO LO UO i lO LO LO 


55 936 

56 810 

57 684 


00 CS CD ! O 1 -* 00 CS 
lO CO O : 00 j LO GS O 
LO ^ CO j T-l O 02 OO 

oo c:r2 o r-H 1 c^-j CS CO 

LO LO CO CO CD CO CO 




S5 


44 523 

45 396 

46 269 


47 142 

48 015 

48 888 


T— 1 ^ t- O 

CO CO O ;QO 
t- CD lO CO 
020 T-H CS 
^ lO lO |L0 


53 253 

54 126 
54 999 


55 872 

56 745 

57 618 


rH ^ t- !0 
02 CD CO jr-l 
-^ CO CS 1 T-I 
00 C32 O T-I 
lO lO CO ICO 


61983 

62 856 

63 729 




s 


44 472 

45 344 

46 216 


47 088 

47 960 

48 832 


-:tH COOO O 
O t- 'Tfi CS 

t- LO -^ 1 CO 

020 ^ IcS 

■<* LO LO 1 lO 


53 192 

54 064 
54 936 


55 808 

56 680 

57 552 


58 424 

59 296 
60168 
61040 


61912 

62 784 

63 656 






44 421 

45 292 

46 163 


47 034 

47 905 

48 776 


t>- 00 cr2 o T-I CS CO 

■rH r-l CO' CO 1 CO O r^ 

CO lo CO 1 c^5 ! — t o oo 

02 O T-H CS i CO -^ -+I 
-^ lO lO lO UO lO LO 


55 744 

56 615 

57 486 


58 357 

59 228 

60 099 


1 


61841 

62 712 

63 583 




1 


44 370 

45 240 
46110 


46 980 

47 850 

48 720 


o o o 'o oo o 

O CD CO : O j c^ '^ T— 1 

LO -^ CO CM 1 O 02 CX) 
C^. O ^ ! CS ' CO CO <* 
'^ lO' lO ! lO lO lO LO 


55 680 

56 550 

57 420 


58 290 
59160 
60 030 


8 

02 


61770 

62 640 

63 510 




1 


rH (M CO 
lO LO O 


^ lO CO 
LO O lO 


c- 00 cr2 

LO LO LO 


o 

CO 


T-H CS CO 

CO CD CO 


^+1 LO CO 

CO CD CD 


C- 00 02 

CO CO CO 


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T-H CS CO 

t- c- ir- 



Produktentafeln. 



47 



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80 592 

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71 340 

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77 430 


X 


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80 910 


81 780 

82 650 

83 520 


000 

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XXX 


X 






48 Numerische Rechentafeln. 

einmal schreibt. Yon dieser Tatsache haben C. Cairo- 
H. C. Schmidt (Aschersleben 1896) und A. Henselin. 
(Berlin 1897) in ihren Tafeln G-ebrauch gemacht. 

Vielfach ist es bequem, wenn der eine Faktor sich nur 
von 1 — 100 erstreckt, der andere von 1 — 1000. Solche 
Tafeln existierten schon im 18. Jahrhundert. Eine neue, 
sehr beliebte Tafel dieser Art ist die von ®r.-Sng. 
Dr. H. Zimmermann (fünfte Auflage, Berlin 1907, 
5 M.), die durch Runderlaß des Ministeriums der öffent- 
lichen Arbeiten empfohlen wurde. Die Rechentafel hat zwei 
Eingänge, einen horizontalen und einen vertikalen, an der 
Kreuzung steht das gesuchte Produkt. Zur Erläuterung 
füge ich. eine Probeseite dieser Tafel (S. 46 u. 47) ein. 

Einige Beispiele mögen den Gebrauch erklären. 

1. Man soll mittels der Tafel berechnen: 

875-63 = ? 
Man sucht die Ej:euzungsstelle der Yertikalkolumne 875 
und der Horizontalzeile 63; man findet in dieser 55125, 
also: 875-63 = 55125. 

2. Man berechne mittels der Tafel: 

566973-877 = ? 
Man erhält: 

Kolumne 877, Zeile 56: 49112 

„ 69: 60513 

73: 64021 

566973-877 =497235321. 

3. 82532:94 = ? 

Man erhält ohne weiteres: 

82532:94 = 878 . 
Den Fuß der aufgenommenen und der unmittelbar 
vorhergehenden Seite bilden folgende Tabellen: 



Produktentaf ein . 



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CO 


CO 


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CO 


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cc 


t- 


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CO 


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X 


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^ 


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i 




^ 


^ 



Mayer, Das Rechnen in der Technik. 



o 


o 


o 


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ö 


3§ 


4^ 


5^ ' 


ö 




o 


o 


c^ 


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'^ 


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o 


o 


o 


ö 


8^ 


9^: 


ö 


g 


*^ o 

o 



50 Numerische Rechentafeln. 

Der hohe AYert dieser Tafeln dürfte hiermit klar sein. 

Multiplikationstaf ein , die meist ohne Aveiteres auch 
zur Division verwendet werden können, finden sich 
in den meisten technischen Tabellenbüchem, so z. B. auch 
in dem verbreiteten Buch: Schnitze -Dieckmann, Mathe- 
matische und technische Tabellen. 

Zum Schlüsse sei noch kurz die Multiplikationstafel 
von Theodor von Esersky erläutert. Der Kopf jeder 
Tabelle lautet: 

o I o 
o o 

1-H I CO 

Die fetten Zahlen bedeuten bei Multiplikationen die Ziffer 
des Multiplikators, bei Divisionen die Ziffer des Quotienten. 

Die senkrecht neben dem Multiplikator gedruckten Zahlen 

p 

g usw. zeigen an, daß bei Multiplikationen mit ganzen 

Zehnern, Hundertern, Tausendern usf. dem Produkte die 
dem Multiplikator entsprechende Anzahl Nullen hinzu- 
zufügen ist. Wir geben einen kleinen Teil der Tafel (S. 51) 
wieder. 

Die Zahlen in der Mittelkolumne, welche die fortlaufende 
Zahlenreihe 1, 2, 3, . . . (in unserer Musterseite 901, 
902, 903, 904, . . ., 979, 980, 981, . . ., 995, 996, 
997, 998, 999) bilden, stellen bei Multiplikationen den 
Multiplikandus , bei Divisionen den Divisor dar. Die 
Zahlen in den Kolumnen links und rechts von der mitt- 
leren sind die Produkte, welche durch Multiplikation der 
Zahlen in der Mittelkolumne mit den am Kopfe der ent- 
sprechenden Kolumne befindlichen entstehen. 
Beispiel. Es sei zu berechnen: 

911-367 =? 



Produktentafeln. 



51 



o 


»i 




^i 


'1 




o 
o 


«1 


o 

^1 


1802 


2703 


3604 


4505 


901 


j5406 


6307 


7208 


8109 


4 


6 


8 


10' 


2 


12 


14 


16 


18 


1806 


2709 


3612 


4515 


903 


5418 


6321 


7224 


8127 


8 


12 


16 


20 


4 


24 


28 


32 


36 


1810 


2715 


3620 


4525 


905 


5430 


6335 


7240 


8145 


12 


18 


24 


30 


6 


36 


42 


48 


54 


1814 


2721 


3628 


4535 


907 


5442 


6349 


7256 


8163 


16 


24 


32 


40 


8 


48 


56 


64 


72 


1818 


2727 


3636 


4545 


909 


5454 


6363 


7272 


8181 


20 


30 


40 


50 


10 


60 


70 


80 


90 


1822 


2733 


3644 


4555 


911 


5466 


6377 


7288 


8199 


24 


36 


48 


60 


12 


72 


84 


96 


208 


1826 


2739 


3652 


4565 


913 


5478 


6391 


7304 


8217 


1958 


2937 


3916 


• 
4895 


979 


5874 


6853 


7832 


8811 


60 


40 


20 


900 


80 


80 


60 


40 


20 


1962 


2943 


3924 


4905 


981 


5886 


6867 


7848 


8829 


64 


46 


28 


10 


82 


92 


74 


56 i 38 


1966 


2949 


3932 


4915 


983 


5898 


6881 


7864 


8847 


1990 


2985 


3980 


4975 


995 


5970 


* 

• 

6965 


7960 


8955 


92 


88 


84 


80 


96 


76 


72 


68 


64 


1994 


2991 


3988 


4985 


997 


5982 


6979 


7976 


8973 


96 


94 


92 


90 


98 


88 


86 


84 


82 


1998 


2997 


3996 


4995 


999 


5994 


6993 


7992 


8991 



52 Numerische Rechentafeln. 

Wir erhalten aus unserer Musterseite: 

911.300 = 273 300 
911. 60 = 54 660 
911. 7= 6377 
911.367 = 334 337 . 

Die Multiplikation ist hiermit auf eine Addition zurück- 
geführt. 

Die Division wird ebenfalls am besten durch ein Bei- 
sx^iel erläutert. Es sei zu berechnen: 

340 407:981=? 

Wir haben für 981 folgende Horizontalzeile: 

2345 6789 

1962 I 2943 | 3924 | 4905 |i981li 5886 | 6867 | 7848 \ 8829 

Wir teilen nun vom Dividenden von links an gerechnet 
so viele Ziffern ab, als der Divisor deren enthält, und er- 
halten 340. Da aber 981 in 340 nicht enthalten ist, so 
haben Avir noch eine Stelle weiter zu nehmen und erhalten 
so 3404. Jetzt suchen wir in obiger Horizontalreihe diese 
Zahl oder das nächstkleinere Produkt, wir finden 2943 
und hierzu als erste Ziffer des Quotienten 3. Die Diffe- 
renz zwischen diesem Produkt und der Zahl 3404 beträgt 
461 und hierzu die nächste Stelle vom Dividenden ge- 
nommen, ergibt 4610. Das nächstniedere Produkt in 
unserer Horizontalzeile ist 3924 und hierzu gehört die 
Quotientenziffer 4. Auf dieselbe Weise erhält man als 
letzte Quotientenziffer 7, und das Ergebnis lautet: 

340 407 :981 = 347 . 

Die Division wurde auf Subtraktionen zurückgeführt. 



Tafeln der Yiertelquadrate. 53 

Die Tafel enthält noch abgekürzte Tabellen von 10 000 
bis 1111111, doch möge Weiteres ans der Tafel selbst 
ersehen -«-erden. 

§ 2. Tafeln der Yiertelquadrate. 

Der Mathematiker Laplace dürfte der erste gewesen 
sein, der die Frage behandelte, wie dnrch Benützung von 
Tafeln mit einem Eingang Multiplikationen auf Addi- 
tionen und Subtraktionen zurückgeführt werden können. 
Er denkt sich das Produkt x y aus einem oder mehreren 
Gliedern von der Form (p{X + Y) gebildet, worin X eine 
Funktion von x allein, Y eine solche von y allein be- 
zeichnet. Die Annahme x -y = (p{X -\- Y) fülu-t zu den 
Logarithmen, während die Annahme 

einerseits die Lösung: 

xy = \ [cos(X — Y) - cos(.Y + 7)] 
mit 

X = ^mX 

7/ = sin F 

ergibt, andererseits als zweite Lösung 

zuläßt. 

Auf der ersten Lösung beruht die vor Erfindung" der 
Logarithmen benutzte prosthaphäretische Methode 
{:jo6o&eoi^ = Hinzufügung-, äcfcugeoig = Wegnahme), ein Yer- 
fahren. Multiphkationen auf Additionen und Subtraktionen 
zurückzuführen. Grundlage hierzu ist die Formel: 

2 sin« sinj5 = cos(ä — ß) — cos(« + ß) . 

Waren also beliebige Zahlen miteinander zu vervielfachen, so 
könnte jede derselben nach vorhergegangener Division oder 



54 Numerische Rechentafeln. 

Multiplikation mittels einer mit Nullen versehenen Einheit als 
Sinus eines Winkels (x (ß) in einer mit g-enügender Genauig- 
keit berechneten Sinustafel nachgewiesen werden. Dann waren 
aber aus der Tafel auch die zu (a — ß) und zu {a + ß) ge- 
hörenden Kosinus zu entnehmen, und nach vollzogener Sub- 
traktion waren nur noch die zum Beginne eingeführten Ver- 
änderungen der Zahlen um Einheiten verschiedener Ordnung 
und eine Halbierung zu vollziehen, um das gesuchte Produkt 
zu erhalten. Sollte addiert und nicht subtrahiert werden, so 
wählte man als Ausgangspunkt: 

2 cos öi cosß = cos {a — ß) -{- cos {a + ß) . 

[Cantor, Gesch. d. Math.] 
Die zweite Lösung: 

brachte in ihrer veränderten Schreibweise: 

_ i^ + vY (-^ — y )^ 

^^~ 4' 4 

die Tafeln der Yiertelqiiadrate. 

Eine solche Tafel gab zuerst Ingenieur A. Voisin im 
Jahre 1817 zu Paris heraus. Die beste Tafel der Yiertel- 
quadrate ist die von Joseph Blater (AVien 1887). Durch 
verschiedene Kunstgriffe in der Anordnung liefert diese 
Tafel auf 200 Quartseiten (!) noch die Produkte fünf- 
zifferiger Faktoren bis auf die letzte Stelle genau. 

Der Gebrauch dieser Tafel erstreckt sich auf drei 
Hauptanwendungen : 

I. Zur Multiplikation mehrziff eriger Faktoren. 
n. Zur Quadrierung gegebener Zahlen unmittel- 
bar bis 100000 und darüber. 
ni. Zum Ausziehen der Quadratw^urzel aus ge- 
gebenen Zahlen bis zur Grenze von 10000 
Millionen. 
In der Tafel gehören je zwei einander gegenüber- 



Tafeln der Vieitelquadrate. 55 

liegende Seiten — wie durch die Signaturen a und h 
auch äußerlich hervortritt — zusammen. Jede Seite hat 
zwei Abteilungen, mit I und II bezeichnet, jede Abtei- 
lung hat zwölf Kolumnen. 

Um einen Überblick über die Einrichtung der Tafel 
und deren Gebrauch geben zu können, seien zwei zu- 
sammengehörige Seiten wiedergegeben (S. 56 bis 59). 

Die Kolumne N -\- n ist die Eingangskolumne. Be- 
stimmt wird diese durch die Argumente o: -\- y und 
X — ?/ , wenn x imd y die beiden gegebenen (variabeln) 
Faktoren sind. Die Tausender dieser Argumente stehen 
in der Kolumne unter ^V, und zwar, wenn sie unter 
100 betragen und gerade sind, in Abteilung I, wenn 
sie ungerade sind, in Abteilung II der linken Seite; 
faUen sie aber zwischen 100 und 200, so hat man für 
gerade Tausender in die Abteilung I. wenn sie ungerade 
sind, in die Abteilimg II der rechten Seite einzugehen. 
Die restlichen Ziffern für die Hunderter, Zelmer und Ein- 
heiten findet man als Überschriften der Kolumnen in 
der Zeile +^5 ^^ iii allen vier Abteilungen dieselben 
bleiben. Die Tausender sind in gerade und ungerade ge- 
trennt, weil hierdiu-ch die Wiederholung von hundert- 
tausenden Endziffern erspart bleibt, olme das Aufschlagen 
auch nur im geringsten zu erschweren. 

Die Zahlen des Residtats, also die Tafelzahlen stehen 
in den Kolumnen A^ B und C, so zwar, daß A die 
Anfangsziffern, eine der ^-Kolumnen die mittleren Ziffern 
und endlich G die Endziffern enthält. Die Ziffern in A 
gelten für die ganze Zeile von B , die Ziffern in C für 
die ganze Kolumne von B\ hierdurch ist in geradezu 
genialer Weise eine ungehem-e Zalil von Ziffern gespart. 

Für Divisionen ist die Tafel der Yiertelquadrate nicht 
geeignet. 



56 



Numerische Rechentafeln. 



OC^OOt-CCiO^CO 
(M ^ (X) C30 O C^l -^ 



OOOCO-^CMOOOCD 

1— IT— l(^qco■^lOLOco 

(M '^ CO GO O G^ -^ 



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'M -^ CO 00 O (7^ -«^ 



O (^-1 



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* 



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CM -^ CC OC O (M '^ 



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C<1 ^ CD 00 O <M '^ 



O^00C<ICDO'^00 

T— ir— it— i(>JC<i(rococo 
(M -^ CD 00 O (M ^ 



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T-lr-iT-HrH(M(M(r<J(rO 

CM -^ CD 00 O C^ "* 



00 -^ 

00 ^ 



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* 



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oo 

00 o 






O C<l ■^ CD 00 O CM '^ CDOO 

,—1^,— I,— I,— i(MCMC<J oo 

C<J -^ CD 00 O (M -=*t t- C71 

O -— I CM CO "^ lO CD tr- CC Oi 

CM'^CDOOOCM'* CDOO 

OOOOOOOO _ OO 

CM ^ CD 00 O C^ -* CDOO 

O T-H -* CS CD CD C- O CO O 

1-H (7^ CO iO 1—1 1—1 

CO ^ 
CM CM 

OC^^CDOOOCM^ CDCX) 

T— I T— i T— I O C5 



SS 

+ 



Tafeln der Viertelquadrate. 



57 







rt lt; t^ r: ?^j ^ ->^ X 


• • -11 


?1 






-rfT^ a: yz -^ ^ c<i CD 

; o t- X X er. o r- (T<i • • 
1 coir^c-r: — ^:cx 


X CO 

* 


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1 




^ — X in ri CT. w C-: 
cct:-tr-xcr:c:0— • • 
\ CO in c- C". T-- IC -.r: X 


. . . s^ 

4 


CM 


i 


IC C: in — C- -TT CT. in 

:::;--it:-xxc:cr:0 • • 

JCintr-c: — rcinx 


.—1 1- 
• • • m in 

CM ^ 
* 


1 


i 




ccxotxcoooccx 
cr;->oc-t-xxo5Ci • • 
ocint-cir— ccinc^ 


CO X 

. . . oo 

* 


CO 

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i 




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:^ -^ t^ t- c- X X c^ • • 

rcint-r: — JCinc- 


^ X 





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T-i-^t-050ccc:s^i 

CO CC CC C- t- C- C^ X • • 

coot:^c:ir-<jCkOC^ 


• • -§1 

* 


i 


o 




rcintr-rt^rtinc- 


ö ^ 




CM 


9i 




O'T-icMcc^Lncor- 

o cc ->r; cc :c ->r :^ -^ • • 

ccio c- c~. — rc in c- 


XC5 

• • -SS 

•X- 


i 


i 




oooooogo . . 

ccioc-crjt-iccinc- 


OO 

. . . 30 CO 


9 
3=;' 




O :^^ cc -M T-. -^ ?t c- 

^ — CM rc '^ o . . 


* * • P: ^ 
-M CM 


- 


_u 








^ 


,-iccir:c-c:-Hr^iO . . 


• • -s^g 



58 



Kumerische Rechentafeln. 



PQ 



OCtiOOt-COiO-^CO 



OCOCO'<*iC<JOOOCO 

^cooooc<i-*cooo 
* * 



Ot--"^'— '0010(7^05 
CDCjDtr-OOOOOtiOO 



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CO o 



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Oi O 
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* * 



T-(r-^(^c^(^CJ(ro-*'*lO 
coioc—o:'— (coot^ 



COCOt^t-OOOOOiOi 
(M'*COOOOC<1'*CO 



0'*COC<JCOO'*'00 

1— I,— I,— (C<icMco<roco 

(M'^CJDGOOC<)'*CO 

* 



00 ^ 

oi o 
1—1 -^ 
* * 



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oo 

rH CO 



C<l CO 

oo 

O GS 



OCOCDOiCSlOOOi— I 
CDCDCOCOt-t-C-GO 
T-tCCiOt-OiT— iCCiO 



OiM-^CDOOOCS'* 
T— iCOiOC-OiT— ICOiO 



Or-ICTslCO-^LOCOC- 
COCOCDCOCDOCOCO 
OC^l'^COOOOCS^ 



CD 00 
OO 
00 o 



00 o: 
OO 



OOOOOOOO 
OCS'^JHCDOOOCM^ 



OO 

CO 00 



+ 



Ol— i-^o:)cocot-0 
,— i,— I,— I,— l(^^co•^co 

kOCDC—OOO^iOrHGS 

GSGScr^cscscococo 



CO o 
GS GS 

CO OO 



OCS-^COOOOGS-^ 
OOOOOi-ii-i^ 



Tafeln der Yiertelquadrate. 



59 






-^ C<J O 3C :r: '* !M O 

CDt-0C300:OT— ICSI 






OOi>-0030Ci0:!O 
* * * 



CQOOCOCOCQOOCOOO 



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OO iD 
■5t 



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* 



* 



CO OO 



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CO CO ^C O CO tr- i>- t- 

'*;oococrsi'*w30 






o oc 

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00 r^ 
Ö c^ 



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, CO CO CO CO CO CO CO CO 
i| coiOt-Oii—icoiOC:- 



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O'MCO'7^1'— i^^CCC— i-hO 

COCOCOC-OC'OiO'— I C<I(M 

o CO t- OO o: o CM rc c- ci 

OOOOO — — r-, r:ai 



60 Numerische Rechentafeln. 

Wir wollen an der Hand eines Beispieles nunmehr 
die Operation des Multiplizierens erläutern. 
Es sei zu berechnen: 

x-y = 60 706-46 497 = ? 
Es ist: 

x-\-y=1012m = s 

iK — ?/ = 14 209 =- ^ . 

Nun ist, wie wir wissen: 

(x + vY {x - yf 



xy = 

■* -i 

(x 4- y)^ 

erhalten wir für unser Beispiel folgender- 
maßen. Die Anzahl der Tausender ist 107; diese spielt 
aber erst an zweiter Stelle eine Eolle; zuerst handelt es 
sich um die drei letzten Ziffern von 5, die sind 203. 
Wir schlagen also in der Tafel die Seite auf, die 203 
enthält; es sind dies 200a imd 200b. Jetzt kommt die 
Anzahl der Tausender erst in Betracht. Die Zahl 107 
liegt zwischen 100 und 200, also haben wir jedenfalls 
auf der Seite 200b zu suchen, und da 107 ungerade ist, 
in der Abteilung II. Die Kolumne Ä enthält nun in der 
Horizontalzeile von 107 die vier ersten Ziffern des Re- 
sultates, die Yertikalkolumne von 203 die drei mittleren 
Ziffern an der Kreuzung mit voriger Horizontalreihe, und 
an der Kreuzung dieser Kolumne mit der Horizontalreihe 
C stehen die drei Endziffern. Wir erhalten demnach: 



(I) 



l : = 2 872 120 802. 



Nun hat aber die Zahl 120 in ^ einen Stern; dieser 



Tafeln der Yiertelquadrate. 61 

besagt, daß die Zahl unter Ä um 1 zu erhöhen ist; wir 
erhalten daher: 

' s 



ii) 



2873 120802 

9 



Suchen Avir nun auf dieselbe AVeise: 

'09\2 



^)-(li| 



"Wir erhalten: 

ABC 



(!)■- 



•0 473 920 . 

V2/ 

Folglich: 

x-2j = 2873120802 
50 473 920 



2 822 646 882 . 
Also ist: 

60 706 • 46 497 = 2 822 646 882 . 

Hiermit dürfte klar sein, wie mit Hilfe dieser Tafel 
Produkte zu berechnen sind. 

Das Erheben einer Zahl auf die zweite Potenz erfor- 
dert nur eine Yerdoppelimg der gegebenen Zahl, weil 
beide Faktoren einander gleich sind, und ein ein- 
maliges Eingehen. 

Beispiel: 48 1022 = ? 

Wir verdoppeln die Zalil und erhalten 96 204; nun 
schlagen wir 204 in der Zeile K -\- n auf, wir finden dies 
auf der Doppelseite 200. Die Anzalü der Tausender ist 
96, wir finden also auf der Seite 200a, Abteilung I: 

48 1022 = 2 313 802 404. 



62 Numerische Rechentafeln. 

Die Einfachheit der Tafel zum Bestimmen von Qua- 
draten dürfte an diesem Beispiel in verblüffender Weise 
zutage treten. 

Das Quadrat aus allen sechszifferigen Zahlen, deren End- 
ziffer 5 ist, erhält man, indem man der gefundenen Tafel- 
zahl anstatt 00 das in der Tafel für alle ungeraden Argu- 
mente vernachlässigte "Viertelquadrat der letzten Einheit 
in C mit 25 anhängt. Überschreitet das Argument die 
Tafelgrenze, so läßt sich häufig durch geeignete Division 
ein Eingehen in die Tafel ermöglichen; das so erhaltene 
Resultat ist dann mit dem Quadrat des Divisors zu multi- 
plizieren. Ist die gegebene Zahl jedoch so groß, daß sich 
auch durch Kürzung kein Eingehen in die Tafel ermög- 
lichen läßt, so muß eine Teilung in {a -\- h) eintreten, und 
man hat nach der Formel (a -{- hy = a^ -{- 2 ah -{- b^ zu 
verfahren, oder eventuell ist zu zerlegen in (a — b) und 
die Formel {a — by =^ a^ — 2 ab -\- b- anzuwenden. Ge- 
nügt das Abschneiden einer Ziffer am Ende, so wird zu 
a^ ^ dem 00 angehängt wird, das Produkt aus der ab- 
geschnittenen Ziffer und dem Argument {2 ab) mid b^ 
addiert. Müssen mehrere Ziffern abgeschnitten werden, 
so erhält a^ für jede abgeschnittene Ziffer zwei Nullen, 
die Multiplikation von [a • b) muß mit Hilfe der Tafel 
ausgeführt werden ; das Produkt erhält ebenso viele Nullen, 
als Ziffern abgeschnitten wurden, und b^ ist gleichfalls der 
Tafel zu entnehmen. 

Das Bestimmen der Quadratwurzeln zu gegebenen 
Zahlen erfolgt, wie nachstehend erläutert. Ahnlich wie 
beim Suchen des Numerus zu einem gegebenen Logarith- 
mus suchen wir zu der gegebenen Zahl die nächstkleinere 
TafelzaM. "Weil dies aber meist sehr umständlich ist, ist 
zur Erleichterung der Auffindung der Tafel ein Index 
angehängt, um die Seite und Abteilung zu bestimmen. 



Tafeln der Viertelquadrate. 63 

Avo die gesuchte Zahl zu finden sein ^vird. Auf zwei ge- 
trennten Doppelseiten (Index a und Index h) sind für a 
und h in gleicher Anordnung des Tafehverkes die AVerte 
in Ä von 50 zu 50 für -\-n angefülirt. Diejenigen "Werte, 
welche Tier Stellen nicht erreichen, sind bis zu vier 
Stellen mit angehängtem Dezimalbruch durch Anfangs- 
ziffern aus B ergänzt, daher die Andeutung am Kopfe 
A^ B . Rechts am Eande stehen in der mit A bezeich- 
neten Kolumne Zahlen mit der Angabe, wicTiel Seiten 
umgeschlagen werden müssen, wenn A um eine Einheit 
größer wird. Die mit P bezeichnete unterste Zeile gibt 
außerdem noch die betreffende Seitenzahl an, die am 
untersten Eande steht. Findet sich die gesuchte Zahl 
vollständig übereinstimmend, so ist die Hälfte der Ein- 
gangszahl die gesuchte Wurzel. Findet sich die gesuchte 
Zahl nicht vollständig, sondern niu' mit den Anfangsziffern 
übereinstimmend in der Tafel vor, so ist \{ß -\- n) nur 
der erste Teil der Wurzel. Zieht man dann die nächst- 
kleinere Zahl in B von der gegebenen Zahl ab, imd divi- 
diert man den Eest durch das Doppelte des gefundenen 
"Wurzelteils, so erhält man mittels abgekürzter Division 
weitere fünf bis sechs Ziffern. Das übrige besagt die 
Tafel. 

Die Tafel der A^iertelquadrate läßt sich auch zur Auf- 
lösung gegebener Zahlen in Faktoren benutzen; wir gehen 
hierauf nicht ein. 

Andere Midtiplikationstafeln, die die Multiplikation 
durch Addition und Subtraktion ersetzen, sind die Tafeln 
der Dreieckzalilen. Ist T^ die zu x gehörige Dreiecks- 
zahl, d. h. T^ = \{x -\- l)x^ so wird : 

^y = ^x-l + ^y — "^x-y-l • 

Solche Tafeln kamen jedoch nie in praktischen Gebrauch. 



64 Numerische Rechentafeln. 

Tafeln der Quadrate und Kuben der Zahlen von 
1 bis 1000 enthalten alle technischen Taschenkalender, 
manche auch solche der Zahlen von 1 bis 10 000. 

Die sogenannten Faktorentafeln enthalten alle ein- 
fachen Teiler oder wenigstens den kleinsten Teiler aUer 
Zahlen bis zu einer möglichst hohen G^renze. Wie er- 
wähnt, läßt sich auch die selir empfehlenswerte Tafel der 
Yiertelquadrate von Jos. Blater (ünlversitätsbuchhandlung 
Alfred Holder, AVien, Rotenturmstr.) als Faktorentafel be- 
nutzen. 

B. Genähertes Reelinen. 

Logarithmentafeln. 

Mittels der Logarithmensätze ist es möglich, Rechen- 
operationen auf solche der nächst niederen Stufe zurück- 
zuführen; Multiplikation imd Division wird auf Addition 
und Subtraktion, Potenzierung und Radizierung auf Multi- 
I)likation reduziert. 

Den Vorrang behaupten, weil am bequemsten für das 
gewöhnliche Rechnen, die sogenannten gemeinen oder 
Briggschen Logarithmen mit der Basis 10. Die 
Anzahl der gewöhnlichen Logarithmentafeln ist Legion; 
empfehlenswert ist für den Techniker besonders die große 
Ausgabe der fünfstelligen Logarithmentafel von F. G-. 
öauß. Die Einrichtung dieser Tafeln ist bekannt, übrigens 
geben auch meist beigefügte Gebrauchsanleitungen hin- 
reichenden Aufschluß. Bemerkt soll noch werden, daß 
in technischen Rechnungen die Mantisse von der Charak- 
teristik stets durch einen Punkt (nicht durch Komma, wie 
meist an den Gymnasien usw. üblich) zu trennen ist; 
anstatt einen Logarithmus zu subtrahieren, addiere man 
stets dessen dekadische Ergänzung (Ergänzung zu 10), 



Logarithmentafeln. 65 

gesclirieben -E'log. oder cpl. log (= complementum lo- 
gaiithmi) oder colog (= cologaritlimus). 

Yon geringer Bedeutung für das gewöhnliche Rechnen 
sind die Tafeln der ..natürlichen" oder „hyper- 
bolischen-' Logarithmen mit der Basis 



2,718 281828 459 



(e = lim [l + -T] 



Die vollständigste Tafel dieser Art ist die von Z. Dase, 
AVien 1850. 

Yon den „abgekürzten Logarithmentafeln" 
kommt für uns Techniker hier speziell nur eine Tafel in 
Betracht. Es ist dies die unter dem Titel ..Springende 
Logarithmen" von Ernst A. Brauer, Professor an der 
Technischen Hochschule Karlsruhe, herausgegebene Tafel. 
In seinem Vorwort gibt Brauer folgende Erklärung: ..Bei 
den meisten Logarithmentafeln bilden die Grundzahlen 
eine aiitlimetische Progression mit der Stufe 1. Der 
Fortschritt von einer Zahl zur nächstfolgenden ist daher 
bei niedrigen Zahlen ein gi^ößerer Bruchteil der Zahl selbst, 
als bei höheren. Hat die Grundzahl vier Stellen, so ^\ürde 
z. B. die Zalü 1000,5 entweder durch 1000 oder durch 
1001 ersetzt werden können, beidemal mit einem relativen 
Fehler von 1 : 2000 , während beim Ersatz von 9999,5 
entweder diu-cli 9999 oder durch 10 000 der relative 
Felller nur 1 : 20 000 beträgt. Diese Ungleichmäßigkeit 
ist durch das Genauigkeitsbedürfnis bei naturwissenschaft- 
lichen Rechnungen nicht begründet. AVenn in den An- 
fangswerten 1000 1001 usf. die Stufe 1 klein genug ist, 
so düi-fte die Stufe bei 2000 doppelt, bei 3000 dreimal 
so groß sein. Yon dieser Möglichkeit ^^ird bei den springen- 
den Logarithmen Gebrauch gemacht, indem 

Mayer, Das Rechneu in der Technik. 5 



66 Numerische Rechentafeln. 

zwischen 1000 und 2000 die Grundzahlstufe 1 
2000 „ 3000 „ „ 2 

3000 „ 4000 „ „ 3 

beträgt usf. In der Tabelle bedeuten Z die Grundzahlen, 
die Zahlen Log die Mantissen der Logarithmen ; die Ko- 
lumnen Dj , enthalten die Logarithmendifferenzen für die 
Grundzahlstufe 1 in Einheiten der fünften Dezimalstelle. 
Die Differenzen sind für jede Zahl dreimal, nämlich am 
Anfang ihres Geltungsbereiches, an der Stelle ihrer größten 
Genauigkeit und am Ende des Geltungsbereiches, auf- 
geführt." — 

So große Vorteile die Logarithmenrechnung bei Multi- 
plikation, Division usav. bildet, so hinderlich, ist sie bei 
der Addition und Subtraktion. Um nun den besonders 
bei trigonometrischen Rechnungen häufig nötigen Über- 
gang von log« und log 6 zu log(a + h) zu erleichtern, wur- 
den zuerst, nach einem Yorschlag von Leonelli (1802/03), 
von Gauß Additions- und Subtraktionslogarithmentafeln 
konstruiert; die Tafeln von Gauß sind fünfstellig, die Be- 
rechnung von Leonelli erfolgte auf 14 Stellen, doch wurde 
seine Arbeit nicht veröffentlicht. Die Gaußschen Tafeln 
wurden dann später insbesondere von Weidenbach in etwas 
anderer Anordnung als siebenstellige Tafeln veröffentlicht. 
Die heutige Anordnung Aveist zwei Kolumnen auf, die mit 
A und B bezeichnet sind. Sie stehen in der Beziehung: 

A = logx 

B = log(l + X) 
oder: 

10^ = ic 

10^ = 1 + a; = 1 + 10^ , 
und es ist: 



Rechenmaschinen: Geschichtliches. 67 

loga -\- logb = A , log{a -{- b) = b -{- logb 

= loga -\-(B- A) 
und : 

loga — logb = B, \og(a — b) = loga — {B — A) . 

Verwandt mit den Additionslogarithmen ist die von 

"VVeidenbach auf Gauß' Yeranlassung berechnete Tafel, die 

X -\- 1 
die Logarithmen von gibt, wenn logx gegeben ist. 

X _L 

Diese Tafel wurde neuerdings von Professor E. Hammer 
an der Technischen Hochschule Stuttgart erweitert (Sechs- 

stellige Tafel der Werte log , Leipzig 1902). 



Kapitel III. 
RechenmascMnen. 

In diesem Kapitel sollen nur kurz die eigentlichen 
Eechenmaschinen, also Maschinen mit selbsttätiger Zehner- 
übertragung, ihre Behandlung finden ; auf Rechenapparate 
will ich wegen ihrer einfachen, oft selbst verständhchen 
Handhabung und wegen des beschränkten Raumes nicht 
eingehen. 

§ 1. Geschichtliches. 

Der Rechenschieber rechnet wie die Logai-ithmentafel 
mit unvollständigen Zahlen, die zudem noch sehr rasch 
abbrechen; das Rechnen ist ein angenähertes. 

Es war daher das unablässige Streben erfinderischer 
Geister, eine Maschine zu konstruieren, die mit voll- 
ständigen Zahlen operiert und zudem an Einfachheit der 

5* 



68 Rechenmaschinen. 

Bedienung und Schnelligkeit der Rechnung mit den 
Logarithmentafeln in erfolgreichen Wettbewerb treten 
kann. Wenn wir einen tlberblick über die geschichtliche 
Entwicklung der Rechenmaschinen halten, so finden wir 
hier, wie auf manch anderem Entwickelungsgebiet, die 
Namen hervorragender Denker mit den Mißerfolgen ver- 
knüpft, während der Erfolg sich an die Namen wenig 
bekannter Männer heftet. 

Die ältesten Rechenmaschinen sind reineAdditions- 
und Subtraktionsmaschinen. Schon Blaise Pascal, 
der bedeutende Mathematiker (1628 — 1662), konstruierte 
eine Additionsmaschine. Auf der Ausstellung wissenschaft- 
licher Instrumente im Jahre 1876 zti London war die 
Pascalsche Maschine zu sehen. Sie trug die Aufschrift: 
Esto probati instrumenti symbolum hoc. — Blasius Pascal 
Aruernus inventor. 20. May 1652. 

Eine Beschreibung dieser Maschine findet man in: 
„Oeuvres complfetcs de Blaise Pascal, tome troisieme. 
Paris 1890". Die Oberfläche der Maschine bildet eine 
Kupferplatte, an deren Unterseite sich acht, um ihre 
Mittelpunkte bewegliche Kreisscheiben befinden. Der erste 
Kreis rechts hat 12 Zähne, der zweite 20, alle links 
folgenden 10. Diese Anordnung entspricht der früheren 
Münzteilung 1 livre =20 sols, 1 sols = 12 deniers. 
Über den Kreisen befinden sich Hemmstücke zum An- 
halten von Stiften, die man in der Hand hält und zwischen 
die Zähne der beweglichen Räder steckt, um dieselben in 
der Richtung 6, 5, 4, 3 zu drehen, wenn man die Ma- 
schine in Tätigkeit setzt. Diese Drehungen werden auf 
eine andere Räderreihe, das Zählwerk (siehe § 2), über- 
tragen und es treten deren Ziffern unter Schaulöchern 
vor. Eine Zehnerübertragung ist vorhanden, wie wir sie 
später in ihrer Wirkung kennen lernen werden. Die 



Geschichtliches. 69 

Pascalsche Maschine war eine Additionsmaschine für Geld- 
zählung. 

In der Folgezeit wurden noch eine Keihe von Addi- 
tionsmaschinen konstruiert: so sei genannt die Maschine 
von Chr. L. Gersten, Mathematikprofessor in Gießen. Er 
erfand seine Maschine 1722. Die Einstellung der Zahlen 
erfolgte durch Drehen der Zifferscheiben und mit Hilfe 
von Schiebern. 

Zur Steigenmg der Schnelligkeit und Sicherheit im 
Rechnen ging man ziu- Einführung von Tasten über, so 
zwar, daß man entweder ninr die Addition einzifferiger 
Zahlen ins Auge faßte und jeder Ziffer von 1 bis 9 je 
eine Taste zu^vies, oder aber man ordnete für die Einer, 
Zehner, Hunderter usw. je 9 Tasten in parallelen Eeihen 
an. Hierher gehört die Additionsniaschine von ]klax Mayer ; 
ausgeführt von Mechaniker A. Barthelmes in München 
ISST). 

Die Additionsmaschine wurde ncKih vervoUkommt 
dm*ch eine selbsttätige Yorrichtimg ziun Drucken der 
einzelnen Summanden und deren Summe auf einen fort- 
laufenden Papierstreifen (wie dies etwa bei Registrier- 
apparaten — Thermometer usw. — der Fall ist). Die 
bekannteste selbstschreibende Additionsmaschine 
düi-fte die von Burrough sein (Registering Accountant, 
Deutsche Patentschrift 77 06S): sie wurde an vielen Post- 
anstalten eingeführt. Auch'VS'. Heinitz in Dresden. Lortzing- 
straße 27, liefert eine sehr brauchbare Additionsmaschine. 

Um eine Rechenmaschine zu Additionszwecken auch 
li'u- wiederholte Addition ein und derselben Zahl. d. i. also 
zu Multiplikationszwecken geeignet zu machen, mußte 
man sie mit besonderen Mechanismen versehen, die es 
ermöglichen, nach Yomalime der nötigen EinsteUungeiT 
alle Zifferscheiben des Zählwerks zugleich, jede um eine 



70 



Rechenmaschinen. 



gewünschte Zahl von Stellen, weiterzubewegen (schalten) 
und zwar durch eine einzige Handbewegung. Es mußte 
das Schaltwerk erfunden werden, über das wir uns in 
§ 2 näher verbreiten werden. 

Der erste, der die Idee zu einer solchen erweiterten 
Additionsmaschine in Tat umsetzte, war G. W. Leibuiz. 
Er legte seine Erfindung bereits 1673 der Royal Society 
in London und später auch, nachdem er noch Yerbesse- 




Abb. 



rungen an derselben vorgenommen hatte, der Pariser 
Akademie der Wissenschaften vor. Das Äußere, sowie 
das Verfahren beim Gebrauch hat Leibniz in den Ab- 
handlungen der Berliner Akademie, Miscellanea Beroli- 
nensia, Bd. I, beschrieben. Obwohl licibniz für seine 
Maschine ungeheure Summen opferte — nach verschie- 
denen Angaben 24000 Taler — , kam er nie recht damit 
zustande. Nach seinem Tode (1 7 1 6 zu Hannover) weigerten 
sich seine Erben, den von Leibniz mit der Fertigstellung 
beauftragten Mechaniker Teubertin zu bezahlen, so daß 
das Werk unvollendet liegen blieb. Ein Exemplar der 



Geschichtliches. 



71 



Leibnizschen Maschine befindet sich im Archiv der Königl. 
Bibliothek zu Hannover. Diese Maschine Avurde im Auf- 
trag der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften in 
den Jahren 1893 — 1896 durch Herrn Ingenieur Arthur 
Burkhardt in Glashütte i. Sa. untersucht, konnte jedoch 
nicht zum Gang gebracht werden, da ihre Konstruktion 
einen Fehler hat (vgl. auch: Zeitschrift für Yermessungs- 
wesen 1897, S. 392 — 398). Das Schaltwerk der Leibniz- 
schen Rechenmaschine und die fertige Maschine ohne 
Gehäuse zeigen unsere Abb. 6 und 7. 






'^\ 



Abb. 



Die Kunde von der Pascalschen und Leibnizschen 
Rechenmaschine regte zu weiteren Erfindungen an. Im 
Jahre 1776 trat der Pfarrer Philipp Matthias Hahn 
in Echterdingen bei Stuttgart, ein trefflicher Mathematiker 
und Mechaniker, mit einer neuen Rechenmaschine hervor. 
Die Zahlen Scheiben hat Hahn im Kreise nebeneinander 
gestellt, wodurch die Maschine die Form eines Zylinders 
erhält, in dessen Mitte die Kurbel spielt. Die Zifferblätter 
haben nur eine Bewegung, aber doppelte Zahlenreihen in 
zwei konzentiischen Kreisen. Hahn fertigte drei Maschinen, 
eine vierte Asiurde nach seinem Tode (1790) von seinem 



72 



Rechenm aschin en . 



Sohne, der württembergischer Hofmechaniker war, 1809 
fertiggestellt. Diese Maschine ist im Besitz Sr. Durch- 
laucht "Wilhelm, Herzog von Urach, Graf von Württem- 




Abb. 8. 




Abb. 9. 



berg. Sie gestattet Berechnungen bis zu zwölf Stellen 
und ist noch jetzt in vollständig gangbarem Zustand. 
AVir geben in unseren Abb. 8, 9 und 10 das Zähl- 



Geschichtliches. 73 

werk, das Schaltwerk und die fertige Maschine ohne 
Gehäuse wieder. 

Die Hahnsche Maschine ist die erste brauch- 
bare Rechenmaschine. 

Eine andere Mascliine wurde erfunden iin Jahre 1783 
von dem Ingenieurhauptmann J. H. Müller in 
Gießen. Sie befindet sich im Besitz des Großh. Hessischen 
Museums in Darmstadt (Beschreibung in Dycks Katalog). 




Abb. 10. 

Allein eine weitere Terbreituug konnte sich weder 
die Hahnsche noch die Müller sehe Maschine erringen; 
dies war erst der Thomasschen Maschine beschieden, 
so genannt nach ihrem Erfinder Thomas aus Colmar 
i. Eis., der seinerzeit Yersicherungsdirektor in Paris war. 
AVir kommen auf diese Maschine, die fortab den Grund- 
typ aller Rechenmaschinen, die erweiterte Additions- 
maschiQen sind, bildet, in § 3 ausführlich zu sprechen. 
Thomas erfand seine Maschine im Jaln^e 1821 und brachte 



74 Rechenmaschinen. 

sie 1822 zur YollenduDg; er kannte aller Wahrschein- 
lichkeit nach die Hahnsche Maschine. 

Die Thomassche Rechenmaschine wurde nun, nachdem 
sie allgemeinere Anwendung gefunden hatte, die Herstellung 
von Rechenmaschinen allmählich also zu einem Industrie- 
zweig geworden war, vielfach in ihren Konstruktionsteilen 
vervollkommnet und vervollständigt. In Deutschland nahm 
der Ingenieur Arthur Burkhardt in Glashütte i. Sa. im 
Jahre 1878 zuerst die Fabrikation der Thomasschen 
Rechenmaschine mit Erfolg auf. Durch eine Reihe her- 
vorragender Yerbesserungen ist sein „Arithmometer" 
heute eine der besten und technisch vollendetsten Rechen- 
maschinen. 

Da wir in § 4 auf mehrere moderne Rechenmaschinen 
eingehen wollen, so soll die weitere geschichtliche Ent- 
wicklung nicht verfolgt werden. Erwähnt sei jedoch, 
daß die erste eigentliche Multiplikationsmaschine, also 
eine Maschine, die die Teüprodukte durch eine einzige 
Drehung gibt, im Jahre 1888 von Leon Bollee kon- 
struiert wurde. Die gegenseitigen Produkte der Zahlen 
1 bis 9 sind bei seiner Maschine dargestellt durch Paare 
von Stiften, deren Längen den Einern und Zehnern jener 
Produkte entsprechen. In diese Kategorie von Rechen- 
maschinen gehört dieRechenmaschine Patent Steiger. 

§ 2. Hauptteile einer Eechenmasehine. 

Zählwerk: Das Zählwerk ist meist dem dekadischen 
Zahlensystem angepaßt und daher je ein Element für 
Einer, Zehner, Hunderter usw. vorgesehen. Die Elemente 
sind gewöhnlich zylindrische Scheiben, auf deren ebenen 
oder krummen Flächen die Ziffern , 1 , 2 , . . . , 9 einmal 
oder mehrmals angebracht sind. Die Drehungsachsen der 



Hauptteile einer Rechenmaschine. 75 

Scheiben können parallel sein und in einer Ebene liegen 
(Pascal, Leibniz, Thomas), oder aber Mantel! inj en eines 
Zylinders bilden (Hahn, Müller usw.), oder endlich zu- 
sammenfallen, so daß die Ziffemscheiben sich, auf ge- 
meinsamer Welle nebeneinander befinden. Letzte An- 
ordnung (Odhner, Selling, Küttner, Bollee usw.) hat den 
Vorteil geringer Eaumbeanspruchung und leichten Über- 
blicks, da die Ziffern eng aneinander stehen. 

Die Zehner Übertragung ist eine Einrichtung der- 
art, daß, wenn irgend eine Zif femscheibe über die Stellimg, 
in der sie 9 zeigt, liinausgedreht wird, die Ziffernscheibe 
nächsthöherer Ordnung sich um eine Stelle weiterbe- 
wegt; diese Einrichtung kann so getroffen werden, daß 
sich diese AVeiterdrehung ganz plötzlich, vollzieht, oder 
aber so, daß bei jeder Drehung einer beliebigen Ziffern- 
scheibe die nächsthöhere sich ^/jq so schnell dreht, daß 
also bei einer vollen Umdrehung einer Scheibe die nächst- 
höhere sich um eine Ziffer weiterbewegt. 

Es sind vier Arten von Schaltwerken in Anwen- 
dung gekommen. Am häufigsten kamen Stufen- oder 
Staffelwalzen zur Anwendung; eine solche AValze ist 
ein Zylinder mit neun Zähnen von verschiedener Länge. 
Li der Regel ist für Einer, Zehner, Hunderter usw. je 
eine Stufenwalze vorgesehen. Solche AValzen verwandten 
Leibniz (siehe Abb. 6) und Hahn (siehe Abb. 9). Eine 
zweite Konstruktionsart verwendet Zahnräder, von deren 
Zähnen sich beliebig viele nach innen schieben und da- 
durch unwirksam machen lassen. Dieses Schaltwerk ver- 
wandte Odhner, Büttner, Küttner usw. (siehe § 4). Schalt- 
werke mit gezahnten Rädern, die, sobald von ihren Zähnen 
die gewünschte Zahl gewirkt hat, außer Eingriff mit den 
Zahnrädern, welche die Drehung der Ziffern Scheiben ver- 
mitteln, gebracht werden, hat z. B. der englische Tis- 



76 Rechenmaschinen. 

count Charles Mahan bei seiner im Jahre 1777 konstru- 
ierten, vorzüglich arbeitenden Maschine verwendet. Ebenso 
BoUee und Steiger. Endlich kann die Anordnung auch 
so getroffen werden, daß die Glieder des Schaltwerks sich 
mit verschiedener Geschwindigkeit bewegen. Diese Kon- 
struktion verwandte Selhng bei seiner Maschine vom 
Jahre 1886. 

Eine große Bedeutung für die Brauchbarkeit der 
Rechenmaschine hatte die Einrichtung der A^erlegbar- 
keit des Schaltwerkes gegen das Zählwerk (oder um- 
gekehrt); damit ist möglich, das 10-, 100-, . . .-fache einer 
beliebigen im Schaltwerk eingestellten Zahl durch eine 
einzige Handbewegung auf das Zählwerk zu übertragen. 
Die Verlegung erfolgt von Hand, mittels besonderer Kurbel 
oder mittels der schon vorhandenen Kurbel (Steiger). 

Zur Ermöglichung der Subtraktion trugen früher die 
Ziffernscheiben eine zweite (rote) Ziffernreihe in umge- 
kehrter Reihenfolge ; der Drehsinn der Elemente war daher 
stets derselbe. Später ging man zur Rückwärtsdrehung 
über und es fand diese die weiteste Verbreitung. Thomas, 
Bollee und jetzt auch Steiger drehen die Kurbel immer 
in demselben Sinne, bewirken aber durch ein Wende- 
getriebe, daß nach Einstellen eines Hebels oder eines 
Knopfes auf „Subtraktion" oder „Division" die Ziffern- 
scheiben des Zählwerkes ihre Bewegungen umkehren. 

Ein weiterer Maschinenteil ist das Nebenzählwerk, 
auch „Quotient" genannt. Dieses zeigt beim Multipli- 
zieren den Multiplikator, beim Dividieren den Quotienten. 

Eine weitere, sehr vorteilhafte Einrichtung für eine 
Rechenmaschine ist der sogenannte Auslöscher, durch 
diesen werden sämtliche Ziffernscheiben des Zählwerks in 
die Nullstellung gebracht. Die Auslöscher werden meist 
durch Hebel oder Knopf in Tätigkeit gesetzt. 



Die Thomassche Eechenmaschine. 



77 



Macht die Mascliine selbst einen Fehler, oder -wird 
ihr eine unmögliche Operation zugemutet, so ertönt ein 
Glocken Signal. 

Manche Maschinen werden mit Druckvomchtungen 
versehen; mechanischem Antrieb scheint man -«-eniger 
Beachtimg zu schenken. 

§ 3. Die Thomassehe Reehenmasehine. 

Da die Thomassche Eechenmaschine zu allen er- 
Aveiterten Additionsmaschinen die Grundlage abgegeben 
hat, sei eine kurze Beschreibung derselben gegeben. Zur 
Erläuterung diene unsere Abb. 11. 




Abb. 11. 



Die Maschine hat eine Reihe gezahnter AValzen mit 
horizontalen, parallelen Achsen a . Die erste Stufenwalze 
ist sichtbar*. Durch die Km*bel h imd die ersichtliche 
Triebachse und Triebräder werden die Walzen in Be- 
wegung gesetzt. Schräg über jeder Walze liegt eine 
zwischen ihren Zapfen c vierkantige Achse, auf der sich 



78 Rechenmaschinen. 

ein Zahnrädchen mit zehn Zähnen beliebig verschieben 
läßt. Die Stellung des Rädchens wird auf dem Deckel 
der Maschine durch einen Knopf mit Zeiger markiert. 
AVie leicht ersichtlich, steht es vermöge der ungleichen 
Länge der leistenförmigen Walzenzähne uns frei, das 
Rädchen bei einer Kurbeldrehung um neun oder weniger 
Zähne sich Aveiterbew^egen zu lassen; es hängt dies 
lediglich von der Stellung ab, die wir dem Rädchen 
geben. Auf der Skala neben dem Knopf auf dem Deckel 
läßt sich ablesen, um wieviel Zähne sich das Rädchen 
bei einer Kurbelbewegung weiterbewegt. Seine Be- 
w^egung überträgt dieses Rädchen durch Kegelgetriebe 
sofort auf ein Zifferblatt mit den 10 im Kreisumfang 
eingeschriebenen Ziffern bis 9, welches über dem ver- 
längerten Teil der vierkantigen Achse und unter dem 
Deckel horizontal angebracht ist, und von welchem stets 
nur eine Ziffer durch ein Schauloch im Deckel sichtbar 
wird. Wie aus der Abbildung leicht ersichtlich, läßt sich jede 
Ziffern Scheibe recht- oder rückläufig einstellen, je nach- 
dem man das vordere oder das hintere Kegelzahnrad auf 
der vierkantigen Achse in das Kegelzahnrad unter der 
Ziffernscheibe eingreifen läßt. Stellt man nun z, B. die 
Zeigerknöpfe von vier nebeneinanderliegenden Walzen 
der Reihe nach auf die Ziffern 1, 2, 3, 4, das Kegel- 
getriebe an der vierkantigen Achse durch den Stellhebel d 
auf Addition und zeigen die vier entsprechenden Ziffer- 
blätter Null, so erscheint nach einer Kurbeldrehung in 
den vier Schaulöchern des Deckels die Zahl 1234, nach 
einer zweiten Drehung das Doppelte, 2468. Um nun durch 
fernere Kurbeldrehungen auch das Drei- und Mehrfache 
der Zahl 1234 zu erhalten, ist eine Vorrichtung nötig, 
welche nach jeder vollen Umdrehung eines Zifferblattes 
das nächste zur Linken um einen Zahn weiterbewegt 



Einige moderne Rechenmaschinen. 79 

Das kann einfach durch einen Stift geschehen, der aus 
dem ersten Zifferblatt hervorragt und in die Zähne des 
nächsten dann eingreift, ^Yenn jenes zur Rechten eben von 
9 auf übergehen soll. Nur darf das Knke Zifferblatt nicht 
in Bewegimg sein, sonst wäre das Eingreifen des Stiftes 
wirkungslos. Es muß also noch dafür gesorgt werden, 
daß die Zähne jeder Walze ziu- Linken erst in das Zahn- 
rädchen des Vierkants eingi-eifen, wenn der Nachbar zur 
Rechten seine Bewegung schon vollzogen hat. Hierdurch 
wird die Konstruktion komphziert und wir wollen nicht 
weiter darauf eingehen. Der Teil des Deckels, welcher 
die Zifferblätter trägt, also das Zählwerk ist gegen die 
Zeigerknöpfe (Schaltwerk) verschiebbar, wodurch die 
schon früher erwähnte Multiplikation mit 10, 100 usw. 
durch eine Handbewegung möglich ist. Durch Umstellung 
des Stellhebels d ist es möglich, auch Subtraktionen und 
Divisionen vorzunehmen. Ein Neben zähl werk, das in der 
Abbildung nicht eingezeichnet ist, bringt den Quotienten zur 
Darstellung. Auch die Stellung des Kommas läßt sich 
durch Elfenbeinknöpfchen zwischen den Schaulöchern 
angeben. Durch einen Auslöscher lassen sich sämtliche 
Zifferblätter wieder auf Null stellen. 

§ 4. Einige moderne Rechenmaschinen. 

Der Arithmometer von Ingenieur A. Burk- 
hardt in Glashütte i. Sa. 

Biu-kliardt stellt die Thomassche Maschine in Deutseh- 
land seit 1878 her und hat sie seither bedeutend vervoll- 
kommnet, so daß die heutige Biu-khardtsche Maschine eine 
der vollkommensten Maschinen ist. Eine eingehende 
Beschreibung dieser Maschine hat Reuleaux in seiner 
Broschüre ,,Die sogenannte Thomassche Rechenmaschine" 



80 Rechenmaschinen. 

gegeben. Diese ist von derBurkhardtschen Fabrik (2,2 M.) 
zu beziehen. Wir fassen uns hier unter Verweisung auf 
jene Schrift sehr kurz. 

Die Staffelwalzen sind auf -|^|- ihrer Oberfläche voll- 
kommen zylindrisch, der übrige Teil von -,ß^ ist besetzt 
von 9 Zähnen verschiedener Länge, wie wir die An- 
ordnung bereits kennen. Thomas hatte den Trommelumfang 
in 22 Teile geteilt. Denkt man sich eine Mantellinie in 
10 Teile geteilt, so ist der längste Zahn 9 Teile lang usw. 
Diese Staffelwalzen greifen in ähnlicher Weise wie bei 
der Thomasschen Maschine in verschiebbare Zahnräder 
ein. Die sämtlichen Walzen stehen durch konische Eäder 
mit einer Längstransmission so in Verbindung, daß bei 
einer Umdrehung der Kurbel sich auch alle Walzen je 
einmal umdrehen. Die Zehner Übertragung und die ge- 
samte Inneneinrichtung ist sehr ausführlich in obener- 
wähnter Schrift erläutert. 

Eine andere Maschine ist die von ProfessorSelling 
(Universität Würzburg), hergestellt von Max Ott, mech. 
Werkstätte für Präzisionsmechanik in München. Nach 
Ott verdankt die Maschine ihre Entstehung der Absicht, 
die Mängel der Thomasschen Eechenmaschine — das ein- 
förmige Kurbeldrehen und die stoßweise erfolgende Zehner- 
übertragung — zu umgehen. Die Mascliine, die unsere 
Abb. 12 veranschaulicht, besteht aus zwei getrennten 
Mechanismen, welche während des Arbeitens in Ver- 
bindung miteinander gebracht werden. Dies sind: 1. die 
Nürnberger Schere mit den Zahnstangen und der Klaviatur 
zum Einstellen des Multiplikanden, 2. die Zahn- und 
Zahlenräder, alle auf einer gemeinsamen Achse drehbar, 
welche die Längsbewegung der Zahnstangen aufnehmen 
und dieselbe in eine rotierende verwandeln und zwecks 
der Zahnübertragung durch sogenannte Planetenräder 



Einigte moderne Rechenmaschinen. 81 

unter sich miteinander in Yerbindung gebracht sind; da- 
durch ist ein fehlerhaftes Funktionieren, ^'ie es bei 
Federungen vorkommt, ausgeschlossen. Das eigentliche 
Rechnen erfolgt durch Öffnen und Schließen der Nüi-n- 
berger Schere mittels des Handi-ings; die Größe dieser 
Bewegung ist durch den Multiplikator bedingt. 




Abb. 12. 

Die von Odhner (Petersburg) erfundene Rechen- 
maschine, die seit 1892 als „Brunsviga" in Deutsch- 
land vertrieben wird, hat an Stelle von Staffelwalzen 
Zahnräder, an welchen durch Einstellung von innen heraus 
nach Bedarf mehr oder weniger Zähne (von bis 9) 
wirksam gemacht werden können. Die Maschine steht 
anderen Konstruktionen an Zuverlässigkeit nach, hat aber 
doch große Verbreitung gefunden. 

Als leistungsfähigste erweiterte Additions- 
maschine bezeichnet Mehmke die Rechenmaschine 
von Küttner, Duplex-Rechenmaschine genannt. 
Sie wird gebaut vom Mechaniker W. Heinitz, Dresden, 

Mayer, Das Rechnen in der Technik. 6 



82 Rechenmaschinen. 

Lortzingerstr. 27. Küttner verwendet an Stelle der 
Stufenwalze ebenfalls ein Schaltrad mit neun radialen 
Einschnitten, die zur Aufnahme der verschiebbaren Zähne 
dienen. Die Zähne sind auf der einen Seite mit Stiften 
versehen, die sich in einem konzentrisch gebrochenen 
Schlitz der mit dem Schaltrad verbundenen Stellscheibe 
führen. Je nachdem diese Stellscheibe mehr oder weniger 
gedreht wird, tritt eine größere oder kleinere Anzahl von 
Zähnen aus der Peripherie des Schaltrades heraus. Ein 
selbsttätiges unerwünschtes Drehen der Stellscheibe wird 
durch, eine Sperrfeder Vorrichtung verhindert. Die Re- 
gistrierräder sitzen lose auf ihrer Welle auf und sind 
durch Stifte, die sich in eingedrehten Nuten der Welle 
führen, an der seitlichen Verschiebung gehindert. Um 
zu verhindern, daß durch die lebendige Kraft, die den 
bewegten Registrierrädern innewohnt, eine Rotation des- 
selben weiter fortgesetzt wird, als es den im Eingriff ge- 
standenen Zähnen entspricht, ist zwischen Schalt- und 
Registrierwerk ein eigenartiges Sperrwerk eingeschaltet, 
das eine absolute Zwangsläufigkeit der Registrierräder 
bedingt. Die Zehnerübertragung besorgt ein auf der 
Zahltrommel zwischen den Zahlen 5 und 6 angebrachter, 
dem nächsthöheren Schaltrad zugekehrter Stift. Dieser 
stößt bei der Drehung des Registrierrades an einen 
Hebel, der auf dem nächsthöheren Schaltrade einen so- 
genannten Zehnerzahn derartig stellt, daß er zum Ein- 
griff mit dem ihm zugehörigen Trieb kommt und diesen 
um einen Zahn dreht. Eine sehr eingehende Beschreibung 
findet der Interessent in Dinglers Polytechnischem Journal, 
77. Jahrgang, 300. Band (1896). 

Als eine sehr brauchbare Rechenmaschine bezeichnet 
man auch die Rechenmaschine von Otto Büttner. 
Eine Ansicht derselben gibt unsere Abb. 13. Die Maschine 



Die Multiplikationsmaschine von Egli. 



83 



hat keine Umsteuerung, da die Kurbel sich auch rückwärts 
drehen läßt. Der Quotient hat einen eigenen Auslöscher; 
im Stellwerk stehen die Ziffern immer in gerader Linie 
nebeneinander, so daß jede eingestellte Zahl bequem ab- 
gelesen werden kann; das Lineal L ist nach vorn ge- 
neigt, was die Übersicht ebenfalls erleichtert. Geliefert 
wird die Maschine von der Firma AV. Brückner in Dresden. 




Abi. 



§ 5. Die Multiplikationsmaschine von Egli (Pat. Steiger). 

Wie schon erwähnt wurde, hat Bollee die erste eigent- 
liche Multiplikationsmaschine konstruiert; die einzige 
heute im Handel befindliche Multiplikationsmaschine ist 
die Rechenmaschine „Millionär', Patent 0. Steiger, 
ausgeführt von Ingenieur Hans AV. Egli in Zürich II, 
Albisserstr. 2. 

Die Ansicht dieser Maschine zeigt unsere Abb. 14. 
Der Hauptvorteil der Maschine besteht darin, daß für 
jede Stelle des Multiplikators oder Quotienten nur eine 
einzige Kurbeldrehung auszuführen ist, während welcher 
sich die notwendige Verschiebung des Resultats automatisch 
vollzieht. Äußerlich sehen wir an der Maschine rechts 

6* 



84 



Rechenmaschinen. 



oben die Handkurbel, daneben befindet sich die Um- 
stellungsvorrichtung, mittels welcher man die Maschine 
für die verschiedenen Rechnungsoperationen (Addition, 
Multiplikation usw.) einstellt. Daneben ist oben das Ein- 
stellbrett mit seinen Knöpfen und Skalen angebracht, 
und in der linken Ecke sieht man den Multiplikations- 




Abb. 14. 



hebel. Die Reihe unter den Schlitzen der Einstellknöpfe 
ist eine Kon trollreihe. Die unterste Ziffernscheibenreihe 
zeigt die Resultate, die darüber befindliche, also mittlere 
Ziffernscheibenreihe ist eine Konti'ollreihe für die 
Stellung des Multiplikationshebels. Die beiden rechts 
befindlichen Knöpfe führen die Ziffernscheiben in die 



Die Multiplikationsmaschine von Egli. 85 

Nullstellung ziuück, mittels des größeren Knopfes links 
^\i^d das Registrierwerk yerschoben. 

An der Rechenmaschine „Millionär" lassen sich drei 
Hauptmechanismen unterscheiden: 

a) der Multiplikationsmechanismus, 

b) der Übertragmigsmechanismus, 

c) das Registrier werk, das seinerseits in zwei Teile 
zerfällt, wovon der eine die Produkte aufzeiclmet, während 
der andere den Multiplikator registriert imd nicht absolut 
notwendig ist. 

Der Multiplikationsmechanismus besteht aus dem so- 
genannten Einmaleinskörper und seiner Einstell Vorrichtung, 
welche ihm eine BewTgimg in vertikaler, in horizontaler 
Längsrichtung und in horizontaler Querrichtung gestattet. 
Der Einmaleinskörper besteht aus neim Zungenplatten, 
wovon : 

die erste die Produkte von 1 bis 9 mal die Zahl 1 

19 "> 



„ neunte,, „ „ 1 „ 9 „ „ „ 9 

enthält, wodurch also das ganze Einmaleins dargestellt 
ist. Jedes dieser Produkte ist durch zwei Zungen aus- 
gedrückt, wovon die eine den Zelmerwert, die andere den 
Einerwert des in Frage stehenden Produkts durch die 
entsprechende Anzahl Längeneinheiten repräsentiert. 
SämtHche Zehnerwerte einer Zungenplatte bilden eine 
Gruppe für sich, ebenso sämthche Einerwerte. Es wirken 
diese Gruppen nacheinander auf den Übertragungs- 
mechanismus und das Registrierwerk. Der Übertragungs- 
mechanismus besteht aus neun parallel liegenden Zahn- 



86 Rechenmaschinen. 

Stangen und aus den quer darüber gelagerten Achsen, 
an denen Zahnrädchen mittels Einstellknöpfe verschoben 
und dadurch mit irgend einer der neun Zahnstangen in 
Eingriff gebraclit werden können. Die Einstellung erfolgt 
nach dem Wert der betreffenden Multiplikandenstelle. 
Auf diesen Achsen sitzen ferner, in der Achsenrichtung 
verschiebbar, je ein Paar Kegelrädchen, welche die der 
Längsbewegung der Zahnstangen entsprechende Drehung 
der Zahnrädchen auf das Registrierwerk übertragen, so- 
wohl in positivem Sinne bei Multiplikation, als in nega- 
tivem Sinne bei Division. Durch entsprechende Ein- und 
Ausrückungsmechanismen werden diese Kegelrädchen 
periodisch mit dem Registrierwerk in und außer Eingriff 
gebracht, so daß nur die Bewegung der Zahnstangen beim 
Verschieben übertragen wird, während das Zurückführen 
derselben das Registrierwerk nicht beeinflußt. Die Enden 
der Zahnstangen liegen entwederderZehner- oder der Einer- 
gruppe der Zungen einer Zungenplatte gegenüber. Der 
Wechsel der Gruppen wird durch die kleine horizontale 
Querverschiebung des Einmaleinskörpers besorgt, während 
die Einstellung der verschiedenen Zungenplatten durch 
Yerschieben des Multii^likatioushebels längs einer Skala 
erfolgt. Nach Übertragung der Zehnerwerte wird das 
Registrierwerk automatisch um eine Stelle nach links zu 
verschoben. 

Der Preis dieser äußerst empfehlenswerten Maschine be- 
beträgt 1050 M., was gegen die andern Rechenmaschinen 
wohl viel ist; beachtet man aber die große Zeitersparnis, 
die mit dieser ^[aschine erzielt werden kann, so ist die 
Maschine sehr billig zu nennen. 



Graphische Addition. 87 

Kapitel IV. 

Die Grimdoperationen des graphischen 
Rechnens. 

Das grapliisclie Rechnen ist der Inbegriff aller Methoden 
zur Lösung von Aufgaben der Analysis durch Konstruk- 
tionen, die durch Lineal, Zirkel, Maßstab und andere 
Zeichengeräte ausführbar sind. Im allgemeinen stellt 
man hierbei die reellen Zalilengrößen durch Strecken dar. 
die nach einem gewöhnlichen oder auch nach einem 
logarithmischen Maßstab aufgetragen sein können. Die 
Vorzüge der graphischen Methoden bestehen hauptsächlich 
in ihrer Anschaulichkeit imd ihrer bequemen Ausführbar- 
keit; auf der andern Seite ist ihre Genauigkeit eine be- 
schränkte. Manche Aufgaben der Analysis sind überhaupt 
nur graphisch lösbar, bei andern bietet die graphische 
Lösung eine willkommene Ergänzung zur analytischen. 
Im folgenden seien zunächst die Grundoperationen 
graphisch gelöst; bei diesen treten die Vorteile der 
graphischen Methoden noch nicht so sehr zutage. 

A. Gleicliinäßig geteilter Maßstab. 

§ 1. Graphische Addition. 

Unter graphischer oder geometrischer Addi- 
tion versteht man die Aneinanderreihung von Strecken 
nach Größe, Richtung und Sinn in der Weise, daß jedes- 
mal der Endpimkt der vorhergehenden Strecke den An- 
fangspunkt der nächstfolgenden bildet. Die Summe erhält 
man. indem man den Anfangspunkt des sich ergebenden 
Linienzuges mit dessen Endpunkt verbindet; diese Ver- 
bindungslinie stellt die Summe aller Strecken des Zuges 



88 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 

dar. Sie heißt auch Eesultante zu den gegebenen Strecken, 
die dann Komponenten heißen. 

Aus dieser Definition ergibt sich sofort, daß die Summe 
einer gegebenen Anzalü von Strecken Null ist, wenn sich 
der aus den Strecken konstruierte Linienzug schließt. 
Hinsichtlich der Lage können die zu addierenden Strecken 
folgende verschiedene Fälle aufweisen: 

1. die Strecken haben gleiche Eichtung. d. h. sie sind 
parallel ; 

2. die Strecken haben verschiedene Richtung, liegen 
aber in einer Ebene oder sind zu dieser Ebene parallel ; 

3. die Strecken haben verschiedene Richtung im Raum. 
Im Fall 1 werden die Strecken auf ein und derselben 
Geraden nach ihrem Sinn aneinandergereiht; die Strecke 
zwischen dem Anfangspunkt der ersten Strecke und dem 



2 1 3 

H \ ) h 



Abb. 15. 

Endpunkt der letzten Strecke bildet die Summe der ge- 
gebenen Strecken. Zur Erläuterung diene unsere Abb. 15 ; 
Ol stellt die Strecke ^i , 12 die Strecke Zg ^nd 23 die 
Strecke l^ dar; 03 ist die Summe, es ist: 
03 = /^ + /^ + Z3 . 

Zur Erläuterung des zweiten Falles diene unsere Abb. 1 6. 
Es seien gegeben die Strecken /j , /g , /g , /^ und l^ ; die- 
selben sollen alle in der Zeichnungsebene liegen oder zu 



Graphische Addition. 89 

derselben parallel sein; man bilde die Summe der ge- 
gebenen Strecken. Man geht von einem Anfangspunkt 
aus und konstruiert aus den gegebenen Strecken den 
Linienzug 012345, indem man durch den Anfangs- 
punkt , bzAv. dm-ch den Endpunkt der unmittelbar voran- 



■^ — I 



A 




Abb. 16. 

gehenden Strecke Parallelen zieht zu den gegebenen 
Strecken und diesen Paiullelen dieselbe Größe und den- 
selben Sinn gibt wie jenen. Die Schlußlinie des polygonalen 
Zuges stellt die gesuchte Summe nach Größe imd Kichtung 
dar; in unserer Abbildung ist also: 



90 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 

Das Summiemngspolygon 012345 gibt aber nicht nur 
die Gesamtsumine der gegebenen Strecken, sondern auch 
die Partialsummen der einzelnen Strecken. So ist z. B. 02 
die Summe von l^ und /g Dach Größe und Eichtung, oder 
es ist ferner: 

Öi = /i + ^2 + ^3 + ^4 • 
Die Summe von zwei oder mehreren Summanden 
bleibt indes ungeändert, wenn man die Reihenfolge der 
Summanden beliebig ändert. In unserer Abbildung bildet 04 
die Summe von /j , /g , /g und l^ ; genau dieselbe Strecke 04 
erhalten wir als Summe durch die Reihenfolge ^i , ^4 , ^2 ? ^3 ? 
wie aus der Abbildung deutlich hervorgeht. Wir finden also 





1' 


^H 




u >-^ 




n ; ; 


' . a"- 


JH;- 






/ ^ ^ 


^ru 



Abb. 17. 

auch im graphischen Rechnen den Satz bestätigt, daß für 
das Ergebnis der Addition die Reihenfolge der Summanden 
gleichgültig ist. 

Liegen die Strecken beliebig im Räume, wie dies der 
Fall 3 vorsieht, so sind zur Bestimmung der Lage und 
Größe dieser Strecken bekanntlich zwei Projektionen 



Graphische Subtraktion. 91 

derselben nötig. Man verschafft sich daher die beiden 
Projektionen /(, l^, li, . . . und /(% l^' , ^' , . . . ; kon- 
struiert die beiden Projektionen des Summenpolygons 
0' 1' 2' 3' . . . und 0'' \" 2" %" . . . Durch die beiden 
Projektionen ^' n' und ^" n" der Schlußseite 0« ist dann 
die Summe der gegebenen Strecken, d.h. n Tollkommen be- 
stimmt (vgl. darstellende Geometrie). Dieser Fall ist in unse- 
rer Abb. 1 7 zur Darstellung gebracht, die verständlich sem 
dürfte; 04 ist die walire Gröi3e der Summenstrecke. 

§ 2. Graphische Subtraktion. 

Da die Subtraktion eine Addition mit umgekehrtem 
Yorzeichen oder graphisch eine Addition im entgegen- 
gesetzten Sinne ist. so erledigt sich diese Operation von 



■f 



1 

Abb. 18. 

selbst. Ist \ — l^ zu bilden, so hat man an den Minuend \ 
den Subtrahend l^ in entgegengesetztem Sinne anzureihen ; 
in unserer Abb. 18 ist Ö2"= /^ — /^ . 

§ 3. Graphische Addition und Subtraktion von Brüchen 
oder Verhältnissen. 

Als Yoraufgabe ist für diese Operationen die Auf- 
gabe : — auf einen beliebigen Nenner n zu bringen, zu lösen. 



92 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 

Bezeichnen wir den gesuchten Zähler mit x , so er- 
gibt sich aus der Gleichung: 



oder: 



a X 
b n 

a'.h = x\n 



Y2- 

32 



33 



\ 






■rr 



^ 63 02 bi 



> 



/ 



y 



Abb. 19. 



daß ic die vierte geometrische Proportionale zu a^ b und n 
ist. Wir konstruieren diese nach bekannter Weise; wir 
tragen auf einem Winkelschenkel vom Scheitel aus den 



G-raphische Multiplikation. 93 

Zähler a ab und auf dem andern Schenkel die Nenner h 
und n ; verbinden a mit h und ziehen durch n eine Par- 
allele n X , dann ist x der gesuchte Zähler, wenn der 
Scheitel ist. 

Hieraus ergibt sich ohne weiteres die graphische Kon- 
struktion der algebraischen Summe einer Anzahl von 
Brüchen; In nebenstehender Abb. 19 ist die Summe: 

^ , ö^ _ «3^ _ ^'i -^^2—^z ^ ^ 
\ b.2 ^3 n 71 

graphisch gebildet. 

§ 4. Graphische Multiplikation. 

1. Es seien zwei Verhältnisse miteinander zu multi- 
plizieren, also ein Produkt zu bilden von der Form: 

b^ bo 71 ' 

Zur Lösung dieser Aufgabe gibt es verschiedene Kon- 
struktionen ; wir geben nur eine, und zwar eine sehr ge- 
bräuchliche wieder. 

Man trägt in einem rechtwinkligen Koordinatensystem 
die Nenner bj^ und feg als Abszissen (vom Anfangspunkt 
an) auf und die Zäliler als zugehörige Ordinaten. In 
imserer Abb. 20 sei Ofe^ = fe^ , Ob.^ = b^ ; b^ a^ = a^ und 
b^ a^ = 02 . Durch a^ und Og ziehen wir die radii vectores 
L^ imd Xo . Nun wählen wir eine beliebige Abszisse Ox^, 
errichten die Ordinate x^y^ = y^ und machen Ox^ = 2/i ) 

1/ 
dann errichtet man x^ y^ = 2/2 ^^^^ — ist das gesuchte 

Proflukt. ^ ^ 



94 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 

Beweis: Es ist: 

uDd: 

A «2 ^2 <^ ^ö 2/2 ^2 J 

also bestehen die Proportionen: 

«1 ^1 2/1 ^1 







Ob, 


Ox, 




oder abgekürzt 


geschrieben ; 












Vi 




und ferner: 




«2 


^2 * 




Hieraus ergibt 


sich: 














~ X,' X^ 




Xun ist aber: 










folglich: 




^2 = 


= Vi , 






«1 


«2 Vi ' 2/2 


lä. 




b,' 


h ^ 


^1 • 2/1 


X, ' 



Wählen wir nun das beliebige ir^ gleich der Konstruktions- 
einheit, so erhalten wir: 

also gleich einer Strecke. 



Graphische Multiplikation. 



95 



Hat man das Produkt aus einer Eeihe von Yerhält- 
nissen zu bilden, so hat man obisres Yerfahren einfach 



wiederholt anzuwenden. Das gesuchte Produkt ist 
oder wenn 3\ = 1 gemacht wird, gleich y^ . 



Vr 




Abb. 20. 



2. Es sei das Produkt aus mehreren gegebenen 



Strecken a. , a^ , a 



3 ' • 



zu bilden. 



Man hat hier nur zu bedenken, daß «^ = — , ^o = — 

usf., und man verfährt dann nach obiger Konstruktion. Zu 
demselben Auskunftsmittel greift man, wenn man eine 
Anzahl von Verhältnissen mit einer Anzahl von Strecken 
zu multiplizieren hat. 



96 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 

Ist nur ein Verhältnis mit eiuer Strecke zu multi- 
plizieren, also das Produkt zu bilden: 

a 

SO kommt man mit einer einfacheren Konstruktion zum 
Ziel; es ergibt sich nämlich: 

b ~ c ' 

so daß y die vierte geometrische Proportionale zu a, 6 
und c ist, welche nach bekannter Weise konstruiert wird. 

3. Hat man ein gegebenes Verhältnis — mit einer 



Reihe von Strecken q , Cg , Cg , . . . , c„ zu multiplizieren, 
so hat man zu je drei der gegebenen Strecken die vierte 
geometrische Proportionale zu konstruieren. Man trägt 
a und b als zusammengehörige Ordinaten auf und erhält 
dann durch den Radiusvektor jedes zu c gehörige y. 
Diese Methode leistet gute Dienste für Umwandlungs- 
tafeln. Es sei z. B. eine Reduktionstafel von Zoll in Milli- 
metern herzustellen. Das Verhältnis ist: l'' = 26,154mm. 
Tragen wir nun eine Abszisse = 1 auf und in ihrem End- 
punkt eine Ordinate von der Länge 26,154 und ziehen 
durch den Endpunkt dieser Ordinate einen Radiusvektor, 
so erhalten wir zu jedem Zollmaß als Abszisse aufgetragen 
den "Wert in Millimetern durch die Länge der zu der 
Abszisse gehörigen Ordinate. 

§ 5. Graphische Division. 

Da die Division die Umkehrung -^ und zwar die 
einzige — der Multiplikation ist, so verwandle man jede 



Graphisches Potenzieren. 97 

_Di%'ision in eine Multiplikation und verfahre nach den in 
§ 4 gemachten Regeln. Ist z. B. zu bilden : 



so hat man: 



?! «2 öj ^2 



^1 ^2 ^1 ^2 

was nach § 4 leicht konstruiert -werden kann. Spezielle 
Fälle kann man sich, leicht selbst zurechtlegen. 

§ 6. Graphisches Potenzieren. 

1. Es soll die n-te Potenz eines Yerhältnisses — 

b 

gebildet werden. Man verfährt nach der in § 4 gegebenen 

Regel für Multiplikation so oft, als n angibt. In unserer 

Abb. 21 konstruieren wir (— ^) • Es ist: 0^ = 6, 

ba = —a . Ox^ wähle ich beliebig, eventuell gleich der 
Konstruktionseinheit. Ich mache Ox^ =.r^y^ (negativ I) 
und errichte x^ 2/2 = 2/25 ^^^ ^s ist: 

-« _ -2/1 
b Xi 



(^)i^H^1 






Nim mache ich 
und errichte 



imd es ist: 



^^ys = 2/3 



(Tri^)-!^)"-^-^""- 



Mayer, Bas Rechnen in der Technik. 



98 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 



Ist ein Yerhältnis zu einer negativen Potenz zu er- 
heben, so mache man Grebrauch von der Formel: 



[bj - Tay - [~^) ' 




Abb. 21. 

2. Die n-te Potenz von Streclven kann man auf die- 



selbe Weise erhalten, indem man 



„.=(!)" 



setzt und 



ebenso verfährt wie unter 1. 

Die einfachste Konstruktion der Potenzen von Strecken 
erhält man jedoch mittels der logarithmischen Spirale. 
Reiht man in Abb. 22 eine Anzahl ähnlicher Dreiecke 
aneinander, so zwar, daß die bei liegenden Winkel 
a , öCj , (X2 usw. einander gleich sind und jede durch den 
gemeinsamen Scheitel gehende Seite zwei Dreiecken 
gemeinsam ist, so entsteht, wenn die AVinkel oc unendlich 



Graphisches Potenzieren. 



99 



klein ^'erden^ ans dem Polygon A B CD . . . eine Kurve, 
die man logarithmische Spirale nennt. Es leuchtet 
sofort ein, daß die Gleichung gilt: 



Setzt man den AVert dieses kon- 
stanten Verhältnisses gleich c , 
so Avird: 

^1 = ^0 • c ; 



lo-G = Iq'C^ 




Abb. 22. 



usw. "Wählen ^'ir /q = 1 , so 
ist c = /j und es wird: 

h = ri 

usf., d. h. die aufeinander- 
folgenden Leitstrahlen bilden 
die Potenzen von /^ , wenn sie 
miteinander denselben "Winkel x bilden, welchen /^ mit 
/o = 1 bildet. 

Die Konstruktion der logarithmischen Spirale läßt sich 
wie folgt bewerkstelligen. Man trage /q auf einer Ge- 
raden ab (siehe Abb. 22 a) und beschreibe bei diesem Ab- 
tragen einen größeren Kreisbogen ; auf diesem trage man 
von /q aus /^ als Sehne ab, wodurch der Yerhältniswinkel 99 
bestimmt ist. Beschreibt man nun mit /^ als Eadius den 
Ivi-eisbogen um 0, so erhält man J^ usw. Trägt man dann 



100 Grundoperationen des graphischen Rechnens. 

diese Leitstrahlen l^ , l^ usw. nach. Abb. 22 auf und wählt 
hierbei oc möglichst klein, so erhält man die gesuchte 
Spirale, Die Punkte unter /q erhält man, indem man in 
einer Hilfsfigur mit l^ einen Kreisbogen beschreibt (siehe 
Abb. 22 b) und l^ als Sehne aufträgt usw. Hat man nun l^ zu 





Abb. 22 a. 

konstruieren, so diu-chschneide man die Spirale von 
aus mit den Eadien 0A= 1 und OB = l^, verbinde 
die erhaltenen Durchschnittspunkte Ä und B mit und 
trage den hierdurch erhaltenen Winkel w-mal im Kreise 
herum; dann ist der zunoc gehörige Leitstrahl ON = l^ . 



Hat man 



( — ) zu konstruieren, so bilde man —= ~ 

und konstruiere y'^ . Für a~" hat man den Winkel n • (X 
in entgegengesetzter Richtung zu bilden. 

§ 7. Graphisches Radizieren. 

Mit Berücksichtigung des vorigen Paragraphen ergibt 
sich folgende Regel. 
Hat man zu bilden 



Logarithmischer Maßstab. 101 

so durchschneide man die Spirale von aus mit der 
Einheitsstrecke OA und mit der Strecke OB = /^ , ver- 
binde die beiden Schnittpunkte A und B mit und teile 
den von diesen Strahlen eingeschlossenen "Winkel in 
n gleiche Teile. Der durch den ersten Teilstrich gehende 
Leitstrahl gibt die gesuchte Wurzel. 

Aus der Planimetrie ergeben sich für manche Spezial- 
fälle einfache Konstruktionen, die wir in Hinweis auf 
Nr. 41 dieser Sammlung als bekannt voraussetzen dürfen. 

B. Logaritlmiisclier Maßstab. 

Den logarithmischen Maßstab haben wir hinreichend 
bei der Beschreibung des gewöhnlichen Rechenschiebers 
kennen gelernt; jeder logarithmische Rechenschieber ist 
aus logarithmischen Maßstäben zusammengesetzt. Die 
Rechenoperationen des Multiplizierens, Di\idierens, auch 
die des Potenzierens und Radizierens bieten uns keinerlei 
Schwierigkeit. Es ist nur noch einiges zu erwähnen über 
die Aufgabe, die zum Logarithmus der Summe zweier 
Größen gehörige Strecke Oc zu finden, wenn die Loga- 
rithmen der beiden Größen als Strecken, nicht aber ihre 
Zahlenwerte gegeben sind. Es soll also: 

Oc = log{oc-hß) 

gesucht werden, wenn: 

Oa = logoc 

Ob = logß 

gegeben sind, nicht aber oc und ß. 
Setzen wir nun: 

o 

ab = log/^ — logoc = log— = log^ , 



102 G-rundoperationen des graphisclien Rechnens. 

so wird: 

i c = log{(X -{- ß) — logt — logoc 

= log^l 1 + — 1 — log/ — log^ 

= log^ + log(l + t) — logt — logoc 

= logl±l = log(l + l). 




II 



Abb. 23. 



Zeichnet man daher im voraus für die Längeneinheit 
des Grundmaßstabes eine „Additionskurve", deren 
Punkte man durcli Auftragen zusammengehöriger Werte 



Graphisch-mechanische Flächenbestimmung. 1*03 

Yon logt und logl 1 + — ) als Abszissen und Ordinalen 

erliält, so hat man, um den Punkt c zu finden, bloß die 
Strecke ab mit dem Zirkel auf der Abszissenachse der 
Additionskiu-ve abzutragen, die zugehörige Ordinate ab- 
zugreifen und bc gleich dieser zu machen. Bequemer 
ist noch die Anwendung des logarithmischen Zirkels 
von Prof. E. A. Brauer in Karlsruhe. Unsere Abb. 23 
Teranschaulicht denselben. Dieser mit drei Spitzen I, 11 
und in versehene Zirkel ist so eingerichtet, daß, wenn 
zwischen die Spitzen I und II eine Strecke gefaßt, deren 
Länge — mit einem Maßstab von 50 mm Längeneinheit 
gemessen — gleich, log^ ist, der Niunerus t auf dem Teil- 
bogen abgelesen werden kann, während die Spitzen II 



('+') 



und m sich, von selbst auf die Entfernung log 1 1 -f 

einstellen. Man setzt also für unsere Aufgabe die Spitze I 
auf a , öffnet, bis II auf b steht, dann gibt die dritte Spitze 
den Punkt c. Mit denselben Rütteln lassen sich auch 
Log-arithmen subti*ahieren. 



Kapitel V. 
Graphisch-mechanische Flächenbestimmimg. 

AVir beschränken uns in diesem Kapitel lediglich auf 
Berechnungen unregelmäßiger Flächen, die in Plänen 
aufgezeichnet sind, und erwähnen auch hier nur kiu-z die 
wichtigsten Hüfsinstrumente, da der Stoff dem Plan des 
vorliegenden Bändchens schon ferner liegt. Ist ein Poly- 
gon zu berechnen, so leistet die Verwandlung desselben 



10^ Graphisch-mechanische Flächenbestiinmiing". 

in ein inhaltsgleiches Dreieck — nach bekanntem geo- 
metrischen Verfahren — sehr gute Dienste. Zur Er- 
leichterung dieser Yerwandlungen hat Yermessungs- 
inspektor Hoff mann ein Hilfsinstrument — das Hof- 
mannsche Yerwandlungsplanimeter — konstruiert. 
Das Instrument besteht aus einem Lineal, an welches 
sich ein Arm anlegt, dessen Drehpunkt in die obere Kante 
des Lineals fäUt. Mit dem Arm ist ein Ring fest ver- 
bunden, der sich bei der Drehung in einem an dem Lineal 
befestigten Ringe bewegt. Auf den beweglichen Ring 
drückt ein Hebel durch die Wirkimg einer Feder, welche 
unter demselben angebracht ist; soll aber der Arm frei 
bewegt werden, so wird die Hemmung diu-ch den Druck 
auf das Ende des Hebels aufgehoben. Eine Gebrauchs- 
anleitung ist enthalten in der Zeitschrift für Vermessungs- 
wesen, Jahrgang 1874. 

Ein Näherungsverfahren besteht bekanntlich darin, 
daß man ein Netz von Parallelen (Fadennetz, „Harfe") 
auf die zu messende Fläche legt; man ermittelt dann die 
Summe der in der Mitte zwischen den Netzlinien ge- 
messenen Längen der entstehenden Streifen durch Ab- 
greifen und mechanisches Addieren mit dem Zirkel, so 
daß man durch Multiplikation dieser Smnme mit dem 
Abstand der Parallelen die Fläche erhält. Man hat hierzu 
auch Additionszirkel konstruiert, welche bis zu einem 
festen Anschlag eine konstante runde Länge geben und 
durch ein Zählrädchen die Anzahl der vollen Anschläge 
zählen. 

Zeichnet man die zu berechnende Fläche auf Milli- 
meterpapier, etwa im Maßstab 1 : 100, so hat man ein- 
fach die mittleren Höhen der Flächenstreifen mechanisch 
mit dem Zirkel zu addieren und kann direkt mittels der 
erhaltenen Zirkelöffnung auf dem Papier den gesuchten 



Graphisch-mechanische Flächenbestimmung. 105 

Inhalt abstechen (Zirkeladdition), Mittels dieser 
Methode rechnet der Straßen- und Eisenbahnbautechniker 
den Inhalt seiner Querprofile zur Erstellung der Erd- 
berechnung. Man kann die Zeichnung, wenn sie nicht 
auf Millimeterpapier gefertigt ist, auch mit einer Glas- 
platte, die ein Quadratnetz trägt, bedecken und wie oben 
verfahren. 

Zur Berechnung von unregelmäßigen Figuren, wie 
Diagrammen, Konstruktionsrissen von Schiffen usw., ver- 
wendet der Techniker Umfahrungsplanimeter. Das 
bekannteste und verbreitetste Planimeter dieser Art ist 
das Amslersche Polarplanimeter, das von J. Amsler 
1856 erfunden wurde. Gebaut ^vird dasselbe in ver- 
schiedenen Ausführungsformen von der Firma J. Ams- 
ler-Laff on & Sohn in Schaffhausen in der Schweiz. 
Wenn größere Genauigkeit verlangt wird, wie dies in der 
Geodäsie und im Schiffsbau häufig verlangt wird, so ver- 
wendet man mit Vorteil Amslers Scheibenlinear- 
planimeter oder Coradis Kugelrollplanimeter. 
Diese Instrumente sind in jedem Lehrbuch der Ver- 
messungskunde besclmeben (vgl. auch mein Büchlein: 
Das mechanische Rechnen des Ingenieurs). 

Ein Instrument, welches durch einmaliges Umfahren 
nicht nur den Flächeninhalt, sondern auch das statische 
und das Trägheitsmoment der umfahrenen Fläche in bezug 
auf eine beliebige Gerade gibt, ist das Integrometer 
oder der Integrator der Firma Amsler-Laffon & Sohn. 

Die gebräuchlichste Form des Integrators zeigt unsere 
Abb. 24. Der Integrator besteht aus einem Wagen, dessen 
beide scharfkantige Eäder in der geraden Nut eines 
Führungslineals laufen, in welcher sie vermöge der 
gleichmäßigen Belastung durch das Instrument selbst 
und das Gegengewicht gehalten werden. Der Wagen 



106 Graphisch-mechanische Flächenbestimmung. 

trägt auf einem rahmenartigen Gestell drei ineinander- 
greifende Zahnräder, die um Achsen senkrecht zur 
Zeichenebene drehbar sind. Die Durchmesser der Zahn- 
räder verhalten sich me 3:2:1. An dem mittleren 
Rade ist eine Stange befestigt, welche einen Fahrstift 
trägt, mit dem die zu messende Figur umfahren wird. 
An der Stange und den beiden äußeren Zahnrädern sind 
die Rollen A , J und M angebracht. Die Achse von Ä 



# 








y 


' — ^ 




—j-^ 




J 


1 


\ ^^^t 


, 



Abb. 24. 

ist parallel zur Stange. AVird die Stange in eine zur Nut 
des Lineals parallele Lage gebracht, so ist die Achse der 
Rolle 31 senkrecht, die der Rolle J parallel zur Nut. Die 
bei der Verschiebung des Wagens vom Mittelpunkt des 
mittleren Zahnrades beschriebene gerade Linie ist die 
Achse X — X, auf welche sich die Momente beziehen. 
Während Planimeter und Integrator durch umfahren 
einer Figur mit dem Fahrstift das Ergebnis der hier- 
durch erfolgten mechanischen Integration, also den Flächen- 
inhalt der Figur in einer an der Meßrolle ablesbaren Zalü 
anzeigen, zeichnet der Integraph der Firma G. Coradi 
in Zürich während des ümfahrens der Figur eine Kurve 



Funktionsskalen. 107 

auf, aus welcher nicht nm- das Endergebnis, sondern 
auch der Verlauf der Integration ei*sichtlicli ist. Die 
aufgezeichnete Kurve heißt die Integralkurve zu der 
durchfahrenen Kurve, die ihrerseits die DifferentiaLkurve 
heißt. Näheres ist aus der Beschreibung der Firma er- 
sichtlich. 

Zum Schluß sei noch erwähnt: Für Auswertung von 
Indikatordiagrammen wird in letzter Zeit vielfach der 
Wildasche Flächenmesser besonders empfohlen, der 
im Verlag Jänecke in Hannover erschienen ist. Er be- 
steht aus einer Tafel von durchsichtigem Zelluloid, die 
mit einem Quadratnetz bedruckt ist; er ist dem Harfen- 
planimeter nachgebildet, hat jedoch diesem gegenüber 
den Vorteil einfacherer Handhabung imd macht Zirkel 
und Maßstab entbehrlich. Daß seine Angaben dem eines 
Amslerschen Polarplanimeters ebenbürtig sind, möchte 
Verfasser dahingestellt sein lassen; füi' langgestreckte 
Diagramme mag er gute Dienste leisten. Sein Preis be- 
trägt einschließlich Gebrauchsanweisung 2 Mark. 



Kapitel VI. 

Graphische Darstellung von Funktionen und 
graphische Tafeln. 

§ 1. Funktionsskalen. Rechentafeln mit vereinigten 
Skalen. 

Es liege die Funktion vor: 

y = f{^) • 
"Wir geben hierin der unabhängigen Variabein x Werte (X , 
die in arithmetischer Progression fortschreiten; die Funk- 



108 Graph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

tionswerte y ^= c» f{x) , worin c eine beliebig zu wählende 
Konstante bezeichnet, tragen wir als Abszissen auf einer 
Geraden von einem Nullpunkt aus auf. Die Teilpunkte 
bezeichnen wir durch Striche; an diese schreiben wir 
aber nicht die Funktionswerte an, sondern die Werte 
von oc . Das hierdurch entstehende Schaubild heißt eine 
Skala der Funktion y = f{x) oder eine Funktions- 
skala (echelle de la fonction). Die wichtigsten beson- 
deren Arten von Funktionsskalen sind folgende: 

(1) y = f(x) = X, 

(2) 2/ = f{^) = log^z: , 

Die durch (1) definierte Skala heißt die gewöhn- 
liche, gemeine oder reguläre Skala, (2) gibt die ims 
bekannte logarithmische Skala, (3) umfaßt die so- 
genannte projektive Skala. Sie ist eine beliebige 
Zentralprojektion einer geradlinigen gemeinen Skala; in 
der Perspektive ist sie bekannt unter der BezeichnuDg 
„perspektivischer Maßstab". 

In der gemeinen Skala (1) stimmen Arguments- und 
Funktionswert überein. Ist daher mit einer Skala 
y = f{x) die zugrunde liegende gemeine Skala auf der- 
selben Linie nach der andern Seite verzeichnet, so kann 
man gegenüber der Stelle der ersten Skala, an welcher 
irgend ein AVert x steht , den Wert von y = f{x) ablesen 
und umgekehrt kann zu jedem Funktionswert das Argu- 
ment abgelesen werden. Wir erhalten nach dieser Me- 
thode also auf einfache Weise graphische Tafeln. 



Funktionsskalen. 



109 




Abb. 25. 



Tafeln dieser Art sind die graphischen Logarith- 
men-Tafeln von Oberingenieur Anton Tichy. Wir 



110 Graph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

geben einen Bruchteil der Tafel der gemeinen Logarithmen 
aus Tichys Tafeln in unserer Abb. 25 wieder; wir können 
aus diesem Teil z. B. direkt ablesen: log4 = 0,60206. 
An die gemeinen Logarithmen schließt Tichy noch ver- 
schiedene weitere graphische Tafeln an, so Logarithmen- 
tafeln der trigonometrischen Tafeln, eine Tafel für compl. 
logcos^öc , eine Sehnentafel für den Radius 100, die vor- 
zugsweise zum Messen aufgezeichneter AVinkel dient. 
Man trägt auf beiden Winkel schenkein vom Scheitel aus 
100 mm auf und mißt den Abstand beider Punkte in Milli- 
metern; mit diesem sucht man in der Tafel den zugehö- 
rigen Winkelwert. Eine weitere Tafel trägt den Titel: 
„G-radteilung der Achteckseite für Eadius 200". Sie dient 
zum Zeichnen von Winkeln auf dem Papier nach gege- 
benem Gradmaß. Werden die beiden Bogenenden eines 
Oktanten von 200 mm Eadius durch eine Sehne ver- 
bunden, so ist dies die reguläre Achteckseite. Denkt 
man sich am Oktantenbogen alle 45 Grade mit Untertei- 
lung jedes Grades von 0,05^ zu 0,05^ oder von 3' zu 3' 
aufgetragen und Radien durch die Teilpunkte gezogen, 
so schneiden alle diese Radien auf der Achteckseite be- 
stimmte Strecken ab; die linke Seite der Skala enthält 
das Gradmaß, die rechte ebendiese Strecken vom An- 
fangspunkt der Achteckseite an gerechnet. Die weitere 
„Tafel der Kreisbogenlängen für den Radius 1" dient 
zur Bestimmung von log sin oder log tang sehr kleiner 
Winkel. Das Schluß täfeichen gibt die Relation zwischen 
Dezimal- und Sexagesimalteilung. AYeitere Beispiele von 
graphischen Tafeln mit nebeneinander verlaufenden Skalen 
bieten Dampfspannungsskalen neben denen der Tempe- 
ratur usw. 



Graphische Darstellung der Funktion y = f{x) . m 

§ 2. Graphische Darstellung der Funktion y = f{x) . 
Graphische Tafeln mit Koordinatennetz. 

Ist eine Funktion: 

y = f{^) 
gegeben, so erhält man ein deutliches Bild vom Verlauf 
der Funktion y bei stetigem Zu- und Abnehmen des Ar- 
guments durch die graphische Darstellung. Hierbei trägt 
man die speziellen Zahlenwerte des Arguments {x^ , x.^ , 
iTg usw.) als Abszissen, die zugehörigen Funktionswerte 
iUi 1 2/2 •> 1h ^isw.) als Ordinaten in einem rechtwinkligen 
Koordinatensystem auf. Man erhält hierdurch eine Eeihe 
von Punkten, welche durch eine kontinuierliche Linie, 
gewöhnlich eine Kurve, verbunden werden. Die Kurve 
oder Linie gibt das geometrische Bild der Funktion. Diese 
graphische Darstellung gewährt den leichtesten Überblick 
über die Art der Abhängigkeit der Funktion von ihrem 
Argument und ersetzt eine Tabelle zusammengehörender 
Werte (a:^, y^) usw. Der Maßstab, in dem die Strecken 
aufgetragen werden, ist willkürlich ; auch kann für die Ab- 
szissen ein anderer als für die Ordinaten gewählt werden. 

Wie wir nun aus der analytischen Geometrie wissen, 
stellt jede Gleichung von der Form: 

Ax-\- By -{- C= 

eine Gerade dar; die graphische Darstellung einer 
linearen Funktion wird also stets eine Gerade 
sein. 

Ferner lehrt uns die analytische Geometrie, daß jede 
Gleichung zweiten Grades von der Form: 

0:2 + 2/' + Mx + A> + ^ = 
einen Kreis darstellt; die Gleichung: 
Mx^ + Ny^ = k 



112 Grraph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

für positives JSf und k eine Ellipse, für — iV^iind -j-k eine 
Hyperbel; läßt sich eine vorgelegte Funktion auf eine der 
angegebenen Formen bringen, so ist ihr geometrisches Bild 
auch die entstehende Figur. 
Die Grleichung: 

y^ + My-{- Nx+ Q = 
oder: 

x^ + My + lYic + Q = 

stellt eine Parabel dar, und so wird auch eine Funktion 
von dieser Form als graphische Darstellung eine Parabel 
ergeben. 

Ebenso wird die Funktion von der Form: 

y = Jo + A^-^ A^^ + A^^+ ... -\- A^x'' 

in ihrer graphischen Darstellung eine parabolische 
Kurve ergeben, Avie die Funktion: y^ = px^ eine höhere 
Parabel zu ihrem geometrischen Schaubild haben wird. 

Die graphische Darstellung von Funktionen von zwei 
Yariabeln, für die das Abhängigkeitsverhältnis in G-lei- 
chungsform gegeben ist, ist uns also aus der analyti- 
schen Greometrie geläufig. 

Ist aber auch das Abhängigkeitsgesetz zweier vari- 
ablen Grrößen nicht durch eine Gleichung gegeben, son- 
dern liegen nur einzelne zusammengehörige Werte der 
beiden Yariabeln vor, so kann man hieraus eine Kurve 
verzeichnen, und nicht selten führt dann diese auf die 
gesuchte Gleichung. 

Mit Hilfe dieser Darstellung von Funktionen in kar- 
tesischen Koordinaten läßt sich auch für die verschiedensten 
Zwecke eine graphische Rechentafel konstruieren, 
d. h. eine Tafel, die zu jedem Argument den zugehörigen 
Funktionswert gibt; ich habe nur nötig, die Kurve in 



Gr aph. Darstellg. v. Funktionen mit zwei unabh .Variabein. 113 

eine mit einem Koordinatennetz bedeckte Koordinaten- 
ebene einzuzeichnen. Ja, ich kann dieses Koordinaten- 
netz auch entbehren, wenn ich eine Glas- oder Zelluloid- 
plattehabe, die das dem betreffenden Maßstab entsprechende 
Koordinatennetz trägt. Ich bringe dann diese mit dem 
Koordinatensystem der Kurve in entsprechende Deckimg 
und mache die gewünschten Ablesungen, wobei ich die 
verscliiedenen Werte der unabhängigen Yairiabeln auf 
der Abszissenachse aufsuche und die zugehörigen Ordi- 
naten ablese. Man nennt eine solche Tafel eine Kur- 
ventafel oder ein Diagramm; solche kommen in der 
Praxis unzählige vor und sind hinlänglich bekannt. 

§ 3. Graphische Darstellung Ton Funktionen mit zwei 
unabhängigen Variabein. 

Die allgemeine Form einer Funktion mit zwei un- 
abhängigen Veränderlichen a;, y ist: 

^ = f{xy y) . 

Die gi'aphische Darstellung dieser Fimktion muß, da 
sie drei Dimensionen hat, im Eaume erfolgen. Trägt man 
nun in unserer Abb. 26 auf den Achsen OX und OY 
zwei spezielle Werte x = a = OP und y = b = OQ 
auf und bestimmt den Punkt {a , b) in der Ebene OX Y, 
so erhält man als solchen den Punkt N\ Errichtet man 
in X' eine Senkrechte und macht N^X = z = f(a , ft) , 
so ist X derjenige Punkt des Eaumes, welcher der Funk- 
tion z = f{x , y) für a; = a und y = b entspricht. Läßt 
man mm x und y nach und nach andere spezielle Werte 
annehmen und bestimmt die zugehörigen Werte von z, so 
erhält man hierdm-ch eine Reihe von Punkten im Raimie, 
welche eine gewisse Fläche bestimmen, die den geo- 

Mayer, Das Rechnen in der Technik. 8 



114 Graph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

metrischen Ort der Funktion % = f{x , y) repräsentiert 
und deren Gestalt offenbar durch, das Abhängigkeitsver- 
hältnis % = fix , y) bedingt ist. 

Nehmen wir nun für % einen konstanten Wert %^ an 
und geben hierfür x und y alle möglichen Werte. Zeichnen 
■wir die möglichen Funkte in der {X y)-Ebene auf, so 
erhalten wir eine Kurve D'N'E\ welche der Grundriß 
resp. die Horizontalprojektion einer Kurve DNE (OR sei 
der beliebige konstante Wert von z) ist, die auf der Fläche 
X = f{x^ y) liegt und zur Horizontalebene YOX \m Ab- 



stand OR = %^ parallel läuft. Auf dieselbe Weise läßt 
sich für verschiedene % = z^ ^= x^ = %^ usw. eine Reihe 
solcher Kurven konstruieren ; man erhält also eine Eeihe 
von Horizontalkurven, die in hinreichend kleinem Ab- 
stand voneinander — zweckmäßig in gleichem — ein 
deutliches Bild der Fläche oder Funktion z = f(x , y) geben. 
Man pflegt diese Horizontalkurven, da ein und dieselbe 
Kurve dem gleichen Wert für z entspricht, nach dem 
griechischen Wort für gleichwertig Isoplethen zu nennen. 
Man stellt die Funktion z = fix^ y) in einer einzigen 



Kartesische Rechentafeln. 115 

Ebene dadurch dar, daß man den einzelnen Isoplethen 
die zugehörigen AVerte von % einschreibt; man erhält so 
den Grimdriß einer Reihe von Horizontalkurven der räum- 
lichen Fläche und kann nun, wenn die «-Werte der ein- 
zelnen Kurven, so"^^ie die Zahlenwerte von x und y ge- 
hörig eingetragen sind, sofort das zu bestimmten x und \j 
gehörige z ablesen. Dem Techniker ist diese Darstellungs- 
art aus den Höhenkurvenplänen geläufig. Bemerkt sei 
noch, daß die Horizontalprojektionen von % Gerade sind, 
wenn die Gleichung % = f(x , y) vom ersten Grade ist, 
dagegen Kegelschnitte, wenn die Gleichung vom zweiten 
Grad ist. 



§ 4. Graphische Tafeln für zwei Argumente mit Kurven- 
kreuzung. (Kartesische Rechentafeln.) 

Die in § 3 enthaltenen Entwicklungen lassen unschwer 
erkennen, daß sich die angegebene Darstellung der Funk- 
tion z = f{x , y) ganz vorzüglich zur Herstellung von 
Rechentafeln eignet, d. h. ziu- Herstellung graphischer 
Tafeln, aus denen für bestimmte x und y das zugehörige z 
abgelesen werden kann. Eine solche Tafel ^sird zwei 
Eingänge oder Köpfe haben müssen, je einen für das 
Argument x und für das Argument y , den ersten in hori- 
zontaler Zeile, den anderen in vertikaler Spalte. Im Kreu- 
zungspunkt von Zeile und Spalte steht das zugehörige z; 
eventuell ist dasselbe durch Augenmaß zu interpolieren. 

Ist allgemein die Gleichung gegeben: 

z = ay -\- bx -{- c j 

so erhält man, wenn man z der Reihe nach die speziellen 
"Werte ^r^ , «o ? % ? • • • ^^w. gibt: 

8* 



116 G-raph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

b %^ — c ^ 

y = —-x-\ ^ = -ocx-\- ß^, 

b ^o — c 
y = --x-\ — = _^x + ^2 , 

(Z d 

b Zo — c 

y = --^+ ^ =-ocx-{- ß^ 
(Z et 

usf. 

Die zugehörigen Isoplethen stellen also parallele Gerade 
vor, die sich nur durch eine Konstante ß unterscheiden. 
Wählt man % , Z2 , % , Z'4^ usw. in gleichen Intervallen, 
so werden die parallelen Isoplethen auch äquidistant sein. 
Damit sich diese Isoplethen zwischen den Koordinaten- 
achsen möglichst gleichmäßig ausbreiten, ist es vorteil- 
haft, die Maßstabeinheiten für Abszissen und Ordinaten 
so zu wählen, daß die Isoplethen die Achsen möglichst 
imter 45^ schneiden, was bekanntlich dann eintritt, wenn 
öc = + 1 ist. Diese Anordnung wird jedoch nicht in 
jedem Falle ohne weitere Änderungen getroffen werden 
können. 

Als erstes Beispiel diene uns ein physikalisches. Bei 
der Eeduktion des Luftdruckes nach den Ablesungen am 
JSTaudetschen Aneroid auf die entsprechenden Höhen des 
Quecksilberbarometers in Älillimetern erfolgt die Um- 
wandlung nach der Formel: 

b = Ä-{-0fi6-i-z, 

in welcher b den gesuchten Barometerstand, Ä die An- 
gaben des Aneroids in Millimetern und z die Korrektion 
bedeutet, für welche die Formel gilt: 

z = -0,15 t + 0,04 (760 - A) , 



Kartesische Rechentafeln. 117 

worin t die Temperatur in Celsius angibt. Wir erhalten 
hieraus: 

< = -tV^ + (202|-6-|^). 
Setzt man nun: 

t = y ] Ä = x 

und geben wir ;;: nacheinander die Werte , + 1 , ^ ^ 
usw., so repräsentiert der Ausdruck in der Klammer 
eine Konstante ß , und man erhält die Gleichung: 

2/ = -tV^ + /5> 



= 400 500 

rSlE ^ 



llk ^^Is; 'm ^^is. ''«fe -i^lä 

B!^ """Ss;^ ' ''^=ä. '^S^ "^Ssi ' "^Sa^gs g»? 






'lasi^ 




b =^ A — 0,05 — Korrektion. 
Abb. 27. 



welche offenbar eine Gerade bestimmt, deren Konstante ß 
dem jeweiligen Wert von z entspricht. 

Um nun die Geraden , d. h. also die Isoplethen, nahezu 
unter 45^ zu erhalten, wählt man die Einheiten der 



118 Graph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

Ordinatenachse viermal größer als die der Abszissen- 

achse, denn 4 • — Avird -— , also nahezu der Einheit bleich. 
a lo 

In unserer Abbildung ist dies geschehn und die IsoiDlethen 

der Korrektion für jedes ganze Millimeter der Korrektion {z) 

entworfen. Wäre z. B. y = 8^ und ic = 680 mm, so 

findet man den Kreuzungspunkt dieser beiden Koordinaten 

auf der Isoplethe z = 2 . "Wir erhalten demnach : 

Z> = 680 4- 0,65 + 2 = 682,65 mm . 

Es sei noch ein weiteres Beispiel eingefügt. Ist 7; 
das in Gramm angegebene Gewicht des in 1 cbm Luft 
von ^^C enthaltenen Wasserdampfes, dessen Spannkraft 
fmm ist, so besteht folgende Beziehung: 

; _ 810./ 

■' ^"" 760 + 2,78 2^ ' 

Die Spannkraft fisi als eine empirisch nach der Tabelle 
von Eegnault bestimmte Funktion der auf dem Hygro- 
meter abgelesenen Kondensationstemperatur t^ gegeben zu 
denken. Sie ist in unserer Abbildung als Begrenzungskurve 
eingezeichnet, wobei x = S mm • f und ?/ = 1,2 mm • f. 

Setzen wir nun: 

x=l^'S10f, 



so erhalten wir 






Diese Gleichung stellt ein Büschel von Geraden dar, 
die durch den Punkt ic=0,?/ = — /2'760 mm gehen. 
In der Figur ist nun auf der Ordinatenachse die Tempe- 
raturskala, auf der oberen Geraden die Werte von j) , 



Kartesische Rechentafeln. 



119 



welche den einzelnen ausgezogenen ,, Radianten" ent- 
sprechen, aufgetragen. Hierbei wurde I^ = 0,0037 mm 
und l, = 0,43 mm gewählt. Ist nun t ^ SO^midf = IQ^ 
gegeben, so suche man den Schnittpunkt der durch 16 ^ 
zu der Abszissenachse gezogenen Parallelen mit der Kurve ; 
diesen Schnittpunkt übertrage man mit Hilfe eines in 
der Richtung der Abszissenachse beweglichen „Index" 




Abb. 28. 

(gestrichelt gezeichnet) auf die durch 30^ gehende Par- 
allele zur Abszissenachse. Der Schnittpunkt beider be- 
stimmt das gesuchte ;; ; man findet 12,9 g. 

Ist die Grleichung z = f(x , y) eine Gleichung zwei- 
ten G-rades, so werden die Isoplethen im allgemeinen zu 
Kegelschnittlinien; speziell erhält man für 

% = xy 

eine Schar gleichseitiger Hyperbeln. Diese Tafel ergibt, 
wie leicht einzusehen, eine graphische Produkten- 
und Quotienten tafel (die MultiiDlikationstafel von 
L. E, Pouchet 1797). Sie veranschaulicht imsere 
Abb. 29. Wird z der Reihe nach gleich , 1 , 2 , 
3, . . . gesetzt, so entspricht der obigen Gleichung 



120 Graph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln. 

eine Schar gleichseitiger Hyperbeln, welche die Koordi- 
natenachsen zu Asymptoten haben und deren Abstände 
auf irgend eine Abszisse oder Ordinate gemessen gleich 
sind. Konstruiert man also zwei dieser Hyperbeln, so 
lassen sich die anderen leicht bestimmen. Das gesuchte 
Eesultat ist stets in der Kreuzung von Zeile und Ko- 
lumne abzulesen resp. einzuschätzen. 




Abb. 29. 



Natürlich ist auch eine vorgelegte Division ohne 
weiteres ausführbar. Man hat den Dividenden, d. h. dessen 
Zahlen wert als Kurve aufzusuchen, den Divisor ermittelt 
man auf der Abszissenachse, die dem Schnittpunkt beider 
entsprechende Ordinate gibt den Quotienten. 

Es leuchtet natürlich ein, daß die Tafel um so brauch- 
barer wird, je größer ihre Ausführung, je weiter ihre Unter- 
teilung geti'ieben ist. 

Ist y = X, also z =^ x^ = y^ , so entspricht der Glei- 
chung y = X eine Gerade, welche den Koordinatenwinkel 



Kartesische Rechentafeln. 121 

halbiert. Am Schnitt der Koordinaten n steht n^ . Man 
kann also die Tafel auch, zum Quadrieren und Quadrat- 
wurzelausziehen benutzen. Hat man allgemein eine An- 
zahl von Produkten ;^ zu bilden, deren Faktoren x und y 
sich wie 1 : n verhalten, so liegen offenbar alle zugehö- 
rigen Koordinatenschnitte auf einer Geraden, welche durch 
den Anfangspunkt geht. Ist z. B. w = jr , also y = nx ^ 
so liest man, wenn x gegeben ist, y als Ordinate des 
Durchschnittspunktes der Abszisse x mit jener Geraden 
ab, deren Projektionen auf Abszissen- und Ordinaten- 
achse sich verhalten wie \ -.n. In unserer Figur ist diese 
Gerade mit nx bezeichnet. 

Zeichnet man einen Ast der Hyperbel y = x"^ ein, so 
leuchtet ein, daß man aus der Tafel auch die dritten 
Potenzen und Wurzeln erhält. Macht man y = ^jix^ , 
so erhält man den Inhalt vod Kugeln, deren Radien den 
Abszissen der Durchschnittspunkte entsprechen. Diese 
wenigen Andeutungen dürften zeigen, ^^ie äußerst frucht- 
bar sich eine solche Tafel bei zweckmäßiger Ausgestaltung 
anlegen läßt. — 

Der große Yorteil , den bei der Herstellung von gra- 
phischen Tafeln speziell parallele geradlinige Isoplethen 
bilden, legt die Frage nahe, ob und inwieweit es möglich 
ist, in allgemeinen Fällen eine solche Darstellungsweise 
zu ermöglichen. Leider müssen wir uns auf einen kurzen 
Hinweis beschränken. 

Wir haben gesehen, daß sich das Produkt x = x-y 
durch eine Schar gleichseitiger Hyperbeln darstellen läßt. 
Diese Hyperbeln können aber nun sehr leicht durch par- 
allele Gerade ersetzt werden, wenn man statt der Ar- 
gumente deren Logarithmen einführt. Logarithmieren 
wir die gegebene Gleichung, so kommt: 
log^t = loga: + logi/ 



122 G-raph. Darstellung von Funktionen und graph. Tafeln, 
oder, wenn wir: 

logz = w , logx = V und log?/ = w 
setzen : 

w = V -\- u . 

Diese G-leichung stellt für spezielle Werte von w 
gerade Linien vor, die gegen die Koordinatenachsen 
unter 45 ^ geneigt sind. Eine solche transformierte Tafel 
ist genau zu gebrauchen wie die ursprüngliche kartesische 
Tafel, nur sind die Achsen gemäß den Funktionen x = q){v) 
und y = ip (u) zu teilen ; in unserem Falle ist die Ko- 
ordinatenteilung also eine logarithmische. Wir geben 
einen Teil einer solchen Tafel in unserer Abb. 30; die 
Diagonale — in unserer fragmentalen Abbildung natür- 
lich nicht Diagonale — ist wieder die Quadratlinie. 
Zieht man durch den Anfangspunkt eine Linie 21 = 2 ^' , 
welche der Grleichung: 

log?/ = 2 logx 

y = x^ 
entspricht, so daß 

z ^ X • y = x^ wird, 

so geben die Schnittpunkte dieser Greraden mit den Iso- 
plethen die Kuben der zugehörigen Abszissen. Zu be- 
merken ist noch, daß sich die durch 1 gehende Kubus- 
linie nur für Zahlenwerte bis 3 verwenden läßt; für 
größere Zahlen ist die durch den oberen Endpunkt der 
Quadratlinie gehende Kubuslinie zu benutzen; hierbei 
sind die zugehörigen Isoplethenwerte um 10 zu ver- 
mehren. 

Diese Transformationen wurden von Leon Laianne 
eingeführt und dienen in erster Linie zum „Geradstrecken" 



Kartesische Rechentafeln. 



123 



krummliniger Isoplethen; die Transformation wurde von 
Lalanne als geometrische Anamorphose bezeichnet. 




Einen Yergleich. mit dem Rechenschieber hält die 
logarithmische Rechentafel sicherlich aus. In ihrer Viel- 
seitigkeit ist sie dem Rechenschieber überlegen, höhere 
Potenzen lassen sich mit der Rechentafel bequemer be- 



124 Graph. Darstellung- von Funktionen und graph. Tafeln. 

stimmen, die Änderungen des Papieres sind ohne Ein- 
fluß. Der Rechenschieber seinerseits ist handlicher und 
dauerhafter, wenn auch teurer. 

Die geometrische „Anamorphose" leistet bei der Her- 
stellung graphischer Rechentafeln außerordentliche Dienste ; 
leider können wir uns nicht weiter mit der Angelegen- 
heit befassen ; wir verweisen auf die angegebene Literatur. 

§ 5. Kollineare Rechentafeln. 

Eine neuere Methode zur Herstellung graphischer 
Rechentafeln beruht darauf, daß an Stelle von Kurven, 
die mit Zahlenwerten beschrieben sind, sogenannten ko- 
tierten Kurven, kotierte Punktreihen benutzt werden. 
Die Anwendung dieser Tafeln Avird charakterisiert durch 
den Satz : „Die Gerade, welche die den gegebenen Werten 
öCi und ccg entsprechenden Punkte der Punktreihen ver- 
bindet, schneidet die dritte Skala (0C3) in einem Punkte, 
dessen Kote 0C3 die gesuchte Größe oc^ ergibt." Solche 
Tafeln gestalten sich übersichtlicher, sind genauer und 
bequemer zu handhaben; ein Eingehen auf diese Tafeln 
würde uns hier zu weit führen; wer sich näher inter- 
essiert, der sei auf d'Ocagne und Schüling (siehe Lite- 
raturübersicht) verwiesen. 

§ 6. Graphische Lösung numerischer Gleichungen. 

Eine sehr beliebte Anwendung der graphischen Me- 
thoden zur Herstellung von Rechentafeln bildet die gra- 
phische Lösung numerischer Gleichungen. Wir gehen 
an dieser Stelle nur kurz auf die Methode von Professor 
Mehmke an der Technischen Hochschule Stuttgart (Zivil- 
ingenieur Bd. 35, 1889) ein. Die meisten Verfahren 
zur graphischen Auflösung einer Gleichung mit einer 



Graphische Lösung- numerischer Gleichungen. 125 

Unbekannten x entspringen dem folgenden Gedanken. 
Man trennt nach ii'gend einem Grundsatz die Glieder 
der gegebenen Gleichungen in zwei durch das Gleichheits- 
zeichen verbundene Gruppen, d. h. man stellt die Form 
her: 

f{x) = g{x) . 

Wird jede Seite gleich y gesetzt, so zerfällt die ur- 
sprüngliche Gleichimg in die beiden ihr gleichwertigen: 

y = f{^): y = 9{^) • 

Wenn man x und y als Koordinaten eines Punktes 
betrachtet, so stellen die beiden Gleichungen zwei Kurven 
dar. Die a:-Koordinaten der Schnittpunkte dieser Kurven 
sind alsdann die gesuchten Wurzeln. Statt der sich so 
ergebenden Kurven zeichnet Mehmke ihre logarithmischen 
Umformungen, d. h. er zeichnet x und y mit einem lo- 
garithmischen Maßstab auf. Bei der Teilung der Gleichung 
bringt man die positiven Glieder auf die eine, die ne- 
gativen auf die andere Seite. Zugleich denke man sich 
die Veränderliche x zunächst positiv, man erhält so nur 
die positiven Wurzeln. Alsdann setze man x = — x , 
man erhält so eine Gleichung, deren ebenso zu bestim- 
mende Wurzeln ihrem absoluten Wert nach gleich den 
negativen Wurzeln der gegebenen Gleichung sind. Be- 
steht die Gleichung bloß aus einem Gliede, z. B. 

y = ax"^ j 

so ist: 

log?/ = loga -|- 7)1 logx . 

Das Bild dieser Gleichung ist eine Gerade. 
Sind zwei Glieder vorhanden, etwa 

z/ = a a;"» 4- b x" , 



126 Graph. Darstellung von Funktionen und g-raph. Tafeln. 

so wird das logarithmische Bild dieser Gleichung eine 
Kurve sein. Einen Punkt dieser Kurve erhält man leicht, 
nämlich den Schnittpunkt mit der F- Achse. Für ihn 
ist logx = , also ic = 1 , folglich log^ = log(a + b) . 
Um weitere Punkte zu finden, zeichne man zunächst die 
beiden geraden Linien, welche nach dem Vorausgehen- 
den zu den einzelnen Gliedern gehören. Eine beliebige 
Parallele zur Y-Achse schneide die X-Achse, jene beiden 
Geraden und die gesuchte Kurve beziehentlich in den 
Punkten o , ^ , ^ , r . Setzt man nun ax^ = P und 
hx^ =^ Q, so ist: 

oi? = logP, 

? = log Q , 

or = log(P+ Q). 

Wir haben also den Punkt r zu bestimmen aus der 
bekannten Lage von p und q . Wir finden : 

qr^or — oq = log{P-\- Q) — logQ = logll + -g\ , 

also hängt qr nur von — resp. log— = log — logP 

= q — op , d. h. von p q ab. Diese Abhängigkeit läßt 
sich durch eine Kurve, die sogenannte Additionskurve, 
darstellen, wie wir schon früher gehört haben. Man 
setze: 

pq = u ^ 



p = ^ 



Graphische Lösung nnmerischer Gleichungen. 127 

dann ist: 

u = logz , 

1' 



^• = log^l+^ 

Gibt man z eine Reihe von AVerten, berechnet u und v 
und trägt u als Abszissen, v als Ordinaten auf, so ergeben 
sich Punkte der Additionskurve. Um den Punkt r aus 
den Punkten p und q zu finden, suche man zn p q = u 
als Abszisse die Ordinate v der Additionskurve und mache 
q r gleich derselben. Ich erinnere hierbei den Leser an 
den früher erwähnten logarithmischen Zirkel von Brauer. 
Man erhält auf diese Weise sehr leicht und rasch eine 
genügende Anzahl von Kurvenpunkten. 

Ist y aus mehr als zwei Gliedern zusammengesetzt, 
so zeichne man ^Nieder die zu den einzelnen Gliedern 
gehörigen Geraden. Sind p, Pi, Po, Vz ihre Schnittpunkte 
mit einer beliebigen Pai-allelen zur Ordinatenachse, r der 
zugehörige Punkt der gesuchten Kurve, dann muß r so 
bestimmt -werden, daß 



wo 



or=(logP+Pi + P2 + - . . . + n), 
op = logP, op^ = iogPi , . . . , opj, = logPi . 



Man geht hier schrittweise vor, indem man zuerst auf 
die gezeigte Art mittels der Additionskurve aus p und jo^ 
einen Hilfspunkt r' ableitet, so daß or' = log(P+ P^) 
usw. ist, bis man schließlich zum gesuchten Punkt r gelangt. 

Bemerkt soU noch werden, daß die dem Ghede mit 
dem höchsten Exponenten und ebenso die dem Gliede 
mit dem niedrigsten Exponenten entsprechende Gerade 
Asymptote an die beim logarithmischen Verfahren zur 



128 Graph. Darstellungf von Funktionen und graph. Tafeln. 

Auflösung der Gleichung dienende Kurve ist. Sind die 
Koeffizienten der Gleichung alle positiv, so hat die Kurve 
keine Wendepunkte und ist nach oben offen. Beispiele 
praktischer Anwendungen finden sich in oben zitiertem 
Aufsatz. 



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3l0HkuUurriKmird)« ^onivoütot- 

fcn, IIa*, Don Dr. Paul Krtfdje 

in (Böttingcn. ITr. 304. 
3lhttftth. ttI)eoret. pijtiUI I. tTeil: ITtc. 

djanil u. flhijtif . Don Dr. 6ujt. Zägtt, 

Prof an öer UnioerJ. IDicn. mit 

19 flbbilö. Hr. 7t!. 

— »lurtkttUrd)r,D.Dr.KarI£.Sd)äfer, 
Do3cnt an öer Unioerj. Berlin. ITIit 
38 flbbilö. Hr. -21. 

3k,l0ebra. flritljntctif u. Algebra t». Dr. 

f^. Sd]ubert, Prof. a. b. (5clcf)rtenf djulc 

ö. 3ol5anncums in f^amburg. Hr. 47, 
2lll>ctt, 5«, Don Dr. Hob. Sieger, 

Prof. an öer Unioerfität ®ra3. mit 

19 flbbilö. a. 1 Karte. Hr. 129. 
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Sranj 5u^fe, Direttor ö. ftäöt. muf c 

ums in Brauufdiwcig. mit 70 flbt). 

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gltnvljibU« ficl}2 : tEierreicf} III. 

ginitltjr«, 8:trf|n.-Clt<nt., oon Dr. (5. 
£unge, Prof. o. ö. (Eiögcn. poIi)tcd|n. 
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Prof. am Karlsgijmnafium in Stutt» 
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Prof. an öer ®elel)rtenjd}ule öes 30" 
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mar Dies, Ccfjrcr an ö. Kgl. flfaö«» 
mie'öcr bilöenöcn Künjte in Stutt» 
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njislicenus, Prof. a. ö. Unioerf. Stras- 
burg. mit36flbb.u. istern!. Hr. 11. 

ä^ptrop^tjrth. Die Bcfdiaffenljeit öet 
f^tmmelstörper oon Dr. IDalter 5. 
H)islicenus, Prof. an öer UnioerfltSt 
Strafeburg, mit 11 flbbUÖ. Hr.9L 

^MfdabcnrammlQ. f. :\<t(»l»|t. ©**- 
tttttrtt b. Cben»D. ®.ttf).BürfIen, 
Prof. am Realgijmnafium in Sd\xo.* 
©münö. mit 32 Siguren. Hr. 250. 

b. ^aumed oon ®.IEf).Bürncn, 

Prof. am Rcalgt)mnajium in Sd)to.» 
(Bmünö. mit 8 5tg. Hr. 3u9. 

— |llj»)fihoarii)e, V. i5. maljler, Prof. 
öer matl}em. u. pi)t)fif am 6i)mna|. 
in Ulm. mit ö. Refultaten. Hr. 241 



Jluffufe^utwarfc »Ott (Dbcrftuötenrat 
Dr. t. ID. Straub, Rcftor öes (Eber» 
^orö«£uöiDigs»(Bi)mnafiums in Stutt- 
gart Hr. 17. 

2^ct^i>2ie ber kUinfktn if^utt- 
hvutt von roilt). rDcttbrc(fit, Prof. 
6« (Bcoöäfie in Stuttgart. ITlit 15 
Sigurcn unö 2 (Tafeln. Xtr 3U2. 

©«ffentllrire, Don Dr. Karl IDolff, 
Staöt=®bcrbaurat in I)annoDcr. Irtit 
50 5t3- nr. 380. 

tfauftt^rung von (Emil Bcutingcr, 
ardiitcft B. D. A., affiftcnt an öcr 
tte^n. I70(i)f(i|ulc in Darmjtaöt. mit 
20 5iguren. Hr. 899. 

(funltunit» |li«, ht» ^bcnManbt« 
oon Dr. K. Sd|äfer, flffiftcnt am 
©crocrbemufcum in Bremcit. ITIit 
22 abbilö. Hr. 74. 

^ttvitb»hVfxft, Hi« ftu«tlttnafi0|t«« 
Don Sricörid) Bartq, (Dberingenieur 
tn Itürnbcrg. 1. tlcil: Die mit 
Dampf betriebenen UTotoren nebft 
22 S;abeIIen über il)re flnfdjaffungs» 
U.Bctriebsfojten ITT. 14 flbb. Hr. 2:i4. 

2. tTeil: Derfd]tcöenc UTotoren 

ncbft 22 SabcITcn über il)rc fln» 
fdiaffungs» unö Betriebsfoften. tltit 
29 flbbilö. Hr. 225. 

^twe^utt^^fpicle oon Dr. (E. Kol)!» 
raufd) , Prof. am Kgl. Kalfer VOiU 
ftclms « (5t)mnajium 3U Qannoocr. 
mit 15 flbbilö. Hr. 9G. 

^i0l0Qie l^sv ftflottfcn oon Dr. TO. 
migula, Prof. an 5er 5orjtafaöemic 
(Eifenadj. mit 50 Hbbilö. Hr. 127. 

tfi0l<y0ie iueir ®i<re, glbfiß i««r, oon 
Dr. Jjeinr. Simrotl), Prof. an öcr 
Unlocrfität Ceipsiq. Hr. 131. 

mit flusfdjTug öer (Btjmnofpcrmen 

oon Dr. R. pilger. mit 31 Figuren. 

Hr. 393. 
^vauevtiwtfßtt I : mälserei rott Dr. 

Paul Drencrljoff, Direftor ö. Brauer« 

u. mälserfdiule 3U ©rimma. mit 

16 abbilö. nr. 303. 
jf ttdjfitlrf uno in cinfacficn unö öop* 

pcitcn poften oon Rob. Stern, Ober» 

Icbrcr öer Öffcntl. I)anöelslcl)ranft. 

u. D03. ö. £)anöeIs!)odjf diulc3. £cip3ig. 

mit Dielen 5orntuIarcn. Itr. 115. 
$MbM)a oon Prof. Dr. (Eömunö fjarötj. 

Hr. 174. 



^urntttkuniit, 2lbH^ l»ef , oon IJof. 
rat Dr. ®tto Piper in mündjen. mit 
30 abbilö. Hr. 119. 

«rdic oon Dr.majRuöoIpIji.prof. 

a. ö. tEed)n. fjodi^diulc tn Darmjtaöi 

mit 22 5ig. nr. 71. 
®l|<ml<, ^tnrtlnttMj«, oon Dr. 3of)an» 

ncs Ijoppc. I: dfieorie unö (Bang öcr 

analiifc. nr. 247. 
II : Reattion öcr mctalloiöc unö 

mctallc. nr.248. 

— Slntf'treanird)«, oon Dr. 3of. Klein 
in mannljcim. nr. 37. 

fielje aud): metallc — mctalloiöc. 

— &efd}id)U bcv, oon Dr. I)ugo 
Bauer, affiftent am dicmifdicn 
Caboratorium öer Kgl. lEcdinifdien 
Jjodijdiulc Stuttgart. I: Don öcn 
älteften Seiten bis 3ur Derbrennungs» 
tI)eoric oon Caooificr. Hr. 264. 

H: Don Caooificr bis 3ur (Segen« 

toart. nr. 265. 

— htv ^0hUnft0ffvttbini>mtüen 
oon Dr. I)ugo Bauer, affiftent am 
(f)cm. Caboratorium öcr Kgl. Ccdjn. 
£)od)jdiuIc Stuttgart. I. II: aii« 
pl)atifd|c Derbinöungen. 2 lEcilc. 
nr. 191. 192. 

III: Karboctjflifdic Derbinöungen. 

nr. 193. 
IV: J)cteroci}fIifd|c Derbinöungen. 

nr. 194. 

— ©rörtuirri)«, oon Dr. 3of. Klein in 
mannljeim. nr. 38. 

— IHinftolofttfri)«, oon Dr. med. a. 
£cgal)n in Berlin. I : ajfimilation. 
mit 2 Q:afeln. nr. 240. 

11: Dijjimilation. mit einer 

tEafel. nr. 241. 

®ljettiirrf)-®«rimird|« ^naltffe oon 
Dr. ®. Cungc, Prof. an öer €iö» 
genöjf. polT)ted)n. Sdjulc in 3ürid). 
mit 16 abbilö. nr. 19.-). 

^ampfkefftl.iE^it. Kur3gcf a^tes Cetjr« 
bud) mit Bcifpielen für öas Selbft« 
ftuöium u. ö. praftifd)en (Bebraud) oon 
Sricöridi Bartt), (Dberingenieur In 
nürnbcrg. mit 67 $xg. Xlv. 9. 

|^(ttntifm(trd|{ne, f U. Kur3gefa6tes 
CcTjrbud) m. Bctfpicicn für öas Scibft» 
ftuöium unö öcn pra!t. (Bcbraudj oon 
5rieörid] BartI), (Dberingenieur in 
nürnbcrg. mit 67 5ig. nr. 8. 



Jom|»ft«rbitten, ?lfe, ihre IDir» 
fungsroeife un6 Konftruftion von 3n» 
genicur f)crmann töilöa, ©berlefjrcr 
am ftaatl. dcdjnifum in Bremen. 
mit 104 flbbtiö. nr. 274. 

9«trrminantcn oon Q)bcrlc!)rer Paul 
B.5tfd}cr in (Brofe.Cid^terfcIöc nr.402. 

Pidfhtngen o. ttttttcü|odibt«trdjer 
iyüliicit. 3n flusiraf)! m. (Einitg u. 
roörterb. I)erausgegeb. D. Dr. f7erm. 
3an^en, Direftor öer Königin £ui[c» 
Sd}ule in Königsberg i. pr. Ilr. i:^ - . 

9i«triii|e)>tn. Kubrun u.Dietrid}cpcn. 
HHt Einleitung unö IDörterbud} oon 
Dr. ©. £. 3iric3cf, Prof. an 6cr 
Uniocrf. münfter. nt.10. 

^ifftv tniialvtä)nune oon Dr. ^rbv. 
3unfer, Prof. a. KarIsgt)mnaHum in 
Stuttgart. Blit 68 5'g. Hr. ö7. 

— Rcpctitorium u. flufgabcnfammlung 
y Diffcrcntialredjnung oon Dr. 5rör. 
junicr, Prof. am Karlsgtjmnafium 
in Stuttgart ITtit 46 5ig. Hr. 146. 

Il^^altebtr mit ©rammatif, Über» 
fe^ung unö (Erläuterungen oon ür. 
tDin)cIm Ranifdj, 6t)mnafial»®bcr« 
lel^rer in ©snabrücf. Hr. 171. 

IBiftnbtianbau.pcv, oon Rcg..Bau» 
meijter Karl Röfele. IHit 75 Ab« 
bilöungcn. llr. 849. 

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öipL f}üttcmngcn. I. tEeil: DasRoI)» 
eifcn. mitl75tg.u.4lafcln. Hr. I.VJ. 

II. tLtil : Das Sdjmieöcifen. RTit 

25 Sigutcn unö 5 ttafcin. Itr. 153. 

Cifenkonftruktionen im fiodjbau 
Don 3ngenieur Karl Sdiinölcr in 
ITTeifeen. lUit 115 5ig. Hr. 822. 

CUktrtiitöt. Q:bcoret.pf)T)Uf III.tEeil: 
(Elcftrisität u ITTagnctismus. DonDr. 
(Buft. Jäger, Prof. a. ö. Uninerf, 
rOten. mit 33 flbbilögn. Hr. 78. 

eitMvcd^tmit oon Dr. f)einr. Danneel 
in 5ricöri(iisl)agen. 1. Seil: Iljeo» 
retifdje €Ieftrodicmie unö iljrc pl)t}. 
{lfali|d}=d)emifci)en ©runölagen. ITIit 
18 5ig. nr.252. 

II. (Ecil : (Experimentelle (Elcftro* 

&itm\i, ITlefemetlioöen, £eitfäl}igleit, 
£öfungen. ITIit 26 5ig. Rr 258. 

dehtrotedintk. (Einführung in öic 
moöeme ®Icid]» unö tDediielftrom» 
tcdinif Don 3- l^errmann, profeffor 
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(ßUktroterimik. (Einführung in öie 
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te(t)nif oon 3. f^errmann, profeffor 
öer «leftrotcdjnif an öer KgL (Eedjn. 
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ftromtedjnif. RTit 74 5ig- Rr. 197. 

III:Dicn)ed}feIftromtediniI- RTit 

109 5ig. Rr. I9ö. 

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frage »on Prof. Dr. 5<ri>'nan& 
ttonnics. Rr. 853. 

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Religion. 

— j>er ^ttnbfettertttaffttt fie^e : 
I^anöfcuerroaffcn. 

C;nt«it*lttttaö6crd){ri|te ber Ciere 
Don Dr. 3o^fl""cs RTeifenfjeimer, 
Prof. öer 3ooIogie an öer Unioerfität 
RTarburg. 1: 5urd}ung, primitio« 
anlagen, Camen, Sormbilöung, €m» 
bn30nall)üllcn. IHit 48 5tg. Rr. 878. 

II: ©rganbilöung. RTit 46 5ig- 

Rr. 379. 

flustoal)! "aus öeutfdjen Di*tungen 
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3unf, flftudrius öer Kaijerlidjcn 
flfaöemie öerlDiffenfdjaften inlDien. 
Rr. 289. 

($r^ma0net{<»nttti», Cßrfcftrom, |l0- 
larliri)t oon Dr. fl. Rippolöt jr., 
RTitglieö öes Königl. preufeifcijen 
RTeteoroIogifdjen 3n)tituts 3U pots« 
öam. RTit 14 flbbilö. unö 3 tEaf. 
Rr. l"^. 

®tl}ik Don Profeffor Dr. (Eljomas 
fldjelis in Bremen. Rr. 90. 

e»kurrtott»flovtt von peutrdilattb 
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Deutfdilanö tDilötoad^fenöenpflansen 
oon ür. VO. RTiguIa, profefjor an 
öer 5orftafaöemie (Eifenadj. 2 (teile. 
RTit ie 50 flbbilö. Rr. 268 u. 269. 

^vplohvftafft. (Einführung in öie 
(Etjemie öer erplofioen Dorgänge oon 
Dr. I7. Brunsrotg in Reubabelsberg. 
RTit 6 Hbbilö. u. 12 riab. Rr. 888. 

fj»tttilicnred)t. Recfjt öes Bürger, 
lidien (Befe^budjes. Diertes Bu^: 
5amilicnred}t oon Dr. I^einrid) tti^e, 
Prof a. ö. Unit). ®öttingen. Rr. 305. 

^elbörfdifife. Po* mo^ernt, I; Die 
(Enttricflung öes 5elögef(}]ü^es feit 
(Emf ül}rung öes gc3ogcncn3nfanterie» 
getDeljrs bis etnfd^Iiefelict) öer (Et» 



finbung öcs raudilofcn pulocrs, ctroa 
1850 bis 1890, Don ©berfticutnont 
n). I^cijbenrctdj, ITtiI{tärIcI)rer an öcr 
ntilitärtcdin. fl!aöem{c in Berlin, 
mit 1 Hbbilö. Hr. 306. 

£«(h9erHTÜ%, ^««^ ntobttrne, II:Dte 
(Enttoicflung öcs Ijcuttgcn $vibq^' 
f(ilü^cs auf (Brunb öcr (Erfinöung 
öes raudjlofen pulocrs, eivoa 1890 
bis 3ur (Bcgcnroart, oon (Dbcrftteut» 
nant ID. I^ctjöcnrcid), llTilttärlcfjrcr 
an 6cr lütlitärtcdjn. flfaöentic In 
Berlin, mit 11 Hbbilö. Hr. 307. 

|F«rnrprerltn»epen, |li»», oon Dr. 
CuötDig Rellftab in Berlin, mit 47 
5ig. unö 1 ttafcl. Hr. 155. 

$tfti^kgii«iltitvt öon ID. l)auber, 
Diplomingenieur, m. 565ig. nr.288. 

jf«tte, Il^e, tttt> ©ele fotote öie Seifen« 
u. Kcrjenfabrifation unb bic l}ar3c, 
£ade, 5irniffe mit iljren tDld|tigften 
Rilfsjtoffen oon Dr. Karl Braun in 
B erlitt. I : (Einführung in öie (EI)cmic, 
Bcfprcdiung einiger Salse imö öie 
5cttc unö ffile. Hr. 835. 

II: Die Seif enf abrif ation , öie 

Seifcnanaltjfe unb öie Ker3cnfabri«i 
fation. mit 25 Hbbilö. tir. 'SS&. 

III : Ijar3e, Code, 5trnlffc. Hr. 337. 

gittttttfwilTenrrirttft o. Prä|löent Dr. 
R. Dan öer Borgl}t in Berlin. I : HII» 
gemeiner tEeil. Hr. 148. 

II : Befonöcrer ?EeiI (Stcuerleljrc.) 

Hr. 391. 

jpifdte. Das tTicrrcid) IV : 5if(^c oon 
Prioatbo3ent Dr. VHajc Rautber in 
(Biegen, mit 37 Hbbilö. Hr. 356. 

£ifA]tvti unh imnudit o. Dr. Karl 
(Ecfftein, Prof. an öer 5orfta!aöcmic 
(Ebcrstoalöe, Hbteilungsöirigent bei 
öer Ejauptftation öcs forftlic^en Der» 
fudisroejens. Hr. 150. 

j^rmcirontmlund« Wlatltewat., u. 
Repetitorium b.matljcmatit, cntlj.öie 
03id)tigften Sormeln unb Ccfjrfä^c ö. 
Hritljmetil, HIgebra, algebraifdicn 
Hnaltjfis, ebenen ©cometric, Stereo* 
mctrie, ebenen u. fpljärifdien (Erigo» 
nomctrie, mati). (Bcogropl)tc, analtjt. 
(Bcometrie ö. (Ebene u. ö. Raumes, ö. 
Dtfferent.« u.3ntegralrcd!n. o. (D. ttl}. 
Bürflen, Prof. am Kgl, Realgqmn. in 
S(l}n).»(Bmünö. mit 18 5ig- Hr. 51. 

— iriinftkrtlirrf»«, oon ®.mal)ler, Prof. 
a.(Bijmn.inUIm mit 65 5ig. Hr. 136. 



^arptmrenfdirtftoon Dr. Hö.Scfiroap. 

päd), profeffor an öer 5orftaf aöemie 

(Ebersroalöc, Hbteilungsöirigent bei 

öcr ^auptftation bes forftlidjen Der» 

fudisroefcns. Hr. 100. 
$0ttbUinmQ»fA)ulwtftn , fla« 

j^tutfdje^ nad} feiner gefdjidjtl. (Ent» 

iDirfl. u. in fein, gcgcnroärt. (Beftalt 

oon fj. Sicrds, Dircft. b ftäbt. 5ort. 

bilöungsfdjulcn in Jjeibc i. tjoljt. 

Hr. 392. 
$vtnthw0vi, P«!*, im f «uifdren oon 

Dr.Ruö.KIcinpauIin£cip3ig. Hr.55. 
SvtmT^wovUvbudu 3<utrri)c#, oon 

Dr. Ruö. Kleinpaul in £eip3ig. 

Hr. 273. 
ißa>ikvaftmafd)intn, ^i«, oon3ng. 

Hlfreö Kirfcfile in Jjalle a. S. mit 

55 5igurcn. Hr. 316. 
i&tn0fft%t^dlttftitwtfen , 5«* , ftt 

fietttrdjtanl». Don Dr. (Dtto Cinöcdc, 
cfretär bes I}auptoerbanöes beut* 

fdier gctDcrblidier (Benojfenjdiaften. 

Hr. 384. 
®««^ä|te oon Dr. d. Rcinfjcr^, Prof. 

an bcr tEcdjn. Ejodifdiule Bannooet. 

mit 66 Hbbilö. Hr. 102. 
(ßtci^vixpliit ^ ^ftvDn^mifdie ^ oon 

Dr. Siegm. (5üntf)er, Prof. an öcr 

Icdin. ^od)fd)uIc in münAcn. mit 

52 Hbbilö. Hr. 92. 

— |JI)ttrtrd?t, oon Dr. Siegm. (5üntl)cr, 
Prof, anber Königl.tlcdin.I^oäifäiuIe 
in mündjcn. mit 32 Hbbilb. Hr. 2a 

— f. au^: Canbcslunbc. - Cänbcrfunöe. 
(!$t0l0^u in Iur3emHus3ug fürS(f)uIcn 

unö 3ur Scibftbeletjrung 3ufammcn» 
gejtcllt oon Prof. Dr. (Ebcrf). Sraas 
in Stuttgart, mit 16 Hbbilö. unö 4 
ttaf. mit 51 5ig. Rr. 13. 

oon Prof Dr. m. Simon in Strafe* 
bürg, mit 57 5ig. Hr. 05. 

— — 2^ufQabsnfatntnlmtfS tut? 
glnttl^tirdi«« <f9totitttvit htv 
Cgbeite oon (D.tEIj.BürfIcn, Prof. om 
KgL Realgt)mnafium in Sd}roöb.* 
©münö. mit 32 5ig. Hr. 256. 

— analtttird}«, ht» ^anttttit oon 
Prof. Dr. m. Simon in Strasburg, 
mit 28 Hbbilö. Hr. 89. 

3lttfortbcnr«tmmltttt0 f. glna- 

lt|t. iötotnttvit J«. Ilrtum«* oon 
(D. t[f). Bürflen, Prof. a.Rcalgtjmn. i. 
S(J}roäb.»(Bmünö. m. 8 5ig- Hr. 309. 



(ßctmttvit, 3orftcUenl»e, üon Dr. 

Robert f^aufener, Prof. an öer Umo. 
3cna. I.mit 110 5ig. Hr. 142. 

ramntlmtg i. ^nalt^ttTditu ißta- 
mtttlt >er Cbtne, oon ®. Tna!)Ier, 
Prof. am ©rjmnaftum in Ulm. ITIit 
111 3rDclfarb. 5ig. tlr. 41. 

— |Jroi«kttt»e, tn fi)ntl)et Bcljanb» 
lung oon Dr. Karl Doctjlcmann, 
Profeffor an öcr Untocrjität Itlün« 
d|cn. mit 91 5ig. ITr. 72. 

l8»rd)W?t<, ^abifdie, non Dr. Karl 
Brunner, Prof, am ©tjmnafium in 
Pfor3f)eim unö Prioatöosent öer (5c» 
((i|id)tc an öcr Icdjn. fjodjfdjulc in 
Karlsrul)c. Hr. 2;iu. 

— ber CljrtftUrijett ^alltanflaaten 
I Bulgarien, Serbien, Rumänien, 
iTTontenegro, (Briedjcnlanö) oon Dr. 
K Rotl) in Kempten. Hr. 381. 

— öötiertfrije, oon Dr. I^ans (Ddcl in 
Augsburg. Ilr. 160. 

— ^t» ^tiianttttifdiett Peidie« oon 
Dr. K. Rotf} in Kempten. Rt. 190. 

— peutfdfe, I: ölittelatter (bis 
1519) oon Dr. $. Kurse, Prof. am 
KgL £uifengt)mn. in Berlin. Rr. 33. 

II: ^titaiUv bsv Refor- 
mation utib htv Religion«- 
kriege (15"0-1648) oon Dr. 5. 
Kur3c, profeffor am KönigL Cuifen« 
gpmnafium in Berlin. Rr. 34. 

btn H« fur ^tufiöfung ht» 
ttlttn Reldi* (1648—1806) oon Dr. 
$. Kurse, Prof am Kgl. Cutfen» 
gtjmnajium in Berlin. Rr. 35. 

— — ficfje aud}: Quellenfunöe. 

— CttflUrd)«, oon Prof. £. (Berber, 
(Dbericljrcr in Düffelöorf. Rr. 375. 

— ^ronföftrdjc, oon Dr. R. Stemfelö, 
Prof. o. b. Unioerf. Berlin- Rr. 85. 

— ©ritdiird)«, oon Dr. I}einri(^ 
Srooboöa, Prof. an öer öeutfdjen 
Unioerf. präg. Rr. 49, 

— bt» 19. ^olirljttubertft o. ®sfat 
3äger, o. i^onorarprofeffor an öcr 
Unioerf. Bonn. l.Böd}n.:1800-1852. 
Rr. 216. 

2.Bödin.: 1853 bis €nöcö.3al)rfj. 

Rr. 217. 

— ^»vasl» bis auf öic gricc^. 3eit oon 
Lic. Dr. 3. Bensinger. Rr. -231. 



®trd)idTte, C^'lf'"»Of"^. 0- Dr. 

I}ermann Dcrid]siDetIer, (Bef). Regie« 
rungsrat in Strafeburg. Rr. C. 

— >«0 alten ptorgenlanbe« oon 
Dr. $T. liommel, Prof. a. ö. Unioerf. 
RTündicn. RT, 9 Bilö. u.1 Kart Rr. 43. 

— ©efterreidiirdf», I: Don öcr Ut» 
3cit bis 3um ttoöc König fllbrcdjts II. 
(1439) oon profeffor Dr. Sranj 
oon Kroncs, neubearbeitet oon Dr. 
Karl Ul)Iir3 , Prof, an öer Unio. 
<Bra3. mit 11 Stammtaf. Rr. 104. 

II : Dom CToöc König fllbrci^ts II. 

bis 3um RJcf tf älif dien Srieöcn ( 1440 
bis 1648), oon Prof. Dr. 5ran3 
oon Kroncs, neubearbeitet oon Dr. 
Karl Ublirs, Prof. an öer Unio. 
(Bras- mit y Stammtafeln. Rr. loö. 

— Palttifdie. 0. Dr. dlemcnsBranöcn» 
burger in pofen. Rr. ::l:Ä 

— ^ömifdic, oon Realgt)mnafial»Dlt. 
Dr. 3ul.Kod) in (Brunctoalö. Rr. 19. 

— Rurrtrdico. Dr. rOill). Reeb, (Dberl. 
am®ftergi}mna{iuminmain3. Rr.4. 

— §ttd|ftrd)e. oon profeffor (Dtto 
Kacmmcl, Reftor öes Rifolaigtjm» 
nafiums 3U £cip3ig. Rr. lü(.>. 

— Sdjweiterifdje, oon Dr. K. Dönö* 
Ufer, Prof. a. ö. Unio. 3üridi. Rr. 1 8S. 

— ^panifdje, oon Dr. (Buftao Dierds. 
Rr. 266. 

— Srijutringirdi«, oon Dr. (Emft Deo. 
rient in 3cna. Rr. 352. 

®<rd)td|ten»iITtttrd|aft, dnltltnnB 
in iilt. oon Dr. (Emft Bemljcim, 
Prof. an öer Uniocrj. (Breifsroalö. 
Rr. 270. 

(Qtfdjü^t, 5ie moliernfn, btv 
f-n^örtiUtric. I: Dom Auftreten 
öcr gesogenen (Bcfdjü^e bis sur Der« 
roenöung öes raudjfijtDadjen puloers 
1850—1890 0. mummcnl)off, major 
beim Stabe öes Sufeartillerie^Rcgi» 
ments ©encralfelbscugmcifter iBran» 
öenburgifdies Rr. b). mit 50 IcEt« 
bilöern. Rr. :«4. 

II : Die ^nttoidlung öer I)cutigen 

(Befdjü^c öer Sufeartillcric feit (Ein* 
fül}rung öes raudifdjtoadien puloers 
1890 bis sur (Bcgcnroart mit 
31 Q:eEtbilöem. Rr. 362. 

(BtUbbndu iönröerUdie*, flc^e: 
Redit öes Bürgcrlidicn ®efe^budies. 



l5trunMr<{tj»l<ltfc. Der mcnjd)Itd|C 
Körper, fein Bau unö feine Qiätig« 
leiten, oon (E. Rebmann, (Dberjdjul» 
rat in Karlsrulje. mit ©cfunö» 
I)citslel)rc oon Dr. med. Jj. Seiler. 
mit 47 Ebb. u. 1 a;af. Hr. 18. 

&twtvbtitnüUnt oon Dr. €. Rotf} 
in potsöam. Itr. '.iöO. 

^twtvbtwsftn oon IDcrner Sombart, 

frof. an ö. f^anbelsljodjfdjule Berlin. 
II. Itr. 203. 204. 

&twiA}t»wtftn, ITlafe«, irtüna» un6 
©ctDidjtsrocfen oon Dr. Hug. Blinö, 
Prof. an öer BanöcIsfAuIc in Köln. 
nr. 283. 

&Uid)fiv0ntm(t^dnnt, pi«, oon (E. 
Kinsbrunner, Ingenieur unö Doscnt 
für (Eleftrotcdjnit an öer RTunicipal 
S(i}ooI of G^edjnologt} in Ulandjefter. 
mit 78 5ig- Hr. 257. 

tßUtfA)tvkutt^t oon Dr. 5ri^ ma» 
d)Q.id in IDien. mit 5 Rbbilö. im 
ttcpt unö 11 ttaf. Hr. 154, 

&t^fvith V0n ötra^bttrg. IJart» 
mann oon flüe, IDoIfram oon 
(Efdicnbad) u. ffiottfricö oon Strafe« 
bürg, flusroal)! aus öem I)öf. (Epos 
mit flnmerfungen unö IDörtcrbudj 
oon Dr. K. marolö, Prof. am KgL 
SrieöriäjsfoIIegium 3u Königsberg 
t pr. Hr. 22. 

(Oiratttittatih, ^cutfrij«, unö furjc 
(5efd}i(i)te öer öeutfdjcn Spracije oon 
Sdiulrat profeffov Dr. (D. Cqon in 
Drcsöen. Hr. 20. 

Cftranttnatik, $,aHUtifA}s, (Erunörig 
öer lateinifdjen Spradjlclire oon Prof. 
Dr.tD.üotfdjinmagöeburg. Ilr. 82. 

— JtU«ell)<»d)i«ctttrri|e. Der Hibe» 
lunne Hot in flustoal)! unö mittel* 
I]odibeutfd}e (Brammatif mit furjem 
lüörterbud} oon Dr. U). (Boltljcr, 
Prof. an öer Unioerf. Roftod. Ilr. 1. 

— Jßttfrtrii)«, oon Dr. (Eridj Bernefer, 
Prof. an öer Unioerf. Prag. Itr. 06. 

ficije aud) : Ruffifdjes ©cfprüdjs» 

bud]. - Cefebud]. 

oon Prof. n:i). öe Beauj, ©fficier öc 
r3nftruction publique. Itr. 182. 

— CBnöUrrtl«, oon <E. (E. IDIiitfielö, M. 
A., (Dbcrlcl)rer an King (Eöioarö VII 
(Brammar Sdjool in King's £nnn. 
nr. 237. 



^iinhsl»k0WtTv0nhtnt^ $vanf6' 
nrdiir, oon profeffor IFj. öe Beauj, 
(Dfficier öc l'Jnftruction publique. 
Itr. 183. 

— Strtliettirrif«, oon prof. Hlberto 
öeBeaur,®berIel)rcramKgI.3nftitut 
S. S. annunßiata in 5Iorcn3. Ilr. 219. 

— HXttfTtfAie, oon Dr. (II)coöor oon 
Karoratislt) in Ccipsig. Ilr. 815. 

— ^panUait, oon Dr. aifreöo Ilaöal 
öc marie3currcna. Itr. 295. 

^anhelifp0litik, 2^tt»wävtiQt, oon 
Dr. ^cinr. Sieocfing, Prof. an öer 
j Unioerf. marburg. Ur. 245. 

ftanheUnttUtt, |ltt« oon (Bei). (Ober, 
rcgicrungsrat Dr. lüilf). £cfis, 
Prof. a. ö. Unioerf. (Eöttingcn. I: Das 
ijanöcisperfonal unö öer IDorcn» 
^anöcl. Rr. 290. 

II: Die (EffeÜenbSrfe unö öle 

innere f^anöelspolitif . Itr. 297. 

lianhfettevwtifffn, JJi« (Bntwiik» 
Ittttfl her, feit öer mitte öes 19. 3al)r. 
I)unöcrts unö il)r I)cutiger Stanö oon 
(5. IDrsoöef, Oberleutnant im 3n. 
fanterie»Rcgiment 5reil)err ffilUt 
oon (Bärtringen (4. Pofenfd|es) Rr. 59 
unö flffiftent öer Königl. (BerDcljr» 
prüfungsfommiffion. mit 21 abb. 
itr. 360. 

^avtHonieltifte oon H. I>alm. mit 
oicicn Rotcnbcilagcn. Rr. 120. 

j^artmantttfon^ue, lUtftlfvatnvon 
föfdienbadi unö Ojottfriei» von 
grtvniikbttröi. ausroa!)! aus öem 
^öfifdjcn (Epos mit anmcrfungcn 
unö IDörterbud) oon Dr. K. marolö, 
Prof. am Königlidjen Srieöridjs« 
follegium 3U Königsberg i. pr. Rr. 22. 

^(tt^fe, $(iiHe, ^fttllT« oon Dr. Karl 
Braun in Berlin. i^Dic 5cttc unö 
©le III.) Rr. 337. 

I^itutxtllteraturen« ^ie, b. (QvUnH 
0. Dr. m.l7aberlanöt, priDatÖ03. a. ö. 
Unioerf. IDicn. I. U. Rr. 102. 16a 

l^eifung ttnii Cüftung oon 3ngenieur 
3o^annes Körting in Düffclöorf. 
I.: Das IDefen unö öte Bered)nung 
öer I)ci3ungs» unö Cüftungsanlagen. 
mit 34 5ig. Ur. 342. 

II. : Die ausfül)rung öer I^eisungs« 

unö Cüftungsanlagen. mit 1915ig. 
Rr. iUä. 



gdbtttraoe, fite beutrriie, Don Dr. 

©tto öiitpolö 3tric3cf, Prof. an 
btx Untoerf. ITtüniter. Hr. 32. 

— ficl)e aud): rrti)tI}oIogtc. 
Dt)^tranlib Don DipIomOngcnicur ID. 

EJoubcr. mit 44 Siguren. Hr. 3*j7. 

3t)9tette bt» ötäbtfbatt», Zlft, 

Don profejjor ^. (It)r. tlufebaum in 

I^annoDcr. mit 30 Hbb. Hr. 3^8. 

— bce lUoIrnung^nitrcn» oonprof. 
J). (II)r. nußbaum in l7annoDcr. mit 
sabbilö. Ilr. 363. 

|Lnbtt^rtt, älnorgottird)* ClTtml- 
rriie, D. Dr. (Buft. Rauter in (Ef)«- 
lottcnburg. I : Die £ebIancfoöain5U' 
jtrie un6 tt)rc Itebensroeige. mit 12 
lEaf. Hr. 205. 

II: Salincnrocfen , Kolifalsc, 

DüngerinbuUric unö ücnoanötes. 
mit 6 (Eaf. Hr. 206. 

III: flnorganifdic(n)emif(i|cPrä» 

parate mit 6 JEafcIn. Itr. 207. 

— htv SUlktttt, betr künttlidftn 
^rtttffetn* utih bce Jtlörtfl*. 
I: (Blas unö feraTnifd)e3nöu)trie Don 
Dr. ffiujtaD Rauter in dljarlotten» 
bürg, mit 12 ilaf. Hr. 233. 

1 1 : Die 3nöu{trie öcr f ünitlidjen 

Bauftcine uuö öcs mörtcis. Dlit 
12 Saf. Hr. 23i. 

Jnfehtiottökrttukljeitett, pit, unh 
Hjvt |lerl)tttung von Stabsarst 
Dr. U). I}offmann in Berlin, mit 
12 Dom üerfaifer gcscidjnetcn flb- 
bilöung. u. einer fiebcrtafel. Hr. 327. 

gntcortilrtdtttunfl oon Dr. 5ricör. 
3unfer, Prof. am Karlsgijmn. In 
Stuttgart mit 89 5ig. Rr. 88. 

— Repetitorium u. flufgabenfammlung 
3ur 3ntcgralrcd)nung o. D r. 5rieöri^ 
3unfer, Prof. am Karlsgtjmn. in 
Stuttgart mit 52 S'iQ- Rr. Ii7. 

^(trtenhunbt, geid)id)tli(^ öargeftellt 
Don (E. (Beicid}, Direftor 6er I. L 
Rautijdjen Sdjule in £uf|inpiccoIo 
un6 5- Sauter, Prof. am Rcalgtjmn. 
in Ulm, neu bearb. Don Dr. Paul 
Din?e, fljfiftent öer (Befellfdjaft für 
(Erörunbc in Berlin, mit 70 flbbilb. 
Rr. 30. 

ftirdtenUeb. martin Cutljer, Iljom. 
murncr, unb öas Kirdienlieö öes 
16. 3ai)rl]unöerts. flusgetoätiÜ 
un6 mit (Einleitungen unb fln« 



merfungen oerfeljen Don Prof. (b. 

Berlit (Dbcrieljrcr am Rifolaigqm» 

nafium 3u £eip3ig. Rr. 7. 
^irdienrrdtt Don Dr. (Emil Scljling, 

orb. profejfor ö. Rc(i|te in (Erlangen. 

Rr. 377. 
^limahunbe I: flllgcmeinc Klima» 

leljre con Prof. Dr. W. Koppen, 

meteorologe öer Sceroartc f^amburji 

mit 7 Olaf, unö 2 5ig. Rr. 114. 
$0l0nial0erd)td)te oon Dr. Dietri^ 

Sdjäfer, Prof. öcr (Befdjidite an btt 

UniDerf. Berlin. Rr. 156. 
^oloniolrtdjt, ?1cutrd)td. Don Dr. 

?}. (Eöler Don Fjoffmann, Prioatöo}. 

an öer Unioerf. (Böttingen. Rr.318. 
I^omt^ontiott^ltktr. mu|ilalif(^ 

5ormenleI)rc oon Stepljan KreI)L 

I. IL mit üiclen Rotenbeifpitlen. 

Rr. 149. 150. 
^ontrat^uttht. ^U itltvt von btv 

rtlbflSttbigen &tim}nfül)rtmf 

Don Stepljan KreI)I. Rr. 390. 
^ctitvoUwtftn, 4ltt» a^rthttltttr- 

djtmtrdte, oon Dr. Paul Krif(ije 

in (Böttingen. Rr. 304. 

giöf p«r, bcr menrdUldje, M« $att 
»t«b Ttine O'Sttghtitttt, »on 

(E. Rebmann, (Dbcrfd}ulrat in Karls» 
rul)e. mit (Befunöljeitsleljre oon Dr. 
med. Ij. Seiler. Rlit 47 flbbilö. unö 
1 tCaf. Rr. IS. 

ßoftcnanrdjlofl fiel)c: Deranfd}lagen. 

^rirtoUoflroiJljtt oon Dr. W. Bruljns, 
Prof. an öer Unioerf. Straöburg. 
mu 190 HbbUö. Rr. 210. 

i^ttbrun ttttb ptctrtdifprtt, Rttt 
(Einleitung unö IDörterbudj »on 
Dr. (D. C. 3iric3cf, Prof. an öer Uni» 
Derf. münjter. Rr. 10. 

|icl)e auii : £eben, Dcutf(^, Int 

12. 3al}rl]unöert 

Kultur, pte, htv ^«nailTanre. <bt» 
Uttung, 5orfd}ung, Didjtung oon 
Dr. Robert 5- flmolö, profeffor 
an öcr Unioerf. n)ien. Rr. ISÜ. 

^ttUttvötrdildttr, Pcutrdjt, oon 
Dr. Rein^. (Bunt^cr. Rr. 56. 

^mtflr. Sie Bvmjhtrdicn, oon (Earl 
Kampmann, Sadjlclirer a. 6. f. f. 
(Brapljiidjen £el)r. unö Derfudjs» 
anftalt in H)ien. mit 3al)lreid}CT 
flbbilö. unö Beilagen. Rr. 75. 



Ittttrtrdjrift ftc^c : StenograpT}ic. 
gtttt^«tr|tuitti« von i&ttV0p<i oon 

Dr. $xani Jjeiöeridj, Prof. am 
5ranctsco»3ofepI)inum tn ITlöbling. 
mit 14 Q:cftfärtci)cn unö Dia* 
grammen un5 einer Karte öcr 
Hlpeneintcilung. Hr. 62. 

— htv <inf^eveuv0vixWitit (&vb- 
ttiU oon Dr. Sxani £jeiöcrt(i|, 
Drofcffor a.5roncisco»3ofepi)inum in 
inööling. mit 11 tEcEtfärtdien unö 
Profil. Itr. 03. 

$att{>je«ltunti« u, ^h'tfd)aftmt0- 

oon Dr. Kurt fjafjert, profcffor öcr 
®cogropI)tc an ö. I^anöcIs»^od)jdiuIc 
tn Köln, mit 8 Hbbilö , 6 grapl)ifdi. 
ITabcIIcn unö 1 Karte. Ilr. 319. 
<an:^«j»kun2i« von ^«tlieu oon Prof. 
Dr. CD. Kieni^ in Karlsrul)e. mit 
Profil, flbbilö. unö 1 Karte. Hr. 199. 

— bt» |iiöni0veid)«r ^anevn oon 
Dr. VO. (Bö^, Prof. an ö. Kgl. tEecfjn. 
fjodifdiule mündicn. mit Profilen, 
flbbilö. u. 1 Karte. Hr. 17u. 

— hev ^tpublik ^vuhlitn oon Ro» 
öoIpI)ODon 3I)cring. mit 12 Hbbilö. 
unö einer Karte. Hr. 373. 

— von ^rittfrii-ilöriirtjucfirrrt oon 
Prof. Dr.fl. ®ppel in Bremen, mit 
13 flbbilö. unö 1 Karte. Hr. 284. 

— von ©ir«»ß»$<»tl|vi»t0cn oon Prof. 
Dr. R. Cangenberf in Strasburg i.(E. 
mit 11 flbbilögn. u. 1 Karte. Hr. 21.5. 

— he» ®»rofil)ttrf0ötttm* ^tffsn, 
>«v pvovim^ ^efftn-^lfxffixn tttti» 
he» £itvfientmtt» 33llolb<dt oon 
Prof. Dr. ©corg ©reim in Darmftaöt. 
mit Profilen, flbbilöungen unö 
1 Karte. Rr. 376. 

— hev ^berifdien ffalblnfsl oon 
Dr. 5ri^ Regel, Prof. an öcr Uni» 
ocrf. IDürsburg. mit 8 Kärtdjen unö 
8 flbbilö. im tlcjt unö 1 Karte in 
5arbcnöru(I. Hr. 235. 

— »r^tt ©|tcvf«ld) - |(n0avn oon 
Dr. flifreö (Bruno, profeffor an 
öerUniocvi. Berlin, mit 10 tTeyt» 
illuftration. unö 1 Karte. Rr. 244. 

— hev ^Ijtinpvovitit oon Dr. V>. 
SteinecEc, Direftor öcs Realgtjmnaf. 
in (Effen. mit 9 flbbilö., 3 Kärtdicn 
unö 1 Karte. Rr. 308. 

— he» i(iuvop'difd]eit l^uftlanh» 
nebft £tmtlrtMi»0 oonProfe|forDr. 
fl. pi^Uippfon in I^alle a. S. nr.359. 



^aithe»knnht he» ^öniaveiAt» 
§'aü)fen o. Dr. 3. Semmrid}, Ober» 
leljrcr am Realgpmnaf. in Plauen, 
mit 12 flbbilö. u. 1 Karte. Rr.258. 

— htv §ti?utctf oon ©i)mnafiallcl)rer 
Dr. I). nJalfcr in Bern, mit flb* 
bilöungen unö einer Körte. Rr. 398. 

— von §haixhhtnvien ($(i|roeöen, 
nonoegen unö Däncmarf) oon 
Qeinri^ Kerp, Celjrcr am ®t)m. 
nafium unö Celjrcr öcr (Erölunöc am 
(Tomenius» Seminar 3U Bonn, mit 
11 flbbilö. unö 1 Karte. Itr. 202. 

— htv PeveiniüUn Staaten von 
i^ovhdmevikix oon Prof. Bclnric^ 
Smtx in Berlin, mit Karten, 5i- 
guren im ^eft unö JEafeln. 2 Bänö« 
^en, Rr. 381, 382. 

— he» ^'oni<sveidi»^üvftembevi 
». Dr. Kurt l7affcrt, Prof .ö.©eograpl)ie 

an öer l)anöels!)0(i)fd)ulc in Köln. 

mit 16 DoIIbilö. u. 1 Karte. Rr. 157. 
^anhe»- u,ffolk»hunhe ^aVdfiina» 

oon Lic. Dr.(Buftao l7ÖIf(f)er in t^alle. 

mit 8 PoIIbilö. u. 1 Karte. Rr.345. 
g(tntintirtrri)(tftltri)e^ctH»bi»U))tr« 

oon (Ernft Cangcnbed in Bodjum. 

Rr. 227. 
geben, ^entfdje», im 12. u. 1*?. 

gtt^v^tttt^etrt. Realtommentar 3U 

öcn Dolfs* unö Kunftepen unö 3um 

minnefang Don Prof. Dr. 3ul. 

DieffenbaSjer in Steiburg i. B. 

1. lEcil : Öffentlidjes Ceben. mit 3aI)I« 

reidjen flbbilöungen. Rr. 93. 
2. tEeil : prioatlebcn. mit 3a^I» 

reidjen flbbilöungen. Rr. 328. 
g«nt«0* ®ntill(» (Salotti. mit (Ein. 

leitung unö flnmerfungen oon Prof. 

Dr. VO. Dotid). Rr. 2. 

— ^inna t». ^avuljelm. mit flnm. 
oon Dr. tEomafdief. Rr. 5. 

gWit. Q:i)eoretifd]e pijtjfif II. tEeil: 
£id)t unö rOärme. Don Dr. 6uft. 
3äger, Prof. an öer Uniocrf. UJicn. 
mit 47 flbbilö. Rr. 77. 

gUcrtttuv, ^itljod|i«etttrdj«, mit 
©rammatif, Uberfe^ung unö (Er> 
läuterungcn oon tEl). Sdjauff ler, Prof. 
om ReaIgt]mnaUum in Ulm. Rr. 28. 

£ittvatuirbenhntät«tr he» 14. u. 15. 
^alnUnnhevi». flusgeroälilt unö 
erläutert oon Dr. {^ermann 3anÖcn, 
DireÜor öer Königin £uifc=SdiuIe in 
Königsberg i. pr. Rr. 181. 



$H»tratur^ettkmaUr be# 16. Hatir- 
btmb«ft« I: l^orttn ^utljtr. 
C^»m. JJltttrtttr tt. t>a0 ^irrijut- 
if«b b»# 16. 5at|rl|unb«rt0. 

ausgen)äl)lt unb mit (Einleitungen 

ttn6 flnnterfungcnDcrfeljcn oonprof. 

•. Berlit, ©bcrleljrcr am ttifolai. 

gtjmnafium 3u Ceipsig. llr. 7. 
II: Dan» $aäi». flusgetoS^It 

»lö erläutert oon Prof. Dr. 3uL 

Sa^r. nr. 24. 
III: ^cn ^vaxxi bi* ^cütn- 

f ragen: Srnnt, ßutten, ilfrijart, 
0mit ^itvtpo» unb gabtl, 
flusgeroSIjIt unö erläutert oon Prof. 
Dr. 3ulius Saljr. Itr. 36. ' 

— f «tttfcfie, bga 17. unb 18. ^akv- \ 
^nnbtvt» Don Dr. Paul £egban6| 
kl Berlin. (Etfter (Ccil. Hr. 364. I 

ffierainrtn, Jllt, bt« Orient».; 
I. (Teil: Die Citeraturen ©ftafiens 
«nö Jnöicns o. Dr. ITt. fjaberlanbt, 
prioatöosent an öcr Unioerf . VOitn. \ 
hr. 162. ' 

— II. leil : Die Citeraturen &er Perfer, 
Semiten unö lEürlen, oon Dr. ITt. < 
Raberlanöt, prioatöoscnt an 6cr, 
Unioerf. IDien. nr. 163. j 

iiUvtftuvQtfd^lMt, Sentfdie, oon 
Dr. UTay Ko^, profeffor an öcr' 
Uirtoerf. Breslau. Hr. 31. 

— Jentrdje, btv ^lolTiherfeit oon 
Carl tDeitbred)t, Prof. on 6er t[ed|n. i 
Qodifd|uIe Stuttgart. Hr. 161. | 

— ^entfdTe, bt» 19.|ial)r^unbert0 
».Carl IDeitbredit, Prof. an b. lec^n. 
IJodjfd)uIc Stuttgart, neubearb. oon 
Dr. Rid}. IDeitbredit In IDimpfen. 
I. n. Hr. 134. 135. 

— ifnalifdit, oon Dr. Karl IDcifet 
In IPien. Itr. 69. 

6run63ügc unö I^auptttipen öer 

«glifdjen Citcraturgefdjidite oon Dr. 
ftmolö ITt. nt. Sdjröer, Prof. an öer 
Ranöelsliodjfdjule in Köln. 2 (Teile, 
nr. 286, 287. 

— €iriedtird)e, mit Berütffiditigung 
öer (5efd|id)te öer IDiffenfd|aften 
oon Dr. fllfreö (Berdc, Prof. an 
öer Uniocrt. (Breifsmalö. nr. 70. 

— Stcklienifdie, oon Dr. Karl Dofeler, 
Prof. a. ö. Unio. I7eiöelbcrg. nr. 125. 

— |l0irbird|e, I. tTeil: Die islänöif^e 
unö nortoegifdic £iteratur öcs ITtittel« 
alters oon Dr. IDoIfgang ffiolt^er, 
Prof. an ö. Unioerf. Roftod. Ur. 254. 



gHertttiirgerd)W)te,|Jerttteiertrd|e, 

oon Dr. Karl oon Reinljaröitoettner, 
Prof. an öer Kgl. ledjn. fiocbfcbule 
ntündjen. Ur. 213. 

— ^omifdie, oon Dr. Jjermonn 
3oa(^im in IJamburg. Ur. 52. 

— »ttlTtWie, oon Dr. (Beorg polonsfif 
St mündjcn. Ur. 166. 

— Slamfdjt, oon Dr. 3ofef Karäfel 
In IDien. 1. tEcil: flitere Citeratur 
lis 3ttr IDicöergeburt. Ur. 277. 

2. CeU : Das 19. 3al}r^. Ur. 278. 

— Spanifdjt, oon Dr. Ruöolf Beet 
tn roten. I. n. Ur. 167. 168. 

^«»gurltljnten. DicrfteHige lafeln 
unö (Begentafeln für logaritljmifdjes 
unö trigonometrifd)es Redinen in 
StDci Sorben sufammengeftellt oon 
Dr. ^ermann Sdjubcrt, Prof. an 
öcr (5elel)rtcnfdiule öcs 3o!)an» 
neums in I^amburg. Ur. 81. 

Sofltk. Pft)d|oIogie unö £ogif 3ur «n- 
füljrung in öie pi)iIofopl}ie o. Dr. ttb. 
(EIfcnljans. lUit 13 5tg. Ur. 14. 

£ut^er, ptattin, S^om. I^utrner 
nni« ba» $iivdjtnlUb bt^ 16. 
|id^tl)unbert0. flusgctoäf)It unö 
mit (Einleitungen unö flnmerfungen 
ocrfcI)en oon Prof. (5. Berlit, (Dbcr« 
leerer am Itifolaigtjmnafium 3U 
£etp3tg. Ur. 7. 

ittagnetitfmu«. (ri}eoretif<^e P^t}{il 
ni. Heil: CIeftri3ität unö ITtagnetis« 
mus. Don Dr. (BujtaD 3äger, 
Prof. an öer Unioerf. roten, ntit 
33 Hbbilö. nr. 78. 

maierei, tSefdiidite btv, h n. III. 
IT. Y. oon Dr.Ric^. Rlutfjer, Prof. 
an ö. Unioerf. Breslau. Ur. 107-111. 

Ptalferei. Brauereitoefen I: lTtäl3ere{ 
oon Dr. p. Dreoertjoff, Direftor öcr 
ÖffentL u. I. Sädjf. Derfudjsftat. für 
Brauerei u. Rtälserei, foro. ö. Brauer» 
u. inäl3crfdiulc 3U (Brimma. Ur. 303. 

J^i»rd|inetteUmettte, Sie. Kurj« 
gefaxtes £el)rbu(ii mit Beifpielen für 
öas Scibftftuöium unö öen pratt. (5e» 
brauet) oon 5r. BartI), (Dberingenieur 
in nürnberg. ITtit 86 5ig. Ur. S. 

VAa^analiift oon Dr. (Dtto Röl|m tn 
Stuttgart. ITtit 14 5tg. Ur. 221. 

J^oß-» ^ttttf- ttni> (Sen>id)t#- 
txttftn oon Dr. fluguftBIinö, Prof. 
onöerEJanöcIsf^uIcinKöIn. nr.2S3. 



i.b.mob. ffcdintl 6. Ittatcrialprüfung 
oon K. Itlcmmler, Diplomingenieur. 
Stänb.lTtitarbcltcr a. Kgl. llXaterial» 
Drüfungsamtc 3U (Bro6=£:i(^tcrfcIöe. 
1: ntatcrialcigcnldiaften. — 5cftig* 
fcitsoerfudic. — E)ilfsmittel f. Scftig» 
fcitsDcrfuclie. «litöSSig. Hr. 311. 

— II: ntetallprüf ung u. Prüfung o. J)ilfs« 
materialicn öcs Iltafdiincnbaucs. — 
Baumatcrialprüfung. — Papier» 
Prüfung. — Sdjmiermittclprüfung. 
— (Einiges über IlTctallograpIiic. 
mit 31 5tg. Hr. 312. 

ilSlnHfttttaHh, (ß«fA)iA)tt ]^«tr, oon 
Dr. fl. Sturm, profeffor am ©bcr« 
gqmnafium in Seitcnftctten. nr.226. 

$tted|attlfe. a:i)coret. pijtjfll I. (Eeil: 
medianif unö Hfuftif. Don Dr. 
©uftao 3äger, Prof. an öcr Unio. 
rOien. mü 19 Hbbilö. Hr. 76. 

Pt«er«<»ltunbje, ytinftfri)«« oon Dr. 

(Bcr!)arö Sdjott, flbtcilungsoorfteljcr 
an öer Deutfdien Seeroartc in ^am* 
bürg, mit 28 Hbbilö. im tEegt unö 
8tEaf. Hr. 112. 

ilt<rTttn0«rtnetIr(»bcn, Vi)tffih<ilifdit 

». Dr. tDiII)eIm Ba^röt, ©bcrlcljrcr 
an ber ©bcrreolfdiule in (Broft» 
£ic^terfclöe. mit 49 5ig. Hr. 301. 

|lt«taUe (flnorganifdje (EI)emic 2. tEeil) 
D. Dr.OsfarSdjmiöt, öipl.3ngcnieur, 
HfUftcnt an öer Königl. Baugeroerf» 
fdjule in Stuttgart. Hr. 212. 

ftdetaüoih» (anorganif(^c Cljcmtc 
1. ITell) oon Dr. ®sfar Sdjmibt, öipl. 
Ingenieur, flffiftcnt an bcr Kgl. Bau« 
getDerff(^uIc in Stuttgart. Hr. 211. 

^ttaHttv^it oon Dr. Hug (5ei^, 
biplom. (Et)cmifer in mündjen, 1. 11. 
mit 21 $ig. Xlt. 313, 314. 

^tU0V0l0üit oon Dr. ü). (Erabcrt, 
rof. an öer Uniocrf. 3nnsbru(f. 
^it 49 Hbbilö. unö 7 n:af . Hr. 54, 

jßUitävftvafvtdjt oon Dr. TXlai (Ernft 
mat)cr, Prof. an öer Unioerfität 
Strafeburg i. (E. 2 Bänöc. Xlv. 371, 
372. 

2nin«rd:lo0U oon Dr. R. Brauns, 
Prof. an öer Unioerf. Bonn, mit 
130 flbbilö. Itr. 29. 

IDaltljcr oon öer Dogcltoeiöe mit Hus« 



8f^ 



toaI)I aus minnefang unö Spru(^. 
öidjtung. mit flnmerfungen unö 
einem IDörterbud) oon (Dtto 
(Büntter, Prof. an öer ©berreal« 
fdiule unö an öer (Eedjn. QoAfdbuIe 
in Stuttgart Ilr. 23. 

^0vplicl0Qie^ 3ln(tt0mU u, Pijti- 
rtoi00ie btv |)f)itnf«n« Don Dr. 
tD.migula, Prof. a. ö. 5orftaf aöemie 
(Eifenadj. mit 50 Hbbilö. Hr. 141. 

^ümwtftn, Xila^; münj. unö (5e» 
tDiditstoefen oon Dr. Hug. Blinö, 

grof. an öer JJanöelsfdiuIe in Köln, 
r. 283. 
Pturttetr, W^ljoma», martin Cutter, 

tEI)omas munter unö öas Kird|enlieö 

öes 16. 3al)tl}. HusgctoäI)It unö 

mit Einleitungen unö Hnmcrhingen 

ocrfel)en oon Prof. (B. Beritt, (Dberl. 

am IlifoIaigt)mn. 3u £eip3ig. Hr. 7. 
Hturtb, (Btffl)id}U tt»v iilUn utt> 

miHelaHevlid)en^ oon Dr. Ä. 

möl)ler in Pfrungen. 3toeiBänöd|en. 

mit 3aI)Ireid}en Hbbilö. unö muf«. 

beilagen. Itr. 121 unö 347. 
jgUnUUalifdjt iovtntnltlive (^«tn- 

pcftiifin^Ulive) o. Stepljan Kreljl. 

I. II. mit oielen Hotcnbcifpiclen. 

nr. 149. 150. 
Ptuftküfl^etik oon Dr. Karl (Brunslo 

in Stuttgart. Hr. 344, 
murthiefdiid)U ht» 17. utth 18. 

^aljvltunbtvt» oon Dr. K. (Bruns* 

tq in Stuttgart. Hr. 239. 

— r«it^e0inn i«. 19. |iftlrvlrutth»trt# 
oon Dr. K. (Brunsft) in Stuttgart, 
I. II, nr. 1&4. lüo. 

piul^hUbtr«, ^Ug«mein«, o.Step?jan 
Krelil in £eip3ig. tlr. 220. 

Plt)tl)i>l09t«, iQtvmanifdje, oon Dr. 
(Eugen mogf, Prof. an öer Unioerf. 
£eip3ig. ITr, 16. 

— (Bvitd)ifd}t ttttJ» rÄmlfrij*, oon 
Dr. J}crm. Steuöing, Prof. am 
Kgl. ®t)mnafium in n)ur3en. Ilr. 27. 

— fieljc au(^: £)elöen{agc. 
^la'btlli'oUtv , 5«« oon Dr. $. TD. 

Heger, Prof. an öer Kgl. Sorftafaö. 
3u Q:!)aranöt. mit 85 Hbb., 5 tEab. 
unö 3 Karten. Ilr. 355. 
Ilotttih. Kur3er Hbrife öcs täglich an 
Boro oon Ijanöcisfcfjiffen ange« 
toanbten Seils öer Sdjiffafjrtsfunöe. 
Don Dr. Sxan^ $d}ul3c, Direltor 
öer naDigations«Sd)uIe 3u £übe(J. 
mit 56 Hbbilö. llr. 84, 



10 



}lUf«lun0t, fletr, |lut in Hustoa^I 
un6 lTlitteIf)od}öeut|djc »Brammatif 
m. furj. IDörterbudi d. D r. lD.(5oItI)cr 
Prof. an öcr Unio. Rojtod. Hr. 1. i 

— — {icl)c aud): £eben, Dcutfdjes, tm, 
12. 3al)rl}unöcrt. j 

|lMfevflttn|enDonprof.Dr.3.BcI}ren$, 1 
Öorjt 6. (Brofet). lanöroirtldjaftl. Der« j 
Judjsanjt. flugufteiiberg. mit 53 5tg. i 
Itr. 123. I 

|)äbagogth Im ffirunöriß oon Prof. ■ 
Dr. ro. Rein, Direftor öes päbagog. 
Seminars an öer Unio. 32na. Hr. 12. 

— ©tWiirfite htv, Don ©berleljrer 
Dr.^.lDeimerintDiesbaöen. nr.l45. | 

llolöontoloöi« D. Dr. Ru6. Ijoemes, 
Prof. an öcr Unio. (Braj. mit 87 
abbUö. Hr. 95. ! 

XJavaütlptvrptküvt. RedjttDinflige j 
unö fdjieftDinflige flfonomctrie oon ; 
Prof. 3. Donberlinn in münfter. mit , 
121 5ig- Hr. 260. I 

\ftvfpsMivt ncbft einem flnl}ang üb. 
Sdiattcnlonftruftion unö Parallel» 
perjpeftiDC Don flrdjiteft fjans 5r«i}» 
fccrger, ®berl. an öer Baugetoerf» 
fdjulc Köln, mit 88 Hbbilö. Hr. 57. | 

\fttv0^vaplfit Don Dr. ID. Brul}ns, ; 
Prof. a. 6. UnioerJ. Strasburg i. (E. ■ 
mit 15 flbbilö. Rr. 178. \ 

Pflan\t, 5it, xi]t Bau unö ibr £cben | 
Don (Dberlcl]rer Dr. (E. Dennert | 
mit % Hbbüö. Rr. 44. ! 

PfLamtnbiolc^it oon Dr. W. migula, < 
Prof. a. ö. 5or(tafaöemie (Eifenadj. 
mit 50 flbbilö. Rr. 127. 

Vflamcttötogrovlile oon Prof. Dr. 
Cuöro. Dicis, prioatöos- a. ö. Unicerf. 
Berlin. Rr. 3ö9. i 

IJ^onienkvonkljeiten o. Dr. IDemer 
Srieör.Brud, pricatöoscnt in (Biegen. ' 
mit 1 färb. Q:af. u. 45 flbbUö. Rr. 810. , 

llfiauKU - ^ovpiioloQit, -^nota- 1 
tttte tttib -^Jlinrtolooi« Don Dr. ; 
ID. migula, Prof. an öcr 5orfta!aö. I 
(Eijenadj. mit 50 flbbilö Rr. 141. | 

\JfiaMenvtidh ^a«, (Einteilung öes \ 
gcfamten Pflan3cnrcid)S/ mit öcn 
roiditigjten unö bcfanntcftcn flrtcn 
oon Dr. $■ Reincdc in Breslau unö 
Dr. R). migula, Prof. an öcr 5orjt« 
afaö. (Eijenad}. TRii 50 Siq. Rr. 122. 

|Iflon|etttt»tlt, t)it, htv ißttxfatfev 
oon Dr. W. migxila, Prof. an öer 
5or{taf aöcmie (£i|enad). Ttlxi 50 flb- 
bilö. Rr. lös. 



llljartttttboöttofte. Don flpotI)efet 
5. Sdjmittljenncr, fljfiftent am Bo» 
tan. Önjtitut öer Scd]ni[d)en £jo(^ 
Idjule Karlsrulie. Rr. 251. 

IIJjUoloBlt, 6«rd)U|te htv kUf- 
Rfrifm, oon Dr. n)ill). Kroll, ort. 

Srof. an öer Unioerfität münfter 
i roeftfalen. Rr. 367. 
pijHofopitit, tBlnfülivun^ in kin, 
Don Dr. majr IDentfdjer, Prof. a-6. 
Unioerj. Königsberg. Rr. 281. 

— (öefxiiWii« i»tr, IV: itet»r» 
llljtlüroplile bl» fttttt* oon Dr. 
Bruno Baud), prioatöos. a. ö. Uni« 
Dcrf. Italic a.S. Rr. 39 t. 

— Dfiidjologie unö Cogil 3ur (Einfübt. 
m öie pi)ilofopl)ie oon Dr. (u). 
(Elfenl)ans. mit 13 5ig- Hr. 14. 

Pif0t0Qvapliis, P'tt. Don f). Kefelet, 
Prof. an öer f. I. (Braptjifdjen £ebr« 
unö Deriud)sanftalt in VDxtn. Toü 
4 (Eaf. unö 52 flbbUö. Rr. 94. 

llljttftk, Ä^torrtifd?«, oon Dr. (Buftan 
3äger, Prof. öcr piipfif an bex 
ttcd)nifdicn f^odifc^ule in IDten. 
I. deU : medjanil unö flfuftil. mit 
19 flbbUb. Rr. 70. 

II. Heil: £id)t unö IDärme. XXOk 

47 Rbbüb. Rr. 77. 

III. leil: (Elcltri3ität unö mag«»» 

tismus. mit 33 flbbilö. Rr. 78. 

IV. lEcil: (Elehromagnetiid}e£ic^t» 

tljeorie unö (Elcftronif. mit 21 Siq. 
Rr. 374. 

— fßtTdfifUit htv, oon fl. Kiftnet, 
Prof. an öer (Brofelj. Realfdjul« 
3U Sinsljeim a. € I: Die pi^tjfil bt$ 
ReiDton. mit 13 5ig- Rr. 2ie. 

II: Diepijrjfif DonRctDtonbisstir 

(Begcntoart. mit 3 5ig- Rr. 294. 

Piltihbalifd]t aufgaben rammlung 
oon (B. maljlcr, Prof. ö. matl)em. 
u. pi)t]jif am (Bi)mnafium in Ulm. 
mu öen Refultaten. Rr. 24ß. 

\Jijtjhkalifd)t $ovmtlfamntltm§ 
oon ©. maljler, Prof. am (Bput» 
nafiuminUlm. mit65 5ig Rt.L3& 

yijt|ltkoUrriie illelTun«ftwetljo&»» 
o. Dr. H)ill}elm Baljröt, ®berlcl)rer 
an öcr ©bcrrcalfdjulc in (Broft» 
£id)terfelöe. mit 49 5ig- Hr 301. 

yiaftik. bit, ht0 %btnhlanht0 von 
Dr. E)ans Stegmann, Konferoatot 
am <Berman. nationalmujeum ju 
Rümberg. mü 23 lEaf. Rr. 116. 



11 



(L fftilmetizt in ITtün(i|cn. HXit 

41 DoIIbilöcrn. Xlr. 321. 
|l<tctik, ^tut\A}t^ Don Dr. KBorinsIt, 

Prof. a. 5. Unit). Xttündicn. Itr. 40. 
|tfttii)0l«r0{« unb $o0ilt 3ur (Einfuhr. 

in öic pijilofop^ie, Dort Dr. al). 

(Elfenljans. mit 13 ^tg. Hr. 14. 
^fndj^plftifih, ®vtxnhvi^ hsv^ oon 

Dr. <b. $. tipps in Ccip3ig. mit 

3 5ig- nr. 98. 
^nmptu, irn^f aulifd)« unb pntu- 

Smüfdi« 3lnla0(tt. (Ein fitrjer 
berblid »on Rcgterungsbaumci|tcr 
Ruöolf Dogöt, ®berlci)rer an öcr 
fgl. Ijöfjcren ma}cf)lncnboufd|uIe in 
Pofcn. mit aaljlr. Hbbilb. Xlv. 290. 

t|tt<U»nkunl>« futr l»tuifä}tn &t- 
fdiiA)H Don Dr. (Eorl Jacob, Prof. 
an öer Uniocrf. lEübingcn. 2 Böc. 
Hr. 279. 280. 

l^a>i0itbti«ität oon (Elicntlfcr tDillj. 
5romntcI. mit 18 flbbilö. Hr. 317. 

y»dtn«tt, ^rtttfntttuttirdje«, »on 
Ri(!^ar6 3uft, (Dbcrlcljrcr an öer 
Öffcntlidicn ^anöclslcl)ranftalt öer 
Dresöcner Kaufmannfdiaft. I. II. III. 
Hr. 139. 140. 187. 

— s?tt«, in >«tr ®<djnlh un^^ r«ltt« 

tUf)0ttn{tt«l oon 3ngcnieur 30!}. 
wen matjer. mit flbbtiöungen. 
Hr. 405. 
|(«d)t b. ^utrgerlid?. (fSefc^lfttd;««. 
StDcites Budj: Sdiulörcdit I. Hb« 
teilung : flllgentcinc £cl)rcn oon Dr. 

gaul (Dcrtmann, profcffor an öcr 
niocrfität (Erlangen. Hr. 323. 

— — II. Abteilung: Die einjelnen 
Sc^ulöoerljältniffc o. Dr. Paul (Dert* 
mann, profejjor an öer Unioerfltät 
(Erlangen. Ilr. 324. 

— Diertes Budj : Santilienrcdjt oon 
Dr. I}cinrtd) tEt^e, Prof. an öer 
Unioerf. (Böttingcn. Itr. 305. 

}Htd\t»Ui)ve, ;\Uöcmctne, oon Dr. 
tri). Stcmbcrg, prioatöos. an öer 
Unioerf. Caujanne. 1 : Die met!)oöc. 
rtr. 169. 

— II: Das Stjftem. Hr. 170. 
|^cdft«trdiu%, p«v intcrntkitonaU 

gentetrblidje , oon 3. ITcuberg, 
KaifcrI. Rcgicrungsrat, mitglicö öes 
KaijerI.patcntamts3uBerlin.nr.27i. 
]^c2i«Ul)ve, ^«utrdt«, o. I}ans probat, 
(Dtjmnajialprof. in Bamberg, mit 
einer Saf. Hr. (il. 



^sT^gfdjvlft fiel|e: Stcnoqrap!)ic. 

^«iigi^n, $le ()Bntntidtlun0 >etr 
d|vifllid;en, inncrl)alb öes Heuen 
tteftaments oon Prof. Lic. Dr. (Earl 
(Elemen in Bonn. Hr. 388. 

i^«ll0iou»0<rd)ld)t*,2im«rtttm<«t- 
lldj«, oon D. Dr. Vtla^ £öf)r, Prof. 
an öer Unioerf. Breslau. Itr. 292. 

— Jn%iird)e, oon Prof. Dr. (Eömunö 
Qaröt). nr. 83. 

fief)c auc^ Buööfja. 

l^*llfitott0ti»inr<»rd)ttft, ^bviji htv 
if«viltid)snhtn^ oon Prof. Dr. ttl). 
fldielis in Bremen. Hr. 208. 

^»naiffance. Die Kultur ö. Renaiffance. 
(Bcfittung, Sorjdiung, Didjtung oon 
Dr. Robert $. arnoIÖ,priDatöo3. an 
öer Unio. IDien. Rr. 189. 

^tptUim fiel)c: lEierreid} III. 

^0inan. ©efdjidjteö.öeutfdien Romans 
oon Dr. IJellmutl} mielfe. Rr. 229. 

I^urrtrdr-^cutrdie« (ßtfpv'dA)»bndi 
oon Dr. (Eridj Bemefcr, Prof. an öer 
Unioerf. präg. Rr. oa 

l^untrd)« giterattttr I: flustoal)! 
moöemer profo u. poefie m. aus» 
fuljrl. flnmerf. u. flf3entbc3cid}n. oon 
Dr. (Erid} Boef)me, Ceftor an öer 
Ejanöclsfjodifdiule Berlin. Rr. 403. 

— — II: flustoal)! aus (5arfd)tn's 
Witten oon Dr. (Erid) Bocijmc, Ceftor 
an ö. £)anöclsI)odif(fi. Berlin. Rr.404. 

lliuffifdjt«' gsfcbud] mit ©loffar oon 

Dr. (Eridj Bemefer, Prof. an öcr 

Unioerf. Prag. Rr. 07. 

fiel)c au^: (Brammatif. 

§(»d|j», itan»* RusgetoäI)It unö er« 

läutert oon Prof. ür. 3unus Sabr. 

Rr.24. 
§äus«ticf e. Das Sierrei(^ l : Säuge» 

tiere oon ©berftuöienrat Prof. Dr. 

Kurt Campcrt, Dorfteljer öes KgL 

Raturalien!abinetts in Stuttgart. 

mit 15 flbbilö. Rr. 28a 
§d)aUti\h«ttftvuMi0tteit 0. Prof. 3. 

DonöcrIinninRtünfter. mitll4 5ig. 

Rr. 236. 
§d)niav0^tv tt. ^dmtavoitsvtttm 

inhev^ievtxftH. (Erfte €inf üljrung 

in öie tierifdie Sdjmaroöcrtunöc 

0. Dr. 5ran3 o. tDagner, a. 0. Prof. 

a. ö. Unioerf. (bra^. mit 67 Hb» 

bilö. Rr. 151. 
§d|uU, jDi« >etttrdj<,im3ltt!9lttnl»«, 

oon Iilans flmrliein, Direftor öcr 

öeutjdien Sdiule in Cüttid}. Rr. 259. 



12 



§dTttlt»rttrt#. PTctI)oötI öer Dolfs» 
fdiulc Don Dr. R. Seijfcrt, Seminar« 
bireftor in 3|diopau. Ilr. 50. 

§ettttod)t, pic, in hcv htntfA)tn 
©cfdjiditt Don tDirfl. flömiralitäts* 
rat Dr. (Ernft oon Italic, Prof. an 
öct Unioerlitöt Berlin. Hr. 370. 

§etrtd)t. ?lo» beutrdi«, oon Dr. 
Otto Branöis, ©berlanöesgeridjts« 
rat In I^amburg. I. Rllaemeinc 
£el)ren: pcrfonen unö Saqcn öes 
Seercdits. nr. 386. 

— — II. Die ein3clncn fccrcdjtllc^en 
Sd|ulöocrI]äItniJfc: Dcrträgc 6cs 
Seercdjts unö aufecroertragltdjc 
Ejaftung. Hr. 387. 

gttfenfttbHkotlon, 5fe, öie Seifen» 
analDJe unö öie Ker^enfabrifation 
Don Dr. Karl Braun in Berlin. (Die 
5ctte unö Öle II.) IHÜ 25 HbbUö. 
Kr. 336. 

^tnftitnu« ^ntpllciftlmn* oon 
tjans 3afob OCIjrtftoffel o. ©rintmels» 
Ijaufen. 3n flusioal)! I)crausgcgeb. 
tjon Prof. Dr. 5. Bobertag, Doscnt 
an öer Unioerf. Breslau. Ilr. 138. 

gorioloßl« oon Prof. Dr. (Eljomas 
fldjelis in Bremen. Hr. 101. 

^Ofiole ^rttflt ficije: (Enttoidlung. 

§jjt*odj&etthmäler, ©otifdi«, mit 
(Brammatil, Überfe^ung unö (Er- 
läuterungen D. Dr. f}enn. 3anÖ<nf 
Direhor öer Königin Cuife»SdjuIe in 
Königsberg i. pr. Hr. 79. 

«»rttdjnttlTcnrdittft, ©ertttottirdt», 
D. Dr. Rid}. Coeroe in Berlin. Hr. 2:3a 

— 5nb«>0ermanird|c,D. Dr.R.ITTerin» 
gcr, Prof. a. ö. Unio. ®ra3. lUit einet 
taf. Hr. sa 

— ßonrnnifdie, Don Dr. flöolf Saunet, 
prioatöogent an öer Unioerf, tDien. 
I: £outIet)re u. IDortlebre I. Ilr. 128. 

II : IPortleljre II u. Stjntar. Hr. 250. 

— §ttttittrdie, Don Dr. <E. Brodel» 
mann, Prof, an öer Unioerf. Königs» 
berg. Hr. 291. 

^tattt&lclfvt, llUgemtine, oon Dr. 

I^erman^ Re^m, Prof. an ö. Unio. 

Strasburg i. (E. Hr. 358. 
§töot0red|t, %fvtttfiUtht», oon Dr. 

5ri^ Stier.SomIo, Prof. an öer Uni» 

oerf. Bonn. 2 tteile. Hr. 298 u. 299. 
gttttnntcekuttbe, ^etttfdie, oon 

Dr. Ruöolf ITtud), a. 0. Prof. an öer 

Uniocrf. VOicn. ITtit 2 Karten unö 

2 tEaf. Ur. 12G. 



; §tattk. I. (Teil : Die (Brunbicljren öer 

I Statif ftarrer Körper d. ID. f^aubcr, 

DipIom..3ng. mit 82 5ig- Ut. 178. 

|— IL tleil: flngeroanötc Statif. Ulit 

i 



61 5ig. Ut. 1^ 



§ttn0Qrapl)ie nad) öem Spftcm oon 
j 5. X. (Babelsberger oon Dr. flibcrt 
! Sdjramm, lUitglieö öes Kgl. Stenogr. 
j 3nfHtuts Dresöen. Hr. 246. 
I — Die Reöefdirift öes (Babelsbcrgerfdjen 
Stjftems Bon Dr. flibcrt Stramm, 
Canöesamtsaff. in Dresöen. Rr. 368. 

— £ef)rbud} öer Dcreinf aditen Deutfdjen 
Stenogropljte ((Einig.»St}Stem Stol3ei 
Sdireij) nebft Sdilüffel, Cefejtücfen u. 
einem flnljang o. Dr. flmfel, Ober» 
leljrer öes Kaöettenljaujes (Dramen* 
Uein. nt.86. 

^ttvtüdjtmie oon Dr. (E. IDeöefinö, 

Prof. an öer Unioerf. (Tübingen. 

m\t 34 abbUÖ. Hr. 201. 
5isvs0tntivis oon Dr. R. (Blafer in 

Stuttgart. Rlit 44 5tg. Ur. 97. 
§tilhun2ie oon Karl (Dtto £)artmann, 

ffieroerbefdiulDorftanb in £aljt< IRit 

7 Dollbilöcm unö 195 tlcft=311u. 

ftrationen. Ut. sa 
Stdfttologt«, ^Ugttncine djemirdie, 

oon Dr. (Buft. Rautet in (E^at* 

lottenburp. Ur. 113. 

— piedtantrdtc, oon (Bei). I^ofrat Prof. 
fl.£üöidei. Braunfdjroeig. nr.340;41. 

®etrforbrtoffe, JIU, mit befonberet 
Bcrücffidjtigung"' öer fi)ntl)ctifd)en 
IRctljOÖen oon Dr. fjans Bud}erct, 
Prof. an öer Kgl. lEe(^n. I)od}|(^uI« 
Dresöen. Ur. 214. 

^tltavttpUiti Sit tltkUifdit, oon 
Dr.£uö.RcIIftab. m.l95ig. Ur.172. 

ff'cffament. Die (Entjteljung öes fllten 
0:eftaments oon Lic. Dr. U). Stacrl 
itt 3cna. Rr. 272. 

— Die (Entfteljung öes Ueuen lEefta. 
ments oon Prof. Lic, Dr. (EarlCIemen 
In Bonn. Ur. 285. 

— IltttttflotnmtlldjeBeitoerdtldrt« 
I : Der I)iftorif(f)e unö fulturgc|d)i(ijt» 
lidje liiutergrunö öes Urd)ri)tentums 
oon £ic. Dr. W. Staerf, prioatöoi. 
In 3ena. mit 3 Karten. Ur. 325. 

®<ftam<ttt. Heute rttttnenti. ieit- 
((erd)td)te II: Die Religion öes 
3uöcntums im Seitaltcr öes I^ellenis* 
mus unö öer Römerberr|d}aft Ullt 
einer pianftissc. Ur. 326, 



13 



^twHl-pnhuftvi* I: Spinncret uk- 
StDirnerct von Prof. ITlaj (Bürticr, 
®cl). Regierungsrat im KönigL 
£anöesgctöcrbeamt 3U Berlin. lUit 
39 5iguren. Itr. 184. 

II. EDcberci, IDirlerci, Dofamcn» 

tiererci, Spieen- un5 (Baröincn- 
fabrifation unö 5H3fa6ri!ation Don 
Prof.moE (Bürticr, (Bei). Rcgicrungs* 
rot im Königl. £onöcsgciDcrbcamt 
3U Berlin, mit 27 5lg. Itr. 185. 

III: IDäfd)crci, BIei(f|erei, 5är« 

berct unb iljrc f}iIfsftoffc von Dr. 
VOiW). ma?fot, Cclirer an öer preufe. 
I)öl). 5a<i)f(i|ulc für Septilinöuftric 
in Krefelö. mit 28 5ig. Itr. 186. 

•;^<rmot>tTuatttik(tred)mfd]e IDärme» 
IcI}Tc) o. K. IDaltljcr u. m. Röttingcr, 
DiplOngcnieuren. m. 545ig. Itr.242. 

Cicfbiologie fielje: Biologie b JEicre. 

CUre ficbe audi: (Enttoidlungsge» 
fdliditc. 

9UvQt0evapliH oon Dr. flrnolö 
3acobi, Prof. öer Soologic an 
6er Kgl. 5orftofa6emic 3u tlljaranöt. 
mit 2 Karten. Itr. 218. 

SUvhutt^« o. Dr. 5ran3 ö. IDagner, 
Prof an öer Unioerf. (Bra3. mit 
78 flbbilö. Hr. 60. 

W^UvvtiA), |Jtt«, I: Saugetiere oon 
©berftuötenrat Prof. Dr. Kurt £am» 
pert, DorjteI)cr öes Kgl. Itaturalien» 
fabinetts in Stuttgart mit 15 flb» 
bilö. Hr. 282. 

III: Reptilien unb flmpljibicn. 

Don Dr. 5ran3 IDemer, prioat» 
6o3ent an öer Unio. IDien. mit 
48 flbbilö. nr. 388. 

IV: 5tf<i|c oon prioatöosent Dr. 

VXai Rautfjer in ©icßcn. Itr. 3.56. 

9Uvittd)Usljve^ Allgemeine u. f pe3icne, 
Don Dr. Paul Rippert in Berlin. 
Itr. 228. 

Cvieonittnettri«. ©bette unh Tplja- 
rirdte, Don Dr. fficrl). J)effcnbcrg, 
Prit)atÖ03. an öer tEcdin. JjoAfAuIe 
in Berlin. mit70 5tg. Hr. 99. 

ytttetrrid)tj»tt»<r<n, ^a» affentliAjt. 
PeMt^ri|tcln^« i. b. ^egenntari 
oon Dr. Paul Sto^ncr, (Bt)mnafial« 
obcrIeI)rcr in Stoidau. Itr. 130. 

— ©efdiidjt« ]&** iietttrrtien flntcr- 
Vid)t»meren0 o. Prof. Dr. 5rieöri(f| 
Seiler, Direft. ö. Kgl. (Btjmn 3u Curfau. 
I. Seil: Don Anfang an bis 3um 
€nöe öes 18. 3al)rl)unöerts. Itr. 27.5. 



iitntfdjtn |tnterriri)t0ntcren« 

oon Prof. Dr.Sricörid} Seiler, Diref. 
tor öes Kgl. (Btjmnajiums 3U £n(f au. 

II.tEeil: Dom Beginn ö. 19. 3al)rl). 

bis auf öie (Bcgenroart. Itr. 276. 

ItvgcWitdjt* tut Plenrdjlicit o. Dr. 
mori3 ^ocmes, Prof. an öer Unio. 
IDien. mit 53 flbbilö. Hr. 42. 

{(rhebevredit, ^«»», an IDerlen öer 
Literatur unö öer (Eonfun^t, öas 
Dcrlagsredjt unö öas Urt)cberrect|t 
an IDerfcn öer bilöenöen Künfte unö 
pi)otograpI)ic oon Staatsantoalt Dr. 
3. Sdjlittgcn in dfiemni^. Itr. 361. 

i(trl)ebetrred|t, P«)» beutfdic, an 
literarifdjen, fünftlcrifd)cnu. gcujerb» 
lidjcn Sci)öpfungen, mit befonöcrer 
Berürffid)tigung öer internationalen 
Derträge oon Dr. ffiuftao Rauter, 
Patentantoalt in (Eljarlottcnburg. 
Itr. 263. 

I^ehtpranalt^lt!» o. Dr. Siegfr. Dalcn» 
tiner, prioatöo3ent am pf)t)f . 3nftitut 
ö.(Eed)nif d)cn fjod) jd]ule in ^annooer. 
mit 11 5ig. Hr. 3.34. 

|^(tranrd)Utgen, fa», im ^od)bcitt. 
Kursgcfafetes ^anöbudf über öas 
IDefen öes Koftcnanfd^Iags oon 
€mil Bcutingcr, flrdjiteft BDfl., 
fljUUcnt an öer letfin. Ejodijdiulc 
in Darmftaöt. mit oielen Figuren. 
Hr. 3^5. 

|ie}^|tdTet*un9!»matl)^emat{lt oon Dr. 
flifreö £oen)tj, Prof. an öer Unio. 
Sreiburg i.B. Hr. 180. 

PivftAjtvunQ^wefett, 5«*, oon Dr. 
iur. Paul moIöenl)nuer, 'Do3cnt öer 
DerfidierungstDtffenJcIjaft an öer 
^anöels!}0d)jd)ule Köln. Itr. 202. 

I^äiherkunbe oon Dr.midjael JJaber» 
lanöt , f. u. f. Kujtos öer ctljnogr. 
Sammlung öes naturljijtor. fjof» 
mufeums u prioatöos. an ö. Unioerf. 
IDien. mit 56 flbbilö. Hr. 73. 

i;olh0Hbli0t^ehen (Büd|er« u. £efc. 
Ijallen), iljrc (Einriditung unö Der- 
toaltung oon (Emil 3aef3ifc, Staöt» 
bibIiotI)efar in (Elberfelö. Hr. 332. 

|lallt«lieb, IIa« beutrdie, aus* 
gctoa!)» unö erläutert oon Prof. Dr. 
3ul. Saljr. 2 Bö. Ur. 25 u. 132. 

|^oIk*»witrtrdmft*l«l|«< ». Dr. Carl 
3oI)S. 5udis, Prof. an öer Unioerf. 
5reiburg i. B. Ur. 13a 



14 



VA OdSAG 



|l0lk!9TOirtrd|c>f»»lT«>lltik oon pro« 
yiöcnt Dr. R. van öcr Borgljt in Bct» 
Itn. Hr. 177. 

y:talti)airtlicb, ZI«*, Im Dcrsma^e 
ixr Ur?d)rift üßcrjc^t unö erläutert 
Don Prof. Dr. I7. flItI)of, Oberlcljrct 
a. RealgtjmnaftumilDeimar. Hr. 4(5. 

UJaltljcr von ^rr llogclwei^t mü 
flusToal)! aus ITTinncfang u. Sprudj« 
öiditung. Tllit flnmcrfungcn unö 
einem EDörtcrbud} oon ®tto (Büntter, 
Prof. a. b. (Dberrcalfdjule unö a. ö. 
fecdjn. r70difdi. in Stuttgart. Hr. 2:^. 

^(trsnkunbe, Don Dr. Karl l7affa(f, 
Profeffor u. Cciter öcr f. f. I7aitöels= 
afaöcmic in ®ra3. I. 2cil: Unor» 
ganifdjc tDarcn. lUit 40 flbbilb. 
Ur. 222. 

— II. (Teil: (Drganif^e IDaren. lUit 
36 abbilö. nr. 22a 

pjaven}eid)tnvtd]i, 900. ITa^ öem 
(5efc§ 3um Si\u^ 6er IDaren» 
be3ei(f)nungcn Dom 12. ITTai 1894. 
Don Regierungsrat 3. Rcuberg, 
ITtitglieb öes Kaiferl. Patentamts 
3U Berlin. ITr. 300. 

piäfmr. lEtjcoretifdjc piiijfif 11. tEell: 
£td)t unö IDärmc. Don Dr. ®uftao 
3äger, Prof. an öer Unioerf. IDien. 
mü 47 flbbilö. nr. 77. 

nto^n*tamth) Don K. IDaltljcr u. 
nx. Rötttnger, DipL » 3ngcnicurc. 

mit 54 5ig nr. 242. 

^alTer, ?o#, unö feine Dertocnöung 

in 3nöuftrie unö (Betoerbc Don Dr. 

(Ernft £el)er, DipI.Ongen. inSaalfelö. 

mit 15 flbbilö. «r. 261. 
JJJtljtrtJerfalTttttg , Ptutfdjt, von 

Kricgsgcrid)tsrat Karl (Enöres in 

IDürsburg. Hr. 401. 



yjgübtwtvb, 2Itr nnlanttvt^ oon 

Red^tsanroalt' Dr. martin IDaffer. 

mann in Hamburg. Xli^. 339. 
^ Wolfram von i£(ditnbadj. f^art» 

mann v. fluc, IDoIfram o. (Efd)en« 
j baä) unö (Bottfricö oon Strafebur^. 
, flustoal)! aus öem f)öf (Epos mit 

flnmcrfungcn u. IDörterbui d. Dr. 
I K. marolö, Prof. am KgL Sneöridjs» 

folleg. 3. Königsberg t. pr. Ilr. 22. 
; ^orttrbttdT nad) öer neuen öcutfdjen 
j Rcdjtfdjreibung oon Dr. J)einri^ 
! Kiens. Hr. 200. 
i — pctttrdie*, oon Dr. 5crö. Dctter, 

Prof. an ö. Unioerfität präg. Ilr. (54. 

— 5:cd)tttrd?c0, cntl^altenö öie toid}» 
tigftcn flusörürfc öcs mafdjinen« 
baues, Sdjiffbaucs unö öcr (Elcftro» 
tcdjnif Don (tridi Krebs in Berlin. 
I : Deutfdi.(EngItfdi. Rr. 39Ö. 

II: (EngIifd).Deutfd}. Hr. 396. 

'^tidjtnfdjult oon Prof. K Kimml<i^ 
in Ulm. mit 18 daf. in ITon., 
Sorben» unö ©olöörud u. 200 Doli» 
unö tEcftbilöern- Rr. 39. 

5tid|«ctt, ißtctntivifdit», oon f^. 
Bedcr, flriiiitcft unö £el)rer an öer 
Bau9en»erl|d)ulc in ITTagöeburg, 
i^cu bearbeitet oon profeffor 
3. Donöcriinn, Direftor öcr fönigl. 
BaugctDcrffdjuIe 3U münfter. mit 
290 5ig- unö 23 (Tafeln im lEejt 
Rr. 5S. 

^<ttung#nteren« Po« mobtvnt^ 
iSijft. ö 3eitungslcbre) o. Dr. Robert 
Brunl)uber in KöIii a. RIj. Rr. 320. 

— SlUgemttne ©cfdjidjt» >t», 
oon Dr. Cuöroig Salomon in 2^na. 
Rr. 351. 

^colo^it, Gerdildrt« b<«r, oon Prof. 
Dr. Ruö. Burdl)aröt. Rr. 357. 



lOeiterc Bönöe erfd)emen in rafd)er 50^9^- 

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